А.Б. Будак
Б.М. Щедрин

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
МАТЕМАТИКА

Руководство
для поступающих в вузы
Учебно-научный центр
довузовского образования

А.Б. БУДАК
Б.М. ЩЕДРИН

Элементарная математика

Руководство
для поступающих в вузы

Москва
2001
УДК 373

ББК 22.1я729

Б 90

А.Б. Будак, Б.М. Щедрин

Элементарная математика. Руководство для поступающих

в вузы. Изд. 3-е, перераб. и доп. — М. Издат. отдел УНЦ ДО,

2001 — 690 с. ISBN 5-88800-132-5

В данной книге содержатся: программа вступительных экзаменов по
математике для поступающих в МГУ; методические указания к ответам
на теоретические вопросы билетов устного экзамена по математике. Ана-
лиз характерных ошибок абитуриентов проводится на примерах вариантов
письменных экзаменов предыдущих лет (1993—2000 гг.). Разбор конкрет-
ных погрешностей проводится на основе материалов письменных экзаме-
нов 1993—1996 гг. Для самостоятельного разбора и решения предлагают-
ся варианты тех же лет. Задачи устных экзаменов для самостоятельного
разбора и решения подобраны за 1989—2000 гг. Более полные данные по
материалам вступительных экзаменов 1997—2000 гг. можно найти в сбор-
никах ’’Задачи вступительных экзаменов по математике (1997—1998 гг.),
(1999 г.), (2000 г.) (под общей редакцией Е.А. Григорьева).

В третьем издании книги исправленны замеченные опечатки второго
издания. Расширены разделы основных формул элементарной математики,
ответов на теоретические вопросы билетов устного экзамена, список цити-
руемой литературы, задач, предлагавшихся на устном экзамене. Упроще-
ны решения некоторых задач и ответы на некоторые теоретические вопро-
сы.

Книга будет полезна поступающим в вузы, слушателям подготови-
тельных курсов, подготовительных отделений, преподавателям, учащимся
старших классов, школьным учителям.

Авторы выражают благодарность всем своим коллегам и учащимся за
высказанные замечания по предыдущим изданиям книги.

Рецензенты:

д. ф.-м. н., проф. Потапов М.К.,

к.	ф.-м. н., доц. Федотов М.В.

ISBN 5-88800-132-5	© А.Б. Будак, Б.М. Щедрин, 2001

© Учебно-научный центр
довузовского образования, 2001
© Обложка. Алмазова Е.Е.,
Шваров В.В., 2001
ВВЕДЕНИЕ

Исторически сложилось так, что вступительные экзамены по матема-
тике в МГУ на различные факультеты курируют три подразделения:

механико-математический факультет,

факультет вычислительной математики и кибернетики

и кафедра математики физического факультета.

Факультет вычислительной математики и кибернетики проводит эк-
замены по математике на четырех факультетах: ВМиК, геологическом,
экономическом и институте стран Азии и Африки. Причем на первых двух
письменный и устный, а на двух последних письменный.

Поскольку материал этой книги подготовлен сотрудниками факультета
ВМиК, то он основан на материалах и опыте факультета вычислительной
математики и кибернетики. Однако, материал книги полезен для школь-
ников, собирающихся поступать не только на другие факультеты МГУ, но
и в иные учебные заведения.

Данная книга, в частности, содержит такие материалы, являющиеся
основой для подготовки к письменному и устному экзаменам по математи-
ке, как примеры вариантов письменных экзаменов с решениями и для са-
мостоятельного решения, анализ характерных ошибок, часто допускаемых
абитуриентами на письменном экзамене, примеры задач устного экзамена
также с подробными решениями и для самостоятельного решения, мето-
дические указания к ответам на теоретические вопросы билетов устного
экзамена по математике, как готовиться к вступительным экзаменам по
математике и другие важные материалы.

Следует отметить, что в книге параллельно используются принятая
в настоящее время школьная терминология типа ’’отрезок АВ равен 5”,
’’угол ВАС равен 30°” и т.п., а также — терминология типа ’’длина отрез-
ка АВ равна 5”, ’’мера (величина) угла равна 30°” и т.п., которые подразу-
мевают одно и то же. Однако вторая из этих терминологий математически
более корректна, ибо та или иная геометрическая фигура и ее числовая
характеристика — разные понятия.

Нумерация рисунков в книге обновляется в разделе III и пп. 2.1, 2.2,
2.3, 2.4 и 3 раздела IV.

В книге также встречаются ссылки на ту или иную книгу из приве-
денного на стр. 249 — 250 списка литературы, например, см. в книге [1]
или см. в учебнике [5] и т.п.. Это соответственно означает, что указанный
материал можно найти в книге, указанной в этом списке под номером 1,
или — в учебнике, указанного в этом списке под номером 5.
Варианты письменных экзаменов, приведенных в этой книге, подгото-
вили: В.Б. Алексеев, А.Б. Будак, В.К. Власов, С.А. Волошин, В.П. Воро-
нин, В.Я. Галкин, В.М. Говоров, В.Н. Денисов, И.Н. Иновенков, И.С. Ломов,
В.В. Морозов, В.С. Панферов, М.М. Потапов, В.И. Родин, А.А. Сапоженко,
А.Н. Соколихин, Н.В. Соснин, Д.Ю. Сычугов, В.Г. Ушаков, М.В. Федотов,
Б.М. Щедрин при участии А.А. Васина, Н.Л. Григоренко, Е.А. Григорьева,
В.А. Ильина, В.Ю. Королева, Д.П. Костомарова, В.М. Круглова.

Решения отдельных задач письменных экзаменов (с нашей точки зре-
ния лучше, чем авторские) предложили Т.А. Леонтьева, Д.Ю. Сычугов и
некоторые учащиеся.

Часть материалов, набранных на компьютере в LATEXe, авторам пре-
доставили И.Н. Иновенков и М.М. Потапов.

Большую часть чертежей, выполненных на компьютере в PAINTBRUSHe,
предоставил авторам М.А. Гладченко.

В составлении вариантов выездных экзаменов, включенных в эту кни-
гу, приняли участие и сотрудники механико-математического факультета
МГУ: И.Н. Сергеев, О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев.

Методические указания к ответам на вопросы билетов устного экза-
мена подготовил А.Б. Будак при участии Б.М. Щедрина. Ценные замеча-
ния высказали В.И. Родин и В.Г. Ушаков.

В подготовке задач устных экзаменов принимали участие В.Б. Алексеев,
А.Б. Будак, С.А. Волошин, В.П. Воронин, В.Я. Галкин, В.М. Говоров,
И.Н. Иновенков, Л.В. Крицков, И.С. Ломов, Ал.В. Лукшин, В.С. Панферов,
В.С. Серов, Н.В. Соснин, В.Г. Сушко, В.Г. Ушаков, М.В. Федотов,
Б.М. Щедрин.

Авторы надеются, что изучение материалов данной книги будет способ-
ствовать повышению общего уровня математической подготовки поступа-
ющих в вузы России и других стран, что в свою очередь крайне необходи-
мо для успешного обучения в высшей школе во имя Приобретения высокой
квалификации в выбранной специальности.
РАЗДЕЛ I

1.	ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В МГУ им. М.В. ЛОМОНОСОВА
(2001 год)

Настоящая программа действует с 1993 года на вступительных экза-
менах по математике на всех факультетах МГУ, где эти экзамены прово-
дятся. Она состоит из трех разделов.

В первом разделе перечислены основные математические понятия, ко-
торыми должен владеть поступающий как на письменном, так и на устном
экзамене.

Второй раздел представляет собой перечень вопросов теоретической
части устного экзамена. При подготовке к письменному экзамену целесо-
образно познакомиться с формулировками утверждений этого раздела.

В третьем разделе указано, какие навыки и умения требуются от по-
ступающего на письменном и устном экзаменах.

Объем знаний и степень владения материалом, описанным в програм-
ме, соответствует курсу математики средней школы. Поступающий может
пользоваться всем арсеналом средств из этого курса, включая и начала ана-
лиза. Однако для решения экзаменационных задач достаточно уверенного
владения лишь теми понятиями и их свойствами, которые перечислены в
настоящей программе. Объекты и факты, не изучаемые в общеобразова-
тельной школе, также могут использоваться поступающим, но при усло-
вии, что он способен их пояснять и доказывать.

В связи с обилием учебников и регулярным их переизданием отдельные
утверждения второго раздела могут в некоторых учебниках называться
иначе, чем в программе, или даваться в виде задач, или вовсе отсутство-
вать. Такие случаи не освобождают поступающего от необходимости знать
эти утверждения.
1.1.	Основные понятия

1.	Натуральные числа. Делимость. Простые и составные числа.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

2.	Целые, рациональные и действительные числа. Проценты.

Модуль числа, степень, корень, арифметический корень, логарифм.

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа (угла).

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.

3.	Числовые и буквенные выражения. Равенства и тождества.

4.	Функция, ее область определения и область значений.

Возрастание, убывание, периодичность, четность, нечетность.
Наибольшее и наименьшее значения функции. График функции.

5.	Линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая
и тригонометрические функции.

6.	Уравнение, неравенство, система. Решения (корни) уравнения,
неравенства, системы. Равносильность.

7.	Арифметическая и геометрическая прогрессии.

8.	Прямая на плоскости. Луч, отрезок, ломаная, угол.

9.	Треугольник. Медиана, биссектриса, высота.

10.	Выпуклый многоугольник. Квадрат, прямоугольник,
параллелограмм, ромб, трапеция. Правильный многоугольник.
Диагональ.

И. Окружность и круг. Радиус, хорда, диаметр, касательная, секущая.
Дуга окружности и круговой сектор. Центральные и вписанные углы.

12.	Прямая и плоскость в пространстве. Двугранный угол.

13.	Многогранник. Куб, параллелепипед, призма, пирамида.

14.	Цилиндр, конус, шар и сфера.

15.	Равенство и подобие фигур. Симметрия.

16.	Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей.
Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми, плоскостями,
прямой и плоскостью.

17.	Касание. Вписанные и описанные фигуры на плоскости
и в пространстве. Сечение фигуры плоскостью.

18.	Величина угла. Длина отрезка, окружности и дуги окружности.
Площадь многоугольника, круга и кругового сектора.

Площадь поверхности и объем многогранника, цилиндра, конуса, шара.

19.	Координатная прямая. Числовые промежутки. Декартовы
координаты на плоскости и в пространстве. Векторы.
1.2.	Содержание теоретической части устного экзамена

1.2.1, Алгебра

1.	Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.

2.	Свойства числовых неравенств.

3.	Формулы сокращенного умножения.

4.	Свойства линейной функции и ее график.

5.	Формула корней квадратного уравнения. Теорема о разложении
квадратного трехчлена на линейные множители. Теорема Виета.

6.	Свойства квадратичной функции и ее график.

7.	Неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее
геометрическое двух чисел. Неравенство для суммы двух
взаимно обратных чисел.

8.	Формулы общего члена и суммы п первых членов арифметической
прогрессии.

9.	Формулы общего члена и суммы п первых членов геометрической
прогрессии.

10.	Свойства степеней с натуральными и целыми показателями.
Свойства арифметических корней n-й степени. Свойства степеней
с рациональными показателями.

11.	Свойства степенной функции с целым показателем и ее график.

12.	Свойства показательной функции и ее график.

13.	Основное логарифмическое тождество. Логарифмы произведения,
степени, частного. Формула перехода к новому основанию.

14.	Свойства логарифмической функции и ее график.

15.	Основное тригонометрическое тождество. Соотношения между
тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
Формулы приведения, сложения, двойного, и половинного аргумента,
суммы и разности тригонометрических функций. Выражение
тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму.
Преобразование выражения a sin х + Ь cos х с помощью
вспомогательного аргумента.

16.	Формулы решений простейших тригонометрических уравнений.

17.	Свойства тригонометрических функций и их графики.
1.2.2. Геометрия

1.	Теоремы о параллельных прямых на плоскости.

2.	Свойства вертикальных и смежных углов.

3.	Свойства равнобедренного треугольника.

4.	Признаки равенства треугольников.

5.	Теорема о сумме внутренних углов треугольника. Теорема

о внешнем угле треугольника. Свойства средней линии треугольника.

6.	Теорема Фалеса. Признаки подобия треугольников.

7.	Признаки равенства и подобия прямоугольных треугольников.
Пропорциональность отрезков в прямоугольном треугольнике.
Теорема Пифагора.

8.	Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство
биссектрисы угла.

9.	Теоремы о пересечении медиан, пересечении биссектрис
и пересечении высот треугольника.

10.	Свойство отрезков, на которые биссектриса треугольника делит
противоположную сторону.

И. Свойство касательной к окружности. Свойство касательных,
проведенных из одной точки к окружности. Теоремы о вписанных углах.
Теорема об угле, образованном касательной и хордой. Теоремы об угле
между двумя пересекающимися хордами и об угле между двумя
секущими, выходящими из одной точки. Равенство произведений
отрезков двух пересекающихся хорд. Равенство квадрата касательной
произведению секущей на ее внешнюю часть.

12.	Свойство четырехугольника, вписанного в окружность.
Свойство четырехугольника, описанного около окружности.

13.	Теорема об окружности, вписанной в треугольник.

Теорема об окружности, описанной около треугольника.

14.	Теоремы синусов и косинусов для треугольника.

15.	Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника.

16.	Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма.

17.	Свойства средней линии трапеции.

18.	Формула для вычисления расстояния между двумя точками
на координатной плоскости. Уравнение окружности.

19.	Теоремы о параллельных прямых в пространстве. Признак парал-
лельности прямой и плоскости. Признак параллельности плоскостей.

20.	Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема об
общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Признак
перпендикулярности плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.
1.3.	Требования к поступающему

На экзамене по математике поступающий должен уметь:

1)	выполнять (без калькулятора) действия над числами и числовыми
выражениями; преобразовывать буквенные выражения; проводить
операции над векторами (сложение, умножение на число,
скалярное произведение); переводить одни единицы измерения
величин в другие;

2)	сравнивать числа и находить их приближенные значения
(без калькулятора); доказывать тождества и неравенства
для буквенных выражений;

3)	решать уравнения, неравенства, системы (в том числе с параметрами)
и исследовать их решения;

4)	исследовать функции; строить графики функций и множества точек
на координатной плоскости, заданные уравнениями и неравенствами;

5)	изображать геометрические фигуры на чертеже; делать
дополнительные построения; строить сечения; исследовать
взаимное расположение фигур; применять признаки равенства,
подобия фигур и их принадлежности к тому или иному виду;

6)	пользоваться свойствами чисел, векторов, функций и их графиков,
свойствами арифметической и геометрической прогрессий;

7)	пользоваться свойствами геометрических фигур, их характерных
точек, линий и частей, свойствами равенства, подобия и взаимного
расположения фигур;

8)	пользоваться соотношениями и формулами, содержащими модули,
степени, корни, логарифмические, тригонометрические выражения,
величины углов, длины, площади, объемы;

9)	составлять уравнения, неравенства и находить значения величин,
исходя из условия задачи;

10)	излагать и оформлять решение логически правильно, полно и
последовательно, с необходимыми пояснениями;

На устном экзамене поступающий должен дополнительно уметь:

11)	давать определения, формулировать и доказывать утверждения
(формулы, соотношения, теоремы, признаки, свойства и т.п.),
указанные во втором разделе настоящей программы;

12)	анализировать формулировки утверждений и их доказательства;

13)	решать задачи на построение циркулем, линейкой; находить
геометрические места точек.
2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ

2.1.	Используемые обозначения

Данный перечень обозначений имеет цель познакомить абитуриентов
с общепринятой в математике терминологией, широко применяемой для
сокращения многих записей. Обозначения, применяемые в данной книге,
для понятий и в формулах элементарной математики в дальнейшем будут
постоянно применяться во всех курсах высшей математики, изучаемых в
МГУ и других вузах. Поэтому знакомство с ними на стадии обучения на
ПО представляется весьма целесообразным. Приводимый далее в п. 2.2. пе-
речень формул и фактов представляет определенный их набор по разделам
” Алгебра”, ”Геометрия”, ”Тригонометрия”. Он охватывает большое коли-
чество используемых при решении задач формул, содержит, в частности,
формулы, традиционно не включаемые в опубликованные ранее справочни-
ки, брошюры, памятки и т.п. для поступающих в вузы, особенно в разделе
’’Тригонометрия”. Ряд формул, например, для модуля числа и некоторые
другие приводятся в нетрадиционном, но достаточно емком виде. Отме-
тим еще, что основной упор в списке формул делается на использование
обозначений, чертежей и т.п. и весьма незначительного количества слов.
В дополнение к материалу этого раздела можно использовать, например,
справочные пособия [13] — [16].

2.1.1.	Алгебра и некоторые формулы векторной алгебры

X — множество ; ОДЗ — область допустимых значений ;

{а} — множество, состоящее из одного элемента a ;

U — объединение, П — пересечение, 0 — пустое множество ;

6 — знак принадлежности, $ — не принадлежит ;

С । С — знаки включения, Э , □ — знаки ” содержит” ;

V — ’’любой”, ”для любого” ;	3 — Существует”,

J — ”не существует”, 3! — ”существует единственный” ;

=> — следует, или <=> — Смеет место тогда и только тогда” ;

— ”есть по определению”, — — ”равно по определению” ;

D[/] — область определения функции у = /(а?) ;

E[f] — область изменения (значений) функции у = f(x) ;

V — ”сравнить”, — знак взаимно однозначного соответствия ; *

* Бели любому из элементов первого из двух множеств поставлен в соответствие
единственный элемент второго из этих множеств, причем каждый элемент второго мно-
жества соответствует хотя бы одному элементу первого множества, разным элементам
первого множества соответствуют разные элементы второго множества, то говорят, что
между этими множествами установлено взаимно однозначное соответствие.
4- — знак арифметической прогрессии ;

-Н- — знак геометрической прогрессии ;

N = {l,2,3,...,n,...J, Nu{0} = No;

Z = {... , -п , ... , -3 , -2 , -1} U No ;

Q = R pez, qez (g/0)l ;

1л	J

: — деление нацело: пусть m, п 6 Z, п / О

: df

т : п — если Зр 6 Z т — р-п^

Н.О.Д.(т; п) — наибольший общий делитель чисел тип, где т, п 6 N;
Н.О.К.(т; п) — наименьшее общее кратное чисел тип, где т,п Е W ;

R = {0 = 0,00 .. .0...; +ao9aia2a3 .. ,ап ...,

ао Е No, Vk € N а* € No, а* 9 и За*0 /0, ко е No} ;

± —первое +, второе а = ±ар, а^аз ... ап ..., За*0 0 —
не равная нулю десятичная дробь, если перед числом а стоит знак ” + ”
или не стоит знак, то а — положительное число (а > 0) ,
а если перед а стоит знак ” — а — отрицательное число (а < 0) ;

а = ±ар, 0102 • • • ojfeajk+iajt+2 • • • afc+/<*fc+i<*fc+2 • • • о*+/... =

= ±оо, 0102 • ••ojk(ojt+iOjt+2 • •. о*4-/) — периодическая десятичная

дробь, т.е. Эк G No, I 6 N : Vt > к => о,= о,+/ ,
оо, (9) = (о0 + 1), (0); если Во* ^8, к 6 N, то
О0,О1О2 . . . <Zfc (9) = О0,О1О2 . . .(О* + 1)(0) = О0,О1О2 ... (о* + 1) —
конечная десятичная дробь;

если Vfc е No, I £N 3io > к : о^о+/ / а10, то

,	df

±00,0102 ...ап ... — непериодическая десятичная дробь ;

если ао = frm-ibm-2 • • - £>1&о — m “ значное число, то

±ао, 0102... о* (а*+1... ojt+/) =

__ 1 frm-l • » » ЬрО1 . . . QfcGfc + 1 » . . Qjb-H ~~ Ьщ-1 • • • ^рО1 » » » Ofc _

/ к

формула перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь
{яп} или {яп}^1 — последовательность,

жп (п Е N) — ее п - й член (хп 6 R) .

тг = 3,14159... — иррациональное число, равное отношению длины
окружности к диаметру, постоянное для любой окружности.

”{” — пересечение, система (и) ;

”[” — объединение, совокупность (или) .

— больше, или меньше, или равно ;	— больше, или меньше ;

(то есть не равно) ; /	— не равно .
= — знак тождественного равенства выражений или совпадения точек,
прямых, плоскостей и т.п.

%	— процент ; S — сумма , , П — произведение ,

п	п

= Х' = Ж1 + «2 + - +	, Пп = JJ X, = 11 • х2 ... • хп , n£N ,

t=l	t = l

1	1

Si =	xt\ = Z1 = П xi = П1 ;

i=i	»=i

|z| , x G R — модуль или абсолютная величина действительного числа ;

{х Е X : Р(х)} — совокупность элементов х из множества X, для
которых выполнено свойство Р(х) .

Числовая ось

М(х)	0(0) Е(\) А(а) В(Ь)

рис. 1
М—М(ж), х Е R — координата точки М на числовой оси;

О—0(0) — начало координат;

А "В
рис. 2
АВ— направленный отрезок, он же — вектор АЙ.

А — начальная точка (начало) или точка приложения вектора, В —
конечная точка (конец) вектора. Если точки А и В различные, то вектор
характеризуется направлением (от начала к концу).

Е—Е(1) : ОЕ — масштабный отрезок;

|АВ| = |Ь - а| = |АВ| = |А/)|
— длина направленного отрезка АВ или длина вектора А$, |ОЕ| — 1;

АВ-Ъ-а А—А(а), В—В(Ь)
— величина направленного отрезка АВ, который лежит или параллелен
числовой (координатной) оси.
Если точки В и А совпадают, то отрезок АА и вектор АА называются
нулевыми. Их длины равны нулю. Величина нулевого отрезка равна нулю.
Направления нулевого отрезка и нулевого вектора считаются неопределен-
ными. О — обозначение нулевого вектора.

Числовые промежутки

1) [а, 6] — {ж 6 R :	а	х 6} ; 2)

3) [а, Ь) — {ж G R .*	а	х < 6} ; 4)

а < х ^b} ;

а < х < Ь} ;

5) [а, +оо) = Е Я:	х а} ; 6)

7) (—оо, о] = {г Е Я :	х а} ; 8)

(a,b]^{xeR:

(а, b) = {х € R •

(а, +оо) = {х Е Я :	х > а} ;

(-оо, о) = {х Е Я :	х < а} ;

9) (—ос,+оо) = Я.

х df	df

1) —отрезок или сегмент ; 2) , 3) — полуотрезки,

d/

или полусегменты, или полуинтервалы ; 4) — интервал ;
d/

5)	, 7) — замкнутые лучи или замкнутые полупрямые ;

6)	> 8) — открытые лучи или открытые полупрямые ;

9) — числовая прямая (множество действительных чисел).

1) — 4) — конечные или ограниченные числовые промежутки ;

5) — 9) — бесконечные или неограниченные числовые промежутки.

AD и ВС. Нулевые векторы по определению считаются равными.



я I

рис. 5	рис. 6	рис. 7

рис. 8
a ft 6, если эти векторы ненулевые, лежат на одной прямой или на
параллельных прямых (коллинеарны) и имеют совпадающие направления;

a tJ, 6, если эти векторы ненулевые, лежат на одной прямой или на
параллельных прямых (коллинеарны) и имеют противоположные направ-
ления.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Для любых трех точек А, В, С Ж? = А^ + вё-,
~df - г	- . г -

с = а — />, если с 4- b = а.

по правилу треугольника; правилу параллелограмма; двух векторов

Пусть а — ненулевой, Ь == а • а — произведению действительного
числа а на вектор а, если |Ь| = |а| • |а|, b ft а при а > О, b || а при
а < 0. По определению считают: Va 0 • а = 0 — нулевому вектору;

Уа G R а • 0 = 0. В обоих этих случаях (то есть при а = 0 или а = 0)
имеет место равенство |а • а| = |а| • |а|.

рис. 12

b = аа, а > 0

рис. 13

Ь = аа, а < 0

рис. 14 а)	рис. 14 б)	рис. 14 в)
Если векторы а = ОА кЬ = ОВ имеют одно и то же начало и ненулевые,
то <(> = (а, Ь) — величина угла между этими векторами, которая по опреде-
лению есть величина угла между лучами О А и ОВ, причем 0 <р тг;

(а, Ь) — |а||Ь| cos <р — скалярное произведение векторов а и Ь.

Если а = 0 или b = 0, то угол между этими векторами считается
неопределенным, а (а, 6) — 0.

Декартова прямоугольная система координат Оху
и	у'

М(х;у)
—’ 1

Му(0;у)

М

О

___d____

Мх(х;0)

В(х2;у2)
Б-s

Л(хх;у})

х

х



О

т

Л — A(xi;yi) ; В — В(х2; у2)

рис. 15	рис. 16

М—М(х; у) х — абсцисса точки Af, у — ордината точки Af,
(ж; у) — координаты точки М в прямоугольной системе координат,

О—0(0; 0) — начало координат ,
Ох; Оу — координатные оси абсцисс и ординат соответственно;
{ж; у} — координаты вектбра m = ОЛ/,
ОМ—0^л/{ж; у} = {ж; у} = xi + yj, б = {0; 0}ц
где i и j — единичные векторы (то есть |г| = |j| = 1), направленные
в положительном направлении оси Ох и соответственно оси Оу.

_	а =: (J/t = {жг, 1/1} ,	_ г [ Ж1 = Ж2 ,

Пусть	г —* J	а = 6 <=> 4

Ь = ОВ = {ж2; з/2} ;	I У1 = У2 ;

а + 5= {Ж1 + ж2;х/1 4-1/2}; Ь- а =	= {ж2 - zi;i/2 - 3/1} ;

VaE R

аОм = am = {аж; aj/};

IО А/1 = |тп| = у/ж2 + у2 ;

|А^| = \/(ж2 - Ж1)2 + (1/2 - ?/1)2 ;

прямая t 6 Оху : ах 4- by = с, а / 0 или Ъ ф 0 а, 5, с 6 R ;

(5,5) = Ж1Ж2 4-1/11/2 ;

если

а б, Ь / б, то

(р = (а, 6) = arccos

Я1Ж2 4-1/12/2

Vxi + yl +
2.1.2. Тригонометрия

рис. 17

рис. 18

sin а = у = ОМу

cos а = х = 0Мх

рис. 20

рис. 19

df sina
tga =------= AM = у

cos a

df cos а
ctga = —---= ВМ = х

sina
2.1.3. Геометрия

рис. 23

рис. 24

— равные отрезки;

рис. 25

Z — знак угла; △ — знак треугольника; # — знак параллелограмма;

|| — параллельность, ± — перпендикулярность, ~ — подобие;
а = |ЛВ| — длина отрезка; а = /ВАС или а = ВАС —
мера (величина) угла;

(О; R) — окружность или сфера с центром в точке О радиуса Я;

|АВ| = р(А;В) — расстояние между точками А и В ;

р(Л;а) (р(Л;а)) — расстояние от точки А до прямой а (плоскости а),
р(А;а) (р(Л;а)) = |ЛА0|, где Ао € а (Ао 6 а), AAq ± а (АА0 1 а);

ha — длина высоты треугольника, проведенной к его стороне длины а;

1ъ — длина биссектрисы треугольника, проведенной к его стороне длины 6;
тс — длина медианы треугольника, проведенной к его стороне длины ;

Р — периметр; р — полупериметр; S — площадь; V — объем;

С — длина окружности; R или г — радиус окружности;

— площадь треугольника; S# — площадь параллелограмма;

Игр — объем призмы; Упир — объем пирамиды;

Уц — объем цилиндра; Ук — объем конуса;

Г МТ (геометрическое место точек) — множество точек на прямой, на
плоскости или в пространстве, каждая из которых обладает одним и тем
же свойством, и любая точка, не принадлежащая этому множеству, этим
свойством не обладает.
h — длина высоты плоской фигуры, опущенной на ее основание;

Н — длина высоты тела, опущенной на его основание;

г = гвп — радиус вписанной в плоскую фигуру окружности

или вписанной в пространственное тело сферы;

R = -Ron — радиус описанной около плоской фигуры окружности
или описанной около пространственного тела сферы;

S = Sg — площадь боковой поверхности пространственного тела,
она равна сумме площадей боковых граней тела;

S = So — площадь основания пространственного тела
(площадь грани основания);

S = Sn = So 4- Sq — площадь полной поверхности
пространственного тела.
2.2. Формулы и факты элементарной математики

2.2.1. Алгебра

a = anan-ian_2---aiao = an • 10n 4- an-i • Ю””*1 4-... 4-10 • ai 4- во G N,
o>j G M), dj ^9, j = 0; 1;...; n (an 0) .

ao = 0; 2; 4; 6; 8 <=> a : 2 ; a0 = 0 <=>

a : 10 ; a0 = 0; 5 <=> a : 5 ;

Va , b , x 6 R

x 0 => |$| = x ; x 0 => |ж| = — x ; |a ± b| |a| 4’z|b| ; ||a| - |b|| |a — b| ;

М = 14|Ь|; |k|=h’^°; |/(г)| =

f(x)y Vx e P[/] : f(x) > 0 ;

-/(*), Vx G P[/] : f(x) 0 .

Vne»

З-уТ^еЯ <=>	3 "-X/Tw e Я *=» №)i0;

3 ^7} и 3 log°	h(x)^Q

Цж)

то есть h(x) / 0 (0 < a / 1) .

Va, b, c, d G R

a 4- b = b 4- a , (a 4- b) 4- c = a 4- (b 4- c) , a 4- 0 = a , a 4- (—a) = 0 ,

a • b = b - a , a • (b • c) = (a • b) • c , a* 1 = a , a • 0 = 0 , a • - = 1 (a / 0) ,
a

(a±b)-c = a- c±b-c, c = a — b, если c 4- b = a ,

b ф 0, если d-b = a ,

a, b£Z, b/0 a.'b, если 3d 6 Z : d-b = a ;

2 a

~ b ’

a = b ;
a > b

a > b <=> b < a ;

a > b <==> b < a

a = b ;
b < a
, к   a	c . -	a±b	C±d	> ,n j-zn

a • d = b • c <=> т	=	<=>	—г— =	—j— ,	b / 0 , d / 0	;

b d	b d

	с  d	ad ± be а с ас = М ' b d =		a = b ; c = d ;
-± с	Ъ  С	а ± b , Л а ас	, Л  =	 , с 0 0 ; - =	,6, с^О; (а-  с	b Ьс	- 6)(c - d) 0 <=>	f a > b  1 c > d
а	с	а с ad	b,c, d ф 0 ;	J a < b
Ъ >	d	ad> be , b> 0, d > 0 ; - : 3 = — , b d be		( c < d

a + b + |o - 6|	. , .. a + b - |a - 6|

max(a; b) =--------------L ; mm(a; b) =-------------

Уа € Z , b € N 3! q 6 Z ,r 6 No, 0 r <C b — 1 : a = bq + r .

y = ax + bl.y = — • x + c (a 0) ; ?/ = аж 4- с || ?/ = az + d (c^d);
a

у = b .L x = a ; x = c || x — d (c / d) .

aj ^bj'Cj (J — 1; 2) , x, у 6 R *

aix4-i>i^ = ci ,
02® + b2y = c2

△ • ж = Ax ,
△ • у =	;

O1 &i

a>2 ^2

df .	,	I al h

= ai&2 — 02oi — определитель матрицы I

\ 02 b2

Cl 61

C2 62

= C162 “ C2&1

ai Ci

02 C2

= CL1C2 ~ O2C1 .

I. △ 0 => 3! (ж0; yo)

aixo + 61I/0 = ci ,
a2Xo + Ьгуо = сг ,

△ ’

* На самом деле aj,bj,Cj (j = 1;i), x,y могут быть и комплексными числами, кото-
рые изучаются в курсе математики иа подготовительном отделении МГУ.
геометрический £1 : а±х 4- bxy = ci ,
-	. ,	=> Л ^^2 = {Мо(хо;уо}} •

смысл:	<2 : «2® + &23/ = сг ,

II.

△ = 0,	.

* -L n	_	i /	\	J	01X0 + ^1У0 = С1 ’

△,00;	=>	3 (го; у0)	:	<

△S0O	I	a2xo + b2yo =	c2;

геометрический смысл: если

£1 : щх + biy = ci ,
£2 : о,2х 4- &2У = с2 ,

III.

△ = △, = Д9 = 0 ,

’ ai 0 ;
&i#0;

02 0 0 ;

. Ь2 ф О

_ .	. J aixt + btyt = ci ,

3	:	1 .к

I a2xt + b2yt = с2 ;

аj	0 : yt — t J

(3 = 1 или 2) xt = ~-----—

aj

геометрический смысл: если

0 0 : Xt = t ;

/ • i л\	~ djt € R 1

(j = 1 или 2) yt = 3-	3

bj

h : a2x + biy = ci ,

»	i к	=> ®1 = *2 •

£2 : а2г + b2y = c2 ,

Уа, 6, с, х Е R

-1 г/ ч 2	/ Ъ \ Ь2 — 4ас z , ЛЧ

3 f(x) = ах2 4-Ьж4-с = а|®4- — }----------- (а ± 0) ,

\	2а/ 4а

D = Ь2 — 4ас ,

/(*) = О

х — Xi =

-6-VP
2а

X = Х2 —

Ъ
®1 4- Х2 = —
а

2а

с

11 • х2 = -
 а
гг

О < 9‘° 1 У Э Л‘Х‘9‘ОА

• q = о <=> q -DAg = q + v

‘9 • P/vg q + p <= 0 9 ‘° ‘tf Э 9 ‘»A

• i - И <=> г =

X

- 4-Ж

I

lari

у+ 1*1 =

<= 0 / г 'tf Э гд

X

- + X
T

' 0 — 0 > (*)/

‘ (oo+ ‘oo-) Э жд о < (x)f

о > a ‘ о < ° Hdu

• 0 — о > (®)/ ‘ у- = x <=> o (*)/
07

‘ у Э «А 0 Iх)/ ‘ -— # X ‘(oo+ ‘oo-) Э ®A o < (X)J

о = a ‘ о < ° Hdn

i (tx Чж) э x <=> о > (x)f 1 [гж ’’ж] Э г» 0 (x)f
‘ (оо+ *гж) л (тя:‘оо~) Э г» 0 < («)/
‘ (оо+ ‘гх] п [тж ‘оо-) Э ж <=> 0 (X)J
о < а ‘ о < ° Hdn
Va,b,c,ae R, a,b> 0 , О < с / 1
ciogc а _ а . iOg^ с — 1 . jOgc j — fl .

logc (ab) = logc а + loge b , Va, b € R, ab> 0 => logc ab — logc |а| 4- logc |Ь| ;

/a\	a

logc = logc a ~ logc 6 , Va, 6 € Я, ab > 0 => logc - = logc Ы ~ l°gc IN >

logc аа = а • logc а , Уа ф 0 , Vn € Z => logc a2n = 2n • logc |a| ;

, 1 ,
logc» a = - • logca

a

Vc 0, с ф ±1 , Vn G Z , n ф 0

log‘a = §LK x); 1о&й =

logj(j) f(x) ^0 <=>

!g(x) > 1,

/(®) 1;

0 < g(x) < 1,

0 < /(t)	1;

(a 0) ;

, 1 .

logcjn a = — • log|d a ;

г-Ц- (a / 1 , b ± 1) . -
logo

< 0 <=>

p(®) > 1 ,
0 < f(x) < 1 ;

0 < g(x) < 1 ,
/(x) > 1 .

Уш e R, Vn, k e n

n = 2k — 1 ;
n = 2k ,

Va,bGfl, VnGN
a2n - b2n = (an + bn)(an - bn) =
= (a - b)(a2n"1 + a2n~2b + a2n~3b2 + ... + ab2n~2 + b2”’1) ,

a2n+l ± fe2n+1 =

= (a ± b)(a2n T a2n~lb + a2n~2b2 ? ... ab2n~x + b2n) ,
[a + (±Ь)]П = an + пап-\±Ь^ +	an~2b2 +

Л • Li

п(та i .^V2'0""3^^3+-+na<±6)n_1+

{an} — -г если 3d G R Vn G N => an+i = an 4- d ,
v,	„	, x „	/ei + an\ (2ai 4- d(n - l))n

Vn G W an = ai+d(n-1), Sn = >2a< = ( —r---I n =--------------,

-	\	Z J	&

1=1/	4	7

{^ti }	~ 4  Vn G N, ft 2	2an — Од—i 4" on_j-1 ,

{6n} — 4-r если 3g G R Vn G N £>n+i = bn • q ,

Vn(EN b^W1,* Sn = &><= b~n+1 ~ bl = M5- "J) (g/1),
9-1	q- 1

Sn = n6j (q = 1) , S = -—— (|g| <1, Sn -> S при n -> +oo) ,
1-9

{6n}------H- <$=> Vn € N, n 2 => b^ = bn—i • bn+1 .

△% от числа a — a- = a • 0,01Д — a • (△% : 100%) ,

a(l + 0,01Ai)(l + 0,01A2)-..(l + 0,01An) — сложный процент ,
△, > -100 i = 1; 2; ... n ,

a(l + 0,01A)n (△, = △ = const i= 1; 2; ... ;n) .

V® € P[/] => -x € P[/J

/(x) = /(—x) — четная функция ;

d/

g(x) = —g(—x) — нечетная функция

V h(x) = f(x) 4-g(z)>

/w =

p(®) =

3T#0 : Vi€P[/]

, /(_г)=fM;

кЫ , !(-*) = -SM ;
x±t eP[/],

f(x) = f(x + T) — периодическая функция .

* Если q = 0, то это равенство верно Vn 6 N , п 2 .
2.2.2. Геометрия

рис. 34

а 4- fl — тг
АВ || CD

рис. 35

АВ || CD
а : b = х : с

рис. 36

7 = а + fl

6 = а - fl

|ЛР| = |Л(?|

|ЛР|2 = |ЛВ| • |ЛС|

а • b = с • d

а4-7 = /?4-5 = тг

| AD\ + |ВС| = | ЛВ| + | DC|
рис. 40

AD || ВС ,

А 4- В = 7г, D 4- С = 7г,

рис. 41.

С = 2тгЯ, S = it R2, Ca = Ra,
2Sa = R2a,

25ж = Я2(a — sin a) = 2(Sa — S&oab)

(см. рис. 42) M(xi;yi) N(x2\y2) |MJV| = \/(ж1 - ®г)2 + (j/i - У2)2
(см. рис. 42) r2 = (x - ®o)2 + (l/ - Уо)2

(ii / x2) y = f(x) = x ———+	—№1, (^ = x'2) x = x\ (y—V)

Xi — X2	— X2

(см. рис. 43)

прямая I € Oxy : у = kx 4- b (A, b 6 R), к = tg9?, 0 <p 7г, (p / тг/2,
tp = (I ; ”4- ” направление Ox) , <p = тг/2 I E Oxy : x = a (a 6 R)
c2 = a2 + b2- 2abcos7 (0037 = 0 => c2 = a2 + b2);

=

+ 2с2 - Ь2 '

2
a b

2Я =

sin a sin /3

la2 = Ъс

с
sin 7’
к 2‘

2S = 2rp = bhb = 2у/р(р — а)(р - Ь)(р— с) = a6sin7 = absin(a 4- fl) =

2J2
a 4- /3 = тг

2a2 + 2b2 = |ЛС|2 + |BP|2 = e2 + /2;

2mc = c = y/a2 + b2 — |ЛВ|;

a + /?= -

S# = absina = a6sin/3 = - y = aha = Wib; hc = ^/|ЛЯ| • |ЯВ|;
a=J => S = ab= eJ-^l .	/ HCL = Z LCO .

Л1	I

рис. 49
n

a, < 2тг ;

1=1
s

рис. 56

I2 = H2 + Я2; S6 = *Rl;

VK = V = |$0Я = |тгЯ2Я;

Sn = irRL + irR2 ; So = nR2

рис. 57

S6 = 2тгЯЯ;

Уц = V = SOH = ttR2H-,
Sn = 2яЯЯ + 2тгЯ2

V = SH

V = VUp ; S = S0

рис. 59

I2 — a2 + b2 + с2; V = abc

Формулы для частей шара:

шаровой сегмент V — ^тгЯ2(ЗЯ — Я) ; - S = 2тг RH ;
<5

шаровой сектор V =	; S = irR(2H 4- \/2RH — Н2) ;

о

шаровой слой V = ^тгН3 4- х^г(Я1 4- R^H ; S = 2nRH
б 2

к рис. 60 V = |тгН(Я1 4- R1R2 4- R>1) ; S5 = 7г(Л1 4- Лг)£ ;

5п = *(Я14-Я2)£4-7г(Л2 + Л2)
рис. 62	рис. 63

I П (О; R) = {Л} U {В} I П (О; R) = {Л}
а = р(О;0

рис. 64

/П(О;Я) = 0

(О'; г) — окружность,

а = р(О;а) = |ОО'| .

г = у/R2 — а2 ,
(О; R) — сфера,
2.2.3. Тригонометрия

Va,0eR, VnEZ

sin2 a 4- cos2 a = 1 ;

sin(a + 2тгп) = sina ; cos(a 4- 2?rn) = cos a ;

sin(—a) = — sina ; cos(—a) = cos a ;

sin(a ± 0) = sinacos/3 ± cosasin/3 ; cos(a ±0) = cosacos/3 4= sinasin/3 ;

cos

= T sin a

cos(tt ± a) = - cos a ;

sin(7r 4= a) /= ± sin a ;

sin(a 4- irn) = (—l)n sina ;

cos(a 4- 7rn) = (—l)n cos a ;

2 cos a cos/3 = cos(a 4- /3) 4- cos(a — /3) ;  2 sin a sin /3 = cos(a — /3) — cos(a 4- /3) ;  2 sin a cos /3 = sin(a 4- /3) 4- sin(a — 0) ;
a-fi a+0
cos a 4- cos /3 = 2 cos —-— cos —-— ;
Q О • a~0  <*+(3
cos a — cos0 = —2 sin —-— sin —~;  2	2

. ,  a  sin a ± sm p = 2 sin —-— cos —-— ;

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2a = cos2 a — sin2 a = 2 cos2 a — 1 = 1 — 2 sin2 a ;

sin 3a = 3 sin a — 4 sin3 a ;

cos 3a = 4 cos3 a — 3 cos a ;
tga =	sin a	, если cos a 0 0 если cos a = 0 ;	;	l	df  ctg a =	• cos a		sin a ф 0 ;  n a = 0 ;
	cos a  3 -				sina  $ , если si	
V sec a =	 1	, если cos a 0 0 ;	df cosec a =		, если sin a 0 0 sina	
	cos a					
	J,	если cos a = 0 ;			J , если	sin a = 0 ;
cos a =	sin a	cos a	tga • ctga =	1	(cos a ф 0,	sin a 0 0)
	tga ’	Ctg a				

±ctga (a / irk Vk g Z) ;

Ttga

Vne z

tg (тгп ± a) = ±tg a

ctg (irn ± a) = ±ctg а (а^-кк Vk £ Z) ;

tg (a ± /3) =	(cos(a  V И) l^tgatg/3 k '	± /3) ф 0, cos a ф 0, cos (3 ф 0) ;
. , .ax ctgactg/3^1	,  ctg (a ± /3) =	(sin(  ctg/3 ±ctga	a ± /3) ф 0, sin a ф 0, sin /3 0) ;
2tg a	
£U — 	2	^COSZCl y- u, COS a у- U ) ,  1 — tg a	
ctg2 a - 1 ctg 2a =  2ctga	(sina / 0, cos a 0) ;
. lx a sin(a±/3) tga±tg/3 = cos a cos /3	(cos a ф 0 , cos /3 0 0);
.	, . a sin(/3±a)  ctga ± ctg/3 = -H—  sin a sin p	(sina 0 0 , sin/3 0 0) ;
——			
VaeR

г. al	/1 — cos a

I	21	V 2

I a I /14- cos a
r°S2l“ V 2	5

a

*8 2 =

a

ct4 =

I QI _ Л “ cosa
I $ 2 I V 1 4- cos a

(a ф 7Г 4- 2тг/?, Vfc E Z) ;

1 — cos a

1 4- cos a ’

a

если tg -	0 ;

A

1 — cos a t a л
--------, если tg — < О

1 4-cosa b 2

(a % 4- 2тг&, Vk E Z) ;

1 4- cos a

1 — cos a

1 4- cos a

1 — cos a

(a ^2%*, Vk EZ) ;

a

, если ctg —	0 ;

z

1 4- cos a L a
--------, если ctg — < 0

1 -cos a	b 2

(a / 2тгк,

a sin a
^2	14- cos a

(a/7T4-27rfc VkEZ);

a 1 — cos a

$ 2	sin a

a	sin a

2	1 — cos a

a 14- cos a

ctg :-------------

2 sin a

(a irk VkEZ) ;

(a 2тгк Vit 6 Z) ;

(a Ttk Vk E Z) ;
2t8?

sin a = ------«-g- (a 7Г 4- 2тгЛ Vk € Z) ;

1 + tg2 -

о a

l-tg2 2

cos a =--------(a ф 7Г 4- 2тгЛ V& 6 Z) ;

1 + tg2 7

tg“ =-----7a (2a#Trfc

l-tg2,

1-tg2^

ctga =-----^1

2tg-

Vfc G Z , k?4m VmtZ);

(a ± irk VkeZ) ;

Va€U

| sin a | = \/l — cos2 a ; sina =

vi — cos2 a , если sina 0 ;

—y/1 — cos2a , если sina 0 ;

| cos a| = yl — sin2 a ; cos a =

V1 — sin2 a , если
— V 1 — sin2 a , если

cos a 0 ;

cos a <J 0 ;

----= tg2 a 4- 1 , a /	4- irk Vk E Z ;
cos^ a	2

— = ctg2 a 4-1 , а^тгА; Ук E Z \
sin a

1	7Г

I cos a| = —7======== , a ф — 4- nk Vk E Z ;

v/tg2a4-l	2

I sina| = -7=== , a ф nk Vk E Z ; .
Vctg2a4-1

, если cos a > 0 ;

Vtg2a + 1

osa =	1

---===== , если cos a < 0 ;

L Vtg2a + 1
1

—===== , если sina > 0 ;

у ctg2 a + 1

1

—====== , если sina < 0 ;
уctg2a 4-1

sina = cos a • tga =

cos a = sina • ctga =

tga
0g2a 4-1 ’
tga
5/tg2 a 4-1 ’

ctga
v/ctg2a 4-1 ’

ctga
\/ctg2a 4-1 ’

если cos a > 0 ;

если cos a < 0 ;

если sin a > 0 ;

если sin a < 0

sina
tga =------

cos a

sina

V 1 - sin2 a
sina

x/1 — sin2 a

если cos a > 0 ;

если cos a < 0 ;

sina
tga =------

cos a

vl ~ cos2 a
cos a

\/l — cos2 a
cos a

если 0 sin a < 1 ;

если — 1 < sin a 0 ;

cos a

cos a	\/l — cos2 a

ctg a = ------= cos a

sin a	—	------- ?

~ cos2 a

если sina > 0 ;

если sina < 0 ;

	1/1 - sin2 a	•	.	,  	:	 , если 0 < cos a < 1 ;
cos a ctg a = —	=  sina	sina  V1 - sin2 a 			 , если — i < cos a 0 sin a
a sin x 4- b cos x = y/a2 4- 62 зш(ж 4- y>) = \/a2 4- b2 cos(® 4-	,

cosy? = -j-- - ,  = -sinV> ; sin y> =-=== = cos •
Voz 4- b2	y/a2 4- b2

a0 a	-90°  -тг/2	-60’  -tt/3	-45’  —тг/4	-30’  —Тг/6	0’ 0
sin a	-1	-УЗ/2	—У2/2	-1/2	0
cos a	0	1/2	Л/2	>/3/2	1
tga	3	->/3	-1	->/3/3	0
ctg a	0	-УЗ/З	-1	-Уз	i

a0 a	30’  Тг/6	45’ тг/4	60’ тг/з	90’ тг/2	120’  2тг/3	135’  Зтг/4	150’  5тг/6	180’ 7Г
sin a	1/2	>/2/2	Л/2	1	УЗ/2	У2/2	1/2	0
cos a	>/3/2	У2/2	1/2	0	-1/2	-5^/2	-УЗ/2	-1
tga	Уз/з	1	Уз		-Уз	-1	-Уз/з	0
ctg a	Уз	1	Уз/з	0	-Уз/з	-1	-Уз	

а	-1	-УЗ/2	->^/2	-1/2	0	1/2	У2/2	УЗ/2	1
arcsin а	—тг/2	-тг/З	—7г/4	—7г/б	0	7г/6	7г/4	7Г/3	тг/2
arccos а	7Г	5тг/6	Зтг/4	2тг/3	тг/2	7Г/3	7г/4	7г/6	0

а	-у/з	-1	-Уз/з	0	Уз/з	1	л
arctg а	-7Г/3		-7г/6	0	7Г/6	7г/4	7Г/3
arcctg а	5тг/6	Зтг/4	2тг/3	тг/2	7Г/3	7г/4	7г/6

sin x = a <=> x = (-1)* arcsine 4- лк Vk G Z (Va 6 Я, |a|	1)

(sin ж — — 1<=>ж = — ^4- 2тгА , зтж = 1<^ж=^4- 2тгА ,
Lt	L

sin x = 0 <=> x = тгк , VA G Z) ;

cos x = a <=> x = ± arccos a 4- 2тгА VA 6 Z (Va 6 Я, |a|	1)

(cos x = — 1 <=> ж = 7Г 4- 2тгА , cos'® = 1 <=> x = 2тгА ,
cos ж = 0<=>ж=^4-тгА, VA G Z) ;

£л

tg ж = a <=> ж = arctg a 4- тгА VA G Z (V a G Я) ;
ctg ж = a <=> ж = arcctg a 4- тгА VA G Z (V a G Я) .
7Г	.	7Г

— — < arcsin а < —

Vz 6 R : 0 < |х| < J =>
4W

О <С arccos а тг ;

=>

_	л	7Г

О < sin х < х < tg х , если 0 < z < —

2*

7Г

tg х < х < sin х < О , если — — < х <

7Г	7Г

“2 < arct6a < 2 ;

О 0 < | sinж| < |ж| < |tgж|



О < arcctg а < тг .

sin(arcsina) = cos(arccosa) = a (Va 6 Я, |а|	1) ;

sin(arccosa) = cos(arcsina) = \/1 — a2 (Va Е Я, |a|	1) ;

cos(arctga) = sin(arcctga) = ——L= Va Е Я ;

vl 4-а2

д

sin(arctga) = cos(arcctga) = —===== Va E Я ;

Vl + a2

tg(arcsina) = ctg(arccosa) = —/...^=-.7 (Va 6 Я, |a| < 1) ;

V1 - a2

1 д

ctg (arcsin a) = tg(arccosa) =----------- (Va E Я, 0 < |a|	1) ;

a

tg(arctga) = ctg(arcctga) = a Va E Я ;

tg(arcctga) = ctg(arctga) = ~ (Va E Я, а ф 0) ;

a

arccos a 4- arccos(—a) = 7r

arcsin a 4- arccos a = — (Va E Я, |a|
z

arctga 4- arctg (—a) =0 Va E Я ;

arcctg a 4- arcctg (—a) = 7Г Va E Я ;

7Г

arctg a 4- arcctg a = — Va E Я ;
z
arcsin (sin a) = a

. ( . v	_	/	7Г	37Г	\

arcsin(sin a)	= 7Г — a	+ 2тгп	I	— 4- 2тгп	a	—	4- 2im J

\	Lt	Lt	J

arccos(cosa) — a —	2тгп	(2im <C a <C 7r 4- 2тгп)	;

arccos(cosa) = — a 4-	2тгп	(—тг 4- 2тгп	a 2тгп)	;

t Z1 4	/ 7Г	7Г \

arctg(tga) = a — 7ГП	I — — 4- тгп < a <	— +	;

arcctg (ctg a) = a — im	(тгп < a < 7Г	4- тгп) ;

n = 0; ±1; ±2; ±3; ...

arcsin |a| = arccos \/l - a2 (Va G Я, |a|	1) ;

arcsina = arctg -=== (Va G Я, |a| < 1) ;

V1 — a2

_ ^2

arcsin |a| = arcctg ——— (Va G Я, 0 < |a|	1) ;

a

arccos |a| = arcsin VI - a2 (Va G Я, |a|	1) ;

arccos Ja| = arctg ——— (Va Gfl, 0 < |a|	1) ;

|a|

arccos a = arcctg -(Va G Я, |a| < 1) ;
VI — a2

arctg a = arcsin —== Va G R ;

VTTa^

arctg |a| = arccos -y=== Va G R ;
V1 4- a2

arctg |a | = arcctg y-? Va G R, а ф 0 ;

arcctg |a| — arcsin —===== Va G R ;

VI 4- a2
a

arcctg a = arccos	Va G R ;

arcctg |a| = arctg —- Va € R, a 0 .
|a|
РАЗДЕЛ II

1.	КАК ГОТОВИТЬСЯ К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ЭКЗАМЕНАМ
ПО МАТЕМАТИКЕ

Экзамены проводятся строго в соответствии с программой по матема-
тике для поступающих в МГУ, которая действует с 1993 г.

Прежде всего необходимо внимательно ознакомиться с программой
(ее вводной частью и всеми тремя разделами).

В 1994 г. в эту программу (в раздел 1.1) было внесено два дополнения,
а затем в 1996 году в текст программы в целом были внесены редакторские
исправления и в ее разделы 1.2 и 1.3 также были внесены незначительные
дополнения. После этого текст этой программы не изменялся. Поэтому по-
следний вариант программы следует смотреть в справочнике для посту-
пающих в МГУ ’’Московский университет” 2001 г. или в начале данной
книги.

В последующие годы не исключены новые незначительные дополнения
в эту программу, которые сразу же будут отражены в справочнике для
поступающих в Московский университет очередного года.

Целесообразно сочетать самостоятельную подготовку к вступительным
экзаменам по математике с обучением на одном из потоков подготовитель-
ных курсов при МГУ, посещением лектория для школьников старших клас-
сов при МГУ, так как в этом случае подготовка проходит под контролем
опытных преподавателей.

1.1.	О ПОРЯДКЕ ПРОВЕДЕНИЯ ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА
ПО МАТЕМАТИКЕ И О МАТЕРИАЛАХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ

ПРИ ПОДГОТОВКЕ К НЕМУ

На письменном экзамене поступающему предлагается вариант, содер-
жащий определенное количество задач по различным разделам программы
вступительных экзаменов по математике, как правило, по возрастающей
трудности (конечно, с точки зрения экзаменаторов). Среди них бывают как
стандартные задачи обычного школьного курса математики, так и задачи
повышенной трудности. Для решения всех этих задач не, требуется знаний,
выходящих за рамки упомянутой выше программы. Однако на письменном
экзамене проверяется четкое знание основных вопросов обычного школь-
ного курса математики, уверенное владение техникой алгебраических и
тригонометрических преобразований, умение решать геометрические зада-
чи (планиметрические и стереометрические). Особое внимание уделяется


умению последовательно логически правильно и исчерпывающе проводить
решение любых задач, строить те или иные доказательства, а также четко
излагать свои рассуждения в письменной форме. Очень важно следить за
использованием всех фактов, заданных в условии задачи.

Так, например, в алгебраических и тригонометрических задачах следу-
ет объяснять выкладки (что, из чего и каким образом получается), указы-
вать ограничения, возникающие как из условий задачи, так и в ходе преоб-
разований. В текстовых задачах необходимо объяснять все обозначения, ка-
ким образом из условий задачи появляются те или иные соотношения, а за-
тем из них — искомые величины. В геометрических задачах необходимо ак-
куратно и четко выполнять чертежи и объяснять все обозначения, причем
все они в тексте решения должны соответствовать указанным на чертеже,
следует также строго доказывать используемые геометрические утвержде-
ния (перпендикулярность каких-либо прямых, параллельность каких-либо
плоскостей и т.п.), необходимо в процессе рассуждений называть ту или
иную теорему или формулу (из основного текста программы), если она
применяется.

Если используется теорема или положение, не включенные в програм-
му, то необходимо привести его доказательство или хотя бы полную схему
доказательства.

Следует помнить, что задача считается решенной (правильно, полнос-
тью, безукоризненно и т.п.), если верный ответ получен путем построения
логически верной цепочки рассуждений с обоснованием всех промежуточ-
ных этапов (приведены все обоснования, ссылки на соответствующие по-
ложения программы, теоремы; проведено доказательство вне программных
положений). При наличии даже незначительных арифметических ошибок,
ошибочных промежуточных рассуждениях, отсутствии обоснования каких-
либо переходов или отсутствии доказательства даже правильно сформули-
рованных положений, не включенных в программу, задача не может быть
засчитана как решенная. Необходимо очень тщательно контролировать и
проверять ход решения каждой задачи, а не только ответ. Следует заме-
тить, что правильный ответ может быть получен случайно при ошибочных
промежуточных рассуждениях или выкладках.

В качестве основы для подготовки к письменному экзамену можно
использовать, например, сборники конкурсных задач для поступающих в
МГУ Ю.В. Нестеренко, С.Н. Олехника и М.К. Потапова изданий 1983,
1986, 1992 и 1995 гг.; сборник вариантов вступительных экзаменов по ма-
тематике за 1983—91 гг.; книгу И.И. Мельникова, И.Н. Сергеева ’’Как ре-
шать задачи по математике на вступительных экзаменах” издательства
Московского университета 1990 г. и УНЦ ДО 1994 г.; сборники ’’Задачи
вступительных экзаменов по математике (1997—1998 гг.), (1999 г.),
(2000 г.)” (под общей редакцией Е.А. Григорьева) и ”Задачи вступитель-
ных собеседований и выпускных экзаменов по математике на подготови-
тельном отделении МГУ (1990—1999 гг.)” (под общей редакцией А.Б. Бу-
дака); справочники для поступающих в МГУ; журналы ’’Квант” и ’’Мате-
матика в школе” за несколько последних лет и другие источники. В сле-
дующем п. 1.2. приводятся примеры и справочной литературы. Тем по-
ступающим, которым предстоит сдавать даже только письменный вступи-
тельный экзамен, весьма целесообразно ознакомиться со всеми фактами,
изложенными в компактной форме в указанных книгах.

Для приобретения навыков в решении задач целесообразно отрабаты-
вать их по темам.

1.	Решение линейных и квадратных уравнений, соответствующих
неравенств (в том числе и с модулем), а также аналогичных систем.

2.	Решение иррациональных уравнений, неравенств и их систем.

3.	Решение показательных, логарифмических, степенных уравнений,
неравенств и их систем.

4.	Решение задач на доказательство тождеств и доказательство
неравенств (алгебраических и тригонометрических).

5.	Решение тригонометрических уравнений, неравенств и их систем.

6.	Решение задач на прогрессии.

7.	Решение ’’текстовых” задач, включая их редукцию к алгебраическим
и тригонометрическим.

8.	Решение задач с параметрами.

9.	Решение геометрических задач (планиметрия, стереометрия),
включая их редукцию к тригонометрическим и алгебраическим.

Причем весь этот материал можно черпать из задач вступительных
экзаменов всех факультетов МГУ, где проводится экзамен по математике
(письменно).

Необходима тренировка по времени (время — не более 4 астрономи-
ческих часов) решения вариантов письменных экзаменов выбранного для
учебы факультета, причем начинать тренировку надо с более простых ва-
риантов других факультетов.

Схема проведения письменного экзамена выглядит следующим обра-
зом: после захода абитуриентов в аудиторию и инструктажа старшего в
аудитории экзаменатора каждому (лицом вниз) выдается листок с усло-
виями задач и номером варианта. После общей команды ” приступить к
работе” на выполнение всей работы отводится 240 минут (4 часа) време-
ни. По истечении этого времени дается команда’’прекратить работу” и вся
данная абитуриенту бумага вместе с вложенным в нее вариантом сдается
экзаменаторам.

Результаты письменного экзамена, как во время олимпиад МГУ в ап-
реле — мае, так и во время вступительных испытаний в июле, как правило,
объявляются через 3 — 4 дня. При отсутствии устного экзамена объявля-
ются все оценки, при этом каждый абитуриент в день объявления оценок
и в указанное время имеет право посмотреть свою работу с выставленной
за нее оценкой и замечаниями экзаменаторов.

При наличии устного экзамена объявляются только двойки и положи-
тельные оценки тех абитуриентов, которые затем не допускаются до сдачи
этого экзамена. В этот день в отведенное время получивший оценку ”2” или
объявленную положительную оценку может в присутствии экзаменатора
посмотреть свою работу. Все остальные оценки абитуриенты, которые со-
бираются сдавать устный экзамен, узнают по окончании устного экзамена
по математике.

Следует особо отметить, что выставляемая за письменный экзамен
оценка хоть и зависит от количества решенных задач, тем не менее крите-
рий выставления той или иной оценки заранее не известен и вырабатыва-
ется в процессе проверки всех работ. Но в любом случае для получения как
можно более высокой оценки на письменном экзамене необходима достаточ-
но большая практика в решении задач как «стандартного типа, что в общем
гарантируется знанием и владением ’’азами” школьного курса математи-
ки, так и задач повышенной трудности, что также достигается наличием
достаточной практики в решении таких задач, определенной математичес-
кой культурой, сообразительностью и, конечно же, хорошими знаниями и
уверенным владением той частью школьного курса математики, которая
включена в ’’Программу по математике для поступающих в МГУ”. При
этом никаких знаний сверх этой программы, конечно, не требуется.

Не следует, однако, считать, что стать студентом можно лишь решив
все предлагаемые на экзаменах задачи. Зачисление в университет проис-
ходит по результатам сдачи всех вступительных экзаменов.

Необходимо быть хорошо подготовленным и психологически, причем
как на письменном, так и на устном экзаменах: уметь оптимально распре-
делять свое время на выполнение того или иного задания, внимательно и
тщательно проверять все выкладки и рассуждения.
1.2.	О ПОРЯДКЕ ПРОВЕДЕНИЯ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА
ПО МАТЕМАТИКЕ И О МАТЕРИАЛАХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ

ПРИ ПОДГОТОВКЕ К НЕМУ

Традиционно на устном экзамене поступающий должен подготовить
ответ на два теоретических вопроса билета (из второго раздела програм-
мы по математике: один из подраздела ” Алгебра”, другой из подраздела
’’Геометрия”), а затем ответить, как правило, на 1—3 дополнительных во-
проса, формулируемых в виде задач, хотя могут задаваться и теоретичес-
кие вопросы по ходу ответа на билет. На устном экзамене’особое внимание
уделяется тому, в какой мере поступающий умеет логически рассуждать.
Значительное внимание уделяется четкому и глубокому знанию теории.
Все это имеет важное значение для успешного усвоения в будущем курсов
высшей математики.

При подготовке теоретических вопросов необходимо помнить (см. так-
же упоминание в программе по математике для поступающих в МГУ о
дополнительных навыках на устном экзамене), что их надо знать с дока-
зательством и приводить эти доказательства, В то же время весьма же-
лательно прежде, чем формулируется и доказывается та или иная теорема,
дать четкое определение соответствующего объекта, свойства (например,
определение треугольника, равных треугольников, синуса, косинуса числа
и т.п.).

При подготовке ответа на вопрос о свойствах той или иной функции,
следует проводить исследования (с доказательством этих свойств) по сле-
дующему плану:

1)	область определения,

2)	область значений (изменения),

3)	наибольшее и наименьшее значения функции,

4)	четность или нечетность,

5)	периодичность,

6)	нули функции, промежутки знакопостоянства,

7)	участки монотонности,

8)	график функции, иногда и ее поведение на границах области
определения.

В качестве приобретения навыков в решении задач, которые предлага-
ются на устном экзамене, можно рекомендовать, например, сборник задач
устных экзаменов В.П.Моденова; задачи из учебников А.П.Киселева
(по геометрии), особенно задачи на построение; задачи из п. 3 раздела IV
данной книги; задачи устных экзаменов, приведенные в упомянутых выше,
в п. 1.1, книгах под общей редакцией Е.А. Григорьева и другие книги.
В качестве литературы для подготовки теоретического материала мож-
но использовать:

— по алгебре и тригонометрии: материал раздела IV, п. 2.1, 2.2 и 2.4
данной книги ; М.К. Потапов и др. ’’Алгебра и анализ элементарных функ-
ций”, М., ’’Наука”, 1980, М., АО ’’Столетие’?, 1996,1998 ; книги справочного
характера, например, ”Алгебра в таблицах” (7—11 классы) Л.И. Звавича
и А.Р. Рязановского, М., ’’Дрофа”, 2000 ; ’’Нагладный справочник по ал-
гебре и началам анализа с примерами”, авторы Л.Э. Генденштейн, А.П.
Ершова, А.С. Ершова ;

— по математике в целом: Г.В. Дорофеев и др. ’’Пособие по математике
для поступающих в вузы”, М., ”Наука”, 1976, М., ’’Дрофа”, 1995 ;

— по геометрии: материал раздела IV, п. 2.3 данной книги, а также
учебники А.П. Киселева для 6-10 кл. (I и II части); учебники Л.С. Атана-
сяна, В.Ф. Бутузова и др. для 7—9 кл. и 10—И кл. (издания соответственно
1991 г. и позднее и 1992 г. и позднее); учебник А.В. Погорелова для 7—11
кл. (издания не ранее 1990 г.) ; переизданный в 1995 г. издательским домом
’’Дрофа” в двух книгах учебник и задачник А.П. Киселева и Н.А. Рыбки-
на ’’Геометрия”, планиметрия для 7—9 кл., стереометрия для 10—И кл.;
изданную в 1980, 1989 и 1996 годах в издательстве ’’Просвещение” единую
книгу А.П. Киселева ”Элементарная геометрия” с предисловием академи-
ка А.Н. Тихонова ; книги справочного характера, например, ’’Геометрия в
таблицах” (7—11 классы) Л.И. Звавича и А.Р. Рязановского, М., ’’Дрофа”,
2000 ; ”Нагладный справочник по геометрии”, авторы
Л.Э. Генденштейн, А.П. Ершова.

Однако при этом надо учитывать, что в каждом учебнике или цикле
учебников своя логическая структура изложения материала. Возможны от-
дельные неточности в формулировках определений, теорем, формул как в
учебниках так и в справочных книгах. Конечно, следует понимать, что вы-
полнение всех указанных рекомендаций не дает гарантии успешной сдачи
вступительных экзаменов, но закладывает базу для подготовки к ним.

Схема проведения устного экзамена выглядит следующим образом. За-
ход в аудиторию, например, в 10.00, получение билета, начало подготовки
на ответ билета примерно 10.05. В билете содержатся два теоретических
вопроса из второго раздела ’’Программы по математике”: один из них из
подраздела ’’Алгебра”, второй из подраздела "Геометрия”. При этом либо
вместе с билетом сразу выдается задача, тогда на подготовку к ответу да-
ется не более 60 минут; либо задача билета дается позднее. Поскольку на
решение каждой из задач отводится не более 15 минут, время на подготовку
ответов на вопросы билета при этом сократится. Опрос абитуриента ведет-
ся двумя экзаменаторами. По окончании ответа на билет абитуриенту, как
правило, дается дополнительно 2-3 задачи (обычно даются из тех разделов
’’Программы по математике”, которые непосредственно не вошли в билет,
в целях наиболее полно выяснить знания и навыки абитуриента). Время
выдачи каждой из задач фиксируется экзаменаторами. Выставляемая на
устном экзамене оценка зависит от качества ответа на теоретические во-
просы и решения задач.

По ходу ответа на теоретические вопросы билета или при решении за-
дач экзаменаторы могут задавать уточняющие вопросы теоретического и
практического характера (например, сформулировать или уточнить то или
иное определение или теорему, доказать какое-нибудь несложное утверж-
дение и т.п.). При этом ответы на эти вопросы, естественно, также могут
повлиять на выставление оценки. Поэтому во избежание таких вопросов
следует давать правильные и четкие формулировки определений и теорем,
полные, исчерпывающие и правильные доказательства теорем, при необ-
ходимости доказывать используемые при решении задач промежуточные
утверждения, особенно при нестандартном ее решении, геометрических по-
строениях и т.п.

Общая продолжительность устного экзамена (с момента получения би-
лета до окончания опроса, как правило, не превышает 120 мин. (2 часа)).
Начало и окончание опроса абитуриента также фиксируются экзаменато-
рами. Пример: начало опроса в 11.05, время опроса 30 мин., 11.35 — время
выдачи первой дополнительной задачи, 11.50 — время выдачи 2-й допол-
нительной задачи, 12.00 — окончание опроса. По завершении ответов на
все вопросы устного экзамена абитуриенту показывается его письменная
работа с выставленной за нее оценкой и замечаниями проверявших ее экза-
менаторов (обычно их также двое), а затем объявляется оценка за устный
экзамен.
РАЗДЕЛ III

1.	О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ИЗЛОЖЕНИЯ
МАТЕРИАЛОВ И ПРОВЕДЕНИЯ ПИСЬМЕННЫХ
ЭКЗАМЕНОВ ПО МАТЕМАТИКЕ В 1993—2000 ГОДАХ

В этом разделе приводятся примеры вариантов вступительных пись-
менных экзаменов в 1993, 1994, 1995 и 1996 годах на факультетах ВМиК,
экономическом, геологическом и ИСАА, причем как с решениями (в кото-
рых отдельные выкладки или рассуждения могут быть опущены и учащи-
еся должны провести их сами), так и без решений, снабженных ответами,
для самостоятельной проработки. Материалы, касающиеся задач вступи-
тельных экзаменов и олимпиад 1997—2000 годов, можно найти в сборниках
’’Задачи вступительных экзаменов по математике (1997—1998 гг.),
(1999 г.), (2000 г.)” (под общей редакцией Е.А. Григорьева). Проводится
анализ характерных ошибок, допущенных абитуриентами на письменных
экзаменах. Естественно, что уровень сложности этих вариантов различен
на указанных факультетах. Различно и количество предлагаемых задач на
разных факультетах в различные годы, например, на экономическом фа-
культете и ИСАА в 1993—1997 годах предлагалось по 6 задач, а в 1998—
2000 годах — по 7 задач; на факультете ВМиК в 1993—2000 годах и на
геологическом факультете в 1993 году — по 6 задач.

Приводятся также варианты для самостоятельного решения, снабжен-
ные ответами, выездных письменных экзаменов по математике, которые
проводились в марте - апреле - мае 1995 и 1996 годов в городах Обнинске
Калужской обл., Якутске, Надыме, Элисте, Пангоды, Нефтекамске, Маг-
нитогорске, Челябинске, Архангельске, Мурманске, Саяногорске,
Петропавловске-Камчатском.

В 1994 — 1997 годах на факультетах ВМиК и геологическом вступи-
тельные экзамены (письменный и устный) проводились как в апреле - мае
(пробные экзамены), так и в июле (основные экзамены). В 1998 — 2000
годах на этих факультетах в апреле - мае проводились олимпиады в ви-
де письменных и устных испытаний по математике, а экзамены в июле
носили название вступительных испытаний.

При этом в 1994 г. на геологическом факультете был проведен экспе-
римент, связанный с увеличением количества предлагаемых задач (по 8
задач в мае и по 10 задач в июле). Решение задач оценивалось по бальной
системе (от одного до трех баллов в мае и от одного до четырех баллов в
июле). Большим количеством баллов оценивались задачи с соответствен-
но большим порядковым номером. В 1995 г. на геологическом факультете
предлагалось по 9 задач на предварительном письменном экзамене в мае
и по 8 задач на основном письменном экзамене в июле, а с 1996 года и на
всех письменных экзаменах на этом факультете предлагалось по 8 задач.
2.	ХАРАКТЕРНЫЕ ОШИБКИ, ДОПУЩЕННЫЕ
АБИТУРИЕНТАМИ НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ

ПО МАТЕМАТИКЕ (ПИСЬМЕННО) В МГУ
НА ФАКУЛЬТЕТЫ ВМиК, ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ,
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ, ИСАА и ВЫЕЗДНЫХ ЭКЗАМЕНАХ

2.1.	Общие замечания об ошибках, допущенных абитуриентами
в 1993 — 2000 годах.

Прежде всего хотелось бы отметить, что основная часть абитуриентов
неправильно распределяет время при выполнении письменной работы (или
вообще его не планирует).	к

При проверке работ убеждаешься, что некоторые поступающие лихо-
радочно хватаются за отдельные задачи по принципу ”лишь бы не геомет-
рия”, избегая также текстовых задач на смеси, целочисленную арифметику
и задач с параметрами. В итоге убеждаешься, что ничего в работе нет.

Решение варианта следует начинать с внимательного прочтения по-
следовательно всех предложенных задач, упорядочивая их по сложности.
Конечно, составители вариантов письменных работ уже позаботились о
том, чтобы самые легкие задачи были в начале, и они следовали в порядке
возрастания трудности их решения, но это для ” среднего абитуриента” с
учетом опыта предыдущих экзаменов.

Однако для каждого из вас эта ранжировка может оказаться неверной.
Вы должны сами распределить время с наибольшей пользой для себя.

Это означает, что сначала надо выделить наиболее простые на Ваш
взгляд задачи и приступить к их решению в черновом варианте, причем ’
с обязательной проверкой разумности полученного решения. Это особенно
необходимо, так как из года в год падает умение выполнять даже простей-
шие арифметические действия.

Если три — пять задач (в зависимости от их количества в варианте) »
решены, то следует оформить их полное описание в чистовике. Обратите
внимание на слово ’’полное”. Очень мало абитуриентов выполняет требо-
вания программы. Получение правильного ответа на дает решение задачи,
так как Вы должны обоснованно получить правильный ответ. Если при ре-
шении задачи используются положения из школьного курса математики,
включенные в первый или второй разделы Программы по математике для
поступающих в вузы и, в частности, в МГУ, то должна быть дана их четкая .
формулировка. Если Вы пользуетесь положениями, выходящими за рамки
как указанных программ, так и школьного курса, то должно быть при-
ведено доказательство соответствующего положения. Лишь при наличии :
соответствующих описаний в тексте решения оно может быть признано
верным.

Вот теперь можно приступить к выполнению остальных задач (или
новой порции более сложных задач). Самую сложную для Вас задачу же-
лательно решать в последнюю очередь.

Следует отметить, что первая характерная ошибка, допускаемая абиту-
риентами,состоит в том, что нет этого планирования выполнения работы.
В итоге масса ошибок из-за описок, неправильного прочтения ранее выпол-
ненных действий, ошибок в формулах (на уровне описок) и т.п.

Вот некоторые характерные примеры. Для решения квадратного нера-
венства необходимо отыскать корни квадратного трехчлена. Они найдены
решающим задачу, и он понимает, что теперь задача принципиально ре-
шена. Решение этой задачи брошено, и осуществлен переход к решению
другой задачи. Но квадратное неравенство так и осталось не решенным,
и о нем уже забыто. В конце экзамена просмотр текста и дополнительные
пометки приводят, как правило, лишь к новым неточностям.

При решении системы или уравнения делается замена переменных
t = sin® и относительно t выполняется решение (условие |t|	1 при

этом нигде в черновике не указывается). Естественно, что в конце экзамена
это уже забыто, не говоря уже о заменах типа t = |sin®| (0 t 1) ,
t = ах (t > 0) и т.д. При решении правильно выписано ОДЗ и получено
решение соответствующего уравнения. Для завершения решения задачи
надо найти их пересечение. Но это в черновике не сделано, а затем просто
забыто. Кстати, в последних случаях проверка разумности решения могла
бы помочь найти ошибки.

Как уже указывалось, одним из наиболее запущенных разделов школь-
ной программы является геометрия. Часть абитуриентов даже не пытается
решать геометрические задачи, в лучшем случае пытаясь дать лишь чер-
теж. При этом какие мысли у человека, какая логика ... трудно понять.
Так в задаче N 3 из варианта экономического факультета 1995 года, где в
трапеции заданы две боковые стороны, верхнее основание и один из углов
при верхнем основании (тупой) дается чертеж, предполагающий единст-
венность построения трапеции, хотя, на самом деле, их может быть две.
Аналогичная ситуация была с задачей о трапеции, пересекаемой отрезком,
параллельным ее основаниям и делящимся диагоналями трапеции на три
равные части. Те, кто брался за ее решение, чертили одну секущую (кто
ближе к меньшему основанию, а кто — к большему) и, если получали от-
вет, то только один из возможных. Все это связано с тем, что построение
выполняется без анализа и обоснования.
Как при решении геометрических задач, так алгебраических тексто-
вых задач у значительной части абитуриентов обнаруживается неумение
выявить те неизвестные, относительно которых следует составить систему
соответствующих уравнений. Так, например, в 1993 году соответствующие
задачи из вариантов факультета ВМиК решило примерно 27% поступаю-
щих. Еще хуже обстояло дело с решением задачи N 5 в июле 1995 года.

К решению стереометрических задач вообще приступает менее 5% аби-
туриентов, а доводят до конца единицы (правда, это не относится к зада-
чам из июльских экзаменов факультета ВМиК 1998, 1999 и 2000 годов, где
такого рода задачи шли под номером 4 из шести задач).

Ниже рассмотрены конкретные примеры допущенных ошибок при ре-
шении задач в 1993 — 1996 годах абитуриентами, поступавшими на фа-
культеты ВМиК, экономический, геологический и ИСАА, а также на вы-
ездных экзаменах.

2.2.	Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных
письменных экзаменах по математике в 1993 г.

Плохое знание курса геометрии (что подтвердилось и на устных экза-
менах) и слабое умение выполнить геометрические построения привело к
тому, что на геологическим факультете даже те, кто построил как-то чер-
теж (без анализа и обоснования), не смогли найти подобные треугольники
или обосновать подобие их, что связано с измерением вписанных углов.
Даже те, кто решил соответствующие задачи, практически не умели обос-
новать решение. Многие, например, на экономическом факультете даже не
пытались решать геометрическую задачу.

Очень много ошибок в решении задач связано со слабым представлени-
ем о тригонометрических функциях и соотношениях, что приводило к от-
крытию новых (неверных) формул и соответствующему результату. Так,
при решении четвертой задачи варианта экономического факультета боль-
шинство абитуриентов продемонстрировало незнание основных свойств об-
ратных тригонометрических функций (область определения, область зна-
чений), а при решении второй задачи оказалось, что даже решение урав-
нения cos а = sin (3 является сложной задачей.

Многие абитуриенты (вариант ВМиК, задача 2) неправильно решали

, / 7Г \	Л	.

неравенство sin I х — — )	0. Используя выражение sin х через cos х (вари-

ант геологического факультета, задача 2), забывали про модуль, то есть
| sinx| = у/1 — cos2 х, а если даже получали уравнение типа | sin®| = t,
то его решали с многочисленными ошибками, не учитывая, что
О t 1 или что это уравнение эквивалентно sin х = t или sin х = — t,
то есть х = ± arcsin t + irk и т.д.

Много ошибок связано с утратой представлений о процентах
(см. экономический факультет, задача 5), об арифметической прогрессии
(см. ИСАА, задача 2), о простейших преобразованиях (см. геологический
факультет, задача 1).

Часть абитуриентов допускала ошибки при работе с логарифмами (за-
дача 1, вариант ВМиК; задача 4, вариант геологов; задача 1, вариант эко-
номистов; задача 4, вариант ИСАА). Основная часть ошибок связана с ос-
нованием логарифма: одни просто не задумывались над вопросом об ОДЗ;
другие считали, что основание всегда > 1; иные рассматривали для осно-
вания оба интервала, но считали^ что функция всегда монотонно возраста-
ющая (или просто не знали как связать аргументы функции, если логариф-
мы связаны соответствующим знаком неравенства). Часть абитуриентов
забыла о том, что аргумент логарифма не может быть отрицательным.

В отдельных работах встречались ошибочные формулы для перехода
к новому основанию, для логарифма произведения и т.п.

Много ошибок связано с неумением решать уравнения и неравенства:
ошибки в решении квадратных неравенств и интерпретации области реше-
ний (например, отбор корней или запись области существования решения);
ошибки при решении уравнений и неравенств с модулем (потеря ряда про-
межутков); ошибки при исследовании неравенств типа X2 — 4х + 7 С 3®,
либо забывали указать ОДЗ, либо не учитывали ее при записи решения
задачи; теряли изолированную точку (см. задачу 3 варианта ВМиК или за-
дачу 3 варианта экономистов); ошибки при пересечении областей решений;
ошибки из-за того, что при возведении в квадрат не учитывали область,
где одна из частей исходного уравнения меньше нуля.

Во всех вариантах при решении текстовых задач значительная часть
абитуриентов показала неумение проводить редукцию задач к системе ал-
гебраических уравнений. Нет полного использования условий задачи, не-
удачно выбираются неизвестные и т.п.

Подробный анализ ошибок, допущенных на экзамене по математике по-
ступающими на экономический факультет в 1993 г., приводится в заметке
об этом экзамене, опубликованной в журнале ’’Математика в школе”, 1V1,
стр. 50—52 за 1994 год.
2.3.	Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных
письменных экзаменах по математике в 1994 г.

2.3.1.	Факультет ВМиК

При решении первой задачи варианта пробного экзамена не все аби-
туриенты подмечали, например, что (ж — I)2 = |ж - 1|2, а это приводит
к естественной замене t = |ж - 11 => t 0. Данное обстоятельство приво-
дило к усложнению решения и подчас из-за арифметических ошибок — к
неверным ответам.

При решении первой задачи варианта основного экзамена, даже сведя
уравнение к квадратному относительно t (где t = sin 5ж) и получив решения
i = ti = -3 — у/13 и t = t2 = -3 + У13, забывали, что | sin5ж|	1, и поэтому

не отбрасывали случай t = <i, хотя на множестве действительных чисел
arcsin(—3 — У13) не определен.

При решении второй задачи варианта пробного экзамена наблюдалось
нечеткое знание формул тригонометрии или выбирался неудачный путь ре-
шения, что иногда, быть может, и приводило к правильному ответу, но без
учета всех возможных случаев, например, в одном из вариантов при выра-
жении синуса и косинуса через котангенс рассматривался только случай
положительного синуса и отрицательного косинуса, но не рассматривался
случай отрицательного синуса и положительного косинуса.

При решении второй задачи варианта основного экзамена очень часто
сразу неравенство почленно возводилось в квадрат без исследования знаков
его правой части и ОДЗ, это приводило к неверному ответу. Допускались
ошибки в преобразованиях даже при правильно примененной схеме реше-
ний подобного рода неравенств.

При решении третьей задачи варианта пробного экзамена наблюдались
в общем аналогичные ошибки, что и во второй задаче основного экзамена.

При решении третьей задачи варианта основного экзамена отмечались
ошибки в преобразованиях логарифмических выражений, часто четко не
находилось ОДЗ (в первом варианте 0 < 3cosu ф 1), неудачно выбирался
ход решения, вследствие чего получались громоздкие выкладки, ошибки в
которых приводили к неправильным ответам и т.п.

В четвертых задачах вариантов пробного и основного экзаменов про-
являлось слабое знание курса геометрии — планиметрии, поэтому их ре-
шило меньшее количество абитуриентов, чем даже пятые задачи. Однако
в некоторых случаях, например, в четвертой задаче варианта основного
экзамена иногда формально правильно составлялись и решались доволь-
но сложные системы двух уравнений с двумя неизвестными, содержащие
уравнения третьей степени. Но это приводило к лишним решениям, по-
скольку полученным системам уравнений могли удовлетворять не только
длины искомых элементов треугольника, но и некого четырехугольника,

А

что говорило о неудачном выборе хода решения.

В пятых задачах вариантов пробного экзамена неудачно вводились ис-
комые неизвестные, что приводило к трудноразрешимым системам урав-
нений, хотя наблюдались и весьма оригинальные решения.

В пятых задачах основного экзамена довольно часто находились фор-
мулы для определения искомых величин (в виде элемента некой последова-
тельности с помощью формул общего члена прогрессий), однако очень во
многих случаях это делалось без четкого обоснования. При этом следует
отметить, что как поощрение отмечались те случаи, где указанные форму-
лы доказывались с помощью метода математической индукции, особенно
если решался вопрос о выставлении оценки ”4” или ”5”.

Шестые задачи — стереометрические вызывали наибольшие затруд-
нения, их решили очень не многие поступающие.

2.3.2.	Экономический факультет *

При решении первых задач типичными ошибками были неумение раз-
ложить натуральное число на простые множители и потеря решения (0; 0).
Иногда по невнимательности некоторые поступающие не обращали внима-
ние на то, что надо было находить именно целочисленные решения, а не
просто решения.

При решении вторых задач многие поступающие находили область
определения функции вместо области ее значений. По всей видимости, в
школе не уделяется должного внимания работе с этими довольно важными
понятиями.

При решении третьих задач некоторые абитуриенты при преобразова-
нии логарифма произведения или частного делали неэквивалентный пере-
ход, что приводило к сужению области и, как следствие, к потере решений.
Второй типичной ошибкой, ^ставшей уже ”традиционной”, явилось неуме-
ние производить отбор решений в тригонометрических уравнениях.

* данные по экономическому факультету взяты из опубликованной в журнале ” Ма-
тематика в школе”, ЛИ, стр. 50—51, 1995 г. заметки об этом экзамене
При решении четвертых задач многие поступающие так и не смогли
правильно построить искомое множество точек, либо делами ошибки при
нахождении центра окружности.

Пятые задачи пытались решить многие абитуриенты, но большинство
из них ошибочно искало оптимальный режим работы, исходя из условия
минимума затрат на единицу времени.

Решить шестые задачи пытались немногие поступающие. Видимо, ска-
зывается слабая подготовка по геометрии у нынешних выпускников сред-
ней школы.

2.3.3.	Геологический факультет пробный экзамен (май)

В первых задачах трудности в их решении вызвало незнание, как срав-
ниваются радикалы, видимо, из-за незнаний определения корня п— ой сте-
пени, свойств степеней и свойств числовых неравенств.

Во вторых задачах часто не указывалось ОДЗ — ограничения на знак
параметров а и 6, стоящих под знаком квадратного корня, и необращение
в нуль выражений, на которые надо производить деление (кстати, как и в
первых задачах выриантов 1993 г.), а также — неумение применять фор-
мулы сокращенного умножения.

В третьих задачах часто наблюдалось сразу формальное возведение не-
равенства в квадрат, что совершенно случайно приводило к правильному
ответу, но тем не менее не могло быть засчитано как правильно решен-
ная задача. Подобные задачи решаются по некой достаточно стандартной
схеме, что продемонстрировано в разобранном варианте.

В четвертых задачах наблюдались ошибки из-за слабого знания три-
гонометрических формул, а иногда — из-за неумения оперировать с триго-
нометрическими функциями числовых аргументов, например, с sin 5, cos 2
и т.п.

Пятые задачи решило относительно большее количество абитуриен-
тов, что показало в общем умение решать простейшие логарифмические
уравнения, к совокупности которых и сводились уравнения в этих задачах.

В шестых задачах либо проявлялось неумение решать биквадратные
неравенства, из-за чего задача совсем йе была решена; либо отмечалась
потеря решения х = 0 в неравенстве вида |z|(x4 — 2х2 — 3) ?> О, либо не
учитывалось ОДЗ и не отбрасывалось лишнее решение х = 0 в неравен-
стве вида — (х4 — 6z2 — 16) < 0 при правильном решении биквадратного
1®1

неравенства, которое заменой t = х2 сводится к квадратному неравенству
относительно t.
Седьмые задачи решило уже относительно меньшее количество по-
ступающих, скорее всего, из-за более слабого владения курсом геометрии
(планиметрии); хотя при достроении треугольника до параллелограмма и
правильном применении теоремы косинусов и формулы площади треуголь-
ника по заданным длинам сторон и величины угла между ними не удава-
лось правильно выразить косинус угла между этими сторонами через его
синус; наблюдались и ошибки других типов.

В восьмых задачах либо не удавалось вообще правильно ввести иско-
мые величины (соответствующие времена), а если это и делалось, то не
всегда удавалось правильно сравнивать их, используя условия задачи, и
как следствие — неправильно находились необходимые между этими вре-
менами соотношения. Эти задаздиэпакже решило не очень много абитури-
ентов.	MNH65-U

2.3.4.	Геологический факул&гет основной экзамен (июль)

При решении первых задач отмечалось незнание многими поступающи-
ми формулы перевода бесконечной Периодической дроби в обыкновенную
(см. раздел ” Используемые обозначения. Формулы элементарной матема-
тики.”), что и явилось основным затруднением при их решении.

Во вторых задачах наблюдалось неумение преобразовывать числовые
выражения с радикалами.

Эти первые две задачи правильно решило относительно небольшое ко-
личество абитуриентов, судя по всему из-за недостаточной проработки со-
ответствующих тем в школьном курсе математики.

В четвертых задачах отмечалось неумение преобразовывать триго-
нометрические выражения по формулам суммы синусов или косинусов, а
иногда и даже — неумение правильно решать простейшие тригонометри-
ческие уравнения, если к ним удавалось сводить решение задачи.

Третьи и пятые задачи решались наиболее успешно, но все же не-
которым абитуриентам не удалось правильно найти ОДЗ и использовать
неотрицательность значений квадратного корня.

В шестых задачах проявлялось незнание формулы синуса двойного
аргумента, области изменения и промежутков положительности и отрица-
тельности функций sin ж и cos ж, что и вызвало затруднения при решении
этой в общем простой задачи.

В седьмых задачах наблюдалось неумение использовать формулы слож-
ного процента (см. раздел ’’Используемые обозначения. Формулы элемен-
тарной математики.”); иногда решение задачи сводилось или к сложению,
или к вычитанию процентов на каждом из этапов, что, естественно, при-
водило к неверному ответу.
Восьмые, девятые и десятые задачи вызвали наибольшее затруднение,
их решили немногие поступающие.

В решении восьмых задач проявлялось незнание свойств описанных
около окружности и свойств вписанных в окружность четырехугольников.

В девятых задачах подчас вызывало затруднение найти сумму неиз-
вестных даже в правильно составленной системе уравнений, хотя, к со-
жалению, многим поступающим не удавалось даже просто составить эту
систему.

В десятых задачах иногда удавалось построить требуемое сечение
(правда, без четкого обоснования, что оно является именно таким, особенно
в тех вариантах, где должен был получиться правильный шестиугольник)
и затем найти все искомые величины; цогв целом наблюдалось слабое зна-
ние свойств куба и неумение строить его сечения.

2.3.5.	ИСАА

При решении первых задач не всем поступающим удавалось составить
систему уравнений, а при составлении системы двух уравнений с тремя
неизвестными не удавалось найти искомые величины.

При решении вторых задач наблюдалось незнание свойств степеней и
логарифмов, неумение логарифмировать уравнение и другие ошибки.

В третьих задачах проявлялось слабое знание геометрии: незнание
свойства касательной к окружности, отмечались ошибки в значениях три-
гонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, дру-
гие ошибки.

При решении четвертых задач многими поступающими допускались
ошибки в определении ОДЗ и незнание областей изменения функций sin х и
cos ж, отмечалось неумение решать иррациональные неравенства, а именно
— формальное его возведение в квадрат, что и приводило к неверному
результату.

При решении пятых задач основной трудностью было неумение ис-
пользовать свойство монотонности показательной функции, наблюдались
ошибки при раскрытии модуля и другие.

В решении шестых задач основными трудностями были: неумение вы-
делять полные квадраты в числовых выражениях вида 2\/2 — 3,а также
и в других выражениях, это и не давало возможности в общем довольно
быстро решить эту задачу.
2.4.	Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных
письменных экзаменах по математике в 1995 г.

2.4.1.	Факультет ВМиК пробный экзамен (апрель)

При решении первых задач наблюдались ошибки в применении фор-
мул общего члена и суммы членов арифметической прогрессии. Некоторые
поступающие, проводя правильно все необходимые действия, получив одно
уравнение с двумя неизвестными относительно первого члена и разности
арифметической прогрессии типа ai4-12d=13, не смогли усмотреть
в нем как раз искомое выражение. Видимо, это было связано с некоторой
необычностью постановки задани и формальным запоминанием формулы
общего члена арифметической прогрессии.

При решении вторых задач в общем многим удавалось получить лога-
рифмическое неравенство, однако при его решении было много стандарт-
ных ошибок, связанных с определением соответствующего ОДЗ, неучетом
различных монотонностей логарифмической функции в зависимости от ос-
нования логарифма, а также — по невнимательности при отыскании пе-
ресечения решений получающегося квадратного неравенства и рассмат-
риваемой области изменения переменной х и даже — при выписывании
окончательного ответа.

В третьих задачах многим удавалось с помощью введения новой неза-
висимой переменной вида t = 38Ш® сводить уравнение к квадратному, но
из-за неисследования области изменения этой переменной не отбрасывался
лишний корень. Многие при правильном отыскании выражения для неиз-
вестного х (через арксинус или арккосинус от логарифма) затруднялись
провести правильный отбор корней, принадлежащих заданному интерва-
лу.

В четвертых задачах основными трудностями были исследования по-
лучающихся решений квадратных неравенств, зависящих от параметра а,
при различных значениях этого параметра. При полученном правильном
решении этой задачи некоторые поступающие не исследовали того, что
полученные промежутки решений неравенства являются непересекающи-
мися, а это считалось недочетом.

Из тех поступающих, которые решали пятую задачу, практически ни-
кто не сумел правильно ответить на первый вопрос этой задачи, хотя не-
которые ответили на второй вопрос, иногда допуская отдельные арифме-
тические ошибки и в то же время предлагая другие нежели приведенные
здесь методы вычисления искомой длины отрезка.
Следует особо отметить, что определенное количество поступающих
правильно решило шестую задачу, видимо сообразив, что она в определен-
ном смысле проще пятой задачи. Некоторые поступающие решили эту за-
дачу лишь частично, правильно определив расположение заданных в усло-
вии задачи точек на ребрах куба.

Необходимо, однако, признать, что пятые и шестые задачи вызвали
наибольшие затруднения у поступающих, их решали немногие.

2.4,2.	Факультет ВМиК основной экзамен (июль)

При решении первых задач некоторые абитуриенты проявили неумение
решать уравнения в целых числах, о^щд^ные в общем правильно решали
эту задачу, забывая иногда произве^^^тбор решений, удовлетворяющих
не только уравнению, но и неравенству ^заданному в условии задачи.

При решении вторых задач некоторым абитуриентам не удавалось пра-
вильно и удобно ввести новые неизвестные, из-за чего они и не смогли
решить эту задачу. Однако некоторые поступающие, которые свели ис-
ходную систему уравнений к системе относительно и — х + у и v = ху,
не сумели провести правильный отбор нужной пары и ; v и из-за этого
— получить правильный ответ.

Третья задача оказалось несложной, ее решило большинство абиту-
риентов. Не справились с ней те, кто видимо забыл, в каком отношении
делятся медианы треугольника в точке их пересечения.

В четвертых задачах, как это бывает довольно часто, поступающие
не сумели выделить полный квадрат в выражениях вида cos2 х — cos ж, а
затем и преобразовать другую часть неравенства. Некоторые из тех, кто
все же это проделал и затем правильно нашел ОДЗ, не смогли правильно
решить систему, состоящую из простейших тригонометрических и квад-
ратного неравенств, и потому получить правильный ответ.

Пятые задачи решали не многие поступающие. Некоторые получали
и решали системы уравнений относительно знаменателя геометрической
прогрессии q и pi, рг, Рз, но далее не всем удавалось правильно выра-
зить общие затраты, провести необходимое сравнение получающихся ир-
рациональных чисел и отобрать нужные значения pi, рз, рз- Почти никто
не сумел решить эту задачу полностью.

Шестые задачи вызвали наибольшие затруднения. Их пытались ре-
шать очень немногие абитуриенты и практически никто из них не су-
мел полностью решить последнюю задачу. Однако некоторые абитуриенты
приводили указанный ниже, в п. 3.1.9 второй способ решения этих задач с
помощью координатного метода и тем самым правильно их решали.
2.4.3.	Экономический факультет, отделение экономики

При решении первых задач допускалась достаточно стандартная ошиб-
ка в том, что исходное неравенство сразу почленно возводилось в квадрат
без исследования знака левой части неравенства и иногда даже без иссле-
дования ОДЗ — неотрицательности подкоренного выражения, это естест-
венно приводило к неверному ответу.

Во вторых задачах многие поступающие делали ошибки в отыскании
ОДЗ, связанной с ограничениями на основан^ логарифма и положитель-
ностью аргумента логарифмической функции, из-за чего, даже правиль-
но затем решив получающееся простейшее тригонометрическое уравнение,
они не смогли сделать правильный отбор его корней.

Основной трудностью при решении третьей задачи оказалось неумение
распознать, что условию задачи удовлетворяют две трапеции, а не одна.
В этом и заключалась некая ”нестандартность” третьих задач, к которой
многие поступающие оказались, видимо, психологически не готовыми.

При решении четвертых задач проявлялось неумение правильно опери-
ровать с процентами, а иногда и с прогрессиями, что в некоторых случаях
приводило к весьма досадным ошибкам, из-за которых получался неверный
ответ.

Пятые задачи вызвали, пожалуй, наибольшие трудности у поступа-
ющих. Самое главное, что надо было проделать — это выделить полный
квадрат в выражении, от которого берется арктангенс, а затем воспользо-
ваться монотонностью арктангенса и даже его поведением при стремлении
аргумента арктангенса к Плюс бесконечности. С этим и не справилось по-
давляющее большинство поступающих.

Некоторые из абитуриентов, которые решали шестую задачу, приводи-
ли так называемое ”графическое” решение, быть может, и без подробного
обоснования, но были и более серьезные недочеты и ошибки, из-за которых
не был получен правильный ответ.

2.4.4.	Экономический факультет, отделение менеджмента

При решении первых задач допускалась достаточно стандартная ошиб-
ка в том, что исходное уравнение сразу почленно возводилось в квадрат без
исследования знака правой части уравнения и иногда даже без исследова-
ния ОДЗ — неотрицательности подкоренного выражения, это естественно
приводило к неверному ответу, появлению посторонних корней.

Во вторых задачах многие поступающие правильно решили уравнение
вида sin Зя = 0, но не сумели правильно отбросить те решения этого
уравнения, которые обращают в нуль соответствующий знаменатель, или
вовсе забыли это проделать.
В третьих задачах многие поступающие делали ошибки в отыскании
ОДЗ, связанной с ограничениями на основание логарифма (оно должно
быть больше нуля и меньше единицы) и положительностью аргумента ло-
гарифмической функции (а иногда вообще не находили ОДЗ), делая также
ошибки в применении свойства монотонности логарифмической функции
(в случае разобранного варианта это основание больше нуля и меньше еди-
ницы, из-за чего при снятии логарифмов с обеих частей неравенства его
знак должен измениться на противоположный), поэтому, даже правильно
затем решив получающееся неравенство, они не смогли сделать правиль-
ный отбор его решений.

При решении четвертых задач проявлялось неумение правильно опе-
рировать со сложными процентами, а также и с формулой суммы членов
геометрической прогрессии, что и приводило к ошибкам, из-за которых по-
лучался при иногда в общем правильных идейных рассуждениях неверный
ответ.

Пятые задачи хоть и геометрические, но достаточно несложные. При
их решении затруднения вызвали незнание (или плохое знание) теорем си-
нусов и косинусов для треугольника.

При решении шестых задач наблюдались ошибки, аналогичные тем,
что и при решении первых задач, но даже те, кто их избежал, проявили
слабое знание свойств квадратного трехчлена, из-за чего и не удавалось
получить правильный ответ.

2.4.5.	Геологический факультет пробный экзамен (май)

При решении первых задач некоторые поступающие делали достаточ-
но грубую ошибку, сразу избавляясь от знаменателя без учета его знака.
Но даже те, кто избежал этой ошибки, часто не могли потом решить пре-
образованное неравенство, иногда наблюдались ошибки на завершающем
этапе, когда в ответ надо было правильно включить или не включить кон-
цы соответствующих промежутков.

При решении вторых задач очень часто забывалось про ОДЗ — поло-
жительность выражений, от которых берутся логарифмы, что естественно
приводило к появлению посторонних корней.

При решении третьих задач допускалась достаточно стандартная ошиб-
ка в том, что исходное уравнение сразу почленно возводилось в квадрат
без исследования знака правой части уравнения и иногда даже без иссле-
дования ОДЗ — неотрицательности подкоренного выражения. Наблюда-
лась и такая существенная ошибка, как неучитывание области измене-
ния синуса ( — 1 sinz 1 ) и аналогично — косинуса, из-за которой
не отбрасывались посторонние корни при решении квадратного уравнения
t2 4-1 — 1 = 0, t = sin x. Но даже те, кто избегал этих ошибок, иногда за-
бывали проверять, что не все решения уравнения вида sin® = (>/5— 1) : 2
удовлетворяют неравенству cos® <С 0. Все эти ошибки и приводили к
ошибочным ответам.

В четвёртых задачах многие делали правильную замену неизвестно-
го вида t = 5”® и получали соответствующее квадратное неравенство,
но затем решали его (что, к сожалению, встречается довольно часто) не
как неравенство, а как уравнение. Избежавшие указанной ошибки не всег-
да могли правильно решить простейшее показательное неравенство вида
5“®	10 .

В пятых задачах, видимо, у .некоторых поступающих вызвала труд-
ность постановка их вопроса: не все, кто правильно выразил затраченные
и планируемые времена движения, поняли, что надо было просто решить
неравенство относительно первоначальной скорости, учитывая по смыслу
задачи ее положительность.

Шестые, геометрические задачи вызвали значительные затруднения у
поступающих из-за более слабого знания геометрии, их решилвг немногие.

При решении седьмых задач многие не сумели распознать в подкорен-
ном выражении полный квадрат и далее сразу верно преобразовать выра-
жение для /(®), что и явилось основной трудностью. Однако некоторые,
кто преодолел этот этап, не сумели правильно решить уже преобразован-
ное исходное неравенство либо относительно модуля, а иногда, забывая или
не забывая, что у/х 0, не смогли правильно выписать окончательный
ответ в зависимости от тех или иных значений параметра а.

В восьмых задачах многие затруднились проделать операцию выделе-
ния полных квадратов в левых частях неравенств, а потому распознать,
что задаваемая фигура есть объединение частей двух кругов. Однако не-
которым поступающим все же удалось правильно нарисовать искомую фи-
гуру, но без вычисления ее площади и достаточно четкого ее обоснования.

Девятые задачи вызвали наибольшие трудности у поступающих. Ре-
шили их буквально единицы.
2.4.6.	Геологический факультет основной экзамен (июль)

При решении первых задач практически все абитуриенты преобразова-
ли уравнение к виду: корень квадратный из выражения равен выражению;
но далее допускалась достаточно стандартная ошибка в том, что полу-
ченное уравнение сразу почленно возводилось в квадрат без исследования
знака правой части уравнения и иногда даже без исследования ОДЗ — не-
отрицательности подкоренного выражения, это естественно приводило к
неверному ответу, появлению посторонних корней.

Во вторых задачах многие не заметили, что |ж|2 = ж2, что позволяет
сразу свести исходное неравенство к квадратному неравенству относитель-
но неизвестной t = |х|, где t 0. Однако те, кто правильно раскрывали
|ж| и затем правильно решали получающиеся квадратные неравенства от-
носительно переменной х с учетом х 0 или х 0, получали, пусть и
не самым коротким путем, но правильный ответ. Особых проблем вторые
задачи у поступающих не вызвали, их решили очень многие.

При решении третьих задач практически все преобразовали первое
уравнение системы в совокупность двух уравнений и затем подстановкой
решали второе уравнение. Однако некоторые забывали при этом про ОДЗ
— неотрицательность подкоренного выражения х — у или у -ж, что при-
водило к появлению посторонних решений исходной системы уравнений.

Решая четвертые задачи, почти все абитуриенты свели исходное не-
равенство к совокупности систем двух более простых неравенств (как это
в разборе одного из вариантов и продемонстрировано), или иногда даже
применяли обобщение метода интервалов с учетом того, что
3х — 2	(^)О <=> ®	(^) log3 2 . Характерными ошибками при решении

этих задач было неправильное сравнение значений неизвестного ж, при
которых обращаются в нуль числитель или знаменатель выражения, сто-
ящего в левой части исходного неравенства, что приводило к ошибочным
окончательным ответам.

Пятые задачи оказались для поступающих более сложными. При их
решении наблюдались ошибки и в применении формул приведения, в пра-
вильном выписывании и определении ОДЗ уравнения. Наблюдалась и та-
кая существенная ошибка, как неучет области изменения косинуса
( —1 <С cos ях <С 1) и аналогично — синуса, из-за которой не отбрасывались
посторонние корни при решении квадратного уравнения вида
2\/3t2 +1 - 2л/3 = 0, t = созтгж. Наконец, те, кто и избежали указанных
ошибок, не смогли правильно или вовсе забыли провести отбор решений
простейшего тригонометрического уравнения, удовлетворяющих условию
вида — 2 < х < 2, и из-за этой досадной ошибки не получили правильного
ответа.
Шестые задачи оказались для поступающих более доступными по срав-
нению с пятыми задачами, хотя у некоторых, кто решал их, вызвали труд-
ности оперирования с процентами, из-за чего им не удалось получить в
общем-то простое уравнение для определения искомых величин.

Седьмые, геометрические задачи вызвали значительные затруднения у
поступающих из-за более слабого знания геометрии, их решили немногие.

В восьмых задачах тем, кто решал их, легко удавалось свести исходное
неравенство к неравенству вида t2-2(ft-a<0, где t = 3®, но далее из-
за неумения применять необходимые свойства квадратного трехчлена не
удалось достаточно простым путем выйти на окончательный ответ. Эти
задачи также решили очень немногие из поступающих.

««7. ИСАА

При решении первых задач н^роторые поступающие проявили неуме-
ние применять свойства членов геометрической прогрессии, а иногда и не-
знание того, что такое геометрическая прогрессия, а некоторые из тех, кто
правильно применил свойства членов геометрической прогрессии и преоб-
разовал выражение вида sin(arcsin х) или cos(arccos ж), видимо, забыли,
что arcsin® и arccos® определены только для ® G [—1; 1], а это привело
к появлению посторонних решений задачи.

При решении вторых задач очень часто забывалось про ОДЗ — поло-
жительность выражений, от которых берутся логарифмы, что естественно
приводило к появлению посторонних корней, возникали такзке трудности
в преобразовании левой части уравнения: ряд поступающих не заметили,
что надо разложить квадратный трехчлен под логарифмом на множите-
ли и затем применить формулу логарифма произведения и разложение на
множители в преобразованном таким образом уравнении.

При решении третьих задач проявлялось неумение правильно опери-
ровать со сложными процентами, а также иногда и неумение находить
максимальное значение квадратного трехчлена и аргумента, при котором
оно достигается, что приводило либо к отсутствию ответа в задаче или к
неправильному ответу.

Четвертые, геометрические задачи вызвали значительные затруднения
у поступающих из-за слабого знания геометрии, их решили очень немногие
поступающие.
Пятые задачи оказались сложнее, чем первые три. Те, кто решали эти
задачи, часто не могли правильно определить ОДЗ или вообще забывали
про него. Основной трудностью при решении этих задач было сохранить
равносильность исходного неравенства при переходе от него к совокупнос-
ти более простых уравнений и неравенств и затем, решая их, учесть все
ограничения на ОДЗ, наблюдалось также и незнание формул тригономет-
рии, того факта, что \/f2(x) = |/(®)| и т.п. Эти задачи решили немногие
поступающие.

Те, кто пытался решить шестую задачу, не сообразили применить опе-
рацию выделения полного квадрата в левой части исходного неравенства,
а также не учитывали, что f2(x) = |/(ж)|2, это и явилось основной труд-
ностью при отыскании вида решений исходного неравенства и тем более
— исследования, когда имеется не более одного решения. Шестые задачи
также решили немногие поступающие.

2.4.8.	Выездные экзамены

Ниже, в п. 2.5.8 проводится анализ ошибок, допущенных поступающи-
ми в 1996 году на выездных экзаменах. Следует отметить, что в общем
аналогичная ситуация наблюдалась и в 1995 году, когда Московский уни-
верситет проводил такого вида экзамены впервые.
2.5.	Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных
письменных экзаменах по математике в 1996 г.

2.5.1.	Факультет ВМиК пробный экзамен (апрель)

Решение первых задач не вызвало проблем у большинства поступаю-
щих, однако некоторые из абитуриентов, перебросив в правую часть выра-
жение (2х 4-1)2 и формально возводя полученное неравенство в квадрат
(забывая подчас об ОДЗ), естественно либо вообще не получали решений,
либо получали только х = 1/2 . Наблюдались также ошибки и в отыскании
ОДЗ.

При решении вторых задач наблюдались ошибки в определении ОДЗ,

а иногда о нем и забывалось, немало поступающих, забывая отдельно рас-
смотреть случай (х - 2)2 = 1 , теряли корень х = 1 , но иногда, види-

мо из-за невнимательного исследования ОДЗ, рассмотрев отдельно случай

(х — 2)2 — 1 получали кроме корня х = 1 еще и корень х = 3 , кото-
X 1

рый не удовлетворяет условию т + т/1 . Немало поступающих делали
о 2

неравносильный переход от исходного уравнения к уравнению

log(l_2)2 (2х + 3) = log(x_2)2

При решении третьих задач многие поступающие сразу пытались воз-

водить почленно уравнение в квадрат, получая при этом сложное уравне-
ние четвертой степени относительно переменной t = sin х , многие пыта-

лись исследовать неотрицательность подкоренного выражения или неот-
рицательность правой части уравнения, что весьма усложняло решение,
нередко приводило к дополнительным ошибкам. Видимо, это связано с не-
достаточной практикой выделения полного квадрата в выражениях.

Четвертые задачи решило немного абитуриентов. Видимо, не справи-
лись с задачей те поступающие, у которых решение геометрических задач
вообще является трудной проблемой.

При решении пятых задач многие абитуриенты не смогли провести раз-
ложение многочлена четвертой степени двух переменных на произведение
двух квадратных трехчленов. Но даже те из абитуриентов, кто успешно
преодолел этот этап решения задачи, не смогли потом правильно решить
в целых числах полученные уравнения. Видимо тема решения задач на
целочисленную арифметику — относительно слабое место в преподавании
школьного курса математики.

Шестые задачи вызвали наибольшие трудности у поступающих. Как
всегда стереометрия оказалась камнем преткновения для абсолютного боль-
шинства абитуриентов.
2.5.2.	Факультет ВМиК основной экзамен (июль)

Первые и вторые задачи не вызвали особых затруднений, их реши-
ли многие, но значительная часть абитуриентов споткнулась на смесях и
определении их частей. Подножка — ’’чисто химическая”.

При решении третьих задач многие абитуриенты дошли до этапа по-
лучения корней уравнения у2 - (а — 1) у 4- 2a + 3 = 0 , где у = 5Ж , однако
провести исследование положительности этих корней (для чего надо было
решить два иррациональных неравенства) многие уже не смогли, допус-
кая достаточно распространенные ошибки при решении таких неравенств.
Некоторые поступающие, к сожалению, забыли даже про условие неотри-
цательности дискриминанта квадратного трехчлена
f(y) = У2 - (а - 1)у + 2a + 3 .

Четвертые задачи вызвали уже значительные трудности у поступаю-
щих. Это, видимо, связано со слабым владением техникой оперирования с
арквыражениями, незнанием их области определения, неумением приме-
нять свойства монотонности тригонометрических функций и неумением
преобразовывать выражения sin (arccos a) ,cos (arcsina) и т.п. Эти за-
дачи решили немногие, а некоторые из решавших не провели тщательно и
аккуратно необходимые сравнения чисел.

Пятые задачи тоже решили немногие абитуриенты. Это, видимо, связа-
но с упомянутыми выше проблемами — уметь выделять полный квадрат,
применять координатные методы решения задач. У отдельных поступа-
ющих, получивших решивших соответствующие системы уравнений (см.
на стр. 95 внизу), видимо из-за громоздкости полученных решений воз-
никли проблемы, какая из двух пар решений действительно удовлетворяет
исходной системе уравнений.

Шестые задачи хоть и планиметрические решили буквально единицы.
Видимо нелегко было догадаться об использовании приведенного в начале
решения этой задачи в п. 3.1.13. утверждения, которое надо было обосно-
вать, а также, по-видимому, многие не знают теорему о равенстве произ-
ведений отрезков пересекающихся хорд.

/ г
2.5.3. Экономический факультет, отделение экономики

При решении первых задач многие абитуриенты затруднились даже
упростить исходную систему уравнений и привести ее к указанному ниже,
в п. 3.2.9. виду (1)—(3), хотя и почти все правильно нашли ОДЗ : х 0 и
раскрыли модуль. Некоторые поступающие, получившие систему уравне-
ний (1)—(3) (см. стр. 120), к сожалению, не сумели упростить ее, применяя
формулу суммы кубов двух чисел. Однако часть из них, применив способ
подстановки, все же правильно решили эту систему и отобрали удовлетво-
ряющие ОДЗ решения.

Во вторых задачах главное было правильно найти ОДЗ и затем с его
учетом решить простое квадратное неравенство. Те кто преодолел этап
отыскания ОДЗ — решили эту задачу.

При решении третьих задач многие поступающие свели эту задачу к
совокупности уравнений, правильно отобрали корень уравнения
2t2 —	4-2 = 0, t = cos(®/2) , удовлетворяющий неравенствам |t|	1

(хотя некоторые из них споткнулись и на этом этапе), но затем или забыли
или не сумели отобрать из найденных решений уравнения
tg® = tg(197r/3) = у/З те, которые удовлетворяют ОДЗ — неравенству
2t2 - 3V2t + 2^0.

При решении четвертых задач у многих возникли проблемы в отыска-
нии наибольшего и наименьшего значений величины, зависящей от цело-
численных переменных 100(4тп4-5п4-6Л), при условии 12тп4-16п4-15Л = 326.
Это как уже в п. 3.5.1. отмечалось связано с тем, что многие школьники
не умеют решать задачи на целочисленную арифметику.

Пятые задачи — геометрические вызвали значительные трудности у
поступающих, их решали немногие. Видимо для многих школьников труд-
но бывает догадаться о применении координатного метода в решении той
или иной задачи, если система координат в условии задачи явно не фигу-
рирует.

Шестые задачи решали единицы. Видимо для многих является пробле-
мой решение задач с арквыражениями, в частности, многие не знают, как
преобразуются выражения типа arcsin(sin ж) , arccos(cos®) и т.п.

2.5.4.	Экономический факультет, отделение менеджмента

Первые задачи решило большинство поступающих, хотя и наблюда-
лись ошибки, связанные с незнанием свойств логарифмов и даже неумением
правильно раскрывать модуль.

При решении вторых задач многие догадались о замене вида
z = Зу , где z > 0 , однако полученную затем систему уравнений (2)—(3)
(см. стр. 127) не всегда решали лучшим образом. В общем многие посту-
пающие решили и эту задачу.

Третьи задачи, явно проще, чем такого же типа четвертые задачи
отделения экономики, решило немало поступающих, хотя и далеко не все.
Очевидно, что и здесь сказывается неумение многих решать задачи на
Целые числа.

При решении четвертых задач многие правильно свели уравнение к
системе (1)—(2), хотя и забывая об условии sin® 0, возводя лишь фор-
мально уравнение в квадрат. Поэтому те, кто забыл об условии sin® О,
правильно проделав все остальное, получили лишние решения.

Пятые задачи, в общем достаточно, простые, решили те, кто знает
теорему о свойстве секущих окружности, выходящих из одной точки, и не
решили, видимо те, кто этой теоремы, непосредственно вытекающей из
теоремы о равенстве квадрата касательной произведению секущей на ее
внешнюю часть, не знает.

При решении шестых задач многие поступающие так и не смогли пра-
вильно построить искомое множество точек — параллелограмм; что свя-
зано прежде всего с проблемой раскрытия фигурирующих в условиях этих
задач модулей. Некоторые из тех, кто путем правильного раскрытия моду-
лей и получали параллелограммы (при р > 0 ), затруднялись правильно
выражать его площадь (плохо ориентируясь в системе координат), из чего
непосредственно определяется искомое значение параметра р .

2.5.5.	Геологический факультет пробный экзамен (май)

Первые задачи не вызвали серьезных проблем. Их решили практически
все поступающие.

Вторые задачи в основном решили и даже те, кто не стал делать за-
мену типа t = 7®/2 , однако встречались ошибки в записи окончательного
ответа.

При решении третьих задач наблюдались ошибки в отыскании ОДЗ, а
иногда про нее и вовсе забывали. Некоторые поступающие забывали про-
верять, все ли корни получающегося при снятии логарифмов квадратного
уравнения удовлетворяют ОДЗ, что приводило или к неправильным, или
к лишним корням.

В четвертых задачах не всегда делалась замена t = 2“® , где t > 0 ,
а это приводило к определенным неудобствам при решении неравенства, в
частности, не всегда удавалось выходить на решение совокупности нера-
венств ®2 > 1 , X2 < — log2 3. Все это приводило к появлению посторон-
них решений. Некоторые поступающие не умеют решать даже простейшие
квадратные неравенства.

Пятые задачи решало много поступающих, но к сожалению, немало из
них получали ответ в виде 1,4 дл., а не в виде неравенства. Видимо к
этому привела необычность для многих того обстоятельства, что одно из
условий задачи было задано в виде неравенства.

Шестые (геометрические) задачи вызвали трудности у многих посту-
пающих, видимо из-за слабого знания геометрии у многих, кто поступает
на геологический факультет. Правда, определенное количество абитуриен-
тов решило эту задачу, причем некоторые из тех, кто умело использовал и
применял необходимые теоремы планиметрии, допускали арифметические
ошибки.

При решении седьмых задач наблюдались ошибки в правильном ис-
пользовании условия равенства синусов, многие сразу пытались раскры-
вать модуль, что не являлось удачным ходом решения. Причем привычка
подавляющего большинства поступающих писать п € Z , к € Z и т.п.
(что в данной книге нигде не встречается) привела к тому, что забывалось,
какой знак переменной х в том или ином случае рассматривался, а потому
не отбрасывались лишние целые значения параметров п или к . Те, кто
выражал |ж| через п или к , также иногда забывали, что |ж|	0 . Ука-

занные ошибки, естественно, приводили к неверному ответу, и они были
наиболее распространенными при решении этих задач.

Восьмые задачи вызвали наибольшие затруднения у поступающих. Их
решили очень немногие. Видимо и задачи с параметрами поступающие на
геологический факультет решать в общем не умеют.

2.5.6.	Геологический факультет основной экзамен (июль)

Первые задачи решили почти все поступающие, хотя все же немногие
формально возводили уравнение в квадрат, забывая о неотрицательности
правой части уравнения или не делая проверки, удовлетворяют ли решения
получающегося квадратного уравнения исходному уравнению. Это приво-
дило к появлению лишнего корня.

При решении вторых задач некоторые абитуриенты неправильно опре-
деляли знак выражения под модулем, а это приводило к неверным реше-
ниям исходной задачи.

В третьих задачах отмечались ошибки при решении получающегося
тригонометрического уравнения, а если оно и решалось правильно, то или
забывалось про ОДЗ (неравенство нулю знаменателя), или забывалось об
условии вида х 6 (0, тг) . Все это приводило к появлению лишних корней.

В четвертых задачах наблюдались ошибки в ОДЗ (видимо непривыч-
но то, что перед аргументами фигурирующих в неравенстве логарифмов
стоит знак ” — ”). Многие абитуриенты ошибались в применении свойств
логарифмов, в решении неравенств, получающихся в результате замены
типа t = log3( —я) .

При решении систем уравнений в пятых задачах некоторые поступа-
ющие в результате формального почленного деления уравнений, теряли
удовлетворяющую им пару х = 0, у = 0, наблюдались и ошибки в вычис-
лениях.

В шестых задачах отмечалось неправильное применение сложных про-
центов, хотя их решили многие поступающие, отмечались также вычисли-
тельные ошибки.
При анализе решений седьмых и восьмых задач можно отметить совер-
шенно аналогичную ситуацию, что и при решении соответственно шестых
и восьмых задач вариантов предварительного экзамена, то есть в общем
неумение поступающих на геологический факультет решать геометричес-
кие задачи и задачи с параметрами.

2.5.7.	ИСАА

При решении первых задач не всем поступающим удалось путем заме-
ны t = 2х , где t > 0 свести их к решению квадратного неравенства, а
если такая замена и проводилась, то решение неравенства заменялось ре-
шением соответствующего уравнения. Иногда, наблюдались ошибки при
решении показательных неравенств вида 2х 5 (возрастание показа-
тельной функции заменялось убыванием, неумение выразить решение не-
равенства через логарифмы).

При решении вторых задач наблюдалось неумение изображать на ко-
ординатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетво-
ряют системе неравенств; иногда даже и неумение правильно раскрыть
|ж| , вследствие чего искомая фигура не была построена и потому не была
найдена ее площадь. Не все поступающие, кто решил задачу правильно,
заметили, что получающаяся фигура симметрична относительно оси ор-
динат и поэтому достаточно было построить часть фигуры, лежащую в
правой координатной полуплоскости, вычислить ее площадь, а затем сим-
метрично отразить ее относительно оси ординат и полученную площадь
удвоить.

При решении третьих задач наблюдалось или вовсе незнание областей
определения логарифмической функций и квадратного корня (правда, это
единичные случаи) или, если и были правильно выписаны все неравенства,
определяющие искомую область определения, то решалась их система или
с ошибками, или неправильно определялись те нули знаменателя функции,
которые попадают в интервалы, определяемые решением системы квад-
ратных неравенств. Иногда число тг приравнивалось числу 3,14 , при
этом даже если область определения функции выписывалась верно, задача
не считалась решенной правильно.

В четвертых задачах часто наблюдалось неправильное преобразование
правой части неравенства (из-за незнания свойств логарифмов), не менялся
знак неравенства на противоположный при снятии логарифмов. Иногда
забывали про условие положительности выражения, от которого берется
логарифм, или правильно выписанная система иррациональных неравенств
неверно решалась. Очень часто терялось изолированное решение х = —2 .
Пятые задачи многие не решили, видимо, из-за незнания теоремы о
свойстве секущих окружности, выходящих из одной точки. Однако те, кто
эту теорему сумел правильно применить, не сумели затем дважды при-
менить теорему косинусов. Некоторые поступающие допустили ошибки в
вычислениях, приведшие к неправильному ответу.

Шестые задачи решили единицы. Трудности вызвали: применение фор-
мулы вспомогательного аргумента, использование монотонности логариф-
мической функции, отыскание наибольшего и наименьшего значений у вы-
ражения, от которого берется логарифм и т.д.

2.5.8.	Выездные экзамены

Анализируя ошибки, допущенные абитуриентами на выездных пись-
менных экзаменах, хотелось бы отметить, что все характерные ошибки
1996 года, встречавшиеся на предварительных и основных экзаменов фа-
культетов ВМиК, геологического, экономического и ИСАА, были и здесь.

Но, конечно, специфика задач привела к некоторым особенностям.

За стереометрию просто не брались (см. ниже задачу 9 п. 3.5.6 и задачу 10
п. 3.5.8). С планиметрией дело обстояло лучше, но в задаче 4 п. 3.5.6 мно-
гие спасовали перед вычислением max S ; в задаче 7 п. 3.5.6, выписывая
формулу Герона и формулы, связывающей площадь треугольника с его
сторонами, радиусом вписанной в него окружности и высотами (то есть
получив все, что касается решения задачи), не смогли получить

* hb *
Г = ------------------------ .

ha * h>b 4" hfo * hc 4“ hc • ha

В задаче 9 п. 3.5.5 многие, кто решал ее, находили правильный ответ, но не
смогли обосновать единственность полученного решения. Многие решили
бы задачу 4 п. 3.5.7 и задачу 5 п. 3.5.8, если бы не арифметические ошиб-
ки, а вот задача 8 п. 3.5.8 неожиданно оказалась сложной для основного
контингента поступающих.

Складывается впечатление, что основная часть выпускников школ прос-
то не понимает задачу с параметрами (см. ниже п. 3.5.5, задача 10, п. 3.5.6,
задача 8, п. 3.5.7, задача 10, п. 3.5.8, задача 9), так как те, кто брался за
решение этих задач (а таких очень мало) подбирали значения параметра,
пытаясь угадать подходящие значения, пытались рассматривать частные
случаи, а также пробовали применять высшую математику (производную
функции) и т.п., то есть делали все, что угодно, но так и не пытаясь уяс-
нить условие задачи.
Редукция задачи 3 п. 3.5.6 к системе уравнений с двумя неизвестными
(отношение скоростей и время на одном из двух участков пути при движе-
нии из В в А) для многих оказалась неразрешимой проблемой, аналогично
тому, как в задаче 3 п. 3.5.7 перечисление всех натуральных двузначных
чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 3 , а = 4k 4- 3, где на-
чальное к = 2, поскольку первое из них 11, а конечное к = 24, так как
последнее такое число 99. В задаче 3 п. 3.5.8 почти все, за исключением
единиц потеряли решение с d = 0.

В задаче 8 п. 3.5.7 практически 50% абитуриентов решило первую
7Г
половину задачи, то есть получили х = — 4- тгп , но затем половина из них
не выписали в ответ этот результат (см. начало условия задачи). Только
13% смогли решить задачу до конца, то есть решить уравнение

2у/2  (чг/2 + тгп) - 17\/2тг = 7Г772 ,

где пит — любые целые числа. Некоторые вместо m поставили тоже п и
затем честно выписали, что решения нет, то есть нет общих корней. Часть
поступающих произвела сокращение на тг и выписала верное равенство
у/2 • (1 4- 2п — 17) = т , а затем последовало утверждение ”иррациональное
число не может быть целым, а потому общих решений нет”. Это было бы
верно, если бы 1 4- 2п — 17 не обращалось бы в нуль, а т 6 Z . Но,
очевидно, что при п = 8 , т = 0 указанное равенство принимает вид
у/2 -0 = 0, что является верным числовым равенством.

Обсуждение других ошибок было бы повторением изложенного
в п. 2.5.1 — 2.5.7.

Выездные экзамены показали, что среди выпускников школ различных
регионов России есть хорошо подготовленные учащиеся, способные решать
если не все задачи в предложенных вариантах, то большую часть из них.
Некоторые учащиеся решили все задачи, правда, в тех вариантах, где не
было стереометрических задач. Общий итог можно сформулировать так :
в специализированных школах, лицеях и гимназиях подготовка учащихся
по математике не хуже, чем в Москве.
3.	ПРИМЕРЫ ВАРИАНТОВ, ПРЕДЛАГАВШИХСЯ НА
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ НА ФАКУЛЬТЕТАХ
ВМиК, ЭКОНОМИЧЕСКОМ, ГЕОЛОГИЧЕСКОМ и ИСАА
в 1993 — 1996 годах

3.1.	Факультет вычислительной математики и кибернетики
МГУ (ВМиК)

3.1.1.	Вариант с решениями задач 1993 г.

1. Решить неравенство

log /ГТя А^х — ж2 - 2) > 0 .

°У 8-2V7+1-V3V	'

Решение

Так как

\Д-2Л+1-Л =

= ^/(Л-1)2 + 1-Л = Л-Л е (0,1),
то данное неравенство эквивалентно системе неравенств

( 4х - х2 - 2	1 ,

[ 4х - х2 - 2 > 0 ,

откуда

f х 1 ; х 3 ,
( 2-у/2<х<2 + у/2 .

2. На отрезке 0 х тг найти все значения х, удовлетворяющие урав-

нению

3 cos х — sin х

\/1 + 2 cos2 х - УЗ sin 2х

Решение

Уравнение имеет вид

'З

cos х — sin х

= Усл

cos ж — sin®)2 О

3 cos х — sin х 0 <=>

/	7Г\

<£> СОЗ I ® + -)
\	о /

0 , х е [0, тг] .
Ответ: 0 < х < — .

3.	Решить неравенство

| 3х - 4 I + I х2 - 4х + 3 3х + 4х - х2 - 7 .

Решение

1	способ.

Обозначим а = Зж — 4 ; Ь = я2 — 4ж + 3 . Неравенство имеет вид

| а | + | Ь | а - b «• (б<о’	4 X 3 .

2	способ.

Выражения а ; b меняют знак в точках: 1, log3 4 , 3 , а, следовательно,
надо рассмотреть интервалы:

х <С 1 ; 1 < х < log3 4 ; log3 4 х 3 ; х > 3 .

Раскрывая модули в левой части неравенства, получим:

J X 1 ,

!) Х 1 I х2 _ 4а; + 7 Зх ,

из 3х 3 , х2 — 4х + 7 4 вытекает, что х € 0 ;

{1 < х < log, 4 ,

и / ох 1 л	=> «60;

4 3х О log3 4 X
/

3	) log3 4 0^3	{ о°|3 о 3 ’	=*

=> log3 4 х 3 ;

4	) .>3	{ X3ta + 340«l«.S3	*

Ответ: log3 4 X 3 .
4.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС точка D де-
лит сторону ВС в отношении 2:1, считая от вершины В, а точка Е
— середина стороны АВ. Известно, что медиана CQ треугольника CED
х/23	\/23

равна -у- и DE = —— . Найти радиус окружности, описанной около
треугольника АВС .

Решение

Пусть АВ = ВС = у , АС = 2х => cos ZC = — ,
У

У2 ~ 2ж2

cos ZB = 1-2 cos2 ZC =------z— ,

t/2

p -	_ У'У’^Х _ У2 * 2ж _ У2

4S 4S 4xy/y2 — x2 2y/y2 — x2

Применим для ABED теорему косинусов:
ED2 = BE2 + BD2 - 2BE • BP cos ZB,

рис. 1

у2 + 48ж2 = 23 • 9 ;	(1)

применим для ДАВС теорему косинусов:

ВС2 = АЕ2 4- АС2 - 2 АВ • AC cos ZA,	4- 2х2 = ЕС2 ;

4

в ACED применим формулу для медианы треугольника (она вытекает из
свойства диагоналей в параллелограмме): (2CQ)2 = 2СЕ2 4- 2CD2 — ED2

26у2 4-16 • 9ж2 = 23 • 5 • 9 .	(2)

Решаем систему (1), (2) => у2 = 18 , х2 =	=> R =	.

10	о

Ответ:

5.	Точка М(х\у)} декартовы координаты которой удовлетворяют усло-
виям

а2х — у = 2а2 — 26 , х — by = 2 - 2а2 ,

лежит на прямой у = 2 ~ х. При каких действительных а и b эта точка
наиболее близко расположена к точке W(3; — 1) ?
Решение

рис. 2

а2х - у = 2а2 — 2Ь ,	(1)

< х - by = 2 - 2а2 ,	(2)

, У = 2 - х	(3)

Координаты х ; у точки М удовлетворяют системе уравнений (1)—(3).
Из (1) и (3) при любых а и Ь вытекает

2(a2-b4-l) 2b

(4)

Подставим (4) в (2): Ь2 4- b - (а2 4- а4) = 0 => b = а2 , b = —а2 — 1 .

1)	b = —а2 — 1, подставим в (4): х = 4 , у = —2, при любых а 6 R .
Получаем точку М± (4; —2).

2)	Ь = а2 подставляем в (4), откуда

х =

2
а2 4-1 ’

(5)

У = 2 - X .

2

Так как 0 < ——-
а2 4-1

точки М(х\у] координаты которых

удовлетворяют (5), образуют на прямой у = 2 — х полуинтервал с концами
(0;2), (2;0). Из всех точек этого полуинтервала наиболее близко к точке
N(3; —1) расположена точка М2(2;0) (а = b = 0). Так как расстояния от
Mi и М2 до N равны, то искомыми являются точки М± и М2 .

1) b = -а2 - 1 , Va е R , точка Afi—(4; -2) ;
UTBeT: 2) а = Ъ = 0 , точка М2—М2(2; 0) .

6. Найти все действительные значения а, при которых область опреде-
ления функции

3 cos х — 2 cos3 х — у/2а
совпадает с областью определения функции

_	1 у/2____________________________

sin3 х 4- cos3 х — а 3 cos х — 2 cos3 х — у/2а
Решение

Обозначим f(x) = sin3 х 4- cos3 х .

л/ 7Г\	3 cos х — 2 cos3 х

ТогДа/(х+-)=---------?=----г.

Следовательно, требуется найти а, при которых множество решений урав-
нения

/(*)=«	(1)

принадлежит множеству решений уравнения

f (х + J) = “ •	(2)

Если xq — корень (1) и множество решений уравнения (1) принадлежит
7Г
множеству решений уравнения (2), то из (2) следует, что zq 4- — — также

(7Г\ 7Г	7Г

z04-j)4- — = zo4- — — корень (1). Следовательно,
/	7Г \

/(жо) = f	, т° есть хо = тгп , Vn € Z . При этом /(то) = (—1)", а

, (	7Г\

/(*»+,) =

то есть жо не может являться одновременно решением

(1) и (2). Следовательно, уравнение (1) не должно иметь решений, то есть
искомые а не должны принадлежать Я[/] — множеству значений функции
f(x) . Так как

|/(ж)|	| sinж|3 4-1 cosz|3 sin2 х 4- cos2 х = 1 и f(x) = ±1 при

тгк

х = — , V& 6 Z , то в силу непрерывности функции f(x)
&

я[Л = [-1Д] •

Ответ: |а| > 1 ,

при этом областью определения указанных функций является множество
всех действительных чисел.
3.1.2. Вариант для самостоятельного решения 1993 г.

1.	Решить неравенство log2 >/154-1 >/5

Л TT	7Г

2.	На отрезке — —	z <C — наити все значения ж, удовлетворяющие

уравнению

3 sin х — cos х

cos2х — v3sin2x .

3.	Решить неравенство

| 2х - 17 | + | х2 - Юх + 24 2х + Юж - х2 - 41 .

4.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС точка D де-
лит сторону ВС в отношении 3:1, считая от вершины В, а точка Е —
середина отрезка AD . Известно, что BE = \/7 , СЕ = 3 . Найти радиус
окружности, описанной около треугольника АВС .

5.	Точка М(х;у), декартовы координаты которой удовлетворяют усло-
виям	о

а2х 4- у — 2b — а2, х + 2by = а2 — 1 ,

лежит на прямой у = х 4- 1. При каких действительных а и b эта точка
- кг ( 3 1\ ?

наиболее близко расположена к точке N I — - ; — - 1 ?

6.	Найти все действительные значения 6, при которых область опреде-
ления функции

у — ------------------

3 sin х — 2 sin3 х 4- 2b
совпадает с областью определения функции
3.1.3, Вариант с решениями задач 1994 г. (май)

1. Решить уравнение

'	1 \	5

Ф-11 + -	= 11(х-1)2 + - .

L

Решение

Обозначим — 1| = t 0 => t 0 , (х — I)2 = t2. Уравнение примет
вид: (4t +1 /2)2 = 1 It2 + 5/4 & 16t2 + 4t +1/4 = 1 It2 + 5/4 <=> 5t2 + 4i - 1 = 0,
корни которого t = -1, не удовлетворяющий условию t 0, и t = 1/5.
Отсюда следует, что |ж — 1| = 1/5 х = 6/5.или х = 4/5.

Ответ: х = 6/5 ; х = 4/5 .

2. Вычислить cos

если tg a = —.

Решение

п f 7г\	/	7г\	. Л 2tga 2/у7	/~/4

cos2 (а - — ) — cos (2а — — = sin2а = ------z— = -= -V7/4 .

V 4/ V 2/	1 + tg2a 1 + 1/7	7

Ответ: —^7/4 .

3.	Решить неравенство

V7 + 21-х 7-

Решение

Обозначим 21 х = t => t > 0, тогда неравенство примет вид:

у/7 + t 7 - 2t .
a) 7 — 2t < 0, в этом случае левая часть неравенства больше или равна 0,
а правая часть меньше 0, поэтому 7 — 2t < 0, то есть t > 7/2 — решения
неравенства;

. Г 7 - 2t 0 t 7/2 ,

> [ 7 4- * ^ 49 - 28* 4- 4*2	4*2 - 29* 4- 42 0 <=> (* - 21/4) (* - 2)	0 .

В этом случае решение системы неравенств имеет вид 2 ^ * ^ 7/2 .
Окончательно получаем *	2 <=> 21-х	2 <=> 1 — ж 1 <=> ж 0 .

Ответ: х 0 .

4.	В остроугольном треугольнике АВС на высоте AD взята точка М,
а на высоте ВР — точка N так, что углы ВМС и ANC — прямые.
Расстояние между точками М и N равно 4 4- 2д/3 , £MCN = 30*. Найти
биссектрису CL треугольника CMN.

Решение

Так как AANC и ДВМС — прямоугольные, то в силу теорем о про-
порциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем:

МС2 = CD- ВС, NC2 = СР - АС. С другой стороны, СР/ВС = CD/АС =
= cos ZC, поэтому CD - ВС = СР • АС ==> МС = АТС, и &MCN — рав-
нобедренный. В &MCN CL — биссектриса и высота, значит

MN -ctgl5°	14-cos 30°	/-х2	_	. /х

CL =---------3-2— = (2 + Л) 8in3QO = (2 + а/3)2 = 7 + 4Л .

Ответ: CL = 7 + 4\/3 .
5.	Числа Qi , 02 j Оз j ^4 ; ^5 удовлетворяют соотношению

log2 ап • log2(an_! • an+i) = log2 an_j • log2 an+1 • log2(4a*)

при n = 2 , 3 , 4 . Известно, что di = 2 ,	— 21/25.

Найти log2(a2 + 2a3 — a*).

Решение

Обозначим log2 an = un. Исходная система тогда примет вид

{«1 = 1 , ^5 = 1/25 ,

ип • (ип+1 4- un_i) = 2un+i  un_i • (ип + 1) , п = 2, 3, 4.

1.	Нетрудно показать, что если хотя бы одно из чисел 142, из или и4
равно 0, то и все остальные равны 0, поэтому первое решение системы
имеет вид U2 = U3 — и4 = О О &2 = аз —	— 1-

2.	Если ип 7^ 0 , п = 2 , 3 , 4 , то, деля на 14п-ь1 • 14п • ^п-1 и обозначая
vn = l/uni получим

Г V1 = 1 , v5 = 25 ,

Vn+i 2vn 4- vn~i = 2 , n = 2 , 3 , 4 ,

или, если подробно записать уравнения системы,

' V3 — 2v2 + 1 = 2 ,
< v4 - 2v3 4- v2 = 2 ,
„ 25 — 2v4 4- v3 = 2 .

Складывая первое уравнение с третьим и удвоенным вторым, получим
г?3 = 9, v2 = 4, v4 = 16, или а2 = 21/4 , аз = 21/9 , а4 — 21/16.
Таким образом, в первом случае log2(a2 + 2аз — а£) = log2 2 = 1, а во
втором случае log2(аг+ 2аз— а4) = log2(21/4 + 2-21/9 — 21/4) = 10/9 .

Ответ: log2(a2 + 2аз — а4) = 1 ; 10/9 .

6. В треугольной пирамиде ABCD ребра AD и BD перпендикулярны.
На ребре АВ взята точка М так, что квадрат суммы расстояний от вер-
шин А, В, С до прямой DM равен удвоенной сумме квадратов длин ребер
АР, BjD, CD. Известно, что CD = 20, а £DAB = arctg ^7/3. Определить
длину отрезка СМ.
Решение

Обозначим AD = b , BD = a , CD = c , CN 1 DM , Z.CDN = у ,
£BDM = 6 . Тогда условие задачи, связанное с точкой М, примет вид

(asinJ 4- frcos 6 4- csin7)2 = 2(a2 4- b2 4- c2) .

Левую часть этого равенства можно оценить следующим образом:

(asin 8 4- frcosJ 4- с sin 7)2 = (\/a2 4- fr2 sin(J 4-/3) 4- csin7)2 <C

(у/a2 + b2 + c)2	2(a2 + b2 + c2) ,

где /3 = arctg fr/a = £ABD . Таким образом, условие задачи выполнено,
если

sin(<5 4- /3) = 1 , sin 7 = 1 , а2 4- Ъ2 = с2

или

54-/3=^, 7= J, а2 + ^2 = с2.

Отсюда следует, что CD ± DM , АВ ± DM , а2 + Ь2 — 400 ,

АВ = у/а2 + b2 = CD = 20 .

OAf=4i»2g = 10. 2t^ = 20^7
2	1 + tg2/?	10/7

CM = \/CD2 + DM2 = \/400 + 84 = 22 .

Ответ: CM = 22 .
3.1.4) Вариант для самостоятельного решения 1994 г. (май)

1. Решить уравнение

/	1 \2	in

(з|х + 1|+») = 6(® + I)2 + .
\	оу	**

2. Вычислить cos

2 (/? + ^)), еСЛИ Ctg = —2~ '

3.	Решить неравенство

—х—1

х— 1

4.	В остроугольном треугольнике EFG на высоте ЕМ взята точка Р, а
на высоте GN—точка Q так, что углы FPG и EQF —прямые. Известно,
что FQ = у/3 + 1 , a £PFQ = 15°. Найти расстояние от точки Р до прямой
FQ .

5.	Числа Ci , С% , Сз , С4 , Сб удовлетворяют соотношению

log3 ск • log3(cfc_! • Cfc+1) = log3 Cfc-1 • log3 Ck+1  log3(9c|)

при к = 2 , 3 , 4 . Известно, что Ci = 3 , С5 = З1^25.

Найти log3(c2 —	+ ЗС4).

6.	В треугольной пирамиде PQRS ребра PR и QR перпендикулярны.
На ребре PQ взята точка А так, что квадрат суммы расстояний от вер-
шин Р, Q, S до прямой AR равен удвоенной сумме квадратов длин ребер
PR, QR, SR. Известно, что PR = 15, SR = 17, £SRQ = 60°. Найти длину
ребра SQ .
3.1.5. Вариант с решениями задач 1994 г. (июль)

1.	Решить уравнение

12 sin 5х = cos Юж 4- 7 .

Решение

Обозначим sin 5х = t => |t|	1 . Уравнение примет вид: t2 4- 6t — 4 = 0 .

Корни этого уравнения t = — 3 — \/13 < —1 , не удовлетворяющий условию
|t|	1 , и t = — 3 4- \/13 G (0,1) . Отсюда следует, что sin 5х = -3 4- \/13, и

х = ( 	• arcsin(\/13 — 3) 4- -7- , Vn 6 Z .

о	5

(—1)П	’	/—	7Г71

Ответ: x = v ' • arcsin(v 13 - 3) 4- — , Vn 6 Z .
о	0

2.	Решить неравенство
y/x — 3 3 — |ж — 6| .

Решение

После замены: y/x — 3 = t=^t^O=>:c = t24-3, получаем неравенство
t 4- |t2 — 3|	3 , которое распадается на два:

a)	t2 — i 0 при условии, что 0 t д/З , откуда t =	у/З ;

б)	t2 4-1 — 6	0 при условии, что i > у/З , откуда у/З <t ^2 . Таким обра-

зом, окончательно получаем t = О , 1 t 2 , откуда х = 3 , 4 ж 7.

Ответ: ж = 3,4^ж^7.

3.	Найти все отрицательные значения и , при которых выполнено нера-
венство

1"и.+ iog3 («fl) *0 

Решение

После замены log3 cos и = t =J> t 0 (так как в данном случае
О < cos и 1) и перехода к основанию 3 неравенство принимает следующий
вид:

1	t2	

1 + t-F—— ^0.	j

ъ 1	Г — 1	/

1

*
Учитывая, что t 0 , получаем t2 0 , откуда t = 0 . Таким образом,
имеем cos u = 1 , и и < 0 , откуда и = 2тгп , п = —1, —2, ... .

Ответ: и = 2тгп , п = —1, —2, ... .

4.	В треугольнике АВС длина стороны АВ равна 21, длина биссектри-
сы BD равна 8у/7 , а длина отрезка DC равна 8. Определить периметр
треугольника АВС .

Решение

В	В

рис. 7	рис. 8

Докажем следующее утверждение. Лемма. I2 = ас — babc
(см. рис. 7).

Доказательство

Из теоремы косинусов для АЛВВ1 и ABBi следует:

Г Ь2 — с2 + I2 — 2lc cos /3 ,
( Ь2 = а2 + I2 — 2la cos (3 ,

или Ь2а ~ Ь2С = ас2 — а2с — Z2(c — а) . Учитывая, что Ьс • а = Ьа • с
(в силу свойства биссектрисы угла треугольника), имеем

Z2(a — с) — (ас — ЬаЪс}(а — с) . Если а = с , то Ьа = Ьс = Ь/2 , и

I2 = а2 — Ь2/4 — ас — babc , если же а с , то I2 = ас — ЪаЬс , что и
требовалось доказать.

Обозначим теперь AD = X , ВС = у (см. рис. 8), тогда, опираясь на
свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника и доказанную лемму,
получаем систему уравнений для х и у.

ху = 21•8 ,
21$/— 8ж = 64 • 7 ,

откуда х =: 7 , у = 24 . Периметр треугольника АВ равен 60 .

Ответ: Р&АВ = 60 .
5.	В начальный момент лечения пациенту была произведена первая инъ-
екция 6 единиц некоторого лекарства^ а во время каждой последующей
инъекции ему вводится 4 единицы того же лекарства. За время между
инъекциями количество лекарства в организме уменьшается в 5 раз. Ка-
кое количество лекарства будет содержаться в организме пациента сразу
после 30-ой инъекции ?

Решение

Обозначим количество лекарства в организме пациента после n-ой инъ-
екции через Ли . Тогда математическая модель задачи примет вид:

Г А1 = В ,

Ап4-1 := Ч^п Ч" d , n = 1, 2, ... , 29 ,

где В — 6 , q = 1/5 , d = 4 .

Будем искать решение этой разностной задачи в виде An = ип 4-С ,
где С—некоторая постоянная, определяемая из условия С = qC 4- d , или
С = d/(l — q) = 5 . Для ип получаем задачу

Г Ui = В - С ,

^n4-i = qun > п = 1, 2, ... , 29 .

Поскольку {un} образуют геометрическую прогрессию, то

ип = (В - С) qn~l . Таким образом, Ап = (В — С) <?п-1 4-С или в нашем
конкретном случае Азо = 5 4- (1/5)29 .

Ответ: Азо = 5 4- (1/5)29 .

6.	Все высоты пирамиды ABCD , грани которой являются остроуголь-
ными треугольниками, равны между собой. Известно, что АВ = 9 ,
ВС = 13, a £ADC = 60° . Найти длину ребра BD .

Решение
Докажем следующее утверждение.

Лемма. Если все грани треугольной пирамиды равновелики, то они
равны между собой.

Доказательство

Обозначим ребра пирамиды ВС —а , AC —b, АВ ~с, SA =ai , SB =bi,
SC =Ci , высоты пирамиды, равные между собой, через Н , высоты боко-
вых граней, опущенные из вершины S на ребра а , Ь , С соответственно
через ha , hb , hc , а — из вершины С на ребро SA =ai через hai . Дву-
гранные углы при соответствующих ребрах будем обозначать буквой а с
соответствующим индексом, то есть аа , Cty , ас , aai ,	> <2С1 •

(см. рис. 9).

Для ребер а , b , с можно записать следующие равенства (см. рис. 9):

aha — bhb ,

ah(i —•	cos bhb cos аъ H- c/i^ cos a<*

или cos aa + COS &ъ + COS ac = 1 . Таким образом, сумма косинусов дву-
гранных углов при каждой грани треугольной пирамиды равна 1 , поэтому
можно записать следующую систему уравнений:

cos аа + cos аь + cos ас = 1 ,
cos аа + cos + cos аС1 = 1 ,
cos aai + cos + cos ас = 1 ,
cos aai + cos аъ + cos aC1 = 1 .

Складывая почленно первое и второе равенства и приравнивая их к сумме
третьего и четвертого, получим

2 cos аа + cos аъ + cos + cos ас + cos аС1 =

= 2 cos aai + cos аъ + cos аъг + cos ac + cos aC1 ,
откуда следует, что cos aai = cos aa и aai = aa. Из равенства двугран-
ных углов при скрещивающихся ребрах пирамиды следует, что
hai — Н/ sin aai = Н/ sin аа = ha, а значит из равенства aha = ayhai
вытекает, что а = d\ . Аналогично доказывается, что b = bi , с = Ci , и
все грани пирамиды равны между собой по третьему признаку равенства
треугольников.

Используя доказанную лемму и условия задачи, имеем (см. рис. 10)
CD = АВ = 9 , AD = ВС = 13 , BD — АС . По теореме косинусов для
△АРС получаем АС2 = 132 4- 92 - 13 • 9 = 133 .

Ответ: BD = \/133 .
3.1.6.	Вариант для самостоятельного решения 1994 г. (июль)

1.	Решить уравнение

4 cos Зх 4-1 = cos 6х .

2.	Решить неравенство

у/х~2 + |ж - 8|	6 .

3.	Найти все положительные значения z, при которых выполнено нера-
венство

-1 + . J.._ о .

1°£>2 (sinz) l°82 8inz $

4.	В треугольнике KLM длина стороны KL равна 24, длина биссек-
трисы LN равна 24 , а длина отрезка МN равна 9. Определить периметр
треугольника LMN .

5.	При первой операции очистки в водоем было введено 100 единиц очи-
щающего вещества (абсорбента), а при каждой следующей операции очист-
ки в водоем вводится 50 единиц абсорбента. В промежутке времени между
двумя последовательными операциями очистки количество абсорбента в
водоеме уменьшается в 3 раза. Какое количество абсорбента будет содер-
жаться в водоеме сразу после 50-ой операции очистки ?

6.	Все грани пирамиды PQRS являются остроугольными треугольни-
ками, а длины перпендикуляров, опущенных из вершин Р , Q , R , S на
противоположные грани, равны. Известно, что SP = 6 , Z.SRQ = 75° , а
Z.SPR = 45° . Найти длину ребра PQ .
3.1.7.	Вариант с решениями задач 1995 г. (апрель)

1.	В арифметической прогрессии с отличной от нуля разностью сумма
членов с нечетными номерами, не превосходящими 26, равна 169. Найти
номер того члена прогрессии, который равен 13.

Решение

Члены прогрессии, о которых идет речь в условии задачи, это ai, аз, •••, <*25*
Количество их равно 13 и они представляют собой арифметическую про-
грессию с разностью 2d, где d — разность исходной прогрессии. Поэтому

2ai 4“ 2d • 12

a 1 4- аз Ч- as 4-... 4- ajs = S13 —---° 13 = (ai 4- 12d) • 13 = 169 =>

z

=> 13 = ai 4- 12d = ai 4- (13 — l)d = ai3.

Следовательно, номер искомого члена прогрессии п = 13 .

Ответ: п = 13 .

2.	Решить уравнение

11о6зх(ж2 - бж 4- 8) - 1| = 1 - log3aj(®2 - 6ж + 8) .

Решение

( 0 < 3® ± 1 ,	( 0 < ® / 1/3 ,

( х2 — 6® 4- 8 > 0	| (® — 2)(® - 4) > О

О < х / 1/3 ,

’ ®<2;

х > 4 .

Положим у = log3a.(®2 — 6х 4- 8), тогда исходное уравнение прини-
мает вид |з/ —. 1| = 1 — у <=> у 1 . Следовательно, исходное уравнение
равносильно неравенству

logs*(®2 “ 6z + 8) 1 <=> log3a.(®2 - 6ж + 8) log3a! Зх .

Это неравенство решается следующим образом.

I)	0 < 3® < 1 <=> 0<®< 1/3 . В силу убывания логарифмической
функции с основанием большем нуля и меньшем единицы в этом случае
неравенство принимает вид

х2 — 6® 4- 8 3® <=> х2 - 9® 4- 8 0 <=> (® — 1)(® — 8) 0, откуда
х 1 ; х 8 . С учетом ОДЗ в этом случае 0 < ® < 1/3 — решения
неравенства.
II)	Зх > 1 О х > 1/3 . В силу возрастания логарифмической функции
с основанием большем единицы в этом случае неравенство принимает вид
х* 2 * - 6х 4- 8 Зх ж2 - 9® 4- 8	0 О (х - 1)(ж - 8) О, откуда

1 <С ж 8 . С учетом ОДЗ в этом случае 1^ж<2;4<ж^8 — решения
неравенства.

Объединяя решения случаев I) и II), получаем окончательный ответ.

Ответ: 0 < х < 1/3 ; 1 х < 2 ; 4 < ж 8 .

3.	Найти все корни уравнения

9<3smx + 2.3~eini = бл/з ,

13%	7Г

удовлетворяющие неравенствам —— < ж < — — .
6	о

Решение

Введем обозначение t = 381ПХ . В силу возрастания показательной
функции с основанием степени 3 > 1 и того, что — 1 sin ж 1 ,
получаем 1/3 t 3 . Исходное уравнение тогда принимает вид

2

9t + - = бл/3 <=> 9*2 - 6VHt + 2 = 0,'

^1,2 —

За/З±V27- 18 _ 3г/3±3 _ >/3±1

9	9	~	3

— решения этого уравнения.

Так как у/З < 2 , то ti =

не подходит.

поэтому это решение уравнения

1

3 ’

1

3

= <2 <

2 + 1
3

= 1 < 3 , следовательно, это решение

уже подходит. Уравнение

isinz

sin х = log3

= log3 (л/3 + 1)-1.

Решения последнего уравнения имеют следующий вид

ж = arcsin

(log3 (л/з + l) -1)

4-2%k ; ж = %—arcsin

(log3 (ч/з + l) - 1)+2тг*


Остается исследовать, при каких целых значениях к полученные ре-

шения принадлежат интервалу

13тг 7г\	_

-г-, -- I . Для этого
о о /

arcsin

(log3 + 1) - 1) V 0 <=> log3(\/3 + 1) - 1 V sin 0 = 0 ,

log3 (Л+1) - 1 < 1о&(2+ 1) - 1 = log33 - 1 = 0 ;

arcsin (log3 + 1) - 1) V <=> log3 (л/3 + 1) - 1 V sin	,

log3 (>/3 4-1) — 1 > log3 (л/з) - 1 = | - 1 =	.

Следовательно,

тг

— — < arcsin

<=>

<=>	—< arcsin (log3 + 1) - 1) - 2% < -2тг <	;

О < — arcsin (log3 ^л/з + 1) -04 «

13тг	.Л / Л7 Л Л 5тг 7Г

<=> —— < —-7Г < —7г — arcsin (Jog3 ^v3 4- 1J - 1J < —— < - — .

Таким образом, указанному интервалу (ввиду того, что его длина равна
2яг ) из обеих серий решений последнего уравнения принадлежат решения
только при к = — 1 . Отсюда получается окончательный ответ.

Ответ: arcsin (log3 (д/З 4-1) — 1) - 2тг ; -тг - arcsin (log3 (л/З 4-1) - 1) .

4.	Для каждого значения параметра а решить неравенство

4" 2о
х

Решение

ОДЗ: х / 0 . При любом значении а любое х < 0 является решением
этого неравенства, так как его левая часть при всех х и а неотрицательна.

Пусть х > 0 . Тогда исходное неравенство равносильно совокупности
неравенств

1/х 4- 2а > х ;

1/х 4- 2а < — х

1 4- 2ах > х2 ;

1 4- 2ах < -ж2

<=>

х2 — 2ах - 1 < 0 ;

х2 4- 2ах 4-1 < О
А) Решение неравенства х2 — 2ах — 1 < 0 .__

Корни уравнения х2 — 2ах — 1 = 0 — это х± = а — у/а2 4-1
и Х2 = а 4- у/а2 + 1 • Поэтому решениями неравенства будут следующие
значения х : а — у/а2 4-1 < х < а + у/а2 4-1 .

При а 0, очевидно, что а 4- у/а2 4-1 > 0 ; а2 < а2 4-1 <=>

<=> а < у/а2 + 1 <=> а — у/а2 4-1 < 0 . Поэтому решениями неравенства при
рассматриваемых значениях а с учетом х > 0 будут 0 < х < a4-Va$"+l.

При а < 0, очевидно, что а — у/а2 4-1 < 0 ; а2 4-1 > а2 = (—а)2 <=>
О Va2 + 1 > — а <=> а 4- у/а2 4-1 > 0 . Поэтому решениями неравенства
при рассматриваемых значениях а с учетом х > 0 также будут
0 < х < а 4- у/а2 4-1 .

Окончательно решениями неравенства х2 — 2ах — 1 < 0

будут 0 < х < а 4- у/а? 4-1 (Va 6 R) .

Б) Решение неравенства х2 4- 2ах + 1 < 0 .

Дискриминант квадратного трехчлена х2 4- 2аж 4-1 D = 4(а2 — 1) .
Если он 0 О — 1 а 1, то это неравенство не имеет решений.

Рассмотрим остальные значения а .

Корни уравнения х2 4- 2ах 4-1 = 0 — это xi = —a — у/а2 — 1
и х% = — а 4- у/а2 — 1 . Поэтому решениями неравенства будут tследующие
значения x : —а — у/а2 — 1 < х < —а 4- у/а2 — 1 .

При а > 1 а2 > а2 — 1 О а > у/а2 — 1 -а 4- у/а2 — 1 < 0. Поэтому
с учетом х > 0 и при этих значениях а неравенство не имеет решений.

При а < —1, очевидно, что -а 4- \/а2 - 1 > 0 ; а2 — 1 < а2 = (-а)2 <=>
О у/а2 — 1 < — а О —а - у/а2 ~ 1 > 0 . Поэтому решениями неравенства
при рассматриваемых значениях а с учетом х > 0 будут

—а - у/а2 — 1 < х < —а 4- у/а2 ~ 1 .

Окончательно решениями неравенства х2 4- 2ах 4-1 < 0
будут: при а < —1 — —a — у/а2 — 1 < х < — а 4- у/а2 — 1 ;
при а — 1 это неравенство не имеет решений.

Объединим полученные результаты. Для этого при а < — 1
a < —1 a	4- \/a2 4- 1 V -a — у/а2 — 1 .

a 4- у/a2 4-1 V —a — у/a2	— 1 <=> \/a2 4-1 4- у/a2 —	1 V —2a .

Так как при a < — 1 оба сравниваемых выражения положительны, то
у/а2	4- 1 4- у/а2 — 1 V —2a О	(\/а2 4-1 4- /а2 — I)2 V (-2а)2 = 4а2	<=>

О	а2 4- 1 4- 2у/а2 4- 1\/а2 —	1 4- а2 — 1 V 4а2 О 2\/а4	— 1 V 2а2	О

у/а4 —	1 V а2 О а4 — 1 V а4 .

Из очевидного неравенства a4 — 1 < а4 и вытекает, что
а 4- у/а2 + 1 < —а — у/а2 — 1 .
Теперь уже с полным основанием можно выписать окончательный от-
вет, в котором полученные интервалы решений исходного неравенства при
всех действительных значениях а являются непересекающимися, однако
перед этим дадим графическую иллюстрацию решения задачи.

Графическая иллюстрация решения задачи:

рис. 11 в)

рис. Ид)
На рис. 11а) — д) построены графики левой и правой частей реша-
емого неравенства в зависимости от значений параметра а . При этом
неравенству удовлетворяют те и только те значения х , которые являются
абсцисами точек графика функции у = \1/х 4- 2а| , лежащих строго выше
точек с теми же абсцисами графика функции у = х (биссектрисы первого
и третьего координатных углов).

Из построенных графиков видно, что во всех пяти случаях неравенству
удовлетворяют все значения х < 0 .

Если же х > 0 , то в случаях а — 1 (см. рис. 11 а), б), в) и д))
неравенству будут удовлетворять только значения х : 0 < х < xq , где
Xq является решением уравнения

- 4- 2а = х о х2 - 2ах -1 = 0 => х =	= а 4- \А2 4-1

х

(точка с абсцисой xq является точкой пересечения графиков функций

1 Л

У = - 4- 2а
х

Отметим, что при а = — 1 (см. рис. 11 в)) есть еще одна общая точка
с абсцисой xi = 1 у графиков функций у = |1/ж 4- 2а\ = —\/х — 2а
и у = х , однако все остальные точки графика функции у = 11/х 4- 2а|
располагаются строго ниже точек графика функции у = х , поэтому и в
этом случае кроме решений х < 0 и 0 < х < xq неравенство не имеет.

Но уже при а < -1 (см. рис. И г)) к значениям 0 < х < xq добавля-
ются еще решения xi < х < Х2 , где х\ и Х2 — соответственно меньший
и больший корни уравнения

— — — 2а = ж х2 4- 2ах 4-1 = 0 =>
х

(точки с абсцисами х± и X2 являются точками пересечения
графиков функций

1 н

= —F 2а	и у = х ).

х

У =

1	Л 1	о

- 4- 2а =----------2а

х	х



=> х =	= —а — у/а? — 1 , х = Х2 — —а 4- у/а2 — 1 .

Выпишем, наконец, окончательный ответ задачи.

ж < 0 ; 0 < х < а 4- л/а2 4-1 при а —1 ;
Ответ: ж < 0 ; 0 < ж < а 4- л/а2 4-1 ;

—а — Va2 — 1 < ж < —а 4- Va2 — 1 при а < -1 .
5. На отрезке АВ длины 2R как на диаметре построена окружность
с центром в точке О . Вторая окружность радиуса г касается первой
внутренним образом в точке В . В точке М второй окружности прове-
дена касательная, пересекающая первую окружность в точках N и К.
Известно, что эта касательная пересекает либо радиус АО , либо его про-
должение за точку А и MN : МК = р . Определить:

1)	при каких условиях на т , R и р возможна такая геометрическая
конфигурация;

2)	длину отрезка MN .

Решение

См. ниже рис. 12. Обозначим за О — центр окружности радиуса Я, а за
01 мы обозначим центр окружности радиуса г , которая касается первой
внутренним образом. Тогда R > г . За С обозначим точку пересечения
МК с прямой, содержащей АВ . Тогда МК пересекает радиус АО
или его продолжение за точку А тогда и только тогда, когда

001 = &R 4- R — г , СО = аЯ а 0 .

Q — основание перпендикуляра, опущенного из точки О на МК,
\МК\ = х. Тогда ^М| = рх, по свойству хорды, перпендикулярной
радиусу окружности,	'*

, ЮМ1 = |W - г =	.

&	L

Так как М — точка касания прямой МК с окружностью радиуса г,
ОгМ 1 МК.

Треугольники CM01 и CQO — прямоугольные с общим острым
углом OCQ , следовательно, они подобны.

Через точку О проведем отрезок OL || QM , где L 6 0±М . Следова-
тельно, OQML — прямоугольник, а потому

\МL\ = |0Q| = |OiM| - \ОгЬ\ .

В силу этих соотношений, теоремы Пифагора, примененной к прямо-
угольным AOQN и Д01W , пропорции	> вытекающей

из AOQC ~ Д01МС , имеют место следующие соотношения:
рис. 12

Положим, \OQ\/r = у , x/r = z , R/r = k (k > 1) . Если в правой части
первого из полученных соотношений разделить числитель и знаменатель
на г, во втором из этих соотношений обе части равенства разделить на
г2, а третье соотношение преобразовать следующим образом:

т2

(Я-г)2-^-(р-1)2 = (г-|О(?|)2	<+

-.2

^(p-l)2 = (/i-r)2-(r-|OQ|)2
о
и последнее равенство также почленно поделить на г46, то они примут
такой вид:

< &±^г* = к2-у2 ,	,	(2)

(PjLA2!z2 = (fc_l)2_(j/_l)2 = fc2_JZ2+2(!/_fc)	(3)

С учетом того, что z > 0 , р > 0 , у > 0 , |OQ| < R (так как Q , буду-
чи основанием перпендикуляра, проведенного из центра окружности на ее
хорду, лежит внутри этой окружности) можно почленно разделить третье
уравнение на второе. Проделав это, а также применяя формулу разности
квадратов двух чисел, получим:

(р-1)2	(k-y)(k + y-2) р2 + 1-2р=	2

(р + I)2 (к - у)(к + у)	р2 + 1 + 2р к + у

1_____=

(р+1)2	к + у

2р

(4)
Обозначим за f(a) левую часть последнего равенства. Выразим у из
равенства (1), тогда /(а) примет следующий вид:

г/ \	.	<*к	,	к - 1

/(°> = ‘ + aJ + t-1 = ‘ + 1 - (« + l)t-l '

Из последнего выражения для f(a) легко видеть, что функция /(а)
возрастает на множестве а О при к > 1 .

Отсюда с учетом неотрицательности а и к > 1 мы получим диапазон
возможных значений, которые может принимать функция /(а),

к

2р

Д < (р +1)2	л [ х

г 2р	г

Из правого неравенства вытекает

Я (р+ I)2	_ р2 + 2р + 1 - 2р _ р2 + 1

г 2р — 2р ~ 2р	'

Окончательно,
p2 + l	(р+1)2

2р г 44 2р

Полученные неравенства дают ответ на первый вопрос задачи.

Для ответа на второй вопрос этой задачи требуется найти величину
\MN\ = рх .

Вычтем почленно из уравнения (2) уравнение (3), подставляя выраже-
ние для у из уравнения (4). При этом мы получим:

pz2 = 2(к - у) = 4к -	.

Р

Далее подставим выражения для z и к , будем иметь:

рх2 = 4Дг _ в* 1) -г2 р2х2 = 4Rrp — (р 4- 1)2г2 .
Р

Отсюда	'____________

рх = y/4Rrp — (р+ 1)2г2 .

Ответ:	1) < 2р	. Я < (р+1)2 . г	2р
	2) |МЛГ| =	y/4Rrp - r2(p + I)2 .
6. В кубе ABC DA'В'С1 Df с параллельными гранями ABCD и
A'B’C'D' длина ребра равна 9. Через точки М, N и К, располо-
женные на ребрах ВС, CD и CCf соответственно, проведена плоскость.
Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник МСК, равен
1, площадь треугольника MNC равна 21/2 , разность длин отрезков
CN и СК равна 3 и объем пирамиды MNKC меньше 15. Найти радиус
сферы, касающейся плоскости треугольника MNK и трех граней куба с
общей точкой А'.

Решение

Положим, \СМ| = х, |Cr2V| = у, |СК| = z. Эти величины — длины
попарно перпендикулярных ребер пирамиды CKMN, имеющих общую
вершину этой пирамиды С , грани этой пирамиды СКМ, CKN, CMN
являются прямоугольными треугольниками. Применяя формулу, выража-
ющую радиус вписанной в треугольник окружности через его площадь и
периметр, формулу площади прямоугольного треугольника через его кате-
ты и заданную разность длин отрезков CN и СК, мы получим:

f	XZ

х 4- z 4- х/ж2 * 4- z2

ху/2 = 21/2 ,

' у - z = 3 .

= 1 ,

(1)

(2)

(3)

Найдем решения этой системы уравнений. Сначала в уравнении (1) вы-
разим х через z. При этом мы учтем, что по смыслу задачи

О < ж < 9, 0 < у < 9, 0<2<9. Уравнение (1) равносильно системе

Г xz - (ж 4- z) = \/ж2 4- Z2 , Г (xz)2 - 2xz(x 4- z) 4- (х 4- z)2 = х2 + z2
[ xz > x 4- z	\ xz>x + z
Г (xz)(xz + 2-2(x + z)) = 0 ,	Г xz + 2- 2(ж + г) = 0 ,

[ xz > х + z	[ xz > х 4- z

Г - 2) = 2(х - 1) ,	Ь = 2(х-1)/(х-2),

[ ж 4- з > 2	( z + z > 2.

Последний равносильный переход осуществлен за счет того, что х = 2 не
является корнем уравнения z(x — 2) = 2(х — 1) .

Далее из уравнений (2) и (3) получаем

21	2(ж — 1) п г 2 ЛЛ АП л

— = —------+ 3 О 5ж2 — 29ж + 42 = 0 .

х х — 2

Решая это уравнение снова с учетом (2) и (3), будем иметь следующие
два решения системы уравнений (1)—(3):

$1 = 3 , уг = 7 , zi = 4 ; Х2 = 2,8 , у2 = 7,5 , Z2 = 4,5 .

Отметим, что оба этих решения удовлетворяют условию х 4- z > 2 .

Объем пирамиды CKMN равен xyz/b . По условию он меньше 15.
Этому условию удовлетворяет только первое решение. Следовательно,
х = 3, у = 7, z = 4.

Обозначим за М1, N', К' — точки пересечения плоскости &KMN с
продолжениями ребер A'D', А*В', А'А соответственно (см. рис. 13 б)). Су-
ществование этих точек следует из того, что, как нетрудно видеть, плос-
кость AKMN не йараллельна ни одному из этих ребер.

Сфера, о которой говорится в условии задачи, является вписанной в тре-
угольную пирамиду A'K'M'N'. Напоминаем, что в любую треугольную
пирамиду можно вписать единственную сферу, поэтому сфера, о которой
говорится в условии задачи, существует.

Опишем схему построения точек К', М', N', а вместе с этим и пира-
миды A'/T'ATAT'.

Прямая МN пересечет продолжение ребра AD и продолжение ребра
АВ соответственно в точках М" и АГ" (так как она не параллельна
этим ребрам). В частности, отсюда вытекает, что точка М" лежит в
плоскости KMN.

Прямая KN пересечет продолжение ребра D' D в точке К" (так
как она не параллельна этому ребру). В частности, отсюда вытекает, что
точка К" тоже лежит в плоскости KMN. Точки К" и М" лежат
также и в плоскости грани A'ADD'.

Проведем прямую через точки К" и Af", которая ввиду D'D || А'А и
A'D' || AD пересечет продолжение ребра А'А в точке К' и продолжение
ребра A'D' в точке МПроведем далее прямую через точки К' и АГ",
которая ввиду АВ || А'В' пересечет продолжение ребра А'В' в точке
N'. Наконец, соединим прямой точки М' и N'.
Вычислим длины отрезков A9Kf, А9М9, A9N9.	|

Рассмотрим треугольники MNC и M"ND. У них Z.CNM = Z.M"ND I
как вертикальные, CM || DM", следовательно, kNMC kM"ND,

\DM"\ \DN\ 9 -у 2	._-.ZZ| о 2	6

<,ткуда ТсйГ = ic^i = — = 7 ^10^1 = 3.- = -.

Рассмотрим треугольники KNC и K"ND. У них A.CNK = ЛК"ND
как вертикальные, СК || DK", следовательно, kKNC kK"NDy

\DK"\ |ZW| 2	1O_Z1 л 2	8

откуда |СК । - |СЛГ| - 7 => 1-0# | - 4 • 7 - 7 .

Рассмотрим треугольники M"DK" и М"АК9. У них
DK" || АК9, ЛАМ"К9 — общий, следовательно, kM"DK" кМ"АК9,

|АК'| |AAf"| /	6\ 6	23	..г„. 23 8

откуда |рк„( - )рм„( -^9+7j:7-2 => | ЛЛ7 | — 2 • ?

=> |А'К'| = 9+^ = ^.

Аналогично рассмотрим треугольники M"DK" и М9D9К".
DM" || D9M\ ЛО9К"М9 — общий, следовательно, kM"DK" ~ <
|D'M'|	\D9K"\ Л 8\ 8	71 ,„Z]urZ1 6 71

откуда	-^9+7J:7-8 => |	। “ 7 ’ 8

92
7

. У них
△Jlf'D'K",
213

~ 28 =>

п 213	465

=> |А'М'| = 9+ — = — .

У треугольников MBN" и MCN BN" || CN, AN" MB = AC MN
как вертикальные. Следовательно, kN" MB ~ kCMN, откуда

™ = |S| = ПГ = 2 1в^'1 = 2'1™1 = 2,7 = 14 - 1^"1 = 23 •

Наконец, рассмотрим треугольники N"AK9 и N9A9K9. У них

AN" || A'N9, ЛА9К9№ — общий, следовательно/ kN" АК9 ~ kN9 А9 К9,
\A9N9\	\А'К'\	155 92	155 iAfKTfl 155	155

Ы=Ы=~;т=-й * 1ллг1=й-23=--

__	। tirrti 155	।	465	. л»_* 155

Таким образом, |А К | =	; |А М | = —- ; |А N | = —- .

। 	Zo	*

Пусть К9К999 — высота кК9М9№, проведенная из вершины К9,
тогда в силу теоремы о трех перпендикулярах А9К9" будет высотой
kA'M'N'. По теореме Пифагора |К'К'" | = у/\А'К'\2 + |Л'К"'Р .

Выведем следующую формулу:
SbK'M‘N’ = | • VIA'N'^A'K']2 + |A'M'|2|A'K'|2 + |AW'|2|A'M'|2 . (*)
M

S^K'M'N' =	i VIA'JV'I2 + IA'M'l2-i/lA'K'l2 + |A'tf"'|2

(| A'1V'|2 + \A'M '|2)(|A'K'|2 +1 A'K"'\2) = |Л'ЛГ'|2 • | A'K'\2 +1 A' M'|2 • | A!K'\2+
+(|A'TV" |2 + |A'M'|2) • \A!K"'\2 ,

применив теорему Пифагора для ДА'МfNf и с учетом обоих выражений
для удвоенной площади этого треугольника, мы получим

(|Л'ЛГТ 4- |А'М'|2) • |Л'К"'|2 = IM'AT'I2 • |A'tf'"|2 = |Л'ЛГ'|2 • |Л'М'|2 .

Отсюда и вытекает формула (*) .

Пусть V — объем пирамиды А'К'M'N', S — площадь ее полной
поверхности, R — радиус вписанной в нее сферы.

V = I • \А'К'I • IА'М'I • |А'ЛГ'| =
6

(155)3 • 3 _ 1553
(28)2 • 6 “ 2 • (28)2 ’

S = S^A'K'M' + S&A'K'N' + S^A'N'M' + S^N'K'M' =

=	• IA'M'I + |A'/C'| • |A'^| + |А'Я'| • |A'Jtf'|)+

+5y'lA'Jir'l2 • |A'Af'|2 + |A'tf'|2 • |Л'ЛГ'|2 + |A'AT'|2 • |A'M'|2 =
A

_ 1 / 1552 • 3 1552 1552 • 3 \ 1 /1554 • 9 1554 1554 • 9 _
“ 2 ’ \ 49-4 + 28 + 16 • 7 ) + 2 ’ V 492 • 16 + 282 + 162 • 49 "

-1552 fill /ZE jZ ZlZ -

“ 2 • 7 V 28 + 4 + 16 + V 282 + 16 + 162 /

_ 1552 / 3	7 Г9 25” \ _ 1552 • (61 + -\/1369) _

“ 2 • 7 ' \ 28 + 16 + V 282 + 162 ) ~	2 • 7 • 7 • 16

1552 • 98 _ 1552 _	1552

~ 2 • 7 • 7 • 16 ~ 16	‘ 282 ’

По формуле, связывающей радиус вписанной в многогранник, в частности,
в пирамиду сферы, площадь его полной поверхности и его объем, получаем
окончательный ответ

_ ЗУ _ 3 • 1553	282	_ 465

S ~ 2 • 282 ' 49 • 1552 ” 98 '

Л 465
Ответ: —- .

98
3.1.8. Вариант для самостоятельного решения 1995 г. (апрель)

1.	В арифметической прогрессии с отличной от нуля разностью сумма
членов с четвертого по четырнадцатый включительно равна 77. Найти
номер того члена прогрессии, который равен 7.

2.	Решить уравнение

I1 - bg2l(2!2 - 5ж + 6)1 = 1 - log2l(®2 - 5ж + 6) .

3.	Найти все корни уравнения 2СО81 + 5 • 2-со81 = 2\/б,

7Г	7тг

удовлетворяющие неравенствам — < х < — .
и	О

4.	Для каждого значения параметра а решить неравенство

|ж + 2а|	.

х

5.	Две окружности радиусов г и R с центрами в точках О\ и
О внешне касаются в точке К. В точке А окружности радиуса R
проведена касательная, пересекающая окружность радиуса г в точках В
и С. Известно, что отрезок АС пересекает отрезок OiK, и ВС : АВ = р.
Определить:

1.	при каких условиях на г, R и р возможна такая геометрическая
конфигурация;

2.	длину отрезка ВС.

6. В кубе ABCDA'B'C'D' с параллельными гранями ABCD и
Л'В'С'Р' длина ребра равна 5. Через точки М, N и К, располо-
женные на ребрах ВС, CD и СС' соответственно, проведена плоскость.
Известно, что длина биссектрисы угла С в треугольнике NCK равна
2\/2/3, величина угла NMC равна arcsm(\/5/5), площадь треугольни-
ка МСК равна 2 и объем пирамиды MNKC меньше 1. Найти радиус
сферы, касающейся плоскости треугольника MNK и трех граней куба с
общей точкой Л'.
3.1,9. Вариант с решениями задач 1995 г. (июль)

1. Найти все целые числа пит, для которых
2пт 4- п = 14 и пт 9 .

Решение

2пт 4- п = 14 п(2т 4- 1) = 2 • 7 . Так как требуется найти целые
значения п и т, то это возможно только в следующих четырех случаях:
{п = 14 ,	Л Л Г п = —14 ,	Л

пт = 0 < 9 ; б) <	’ => пт = 14 > 9 ;

т = О	( т = -1

в) < П —V => пт = 6 < 9 ; г) | П “	’	Пт = 8 < 9 .

7 [ т = 3	( т = -4

Очевидно, что условию задачи пт 9 удовлетворяет лишь случай б),
отсюда получаем ответ.

Ответ: п = —14 ; тп = —1 .

2.	Решить систему уравнений
( х 4- Зху 4- у = 3 4- Юл/2 ,
( х2 4- у2 = 11 .

Решение

Введем обозначения х+у = u , xy — v. Так как e24-j/2 = (я4-J/)2 — 2ху,
то система уравнений может быть записана в виде:

u4-3v = 3 4- Юх/2 ,
u2-2v = 11 .

Выражая v из второго уравнения и подставляя его в первое уравнение,
после преобразований мы получим следующее квадратное уравнение отно-
сительно и :	Зи2 + 2и - 39 - 20Л = 0 .

Решения этого уравнения имеют вид:

-1 ± х/118 + 60>/2	-1 ± ^(372+ Ю)2 _ -1 ± (ЗЛ + 10)

3	“	3	“	3

Таким образом, решение исходной системы уравнений сводится к рассмот-
рению следующих двух случаев:

u = -V2-U/3,
V = 11-Л/З + 20/9

х.+ у = -V2 - 11/3 ,
ху = llx/5/З + 20/9
. f « = Л + з ,	.	( х + у = у/2 + 3 ,

' 1 v = 3>/2	X xy=3y/2 .

Полученные системы уравнений относительно неизвестных х и у можно
решать, например, выражением одного неизвестного через другое из пер-
вых уравнений и его подстановки во вторые уравнения, в результате чего
получаются квадратные уравнения относительно второго неизвестного; а
можно — на основе теоремы Виета утверждать, что каждая из этих систем
уравнений имеет решения следующего вида: х = xi = zi ; у = у± = Z2
и х = Х2 = Z2 ; у = У2 =	, где z± и Z2 — решения квадратного

уравнения

Z2 +

11 f- 20 Л
г + Т'/5+Т = 0

в случае а)

z2 -(V2 + 3)z + 3y/2 = 0 в случае б) .

Дискриминант квадратного трехчлена в случае а), как нетрудно прове-
рить, отрицателен, поэтому система уравнений в этом случае не имеет
действительных решений.

В случае б) решения квадратного уравнения имеют вид:

z = zi = 3; z = Z2 = л/2 . Отсюда получаем окончательный ответ.

Ответ: х = 3 , у = л/2 ; х = у/2 , у = 3 .

3.	В треугольнике АВС медианы АМ и CL перпендикулярны,
ВС = а, АС = Ь. Найти площадь треугольника АВМ.

Решение

Положим |СК| = х , |AKJ = у. Тогда по свойству медиан треуголь-
ника

|К1|=| ; \КМ\=^.

Из прямоугольных треугольников и С КМ в силу теоремы Пифагора
мы получаем следующую систему уравнений

/ х2 4- у2 = Ь2 ,

I х2 + (у/2)2 = (а/2)2 
(Здесь использованы данные задачи |АС| = b и так как АМ — медиана,
то \СМ\=\МВ\ = а/2).

Решая эту систему уравнений, мы получим

»’= 5 (‘2 -	;=

О \	* /

а2-Ь2

3

/а2 — Ь2
Х = у—Г~-’У =

4b2 - а2
3

Так как медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника
(см. рис. 15), то

„	1	0	.	1	«	.	,	V	„

Здавм = % ' $ ' т° '8Ш? = 2 ' 2 ' т“ '8Ш 7Г Здлсм ,
поэтому получаем
1	13	3

Saabm = Saacm = -|ЛЛГЦОАГ| = - • -|AA7||<7JC| = -ху =
L и	х

= |У(462 - а2) (а2 - Ь2) .

Ответ: «У(462 — а2)(а2 — 52)/4 .

4.	Решить неравенство

logcoex C°S2 Х l°gcosx-l (С°82 Ж - COS Ж - Ж2 - 14® -
ovuo х	иииз «с 2 \	4'

Решение

Исходное неравенство можно переписать в виде

l°gcoex COS2 ® > logCO8__i

- X2 - 14® - 13

Из ограничений на основания логарифмов получаем 0,5 < cos® < 1.
Для таких значений х

/ 2

iogcosx c°s2 Ж = 2 = logcosx_i (cos X - - 1

Поэтому так как 0 < cos х — 0,5<0,5<1,тов силу убывания логариф-
мической функции с основанием больше нуля и меньше единицы исходное
неравенство будет эквивалентно следующей системе неравенств

Г 0,5 < cos® < 1 ,	( —тг/3 + 2тгЛ < х < 7г/3 4- 2?rfc , ® / 2тг& ,

V ®2 +14® +13 о	\ -13 ® -1 vfc е z.
С учетом того, что

137Г
3

< —13 < —47г

7Г

3

и

первое и второе неравенства последней системы будут иметь непустое пере-
сечение решений только при А: = — 2 , к = — 1 , к = 0 , откуда и получается
окончательный ответ.

Ответ:

1Q /	117Г -Z л 77Г	/

-13	х <-----—	, х / -47Г	; ——	<	X

х ф — 2тг ; —< х — 1 .

5.	Строительной организации необходимо построить некоторое коли-
чество одинаковых домов общей площадью 2500 квадратных метров. Сто-
имость одного дома площадью а квадратных метров складывается из
з

стоимости материалов picfi тысяч руб., стоимости строительных работ
Р2<х тысяч руб. и стоимости отделочных работ	тысяч руб. Числа

Pi, Рз, Рз являются последовательными членами геометрической прогрес-
сии, их сумма равна 21, а их произведение равно 64. Если построить 63
дома, то затраты на материалы будут меньше, чем на строительные и от-
делочные работы. Сколько следует построить домов, чтобы общие затраты
были минимальными ?

Решение

Пусть q — знаменатель геометрической прогрессии, о которой гово-
рится в условии задачи, тогда р2 = Piq , рз = P1Q2- В силу условий задачи
мы имеем систему уравнений:

( pi + pig + pig2 = 21,
I Pi • Pig • Р192 = 64

Г Pi-(l + g + g2) = 21 ,
I (Pi • 9)3 = 64 .

Из второго уравнения этой системы сразу получаем, что piq = 4 . Отсю-
да pi = 4/g , pig2 = 4g . Подставляя эти равенства в первое уравнение
системы, мы получим следующее уравнение для определения знаменателя
Q

4/q 4- 4g = 17	4g2 - 17g 4-4 = 0 => g = g! = 4,g = g2 = 1/4 .

Отсюда соответственно в случаях

g = 4 a) pi = 1 , р2 = 4 , рз = 16 ; g = 1/4 б) pi = 16 , р2 = 4 , р3 = 1 .
з	1

Стоимость одного дома равна pia^ 4- Р2а +	• Если построено п

домов, то а = 2500/п => а 2 = 50/а потому стоимости одного
дома и соответственно п домов равны (в тыс. руб.)
5(r Olr ,	50	.	_л2 / ЬО	y/n

P1T"^+P2'—+ P3--^ ; S(n) = 50 • IP1 • -y=+P2+P3- VTT-

Пу/П	П	y/n	\ y/n	5U

Если построено 63 дома, то затраты на материалы (в тыс. руб.) равны
502  pi • 50/^/бЗ , а на строительные и отделочные работы —
502-(р2+Рз-\/63/50) .

Для случаев а) и б) сравним затраты на материалы с затратами на
строительные и отделочные работы (по условию задачи первые из них
меньше), то есть соответственно сравним числа:

50	л 16л/63	16-50 л УбЗ

-г= V 4 +  Л - и - yu»- V 4 +	• -

УбЗ 50	л/бЗ 50

42= V4+«2500 V200V63+16-63 <=> 1492V200\/63<=> 37375О\/63«
л/63	50

,	50	16>/бЗ

« 3732V2500-63 « 139129V157500 139129 < 157500 « -= < 4+-^— .

V63	50

16-50
л/63

16-50	16-50

УбЗ > V64

= 100 > 5 = 4 + 1 > 4 4-	-

«

16-50
л/63

/63
50 ’

Следовательно, условию задачи удовлетворяет только случай а)
Pi = 1 , pi = 4 , рз = 16, поэтому

ад = №.(” + 4 + ^.

Рассмотрим функцию действительного переменного

16-\Д . . / 50	4д/ж\	/	1\	/-

—= 41 —== 4- —— )	= 4 • 11 +	- )	, где	t = 0,08\/®	.

50	\4у®	50 /	\	i /

Хорошо известно, что функция g(t) = t 4- - на промежутке (0,4-оо)
принимает наименьшее значение, равное 2 при t = 1 (так как при любом
положительном значении t t 4- -	2, причем равенство достигается

только при t = 1 ).

Не используя производную (хотя поступающие имеют право ее при-
менять), докажем, что функция g(t) убывает на полуотрезке (0,1] и
возрастает на промежутке [1,4-оо).
Фиксируем произвольное t > 1 и зададим произвольное приращение
аргумента t At > 0. g(t 4- At) — g(t) = At • (1 — l/(t • (t 4- At))) > 0 .
Следовательно, g(t 4- At) > g(t) > g(l) .

Фиксируем теперь произвольное 0 < t < 1 и зададим произвольное
приращение аргумента At > 0 такое, что 14- At < 1, g(t 4- At) — g(t) =
= At • (1 — l/(t(t 4- At))) < 0 . Следовательно, g(t) > g(t 4- At) > p(l) .

Отсюда и вытекают указанные убывание и возрастание.

Следовательно, функция f(x) возрастает на промежутке
у/х 1/0,08 = 12,5 <=> х 156,25 и убывает на промежутке
0 < у/х 1/0,08 =12,5 <=> 0 < х 156,25 . А потому S(n) достигает
минимального значения либо при п = 156 , либо при п = 157 .

Напомним, что S(n) — общие затраты при строительстве п домов.
Для получения окончательного ответа остается сравнить следующие чис-
ла:

50	16х/156	50	16л/157

—— -j----------v    ч---------

л/156	50	л/157	50

х/156 >/157	50 v	’

& 2500 V 16 • V156 • 157	6252 V 16-156-157	390625 V 391872

390625 < 391872 => 5(156) < 5(157) .

Отсюда получаем окончательный ответ: п = 156 .

Ответ: 156 домов .

6.	В кубе ABCDAiBiCiDi с параллельными гранями ABCD и
AiBiCiPi длина ребра равна 1. Точки К и N являются серединами
ребер DC и ВС соответственно. Точка М лежит на ребре СС±
и МС = 3/4 . Найти максимальное значение радиусов сфер, проходящих
через точки ЛГ, N, К и касающихся плоскости BB^D^D .

Решение

1 способ, геометрический
Прежде всего отметим, что в решении этой задачи помимо ссылок на
множество различных теорем курса геометрии из Программы вступитель-
ных экзаменов и хорошо известные и достаточно элементарно доказывае-
мые свойства куба мы будем ссылаться на следующие два утверждения.

Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если плоскость содер-
жит (проходит через) перпендикулярную другой плоскости прямую, то эти
две плоскости перпендикулярны.

Свойство перпендикулярности двух плоскостей. Если две плоскости
перпендикулярны и перпендикулярная одной из них прямая имеет общую
с другой плоскостью точку, то эта прямая целиком лежит в этой другой
плоскости.

Доказательство этих утверждений можно найти, например, в учебнике
А.П. Киселева.

См. рис. 16 , из свойств куба (перпендикулярности ребра куба CCi
плоскости грани ABCD ) и равенства |СК| = |Cr7V| вытекает, что
|ЛГК| =	Пусть Mi — точка пересечения KN и АС, так

как в силу свойств куба АС — биссектриса угла BCD и AKCN
— равнобедренный, то KN ± АС. В силу теоремы о трех перпенди-
кулярах MMi A. KN. Так как NK — средняя линия ABCD (по
условию), то NK || BD, но в силу свойств куба BD ± АА1С1С, поэ-
тому и NK ± АА1С1С, следовательно, по признаку перпендикулярности
плоскостей плоскость KMN ± плоскости AAiCiC.

В то же время в силу свойств куба плоскость BB1D1D ± плоскости
AAiCiC..

Пусть 01 — центр грани A1B1C1D1, О — центр грани ABCD,
W — точка пересечения плоскостей KMN, AAiCiC, BB1D1D.

Точка W является точкой пересечения прямых 001 и МMi —
линий пересечения плоскостей AAiCiC , BB1D1D и AAiCiC , KMN
соответственно. В силу свойств куба 001 || CCi, поэтому так как оче-
видно, что ММ\ пересекает CCi, в точке М, то MMi пересекает
001, тем самым существование точки W установлено.

Линией пересечения сферы, о которой говорится в условии задачи, и
плоскости KMN является окружность, описанная около AKMN. В силу
равнобедренности этого треугольника центр этой окружности (точка Of )
лежит на прямой MMi. Пусть ML — диаметр этой окружности, тогда
точка L — также лежит на прямой МMi и принадлежит сфере.

Центр сферы, о которой говорится в условии задачи, точка О", лежит
на перпендикуляре к плоскости К ML, проходящем через точку О', в силу
свойства перпендикулярных плоскостей этот перпендикуляр, в частности,
точка О'А будет принадлежать плоскости AAiCiC.
Так как эта сфера по условию касается плоскости BBiDiD, то точка
касания Q — основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на
плоскость BBiDiD, с одной стороны принадлежит плоскости BBiDiD,
с другой стороны (в силу свойства перпендикулярных плоскостей) этот
перпендикуляр целиком лежит в плоскости AAiCiC, поэтому и точка Q
принадлежит плоскости AAiCiC. Следовательно, будучи принадлежащей
плоскости BBiDiD и плоскости AAiCiC, точка Q будет принадлежать
линии пересечения этих плоскостей, то есть — прямой OOi.

Так как точки Z, ЛГ, Q принадлежат сфере с центром в точке О" и
в то же время лежат в плоскости AAiCiCr в которой лежит центр этой
сферы, то эти три точки лежат на так называемой окружности большого
круга этой сферы, то есть центр этой окружности является центром сферы.
Следовательно, радиус искомой сферы R является радиусом окружности,
описанной около ALMQ .

См. рис. 17. Пусть iVyil = a, {WM| = 6, MWQ = а, где согласно
расположению точек L и М а < Ь, \LM\ = Ъ — а. Тогда так как WQ —
касательная к окружности большого круга по теореме о квадрате длины
касательной

|WQ| = y/IWLl • iWMf = Vab .

По теореме косинусов для AWLQ и соответственно для LWMQ мы
получаем

|bQ|2 = a2 4- ab ± 2a\Za6 cos a , |AfQ|2 = b2 4- ab ± 2by/abcosa ,

знак ” 4- ” берется, если Q лежит на луче WOi , знак ” — ” берется,
если Q лежит на дополнительном луче по отношению к лучу WOi .

По теореме косинусов для AMQL

-Г77Т7 а2 4- ab ± 2aVabcosa 4- b2 4- ab ± 2by/abcosa — (Ь — а)2

COS MQL = ..........    г-гт-	-   =- =

2ya2 4- ab± 2ay/abcosa • y/b2 4- ab ± 2bVab cos a

_	y/ab(2>/ab ±(a + b) cos a)	__

\fa(a 4- i>) ± 2aVabcosa • yjb(a 4- i>) ± 2by/ab cos a

_	y/ab(2y/ab ±(a + b) cos a)	__

yjab(a 4- b)2 ± 4ab(a 4- b)Vab cos a 4- 4ab(y/ab)2 cos2 a
_	2 y/ab ± (a 4- b) cos a	_ .

у (a 4- b)2 ± 4(a 4- 6)\/afrcosa 4- 4(л/оЬ)2 cos2 a
_ 2\/аЬ± (a + b) cos a _ 2y/ab ± (a 4- b) cos a
^(a + b± 2\/ab cos a)2	a + b± 2y/abcos a

Последнее равенство вытекает, в частности, по той причине, что

| ± 2\/abcosa| <С 2y/ay/b < а 4- b <=> 0 < (\/а - л/б)2,

так как а < 6, поэтому а 4- b ± 2\/afrcosa > 0 .

Ввиду того, что Z.MQL — это угол в треугольнике, его синус поло-
жителен, а потому он вычисляется по формуле

sin MQL = 4-V 1 - cos2 MQL - \ll-

(2y/ab ± (a 4- b) cos a)2
(a 4- b ± 2Vabcosa)2

__	[(a 4- b)2 — 4afr](l — cos2a) _ 7 (a-b)2sin2a _

у (a 4- b± 2y/abcosa)2 у (a 4- b ± 2Vabcosa)2

(6- a) sin a .
a 4- b ± 2ya6cosa

Последнее равенство записано именно в таком виде с учетом sin a > 0 (так
как 0 < a < тг) и Ъ> а. Выше за R был обозначен радиус окружности,
описанной около ALMQ, он же — радиус искомой сферы. По теореме
синусов для ALMQ>

Ь —a	_ а 4- b ± 2y/ab cos a

~2sinMQL~ 2sina

Пусть |МС| = к (0 < к < 1) . Bbfnie отмечалось, что NK — сред-
няя линия ДВСВ, поэтому в силу ее свойств &KCN ~ &BCD, с
коэффициентом подобия 1/2 , а потому так как по условию длина ребра
куба равна 1 |C*Afi| = |СО|/2 = л/2/4 = |OMi|. В силу свойств ку-
ба ДСМ Mi прямоугольный, применяя к нему теорему Пифагора, имеем
|ММ1| = V|CM|2 + ICMil2 = у/к2 + 1/8 .

Так как CCi || WOi, то в силу равенства внутренних накрест лежащих
углов при этих прямых и секущей МMi MiMC = OiWM = a . Положим
QWM = /3 ,. тогда либо /3 = a , либо /3 = % - а . Из прямоугольного
ДМСМ1 получаем

\CMi\ V2	1

SIH Ot	 II .  	—  ' и'

|AfMi| 4</fc2 + 1/8 V8k2 + 1
Так как Z.WM1O = Z.MM1C (как вертикальные) и |СМ1| = |OMi|, то
прямоугольные ACM Mi и AOWMi равны по катету и острому углу,
а потому | WMi | = |MiM | , откуда

b = \WM\ = 2|MMi| =	• х/8*2 4- 1 .

Далее	/-----—

а ।	1 Г-------2—	। /8^2	। 2д/2Аг

cosp = ±cosa = ±v 1 -sin46 а = ±\ —5—7 = z л = ,
V~8fc24-1 y/ik2 4-1

где знак ” + ” берется, если Q лежит на луче WOi , при этом (3 = а ,
знак ” — ” берется, если Q лежит на дополнительном ему луче, при этом
/3 = 7г — а .

Обозначим за т радиус окружности, описанной около MMN. По
формуле^ выражающей этот радиус через стороны треугольника и его пло-
щадь, с учетом, что AKMN — равнобедренный, KN — его основание
и МMi — проведенная к нему высота, применяя еще и теорему Пифагора
к прямоугольному АС КМ, будем иметь

_ \MK\-\MN\-\KN\	_	\MK\2-\KN\ _	|МК|2 _	\СМ |2 4- \СК\2	_

Г~ 4S^kmn	~	~	~ 2|MMi|

_ А:2 4-1/4 _ >/2(4&2 4-1)

“ 2</А:2 + 1/8 ” 4>/8fe2 4- 1

Следовательно,

1ТТГГ1 iTZTlAi Л	" j' л Т 4k2 4-1 ч 2\/2k2

а = WT = \WM\ -2r = -r-(v8fc2 4-1---7=) = -7==.

’	1 1	1 2VV	y/w + l x/8F+T

В силу полученных выше выражений для R, b, sin а, сова и а мы
получаем

_	2у/2к2 : х/8*2 4- 1 4- (л/2/2) • V8F + 1 ± 2\/2к2 • 2y/2k : V8fc2 + 1

Л = -------------------------7===------------------------- =

2 : V8fc2 + 1

= у/2к2 4- 2^2k2 +	± 4к2 = (Зл/2 ± 4)к2 4-	.

Максимальное значение радиуса искомой сферы достигается в случае знака
” 4- ” перед 4 в последнем выражении. С учетом того, что по условию
k = 3/4 , мы и получаем следующий окончательный ответ

г, „ л; ^,2	>/2	9	31х/2 4-36

Я=(ЗЛ+4)^ + т= — + т + ; = —— .

_	36 4-31л

Ответ: ----—---
2 способ, с использованием метода координат *

рис. 18

Выберем систему координат в пространстве Oxyz так, что начало
координат О совпадает с точкой пересечения диагоналей грани куба
ABCD , положительные направления осей Ох , Оу и Oz совпадают
с направлениями OD , ОС и ООг соответственно,х Oi — точка
пересечения диагоналей грани	. Так как длина ребра рассмат-

риваемого куба равна 1 , то в силу условий задачи и свойств куба легко
установить, что точки К , N и М имеют координаты (см. рис. 18)

Пусть Afi (о?о ; 0 ; zq) — точка касания искомой сферы и плоскости
BBiDiD (Oxz) , следовательно, она в этой плоскости лежит, а потому ее
вторая координата равна 0 . Обозначим Mq центр искомой сферы. По
свойству касательной плоскости MqMi ± Oxz , а потому точка Mq имеет
координаты Mq(xq ; уо ; zq) , причем |j/o| = p(Mq ; Afi) = R , где R —
радиус искомой сферы.

Подставим координаты точек К , М ,Nв уравнение сферы радиуса
R с центром в точке Mq(xq ; уо ; zq) :

(х - ®о)2 + (у - Уо)2 + (г - го)2 = R2

(это уравнение непосредственно вытекает из определения сферы и форму-
лы расстояния между точками в координатном пространстве), получим
следующую систему уравнений:

* Этот способ решения предложила Т.А. Леонтьева.
2

2

+ (-^-2/oj +^o = fl1 2 *, (1)

(r- \ 2	/ 7-	\ 2

y2 \	/ v2 \ о y»2	/n\

~4~ + Xoj + I 1—y° ) + го = Я ,	(2)

//2	\2 /3	\ 2

®o + I -тг ~ Уо I + I 7 - *o ) = R2 ,	(3)

. y20 = R2.	(4)

Вычтем из уравнения (1) уравнение (2), получим

= 0 => хо = 0	ЛГ1(0 ; 0 ; го) , то есть

точка Мх лежит на оси Oz (прямой ООх ). При этом система уравнений

(1) и (3) принимает вид:

Вычитая из уравнения (1') уравнение (3'), получим

1	у/2 (3 г- \	3 (	3\	13	л/2

Т ' \4^-2уо) + 4' \2z°~ У = 0 * Zo=24~~3"y°-

Подставляя последнее соотношение в (3')> учитывая (4) и проводя все
алгебраические и арифметические преобразования, получим следующее квад-
ратное уравнение относительно неизвестного уо :

128i/g - 31 • 16-Луо + 313 = 0 ,
которое имеет два различных положительных корня

31 • 8л/2 ±л/314-64-2-313-128

У0 “	128

31 • 8^/2 ± 8 • >/1922 - 626	31 • >/2 ± 36

128	“	16

Теперь с учетом (4) и положительности этих корней получаем

Rmax —

31-

/2 + 36
3.1.10. Вариант для самостоятельного решения 1995 г. (июль)

1.	Найти все целые числа пит, для которых

Зп2 4- 2пт =11 и п 4- 2т > 10 .

2.	Решить систему уравнений

5х 4- ху 4- 5у = 10 4- 7д/3 ,
х2 4- у2 = 7 .

3.	Медианы ВК и CL треугольника АВС пересекаются в точке М »
под прямым углом, АС = 6, АВ = с. Найти площадь четырехугольникам
AKML.

4.	Решить неравенство

bg2gini_1(43 - 4 sin х + 4 sin2 х - х2 + х)	•

log3(2v2)

5.	Транспортное агенство осуществляет грузовые перевозки. Стоимость
одного рейса при загрузке машины а тоннами груза складывается из экс-
плуатационных расходов р2а2 тысяч руб., оплаты труда водителя рз
тысяч руб. и прочих расходов р\а тысяч руб. Числа р2, рз являют-
ся соответственно первым, третьим и шестнадцатым членами некоторой;
арифметической прогрессии. Их сумма равна 340, а разность прогрессии
d является корнем уравнения d2 — 37d 4- 340 = 0. Агенство должно из-
расходовать 10000 тысяч руб. Если выполнено 12 одинаковых рейсов, то
суммарная масса перевезенного груза больше 40 тонн. Сколько следует
выполнить рейсов, чтобы масса перевезенного груза была максимальной ?

б.	В кубе ABCDA1B1C1D1 с параллельными гранями ABCD и
AiBiCiDi длина ребра равна 1. Точки К и N являются серединами
ребер DC и ВС соответственно. Точка М лежит на ребре CCi
и МС = 2/3 . Найти минимальное значение радиусов сфер, проходящих
через точки М, N, К и касающихся плоскости BB^DiD.
3.1.11. Вариант с решениями задач 1996 г. (апрель)

1. Решить неравенство

у/(2х + 1)4 - (2х + I)2 + (2х + I)2 > 0 .

Решение

Очевидно, что исходное неравенство выполняется при всех значениях
х , принадлежащих ОДЗ (при которых неотрицательно подкоренное выра-
жение), то есть исходное неравенство равносильно

(2® + I)4 - (2® + I)2 О (2® + I)2 • ((2® + I)2 - 1) О &

2® + 1 = 0 ;

(2® + I)2 - 1 £ О

2® + 1 = 0 ;

2® + 1 1 ;

2® + 1 < -1

=> ответ .

Ответ:

2.	Решить уравнение 1<^2я.+з(ж — 2)2 = log|+i(® — 2)2 .

Решение

l°g2x+3(® - 2)2 = log

2)2 о

(® - 2)2 = 1 ,

О < 2® + 3 1 ,

•xf+h1
О 2

=> X = 1 или

х ф 2 ,

О < 2х + 3 ф 1 ,

Л _ х 1

2* + 3= т + х

О 2

15

11 ’

ZS	,	15

Ответ: ® = 1 ; х = — — .

3.	Решить уравнение

9	17	9	.	1 2

12 sin х — -	cos 2х 4-	—	=	-	+ 4 sin х +	- cos х	.

2	2	8	2

Решение

9	17	9	17

. Так как 12sin® — - cos2® + — = 12sin я— -(1 — 2sin2 z) + — = (3sin®4-2)2
2	2	2	2

9	. .	1	2	13	„ .	1.2

и - + 4 sin x + - cos ® = — + 4sm® — - sin ® ,

8	2	8	2

то исходное уравнение можно записать в виде
13 л .	1 . 2

|3 sin х + 2| = — ± 4 smх — - sin х .

8	2

Обозначая t = sin х и раскрывая модуль, получим

3, + 2 = T + 4t-T’

-3t-2 = - + 4t--,

o	Z

-^<-1

t =

i =

Отсюда t — или

4t2 - 8t 4- 3 = 0 ,

4t2 - 56t - 29 = 0 ,
^‘<-1

4 ± /16 - 12 _ 4±2

4

2

3 ;

4

28 ±</784 + 116 _ 28 ±30

sin® =

4
_2

< 3 '

1
- => ответ.

4

Ответ: х = (-1)” ~ 4- тгп , Vn 6 Z .
о

4. Через центр О вписанной в треугольник АВС окружности прове-
дена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая стороны АВ и
АС соответственно в точках М и N . Периметр треугольника AMN
равен 3 • \/2 , длина стороны ВС равна \/2 , а длина отрезка АО
в три раза больше радиуса вписанной в треугольник АВС окружности.
Найти площадь треугольника АВС .
Так как MN || ВС и ВО — биссектриса угла АВС , то

Z.MBO = Z.MOB , а потому ДВМО — равнобедренный и поэтому
ВМ = МО . Аналогично устанавливается, что CN = NO . Следовательно,
|АВ| + |АС| = |АМ| + \MN\ + | АЛГ| = 3 • V2 .	(1)

Далее, пусть О AN = а , г — радиус вписанной в треугольник АВС
окружности. Тогда ВАС = 2а ,

г	1	„	,	„ . ,	7	. п	4у/2

sin а — , ;	=	тг	=>	cos 2а =	1 —	2 sin а =	-	=>	sm 2а	=	——	.

|АО|	3	9	9

Применяя к треугольнику АВС теорему косинусов, получаем

|ВС|2 = |ЛВ|2 + |ЛС|2-2|АВ||ЛС|со82а =>

=> Л = (|АВ| + |АС|)2 - 2|ЛВ||ЛС| •	.

Отсюда и из (1) имеем л/2 = 9л/2 - |АВ||АС| => |АВ||АС| =	.

Теперь и находим площадь S треугольника АВС :

„	1.	. л 1 9л/2 4л/2	.

S = -|АВ||АС|sin 2а = - • —----— = 1 '

Ответ: 5=1.

5.	Найти все целочисленные решения уравнения

14ж4 - 5/ - Зж2г/2 + 82г/2 ~ 125х2 + 51 = 0.

Решение

Исходное уравнение можно переписать в виде

14ж4 - (Зу2 + 125)®2 - (5у4 - 82у2 - 51) = 0 .

Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно неизвестного х2.
Дискриминант D левой части уравнения равен

D = (Зу2 +125)2 + 56(5у2 - 82у2 - 51) = 289у4 - 3842у2 +12769 =

= (17у2)2 - 2 • 17у2 • 113 4- ИЗ2 = (17у2 - ИЗ)2 .
Следовательно, выражая по формуле корней квадратного уравнения х2
через у , и затем, применяя правило разложения квадратного трехчлена на
множители, левую часть преобразованного уравнения представим в виде
14®4—(Зг/2-Ь125)®2—(5т/4—82г/2—51) = (7ж2—5г/2—3)(2ж2Ч-г/2—17).

Поэтому исходное уравнение сводится к совокупности следующих двух
уравнений

7®2 = 5г/2 + 3 ;	(1)

2ж2 + у2 = 17 .	(2)

Поскольку левая часть уравнения (1) делится нацело на 7 (так как мы
ищем х; у 6 Z ) то и (5t/24-3) : 7 . Однако, представляя у в виде у = 7g4-r ,
где q и г — целые числа, причем 0 г <С 6 , мы приведем правую
часть уравнения (1) к виду 5(7д 4- г)2 4- 3 = 5(49д2 4- 14qr) 4- 5г2 4- 3 . Так
как 5(49д2 4- 14gr) = 7(35g2 4- 10gr) : 7 , то на 7 должно делится выражение
5г2 4- 3 , однако при г = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 оно принимает значения
3 ; 8 ; 23 ; 48 ; 83 ; 128 ; 183 , ни одно из которых не делится на 7.
Следовательно, уравнение (1) не имеет целочисленных решений.

Из уравнения (2) непосредственно вытекает, что 2х2	17 , откуда х

может принимать только пять целочисленных значений 0 ; ±1 ; ±2 . Но
при х = 0 или ±1 соответственно у2 = 17 ; 15 , что ни при каких целых
у. не имеет место. Однако при х = ±2 у2 = 9 , откуда мы получаем
следующие четыре пары целочисленных решений исходного уравнения

х — 2, у = 3 ; х = 2, у = -3 ; ж = —2, у = 3 ; х = —2, у = — 3 .

Ответ: х ~2,у =3 ; ж = 2, т/ = —3 ; ж = —2,у = 3 ; х = —2,у = — 3 .

6.	Сфера с центром в точке О проходит через вершины А , В и С
треугольной пирамиды ABCD и пересекает ребра AD , BD и CD в
точках К , L и М соответственно. Известно, что AD = 10 ,
ВС : BD = 3:2 и АВ : CD = 4 • у/З : 11 . Проекциями точки О на
плоскости ABD , BCD и CAD являются середины ребер АВ , ВС
и АС соответственно. Расстояние между серединами ребер АВ и CD
равно 13. Найти периметр треугольника KLM .
Решение *

Рассмотрим сечение сферы одной из боковых граней, например, ADC .

это будет окружность, описанная около четырехугольника АКМС . Из
условия, что проекция центра сферы на плоскость ADC лежит на середине
ребра АС , следует, что центр окружности, описанной около АКМС ,
лежит на середине АС . Отсюда СК ± AD и AM ± DC . Аналогично
ВМ ± DC , CL 1 DB , AL 1 DB , В К 1 AD (см. рис. 20). Таким
образом, в силу признака перпендикулярности прямой и плоскости
ALC ± DB , КСВ ± AD , АМ В ± DC . Следовательно,

AD ± ВС , AC ± DB , DC ± АВ .

Пусть В* , В" , С" , С" — соответственно середины ребер АС ,
CD , АВ , BD , пирамиды ABCD (см. рис. 21 а)) ;

А' , А" , Bf , В" — соответственно середины ребер ВС , BD , АС ,
AD , пирамиды ABCD (см. рис. 21 б)) ;

А' , А" , С , С" — соответственно середины ребер ВС , CD , АВ ,
AD , пирамиды ABCD (см. рис. 21 в)) .

* Идею этого метода решения предложила Т.А. Леонтьева, это решение отличается
от приведенного в предыдущем издании книги 1997 г.
Рассмотрим рис. 21 а). В силу свойств средней линии треугольника
В"В' || AD , С С || AD (откуда в силу транзитивности свойства парал-
лельности прямых В"В' || С"С) и |В"В'| = |С"С"| = |АР|/2 , поэтому
в силу одного из признаков параллелограмма В'В"С"С — паралле-
лограмм. Так как С"В' — средняя линия &BCD , то В"С" || ВС и
|ВС| = 2\В"С"\ . Поскольку AD ± ВС , В"В' || AD и В"С" || ВС ,
то В'В" ± В"С" , следовательно, В'В"С'С" — прямоугольник. В силу
равенства диагоналей прямоугольника |В'(7"| = |В"С"| . Из условий за-
дачи |А0| = 10 и |В"С'| = 13 получаем |В'В"| = |С'С"| = \AD\/2 = 5
и |В'С"| = JВ"С"| = 13 . По теореме Пифагора для &В'В"С" получаем
\В"С"\ = / В'С"|2 - |В'В"|2 = /132 - 54 = /169 - 25 = /144 Ь 12 , сле-
довательно, ВС| = 2|В"С"| = 24 . Так как по условию |ВС|: |BjD| = 3:2,
то |ВВ| = 2|ВС|/3 = 16 .

Рассматривая рис. 21 б), аналогично (с учетом АВ ± CD) получим:
А'В'В"А" — прямоугольник, откуда |Л'В"| = |А"В'| = 13 , по условию
|АВ| : |СР| = 4 • /3 : 11, откуда

|В'В"| _ \CD\/2 _ |CZ>|	11

|А'В'| “ \АВ\/2 ~ |ЛВ| “ 4/3 “ g F

13	_	13	_	13

/tg2 у> + 1 ~ /121/48 + 1 “ 5/169/48

|А'В'| = |A'B"|cosp =

/48 = 4/3 =>

=> |АВ| = 2|А'В'| = 8/3 => |СР| =	=	= 22 .

1	4/3	4/3

Рассматривая, наконец, рис. 21 в), таким же образом (с учетом
AC ± BD) получим: AfA,fCffCf — прямоугольник, откуда

\А'С"\ = |А"С"| = 13 , |Л'А"| =	= 8 ,

АЛ

|А'С| = /|С'Л"|2 - |Л'А"|2 = /132 - 82 = /105 =►

=> |ЛС| = 2|А'С"| = 2/105 .

Таким образом, |ВР| = 16 , |СР| = 22 , |АС| = 2/105 , |ВС| = 24 ,
|АВ| = 8/3 , |АР| = 10 .

Обозначим ADC = а , ADB = /3 , CDB = у . Тогда, используя
теорему косинусов для треугольников ADC , ADB , CDB соответственно
находим
cos a =

|AD|2 + |DC|2 - |AC|2
2|AD||DC|

|AD|2 + |BD|2 - |AB|2

41

110 ’

p ~	2|AB||BD|	80 ’

_ |CD|2 + |PB|2 - |BC|2 _ 41

C°87 ~ 2fCD\|BD| - 176 ’

Для вычисления периметра треугольника KLM найдем длины каждой

из его сторон. Из прямоугольных треугольников DKC и DMA
(см. рис. 20) вытекает, что

а так как у треугольников DKM и РАС ЛАРС общий, то
&DKM ~ АРАС . Следовательно,

\КР\ _ \МР\ _ \км\

= T'TZrr — ТТТТГ — CQ3OL ,
\РС\ \АР\ |АС|

Совершенно аналогично доказывается, что

Таким образом,

|KJtf| = |AC|cosa = 41-?yjjp , |tfL| = |АВ| cos/3 = 41 •

|ZA/| = |BC|cos7 = 41 • — => ответ.
3.1.12. Вариант для самостоятельного решения 1996 г. (апрель)

1.	Решить неравенство	у/ (7 х + I)2 — (7х 4- 1)4+4-(7® + l)2 > О

2.	Решить уравнение logl+6(;r + З)2 = log|+i(х 4- З)2 .

3.	Решить уравнение

/9~	~	17	15	п . ,

4 / - cos 2х — 12 cos а; 4- — = —— 3 sin х — 4 cos х .

4.	Через центр О вписанной в треугольник АВС окружности прове-
дена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая стороны АВ и
АС соответственно в точках М и N . Периметр треугольника AMN
равен \/б75 , длина стороны ВС равна \/27 , площадь треугольни-
ка АВС равна у/З . Найти отношение длины отрезка АО к радиусу
вписанной в треугольник АВС окружности.

5.	Найти все целочисленные решения уравнения

15s4 - 6/ - 13s2?/2 + 70у2 - 89s2 + 104 = 0 .

6.	Сфера с центром точке О проходит через вершины К , L и М
треугольной пирамиды KLMN и пересекает прямые KN , LN и МN в
точках Л , В и С соответственно. Известно, что LM = 14 , KL = 2\/30
и LN : КМ = 11 : 3 . Проекциями точки О на плоскости KLN , LMN
и KMN являются середины ребер KL , LM и КМ соответственно.
Расстояние между серединами ребер LN и КМ равно л/130 . Найти
периметр треугольника АВС .
3.1.13. Вариант с решениями задач 1996 г. (июль)

1.	Числа a , b , с и d являются последовательными членами
геометрической прогрессии. Известно, что а + </=10, a • d — 7 .
Найти b3 + с3 .

Решение

Пусть q — знаменатель геометрической прогрессии, тогда
Ь = aq у с — aq2 , d = aq3 => a + d = a(l 4- g3) , ad = a2q3 ,
b3 4- c3 = a3q3 4- a3qe = a2q3(a 4- aq3) — ad(a 4- d) = 10 • 7 = 70 .

Ответ: 70 .

2.	Первый раствор содержит 20% азотной кислоты и 80% воды, вто-
рой — 60% азотной кислоты и 40% воды. Первая смесь была получена
из 15 литров первого раствора и некоторого количества второго раство-
ра. Смешав то же самое количество второго раствора с 5 литрами первого
раствора получили вторую смесь. Сколько литров второго раствора бы-
ло использовано для приготовления первой смеси, если известно, что про-
центное содержание воды во второй смеси в два раза больше процентного
содержания кислоты в первой смеси ?

Решение

Пусть х — искомое каличество второго раствора. По смыслу задачи
х > 0 . Тогда из условий задачи непосредственно вытекает

_ 0,2-15 4- 0,6- х 0,8 -5 4- 0,4 -х

2 ---------------= -------------- О-

15 4- х	5 4- х

(б + 1,2а:)(г + 5) = (4 + 0,4«)(х + 15)

1,2х2 + 12® + 30 = 0,4®2 + 10® + 60

<=> 0,8®2 + 2х — 30 = 0	2х2 + 5® — 75 = 0 <=>

-5 - V25 + 600

х —--------------= — 7,5 ;

4

-5 + V25 + 600 г

х =--------------= 5

4

По смыслу задачи подходит только х = 5 => ответ.

Ответ: 5 литров .
3. При всех значениях параметра а решить уравнение
25х - (а - 1)5Ж + 2а + 3 = 0 ,
и указать при каких а оно имеет единственное решение.

Решение

Положим у = 5х => у > 0 . Тогда уравнение примет вид
у2 - (а - 1) х/ 4- 2а 4- 3 = 0 .

Дискриминант D левой части уравнения имеет вид

D = (а - I)2 - 8а - 12 = а2 - 10а - 11 .

D = 0 при а = -1 и а = 11 D > 0 при Va е (-oo, -1) U (11,4-оо) .

Если а = —1 , то уравнение принимает вид у2 4- 2у 4- 1 = 0 или
(у 4- I)2 = 0 , откуда у = — 1 , что не удовлетворяет условию у > 0:,
следовательно, при а = — 1 решений нет.

Если а = 11 , то уравнение принимает вид у2 — Ют/ 4- 25 = 0 или
(у 5)2 = 0 , откуда у = 5 , откуда 5х = 5 => х = 1 — единственное
решение исходного уравнения.

Если a 6 (—oo, —1) U (11, 4-оо) , то решения уравнения имеют вид

а - 1 - Va2 —10a—11	a - 1 4- д/a2 -10a- И

У = 2/1 =-----;----2--------- ’	2/ = 2/2 =--------$---------- *

Для ответа на вопросы задачи необходимо исследовать, при каких зна-
чениях параметра a у± > 0 и у% > 0 . Так как т/2 > З/i , то из
У1 > 0 => У2 > 0 . Решим неравенства:

\/а2 — 10а — 11 > 1 — а <=> ?/2 > 0 и

\/а2 — 10а — 11 < а — 1 у± > 0 .

\/а2 - Юа - 11 > 1 - а &

а2-10а-11^0;
1-а<0,

а2 — 10а — 11 > (1 — а)2 ,

<=>

1 -а $> 0

а 11 ;
а -1 ,
а > 1 ;

3
а<"2’
а 1

3

2 5

откуда с учетом а 6 (—oo, —1) U (11, +оо) получаем,
Уг > 0 О a G (—оо, —3/2) U (11, +оо) .
\/а2 - 10а - И < а - 1 <=>

Г 0 а2 - 10а — И < (а - I)2 ,
[ а-1> О

<=> а 11 ,

откуда с учетом а 6 (—ос, —1) U (11, 4-оо) получаем,
У1 > 0 а е (11,+оо) .

Из решений этих неравенств и получается ответ.

т - 1по. а—1+л/а2—10о—11	при а < —1, 5 : а < 11 ; х при а > 11 ;  а < —1,5 и а -	
х ~ Ю§5	2  „	решений нет при —1,54;  °ТВеТ: z-loa		= 1 при а = 11 ;
х — 1О§5	2  единственное решение при		= 11 .

4. Решить неравенство

arccos (Зж) 4* arcsin (ж 4- 1)

77Г

6 *

Решение

arccos (у) и arcsin (у) определены только при |j/|	1 , поэтому

допустимыми значениями х в неравенстве являются — 1/3^ж^0.
Перепишем неравенство в. виде

7тг
arcsin (ж 4-1)	— arccos (Зж) .

6 <

< В силу возрастания арксинуса и убывания арккосинуса (которые выте-
кают из соответствующих участков монотонности функций синус и коси-
нус соответственно) и того, что —тг/2 arcsin (у) тг/2 и

0 arccos (у) тг получаем, что при —1/3 ж 0

arcsin

arcsin (г4-1) г

ч 27Г
arccos (Зж) .
о

Таким образом, при решении неравенства удобно рассмотреть два слу-
чая:
1)

“I 5$ ж < 0 ,

О

\ 2тг
arccos (Зж) < —

(в этом случае правая часть неравенства (1) больше тг/2 и потому оно
выполняется) и

5г + 2 Д • у/1 - 9г2

2)

_ 2-тг
arccos (Зж) ,

sin(arcsin (ж 4- 1)) sin

7тг

—— arccos

6

1
б

В последнем равносильном переходе подробнее остановимся на преоб-
разовании

sin(arcsin (х 4-1)) sin f — arccos
\ 6

& 5г + 2 \/3 • д/1 - 9г2 .

sin(arcsin (х 4-1)) sin

7тг
— arccos

6

<3- х 4-1 < sin

• cos(arccos (3®)) — cos

• sin(arccos-(3ж)) <=>

x 4- 1

• Зг + ~ У1 - (3г)2 5г + 2 < УЗ • \/1 - 9г2 .
z

При этом были использованы формулы синуса разности двух аргументов,
значания синуса и косинуса аргумента 7тг/6 и формулы

sin(arcsin (j/)) = у , cosfarccos (у)) = у ,sin(arccos (у)) = \/1 — у2 .

5г 4- 2 у/З • \/1 - 9г2 <=>

Г 1 - 9г2 0 ,
1 5г + 2 < 0 ;

Г (5г + 2)2^ 3(1 -9г2) ,
( 5г + 2 О

<=>
3	2	3	<=>

Х<-5;
х>-2-

5 ’
52ж2 + 20® + 1 0

-10-^100-52

52

2

5

-10 + ^100-52
52

-5 - 2>/3

—5 4- 2\/3

26

_2

5

26

Теперь учтем условие
Сравним числа

1	5 + 2\/3

-:V------— <=

3	26

-1/6 и

то, что -2/5 < -1/3 .

5 + 2д/3
26

15 + бТЗ V 26

х/36^3 V 11 = л/121 ,

108 <

121

1	5 + 2>/3

3 <	26

lv/ 5 + 2л/3

6 V 26

5 + 2у/3

26

30 + 12 Л > 26 =>

vi «

5 + 2у/3

30 + 12 73 V 26 ,

26

1 -5 + 2-Д
— V.---------

6	26

<=> 12л/ЗУ56

1
6

2\/3 —5

&	26

» 3\/3 V 7

- 5 + 2i/3

26	<

1

V6

12\/3 — 30V26

<=> 27 V 49 ,

-5 + 2-2

26

27 < 49
^<0 ’

х

X

V

1

3

1

6

и поэтому в случае 2) решениями неравенства будут

5 + 2^3
26

1

6 '

Объединяя эти решения с решениями, полученными в случае 1), получаем
окончательный ответ.

5 + 273		
Ответ:		— <  26	С х <	С 0 .


5. Решить систему уравнений

х2 4- у2 - 14® - Юу 4- 58 = 0 ,
хА2 4- у2 — 16® - 12у 4- 100 4- х/®2 + 1/2 4-4®- 20у4-104 = 2>/29 .

Решение *

рис. 22

Производя операцию выделения полного квадрата в левых частях урав-
нений системы, перепишем ее в виде

Г (®-7)24-(у-5)2 = 16__________________ _________ (1)

I - 8)2 + (у - 6)2 + ^(х + 2)2 + (у- 10)2 = ^102 + 42 . (2)

Отсюда следует, что точка с координатами (ж; у) (искомое решение),
во-первых лежит на окружности радиуса 4 с центром в точке (7; 5) и, во-
вторых, лежит на отрезке, соединяющем точки (8; 6) и (-2; 10) , посколь-
ку фигурирующее в левой части второго уравнения системы выражение
есть сумма расстояний от точки (®;у) до точек с координатами (8; 6)
и (—2; 10) , а х/Ю2 4- 42 = х/($ ~ (~2))2 4- (6 — 10)2 — как раз и есть
расстояние между этими точками.

Точка Л£(®;у) принадлежит прямой (АВ) тогда и только тогда, когда
векторы АЛ? и Alt коллинеарны (АЛ? || Alt), это означает, существование
действительного числа t, такого, что ЛМ = t • АЙ; при этом точка М(®; у)
принадлежит отрезку АВ тогда и только тогда, когда 0 t 1. Пусть
А — A(®i; yi), В — В(хг\уз), координаты вектора ~АВ — {®2 —$Г,У2 — У1},
координаты вектора АЙ — {® — ®i;у — yi}. Равенство

Aii-t-A^ & I x~xi =	’ f x = Xl + t(x2 - Х1) , .

AM-t АВ y-yi=t(y2-yi) * { У = У1+ЧУ2-У1).

* Идею этого метода решения предложил Д.Ю. Сычугов, это решение отличается
от приведенного в предыдущем издании книги 1997 г.
Точка М(х\у) принадлежит отрезку АВ <£>

X = Х1 + t(x2 - ®1) ,
< у -У1+ ЦУ2 - У1) ,

О < t 1 .

(4)

Поскольку Xi — — 2 , з/1 = 10, Х2 = 8 , У2 = 6 , то система (4) примет вид

х = -2 + 10/ ,

< у = 10 — 4t ,	(5)

, 0 ^ / ^ 1 .

Остается подставить значения (х-,у) из (5) в (1), получим
(-2 + 10/ - 7)2 + (10 - 4/ - 5)2 = 16 О (10/ - 9)2 + (4/ - 5)2 = 16 «•
О 116/2 - 220/ + 90 = 0 О 58/2 - 110/ + 45 = 0 <=>

'	,	55 - л/552 — 58-45	55 - 73025 - 2610	55 - 7415

58________ 58	58

_ 55 + 7552 - 58-45 _ 554 73025 - 2610 _ 55 + 7415

- “ 2 ”	58	~	58	58

20 = 7400 < 7415 < 7441 = 21 «> -21 <-7415 <-20 =>

•=> 58 < 75 < 55 + 7415 < 76 , 0 < 34 < 55 - 7415 < 35 < 58 => t = /2 > 1
и потому t = t2 не подходит, a t = tr € (0,1), поэтому t = ti подходит,
следовательно, соответствующая пара значений

(	,± ч п 10(55-7415)	„ 5(55-7415) 217-57415

, 1 = ’(<>) = -2+--------5S----= *2+------2Г-----=-------55---- '

и , 1П 4(55-V415) 1П 2(55-7415)	180 + 27^15

I * = ’(<1) = 6 * * * 10-й--= 10-------29------=------29----- '

(координаты точки D на рис. 22) и является решением исходной системы
уравнений.

Л	217—57415	180 + 27^15

Ответ: х =----—----- , у =-----—----

6. Две окружности пересекаются в точках А и В . Хорда CD первой

окружности имеет с хордой EF второй окружности общую точку М .
Длина отрезка АВ в три раза больше длины отрезка СМ , которая,

в свою очередь, в два раза меньше длины отрезка М D ив шесть раз

меньше длины отрезка МF . Какие значения может принимать длина

отрезка АМ , если известно, что длина отрезка ВМ равна 2 , а длина
отрезка АВ в девять раз больше длины отрезка ’ ЕМ ?
Решение *

Обозначим центр первой окружности, где проведена хорда FE , за Oi ,
ее радиу’с — за Ri , а центр второй окружности, где проведена хорда CD,
за О2 , а радиус — за R2 .

Вначале отметим, что так как хорда окружности определяется как от-
резок с концами в двух различных точках этой окружности, то точки С
и D различны и точки Е и F различны. Пересекающиеся окружности по
определению имеют две различные общие точки, поэтому точки А и В
различны. Покажем, что из условий задачи следует, что М — внутренняя
точка хорд CD и EF, откуда сразу будет следовать, что точка М отлична
как от точки Л, так и от точки В .

Если предположить, что точка М совпадает с одним из концов, напри-
мер, с F хорды EF, то MF нулевой отрезок, тогда |АВ| = 3|СМ| =
= 3|MF|/6 = \МF|/2 — 0, пришли к противоречию с тем, что точки
Л и В различны ; если М = В, то |АВ| = 9|ВМ | = 0, опять противоречие
с ; если М = С, то |АВ| = 3|СМ| = 0, снова противоречие с
А £ В ; если М = D, то |АВ| = 3|СМ| = 3|Л/Р|/2 = 0, также противоре-
чие с А В . Поскольку М — внутренняя точка хорд CD и

EF , то в силу доказанного утверждения |OiM| < R± и |O2TVT| < R2 , а
потому точка М отлична от точки А — одной из общих точек окружнос-
тей (|OiA| = Ri и |С?2>М = В2) , М £ В следует аналогичным образом, а
также из того, что \ВМ| = 2^0.

рис. 23 а)	рис. 23 б)	рис. 23 в)

Справедливо утверждение, которое нам понадобится при решении за-
дачи.

Пусть АВ — секущая окружности с центром в точке О радиуса R,
где Л и В — точки окружности, тогда точка М этой прямой является
внутренней точкой отрезка АВ (то есть она лежит между точками А и В)
тогда и только тогда, когда р(О; М) < R,n точка М' этой прямой является
внешней точкой отрезка АВ (то есть она не лежит между точками А и В)
тогда и только тогда, когда р(О; М') > R (см. рис. 23 а).

* Идея этого метода решения была предложена абитуриентами, оно более простое
чем приведенное в предыдущем издании данной книги 1997 г.
Это утверждение доказано ниже, в разделе IV, п. 2.3.1., где излагаются
ответы на вопросы билетов устного экзамена по геометрии (см. материал
вопроса 15, утверждение 5).

Положим \ЕМ| = х , тогда из условий задачи вытекает, что
\АВ\ = 9z , \СМ\ = Зх , \МD\ = 6х , \FM\ = 18х .

Проведем через точки В и М прямую. Так как М — внутренняя точ-
ка хорд CD и EF , то в силу сформулированного выше утверждения М
— внутренняя точка каждой из окружностей (Oi\Ri) и (Ог^з) . Следо-
вательно, p(Oi;Ri) |О1ЛГ| < Ri и p(O2\R2) |ОгЛГ| < R2 . В силу
теоремы о взаимном расположении окружности и прямой (см. там же, где
только что было упомянуто утверждение 5, утверждение 3) прямая (ВМ)
будет пересекать каждую из окружностей еще в одной точке, окружность
(Ог, Я1) — в точке L , а окружность (О2; R2) — в точке К (см. рис. 23 б) и
в). Снова, применяя сформулированное выше утверждение, получим, что
точка М — внутренняя точка каждой из хорд ВК и BL . Следовательно,
точка М лежит между точками В и L и она лежит между точками В и
К, а потому точки К и L лежат на одном луче прямой (ВМ) с началом в
точке М .

В силу теоремы о равенстве отрезков пересекающихся хорд окружнос-
ти, с учетом условия \ВМ| = 2 имеем:

( \СМ\ • \MD\ = \ВМ\ • \МL\ ,	Г Зх • &х = 2 • \ML\ ,

[ \FMI • \МЕ\ = \ВМ\ • \МК\	( 18ж • х = 2 • \МК\ 7*

=> \LM| = \КМ| = 9®2 .

Таким образом, точки L ъ К совпадают. Это означает, что каждая из
них является общей точкой окружностей (Oi; R\) и (О2\R2) . Поскольку L
и К отличны от точки В , а две пересекающиеся окружности имеют две и
только две общие точки (об этом см. ниже, в разделе IV, п. 2.3.1. вопрос
21, теоремы 7), то точки К и L также совпадают с точкой А , а потому М
— внутренняя точка хорды АВ . Следовательно, \АМ | =

= |LM| = |KiW| = 9ж2 , |ЛВ| = \АМ| + |AfB|, поэтому получаем уравнение
9® = 9ж2 + 2 <=> 9z2-9z4-2 = 0 . Решая это уравнение, находим, что х = 1/3
и х = 2/3 , а потому возможны два значения для |АЛ/| :

\АМ| = 1 и \АМ| = 4 . Первый из этих случаев проиллюстрирован на рис.
23 б), второй — на рис. 23 в). По сути дела каждый из них получается из
другого переменой местами точек А и В .

Ответ: \АМ| = 1 ; \АМ| = 4 .
3.1.14. Вариант для самостоятельного решения 1996 г. (июль)

1.	Числа р , q , т и з являются последовательными членами
геометрической прогрессии. Известно, что q3 + г3 = 288 , р • з = 24 .
Найти р + s .

2.	Первый раствор содержит 70% соляной кислоты и 30% воды, вто-
рой — 30% соляной кислоты и 70% воды. Первая смесь была получена
из 6 литров первого раствора и некоторого количества второго раствора.
Смешав то же самое количество второго раствора с 18 литрами первого
раствора получили вторую смесь. Сколько литров второго раствора бы-
ло использовано для приготовления первой смеси, если известно, что про-
центное содержание кислоты в первой смеси на 10% больше процентного
содержания воды во второй смеси ?

3.	При всех значениях параметра а решить уравнение

9х + (а + 2)3Х +£+3=0

и указать при каких а оно имеет единственное решение.

4.	Решить неравенство arccos (2х) 4- arccos (1 — х) > arccos | .
и

5.	Решить систему уравнений

( х2 + у2 +2х — 14?/ —14 = 0,

( у/®2 4- 2/2 — 18® 4- 4j/ 4- 85 4- у^®2 4- J/2 4- 6® — 12j/ 4- 45 = 4д/13 .

6.	Две окружности пересекаются в точках Р и Q . Хорды NM первой
окружности и KL второй окружности имеют общую точку О . Длина
отрезка PQ в пять раз больше длины отрезка OL . Длина отрезка ОК
в два раза больше длины отрезка МО , которая в свою очередь, в два
раза больше длины отрезка OL . Какие значения может принимать длина
отрезка РО , если известно, что длина отрезка QO равна 4, а длины
отрезков МО и ON равны ?
3.2.	Экономический факультет МГУ

3.2.1.	Вариант с решениями задач 1993 г.

1.	Решить неравенство

log7®_e 25 < 2 .

Решение

Поделим обе части неравенства на 2, получим log7®_6 5 < 1 . При
7® — 6 > 1 , будем иметь 5 < 7® — 6 , то есть х > log7 11 . Если же
О < 7® — 6<1,то5>7®~ 6, и, следовательно, log7 6 < X < 1 .

Ответ: log76 < X < 1 ; х > log7 11 .

2.	Решить уравнение

sin3z

Решение

Сделаем замену: у = х - ~ . Тогда sin Зх = sin (Зу 4- —) = cos Зу .
Исходное уравнение равносильно уравнению cos Зу - cos у = 0 при условии
cos у / 0 . Преобразуем cos Зу — cos у = -2 sin 2у • sin у = —4 sin2 у • cos у и,
учитывая, что cos у ф 0 , получаем sin у = 0 О у = тт , Vn £ Z .

7Г

Ответ: х = — 4- тгп , Vn 6 Z .

6

3.	Решить неравенство

Решение

На промежутке х 2 неравенство принимает вид

3>/7+2 8 - х <=> | (® — 23)(ж —*2) О

и имеет единственное решение х = 2 . Если же х < 2 , то

3v^T2O + 4<=>{	«-2OS-1-

Ответ: —2 <С г <С —1 ; х = 2 .
4.	Найти периметр плоской фигуры, заданной на координатной плос-
кости условиями

2 | х 4- 2 | агсзш((т/ - I)2) тг(х 4- 2) ,
2 | т/— 1 | —ж	0 .

Решение

Первое неравенство при ж 4-2 < 0 принимает вид arcsin((j/ — I)2)	—

2 И

решений не имеет, а при х4-2	0 оно равносильно неравенству | у— 1	1.

Таким образом, заданная плоская фигура определяется условиями:

О -2 ,
00^2 ,
х 2 | у - 1 | .

Изобразим ее на чертеже:

Периметр равен АВ 4- ВС 4- CD 4- DE 4- ЕА =10 4- 2д/5 .

Ответ: 10 4- 2>/5 .

5.	За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись
ежемесячно сначала в размере 5 % в месяц, затем 11—%, потом 7- % и, на-
конец, 12 % в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной

ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хране-
ния первоначальная сумма вклада увеличилась на 180 % . Определить срок
хранения вклада.
Решение

Пусть S — первоначальная сумма вклада, a ti> *з> *4 — сроки дей-
ствия (в месяцах) процентных ставок pi = 5%, р2 = И-%, Рз = 7у%,
Р4 = 12% ежемесячного прироста вклада. Тогда условие увеличения сум-
мы вклада по истечении общего срока хранения на р = 180% можно пред-
ставить в виде:

Сократим обе части на S, подставим конкретные значения Р1,Р2^Рз»Р4,Р и
преобразуем полученное равенство к виду

—242-Нз .	“Н2“Нз~2$4-|-1

2~2ti 4-$2"“£з4"2£4—1 e otj

. 7*1-*з+*4-1 = |

Последнее может выполняться лишь в том случае, когда в левой части
показатели всех степеней обращаются в 0. Соответствующая система ли-
нейных уравнений имеет единственное решение ti = 2,t2 = 3,
t3 = 4, = 3. Остается вычислить искомую сумму ti +12 -Нз + *4 = 12.

Ответ: 12 месяцев .

6.	Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольни-
ка, равны 5, 12 и 13. Найти площадь треугольника.

Решение

Пусть D'E^F - основания высот треугольника АВС, проведенных к
сторонам ВС, АС, АВ . Треугольники AEF и АВС подобны, так как имеют
общий угол А, заключенный между пропорциональными сторонами:

АЕ AF

АВ = ЛС=С°‘Л = 1‘Л’	(1)
а соответствующий коэффициент подобия равен кд = cos А . Аналогич-
но устанавливается подобие треугольников DBF и АВС с коэффициен-
том кв = cos В и подобие треугольников DEC и АВС с коэффициентом
кс = cos С. Обозначим площади треугольников АВС и DEF через S и з
соответственно. Тогда с учетом соотношения площадей подобных фигур
имеем:

3 = 5(1 - к2л - к2в - к2с) .	(2)

Покажем, что имеют место равенства

FDE = 7г - 2А , DFE = тг - 2С , FED = тг - 2В .	(3)

Из подобия треугольников BDF и АВС и того, что

BD BF

4В = ВГ=С08В = **’	(4)

ad jdu

вытекает BDF = А и аналогично из подобия треугольников CDE и
АВС и того, что

CD СЕ п ,

лс = вс = С0яС = ‘с'	(5)

вытекает CDE = А . Таким образом

А = CDE = BDF =

тг — FDE

2

откуда и следует первое из равенств (3). Остальные равенства (3) устана-
вливаются аналогично.

Применяя тригонометрические формулы двойного аргумента и приве-
дения:

2	14- cos 2х . ч

cos х =---------- , cos(7r — х) = — cos х ,

преобразуем (2) к виду

2з = S(cos D 4- cos Е 4- cos F — 1) .

По условию DE = 13, EF = 12, FD = 5, следовательно, треугольник DEF
является прямоугольным, его площадь з = 30 и

5	12

cos D = — , cos Е = — , cos F = 0 .

13	13

Подставляя найденные значения в (2), получим S = 195.

| Ответ: 195 .
3.2.2.	Вариант для самостоятельного решения 1993 г.

1.	Решить неравенство

log3x_2 16 < 4 .

2.	Решить уравнение

созЗх

= 1 .

3.	Решить неравенство

12 - МГ+1 | х - 8 | .

4.	Найти периметр плоской фигуры, заданной на координатной плос-
кости условиями

| х - 3 | arccos((s/ - I)2)	?г(3 - х) ,

- 3 | у - 1 | 4- х 0.

5.	Техническая реконструкция предприятия была проведена в четыре
этапа. Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровож-
дался падением производства. Ежемесячное падение производства соста-

2	1

вило на первом этапе 4%, на втором — б-% , на третьем — 6- % и на
2

четвертом — 14 - % в месяц. По окончании реконструкции первоначаль-
ный объем прризводства на предприятии сократился на 37%. Определить
продолжительность периода реконструкции.

б.	Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольни-
ка, равны 5, 12 и 13. Найти радиус описанной около треугольника окруж-
ности.
3.2.3, Вариант с решениями задач 1994 г.

1.	Найти все целочисленные решения системы
f 7875®3 = 1701т/3 ,
I 1*Ю •

Ответ: (—3; -5) ; (0; 0) ; (3; 5) .

Решение. 7875 = З2 • 53 • 7 = 53 • 63 , 1701 = З5 • 7 = З3 • 63 , поэтому после
сокращения на 63 уравнение примет вид (5®)3 = (Зт/)3 О 5х = Зу . Отсюда
с учетом имеющегося ограничения на х получаем ровно три целочисленные
пары: (-3;-5) ; (0; 0) ; (3; 5) .

2.	Найти область значений функции

у =	З®2 4-12® — 3 .

Ответ: — 3 у 0 .

Решение. Областью значений квадратичной функции

f(x) = —З®2 4-12® — 3 = —3(® — 2)2 4- 9 является промежуток (—оо, 9] .

Фиксируем произвольное —ур из промежутка [—3,0], откуда j/o 6 [0,3].

Уравнение -\/f(x) = -yQ <=> y/f(x) =у0 & f(x) =	, 0 у% 9.

3 ®о G R такое, что /(®о) = У$ => i//(®o) = Уъ • Поэтому так как
0	$ при та* когда /(®)	0, то функция у = —

не может принимать значения вне отрезка [—3,0].

3.	Решить уравнение

1	//	\ 1 (х + ю\

log3((« + 10) • cos X) = log3 ------- .

У COS X /

Ответ: х = 2тгп , Vn 6 Z : п —1 ; ® = % 4- 2тгт , Vm 6 Z : т — 3 .

Решение. Уравнение равносильно системе

Г z cos2 х = 1 ,
[ (® 4- Ю) • cos х > 0 .

Если cos® = 1, то х > -10, следовательно, ® = 2%п , Vn G Z : n	-1 .

Если же cos® = — 1, то ® < —10, то есть ® = тг 4- 2тгт , Vm G Z : т — 3 .
4.	Составить уравнение окружности наименьшего радиуса, внутри ко-
торой помещается множество, заданное на координатной плоскости усло-
вием

|2j/ + Зх - 2| 4- |3® 4- 6| < 6.

Ответ: (х 4- 2)2 4- (у - 4)2 = 13 .

Решение. Покажем, что заданное множество состоит из внутренних точек
параллелограмма ABCD (см. рис. 26).

рис. 26

Для этого необходимо раскрыть оба модуля в левой части неравенства.
Это в свою очередь сводится к рассмотрению следующих четырех случаев.

Случай 1 :

Г х^-2,
I 2у 2 - Зх

Г х -2 ,

| 1 — Зх/2 у < 1 — Зх

=>

' х -2 ,

< 1 - Зх/2 у < 1 - Зх ,
1 - Зх/2 < 1 - Зх

—2 х < 0 ,

1 < У < 7 ,

1 - Зх/2 у < 1 - Зх .

Множество точек на координатной плоскости, координаты которых удов-
летворяют последней системе неравенств, представляет собой внутреннюю
область треугольника CED вместе с его сторонами СЕ и ED без стороны
CD.

Случай 2 :

х -2 ,
2у 2 — Зх

{х —2 ,
2/^1 — Зх/2 ,
-2у- 3x4-2 4-3® 4- 6 < 6

0-2,
2/^1- Зх/2 ,
у>1 .

Множество точек на координатной плоскости, координаты которых удов-
летворяют последней системе неравенств, представляет собой внутреннюю
область треугольника AED вместе с его сторонами АЕ и ED без стороны
AD.

Случай 3 :

( х -2 ,
| 2у <С 2 — Зх

=> <

х — 2 ,

У 1 - Зх/2 ,	=>

-2у - Зх + 2 - Зх - 6 < 6

х —2 ,

-Зх - 5 < у 1 — Зх/2

х 4 -2 ,

—5 — Зж < у 1 — Зх/2 ,

—Зх — 5 < 1 — Зх/2

{-4 < х -2 ,

1 < У < 7 ,

—Зх - 5 < у <С 1 — Зх/2 .

Множество точек на координатной плоскости, координаты которых удов-
летворяют последней системе неравенств, представляет собой внутреннюю
область треугольника АЕВ вместе с его сторонами АЕ и BE без стороны
АВ<

Случай 4 :

Г х —2 ,

I 2у 2 — Зх

{х —2 ,
у 1 — Зх/2 ,
2у 4- Зх - 2 - Зх - 6 < б

х -2 ,

У 1 - Зх/2 ,
2/ < 7 .

Множество точек на координатной плоскости, координаты которых удов-
летворяют последней системе неравенств, представляет собой внутреннюю
область треугольника ВЕС вместе с его сторонами BE и СЕ без стороны
ВС.

Объединяя полученные множества.всех четырех случаев, мы и получим
внутреннюю область параллелограмма ABCD.

Максимальное расстояние между точками круга радиуса R есть рассто-
яние между концами его диаметра, так как в силу неравенства треугольни-
ка расстояние между любыми двумя точками круга не превосходит суммы
расстояний от этих точек до центра круга, которая в свою очередь не пре-
восходит 2Я, то есть диаметра круга.

\BD\ = х/42 4- б2 = у/52 = 2у/13 > 6 = |ЛС| и АС 1 AD , АС 1 ВС
(см. рис. 26), поэтому искомой окружностью является окружность с цент-
ром в точке Е пересечения диагоналей ABCD радиуса \ВЕ| (равного по-
ловине длины большей диагонали). Всякая окружность меньшего радиуса
уже не сможет целиком включить в себя внутреннюю область указанного
параллелограмма.

Уравнение искомой окружности имеет вид (ж — жо)2 4- (у — З/о)2 = Я2-
Координаты ее центра Е — (жо = —2, уо = 4), а радиус R равен \/13 .
5. Предприятие производит телевизоры и является прибыльным. Из-
вестно, что при изготовлении п телевизоров в месяц расходы предприятия

40500
на выпуск одного телевизора составляют не менее---

п

™ 40500

+270- 90-------

п

тыс. руб., а цена реализации каждого телевизора при этом не превосходит
3

540— — -п тыс. руб. Определить ежемесячный объем производства, при ко-
тором может быть получена наибольшая из возможных в данных условиях

ежемесячная прибыль.

Ответ: 300 или 600 телевизоров .

Решение. Ежемесячная прибыль предприятия при изготовлении п теле-
визоров в месяц составит не более f(n) = п(у>з(гс) — (в тыс. руб.),
где

рДп) = 1^ + 270- 90-
71

40500
п

3

, <р2(п) = 540 - — п .

Раскрывая модуль и выделяя полный квадрат, функцию /(п) приведем к
виду

ft i /1(п) = “°-3п2 + 180n = -0.3(п - 300)2 4- 27000 , п 450 ,
/,n) " 1 Л(п) = —О.Зп2 + ЗбОп - 81000 = -0.3(п - 600)2 + 27000 , О 450 .

Функция /(п) действительного аргумента п является кусочно-квадратичной;
ее график представлен на рис. 27

По свойству квадратичной функции (а также непосредственно видно
из выражений для Л(п) и /2(п)) максимальные значения функций А(п) и
/г(п) достигаются в целочисленных точках = 300 и п2 = 600, причем

А(ЗОО) = /2(600) = 27000.

Этот размер прибыли и является наибольшим из возможных.
6. В выпуклом четырехугольнике ABCD отрезок СМ, соединяющий
вершину С с точкой расположенной на стороне AD, пересекает диаго-
наль BD в точке К. Известно, что СК : КМ = 2:1, CD : DK = 5 : 3 и
Z.ABD 4- Z.ACD = 180°. Найти отношение стороны АВ к диагонали АС.

Ответ: 5:9.

Решение.* Введем обозначения (см. рис. 28):

а = АВ, Ь = АС,р = СК, q = КМ, c=CD, d=DK х = AD, у = MD-
а = £ABD, 0 = ZACD, 7 = ЛСМD, 6 = Z.ADB, у> = Z.BDC.

По условию р : g = 2 : 1, с : d = 5 : 3 , а 4- /3 = 180°, поэтому
sin а = sin/З. Применяя теорему синусов в треугольниках ABD и ACD,
получим, что

а	ж _ b	Ъ _ sin(6 4-

sinJ sin a	sin/3 sin(J 4- <р) a sinJ

Применяя формулу площади треугольника (по сторонам и углу между
ними), получим

S^cmd _ (р + q)- у-sin7

S&KMD ~ g-y-sin7

=1+?=1+2=3,
Q

с другой стороны получаем

3 _ S^CMD _ С-у- sin(<£ 4- <р) __ с sin(<? 4- у>) _ 5 sin(J4- <р)
S&kmd d-у-sin 6 d sin J 3 sin J

Следовательно,

9 _ sin(J 4- <p) __ b a _ AB _ 5

5 sin J a b AC 9

* Это решение предложила T.A. Леонтьева.
3.2.4.	Вариант для самостоятельного решения 1994 г.

1.	Найти все целочисленные решения системы
Г 7889х3 = 2875т/3 ,
11»к8.

2.	Найти область значений функции
у = \/20 + Ют - 5х2 .

3.	Решить уравнение

,	/ X — 8

log2 I -----

\ sina;

= log2 ((® — 8) • sin®) .

4.	Составить уравнение окружности наименьшего радиуса, внутри ко-
торой помещается множество, заданное на координатной плоскости усло-
вием

\у - 2х - 1| + |2ж - 4| < 4 .

5.	Предприятие производит детские велосипеды и является убыточным.
Известно, что при изготовлении m велосипедов в месяц расходы предпри-
ятия на выпуск одного велосипеда и цена реализации каждого велосипеда
составляют соответственно не менее

168000
------+ 36- 12-

тп

72000

m

3

тыс. руб. и 72 - удод • тп тыс. руб.

Определить ежемесячный объем производства, при котором ежемесячные
убытки могут быть снижены до наименьшего из возможных в данных усло-
виях уровня. Вариант полной остановки производства исключен.

6.	В выпуклом четырехугольнике KLMN отрезок MS, соединяющий
вершину М с точкой S, расположенной на стороне К«У, пересекает диаго-
наль LN в точке О. Известно, что KL : КМ = 7:9, SO : ON = 2 : 3 и
Z.KLN + Z.KMN = 180°. Найти отношение стороны MN к отрезку MS.
3.2.5.	Вариант с решениями задач (отделение экономики) 1995 г.

Замечание. При разборе данного варианта приводятся более краткие
решения, чем в п.п. 3.1.7, 3.1.9, 3.3.7, 3.3.9, 3.4.5. Читателям предоставля-
ется самостоятельно провести необходимые выкладки и рассуждения для
более подробных обоснований полученных ответов.

1.	Решить неравенство

2х - 5 < 2у/х2 - г - 6 .

Ответ: х < — 2 ; х > — .

______________________16

Решение. Неравенство равносильно совокупности двух систем
2ж - 5 < 0 ,	( 2ж - 5 > 0 ,

ж2 — ж — 6 О И | (2ж — 5)2 < 4(ж2 — ж — 6) .

Решениями первой из них являются х — 2 , а решениями второй —
х > 49/16 .

2.	Решить уравнение

,	/ |cos®|\

2 Sin Ж + log t х I-;- 1=0.

6 \ sm X J

_	7тг

Ответ: х = — 4- 2тгп , Vn 6 Z .

6

Решение. ОДЗ :

( 0 < tg х = sin х : cos x / 1 ,
[ | cose| : sin ж < 0

sin ж < 0 ,
cos ж < 0 ,
tg ® # 1 ,

следовательно, уравнение преобразуется к виду — 2 sin ж — 1 = 0 .

3.	В трапеции KLMN известны боковые стороны KL = 36, MN = 34,
верхнее основание LM = 10 и cos(ZKLM) = —1/3. Найти диагональ LN.

Ответ: 36 ; 8\Z19 .

Решение. Заметим, что при заданных условиях существуют две различные
трапеции: одна с острым, а другая с тупым углом при вершине N
(см. рис. 29).
L b М

рис. 29

Пусть h = LP = MQ — высота трапеции, a = KL, b = ZAf,
c = MN = MN', p = QN = N'Q, d = LN, d' = LN', a = ZLKN.

Тогда d = y/h2 + (b + p)2 , d' = ^h2 + (b-p)2 .	(1)

Остается вычислить значения h = a sin a = 24a/2 , p — y/c2 — Л2 = 2 и
подставить их в (1).

4.	В банк помещен вклад в размере 3900 тыс. руб. под 50 % годовых. В
конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процен-
тов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную
сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что
размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725 %. Ка-
кую сумму вкладчик ежегодно добавлял ко вкладу ?

Ответ: 210 тыс. руб.

Решение. Пусть S ~ первоначальная сумма вклада, х — искомая сумма

ежегодных дополнительных взносов, р — годовая процентная ставка, а
«. = 14- Уэд — соответствующий ей коэффициент ежегодного роста, п
— срок хранения, R — суммарный процентный прирост вклада за все п

лёт хранения. В соответствии с условиями задачи сумма вклада составит
через год Sk, через два года — (Sk 4- х)к = Sk2 4- хк, через три года —
(Sk2 4- хк 4- х)к = Sk3 4- хк2 4- хк, а через п лет —

Г.п-1 _ 1

Skn + хк”-1 + хкп~2 + ... + хк - Skn + хк ---------

к — 1

Таким образом, приходим к линейному уравнению для неизвестной вели-

чины х :

ьп—1 — 1

Skn 4- хк • —t-

= S
з
Подставляя в него заданные значения S = 3900, к = - , п = 5, R — 725,
находим х = 210.

5.	Найти все х 6 [—3,1], для которых неравенство

х • (%($ + 1) - 4 • arctg (3m2 4- 12m 4-11)) > 0

выполняется при любых целых т.

Ответ: — 3 х < — 2 ; х = 1 .

Решение, При х < 0 имеем систему

4

х < f(m) = —14— • arctg(3m2 4- 12т 4- И) =
тг

4

= -! + — • arctg(3(m 4- 2)2 — 1) , Vm € Z ,

7Г

которая в силу возрастания функции арктангенс (а оно в свою очередь вы-
текает из возрастания функции тангенс на интервале (-тг/2, тг/2) ) равно-
сильна неравенству

х < min /(m) = /(-2) = -2 .

п>€И

Тем самым, на множестве (—оо, 0) П [—3,1] решениями будут

V® G [—3, —2) . В случае х > 0 имеем систему

ж > f(m) ^m^Z .	(2)

В силу ограниченности сверху числом тг/2 значений арктангенса

с одной стороны для всех т 6 Z f(m) < 1. С другой стороны в силу
того, что арктангенс принимает любое значение из интервала (—тг/2, тг/2),
выбором достаточно больших m 6 Z ъъъчеъмя /(т) можно с любой наперед
заданной точностью приблизить к 1.

Поэтому система (2) будет равносильна неравенству х 1. В результате
на множестве (0,4-оо) П [—3,1] единственным решением будет х = 1.

6.	Найти наименьшее значение выражения а2 4- (Ь- I)2 на множестве таких
чисел а и 6, для которых уравнение

|	— 4| — 2 | - ах 4- (4а - Ь) = 0

имеет ровно три различных корня. Указать, при каких а и b достигается
это наименьшее значение.
г
_ . - —

Ответ: наименьшее значение равно ~ и достигается при а = ±7 , Ь = ~
5 о 5

Решение. После замены переменной х — 4 = t число решений уравнения не
изменится, а само уравнение упростится:

|t| - 2 =at + b.	(3)

На рис. 30 изображен график левой части уравнения (3), представляющий
собой ”w”-образную ломаную. Графиками правой части уравнения (3) бу-
дут всевозможные прямые (см. также рис. 30). Анализируя взаимное рас-
положение ”w”-ломаной и этих прямых, приходим к выводу, что ровно три
различные общие точки они будут иметь в следующих случаях:

{-1 < а < 1 , 6=2}; {-1 < а < 0 , 6 = -2а} ; {0 < а < 1 , Ь = 2а} , (4)
а именно в случаях, когда одним из корней уравнения является :

1) t = 0 , 2) t = 2 , 3) t = -2 .

При этом величина угла наклона прямой у = at 4- Ъ с положительным
направлением оси Ot либо меньше 45° , либо больше 135° , в случае 1)
прямая может быть параллельна оси Ot (см. рис. 30).

На рис. 31 представлен графический образ множества (4) на коорди-
натной плоскости (а; Ь). Это контур равнобедренного треугольника KOL
с удаленными вершинами. При этом вопрос о минимизации выражения
а2 4- (b — I)2 есть вопрос о минимизации квадрата расстояния от точки
М(0; 1), лежащей внутри треугольника KOL, до сторон этого треуголь-
ника. Ясно, что этот минимум достигается в двух симметричных отно-
сительно оси ОЬ точках, являющихся основаниями перпендикуляров, про-
веденных из точки М на стороны LO и КО, это соответственно точки
3.2.6.	Вариант для самостоятельного решения
(отделение экономики) 1995 г.

1.	Решить неравенство

2-v/®2 -х-2 > 2х - 3 .

2.	Решить уравнение

л|	/ |sin$|\

2| cos ж| + log ct х (------) = 0.

*	\ COS X /

3.	В трапеции ABCD известны боковые стороны АВ = 49, CD = 50,
верхнее основание ВС = 9 и cos(ZAPC) = 1/5 . Найти диагональ АС .

4.	В банк помещен вклад в размере 2100 тыс. руб. под 100 % годовых. В
конце каждого из первых шести лет хранения после начисления процентов
вкладчик снимал со счета одну и ту же фиксированную сумму. К концу
седьмого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада
уменьшился по сравнению с первоначальным на 20 %. Какую сумму вклад-
чик ежегодно снимал со счета ?

5.	Найти все ж Е [-1,4], для которых неравенство

х • (тг(ж - 1) 4- 4 • arctg (5п2 4- 10п 4- 4)) > 0
выполняется при любых целых п.

6.	Найти наименьшее значение выражения р2 4- (д — 2)2 на множестве
таких чисел р и д, для которых уравнение

|ж — 3| — 3 — рж4-3р — q = 0

имеет ровно три различных корня. Указать, при каких р и q достигается
это наименьшее значение.
3.2.7.	Вариант с решениями задач (отделение менеджмента) 1995 г.

1.	Решить уравнение

Уя + 3 = 9 — х .

| Ответ: z — б7~|

Решение. Уравнение равносильно квадратному уравнению ж4-3 = (9 — ж)2
с ограничением х 9. Один из корней равен 6, а другой 13. Ограничению
подчиняется лишь х = 6.

2.	Решить уравнение
sin Зх	_

2 cos 2х + 1

Ответ: х ~ тгп , Vn 6 Z .

Решение. Уравнение равносильно уравнению sin3a: = Ос ограничением
7ГП

cos2x / —1/2. Находим множество корней х = — , Vn 6 Z , и исключаем

7Г

из него ж = ± — + 7rfc , Vfc Е Z .

<5

3.	Решить неравенство

Ответ:

Решение. Поскольку х > 1/3, то основание логарифма меньше 1 и поэтому
х — 1/3

х — 1/3 < ----т-тх . Делим обе части на положительное число х — 1/3 и

х 4- 1/3

заключаем, что 1/3 < х 2/3 .

4.	В первый год разработки месторождения было добыто 100 тыс. тонн же-
лезной руды. В течение нескольких следующих лет годовая добыча руды
увеличивалась на 25 % по сравнению с каждым предшествующим годом, а
затем на протяжении последующих 3 лет поддерживалась на достигнутом
уровне. Общий объем добытой руды за все время добычи составил 850 тыс.
тонн. Сколько лет разрабатывалось месторождение ?

Ответ: 6 лет ,

См. замечание в начале разбора варианта п. 3.2.5., оно имеет место и примени-
тельно к варианту данного пункта.
Решение, Пусть Ь — объем добычи за первый год, п — число лет, в течение
р

которых добыча возрастала на р процентов ежегодно, q = 1 4-	— со-

ответствующий коэффициент ежегодного роста, т — число лет, в течение
которых добыча оставалась неизменной на достигнутом ранее уровне, n4-m
— искомый срок разработки месторождения, S — общий объем добытого
сырья. Тогда уравнение для неизвестной величины п примет вид:

Ь-F bq 4- bq2 4-... 4- bq”"1 4- mbg””1 = S .

Преобразуем его к виду
пп - 1	qn

b • "--i 4- mb •	= S

g- 1	q

5

и, подставив заданные значения Ь = 100, q = - , m = 3, S = 850, найдем
4

п = 3. Искомое значение п 4- т = 6.

5.	В треугольнике АВС сторона АВ = 6, Z.BAC = 30°, радиус описанной
окружности равен 5. Найти сторону АС. Ответ: АС = 3\/3 ± 4 .

Решение. По заданному радиусу описанной окружности и противолежа-
щему углу находим сторону ВС = 2Bsin(ZBAC) = 5. Далее по теоре-
ме косинусов составляем для неизвестной стороны АС квадратное урав-
нение АС2 4- АВ2 - 2 • АВ • АС • соз(ЛВАС) = ВС2, и находим его корни
ЛС = Зх/3±4.

6.	Найти все значения параметра р , при которых уравнение
х — 2 = у/—2(р 4- 2)х 4- 2

имеет единственное решение. Ответ,	.

Решение. Обозначим а = —2(р4-2) и перейдем от уравнения к эквивалент-
ной системе

ГО2,
| (х — 2)2 = ах 4- 2 .
Нас интересуют те а , при которых квадратное уравнение
f(x) = х2 — (а 4- 4)® 4-2 = 0

имеет единственный корень на промежутке х 2 . Для данного квадрат-

ного трехчлена это требование равносильно неравенству /(2)	0 . Его

3

решениями являются а — 1 , откуда находим р •
3.2.8.	Вариант для самостоятельного решения
(отделение менеджмента) 1995 г.

1.	Решить уравнение

у/х — 7 = 13 — х .

2.	Решить уравнение

cos Зж _ Q

2 cos 2х — 1

3.	Решить неравенство

4.	В первый год разработки месторождения было добыто 400 тыс. тонн
нефти. В течение нескольких следующих лет годовая добыча нефти уве-
личивалась на 50 % по сравнению с каждым предшествующим годом, а
затем в течение еще одного года поддерживалась на достигнутом уровне.
Общий объем добытой нефти за весь период добычи составил 7300 тыс.
тонн. Сколько лет разрабатывалось месторождение ?

5.	В треугольнике АВС сторона АВ = 24, ЛВАС = 60° , радиус опи-
санной окружности равен 13 . Найти сторону АС .

6.	Найти все значения параметра 6, при которых уравнение

х-2 = ^2(6- 1)®+ 1

имеет единственное решение.
3.2.9.	Вариант с решениями задач (отделение экономики) 1996 г.

Замечание. При раэборе данного варианта приводятся более краткие
решения, чем в п.п. 3.1.11, 3.1.13, 3.3.11, 3.3.13, 3.4.7. Читателям предо-
ставляется самостоятельно провести необходимые выкладки и рассужде-
ния для более подробных обоснований полученных ответов.

1.	Решить систему уравнений

Г I - ж| - Vy + 3 = 1 ,
( ( — Ху/—х)2 — у = 10 .

Ответ: х = — 2 , у = — 2 .

Решение. Сделаем замену \/у + 3 = z и перейдем к равносильной системе:

х 0 ,

< х 4- z = — 1 ,
ж3 4- з3 = -7 .

(1)

(2)

(3)

Воспользуемся разложением т3 4- ? = (х + z)(x2 — xz 4- z2) и исключим
из (2),(3) неизвестное z. Полученное квадратное уравнение х2 4- х — 2 = 0
имеет два корня Ж1 = — 2 , ж2 = 1 , из которых с учетом (1) выбираем
х = — 2 . Ему соответствует у = —2 .

2.	Решить неравенство

log7(19 - 16ж|ж|) - log49(l - 4х)2
3 — 4ж — |4ж — 3|

Ответ: - < ж < 1 .
4

Решение. Знаменатель отличен от нуля и отрицателен при ж > -
числитель при этом неотрицателен:

log7(19 - 16x|x|) log49(l - 4х)2 = log7 |1 - 4х| .

В результате исходное неравенство будет равносильно системе

х > 3/4,

х 1/4,

19— 16ж|ж| > 0 ,
19-16ф|£ |1 —4х|.

(1)

(2)

(3)

(4)
При решении неравенства (4) раскрываем модули с учетом (1) и получаем
квадратное неравенство 4®2 + х — 5	0. Его решения образуют отрезок

— - х 1 . Неравенство (3) является следствием (2) и (4).

3.	Решить уравнение

/	19тг	,	\ Г 15тг	х	~

Itg------tg® I • i/ocos —— • cos — — cos® — 3 = 0.

\	о	у	V	*	25

7Г

Ответ: ® = — 4- 4тгЛ: , VA Е Z .

W

X

Решение. Обозначим t = cos — , преобразуем подкоренное выражение к

9 г	у/2	г

виду —2t2 4- 3y2t — 2 и найдем его корни: ii = — , t2 = v2 . Уравнение
z

х	,	®	\/2

cos — =	= v2 решении не имеет, а уравнение cos - =	= — хотя

Z	Z	Z

7Г

и имеет решения х = zb — 4" 4тгп > Vn € Я', но они не входят в область
определения тангенса. Теперь остается среди решений

7Г	гг

х = — 4- тгп , Vn 6 Z ,
о

(1)

19тг
уравнения tg х = tg —— = v3 отобрать те, которые удовлетворяют нера-
О

о /-	V2 г

венству 2tz - 3y2t 4-2^0# — t v2 , то есть условиям

2!

“ 4- 4тг& х 4- 4тгЛ , к = 0 ; ±1 ; ±2 ; ....
&	L

(2)

Представляя номер п в виде п = 4д 4- г , q Е Z у г = 0 ; 1; 2; Зи подстав-
ляя (1) в (2), заключаем, что т = 0 .

4. В контейнер упакованы комплектующие изделия трех типов. Стоимость
и вес одного изделия составляют 400 тыс. руб. и 12 кг. для первого типа,
500 тыс. руб. и 16 кг. для второго типа, 600 тыс. руб. и 15 кг. для третьего
типа. Общий вес комплектующих равен 326 кг. Определить минимальную
и максимальную возможную суммарную стоимость находящихся в контей-
нере комплектующих изделий.

Ответ: 10500 тыс. руб. и 12600 тыс. руб. .

Решение. Обозначим через тп, п, к количества комплектующих изделий
первого, второго и третьего типа соответственно. Требуется найти диа-
пазон возможных значений величины
/= 100(4m+5n + 6A:)	(1)

при условии

12m 4- 16л 4- 15Л: = 326 , m, n, к e W .	(2)

Из (2) следует, что число к является четным:

к = 2з , з е N ,	(3)

и тогда из (2) имеем

6m 4- 8п 4- 15s = 163 .	(4)

Из (4) следует, что число з является нечетным:

s = 2p4-l , pEZ , р^О ,	(5)

и тогда из (4) имеем

3m 4- 4п 4- 15р = 74 .	(6)

Из (6) следует, что число п при делении на 3 дает остаток 2 :

n = 3g4-2,geZg^>0,	(7)

и тогда из (6) имеем

т4- 4g 4- 5р = 22 .	(8)

Преобразуем выражение (1) с помощью (3), (5), (7), (8) :

f = 100(110 — g4-4р) , p,ge^,p,g^0.

Ввиду имеющегося ограничения (8) наибольщее значение f достигается
при р = 4 , g = 0 , m = 2 и равно /тах = 12600 , а наименьшее — при
р = 0 , g = 5 , т = 2 и равно /тш = 10500 .

5.	В треугольнике АВС с основанием АС = 8 проведена биссектриса BL,
Известно, что площади треугольников ABL и BLC относятся как 3:1.
Найти биссектрису BZ, при которой высота, опущенная из вершины В на
основание АС, будет наибольшей.

Ответ: BL = Z\/2 .

Решение. Треугольники ABL и BCL имеют общую высоту ВН, поэтому
их основания находятся в том же отношении, что и площади: AL : LC — 3.
Так как BL — биссектриса треугольника АВС, то

АВ:ВС = 3.	(1)

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине А(0; 0) и
направлением осей, указанным на рис. 3.32
Тогда вершина С будет иметь координаты (8; 0). Обозначим координаты
вершины В через (х;у). Тогда из (1) будем иметь

х2 4- у2 = 9((® -8)2 + у2) <=> (х — 9)2 4-?/2 = 9 .	(2)

Равенство (2) означает, что вершина В(х,у) находится на окружности ра-
диуса R = 3 с центром в точке ф(9; 0). Ясно, что высота ВН треугольника
АВС, опущенная из вершины В, будет наибольшей в случае совпадения ее
основания Н с центром окружности Q; (см. на рис. 32 указаны различные
варианты треугольников АВС) при этом ВН = Я = 3. Далее из (1) и того,
что AL 4- LC = 8, имеем AL = 6 , LH = АН - AL = 3 и, наконец, по
теореме Пифагора находим BL = у/ВН2 4- LH2 — Зу/2 .

6.	Найти все значения параметра а, при которых фигура, заданная на ко-
ординатной плоскости условием

02

4- arcsin(sin(a — |ж|)) ,

М (V

представляет собой 14-угольник.

_	5тг	7тг

Ответ:	—	< а	—	.

z	z
Решение. Переменные хну входят в условие задачи под знаком мо-
дуля, следовательно, заданная фигура симметрична относительно обеих
координатных осей и основные построения достаточно провести в первой
четверти, где	у 0 и

у а — х 4- arcsin(sin(a — ж)) .	(1)

Для графического отображения условия (1) построим график функции
у = f(x) = х + arcsin(sin х)) :

рис. 33

В терминах f условие (1) примет вид
у f(a - ж) = -f(x - а) .

График функции у = —f(x — а) при интересующих нас значениях
а 0 получается из графика функции у = f(x), изображенного на рис. 3.33,
сдвигом вправо на расстояние а с последующим зеркальным отражением
относительно оси Ох. По мере увеличения параметра а заданная фигура,

увеличиваясь в размерах, проходит следующие этапы эволюции: точка

(а = 0) —> четырехугольник —» шестиугольник —» 12-угольник —»

—» 14-угольник и т.д. Фаза 14-угольника наблюдается в диапазоне значений

— < а — . На рис. 3.34 изображен вид 14-угольника для а = Зтг. При

(5% 7тг]

остальных a 6 I — ; — картина качественно не меняется.

3.2.10.	Вариант для самостоятельного решения
\ (отделение экономики) 1996 г.

1.	Решить систему уравнений

( | - Х| +	= -1,

(	(ху/^х)2 + у = 7 .

2.	Решить неравенство

log4(9®|®| + 11) - log16(3® + I)2
3® + 2 - |3® + 2|

3.	Решить уравнение

. 17тг	\	.	13тг	. х

tg “5------tg х )	•	л / cos х	-	10 • sin	—-	• sm -	— 5 = 0.

о	]	у	4	z

4.	Партия товара упакована в коробки трех типов. Вес и стоимость
содержимого одной коробки составляют 9 кг и 320 тыс. руб. для первого
типа, б кг. и 150 тыс. руб. для второго типа, 4 кг. и 120 тыс. руб. для треть-
его типа. Суммарная стоимость товара равна 4180 тыс. руб. Определить
наименьший и наибольший возможный общий вес партии товара.

5.	В треугольнике KLM с основанием КМ = 6 проведена медиана LP.
Известно, что расстояния от точки Р до боковых сторон KL и LM отно-
сятся как 1 : 2. Найти медиану LP, при которой площадь треугольника
KLM будет наибольшей.	;

6.	Найти все значения параметра а, при которых фигура, заданная на
координатной плоскости условием

|j/|	\ a —|ж|j 4- arcsin(sin(o — |ж|)),

представляет собой 12-угольник.
3.2.11.	Вариант с решениями задач
(отделения вечернее и менеджмента) 1996 г.

1.	Решить неравенство

log4(3 - Зж)2 > log2(x2 - 1) .

Ответ: —4 ж < —1 ; 1 < ж 2 .

Решение. После перехода к основанию 2 неравенство примет вид

log213 - 3®| > log2(x2 - 1) ,

что равносильно системе |3 — Зж| ж2 — 1>0.

2.	Решить систему уравнений

J х 4- Зу = 2 ,
( х3 + 27* = 26 .

Ответ: х = — 1 , у — 1 .

Решение. Сделаем замену 3* = z и перейдем к равносильной системе:

* > 0 ,	(1)

х 4- z = 2 ,	(2)

ж3 4- z3 = 26 . (3)

Воспользуемся разложением х3 4- z3 = (х 4* z)(x2 - xz + z2) и исключим
из (2),(3) неизвестное х. Полученное квадратное уравнение z2 - 2z — 3 = О
имеет два корня zi = — 1 ; z2 = 3, из которых с учетом (1) выбираем z = 3.
Ему соответствует х = — 1 , у = 1 .

3.	В контейнер упакованы изделия двух типов. Стоимость и вес одного из-
делия составляют 400 тыс. руб. и 12 кг. для первого типа и 600 тыс. руб.
и 15 кг. для второго типа. Общий вес изделий равен 321 кг. Определить
минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость находя-
щихся в контейнере изделий.

Ответ: 11000 тыс. руб. и 12600 тыс. руб.

* См. замечание в начале разбора варианта п. 3.2.9., оно имеет место и примени-
тельно к варианту данного пункта.


Решение. Обозначим через тип количества изделий первого и второ-
го типа соответственно. Требуется найти диапазон возможных значений

величины при условии	/ = 100(4m + 6п)	(1)  12m + 15п = 321 , т, п е N.	(2)

Выразим из (2) тп через п (2) и подставим в (1) :

/= 100(107+ п) .

Ввиду имеющегося ограничения (2) наибольшее значение f достигается
при п = 19 и равно /тах = 12600, а наименьшее — при п = 3 и равно
/min = 1Ю00.

4.	Решить уравнение V/<12 • sin х = у/sin 2х .

7Г

Ответ: x~rn . Vn 6 Z ; х = — 4-	, Vfc € Z .

6

Решение. Уравнение равносильно системе:

{sin® 0 ,	(1)

sin® • (л/Ззш® — cos®) = 0 . (2)

Уравнение (2) выполняется либо при sin® = 0, либо при tg® = -д • Во
втором случае следует провести отбор корней, учитывая неравенство (1).

5.	Через точку А, находящуюся вне окружности на расстоянии 7 от ее
центра, проведена прямая, пересекающая окружность в точках В и С. Най-
ти радиус окружности, если известно, что АВ = 3 , ВС = 5 . Ответ: 5 .

Решение.
Ответ: р = 6 .

По свойству секущих, проведенных к окружности из одной точки, имеем
(см. рис. 35):

АВ- АС = AD AE .	(1)

Обозначим искомый радиус через R и, подставив в (1) АВ = 3 , АС = 8 ,
AD = 7 — R , АЕ = 7 4- R , получим квадратное уравнение для R .

6.	При каких значениях параметра р площадь фигуры, заданной на коор-
динатной плоскости условием

|2® + J/I + |ж - У + 3| р ,

будет равна 24 ?

Решение. Заданное множество является пустым при р < 0, при р = 0 это
точка с координатами (х = -1 ; у = 2), а при р > О — параллелограмм
вместе со своими внутренними точками, его центр, точка пересечения диа-
гоналей — точка (ж = — 1 ; р = 2), а его стороны, параллельны прямым
® = 0и2:4-2р = 0, что устанавливается путем раскрытия модулей так
же, как и в решений задачи 4 варианта п. 3.2.3. На рис. 3.36 изображен
вид этого параллелограмма именно для того значения параметра р = 6,
которому соответствует площадь, равная 24.

рис. 36
3.2.12.	Вариант для самостоятельного решения
(отделения вечернее и менеджмента) 1996 г.

1.	Решить неравенство

log9(4 + 4ж)2 log3(x2 - 1) .

2.	Решить систему уравнений

81 + у3 = 37 .

3.	В контейнер упакованы изделия двух типов. Стоимость и вес одного
изделия составляют 300 тыс. руб. и 15 кг. для первого типа и 400 тыс.
руб. и 18 кг. для второго типа. Общий вес изделий равен 279 кг. Опре-
делить минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость
находящихся в контейнере изделий.

4.	Решить уравнение

у/sin 2х = ^/12 • cos х .

5.	Через точку К, находящуюся вне окружности радиуса 4 , проведена
прямая, пересекающая окружность в точках L и М. Найти расстояние от
точки К до центра окружности, если известно, что KL = 4, КМ = 5.

6.	При каких значениях параметра q площадь фигуры, заданной на ко-
ординатной плоскости условием

|® + 2у| + |х - У - 3| q,

будет равна 54 ?
3,3.	Геологический факультет МГУ

3.3.1.	Вариант с решениями задач 1993 г.

1.	Найти численное значение выражения

8а^/а 4" b^b j I 4y/a 4" 2\/б
4y/a 4- 2у/Ь a ) I 4a-b

Решение

Область допустимых значений выражения (ОДЗ):

4а — Ь ф 0 ,

Ответ: 2 при а 0 , Ь 0 , 4а — 6 / 0 .

2.	Решить уравнение

Vl — cos2 х + 6 cos 2х = 0 .
Решение

V1 — cos2 х 4- 6 cos 2x — 0	<=>

| sin x | 4-6(1 - 2 sin2 x) = 0 .
Сделаем замену: | sin x |= t . Исходное уравнение равносильно уравнению
12t2 -1 - 6 = 0 . Оно имеет два решения:

V	। . i 2

Уравнение | sin ж |= — - решении не имеет; решая уравнение

. . I 3

| sin® |= - , получаем ответ.

3

Ответ: х = ± arcsin ~ 4- тгп , Vn £ Z .

ТГ

3.	Для рытья котлована выделили два экскаватора. После того, как
первый проработал 2 часа, его сменил второй, который за 3 часа закон-
чил работу. Всю работу один второй экскаватор выполнил бы на 4 часа
быстрее, чем один первый экскаватор. За какое время выроют котлован
оба экскаватора, работая вместе ?

Решение

Пусть скорость работы первого экскаватора — vi, второго — полный
объем работы — Л, искомое время — t. Запишем условия задачи:

2vi 4- 3v2 = А ,

< А А А
-------------= 4 .

V1 V2

Необходимо найти t =-------.

V1 4-^2

Сделаем замену: — = х >	= у . Данная система уравнений равно-

сильна следующей:

' 2х + Зу = 1 ,
< 1-1 = 4.

I ® у
Выражая х через у из первого уравнения и подставляя его во второе,
получим следующую систему уравнений :
1 — Зу
®	«— >

<	2

12s/2 + у - 1 = 0 .
гг	1	1

Последнее уравнение имеет два решения: у± = — - ; у2 = - •
_	п 11	1	8 3

Так как 2/ > 0, тоу = - , х = - => t =---------= - .

4	8	х 4-2/	3

Ответ: 2ч. 40мин. .

4.	Решить неравенство

|bgtg?(x2) > logtK?(>/2x + 3) .

Решение

I iogtgf (я2) > logtgf (\/2х + 3)

£ * *

logtgj (я2) logtgf (2х + 3) ,

Л 7Г 7Г

О < tg- < tg- = 1 .

Область допустимых значений левой и правой частей исходного уравне-

ния:

=>

Г ж2 > 0 ,
| 2х 4- 3 > О

ОДЗ X 1 так:	з  > — - , х ф 0 . Исходное неравенство равносильно преобразуется ж2^2ж4-3 <=> х2 — 2х — 3 0 (ж 4-l)(z — 3)	0.

Решения последнего неравенства: — 1 х 3. Учитывая ОДЗ, имеем
Vz 6 [— 1,0) U (0,3] — решения исходного неравенства.

Ответ: [-1,0) U (0,3] .

5.	На стороне АВ треугольника АВС как на диаметре построена окруж-
ность, пересекающая стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно.
Прямая DE делит площадь треугольника АВС пополам и образует с пря-
мой АВ угол 15°. Найти меры углов треугольника АВС.
Решение

рис. 37

Углы Z-А у £В , Z.C — острые (точка С лежит вне круга).

Обозначим А , В , С — меры углов при соответствующих вершинах
треугольника АВС, для меры угла АВС, например, будет использоваться
и такое обозначение, как АВС. Так как четырехугольник ADEB вписан в
окружность, то САВ 4- BED = 180° =>

=> САВ = DEC, аналогично СВ А = EDC =>

=> &ECD ~ ДАВС с коэффициентом подобия к =>

, ЕС DC DE
k —__—___—___

AC ВС AB

2 S&DEC 1	v2

= S^=2 ’ ‘ = T-

АЕ ± BC (AB — диаметр) => к = ~~ = cos С =	=> C = 45°.

AC	2

В силу теоремы о сумме углов треугольника

А + В + С = 180’ => А + В = 135’ .

Z.ABC — внешний угол ABEF =>

=> АВС = BEF + BFE => АВС = DEC +15’ => АВС = ВАС +15’ =>
( А + В = 135’ ,
[ В - А = 15’

А — 60’ , В = 75* . Замечание: может быть наоборот А = 75’ , В = 60’ ,
если точка А лежит между точками В и F .

Ответ: 60’ , 75’ , 45’ .

6.	Найти все действительные значения параметра к , при которых ровно
одна точка графика функции

у = 2х + (1g к • у/cos (2kirx) + 2 cos (кпх) — 3 ) + 1

лежит в области (2® — 7)2 + 4(у — З)2 <С 25 .
Решение

у = 2х 4- (1g к • \/cos (2Лтг®) + 2 cos ктгх — з) + 1 , к 6 R

Область определения 1g к : к > 0 . Область определения функции

\/cos (2ктгх) 4- 2 cos ктгх — 3 :

cos 2ктгх 4- 2 cos ктгх — 3^0 О

О cos2 ктгх 4- cos ктгх — 2	0 О

О (cosforjE 4-2)(cosfc7nc — 1)	0 О

<=> cos ктгх = 1 <=> ктгх = 2тгп , Vn 6 Z .

2п

Итак, при к > 0 D[f] : {ж = —, Vn 6 Z}
К

(2х - 7)2 + 4(у - З)2 25 ,
у = 2х + 1

О (2г - 7)2 + 4(2ж - 2)2 <25 <=>

» х2 - Зх + 2 < О О (х - 1)(ж - 2) < 0 <=> 1<г<2.

Так как к > 0 , то
2п	к

1^х^2 <=> 1<$ —^2 <=> -<$n<$fc =>
к	2

при 0 < к < 1 целых точек (целых значений п) нет ;

2Х2

’к 1

D {1} — 1 целая точка ;

к = 2 =»

Г &

к D {1; 2} — 2 целые точки ;
L "

длина

точки.

к
Ч<

к

2 '

- к
2’

’к

-,к Э {2} — 1 целая точка ;

А

'к

-,к D {2; 3} — 2 целые точки ;

не меньше 2 =>

к

—,к D более целой 1

3

2

к

2

Ответ: 1 к < 2 ; 2<fc<3.
3.3.2.	Вариант для самостоятельного решения 1993 г.

1.	Найти численное значение выражения

(ay/a 4- 27by/b	/-Д / Зу/а 4- 9у/Ь

—--------—---Vab I • I —-------

3^4-9\/Ь	/ \ а-96

2.	Решить уравнение

15 • (cos2«) • \/1 + tg2® = 7 .

3.	На берегу озера расположены пункты А и В. Из пункта А в пункт
В отправился катер, а через 1 час после этого из пункта В в пункт А
вышла моторная, лодка. Еще через час они встретились и, не останавлива-
ясь, продолжили движение. Катер прибыл в пункт В через 2 часа 20 минут
после того, как в пункт А прибыла моторная лодка. Через какое время пос-
ле начала движения произошла бы их встреча, если бы они одновременно
отправились навстречу друг другу ?

4.	Решить неравенство



5.	Точка М, лежащая вне круга с диаметром ЛВ, соединена с точками
Ли В. Отрезки МА и МВ пересекают окружность в точках С и D со-
ответственно. Площадь круга, вписанного в треугольник АМ В в 4 раза
больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник CMD. Найти меры
углов треугольника АМ В, если известно, что один из них в 2 раза больше
другого.

6.	Найти все неотрицательные действительные значения параметра а,
при которых в области (у 4- 2)2 — 4х 0 лежат ровно три точки графика
функции у = 2х (-^/cos (2тгж) — cos 4 (алх) — 1 ) + 2 .
3.3.3.	Вариант с решениями задач 1994 г. (май)

1.	Какое из чисел меньше \/47 или \/13 ?

Решение

</47 V V13 & (<^7)6 V (ЛЗ)6	472 V 133 <£>

2209 V 2197 ; 2197 < 2209 => \/13 < </47 

2.	Упростить до численного значения выражение

7 у/Зч/a — 7 у/Ьу/Ь	За-5Ь

бЛл/а+6^/бЛ ’ 9а + 156+бЛбаЬ ’

Решение

Область допустимых значений (ОДЗ) выражения а 0 ; Ь 0 ; За / 55.
В частности, отсюда вытекает невозможность одновременного обращения
в нуль а и Ьу а потому и необращение в нуль всех выражений, на которые
осуществляется деление в исходном выражении.

С помощью формул сокращенного умножения: разности квадратов и
квадрата суммы двух чисел, данное выражение преобразуется следующим
образом:

Ответ: 7/2 при а 0 , 5^0, За ,4 55.

3.	Решить неравенство

х/24 — Юж + ж2 > ж — 4 .

Решение

\/24 — Юж 4- ж2 > ж — 4 <=> \/(ж ~ 4)(ж — 6) > ж — 4


( {х — 4)(ж - 6) > (х — 4)2 ,
1 (ж - 4) 0 ;

J (ж - 4)(ж - б) О ,
I (ж - 4) < О

4. Решить уравнение

Ответ: ж < 4 .
sin 5х = sin 5 .

Решение

„ . 5(ж —1)	5(ж + 1)

sin 5ж = sm 5	2 sin	„—- cos	-—- = 0 4^

2	2

. 5(ж — 1)	, 2тгп

вш —-—- = 0 ж = 1 +	;

л-s	А	О

5(ж 4-1) л	л * 2тгп

cos •>...	' = 0	ж = -1 + т + — .

L	2	0	0

zx	2жп	.	тг 2тгп

Ответ:	х = 1 4-	——	; х =	-1	4- - 4- -z—	; п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

_______________________о__________________о о________________________
5. Решить уравнение (log3 ж)(5 — 21og3 х) = 3 .

Решение

Обозначим t = log3 х , тогда исходное уравнение примет вид

3
2t2 - 5t 4- 3 = 0 , его решения 11 = 1 ,	,

а потому оно оказывается

равносильным совокупности простейших логарифмических уравнений,

log3 х = 1 х = З1 = 3 =	;

log3x = 3/2 ж = 33/2 = х^7 = 3х/3 = ж2 ,

решения которых х± и ж2 Дают решения исходного уравнения.

Ответ: х = 3 ; х = Зу/З .
I

6.	Решить неравенство |х|(ж4 — 2ж2 — 3)	0 .

Решение

х = 0 удовлетворяет неравенству; если х ф 0 , то
|ж|(ж4 — 2ж2 — 3)	0 х4 — 2х2 — 3	0

(ж2 - 3)(ж2 + 1) О <£> ж2 — 3 0	(®-л/3)(ж4-\/3) 0 <=>

v3 '

- 1 <=> (—оо, — л/3] U [л/3> +оо) — решения последнего

<5

неравенства.

7.	У треугольника известны длины двух сторон а = 2, Ь = 3 и пло-
щадь S = 3\Х15/4 . Медиана, проведенная к третьей его стороне, меньше ее
половины. Найти радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение

I

I
i

Обозначим через у меру (величину) £

угла ВСЛ, а через с и тс —	~	L о

соответственно длины стороны АВ Z \
и медианы CD ААВС.

Достроим треугольник АС В до	X

параллелограмма AC BE. Так как в
параллелограмме диагонали в точке	Е

пересечения делятся пополам,	рис. 38

противоположные стороны равны и сумма углов, прилежащих одной сто-
роне равна развернутому углу, его диагональ СЕ будет продолжением ме-
дианы CD, ее длина будет равна 2тс, длина его стороны АЕ равна длине
ВС треугольника ВС А, которая равна а = 2, а величина угла САЕ равна
тг — 7. По формуле площади треугольника

о 1 t .	. 2S Зл/15	л/15

S&BCA = -absiny имеем: sin7 = — =	.

2	ао 2 • 2 • о 4

По теореме косинусов для треугольников АСВ и САЕ соответственно име-
ем:

с = \/а2 + Ь2 - 2afrcos7, 2тс = у/а2 + i>2 + 2afrcos7 .

По условию задачи тс < с/2 & с > 2тс О -4afrcos7 > 0 <=> cos 7 < 0 =>
=> с = 1/4 + 9 + 2 • 2 • 3/4 = 1/16 = 4 =>
по теореме синусов для треугольника ВС А

Roti. —

с 4-4 _ 8
2зш7 “ 21/15 “ -/15 ’

Ответ: Яоп. = 8/1/15 .

8.	Из пункта А в пункт В можно доехать тремя маршрутами: или через
пункт С, или через пункт D, или напрямую, минуя промежуточные пунк-
ты. Расстояния АВ = 80 км, АС = 40 км, СВ = 60 км, DB = 100 км,
AD = 30 км. Известно, что пункты А и В , Л и С, Am D связывают грун-
товые дороги, а пункты С и В , D и В — шоссейные дороги. Скорость на
шоссе на 40 км/час больше, чем на грунтовой дороге. Какой маршрут сле-
дует выбрать, чтобы скорейшим образом добраться из пункта А в пункт В,
если скорость на грунтовой дороге более 15 км/час, но не более 30 км/час?

Решение

рис. 39

Пусть v (км/ч) — скорость на грунтовой дороге, тогда
(у 4- 40) (км/ч) — скорость на шоссе;

80 л 30

=> МВ = —; ^ADB = —Ь
V	V

30	100	80	100

---1-------у —	------

v v 4- 40 v v 4- 40

100	_ 40	60

v 4- 40 ’ ЛСВ v + v 4- 40
50

V — 2v V v 4- 40 <=> v V 40 .
v

v <С 30 => v < 40 => Iadb < 1ав .

30

v

v 4- 40 v

—”777 <=>	V — 4v V v 4- 40 <=> 3v V 40

v 4- 40 v + 40

v > 15 => 3v > 45 > 40 => Iacb < ^adb < ^ab •

Ответ: маршрут AC В .
3.3.4. Вариант для самостоятельного решения 1994 г. (май)

1.	Какое из чисел больше 1^58 или \/15 ?

2.	Упростить до численного значения выражение

9у/7у/а + 9л/3Vfe	7а-36

8>/7х/а - 8х/3у/b ' 28а + 126 - 8л/21а6 ’

3.	Решить неравенство

х + 5 < \/15 + х2 4- 8х .

4.	Решить уравнение

cos 2х = cos 2 .

5.	Решить уравнение

з

(2 — logg ж) logg ®	.

6.	Решить неравенство

Л • (ж4 - 6ж2 - 16) 0 .

|ж|

7.	У треугольника известны длины двух сторон а = 6, Ь = 8 и площадь
S = Зу/15. Третья его сторона меньше удвоенной медианы, проведенной к
ней. Найти радиус вписанной в этот треугольник окружности.

8.	Бассейны объемами 1200 м3, 1400 м3 и 1600 м3 можно наполнить:
первый - одной первой трубой, второй - сначала 8003 первой трубой, за-
тем 6003 второй трубой, третий - сначала 7003 первой трубой, а затем 9003
второй трубой. Производительность первой трубы на 4003/час меньше, чем
второй трубы. Какой из бассейнов наполняется быстрее, если производи-
тельность второй трубы не менее 7003/час, но менее 11003/час?
3.3.5. Вариант с решениями задач 1994 г. (июль)

1.	Какое из чисел меньше 2\/17 или 8, (24) ?

Решение

Первый способ. Применим формулу перевода бесконечной периодичес-
кой десятичной дроби 8, (24) = 8,24242424...24... в обыкновенную дробь:

2^v8,(24)o2v47V^ = ^

г- 408	136

17 V----=------

99	33

<=> 33Л7 V 136 О 17 • ЗЗ2 V 1362

& 1089 • 17 V 1362 & 18513 V 18496 ,

так как 18513 > 18496 , то 2л/17 > 8, (24) , отсюда следует ответ.

Второй способ.

2\/17 = \/68 = 8,2462112... > 8,242424...24... = 8, (24) .

В данном случае приближенное значение \/б8 с любой степенью точнос-
ти можно получить, применяя алгоритм извлечения квадратного корня из
положительного числа (о нем можно прочитать в книге ’’Элементарная ма-
тематика”, авторы В.В. Зайцев, В.В. Рыжков, М.И. Сканави, М., ”Наука”,
1974 г. или 1976 г. издания). Здесь также применено правило сравнения
положительных бесконечных десятичных дробей.

Ответ: 8, (24) .

2.	Упростить до целого числа выражение

, \/8 + 2х/7 _ х/З + ч/7
^8-277	\/3-л/7

Решение

\/8 + 2Л _ УЗ + ^7	= 3 /(8 + 2У7)2 _ У(3 + У7)2

V8 — 2\/7 л/3->/7	^в2- (2Л)2 ^З2- (?7)2

_	8 + 2^ З + у/7 к

Лб л/9^7 ’V

= ^ • (в + 2Л) -(з + х/7)=4 + л/7-3-л/7=1.

Ответ: 1 .
3.	Решить уравнение у2 4 2у/у2 4 3?/ — 4 — 4 4- Зу = 0 .

Решение

у2 4- 2у/у2 4 Зт/ - 4 - 4 4- Зу = О <=> у2 4- Зу - 4 4- 2\/у2 4 3?/ - 4 = О <£>
<=>(< = \/у2 4- 31/ — 4 => t 0) <=> t2 4- 2t = О <=> (t 4- 2)t = О =>

(так как t О)

t = О => у2 4-31/ - 4 = О => у = 1/1 = -4 ; у = у2 = 1 .

Ответ: у = — 4 ; у = 1 .

4.	Решить уравнение cos х 4- cos Зх 4- cos 5х = 0 .	*

Решение

cos х 4 cos Зх 4- cos 5ж = 0 <=>

О cos Зх 4- 2 cos Зх cos 2х = 0 О cos Зж(1 4 2 cos 2х) = О О

cos Зх = 0 <=> Зж = тг/2 4 тгп ;

cos 2х = -1/2 <=> 2х = ±2тг/3 4 2тгп , отсюда вытекает ответ.

Ответ: ж = — 4 -тг ; z = i — 4 тгп ; n = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .
б 3 3

5.	Решить неравенство \/4z — 3 — г2 ф 0 .
Решение

ОДЗ —z2 4 4z — 3	0. Так как при всех таких z yj—z2 4 4z - 3	0 ,

причем равенство нулю имеет место тогда и только тогда, когда

—z2 4 4z — 3 = 0 , то

\/4z - 3 - z2 / 0 <=> -z2 4 4z - 3 > 0

z2 — 4z 4 3 < 0 <=> (z — l)(z — 3) < 0 => ответ.

Ответ: 1 < z < 3 или (1,3) .

6.	Решить неравенство 4 cos ж — sin 2ж > 0 .
Решение

4 cos ж — sin 2ж > 0	4 cos ж — 2 sin ж cos ж > 0

cos ж(2 — sin ж) > 0	1 sin ж 1) cos ж > 0 => ответ.

Ответ: -^4 2тгА; < ж < 4 2тгЛг , к = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .
7.	Технология изготовления дискет состоит из четырех этапов. На каж-

дом из них увеличивается содержание кремния на определенное количество

процентов по отношению к их количеству на предыдущем этапе: на первом
этапе — на 25%, на втором этапе — на 20%, на третьем этапе — на 10%, на
четвертом этапе — на 8%. На сколько процентов в результате увеличится
содержание кремния ?

Решение

Пусть А — первоначальное количество кремния. Так как увеличение на
5 6 11 27
25% ; 20% ; 10% ; 8% означает соответственно увеличение в - ; - ; — ; —

раз, то (по формуле сложного процента на стр. 23) окончательное количест-
во кремния в дискете будет равно

А-

5 6 П 27

4 5 10 25

= А-

1782

1000

= А-1,782,

что составляет 178,2% от А , а это означает увеличение количества крем-
ния на 78,2% .

Ответ: 78,2% .

8.	Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать и около не-
го можно описать окружности. Диаметр описанной окружности совпадает
с диагональю АС. Доказать, что модули разностей длин его противопо-
ложных сторон равны.

Доказательство

В

Пусть длины сторон АВ ; ВС ;

CD ; DA четырехугольника ABCD	/ а/

соответственно равны а ; b ;	/\Д

с ; d . Так как в ABCD можно	24

вписать окружность, то а + с = 6 + d .	\	/I

Так как АС — диаметр окружности,	\ х. /у

АВС = ADC = 90° .

Следовательно, по теореме Пифагора	рис. 40

а2 4- Ь2 = |АС\2 = с2 + d2 =>

( a2-c2 = d2-b2 > Г (a-c)(a + c) = (d-6)(6 + d) ,

I а + с = Ь + d	( a4-c = 6 + d

=> а — с = d — Ь а — с = —(b — d) <=>•

<=> |a — с| = |6 — d| |a — с| = |d — fr| <=> |с — a( = |fr — d| |c — a| = |d - 6| ,

что и требовалось доказать.
9.	ЧеФыре бригады разрабатывали месторождение горючих сланцев в
течение трех лет, работая с постоянной для каждой бригады производи-
тельностью. На втором году в течение четырех месяцев работа не произ-
водилась, а все остальное время (то есть в течение 32 месяцев) работала
только одна из бригад. Отношения времен работ первой, второй, третьей и
четвертой бригад и количества выработанной продукции соответственно
равны:

в первый год	4 :	: 1 :	: 2 :	: 5	И	10 млн. т.
во второй год	2 :	: 3 :	: 2 :	: 1	И	7 млн. т.
в третий год	5 :	: 2 :	: 1 :	: 4	и	14 млн. т.

Сколько млн. т. горючих сланцев выработали бы за 4 месяца четыре
бригады, работая все вместе ?

Решение

Пусть х ; у ; z ; t (млн. т.) — объемы добычи горючих сланцев за
1 месяц соответственно первой; второй; третьей и четвертой бригадами,
тогда, искомая величина равна

4(ж + у + z + t) .

В силу условий задачи (так как, в частности, в году 12 месяцев
44-1 + 24-5 = 12; 2 + 3 + 2 + 1 = 8; 5 + 2+1 + 4 = 12) объемы добычи
сланцев в первый; второй; третий годы соответственно равны:

4х + у + 2z + 5t ; 2х + Зу + 2z +1 ; 5х + 2у + z + 4t ,

откуда мы получаем следующую систему уравнений:

4х + у + 2z + Ы = 10 ,

< 2х + Зу + 2z +1 = 7 ,
5ж + 2у + z + 4t = 14 .

Для определения суммы х + у + z +1 умножим первое уравнение на а,
второе уравнение — на /3, третье уравнение — на 7, причем а , /3 , 7 будут
подобраны из условий

4а + 2/3 + 67 = а + 3/3 + 27 = 2а + 2/3 + 7 = 5а + /3 + 47 ,
при которых, если сложить все полученные уравнения, то коэффициенты
при ж, j/, z, t будут равны. Получаем такую систему уравнений:

{4а + 2/3 + 57 = а + 3/3 + 27 ,
4а + 2/3 + 67 = 2а + 2/3 + 7 ,
4а + 2/3 + 57 = 5а + /3 + 47

За —/3 = — З7 ,
а = -27 ,
а =/3 + 7

/з = -з7,
а = —27 ,
а = /3 + 7 .
Последней системе удовлетворяют, например, а = 2,/3 = 3,7=—1.
Проводя теперь указанную операцию, мы получим

9(зс 4- у 4- z +1) = 27 О x + y + z+t = 3 <=> 4(ж 4- у 4- z 4-1) = 12 .

Ответ: 12 млн. т.

10.	Дан куб ABCDA'B'C'D'. Через вершину В проведена диагональ.
Найти отношение площади сечения этого куба плоскостью, перпендику-
лярной указанной диагонали и проходящей через ее середину, к площади
его полной поверхности.

Решение

рис. 41

Пусть длина ребра куба равна а, тогда длина диагонали его грани бу-
дет равна у/2а, а длина диагонали куба будет равна ^/За. Следовательно,
cos(ZBD'B') = у/2/у/З. Точка О — середина диагонали BDf.

Построение сечения

В плоскости BB'D'D из точки О восстановим перпендикуляр к BDf, он
пересечет диагональ BfDf грани А’В’СЧУ в точке jE?', так как

|№| = ,1^1 , = J^l = 4 . <..	< Ло = ID'B'I ,

1	’ cos(Z£'P'O) у/2/у/з	2^/2	4	1	1 ’

аналогичным образом он пересечет диагональ BD в точке Е. Через точ-
ку Ef проводим LfMf параллельно Л'С', а через точку Е проводим LM
параллельно ЛС, откуда: I/Mf принадлежит плоскости А'В'СЧУ, LM
принадлежит плоскости ABCD, V принадлежит ребру А*ВГ, М' принад-
лежит ребру BfCf, L принадлежит ребру AD, М принадлежит ребру CD .
Отметим, что в силу параллельности АС и А'С", а также транзитивности
свойства параллельности прямых вытекает параллельность LM и Х'М'.

В силу свойств куба

( А'С 1 BB'D'D ,	f L'M' 1 BB'D'D ,

I ACL BB'D'D ( LM L BB'D'D *

т„ и Tlt/, ( L'M'L BB'D'D , M ( BD1 LEE',

=> LM || L M и | LM ± BB'DiD	Из I Bjy ± LM вытекает,

что диагональ BDf перпендикулярна плоскости, проходящей через LM и
ЕЕ'. Так как точка Е' принадлежит L'M' и Z'Af' || ZAf, то этой же плос-
кости будет принадлежать и L'M'. Следовательно, эта плоскость содержит
искомое сечение.

Продолжим LM к АВ до пересечения в точке Я, а также продолжим
LM и ВС до пересечения в точке S. Соединим точки R и Z', а также
соединим точки S и М', обозначим за К точку пересечения RL' и АА' и
за Р точку пересечения M'S и СС', откуда вытекает, что шестиугольник
LKL' М'РМ — искомое сечение.

Так как \D'E'\ = Зау/2/4 , то \В'Е'\ = а^2/4 = |B'G'|, где G' — точка
пересечения диагоналей А'С и B'D' грани A'B'C'D' . Z'Af' || А'С' =>
=> AB'L'M' ~ АВ'А'С с коэффициентом подобия

\В'Е'\ _ 1 _ |B'Z'| _ \В'М'\ _ \L'M'\
~ |B'G'| “ 2 “ |В'А'| ~ |B'C'| ~ |A'C'| ’

Следовательно, \L'M'\ = ay/2/2, |B'Z'| = \B'M'\ = a/2 = |A'Z'| = IQ'Af'|, в
частности, AB'L'M' — прямоугольный и равнобедренный, а потому гра-
дусные меры его острых углов равны 45°. Аналогично доказывается, что
\LM\ = ay/2/2, \DL\ = \DM\ = a/2 = \AL\ = \CM|, в частности, &DLM
— прямоугольный и равнобедренный, а потому DLM = DML = 45°. Сле-
довательно, меры вертикальных с ними углов RLA = SMC = 45°. Так
как ДЯАЬ и ASCM прямоугольные, то и LRA = MSC = 45°. Следо-
вательно, AZ-RA и AMSC равнобедренные и прямоугольные, а потому
|AZ| = |АЯ| = \СМ| = |CS| = а/2. Треугольники AKR и AfKLf пря-
моугольные, имеют по равному катету (|АЯ| = |A'Z'| = а/2) и равному
острому углу (Z.RKA = ZA'/CZ')» следовательно, они равны, а потому
|АЯ| = |ЯА'| = а/2. Теперь из равенства шести прямоугольных треуголь-
ников ARL\ ARK*y ALK\ КА'I/; BfLfMf\ DML по двум катетам вытекает:

| AJC| = |АЯ| = |AI| = \KA' | = |A'Z'| = |I'B'| = |B'M'| = |Z>L| = |DAf | =

2!
и на основе теоремы Пифагора мы имеем:

|ЯЯ| = |Я£| = |Я£| = |KZ'| = |£'Af'| = \LM| =	.

Отсюда, в частности, следует, что ARKL — равносторонний.

Поэтому KRL = RKL = KLR = 60°, откуда LKLf = KLM = 120°.

Аналогичным образом доказываются равенства а/2 длин отрезезков
СР ; PCf ; CS так как \СМ| = \CD\ - \DM| = а/2 =

= |С"В'| — \В'М'| = |С'М'|, то имеет место равенство четырех прямоуголь-
ных треугольников CMP ; CSP ; CMS ; PCM' по двум катетам.

Следовательно, применяя также теорему Пифагора, мы имеем:

|PS| = |РМ| = |$М| = |РМ'| =	.

Отсюда, в частности, следует, что &SPM — равносторонний. Следова-
тельно, PSM = SPM = PMS = 60°, откуда МРМ' = PML = 120°.

Так как LM || УМ1 или что то же самое RS || L,Mf по свойству
внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей
KL'Mf = 180° - KRL = 180° - PSM = PM'L' = 120° .

Таким образом, мы получили, что у построенного сечения куба — шес-
тиугольника LKLf М'РМ равны все стороны и все внутренние углы. Сле-
довательно, этот шестиугольник — правильный.

По формуле площади правильного n-угольника с длиной стороны Ь

при п = 6 , 6 = ау/2/2 имеем:

с _ 6fr2ctg30° _ Зл/За2
^сеч. —	•

В силу того, что площадь полной поверхности куба с длиной стороны,
равной a, Sn.n. равна 6а2, искомое отношение площадей равно

а2 • Зл/З _ \/3

а2 • 6 • 4 ~ 8 ’

V3
Ответ: — .
3.3.6. Вариант для самостоятельного решения 1994 г. (июль)

1.	Какое из чисел меньше 2У14 или 7, (48) ?

2.	Упростить до целого числа выражение

У1 + 2ч/б

Уз + Уё

х/З-х/6 ’

3.	Решить уравнение 10 — z2 — 5Уг2 — 3z — 10 4- 3z — 0 .

4. Решить уравнение

sin 2х - sin 6х 4- sin 10® — 0 .

5. Решить неравенство

у-8 -бу-у2	.

6. Решить неравенство

3 sin х 4- sin 2® < 0 .

*

7.	Процесс очищения воды в водохранилище от содержания в ней тяже-
лых металлов состоял из четырех этапов. На каждом из этапов их содер-
жание уменьшалось на определенное количество процентов по отношению
к их количеству на предыдущем этапе: на первом этапе — на 25%, на вто-
ром этапе — на 20%, на третьем этапе — на 1£%, на четвертом этапе —
на 10%. На сколько процентов в результате уменьшилось их содержание ?

8.	Четырехугольник ABCD таков, что около него можно описать и в
него можно вписать окружности. Разность длин сторон AD и ВС равна
разности длин сторон АВ и CD. Доказать, что диагональ АС - диаметр
описанной окружности.

Указание. Использовать аналогичные обозначения и применить та-
кие же рассуждения, что и в начале решения восьмой задачи разобранного
варианта. Затем получить равенство квадратов разностей длин противопо-
ложных сторон четырехугольника, откуда будет вытекать равенство сум-
мы квадратов длин сторон четырехугольника, лежащих по одну сторону
от диагонали АС, сумме квадратов длин его сторон, лежащих по другую
сторону от диагонали АС. Далее, применяя теорему косинусов для тре-
угольников АВС и ADC, на основе равенства суммы противолежащих уг-
лов вписанного четырехугольника развернутому углу получить равенство
нулю косинусов углов при вершинах В и D четырехугольника ABCD.
9.	Четыре бригады разрабатывали месторождение железной руды в те-
чение трех лет, работая с постоянной для каждой бригады производитель-
ностью. По одному месяцу на первом и третьем году работа не велась, а
все остальное время (то есть в течение 34 месяцев) работала только одна
из бригад. Отношения времен работ первой, второй, третьей и четвертой
бригад и количества выработанной продукции соответственно равны:

в первый год	3 :	2 :	4 :	2	И	10 млн. т.
во второй год	4 :	2 :	5 :	1	и	9 млн. т.
в третий год	4	: 3	: 3	: 1	и	8 млн. т.

Сколько млн. т. железной руды выработали бы за 7 месяцев четыре бри-
гады, работая все вместе ?

10.	Дан куб ABCDA'B'C'D', в нем проведена диагональ через вершину
В, а через вершину В' (конец ребра ВВГ) проведено сечение этого куба
перпендикулярно указанной диагонали. Найти отношение площади этого
сечения к площади полной поверхности куба. В каком отношении сечение
делит эту диагональ ?	I

рис. 42

Указание. Проводя в плоскости BB'D'D BfK ± BD', К принадле-
жит диагонали BDf доказать, что продолжение В'К попадет в точку О
пересечения диагоналей грани куба ABCD, затем доказать, что искомое
сечение — треугольник АВ'С.
3.3.7. Вариант с решениями задач 1995 г. (май)

1.	Решить неравенство

7	9	1 <0

(® —2)(®-3) + ® —3 + 1	•

Решение

Приведем к общему знаменателю слагаемые в левой части неравенства,
при этом оно преобразуется в равносильное ему неравенство, имеющее вид:

7 + 9(® - 2) + (® - 2)(® - 3) , Л 7 + 9® - 18 + х2 - 2х - 3® + б „ л
-----------—-----—------ < 0 о --------------------------< 0 <=>

(® - 2)(® - 3)	55	(® - 2)(® - 3)

®2 + 4® - 5	(® + 5)(ж- 1)

(®-2)(®-3)^	(®-2)(®-3)^

рис. 43

Решая полученное неравенство методом интервалов (это символически
показано на рис. 43), мы получим, что исходному неравенству удовлетво-
ряют те и только те значения ж, для которых — 5^х^1и2<а:<3.

Ответ: — 5 ж 1 ; 2 < ж < 3 .

2.	Решить уравнение

log2(ll - ж) + log2(® + 1) = log2[(ж + 1)(®2 + 5® - 5)] .

Решение

ОДЗ

® + 1> о,
11 — х > 0 ,
®2 + 5® — 5 > О

Г -1 <® < 11 ,
I ®2 + 5® — 5 > 0 .

В силу формулы для суммы логарифмов одного основания уравнение пере-
писывается в виде

log2( 11 - х)(х + 1) = log2[(a; + 1)(х2 + 5ж - 5)] 4Ф
<=> (11 - ж)(ж 4-1) = (ж 4- 1)(ж2 4- Ьх - 5) <=> (ж 4- 1)(ж2 4- 6ж - 16) = 0 <£>

<=> (х 4- 1)(ж 4- 8)(ж - 2) = О .

Полученное уравнение, очевидно, имеет три решения:

ж = -8 ; х = -1 ; х = 2 .

Так как ОДЗ удовлетворяет лишь х = 2 (в этом можно убедиться непо-
средственной подстановкой этого значения х в неравенство
х2 4- 5ж — 5 > 0), то мы и получаем единственное решение исходного урав-
нения х = 2 .

Ответ: ж — 2 .

3. Решить уравнение x/sinx = — cos х .

1 Решение

С учетом неотрицательности значений квадратного корня исходное урав-
нение равносильно следующей системе:

f sin х = (—cos®)2 , зшж = 1 — sin2 ж , sin2 х 4- sin ж — 1 = 0 ,
У — cos ж 0	( cos ж <С 0	[ cos ж 0 ,

где, в частности, было применено основное тригонометрическое тождество.

Положим t = sin ж , тогда с учетем области изменения функции синус
— 1	1 , но так как первоначально sin ж находился под знаком квад-

ратного корня и затем при почленном возведении исходного уравнения в
квадрат — стал равен неотрицательному выражению — 0 t 1 .

Уравнение принимает вид:

t2 + t-l = O.

Его решения это t = t\ = — (л/5 + 1)/2 < 0 и потому не подходит, а также
t = t2 = (^/5 - 1)/2 > 0 и (vt-l)/2< (3 — 1)/2 = 1 , это значение t уже
подходит. Мы имеем:

Так как

у/5- 1
sin ж = —-—

cos ж < 0

х = Ж1 = arcsin ~~2----^7ГП »

V5- 1

х = х2 = % — arcsin —------1- 2тгп , Vn € Z ,

cos x < 0

. V5-1	%

< arcsin —-— < — ,
2	2 ’
то cos®i>0 и потому эта серия значений х отпадает ; но уже

тг	. у/5- 1

— < 7Г — arcsin----- < 7Г ,

2	2

поэтому cos ж 2 < 0 и, следовательно, эта серия значений х является
решением исходного уравнения.

Ответ: х = тг — arcsin ——--F 2тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

z

4.	Решить неравенство 25	— 5“®+1	50 .

Решение

С учетом свойств степеней исходное неравенство преобразуется в серию
равносильных ему неравенств следующим образом:

25~* - 5“*+1 50	(5 • 5)‘х - 5 • 5"* > 50 & (5“*)2 - 5 • 5~* - 50 0.

Положим t = 5~® , в силу области изменения показательной функции
i > 0 . При этом неравенство принимает вид t2 — 5t — 50	0 . Решения

соответствующего квадратного уравнения t2 — 5i — 50 = 0 это

5 - \/25 + 200	5 - \/225	5 - 15

t = ti =-------------=----------— —-— — -5 и

2	2	2

л л 5 + д/25 + 200	5 + >/225	5 + 15	-

2	2	2

Тогда решения квадратного неравенства относительно t будут следующие
t — 5 и Л 10 , но с учетом того, что t > 0 подходит лишь t 10 .

Исходное неравенство свелось к неравенству 5-ж	10 . В силу воз-

растания показательной функции с основанием 5 > 1 получаем

-х log5 10 = logs(5 • 2) = logs 5 + log5 2 = 1 + log5 2 х -(1 + log5 2) .

Последнее неравенство и дает окончательный ответ.

Ответ: X — 1 — log5 2 .

5.	Поезд, идущий с постоянной скоростью из пункта А в пункт В ,
был задержан у семафора на 16 мин. Расстояние от семафора до пункта В
равно 80 км. При каких значениях первоначальной скорости поезд прибудет
в пункт В не позже запланированного срока, если после задержки он
увеличил скорость на 10 км./час ?
Решение

Обозначим за v — первоначальную скорость поезда (в км./час.), а
за х — расстояние от пункта А до пункта стоянки (в км.). Тогда
расстояние между пунктами А и В будет равно х 4- 80 км.
х 4- 80	,	.

------ — запланированное время движения (в часах).
v

Так как 16 мин. = 4/15 час. и по условию v 4- 10 км./час. — скорость
поезда после стоянки, фактически затраченное время поездом на путь из
А в В с учетом стоянки равно (в часах)

ж	_£	80

v	15 + v 4-10

В силу условия прибытия поезда в пункт В не позже запланированного
срока должно выполняться неравенство

х 4	80 х 4- 80

- 4---к--------< —!---- .

v 15 v 4-10 v

Это неравенство равносильно следующей серии неравенств (с учетом того,
что по смыслу задачи v > 0 )

80	80

v v 4- Ю

3004-10 - и)

4- Ю)

1 & v2 4- 10v - 3000 <С 0 .

Решения соответствующего квадратного уравнения v2 4- 10v — 3000 = 0
это

V =	= -5 - х/25 4- 3000 = -5 - л/3025 = -5 - 55 = -60 и

v = v2 = — 5 4- \/25 4- 3000 = -5 4- V3025 — —5 4- 55 = 50 .

Тогда решения квадратного неравенства относительно v будут следую-
щие —60 v 50 , но с учетом того, что v > 0 окончательным ответом
являются следующие значения v : 0 < v <С 50 .

Ответ: 0 < v 50 км./час .

6.	Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника в
точке пересечения с высотой, опущенной на гипотенузу, делится на отрез-
ки, отношение длин которых равно 1 4- д/2 , считая от вершины. Найти
величины острых углов треугольника.
Решение

Пусть AD — биссектриса, СЕ — высота, о которых говорится в
условии задачи, К — точка их пересечения, ЛСАВ и £СВА — острые
углы прямоугольного ДЛСВ, их величины САВ = а, СВ А = /3. Тогда

по условию

|XD|

Рассмотрим &АКЕ и &ACD . Они прямоугольные и у них

Z.CAD = Z.DAB . Следовательно, ААКЕ ~ &ACD , а потому имеют

место равенства

J_ _ |Л£| _ |Л£| _ |ЛК| + |*Р| _	|К£|	1

cosa “ |ЛЯ| ~ |ЛК| “ |ЛЯ|	|ЛЯ| >/2 4-1

откуда —— = \/2 => cos а =	/3 = а = 45° .

cos а	у 2

Ответ: 45° .

7.	Пусть f(x) = a/z2 — 4ж 4- 4 — 3 , д(х) = у/х — а , а — параметр.

Решить относительно х неравенство f(g(x)) $ 0 .

Решение

ОДЗ х 0 ; f(x) = \/®2-4ж4-4 - 3 = у/(х- 2)2 - 3 = |я - 2| - 3 ,

а потому неравенство f(g(x))	0 преобразуется следующим образом

f(g(x)) = 1^/ж —а —2| — 3	О О 1/х — а~2|	3	—3	у/х —а —2	3

<=> а — 1	\/х а + 5 .

Ввиду того, что при всех х 0 => у/х 0 при а 4- 5 < 0 или
а < — 5 неравенство не имеет решений ;
при а 4- 5	0 , а — 1 <С 0 или -5 а <С 1

а - 1 у/х а 4- 5 О- 0 у/х а + 5 О- 0 х (а 4- 5)2 ;

при а > 1 или а — 1 > О

а — 1 у/х а 4- 5 (а — I)2 х (а 4- 5)2 .

Решение задачи завершено.

п	0 при а < — 5 ; 0 х (а 4- 5)2 при - 5 а <С 1 ;

твет* (а — I)2 ж (а 4- 5)2 при а > 1 .

8.	Изобразить фигуру, образованную всеми точками (ж; у) декартовой
плоскости Оху , координаты которых удовлетворяют неравенству

®2 + у2 + 6(ас - |у|)	0 .

Найти площадь этой фигуры.

Решение

Преобразуем левую часть неравенства, фигурирующего в условии этой
задачи, применяя метод выделения полного квадрата, и то, что у2 = |j/|2 ,
тогда это неравенство преобразуется так :

х2 + бас + 9 + |у|2 - 6|1/| + 9 18 « (х + З)2 + (|у| - З)2 (Зх/2)2 .

А) Пусть у О , тогда |j/| = — у , неравенство при этом принимает вид

(х + З)2 + (-у - З)2 <С (Зх/2)2 (х + З)2 + (у + З)2 (Зх/2)2 .

Множество точек М(х;у) на координатной плоскости, координаты ко-
торых удовлетворяют последнему неравенству, представляет собой внут-
ренность круга вместе с его границей радиуса 3\/2 с центром в точке
О1(—3; —3) , которая также расположена не выше оси абсцисс Ох .

Б) Пусть у 0 , тогда |j/| = у , неравенство при этом принимает вид

(х + З)2 + (у - З)2	(Зх/5)2 .

Множество точек М(х;у) на координатной плоскости, координаты ко-
торых удовлетворяют последнему неравенству, представляет собой внут-
ренность круга вместе с его границей радиуса 3\/2 с центром в точке
О1(—3; 3) , эта внутренность также расположена не ниже оси абсцисс Ох .

На нижеследующем рис. 45 изображена система координат с изобра-
женной на ней искомой фигурой
рис. 45

Общий участок границ фигур, полученных в каждом из случаев А) и
Б), представляет собой отрезок оси Ох — б х 0. Пусть А —
А(—6; 0) . Так как

|€>1О|2 + |Oi А|2 = (ЗЛ)2 + (ЗЛ)2 = 18 + 18 = 36 = 62 = \ОА |2

и также

\О2О\2 + \О2АI2 = (зЛ)2 + (зЛ)2 = 18 + 18 = 36 = б2 = \ОА|2 , ' '

△OAOi и ДОАОг — прямоугольные с прямыми углами при вершинах
01 и Ог соответственно. Поэтому построенная фигура представляет
собой объединение взятыми 2 раза тремя четвертями круга радиуса 3\^2
и равнобедренного прямоугольного треугольника с длинами катетов также
равными 3\/2 . Ее площадь будет равна

2 • Qtt (зЛ)’ + j (ЗЛ)2} = 27л-+ 18 .

Задача решена полностью.	Ответ: 27тг 4-18 .

9.	Для каждого значения параметра а решить систему

'	- За + 4)	ьих+хР

< log2(—Зж + 4)

х С 1 .
Решение

Так как при всех х и а => |а|®2	0 , то левая часть неравенства

определена при следующих значениях х (ОДЗ)
z	z	f 4

Г 4 - Зх > 0 ,	( 4 - Зх > 0 , ж < - ,

( l°g2(4 -Зх)^0	| 4 — За: 7^ 1	| х $

С учетом условия х 1 задача свелась к следующей: при всех значениях
параметра а решить фигурирующее в системе уравнение при условии
х < 1 .

Условие х < 1 <=> 4 — 3® > 1 . В силу возрастания логарифмической
функции с основанием 2 > 1 , условия |а|®2	0 , из которого получаем

|а|х2 - 3® 4- 4	—3® 4- 4 > 1 ,

мы имеем log2(|a|x2 — Зх 4- 4) log2(—Зх + 4) > log2 1 = 0.
Следовательно, левая часть неравенства при рассматриваемых ® больше
или равна 1 .

Так как при всех значениях ® , в том числе и ® < 1 => |® |(® 4-1)2	0

— |®|(®4-1)2^0,в силу возрастания показательной функции 5х правая
часть неравенства при рассматриваемых ® меньше или равна 5° = 1 .

Следовательно, исходная система свелась к системе уравнений:

( log2(|a|a:2-3g + 4) _

< log2(—3® + 4)	’

( 5-1®1(®+1)2 = 1

( log2(|а|ж2 - Зж + 4) = log2(—3® 4- 4) ,

< 5-1®1(»+1)2 = 5°
к

( [а|х2 - Зх + 4 = -Зх + 4 ,	( |а|х2 = 0 ,

| -|х|(х+1)2 = 0	t |х|(х + 1)2 = 0	.

Полученные значения ® , очевидно, меньше 1, поэтому последние две сис-
темы относительно ® и а дают окончательный ответ.

Ответ: ® = -1 ; ® = 0 при а = 0 ; ® = 0 при а ф 0 .
3.3.8. Вариант для самостоятельного решения 1995 г. (май)

1.	Решить неравенство -----—т------т 4----7 4-1 < 0 .

(z-3)(z-4) х - 4

2.	Решить уравнение

log3(11 - х) + log3(x + 2) = log3[(x + 2)(х2 + Зх - 10)] .

3.	Решить уравнение y/cosx = — sin х .

4.	Решить неравенство 9 х — 3 х+2	36 .

5.	Поезд, идущий с постоянной скоростью из пункта А в пункт В , был
задержан на полустанке на 24 мин. Расстояние от полустанка до пункта В
равно 96 км. При каких значениях первоначальной скорости поезд прибудет
в пункт В не позже запланированного срока, если после задержки он
увеличил скорость на 12 км./час ?

6.	Высота прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе,
делит биссектрису одного из острых углов на отрезки, отношение длин
которых равно 3 4- 2^3 , считая от вершины. Найти величины острых
углов треугольника.

7.	Пусть f(x) — /х2 - 6ж 4- 9 - 2 , g(x) = у/х - a , a — параметр.
Решить относительно х неравенство

/(</(«)) 0 .

8.	Изобразить фигуру, образованную всеми точками (х; у) декартовой
плоскости Оху , координаты которых удовлетворяют неравенству

х2 4- у2 4-4(ж - |j/|)	0 .

Найти площадь этой фигуры.

9.	Для каждого значения параметра а решить систему

' 1(%з(1Ф2 - 4а: + 5)

< log3(—4ж + 5)

, х < 1 .
3.3,9. Вариант с решениями задач 1995 г. (июль)

1. Решить уравнение у/5х — 6 4- х = 4 .

Решение

С учетом неотрицательности значений квадратного корня исходное урав-
нение равносильно следующей системе

(5х — 6 = (4 — х)2 ,	(5х - 6 = 16 — 8х 4- ®2 ,	(х2 — 13х 4- 22 = 0 ,

(4 — х 0	[х 4	^[х	4 ,

Корни полученного квадратного уравнения находятся по формулам

13 - д/169 - 88	13 — х/81	13-9	Л А

=------2--------= —j—= —j—= 2 < 4 ;

13 + V169 - S8	13+Л1	13 + 9	,,	,

” =-------2------= ~2~=~2~ = 11>4'

Теперь очевидно, что подходит, то есть является решением исходного
уравнения, только х = х± = 2 .

Ответ: х — 2 .

2.	Решить неравенство х2 — 6	|х| .

Решение

С учетом того, что х2 = |х|2 и |х|	0 , исходное неравенство преоб-

разуется следующим образом

|ж|2 - |х| - 6 > 0	(|i| — 3)(|х| + 2) 5>0 & III- 3 О & |®|>3,

откуда, раскрывая модуль, и получаем окончательный ответ.

Ответ: х —3 ; х 3 .

3.	Решить систему уравнений

{х3 • у/х — у = 0 ,
2у2 4- у = 21 4- 2ху .

Решение

В силу того, что по ОДЗ х — у 0 ,
з /------------------ Л Г х = 0 ;

х3 • \/х-у = 0	Л

.	х - у = 0 ,

совокупность решений данной системы уравнений является объединением
решений следующих систем
х = 0 ,

2у2 + у - 21 = О ,
1/^0

х = у ,
!/= 21 ,

при этом вторые уравнения в этих системах получаются в результате под-
становки соответственно х = 0иж = 2/из первых уравнений во второе
уравнение исходной системы, а условие у 0 — при подстановке х = 0
в ОДЗ.

Корни полученного квадратного уравнения 2у2 4- у — 21 =0 находятся
по формулам

-1 - 71 +168	-1-7169	-1 - 13	7 „

й =-----4----=----4----= ~Т~ = - 2 < ° '

-1 + VI +168	-1 + 7169	-1 + 13 о „

и =----------=----J----= —— = з> о,

второй из которых, стало быть, является посторонним.

Ответ: х = 0 , у = —7/2 и х = 21 , у = 21 .

4.	Решить неравенство

3х -2

х2 — 6ж + 5

Решение

Множество решений этого неравенства является объединением множеств
решений следующих систем неравенств

( 3х - 2 > 0 ,	f 3х - 2 < 0 ,

[ж2 — 6ж + 5 < 0	И | ж2 — 6ж + 5 > 0 .

Корни квадратного уравнения х2 — 6х 4- 5 = 0 это х± = 1 ; ж2 = 5 .
Поэтому, решая квадратные неравенства, а также и пррстейшие показа-
тельные неравенства 3®	2 и 3®	2 , мы получим соответственно

следующие системы

Г О log3 2 ,
I 1 < х < 5

X log3 2 ,
® < 1 ;
х > 5 .

Так как log3 2 < log3 3 = 1, соответственно последние первая и вторая
системы дают 1 < ж < 5 и х log3 2 что и является окончательным
ответом. Ответ: х log3 2 ; 1 < х < 5 .
5.	Решить уравнение

[2\/3 sin(7rx + Зтг) — tg (тгж — тг/2)] log2(4 — ж2) = 0 .

Решение |

ОДЗ 4 — ж2 > 0 О — 2 < ж < 2 и cos (тгж —	/ 0 . Следовательно,

данное уравнение с учетом применения формул приведения к тригономет-
рическим выражениям будет равносильно следующей системе

’ log2(4 —ж2) = 0 ;

ctg(7rz) — 2л/3зш(тгж) = О
sin(7rx) 0 0 ,

-2 < X < 2

4 — х2 = 1 ;

СОз(тГж) — 2\/38Ш2(7Гж) = О

Зш(тгж) 0 ,

—2 < х < 2

 х = -х/З ;

х = \/3 ;

2\ХЗсО82(7Гж) 4- СОз(тГж) — 2>/3 = 0 ,
Зш(тгж) / 0 ,



—2 < X < 2 .

Положим t = cos(%x) , откуда — 1 t 1 , при этом квадратное
уравнение относительно соз(тгж) примет вид 2>/3t2 -И - 2\/3 = 0 . Корни
этого уравнения находятся по формуле этих корней

_ —1	— ^1 + 4 • (2>/3)2	_	_ -1-7	____2_

1	~	4\/3	“	4>/3	“ 4л/3	~ >/3	<

Л	-1 + V49	-1 + 7	6	3 Л ,

О < t = t2 = -----7=-- = -----7=- = —7= = —7= = — < 1 .

4у/3	4\/3	4\/3	2л/3	2

Таким образом, подходит только t = t2 , при этом в силу основного
тригонометрического тождества зш(тгж) / 0 .

Решения уравнения соз(тгж) = \/3/2 имеют вид х = ±1/6 ±2n , Vn’G Z,
но условию —2 < х < 2 из этой серии решений удовлетворяют только
х = 1/6 ; х = —1/6 ; х = 11/6 ; х = -11/6 .^Объединяя эти решения с
полученными ранее х = у/3 ; х = — у/3 ; получим окончательный ответ.

Ответ: х — ±1/6 ; х = ±11/6 ; х = ±у/3 .

6.	Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на
3 кг. больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в
первом слитке — 10%, а во втором1 — 40%. После сплавливания этих двух
слитков получился слиток, процентное содержание меди в котором — 30%.
Определить массу полученного слитка.

Решение

Обозначим за х (в кг.) массу первого слитка, тогда масса второго
слитка будет равна х 4- 3 кг. В соответствии с данными в условии задачи
0,1® кг. и 0,4(®4-3) кг. — количества меди соответственно в первом и во
втором слитке. После их сплавливания вес общего слитка станет равным
2х 4- 3 кг., а стало быть, количество меди в нем — 0,5® 4- 1,2 кг. По
условию задачи это количество составляет 0,3 от общего веса нового
слитка. Поэтому для определения его общей массы получим уравнение
0,5®+1,2 п	*	0,5®4-1,2 п о

—-------— = 0,3 . Оно решается следующим образом: —-----— = 0,3 <=>

2® 4- 3	2® 4- 3

<£> 0,5® 4-1,2 = 0,6® 4-0,9	0,1® = 0,3 Ф» ® = 3 => 2®4-3 = 9.

Задача решена полностью.

Ответ: 9 кг.

7.	Около треугольника АВС описана окружность. Продолжение бис-
сектрисы СК треугольника АВС пересекает эту окружность в точке
L , причем CL — диаметр данной окружности. Найти отношение длин
отрезков BL и АС , если синус угла ВАС равен 1/4 .

Решение

См. рис. 46. Z.CLB = £САВ как вписанные, опирающиеся на одну
и ту же дугу окружности, Z.CBL — прямой, так как он опирается на
диаметр окружности. Поэтому, обозначая CLB = а , и еще с учетом того,
что CL — биссектриса ЛАСВ , мы получим

CAB = CLB-a => АСК = КСВ = J-a.
Следовательно, в △ЛЯС' , ABKL и АВ К С соответственно углы
ЛАКС , ЛВКЬ и ЛВКС — прямые, то есть эти треугольники —
прямоугольные.	'

АВКС = ААКС , так как у них общий катет СК и равны прилежа-
щие ему острые углы, поскольку СК — биссектриса ЛАСВ .

Поэтому |ЛК| = |ВК| .

Так как у ААКС и ABKL соответственно равные острые углы,
например, ЛК АС = ЛКЬВ , то

ААКС ~ ABKL =>

|BZ| _ |2Ж| _ |АК|

|АС\ ~	" |КС| ~ g

По условию sina = 1/4 , поэтому по формуле, связывающей квадраты
котангенса и синуса угла, имеем
о 1	/—	\BL\

ctg2 a = -7-5--1 = 16—1 = 15 => ctg a = \/15 =	.,

sin a	IЛСI

Ответ: a/15 .

8.	Найти все значения параметра а , при которых неравенство
9х < 20 • 3х + а

не имеет ни одного целочисленного решения.

Решение

Положим t = 3® , в силу области изменения показательной функции
t > 0 . Так как в силу свойств степеней 9® = (3 • 3)® = (З®)2 = t2 ,
неравенство принимает вид t2 — 20t — а < 0 .

Обозначим f(t) = t2 — 20t — а= (t — 10)2 — 100 — a . Заметим, что при
любом значении t => /(10-И) = /(10 — t) , и в силу свойств квадратного
трехчлена f(t) , имея положительный коэффициент при t2 (равный 1),
он может принимать отрицательные значения только на интервале вида
(10 — г, 10 + г) , где г > 0 . Ближайшее к значению t = 10 значение этого
аргумента, которому соответствует целое значение х , это t = 9 О х = 2 .
Поэтому условию задачи удовлетворяют те и только те значения параметра
а , при которых /(9) 0 , то есть 1 —100 —a — —99 —a 0 или а —99 .
Задача полностью решена. Ответ: а — 99 .
3.3.10. Вариант для самостоятельного решения 1995 г. (июль)

1.	Решить уравнение у/4х — 8 4- х = 5 .

2.	Решить неравенство ж2 — 8 2|ж| .

3. Решить систему уравнений

Г У2 • х/у-х = 0 ,
[ Зж2 = 14 — ж 4- Зж$/ .

4. Решить неравенство

6*-5

х2 — 5х + 4

^0.

5.	Решить уравнение

2 cos

+ 3ctg (тгж + Зтг)

• log3(4 - ж2) = 0 .

6.	Имеются два сосуда с раствором соли, причем во втором сосуде рас-
твора на 2 литра больше, чем в первом сосуде. Процентное содержание
соли в растворе в первом сосуде — 20%, а во втором — 50%. При сли-
вании растворов из обоих сосудов вместе получился раствор, процентное
содержание соли в котором равно 40%. Определить количество раствора,
которое было во втором сосуде.

7.	Около треугольника АВС описана окружность. Продолжение бис-
сектрисы AD треугольника АВС пересекает эту окружность в точке
Е , причем АЕ — диаметр данной окружности. Найти отношение длин
отрезков ЕС и АВ , если косинус угла АВС равен 1/3 .

8.	Найти все значения параметра a , при которых неравенство

16х < 30 • 4х - a

не имеет ни одного целочисленного решения.
3.3.11. Вариант с решениями задач 1996 г. (май)

1.	Решить неравенство

1

X

X - 1996 x - 1996 

Решение

Неравенство равносильно системе:

х / 1996 ,
ж - 1 ,
х - 1996 ;

х / 1996 ,
(х - 1)(х - 1996) О

откуда непосредственно следует ответ.

Ответ: х 1 ; х > 1996 .

2.	Решить уравнение

7х 1
cos 7х 4- 2 cos — = - .
z z

Решение

7x

Обозначим t = cos — => — 1 t 1 , cos7x
равенстве применена формула cos 2a = 2 cos2 a — 1
уравнение преобразуется следующим образом:

2t2 - 1 + 2t - | = О
z

4t2 + 4i - 3 = О

х > 1996 ,

= 2t2 — 1 (в последнем
при а = 7х/2). Тогда

2 ’	2

(13	I

t = - , t =	— корни квадратного уравнения 4t2 4- 4t — 3 = 0 )

О t i Получили простейшее тригонометрическое уравнение:

7x1 7х , тг Л	, 2тг 4тгп .	, .

cos — = - •£> — = ±- + 2тгп X = ±— +	, п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ...

£	&	О	1. I

Л	. 2тг 4тгп

Ответ: х = ±— 4-	, п = 0 ; ±1 ; ±2

J. I

3.	Решить уравнение

log «-1 (х — 1) = 2 .
61553зТк	'
Решение

' х — 1 > 0 ,
ОДЗ 2х  Z* °, ’
>	< |2ж - 3|

сводится к следующему:

#1.

В силу определения логарифма уравнение

1	(2х - З)2

& (х - 1) 1 -

х — 1
(2х - З)2

' 2х - 3 ф 0 ,

< х = 1 ;

4ж2 -13x4-10 = 0.

Решая квадратное уравнение 4ж2 — 13ж 4-10 = 0 , с учетом еще и х = 1
получим следующие три корня уравнения (*) х = 1 ; х = 2 ; х = 5/4 .
Проверяя полученные значения х на их принадлежность ОДЗ, получаем,
что х = 1 не удовлетвлряет первому условию ОДЗ, а х = 2 не удовлетво-
ряет третьему условию ОДЗ ; х = 5/4 удовлетворяет всем трем условиям
ОДЗ и потому является единственным решением исходного уравнения.

§
Ответ: х = - .

4

4.	Решить неравенство

2.г-2®2 - 7 • 2"®2

Решение

Обозначим t = 2 х2, откуда в силу области изменения и возрастания
показательной функции 2® и с учетом того, что — ж2^0=>0<£^1. Тогда
2-2®2 = t2 и исходное неравенство сводится к квадратному неравенству:
2t2 — И 4- 3 > 0 . Решая это квадратное неравенство, получим следующие
условия на t = 2”® :

1 - 2”1 •

2 Z ’

2"’2

О х > 1 или х < — 1 .

Ответ: х < — 1 ; х > 1 .
5.	В одном декалитре кислотного раствора 96% объема составляет кис-
лота. Сколько воды можно долить, чтобы концентрация кислоты в полу-
ченном растворе была не больше 40%?

Решение

Обозначим за х декалитров (дл.) ( х 0 ) искомое количество добав-
ляемой воды, тогда объем полученного раствора станет равным (14- х) дл.
Так как по условию исходный раствор содержит 96% кислоты и его объем
равен 1 дл, то это количество кислоты равно 0,96 дл., поэтому процентное
содержание кислоты в новом растворе равно ((0,96)/(1 4- х)) • 100, которое
по условию не превосходит 40 . Следовательно, для нахождения искомой
величины получаем неравенство
0,96	56

-----100 <40 <=> 96< 404-40ж <£> х> — = 1,4.
1 4- х-' 40

Ответ: не менее 1,4 дл.

6.	Катеты прямоугольного треугольника равны 36 см и 48 см. Найти
расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до высоты,
проведенной к гипотенузе.

рис. 47

По теореме Пифагора |АВ| = ^/|4С|2 4- |-В<7|2 = \^362 4- 482 =
= -У122 • (З2 4- 42) = \/122 • 52 = 12 • 5 = 60 . Пусть О — центр вписанной в
△ЛСВ окружности, CD ± ЛВ, OF ± СР, Е — точка касания вписанной
в треугольник АВС окружности и стороны АВ => ОЕ ± АВ => OFDE
— прямоугольник, а потому р = р(О; СР) = \OF| = |DE|
(см. рис. 47). Обозначим через М и N соответственно точки касания впи-
санной в Д4СВ окружности и сторон АС , ВС . В силу равенства
касательных, проведенных из одной точки к окружности (см. рис. 47),

\АМ| = \АЕ\ = т , |ВЛГ| = |ВВ| = п , \СМ\ = |СЛГ| = г =>

=> Р = |АС| + |ВС| + |ЛВ| = 2(т + п + г) =>

=> |ЛЯ| = т = Р~2<п + г) - Р-21ВС\ _ |ЛС|+|ЛВ|-|ВС| =

2

36 + 60 - 48

2

2

12

= — • (3 + 5 — 4) = 24 .

2

Из прямоугольных треугольников ACD и АСВ получаем:

unl 1.Л1	|.Л. ИС1 „„ 36	108

|ЛР| = |ЛС| cosa = |ЛС| •	= 36 • - = —

=> p- |DE| = |ЛЕ| - |ЛР| = 24- ^ = ^ = 2,4.
'	5	5

Ответ: 2,4 см.

7.	Решить уравнение

sin 5|ж| = sin(—3) .

Решение

( а — В

sina = sin/3 <=> sina-sinp = 0 <^2sml—-—

/а + /3\

. cos I —«— I = 0 <=>
\	j

sin

cos

a — /3
2
’a + /3
2

= 0 а = (3 + 2тгЛ ,

= 0 а = % - /3 + 2тгЛ

а = (-1)" -/3 + 7гп ,
к , п = 0 ; ±1 ; ±2

На основе полученных соотношений непосредственно получаем:

5|х| = (-1)" • (-3) + тгп & |х| = (-1)"+1 • | + V •
о о

Так как |ж|	0 , то п принимает значения : 1 ; 2 ; ... . Следовательно,

. // 4\n4-i	3	%п\

х = ± I (-1)ПТА . - + — J , где п принимает только указанные значения.
\	5	5/

[	3	7Г71 i

Ответ: х = ± ((—l)n+1 • - + — ) , п — 1 ; 2 ;

\	5	5/
8.	Найти все значения а, для которых неравенство
ах2 + 1 > 4х — За

выполняется для всех х из интервала (—1,0) .

Решение

1	способ

Пусть а = 0 , при этом неравенство принимает вид: 4ж < 1 О х < 1 /4 ,
то есть для всех х 6 (—1,0) неравенство выполняется и потому а = 0
удовлетворяет условию задачи.

Пусть а > 0 , обозначая Ь = 1/а => 6 > 0 и разделив обе части
неравенства на а , приведем его к виду:

х2 - 4Ьх 4- 6 4-3 > 0 .

Последнее неравенство выполняется при всех х 6 R , если дискрими-
нант D квадратного трехчлена /(ж) — ж2 — 4Ьх 4- Ь 4- 3 отрицателен, то
есть

j = 462 - Ь - 3 = (Ь - 1)(46 + 3) < 0 => 0<6<1 «> а>1.

Следовательно, и значения а > 1 удовлетворяют условию задачи.

Если же D 0 (b — 1) (4Ь 4- 3)	0 => 6^1	0 < а 1 , то

выпишем корни квадратного трехчлена f(x) :

Ж1 = 2b - ^/(6-l)(4b + 3) х2 = 2b + х/(Ь-1)(46 + 3) .

В силу свойств квадратного трехчлена (промежутков его знакопостоян-
ства) неравенство х2 — 4Ьх 4- 6 + 3 > 0 при всех х 6 (—1,0) выполняется
тогда и только тогда, когда или ж 2 — 1 или xi 0 . При решении
соответствующих неравенств относительно параметра Ь учитываем, что
6^1, поэтому

Х1 0 2b Z У(6- 1)(4Ы- 3)	4Ь2 $> 462 - Ь - 3 о Ь -3 ,

то есть при Ь 1 неравенство х± 0 выполняется, а потому так как
о?2 Ж1 , то также Х2 0 .

Таким образом, все значения 0 < а 1 удовлетворяют условию задачи.

Пусть теперь а < 0 , снова, обозначая 6=1 /а => Ь < 0 и разделив
обе части неравенства на а , приведем его к виду:

х2 — 4Ьх 4- Ъ 4- 3 < 0 .

Это неравенство имеет решения только в случае D > 0 , то есть
(6 - 1) (46 4- 3) > 0 => (с учетом 6 < 0 ) 6 < -3/4 . В силу свойств квад-
ратного трехчлена (промежутков его знакопостоянства) с учетом D > 0
неравенство х2 — 4bx 4- Ь 4- 3 < 0 при всех х Е (-1,0) выполняется тогда
и только тогда, когда	— 1 и Х2 0 . При решении соответствующих

неравенств относительно параметра b учитываем, что Ь < — 3/4 , поэтому

х2>0 & s/(b- 1)(46+3) —26 « 462 - 6 - 3 ^462 О 6 <С —3 ,
хх -1 О 26+ 1 5/(6-l)(46 + 3) .

Так при b < — 3/4 26+ 1 < —1/2 < 0 , то последнее неравенство при ука-
занных значениях b выполняется. Следовательно, условию задачи удов-
летворяют только те отрицательные значения параметра а , при которых
1/а = b — 3 <=> а —1/3 . Итак, окончательно условию задачи удовле-
творяют только значения а —1/3 .

2	способ

(с применением производной и свойства непрерывности функции,
которые поступающие могут использовать при решении задач)

ах2 4-1 > 4х - За <=> а(х2 4- 3) > 4х - 1 а >	.	(♦)

х2 4- 3

Положим,

/ЛЛ-4»-1	f>(эЛ- (4ж- W2 + 3)-(4x-1)(x2 + 3)'_

/(х) - ^+3 =* 7 (Х) ~	(х2 + 3)2	-

_ 4(х2 + 3) — 2х(4х — 1) _ -4х2 + 2х + 12 _ 2(х-2)(2х + 3)
(х2 + 3)2	“	(х2 + З)2	“	(х2 + З)2	>0

при всех х Е [—1,0]. Поэтому на отрезке [—1,0] функция f(x) возрастает
и, следовательно, принимает наибольшее значение при х = 0 , равное
— 1/3 . Следовательно, при любом а —1/3 неравенство (*) будет
выполняться при всех — 1 < х < 0 .

Однако в силу непрерывности функции f(x) (которая принимает все
свои промежуточные значения между /(—1) = -5/4 и /(0) = —1/3 ) уже
при любом а < —1/3 обязательно найдется xq Е (—1,0) , для которого
/(жо) а , и поэтому такие значения а не будут удовлетворять условию
задачи.

Ответ: а > — .
3.3.12. Вариант для самостоятельного решения 1996 г. (май)

1. Решить неравенство

х .........1 .

1996 - х 1996 - х

2. Решить уравнение

5х

2 cos 5х 4- 4 cos — = 1
z

3. Решить уравнение

log ~=2 (ж-2) = 2 .
рх—&|

4. Решить неравенство

з. 3-2*2 _ 7 . з-*2 + 2

5.	В одном декалитре кислотного раствора 96% объема составляет кис-
лота. Сколько воды можно долить, чтобы концентрация воды в полученном
растворе была не меньше 60%?

6.	Гипотенуза и катет прямоугольного треугольника равны, соответ-
ственно, 60 см. и 36 см. Найти расстояние от точки пересечения биссектрис
треугольника до высоты, проведенной к гипотенузе.

7.	Решить уравнение sin2|ж| = — sin 1 .

8.	Найти все значения a , для которых неравенство

а®2 — 3 > 2(2 — а)х — 4а

выполняется для всех х из интервала (—2, —1) .
3.3.13. Вариант с решениями задач 1996 г. (июль)

1.	Решить уравнение

х/Зх — 5 = х — 11 .

Решение

Уравнение равносильно системе

х - 11 0 ,	Г ж 11 ,

Зх - 5 = (х - II)2 ( х2 - 25ж + 126 = О

х 11 ,

х = 7 ; => х = 18 .

х = 18

Ответ: х = 18 .

2.	Определить, какие из чисел —4 , -1 , 1,4 являются решениями
неравенства

1	1

- -log105

•® С 2-1о8ю5 •

Решение

Так как 10 < 25 => 10’ < 5 => ~ < log105 , поэтому, раскрывая
модуль в левой части неравенства, приведем его к виду:

(log10 5 - 0-х |-log10 5 «• (log10 5 - 0-х - (log10 5 -	«• х

Следовательно, из указанных чисел неравенству удовлетворяют
х = — 4 ; х = — 1 .

Ответ: х = — 4 ; х = — 1 .

3.	Найти все решения уравнения
cos Юж — cos 8ж cos 6ж — cos 4х
2х2 4“ ТГЖ — 7Г2	2х2 4“ ТГЖ — ТГ2 ’

принадлежащие интервалу (0, тг) .

Решение

Уравнение равносильно системе

Г 2Х2 4- ТГЖ — 7Г2 0 0,	Г 2X2 4- тгж - тг2 0 0 ,

[ cos Юж — cos 8ж = cos 6ж — cos 4ж [ cos 8ж — cos Юж = cos 4ж — cos 6ж

Г (2ж - тг)(ж 4- тг) 0 0 ,	f ж 0 7г/2 , ж 0 -тг ,

I 2(sinx)(sm9x) = 2(sin ж)(sin 5ж) =0	[ (sin ж)(sin 9ж — зш5ж) = 0
{X 7г/2 , X Ф —7Г ,	( X 0 7г/2 , X Ф —7Г ,

2(8тж)(зт2ж)(со8 7ж) = 0	[ 4(sin2 х)(cosх)(cos 7х) = 0

х / тг/2 , х / —7Г ,
sin х = 0 ;

cos х = 0 ;

соз7ж = О

х / 7г/2 , х ф — 7Г ,

х = тт ;

х = 7г/2 4- 7гп ;

х = 7г/14 4- тгп/7 ,

VnGZ .

С учетом условий х Е (0, тг) и х / тг/2 условию задачи удовлетворяют
только х = тг/14 4- тгп/7 при п = 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 .

Ответ: х = тг/14 ; Зтг/14 ; 5тг/1^ ; 9тг/14 ; 11тг/14 ; 13тг/14 .

4.	Решить неравенство

1 1
log9(—27ж) > log3(-a:) ’

Решение

—х > 0 ,

х < 0 ,

< —ж / 1 ,
—27ж # 1

ОДЗ

1о&(-х) О ,
lofo(-27x) ± О

х < 0 ,

ж 0 —1 ,
ж / -1/27 .

Положим, * = log3(—х) тогда

1ое (-27х} = 1оЕз(-27а:) _ 1о83(~ж) + log327 _ £+3
gsd ' log39	2	2 ’

следовательно, неравенство примет вид:

21	21	t-3

	> — о	> 0 о -> О
*4-3--------------------------------*	*4-3	*-*(*4-3)

Решая это неравенство методом интервалов, получим *>3и— 3<*<0

— его решения. С учетом возрастания функции у = log3 х получаем:
* > 3	log3(-х) > 3 = log3 27 <=> -ж > 27 х < -27 .

-3 < * < 0	-3 < ^3(-ж) < 0	log3(1/27) < ^3(-ж) < log3 1

1/27 < -ж < 1 <£> -1 < ж < -1/27 .
Объединяя эти решения ж , получаем ответ.

Ответ: ж < -27 ; —1 < ж < —1/27 .

5.	Решить систему уравнений
ж2 - ху = 20j/ ,
5жт/ — 5j/2 = 4ж .
Решение

Система уравнений равносильна следующей системе:

ж(г - у)

5у(х - у)

= 20у,

= 4х .

Очевидно, что пара х = 0 ; у = 0 является решением системы урав-
нений. Очевидно также, что никакая пара (жо ; 0) и (0 ; уо) , где
жо 0 , уо / 0 не является решением этой системы. Следовательно, реше-
нием системы может быть только пара вида xq ; уо , где xq / 0 , уо 0 0 .
Полагая х / у , разделив почленно первое уравнение на второе и полагая
t = х/у , получим следующее уравнение

t 5	2	t = —5 :	х = —5v :

- = -<=> t2 = 25	’ <=>	, y '

5 t	[ t = 5	[ x = 5y .

Подставляя эти соотношения, например, в первое уравнение, с учетом
2/ / 0 , соответственно получим следующие пары решений системы:

-5у(-5у - у) = 20у бу = 4 у = 2/3 => х = -10/3 ;

Ьу(Ъу — 2/) = 20?/ 4у = 4 у = 1 => х = 5 .

Полагая теперь х = у , получим у = 0 из первого уравнения системы
и х = 0 из второго уравнения, но пара х = у = 0 как решение системы
уже ранее получена.

Ответ: ж = 0,2/ = 0 ; х = 5, у = 1 ; х = —10/3, у = 2/3 .

6.	В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль:
в первом банке — 60% к текущей сумме на счете, во втором — 40% к те-
кущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него
денег положил в первый банк, а остальные деньги — во второй банк, с та-
ким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих
счетах удвоилось. Какую долю денег вкладчик положил в первый банк?

Решение

Пусть х — первоначальное количество денег, положенное в первый
банк, а у — первоначальное количество денег, положенное во второй
банк, тогда х 4- у — суммарное количество денег, положенное в оба
банка. Из условий задачи в соответствии с начисляемой прибылью за два
года в первом банке стало денег ж(1 4- 0,6)2 , а во втором — у(1 4- 0,4)2 .
Так как суммарное количество денег в банках за два года удвоилось, то
получаем следующее уравнение:

х(1 + 0, б)2 + 3/(1 + 0,4)2 = 2(® + у)

О 2,56ж 4-1,9бу = 2х 4- 2у <=> 0,56ж = 0,04j/ <=> у = 14ж .

Доля денег, первоначально положенная в первый банк равна
X — х _ х — 1
х 4- у х 4- 14®	15®	15

Ответ: 1/15 .

7.	В трапеции ABCD боковая сторона AD перпендикулярна основаниям
и имеет длину 9 см. Длина основания CD равна 12 см, а длина отрезка
АО, где О — точка пересечения диагоналей трапеции, равна 6 см. Найти
площадь треугольника ВОС.

Решение

рис. 48

По теореме Пифагора для треугольника ACD

|АС| = y/\AD\2 4- |CD|2 = /92 4- 122 = ^81 4-144 = х/225 = 15 ,'

следовательно, |ОС| = |АС| — |АО| =15 — 6 = 9.

У треугольников DOC и АОВ ЛАВО = ZX)DC как внутренние
накрест лежащие при АВ || CD (так как АВ и CD — основания
трапеции) и секущей BD , а ЛАОВ = Z.DOC как вертикальные. Сле-
довательно, по двум соответственно равным углам АЛОВ ~ ACOD с

'	*	. |АО| 6	2.	2 \АВ\

коэффициентом подобия fc = — = - = - . А потому - = — =

где Л1 и Лг — длины высот, проведенных к сторонам АВ и CD со-
ответственно. Поскольку АВ || CD , то /ц 4- Л2 = |AD| = 9 (см. рис. 48).
Следовательно, для определения /ц и Л2 получаем систему уравнений:

Л1	2

— = — ,
/1-2	3

4" h>2 = 9

,	-2Л,

Л1 + h2 — 9

2fc2
'“ = V
I  Л, = 9
О

hi — _ ,
5
h2=2l.

5
Искомая площадь треугольника вычисляется так:
(см. рис. 48) S&boc = S&dbc — S&doc =

= |.|РС|.(|ЛД|-Л2) = 5'№1 = 1-12. И = 12* = 21,6.
Z	4	&	и и

Ответ: 21,6 см.2.

8.	Найти все действительные значения параметра а , при которых для
любого действительного Ь уравнение

cos(6 4- ab 4- Ьх) 4- 2 cos b2x = За2

имеет хотя бы одно решение.

Решение

Пусть ао удовлетворяет условию задачи, тогда, в частности, при 6 = 0
уравнение должно иметь решение. Подставляя в уравнение 6=0, получаем

cos 0 4- 2 cos 0 = За2	3 = За2	а2 = 1 <=>

О или а = —1 или а = 1 , то есть только эти значения а могут
удовлетворять условию задачи.

Пусть а = — 1 , тогда уравнение принимает вид:
cos Ьх 4- 2 cos Ь2х = 3 ,
и, очевидно, имеет решение, например, х = 0 V6 6 R .
Следовательно, а = — 1 удовлетворяет условию задачи.

Пусть\теперь а = 1 , тогда уравнение принимает такой вид:
cos(26 4- Ьх) 4- 2 cos Ь2х = 3	(♦)

и должно иметь хотя бы одно решение при любом 6 , в частности при

6 ?= 1 . Однако при 6=1 уравнение (*) принимает следующий вид :
cos(2 4- z) 4- 2 cos х = 3 .

Так как cos(x 4- 2)	1 и 2 cos х 2 , то последнее уравнение равно-

сильно следующей системе:

Г cos(® 4- 2) = 1 , f ж 4- 2 = 2тгп ,

[ cos® =1	| х = 2тгЛ , п , к = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

Из последней системы получаем следующее равенство: 2тгЛ = 2(тгп — 1) <=>
<=> 1=7г(п—Л). Но в силу иррациональности числа тг последнее равенство
невозможно ни при каких целых значениях п и к . Поэтому при 6=1
уравнение (*) не имеет решений. Следовательно, а = 1 не удовлетворяет
условию задачи.

Ответ: а = — 1 .
3.3.14. Вариант для самостоятельного решения 1996 г. (июль)

1.	Решить уравнение у/4х — 4 — х — 9 .

2.	Определить, какие из чисел —3 , — 1 , 1 3 являются решениями

| ~8 * log62
О

1 , п

• » х - Н6 2 •
О

неравенства

3.	Найти все решения уравнения

sin 4х 4- sin 6х _ sin 8х 4- sin Юж

2х2 — 5тгж 4- 2тг2 2х2 — 5тгж 4- 2тг2 ’

принадлежащие интервалу (0, тг).

Л „ 11

4.	Решить неравенство ;-------- < --z  v .

log2(-x) 1о&(-2х)

{у2 + xy = 42® ,

6x2 + 6xy = 7y .

6.	В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль:
в первом банке — 50% к текущей сумме на счете, во втором — 75% к те-
кущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него
денег положил в первый банк, а остальные деньги — во второй банк, с та-
ким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих
счетах утроилось. Какую долю денег вкладчик положил в первый банк?

7.	В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям
и имеет длину 6 см. Длина основания AD равна 8 см, а длина отрезка
DO, где О — точка пересечения диагоналей трапеции, равна 6 см. Найти
площадь треугольника COD .

8. Найти все действительные значения параметра Ь , при которых для
любого действительного а уравнение

cos(a 4- ab 4- ax) 4- 4 cos a2x = 5b2

имеет хотя бы одно решение.
3.4.	Институт стран Азии и Африки МГУ (ИСАА)
(социально-экономическое отделение) >

3.4.1.	Вариант с решениями задач 1993

1. Решить неравенство

\/х2 — 5х 4- 8
3 — х

Решение

т/я2 — 5х 4- 8
3 — х

3-х > 0,
х2 — 5х + 8

х2 — 6х 4- 9

Ответ: 1 х < 3 .

2.	Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии
равна 8. Найти сумму первых семи членов этой прогрессии.

Решение

4-	в5 = 8, ах 4- «г + ••• + а7 = ?

(at 4- 2d) 4- (oi 4- 4d) = 2ai 4- 6d = 8 =» <ii 4- 3d = 4

(м — 1) *71 .	г »	.

<11 4- о>2 4“ ••• 4" о? = ft *	4-j-* d = {п = 7} — 7<ii 4~21d =

= 7(ai + 3d) = 28 .

Ответ: 28 .

3.	На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника АВС как на

диаметре построена окружность, пересекающая основание этого треуголь-
ника в точке D. Найти расстояние от вершины А до центра окружности,

если AD = л/3 /а угол АВС равен 120° .

Решение

Вписанный угол В DC опирается на диаметр
=> ZBBC = 90° => AD = DC = Уз .

△ВВС:

В

△АСО:

ВС = DC • -Д— = 2 => ОС = 1А
cos 30°

АО2 = АС2 + ОС2-2-АС-ОС-соаЗО* = 7 . рис. 49

Ответ: АО = у7
logx (Зя - 2) - 2 = 4 /log2* (Зя - 2) + 4 log* (-—Л .

у	уож — 2/

Решение

logs (Зя — 2) — 2 = л/1о62*(3я - 2) + 4 log* (—) &
у	уож — 2/

О logo, (Зя — 2) — 2 = ^к^2*(3я - 2) - 4 log* (Зя - 2) + 4 <=>

log* (Зя - 2) - 2 = ^(log* (Зя-2)-2)2

& log* (Зя — 2) — 2 = |log* (Зя - 2) - 2| =J>

=> log* (Зя - 2)	2 = log* я2 .

ОДЗ I < х < 1 , 1 < X .
О

2

2	, f х > 1 ,

I Зх 2 < х2 3 С Х < ! { Зх - 2 £ х2 => 1 < ® 2 •
6х — 2 X	4

2
Ответ: - < х < 1 ; 1<ж^2.

<5
sin2 х 4- Зж2 • cos х 4- Зж2 = 0 .

Решение

Исходное уравнение равносильно следующему уравнению

-sin2® = 3x2(cosx 4- 1) О

О cos2 х — 1 = 3x2(cos х 4-1)	<=>

cos х = -1 ;	cos х = —1 => х = тг 4- 2тгп , Vn 6 Z ;

cos х - 1 = Зх2	1 cos х = 1 4- Зх2 1 => х = 0 .

Ответ: х = 0 ; х = тг 4- 2тгп , Vn 6 Z .

6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

х2 4- 2 | х - а а2
справедливо для всех действительных х .

Решение

х2 4- 2 | х - а |^> а2 :	(1)

1)	х а => (х2 — а2) 4- 2(х - а) 0 =>

=> (х — а)(х 4-а 4-2)	0 .

(2)

Так как неравенство (1) справедливо при всех х, то неравенство (2) должно
быть справедливым при всех х а, а это возможно тогда и только тогда,
когда — а — 2 а или а —1 ;

2)	х а => (х2 - а2) — 2(х - а) 0 =>

=> (х - о)(х + а - 2)	0 <=> (х - а)(х - (-а 4- 2))	0 .	(3)

Аналогично неравенство (3) должно быть справедливым при всех х а ,
а это возможно тогда и только тогда, когда а	— а + 2 или а 1 .

Ответ: -1 < а < 1 .
3.4.2. Вариант для самостоятельного решения 1993 г.

1.	Решить неравенство

/ж2 - 7ж 4- 14
4 — х

> 1 . •

2.	Сумма третьего и седьмого членов арифметической прогрессии
равна 4. Найти сумму первых девяти членов этой прогрессии.

3.	В прямоугольном треугольнике АВС с равными катетами АС и ВС
на стороне АС как на диаметре построена окружность, пересекающая сто-
рону АВ в точке М. Найти расстояние от вершины В до центра окруж-
ности, если ВМ = у/2.

4.	Решить уравнение

/	(	___5

1о§г(6х - 5) - 2 = Jlog%(6x - 5) - 4log I--

V	\ х

5.	Решить уравнение

cos2 х 4-

6.	Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

х2 4- 5- | х 4- a |^> a2

справедливо для всех действительных х .
3.4.3.	Вариант с решениями задач 1994 г.

1.	Биржа запланировала провести торги в июле и августе. Если объ-
ем торгов в июле оставить на запланированном уровне, а план на август
повысить в три раза, то суммарный объем торгов, проводимых в течение
этих двух месяцев, возрастет в два раза. Найти отношение объемов тор-
гов, запланированных на ^поль и на август, и выяснить, во сколько раз
надо увеличить план на июль, оставляя неизменным план на август, что-
бы суммарный объем торгов, проводимых за эти два месяца, возрос в три
раза.

Решение

Пусть х — объем торгов в июле, у — объем торгов в августе, a —
количество раз, в которое надо увеличить объем торгов в июле, чтобы в
три раза увеличился общий суммарный объем торгов за два месяца — июль
и август. В силу условий задачи имеем следующую систему уравнений:

Г X 4- Зу = 2(х 4- у) ,
[ ах 4- у = 3(т 4- у) .

Из первого уравнения этой системы имеем х = у , откуда х : у = 1 : 1 .
Подставляя у = х во второе уравнение, получим:

(а 4-1)® = 6т => а = 5 .

Ответ: 1:1, в 5 раз .

2.	Решить уравнение 2®log27.7®	= 1 .

Решение

По свойству степеней и основному логарифмическому тождеству
2®iog2 7 . у®2*® _ i	(2log2 7)х . 7®2+ж = 1

7х . 7*Чг = !	7=2+2х = ! = 7о ж2 + 2ж = О

О х = xi = —2; х = х2 = 0 .

Ответ: х = 0 ; х = — 2 .
3.	Окружность, центр которой лежит на гипотенузе АВ прямоугольного
треугольника АВС, касается катетов АС и ВС соответственно в точках
Е и D. Найти величину угла АВС, если известно, что АЕ = 1 , BD = 3 .

Решение

Пусть |<?D| = |<2JEJ = г, где г —
радиус окружности. Так как D и
Е — точки касания окружности
сторон АС и ВС треугольника
АСВ, OD 1 ВС,
ОЕ 1 АС . Пусть /.ВАС = а0 ,
тогда /АВС = 90° — а0 . Следовательно,

г = |АЕ| • tga0 = \BD\ • tg(90° - a0) ,
или в силу условий задачи tga0 = 3ctga° => tg2a° = 3, откуда
(так как 0° < а0 < 90°) tga0 = у/З => /ВАС = 60° => /АВС = 30° .

Ответ: 30° .

4.	Решить неравенство

2 sin х — 1 < \/б sin2 ® — 6 sin х — 12 .

Решение

ОДЗзш2 х - sin® — 2 0 (sin® + l)(sin® — 2)	0 О-

sin® -1 ;

sin х > 2

<=> sin® = -1 ,

так как для всех действительных значений ®	— 1 sin х 1 . Поскольку

все значения ® , при которых sin® = — 1 , удовлетворяют исходному
неравенству, то только они и являются его решениями.

Ответ: х = —— + 2кп , Vn € Z .

5.	Решить неравенство

® - 41+v/^z7

— _ 4.
3
Решение

ОДЗ х 3, 41+v< 3 х = 4 • 4^ 3 х . В силу возрастания функции
4х и того, что при любом х 3 у/3 — х О, 4 • 4^	4 • 4° — 4,

причем равенство достигается только при х = 3, а потому при каждом
х 3 следует

х - 4 • 4у/~^Г	-1 => х - 4 • 4уГ^Г > 1 и

—----4 • 4^ 3 1	1 , то есть



х - 4 • 4'/Гз~®

^.-4.4^
3

1 .

Так как в цепочке этих неравенств равенства имеют место только при
ж = 3 , то ж = 3 — единственное решение этого неравенства.

I Ответ: х = 3 .

6.	При каких значениях параметра а уравнение

а2х2 4- 2а(у/2 — 1)ж + у/х — 2 = 2у/2 — 3

имеет решение ?

Решение

Так как 2у/2 - 3 = -(2 - 2у/2 4-1) = -(Л - I)2 , то исходное уравнение
равносильно уравнению

а2х2 4- 2а( Л - 1)ж + (у/2 - I)2 = - Л"=П>	(аж 4- Л - I)2 = -у/х- 2 .

Левая часть последнего уравнения при всех а и ж неотрицетельна (то есть
0) , а правая часть при всех ж 2 неположительна (то есть 0) (ж 2
— ОДЗ), поэтому последнее равенство возможно в том и только в том
случае, когда

J -vT^2 = 0,	Г i-2 = 0,	f х = 2 ,

\ (ax + \/2-l)2 = 0	I (2а + х/2 - I)2 = 0	\ 2а = 1 - -Д

1 - л/2	•

=> а = —-— , при этом единственным решением уравнения является
ж = 2 .

п	Л

Ответ: а = —-— .
3.4.4.	Вариант для самостоятельного решения 1994 г.

1.	Суммарный доход двух предприятий возрастает втрое, если доход
первого предприятия остается неизменным, а доход второго увеличится в
четыре раза. Найти отношение первоначальных доходов этих предприя-
тий и выяснить, во сколько раз надо увеличить доход первого предприя-
тия, оставляя первоначальным доход второго, чтобы их суммарный доход
возрос в четыре раза.

2.	Решить уравнение

1 .

3.	В треугольнике АВС проведена биссектриса CD прямого угла АС В; DA>.
и DN являются соответственно высотами треугольников ADC и BDC.
Найти АС, если известно, что АМ = 4 , BN = 9.

. gar— Зх _

4.	Решить неравенство

2 cos х — 1 <С \/8 cos2 ® — 8 cos ж — 16 .

5.	Решить неравенство

6.	При каких значениях параметра а уравнение

а2х2 4- 2а(у/3 — 1)® 4- у/х — 4 = 2\/з — 4

имеет решение ?
3.4.5.	Вариант с решениями задач 1995 г.

1.	Найти х у если известно, что числа

-1 , х 4- 2 , sin(arcsinx) ,
взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию.

Решение

sin(arcsin®) = х , где — 1 х 1 , так как arcsin® определен только
при таких значениях х . Числа — 1 , х + 2 , х образуют геометрическую
прогрессию тогда и только тогда, когда (®4*2)2 = (-1)-® <=> ®24-5®4-4 = 0.
Решения последнего уравнения ® = —4 , х = —1 . С учетом того, что
—1	®	1, получаем, что единственным значением ® , удовлетворяющим

условию задачи, является ® = — 1 .

Ответ: ® = — 1 .

2.	Решить уравнение

log2 (я2 - 4я 4- 3) - log2 (х - 1) • log2 (я - 3) = 1 .

Решение

ОДЗ х > 3 . Так как ®2 - 4® 4- 3 = (® - 1)(® - 3) , то в силу свойств
логарифмов исходное уравнение преобразуется в серию равносильных ему
уравнений следующим образом:

log2(® -1)4- log2(® - 3) - log2(i - 1) • log2(z - 3) = 1

<=> [log2(x - 1) - 1] - log2(x - 3)  [log2 (x - 1) - 1] = 0

<=> (bg2<® — 1) — 1] - [1 — log2(® - 3)] = 0 .

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений

log2 (я - 1) = 1 И log2 (я - 3) = 1 .

Решая каждое из этих уравнений, получаем следующие значения ® :
х = 3 ; х = 5 . С учетом ОДЗ получаем единственное решение исходного
уравнения: ® = 5 .

Ответ; ® = 5 .

3.	На счет, который вкладчик имел в начале первого квартала, начисля-
ется в конце этого квартала п процентов, а на тот счет, который вкладчик
имел в начале второго квартала, начисляется в конце этого квартала Г2
процентов, причем ri 4- тг = 150. Вкладчик положил на счет в начале
первого квартала некоторую сумму и снял в конце того же квартала поло-
вину этой суммы. При каком значении ri счет вкладчика в конце второго
квартала окажется максимально возможным ?
Решение

7* j	7*2

Пусть ® = 1+	, у = 1 + удд . По условию задачи

х+у=2+

г1 + г2 _ „ , 150 _ о , 3	7

100	+ 100	+ 2	2 ’

Пусть счет вкладчика в начале первого квартала был равен А > 0 . Тогда
в конце второго квартала он будет равен

’	/	1\ /7

Ах ~ 2 ) ' У = А ’ ( Х2у ' ( 2 " Х

Произведение выражений в круглых скобках представляет собой квадрат-
ный трехчлен

— ^ж2 - 4ж +	= —(ж - 2)2 + 2,25 ,

значения которого не превосходят 2,25 при любом значении х . Макси-
мального значения это выражение, а стало быть, и выражение для суммы
вклада в конце второго квартала достигают при ж = 2 , оно равно 2,25 • Л .
Если ж = 2 , то ri = 100 .

Ответ: 7*1 = 100 .

4.	Сторона АВ треугольника АВС равна 3 , ВС = 2 • АС , Е —
точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника
с описанной около него окружностью, DE = 1 . Найти АС .

Решение

рис. 51

В силу свойства биссектрисы угла треугольника и так как АВ = 3 мы
имеем

BD _ ВС
AD ~ АС

= 2 , BD + AD = 3, => AD = 1 , BD = 2 .
Так как по условию DE = 1, то AD = DE. Следовательно, AADE —
равнобедренный, а потому (см. рис. 51) а = /3. В силу того, что вписанные
в окружность углы, опирающиеся на одну дугу, равны, и того, что Е —
биссектриса угла, мы имеем следующую цепочку равенств:

ЛАСЕ = ЛВСЕ = ЛВАЕ = ЛСЕА = ЛСВВ .

(см. рис. 51). В частности, ЛАСЕ = ЛАЕС и ЛСВР — ЛВСР. Из этого
следует, что ААСЕ и &CDB — равнобедренные, а из этого в свою
очередь вытекают равенства CD = BD = 2 , СЕ = CD + DE = 3 . Из
того, что равнобедренные треугольники АСЕ и CDB имеют по крайней
мере по два соответственно равных угла (см. рис. 51), вытекает:

&АСЕ ~ t\DCB . Откуда и в силу того, что ВС = 2АС , имеем

АС _ СР
СЕ ~ ВС

=> АС-ВС = CE-CD = 3-2 = 6 => 2-АС2 = 6 => АС2 = 3 => АС = у/З .

5.	Решить неравенство

у/4х - ж2 - 3 • (л/2 • cos х — V1 + cos 2х)	0 .

Решение

Данное неравенство равносильно следующей совокупности:

4х — х2 ~ 3 = 0 <=> х = 1 ; х = 3 ;

f \/2 cos ж - \/2 cos2 ж 0 , J созж - |созж| 0 ,	f созж^О,

| 4ж — ж2 ~ 3 > 0	[ (ж — 1) • (ж — 3) < 0	| 1 < ж < 3 .

тг
Следовательно, ж = 1 ; ж = 3 ; 1 < ж — — решения исходного неравен-
ства, откуда и получаем окончательный ответ.

Ответ: 1 <	7Г	
	s х	;	; ж = 3 .
	s \ 2	
6.	Найти все значения параметра а , при которых неравенство

х2 4- 4х 4- 6а • |ж 4- 2| 4- 9а2 О

имеет не более одного решения.

Решение

Перепишем исходное неравенство в виде

(ж 4- 2)2 4- 6а • |ж 4- 2| 4- 9а2 - 4 0 .

Так как (ж 4- 2)2 = |х 4- 2|2 , то, введя обозначение t = |ж 4- 2|

(откуда t 0 ), исходное неравенство можно будет переписать в сле-
дующем виде:

t2 4- 6at 4- 9а2 - 4 0 (t 4- За)2 ^4	-2 * 4- За 2 &

-2 - За i 2 - За .

Следовательно, не более одного решения (то есть либо не имеет вовсе,
либо имеет единственное решение) исходное неравенство будет иметь при

2

2 — За 0 <=> а .

Ответ: а > - .
3.4.6.	Вариант для самостоятельного решения 1995 г.

1.	Найти х , если известно, что числа

4 , х — 3 , cos(arccosx) ,

взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию.

2.	Решить уравнение

log2 (ж - 2) • log2 (ж - 4) = log2 (ж2 - 6ж + 8) - 1 .

3.	На счет, который вкладчик имел в начале первого месяца, начисля-
ется в конце этого месяца ri процентов, а на тот счет, который вкладчик
имел в начале второго месяца, начисляется в конце этого месяца г2 про-
центов, причем ri 4- г2 = 30 . Вкладчик положил на счет в начале первого
месяца некоторую сумму и снял в конце того же месяца пятую часть этой
суммы. При каком значении ri счет вкладчика в конце второго месяца
окажется максимально возможным ?

4.	АМ — биссектриса треугольника АВС , ВМ = 2 , СМ = 3 ,
D — точка пересечения продолжения АМ с окружностью, описанной
около данного треугольника, MD = 2 . Найти АВ .

5.	Решить неравенство

\/2 — х — х2 • (у/2 • sin х - Vl - cos 2ж)	0 .

6.	Найти все значения параметра a , при которых неравенство
х2 — 6х 4- 4a • |ж — 3| + 4а2	0

имеет не более одного решения.
3.4,7.	Вариант с решениями задач 1996 г.

1.	Решить неравенство

3 ’4* ~7 • 235+1 ~5 0 •

Решение	"

Положим, у = 2® => у > 0. В силу свойств степеней 2®4*1 = 2у , 4® = j/2,
следовательно, неравенство примет вид Зт/2 - 142/ -5^0. Его решения
У1 У У2 > где з/i и 2/2 соответственно меньший и больший корни
уравнения 3j/2 — 14?/ — 5 = 0. у± и 2/2 определяются по формулам:

7 - \/72 Ч- 3 • 5	7-8	1	74- \/72 4- 3 • 5	74-8 е

У1 =---------з-------= - = w =-----------------------з-------= —= 5.

Таким образом, исходное неравенство сводится к виду 2Ж 5 <=>

<=> 2х 2log2 5, откуда в силу возрастания функции 2х получаем ответ.

Ответ: х log2 5 .

2.	Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости
условиями

( у -|ж| - 1 ,

1 У —2|ж| 4- 3 .

Решение
Пусть х 0 , тогда искомая фигура содержит точки, расположенные
не левее оси ординат, не выше точек прямой у = — 2|ж| 4- 3 = — 2х 4-3 и не
ниже точек прямой у = — |ж| — 1 = —ж — 1 (см. на рис. 52 заштрихованную
фигуру справа от оси ординат). Следовательно, абсцисы х этих точек
удовлетворяют неравенствам х 0 и —х — 1 — 2х 4-3 О 0 ж 4 ,
причем при х = 4 — х — 1 = ~2х 4- 3 = —5 . Л(4; —5) — точка
пересечения прямых у = —х — \ и у — ~2х 4- 3 . Таким образом, искомой
фигуре принадлежат, внутренние и граничные точки треугольника АС В ,
где В(0; -1) , С(0; 3) . S±ABc = \ВС\ • h/2 = 4 • 4/2 = 8 .

Аналогично при х 0 , мы придем к тому, что искомой фигуре принад-
лежат также внутренние и граничные точки треугольника DBC (см. на
рис. 52 заштрихованную фигуру слева от оси ординат), где Р(~4; -5) —
точка пересечения прямых у = — |ж| — 1 = ж — 1 и у — —2|ж| 4- 3 = 2х 4- 3 .
Этот треугольник симметричен треугольнику АВС относительно оси
Оу , его площадь тоже равна 8 , а потому площадь искомой фигуры равна
16 ед2 .

Ответ: 16 ед2 .

3.	Найти область определения функции

\/36 — х2 • log3(z2 + 2х — 8)

2 sin х — 1

Решение

Область определения указанной функции состоит из тех и только тех
значений х , которые удовлетворяют системе неравенств

' 36 - ж2 0 ,
ж2 4- 2ж - 8 > 0 ,

1

sin х — - 0 О

*	4Ы

{(ж + 6)(® - 6) 0 ,
(ж 4-4)(ж — 2) > 0 ,
• -L 1

Sin ж / -



-6 ж < 6 ,
ж < -4 ;
ж>2,

. 7Г

ж / — 4- 2тгп ,
6

/ 5тг

х — 4- 2тгп ,
6

-6 ж < -4 ;

2 < ж 6 ,

< ж / — 4- 2тгл ,
6

. 5тг

ж / — 4- 2тгп ,
о

п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ...
В силу того, что 3,14 < тг < 3,15 при всех п -2 и п 1 не
существует значений х , удовлетворяющих последней системе. Далее при
п = — 1 и п = 0 с учетом только что указанных неравенств для числа тг
соответственно имеем:

_6<_11А15<_Нг<_ЕА11<_4<_кМ5<_?[<о<2,
6	6	6	е в ’

п 7Г 4	2	.	5 • 3,14 5тг л е

0<-<т = -<2< —— < — < тг < 4 < 6 .
6	6	3	6	6

На рис. 53 символически штриховками указаны промежутки значений пе-
ременной х , которые как раз и составляют искомую область определения.

рис. 53

4. Решить неравенство

logi+ 2 — х + 4)	— 1 4- logi 3 .

2	2

Решение

Исходное неравенство равносильным образом преобразуется так:

logi {Vx 4- 2 - х 4- 4) logi 2 4- logi 3 logi (\Ле4- 2 - х 4- 4) logi 6 .

В силу убывания функции у = logi % последнее неравенство с учетом
области определения логарифма равносильно следующей системе:

<ба>

Решаем неравенство (А) :

+ 2 & 0 х + 2 (х + 2)2 « {	4-2 - 1) 0

х	—2 ,

(х + 2)(х + 1) О

х = -2;

х — 1 .
Решаем неравенство (Б) :

\/ ж 4- 2 > х — 4 <=>

ж + 2 0,

х — 4 < 0 ;

х 4- 2 > (х - 4)2 ,
х - 4 О

-2^ х <4 ;

х2 — 9х 4-14 < О
х > 4

(х-2)(х-7) < 0 ,

Остается выписать значения х , удовлетворяющие условиям (А) и (Б)
( х = -2 ;

одновременно:

Ответ: х = — 2 ; — 1 х < 7 .

5. Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС
и пересекает сторону АВ в точке D , а сторону ВС в точке Е . Найти
угол В DC, если BD : ЕС =1:2, BE : AD = 2 : 7, а угол АВС равен 60°.

Решение

Положим BD = х , BE = 2у , тогда в силу условий задачи

СЕ = 2х , AD = 7у . По свойству секущих, проведенных к окружности из
одной точки (BD • В А = BE • ВС), имеем х(7у 4- х) = 2у(2у 4- 2х) , откуда
х2 4- Зху - 4у2 = 0 О- х2 4- 4ху - ху - 4у2 = 0 <=>
х(х 4- 4у) - у(х 4- 4у) = 0 (х - у)(х 4- 4у) = 0 .

С учетом положительности х и у (по смыслу задачи) последнее равен-
ство возможно лишь при х = у , а потому ВС = 4х . Применим теорему
косинусов к треугольнику BCD , так как Z.DBC = 60° , cos 60° = 1/2 , то
DC = у/х2 + (4ж)2 — 2®'-4® сое 60° = х/17®2 — 4®2 = ху/13 .

Теперь положим, Z.BDC = у? , 0 < у? < тг , применяя еще раз теорему
косинусов к треугольнику BCD , получаем:

(4®)2 = ж2 4-13®2 — 2 • ж • ®\/13 • cosy? <=> 2ж2 = —2ж2\/Тз • cosy? =>

=> cosy? = - 1/У13 .

Окончательно с учетом 0 < у? < тг получаем ответ.

6. При каких значениях параметра а неравенство

выполняется для любых значений х ?

Решение

Представим правую часть неравенства в виде 0 = log 20-15 1 и,
применяя формулу вспомогательного аргумента, положим,

sin® 4- л/Зсозя 4- а - 5 _ 2sin(x 4- тг/З) 4- а - 5
_ _ -

Так как наибольшее значение синуса ( max sin(x + тг/З) = 1 ),
а его наименьшее значение ( min sin(x + тг/З) = —1 ), то

'	,	2 + а - 5 а — 3	. ...	-2 + а - 5 а — 7

max f(x) =---------= -у- , min f(x) =-----------= -у— .

Поэтому с учетом возрастания и убывания логарифмической функции
неравенство при всех х выполняется тогда и только тогда, когда соот-
ветственно или

2а - 15	.

< —>г

min f(x) > 1

2а - 15 > 5 ,
а — 7 > 5

О а > 12 , или

min f(x) > 0 ,
max f(x) < 1

О < 2а - 15 < 5
а-7> 0,
а — 3 < 5

Г 7,5<а< 10 ,
| 7 < а < 8



7,5<а<8.

Ответ: 7,5 < а < 8 ; а > 12 .
3.4.8. Вариант для самостоятельного решения 1996 г.

1.	Решить неравенство

4 • 9* — 5 • 3l+1 -4^0.

2.	Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости

( у |ж| - 1 ,
условиями |	2|®| + 5.

3.	Найти область определения функции

V40 + Зж — ж2 • log5(®2 — 9)
у = --------------------—-------

2 sin х — уЗ

4.	Решить неравенство

____________	з
logi(V® + 3 - х + 3)	-2 + logi - .

5.	Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Продолжение сто-
роны АВ за точку В пересекается с продолжением стороны CD в точке
Е . Найти угол ADE, если СЕ = 2ВЕ , АВ : ЕС = 7 : 2 и косинус угла
7

AED равен - .

6.	При каких значениях параметра а неравенство

(sin х — у/3 cos х — a — 4 \	_

-----------_----------- I > Q

5	J

выполняется для любых значений х ?
3.5.	Варианты выездных письменных экзаменов по математике,
проводившихся в Обнинске, Якутске, Надыме, Элисте, Пангоды,
Нефтекамске, Магнитогорске, Челябинске, Архангельске,
Мурманске, Саяногорске, Петропавловске-Камчатском
в 1995 — 1996 годах

3.5.1.	Вариант для самостоятельного решения Обнинск 1995 г.

1.	Решить неравенство -------- 1 .

х — 1

2.	Решить уравнение |» — 11 4- |ж 4- 2| = 3 .

3.	Решить неравенство logi(5x — 2) logi(l — 2х) .

4.	Решить

5.	Решить

уравнение cos 2х =

4-2.

уравнение у/х 4-	+ 4 = 2 - х .

6.	В треугольнике АВС найти величину угла САВ, если произведение
квадрата длины стороны ВС на сумму длин сторон АС и АВ равняется
сумме кубов длин сторон АС и АВ .

7.	В автопарке имеются машины двух марок — ЛиАЗы и Икарусы. В
один из дней на линию вышли одна треть ЛиАЗов и все Икарусы, причем
машин на линии оказалось не более 8. На другой день на линию вышли
половина Икарусов и все ЛиАЗы, при этом машин вышло не более 10.
Определить, какое наибольшее количество машин может быть в автопарке
и сколько при этом среди них ЛиАЗов и Икарусов ?

8.	Биссектрисы BE и AD треугольника АВС пересекаются в
точке Q . Найти площадь треугольника АВС , если известно, что площадь
треугольника BQD равна 1 и 2АС = ЗАВ , ЗВС = 4АВ .

9.	Существуют ли значения параметра a , a < —у/З , при которых
уравнение х2 4- 2(а 4- 1)я - а3 - 2а2 - a — 0,5 = 0 имеет ровно одно
решение ?

10.	Дана геометрическая прогрессия с первым членом Ъх = 1/3 и зна-
менателем q = 2 и арифметическая прогрессия с первым членом ai = 2,
причем сумма ее п первых членов при некотором значении по достига-
ет наибольшего значения. Найти все значения разности d арифметичес-
кой прогрессии, при которых существуют такие значения п», что суммы
первых п„, членов арифметической и геометрической прогрессий равны
одному и тому же целому числу.
11. Решить систему

<

|у| + 0,5

1

|х| + 0,5 ’

sin 8х—sin 4х| = g4y4—9у2

12. Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб с острым уг-
лом а и стороной а . Основание высоты пирамиды совпадает с центром
окружности, касающейся стороны ромба и обеих диагоналей. Найти пло-
щадь боковой поверхности пирамиды и наибольшее боковое ребро, если
высота пирамиды равна h .

3.5.2. Вариант для самостоятельного решения Якутск 1995 г.

1.	Решить неравенство —- 0 .

2.	Решить неравенство logi ^2	1 •

3.	Решить неравенство Зх“0,5 —	2 .

Найти его наименьшее целое положительное решение.

Л т>	I®3! ~ 13^1 Л

4.	Решить уравнение	2= 0 .

V3x2 - 4х - 2 - 2 + |х|

5.	Известно, что

sin х 4- cos х =

. Найти sin 2х .

/ / 1 \ (Зх—x2)ctg х\ 100

6.	Решить уравнение 1(3)	)	= (9С*8 х)?х .

7.	На.йти первый член геометрической прогрессии, если известно, что
ее третий член равен —15 , а его квадрат в сумме с седьмым и удвоенным
пятым членами дает 0 .

8.	Найти наибольший член последовательности
ап = -2п2 4- 27п - 45 , п = 1 ; 2 ; 3 ; ... .

9.	В четырехугольник ABCD вписана окружность радиуса 5. Найти
периметр и площадь этого четырехугольника, если АВ = CD — 12 .

10.	Найти все значения а , при каждом из которых любое решение
,	( у- 2alog2z = 1 ,

системы уравнении <	. о,	-

( У + а2 log2 ® = 1 .

удовлетворяет неравенству у < 1 4- х .
3.5.3. Вариант для самостоятельного решения Надым, Элиста 1995 г.

1. Решить неравенство

— ж2 — 5
х — 5 ,

< 1 .

2. Найти сумму первых 50-ти общих членов арифметических прогрес-
сий: ап = 1,4,7,10,13,... и Ьп = 3,8,13,18,... .

3. Решить неравенство

Jogt8 к х > log* J	.

4.	Сравнить sin 20° 4- sin 100° и

/6
2

5.	Решить уравнение \/х 4- 4 4- х/х 4- 9 4- Vх 4-1 = 6 .

6.	На укладе шпал работало две бригады с общим числом рабочих не
более 21, одна из которых уложила 1600, а другая 2240 шпал. После их
объединения они стали работать лучше и уложили 4080 шпал за то же
время. Вычислить, сколько рабочих было в бригадах и число укладывае-
мых каждым рабочим шпал до и после объединения, если каждый рабочий
до объединения и после него укладывает одно и то же число шпал, как и
другой.

7.	Решить уравнение (\/3 — 22х — 16х2) • (1 — |а:| — sinjrx) = 0 .

8.	Треугольник АВС с ZA = 20° и ZC = 40° вписан в окружность
единичного радиуса. Вычислить площадь четырехугольника, образованно-
го вершинами А и С , центром вписанной в &АВС окружности и следом
биссектрисы угла В на описанной окружности.

9.	Найти а и Ь , при которых уравнение |5ж — ж2| = а имеет три
различных корня и их сумма равна 3/2 .

10.	Вычислить величину радиуса вписанного в четырехгранную пира-
миду шара, если известно, что ее высоты являются корнями некоторого
уравнения четвертой степени, свободный член которого равен 300 , коэф-
фициент при первой степени равен —120 .
3.5.4. Вариант для самостоятельного решения Пангоды 1995 г.

1.	Решить неравенство	х 4-1 .

2.	Решить уравнение log2 sin X + log2 cos X — — 1 .

3.	Пусть <ii, <*2> ••• , <*20 арифметическая прогрессия,
<*з 4- <*7 4- <*14 4- <*18 = Ю . Найти си 4- <*2 4- ... 4- <*го .

4.	В треугольнике АВС известны стороны АС = 5 , ВС = 7
и высота AD = 4 . Найти сторону АВ .

5.	Решить неравенство х 4- 4 < у—я2 — 8я — 12 .

6.	Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 7 .

7.	Если искомое двузначное число увеличить на 46, то получится число,
произведение цифр которого равно 6. Сумма цифр искомого числа равна 14.
Найти все такие числа.

8.	Решить уравнение 1 — sin х = cos х — sin х .

9.	При каких а один корень уравнения ах2 4- х 4- 1 = 0 больше 2,
а другой корень меньше 2 ?

10.	В треугольнике АВС точка L делит пополам отрезок ВС , а
точка К делит пополам отрезок BL . Из точки А через точки К и L
проведены лучи и на них отложены вне треугольника АВС отрезок LD ,
равный AL , и отрезок KF , равный AK/Z . Найти отношение площади
треугольника АВС к площади четырехугольника KLDF .

J
3.5.5. Вариант для самостоятельного решения
Надым, Саяногорск, Нефтекамск, Мурманск 1996 г.

1. Решить неравенство

2. Решить неравенство

1 \2 > 1

х 4-1 / ' 9

2 2х

> 64'

2

3. Решить неравенство

4. Решить уравнение

cos 2х = 4л/5z- cos

4-7.

{I® + J/I + ^3“ = 5 ,

х

2|ж + у\-----= 4.

х - у

6.	Длину кирпича увеличили на 25% , ширину — на 30% , а высоту
уменьшили на 40% . Увеличился или уменьшился от этого объем кирпича
и на сколько процентов ?

7.	Произведение всех членов геометрической прогрессии bi , bi , ... 625 ,
имеющих нечетные номера, в 7 раз больше, чем произведение всех ее членов
с четными номерами. Найти 613 .

8.	Высота ВН параллелограмма ABCD площадью 8 пересекает
диагональ АС в точке О . Площадь треугольника ВОС равна 3 .
В каком отношении точка Н делит сторону AD 1 Какое наименьшее
значение при этом может иметь длина стороны АВ ?

9.	В треугольнике АВС длины всех сторон — целые числа, причем
длины АВ и ВС — простые числа, ZB = 120° . Найти АС .

10.	Найти все значения параметра a , при каждом из которых уравнение
х2 4- 2х — a = 3 sin Ь 4- 4 cos b

хотя бы при одном Ъ имеет единственное решение ?
1.	Решить неравенство ----------- > 2 .

log2 х - 1

2.	Решить уравнение |2х — 1| + |® 4- 2| - |3 — х| = 2 .

3.	Дорога из пункта А в пункт В идет сначала в гору, затем — с горы.
При движении из Л в В автобус тратит 6 минут на подъеме и 2 минуты на
спуске, а на движение из В в Л автобус тратит 7 минут. Определить, во
сколько раз скорость на спуске больше скорости на подъеме, если известно,
что эти скорости не зависят от того, едет ли автобус из А в В или обратно ?

4.	Фигура состоит из параллелограмма с диагоналями di и d2 и
прямоугольника, одна из сторон которого совпадает со стороной паралле-
лограмма, а другая — вдвое больше нее. Найти наибольшее всевозможное
значение площади этой фигуры, учитывая, что кроме стороны параллело-
грамм и прямоугольник не имеют общих точек.

5.	Решить неравенство	\/4sin3® 4- 5	2sin® + 1 .

6.	Решить уравнение logsina.(2:2-72;+13) = logsin2 а.+2(ж2-72:+13).

7.	В треугольнике АВС заданы все три его высоты. Определить сто-
роны треугольника и радиус вписанной в него окружности.

8.	Найти все значения параметра a , при которых выражение

(а - 1)(®2 + 2) + (а2 - За + 2)(®2 4-1) 4- (а + 1)(®4 4- З®2 4- 2)
(®2 4- 1)(я2 4- 2)
не зависит от ® .

9.	Плоскость пересекает обе грани и ребро двугранного угла, причем
ребро составляет с этой плоскостью угол a , а прямая, являющаяся его
проекцией на эту плоскость, совпадает с одной из линий пересечения плос-
кости с гранями угла. Известно, что величина угла между линиями пере-
сечения равна /3 , а углы, образованные линиями пересечения и ребром,
острые. Найти величину двугранного угла у при а = 7г/4 , /3 = тг/З .

10.	Найти все значения параметра m , при которых сумма корней урав-
нения 3<+3тп+(тп2+1)3“< = 0 принимает наименьшее значение
и найти это значение.
Указание к задаче 7: пусть а , b , с — стороны треугольника, а
ha , къ , hc соответственно проведенные к ним высоты, тогда

25д .	25д	25д	. v

а = — , Ь = — , с = — ,	(*)

н>а	tlb	tic

подставляя в формулу Герона,

3* = ^(р-а)(р-Ь)(р-С) =

где 2р= а + Ь + с, полученные выражения сторон, будем иметь выражение
площади треугольника через его высоты, а из него с учетом (*) и находим
искомые выражения сторон;

радиус вписанной окружности определяется из формулы:

2Sa	hahbh»c

а + b + с hahb + hbhc 4* hcha

3.5.7. Вариант для самостоятельного решения
Магнитогорск, Петропавловск-Камчатский 1996 г.

1.	Решить неравенство log2(ll$ — 5)	1 .

-2

2.	Решить неравенство -------=—	1 .

1-

3.	Найти сумму всех натуральных двузначных чисел, которые при
делении на 4 дают в остатке 3.

4.	Найти отношение площадей квадрата и правильного двенадцати-
угольника, вписанных в одну и ту же окружность.

5.	См. задачу 3. варианта п. 3.5.6.

6.	См. задачу 4. варианта п. 3.5.6.

7.	См. задачу 7. варианта п. 3.5.6.

8. Найти все решения уравнения

9«п2х _3

COS2 X

и указать, какие из них одновременно являются корнями уравнения
8ш(2ч/2ж - 17л/2тг) = 0 .

9.	См. задачу 9. варианта п. 3.5.6.

10.	Указать все значения параметра Ь , для каждого из которых из
неравенства |ж — Ъ — 1| 4- |ж + Ь — 13|	8 следует неравенство

logb(x2 - X - 2) > 1 .
1.	Решить неравенство ----------=----< 1 .

2.	Решить уравнение cos 4® = 8 sin4 х — 1 .

3.	Первый член геометрической прогрессии равен первому члену ариф-
метической прогрессии, второй — второму, а третий — четвертому. Како-
му члену арифметической прогрессии равен четвертый член геометричес-
кой прогрессии ?

4.	Решить неравенство log^ 7ГЖ2 < logc ex .

5.	Какую наибольшую часть плоскости можно покрыть неперекрываю-
щимися кругами одного радиуса ?

6.	Решить уравнение у/х(х2 4- х — 4) = 4®2 — 10® 4-8 .

{|® 4- у\ 4-1® - у\ 1 ,

/2тг®\

У = cos I — I .

\ и ]

8.	Вычислить величину угла А треугольника АВС , если величина
угла В равна 36° и известно, что биссектриса угла С делит пополам
угол между медианой и высотой, исходящими из этого угла.

9.	Найти все значения параметра a , при которых неравенство

a(a2 - I)®2 a(2ax 4-1)

выполнено при любых значениях ® .

10.	Пирамида SABC вписана в шар, центр которого лежит на прямой,
определяемой ее высотой SH; на этой же прямой лежит также центр впи-
санного в эту пирамиду шара. Найти расстояние между центрами шаров,
если SA = 6 , АВ = 9 .
3.6. Ответы

Ответы к варианту 3.1.2.

1.	( (5 —/13)/2 , '1 ] U [ 4 , (5 +/13)/2) .

2-	[£, £]•	3. [log.1T , 6].	4.

5.	1)6= (—а2 - 1)/2 , Va е R , точка М—М(-2-, -1) ;

2)	а = b = 0 ,	точка М—М(—1; 0) .

6.	(—oo , —/2/2) U (/2/2 , +оо) .

Ответы к варианту 3.1.4-

4	2	4/5

3 ’ 3 ‘	’9

3.	[ 0 , +оо) .

6. /217.

Ответы к варианту 3.1.6.

1.	± — • arccos(l — у/2) 4—— , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .
и	О

2.	{2} U [ 3 , 11 ] .	3. J + 2тгп , п = 0 ; 1 ; 2 ; ... .

А

‘ (1 \ 49

4.	60 .	5. 75 + 25 -	.	6. 2>/б .

Ответы к варианту 3.1.8.

1. 9 .	2. (О , J) U[ 1 , 2)U(3 , 6] .

3	. 2тг - arccos(log2(\/6 - 1)) ; 2тг 4- arccos(log2(\/6 - 1)) .

4	(0 , у/а2 4- 1 — а ] при а -1 ; (0 , —а — у/а2 - 1 ]и

U[ —а 4- у/а2 — 1 , —а 4- у/a2 + 1 ] при а < — 1 .

2	2

5' D < 5 « 2(ГН5 ;	.

л 36-9/6

О. ------- .
Ответы к варианту 3.1 ЛО.

1.	2. V3H iv-3, 2). з. И5ЕЖЕН.

у О 2 / у 2 О /	\0 2/	\2 О /	\ О

5. 17.	6.

36

Ответы к варианту 3.1.12.

2. —2;

11
2 '

3. i——I- 2irn , п = 0 ; ±1 ; ±2 ... .
и

4.

10 .

5. {2; 1}; {2; -1}; {-2; 1} ; {-2 ; -1} .

6.

4ч/30	14 \

99 + 55 ) ’

Ответы к варианту З.1.Ц.

1. 12 .	2. 6 литров .

Iog3	при а с -6 ;

3 log3 -(a+2)±Va42a-8 п₽и _ g < * < _4 .

0 при а — —4 ; 0 при а > —4 ;
единственное решение при а —6 и а = —4 .

4.

0,

15 + 2\/42\

57 /

70-6\/87
13

6. 1 ; 16 .

Ответы к варианту 3.2.2.

1. (log3 2 , 1) U (log3 4 , +оо) .	2.	, п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

3. [ —1 , 0 ] U {8} . 4. 14 + 2д/10 • 5. 6 месяцев . 6. 13 .
Ответы к варианту 3.2.4.

1. {-5 ; -7} ; {0 ; 0} ; {5 ; 7} .	2. [ 0 , 5 ] .

3.	4-	2тгп , п = 2 ; 3 ; 4 ; ... ; — 4- 2тг?п , т = 1 ; 0 ; — 1 ; — 2 ; ... .

4.	(х — 2)2 4- (у — 5)2 = 20 . 5. 4000 или 8000 велосипедов . 6. 7 : 6 .

Ответы к варианту 3.2.6.

/17	\	4тг

1. (—оо , — 1 ] U ( — , 4-оо ) . 2.-4- 2тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ... .
у 8	/	3

3. 50 ; 4х/154 . 4. 2120 тыс.руб. 5. {-1} U (2 , 4 ] .

6.

2	3	9

-	достигается при р =	±-	, q	= -

5	5	5

Ответы к варианту 3.2.8.

1. 11 . 2. J + тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ... .

4. 6 лет .

5. 12±5л/5.

Ответы к варианту 3.2.10.

1. {—2 —1} .	2. Г -1 , - Л .

О у

3.	+ 4irk , к - 0 ; ±1 ; ±2 ... .

О

/	t—	/ Зтг 5тг

4.	123 кг ; 158 кг. 5. \/41 .	6. ( — , —

Ответы к варианту 3.2.12.

1. [-3 , -1)U(1 , 5] . 2. {2 ; —3} . 3. 5700 тыс. руб. ; 6100 тыс. руб.

4.	+ 7гп ; у + 2тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .	5. 6 .	6. 9 .
Ответы к варианту 3.3.2.

1.	3 при а^О, 6 0 , а — 96 ^4 0 .

5

2.	± arccos - 4- тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .
о

3.	| часа .	4. (-1 , 0) U (0 ; 4) .

5. 80’ , 60’ , 40’ .

Ответы к варианту 3.3. j.

1. \/15 .	2. 9/2 при 0 , 6^0, 7а ^4 36 .

3. (-оо, -5) .	4. ±(1 ± 7гп) , п = 0 ; 1 ; 2 ; ... .

5. у/в ; бд/б .	6. [ -д/8 , 0) U (0 , л/8 ] •

„ х/15 о w

7. —— .	8. второй бассейн .

Ответы к варианту 3.3.6.

1. 2Л4 .	2. 13 .	3. —2 ; 5 .

л ЯП	7Г 7ГП	л

4-	Т; I = ±l2 + T’ п = 0; ±1; ±2; - •

5.	(-4 , -2) .	6. (-тг + 2тгп , 2тгп) , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

7.	54,1% .	9. 28 млн. т. 10.	, 1 : 2 .

Ответы к варианту 3.3.8.

1.	[-2 , -1]U (3 , 4) .	2. 3.

>/5 — 1

3.	- arccos —----Ь 2тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

4.	(—оо , —1 — 2 log3 2 ] . 5. 0 < v 48 км./час .	6. 30° , 60° .

'0 при а < —5 ; 0	х (а 4- 5)2 при — 5	а — 1 ;

(а 4- I)2 х (а 4- 5)2 при а > —1 .

8.	12тг 4- 8 .	9. {—3} U {0} при а = 0 ; {0} при а ^4 0 .
Ответы к варианту 3.3.10.

1.3.	2. (—оо , -4 ] U [ 4 , ±оо) .	3. {-7/3 ; 0}U{14 ; 14} .

4. (-оо , log65 ]U(1 , 4) .	5. ±1/3 ; ±5/3 ; ±а/3 .

\/2

6. 4 л. 7. -j- .	8. [ 224 , ±оо) .

Ответы к варианту 3.3.12.

1.	(-оо , 1 ] U (1996 , +оо) .

2тг 4тгп

2.	±— + -т- , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ...

15	5

3.

6.

- . 4. (—оо , —1) U (1 , +оо) .	5. не менее 1,4 дл.

У см. 7. ± ((-l)n+1 • | + у) , п=1; 2; ... .

О	\	L L )

8.

1

5, +°°

Ответы к варианту 3.3.Ц.

1. 17 .	2. -3 ; -1 .

3.	тг/14 ; Зтг/14 ; 5тг/14 ; 9тг/14 ; 1hr/14 ; 13тг/14 .

4.	(-оо , —2) U (-1 , -0,5) .

5.	{0; 0}; {1 ; .6} ; {1,4; -8,4}. . 6. 1 .

7. 9,6 см.2 .	8. -1 .

Ответы к варианту 3.4-2.

1. [ 2 , 4) .	2. 18 .	3. у/5 .

4.	1) U(1 , 5].	5. J; -J + 2%n, п=1; 2 ; 3 ... .

\О J	ь L
Ответы к варианту 3-4-4•

1. 1 : 2 , в 10 раз .	2. 0 ; 2 .	3. 10 .

4.	тг 4- 2тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2

I-	лД

5.	6 .	6. —Р— .

4

Ответы к варианту 3-4-6-

1.1.	2. 6 .	3. 25 .	4. У10 .

3	\

5.	{-2} U[ 0 , 1]. б. , 4-оо .

Ответы к варианту 3-4-8-

1. [log34, +оо) .	2. 12.

4. {—3} U [ —2 ,'6) .	5. arccos

6.	(-00 , -И) и (-7 , -6,5) .

Ответы к варианту 3-5-1.

1. (-00, —1]и(1, 4-00).	[-2,1]. зЦ-, •

4. ±5тг/6 4- 2irk , к = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

J). О .	6. 60° .

7.	12 машин , 6 ЛиАЗов , 6 Икарусов .

8.	.	9. Да , -1 - 1/^2 .	10. -3 ; -1/2 .

16

11.	{О ; 0} ; (о ;	; о) ;	; о) ; (; о) .

1	J I 2j ll2 J l.4 J (12 j

12.	Sq = —(/ij 4- Лг 4- Лз 4- Л<) , где

hi = \/h2 4- 2а2 sin2 — sin2 *	; Л2 = \А2 4- 2а2 sin2 sin2 к

V	4	4	V	4	4
I	7	a	- a \2

/13 = \ h2 4- a2 I sin a — y/2 sin — sin —-— I ;

V	\	4	4/

Л4 = \ h2 4- a2 fsina — V^sin sin	;

V \	4	4/

>	Л о .	л ч . 2	a	. 2	< — a	a2 /л a .a

max =	\jh2 4-	2az sur	—	sin	—--F — (3 cos — 4- sm —	— 1

V	i	TX \ &	li

Ответы к варианту 3.5.2.

1. [ -3 , 0) .	2. [ -1 , 0) .

4. -л/3 .	5. | .	6. 3,14 ;

7. —5 .	8. 46 при п — 7.

10. (-оо , -2) U (-2 , +оо) .

3. [ 1о&(\/3 + 2) , +оо) , 2 .

+ тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ...

9. 48 , 120 .

Ответы к варианту 3.5.3.

1.

4.

5.

7.

/ з

[ 1,5).	2. 19025 .	3. (0 , -

/А

sin 20* 4-sin 100’ > —- .

2

0 .	6. 5 рабочих , 7 рабочих ; 320 шпал , 340 шпал .

3	, 1 о ЗсозЮ’ л Г1 ,] ,Л 5

2 ’	’8	2	14 ’ J 2

Ответы к варианту 3.5.4.

1. [ -4 , -3) U (1 , +оо) . 2.	+ 2тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

3. 50 . 4. 2V^9 ; 4^2 • 5. [ -6 , -4 + л/2) . 6. 70336 .

тг	тг	(—1)птг

7. 77 и 86 . 8. -— + тгп ;	+ V  / - + тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

4	4	4
Ответы к варианту 3.5.5.

1. [-4 , -1)U(-1 , 2] .	2. [3 , 12) .

3.	(О, 1)и[ 243, +оо).

4.	(-l)fc arcsin (\/5 - л/2) + лк , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

с f 5	71	[7 51	л

5.	< -- ; -- > ; < - ; - > . 6. уменьшился на 2,5% .

(4 4J [4 4 J

4

7. 7 . 8. 1 : 2 ,	. 9. 7 . 10. [ -6 , 4 ] .

Ответы к варианту 3.5.6.

1. (2 , 2у/2) .	2. -3 ; 1 . 3. в 1,5 раза или в 2 раза .

di 4- dl	v/5did2	л

4. -Ц-2 +	. 5. —+ 2%n , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

L	L	L

6. 3 .	8. 1 .

/ tg /3 \	г-

9.	7 = arctg I --- = arctg v6 = arccos

\sina /

2

10.	m = —2= » m*n (h + *2) = 2 — log3 5 .

Ответы к варианту 3.5.7.

1.

3.

(L L 2

Vn ’ и '
1265 .	4. 2 : 3 .

(-00 , 2) U -
0

3 ) U (3 , +00) .

5. в 1,5 раза или в 2 раза .

dl + d? V5did2
о.-------------------.

2	2

„ -к	„	17тг

8. — 4- тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... ,	.

9.

/ / sin2 а • cos2 /3	1

7 = arccos 4/ ----------=-------I = arccos

I V 1 — cos2 а • cos2 р j

10. (0 , 1) и (1 , 4) U (10 , +оо) .
Ответы к варианту 3.5.8.

1.. (-1 , 0) U (0 , 1)U(1 , +оо) .

2.	±£ + тг* , fc = O ; ±1 ; ±2 ;	.

О

3.	64 = «8 или d = О О q = 1 , то есть 64 = ах = а2 = ••• = ап = ••• •

4.	(0,1).	5.	« 91% .

6.	4 . Указание: отсутствие других корней устанавливается путем деления
многочлена на многочлен.

3(5/514-1)
4

Указание: доказать, что пирамида правильная.
РАЗДЕЛ IV

1.	О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ИЗЛОЖЕНИЯ
МАТЕРИАЛОВ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
УСТНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

В методических материалах, изложенных в п. 2 данного раздела, при-
водятся формулировки вопросов второго раздела ’’Программы по матема-
тике” в том виде, в котором они могут быть включены в билеты устного
экзамена. Все вопросы снабжены полными и достаточно подробными отве-
тами. Это касается как вопросов алгебры и тригонометрии (из подраздела
1.2.1. ’’Алгебра”) по причине недостаточной полноты изложения и даже
отсутствия некоторых из них в ряде школьных учебников и пособий для
школьников и абитуриентов изданий последних лет, так и вопросов гео-
метрии (из подраздела 1.2.2. ” Геометрия”), ответы на которые базируются
на приводимой системе аксиом, имея, таким образом, единую логическую
структуру изложения материала.

В конце каждого из ответов на вопросы по геометрии указывается, где,
в каком из указанных в списке литературы на следующей странице учеб-
ников можно найти необходимые доказательства. В дополнении к разделу
’’Геометрия” (п. 2.3.) приводятся примеры различных схем изложения ма-
териала, базирующихся на разных системах аксиом, а потому и фигури-
рующих различных определениях тех или иных геометрических объектов.
Весьма целесообразно обратить внимание на приведенную в начале раздела
”Геометрия” систему первичных понятий, аксиом, определений и утверж-
дений, которые используются при доказательстве теорем, изложенных в
ответах на вопросы п. 2.3. Важно также обратить внимание на приведен-
ные в дополнении к разделу ” Геометрия” определения основных геомет-
рических объектов и ряд теорем, которые могут быть использованы при
решении задач как на письменном, так и на устном экзаменах.

В вводной части методических материалов приводится план исследова-
ния свойств функций у = /(ж), включенных в "Программу по математике”,
определения и другие важные сведения, например, что можно использовать
на экзаменах без доказательств. Важно также обратить внимание на ма-
териал в начале и в конце каждого из разделов методических материалов,
на списки литературы и обозначений, которые приведены в самом начале
этих материалов.
2.	МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ОТВЕТАМ
НА ВОПРОСЫ БИЛЕТОВ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА

ПО МАТЕМАТИКЕ

Данные методические материалы включают в себя вводную часть,
три раздела ” Алгебра”, ”Тригонометрия”, ”Геометрия” и ”Приложения”.
Во всех разделах приводятся не только формулировки соответствующих
определений и теорем, но и даются достаточно подробные доказательства,
то есть фактически — полные ответы на вопросы, которые в ряде совре-
менных школьных учебников могут либо вовсе отсутствовать, либо приво-
диться недостаточно полно. Однако в приводимом ниже списке литературы
([1] — [11]) можно найти более подробный материал по вопросам указанных
разделов	ЛИТЕРАТУРА

1.	Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И.

”Алгебра й анализ элементарных функций.” — М.: 1980 , 1996.

’’Алгебра и начала анализа.” — М., 1998.

2.	Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х.

”Пособие по математике для поступающих в вузы.” — М.: 1976 , 1995.

3.	Будак А.Б. ”Элементарная математика. Подготовительный курс
для высшей школы.” — М.: изд-во МГУ, ”Ротапринт”, 1992.

4.	Проскуряков И.В. ”Числа и многочлены” — М.: ’’Педиздат”, 1949.

5.	Погорелов А.В. ”Геометрия.” Учебник для 7—11 классов средней
школы. — М.: ”Просвещение”, изд. не ранее 1990 г., то есть 1990 — 2000.
6. Атанасян Л.С. и др. ”Геометрия.” Учебник для 7—9 классов

средней школы. — М.: ’’Просвещение”, 1991 — 2000.

7.	Атанасян Л.С. и др. ”Геометрия.” Учебник для 10—11 классов
средней школы. — М.: ”Просвещение”, 1992 — 2000.

8.	Киселев А.П., Рыбкин Н.А. ” Геометрия. Планиметрия.”
Учебник и задачник , 7—9 классы. — М.: ’’Дрофа”, 1995.

9.	Киселев А.П., Рыбкин Н.А. ”Геометрия. Стереометрия.”
Учебник и задачник , 10—И классы; — М.: ”Дрофа”, 1995.

10.	Погорелов А.В. ”Элементарная геометрия.” — М.: ”Наука”, 1977.

11.	Киселев А.П. ”Элементарная геометрия.” — М.: ”Просвещение”, 1996.

12.	Якушева Е.В., Попов А.В./Якушев А.Г.

”Математика. Ответы на вопросы. Серия экзамен.” — М.: 2001.

13.	Генденштейн Л.Э., Ершова А.П. ”Наглядный справочник по геометрии”
для 7—11 классов. — М.: 1997.

14.	Генденштейн Л.Э., Ершова А.П., Ершова А.С.

” Наглядный справочник по алгебре и началам анализа с примерами”
для 7—11 классов. — М.: 1999.
15.	Звавич Л.И., Рязановский А.Р. ”Алгебра а таблицах”, 7—11 Классы. —
М.: Дрофа, 2000.

16.	Звавич Л.И., Рязановский А.Р. ”Геометрия а таблицах”, 7—11 классы.
— М.: Дрофа, 2000.

17.	Ефимов Н.В.‘’’Высшая геометрия.” — М.: ”Наука”, 1978 .

18.	Гильберт Д. ”Основания геометрии.” — М.—Л.: ”Гостехиздат”, 1948 .

19.	Ильин В.А., Позняк Э.Г. ”Аналитическая геометрия.” —

М.: ”Наука”, 1988.

20.	Ильин В.А., Позняк Э.Г. ”Основы математического анализа. Ч. I.” —
М.: ’’Наука”, 1982.

21.	”Пособие по математике для поступающих в вузы.”

Под редакцией Г.Н. Яковлева— М.: ’’Наука”, 1988.

2.0. Вводная часть

2.0.1. План исследования свойств функции у = f(x)

I.	Область определения функции.

II.	Область изменения функции.

III.	Наибольшее и наименьшее значения функции, если они существуют.

IV.	Четность и нечетность функции.

. V. Периодичность функции.

VI.	Нули функции, промежутки знакопостоянства функции.

VII.	Участки монотонности функции.

VIII.	График функции. Точки пересечения графика функции с осями коор-
динат, если они есть. Для некоторых функций нужно исследовать и пове-
дение функции и на границах области определения.

Замечание. В „Приложениях к материалам” (в п. 2.4.) рассматривается
вопрос о выпуклости функции и это свойство устанавливается для всех
изучаемых алгебраических и тригонометрических функций.

2.0.2. Определения

Пусть заданы два непустых числовых множества X и У. Если каждому
числу х € X ставится в соответствие (по некоторому закону /) единствен-
ное число у 6 У (символическое обозначение т 4 t/), то говорят, что на
множестве X задана функция у = f(x).

Определение 1. Множество X называется областью определения функ-
ции у = f(x), обозначается Р[/]; х — аргумент функции.

Определение 2. Множество У таких чисел у, для которых существует
х 6 X, что у = f(x) называется областью изменения или областью зна-
чений функции у = /(ж), обозначается E[f]\ у = у(х) = f(x) — значение
функции, отвечающее значению аргумента х.
Определение 3. Число Afo("io) называется наибольшим (наименьшим)
значением функции у = f(x) на множестве X (X С £>[/]), если

1)	Vx € X => f(x) Мо (f(x) > т0) ,

2)	Зхо € X : f(xo) = Мо (/(®о) = то) ,
обозначается Мо = max /(х) , mo = min f(x) .

Определение 4. Пусть область определения D[f] = X функции
у = f(x) такова, что она симметрична относительно точки xq = 0, то есть
Vxo 6 X => —Хо € X. Функция у = f(x) называется четной
(нечетной), если Vx е D[f] => /(-х) =/(х) (/(-х) = ~/(х)).

Определение 5. Функция у = /(х) называется периодической,
если существует Т / 0, удовлетворяющее условиям
i)v xeD(f) x±ted(J),
2)V xeD(f) =► f(x + T) = f(x).

Число T называется периодом функции у = /(х).

Из этого определения легко вывести: если Т — период функции у = f(z),
то и — Т также период этой функции, так как в силу периодичности
/(х-Г) = Д(х-Т) + Т1 = /(х), то есть /(х-Т) = /(х);

(если строго, то по индукции) для любого m Е Z, m / 0 устанавливается,
что тпТ — также период этой функции (см. [3], гл. 4, §1, п.2°, утв. 3).

Наименьшее Т > 0 — период функции у = /(х) называется основным
периодом этой функции.

Определение 6. Число xq Е D[/] называется нулем функции у = /(х),
если /(х0) = 0.

Промежуток X* С £>[/] называется промежутком знакопостоянства
функции у = /(х), если либо Vx Е X' => /(х) > 0, либо Vx 6 X1 => /(х) < 0.

Определение 7. Функция у = /(х) называется возрастающей
(убывающей) на множестве X (X С £[/]), если для любых
xi, Х2 Е X таких, что xi < х2 => /(xj) < /(х2)	(/(xi) > /(^г))-

Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными.
(Если выполняются неравенства /(xj /(х2)	(/(xj	/(х2)), то

функция называется неубывающей (невозрастающей)).

Неубывающие и невозрастающие функции называют монотонными.

Определение 8. Графиком функции у = /(х) называется множество всех
точек на координатной плоскости с координатами (х;/(х)), где х — про-
извольное из области определения D[f] (часто говорят х ” пробегает” всю
область определения £>[/]). Обозначение графика функции у = /(х) :

Г/ — {(г;!/): X G D[f], у = f(x)} 

Если /(хо) = 0, где хо G D[/]> то точка с координатами (хо; 0) — точка
пересечения графика функции у = /(х) с осью Ох; если 0 € О[/], то точка
(0; /(0)) — точка пересечения графика функции у = /(х) с осью Оу.
Следует рассматривать вопрос о поведении функции на границах обла-
сти определения, например, при х —► ±оо и т.п.

Всвязи с этим ниже, в пунктах 2.1. и 2.2. используются следующие обо-
значения: х —► 4-оо , х —* —оо , х —*04-0, ж—>0 — 0;

—* означает’’стремится”, оо — бесконечность;

обозначения типа —*04-0, —* 0 — 0 означают соответственно
’’стремится к нулю справа” и ’’стремится к нулю слева”.

Строгие определения этих и всех других терминов такого рода выходят за
рамки Программы вступительных экзаменов по математике в МГУ.

2.0.3. О материале, который может быть
использован на экзаменах без доказательств

На вступительных экзаменах по математике поступающие в вузы мо-
гут без формулировок определений использовать понятия суммы и произ-
ведения двух натуральных чисел (из множества N), двух целых чисел (из
множества Z), двух рациональных чисел (из множества Q), можно ограни-
читься знанием лишь описания этих понятий, как это, например, делается
в главе 1 [1].

Без формулировок определений, а ограничившись знанием описания,
можно также использовать и правила сравнения чисел натуральных, целых
и рациональных (см. главу 1 [1]).

Сформулируем определения сравнения, а также — суммы и произведе-
ния двух действительных чисел (бесконечных десятичных дробей).

Пусть a = ±ao,aia2...an... — бесконечная десятичная дробь
(ао 6 No , Vfc G N ak G No , 0 a* ^9 , см. стр. 11),
a — 0 , если VJ G No => aj = 0 , т.е. a = 0,000...0... = 0,(0), 0 = 4-0 = —0;
df

a / 0 . Если 3Jo E No : ajQ ф 0 , то есть aj0 G N ; если a / 0 , to

a — число или положительное, или отрицательное. Положительное число
обозначается a = 4-ao,aid2...an... , как правило, a = ao5-an... ,
отрицательное число обозначается a = — ao,a\d2...an... .

При этом (см. о периодических дробях на стр. 11) исключаются из рассмо-
трения дроби с периодом 9 , то есть дроби вида ±ao> aia2 - afc(9) •
Таким образом, Vj G No 3k G N, k > j : ак $ 8 .

Пусть а = ao,Oi02...an... и b = Ьо^Ь^...Ьп... — положительные числа,
по определению считают: а = b , если V j G No => aj = bj ;

a > b (a < b) , если либо ао > bo (ао < bo) ,

либо 3 jo e No : V j 6 No, j jo aj = bj , aJo+i > 6Jo+i (ajo+i < fyo+i) ;
если c — положительное число, d — отрицательное число, то по определе-
нию считают с > d ; d < с ; с > 0 ; 0 < с ; d <0 ; 0 > d ;
если cud отрицательные числа, то по определению считают
с = d & |с|= |d| ; с > d (с < d) & |с| < \d\ (|с| > |d|) .

Определение 1, А) Пусть число а = do, aia2...an... > 0 , п — произволь-
ное число из No , то есть п = 0 ; 1 ; 2 ;... . Число а'п = ао, aia2. *ап(0) =
= ao,aia2...an 6 Q называется рациональным приближением числа а по
недостатку (или с недостатком) с точностью 1/10п ;

число а" = а^4-1/Юп 6 Q называется рациональным приближением числа
а по избытку (или с избытком) с точностью 1/10п .

(Отметим, что если ап 8 , то a" = ao,aia2...a^(0) , afn = ап + 1 ;
если ап = an-i = • •• = an~k = 9 , fc Е N, 1 $ k n - 1 ,

TO a" = ao,aia2...a;_(k+1)(O) , <_(i+1) = an-(k+i) + 0-

Б) Пусть число b = -60Л162- bm... < 0 , m = 0 ; 1 ; 2 ;... . Число
(У^ = —bo> 6ii>2-.-6m(0) = —6o, 61^2 - E Q называется рациональным при-
ближением числа b по избытку (или с избытком) с точностью 1/10т ;
число /Ут = /3^ — 1/10т Е Q называется рациональным приближением чи-
сла b по недостатку (или с недостатком) с точностью 1/10т .
(Отметим, что если Ьт $ 8 , то (Ут = 60, Мг-Лп(0) , b'm = Ьт 4-1 ;
если Ьт = 6Ш_1 = ... = bm-k = 9, к Е N, 1 к т - 1 ,
ТО @т = ^о, frl*2---bJn_(Jfc4xi)(0) , Ь'т_(к+1) =	+ 1)-

В) Если а = 0 = 0, (0) = 0,00...0... , то его рациональные приближения по
недостатку и избытку с любой точностью считаются равными нулю.

Примеры см. [3], гл.1, §4, п. 4° .

Из определений сравнения действительных чисел и 1 вытекает, что

Va Е Я , Vn £ No => afn а а" .

Определение 2. Пусть числа а, 6, с Е R . с — а 4- b , если для любых
рациональных чисел а', а" и /3',/?" таких, что

а' а а" , /У b /3" следует а' 4- (У с а" 4- /У' .

Определение 3. Пусть числа а,Ь,д Е R , a>0,6>0.d== a-b , если для
любых положительных рациональных чисел а', а" и (У,/У* таких, что *
а' а а" , /3' b /3" следует а' • /3' d а" • (У* ;

Va , b Е R а-6 — 0, если или а = 0 , или 6 = 0;

Г а < 0 ,

Г а < 0 , Л ! । ш	I b > 0 ;	. df . . ш

если < . л то а • b = а • о ; если > л то а • b = — а ♦ 6 .

(6<0,	itii’	I а > 0 ,	Illi

[ ( Ь<0,

Замечание. Фигурирующие в определениях 2 и 3 рациональные числа
а',а",/?7,/?" могут и не являться рациональными приближениями чисел a
и b соответственно. Они могут быть рациональными приближениями этих
чисел по недостатку и избытку различной степени точности.
По такой же схеме, что и в случае натуральных, целых и рациональных
чисел, вводятся понятия суммы и произведения произвольного конечного
количества действительных чисел, а именно сумма и произведение трех,
четырех, ... , п чисел aj , «2 ,	, вп по определению соответственно

равны

(014-02)4-03 (01-02) оз , (ai 4-а2 4-а3) + a4 (ai • а2 • а3) • а4

oi4-О2 4-...4-оп = (ai4-024-...4-on-i)4-on , ai-02-...-an = (ai 02-... an_4)-an ,
п G N , n > 3, при этом выражения, заключенные в скобки, представля-
ют собой определенные ранее числа. Сумма и произведение одного числа
считаются равными этому же числу.

Без доказательств поступающие могут использовать утверждение о
наличии между любыми двумя числами а и b каждого из множеств
N , Z , Q , R одного и только одного из трех соотношений :
или а < b , или а = b , или а > b ;

утверждения о существовании и единственности для любых двух чисел
а и b суммы (с = а 4- Ь) и произведения (d = а • Ь) , причем

из a,beN c,dEN , из a,b Е Z => c,d€Z,
из a,bEQ => с, dGQ, из a,bG/? => c,d€R.

Аналогичные утверждения справедливы для суммы и произведения лю-
бого конечного количества чисел.

Без доказательств поступающие могут использовать законы сложения
и умножения, справедливые для любых действительных чисел а , b , с :
а 4- b = b 4- a — коммутативный (переместительный) закон сложения ;
(а 4- Ь) 4- с = а 4- (6 4- с) — ассоциативный (сочетательный) закон сложения;
а • b = b • а — коммутативный (переместительный) закон умножения ;
(а -6). с = а • (Ь • с) — ассоциативный (сочетательный) закон умножения ;
(a4-6) c = a- c4-fr c — дистрибутивный (распределительный) закон
умножения относительно сложения ;

а также их следствия (в частности, о возможности произвольной переста-
новки и перегруппировки при сложении и умножении любого конечного
количества действительных чисел).

Далее с — а — b , если с 4- Ъ = а ,

d = a : Ь (d = a/b) ,6^0, если d • b = a .

Утверждение 1. Va, b E R 3!c = a — b .

Доказательство. Число с = a 4- (—6) удовлетворяет определению раз-
ности, так как с 4- b = (а 4- (-&)) 4- b = а 4- ((-&) 4-6) — а4-0 = а .
Предположим, что Зс' — а — 6 , где с' с , получаем
а = с' + Ь => с х а + (-6) = (с' 4- 6) + (-6) = с' 4- (6 4- (-6)) = с1 4- 0 = с1 ,
пришли к противоречию.
Утверждение 2. Va, b E R 3!d = a : b , b^ 0 .

Доказательство. Число d = a • 6'1 (6-1 = 1/6) удовлетворяет опреде-
лению частного, так как d • 6 = (а • 6-1) • 6 = а • (6-1 • 6) = а • 1 = а .
Предположим, что 3d' = а : 6 , где d' ф d , получаем
а = d' • 6 => d = а • 6~г = (d' • 6) • б"1 = d' • (6 • б”1) = d' • 1 = d' ,
пришли к противоречию.

Утверждения, аналогичные этим двум имеют место и тогда, когда
а, 6, с, d Е Q , а аналогичное первому — когда а, 6, с Е Z .

Замечание, Существование чисел —6 : 6 + (—6) — 0 и 6”1 76^0, где
6 • 6-*1 = 1 устанавливается в результате операции расширения множества
N до Z и множества Z до Q соответственно, а потом существование
этих чисел устанавливается и в множестве R .

Знания деталей операций расширений числовых множеств и доказа-
тельств существований указанных чисел в множестве R от поступающих
не требуется. Об этом написано в книгах [3] и [4].

Без доказательств поступающие могут использовать правила арифме-
тических действий над числами, указанные на стр. 19 — 20, а также пра-
вила, вытекающие из них, например, произвольной перегруппировки и пе-
рестановки слагаемых и сомножителей ; правила раскрытия скобок, за-
ключающих в себе алгебраические суммы чисел, перед которыми стоят
знаки ” + ” или ” — ” и т.п., а также следующие утверждения.

Утверждение 3. Уа,Ь : а Е Z , b Е N 3! q Е Z и т Е № , что
a = bq + r,$<ir<ib~ 1.

(возможность операции деления целого числа а на натуральное число 6 с
остатком, где по определению число q — частное или неполное частное, а
число г — остаток) и вытекающее из него утверждение

Утверждение 4- Множество целых чисел Z можно разбить на п
классов по отношению к делимости на натуральное число п :
к нулевому классу относят числа, делящиеся нацело на п, то есть без остат-
ка (г = 0),
к первому классу относят числа, при делении на п дающие в остатке 1,
ко второму классу относят числа, при делении на п дающие в остатке 2,
к п — 1 классу относят числа, при делении на п дающие в остатке п — 1.

В частности, при п = 2 мы имеем разбиение целых чисел на два класса:
четные числа (делящиеся нацело на 2) и нечетные числа (не делящиеся
нацело на 2, а дающие при делении на 2 в остатке 1).

Утверждение 4 часто используется при решении задач на целочислен-
ную арифметику, например, в задаче 5 п. 2.1.11.

Утверждение 5. Всякое натуральное число п 2 можно единствен-
ным образом представить в виде произведения простых чисел (которые по
определению нацело делятся только на число 1 и сами на себя).

П — Pl Р2 ' Рк ,

Pi < Р2 < ••• < Рк и есть указанные простые числа, а;Е N , j = 1,2,k .

Утверждение 5 также используется при решении задач на целочислен-
ную арифметику, например, в задаче 1 п. 2.2.3.

Без доказательств поступающие могут использовать теоремы.

Теорема 1. Va € R , а 0 3 пу/а .

(теорема существования арифметического корня п - ой степени из неотри-
цательного числа а)

Определения корня см. ниже, в п. 2.1., Вопрос 9,
там же говорится и о единственности арифметического корня.

Теорема 2. Va, a Е R , 0 < a 54 1 3!Ь = aa , b € R ,
и справедливы (для любых действительных a > 0,6 > 0, а, /3) следующие
свойства степеней:

1, (ab)a =	6. aa>bQ<=>a>6^0,a>0,

( а\а	аа  2’ (ь) =	а? > Ьа О 0<а<Ь,а<0,
3.	= аа+(3,	аналогичные свойства имеют место
4. аа : а13 = аа~^,	в случаях знаков ” < ”, ”	”, ” > ”

5. (а0)13 = (а^)" = аа/3.

Для целых и рациональных а и 0 на устном экзамене но математике
необходимо знать эту теорему с доказательствами, (см. п. 2.1., Вопросы
8 и 9), а для случая, когда хотя бы одно из этих чисел иррационально

доказательств проводить не надо.

Определения аа см. в п. 2.1., Вопросы 8, 9 и 14
(там же по поводу a = 1 и a = 0).

Теорема 3. Va, b Е R : 0<a/l,fr>0 За 6 R : Ь = аа .

(а = loga Ь)

Определение логарифма см. также и в п. 2.1., Вопрос 13.

Единственность логарифма легко устанавливается от противного на осно-
ве доказываемых в п. 2.1., Вопрос 14 возрастания (при a > 1 ) и убывания
(при 0 < a < 1 ) функции у = ах.

В п. 2.1. и 2.2. рассматриваются вопросы о решении уравнений
fo(x) = 0 , f(x) = а ,	(*)

/0(х) = ах2 + Ъх+с ; f(x) = sin ж ; f(x) = cos г ; /(ж) = tg х ; /(а?) = ctg х .
Под решением каждого из уравнений (*) понимается такое число
«о € 2?[/о] , *о € D[f] , что /о(^о) = 0 , /(х0) = а — верные числовые
равенства (тождества).

Определение 4. Два уравнения называются равносильными, если каждое
решение первого из этих уравнений является решением второго из этих
уравнений и наоборот, если каждое решение второго из этих уравнений
является решением первого из этих уравнений.

Другими словами, два уравнения называются равносильными, если
множества их решений совпадают. Если каждое из двух уравнений не име-
ет решений (то есть множество решений каждого из двух уравнений пусто),
то они также называются равносильными.

Определение 5. Если каждое решение первого из двух уравнений явля-
ется решением второго из этих уравнений, то второе уравнение называется
следствием первого уравнения.

Таким образом, два уравнения являются равносильными, если каждое
из них является следствием другого, а также если множества их решений

совпадают.

Решить уравнение (*) значит найти все значения х , являющиеся его

решениями или доказать, что их нет.

Этим обстоятельством объясняется использование на стр. 36 — 37; в
решениях и ответах, приведенных ниже, в разделе III тригонометрических
задач, записей Vfc € Z или и = 0 ;±1 ;±2 ;... , а не традиционной
школьной — n Е Z, означающей, что п — какой-то элемент множества
действительных чисел Z.

В главе 3 книги [1], а также в книгах Ю.В. Нестеренко, С.Н. Олехника
и М.К. Потапова ”Задачи вступительных экзаменов по математике” (из-
даний 1983, 1986 и 1995 гг.) можно подробнее ознакомиться с понятиями и
общими свойствами уравнений, неравенств, систем и совокупностей урав-
нений и неравенств, а также — решений уравнений, неравенств, систем

и совокупностей ; с понятиями и свойствами равносильности и следствия

уравнений, неравенств, их систем и совокупностей.

Без знания аналитического доказательства поступающие могут ис-

пользовать утверждения следующей теоремы.

Теорема 4. Существуют решения уравнений :

sin х = а на отрезке
cos х = а на отрезке

ТГ 7Г

2 ’2

Va G [ -1 , 1 ],

Va G [ -1 , 1 ] •

О , Л- ]

На основе этих утверждений аналитическим путем уже совсем неслож-
но доказать существование решений уравнений :

/ 7Г 7Г\

tg х = а на интервале I — — , — I Va Е л ,
\	А /
ctg x = а на интервале (0 , тг) Va е Я (см. п. 24 и 25 в [12]).

Единственность всех этих решений на указанных промежутках легко
доказывается от противного на основе возрастания или убывания этих
функций (см. ниже п. 2.2., Вопросы 5 — 8).

Однако в конце п. 2.2. даются геометрические обоснования всех этих
фактов, а также геометрическое обоснование таких свойств функций
у = sin х и у = cos ж , как их область определения, периодичность с
периодами 2тгп Vn € Z , п ф 0 , наличие нулей и промежутков знакопо-
стоянства, равенств sin(—х) = —sin ж , cos(—х) = cos ж , Vx 6 [ 0, тг ] ,
которые в свою очередь используют без доказательств (что также имеют
право и поступающие в вузы) следующие утверждения.

Утверждение 6. Между множествами М точек окружности с центром
в начале координат радиуса R = 1 и множеством чисел полуинтервала
[ 0,2тг) можно установить взаимно однозначное соответствие

( М <-* a , a 6 [ О, 2тг) ).

Утверждение 7. Каждой точке М на окружности соответствует мно-
жество^ чисел {а € R : а = ао + 2тгп , и = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... } , где
О ао < 2тг , а0 <-* М .

Сразу же отметим, что Vx [ 0, тг ] равенства sin(—х) = — sinx и
cos(—х) = cosx доказываются уже аналитически на основе этих равенств
Vx 6 [ 0, тг ] и свойства периодичности.

Далее отметим, что все указанные выше формулировки определений
и утверждений, касающиеся натуральных, целых и рациональных чисел,
можно найти в [3] и [4], в [4] можно найти доказательства всех этих утвер-
ждений, а в [3] — большей их части.

В курсах математического анализа, читаемых студентам, вводятся раз-
личные определения действительных чисел, в том числе и как бесконечных
десятичных дробей (см. на стр. 11 что представляет собой множество Я),
определения сравнения двух действительных чисел, их суммы и произведе-
ния (также, как и в этом пункте), доказываются теоремы 1 — 4, показыва-
ется, как можно чисто аналитическим путем (то есть без окружности на
координатной плоскости) на основе полного объема фактов теории действи-
тельного числа ввести тригонометрические функции числового аргумента
и также аналитическим путем яоказ&ть все их свойства.

Наконец, поступающие имеют полное право без доказательств приме-
нять фундаментальные теоремы 5 и 6, являющиеся обоснованиями метода
координат соответственно на прямой и на плоскости.
Определение 6, Если на некоторой прямой а выбраны: точка О — нача-
ло отсчета, масштабный отрезок ОЕ, где точки О и Е различные, длина
которого считается равной единице (единица измерения отрезков), и поло-
жительное (от точки О к точке Е) и противоположное ему отрицательное
направления, то эту прямую называют числовой или координатной прямой
(осью).

Теорема 5. Между множествами всех действительных чисел R и всех
точек числовой прямой (оси) М можно установить взаимно однознач-
ное соответствие, причем если прямая расположена горизонтально, то из
двух точек Mi и М2 на этой прямой лежащей правее (левее) соответствует
большее меньшее) действительное число и наоборот, из двух действитель-
ных чисел большему (меньшему) из них соответствует точка на числовой
прямой, лежащая правее (левее).

Действительное число ж, взаимно однозначно соответствующее точке
М на числовой оси, называется координатой (числовой координатой) этой
точки. Обозначается М(х). Точке О — началу координат соответствует
число 0, то есть 0(0), точке Е соответствует число 1, то есть Е(1)
(см. рис. 1 на стр. 12).

Определение 7. Если на некоторой плоскости а заданы две взаимно пер-
пендикулярные числовые оси с общим началом отсчета (точкой О), равны-
ми на этих осях единицами измерения отрезков (то есть единым масштабом
на всей плоскости), то говорят, что на этой плоскости задана декартова
прямоугольная система координат, плоскость эта называется координат-
ной плоскостью, а эти оси называются координатными осями, точка О
называется началом координат.

Если одна из этих осей расположена горизонтально — ось абсцисс, а
другая — вертикально — ось ординат, то положительное (отрицательное)
направления на них выбраны соответственно вправо (влево) и вверх (вниз)
от точки О (см. рис. 15 на стр. 15 с выписанными под ним понятиями).

Теорема 6. Между множествами всех точек М координатной плоскости
и всех упорядоченных пар действительных чисел (ж; у) можно установить
взаимно однозначное соответствие.

Эта теорема доказывается на основе теоремы 5 (с использованием того
факта, что координатные оси — числовые прямые) и теорем о единствен-
ности перпендикуляров, проведенных или из данной точки, не лежащей на
прямой, к этой прямой, или — к прямой через данную на ней точку.

Теорема 5 в полном объеме доказывается в курсах аналитической гео-
метрии или высшей геометрии (см. [19], [17]), частично (о соответствии
действительного числа — бесконечной десятичной дроби точке на число-
вой оси) в курсе математического анализа (см. [20]).
2.1. Алгебра

Вопрос 1. Формулы сокращенного умножения

К ним относят формулы вида: Va, b € R

(а + 6)2 = а2 + 2а6+ Ь2 — квадрат суммы двух чисел ;

(а — Ь)2 = а2 — 2ab + b2 — квадрат разности двух чисел ;

(а + Ь)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3 = а3 + Ь3 + ЗаЬ(а + 6) -
— куб суммы двух чисел ;

(а - Ь)3 = а3- За2Ь+ Заб2 - Ь3 = а3 - Ь3 - ЗаЬ(а - Ь) -
— куб разности двух чисел ;

а2 — Ь2 = (а + Ь)(а — Ь) — разность квадратов двух чисел ;

а3 — Ь3 = (а — Ь)(а2 + ab + Ь2) — разность кубов двух чисел ;

а3 + Ь3 = (а 4- Ь)(а2 — аЬ + Ь2) — сумма кубов двух чисел.

Выводятся эти формулы перемножением выражений, заключенных в
скобки. При этом используются определения и свойства степеней с нату-
ральными показателями и законы сложения и умножения, например,
(а + &)2 = (а + 6)(а4-6) = а(а + Ь) + Ь(а + Ь) = а2 4- ab 4- Ьа 4- Ь2 = a2 4-2а£>4-62;
(а - 6)3 = (а - Ь)(а - Ь)(а - Ь) = (а - Ь)2(а - 6) = (а2 - 2аЬ + Ь2)(а - Ь) =
= a3 — 2a2b + b2a —a2b+ ‘2аЬ2 — Ь3 = а3 — 3a264-3a62 — 63 = а3 —63 —За6(а —6);
(а — Ъ)(а + Ъ) = а(а4-Ь) —6(а4-Ь) = a2+ab—ba — b2 = a2+ab — ab— b2 = a2 — b2.
Таким же образом можно доказать и формулы, обобщающие три послед-
ние: Vn € TV, n 2, Va, b € R

an — bn = (a — 6)(an-1 + an~2b + an~3b2 + ... + abn~2 + b”"1) ;

если n = 2k + 1 , to Vk € N an + bn =

= a2k+1 + 62fc+1 = (a + b)(a2k - a^b + a^b2 -... - ab2k~1 + b2k).

Вопрос 2. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10

Докажем два утверждения. Пусть числа /, m, n, k 6 Z , тогда :
а) если m : k и п : fc, то (т 4- и) : к ,
б) если I : к и т : к, то (/ — т) : к .
Доказательства.

A) m : k , п : к => 3pfq€Z:m=p>kfn = q’ls^
=> m 4- п = рк 4- qk = (р 4- q)k , (р + q) Е Z => (m 4- n) : к .
Б) тп : к , I : к => 3 р , г Е Z : m = pfc,/ = r- fc =>
=> I — m = гк — рк — (г — р)к , (г — р) Е Z => (/ — т) : к .

В этих доказательствах использовались: дистрибутивный закон сложе-
ния, вычитания и умножения и те факты, что сумма и разность любых
двух целых чисел есть целое число.

Представим натуральное число а в виде

a = anan_i.. .щао = an • 10n 4- ап-1 • Ю”"1 + ... 4- щ • 10 4- ао,
где 0 aj 9, j = 0; 1;...; п - 1 , aj Е No ; 1 ап 9, an € No •
Признаки делимости на числа 2 , 5 , 10

Если ао : 2 , то есть ао = 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 , то а : 2 ,

если ао • 5 , то есть ао = 0 ; 5 , то а : 5 ,

если ао : 10 , то есть ао = 0 , то а : 10 .

Доказательства

Пусть Ь = ап • 10п 4- an-i • Юп-1 4-... 4- ai • 10 = 10 • anan-i.. di =>6:10
=>6:2 и b : 5 , а потому так как а = Ь 4- ао , то в силу утверждения а)
соответственно при ао : 2 ; ао : 5 ; ао = 0 => а : 2 ; а : 5 ; а : 10 .

Справедливы и обратные утверждения:

если а : 2 , то ао : 2 , то есть ао = 0;2;4;6;8,

если а : 5 , то ао : 5 , то есть ао = 0 ; 5 ,

если а : 10 , то ао : 10 , то есть а0 = 0 .

Для доказательства этих утверждений достаточно представить число
ао в виде а0 = а — 6, воспользоваться тем, что 6:2, 6:5, 6: Юи
утверждением б). Таким образом,

а : 2 а0 : 2 , то есть а0 = 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ,

а : 5 О а0 : 5 , то есть а© = 0 ; 5 , а : 10 <=> ао = 0 .

Признаки делимости на числа 3 , 9

Если (an 4- an_i 4-. • • 4- ai + a0) : 3 , то a : 3 ,

если (an 4- Дп-i 4-... 4- ai 4- ao) : 9 , to a : 9 .
Доказательства Представим число а в таком виде

а = ап(10п —	(Юп-1—1)+- • -4-ах(10—l)4-an4-an_i4-. • -H-ai+ao = c4-d ,

где	с = an(10n - 1) + ... + ax(10 - 1) ,

d = an 4- fln-i + • • • + ai + ao >	10 — 1 = 9 : 9 ,

Vfc 2	10* - 1 = (10 - 1)( 10*~1 4-10*“2 4-... + 10 4- 1) =

= 9(1 00 ^. . 0,4-100 . 0,4“... + 10 4-1) = 9 ♦ 11_„_. 1 = 99 „ . 9 , следовательно,
fc —1	jfc —2	к	к

=> (10* - 1) : 9 , с = 9 • (П^Л,an 4-IJL^l an--i 4-• • • 4-lla2 4-ai),
n	n-1

таким образом, с = 9/ , t 6 Z , а потому с : 9 => с :	3 .	а	=	с	4- d , в силу

утверждения а) и имеем: если d : 3 , то а : 3 , если d	:	9	, то	а	:	9! .

Справедливы и обратные утверждения:

Если а : 3 , то d = (an 4- an-i 4- •.. 4- ai 4- a0) -3 ,

если a : 9 , то d = (an 4- an-i 4-... 4- ax 4- ao) : 9 .

Для доказательства этих утверждений достаточно представить число

d в виде d = а — с и воспользоваться тем, что с : 3 и с : 9 , откуда в силу
утверждения б) и вытекают эти утверждения. Таким образом,

a : 3 (an 4- an_x 4-... 4- ax 4- ao) ‘ 3 , a : 9 (an 4е an-i 4-... 4- ai 4- ao) ‘ 9.

Замечание 1. По схемам, аналогичным доказательствам утверждений о
делимости на числа 2 , 5 , 10 , устанавливаются утверждения о делимости
на числа 4,25,100,8,125,1000 ,..., 2* , 5* , 10* (V& € N) , соответственно
имеющие вид

a : 4 О aTao : 4 , а : 25 <=> ajao ’ 25 , то есть аГао = 00 ; 25 ; 50 ; 75 ,

а : 100 ajao = 00 ,

а : 8 агбиао ’ 8 , a : 125 <=> a^aya^ : 125 , а : 1000 О агахао = 000 ,

а : 2* О ajb-.iajt-2 ’вгахао : 2* , а : 5* <=> а^Лха^-г-ага^о • 5* ,

а : 10* <=> ak^iak^2 > 02^1^0 = Q0_- Q •
к

Замечание 2. По схемам, аналогичным формулировкам и доказатель-
ствам утверждений о делимости на числа 3,9, можно сформулировать и
доказать утверждения о делимости на число 11 . Предлагается это сделать
в качестве упражнения.
Вопрос 3. Свойства числовых неравенств

Определение 1. Если два числа а и b (a,b € R) соединены знаком не-
равенства а ф Ь или одним из отношений порядка а > 6, или a < 6, или
а 6, или а 6, установленных между числами, то говорят, что задано
числовое неравенство. Неравенства а > b и а < Ь называются строгими,
неравенства а b и а Ъ называются нестрогими.

Формулировки свойств числовых неравенств.

Для любых чисел а, b,c, d 6 R справедливы следующие свойства:

1.	а > b Ь<а и а<Ь <=> Ь>а

2.	если а > Ь и b > с, то а > с (свойство транзитивности) ;

3.	если а > Ь, то для любого с а + с > b + с; если для некоторого с
а 4- с> 6 + с, то а > b (а > Ь а 4- с > Ь 4- с) ;

4.	если а	> Ь, то для	любого с >	0 а • с > Ь	с;	если для	некоторого

О О	а с > b с,	то а>Ь	(а>Ь О а	с > b с,	с > 0) ;

5.	если а	> Ь, то для	любого с<0 а с < b	с,	если для	некоторого

с<0	а с<Ь с,	то а>Ь	(a>b О а	с<Ь с,	с < 0) ;

6.	если а > Ь и с > d, то а + с > b + d (возможность почленного
сложения неравенств одинакового смысла) ;

7.	если а > Ъ и с < d, то а — с > b — d (возможность почленного
вычитания неравенств противоположного смысла) ;

8.	если а > b, b 0 и с > d, d 0, то ас > bd (возможность почленного
умножения неравенств одинакового смысла неотрицательных чисел);

а Ь

9.	если а > b,b 0 и 0 < с, с < d, то - > - (возможность почленного

деления неравенств противоположного смысла неотрицательных чи-
сел);

10.	если а, 6^0, то Vn € N ап > Ьп О а> b (возможность почленного
умножения п одинаковых неравенств неотрицательных чисел) .

В свойствах 1 — 10 обратить внимание и на случаи знаков ” <	$

В свойствах 2 и б — 9 обратить внимание на случаи, когда одно из нера-
венств строгое, другое нестрогое, в результате неравенство будет строгое.
Обратить внимание: можно ли почленно складывать (вычитать), а так-
же умножать (делить) неравенства противоположного (одинакового) смы-
сла? Ответ: ’’нет”, проиллюстрировать на примерах.

Обратить внимание на существенность в свойстве 8 условий
b О и d О, ав свойстве 9 — на 6^0 и с > 0 (на примерах)
(см. [3], гл. 1, § 4, п. 8°).

Свойства 3 и 8 обобщаются на случаи произвольного конечного количе-
ства слагаемых неравенств одинакового смысла и произвольного конечного
количества перемножаемых неравенств одинакового смысла неотрицатель-
ных чисел соответственно.

Замечание. При доказательстве этих свойств в учебной литературе как
определения используются: a > 6, если a — b > 0, a < 6, если a — b < 0;
в литературе для подготовительных отделений (см. [1]) без доказательства
используются утверждения: *

a > b a — 6 > 0; a < b a — 6 < 0 ;

иза>0и6>0 => а 4- Ь > 0 ; иза<0иЬ<0 => a 4- b < 0 ;

а также согласно правилам умножения чисел одного и разных знаков и
умножения чисел на число 0

из а > 0	(о <	°)	и	Ь> 0	(6<0)		ab > 0 ;
из а > 0	(а <	0)	и	Ь < 0	(6>0)		ab < 0 ;
из	а =	0	или	6 = 0	=> аЬ	= 0	

Доказательства

1.	a > Ь <=> а — 6>0 <=> b — а = -(а — Ь) < 0 <=> b < а,
второе утверждение доказывается совершенно аналогично.

2.	а>Ь О а - 6 > 0, Ь>с

Ь — с > 0 =>

а — с = (а — 6) 4- (Ь - с) > 0 <=> а > с . **

* Об этих утверждениях см. материал в конце вопроса, после доказательств сфор-
мулированных свойств, где говорится о двух подходах при7 изучении свойств число-
вых неравенств, особенно это касается свойства 2 (этот материал не является строго
обязательным).

** В конце изложения этого вопроса желательно обратить внимание на другой спо-
соб доказательства этого свойства, связанный с другим подходом при изучении свойств
числовых неравенств.
3.	a> b a-b>0 =>

для любого с (а4-с)-(Ь4-с) = а — Ь>0<=>а4-с>Ь4-с;
пусть для некоторого с а 4- с > Ь 4- с, тогда
а - Ъ = (а 4- с) - (Ь 4- с) > 0 => а > Ь.

4.	а> Ь <=> а — Ь>0 =>

для любого с > 0 ас — Ьс = (а — Ь)с > 0 =>	ас > Ьс;

пусть для некоторого с' > 0 ас' > Ьс', тогда

(а — Ь)с' = ас' - Ьс' > 0 => а - Ь > 0 => а > Ь.

5.	а>Ь <=> а — Ь > 0 =>

для любого с < 0 ас — Ьс = (а - Ь)с < 0 =>	ас < Ьс;

пусть для некоторого с' < 0 ас' < Ьс', тогда

(а - Ь)с' = ас' — Ьс' < 0 => а — Ь > 0 => а > Ь.

6.	а>Ь а-Ь>0, c>d <=> c-d>0 =>

(а 4- с) — (Ь 4- d) = (а - Ь) 4- (с - d) > О а + с > b + d.

7.	а>Ъ <=> а — Ь > 0, c<d d>c & d-c>0 =>
(а — с) — (Ь — d) = (а	—	Ь) 4- (d — с) > 0	<=> ’ а	— с >	Ь — d.

8.	В силу свойства 2 из с	>	d, d О	=>	с > О

(аналогично а > 0), откуда в силу свойства 4
ас > Ьс; при Ь >	0	Ьс > bd,	в силу свойства 2	ас > bd;

при Ь = 0 bd = 0,	а	так как	ас > 0,	то	ас >	bd.

9.	Так как 0 < с, с < d, то d > с, с > 0 => d > 0, е = — > 0,
cd

в силу свойства 4 d > с <=> de > се -О с' = - > 3 = d' > 0,
*	cd

а Ь

в силу свойства 8 ас' > bd или - > - .
с d

10.	Воспользуемся формулой:

an-bn = (а- Ь)(ап~1 + ап~2Ь + ап~3Ь2 + ... + abn~2 + У-1) ,
так как если числа а и 6 не равны, то заведомо одно из них положи-
тельно, а потому

ап~1 + ап~2Ь + ап~3Ь2 + ... +abn~2 + Ьп~1 >0 ,

и, следовательно, знак разности ап—Ьп совпадает со знаком разности
а — b .

Свойства числовых неравенств полностью доказаны.

Дополнительный материал к вопросу 3

Отметим следующие два подхода к изучению свойств числовых
неравенств.

Напомним, что действительное число а в общем виде представляет
собой произвольную бесконечную десятичную дробь:

если a = 0,	то а = 0,000...0... = 0, (0),

если a / 0,	то a = ао,...ап... = 4-ао,а\а2.^ап...

или а = —ао,ахаг...ап ... ,

причем а0 6 {0; Г,2;...; п;...} — Nq, а, £ Mb За,0 £ N , jo G Nq ,
O^aj ^9 j = 1; 2; 3; ...

Число ао называют целой частью десятичной дроби,
а числа aj (Vj 1) называют ее десятичными знаками.

В случае, когда перед числом стоит знак ”4-” или знак отсутствует,
его называют положительным, а когда перед числом стоит знак его
называют отрицательным. Число 0 не относят ни к положительным, ни к
отрицательным числам, 0 = +0 = — 0 .

Если в десятичной дроби, начиная с некоторого номера Д? + 1 (fc 0),
группа десятичных знаков повторяется, то есть

a = ao, aia2...an... = а0, aia2--^kQk^idk^2-^k+iak^iak^2^^k^io>k+i-^

символически это записывается ao,a^.-.a^afc+iaj^-.-afc+z)) I 1,
то она называется периодической десятичной дробью, в противном слу-
чае она называется непериодической десятичной дробью.

Имеют место равенства: ±а0, (9) = ±(ао 4-1), (0) = ±(ао 4- 1)

±ао, aia2...а&(9) = ±ао, а^.-.а^О) = ±ао, а^.^ая/,
а*' = а^,4-1, если а^ 8.

Эти равенства позволяют для упрощения рассуждений в дальнейшем
не рассматривать периодические десятичные дроби с периодом 9.

Первый подход. Действительные числа определяются как элементы не-
которого расположенного поля или (в частности) кольца. В смысле книги
[4]	расположенным полем называется непустое множество Я, над элемен-
тами которого определены операции сложения и умножения, ставящие в
соответствие каждым двум элементам а и b Е R третий элемент из этого
же множества, обозначаемый соответственно а 4- Ь и а • Ь и соответственно
называемый их суммой и произведением, которые обладают следующими
свойствами или, как еще можно сказать, удовлетворяют следующим ак-
сиомам (при этом а = Ь означает совпадение этих элементов, а а ф b
означает, что эти элементы различные).

1.	а 4- Ь — 6 4- а — коммутативность сложения;

2.	(а 4- 6) 4- с — а 4- (Ъ 4- с) — ассоциативность сложения;

3.	обратимость сложения: Va и b € R

3 (по крайней мере один элемент) с Е R такой, что а 4- с = b ;

4.	а • b = Ь • а — коммутативность умножения;

5.	(а • Ь) • с = а • (6 • с) — ассоциативность умножения;

6.	(a + 6).c = a.с 4- Ь • с — дистрибутивность умножения относитель-
но сложения (в некоторых книгах говорят наоборот — дистрибутив-
ность сложения относительно умножения);

на основании аксиом 1 — б можно доказать, что существует и притом
единственный элемент 0 — нулевой, что

VaEfi a 4- 0 = 0 4- a = а ,

и для любого элемента а существует и единственный противополож-
ный элемент, обозначаемый —а, такой, что выполняются равенства

а 4- (-а) = (-а) 4- а = 0 ;

7.	обратимость умножения: Va и Ь Е Я, где а ф О

3 (по крайней мере один элемент) d Е Я такой, что а • d = b ;

8.	Я содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля;

на основании аксиом 1 — 8 можно доказать, что существует, и притом
единственный, элемент 1^0 — единичный, такой, что

Va ЕЯ а • 1 = 1 • а = а,
и для любого элемента а =£ 0 существует и единственный обратный
элемент, обозначаемый а"1, такой, что выполняются равенства

а • а-1 = а-1 • а = 1 ;

9.	Va Е R определено его свойство быть положительным, удовлетворя-
ющим требованиям существования одного и только одного из трех
соотношений: либо a = 0 , либо а положителен, либо —а положи-
телен;

10.	если а и b положительны, то также положительны а 4- Ъ и а • b ;

если элемент —а положителен, то элемент а называется отрица-
тельным.

На основании аксиом 1 — 10 можно доказать (см. [4], §9), что если в
расположенном поле (в частности, кольце) R определить порядок, считая
а > b a — b положителен, то R будет упорядоченным множеством
(в смысле [4], §5), причем нулевой элемент будет меньше всех положитель-
ных и больше всех отрицательных элементов.

Это утверждение и позволяет при данном подходе считать по опреде-
лению, что одно из двух чисел больше (меньше) другого, если разность
первого и второго чисел положительна (отрицательна), то есть больше
(меньше) нуля.

Второй подход. Считая введенными правила сравнения (упорядочения)
чисел из множества No — N U {0} , а также установленными свойства:
аналог свойства 1 и свойства 2 транзитивности неравенств между ними,
которые хорошо известны из курса школьной арифметики (более подробно
и строго они установлены в §10 [4], (см. также гл.1, §1 [3]), во многих учеб-
никах и учебных пособиях вводятся следующие правила сравнения (упоря-
дочения) десятичных дробей — действительных чисел.

Пусть а = ао,а^...ап... и b = 6о,b\b^--Лп...—
положительные числа, по определению считают:

а = b , если V j Е No => aj = bj ;

a > b (a < 6) , если либо ao > bQ (ao < 4>o)	,

либо Э jo G No : V j G No, j < jo a, = bj ,	a,o+i	>	fyo+i	(aJo+i < 6,o+i);

если c — положительное число, d — отрицательное число,	то	по определе-

нию считают

О d \ d< с; с> 0 ; 0 < d ; d<0 ; 0 > d ;

если с и d отрицательные числа, то по определению считают:

с = d & |с| = |</|; с > d (с < d) |с| < \d\ (|с| > |</|);

а = 0 V j € Nq	а у = 0 .
Схема доказательства свойств числовых неравенств при этом подходе
такова:

свойство 1 для положительных чисел вытекает из его справедливости
для чисел из множества Nq , а для остальных случаев — непосредственно
из определения;

свойство 2 для случая трех положительных чисел а ; b ; с ;

С = Со, С1С2...СП...

вытекает из определения и его справедливости для чисел из множества
Nq> при этом первый номер &0, для которого выполняется неравенство

akQ > Ck0) является наименьшим из Двух номеров i0; j0 , где io —
наименьший из номеров, при котором нарушается равенство а* = Ь{
(то есть а,0 > 6t0) , a jo — наименьший из номеров, при котором
нарушается равенство bj = Cj (то есть bjQ > cj0) ;

для остальных случаев свойство 2 уже непосредственно вытекает из
определения.

На основе установленных таким способом свойствг 1 и 2 и определения
суммы двух произвольных десятичных дробей можно доказать
(см. [3], гл. 1, §4, п. 6°, 8°):

V а ; b £ R : b > О (Ь < 0) => а + Ь>а (а+ Ь< а).

На основе этого утверждения учащимся предлагается самостоятельно
доказать приведенные перед доказательством свойств числовых неравенств
утверждения:

а>6оа — 6>0;

а < b а — 6 < 0 ;

из	а > О	и	6 > О	=>	а + Ь> 0;

из	а < 0	и	b < 0	=>	а 4- Ь < 0;

с помощью которых, а также выше приведенных правил умножения
действительных чисел одного и разных знаков и на число 0, которые вы-
текают из определения произведения десятичных дробей (см. [3], гл. 1, §4,
п. 6°), уже проделанным выше способом устанавливается справедливость
остальных свойств числовых неравенств 3 — 8.
Вопрос 4- Свойства линейной функции и ее график *

Определение. Функция вида у = /(х) = ax + b называется линейной
функцией. Здесь а и Ь — постоянные действительные числа, ах — пере-
менная, принимающая действительные значения.

!.£>[?/] — (—00,4-00), так как Vx 6 R однозначно определено произве-
дение ах и сумма ах 4- b (в силу свойств действительных чисел, строго
доказанных вне пределов школьной программы).

II.	Е[у] — {6} , если а = 0, так как Vx€/?=>ax4-6 = 0x4-& = b;

Е[у] — (—оо, +оо) > если а Ф 0 , так как Vjfo Е R существует

хо = —---- Е R : /(хо) = а ♦ хо 4- 6 = а • --F b = (j/o — b) 4- b = уо .

а	а

III.	Если а = 0 , то max/(x) = min/(x) = b (так как Vx 6 R =>
x(~R	x£R

=> /(x) = b => /(x) 0 и /(x) b и Зхо , например, xq = 0 , /(xo) = b) ;

если a / 0, то не существуют maxf(x) и min /(x)

(так как, предполагая существование Mq = max/(x) и ttiq = min/(x),
легко получить противоречие, исходя из результата п.П, ибо существуют,
например, Xi и х2 такие, что /(xj =	- 1 < m0 и /(х2) = Mq 4-1 > Mq).

IV.	Если а = = 0, то Vx € R f(~x) = f(x) = 0 и /(—х) = 0 =

= —0 = —/(х)	=> /(х) является одновременно и четной и нечетной.

Если а = О, b ф 0, то Vx G R У(-х) = /(х) = 6;

так как b —6, то /(х) является четной и не является нечетной.

Если b = 0 , а ф 0 , то Vx 6 R f(~x) = а(-х) — ~ах = —/(я) >
следовательно, функция нечетная.

Если бы Vx G R =>/(—х) = /(х) , то а(—х) = ах <=> 2ах = 0 , поэтому
а = 0 , что неверно, следовательно, функция /(х) = ах 4- b не является
четной.

Из последних результатов вытекает, что если а / 0 и b / 0, то линейная
функция не является ни четной, ни нечетной.

V.	Если a = 0,ToVT^0=> /(х) = ax + b = Ь = а(х + Т) + Ь = /(х4-Т) ,
следовательно, функция периодическая, любое Т / 0 является ее периодом.

Если а / 0 , то, предполагая существование Tq / 0 , что Vx £ D[f] =>
/(х4-ТЬ) = /(х) <=> а(х4-То)+& = ах+Ь <=> oTq = 0 , а это неверно, ибо а / О
и 7Ь # 0 , пришли к противоречию ; следовательно, функция у = ах 4- Ь не
периодическая при а ф 0 .

* См. выше п. 2.0.2 и 2.0.3, где приводится план исследования функции и формули-
руются все необходимые для этого определения; то же самое относится и к вопросам 7,
14—16 раздела ’’Алгебра’* и тригонометрическим функциям в разделе ’’Тригонометрия”.
VI.	Если а = 6 = О, то Vx Е Я => /(аг) — 0 => Vz Е Я — нуль функции.
Если а = 0 , &^О,to Vo: ЕЯ=> /(ж) = Ь ф О => нулей нет ;

при этом, если Ь > 0 (6 < 0) , то на всем промежутке (—оо, 4-оо) f(x) > О
(/(*)<о).

Если а / 0 и Ъ произвольное, то /(аг) = ах 4-6 = 0<=>х = хо = —Ь/а ,
следовательно, «о — единственный нуль функции.

Из свойств числовых неравенств вытекает, что при а > О

ах 4- Ь > 0 (ах 4- 6 < 0) <=>
(-5/а,+оо) ((-оо, —b/а)) ,
ах + Ь > 0 (ах 4- Ь < 0) <=>
(—оо,—6/а) ((—fc/а, 4-оо)) ,

х > —Ь/а (х < -Ь/а) => f(x) > 0 (f(x) < 0) на
аналогично при а < 0

х < —Ь/а (х > —Ь/а) => f(x) > 0 (f(x) < 0) на

VII.	Если a > 0 (а < 0) , то f(x) = ах + Ъ возрастает (убывает).
Пусть xi < х2 • Рассмотрим разность /(«2) — /(^i) = а$2 4- Ь — (axi 4- Ъ) =
= а(х2 — xi). Так как х2 - Xi > 0 , то f(x2) > f(xx) (f(x2) < f(xi)) .

VIII. График функции у = ах 4- Ь — прямая , а = tg a , a — величина

Доказательство. *

Доказательство будет состоять из четырех этапов.

1) Пусть на координатной плоскости Оху задана прямая £ , докажем,
что точка М(х\у) Е £ пара (ar, у) является решением уравнения первой
степени с двумя неизвестными

Ах + Ву + С = 0,	(1)

где А, В,С — постоянные (фиксированные) действительные числа, причем

* Схема этого доказательства заимствована из учебника [5], п. 75 — 79, однако это
доказательство более полное, чем в этом учебнике.
А/0 ;

В/0

& |А| + |В| 0 А2 + В2 ± О

(2)

(другими словами, по крайней мере одно из чисел Ли В отлично от нуля).

рис. 1 з)

У^^УГ

У^У^
/У'

кГ *

Х=Х0

Х^+Хг *,+%
Ло 2	2

к:р .

। / пЛ/о \ X

ур

IF

^2^2’У^

рис. 1 и)

* h

Для этого (см. рис. 1 ж) проведем прямую h ± I и отложим от точки
Mq = h П I (от точки пересечения этих прямых) по разные стороны от
прямой I равные отрезки MqM\ = MqMz , Afi(®i;2/i) , Л^г(®2; У2) ,
М\ Mq , М2 Mq , Mx М2 . Таким образом, прямая I — середин-
ный перпендикуляр к отрезку Mi М2 . Согласно теоремам о серединном
перпендикуляре к отрезку и о расстоянии между точками на координатной
плоскости М(ж; 2/) Е I О р{М\ Mi) = р(М; М2) О |ЛГЛГ11 = |ММг| <=>
О |ЛГMl I2 = |Af М2I2 <=> (ж - ®1)2 + (у - J/1)2 = (х - х2)2 + (у - у2)2 <=>
х2 - 2xxi + xj + y2 - 2yyi + у2 = х2 - 2хх2 + х% + у2 - 2уу2 + у2<&
» 2(xi - х2)х + 2(yi - у2)у + (xj - ж?) + (у2 - у2) = 0 Ах + By + С + 0 ,
где А = 2(®х - х2) , В = 2(3/1 - 3/2) , С = (х22 - ж?) + (^ - у2) =
= (ж2	-	жх)(ж2	+ xi) + (У2	- 3/1) (1/2 + 3/1) •	Условие	Mi £ М2	«•

х2 / Ж1	; Г ж2 - Ж1	0 ;	А / 0 ;

[ 1/2 # 1/1	У2 - 1/1 ф	О	В / 0 .

Итак,	мы	получили, что	точки прямой I , и только они, удовлетворяют

уравнению (1) при условиях (2). Однако следует отметить, что в прове-
денных рассуждениях мы брали конкретный отрезок М\М2 , для которого
прямая I — серединный перпендикуляр, и для полноты доказательства
необходимо показать, что если взять другой отрезок М^М^ такой, что
указанная прямая I будет и для него серединным перпендикуляром, то ко-
ординаты точек прямой Z , и только они, будут удовлетворять некоторому
уравнению первой степени, равносильному * уравнению (1). Эти рассуж-
дения, отсутствующие в учебниках [5] и [6], мы проведем на следующем,
втором этапе доказательства.

Пока рассмотрим некоторые частные случаи :

* Уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают,
в том числе, уравнения, не имеющие решений, считаются равносильными.
а)	(см. рис. 1 з)) А = 0 Х2 = Xi <=> Mi М2 -L Ox , так как проекции
точек Mi и М2 на ось Ох (основания перпендикуляров, проведенных из
этих точек на ось Ох) совпадают, это точка Мг(ж';0) , xf = xi = Х2 ,
поэтому в силу единственности перпендикуляра, восставленного из точки
на прямой, к этой прямой Mi М2 -L Ох ; в силу условий (2) В / 0 , а потому
уравнение (1) принимает вид Ву + С = О <=> у = уо , где уо = —С/В, в силу
Ох ± Оу => Л/1Л/2 ± Ox I || Ох I ± Оу <=> I : у = уо = const , в
частности, при А = С = Q! , В /0 получаем прямую, совпадающую с осью
Ох , ее уравнение у = 0 ;

б)	(см. рис. 1 и)) В = 0 У2 = yi <=> М1М2 1 Оу , так как проекции
точек Mi и М2 на ось Оу (основания перпендикуляров, проведенных из
этих точек на ось Оу) совпадают, это точка Му(0;з/) , 2/ = 2/1 = 3/2 ,
поэтому в силу единственности перпендикуляра, восставленного из точки
на прямой, к этой прямой М1М2 -L Оу ; в силу условий (2) А / 0 , а потому
уравнение (1) принимает вид Ax + C = 0& x = Xq , где х0 = —С/Ау в
силу Оу ± Ох => М1М2 -L Оу 11| Оу <=> t ± Ох О t : х = «о = const, в
частности, при В = С = 0 , А 0 получаем прямую, совпадающую с осью
Оу , ее уравнение х = 0 .

2) Докажем, что если взять другой отрезок М1М2, такой, что указанная
прямая I будет и для него серединным перпендикуляром, то координаты
точек прямой I, и только они, будут удовлетворять некоторому уравнению
первой степени, равносильному уравнению (1). Проводя точно такие же
рассуждения, что и в 1), получим: координаты точек прямой I , и только
они, будут удовлетворять уравнению первой степени с двумя неизвестными

Ах 4- By 4- С = 0 ,	(I)

где _	_ Л = 2(£i - х2) , В = 2(i/i - у2) ,

С = (ж| - xj) 4* (2/2 - 2/1) = (*2 “ *1)(*2 + *1) + (У2 - У1)(У2 4- 2/1) ,
А, В, С — постоянные (фиксированные) действительные числа, причем
й$п; <=> |Л| + |В|#0 А’ + В’^О.	(2)

Переходим к доказательству равносильности уравнений (1)и(1).Так как
MiM2-L£nMiM2±e ,то М1М2ЦМ1М2 .

Рассмотрим случаи: В = 0 и В / 0.

В = 0 (см. выше б), В = 0 <=> 3/2 — yi = 0 <=> Mi М2 -L Оу <=>

{М1М2 II Ml М2} <=> М1М2 ±Оу<^У2-У2-^<^В = 0,В силу
условий (2) и (2) соответственно А / 0 и А ф 0 , тогда уравнения (1) и (1)
соответственно принимают вид Az 4 С = 0 О z = —С/А и Ах 4- С = 0 <=>_
<=> х = -С/А . С учетом того, что В = В = 0 и выражений для А , С , А
и С имеем:
/1\	С	О (Х2 — *1)(*2 4" *1)	*1 4" *2

А	А • 2{хх - х2)	2

упавнение СП •» х -	- хп	~ f1^2 +	- £1 + *2

.уравнение (1) * г -	. - х0 , j----------~—j—

Согласи© результатам случая б), прямая £ состоит из точек, имеющих одну
ц ту же абсциссу Яо, (множество их ординат совпадает с множеством всех
действительных чисел), в частности точки Mq и Mq пересечения отрезков
М1М2 и соответственно М1М2 с прямой £ (см. рис. 1 и) имеют абсциссу xq.
С другой стороны, точки Mq и Mq — середины отрезков Mi М2 и Mi М2
соответственно, а поскольку Mi М2 || Ох (см. рис. 1 и), то

\Mi Mq I = |Л/о‘Л/21 о |*0 - *1| = 1*2 - *о| &	°	1 “ 2

*о — *1 = *0

2г0 = *1 4- *2 ; _ г /	*1 4- *2

*=> Х1 _ Х2	{*1 Т X2J *о = —2— •

Аналогично доказывается, что xq = —-— . Следовательно,

*14-*2	*14-*2

*0 = ~2~ = ~Г~ = Х° ’

откуда и вытекает равносильность уравнений (1) и (1) .

В ф 0 . Согласно рассмотренному выше случаю б) В / О <=> £ / Ох О
Оу . Так как В = 0Ф>В = 0,тоВ/0^>В/0,а потому
врзможно почленное деление уравнения (1) на число В ф 0 и почленное
деление уравнения (I) на число В ф 0 , откуда непосредственно вытекает
равносильность уравнения (1) и (3) , а также — уравнений (1) и (3) :

~	Ах С (, А , С] ,	. /Лч

Ах + Ву+С = 0 <=> у = —\ к =	у = fc*4-/, (3)

D В I В В I

Ar С	А

Ах+Ву+С = 0 & у =	o t =

в в I в

I = —^г	= kx + i . (3)

в

В силу указанных равносильностей уравнений координаты точкек прямой
£ и только этих точек удовлетворяют уравнениям (3) и (3) . Поскольку
в силу аксиомы единственности прямой, проходящей через две различные
точки, прямая £ однозначно определяется, например, двумя точками с аб-
сциссами х = 0их=1,аих ординаты (согласно уравнениям (3) и (3))
соответственно равны j/(0) = / , у(1) = к 4-1 или 2/(0) = I , £(1) = к 4-1 .
Следовательно, у(0) =± у(0) <=>/ = /, j/(l) = £(1) <£> & 4- / = к + l <Э> {/ = 1}
<=> I = I , уравнения (3) и (3) оказались олинаковыми, а потому, очевидно,
равносильными. В силу достаточно очевидного свойства транзитивности
равносильности уравнений (1) <=> (3) <=> (3) <=> (1) => равносильность урав-
нений (1) и (1) .

3)	Докажем, что в уравнении (3) к = tg а , где а величина угла между
прямой I и положительным направлением оси Ох , то есть величина угла
между прямой I и лучом МЕ , где М — начальная точка луча — точка
пересечения прямой t и оси Ох , а Е — точка оси Ох , лежащая на ней
правее, то есть она имеет большую абсциссу, чем абсцисса точки М , если
11| Ох или I совпадает с осью Ох , то а = 0 или а = тг
(см. рис. 1 к), л), м).

Рассмотрим три случая: Л>0,&<0,£ = 0.

к > 0 , выберем на прямой, описываемой уравнением у = кх 4-1 , две точки
Mi(xi-,yi) и М2(х2\У2) так, чтобы X2 > £1 , поскольку к > 0 , то У2 > У1
(это было показано в п. VII, см. рис. 1к)).А>0=>Л^0,а так как у нас и
В ф 0, то прямая t Ох и I ^Оу (см. рассмотренные выше случаи а) и б)).
Проведем через точку М\{х\-,у\) прямую, параллельную оси Ох , а через
точку М2^Х2\У2) прямую, параллельную оси Оу , в силу перпендикулярнос-
ти осей Ох и Оу эти прямые пересекутся в точке L под прямым углом. В
силу единственности прямой, параллельной данной прямой и проходящей
через точку дне данной прямой, точка L не лежит на прямой М1М2 (в
противном случае так как MiL || Ох , то и М1М2 || Ох , что неверно). По-
скольку MiL || Ох и M2L || Оу (см. рассмотренные случаи а) и б) абсцисса
точки L равна Х2 , а ее ордината равна yi , то есть L — Цх2',yi) . Так как
Х2 >	, то на прямой M\L || Ох точка L расположена правее точки Mi , а

потому в силу равенства соответственных углов при MiL || Ох и секущей
М1М2 в прямоугольном треугольнике M1LM2 LM1M2 = а , откуда:

__ \LM2\ _ |t/2 - У!| _ У2 - У1 _ кх2 + 1- kxi - I __ к(х2 - Xi) _ к
|iWlX| |®2 “ ®1|	®2 ~ $1	$2 ” $1	$2 —

к < 0 , выберем на прямой, описываемой уравнением у = кх 4-1 , две точки
Mi(xi',yi) И М2(Х2',У2) так, чтобы х2 > XI , поскольку к < 0 , то У2 < У1
(это было показано в п. VII, (см. рис. 1 л)). А:<0=>А^0,а так как у нас
и В 0 0, то прямая I Ох и t [[Оу (см. рассмотренные выше случаи а) и б).
Проведем через точку М2(х2\У2) прямую, параллельную оси Ох , а через
точку 2/1) прямую, параллельную оси Оу , в силу перпендикулярно-
сти осей Ох и Оу эти прямые пересекутся в точке L под прямым углом. В
силу единственности прямой, параллельной данной прямой и проходящей
через точку вне данной прямой, точка L не лежит на прямой М1М2 (в
противном случае так как MiL || Оу , то и М1М2 || Оу, что неверно). По-
скольку M\L || Оу и LM2 || Ох (см. рассмотренные случаи а) и б) абсцисса
точки L равна xi , а ее ордината равна 2/2 , то есть L —	. Так как

xi < Х2 , то на прямой LM2 || Ох точка L расположена левее точки М2 , а
йотому в силу равенства соответственных углов при M2L || Ох и секущей
Mi М2 в прямоугольном треугольнике M2LM1 LM2M1 = тг — а , откуда
tg (тг - а) =

_ |£М2| _ |- yi| _ yi -у2 _ kii+l- кх2 - I _ k(xi - x2) _ _k &
|M1£|	|#2 ““ $1|	$2 —	x2 ~	X2 ~ Xi

tg a = -tg (тг - a) = к ;

k = 0 , в этом случае также и А = 0 (к = —А/В) , поскольку (см. выше
случай а) при этом прямая I || Ох , то величина угла ее наклона а к оси
Ох равна 0 или тг , следовательно, tga = 0 = fcnB этом случае
(см. рис. 1 м).

4)	Переходим к непосредственному доказательству того, что график
функции у = ах + Ь — прямая. Для этого выберем две точки этого графика
,Мо(О;Ь) и Mi(l;a-|-fr) и проведем через них прямую (в силу соответству-
ющей аксиомы эта прямая определена однозначно). Поскольку эта прямая
проходит как через точку Л/о(0; Ь) 6 Оу , так и через Afi(l; а 4- Ь) £ Оу , то
она не параллельна оси Оу и не совпадает с осью Оу , поэтому (см. вы-
ше случай б) координаты точек этой прямой и только они удовлетворяют
уравнению вида (3) :	у = kQx 4- /0 .	(30)

Подставляя в него х — 0, а затем х = 1, мы получим, что 2/(0) = /о = 6,
2/(1) = fco4-/o = ^o + i> = a4-b => ко = а . Таким образом, уравнение (Зо)
как раз и приняло вид у = ах 4- Ь , что окончательно доказывает теорему о
графике линейной функции. Равенство а = tg а по сути дела установлено
на предыдущем этапе 3) доказательства теоремы.

Отметим, что при Ь = 0 (в общем виде уравнения прямой (1) это соответ-
ствует случаю С = 0) прямая — график линейной функции проходит через
начало координат, точку 0(0; 0) , так как 2/(0) = 0 (см. выше
рис. 1 в) и рис. 1 г).

Число a = tg а называют угловым коэффициентом.
Вопрос 5. Формула, корней квадратного уравнения. Теорема Виета
Определение 1. Квадратным трехчленом называется выражение
f(x) = ах2 + Ьх + с,	(1)

где а, 6, с 6 Я, а 0 — постоянные числа, х Е R — переменная; а, Ь и с
называются коэффициентами.

Определение 2. Квадратным уравнением называется уравнение вида

/(ж) =. О или ат2 4-Ьх 4-с = 0 , (а ф 0, а,Ь,с€Я).	(2)

Определение 3. Корнем (решением) квадратного уравнения, а также
корнем квадратного трехчлена (1) называется такое число xq(xq Е R), для
которого

f(xo) = 0 или ахо2 4- Ьхо + с = О

— верное числовое равенство.

Число D = Ь2—4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена
/(ж) (квадратного уравнения ах2 4- Ьх 4- с = 0).

Если а = 1, то квадратное уравнение

х2 4- рх 4- q = 0	(3)

называется приведенным. Его дискриминант D = р2 - 4q .

Теорема 1. А) Если D 0, то квадратное уравнение (2) имеет корни
г 1,^2 6 Я, определяемые формулой:

—b±y/D —b ± у/Ь2 - 4ас	, ч

=-------а------	(4>

или формулами:

—b — y/b2 — 4ас	—Ь 4- у/Ь2 — 4ас	, ч

*1 =-------------- , Х2 =------—--------,	(5)

2а	2а

у/Ъ — арифметический квадратный корень из числа £>, причем если
D > 0, то $1 / гг, то есть уравнение (2) имеет два различных действи-
тельных корня; если Р = 0,то®1 = Л2 = хо = — Ь/2а — уравнение имеет
два совпадающих корня.

Б) Если D < 0, то квадратное уравнение (2) не имеет действительных
корней.

В случае приведенного квадратного уравнения и D = р2 — 4q 0 фор-
мулы корней имеют вид

-р — у/р2 — 4q	—р 4- VP2 - 4q

xi =-------и------ • х2 =------о------ *
Доказательство. Преобразуем выражение для f(x) следующим образом,
применяя метод выделения полного квадрата:

9	»	( л 0 С

ах2 4- Ьх 4- с = а | х2 + 2—х 4- -

\ 2а а

2 пЬ	Ь2

*+2—х + —х +
2а	4а2

= а

62 — 4ас
4а2

= /(*) 

А) Если применить при D 0 формулу разности квадратов, то выра-
жение для квадратного трехчлена преобразуется к виду:

= а(х - Х1)(я - тз),

где xi и Х2 определяются из формулы (5). Так как а / 0, то

/(ж) = О х = xi или х = Х2 , в случае А) теорема доказана.

Б) При D < 0 очевидно, что при любом действительном х выражение,
на которое умножается а, в (6) строго положительно, а потому

V а > 0 (а < 0) => f(x) > 0 (f(x) < 0) ,
следовательно, ни при каком действительном значении х квадратный трех-
член не обращается в 0, стало быть, при D < 0 квадратное уравнение не
имеет действительных корней.

Теорема 1. полностью доказана.

Теорема 2 (Виета), Если D = Ь2 — 4ас 0,
соответственно D = р2 — 4q > 0, х^, Х2 — корни квадратного уравнения
(2) или (3), то в случае общего (приведенного) квадратного уравнения

Х1 + х2 = -- (®1 + х2 = -р) ;	(7)

а

Х!-х2= - (xt -x2=q) .	(8)

Доказательство. Равенство (7) получается в результате непосредствен-
ного сложения выражений для Xi и ж2, определяемых из (5);

для доказательства (8) перемножим определяемые из (5) выражения для
а?! ИХ2) получим, применяя формулу разности квадратов и выражение для
дискриминанта £>,

_ (-Ь - УР)(-Ь + VD) _ Р-b2 _4ас_с

Xl Х2	4а2	4а2	4а2 а

Теорема Виета доказана.

Замечание. Случай D = 0 предполагает наличие двух совпадающих
корней квадратного уравнения.

Обратить внимание на случай уравнения вида

ах2 4- 2Ьх 4- с = О

(9)

Если D = (2Ъ)2 - 4ас = 4(62 - ас) О Ь2 - ас 0, то формула корней
этого уравнения имеет вид	*

—6 ± \/Ь2 — ас

Х1.2 = ----------------

(10)

Вопрос. Самостоятельно сформулировать и доказать теорему, обрат-
ную теореме Виета.

Вопрос 6. Теорема Виета. Теорема о разложении квадратного трех-
члена на линейные множители

Те же определения, что и в Вопросе 5, там же формулировка и доказа-
тельство Теоремы Виета.

Теорема (о разложении квадратного трехчлена на линейные множители). ,
Если D = Ь2 — 4ас квадратного трехчлена f(x) = ах2 4- Ьх 4- с неотри-.

цателен, то

f(x) = а(х - Ж1)(х - х2) ,	(П)

где и х2 корни квадратного уравнения ах2 4- Ьх 4- с = 0 .

Доказательство. Преобразуем выражение для f(x) следующим образом,
применяя метод выделения полного квадрата,

, ч	О »	( 9 л. Ь С

f(x) = ах2 4- Ьх 4- с = а ( х 4- 2—х 4- -

\ 2а	а /

( ,	b	Ь2	с Ъ2\

= cl I х 4- 2—х 4- —2 4--------т~2 ) —

\	2а	4а2	а	4а2 /

( ( Ь \ 2 Ь2 - 4ас\
= а г 4- —	-	• -	.

\ \ 2а /	4а2	/
Если применить при D 0 формулу разности квадратов, то выражение
для квадратного трехчлена преобразуется к виду

/(ж) = а

х —

= а(х - sj(s - хъ) ,

где xi и Х2 определяются из формулы (5), что и требовалось доказать.

Доказать, что при D < 0 разложение на действительные линейные мно-
жители невозможно.

Это легко сделать от противного, предполагая, что разложение типа
(11) для /(s) возможно, мы получим существование действительного корня
у квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом и тем самым
придем к противоречию с доказанным в вопросе 5. несуществованием таких
корней.

Вопрос 7. Свойства квадратичной функции у = ax2 + Ьх 4- с и ее график
Определение. Функция вида у = /(s) = ах2 + Ьх + с называется
квадратичной функцией,
а, 6, с 6 Я, а / О — постоянные числа, х € R — переменная.

I.	D[f] — (-оо, 4-оо), так как из свойств действительных чисел (строго
доказываемых вне рамок школьной программы) вытекает, что Vs 6 R
однозначно определены произведения х • х = х2 , ах2 , Ьх и суммы
ах2 + Ьх , (ах2 + Ъх) + с = ах2 + Ъх 4- с = f(x) .

II.	E[f] — [—D/4a , 4-оо) , если, а > 0 и

£*[/] — (—оо , —£>/4а] , если а < 0 , где D = Ь2 — 4ас .
Доказательство. Преобразуем f(x) следующим образом:

/(я) = a

Ь2 — 4ас
4а2



D
4а

Vs 6 R => (ж 4- 6/2а)2 > 0 , поэтому при a > 0 (а < 0) вытекает, что
Vs € R => /(ж)	“D/4a (/(ж)	-D/4a) .

Фиксируем произвольное уо —D/4a (j/o $ —D/4a) . Рассматривая
уравнение /(ж) = уо ax2 4- Ъх 4- с - уо = 0 , откуда D — Ь2 — 4а(с — уо) =
= Ь2 “ 4ас 4- 4aj/o = 4а(г/о 4* £>/4а) , мы и получим, что если а > 0 (а < 0)
и уо -D/4a (у0	—D/4a) , то Ь 0 , поэтому уравнение /(ж) = уо

имеет решения, то есть 3si,S2 : /($i) = /(^2) = Уо , II доказано.

III.	Если d > 0, то существует min /(ж) = —D/4a — /(—6/2a) , а если
a < 0, то существует max /(ж) = —D/4a = /(-6/2a) (см. п. И),
x$R

а max /(ж) (min /(ж)) при a > 0 (a < 0) также в силу п. II не существует.
x^R x$R	1
IV.	Четность и нечетность. D[f] — симметрична относительно точки
хо = 0 . Исследуем равенство /(—х) = /(ж) О

<=> а(—х)2 4- Ь(—х) + с = ах2 + 6х + с 2Ьх = 0 <=> Ь = 0 => Va ф 0 , Ь = О
— функция четная, а при Ь ф 0 — не является четной.

Исследуем равенство /(—ж) = —f(x) <=>

О а(—х)2 4- £>(—х) 4- с = (—ах2 - Ьх — с) 2(ах2 4- с) = 0 <=> х2 = —
а
что неверно, так как х — переменная, следовательно, /(х) не является
нечетной.

V.	/(х) не является периодической.

Для доказательства предположим, что 3 То О такое, что Vx € R =>
=> /(х4-То) = /(х) (здесь мы используем факт D[f] — (-оо, 4-оо)). Тогда, в
частности, при х = xq = —Ь/2а => хо4-7о / хо (то есть или Хо4-То > хо или
хо 4-То < х0), но в силу результатов п. VII при этом или /(хо4-7о) < /(хо),
или /(хо4-7о) > /(хо), то есть /(хо) / /(хо4-То) , пришли к противоречию.

VI.	Если D 0 , то /(х) = 0 при xi>2 = (—Ь± y/D)/2a (см. вопрос 5);
так как /(х) = a(x — xi)(x — х2), то
при D = 0 => xi = х2 = -6/2а = х0 => /(х) = а(х - х0)2 ,
следовательно, при а > 0 (а < 0) => /(х) > 0 (/(х) < 0)
на (—оо , -Ь/2а) U (—Ь/2а , 4-оо),
если же D	> 0 , то при а >	0	(а < 0)	=> /(х)	>	0	на

(-оо , xi)	U (х2 , 4-оо) , и /(х) < 0 (/(х) > 0)	на (xi} х2),

где xi — меньший, а х2 — больший корни уравнения /(х) = 0 ;

При D < 0	, a > 0 => /(х)	—D/^a	> 0 ,

при D < 0	, а < 0 => f [x)	—D/4a	< 0 =>

=> /(х) > 0 (/(х) < 0) при а > 0 (а < 0) всюду на (-оо , 4-оо) .

VII. Если a > 0 (а < 0), то /(х) = ах2 4- Ьх 4- с возрастает на
[—Ь/2а , 4-оо) ((—оо , -Ь/2а]) и убывает на (—оо , -6/2а] ([—Ь/2а , 4-оо)) .

Доказывается это путем рассмотрения произвольных х2 > xi	— Ь/2а

и xi < х2 -6/2а и разности /(х2) - /(xj = a(x| - х2) 4- Ь(х2 - xj =

= (х2 - xi)(a(xi 4- х2) 4- Ь) = а(х2 - Xi)(xi 4- х2 - (-Ь)/а) ;

х2 — х\ > 0 всегда, поэтому знак разности /(х2) — f(x\) зависит от знака
выражения a(xi 4- х2 — (—Ь)/а) , а он и определяется сформулированными
в условиях n.VII данными следующим образом: если х2 > xi — Ъ/2а

(xi < х2	— Ь/2а) , то в силу свойств числовых неравенств

6 ( s И
1 2a V 2a J

почленно складывая эти неравенства, мы получим:
b

Xi 4- X2 > —

6\
£1 + X2 <---I ,

a /

а уже отсюда все определяется знаком числа а .

VIII. Графики

рис. 2 д)

рис. 2 е)

(0; с) точка пересечения графика функции с осью Оу (ибо /(0) = с);
(xi;0) , (х2’,0) точки пересечения графика функции у = /(х) с осью Ох
при D > 0 ; при D = 0 это точка касания, = з?2 = жо = —Ъ/2а ;

при D < 0 таких точек нет.

Замечание. Монотонность f(x) может быть доказана и с помощью
производной, однако при применении теоремы об участках возрастания
(убывания) при ff(x) > 0 (f(x) < 0) это можно утверждать лишь на
(—Ь/2а , 4-оо) или (—оо , — Ь/2а), а не на [—Ь/2а , +оо) или (—оо , — Ь/2а].

Вопрос 8. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями

Степенью называется выражение а°\ где число а называется основа-
нием степени, а число а называется показателем степени.

Пусть а — действительное число :

п £

а, если п = 1

аа • • • а , если п > 2

(1)

пЕ N

п
если п = 0, а / О, то а0 = 1 ; 0° не определено.
\

а~п = где а / 0, n € N ;	(2)

а

0“п не определено.

Из (2) при п < 0 =>	= ап (так как —п > 0) ;

а“° = 1 = 1/1 = 1/а°, при любом а ф 0. Следовательно, Va^O и
Vm € Z (где Z — множество целых чисел) вытекает равенство:

Свойства. Для любых целых чисел тир

1. (afe)m = атЬт ,
/а\т _ ат

2’ W “ Р" ’

3.	ат • а” = ат+р ,

4.	ат : а” = ат~р ,
5. (ат)р = атр .

6. ат > Ьт <=> а>Ь^0,т>0,

ат >	0<а<Ь,т<0,

обратить внимание и на случаи знаков

Свойства 1 — 5 справедливы для любых а, Ь Е R, для которых опреде-
лены левые и правые части выписанных равенств, в частности, для любых
отличных от нуля a, b Е R , свойство 6 — V указанных a, b Е R-

Доказательства

1.	(а) т = п € N : (ab)m = (ab)n = (ab)(ab) • • • (ab) =

= (аа • • -a)(bb- • -Ь) = апЬп = атЬт ,

(б)	т = 0 : (ab)m = (ab)° = 1 = 1 -1 = а°Ь° = атЬт ,

(в)	т = -n, п € N : (a6)ro = (ab)~n = -4г = Ц-

= — • 4 = «"ПЬ’П = ambm => 1 доказано;

ап Ъп
fa\m	(a\n	fa\ /a\	/a\

2.	(.) m = ntN : (-) =^) =	(b)"U =

П	I- 	 v 'll"	✓

aa — • a an	am	n

bb • • • b bn	bm ’

" fa\m	(a\°	1	a0	am

(6)	m = 0 : (-) = (jj = 1 = - =	- =	— ,

(a\m	(a\~n	1

(в)	m = -n, nE N : (T = I r)	= z T,Xn' =

\bJ	\bj	(a/6)n

1	bn	1	_n am

—  rr- = — = ;— • a	= -— => 2 доказано;

an/bn	an	b~n bm

3.	(a) m > 0,p > 0, m,p e N :

amap = aa • • • aaa • •• a = aa • • • a = am+p ,
x	m	p	m+p

(6)	m e Z, p = 0 :

amap = ama° = aml = am = am+° = am+p ,

случай m = 0,p € Z рассматривается аналогично,
в частности, т = р = 0 :

атар = а°а° = 1 • 1 = 1 = а0 = а0+0 = ат+р ,

(в)	т > 0,р < 0, тогда р = —n, п е N :

(a) т > п => т — п е N : ат • ар = ат • а~п =

= ат : ап = ап+(т~п} : ап = (ап • ат~п) : ап = ат~п =

_ ат+(-п) _ ат+р,

(/3) т = п => т — п = 0 : ат • ар = ат • а~п = ат : ап —
= ат : ат = 1 = а0 = ат~т = ат~п = am+(~n) = am+p,
(7) т < п => п — т е N : ат • ар = ат • а~п =
= ат :ап = ат : (a’n+<n-’n)) = ат : (ат • ап~т) =
= 1 : ап~т = а“<п~т) = ат~п = ат+р,

(г)	т < 0, р > 0 рассматривается аналогично,

(д)	т < 0, р < 0, тогда m = — q, р = —n, n,q е N :
ат+р = а(-?)+(-р) = а~(ч+р) —	1	____i______

ag+n aq , ап

= а~д • аГп = атар => 3 полностью доказано;

4.	ар • ат р = ар+(т р) = ат ат р = ат : ар => 4 доказано;
5.	(a) m > 0,p > 0 :

(a’n)p = (aa • • • a) (aa • • • a) (aa • • • a) = aa • • • a = amp ,
m	m	m	mp

(6)	m£Z,p = O: (am)p = (am)° = 1 = a0 = am'° = amp ,
m = O,p€Z: (am)p = lp = 1 = a0 = aOp = amp ,
в частности, m = p = 0 : (am)p = (a0)0 = 1° = 1 = a0 =
= a0 0 = amp ,

(в)	m < 0,p > 0 => m = —q, q € N :
/IV 1₽	1

(am)p = (a-’)p = ( — ) = ——— = — = a~4P =
'	\аЧ (ач)р aqp

= a(“’)p = amp ,

(r) m > 0,p < 0 => p = — n, in € N :

(am)p = (am)~n = —= — = a~mn = am{~n} = amp ,
v ’ v ’ (am)n amn

(д) m < 0,p < 0 => m = —q,p = —n, n,q € N :
(am)p = (a-*1)-’ = —= -Д- =	= anq =

= a(-n)(-’) = amP 5 полностью доказано;

6.	m > 0 , это свойство сразу вытекает из свойства 10 числовых нера-
венств (см. выше Вопрос 3),

т < 0 —т > 0 , далее также, как и ниже, для случая отрица-
тельного рационального показателя или в силу доказанного ниже в
Вопросе 16 свойства монотонности степенной функции.

Таким образом, все свойства степеней с целыми и, в частности, с нату-
ральными показателями доказаны.

Вопрос 9. Свойства арифметических корней п - ой степени. Свойства
степеней с рациональными показателями

Определение 1. Пусть числа a, Ъ € R- Число Ь называется корнем п-ой
степени (п Е N) из числа а (алгебраическим корнем), если Ьп = а. Если
а 0, b 0, то число называется арифметическим корнем п-ой степени
из числа а. Арифметический корень обозначается так:

Ь = ?/а .
Это обозначение применяется и для случая нечетного п и отрицатель-
ного а (а < 0), при этом также b < 0.

При п = 1 b = а, так как а1 = а, при п = 2	\/а = у/а .

В школьном курсе без доказательства принимается существование
арифметического корня п - ой степени; его единственность легко доказы-
вается от противного на основе свойства 10 числовых неравенств.

О понятии степени см. Вопрос 8.

£ df а/—

Определение 2. Пусть р 6 Z, q 6 N, а > 0, а 6 R , а* = уар ,

1	/-	Е

в частности, при р = 1 а? = у/а , если р 6 ЛГ, то а* определено и
для а = 0.

Если q < 0, то ач = а^, однако все свойства степеней с рациональ-
ными показателями будут формулироваться и доказываться для случая,,
когда у показателей а = р/g, /3 = r/s — q € N, s 6 АГ, то есть д, s > 0. w

Свойства корней п - ой степени:

1.

у/а/

а, если тг = 2Аг — 1, Х/Л; G Va Е R
|а|, если тг = 2£, Vk Е Va Е R

2.	пу/аЬ = ny/a Vb , Vn Е N, Va 0,	0, a,b Е R ;

3	= Vn€7V’Va^0’ь>0’а’Ь€/г;

4.	V®”* = ( V®)m ) У/m,n € N, Va^ 0, a € R ;

5.	У/а™ =	= ak , Vm, n, к € N, к = m : n, Va 0, a € R ,

У/аГ* — ak У/cf, Vm, n,k,r G N, m = nk + r,
0 < r n — l,Va 0, a G R ;

6.	m\J У/а = mr\/a , Vm,n G N, Va 0, a G R ;

7.	"У/а^ = tfa? , Vm, n,p,q,k G N : m = kq, n = kp,
Va 0, a G R ;

8.	У/а™ 	= Varn’+np , Vp, q, m, n G N, Va 0 , a G R ,

У/а™ : -Уо? =	, Vp, q, m, n G N, Va> 0 , a G R .
Свойства степеней. Для любых рациональных чисел а и /3 :

1. (а&)“ =	;

/а\“ а“

2‘ \ь) = Ь^

3.	ааа0 = аа+0 ;

4.	а“ : а0 = аа~0 ;

5.	(аа)0 = (а0)а = аа0

6.	аа > ba Н а >	0 , а > 0 ,

аа > Ьа <=> 0<а<6,а<0,

обратить внимание и на случаи знаков

Свойства 1 — 5 справедливы для всех действительных а и Ь, при кото-
рых определены левые и правые части выписанных равенств, в частности,
для любых а > О, b > 0, а, Ъ 6 Я, свойство 6 — V указанных а, b 6 R.

Доказательства

I. Свойства корней

Их доказательства основаны на определении корня, единственности кор-
ня (в свойстве 1. применяется еще единственность алгебраического корня
нечетной степени из отрицательного числа) и свойствах степеней с нату-
ральными показателями.

1. ( пу/а™ )п = ап и (а)п = ап => пу/а? = а, п = 2k—1, если п = 2k,
то, так как ап = |а|п для любого п 6 N n\/afi = n^/|a|n = |а|,
что выводится точно так же, как и в случае п = 2k — 1 (при этом
используется то, что |а|	0);

2. ( )п = А ( V« nVb )n = ( V^ )”( nVb)n = ab =► 2 ;

5. ( ’\/a™ )n = am, (ak)n = akn = am => 5 ,
(ak VaS )n = (afc)n( Va7 )n = aknar = akn+r = am ,
( Va” )n = am => 5 ;
=> 6 i

п = a

8. п\/а™^аР = п^атч = Vam’apn = Vam?+pn ,
аналогично рассматривается случай частного с использованием свой-
ства 4 степеней.

II. Свойства степеней

1. Пусть а = ^, где т е Z, п е N (ab)a = (ab) « = пу/(аЬ)т =

= Va*”^ = Va5”	= ааЬа ;

/а\" /а\п „ ГТаХ™ „ /o’” Va5" aQ

’ \bJ \bJ y\bj V f>m Vb™ ba ’

3. 3. и 4. вытекают из свойств корней 8. и определения степени: пусть
0=р-,

ааа@ = Va’”^ap = Varn,+np = а "«₽ '= а +"’ = а "”+« =

= аа+р ;	7

j   д- .	/		ТТ1</ — Tip	ТТЩ Tip

4. аа : а0 = г\/а™ :	- Vamg"np = a n’ = а п* =

аналогично доказывается, что (a^)a = а^а = aQ^ = (aa)^ ;

6. a > 0 а = т/п , т}п Е N, в силу только что доказанного свойства
5 и свойства 10 числовых неравенств (см. выше Вопрос 3) ат!п > Ьт^п <=>
(аХ/П)т > (bVn)m al/n > 6l/n (al/njn > (bl/njn ^а>Ъ,
a < 0 -а > 0 , по доказанному и в силу свойства 9 числовых
неравенств (см. выше Вопрос 3)

а > b а~а > Ь~° l/a-Q < l/ira 4Ф аа < Ьа .
Свойства степеней и корней доказаны.
Обратить внимание, что в свойствах 2. и 3. корней при п = 2к, к 6 N
для любых о,6еЛ таких, что ab 0 (в случае 3. b / 0) имеют место
равенства, которые предлагается самостоятельно обосновать:

Вопрос 10. Неравенство, связывающее среднее арифметическое и
среднее геометрическое двух чисел. Неравенство для суммы двух взаим-
но обратных чисел

а "4" Ь

Определение 1. Пусть даны два числа а и b 6 Я. Число с = —-—
называется их средним арифметическим.

Определение 2. Пусть а 0 и Ь 0, a,b Е R. Число d = y/ab называется
их средним геометрическим.

Определение 3. Пусть число а / 0. Число - называется обратным числу а.
1 а 1

Так как -т- = а, то а — число, обратное числу - , следовательно,
1/а	а

числа а и 1/а — взаимно обратные.

Теорема 1. Для любых a,b Е R : а 0,6 0

(1)

причем “ обращается в “ =" <=> а = Ь.

Для доказательства этого неравенства достаточно показать, что

—у-- х/оЬ 0 .	(2)

Преобразуя левую часть неравенства (2), получаем

что очевидно. Из последнего неравенства уже ясно, что в неравенстве (1)

имеет место равенство в том и только том случае, когда
y/a — y/b = 0	<3- у/d = y/b О а = Ъ.

Теорема 2. Пусть а / 0, тогда,

если а > 0, то

(3)

а если а < 0, то а + -	—2,	(4)

а

причем неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда
соответственно а=1иа=—1.
Доказательства. В случае а > 0 справедливость неравенства (3) сразу
вытекает из (1) при b = - , а так как в данном случае
а

а = Ь<^а = 1,тов случае а > 0 теорема доказана;

в случае а < 0 можно воспользоваться доказанной первой частью теоремы
применительно к |а|, из которой вытекает

1 Л । 1 \	„

а 4- - = — I |а| 4- т~т I	—2 , а так как в этом случае

а \ \a\J

|а| = 1 только при а = -1, теорема доказана и для этого случая.
Дополнительные вопросы: для любых чисел а,6, c,d О доказать неравен-
ства

a4-b4-c4-d

abed ,	\/abc

4

(первое вытекает из теоремы 1 : —-—

cd =

----	а 4- b с 4- d

= у abed , где £ = —-— , f = —-— , а второе следует из первого при
d = \fabc).

Вопрос 11. Формулы общего члена и суммы п первых членов ариф-
метической прогрессии

Определение 1. Пусть задана функция, определенная на множестве на-
туральных чисел 7V, со значениями a(n) = an (n = 1,2,...), тогда говорят,
что числа ai,	... ап> ••• образуют

числовую последовательность. Обозначается {ап} , иногда {ап}+^ .

Определение 2. Последовательность {ап} называется арифметической
прогрессией, (обозначается 4-) если существует число d, называемое
разностью прогрессии, что для любого номера п

^п+1 ==:	4" d •	(1)

Формула общего члена : Vn 6 N
ап = ai +d(n - 1) .	(2)

df

bn = G1 + ^2 + • • • + an

— сумма n первых членов арифметической прогрессии. Формула для Sn :
О! + ап 2а, + d(n - 1)

Sn = —2-------п =---------2---------П '

Второе равенство в этой формуле сразу следует из (2). В учебной лите-
ратуре формула (2) выводится так:

02 = oi 4“ d ; Оз = ^2 4“ d = #1 4~	; ... ;
ип — cin—i 4~ d — ^n-2 4" 2d = ... = cti -f- (n — l)d .

Замечание. Формула для an может быть доказана по методу математи-
ческой индукции. Об этом см. ниже, в конце раздела ’’Алгебра”.

При выводе формулы для Sn обратить внимание на доказательство про-
межуточного факта:

Ofc + on_fc+i = Ох + an , к = 2,3,..., it 1 ,	(4)

который очень легко устанавливается на основе формулы общего члена (2).
Представим Sn следующими двумя способами:

Sn = 01 + 02 + • • • + Яп-1 + on ,

Sn = a>n 4- on_i 4-... 4- 02 4- oi .

Складывая эти два равенства и применяя (4), получим

2Sn = (oi 4- оп) + (аг 4- on-i) 4-... 4- (an-i 4- 02) 4- (on + ai) =

— п(<21 4- оп), => (3).

Вопрос. Доказать, что последовательность {оп} является арифметиче-
ской прогрессией тогда и только тогда, когда

..	__	_ on-.i 4" on-|-i

V n G N, О 2 Оп = -------------------- .

&

Вопрос 12. Формулы общего члена и суммы п первых членов геоме-
трической прогрессии

(Определение последовательности см. в вопросе И).

Определение. Последовательность {Ьп} называется геометрической
прогрессией, (обозначается -Н-) если существует число q, называемое
знаменателем прогрессии, что для любого номера п

Ьп+1 = Ьп • 9 •	(5)

Замечание. В ряде учебников и пособий требуется, чтобы
bi 0 и q 7^ 0 .

Формулы общего члена

Vn € N, п 2 bn = bl- д’1"1	(6)

(если q / 0, то формула (6) верна и для п = 1).

Sn — b\ 4- i>2 4- .. • 4- Ьп

— сумма n-первых членов геометрической прогрессии. Формула для Sn

Sn = ——если q ± 1 ,	(7)

9-1

Sn = nbi, если 9 = 1-
В учебной литературе формула (6) выводится так:
Ь2 = 61 • g ; b3 = b2-q = b1-q2 ; ... ;

bn = bn-i • q = bn_2 • q2 = ... = bi • gn-1 .

Замечание. Формула для bn может быть доказан^ по методу математи-
ческой индукции. Об этом см. ниже, в конце раздела ”Алгебра”.

При выводе формулы для Sn воспользуемся (5) и запишем выражения
для qSn и Sn

qSn = 62 +	. + Ьп + 6п+1 ,

Sn = ^1 + + • • • + &п •

Вычитая из первого из этих выражений второе, применяя формулу (6),
будем иметь

(q - 1)S„ = bn+i -bi = biqn -bi = bi(qn - 1) ,
откуда при q / 1 и получается формула (7);

если же q = 1, то очевидно, что все члены геометрической прогрессии
равны bi, а потому и Sn = nb\ .

Вопрос. Доказать, что последовательность {6П} является геометриче-
ской прогрессией тогда и только тогда, когда

V п € N, п Z 2 Ьп = Ьп-1 • 6п+1 •

Вопрос 13. Основное логарифмическое тождество. Логарифмы произ-
ведения, степени, частного. Формула перехода к новому основанию

Определение: Пусть 0<а^1,6>0.

Число а — loga Ь (логарифм числа b по основанию числа а),
если аа = Ъ.

Существование этого числа принимается в школьном курсе без до-
казательства, единственность следует из строгой монотонности функции
у = ах при а > 0, а / 1.

В силу того, что, в частности, при любом действительном а таком, что
О < а / 1	а°=1, а1 = а из определения логарифма вытекает

Va G R : 0 < a / 1 loga 1 = 0, loga a = 1 .

1.	alog°& = b — основное логарифмическое тождество

(при 0 < а 1, b > 0)

1	=> из определения логарифма;

2.	loga be = logo b + loga c, 0<a^l, 6 > 0, c>0;
3-	loga I = loga b - loga c, 0<a^l, b>0, c > 0;

4.	loga ba = a loga b, 0 < a 1, b > 0, a € R',
(2 — 4 - логарифмы произведения, частного, степени)

5.	формула перехода к другому основанию:

logc b	1

logfl о = :----, в частности, при с = b 1О£Д и = :---

logca	logba

0 < а / 1, 0<с^1, b>Q.

Свойства 2 — 4 доказываются на основе основного логарифмического
тождества 1 , утверждения о том, что при любом действительном a > 0 и
a / 1

ах = ау О х = у ,
вытекающем из свойства монотонности показательной функции
(см. Вопрос 14) и свойств степеней

а — а а ,
аа~0 = аа : а0 ,
(аа)0 = аа0 ,
справедливых для любых а и ft Е R
(они в школьном курсе не доказываются), следующим образом :
alog°6c _ be = alog°6alogeC =

= ab«5aHlogec	2. ;

aloga ь-с = ъ : с = alog“ь : а’°8“ с =

= alogab-logoc	з .

а1о8»ьа = Ьа = (а1о8“ь)" =
= аа1о^ь =>	4.

Свойство 5 вытекает из свойств 1 и 4 следующим образом

loga 6 • logc а = logc(alog°ь) = logc b =>	5.

Пусть b < 0, с < 0. Что можно сказать о свойствах 2, 3 и 4 ?
2.	loga be = loga |&| 4- loga |c| ;

3-	loga -c = loga |&| - loga |c| ;

если в 4.a = 2k — четное, то

loga ba = a loga H , 0 < a # 1, 6^0.

Почему в определении loga b 0 < a 1 и b > 0 ?

Поскольку V a € R число aa определено лишь для a > 0 и aQ >0;

logibне определен при любом b 1, так как Va 6 Я la = 1 => 1* ф Ь\
logj 1 считается не определенным потому, что так как la = 1 при
любом a € Я, то по формальному определению логарифма log! 1 может
быть любым действительным числом.

Вопрос Ц. Свойства, показательной функции и ее график

О понятии степени см. вопрос 8.

Определение 1. Пусть a > 1, a — произвольные действительные чи-
сла, ri и г2 — произвольные рациональные числа такие, что и а г2 ,
тогда aa = Ьу если an Ь аГ2 для любых указанных выше п , г2 6 Q .

Если 0 < а < 1, то аа — Ь, если аТ2 b аГ1 для любых указанных
выше ri, r2 € Q .

Если a = 1, то для любого a € Я aQ = 1 ; если а = 0, то для

Va > 0 (а € Я) аа = 0,* аа не определено Va 0 (а 6 Я) .

Определение 2. Функция вида у = ах называется показательной функ-
цией, а 0 — постоянное число, х — переменное (аргумент). В школьном
курсе без доказательства принимается существование и единственность чи-
сла b = aQ Va и a G Я, a > 0 .

I.	Отсюда область определения функции ах при a > 0 — любое х 6 Я,
а при а = 0 — любое х 6 Я, где х > 0.

Случаи a = 1 и a = 0 (см. по этому поводу сноску) достаточно триви-
альны и подробно рассматриваться не будут.

II.	В школьном курсе без доказательства принимается, что для любого
b > 0 существует и единственное a : аа = 6, где 0 < a 0 1. Поэтому из
определения 1 степени и (см. ниже п. VI) вытекает, что область изменения
функции у = ах — (0,+оо).

III.	max aQ и min aQ нет.

Мы докажем от противного второе утверждение:

Jmina* .

* Такое определение приводится в учебниках по математическому анализу, связано
это с тем, что при любом действительном а > 0 функция Ха стремится к нулю при
стремлении справа к нулю аргумента т, однако в школьном курсе математики случаи
a = 0 не рассматривается.
Предположим, что З^о € R • ах° = €о > 0 и

Vx G R ах б0 > 0 ,
тогда бо — min ах , но так как £[ат] — (0,4-оо), то, в частности
3£0 Е R : а*0 =	< е0 (0 < -у) ,

пришли к противоречию, аналогично доказывается первое утверждение:
Smaxa® .

IV.	у = ах не является четной в силу строгой монотонности на
(-оо, +оо) (см. n.VII), из которой вытекает: Vx / О у(—х) £ у(х) ,

она же не является нечетной, так как принимает только положительные
значения, откуда Vx 6 R равенство у(—х) = — у(х) невозможно.

V.	у — ах не является периодической. Предполжим, что ЗТЬ / 0, что
Vx Е R =>	= ах . Тогда в силу не обращения в 0 значений показа-

тельной функции (это вытекает из результатов п. VI) и свойства степеней
получаем а*+То = ах <=> ах • ат° = ах <=> ат° = 1 , в силу строгой монотон-
ности показательной функции (см. п. VII) ат° = 1 О То = 0 , пришли к
противоречию.

VI.	Так как при а > 1 и г 6 Q аг = а? =	> 0, то, следовательно,

b = аа аг > 0, где т а, г 6 Q, поэтому нулей нет и ах > 0 на
(-оо,+оо) ;

аналогичные результат и обоснование — для 0 < а < 1 .

VII.	Возрастание функции у = ах при а > 1 и ее убывание при

О < а < 1 сначала докажем на множестве рациональных чисел, то есть

Vr1?r2 G Q , г2 > ri , Va > 1 (0 < а < 1) => аГ2 > ari (аГ2 < ап).

Фиксируем произвольные рациональные числа r2 > ri . В силу дока-
занных свойств степеней с рациональными показателями

аГ2 — аГ1 = аГ1(аГ2”Г1 — 1). Так как an > О и г2 - П > 0, то
достаточно доказать, что

Vr > О, г G Q, V a > 1 (0 < a < 1) ar > 1 (0 < ат < 1) .

При доказательстве этих фактов будем использовать непосредственно
вытекающие из свойства 10. числовых неравенств следующие два вспомо-
гательных утверждения.

Утверждение 1. V п € АГ, a € Я, а > 1 <=> an > ln = 1 .

Утверждение 2. inEN, a € Я, 0 < a < 1 <^0 = 0n<an<ln = l.
Пусть г > 0, г Е Qi тогда

m	п/—

г = — гл, п G Ny а = уат .

п
В силу утверждений 1 и 2 и определения корня п-ой степени из того, что

а > 1 (0 < а < 1) => ат > 1 (0 < ат < 1) => ( Va’")” = ат > 1
(О < (v^)n = ат < 1) =$> ar = V?" > 1 (0 < аТ =	< 1) .

Тем самым возрастание (убывание) функции у = ах
при а>1(0<а<1) на множестве рациональных чисел доказано.

Для доказательства соответствующих утверждений на множестве дей-
ствительных чисел нам потребуется доказать еще одно вспомогательное
утверждение.

Утверждение 3. Va, t, € Я и a < J Эх EQ такое, что а < х < Ь.

Доказательство. Случай а < 0 и Ь > 0 тривиален: в качестве числа
х можно взять х = 0.

Пусть 0 а < 6. Представим числа а и b в виде бесконечных
десятичных дробей

= ao,> 6 = Ьо, 616263.•

Замечание. При этом, не ограничивая общности, можно считать, что
среди рассматриваемых бесконечных десятичных дробей отсутствуют дро-
би с периодом 9.

Согласно правилу сравнения бесконечных десятичных дробей, так как
0 a < 6, то либо ао < либо

3 к 6 N : а0 = i>o, ai = bi, ••• , «л—i = а* < Ь* •

В то же время в силу замечания обязательно существует р Е N : р > fc,
что ар < 9, а потому число

х = a0,aia2---afcafc+i---(aP + 1)000...0... € Q
и будет удовлетворять неравенствам а < х < Ь .

Случай а < b $ 0 легко сводится к только что рассмотренному следу-
ющим образом:

а<Ь 0	0 $ -Ь < —а, <=> В х Е Q :

-b<x<—a=>3x = -xEQ‘.a<x<b

Утверждение 3 полностью доказано.

Фиксируем произвольные #i < Т2, ^1,^2 € тогда в силу утвер-
ждения 3 существует рациональное число х такое, что < х < Х2,
а так как при этом х Е R, то существует также рациональное число х'
такое, что х < xf < Х2 •

Таким образом, V х^ Х2 G R : Х\ < Х2 Э х и xf Е Q
такие, что #i < X < xf < Х2 .

По определению ах и доказанному возрастанию (убыванию) показатель-
ной функции на множестве рациональных чисел при а>1(0<а<1)
имеем:
что и означает возрастание (убывание) функции у = ах на всей своей
области определения/которая есть множество всех действительных чисел.

рис. 3 а)	рис. 3 б)

При х —► +оо, ах —► 4-00 (аг —> 0 4- 0), если а > 1 (0 < а < 1) ,
при х —> —оо, ах —> 0 4- 0 (ах —> 4-оо), если а > 1 (0 < а < 1) .
(знаний формулировок соответствующих определений не требуется).

Вопрос 15. Свойства логарифмической функции и ее график

Определение. Функция вида у = loga х , где 0 < a 1 — посто-
янное число, ах — переменное (аргумент), называется логарифмической
функцией.

I. D[loga т] — (0, +оо), так как Vx > О и Va: 0<a^l

3! у : ау = т, а по определению логарифма у = loga х ,
(см. Вопрос 13).

и. £’[loga т] — (-оо,+оо), так как Vt/ 6 R определено однозначно
х = ау loga х = у .

III.	Нет max и нет min (это вытекает из II).

IV.	Нет четности и нечетности, так как D[loga т] не симметрична
относительно начала координат.

V.	Нет периодичности, так как из приведенного определения периодич-
ности функции вытекает, что у периодической функции область определе-
ния не имеет ограниченности ни сверху, ни снизу, а у логарифмической
функции она ограничена снизу числом 0 .

VI.	loga х = 0 <=> х = 1 (так как a0 = 1 );

при а > 1 loga X > 0 на (1,+оо), loga х < 0 на (0,1)

(вытекает из возрастания у = loga х ) ;

при 0 < a < 1 loga X < 0 на (1, +оо), loga X > 0 на (0,1)
(вытекает из убывания у = loga х ).
VII.	Пусть а > 1, х2 > X! > 0, уг = loga £1,1/2 = loga х2 ,
при этом аУг = alogaI1 = xi < х2 = а1о8°12 = аУ2 ,
в силу возрастания функции ах следует у\ < у 2 , следовательно,
l°ga $1 < loga х2 > а потому при а > 1 логарифмическая функция
возрастает;

пусть 0 < а < 1 , Х2 > xi > 0 , так как yi = loga #i, У2 = loga #2 > то
ayi — alogaX1 = X\ < X2 — alogaT2 = аУ2 ,
так как функция ах убывает, то x/i > 3/2» следовательно,
loga х2 < loga $i, а потому при 0 < a < 1 логарифмическая функция
убывает.

VIII.	Графики

Если a > 1 , то при х —► 4-оо (х —* 0 4- 0)

loga х -» 4-00 (loga X -> -оо) ,
если 0 < a < 1 , то при х —> 4-оо (х —> 0 4- 0)
loga X -> -оо (loga х -> 4-00)

(знаний формулировок соответствующих определений не требуется).

Вопрос 16. Свойства степенной функции с целым показателем и ее
график

Определение. Функция вида у = f(x) = хп , где х Е R — перемен-
ная, n£Z — постоянное число, называется степенной функцией с целым
показателем.

п = 1 это частный случай линейной функции, а п = 2 — частный случай
квадратичной функции. При п = 0 Vx / О /(х) = 1 , /(0) не определено.

1.	Случай п 3.

I.	Z)[xn] — (—оо,4-оо), так как Vx Е R однозначно определено число
Хп, как произведение п чисел, каждое из которых равно х.

II.	В(тп] — (“ОО, 4-оо), если п = 2k — 1, k 2, к € N ;

2?[тп] — [0,4-оо), если п = 2fc, к 2, к € N .
Доказательство. Vn Е N ; V j/o О существует единственное число
яо > 0 : х0 = пу/у^ xQn = t/o ;

в то же время при п = 2к из свойств операции умножения действи-
тельных чисел следует, что V® Е R хп = х2к 0 ;_____

при п = 2£ — 1 V J/o < О существует Xq = — n^/|j/o| •’

Xq = х^-1 = (- д/М” = (-1)2*-1 Isrol = -|уо| = Уо •

III.	Если п = 2Аг, то существует min /(я) = /(0) = 0, так как Ух Е R
xCR

Хп 0, не существует шах /(я), что легко доказывается от противного
на основе результатов п. II; если же п = 2k — 1, то из п. II вытекает

(также от противного) отсутствие наибольшего и наименьшего значений
у функции у = хп на всей ее области определения.

IV.	2)[яп] — R симметрична относительно точки Xq = 0. Если п = 2k,
то Vx Е R ("^я)п = (—1)п ’ яп — Яп, то есть Ух Е Я, /(—я) = f(x) ,

следовательно, функция четная.

Если же п = 2k — 1, то Ух Е R (~я)п = (“1)п ' хП = ~~хПч то
ест^ь Ух Е Я, /(—ж) = “/(х) >

Следовательно, функция нечетная.

V.	Уп Е N функция у = Хп не периодическая. Предполагая существо-
вание числа Т / 0 такого, что Ух Е Я => (х 4- Т)п = хп , полагая х = 0,
получим, что Тп = 0 , а в силу результатов п. VI, будет следовать, что
Т = 0 , пришли к противоречию.

VI.	Из свойств операции умножения действительных чисел вытекает:
если п = 2к, то /(ж) = хп > 0 на интервалах (—оо,0) и (0,+оо) ; а если
п = 2к - 1, то /(я) = хп > 0 на интервале (0,4-оо) и /(ж) = хп < 0 на
интервале (—сю, 0) . Так как Уп Е N при х = 0 хп = 0 , то Xq = 0 —
единственный нуль функции.

VII.	Пусть Ti,#2 — произвольные из Я числа, удовлетворяющие
неравенствам Х2> Х\ 0, тогда Уп Е N в силу свойств числовых нера-
венств вытекает Х2П > Х\п , следовательно, функция у = хп возрастает
на промежутке [0,4-оо) .

Пусть теперь Х\,Х2 — произвольные из Я числа, удовлетворяющие
неравенствам —Х\ < — Х2	0 <=> 0 Х2 < Я1, тогда при п = 2к в

силу четности функции и свойств неравенств ( —Х\)п = Tj > Х% =
= (—Я2)п> следовательно, функция у = хп убывает на промежутке
(-оо,0];

при п = 2к — 1 в силу нечетности функции и свойств неравенств (—#i)n =
= —#1 < — #2 = (~^2)П? следовательно, функция у = хп возрастает на
промежутке (—оо,0] , а так как она возрастает и на промежутке [0,+оо) ,
то она будет возрастающей и на всей числовой прямой (—оо, +оо) .
VIII. Графики функций

0(0 ; 0) - точка пересечения графика функции у = хп с осями Ох и Оу.

2.	Случай п — 1

Положим п = -т, где уже т 6 N.

I.	D[хп] = Р[х"т] — (—оо, 0) U (0, +оо), так как Vx ф 0 хт 0 ,

а потому хп = Х~т = -----определено, но при х = 0 хт = 0, поэтому

хт

хп = \/хт не определено.

II.	Е[хп] = Е[х‘т] - (0,+оо), если п = -2к , к € Е[хп] = Е[х~т] -
(—оо, 0) U (0, +оо), если п = — (2к — 1) , к 6 N. Этот случай доказывается
аналогично случаю натурального значения п, отметим только, что так как
Vx / 0 \/хт / 0, а потому уо = 0 2?[яп]

III.	Таким же образом, как и в случае натурального п из п. II вытекает
несуществование min f(x) при п = —(2к - 1) и max f(x) при любом
*€£>[/] *€£>[/]

п — 1. Подробнее остановимся на доказательстве несуществования

min при п = ~2к. Если предположить его существование, то

он будет равен некоторому числу то > 0. А согласно результатам п.П,
в частности, для числа то/2 существует xfQ : /($о) =	< то,

пришли к противоречию.

IV.	Это свойство полностью аналогично и так же обосновывается, как
и в случае п G N .

V.	Непериодичность функции вытекает из того, что число

х = 0 D[xn] , поэтому, предполагая наличие периода Т / 0 у этой функ-
ции, мы получим существование, например, числа х = — Т 6 D[xn] , но
число х 4-Т = 0 £>[хп] , тем самым, получим противоречие с определени-
ем периодической функции.

VI.	Из п.П вытекает, что нулей функция не имеет, а интервалы знако-
постоянства у нее такие же (в зависимости от четности или нечетности п),
что и в случае натурального показателя и.
VII.	Функция у = хп убывает на промежутке (0, +оо) при любом
п -1, а также она убывает на промежутке (-оо, 0) при п = -(2k - 1) и

возрастает на этом промежутке при п = —2k.

Для доказательства фиксируем произвольные х% >	>0, так как при

этом Х2т >	> 0, то в силу свойств числовых неравенств

п „ —т   1	1	— т	п

Х2 = Х2 = — < — = #1	= Х\ .

грТП	~7П

*^2	1

Далее, рассматривая произвольные числа, обозначаемые за —х\ и —Х2,

где —xi < —Х2 < 0 <=> 0 < Х2 < ®i, совершенно аналогично случаю нату-
рального показателя п на основе четности или нечетности функции у = хп
и свойств числовых неравенств доказывается, что (—Tj)n < (—Х2}11 при
п = -2k и (—Ti)n > (—^г)п при п = —(2k - 1).

Замечание. Необходимо отметить, что при п — —(2k — 1) убывания
функции у = хп на объединении промежутков (—оо, 0) U (0,4-оо) нет!
Если к примеру Х2 > 0 > то есть Х2 > х^ то также и Х2П > 0 > Хгп,
то есть Х2П > Xin.

VIII. Графики функций

Отметим еще, что так как число 0 не принадлежит ни к области опреде-
ления, ни к области значений функции у = хп в рассматриваемом случае,
графики этих функций не имеют точек пересечения с осями координат. При
п — 1 можно обратить внимание на поведение функции при х —» 0 ± 0 и
х —* ±оо. Если п = —2к, то соответственно f(x) —► +00 и f(x) —► 0 4- 0.
Если п = — (2k — 1), то соответственно f(x) —* ±00 и f(x) —♦ 0 ± 0 (знаний
формулировок соответствующих определений не требуется).

Замечание. В учебной литературе по определению кривые, являющиеся
графиками функций у = хп при п = 2 и п = —1 , называются соответ-
ственно параболой и гиперболой.

О методе математической индукции (дополнение к вопросам 11 и 12)
Формулировка метода. Предположим, что имеется некоторое утвер-
ждение Q(n), сформулированное применительно к натуральному (или
целому) числу п. Пусть это утверждение справедливо для числа п = 1
(или п = no, no € Z) и каково бы ни было натуральное число к (целое число
к по), предполагая справедливость утверждения Q(n) для п = fc, можно
доказать справедливость Q(n) для п = к 4- L Тогда Q(n) справедливо для
любого натурального числа п (любого целого числа п по).*

Для случая по = 1 метод непосредственно вытекает из аксиомы Пеано
натуральных чисел. Для случая произвольного по 6 Z метод следует из
некоторых теорем, справедливых для множества целых чисел (см. [4] и [3]).

Для доказательства справедливости утверждения Q(n) с помощью
метода математической индукции необходимо:

1)	проверить справедливость Q(n) для п = 1 (п = по) — базис индукции;

2)	предположить справедливость Q(n) для некоторого произвольного це-
лого числа k 1 (к по) ;

3)	на основе этого предположения и, быть может, и 1) доказать справедли-
вость утверждения (?(п) для числа п = к 4-1 — индукционный шаг.

С помощью метода математической индукции докажем справедливость
формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий.

V п G N ап = ai + d[n — 1) ; V п G TV, п 2 bn = 61 •
(для геометрической прогрессии будет применена формулировка метода
при по = 2, так как не исключается случай q = 0, однако при q / О
формула ее общего члена также справедлива для любого натурального п ).

Доказательства. 1. Пусть п = 1 (п = по = 2), тогда так как ai =
= ai4“0 = ai4-rf-0 = ai + d(l — 1) (по определению 62 =	• q =

= bi • ^2-1), то для этих случаев формулы общего члена верны.

2.	Предположим, что при некотором произвольном натуральном числе
к (k 2) имеет место равенство = di + d(k — 1) (bk = bi • qk~^)-

3.	Докажем, что и при п = к + 1	= сц + d[(k 4- 1) — 1]

(6*+. =	.

Используя определение арифметической (геометрической) прогрессии и
предположение индукции, а также одно из свойств степеней, мы получим:
(ik+i — Qk 4“ d = Gi 4“ d(k — 1) 4" d — di 4" dk = сц 4"	4“ 1) — 1]

(6M1 = bk • q = 6, 	• 9 = 6, 	= b,  9‘ = b,  9K‘+‘)-4) ,

что и требовалось доказать.

Замечание. Если q ф 0, то формула общего члена геометрической про-
грессии будет верна и для п = 1, так как bi = bi • 1 = bi • qQ = bi • q1"1.

Материал к вопросам алгебры 1—9, 13—16 в более подробном изложе-
нии см. в [1] и [3], а к вопросам 10—12 в [1].

* Подробнее об этом методе см. [3], гл. 2, §1 .
2.2.	Тригонометрия

Z(OI; OP) = Z(OK; OQ) = ЦОМ; ON) = Z(OM; OE) + Z(O£; ON)
рис. 1 а)	рис. 1 6)

Перед рассмотрением вопросов тригонометрии следует напомнить об
измерении углов с вершинами в начале координат, стороны такого угла
будут пересекать окружность с центром в начале координат в некоторых
точках М и Е , поэтому его можно обозначить

ДОМ\ОЕ) или ^MOE.

При этом имеет значение порядок лучей, образующих этот угол, ОМ и
ОЕ.

£(ОМ\ ОЕ) можно описать (не определить!) как получающийся в ре-
зультате вращения вокруг начала координат луча с началом в точке О от
положения ОМ — начального до положения ОЕ — конечного. Это враще-
ние может происходить или против часовой стрелки (в этом случае можно
сказать, что угол ориентирован против часовой стрелки) или по часовой
стрелке (в этом случае можно сказать, что угол ориентирован по часовой
стрелке) см. рис. 1 а), б), причем:

а)	либо на неполный оборот,

б)	либо на целое число полных оборотов, в частности, движения может
и не происходить (в этих случаях точки М и Е совпадают, когда дви-
жения не происходит угол называют нулевым, его ориентация считается
неопределенной),

в)	либо на целое число полных оборотов и неполный оборот.

Будем считать первичным (основным) понятие равных углов, которое
можно описать так: если при совмещении каким либо образом их началь-
ных лучей совместятся и конечные лучи, причем движение от начального
луча к конечному осуществляется в одну и ту же сторону (то есть либо у I
обоих углов против часовой стрелки, либо у обоих углов по часовой стрел- I
ке) на одно и то же количество полных и неполных оборотов вокруг точки I
О . Нулевые углы считаются равными.	I

Суммой двух углов называется угол, у которого начальный луч совпала- I
ет с начальным лучом первого слагаемого угла, а конечный луч совпадает
с конечным лучом второго слагаемого угла, при этом предполагается, что
данные углы приведены в такое положение (то есть, если необходимо, то
они заменены на равные себе), что конечный луч первого слагаемого угла
совпадает с начальным лучом второго слагаемого угла.	?

См. на рис. 1 а) и 1 б) иллюстрацию равных углов и суммы углов.

Величиной или мерой угла (ЛМОЕ) называется поставленное ему в
соответствие действительное число, обозначаемое Z.MOE или МОЕ ,
удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам):	|

1)	существует угол, мера которого равна 1 (единице) —	?

единица измерения углов *

2)	равные углы имеют равные меры ;

3)	мера суммы двух углов равна сумме мер углов ;	t

4)	мера нулевого угла равна нулю .	|

Исходя из условий 3) и 4), если сумма двух углов равна нулевому углу
(а это возникает, если второй из этих углов получается из первого в ре- |
зультате перемены мест начального и конечного лучей), то меры этих уг- ?
лов будут равны по абсолютной величине и различаться лишь знаком (при I
условии, что каждый из этих углов ненулевой). Очевидно, что эти углы |
будут иметь противоположную друг другу ориентацию: один — против |
часовой стрелки, другой — по часовой стрелке.

Меры углов, ориентированных против часовой стрелки (по часовой
стрелке), считаются положительными (отрицательными).

Наиболее распространенные меры углов — градусная и радианная. Еди-
ницей измерения углов в градусной мере является угол величины в один
градус — 1/90 часть прямого угла, а единицей измерения углов в радиан-
ной мере является угол величины в один радиан — это такой центральный
угол, который опирается на дугу (или стягивает дугу) окружности, по
длине равной ее радиусу.

Приведем формулы зависимости между градусной и радианной мерами
угла, обозначая и рг соответственно градусную и радианную меры,

 =т180’;• iG’ 
Всюду в дальнейшем будет в основном использоваться радианная мера
угла, которую в виду ее тесной связи с длиной дуги окружности можно
отождествлять с числовой мерой угла (или просто с числом).

Ниже будет доказано, что в качестве окружности с центром в начале
координат можно будет брать окружность единичного радиуса. Пока мы
будем рассматривать окружность с центром в начале координат радиуса
R > 0 , обозначая точки ее пересечения с координатными осями

Л(Л;0) , В(0;Я) , С(-Я;0) , Р(0;-Я) .

В качестве начального луча у рассматриваемых углов будет браться
луч О А .

Координатные оси абсцисс и ординат взаимно перпендикулярны и раз-

бивают координатную плоскость на четыре координатные четверти:

I четверть, II четверть, III четверть, IV четверть (см. рис. 1 а).

Будем говорить, что Z.AOM или А(ОА;ОМ) оканчивается в данной
четверти или на данной координатной оси или полуоси, если луч ОМ со-
ответственно расположен в этой четверти, или на указанной координатной

оси, или совпадает с указанной координатной полуосью.

В школьном курсе без доказательства принимаются факты: взаимно од-
нозначного соответствия между действительными числами из полуинтер-
вала [0,4о>) и точками окружности с центром в начале координат радиуса
R > 0 , число и > 0 — мера прямого угла, ериентированного против ча-
совой стрелки (если берется радианная мера угла, то и = тг/2 , а если —
градусная мера, то w = 90°) ,	ао <—► М — М(ж; у) , 0 а < 4а> ,

а уже точке М соответствует бесконечно много углов Z.AOM, меры ко-
торых имеют вид 4wfc 4- ао , к = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... (ао — однозначно
определенное по точке М число Е (0,4w)), и только таких углов.

На основе этих фактов и из соотношений между углами и их мерами,

которые изучаются в курсе элементарной геометрии, вытекают следующие

диапазоны изменения радианных мер углов а :
оканчивающихся в I четверти 2птг < а < тг/2 + 2птг ;

оканчивающихся во II четверти тг/2 4- 2птг < а < тг 4- 2птг ;

оканчивающихся в III четверти —тг 4- 2п7г < а < —тг/2 4- 2птг;

оканчивающихся в IV четверти —тг/2 4- 2птг < а < 2птг ;

оканчивающихся на полуоси О А
оканчивающихся на полуоси ОВ
оканчивающихся на полуоси ОС
оканчивающихся на полуоси OD
оканчивающихся на оси абсцисс
оканчивающихся на оси ординат
везде п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

2п7г ;

тг/2 4- 2птг ;

% 4- 2п7г ;

— тг/2 4- 2п7г ;

П7г ;

тг/2 4> П7Г ;
Докажем несколько важных утверждений, касающихся свойств пери-
одических функций. На их основе дается строгое обоснование множеств
решений простейших тригонометрических уравнений и в значительной ме-
ре упрощается исследование промежутков строгой монотонности тригоно-
метрических функций. Также устанавливаются множества всех периодов
периодической функции и их основные периоды.

Пусть X С D[f] и множество X 4- а представляет собой множество
чисел, равных х 4- а, где х — произвольное число из множества X ,
d — фиксированное действительное число.

Если область определения функции представляет собой объединение
множеств

X U X 4- a U X - a U X + 2а U X - 2а U ... ,
то символически это можно записать следующим образом:
+оо
£[/] = U х+п° = Ux+na-
n=-oo	ngZ

Пусть множество X представляет собой или отрезок [с, d], или один из
полуинтервалов [c,d) или (c,d], или интервал (c,d), причем каждое из
чисел с и d конечно.

Если функция f(x) является периодической с периодом Т = d — с, и
определена на множестве X , то она будет определена и на множестве

|JX + nT.
n$Z

В случае, когда множество X является отрезком или полуинтервалом,
указанное объединение является множеством всех действительных чисел
Ц — интервалом (—оо , 4-оо) .

v Утверждение 1. Пусть уравнение f(x) = а имеет единственное реше-
ние х = xq на множестве X , функция у = f(x) определена на множестве
X и является периодической с периодом Т , тогда при любом целом зна-
чении п х = xq + пТ является единственным значением этого уравнения
на множестве X 4- пТ .

Доказательство. По определению решения уравнения имеет место ра-
венство /(жо) = a . В силу периодичности функции f(x) при любом
целом значении n f(xo 4- пТ) = /(жо) = a , а это означает, что число
жо 4- пТ , которое принадлежит множеству X 4- пТ , является решением
уравнения /(ж) = а . Предположим, что при некотором целом значении
п* существует на множестве X 4- п'Т еще решение рассматриваемого
уравнения ж' жо 4- п'Т . Тогда ж' = х'о 4- п'Т , где Жд / жо и Жо € X .
По предположению f(xf) = а , а потому в силу периодичности функции
f(x) имеют место равенства f(xf) = /(ж^ + п'Т) = f(xfQ) = а . Это означа-
ет, что на множестве X существует отличное от xq решение уравнения
/(ж) = а х = Xq . Получили противоречие с единственностью решения
этого уравнения на множестве X, которое полностью доказывает утверж-
дение.

Утверждение 2. Пусть функция у = f(x) определена на множестве
X , является периодической с периодом Т и возрастает (убывает) на
этом множестве, тогда при любом целом значении п эта функция также
возрастает (убывает) на множестве X 4- пТ .

Доказательство. Фиксируем произвольные Х2 > xi из множества

X 4- пТ , тогда числа х'2 = х% — пТ > х± — пТ = х{ будут принадлежать
множеству X . В силу периодичности функции f(x) и ее возрастания
(убывания) на множестве X получаем, что

f(x2) = f(x2 - пТ) =	> (<)/(®i) = f(xt - пТ) = f(X1) ,

это и означает возрастание (убывание) функции на множестве
X 4- пТ . Утверждение доказано.

Аналогично формулируются и доказываются аналогичные утвержде-
ния применительно к неубывающей (невозрастающей) на множестве X
периодической функции.

Утверждение 3. Пусть То — основной период периодической функции
у = f(x) , определенной на множестве X . Тогда числа вида пТо , где
п±1 ; ±2 ; ... ; и только они являются периодами этой функции.

Доказательство. Предположим, что существует некоторое число Т' ,
отличное от указанных в утверждении, являющееся периодом этой функ-
ции. В силу свойств действительных чисел Т' можно представить в виде
Т' = n'To 4-< , где 0 < i < То . Если для некоторого х Е X x + Tf £ D[f] ,
то нарушается условие 1) в определении периодичности функции и потому
число Т' ‘ не является периодом функции. Если же это условие 1) для всех
х Е £[/] применительно к Г' выполнено, то в силу периодичности функ-
ции с периодами пТо Vn Е Z следует, что из х 4- Т' Е D[f] вытекает
х 4-1 6 !>[/]• Поэтому

\fxED[f] /(®) = /(x4-T') = /(z4-t4-nT0) = №+<) ,

это означает, что число t является периодом функции. Пришли к проти-
воречию с тем, что То — ее основной период, которое завершает доказа-
тельство этого утверждения.
Утверждение 4- Пусть функция у = f(x) определена на множестве
X , является периодической с периодом Т , множество X представляет
собой отрезок [c,d], T = d-c и функция у = f(x) возрастает (убывает)
на отрезке [с, (с 4- d)/2] , а также она убывает (возрастает) на отрезке
[(с 4- d)/2, d] , тогда число Т является ее основным периодом.

Доказательство. В силу периодичности функции с указанным в условии
периодом /(с) = f[c 4- (d — с)] = /(d), а потому в силу условий строгой
монотонности функции f(x) на соответствующих отрезках мы имеем:

с 4- d

С' 2

=> /(с) < (>)/(*); Vx е

V® е

с -4- tl \

+	d\^f(c) = f(d)<(>)f(x).

Z /

Следовательно, V х 6 (с, d) => /(с) < (>)/(ж) . Поэтому, предполагая
существование числа t, такого, что 0<t<T=d — с, являющегося

периодом функции f(x) , мы получаем, в частности, выполнение равенства
/(с) = /(с 4- <), но так как c<c4-t<c4-(d-c)=d,To с 4-1 € (с, d) .

Получили противоречие, которое и доказывает данное утверждение.

Утверждение 5. Пусть функция у — f(x) определена на множестве X ,
является периодической с периодом Т , множество X представляет собой
интервал (с, d) , Т = d — с и функция у = f(x) возрастает (убывает)
на интервале (с, d) , тогда число Т является ее основным периодом.

Доказательство. Предположим, что существует число t , такое, что
0<t<T = d — с, также являющееся периодом функции f(x) . Тогда,
в частности, при любом х 6 D[f] должно выполняться равенство

/(ж) = f(x 4-1) . Положим х = d — t , тогда х € (с, d) . Если
/(d) = f(x 4-1) не определено, то для этого значения х равенство

/(ж) = f(x 4-1) невозможно, получили противоречие. Если же значение
/(d) определено и случайно окажется, что /(d - t) = /(d) , то положим

c4-d t	c + d

х = —------ , тогда х 4-1 = —-—

t , а также того, что i/2 < (d — c)/2

t п

4- - . В силу положительности числа
имеют место следующие неравенства:

c + d c + d d — c

~r >x>~2-----Г = с и

c + d
~2~

<x + t <

c+d	d—c	.

—!--1-----— d .

2	2

Следовательно, числа x и x + t принадлежат интервалу (c, d), поэтому
значения f(x) и f(x 4-t) определены. В силу того, что х < х 4-1 , а
также возрастания (убывания) функции /(ж) на интервале (с, d) вытекает
неравенство f(x+t) > (<)/(ж) . Таким образом, равенство f(x+t) = /(ж)
не выполняется. Пришли к противоречию, которое полностью доказывает
это утверждение.
Сформулируем определения sina , cos a , tg a , ctg a с помощью
окружности с центром в начале координат радиуса R > 0 , где a — мера
угла АОМ с началом — лучом О А , А — A(R\ 0) и концом — лучом
ОМ , М — М(х;у) точка указанной окружности (см. ниже рис. 2 а),

df У	df X

sina =	; cos a = — ;

R	R

df sina	df cosa	.

tg a ==---- (cosa p 0) ; ctg a = —-- (sina p 0) .

cos a	sm a

tg a не определен при cos a = 0 ; ctg a не определен при sin a = 0 .

Докажем утверждение о том, что определенные таким образом триго-
нометрические функции являются функциями только величины угла a , и
никак не зависят от радиуса окружности R > 0 . * . у

рис. 2 а)	рис. 2 б)

Рассмотрим две концентрические
окружности, центр которых в точке
0(0; 0) и радиусы равны Я и Д' соответственно. Если, например,
Z (О А; ОЛТ) оканчивается на отрицательной полуоси ординат, то точка
М(х\ у) = D(—R] 0), а принадлежащая тому же лучу ОМ с той же началь-
ной точкой О точка М'(х'; j/) = Р'(-Д'; 0), тогда у : R = —R : R =
= -Д' : R! =	: Д^=_-1 , х : R = 0 ^Д = 0 : R' = х‘ : Д' = 0 ,

следовательно, sin(OA; ОМ) = — 1 , cos (ОА; ОМ) = 0 , то есть не зави-
сят от радиуса окружности. Аналогично рассматриваются случаи, когда
Z(OA; ОМ) оканчивается на других координатных полуосях.

Если Z((Z4;OAfi) оканчивается в первой четверти, (OA\OMi) = ai
(см. рис. 2 б), то поскольку первая координатная четверть — пересечение
верхней относительно оси абсцисс полуплоскости и правой относительно
оси ординат полуплоскости, то все точки луча ОМ\ (в частности, точки
__________I_________________

* Это утверждение можно использовать на экзаменах без доказательств, то есть
можно сразу вводить тригонометрические функции с помощью единичной окружности.
Mi и будут расположены в этой же четверти, а потому знаки абсцисс
и ординат точек Mi и М[ будут совпадать (в первой четверти координа-
ты точек положительны), Mi(x\y) и МЦх^т/) — точки пересечения луча
О Mi и окружностей радиусов R и К' * соответственно; прямоугольные
треугольники OMixMi и OM'lxM'i , как имеющие общий острый угол, по-
добны, следовательно,

IMixMxI _ \М[ХМ[\
\OMi\ \ОМ[\

Ml

R R'

R R'

sinai ,

|ОМ1Д| _ |ОМ{Т| |xi|_|xi|

|OAft| |ОЛГ{| ** R R' * R R' 1 ’

Аналогично, если /(ОА;ОЛГг) оканчивается во второй четверти,
(ОА; ОМ2) — аг (см. рис. 2 б), то поскольку вторая координатная четверть
— пересечение верхней относительно оси абсцисс полуплоскости и левой
относительно оси ординат полуплоскости, то все точки луча О М2
(в частности, точки М2 и М2) будут расположены в этой же четверти, а по-
тому знаки абсцисс и ординат точек М2 и М2 будут совпадать (во второй
четверти ординаты точек положительны, а абсциссы — отрицательны),
М2(х\у) и	— точки пересечения луча О М2 и окружностей ра-

диусов Я и Д' соответственно; прямоугольные треугольники ОМ2хМ2 и
ОМ2хМ2 как имеющие общий острый угол подобны, следовательно,

|У2|	1141

. |ОМ2|	\ОМ^\ R R'

|ОМ2у| IQM^I	lx,! |^2|	-х2

|ОМ2| |ОЛ^|	R	R' R

У2 df .
д = д7=8т«2<

-л ^ = ?Hcosa2.

R' R R' 2

Точно таким же образом рассматриваются случаи, когда угол оканчи-
вается как в третьей, так и в четвертой четвертях. Итак, мы получили
независимость определенных значений функций синус и косинус от ради-
уса окружности с центром в начале координат. Независимость от радиуса
функций тангенс и котангенс следует из их определений как результатов
деления функций синус на косинус и соответственно — косинус на синус.
Утверждение полностью доказано.

В соответствие с доказанным утверждением впредь мы можем рассмат-
ривать определения тригонометрических функций величин углов с помо-
щью окружности с центром в начале координат радиуса 1 , такую окруж-
ность называют единичной.

* Существование и единственность таких точек вытекает из теоремы о существова-

нии и единственности точки М на данном луче с данной начальной точкой (вершиной) О
такой, что расстояние от точки М до точки О (|ОМ|) равно заданному положительному
числу а .
Сформулируем определения sin а , cos а , tga , ctga с помощью еди-
ничной окружности, где а — мера угла АОМ с началом — лучом О А ,
А — Л(1; 0) и концом — лучом ОМ , М — М(х;у) точка единичной
окружности (см. ниже рис. 3 а)
#	df

вша — у ; cos а = х ;

df sina	*	df cosa	'

tg a — ---- (cosa / 0) ; ctg a = —- sma^O).

cos a	sin a

no определению tg а не определен при cos a = 0 ; ctg а не определен при
sin a = 0 .

В силу указанного выше факта о том, какие меры имеют углы, отве-
чающие точке М на окружности с центром в точке 0(0; 0) радиуса R > О,
в частности, отвечающие точке М на единичной окружности, которая в
свою очередь отвечает углу радианной меры a , справедливы формулы
периодичности для синуса и косинуса

sin(a 4- 2п7г) = sina ; cos(a 4- 2птг) = cosa , n = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

Вопрос 1. Основное тригонометрическое тождество. Соотношения меж-

ду тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
Теорема 1. Va 6 R	sin2 a + cos2 a z 1	(1)

— основное тригонометрическое тождество.

рис. 3 а)	рис. 3 б)

Оно вытекает из уравнения окружности с центром в точке 0(0; 0) и
радиуса R = 1 : х2 4- у2 = 1 , где х = cos a , у = sin a .

Теорема 2.

—-— = tg2a 4-1 <=> cosa ± 0 <=> a ± 4- *k Vfc 6 Z ;	(2)

cos2 a	2

—~— = ctg2a 4-1 <=> sin a ф 0 О a irk Vk 6 Z ;	(3)

sin a
Эти формулы получаются, если в основном тригонометрическом тож-
9	*2

дестве произвести почленное деление на cos46 а и sin а соответственно.

Следствия. Из формул, установленных в теореме 2, следуют:

1

I cos al
1

| sin а |

1

= \Ag2a 4-1 , если cos a / 0 ;

= \/ctg2a + 1 , если sin a / 0 ;

cosa =

sina =

y/tg2a + 1 ’

у/ tg2a +1
1

\/ctg2a + 1 ’

\/ctg2a + 1

если cos a > 0

, если cos a < 0

если sin a > 0

, если sin a < 0

sin a = cos a • tga =

‘ tga
i/tg2a + 1 ’
tga

\/tg2a + 1

если cos a > 0

, если cos a < 0

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

cos a =1 sin a • ctga =

| sin a | = \/l — cos2 a => sin a =

| cos a | = \/l — sin2 a => cos a =

sina
tga =-----

cosa

ctga
y/ct^a+l ’
ctga

у/ctg2a + 1

y/1 — cos2 a ,
—л/1 — cos2 a

если sin a > 0

, если sin a < 0

если sin a 0

, если sin a 0

\/l — sin2 a,

—\/l — sin2 a,

если cos a 0

если cosa < 0



(9)

; (io)

; (и)

sina

\/l — sin2 a
sina

, если cos a > 0

(12) .

\/l — sin2 a

, если cosa < 0
tga =

sin a

cos a

cos a
ctga = —---

sina

ctga =

cos a
sin a

\/l ~ cos2 a
cos a

x/1 — cos2 a
cos a

если 0 < sin a < 1

, если — 1 < sin a 0

cos a

y/1 — cos2 a ’
cos a

\/l — cos2 a

если sin a > 0

, если sin a < 0

(13)

(14)

\/l — sin2 a
sin a

x/1 — sin2 a
sin a

если 0 < cos a < 1

если — 1 < cos a < 0

если tga 0

если tga 0

ctga =

tga • ctga = 1 a ,4= — Vn € Z .	(18)

z

Обратить внимание на некорректность записей вида

sin a = ± \/1 — cos2 a, cos a = ± —7 *—=
>/tg2a+l

без указания, при каких а знак ” + а при каких ” - ”, так как со-
гласно такой записи получается неоднозначная определенность синуса или

косинуса по данному значению аргумента, что неверно.

Вопрос 2. Формулы сложения:

cos(a±/3) , sin(a±/3) , tg(a±/3) , ctg(a±/3)

Обратим внимание на подробный вывод одной из этих формул.

Например, формула

cos (a — /3) = cos a cos /3 4- sin a sin /3 7а,/ЗбЯ,	(1)
выводится так: рассмотрим случай 0 /3 а < 2% ,
пусть М — M(cosa ; sina) , N — N(cos/3 ; sin/3), запишем формулу для
lAfTVI2 (см. выше рис. 2 б)

\МN|2 = (cosa — cos/?)2 4- (sina — sin/?)2 ,

затем в новой системе координат, повернутой на угол величины /3 вокруг
точки 0(0; 0), уже N — 2V(1; 0) , а М — ЛГ(cos(a — /3) ; sin(a - /?))
(см. выше рис. 2 б), поэтому

\МN|2 = (cos(a - /?) - I)2 4- (sin(a — /?) - О)2 ,

приравнивая выражения для | AfN|2, используя основное тригонометричес-
кое тождество, мы и получаем формулу для cos(a — /?) при указанных
а и /? ;

если затем 0^а^/?<2тг,то

cos(a — /?) = cos(—(а — /3)) = cos(/3 — а) = соз/Зсоза 4- sin/3sina =

= cos a cos /3 4- sin a sin /3 (здесь использовано свойство четности косинуса);
если а и /3 произвольны, то Зао,А> € [0,2тг) ит,пбЯ :

а = а0 4- 2тгт, /3 = /30 4- 2тгп ,

=> cos(a — /3) = cos(ao — /Зо 4- 2тг(т — n)) = cos(ao —/Зо) = cosao cos/Зо 4-
+ sin ао sin/3q = cos(a — 2тгтп) cos(/3 — 2тгп) 4- sin(a — 2тгт) sin(/3 — 2тгп) =
= cos a cos /3 4- sin a sin /3 (здесь мы использовали полученные выше форму-
лы периодичности для синуса и косинуса).

Вторая формула выводится уже на основе первой совсем коротко:

cos(a 4-/3) = cos(a — (—/3)) = cos a cos/3 — sin a sin/3
(здесь используется четность cos и нечетность sin).

Далее из этих формул выводятся такие формулы: V а, /3 6 R

/ТГ \	7Г	. ТГ .

cos I — — a J = cos — cos а 4- sin — sin а = sin а
\ z / z	z

=> sin — a) = cos	“ a)) = cos a ;

sin (a 4- /3) = cos

sin (a — /3) = cos

(опять используется четность cos и нечетность sin)

tg(a±/3) =

sin(a±/3) _ sin a cos/3 ± cos a sin/3
cos(a ± /3) cos a cos /3 sin a sin /3
_ cos a cos /3	cos a cos /3 _ tga ± tg/3

~~ cos a cos f3	sin a sin /3 ~ 1 qi tgatg/3 ’

cos a cos (3 cos a cos /3

здесь cos(a ± /3) / 0, cos a /0, cos/3 0 0 .

ctg(a±/3) =

(7)

cos(a ± /3) _ cos a cos/3 sin a sin/3
sin (a ± (3) sin a cos /3 ± cos a sin /3

cos a cos /3 sin a sin /3
sin a sin/3 sin a sin/3

sin a cos/3
sin a sin/3

cos a sin/3
sin a sin /3

ctgactg/3 T 1 .
ctg/3±ctga

(8)

здесь sin(a ±/3)^0, sina ,4 0, sin/3 ф 0 .

Как выглядит формула для tg(a±/3), если либо cos a = 0, либо соз/З = 0,
либо

cos a = 0 , ?

cos /3 = 0

Ответ. С помощью формул приведения (см. ниже, Вопрос 4) можно по-
лучить следующий общий вид формул тангенса суммы и разности двух
аргументов при любых их значениях:

	8	если а±0/ 4-Trfc; а/ 4-тгп; /3	4-тгт;  1 4- tgatgp	2	2	2  q=ctg/3, если а = тг/2 4- тгп; /3 тгтп;
tg(a±/3) =	—ctga, если /3 = тг/2 4- тгт; а ф тгп;	(9)  в частности, 0, если а = тг/2 4- тгп и /3 = тг/2 4- тгтп;

не существует, если а ± /3 = тг/2 4- 7rfc.

Везде Л, п, тп принимают значения 0; ±1; ±2; ±3; ... .

Как выглядит формула для ctg(а ± /3), если либо sina = 0, либо
sin/З = 0, либо

{sin а = 0 , ?

sin /3 = 0

Ответ. С помощью формул приведения (см. ниже, Вопрос 4) можно по-
лучить следующий общий вид формул котангенса суммы и разности двух
аргументов при любых их значениях:
ctg(a ± /3) =

ctgactg/3 1
ctg/? ± ctga ’

если a ± (3 ф тг/г; a 0 тгп; (3 ф тгтп;

±ctg/3, если a = тгп; /3 тгтп;

ctga, если /3 = тгтп; а ф тгп;

не существует, если а ± /3 = тгк.

(10)

Везде Л, п, тп принимают значения 0; ±1; ±2; ±3; ... .

Вопрос 3. Формулы суммы и разности тригонометрических функций:
sin a ± sin/?, cos a ± cos/3, tga ± tg/3, ctga ± ctg/3, Преобразование в сумму
произведений: cos a cos /3, sin a sin /3, sin a cos /3

Формулы имеют вид: Va , /3 6 R *

cos a cos/3 = ^ • [cos(a + /?) + cos(a - /3).] ;

sin a sin/3 = • [cos(a — /3) — cos(a 4- /?)] ;
A

sin a cos/3 = ^ • [sin(a — /?) + sin(a 4- /?)] ;
A

sin a ± sin /3 = 2 sin

cos a 4- cos /3 = 2 cos

a±0	a^0

—-—cos —-—
2	2

a + /3 a —/3

cos a — cos /3 = —2 sin

—-—cos - 
2	2

a + 0 . a — 0

—~—sin —«—
2	2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

tga±ttf==<^;	(7)

cos a cos /3

sin(/3 ± a)	ZA4

ctga ± ctg/3 = --— .	(8)

sin a sin/3

Вывод. Используем формулы:

cos(a — /3) = cos a cos /3 4- sin a sin /3 ;

* В приведенных ниже формулах (7) и (8) на аргументы а и /3 накладываются
ограничения.
cos(a 4- /?) = cos a cos /3 — sin a sin/3 .

Складывая эти равенства почленно и деля на 2, получаем (1).

Вычитая эти равенства почленно и деля на 2, получаем (2).

sin(a 4- /?) = sin a cos/3 4- cos a sin/3 ;

sin(a — /3) = sin a cos/3 — cos a sin/3 .

ol + /3 a — /3

= —-—= —-—, мы получим
&Л

Складывая эти равенства почленно и деля на 2, получаем (3)

Если применить формулы (1) и (2) с заменой а на <р и /3 на ф, а затем
положить а = у>4-^, /3 = у> —
формулы (5) и (6).

Аналогично рассуждая применительно к формуле (3), мы получим фор-
мулу (4) со знаком ” 4- ”, а (4) со знаком ” — ” получается из (4) со знаком
” 4- ” заменой /3 на —/3. Формулы (7) получаются, если представить

sina	sin/3

tga =------ и tgp = -—- , следовательно,

cos a	cos p

tga ± tg/3 =

sin/3 sin a cos/3 ± sin/3 cos a _ sin(a ±/3)
cos /3	cos a cos /3	cos a cos /3

Каковы ограничения на a и /3 в формуле (7) ?

(cos а ф 0, cos/3 0 a 4- тгЛ, /3 / — 4- тгт V&, т 6 Z.)

Формулы (8) получаются, если представить

cosa _ cos/3

ctga = —---- и ctg/3 = ——- , следовательно,

sin a	sm p

ctga ± ctg/3 =

cosa cos/3 _ cos a sin/3 ± cos/3 sin a _ sin(/3 ± a)

sin a sin /3

sin a sin /3

sin a sin/3

Каковы ограничения на a и /3 в формуле (8) ?

(sina/0, sin/3 / 0 <=> a / 7rfc, /3 7rm Vk,mG2.)

Вопрос 4- Формулы двойного и половинного аргументов тригономет-
рических функций. Выражение тригонометрических функций через тан-
генс половинного аргумента. Формулы приведения

V a eR

sin 2a = sin(a 4- a) = sin a cos a 4- cos a sin a = 2 sin a cos a ;	(1)
(формула (1) вытекает из формулы для sin(a 4- /3) при /3 = а)

cos 2а = cos(a 4- а) = cos a cos а — sin a sin а = cos2 а — sin2 а ;	(2)

(формула (2) вытекает из формулы для cos(a 4-/3) при /3 = а)

' Применяя основное тригонометрическое тождество, получим:

cos 2а = 1 — sin2 а — sin2 а = 1 — 2 sin2 а ;

cos 2а = cos2 а — (1 — cos2 а) = 2 cos2 а — 1 ;

. о х / । \ tga 4- tga 2tga
tg2a = tg(a 4- a) = ,--—-— = ;----7-7“ ;

1 - tgatga 1 - tg2a

(эта формула получается из формулы для tg(a 4- /3) при /3 = а).

Каковы ограничения на a ?

(a / 4- тгЛ, 2a / — 4- тгтп, V А, т 6 Z.)

ctga • ctga - 1 ctg2a - 1

ctg2a = ctg(a 4- a) = — ---------= ——--------;

v	ctga 4- ctga 2ctga

(эта формула получается из формулы для ctg(a 4- /3) при /3 = а).

Каковы ограничения на a ?

(а ф 7г&, 2a ф тп, VZ a / V п 6 Z.)

Заменяя в формулах (3) и (4) 2a на а, аа на получим: V a

.	о a	1 — cos a	I .	a I	/1 — cos a

8Ш 2 =	в1,,пг1 = У—2—

, a	1 + cos a	|	a I	11 + cos a

2	2	I	21	V 2

Из формул (7) и (8) :

(3)

(4)

(5)

(6)

ея

(7)

(8)

1 — cos a z , Л ,
—-------- (a / тг + 2тгА,

1 + cos a

14-cosa z Л ,
------- (a / тг 4- 2тгА,
1 — cos a

. a
81n 2 =

1 — cos a	. a

--------, если sin — > 0

2	2

/1 — cos a	. a , „

I/-------, если sin — < 0

V 2	2

VA € Z) ;	(9)

VA € Z) ;	. (10)

(Va e R) ;	(11)
a
cos — =

2

. a

<*85

1 4" cos a	a

---------, если cos —	0

Z	Z

1 4- cos a
2

a
, если cos —

(Va G R) ;	(12)

. а

*е2

—	11 — cos a V I + cosa*  11 — cos a  V I 4* cos a
	/14- cos a
=	V 1 — cosa* /1 4- cosa

a
если tg— 0

A
a
, если tg— < 0
°2

t a	л

если ctg—	0

a

--------, если ctg— < О

1 — cos a	2

(а я + 2nk, V& G Z) ; .

(13)

(a / 2irk, VkeZ); (14)

Обратить внимание на некорректность записей типа

• a .
™2=±

1 — cos a

2

без указания, когда знак ” 4- ”, а когда знак

(ибо без этого указания

получается, что по данному a sin определен неоднозначно, что неверно).

a _ sin(a/2) _ 2sin(a/2) • cos(a/2) _
g 2 “ cos(a/2) ~

2cos2(a/2)

sina

1 4- cos a ’

а ф ir+2irn, Vn G Z ;

(15).

, a _	2sin2(a/2)	_

^2	2sin(a/2) *cos(a/2)

(в формуле (16) sina 0).

1 —cosa .	,,	„

—;, a тгп, Vn G Z ;	(16)

sin a	’

x a cos(a/2) 2siri(a/2) • cos(a/2) sina , Л
ctgx = . ;	= 1--------» « ± ^n, VntZ ;

2 sin(a/2) 2sm2(a/2) 1-cosa

(17)

L a 2cos2(a/2)	14-cos a ,

ctg—= ——7—7— "• .	=—;------, a тгп, Vn 6 Z ;	(18)

62	2sm(a/2) • cos(a/2) sina	v 7

(в формуле (18) sina / 0).
. п _ 2 sin(a/2) • cos(a/2) 2tg(a/2)	,	.

sin a = ———— --------—=~—— =  ------—57——,	a тг 4- 2тгп, Vn E z ;

cos2(a/2) 4- sin2(a/2)	1 4- tg2(a/2)

(19)

Л, - c°s2(a/2) - sin2 (a/2) _ 1 - tg2(a/2)
cosa = ——— ----------=-—— =---------x-——a тг4- 2тгп, Vn G Z :

cos2(a/2) 4- sin2(a/2)	1 4- tg2(a/2)

(20)

Формулы (19) и (20) вытекают из формул (1), (2) и основного тригономет-
рического тождества.

tga =	’ а * + 2zrfc’ а ? + 7гт' V z- (21)

1 ~	(a/2)	2

Эта формула получается из формулы (5) с заменой 2a на a , а на a/2

_ l~tg2(«/2)

' g 2tg(a/2)

(22)

Эта формула вытекает из формулы (21) (a /	» Vn 6	.

Формулы приведения — это формулы, выражающие тригонометричес-
7Г

кие функции аргументов—а, тг±а и т.п. через тригонометрические
функции аргумента а.

Для любого действительного значения a :

sin(—a) = —sina следует из нечетности sin ; cos(—a) = cosa следует
из четности cos .

Для любых действительных значений а, при которых определены тан-
генс и котангенс, соответственно :

tg(—a) = —tga следует из нечетности tg ; ctg(—a) = —ctga следует из
нечетности ctg .

Для любого действительного значения a :

cosa ; cos

sina ;

(23)

(эти формулы получены выше	(см.	Вопрос 2)),

. /тг \	.	ТГ	7Г

sin I — 4- a I =	sin	—	•	cos a+cos —	• sin a = cos a ;

\ z /	z	z

(24)

COS

ТГ	. ТГ

cos — • cos a—sin — • sin a = — sin a :

2	2

(25)
эти формулы получаются из формул (23) почленным делением первой из
них на вторую и наоборот, почленным делением второй из них на первую,

tg (^4-а) =-ctga; ctg (£ 4-a) =-tga ;	(27)

эти формулы получаются аналогично из формул (24) и (25) почленным
делением первой из них на вторую и наоборот, почленным делением второй
из них на первую.

Каковы ограничения на а в (26) и (27) ? По этому поводу см. ограни-
чения на аргументы функций тангенс и котангенс.

Для любого действительного значения a :

sin(% — a) = sin тг cos a — cos 7r sin a = sin a	;

соз(тг — a) = cos 7r cos a 4- sin тг sin a = — cos a ’	* '

sin(7r 4- a) = — sina; cos(?r 4-a) = — cosa ;	(29)

формулы (29) получаются аналогично формулам (28).

Таким же образом, как формулы (26) и (27), получаются формулы вида:

tg(7r - a) = -tga ; ctg(?r - a) = -ctga ;	(30)

tg(fl* 4- a) = tga ; ctg(% 4- a) = ctga .	(31)

Каковы ограничения на a в (30) и (31) ? По этому поводу также см. огра-
ничения на аргументы функций тангенс и котангенс.

Доказать формулы :

' sin(a 4- тгп) = (—1)п sina ; cos(d 4- тгп) = (—1)я cos a .	(32)

При п = 2k => (-1)п = 1 и эти формулы непосредственно получаются из
формул периодичности. При п = 2к 4- 1 => (—1)” = —1 и эти формулы
есть следствие примененных сначала формул периодичности, а затем —
формул приведения (29).	*

Доказать формулы :

\ sin За = 3 sin а - 4 sin3 а ;	(33)

I

cos За = 4 cos3 а — 3 cos а .	(34)

Для доказательства представить sin За = sin(2a 4- а) и cos За = соз(2а 4- а),
а затем применить соответственно формулы синуса и косинуса суммы двух
аргументов, синуса и косинуса суммы двойного аргумента и основное три-
гонометрическое тождество, формулу (1).
Доказать формулы:

. , 3tga-tgsa	t

‘ss“ =	1 - Jlg‘o	!	(36)

ttgJa=.	w

3ctjf a - 1	' ’

КажаШл ограничении на аргументы в этих формулах ?

Вопрос 5. СвюАшл tpi№O№jiM!tp»^№&Mt функций у е sin* и ее
графим. Решение простейшего трмгсйншетрического урашйшш luh® = а
О свойствах этой Тригонометрической функций и ее графике см.
ниже, После вывода формулы ДЛИ a ein * + Ь cos в На стр. 326 — 331>
в вопросе о решении уравнении sin® = а проведем исследование в
зависимости от a :

прй |в| > 1 нет действительны* решений, Тах как £?[sin]—[-1,1];

при |a| 1 сформулируем определение arcsine :

.. Г * *1

м .	1) а € I——, — ,

alarcsina, если ’ I 2 2J

2) ein а =± a >

Ниже, им стр. 326 — 327 Даетсй геометрическое обоснование единствен-
ности решении данного уравнении на отрезка*

[—ir/2, й/2] И [к/3,3*/2] ( Соответственно
И е arcsin а и И = # —arcsine
(последнее равенство вытекает и На основе формулы sin(ff — ct) * sina).
Отсюда, а также в силу периодичности с периодами 2*п функции
у = в1й* (п = ±1; ±2; .. .) й утверждении 1, дока^анмго выше, выте-
кает, что
совокупность всем решений уравнений ein ® = а есть

I сёрйй * = atcaiii а + 2тн
И серии х = *-arcsinп + 2хп

=> * = (—l)fc arcsine + #4 ,

€ В

(при k = 2n — 1 серии, при k = 2n +1 — It серии).

В частных случай*, при в = 0, а = 1, а = -1 формулы решений
упрощаютси и соответственно имеют вид :

® = кп ( ® = ^ + Зй-п , « =	+ fan , Ун € В .
Вопрос 6. Свойства тригонометрической функции у = cos зс и ее
график. Решение простейшего тригонометрического уравнения cos х ~ a
О свойствах этой тригонометрической функции и ее графике см.
ниже, после вывода формулы для a sin ж 4- b cos х на стр. 326 — 331.

В вопросе о решении уравнения cos ж = а проведем исследование в
зависимости от a :

при |а|> 1 нет действительных решений, так как JE?[cos]—[—1,1];

при |a|	1 сформулируем определение arccos а :

1) а е [О, тг] ,
2) cos a = a .

df

a = arccos а, если

Ниже, на стр. 326 — 327 дается геометрическое обоснование единствен-
ности решения данного уравнения на отрезках

. [О, тг] и [—тг, 0] , соответственно
х = arccos а и х = — arccos a
(последнее равенство вытекает и из четности функции у = cos х).

Отсюда, а также в силу периодичности функции у = cos х с периодами
2кп , п = ±1 ; ±2 ; ... и утверждения 1, доказанного выше,
совокупность всех решений уравнения cos ж = а есть:

х = arccos а 4- 2кп	,	, Л

, Л => х = ± arccos а 4- 2тгп ,
х = — arccos а 4- 2тгп

где п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

В частных случаях, при а = 0, а = 1, а = -1 формулы решений упро-
щаются и соответственно имеют вид

7Г

х = — 4- тгп , х = 2кп , х = тг 4- 2тгп , Vn £ Z .

Вопрос 7. Свойства тригонометрической функции у = tgx и ее
график. Решение простейшего тригонометрического уравнения tgx = a
О свойствах этой тригонометрической функции и ее графике см.
ниже, после доказательств свойств функций у = sin х и у = cos ж
на стр. 331 — 336.

Уравнение tg® — а имеет решения при любом о € Я, так как
2?[tg] — (—оо, 4-оо).

Сформулируем определение arctga ,

/ 7Г 7Г\

1)	а Е I ——, тг I ,
'	\ 2 2 /

2)	tga = a ,
arctga определен Для любого действительного а .
Ниже, на стр. 332 — 333 даются геометрическое и аналитическое об-
основания единственности решения уравнения tgx х а на интервале
(—я/2, я/2),
это х = arctga ,
откуда в силу периодичности функции tgx с периодами яп,
п z= ±1; ±2; ... и утверждения 1, доказанного выше, вытекает :
совокупность всех решений уравнения tgx = а имеет вид:

х х arctga + яп , п а 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

Вопрос 8. Свойства тригонометрической функции у х ctgx и ее
график. Решение простейшего тригонометрического уравнения ctgx = а

О свойствах этой тригонометрической функции и ее графике см.
ниже, после доказательств свойств функций у = ein х и у х сое х
на стр. 332 — 336.

Уравнение ctgx х а имеет решения при любом а € Я, так как
^[ctg] — (~ео, +оо).

Сформулируем определение arcctga,
л *	/ 1) а € (0, я) ,

“ ~	,аи ( 2) ctga = а ,

arcctga определен для любого а € R .

Ниже, на стр. 332 — 333 даются геометрическое и аналитическое об-
основания единственности решения уравнения ctgx х а на интервале
(О, я),
это х х arcctga,
откуда в силу периодичности функции у х ctgx с периодами яп,
п х ±1; ±2; ... и утверждения 1, доказанного выше, вытекает : совокуп-
ность всех решений уравнения ctgx х а имеет вид:

х = arcctga + яп , п — 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

Вопрос 9. Преобразование выражения a ein х + bcoax с помощью
вспомогательного аргумента

aeinх + бсоех х Va2 + Ь2 • sin(x + у>) = \/а2 + i2 соэ(х - ф) , где

соеу> х
ein у =

а

Va2 + Ь2
о

Va2 + Ь2 '

, Ъ
сое^-^у^
sM = W /
— величины указанных вспомогательных углов. Здесь а и b одновре-
менно не обращаются в нуль, то есть

a' + b'/O о’ + б’>0.

о 56 0

Доказательство:

a sin X + Ъ СО8 X = \/о3 + Ь3 • ( у£кт ein X + -чаДяд» COS X I ,
Wa’ + Ь’ Va3 + b2 J

/ а V , / b V а3 t3 о3 + Ь3 ,
таккак	+ UaJ+bV а3 + 6з + а3 + Ь3 = а34-Ь3=1,

то требуется доказать существование таких величин углов <р или что
выполняются равенства (*) .

a
x/a3 +' b2

<1

=> Эр: сов р = ,'ш , а ;

V®3 + о*

если b 0 , то в качестве <р можно взять <р — шссое , тогда

/	о \	/ a3 / Ь3	Ь

sin <р - sin arccos ..... I = \l 1----5—15 = \ TT73 / Ч'-'.Чв »

.	/^2 j у a* 4" 0* V л* + o* ya* + b*

если b < 0 , то положим - arccos	тогда

/	a \ Г <j5	/

«n(p = -sm ^arccos	= -^1 -	«

.. IM J> .

V® +	V®** + ь* *

Существование $ доказывается совершенно аналогично.

Замечание. Если a = 6 = 0, то выражение asinx+6cosx при любом х
обращается в нуль. Поэтому в данном случае оно не требует специального
преобразования.
Свойства тригонометрических функций у = sin ж и у = cos х и их графики

Заменим х на а, так как х — абсцисса точки на окружности.

I.	P[sin] = D[cos] — (-оо, 4-оо) .

Фиксируем произвольное a G Я, тогда в силу свойств действительных
чисел однозначно определено число а/2тг = ао 4- г<ь где ао € Z , причем ао
— наибольшее целое число, не превосходящее а/2тг , откуда 0 го < 1.
Обозначим k = ао, тогда a = 2kir 4- ао, где ао = 2го?г , следовательно,
О ао < 2тг .

В начале раздела ”Тригонометрия” отмечалось, что ао <—> М, где
М — точка на единичной окружности; этой же точке отвечают числа
вида а = ао 4- 2Агтг V k € Z, где а = АОМ . Так как

вша == у ; cosa = х ;

где М — М(ж; у), то есть ж — абсцисса, а у — ордината точки М, то для
любого a 6 R определены sina и cosa.

II.	£[sin] = /[cos] — [—1; 1] .

В силу основного тригонометрического тождества

Va 6 Я 1 = (sina)2 4- (cosa)2 (cosa)2, аналогично 1 (sina)2,
откуда —1 sina 1,	—1 cosa 1.

Остается доказать, что JS[sin] и 2?[cos] заполняют отрезок [—1,1] цели-
ком (см. ниже рис. 5 а), б), в) ).

Фиксируем произвольные числа ао, а'о 6 [—1,1], ао <4 Мх — Мх(х\ 0),
ао <4 Му — Af'(0; у), ибо координатные оси — числовые прямые

(в школьном курсе без доказательства принимается факт взаимно од-
нозначного соответствия между множествами всех действительных чисел
и всех точек числовой прямой (оси)).

ОМХ = ао и О Му = aQ — это величины отрезков ОМХ и О Му соответ-
ственно.
В случаях -1<ао<1и-1<а^< 1точки Мх я М* внутри окруж-
ности. Восставляя перпендикуляр из точек Mt яля М£ к осям Он * Оу со-
ответственно, мы получим единственные точки (которые соответственно
обозначим за Mq Я Mq) Их пересечения с верхней и соответственно Правой
полуокружностями а также — единственные Точки (которые соответствен-
но обозначим за Mi и М[) их пересечения с нижней и соответственно левой
полуокружностями; * точке Mq уже однозначно отвечает угол с Мерой
«01 а точке Mi уже однозначно отвечает угол с мерой «1, соответствен-
но точке Mq уже однозначно отвечает угол с мерой а(>, а точке М{ уже
однозначно отвечает угол 0 Мерой ар

В случае синуса это Oq ё [ — х/2 , тг/2 ] , а\ ё [ #/2 , Зтг/2 ],
а в случае косинуса это ао ё [ 0 , к ], «1 ё [ —% , 0 ] ;
sina:Q = a(), sinct'i = Oq, соответственно сов ар = ао* costti = aoi
ар — arcsin ар, соответственно ао ^агссоввой

= 1г — arcsin ар, соответственно tti = — arccos ао .

При ар = -1 в случае синуса точка М* совпадает с точкой	(0; —1),

которая в свою очередь совпадает с точкой D, Пр = — т/2 ; а в случае ко-
синуса точка Mt совладает с точкой М М(-1; 0), которая в свою очередь
совпадает с С, а0 = к. Соответствующие перпендикуляры, восстановлен-
ные из точек М* я соответственно, будут касаться единичной окруж-^
ности (см. ниже рис. б б).

При Oq = 1 в случае синуса точка М^ совпадает с точкой М-М(0; 1), ко-
торая в свою очередь совпадает с точкой В, ctp = л/2 ; а в случае косинуса
точка М^ совпадает с точкой М — М(1;0), которая в свою очередь совпа-
дает с А, ао = 0. Соответствующие перпендикуляры, восстановленные из
точек М* я Mt соответственно, будут касаться единичной окружности
(см. ниже рис. 5 в).

Отметим, ЧТО При |оо| > 1 к |«о1 > 1 Перпендикуляры, восстановленные
из точек Mt н ао и М} н а^ к осям Оу и Он соответственно, ае будут
иметь общих точек с единичной окружностью, что является геометричес-
ким смыслом отсутствия действительных решений уравнений sin и = а и
сов® = а прй |а| > 1 (см. ниже рис. 8 в)), (см. ниже рис. 10 в)).

Ш. Из определений синуса и косинуса с помощью окружности и на ос-
нове результатов п.П вытекает:

max sin a = 1 = sin(#-/2 + 2Йх), min sin а = -1 sin(-rr/2 + 2fc#),
max сов а = 1 = cos2fefr, min cos а = — 1 = cos(?r + 2fcx), k = 0; ±1; ±2; ....
«ЕЯ	ЬЕ«

♦ Это вМтекает из теорем курса Геометрии о взаимном расположений йрММой и
окружности й о йерпейдйкулярйости Диаметра и хордьй окружности.
ai = —ао ,	ао = arccos(—1) = я , do = arccos 1 = 0,

ао = ОМу = arcsin ао aj = ОМу = OD = —1 , aj = ОМу = OB = 1 ,
aj = я — aj ,	aj = arcsin(-l) = —я/2 , aj = arcsin 1 = я/2

рис. 5 a)

рис. 5 б)

рис. 5 в)

IV.	Va 6 R sin(—а) = — sina , cos(—а) = cosa,
то есть синус — функция нечетная, а косинус — функция четная.
Схема доказательства.

Пусть a € [0; тг]. Для а = 0 , я/2 , я доказываемые равенства сразу

получаются из определений синуса и косинуса.

При 0 < a < я, а я/2 , рассматривая на рис. 6 а) ( б) ) треугольники
АОММХ и AOMtM', где ММ1 ± Ох , получим их равенство по общему

катету и гипотенузе, откуда

|лгомг | =	| = а (тг - а) => АОМ = а и АОМ' = -а .

Следовательно, cos(—a) = cosa = х = величине отрезка ОМХ, где
Мх - Мх(х;0).
Так как \МХМ| = |М'МЖ|, то величина отрезка МХМ* ** равна минус
величине отрезка МХМ, величина отрезка МХМ равна у = sina,
М — Af(x;j/), величина отрезка МХМ' равна sin(—a) = — г/,
Mf — М'(х; —у) => sin(—a) = — sina.

Далее из равенств cos a = cos(—(—a)) = cos(—a) и
sina = sin(—(—a)) = — sin(—a) доказывается нечетность синуса и четность
косинуса на отрезке [—тг, 0], ибо если a 6 [—тг, 0], то —a G [0, тг], а на этом
отрезке соответствующие свойства уже доказаны.

Затем с использованием периодичности (см. п. V) доказываются равен-
ства sin(—a) = - sina, cos(—а) = сова уже для любого действительного
а путем его представления в виде а = ао + 2птг, n € Z, —тг < ао тг и ис-
пользования того, что эти равенства доказаны для ао следующим образом:
sin(r-a) — sin(—ao —2птг) = sin(-ao) = — sinao = -»sin(ao + 2nTr) = — sina;
cos(—a) = cos(—ao — 2птг) = cos(—ao) = cosao = cos(ao + 2птг) = cos a.

V.	Va G Я, nEZ sin(a 4-2птг) = sina, cos(a 4- 2птг) = cos a.

Эти равенства вытекают из определений синуса и косинуса с помощью
окружности и того, что углам АОМ с мерами а и а4-2птг отвечает одна и та
же точка М - М(х\ у) на единичной окружности. Таким образом, функции
синус и косинус — периодические с периодами 2птг, п = ±1, ±2, ... .

2тг — основной период этих функций. Это доказывается на основе ре-
зультатов п. VII с использованием результатов утверждения 4, доказанного
в начале раздела "Тригонометрия” ; при этом в случае функции sina в ка-
честве с, фигурирующего в этом утверждении, берется —тг/2 , а в качестве
d берется Зтг/2 ; в случае функции cos а в качестве с, берется 0, а в качестве
d берется 2тг.

На основе этого факта, периодичности этих функций с периодами 2тгп и
утверждения 3, доказанного в начале раздела ” Тригонометрия” , вытекает,
что никаких других периодов, кроме 2тгп, функции sin х и cos х не имеют.

VI.	sina = 0 <=> a — птг Vn G Z так как углам с этими мерами на
единичной окружности отвечают точки А или С с нулевыми ординатами.

cos a = 0 <=> a = тг/2 4- птг Vn G Z так как углам с этими мерами на
единичной окружности отвечают точки В или D с нулевыми абсциссами.

sin a > 0 <=> 2птг < a < тг 4- 2птг Vn G Z ,

так как углы с такими мерами оканчиваются в I или II координатных
четвертях, или на положительной части оси ординат, где соответствующая
ордината у, фигурирующая в определении синуса, положительна.

* Если мы имеем направленный отрезок, параллельный какой-либо числовой оси

или лежащий на ней, то, по определению, его величина равна его длине (минус его
длине), если направление этого отрезка совпадает с положительным (отрицательным)
направлением указанной числовой оси.
ama < 0 ш -я + 2пя < а < 2пя Vn е ? .

так как углы с такими мерами оканчиваются 8III или IV координатных
четвертях, или на отрицательной части оси ординат, где соответствующая
ордината у, фигурирующая в определении синуса, отрицательна.

соя а > О Ч=> -я/2 + 2пя < а < я/2 + 2пя Vn € 2 ,

так как углы с такими мерами оканчиваются в I или IV координатных
четвертях, или на положительной части оси абсцисс, где соответствующая
абсцисса а, фигурирующая в определении косинуса, положительна.

ста < О я/2 + 2пя < а < Зя/2 + 2пя Vn € Я ,

так как углы с такими мерами оканчиваются во II или в Ш координат-
ных четвертях, или на отрицательной части оси абсцисс, где соответству-
ющая абсцисса ж, фигурирующая в определении косинуса, отрицательна.

VII,	функция синус возрастает на каждом из отрезков

[-я/2 + 2пя, я/2 + Зпя] и убывает на каждом из отрезков

[я/2 + 2пя, Зя/2 + 2пя] Vn € Я.

функция косинус возрастает на каждом из отрезков [-я + 2пя, 2пя]

и убывает на каждом из отрезков (2пя, * + 2пя] Vn € Я 

В силу периодичности этих функций и утверждения 2, доказанного в
начале раздела "Тригонометрия”, достаточно доказать эти утверждения
для случая п = 0.

Рассмотрим разность

- ып(фг) =« 2 sin	• с°а	>

где -я/2 <	< я? < я/2 или я/2 < a>j < х2 Зя/2 .

В силу свойств числовых неравенств в первом случае :

0<

If

2	* 2

я	®1 + ®2	Я

2	~Т~	2 ’

а во втором случае:

откуда в силу результате® n.VI указанная разность в первом случае поло-
жительна, а во втором случае отрицательна, что и доказывает свойство
монотонности функции синус,
Рассмотрим разность

соя(из) - coa(;₽i) = -2ащ 2 ** j • sin	,

где 0 < в» < я? < я или -я £ «х < хз < 0 .
В силу свойств числовых неравенств в первом случае :

о <	; 0<1фг<я,

Z	£t	I

а во втором случае :
®2 — Х1 тг	®2 + ®1 „ Л

0<—2—« 2 ;	— <0'

откуда в силу результатов n.VI указанная разность в первом случае от-
рицательна, а во втором случае положительна, что и доказывает свойство
монотонности функции косинус.

Замечание. При доказательстве свойств монотонности этих функций с
помощью теоремы о знаке их производных на самом деле они обосновы-
ваются лишь для соответствующих интервалов, поэтому для обоснования
монотонности на отрезках все равно необходимы дополнительные иссле-
дования.

VIII. Графики:

Свойства тригонометрических функций у = tgx и у = ctgx и их графики
Так же, как при обосновании свойств синуса и косинуса заменим х на а,

{sina
—
сова
сов а О,

3

сов а = О

{сова
------

вша
sina О,

3

sin а = О

I.	Исходя из результатов пп. I и VI исследования функций синус и ко-
синус, мы получаем:

P[tg] - любое a € R : a / тг/2 + kir, J9[ctg] - любое a € R : a Лтг,
k = 0; ±1; ±2; ... .
II.	£[tg] = £[ctg] — (“OO, +oo) .

AM's* tgao » ao , AM{ »tgai
ao = arctgao
рис. 8 а)

BM' « ctg/3o e bo , BM\ « ctg0i
j9o = arcctgbo
рис. 8 6) *

Оси тангенсов и котангенсов являются касательными к единичной окруж-
ности в точках Аа В соответственно и обладают аналогичными свойст-
вами числовых прямых, что и оси Оу и Ох соответственно в том смысле,
что положительное и отрицательное Направления на оси тангенсов (ко-
тангенсов) совпадают с положительным и отрицательным направлениями
оси Оу(Ох); единицы измерений на них те же, что и на всей координатной
плоскости, в том числе и на осях Оу н Ох; начала отсчета на оси тангенсов
— точка Л(1; 0), а на оси котангенсов — точка В(0; 1).

Фиксируем произвольные числа ao, Ьо € R; ао 44 М' , Ьо 44 М' на
осях тангенсов и котангенсов соответственно. М' 44 М на правой и соот-
ветственно верхней полуокружностях, М — М(х; у) ;

М 44 ao € (“ir/2,»r/2), соответственно М 44 /Зо € (0; %); tgao = «о,
соответственно ctg/ЗЬ = Ьо (см. рис. 8 а) и б) ).

Докажем последние два равенства.

При ао # 0 прямоугольные треугольники АОММх и АОМ'А
подобны как имеющие общий острый угол, следовательно,

|лм'| |ам'| _ |мжм| _ М _ М
1 “ |ОА| “ |ОМ,|  |®| “ X 

Последнее равенство выполняется в силу того, что х > 0. Так как знаки

* На этих рисунках за АМ', ВМ' и т.п. обозначены величины соответствующих
отрезков.
величин отрезков АМ' и МТМ совпадают, то я имеют место равенства

.у sina м.
ао = АМ' - - =------i tga.

х cos a

Если a = 0, то точки М', М и А совпадают, а потому и в этом случае

также ао — АМ' = 0 = tgO = tga . По определению ao = arctgao .

Соответственно при Д) / х/2 прямоугольные треугольники &ОММу
и ЬОМ'В подобны как имеющие общий острый угол, следовательно,

|вмд „ |вмд _ |мум। „ ы _ и

1 “ |О2?| “ |ОМ,| “ м ~ у ‘

Последнее равенство выполняется в силу того, что у > 0. Так как знаки
величин отрезков ВМ' и МУМ совпадают, то н имеют место равенства

.	® cosa 

bo = BM' = - = —— — ctga .
у sma

Если /3 = ff/2, то точки M'y M и В совпадают, а потому и в этом случае
также Ьо « ВМ' = 0 = ctg — ж ctgy3 . По определению До = arcctgao •

Докажем теперь аналитическим способом утверждение об области зна-
чений функций тангенс и котангенс, правда, существенно используя ре-
зультат об области значений функций синус и косинус, который выше был
получен геометрическим способом (см. также пп. 24 — 25 в [12]).

Фиксируем произвольное число a € R и положим,

с0 s тмя , do — .	=> |со| < 1 , 0 < |<А1| 1 •

у/а2 + 1	va2 + 1

,д	.	.	к к

Полагая, a = arcsin с0 => sma ж со и -$• < a < —, и на основе формулы
косинуса арксинуса (см. шестая формула сверху на стр. 41) получаем:

...............у I, a3 1	,	, sin а со
cos а = V1 - со2 ж \ 1--------------------------г—т = 7Г- = do => tga =-= —- = а.

V а3 +1 y<as +1	сова ао

Теперь положим, а = arccosсо сова = со и 0 < а < к, на осно-
ве формулы синуса арккосинуса (см. шестая формула сверху на стр. 41)
получаем:

• Л----------7	/. a3 1	,	. сова со

вша = yi - со3 = v 1 —гтт =	= ®о => ctga = -— = — = а.

V а3 + 1 у/а2 +1	вша ао
III.	В силу результатов п.П ясно, что функции тангенс и котангенс не
имеют наибольшего и наименьшего значений на своих областях определе-
ния.

IV.	При исследовании четности или нечетности функций тангенс и ко-
тангенс (согласно определению этих свойств) сначала докажем, что для
любого а € 2?[tg] или а 6 P[ctg], то есть V п Е Z а тг/2 4- птг, соот-
ветственно Vm Е Z а ттг —а также принадлежит соответствующей
области определения.

Предположим, что некотором а из области определения тангенса или
котангенса —а в эту область не входит, тогда мы получим, что —а =
= тг/2 4- тгп', n' € Z, соответственно —а = тгтп', т! Е Z. Откуда а =
= -тг/2 - тгп' = тг/2 - тг(п' 4- 1) = тг/2 4- тгп0, где по = -(п' 4- 1) 6 Zy
соответственно а = —тгтп' = тг(—т') = тгтпо, где mo = ~т! € Z.
Получили противоречие. Следовательно, V п Е Z — а / тг/2 4- птг,
соответственно Vm Е Z mir, то есть области определения функций
тангенс и котангенс симметричны относительно начала координат.

Далее нечетность функций тангенс и котангенс уже непосредственно
вытекает из их определений, нечетности синуса и четности косинуса сле-
дующим образом: V а Е Z>[tg]

. . v	sin(—a)	—sina sina

tg(-a) = —7—г =-----------=-------= -tga ;

cos(—a)	cosa	cosa

V a € P[ctg]

, , x	cos(—a)	cosa	cosa

ctg(-a) = -т-7--7 = —:----= —r— = -ctga .

sm(—a)	— sin a	sina

V. При исследовании периодичности функций тангенс и котангенс, со-
гласно определению этого свойства, сначала установим, что если a Е Z?[tg]
или a 6 D[ctg], то Vm EZ a 4- ттг E -D[tg], соответственно
a 4- ттг E Z>[ctg]. Предположим, что при некотором а из области определе-
ния тангенса или котангенса и некотором целом значении m' a 4- тгт' в
эту область не входит, тогда мы получим, что а4-тгт' = тг/24-тгп', п' 6 Z,
соответственно а 4- тгт' = тгп', ri' 6 Z. Отсюда вытекает, что

a = тг/2 4- тгп' — тгтп' = тг/2 4- тг(п' — т') = тг/2 4- тгЛ', kf = п' — m' 6 Z,
соответственно a = тгп' — тгтп' = тг(п' — т') = тгА', к9 = п' — m' 6 Z.
Следовательно, указанное значение а не входит в область определения
тангенса или соответственно котангенса. Получили противоречие, которое
доказывает сформулированное выше утверждение.
Далее периодичность тангенса и котангенса вытекает и? их определений
и формул (32) Вопроса 4 раздела ’’Тригонометрии” следующим образом;

ч ащ(а + пх) (-l)nsina
*в(«г + nv) = —7—r^-т = ) .L.....' w tga ;

coa(a-t-nir) (^l)”ccMia

coe(a + nir) (-l)"coea
ctg(a + nw) = -T-7—;---1	7~i \n — = et8a

8in(a + nr) (-l)nsipo

при любом a из области определения функции тангенс или соответственно
котангенс и любом целом значении числа п. А это и означает периодич-
ность каждой из этих функций с периодами пх, п = ±1; ±2;... ,

VI.	Из результатов п. VI исследования функций синус и косинус и опре-
делений функций тангенс и котангенс вытекает, что

tga = О sina = 0 <=> а = пи,
ctga» О 4=* coaa=?0 <t=* a = x/2 + nir,
п ч? 0; ±1; ±3; . ..

tga и ctga положительны (отрицательны) тогда и только тогда, когда
функции синус и косинус принимают значения одного знака (разных зна-
ков). Следовательно, функции тангенс и котангенс положительны на каж-
дом из интервалов (пх; х/2+пх) и отрицательны на каждом из интервалов
(-н/2 + пн, пн) Vn € X.

VII.	tga возрастает на (-н/2+пх, к/2+пх) Vn € X, причем на каждом
из этих интервалов в отдельности, а ctga убывает на (пи» н+пи) Vn € X
и также • отдельности на каждом из этих интервалов-

Доказательства. В силу периодичности тангенса и котангенса, утверж-
дения 2, доказанного начале раздела "Тригонометрия”, достаточно рас-
смотреть случай п == 0. Фиксируем произвольные и где
-х/2 <	< «з < х/2 в случае тангенса, и 0 < и» < ®з < н в случае

котангенса, откуда в силу свойств числовых неравенств в обоих случаях
0 < г? ”	< и- Применим формулы разностей тангенсов и котангенсов

аргументов и? и :

х ± я1ц(яз В») L .	8in(«>3 ® Я»)

tgxj"tg®» =5	ctg«3 ~ctga!»» ~

сое «з соя и»	ад ад л»

Эти формулы доказаны выше, в Вопросе 3 (формула (7) и (8) для знака
”’-"), В силу результатов исследования и,VI о промежутках знакопосто-
янства функций синус и косинус, мы и получаем, что

tg®3 - tg®» > 0	; ctgBj - ctga:» < 0 .

Отсюда и вытекают доказываемые утверждения.
Замечание. Утверждения этого пункта можно доказать с помощью те-
оремы о знаке производной.

В силу результатов этого пункта, а также утверждения 5, доказанного
в начале раздела ” Тригонометрия” вытекает, что тг — основной период
рассматриваемых функций. При этом в случае функции tga в качестве с,
фигурирующего в этом утверждении, берется —тг/2 , а в качестве d берется
тг/2 ; в случае функции ctga в качестве с, берется 0, а в качестве d берется
тг.

На основе этого факта, периодичности этих функций с периодами тгп,
и утверждения 3, доказанного начале раздела ”Тригонометрия”, устана-
вливается, что никаких других периодов, кроме тгп, функции tgz и ctgx не
имеют.

VIII.	Графики:

Отметим, что при ж —► — ± птг О tg® —> ±оо, а при ж —> птг ± О
ctga ±оо .

(знаний формулировок соответствующих определений не требуется).

Материал к вопросам по тригонометрии можно найти, например, в [1].
2.3.	Геометрия

В настоящем издании книги этот раздел существенно переработан. Те-
перь в п. 2.3.1 помимо определений и формулировок теорем даны подроб-
ные доказательства, которые необходимо знать на устном экзамене. При
этом, стремясь к единой схеме изложения материала, мы приводим систе-
мы основных (первичных) понятий и аксиом, на основе которых вводят-
ся определения тех или иных геометрических объектов, формулируются
и доказываются теоремы. Помимо этого в п. 2.3.0 формулируется и ряд
утверждений, выводимых из этих аксиом. Эти утверждения можно знать
и использовать на экзаменах без доказательств. Особо следует обратить
внимание на определения луча, отрезка, угла и связанных с ними понятий,
определения сравнения отрезков и углов, определения арифметических опе-
раций над отрезками и углами, длины отрезка и величины (меры) угла и
их свойства. В конце раздела ” Геометрия” даются, в частности, ссылки на
учебники списка литературы [5] — [9], в которых тоже можно найти все
необходимые формулировки и доказательства (см. список литературы на
стр. 249 —250).

Отметим, что вместо учебников [8] и [9] можно соответственно
использовать (с точно такими же ссылками) следующие учебники:
Киселев А.П. "Геометрия, часть первая, планиметрия.” Учебник
для 6—9 классов средней школы. — М.: Учпедгиз, 1961
(можно и более ранние издания).

Киселев А.П. "Геометрия, часть вторая, стереометрия.” Учебник
для 9—10 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1974
(можно и более ранние издания).

Можно также использовать материал книги [12], и. 39 — 82.

В ряде случаев при изложении основной части ответов на некоторые
теоретические вопросы могут возникать важные дополнительные вопросы,
ответы на которые сразу приводятся.

В дополнительной части раздела "Геометрия” (в п. 2.3.2) приводятся
различные варианты определений ряда геометрических фигур и отноше-
ний между элементами этих фигур, которые используются в различных
учебниках. Помимо этого (что очень важно!) приводятся примеры того,
как надо внимательно следить за логической последовательностью вводи-
мых определений и доказываемых теорем в том или ином учебнике геомет-
рии (о чем уже упоминалось в конце п.1.2 раздела II и с чем, в частности,
связаны приведенные варианты определений). Формальное заучивание до-
казательств одних теорем по одному учебнику, а других теорем — по дру-
гому может привести к недопустимому в математике логическому кругу, в
котором может оказаться, что доказательство той или иной теоремы или
использует то, что я данной теореме доказывается, иля ссылку на теорему,
которая доказывается на основе еще не доказанной теоремы-

2.3.0. Ввсщн&я часть. Об используемой системе основных (первичных)
понятий и аксиом; об утверждениях геометрии, которые можно использо-
вать на экзаменах без доказательств; о понятиях луча, отрезка, угла и ИХ
свойствах и измерениях

В геометрии рассматриваются три основных множества объектов:
объекты первого множества, именуемые точками, как правило, они обо-
значаются большими латинскими буквами А, В, С, , X,Y, 3 и т.п. ;

объекты второго множества, именуемые прямыми, как правило, они обо-
значаются малыми латинскими буквами а , Ь , с , d , е , I и т.п. ;

объекты третьего множества, именуемые гмоскестями, как правило,
они обозначаются малыми греческими буквами а , ft , 7 , 6 , х и т.п.

Понятия "точка”, "прямая”, "плоскость” относятся к так называемым
первичным (основным) понятиям, которые строго не определяются и пред-
ставляются интуитивно.

Совокупность всех точек, прямых и плоскостей называют простран-
ством. Другими словами, можно сказать, что совокупность всех точек,
прямых и плоскостей образует пространство.

Абстрактно (в идеале) математическая точка не имеет никаких разме-
ров, математическая прямая не имеет ни ширины, ни толщины, неогра-
ниченно распространяется в обе стороны м состоит из бесконечного коли-
чества точек, математическая плоскость не имеет толщины, неограничен-
но распространяется и в длину, и в ширину, она состоит из бесчисленного
количества точек и прямых- *

Под терминами "две, три и т,д, точки, прямые, плоскости” обычно по-
нимаются все различные точки, прямые, плоскости, Для них используются

* Наличие бесконечного количества точек на прямой и бесконечного количества то-
чек и прямых на плоскости, а также — бесконечного количества плоскостей в простран-
стве можно докаяать на основе первый 13 следующих ниже аксиом-
обозначения разными буквами: А , В , С для точек, а , b , d для прямых,
а , /3,7 для плоскостей (см. рис. 1 а), б), в).

В случае совпадения точек, прямых и плоскостей мы будем считать их,
по сути дела, одной точкой, одной прямой, одной плоскостью, и обозначать
соответственно А = В,6 = с, а = /3, причем каждый раз, когда эта
ситуация имеет место, это будет специально оговариваться.

Если точки А и В , прямые бис, плоскости а и /3 — различные, то
это соответственно обозначается А£ В , Ь^с , а /3 .

В рассматриваемых трех множествах как первичные понятия вводятся
следующие отношения между объектами: ” принадлежит” (обозначается 6),
”не принадлежит” (обозначается £), ”лежит между”, ”не лежит между” ,
”наложен” (”совмещен”). .*

При этом, если точки А и В принадлежат прямой а (то есть А Е а и
BE а), то говорят, что прямая а соединяет точки А и В, или прямая а
проходит через точки Л и В .

Если точка А принадлежит прямой а (А Е а) , а точка С не принадле-
жит прямой а (С а) , то говорят, что ”точка А лежит на прямой а” , а
”точка С не лежит на прямой а”, или ”прямая а проходит через (содержит)
точку А” , но ”прямая а не проходит через (не содержит) точку С” (см.
рис. 2 а) и т.п. Если точка А принадлежит плоскости а (А Е а) , а точка В
не принадлежит плоскости а (В £ а) , то говорят, что ”точка А лежит на
(в) плоскости а” или что ”плоскость а проходит через (содержит) точку
А” , а ’’точка В не лежит на (в) плоскости а” или что ’’плоскость а не
проходит через (не содержит) точку В” ** (см. рис. 2 б) и т.п.

рис. 2 a

рис. 2 б)

рис. 2 в

Основные понятия ”точка”, ”прямая”, ”плоскость” и указанные отно-
шения между ними ”принадлежит”, ”не принадлежит”, ’’лежит между”,
”не лежит между”, ”наложен” (”совмещен”) удовлетворяют (подчинены)
аксиомам (утверждениям, принимаемым без доказательств). Эти аксиомы
условно разбиты на группы:

* то есть принята схема изложения, характерная для учебников [6], [7], [8], [9], хотя
она полностью ни с одним из этих учебников не совпадает.

** На основе первых 12 следующих ниже аксиом можно доказать, что через каждую
точку проходит бесконечно много прямых и бесконечно много плоскостей, через каждую
прямую проходит бесконечно много плоскостей.
I группа — аксиомы принадлежности (соединения или связи), их всего 8;
II группа — аксиомы порядка, их всего 4 ;

III группа — аксиомы наложения (совмещения), их всего 7 ;

IV	группа — аксиомы непрерывности, их всего 2 ;

V	группа — всего одна аксиома, аксиома параллельности .

Переходим к формулировкам аксиом и вытекающих из них утвержде-
ний, а также — определений. Сразу же отметим, что все аксиомы, опреде-
ления и утверждения, приведенные в данном п. 2.3.0, будут пронумерова-
ны, начиная с номера 1, и в дальнейшем при ссылке на аксиому с тем или
иным номером, на определение с тем или иным номером, на утверждение
с тем или иным номером будем соответственно говорить ”в силу А2”, ”в
силу ОЗ”, ”в силу У4”, что будет соответственно означать: идет ссылка
на аксиому 2, на определение 3, на утверждение 4 и т.п. Доказательства
^большинства сформулированных утверждений можно найти в книгах [17]
и [18]. В отдельных случаях будут даваться и ссылки на учебники
[5] — [9], книгу [10] и справочные пособия [13] и [16].

рис. 2 г) / рис. 2 д)	рис. 2 е)

I.	Аксиомы принадлежности

Аксиома 1. На каждой прямой существуют по крайней мере две
точки (см. рис. 2 а).

Аксиома 2. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на
одной прямой (см. рис. 2 а).

Аксиома 3. Для любых двух точек существует единственная прямая,
проходящая через них (V А , В В!а : А Еа и В € а) (см. рис. 2 а).
Таким образом, прямая однозначно определяется парой различных точек,
через которые она проходит. Если обозначить эти точки за А и В , то мы
будем обозначать эту прямую (АВ) или (ВА).

Аксиома 4. Для любой плоскости существует по крайней мере одна,
принадлежащая ей точка (см. рис. 2 б).
Аксиома 5. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой,
существует единственная плоскость, проходящая через эти точки
(V А , В , С : С<£ (АВ) 3!а : А G а , В € а , С G а) (см. рис. 2 в).
Таким образом, плоскость однозначно определяется тремя различными
точками, не лежащими на одной прямой, через которые она проходит. Если
обозначить эти точки за А , В и С), то мы будем обозначать эту плоскость
или (АВС) , или (СВА) , или (ВСА) и т.п.

Аксиома 6. Если две точки некоторой прямой лежат в плоскости,
то и любая точка (то есть все точки) этой прямой лежат в этой плос-
кости (см. рис. 2 в), Е F, Е, F € а Е, F € а а 6 а).

Определение 1. Если любая точка некоторой прямой лежит в неко-
торой плоскости, то говорят, что вся эта прямая лежит в указанной
плоскости (если V А € а => Лба,то оЕ а).

Аксиома 7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют
по крайней мере еще одну общую точку

(из 3 А Е а и Л €/? => ЗВ А : В Еа и В Е/3) (см. рис. 2 е).

Аксиома 8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие
в одной плоскости (см. рис. 2 в), точки А, В, С, D).

С помощью аксиом 1 — 8 (А1 — А8) могут быть доказаны некоторые
утверждения.

Утверждение 1:

А)	Две не совпадающие прямь1е имеют не более одной общей точки.

Это утверждение означает, что две прямые либо не имеют общих точек,
либо имеют единственную общую точку.

Б) Две различные плоскости либо не имеют общих точек, либо име-
ют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плос-
костей.

В)	Плоскость и не лежащая на ней прямая имеют не более одной об-
щей точки.

Это утверждение означает, что плоскость и не лежащая на ней пря-
мая либо не имеют общих точек, либо имеют единственную общую точку.
Док-во см. [17], гл. П, §12, теорема 1 и [18], гл. I, §2, теорема 1 и примеч. 4

Определение 2.

А) Две прямые, имеющие единственную общую точку называются пе-
ресекающимися, указанная точка называется их точкой пересечения
(см. рис. 2 г).

Б) Две плоскости, имеющие общую прямую, содержащую все их об-
щие точки называются пересекающимися или пересекающимися по
указанной прямой, (эта прямая называется прямой их пересечения)
(см. рис. 2 е).
В) Прямая и плоскость, имеющие единственную общую точку называ-
ются пересекающимися, указанная точка называется их точкой пе-
ресечения (см. рис. 2 д).

Утверждение 2. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же
как и через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна
(единственная) плоскость.

Доказательство см. [17], гл. II,§ 12, теорема 2 и [18], гл. I, §2 теорема 2
и примечание 4.

Замечание. В учебниках [5], [7] и [9] в качестве аксиомы формулирует-
ся утверждение о наличии прямой, по которой пересекаются две плоскости
в случае существования у них общей точки, хотя определение пересече-
ния плоскостей перед этим не сформулировано. Однако, если указанное
определение перед этой аксиомой сформулировать, то, как нетрудно ви-
деть, согласно приведенным аксиомам стереометрии в учебниках [7] и [9]
утверждение 1 Б) в случае наличия у двух плоскостей общей точки и ак-
сиома 7 — утверждения эквивалентные, то есть если имеет место одно из
этих утверждений, то можно доказать другое. Что касается учебника [5]
и книги [10], то в них иная картина: в качестве аксиом принимается на-
личие у каждой прямой и у каждой плоскости как точек, принадлежащих
им, так и точек, не принадлежащих им. Это, например, приводит к тому,
что утверждение аксиомы Аб становится теоремой, доказанной после до-
казательства У2, и тут не приходится говорить об эквивалентности А7 и
У1 Б).

Утверждение 3. Каждая плоскость содержит по крайней мере три
точки. Доказательство см. [17], гл. II, §12, теорема 3.

II.	Аксиомы порядка

Аксиомы порядка подчиняют первичное понятие ” лежит между” ряду
аксиом, на основе которых и самого этого понятия делается возможным
установить порядок точек как на прямой, лежащей в некоторой плоскости,
так и на прямой, находящейся в пространстве. Это, в частности, играет
важную роль при введении систем координат как на прямой, так и на
плоскости, и в пространстве.

А ВС	АВР

рис. 3 а)	рис. 3 6)

Аксиома 9. Если на некоторой прямой а расположены три точки
А , В , С , и точка В лежит между точками А и С , то А , В , С
—- различные точки этой прямой, и точка В лежит между точками С
и А (см. рис. 3 а).
Лясмома 10. Лаод«ы 4м ни 4мли точки А и В (А $ В) на примой
(АВ), существует од крайней меде одод точка В такая, что точка В
лежит между точками А и D (см. рис. 3 б).

Аксиома JJ. СреЛ* до4ы« трея точек правой существует не более
одной, лежащей между двумя другими этими точками.

а Л

-4_____£—В—a	><

А®	/х \

рис, 3 в)	рис. 3 г)Х

Определение 3. Пару тачек А и В будем называть отрезком и обо-
значать АВ иди В А .* Если точки А и В совпадают (А = В), то
отрезок АА иди ВВ называется нулевым, если точки А и В — раз-
личные (А =£ В), то отрезок АВ будем называть ненулевым. Каждую
точку прямой (АВ). лежащую между точками А и В , будем называть
внутренней точкой отрезка АВ . Каждую точку прямой (АВ). отлич-
ную от тачки А и ат точки В ине лежащую между точками А и В,
будем называть внешней точкой отрезка АВ . Сами точки А и В ,
определяющие отрезок АВ , будем называть копнами отрезка АВ
(см. рис. 3 и).

На рис. 3 в) АВ — ненулевой отрезок, С — его внутреняя точка,
D — его внешняя точка, ЕЕ — нулевой отрезок (точка).

Всюду в дальнейшем к точкам отрезка АВ мы будем относить как его
концы, так и его внутренние точки.

Отметим, что нулевой отрезок АА не имеет внутренних точек, а в ка-
честве его внешний точек МОЖНО брать все точки любой, проходящей через
него фиксированной прямой. Этих прямых может быть бесчисленное мно-
жество (последний факт мы формулируем без доказательства).

Отметим, что АЮ гарантирует наличие лишь внешних точек отрезка
у всякого ненулевого (то есть не являющегося нулевым) отрезка АВ .

Аксиома 12 (аксиома Паша). Пусть Л , В , С — три точки, не
лежащие на одной прямой, и а — прямая, лежащая в плоскости (АВС)
и не проходящая ни через одну из тачек А , В и С . Тогда, если эта
прямая проходит через точку отрезка АВ . то она проходит или через
точку отрезка ВС , или через точку отрезка АС (см. рис. 3 г).

* Обращаем внимание на различие в обозначениях прямой (AS) и отрезка АВ .
На нем прямая а , проходящая через внутреннюю точку отрезка АВ,
проходит через внутреннюю точку отрезка АС ; прямая Ь , проходящая
через внутреннюю точку отрезка АВ , проходит через внутреннюю точку
отрезка ВС .	z

Таким образом, к аксиомам порядка относят аксиомы А9 — А12. Отме-
тим, что аксиомы А9 — All относят еще и к линейным аксиомам порядка.

Утверждение 4. Для любых двух точек А и В на прямой (АВ) (А В)
существует по крайней мере одна точка С , лежащая между точками
АиВ .

Доказательство см. [17], гл. II, 514, теорема 4 и [18], гл. 1,5 4,,теорема 3.

Из У4 непосредственно следует, что наличие внутрених точек у нену-
левого отрезка можно доказать в качестве теоремы.

Вместе с АЮ и У4 получаем, что каждый ненулевой отрезок на прямой
имеет как внутренние, так и внешние точки (см. рис. 3 в).

Определение 4. Будем говорить, что ненулевой отрезок АВ и прямая
а пересекаются, если прямые а и (АВ) — различные и пересекаются
в некоторой внутренней точке О отрезка АВ . Если прямые а и (АВ)
пересекаются или в точке А , или — в точке В , то будем говорить,
что прямая а проходит через соответствующий конец отрезка АВ
(см. соответственно рис. 4 а) и рис. 4 б).

Так как точка пересечения у прямых всегда единственная, то и точка
пересечения у прямой и отрезка также единственная или прямая проходит
через один и только один конец отрезка.

После этого определения аксиому Паша можно сформулировать следую-
щим образом: пусть А , В , С — три точки, не лежащие на одной прямой,
и а — прямая, лежащая в плоскости (АВС) и не проходящая ни через одну
из точек А , В и С . Тогда, если эта прямая пересекает отрезок АВ , то

рис. 4 в)	рис. 4 г)	рис. 4 д)
Определение 5. Два ненулевых отрезка АВ u CD называются пе-
ресекающимися, если прямые (АВ) и (CD) пересекаются в точке О ,
причем эта точка является внутренней точкой как отрезка АВ , так
и отрезка CD (см. рис. 4 в).

Отметим, что возможны ситуации, когда прямые (АВ) и (CD) пере-
секаются в точке О , а эта точка является либо внешней точкой хотя бы
одного из отрезков АВ или CD , либо концом хотя бы одного из этих от-
резков, в каждом из этих случаев мы не будем считать отрезки АВ и CD
пересекающимися (см. рис. 4 г), д), е), ж), з). На рис. 4 з) отрезки АВ и CD
лежат на пересекающихся прямых в точке, являющейся их общим концом

Утверждение 5. Среди трех точек на одной прямой всегда существу-
ет одна из них, лежащая между двумя другими точками.

Доказательство см. [17], гл. II, §14, теорема 5 и [18], гл. I, §4, теорема 4.

Следствие. Из All и У5 непосредственно вытекает: среди трех точек
на одной прямой существует одна и только одна из них, лежащая между
двумя другими.

Замечание. В учебниках [5], [6] и [7] утверждение этого следствия, кото-
рое по своей сути является теоремой, формулируется в качестве аксиомы.

Утверждение 6. Если точки А , В , С не лежат на одной прямой,
и если прямая а , лежащая в плоскости (АВС) , пересекает какие-либо
два из трех отрезков АВ , ВС , АС , то она не пересекает третий
из этих отрезков (см. рис. 3 г).

Доказательство см. [17], гл. II, §14, теорема 5а.

Следствие. Из А12 и Уб и 04 непосредственно вытекает: пусть А , В , С
— три точки, не лежащие на одной прямой, и а — прямая, лежащая в
плоскости (АВС) и не проходящая ни через одну из точек А , В и С,
тогда, если эта прямая пересекает отрезок АВ , то она пересекает еще один
и только один из оставшихся отрезков: либо отрезок ВС, либо отрезок АС
(см. рис. 3 г).
Определение 6. Будем говорить, что точка С является точкой от-
резка АВ (точка С йрвшадлгежит отрезку АВ), обозначается
С € АВ , если точка С является внутренней точкой этого отрезка
(см. рис. 3 а).

Замечание. В случае, когда точка С совпадает с одним из концов от-
резка АВ , то есть или С = А , или С = б , то мы тоже будем считать
ее принадлежащей отрезку АВ , Ио этот случай будет специально огова-
риваться и обозначаться С = А € АВ , или С = В Е АВ .

л fl - e />  хч'......х"."а:гл" тага л

рис. 5 а)	рис. б б)	рис. 5 в)

Утверждение 7. Вели В ё АС и С € BD, то В, С ё АВ (см. рис. 5 а).

Утверждение 8. С ё AD, В ё АС =$> В € AD, С ё ВО (см. рис. 5 а).

Доказательства см. [1Т], ГЛ. И, |14 (леммы 1 и 2) и [18], гл. I, §4,
теорема 5, примечания 8,9.

На основе этих утверждений можно доказать (см. [18], гл. I, §4,
теорема 6) следующее утверждение:

Утверждение 9. Ври мобом натуральном числе п > 3 различные л + 1
точку па прямой в можно обозначить так, что Vi==l,2,3,...,n — 1
a V k , т Е No ’•	точка Ai будет лежать между

точками Аь и (Ai ё А^Ат), то есть Ао > At > Ay , ... An-i , А*)
причем при выполнении указанных условий возможен еще только обрат-
ный порядок расположения точек Ап , An-i , ••• , А% , Aj , А©
(см. рис. 5 б), 5 в).

Утверждение 10. Между любыми двумя точками на прямой существу-
ет бесчисленное множество точек. Другими словами, каждый ненулевой
отрезок на прямой имеет бесчисленное множество внутренних точек.

Доказательство см. [17]> гл. II, |14, теорема 6 и [18], гл. I, |4,
теорема Т, примечание 12.

Замечание. Следует отметить, что традиционно в учебной литературе
(см., в частности, учебники [5] — [&], Книги [10]* [11]) отрезок определяется
как множество всех точек прямой, лежащих между двумя точками этой
прямой, эти две точки называются концами отрезка, а точки, лежащие
между ними, называются внутренними точками отрезка.

Подобный Подход к Введению определения отрезка вызван исключитель-
но стремлением привести в соответствие наглядные представления об от-
резке с его определением, видимо, для более легкого восприятия матери-
ала учащимися. Этими же обстоятельствами вызваны и упоминавшиеся
выше замечания об ” аксиомах”, которые на самом деле являются теорема-
ми. Кстати, в учебнике [6] в приложении об аксиомах геометрии говорится
об одной такой ” аксиоме”, которая в действительности является теоремой,
и в качестве аксиомы она приведена исключительно для упрощения изло-
жения материала (см. ниже У15 и то же самое касается У18), что, быть
может, простительно с точки зрения ориентации не только на учащихся,
готовящихся поступать в вузы с повышенными требованиями к знанию
математики.

Л/	М	М

ТТ----------7.............. " с-------Г -2-------------с-----В-

рис. 5 г)	рис. 5 д)	рис. 5 е)

Утверждение 11. Если С G АВ , D G АВ , С D ,
то УМ Е CD => М Е АВ (см. рис. 5 г).

Доказательство см. [17], гл. II, §14, теорема 7.

Определение 7. В случае выполнения условий УП говорят, что от-
резок CD целиком лежит внутри отрезка АВ

(это обозначается CD С АВ) (см. рис. 5 г).

Утверждение 12. Если С Е АВ (А£ В) , то УМ Е АС => М Е АВ
(см. рис. 5 д).

Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает из У8 .

Утверждение 13. Если С Е АВ (Л В) , то VM G АС => М £ СВ
(см. рис. 5 д).

Доказательство см. [17], гл. II , §14, теорема 8а.

Утверждение 14. Если С Е АВ (Л В) , то УМ Е АВ , М £С =>

=> М Е АС или М Е СВ (см. рис. 5 е).

Доказательство см. [17], гл. II, §14, теорема 86.

Замечание. Из У12 — У14 непосредственно вытекает, что если С Е АВ,
Mi — множество всех внутренних точек отрезка АС , М2 — множество
всех внутренних точек отрезка СВ , то отрезок АВ представляет собой
объединение АВ = {Л} U {С} U {В} U Mi U М2 , Мi П М2 = 0 .

~А (5	"D И 5“ ~М' О М N

рис. 6 а)	рис. 6 б)	рис. 6 в)

Определение 8. Пусть О — некоторая точка прямой а , А и В — две
другие точки этой же прямой. Если О Е АВ (О АВ) , то говорят,
что точки А и В расположены по разные стороны (по одну сторо-
ну) относительно точки О , или говорят, что точка О разделяет (не
разделяет) точки А и В (см. рис. 6 а) (6 б)).
Утверждение 15. Всякая точка О на прямой а разделяет все осталь-
ные точки этой прямой на два непустых класса (две полупрямые) так,
что любые две точки одного класса расположены по одну сторону от
точки О, то есть не разделяются точкой О, а любые две точки разных
классов расположены по разные стороны от точки О, то есть разделя-
ются точкой О . См. рис. б в), на котором точки М и N расположены на
одной полупрямой относительно точки О , а точки М и М‘ расположены
на разных полупрямых относительно точки О .

Доказательство см. [17], гл. И, §14, теорема 9 и [18], гл. I, §4, теорема 8.

Схема доказательства. Доказывается, что :

1)	каждый из указанных классов не пуст ;

2)	каждая точка прямой а , отличная от точки О попадает

в один и только один класс ;

3)	если М nN — две точки из одного класса, то точка О £ MN ;

4)	если М и М' — две точки из разных классов, то точка О 6 ММ1 .

У15 позволяет ввести важное определение геометрии, определение луча.

Определение 9. Пусть на прямой а выбраны точки О и А (О £ А).
Лучом (полупрямой), определенным указанными точками, называется
множество всех точек прямой а , расположенных вместе с точкой А
по одну сторону относительно точки О , включающее в себя и точку
А (обозначается ОЛ). Точка О называется началом луча, ее считают
границей луча, а также точкой приложения указанного луча.

Если точку О считать не принадлежащей указанному в этом определе-
нии множеству, то такой луч называют открытым лучом, а если точку О
считать принадлежащей указанному множеству, то такой луч называют
замкнутым лучом.

Договоримся, что если рассматривать замкнутый луч, то это будет все-
гда оговариваться, если речь идет просто о луче, то под этим будет под-
разумеваться открытый луч.

Отметим, что в отличии от отрезка, в обозначении которого не суще-
ственен порядок его концов, в обозначении луча двумя буквами всегда на
первое место будет ставиться его начало.

__Ji_________h . ...я. ____а_---------------

А' в' о1в 0 А в с

рис. 6 г)	рис. б д)

У15 означает, что на прямой а определены два луча — луч (>А и луч
О А' , где А', О, А € а и О G А'А . При этом важно отметить, что лучи
О А и ОВ , где О 0 АВ тождественны, то есть представляют собрй одно и
то же множество точек на прямой а (один и тот же луч), лучи О А' и OB'
также тождественны, где О Е АА' и О € ВВ' (см. рис. 6 г).
Определение 10. Если точки А',О,А на одной прямой а и О 6 А* А,
то лучи ОА и 0Af называются взаимно дополнительными, каждый
из них называется дополнительным по отношению к другому.

Если один из взаимно дополнительных лучей обозначить h , то другой
из них обозначается h (см. рис. б г).

В связи со справедливостью У15 на любой прямой можно выбирать
порядки расположения точек (всего их возможно лишь два) и с каждым из
этих порядков определяется направление, которых, стало быть, тоже два;
каждое из этих направлений считается противоположным по отношению
друг к другу.

Пусть О — произвольная точка на прямой а . Рассмотрим произволь-
ную из двух полупрямых, на которые точка О делит прямую а .

Определение 11. Будем говорить, что точка А предшествует точке
В на полупрямой (точка В следует за точкой Л на этой полупрямой),
если точка А — внутренняя точка отрезка О В (Л € О В), обозначается
Л В . (См. рис, б д), на котором А В, В -< С).

Из У8 вытекает, что если А^ В , 5-чС,тоД-<С,то есть отношение
’’предшествует”, так же как и отношение ”следует за” обладает свойством
транзитивности (см. рис. б д),
h\ hi а -----------------------------------*

A'Ai'Bt д д Aa Sa Лов

рис. в е)	рис. б ж)

Назовем условно одну из полупрямых прямой а с началом в точке О
первой и обозначим ее hi, а дополнительную ей полупрямую назовем вто-
рой и обозначим ее ha (ha = hi), установим порядок точек на всей прямой
а следующим образом:

1)	если Ai и Bi — две точки первой полупрямой (Ах, Bi G /и),
то Ах ч Bi на прямой, если Bi -< Ах на этой полупрямой ;

2)	VA' € hi => А' < О ;

3)	УЛ' € hi , УД G ha => А' -С В ;

4)	У В € ha => О -< А ;

5)	если Аз и Ba — две точки второй полупрямой (Aa,B2 6 ha),
то Aa •< Ba на прямой, если Аа -< В2 на этой полупрямой (см. рис. б е).
Утверждение 16. Каковы бы ни были две точки на прямой а , усло-
вия 1) — 5) определяют одну из них как предшествующую другой на
этой прямой. Условия транзитивности отношения "предшествует" при
этом будут выполнены.

Доказательство см. [17], гл. II, §14, стр. 50 — 51.
Замечание 1. Если поменять ролями первую и вторую полупрямые и
реализовать условия 1) — 5), то мы получим новый порядок точек на всей
прямой a , являющийся противоположным по отношению к первоначаль-
ному порядку точек на этой прямой, а именно, если из двух точек А и В
А Ч В в смысле одного из этих порядков, то В -< А в смысле противопо-
ложного ему порядка (см. рис. б ж).

Замечание 2. Можно доказать, что если на прямой а выбрать точку
О' О и выбрать на этой прямой одну из полупрямых с началом в точке
О' и относительно уже точки О' установить порядок точек нЬ, прямой a
согласно условиям 1) — 5), то этот порядок точек будет совпадать с одним
из двух возможных порядков точек на прямой а относительно точки О
(см. рис. 6 ж).

Замечание 3. У16 играет важную роль при введении системы коорди-
нат на прямой, на плоскости и в пространстве, где одним из составных
условий этого метода является наличие положительного и противополож-
ного ему отрицательного направлений на координатных осях (см. выше
определения 6 и 7 п. 2.0.3). Что касается терминов расположения одной
из двух точек на координатных осях правее или левее другой, а также —
расположения выше или ниже другой, то это означает, что точка, располо-
женная на координатной оси левее или ниже, предшествует точке на этой
оси, расположенной правее или соответственно выше. .

С помощью определения порядка точек на прямой можно доказать и
такое утверждение.

Утверждение 17. А) Если точка В лежит между точками А и С на
прямой а (В £ АС), то или А -< В , В -< С , или С -< В , В -< А .

Б) Обратно, если на прямой а или А -< В , В -< С , или С -< В , В -< А ,
то точка В лежит между точками А и С .

Доказательство: об этом утверждении говорится в [17], гл. II, §14, стр. 52.

Замечание. Из У17 непосредственно вытекает: порядок точек на прямой
а устанавливается таким образом, что расположение на этой прямой точки
В относительно точек А и С в смысле этого порядка таково, что
А(С) -< В , В Ч С(А) точка В лежит между точками А и С в прежнем
смысле.

Утверждение 18. Всякая прямая а на плоскости а разделяет все
остальные точки этой плоскости на два непустых класса (две полуплос-
кости) так, что любые две точки А и В из одного класса определяют
отрезок АВ , не пересекающийся с прямой а , а любые две точки А и А1 из
разных классов определяют отрезок АА1 , который пересекает прямую
а (см. рис. 7 а).
Доказательство CM. [17], гл. П, §15, теорема 10 и [18], гл. I, §4, теорема

рис. 7 а)

Схема доказательства. Выберем в плоскости а произвольную точку
Р а И отнесем в первый класс каждую точку А а такую, что отрезок
РА йе пересекает прямую а , а также в этот класс отнесем и точку Р;
во второй класс отнесем каждую точку А1 а такую, что отрезок РА'
пересекает прямую а . Доказывается, что :

1)	каждый из указанных классов не пуст ;

2)	каждая точка плоскости о (за исключением точек прямой а)
попадает в один И Только один класс ;

3)	еспиМ к Л — две точки из одного класса, то они определяют
отрезок MN t не пересекающий прямую а (см. рис. 7 а);

4)	если М и М* — две точки из разных классов, То они определяют
отрезок МЛ , пересекающий прямую а (см. рис. 7 а).

Замечание 1. Можно доказать, что каждый из этих двух классов со-
держит бесконечно много точек.

Замечание 2. Если выбрать Какую-либо точку Р' 0 Р из того же класса,
что и точка Р , и относительно точки Р' По аналогии с точкой Р разбить
точки плоскости о на два класса, то можно доказать, что при этом полу-
чатся те же самые классы (см. рис. 7 а).

Замечание 5. Если точку Р заменить какой-либо точкой Q второго
класса и относительно точки Q разбить точки плоскости а на два класса
(по аналогии, как это Делалось относительно точки Р), То это приведет
только к изменению нумераций классов: Тот класс, который был первым
станет вторым, а тот, который был вторым, станет первым (см. рис. 7 а).

Аналогично определению 7 мы можем ввести следующее определение:

Определение 12. Если точки А и Ё плоскости а таковы, что они
не лежат ха прямой а € о? и отрезок АЁ не пересекает прямую а , то
говорят^ что они расположены на этой плоскости по одну сторону
от прямой a t если же точки А и А1 плоскости а таковы, что они
не лежат на прямой а € а и отрезок АА' пересекает прямую а , то
говорят, что они расположены на этой плоскости по разные стороны
от прямой а (см. рис* 7 а).

Аналогично определению 3 можно ввести такое определение:
Определение 13. Будем говорить, что ненулевой отрезок АВ и плос-
кость а пересекаются, если плоскость а и прямая (АВ) пересекаются
в некоторой внутренней точке О отрезка АВ . Если плоскость а и пря-
мая (CD) пересекаются или в точке С , или — в точке D , то будем
говорить, что плоскость а проходит через соответствующий конец
отрезка CD (см. рис. 7 б).

Так как точка пересечения у прямой и плоскости всегда единственная,
то и точка пересечения у плоскости и отрезка также единственная, или
плоскость проходит через один и только один конец отрезка.

Отметим,.что если прямую а присоединить к какой-либо из полуплос-
костей плоскости а , на которые она разбивает эту плоскость, то такую
полуплоскость мы будем называть замкнутой полуплоскостью, если все
точки прямой прямой а не относятся ни к одной из указанных полуплос-
костей, то каждую из этих полуплоскостей мы будем называть открытой
полуплоскостью.

Договоримся, так же как и в случае открытого и замкнутого лучей
что если рассматривать замкнутую полуплоскость, то это будет всегда
оговариваться, если речь идет просто о полуплоскости, то под этим будет
подразумеваться открытая полуплоскость.

Также отметим, что прямую а можно считать границей каждой из по-
луплоскостей, на которые она разбивает плоскость а .

Аналогично У18 приведем следующее утверждение:

Утверждение 19. Всякая плоскость а в пространстве разделяет все
остальные точки пространства на два непустых класса (два полупро-
странства) так, что любые две точки А и В из одного класса определя-
ют отрезок АВ , не пересекающийся с плоскостью а , а любые две точки
А и А1 из разных классов определяют отрезок АА' , который пересекает
плоскость а (см. рис. 7 в).

Доказательство см. учебник [5], п. 135, [17], гл. II, §15, теорема 11
(правда, там она сформулирована без доказательства) и [18], гл. I, §4,
теорема 8, примечания 13, 14, 16.
Аналогично определению 10 мы можем ввести следующее определение.

Определение 14. Если точки А и В пространства таковы, что они
не лежат на плоскости а и отрезок АВ не пересекает плоскость а ,
то говорят, что они расположены в пространстве по одну сторону
от плоскости а , если же точки А и А1 пространства таковы, что они
не лежат на плоскости а и отрезок ААГ пересекает плоскость а , то
говорят, что они расположены в пространстве по разные стороны от
плоскости а (см. рис. 7 б).

Отметим, что если плоскость а присоединить к какому-либо из по-
лупространств, на которые она разбивает пространство, то такое полу-
пространство мы будем называть замкнутым полупространством, если
все точки плоскости а не относятся ни к одному из указанных полупро-
странств, то каждое из этих полупространств мы будем называть откры-
тым полупространством.

Договоримся, так же как и в случае открытой и замкнутой плоскостей,
что если рассматривать замкнутое полупространство, то это будет всегда
оговариваться, если речь идет просто о полупространстве, то под этим
будет подразумеваться открытое полупространство.

Также отметим, что плоскость а можно считать границей каждого из
полупространств, на которые она разбивает пространство.

Теперь докажем еще три важных утверждения.

рис. 7 г)

Пусть на плоскости а имеются две пересекающиеся прямые а и b ,
О — точка их пересечения (О = а Г1Ь).
Утверждение 20. Каждый из двух лучей, на которые точкой О раз-
бита прямая а (прямая Ь) целиком расположены один в одной полуплос-
кости, другой в другой полуплоскости, на которые прямая Ъ (прямая а)
разбивает плоскость а (см. рис. 7 г).

Доказательство

Фиксируем две произвольные точки А и Ло на одном луче прямой а ,
тогда вершина луча — точка О не принадлежит отрезку ЛЛо . Следова-
тельно отрезок ЛЛо не пересекает прямую b (в противном случае точкой
пересечения была бы точка пересечения прямых (ЛЛо) и b , то есть точка
О , следовательно, или О € ЛЛо , что неверно, или эта точка совпадала с
одной из точек Л или Ло , что противоречит принадлежности точек Л и
Ло именно лучу, то есть открытому лучу с вершиной в точке О на прямой
а). Таким образом, точки Л и Ло лежат в одной полуплоскости плоскости
а относительно прямой b . Выбирая какую-либо еще точку Ло на луче О А,
отличную от точек Л и Ло , мы таким же образом докажем ее принад-
лежность той же полуплоскости плоскости а относительно прямой Ь, что
и точка Ло . В силу произвольности выбора точек Ло и Л'о получаем, что
весь луч О А расположен в одной полуплоскости плоскости а относительно
прямой b .

Если теперь Зафиксировать произвольную точку Л1 на дополнительном
луче по отношению к лучу О А , то так как точки Л и Л1 лежат на разных
полупрямых прямой а относительно точки О , то точка О принадлежит
отрезку ЛЛх , а потому отрезок AAi пересекает прямую b в точке О ,
следовательно, точки Л и Л1 лежат в разных полуплоскостях плоскости
а относительно прямой b . В силу произвольности выбора точки Л1 весь
луч, дополнительный лучу О А лежит в другой полуплоскости плоскости а
относительно прямой Ь нежели луч О А . Утверждение полностью доказано.

Пусть в пространстве мы имеем плоскость а и пересекающую ее пря-
мую а , О — точка их пересечения (О = а П а).
Утверждение 21. Каждый из двух лучей, на которые точкой О раз-
бита прямая а целиком расположены один в одном полупространстве,
другой в другом полупространстве, на которые плоскость а разбивает
пространство (см. рис. 7 д).

Доказательство этого утверждения совершенно аналогично доказатель-
ству У20 с заменой слов о расположении точек ”в одной полуплоскости” на
”в одном полупространстве” и ”в разных полуплоскостях” на ”в разных
полупространствах”.

Пусть в пространстве мы имеем две пересекающиеся плоскости а и /?
прямая а — прямая их пересечения (о = аП/?).

Утверждение 22. Каждая из двух полуплоскостей, на которые прямой
а разбита плоскость a: ai и а? (плоскость (3: 0\ и fa) целиком распо-
ложены одна в одном полупространстве, другая в другом полупростран-
стве, на которые плоскость /3 (плоскость а) разбивает пространство
(см. рис. 7 е).	Доказательство

Отметим, что если две точки Л и Ло плоскости а лежат в одном полу-
пространстве относительно плоскости 0 , то эти точки не принадлежат
плоскости 0 , отрезок ААо не пересекает плоскость а , а потому он не
пересекает и прямую а , следовательно, точки А и Ао будут в одной по-
луплоскости плоскости а относительно прямой а , обратно, если две точки
А и Ао плоскости а лежат в одной полуплоскости плоскости а относитель-
но прямой а , то отрезок AAq не пересекает прямую а , а потому этот
отрезок не пересекает и плоскость 0 (в противном случае так как А £ 0
и Aq 0 существовала бы внутренняя точка С отрезка ААо на плоскости
0, а так как вся прямая (ААо) целиком лежит в плоскости а , то и точка
С лежит в плоскости а,изС'€а,Сб/? => Сбои отрезок ААо
пересекает прямую а , что неверно), стало быть, точки А и Ао лежат в
одном полупространстве относительно плоскости 0 .

Из приведенных только что рассуждений вытекает, что две точки А
и Ai плоскости а лежат в разных полупространствах относительно плос-
кости 0 тогда и только тогда, когда точки А и A i’лежат в разных по-
луплоскостях плоскости а относительно прямой а (это устанавливается
доказательством от противного).

Замечание. Если в плоскости а провести прямую ао , пересекающую
прямую a = а П 0 в точке О , то каждая из полупрямых этой прямой с
началом в точке О лежит целиком одна в одной полуплоскости, другая в
другой полуплоскости плоскости а относительно прямой a , а также ка-
ждая из этих полупрямых целиком лежит одна в одном полупространстве,
другая в другом полупространстве относительно плоскости 0
(см. рис. 7 е).
Справедливость этого утверждения вытекает из У20 и У22.

Введем следующее важное определение угла и тесно связанные с ним
другие определения.

Определение 15. Углом называется пара лучей, имеющих.общее нача-
ло. Указанная точка — общее начало лучей называется вершиной угла,
а указанные лучи называются сторонами угла.

Если обозначить вершину угла за О , стороны угла за h и к , при этом
если луч h обозначен еще как луч О А , а луч к обозначен еще как луч
О В , то будем использовать следующие обозначения угла или Z(/i; к) , или
Z(fc;/i) , или Z(OA;OB) , или Z(OB;OA) , (то есть для так называемых
” геометрических” углов порядок определяющих их лучей не существенен),
а также или Z.AOB , или АВОА (в этих обозначениях не существенен
порядок крайних точек А и В , но существенно то, что вершина угла всегда
в середине) (см. рис. 8 а). Применяются и обозначения угла одной буквой,
которой обозначена его вершина, например, ZO ; ZA ; ZB и т.п.

Будем рассматривать следующие четыре типа углов.

К углу первого типа будем относить такой угол, что лучи, определя-
ющие его, различные и не являются взаимно дополнительными.

Тогда прямые, на которых они расположены, пересекаются в точке О
— вершине угла, а потому согласно У2 через эти прямые проходит един-
ственная плоскость а (см. рис. 8 б).

рис. 8 б)

Из У18 о разбиении каждой прямой, находящейся на некоторой плоско-
сти, этой плоскости на две полуплоскости и из У20 следует, что стороны
угла, первого типа разбивают плоскость, а , которую они однозначно опре-
деляют, на две части:

1)	общая часть (то есть пересечение) полуплоскости плоскости а от-
носительно прямой (О А) (Л € Л), в которой содержится луч О В (В € Аг),
и полуплоскости плоскости а относительно прямой (ОВ), в которой содер-
жится луч ОА (см. рис. 8 б),

2)	остальная часть плоскости а , не включающая в себя стороны угла
и его вершину, представляет собой объединение полуплоскости плоскости
а относительно прямой (ОЛ), в которой содержится луч, дополнительный
лучу ОВ (это луч к) и полуплоскости плоскости а относительно прямой
(ОВ), в которой содержится луч, дополнительный лучу ОА (это луч Л)
(см. рис. 8 б).

Следовательно, стороны угла и его вершину мы не относим ни к одной
из этих частей, однако объединение сторон и вершины угла естественно
считать границей каждой из этих частей.

Часть плоскости а, определяемую условиями 1), мы будем называть
внутренней областью угла (Л, к), а часть плоскости а, определяемую усло-
виями 2), мы будем называть внешней областью угла (Л; Аг) (см. рис. 8 б).

Замечание. В математической литературе углы первого типа часто
называют неразвернутыми углами, однако к неразвернутым углам мож-
но отнести и рассматриваемые ниже углы третьего типа. Поэтому ниже,
после рассмотрения углов всех типов мы присвоим более точное название
углам каждого типа, тесно связанное с их обозначениями.

К углам второго типа или к развернутым углам будем относить такие
углы, что определяющие их лучи — являются взаимно дополнительными,
то есть углы вида Z(/i; h) .

Очевидно, что объединение сторон такого угла вместе с его вершиной
представляет собой прямую а, причем вершина угла (согласно У15 делит
ее на лучи huh) (см. рис. 8 в).

рис. 8 в)

Фиксируем некоторую плоскость а , содержащую прямую а . Тогда
внутренней областью развернутого угла (Z(/i; Л)) мы будем считать одну
из полуплоскостей, а внешней областью — другую из полуплоскостей, на
которые (согласно У18) прямая а разбивает плоскость а (см. рис. 8 в).
К углу третьего типа будем относить такой угол, что лучи, опреде-
ляющие его (так же, как и в случае угла первого типа), различные и не
являются взаимно дополнительными.

Однако в отличие от угла первого типа внутренней областью такого
угла мы будем считать часть плоскости вида 2), что в случае угла первого
типа, а внешней областью такого угла мы будем считать часть плоскости
вида 1), что в случае угла первого типа. Стороны угла и его вершину и
в этом случае мы не относим ни к одной из указанных областей, однако

объединение сторон и вершины угла естественно считать границей каждой
из этих областей (см. рис. 8 г).

рис. 8 д)	рис. 8 е)

К углам четвертого типа будем относить углы вида Z(/i, h) , то есть
углы, образованные совпадающими лучами.

Фиксируем некоторую плоскость а , содержащую прямую а , на которой
располагаются указанные совпадающие лучи (по сути дела, один луч Л).
Тогда углы четвертого типа подразделяют еще на два вида:

1)	нулевой угол — угол, не имеющий внутренней области, а его внешней
областью является плоскость а без точек луча Л и его вершины

(см. рис. 8 д) ;

2)	полный угол — угол, не имеющий внешней области, а его внутренней
областью является плоскость а без точек луча Л и его вершины

(см. рис. 8 е).

Всякий угол, не являющийся нулевым, то есть угол первогд или тре-
тьего типа, развернутый угол и полный угол будем считать ненулевым
углом.
На основании введенных 12 аксиом можно доказать ряд утверждений,
касающихся внутренней и внешней областей угла.

Утверждение 23. Всякий угол, не являющийся нулевым или полным
всегда имеет внутреннюю и внешнюю области (то есть каждая из этих
областей имеет точки) (см. рис. 8 б), в), г).

Доказательство этого утверждения, касающегося углов первого и тре-
тьего типов, см. [18], примечание 19, п. 1, а относительно углов второго
типа это вытекает из У 1£>.

Важно отметить, что при доказательстве У23 попутно устанавливается
справедливость и такого утверждения:

Утверждение 24. Если точки Н и К лежат на сторонах угла (h;k)
первого (третьего) типа, Н Eh , К Е к , то всякая внутренняя точка
А отрезка НК лежит во внутренней (внешней) области этого угла,
всякая внешняя точка А* отрезка НК лежит во внешней (внутренней)
области этого угла (см. рис. 9 а).

В силу У20 и определений внутренней и внешней областей угла нетруд-
но получить справедливость следующего утверждения.

Утверждение 25. Всякий луч с началом в вершине угла и располо-
женный в плоскости, содержащей этот угол, целиком лежит либо во
внутренней области этого угла, либо — в его внешней области
(см. рис. 9 б).

Доказательство этого утверждения см. [18], примечание 19, п. 3.

Утверждение 26. Всякий луч с началом в вершине угла, расположен-
ный в плоскости, содержащей этот угол, и проходящий во внутренней
(внешней) области угла первого (третьего) типа пересекает любой от-
резок, один конец которого на одной стороне угла, а другой конец этого
отрезка на другой стороне угла. Обратно, если луч с началом в верши-
не угла пересекает какой-нибудь отрезок с концами один на одной сто-
роне угла, а другой на другой стороне угла, причем этот угол первого
(третьего) типа, то этот луч лежит во внутренней (внешней) обла-
сти этого угла (см. рис. 9 в).
Доказательство первого из этих утверждений см. [18], примечание 19,
п. 4 (оно, в частности, использует аксиому 12), второе из этих утверждений
следует из У24 и У25.

Сформулируем определения углов каждого из рассмотренных типов и
введем характерные для каждого типа углов обозначения.

Определение 15 А. Всякий угол первого типа мы будем называть не-
развернутым и обозначать Z(ft; к) или ЛАО В 9 где О -7 вершина угла,
A Eh , В Е к (см. рис. 8 б).

Определение 15 Б. Всякий угол второго типа, угол вида £(h,h) ны-
зывается развернутым углом, его также можно обозначать ЛАО В , где
О — вершина угла, А 6 h , В Е h (см. рис. 8 в).

Определение 15 В. Всякий угол третьего типа мы будем называть
неразвернутым * и обозначать Z(h; к) или ЛАОВ , где О — вершина
угла, А Е h , В Е к (см. рис. 8 г).

Определение 15 Г. Всякий угол четвертого типа, угол вида Z(/i; h)
или Л(ОА,ОА) , где О — вершина угла, А Е h называется нулевым,
если он не имеет внутренней области ; и он называется полным, если
не имеет внешней области.

Для нулевого угла в дальнейшем будет использоваться обозначение ви-
да Z(A; Л) или Л(ОА,ОА) ,	______ ______________

а для полного угла — обозначение вида Z(h; Л) или Л(ОА\О А)
(см. рис. 8 д), 8 е).

Определение 16. Множество точек плоскости, являющееся объедине-
нием внутренней области угла, его сторон и вершины, называется плос-
ким углом (см. рис. 8 б).

Определение 17. Будем говорить, что из трех лучей h , I, к , имеющих
общую вершину и расположенных в одной плоскости, луч I проходит
между лучами h и к или луч I лежит внутри угла (h; к) , если он лежит
во внутренней области угла (Л; к) . Это можно обозначать / 6 Z(/i; к) ,
/ 6 Z(/i; Л) , I Е Л(Ь,\ к) , I Е Л(Н\ h) в зависимости от того, какого типа
угол (h; к).

Из У26 непосредственно вытекает, что в случае угла (Л; к) первого ти-
па луч I проходит между его сторонами тогда и только тогда, когда он
пересекает отрезок с одним концом на луче Л , а с другим концом на луче
к (см. рис. 9 в).

Имеют место следующие утверждения, доказанные для углов первого
типа.

* Иногда такой угол называют углом больше развернутого.
Утверждение 27. Из трех лучей h , I , к , имеющих общее начало О
только один из них может проходить между двумя другими
(см. рис. 9 б), в);

Доказательство см. [18], примечание 19, п. 5.

Состоит оно в том, что, если, например, луч I проходит между луча-
ми h и к, то он пересекает отрезок НК , где Н G Л , К 6 к в некоторой
внутренней точке этого отрезка L , следовательно, точка L лежит между
точками Н и К , тогда в силу следствия У5 и All точка Н не лежит меж-
ду точками L и К , а потому луч h не пересекает отрезок LK и потому
согласно У26 и 017 этот луч не проходит между лучами I и к , аналогич-
ными рассуждениями мы приходим к тому, что луч к не проходит между
лучами Ли/.

Утверждение 28. Если луч I лежит внутри угла Л(к\т) , а луч к
лежит внутри угла	, то луч I лежит внутри угла

(см. рис. 9 г).

Доказательство см. [18], примечание 19, п. 5.

рис. 9 ж)	рис. 9 з)	рис. 9 и)

Следствие 1. (аналог У11 для отрезков). Если р Е /(Л; к) , q Е /(Л; к) ,
р £ q , то VI Е £(р\ q) => I Е к) (см. рис. 9 д).

Определение 18. В случае выполнения условий следствия 1 У28 гово-
рят, что угол Z\p\ q) целиком лежит внутри угла Z (Л; к) (это обозна-
чается Z(p;g) С Z(A;A)) .
Следствие 2. (аналог У12 для отрезков). Если луч I Е Z\h\k) (I к) ,
mo для любого луча q G Z(/; к) => q E к) (см. рис. 9 e).

Следствие 3. (аналог У13 для отрезков). Если луч I Е Z-(h\k} (h£ к) ,
mo для любого луча q Е £(h\ I) => q £ Z(Z; к) (см. рис. 9 ж).

Доказательство см. [18], гл. I, §6, теорема 20.

Следствие 4. (аналог У14 для отрезков). Если луч I Е £(h\ к) (Л к) ,
то для любого луча q Е к) , q £ I => q Е Z(h; Г) или q Е к)
(см. рис. 9 ж).

Доказательство см. [18], гл. I, §6, теорема 20.

Замечание. Из следствий 2 — 4 непосредственно вытекает, что посколь-
ку любая точка внутренней области угла лежит на некотором луче, прохо-
дящем между его сторонами (для этого достаточно провести луч с началом
в вершине угла через эту точку), если луч / Е £(h\ к) , О — вершина этого
угла, Li — множество всех проходящих внутри угла Z(ft;/) лучей, —
множество всех проходящих внутри угла Z(/; к) лучей, то плоский Z(ft; к)
представляет собой объединение {0}U{/i}U{/}U{fc}ULiUZ,2 , ЬхПЬг = 0-

Читателям предлагается самим подумать об основании У27 и У28 и
следствий для случая углов всех четырех типов.

Утверждение 29. Если п лучей hi , Л2 , hn и луч а исходят
из одной точки, при этом все лучи ftj , Л2 , hn расположены в
одной полуплоскости относительно прямой, содержащей луч а , то среди
указанных п лучей найдется один и только один луч, образующий с лучом
а угол, внутри которого лежат все остальные n — 1 лучей (см. рис. 9 з).

Доказательство см. [18], примечание 19, п. 5, оно проводится индукцией
по п .

Замечание. Справедливость этого утверждения можно распространить
и на случай, когда не все эти лучи (лежащие в одной плоскости) распола-
гаются в одной полуплоскости, но имеют общее начало. Для этого надо
(если среди этих лучей нет дополнительного лучу а) ввести его в рассмо-
трение (пусть это будет луч hk = а), сначала применить У29 для лучей
a , hi , ... , hk-i , затем применить У29 для лучей а , hk+i , ... , hn и
объединить полученные лучи. Очевидно, что только внутри угла Z(a; hn)
будут находиться все остальные лучи (см. рис. 9 и).
III. Аксиомы наложения

Следующие ниже аксиомы связаны с понятиями наложения и равенства
фигур. *

При наглядном представлении о наложении одной фигуры на равную ей
другую фигуру наблюдается то, что всякая точка первой фигуры наклады-
вается на некоторую точку второй фигуры, и при этом всякая точка второй
фигуры оказывается сопоставленной некоторой точке первой фигуры. Бо-
лее того, считается, что при этом и любая точка плоскости или простран-
ства отображается на некоторую точку соответственно плоскости или про-
странства, то есть происходит отображение плоскости или пространства
на себя. Однако не всякое отображение плоскости или пространства на себя
считается наложением. Наложения это такие отображения плоскости или
пространства на себя, которые удовлетворяют ниже следующим аксиомам.

рис. 10

Определение 19. Будем говорить, что фигура F равна фигуре G ,
если существует наложение, при котором всякой точке X фигуры F
ставится в соответствие ** единственная точка Y фигуры G и для
каждой точки Yf фигуры G существует точка X1 фигуры F , которой
она поставлена в соответствие (см. рис. 10).

Переходим к формулировкам аксиом о свойствах наложений.

рис. 11 а)

•В

Е

рис. 11 б)

с' О ' С

* Под фигурой в геометрии понимается всякое непустое множество точек, фигурами,
в частности, являются отрезок, луч, прямая, плоскость, плоская фигура, поверхность в
пространстве, пространственное тело и т.п.

** Термин ’’соответствует” в данной книге относится к первичным (основным)
понятиям.
Аксиома 13. Если при наложении (в плоскости или в пространстве)
совмещаются концы отрезков, то при этом совмещаются сами отрезки
(то есть все их внутренние точки).

Аксиома 14. На любом луче от его начала можно отложить един-
ственный отрезок, равный данному отрезку (см. рис. 11а).

Смысл этой аксиомы в том, что если заданы какой-либо отрезок АВ
и какой-то луч h с вершиной в точке О , то на этом луче существует
единственная точка С такая, что отрезок АВ равен отрезку ОС .

Аксиома 15. От любого луча в данную полуплоскость можно отло-
жить единственный угол, равный данному неразвернутому углу
(см. 015 А). При этом внутренняя область откладываемого угла распо-
лагается в указанной полуплоскости.

Смысл этой аксиомы означает то, что если на некоторой плоскости а
заданы луч О А с началом в точке О и какой-либо неразвернутый угол
Z.CDE , то в каждой из двух полуплоскостей с границей О А существует
единственный луч ОВ такой, что ЛАОВ = Z.CDE , причем внутренняя
область откладываемого угла целиком располагается в соответствующей
полуплоскости (см. рис. 11 б).

Аксиома 16. Любой угол A(h,k) можно совместить с равным ему
углом Z(/io;&o) двумя способами:

1) луч h совмещается с лучом Ло , а луч k совмещается с лучом ко ,
2) луч h совмещается с лучом ко , а луч к совмещается с лучом ho .
(при этом также предполагается, что если плоскости, в которых
расположены углы £(h\k) и £(ho\ko) , являются границами полупро-
странств Р и Ро , то совмещаются и сами эти полупространства).

Аксиома 17. Любая фигура F равна сама себе, то есть F' = F .

Аксиома 18. Если фигура F равна фигуре G , то и фигура G равна
фигуре F , откуда F = G G = F .

Аксиома 19. Если фигура F равна фигуре G и фигура G равна фигуре
Н , то фигура F равна фигуре Н , то есть F = G , G = Н => F = Н .

Утверждения аксиом 17, 18 и 19 соответственно означают, что отноше-
ние равенства фигур обладает свойствами рефлексивности, симметрично-
сти и транзитивности. ’

Утверждение 30. При наложении фигур любые две различные точки
первой фигуры отображаются в различные точки второй фигуры.

Доказательство

Предположим противное, что существуют две различные точки А и В
фигуры F , которые при наложении переходят в одну и ту же точку С
фигуры G . Тогда, в частности, фигура Н\ , состоящая из двух точек А
и В , окажется равной фигуре Н2 , состоящей из одной точки С . В силу
аксиомы 18 при этом Н2 = Н\ , то есть фигура Н2 может быть наложена
на фигуру Hi , при этом окажется, что точке С будет соответствовать
более одной точки (это точки А и В), что противоречит определению 16
равенства фигур.

Доказанное утверждение означает, что при наложении фигур между их
точками устанавливается взаимно однозначное соответствие (см. сноску
на стр. 10 данной книги).

Из А13, А16 и 019 вытекает, что если отрезки могут быть совмеще-
ны, то они равны, и если углы могут быть совмещены, то они равны.
При этом естественно считать равными любые два нулевых отрезка,
равными любые два нулевых угла, равными любые два полных угла * и
равными любые два развернутых угла.

Введем определения сравнения отрезков и углов, а также — определения
суммы и разности отрезков и углов.

с/

5 А Е И Ло Л1 Л%.. -Лп-\ Ля
рис. 12 а)	рис. 12 б)	рис. 12 в)

Пусть на прямой а мы имеем отрезок АВ , С — его внутренняя точка.
Определение 20. Говорят, что при этом отрезок АВ больше от-
резка АС (откуда также отрезок АВ больше отрезка СВ), а отрезок
АС меньше отрезка АВ (откуда также отрезок СВ меньше отрезка
АВ). По определению считается, что всякий ненулевой отрезок больше
нулевого отрезка, а нулевой отрезок меньше любого ненулевого отрезка.
Обозначения: АВ > АС ; АВ > СВ ; АС < АВ ; СВ < АВ
(см. рис. 12 а).

Определение 20 А. Будем говорить, что из двух произвольных от-
резков АВ и CD АВ > CD , если между точками А и В существует
точка Е такая, что АЕ = CD или ЕВ = CD , при этих же условиях
CD < АВ (см. рис. 12 б).

Пусть на прямой а мы имеем отрезок АВ , С — его внутренняя точка.
Определение 21. Говорят, что при этом отрезок АВ равен сумме
отрезков АС и СВ , а каждый из отрезков АС и СВ равен разности

* По поводу равенства такого рода см. ниже о свойствах движения.
отрезка АВ и другого из них (см. рис. 12 а). По определению также счи-
тается, что сумма каждого отрезка и нулевого отрезка равна данному
отрезку, разность каждого отрезка и нулевого отрезка равна данному
отрезку, разность каждого отрезка с этим же отрезком равна нулево-
му отрезку.

Обозначения: АВ = АС 4- СВ ; АС = АВ — СВ ; СВ = АВ — АС ;

АВ = АВ + ВВ , АВ = АВ - АА , АА = ВВ = АВ - АВ .

Из определений 20 и 21 вытекает, что разность отрезков определена
тогда и только тогда, когда уменьшаемый отрезок больше или равен вы-
читаемому отрезку.

Определение 21 А. Если на прямой выбраны n + 1 точка таким обра-
зом, как об этом говорится выше, в У9, то по определению отрезок
АоАп =	4- AtA2 4- А2А3 4“... 4- An-iAn (см. рис. 12 в).

Нетрудно видеть, что этот отрезок равен AoAn-i 4- An_iAn , где

ЛоАп-1 = AoAi 4- А1А2 4- А2А3 4-... 4- An-2An~i •

Замечание. Следует отметить, что множество всех внутренних точек
суммарного отрезка представляет собой объединение множеств всех вну-
тренних точек слагаемых отрезков вместе с точками Ai , А2 , ... , An-i.

Пусть на плоскости а мы имеем ненулевой угол Z(/i;fc) , (в данном
случае за Z(fe; к) обозначен угол любого из четырех типов, кроме нулевого
угла) / — луч, проходящий внутри этого угла (см. выше 017).

Определение 22. Говорят, что £(h\ к) больше угла (отку-
да также Z.(h,k) больше	a меньше угла £(Jv,k) (откуда

также Л(1;к) меньше £(h\k)). По определению считается, что всякий не-
нулевой угол больше нулевого угла, а нулевой угол меньше любого нену-
левого угла (см. рис. 13 а).

Обозначения: Z(A;fc) > Z(h;/) ; Z(A;*) > Z(Z; *) ; Z(A;/) < Z(ft;i) ;
Z(Z; jb) < Z(A;*r) .

Определение 22 А. Будем говорить, что из двух произвольных углов
£(h\к) и £{р\ q) £(h\ к) > £{р\ q) , если между лучами h и к проходит луч
I такой, что /.(h,l) = Z(p;g) или £(l\k) = Z(p;g) , при этих же условиях
£(p\q) <	(см. рис. 13 б).

Пусть на плоскости а мы имеем ненулевой угол Z(ft;fc) , (в данном
случае за Z(/i; к) обозначен угол любого из четырех типов, кроме нулевого
угла) I — луч, проходящий внутри этого угла (см. выше 017).

Определение 23. Говорят, что при этом угол к) равен сумме
углов /.(h\l) и Z(/;к) , а каждый из углов £(h\l) и £(1\к) равен разности
угла £(h\k) и другого из них. По определению также считается, что
сумма каждого угла и нулевого угла равна данному углу, разность' ка-
ждого угла и нулевого угла равна данному углу, разность каждого угла
с этим же углом равна нулевому углу (см. рис. 13 а).

Обозначения: Z(M) = Z(ft;/)+Z(/; fc); Z(/;fc) = Z(ft; fc)-Z(ft;/); Z(ft;/) =
= Z(ft; k) - Z(/; k) ; Z(h; k) = Z(h; k) + Z(fc; k) , Z(fc; k) = Z(ft; k) - Z(fc; i) ,
Z(Л; Л) = Z(*; k) = Z(ft; k) - Z(ft; k) .

Из 022 и 023 вытекает, что разность углов определена тогда и только
тогда, когда уменьшаемый угол больше или равен вычитаемому углу.

Следует также отметить, что из этих определений вытекает и то, что
всякий угол первого, второго и третьего типа меньше полного угла, а пол-
ный угол больше всякого угла первого, второго и третьего типа.

Определение 23 А. Пусть на плоскости а выбраны п+1 (п 3 , п Е N)
луч ho , hi , ... hn_i , hn, каждый из которых имеет общую вершину О
таким образом, как об этом говорится выше, в У29, причем
V г = 1 , 2, 3, ... , п — 1 и V k , т € No ; 0^i<i<m^n
луч hi будет проходить между лучами h* и hm , * тогда по определению
угол Z(/i0;hn) = Z(/i0; hi) + Z(hi; Л2) + ... + Z(hn-i;An) (см. рис. 13 в).

* В случае, когда лучи hi , Л2 » ••• hn расположены в одной полуплоскости от-
носительно прямой, содержащей луч ho или hn = ho такая возможность вытекает
из У29, в остальных случаях это будет вытекать из А15, согласно которой при всех
углах	меньше развернутого угла от очередного луча Лу0 (1 jo < п) в

другую полуплоскость относительно прямой, содержащей луч hjQ (нежели ту полуплос-
кость, в которой находится луч можно отложить единственный угол, равный
; если очередной угол £(h}0;hj0+i) окажется больше развернутого угла
или равен развернутому углу и меньше полного угла, то его мы представляем в виде
суммы Z(hJO;/iJo) + £(hj0 + hj0+i) , когда луч /ij0+i = \j0 последний слагаемый угол
нулевой, то есть просто добавляется еще один луч hjQ .
Нетрудно видеть, что этот угол равен Z(hoJ hn-i) + /(Лп-Г, ЛЛ) , где
Z(ho; Лп-i) = Z(/io; Л1) + Z(Ai; Лз) +... + Z(hn_2; hn-i) •

Замечание. Следует отметить, что внутренняя область суммы углов
представляет собой объединение всех внутренних областей слагаемых
углов вместе со всеми лучами hi , Л2 ,	, hn~i .

Теперь отметим, что в принципе можно определить сумму произволь-
ного конечного количества отрезков и углов с не обязательно совпадающи-
ми (у предшествующего и последующего) концами у отрезков и лучами у
углов.

Если заданы какие угодно п отрезков АВ, CD, EF, ... , XY и какие
угодно т углов Z(h;fc), Z(/;m), Z(n;p), ... , Z(r;g) , то выбрав соответ-
ственно некоторую прямую а и некоторую плоскость a , точку Ло € а луч
OAq 6 ot , мы можем на выбранной полупрямой с началом в точке Ло и
в выбранной полуплоскости плоскости а относительно прямой (ОЛо) со-
гласно А14 и А15 соответственно отложить: отрезок OAi = АВ , затем
отложить отрезок Л1Л2 = CD так, что точка Л1 лежит между точками
О и Л 2 (если отрезок CD ненулевой) и т.д., наконец, отложить отрезок
ЛП_1ЛП = XY так, что точка Лп-1 лежит между точками ЛП_2ЛП (если
отрезок XY ненулевой), полученный отрезок ЛоЛп = AB+CD+EF...+XY;
угол Z(OAo;OAi) = Z(h;fc) , затем отложить Z(OAi;ОЛ2) = Z(Z;m) так,
что луч ОЛ1 проходит внутри угла (ОЛо;ОЛг) , (если угол (/; т) не ну-
левой), согласно У27 это исключает прохождение луча OAq внутри угла
Z(OAi;OA2) и — луча ОЛ2 внутри угла Z(OAo;OAi) и т.д., наконец,
отложить угол Z(OAn^i;OAn) = ^(r;q) так, что луч OAn_i проходит
внутри угла (ОЛП-2;ОЛП) (если угол (r;g) не нулевой), полученный угол
Х(ОА0; ОАп) £ Z(h; k) + Z(/;m) + Z(n;p) + ... + Z(r; q) .

Отметим, что если среди слагаемых углов встречается угол третьего
типа (то есть больше, чем развернутый угол), то мы его представляем в
виде суммы развернутого угла и угла первого типа, тем самым добавляя
еще один развернутый слагаемый угол. Важно также отметить, что в гео-
метрии всегда рассматривается ситуация, когда результирующий суммар-
ный угол не превосходит полного угла.

Если какой-либо очередной слагаемый отрезок или угол — нулевой, то
его прибавление не изменяет полученный до этого результат, то есть от-
резок или соответственно угол остаются равными отрезку или углу, полу-
ченным на предыдущем этапе.

Отметим, что формально можно определить произведение натурально-
го числа п на отрезок АВ , это будет сумма п отрезков, каждый из которых
равен отрезку АВ , а также формально можно определить произведение на-
турального числа п на угол Z(h; к) , это будет сумма п углов, каждый из
которых равен углу Z(fe; к) .

Определение 21 Б. Разностью двух произвольных отрезков АВ и CD
называется такой отрезок EF , что EF 4- CD = АВ , обозначается
EF = АВ - CD .

Определение 23 Б. Разностью двух произвольных углов Z(/i; к) и Л(р\ q)
называется такой угол £(г\з) , что £(r\s) +£(p\q) = Z.(h\k) , обознача-
ется Z(r; s) = Z(A; k) — Z(p; q) .

Для построения разности двух произвольных отрезков (углов) надо от
какого-либо конца (какой-либо стороны) уменьшаемого отрезка (угла) вну-
три него отложить отрезок (угол), равный уменьшаемому отрезку (углу)
и в качестве разности отрезков (углов) будет выступать отрезок (угол) в
соответствии с 021 (023).

Очевидно, что при таком определении разности отрезков (углов) она
будет существовать тогда и только тогда, когда уменьшаемый отрезок
(угол) будет больше или равен вычитаемому отрезку (углу).

Докажем следующее утверждение:

~А—*—У " Т	~А—*—5 ; с'~а---------------м Ё

' С' ~А'	*	$ ’ С'1 А? В' М'

рис. 14 а)	рис. 14 б)	рис. 14 в)

Утверждение 31. * Пусть АВ и ВС — два отрезка на прямой
а , не имеющие общих внутренних точек, и пусть А'В' и В'С1 — два
отрезка на прямой а' , также не имеющие общих внутренних точек.
Если АВ = А'В' и ВС = BfCf , то АС = А'С‘ (см. рис. 14 а).

Доказательство

См. рис. 14 б). Отложим на луче Af С от точки А' отрезок А'Со =
= АС (это возможно согласно А14), означает это то, что отрезок АС мож-
но совместить наложением с отрезком А'Со так, что совместятся их концы:
точки А и А' , точки С и Со , а также совместятся все их внутренние точки,
в частности, точка В Е АС совместится с точкой Bq Е А'Со (откуда сле-
дует, что точка Bq будет лежать на луче А'Со). В силу равенства АВ =
= А'В' и А14 это будет означать совпадение точек В' и Во (В' = Во),
поэтому В' Е А'Со (откуда вытекает, что точка В' будет лежать на луче
А'Со). На луче В'Со (дополнительном лучу В'А'), на котором будет рас-
полагаться точка С' , можно отложить единственный отрезок с одним из
концов в точке В' , равный отрезку ВС , пусть это будет отрезок B'Ci , так
как по условию ВС = В'С' и ВС = B'Ci , то В'С' = B'Ci , а поскольку

* В системе аксиом ’’конгруэнтности" это утверждение принимается в качестве
аксиомы.
точки С" и Ci на одном луче с началом в точке В1 , то они (согласно А14)
совпадают (то есть С\ = С'). Теперь отметим^ что равенство ВС = В'С'
означает, что при наложении отрезка ВС (ВС — часть отрезка АС) на
луч В'Со (или на луч B'Ci) при совмещении точки В с точкой В' совме-
стятся точки С и С' и также совместятся внутренние точки отрезков ВС
и В'С' . Итак мы получили, что при наложении отрезка АС на луч А'Со
точка С совместилась с точкой С' (=> Со = С'), следовательно, АС = А'С'.
Утверждение полностью доказано.

Замечание. Из этого утверждения и определения суммы отрезков сле-
дует, что из АВ = А'В' и ВС = В'С' вытекает АВ 4- ВС = А'В' + В'С1.

Следствие 1. Если отрезки АС и А'С' равны, то для любой точки
В € АС существует единственная точка В' € А'С' такая, что
АВ = А'В' и ВС = В'С' .

Доказательство см. [18], примечание 26, лемма.

Замечание. Из этого следствия и определения разности отрезков следу-
ет, что из АС = А'С' и АВ = А'В' вытекает АС - АВ = А'С' - А'В'.

Следствие 2. Если ненулевые отрезки АВ и А'В9 равны, то лучи АВ
и А'В' , а также лучи ВА и В'А' могут быть совмещены наложением.

Доказательство

См. рис. 14 в). Фиксируем произвольную точку М на отрезке АВ , тогда
существование точки М' на отрезке А'В' , в которую она переходит при на-
ложении отрезка АВ на отрезок А'В', вытекает из равенства АВ = А'В' .
Если точка М = В , то соответствующая ей при наложении точка М' = В'
в силу равенства АВ = А'В' . Пусть теперь точка М не лежит на отрезке
АВ ., тогда поскольку она на луче АВ , то точка В будет лежать меж-
ду точками А и М . Выбирая на луче В'М' , не содержащем точку А' ,
точку М' так, чтобы В'М' = ВМ (это возможно в силу А14) получим
в силу У31 АМ = А'М' , а потому при наложении отрезка АВ на отре-
зок А'В' точка М луча АВ совместится с некоторой точкой М' на луче
А'В' . В силу симметричности отношения равенства фигур (на основании
А18) и УЗО при наложении отрезка А'В' на отрезок АВ точка М' луча
А'В' наложится на точку М луча АВ именно ту, которая переходит в нее
при наложении отрезка АВ на отрезок А'В' . Точно также доказывается
возможность совмещения наложением лучей В А и В' А' .

Проведенное доказательство означает, что при наложении равных не-
нулевых отрезков АВ и А'В' совмещаются наложением прямые (АВ) и
(А'В'). Следствие доказано. С помощью следствия 1 У31 с использовани-
ем первого признака равенства треугольников можно доказать аналогичное
ему утверждение для углов.
Утверждение 31 А. Если угол £(h\ k) в плоскости а равен углу £(h'\ к')
в плоскости а' , то для любого луча I , проходящего внутри угла £(h\k),
существует единственный луч I' , проходящий внутри угла £(h'\к') , та-
кой, что £(h,l) = Z(/i';/') и = Z(/'; Л') (см. ниже рис. 15 в), г).

Доказательство см. [18], гл. I, теорема 16, примечание 26.

Следствие. При совмещении сторон h и h' , к и к' или при совмещении
сторон h и k' , к и h' , углов первого типа £(h\ к) и £(h'\ к') совмещаются
их внутренние области.

Доказательство

См. ниже рис. 15 в), г). Фиксируем произвольную точку М во вну-
тренней области £(h\ к) и проведем через нее и вершину этого угла луч
/, который в силу У20 будет проходить во внутренней области Z(A; k) . В
силу У31 А внутри угла £(Ji',k') существует единственный луч /' такой,
что Z(/i; /) = Z(/i'; /') и Z(/; fc), = Z(/'; к') , а это означает, что луч / совме-
стится с лучом /' , тем самым точка М совместится с некоторой точкой
М' на луче /' . Так как луч /' проходит внутри угла Z(/i';fc') , то точка
М' лежит во внутренней области Z(h/; fc') . Далее, осуществляя наложение
Z(/i'; к') на Z(/i; к) , таким же образом мы докажем (используя У20 и А13),
что точка М' внутри угла Z(/i'; к') будет отвечать именно точке М внутри
угла Z(/i; к) при наложении этих углов. Следствие доказано.

Теперь важно отметить, что в системе аксиом Д. Гильберта, изложен-
ных в книгах [17] и [18], в качестве третьей группы аксиом выступают
не аксиомы наложения, а так называемые аксиомы конгруэнтности (ра-
венства), то есть в этой системе аксиом отношение равенства отрезков и
углов выступает в качестве основного (первичного) понятия, удовлетворя-
ющего соответствующим аксиомам. Наложение при этой схеме изложения
уже вводится как определение.

В гл. II, §19 книги [17] под движением или наложением множества
точек понимается такое взаимно однозначное соответствие между исход-
ным множеством и тем, в которое оно при этой операции преобразуется,
что отрезок, концами которого являются произвольные точки исходного
множества, равен отрезку, концами которого являются соответствующие
точки множества, в которое исходное множество преобразуется.

При этом согласно доказанному У31, а также А13 — А15, нетрудно по-
лучить справедливость всех аксиом третьей группы, изложенных в книгах
[17] и [18], за исключением одной аксиомы.

Эта аксиома утверждает, что если А , В , С — три точки, не лежащие
на одной прямой, А' , В1 , С' — также три точки, не лежащие на одной
прямой, и АВ = А'В', ВС = В'С', АС = А'С', £ВАС = £В'А'С', то
£АВС = £А'В'С' и £АСВ = £А'С'В' .
Если доказать следующий ниже первый признак равенства треугольни-
ков (по двум сторонам и углу между ними) с помощью наложения, то из
него непосредственно и будет вытекать утверждение последней аксиомы
” конгруэнтности”.

Обратно, исходя из системы аксиом третьей группы, изложенных в кни-
гах [17] и [18], можно, в частности, доказать свойство рефлексивности, сим-
метричности и транзитивности отношения равенства отрезков и углов, от-
куда, исходя из определения наложения и аксиом конгруэнтности отрезков
и углов, будет следовать справедливость аксиом наложения А14, А15, А17
— А19. Справедливость А13 и А16 будет вытекать из свойств движения,
о которых говорится ниже, в VI п. 2.3.0

Этот важный вывод об эквивалентности системы аксиом наложения и
системы аксиом ’’конгруэнтности” отрезков и углов, изложенных в книгах
[17] и [18], позволит нам и в дальнейшем при необходимости использовать
утверждения указанных книг [17] и [18].

Утверждения, в определенном смысле аналогичные У31 и его следствию

Утверждение 32. Пусть h , к , I — тройка лучей, лежащих в одной
плоскости и имеющих общее начало О , hf , kf , I' — также тройка лучей,
лежащих в одной плоскости и имеющих общее начало О1 , пусть луч I в
первой тройке проходит (не проходит) между лучами h и к , а луч V во
второй тройке проходит (не проходит) между лучами h‘ и к1 . Тогда,
если ДЩ) = 2(Л';Г) , Д1,к) = Д1',к') , то £(h-k) = /(Л';*')
(см. рис. 15 а), б), в), г).

Доказательство см. [17], гл. II, §17, теорема 16 и [18], гл. I, §6, теорема 15.

Отметим ряд важных свойств, касающихся отношений ’’равен”, ’’боль-
ше” и ’’меньше” между отрезками и углами. В силу аксиом 17 — 19 отно-
шение ’’равен” для отрезков и углов обладает свойствами рефлексивности,
симметричеости и транзитивности, однако если систему аксиом наложе-
ния заменить системой аксиом ’’конгруэнтности”, то, например, свойство
транзитивности отношения ’’равен” для отрезков и углов можно было бы
доказать как теоремы (см. [17] и [18]). Стало быть, при выбранной нами
схеме изложения материала соответствующие свойства отношения "равен”
вытекают из аксиом. Однако, как отмечалось выше, из системы аксиом
наложения, принятой в данной книге, можно вывести ряд аксиом "конгру-
энтности” на основе которых доказываются следующие утверждения.

Утверждение 33. Для произвольных двух отрезков АВ и CD всегда
выполняется одно и только одно из трех соотношений: или АВ = CD ,
или АВ > CD , или АВ < CD.	,

Доказательство см. [17], гл. II, §18, теорема 27.	*

Утверждение 34. Для произвольных трех отрезков АВ , CD и EF
из АВ < CD , CD < EF следует АВ < EF (свойство транзитивности
отношения "меньше” для отрезков).

Доказательство см. [17], гл. II, §18, теорема 28.

Следствие 1. Для произвольных трех отрезков АВ , CD и EF из
АВ > CD , CD > EF следует АВ > EF (свойство транзитивности отно-
шения "больше” для отрезков).

Доказательство. Поскольку из определений отношений ’’больше” и
"меньше” для отрезков (см. 019 и 019 А) вытекает, что АВ > CD
О- CD < АВ, CD > EF О EF < CD , то из У34 вытекает, что EF < АВ,
откуда АВ > EF .

Следствие 2. Если отрезок CD — часть отрезка АВ , то CD < АВ
(см. выше рис. 5 г).

* Доказательство. Если обе точки С и D лежат между точками А и В,
то (см. У11 — У14 и 07) если, например, С лежит между А и D , то
CD < AD , AD < АВ => CD < АВ , аналогично рассматривается случай
D лежит между А и С . Если одна из точек С или D совпадает с одним из
концов отрезка АВ , а другая из них является внутренней точкой отрезка
АВ , то CD < АВ следует из 019.

Замечание. Справедливость У33 , У34 и следствий распространяется
и на случай, когда некоторые из рассматриваемых отрезков могут быть
нулевыми, в частности, в следствии 2 точки С и D могут совпадать. Для
доказательства надо применить определенные выше отношения ’’равен",
"больше”, "меньше” по отношению к нулевому отрезку.

Утверждение 35. Для произвольных двух углов Z(ft;ib) и £(p\q) всегда
выполняется одно и только одно из трех соотношений:

или Z.(h;k) = Z(p;g) , или > Z(p;q) , или £(h\k) < Z(p; q) .
Доказательство см. [18], гл. I, §6, теорема 20 и вывод из нее.
Замечание. Справедливость этого утверждения распространяется на
случай углов каждого из четырех типов. Для этого надо воспользоваться
соответствующими определениями отношения ’’равен”, ’’больше” и ’’мень-
ше” для углов различных типов, включая и нулевой, полный и разверну-
тый углы, если речь идет о двух углах третьего типа, (они обозначаются
Z(ft;fc) и Z(p;g) , результат относительно них можно свести к результату
относительно углов первого типа, которые дополняют их до полного угла
Z(h; k) = 4h-Л) - Z(ft; k) , Z(p; g) = Z(p; p) - Z(p; g) .

Утверждение 36. Для произвольных трех углов	и

из £(h\ к) > Л(Цт) , Z(/;m) > Z(n;p) следует /.(h^k) > Z(n;p)
(свойство транзитивности отношения ”больше” для углов).

Доказательство см. [18], примечание 28.

Следствие 1. Для произвольных трех углов £(h\ к), т) и из
из ^(h\k) < Л(Г,т) , Z(/;m) < Z(n;p) следует £(h]k) < £(п>р) (свойство
транзитивности отношения ’’меньше” для углов).

Доказательство проводится точно так же, как и доказательство след-
ствия 1 из У34 на основе определений отношений ’’больше” и ’’меньше” для
углов (см. 021 и 021 А).

Замечание. Справедливость У36 и следствия 1 также распространя-
ется на случай углов всех четырех типов, для этого обоснований можно
воспользоваться соответствующими определениями отношений ’’больше”
и ’’меньше” для углов различных типов, включая и нулевой, полный и
развернутый углы, если речь идет о всех углах третьего типа, результат
относительно них можно свести к результату относительно углов первого
типа, которые дополняют их до полного угла (точно так же, как в замеча-
нии к У35).

Следствие 2. Если угол £(l;q) — часть угла £(h,k) f
то < £(h\k) (см. выше рис. 9 е).

Доказательство. Если оба луча / и q проходят между лучами Л и fc,
то (см. У27 и 017) если, например, I проходит между лучами h и q , то
Z(p;g) < Z(h;p) , Z(h;p) < Z(h; к) .=> Z(p;g) < Z(h;fc) , аналогично рас-
сматривается случай, когда луч q проходит между лучами Ли/. Если
один из лучей / или q совпадает с одной из сторон угла Z(/i; к) , а другой
из них проходит внутри угла Z(h; к) , то Z(/;g) < Z(h; к) следует из 021.

Замечание. Справедливость этого следствия тоже распространяется на
случай углов всех четырех типов, это доказывается точно так же с учетом
предыдущих двух замечаний.
IV. Аксиомы непрерывности

А. , ? В ._____________________________£____________

. An.(An \Л| «Л2	Вщ'*' в^ Вз 51

сГ“Ь	с~Ъ

рис. 16 а)	рис. 16 б)

Аксиома, 20. Пусть AB u CD какие-либо два ненулевых отрез-
ка. Тогда на прямой (АВ) существует конечное количество точек
А\ , Л-2 , Аз , ... ,
А„ таких, что точка А\ лежит между точками А и Аз (то есть
Ai Е ААз), Аз Е Ai Аз и т.д., An-i Е Ап-зАп, и выполняются равенства
AAi = А1А3 = А 2 A3 = ... = ЛП-1ЛП = CD и точка В лежит меж-
ду точками А и Ап (см. рис. 16 а). Аксиома 20 носит название аксиомы
измерения или аксиомы Архимеда.

Аксиома 21. Пусть на какой угодно прямой а имеется бесконечная
последовательность отрезков А1В1 , А3В3 , ... , АпВп , ... такая, что
каждый последующий отрезок целиком лежит внутри предыдущего (это
означает, что Vn Е N и УМ Е An+iBn+i => М Е AnBn)f и.каким бы
ни был заранее заданный отрезок CD , найдется номер по такой, что
отрезок АПоВПо меньше отрезка CD . Тогда на прямой а существует
точка X , лежащая внутри всех этих отрезков, (то есть Vn Е N =>
=> X Е АпВп) (см. рис. 16 б).

Аксиома 21 носит название аксиомы Кантора.

Замечание. В таком виде эта аксиома приводится в книге [17], гл. II,
§20. Из нее сразу вытекает единственность указанной точки X. Предпола-
гая существование еще одной такой точки У , в силу У И вытекает, что
весь отрезок XY (то есть вместе со всеми своими внутренними точками)
целиком лежит внутри любого из отрезков АпВп , то есть будет меньше
или равен каждого из этих отрезков, а это противоречит утверждению
w аксиомы Кантора, согласно которой Зпд : Ап/ Вп' < XY .

Однако в ряде других книг, в частности [1в|, в приложении об аксиомах
геометрии учебника [9], вместо аксиомы Кантора приводится следующая
аксиома.

Аксиома 21'. Какова бы ни была прямая а совокупность всех ее точек
нельзя пополнить новыми, также принадлежащими ей точками, чтобы
на пополненной прямой были определены отношения ’’равен” и ’’лежит
между”, определен порядок следования точек и имели бы место аксио-
мы А1, А2, А9 — А12, АЦ (при этом еще требуется, чтобы выполнялось
свойство транзитивности отношения равенства отрезков и У31, являющие-
ся при выбранной нами системе аксиом наложения, а не ’’конгруэнтности”,
являются теоремами).
Аксиома 21' носит название ’’аксиомы линейной полноты”.

Замечание. В §74 книги [17] говорится, о том, что при наличии всех
аксиом А1 — А20, А22 параллельности прямых (см. ниже) и А21 (А21')
утверждение А21' (А21) может быть доказано.

Введем следующие важные определения: длины отрезка и величины
угла, с помощью которых всякому отрезку и углу ставится в соответствие
действительное число. Это позволяет, как будет видно ниже, производить
над отрезками и углами арифметические действия, по сути дела, также,
как и над действительными числами.

Определение 24. Длиной отрезка называется поставленное ему в
соответствие положительное (если отрезок ненулевой) число, удовле-
творяющее условиям:

1)	существует отрезок, длина которого равна 1

(единица измерения отрезков) ;

2)	равные отрезки имеют равные длины ;

3)	длина суммы двух отрезков равна сумме длин этих отрезков ;

4)	длина всякого нулевого отрезка равна нулю .

Длина отрезка АВ обозначается |АВ| . Из условия 4) вытекает, что для
любой точки А |АА| = 0 .

Следствие 024. Из 021 Б разности отрезков, аналогичного определения
разности чисел и условия 3) 024 вытекает, что если разность отрезков
определена, то мера разности отрезков равна разности мер этих отрез-
ков.

Определение 24'. Расстоянием между двумя точками А и В или на
прямой, или на плоскости, или в пространстве называется длина отрез-
ка АВ , то есть |АВ| . Обозначается расстояние между точками А и В
Р(А;В) .

Стало быть, р(А; В) = |АВ| и оно положительно во всех случаях кроме
случая совпадения точек, когда оно равно нулю.

В гл. II, §20 книги [17] доказана корректность определения длины от-
резка, то есть что условия 1) — 3) 024 единственным образом определяют
длину каждого ненулевого отрезка (разумеется, при выборе фиксирован-
ного отрезка в качестве единицы измерения длины, длина этого отрезка
и равна 1). Аксиома Кантора при этом не используется. Важно отметить,
что при доказательстве этой теоремы используется возможность деления
отрезка, выбранного за единицу измерения длины, на 2 , 4 , 8 , ... , 2П , ...
частей. Для этого введем определение и сформулируем соответствующее
утверждение.

~А ' С 5

рис. 17
Определение 25. Серединой ненулевого отрезка АВ называется точ-
ка, лежащая на прямой (АВ) и такая, что АС = СВ (см. рис. 17). Для
нулевого отрезка АА серединой формально можно считать точку А .

Утверждение 37. Для каждого ненулевого отрезка существует един-
ственная середина; середина отрезка является его внутренней точкой *
(то есть эта точка делит отрезок пополам).

Доказательство см. [17], гл. II, §17, теорема 23 и [18], гл. I, §6, теорема 26.

При доказательстве У37 используются А12, А14, А15 и теоремы, вы-
ражающие первый и второй признаки равенства (’’конгруэнтности”) тре-
угольников, выводимые и с использованием аксиом ’’конгруэнтности”. По-
этому ниже, при применении в доказательстве признаков равенства тре-
угольников метода наложения мы не имеем права использовать понятие
длины отрезка.

Замечание. Всвязи с этим необходимо отметить, что указанное обсто-
ятельство не соблюдается при доказательстве признаков равенства тре-
угольников в учебнике [5] и книге [10], где, в частности, аксиоматически
утверждается наличие у каждого ненулевого отрезка длины, большей нуля,
и равные отрезки определяются как имеющие равные длины. Такого рода
упрощения изложения материала, когда за аксиому или определение выда-
ется то, что на самом деле при ’’полноценном” подходе к введению системы
аксиом (об этом см. в конце п. 2.3.0) может быть доказано как теорема (до-
казательство может быть и не очень простым), вызвано, на наш взгляд,
ориентацией того или иного школьного учебника на массового школьника,
далеко не всегда собирающегося сдавать вступительные экзамены в вузы
с повышенными требованиями к знанию математики.

Исходя из 020 и 021 и условий 2) и 3) 024, нетрудно показать, что из
АВ > CD => |АВ| > |CD| , а из АВ < CD => |АВ| < |С£>| , поэтому от
противного (на основании наличия между числами, а также отрезками (см.
У33) одного и только одного из трех соотношений: или а = Ь, или а > Ь,
или а < Ь, здесь а, Ь € Я), легко получить, что из |АВ\ = |CZ>| => АВ = CD
а также |АВ| > (<)|CD| => АВ > (<)CD . Получили важный вывод.

Утверждение 38. Любые два отрезка равны тогда и только тогда,
когда равны их длины, из двух отрезков больший отрезок и только боль-
ший имеет большую длину и меньший отрезок и только меньший имеет
меньшую длину, то есть АВ — CD О |АВ| = |С£>| ,

АВ > CD & |АВ\ > \CD\ , АВ <CD & \АВ\ < |CD| .

Из определения 21 А суммы п отрезков и условия 3) в определении дли-

* В школьных курсах геометрии этот факт устанавливается возможностью прове-
дения к любому ненулевому отрезку серединного перпендикуляра.
ны отрезка, а также, если прозвольные п отрезков можно совместить с
равными им так, как указано в 021 А, по индукции можно получить спра-
ведливость следующего утверждения:

Утверждение 39. Для любого конечного количества отрезков длина
суммы этих отрезков равна сумме их длин.

Замечание. Исходя из У38 и У39, можно прийти к выводу о том, что все
действия над отрезками можно проводить так же, как и над их длинами
(числами). При этом будут иметь место все свойства суммы отрезков (ком-
мутативный и ассоциативный законы, свойства равенств и неравенств над
отрезками, например, возможность почленного прибавления к неравенству
относительно отрезков одного и того же отрезка с сохранением при этом
того же неравенства и т.п.).

Применяя аксиому Кантора, можно доказать следующее важное утвер-
ждение:

Утверждение 40. Для любого действительного числа а > 0 от данной
точки на данной полупрямой (то есть на полупрямой с началом в данной
точке) можно отложить единственный отрезок, длина которого равна
а .

Доказательство см. [17], гл. II, §21, теорема 35.

Замечание. Следует отметить, что в учебниках [6] и [7] это утвержде-
ние приводится в качестве аксиомы, а также, как аксиома, утверждается
о существовании при данной единице измерения отрезков положительной
длины каждого ненулевого отрезка. Подобное обстоятельство вызвано, по
всей видимости, тем же обстоятельством, о чем говорилось в предыдущем
замечании к учебнику [5] и книге [10].

С помощью аксиомы Кантора или аксиомы линейной полноты можно
обосновать и метод координат на прямой (см. формулировку теоремы 5
в п. 2.0.3).

Можно чисто арифметическими методами на основе У39 и А14 доказать
такое утверждение.

Утверждение 41. Для любого натурального числа п (п 2) внутри
любого ненулевого отрезка существует п — 1 точек, делящих его на п
равных отрезков. *

При этом каждый из этих равных отрезков можно формально по опре-
делению считать результатом деления отрезка на натуральное число п .

Прежде, чем ввести меру угла, введем некоторые геометрические опре-
деления, которые в этом понятии будут использоваться.

* В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Фалеса геометрическим путем
решается задача о делении любого отрезка на любое количество равных отрезков.
Л(к\к)-прямой А(к,к)-острый Л(к,к)~тупой

рис. 18 а)	рис. 18 б)	рис. 18 в)	рис. 18 г)

Определение 26. Два угла первого типа (то есть два неразвернутых
угла) называются смежными, если они имеют общую вершину и одну об-
щую сторону, а другие их стороны являются взаимно дополнительными
лучами (то есть вместе с вершиной угла они образуют прямую). Нуле-
вой и развернутый углы, имеющие общую вершину и сторону, мы также
будем считать смежными.

- Из этого определения следуёт, что если один из смежных углов обозна-
чить за Z(ft; к) , то другой из них будет иметь вид Z(fc; Л)
(см. рис. 18 а).

Определение 27. Угол, равный своему смежному углу, называется
прямым углом (см. рис. 18 б).

Определение 27 А. Лучи h и к такие, что Z.(h\k) — прямой, называ-
ются перпендикулярными. Обозначаются hl к или к 1 h
(см. рис. 18 б).

Определение 27 Б. Луч h называется перпендикулярным к прямой а,
образованной лучами к и к , если Z.(h;k) (а, стало быть, £(h\k)) — пря-
мой. Обозначается Л ± а . Точку пересечения перпендикулярных прямой и
луча называют основанием перпендикуляра (см. рис. 18 б).

Определение 27 В. Угол первого типа, который меньше прямого угла
называется острым углом (см. рис. 18 в).

Определение 27 Г. Угол первого типа, который больше прямого угла
называется тупым углом (см. рис. 18 г).

Из 015 А, 022, 027, 027 В и 027 Г вытекает, что острый, прямой
(который также является углом первого типа) и тупой углы являются не-
развернутыми углами и меньше развернутого угла.

Утверждение 42. Если два угла равны, то и соответственно смежные
им углы равны.

Доказательство см. [17], гл. II, § 17, теорема 20 и [18], гл. I,§ 6, теорема
14, а также п. 2.3.1, вопрос 2, теорема 2, стало быть, доказательство этой
теоремы на устном экзамене надо знать.

Утверждение 43. Прямой угол существует и все прямые углы равны.
Доказательство см. [17], гл. II, §17, теоремы 21, 22 и [18], гл. I, §6, вывод
из теоремы 14 и теорема 21.

Следствие. Из данной точки О на данной прямой а в данную полуплос-
кость плоскости а относительно прямой а можно провести единственный
луч, перпендикулярный прямой а (то есть единственный луч, образующий
с любой из полупрямых прямой а с началом в точке О прямой угол).

Справедливость этого следствия легко устанавливается, например, от
противного, что сразу приводит к противоречию с У43 и А15.

Введем в начале меру угла, не превосходящего развернутый угол.

Определение 28. Мерой (величиной) угла называется поставленное
ему в соответствие положительное (если угол ненулевой) число, удовле-
творяющее условиям:

1)	существует угол, мера которого равна 1

(единица измерения углов) ;

2)	равные углы имеют равные меры ;

3)	мера суммы двух углов равна сумме мер этих углов ;

4)	мера всякого нулевого угла равна нулю .

Мера угла /(Л; к) обозначается (Л; к) или Z(h; к) . Из условия 4) выте-
кает, что для любого луча h (Л; Л) = 0 .

Следствие 028. Из 023 Б разности углов, аналогичного определения
разности чисел и условия 3) 028 вытекает, что если разность углов опре-
делена, то мера разности углов равна разности мер этих углов.

В гл. П, §20 книги [17] говорится об аналогии доказательства коррект-
ности этого определения, то есть что условия 1) — 3) 028 единственным
образом определяют меру каждого ненулевого угла (разумеется, при выбо-
ре фиксированного угла в качестве единицы измерения меры углов, мера
этого угла и равна 1). При этом нет необходимости формулировать еще од-
ну аксиому, аналогичную аксиоме Архимеда для отрезков, поскольку ана-
логичное утверждение доказывается в книге [18], гл. II §10, теорема 34. В
частности, используется аналогичный факт возможности деления любого
ненулевого угла первого типа на два равных угла, а затем каждого из полу-
Определение 29. Биссектрисой ненулевого угла Z(h;fc) первого типа
называется луч I с началом в вершине угла, проходящий между его сто-
ронами, и такой, что	к) (то есть этот луч делит угол на

два равных угла). Формально биссектрисой нулевого угла Z(h;h) можно
считать луч h (см. рис. 19 а).

Замечание. В отличии от 025 середины отрезка, в котором не тре-
бовалась, чтобы эта точка находилась внутри этого отрезка, этот факт
доказывался, то в 028 биссектрисы угла требование прохождения луча /
внутри угла существенно, поскольку в силу У42 дополнительный лучу I
луч 7 также будет удовлетворять условию Z(h;7) = Z(7;fc) , однако нахо-
диться во внутренней области угла Z(h; к) он не будет.

Утверждение 44. Для каждого угла первого типа существует един-
ственная биссектриса; биссектриса угла проходит внутри угла. *

Доказательство этого факта можно провести следующим образом (см.
[18], гл. I, теоремы 11 и 26). На сторонах угла от вершины О отклады-
ваются произвольные равйые отрезки О А = ОВ, концы которых соеди-
няются, при этом получается равнобедренный треугольник ДОАВ. Далее
доказывается равенство углов, противолежащих равным сторонам в этом
треугольнике. Затем вследствие наличия середины С у третьей стороны
(основания) АВ этого треугольника и возможности провести луч с началом
в вершине угла через эту середину, на основе первого признака равенства
треугольников мы и получим, что указанный луч разделит угол на два
равных угла. Поскольку середина указанного основания треугольника —
его внутренняя точка, то и указанный луч пройдет между сторонами угла,
то есть окажется во внутренней области угла (см. рис. 19 б).

Для доказательства единственности биссектрисы предположим, что су-
ществуют внутри угла Z(h; к) два луча I и /' такие, что Z(h; /) = Z(Z; к) и
Z(h;/') = Z(/';fc) (см. рис. 19 в). В силу У29 для п = 2 , беря в качестве
луча а , например, луч h , в качестве луча hi — луч I , а в качестве луча Ьг
— луч /' , мы получим, что один из лучей I или /' будет проходить между
лучами h и другим из них. Пусть для определенности луч I проходит меж-
ду лучами h и /' , тогда, с одной стороны, в силу У20 и У26 любой отрезок
с одним концом на луче h , а с другим концом на луче /' пересечет луч
/ , поэтому лучи h и /' находятся в разных полуплоскостях относительно
прямой, содержащей луч / . Аналогично этим рассуждениям так как луч /
проходит между лучами h и к , то и эти лучи будут в разных полуплос-
костях относительно прямой, содержащей луч / , а следовательно, лучи /'

* В школьных курсах геометрии факт существования биссектрисы устанавливается,
например, возможностью геометрического построения биссектрисы любого неразверну-
того угла.
* и к уже будут в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей
луч I . С другой стороны, 2(Л;/') > Z(h;/) => /(Л;/') > Z(/;fc) (другие
два соотношения между последними углами в силу транзитивности отно-
шения ’’меньше” и ’’равен” для углов приведут нас к противоречию или
с Z(/i;/) = Z(/;fc) , или согласно А15 с /' =£ / . Аналогичным образом из
,Z(/i;/') = Z(Z';fc) => Z(fc;/') > Z(fc;/) , а потому луч / проходит между
лучами к и lf . Стало быть, такими же рассуждениями, как и выше полу-
чаем, что лучи к и I лежат в разных полуплоскостях относительно прямой,
содержащей луч I . Получили противоречие, которое и доказывает един-
ственность биссектрисы.

Отметим, что поскольку в этом доказательстве использовалось суще-
ствование середины отрезка, то (см. доказательство У37) неявно фигури-
руют: использования А12, А14, А15 и теорем, выражающих первый и вто-
рой признаки равенства (’’конгруэнтности”) треугольников, помимо этого
применяется теорема о равенстве углов при основании равнобедренного
треугольника, доказываемая на основе первого признака равенства тре-
угольников. Поэтому ниже, при применении в доказательстве признаков
равенства треугольников и метода наложения мы не имеем права исполь-
зовать понятие величины угла.

Замечание. Так же, как и выше, в соответствующем замечании о длине
отрезка необходимо отметить, что указанное обстоятельство не соблюда-
ется при доказательстве признаков равенства треугольников в учебнике
[5] и книге [10], где, в частности, аксиоматически утверждается о наличии
у каждого неразвернутого угла градусной меры, большей нуля, и равные
углы определяются как имеющие равные градусные меры. Такого рода
упрощения изложения материала вызваны, видимо, теми же обстоятель-
ствами, о которых говорилось в предыдущих замечаниях.

Исходя из 022 и 023 и условий 2) и 3) 028, нетрудно показать, что из
Z(A;fc) > Z(p;g) => (h\k) > (p\q) , а из Z(A;fc) < Z(p;g) => (h\k) < (p;g),
поэтому от противного (на основании наличия между числами, а также
углами (см. У34) одного и только одного из трех соотношений: или а = /?,
или а > /?, или а < /?, здесь ot, ft Е Я), легко получить, что из (Л; к) =
= (р; ч) => ^(Л; ^) = ^(р; ч) , a также (Л; к) > (<)(р; q) => Z(h; к) > (<)
> (<)Z(p;g) . Получили важный вывод.

Утверждение 45. Любые два неразвернутых угла равны тогда и толь-
ко тогда, когда равны их меры, из двух углов больший угол и только
больший имеет большую меру и меньший угол и только меньший имеет
меньшую меру, то есть	= £(p\q) <=> (h\k) = (p;g) ,

Z(h;fc) > Z(p;g) (h;fc) > (p;g) , Z(ft;fc) < Z(p;g) (Jv, k) < (p, q) .
Из определения 23 А суммы п углов и условия 3) в определении меры
угла, а также, если прозвольные п углов можно совместить с равными им
так, как указано в 023 А, то по индукции можно получить справедливость
следующего утверждения:

Утверждение 46, Для любого количества п углов мера суммы п углов
равна сумме их мер.

Замечание. Исходя из У45 и У46, можно прийти к выводу, что все дей-
ствия над углами можно проводить так же, как и над их мерами (числами).
При этом будут иметь место все свойства суммы углов (коммутативный
и ассоциативный законы, свойства равенств и неравенств над углами, на-
пример, возможность почленного сложения неравенств одного смысла от-
носительно углов и т.п.).

Применяя аксиому Кантора, можно доказать и такое важное утвержде-
ние.

Утверждение 47. Для любого действительного числа а :

О < а < 2а> (и > 0 — мера прямого угла) от данной полупрямой с вер-
шиной в данной точке в данную полуплоскость относительно прямой,
содержащей эту полупрямую, можно отложить единственный угол, ме-
ра которого равна а .

Доказательство см. [17], гл. II, §21, теорема 36 (это может быть сделано
по аналогии с доказательством теоремы 35).

Можно чисто арифметическими методами на основе У43 и А16 доказать
такое утверждение.

Утверждение 48, Для любого натурального числа п (п 2) внутри
любого ненулевого угла первого типа существует п — 1 лучей, делящих
его на п равных углов.

При этом каждый из этих равных углов можно формально по опреде-
лению считать результатом деления угла на натуральное число п .

Распространим теперь понятие меры угла и на развернутый угол, углы
третьего типа и полный угол. Меру развернутого угла естественно опреде-
лить как число 2ш , поскольку развернутый угол равен сумме двух прямых
углов. Меру полного угла естественно определить как число 4ы , посколь-
ку полный угол равен сумме двух развернутых углов, (A; fc) — 2о> 4- (A; к),
поскольку Z(A;fc) = Z(A;A) + Z(A;fc) . На основе У47 о существовании
Va' 6 (0,2cu) единственного угла, Z(A;fc) (уже в другой полуплоскости не-
жели в У47) такого, что (А; к) = а' , мы получим справедливость и такого
утверждения.

Утверждение 49. Для любого действительного числа a :
0^a^4u>(a?>0 — мера прямого угла) от данной полупрямой с вер-
шиной в данной точке в сторону данной полуплоскости относительно
прямой, содержащей эту полупрямую, можно отложить единственный
угол, мера которого равна а , при этом а = 0 <£> Z(h; h) — нулевой,
О < а < О Z(ft;fc) — угол первого типа, а = 2а> <=> Z(ft;ft) — развер-
нутый, 2а> < а < 4а> <=> Z(ft; k) — угол третьего типа, а = 4со <=> Z(h; h)
— полный.

Теперь на углы всех четырех типов распространяется справедливость У45,
У 46, замечаний к ним и — У48.

Отметим, что на углы всех четырех типов можно распространить и 029
биссектрисы угла: при этом биссектрисой развернутого угла Z(fe; h) будет
такой луч I, что Z(ft; /) — прямой; биссектрисой полного угла Z(ft; ft) будет
луч 7 = ft , то есть Z(ft;/) — развернутый. Для построения биссектрисы
угла Z(ft;fc) — третьего типа достаточно построить биссектрису 1 угла,
дополняющего его до полного угла (который будет углом первого типа),
угла Z(ft; k) = Z(ft; ft) — Z(ft; k) и провести луч I , дополнительный лучу 1.
В силу У42 равенство Z(ft;7) = Z(7;fc) <=> Z(ft;/) = Z(/;fc) . Из проведенных
рассуждений и доказанного выше У44 вытекает, что у любого угла каждого
из четырех типов существует единственная биссектриса.

Замечание 1. Отметим, что в полной аналогии как и над числами, над
отрезками и углами вводятся отношения ” больше или равен” и ” меньше
или равен”, первое из них означает, что между углами имеет место одно из
двух соотношений: или ’’больше”, или ’’равен”, а второе из них означает,
что между углами имеет место одно из двух соотношений: или ’’меньше”,
или ’’равен”, которые соответственно обозначаются АВ CD и АВ CD\
£(h\k)	и Z(ft;fc) Z(p;g) . Из полученных выше результатов

для длин отрезков и мер углов вытекает, что соответствующие отношения
’’больше или равен” и ’’меньше или равен” будут иметь место и между
длинами отрезков и мерами углов, например, Z(ft;fc) Z(p;g)

(ft;fc) (р;д) и АВ CD <=> |АВ| |С£>| . На эти отношения между
отрезками и углами распространяются соответствующие свойства нера-
/ венств между числами.

Замечание 2. Теперь следует еще раз отметить, что до сих пор в п. 2.3.0
речь шла только о так называемых ’’геометрических” углах — углах че-
тырех типов, введенных нами в 015, 015 А) — 015 Г), которые не превос-
ходят полного угла. Однако, если бы мы попытались сложить, например,
два угла третьего типа согласно введенному определению сложения углов,
то получили бы в определенном смысле угол, превосходящий полный угол,
который можно было бы описать как угол, полученный вращением вокруг
его вершины одной из его сторон относительно другой более, чем на полный
оборот, причем, вообще говоря, таких оборотов может быть более одного.
Эти обороты могут происходить в сторону каждой из двух полуплоско-
стей плоскости угла относительно прямой, содержащей одну из его сторон.
Поэтому условно говорят: ” вращение происходит против часовой стрелки”
или ’’вращение происходит по часовой стрелке”.

В тригонометрии и рассматриваются такого рода углы, о чем уже го-
ворилось в начале п. 2.2 Здесь мы отметим, что углы, рассматриваемые
в тригонометрии, как правило, имеют фиксированную вершину — начало
координат, они являются ориентированными, то есть у углов Z(OA/;O7V)
существенен порядок образующих их лучей (это означает, что £(QM; ON)
и Z(ON;OM) — разные углы). Вместо описания углов, о котором гово-
рилось в п. 2.2, можно было бы и формально определить их как сумму
определенного количества п полных углов (любой из двух ориентаций как
против часовой стрелки, так и по часовой стрелке) и угла больше или рав-
ного нулевого угла и меньше полного угла (соответствующей ориентации).
На эти углы распространяются: введенные выше определения суммы углов
с учетом того, что каждый второй (конечный) луч предыдущего слагаемо-
го угла совпадает с первым (начальным) лучом последующего слагаемого
угла, поэтому у суммарного угла начальный луч — первый луч перво-
го слагаемого угла, а конечный луч — второй луч последнего слагаемого
угла, при этом ориентации слагаемых углов могут быть любыми (см. вы-
ше рис. 1 б) п. 2.2); все введенные выше, в 028 свойства меры угла и все
другие, указанные выше ее свойства. Напомним, что ориентация нулевого
угла считается не определенной.

В п. 2.2 говорилось о градусной и радианной мерах угла. Не повторяя
здесь этих понятий, мы отметим, что существование угла, берущегося в ка-
честве единицы измерения углов в градусной мере (это 1/90 часть прямого
угла), мы можем получить на основании У 48, существование же единицы
измерения углов в радианной мере можно получить, исследуя вопрос об из-
мерении длины окружности и длины дуги окружности (об этом см. ниже,
в п. 2.3.2).

Обращаем внимание и на то, что в силу У40 (о возможности откла-
дывания единственного отрезка заданной длины а > 0 на заданном луче,
один из концов которого в начале этого луча) существует единственная
общая точка у луча с началом в центре окружности и указанной окружно-
сти радиуса R > 0 ; далее после проведенных рассуждений на предыдущей
стр., У47 и У49 нетрудно обосновать приведенные в п. 2.2 утверждения:
о взаимно однозначном соответствии между действительными числами из
полуинтервгща [0,4м) и точками окружности с центром в начале коорди-
нат радиуса R > 0 (число м > 0 — мера прямого угла, ориентированного
против часовой стрелки); и о соответствии произвольной фиксированной
точке М на окружности бесконечного количества углов Z.AOM , меры ко-
торых имеют вид 4шк + ао , к = 0 ; ±1 ; ±2 ; ...

(ао — однозначно определенное по точке М число Е [0,4а;)), и только таких
Углов-	у. Аксиома параллельности прямых

Определение 30. Две прямые aub , лежащие в одной плоскости ,
называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Обозначение параллельности прямых: а || b (см. рис. 20).

а

____________________Ъ_
м

а

рис. 20

Аксиома 22. Через всякую точку М , не лежащую на прямой а , в
плоскости а , определенной этими точкой и прямой, проходит не более
одной прямой b , параллельной прямой а (см. рис. 20).

VI. О движении в геометрии и его видах

Выше, в п. III, где говорилось о понятии наложения и вводились акси-
омы, выражающие свойства наложения, см. 019 и УЗО, из которых выте-
кает, что наложение одной фигуры на равную ей другую фигуру означает
наличие между точками этих фигур взаимно однозначного соответствия.

С понятием наложения тесно связано и понятие движения. Сразу следу-
ет отметить, что согласно логике изложения материала, например, в гл. II
книги [17], где вместо понятия наложения равных фигур вводится понятие
”конгруэнтности” (равенства) фигур и вместо аксиом наложения форму-
лируются аксиомы ” конгруэнтности”,. понятия движения и наложения по
определению отождествляются (см. определение в [17], гл. II, §19).

Следуя логике изложения материала в данной книге, мы введем следу-
ющее определение движения.

Определение 31. Отображение плоскости или пространства на себя,
при котором для любых двух точек А и В фигуры F отрезок АВ равен
отрезку А'В' , где точки А' и В' — точки фигуры F', соответствующие
точкам А и В при отображении F на F' называется движением или
перемещением.

Считая, что на плоскости или в пространстве согласно 024 при нали-
чии А20 введена длина отрезка (то есть введено измерение), на основании
У38 об одновременном равенстве или неравенстве отрезков и их длин и
024' мы получим следующий вывод из 031.
Движение на плоскости или в пространстве есть отображение одной
фигуры на другую фигуру, при котором сохраняются расстояния между
любой парой точек первой фигуры и соответствующими им точками
второй фигуры.

Именно в таком виде, как сформулирован этот вывод, приводится опре-
деление движения в учебниках [5] (§9), [6] (гл. XIII, §1), [7] (гл. V, §3) и
книге [10], §10.

В учебниках [5], [6] и книге [10] доказывается следующее утверждение.

Утверждение 50. Если при движении три точки А , В , С , лежащие
на прямой а , соответственно переходят в точки Af , Bf , С1 , то эти
точки также лежат на некоторой прямой а' (при этом возможно, что
прямые а и af совпадают) и если точка В лежит между точками А и
С, то и точка В' лежит между точками Af и Cf .

При доказательстве этого утверждения было, в частности, применено
неравенство треугольника (см. ниже, в вопросе 3 п. 2.3.1 теорему 8).

Из У50 вытекает, что при движении отрезки переходят в отрезки, полу-
прямые — в полупрямые, а также каждый треугольник переходит в равный
ему треугольник и угол между полупрямыми равен углу между соответ-
ствующими полупрямыми, в которые они переходят при движении.

При доказательстве последних двух фактов применяется третий при-
знак равенства треугольников (по трем сторонам, см. ниже, в вопросе 1 п.
2.3.1 теорему 3). Подробнее см. указанный выше материал учебников [5],
[6] и книги [10].

Пространственным аналогом У50 является следующее утверждение.

Утверждение 51. Если при движении три точки А , В , С , лежащие
на плоскости а , соответственно переходят в точки А* , В* , Cf , то
эти точки также лежат на некоторой прямой а' (при этом возможно,
что плоскости а и а' совпадают).

Доказательство см. в учебнике [5], §18, п. 157.

На основе У51 также доказывается, что при движении в пространстве
плоскость переходит в плоскость, а также полуплоскость переходит в по-
луплоскость, полупространство переходит в полупространство.

По этому поводу см. [5], §18, п. 157 и [10], §23, упражнение 1.

В учебнике [6], гл. XIII, §1, п. 115 доказано такое утверждение.

Утверждение 52. Всякое наложение является движением, а также
всякое движение является наложением.

В первом из этих утверждений используется УЗО и А13, а во втором из
них используется третий признак равенства треугольников и теорема о се-
рединном перпендикуляре к отрезку (см. ниже, в вопросе 4 п. 2.3.1 теоремы
1 и 3). Это означает, что вводить определение движения мы можем только
после доказательства теорем, приведенных в первых четырех вопросах п.
2.3.1.

Среди видов движений в школьном курсе геометрии рассматривают:
симметрию относительно точки (центральную симметрию), симметрию
относительно прямой, симметрию относительно плоскости, поворот плос-
кости относительно некоторой ее точки на угол величины , поворот про-
странства относительно прямой на угол величины <р , параллельный пе-
ренос вдоль прямой, на плоскости, в пространстве. Мы не будем давать
определения этих видов движений и исследовать их свойства, отсылая чи-
тателей к указанным учебникам и книгам.

Ниже, в п. 2.3.2 говорится и о таких преобразованиях фигур, как гомо-
тетия и преобразование подобия.

VII. О требованиях, предъявляемых к системе аксиом

Для построения строгой логически непротиворечивой математической
теории (в частности, курса евклидовой геометрии) необходимо, чтобы си-
стема аксиом, лежащая в ее основе, удовлетворяла бы следующим трем
требованиям:

1)	непротиворечивости (то есть существования хотя бы одной кон-
кретной реализации совокупности объектов, удовлетворяющих всем акси-
омам);

2)	независимости или минимальности (то есть никакая из аксиом
данной системы не является следствием остальных аксиом) ;

3)	полноты (то есть между элементами любых двух ее реализаций
можно установить взаимно однозначное соответствие, * сохраняющее
отношения, установленное между элементами).

Подробнее см. [4] , §18 ; [19] , ” Приложение”, §2,4; [17] и [18] ; а также
’’Дополнение” к учебнику [9].

Мы только отметим, что первое и третье требование в полной мере
обоснованы (применительно к системе аксиом Д. Гильберта, включающей
в себя аксиомы ’’конгруэнтности”, вместо аксиом ’’наложения”) в книгах
[17] — [19]. О втором требовании там говорится, что это трудоемкая за-
дача. Поэтому в указанных книгах она решена частично. Мы же можем
утверждать, что система аксиом, принятая в учебниках [5], [6] и [7], этому
требованию не удовлетворяет.

* Это понятие введено выше, в сноске на стр. 10 данной книги.
2.3.1.	Основная часть. Ответы на вопросы по геометрии

В этом пункте в каждом вопросе теоретической части устного экзаме-.
на по математике, посвященной геометрии, приводятся как формулировки
всех определений, так и все теоремы с доказательствами, которые необхо-
димо знать на вступительных экзаменах. При этом в ряде вопросов могут
быть свои вводная, основная и дополнительная части. Главным является
материал основной части. Что касается материала вводной и дополнитель-
ной частей того или иного вопроса, то при подготовке как к письменному,
* так и к устному экзаменам по математике с ним тоже целесообразно
познакомиться, тем более, что на устном экзамене этот материал может
быть спрошен в качестве уточняющего или дополнительного вопроса. В
некоторых случаях, которые будут специально оговорены, материал этих
частей может быть использован на экзаменах без доказательств.

Напомним, что при ссылке на аксиому с тем или иным номером, на
определение с тем или иным номером, на утверждение с тем или иным
номером предыдущего пункта 2.3.0. мы будем соответственно говорить ”в
силу А13”, ”в силу 05”, ”в силу У9”, что будет соответственно означать:
идет ссылка на аксиому 13, на определение 5, на утверждение 9 и т.п.

Вопрос 1. Признаки равенства треугольников

Вводная часть

Определение 1. Треугольником называется фигура, состоящая из
трех *точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, концами
которых являются эти точки.

Указанные точки называются вершинами треугольника, а указанные
отрезки называются сторонами треугольника (см. рис. 21 а).

Если, например, обозначить буквами А , В , С вершины треугольника,
то сам треугольник обозначается символом &АВС .

Говорят, что вершина А (сторона ВС) противолежит стороне ВС
(вершине А), аналогично противолежащими друг другу являются вершина
В и сторона АС , вершина С и сторона АВ .

Отметим, что во многих случаях порядок вершин в треугольнике не
является существенным, поэтому обозначения ДАВС , ДВСА , ЛСВА и
т.п. представляют собой один и тот же треугольник. Однако в тех случаях,
когда будет существенен порядок вершин или сторон треугольника, это
будет специально оговариваться.

* Разумеется, что при подготовке к письменному экзамену важно хотя бы на уров-
не определений и формулировок теорем познакомиться с материалом основной части
вопросов геометрии.
Если при рассмотрении двух треугольников мы будем считать соот-
ветствующими друг другу какую-либо пару вершин одного и другого тре-
угольника или какую-либо пару сторон одного й другого треугольника, то
будем, как правило, обозначать их одинаковыми буквами, но или с разными
индексами, или без индексов, или со штрихами и т.п. Например, обозначив
первый треугольник за ДЛВС , а второй треугольник за ДЛ'В'С' , счи-
таем, что соответствующими вершинами у них будут А и А' ; В и В' ; С
и С* , а соответствующими сторонами у них будут стороны АВ и А'В1 ;
ВС и В'С' ; АС и Л'С' (см. рис. 21 г).

рис. 21 г)

Определение 2. Внутренней точкой ДАВС (точкой, лежащей внут-
ри £±АВС) называется всякая точка X , которая

1)	лежит в одной полуплоскости (по одну сторону) относительно
прямой (АВ) , что и точка С ;

2)	лежит в одной полуплоскости (по одну сторону) относительно
прямой (ВС) f что и точка А ;

3)	лежит в одной полуплоскости (по одну сторону) относительно
прямой (АС) , что и точка В .

Определение 2'. Внутренней областью треугольника называется мно-
жество всех его внутренних точек. При этом сам треугольник: его сто-
роны (все внутренние точки его сторон) и вершины называют границей
внутренней области этого треугольника.

См. рис. 21 б), на котором внутренняя область треугольника заштри-
хована тройной штриховкой.
Определение 3. Точкой, лежащей на стороне треугольника, называ-
ется всякая точка Y , являющаяся внутренней точкой этой стороны.

Определение 4. Всякая точка X' плоскости (АВС) называется внеш-
ней точкой А АВС (точкой, лежащей вне &АВС), если она не является
его внутренней точкой, не лежит ни на одной из его сторон и не совпа-
дает ни с одной из его вершин.

Определение 5. Всякий треугольник, объединенный со своей внутрен-
ней областью (множеством всех его внутренних точек), называется
плоским треугольником.

Определение 6. Внутренним углом треугольника называется угол,
внутренняя область которого содержит в себе внутреннюю область
этого треугольника.

На рис. 21 б) иллюстрируются определения 2 — 5, а на рис. 21 в)
иллюстрируется определение 6, внутренними углами &АВС будут углы:
£ВАС , Л АВ С , Z.ACB .

Замечание. Отметим, что всякая точка X , являющаяся внутренней точ-
кой треугольника АВС в смысле определения 2 принадлежит пересечению
внутренних областей всех внутренних углов этого треугольника.

В самом деле, точка X , находясь в одной полуплоскости с точкой В
относительно прямой (АС) будет и в одной полуплоскости с лучом АВ
относительно прямой (АС) и она же, находясь в одной полуплоскости с
точкой С относительно прямой (АВ) будет и в одной полуплоскости с лу-
чом АС (см. У20 п. 2.3.0) относительно прямой (АВ) , что и означает (см.
015 п. 2.3.0 и следующее за ним определение внутренней области угла),
что X принадлежит внутренней области угла ВАС , аналогично устана-
вливается, что точка X принадлежит как внутренней области угла ВС А,
так и внутренней области угла АВС .

Обратно, пусть точка X принадлежит пересечению внутренних облас-
тей внутренних углов треугольника АВС , тогда она, в частности, лежит
в одной полуплоскости плоскости (АВС) относительно прямой (АС) , что
и луч АВ и в одной полуплоскости плоскости (АВС) относительно прямой
(АВ) , что и луч АС , следовательно, точка X лежит в одной полуплоскости
плоскости (АВС) относительно прямой (АС) , что и точка В и она лежит в
одной полуплоскости плоскости (АВС) относительно прямой (АВ) , что и
точка С и она лежит, аналогично, рассматривая точку X как точку внут-
ренней области ZACB , мы получим, что, в частности, эта точка будет
лежать и в одной полуплоскости плоскости (АВС) относительно прямой
(ВС) , что и точка А . Тем самым мы доказали эквивалентность опреде-
ления 2 внутренней точки треугольника и определения внутренней точки
треугольника как точки, принадлежащей пересечению внутренних облас-
тей углов, вершины которых — вершины треугольника, а каждая из их
внутренних областей содержит соответственно противолежащую ей сто-
рону этого треугольника (см. рис. 21 в).

Определение 7. А) Треугольник, у которого все внутренние углы ост-
рые, называется остроугольным.

Б) Треугольник, у которого есть прямой внутренний угол, называет-
ся прямоугольным.

В) Треугольник, у которого есть тупой внутренний угол, называется

рис. 21 д)

прямоугольный
рис. 21 е)

рис. 21 ж)

Основная часть

Определение 8- Треугольники называются равными, если их можно
совместить наложением.

Это определение означает, что если ДАВС — кА* В'С, то можно сов-
местить его соответствующие вершины А и А1 , В и В1 , С и С* , откуда
в силу А13 вытекает, что совмещаются стороны АВ и А'В' , ВС и В'С',
АС и А'С', следовательно, АВ = А'В' , АС = А'С' , ВС = В'С' . Далее
в силу следствия из У31А можно совместить лучи АС и А'С', лучи АВ и
А'В'; лучи В А и В'А', лучи ВС и В'С' ; лучи С А и С'А', лучи СВ и С'В'
(что согласуется с АЗ), откуда в силу А16 следуют равенства его внут-
ренних углов ZBAC = ZB'A'C' , ZABC = ZA'B'C' , ZACB = ZA'C'B' .
Таким образом, в равных треугольниках против соответственно равных
сторон (углов) лежат соответственно равные углы (стороны).

Теорема 1. (I признак)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответ-
ственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника,
то эти треугольники равны.

Эта теорема означает, что если у ДАВС и ЬА'В'С
АВ = А'В' , АС = А'С' , ZA = ZA' , то ДАВС = ДА'В'С'
(равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними).
Доказательство

рис. 22 а)

Рассмотрим наложение ДАВС на ДЛ'В'С" так, что вершина А совмес-
тится с вершиной Л', сторона АВ наложится на луч Л'В' , а сторона АС
наложится на луч Л'С' . Такое наложение существует в силу равенства
углов ВАС и В'А'С и А16. Так как АВ = Л'В' , АС = Л'С' , то в силу
А14 совместятся точки В и В' , а также совместятся точки С и С' . В силу
А13 совместятся отрезки ВС и В'С' . Следовательно, ДЛВС совместился
с ДЛ'В'С' , а потому по определению они равны.

Теорема 2. (II признак)

Если сторона и два прилежащие ей угла одного треугольника соот-
ветственно равны стороне и двум прилежащим ей углам другого тре-
угольника, то эти треугольники равны.

Эта теорема означает, что если у ДЛВС и ДЛ'В'С'
АС = А'С', ZA = ZA' , ZC = ZC' , то ДЛВС = ДЛ'В'С'

(равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам).

рис. 22 б)

Доказательство

Рассмотрим наложение ДЛВС на ДЛ'В'С' так, что вершдна Л совмес-
тится с вершиной Л', сторона АВ наложится на луч Л'В' , а сторона АС
наложится на луч Л'С' . Такое наложение существует в силу равенства
углов ВАС и В'Л'С' и А16. Так как АС = Л'С' , то в силу А14 совместят-
ся точки С и С' , поэтому в силу А13 совместятся отрезки АС и Л'С' . В
силу равенства углов ЛСВ и А'СВ' и А16 сторона СВ наложится на луч
С В'. Поскольку точки В и В' оказались на одном луче с началом в точ-
ке Л' , то в силу У20 точка В окажется в одной полуплоскости плоскости
(А'В'С") относительно прямой А'С" , что и точка Bf , а потому точки В
и Bf окажутся на одном луче с началом в точке С" . В силу единственнос-
ти общей точки прямых (AfBf) и (С"В') (трчки В') поскольку и точка В
оказалась на обеих этих прямых, то В = В' . Таким образом, в силу А13
совместятся отрезки АВ и А'В' , а также совместятся отрезки СВ и СВ* .
Следовательно, ДАВС совместился с ДА'В'С" , а потому по определению
они равны.

Замечание. Доказательства первых двух признаков равенства треуголь-
ников проведено методом наложения. Такой способ доказательства излага-
ется в учебниках [6] и [8]. В приведенном здась методе доказательства мы
использовали аксиомы наложения, которые в учебнике [8] не используется
совсем, а в учебнике [6] использование этих аксиом проиллюстрировано в
конце книги на примере доказательства только первого признака равенства
треугольников.

Теорема 3. (III признак)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Эта теорема означает, что если у ДАВС и ДА'В'С"

АВ = А'В' , АС = А'С' , ВС = В'С , то ДАВС = ДА'В'С'
(равенство треугольников по трем сторонам).

рис. 22 г)
Доказательство

Предлагается два способа доказательства третьего признака равенства
треугольников, на устном экзамене по математике достаточно привести
один из этих способов.

1 способ. Отложим от точки А' и луча А'С9 в полуплоскость плоскос-
ти (А9 В9 С9), которая не содержит точку В', угол ZBqA'C9 = ЛВАС (это
возможно на основании А15), и на луче A9Bq точку Bq выберем так, чтобы
A9Bq = АВ (это возможно на основании А14), соединим отрезком точки
Во и С9. В силу равенств АС = А'С', АВ = А'Во, АВ = А9В9 , А18 и А19
п. 2.3.0 следует A9Bq = А'В' и ZBAC = £BqA9C9, а потому по первому
признаку &BqA9C9 = ДВАС. Из равенства этих треугольников вытекает,
что BqC9 = ВС , а так как ВС = В'С' , то в силу А19 BqC9 = В'С' , из
△ВоА'С' = ABAC вытекают также равенства углов: ZJBqC'A' = ZBCA
и Z.A9BqC9 = ZABC . Соединим отрезком точки В' и Во , поскольку эти
точки расположены в разных полуплоскостях плоскости (А'В'С') относи-
тельно прямой А'С', то отрезок BqB9 пересечет прямую (А'С') в некоторой
точке ’Во . Возможны пять вариантов расположения точки Dq :

1.	Точка Dq лежит между точками А' и С' (то есть Dq 6 А'С'), тогда в
силу У26 луч В9Bq проходит между лучами В'А' и В9С9. В силу равенств
В9А9 = BqA9 и В9С9 = BqC9 соответственно вытекает, что ДВ'А'Во и
АВ'С'Во — равнобедренные. В силу свойств равнобедренного треугольни-
ка, рассматриваемых ниже, в вопросе 3 (их обоснование опирается только
на уже доказанный первый признак равенства треугольников) получаем,
что ZA'B'Bo = ZA'BoB' и ZC'B'Bo == £C9BqB'. Следовательно, в силу
У32 £A9BqC9 = £А'В9С9, а так как по доказанному £A'BqC9 = ZABC , то
в силу А18 и А19 ЛА9В9С9 = ZABC. Из равенств АВ = А'В' и ВС = В'С'
вытекает равенство треугольников АВС и А'В'С' по первому признаку.

2.	Точка Dq совпадает с точкой А'. В силу равнобедренности £\C9B9Bq
вытекает равенство углов С9В9А9 и С9BqA9. Далее точно такими же рас-
суждениями, что и в конце 1) получаем равенство треугольников АВС и
А'В'С'.

3.	Точка А' лежит между точками Dq и С' (то есть А' € ВоС'), тогда в
силу У26 луч В'А' проходит между лучами B9Dq и В9С9, а потому в силу
У27 луч В9Bq не проходит между лучами В9А9 и В9С9". Далее, рассуждая
точно также, как и в случае 1), в частности, применяя У32, справедливое
и для этого случая, получим равенство треугольников АВС и А'В'С'.

4.	Точка Dq совпадает с точкой С'. Этот случай рассматривается в
полной аналогии со случаем 2).

5.	Точка С' лежит между точками А' и Dq (то есть С' G А'Во), этот
случай рассматривается в полной аналогии со случаем 3). Таким образом,
теорема 3, выражающая собой третий признак равенства треугольников,
полностью доказана.

Замечание. В этом способе доказательства использован так называе-
мый метод приложения одного треугольника к другому. Такой способ до-
казательства излагается в учебниках [6] и [8]. В приведенном здась методе
доказательства мы использовали аксиомы наложения, которые в этих учеб-

2 способ, (см. [5] и [10]). Если у треугольников АВС и А'В'С* также
или ЛВАС = /В'Л'С', или ЛВС А = ЛВ*С*А*, или ЛАВС = ЛА* В*С*, то
эти треугольники равны по первому признаку. Предположим теперь, что
ЛВАС ± ЛВ*А*С* , ЛВС А ± ЛВ*С*А* , ЛАВС # ЛА*В*С* . Отложим
от луча АС в полуплоскость относительно луча (ЛС) , в которой лежит
точка В угол, равный ЛВ*А*С* (это возможно на основании А15), пусть
это будет ЛВ^АС. Отложим на луче ABq отрезок ABq = А*В* (в силу
ЛВАС ф ЛВ*А*С* вытекает, что лучи ABq и АВ — различные,* а потому
точки В и Во также различные) и соединим отрезком точки Во и С. У
ДЛВ0С и ДЛ'В'С' АС = А*С*, ЛВ0 = А*В* , ЛВ0АС = ЛВ*А*С*, следо-
вательно, эти треугольники равны по первому признаку, а из их равенства,
в частности, следует С Bq = С* В*. Точки Во и В лежат в одной полуплос-
кости плоскости (ЛВС) относительно прямой (Л) , поэтому отрезок BqB не
пересекает прямой (ЛС). Треугольники ABqB и СBqB — равнобедренные
с общим отнованием BqB , соединяя середину D отрезка BqB (в силу У37
точка D — внутренняя точка отрезка BqB , а потому она не лежит на пря-
мой (АС)), мы получим (исходя из свойств равнобедренного треугольника,
выводимых на основе уже доказанных первых двух признаков равенства
треугольников), что DA ± (BqB) и DC ± (ВоВ), а поскольку D £ (АС)
лучи DA и DC — различные, то мы пришли к противоречию с единст-
венностью луча с началом в точке В, перпендикулярного прямой (ВоВ)
и проходящего в полуплоскости относительно прямой (ВоВ), в которой
расположен отрезок АС (см. следсивие из У43). Полученное противоречие
доказывает невозможность того, что ЛВАС ф ЛВ*А*С* , следовательно,
ЛВАС = ЛВ*А*С*, а потому равенство ДЛВС = кА*В*С* следует по пер-
вому признаку равенства треугольников. Теорема 3, выражающая собой
третий признак равенства треугольников, полностью доказана.
Дополнительная часть

Отметим, что так как в силу следствия из У31А при совмещении рав-
ных треугольников совмещаются внутренние области соответственно рав-
ных их внутренних углов, то согласно замечанию после определения б ввод-
ной части данного вопроса совмещаются и внутренние области равных
треугольников.

Вопрос 2. Свойства вертикальных и смежных углов. Теорема о внеш-
нем угле треугольника

Вводная часть
h h _ h

А' О А В	О А

рис. 23 а)	рис. 23 б)

Определение 1. Говорят, что две точки прямой лежат по одну сто-
рону (по разные стороны) от данной точки этой прямой, если данная
точка не лежит (лежит) между этими двумя точками.

99Лежать между ” — первичное понятие.

На рис. 23 а) точка О лежит между точками А и А' , точка О не лежит
между точками А и В .

Аксиома. Среди трех различных точек на одной прямой существует
не более одной точки, лежащей между двумя другими (см. АП п. 2.3.0).

Существование одной и только одной из трех точек, лежащей между
двумя другими, можно доказать как теорему (см. У5 п. 2.3.0 и его следст-
вие).

Определение 2. Совокупность всех точек прямой, лежащих по одну
сторону от данной точки этой прямой, называется лучом или полу-
прямой, указанная точка называется начальной точкой или началом
луча.

Луч обозначается или О А, где О — его начало (оно в обозначении луча
стоит на первом месте), А некоторая точка этого луча, или одной буквой,
например, h.

На рис. 23 б) изображен луч h (луч О А) с началом в точке О.

В п. 2.3.0 формулируется теорема о том, что каждую прямую любая ее
фиксированная точка разбивает на две полупрямые (два луча) с вершиной
в указанной точке (см. У15 п. 2.3.0) и каждый из этих лучей по отношению
к другому называется дополнительным (см. 010).

На рис. 23 а) дополнительные друг другу лучи О А и О А9 обозначены
соответственно h и h.
рис. 23 в)

Определение 3. Углом называется фигура, которая состоит из точ-
ки — вершины угла и двух различных полупрямых, исходящих из этой
точки — сторон угла.

Если обозначить вершину угла за О , стороны угла за h и к , при этом
если луч h обозначен еще как луч О А , а луч к обозначен еще как луч
ОВ, то будем использовать следующие обозначения угла: или Z(ft; к), или
Z(A; Л), или Z(OA; ОВ) , или Z(OB; ОА) , а также или ZAOB , или ZBOA.
В этих обозначениях не существенен порядок крайних точек А и В , но
существенно то, что вершина угла всегда в середине. Применяются обо-
значения угла одной буквой, которой обозначена его вершина, например,
ZA ; ZB и т.п., а также и одной цифрой Zl , Z2 и т.п.

На рис. 23 в) изображен угол Z(fc; к) , Z(OА; OB) , ZAOB .

Определение 4. Развернутым углом называется угол, стороны ко-
торого являются дополнительными по отношению друг к другу полупря-
мыми.

На рис. 23 a) ZBOA' — развернутый.

Замечание. В геометрии также рассматриваются нулевой и полный уг-
лы, у которых образующие их полупрямые совпадают, а их различие де-
монстрируется на приводимых ниже чертежах.

Если через стороны угла проведена плоскость, то они разбивают эту
плоскость на 2 части. Одну из них называют внутренней областью угла, а
другую — внешней областью угла, при этом стороны угла считаются не
принадлежащими ни одной из этих областей. У нулевого (полного) угла
внутренняя (внешняя) область отсутствует (см. 015 п. 2.3.0).

Определение 5. Внутреннюю область угла, объединенную с его сторо-
нами, называют плоским углом.

Если в дальнейшем будут использоваться плоские углы, то это будет
специально оговариваться.

Подробнее о материале вводной части этого вопроса см. в п. 2.3.0, в
частности, см. определения различных типов углов и их внутренних и
внешних областей (015, 015 А — Г).
См. рис. 24 а) — д), на которых внутренние области углов заштрихова-
ны, у нулевого (полного) угла внутренняя (внешняя) область отсутствует.

угол первого типа	угол третьего типа (больше развернутого)

рис. 24 а)	рис. 24 б)

О
нулевой угол
рис. 24 в)

развернутый угол
рис. 24 г)

полный угол
рис. 24 д)

Основная часть

Углы, о которых идет речь в этом вопросе, удовлетворяют определению
15А (см. 015А п. 2.3.0) или развернутые углы.

Определение 6. Два угла называются смежными, если у них одна сто-
рона общая, а две другие стороны являются дополнительными полупря-
мыми.

Замечание. Нулевой угол Z (Л; Л) и развернутый угол Z(A; Л) будем так-
же по определению считать смежными.

Определение 7. Два угла называются вертикальными, если стороны
одного из них являются дополнительными полупрямыми другого.

На рис. 25 а) и б) Z.AOB и Z.COB — смежные, причем на первом из
этих рис. 25 а) смежные углы не равны, а на втором из них, 25_б) они
равны, на рис. 25 в) Z(ft; к) и Z(/i; к) — вертикальные, Z(fc; h) и Z(fc; h) —
вертикальные.
рис. 25 а)

рис. 25 б)

Теорема 1. Сумма смежных углов равна развернутому углу
(сумма градусных мер смежных углов равна 180° ,
сумма радианных мер смежных углов равна я).

Доказательство

Справедливость утверждения теоремы непосредственно вытекает из
определения суммы углов (см. 023 п. 2.3.0). Что касается суммы градус-
ных или радианных мер, то касающаяся их часть утверждения теоремы
вытекает из того факта, что мера суммы углов равна сумме мер слага-
емых углов, (см. 028 п. 2.3.0), и того, что градусная (радианная) мера
развернутого угла равна 180° (тг) .

Теорема 2. Если два угла равны, то и смежные им углы равны.

Доказательство

А о и а	& и

рис. 25 г)

Рассмотрим смежные углы ААВС и ADBC , а также смежные углы
ZA'B'C' и ZD'B'C' . Пусть ААВС = ZA'B'C' , докажем, что ADBC =
= AD'B'C . Точки А , В , С , A' , Bf , С мы выберем на соответствую-
щих лучах так, чтобы В А = В'А', ВС = В'С" , BD = B'D' (это возможно
в силу А14 п. 2.3.0). ДВАС = ДВ'А'С' по первому признаку, следователь-
но, АС = А'С' и АС АВ = ZC'A'Bf. Так как точка В лежит между точками
А и В и точка В' лежит между точками А' и Df , то в силу У31 п. 2.3.0 (его
доказательство несложное и там приведено) из АВ = А'В' , BD = В'Df
следует AD = AfD' , теперь можно по первому признаку получить, что
△ВАС = ABfAfCf , откуда следует равенство DC = DrCf , следовательно
ACBD = kC'B'D' , откуда уже вытекает равенство Z.DBC = Л1УВ'С' .
Теорема доказана.

Теорема 3. Вертикальные углы равны.

Доказательство

рис. 25 е)	рис. 25 ж)

Равенство вертикальных углов сразу вытекает из теоремы 2, поскольку
эти углы имеют общий смежный угол (стало быть, в силу А17 соответ-
ственно равные смежные углы). Например, на рис. 25 е) Z.AOD и ЛСОВ
имеют один и тот же смежный угол ЛАОС .

Замечание. Мы провели нетрадиционное для школьных учебников дока-
зательство теоремы о равенстве вертикальных углов, никак не используя
меру угла. Те свойства меры угла, которые используются в учебниках для
доказательства теоремы 3, в частности, что из равенства мер углов сле-
дует равенство самих углов, требуют отдельного доказательства (об этом
см. в п. 2.3.0 замечание перед У45 и само У45).

Определение 8. Внешним углом треугольника при данной вершине
называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой
вершине.

Сразу же отметим, что внутренняя область внешнего угла треугольни-
ка расположена во внешней области треугольника.

На рис. 26 а) внешними углами ДАВС являются ЛЕ АВ , ЛЕВА ,
ЛВСП , ЛвАС , ЛНВС и ЛКСА .

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше всякого внутреннего
угла треугольника, не смежного с этим внешним углом.
Доказательство

См. рис. 26 б) Пусть дан ДАВС , через середину Е стороны ВС прове-
дем луч АЕ и на луче прямой (АЕ) с началом в точке Е , расположенном
в той полуплоскости плоскости (ЛВС) относительно прямой (ВС), кото-
рая не содержит точку А , отложим отрезок EF = ЕА (согласно А14),
соединим отрезком точки С и F . Рассмотрим ДАВЕ и &EFC , у них
BE = ЕС (так'как Е — середина отрезка ВС), АЕ = EF (по построе-
нию) и ЛАЕВ = ЛСЕР (как вертикальные). Следовательно, по первому
признаку &АВЕ = AEFC , откуда ЛАВС = ЛВСР . Теперь на луче
АС выберем точку В так, чтобы точка С лежала между точками А и D
(существование такой точки В вытекает из АЮ), откуда, в частности, сле-
дует, что точки А и D лежат в разных полуплоскостях плоскости (АВС)
относительно прямой (ВС) , следовательно, точки F и D будут уже в од-
ной полуплоскости плоскости (АВС) относительно прямой (ВС) , в этой
же плоскости будет (согласно У20) находиться луч CF . Далее поскольку
по построению точка Е лежит между точками Л и F (точка Е являет-
ся точкой пересечения отрезка AF и прямой (ВС)), то точка А не лежит
между точками Е и F , а потому отрезок EF не пересекает прямую (АВ) ,
следовательно, точки Е и F лежат в одной полуплоскости плоскости (АВС)
относительно прямой (АВ) , а потому и луч CF будет находиться в этой
же полуплоскости. Таким образом, луч CF будет находиться во внутрен-
ней области угла BCD , откуда (см. 022 п. 2.3.0) ЛВСР < ЛВСВ , а
потому в силу равенства ЛАВС = ЛВСР следует, что ЛАВС < ЛВСВ
(предположение, что ЛАВС = ЛВСО или ЛАВС > ЛВСВ привело бы
нас на основании У35 и У36 к выполнению соответственно или равенства
ЛВСР = ЛВСВ , или неравенства ЛВСВ > ЛВСР , что противоречит
неравенству ЛВСР < ЛВСВ). Неравенство ЛВАС < ЛВСВ доказывает-
ся аналогично, для этого все построения надо будет провести относительно
середины отрезка АС .

Замечание. Ниже в вопросе о сумме внутренних углов треугольника
будет доказано, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних
углов этого треугольника, которые не смежны с данным внешним углом.
Из этого факта утверждение теоремы 4 выводится как простое следствие.

Дополнительная часть

Отметим, что при пересечении двух прямых а и Ь образуются четыре
угла, имеющие общую вершину в точке пересечения этих прямых. Если эти
углы обозначить Zl , Z2 , Z3 , Z4 , то Z1 и Z3 — одна пара вертикальных
углов, a Z2 и Z4 — другая пара вертикальных углов, Z1 и Z2 , Z2 и Z3 ,
Z3 и Z4 , Z4 и Z1 — пары смежных углов (см. выше рис. 25 в).
Определение 9. Прямым углом называется угод, который равен сво-
ему смежному углу.

На рис. 25 б) проиллюстрирован прямой угол.

Определение 10. Если при пересечении прямых а и Ь образуются пря-
мые углы, то эти прямые называются взаимно перпендикулярными.
Обозначается а X b или b X а . .

На рис. 25 ж) проиллюстрированы взаимно перпендикулярные прямые
(AC) X (BD).

О перпендикулярности лучей и прямой и луча см. п. 2.3.0, 027, О27А,
О27Б, У43 и следствие из него. Там же см. понятие основания перпендику-
ляра.

Определение 11. Если из точки О на прямой а проведен луч, перпенди-
кулярный к этой прямой, то говорят, что из этой точки восставлен
перпендикуляр к прямой а .

Теорема 5. Если два смежных угла, каждый из которых ненулевой, не
равны друг другу, то один из них острый, а другой из них тупой.

См. выше рис. 25 а), где ЛАОВ — острый, а смежный с ним ЛАО В —

Доказательство

h О h
рис. 26 в)

(См. рис. 26 в). Пусть Z(ft; к) и Z(fc; h) — смежные и Z(ft; k) ф Л(к\ Л),
тогда к / а , где а — прямая, содержащая лучи h и h . Из вершины О
углов Z(fe; к) и Z(fc; h) в полуплоскость относительно прямой а , в которой
лежит луч к , проведем луч I X h , в силу единственности такого луча (см.
следствие из У43 й. 2.3.0) I к . В силу У29 (для п = 2) , или внутри угла
(Л; I) расположен луч к (тогда Z(ft; к) < Z(h; I) , тогда по 027 В) Z(A; к) —
острый) , или внутри угла (Л; к) расположен луч I (тогда Z(A; к) > Z(ft; I) ,
тогда по определению Z(ft; к) — тупой) . Пусть Z(A; к) — острый (тупой),
тогда луч I не лежит (лежит) во внутренней области Z(ft; к) , а потому
он лежит в той полуплоскости относительно прямой, содержащей луч к , в
которой лежит луч h (h), а так как он лежит в полуплоскости относительно
прямой а , содержащей луч к , то по определению внутренней области угла
первого типа (см. после 015 п. 2.3.0)_луч I лежит во внутренней области
Z(h;fc) (Z(h;fc)) , следовательно, Z(ft;fc) > (<)Z(ft;i) , тогда по 027 Г)
Z(h; к) — тупой (острый). Теорема доказана.
Теорема 6. Если в треугольнике есть прямой или тупой внутренний
угол, то остальные два внутренних его угла — острые.

Выше, на рис. 21 д) у АЛВС ZA и ZB — острые, ZC — прямой, на
рис. 21 е) у АЛВС ZA и ZC — острые, ZB — тупой.

Доказательство

В силу теоремы 5 и определения прямого угла вытекает, что внешний
угол треугольника, который смежен с прямым или тупым углом, будет со-
ответственно прямым или острым, а так как в силу теоремы 4 каждый из
двух других внутренних углов в треугольнике меньше указанного внешне-
го угла, то они могут быть только острыми.

Вопрос 3. Свойства равнобедренного треугольника

Вводная часть

Определение 1. Восставим из точки О на прямой а луч h с началом в
точке О , перпендикулярный этой прямой. Если на этом луче отложить
произвольный отрезок ОА , то он называется перпендикуляром, *
проведенным (опущенным) из точки А на прямую а , луч h называет-
ся перпендикуляром, восставленным из точки О к прямой а . Точка О
называется основанием этого перпендикуляра. Обозначение: О А ± а .

Расстоянием от точки А до прямой а называется длина отрезка
О А . Обозначение р(А\а) , таким образом, р(Л;а) = |ОЛ| .

Определение 2. Два отрезка АВ и CD называются перпендикуляр-
ными, если они расположены на перпендикулярных прямых.

Обозначаются О А ± CD или CD ± АВ .

Определение 3. Медианой треугольника, проведенной из данной вер-
шины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой про-
тиволежащей ей стороны треугольника.

Так как каждый отрезок имеет единственную середину (см. У37
п. 2.3.0), то у каждого треугольника существуют три медианы.

Определение 4. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной
вершины, называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треуголь-
ника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.
Стало быть, этот отрезок делит угол при этой вершине на два равных
угла.

Так как каждый угол имеет единственную биссектрису (см. У44 и рас-
суждения перед замечанием после У49 в п. 2.3.0), то у каждого треуголь-
ника существуют три биссектрисы его внутренних углов.

* Точнее отрезком перпендикуляра.
Определение 5. Высотой треугольника, опущенной из данной верши-
ны, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к пря-
мой, которая содержит противолежащую сторону треугольника.

Так как из каждой вершины треугольника на противолежащую ей сто-
рону можно опустить единственный перпендикуляр (см. ниже теорему 2
вопроса 4), то у каждого треугольника существуют три высоты.

Основная часть

рис. 27 а)	рис. 27 б)	рис. 27 в)

Определение 6. Треугольник называется равнобедренным, если у не-
гр две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сто-
ронами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Определение 7. Треугольник, у которого все стороны равны, называ-
ется равносторонним или правильным.

Замечание. У равностороннего треугольника любую из сторон можно
принять за основание, тогда две другие будут боковыми сторонами.

На рис. 27 а) изображен равнобедренный треугольник (АВ = ВС), на
рис. 27 б) изображен равносторонний треугольник (АВ = ВС = АС).

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Пусть в ДЛВС АВ = ВС , докажем, что /LA = ZC . Рассмотрим
△ЛВС и ДСВЛ , у которых соответствующими сторонами являются сто-
роны ЛВ и СВ , АС и С А , ВС и В А , а соответствующими углами будут
ZA и ZC , ZB и ZB , ZC и ZA . По условию у ДЛВС и ДСВЛ ЛВ = СВ,
ZB — общий, поэтому в силу А17 ZB = ZB , СВ = В А , следовательно,
ДЛВС = ДСВЛ по первому признаку, а потому ZA = ZC .

Следствие. В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны.

Замечание. Доказанная теорема 1 означает, что во всяком треугольнике
против равных сторон лежат равные углы.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к ос-
нованию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство

(См. рис. 27 а). Пусть в ДЛВС ЛВ = ВС , D — середина стороны АС
(о существовании и единственности середины любого отрезка см. У37
п. 2.3.0), тогда D € АС и AD = DC . Рассмотрим теперь AABD и &CDB ,
у них АВ = СВ по условию, AD = DC поскольку BD — медиана, ЛА ЛС
по доказанному в теореме 1. Следовательно, &ABD = ACBD , а потому
ЛАВВ = ЛСВО и ЛАВВ = ЛСВВ , первое их этих равенств углов озна-
чает, что ВВ — биссектриса ДАВС , второе из этих равенств вследствие
того, что ЛАВВ и ЛСВВ — смежные, означает, что они прямые, следо-
вательно BD ± АС , то есть ВВ — высота ДАВС .

Замечание. По сути дела тем, что медиана равнобедренного треугольни-
ка, проведенная к его основанию, является биссектрисой его внутреннего
угла, противолежащего основанию, доказано существование биссектрисы
любого угла первого типа (см. У44 п. 2.3.0).

Теорема 3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная
из вершины, противолежащей основанию, является его медианой и высо-
т°й-	Доказательство

См. рис. 27 а). Пусть в ДАВС АВ = ВС , прежде всего отметим, что
биссектриса угла АВС проходит во внутренней области этого угла (то есть
проходит между сторонами АВ и ВС треугольника АВС), а потому (см.
У26 п. 2.3.0) она пересекает основание АС в некоторой точке Е . Рассмат-
ривая Д АВЕ и AC BE , мы получим, что у них АВ = ВС, ЛАВЕ = ЛСВЕ
по условию, ЛВАС = ЛВС А по теореме 1, поэтому ДАВВ = &СВЕ по
второму признаку. Откуда АЕ = ЕВ , а потому АЕ — медиана ДАВС, и
ЛАЕВ = ЛСЕВ , откуда так же, как в конце доказательства теоремы 2
получаем, что BE — высота ДАВС .

Теорема 4. Углы при основании равнобедренного треугольника всегда
острые.	Доказательство

Пусть в ДАВС АВ =; ВС , по доказанному ЛВАС = ЛАС В . Внешний
угол треугольника, который, например, является смежным углу ВАС
(по теореме 4 вопроса 2), будет больше ЛВС А , а потому он будет больше
и смежного ему угла ВАС . В силу теоремы 6 предыдущего вопроса этот
внешний угол может быть только тупым, а потому ЛВАС и ЛАСВ —
острые.

Дополнительная часть

Теорема 5. (Признак равнобедренного треугольника).

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство

См. рис. 27 а). Пусть в ДАВС ЛА = ЛС , докажем, что АВ = ВС.
Рассмотрим ДАВС и ДСВА , у которых соответствующими сторонами
являются стороны АВ и СВ , АС и С А , ВС и В А , а соответствующими
углами будут ZA и ZC , ZB и ZB , ZC и ZA . По условию у ДАВС и
△СВА ZA = ZC , ZC = Z.A (см. А18 п. 2.3.0, в силу которой
ZA = ZC ZC = ZA), АС — общая сторона, поэтому в силу А17
АС = С А , следовательно, △ АВС = ДСВА по второму признаку, а потому
АВ = ВС .

Следствие. Если в треугольнике все внутренние углы равны, то он
равносторонний.

Замечание. Доказанная теорема 5 означает, что во всяком треугольнике
против равных углов лежат равные стороны.

Теорема 6. Высота, проведенная в равнобедренном треугольнике к ос-
нованию, является медианой и биссектрисой.

Доказательство

См. рис. 27 в). Пусть в ДАВС АВ = ВС , тогда в силу теоремы 1
ZA = ZC , опустим из вершины В на прямую (АС) перпендикуляр BF.
Докажем, что основание этого перпендикуляра, точка F будет внутренней
точкой стороны АС треугольника АВС . Предположим, что это не так,
тогда возможны четыре варианта расположения точки F на прямой (АС):

1.	Точка А лежит между точками F и С , тогда ZCAB — внешний угол
AABF , следовательно, в силу теоремы о внешнем угле треугольника он
больше прямого угла AFB , а потому он тупой, что противоречит теореме
4, следовательно случай 1) не возможен .

2.	Точка F совпадает с точкой А , тогда ZBAC — прямой, а потому
ZACB = Z.BAC также прямой, но, с другой стороны смежный углу ВАС
угол, являющийся прямым и внешним углом АЛВС больше прямого угла
АСВ , опять получили противоречие, следовательно, случай 2) также не
возможен .

Аналогично случаю 1) доказывается невозможность того, что точка В
лежит между точками А и F , и невозможность того, что точка F совпадает
с точкой В . Итак, доказано, что точка F лежит между точками А и В .

Рассматривая прямоугольные ДАВГ и ACBF , получим их равенство
по общему катету и гипотенузе (см. ниже вопрос 9 о признаках равенства
прямоугольных треугольников). Из равенства этих треугольников получа-
ем AF = FB и Z.ABF = Z.CBF (то есть на самом деле на рис. 27 в) точка
F совпадает с точкой D).

Следующий материал (теоремы 7 — 10 и следствия) де имеет прямого
отношения к данному вопросу, но он вытекает из того, что доказано в этом
вопросе выше, и в дальнейшем этот материал будет использоваться.

Теорема 7. В любом треугольнике против большей стороны лежит
больший угол.	х
Доказательство

См. рис. 28 а). Пусть в ДЛВС АС > ВС , докажем, что

ЛАВС > ЛСАВ . Для этого отложим на луче С А от его начала С от-
резок CD = СВ , откуда CD < С А , следовательно, точка D является
внутренней точкой отрезка С А . Соединим отрезком точки В и D , так
как CD = СВ , то треугольник BCD — равнобедренный, следовательно в
силу теоремы 1 ЛВВС = ЛВВС . Поскольку луч BD с началом в точке
В пересекает отрезок АС , то в силу У26 п. 2.3.0 луч ВВ проходит между
лучами В А и ВС, а потому (см. 022 п. 2.3.0) ЛАВС > ЛВВС = ЛВВС.
ЛВВС — внешний угол треугольника ABD , поэтому в силу теоремы 4
вопроса 2 ЛСВВ > ЛСАВ . В силу транзитивности отношения > между
углами (см. У36 п. 2.3.0) ЛАВС > ЛСАВ .

Следствие 1. В любом треугольнике против меньшей стороны лежит
меньший угол.	_

Доказательство

Если в ДЛВС ВС < АС , то по определению отношения < между
отрезками и углами ВС < АС О АС > ВС => ЛАВС > ЛСАВ О

<=> ЛСАВ < ЛАВС .

Следствие 2. В любом треугольнике против большего (меньшего) угла
лежит большая (меньшая) сторона.

Доказательство

Пусть в ДЛВС ЛАВС > (<)ЛСАВ , докажем, что АС > (<)ВС .
Предположим, что АС (^)ВС , тогда в силу замечания к теореме 1, тео-
ремы 7 и следствия 1 из нее ЛАВС (^)ЛСАВ , пришли к противоречию
с У35 п. 2.3.0 о наличии одного и только одного из трех соотношений
> , < , = между углами, которое и доказывает это следствие.

рис. 28 б)
Г

| Теорема 8. (Неравенство треугольника).

В любом треугольнике каждая его сторона меньше суммы двух других
его сторон.	Доказательство

Поскольку не самая большая сторона в треугольнике не превосходит
наибольшую из его сторон, которая в свою очередь меньше суммы самой
себя и третьей стороны этого треугольника, то для не самой большей сто-
роны треугольника утверждение теоремы справедливо. Пусть в треуголь-
нике АВС АС — наибольшая сторона. На луче BD прямой (ЛВ) , не со-
держащем точку А , от начала В отложим отрезок BD , равный ВС , и
! соединим отрезком точки D и С (см. рис. 28 б). Треугольник BCD — рав-
нобедренный, следовательно, по теореме 1 ABCD = AADC . Поскольку
точка В лежит между точками А и С , то луч СВ пересекает отрезок AD
в точке В , следовательно, луч СВ проходит между сторонами С А и CD
треугольника ACD , а потому A A CD > ABCD = Z.ADC, следовательно,
в силу следствия 2 теоремы 7 и равенства BD = ВС

AD > АС О- АВ 4- BD > АС АВ 4- ВС > АС . Теорема доказана.

Замечание. В дополнение к утверждению теоремы 8 отметим, что если
три точки А , В , С лежат на одной прямой и точка В не лежит между
точками А и Сто или точка А лежит между точками В и С , или точка С
лежит между точками Л и В , тогда согласно 020 и 021 п. 2.3.0 соответ-
ственно или АС < ВС => АС < АВ+ВС или АС < АВ => АС < ЛВ4-ВС.
Если точки Л , В , С не лежат на одной прямой, то по доказанному в те-
ореме 8 АС < АВ 4- ВС . Если точки Л , В , С лежат на одной прямой,
причем или точка В лежит между точками Л и С , или В = Л , или В = С,
то согласно 020 и 021 п. 2.3.0 соответственно или АС = АВ 4- ВС , или
АС = ВС = ЛЛ + ВС = ЛВ4-ВС , или АС = АВ = АВ + СС = ЛВ4-ВС.
Следовательно, мы доказали теорему.

Теорема 9. Равенство АС = АВ 4- ВС выполняется тогда и только
тогда, когда точки А , В , С лежат на одной прямой, причем или точка
В лежит между точками А и С , или В = Л , или В = С , во всех
остальных случаях АС < АВ 4- ВС .

Теорема 10. Имеют место неравенства АС — АВ < ВС ,
АС — ВС < АВ, где АС — наибольшая сторона треугольника, причем
каждое из этих неравенств имеет место, если соответствующая раз-
ность определена, то есть или АС АВ , или АС ВС .

Доказательство

Если АС — наибольшая сторона АЛВС , то разности АС — АВ и
АС — ВС определены, если АС не является наибольшей стороной ДЛВС ,
то разность АС — АВ (АС — ВС) определена только при АС АВ
(АС ВС), это и предполагается в теореме.
Допустим, например, что разность АС — АВ определена, на луче АС
от вершины А отложим отрезок АЕ = АВ , если АЕ = АС , то отрезок
С = Е , то есть отрезок СЕ — нулевой, который по определению считается
меньше любого отрезка, в частности меньше отрезка ВС , если АЕ < АС,
то точка Е Е АС (см. рис. 28 б). Соединим отрезком точки В и Е , А АВЕ
— равнобедренный (АЕ = ЛВ), следовательно, ЛАЕВ = ЛАВЕ .

ЛСЕВ — внешний угол равнобедренного ДЛВВ , который по теореме 4
тупой, а потому он больше ЛЕВС в АС ЕВ , следовательно, ВС > СЕ =
= АС - АЕ = АС - АВ , то есть АС — АВ < ВС , теорема доказана.

Вопрос 4. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство
биссектрисы угла

Вводная часть

Докажаем некоторые теоремы, результаты которых будут применяться
в дальнейшем.

Теорема 1. Пусть Л(И\ к) — произвольный угол первого типа (см. 015,
015А п. 2.3.0), О — его вершина, I — его биссектриса. Тогда каждый из
углов Л(Ь\1) и Л(1;к) — острый.

рис. 29 а)	рис. 29 б)

Доказательство

См. рис. 29 а) и б). На рис. 29 a) Z(A;fc) — острый, а на рис. 29 б)
Z(A;A) — тупой. Для прямого Z(h;fc) рассуждения точно такие же. От-
ложим на лучах h и к равные отрезки ОА и ОВ (А Е h , BE к). Это
возможно провести следующим образом: на отрезке луче h откладывается
произвольный отрезок О А , а затем на луче к (согласно А14) можно отло-
жить единственный отрезок ОВ = О А . Соединим отрезком точки Л и В ,
при этом получится равнобедренный треугольник АО В . В силу определе-
ния биссектрисы угла луч I проходит внутри угла АОВ , а потому (см. У2б
п. 2.3.0) он пересекает отрезок АВ в точке D . По доказанному в теореме
2 вопроса 3 I ± АВ , тогда в прямоугольных треугольниках OAD и OBD
с прямыми углами ODA и ODB в силу теоремы 6 вопроса 2 углы AOD и
BOD могут быть только острыми. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть a — произвольная прямая, М — произвольная, не
лежащая на ней точка, тогда в плоскости а этой точки и прямой из
точки М на прямую а можно провести единственный перпендикуляр.

Доказательство

рис. 30 б)

См. рис. 30 а). Выберем на прямой а две различные точки А и В . Если
окажется, что, например, прямые (МА) и (АВ) перпендикулярны, то МА
— перпендикуляр, проведенный из точки М на прямую а , точка А — осно-
вание этого перпендикуляра. Аналогичная ситуация, если (МВ) ± (АВ) .
Если оказалось, что (МА) (АВ) и (МВ) JL (АВ) , то поскольку прямая а
разбивает плоскость а на две полуплоскости, в одной их которых находит-
ся точка М , мы в другой полуплоскости от точки А и луча АВ отложим
ZMqAB = ZMAB (см. А15 п. 2.3.0, кстати, соответственно смежные с каж-
дым из этих углов углы в силу теоремы 2 вопроса 2 будут тоже равны) и
выберем на луче АМо точку Мо так, чтобы АМо = АМ (см. А14 п. 2.3.0).
Так как точки М и Мо лежат в разных полуплоскостях плоскости а отно-
сительно прямой а , то, соединяя отрезком точки М и Mq , мы получим,
что он пересечет прямую а в некоторой точке С . Точки С и А различные,
так как в противном случае (то есть если С = А) мы бы получили, что
углы ВАМ in ВАМо с одной стороны, смежные, с другой стороны, рав-
ные, а потому — прямые, что противоречит рассматриваемому случаю.
Так как в треугольниках MCA и MqCA АМ = АМо , /САМ = £САМо
и сторона АС общая, поэтому по первому признаку ДАСЛГ = ДАСМо » а
потому АМ С А = AMqCA , так как эти углы смежные, то, следовательно,
они прямые. Итак доказано существование перпендикуляра, проведенного
из точки М на прямую а .

Докажем единственность этого перпендикуляра. Предположим, что из
точки М на прямую а можно провести два перпендикуляра. Пусть это
будут перпендикуляры МС и MD (C,D 6 (АВ)) , см. рис. 30 б), так
как эти перпендикуляры по предположению различные, то и точки С и
D также различные, мы получили, что в &CMD два угла прямые, что
невозможно согласно теореме 6 вопроса 2. Теорема 2 полностью доказана.

Теорема 3. Если Z.(h*k) — острый (тупой), то основание перпендику-
ляра, проведенного из произвольной точки одной из его сторон на другую
сторону лежит на последней стороне (лежит на луче, дополнительном
последней стороне).

рис. 31 б)

Доказательство

Пусть Z(h; к) — острый, В — произвольная точка на стороне к , со-
гласно теореме 2 существует единственный перпендикуляр, проведенный
из точки В , на прямую, содержащую луч Л , пусть А — основание этого
перпендикуляра, О — вершина угла (A; k) . Если предположить, что или
А = О , или А Е h , то в первом случае к ± Л , стало быть, Z (Л-; к) —
прямой, что неверно, во втором случае в прямоугольном ДОАВ в силу
теоремы 6 вопроса 2 ZAOB — острый, а потому смежный ему Z(А; к) —
тупой, что также неверно. Следовательно, А Е h .	_

Пусть Z(h; к) — тупой, тогда в силу теоремы 5 вопроса 2 Z(fc; Л) — острый
и уже по доказанному А Е h . Теорема доказана.

Основная часть

Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку назы-
вается прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная
ему.

Определение 2. Луч, исходящий из вершины угла, лежащий в его внут-
ренней области и делящий его на два равных угла, называется биссек-
трисой угла.

Теорема 4. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку (не-
нулевому) равноудалена от концов этого отрезка. Доказательство см.

ниже.

Теорема 5. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла (угла
первого типа, см. 015, 015А п. 2.3.0) равноудалена от его сторон (то
есть от прямых, содержащих стороны угла). Доказательство см. ниже.

Равноудаленость точки, о которой говорится в теоремах 4 и 5 соответ-
ственно означает, что расстояния от точки на серединном перпендикуляре
к отрезку до его концов равны (то есть равны длины отрезков, соединяю-
щих точку серединного перпендикуляра с концами отрезка), и расстояния
от точки на биссектрисе угла до его сторон равны (то есть равны длины
перпендикуляров, проведенных из этой точки на стороны).

Доказательства теорем 4 и 5

Теорема 4. См. рис. 32 а). Соединим отрезками произвольную точку
М серединного перпендикуляра I к отрезку АВ с точками А и В (точка
М отлична от точки D — середины отрезка ЛВ), тогда в треугольниках
AMD и BMD Z.ADM = Z.BDM как прямые углы, AD = DB , DM —
общая сторона, следовательно, AADM = кВ DM по первому признаку,
а потому АМ = МВ . Из определения длины отрезка (см. 024 п. 2.3.0)
вытекает, что из АМ = МВ => \АМ| = \МВ| . Теорема 4 доказана.

Теорема 5. См. рис. 33 а). Опустим из произвольной точки М биссек-
трисы I угла Z(ft; к) перпендикуляры на стороны h и к , пусть Л и В —
основания этих перпендикуляров, О — вершина Z(/i; к) , поскольку в силу
теоремы 1 Z(Zi;/) и Z(I; к) —х>стрые, точки Л и В будут лежать именно
на сторонах угла h и к соответственно. У прямоугольных треугольников
О АМ и ОВМ сторона ОМ (гипотенуза) общая, Z.MOA = АМОВ , сле-
довательно по гипотенузе и острому углу &М0А = ДМОВ , а потому
МА = МВ => |МЛ| = |МВ| . Теорема 5 доказана.

Замечание, В доказательстве теоремы 5 использован один из признаков
равенства прямоугольных треугольников, доказываемых ниже, в вопросе 9,
при доказательстве указанного признака используется только предшест-
вующий доказательству теоремы 5 вопроса 4 материал п. 2.3.1.

Обращаем внимание на умение решать следующие задачи на построе-
ние циркулем и линейкой: построить серединный перпендикуляр к данному
отрезку, попутно решается задача и о делении данного отрезка на две рав-
ные части; провести биссектрису угла, которые разбираются в учебниках
И, [6], [8], книге [10].
Дополнительная часть

Справедливы и теоремы, обратные теоремам 4 и 5, выражающие
признаки серединного перпендикуляра и биссектрисы угла.

Теорема 6. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка
(на плоскости), лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство см. ниже.

Теорема 7. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от
его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Доказательство см. ниже.

Доказательства теорем 6 и 7

Теорема 6. 1 способ. См. рис. 32 б). Пусть на плоскости а на некоторой
прямой а выбран ненулевой отрезок АВ и М — произвольная точка этой
плоскости, для которой МА = МВ , если М € (АВ) , то М — середина
отрезка АВ , если М £ (АВ) , то треугольник АМВ — равнобедрен-
ный. Восставим перпендикуляр I из середины D отрезка АВ в плоскости
а и соединим середину этого отрезка с точкой М . Обозначим луч DM
за V . В силу теоремы 2 вопроса 3 медиана DM ± АВ , поэтому в силу
единственности перпендикуляра, проходящего через середину отрезка АВ
в плоскости а , V = I , следовательно, точка М 6 / . Теорема 6 доказана.

2 способ. См. рис. 32 в). Докажем, что всякая точка М' в плоскости а ,
не лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку АВ не будет равно-
удалена от точки концов отрезка АВ . Рассмотрим произвольную такую
точку М'. Если она не на I (см. рис. 32 в), то она в одной из полуплоскостей
плоскости а относительно прямой, содержащей луч I . Для определенности
пусть она будет в той же полуплоскости, что и точка В (так как пря-
мая, содержащая луч I , проходит через середину отрезка АВ , то есть его
внутреннюю точку, то она пересекает этот отрезок, а потому его концы —
точки А и В находятся в разных полуплоскостях относительно этой пря-
мой). Если точка Mf лежит на прямой (АВ) , то в силу единственности
середины отрезка АВ она может только совпадать с этой серединой, что
противоречит ее местоположению. Следовательно, точка М* не лежит на
прямой (АВ) , тогда отрезок АМ пересечет серединный'перпендикуляр к
отрезку АВ в некоторой точке М , соединим отрезком точки М и В . В си-
лу теоремы 4 АМ = МВ , а в силу неравенства треугольника для АВММ'
ВМ 4- ММ' > ВМ' => AM' = AM + ММ1 > ВМ1 . Теорема 6 доказана.

рис. 33 б)	рис. 33 в)

Теорема 7. Пусть Z( А; к) — угол первого типа, О — его вершина, I — его
биссектриса, М' — произвольная точка, принадлежащая его внутренней
области и равноудаленная от его сторон. Проведем через точку ЛГ луч
V ^.ОМ' , в силу У20 п. 2.3.0 он целиком будет расположен во внутренней
области угла (Л; к).

В случае, когда Z(A; А) — острый или прямой (см. рис. 33 б), ввиду
того, что по 022 п. 2.3.0 Z(A; lf) < Z.(h\k) и Z(f;fc) < Z(A; A), а потому
в силу 027В п. 2.3.0 Z(h>; Z) и /.(Цк) — острые. Следовательно, в силу
теоремы 3 основания перпендикуляров, проведенных из точки М' € Г , на
прямые, содержащие стороны Z (А; к) , будут лежать на соответствующих
сторонах этого угла, пусть М'А ± h , А Е h , М'В ± fc , В Е к. Поскольку
\М'Л| = \М'В|, то М'А = М'В . В прямоугольных треугольниках ДОЛГЛ
и АОМ'В ОМ' — общая гипотенуза и соответственно равные катеты
М'А = М'В, следовательно, по катету и гипотенузе ДОЛГ'Л = ЬОМ'В,
а потому £М'0А = £М'РВ . В силу единственности биссектрисы угла
(см. У44 п. 2.3.0) это означает, что М' El , а потому I' = I , следовательно
(см. рис. 33 б), М' = М .

В случае, когда Z(A; fc) — тупой (см. рис. 33 в), рассуждая также, как
и для острого или прямого угла, мы должны рассмотреть случаи, когда,
например, Z(A; I') прямой или тупой. Проведем луч Iq J_ h с началом в точке
О в ту же полуплоскость относительно прямой, содержащей лучи h и Л , в
которой находятся лучи I и 1'. Если Z(ft; I') — прямой, то V = /о , поскольку
при этом Z(А; к) > £[h\ Iq) луч Iq проходит между лучами Л и к, а потому в
силу У27 п. 3.2.0. луч к не проходит между лучами Л и Iq. Следовательно,
луч к лежит в той же полуплоскости относительно прямой, содержащей
лУч Iq , что и луч h , а так как луч к находится в той же полуплоскости
относительно прямой, содержащей луч h , что и луч Iq , то он проходит
между лучами Iq и h . Это означает, что Z(/o;fc) меньше прямого угла
Z(/o; h) , а потому он острый.

Если Z(ft; Г) — тупой, то луч Iq проходит между лучами h и 1Г , а также
луч /о проходит между лучами h и к . Аналогично только что проведенным
рассуждениям £(Iq\V) — острый, Z(/o; к) — острый, а потому так как луч
Г лежит в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей луч к,
что и луч Iq , и он лежит в одной полуплоскости относительно прямой,
содержащей луч Iq , что и луч к , он проходит между лучами Iq и к .
Следовательно, Z(/'; к) < Z(Zo; к) , а потому Z(f; к) — острый.

Пусть Z(/i;/) — прямой, тогда I = Iq и основание перпендикуляра, про-
веденного из точки М' = Mq 6 I на луч h совпадет с вершиной угла О , а
поскольку Z(/o;&) — острый, то основание перпендикуляра, проведенного
из точки Mq е Iq на прямую, содержащую луч к (точка Во), попадет на луч
к . Итак, АОЛГоВо — прямоугольный, его гипотенуза OMq как сторона,
лежащая против его наибольшего — прямого угла, больше любого из его
катетов, поэтому OMq > MBq, что противоречит равенству OMq = MBq.

Если Z(ft;/') — тупой, то основание перпендикуляра, проведенного из
точки Mf 6 I на прямую, содержащую луч h (точка А), окажется на луче
h. Поскольку Z(/'; к) — острый, то основание перпендикуляра, проведен-
ного из точки Mf 6 I' на прямую, содержащую луч к (точка В'), попадет
на луч fc. У прямоугольных АОМ'В' и ДОЛГА гипотенуза OMf — об-
щая, а катеты М'А и М'В* равны. Следовательно, по катету и гипотенузе
АОМ'В* = ДОЛГА , потому £АОМ' = ZJB'OM' , что невозможно, так
как луч к проходит между лучами h и V и потому ZAOAf' > £В'ОМ', при-
шли к противоречию. Таким образом, Z(ft;i') может быть только острым,
а для этого случая совпадение луча lf с биссектрисой угла выше доказано.
Теорема 7 полностью доказана.

Замечание. В доказательстве теоремы 7 использован один из признаков
равенства прямоугольных треугольников, доказываемых ниже, в вопросе 9,
при доказательстве этого признака используется только предшествующий
доказательству теоремы 5 вопроса 4 материал п. 2.3.1.

Важно еще отметить, что в учебной литературе (см. учебники [6], [8],
книги [11] и [12]) при доказательстве теоремы 7 не доказывается местопо-
ложение оснований перпендикуляров, проведенных из точки внутри угла
на его стороны, поэтому доказательство теоремы 7 в этих книгах пред-
ставляется более простым, по сравнению с только что приведенным. Еще
одной особенностью приведенного доказательства теоремы 4 является не
использование меры угла.
Вопрос 5. Теоремы о параллельных прямых на плоскости

Основная часть

Начиная с этого вопроса, мы будем использовать меру (измерение) угла.

См. выше У1 А) п. 2.3.0.» согласно которому две различные прямые на
плоскости или в пространстве имеют не более одной общей точки, и У2
п. 2.З.О., согласно которому через прямую и не лежащую на ней точку,
так же как и через две пересекающиеся прямые проходит одна и только
одна (единственная) плоскость. Эти утверждения доказываются на основе
аксиом принадлежности (А1 — А8).

Определение 1. Две прямые, имеющие единственную общую точку, на-
зываются пересекающимися, указанная точка называется их точкой
пересечения. Обозначаются а Г) 6 или аГ\Ь = М (М — точка пересечения
прямых а и 6).

Определение 2. Две различные прямые на плоскости называются
параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).
Обозначаются а || Ь .

Из этого определения непосредственно вытекает, что а || b О Ъ || а .

Из определения 2, У18 и У20 п. 2.3.0. вытекает, что каждая из двух
параллельных прямых целиком располагается в одной полуплоскости от-
носительно другой прямой, поскольку в противном случае эти прямые пе-
ресекались бы.

Замечание. Поскольку выше, в п. 2.3.0. мы договорились две совпадаю-
щие прямые по сути дела считать одной прямой, мы не будем (в отличии,
например, от п. 46 книги [12]) считать совпадающие прямые параллель-

\А Ь -_________________________

3	b

с	----------------

рис. 34 а)	рис. 34 б)	рис. 34 в)

Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провес-
ти на плоскости (проходящей через указанные точку и прямую) не более
одной прямой, параллельной данной.

Следствие. Если некоторая прямая, проходящая в плоскости некото-
рых двух параллельных прямых, пересекает одну из них, то она пересека-
ет и другую.

Доказательство. См. рис. 34 а). Пусть прямые аиЪ параллельны, пря-
мая с (лежащая в плоскости прямых а и Ь) пересекает прямую а , предпо-
ложим, что с || Ь, тогда мы получим, что через точку пересечения прямых
а и с проходят две различные прямые, параллельные прямой Ь , что про-
тиворечит аксиоме параллельности прямых.

Теорема, 1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно про-
вести на плоскости (проходящей через указанные точку и прямую) по
крайней мере одну прямую, параллельную данной.

Доказательство

, См. рис. 34 б). Пусть на плоскости a , которая содержит прямую а и не
принадлежащую ей точку А , через точку А проведена прямая с ± а (су-
ществование и единственность такой прямой доказаны в теореме 2 вопроса
4). Через точку А в плоскости а проведем прямую b ± с (о существова-
нии и единственности такой прямой говорится в следствии из У43 п. 2.3.0).
Прямые а и Ь параллельны. Предположим противное, то есть то, что пря-
мые а и b пересекаются в некоторой точке М (М Е а) . Поскольку b ± с
и а 1 с мы получим, что в плоскости а из точки М к прямой с проведены
две перпендикулярные прямые, а это противоречит теореме 2 вопроса 4.
Следовательно, а || b . Теорема 1 доказана.

Замечание. Возможность проведения через точку А, не лежащую на
данной прямой а, на плоскости а (проходящей через указанные точку и
прямую) прямой b || а устанавливается путем решения соответствующей
задачи на построение циркулем и линейкой с использованием доказываемой
ниже теоремы 3 (см., например, п. 74 [8]).

Следствие . Из аксиомы параллельности прямых и теоремы 1 вытекает,
что через точку, не лежащую на прямой (в плоскости, содержащей эту
точку и прямую), можно провести в указанной плоскости единственную
прямую, параллельную данной. Стало быть, уже двух таких параллельных
прямых провести нельзя (см. п. 75 [8]);

Замечание. В учебнике [6] и книге [12] аксиома параллельности прямых
формулируется в виде существования только одной прямой Ь , проходящей
через точку А , не лежащую на прямой а , которая параллельна прямой а .
На самом деле существование по крайней мере одной такой прямой можно
доказать как теорему (см. выше теорему 1).

Теорема 2. Две различные прямые на плоскости, параллельные тре-
тьей прямой на этой плоскости, параллельны.

Доказательство

См. рис. 34 в). Пусть на плоскости а имеются три различные прямые
а , b , с , а || с и Ь || с , докажем, что а || b . Предположим противное, что
а П b = М , откуда сразу получаем существование на плоскости а двух
различных прямых, проходящих через точку М , не лежащую на прямой с,
которые параллельны прямой с . Пришли к противоречию со следствием
теоремы 1. Следовательно, а || Ь . Теорема 2 доказана.
Определения 3. Пусть даны две прямые a u Ь , лежащие в одной плос-
кости.

А)	Прямая с , пересекающая каждую из них и не проходящая через их
общую точку (если такая есть), называется секущей.

Б) Пары углов Z3hZ5;Z4hZ6 (Z 1 и Z 7 ; Z 2 и Z 8) называются
внутренними (внешними) односторонними.

В)	Пары углов Z3hZ6;Z4hZ5 (Z 1 и Z 8 ; Z 2 и Z 7) называются
внутренними (внешними) накрест лежащими.

Г) Пары углов Z1hZ5;Z2hZ6;Z3hZ7;Z4hZ8 называются

Отметим характерные особенности накрест лежащих и односторонних
углов (см. рис. 34 г), д), на которых не обозначены точки Ло = с П а и
Bq = С П Ь).

У накрест лежащих углов (как внутренних, так и внешних) образующие
их лучи на прямых а и Ь (ЛоЛ и BqB‘ или ЛоЛ' и BqB) расположены в
разных полуплоскостях относительно прямой с .

У односторонних углов (как внутренних, так и внешних) образующие
их лучи на прямых а и Ь (ЛоЛ и BqB или ЛоЛ' и BqB') расположены в
одной полуплоскости относительно прямой с .

У внутренних углов (как накрест лежащих, так и односторонних) обра-
зующие их лучи на прямой с (AqD и BqD) таковы, что точка D лежит
между точками Ло и Bq .

У внешних углов (как накрест лежащих, так и односторонних) образу-
ющие их лучи на прямой с (ЛоД» и Bq Д) таковы, что точка Da и точка
Д не лежат между точками Ло и Bq .
Теорема. 3. (Признаки параллельности прямых). Если какие-нибудь два
внутренних или два внешних накрест лежащих угла равны, или сумма
каких-нибудь внутренних или внешних односторонних углов равна раз-
вернутому углу (сумма градусных (радианных) мер этих углов равна
180° (тг)/ или какие-нибудь два соответственных угла равны, то пря-
мые параллельны.

Доказательство

В силу свойств смежных и вертикальных углов достаточно доказать эту
теорему лишь для одной из указанных в условии восьми пар углов. Пусть,
например, углы 3 и 6 равны. Предположим, что прямые а и b пересекутся
в некоторой точке К в правой полуплоскости относительно секущей с (см.
рис. 34 е). Тогда Z3 — внешний угол ДАК В , в силу теоремы 4 вопроса
2 о том, что внешний угол треугольника больше всякого внутреннего угла
треугольника, не смежного с ним, Z3 > Z6 , что противоречит Z3 = Z6.
Предположим теперь, что прямые а и 6 пересекутся в некоторой точке /<' в
левой полуплоскости относительно секущей с (см. рис. 34 е). Тогда в силу
теоремы 2 вопроса 2 так как Z4 и Z5 — углы смежные соответственно Z3
и Z6 Z3 = Z6 <=> Z4 = Z5 . Z5 — внешний угол ДАК'В , аналогичным
образом получаем, что Z4 > Z5 , что противоречит Z4 = Z5 . Следова-
тельно, прямые а и Ь не могут пересечься, стало быть, а || Ь . Теорема 3
доказана.

Следствие. Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные
третьей прямой, параллельны.

Теорема. 4. (свойство параллельных прямых), обратная теореме 3.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой (секущей),
то внутренние накрест лежащие и соответственные углы равны, а сум-
ма внутренних односторонних углов равна развернутому углу (то есть
сумма их градусных (радианных) мер равна 180°(тг)/

Доказательство

См. рис. 34 ж). Пусть прямые а и b параллельны, прямая с — их секу-
щая, докажем, например, что соответственные углы Zl = Z2 . Для опре-
деленности предположим, что Zl > Z2 , построим (согласно А15 п. 2.3.0)
как указано на рис. 34 ж) Z3 = Z2 < Z1 , получим прямую а' , отличную
от прямой а , так как Zl > Z3 . В силу теоремы 3 а' || Ь, а по условию а || 6,
получили, что через точку О проходят две различные прямыеza и а' , па-
раллельные прямой Ь , что противоречит аксиоме параллельности прямых.
Следовательно, соотношение Zl > Z2 невозможно. Аналогичным образом
доказывается невозможность соотношения Zl < Z2, а потому в силу У35
п. 2.3.0. Zl = Z2 . В силу свойств вертикальных и смежных углов из ра-
венства этой пары соответственых углов вытекает равенство соответству-
юших пар внутренних накрест лежащих углов и равенство развернутому
углу суммы соответствующих пар односторонних углов.

Следствие. Если прямая, лежащая в плоскости двух параллельных пря-
мых, перпендикулярна одной из них, то она перпендикулярна и другой из
них.

Дополнительная часть

Отметим, что так как теоремы 3 и 4, будучи взаимно обратными вер-
ны, то верны и противоположные им теоремы, выражающие признаки и
свойства не параллельности двух прямых на плоскости. Читателям пред-
лагается сформулировать и доказать их самостоятельно. Об этом см. п. 78
учебника [8] и конец п. 46 книги [12].

Вопрос 6. Теорема, о сумме внутренних углов треугольника. Теорема
о внешнем угле треугольника. Теорема о сумме внутренних углов выпукло-
го многоугольника

Вводная часть

AtA4-диагональ
AtA3—диагональ
А^А3 —диагональ

рис. 35 б)

Ав
рис. 35 а)

Определение 1. Геометрическая фигура (линия) на плоскости, образуе-
мая отрезками ЛоЛ1, ЛМг,..., An-iAni расположенными так, что конец
i-го отрезка (точка Ai) является началом i 4- 1-го отрезка

(г = 1,2, ...,п —1, п 2) и при всех этих г 1 отрезки Ai-\Ai и Л<Л<+1 не
лежат на одной прямой, называется ломаной (ломаной линией) и обо-
значается ЛоЛ1Л2...Лп-1Лп.

Указанные отрезки называются сторонами (или звеньями) ломаной, а
точки Ло, Л1, ... , Ап — вершинами ломаной. Внутренние точки сторон
ломаной и вершины ломаной называют точками ломаной.

Определение 1 А. Ломаная называется замкнутой, если ее концы Ло
и Ап совпадают (являются одной точкой), при этом отрезки AqAi и
Ап-1Ап не лежат на одной прямой.

Определение 1 Б. Ломаная называется простой, если она не имеет
самопересечений (то есть никие из ее вершин не совпадают, никакая из
ее вершин не является внутренней точкой какой-либо из ее сторон и
никакая пара ее сторон не имеет общей внутренней точки (то есть не
пересекается)).

Определение 2. Многоугольником (простым многоугольником) называ-
ется замкнутая ломаная (простая замкнутая ломаная).

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ло-
маной — сторонами многоугольника. Обозначается Л1Л2...Ап . От-
резки, соединяющие не соседние вершины (то есть вершины, не являющи-
еся концами одного звена) многоугольника, называются диагоналями
(см. рис. 35 б).

Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем рассма-
тривать только простые многоугольники и под термином ” многоугольник”
будет пониматься простой многоугольник.

Определение 3. Многоугольник с п вершинами и п сторонами называ-
ется п-угольником (п 3).

Выше на рис. 35 а) изображена ломаная, не являющаяся замкнутой и не
являющаяся простой, на рис. 35 б) изображена простая замкнутая ломаная
— многоугольник, не являющийся выпуклым.

Основная часть

Определение 4. Многоугольник называется выпуклым, если он ле-
жит целиком в одной полуплоскости относительно любой прямой, содер-
жащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей

полуплоскости.

Определение 5. Общая часть полуплоскостей, фигурирующих в пре-
дыдущем определении, без сторон выпуклого многоугольника называется
его внутренней областью, а остальная часть плоскости также без его
сторон — его внешней областью.

Определение 6. Внутренняя область выпуклого многоугольника вме-

сте с его сторонами называется плоским выпуклым многоугольником.

рис. 35 в)

рис. 35 г)

На приведенных рис. 35 в) и г) внутренние области многоугольников
заштрихованы. О внутренней области невыпуклого треугольника см. ниже,
в дополнительной части этого вопроса.
Определение 7. Внутренним углом при вершине Ai (i = 1,2, ...n)
многоугольника AiAz...An называется угол, образованный полупрямыми
AiAi-i и (t = 2,3,..., n — 1) , полупрямыми АМг « AiAn (при г = 1J
и полупрямыми AnAn-i и AnAi (при i = п). При зтом внутренней обла-
стью зтого угла считается та часть плоскости, которая содержит
внутреннюю область многоугольника. ♦

Внутренний угол плоского многоугольника определяется таким же
образом вместе с присоединенной к нему его внутренней областью (то есть
как плоский угол).

Внутренней точкой многоугольника считается всякая точка, лежащая
в его внутренней области.

Аналогично определениям 2', 3, 4 определяются граница многоуголь-
ника, точка, лежащая на стороне многоугольника, внешняя точка много-
угольника.

По поводу внутренней и внешних областей угла см. выше, в вопросе 2
и в 015 п. 2.3.0. С учетом этих определений и определений 4, 5 и 7 мы по-
лучаем, что внутренняя область каждого из внутренних углов выпуклого
многоугольника является пересечением полуплоскостей относительно пря-
мых, на которых расположены соседние (то есть имеющие общую верши-
ну) стороны этого многоугольника. Следовательно, каждый из внутренних
углов выпуклого многоугольника является неразвернутым углом первого
типа (см. О15А п. 2.3.0).

Замечание. Отметим, что таким же образом, как и для внутренней обла-
сти треугольника (см. выше вопрос 1) можно доказать эквивалентность
определения внутренней области выпуклого многоугольника, определенной
выше, и определения внутренней области выпуклого многоугольника, как
пересечения внутренних областей всех его внутренних углов.

Определение 8. Внешним углом выпуклого многоугольника при дан-
ной вершине называется угол, смежный с внутренним углом многоуголь-
ника при этой вершине.

Из этого определения вытекает, что внутренняя область внешнего угла
многоугольника расположена во внешней части многоугольника.

Замечание. Мы привели традиционное определение внешнего угла вы-
пуклого многоугольника как угла — одного из смежных с внутренним его
углом.

Однако согласно логике введения внутреннего угла многоугольника
(как выпуклого, так и невыпуклого) и его внутренней области можно было
внешний угол простого многоугольника определить как угол, имеющий ту

* При этом предполагается, что внутренняя область внутреннего угла многоуголь-
ника удовлетворяет соответствующему из определений О15А или О15В п. 2.3.0.
же вершину, что и соответствующий внутренний угол, и составляющий в
сумме с этим внутренним углом полный угол (то есть как дополняющий
соответствующий внутренний угол до полного угла).

Можно утверждать, что объединение всех внутренних областей так
определенных внешних углов выпуклого многоугольника будет совпадать
с внешней областью этого многоугольника.

Важно отметить, что при таком определении внешнего угла много-
угольника (в том числе и треугольника) уже очевидным становится факт,
что всякий внешний угол треугольника больше любого его внутреннего
угла и перестают быть верными доказываемые ниже теорема 2 о внешнем
угле треугольника, равном сумме внутренних углов этого треугольника,
не смежных с указанным внешним углом, и теорема 4 о равенстве полному
углу суммы всех внешних углов выпуклого многоугольника вне зависимо-
сти от количества его сторон.

Определение 9. Треугольником называется п—угольник с тремя
(п = 3) вершинами и сторонами.

Замечание. Нетрудно видеть, что это определение треугольника имеет
тот же смысл, что и определение, приведенное выше, в вопросе 1, а также
то, что всякий треугольник является выпуклым многоугольником.

Теорема 1. Сумма внутренних углов треугольника равна развернуто-
му углу (или двум прямым углам) ; сумма градусных (радианных) мер вну-
тренних углов треугольника равна 180° (числу л).

Доказательство

См. рис. 35 д). Через вершину В треугольника АВС проведем прямую,
Ь параллельную прямой (АС) . В силу свойств параллельных прямых
(см. теорему 4 вопроса 5) ЛВАС = ЛАВВ как внутренние накрест ле-
жащие при (АС) || b и секущей (АВ) , ЛВСА = ЛСВЕ как внутренние
накрест лежащие при (ЛС) || b и секущей (ВС) . Так как по определе-
нию суммы углов ЛАВВ 4- ЛАВС 4- ЛСВЕ = ЛВВЕ , который являет-
ся развернутым углом, то применяя замечание к У46 п. 2.3.0. об анало-
гах свойств числовых равенств для сложения углов, мы получим, что и
ЛВАС + Л АВС + ЛВС А развернутому углу. Из полученного результата и
свойств меры угла (см. У46 п. 2.3.0) вытекают соответствующие утвержде-
ния для сумм градусных и радианных мер внутренних углов треугольника.

Теорема 2. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов
(мера внешнего угла треугольника равна сумме мер внутренних углов)
треугольника, не смежных с ним.

В частности, внешний угол треугольника больше любого внутреннего
угла треугольника, не смежного с ним.

Доказательство

См. рис. 35 д). /FCB = /DBC как внутренние накрест лежащие при
(АС) || Ъ и секущей ВС , так как /ВАС = /DBA как внутренние накрест
лежащие при (AC) || b и секущей В А и /DBC = /DBA 4- /АВС , то (см.
У46 п. 2.3.0) /FCB = /DBA + /АВС = /ВАС 4- /АВС . Поскольку из
022, 022А и 023 п. 2.3.0. вытекает, что сумма ненулевых углов больше
каждого из слагаемых углов, внешний угол треугольника больше любого
внутреннего угла треугольника, не смежного с ним. Теорема 2 доказана.

Определение 10. Четырехугольником называется п—угольник с
четырьмя (п = 4) вершинами и сторонами.

рис. 35 е)

Теорема 3. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна
сумме (и — 2)-я развернутых углов.

Сумма градусных (радианных) мер внутренних углов выпуклого
п—угольника равна (п — 2) • 180° (числу (п — 2) • к).

Доказательство

Выберем некоторую точку О во внутренней области выпуклого много-
угольника А1А2Аз...Ап-2^п-Мп и соединим отрезками ее со всеми вер-
шинами этого многоугольника. Из определений 4 и 5 выпуклого много-
угольника и его внутренней области вытекает, что точка О не совпада-
ет ни с одной из вершин многоугольника, не является внутренней точкой
никакой из его сторон и она находится в той же полуплоскости относи-
тельно прямой (AiAn) , что и луч АМг (см. У20 п. 2.3.0), и — в той же
полуплоскости относительно прямой (А1А2) , что и луч AiAn . Это означа-
ет, что точка О находится во внутренней области угла АПА1А2 , а потому
луч (стало быть, и отрезок) AiO также находится во внутренней области
/AnAiAz , следовательно, ZAnAiA2 = /OAiAn 4- /ОА1А2 . Рассуждая
аналогично относительно любой из вершин многоугольника (как это было
проделано для вершины Ai), просуммировав все внутренние углы постро-
енных п треугольников: ^ОАпАх , ДОЛМг , &ОА2А3 , ... АОАп_]Ап
мы получим, что эта сумма с одной стороны, равна (в силу теоремы 1)
сумме п развернутых углов, с другой стороны (в силу замечания к У46
п. 2.3.0), эта сумма равна сумме всех внутренних углов многоугольника
Л1Л2Л3•• 'Ап-2Ап-1Ап плюс сумма всех углов с вершиной в точке О, по-
следняя сумма равна полному углу (стало быть, равна сумме двух раз-
вернутых углов). Следовательно, сумма всех внутренних углов выпуклого
многоугольника А1А2Аз...Ап-2Ап-1Ап как раз и равна сумме п — 2 - х
развернутых углов. Утверждение относительно суммы градусных и ради-
анных мер этих углов вытекает из У46 и того, что градусная (радианная)
меры развернутого угла равны 180° (тг) . Теорема 3 доказана.

Замечание. В §15 книги [10] доказательство теоремы 3 проведено мето-
дом математической индукции.

Дополнительная часть

рис. 35 ж)

Теорема 4. Сумма внешних углов выпуклого п—угольника, взятых по
одному при каждой его вершине, равна полному углу;

сумма градусных (радианных) мер внешних углов выпуклого п—угольника,
взятых по одному при каждой его вершине, равна 360° (числу 2я)

(то есть эти суммы не зависят от п).

Доказательство

См. рис. 35 ж). В силу определения внешнего угла треугольника, равен-
ства суммы двух смежных углов развернутому углу, сумма всех внутрен-
них углов выпуклого многоугольника А\А2Аз...Ап-2Ап~1Ап вместе с сум-
мой указанных в условии теоремы углов равна сумме п развернутых углов,
а потому в силу теоремы 4 сумма указанных в условии теоремы углов рав-
на сумме двух развернутых углов, то есть полному углу. Утверждение
относительно суммы градусных и радианных мер указанных в условии
теоремы углов вытекает из У 46 и того, что градусная (радианная) меры
полного угла равны 360° (2тг) . Теорема 4 доказана.

Замечание. Точно таким же образом, как и в определениях 1, 1А,
1Б, 2 и 3 можно ввести определения пространственной ломаной, замкну-
той и простой пространственных ломаных, пространственного много-
угольника, простого пространственного многоугольника, пространствен-
ного п—угольнйка. Для этого в определении 1 достаточно заменить слова
”на плоскости” на слова ”в пространстве”.

Точно также, как й в определении 6, определяется плоский невыпуклый
многоугольник.

Будем теперь здесь и в дальнейшем использовать понятие длины от-
резка и ее свойства.

Определение 11. Длиной ломаной ЛоЛ1А2...Лп-1Ап будем называть
сумму длин всех ее сторон^ то есть, если длину ломаной обозначить за I ,
то	I = Ио-Ai| 4- ИМз| + ИгЛз) 4-... 4- |An_iAn| .

Определение 12. Периметром многоугольника называется сумма
длин всех его сторон.

Теорема. 5. Всякий отрезок ЛоЛп меньше суммы сторон любой ломаной
AoAiA2.-.An^iAn .	Доказательство

В силу теоремы 8 вопроса 3 (неравенства треугольника) и определения
ломаной Л0Л2 < Л0Л1 4~ Л1Л2 , Л0Л3 А0А2 4- А2А3 < Ло-41 4*. Л1Л2 4-
4-Л2Л3 , ... , ЛоЛп ЛоЛп_1 н-ЛП-1ЛП < Л0Л1 4- Л1Л2 4- ...4- ЛП_2ЛП_1 4-
+ЛП_1ЛП . Теорема 5 доказана.

Замечание. В приведенном доказательстве по сути дела применен метод
математической индукции, когда мы на основе неравенства треугольника
доказали эту теорему для случая п = 2 , затем, предполагая справедли-
вость этой теоремы для п — 1 звена ломаной, мы доказали ее для случая
п звеньев ломаной. Отметим, что использование знака неравенства вы-
звано тем обстоятельством, что точки Ло , Л2 и Лз уже вполне могут
оказаться на одной прямой, причем точка Л2 может лежать между точка-
ми Ло и Лз , аналогичная ситуация может возникнуть и для точек Ло ,
An-i и Ап .

Следствие 1. Используя У38 и У39 п. 2.3.0., мы получим аналогичное
утверждение относительно длин отрезка ЛоЛп и ломаной Л0Л1 ...ЛП_1ЛП :

|ЛоЛп| < |AqAi | 4- |Л1 Л21 4-... 4- |ЛП_ 1ЛП| .

В случае ДЛВС , обозначая a = |ВС| , b = |АС7| , с = |ЛВ| , имеем :
a < 64- с , 6 < а 4- с , с < а 4- 6, откуда, в частности, следует a - b < с,
6 — a < с => |а — 6| < с , аналогично |6 — с| < а и |а — с| < b , то есть в
любом треугольнике длина любой его стороны меньше суммы длин двух
других сторон и больше модуля разности длин двух других сторон.

Следствие 2. Используя У38 и У39 п. 2.3.0. и теорему 9 вопроса 3, по-
лучаем, что для трех точек Л , В и С |ЛВ| = |ЛС| 4- |СВ| только в слуаях
или совпадения точки С с одной из точек Л или В , или когда точка С
лежит между точками Л и В на прямой (АВ) . Во всех остальных случа-
ях |АВ| < |АС| 4- |СВ| . Стало быть, для любых трех точек А , В и С
\АВ\ |АС| 4- \СВ\ .

Аналогично этому следствию, используя О21А, У38 и У39 п. 2.З.О., по-
лучаем.

Следствие 3. Для п +1 точки Ао , Ai , ... , An-i , Ап (любые две
из которых различны) |А0Ап| = |A0Ai| 4- |AiA2| 4-... 4- |An-iAn| только в
случае их расположения так, как указано в У9 п. 2.3.0., поэтому с учетом
теоремы 5 и следствия 1 для любой п 4-1 точки Ао , Ai , ... , An_i , Ап

AoAn AoAi 4- Ai A2 4-... 4" An_iAn ,
IAoAn|	|AoAi| 4» |AiA2| + ... 4- |An_iAn| .

Замечание. Подробнее материал о ломаных и многоугольниках см. в гл.
IV, п. 212, 232, 233 и др. в учебнике [8]; §15 книги [10].

О внутренней и внешней областях простого многоугольника *

Теорема 6. Всякий простой многоугольник (выпуклый и невыпуклый),
расположенный в плоскости а разбивает точки этой плоскости на две
части, (одну из них называют внутренней областью, другую из них —
внешней областью), ** обладающие следующими свойствами: если А
— точка внутренней области (внутренняя точка), а В — точка внеш-
ней области (внешняя точка), то всякая ломаная, лежащая в плоско-
сти а и соединяющая точки А и В , имеет по крайней мере одну общую
точку с многоугольником ; если же А и А1 — две внутренние точки
многоугольника, а В и Bf — две внешние точки многоугольника, то в
плоскости а существуют две ломаные, одна из которых соединяет точ-
ки А и Af , а другая из которых соединяет точки В и В' , не имеющие
общих точек с многоугольником. При надлежащем выборе названий ’’вну-
тренняя область” и ’’внешняя область” многоугольника (для выпуклого
многоугольника это также, как указано выше) в плоскости а существуют
прямые, целиком лежащие во внешней области многоугольника, и не суще-
ствует прямых, целиком лежащих во внутренней области многоугольника.

См. [18], гл. I, §4, теорема 9 и примечание 15.

Ниже, на рис. 35 з) точки А и А' находятся во внутренней области мно-
гоугольника — четырехугольника А1А2АзА4 , точки В и В' находятся во
внешней области этого многоугольника, прямая (CCf) целиком находится
во внешней области этого многоугольника.

* Этот материал, включающий формулировку теоремы 6, не является обязательным
на экзаменах.

** Точки самого многоугольника при этом не относят ни к его внутренней, ни к его
внешней областям.
Замечание. Отметим, что для четырехугольника ЛМ2Л3Л4 было бы
естественным считать одним из его внешних углов Z4' , который дополняет
его внутренний угол Z4 до полного угла (см. выше замечание после опре-
деления 8). Однако из рис. 35 и) видно, что внутренняя область изображен-
ного на нем четырехугольника не является пересечением внутренних обла-
стей всех его внутренних углов, а также его внешняя область не является
объединением внешних областей всех его внешних углов, определяемых в
соответствии с замечанием после определения 8. Поэтому выпуклость мно-
гоугольника, фигурирующая в этом замечании, а также в замечании перед
определением 8 является существенной.

Вопрос 7. Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма

Вводная часть

Пусть ABCD — четырехугольник (см. определение 10 вопроса 6).

Определение 1. Стороны четырехугольника называются противоле-
жащими или противоположными, если они не имеют общих вершин.

Определение 2. Стороны четырехугольника называются смежными,
если они имеют общую вершину.

Определение 3. Вершины четырехугольника называются противоле-
жащими или противоположными, если они не являются концами од-
ной из его сторон.

Определение 4. Углы четырехугольника называются противолежа-
щими или противоположными, если их вершины являются противо-
лежащими или противоположными вершинами четырехугольника.

Определение 5. В соответствии с определением диагонали многоуголь-
ника, сформулированном в вопросе 6, диагональю четырехугольника на-
зывается отрезок с концами в его противолежащих вершинах.
D

ADBC ~ четырехугольник
АВ, CD — его диагонали
рис. 36 б)

ABCD “ четырехугольник
АС, BD — его диагонали
рис. 36 а)

АВ DC - четырехугольник
AD, СВ — его диагонали
рис. 36 в)

Обычно при выписывании обозначающих четырехугольник вершин их
порядок таков, что противолежащие вершины не стоят рядом. Так, на-
пример, один и тот же четырехугольник ABCD может быть обозначен как
BCD А , CD АВ , DABC , DCBA , CBAD , BADC , ADCB , его проти-
волежащими вершинами будут: пара вершин А и С , а также пара вершин
В и D , его противолежащими сторонами будут пара сторон АВ и CD
и пара сторон AD и ВС , его смежными сторонами будут стороны АВ и
ВС , ВС и CD , CD и AD , его диагоналями будут отрезки АС и BD .
Однако в четырехугольнике ACBD отрезки АС и BD уже будут сторо-
нами, противолежащими сторонами будут пара сторон АС и BD и пара
сторон ВС и AD , а отрезки АВ и CD — диагоналями. Поэтому четырех-
угольник ACBD уже другой, нежели четырехугольник ABCD . См. рис.
36 а), б). На рис. 36 в) изображен четырехугольник АВ DC , у которого
противоположные стороны АС и BD оказались даже пересекающимися.

ABCD—четырехугольник
AC, BD — его диагонали

рис. 36 г)

Теорема 1. У выпуклого четырехугольника диагонали пересекаются
(то есть являются пересекающимися отрезками), причем точка их пе-
ресечения находится во внутренней области этого четырехугольника.

Доказательство

См. рис. 36 г). Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. В силу
определения 4 вопроса 6 выпуклого многоугольника точки В и С лежат в
одной полуплоскости относительно прямой (AD) , а потому в силу У20 п.
2.3.0. лучи АВ и АС целиком будут находиться в этой же полуплоскости.
В силу У29 п 2.3.0. для п = 2 или луч АВ будет проходить внутри угла
CAD, или луч АС будет проходить внутри угла BAD . Однако в первом
случае в силу выпуклости ABCD Z.CAD — угол первого типа и потому в
силу У26 п. 2.3.0. мы бы получили, что отрезок CD пересекает луч АВ, что
означало бы принадлежность точек С и D разным полуплоскостям плос-
кости четырехугольника относительно прямой (АВ) , а это противоречит
выпуклости четырехугольника ABCD . Таким образом, именно луч АС
проходит между лучами AD и АВ , а это в силу того, что ZCAD — угол
первого типа, и в силу У26 п. 2.3.0. означает, что отрезок BD пересека-
ет прямую (ЛС) . Совершенно аналогично, доказав, что луч DB проходит
между лучами DA и DC , мы получим, что отрезок АС пересекает прямую
DB . В силу единственности точки пересечения прямых (ЛС) и (BD) полу-
чаем, что пересеклись отрезки АС и BD в некоторой точке О . Поскольку
точка О является также точкой пересечения лучей ЛС и DB она (в силу
У20 п. 2.3.0) будет находиться в той же полуплоскости плоскости четы-
рехугольника, что и точки В и С , а, стало быть, в той же полуплоскости
относительно прямой (AD), что четырехугольник ABCD . Аналогичным
образом доказывается, что точка О будет находиться в одной полуплос-
кости относительно как прямой (АВ) , как прямой (ВС) , так и прямой
(DC) , что и четырехугольник ABCD , это означает, что она находится
во внутренней области четырехугольника ABCD . Теорема 1 полностью
доказана.

Замечание 1. Отметим, что всякая внутренняя точка диагонали вы-
пуклого четырехугольника (и вообще выпуклого многоугольника) принад-
лежат внутренней области этого четырехугольника (многоугольника), а
всякая внешняя точка указанной диагонали находится во внешней области
этого четырехугольника (многоугольника).

Справедливость этого замечания следует из того, что, например, для
диагонали АС (см. рис. 36 д) выпуклого четырехугольника ABCD в силу
У20 п. 2.3.0. луч АС целиком расположен в той же полуплоскости относи-
тельно прямой (AD) , что и четырехугольник ABCD , и он же расположен
в той же полуплоскости относительно прямой (АВ) , что и четырехуголь-
ник ABCD, а луч С А расположен в той же полуплоскости относительно
прямой (ВС) , что и четырехугольник ABCD, и он же расположен в той
же полуплоскости относительно прямой (CD), что и весь четырехуголь-
ник ABCD , множество всех внутренних точек диагонали АС есть пере-
сечение множеств точек лучей АС и С А , поэтому каждая из этих точек
как раз и будет расположена во внутренней области выпуклого четырех-
угольника ABCD . Если М — произвольная внешняя точка диагонали АС
(см. рис. 36 д), тогда, для определенности предполагая, что точка А ле-
жит между точками М и С , мы получим, что в силу У20 п. 2.3.0. луч
АМ расположен в другой полуплоскости относительно прямой (AD) неже-
ли четырехугольник ABCD , следовательно, точка М будет расположена
во внешней области четырехугольника ABCD, Аналогичным образом про-
водится доказательство для диагонали BD . Для выпуклого п—угольника
(п 5) доказательство проводится по такой же схеме, что и для выпукло-
го четырехугольника с той разницей, что если концы какой-либо диагона-
ли расположены в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей
какую-либо из его сторон, то все внутренние точки этой диагонали (в си-
лу определения принадлежности двух точек одной полуплоскости) будут в
этой же полурлоскости.

Замечание 2. Утверждение теоремы 1 и замечание 1 не верны для не-
выпуклых четырехугольников (см. рис. 36 а), б), в).

Теорема 2. (обратная теореме 1). Если в четырехугольнике диагонали
пересекаются (как отрезки), то этот четырехугольник выпуклый.

Доказательство

См. рис. 36 г). Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD
пересекаются в некоторой точке О , которая по условию является внутрен-
ней точкой каждого из отрезков АС и BD , тогда точки В и D находятся в
разных полуплоскостях плоскости четырехугольника относительно прямой
(АС) , а потому в силу У20 п. 2.3.0. ДАВС и ДАВС также будут распо-
лагаться в разных полуплоскостях относительно (АС) . Следовательно,
отрезки AD и ВС не могут пересечься, так как в противном случае у них
должна была бы существовать общая внутренняя точка, которая одновре-
менно оказалась бы расположенной в обеих полуплоскостях относительно
прямой (АС) , что невозможно. А потому точки В и С расположены в одной
полуплоскости плоскости четырехугольника относительно прямой (АР) ,
а потому в этой же полуплоскости будет расположен весь отрезок ВС ,
и в силу У20 п. 2.3.0. в этой же полуплоскости будут расположены и все
внутренние точки отрезков АВ и DC , следовательно, четырехугольник
ABCD оказался в одной полуплоскости относительно прямой (АР) . Ана-
логичными рассуждениями мы получаем, что точки А и D расположены
в одной полуплоскости плоскости четырехугольника относительно прямой
(ВС) , а потому в этой же полуплоскости будет расположен отрезок AD и
все внутренние точки отрезков В А и CD , следовательно, четырехугольник
ABCD оказался в одной полуплоскости относительно прямой (ВС) . Ана-
логичными рассуждениями, исходя из того, что точки А и С расположены
в разных полуплоскостях плоскости четырехугольника относительно пря-
МОЙ (BD) , мы придем к тому, что в четырехугольник ABCD окажется в
одной полуплоскости относительно прямой (АВ) и в одной полуплоскости
относительно прямой (CD) , следовательно ABCD — выпуклый четырех-
угольник. Теорема 2 полностью доказана.

Определение 6. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого
противоположные стороны попарно параллельны (то есть лежат на па-
раллельных прямых). Обозначается параллелограмм знаком # .

Свойства параллелограмма.

Теорема 3. Параллелограмм — выпуклый четырехугольник.

Доказательство

См. рис. 37 а). Пусть ABCD — # , AD || ВС , АВ || CD , тогда как
отмечалось выше, после определения 2 вопроса 5 вся прямая (ВС) будет
располагаться в одной полуплоскости плоскости параллелограмма, отно-
сительно прямой (AD) , стало быть, в частности в этой же полуплоско-
сти будут лежать точки В и С , а потому в силу У20 п. 2.3.0. — и луч
АВ , а потому и отрезок АВ , и луч DC , а потому и отрезок DC , то
есть #ABCD оказался в одной полуплоскости относительно прямой (AD),
содержащей его сторону AD . Совершенно аналогично мы докажем рас-
положение #ABCD в одной полуплоскости относительно прямой (ВС) ,
в одной полуплоскости относительно прямой (АВ) и в одной полуплоско-
сти относительно прямой (DC) , в соответствии с определением 4 вопроса
6 это означает, что #AB£D — выпуклый четырехугольник. Теорема 3
доказана.

Следствие. Диагонали параллелограмма пересекаются (как отрезки)
в некоторой точке его внутренней области (см. рис. 37 а).

Доказательство

Это утверждение сразу вытекает из теорем 1 и 3 этого вопроса.

Теорема 4. В параллелограмме:

1)	диагональ делит его на два равных треугольника}

2)	противоположные стороны равны;

3)	противоположные углы равны;
4)	сумма углов, прилежащих одной стороне, равна развернутому углу
(сумма их градусных (радианных) мер равна 180° (тг)/,

5)	диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам;

6)	сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин
всех его сторон.

В	с	в	с

A	D	A	D

рис. 38 а)	рис. 38 б)

Доказательства

См. рис. 38 а). Пусть ABCD — # , AD || ВС , АВ || CD , BD —
диагональ, рассмотрим ДАВС и ДАВС , у них сторона BD — общая
Zl = Z4 как внутренние накрест лежащие при (АВ) || (CD) и секущей
(В£>), Z2 = Z3 как внутренние накрест лежащие при (ВС) || (А£>) и секу-
щей (BD) , следовательно, ДАВС = ДАВС (по второму признаку, то есть
по стороне и двум прилежащим ей углам). Так как в равных треугольни-
ках против соответственно равных углов (сторон) лежат соответственно
равные стороны (углы), то АВ = CD , ВС = AD и ZA = ZC . Проводя
другую диагональ АС , мы аналогичным образом докажем, что ZB = ZD.
Отметим, что так как ZB = Z1+Z2 , ZD = Z3+Z4 , то равенство углов В
и D можно получить в силу У32 п. 2.3.0. Таким образом, доказаны первые
три свойства параллелограмма. Четвертое свойство вытекает из свойств
параллельных прямых (см. выше вопрос 5).

См. рис. 38 б). Пересечение диагоналей у #ABCD доказано выше (см. вы-
ше следствие теоремы 3), пусть О = АС П BD . Рассмотрим ДАОВ и
АВОС , у них Zl = Z3 как внутренние накрест лежащие при AD || ВС и
секущей BD , Z2 = Z4 как внутренние накрест лежащие при AD || ВС и
секущей АС , AD = ВС по доказанному, следовательно ДАО£> = &ВОС
(по второму признаку), а потому соответственно ОС = О А и О В = OD.
Итак, первые пять свойств параллелограмма доказаны. Шестое свойство о
соотношении квадратов длин диагоналей и сторон параллелограмма будет
доказано ниже, в вопросе 15 как следствие теоремы косинусов для тре-
угольника.
Признаки параллелограмма.

рис. 38 в)	рис. 38 г)	рис. 38 д)

Теорема 5. Если у выпуклого четырехугольника две стороны парал-
лельны и равны, то он — параллелограмм.

Доказательство

См. рис. 38 в). Пусть у четырехугольника ABCD AD || ВС и

AD = ВС , проведем в ABCD диагональ BD , в силу выпуклости ABCD
эта диагональ будет находиться во его внутренней области, AABD и
ABCD будут расположены в разных полуплоскостях плоскости этого че-
тырехугольника относительно прямой (BD). Рассмотрим AADB и ADBC
, у них Zl = Z2 как внутренние накрест лежащие при (ВС) || (AD) и се-
кущей (BD) , AD = ВС по условию, BD — общая сторона, следовательно,
ADBC = AADB (по первому признаку — по двум сторонам и углу меж-
ду ними). Следовательно, так как в равных треугольниках против равных
сторон (углов) лежат равные углы (стороны), £ABD = £BDC , а потому
в силу признака параллельности прямых (АВ) || (CD) , поскольку £ABD
и £BDC — внутренние накрест лежащие при прямых (АВ) и (CD) и
секущей (BD) , следовательно у четырехугольника ABCD AD || ВС и
АВ || CD , а потому по определению 6 он — параллелограмм. Теорема 5
доказана.

Теорема 6. Если у выпуклого четырехугольника противолежащие сто-
роны попарно равны, то он — параллелограмм.

Доказательство

См. рис. 38 г). Пусть у четырехугольника ABCD АВ = CD и

AD = ВС, проведем в ABCD диагональ BD , в силу выпуклости
ABCD эта диагональ будет находиться во его внутренней области, AABD
и ABCD будут расположены в разных полуплоскостях плоскости это-
го четырехугольника относительно прямой (BD). Рассмотрим AABD и
ABDC, у них сторона BD — общая, АВ = CD и AD = ВС , следова-
тельно, AABD = АВ DC (по третьему признаку — по трем сторонам).
Следовательно, так как в равных треугольниках против равных сторон
лежат равные углы, Zl = Z4 , Z2 = Z3 , а потому в силу признака парал-
лельности прямых (АВ) || (CD) , поскольку Z1 и Z4 — внутренние накрест
лежащие при прямых (АВ) и (CD) и секущей (BD), (ВС) || (AD) , посколь-
ку Z2 и Z3 — внутренние накрест лежащие при прямых (ВС.) и (AD) и
секущей (BD), следовательно у четырехугольника ABCD AD || ВС и
АВ || CD , а потому по определению 6 он — параллелограмм. Теорема 6
доказана.

Теорема 7. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точ-
кой пересечения делятся пополам (на два равных отрезка), то он — па-
раллелограмм.	Доказательство

См. рис. 38 д). Пусть у четырехугольника ABCD АС и BD — диаго-
нали, О — точка их пересечения, в силу теоремы 2 ABCD — выпуклый
четырехугольник. Рассмотрим пару треугольников AOD и ВОС, у них
О А = ОС, ОВ = OD по условию, Z.BOC = Z.AOD как вертикальные,
следовательно по первому признаку равенства треугольников ДАОВ =
= ДВОС , а потому AD = ВС , аналогично, рассматривая пару тре-
угольников АОВ и COD , у которых О А = ОС , ОВ = OD по условию,
ZAOB = ACOD как вертикальные, мы также получим, что (по первому
признаку) эти треугольники равны, а потому АВ = CD . Следовательно,
у четырехугольника ABCD противоположные стороны оказались попарно
равны, а потому в силу теоремы 6 ABCD — параллелограмм. Теорема 7
доказана.

Теорема 8. Если в выпуклом четырехугольнике противоположные углы
попарно равны, то он — параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырехугольнике ABCD ZA = ZC , ZB = ZD , в силу теоре-
мы 3 вопроса 6 сумма всех внутренних углов выпуклого четырехугольника
ABCD равна удвоенному развернутому углу, то есть — полному углу. Так
как в силу У32 п. 2.3.0. из равенств ZA = ZC и ZB = ZD следует, что
Z.A 4- ZB = ZC 4- ZD и равны эти суммы развернутому углу, откуда выте-
кает, что АВ || CD , аналогично ZA 4- ZD = ZC 4- ZB и равны эти суммы
также развернутому углу, откуда следует, что AD || ВС , следовательно
ABCD — параллелограмм. Теорема 8 доказана.

Дополнительная часть

Отметим еще замечание к теореме 5, выражающей признак параллело-
грамма.

Замечание. В условии теоремы 5 можно не требовать выпуклости четы-
рехугольника, достаточно потребовать, чтобы он был простым (см. выше
определение 2 вопроса 6). Это будет следовать из того, что всякая трапе-
ция, определяемая ниже, в вопросе 12 как четырехугольник, имеющий по
крайней мере две параллельные стороны, является выпуклым, что там же
будет доказано.
рис. 39 а)	рис. 39 б)	рис. 39 в)

Рассмотрим некоторые частные случаи параллелограммов с доказа-
тельством некоторых их свойств.

Определение 7. Прямоугольником называется параллелограмм, у ко-
торого хотя бы один внутренний угол прямой.

Из этого определения и свойств углов параллелограмма (см. выше те- *
орему 4, свойства 3 и 4) вытекает, что если в параллелограмме имеется
прямой угол, то противолежащий ему угол также прямой и остальные два
угла, как прилежащие к одной стороне этого параллелограмма и составля-
ющие в сумме с ним развернутый угол, тоже прямые. Следовательно, в
параллелограмме все углы — прямые.

Замечание. Традиционно в учебной и справочной литературе прямо-
угольник определяется как параллелограмм, у которого все углы прямые.
Однако, как видно из приведенного определения 7, такое ”переопределен-
ное” определение прямоугольника по сути дела является теоремой, доказы-
ваемой на основе определения 7 и свойств углов параллелограмма.

Отметим, что прямоугольник как частный случай параллелограмма
обладает всеми его свойствами (см. выше теорему 4), однако его диагонали
обладают свойством, которым диагонали произвольного параллелограмма,
вообще говоря, не обладают. А именно, имеет место теорема.

Теорема 9. Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство

См. рис. 39 а). Рассмотрим треугольники ABD и ADC, у которых сто-
рона AD — общая, АВ = DC по свойству параллелограмма, Z.BAD =
= £CDA как прямые углы, следовательно, &ABD = AADC по двум сто-
ронам и углу между ними, а потому АС = BD . Теорема 9 доказана.

Имеет место и обратная теорема.

Теорема 9х. Если в параллелограмме диагонали равны, то он — пря-
моугольник.

Доказательство этой теоремы проводится на основе равенства тре-
угольников DAB и ADC по трем сторонам, откуда вытекает равенство
углов DAB и ADC . Поскольку в силу параллельности сторон АВ и DC
ЛОАВ+ЛАОС — развернутый угол, то каждый из углов ЛО АВ и ЛАОС
— прямой, это по определению 7 означает, что ABCD — прямоугольник.

Определение 8. Ромбом называется параллелограмм, у которого хотя
бы две смежные стороны равны.

Из этого определения и свойств сторон параллелограмма (см. выше те-
орему 4, свойство 2) вытекает, что если в параллелограмме хотя бы две
смежные стороны равны, то им будут равны и другие две его стороны как
соответственно противоположные им. Следовательно, в ромбе все стороны
равны.

Замечание. Традиционно в учебной и справочной литературе ромб опре-
деляется как параллелограмм, у которого все стороны равны. Однако, как
видно из только что приведенных рассуждений, такое ”переопределенное”
определение ромба по сути дела является теоремой, доказываемой на основе
определения 8 и свойств сторон параллелограмма.

Отметим, что ромб как частный случай параллелограмма обладает все-
ми его свойствами (см. выше теорему 4), однако его диагонали обладают
свойствами, которыми диагонали произвольного параллелограмма, вообще
говоря, не обладают. А именно, имеет место теорема.

Теорема 10. Диагонали ромба являются биссектрисами его внутрен-
них углов и взаимно перпендикулярны.

Доказательство

См. рис. 39 б). Рассмотрим треугольники ABD й BCD , каждый из
них является равнобедренным с общим основанием BD . Так как в силу
свойства диагоналей параллелограмма (см. теорему 4, свойство 5) ОВ =
= OD О А и ОС — медианы AABD и ABCD соответственно. Следо-
вательно, в силу свойств равнобедренного треугольника (см. выше во-
прос 2) ЛОАО = ЛВАО , ЛОСО = ЛВСО и AC ± BD . Аналогич-
ным образом, рассматривая ААВС и AADC , докажем равенства углов:
ЛАВО = ЛСВО , ЛАОО = ЛСОО . Теорема 10 доказана.

Имеет место и обратная теорема.

Теорема 10'. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендику-
лярны или хотя бы одна из его диагоналей является биссектрисой хотя
бы одного из его внутренних углов, то он — ромб.

Доказательство

Если в параллелограмме ABCD диагонали АС и BD взаимно перпен-
дикулярны, то, рассматривая, например, ААВС , у которого высота ВО
(по условию) является медианой (по свойству диагоналей параллелограм-
ма), получим, что qh равнобедренный (АВ = ВС), в силу определения 8
это означает, что ABCD — ромб.
Пусть в параллелограмме ABCD диагональ АС является биссектрисой
угла А , тогда ЛВАС = £DAC , поскольку в силу параллельности сторон
AD и ВС , вытекают равенства углов ЛВАС = £ACD , откуда в силу
транзитивности равенства углов Z.DAC = £ACD , а потому ДЛ£>С —
равнобедренный, AD = DC , получили, что в параллелограмме ABCD
равны две смежные стороны AD и DC , следовательно в силу определения
8 ABCD — ромб. Теорема 10' полностью доказана. .

Определение 9. Квадратом называется параллелограмм, у которого
хотя бы один внутренний угол прямой и хотя бы две смежные стороны
равны (см. рис. 39 в).

Из этого определения и определений 7 и 8 вытекает, что квадрат — это
параллелограмм, который является и прямоугольником, и ромбом. Поэтому
он обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ром-
ба, в частности все его стороны равны, а все его внутренние (и внешние)
углы — прямые; его диагонали обладают всеми свойствами диагоналей па-
раллелограмма, прямоугольника и ромба, то есть, в частности, они равны,
взаимно перпендикулярны, являются биссектрисами его внутренних углов.

Можно сформулировать и доказать аналогичные теоремам 9' и 10' при-
знаки квадрата. Например, если у параллелограмма диагонали равны и
взаимно перпендикулярны, то он квадрат.

Замечание. Квадрат можно определить и как прямоугольник, у кото-
рого хотя бы две смежные стороны равны, и как ромб, у которого хотя бы
один внутренний угол прямой.

Выше, в определении 1 вопроса 3 вводилось определение расстояния от
точки до прямой как длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой
точки на прямую. Докажем следующую теорему.

А М	N В а.
J  а||*	L  РЫ=  =|№|
	п	Ь
С Р |МР|=|№1 рис. 39 г)	Q D

Теорема 11. Если две прямые параллельны, то расстояния от любой
точки одной из этих прямых до другой прямой равны. Другими словами,
все точки одной из параллельных прямых одинаково удалены от другой из
этих прямых, это означает, что параллельные прямые везде одинаково
удалены одна от другой.
Доказательство

См. рис. 39 г). Пусть (АВ) || (CD) , опустим из точки М 6 (АВ) пер-
пендикуляр МР на прямую (CD) , точка Р 6 (CD) — основание перпенди-
куляра МР , опустим также из точки N 6 (АВ) , N М перпендикуляр
NQ на прямую (CD) , точка Q 6 (CD) — основание перпендикуляра NQ .
Как отмечалось выше, в следствиях из теорем 3 и 4 вопроса 5, из того, что
(MP) 1 (CD) и (NQ) ± (CD) вытекает, что (MP) || (NQ) , (МР) ± (АВ)
и (NQ) ± (АВ) а так как (АВ) || (CD) , то четырехугольник ABCD —
параллелограмм, причем с прямыми внутренними углами, то есть — пря-
моугольник. Следовательно а силу второго свойства параллелограмма (см.
выше теорему 4) MP = NQ => |МР| = |2VQ| . Теорема 11 доказана.

На основе результата этой теоремы можно ввести определение рассто-
яния между параллельными прямыми.

. Определение 10. Пусть прямые а и Ь параллельны (см. рис. 39 г). Рас-
стоянием между параллельными прямыми а и b называется длина их об-
щего перпендикуляра (то есть отрезка прямой, перпендикулярной им,
концы которого лежат на этих прямых). Обозначения р(а\Ь) или
р((АВ); (CD)) , р(а\Ь) = р((АВ)-(CD)) = \МР\ = |М?| .

Вопрос 8. Теорема. Фалеса. Признаки подобия треугольников
Вводная часть

Определение 1. Пусть у треугольников АВС и А'В*С* с соответству-
ющими вершинами А и А' , В и Bf , С и Cf соответствующие внутренние
углы равны, то есть ZA = ZA' , ZB = ZB' , ZC = ZC" . Тогда их соот-
ветствующие стороны АВ и А1 В1 ; ВС и В'С ; АС и А'С* называются
сходственными.

Определение 2. Говорят, что два отрезка АВ и CD пропорциональ-
ны двум отрезкам AfBf и CD1 , если
|АВ| |СР|
|4'В'|	|С'£>'| ’

три отрезка АВ , CD и EF пропорциональны трем отрезкам AfBf ,
CD' и E'F' , если |лд| _ |С£>| _	।

|Л'В'| “ |C'Z>'| “ |E'F'| ’

Аналогично определяется пропорциональность четырех, пяти и т.д. от-
резков соответственно четырем, пяти и т.д. отрезкам.

Определение 3. Треугольники АВС и А'В'С называются подобными,

если у них

Z.A = ZA' , ZB = ZB' , ZC = ZC" ,
\АВ\ _ \ВС\ _ |АС|
|А'В'| “ |В'С'| “ |А'С'| ’
то есть у них равны соответствующие внутренние углы и пропорцио-
нальны сходственные стороны. Число k , равное |АВ|/|А'В'| , называется
коэффициентом подобия треугольника АВС по отношению к подобно-
му ему треугольнику А1 В1 С1 . В соответствии с этим число к1 — \/к будет
коэффициентом подобия треугольника А'В'С" по отношению к подобному
ему треугольнику АВС . В частности, когда к = к1 = 1 , треугольники
АВС и А'В'С' равны.

Обозначение подобных треугольников: ЛАВС ~ АА'В'С' .

Из определения подобных треугольников непосредственно вытекает, что
отношение подобия треугольников обладает свойствами:
рефлексивности — ДАВС ~ &АВС , то есть каждый треугольник подобен
сам себе,
симметричности — ДАВС ~ ДА'В'С' <=> ДА'В'С' ~ ДАВС и
транзитивности — из ДАВС - ДА'В'С' , ДА'В'С' - ДА"В"С" =>
=> ДАВС - ДА"В"С" .

Докажем две вспомогательне леммы, на основе которых ниже, в основ-
ной части этого вопроса будут доказаны теорема Фалеса и три признака
подобия треугольников.

Лемма 1. Пусть две прямые (АО) и (ВО) пересекаются в точке О,
прямая (ME) пересекает каждый из лучей О А и О В . Тогда всякая пря-
мая (NF) || (ME) , пересекающая луч ОВ в точке F , не лежащей между
точками О и Е , пересечет луч О А в точке N , не лежащей между точ-
ками О и М ; а также всякая прямая (ME) || (NF) , пересекающая луч
ОВ в точке Е , лежащей между точками О и F , пересечет луч О А в
точке М , лежащей между точками О и N .

Доказательство

См. ниже рис. 41 а). Через точку О проведем прямую а || ME , тогда в
силу транзитивности параллельности прямых а || NF , а в силу следствия
из аксиомы параллельности прямых (см. выше вопрос 5) так как прямая
(ME) пересекает прямые (ОА) и (ОВ) , то и прямая а также пересекает
эти прямые, причем в точке О .

Пусть прямая (ME) пересекает лучи О А и ОВ соответственно в точках
М и Е . Вследствие вывода из определения 2 вопроса 5 о расположении од-
ной из параллельных прямых в одной полуплоскости относительно другой
прямой прямая (ME) расположена в той же полуплоскости относительно
прямой а , что и точки М и Е , а потому в силу У20 п. 2.3.0. в этой же
полуплоскости будут находиться лучи ОМ и ОЕ . Поскольку точки Е и
F лежат на одном луче с началом в точке О , то они расположены в одной
полуплоскости относительно прямой а , в которой (в силу параллельно-
сти (ЕМ) || а и (FN) || а) расположены прямые (ЕМ) и (FN) . В силу
(EM) || (FN) и (EM) П (CM) = M вытекает, что (FN) П (ОA) = N , при-
чем точка N расположена в той же полуплоскости относительно прямой а,
что и прямая (FN) , а потому и луч ОМ , следовательно, точка N распо-
ложена на луче ОМ . Точки О и F расположены в разных полуплоскостях
относительно прямой (ЕМ) (так как по условию точка Е лежит между
точками О и F) , а потому в силу (ЕМ) || а и (ЕМ) || (FN) прямые а и
(FN) находятся в разных полуплоскостях относительно (ЕМ) , а потому
и точки О и N также находятся в разных полуплоскостях относительно
(ЕМ). Так как М = (ЕМ) П (ОА), то точка М лежит между точками О и
N , а следовательно, точка N не лежит между точками О и М .

Если теперь предположить, что прямая (NF) пересекает лучи О А и ОВ
соответственно в точках N и F , то, проводя через точку Е , лежащую
между точками О и F , прямую (ЕМ) || (FN) , где М = (ЕМ) Г) (ОА) ,
рассуждая аналогично, мы получим, что точка М лежит на луче ОА , а
потому точка О не лежит между точками М и N . Далее, так как точка F
не лежит между точками О и Е , эти точки лежат в одной полуплоскости
относительно прямой (FN) , в которой будут расположены прямые (МЕ)
и а , стало быть, в этой полуплоскости расположена и точка М . Итак,
точки О и М расположены в одной полуплоскости относительно прямой
(NF) , следовательно, точка N на прямой (ОА) не лежит между точками
О и М , таким образом, точка М на прямой (ОА) лежит между точками
О и N . Лемма 1 полностью доказана.

Замечание. Аналогичным образом, проводя ’через точку G на луче ОВ
прямую , параллельную прямой (FN) (см. рис. 41 а), где точка F лежит
между точками Е и G , мы докажем, что эта прямая пересечет луч ОА в
точке Р такой, что точка N лежит между точками М и Р .

рис. 40 а)

Лемма 2. Если в плоскости треугольника (АВС) проведана прямая
(DE) || (АС) , где точка D лежит на стороне АВ , то (DE) пересечет
сторону ВС в точке Е , и &DBE ~ ДАВС .

□
Доказательство

См. также п. 159 — 160 учебника [8]. Пересечение прямой (DE) именно
стороны (отрезка) ВС вытекает из леммы 1. Пусть в треугольнике АВС
DE || АС , тогда у ДАВС и ADBC ЛАВС — общий, ЛВВС = ЛВАС
так как являются соответственными при (DE) || (АС) и секущей (АВ) ,
ЛВЕИ = ЛВС А , так как являются соответственными при (ED) || (СА) и
секущей (ВС) , следовательно согласно определению 3 подобных треуголь-
ников надо доказать пропорциональность сторон ДАВС и ADBE , то есть
доказать равенства |J3Z7|	|д^|	|р^|

|ВА| = |ВС|= |АС| '

Отметим, что поскольку точка D лежит на отрезке В А (поскольку она
лежит между точками В и А) , то отрезок BD меньше отрезка В А , а
потому \BD\ : |ВА| < 1 . Рассмотрим два случая.

1)	Отношение длин сторон BD и В А — рациональное число, то есть
\BD\ : | В А | = т : п , где тип — натуральные числа, причем Н.О.Д.(т; п)
= 1 (в противном случае дробь т/п можно сократить до несократимой дро-
би на Н.О.Д.(т;п) / 1). Так как m:n< 1 ,тот<п. Согласно У41 п.
2.3.0. отрезок В А можно разделить на п равных отрезков, тогда, последо-
вательно откладывая n-ую часть отрезка В А от точки В на луче В А (это
возможно на основании А14 п. 2.3.0), мы отложим ровно т таких отрезков
на стороне BD и т таких отрезков на стороне В А . Проведем через концы
этих отрезков прямые, параллельные прямым (DE) (а, стало быть, в силу
(DE) || (АС) параллельные и (АС)), и прямые, параллельные (ВС) (см.
рис. 40 а). В силу леммы 1 эти прямые пересекут соответственно отрезки
BE и ЕС , а также отрезки АС и DE , при этом получатся также после-
довательно расположенные (в силу доказываемой ниже теоремы Фалеса)
равные отрезки на отрезках BE и ВС , а также на отрезках DE и АС ,
причем количество равных между собой (п-ой части отрезка ВС) отрезков
на сторонах BE и ВС будет соответственно т и п и количество равных
между собой (п-ой части отрезка АС) отрезков на сторонах DE и АС будет
тоже соответственно т и п . В силу определений суммы п отрезков и того,
что длина суммы п отрезков равна сумме длин этих отрезков (см. 021А и
У39 п. 2.3.0) мы и получим, что

\BD\ _ \ВЕ\ _ \DE\ _ т
\ВА\ “ |ВС| ~ |АС| ~ п *

2)	Отношение длин сторон BD и В А — иррациональное число, то есть
(поскольку |BD| : |ВЛ| < 1)	|В£>|

= а °> fnim2m3...mn ... ,

где 0, т1Ш2ТПз...тп... — бесконечная непериодическая десятичная дробь.
рис. 40 в)

рис. 40 б)

Положим = 0,mim2...mn , <*п — рациональное приближение числа
а по недостатку с точностью 1/10” , а" = а'п + 1/10” — рациональное
приближение числа а по избытку с точностью 1/10”, п = 1 ; 2 ; 3 ; ... .
Будем искать приближенные значения отношений |BD| : |ВА|, \ВЕ\ : |ВС|,
\DE\ : |АС| с точностями 1/10 , 1/100 , 1/1000 , ... 1/10” , ... .

Будем в определенном смысле действовать по аналогии со случаем 1) .

На первом этапе разделим отрезок В А на 10 равных отрезков (частей)
и через концы полученных отрезков проведем прямые, параллельные сто-
ронам АС и ВС, при этом (поскольку число а не является рациональным)
обязательно найдется такое целое число тп\ из множества {0 ; 1 ; 2 ; ...; 9}
такое, что в отрезке BD отложится mi десятых частей отрезка В А (мо-
жет, в частности, оказаться, что пц = 0) и останется остаток — отрезок
меньший 1/10 отрезка В А .

На втором этапе разделим 1/10 отрезка В А еще на 10 частей, тем са-
мым, отрезок В А разделится на 100 равных частей, через концы получен-
ных отрезков проведем прямые, параллельные сторонам АС и ВС , при
этом (поскольку число а не является рациональным) обязательно найдет-
ся такое целое число m2 из множества {0 ; 1 ; 2 ; ... ; 9} такое, что в
полученном на первом этапе остатке отложится тг сотых частей отрезка
В А (может, в частности, оказаться, что = 0) и останется остаток —
отрезок меньший 1/100 отрезка В А .

На третьем этапе разделим 1/100 отрезка ВА еще на 10 частей, тем
самым, отрезок ВА разделится на 1000 равных частей, через концы по-
лученных отрезков проведем прямые, параллельные сторонам АС и ВС ,
при этом (поскольку^число а не является рациональным) обязательно най-
дется такое целое число тз из множества {0 ; 1 ; 2 ; ... ; 9} такое, что в
полученном на втором этапе остатке отложится тз сотых частей отрезка
В А (может, в частности, оказаться, что тз = 0) и останется остаток —
отрезок меньший 1/1000 отрезка В А ; и так далее .

На n-ом этапе разделим 1/10””1 часть отрезка ВА еще на 10 частей,
тем самым, отрезок ВА разделится на 10п равных частей, через концы по-
лученных отрезков проведем прямые, параллельные сторонам АС и ВС ,
при этом (поскольку число а не является рациональным) обязательно най-
дется такое целое число тп из множества {0 ; 1 ; 2 ; ... ; 9} такое, что в
полученном на (п — 1)-ом этапе остатке отложится тп 1/10п-ых частей от-
резка В А (может, в частности, оказаться, что тп = 0) и останется остаток
— отрезок меньший 1/10п части отрезка В А ; и так далее .

Поскольку отрезок BD — ненулевой, обязательно найдется такое нату-
ральное число по , что соответствующее тПо > 0 .

Обозначим за Dn — конец отрезка BDn , равного сумме 1/10п частей
отрезка В А , который еще откладывается от точки В на луче В А вну-
три отрезка BD (то есть точка Dn лежит между точками В и £>); а за
Z?n+i обозначим конец отрезка BDn±.i , равного сумме 1/10п частей от-
резка ВЛ, который, будучи отложенным от точки В на луче В А , уже не
откладывается внутри отрезка BD (то есть точка Dn+i не лежит между
точками В и D , поэтому точка D лежит между точками В и Dn+i) (см.
рис. 40 б). В силу У8 п. 2.3.0. точка D также лежит между точками
и £>п+1 • Следовательно, исходя из свойств длины отрезка, получаем, что
\BDn | < \BD\ < |B£>n+i | . Аналогично случаю 1) мы получим соответ-
ствующие точки Еп и En^i на луче ВС , где (в силу леммы 1) точка Еп
лежит между точками В и Е , а точка En+i не лежит между точками В и
Е . Точка Е лежит между точками В и En+i , поэтому в силу У8 п. 2.3.0.
точка Е также лежит между точками Еп и En+i . На основе свойств длины
отрезка также получаем, что \ВЕп| < \ВЕ\ < \BEn+i| . Отметим, что Еп
и i?n+i — соответственно концы отрезка ВЕп и BEn+i , которые равны
суммам соответствующих количеств 1/10Л частей отрезка ВС . Таким же
образом, как и в случае 1 мы получим, что

|ДДп| _ |В£п| _ , . №+11 _ №+i| _

\ВА|	|ВС| " ’ |ВЛ| “ |ВС| " п V ’

Поскольку из полученных выше неравенств для длин отрезков ADn , AD ,
Л£)п+1 и АЕп , АЕ , АЕп+1 вытекают неравенства:

№1	|В£>|	|В£>п+1| |ВЕП|	|ВЕ|	|ВЕп+1|

|ВЛ|	|ВЛ| |ВЛ| ’ |ВС|	|ВС|	|ВС|	’

то из равенств (*) мы получим, что

|В£>| |ВЕ|
|ВЛ| |ВС|

= а"-а; = 1/10”

силу свойств действительных чисел последнюю дробь засчет выбо-

ра п можно сделать меньше сколь угодно малого положительного числа,
поэтому:

|bd|_|b£I -о ~ |вд|_ |в£1

|ВЛ| |ВС|	|ВЛ| |ВС| 

Для доказательства того, что каждое из этих отношений равно еще и
\DE\ : |ЛС| , проведем через точку D прямую (DF) , параллельную ВС , F
— точка ее пересечения с прямой (АС) . Пересечение прямой (DF) именно
стороны (отрезка) АС вытекает из леммы 1 (см. рис. 40 в). Так как у
четырехугольника FDEC DE || АС и DF || ЕС , он — параллелограмм.
В силу равенства противоположных сторон # FC = DE => |FC\ = |DE\ .

\DA\ _ \ВА\ - \ВР\

|ВЛ| |ВЛ|

= 1 -	= 1 - а = /3 = 1	.

Число /? иррационально, так как, предполагая, что оно рационально, мы
бы получили, что а = 1 — (3 также рационально, что противоречит ирра-
циональности числа а . Совершенно аналогичным образом доказывается,

что	|ЛР| _ |ЛГ| |Л£>| |ЛГ|

|ЛВ| |ЛС| I ЛВ| |ЛС|

_ IЛ ВI - I ЛР|	_ |ЛС| - I ЛГ|	|ВР|	|ГС| •	Р£|

|ЛВ|	|ЛС|	|ЛВ|	|ЛС|	|ЛС|	

Лемма 2 полностью доказана.

Замечание. Поскольку для любых чисел а , Ь , с , d , каждое из которых
отлично от нуля a:6=c:d<^ad=6c, то, переставляя местами со-
множители или в левой, или в правой, или сразу в обеих частях последнего
равенства, мы получим:
ас	a	b	b	d	с	d

— — — О — = —	= — о — = — .

Ь d	e	d	a	с	а	b

Следствие 1. Доказанные соотношения представляют собой следующие
пропорции (равенства отношений) :

|В£>| _ \ВЕ\ \BD\ _ \DE\ \ВЕ\ _ \DE\
\ВА\ “ \ВС\ 5 \ВА\ “ |ЛС| ; |ВС| “ |ЛС| '

Поэтому согласно замечанию эти пропорции соответственно равносиль-
ны следующим пропорциям:

|BD| _ |ВЛ| |В£>| _ |ВЛ| ,|ВЕ| _ |ВС|
\ВЕ\ “ |ВС| ’ \DE\ ~ |ЛС| 5 |DF| ~ |ЛС| ’

Таким образом, если в треугольниках стороны пропорциональны, то
отношение длин двух сторон одного треугольника равно отношению длин
сходственных сторон другого треугольника.

Следствие 2. Первая из пропорций, приведенная в следствии 1, равно-

J
сильна следующим пропорциям:

|ВР| = |ВВ|	|РЛ| _ \ЕС\ \ВР\ _ \ВЕ\

\ВА\ |ВС|	\ВА\ |ВС| ~ \РА\ ~ \ЕС\ ’

последняя из выписанных пропорций означает, что если прямая, пересека-
ет две стороны треугольника и параллельна его третьей стороне, то
отрезки первой из пересекаемых этой прямой сторон пропорциональны
отрезкам второй из этих сторон.

Доказательство

|ВД| = |ВВ|	\ВР\ _	\ВЕ\

\ВА\ \ВС\	\ВА\ ~	\ВС\

\BA\-\BD\ = \BC\-\BE\ \РА\ _ \ЕС\

\ВА\	|ВС| \ВА| |ВС| ’

|ВВ| |ВВ| |ВЛ| = |ВС| \ВР\ 4- \РА\ _ \ВЕ\ 4- \ЕС\

|ВЛ| \ВС\ \ВР\ \ВЕ\ \ВР\ ~ \ВЕ\

\РА\ _ , |ВС|	\РА\ _ \ЕС\	\ВР\ _ \ВЕ\

\ВР\ \ВЕ\	\ВР\ \ВЕ\	\РА\ ~ \ЕС\ '

Основная часть

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны
угла (параллельные прямые), отсекают на одной его стороне (на одной
из параллельных прямых) равные отрезки, то они отсекают равные от-
резки и на другой его стороне (на другой из параллельных прямых).

Доказательство

Пусть на прямой (ОВ) отрезки EF и FG равны, прямые (ME) , (NF) ,
(PG) , пересекающие прямые (ОВ) и (04) (где точки Е , F , G 6 (ОЛ)),
параллельны. Докажем, что отрезки MN и NP также равны. См. рис.
41 а). Поскольку в этом случае прямые (ОА) и (ОВ) пересекаются в точке
О , то, проводя через точки Е и F прямые, параллельные (ОА) , в силу
следствия из аксиомы параллельльсти прямых (см. выше вопрос 5) полу-
чим, что они пересекут прямые (NF) и (PG) соответственно в точках К
и L , причем точки К и L не будут лежать на прямой (ОВ) . В силу за-
мечания к лемме 1, если точка F лежит между точками Е и G , то точка ;
N лежит между точками М и Р . В силу транзитивности параллельности
прямых (ЕК) || (FL) , так как обе эти прямые по построению параллель-
ны прямой (О А) . Поскольку точки Е и G лежат в разных полуплоскостях :
относительно прямой (FN) (так как точка F лежит между точками Е и
G), то £KEF и Z.LFG — соответственные при (EK) || (FL) и секущей
(EF) = (ОВ) , в силу свойства параллельных прямых Z.KEF = £LFG .
Аналогично £EFK и /.FGL — соответственные при (FN) || (PG) и секу-
щей (FG) = (ОВ), в силу свойства параллельных прямых Z.EFK = ZFGL.
Поскольку EF = FG , то &EFK — &FGL (по стороне и двум прилежащим
ей углам). Поэтому EK = FL , а так как EMNK и FNNP — параллело-
граммы, то МN = EK = FL = PN , то есть MN = NP .

В случае не параллельных прямых (АВ) и (CD) доказательство проводит-
ся точно так же (см. рис. 41 б).

В случае параллельных прямых (АВ) и (CD) (см. рис. 41 в) LMNK и
KNPE — параллелограммы, поэтому MN = LK = КС = PN , то есть
MN — NР . Теорема Фалеса доказана.

Замечание. В доказательстве теоремы Фалеса не использовались тео-
ремы о подобии треугольников, поэтому применение теоремы Фалеса при
доказательстве леммы 2 было законным.





См. рис. 41 г). Она применяется, например, для решения задачи о де-
лении отрезка на произвольное число равных отрезков. Пусть требует-
ся разделить отрезок О А на луче ОС на п равных отрезков (частей).
Проведем луч OD под произвольным углом (углом первого типа) с лу-
чом ОС и последовательно отложим на луче OD п равных между собой
отрезков О Bi = BiB2 = В2В3 = ... = Вп_\В . Далее проведем пря-
мую (ВА) , а затем через точки Bi , В2 , В3 , • •• Bn~i проведем пря-
мые, параллельные прямой (ВпА) , которые пересекут луч О А в точках
Ai , А2 , Аз , ... An-i . В силу теоремы Фалеса получим равенство отрез-
ков OAi = А1А2 = А2А3 = ... = An-iA .
Сформулировать определения подобных сходственных сторон, пропор-
циональности отрезков и подобных треугольников (см. выше определения
1,2,3 вводной части этого вопроса).

Теорема 1. (первый признак подобия треугольников по двум углам).

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам
другого треугольника, то такие треугольники подобны.

рис. 42 а)
Доказательство

См. рис. 42 а). Пусть в ДАВС и ДА'В'С' ZA - LA! , ZB = ZB', то-
гда в силу равенства суммы внутренних углов треугольника развернутому
углу и У32 п. 2.3.0. ZA 4- ZB = ZA' 4- ZB' , а потому ZC = ZC'. Если ока-
залось, что АВ = А'В' , то по второму признаку равенства треугольников
△АВС = АА'В'С и потому эти треугольники подобны с коэффициентом
подобия k = 1 . Пусть А'В' < АВ (случай А'В' > АВ рассматривается
аналогично), отложим на луче В А отрезок BD = В'А' (это возможно в
соответствии с А14 п. 2.3.0) и проведем прямую (DE) || (АС), которая в
силу следствия из аксиомы параллельности прямых и леммы 1 пересечет
отрезок ВС в точке Е . При этом получится вспомогательный ADBE,
подобный (в силу леммы 2) ДАВС . Так как ZBAC = Z.BDE как со-
ответственные при АС || DE и секущей (АВ) , a ZBAC = ZB'A'C' (по
условию), то £BDE = Z.B'А'С : Следовательно, у ADBE и АА'В'С
стороны BD = В'А' по построению, Z.DBE = ZA'B'C' по условию и
Z.BDE = ZB'A'C' по доказанному (на основе У36 п. 2.3.0), а потому (по
двум сторонам и углу между ними) ADBE = АА'В'С . Следовательно,
BE = В'С , DE = А'С . Так как из того, что ADBE ~ АА'В'С выте-
кают равенства
\BD\	\ВЕ\ \DE\ \В'А'\	\В'С'\ |АС| „

|ВЛ| “	|ВС|	- |Л'С"|	,Т0 |ВЛ|	~ |ВС|	“ |Л'С'|  Пол*чили> что У

треугольников АВС и А'В'С' равны соответствующие внутренние углы и
пропорциональны сходственные стороны. Следовательно, по определению
они подобны. Теорема 1 доказана.
Теорема 2.

(второй признак подобия по двум сторонам и углу между ними).

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторо-
нам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, рав-

ны.

то есть

|ВЛ| |ВС|

|В'А'|	|В'С'|

и ZB = ZB' , то эти треугольники подобны.

В

рис. 42 б)

Доказательство

См. рис. 42 б). Если оказалось, что АВ = Л'В' , то в силу равенства
|ВА| : |В'А'| = |ВС\ : |В'С'| вытекает, что ВС = В'С' , следовательно,
по первому признаку равенства треугольников ААВС = АА'В'С и по-
тому эти треугольники подобны с коэффициентом подобия k = 1 . Пусть
Л'В' < ЛВ (случай А'В' > АВ рассматривается аналогично), отложим
на луче ВА отрезок BD = В'А' (это возможно в соответствии с А14 п.
2.3.0) и проведем прямую (DE) || (АС), которая в силу следствия из акси-
омы параллельности прямых и леммы 1 пересечет отрезок ВС в точке Е.
Отметим, что ZBAC = ЛВИЕ как соответственные при AC || DE и се-
кущей (АВ) . Получим вспомогательный ADBE, подобный (в силу леммы
2) ААВС . Из подобия этих треугольников и равенства BD = В'А'

\BD\ \ВЕ\ \В'А'\ \ВЕ\
выдают равенства: — =	.

Так как по условию

|В'А'|	|В'С'|

|ВА| |ВС|

|В£| _ |В'С'|
|ВС| " |ВС|

=> |ВЕ| = |В'С'| <=> BE = В'С' .

Получили, что у треугольников DBE и А* В* С ЛИВЕ = ЛА* В9 С по
условию, BD = В'А' по построению, BE — В’С по доказанному, следова-
тельно, ADBE = ДА'В'С' (по двум сторонам и углу между ними). Сле-
довательно, ЛВЕ)Е = ЛВ'А'С9 , а так как выше отмечалось, что ЛВИЕ =
= ЛВАС и по условию ЛАВС = ЛА1 В1 С1 , то получаем, что
ААВС ~ АА'В'С9 . Теорема 2 доказана.
Теорема 3. (третий признак подобия по трем сторонам).

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам

другого треугольника, то есть
треугольники подобны, п

\АВ\ _ \ВС\ _ |ЛС|

|Л'В'|	|В'С'|	|Л'С'|

то такие

рис. 42 в)

Доказательство

См. рис. 42 в) Если оказалось, что АВ = А1 В1 , то в силу равенств
\ВА\ : \В'А'\ = |ВС| : \В'С'\ и \ВА\ : \В'А'\ = |ЛС| : |Л'С'| вытекают
равенства: ВС = B'Cf и АС = Л'С', следовательно, по третьему признаку
равенства треугольников ДЛВС = ДЛ'В'С' и потому эти треугольни-
ки подобны с коэффициентом подобия k = 1 . Пусть А1 В* < АВ (случай
Л'В' > АВ рассматривается аналогично), отложим на луче В А отрезок
BD = В1 А1 (это возможно в соответствии с А14 п. 2.3.0) и проведем пря-
мую (DE) || (ЛС), которая в силу следствия из аксиомы параллельности
прямых и леммы 1 пересечет отрезок ВС в точке Е, Получим вспомога-
тельный ADBE , подобный (в силу леммы 2) ДЛВС . Из подобия этих

треугольников вытекают равенства:

|ЛВ| _ |ВС| _ |ЛС|

|ВВ| ~ \ВЕ\ ~ \DE\ ’

_	ч |ЛЦ5| |ЛС| (	v

Из равенств BD = В А (по построению), — — = — — (по условию)
|A Jo |	|У1 О |

|ЛВ| |ЛС| .	.

и в г>1 = nW (по Доказанному) следуют равенства:

|ВВ| |ВВ|

|ЛС| _	|ЛВ|	_ |ЛВ|	_ |ЛС|	|ЛС|	|ЛС|

|D£|	|BD| |Л'В'|	|Л'С'|	|1>£|	|Л'С'|

=> |Р^| = |А'С'\ &DE = А'С ;

|ЛВ| |ВС| .	, |ЛВ| |ВС|

аналогично, из равенств	(по условию) и

(по доказанному) следуют равенства:
\ВС\ = \АВ[ = \АВ\_= |ВС|	|ВС|	|ВС|

\ВЕ\ \BD\ \А'В'\	\В'С\	\ВЕ\	\В’С\

=> \ВЕ\ = |В'С'| &ВЕ = В'С .

Таким образом, получили, что в треугольниках DBE и А'В'С DB =
= А'В' (по построению), DE = А'С , BE = В'С' (по доказанному). Сле-
довательно, &DBE = кА'В'С (по трем сторонам). Отсюда, в частности,
вытекает, что ZАВС = ДА'В'С , а потому для ДЛВС и ДА'В'С' оказыва-
ются выполненными все условия теоремы 2, согласно которой они подобны.
Теорема 3 доказана.

Дополнительная часть

Теорема Фалеса обобщается следующим образом.

Стороны угла, пересекаемые рядом параллельных прямых, рассекают-
ся ими на пропорциональные части (отрезки).

Дее параллельные прямые, пересекаемые рядом лучей, исходящих из
одной точки, рассекаются ими на пропорциональные части (отрезки).

См. рис. 43 а). Пусть стороны угла MON пересекаются параллельными
прямыми (АВ) || (CD) || (EF) || ... , требуется доказать, что

|ОЛ| _ |ОВ| . |ЛС| _ |ВВ|

~ |ЛС| “ |BD| ’ |СВ| ~ |DF| " ~	17

|ОЛ| _ |ЛС| _ |СВ| _
|ОВ| ~ |BD| “ |DF| -

Через точки В и D проведем прямые (ВК) || (ОМ) и (DL) || (ON) , где
точка К 6 (CD) , точка L € (EF) . Тогда четырехугольники АВ К С
и CDLE являются параллелограммами, так как имеют попарно парал-
лельные противоположные стороны, поэтому в соответствии со свойства-
ми # |ЛС| = |ВА'| и1672*71 = \DL\ . В треугольниках О АВ , BKD и DLF
/1 = Z3 = Z5 как соответственные при (ОА) || (ВК) || (DL) и секущей
(ON) , Z2 = Z4 = Z6 как соответственные при (АВ) || (KD) || (LF)
и секущей (ON) , поэтому в силу теоремы 1 (первого признака подобия

треугольников)  |ОА| _ |ОВ|	г.	। лрп  |ВА| ~ |В£>|	“ |ЛС|' ”	|ОА| _ |ОВ| . |АС| - |ВР| ’

|ОА| _ |ОВ| _ |ВА'| |ВР| ’	1ЛС1' |АС| “ |ВВ| ’

|ВА'| _ |В£>|	_	_	|АС| _ |ВВ|

РД - |DFi	{|ВК| " |ЛС| ’ |DL| " |СЕ|} * |СЁ| ” jDFl •

Равенства (*) доказаны, равенства (**) получаются из равенств (*) на осно-
ве того, что в равенстве двух дробей можно менять местами числитель
одной из них со знаменателем другой.

См. рис. 43 б). Пусть две параллельные прямые (MN) и (MfNf) пере-
секаются лучами О А , О В , ОС , OD ,...<, имеющими общее начало О
(точки А, В, С, В € (MN) , точки Af,B',Cf,Df G (MfNf)), тогда в силу
леммы 2 ДОАВ ~ ДОА'В' , ДОВС - ДОВ'С' , ДОСР - ДОС'О' , ... ,

следовательно,

_|АВ[ = |ОВ| = |ВС| |ОС| = |СР| =

|А'В'|	|О'В'|	|В'С'|	\О'С'\ IC'D'I

|ЛВ| = |ВС| = |С£>| =
|А'В'|	|В'С'|	|С"В'|	“

Обобщения теоремы Фалеса доказаны.

Замечание. Обобщения теоремы Фалеса можно аналогичным образом
(как и теорему Фалеса при решении задачи о делении отрезка на п равных
частей) применить для деления отрезка АВ на части (отрезки) АС , CD ,
DE , ... FB , длины которых относятся как заданные числа (или отрезки
заданных длин) т , п , к , ... р , то есть |АС| : |CD| : |DB| : ...

: |FB| = т : п : к : ...: р . Эти обобщения применяются и для решении
задачи об отыскании для трех отрезков заданных длин а , Ь , с четвертого
пропорционального отрезка, то есть такого отрезка длины х , что
а : b = с : х . По этому поводу см., например, п. 184 и 185 учебника [8].

Определение 4. Два многоугольника с одинаковым числом сторон
А1А2Аз...Ап и AiA'2A'3...A'n называются подобными , если у них равны
внутренние углы при соответствующих вершинах, то есть ZAi = ZA'n
ZA2 = ZA'2 , ZAn = ZA„ и пропорциональны соответствующие
стороны (которые естественно назвать сходственными), то есть
ИМг| _ |А2Аз| _	_ |ЛП-1АП| _

|А'А'2Г |А'2а^Г”’~	’

число к называют коэффициентом подобия.

В п. 169 учебника [8] рассматривается вопрос о существовании подоб-
ных многоугольников.

Следует отметить, что теоремы, аналогичные теоремам о подобии тре-
угольников, для многоугольников не верны. Например, прямоугольник, не
являющийся квадратом, и квадрат не являются подобными, четырехуголь-
никами, хотя имеют соответственно равные углы (все их внутренние углы
прямые), их соответствующие стороны не яаляются пропорциональными;
ромб, не являющийся квадратом, и квадрат не являются подобными четы-
рехугольниками, их соответствующие стороны стороны пропорциональны
(так как у каждого из них они равны), соответствующие их углы не явля-
ются равными.

Имеет место утверждение о равенстве коэффициенту подобия (отноше-
нию длин сходственных сторон) отношения периметров подобных много-
угольников.

В качестве упражнений доказать (на основе первого и второго призна-
ков подобия треугольников) утверждения о равенстве коэффициенту подо-
бия отношений длин медиан и биссектрис подобных треугольников, прове-
денных к его сходственным сторонам.

В п. 177 — 180 учебника [8] рассматривается вопрос и о подобии фи-
гур произвольного вида, по сути дела там и при исследовании вопроса о
существовании подобных многоугольников рассматривается гомотетия и
преобразование подобия * фигур без использования этих терминов.

О материале, связанном с подобием многоугольников и фигур и приме-
нении метода подобия при решении задач на построение см. в учебнике [8],
п. 168 — 181.

Вопрос 9. Признаки равенства и подобия прямоугольных треугольни-
ков. Теорема Пифагора

Вводная часть

Определения треугольника, прямоугольного треугольника, равных тре-
угольников, были сформулированы выше (см. соответственно определения
1 , 7 и 8 в вопросе 1), определение подобных треугольников — см. опреде-
ление 3 вопроса 7.

Напомним, что треугольник называется прямоугольным, если у него
есть внутренний прямой угол.

* Об этих понятиях см. ниже, в п. 2.3.2.
Определение 1. Стороны прямоугольного треугольника, между кото-
рыми заключен прямой угол, называются катетами, сторона, противо-
лежащая прямому углу, в таком треугольнике называется гипотену-
зой.

Как правило, в прямоугольном треугольнике АВС за С обозначают
вершину прямого угла, тогда длину противолежащей ей вершины будем
обозначать за с ; длину катета, противолежащего вершине острого ZA ,
будем обозначать за а , величину этого угла будем обозначать за а , длину
катета, противолежащего вершине острого ZB , будем обозначать за b ,

Отметим некоторые свойства прямоугольного треугольника, вытекаю-
щие из полученных выше результатов:

1)	у прямоугольного треугольника только один угол прямой, а осталь-
ные два угла — острые (это свойство вытекает из теоремы б вопроса 2);

2)	гипотенуза — наибольшая его сторона, а потому каждый катет
прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы (поскольку острый
угол по определению меньше прямого угла, это свойство вытекает из тео-
ремы 7 вопроса 3) ;

3)	гипотенуза прямоугольного треугольника меньше суммы его кате-
тов (это свойство вытекает из теоремы 8 вопроса 3) ;

4)	сумма острых углов прямоугольного треугольника равна прямому
углу (сумма градусных (радианных) мер этих углов равна 90° (тг/2)/

Это свойство вытекает из теоремы 1 вопроса 6 о сумме внутренних
углов произвольного треугольника.

Для доказательства некоторых следующих ниже признаков равенства
прямоугольных треугольников необходимо исследовать вопрос о соотно-
шениях между перпендикуляром, наклонными, проведенными к прямой из
точки, не лежащей на этой прямой, и проекциями этих наклонных.

Пусть даны прямая и не лежащая на ней точка. В соответствии с опре-
делением 1 вопроса 3 перпендикуляра, как луча, и перпендикуляра, как
отрезка введем следующие определения.
Определение 2. Перпендикуляром, проведенным (опущенным) из дан-
ной точки А на данную прямую а , называется отрезок, соединяющий *
точку Л с точкой на прямой а , и лежащий на прямой h, перпендикуляр-
ной прямой а . Конец этого отрезка, лежащий на прямой а , называется
основанием перпендикуляра.

Длина этого перпендикуляра называется расстоянием от точки А
до до прямой а .

Определение 3. Наклонной к данной прямой а , называется прямая I,
не являющаяся ни перпендикулярной, ни параллельной прямой а . Отре-
зок, соединяющий точку А с точкой на прямой а и лежащий на прямой
I, наклонной к прямой а , называется отрезком наклонной.

Замечание. Часто для упрощения терминологии под наклонной, прове-
денной из данной точки А к прямой а называют именно отрезок наклонной,
одним из концов которого является точка А . Другой конец этого отрезка,
лежащий на прямой а , называется основанием наклонной.

Определение 4. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и на-
клонной, проведенных из одной и той же точки, называется
проекцией наклонной.

Выше, на рис. 44 б), АО — перпендикуляр, проведенный из точки А
на прямую а , О — основание этого перпендикуляра ; AAq — наклонная
(отрезок наклонной Z), Aq — основание наклонной, ОАо — проекция этой
наклонной.

Теорема 1. Перпендикуляр, проведенный из какрй-нибудъ точки на пря-
мую, меньше всякой наклонной, проведенной из этой же точки на эту

Доказательство

См. рис. 45 а). Пусть АС — перпендикуляр, опущенный из точки А на
прямую (МN) , С — основание этого перпендикуляра; АВ — произвольная
наклонная, проведенная из той же точки к прямой MN , В — основание
этой наклонной. Тогда ДАВС — прямоугольный, АВ — его катет, АС

* Под термином ” отрезок, соединяющий точки,” понимается отрезок с концами в
этих точках.
— его гипотенуза, в силу отмеченного выше свойства 2. прямоугольного
треугольника вытекает, что АС < АВ . Теорема 1 доказана.

Следствие. Поскольку АС < АВ О |АС| < |АВ| , а |АС| = р(А; (М2V)),
то расстояние от точки до прямой — кратчайшее (наименьшее или ми-
нимальное) из расстояний от этой точки до всевозможных точек ука-
занной прямой.

Теорема 2. Если из одной и той же точки, не лежащей на прямой, к
этой прямой проведены две (различные) наклонные, то если их проекции
равны, то и сами наклонные равны.

Если из одной и той же точки, не лежащей на прямой, к этой прямой
проведены две наклонные, проекции которых не равны, то та из наклон-
ных больше (меньше), проекция которой больше (меньше).

Доказательство

См. рис. 45 б). Пусть АС и AD — две наклонные, проведенные из одной
точки А к прямой (MN) , их основания С и D таковы, что ВС = BD , В
— основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую (MN).
Требуется доказать, что АС = AD .

Важно отметить, что точки С и D лежат по разные стороны от точки
В на прямой (MN) , так как в противном случае, находясь по одну сторону
от точки В на указанной прямой, в силу А14 п. 2.3.0 это было бы возможно
только в случае совпадения точек С и D , но тогда в таком случае в силу
АЗ и А13 п. 2.3.0 совпали бы наклонные АС и AD , что противоречит
тому, что они различны. У треугольников АСВ и ADB общая сторона АС,
ВС = BD , ЛАВС = ЛОВС равны, так как они прямые, следовательно,
△АВС = ADBC (по двум сторонам и углу между ними), а потому
АС = AD .

Пусть АС и АЕ такие две наклонные, проведенные из точки А к пря-
мой (MN) , что их проекции ВС и BE не равны, для определенности
пусть BE > ВС (тогда ВС < BE) . Если точки С и В расположены по
одну сторону от точки В на прямой (MN) , то тогда точка С лежит меж-
ду точками В и Е . Треугольник АСВ — прямоугольный, следовательно в
силу В А ± ВС => ЛВС А — острый, а потому смежный (поскольку точка
С лежит между точками В и Е , лучи СВ и СЕ являются взаимно допол-
нительными) с ним ЛЕСА — тупой. Следовательно, в ДВСА остальные
внутренние углы — острые, стало быть, его ЛЕСА — наибольший, а по-
тому его сторона АЕ — наибольшая (в силу теоремы 7 вопроса 3), таким
образом, АЕ > АС (откуда АС < АЕ). Если точки С и В расположены по
разные стороны от точки В на прямой (MN) на луче BD , не содержащем
точку С , отложим отрезок BD = ВС (это возможно на основании А14 п.
2.3.0). По доказанному АС = AD , а также аналогично только что прове-
денным рассуждениям, получим, что АЕ > AD , следовательно, АЕ > АС.
Теорема 2 доказана.

Справедливы и обратные утверждения доказанным в теореме 2.

Теорема 3. Если из одной и той же точки, не лежащей на прямой, к
этой прямой проведены две (различные) наклонные, то если они равны,
то и их проекции равны.

Если из одной и той же точки, не лежащей на прямой, к этой пря-
мой проведены две наклонные, которые не равны, то та из них, которая
больше (меньше) имеет большую (меньшую) проекцию.

Доказательство

В силу УЗЗ п. *2.3.0 о наличии одного и только одного из трех соотно-
шений между двумя отрезками: или < , или = , или > каждое из этих
утверждений легко доказывается от противного. Предположим, например,
что (две различные) наклонные AD и АС равны, но их проекции BD и
ВС не равны, тогда если BD > (<)ВС , то по доказанному в теореме
2 AD > (<)АС , откуда следует, что AD ф АС , пришли к противоре-
чию. Следовательно, AD = АС . Вторая часть этой теоремы доказывается
таким же образом от противного с применением результата предыдущей
теоремы 2. Теорема 3 доказана.

Основная часть

Теорема 4. (4 признака равенства прямоугольных треугольников).

I.	Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно
равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямо-
угольные треугольники равны.

Справедливость этого признака вытекает из I признака равенства про-
извольных треугольников по двум сторонам и углу между ними (эти углы
равны как прямые).

II.	Если катет и прилежащий ему (противолежащий ему) острый
угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны кате-
ту и прилежащему ему (противолежащему ему) острому углу другого
треугольника, то такие треугольники равны.

Справедливость этого признака вытекает из II признака равенства про-
извольных треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам
(один из этих углов прямой). Причем это в Случае равенства катетов и
прилежащих им острых углов. Если равны катеты и противолежащие им
острые углы, то равенство прилежащих им острых углов будет следовать
из равенства суммы острых углов прямоугольника прямому углу и У32
п. 2.3.0 Поэтому случай равенства катетов и противолежащих им острых
углов сводится к равенству катетов и прилежащих им острых углов.

III.	Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треуголь-
ника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямо-
угольного треугольника, то такие треугольники равны.

Справедливость этого признака вытекает из того того, что в силу У32;
п. 2.3.0 и равенства прямому углу сумм острых углов прямоугольных тре-
угольников, вторые острые углы этих треугольников также соответствен-
но равны, поэтому в силу II признака равенства произвольных треуголь-
ников и вытекает равенство указанных прямоугольных треугольников.

Замечание. В учебнике [8] тема равенства прямоугольных треугольни-
ков излагается до теории параллельных прямых (из которой и вытекает те-
орема о сумме внутренних углов треугольника и, в частности, получается
утверждение о сумме острых углов в прямоугольном треугольнике), поэ-
тому в нем дается более подробное доказательство по сравнению с только
что приведенным (см. п. 57 учебника [8]). Поскольку в последовательности
изложения материала данного п. 2.3.1. этот признак применяется при до-
казательстве теоремы о свойстве биссектрисы угла (см. теорему 5 вопроса
4), а теоремы о параллельных прямых доказываются после этого, в вопросе
5, мы приведем еще одно доказательство этого признака.

Доказательство	/

рис. 46 а)

См. рис. 46 а). Пусть у треугольников АВС и А'В'С АВ = А'В',
ZA = ZA' . Наложим ДАВС на ДА'В'С' так, чтобы у них совместились
точки А и А' , сторона АВ наложится на луч А'В' , а сторона АС наложит-
ся на луч А'С" . Такое наложение существует в силу равенства ZA = ZA'
и А16 п. 2.3.0 Так как АВ = А'В' , то в силу А14 совместятся точки В
и В' , а точка С займет одно из положений: или Ci (Ci лежит между А'
и С' , АС = A'Ci) , или С2 (С' лежит между А' и С2 , АС = А'С2) ,
или совпадет с точкой С' , АС = А'С' . По первому признаку равенст-
ва треугольников (по двум сторонам и углу между ними) соответственно
ДАВС = AA'B'Ci, ДАВС = ДА'В'С2 , ДАВС = ДА'В'С' , поэтому
соответственно или ZC = ZCi , или ZC = ZC2 , или ZC = ZC'. Сле-
довательно, или ZCi — прямой, или ZC2 — прямой, а так как ZC' —
прямой, Ci С' и С2 =£ С' , то получаем, что из точки В' на прямую
(А'С') опущено более одного перпендикуляра. Это противоречит теореме
о единственности перпендикуляра, который можно опустить из точки на
прямую. Следовательно, при наложении стороны АС на луч А1 С1 точка С
может совместиться только с точкой С" , а потому в силу А13 и 019 п.

2.3.0 АС = А'С" и В = В'С" . Таким образом ДАВС = АА'В'С , так как
при проведенном наложении они совпали. Признак III доказан.

IV.	Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника со-
ответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного тре-
угольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

рис. 46 б)

См. рис. 46 б). Пусть у треугольников АВС и А'В'С' АВ = А'В',
ВС = В'С" . Наложим ДАВС на ДА'В'С' так, чтобы у них совместились
точки В и В' , сторона ВС наложится на луч В'С' , тогда в силу А14 сов-
местятся точки С и С' . Вследствие равенства ZC = ZC' (так как они оба
прямые) сторона С А наложится на луч С'А' . Точка А займет одно из по-
ложений: или Ai (Ai лежит между А' и С', С А = C'Ai) , или Аг (А' лежит
между С' и А2 , С А = С'Аг) , или совпадет с точкой А' , С А = С'А' . По
признаку I равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам) со-
ответственно ДАВС = ДА'В'С', ДАВС = ДА2В'С', ДАВС = ДА'В'С',
поэтому соответственно или B'Ai = В А , или В'А2 = ВА, или В'А' = ВА.
В силу равенства (по условию) В9 А1 = В А получаем, что соответственно
или B'Ai = В'А' , или В'А2 = В'А' . Однако в силу первой части тео-
ремы 3 из равенства наклонных B'Ai = В'А' или равенства наклонных
В' Аг = В' А1 следовало бы равенство их проекций, то есть соответственно
или AiC' = А'С' , или А2С' = А'С' . Поскольку точки А' , Ai , А2 рас-
положены на одном луче с началом в точке С' в силу А14 п. 2.3.0 Ai = А'
и А2 = А' . Следовательно, возможно только то, что при указанном на-
ложении ДАВС на ДА'В'С' точка А займет положение точки А', поэто-
му в силу А13 и 019 п. 2.3.0 АС = А'С' и В = В'С' . Таким образом,
ДАВС = ЬА'В'С , так как при проведенном наложении они совпали.
Признак IV доказан, а вместе с ним полностью доказана теорема 4.

Теорема 5. (3 признака подобия прямоугольных треугольников).

I.	Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен остро-
му углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные
треугольники подобны.

Справедливость этого признака вытекает из того, что у прямоугольных
треугольников всегда есть еще соответственно равные углы — прямые,
следовательно, они подобны по I признаку подобия треугольников общего
вида (по двум углам).

II.	Если катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональ-
ны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треуголь-
ники подобны.

Справедливость этого признака вытекает из того, что углы между ка-
тетами всегда равны, так как они прямые, следовательно, треугольники
подобны по II признаку подобия треугольников общего вида (по двум про-
порциональным сторонам и равному углу между ними).

III.	Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника
пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треуголь-
ника, то такие треугольники подобны.

Доказательство

См. рис. 46 в). Пусть у ДЛВС и ДЛ'В'С' углы ZC и ZC' прямые и
|ЛС| : |Л'С'| = |ЛВ| : |Л'В'| . Требуется доказать, что ДЛВС ~ АА'В'С.
Для доказательства применим тот же прием, что и доказательстве призна-
ков подобия произвольных треугольников в вопросе 8 . Если оказалось, что
АС = Л'С' , то ЛВ = Л'В' и по признаку IV равенства прямоугольных
треугольников ДЛВС = ДЛ'В'С' и потому эти треугольники подобны с
коэффициентом подобия k = 1 . Пусть Л'С' < АС (случаи Л'С' > АС рас-
сматривается аналогично), отложим на луче С А отрезок CD = С'Л' (это
возможно в соответствии с А14 п. 2.3.0) и проведем прямую (DE) || (ЛВ),
которая в силу следствия из аксиомы параллельности прямых и леммы 1
вопроса 8 пересечет отрезок ВС в точке Е . При этом получится вспомога-
тельный &DEC , подобный (в силу леммы 2 вопроса 8) ДЛВС , следова-
тельно, IЛС|: \DC\ = IЛВ|: \DE\ . Поскольку CD = С'А' <£> \CD\ = |С'Л'|,
то имеем равенства:
\АВ\ _ |АС| _ |АС| __ |АВ|
|А'В'| “ |А'С"| “ |РС| “ \DE\_

\A'B'\ = \DE\ <&A'B' = DE.

Следовательно, прямоугольные AD ЕС и ДА'В'С' равны по катету и ги-
потенузе, а потому и С'В' = СЕ . Из подобия треугольников DEC и АВС
и равенств С'В' = СЕ , С'А' = CD следует, что

|АС| = | АС| = |ВС| = |ВС|

|А'С'| \DC\ ” \ЕС\ ~ |В'С'| ’

Следовательно, у прямоугольных ДАВС и ДА'В'С' пропорциональны ка-
теты, в силу признака II они подобны. Признак подобия прямоугольных
треугольников III доказан, а вместе с ним полностью доказана теорема 5 .

Теорема Пифагора. Во всяком прямоугольном треугольнике сумма квад-
ратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы (а2 4- Ь2 = с2).

Доказательство этой теоремы см. ниже, в вопросе 10 .

Дополнительная часть

В качестве упражнения доказать (на основе признаков подобия прямо-
угольных треугольников) утверждение о равенстве коэффициенту подобия
отношений длин высот подобных треугольников, проведенных к его сход-
ственным сторонам (см. п. 165 учебника [8]).

О тригонометрических функциях величины угла треугольника

Следующий материал: определения тригонометрических функций вели-

чины острого угла прямоугольного треугольника, произвольного угла тре-
угольника и некоторые их важные свойства не имеет прямого отношения
к данному вопросу, но некоторые из этих свойств доказываются на осно-
ве признаков подобия прямоугольных треугольников. В дальнейшем этот
материал будет использоваться.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС , где \СВ | = a , | С А | = Ь
— длины его катетов, |АВ| = с — длина его гипотенузы, а = ВАС ,
—————

/3 = АВС — величины его внутренних острых углов (см. рис. 47 а).

Синусом величины острого угла прямоугольного треугольника <р на-
зывается отношение длины противолежащего ему катета к длине гипо-
тенузы^ обозначается sin .
Косинусом величины острого угла прямоугольного треугольника <р
называется отношение длины прилежащего ему катета к длине гипоте-
нузы, обозначается cos <р .
Тангенсом величины острого угла прямоугольного треугольника <р
называется отношение длины противолежащего ему катета к длине
прилежащего ему катета, обозначается tg <р .
Котангенсом величины острого угла прямоугольного треугольника
ip называется отношение длины прилежащего ему катета к длине про-
тиволежащего ему катета, обозначается ctg <р .
Секансом величины острого угла прямоугольного треугольника <р на-
зывается отношение длины гипотенузы к длине прилежащего ему кате-
та, обозначается sec <р .
Косекансом величины острого угла прямоугольного треугольника <р
называется отношение длины гипотенузы к длине противолежащего ему
катета, обозначается cosec <р .
Таким образом, в соответствии с обозначениями длин сторон и вели-
чин острых углов прямоугольгого треугольника и введенных определении
имеем:	.	.

а	о	х	а	о	с	с

sin а = -	; cos а = -	;	tg а	=	7	;	ctg	а =	-	;	sec а	=	-	;	cosec	а = - .

с	с	b	а	о	а

Поскольку	а :	b = (а :	с)	: (Ь :	с)	,	Ь	: а = [Ь :	с)	:	(а : с) =	1	:	(а	:	Ь)	,

(с : b) = 1 : (6 : с) , (с : а) = 1 : (а : с) , то
sin а	cos al	1

tg а =----- ; ctg а = -г— ; sec а =--------- ; cosec а = —- ;

cosa	sina	cosa	sina

tg a • ctg a = 1 ; ctg a = --; tg a = ------ *

tg a	ctg a

Замечание. Выше, при введении тригонометрических функций произ-
вольного аргумента (см. п. 2.2) функции тангенс, котангенс, а также се-
канс и косеканс (см. еще и п. 2.2.3. раздела II) вводились по определению в
виде их выражений через функции синус и косинус так же, как они выра-
жены в предпоследних четырех равенствах. Что касается последних трех
равенств, то они получены как следствие указанных перед этим четырех
соотношений.

Докажем важную теорему о корректности определений тригонометри-
ческих функций величины острого угла, как функций только величины
указанного угла.

Теорема 6. Определенные выше тригонометрические функции острого
угла прямоугольного треугольника являются функциями только величи-
ны указанного острого угла. * Эти функции не зависят от взятых по
отдельности фигурирующих в их определениях длин сторон прямоуголь-

ного треугольника.	Доказательство

См. выше рис. 47 б). Выберем на одной из сторон угла величины а с
вершиной О точку Af и опустим из нее перпендикуляр на другую сторо-
ну, Ао — основание этого перпендикуляра. В силу теоремы 3 вопроса 4
так как ZO — острый, точка Ао лежит именно на другой стороне этого
угла. Рассмотрим ДЛВС и ДОА'Ао (см. рис. 47 а) и б). Они прямоуголь-
ные и имеют равные острые углы (ВАС = AfOAq = а), следовательно,
в силу признака I подобия прямоугольных треугольников (см. теорему 5)
ДАВС ~ ДОА'Ао , а потому

а |Л0Л'| 81Па “ с ~ |ОЛ'| ’ ,	Ь |ОЛ0|  С‘е“=а=|Л0Л1 :	Ъ	|ОЛ0|	t	а	|Л0Л'|  ; юл'|	;	tg“ = i =	|ол„|;  е	|ОЛ'|	с	|ОЛ'|  ; sec a = - = —;	cosec	a = - =	7-—-7	.  b	|ОЛ0|	а	|Л0Л'|

В силу произвольности выбора точки А* на одной и сторон ZO мы и полу-
чаем справедливость утверждения теоремы. Теорема 6 доказана.

В силу определений тригонометрических функций величины острого

угла прямоугольного треугольника легко видеть, что

sina = cos(3 ; cosa = sin/3 ; tg a = ctg (3 ; ctg a = tg (3 ;
sec a = cosec /3 ; cosec a = sec /3 .

Рассмотрим (для определенности) градусную меру углов прямоугольно-
го треугольника АВС , тогда мера его прямого угла АСВ = 90° , ВАС =
= a0 , АВС = /3° , следовательно, а0 4- /3° = 90° . Вследствие этого и
последних шести соотношениях между тригонометрическими функциями
для любого a G R : 0 < а < 90 имеют место равенства :

sin(90° — a0) = cosa0
tg (90° - a0) = ctg a0
sec (90° — a0) = cosec a0

; cos(90° — a0) = sina0 ;

; ctg (90° — a0) = tg a0 ;

; cosec (90° — a0) = sec a0 .

Отметим еще значения функций синус и косинус аргументов

0° ; 90° ; 180° и соотношения между этими функциями для градусной ме-
ры угла произвольного треугольника, которые вытекают из определений и
свойств этих функций для произвольного аргумента (см. п. 2.2) :

sin 0° = 0 , cos 0° = 1 , sin 90° = 1 , cos 90° = 0 , sin 180° ~ 0 , cos 180° = -1 ,
для любого a 6 R : 0 a 180 имеют место равенства :

* Даже, если этот угол и не является углом какого-либо прямоугольного
треугольника.
sin(180° — a0) = sina0 ; cos(180° - a0) = — cosa0 .

Выведем значения тригонометрических функций аргументов
30°; 45°; 60°; при этом из последних формул можно будет получить значе-
ния тригонометрических функций и аргументов 120°; 135°; 150°.

рис. 47 г)

См. рис. 47 в). Рассмотрим равносторонний треугольник АВС. Так как
все его внутренние углы равны между собой, а их сумма равна разверну-
тому углу, то каждый из них равен трети развернутого угла, а потому
так как градусная мера развернутого угла равна 180°, то градусная мера
каждого из внутренних углов равностороннего треугольника равна 60°, в
частности ABD = 60°. Медиана AD равностороннего треугольника АВС
является его высотой и биссектрисой ЛВАС , следовательно ЛАВВ — пря-
мой, а потому AABD — прямоугольный, BAD = CAD = 30°,
|ВР| = |РС| = |ВС| : 2 = с : 2, где с — длина каждой из сторон ДАВС.
По теореме Пифагора, примененной к прямоугольному &ABD ,
|АР| = ^/|АВ|2 — |ВР|2 = ^/с2 — с2/4 = у/Зс2/4 = сд/З/2 . Следовательно,
получаем следующие значения тригонометрических функций углов вели-
чин 30° и 60° :

1	7з

sin 30° = cos 60° = - ; cos 30° = sin 60° = -т- ;
z	z

tg 30° = ctg 60° =

ctg 30° = tg 60° = V3

См. рис. 47 б). Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треуголь-
ник АВС. Пусть у него ЛС — прямой. Так как у прямоугольного тре-
угольника гипотенуза больше любого из его катетов, то у такого треуголь-
ника могут быть равными только катеты. Следовательно, АС = ВС, ка-
теты прямоугольного равнобедренного треугольника — его боковые сто-
роны, гипотенуза АВ — его основание. Из равенства АС = ВС, следует
равенство |АС| = |СВ| , что означает а = Ь . Подставляя последнее равен-
ство в утверждение теоремы Пифагора, примененной к ДАВС , получим
2а2 = с2 => а = Ь = с : у/2 . В силу равенства углов при основании рав-
нобедренного треугольника ZA = ZB , а так как сумма этих углов равна
прямому углу, то каждый из них будет равен половине прямого угла (чет-
верти развернутого угла). Следовательно, А = В = 45° и мы получаем
следующие значения тригонометрических функций угла величины 45° :

sin 45° = cos 45° =

tg 45° = ctg 45° = 1 .

Вопрос 10. Пропорциональность отрезков в прямоугольном треуголь-
нике. Теорема Пифагора

Вводная часть

Определение 1. Пусть имеются три положительных числа а , Ь и с .
Говорят, что число с есть среднее пропорциональное между числами
а и Ь, если а : с = с:Ь .	____

Сразу отметим, что равенство а :с = с:Ь & с2 = а-b о с — у/а Ь , то
есть с есть среднее геометрическое двух чисел а иЬ (см. вопрос 10 п. 2.1).

Теорема 1. Если из вершины прямого угла прямоугольного треуголь-
ника на прямую, содержащую его гипотенузу, опущен перпендикуляр, то
основание этого перпендикуляра является внутренней точкой гипотену-
зы.

Доказательство

Поскольку оба внутренние угла прямоугольного треугольника (поми-
мо прямого угла) являются острыми, то в силу теоремы 3 вопроса 4 это
основание перпендикуляра находится на каждом из лучей с началом как
в одном, так и в другом конце гипотенузы. А это и означает, что оно ле-
жит между концами гипотенузы, то есть является ее внутренней точкой.
Теорема 1 доказана.

Основная часть

Определение 2. Треугольник называется прямоугольным, если у него
есть внутренний прямой угол. Сторона, противолежащая прямому углу,
называется гипотенузой, а остальные стороны катетами.

Подробнее о прямоугольных треугольниках см. выше, вопрос 9. Там же
см. используемое в этом вопросе понятие проекции наклонной.

Теорема 2. Пусть а , b — длины катетов, с — длина гипотенузы пря-
моугольного треугольника, hc — длина высоты, опущенной из вершины
прямого угла на гипотенузу, са — длина проекции катета длины а на
гипотенузу, съ — длина проекции катета длины Ъ на гипотенузу. Тогда
—	— 7“ hc — Са • Съ hc — yJCa '	»	(1)

Са Пс

Cq ®	2	/~ 	/л\

—	= - О а* = с- са О а = у/с^с" ;	(2)

ас

~	= - <=> Ь2 = с • съ <=> Ъ = у/с • съ .	(3)

Ъ с

В соответствии с определением 1 утверждения теоремы означают, что:

1)	длина высоты, проведенной из вершины прямого угла на гипотену-
зу, есть средняя пропорциональная между длинами отрезков, на которые
основание этой высоты разбивает гипотенузу (в формулировке теоремы
мы назвали эти отрезки проекциями катетов на гипотенузу);

2)	длина каждого катета, есть средняя пропорциональная между дли-
ной гипотенузы и длиной проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство

См. рис. 48. Пусть в треугольнике ABC АС — прямой, CD ± АВ
(D Е (АВ)) , по доказанному в теореме 1 точка D — основание перпенди-
куляра, опущенного из вершины прямого угла С на гипотенузу, является
внутренней точкой отрезка (гипотенузы) АВ . Следовательно, рассматри-
вая прямоугольные ДАСР и ДАСВ , у которых соответственно AADC и
ААСВ — прямые, в силу равенства прямому углу суммы острых внутрен-
них углов в прямоугольном треугольнике имеем : AACD + ACAD =
= ACBD+ACAD , откуда в силу У32 п. 2.3.0 AACD = ACBD . Совершен-
но аналогично, рассматривая прямоугольные ABCD и ААСВ , докажем,
что ABCD = ACAD . Далее доказательство теоремы можно проводить
двояким образом.

Рассматривая AACD и ABCD , получим, что они подобны, как име-
ющие равные острые внутренние углы, из равенства отношений длин их
сходственных сторон вытекают доказываемые равенства (1); затем рас-
сматривая AACD и ААВС , получим, что они подобны, как имеющие
общий острый внутренний угол (АА), из равенства отношений длин их
1
сходственных сторон вытекают доказываемые равенства (2); наконец, рас- |
сматривая ABCD и ДАВС , получим, что они подобны, как имеющие |
общий остри внутренний угол (ZB), также из равенства отношений длин "
их сходственных сторон вытекают доказываемые равенства (3).

По доказанному ACD = CBD = (3 , BCD = CAD = а , откуда
(см. рис. 48) из прямоугольных ABCD и ДАСР
ts/3=r = ir * (1)!
са пс

b

из прямоугольных ДАСР и ДАВС cos а = — = - => (2) ;
о с

из прямоугольных ABCD и ДАВС cos /3 = — = - => (3) .
>	а с

Теорема 2 полностью доказана.

Следствие. Отношение квадратов длин катетов равно отношению
длин их проекций на гипотенузу.

Это утверждение следует из (2) и (3) следующим образом:

2	l2	С? С • Са Са

а. = с • са ; 6 = с - сь => тт- =-= — .

О2 С • Сь Сь

Теорема 3 (Пифагора). В любом прямоугольном треугольнике квадрат
длины гипотенузы равен сумме квадратов длин его катетов, то есть,
если а и Ь — длины его катетов, ас — длина его гипотенузы, то
с2 = а2 4- Ь2 .	Доказательство

Воспользовавшись результатом предыдущей теоремы, почленно скла-
дывая равенства а2 = с • са ; Ь2 = с • сь , получим с учетом того, что
са 4- сь = с , а2 4- Ъ2 = с • (са 4- сь) = с • с = с2 . Теорема 3 доказана.

Следствие. Имеет место равенство sin2 а 4-cos2 а = 1 , где а — вели-
чина острого угла прямоугольного треугольника (основное тригономет-
рическое тождество).

Из определений синуса и косинуса величины острого угла прямоуголь-

ного треугольника вытекает, что

.2	2	<*2 Ь2

sin а 4- cos а = — 4- — =

с2 с2

а2 4- Ь2 _ с2 _
~~	"-1'

Дополнительная часть

Замечание. В п. 257 учебника [8] приводится другое доказательство тео-
ремы Пифагора (доказательство Евклида). Там доказывается, что площадь
квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов,
построенных на катетах (при условии, что ни один из этих квадратов не
имеет общих внутренних точек с каким-либо другим из них — ’’пифагоро-

вы штаны”).
Теорема 4. (обратная теорема Пифагора). Если в треугольнике сумма
квадратов длин двух сторон равен квадрату длины третьей стороны,
то треугольник — прямоугольный.

Доказательство

См. п. 55 учебника [6]. Пусть в △ЛВС | ЛВ|2 = | ЛС|2 + |ВС|2 , до-
кажем, что ZC — прямой. Для этого рассмотрим Д Л'В'С' , у которого
Л'С' = АС , В'С' = ВС и ZC' — прямой. Такой треугольник мож-
но построить, выбирая на некоторой прямой точку С' , откладывая на
каком-нибудь ее луче с началом в точке С' отрезок С* А* = С А (соглас-
но А14 п. 2.3.0), затем» проводится луч, перпендикулярный прямой (С'Л')
(согласно следствию из У43 п. 2.3.0), на этом луче с началом в точке С'
откладываем отрезок С'В' = СВ , соединяем отрезком точки Л' и В' .
△Л'В'С' — прямоугольный с прямым углом ZC' , в силу теоремы Пифа-
гора IА'В'I2 = IЛ'С'|2 + |В'С'|2 = |ЛС|2 + |ВС|2 = |ЛВ|2 <* IЛ'В'| = |ЛВ|.
Получили, что ДЛВС = ДЛ'В'С' (по трем сторонам), следовательно,
ZC = ZC' , а потому ZC — прямой и ДЛВС — прямоугольный. Теорема
4 доказана.

Замечание. Утверждение обратной теоремы Пифагора можно получить
и из теоремы косинусов (см. ниже, вопрос 13).

Вопрос И. Свойство отрезков, на которые биссектриса треугольника

делит противоположную сторону
Основная часть

Определения треугольника и биссектрисы угла треугольника см. соот-
ветственно в вопросе 1 и 3.

Теорема 1. Если в треугольнике АВС проведена биссектриса угла А ,
AD , то она делит противолежащую вершине А сторону ВС на отрезки
BD и DC , пропорциональные прилежащим вершине А сторонам АВ

de вс.

и АС , то есть

|ЛВ| _ |ЛС| |ЛВ| _ |ВР|
|ВР| |CZ>| |ЛС| |СР|
Доказательство

См. рис. 49 а). Через точку С проведем прямую (СЕ) || (AD) , Е точ-
ка пересечения прямых (СЕ) и (ВА) . Такая точка Е существует в силу
параллельности (AD) и (СЕ) , того что А = (AD) Cl (BE) и следствия
из аксиомы параллельности прямых (см. вопрос 5). В силу леммы 1 во-
проса 8 так как AD — биссектриса угла А (стало быть, луч, проходящий
внутри угла А , см. 029 п. 2.3.0), D = (ЛВ) П (ВС) , то в силу У26 п.
2.3.0 точка D лежит между точками В и С . Следовательно, в силу леммы
1 вопроса 8 точка А лежит между точками В и Е . В силу леммы 2 во-
проса 8 ДВЛД ~ ДВЕС , потому в силу следствий из указанной леммы
\BD\ : |ВС| = |ВЛ | : |ЛВ|. В силу свойств параллельности прямых вытека-
ет, что А АСЕ — ACAD как внутренние накрест лежащие при (СЕ) || (AD)
и секущей (ЛС) , ABAD = АВЕС как соответственные при (СЕ) || (AD)
и секущей (BE) . По условию ABAD = ACAD , следовательно в силу
свойства транзитивности отношения равенства углов ААСЕ = ААЕС , а
потому в силу признака равнобедренного треугольника ДСЛВ — равно-
бедренный, у которого АС = АЕ , откуда |ЛС| = |ЛВ|. Следовательно, в
силу равенства |ВВ| : |Z?C'| = |ВЛ| : |ЛВ| получаем равенства

|АВ| _ |ВР|	|ЛВ| _ |ЛС|

|ЛСГ |СР|	|ВР| |CD| 

Теорема 1 доказана.

Дополнительная часть

Докажем теперь теорему, выражающую аналогичное свойство биссек-
трисы внешнего угла треугольника.

Теорема 2. Если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны, то
биссектриса AD его внешнего угла А пересекает прямую (ВС) в точке
D, являющейся внешней точкой отрезка ВС такой, что расстояния от
точки D до точек А и С пропорциональны длинам сторон АВ и АС , то
есть

|ВД|	|СР|	|ЛВ|	|ВР|

|ЛВ|	|ЛС|	|ЛС|	|СРГ

Если же АВ = АС , то биссектриса внешнего угла А параллельна ВС .
Доказательство

См. рис. 49 б). Пусть для определенности ЛВ > АС (случай

ЛВ < АС рассматривается аналогично). Отложим на луче ЛВ отрезок
АЕ = АС (на основании А14 п. 2.3.0), поскольку АС < АВ , то и АЕ < АВ,
следовательно, точка Е лежит между точками Л и В , соединим отрезком
точки Е и С . В ДВЛС ЕА = АС , следовательно, Zl = Z2 (как углы
при оснований равнобедренного треугольника). Через точку Л (в плоскос-
ти (ВАС)) (на основе А22 п. 2.3.0) проведем прямую (AD) || (СЕ) . Рас-
смотрим луч AD с вершиной в точке А прямой (AD) , лежащий в той
же полуплоскости относительно прямой (АВ) , что и луч ЕС . Посколь-
ку точка Е лежит между точками А и В , то она отлична от точки В ,
следовательно она лежит на прямой (АВ) (ВС) , а потому она не ле-
жит на прямой (ВС) . Стало быть, точка С — точка пересечения прямых
(СЕ) и (СВ) , а потому прямая (AD) || (СЕ) (на основании следствия из
аксиомы параллельности прямых (см. вопрос 5)) пересечет прямую (ВС)
в некоторой точке D . В силу леммы. 1 вопроса 8 так как точка Е на луче
В А лежит между точками В и А , и (СЕ) || (AD) , то точка D находит-
ся на луче ВС и точка С лежит между точками В и D на этом луче, а
точка В не лежит между точками С и D . Последний вывод означает, что
точки С и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой (АВ) , в
силу У20 п. 2.3.0 в этой же полуплоскости будут лучи AD и АС . И^ак,
луч BD лежит в одной полуплоскости относительно прямой (АВ) ; что и
луч ВС . Луч AF является дополнительным по отношению к лучу В А .
Так как точки В и D лежат на разных полупрямых прямой (BD) относи-
тельно точки С , то они будут и в разных полуплоскостях относительно
прямой (АС) . В силу У20 п. 2.3.0 в той из них, где точка В, будет и луч
АВ, следовательно, в другой из них будет луч AF , а потому точки F и D
будут в одной полуплоскости относительно прямой (АС) . Стало быть, в
одной полуплоскости относительно прямой (АС) будут и лучи CD и AF.
Следовательно, луч AD лежит во внутренней области Z.CAF .

Поскольку Е — точка пересечения прямых (АВ) и (СЕ) , то в силу
(AD) || (СЕ) точка А = (AD) П (АВ) . Zl = Z3 как внутренние накрест
лежащие при (СЕ) || (AD) и секущей (АС) . Поскольку лучи АВ и AF
взаимно дополнительные, то они лежат в разных полуплоскостях относи-
тельно прямой (AD) , следовательно Z2 = Z4 как соответственные при
(СЕ) || (AD) и секущей (FB) . Так как Zl = Z2 , то Z3 = Z4 . Таким
образом, луч AD — биссектриса ZCAF — внешнего угла AABD .

Замечание 1. Если провести биссектрису угла CAF , а затем через точ-
ку С прямую, параллельную этой биссектрисе, то в силу единственности
биссектрисы угла (см. У44 п. 2.3.0) и прямой, проходящей через точку и
параллельной данной прямой, эта биссектриса пересечет прямую (ВС) в
точке D такой, что точка С лежит между точками В и D .

Замечание 2. Аналогично, если АВ < АС , то биссектриса угла BAN
должна будет пересечь прямую (ВС) в точке , между которой и точкой С
лежит точка В . Указанная биссектриса будет параллельна прямой, про-
ходящей через точку В , пересекающей сторону АС .

В силу леммы 2 вопроса 8 АВЕС ~ ABAD , а потому
|АД| _ |ВР|	|АВ|	|Ш)|

|А£| |СР|	*	|ЛС|	|CD| '

См. рис. 49 в). Если АВ = АС , то А АВС = А АС В , проводя через
точку А прямую, параллельную (ВС) , применяя свойства параллельных
прямых, получим, что ACAD = ADAF .

Замечание 3. Если провести биссектрису угла CAF, а затем через точку
А прямую, параллельную (ВС) , то по доказанному она будет биссектри-
сой ACAF . В силу единственности биссектрисы угла (см. У44 п. 2.3.0) и
прямой, проходящей через точку и параллельной данной прямой, эта бис-
сектриса будет параллельна прямой (ВС) . Теорема 2 полностью доказана.

Вопрос 12. Свойства средней линии треугольника. Свойства средней

линии трапеции

Вводная часть

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, * у кото-
рого по крайней мере две стороны параллельны.

Из этого определения вытекает, что параллелограмм является трапе-
цией (то есть # — частный случай трапеции). См. рис. 50 а), б).

рис. 50 а)	рис. 50 б)

рис. 50 в)	рис. 50 г)

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две
другие стороны — ее боковыми сторонами.

Если боковые стороны трапеции равны, но не параллельны, то она на-
зывается равнобедренной (равнобокой или равнобочной). См. рис.
50 в).

Если трапеция имеет хотя бы один прямой угол, то она называется
прямоугольной. См. рис. 50 г).

Так как (см. доказательство теоремы 11 вопроса 7) все отрезки с конца-
ми на основаниях трапеции, которые лежат на прямых, перпендикулярных

* Напомним, что под термином ’’четырехугольник” мы понимаем простой много-
угольник с четырьмя сторонами, определение простого четырехугольника см. выше, в
вопросе в определения 1, 1А, 1Б, 2 и замечания после определения 2.
этим основаниям, равны между собой, то можно определить высоту тра-
пеции, как любой такой отрезок.

Теорема 1. Трапеция — выпуклый четырехугольник.

Доказательство

Пусть у четырехугольника ABCD AD || ВС , тогда в силу У20 п.
2.3.0 и вывода из определения 2 вопроса 5 все внутренние точки отрез-
ков АВ и DC будут располагаться в плоскости четырехугольника ABCD
как по одну сторону от прямой (AD) , так и по одну сторону от прямой
(ВС) , а также весь отрезок ВС (весь отрезок AD) будет располагаться
по одну сторону от прямой (AD) (по одну сторону от прямой (ВС)). Да-
лее поскольку в силу простоты четырехугольника ABCD его стороны АВ
и CD не пересекаются, поэтому ни одна из вершин каждого из отрезков
АВ и CD не является внутренней точкой или вершиной другого из них.
В силу параллельности прямых (ВС) и (AD) сумма углов СВ А й BAD
равна развернутому углу, а потому каждый из них — неразвернутый угол
первого типа (то есть меньше развернутого угла), следовательно, точки С
и D , лучи AD и ВС, а потому и отрезки AD и ВС целиком расположены
по одну сторону от прямой (АВ) . По аналогичной причине лучи DA и
СВ , а потому и отрезки DA и СВ, целиком расположены по одну сторону
от прямой (CD) , следовательно четырехугольник ABCD целиком распо-
ложен по одну сторону относительно прямой, содержащей любую из его
сторон, а потому он — выпуклый.

Следствие. В силу теоремы 1 вопроса 7 диагонали трапеции (как отрез-
ки) пересекаются и точка их пересечения находится во внутренней области
трапеции.

Теорема 2. У равнобедренной трапеции внутренние углы при каждом
из оснований равны и диагонали равны.

Доказательство

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD , у которой AD || ВС и
АВ = CD (см. рис. 50 в). Пусть BE ± AD и CF ± AD , в силу теоремы
И вопроса 7 BE = CF , а потому по катету и гипотенузе А АВЕ =
= ADCF. Следовательно, /.BAD = ZCD4, а потому и ААВС = Z.DCB.
Если провести в этой трапеции диагонали АС и BD , то рассматривая
AABD и AACD , у которых АВ = CD , AD — общая сторона Z.BAD =
= Z.CDA , получим, что они равны по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, АС = BD .

Замечание. В справочной литературе (см., например [13] и [16]) можно
еще найти материал о важных свойствах трапеции. Ниже, в основной части
этого ворпроса мы докажем теорему, традиционно приводимую в учебной
литературе, о свойствах средней линии трапеции.
Основная часть

Определения треугольника и трапеции см. соответственно в вопросе 1
и вводной части данного вопроса.

Определение 2. Средней линией треугольника называется отрезок
с концами на серединах (соединяющий середины) двух его сторон.

Определение 3. Средней линией трапеции называется отрезок с
концами на серединах (соединяющий середины) ее боковых сторон.

Теорема 3. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух
каких-либо его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее полови-
не.

Теорема 4. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна

их полусумме.

Доказательство теоремы 3;

Формулировка теоремы 3 означает, что прямая, содержащая среднюю
линию треугольника, параллельна прямой, содержащей его третью сторо-
ну.

См. рис. 51 а). Пусть в ДАВС DE — средняя линия, которая соединяет
отрезком середины D и Е сторон АВ и ВС соответственно. Тогда по опре-
делению 2 AD = DB , СЕ = ЕВ . Если провести через точку D прямую,
параллельную АС , то в силу теоремы Фалеса (см. теорему 1 вопроса 8)
она пересечет сторону ВС также в ее середине, то есть — в точке Е. Сле-
довательно в силу АЗ п. 2.3.0 эта прямая совпадет с прямой (DE), отсюда и
вытекает параллельность средней линии стороне АС. Далее вторую часть
теоремы можно было доказать на основе леммы 2 вопроса 8, на основании
которой &BDE ~ ABAC с коэффициентом подобия k = 1/2 ,

\DE\ _ \BD\ _ \ВЕ\ _ 1
|АС| “ |ВА| “ |ВС| “ 2 ’

Однако в учебной литературе, например, в [8] эта теорема доказывается
до изучения теории подобия фигур. Поэтому мы предложим еще один спо-
соб доказательства этой второй части. Через точку Е проведем прямую,
параллельную стороне АВ , которая по аналогии с прямой (DE) пересечет
сторону АС в точке F , где AF = FC . У четырехугольника ADEF
DE || AF , AD || EF , следовательно, ADEF — параллелограмм. В силу
равенства противоположных сторон # DE = AF = FC = АС/2 => DE =
= АС/2 . Теорема 3 доказана. & q

рис. 51 б)

Доказательство теоремы 4.

Формулировка теоремы 4 означает, что прямая, содержащая среднюю
линию трапеции параллельна прямым, содержащим ее основания.

См. рис. 516). Пусть ABCD — трапеция, AD || ВС , MN — ее средняя
линия, которая соединяет отрезком середины MviN сторон АВ и CD соот-
ветственно. Тогда по определению 3 АМ = МВ , CN — ND. Через точку
М проведем прямую (МТУ), параллельную (AD) , так как (AD) || (ВС),
то в силу транзитивности свойства параллельности прямых эта прямая
будет параллельна и (ВС) . Так как прямые (AD) и (ВС) пересекают пря-
мую (СР) в точках D и С соответственно, то и параллельная им прямая
(MN) пересечет ее в точке N . По теореме Фалеса (см. теорему 1 вопроса
8) так как АМ = МВ , то DN = NC . Следовательно, в силу АЗ п. 2.3.0
эта прямая будет содержать среднюю линию трапецию ABCD , отсюда и
вытекает параллельность средней линии стороне основаниям AD и ВС .
Первая часть теоремы 4 доказана.

Проведем прямую через точки В nN (на основании АЗ п. 2.3.0). Так как
точки В , С и N не лежат на одной прямой, то точка В — точка пересече-
ния прямых (ВС) и (BN) . В силу следствия из аксиомы параллельности
прямых так как (ВС) || (AD) прямая (BN) пересечет прямую (AD) в неко-
торой точке Е . В силу выпуклости трапеции ABCD (см. теорему 1) точки
В nN лежат в одной полуплоскости относительно прямой (АР) . Так как
(СР) A (MN) = N , то точки С и Р лежат в разных полуплоскостях от-
носительно прямой (AfN) . В силу (MN) || (АР) и (AfJV) || (ВС) и вывода
из определения 2 вопроса 5 вытекает, что и прямые (ВС) и (АР) лежат в
разных полуплоскостях относительно прямой (MN) , следовательно, точ-
ки В п Е лежат в разных полуплоскостях относительно прямой (МN) .
Так как (ВВ) А (СР) = N , то точка N лежит между точками В и В .
Аналогично поскольку (ВВ) А (СР) = N , то точки В и В лежат в разных
полуплоскостях относительно прямой (СР) , а потому (в силу У18 п. 2.3.0)
и лучи СВ и DE лежат в разных полуплоскостях относительно прямой
(CD) . Следовательно, Z.NCB и Z.NDE — внутренние накрест лежащие
для прямых (СВ) и (DE) и секущей (DC) . В силу выпуклости ABCD
точки А и В лежат в одной полуплоскости относительно прямой (CD) .
Поэтому (в силу У18 п. 2.3.0) точки А и Е лежат в разных полуплоскос-
тях относительно прямой (CD). Так как точка D = (CD) А (АЕ) , то она
лежит между точками А и Е . Далее поскольку точка N — точка пересе-
чения прямых BE и CD , то точки С и D , а потому (в силу У20 п. 2.3.0) и
лучи ВС и ЕА находятся в разных полуплоскостях относительно прямой
(BE) . Следовательно, Z.NBC и £NED — внутренние накрест лежащие
для прямых (ВС) и (ЕА) и секущей (BE) . Рассмотрим &BNC и &DNE.
У них Z.BNC = Z.DNE как вертикальные, Z.NCB = £NDE как внут-
ренние накрест лежащие при (СВ) || (DE) и секущей (CD) , CN = ND
по условию. Следовательно, &BNC = ADNE по двум сторонам и углу
между ними, а потому BN = NE и ВС = DE как стороны, лежащие про-
тив соответственно равных углов. Таким образом, для ДАВВ MN —
средняя линия, а поэтому по теореме 2 MN =

= АЕ/2 = (AD 4- DE)/2 = (AD + ВС)/2 . Теорема 4 полностью доказана.

Замечание 1. При доказательстве теоремы 4 мы нигде не использовали
параллельность или не параллельность боковых сторон трапеции АВ и
CD . В случае АВ || CD вытекало бы, что АМ = МВ = АВ/2 = CD/2 =
CN = ND , откуда в силу AM || DN , MB || NC следовало, что AMND
и MBCN — параллелограммы, а потому AD || MN || ВС и AD = MN =
= ВС = (AD + ВС)/2 .

Замечание 2. Поскольку применительно к параллелограмму верна и те-
орема о площади трапеции (она равна произведению длины средней линии
трапеции на длину ее высоты), то естественно считать параллелограмм
частным случаем трапеции, что не во всех учебниках принято.

Вопрос 13. Теорема косинусов для треугольника

Основная часть

Определения треугольника и косинуса величины угла в треугольнике
см. соответственно в вопросе 1 и дополнительной части вопроса 9.

Теорема. В произвольном треугольнике квадрат длины стороны равен
сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение
длин этих сторон на косинус величины угла между ними.

с2 = a2 + b2 — 2abcos7 ,

где 7 — величина угла, противолежащего стороне с длиной с , а и b —
длины других сторон треугольника.
Пусть в ДЛВС 7 = АСВ . Рассмотрим четыре случая. Отметим, что
на рис. 52 а), б), в) обозначения а , b , с , af , bf , У , h означают длины

соответствующих отрезков.

См. рис. 52 a). ZC и ZB — острые, тогда основание высоты AD &АВС,
проведенной из вершины А на прямую (СВ) , лежит на стороне СВ . Это
доказывается точно также, как и теорема 1 в вопросе 10. Из прямоугольного
AADB по теореме Пифагора h2 = с2—(с')2 , а так как точка D лежит между
точками В и С , то с' = а—У. С другой стороны, из прямоугольного ДЛСР
по теореме Пифагора h2 — Ъ2 — (У)2 и по определению косинуса величины
острого угла (см. дополнение вопроса 9) bf = b cos 7 . Следовательно,
с2 - (а - Ь')2 = Ъ2 - (У)2 & с2 - а2 + 2аУ - (У)2 = Ь2 - (У)2

с2 = а2 4- Ь2 — 2аУ = а2 4- Ъ2 — 2аЬсоз7 .

См. рис. 52 б). ZC — острый, ZB — тупой, тогда смежный с ним Z.ABD
— острый. В силу теоремы 3 вопроса 4 основание D высоты AD £±АВС и
ДЛВР, проведенной из вершины А на прямую (СВ) , лежит на луче BD ,
дополнительном лучу ВС . Следовательно, точка В лежит между точками
С и D . Из прямоугольного ДЛСР по теореме Пифагора Л2 =
= Ъ2 ~ (У)2 , а так как точка В Лежит между точками С vl D , то У — У — а .
По определению косинуса величины острого угла (см. дополнение вопроса
9) У = 5 cos 7 . С другой стороны, из прямоугольного &ABD по теореме
Пифагора Л2 = с2 — (с')2 . Следовательно, Ъ2 — (У)2 = с2 — (У)2 с2 =
= (с')2 + Ь2 - (У)2 & с2 = (У - а)2 + Ь2 - (У)2 = (У)2 + а2 - 2аУ + Ь2 - (У)2
О с2 = а2 4- b2 — 2abcos7 .

См. рис. 52 в). ZC — тупой, тогда смежный с ним ZJ3CD — острый и ZA
— острый. В силу теоремы 3 вопроса 4 основание D высоты BD ААВС и
ACBD, проведенной из вершины В на прямую (АС) , лежит на луче CD ,
дополнительном лучу С А . Следовательно, точка С лежит между точками
А и D . Из прямоугольного ACBD по теореме Пифагора Л2 =
= а2 — (а')2 > а так как точка С лежит между точками А и D , то У =
= а! 4- b . По определению косинуса величины острого угла и соотношению
между косинусами величин смежных углов (см. дополнение вопроса 9) У =
= Ьсоз(180° — 7°) — “bcos7° = —frcos7 . С другой стороны, из прямо-
угольного /\ABD по теореме Пифагора h2 = с2 — (с')2 • Следовательно,
а2 - (а')2 = с2 - (с')2 & с2 = (с')2 + а2 - (а')2 & с2 = (а' 4- Ъ)2 4- а2 - (а')2 =
= (а')2 4- 2abf 4- Ъ2 4- а2 — (а')2 О с2 = а2 4- Ь2 — 2аЬсоз7 .

Если ZC — прямой, то по теореме Пифагора с2 = а2 4- Ь2 . Так как
cos 7 = 0 (7 = С = 90°) , то равенство с2 = а2 4- b2 — 2аЬсов7 будет
справедливо и в этом случае. Теорема косинусов полностью доказана.

Следствие. С помощью теоремы косинусов можно доказать свойство 6
параллелограмма (см. вопрос 7, теорему 4). Сумма квадратов длин диаго-
налей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон.

Л рис. 52 г) &
Доказательство

См. рис. 52 г). В силу свойств параллелограмма (см. теорему 4 вопроса
7) А 4- В = 180° , |АР| = |ВС\ , |ЛВ| = |СР| . По теореме косинусов для
треугольников АВС и ABD

|АС\2 = |АВ|2 + \ВС|2 - 2\АВ\ • |ВС| • соз(В) ,
|ВР|2 = |АВ|2 4-1ADI2 - 2|ЛВ| • |ЛР| • соз(Л) .
Складывая почленно эти равенства, с учетом |ЛР| = |ВС|, |ЛВ| = |C7J| и
соз(В) = —соз(Л) получим: |ЛС|24-\ВР\2 = |ЛВ|2+|ЛВ|2+|ВС|2+|ЛВ|2 =
= |ЛВ|2 4- |СР|2 +• \ВС|2 4-1AD|2 . Следствие доказано.

Дополнительная часть

Выше, в вопросе 10 отмечалось, что справедливость обратной теоре-
мы Пифагора можно получить и из теоремы косинусов. Это получается
следующим образом: если а , Ь , с — длины сторон треугольника, и 7 —
величина угла между сторонами длин а , Ь (или угла, противолежаще-
го стороне с длиной с), то по теореме косинусов для этого треугольника
с2 = а2 4- Ь2 — 2оЬсоз7 и равенства с2 = а2 4- Ъ2 получаем, что так как а > 0
и b > 0 cos 7 = 0 . Следовательно, 7 = 90° , а потому угол между сторонами
длин а , Ь — прямой, следовательно треугольник — прямоугольный.

Замечание 1. В учебнике [6] доказательство теоремы косинусов прово-
дится с использованием метода координат. При этом используется формула
расстояния между точками на координатной плоскости, которая выводится
с использованием теоремы Пифагора. Эта формула доказывается ниже, в
вопросе 15.
Замечание 2. В учебнике [5] теорема косинусов доказывается вектор-
ным методом с использованием свойств скалярного произведения двух век-
торов. При этом само скалярное произведение двух векторов по опреде-
лению вводится в виде формулы в самом низу стр. 15 данной книги, а не
как произведение длин этих векторов на косинус величины угла между ни-
ми. Если определять скалярное произведение векторов традиционно, как
произведение длин этих векторов на косинус величины угла между ними,
доказать свойства линейных операций над векторами, только затем рас-
сматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то
именно на основе доказанной иным способом теоремы косинусов (например,
как проведено выше) можно доказать указанную формулу для скалярного *
произведения векторов в декартовой прямоугольной системе координат.

Вопрос Ц. Теоремы о пересечении медиан, пересечении биссектрис и
пересечении высот треугольника

Вводная часть

Определение треугольника см. в вопросе 1.

Для доказательства указанных теорем нам потребуется доказать ряд
вспомогательных утверждений: лемму и теоремы.

Лемма. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с. какой-либо
точкой противолежащей ей стороны лежит во внутренней области это-
го треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-
либо точкой, лежащей на прямой, которая содержит противолежащую
указанной вершине сторону этого треугольника, но являющейся внешней
точкой этой стороны, лежит во внешней области этого треугольника.

рис. 53 а)	рис. 53 б)

Доказательство

См. рис. 53 а). Пусть в △ЛВС D — точка, лежащая на стороне ВС
(то есть эта точка — внутреняя точка отрезка ВС), докажем, что всякая
внутренняя точка М отрезка AD — является внутренней точкой ДАВС .
Так как концы отрезка AD лежат на сторонах как ZABC , так и ЛВС А ,
а поскольку это внутренние углы треугольника, то они — неразвернутые
углы первого типа. Следовательно, в силу У24 п. 2.3.0, все внутренние
точки отрезка AD находятся во внутренних областях /АВС и /ВС А .
Поскольку луч AD пересекает отрезок ВС в точке D , концы которого В и
С лежат на сторонах /ВАС , в силу У26 п. 2.3.0 он лежит во внутренней
области /ВАС , а потому и все внутренние точки отрезка AD находятся
во внутренней области /В А С . В силу замечания вводной части вопроса
1 об эквивалентности определений внутренней точки треугольника мы и
получаем , что все внутренние точки отрезка AD находятся во внутренней
области треугольника. Первая часть леммы доказана.

См. рис. 53 б). Пусть Е — внешняя точка стороны ВС треугольника
АВС , тогда концы отрезка АЕ лежат на сторонах /АВЕ — смежного с
/АВС , то есть внешнего угла ДАВС . В силу У24 п. 2.3.0 все внутренние
точки отрезка АЕ находятся во внутренней области /АВЕ , которая не
имеет общих точек с внутренней областью /АВС (см. У28 п. 2.3.0, его
следствия и замечание после них), а потому все внутренние точки отрезка
АЕ и точка Е находятся во внешней области △АВС' . Лемма полностью
доказана.

Напомним определения серединного перпендикуляра к отрезку, медиа-
ны, биссектрисы и высоты треугольника.

Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называ-
ется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему
(см. также определение 1 вопроса 4).

Определение 2. Медианои треугольника, проведенной из данной вер-
шины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой про-
тиволежащей ей стороны треугольника (см. также определение 2 вопроса
3).

Определение 3. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной
вершины, называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треуголь-
ника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей ей сто-
роне (стало быть, она делит угол при этой вершине на два равных угла,
см. также определение 3 вопроса 3)).

Определение 4, Высотой треугольника, опущенной из данной верши-
ны, называется перпендикуляр, * проведенный из этой вершины к
прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (см.
также определение 4 вопроса 3).

Теорема 1. Серединные перпендикуляры к сторонам произвольного тре-
угольника пересекаются в одной точке.

По поводу этого понятия см. определение 1, в вопроса 3.
рис. 54 а)
Доказательство

Пусть в ДАВС AD = DB , BE = ЕС , CF = FA . Через точки D
и Е в плоскости (АВС) проведем соответственно пс ± (АВ) , па ± (ВС)
(существование и единственность этих перпендикуляров вытекает из У43
п. 2.3.0 и его следствия). Поскольку прямые (ВА) и (ВС) различные, точки
D и Е отличны от точки В , эти точки различны. Если предположить, что
прямые па и пс совпадают, то это будет означать, что к прямой па = пс
из точки В проведены два перпендикуляра (BD) и (BE) , что невозмож-
но. Если предположить, что па || пс , то из (ВА) ± пс => (ВА) ± па
(в силу следствия из теоремы 4 вопроса 5). Так как (ВС) ± па , точка
В £ па , то получаем, что из точки В на прямую па проведены два перпен-
дикуляра: (ВС) и (ВА) , что также невозможно. Следовательно, остается
единственная возможность, па Г) пс = О (точку пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам В А и ВС мы обозначили через О). Анало-
гичным образом мы докажем пересечение перпендикуляров пс и пь , пв и
щ , откуда следует, что все эти перпендикуляры — различные прямые.
В силу теоремы 4 вопроса 4 (свойства серединного перпендикуляра к отрез-
ку) О А = ОВ и ОВ = ОС , в силу транзитивности отношения равенства
отрезков (см. А19 п. 2.3.0) отсюда следует, что О А = ОС . В силу теоремы
6 вопроса 4 (признака серединного перпендикуляра к отрезку) точка О ле-
жит на серединном перпендикуляре пъ к отрезку АС . Следовательно, так
как все эти перпендикуляры па , пъ , пс — различные прямые, точка О
их единственная общая точка (точка пересечения). Теорема 1 доказана.

Замечание. Ниже, в вопросе 19 будет доказано, что точка пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам треугольника — центр описанной
около него окружности.

Теорема. 2. Две медианы произвольного треугольника пересекаются
(как отрезки).

Теорема 3. Две биссектрисы произвольного треугольника пересекают-
ся (как отрезки).
Доказательство теоремы 2.

См. рис. 54 б). Пусть в ДАВС ADh CF — две медианы,

BD — DC , AF = FB . Так как точки D и F — середины сторон ВС и
АВ соответственно, то в силу У37 п. 2.3.0 это внутренние точки отрезков
ВС и АВ . Так как точка А не лежит на прямой (ВС) , то луч AD пересе-
кает отрезок ВС в его внутренней точке D , а потому согласно 012 и У18
п. 2.3.0 точки В и С расположены в разных полуплоскостях относительно
прямой (AD) . Далее так как точка F лежит между точками А и В , то
точка А не лежит между точками F и В , а потому эти точки расположены
на одном луче с началом в точке Лив силу У20 п.2.3.0 они расположены
в одной полуплоскости относительно прямой (AD) . Следовательно, в си-
лу У18 п. 2.3.0 точки и F лежат в разных полуплоскостях относительно
прямой (AD) и в силу 012 п. 2.3.0 отрезок CF пересекает прямую (AD) в
некоторой внутренней точке О Е CF . Аналогичным образом доказывает-
ся пересечение отрезка AD и прямой (CF) . В силу единственности точки
пересечения прямых (AD) и (CF) точка О — точка пересечения отрез-
ков AD и CF . В силу леммы О точка, лежащая во внутренней области
△АВС. Точно также доказывается пересечение каждой из медиан AD и
CF с третьей медианой ДАВС . Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 3.

См. рис. 54 в). Пусть в ДАВС AD и CF — биссектрисы. В силу опреде-
ления биссектрисы треугольника отрезок AD лежит на луче AD (с началом
в точке А) , который является биссектрисой ZBAC . Согласно 029 п. 2.3.0
луч AD проходит во внутренней области ЛВАС , а потому в силу У26
п. 2.3.0 луч AD пересечет отрезок ВС в некоторой его внутренней точке
D. Аналогичным образом луч CF (с началом в точке С) пересечет отрезок
АВ в некоторой его внутренней точке F . Далее доказательство проводится
точно так же (буквально дословным повторением), что и доказательство
теоремы 2. Таким же образом доказывается пересечение каждой из биссек-
трис AD и CD с третьей биссектрисой ДАВС . Точно так же, как и в
теореме 2 на основе леммы убеждаемся, что точка пересечения биссектрис
треугольника лежит в его внутренней области. Теорема 3 доказана.
Основная часть

См. выше формулировки треугольника, его медиан, биссектрис и высот.

Теорема 4. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, кото-
рая делит каждую медиану на отрезки, длины которых относятся как
2:1, считая от вершины, из которой она проведена.

в	в

Хл	л/

рис. 54 г)	рис. 54 д)

Доказательство

См. рис. 54 г). Рассмотрим в ДЛВС медианы AD и CF . По доказанно-
му в теореме 2 вводной части этого вопроса они (как отрезки) пересекаются
в некоторой точке О . Соединим отрезком точки D и F . Поскольку AD
и CF — медианы, точки D и F — середины сторон ВС и АВ , а потому
DF — средняя линия ДЛВС . В силу теоремы 3 вопроса 12 DF || АС и
\DF| : |АС| = 1:2. Так как (DF) || (АС) и точки С и F (а потому в силу
У20 п. 2.3.0 и лучи АС и DF) находятся в разных полуплоскостях отно-
сительно прямой (AD) Z.ADF и Z.DAC — внутренние накрест лежащие
углы при (DF) || (АС) и секущей (AD) , а в силу свойств параллельных
прямых £ADF = ZBAC . Аналогичным образом показывается, что Z.DFC
и ZFCA — внутренние накрест лежащие углы при (DF) || (АС) и секущей
(CF) , следовательно, £DFC = ZFCA . Итак, &FOD ~ ДАОС (по двум
углам). Следовательно,

|ЛО| |СО| |Л£|_2	_ 2|ЛР|

|OD| |OF| |FP| 1	1	1	3	’

Аналогичным образом, проводя третью медиану BE мы докажем, что она
пересечется, например, с медианой AD в такой точке О' , что |АО'| =
= 2|АВ| : 3 . Следовательно, |АО'| = |АО| => АО1 = АО , в силу А13 п.
2.3.0 точки О и О' совпадают. Итак, все три медианы ДАВС : AD , BE ,
CF пересеклись о точке О (см. рис. 54 д) и

|АО| = |СО| _ \ВО\ = 2
\OD\ ~ |OF| “ |ОВ| ~ 1 ‘

В силу леммы точка О — внутреняя точка ДАВС . Теорема 4 полностью
доказана.

Теорема 5. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство

См. рис. ,54 е). Рассмотрим в ДЛВС биссектрисы AD и CF . По дока-
занному в теореме 3 вводной части этого вопроса они (как отрезки) пересе-
каются в некоторой точке О , эта точка находится во внутренней области
треугольника АВС , а потому — во внутренней области каждого из его
внутренних углов. В силу теоремы 5 вопроса 4 так как лучи AD и CF —
биссектрисы ABAC и АВС А соответственно, то р(О\ (АС)) = р(О; (АВ))
и р(О\ (АС)) = р(О\ (ВС)) . Следовательно, р(О; (АВ)) = р(О\ (ВС)) и так
как О — внутренняя точка ААВС в силу теоремы 7 вопроса 4 О лежит на
биссектрисе BE ААВС (см. рис. 54 ж). Итак, все три биссектрисы ДЛВС
AD , BE , CF пересеклись в одной и той же точке О . Отметим, что если
бы мы рассматривали, например, точку О' пересечения биссектрис AD и
BE , то также доказали, что она оказалась бы на биссектрисе CF . В силу
единственности биссектрис углов (см. У44 п. 2.3.0) и единствености точки
пересечения прямых точки О и О1 совпадут. В силу леммы точка О —
внутреняя точка ДЛВС . Теорема 5 полностью доказана.

Замечание. Ниже, в вопросе 22 будет доказано, что точка пересечения
биссектрис углов треугольника — центр вписанной в него окружности.

Теорема б. Высоты треугольника (или содержащие их прямые) пере-
секаются в одной точке.

А'

Доказательство

См. рис. 55 а). Проведем в плоскости (АВС) через точку Л прямую
а || (ВС) , через точку В прямую Ъ || (ЛС) и через точку С прямую
с || (АВ) . Докажем, что любые две из этих прямых пересекаются. Рассмот-
рим прямые а и Ь . Прямые а и Ъ не совпадают, так как точка В £ а , но
В G Ь . Если предположить, что b || а , то в силу транзитивности свойства
параллельности прямых (АС) || Ь , Ь || а , а || (ВС) => (АС) || (ВС) , что
противоречит пересечению прямых (АС) и (ВС) в точке С . Итак, прямые
а и Ь пересекаются в точке С' . Аналогично доказывается, что прямые а и
с пересекаются в точке В' , и прямые b и с пересекаются в точке А' .

Замечание. В дополнительной части этого вопроса будет доказано, что
все точки А' , В' , С' — различные ; точка А' и прямая a = (В'С') будут
расположены в разных полуплоскостях относительно прямой (ВС) ; точка
В' и прямая Ь = (А'С') будут расположены в разных полуплоскостях отно-
сительно прямой (АС) ; точка С' и прямая с = (А'В') будут расположены в
разных полуплоскостях относительно прямой (АВ) , то есть действительно
имеет место то, что изображено на рис. 55 а) и б).

В четырехугольнике С'ВСА С'В || АС , С'А || ВС , следователь-
но, С'ВСА— йараллелограмм, а потому С'А = ВС . В четырехугольнике
АВСВ* ВС || АВ', АВ || В'С , следовательно, АВС В* —параллелограмм,
а потому АВ' = ВС . Из С'А = ВС и АВ' = ВС вытекает С'А = АВ' ,
то есть точка А — середина отрезка С'В' . Аналогично доказывается, что
С'В = ВА' и А'С = СВ' , то есть точка В — середина отрезка А'С' и
точка — середина отрезка А'В' . Серединный перпендикуляр к отрезку
В'С* будет перпендикулярен и к параллельной ему прямой (ВС) (в силу
следствия из теоремы 4 вопроса 5), по той же причине серединный пер-
пендикуляр к отрезку А'В' будет перпендикулярен и к параллельной ему
прямой (АВ) , серединный перпендикуляр к отрезку А'С' будет перпенди-
кулярен и к параллельной ему прямой (АС) . В силу теоремы 1 серединные
перпендикуляры к сторонам ДА'В'С' пересекаются в одной точке О , ко-
торая и будет точкой пересечения прямых, содержащих высоты ДАВС .
Теорема б доказана.

Определение 5. Точка пересечения прямых, содержащих высоты тре-
угольника называется ортоцентром этого треугольника.

Дополнительная часть

Докажем утверждение, сформулированное в замечании при доказатель-
стве теоремы 6. См. рис. 55 а) и б). Проведем через точку А прямую, а ,
параллельную прямой (ВС) и на каждом из лучей этой прямой с началом в
точке А отложим отрезки АС* = ВС и АВ* = ВС (в соответствии с А14 п.
2.3.0). Так как точки В* и С* расположены на разных полупрямых прямой
а относительно точки А , то в силу У20 п. 2.3.0 эти точки будут и в разных
полуплоскостях относительно прямой (АС) . Пусть точка В будет в одной
полуплоскости с точкой С* относительно прямой (АС) , тогда отрезок ВС*
не будет пересекать прямую (АС) , следовательно не будут иметь общих
точек множества внутренних точек вместе с их концами отрезков (ЛС) и
(BCf) . Проведем прямую (BCf) , так как по построению (ЛС") || (ВС) ,
то точка В £ (АС1) , следовательно, так как В € (ВС1) , прямые (АС1)
и (ВС") различные, С' — точка их пересечения. Из проведенных рассуж-
дений и построений вытекает, что четырехугольник АС1 ВС — простой, у
которого ВС || Л С' и ВС = Л С' . Следовательно в силу теоремы 5 вопроса
7 и замечания к ней в дополнительной части этого вопроса четырехуголь-
ник АСВС — параллелограмм, а потому (ВС) || (ЛС) и ВС' = ЛС. В
силу вывода из определения 2 вопроса 5 прямая (ВС') лежит в одной по-
луплоскости относительно прямой (ЛС) , той, в которой лежит точка С' ,
а потому точка В' лежит с прямой ВС' в разных полуплоскостях относи-
тельно прямой (ЛС) . Далее в параллелограмме С'ВСЛ диагонали ЛВ и
С'С пересекаются как отрезки (см. следствие из теоремы 3 вопроса 7), по-
этому точки С и С' лежат в разных полуплоскостях относительно прямой
(ЛВ) . Так как точка Л лежит между точками С' и В' на прямой (С'В')
и она является точкой пересечения прямых (С'В') и (ЛВ) , то точки С'
и В' также лежат в разных полуплоскостях относительно прямой (ЛВ) .
Следовательно, точки В' и С лежат в одной полуплоскости относительно
прямой (ЛВ) . Проводя прямую (СВ') , мы аналогичным образом докажем,
что В'СВА — параллелограмм, откуда (СВ') || (ЛВ) . В силу вывода из
определения 2 вопроса 5 прямая (В'С) лежит в одной полуплоскости отно-
сительно прямой (ЛВ) , той, в которой лежит точка В' , а потому точка
С' лежит с прямой (В'С) в разных полуплоскостях относительно прямой
(ЛВ). Итак, (ВС') || (ЛС) , (СВ') || (ЛВ) , в силу аксиомы параллельнос-
ти прямых (ВС') = Ъ , (СВ') = с , где b и с те самые прямые, которые
были построены выше, в основной части этого вопроса при доказательстве
теоремы б. Стало быть, именно построенные точка С' = ЬГ\а и В' = с а.
Пусть Л' = Ь П с . Докажем, что точки Л' и В' — различные и точки Л'
и С' — различные. Если предположить, что, например, Л' = В' , то так
как Л' € Ь , получилось бы, что через различные (по построению) точки
С' и В' проходят две различные прямые а и b , а это противоречит АЗ п.
2.3.0 Следовательно, точки Л' и В' — различные. Аналогично от против-
ного доказывается, что точки Л' и С' — различные. Точка Л' £ (В'С') ,
так как в противном случае в силу АЗ п. 2.3.0 прямые b и а совпали бы,
что неверно. Следовательно, Л', В' и С — точки, не лежащие на одной
прямой, а потому они являются вершинами ДА'В'С . Точка Л' не лежит
на прямой (ВС) . В противном случае, предположив, что точка Л' лежит
на луче ВС (это означает, что Л В), в силу АЗ п. 2.3.0 мы получили бы,
что прямые Ь и (ВС) совпадут, откуда следует Ь || а , а это противоречит
тому, что прямые а и Ъ пересекаются в точке С . Если предположить, что
точка Л' лежит на луче СВ (это означает, что А С), в силу АЗ п. 2.3.0
мы получили бы, что прямые с и (ВС) совпадут, откуда следует с || а , а
это противоречит тому, что прямые а и с пересекаются в точке В' . Таким
образом, точка А' отлична от каждой из точек А , В и С , а потому точки
А , В , А1 и С являются вершинами четырехугольника. У четырехуголь-
ника АВ А’С В А* || АС (так как прямая Ь = (В А') || (АС)) и АС || АВ
(так как прямая с = (АС') || (АВ)) . Следовательно, АВА'С — паралле-
лограмм, откуда в силу свойств # А'В = АС = ВС => А'В = ВС' и
А'С = АВ = СBf =$> AfC = СВ' . По доказанному точки А' , В' и С' —
различные, а потому в силу А14 п. 2.3.0 точки А' и С' лежат на разных
полупрямых прямой b относительно точки В , а стало быть, и в разных
полуплоскостях относительно прямой (ВС) . Точки С' , А и В' лежат на
прямой а || (ВС) , поэтому в силу вывода из аксиомы параллельнлсти
прямых (см. выше, вопрос 5) эти точки лежат в одной полуплоскости (в
которой находится прямая а) относительно прямой (ВС) . Следовательно,
в силу У18 п. 2.3.0 точка А' и прямая а расположены в разных полуплос-
костях относительно прямой (ВС) . Утверждение полностью доказано.

Теперь исследуем местоположение точки пересечения высот треуголь-
ника или прямых, содержащих его высоты, в зависимости от того, какой
треугольник: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.

См. рис. 55 в), случай остроугольного треугольника. В силу теоремы
3 вопроса 4 все основания перпендикуляров, проведенных в треугольнике
из вершин его углов на прямые, содержащие противолежащие им стороны,
лежат именно на сторонах. Аналогичным образом, как и в теоремах 2 и 3
доказывается (на основе леммы вводной части этого вопроса), что пересе-
кутся причем в точке внутренней области этого треугольника любые две
высоты (как отрезки). По доказанному в теореме б третья высота также
пройдет через эту точку.

См. рис. 55 г), случай прямоугольного треугольника. В этом случае
точкой пересечения высот треугольника является вершина его прямого уг-
ла, так как две его высоты совпадают с его катетами. Основание высоты,
проведенной на гипотенузу (см. вопрос 10), является ее внутренней точкой.

См. рис. 55 д), случай тупоугольного треугольника. Так как в силу те-
оремы 3 вопроса 4 основания перпендикуляров, проведенные из вершин Л
и В ДАВС с тупым углом С соответственно на прямые (ВС) и (АС) —
точки А1 и В' лежат на дополнительных лучах по отношению к лучам СВ
и С А , то в силу первой части леммы отрезки этих перпендикуляров будут
находиться во внешней области ДАВС . Если предположить, что, напри-
мер, прямая (ВВ') имеет общую точку с внутренней областью ДАВС ,
то эта точка будет во внутренней области ДАВС , и луч этой прямой с
началом в точке В , проходящий через эту точку, окажется в этой области.
В силу У26 п. 2.3.0 этот луч, а потому и прямая (ВВ') должна пересечь
отрезок АС , что невозможно, так как она пересекает прямую (АС) во
внешней точке отрезка АС . Следовательно, перпендикуляры, проведен-
ные из вершин А и В ДАВС на прямые, содержащие противолежащие им
стороны, будут (кроме указанных вершин) лежать во внешней области это-
го треугольника. Следовательно, их общая точка О , будучи отличной от
всех вершин ДАВС , будет в его внешней области. Рассматривая ДОЛВ,
убеждаемся в том, что вершина С тупого угла ДАВС является точкой
пересечения высот ДО АВ .

Вопрос 15. Формула для вычисления расстояния между двумя точка-
ми на координатной плоскости. Уравнение окружности

Вводная часть

Для вывода формулы расстояния между точками на координатной плос-
кости необходимо рассмотреть вопрос и о расстоянии между точками на
числовой оси (числовой прямой или координатной прямой). Напомним опре-
деление числовой прямой (см. определение 6 п. 2.0.3).

Определение 1. Пусть на некоторой прямой а выбраны: точка О —
начало отсчета, масштабный отрезок ОЕ, где точки О и Е различные,
длина которого считается равной единице (единица измерения отрез-
ков), и положительное (от точки О к точке Е) и противоположное ему
отрицательное направления. Тогда эту прямую называют числовой или
координатной прямой (осью).

——|х|------ж--------\Ь\--—-а

1*^1 —|у|—к------|а|----+

М(х) N(y) 0(0) Е(\)	А (а) В(Ь)

рис. 56 а)

Напомним также сформулированную в п. 2.0.3 теорему об обосновании
координатного метода на прямой, которую можно использовать на экзаме-
нах без доказательств.

Теорема 1. Между множествами всех действительных чисел R и
всех точек числовой прямой (оси) М можно установить взаимно одно-
значное соответствие, причем если прямая расположена горизонтально,
то из двух точек Mi и М2 на этой прямой лежащей правее (левее) со-
ответствует большее (меньшее) действительное число и наоборот, из
двух действительных чисел большему (меньшему) из них соответствует
точка на числовой прямой, лежащая правее (левее). '

Действительное число х, взаимно однозначно соответствующее точ-
ке М на числовой оси, называется координатой (числовой координатой)
этой точки. Обозначается М(х). Точке О — началу отсчета соответству-
ет число 0, то есть 0(0), точке Е соответствует число 1, то есть ^(1)
(см. рис. 56 а).

Замечание. Напомним, что возможность выбрать только два взаимно
противоположных направления на прямой вытекает изУ16п. 2.3.0и заме-
чаний к нему. В замечании 3 к этому утверждению разъясняются термины
расположения одной точки относительно другой точки ”левее” или ’’пра-
вее”.

Определение 2. Расстоянием между двумя точками М и N или на
прямой, или на плоскости, или в пространстве называется длина отрез-
ка MN, то есть | М2У| . Обозначается расстояние между точками М и N
p(M-,N).

Таким образом, p(M*,N) — |ЛГЛГ| и оно положительно во всех случаях
кроме случая совпадения точек, когда оно равно нулю.

Отметим, что согласно У40 п. 2.3.0 Va > 0 от данной точки на данной
полупрямой (то есть на полупрямой с началом в данной точке) можно от-
ложить единственный отрезок, длина которого равна а . Если обратиться
к схеме доказательства этого факта (см. [17], гл. II, j 21, теорема 35), то
можно убедиться, что если в качестве начальной точки полупрямой высту-
пает начало отсчета О , именно точка М — М(а), лежащая правее точки
О, такова, что \ОМ| = а , и именно точка Mf — Mf(—a) , лежащая левее
точки О , такова, что \ОМ'| = а . Точек М на числовой оси, отличных
как от М , так и от М' таких, что |ОЛГ| = a , не существует. Следова-
тельно, если число х G R является координатой точки М на числовой оси,
то р(О-,М) = \ОМ| = |ж| . Таким образом, геометрический смысл моду-
ля действительного числа х — расстояние от точки М на числовой оси с
координатой х до точки О — начала отсчета на этой оси.

Теорема 2. Пусть Mi(xi) и Мг(х2) — точки на числовой оси со своими
координатами. Тогда p(Mi\M2) = lAfiMal = |$2 — ®i| •
Доказательство

Рассмотрим следующие случаи:

A)	Mi = А(а) , М2 = В(Ь) (см. рис. 56 а) , где точка А лежит не левее 1
точки О на числовой оси (то есть или А = О , или В лежит правее А), а
точка В лежит правее точки О . В силу теоремы 1 Ь > а 0 . Согласно
замечанию 3 к У16 и У17 п. 2.3.0 при указанных условиях при расположе-
нии точки А правее точки О эта точка будет лежать между точками О и
В , а потому в силу определений суммы отрезков, длины отрезка, свойств
длины отрезка (см. 021 и 024 п. 2.3.0) в рассматриваемом случае (в том
числе и когда А = О) ОВ = О А + АВ => \ОВ\ = |ОА| + |АВ| О \АВ | =
= \ОВ\ - |ОА| = |6| - |а| = b - а = |Ь - а| = |а - Ь\ .

Б) Mi = М(х) , М2 = N(y) (см. рис. 56 а) , где точка N лежит не
правее точки О на числовой оси (то есть или N = О , или N лежит левее
О), а точка М лежит левее точки N . В силу теоремы 1
х < У 0- Согласно замечанию 3 к У16 и У17 п. 2.3.0 при указанных
условиях при расположении точки N левее точки О эта точка будет лежать
между точками О и В, а потому аналогично случаю А) в рассматриваемом
случае (в том числе и когда N = О) ОМ = ON + NM => \ОМ| = |ОЛГ| +
+\NM\ & \NM\ = \ОМ\ - |O2V| = |ж| - |г/| = -ж + у = \у - z| = |ж - у\ .

В)	Mi = N(y) , М2 = А(а) (см. рис. 56 а) , где точка N лежит левее
точки О на числовой оси, а точка А лежит правее точки О . В силу теоремы
1 У < 0 < а . Согласно замечанию 3 к У16 и У17 п. 2.3.0 при указанном
расположении точек N , О и А точка О будет лежать между точками N и
А, а потому согласно 021 п. 2.3.0 NA = NO + OA => |2VA| = |OJV| + |ОА| =
= 1з/| + |а| = -у + а = |а - j/| = |j/ - а| .

Г) Mi = М2 <=> Xi = Х2 (в силу теоремы 1). При этом

p(Mi; М2) — IM1M2I 0 = |®2 “ ®1| • Теорема 2 полностью доказана.

Следующий ниже материал вводной части этого вопроса не имеет пря-
мого к нему отношения, но он либо уже использовался ранее, например, в
п. 2.2, или может быть использован ниже.

Определение 3. Отрезок АВ называется направленным, если он за-
дан упорядоченной парой * точек А и В . Обозначается АВ или АЙ . В
этих обозначениях точка А первая (начальная), точка В вторая (конечная).

Определение 3'. Вектором называется направленный отрезок.

Бели точки А и В различные, то направление вектора АЙ (от начальной
точки А к конечной точке В) считается таким, при котором на выбранном
направлении на прямой (АВ) точка А предшествует точке В (по поводу
понятия "предшествует” см. Oil п. 2.3.0).

* Пара точек считается упорядоченной, если указано, какая из них — первая, а какая
из них — вторая.
Если точки Л и В совпадают (А = В), то направленный отрезок (век-
тор) А А или АЙ называется нулевым. Направление нулевого вектора счи-
тается неопределенным.~)Пля нулевых направленных отрезков использу-
ются обозначения 0 или и .

Для направленных отрезков (векторов) вводится понятие длины , име-
ющее такой же смысл, что и для обычного отрезка АВ . Длина вектора
обозначается |АВ| или |А^| . С учетом того, что длина отрезка АВ обо-
значалась |АВ| , |АВ| = |АВ| = |АВ| . Поэтому длина любого ненулевого
направленного отрезка (вектора) — число положительное, а длина нулево-
го вектора равна нулю (|АА| = |АЙ| = 0).

Замечание. Отметим, что при изменении порядка концов направленного
отрезка меняется на противоположное его направление. При этом сохраня-
ется его длина, то есть если А £ В , то |АВ| = |ВА| , но направленные
отрезки (векторы) АВ и В А — различные.

М N

А В

Мх(х) MW O(Q) Е(\) АМ ВХ(Ь)

рис. 56 б) _____

Пусть некоторый направленный отрезок М1М2 или лежит на числовой
оси, или лежит на прямой, параллельной числовой оси. Если и &2 —
координаты точек Mi и М2 соответственно (в случае принадлежности чи-
словой оси отрезка Mi М2), или и ®2 — координаты точек Мгх и М2® ,
где Mix и М2х — основания перпендикуляров, проведенных из точек Mi и
М2 (проекций точек Mi и М2) соответственно, на числовую ось.

Определение 4. Величиной направленного отрезка MiM2 называет-
ся число, равное Х2 — xi , где х± и Х2 — координаты точек начала и
конца указанного направленного отрезка (или их проекций) на числовой
оси. Величина направленного отрезка Mi М2 обозначается Mi М2 , при
этом существенен порядок точек Mi и М2 (в отличии от обычного отрезка
MiM2).

Из этого определения вытекает, что при Mi М2 Mi М2 = IM1M2I,
если направление Mi М2 совпадает с положительным направлением число-
вой оси (то есть точка Mi или ее проекция предшествует точке М2 или
ее проекции на числовую ось), и Mi М2 = — IM1M2I , если направление
Mi М2 противоположно положительному направлению (совпадает с отри-
цательным направлением) числовой оси (то есть точка М2 или ее про-
екция предшествует точке Mi или ее проекции на числовую ось). Если
Mi = М2 О = X2 (M1M2 — нулевой), то его величина равна нулю
(MiAfi = М2М2 = 0). Если изменить порядок концов направленного отрез-
ка, то его длина не изменится, а величина изменит знак на противополож-
ный М1М2 = -М2М1 , |М1М2| = |М2М1| .

Выше, на рис. 56 б) АВ = |ЛВ| = \Ь — а| = Ь - а ,

MN = -|МЛГ| = -\у - ж| = -(?/ - ж) = х - у , ОЕ = \ОЕ\ = 1-0 = 1.

Основная часть

Определение 5. Если на некоторой плоскости а заданы две взаимно
перпендикулярные числовые оси с общим началом отсчета (точкой О
их пересечения), равными на этих осях единицами измерения отрезков
(то есть единым масштабом на всей плоскости), то говорят, что на
этой плоскости задана декартова прямоугольная система коорди-
нат, эта плоскость называется координатной плоскостью, а эти оси
называются координатными осями, точка О называется началом ко-
ординат.

Если одна из этих осей расположена горизонтально — ось абсцисс, а
другая — вертикально — ось ординат, то положительное (отрицательное)
направления на них выбраны соответственно вправо (влево) и вверх (вниз)
от точки О . Ось абсцисс обозначается Ох , ось ординат обозначается Оу,
координатная плоскость обозначается Оху .

Теорема 3. Между множествами всех точек М координатной плос-
кости и всех упорядоченных пар действительных чисел (х;у) можно
установить взаимно однозначное соответствие.

Схему доказательства этой теоремы мы приведем в дополнительной
части к этому вопросу, там же мы рассмотрим и другие понятия, свя-
занные с декартовой прямоугольной системой координат на плоскости, в
частности, — координатных полуосей, полуплоскостей, четвертей. Сейчас
мы отметим, что упорядоченную пару чисел (ж; у) , где ж; у 6 R называют
координатами точки М на плоскости, обозначают М(ж; у) , х — абсцисса
точки М , у — ордината точки М . Точка О — начало координат имеет ко-
ординаты равные нулю, то есть 0(0; 0) (см. рис. 57 а). Координаты точки
М(ж; у) — координаты ее проекций на оси абсцисс Мх(х) и на оси ординат
Му (у) соответственно (см. рис. 57 а). Отметим, что две упорядоченные па-
ры чисел (xi;t/i) и (ж2;т/2) считаются совпадающими (различными), если

f®l = ®2)<=> (®2-®1)2+	/ Г ®1 / ®2 ;	(®2-®1)2+ \

11/1 =2/2	+(У2 - У1)2 = 0 \ [yi / У2 +(г/2 - У1)2 > о J
У
Му(О-,У)^У^М(х;у)

I
I
I
______F rfMxW X
О Мх(х;О)

У W

У^кг~|И

-И
Jm.
х0

рис. 57 а)

рис. 57 б)	рис. 57 в)

Теорема 4. Пусть Mi — -Mi(яг,yi) ; М2 — Мъ^рыуъ) , тогда
|MiM2| = р(Мх; М2) = \/(х2 - xi)2 4- (У2 ~ 2/1)2 •

Доказательство

Пусть точки Mi и М2 различные. Рассмотрим следующие случаи.

A)	(MiМ2) || Ох или (М1М2) 6 Ох , тогда так как Ох ± Оу , то в силу
следствия из теоремы 4 вопроса 5 (MiМ2) ± Оу . Пусть Mo(j/o) =
= (MiМ2) П Оу , Mq — совпадающие проекции точек Мх и Мг на ось Оу,
поэтому ординаты точек Mi и М2 равны, yi = у2 = Уо => У2 ~ У1 = О
(см. рис. 57 б). Если отрезок MiM2 6 Ох, то в силу теоремы 2 о рас-
стоянии между двумя точками на числовой прямой |М1Мг| = \х2 — ®i|.
Если отрезок Mi М2 £ Ох, то если опустить их этих точек перпендику-
ляры на ось Ох , Mix in М2Х — основания этих перпендикуляров, мы по-
лучим прямоугольник MixMiM2M2x, У которого (по соответствующему
свойству) стороны М1ХМ2х и Mi М2 равны, откуда и в силу теоремы 2
IM1M2I = |М1ХМ2х| = |®2 ~ ®1| • Следовательно, в рассматриваемом слу-
чае:

p(Mi; М2) = |MiM2| = |ж2 - Ж1| = х/(ж2 “ ®1)2 = \/(®2 ~ ®1)2 + О2 =
= у/(х2 - ®1)2 4- (1/2 - У1)2 •

Б) (MiМ2) || Оу или (MiМ2) 6 Оу , тогда так как Ох ± Оу , то в силу
следствия из теоремы 4 вопроса 5 (MiM2) ± Ох . Пусть Mq(xq) =
= (MiМ2) А Ох, Мо — совпадающие проекции точек Mi и М2 на ось Ох,
поэтому абсциссы точек Mi и М2 равны, xi = ж2 = ®о => ®2 —	= О (см-

рис. 57 б). Если отрезок Mi М2 6 Оу, то в силу теоремы 2 о расстоянии
между двумя точками на числовой прямой IM1M2I = |т/2 ~ 3/11* Если отре-
зок Mi М2 £ Ох, то, опуская их этих точек перпендикуляры на ось Оу ,
М1У и М2У — основания этих перпендикуляров, мы получим прямоуголь-
ник MiyMiM2M2y, у которого (по соответствующему свойству) стороны
М1УМ2У и Mi М2 равны, откуда и в силу теоремы 2 IM1M2I = |MiyM2y| =
= |1/2 — 2/1| . Следовательно, в рассматриваемом случае:
p(Mi; M2) = |AfiAf21 = |?/2 ~ 2/11 = \/(у2 ~ 2/1)2 = 1/О2 + (2/2 - 2/1)2 =
= \/(®2 - ®i)2 + (2/2 ~2/1)2 •

В)	(ЛГхМз) If О® и (AfiAf2) If Оу (см. рис. 57 г). Через точку Mi проведем
прямую £i || Ох (если Mi G Ох , то li = Ох) , через точку М2 проведем
прямую t2 || Оу (если Mi Е Ох , то 12 = Оу) . Так как li || Ох или £х = Ох,
то в силу Ox LOym следствия из теоремы 4 вопроса 5 li ± Оу , а так как
£2 || Оу или 12 = Оу , то в силу того же следствия li ± 12 . Следовательно,
прямые li и 12 пересекутся в некоторой точке N . Эта точка N отлична как
от точки Mi , так и от точки М2 . Предполагая противное, что, например,
N = М1 поскольку N 6 12 , то и Mi 6 £2 • А так как М2 6 £2 и Mi / М2, то
в силу АЗ п. 2.3.0 £2 = (AfxAf2) . Последнее обстоятельство означает, что
(MiM2) || Оу , что противоречит рассматриваемому случаю. Аналогично
устанавливается невозможность совпадения точек М2 и N . Пусть N —
N(xf;yf) . Так как (MiN) || Ох , то согласно случаю A) yf = 2/1 » а так
как (M2N) || Оу , то согласно случаю Б) х* = х2 , следовательно, N —
N(x2*, yi) . Из условий N / Мi и N / М2 соответственно вытекает, что

[®1 х2 5	.	Г х2 х2 ;	.

<=> Ж1 Ф х2 и	<=> 2/1 / 2/2 •

2/1 / 2/1	12/1/2/2

Таким образом, попутно установлено, что из условий
Mi{xi\yi) / М2(х2\у2) и MiM2 tfOx , MiM2 tfOy , вытекает, что

®i / я2 ,
2/1 / 2/2 •

Отметим, что в вопросе 5 п. 2.1 было установлено, что (MiM2) || Ох(Оу) <=>
2/2 = 2/1 (®1 = ®г) » откуда вытекает обратное к сформулированному перед
этим утверждение

{®1 / ®2 > J MiM2 Ох ,
2/1 / 2/2 I MiM2 У(Оу

&MiNM2 — прямоугольный, так как (MiN) ± (JVM2) , по доказанному в
случаях А) и Б) |ЛГ1^| = |ж2 —	| , |Л^М2| = |з/2 — 2/11 , следовательно по
теореме Пифагора для AMiNM2 и в случае В) получаем, что

М2) = |М1М2| = v/IMiATI2 + |ЛГМ2|2 = v/(®2 - ц)2 + (У2 - У1)2 .

Осталось рассмотреть последний, простейший случай, когда М\ = М2-
В силу теоремы 3 это означает, что координаты этих точек совпадают,
то есть Xi = х2 <=> (х2 — Xi) = 0 и yi = у2 (у2 - 2/1) = 0 . Так как по
определению в этом случае p(Mi] М2) = |М1М21 = 0 , то

р(М1;М2) = |М1М2| = О = Vo = г/б^+о* = у/(х2 - ®1)2 + (у2 - У1)2 .

Теорема 4 полностью доказана.

Уравнение окружности. Сформулируем определение окружности.

Определение 6. Окружностью называется фигура, состоящая из всех
точек плоскости, расположенных на равном положительном рассто-
янии от некоторой фиксированной точки этой плоскости. Указанная
точка называется центром окружности.

Радиусом окружности называется любой отрезок, соединяющий точ-
ку окружности с ее центром, а также радиусом называется расстоя-
ние (длина отрезка) от любой точки окружности до ее центра.

Замечание. Требование положительности расстояния в определении 6
вызвано тем, что если бы это расстояние равнялось нулю (а это возможно
между совпадающими точками), то тогда окружностью (с нулевым ради-
усом) могла быть и всего одна точка. Традиционно одну точку не принято
считать окружностью.

В силу доказанной теоремы 4 о расстоянии между двумя точками на ко-
ординатной плоскости и определения 6 точка М(ж; у) принадлежит окруж-
ности с центром в точке Мо(хо\уо) радиуса R > 0 тогда и Только тогда,
когда р(М; Mq) = R или (ж - жо)2 + (у — уо)2 = R2 . Следовательно, урав-
нение окружности с центром в точке Afo(®o;j/o) радиуса R > 0 имеет вид
(см. выше рис. 57 д) (ж - жо)2 4- (у - З/о)2 = R2 •

Если Mq — 0(0; 0), то есть жо = уо = 0 , то следовательно, ж2 4- у2 = R2
— уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат.

Дополнительная часть

Приведем схему обоснования утверждения, сформулированного в тео-
реме 3, которое и является обоснованием введения системы декартовых
прямоугольных координат на плоскости.

Первый этап. Пусть точка М = О — начало координат. Поставим ей в
соответствие пару чисел (0; 0) . Если точка М € Ох , М =£ О , то ей мы
поставим в соответствие пару чисел (ж; 0) , где ж € R , ж 0 и ж взаимно
однозначно соответствующее точке М число на оси Ох как на числовой
оси. Аналогично если точка М 6 Оу , М =£ О , то ей мы поставим в со-
ответствие пару чисел (0; у) , где у € R , у Ф 0 и у взаимно однозначно
соответствующее точке М число на оси Оу как на числовой оси. Если точ-
ка М Ox и М $Оу , то мы можем (на основании теоремы 2 вопроса 4) из
точки М накаждую из осей Ох и Оу провести единственные перпендику-
ляры. Тем самым, получим две однозначно определенные точки Мх и Му
— основания этих перпендикуляров к осям Ох и Оу соответственно. Вза-
имно однозначно соответствующие им координаты х и у (как координаты
точек на числовых осях Ох и Оу), где х — первое число (абсцисса), у —
второе число (ордината) мы и поставим в соответствие точке М , то есть
АГ —> (х;у) , получим точку М с координатами М(х\ у) . Первое условие
определения взаимно однозначного соответствия между множествами М
точек на координатной плоскости и множеством упорядоченных пар чисел
(х; у) (см. сноску на стр. 10 данной книги) выполнено.

Второй этап. Если теперь рассмотреть произвольную упорядоченную
пару действительных чисел (ж; у) , то при х = у = 0 этой паре будет (в
силу теоремы 1) взаимно однозначно отвечать точка, являющаяся началом
отсчета как оси Ох , так и оси Оу , то есть это будет точка их пересечения
— начало координат О . Если ®0О,аз/ = О,то паре (ж; 0) поставим в
соответствие точку Мх(х; 0) , которая взаимно однозначно будет отвечать
числу х на оси Ох как числовой оси. Если ж = 0,ат//0,то паре (0; у)
поставим в соответствие точку Му(0;у) , которая взаимно однозначно бу-
дет отвечать числу у на оси Оу как числовой оси (см. выше рис. 57 а).
Наконец, если х^0и1/540,то можно (причем единственным образом)
восставить из точек Мх(х*,0) на оси Ох и Му(0;у) на оси Оу перпендику-
ляры к каждой из этих осей. Эти перпендикуляры не будут лежать ни на
какой из осей Оу и Ох (поскольку точки Мх и Му не совпадают с точкой
О, следовательно они параллельны соответственно оси Оу и Ох), не могут
быть параллельными (в противном случае были бы параллельны оси Ох и
Оу , что неверно), следовательно, они пересекутся в некоторой точке М .
Ее мы и поставим в соответствие упорядоченной паре чисел (х; у) (см. вы-
ше рис. 57 а). Нетрудно убедиться, что пара чисел (х; у) и будет той самой
парой, которая соответствует построенной указанным способом точке М
(см. выше первый этап). Второе условие определения взаимно однозначно-
го соответствия между множествами М точек на координатной плоскости
и множеством упорядоченных пар чисел (ж; у) (см. сноску на стр. 10 данной
книги) выполнено.

Третий этап. Остается доказать, что различным точкам Afi и М2 будут
отвечать различные пары чисел (xx;yi) и («2;У2) • Если точки Мх и М2
лежат или на оси Ох , или на оси Оу , то в силу теоремы 1 соответственно
будут выполняться условия Ж1 ф Х2 или ух у2 , а потому указанные па-
ры чисел будут различными. Если прямая (АГ1М2) £ Ох и {М^Мъ) || Ох ,
то основания перпендикуляров, проведенных из точек М± и М2 на ось Ох
будут различными (в случае их совпадения мы имели бы два перпендику-
ляра, восставленных из одной точки на оси Ох в полуплоскость, в которой
находится прямая (MiМ2) относительно этой оси, что невозможно). След-
вательно, в этом случае	i поэтому указанные пары чисел различ-

ны. Аналогичным образом доказывается, что если прямая (М1М2) £ Оу
и (MiМ2) || Оу , то уг / у2 , поэтому указанные пары чисел различны.
Если прямая (MiМ2)	, (MiМ2) £ Ох и (MiМ2) $Оу , (MiМ2) £Оу,

то xi X2 и t/i у2 , так как, предполагая, что, например, ®i = X2 ,
мы получим, что основания перпендикуляров, проведенных из точек Mi
и Мг на ось Ох (при сделанных предположениях по крайней мере одна
из этих точек не будет лежать на оси Ох), совпадут, а это означает, что
М1М2 X Ох и потому Mi М2 || Оу , что неверно. Итак, третье условие
определения взаимно однозначного соответствия между множествами М
точек на координатной плоскости и множеством упорядоченных пар чисел
(ж; у) (см. сноску на стр. 10 данной книги) выполнено. Теорему 3 можно
считать полностью доказанной.

О координатных полуосях, полуплоскостях и четвертях

В силу У15 п. 2.3.0 о разбиении точкой на прямой всех ее точек на две
полупрямые мы и имеем то, что начало координат О разбивает каждую из
координатных осей на две полуоси, которые (условно) называют: на гори-
зонтальной оси абсцисс Ох находящуюся справа (слева) от точки О полу-
ось положительной (отрицательной), а на вертикальной оси ординат Оу
находящуюся сверху (снизу) от точки О полуось положительной (отри-
цательной). Точку О — начало координат не относят ни к положительной,
ни к отрицательной полуосям как оси Ох , так и оси Оу .

В силу У18 п. 2.3.0 о разбиении прямой на плоскости всех ее точек на две
полуплоскости мы и имеем то, что ось абсцисс Ох разбивает координат-
ную плоскость на две полуплоскости, которые (условно) называют верхней
(нижней) полуплоскостью. При этом в верхней (нижней) полуплоскости
(см. У20 п. 2.3.0) находится положительная (отрицательная) полуось оси
Оу . Ось ординат Оу разбивает координатную плоскость на две полуплос-
кости, которые (условно) называют правой (левой) полуплоскостью. При
этом в правой (левой) полуплоскости (см. У20 п. 2.3.0) находится поло-
жительная (отрицательная) полуось оси Ох . Сами координатные оси Ох
в Оу не относят соответственно ни к верхней, ни к нижней и ни к пра-
вой, ни к левой полуплоскостям. Их можно считать границей каждой из
соответствующих полуплоскостей.
•	рис. 57 е)

Рассмотрим внутреннюю область прямого угла с вершиной в начале
координат со сторонами — положительными полуосями осей Ох и Оу .
Эта область, являющаяся пересечением правой и верхней полуплоскостей,
(см. 015 п. 2.3.0) называется первой координатной четвертью (I ч). Если
взять произвольную точку М , принадлежащую первой четверти, то луч
ОМ , находясь в I ч. (в силу У20 п. 2.3.0), будет образовывать углы больше
нулевого и меньше прямого, то есть острые углы с каждой из положитель-
ных полуосей (см. 022, 027В п. 2.3.0). Следовательно, в силу теоремы 3
вопроса 4 основания перпендикуляров, проведенных из точки М кв, коор-
динатные оси, будут именно на положительных полуосях, а потому если
М — М (ж; 1/),тож>0и1/>0 (см. рис. 57 е).

Рассмотрим внутреннюю область прямого угла с вершиной в начале
координат со сторонами — положительной полуосью Оу и отрицательной
полуосью Ох . Эта область, являющаяся пересечением левой и верхней
полуплоскостей, (см. 015 п. 2.3.0) называется второй координатной чет-
вертью (II ч). Если взять произвольную точку М , принадлежащую второй
четверти, то луч ОМ , находясь во II ч. (в силу У20 п. 2.3.0), будет обра-
зовывать углы больше нулевого и меньше прямого, то есть острые углы
с каждой из указанных полуосей, а потому — тупой угол с положитель-
ной полуосью оси Ох (см. 022, 027В п. 2.3.0 и свойства смежных углов,
изложенных выше, в вопросе 2). Следовательно, в силу теоремы 3 вопроса
4 основания перпендикуляров, проведенных из точки М на координатные
оси, будут именно на отрицательной полуоси оси Ох и положительной по-
луоси оси Оу , а потому если М — М (ж; 1/),тож<0и1/>0.

Аналогичным образом определяются третья координатная четверть
(III ч) как пересечение (общая часть) нижней и левой полуплоскостей и
четвертая координатная четверть (IV ч) как пересечение (общая часть)
нижней и правой полуплоскостей, получаются результаты о том, что если
точка М — М(х;у) лежит в третьей четверти, тоя<0и$/<0и если
точка М — М (ж; у) лежит в четвертой четверти, тож>0и$/<0.

Поскольку принадлежность точки М на координатной плоскости какой*
либо конкретной или полуоси, или полуплоскости, или четверти исключает
(в силу У15, У18 п. 2.3.0) ее принадлежность какому другому из указанных
множеств, то можно утверждать (см. обозначение на стр. 12 множества
элементов из X , обладающих свойством Р(ж)), что

ось абсцисс Ох — {М(ж; у) G Оху : у = 0} ;

ось ординат Оу — {М(ж; у) Е Оху : х = 0} ;

верхняя полуплоскость — {Af(ж; у) Е Оху : у > 0} ;
нижняя полуплоскость — {М(х;у) Е Оху : у < 0} ;
правая полуплоскость — {М(х\у) 6 Оху : х > 0} ;
левая полуплоскость — {Af (ж; у) Е Оху : ж < 0} ;

I четверть — {Af(ж; у) Е Оху : ж > 0 , у > 0} ;

II четверть — {М(х;у) Е Оху : ж < 0 , у > 0} ;

III	четверть — {Af(ж; у) Е Оху : ж < 0 , у < 0} ;

IV	четверть — {Af (ж; у) Е Оху : ж > 0 , у < 0} ;
положительная полуось абсцисс Ох — {М(ж; у) Е Оху	:	ж	> 0 ,	у = 0}	;

отрицательная полуось абсцисс Ох — {М(х\у) Е Оху	:	ж	< 0 ,	у = 0}	;

положительная полуось ординат Оу — {М(ж; у) Е Оху	:	ж	= 0 ,	у > 0}	;

отрицательная полуось ординат Оу — {Af (ж; у) Е Оху	:	ж	= 0 ,	у < 0}	.

В начале п. 2.2, на стр. 306 вводились термины "угол оканчивается" на
той или иной полуоси или в той или иной четверти. Исходя из проведенных
рассуждений о лучах, находящихся в той или иной четверти, а также лу-
чах, совпадающих с той или иной полуосью, используя соотношения между
острым, прямым, тупым и развернутым углами и соответствующих соот-
ношений между их мерами (см. У45 п. 2.3.0) можно получить диапазоны
изменения мер углов, оканчивающихся на той или иной полуоси или в той
или иной четверти (причем и ориентированных.углов), которые были вы-
писаны в п. 2.2, на стр. 306.

Об окружности и круге, их элементах и свойствах

В материале следующих семи вопросов планиметрии
(вопросы 16 — 22) в той или иной мере используются: понятие окружности,
ее свойства, а также свойства тесно связанных с ней геометрических фигур:
прямых, лучей, отрезков, углов, дуг и т.п.

Поэтому необходимо отдельно остановиться на изложении некоторых
свойств окружности, ее элементов и связанных с ней фигур.
До начала изложения ответа на следующий 16-й вопрос мы начнем
новую нумерацию определений и теорем, так же, как и в п. 2.3.0 будем
называть теоремы утверждениями. Всюду в дальнейшем при ссылке на эти
теоремы и утверждения будем говорить ”в силу 02” п. 2.3.1 или ”в силу
У4” п. 2.3.1, что будет означать использование указанных определения 2,
или соответственно утверждения 4.

рис. 58 а)	рис. 58 б)

Выше, в определении 6 вопроса 15 сформулированы понятия окружнос-
ти и ее радиуса. Сформулируем их еще раз, а также введем и ряд других,
связанных с окружностью определений.

Определение 1. Окружностью называется фигура, состоящая из всех
точек плоскости, расположенных на равном положительном рассто-
янии от некоторой фиксированной точки этой плоскости. Указанная
точка называется центром окружности.

Определение 2. Радиусом окружности называется любой отрезок,
соединяющий точку окружности с ее центром, а также радиусом (точ-
нее длиной радиуса^ называется расстояние (длина отрезка) от лю-
бой точки окружности до ее центра.

В замечании после этих определений в вопросе 6 говорится о существен-
ности положительности расстояния, фигурирующего в определении окруж-
ности.

Радиус (длина радиуса) окружности, как правило, обозначается буква-
ми или R , или г , или Rf , или гх и т.п. Центр окружности, как правило,
обозначается или О , или О' , или Ох и т.п. Если окружность имеет центр
О и радиус R , то это обозначается "окружность (О; К)” .

На рис. 58 а) О — центр окружности, М — точка окружности, ОМ —
радиус окружности, число R > 0 —длина этого радиуса.

Сразу же отметим, что в силу приведенных определений 1 и 2
(01 и 02) и того, что два отрезка равны тогда и только тогда, когда равны
их длины (см. У38 п. 2.3.0), следует: радиусы одной и той же окружности
равны.
Определение 3. Пусть А и В — две (различные) точки на окружнос-
ти (О; R) . Отрезок АВ называется хордой этой окружности. Хор-
да окружности, содержащая ее центр, называется диаметром этой
окружности. Точки окружности, являющиеся концами одного ее диамет-
ра, называются диаметрально противоположными.

На рис. 58 а) АЕ — диаметр окружности, а на рис. 58 б) PQ — диаметр
окружности. Так как по определению суммы отрезков PQ = РО + OQ (см.
рис. 58 б) диаметр окружности равен сумме ее двух радиусов (удвоенному
радиусу). Следовательно, если длина радиуса окружности равна R, то
длина ее диаметра равна 2R .

Утверждение 1. Пусть А — точка окружности, длина радиуса кото-
рой равна R , тогда наибольшее из всех расстояний от этой точки до
другой точки этой окружности — расстояние от точки А до диаме-
трально противоположной ей точки (то есть оно равно 2R).

Доказательство

См. рис. 58 а). Пусть В — точка окружности (О; Л), отличная от точки
А и от диаметрально противоположной ей точки Е . В силу У40 п. 2.3.0 о
существовании только двух точек прямой (АЕ) , расположенных на рас-
стоянии Я > 0 от точки О этой прямой (это и есть точки А и Е) точка
В не лежит на прямой (АЕ) , следовательно точки А , О и В — верши-
ны ДАОВ . В силу неравенства треугольника (см. теорему 8 вопроса 3)
р(А;В) = |АВ| < |АО| 4- |ОВ| = 2Я= |АВ| . Утверждение 1 доказано.

Определение 4. Две окружности называются равными, если их мож-
но совместить при наложении.

Утверждение 2. Две окружности равны тогда и только тогда, когда
равны их радиусы и при наложении одной из них на другую совмещаются
их центры.	Доказательство

Пусть две окружности (О; Я) и (О'; Я') могут быть совмещены нало-
жением, например, первой из них ((О; Л)) на вторую ((О'; Л')). Тогда точ-
ка М 6 (О; Л) совместится с некоторой точкой М' € (О'; Я') , а точка
N 6 (О; Я) — диаметрально противоположная точке М совместится с не-
которой точкой TV' G (О'; Л') . В силу А13 п. 2.3:0 MN = M'N' , откуда
|Af^| = \MfN'| = 2Д . Точка N' является диаметрально противоположной
точке М' на окружности (О'; Д') . Предположим противное, тогда диаме-
трально противоположной точке М' на окружности (О'; Д') будет некото-
рая точка К1 =£ N' , в силу У1 п. 2.3.1 |М'К'| > 2R . В силу того, что
окружности (О; Л) и (О'; Л') могут быть совмещены при наложении, с точ-
кой К' совместится некоторая точка К окружности (О; Я). Следовательно,
МК = М'К' => |Af К| = |М'К'| > 2Я , что противоречит доказанному в
п. 2.3.1 У1 о том, что \МК\ 2R . Таким образом, 2Л' = |АГ'ЛГ'| = \MN\ =
= 2R & R = R! , что означает \MО| = \М'О"|	МО = М'О" , \ON\ =

= \O"N'\ ON = O"N' => ЛГО" = МО = ON = 0"N' , поэтому О" —
точка, в которую переходит точка О при наложении окружности (О; R) на
окружность (О'; Я') является серединой отрезка M'Nf , то есть центром
окружности (О'; Л') . Следовательно, О" = О' .

Обратно, пусть у окружностей (О; Я) и (О'; Я') Я = Л' и при наложе-
нии, совмещаются центры О и О' . Тогда в силу равенства радиусов этих
окружностей всякая точка М окружности (О; Я) совместится с некоторой
точкой М' окружности (О'; Л') . Пусть N' — произвольная точка окруж-
ности (О'; Л') , она будет отвечать той точке N на окружности (О; Л) ,
в которую перешла бы точка N' при наложении отрезка O'N' на отрезок
ON в результате совмещения точки О' с точкой О (в силу А18 п. 2.3.0
OfNf = ON <=> ON = OfNf). Это и означает совпадение окружностей
(О; Л) и (О'; Л') при наложении. Утверждение 2 полностью доказано.

Пусть С и О две различные точки окружности (О; Я) . Эти две точки
(по АЗ п. 2.3.0) определяют единственную проходящую через них прямую.

Определение 5. Прямая, проходящая через две точки окружности на-
зывается секущей. При этом также говорят, что прямая и окружность
пересекаются в указанных точках или то, что эти точки являются
точками пересечения окружности и прямой. См. выше рис. 58 б), на
котором прямая пересекает окружность (О; Л) в точках С и D .

Определение 6. Прямая, лежащая с окружностью в одной плоскости
и имеющая с ней одну и только одну (единственную) общую точку,
называется касательной к окружности, а их общая точка — точкой

рис. 58 д)	рис. 58 е)

Докажем утверждения о взаимном расположении окружности и прямой,

лежащих в одной плоскости.

Утверждение 3. Существуют три и только три возможности взаим-
ного расположения окружности и прямой.

1)	Если расстояние от центра окружности до прямой меньше ее ра-
диуса, то прямая и окружность имеют две общие точки (см. рис. 58 в).

2)	Если расстояние от центра окружности до прямой равно ее ради-
усу, то прямая и окружность имеют одну точку (в этом случае говорят,
что прямая и окружность касаются, см. рис. 58 г).

3)	Если расстояние от центра окружности до прямой больше ее ра-
диуса, то прямая и окружность не имеют общих точек, в этом случае
говорят, что они не пересекаются и не касаются (см. рис. 58 д).

Доказательство

Пусть а — прямая, (О; R) — окружность, d = р(О\ а) — расстояние от
точки О до прямой а .

1)	В случае, когда О Е а расстояние d считают равным 0 (нулю). В
этом случае в силу У 40 п. 2.3.0 существуют только две точки А и В ,
лежащие на этой прямой, такие, что |ОА| = |ОВ| = R , причем точка О
лежит между точками А и В на прямой а , следовательно в этом случае
утверждение доказано.

Если теперь 0 <d < Я , то d — длина перпендикуляра, опущенного из
точки О на прямую а (см. рис. 58 в). Пусть М — основание этого перпен-
дикуляра, в силу У40 п. 2.3.0 на прямой а от точки М на каждом из двух
лучей с началом в точке О можно отложить по одной точке (стало быть,
на прямой таких точек будет две) А и В , для которых |ЛГА| =
= В| = y/R? — d^ > 0 . По теореме Пифагора для прямоугольных ДОАМ
и АОВМ имеем:

|ОА|2 = |ОВ|2 = (VR2 - d2)2 4- d2 = R2 - d2 4- d2 = R2 |OA| = \OB| = R
Существование двух точек пересечения прямой и окружности установлено.

Если предположить существование еще одной общей точки С

(С А , С В) у окружности и прямой, то в силу равенства |СА| =
= |ОС| = R получим, что ДО АС — равнобедренный. Середина его осно-
вания, точка N не может совпадать с точкой М — серединой отрезка АВ ,
в противном случае в силу У40 С = В , что противоречит предположению.
В силу свойств равнобедренного треугольника медиана ДОАС ON ± а.
Получили, что из точки О на прямую а проведено два перпендикуляра ОМ
и ON , что невозможно. Следовательно более двух общих точек прямая и
окружность не имеют.

Замечание. Отметим, что при рассмотрении этого случая нами попутно
установлено, что если АВ и CD — хорды одной окружности и
р(О-, (АВ)) =dt< (>)d2 = р(О; (СР)), то \АВ\ > (<)\CD\ и если
р(О; (АВ)) = di = dj = р(О; (СР)), то |АВ| = |СР| (см. рис. 58 е).

Это вытекает из соотношения (следующего из теоремы Пифагора) меж-
ду длиной основания, длиной проведенной к нему высоты (d), являющейся
медианой и длиной боковой стороны равнобедренного треугольника О АВ
(ОА = ОВ) : IЛВ| = 5/|ОЛ|2 - d2 .

2)	Пусть d = R (см. рис. 58 г). В этом случае основание перпендикуляра,
проведенного из точки О на прямую а (точка А), лежит на окружности
(так как |0Л| = R). Всякая точка М прямой а , отличная от точки А ,
будет основанием наклонной, проведенной из точки О к этой прямой. В
силу теоремы 1 вопроса 9 (длина перпендикуляра, проведенного из точки к
прямой меньше длины всякой наклонной, проведенной из этой точки к этой
прямой) получаем, что |ОМ| > |ОЛ| = R . Следовательно, точка М не
является точкой окружности (O^R) , получаем, что окружность и прямая
в этом случае имеют единственную общую точку.

3)	Пусть d > R (см. рис. 58 д). В этом случае основание перпендикуляра,
проведенного из точки О на прямую а (точка М), не лежит на окружности
(так как |ОЛ/| > Я). Всякая точка Л прямой а , отличная от точки М ,
будет основанием наклонной, проведенной из точки О к этой прямой. Ана-
логичным образом, что и в случае 2) \ОА| > \ОМ| > R . Следовательно,
точка Л не является точкой окружности (О; R) , получаем, что окружность
и прямая в этом случае не имеют общих точек.

Так как каждое из соотношений 0 d < R , d = Я , d > R исклю-
чает другое, то от противного легко доказываются обратные утверждения
каждого из случаев 1), 2), 3). Таким образом,

1)	прямая и окружность имеют две общие точки тогда и только
тогда, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше ее
радиуса ;

2)	прямая и окружность имеют единственную общую точку тогда и
только тогда, когда расстояние от центра окружности до прямой равно
ее радиусу ;

3)	прямая и окружность не имеют общих точек тогда и только тог-
да, когда расстояние от центра окружности до прямой больше ее ради-
уса.

Утверждение 3 полностью доказано.

Следствие. Прямая, содержащая диаметр или радиус окружности, пер-
пендикулярна хорде этой окружности, не проходящей через ее центр,
тогда и только тогда, когда она проходит через ее середину.

Это утверждение непосредственно вытекает из того, что ДОЛВ , (где
АВ — хорда окружности, О — ее центр) — равнобедренный (ОЛ = ОВ
как .радиусы одной окружности) и медиана (высота), проведенная на из
вершины О на сторону АВ является высотой (медианой).

Терерь отметим, что так же, как в случае угла и многоугольника, точки
окружности разбивают точки плоскости на две части. Одну из них условно
называют внутренней областью по отношению окружности, а другую —
внешней. Сформулируем следующие определения.

Определение 7. Пусть в плоскости а проведена окружность (О; R) ,
точка М Еа называется внутренней (внешнем) точкой по отноше-
нию к этой окружности, или говорят, что М £ а лежит внутри (вне)
этой окружности, если р(О\М) < R (р(О-,М) > К).

Множество всех внутренних (внешних) точек по отношению к окруж-
ности называют ее внутренней (внешней) областью. Множество всех
точек окружности считают границей круга.

Из этого определения вытекает, что центр окружности всегда явля-
ется внутренней точкой по отношению к ней.

Определение 8. Кругом с центром в точке О радиуса R > 0 назы-
вается фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на
расстоянии, не превосходящем R , от некоторой фиксированной точки
О этой плоскости (см. ниже на рис. 58 ж) заштрихованную область).

Аналогичным образом, как и для окружностей, вводится определение

равных кругов.

Определение 9. Два круга называются равными, если их можно сов-
местить при наложении.

Утверждение 4. Два круга равны тогда и только тогда, когда равны
их радиусы и при наложении одного из них на другой совмещаются их
центры.

Доказательство проводится по такой же схеме, что и утверждение 2 о
равенстве кругов. При этом доказывается совмещение граничных (точек
окружности) равных кругов и внутренних точек равных кругов.

Символически окружность и круг с центром в точке О радиуса R > О
можно представить соответственно и так (см. обозначение множества всех
точек, обладающих некоторым свойством на стр. 12):

окружность — М 6 а : р(О; М) = R (Оба),
круг — М Е а : р(О; М) R (Оба).

Из определений 7 и 8 непосредственно вытекает, что круг с центром в
точке О радиуса Я > 0 — есть объединение всех точек окружности с

рис. 58 ж)	рис. 58 з)	рис. 58 и)

Утверждение 5. Пусть (АВ) — секущая окружности с центром в точ-
ке О радиуса R , где А и В — точки окружности, тогда точка М этой
прямой является внутренней точкой отрезка АВ (то есть она лежит
между точками А и В) тогда и только тогда, когда р(О',М) < R ,
и точка Mf этой прямой является внешней точкой отрезка АВ (то
есть она не лежит между точками А и В) тогда и только тогда, когда
р(0; М') > R (см. рис. 58 з). доказательство

В силу утверждения 3 о взаимном расположении окружности и прямой
поскольку прямая (АВ) пересекает окружность в двух точках, то
О р(О; (АВ)) = r<R (р(О; (АВ)) = |О(7|, где (ОС) 1 (АВ), С € (АВ)).
В силу следствия из утверждения 3 при r > О С — середина отрезка
АВ , то есть |ЛС| = |СВ| . Если г = 0, то отрезок АВ проходит через
центр окружности, то есть является ее диаметром). Поскольку точка С —
середина отрезка АВ , то она лежит между точками А и В , поэтому точка
А не лежит между точками С и В и точка В не лежит между точками С
и А .

Пусть точка М лежит между точками Л и В на прямой (АВ) , тогда в
силу теоремы о том, что каждая точка на прямой разбивает ее на два луча с
вершинами в этой точке (см. У15 п. 2.3.0), мы получим, что точка М лежит
на том же луче с вершиной в точке А , что и точки С и В , и точка М лежит
на том же луче с вершиной в точке В , что и точки С и А . Поэтому точка
М или совпадает с тоской С , или она лежит между точками А и С, или она
лежит между точками С и В . Следовательно, согласно свойствам длины
отрезка |СМ| < |ЛВ|/2 = |ЛС| =• \СВ| => \ОМ| = у/IOC)2 + (СМ |2 <
< У1ОС12 + |ЛВр/4 = |ОЛ| = |ОВ| = R , то есть |ОМ| < R .

Пусть точка М лежит между точками Л и В на прямой (АВ), и
\ОМ| < R , тогда |СМ| =	2 l0CT < y/R2-\OC\2 = |СЛ| =

= |СВ| = | АВ |/2 , а потому согласно свойствам длины отрезка точка М
или лежит между точками С и Л (а стало быть, она лежит на луче В А с
началом в точке В) , или точка М лежит между точками С и В (а стало
быть, она лежит на луче АВ с началом в точке Л) , таким образом, в
обоих случаях точка М лежит между точками Л и В , то есть является
внутренней точкой отрезка АВ .

Поскольку в случае М 6 (АВ) \ОМ| = R М = Л или М = В , то точ-
ка М' этой прямой не лежит между точками Л и В) тогда и только тогда,
когда р(О', Мг) = \ОМ'| > R (в этом случае \CMf | = y/fOM'l2 — |ОС|2 >
> y/R2 — }ОС12 = |СЛ| = (СВ)). Утверждение 5 доказано.

Замечание 1. Доказанное утверждение 5 означает, что всякая точка.
прямой, содержащей хорду окружности, которая лежит на хорде (вне
хорды) лежит также внутри (вне) окружности.

Замечание 2. Из утверждения 5 непосредственно вытекают следующие
факты.
Если точка М Е АВ (то есть она является внутренней точкой хорды
АВ), то радиус окружности, проходящий через эту точку, пересечет хорду
АВ в точке М , стало быть, точка Mq — конец этого радиуса и центр
окружности О будут в разных полуплоскостях относительно прямой (АВ)
(см. рис. 58 з).

Если точка М* Е (АВ) и М' & (АВ) (то есть она является внешней
точкой хорды АВ), то |ОМ'| > Я и на луче ОМ' существует единственная
точка Mq такая, что |OMq| = R , то есть Mq — точка окружности, которая
лежит между точками О и М' поэтому точка М' не лежит между точками
О и Mq . Следовательно, радиус окружности, проходящий через точку Mq,
не пересекает прямую (АВ) , стало быть, точка Mq — конец этого радиуса
и центр окружности О будут в одной полуплоскости относительно прямой
(АВ) (см. рис. 58 з).

Таким образом, если прямая пересекает окружность и не проходит че-
рез ее центр, то точки пересечения этой прямой с окружностью разбивают
множество всех точек окружности на два множества. Любая точка одно-
го из этих множеств лежит в одной полуплоскости с центром окружности
относительно указанной прямой, а любая точка другого из этих множеств
лежит в другой полуплоскости относительно указанной прямой. Выше, на
рис. 58 з) точки Mq и Mq окружности (О; Я) лежат в разных полуплоскос-
тях относительно прямой (АВ) .

Если прямая проходит через центр окружности, то она будет пересекать
ее в диаметрально противоположных точках. При этом любая другая пара
диаметрально противоположных точек этой окружности будет определять
отрезок, пересекающий эту прямую в центре окружности. Следовательно,
указанные точки будут находиться в разных полуплоскостях относитель-
но указанной прямой (см. выше рис. 58 и). Поэтому и в этом случае, когда
прямая, пересекающая окружность, проходит через ее центр, точки пересе-
чения этой прямой с окружностью разбивают множество всех точек окруж-
ности на два множества. Любые две точки одного из этих множеств (при
условии, что отрезок, соединяющий их, не пересекает указанную прямую)
лежат в одной полуплоскости относительно указанной прямой. Любые две
точки одного из разных множеств (при условии, что отрезок, соединяющий
их, пересекает указанную прямую) лежат в одной разных полуплоскостях
относительно указанной прямой. См. выше рис. 58'и), на котором точки М
и N окружности (О; Я) расположены в одной полуплоскости относитель-
но прямой (АВ) , а точки Р и Q этой окружности расположены в разных
полуплоскостях относительно прямой (АВ) (точка Т = PQ А АВ).

Отметим, что аналогичные выводы с аналогичным обоснованием мож-
но сделать и относительно точек круга.
Если вернуться к рассмотрению случаев, когда окружность и прямая
или имеют единственную общую точку, или не имеют общих точек (см.
выше обоснования случаев 2) и 3) в утверждении 3), то становится яс-
ным, что все точки окружности и соответствующего круга лежат в одной
полуплоскости относительно указанной прямой (кроме единственной об-
щей точки окружности и прямой в случае существования такой точки, (см.
выше рис. 58 г), е).

Проведенные рассуждения позволяют нам ввести понятие такого важ-
ного элемента окружности, как ее дуга. Определим его следующим образом.

Определение 10. Пусть прямая (АВ) пересекает окружность в точках А
и В . Каждая из двух частей окружности, состоящая из всех ее точек,
лежащих в одной полуплоскости относительно прямой (АВ) , называет-
ся дугой этой окружности.

Из этого определения следует, что каждая из дуг с одними и теми же
концами не имеет общих точек, кроме точек А и В , поэтому каждую из
этих дуг естественно считать дополняющей другую дугу до окружности
или дополнительной по отношению к другой дуге и обе эти дуги — взаимно
дополнительными.

Точки А и В считаются концами каждой из этих дуг. Точка М
данной дуги окружности с концами А и В (М А , М В) считается
ее внутренней точкой, а точка N дополнительной по отношению к ней
дуги (также отличная от ее концов) считается ее внешней точкой.

Обозначается дуга с концами А и В АВ . Если мы хотим кокре-
тизировать, какая из^двух дуг АВ берется, то для них используются
обозначения типа АтВ , АпВ . Символы тип ставятся около не-
которой внутренней точки конкретной дуги. Выше, на рис. 58 а) точка М
является внутренней точкой дуги АтВ , и она является внешней точкой
дуги АпВ .

Замечание. Если А = В — совпадающие точки окружности (О; R) , то
дугу А А , не имеющую внутренних точек естественно считать нулевой
дугой. Множеством ее внешних точек является окружность без точки А .
Дугой А А , совпадающей со всей окружностью (полной дугой), счита-
ется дуга, не имеющая внешних точек. Множеством ее внуренних точек
является указанная окружность без точки А .

Определение 11. Две дуги одной окружности или равных окружностей
называются равными, если они могут быть совмещены наложением.

В этом определении предполагается, что в равных дугах одной окруж-
ности совмещаются соответствующие концы и внутренние точки. В рав-
ных дугах равных окружностей сначала совмещаются центры, а затем сов-
мещаются концы и внутренние точки.
Отметим, что две нулевые дуги одной окружности с центром О (или
равных окружностей с центрами О и О') равны. Две полные дуги одной
окружности с центром О или равных окружностей с центрами О и О' рав-

ны, так как концы этих дуг могут быть совмещены как лежащие на окруж-
ности концы равных радиусов одной окружности или равных окружностей.
Внутренние точки полных дуг одной или равных окружностей совмеща-
ются следующим образом: если точка А — начало и конец одной из рав-
ных дуг, а точка В — начало и конец другой из них, то совмещающиеся
точка М первой дуги с точкой N второй дуги — это такие точки, что
АЛОМ = ZJ3ON или Z.AOM = ZJBO'N .

рис. 59 а)	рис. 59 б)	рис. 59 в)

Определение 12. Пусть прямая (АВ) пересекает окружность в диаме-
трально противоположных точках. Тогда каждая из дуг АВ называ-
ется дугой, равной полуокружности (или) полуокружностью. Если
прямая (АВ), не проходящая через центр О окружности, пересекает ее в
точках А и В , то дуга АпВ (АтВ), внутренние точки которой лежат
в одной полуплоскости с центром О (в разных полуплоскостях с
центром О) называется дугой больше (меньше) полуокружности.

На рис. 59 а) изображены дуги АпВ и АтВ одной окружности
(О; R) , равные полуокружности.

Замечание 1. Отметим, что дуги одной окружности, равные полуокруж-
ности и являющиеся взаимно дополнительными равны (согласно 011).

Это сразу вытекает из того, что при наложении дуги АпВ на дугу

АтВ каждая из внутренних точек дуги АпВ наложится на диаме-
трально противоположную ей точку, находящуюся на дуге АтВ , и для
каждой из внутренних точек дуги АтВ существует (диаметрально ей
противоположная) точка дуги АпВ , которая при наложении АпВ на
АтВ с ней совместится. При этом наложении точка А (В) совместится
с диаметрально противоположной ей точкой В (А) .

Замечание 2. Отметим также, что две хорды одной окружности или
равных окружностей равны тогда и только тогда, когда равны соот-
ветствующие им дополнительные дуги.

Это утверждение следует в силу взаимно однозначного соответствия
между точками равных фигур и того, что при наложении точек одной дуги
окружности на точки равной ей дуги совмещаются (см. комментарий пос-
ле 011) центры окружностей или в одной окружности центр совмещается
сам с собой. В силу равенства радиусов одной окружности или равных
окружностей (см. выше У2) каждая точка дополнительной дуги окруж-
ности совместится (взаимно однозначным образом) только с точкой дуги,
дополнительной той дуге, которая равна исходной дуге.

На рис. 59 б) изображены дуги АпВ и АтВ окружности (О; R) ,
дуга АпВ больше полуокружности, дуга АтВ меньше полуокруж-
ности.

Согласно 010 и 012 если из двух взаимно дополнительных дуг одна
меньше полуокружности, то другая больше полуокружности.

Определение 13. Пусть задана дуга АтВ окружности (O\R) . Го-
ворят, что хорда АВ этой окружности стягивает дугу АтВ или
соответствует дуге АтВ .

Из этого определения следует, что дуги, равные полуокружности, стя-
гиваются ее диаметром.

Утверждение 6. Две дуги одной окружности (или равных окружнос-
тей) меньшие (большие) полуокружности, а также равные полуокруж-
ности равны тогда и только тогда, когда равны стягивающие их хорды.

Доказательство

См. рис. 59 в). Пусть дуги АпВ и CmD окружности (О; R) мень-
шие полуокружности равны. Так как согласно 011 при совмещении этих
дуг, в частности, совмещаются их концы, то в силу А13 п. 2.3.0 совмеща-
ются внутренние точки хорд АВ и CD , следовательно, они равны.

Обратно, пусть хорды АВ и CD окружности (О; R) равны. Прежде все-
го отметим, что так как точки С и D и точки А и В не являются диа-
метрально противоположными, то точки О , D , С и точки О , А , В
не лежат на одной прямой и поэтому тройка точек О , D ,. С — вер-
шины &ODC и тройка точек О , А , В — вершины ДОАВ . Пусть при
наложении, например, хорды CD на равную ей хорду АВ совмещаются
соответственно концы D и А , С и В и произвольная точка М хорды CD
наложится на некоторую точку N хорды АВ . Проводя радиусы окружнос-
ти через точки М и N , мы получим точки Mq и No на окружности. Так
как в силу У5 р(О;М) < R — р(0\Мо) и p(O\N) < Я = р(О\ No), точ-
ки Мо и No будут в разных полуплоскостях относительно соответственно
прямых (DC) и (АВ) с центром окружности О . В силу 012 и того, что
N $ (ОА) , N & (ОВ) , М & (OD) , М £ (ОС) , точка MQ будет внут-
ренней точкой именно дуги АпВ , а точка Nq будет внутренней точкой
именно дуги АтВ . При указанном наложении точка О — центр окруж-
ности совместилась сама с собой точка D совместилась с точкой А и точка
М совместилась с точкой N . Следовательно, совместятся отрезки ОМ и
ON, стало быть (см. рассуждения после определения 8 равных треуголь-
ников в вопросе 1, базирующиеся на основе У31А п. 2.3.0), совместятся
лучи ОМ и ON , а потому (в силу |ОМ0| = |ОМ)| = Я) — и точки Mq
п Nq . При этом для каждой внутренней точки Nq дуги АтВ будет
существовать внутренняя точка Mq дуги АпВ , которая на нее накла-
дывается, следующим образом. Пусть N' — точка пересечения хорды АВ
и радиуса ONq (см. 012) , тогда при наложении хорды DC на хорду АВ
на точку N' наложится некоторая внутренняя точка М' хорды DC . Далее,
рассуждая аналогично, мы получим, что конец радиуса, проходящий через
точку Af', и будет той самой точкой Mq . Итак, для равных хорд меньших
полуокружности утверждение 6 доказано.

Если дуги АпВ и CmD больше полуокружности, то справедли-
вость утверждения для этих хорд вытекает из замечания 2 к определению
12 и доказанного утверждения 6 для дуг, меньших полуокружности.

Если дуги АтВ и CnD — полуокружности, то, накладывая диа-
метр АВ на диаметр CD , при совмещении, например, концов А и С этих
диаметров, а стало быть, концов указанных дуг, в силу равенства диа-
метров АВ = CD совместятся точки В и D , а в силу равенства ради-
усов окружности (равных окружностей) центр окружности О совместит-
ся сам с собой (совместятся центры равных окружностей О и О'). Далее
выберем произвольную точку М на дуге АтВ , отличную от точки А и
точки В , которая уже не будет лежать на прямой (АВ) , следовательно,
точки А , Af , В , а также точки О , М , В и О , М , А могут быть
вершинами соответственно AAAfB , АОМВ , ДОМА . Точка М на-
ходится в одной из двух полуплоскостей относительно прямой (АВ) , в
которой находятся все точки дуги АтВ . Эта точка при указанном вы-
ше совмещении концов диаметров окружности (равных окружностей) АВ
и CD на основе аксиом наложения А14 и А15 п. 2.3.0 перейдет в неко-
торую точку N окружности (O\R) (или равной ей окружности (О'; Я))
(поскольку \ОМ| = |О2У"| = R (|OAf | = |O'1V| = Я)), причем в такую, что
ZAOAf = Z.CON (£АОМ = £CO'N). Последнее обстоятельство вызвано
тем, что AAOAf = &CON (&АОМ = ACO'N) (до двум сторонам и углу,
заключенному между ними), откуда АМ = CN . Следовательно, при сов-
мещении точек А и С совмещаются точки М nN. Если теперь взять произ-
вольную точку N' на дуге CpD (на которой лежит точка N), отличную
от точки С и точки D , которая будет находиться в одной полуплоскости
вместе с точкой N относительно прямой (СР) , то в нее перейдет такая
точка М' дуги — АтВ , что Z.AOM' = £CON' (ЛАОМ' = Z.CO'N') .
Таким образом, дуги АтВ и CpD совместились при наложении, сле-
довательно, они равны. Отметим, что поскольку существуют только две
дуги-полуокружности с концами в фиксированных точках С и D , то или
дуга CpD совпадает с дугой CnD , или дуга CpD совпадает с
дополнительной по отношению к дуге CnD , дугой Cn'D . Так как

АтВ CpD , CpD CnD или CpD Cn'D , то в силу
А19 п. 2.3.0 АтВ CnD . Утверждение 6 полностью доказано.

Введем определение сравнения, суммы и разности дуг одной окружнос-
ти (или равных окружностей).

рис. 59 г)	рис. 59 д)	рис. 59 е)

Пусть АтВ — дуга окружности (О; Я) , М — ее внутренняя точка.

Определение 14. Говорят, что при этом дуга АтВ больше дуги
Ат\М и также АтВ больше Afm2J3 , а дуга Ат^М меньше
дуги АтВ и также дуга Mm2 В меньше дуги АтВ .

Обозначение АтВ Ат^М , МтпгВ АтВ (см. рис. 59 г).

По определению также считают, что всякая, не являющаяся нулевой
/ненулевая/ дуга больше нулевой дуги, а всякая нулевая дуга меньше
любой ненулевой дуги.

Из определения 14 вытекает, что всякая дуга, отличная от полной дуги
меньше полной дуги, а полная дуга больше всякой отличной от нее дуги.

Замечание. На рис. 59 д) дуга АпС — дуга больше полуокружнос-
ти (согласно 012), так как любая ее точка лежит в одной полуплоскости
с центром О окружности относительно прямой (АС) . Если провести че-
рез точки А и О диаметр этой окружности, то, поскольку в силу У20 п.
2.3.0, все точки луча АО лежат в одной полуплоскости вместе с центром
окружности О относительно прямой (АС) , точка В , диаметрально про-
тивоположная точке А /лежит в этой же полуплоскости, а стало быть, она
лежит на дуге АпС , то есть является ее внутренней точкой. Следо-
вательно, равная полуокружности АпВ меньше дуги АпС в смысле
014. На рис. 59 д) дуга АтС — дуга меньше полуокружности (соглас-
но 012), так как любая ее точка и центр окружности О лежат в разных
полуплоскостях относительно прямой (АС). Точка С окружности (О; Я)
отлична от точки В (поскольку О £ (АС)), поэтому она находится в одной
из полуплоскостей относительно прямой (АВ) . В этой же полуплоскости
будет находиться и каждая точка М дуги АтВ , поскольку существует
точка Р пересечения отрезков ОМ и АС , а так как (согласно У20 п. 2.3.0)
всякая точка луча АС (а потому и отрезка АС) лежит в той же полуплос-
кости относительно прямой (АВ) , что и С , то и точка Р будет в ней же и
находиться. Следовательно, в силу У20 п. 2.3.0, в указанной полуплоскости
будет находиться и всякая точка луча ОР , в том числе и точка М . Итак,
точка С будет внутренней точкой именно дуги-полуокружности АтВ ,
поэтому дуга АтС меньше дуги-полуокружности в смысле 014.

Пусть АпВ — дуга окружности (О; R) , N — ее внутренняя точка.

Определение 15. Говорят, что при этом дуга АпВ есть сумма
дуг AniN и Nn2B , а дуга AniN есть разность дуг	АпВ и

Nn2B и также дуга Nn2B есть разность дуг АпВ и	AniN .

Обозначение АпВ AniN-}- Nn^B ; AniN АпВ —

- Nn2B ; Nn2B АпВ— AniN (см. рис. 59 г).

По определению также считают, что сумма и разность любой дуги с
нулевой дугой равна данной дуге, а разность любой дуги с ней же самой
равна нулевой дуге.

Из этого определения вытекает, что разность двух дуг определена тог-
да и только тогда, когда уменьшаемая дуга больше или равна вычитае-
мой дуги, а также, что сумма двух ненулевых дуг больше каждой из сла-
гаемых дуг.

Из определения 15 вытекает, что сумма двух взаимно дополнительных
дуг (в том числе нулевой и полной дуг) равна полной дуге.

Так же, как и для углов для дуг вводится числовая характеристика
— мера (например, градусная, радианная). Такая мера дуги определяется
мерой угла с вершиной в центре окружности и сторонами, проходящими
через концы дуги. Введем следующее определение.

Определение 16. Центральным углом называется угол с вершиной в
центре окружности и сторонами, проходящими через точки окружнос-
ти.

Из этого определения вытекает, что стороны центрального угла содер-
жат радиусы окружности. Поэтому еще говорят, что ” центральный угол
— угол, образованный радиусами одной окружности”.

Поскольку каждая из сторон центрального угла имеет единственную
общую точку с окружностью (на основании У40 п. 2.3.0), то в случе цен-
тральныго угла, не являющегося нулевым и полным, существуют две точки
окружности, лежащие одна на одной стороне угла, другая — на другой его
стороне. Таким образом, указанные точки разбивают точки окружности
на две дуги (см. выше 010). Можно сказать, что и всякой дуге окружнос-
ти соответствует некоторый центральный угол, который получается, если
через концы дуги и центр окружности провести лучи с общим началом в
центре этой окружности.

Введем следующее определение:

Определение 17. Дуга окружности, все внутренние точку которой
лежат во внутренней области центрального угла с вершиной в цент-
ре этой окружности, называется дугой, соответствующей (отвеча-
ющей) этому центральному углу. При этом указанный центральный
угол называется соответствующим (отвечающим) этой дуге окруж-
ности.

По определению также считают, что нулевому центральному углу
соответствует нулевая дуга и нулевой дуге Соответствует нуле-
вой центральный угол, а также полному центральному углу со-
ответствует полная дуга и полной дуге соответствует полный
центральный угол (в соответствии с определениями внутренней облас-
ти полного угла и полной дуги, что согласуется с определением 17 для
остальных типов центральных углов).

Замечание. Часто про центральный угол, соответствующий данной ду-
ге окружности говорят, что он „опирается на эту дугу”.

На рис. 59 е) изображены: центральный угол Z.AOB , отвечающая ему
дуга АрВ меньше полуокружности, этот угол — угол первого типа
(см. 015А п. 2.3.0) ; центральный угол £AOD , отвечающая ему дуга

AmD больше полуокружности, этот угол — угол третьего типа

(см. 015В п. 2.3.0) ; развернутый центральный угол Z.AOC , отвечающая
ему дуга АпС равна полуокружности?

Докажем следующие утверждения:

Утверждение 7.

А) Всякому центральному углу первого типа соответствует дуга,
меньше полуокружности. Всякой дуге, меньшей полуокружности соот-
ветствует центральный угол первого типа.

Б) Всякому развернутому центральному углу соответствует дуга,
равная полуокружности. Всякой дуге, равной полуокружности соответ-
ствует развернутый центральный угол.

В) Всякому центральному углу третьего типа соответствует дуга,
больше полуокружности. Всякой дуге, большей полуокружности соот-
ветствует центральный угол третьего типа.
Доказательство

А)	См. рис. 59 е). Пусть центральный ЛАОВ — угол первого типа.
Проведем диаметр АС , тогда луч ОВ, согласно У20 п. 2.3.0, окажется в
одной из полуплоскостей относительно прямой (АС) . В силу У40 п. 2.3.0
он пересечет окружность в единственной точке В , находящейся в этой
же полуплоскости. Эта точка — внутренняя точка дуги-полуокружности,
расположенной в указанной полуплоскости. Согласно 014 дуга АрВ
меньше указанной дуги-полуокружности. Проведем хорду АВ и выберем
произвольную внутреннюю точку Р на дуге АВ , отвечающей центрально-
му углу Л АО В . Согласно 017 эта точка будет находиться во внутренней
области ЛАОВ , а потому в силу У26 п. 2.3.0 луч ОМ пересечет хорду
АВ в некоторой ее внутренней точке Р' . В силу доказанного выше У5
п. 2.3.1 точка Р' — точка, лежащая внутри окружности, следовательно,
\ОМ'| < \ОМ| = R (R — радиус этой окружности), а потому отрезок ОМ
пересекает отрезок АВ в точке Р' . Это означает, что точка Р и центр
окружности О лежат в разных полуплоскостях относительно прямой (АВ).
Так как точка Р на дуге АрВ выбрана произвольно, мы получим, что в
соответствии с 012 дуга АрВ меньше полуокружности.

Обратно, пусть дуга АрВ меньше полуокружности в соответствии
с 012, Л АО В — центральный угол. В соответствии с замечанием после
определения 14 дуга АрВ меньше дуги-полуокружности АпС , по-
этому точка В находится в той же полуплоскости относительно прямой
(АС) , в которой находятся все внутренние точки дуги АпС . Следова-
тельно, в силу У20 п. 2.3.0 в этой же полуплоскости будет находиться и
луч О В , а. потому центральный угол Л АО В будет меньше развернутого
угла ЛАОС , во внутренней области которого находятся все внутренние
точки дуги-полуокружности АпС . Следовательно, центральный угол
ЛАОВ — угол первого типа. Если провести через произвольную внутрен-
нюю точку М дуги АрВ луч ОМ , то в силу 012 он пересечет хорду
АВ в некоторой ее внутренней точке М' , а потому этот луч (согласно У26
п. 2.3.0) будет проходить во внутренней области ЛАОВ . Следовательно,
в указанной внутренней области угла ЛАОВ будет находиться точка М,
а в силу ее произвольности все внутренние точки дуги АрВ будут в
этой области. Согласно 017 это и означает, что центральный угол ЛАОВ
соответствует дуге АрВ . В случае А) утверждение 7 доказано.

Б) См. рис. 59 е). Пусть центральный ЛАОС — развернутый, где А и
С — точки окружности (О; R) , поскольку точки А и С лежат на разных
лучах с началом в точке О , то АС — диаметр окружности. Следователь-
но, множество всех точек окружности, находящихся в одной полуплоскости
относительно прямой АС (внутренней области центрального угла ZAOC),
и будет представлять собой (согласно 012) дугу-полуокружность, соответ-
ствующую этому центральному углу.

Обратно, пусть АпС — дуга-полуокружность, тогда хорда АС —
диаметр окружности (О; Я) , следовательно, стороны центрального угла
£АОС представляют собой взаимно дополнительные лучи. Поэтому £АОС
— развернутый угол, в качестве внутренней области которого берется
полуплоскость, содержащая все внутренние точки дуги-полуокружности

АпС . Теперь и в случае Б) утверждение 7 доказано.

В)	См. рис. 59 е). Пусть центральный Z.AOD — угол третьего типа.
Проведем диаметр АС , тогда луч ОС, согласно У20 п. 2.3.0 и определе-
нию внутренней области такого угла, окажется во внутренней области это-
го угла. Z.DOA — угол первого типа, дополняющий до полного угла угол
Z.AOD третьего типа. По доказанному в А) углу Z.DOA соответствует ду-
га DnA , меньшая полуокружности. Тогда, согласно выводам из 010
и 012, дополнительная ей дуга AmD будет больше полуокружности,
причем множества внутренних точек этих дуг не имеют общих точек. По-
следнее означает, что всякая внутренняя точка М дуги AmD не будет
лежать во внутренней области угла ZDOA (первого типа), следовательно,
поскольку эта точка еще и отлична от точек А и D — концов дуги (они ле-
жат на сторонах ZAOD), она будет находиться во внешней области угла
первого типа Z.DOA и потому (см. 015 А) — Г) п. 2.3.0) ойа принедле-
жит внутренней области угла третьего типа Z.AOD . Полуденный вывод
означает, что, в соответствии с 017, дуга AmD больше полуокружности
(причем в соответствии с 012) соответствует центральному углу Z.AOD
третьего типа.

Обратно, пусть дуга AmD больше полуокружности в соответствии
с 012, Z.AOD — соответствующий ей центральный угол. Тогда дуга

AnD, дополнительная по отношению к дуге AmD , меньше полу-
окружности. По доказанному в А) ей соответствует центральный угол
Z.DOA первого типа. Так как множества внутренних точек дуг AmD
и AnD не имеют общих точек, то в силу 017 дуге AnD может со-
ответствовать центральный угол Z.DOA , дополняющий до полного угла
центральный угол Z.AOD , и только он. Поскольку этот угол — первого
типа, то Z.AOD — угол третьего типа. Таким образом, доказан случай В)
утверждения 7, а вместе с ним полностью — оно само.

Пусть имеются два центральных угла одной окружности или равных
окружностей, а также пусть имеются две дуги одной окружности или рав-
ных окружностей.
Утверждение 8.

А)	Равным центральным углам соответствуют равные дуги. Равным
дугам соответствуют равные центральные углы.

Б) Большему центральному углу соответствует большая дуга. Боль-
шей дуге соответствует больший центральный угол.

В)	Меньшему центральному углу соответствует меньшая дуга. Мень-
шей дуге соответствует меньший центральный угол.

Г) Сумме (разности) центральных углов соответствует сумма (раз-
ность) дуг. Сумме (разности) дуг соответствует сумма (разность) цен-
тральных углов,
т

рис. 59 ж)

рис. 59 з)
Доказательства

Сначала проведем его для случая дуг одной окружности.

А) Если центральные углы — развернутые, то отвечающие им дуги —
полуокружности или одной окружности, или равных окружностей. В силу
Уб эти дуги равны. Если равные центральные углиР— ненулевые и меньше
развернутых углов (то есть — углы первого типа), например, ААОВ =
= ACOD , то (см. рис. 59 ж) &АОВ = ДСОР (по двум сторонам и заклю-
ченному между ними углу), так как |ОА| = |ОС| = R и |ОВ| =
= \OD\ = R . Следовательно, АВ — CD и в силу Уб АпВ CmD .
Если центральные углы — нулевые (такие углы равны), то и соответству-
ющие им дуги также нулевые и потому равны. Если центральные углы —
полные (такие углы равны), то и соответствующие им дуги также полные
и потому равны.

Обратно, если равные дуги — полуокружности, то соответствующие им
центральные углы — развернутые, следовательно, они равны. Если равные
дуги — нулевые то соответствующие им центральные углы — нулевые,
следовательно, они равны. Если равные дуги — полные то соответству-
ющие им центральные углы — полные, следовательно, они равны. Если
равные дуги — ненулевые и меньше полуокружности, то в силу Уб равны
стягивающие из хорды. См. выше рис. 59 в). Пусть D — конец одной из
этих дуг, тогда по доказанному в замечании после 014 другой конец этой
дуги, точка С будет находиться в одной из полуплоскостей относительно
прямой (OD) , стало быть — во внутренней области развернутого угла
Z.DODf , точка Df — диаметрально противоположная точке D . Следо-
вательно, в этой же полуплоскости будет находиться луч ОС , а потому
Z.DOC — угол первого типа. Аналогично устанавливается, что ЛАОВ —
угол первого типа. Следовательно, ЛАОВ = ДСОР (по трем сторонам),
так как АВ = CD по условию и |ОА| = |ОС| = Я и |ОВ| = |ОР| = R .
Следовательно, ЛАОВ = ЛСОО . Б) доказано.

Справедливость утверждений 8 А) для центральных углов третьего
типа и соответствующих им дуг, больших полуокружности следует из то-
го, что два угла третьего типа равны тогда и только тогда, когда равны
дополняющие их до полных углов — углы первого типа, которые по до-
казанному для них У8 А) и Б) равны тогда и только тогда, когда равны
соответствующие им дуги — меньшие (в силу У7) полуокружности. Они
в свою очередь (в силу У2) равны тогда и только тогда, когда равны до-
полнительные им дуги, большие полуокружности, которые (в силу У7) и
соответствуют указанным углам третьего типа. Утверждение 8 для случая
А) доказано.

Б) См. рис. 59 з). Пусть из двух центральных углов ЛАОС и ЛАОВ
ЛАОС > ЛАОВ , АтС и АтВ — дуги, отвечающие соответственно
ЛАОС и ЛАОВ . Тогда согласно 022 п. 2.3.0 луч ОВ проходит во внут-
ренней области ЛАОС , а потому он пересечет дугу АтС , соответству-
ющую центральному углу ЛАОС , в некоторой ее внутренней точке В ,
следовательно, согласно сформулированному выше 014 АтС АтВ.

Обратно, пусть из двух дуг АтС и АтВ АтС АтВ ,
ЛАтС и ЛАтВ — центральные углы, отвечающие соответственно дугам
АОС и	АО В . Тогда согласно сформулированному выше 014 точка

В является внутренней точкой дуги АтС . Поэтому согласно 017 п.
2.3.0 точка В будет находиться во внутренней области соответствующего
дуге АтС центрального угла ЛАОС . В силу У20 и У25 п. 2.3.0 луч
ОВ будет находиться во внутренней области центрального угла ЛАОС .
Согласно 022 п. 2.3.0 это означает, что ЛАОС > ЛАОВ .

В) Доказательство для этого случая проводится на основе доказанного в
случае Б) вследствие того, что в соответствии с определением соотношений
> и < для углов и дуг имеем:

ЛАОВ < ЛАОС ЛАОС > ЛАОВ — АтС >— АтВ <£>
АтВ АтС .

Г) См. рис. 59 и). Пусть ЛАОВ и ЛВОС — два центральных угла,
ЛАОС — их сумма, * АтВ , ВпС и АрС — дуги, отвечающие
соответственно ЛАОВ , ЛВОС и ЛАОС . Тогда, согласно определению
суммы углов (см. 023 п. 2.3.0), луч О В проходит во внутренней области
ЛАОС = ЛАОВ + ЛВОС , а потому он пересечет дугу АрС , соответ-
ствующую центральному углу ЛАОС , в некоторой ее внутренней точке
В , следовательно, согласно сформулированному выше 015 АтВ 4-
4- ВпС АрС .

Обратно, пусть АтВ и ВпС — две дуги, АрС АтВ 4-
4- v-z ВпС , ЛАОВ , ЛВОС и ЛАОС — центральные углы, отвечаю-
щие соответственно дугам АтВ , ВпС til АрС . Тогда, согласно
сформулированному выше 014 точка В является внутренней точкой дуги

АрС. Поэтому согласно 017 п. 2.3.0 точка В будет находиться во внут-
ренней области соответствующего дуге АрС центрального угла ЛАОС.
В силу У20 и У25 п. 2.3.0 луч ОВ будет находиться во внутренней об-
ласти центрального угла ЛАОС . Согласно 023 п. 2.3.0 это означает, что
ЛАОС = ЛАОВ + ЛВОС .

Так как, согласно определению разности углов и дуг, например, ЛАОВ =
— ЛАОС — ЛВОС , АтВ —АрС— ВпС , из доказанных соответ-
ствий для сумм центральных углов и отвечающих им дуг непосредственно
получаются соответствующие соответствия и для разностей центральных
углов и отвечающих им дуг/

Если среди сравниваемых, слагаемых, вычитаемых илй разностей (со-
ответственно в случаях Б) и В) есть нулевые углы и соответствующие им
дуги, то утверждения этих случаев вытекают из соответствующих опре-
делений сравнений, суммы и разности и случая А).

Итак, для случая дуг одной окружности утверждение 8 доказано.

Замечание. На основе доказанного в утверждении 8, случай А) и А15 п.
2.3.0 можно утверждать, что для любой точки А на окружности (О; R) в
данной полуплоскости относительно прямой (ОА) существует единст-
венная точка В на этой окружности, такая, что дуга АтВ равна
заданной ненулевой дуге MpN радиуса R, меньшей полуокружности.

Для этого согласно указанной А15 надо от луча О А в указанную полу-
плоскость относительно прямой (ОЛ) отложить центральный угол, равный
центральному углу, соответствующему дуге MpN . Сторона этого постро-
енного угла пересечет окружность (О; R) в указанной точке В .

Указанное утверждение легко распространяется и на случай дуги
MpN , большей полуокружности, если оговорить, в какой из полуплос-
костей относительно прямой О А должна быть точка В * Для этого надо

* Предполагается, что эта сумма не превосходит полный угол.
применить это утверждение для дополнительной по отношению к ней дуге
(которая меньше полуокружности) так, как это только что сказано.

Теперь утверждения 8 А), Б), В) уже легко могут быть перенесены и на
случай дуг окружностей равных радиусов. Для этого необходимо предвари-
тельно на одной из этих окружностей построить дуги, равные соответству-
ющим дугам на другой окружности так, чтобы можно было сравнивать,
складывать или вычитать полученные дуги в соответствии с введенными
определениями этих операций для дуг одной окружности.

Теперь утверждение 8 можно считать полностью доказанным.

Отметим, что в силу доказанных утверждений 8 А), Б), В) можно для
дуг одной окружности или равных окружностей ввести: сравнение произ-
вольных дуг сумму любого конечного количества совершенно произволь-
ных дуг, сводя это к соответствующим оперциям над отвечающим им цен-
тральным углам точно так же, как это делалось в п. 2.3.0. См. там со-
ответствующие: 023А и следующие за ним рассуждения, 021Б, О23Б и
следующие за ними рассуждения. Для дуг справедливы: аналоги У27, 28,
29 (для точек дуг) и следствий из них, аналоги У31А, 32, 35, 36 (для точек
дуг и их внутренних областей), замечаний к ним и следствий из них.

Теперь, наконец, введем такое важное понятие, как мера дуги окружнос-
ти. Выше, в п. 2.3.0 перед материалом об аксиоме параллельности прямых
говорилось о градусной и радианной мерах угла, в частности, о единице
измерения углов в градусной мере. Введем определение.

Определение 18. Градусной мерой (величиной) дуги окружности
мы будем называть градусную меру соответствующего ей центрального
угла.

В силу доказанного выше У8 для этой меры справедливы все ее свой-
ства, фигурирующие в определении меры угла и вытекающие из него
(см. 028 п. 2.3.0 и следствие из него).

Следует отметить, что из 018 непосредственно вытекает независимость
меры дуги окружности от ее радиуса.

Замечание. Мы ввели таким образом меру дуги окружности по той при-
чине, что мера угла нами введена была раньше. Таким же образом, мера
дуги окружности через меру соответствующего ей центрального угла
вводится в учебниках [5], [6], [7] и в книге [10]. Однако в учебнике [8] обрат-
ная картина: сначала вводится дуговой градус (1/360 часть полной дуги
окружности), затем угловым градусом называют меру соответствующе-
го такой дуге центрального угла. Следует отметить, что радианная мера
центрального угла вводится через длину дуги окружности, соответству-
ющей этому углу, и ее радиус. Однако длина дуги окружности зависит от
ее радиуса и градусной меры соответствующего ей центрального угла
(см. [10], j 17). О радианной мере угла пойдет речь ниже, в п. 2.3.2.

Рассмотрим еще и понятия таких частей круга, как круговой сектор
и круговой сегмент.

Пусть задана окружность (О; R) и ее дуга АтВ , А АО В — соответ-
ствующий ей центральный угол.

рис. 60 а)	рис. 60 б)	рис. 60 в)	рис. 60 г)

Определение 19- Круговым сектором, соответствующим централь-
ному углу Z.AOB или дуге АтВ , называется часть круга с центром
в точке О радиуса R, состоящая из всех точек, лежащих во внутренней
области угла Z.AOB .

Определение 20» Круговым сегментом, соответствующим дуге

АтВ , называется часть круга с центром в точке О радиуса R, со-
стоящая из всех точек, лежащих в той же полуплоскости относительно
прямой АВ , что и внутренние точки дуги АтВ .

Замечание. Определения 19 и 20 означают, что введенные таким обра-
зом фигуры не включают в себя соответственно радиусы О А , ОВ круга и
дугу АтВ и — хорду АВ и дугу АтВ , которые естественно назвать
границей, а все их внутренние точки и концы — граничными точками
этих фигур. Однако в принципе и эти точки можно относить к круговому
сектору или сегменту, изменив соответствующим образом их определения.

На рис. 60 а) изображен круговой сектор, соответствующий центрально-
му углу первого типа или дуге, меньшей полуокружности, его естественно
считать круговым сектором, содержащимся в полукруге или меньше полу-
круга.

На рис. 60 б) изображен круговой сегмент, соответствующий дуге, мень-
шей полуокружности, его естественно считать круговым сегментом, содер-
жащимся в полукруге или меньше полукруга.

На рис. 60 в) изображен круговой сектор, соответствующий центрально-
му углу третьего типа или дуге, большей полуокружности, его естественно
считать круговым сектором, содержащим полукруг или больше полукруга.

На рис. 60 г) изображен круговой сегмент, соответствующий дуге, боль-
шей полуокружности, его естественно считать круговым сегментом, содер-
жащим полукруг или больше полукруга.

Отметим, что круговые сектор и сегмент, соответствующие полуокруж-
ности, естественно считать равными полукругу. Если они отвечают од-
ной и той же полуокружности, точек плоскости они совпадают (см. рис.
60 д).

Круговые сектор и сегмент, соответствующие полной дуге окружности,
естественно считать равными соответствующему кругу (см. рис. 60 е).

Круговые сектор и сегмент, соответствующие нулевой дуге окружнос-
ти, естественно считать вырождающимися соответственно в отрезок —
радиус круга и в точку — нулевую дугу (см. рис. 60 ж).

рис. 60 д)	рис. 60 е)	рис. 60 ж)

Завершая раздел об окружности, круге, их элементах и свойствах, оста-
новимся еще на вопросе о равенстве двух круговых секторов и равенстве
двух круговых сегментов.

Если определить равными два круговых сектора и равными два круго-
вых сегмента как совпадающие при наложении одного сектора на другой
и соответственно как совпадающие при наложении одного сегмента на
другой, то по аналогии с 011 равенства двух дуг окружности предпола-
гается, что в равных секторах однго круга совмещаются соответственно
граничные радиусы и граничные дуги, в равных сегментах однго круга
совмещаются соответственно граничные радиусы и граничные хорды. В
равных кругах помимо только что указанных совмещений совмещаются
еще и центры кругов.

Утверждение 9. Два круговых сектора или два круговых сегмента рав-
ны тогда и только тогда, когда равны ограничивающие их дуги или равны
соответствующие им центральные углы при условии равенства радиусов
соответствующих окружностей.

Доказательство

Для обоснования этого утверждения следует воспользоваться У8 А) и
Уб, на основании которых происходит совмещение граничных точек секто-
ров или сегментов. Совмещение внутренних точек этих фигур происходит в
силу следствия из У31А п. 2.3.0 о совмещении внутренних областей равных
углов: первого типа (откуда вытекает соответствующее утверждение для
равных углов третьего типа), развернутых углов и совмещения внутрен-
них точек кругов (см. выше У4) и внутренних точек равных треугольников
с вершинами в центре окружности и на концах равных дуг.
Вопрос 16. Теоремы о вписанных углах. Теорема об угле, образо-
ванном касательной и хордой. Свойство четырехугольника, вписанного в
окружность

Вводная часть

См. выше в материале после вопроса 15 определение окружности, ее
центра и радиуса (01 и 02 п. 2.3.1). Там же см. 010 дуги окружности
и связянных с ней понятий и выводов (до 011), из которых следует, что
две различные точки окружности разбивают окружность на две дуги, не
имеющие общих точек, кроме указанных двух точек — концов дуг.

Если, например, это точки А и В , то дуга окружности обозначается
так:	АВ , а конкретнее — АпВ или АтВ , где символы пит

ставятся около соответствующей части окружности.

Определение 1. Угол с вершиной в центре окружности, стороны кото-
рого содержат точки этой окружности, * называется ее централь-
ным углом.

Замечание. Если центральный угол развернутый, то эти точки разбива-
ют эту окружность на две дуги, каждая из которых равна полуокружности.
Если центральный угол меньше (больше) развернутого, то соответствую-
щая ему дуга окружности, лежащая между ограничивающими ее точками,
(по определению) меньше (больше) полуокружности (см. выше 012 п. 2.3.1
в материале после вопроса 15).

Выше, в 018 п. 2.3.1 (материала после вопроса 15) и после него гово-
рилось о градусной и радианной мерах дуги окружности. Напомним, что
градусная мера дуги окружности, соответствующей центральному углу
(эта дуга расположена в его внутренней области), по определению равна
градусной мере этого угла.

Единица измерения углов в градусной мере — угол, равный 1/90 части
прямого угла.

Определение 2. Радианной мерой центрального угла и соответству-
ющей ей дуги окружности называется отношение длины этой дуги к ра-
диусу окружности.

Единица измерения углов в радианной мере — это такой центральный
угол, соответствующая дуга которого имеет длину равную радиусу этой
окружности.

Из формулы для длины дуги окружности радиуса R , соответствующей
7ГЯ	I 7Г

центральному углу в n°, I = — • п => — = — • п .

loU	л	loU

* Требование, чтобы стороны угла содержали бы точки окружности вызвано тем,
чтобы стороны этого угла лежали в плоскости, содержащей окружность (см. Аб п. 2.3.0).
Мера дуги АВ или АпВ соответственно обозначается так: АВ
или АпВ .

Основная часть

Определение 3. Угол, вершина которого лежит на окружности, а
стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окруж-
ность.

На рис. 61 а) /ВАС — вписанный в окружность (О; R).

Из этого определения и УЗ п. 2.3.1 (см. выше материал после вопроса
15) вытекает, что у ненулевого вписанного угла существуют только три
общие точки с окружностью. Одна из них — его вершина, две другие —
вторые точки пересечения каждой из его сторон с окружностью. Таким
образом, эти три различные точки окружности разбивают ее на три дуги.

Определение 4. Дуга окружности с концами, отличными от верши-
ны вписанного угла и не содержащая эту вершину, называется дугой,
соответствующей вписанному углу.

Замечание. Про эту дугу еще говорят, что ”на нее опирается вписанный
угол”.

На рис. 61 а) ВтС — дуга, соответствующая вписанному углу
/ВАС .

Определение 5. Центральный угол, отвечающий той из дуг окружнос-
ти, которая соответствует вписанному углу, называется централь-
ным углом, соответствующим этому вписанному углу.

На рис. 61 а) центральный угол /ВОС , соответствующий вписанному
углу /ВАС .

Замечание. Важно отметить, что поскольку дуга окружности, отвеча-
ющая центральному углу с вершиной в центре этой окружности (согласно
введенному выше 017 материала перед вопросом 16), расположена во внут-
ренней области этого угла, и согласно определению 4 этого вопроса эта
дуга не содержит вершину вписанного (опирающегося на нее угла), эта
вершина (будучи отличной от концов дуги) лежит во внешней области
указанного центрального угла.
Следующие две теоремы следует отнести к дополнительной части этого
вопроса, то есть знание их доказательств не является обязательным на
экзаменах.

Теорема 1. Всякий угол, вписанный в окружность, является неразвер-
нутым углом первого типа (см. О15А п. 2.3.0).

Доказательство.

См. рис. 61 а). Пусть А — вершина вписанного угла. Проведем радиус
О А и через точку А (в плоскости окружности) проведем прямую а ± (ОА).
В силу доказанного выше УЗ (в материале после вопроса 15) поскольку в
этом случае р(О;а) = R , прямая а имеет с окружностью единственную
общую точку А . После доказательства У5 указанного в скобках материала
было получено, что все точки окружности (кроме точки А) лежат в одной
полуплоскости относительно прямой а. Следовательно, в силу У20 п. 2.3.0
лучи АВ ш АС — стороны вписанного угла ZBAC будут в той же самой
полуплоскости. В силу У27 и У29 п. 2.3.0 один и только один из лучей
АВ или АС будет проходить, например, между лучом AD Е а и другим
из них. Пусть это будет луч АВ , тогда поскольку согласно 022 п. 2.3.0
ZZ)AC < /DAD' — развернутого и ZCAB < /DAC в силу следствия 1
из У36 п. 2.3.0 ZCAB < /DAD' — развернутого. Поскольку ZCAB —
ненулевой угол, то он — угол первого типа. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Всякая внутренняя точка дуги ВтС , соответствующей
вписанному углу /.ВАС лежит во внутренней области этого угла. Об-
ратно, всякая точка внутренней области вписанного угла /ВАС , ле-
жащая на окружности (в которую вписан /ВАС) является внутренней
точкой дуги ВтС этой окружности, соответствующей этому углу.

Доказательство

См. рис. 61 а). Пусть М — произвольная внутренняя точка дуги

ВтС . Так как точка А — вершина центрального угла не является
внутренней точкой дуги ВтС , то согласно 010 п. 2.3.1 (см. материал
после вопроса 15) точка М лежит в разных с точкой А полуплоскостях от-
носительно прямой (ВС) . Следовательно, отрезок АМ пересечет прямую
(ВС) в некоторой точке N . В силу У5 п. 2.3.1 p(O\N) < R (так как N —
внутренняя точка отрезка АМ — хорды окружности (О; Я)) , а потому N
— внутренняя точка отрезка ВС — хорды окружности (О; Я) . В силу У26
п. 2.3.0 так как луч АМ пересекает отрезок ВС в его внутренней точке N
и согласно теореме 1 /ВАС — угол первого типа, луч АМ , а стало быть,
и точка М проходит во внутренней области вписанного угла /ВАС.

Обратно, пусть М — произвольная точка окружности, в которую впи-
сан угол /ВАС , лежащая в его внутренней области. Предположим, что
эта точка не является внутренней точкой дуги ВтС , соответствую-
щей углу /ВАС . Поскольку точка М не лежит ни на какой из сторон
угла /ВАС , она будет отлична от точек В и С , следовательно, она будет
внутренней точкой дополнительной дуги ВпС . Последнее означает, что
точка М лежит в одной полуплоскости с точкой А относительно прямой
(ВС) . Стало быть, отрезок АМ не пересекает прямую (ВС) . В то же
время луч АМ , проходя во внутренней области угла /ВАС , пересечет
(в силу У26 п. 2.3.0) хорду ВС (а потому и прямую (ВС)) в некоторой ее
внутренней точке N . Следовательно, точка N не лежит между точками
А и М. С другой стороны, так как точка N — внутренняя точка хорды
ВС, то в силу доказанного выше У5 п. 2.3.1 (см. материал после вопроса
15) она будет лежать внутри окружности (О; R) , а потому в силу того
же У5 точка N будет внутренней точкой хорды АМ , то есть она будет
лежать между точками А и М. Пришли к противоречию со следствием
из У5 п. 2.3.0 (о существовании одной и только одной из трех точек прямой,
лежащих между двумя другими). Таким образом, точка М — внутренняя
точка дуги ВтС . Теорема 2 полностью доказана.

Замечание. Доказанная теорема 2 означает, что все внутренние точки
дуги окружности, на которую опирается вписанный в окружность угол,
и только они лежат в его внутренней области.

рис. 616)	рис. 61 в)	рис. 61 г)

Теорема 3. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответ-
ствующего ему центрального угла.

Доказательство

Рассмотрим три случая:

а)	одна из сторон вписанного угла — диаметр;

б)	центр окружности лежит во внутренней области угла;

в)	центр окружности лежит во внешней области угла.

А)	См. рис. 61 б). Пусть /АВС — вписанный, /АОС — соответствую-
щий ему центральный, АтС — соответствующая этим углам дуга, ВС
— диаметр окружности. Тогда точка А , отличная от точек В и С будет
внутренней точкой одной из полуокружностей ВтС . Рассмотрим ЛАОВ,
он равнобедренный, так как О В = О А как радиусы одной окружности.
В силу свойств равнобедренного треугольника (см. теорему 1 вопроса 3)
ЛАВО = ZOAB , ЛАОС — внешний угол ДАОВ (поскольку он смежный
с ЛАОВ). В силу теоремы 2 вопроса 5 ЛАОС = ЛАВО 4- ЛВАО =
= 2ЛАВО , откуда ЛАВС = ЛАОС/2 . Для случая 1) теорема 3 доказана.

Б) См. рис. 61 в). Проведем диаметр BD . Тогда (в силу У20 п. 2.3.0)
луч BD , а стало быть, и точка D будут во внутренней области вписанного
угла Л АВС . Дуга AnD — соответствующая вписанному углу ЛАВО ,
дуга CpD — соответствующая вписанному углу ЛСВВ , дуга АтС
— соответствующая вписанному углу ЛАВС . По доказанному в теореме
2 точка D — внутренняя точка дуги ВтС , соответствующей впи-
санному углу ЛАВС . Согласно определениям суммы дуг и суммы углов
ВтС BnP+ DpC и ЛАВС = ЛАВО 4- ЛОВС , а также в силу
У8 Г) п. 2.3.1 (см. материал после вопроса 15) ЛАОС = ЛАОО 4- ЛОО А.
По доказанному в случае 1) ЛАВО = ЛАОО/2 , ЛСВО = ЛСОО/2 . В
силу свойств арифметических операций над углами (см. замечание после
У46 п. 2.3.0) ЛАВС = ЛАВО 4- ЛОВС = ЛАОО/2 + ЛООС/2 = ЛАОС/2.
Для случая 2) теорема 3 доказана.

В)	См. рис. 61 г). Проведем диаметр BD . Тогда (в силу У27 и У29 п.
2.3.0) или луч В пройдет между лучами BD и В А , или луч ВА пройдет
между лучамй BD и ВС . Для определенности пусть луч В пройдет между
лучами BD , следовательно, луч В (а потому и точка С) будет во внутрен-
ней области вписанного угла ЛОВА . Дуга AnD соответствует вписан-
ному углу ЛАВО , дуга CpD соответствует вписанному углу ЛСВО,
дуга АпС соответствует вписанному углу ЛАВС . По доказанному в
теореме 2 точка С — внутренняя точка дуги AnD , соответствующей
вписанному углу ЛАВС . Согласно определениям разности дуг и разности
углов АпС AnD— CpD и ЛАВС = ЛАВО—ЛСВО , а также в си-
лу У8 Г) п. 2.3.1 (см. материал после вопроса 15) ЛАОС = ЛАОО—ЛСОО.
По доказанному в случае 1) ЛАВО = ЛАОО/2 , ЛСВО = ЛСОО/2 . В
силу свойств арифметических операций над углами (см. замечание после
У46 п. 2.3.0) ЛАВС = ЛАВО - ЛСВО = ЛАОО/2 - ЛСОО/2 = ЛАОС/2.
Для случая 3) теорема 3 также доказана. Следовательно, она доказана пол-
ностью.

Замечание 1. Утверждение этой теоремы легко распространяется на
случай, когда вписанный угол — нулевой. Тогда соответствующая ему
дуга и центральный угол — нулевые.

Замечание 2. По такой же схеме (используя теорему 2) можно доказать,
что сумма произвольного конечного количества вписанных в одну окруж-
ность углов, причем как имеющих общую вершину, так и не имеющих ее
(в последнем случае надо заменить очередной слагаемый вписанный угол
на равный ему вписанный угол, имеющий фиксированную вершину) равна
полусумме соответствующих им центральных углов. Аналогичное утверж-
дение можно доказать и для разности вписанных в одну окружность углов.

Замечание 3, Согласно этой теореме мера вписанного угла равна мере
соответствующего ему центрального угла, деленной на 2, что равно полови-
не меры дуги окружности между точками, в которых стороны вписанного
угла пересекают окружность. Поэтому часто эта теорема формулируется
так: угол, вписанный в окружность, измеряется половиной дуги, на кото-
рую он опирается. Согласно замечанию 2 аналогичное утверждение будет
иметь место и для суммы произвольного конечного количества вписанных
в одну окружность углов, и для разности таких углов.

Следствие 1. Из теоремы 2 и на основе У8 п. 2.3.1 (см. материал после
вопроса 15) вытекает, что:

а)	равным вписанным углам соответствуют равные центральные уг-
лы и дуги, на которые они опираются, и наоборот, вписанные углы, опи-
рающиеся на одну дугу или равные дуги одной окружности или равных
окружностей равны, в частности, вписанный угол — прямой тогда и
только тогда, когда он опирается на полуокружность или (как часто
говорят) опирается на диаметр ;

б)	большему (меньшему) вписанному углу соответствует больший
(меньший) центральный угол, а, стало быть, большая (меньшая) дуга, на
которые они опираются, и наоборот, из двух вписанных в одну окруж-
ность или равные окружности углов больше (меньше) тот из них, кото-
рый опирается на большую (меньшую) дугу, в частности, вписанный в
окружность угол — острый (тупой) тогда и только тогда, когда дуга,
на которую он опирается меньше (больше) полуокружности.

Определение 6. Прямая, лежащая с окружностью в одной плоскости
и имеющая с ней одну и только одну (единственную) общую точку,
называется касательной к окружности, а их общая точка — точкой
касания.

Ниже, в вопросе будет доказано, что прямая, лежащая с окружнос-
тью в одной плоскости, будет касательной к этой окружности тогда
и только тогда, когда она перпендикулярна к радиусу окружности, про-
веденному в точку касания.

Определение 7. Угол с вершиной в точке касания, одна из сторон ко-
торого является частью касательной к окружности, а вторая содер-
жит хорду окружности (является секущей), называется углом между
касательной и секущей (или углом, образованным касательной и
хордой/
Теорема 4. Угол, образованный касательной и хордой, равен половине
центрального угла, соответствующего стягиваемой этой хордой дуге
(измеряется половиной дуги, заключенной внутри него), см. рис. 61 д), е),

рис. 61 д)	рис. 61 е)	рис. 61 ж)

Доказательство

Пусть прямая (AD) — касательная к окружности с центром О, А —
точка касания. Рассмотрим следующие случаи.

1)	АВ — хорда, являющаяся диаметром (см. рис. 61 д). Тогда, соглас-
но теореме о касательной АВ ± (АБ) , а потому ЛБАВ — прямой, а
центральный угол ЛАОВ — развернутый. Так как прямой угол равен по-
ловине развернутого угла, то для этого случая теорема доказана.

2)	ЛБАВ — острый, АС — диаметр (см. рис. 61 е), следовательно,
AC ± (АБ) . Согласно определению острого угла (как меньшего прямого),
луч АВ проходит во внутренней области прямого угла ЛБАС . Следова-
тельно, согласно определению разности углов ЛБАВ = ЛБАС — ЛВАС.
Поскольку по условию АВ — хорда окружности, то ЛСАВ — вписанный
в указанную окружность угол. Точка В — внутренняя точка той полу-
окружности АтС , все внутренние точки которой лежат во внутренней
области прямого угла ЛБАС . Пусть точка А не является внутренней точ-
кой дуги СпВ , тогда на эту дугу опирается вписанный угол ЛСАВ и
ЛСОВ — соответствующий ему центральный угол. Так как лучи О А и
ОВ — взаимно дополнительные, то углы ЛСОВ и ЛАОВ — смежные, а
потому ЛАОВ = ЛАОС—ЛВОС (ЛАОС — развернутый). В силу теоремы
3 ЛВАС = ЛВОС/2 , а в силу полученного в случае 1) ЛБАС = ЛАОС/2,
следовательно ЛБАВ — ЛБАС — ЛВАС = ЛАОС/2 — ЛВОС/2 =

= (ЛАОС - ЛВОС)/2 = ЛАОВ/2 .

Для случая 2 теорема доказана.

Замечание. В силу доказанной выше теоремы 2 все внутренние точки
дуги АпВ ш только они находятся во внутренней области вписанного
угла ЛВАС . Дуги АпВ и АтВ не имеют общих внутренних то-
чек, так как они находятся (согласно 017 п. 2.3.1) в не пересекающихся
внутренних областях соответствующих им смежных центральных углов
АСОВ и ABO А . Следовательно, все внутренние точки дуги АтВ и
только они, находясь во внутренней области прямого угла ADAB и не на-
ходясь во внутренней области вписанного угла ААВ и на луче АВ , будут
находиться во внутренней области ADAB (о чем говорилось в скобках при
формулировке этой теоремы).

3)	ADAB — тупой, АС — диаметр (см. рис. 61 ж), следовательно,
AC ± (AD) , Согласно определению тупого угла (как большего прямо-
го), луч АС проходит во внутренней области тупого угла ADAB . АЕАВ
— смежный с углом A DAB является острым. По доказанному в случае 2)
АЕАВ = А АО В/2 , где А АО В — тот центральный угол, который соот-
ветствует дуге АпВ . Этот центральный угол равен разности полного
центрального угла А АО А и центрального угла А АО В , соответствующего

АтВ . Поскольку ADAB = ADAE — АЕАВ (ADAE — развернутый и
потому равный половине полного угла), то мы и получаем справедливость
утверждения теоремы 4 и для этого случая.

Замечание. Так как дуги АтВ и АпВ являются взаимно допол-
нительными, то они не имеют общих внутренних точек. Все внутренние
точки дуги АпВ и только они (согласно предыдущему замечанию) нахо-
дятся во внутренней области угла АЕАВ . Поскольку внутренние области
смежных углов АЕАВ и ADAB, обе находясь в одной полуплоскости отно-
сительно прямой (DE) (в которой находятся все точки окружности, кроме
точки А) не имеют общих точек, Следовательно, все внутренние точки
дуги АтВ и только они, находясь во внутренней области развернутого
угла ADAB и не находясь во внутренней области угла АЕАВ и на луче
АВ будут находиться во внутренней области ADAB (о чем говорилось в
скобках при формулировке этой теоремы).

Теперь теорему 4 можно считать полностью доказанной.

Определение 8. Если все вершины четырехугольника лежат на окруж-
ности, то он называется вписанным в окружность, а окружность на-
зывается описанной около этого четырехугольника.

Мы будем рассматривать только выпуклые вписанные четырехуголь-

ники.
Теорема 5. В любом описанном в окружность выпуклом четырехуголь-
нике сумма градусных (радианных) мер противолежащих углов равна 180°
(числу тг).	Доказательство

См. рис. 62 а). Рассмотрим пару противолежащих углов вписанного в
окружность (О; R) четырехугольника ABCD : ЛАВС и Z.ADC . Каждый
из них является вписанным в эту окружность, Z.ABC опирается на дугу

ADC , a Z.ADC опирается на дугу АВС . Указанные дуги не име-
ют общих точек (об этом подробнее в дополнительной части вопроса) и
их сумма равна полной дуге окружности, стало быть, полусумма этих дуг
равна полуокружности, которой измеряется развернутый угол. Согласно
замечаниям 2 и 3 к доказанной теореме 3 следует, что Z.ABC + Z.ADC
равна развернутому углу. Утверждение относительно суммы градусных
(радианных) мер этих углов вытекает из определения меры угла (см. 028
п. 2.3.0) и того, что градусная (радианная) мера развернутого угла равна
180° (тг). Доказательство для случая суммы другой пары противолежащих
углов четырехугольника ABCD проводится аналогично. Можно также, ис-
пользуя доказанное для углов Z.ABC и Z.ADC, применить теорему о ра-
венстве полному (удвоенному развернутому) углу суммы всех внутренних
углов четырехугольника ABCD . Теорема 5 доказана.

Дополнительная часть

Имеет место и теорема, обратная теореме 5. Однако для ее доказатель-
ства нам потребуется теорема, обратная теореме 3.

Теорема 6 (обратная теореме 3). Пусть стороны угла проходят через
концы дуги окружности АпВ, вершина его лежит в полуплоскости
относительно прямой (АВ) , в которой расположена дополнительная
дуга АтВ Тогда если этот угол равен половине центрального уг-
ла, отвечающего дуге АпВ , то его вершина лежит на дуге АтВ.

Другими словами, если угол измеряется половиной дуги окружности
АпВ и его вершина расположена в полуплоскости, содержащей допол-
нительную ей дугу АтВ , то он является вписанным в окружность,
опирающимся на дугу АпВ .

Доказательство

Доказательство будет использовать теоремы следующих вопросов, до-
казательство которых можно провести до обоснования утверждения этой
теоремы.

Пусть О — центр окружности, R — ее радиус, С — вершина указан-
ного в условии теоремы угла. Предположим, что она не лежит на дуге

АтВ . Тогда пусть она лежит внутри окружности, см. рис. 62 б). Про-
ведем прямые через точки Л и С и через точки В и С , поскольку точка С
(по условию) не лежит на прямой (АВ) , она является точкой пересечения
прямых (ВС) и (ЛС) и р(0; (ВС)) |0С| < R , р(0; (ЛС))	|0С| < R. В

силу У5 п. 2.3.1 (см. материал после вопроса 15) прямая ЛС кроме точки А
пересечет окружность (О; R) еще в одной точке В' , прямая ВС кроме точ-
ки В пересечет окружность (О; R) еще в одной точке Л' . В силу У5 п. 2.3.1
С — внутренняя точка обеих хорд АВ' и ВЛ' (стало быть она является их
точкой пересечения, откуда следует, что точки В' и Л' различные). В силу
У20 п. 2.3.0 точки В' и Л' будут в той же полуплоскости относительно пря-
мой (ЛВ) , что и точка С , а потому они будут внутренними точками дуги
АтВ , дополнительной дуге АпВ . Соединим отрезком, например,
точки Л и Л' . По доказанному в теореме 3 ZAA'B = ЛАОВ/2 . По-
скольку точка С является внутренней точкой хорды ВЛ' , лучи СВ и СЛ'
являются взаимно дополнительными, поэтому ЛВСА — смежный с углом
ZACA' ДАСА' является внешним углом ДАСА'. В силу теоремы 4 вопро-
са 2 ЛВС А > ZBA'A , что противоречит равенству ЛВСА = ЛАОВ/2.
Поэтому этот случай не возможен. Отметим, что доказательство можно
было проводить, соединяя отрезком точки В и В' .

Рассмотрим случаи, когда точка С лежит вне окружности. Соединим
ее отрезками с точками Л и В . Возможны следующие варианты. Один
из отрезков С А или СВ и дуга АтВ будут иметь общую внутреннюю
точку (см. рис. 62 в), г), д), для определенности пусть это будет отрезок
С А (для отрезка СВ все рассматривается аналогично).

рис. 62 в)	рис. 62 г)	рис. 62 д)

Соединим отрезком точки В и Л' , где Л' — общая внутренняя точка
отрезка С А и дуги АтВ . Аналогично случаю, когда точка С была внут-
ри окружности, ЛВА'А — вписанный в окружность угол, опирающийся на
дугу АпВ , который является внешним углом ДВА'С , не смежным
с углом ЛВСА , следовательно, в силу теоремы 4 вопроса 2 и теоремы 3
этого вопроса ЛВСА < ЛВА'А = ЛАОВ/2 , что противоречит равенству
ЛВСА = ЛАОВ/2. Поэтому эти случи невозможны.

Никакой из отрезков С А или СВ и дуга	АтВ не имеют общих внут-

ренних точек (см. рис. 62 е), ж), з).
рис. 62 е)	рис. 62 ж)	рис. 62 з)

Будем использовать меры углов и дуг.

В силу теоремы 2 вопроса 17 (см. рис. 62 е)

А^СВ = (А'пВ' - АтВ)/2 < (АпВ - АтВ)/2 <АпВ /2 , что противоре-
чит равенству АС В =АпВ /2 ;

в силу теоремы 3 вопроса 17 (см. рис. 62 ж)

АСВ = (АпВ1 - АтВ)/2 < (АпВ - АтВ)/2 <АпВ /2 , что противоречит
равенству АСВ =АпВ /2 ;

в силу теоремы 4 вопроса 17 (см. рис. 62 з)

АСВ = (АпВ — АтВ)/2 <АпВ /2 , что также противоречит равенству
АСВ =АпВ /2 .

Следовательно, и эти случи невозможны. А потому точка С может ле-
жать только на дуге окружности АтВ . Теорема 6 доказана.

Теорема 7 (обратная теореме 5). Если суммы пар противолежащих
внутренних углов выпуклого четырехугольника равны, то около него мож-
но описать единственную окружность.

Доказательство

Прежде всего отметим, что в силу теоремы о равенстве полному (удво-
енному развернутому) углу суммы всех внутренних углов четырехуголь-
ника ABCD из условий теоремы вытекает, что сумма каждой пары про-
тивоположных внутренних углов четырехугольника ABCD будет равна
развернутому углу (сумма их градусных и радианных мер соответственно
равны 180° и тг) .

В силу теоремы об окружности, описанной около треугольника, (см.
ниже вопрос 19) существует единственная окружность, проходящая, на-
пример, через вершины А , В , D четырехугольника ABCD . Требуется
доказать, что она пройдет и через четвертую вершину С этого четырех-
угольника. Пусть О — центр этой окружности, R — радиус.
См. выше рис. 62 а). Так как диагонали выпуклого четырехугольника
пересекаются как отрезки, (см. теорему 1 вопроса 7), то точки С и А на-
ходятся в разных полуплоскостях относительно прямой (BD) . Поскольку
ABAD — вписанный в окружность, опирающийся на дугу АтВ , то в
-————

силу теоремы 3 этого вопроса BAD =BnD /2 . По условию BCD =

= 180° - BAD = (360°— BnD)/2 —BnD)/2 , дуга АпВ — дополнитель-
ная по отношению к дуге АтВ , следовательно, в силу теоремы 6 точка
С является внутренней точкой дуги АтВ , то есть построенная окруж-
ность пройдет и через точку С . Итак, существование описанной окружнос-
ти около четырехугольника ABCD доказано. Предполагая, существование
еще одной окружности, проходящей через вершины А , В , С и D , мы
придем к противоречию с единственностью окружности, описанной около,
например, △ЛВС . Теорема 7 доказана.

Следствие. Из рассмотренных выше четырехугольников окружность
можно описать около: квадрата, прямоугольника (см. вопрос 7), и рав-
нобедренной трапеции (в силу теоремы 2 вопроса 12 у равнобедренной
трапеции сумма противолежащих углов равна развернутому углу).

Доказанные теоремы 5 и 7 позволяют утверждать о том, что около вы-
пуклолого четырехугольника можно описать окружность тогда и толь-
ко тогда, когда суммы его противолежащих внутренних углов равны.

Поскольку наличие описанной около четырехугольника окружности озна-
чает наличие равноудаленной от всех его вершин точки (центра окруднос-
ти), то согласно теоремам 4 и 6 около четырехугольника можно описать
окружность тогда и только тогда, когда существует общая точка у
всех серединных перпендикуляров к его сторонам.

Если все эти серединные перпендикуляры различные, то они пересека-
ются в одной точке (см. рис. 62 а). Однако некоторые из них могут лежать
на одной, прямой, например, в случае прямоугольника и равнобедренной
трапеции.

Отметим некоторые особенности четырехугольника ABCD , вписанно-
го в окружность (О; Я) , изображенного выше, на рис. 62 а).

Каждая из его сторон является хордой описанной около него окружнос-
ти. Порядок вершин этого четырехугольника А , В , С , D такой, что:
точки С и D являются внутренними точками дуги, дополнительной дуге

AniB ; точки D и А являются внутренними точками дуги, дополни-
тельной дуге Вп2С ; точки Ли В являются внутренними точками дуги,
дополнительной дуге Cn$D ; точки В и С являются внутренними точ-
ками дуги, дополнительной дуге Dn±A . Его внутренние углы: АА , АВ,
АС и AD являются вписанными в эту окружность. Стало быть, в силу
теоремы 1 онй являются углами первого типа, а потому четырехугольник
ABCD является выпуклым.

Обратно, пусть вписанный четырехугольник ABCD является выпук-
лым, все его стороны (как стороны любого вписанного в окружность четы-
рехугольника) будут хордами этой окружности. Проводя прямую, содержа-
щую какую-либо из его сторон (например ЛВ), мы получим, что вершины
четырехугольника С и D будут в одной полуплоскости относительно пря-
мой (ЛВ) . Следовательно, на одной из дуг Ап^В (не лежащей в этой
полуплоскости) не будет находиться ни одной из этих вершин. Аналогично
обосновывается сущестрование такого же рода дуг ВпгС , Cn$D и

Cn^D . Отметим, что так как все внутренние точки дуги, например,
v-x ЛпхВ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой (ЛВ) со
всеми внутренними точками и вершинами С и D , и аналогичная ситуация
имеет место и относительно любой другой из этих дуг, то каждая точка
окружности, отличная от вершин вписанного четырехугольника, являет-
ся внутренней точкой одной и только одной из дуг Ап^В , BnjC ,

Cn^D , Рп4Л . Сумма всех этих дуг равна полной дуге окружности.
Следовательно, аналогичная ситуация имеет место и для пары взаимно до-
полнительных дуг АВС и ADC , и пары взаимно дополнительных
дуг DAB и DC В .

Далее поскольку точки С и D лежат в одной полуплоскости со всеми
внутренними точками четырехугольника ABCD , то все внутренние точки
дуги Ап\В не лежат в этой полуплоскости. Следовательно, эти точки,
а потому и все точки соответствующего кругового сегмента Ап\В лежат
во внешней области этого четырехугольника. Аналогичный вывод можно
сделать относительно внутренних точек дуг ВпгС , Cn$D ,	C714D

и соответствующих круговых сегментов ВпгС , Cn^D , Рп4Л .

Если выбрать произвольную точку М во внутренней области четырех-
угольника ABCD , то как отмечалось в вопросе 6, это означает, что она
будет находиться во внутренней области любого из его внутренних уг-
лов. При этом , она может быть внутренней точкой одной из его диагона-
лей (поскольку в силу теоремы 1 вопроса 7 все внутренние точки диаго-
нали выпуклого четырехугольника находятся в его внутренней области),
например, диагонали АС , являющейся хордой окружности, тогда она бу-
дет находиться (в силу У5 п. 2.3.1) внутри окружности. Если точка М не
лежит на диагонали АС , она будет находиться в одной из полуплоскостей
относительно прямой (ЛС) , для определенности пусть она будет в той же
полуплоскости, что и точка В . Это означает (см. определение 2 вопроса
1 и там же замечание после определения 6), что она будет во внутренней об-
ласти ДЛВС . Если провести луч ВМ , то в силу У26 п. 2.3.0 он пересечет
диагональ АС в некоторой ее внутренней точке К . Так как отрезок ВМ rife
пересекает прямую (ЛС) , точка М лежит между точками В и К. Точка К
— внутренняя точка хорды АС , в силу У5 п. 2.3.1 она будет внутри окруж-
ности. Вследствие этого (как уже неоднократно ранее отмечалось) прямая
(ВМ) пересечет окружность еще в одной точке Е (кроме точки В), при-
чем в силу У5 п. 2.3.1 точка К будет внутренней точкой хорды BE. Итак,
точка М лежит между точками В и К , точка К лежит между точками В
и Е , поэтому в силу У8 п. 2.3.0 точка М лежит между точками В и 2?,
следовательно, М — внутренняя точка хорды BE , а потому в силу У5 п.
2.3.1 она будет внутри окружности. Аналогично рассматривается случай
принадлежности точки М внутренней области ДЛРС . Таким образом,
всякая внутренняя точка четырехугольника, вписанного в окружность,
является внутренней точкой этой окружности.

Замечание. Ниже, в п. 2.3.2 будет рассмотрен вопрос о вписанном в
окружность выпуклом многоугольнике с произвольным количеством сто-
рон п (п 5) .

Вопрос 17. Теоремы об угле между двумя пересекающимися хордами
и об угле между двумя секущими, выходящими из одной точки

Вводная часть

См. выше, в материале после вопроса 15 определение окружности, ее
центра и радиуса, хорды, секущей (01, 02, 04, 05 п. 2.3.1). Там же см.
010 дуги окружности, связянных с ней понятий и выводов (до 011), обозна-
чения для дуг, см. также 018 и определение 2 вопроса 16 соответственно
градусной и радианной меры дуги окружности и как обозначается мера
дуги.

Основная часть

рис. 63 а)	рис. 63 б)	рис. 63 в)	рис. 63 г)

Пусть АВ и CD — две хорды в окружности, пересекающиеся в точке Е.
При пересечении сторон углов Z.AEC и Z.BED окружностью образуются
соответственно ее дуги АС и BD (см. рис. 63 а).

Теорема 1. Мера каждого из углов Z.AEC и Z.BED равна полусумме
мер дуг АпС и BmD , то есть

ЛЕС = BED = | (АпС + BmD) .
Другими словами, каждый из углов ЛАЕС и ЛВЕЕ измеряется
полусуммой дуг АпС и BmD .

Доказательство

См. рис. 63 в). Так как Е — точка пересечения отрезков АВ и СР,
она является внутренней точкой каждого из них. Поэтому лучи ЕА и ЕВ
— взаимно дополнительные, и также лучи ЕС и ED — взаимно допол-
нительные, поэтому углы ЛАЕС и Z.BED — вертикальные (поэтому рав-
ные). Соединим отрезком точки D и А , а также соединим отрезком точ-
ки Л и С . ЛАЕС — смежный с углом ЛОЕ А , а потому он являет-
ся внешним углом треугольника &AED . В силу теоремы 1 вопроса 6
ЛАЕС = ЛАОС 4- ЛОАВ . Так как угол ЛАОС — вписанный в окруж-
ность, опирающийся на дугу АпС , ЛОАВ — также вписанный в окруж-

ность, опирающийся на дугу BmD , то в силу теоремы 3 вопроса 16:

ADC =

АпС

2

•^7*; BmD
DAB = ——

, а в силу замечания 3 к этой теореме

АЕС = BED = - (АпС 4- BmD) . Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Доказательство этой теоремы можно было провести, на-

пример, соединяя отрезками точки В и С , а также А и С , при этом
ЛАОС = ЛАВС (как опирающиеся на одну дугу АпС) , а ЛОАВ =
= ЛОСВ (как опирающиеся на одну дугу BmD , см. рис. 63 в).

Пусть из точки Е , лежащей вне окружности, проведены к ней две се-
кущие. Одна из них пересекает окружность в точках А и В , другая пере-
секает ее в точках С и D (см. рис. 63 б).

Теорема 2. Мера угла между секущими, выходящими из точки Е , рав-
на полуразности мер дуг окружности, заключенных между ними, то есть
AEC = BED=^BmD - АпС^ .

Другими словами, каждый угол между секущими, выходящими из од-
ной точки, лежащей вне окружности, измеряется полуразностью дуг
этой окружности, заключенных между ними.

Доказательство

См. рис. 63 г). Точка Е лежит вне окружности, поэтому, согласно У5
п. 2.3.1, она не может быть внутренней точкой ни одной из хорд АВ
и CD . Пусть А и В — точки пересечения секущей (ЕВ) , проведенной
из точки Е с окружностью, причем для определенности точка А лежит
между точками Е и В , а также пусть и D — точки пересечения секущей
(ED) , проведенной из точки Е с окружностью, причем для определенности
точка С лежит между точками Е и D . Соединим отрезком точки В и С.
Поскольку лучи CD и СЕ взаимно дополнительные, ЛВСО — внешний
угол АВСЕ , следовательно (см. выше теорему 1 вопроса б), ZBCD =
= ZEBC + ZBED , а потому ZBED = ZBCD — ZEBC . Так как угол
ZABC — вписанный в окружность, опирающийся на дугу АпС , ZBCD
— также вписанный в окружность, опирающийся на дугу BmD , то в

силу теоремы 3 вопроса 16:

АВС =

АпС
2

, DAB =±

BmD

, а в силу замечания 3 к этой теореме

2

ЛЕС = BED = - \BrnD — АпС) . Теорема 2 доказана.

Замечание 1. Так как ZBCD > ZABC (поскольку внешний угол тре-
угольника больше любого его внутреннего угла, не смежного ним) , то в

силу следствия 1 б) теоремы 3 вопроса 16 BmD АпС .

Замечание 2. Доказательство этой теоремы можно было провести, со-
единяй отрезками точки А и D , при этом ZADC = ZABC (как опира-
ющиеся на одну дугу АпС) , a ZABC = ZADC (как опирающиеся на
одну дугу BmD , см. рис. 63 г).

Дополнительная часть

Замечание 2. (к теореме 1, см. рис. 63 в). В силу того, что Е — внут-
ренняя точка отрезков АВ и CD , точка А не лежит между точками Е
и В, точка не лежит между точками Е и D , поэтому точки В и D ле-
жат в одной полуплоскости относительно прямой (ЛС) . Следовательно,
эти точки являются внутренними точками дуги АтС (дополнительной
по отношению к дуге АпС), а потому (см. рассуждения после доказа-
тельства У8 п. 2.3.1), все внутренние точки дуги BmD (стало быть, вся
эта дуга) лежит внутри дуги АтС . Аналогично в силу того, что Е —
внутренняя точка отрезков АВ и CD , точка В не лежит между точками Е
и Л, точка D не лежит между точками Е и С , поэтому точки Л и С лежат
в одной полуплоскости относительно прямой (BD) . Следовательно, эти
точки являются внутренними точками дуги BnD (дополнительной по
отношению к дуге BmD), а потому все внутренние точки дуги АпС
(стало быть, вся эта дуга) лежит внутри дуги BnD . Таким образом,
дуги АпС и BmD не имеют как общих концов, так и внутренних

точек.

Замечание 3. (к теореме 2, см* рис. 63 г). В силу того, что точка Л ле-
жит между точками Е и В и точка лежит между точками Е и D , точка
В не лежит между точками В и Л и точка D не лежит между точками Е
и С , поэтому точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно
прямой (ЛС) (в которой не лежит точка Е), поэтому эти точки являются
внутренними точками дуги АтС (дополнительной по отношению к дуге

АпС), следовательно, все внутренние точки дуги BmD (стало быть,
вся эта дуга) лежит внутри дуги АтС . Аналогичным образом точки А
и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой (BD) (в которой
лежит точка Е), поэтому Эти точки являются внутренними точками дуги

BnD (дополнительной по отношению к дуге BmD), следовательно,
все внутренние точки дуги АпС (стало быть, вся эта дуга) лежит внут-
ри дуги BnD . Таким образом, дуги АпС и BmD не имеют общих
как концов, так и внутренних точек.

Рассмотрим некоторые обобщения теоремы 2.

Пусть из точки Е , лежащей вне окружности, проведены к ней каса-
тельная ЕМ (М — точка касания) и секущая, пересекающая окружность
в точках С и D (см. рис. 63 д).

Теорема 3. Мера угла между касательной и секущей, выходящими из
точки Е , равна полуразности мер дуг окружности, заключенных между
ними, то есть	_____ 1 / —	— \

МЕС = МED = - (MmD - МпС) .

Другими словами, каждый угол между касательной и секущей, выхо-
дящими из одной точки, лежащей вне окружности, измеряется полураз-
ностью дуг этой окружности, заключенных между ними.

Доказательство

См рис. 63 д). Точка Е лежит вне окружности, поэтому согласно У5
п. 2.3.1 она не может быть внутренней точкой хорды CD . Пусть С и D
— точки пересечения секущей (ED) , проведенной из точки Е с окружнос-
тью, причем для определенности точка С лежит между точками Е и D,
а также М — точка касания прямой (ЕМ) с окружностью (единственная
их общая точка). Соединим отрезком точки М и С . Поскольку лучи CD
я СЕ взаимно дополнительные, Z.MCD — внешний угол АМ СЕ , следо-
вательно (см. выше теорему 1 вопроса 6), Z.MCD = ЛМЕС 4- Z.CME , а
потому Z.MED = £MCD — Z.CME . Так как угол Z.MCD — вписанный в
окружность, опирающийся на дугу MmD , Z.MCE — угол, образован-
ный касательной и хордой, стягивающий дугу МпС , то в силу теорем
3 и 4 вопроса 16:
гГТгтч MmD хТГтч МпС

MCD = —-— , СМЕ = —-— , поэтому
a	z

МЕС = MED = - (MmD — МпС') . Теорема 3 доказана.

Имеют место аналоги замечаний 1 (оно таким же образом доказывается)
и 3 к теореме 2: MmD МпС , дуги MmD и МпС не имеют
общих концов (кроме точки М), и общих внутренних точек.

Пусть из точки Е , лежащей вне окружности, проведены к ней каса-
тельные ЕМ и EN (М и N — точки касания) (см. рис. 63 е).

Теорема 4. Мера угла между касательными, выходящими из точки Е,
равна полуразности мер дуг окружности, заключенных между ними, то

есть

МEN = | (мmN - MnN) .

Другими словами, каждый угол между касательными, выходящими из
одной точки, лежащей вне окружности, измеряется полуразностью дуг
этой окружности, заключенных между ними.

Доказательство

См. рйс. 63 е). Точка Е лежит вне окружности, MuN — точки касания
прямых (ЕМ) и (EN) с окружностью (больше касательных, проведенных
к окружности из точки N нет, об этом см. ниже, вопрос 21). Соединим
отрезком точки М и N . Поскольку лучи NQ и NE взаимно дополнитель-
ные, Z.MNQ — внешний угол &MNE , следовательно (см. выше теорему
1 вопроса 6), £MNQ = Z.MEN 4- Z.NME , а потому Z.MEN =
= Z.MNQ - Z.NME . Z.NME и Z.MNE — углы, образованные соответ-
ственно касательными (ЕМ) и (EN) и хордой MN , стягивающий дугу

МпС , Z.NMP и Z.MNQ — углы, образованные соответственно каса-
тельными (ЕМ) и (EN)_il хордой MN , стягивающий дугу МтС , в

_________________________. —-  MtuN  — — l&nN
силу теоремы 4 п. 2.3.1 MNQ = —-— , NME = —-— , поэтому
Z	л»

MEN = - (MmN - MnM^j . Теорема 4 доказана.

Имеют место аналоги замечаний 1 (оно таким же образом доказывается)
и 3 к теореме 2: MmN MnN , дуги MmN и MnN имеют
общие концы (точки М и N), и не имеют общих внутренних точек.

рис. 63 з)

рис. 63 ж)
Теорема 5. Пусть из точки Е , лежащей вне окружности, проведена

к ней касательная ЕМ (М — точка касания), секущая (CD) , пересе-

кающая окружность в точках С и D , причем (CD) || (ЕМ) , тогда

DmM МпС .

Доказательство

См. рис. 63 ж). Соединим отрезком точки М и С , при этом точки Е
и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой (MD) . Сле-
довательно, если точка Е лежит в одной полуплоскости с точками дуги
окружности МпС , то точка D будет лежать в полуплоскости, содержа-
щей точки дуги МтС , дополнительной по отношению к дуге МпС ,
а потому точка D — внутренняя точка дуги МпС . AMCD — вписан-
ный в окружность, опирающийся на дугу MmD , Z.CME — угол, обра-
зованный лучом МЕ (полукасательной) и хордой МС , с другой стороны,
Z.MCD и Z.CME — внутренние накрест лежащие при (CD) || (МЕ) и секу-
щей (МС) , следовательно, Z.MCD = Z.CME , а потому (в силу теорем 3 и
4 вопроса 16) DmM МтС . Отметим, что поскольку D — внутрен-
няя точка дуги МтС , дуга MmD МтС => МпС	МmD,

что означает: дуга МпС меньше полуокружности, дуга МтС боль-
ше полуокружности. Теорема 5 доказана.

Замечание 1. Поскольку угол между параллельными прямыми можно
считать нулевым, a MmD — Af пС= 0 , то и в этом случае получаем
справедливость утверждения теоремы 3.

Замечание 2. Доказательство теоремы 5 можно было провести и путем
соедининения отрезком точек М и D , далее аналогичными рассуждениями
(см. рис. 63 ж).

Теорема 6. Пусть проведены две секущие к окружности: секущая (CD)
параллельна секущей (АВ), пересекающие окружность соответственно
в точках С и D , и в точках А и В , тогда DmB СпА .

Доказательство

См. рис. 63 з). Пусть для определенности точки А , В , С и D вы-
браны так, что если соединить отрезком точки В и С , то при этом точ-
ки А и D будут лежать в разных полуплоскостях относительно прямой
(ВС). Следовательно, точки D и А лежат на взаимно дополнительных ду-
гах D ВтС и А 6^ СпА . Z.BCD и Z.CBE — внутренние накрест ле-
жащие при (CD) || (АВ) и секущей (ВС) , следовательно, Z.BCD = Z.CBA,
а потому (в силу теоремы 3 вопроса 16) DmB СпА . Отметим, что
поскольку D — внутренняя точка дуги ВтС , А — внутренняя точка
дуги ВпС , причем одна из этих дуг заведомо не превосходит полу-
окружности, каждая из дуг BmD и АпС меньше полуокружности.
Теорема 6 доказана.
Замечание 1. Поскольку угол между параллельными прямыми можно
считать нулевым, a BmD — АпС= 0 , то и в этом случае получаем спра-
ведливость утверждения теоремы 3.

Замечание 2. Если соединить отрезками точки В и D , а также точки
Л и С (в силу У20 п. 2.3.0 внутренние точки отрезков BD и С А будут
находиться в разных полуплоскостях относительно прямой (ВС) , а потому
ввиду различия всех четырех точек А , В , С и D хорды BD и АС не
имеют общих точек), то в силу Уб п. 2.3.1 (см. материал после вопроса
15) BD = АС , а потому вписанный в окружность четырехугольник DBAC
— равнобедренная трапеция (при CD / АВ) и — прямоугольник при
BD = АС (см. определения 1 вопроса 12 и определение 7 вопроса 7).

Замечание 3. Доказательство теоремы 6 можно было провести и путем
соедининения отрезком точек Л и D , далее аналогичными рассуждениями
(см. рис. 63 з).

Вопрос 18. Равенство произведений длин отрезков двух пересекаю-
щихся хорд. Равенство квадратадлины отрезка касательной произведению
длины отрезка секущей на длину ее внешней части

Вводная часть

См. выше, в материале после вопроса 15 определение окружности, ее
центра и радиуса (01, 02 п. 2.3.1). Помимо этого будут использованы по-
нятия хорды, секущей (04, 05 п. 2.3.1), отрезка секущей, внешней части
секущей, каяательной, которые мы приведем в основной части этого вопро-
са.

Основная часть

Определение 1. Хордой окружности называется отрезок, соединяю-
щий ее две точки. Хорда, проходящая через центр, называется диамет-
ром.

По длине диаметр в два раза больше радиуса.

Определение 2. Прямая, пересекающая окружность (то есть имеющая
с ней две общие точки), называется секущей.

Определение 3. Прямая, лежащая с окружностью в одной плоскости
и имеющая с ней единственную общую точку, называется касательной.
Указанная общая точка называется точкой касания прямой и окруж-
ности.

Пусть из точки Е , лежащей вне окружности (О; R) , к ней проведена
секущая, пересекающая ее в точках Л и В , где точка Л лежит между
точками Е и В .

Определение 4. Отрезок ЕВ называется отрезком секущей, отрезок
ЕА называется внешней частью секущей (отрезка секущей).
Пусть из точки Е , лежащей вне окружности (О; R) , к ней проведена
касательная, М — точка касания.

Определение 5. Отрезок ЕМ называется отрезком касательной.

Отметим, что в силу У13 п. 2.3.0 всякая внутренняя точка Р отрезка
секущей ЕВ , отличная от точки А , лежит или во внутренней области
отрезка АВ (тогда в силу У5 п. 2.3.1 она лежит и внутри окружности),
или — во внутренней области отрезка ЕА (тогда в силу У5 п. 2.3.1 она
лежит вне окружности). В этом и заключается смысл названия ”внешняя
часть секущей (отрезка секущей)”.

Также отметим, что в силу УЗ (обоснование случая 2) п. 2.3.1 всякая
точка Р касательной к окружности (в том числе и всякая внутренняя точ-
ка отрезка касательной ЕМ), отличная от точки касания М , лежит вне

Теорема 1. Пусть в окружности проведены две хорды АВ и CD, при-
чем АВ CiCD = E . Тогда \AE\-\BE\ = \CE\-\DE\ .

Доказательство

Прежде всего отметим, что так как точкой пересечения отрезков, лежа-
щих на разных прямых, считается их общая внутренняя точка, то точкой
пересечения двух хорд АВ и CD будет их общая внутренняя точка Е .
Поскольку точки А и В лежат на разных полупрямых прямой (АВ) от-
носительно точки Е , точки CnD лежат на разных полупрямых прямой
(CD) относительно точки Е ; А, В £ (CD) , С, D £ (АВ) , то А, В, С и D
— четыре различные точки одной окружности и Z.AED , ZCEB — вер-
тикальные (см. рис. 64 а). Рассмотрим треугольники: &AED и АС ЕВ,
у них Z.AED = ЛСЕВ как вертикальные, Z.DAB = Z.DCB как вписан-
ные в окружность, опирающиеся на одну дугу BmD . Следовательно,
&AED ~ ДСЕВ (по двум углам), а потому:

О |ЛВ| • |ВВ| = |СВ| • \DE\ . Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Если из одной точки Е к окружности проведены каса-
тельная ЕМ (М — точка касания) и секущая (ЕВ) , где А и В точки

\DE\ _ |АЕ\
\ВЕ\ “ ICBI
ее пересечения с окружностью, точка А лежит между точками Е иВ,
то |ЯМ|2= |ЕА\ • |ЯВ| .

Доказательство

Прежде всего отметим, что так как прямая (ЕМ) *— касательная, а
прямая (ЕВ) — секущая, то в силу УЗ п. 2.3.1 это различные прямые,
а потому М, А, В и Е — четыре различные точки, первые три из них
расположены на окружности, точка Е — вне окружности (см. рис. 64 б).
Соединим отрезком точки А и М , а также — точки В и М . Рассмотрим
треугольники: ЛЕМА и ЛЕМВ . Точки А и В лежат на одном луче с
началом в точке Е , поэтому у этих треугольников внутренний угол ЛМЕА
— общий, ЛАМЕ — угол, образованный касательной МЕ и хордой МА,
стягивающей дугу АтМ , ЛМВЕ — угол, вписанный в окружность,
опирающийся на ту же дугу АтМ . В силу теорем 3 и 4 вопроса 16
АМЕ = МВЕ —АтМ /2 , следовательно, ЛМЕА ~ ЛВЕМ (по двум
углам), а потому:

~	= \ЕМ\ ' Теорема 2 д°казана-

Следствие, Произведение длин отрезков любой проведенной из точ-
ки Е секущей и ее внешней части, постоянно и равно квадрату длины
касательной, проведенной из этой же точки.

См. рис. 64 б) \ЕА\ • \ЕВ\ = |ЯС| • \ED\ = \ЕР\ • \EQ\ = | W|2 .

Дополнительная часть

Замечание 1 (к теореме 2). Существование касательной и секущей, про-
веденных из точки Е , лежащей вне окружности (О; R) , к этой окружности
вытекает из возможности построить такую касательную (об этом см. ни-
же, в вопросе 21). Затем если выбрать произвольную внутреннюю точку
на радиусе ОМ и провести через нее и точку Е прямую, то поскольку рас-
стояние от центра окружности до этой прямой будет заведомо меньше R ,
в силу УЗ п. 2.3.1 она пересечет окружность в двух точках (то есть будет
секущей).

Замечание 2 (к теореме 2). Ниже, в вопросе 21 о свойствах касательной к
окружности будет показано, что из точек фигурирующей в ней окружности
внутренние точки дуг АтМ и ВпМ (см. рис. 64 б) и только они
лежат во внутренней области угла ЛМ ЕВ .

Справедливы утверждения, обратные к утверждениям теорем 1 и 2.

Теорема 3. Пусть ^прямые (АВ) и (CD) пересекаются в точке Е ,
причем точка Е является или внутренней точкой каждого из отрезков
АВ и CD , или она является внешней точкой каждого из этих отрезков,
тогда точки А , В , С , D лежат на одной окружности.
Доказательство

Из условий теоремы вытекает, что точки А , В и С не лежат на од-
ной прямой, а потому (см. ниже вопрос 19) через них можно провести
единственную окружность. Если Е — точка пересечения отрезков АВ и
CD , то будучи внутренней точкой отрезка АВ она будет (в силу У5 п.
2.3.1) внутренней точкой построенной окружности, а потому прямая (СЕ)
пересечет окружность в точке D' , причем такой, что Е — внутренняя
точка отрезка CDf , стало быть (в силу У15 п. 2.3.0) точки D и Df ле-
жат на одном луче ED с началом в точке Е . В силу теоремы 1 с од-
ной стороны, |£В'| = |ВА| • |ВВ|/|ЕС\ , с другой стороны, по условию
\ED\ = |ВА| • |ВВ|/|ЕС\ , следовательно |ВВ'| = \ED\ , а потому согласно
У40 п. 2.3.0 точки D и Df совпадают. Если Е — внешняя точка каждого из
отрезков АВ и CD (для определенности предположим, что точка С лежит
между точками Е и D , точки С и D лежат на одном луче с началом в
точке В), то, проводя окружность через точки А , В и С , мы получим, что
она или будет пересекать прямую (CD) еще в одной точке D" или будет
касаться окружности в точке С (то есть D" = С). В силу теоремы 2, с
одной стороны, |ED"| = |ЕА\ • |ВВ|/|ВС| . С другой стороны, по условию
\ED\ = \ЕА\ • |ВВ|/|ВС| , следовательно, \ED"\ = \ED\ . В силу У5 п.
2.3.1 так как точка Е является внешней точкой отрезка АВ , то она лежит
вне построенной окружности. Пусть точки С и D" — различные. Точка
В" не может быть на луче, дополнительном по отношению к лучу ЕС .
Если это так, то точка Е — внутренняя точка отрезка CD , а потому в
силу У5 п. 2.3.1 она будет лежать внутри окружности, что неверно. Итак,
точка D" лежит на том же луче с началом в точке Е , а потому согласно
У40 п. 2.3.0 точки D и В" совпадают. Если D" = С , то так как тогда
\ЕС\ = |ED"| = \ED\ , при том, что С и В — точки одного луча с началом
в точке Е , будет следовать совпадение точек С и В . Если по условию это
не так, то случай В" = С не возможен. Если же В = С , то С — точка
касания построенной окружности. Теорема 3 доказана.

Вопрос 19. Теорема об окружности, описанной около треугольника
Вводная часть

См. выше, в вопросе 1 определение треугольника, в материале после
вопроса 15 определение окружности, ее центра и радиуса (см. 01, 02 п.
2.3.1). Помимо этого будет использовано понятие хорды (см. 04 п. 2.3.1).

Основная часть

Определение. Окружность называется описанной около треуголь-
ника, если она проходит через все его вершины. При этом треугольник
называется вписанным в окружность.
Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность,
причем единственную, центр этой окружности является точкой пере-
сечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Доказательство

. Существование точки пересечения серединных перпендикуляров снача-
ла к двум сторонам треугольника, а затем — к трем сторонам было дока-
зано выше (см. теорему 1 вопроса 14). Это доказательство надо провести.
Пусть это точка О . Так как эта точка, находясь на каждом из середин-
ных перпендикуляров к сторонам треугольника, будет (в силу теоремы 4
вопроса 4) равноудалена (на некоторое расстояние R > 0), то окружность
с центром в точке О радиуса R будет проходить через все три вершины
треугольника, то есть будет описана около него. Предположим, что су-
ществует еще одна описанная около треугольника окружность (О'; Д'). Ее
центр О' будет точкой, равноудаленной от всех сторон треугольника, следо-
вательно (в силу теоремы б вопроса 4), эта точка будет совпадать с точкой

пересечения Трех серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Ввиду единственности такой точки О' = О . Так как расстояние от точки
О До любой из вершин треугольника определено однозначно, то Д' = Л , от-

куда вытекает единственность описанной около треугольника окружности4.

Теорема доказана/
Дополнительная часть

рис. 65 а)	рис. 65 б)	рис. 65 в)

Рассмотрим вопрос о местоположении центра описанной около треуголь-

ника окружности. Каждая из сторон треугольника является его хордой, а
каждый внутренний угол — углом, вписанным в окружность.

Если треугольник остроугольный (то есть все его внутренние углы ост-
рые, см. рис. 65 а), то в силу следствия 1 б) теоремы 3 вопроса 16 дуги,
на которые опираются эти углы, меньше полуокружности. Согласно 012
п. 2.3.1 (см. материал после вопроса 15) это означает, что центр О опи-
санной около него окружности лежит в одной полуплоскости с точкой А
относительно прямой (ВС) , лежит в одной полуплоскости с точкой В
относительно прямой (АС) и лежит в одной полуплоскости с точкой С от-
носительно прямой (АВ) , то есть согласно определению 2 вопроса 1 центр
О лежит во внутренней области треугольника.
Если треугольник прямоугольный (то есть у него есть прямой внут-
ренний угол, см. рис. 65 б), то в силу теоремы 4, случай 1) вопроса 16
дуга, на которую опирается прямой угол, равна полуокружности. А пото-
му сторона треугольника, противолежащая прямому углу (то есть гипо-
тенуза), которая стягивает полуокружность, является диаметр описанной
около треугольника окружности. Следовательно, центр этой окружности
О совпадает с серединой гипотенузы.

Если треугольник тупоугольный (то есть у него есть тупой внутренний
угол, см. рис. 65 в), то в силу следствия 1 б) теоремы 3 вопроса 16 дуга, на
которую опирается тупой угол, больше полуокружности. Согласно 012 п.
2.3.1 (см. материал после вопроса 15) это означает, что центр О описанной
около него окружности и вершина тупого угла А лежат в разных полуплос-
костях относительно прямой (ВС) . Согласно определению 2 вопроса 1 это
означает, что центр О лежит во внешней области треугольника.

Поскольку каждый из видов треугольников: остроугольный, тупоуголь-
ный, прямоугольный исключает два других вида, то легко от противного
доказать обратные утверждения полученным выводам о местоположении
центра описанной около треугольника окружности.

Отметим еще некоторые особенности △АВС', вписанного в окружность
(О; R) на примере изображенного на рис. 65 а).

Вершина А этого треугольника является внутренней точкой дуги, до-
полнительной по отношению к дуге ВпгС ; вершина В является внут-
ренней точкой дуги, дополнительной по отношению к дуге АпзС ; вер-
шина С является внутренней точкой дуги, дополнительной по отношению
к дуге Ап\В . Следовательно, на каждой из дуг Ап^В , ВпгС ,

СпзА не лежит ни одной из вершин ДАВС . Так как все внутренние
точки дуги Ап\В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой
(АВ) с вершиной С , в одной полуплоскости относительно прямой (ВС) с
точкой Айв одной полуплоскости относительно прямой (АС) с точкой В
(поскольку как отмечалось в вопросе 16 все эти точки окружности и только
они лежат во внутренней области угла ZBCA), аналогично все внутрен-
ние точки дуги Вп2С лежат в разных полуплоскостях относительно
прямой (ВС) с вершиной А , в одной полуплоскости относительно прямой
(АС) с точкой Вив одной полуплоскости относительно прямой (АВ) с
точкой С , все внутренние точки дуги СпзА лежат в разных полуплос-
костях относительно прямой (СА) с вершиной В , в одной полуплоскости
относительно прямой (ВС) с точкой Айв одной полуплоскости относи-
тельно прямой (АВ) с точкой С , то каждая точка окружности, отличная
от вершин вписанного треугольника, является внутренней точкой одной и
только одной из дуг AniB , Вп2С , СпзА . Сумма всех этих дуг
равна полной дуге окружности. Таким образом, все внутренние точки ду-
ги Ап\В лежат во внешней области угла /.ВАС и лежат во внешней
области угла Z.ABC , тем самым эти точки, а потому и все точки соответ-
ствующего кругового сегмента Ап^В лежат во внешней области ААВС.
Аналогичный вывод можно сделать относительно внутренних точек дуг

ВпзС , СпзИ и соответствующих круговых сегментов ВпзС , СпзВ.

Если выбрать произвольную точку М во внутренней области ДАВС,
то как отмечалось в вопросе 1, это означает, что она будет находиться,
например, в одной из полуплоскостей относительно прямой (АС) с точкой
В, а также — во внутренней области угла Z АВ С . Если провести луч ВМ,
то в силу У26 п. 2.3.0 он пересечет сторону АС в некоторой ее внутренней
точке К . Так как отрезок ВМ не пересекает прямую (АС) , точка М ле-
жит между точками В и К . Точка К — внутренняя точка хорды АС, в
силу У5 п. 2.3.1 она будет внутри окружности. Вследствие этого (как уже
неоднократно ранее отмечалось) прямая (ВМ) пересечет окружность еще
в одной точке Е (кроме точки В), причем в силу У5 п. 2.3.1 точка К будет
внутренней точкой хорды BE. Итак,- точка М лежит между точками В и
К , точка К лежит между точками В и Е , поэтому в силу У8 п. 2.3.0
точка М лежит между точками В и Е, следовательно, М — внутренняя
точка хорды BE , а потому в силу У5 п. 2.3.1 она будет внутри окружнос-
ти. Таким образом, всякая внутренняя точка треугольника, вписанного
в окружность, является внутренней точкой этой окружности.

Вопрос 20. Теорема синусов для треугольника

Вводная часть

См. выше, в вопросе 1 определение треугольника, в материале после
вопроса 15 определение окружности, ее центра и радиуса (см. 01, 02 п.
2.3.1). В вопросе 9 см. о синусе величины угла треугольника.

Основная часть

Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам величин
противолежащих углов, причем отношение длины стороны треугольника
к синусу величины противолежащего ей угла есть величина постоянная,
равная длине диаметра описанной около треугольника окружности,

то есть если а , Ь , с — длины сторон треугольника,
а , /3 , ч — величины противолежащих им углов, то
а Ь с
— ”.	— 2Я ,

sina	sinp	sin 7

где R — радиус (длина радиуса) описанной около треугольника окруж-
ности.
Доказательство

рис. 66 а)	рис. 66 б)	рис. 66 в)

Опишем окружность (О; R) около треугольника АВС . Рассмотрим слу-
чаи.

ЛВАС — острый (см. рис. 66 а), тогда (см. выше вопрос 16) дуга

ВтС , на которую опирается угол ЛВАС , меньше полуокружности,
следовательно, центр О и вершина А лежат в одной полуплоскости отно-
сительно прямой (ВС) . Поэтому, если провести диаметр ВА\ , то (в силу
У20 п. 2.3.0) все его точки (кроме точки В), в том числе и конец Ai ока-
жутся в той же полуплоскости относительно прямой (ВС) , что и точка
А , стало быть, точки А и Ai будут внутренними точками одной дуги

ВпС , дополнительной по отношению к дуге СтВ . Таким обра-
зом, ЛВАС и ЛВА1С — вписанные в окружность углы, опирающиеся на
одну дугу ЛВтС , а потому (см. вопрос 16) ЛВАС = ЛВА^С , откуда
BAiC = ВАС = а0 . В треугольнике ВА\С ЛА^СВ прямой, так как опи-
рается на диаметр BAi . Согласно определению синуса величины острого
угла прямоугольного треугольника (см. вопрос 9) а = \ВС| =
= |BAi|sina° = 2Bsina° .

ЛВАС — тупой (см. рис. 66 б), тогда (см. выше вопрос 16) дуга
ВтС, на которую опирается угол ЛВАС , больше полуокружности, сле-
довательно, центр О и вершина А лежат в разных полуплоскостях от-
носительно прямой (ВС) . Поэтому, если провести диаметр BAi , то (в
силу У20 п. 2.3.0) все его точки (кроме точки В), в том числе и конец
Ai окажутся в той же полуплоскости относительно прямой (ВС) , что и
центр О , стало быть, точки А и Ai будут внутренними точками взаим-
но дополнительных дуг СтВ и СпВ . Таким образом, ЛВАС и
ЛВА1С — вписанные в окружность углы, опирающиеся взаимно дополни-
тельные дуги ЛВтС и ЛВпС , а потому (см. вопрос 16) если ВАС = а0,
то BAiC = 180° — а0 . В треугольнике BAiC ЛА\СВ прямой, так как
опирается на диаметр ВА\ . Согласно определению синуса величины ост-
рого угла прямоугольного треугольника и равенству sin(180° — а0) = sin а0
(см., вопрос 9) а = |ВС| = |BAi| sin(180° — а0) = 2Bsina° .

Если ЛВАС — прямой, то ВС — диаметр описанной окружности,
ВАС = а0 = 90° . Так как |ВС| = 2R и sin90° = 1 (см. вопрос 9), то
равенство а = |ВС| = 2Язша° верно и в этом случае.

Равенства Ь = |АС| = 21? sin/3° , с = |АВ| = 22? sin 7° доказываются
аналогично. Теорема синусов доказана.

Дополнительная часть

На основе теоремы синусов можно доказать, что в треугольнике про-
тив большей (меньшей) стороны лежит больший (меньший) угол, откуда,
в частности, вытекает, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза —
наибольшая сторона, а в тупоугольном треугольнике наибольшая сторо-
на лежит против тупого угла. Об этом см. в учебнике [5], § 12, п. 111 и
разобранную в тексте учебника задачу 17.

Читателям предлагается самостоятельно сформулировать и доказать
теорему, обратную теореме синусов.

С применением теоремы синусов докажем еще одну теорему о соотно-
шении между сторонами и диагоналями вписанного в окружность четы-
рехугольника.

Теорема (Птолемея). У всякого вписанного в окружность выпуклого
четырехугольника произведение длин диагоналей равно сумме произведе-
ний длин противоположных сторон.

Доказательство

Пусть ABCD — вписанный в окружность выпуклый четырехугольник,
АВ ВС , CD и DA — его стороны, АС и BD — его диагонали,
а = \АВ\ , Ь = \ВС\, с = \CD\, d = \DA\, |АС| = е , \BD\ = f . Требуется
доказать, что ас 4- bd = ef .

Согласно свойствам выпуклого четырехугольника его диагонали про-
ходят в его внутренней области, а стало быть, они проходят во внутрен-
них областях его внутренних углов. См. рис. 66 в), AABD = AACD как
опирающиеся на одну дугу AD , ADBC = ADAC как опирающиеся
на одну дугу CD , ABDA = АВС А как опирающиеся на одну ду-
гу АВ , ABAC = ABDC как опирающиеся на одну дугу ВС ,
AABD 4- ADBC = ААВС , АВС А 4- AACD^AB£D^. Согласно опре-
делению меры угла (см. 028 п. 2.3.0) пусть BDA = ВС А = a, DAC =
= DBC = /3, ABD = ACD = 7, тогда АВС = /3 4- 7, BCD = а 4- 7.
Для определенности считаем , что а , /3 , 7 — радианные меры соот-
ветствующих углов. В силу теоремы о сумме радианных мер внутренних
углов треугольника ВАС = BDC = тг — (а 4- /3 4- 7) . Пусть R — длина
радиуса окружности, описанной около четырехугольника ABCD , тогда
эта окружность будет описана около каждого из четырех треугольников:
△ЛВС , AABD , ДЛСР и ABCD . По теореме синусов для ABCD и
AABD f = 2Bsin(a 4- 7) > е = 2Bsin(/3 4- 7) =>
=> ef = 4Я2 • sin(a 4- 7) * sin(/3 4- 7) = 2Я2 • (cos(a - /3) - cos(a 4-/3 4- 27)) .

По теореме синусов для ААВС и ABCD а = 21? sin а , с — 21? sin/3 =>
=> ас = 41?2 • sina • sin/3 = 2R2 • (cos(a - /3) - cos (а 4- (3)) .

По теореме синусов для ААВС и AABD b = 2Язт(тг - (а 4- /3 4 7)) =
= 21?sin(a 4/3 4 7) , d = 27?sin7 =>

=> bd = 4Я2 • sin(a 4 /3 4 7) ‘ sin 7 — 2Я2 • (cos(a 4- /3) - cos(a 4 /3 4 27)) .

Складывая полученные выражения для ас и bd , получим: ас 4- bd =
= 2R2 • (cos (a — /3) — cos (a 4-/3 4- 27)) = ef . Теорема Птолемея доказана.

Вопрос 21. Свойство касательной к окружности. Равенство касатель-
ных, проведенных нз одной точки к окружности. Свойство четырехуголь-
ника, описанного около окружности

Основная часть

Напомним еще раз определение окружности и связанных с ней понятий,
определение касательной.

Определение 1. Окружностью называется фигура, состоящая из всех
точек плоскости, расположенных на равном положительном рассто-
янии от некоторой фиксированной точки этой плоскости. Указанная
точка называется центром окружности.

Радиусом окружности называется любой отрезок, соединяющий точ-
ку окружности с ее центром, а также радиусом (точнее длиной ради-
уса). называется расстояние (дЛина отрезка) от любой точки окруж-
ности до ее центра.

Определение 2. Прямая, лежащая с окружностью в одной плоскости
и имеющая с ней одну и только одну (единственную) общую точку,
называется касательной к окружности, а их общая точка — точкой
касания.

Теорема 1 (свойство касательной к окружности). Касательная к окруж-
ности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство

Пусть (О; R) — окружность, прямая а — касательная к ней М — точка
касания. Предположим, что радиус ОМ не перпендикулярен к касательной
а /тогда прямая (ОМ) — наклонная к прямой а , точка М — основание
этой наклонной. Если из точки О опустить перпендикуляр ОР на прямую
а , точка Р — основание этого перпендикуляра, то согласно теореме 1
вопроса 9 и определению расстояния от точки до прямой р(О;а) = |ОР| <
< |ОМ| = R . В силу УЗ п. 2.3.1 (см. материал после вопроса 15) это
означает, что прямая а имеет две общие точки с окружностью М и N
(см. рис. 67 а), что противоречит определению касательной к окружности.
Полученное противоречие доказывает перпендикулярность радиуса ОМ и
касательной а . Теорема 1 доказана.

Имеет место обратная теорема, выражающая признак касательной к
окружности.

Теорема 2. Прямая, проходящая через точку окружности перпендику-
лярно к радиусу, проведенному в эту точку, и расположенная с окруж-
ностью в одной плоскости, является касательной к этой окружности.
Указанная точка является точкой касания.

Доказательство

Пусть прямая а , лежащая в плоскости окружности (О; R) , перпенди-
кулярна радиусу ОМ этой окружности, точка М Еа . Тогда р(О; а) =
= \ОМ| = R . В силу УЗ п. 2.3.1 (см. материал после вопроса 15) это озна-
чает, что прямая а имеет единственную общую точку с окружностью, этой
точкой и является точка М (см. рис. 67 б). Следовательно, согласно опре-
делению касательной (см. выше определение 2) прямая а — касательная к
окружности (О; R) , М — точка касания. Теорема 2 доказана.

рис. 68 а)	рис. 68 б)	рис. 68 в)

Теорема 3. Если из одной точки проведены к окружности две каса-
тельные, то их отрезки, соединяющие данную точку с точками касания,
равны.

Доказательство

В дополнительной части этого вопроса будет доказано, что из всякой
точки, лежащей в плоскости окружности и вне окружности, можно
провести к ней две и только две касательные.

См. рис. 68 а). Пусть из точки М , лежащей вне окружности (O;R) ,
проведены к ней касательные (МА) и (М В) , АтВ — точки касания. Тре-
буется доказать, что отрезки МА и МВ равны. Поскольку в силу теоремы
1 (ОА) ± (МА) и (ОВ) ± (МВ) , точки 0иА,0иВ,0иМ, очевидно,
различные, то точки О , А , М не лежат на одной прямой и точки О , В ,
М не лежат на одной прямой. Поэтому можно рассмотреть треугольники
ДОЛМ и АОВМ , они прямоугольные, имеющие общую гипотенузу ОМ
и соответственно равные катеты О А = ОВ как радиусы одной окружнос-
ти. Следовательно, ДОЛМ = ДОВМ (по катету и гипотенузе), откуда
МА — МВ . Теорема 3 доказана.

Следствие 1. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к
окружности, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту
точку и центр окружности.

Следствие 2. Если из одной точки проведены к окружности две каса-
тельные, проведены также радиусы этой окружности с концами в точ-
ках их касания, то эти радиусы составляют равные углы с прямой, про-
ходящей через эту точку и центр окружности.

См. рис. 68 а). Справедливость утверждений этих следствий сразу вы-
текает из равенства ДО АМ = АОВМ , в силу которого соответствующие
углы: ЛОМ А = ЛОМ В , ЛАОМ = ЛВОМ .

Определение 3. Если все стороны четырехугольника касаются окруж-
ности, то такой четырехугольник называется описанным около окруж-
ности, а окружность — вписанной в этот четырехугольник.

Замечание. В этом определении подразумевается, что прямая, содер-
жащая любую из сторон описанного около окружности четырехугольника,
касается этой окружности, причем точка ее касания с окружностью явля-
ется внутренней точкой соответствующей стороны.

рис. 69 а)

рис. 69 б)

Теорема 4. В любом описанном около окружности четырехугольнике
суммы (суммы длин) противоположных сторон равны.

Доказательство

См. рис. 69 а). Пусть ABCD — описанный около окружности четырех-
угольник, AD , ВС и АВ , CD — пары его противоположных сторон, М,
N , Р , Q — точки касания соответственно сторон АВ , ВС , CD , DA
с этой окружностью (в дополнительной части этого вопроса будет доказа-
но, что такой четырехугольник всегда выпуклый и окружность, вписанная
в него, вместе со всеми ее внутренними точками, кроме точек ее касания
с его сторонами, лежит в его внутренней области). Отрезки AM и AQ
являются отрезками касательных, проведенных из одной точки А к окруж-
ности, в силу теоремы 3 АМ = AQ . Аналогичным образом получаем:
ВМ = BN , CN = СР , DP = DQ . Поскольку М , 7V , Р , Q — внут-
ренние точки отрезков АВ , ВС , CD , DA соответственно, то (см. 021 п.
2.3.0 суммы отрезков) AD 4- ВС = (AQ + QD) 4- (BN 4- NC) =

= (AM+DP)+(MB+PC) = (AM+MB)+(DP+PC) = AB+DC , то есть
AD 4- ВС = АВ 4- DC . Согласно определению длины отрезка (см. 024 п.
2.3.0), равные отрезки имеют равные длины и длина суммы отрезков равна
суммы длин этих отрезков, поэтому и |AD| + |1?С'| = |АВ| 4- |1Х7|.

Замечание. Над суммой отрезков AD 4- ВС были произведены следую-
щие действия: замена каждого из них на сумму, соответственно AQ 4- QD
и BN 4- NC , затем каждый из этих слагаемых отрезков был заменен на
соответственно равный ему отрезок и после этого была произведена пере-
группировка слагаемых отрезков. Все это было можно провести на основе
замечания к У39 п. 2.3.0 Теорема 4 доказана.

Следствие 1. Если е четырехугольник ABCD можно вписать окруж-
ность, то существует общая точка биссектрис всех его внутренних уг-
лов — центр этой окружности.

См. рис. 69 б). Справедливость этого утверждения следует из того, что
центр О окружности, вписанной в четырехугольник, есть такая точка, рас-
стояния от которой до его сторон (прямых, содержащих его стороны) со-
гласно теореме 2 равны длине радиуса этой окружности. Таким образом,
точка О , находясь во внутренней области четырехугольника ABCD (это
означает, что она находится во внутренней области каждого из его внут-
ренних углов), будучи равноудаленной от его сторон, будет равноудалена
от сторон каждого из его внутренних углов. Согласно теореме 7 вопроса
4 это и означает, что точка О лежит на биссектрисе каждого из его внут-
ренних углов. Следствие 1 доказано.

Замечание. Если все прямые, содержащие биссектрисы этих углов раз-
личные^ то точка О является точкой их пересечения. Однако возможны
ситуации, когда какая либо из диагоналей четырехугольника делит на два
равных угла каждый из его внутренних углов, вершины которых она со-
единяет.

Справедливо и обратное утверждение. Об этом в дополнительной части
вброса. 4
Следствие 2. Если в четырехугольник ABCD можно вписать окруж-
ность, то она единственна.

Предполагая существование еще одной вписанной в четырехугольник
ABCD окружности, мы таким же образом, как в следствии 1 получим,
что ее центр является точкой пересечения биссектрис его внутренних уг-
лов, которая будет точкой пересечения биссектрис любых двух его углов
и радиус этой окружности равен расстоянию от точки пересечения этих
биссектрис до каждой из сторон четырехугольника ABCD . Ввиду единст-
венности биссектрисы угла и точки переселения двух прямых мы получим
совпадение центров предполагаемых двух вписанных окружностей. Вслед-
ствие единственности перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, а
потому и единственности расстояния от точки до прямой мы получаем и
равенство радиусов предполагаемых двух вписанных окружностей. Стало
быть, эти окружности совпадают.

Замечание. Из этого следствия вытекает единственность общей точ-
ки у биссектрис внутренних углов четврехугольника, в который можно
вписать окружность.

Следствие 3. Из рассмотренных выше четырехугольников окружность
можно вписать в квадрат, в ромб (см. вопрос 7), в трапецию, у которой
сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Дополнительная часть

Выше, в материале после вопроса 15 перед определением дуги отмеча-
лось, что если окружность касается прямой, то все ее точки (кроме точки
касания), а также все ее внутренние точки располагаются в одной полу-
плоскости относительно этой прямой. Следовательно, (см. рис. 68) если из
точки М проведены к окружности (О;R) две касательные, Ли В — точ-
ки касания окружности и этих прямых, то все точки круга (О; R) (кроме
точек А и В) будут расположены во внутренней области угла АВ МА с
вершиной М , сторонами которого являются лучи МА и МВ . Согласно
тому, как определяется в п. 2.3.0 (см. после 015) внутренняя область угла
первого типа, мы приходим к тому, что угол между двумя касательны-
ми, проведенными к окружности из одной точки с вершиной в этой точке,
внутренняя область которого содержит точки соответствующего круга, яв-
ляется углом первого типа.

Введем следующее определение.

Определение 4. Окружность называется вписанном в угол, если его
стороны касаются окружности и все точки этой окружности (кроме i
точек ее касания со сторонами угла) лежат во внутренней области это-
го угла.

На рис. 68 б) проиллюстрирована окружность (О; R) , вписанная у угол
ЛАМ В , содержащаяся в его заштрихованной внутренней области.

Из определения 4 вытекает, что точки касания сторон угла вписанной
в него окружности лежат на лучах с началами в вершине угла. Этих точек
две (этот факт будет вытекать из рассматриваемого ниже вопроса о вза-
имном расположении двух окружностей на плоскости), одна из них лежит
на одной полукасательной с началом в точке М , другая — на другой такой
касательной.

Поскольку центр окружности О , вписанной в угол ЛАМ В , лежит в
его внутренней области, то согласно У20 и У25 п. 2.3.0 весь луч МО ле-
жит в этой области. Согласно следствию 1 из теоремы 3 ЛОМ А = ЛОМВ,
потому луч МО — биссектриса угла между касательными, проведенны-
ми из точки М к окружности, эта окружность вписана в угол с вер-
шиной М . Поскольку углы ЛОМА и ЛОМВ — острые (как не являю-
щиеся прямыми углами прямоугольных треугольников О АМ и ОВМ), то
ЛАМ В = ЛОМ А + ЛО МВ меньше развернутого (то есть угол первого ти-
па). Получили, что если окружность вписана в угол, то это угол первого
типа, центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого
угла.

Исследуем вопрос о взаимном расположении вписанной в угол ЛВМА
окружности (О; Я) и луча с началом в вершине М этого угла в зависимости
от его прохождения или во внутренней, или во внешней области этого угла
(см. рис. 68 в).

Пусть этот луч является биссектрисой угла. В силу единственности бис-
сектрисы угла и того, что центр вписанной в угол окружности лежит на
ней, она пересечет вписанную окружность в двух диаметрально противо-
положных точках. При этом она разобьет окружность на две полуокруж-
ности следующим образом: каждая из них лежит в одной полуплоскости от-
носительно прямой (М D) , одна лежит в полуплоскости, содержащей сто-
рону МА и содержит в качестве внутренней точки (поскольку А & (MD))
точку касания А другая лежит в полуплоскости, содержащей сторону МВ и
содержит в качестве внутренней точки (поскольку В (MD)) точку каса-
ния В . Поскольку каждая из этих дуг еще лежит и во внутренней области
угла ЛВМА , то все ее внутренние точки (кроме точек касания) лежат
во внутренней области соответствующего угла*, точки первой дуги —
во внутренней области угла ЛАМИ , точки второй дуги — во внутренней
области угла ЛВМИ .

Пусть луч МD проходит внутри угла ЛВМА и не является биссектри-
сой этого угла, тогда в силу следствия 4 из У28 п. 2.3.0 этот луч проходит
или внутри угла ЛОМА , или внутри угла ЛОМВ . Для определеннос-
ти пусть он проходит внутри угла ЛОМА , тогда в силу У26 п. 2.3.0
он пересечет во внутренней точке радиус О А . Из этого вытекает, что
р(О; (MD)) |ОР| < R , а потому луч MD пересечет окружность (О; R)
в двух точках С и D . Эти точки разбивают точки окружности на две
дуги, лежащие в разных полуплоскостях относительно прямой (МD) . По-
скольку согласно замечанию после следствия 4 из У28 п. 2.3.0 луч MD
разбивает внутреннюю область угла /ВМА на две части, являющиеся
внутренними областями углов /DMA и /DMB и не имеющими общих
внутренних точек (поскольку эти области также лежат в разных полу-
плоскостях относительно прямой (AfP)), то все внутренние точки дуги

CpD , кроме точки А , и внутренние точки кругового сегмента CpD
(внутренние точки дуги CnD , кроме точки В , и внутренние точки
кругового сегмента CnD) лежат во внутренней области угла /DMA
(угла /DMВ) и не лежат во внутренней области угла /DMВ (угла
/DMA) . Совершенно аналогичный результат можно получить и относи-
тельно луча МF , который, в частности, пересекает окружность (О; R) в
двух точках Е и F . Если для определенности предположить, что луч МF
проходит внутри угла /АМВ , а луч MD проходит внутри угла /AMF ,
то в силу следствия 4 из У28 п. 2.3.0 внутренняя область угла /DMF —
пересечение внутренних областей углов /DMB и /FMA , следовательно
из точек окружности (О; R) во внутренней области угла /FMD содер-
жатся внутренние точки дуг СтЕ и DnF и только они, которые
являются общими точками дуг FpE и CnD . Таким образом, на-
ми обосновано утверждение, сформулированное в замечании 2 к теореме 2
вопроса 18.

Замечание. Если провести луч МТ , лежащий в плоскости угла и не
лежащий во внутренней области угла /ВМА , то согласно У25 п. 2.3.0 он
будет лежать в его внешней области. Следовательно, он не будет иметь
ни одной общей точки с вписанной в угол окружностью. В противном
случае он или касался бы этой окружности (тогда совпадал бы с одной из
сторон угла /ВМА), или пересекал бы это окружность, причем в точках,
отличных от точек касания вписанной в этот угол окружности. Так как по
доказанному эти точки находятся во внутренней области угла /ВМА , то
в силу У25 п. 2.3.0 весь луч должен был бы в ней находиться, что неверно.

Теорема 5. Если окружность можно вписать в четырехугольник, то
он выпуклый.	Доказательство

См. выше рис. 69 а). Пусть в четырехугольник ABCD вписана окруж-
ность. В материале после вопроса 15 перед 010 п. 2.3.1 дуги окружности
говорилось, что касающаяся прямой окружность лежит в одной полуплос-
кости относительно этой прямой (кроме точки ее касания с прямой). По-
этому она будет находиться в одной полуплоскости относительно прямой
(AD) с лучом АВ (так как он содержит точку М своегб касания с этой
окружностью) и по аналогичной причине будет находиться в одной по-
луплоскости относительно прямой (AD) с лучом DC . Точка М касания
окружности с лучом АВ лежит между точками А и В , поэтому точки М
и В лежат в одной полуплоскости относительно прямой (AD) , в которой
находятся точки вписанной в четырехугольник окружности и внутренние
точки стороны АВ. Аналогично точки Р и С лежат в одной полуплос-
кости относительно прямой (AD) , в которой находятся точки вписанной
в четырехугольник окружности и внутренние точки стороны DC. Таким
образом, поскольку точки В и С оказались в этой же полуплоскости, отре-
зок ВС вместе со всеми своими внутренними точками оказался в этой же
полуплоскости. Следовательно, все точки четырехугольника ABCD оказа-
лись в одной полуплоскости относительно прямой (AD) (если считать и
< эту прямую принадлежащей этой же полуплоскости). Аналогично доказы-
вается расположение всех точек четырехугольника относительно прямой,
содержащей любую из его сторон, что и означает выпуклость четырех-
угольника ABCD. Теорема 5 доказана.

Следствие. Все внутренние углы вписанного в окружность четырех-
угольника — углы первого типа.

Это вытекает из доказанной выпуклости этого четырехугольника.

Замечание. Пусть в четырехугольник ABCD вписана окружность. Тог-
да она, касаясь, например, сторон AD и АВ , будет касаться сторон угла
A.BAD . Так как этот угол — угол первого типа, то окружность будет впи-
сана в этот угол. Аналогично получается, что окружность будет вписана
в любой из внутренних углов, стало быть, все точки окружности и соот-
ветствующего круга (кроме точек касания вписанной в четырехугольник
окружности с его сторонами) будут во внутренней области этого четы-
рехугольника.

Теорема 6 (обратная теореме 3). Если в выпуклом четырехугольнике
суммы (суммы длин) противоположных сторон равны, то в него можно
вписать окружность.
Доказательство

См. также [21], гл. XIV,§4, ниже приведено более подробное доказа-
тельство.

См. рис. 69 в) и г). Пусть у выпуклого четырехугольника ABCD AD ,
ВС и АВ , CD — пары противоположных сторон. По условию AD + ВС =
= АВ + CD . Обозначим а = \DA\ , b = |АВ| , с = |ВС| , d = |CD| ,
тогда aic = b + d#d- a — b-c. Докажем, что существует единствен- ’
ная точка О , равноудаленная от всех сторон четырехугольника ABCD ,
которая и будет центром окружности, вписанной в этот четырехугольник.
Рассмотрим случаи: d > а (случай d < а рассматривается аналогично) и
d = а .

l.	d>a=>b>c (см. рис. 69 в). Отложим на луче DC от точки D
отрезок DM = DA (согласно А14 п. 2.3.0), d > а <=> DC > DM , а потому
точка М является внутренней точкой отрезка DC , точно также отложим
на луче ВС от точки В отрезок BN = В А , Ь > с <=> ВС > BN , а по-
тому точка N является внутренней точкой отрезка ВС , следовательно,
\СМ\ =з |DC| - \DM\ =d-a=b-c= |ВС| - |ВЛГ| = |CW|: Таким обра-
зом, получились три равнобедренных треугольника: ДРАМ (DM =
= DA) , &BAN (BN = ВА) и ACNM (CM = CN) . В равнобедренном
треугольнике биссектриса его внутреннего угла, противолежащего осно-
ванию является его медианой и высотой. Поэтому, проводя биссектрисы
внутренних углов четырехугольника: ZADC , ZABC , ZBCD , мы полу-
чим, что они будут серединными перпендикулярами к сторонам AAMN, а
они (согласно теореме 1 вопроса 14) пересекаются в одной точке О .

2.	d = а => b = с (см. рис. 69 г). Пусть d > b => а > с (случай d < b
рассматривается аналогично). Проводя точно такие же рассуждения, что
и в 1), мы получим, что биссектрисы углов: ZBAD , ZBCD и ZADC
пересекутся в одной точке О .

3.	ds=a=:6 = c,B этом случае ABCD — ромб, у которого точка
пересечения диагоналей, являющихся биссектрисами его внутренних углов,
будет точкой, равноудаленной от всех его сторон (об этом см. выше,
вопрос 7).

Итак, существование и единственность общей точки биссектрис внут-
ренних углов четырехугольника ABCD доказано.

Докажем, что эта точка является центром окружности, вписанной в
этот четырехугольник.

Если провести биссектрисы внутренних углов ZADC и ZDCB четы-
рехугольника ABCD, то поскольку в силу выпуклости ABCD углы ZADC
и ZDCB меньше развернутого. Поэтому биссектрисы этих углов (они про-
ходят в их внутренних областях и находятся в той полуплоскости относи-
тельно прямой {CD) , в которой лежат все внутренние точки сторон DA,
СВ , вершины АтВ) будут составлять острые углы соответственно с
лучами DC и CD . Стало быть, сумма последних углов меньше развер-
нутого угла, поэтому (см. теоремы 3 и 4 вопроса 5) прямые, содержащие
указанные биссектрисы, пересекутся в некоторой точке О . Эта точка
будет расположена в той же полуплоскости относительно прямой {CD) ,
что и четырехугольник ABCD . Если бы она находилась в другой полу-
плоскости относительно прямой {CD) , то в треугольнике COD было бы
два внутренних тупых угла (они являлись бы смежными с острыми угла-
ми, составляемыми построенными биссектрисами углов ZADC и ZDCВ со
стороной DC), что невозможно. В силу теоремы 5 вопроса 4 эта точка О бу-
дет равноудалена от сторон DC , AD и ВС четырехугольника ABCD . Это
означает, что проводя из точки О перпендикуляры на прямые, содержащие
эти стороны, они будут равны. В силу теоремы 3 вопроса 4 ввиду того, что
углы Z.ADO , Z.ODC , Z.OCD и Z.OCB — острые, мы получим, что осно-
вания этих перпендикуляров, точки Р , Q ,Т окажутся соответственно на
лучах CD , DC (стало быть, точка Р окажется на стороне CD) , AD , ВС.
Рассуждая аналогично относительно биссектрис углов Z.DCB и £СВА ,
мы получим, что точка их пересечения (которая по уже доказанному совпа-
дает с точкой О) будет расположена в той же полуплоскости относительно
прямой {ВС) , что и четырехугольник ABCD и основание перпендикуляра,
проведенного из точки О на прямую {ВС) , точка Т окажется на стороне
ВС. Точка О , находясь на биссектрисе внутреннего угла ZC7BA , будет
(в силу У20 и У25 п. 2.3.0) находиться во внутренней области этого угла,
стало быть, она будет в одной полуплоскости относительно прямой {АВ) ,
что и четырехугольник ABCD . Аналогичным образом точка О , находясь
на биссектрисе внутреннего угла Z.ADC , будет (в силу У20 и У25 п. 2.3.0)
находиться во внутренней области этого угла, стало быть, она будет в
одной полуплоскости относительно прямой {DA) , что и четырехугольник
ABCD . Таким образом, нами получено, что точка О находится во внут-
ренней области четырехугольника ABCD, а стало быть, она будет и во
внутренней области угла Z.DAB. Если провести луч АО , то в силу У20 и
У25 п. 2.3.0 он также будет проходить во внутренней области угла Z.DAB.
Точка О , будучи равноудаленной от прямых {DC) и {DA) , {СВ) и {CD) ,
{ВС) и {ВА) будет равноудалена и от прямых {AD) и {АВ) , а потому — и
от лучей AD и АВ . В силу теоремы 7 вопроса 4 точка О будет лежать на
биссектрисе и внутреннего угла ZJDAB четырехугольника ABCD . Если
из точки О опустить перпендикуляры на прямые {AD) и {АВ) , то так же,
как и для точек РиТ доказывается, что основания этих перпендикуля-
ров, точки Q и S будут соответственно лежать на сторонах AD и АВ.
Проведем из точки О радиусом г , равным длине этих перпендикуляров
(|ОР| = |OQ| = ]0S| = |0Т| = г) окружность, которая в силу теоремы 2
этого вопроса будет касаться всех сторон четырехугольника ABCD , тем
самым эта окружность будет вписана в четырехугольник ABCD . Теорема
б полностью доказана.

Следствие 1. (утверждение, обратное следствию 1 из теоремы 4). Если у
выпуклого четырехугольника существует общая точка биссектрис всех
его внутренних углов, то она единственна и в такой четырехугольник
можно вписать окружность, эта точка — центр указанной окружнос-
ти.

Справедливость этого утверждения вытекает из проведенных рассуж-
дений в доказательстве теоремы 6. Согласно этим рассуждениям указанная
точка равноудалена от каждой из прямой, содержащей сторону четырех-
угольника. Если из нее опустить перпендикуляры на указанные прямые,
то каждое из оснований этих перпендикуляров окажется на соответству-
ющей стороне четырехугольника. Далее надо повторить все рассуждения
конца доказательства теоремы 6 с момента построения окружности с цент-
ром в указанной точке радиусом, равным расстоянию от нее до сторон
четырехугольника. Единственность этой точки следует из следствия 2 из
теоремы 4 и замечания к нему.

Следствие 2. Объединяя результаты теорем 4 и 6, получаем, что в вы-
пуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только
тогда, когда суммы (суммы длин) его противоположных сторон равны.

Следствие 3. Из рассмотренных выше четырехугольников окружность
нельзя вписать в параллелограмм, не являющийся ромбом и в прямоуголь-
ник,. не являющийся квадратом (см. вопрос 7), в трапецию, у которой
сумма оснований, не равна сумме боковых сторон.

Замечание. Ниже, в п. 2.3.2, будет рассмотрен вопрос об описанном
около окружности многоугольнике с произвольным количеством сторон
п (п 5) . В том числе будет показано, что такой многоугольник всег-
да выпуклый.

О взаимном расположении двух окружностей на плоскости

В основной части этого вопроса говорилось о том, что из любой точки,
лежащей в плоскости окружности и вне окружности, можно провести к ней
только две касательные. Для доказательства этого факта нам потребуется
исцользовать утверждения доказываемых ниже теорем о взаимном распо-
ложении двух окружностей на плоскости. При этом по сути дела будет
указан и способ проведения из точки, лежащей в плоскости окружности и
вне ее, двух касательных. Помимо этого будут рассмотрены и некоторые
вопросы о взаимном расположении двух окружностей и прямых на плос-
кости. Большая часть рассматриваемого материала под этим заголовком
не имеет прямого отношения к вопросу 21, но может быть использована
при решении конкурсных задач, например, см, задачи 5 п. ЗЛ .11, 3.1.12 и
задачи 6 п. 3.1.13, 3.1.14 раздела III.

Пусть на плоскости имеются две окружности	и (Оз; Яг) >

Л1 Яз , d = |О1Оз| = p(Oi; Оз), О\ Оз .

Определение 5. Прямая, проходящая через центры окружностей O1O3,
называется линией центров этих окружностей.

рис. 70 а)	рис. 70 б)

Определение 6. Две окружности называются непере секающимися,
если они не имеют общих точек (см. рис. 70 а), б).

Определение 7. Две окружностц называются касающимися, если они
имеют одну и только одну (единственную) общую точку (см. рис. 70
в), г). Общая точка двух касающихся окружностей называется их точ-
кой касания.

Окружности, изображенные на рис. 70 в), называются касающими-
ся внутренним образом, а окружности, изображенные на рис. 70 г),
называются касающимися внешним образом.

Определение 8. Прямая, лежащая в одной плоскости с касающимися
окружностями, называется их общей касательной, если она имеет с
этими окружностями одну и только одну (единственную) общую
точку, которая является их точкой касания.
Прямая а , изображенная на рис. 70 в) иг), является общей касательной
к касающимся окружностям.

рис. 70 д)	рис. 70 е)	рис. 70 ж)

Определение 9. Две окружности называются пересекающимися, ес-
ли они имеют две общие точки (см. рис. 70 д). Общие точки двух пере-
секающихся окружностей называются их точками пересечения.

Определение 10. Две окружности называются концентрическими, ес-
ли они имеют общий центр и различные радиусы (см. рис. 70 е).

Из определения 10 и У40 п. 2.3.0 вытекает, что концентрические окруж-
ности не имеют общих точек. Расстояние между центрами концентри-
ческих окружностей равно нулю.

Докажем теорему о возможных вариантах взаимного расположения двух
окружностей на плоскости. Для этого нам потребуется вспомогательная
лемма, представляющая собой обратное неравенству треугольника утверж-
дение.

Лемма. Если а , Ь и с — три положительных числа (для определен-
ности пусть a^b$c)ua + b>c , то существует треугольник, длины
сторон которого равны а , Ь и с (см. также [10], теорема 13.4).

Доказательство

с% 4" о2_52

Обозначим ai = --------- . Так как с > Ь , то > 0 . Докажем,

2с
что ai < а .

с2 + а2 - Ь2 2ас — с2 — а2 + Ь2 Ь2 — (с - а)2
1	2с	2с	2с

Так как а + 6>с,то6>с — а>0, следовательно, Ь2 > (с — а)2 , откуда
а > ai .

Построение треугольника АВС с длинами сторон а , b и с проведем
следующим образом. На некоторой прямой I выберем точку В , на одной из
полупрямых с началом в точке В отложим отрезок В А такой, что |ВЛ| = с ,
затем на луче В А отложим отрезок BD такой, что |ВВ| = ai (это возможно
на основании У40 п. 2.3.0). Поскольку c^a>ai,Toc>ai, точка D лежит
между точками В и Л на прямой (АВ) а потому |ЛР| = |ЛВ| — |В2?| =
= c — ai . Из точки D в одну из полуплоскостей относительно прямой (АВ)
восставим перпендикуляр к этой прямой (это возможно согласно следствию
их У43 п. 2.3.0). На этом перпендикуляре отложим отрезок DC такой, что
|РС| = у/а2 — al , соединим отрезками точки А и С , а также — точки В и
С . По построению точки А , В и С не лежат на одной прямой (см. рис. 70
ж). Докажем, что АЛОВ — искомый. |АВ| = с по построению, по теореме
Пифагора для прямоугольных &DCB и АЛОВ соответственно

|ВС| = ^/|ВР|2 + |DC|2 = y/a^+a2-al = у/а2 = а ,
|АС| = ^|АР|2 + |РС|2 = ^(с-ахР + ^-а2 =
= \/с2 — 2cai + al + а2 — а% = у/с2 + а2 — 2cai = y/b2 = b .

Лемма доказана.

Пусть на плоскости имеются две окружности (Oi; Ri) и (О2; Яг) ,
Ri. R2 , 0 < d p(Oi\ О2) —- |OiO21 ? Oi О2 •

Теорема 7.

А)	Если R2—Ri>d или R2+R1 < d , то окружности не пересекаются
(не имеют общих точек).

Б) Если R2 — Ri ~ d или R2 + Ri = d f то окружности касаются,
(имеют единственную общую точку), причем эти окружности имеют и
общую касательную, касающуюся каждой из них в их точке касания.

В)	Если R2 — R1 < d < Я24-Л1 , то окружности пересекаются (имеют
две общие точки).

Доказательства

См. также [10], теорема 13.6, ниже приведены более подробные доказа-
тельства всех этих утверждений.

А) Предположим противное, что окружности (О; Ri) и (О; R2) имеют
по крайней мере одну точку А . В случае, если точка А не лежит на прямой
(OiО2) — линии центров этих окружностей, в силу неравенства треуголь-
ника (см. теоремы 8, 9 и 10 вопроса 3 и того, что соотношения между
отрезками точно такие, как и соотношения между их длинами) получаем,
что |О2А| - |OiA| = R2 - Ri < d = |OiO21 < |ОМ| + |О2А| =
= Ri 4- Я2 , пришли к противоречию с условиями А). Если точка А ле-
жит на прямой (Oi О2) , то в случае, когда она лежит между точками
Oi и О2 d = |OiO2| = |OiA| 4- |О2А| = Ri 4- Я2 , опять противоре-
чие с условиями А). Если точка Oi лежит между точками А и О2 , то
Я2 = |АО2| = |OiA| 4- |O2Oi| = Ri 4- d <=> Я2 — Ri = d , снова противо-
речие с условиями А). Если точка О2 лежит между точками А и Oi , то
Ri = |AOi| = |О2А| 4- |OiO21 = Я2 4- d => Я1 > Я2 , а это противоречит
условию Я1 Я2 . Следовательно, в случаях А) окружности не имеют
общих точек. А) доказано.
Замечание 1. Если Ri — Я1 > d , то Ri > Я1 . Если взять произволь-
ную точку М круга (Oi\Ri) , то в силу неравенства треугольника име-
ем: |ОгАГ| |ОгО1| + |OiAf| d 4- R\ < Ri • Получили, что весь круг
(Oi; Ri) целиком лежит внутри окружности (О; Ri) (см. рис. 70 а). Пусть
Яг 4- Я1 < d , если взять произвольную точку М круга (Oi; Яг) , то в силу
неравенства треугольника имеем: |ОгМ| |ОгО1| ~ |OiМ | d — Я1 >
> Яг • Получили, что весь круг (O\\R\) целиком лежит вне окружности
(О; R2)., точно так же получаем, что весь круг (Ог;Яг) целиком лежит
вне окружности (О;Я1) (см. рис. 70 б).

Б) Предположим, что окружности (Or, Я1) и (Ог;Яг) имеют общую
точку А , не лежащую на прямой (O1O2) , тогда точно так же, как в случае
А) получаем, что Яг — Я1 < d < Я1 4- Яг , что противоречит равенствам
R2 - Я1 = d или Яг 4- Я1 = d . Следовательно, окружности не имеют общих
точек, лежащих вне их линии центров.

Пусть Яг-Ях = d Ф» Яг = Ях+d . На прямой (O1O2) существует общая
точка А этих окружностей. Для обоснования ее существования отложим
(на основании У40 п. 2.3.0) на луче с началом в точке Oi , не содержащем
точку Oi , отрезок длины Я1 с одним концом в точке Oi , другой конец и
будет указанной точкой А , так как, с одной стороны, эта точка является
точкой окружности (Oi; Я1), с другой стороны, точка Oi лежит между точ-
ками Oi и А , поэтому |О2-А| = IO2O114-|OiA| = d4-fli = Яг, следовательно,
точка А является точкой окружности (Ог;Яг) . Докажем единственность
этой точки. Предположим, что существует еще одна общая точка окруж-
ностей. Тогда по доказанному она лежит на прямой (O1O2) , в силу У40 п.
2.3.0 она может лежать только на дополнительном по отношению к лучу
O2O1 луче на расстоянии Яг от точки Ог . Следовательно, точка Oi будет
лежать между точками А и Oi , а потому Я1 = |OiA| = |ОгА| 4- |ОгО11 =
= Яг 4- d , в то же время Я1 = Яг - d , что возможно только при d = 0 , а
это противоречит тому, что d > 0 (см. рис. 70 в).

Пусть Яг 4- Я1 = d => Я1 < d . На прямой (O1O2) существует об-
щая точка А этих окружностей. Для обоснования ее существования от-
ложим (на основании У40 п. 2.3.0) на луче с началом в точке Oi , со-
держащем точку Oi , отрезок длины Яг с одним концом в точке Oi ,
другой конец и будет указанной точкой А , так как, с одной стороны,
эта точка является точкой окружности (Oi;fli) , с другой стороны, точ-
ка А будет лежать между точками Ог и Oi (так как Я1 < d), поэтому
|ОгА| = |ОгО1| - |OiA| = d — Я1 = Яг, следовательно, точка А является
точкой окружности (Ог; Яг) . Докажем единственность этой точки. Пред-
положим, что существует еще одна общая точка окружностей. Тогда по
доказанному она лежит на прямой (O1O2) , в силу У40 п. 2.3.0 она может
лежать только на дополнительном по отношению к лучу O2O1 луче на рас-
стоянии Яг от точки О2 . Следовательно, точка О2 будет лежать между
точками А и Ох , а потому Ri = |0i4| = |0г^| 4- IO2O11 = R2 4- d , в то же
время Ri = d — R2 , что возможно только при R2 = 0 , а это противоречит
тому, что Яг > О (см. выше определение окружности, а также рис. 70 г).

Замечание 2. Если Я2 — Ri = d , то Яг > Я1 . Если взять произвольную
точку М круга (Ох;Я1) , отличную от точки А , то в силу неравенства
треугольника имеем: |Ог^| < |ОгО1| 4- |OiM| d + Ях = Яг => |ОгМ| <
< Яг . Получили, что весь круг (О1;Я1) (кроме точки А) целиком лежит
внутри окружности (О; Яг) (см. рис. 70 в). Пусть Яг 4-Ях = d, если взять
произвольную точку М круга (Ох;Ях) , отличную от точки А , то в силу
неравенства треугольника имеем: IO2M| > |ОгО1| — |OiAf | d - Я1 = Яг.
Получили, что весь круг (Or, Я1) (кроме точки А) целиком лежит вне
окружности (О; Яг) , точно так же получаем, что весь круг (Ог; Яг) (кроме
точки А) целиком лежит вне окружности (Q',R\) (см. рис. 70 г).

Так как общая точка А окружностей (Ох; Я1) и (Ог; R2) лежит на линии
центров (O1O2) , то в силу теорем 1 и 2 этого вопроса прямая — касающа-
яся одной из этих окружностей в точке А , будет перпендикулярна линии
центров (O1O2) > а потому она будет касаться другой окружности в той же
точке А . Б) полностью доказано.

Замечание 3. Выше отмечалось, что если через точку окружности про-
вести касательную, то все точки соответствующего круга (кроме точки
касания) лежат в одной полуплоскости относительно этой касательной.
Поэтому в случае, когда окружности касаются внутренним (внешним об-
разом) ввиду того, что их центры расположены в одной полуплоскости (в
разных полуплоскостях) относительно их общей касательной, эти окруж-
ности вместе со своими внутренними точками (кроме точки их касания)
также расположены в одной полуплоскости (в разных полуплоскостях)
относительно их общей касательной.

В) Пусть теперь Яг - Ri < d < Яг 4- Я1 , докажем, что окружности
имеют две и только две общие точки. Покажем, что существует треуголь-
ник с длинами сторон d , Яг и Я1 . Так как Яг - Ri < d , то Ях 4- d > Яг;
из Яг Я1 следует Яг 4- d > Я1 ; Яг 4- Я1 > d по условию, в силу до-
казанной выше леммы вытекает существование указанного треугольника.
Построение этого треугольника мы проведем следующим образом. Одна из
его сторон будет отрезком ОхОг , |ОхОг1 = d , третьей из его вершин будет
такая точка А , что |О1А| = Я1 , |ОгЛ| = Яг , следовательно, точка А
будет общей точкой окружностей (Oi; Я1) и (Ог; Яг) . При этом так как
Яг Я1 , то в треугольнике ДО1АО2 /АОгОх или угол при основании
равнобедренного треугольника (при Я1 = Яг) а потому он — острый, или
/.AOzOi < ЛАО1О2 (при Я1 < Яг)» следовательно, он и в этом случае
острый.

Поскольку точка А не лежит на прямой O1O2 , то из нее можно опус-
тить (согласно теореме 2 вопроса 4) единственный перпендикуляр на пря-
мую (Q1O2) , пусть точка Е — основание этого перпендикуляра. В силу
того, что ZAO2O1 — острый, точка Е отлична от точки О2 • На допол-
нительном луче по отношению к лучу ЕА отложим отрезок ЕВ такой, что
\ЕВ\ = |ЯА| , точка Е будет лежать между точками А и В . У прямо-
угольных треугольников АО2АЕ и ДОгВЯ О2Е — общий катет, катеты
ЕА и ЕВ равны по построению. Следовательно, ДОгА-Е = ДОг^^ (по
двум катетам), а потому |ОгВ| = |ОгА| = Яг , стало быть точка В ле-
жит на окружности (Ог;Яг) • Далее, если точка Е =£ Oi , то равенство
|О1В| = |О1А| 5= Я1 (откуда вытекает принадлежность точки В окружнос-
ти (Oi; Я1)) доказывается аналогично, если Е = О\ , то точка В — диаме-
трально противоположная точке А в окружности (Oi; Я1) . Итак, сущест-
вование двух различных общих точек у окружностей (Ог;Яг) и (О1;Я1)
доказано.

Осталось доказать, что больше общих точек, кроме А и В эти окруж-
ности не имеют. Предположим, что существует точка С А и С В ,
являющаяся общей точкой окружностей (Ог;Яг) и (Оц Я1) . Тогда, пред-
полагая, что С Е (O1O2) , в случае, когда лежит между точками А и В,
имеем: d = |О1Ог| = |Оз.С'| 4- |СОг| = Ri + Яг , это противоречит нера-
венству d < Яг + Яг , если точка Oi лежит между точками С и О2 , то
|COi| + |OiO21 = \СО21 d = IO1O2I = ICO2I - |СО1| = Я2 - Яг , это про-
тиворечит неравенству d > Яг — Ri , если точка Ог лежит между точками
С и Ot , то \СО21 + IO2O1I = ICOil <=> d = |Ог<?1| = |COi| - |СО2| =
= Ri — Яг <=> d 0 , это противоречит неравенству d > 0 . Совпадение
точки С с какой-либо из точек Oi или О2 невозможно, поскольку любая
точка окружности всегда отлична от ее центра. Таким образом, доказана
невозможность принадлежности точки С линии центров (O1O2) •

Пусть С (O1O2) , тогда точки Oj , С и Ог могут быть верши-
нами треугольника Д(?1<70г • Рассмотрим ДО1СО2 и ДО1АО2 . У них
|ОхС| = |OiA| = Я1 , [ОгС'! = |ОгА| = Яг , сторона O1O2 — общая,
следовательно, эти треугольники равны (по трем сторонам). Аналогично
доказывается равенство треугольников ДО1СО2 и ДО1ВО2 Из равенств
указанных треугольников, в частности, следует: ZCO2O1 = ZAO2O1 ,
^СОг^х ~ ZBO2O1 * Предполагая (для определенности), что точка С
лежит в одной полуплоскости относительно прямой (01;0г) с точкой А,
согласно равенству Z.CO2O1 = ZAO2O1 получим (в силу А1б п. 2.3.0) сов-
падение лучей О2А и О2С , откуда в силу равенств [ОгС! = |ОгА| = Яг
и У40 п. 2.3.0 получаем совпадение точек А и С . Аналогично, предпола-
гая, что точка С оказалась в другой полуплоскости относительно прямой
(Oi; О2) , получим, что она окажется в одной полуплоскости относительно
этой прямой с точкой В , а потому она совпадет с точкой В . Пришли к
противоречию с предположением С А и С В , которое и доказывает
отсутствие других общих точек у окружностей (О;Я1) и (О; Яг) , кроме
точек А и В .

Итак, теорема 7 полностью доказана.

Замечание 4. При условиях В) теоремы 7 окружности (Ог Я1) и (Ог; Яг)
имеют общую хорду АВ , а потому согласно У5 п. 2.3.1 (см. материал пос-
ле вопроса 15) все ее внутренние точки лежат во внутренних областях
каждой из этих окружностей. При этом прямая (АВ) , разделяя все точки
плоскости на две полуплоскости, разделяет и точки каждой из окружностей
(Ог, Я1) и (Ог; Яг) на две части (дуги). Поэтому в каждой из полуплоскос-
тей относительно прямой (АВ) находятся внутренние точки дуг двух
пересекающихся окружностей и соответствующих им круговых сегмен-
тов. При этом общей частью пересекающихся кругов (Ог Я1) и (Ог;Яг)
будет объединение внутренних точек круговых сегментов вместе с их
границами, лежащих в каждом из этих кругов (см. на рис. 70 д) заштри-
хованную область).

Замечание 5. В процессе доказательства случая В) теоремы 7 нами по-
лучено, что прямая, содержащая общую хорду двух пересекающихся окруж-
ностей и их линия центров взаимно перпендикулярны, при этом линия
центров пересекающихся окружностей делит их общую хорду пополам
(на два равных отрезка).

Следствие. Поскольку каждое из соотношений между d > О, Я1 и Яг, ко-
торые определяются условиями: или А), или Б), или В) теоремы 7 исключа-
ет другое из них, то от противного легко доказать и обратное утверждение
к каждому из утверждений теоремы 7: А), I?) и В). Тем самым получаем,
что если на плоскости имеются две окружности (Ог Я1) и (Ог; Яг) ,
Я1 Яг , 0 < d = р(Ог Ог) = |О1Ог| , Oi Ог , то

а)	окружности не пересекаются (не имеют общих точек) тогда и
только тогда, когда или Яг — Я1 > d , или Яг 4- Я1 <d , причем взаимо-
отношение между окружностями на рис. 70 а) (70 б) имеет место тогда
и только тогда, когда R2 — Я1 > d (R2 4- Я1 < d) ;

б)	окружности касаются (имеют единственную общую точку) тогда
и только тогда, когда или Яг — Я1 = d , или Яг 4- Я1 = d , причем
взаимоотношение между окружностями на рис. 70 в) (70 г) имеет место
тогда и только тогда, когда Яг — Я1 = d (Яг 4- Я1 = d) ;
в)	окружности пересекаются (имеют две общие точки) тогда и толь-
ко тогда, когда Яг — Ri < d < R2 4- Ri = d .

Замечание б. В учебной и справочной литературе рассматриваются во-
просы и о количестве общих касательных к двум, окружностям на плоскос-
ти в зависимости от взаимного расположения этих окружностей. В част-
ности, рассматриваются и задачи на построение таких касательных.

Об этом см. учебник [8], п. 117 — 122, 128 — 129, а также [13], [16].

Переходим, наконец, к вопросу о числе касательных, которые можно
провести к окружности через точку, лежащей вне ее.

Теорема 8. Через всякую точку в плоскости окружности можно про-
вести к ней две и только две касательные.

Доказательство

См. рис. 70 з). Проведем через точку М , лежащую вне окружности
(О; Я) и центр О прямую, пусть С — середина отрезка ОМ (существо-
вание и единственность середины отрезка вытекает из У37 п. 2.3.0). Так
как середина отрезка ОМ — это такая точка С , лежащая на прямой (ОС)
между точками Л и С , что ОС = СМ . Проведем окружность с центром
в точке С радиуса г = |ОС| = \ОМ|/2 , О и М будут ее диаметрально
противоположными точками. Исследуем соотношение между d = |ОС| = г,
ЯН-r и |Я — г|. Неравенство d = |О<7| = г < г + Я очевидно. Если Я г , то
|Я-г| = Я —г , а так как |ОМ| = 2г > Я , то R — r < 2r — г = г = d < Я + г;
если Я<г,то|Я— г| = г — R < г = d < R + г . Таким образом, в силу
теоремы 7, случай В) окружности (О; Я) и (С; г) имеют две и только две
общие точки А и В , которые не лежат на прямой (ОМ). Если соеди-
нить отрезками точки ОиА,ОиВ,ЛГиА,ЛГиВ,то углы ЛО АМ и
ЛОВМ — Прямые, так являются вписанными в окружность (С; г) и опира-
ются на ее диаметр. В силу теоремы 2 этого вопроса прямые (МА) и (МВ)
— касательные к окружности (О; Я) , А и В — точки касания. Попутно
еще раз на основе равенства (по общей гипотенузе ОС и равным катетам
|ОА| = |ОВ| = Л) прямоугольных треугольников АО АМ и &ОВМ уста-
навливается равенство отрезков касательных, проведенных из точки М к
окружности (О; R) , МА = МВ .
Остается доказать отсутствие других касательных, проведенных из точ-
ки М к окружности (О; R) , отличных от касательных (МА) и (МВ) .
Предположим, что существует еще одна касательная (MD) к окружности
(O,*R) , отличная от (МА) и (МВ) , D — точка ее касания с окружностью
(О; R) . Эта точка не лежит на прямой (ОМ) , поскольку эта прямая, про-
ходя через центр окружности О , удалена от центра этой окружности на
расстояние р = 0 . Стало быть, в силу УЗ п. 2.3.1 (см. материал после во-
проса 15) она является секущей для этой окружности (которая пересекает
окружность в двух диаметрально противоположных точках, точка D была
бы одной из них). Пусть точка D лежит в той полуплоскости относительно
линии центров (ОС) , в которой лежит точка А , тогда в силу теоремы 1
МD ± OD . Прямоугольные треугольники &ODM и ДОАМ равны (по
гипотенузе и катету), так как гипотенуза ОМ у них общая, О А = OD как
радиусы одной окружности. Следовательно, ЛАОМ = Z.DOM , а потому
получим (в силу А16 п. 2.3.0) совпадение лучей О А и OD , откуда в силу
равенств |ОА| = |OD| = R и У40 п. 2.3.0 получаем совпадение точек А и
D . Аналогично, предполагая, что точка D оказалась в другой полуплос-
кости относительно прямой (О; С) , получим, что она окажется в одной
полуплоскости относительно этой прямой с точкой В , а потому она сов-
падет с точкой В . Таким образом, или (AfD) совпадает с (AfА) , или
(AfD) совпадает с (Af А) , пришли к противоречию с предположением су-
ществования отличной от (Af А) и (AfB) касательной к окружности (О; Я),
которое и доказывает наличие только двух касательных (МА) и (МВ) к
этой окружности. Теорема 8 полностью доказана.

Вопрос 22. Теорема об окружности, вписанной в треугольник
Вводная часть

См. выше, в вопросе 1 определение треугольника, в предыдущем вопро-
се приводились определение окружности и связанных с ней понятий, опре-
деление касательной. См. также определение 4 вопроса 3 — биссектрисы
угла треугольника.

Основная часть

Определение. Если все стороны треугольника касаются окружности,
то такой треугольник называется описанным около окружности, а
окружность — вписанной в этот треугольник.

Замечание. В этом определении подразумевается, что прямая, содержа-
щая любую из сторон описанного около окружности треугольника, каса-
ется этой окружности, причем точка ее касания с окружностью является
внутренней точкой соответствующей стороны.
Теорема. В любой треугольник можно вписать и притом единствен-
ную окружность, центр этой окружности является точкой пересечения

Доказательство

В теоремах 3 и 5 вопроса 14 было доказано сначала пересечение бис-
сектрис двух углов треугольника как отрезков, а потом и биссектрис всех
трех углов этого треугольника, причем точка их пересечения находится во
внутренней области треугольника.

См. рис. 71. В треугольнике ДАВС проведем биссектрисы ZBAC ,
ZBCA и ZABC , пусть О — точка их пересечения. Поскольку половины
внутренних углов треугольника (каж углов первого типа) всегда острые
углы (об этом см. теорему 1 вопроса 4), то если опустить перпендикуляры
из точки О на прямые, содержащие его стороны, в силу теоремы 3 вопроса
4 основание перпендикуляра Q , проведенного из точки О на прямую (АС),
будет на луче АС и на луче С А , то есть на отрезке АС ; основание пер-
пендикуляра R , проведенного из точки О на прямую (АВ) , будет на луче
АВ и на луче В А , то есть на отрезке АВ ; основание перпендикуляра Р,
проведенного из точки О на прямую (ВС), будет на луче ВС и на луче СВ,
то есть на отрезке ВС . Проведем из точки О радиусом г , равным дли-
не этих перпендикуляров (|ОР| = |OQ| = |ОЯ| = г) окружность, которая
в силу теоремы 2 вопроса 21 будет касаться всех сторон треугольника
АВС , тем самым эта окружность будет вписана в треугольник АВС .
Существование вписанной в треугольник окружности доказано.

Докажем единственность вписанной в треугольник окружности. Пред-
положим существование еще одной вписанной в треугольник АВС окруж-
ности. Тогда ее центр равноудален от всех его сторон, откуда следует рав-
ноудаленность этого центра от сторон каждого из его внутренних углов.
Следовательно, ее центр является точкой пересечения биссектрис внутрен-
них углов треугольника, ввиду единственности этой точки этот центр сов-
падет с центром первой вписанной в треугольник окружности. Вследствие
единственности перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, а по-
тому и единственности расстояния от точки до прямой мы получаем и
равенство радиусов предполагаемых двух вписанных окружностей. Стало
быть, эти окружности совпадают. Теорема полностью доказана.
Дополнительная часть

Замечание 1. Пусть в треугольник АВС вписана окружность. Тогда
она, касаясь, например, сторон АВ и АС , будет касаться сторон угла
Z.BAC . Так как этот угол — угол первого типа, то эта окружность будет
вписана в этот угол. Аналогично получается, что эта окружность будет
вписана в любой из его внутренних углов, стало быть, все точки окруж-
ности и соответствующего круга (кроме точек касания вписанной в тре-
угольник окружности с его сторонами) будут во внутренней области этого
треугольника.

Замечание 2. Можно рассматривать и так называемые вневписанные
в треугольник окружности. Окружность называется вневписанной в тре-
угольник, если она касается одной из его сторон и продолжений двух других
сторон.

Это определение означает, что окружность касается сторон одного из
его внутренних углов, противолежащей ему стороны, точки ее касания со
сторонами указанного угла являются внешними точками двух других его
сторон. Стало быть, вся эта окружность (кроме точки ее касания со сторо-
ной треугольника) лежит в полуплоскости относительно содержащей ука-
занную сторону прямой, которая не содержит внутренней области ука-
занного треугольника. Тем самым все точки этой окружность и ее центр,
а также ее внутренние точки лежат во внешней области треугольника.
Отсюда и название „вневписанная”.

О таких окружностях см. учебник [8], п. 138, а также [16].

Вопрос 23. Теоремы о параллельных прямых в пространстве. При-
знак параллельности прямой и плоскости. Признак параллельности плос-
костей .

Вводная часть

В начале вводной части раздела ”Геометрия” (п. 2.3.0) говорилось о
таких первичных понятиях геометрии, как ”точка”, „прямая”, ”плоскость„
и о пространстве как совокупности всех точек, прямых и плоскостей.

Напомним, что под терминами ”две, три и т.д. точки”, „две, три и
т.д. прямые”, „две, три и т.д. плоскости” соответственно понимаются: все
различные точки, все различные прямые, все различные плоскости. Для
них используются обозначения разными буквами: А , В , С для точек;
а , b , с для прямых, а , /3,7 для плоскостей.

В случае совпадения точек, прямых и плоскостей мы будем считать их
соответственно одной точкой, одной прямой, одной плоскостью, и соответ-
ственно обозначать А = В,Ь = с,а = /3, причем каждый раз, когда эта
ситуация имеет место, это будет специально оговариваться.
Если точки А и В , прямые бис, плоскости а и (3 — различные, то
это соответственно обозначается А£ В , с ,	/3 .

Напомним, что на основе аксиом принадлежности (А1 — А8) можно
доказать теорему о наличии или отсутствии общих точек у двух прямых,
у двух плоскостей, у плоскости и не лежащей в ней прямой (см. У1 А), Б),
В) п. 2.3.0).

В соответствии с этим утверждением можно ввести определения пере-
секающихся прямых, пересекающихся прямой и плоскости, пересекающих-
ся плоскостей, а также — параллельных прямых, параллельных прямой и
плоскости, параллельных плоскостей.

Определение L Две прямые в пространстве называются пересекаю-
щимися, если они имеют общую точку.

Лемма. 1. Если у двух различных прямых существует общая точка} то
она единственна.	Доказательство

Это утверждение легко доказывается от противного. Предположим, что
существует по крайней мере еще одна общая точка у двух прямых. Из АЗ
п. 2.3.0, утверждающей существование одной и только одной (единствен-
ной) прямой, проходящей через две различные точки, вытекает, что эти
прямые совпадают. Пришли к противоречию, которое и доказывает един-
ственность общей точки у двух различных прямых (в случае ее существо-
вания). Лемма 1 доказана.

Определение 2. Плоскость и не лежащая в ней прямая называются
пересекающимися, если они имеют общую точку.

Лемма 2. Если плоскость и не лежащая в ней прямая имеют общую
точку, то эта точка единственна.

Доказательство

Это утверждение легко доказывается от противного. Предположим, что
существует по крайней мере еще одна общая точка у плоскости и не ле-
жащей в ней прямой. Так как согласно Аб п. 2.3.0, если две точки при-
надлежат плоскости, то и вся прямая, проходящая через них принадлежит
этой плоскости, получаем противоречие, которое доказывает единствен-
ность общей точки у плоскости и не лежащей в ней прямой (в случае ее
существования). Лемма 2 доказана.

Определение 3. Две не совпадающие плоскости называются пересе-
кающимися, если они имеют общую точку.

Лемма 3. Если две не совпадающие плоскости имеют общую точку,
то они имеют единственную общую прямую, содержащую все их общие
точки.	Доказательство

Согласно А7 при наличии хотя бы одной общей точки у двух плоскостей
имеется по крайней мере еще одна их общая точка. Тогда согласно Аб все
точки прямой, проходящей через указанные общие точки двух плоскостей,
будут лежать в каждой из этих плоскостей. Предположим, что существует
еще одна Общая прямая у этих плоскостей. Тогда выбирая на ней точку,
не лежащую на первой прямой, и другие две точки, лежащие на первой
прямой, получим, что через указанные три точки, не лежащие на одной
прямой, проходят указанные две различные плоскости, что противоречит
А5 п. 2.3.0. Полученное противоречие доказывает единственность общей
прямой у двух плоскостей в случае наличия у них общей точки. Лемма 3
доказана.

Лемма, 4. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как и
через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна (един-
ственная) плоскость (см. также У2 п. 2.3.0).

Доказательство

Пусть имеются прямая а и точка М , не лежащая на ней. Согласно А1 п.
2.3.0 существуют по крайней мере две точки А и В на прямой а . Согласно
А2 п. 2.3.0 существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной
прямой, откуда следует существование точки М , не лежащей на прямой а .
В силу А5 п. 2.3.0 существует единственная плоскость а , проходящая через
точки (А , Ви М), не лежащие на одной прямой. В силу Аб прямая а лежит
а плоскости а Таким образом, плоскость а содержит прямую а и точку
М, не лежащую на а . Предполагая существование еще одной плоскости а', |
содержащей прямую а и точку М , мы получим, что она содержит точки
А , В и М , не лежащие на одной прямой, что противоречит А5 п. 2.3.0
Полученное противоречие доказывает единственность плоскости а .

Пусть имеются прямые а и b , М — точка их пересечения (их общая
точка). Согласно А1 п. 2.3.0 существует по крайней еще одна точка А на
прямой а , отличная от точки М и существует по крайней еще одна точка
В на прямой Ь , отличная от точки М . Точки А , В и М не лежат на
одной прямой, так как в противном случае получалось бы, что через две
различные точки А и М или через две различные точки В и М проходят
две различные прямые а и Ь , а это противоречит АЗ п. 2.3.0. В силу А5
через точки А , В и М проходит единственная плоскость а , в которой
согласно Аб лежат прямые а и b . Единственность этой плоскости доказы-
вается точно так же, как и в предыдущем случае (прямая и не лежащая на
ней точка). Лемма 4 доказана.

Основная часть

Определение 4. Две прямые в пространстве называются параллель-
ными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек (не
пересекаются).

Из этого определения непосредственно вытекает, что если прямая а па-
раллельна прямой b , то и прямая b параллельна прямой а и наоборот

(в II bob || а).

рис. 72

Теорема 1. Через точку вне данной прямой пространстве) можно
провести параллельную ей прямую и притом только одну.

Доказательство

См. рис. 72. В силу доказанной выше леммы 4 через прямую а и точку
М можно провести единственную плоскость а , а в силу аксиомы парал-
лельности прямых (см. А22 п. 2.3.0), теоремы 1 вопроса 5 и следствия из
нее в плоскости а через точку М проходит одна и только одна прямая
b || а. Прямая b лежит с прямой а в одной плоскости о и не имеет с ней об-
щих точек (согласно определению параллельных прямых на плоскости, см.
определение 2 вопроса 5). Поэтому согласно определению 2 этого вопроса
прямые а и b (как прямые в пространстве) параллельны.

Предположим, что в пространстве через точку М проходит еще одна
прямая У || а . Поскольку согласно приведенному выше определению 2 пря-
мые bf и а должны лежать в одной плоскости, то это будет однозначно
определенная плоскость а , проходящая нерез точку М и прямую а . По-
лучили, что на плоскости а через точку М проходит более одной прямой,
параллельной прямой а (прямые b и bf). Пришли к противоречию с акси-
омой параллельности прямых на плоскости, которое и доказывает един-
ственность прямой b || а , проходящей через точку М $ а в пространстве.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Две различные прямые, параллельные третьей прямой, па-
раллельны.	Доказательство

См. также [10]. Пусть имеются три прямые: а,6ис,а||с,6||с,
докажем, что а [| Ъ . Случай, когда прямые а , 6 и с расположены в одной
плоскости рассмотрен выше, см. вопрос 5 теорема 2. Поэтому рассмотрим
случай, когда прямые а , b и с не лежат в одной плоскости. Пусть а —
плоскость, содержащая прямые а и с , /3 — плоскость, содержащая прямые
b и с , а и /3 различны, см. рис. 73. Выберем на прямой b точку В и проведем
плоскость 7 через прямую а и точку В (это возможно согласно лемме 4).
В силу леммы 3 плоскость у пересечет плоскость /3 по некоторой прямой
bi , которая содержит точку В . Докажем, что bi || с .

Предположим противное, что Ъ\ с , поскольку прямые 61 и с лежат в
плоскости /3 , то это значит, что они пересекутся в некоторой точке С . Эта
точка будет лежать и в плоскости у , так как она лежит на прямой bi Е у .
В то же время так как точка С лежит на прямой с , лежащей в плоскости а
, то она будет лежать в плоскости а . Таким образом, точка С лежит как в
плоскости а , так и ,в плоскости у , стало быть, она будет лежать на прямой
их пересечения, то есть на прямой а . Итак, точка С лежит на прямой а
и на прямой с , что противоречит параллельности этих прямых (стало
быть, отсутствию у них общих точек). Следовательно, bi || с , а потому
в силу аксиомы параллельности прямых Ъ\ = Ь . Таким образом, прямые
6 и а лежат в одной плоскости у . Эти прямые не могут пересекаться,
так как в противном случае поскольку они обе параллельны прямой с ,
получилось бы существование двух различных прямых, проходящих через
точку их пересечения, параллельных прямой с , что противоречит теореме
1. Следовательно, а || b . Теорема 2 доказана.

Замечание. Доказанная теорема 2 означает, что отношение параллель-
ности прямых в пространстве обладает свойством транзити в но сти.

Определение 5. Плоскость и не лежащая в ней прямая называются
параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Из этого определения непосредственно вытекает, что если плоскость а
параллельна плоскости /3 , то и плоскость /3 параллельна плоскости а и
наоборот (а || /3	/3 || а).
Теорема 3 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая,
не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой
плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доказательство

Пусть прямая а параллельна некоторой прямой Ь , лежащей в плоскости
а , (эти прямые различные так как а $£ а) , тогда согласно определению
параллельных прямых существует плоскость /3 , проходящая через прямые
а и b (см. рис. 74). Плоскости а и /3 — различные, так как в противном
случае получалось бы, что прямая а лежала бы в плоскости а , что неверно.
Следовательно, прямая Ь — прямая (линия) пересечения плоскостей а и /3 .
Предположим, что прямая а не является параллельной плоскости а . Тогда
так как а £ а , то а пересекает плоскость а в некоторой точке А . Эта точка
А лежит как на прямой а , так и в плоскости а . Поскольку А 6 а , а € /3,
то А 6 /3 , таким образом, точка А , находясь как в плоскости а , так и
в плоскости /3 , будет лежать на их линии пересечения, то есть на прямой
b (в силу леммы 3 прямая Ь единственна). Следовательно, прямые а и b
имеют общую точку А и различны, что противоречит их параллельности.
Полученное противоречие доказывает невозможность пересечения прямой
а и плоскости а , поэтому так как а £ а , то а || а . Теорема 3 доказана.

Определение 6. Две плоскости ^называются параллельными, если

рис. 75

Теорема 4 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекаю-
щиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пря-
мым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство

Пусть а и /3 — две плоскости, прямые а и b лежат в плоскости а , а
и b пересекаются в некоторой точке М , прямые с и d лежат в плоскости
/3 , а || с , Ь || d . Требуется доказать, что плоскости а и /3 параллельны.
Отметим, что в силу теоремы 3 из а || с , с € /3 следует, что а || /3 , а из
Ь || d , d € (3 следует, что b || а . Предположим,, что плоскости а и /3 не
параллельны, тогда они имеют по крайней *Mepe одну общую точку. В силу
леммы 3 плоскости а и /3 имеют общую прямую е (линию пересечения).
Получили, что с одной стороны, прямые а и е лежат в одной плоскости а,
с другой стороны, они не имею! общих точек (поскольку е € /3 , а а || /3 ,
поэтому не имеет с ней общих точек). Следовательно, а || е . Совершенно
аналогично доказывается, что Ь || е . Получили, что в плоскости а через
точку М проходят две различные прямые а и b , параллельные прямой е ,
что противоречит аксиоме параллельности прямых (см. А22 п. 2.3.0). По-
лученное противоречие доказывает невозможность пересечения плоскостей
а и /3 , следовательно, а || /3 . Теорема 4 доказана.

Замечание. Отметим, что из условий a || с , 6 || d , а П 6 = М следует,
что пересекаются прямые cud. Поскольку, предполагая, что с || d , мы
получим, что согласно теореме 2 из а || с || d || Ь => а || Ь , что противоречит
а П b = М .

Дополнительная часть

Отметим, что справедливы теоремы, обратные теоремам 3 и 4.

Теорема 5 (свойство параллельности прямой и плоскости). Если пря-
мая параллельна плоскости, то в этой плоскости существует прямая,
которой параллельная плоскости прямая параллельна.

Доказательство

Предположим, что прямая а параллельна плоскости а , тогда в соот-
ветствии с определением 5 а $ а . Докажем, что в плоскости а существует
прямая Ь такая, что а || b (см. рис. 74). Для этого достаточно провести че-
рез произвольную точку М € а (существование такой точки гарантирует
А4 п. 2.3.0) и прямую а плоскость /3 (согласно лемме 4). Эта плоскость,
будучи отличной от плоскости а , пересечет (согласно лемме 3) плоскость
а по прямой b , содержащей точку М . Ь || а , поскольку эти прямые лежат
в одной плоскости /3 и не имеют общих точек, так как в противном слу-
чае были бы общие точки у прямой а и плоскости а , что противоречит

Замечание 1. Отметим, что в силу теоремы 2 любая прямая в плоскос-
ти а, параллельная прямой Ь , будет параллельна прямой а , поэтому в
плоскости а существует бесчисленное множество прямых, параллельных
прямой а .
Замечание 2. В процессе доказательства теоремы 5 установлено, что
если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости,
то прямая (линия) пересечения этих плоскостей параллельна указанной
прямой (см. рис. 76 а).

Следствие 1. (из теорем 3 и 5). Если одна из параллельных прямых пере-
секает плоскость, то и другая из них также пересекает эту плоскость.

Доказательство

См. рис. 76 б). Пусть прямые а и b параллельны, прямая а пересекает
плоскость а в точке А . Докажем, что прямая Ь также пересекает эту плос-
кость в некоторой точке В . Пусть это не так. Тогда возможны следующие
случаи. Прямая b лежит в плоскости а , тогда так как прямая а не лежит
в плоскости а и а || b , то в силу теоремы 3 а || а , что противоречит
а Па = А. Прямая Ь || а , тогда в силу теоремы 5 в плоскости а существует
прямая с || b . В силу теоремы 2 отсюда следует, что а || с , откуда снова
в силу теоремы 3 а || а , что противоречит а П а = А . Полученные про-
тиворечия доказывают, что прямые b и плоскость а также пересекаются.
Следствие доказано.

Следствие 2. Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся
плоскостей, то она параллельна их линии пересечения.

Доказательство

См. рис. 76 в). Пусть прямая а параллельна плоскости а , а также пря-
мая а параллельна плоскости /3 , b — линия пересечения этих плоскостей.
Требуется доказать, что прямая а параллельна прямой Ь . Для этого че-
рез точку М и прямую а проведем плоскость, которая согласно теореме 5
должна пересечь каждую из плоскостей а и (3 по прямым, параллельным
прямой а . Поскольку эти прямые проходят через точку М , то в силу теоре-
мы 1 они могут только совпадать, причем совпадать с общей прямой этих
плоскостей, а именно, линией их пересечения (прямой 6). Следовательно,
b || а . Следствие 2 доказано.

Теорема 6 (свойство параллельности плоскостей). Если две плоскости
параллельны, то в одной из них существует пара пересекающихся прямых
соответственно параллельных прямым в другой плоскости.

Доказательство

Пусть плоскости о и /3 параллельны. Выберем в плоскости а две пересе-
кающиеся прямые а и b . Существование таких прямых вытекает согласно
УЗ п. 2.3.0 о существовании по крайней мере трех точек в плоскости а ,
причем не лежащих на одной прямой. Через первую и вторую из этих точек
проведем прямую а (она существует, единственна и лежит в а в силу АЗ п.
2.3.0). Через первую и третью из этих точек проведем прямую b . Очевид-
но, что прямые а и b пересекаются в первой точке, а также то, что каждая
из них параллельна плоскости (3 . Выберем точку N в плоскости /3 , про-
ведем через точку N и прямую а плоскость, которая пересечет плоскость
/3 по прямой с , эта прямая с || а (см. доказательство теоремы 5), анало-
гично проведем через точку N и прямую Ь плоскость, которая пересечет
плоскость (3 по прямой d , эта прямая d || b . Теорема 6 доказана.

Замечание. Точно так же, как и в замечании к теореме 4 получаем, что
из условий а 11 с , b || d , аГ\Ь = М следует, что сПd = N (см. рис. 75).

С помощью теоремы 6 несложно доказать и теорему, выражающую
свойство транзитивности отношения параллельности плоскостей. .

Теорема 7. Две различные плоскости, параллельные третьей плоско-

сти, параллельны.

Доказательство

Пусть а , /3 , 7 — три плоскости, а || 7 , 7 || /3 . Требуется доказать,
что а || /3 . Выберем в плоскости а две пересекающиеся прямые а Аб = М,
тогда (по доказанному в теореме 6) в плоскости 7 существуют пересека-
ющиеся прямые ей/ такие, что а || е и b || / . Аналогично в плоскости
/3 существуют две пересекающиеся прямые с П d = N , такие, что е || с и
/ || d . В силу теоремы 2а||си6||</,а потому в силу теоремы 4 а || 7 .
Теорема 7 доказана.

рис. 77 а)

Отметим еще несколько свойств параллельных прямых и плоскостей.

Теорема 8. Через всякую точку, не лежащую на данной плоскости,
можно провести одну и только одну (единственную) плоскость, парал-
лельную данной плоскости.

Доказательство см. [5], п. 140, теорема 16.5; [7], п. И, задача 59; [9], п.
20; [10], §19, теорема 19.6.

Теорема 9. Если плоскость пересекает одну из двух других параллель-
ных между собой плоскостей, то она пересекает и вторую из них и пря-
мые пересечения параллельны (см. рис. 77 а).

Доказательство см. [5], п. 141; [7], п. 11, задачи 55, 57; [9], п. 16.

Отметим, что первая часть этого следствия (о пересечении второй из
параллельных плоскостей при условии пересечения плоскостью первой из
этих плоскостей легко устанавливается от противного).
Теорема, 10. Отрезки параллельных прямых между параллельными
плоскостями равны, (см. рис. 77 б).

Доказательство см. [5], п. 141; [7], п. 11; [9], п. 17, [10], §19, теорема 19.8.

Теорема 11. Если прямая параллельна одной из параллельных плоско-
стей, то она параллельна и другой.

Доказательство

Для доказательства этого утверждения достаточно через прямую а и
точку на одной из параллельных плоскостей провести плоскость, которая
в силу теоремы 5 пересечет эту плоскость по прямой, параллельной ука-
занной выше прямой. В силу теоремы 9 проведенная плоскость пересечет
вторую из параллельных плоскостей также по прямой, параллельной пря-
мой а , далее в силу теоремы 3 получаем параллельность прямой а и второй
из параллельных плоскостей. Теорема 11 доказана.

Теорема 12. Если прямая пересекает одну из параллельных плоско-
стей, то она пересекает и другую из них.

Доказательство

Пусть прямая а пересекает одну из параллельных плоскостей. Пред-
положим, что она или лежит во второй плоскости, тогда в силу отсут-
ствия общих точек у этих плоскостей, она не сможет иметь общей точки
с первой из них, получили противоречие. Если предположить, что прямая
а параллельна второй плоскости, получим (в силу теоремы 11), что она
параллельна первой плоскости, что противоречит их пересечению. Следо-
вательно прямая а может только пересекать вторую плоскость. Теорема
12 доказана.

Вопрос 24- Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теоре-
ма об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым.

Вводная часть

В случае пространства кроме ситуации, когда две прямые находятся в
одной плоскости и не имеют общих точек (то есть параллельны), возможно
и такое расположение прямых, когда они не лежат в одной плоскости.

Определение 1. Прямые в пространстве, которые не лежат в одной
Теорема 1 (о существовании скрещивающихся прямых). Если одна из
двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая из этих прямых
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то
такие прямые являются скрещивающимися.

Доказательство

См. рис. 78 а). Пусть прямая а лежит в плоскости а , прямая b пересека-
ет плоскость а в точке С . Следует отметить, что подобная конфигурация
существует на основе УЗ п. 2.3.0, согласно которому в плоскости а суще-
ствуют три точки, не лежащие на одной прямой (пусть это будут точки
А , В , С), существование точки D , не лежащей в плоскости а , гаран-
тирует А8 п. 2.3.0. Если провести через точки А и В прямую а (см. А8 п.
2.3.0), на которой не будет лежать точка С , а также и через точки С и D
провести прямую, то в силу Аб п. 2.3.0 прямая а будет лежать в плоскости
а . Прямая Ь не лежит в плоскости а , так как в противном случае точка
D лежала бы в плоскости а , что неверно. Если предположить, что суще-
ствует некоторая плоскость /3 , содержащая прямые а и b , а стало быть, и
все четыре точки А , В , С , D , то в силу единственности плоскости, про-
ходящей через точки А , В , С (см. А5 п. 2.3.0), плоскости /3 и а совпадут,
стало быть, точка D должна будет оказаться в плоскости а , что неверно.
Следовательно, прямые а и Ъ не лежат в одной плоскости, а потому они
скрещиваются. Теорема 1 доказана.

Замечание. Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек. Это лег-
ко доказывается от противного. Предполагая существование общей точки
у этих прямых, мы получим (согласно доказательству леммы 4 вопроса
23), что если эти прямые различны, то они лежат в одной плоскости, если
эти прямые совпадают (а это при наличии у них двух различных общих
точек), то через них проходит бесчисленное множество плоскостей.

Теорема 2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых прохо-
дит единственная плоскость, параллельная другой прямой, причем эти
плоскости параллельны.

Доказательство

См. рис. 78 б). Пусть а = (ЛВ) и b = (CD) — две скрещивающиеся пря-
мые. Докажем, что, например, через прямую (CD) проходит единственная
плоскость, параллельная прямой (АВ) . Проведем через точку С прямую
а* = (СЕ), параллельную прямой а (это возможно согласно теореме 1 во-
проса 23), в силу той же теоремы эта прямая единственна. Так как Ь |^а ,
то прямые Ь и а' — различные. Поскольку эти прямые имеют общую точ-
ку С , то С — точка их пересечения. В силу леммы 4 вопроса 23 через
прямые а1 и Ъ можно провести единственную плоскость (обозначим ее за
/3), при этом, так как прямые а и b скрещиваются, а не лежит в плоскости
0. Так как а || а' , а* G 0 , то в силу теоремы 3 вопроса 23 а || /? . Су-
ществование плоскости, проходящей через прямую 6, параллельно прямой
а, доказано. Докажем ее единственность. Предположим, что через прямую
Ь проходит еще одна плоскость /?'	/?, параллельная прямой а . С одной

стороныt эта плоскость проходит через точку С , с другой стороны, она
не содержит прямую а' (иначе она совпадала бы с плоскостью /?). Следо-
вательно, плоскость /?' пересекает прямую аг , так как а' || а , то в силу
следствия 1 из теорем 3 и 5 вопроса 23 плоскость пересекает прямую
а , пришли к противоречию с тем, что а || /?' . Полученное противоречие
доказывает единственность плоскости 0 || а такой, что 6 € 0 и прямые а и b
скрещиваются. Аналогичным образом, проводя через точку А € а прямую
bf || b и затем через прямые а и V — плоскость а , мы получим, что в силу
теоремы 3 вопроса 23 Ь || а (см. рис. 78 в). Единственность этой плоскости
доказывается точно так же, как доказывается единственность плоскости 0.
Далее, получив, что в плоскости 0 имеются две пересекающиеся прямые b
и а1 соответственно параллельные прямым bf и а , лежащим в плоскости а ,
в силу теоремы 4 вопроса 23 будем иметь, что а || 0 . Теорема 2 полностью
доказана.

/W /—7 /ч4
рис. 79 а) рис. 79 б) рис. 79 в;

три возможных взаимных расположения двух Прямых в про-

Отметим
странстве:

а)	прямые пересекаются (имеют единственную общую точку), через них
проходит единственная плоскость (см. рис. 79 а);

б)	прямые параллельны (они лежат в одной плоскости и не имеют общих
точек), плоскость, в которой они лежат единственная (см. рис. 79 б);

в)	прямые скрещиваются (они не лежат в одной плоскости и не имеют
общих точек, см. рис. 79 в).

Замечание. Единственность плоскости, в которой лежат параллельные
прямые обосновывается так. Пусть а и b — параллельные прямые. Выбе-
рем произвольные две точки на прямой а и одну точку на прямой b . Через
эти три точки (согласно А5 п. 2.3.0) проходит единственная плоскость. Со-
гласно Аб прямая а лежит в этой плоскости. В силу А22 п. 2.3.0 и теоремы
1 вопроса 23 всякая прямая, параллельная прямой а и проходящая через
третью точку, может только совпадать с прямой b , поэтому (согласно А22
п. 2.3.0) прямая b лежит в построенной плоскости. Предполагая, что через
эти прямые пройдет еще одна плоскость, мы получим, что она пройдет и
через выбранные выше три точки, тем самым получим противоречие с А5
п. 2.3.0. Это противоречие доказывает единственность плоскости, прохо-
дящеи через параллельные прямые.

Выше, в начале дополнительной части вопроса 2, отмечалось, что при
пересечении двух прямых а и Ь образуются четыре угла, имеющие общую
вершину в точке пересечения этих прямых. Из них две пары вертикльных
углов, а также четыре пары смежных углов. В силу равенства вертикаль-
ных углов неравными могут быть только смежные углы, при условии, что
один из них острый, другой — тупой. Острый угол является меньшим из
этих углов, тупой — большим из них.

Договоримся всюду в дальнейшем углом между пересекающимися не
перпендикулярными прямыми считать меньший из углов, образующихся
при их Пересечении. Если эти прямые взаимно перпендикулярны, то угол
между ними прямой.

Угол между параллельными или совпадающими прямыми будем счи-
тать нулевым.

Определение 2. Углом между скрещивающимися прямыми назы-
вается угол между пересекающимися прямыми, которые соответствен-
но параллельны данным скрещивающимся прямым.

При этом мерой такого угла естественно считать меру угла между
соответственно параллельными им пересекающимися прямыми (см. рис.
79 в).

В учебниках геометрии доказывается, что этот угол не зависит от того,
какие берутся пересекающиеся прямые и где расположена их точка пере-
сечения.

См. [7], гл. I, §2, пп. 8 — 9;

[5], п. 160, при этом используется транзитивность отношения параллель-
ности прямых и свойства параллельного переноса — одного из видов дви-
жений в геометрии (см. VI. в п. 2.3.0).

Основная часть

Определение 3. Две прямые в пространстве называются перпенди-
кулярными, если угол между ними прямой.

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна
третьей прямой, то и другая из них перпендикулярна зтой прямой.
Доказательство

Пусть а , b и с — прямые в пространстве, а || b , а ± с . Требуется
доказать, что b ± с . См. рис. 80 а). Для этого через произвольную точку
М пространства, не принадлежащую ни одной из прямых а , b и с проведем
прямые (МА) || а , (МС) || с (согласно теореме 1 вопроса 23). По определе-
нию перпендикулярности прямых в пространстве Z.AMC — прямой. Так
как (МА) || а , а || Ь , то в силу теоремы 2 вопроса 23 (МА) || Ь , согласно
определениям 2 и 3 b ± с . Теорема 3 доказана.

Определение 4. Прямая, пересекающая плоскость, называется пер-
пендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой пря-
мой, которая лежит в данной плоскости. При этом также плоскость
называется перпендикулярной указанной прямой.

Теорема. 4. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна
плоскости, то и другая из них перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство

Пусть а , b — прямые в пространстве, а || b , а — плоскость, а ± а .
Требуется доказать, что Ь ± а . См. рис. 80 б). Проведем в плоскости а
произвольную прямую m . В силу произвольности прямой ш и определения
4 следует а ± т , а в силу теоремы 3 вытекает, что b ± т . В силу
произвольности прямой т и определения 4 следует, что b ± а . Теорема 4
доказана.

Имеет место и обратная теорема.

Теорема 5. Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они па-

раллельны.	Доказательство

См. рис. 80 в) и г). Пусть прямые а и Ь перпендикулярны плоскости
а , требуется доказать, что они параллельны. Проведем через некоторую
точку М прямую , параллельную прямой а . В силу теоремы 4 bt ± а.
Докажем, что прямые bi и b совпадают, тогда будет следовать а || Ъ .
Предположим, что прямые b и Ьг не совпадают, тогда они пересекаются
в точке М и через них можно провести (согласно лемме 4 вопроса 23)
единственную плоскость /3 . Поскольку согласно определению 4 прямая 6
и плоскость а пересекаются, то они имеют общую точку. Следовательно,
плоскости /3 и а имеют общую точку и в силу леммы 3 вопроса 23 они
имеют общую прямую с , по которой они пересекаются. Так как Ь ± а и
61 JL а , то в силу определения 46±си61±с, получили, что из точки М
к прямой с в плоскости /3 проведено два перпендикуляра, что невозможно.
Следовательно, 61 5 6 => а || 6 . Теорема 5 доказана.

Теорема. 6. (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если
прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плос-
кости, то она перпендикулярна данной плоскости.

рис. 81 а)	рис. 81 б)

Доказательство

См. рис. 81 б). Рассмотрим прямую а , такую, что а ± т , а ± п ,
т , п € о , тГ\п = О (тип — указанные в условии теоремы прямые, О
— точка их пересечения). Требуется доказать, что прямая а перпендику-
лярна плоскости а (а ± а). Для этого (согласно определению 4) достаточно
доказать, что прямая а перпендикулярна произвольной прямой q , лежащей
в плоскости а .

Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через точку О , причем
* Через точку О в плоскости а проведем прямую 11| q (если
оказалось, что q проходит через точку О , то в качестве прямой I можно
взять прямую q). Выберем на прямой а точку Л , отличную от точки О
и на дополнительном по отношению к лучу О А луче ОВ выберем точку
В такую, что ОВ = О А (это возможно согласно А14 п. 2.3.0), тем самым
точка О будет серединой отрезка АВ . Проведем в плоскости а прямую
р, * ** пересекающую прямые I , т и п соответственно в точка L , М и
N . Для определенности будем считать, что точка М на прямой р лежит
между точками L и N . Прямые тип являются серединными перпенди-

* Существование такой прямой q можно получить, например, выбирая на каждой
из прямых тип точки М и N, отличные от точки О их пересечения, соединяя их
прямой, затем, выбирая на прямой (MN) отличную от М и N точку L и проводя прямую
Я 5 (OL) .

** О существовании прямой р см. в замечании к этой теореме в дополнительной
части вопроса.
кулярами, проведенными соответственно в плоскостях {АМВ) и {AN В),
к отрезку АВ . В силу свойства серединного перпендикуляра к отрезку
АМ = ВМ и AN = BN . В &AMN и &BMN также сторона MN —
общая. Следовательно, &AMN = ABMN (по трем сторонам), а потому
ЛАМL = ЛВМЬ . Далее рассмотрим AAML и ABML , у них сторона ML
— общая, AN = BN , ЛАМЬ = ЛВМЬ , следовательно, ДАМЬ = &BML
(по двум сторонам и углу между ними), а потому AL = BL . Последнее ра-
венство означает, что AALB — равнобедренный, OL — его медиана, про-
веденная к основанию АВ , которая (согласно свойствам равнобедренного
треугольника) является высотой. Таким образом, а = {АВ) ± {OL) = / . В
случае I = q сразу следует, что а ± q . В случае I || q так как по доказан-
ному I ± а , то в силу теоремы 3 а ± q . В силу произвольности выбранной
прямой q € а и определения 4 следует, что прямая а ± а .

Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку
О . Проведем через точку О прямую ai || а (согласно теореме Г вопроса
23). В силу теоремы 3	± т и a.i ± п , по доказанному в предыдущем

случае aj ± a , теперь в силу теоремы 4 получаем, что a ± a . Теорема 6
полностью доказана.

Замечание. Утверждение, обратное теореме, 6 непосредственно вытека-
ет из определения 4.

Определение 5. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся
прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся пер-
пендикуляром к каждой из них (то есть этот отрезок лежит на прямой,
перпендикулярной каждой из этих скрещивающихся прямых).

рис. 82

Теорема 7. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр,
и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллель-
ных плоскостей, проходящих через эти прямые.

Доказательство

См. [10], §20. Пусть а и b — данные скрещивающиеся прямые. Соглас-
но теореме 2 через прямую а проходит единственная плоскость a , парал-
лельная прямой b , а через прямую 6 проходит единственная плоскость /?,
параллельная прямой а , причем а || 0 . Из произвольной точки С € а
проведем прямую (CD) ± 0 (о существовании такой прямой также см. в
дополнительной части вопроса), тогда в силу определения 4 (CD) ± 6 ,
а также силу теоремы 8 (см. дополнительную часть вопроса) (CD) ± а
(откуда (CD) ± a), D € 0 . Если оказалось, что D 6 b , то (CD) и есть
общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым а и b .

Предположим, что точка D £ Ь . Так как прямая (CD) имеет общую
точку с плоскостью 0 , а прямая а не имеет с ней общих точек, то эти
прямые различны. Следовательно, они пересекаются в точке С . Проведем
через прямые а и (CD) плоскость 7 , которая пересечет плоскость 0 по
прямой (DB) || а (так как а || 0 , см. теорему 5 вопроса 23). Прямая (DB)
пересечет прямую Ъ € 0 в точке В (если предположить, что (DB) || b , то в
силу теоремы 2 вопроса 23 а || b , а это неверно). Через точку В проведем
прямую (ВА) || (DC) , следовательно, прямая (ВА) 6 7 , а потому эта
прямая пересечет прямую а в точке А . В силу теоремы 4 (ВА) ± 0 , а в
силу а || 0 и (см. ниже) теоремы 8 (ВА) ± а . Таким образом, (ВА) есть
общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым а и b .

Докажем единственность общего перпендикуляра к скрещивающимся
прямым а и Ь. Допустим, что существует еще один общий перпендикуляр
(Л'В') к этим прямым. Пусть прямая (BE) || а , ((BE) — прямая пересече-
ния плоскостей 7 и 0). Тогда так как прямые (АВ) и (А'В') перпендикуляр-
ны а и b , то они будут перпендикулярны пересекающимся прямым (BDf)
и а в плоскости 0 и потому в силу теоремы 5 (АВ) || (AfBf) , стало быть
точки А и А1 различные, а также точки В и В' различные и все они лежат
в одной плоскости. Следовательно, прямые а = (АА1) и b = (BBf) лежат
в одной плоскости, что неверно, так как прямые а и b скрещиваются. Тем
самым единственность общего перпендикуляра к двум скрещивающимся
прямым доказана. Перпендикулярность прямой (АВ) каждой из плоско-
стей а и 0 была установлена в процессе доказательства теоремы. Теорема
7 полностью доказана.

Определение 6. Длина общего перпендикуляра к скрещивающимся пря-
мым называется расстоянием между этими прямыми, а также — рас-
стоянием между соответствующими параллельными плоскостями.

Дополнительная часть

Имеют место следующие теоремы о перпендикулярности прямой и плос-
кости, которые мы приведем без доказательств. Их доказательства можно
найти в учебниках.

Теорема 8. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных
плоскостей, то она перпендикулярна и другой из них.
Доказательство см. [9], п. 33.

Теорема 9 (обратная теореме 8). Если две плоскости перпендикулярны
к одной прямой, то они параллельны.

Доказательство см. [9], п. 34.

Теорема 10. Через всякую точку пространства можно провести к
данной плоскости единственную перпендикулярную ей прямую.

Доказательство см. [5], п. 145, задачи 11, 12 и 5; [7], гл. II, §1, п. 18; [9],
п. 36; [10], §20, теорема 20.7.

Теорема 11. Через всякую точку пространства можно провести к
данной прямой единственную перпендикулярную ей плоскость.

Доказательство см. [5], п. 145, задача 9; [7], гл* II, §1, п. 17, задача 133;
[9], п. 35, в [7] и [9] полнее; [10], §20, теорема 20.6.

Замечание (к теореме 3). Существование точки М в доказательстве те-
оремы 3 следует из следующих рассуждений * Если прямые a , b и с лежат в
одной плоскости, то в качестве точки М можно взять произвольную точку,
не лежащую в этой плоскости (согласно А8 п.2.3.0 такая точка существу-
ет). Если прямая с не лежит в плоскости у параллельных прямых а и 6 , то
с имеет не более одной общей точки с плоскостью у . Выберем, например,
точку А на прямой a , которая не лежит на прямой с и точку С на прямой
с такую, что С не лежит в плоскости у (очевидно, что А С). В качестве
точки М можно взять, например, середину отрезка АС , М А, М £ С .
Точка М £ у (в противном случае вся прямая (АМ) , в том числе и точка
С будет в плоскости у , что неверно), следовательно М £ а и М £ Ь , точка
М также не лежит на прямой с (в противном случае прямая (СМ) = с , а
потому А € с , что неверно).

Замечание 1 (к теореме 6). Существование прямой р в доказательстве
теоремы 6 следует из следующих рассуждений. Выберем на лучах прямых
I , т и п (с вершиной в точке О), причем таких, что лучи прямых т
и п лежат в одной полуплоскости относительно прямой I (это возможно
согласно У20 п. 2.3.0), соответственно точки L , М и N (см. рис. 81 б).
Согласно У27 и У29 п. 2.3.0. можно (для определенности) предположить,
что луч прямой т проходит между указанными лучами прямых I и п .
Тогда, выбирая точки L и 7V на соответствующих лучах, мы получим (в
силу У26 п. 2.3.0), что отрезок LN прямой р пересечет луч прямой т в
некоторой своей внутренней точке М . Таким образом, точка М будет
лежать между точками L и N на прямой р .

Замечание 2 (к теореме 6). Использование признаков равенства тре-
угольников в пространстве правомерно. Так как можно провести их дока-
зательство точно так же, как это делалось в вопросе 1, при этом кроме
совмещения вершин и сторон треугольников для их равенства в простран-
стве надо обосновать еще и совмещение их внутренних областей. (Об этом
см. в приложении к учебнику [7], где доказывается первый признак равен-
ства треугольников в пространстве, при этом помимо приведенных там
рассуждений следует применить еще и А12 (Паша) п. 2.3.0).

Вопрос 25. Признак перпендикулярности плоскостей. Теорема о трех

перпендикулярах.
Вводная часть

При формулировке определения перпендикулярных плоскостей будет
использовано понятие двугранного угла. Поэтому вначале мы введем это
определение и рассмотрим некоторые свойства двугранных углов.

Определение 1. Двугранным углом называется фигура, образован-
ная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принад-
лежащими одной плоскости. * Полуплоскости, образующие двугранный
угол, называются его гранями. Прямая а называется его ребром.

См. рис. 83 а). Обозначаются двугранные следующим образом: Лаа/3
или ZaAB/З , где а и /3 — грани двугранного угла, а или (АВ) — ребро
двугранного угла.

Определение 2. Если на ребре двугранного угла выбрать какую-либо
точку и из нее в каждой его грани провести перпендикулярные ребру лу-
чи, то образованный ими угол называется линейным углом двугран-
ного угла.

См. рис. 83 б). ЛВМА и /.DNC — линейные углы двугранного угла
Лаа(3 , на рис. 83 в) ЛАОВ — линейный угол двугранного угла a(CD)(3 .

Отметим, что если грани двугранного угла не лежат в одной плоскости,
то и стороны его линейного угла не лежат на одной прямой (в противном
случае вторая сторона этого угла лежала бы в одной плоскости с первой

* В некоторых случаях это ограничение может быть снято.
стороной, что не так). Таким образом, стороны линейного угла двугранно-
го угла лежат на прямых, пересекающихся в его вершине, которая лежит
не ребре этого двугранного угла. В силу теоремы 6 вопроса 24 (признака
перпендикулярности прямой и плоскости) ребро двугранного угла перпен-
дикулярно плоскости, в которой лежит его линейный угол

(см. рис. 83 в), (АВ) ± ?) .

Лемма. Любые два линейных угла одного и того же двугранного угла

Равны-	Доказательство

См. рис. 83 £). Выберем на ребре двугранного угла Zaa/? две точки М
w N .На перпендикулярах, восставленных из этих точек в плоскостях а
и /3 отложим соответственно равные отрезки МА — NC (MA,NC € 0)
и МВ = ND (MB, ND € а) (это возможно в силу А14 п. 2.3.0) , со-
единим отрезком точки А и В , а также точки С и D . Прямые (NC) и
(МА) параллельны, так как лежат в одной плоскости а и перпендикуляр-
ны одной прямой а . По аналогичной причине параллельны прямые (ND)
и (МВ). Поскольку лучи МА и NC лежат в одной полуплоскости относи-
тельно прямой а , (МА) || (NC) и МА = NC (по построению), а также
МА ± а , NC ± а , то четырехугольник MNCА — выпуклый и имеющий
прямой угол, а потому в силу теоремы 5 вопроса 7 он — прямоугольник,
откуда следует, что (AC) || (MN) = а и АС = MN . Аналогично дока-
зывается» что четырехугольник MNDB — прямоугольник, откуда следу-
ет, что (BD) || (MN) = а и BD = MN . В силу теоремы 2 вопроса 23
получаем, что (AC) || (BD) (откуда следует, что точки А , В , С , D ле-
жат в одной плоскости, а потому и прямые (АВ) и (CD) лежат в одной
плоскости). Далее в силу теоремы 4 вопроса 23 (признака параллельно-
сти плоскостей) плоскость (МАВ) параллельна плоскости (NCD) (так как
(МА) П (МВ) = М , МА || NC , MB || ND). Следовательно, поскольку
с одной стороны, прямые (АВ) и (CD) лежат в одной плоскости, с другой
стороны, они лежат в параллельных плоскостях (МАВ) и (NCD) соот-
ветственно, то (АВ) || (CD) . Так как (AC) || (BD) , то четырехугольник
ABDC — параллелограмм (стало быть, выпуклый четырехугольник, см.
теорему 3 вопроса 7). Следовательно, АВ = CD . В треугольниках ДАМ В
и ACND соответственно равны стороны МА = NC , МВ = ND (по по-
строению), АВ = CD (по доказанному). Следовательно, ДАМ В = ACND
(по трем сторонам), а потому £АМВ = /.CND . Лемма доказана,

Замечание. Утверждение этой леммы означает, что линейный угол дву-
гранного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного
угла. При доказательстве леммы установлено, что линейные углы одного и
того же двугранного угла, образованного полуплоскостями, не лежащи-
ми в одной плоскости, лежат в параллельных плоскостях.
Определение 3. Мера двугранного угла считается равной мере, кото-
рую имеет его линейный угол.

В дополнительной части вопроса мы еще рассмотрим утверждения, ка-
сающиеся свойств двугранных углов и их измерения.

Основная часть

Определение 4. Двугранный угод называется прямым, если его линей-
ный угол прямой.

Определение 5. Две пересекающиеся плоскости называются перпен-
дикулярными, если при их пересечении получаются прямые двугранные

углы.

рис. 84 а)	рис. 84 б)

Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость
проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти
плоскости перпендикулярны.

Доказательство

См. рис. 84 а). Пусть плоскости а и /3 таковы, что прямая (АВ) Е а
и (АВ) ± (3 , требуется доказать, что плоскости а и /3 перпендикулярны
(а ± /3) . Пусть А — точка пересечения плоскости а и /3 , тогда в силу
леммы 3 вопроса 23 эти плоскости будут пересекаться по некоторой пря-
мой (АС) , стало быть, в частности (АС) 6 /3 , а потому (АВ) ± (АС).
Далее проведем через точку А в плоскости /3 прямую (AD) ± (АС) , в силу
перпендикулярности прямой (АВ) и плоскости /3 (АВ) ± (AD) . Получи-
ли, что Z.BAD — линейный угол двугранного угла а(АС)/3 , являющийся
прямым. Следовательно, согласно определениям 4 и 5 плоскости а и /3 пер-
пендикулярны. Теорема 1 доказана.

Следствие. Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересе-
каются другие две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоско-
стей.

См. на рис. 84 б) прямую а = аП/?иа±7.В силу теоремы 1 а 1 7
и /3 ± 7 .

Замечание. В дополнительной части этого вопроса мы докажем еще две
теоремы, выражающие свойства перпендикулярных плоскостей.

Выше, в вводной части вопроса 9 рассматривались понятия перпен-
дикуляра и наклонной к прямой на плоскости. Совершенно аналогичные
определения можно ввести и по отношению к плоскости в пространстве.

Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка.

Определение 4. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на
данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с
точкой плоскости, и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием
перпендикуляра. Длина этого перпендикуляра называется расстоя-
нием от точки до плоскости.

Определение 5. Наклонной к данной плоскости а , называется пря-
мая I, не являющаяся ни перпендикулярной, ни параллельной этой плос-
кости. Отрезок, соединяющий точку А с точкой на плоскости а и ле-
жащий на прямой I, наклонной к плоскости а , называется отрезком
наклонной.

Замечание. Часто для упрощения терминологии под наклонной, прове-
денной из данной точки А к пплоскости а называют именно отрезок на-
клонной, одним из концов которого является точка А . Другой конец этого
отрезка, лежащий на плоскости а , называется основанием наклонной.

Определение 6. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и на-
клонной, проведенных из одной и той же точки к плоскости, называется
проекцией наклонной.

Замечание. Отметим, что прямая и отрезок называются перпендику-
лярными, если эта прямая перпендикулярна той прямой, на которой распо-
ложен отрезок. Плоскость и отрезок называются перпендикулярными, если
эта плоскость перпендикулярна прямой, на которой расположен этот

Теорема 2 (о трех перпендикулярах). Если прямая, проведенная на
плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикуляр-
на этой наклонной.	Доказательство

См. рис. 85. Пусть АН — перпендикуляр, проведенный .из точки А к
плоскости а , точка Н — основание этого перпендикуляра. АМ — отрезок
наклонной, проведенной из точки А к плоскости а , точка М — основание
этой наклонной, отрезок НМ — проекция этой наклонной, прямая а пер-
пендикулярна проекции НМ . Точки Н , М и А — различные, так как
А £ а , Я, М € а , поэтому Я А и М А и также А $ (НМ) ; Я М ,
так как Я — основание перпендикуляра (он единственен), М — основание
наклонной (поэтому АМ / а). Таким образом, через не лежащие на одной
прямой точки А , Я и М можно провести единственную плоскость (в
силу А5 п. 2.3.0). В силу теоремы 1 так как прямая (АН) Хаи (АН) G /3,
то плоскость /? X а . Согласно определению перпендикулярных прямой и
плоскости (см. определение 4 вопроса 24) а X (НА) , в то же время по усло-
вию a X (НМ) . Поскольку прямые (НМ) и (НА) — различные и имеют
общую точку Я , то они в ней пересекаются, а потому в силу теоремы
6 вопроса 24 (признака перпендикулярности прямой и плоскости) прямая
а X /? . Следовательно а X (АМ) . Теорема 2 доказана.

Теорема 3 (обратная теореме 2). Если прямая на плоскости перпенди-
кулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

Доказательство

См. рис. 85. Оно проводится по совершенно аналогичной схеме, что и
доказательство теоремы 2. Отличие лишь в том, что вместо а X (НМ) те-
перь по условию а X (АМ) , прямые прямые (МА) и (НА) — различные и
имеют общую точку А , поэтому они в ней пересекаются, стало быть, в силу
теоремы 6 вопроса 24 (признака перпендикулярности прямой и плоскости)
прямая а X /3 . Следовательно а X (АН) . Теорема 3 доказана.

Замечание 1. Теоремы 2 и 3 доказаны для произвольной прямой a , лежа-
щей в плоскости a , перпендикулярной соответственно проекции наклонной
и самой наклонной. Прохождение прямой а через основание наклонной, точ-
ку М не предполагалось. На рис. 85 изображен случай прямой I X НМ и
I X АМ , в частности, для нее справедливы утверждения теорем 2 и 3.

Замечание 2. Смысл названия теорем 2 и 3 ”о трех перпендикулярах”
заключается в том, что в них идет речь о перпендикуляре, проведенном
из точки к плоскости и о перпендикулярности' прямой к наклонной и к
проекции этой наклонной.

Дополнительная часть

Докажем две теоремы, выражающие свойства перпендикулярных плос-
костей.
Теорема 4. Если две плоскости взаимно перпендикулярны и к одной из
них проведена перпендикулярная прямая, имеющая общую точку со вто-
рой плоскостью, то она лежит во второй плоскости.

Доказательство

См. рис. 86 а). Пусть плоскости а и /3 перпендикулярны, т — линия их
пересечения, (ЛС) ± /3 , точка А Е а . Предположим, что прямая (ЛС) не
лежит в плоскости а . На плоскости а проведем прямую (МА) ± т (точка
М лежит на прямой тп), а также в плоскости /3 проведем прямую (МА) 1т
(см. следствие из У43 п. 2.3.0). ЛАМ В — линейный угол двугранного угла
между перпендикулярными плоскостями а и /3 , стало быть, он прямой, а
потому (МА) ± (МВ) . Таким образом, прямая (МА) , образуя прямые
углы с перпендикулярными (а потому и пересекающимися) прямыми тп и
(МВ) в плоскости /3 будет (в силу теоремы 6 вопроса 24) перпендикулярна
плоскости /3 . Тем самым мы получим две различные перпендикулярные
прямые, проведенные из точки Л к плоскости /3: (АМ) и (ЛС) , что про-
тиворечит теореме 10 вопроса 24. Полученное противоречие доказывает
невозможность того, что плоскость а и прямая (ЛС) пересекаются в точке
а . Поскольку прямая (ЛС) имеет общую точку Л с плоскостью а , то она
целиком лежит в ней. Теорема 4 доказана.

Следствие. Линия пересечения двух плоскостей, перпендикулярных
третьей плоскости, также перпендикулярна третьей плоскости.

Доказательство ,

См. рис. 86 б). Проведем через точку С , лежащую на примой п (п
— линия пересечения плоскостей а и 7 , где а ± /3 и 7 ± /3), прямую,
перпендикулярную плоскости /3 . В силу теоремы 4 она будет лежать в
каждой из плоскостей а и 7 , то есть будет совпадать с прямой п (в силу
леммы 3 вопроса 23). Следствие доказано.

Теорема 5 Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая
прямая, лежащая в одной из этих плоскостей, перпендикулярная линии
их пересечения, будет перпендикулярна другой плоскости.
Доказательство

См. выше рис. 86 в). Пусть плоскости а и (3 перпендикулярны, т —
линия их пересечения, точка М на прямой т , (МА) € а , (МА) .± т .
Требуется доказать, что (МА) X /3 . Для доказательства из точки М на
прямой т проведем в плоскости /3 (МВ) ± т (согласно следствию из У43
п. 2.3.0). ЛАМ В — линейный угол прямого двугранного угла Лат/3 , стало
быть ЛАМ В — прямой, а потому (МА) ± (МВ) € (3 . Поскольку еще и
(МА) ± m G /? , тП(МВ) = М , то в силу теоремы 6 вопроса 24 (признака
перпендикулярности прямой и плоскости) (МА) ± (3 . Теорема 5 доказана.

Отметим/что в пространстве имеют место утверждения, аналогичные
утверждениям теорем 1 — 3 вопроса 9 о соотношениях между перпендику-
ляром и отрезком наклонной, а также — соотношениях между наклонными
и их проекциями, которые проведены из одной точки, не лежащей в данной
плоскости, к этой плоскости (по этому поводу см. [9], пп. 25 — 27). Для
их обоснования достаточно (в случае, если наклонные и соответствующие
им проекции не лежат в одной плоскости) построить в одной плоскости,
в которой расположены одна из наклонных и ее проекций, прямоугольный
треугольник с гипотенузой и катетом соответственно равными другой на-
клонной и ее проекции. Это построение проводится путем откладывания
от основания перпендикуляра на одном из лучей прямой, содержащей про-
екцию первой наклонной, отрезка, равного проекции второй наклонной (на
основании А14 п. 2.3.0), и затем соединения отрезком второго конца постро-
енного отрезка с точкой, из которой проведены перпендикуляр и наклонные.
Далее воспользоваться признаками равенства прямоугольных треугольни-
ков в пространстве.

Следует также привести определение угла между прямой и плоскостью,
которое часто применяется при решении задач.

Пусть даны плоскость а и некоторая прямая (АВ) , являющаяся на-
клонной к этой плоскости и пересекающая ее в точке А .

Определение 7. Углом между прямой (АВ) (точнее полупрямой АВ) и
плоскостью а называется острый угол между этой полупрямой и пря-
мой, содержащей проекцию на плоскость а любого отрезка АВ с концом
В на этой полупрямой.

Этот угол обладает тем свойством, что он является наименьшим среди
всех углов, которые наклонная (АВ) образует с прямыми, проведенными в
плоскости а через основание А этой наклонной (см. рис. 87 а).

Обоснование этого факта см. в [9], п. 48, при этом надо применить те-
оремы о соотношении третьих сторон и противолежащих им углов у двух
треугольников с первыми двумя соответственно равными сторонами
(см.,[8], п. 52).
рис. 87 в)

Читателям в качестве упражнения предлагается доказать аналоги те-
орем 4 и б вопроса 4 о том, что в пространстве точка равноудалена от
концов некоторого отрезка тогда и только тогда, когда она лежит на
плоскости, перпендикулярной этому отрезку и проходящей через его се-
редину (см. рис. 87 б).

Рассмотрим, наконец, упомянутый в вводной части этого вопроса ма-
териал о соотношении между двугранными углами.

Отметим, что по аналогии с 015 п. 2.3.0 можно рассматривать и дву-
гранные углы четырех типов, в том числе: нулевые, развернутые и полные
(образующие их грани лежат в одной плоскости). Отвечающие им линей-
ные углы будут соответственно нулевыми, развернутыми и полными. При
этом в качестве внутренних областей двугранных углов будут являться:
для углов первого типа — пересечение полупространств относительно
плоскости каждой из его граней, которые содержат другую его грань;

. для углов второго типа (развернутых углов) — одно из полупространств
относительно плоскости его граней;

для углов третьего типа — объединение полупространств относительно
плоскости каждой из его граней, которые не содержат другую его грань;

для углов четвертого типа: нулевых углов — отсутствие внутренней об-
ласти, для полных углов — все пространство, кроме совпадающих граней
угла.

В качестве внешней области двугранного угла выступает часть про-
странства, не содержащая ни его граней, ни точек внутренней области.
В частности при этом у полного двугранного угла отсутствует внешняя
область, у нулевого угла она представляет собой все пространство, кроме
совпадающих граней угла.

Можно рассматривать и аналоги плоских углов — двугранные углы,
объединенное с их внутренними областями (пространственные двуграные
углы).
Определение 8. Два двугранных угла называются равными, если они
могут быть совмещены наложением (вложением)

При этом предполагается, что при указанном вложении совмещаются
их ребра, а также — или первая (вторая) грань первого угла с первой
(второй) гранью второго угла, или — вторая (первая) грань первого угла
с первой (второй) гранью второго угла (при совмещении их внутренних
областей).

Подобно углам на плоскости можно рассматривать смежные и верти-
кальные двугранные углы.

По аналогии с углами на плоскости можно определять соотношения
"больше” и "меньше” для двугранных углов, причем можно доказать тео-
ремы.

Теорема 6.	Х

А)	Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.

Б) Большему (меньшему) из двугранных углов соответствуют боль-
ший (меньший) линейный угол.

В)	Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

Г) Большему (меньшему) из линейных углов соответствуют больший
(меньший) двугранный угол.

Об этом см. [7], пп. 39 — 41.

В частности, по аналогии с 027 В) и Г) вводятся понятия с 027 В) и
Г) вводятся определения острого и тупого двугранных углов.

По аналогии с тем как в вопросе 24 рассматривалось понятие угла меж-
ду прямыми можно считать углом между пересекающимися и не перпен-
дикулярными плоскостями меньший их углов, которые образуются при
их пересечении. Угол между перпендикулярными плоскостями — прямой.

Угол между параллельными или совпадающими плоскостями будем
считать нулевым.

Также по аналогии с углами на плоскости можно определять сумму и
разность для двугранных углов, причем можно доказать, что сумме (раз-
ности) двугранных углов отвечает сумма (разность) соответствующих
им линейных углов и наоборот.

Определение 9. Мерой (величиной) двугранного угла называется ме-
ра (величина) соответствующего ему линейного угла.

Можно доказать, что мера двугранного угла обладает всеми свойства-
ми меры линейного угла (см. 028 п. 2.3.0).

Отметим, что можно было рассмотреть вопрос и об аналогах утвер-
ждений А15, А16, У47 и У49 п. 2.3.0 для двугранных углов, о соотношении
внутренних областей двугранных углов и соответствующих им линейных
углов, аналоги других утверждений, касающихся измерений, свойств вну-


тренней и внешней областей углов на плоскости (У23 — У29 и их след-
ствия, У31А, У32, У36 и его следствия, У42, У43, У45, У46, У48) для дву-
гранных углов.

В данной книге мы не будем подробно касаться этих вопросов, предо-
ставляя читателям самим об этом подумать.

Остановимся на вопросе о биссектральной полуплоскости двугранного
угла. По аналогии с 029 п. 2.3.0 введем следующее определение.

Определение 10. Биссектральной полуплоскостью двугранного
угла первого типа называется полуплоскость, имеющая ту же границу,
что и данный двугранный угол, проходящая в его внутренней области и
делящая его на два равных двугранных угла .

На рис. 87 в) плоскость 7 — биссектральная плоскость двугранного
угла £ап/3 .

Для построения биссектральной полуплоскости надо выбрать произ-
вольный линейный угол данного двугранного угла (его плоскость будет
перпендикулярна ребру этого угла), провести биссектрису этого линейного
угла, а затем провести плоскость через эту биссектрису и ребро двугран-
ного угла. Обоснование того, что полученная при этом полуплоскость, ле-
жащая во внутренней области двугранного угла, будет его биссектральной
плоскостью предоставляется читателям.

Читателям в качестве упражнения предлагается также доказать анало-
ги теорем 5 и 7 вопроса 4 о том, что всякая точка, лежащая во внутрен-
ней области двугранного угла первого тцпа равноудалена от его граней
тогда и только тогда, когда она лежит на его на биссектральной
плоскости.

Можно также доказать аналог У44 п, 2.3.0 о единственности биссек-
тральной полуплоскости.
2.3.2.	Дополнительная часть

В пп. 2.3.0. и 2.3.1. нами проведено в значительной мере детальное
исследование вопросов той части курса элементарной геометрии, которая
выносится на устный экзамен по математике с необходимостью знания
доказательств теорем. Возможно, что не все доказательства проведены
оптимальным образом, поэтому мы будем признательны всем читателям
за критические замечания, способствующие в будущем улучшению содер-
жания книги.

Учитывая определенную сложность изучения изложенного материала
абитуриентами различного уровня подготовки, ниже, начиная со стр. 607,
мы приведем также указания, где, в каком из приведенных циклов учебни-
ков [5] — [9] можно найти ответы на каждый из 25 вопросов курса геоме-
трии.

Вследствие этого приведем примеры различной логической последова-
тельности изложения материала в указанных выше учебниках геометрии,
что очень важно учитывать при подготовке к экзаменам по разным учеб-
никам. Использование различных учебников необходимо из-за отсутствия,
к сожалению, доказательств всех теорем, в каждом из приведенных циклов
учебников геометрии, что также касается и теоремы о графике линейной
функции.

Пример 1. В учебниках [5], [6], [8] приводятся разные определения рав-
ных треугольников. В учебниках [6] и [8] эти определения вводятся также,
как и выше, в вопросе 1, а в учебнике [5] и книге [10]:

если у треугольников АВС и А9 В9 С9 соответствующими вершинами
являются вершины А и А9 , В и В9 , С ц С9 , а соответствующими
сторонами являются стороны АВ и А9В9 , ВС и В9С9 , АС и А9С9 , то

&АВС £ ЛА'В'С , если LA LA! ,

Z.B = Z.B' ,ЛС = Z.C , АВ = А'В' , АС = А'С' , ВС = В'С' .

Подобный подход к определению равных треугольников применяется и
при изложении курса геометрии, основанном на системе аксиом, отлича-
ющейся от приведенной в п. 2.3.0, заменой группы аксиом наложения на
группу аксиом ’’конгруэнтности” (см. книги [17] и [18]) (об этом подробно
шла речь в п. 2.3.0). В вопросе 1 п. 2.3.1 было показано, каким образом из
приведенного там определения равных треугольников вытекает приведен-
ное здесь определение. В то же время в п. 90 учебника [5] доказано, что
из приведенного здесь определения равных треугольников вытекает их ра-
венство в смысле определения 8 вопроса 1 (правда, в этой ситуации под
совмещением фигур понимается преобразование одной из них в другую в
результате движения). Тем самым, эти два определения равных треуголь-
ников можно в указанном смысле считать эквивалентными.

Отметим, что аналогичным образом можно ввести определения рав-
ных многоугольников как имеющих равные соответствующие стороны и
равные соответствующие внутренние углы, или как совмещающихся при
наложении и доказать эквивалентность этих определений.

Пример 2. В учебниках [5], [6], [8] приводятся разные определения по-
добных треугольников. В учебниках [6], [8] и книге [10] эти определения
вводятся также, как и выше, в вопросе 8, а в учебнике [5] сначала вво-
дятся понятия гомотетии и преобразования подобия фигур, затем они рас-
пространяются на треугольники как частные случаи фигур и определе-
ние 3 вопроса 8 получается как следствие свойств преобразования подобия
(см. [5], пп. 100 — 101). При доказательстве признаков подобия треуголь-
ников существенно используется утверждение о том, что гомотетия —
преобразование подобия. Однако в учебнике [5] „базовым” утверждением
для установления этого факта является теорема о пропорциональных от-
резках, доказанная задолго до этого, в п. 60. Что касается книги [10], то
там на основе определения подобных треугольников так же, как и в во-
просе 8 п. 2.3.1. теорема о гомотетии как частном случае преобразования
подобия доказывается на основе доказанных перед этим признаков подобия
треугольников. Во всех этих случаях: и в п. 60 учебника [5], и в §12 книги
[10] используется операция предельного перехода. Эта операция использу-
ется и в лемме 2 вопроса 8, так что в полной мере избежать ее применение
в доказательстве существенных теорем геометрии не удается.

Пример 3. В учебниках [6], [8] приводится то же определение касатель-
ной к окружности, что и в вопросе 21, а в учебнике [5] и книге [10] в качестве
определения касательной к окружности выступает то, что в вопросе 21 до-
казано как теорема, выражающая ее свойство, и наоборот. Важно отметить
то, что в приведенном определении касательной к окружности существен-
ным являлось требование их принадлежности одной плоскости, что ни в
одном из учебников явно не упоминается. Скорее всего, это связано с тем,
что определение касательной к окружности дается в курсе планиметрии,
где априори предполагается, что все происходит в одной плоскости. Однако
с точки зрения общего курса геометрии, включая и стереометрию, вполне
допустимо наличие единственной общей точки у окружности и прямой, пе-
ресекающей плоскость окружности в некоторой точке, лежащей на этой
окружности. При этом перпендикулярности указанной прямой к радиусу
окружности, проведенному в эту точку, может и не быть.

Пример 4. В учебниках [6], [8] приводится то же определение перпенди-
кулярных плоскостей, что и в вопросе 25, а в учебнике [5] и книге [10] —
другое. Правда, нетрудно доказать эквивалентность этих определений.
Пример 5. В данной книге приведено нетрадиционное определение тра-
пеции как четырехугольника, у которого по крайней мере две стороны
параллельны (см. вопрос 12 п. 2.3.1), согласно которому параллелограмм
является ее частным случаем. Правда, затем приведенное определение рав-
нобедренной трапеции уже предполагает непараллельность ее боковых сто-
рон, а потому равнобедренной трапецией параллелограмм не является.

Сформулируем определение площади плоской фигуры, которое приво-
димые ниже примеры будут использовать.

Определение 1. Площадью фигуры называется положительное дей-
ствительное число, поставленное ей в соответствие и обладающее сле-
дующими свойствами:

1)	существует плоская фигура площади, равной 1 (единица измере-
ния), такой фигурой является квадрат, имеющий равную 1 (единице из-
мерения длин) длину стороны;

2)	равные фигуры имеют равные площади;

3)	если фигура разбивается на части (фигуры), никакие две из кото-
рых не имеют общих внутренних точек, то площадь этой фигуры равна
сумме площадей ее частей.

При этом площадь фигуры, состоящей из конечного количества точек,
отрезков, дуг, линий и т.п. по определению считается равной нулю.

Совершенно аналогичным образом вводятся определения длины отрез-
ка (см. 024 п. 2.3.0) и объема пространственного тела. Отметим, что за
единицу измерения объемов принимается куб, длина ребра которого равна
1.

Знание доказательств корректности этих определений (то есть суще-
ствование длин отрезков, площадей плоских фигур, объемов простран-
ственных тел и независимость площади или объема в условии 3) от разби-
ения фигур и тел на составляющие) от поступающих не требуется.

Отметим, что приведенное определение площади (объема) в школьном
курсе в основном применимо к фигурам, состоящим из многоугольников и
многогранников. Однако в этом курсе вводятся понятия площадей круга и
его частей, объемов круглых тел (цилиндра, конуса, шара и его частей) и
т.п., имеющие в общем-то описательный характер.

Строгие определения площадей произвольных плоских фигур, объемов
пространственных тел и доказательства корректности этих определений
даются в курсах математического анализа, поэтому их знание от посту-
пающих не требуется. В этих курсах дается и определения: плоской фигу-
ры, имеющей площадь, равную нулю, и пространственного тела, имеющего
равный нулю объем.

Следует также отметить, что приведенные в школьных курсах выводы
формул площадей прямоугольника и объема прямоугольного параллелепи-
педа явно или неявно используют операцию предельного перехода, а на них
основаны выводы площадей и объемов остальных фигур и тел (параллело-
грамма, треугольника, трапеции, правильного многоугольника, параллеле-
пипеда, призмы, пирамиды и т.п.).

Поэтому так как умение применять на вступительных экзаменах по ма-
тематике в МГУ операцию предельного перехода (или теорию пределов) и
все, что на ней основано (в частности, производную функции), от поступа-
ющих не требуется (хотя у них есть право использовать производную), они
имеют право знать без доказательств те формулы площадей и объемов,
которые указанную операцию непосредственно используют.

Выводы остальных формул, например, формулы площади параллело-
грамма и треугольника (зная формулу площади прямоугольника и опреде-
ление площади) и многих других формул площадей и объемов на экзаме-
нах вполне могут быть предложены в качестве задач. Но они также могут
применяться при решении задач без доказательств, если используются в
качестве промежуточных результатов (например, формула объема много-
гранника через площадь его полной поверхности и радиус вписанной в него
сферы в задаче 6 п. 3.1.7 раздела III данной книги).

Отметим еще, что на письменном экзамене можно без доказательств
применять утверждения об отношении площадей (объемов) подобных плос-
ких фигур (подобных тел), равного Л:2(Лг3), где k — коэффициент подобия,
который равен отношению длин соответствующих (или сходственных) эле-
ментов этих фигур. См., например, задачу 5 варианта в п. 2.3.1. раздела III.
Однако доказательства этих утверждений вполне могут быть предложены
на устном экзамене в качестве задач.

Пример 6. В учебнике [6] дается оригинальный и, пожалуй, наиболее
простой по сравнению с другими учебниками способ доказательства при-
знаков подобия треугольников. Однако он основан на введенной перед этим
площади треугольника, которая выводится из площади параллелограмма,
а она в свою очередь выводится из площади прямоугольника, и даже на
отношении площадей подобных треугольников.

При этом неожиданно для многих поступающих встает вопрос : "почему
формула площади параллелограмма S = а • ha и площади треугольника
S = -a ha не зависит от того, какая из сторон берется за основание, или
другими словами, почему соответственно имеют место равенства
aha = bhb , ±.a ha = ^ b-hb = \ c heV

Если излагать ответ на вопрос о признаках подобия треугольников так,
как это делается в учебнике [8] или книге [10], где подобие треугольников
вводится до изучения темы ’’Площади фигур” и потому доказательство
признаков их подобия никак не использует * понятие площади, то на

поставленный вопрос можно дать следующий ответ (см. рис. 88 а) и б):

рис. 88 а)	рис. 88 б)

&АВЕ ~ &ADF как прямоугольные, имеющие общий острый угол, а
потому з = у- 4» b • hb = d • hd , (другие случаи расположения сторон и
а нь
проведенных к ним высот рассматриваются аналогично, в частности, это
касается равенства а • ha = Ь • hb (см. рис. 88 а), что предоставляется
учащимся самостоятельно). Подробнее по этому вопросу см. в [10].

Как видим, при ответе на данный вопрос использовалось подобие тре-
угольников и потому в соответствии со схемой изучения вопроса о подобии
треугольников, предложенной в учебнике [6], так отвечать на вопрос о не-
зависимсти площади треугольника и параллелограмма от того, какая из
их сторон берется за основание, нельзя.

Можно это сделать на основе того, что площадь параллелограмма опре-
делена однозначно и равна площади каждого из прямогольников ЕВСМ
и FLCD (см. рис. 88 б). Аналогично обстоит дело и в случае площади
треугольника. (Детали обоснования предоставляем читателям, в основе ле-
жит приведенная в каждом из учебников геометрии схема вывода формулы
площади параллелограмма на основе формулы площади прямоугольника
и формулы площади треугольника, равной половине площади параллело-
грамма, до которого он достраивается).

Пример 7, Более простым примером может служить факт : теорема
Пифагора с2 = а? + Ь2 является частным случаем теоремы косинусов
с2 = а2 4- Ъ2 — 2ab cos 7 (более подробные формулировки этих теорем см.
выше, соответственно в Вопросах 4 и 12), поскольку косинус прямого угла
равен нулю.

* Правда, это доказательство основано на лемме об отсечении прямой, параллельной
одной из сторон данного треугольника и пересекающей другие его стороны, подобного
ему треугольника, эта лемма доказывается путем применения операции предельного
перехода и потому может использоваться поступающими без доказательства.
Однако теорему Пифагора нельзя доказывать, используя теорему коси-
нусов. Последняя теорема в своем доказательстве согласно схеме изложения
в учебнике [8] использует утверждения, вытекающие из теоремы Пифаго-
ра, а согласно схемам изложения в учебниках [5] и [6] — соответственно
использует свойства скалярного произведения векторов и координатный
метод. Эти методы явно или не очень явно основаны на применении фор-
мулы расстояния между точками на координатной плоскости, а она в свою
очередь доказывается на основе теоремы Пифагора.

Несмотря на все сказанное, тем не менее теорема, обратная теореме Пи-
фагора, может быть непосредственно доказана на основе теоремы косинусов
(учащимся предоставляется самостоятельно сформулировать обратную те-
орему Пифагора и доказать ее указанным способом). В учебнике [6] дается
другой способ доказательства обратной теоремы Пифагора, который при-
веден и в вопросе 10 п. 2.3.1.

Коротко о вписанных в окружность и описанных около окружности мно-
гоугольниках. О многоугольниках говорилось в вопросе 6. Вводятся эти
определения по аналогии с тем, как это вводилось выше для треугольни-
ков и четырехугольников.

Для выпуклых вписанных в окружность многоугольников можно дока-
зать аналоги теорем о существовании общей точки серединных перпенди-
куляров к его сторонам, которая является центром указанной окружности,
а также доказать теоремы о принадлежности внутренней области описан-
ной около него окружности всех его внутренних точек и точек сторон, кроме
его вершин, об отсутствии общих внутренних точек круговых сегментов,
образованных различными сторонами этого многоугольника и стягиваемы-
ми ими дугами окружности, все эти точки лежат вне многоугольника.

Для описанных около окружности многоугольников можно доказать
аналоги теорем о существовании общей точки биссектрис его внутренних
углов, которая является центром указанной окружности, а также доказать
теоремы о принадлежности внутренней области многоугольника всех точек
вписанного в него круга, кроме точек его касания со сторонами.

Определение 2. Выпуклый многоугольник называется правильным,
если равны все его стороны и внутренние углы.

Согласно теоремам о сумме внутренних и внешних углов выпуклого
многоугольника (п - угольника) градусные меры каждого из внутренних
углов правильного выпуклого п - угольника равны (п — 2)180°/” , а гра-
дусные меры каждого из его внешних углов равны 360°/п .

Можно доказать, что всякий правильный выпуклый многоугольник
можно вписать в окружность и около него можно описать окружность
и что всякие правильные выпуклые многоугольники с одинаковым числом
сторон подобны (см. [10], §15, теоремы 15.8 и 15.9). См. выше, на стр. 28
данной книги, рис. 50 формулы для выражений длин стороны правильно-
го вписанного и описанного п - угольника через радиусы описанной около
него и вписанной в него окружностей.

Отметим, что в §17 книги [10] даются определения и выводятся фор-
мулы длины окружности, длины дуги окружности, имеющей заданную
градусную меру, а также — площади круга и круговых сектора и сег-
мента. Там же вводится и радианная мера угла. Все эти формулы выше
упоминались. Мы только отметим, что их вывод также основан на приме-
нении операции предельного перехода и потому от поступающих не тре-
буется умения выводить эти формулы на экзаменах. Особенностью этих
определений является то, что их значения являются наименьшими числа-
ми, большими соответственно периметра и площади любого выпуклого
многоугольника, вписанного в окружность и периметра любой выпуклой
ломаной, вписанной в дугу окружности* Определение, существование и
единственность указанных чисел даются в курсах математического анали-
за.

Нами остались не рассмотренными: понятия многогранных углов и их
свойства (см., например, в книге [10], §22 теоремы косинусов и синусов
для трехгранного угла), многогранников (призмы ** и ее частных случа-
ев, пирамиды, в частности, правильной пирамиды), круглых тел (прямой
круговой цилиндр, прямой круговой конус, шар, сфера и их части и др.);
выводы объемов и площадей поверхностей указанных пространственных
фигур, их комбинации, их сечения плоскостью, касания и т.п.; векторов
на плоскости (хотя определение вектора давалось в вопросе 15) и в про-
странстве, их свойства и операции над ними, различные виды уравнений
прямых на координатной плоскости, прямых и плоскостей в координатном
пространстве; расстояние между точками в координатном пространстве,
уравнение сферы. Однако в разделе I многие из этих формул приведены.
Мы также отсылаем читателей к указанной на стр. 249 — 250 литературе
как учебной, так и справочной. См. также в приложении 4 к учебнику [6]
теоремы Чевы и Менелая.

В заключение раздела, посвященного вопросам геометрии, считаем не-
обходимым обратить внимание на необходимость знания системы аксиом,
лежащих в основе как планиметрии, так и стереометрии (в каждом из ука-
занных циклов учебников система аксиом приводится).

При этом может оказаться, что некое утверждение в одном из учебников

* Об этих понятиях см. в [10].

** К сожалению, в учебнике [9] дается не вполне корректное ее определение, об этом
см. [2], р. III, §1 п. А .
может приводиться в качестве аксиомы, а в другом — в качестве теоремы.

Пример 8. В учебнике [9] в качестве аксиомы приводится утверждение:
через всякие три точки в пространстве, не лежащие на одной прямой,
можно провести плоскость, и при том только одну, которое в учебнике
[5] выступает в качестве теоремы.

Это говорит о том, что система аксиом, лежащая в основе того или
иного курса геометрии (да и не только геометрии), может быть различной.
Однако в вопросах о том, какие утверждения берутся в качестве аксиом
(то есть принимаются без доказательств), а какие — в качестве теорем
(то есть требуют доказательств) нет произвола, поскольку всегда систе-
ма аксиом, лежащая в основе той или иной теории, должна удовлетворять
определенным условиям (о них говорилось в VII п. 2.3.0). Из этих условий,
в частности, вытекает, что никакая из аксиом данной системы не должна
как теорема вытекать из остальных аксиом этой системы. Поэтому приве-
денный выше пример говорит о том, что заведомо и система аксиом учеб-
ника [5] обязательно должна содержать такую, которая в качестве теоремы
может быть доказана, исходя из системы аксиом учебника [9].

Если какую-либо из аксиом данной системы заменить эквивалентным
ей утверждением то есть таким, которое имеет место тогда и только тогда,
когда выполняется данная аксиома, то в качестве аксиомы может быть взя-
то указанное утверждение, а прежняя аксиома относительно новой системы
аксиом уже будет теоремой.

Примером этой ситуации является эквивалентность пятого постулата
Евклида и аксиомы параллельности прямых на плоскости. Об этом см. в
конце учебника [9]. О системе аксиом геометрии вообще можно прочитать
в конце каждого из учебников [6], [7] и [9]. Однако в п. 2.3.0. был проведен
анализ этих систем аксиом и оказалось, что некоторые из них на самом
деле аксиомами не являются.

Вопрос 1. Признаки равенства треугольников.

См. [5], §3, п.20—22, 27;

[6], гл.2, §1, 3, п.14—15, 19—20;

[8], гл.1, р.Ш, п.41—42.

Вопрос 2. Свойства вертикальных и смежных углов. Теорема о внеш-
нем угле треугольника.

См. [5], §2, п.14—15;

[6], гл.1, §6, п.11 (изложено очень кратко);

[8], гл.1, р.1, п.22, 26, р.Ш, п. 43—45.

Вопрос 3. Свойства равнобедренного треугольника.

См. [5], §3, п.23—26;

[6], гл.2, §2, п.18;
[8], гл.II, р.Ш, п.35, 38—40.

Вопрос 4- Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство
биссектрисы угла.

См. [5], §5, п.48; задача 16 к §9;

[6], гл. VIII, §3, п.72 (предпочтительнее по этому учебнику);

[8], гл. I, р.Ш, п.58—60.

Вопрос 5. Теоремы о параллельных прямых на плоскости.

См. [5], §1, п.11; §4, п.29—32;

[6], гл.3, §1, п.24—26, §2, п. 27—29;

[8], гл.1, p.V, п.70—80.

Вопрос 6. Теорема о сумме внутренних углов треугольника. Теорема
о внешнем угле треугольника. Теорема о сумме внутренних углов выпукло-
го многоугольника.

Вопрос 7. Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма.
См. [5], §6, п.51—53, разобранная в тексте учебника задача 18,
дополнительно п.54—56 (о прямоугольнике, ромбе, квадрате);
[6], гл.У, §2, ц.42—43 дополнительно §3 п.45—46
(о прямоугольнике, ромбе, квадрате);

[8], гл.1, p.VI, п.87—91 дополнительно п.92—94
(о прямоугольнике, ромбе, квадрате).

Вопрос 8. Теорема Фалеса. Признаки подобия треугольников.

См. [5], §6, п.57; §11, п.103—105;

[6], гл.У, §2, задачи 385, 396; гл.7, п.56—61;

в учебнике [6] особый подход к изложению подобия треугольников;
[8], гл.1, p.VI, п.95, 100; гл.Ш, р.П, п.156—162; p.V,
п. 182—185.

Вопрос 9. Признаки равенства и подобия прямоугольных треугольни-
ков. Теорема Пифагора.

См. [5], §4, п.35, задача 29 к §3

(мало, только один признак равенства);

. §11, п.106;

[6], гл-IV, §3, п.35 (подробно),
но признаков подобия прямоугольных
треугольников в тексте учебника нет;

[8], гл.1, р.Ш, п.56—57 (подробно); гл.Ш, п.163—164.

Вопрос 10. Пропорциональность отрезков в прямоугольном треуголь-
нике. Теорема Пифагора.

См. [5], §7, п.63; §11, п.106, из результатов этого п. также достаточно
просто можно вывести теорему Пифагора;

[6], гл.VI, §3, п.54—55, гл.VII, §3, п.63, задача 578;

[8], гл.Ill, p.VI, п.188—193; см. также rn.V, р.1, п.257—258.

Вопрос 11. Свойство отрезков, на которые биссектриса треугольника
делит противоположную сторону.

См. [5], §11, п.106, дополнительно можно задачу 46 к §11;

[6], гл.VII, §4, задача 535, в задаче 609 см. обратное
утверждение, в задаче 619 см. свойство биссектрисы
внешнего угла треугольника (это уже дополнительный вопрос) ;

[8], гл.Ill, p.V, п.186—187, там же и о свойстве биссектрисы
внешнего угла треугольника, но это уже дополнительный вопрос.

Вопрос 12. Свойства средней линии треугольника. Свойства средней
линии трапеции.

См. [5], §6, п.58—59;

[6], гл.VII, §3, п.62; гл.IX §3, п.85 (векторный вывод);

[8], гл.1, p.VI, п.95—99.

Вопрос 13. Теорема косинусов для треугольника.

См. [5], §12, п.109;

[6], гл.XI, §2, п.98;

[8], гл.VI, п.194—197,

Замечание. В учебнике [8] на самом деле доказывается некоторая
теорема, из которой непосредственно вытекает теорема косинусов,
однако в серии ” старых” школьных учебников доказательство теоремы
косинусов есть в учебнике ” Тригонометрия”, дополнительный
материал к курсу геометрии 9, 10 классов, гл.II
(автор П.В. Стратилатов). См. также [10], теоремы 13.3 и 14.6.

Замечание. В учебнике [5] теорема косинусов доказывается
векторным методом с использованием свойств скалярного произведения
двух векторов, а последнего понятия нет в программе вступительных
экзаменов по математике для поступающих в МГУ, однако так как
скалярное произведение двух векторов изучается в школьной
программе, его можно использовать на вступительных экзаменах
по математике в МГУ.

Вопрос Ц. Теоремы о пересечении медиан, пересечении биссектрис
и пересечении высот треугольника.

См. [5], §5, п.41; §6, задача 74 3), 2), 1), о пересечении высот
в тексте учебника нет;

[6], гл.VIII, §3, п.72—73; гл. VII, §3, п.62;

[8], гл.П, p.VII, п.142—143, p.VI, п.136—137 2).
Вопрос 15. Формула, для вычисления расстояния между двумя точка-
ми на координатной плоскости. Уравнение окружности.

См. [5], §8, п.73—74;

[6], гл.Х, §2, п.88—89 в) и 90—91 (использован векторный метод);

[8], в тексте учебника нет.

Вопрос 16. Теоремы о вписанных углах. Теорема об угле, образо-
ванном касательной и хордой. Свойство четырехугольника, вписанного в
окружность.

См. [5], §11, п.107, задачи 59 и 56;

[6], гл.VIII, §2, п.70—71, задача 664; §4, п.75,
см. также разобранную в тексте учебника
задачу 729 (обратное утверждение);

[8], гл.П, p.V, п.123—125, 131; р.VI, п.136, 139; (в [6] полнее).

Вопрос 17. Теоремы об угле между двумя пересекающимися хордами
и об угле между двумя секущими, выходящими из одной точки.

См. [5], в тексте учебника нет ;

[6], rn.VIII, задачи 718 и 719 ;

[8], гл.П, p.V, п.130 .

Вопрос 18. Равенство произведений длин отрезков двух пересекаю-
щихся хорд. Равенство квадрата длины отрезка касательной произведению
длины отрезка секущей на длину ее внешней части.

См. [5], §11, п.108, задача 62; §8, п.80 (с помощью метода координат);

[6], гл.VIII, §2, п.71, задача 670; §1. п.68;

[8], гл.Ш, p.VII, п.199—202; гл.П, р.Ш, п.112.

Вопрос 19. Теорема об окружности, описанной около треугольника.
См. [5], §5, п.39;

[6], гл.УШ, §4, п.75 (полнее, чем в [5]);

[8], гл.П, p.VI, п.137 1) (полнее, чем в [5] и [6]).

Вопрос 20. Теорема синусов для треугольника.

См. [5], §12, п.ПО и разобранная в тексте учебника задача 13;

[6], гл.XI, §2, п.97 и разобранная в тексте учебника задача 1033;

[8], в тексте учебника нет,
однако в серии ’’старых” школьных учебников доказательство теоремы
синусов есть в учебнике ”Тригонометрия”, дополнительный материал
к курсу геометрии 9, 10 классов, гл.П (автор П.В. Стратилатов).

Вопрос 21. Свойство касательной к окружности. Равенство касатель-
ных, проведенных из одной точки к окружности. Свойство четырехуголь-
ника, описанного около окружности.
См. [5], §5, п.40, задача 8, разбираемая в тексте, задача 15
(обратное утверждение); задача 16.1;

об описанном четырехугольнике в тексте учебника нет, однако
о нем можно найти в [10], §11, задача 26;

[6], гл.УШ, §1, п.69, §2, задача 673; §4, п.74,

см. также разобранную в тексте учебника задачу 724
(обратное утверждение);

[8], гл.П, р.Ш, п.112—113, p.V, п.128; p.VI, п.136, 140; (в [6] полнее).

Вопрос 22. Теорема об окружности, вписанной в треугольник.

См. [5], §5, п.41;

[6], rn.VIII, §4, п.74 (полнее, чем в [5]);

[8], гл.П, p.VI, п.137 2) (полнее, чем в [5]).

Вопрос 23. Теоремы о параллельных прямых в пространстве. При-
знак параллельности прямой и плоскости. Признак параллельности плос-
костей.

См. [5], §16, п.136—141;

[7], гл.1, §1, п.4—6, §3, п.10—11;

[9], гл.1, р.П, п.8—17.

Вопрос 24- Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теоре-
ма об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым.

См. [5], §17, п.143—146, 150;

[7], гл.П, §1, п.15—18, §3, задача 186;

[9], гл.1, р.Ш, п.23—24, p.IV, п.37.

Вопрос 25. Признак перпендикулярности плоскостей. Теорема о трех
перпендикулярах.

См. [5], §17, п.147—149;

[7], гл.П, §2, п.20, §3, п.23, задачи 178—179;

[9], гл.1, р.Ш, п.24, 28—29, p.V, п.42—48.
2.4. Приложения к методическим материалам вопросов устного
экзамена по математике. О выпуклости функции

IX. Рассмотрим еще одно свойство функции, свойство выпуклости, не
входящее в программу вступительных экзаменов по математике и пото-
му не обязательное для знания на этих экзаменах, но тем не менее очень
важное и фактически присутствующее при построении графиков функций.

Мы сформулируем определения выпуклости функций и исследуем на
выпуклость линейную квадратичную, показательную, логарифмическую,
степенную и тригонометрические функции.

Сформулируем определения выпуклости функции (см. [13], гл. 4, §1, п. 2°).

Определение 9. Функция у = /(я) называется выпуклой вниз (вверх) на
множестве {X'} С D[/J, если выполняются следующие условия:

1) V»! и х2 € {%'} =>	€{Х'}.	2) Уц их2 6 {%'}

Л»

V 2 J 2



если при выполнении условия 1) вместо условия 2)
выполняется условие 2') :	V Xi и х2 G {%'} , ®i / х2

Х1 + х2
2

Л»1) + /(*з)

/(*1) + /(гг)\ ,

то функция f(x) называется строго выпуклой вниз (вверх).

рис. 1 а)
выпуклость вверх
с участками строгой
выпуклости

рис. 1 б)
невыпуклая функция

рис. 1 в)
выпуклость вниз
с участками строгой
выпуклости
На рис. 1 а) и в) указан геометрический смысл выпуклостей й строгих
выпуклостей вверх и вниз функций. На рис. 1 б) показан график функции,
обладающей в точности такими же свойствами, как и функция у = л?2, но
не обладающей свойством выпуклости вниз на всей области определения
(см. ниже п. 2.4.2).

Учащимся предлагается самостоятельно, используя лишь определения
четной и нечетной функций, периодической функции и выпуклости функ-
ции, доказать следующие утверждения 1 — 4, на основе которых решают-
ся вопросы о промежутках выпуклости алгебраических и тригонометриче-
ских функций.

Пусть множество {X} содержится в области определения функции /(х)
(а может быть и совпадает с £>[/]), то есть оно С £>[/] и {X} С [0, +оо) или
(О, +оо); и множество {—X} чисел, противоположных по знаку числам мно-
жества {X}, также С D[f] (очевидно, {-X} С (-оо,0] или соответственно
{-X} С (—оо,0)).

Утверждение 1. Если функция f(x) четная и выпукла или строго вы-
пукла вниз (вверх) нахМножестве {X}, то она также соответственно вы-
пукла или строго выпукла вниз (вверх) на множестве {—X}.

Утверждение 2. Если функция f(x) нечетная и выпукла или строго
выпукла вниз (вверх) на множестве {X}, то она соответственно выпукла
или строго выпукла вверх (вниз) на множестве {-X}.

Доказательство этих двух утверждений см. в [13], гл. 4, §1, п. 2°.

Пусть {X} С £>[/] и множество {{X} + а} представляет собой множе-
ство чисел, равных х + а, где х — произвольное число из множества {X}, _
а — фиксированное действительное число.

Утверждение S. Если функция /(х) периодическая с периодом Т и вы-
пукла или строго выпукла вниз (вверх) на множестве {X}, то она также
соответственно выпукла или строго выпукла вниз (вверх) на множестве
{{X} + nT} Vne2, п^О.

Утверждение j. Если функция /(х) выпукла или строго выпукла вниз
(вверх) на множестве {X}, то функция — /(х) соответственно выпукла или
строго выпукла вверх (вниз) на этом множестве.

Это утверждение вытекает из того, что неравенства, определяющие то
или иное направление выпуклости функции /(х) применительно к функ-
ции —/(ж), просто меняют знак на противоположный (в силу свойства 5
числовых неравенств).
2.4.1.	Выпуклость линейной функции

Легко показать, что всякая линейная функция у = ах + Ь является одно-
временно и выпуклой вниз, и выпуклой вверх на всей своей области опре-
деления.

Вытекает это из того, что для всякой линейной функции f(x) = ах 4- b
при любых xj и х2 Е R—D[f] имеет место равенство:

f (xt + х2\ _ f(xi) + f(x2)

2 J 2

2.4.2.	Выпуклость квадратичной функции

Функция f(x) = ax2 + bx +с строго выпукла вниз (вверх) на всей своей
области определения (на промежутке (~оо,+оо)) если а > 0 (а < 0).

Доказательство. Фиксируем произвольные Xi и х2 € Я, Xi / х2. Срав-
ним разность выражений:

*1 +ж2\	/(Ж1)+/(х2)

2 )	2

с числом 0 .

,fx! + X2\	f(Xl) + f(x2)	fxi + X2\2	f Xi +Х2\

t I —”— I — —  ------— a I —~— J T о —“— I 4- c—

\27	2	\ 2 J	\ 2 J

ax\ 4- bxi 4- c	axl 4- bx2 4- c	1 , 2 л	2	2

---—у2----------—-----=	ja(x? 4- 2X1x2 +	xl	- 2xl	- 2xl) =

— a (т2 9т X -r2\ - a^Xl ” X2^2
“4 '	“ 2X1X2 4- X2) =--- .

Если a > 0 (a < 0), то при xi / x2 => _Q^1 X2\. < q (> 0), а пото_
му в конечном итоге для квадратичной функции имеет место неравенство
(Г) ((2’)), что и означает ее выпуклость вниз (вверх) на (—оо, 4-оо), что и
требовалось доказать.

2.4.3.	Выпуклость показательной функции

Функция = ax строго выпукла вниз на всей своей области опре-
деления (на промежутке (—оо, 4-оо)) при любом a > 0 a 1.

Доказательство. Фиксируем произвольные Xi и х2 6 Я, х\ / х2.

Сравним выражения:

и

/(Х1) + /(х2)

2
В силу строгой монотонности функции ах
/ а~£	=> 0 <	.

Раскрывая скобки, применяя свойства числовых неравенств и свойства
степеней, будем иметь:

0<	=> 2<Ла? < («*)’+(«?)’ =>

*i+*2 аХ1 + аХ2

* ° ’	<—у-.

тем самым строгая выпуклость вниз функции ах доказана.

2.4.4.	Выпуклость логарифмической функции

Функция f(x) = loga х строго выпукла вверх (вниз) на всей своей обла-
сти определения (на промежутке (0,4-оо)) если а > 1 (0 < а < 1).

Доказательство. Фиксируем произвольные положительные действи-
тельные xi и х2 , xi / х2 , откуда (xi 4- х2)/2 > 0 , тогда из

(^2 — Xi)2 > 0	=> X2 - 2X1X2 + *2 > 0	=*

(\ 2

Xi -f- Х2 \

------ I > Х1Х2 .

В силу возрастания (убывания) функции loga х при а>1(0<а<1) и
формул логарифма произведения и степени вытекает:

(\ 2
+ Х2 \
—2—)

> (<) loga Х1Х2 = logd Xi + loga x2 , откуда

Xj+X2 loga Xi 4-logq а?2
2	1 '	2

что и означает строгую выпуклость вверх (вниз) логарифмической функ-
ции с основанием а > 1 (0<а<1), что и требовалось доказать.

2.4.5.	Выпуклость степенной функции хп
с отрицательным показателем п

При любом п < 0 функция хп строго выпукла вниз на промежутке
(0,4-оо).

Доказательство. Фиксируем произвольные положительные действи-
тельные xi и Х2 , xi х2 , откуда (xi 4- х2)/2 > 0 , тогда в силу строгой
выпуклости вверх функции loga х, строгой выпуклости вниз и возрастания
функции ах при а > 1, отрицательности и, основного логарифмического
тождества и формулы логарифма степени будем иметь

*1 + *2 loga Xi + loga г2	Х1+я2^ logaxi +logax2

откуда

=	= anloge Ь+iZ < аП12£я^1+12йиа <

2 J

ап loge И +anlogex2	а-п^п	(хх+х2\п	хУ + х?

2	2	\ 2 )	2	'

Следует особо отметить, что в приведенном доказательстве нигде не
использовалось то, что п — целое число.

В силу утверждения 1 при четном п функция хп также выпукла вниз
на промежутке (—00,0), а в силу утверждения 2 при нечетном п функция
хп выпукла вверх на промежутке (—оо,0).

2.4.6.	Выпуклость степенной функции хп
с положительным показателем п

При любом n > 1 функция хп строго выпукла вниз на промежутке
[0,+оо).

Случай п = 2 — частный случай квадратичной функции при

а = 1, Ъ = с = О, рассмотренной выше.

По поводу остальных случаев см. в самом конце замечание.

В силу утверждения 1 при четном п функция хп также выпукла вниз
на промежутке (—оо,0], а в силу утверждения 2 при нечетном п функция
хп выпукла вверх на промежутке (—оо, 0].

2.4.7.	Выпуклость тригонометрической функции f(x) = sin ж
Функция sin х строго выпукла вверх (вниз) на отрезках

[2тгп, тг + 2тгп] ([—тг + 2тгп, 2тгп]) при любом целом значении п , то есть
на тех отрезках, где она принимает неотрицательные (неположительные)
значения.

Доказательство. В силу периодичности функции sin х с периодами 2тгп
Vn G Z, п ф 0 и утверждения 3 достаточно рассмотреть лишь случай
'п = 0 . Фиксируем произвольные действительные х^ и ж2 € [0, тг], х\ ж2 .

Сравним разность выражений

/(®i) + f(x2)	n

f I —-— I------11—- с числом 0 .

\ 4W J	A	'	'
Применяя формулу суммы синусов, мы получим:

2 )	2

. Х1 + хз sinxi+sinij
= sm—--------------------=

2

$1 4“ $2	$1 -к $2 Xi — X2 X14-X2 A Xi — T2 \ n

= sin —-----sin —----cos —----= sin — ----I 1 — cos —-— j > 0 .

Л!	I	I	&	\	£ J

Последнее неравенство вытекает из свойств числовых неравенств, проме-
жутков знакопостоянства функции синус и области изменения функции ко-
синус следующим образом: о < ж < тг	(3)

О	тг $ тг ,	(4)

а

-тг -г2 0 ,	(5)

так как и ж2 из отрезка [0, тг] различны, то они не могут одновременно
равняться нулю и одновременно равняться тг, а потому, складывая почлен-
но неравенства (3) и (4); (3) и (5) и почленно деля получающиеся при этом
неравенства на 2, мы получим _ .

(6)

Р)
или	7

0<^Ц,	(8)

откуда и имеем:	z z

. Х\ + Х2 л 4 Xi — Х2
sin —-— >0 и 1 — cos —-— > 0 .

Итак, строгая выпуклость вверх функции sin г на отрезке [0, тг] доказана.
В силу нечетности функции sina: и утверждения 2 вытекает ее строгая
выпуклость вниз на отрезке [—тг, 0], что и требовалось доказать.

2,4.8.	Выпуклость тригонометрической функции f(x) = cos ж
Функция cos х строго выпукла вверх (вниз) на отрезках
[-тг/2 4- 2тгп, тг/2 4- 2тгп] ([тг/2 4- 2тгп, Зтг/2 4- 2тгп]) при любом целом зна-
чении п, то есть на тех отрезках, где она принимает неотрицательные
(неположительные) Значения.

Это утверждение уже вытекает из установленных промежутков строгой
выпуклости функции sin ж и формулы cos ж = вт(тг/2 4- х).

Можно, однако, исследовать на выпуклость функцию cos г, не опираясь
на выпуклость функции sin ж, по аналогичной, что и sin ж, схеме. Учащимся
это предоставляется сделать самостоятельно.
2.4.9.	Выпуклость тригонометрической функции f(x) = tg®

Функция tg® строго выпукла вниз (вверх) на полуотрезках [тгп, тг/24-тгп)
((—тг/2 + тгп, тгп]) при любом целом значении п, то есть на тех отрезках,
где она принимает неотрицательные (неположительные) значения.

Доказательство. В силу периодичности функции tg® с периодами тгп
Vn € Z, п 0 и утверждения 3 достаточно рассмотреть лишь случай
п = 0. Фиксируем произвольные действительные ®i и ®2 € [0,тг/2),
®1 / ®2- Сравним разность выражений

j/zi+Xs') Л*1НЛ®2)	п

/ I —-— )-----------— 2—"—~ С числом 0 •

Применяя формулы суммы тангенсов и тангенса половинного аргумента
(см. Вопросы 3 и 4 раздела ” Тригонометрия”, формулы (7) и (12)), а затем
и формулу косинуса суммы и разности двух аргументов, мы получим:
f (gl +	+ /(^2) = t *1 4~®2 _ tg®i + tg®2 _

7 \ 2 /	2 g 2	2

_ sin(®i 4- ®г) sin(®i 4- ®г) _

1 4- cos(®i 4- X2)	2 cos ®i cos®2

x f	1	1	\

= sin(®i 4- x2) • —-------------:----:------------------ =

\ 1 4- cos ®1 COS ®2 - Sin ®1 Sin ®2	2 COS ®1 COS ®2 /

— (8*п(ж1 4- ®2))(COS®1 COS®2 4- sin®i sin®2 - 1) _
2(1 4- cos(®i 4- ®г)) cos®i cos®2

= (sin(g* + 3?2))(cos(®i - ®2) ~ 1) < 0
2(1 4- cos(®i 4- ®2))cos®i COS ®2

Последнее неравенство вытекает из свойств числовых неравенств, про-
межутков знакопостоянства функций синус и косинус области изменения
функции косинус следующим образом:

О <	,	(9)

0Оз<£,	(10)

$

~<-*2<0,	(11)

так как xj и хг из полуотрезка [0, тг/2) различны, то они не могут одно-
временно равняться нулю, а потому, складывая почленно неравенства (9)
и (10); (9) и (11), мы получим:

0 < х, +*2 < 1Г ,	(12)
тг

-- < Xi - Х2 < 0 ,

или

Л	*

О <	-х2 < - ,

(13)

(14)

откуда и имеем:

cos xi > 0 ; cosx2 > 0 ; cos(xi-x2) < 1; sin(xi4-X2) > 0 и 14-со8(х1+х2) > 0 .

Итак, строгая выпуклость вниз функции tgx на полуинтервале [0, тг/2)
доказана. В силу нечетности функции tgx и утверждения 2 вытекает ее
строгая выпуклость вверх на полуинтервале (—тг/2,0], что и требовалось
доказать.

2.4.10. Выпуклость тригонометрической функции f(x) = ctgx
Функция ctgx строго выпукла вниз (вверх) на полуотрезках
(тгп, тг/2 4- тгп] ([тг/2 4- тгп, тг 4- тгп)) при любом целом значении п, то есть на
тех полуотрезках, где она принимает неотрицательные (неположительные)
значения.

Это утверждение уже вытекает из установленных промежутков строгой
выпуклости функции tgx, формулы ctgx = —tg(?r/2 4- ж) и утверждения 4.

Можно, однако, исследовать на выпуклость функцию ctgx, не опираясь
на выпуклость функции tgx, по аналогичной, что и tgx схеме. Учащимся
это предоставляется сделать самостоятельно.

Замечание. В курсах математического анализа направления выпукло-
сти функции на том или ином промежутке ее области определения опреде-
ляются с помощью знака второй производной этой функции (если, конечно,
она существует).
3.	ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ, ПРЕДЛАГАВШИХСЯ НА УСТНОМ
ЭКЗАМЕНЕ ПО МАТЕМАТИКЕ В ПРЕДЫДУЩИЕ ГОДЫ

3.1.	Задачи с решениями

1.	(ф-т ВМиК) Имеет ли смысл выражение

~ l°g3 5) ?

2 Vlog35

Решение
^2У-^=1о6з5л ;

^>1,4=7 4Ф 1овз5Л >log35* ; 5*V9	57V95 ;

О

57 = 78125 > 59049 = 9s =$>

=> log3 5» > log3 9 = 2 =>

2 —log35<0.

Ответ: выражение смысла не имеет .

2.	(ф-т ВМиК) Получить десятичное приближение числа а с точнос-
тью 0,05, где

1	/ я 3ir\

а = —s---I cos — -t- сов — I .

Л-1 \ 5	5 )

Решение

7Г	Зтг	_	27Г	7Г

cos ~ + cos — = 2 cos — cos — =
о	о 5	5

2sin(7r/5) • cos(tt/5) • cos(2tt/5) _ 2sin(27r/5) • cos(2tt/5)
8ш(тг/5)	2sin(%/5)
sin(47r/5) 8Ш(я — я/5)	8ш(я/5)	1

2вш(я/5)	2 sin (я/5)	2sin(7r/5)	2

=	1	=	(Л+1)	= (Л+1) = (Л+1)

° 2G/2-1) ~ 2(Л-1)(Л+1) 2(2-1)	2

, л 1,4+1 (х/2 + 1) 1,5+1 , rte
ai = l,2=	.	< 1 . < < -1—— = 1,25 = а2 =>

, хЬ	A	I

=> 1,2<а<1,25.

Так как Va : a €(1,2, 1,25]
|a — a| max{|ai — a| ; |a2 — a|}	1,25 — 1,2 = 0,05 ,

то в качестве приближенного значения а можно, например, взять a = 1,213
или а — 1,207 и т. п._______________________

Ответ: a ₽a a Va € (1,2 , 1,25] .

3.	(ф-т ВМиК) Расположить в порядке возрастания числа:

.я , я
вшу ; tg-.

Решение

Функции sin я и tg х возрастают на интервале

, следовательно,

„ я я я я
из 0<-< — <-<— вытекает
7	6	5	2

, я . я 1
8Ш?<8Ш- = 5;

ivv/?«lv?«7.1V2-4i7<8 => i<y|;

V?vt4 = 75eVv5e2-3v7'1;6<7 *

<‘8к-

Ответ: вш — <
4.	(ф-т ВМиК) Указать хотя бы одно рациональное число а такое,
что | sin 81° — а| < 0,01 .

Решение

sin 81° = >/1 — cos2 81° =	— sin2 9° = < /1 — sin2 ~ >

>	> V1 - (°>16)2 = л/0,9744 > </0,9604 = 0,98

,	Л w w	п  п	п	3,2 „

(так как из	0	< — < -	вытекает 0	< sm — <	— <	— = 0, 16)	=>

л . 7 ТГ
=> 0 < sm2 — <

а поэтому 0,98 < sin 81° < 1 . Если в качестве а взять а = 0,99, то
будем иметь:

0,98-а < sin81°-a < 1-а <=> -0,01 < sin81°-a < 0»01 <=> |sin81°-a| <0,01.

Ответ: a = 0,99 (например).

5.	(ф-т ВМиК) При всех значениях a / (irk)/2 , к = 0; ±1; ±2; ...
доказать выполнимость неравенства

3(tg2 а + ctg2 a) - 8(tg a + ctg a) + 10 0 .

Доказательство

Введем переменную t = tg a4- ctg a , тогда либо t <C — 2 (при t < 0) ,
либо t 2 (при t > 0);

tg2 a + ctg2 a = (tg a + ctg a)2 - 2 = t2 — 2

и неравенство принимает вид 3t2 — 8t + 4 0 . Его решения: t 2/3 ; t 2,
следовательно, при любом t :	—2 или t 2 неравенство выполняется,

что и требовалось доказать.

6. (ф-т ВМиК) Определить, в какой четверти координатной плоскости
находится точка пересечения графиков функций

3	3

У = 2х ” 2 и У = log2 3* “ log5 6 * 8 
Решение

Координаты точки пересечения (®q; t/o) определяются из системы урав-
нений:

{у = ki% + bi ,
У =	+ ^2

X — Xq -~

bi — Ьг
к2 - ki

у=№=

&г= I , fcj = log2 3 > log2 л/8 = | = fci => Л2 > ki > 0 => fcj - ki > 0 ;

bl =	, b2 = -log58 = -logs>/64> -logs-/125 =	= bi , =>

Ы	I

bx < b2 < 0 , —bi > —&2 > 0 , => ^(""bi) > fcx(—Ьг) 4^

<=> kzbi — kib2 < 0 ; bi — Ьг < 0 => a?o < 0 , Уо < 0 .

Ответ: в III четверти .

7.	(ф-т ВМиК) В трапеции ABCD точка М принадлежит боковой
стороне CD , См = ЗМЗ , К — точка пересечения диагонали АС и
отрезка ВМ ,	=; ЗК(5 . Найти такие числа а и /3 , чтобы имело место

векторное равенство а$ = а ЛЙ +j9^.

Решение

Z.BNA = ZNBC , ЛВС А = Л-NAC (как внутренние накрест лежащие при
AN || ВС и секущих BN , АС) => кВ К С ~ &AKN (по двум углам)

|ЛР| + |РЛГ|	|ЛК|	|РЯ| _ |ЛК|	|ЛР|

|ВС|	|КС|	|ВС| ~ |КС| |ВС|

ЛВМС ~ ZNMD (как вертикальные) => АМ ВС ~ &NMD
(по двум углам)

|1Ж| _ |Р1И |

|ВС| ” |МС| '
Из (1) и (2) вытекает:

W _ ИД|	|РМ|

|ЯС| |ВС|	|МС| '	1 '

В силу = ЗК& следует, |АК|/|КС| = 3 , СЙ = ЗМ$ , следовательно,
с учетом также равенства (3) получаем

\DM\ _ 1	\DA\ _ |АК\ \DM\	1 _ 8

|МС| “ 3	|ВС| ~ 1X471 \мс\ ~3 3 “ 3

=> |ВС|= ||Л1>| =>	=	=> Ъб = А&-В$ =	.

оо	8

Ответ:

а= 1 , /3=	.

О

8.	(ф-т ВМиК) В треугольной пирамиде ABCD медианы граней
АВС , В DC , ADC пересекаются соответственно в точках G , Е , F .
Площадь треугольника EFG равна 2. Найти объем пирамиды, если длина
ее высоты, опущенной из вершины С, равна 1.

Пусть АМ и DM — соответственно медианы треугольников АВС и
BDC . Так как Е и G — точки пересечения медиан ABDC и ДЛВС
соответственно, то по свойству медиан треугольника получаем:

' |МВ| : \МD\ = |ЛГС?| : \МА| = 1 : 3 , а так как у треугольников MGE и
MAD /.AMD — общий, то &MGE ~ &MAD, откуда уже из определения
подобных треугольников вытекает:

£MGE = Z.MDA => GE || AD и |G£| = ||ЛП| ;	(1)

аналогично GF || BD a |C?F| = ||BjD| .	(2)
Пусть BN и DN — соответственно медианы треугольников АВС
и ADC . Так как F и Е — соответственно точки пересечения медиан
треугольников ADC и DBC , то по свойству медиан треугольника:

|DF|: \DN\ = |DB| : \DM\ = 2:3.	(3)

У треугольников FDE и MDN Z.NDM — общий, следовательно,
они подобны, откуда

|FB|: \MN\ = 2:3,	(4)

а так как NM — средняя линия ДАВС , то

\MN\ : \АВ\ = 1:2.	(5)

Из (4) и (5), а также (1) и (2) следует

|GB|: \AD\ = \GF\: \BD\ = \FE\: \AB\ = 1:3,	(6)

а потому AGFE ~ &DBA с коэффициентом подобия k = 1 : 3 ,
следовательно,

S^egf =	•	(7)

Обозначим через h длину высоты, опущенной из вершины пирамиды С
на грань (ADB) , по условию h = 1, следовательно, с учетом (7) имеем:

V = Упир. = TzhS&ADB = 3hS&EGF = 3 • 1 • 2 = б .
и

Ответ: V = 6 .

9.	(ф-т ВМиК) В выпуклом четырехугольнике ABCD с диагоналями
АС и BD на стороны CD и АВ опущены соответственно высоты АЕ и
DF. Известно, что |АЕ\ |ВР| , \DF\ |AG| , |АР| = 2|АВ| . Найти
меры углов четырехугольника ABCD .

Решение

рис. 3 а)	рис. 3 б)


Так как перпендикуляр короче всякой наклонной, то

|АС| > |А£| ; |В£>| |BF| .	(1)

По условию |АВ| |ВВ| ; |FB| |АС\ =>
=> |АС| £ |АВ| > |BD| > |PF| |АС| =>
=> |АС| = |АЕ| = |ВВ| = |DF\ = |АС| ,
стало быть, совпадают точки С и Е , а также — точки В и F .
Следовательно,

|АС| = |ВВ|	(2)

Так как у треугольников ABD и ACD AD — общая сторона,
|В2?| = |АС| и они прямоугольные, то по катету и гипотенузе

AABD = AACD => |АВ| = |СР| ;	(3)

LCAD = LBDA ; LBAD = LCD A =S>	(4)

=> LB АО = LCDO .

Так как треугольники АВО и С DO — прямоугольные и |АВ| = |СВ|,
то по катету и острому углу эти треугольники равны. Следовательно,

|ЛО| = |ОВ|, |ВО| = |ОС|.

(5)

У треугольников AOD а ВОС LAOD = LBOC как вертикальные,
из (5) вытекает:

= ТБ?! ЛЛОП ~ АВОС => LBDA = LDBC => ВС || AD .

Следовательно, ABCD — равнобедренная трапеция, По условир,
|AD| = 2|АВ\ , а так как АВ X BD , то

созВАР =	| => BAD = ADC = 60° => ABC = DC В ~ 120° .

Ответ: A = D = 60°, В - C = 120° .

10.	(геолог, ф-т) В трапеции АВСЕ АВ || СЕ , |АВ| = б , |СВ| = 4 .
Прямая, параллельная основаниям и проходящая через точку пересечения
диагоналей, пересекает боковые стороны трапеции в точках М к К соот-
ветственно. Найти длину отрезка МК.
Решение

Пусть |АВ| = а , |СВ| = b (а = 6, 6 = 4). Так как МО || АВ , то
АМЕО~ЛАЕВ =>

|МО|_|ВО|_ |ВО|	1

|ЛВ| |ЯВ| |ЯО| + |ОВ| 1 + |ОВ|/|ОЯ| '	17

Так как СЕ || АВ , то ЛОВА = ЛО ЕС, ЛЕСО = ЛО АВ (как внутренние
накрест лежащие при параллельных АВ и ЕС )• Следовательно (по двум
углам), АЕОС ~ АВОЛ , откуда

|ОВ| |ЛВ| = а = |ОЛ|

|ОВ| |ВС| Ъ |ОС| 	1 ’

Из (1) и (2) получаем:

1Л/Л1 —	_ q _

1М0’“ 1 + а/6 “ 1 + а/6 ~ а + 6 ’	( )

Аналогично доказываются равенства:

|og|-i+iwiOci = n^ = ^ = |MO1-	(4)

Следовательно,

|МК| = |ОЯ| + |МО| = ^,	(5)

а -г о

Ответ: \МК| = 4,8 .

11.	(геолог, ф-т) Периметр ромба равен 20, а сумма длин его диаго-
налей равна 14. Найти площадь ромба.
Так как ABCD — ромб, то AC ± BD я

1|ЛС| = |ЛО| = |ОС|, ||2Ю| = |ВО| = |ОР|;	(1)

|Л£>| = |ЛВ| = |ВС| = |СР| = i • 20 - 5 ;	(2)

|ВО| + |ОЛ| = |(|BD| + |ЛС|) = | • 14 = 7 .	(3)

Пусть |ВО| = х , |АО| = у , по теореме Пифагора, а также на основе (3)
имеем:

{:»++7=». s*=t-I1во11ло1=2*»

х2 + у2 = (ж + у)2 - 2ху = 49 - 2ху = 25 => 2ху = S# = 24 .

Ответ: 24 .

12.	(геолог, ф-т) В равнобедренном треугольнике с величиной угла
при вершине 120° длина боковой стороны равна 2. Найти радиус вписанной
в него окружности.

Воспользуемся формулой = рг, где р — полупериметр треугольни-
ка, а г — радиус вписанной в него окружности. Пусть BD ± АС, следова-
тельно, в силу свойств равнобедренного треугольника ABD = DBC = 60°
и |AD| = |РС|, поэтому

|BD| = |AB|co8 60e = 2-| = l ;	(1)
IAD\ = У|АВ|2 - |BD|2 = y/4^1 = Vt = |PC|, => |AC| = 2Л ;

S^abc = 5 • |ЛС| • |BD| = |AD| • |BD| = Л • 1 = Л;

p w l^l + W + MC| = 2 + 2 + 2V3 s 2 +	;

2	2

r = s = Л = Л(2-Л) = Л(2-Л) = 2 /X _
p 2 + Л (2 + Л)(2-Л)	4-3

Ответ: г == 2y/3 — 3 .

(2)

(3)

(4)

(5)

13.	(геолог, ф-т) Построить графики функций:

.	। «и «I	Sin ®	.	«	1

а) у = |х + 1||® - 3| ; б) у = -==== ; в) у = 1 - —-
vl — Sin X	1*1

х3 + 5ж2 + б®

Д) l/ = bg1_!e®-lg(l-®) ;

е) у = | sin ®| • ctg х .

Решения

. _ Г ха - 2х - 3 = (х + 1)(х - 3) при х -1 или х 3 ;
а* ~ I -(х2 - 2х - 3) = -(х + 1)(х - 3) при - 1 х 3 ,

график функции имеет вид:
__ sins _ sing _ Г tg x при cosx > 0 ;
y ~ Vcos2 X ~ |CO8®| “ [ -tg x при COSz < 0 ,

график функции имеет вид:

в)	функция является четной, поэтому ее график симметричен относи-
тельно оси ординат. На правой полуплоскости он строится на основе пра-
вил преобразований графиков функций, исходя из графика функции

1

У = - •
х
следующим образом: путем его симметричного отражения относительно
оси абсцисс, а затем — сдвига на единицу вверх вдоль оси ординат; к
полученному таким образом графику надо еще добавить его симметричное
отражение относительно оси ординат,
окончательный график функции имеет вид
г)	так как V® Е Я : х 0 => |х |—х = О и V® Е Я : ж < О => |®| —х = -2®,
то функция у(х) определена только на (—оо , 0) и потому имеет вид:

_ -(ж2 + 5® + 6) = -(ж 4- 3)(х + 2) при х < 0 ;

не определена при х 0 ,

поэтому график функции имеет вид:

рис. 10

д)	функция определена только при 0 < х < 1, при указанных значениях

х У =	• lg(l ~ ж) = 1g ® , поэтому функция у(х) имеет вид:

lg(l - ®)

__ 1g х при 0 < х < 1 ;

У ~ не определена при х 0 и при х 1 ,
график функции имеет вид:
е)	раскрывая | sin х| и используя определение функции ctg х , приведем
функцию у(х) к виду:

У =

cos х при sin х > 0 <=> 2irn < х < (2п + 1)тг ;

не определена при sin» =l0 х = тгп ;

- cos х при sin х < 0 <=> (2п - 1)тгп < х < 2тгп .

п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... ,

отметим также, что в силу периодичности с периодом тг функций

у = | sin ж| и у = ctg х , данная функция также является периодической
с периодом тг , таким образом,

график функции имеет вид:

рис. 12

14.	(геолог, ф-т) Сравнить числа З400 И 4300 .

Решение

З400

= (З4)100

= 81100

4300 = (43)100 ;

81 > 64	81100 > 64100 , З400 > 4300 .

Ответ: З400 > 4300 .
15.	(геолог, ф-т) Решить уравнение

Решение

ОДЗ х 0 . Отметим, что V® 0 => у/х 4-2^2.

х -4 = (у/х - 2)(у/х + 2) ,
следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению

гх — 2 = ж - 8 <=> х — у/х - 6 = 0 <=>

<=> (у/х — 3)(V$ 4- 2) = 0 у/х — 3 = 0 <=> у/х = 3 <=> х = 9 .

Ответ: х = 9 .

16.	(геолог, ф-т) Решить уравнение
2 sin2 х — cos2 ж — 1 = 0 .

Решение

В силу основного тригонометрического тождества cos2® = 1 — sin2® ,
а потому исходное уравнение равносильно уравнению

2 sin2 ® — 1 4- sin2 х — 1 = 0	3 sin2 ® = 2
17.	(геолог, ф-т) Решить уравнение
lg(arcsin х) = 0 .
Решение

В силу определения десятичного логарифма arcsin х = 10° = 1 , а так
как при всех х таких, что — 1 х 1 sin(arcsin ж) = х , то получаем,
что решение уравнения есть х = sin 1 .

Ответ: х = sin 1 .

18.	(геолог ф-т) На координатной плоскости указать множество точек
{М(ж; у)}, координаты (ж; у) которых удовлетворяют условиям:

0 ж 1 ,

1	— ж <С у \/1 — ж2 .

Следующие три задачи на построение на плоскости с помощью циркуля
и линейки решаются по обычному плану для таких задач :

1)	анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование.

При этом считается Известным, как с помощью линейки провести пря-
мую, луч, отрезок через две различные точки, как с помощью циркуля
отложить от данной точки на данной прямой отрезок заданной длины и
провести окружность с данным центром данного радиуса; как с помощью
циркуля и линейки: построить серединный перпендикуляр к отрезку; по-
строить биссектрису угла; от данной точки на данной прямой в данную
полуплоскость отложить угол заданной величины; через точку, не лежа-
щую на данной прямой, провести параллельную ей прямую; а также как
решать и другие приведенные в учебниках стандартные задачи на постро-
ение.
19.* (ф-т ВМиК) Построить треугольник по заданным отрезкам
медианы, биссектрисы и высоты, проведенных из одной его вершины.

В данной книге приводится более подробное решение этой задачи, чем
в других источниках. В частности, будет дан ответ на вопрос о возмож-
ных соотношениях длин указанных высоты, биссектрисы и медианы и их

взаимном расположении.

Решение

Пусть ha, lai та —соответственно длины заданных отрезков высоты,

биссектрисы и медианы.

1) Анализ. Допустим, что треугольник АВС построен

(см. рис. 15 а).

Если провести высоту AD , биссектрису АЕ и медиану AF , то,
описав около него окружность с центром в точке О и продолжая АЕ
до пересечения с окружностью в точке G , получим, что из равенства уг-
лов ВАЕ и ЕАС вытекает равенство дуг BG и GC , откуда следует
равенство хорд BG и GC . Из равенства BF = FC и того, что в равно-
бедренном треугольнике BGC медиана GF является высотой, вытекает:
GF ± ВС , а потому центр окружности О лежит на прямой GF . Если
провести ОК ± AG , то так как OG = О А (как радиусы окружности)
в силу признака серединного перпендикуляра к отрезку GK = КА . Ста-
ло быть, центр окружности О является точкой пересечения серединных
перпендикуляров к отрезкам ВС и AG .

2)	Построение (см. рис. 15 б). Проводим прямую d . В произвольной
ее точке D проводим к ней перпендикулярную прямую и откладываем на
ней отрезок DA длины ha . Так как ha > 0 , то точка А не лежит на
прямой d . Из точки А откладываем: отрезок АЕ длины 1а и отрезок
AF длины та , где точки Е и F принадлежат прямой d .

Если ha , 1а и та не равны (а это <=> АВ АС ), то точка Е
лежит между точками D и F . Это утверждение будет доказано ниже, в

* означает, что эта задача повышенной трудности.
части 4) — исследование.

Восставим из точки F перпендикуляр g к прямой d и продолжим
АЕ да пересечения с ним в точке G . Из середины отрезка AG восста-
вим перпендикуляр да его пересечения с g в точке О . В силу свойства
серединного перпендикуляра к отрезку О А = OG . Проведем окружность
с центром в точке О радиуса г = |ОА| = |OG| , которая, стало быть,
пройдёт через точки А и G . Пусть В и С — точки пересечения этой
окружности с прямой d . Треугольник АВС — искомый.

3)	Доказательство. Прежде всего докажем существование точек
G,О,А и В.

Случай he »la = та рассмотрим в части 4) — исследование.

Отметим, что если ha—la, или ha = та , или 1а = та , то АВ = АС
(то есть ДАВС — равнобедренный), а потому ha = 1а = та . Это
вытекает из того, что (см. ниже рис. 19):
в случае ha as 1а у прямоугольных треугольников АРВ и ADC общий
катет AD и соответственно равные острые углы /.BAD = Z.CAD , а
потому они равны по катету и острому углу, откуда АВ = АС ;

в случае Ло = тп0 у прямоугольных треугольников ADB и ADC общий
катет AD и соответственно равные стороны BD = CD , а потому они
равны по двум катетам, откуда АВ = АС ;

в случае 1а = та по свойству биссектрисы угла треугольника
|АВ|: |АС| = |ВР|: |СО| = 1 => АВ = АС .

Итак, пусть ha 1а , 1а 9^ тпв , та ha . Выше отмечалось, что
при этом точки D , Е и F различны. Следовательно, прямые AD и
g различны и, будучи перпендикулярными прямой d , — параллельны.
Так как прямые AD и d имеют единственную общую точку D , то
прямые AD и АЕ различны и, стало быть, пересекаются в точке А . А
поэтому в силу транзитивности свойства параллельности прямых прямая
АЕ пересечет прямую g в некоторой точке G . Поскольку точки А и
G лежат на различных параллельных прямых, то потому они различны.

Предполагая, что серединный перпендикуляр к отрезку AG парал-
лелен прямой g , мы получим, что он будет также параллелен и AD ,
откуда будет вытекать его перпендикулярность прямой d . Следователь-
но, так как две прямые, перпендикулярные одной прямой (на плоскости),
параллельны, то AG || d , что противоречит пересечению прямых AG
и d в точке Е . Следовательно, указанный серединный перпендикуляр к
отрезку AG пересечет прямую g в некоторой точке О . Отметим, что
так как середина отрезка AG (основание указанного перпендикуляра) —
точка К отлична от каждой из точек А и G , то она не лежит ни
на какой из прямых AD и g , ибо в противном случае в силу аксиомы
единствённости прямой, проходящей через две различные точки, все три
точки А , К , G будут на одной из прямых AD или g , что неверно.
Поскольку точка О лежит на прямой g , то поэтому точки К и О —
различные.

Так как прямые AD Id и FG 1 d , то AD || GF . Точка Е лежит
между точками D и F , поэтому точци D и Е лежат в одной полу-
плоскости относительно прямой GF , что и вся параллельная ей прямая
AD .

Аналогичным образом точки F и Е лежат в одной полуплоскости
относительно прямой AD , где и параллельная ей прямая GF .

Следовательно, отрезок АЕ не пересекает прямую GF и отрезок GE
не пересекает прямую AD , а потому точка А не лежит между точками
Е и G и точка G не лежит между точками А и Е . Следовательно,
точка Е лежит между точками А и G . *

Так как отрезок AG пересекает прямую d в точке Е , то, следова-
тельно, точки А и G лежат в различных полуплоскостях относительно
прямой d .

рис. 16 а)	рис. 16 б)	рис. 16 в)

Рассмотрим ДАОС : прямая d пересекает его сторону AG в точке Е.
В силу одной из аксиом порядка элементарной геометрии (аксиомы Паша)
прямая d обязательно пересечет либо сторону АО , например, в точке
Н , либо — сторону OG в точке F , либо пройдет через точку О (см.
рис. 16).

Если прямая d пересекает отрезок OG в точке F (отрезок О А в
точке Н ), то p(O;d) = |OF| < |OG| = г ( p(O;d) \ОН\ < |ОА| = т ),
если точка О € d, то она просто совпадает с точкой F и р(О; d) = 0 .

Следовательно, во всех этих трех случаях р(О; d) < г и в силу теоремы
о взаимном расположении окружности и прямой построенная окружность
пересечет прямую d в двух точках, которые мы обозначим за В и С .

* По поводу расположения трех точек на прямой см. п. 2.3.0 раздела "Геометрия’'
методических материалов ответов на вопросы билетов устного экзамена по математике»
Теперь доказательство того, что А АВС — искомый, уже провести
достаточно просто. Так как OF ± ВС , то BF = FC и |AF| = та ,
следовательно, AF — заданная медиана. Так как у &BGC BF = FC
и GF ± ВС , то в силу свойства серединного перпендикуляра к отрезку
BG = GC , откуда вытекает равенство дуг BG и GC , а в свою очередь
отсюда вытекает, что Z.BAE = Z.EAC , а так как |А£| = 1а , то АЕ
— заданная биссектриса угла ВАС &АВС . По построению AD ± ВС
и |AD| = ha , следовательно, AD — заданная высота ДАВС . Таким
образом, полностью доказано, что ДАВС — искомый.

Замечание . В приведенном доказательстве использовались также утверж-
дения о том, что точки серединного перпендикуляра к отрезку и только они
равноудалены от его концов; радиус (диаметр) окружности, перпендику-
лярен отличной от диаметра хорде этой окружности тогда и только тогда,
когда он проходит через середину этой хорды; дуги окружности равны тог-
да и только тогда, когда равны стягиваемые их хорды этой окружности, а
также — тогда и только тогда, когда равны вписанные в эту окружность
углы, на них опирающиеся (последнее утверждение вытекает из теоремы
о вписанном в окружность угле). Неявно использовалась и аксиома парал-
лельности прямых на плоскости.

4)	Исследование. Будем использовать утверждения о соотношении длин
наклонных, проведенных из одной точки к прямой, и длин отвечающих им
проекций на этой прямой: равным наклонным (проекциям) отвечают рав-
ные проекции (наклонные), большей (меньшей) наклонной отвечает боль-
шая (меньшая) проекция, соответственно большей (меньшей) проекции от-
вечает большая (меньшая) наклонная; утверждения о том, что против боль-
шего (меньшего) внутреннего угла в треугольнике лежит большая (мень-
шая) сторона, соответственно против большей (меньшей) стороны в тре-
угольнике лежит больший (меньший) угол.

Отметим, что помимо непосредственного исследования возможности по-
строения треугольника и единственности решения задачи будут либо сфор-
мулированы, либо доказаны и другие утверждения, имеющие самостоя-
тельный интерес, о чем уже говорилось выше перед началом решения этой
задачи.

Рассмотрим два случая: А) АВ ф АС ; ) АВ = АС .

А) Для определенности предположим, что АВ < АС , так как случай
АВ > АС рассматривается совершенно аналогично.

Отметим, что из определений длины отрезка и одного отрезка боль-
ше (меньше) другого отрезка, а также свойств соотношений ” равенства”,
”больше”, ”меньше” между отрезками и свойств длины отрезка вытекает:
AB < (>)AC |AB| < (>)|AC| , AB = AC |AB| = |AC| .

Пусть AD , АЕ у AF — соответственно высота, биссектриса и меди-
ана, проведенные из вершины А в ДАВС .

Так как АВ < АС , то ЛАВС > ЛАС В .	(*)

Отметим, что из определений меры угла и одного угла больше (мень-
ше) другого угла, а также свойств соотношений ” равенства”, ”больше”,
” меньше” между углами и свойств меры угла вытекает:

ЛАВС < (>)ЛАСВ АВС < (>)АСВ ; ЛАВС = ЛАСВ АВ5 = АСВ .

В приводимых ниже рассуждениях будут использованы и другие свой-
ства операций сравнения отрезков и углов и связанные с ними соответ-
ствующие свойства их длин и мер, которые в свою очередь основаны на
свойствах взаимного расположения трех точек на прямой и трех лучей (по-
лупрямых) с общим началом.

В силу свойства биссектрисы угла ВАС треугольника АВС

|BBI |АВ|	। л	। _. ।

i^ci ~	’и так как <	’то i00'<

|ВГ| = 1В£1±Ш|вд| + |дс| = |вс| = |Bf|,

а потому точка Е лежит между точками В и F .

Далее случай АВ < АС разбивается еще на три подслучая: А1 ;

А2 ; АЗ (см. рис. 17 а), б), в) соответственно).

» рис. 17 а)	рис. 17 б)	рис. 17 в)

А1) Угол АВС — прямойгтогда точки BnD совпадают, очевидно
и обратное этому утверждение.

А2) Угол АВС —тупой, тогда на прямой ВС именно точка В лежит
между D и С , так как согласно 1 совпадение точек В и D при этом
исключается. Если предположить, что точка D лежит между точками В
и С, то в прямоугольном треугольнике ABD с прямым углом ADB
окажется острым угол ABD , что не соответствует рассматриваемому
случаю. Если предположить, что будут совпадать точка D с точкой С ,
снова получим, что угол АВС — острый. Если, наконец, предположить^
что точка С лежит между точками В и D , то совершенно аналогичным
образом мы опять получим, что угол АВС — острый.

АЗ) Угол АВС — острый, тогда в силу А1 и А2 исключаются воз-
можности расположения точки В между точками D и С , а также —
совпадения точек D и В , далее, предполагая совпадение точек D и
С , мы получим, что в прямоугольном треугольнике АВС АВ . — ги-
потенуза, а потому |АВ| > |АС| , а если предположить, что точка С
лежит между точками В и D , то |АР| = |АС| 4- |СВ| > |СВ| , а потому
соответствующее соотношение между наклонными таково: |АВ| > |АС| .
Следовательно, последние две возможности не соответствуют рассматри-
ваемому случаю АВ < АС , а потому остается единственная возможность
— точка D расположена между точками В и С , при этом угол АС В
также будет острым.

Рассмотрим случай А2. Так как точка В лежит между точками D
и С , то эти точки расположены на разных полупрямых прямой ВС
относительно точки В . В то же время так как точки Е и F расположены
на отрезке ВС , то каждая из них лежит между точками В и С , а стало
быть, — на той же полупрямой относительно точки В , что и точка С .
А так как точка D лежит на другой полупрямой, то точка В лежит
между точками D и Е и — между точками D и F . Напомним, что
выше нами получено расположение точки Е между точками В и F .
Следовательно,

\DF\ = |РВ| + |BF| = \DB\ + \ВЕ\ 4- \EF\ > \DB\ 4- |ВВ| = \DE\ ,
а потому в силу свойств перпендикуляра, который короче всякой наклон-
ной, и наклонных, проведенных из одной точки к прямой, о которых упо-
миналось выше,

|АР| < |АВ| < |AF| , что означает ha <1а <та .

В точности такой же результат сразу получается в подслучае А1.

Отметим еще, что неравенство \DF| > \DE\ исключает расположение
точки F между точками D и Е . Однако, если предположить, что точка
D лежит между точками Е и F , то это будет означать, что эта точка
принадлежит отрезку EF . Но поскольку точки С и В не лежат между
точками Е и F , то весь отрезок EF , в том числе и точка D будут
лежать между точками В и С , что противоречит подслучаям как А2 ,
так и А1 . Таким образом, точка Е лежит между точками D и F .
Рассмотрим подслучаи АЗ). Так как (см. выше (*))

/АВС > /АС В	АВС >АСВ ; AD ± ВС , откуда

BAD + ADC = CAD + АСВ = 90° => BAD < DAC =>

-ХУъ BAD + BAD	BAD^DAC	ВАС	-xib

2	2	2

to /.BAD < /ВАЕ , следовательно, AD проходит внутри угла /ВАЕ ,
а потому AD пересекает отрезок BE в точке D , стало быть, точка D
лежит между точками В и Е . Следовательно,

|BF| = \ВЕ\ + \EF\ = (\BD\ + \DE\) + \EF\ = |BP| + (|PB| + |BF|) > \BD\ .

Так как точки D и F лежат между точками В и С , то, стало
быть, они принадлежат одной полупрямой на прямой ВС относительно
точки В . Следовательно, так как |BF| > |ВВ| , то именно точка D
лежит между точками В и F . Поэтому

\BF\ = |BB| + |PF| = |BB| + (|PB|+|BF|) => \DF\=\DE\ + \EF\>\DE\,
а это и означает, что точка Е лежит между точками D и F . Проводя
далее в точности такие же рассуждения, что и в случае А2), мы получим,
что

|AD| < |АЕ| < |AF| , что означает ha<la<ma.

Получив также во всех трех подслучаях А1 — АЗ, что точка Е лежит
между точками D и F , мы получим: луч АЕ пересекает отрезок DF
с концами на сторонах угла FAD .

Следовательно, в случае А

биссектриса ABAC , проведенная из вершины А , проходит между
высотой и медианой, проведенными из этой же вершины, то есть во
внутренней области образованного ими угла.

Таким образом, в случае А задача имеет решение (возможна) лишь при
условиях:

Ла < /д 7Пд •

Если расположение точек А , Е , F при построении треугольника
жестко фиксировать, то и точки G и О будут определены однозначно,
а потому — однозначно будут определены окружность с центром в точке
О и вершины С и В ABAC , то есть задача будет иметь единственное
решение.

В общем случае А) △ВАС будет определен однозначно с точностью до
симметричного треугольника либо о’тносительно серединного перпендику-
ляра к отрезку ВС , либо — относительно прямой ВС , либо — середины
ВС (см. рис. 18 а), б), в) соответственно).
BF=FC

рве. 18 а)	рве. 18 б)	рже. 18 в)

Б) Если h„ = I, = tn. (это означает, что фактически задай только один
элемент треугольника, а для построения треугольника необходимо задать
как минимум три элемента), то точки D , Е , F , совпадают и любой
равнобедренный ABAC , у которого AD 1 ВС , |AD| = he , BD =
DC , удовлетворяет условию задачи. Поэтому задача имеет бесчисленное
множество решений (на Рис- указаны два возможных треугольника).

Отметим, что, например, в задаче на построение равностороннего тре-
угольника по заданной стороне неявно присутствует три элемента (три его
стороны, равные между собой). . д

BD-DC Bp=DCx
рис. 19

20.	(ф-т ВМиК) Построить треугольник по заданной стороне, про-
тиволежащему ей углу и проведенной к ней высоте.

Решение

Пусть длина стороны треугольника равна а , длина проведенной к ней
высоты равна ha , а величина противолежащего ей угла равна а .
1)	Анализ. Допустим, что треугольник АВС построен. Тогда, если
около него описать окружность, то, выбрав произвольную точку А' на
дуге ВАС , мы получим, что ВА'С = ВАС = а , так как ABAC и
АВ А'С — вписанные в эту окружность и опираются на одну дугу ВтС .

Поэтому при решении задачи используется как часть задача на постро-
ение Г.М.Т. (геометрического места точек), из которых данный отрезок
”виден” под заданным углом (см. рис. 20 а).

2)	Построение, (см. рис. 20 б). На прямой d откладываем отрезок
ВС длины а . Проведем к нему серединный перпендикуляр g . Под углом
заданной величины а из одного из концов отрезка ВС , например, В
проведем прямую I, а затем из точки В проведем к I перпендикулярную
прямую е , пересекающуюся с прямой g в точке О..

Такая точка О существует, так как в противном случае прямые е
и g были бы параллельны и, следовательно, было бы е ± d и также
е ± I , откуда следует, что 11| d , а это уже явно противоречит очевидному
пересечению прямых d и I в точке В , так как по смыслу задачи
0 < а < тг .

Из центра О проведем окружность радиуса ОВ . В силу свойства се-
рединного перпендикуляра к отрезку ОВ = ОС , поэтому эта окружность
пройдет и через точку С .

На расстоянии равном ha от прямой d проведем прямую h , парал-
лельную прямой d .

Прямую Л || d можно, например, провести через точку на серединном
к отрезку ВС перпендикуляре, находящуюся на расстоянии ha от этой
середины, что осуществляется откладыванием от середины ВС на прямой
g отрезка длины ha .

Обозначая через А общую точку прямой Л и построенной окружности
(если такая существует), соединяя отрезками точку А с В и А с С ,
мы и получим искомый ДАВС .

3)	Доказательство. В силу того, что по построению ОВ ± I, прямая I
будет касательной к построенной окружности, В — точка касания. В силу
теорем об измерении вписанных в окружность углов и углов, образованных
касательной и хордой ВАС = а . По построению |ВС\ = а , а так как
р(А; d) = ha , то длина опущенной на сторону ВС высоты построенного
треугольника равна ha . Следовательно, ДВАС — искомый.
рис. 21 а)	рис. 21 б)	рис. 21 в)

4)	Исследование. Задача имеет единственное решение (исходя из спосо-
ба построения треугольника) с точностью до треугольника, симметричного
относительно серединного перпендикуляра к отрезку ВС , или — относи-
тельно прямой d , или — или относительно середины F отрезка ВС ,
(см. рис. 21 а), б) в) соответственно). Построение треугольника с такими
данными возможно только при

Ла 2	2 =	’

(см. рис. 21 а), На — длина высоты кругового сегмента ВтС
(круговой сегмент — часть круга, ограниченная хордой и стягиваемой ей
дугой соответствующей окружности, см. также рис. 21 б) и в).

21.	(геолог, ф-т) Построить треугольник по двум углам и биссектрисе

третьего угла.

Решение

Пусть заданы величины углов а
угла 1С .

рис. 22 б)
1)	Анализ. Предположим, что ДЛВС построен. В любом

△Л'В'С ~ ДЛВС , где АВ || Л'В', CDf будет, очевидно, биссектрисой
угла А'СВ' , где CD — биссектриса угла АСВ и точка D' лежит на
луче CD . Отсюда ясен способ построения искомого треугольника.

2)	Построение, (см. рис. 22 а) На данной прямой d выбираем две
точки Л и £ и строим от точек Л и В в одну и ту же полуплоскость
относительно прямой d под углами величин а и (3 соответственно
две прямые. Если а + /3 < тг , то в этой же полуплоскости эти прямые
пересекутся в некоторой точке С . Проведем биссектрису угла АСВ и
отложим на прямой, содержащей эту биссектрису, от точки С отрезок
заданной длины 1С — CDf . Если окажется, что точка Df будет на
отрезке АВ , то ДЛВС построен. В противном случае через точку D'
проводим прямую d' || d , которая пересечет (доказать это самостоятельно)
прямые С А к СВ в точках А' и В* соответственно. ДСА'В' —
искомый.

3)	Доказательство. ЛСА'В* = Z.CAB и ZCB'A' = £СВА как
соответственные углы при АВ || А'В' и секущих АА' и ВВ'; = 1С и
по построению £А!CD1 = /LD'CB'. Следовательно, △С'А'В' искомый.

4)	Исследование. В силу единственности построенных углов заданных
величин в данной полуплоскости, однозначно полученной точки С, един-
ственности биссектрисы угла АСВ и единственности откладывания от
точки С на данной полупрямой отрезка заданной длины, а затем единст-
венности прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку,
эта задача имеет единственное решение с точностью до симметричного
относительно вершины, из которой проведена биссектриса данной длины,
треугольника. Причем, если точка С построена в фиксированной полу-
плоскости относительно выбранной прямой d (см. выше рис. 22 б).

В силу теоремы о сумме углов треугольника задача имеет решение
(возможна) только при условии, если сумма заданных углов меньше ра-
звернутого угла или а + /3 < тг .

22.	(геолог, ф-т) Доказать, что все прямоугольные треугольники,
стороны которых образуют арифметическую прогрессию, подобны ’’еги-
петскому” треугольнику (длины его сторон равны 3 ; 4 ; 5).

Доказательство

Пусть d — разность прогрессии, х — d ; х — длины катетов, х + d
— длина гипотенузы.

Так как x+d> х ; x + d> x — d ,то d > 0 , следовательно, по теореме
Пифагора

(х - d)2 4- х2 = (ж + d)2 •&

<=> 2ж2 - 2xd = х2 + 2xd о х2 = 4xd

х = 4d О х -d = 3d; x + d = 5d .

Так как
3d 4d 5d ,
3 “ 4 ~ Т “ ’
то указанный треугольник ~ ” египетскому”.

23.	(ф-т ВМиК) Доказать, что сумма кубов трех последовательных
целых чисел делится на 9 .

Доказательство

Три последовательных целых числа удобно представить как

а — 1 ; а ; а 4-1, где а € Z .

Тогда

(а — I)3 4- а3 4- (а 4-1)3 = а3 4- (а — I)3 4- (а 4" I)3 =
= а3 4- 2а((а - I)2 4- (а 4-1)2 - (а - 1)(а + 1)) =
= а3 4* 2а(а2 4* 3) — а(3а2 4- 6) — За(а2 4~ 2) .
Следовательно, достаточно доказать, что

Va € Z : а(а2 4- 2) : 3 .

Возможны случаи :

1)	а = Зк , к е Z => а(а2 4- 2) = 3fc(9Jb2 4- 2) : 3 ;

2)	а = Зк4-1 , к G Z => а24-2 = (3*4-1)24-2 = 9Jb24-6A;4-3 = 3(3*24-24-1) : 3 ;

3)	а = 3*4-2 , к G Z => а24-2 = (3*4-2)2+2 = 9*24-12*+6 = 3(3*24-4*4-2): 3
Следовательно, в любом случае либо а : 3 , либо (а24-2) : 3 => а(а24-2): 3 ,
что и требовалось доказать.

24.	(ф-т ВМиК) Дан параллелограмм ABCD . На стороне ВС вы-
брана точка Е так, что |ВВ| : |ЕС\ = 3 : 1 , а на стороне AD — точка
F так, что |ЛР| : |FJ9| — 4 : 1 . На сколько процентов площадь треуголь-
ника АВЕ больше площади треугольника FCD ? На сколько процентов
площадь треугольника FCD меньше площади треугольника АВЕ ?
Решение

рис. 23

См. рис. 23 Пусть

|ЛВ| = |CD| = X ,	= Зу => |ЯС| = у , |ЛГ| = 4u => |F2?| = и .

„ 1 1 „ .

S&CDF = X • ®usmp , эдддд = - • 3ynsmy> =>
о	£

S&ABB _ Зу

S&.CDF U

Так как |ВС| = | AD| , то Зу + у ® 4и + и => у » 5и/4 . Следовательно,

Saabs _ 15 и _ 15 _ 3

S&CDF 4 и 4	’

Последнее равенство можно записать в следующем виде:

S&ABE = SaCDF + 2,75S^cPf •

Если S^cdF = 100% , то (S&abb S&cdf)100% = 2,75 • 100% = 275% ;

S&CBF =	= SaABB • Jg = S&ABB ig • Saabe ;

• S&abe ~ 7з| %S&abb •

Ответ: больше на 275% , меньше на 731 % .
О

25.	(ф-т ВМиК) Найти все целые числа хну, которые удовлетво-
ряют условиям :

Г -1 < х-у < 2 ,

1 2 <2у + х <5 .
Решение

Г -1 < ж - ?/ <2 ,	Г —2 < 2ж — 2г/ <4 ,

( 2 < 2у 4- х < 5	{ 2 < 2у 4- х < 5 .

Почленно складывая последние неравенства, получим 0 < Зх < 9 , откуда
с учетом х € Z и у Е Z

х = 1 =>

х = 2 =>

f -1 < 1-г/<2 ,
I 2<2у4-1 <5

Г -1 < 2 - у < 2 ,
( 2 < 2у + 2 < 5

-1 < У < 2 ,
1 < 2у < 4

О < 2/ < 3 ,
О < 2у < 3

=> у = 1 ;

=> у = 1.

Ответ: х = 1 , у = 1 ; ж = 2 , г/ = 1 .

26.	(ф-т ВМиК) Является ли функция f(x) = (2+\/3)* —(2—\/3)«
четной, нечетной или ни той, ни другой ?

Решение

Положим а = 2 4- л/З , тогда так как (2 4- л/3) • (2 — \/3) = 4 — 3 = 1,
то 2 — \/3 = - и потому функция f(x) примет вид:

/(ж) = а* —	.

Область определения этой функции — (—оо , 0) U (0 , 4-оо), очевидно,
симметрична относительно точки xq = 0 и также легко видеть, что Уж 6 R :
х / 0 => /(—ж) =	— а* = —/(ж) , откуда и получаем ответ.

Ответ: нечетная функция .

27.	(ф-т ВМиК) Какое из чисел больше :

у/2 cos 2 4-4 cos 14-3 — 2 cos 1 или ?
-	z

Решение

\/2соз(2 • 1) 4-4cosl 4- 3 — 2cos 1 =	4 cos2 14-4cos 14-1 — 2cos 1 =

= \/(2cos 1 4-1)2 — 2 cos 1 = |2 cos 1 4-1| — 2 cos 1 .

Так как 0 < 1 < тг/2 , то cos 1 > 0 =>

=> |2 cos 1 4-1| — 2 cos 1 = (2 cos 1 4-1) — 2 cos 1 = 1 > 1/2 .

Ответ: первое число больше .
28.	(ф-т ВМиК) Найти все пары натуральных чисел р и q , для
которых	4р2 = д2 — 9 .

Решение

92-4р2 = 9 (q — 2p)(g+2p) = 9 . Так как p,q € АГ, то q+2p^ 3 =>

q + 2р — 3 ,
q — 2р = 3 ; \

q + 2р = 9 ,
g - 2р = 1

fР=0*N,
1 g = 3 GJV;
j p=2-EN ,
( g = 5 £N .

Следовательно, условию задачи удовлетворяет только пара р = 2 , 9 = 5.

Ответ: р = 2 , 9 = 5.

29.	(ф-т ВМиК) Решить уравнение sin3 X — cos7 х = 1 .

Решение

В силу того, что V® € Я — 1 sC sin ж 1 и — 1 cos х sC 1 мы имеем

sin3 х sin2 х , — cos7 х cos2 х sin3 х — cos7 х sin2 х 4- cos2 х = 1 ,

„	*37-1

поэтому в силу свойств неравенств равенство sm х — cos х = 1 возможно
только при выполнении условий

sin х = 1 ,	f sin х = 0 ,

COS X = 0	( cos ж = — 1 ,

из которых и следует ответ.

Ответ: х = тг/2 + 2тгп , х = тг 4- 2тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

30.	(ф-т ВМиК) Определить первый знак после запятой у числа
sin80° 	| Решение |

В силу возрастания функции синус на отрезке [0° , 90’]

1 = sin 90’ > sin 80’ > sin 75’ = sin(45’+30’) = sin 45’-cos 30°+cos 45’-sin 30’ =

<3 + 1
2x/2

1,7 + 1

^ = ^ = 0,9,
Л i

то есть 0,9 < sin 80° < 1 , откуда следует ответ.

Ответ: 9 .
31,	(ф-т ВМиК) Доказать, что для любых трех положительных дей-
ствительных чисел а , b , с выполняется неравенство

(а + 6 + с) • f |	^9

\а о с J

и указать в каком случае выполняется равенство.

Доказательство

Перемножая скобки в левой части неравенства и воспользовавшись не-
равенством для суммы двух взаимно обратных положительных чисел, по-
лучим:

(а	/а	с\ (Ь с\	Л Л Л	Л Л

т + Н+-	+	-+(- + г	^З + 2 + 2 +	2з=9|

b qJ \с	а/ \с Ъ/

так как в неравенстве для суммы двух взаимно обратных положительных
чисел равенство выполняется только в случае их равенства 1 , то данное
неравенство обращается в равенство только в случае а = b = с .

32.	(ф-т ВМиК) Доказать справедливость неравенства
arcsin х • arccos х ~ .

Для каких значений х оно выполняется и при каких значениях х
достигается равенство ?

Решение

arcsin х и arccos х определены и принимают действительные значения
только при — 1 х 1 . Положим а = arcsin х , тогда arccos х == тг/2 — а
и -—тг/2 <С a тг/2 . Применяя операцию выделения полного квадрата,

получим:

arcsin х • arccos г = а

а2

7Г\3'
4/

ж2

+ 16 ’

откуда непосредственно вытекает доказываемое неравенство. Оно обраща-
ется в равенство только при а = я/4 « х =	.

Ответ: -1	®	1 , х = 1/у/2 .
33.	(ф-т ВМиК) Доказать иррациональность числа tg 5° .

Доказательство

Предположим, что tg 5° 6 Q (то есть рационально), тогда, применяя
формулы тангенса двойного аргумента и тангенса суммы двух аргументов,
а также тот факт, что сумма, разность, произведение, частное рациональ-
ных чисел — числа рациональные, получим:

1	tg30<>=

у/З s 1 - tg 20° • tg 10°	4

'з = 3tg зо° е Q,

а последнее неверно, стало быть мы пришли к противоречию, которое
и доказывает утверждение.

Докажем также иррациональность числа л/3 . Предположим, что
г т

V3EQ, тогда 3m,n Е N : v3 = — , причем можно считать дробь —
п	п

несократимой, то есть Н.О.Д.(тп;п) = 1 (в противном случае ее можно
сократить на общий множитель числителя и знаменателя так, что она за-

менится равной ей несократимой дробью). Тогда 3 =	=>

=> тп2 = Зп2 => m2:3 . Представляя число m в виде m = 3q 4- r ,
где q 6 N , r = 0 ; 1; 2, получим: m2 = (3q 4- r)2 = 9g2 4- 6gr 4- r2 =>

=> t2 = m2 - 9g2 - 6gr = 3 • (n2 - 3g2 - 2gr) => r2:3 . Из указанных значе-
ний г последнее условие выполняется только при г = 0 , следовательно
m = 3g, то есть т:3 => т2 = Зп2 <=> (3g)2 = Зп2 & п2 = 3g2 => п2:3,
откуда уже по доказанному для случая числа т вытекает, что и п:3 . Та-
ким образом, по крайней мере Н.О.Д.(тп;п) 3. Пришли к противоречию,
которое доказывает иррациональность числа у/З .

34.	(ф-т ВМиК) Пусть	— корни квадратного уравнения

х2 4- рх — g = 0 . Найти хf 4-	» не вычисляя этих корней.

Решение

Действительные корни уравнения существуют при р2 4- 4g 0 .

Используя соотношения

Ж1 + х2 = (Ж1 + жг)(®1 - ®1®2 4- я|) , xi 4- я| = (®i 4- я2)2 - 2ziz2 ,
а также теорему Виета : zi 4- ж2 = — р , «хж2 = — g , получим ответ
Ответ: -р(р2 4- 3g) , р2 4- 4g 0 .

35.	(геолог, ф-т) Решить уравнение 8т2(тгж) +V®2 + Зж + 2 = 0 .
Решение

Так как выражение, стоящее в левой части уравнения неотрицательно,
то это уравнение сводится к следующей системе :

Jsin(7rx) = 0 ,	Гтгж = irn Vn € Z ,	Х _ П ’ Г х = — 1 ;

\х2 + 3х + 2 = о	Цх + 1)(х + 2) = о	XZ~; 5	[ х =—2 .

Ответ: х = -1 , х = -2 .

36.	(геолог, ф-т) Доказать, что Vn 6 N (п3 — п) : б .

Доказательство

п3 — n = n(n2 — 1) = (п — 1)п(п 4-1) — произведение трех последова-
тельных целых чисел, из которых по крайней мере одно делится на 2 и по
крайней мере одно делится на 3, а потому все произведение, одновременно
делясь нацело на числа 2 и 3, будет делиться и на их произведение, число
6 (поскольку числа 2 и 3 — взаимно простые, то есть Н.О.Д. (2; 3) = 1).

Замечание. Утверждение о том, что число1 а : (тпп) <=> а : m , а : п , если
Н.О.Д. (тп; п) = 1 вытекает из теоремы о представлении любого натураль-
ного числа а 2 в виде произведения простых множителей единственным
(с точностью до порядка сомножителей) образом (см. утверждение 5 в п.
2.0.3).

37.	(геолог, ф-т) Решить неравенство log3(logi ж) 0 .

5

Решение

Воспользовавшись тем, что логарифмическая функция /(ж) = loga ж
определена при любом х > 0 , возрастает при a > 1 и убывает при
0 < а < 1 , мы получим:

log3(iogi г)	0	log3(logi х)	log31	О

1 1

-Ф»	logi 1 = 0 <	log!	X	1 = logi -	Ф=> -	X <	1 .

5	5	5 5	5

Ответ: 1/5 х < 1 .
38.	(геолог, ф-т) Известно, что log318 = а , log515 = b ,
вычислить log2 10 .

Решение

Применяя свойства логарифмов, произведем следующие преобразования:

а = log318 = log3(9’2) = log3 9+log3 2 = 2+log3 2 => a-2 = log3 2 ,

b = logs 15 = log5(3-6) = log5 5+log5 3 = l+log5 3 =>b-l= log5 3 =>
=> (a—2)(5—1) = (log5 3)-(log3 2) = log52 = r-J— =	1 : ? =

1 1
=--------------= —--------- =Ф« ответ .

log210 - log2 2 log210-1

39.	(ф-т ВМиК и геолог, ф-т) В выпуклом четырехугольнике ABfJD
|АВ| = а , |ВС\ = b , |СР| = с , |DA| = d . Доказать, что для его площади
Л	Л ab + cd п

S имеет место неравенство S	. В каких случаях это неравенство

обращается в равенство ?

Проведем диагональ АС этого четырехугольника (см. рис. 24 а), тогда

S = S&ABC + S&ADC = к ' (absinB + cd sin D) <C - • (ab + cd) , поскольку
&	i

0 < sin В 1 , 0 < sinP 1 . Очевидно, что доказанное неравенство
обращается в равенство только в случае sin В = sin D = 1 , то есть когда
углы В и D — прямые. Последнее, в частности имеет место, когда
ABCD — прямоугольник (см. рис. 24 в), однако — не только в случае
прямоугольника (см. рис. 24 б).
Ответ: В = D = 90° .

40.	(геолог, ф-т) В треугольнике АВС проведены биссектриса СЕ
и медиана BD , которые пересекаются в точке О . Длина стороны ВС
в два раза больше длины стороны АС . Найти отношение длины отрезка
ВО к длине отрезка OD и отношение площади треугольника DOC к
площади треугольника ВОС .

По свойству биссектрисы угла треугольника (см. рис. 25)

|ДО| |2?С|_ |ВС| _2|ВС|

|OD| |CD| |АС|/2 |АС|

Ig°l _ t.

ЮО|" '

S^cod _	_ |OP|.8iny _ |QI>| _ 1

5двос 1. |ОВ| • |ОС| • 8in(7r - ^)	1°в1 4

Ответ: |ВО| : |ОР| = 4 , S^cod • $&вос = 1:4.

41.	(геолог, ф-т) Найти область определения функции

у = v4og3(sin 2х).

Решение

Р[1/] — {» : log3(sin2x) 0 О log3(sin2x) log3 1 О sin2x^l О

О sin 2х = 1 , откуда получаем ответ.

7Г

Ответ: х = — + тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ;
4

\ Т5	22	. / 35тг

42.	(геолог, ф-т) Вычислить — arcsin I cos —-
7Г	\	11
Решение

22	. /	35*\	22	. /	/35*	„

— arcsin I сое —- 1 = — arcsin I — cos I —— 3*
*	\	11 J	*	\	\ 11

22	. /	2*\	22	. /, fit	2*\\

xs _— arcsin I cos — I =---arcsin I sin I — — — I 1 =

*	\	11/	*	\	\2	11//

22	. (. 7*\	(7*

5S__arc8lBfsm__j = |_€

Г * ill _ 22 7*

Г2 ’ 2JJ “V 22

Ответ: -7 .

43. (геолог, ф-т) Сравнить :--------- 4- п---- и 2 .

log23 log32

Решение

еЬ+ii v2ek,b2+iiv2  т“*“Уг>0 =* i+js2'
прием .+ 1 = 2 « »=!,. 0<log,2#l,TO log, 2 +	> 2 .

Ответ: log3 2 + j 1  > 2 .
lofo 2

44, (геолог, ф-т) Решить уравнение sin х + cos г + sin х • cos х = 1 .

Решение

sin® + cosх + sin ® • cos х = 1 sinх + cosa? = 1 - sin х • cosх =>
=> (sin® + cos®)2 — (1 — sin®• cos®)2 <=>sin2® + 2sin®cos® + cos2® =
= 12 sin ® • cos x + sin2 ® • cos2 ® <=> {V® ё R => sin2 x + cos2 ® = 1 ,
z = sin® 'Cos® = (sin2®)/2) z2 — 4z = 0	{|z|	1/2} z = 0

{sin® + cos® = 1
sin® 'Cos® = 0

sin ® = 0 ,
coax = I ;
cos® = 0 ,
sin x — 1

® = 2*n ;

*

x = — + 2*n ,

A

n = 0 ; ±1 ; ±2 ;	.

Ответ; x = 2*n ; x = + 2*n , n ~ 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .
A
45.	(геолог, ф-т) Найти наибольшее целое значение параметра а ,
при котором уравнение (3 — ж)5 = |ж + а|5 не имеет решений.

Решение

1	способ (аналитический)

Равенство u5 = и5 <=> и = v поскольку в силу свойств отношения ” = ”
между числами из и = v => u5 = v5; если предположить, что для некоторых
чисел и* и vf из u'5 = t/5 не следует равенство uf = г/, то либо uf > v',
либо и' < v\ тогда в силу возрастания функции у = ж5 на (—оо , 4-оо)
соответственно вытекает, что либо u'5 > v/5, либо и'5 < г/5, оба этих
варианта противоречат равенству и'* = t/5, таким образом, иъ = v5 =>
=> и = v. Итак, уравнение (3 - ж)5 = |ж 4- а|5 <=> 3 - х = |ж 4- <х|, поэтому
достаточно найти наибольшее целое значение а, при котором Уж Е R =>

=> |ж 4- а| ф 3 — ж <=>

ж 3 ,

х 4- а ф 3 — ж ,
ж 4- а х — 3 ;

ж > 3

ж <$3 ,
х 4- а 0 3 — ж ,
ж 4- а # ж - 3 ;



ж > 3

ж^З,
х 5^ (3 “	»

а ф — 3 ;

ж > 3

3 —а

2

>3 <=> 3 —а > 6 <=> а < -3 .

Следовательно, максимальное целое значение а, удовлетворяющее условию
задачи, это а = — 4 .

2	способ (графический, см. рис. 26)

рис. 26

Так же, как и в первом способе решения задачи, сведем задачу к исследо-
ванию отсутствия решения уравнения |ж4-а| = 3 —ж. График правой части
последнего уравнения (график функции у = 3 - ж) — прямая на коорди-
натной плоскости, проходящая через точки (3;0) и (0;3), а график левой
части уравнения (график функции у = |ж 4- а|) — угол с вершиной в точке
(—а;0) (два луча : у = ж 4- а, если ж —а, и у = —ж — а, если ж —а).
Геометрический смысл отсутствия решений уравнения |ж 4- а| = 3 — ж это
отсутствие общих точек графиков функций левой и правой частей этого
уравнения. При — а 3 а 0 — 3 следует, что луч у = — х — а, где х —а
параллелен прямой у = —х 4- 3, а луч у = х 4- а, где х — а не имеет общих
точек с прямой у = — х 4- 3 тогда и только тогда, когда — а > 3 а < — 3.
Откуда максимальное целое значение а, удовлетворяющее условию задачи,
это а = — 4 .

Ответ: а = —4 .

46.	(геолог, ф-т) Найти значение а, при котором минимально рассто-
яние между корнями уравнения х2 + (а — 34)® — 35а — 36 = 0.

Решение

Корни уравнения х2 4- Ьх 4- с = 0 при D = Ъ2 — 4с 0 имеют вид

—Ь — л/Ь2 — 4с	— Ъ 4-	“ 4с

я =	=--------------; х = х2 =----------------- =>

=> p(®i;	= |$2 - ®1| = у/Ь2 - 4с .

Следовательно, надо вычислить это выражение применительно к данному
уравнению и найти его наименьшее значение по а.

D = Ъ2 - 4с = (а - 34)2 + 4(35а 4- 36) = а2 - 68а 4- 1156 4- 140а 4-144 =
= а2 4- 72а 4-1300 = а2 + 72а 4- 1296 4- 4 = (а 4- 36)2 4- 4 =>
=> minVb2 “ 4с = (а 4- 36)2 4- 4 = yi = 2 при а = —36 .

Ответ: а = —36 .

2х	8х

47.	(геолог, ф-т) Найти период Т функции у = 2 sin — - 3cos — ,

15	35

удовлетворяющий условию 0 < Т < 500 .

Решение

В силу периодичности функций у = sin х и у = cos х с периодами 2%п,
/	. Л	Л . 2® Л . (2х Л \ Л .	2(х 4- 15%п)

(п =	±1	; ±2	; ... ) 2sm —	= 2sm I — 4- 2%п I = 2зщ------------ ,

15	\ 15	/	15

'	. 2х

следовательно, в частности, 15% — период функции 2sm— ;

15

Л 8х	Л	fix _ \ л 8(х 4- 35%п)

3	cos — = 3 cos I — 4- 8%n I = 3 cos ———----- , следовательно, в част-

35	\35	/	35

8х
ности, 35% — период функции 3 cos — ; общим периодом обеих этих
35
функций, а потому — и функции 2/(я?) будет Н.О.К.(15;35)тг = 105яг , Так
как 105тг < 105-4 = 420 < 500 , то это число удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 105тг,

48.	(геолог, ф-т) Сумма п первых членов последовательности {ап}
определяется по формуле Sn = 2п2 + Зп . Определить эту последователь-
ность.

I Решение

Sn-i = 2(n—l)24-3(n—1), а потому an = Sn-Sn_i = 2(n2-(n-l)2)4-3 =
= 2(2n—1)4-3 = 4n4-l . Формула общего члена искомой последовательности
ап = 4n + 1 = 5 4- 4(п — 1) . Эта последовательность — арифметическая
прогрессия (4-) , ее разность d = 4 , а первый член ах = 5 ,

Ответ: ап = 5 4- 4(п - 1) .

49.	(геолог, ф-т) Найти расстояния между основаниями высот тре-
угольника, если длины его сторон равны 2 , 8/3 и 10/3 .

Решение

Прежде всего постараемся выяснить вид треугольника по теореме ко-
синусов, записанной относительно его большей стороны.

100	64	. о Л 8	Л г

— = у+ 4-2-2---cosy» => соар = 0 => <р~-,

где — величина угла треугольника, противолежащего его большей сто-
роне. Следовательно, этот треугольник — прямоугольный, а потому одно
из этих расстояний равно 0 , а два других равны длине высоты, опущен-
ной из вершины прямого угла этого треугольника на гипотенузу. Применяя
формулу площади треугольника (через длины его стороны и опущенной на

ч	« 2S 2-8/3	8

нее высоты), получим пс = — =	.

С	iu f «Э	V

g

Ответ: 0 ; - .

5
-----1---------

50.	(геолог, ф-т) Для всех значений параметра а решить уравнение
у/х1 — х — -у/х + -\/1 — г = а .
Решение

При подстановке значения х = 0 в левую часть уравнения получаем, что
а = 1 ; а при подстановке значения х = 1 в левую часть уравнения получа-
ем, что а = — 1 ; следовательно, при остальных значениях а уравнение не
имеет решений.

х = 1 при а = —1 ;

Ответ: х = 0 при а = 1 ;

решений нет при а / -1 и а / 1 .

51.	(геолог, ф-т) Найти сумму цифр в десятичной записи числа
N = Ю1999 - 1999 .

Решение

Ю1999 = 1 000... ООО => 101999-1999 = 999 . 999 8001. Следовательно,
1999	1995

искомая сумма равна 9 • 1995 + 84- 1 = 9* 1995 + 9 = 9* 1996 = 17964 .
Ответ: 17964 .

52.	(геолог, ф-т) Решить уравнение 1 + 7 + 13 + ... + х = 280 .

Решение

В левой части уравнения сумма членов арифметической прогрессии (+)
с первым членом ai = 1 и разностью d = 6 . Пусть ж = а„ , где по форму-
лам общего члена и суммы п первых членов + следует ап = 1 + 6(п — 1) ,
Sn = (2ain + d(n — 1)п)/2 = п + 3(п — 1)п = 280 => Зп2 — 2п — 280 = 0 .
Поскольку нас интересует целый положительный корень последнего урав-
нения, то п = (1 + >/12 + 280 • 3)/3 = (1 + -\ДЙ1)/3 = (1 + 2&)/3 = 10 =>
=> х = аю = 1 + 6 • (10 — 1) = 55 .

Ответ: х = 55 .
53.	(геолог, ф-т) Середины сторон выпуклого четырехугольника по-
следовательно соединены отрезками прямых. Площадь получившегося че-
тырехугольника равна S . Определить площадь первоначального четырех-
угольника.

рис. 27

ч Проведем диагонали BD и АС в четырехугольнике ABCD

(см. рис. 27). Тогда ЕН и FG будут средними линиями треугольников
ABD и BCD соответственно. В силу свойств средней линии треугольника
ЕН || BD , FG || BD w. ЕН = BD/2 = FG , откуда следует, что

АЛЕН ~ AABD и ACFG ~ ACBD , коэффициенты подобия в обоих
случаях равны к = 1/2 . Следовательно, S^aeh = k2S&ABD = S^abd/^ и
S&CFG = k2S^CBD = SbCBD/Ь , поэтому

S&AEH + S&CFG =

S&ABD + S&CBD SaBCD

4	“4-

аналогично можно получить, что

S&BEF + S&dhg =
следовательно,

S&abc + Saadc _ Sabcd
4	“4

S&AEH + S&CFG + S^BEF + S&DHG =

Sabcd
4

, Sabcd _ Sabcd
+ —

= Sabcd - Sefgh = Sabcd - S => S = Sabcd -

Sabcd Sabcd
2	~	2

Sabcd = 2S .

Ответ: 2S .
54.	(ф-т ВМиК) Доказать, что для любого натурального числа п > 1
число п3 — п 4- 3 — составное.

Доказательство

п3 - п 4- 3 = п(п2 -1)4-3= (п - 1)п(п + 1) + 3 = 3(р + 1) , где
р = (п — 1)п(п 4-1)/3 € N , так как (п — 1)п(п 4-1) — произведение трех
последовательных натуральных чисел, из которых всегда одно делится на
число 3 , следовательно, р + 1 G 2V , (р 4-1)^2, а потому п3 — п 4- 3 —
составное число, так как (п — 1)п(п + 1) + 3 : 3 и (п - 1)п(п 4-1) 4- 3 б .

55.	(ф-т ВМиК) Решить в целых числах уравнение 9® = 4у + 1 .

Решение

9х — 1	8

9х = 4у 4-1 <=> у = —-— , при ж^-1=>-1<9х-1^--=>р££,а
4	9

потому целочисленные решения уравнения надо искать только при условии
х 0 . При х = 0 получаем, что и у = 0 , при х = n € N => 9х — 1 =

= 9” - 1 = (9 - ХХЭ"-1 + 9П“2 + ...4-94-1) = 8(9П“1 + 9П“2 + ... + 9 + 1) : 4,
поэтому целочисленными решениями уравнения яаляются пары

9” — 1

х = п , у = —-— , п = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... .

4

9” - 1
Ответ: х = п , у = —-— , п = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... .

4

56.	(ф-т ВМиК) Сравнить числа а и b , если 5(а — 1) = а2 4- b .

Решение

Так как 5(а — 1) = а2 + Ь <=> Ь = -а2 + 5а — 5 , то Ь — а = —а2 + 4а — 5 =
= —(а2 - 4а + 4) — 1 = —(а — 2)2 - 1	— 1 < 0 , следовательно при условии

5(а - 1) = а2 + Ь всегда Ъ — а < 0 <=> а>Ь .

Ответ: а > b .

57. (ф-т ВМиК) Решить уравнение

1 1

+ -—=— = sm х 4- cos х.
2»m2 х	2COSx
Решение

2^7 + 2^=8“? + со8Ж 2^ + 2^ = ^(8к1Х + СО8х)
л/2	у/2	. /	7г\

д. 4- - Сд8з д. = 2 sin ^х 4- (в последнем переходе к правой части

уравнения применена формула преобразования выражения вида
a sin х 4- bcosx с помощью вспомогательного аргумента) ; поскольку

у/2	у/2	2	2	>/2	>/2

2sin3 х 2cos2x 2sin3 х+сов3 х 21	’ выражения 2sm3® 2со®ааг

являются взаимно обратными, а так как они еще и положительны, то

у2 у2	у2 у2

—-r-=—F -—5— > 2 , причем —-г-5—F -—=— = 2
2«т3 x 2е08 x ' ’	2sm x	2COS x

{Vx 6 R => sin2z 4-cos2ж = 1} sin2x=- <=> sinx = ±—7=

2	y/2

% тгп Л

<=> x = — 4- — , n = 0 ; ±1 ; ±2 ; ...
4 z

; правая часть уравнения

2 sin (x 4-	2 (Vx 6 R) , 2 sin (x 4-	= 2 sin (x 4- j) = 1 <=>

7Г

<=> x = — 4- 2irn , n = 0
4

±1 ; ±2 ; ... ; следовательно, решениями

уравнения являются те и только те значения х , при которых обе части по-
членно умноженного на у/2 исходного уравнения равны 2 , из проведенных
рассуждений вытекает, что, это следующие значения х :

х = -F 2тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

4

7Г

Ответ: х = — 4- 2тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

4

58. (ф-т ВМиК) При каких значениях параметра а уравнение
sin х + cos х + sin х • cos х = а имеет решения ?

Решение

sin х 4- cos х 4- sin х • cos х = а <=> sin х 4- cos х = а — sin х • cos х =>
=> (sinx 4- cosx)2 = (a — sin® • cosx)2	sin2 x 4- 2sinx • cosx + cos2 x =

= a2 — 2a sin x cosx 4-sin2x  cos2x <$

<=> (sin x • cos x)2 - 2(a + 1) sin x • cos x + d2 — 1 = 0

{z = sin x • cos x = (sin 2x)/2 => |z|	1/2} <=>

<=> z2 - 2(a + l)z + a2 - 1 = 0 .

Последнее уравнение имеет действительные корни:

«1,2 = a + 1 ± ^/(a + I)2 - a2 4-1 = a 4-1 ± y/2(a + 1) <=> a -1 .

Следовательно, исходное уравнение имеет решения тогда и только тогда,
когда

1

2

1

2

1

2 5

1

2

{u = \/2(а 4-1)
и2
=> (а 4-1) =-у

► /	1-V2

I 1 -1 - V

(а/2 4-1)2 _ 3
2	2

1

2

Ответ: -1 а | 4- >/2 .
&

59.	(ф-т ВМиК) Доказать, что если длины всех высот треугольника

меньше 1 , то радиус вписанной в него окружности меньше

1

3 ‘

Доказательство

Обозначим за a , Ь , с длины сторон треугольника, за Лв , hb , hc
длины соответственно опущенных на них высот, площадь треугольника
обозначим за S , а радйус вписанной в нее окружности обозначим за г .
Тогда, применяя формулы площади треугольника через длины стороны и
проведенной к ней высоты, а также через периметр треугольника и радиус
вписанной в нее окружности, получим S =

35 =

a - ha + Ь • hb + c-hc a + b + с

С другой стороны, S =

2

(а-|-6 + с)г

2

а • ha b * hb с *

а + Ь + с
» S<—J— .

2

2

6

1

3 *

60.	(ф-т ВМиК) Доказать, что в любом треугольнике сумма длин
всех трех его медиан больше трех четвертых его периметра и меньше его
периметра.

Обозначим вершины треугольника за А , В , С , длины противолежа-
щих им сторон — соответственно за а , b , с , а длины проведенных из
этих вершин медиан — соответственно за тпо , тп& , тпс . Тогда, обозначая
за О точку пересечения медиан △ЛВС и используя отношение 2 : 1 , в
котором делятся медианы треугольника в точке их пересечения, считая от
его вершин, получим, что (см. рис. 28)

|АО| =	, |ВО| =	, |СО| =	.

Оми

Применим неравенство треугольника (длина каждой стороны треугольни-
ка меньше суммы длин двух других его сторон) к треугольникам ВОС ,

Складывая почленно неравенства последней системы, мы получим:
4та 4- 4тгц 4- 4mc	3(a + fr4-c)

----------------> а 4- о 4- с & та+гпь + гпс > —-------- ,

3	4

первая часть утверждения доказана.

Для доказательства второй части утверждения достроим ДАВС до парал-
лелограмма ABCD (см. рис. 28), в котором ВС || AD , АВ || DC , сторона
AC &АВС — из его диагоналей. В силу свойств сторон и диагоналей
параллелограмма |СР| = |АВ| = с , |ВР| = 2ть. Применяя неравенство
треугольника к ДАВС , получим неравенство |ВС| 4- |СР| >

> |ВР| # а + с > 2тпь , аналогично, если достроить ДАВС до парал-
лелограмма сначала так, что сторона ВС — одна из его диагоналей, а
затем так, что сторона АВ — одна из его диагоналей, мы соответственно
получим: с 4- Ь > 2та , а + Ъ> 2тс . Сложим почленно неравенства

{а + с > 2ть ,

с+Ь> 2та , => 2(а4-Ь4-с) > 2(тпв4-пц4-7Пс) <=> та4-ть+тс < <х4-Ь4-с ,
а 4- Ь > 2тс

тем самым, утверждение полностью доказано.

61.	(ф-т ВМиК) Доказать, что при любом целом значении п выра-
жение п2 + Зп + 5 не делится наделана число 121 .

Доказательство

1	способ

Представим выражение п2 4- Зп 4- 5 следующим образом п2 4- Зп 4- 5 =
= п2 4- 7п — 4п — 284-33 = (п4-7)(п —4) 4- 33. Так как (п4-7) — (п- 4) =11,
то числа п + 7 и п-4 делятся и не делятся на число 11 одновременно.

Если п 4- 7 : 11 ип — 4 : 11, топ4-7 = 11р , п — 4 = 11g , где р , q EZ,

тогда (п4-7)(п-4) = 121pg : 121 , 33 / 121 => п2 4-Зп 4-5 =

= (п + 7)(п - 4) + 33 /121 ;

если же п 4- 7 / Пип —4 /11,то поскольку 11 — простое число, применяя
теорему единственности разложения на простые множители (с точностью
лишь до порядка сомножителей) натурального числа, получим, что ни одно
из чисел п 4- 7 ип — 4 не сожержит при разложении на простые множители
число 11, следовательно, не сожержит при разложении на простые множи-

тели числа 11 и произведение (п 4- 7)(п - 4) => (п 4- 7)(п - 4) / И, а так
как 33: 11, то (п + 7)(п-4)4-33 / 11 => (п + 7)(п - 4) /121,
утверждение полностью доказано.
2	способ

Предположим, что п2 4- Зп 4- 5 : .121 , тогда существует к € Z , что
п2 4- Зп 4- 5 = 121 А: , а потому п является корнем квадратного уравнения
п2 4- Зп 4- 5 — 121 к = 0 , то есть

-3 ± х/9 4- 484* - 20	-3 ± V484*-ll

п = п1>2 =------------------=----------------- ’

(причем поскольку п € Я(=> п 6 R) , то 484* — 11^0, при этом случай
484* - 11 = 0 исключается по двум причинам: при 484* -* 11 = 0 => к =
= 1/44 £ Z , п = -3/2 $ Z), следовательно, 484* — 11 — (2п 4- З)2 , то
есть число 484* — И — квадрат целого числа, отличного от нуля. Из
теоремы единственности разложения на простые множители (с точностью
лишь до порядка сомножителей) натурального числа, получим, что все
простые множители числа 484* — 11 должны встречаться четное число

раз, однако 484* — 11 = 11(44* — 1) , а 44* — 1 /11, поэтому по крайней
мере простое число 11 входит в разложение на множители числа 484* — 1
только один раз (то есть нечетное число раз), пришли к противоречию,
которое и доказывает утверждение.

62.	(ф-т ВМиК) Доказать, что уравнение х2 — 5у2 — 3 не имеет
решений в целых числах.

Доказательство

Предположим, что существует пара г = п , у = m , где m, n € Z ,
удовлетворяющая уравнению, тогда п2 = 5m2 4- 3 . Поскольку 5m2 : 5 и
5m2	0 , то целое число 5m2 оканчивается или цифрой 0 , или цифрой

5 , при этом в силу равенства п2 = 5m2 4- 3 целое число п2 при целом п
будет соответственно оканчиваться или цифрой 3 , или цифрой 8 , но это
невозможно, так как квадрат любого целого числа может оканчиваться
следующими цифрами 0; 1; 4 ; 5 ; 6; 9 > Полученное противоречие
доказывает утверждение.

63.	(ф-т ВМиК) Решить систему уравнений
X3 + у3 = 1 ,
х4 + у4 = 1 .

Решение

Так как Vx, у G Я =» х4 0 , у* 0 , то из второго уравнения
имеем 1 = ж4 + у4 х4 и 1 = ж4 + у* у4 , то есть х4 1 О |х|	1
1 ж 1 о -	1O^1<=>

<=> — 1 y3 1 . Если либо — 1 x < 0, либо — 1 у < 0, то соответственно
х3 + у3 < у3 1 => х3 4- у3 < 1 , ж3 4- у3 < х3 1 => х3 4- у3 < 1, поэтому у
системы не существует решений (ж; у), где х < 0 или у < 0 . Если 0 <С х 1
и 0 У 1 > то, вычитая почленно из первого уравнения системы второе,
получим х3 - х4 4- у3 - у4 = 0 <=> ж3(1 - ж) 4- у3(1 - у) = 0 . Поскольку при
0^ж^1и0^у^1 следует ж3(1 -ж)	0 и j/3(l — у) 0 , то равенство

®3(1 — ®) + 3/Э(1 — У) = 0 <=> |	= о 5

Последней системе формально удовлетворяют четыре пары значений
(х;у) , это (0;0) ; (0; 1) ; (1;0) ; (1; 1) • Непосредственной подстановкой в
исходную систему уравнений всех этих пар убеждаемся, что ее решениями
являются пары (0; 1) и (1; 0) .

Ответ: ж = 0 , у =1 ; ж = 1 , у = 0 .

ж = 0 ;
ж = 1 ,

у = 0 ;

У = 1 •

64.	(ф-т ВМиК) Действительные числа х , у , а таковы, что
выполнены равенства f

Г х + у = а - 1 ,

| ху = а2 — 7а + 14 .

При каких значениях а X2,4- у2 принимает наибольшее значение ?

Решение

В силу обратной теоремы Виета и того, что ж,г/,абЯ=>ж,$/ —
корни квадратного уравнения t2 — (а — l)t 4-а2 - 7а 4-14 = 0 , дискриминант
которого D = (а -1)2 - 4(а2 - 7а 4-14) 0 <=> а2 - 2а 4-1 - 4а2 4- 28а — 56
0 -За2 4- 26а - 55 > 0 За2 - 26а + 55 0 (За - 11)(а - 5) 0 &
<=> 11/3 а 5 . ж2 4- у2 = (ж 4- у)2 — 2жт/ = (а — I)2 — 2(а2 — 7а 4-14) =
= а2 - 2а 4-1 - 2а2 + 14а - 28 = -а2 4- 12а - 27 = -(а2 - 12а 4- 36) 4- 9 =
= -(а — 6)2 4- 9 . В силу возрастания функции /(а) = —(а — 6)2 4- 9 на
отрезке [ 11/3 , 5 ] ее наибольшее достигается на нем при а = 5 .

Ответ: а = 5 .

65.	(ф-т ВМиК) Найти наибольшее значение функции
у(х) = 4ж + — — cos4x2 при х < 0 .
Решение

В силу неравенства для суммы двух взаимно обратных чисел Vt < 0 =>
=> t 4- 1/t $ — 2 , t + 1/t = — 2 t = — 1 получим

V» < 0 => 4x 4- — = 2\/тг (“7= 4-	, — cos 4ж2	1 .

x	\ -у/тг 2® J

__	yjTt	. 2 4ТГ	л	л Г~“	a 2

Поскольку при x = —г- => 4x = — = тг 4x 4— = —4утг , — cos 4x =
2	4	x

= — cos тг = 1 , то наибольшее значение функции т/(ж) и равно 1 — 4у/тг ,
(рно достигается при х = —х/тг/2) .

Ответ: 1 — 4-у/тг .

66.	(ф-т ВМиК) Вычислить arosin(cos arcsin ж) 4- arccos(sin arccos ж) .

Решение

Выражения arcsin ж и arccos ж определены при — 1	х 1 , при

любом из этих значений х с учетом определений arcsin ж и arccos ж
8ш(агсзшж) = ж, соз(агссо8ж) 4= ж, —тг/2 arcsin ж <С тг/2, 0 arccos ж тг,
поэтому сов(агс8шж) = 4-^1 - sin2(arcsin ж) = \/1 - ж2 и
8ш(агссо8ж) = 4-\/1 — cos2(arccos ж) = л/1 - ж2 , следовательно, исходное
выражение принимает вид arcsin л/1 — ж2 4- arccos	• Сложим по-

членно для — 1 а <С 1 неравенства

тг	. тг

— — < arcsin а < ~ ,
2	2

О arccos а тг ,

тг .	Зтг

— — arcsin а 4- arccos а —

при этом

эти неравенства обращались бы в равенства соответственно при условиях

arcsin а = — - <=> а = — 1 ,
&

arccos а = 0 а = 1

{arcsin а = — <=> а = 1 ,
2

arccosа = тг <=> а = —1 ,

теперь видно, что оба этих варианта невозможны, следовательно
г -	- 1 тг .	Зтг

Va € [ —1 , 1 J =>	< arcsin a 4- arccos a < — ,

так как cos (arcsin a 4- arccos a) = cos (arcsin a) • cos (arccos a) —

— sin(arcsin a) • sin(arccosa) = y/1 — a2-a-a- \/l — a2 = 0 , то получаем, что
Va E [ — 1 , 1 ] => arcsin a 4- arccos a = ^ , а потому окончательно исходное
выражение, равное
arcsin \/1 — x2 4- arccos \/1 “ ж2

7Г

2 *

Ответ: — .
2

67.

(ф-т ВМиК) Дан отрезок длины у/5. Построить отрезок длины 2.

рис. 29 а) рис. 29 б)

Построение отрезка можно провести, используя метод подобия, учиты-
вая, что I24-22 = (>/5)2 . Выберем произвольный отрезок (допустим, что его
длина равна а) , под прямым углом к нему из одного из его концов строим
отрезок длины 2а , затем, соединяя другие концы построенных отрезков,
на основе теоремы Пифагора получим, что длина полученного третьего
отрезка будет равна л/ба (см. на рис. 29 а) △АоВоС'о)- Очевидно, что по-
лученный прямоугольный треугольник AqBqCq подобен прямоугольному
треугольнику АВС с гипотенузой длины у/5 . Взяв заданный отрезок
длины х/5 , построив на нем как на диаметре окружность, а затем, откла-
дывая под углом, равным углу между сторонами треугольника AqBqCq с
длинами 2а и у/ba , (АВС = AqBqCq) отрезок с концами один в конце диа-
метра, другой на полуокружности (отрезок ВС), соединяя также эту точку
(точку С) с другим концом диаметра (точкой Л), получим прямоугольный
треугольник, длины катетов которого равны 2 и 1
(см. рис. 29 б). Искомый отрезок — отрезок ВС .

Обращаем внимание читателей на то, что в журнале ” Математика в
школе”, N 1, стр.48—49 за 1994 г. опубликованы примеры задач, предла-
гавшихся на устном экзамене на факультете ВМиК в 1993 г.
3.2. Задачи для самостоятельного решения

1.	(ф-т ВМиК) Имеет ли смысл выражение

a) x/log2 3 — log5 11 ; б) arcsin ^\/32 sin—) ?

2.	(ф-т ВМиК) Получить десятичное приближение числа а с точнос-
тью 0,05, где

ч 1	/ 2я 4тг 6тг\

а) а = —=---- cos — -Ь cos — 4- cos — I

л/3—2 \	7	7	7 /

б) v32 cos 5° cos 55° cos 65® .

3.

а)

4.

ЧТО

(ф-т ВМиК) Расположить в порядке возрастания числа:
log910 ; | ; Igll; б)	; -^= ; *Ч/0Д .

(ф-т ВМиК) Указать хотя бы одно рациональное число а такое,

а)

<0,1; б) |(	- а| < 1 .

5.	(ф-т ВМиК) При всех значениях 0 тк/2 , (к = 0; ±1; ±2; ... )

доказать неравенство

3(1 +cos2 2/3)	8 iK^n

sin22/3	sin2/3+a^U-

6.	(ф-т ВМиК) Определить, в какой четверти координатной плоскости
находится точка пересечения графиков функций:

3

а)	у = х sin 226° — log2 3 и у = х сов 137° — - ;

А

.	. 5%	_1	9®	П1

б)	У=Х8Ш— + 07 И у= — + 2» .

12	1U

7.	(ф-т ВМиК) В трапеции KLMN точка Q принадлежит боковой
стороне MN, QM = 2N& Р — точка пересечения диагонали КМ и
отрезка LQ, КР = 2РМ. Найти такие числа а и /3, чтобы имело место
векторное равенство

Pit = аЬЙ + 0КЙ .
8.	(ф-т ВМиК) В трапеции ABCD точка Е принадлежит стороне
АВ, ЁА = ЗВ&, В& = 2А& F — точка пересечения отрезков АС и
DE. Найти такие числа а и /3, чтобы имело место векторное равенство

В$ = aA^ + pSd .

9.	(ф-т ВМиК) В треугольной пирамиде ABCD, объем которой равен
6, медианы граней ABC, ABD, ADC пересекаются соответственно
в точках G, Е, F. Длина высоты пирамиды, опущенной из вершины А,
равна 2. Найти площадь треугольника EFG .

10.	(ф-т ВМиК) В треугольной пирамиде ABCD медианы граней
ABC, ADC, ADB пересекаются соответственно в точках G, Е, F,
Объем пирамиды равен 2, а площадь треугольника EFG равна 1. Найти
длину ее высоты, опущенной из вершины Л .

И. (ф-т ВМиК) В выпуклом четырехугольнике MNPQ с диагона-
лями МР и NQ на стороны PQ и МN опущены соответственно высоты
МК и QL> Известно, что \МК| £ |ATQ|, \QL\ \МР\, \MQ\ = 4.
Найти радиус окружности, описанной около четырехугольника MNPQ .

12.	(ф-т ВМиК) В выпуклом четырехугольнике KLMN с диагоналя-
ми LN и КМ на стороны MN и КL опущены соответственно высоты КР
и NQ. Известно, что |ЯР| > |1ЛГ|, |ЛГ<?| \КМ|, \KL\ = 3, |KW| = 5.
Найти \КМ| .

13.	(геолог, ф-т) В остроугольном треугольнике длины двух его
сторон соответственно равны 4 и б, а его площадь равна б>/3. Найти длину
третьей стороны.

14.	(геолог, ф-т) Определить величины углов ромба, если его площадь
равна 8, а площадь вписанного в него круга равна тг.

15.	(геолог, ф-т) В треугольнике известны длины двух его сторон
6 и 3. Полусумма длин высот, опущенных на эти стороны, равна длине
третьей высоты. Найти длину его третьей стороны.

16.	(геолог, ф-т) Построить графики функций:

а) у=||х|-2|; б) у = х2 + 7|х| 4-10 ; в) у =	;

г) У ~ j-p j ; д) У = 1 - /|®| ; е) у = 3cos2x .

17.	(геолог, ф-т) Сравнить числа З500 и 4400 .

18.	(геолог, ф-т) Решить уравнение

х — 9

х-З

= х + 1 .
19.	(геолог, ф-т) Решить уравнение

2 cos2 х — sin2 х — 1 = 0 .

20.	(геолог, ф-т) Решить уравнения:

a) Ig(arccosx) = 0 ; б) arccos(?r log3 tg ж) = 0 .

21.	(геолог, ф-т) На координатной плоскости указать множество точек
{М(х; у)}, координаты (ж; у) которых удовлетворяют условиям:

У 2х ,
< 2у - х 0 ,
ху <С 2 .

22.	Построить треугольник по заданным периметру и двум углам.

23.	(геолог, ф-т) Доказать, что в прямоугольном треугольнике длины
всех его не могут быть нечетными числами.

24.	(ф-т ВМиК) Построить треугольник по заданной стороне, про-
тиволежащему ей углу и проведенной к ней медиане.

25.	(геолог, ф-т ) Построить треугольник по двум углам и

а) высоте, проведенной из третьего угла ; б) медиане, проведенной из
третьего угла.

26.	(ф-т ВМиК) Доказать, что Vn 6 N (82п-1 — 1) : 7 .

27.	(ф-т ВМиК) Дан параллелограмм ABCD . На его сторонах
ВС , AD , АВ , CD соответственно выбраны точки Е , Н , F , G
так, что \ВЕ\: \ЕС\ = 4:5, \АН\: \HD\ = 8:3, \AF\: \FB\ = 1:3,
|CG| : |GD| = 2 : 7 . На сколько процентов площадь треугольника BFE
больше площади треугольника GDH ? На сколько процентов площадь тре-
угольника GDH меньше площади треугольника BFE ?

28.	(ф-т ВМиК и геолог, ф-т) Дан пространственный четырехуголь-
ник ABCD (т.е. не все 4 его вершины расположены в одной плоскости).
Середины его сторон соединены отрезками. Какая фигура при этом полу-
чается ?	*	t

29.	(ф-т ВМиК) Является ли функция/(ж) = (2 + ^5) * 4-(Уб — 2) *
четной, нечетной или ни той, ни другой ?

30.	(ф-т ВМиК) Решить уравнение sin5 х 4- cos11 х = — 1 .

31.	(ф-т ВМиК) Вычислить cos ^arcsin 4- arccos

32.	(ф-т ВМиК) Определить первые 4 знака после запятой у числа

VO, 9999 .
I

33.	(ф-т ВМиК) Доказать, что для любых четырех положительных
действительных чисел а , b , с , d выполняется неравенство

(а 4- Ъ 4- с 4- d) • (—h — 4-h 16

\а b с dj
и указать в каком случае выполняется равенство.

34.	(ф-т ВМиК) Пусть Ж1 ,	— корни квадратного уравнения

х2 4- рх — q = 0 . Найти X* +	, не вычисляя этих корней.

35.	(геолог, ф-т) Решить уравнение cos2 (лх) —у/х2 — 5ж 4- 4 = 1 .

36.	(геолог, ф-т) Доказать, что Vn € N (п3 + Зп2 + 2п) : 6 .

37.	(геолог, ф-т) Решить неравенство logi (log7x) 0 .

38.	(ф-т ВМиК и геолог, ф-т) В треугольнике АВС известны длины
сторон |ВС| = а , |ЛС| = Ъ и величина угла между ними АСВ = 7 .
Вывести формулу длины биссектрисы угла АСВ этого треугольника.

39.	(ф-т ВМиК) В треугольнике АВС заданы длины двух его сторон
а и b . Доказать, что для его площади S справедливо неравенство

а2 4- Ь2

В каком случае это неравенство обращается в равенство ?

40.	(геолог, ф-т) На координатной плоскости изобразить множество
точек {М} , координаты (х;у) которых удовлетворяют условиям:

а) |2/-1| + |ж + 3| = 2	; б) |х - 4| 4- \у 4- 2| = 3 .

41.	(геолог, ф-т) Радиусы описанной около прямоугольного треуголь-
ника и вписанной в этот прямоугольный треугольник окружностей соот-
ветственно равны Лиг. Найти периметр этого треугольника.

42.	(геолог, ф-т) В трапеции ABCD с острыми углами при основании
AD проведена диагональ АС , которая разбивает его на два подобных
треугольника. Длина основания AD равна а , а длина основания ВС
равна b . Вычислить длину диагонали АС .

43.	(геолог, ф-т) Стороны треугольника образуют возрастающую
геометрическую прогрессию. Что больше знаменатель q этой прогрессии
или число 2 ?

44.	(геолог, ф-т) Найти область определения функции

у = ^/log^cos 2х).

45.	(геолог, ф-т) Решить неравенства:

а) 1°б1-3х2(2а'2) > 1 5	$) 1°61-3х2(2а'2) < 1 •
46.	(геолог, ф-т) Вычислить:

б) ctg I arccos

47.	(геолог, ф-т) Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС).
Найти радиус вписанной в него окружности, если

а)	длины сторон АВ и АС соответственно равны с и Ъ ;

б)	длина стороны АС равна b , величина угла Z.ACB равна а .

48. (геолог, ф-т)

Доказать тождество тг — arcsin - = arccos I — -

5	\ 5

49.	(геолог, ф-т) Решить уравнения:
ч sin ж _ Л	sin х

а' 100®- 314 ~	' logi99s(100® - 313)

50.	(геолог, ф-т) Решить уравнение 1 + X + X2 + X3 + ... ж1998 = 0.

51.	(геолог, ф-т) Решить уравнение 3	= 2 1

52.	(геолог, ф-т) Решить уравнение

(sin х) • (1 + cos х) = 1 4- cos х 4- sin2 х .

53.	(геолог, ф-т) Образуют ли числа (log3 2)"1; (log6 2)-1; (log12 2)"1
арифметическую прогрессию ?

54.	(ф-т ВМиК) Медианы, проведенные к сторонам треугольника вза-
имно перпендикулярны. Найти наибольшее возможное значение величины

угла треугольника между этими сторонами.

55.	(ф-т ВМиК) Известно, что натуральные числа р , р 4-10 и р 4-14
являются простыми. Найти все такие числа р .

56.	(ф-т ВМиК) Длина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника
АВС равна 34 , а длина катета ВС равна 16 . Найти длину перпендику-
ляра, восставленного из середины гипотенузы до пересечения с катетом
АС.

57.	(ф-т ВМиК) Имеет ли уравнение 5ж2 — 6г/2 = 8 целочисленные
решения?

58.	(ф-т ВМиК) Доказать, иррациональность чисел:

а) л/7-л/3; б) V2; в) V5.

59.	(ф-т ВМиК) В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС соот-
ветственно взяты точки Е и D так, что |АЕ| : |ВВ| = 1 : 3 и |ВВ| : |ВС| =
= 2:7. Пусть К — точка пересечения AD и СЕ . Найти отношение
|ЛК|: |KD| .

60.	(ф-т ВМиК) Равны ли два треугольника, если они имеют по три
равных угла и по две равные стороны ?
3.3.	Ответы и указания

1.	а) имеет; б) не имеет .

2.	а) аъа Va е [1,85 , 1,9] ; б) . а « a Va G [1,35 , 1,4] .

3.	a) 1g 11 , log9 10 , 6/5 ; б) (1/\/5)1 ,	, 1/ *Уб .

4.	а) а = 83,7 ; б) а = 2 .

5.	Указание: положить t = sin 2/3 и преобразовать левую часть нера-
венства к выражению, зависящему от t .

6.	а) в IV четверти; б) в I четверти.

7.	а = 3/2 , /3 = —2/3 .	8. а = —7/10 ,/3=1.

9. 1 .	10. 2/3 .	11. 2 .	12. 4 .

13. 2^7 .	14. 30° ; 150° .	15. 4 .

16.	Указания: а) и б) — воспользоваться четностью функции;

в)	преобразовать функцию с учетом ее области определения и свойств
логарифмов;

г)	и д) — учесть четности функций;

е) применить теоремы о сжатии (растяжении) графиков применитель-
но к графику функции у = cos х .	_

17.	4400 > З500 .	18. ж = 4.	19. ж = ± arccos \/2/3 4- тгп ,

п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

20.	a) cos 1 ; б) arctg 3» 4-тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

21.	Указание. Искомое множество точек включает в себя начало коор-
динат и содержится в первой координатной четверти.

22.	Указание. Свести задачу к задаче на построение треугольника по
стороне и двум прилежащим ей углам и воспользоваться свойствами сере-
динного перпендикуляра к отрезку и внешнего угла треугольника.

23.	Указание. Воспользоваться теоремой Пифагора и тем, что сумма
двух нечетных чисел — четное число, а произведение двух нечетных чисел
— нечетное число.

24.	Указание. Использовать задачу на построение Г.М.Т. плоскости, из
которых данный отрезок виден под данным углом.

25.	Указание к а) и б): см. решение задачи 21, разобранной в тексте.

26.	Указание. Воспользоваться формулой суммы 2n— 1 первых членов
геометрической прогрессии {Ьп} со знаменателем q = 8 и первым
членом bi = 1 .

27.	Больше на (400/7)% ; меньше на (400/11) % .

28.	Параллелограмм. Указание: воспользоваться свойствами средней
линии треугольника.

29.	Четная функция.

30.	—тг/2 4- 2тгп ; тг 4- 2тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .
31.	-(12 + 5?3)/26 .

32.	Все знаки девятки. Указание: 0,9999 < V0.9999 < 1 .

33.	Указание: задача решается аналогично задаче 31 п. 3.1,

а = Ь = с = d .

34.	(р2 + 2q)2 — 2q2 , р2 4- 4g 0 . Указание: применить операцию
выделения полного квадрата выражения х2 4- х2 и затем теорему Виета.

35.	1 ; 4 .

36.	Указание: разложить выражение на множители и далее применить
аналогичные рассуждения, что и в задаче 36 п. 3.1.

37.	(1,7].

2a6cos —

Указание. Пусть CD биссектриса, длина которой определяется, тогда,
применяя формулу площади треугольника по длинам двух сторон и синусу
угла между ними, получить эту формулу из равенства

S&ABC = S^ACD 4- S&BCD .

39.	Указание. Применить формулу площади треугольника по заданным
длинам двух сторон и синусу угла между ними, затем оценить этот синус
сверху максимальным значением и применить неравенство

2аЬ а2+ Ь2 .,

Равенство выполняется в случае, когда стороны, длины которых зада-
ны являются катетами равнобедренного прямоугольного треугольника.

40.	а) стороны четырехугольника ABCD , где

А(-5;1) , В(-3;3) , С(-1; 1) , D(-3;-l) ;

б) стороны’ четырехугольника . ABCD , где

А(1; -2) , В(4; 1) , С(7; -2) , D(4; -5) .

41.	Р = 2(т + 2Я) .

42.	|АС|’ = л/аб . Указание: установить следующие равенства углов
/ABC = /ACD и /.ВАС = /.CD А .

43.	2 > q . Указание: пусть а — длина наименьшей стороны тре-
угольника, воспользоваться неравенством треугольника

aq2 < a + aq .

44.	кп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .
47. a)

2c-b

2c+ b

6)

a

2 ‘

4

2 K

48.	Указание: вычислить косинус от обеих частей данного равенства.

49.	а) тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... ; б) тгп , п = 1 ; 2 ; ... .

50.	0 .

51.	log2log32.

52.	тг 4- 2тгп , п = 0 ; ±1 ; ±2 ; ... .

53.	Образуют.
4

54.	arccos - . Указание: задачу можно решать векторным методом, при-
5

меняя свойства линейных операций над векторами и свойства скалярного
произведения векторов.

55.	3.
136
56. ---.

15

57.	Не имеет. Указание: применить аналогичные рассуждения, что и
при решении задачи 5 п. 3.1.11, раздел III, стр. 119.

58.	Указание: доказывать от противного, сводя в случае а) к доказа-
тельству иррациональности числа у/21 , затем надо предположить, что
/кт	_	-	- m

число у21 может быть представлено в виде несократимой дроби — , где
п

m,n G N ; подобным образом доказывается иррациональность чисел в слу-
чаях б) и в).

и- П-

60.	Нет. Указание: рассмотреть треугольники с длинами сторон 1, р,
р2 и р, р2, р3, они подобны; выяснить, при каких р эти треугольники не
равны.

L
ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..............................................3

РАЗДЕЛ I..............................................5

1.	ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В МГУ
им. М.В. ЛОМОНОСОВА................................5

1.1.	Основные понятия................................ 6

1.2.	Содержание теоретической части устного	экзамена..7

1.2.1.	Алгебра........................................7

1.2.2.	Геометрия....................................  8

1.3.	Требования к поступающему.....................9

2.	ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКИ.........................................  10

2.1.	Используемые обозначения........................10

2.1.1.	Алгебра и некоторые формулы векторной алгебры.10

2.1.2.	Тригонометрия.................................16

2.1.3.	Геометрия.....................................17

2.2.	Формулы и факты элементарной математики.........19

2.2.1.	Алгебра.......................................19

2.2.2.	Геометрия..............,......................25

2.2.3.	Тригонометрия.................................32

РАЗДЕЛ II..........................................  40

1.	КАК ГОТОВИТЬСЯ К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ЭКЗАМЕНАМ
ПО МАТЕМАТИКЕ........................................40

1.1.	О ПОРЯДКЕ ПРОВЕДЕНИЯ ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА
ПО МАТЕМАТИКЕ И О МАТЕРИАЛАХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ

ПОДГОТОВКЕ К НЕМУ....................................40

1.2.	О ПОРЯДКЕ ПРОВЕДЕНИЯ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА
ПО МАТЕМАТИКЕ И О МАТЕРИАЛАХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ

ПОДГОТОВКЕ К НЕМУ....................................44
1.	О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ИЗЛОЖЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
И ПРОВЕДЕНИЯ ПИСЬМЕННЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

В 19'93 — 2000 ГОДАХ....................................47

2.	ХАРАКТЕРНЫЕ ОШИБКИ, ДОПУЩЕННЫЕ АБИТУРИЕНТАМИ
НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ ПО МАТЕМАТИКЕ
(ПИСЬМЕННО) В МГУ НА ФАКУЛЬТЕТЫ ВМиК,
ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ, ЭКОНОМИЧЕСКИЙ, ИСАА и

ВЫЕЗДНЫХ ЭКЗАМЕНАХ......................................48

2.1.	Общие замечания об ошибках, допущенных абитуриентами в
1993 — 2000 годах.......................................48

2.2.	Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных
письменных экзаменах по математике в 1993 г.............50

2.3.	Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных
письменных экзаменах по математике в 1994 г............52х

2.3.1.	Факультет ВМиК...................................52

2.3.2.	Экономический факультет..........................53

2.3.3.	Геологический факультет пробный экзамен (май)....54

2.3.4.	Геологический факультет основной экзамен (июль)..55

2.3.5.	ИСАА.............................................56

2.4.	Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных
письменных экзаменах по математике в 1995 г...	.......57

2.4.1.	Факультет ВМиК пробный экзамен (апрель)..........57

2.4.2.	Факультет ВМиК основной экзамен (июль)...........58

2.4.3.	Экономический факультет, отделение экономики.....59

2.4.4.	Экономический факультет, отделение менеджмента...59

2.4.5.	Геологический факультет пробный экзамен (май)....60

2.4.6.	Геологический факультет основной экзамен (июль)..62

2.4.7.	ИСАА.............................................63

2.4.8.	Выездные экзамены................................64

2.5.	Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных
письменных экзаменах по математике в 1996 г.............65

2.5.1.	Факультет ВМиК пробный экзамен (апрель)..........65

2.5.2.	Факультет ВМиК основной экзамен (июль)...........66

2.5.3.	Экономический факультет, отделение экономики.....66

2.5.4.	Экономический факультет, отделение менеджмента...67
2.5.5.	Геологический факультет пробный	экзамен (май).....68

2.5.6.	Геологический факультет основной	экзамен (июль).....69

2.5.7.	ИСАА................................................70

2.5.8.	Выездные экзамены...................................71

3.	ПРИМЕРЫ ВАРИАНТОВ, ПРЕДЛАГАВШИХСЯ НА
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ НА ФАКУЛЬТЕТАХ ВМиК,
ЭКОНОМИЧЕСКОМ, ГЕОЛОГИЧЕСКОМ и ИСАА

в 1993 — 1996 годах........................................73

3.1.	Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ
(ВМиК).....................................................73

3.1.1.	Вариант с решениями задач 1993 г....................73

3.1.2.	Вариант для самостоятельного решения................78

3.1.3.	Вариант с решениями задач 1994 г. (май).............79

З.Г.4.	Вариант для самостоятельного решения................83

3.1.5.	Вариант с решениями задач 1994 г. (июль)............84

3.1.6.	Вариант для самостоятельного решения..............  88

3.1.7.	Вариант с решениями задач 1995 г. (апрель) . . .	. . . . . 89

3.1.8.	Вариант для самостоятельного решения................102

3.1.9.	Вариант с решениями задач 1995 г. (июль)...........103

3.1.10.	Вариант для самостоятельного решения...............115

3.1.11.	Вариант с решениями задач 1996 г. (апрель)........116

3.1.12.	Вариант для самостоятельного решения..............123

3.1.13.	Вариант с решениями задач 1996 г. (июль)..........124

3.1.14.	Вариант для самостоятельного решения..............133

3.2.	Экономический факультет МГУ..........................134

3.2.1.	Вариант с решениями задач 1993 г...................134

3.2.2.	Вариант для самостоятельного решения...............138

3.2.3.	Вариант с решениями задач 1994 г...................139

3.2.4.	Вариант для самостоятельного решения...............144

3.2.5.	Вариант с решениями задач (отделение экономики) 1995 г. . 145

3.2.6.	Вариант для самостоятельного решения...............149

3.2.7.	Вариант с решениями задач (отделение менеджмента) 1995 г. 150

3.2.8.	Вариант для самостоятельного решения...............152

3.2.9.	Вариант с решениями задач (отделение экономики) 1996 г. . 153

3.2.10.	Вариант для самостоятельного решения..............159

3.2.11.	Вариант с решениями задач (отделение менеджмента) 1996 г. 160

3.2.12.	Вариант для самостоятельного решения..............163
3.3.	Геологический факультет МГУ.........................  164

3.3.1.	Вариант с решениями задач 1993 г....................164

3.3.2.	Вариант для самостоятельного решения................169

3.3.3.	Вариант с решениями задач 1994 г. (май).............170

3.3.4.	Вариант для самостоятельного решения..............  174

3.3.5.	Вариант с решениями задач 1994 г. (июль)............175

3.3.6.	Вариант для самостоятельного решения................182

3.3.7.	Вариант с решениями задач 1995 г. (май).............184

3.3.8.	Вариант для самостоятельного решения................192

3.3.9.	Вариант с решениями задач 1995 г. (июль)............193

3.3.10.	Вариант для самостоятельного решения...............198

3.3.11.	Вариант с решениями задач 1996 г. (май)............199

3.3.12.	Вариант для самостоятельного решения...............205

3.3.13.	Вариант с решениями задач 1996 г. (июль)...........206

3.3.14.	Вариант для самостоятельного решения...............211

3.4.	Институт стран Азии и Африки МГУ (ИСАА)
(социально-экономическое отделение).........................212

3.4.1.	Вариант с решениями задач 1993 г.....................212

3.4.2.	Вариант для самостоятельного решения................215

3.4.3.	Вариант с решениями задач 1994 г....................216

3.4.4.	Вариант для самостоятельного решения................219

3.4.5.	Вариант с решениями задач 1995 г....................220

3.4.6.	Вариант для самостоятельного решения................224

3.4.7.	Вариант с решениями задач 1996 г....................225

3.4.8.	Вариант для самостоятельного решения................230

3.5.	Варианты выездных письменных экзаменов по математике,
проводившихся в Обнинске, Якутске, Надыме, Элисте, Пангоды,
Нефтекамске, Магнитогорске, Челябинске, Архангельске, Мурманске,
Саяногорске, Петропавловске-Камчатском в 1995 и 1996 годах . . . 231

3.5.1.	Вариант для самостоятельного решения (Обнинск).......231

3.5.2.	Вариант для самостоятельного решения (Якутск).......232

3.5.3.	Вариант для самостоятельного решения (Надым, Элиста) . . 233

3.5.4.	Вариант для самостоятельного решения (Пангоды).......234

3.5.5.	Вариант для самостоятельного решения (Надым, Саяногорск,
Нефтекамск, Мурманск)......................................235

3.5.6.	Вариант для самостоятельного решения
(Элиста, Архангельск)..................................  .	. 236
<•

3.5.7.	Вариант для самостоятельного решения
(Магнитогорск, Петроповловск-Камчатский) ................237

3.5.8.	Вариант для самостоятельного решения (Челябинск) .... 238

3.6.	Ответы..............................................239

Ответы к варианту 3.1.2..................................239

Ответы к варианту 3.1.4.........т........................239

Ответы к варианту 3.1.6................................. 239

Ответы к варианту 3.1.8..................................239

Ответы к варианту 3.1.10.................................240

Ответы к варианту 3.1.12.................................240

Ответы к варианту 3.1.14.................................240

Ответы к варианту 3.2.2..................................240

Ответы к варианту 3.2.4..................................241

Ответы к варианту 3.2.6..................................241

Ответы к варианту 3.2.8..................................241

Ответы к варианту 3.2.10.................................241

Ответы к варианту 3.2.12.................................241

Ответы к варианту 3.3.2..................................242

Ответы к варианту 3.3.4................................  242

Ответы к варианту 3.3.6..................................242

Ответы к варианту 3.3.8..................................242

Ответы к варианту 3.3.10.................................243

Ответы к варианту 3.3.12. ...............................243

Ответы к варианту 3.3.14.................................243

Ответы к варианту 3.4.2..................................243

Ответы к варианту 3.4.4..................................244

Ответы к варианту 3.4.6..................................244

Ответы к варианту 3.4.8..................................244

Ответы к варианту 3.5.1..................................244

Ответы к варианту 3.5.2..................................245

Ответы к варианту 3.5.3..................................245

Ответы к варианту 3.5.4..................................245

Ответы к варианту 3.5.5..................................246

Ответы к варианту 3.5.6..................................246

Ответы к варианту 3.5.7..................................246

Ответы к варианту 3.5.8..................................247
1.	О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ИЗЛОЖЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА ПО

МАТЕМАТИКЕ........................................... 248

2.	МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ОТВЕТАМ НА ВОПРОСЫ
БИЛЕТОВ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ................249

ЛИТЕРАТУРА.................................;..........249

2.0	. Вводная часть...................................250

2.0	.1. План исследования свойств	функции	у	= f(x)....250

2.0	.2. Определения...................................250

2.0	.3. О материале, который поступающие могут использовать на
экзаменах без доказательств...........................252

2.1	. Алгебра.........................................260

Вопрос 1. Формулы сокращенного умножения..............260

Вопрос 2. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10....•	• < 260

Вопрос 3. Свойства числовых неравенств................263

Дополнительный материал к вопросу 3...................266

Вопрос 4- Свойства линейной функции и ее график.......270

Вопрос 5. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. 277

Вопрос 6. Теорема Виета. Теорема о разложении квадратного
трехчлена на линейные множители.......................279

Вопрос 7. Свойства квадратичной функции у = ах2 4- Ьх + с
и ее график.........................................  280

Вопрос 8. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями.
....................................................282

Вопрос 9. Свойства арифметических корней п-ой степени.
Свойства степеней с рациональными показателями........285

Вопрос 10. Неравенство, связывающее среднее арифметическое и
среднее геометрическое двух чисел. Неравенство для суммы
двух взаимно обратных чисел.......................... 289

Вопрос 11. Формулы общего члена и суммы п первых членов
арифметической прогрессии.............................290

Вопрос 12. Формулы общего члена и суммы п первых членов
геометрической прогрессии.............................291

Вопрос 13. Основное логарифмическое тождество.

Логарифмы произведения, степени, частного.
Формула перехода к новому основанию...................292
Вопрос Ц. Свойства показательной функции, и ее график......294

Вопрос 15. Свойства логарифмической функции и ее график. . . . 297

Вопрос 16. Свойства степенной функции с целым показателем и ее
график.....................................................298

О методе математической индукции (дополнение к вопросам И и 12)
........................................................301

2.2	. Тригонометрия........................................303

Вопрос 1. Основное тригонометрическое тождество. Соотношения
между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

..........................................................311

Вопрос 2. Формулы сложения:

cos(a±/3), sin(a±/3), tg(a±/3), ctg(a±/3)....................313

Вопрос 3. Формулы суммы и разности тригонометрических функций:

sin а ± sin /3, cos а ± cos /3, tga ± tg/3, ctga ± ctg/3.

Преобразование в сумму произведений:

cos a cos/3, sin a sin/3, sin a cos/3........................316

Вопрос 4» Формулы двойного и половинного аргументов
тригонометрических функций. Выражение тригонометрических
функций через тангенс половинного аргумента. Формулы приведения.
.............................................................317

Вопрос 5. Свойства тригонометрической функции у = sin х и ее график.
Решение простейшего тригонометрического уравнения sin х = а. . 322
Вопрос 6. Свойства тригонометрической функции у = cos ж и ее график.
Решение простейшего тригонометрического уравнения cos х = а. . 323
Вопрос 7. Свойства тригонометрической функции у = tg® и ее график
Решение простейшего тригонометрического уравнения tgx = а. . . 323
Вопрос 8. Свойства тригонометрической функции у = ctgx и ее график
Решение простейшего тригонометрического уравнения ctgx = а. . . 324

Вопрос 9. Преобразование выражения asinx + frcosx с помощью
вспомогательного аргумента...................................324

Свойства тригонометрических функций у = sin х и у = cos х
и их графики.................................................326

Свойства тригонометрических функций у = tg х и у = ctg х
и их графики.................................................331
2.3	. Геометрия........................................... . 337

2.3.0.	Вводная часть. Об используемой системе основных (первичных)
понятий и аксиом; об утверждениях геометрии, которые можно
использовать на экзаменах без доказательств; о понятиях луча,
отрезка, угла и их свойствах и измерениях.................338

I.	Аксиомы принадлежности.................................340

II.	Аксиомы порядка...................................... 342

III.	Аксиомы наложения....................................363

IV.	Аксиомы непрерывности.................................375

V.	Аксиома параллельности прямых..........................386

VI.	О движении в геометрии и его видах....................386

VII.	О требованиях, предъявляемых к системе аксиом........388

2.3.1.	Основная часть. Ответы на вопросы по геометрии.....389

Вопрос 1. Признаки равенства треугольников................389

Вводная часть.............................................389

Основная часть...........................................  392	.

Дополнительная часть ...............................  .	. . 397

Вопрос 2. Свойства вертикальных и смежных углов.

Теорема о внешнем угле треугольника.......................397

Вводная часть . . . ......................................397

Основная часть..........................................  399

Дополнительная часть..................................... 402

Вопрос 3. Свойства равнобедренного треугольника...........404

Вводная часть.............................................404

Основная часть............................................405

Дополнительная часть......................................406

Вопрос 4- Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

Свойство биссектрисы угла.................................410

Вводная часть.............................................410

Основная часть........................................... 412

Дополнительная часть......................................414

Вопрос 5. Теоремы о параллельных прямых на плоскости......417

Основная часть............................................417

Дополнительная часть......................................421

Вопрос 6. Теорема о сумме внутренних углов треугольника.

Теорема о внешнем угле треугольника. Теорема
о сумме внутренних углов	выпуклого многоугольника.........421

Вводная часть.............................................421

Основная часть............................................422
«О

Дополнительная часть...................................... 426	*

О внутренней и внешней областях простого многоугольника. . . . 428

Вопрос 7. Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма.
.......................................................429

Вводная часть.............................................429

Основная часть............................................433

Дополнительная часть.....................................  436	<

Вопрос 8. Теорема Фалеса. Признаки подобия треугольников. . . . 440

Вводная часть.............................................440

Основная часть............................................ 447	1

Дополнительная часть...................................... 452	|

Вопрос 9. Признаки равенства и подобия прямоугольных треугольников.	।

Теорема Пифагора.......................................... 454	I

Вводная часть.............................................454

Основная часть............................................458

Дополнительная часть...................................... 462	'

О тригонометрических функциях величины угла треугольника. . . 462

Вопрос 10. Пропорциональность отрезков в прямоугольном
треугольника. Теорема Пифагора............................ 466	।

Вводная часть............................................. 466	)

Основная часть........................................... 466

Дополнительная часть...................................... 468	:

Вопрос 11. Свойство отрезков, на которые биссектриса треугольника I
делит противоположную сторону............................. 469	I

Основная часть..................................................... I

Дополнительная часть......................................470

Вопрос 12. Свойства средней линии треугольника.

Свойства средней линии трапеции........................... 472	'

Вводная часть............................................  472	t

Основная часть............................................ 474	’

Вопрос 13. Теорема косинусов для треугольника............. 476	।

Основная часть............................................ 476	.

Дополнительная часть...................................... 478	*

Вопрос Ц. Теоремы о пересечении медиан, пересечении биссектрис |
и пересечении высот треугольника..................................479

Вводная часть............................................. 479	,

Основная часть............................................ 483	|

Дополнительная часть......................................485

Вопрос 15. Формула для вычисления расстояния между двумя

точками на координатной плоскости. Уравнение окружности. . . . 488
Вводная часть..................................................488

Основная часть.................................................492

Дополнительная часть...........................................495

О координатных полуосях, полуплоскостях и четвертях............497

Об окружности и круге, их элементах и	свойствах................499

Вопрос 16. Теоремы о вписанных углах.

Теорема об угле, образованном касательной и хордой.
Свойство четырехугольника, вписанного в окружность.............523

Вводная часть.............................................523

Основная часть............................................524

Дополнительная часть......................................531

Вопрос 17. Теоремы об угле между двумя пересекающимися хордами и
об угле между двумя секущими, выходящими из одной точки.	.	.	.	536

Вводная часть.............................................536

Основная часть............................................536

Дополнительная часть......................................538

Вопрос 18. Равенство произведений длин отрезков двух пересекающихся
хорд. Равенство квадрата длины отрезка касательной произведению
длины отрезка секущей на длину ее внешней	части................542

Вводная часть..................................................542

Основная часть.................................................542

Дополнительная часть.......................................... 544

Вопрос 19. Теорема об окружности, описанной около треугольника. 545

Вводная часть..................................................545

Основная часть.................................................545

Дополнительная часть...........................................546

Вопрос 20. Теорема синусов для	треугольника....................548

Вводная часть..................................................548

Основная часть.................................................548

Дополнительная часть...........................................550

Вопрос 21. Свойство касательной к окружности.

Равенство касательных, проведенных из одной точки к окружности.

Свойство четырехугольника, описанного около окружности....551

Основная часть.................................................551

Дополнительная часть...........................................555

О взаимном расположении двух окружностей на плоскости . . . .561

Вопрос 22. Теорема об окружности, вписанной в треугольник. . . . 570

Вводная часть..................................................570

Основная часть.................................................570

Дополнительная часть	. . ......................................572
Вопрос 23. Теоремы о параллельных прямых в пространстве.

Признак параллельности прямой и плоскости.
Признак параллельности плоскостей........................572

Вводная часть............................................572

Основная часть...........................................574

Дополнительная часть.....................................578

Вопрос 24- Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема
об общем перпендикуляре к	двум скрещивающимся прямым. . . . 581

Вводная часть............................................581

Основная часть...........................................584

Дополнительная часть.....................................588

Вопрос 25. Признак перпендикулярности плоскостей.
Теорема о трех перпендикулярах...........................590

Вводная часть............................................590

Основная часть...........................................592

Дополнительная часть.....................................594

2.3.2.	Дополнительная часть..............................600

2.4	. Приложения к методическим материалам вопросов устного
экзамена по математике. О выпуклости функций.............612

2.4.1.	Выпуклость линейной функции...................... 614

2.4.2.	Выпуклость квадратичной функции...................614

2.4.3.	Выпуклость показательной функции..................614

2.4.4.	Выпуклость логарифмической функции................615

2.4.5.	Выпуклость степенной функции хп
с отрицательным показателем п............................615

2.4.6.	Выпуклость степенной функции хп
с положительным показателем п............................616

2.4.7.	Выпуклость тригонометрической функции f(x) = sin® . . . 616

2.4.8.	Выпуклость тригонометрической функции f(x) = cos® . . . 617

2.4.9.	Выпуклость тригонометрической функции /(®) = tg® .... 618

2.4.10.	Выпуклость тригонометрической функции/(®) = ctg® . . . 619

3.	ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ, ПРЕДЛАГАВШИХСЯ НА УСТНОМ
ЭКЗАМЕНЕ ПО МАТЕМАТИКЕ В ПРЕДЫДУЩИЕ ГОДЫ ... 620

3.1.	Задачи с решениями..................................620

3.2.	Задачи для самостоятельного решения.................670

3.3.	Ответы и указания...................................675
Учебное издание

Будак Александр Борисович

Щедрин Борис Михаилович

Элементарная математика

Руководство для поступающих в вузы

Серия: В помощь поступающим в вузы
(естественные дисциплины)

Издание третье, переработанное и дополненное

Выпускающий редактор Барбашина А.С.

Ответственный редактор Щедрин Б.М.

Компьютерный набор в ЬАТЕХе Будак А.Б.

Компьютерные рисунки в PAINTBRUSH^

Гладченко М.А., Будак А.Б., Будак Б.А.^

Корректор Семкин В.В.

Издательский отдел

Учебно-научного центра довузовского образования

117246, Москва, ул. Обручева, д. 55 А;

119992, Москва, Ленинские горы, Г.З. МГУ, сектор ”Ж”, к. 105 а.

Тел./факс: (095) 718-69-66, 939-39-34.

ИД N 00545 от 06.12.99.

Подписано в печать 30.03.01. Формат 60x90/16.

Бум. газетная. Усл. печ. л. 43,25.

ТМО7/1. Тираж 3000 экз. Зак. 1576.
M .» «МШУЕ&М Ц ,’«£ .,	, .^,1



' Учебно-научный центр
довузовского образования

Центр довузовского обучения
МГУ им. М.В. Ломоносова

Подготовительные курсы

Вечерняя и заочная подготовка к поступлению в вузы
по предметам вступительных экзаменов

Тел.: 939-2137, 939-3310

Лекторий выходного дня

Лекции по предметам вступительных экзаменов
для абитуриентов и старшеклассников

Тел. 203-9812

Научно-исследовательская часть

Разработка и внедрение новых обучающих технологий
Тел. 939-1093

Вечерняя гимназия

Дополнительное образование школьников
Тел. 939-3214

Издательский отдел

Издание учебной, учебно-методической, тестовой
и научно-популярной литературы
для абитуриентов и старшеклассников

Тел.:718-7767, 939-3934

Книжная Лавка Абитуриента

Литература для абитуриентов и старшеклассников
различных издательств

Опт, мелкий опт. наложенный платеж

Тел.: 718-6966

Мини-типография

Печать малотиражной учебной и методической литературы
Тел.: 718-7767, 939-1082

Центр «Телетестинг»

Компьютеризованное тестирование выпускников средних школ

117246, Москва e-mail: center@esc.msu.ru
Ул. Обручева, д’. 55А httP://www.esc.rnsu.ru
Тел./факс: 718-6966

Тел./факс: 718-7767

119992, Москва,
Ленинские горы,
МГУ, гз,
сектор “Ж”, к.107а
Тел.: 939-10-93
Факс: 932-88-81