J
I
E. В. Денисова
I
ТЕОРИЯ ГРУПП
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Владивосток
1999

22
Задача №19 . Доказать, что каждая подстановка может быть
представлена как произведение транспозиций вида:
a)(i 2\{l 3),...,{1 п);
6)(i 2),{2 3),...,{п-1 п).
Задача № 20 . Доказать, что любая подстановка может быть
представлена как произведение нескольких сомножителей, равных [1 2) и
{12 3 ... и).
Задача № 21 . Доказать, что любая четная подстановка может быть
представлена как
а) произведение тройных циклов (i j к);
б) произведение циклов вида (i 2 3),{l 2 4),...,{l 2 и).
Пусть П - произвольное множество, a S(£l) - множество всех
биективных (взаимно однозначных) преобразований /: Q —> Q.
Множество S(Q) является группой относительно естественной
бинарной операции, являющейся композицией преобразований.
Если П= {1, 2, ..., п}, то мы приходим к группе Sn всех подстановок
и - й степени, группе по умножению порядка и .', называемой
симметрической группой и - й степени.
Все четные подстановки степени и образуют группу An a Sn порядка
, которая называется знакопеременной группой. Заметим сразу же, что
нечетные подстановки группы не образуют, т.к. произведение двух
нечетных подстановок является подстановкой четной
1.5. Груши» м и\ подгрупнь
Напомним, что подгруппа // группы G есть часть группы G , которая
сама является группой относительно индуцированной операции из G и
пишут Н < G
Подгруппа Н в G называется собственной, если 11^1 и // ф G и
обозначается // < G.
Задача №22. 1) Доказать, что Н является подгруппой группы G тогда
и только тогда, когда для любых двух элементов a, b из Н выполняется
условие ab ' е Н,
2) Н < G с ab е Н и Ъ "' е И
Приведем несколько примеров групп и их подгр пп
1) Рассмотрим в полной линейной группе GL(n, R) под г
SLfn, R) всех матриц с определителем, равным единице:
SL(n, R) = {A s GL(n, R):detA = l}.
Это подмножество является подгруппой в GL(n, R) так как
(1 0\
а) Е
е Sl(n, R);
б) Для любых А, В е SL(n, R) , очевидно, что AB £ SL(n, R)
(из detA =det В = I следует, что det А ■ B^detA ■ det В = 1).
в) Для А е SL(n, R), A1 e SL(n, R) ,так как det A = det А1 = 1.
Эта подгруппа носит название специальной линейной группы.
2)Z< Q<R<C.

45
Денисова Елена Владимировна
Теория групп в примерах и задачах
Учебное пособие
по курсу «Алгебра и теория чисел» и спецкурсу «Теория групп»
Редактор Е. М. Масленникова
Корректор О. О. Игнатенко
ЛРО20277. Подписано в печать 10.03.99. Формат 60x84 1/16 Бум. Тип. № 2.
Усл. печ. л. Учебное пособие. Тираж 1000 экз.
Издательство Дальневосточного университета.
690600, Приморский край, г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27
Отпечатано в учебно-полиграфическом комплексе факультета математики и
компьютерных наук Дальневосточного государственного университета
690600, Приморский край, г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27

Содержание
Введение 3
1.1 Определения 5
1.2 Система образующих 13
1.3 Группы движений 16
1.4 Группы подстановок 20
1.5 Группы и их подгруппы 23
1.6 Разложение группы по подгруппе 29
1.7 Нормальные подгруппы и факторгруппы 32
1.8 Морфизмы групп 36
Программы спецкурсов 41
Рекомендуемая литература 42
Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
Дальневосточный государственный университет
Кафедра алгебры и логики
Е. В. Денисова
Теория групп в примерах и задачах
Учебное пособие
по курсу «Алгебра и теория чисел»
и спецкурсу «Теория групп - 1»
Владивосток
Издательство Дальневосточного университета
1999

УДК 512
Теория групп в примерах и задачах : Учебное пособие / Е.В. Денисова;
Дальневосточный государственный университет, 1999, 44 с.
Основу учебного пособия составил научно-методический материал по
одному из разделов современной алгебры — «Теории групп».
Цель работы — обеспечить семинарские занятия по соответствующим
главам обязательного курса «Алгебра и теория чисел» (семестры 1 - 3) и
первым главам спецкурса «Теория групп»(семестр 5), а также предоставить
студентам материал для самостоятельной работы.
Рекомендовано кафедрой алгебры и логики ДВГУ.
Печатается по решению учебно-методического совета ДВГУ.
© Издательство Дальневосточного университета, 1999
43
Рекомендуемая литература.
1. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра.М.: Наука, 1976.
2. Калужнин Л.А. Введение в алгебру. М.: Наука, 1973.
3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.:Н., 1977.
4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
5. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.
6. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
Программа спецкурса «Теория групп - 2: теория п
редставленнй»
1. Определение представления группы. Матричные представл-'ния.
Приводимость представления. Пример представления.
2. Эквивалентность конечномерного представленн' Л
Неприводимые представления абелевой группы.
3. Сопряженное представление. Двойственность. Унитарное
представление. Самосопряженность унитарного представления. Матрица
конечномерного унитарного представления.
4. Перестановочность ортогонального проектора. Необходимое и
достаточное условие неприводимости унитарного представления. Полная
приводимость унитарного представления.
5. След и его свойства. Характер и его свойства. Инвариантное среднее
на конечной группе. Инвариантное среднее операторной функции.
6. Полная приводимость конечной группы.
7. Регулярное представление.
8. Соотношение ортогональности для конечной группы. Полная
система неприводимых представлений. Теорема Бернсайда
9. Соотношение ортогональности для характеров конечных гр' пп

Программа спецкурса''Теория групп - I"
1 Определение группы Левые, правые единицы и обратные Примеры
групп. Классические линейные группы.
2 Подгруппы. Необходимое и достаточное условие подгруппы
Примеры подгрупп. Теорема Кади. Циклические подгруппы
3 Порождающие множества GL(n,K), SL(n,K), S„, Л ,,.
4 Теоремы о классах смежности. Теорема Лагранжа Нормализатор и
цен грализатор. Теорема о числе множеств, сопряженных данному
5 Нормальные подгруппы. Фактор-группа.
6 11редложение о ядре гомоморфизма и полном прообразе. Теоремы о
гомоморфизмах
7 Центр и коммутант. Фактор-группа по коммутанту
8 Эндоморфизмы и автоморфизмы. Эндоморфизмы бесконечной и
конечной циклической группы. Внутренние автоморфизмы
9 Действие групп на множествах. Длина орбиты. Теорема о
стационарных подгруппах. Теорема о центре конечной/?-груплы. Теоремы Силова
10. Простота знакопеременной группы.
1 I Внешнее прямое произведение. Внутреннее прямое произведение
Теорема о прямом произведении силовских подгрупп
12. Конечно порожденная свободная группа. Теорема о существовании
несократимых слов. Теорема о задании группы образующими и
соотношениями. Конечно порожденная группа как гомоморфный образ свободной
13 Теорема о строении конечной абелевой группы Разложение
примерной группы в прямую сумму циклических.
14. Теорема о конечно-порожденной абелевой группе. Предложение о
унимодулярной замене образующих. Свободная абелева группа
Предложение о системе образующих конечно-порожденной абелевой группы.
Основная теорема о строении конечно-порожденной абелевой группы
ВВС IL'IIMC
К середине 20 столетия прочно установилась мода на алгебраические
методы, которые стали весьма полезными как при исследовании
математических объектов, так и в других фундаментальных областях, например, при
исследовании элементарных частиц, свойств твердого тела, кристаллов В
алгебре весьма явно проступает сложное взаимодействие теоретических и
практических аспектов, присущее всей математике. Это делает оправданным
концентрический стиль изложения на первом уровне которого естественным
образом возникают основные алгебраические структуры наших дней,
группы, кольца, поля, модули Первому из этих понятий посвящено методическое
пособие автора "Основные понятия теории групп в примерах и задачах",
написанное на основе спецк\рса "'Теория групп'
Фундаментальные понятия группы, кольца, поля стаповяг^т ^
привычными после самостоятельной работы нал задачами и пр.
держащимися в методическом пособии.
Для удобства выделяются несколько наиболее употребительных
алгебраических систем.
группы (Z, +), S„, А„ , СЦп, К), SL(п, К), группа кватернионов О *;
кольца Z, классов вычетов Z ,„, кольцо многочленов К / х /;
поля О, R, С, Zp , на фоне которых демонстрируется язык алгебры.
Первоначально понятие группы возникло в форме группы
преобразований (группы движений или, как частный случай, группы ортогональных
преобразований). Конечные группы, которым мы отдаем предпочтение, связаны
с преобразованиями конечного множества и преобразования в тгом случае
называются подстановками.

4
При первом знакомстве с группами важно иметь в виду следующие
основные линии.
1. Бинарная алгебраическая операция Это понятие является фундаментом
всего дальнейшего. Мы должны иметь возможность оперировать с этими
объектами. Обычно на первом этапе изучения предмета операции сохраняют
сходство с действиями над числами (например, сопоставление паре чисел a, b
их суммы а + b или произведения а - Ь).
2. Понятие группы. Мы начали с изучения множества с операцией и
обсуждения обычного набора аксиом группы и сопутствующих понятий,
например, порядка элемента группы или порядка всей группы. Для более полного
понимания аксиоматики групп особенно полезно самостоятельно изучить
строение групп малых порядков (3, 4, 6).
3. Понятие подгруппы. Изучение внутренней структуры конкретной группы
позволяет установить многие ее свойства. Внутреннюю структуру некоторых
групп можно описать с помощью их подгрупп, т е. групп внутри группы.
Особенно интересно знать строение подгрупп некоммутативных групп,
например^ групп подстановок S„, А„ или матричных групп GL( n, К), SL( n, К ),
где А — поле(и представить их в наглядной форме в виде графов.
4. Изоморфизм Понятие группы тесно связано с понятием отображения.
Пас, в частности, интересуют гомоморфизмы. Алгебру интересует только
вопрос, как действует та или иная алгебраическая операция, и вовсе не
интересует, на чем она действует. Отвлечься от второго вопроса позволяет понятие
изоморфизма, изоморфные объекты устроены одинаково с точки зрения
алгебры
Одна из целей курса "Теория групп"- это интенсивная подготовка
студентов, изучающих фундаментальные дисциплины, к свободному владению
языком современной науки.
Задача № 74. Привести примеры плоских геометрических фигур,
группы движения которых изоморфны \)Z2',2)Zj ,3) Sy. 4) V 4.
ЗадачаМ 75. Какие из следующих групп изоморфны между собой:
1) группа движений квадра га D4\
2) группа кватернионов Qt\
3) группа, состоящая из следующих элементов группы S4: { Е, (13),
(24), (12)04), (13)(24), (14)(23), (1234), (1432)},
4) группа относительно умножения, состоящая из следующих матриц
(1 ОЛ
■ ' °
±[0 -i)
1 О
i О
};
Задача Л» 76. Доказать, что группы собственны "виж
куба и октаэчра изоморфны соо1ветственно группам А4 S,,
Задача Л° 77. Найти в соответствующих группах S„ подгруппы,
изоморфные группам: 1)Z», 2) Qs, 3) D4.
Задача S/° 78. Найти в соответствующих группах GL(n, С) подгруппы,
изоморфные группам: \)Z2,2)Zj ,3) Sj, 4) V4
Задача № 79. Найти в группе вещественных матриц порядка 4
подгруппу, изоморфную группе Qs
Задача № 80. Разбить на классы попарно изоморфных друг дру« у групп
следующий набор групп:
\)SL(2, F2),2)SL(2, Fj),3)A4, 4)AS, ^) S4, b)S,

40
Теорема (Третья теорема о гомоморфизме или универсальность)
Пусть ф|.- G -> Si и ф2: G -> S2 -
эпиморфизмы групп, причем Кег ф2з Кег Ф/-
Тогда существует эпиморфизм фз : Sj —> S2 '.
Фзф! = Фг, т.е. коммутативна следующая
диаграмма.
1адача Л? 73. Доказать
существование следующих изоморфизмов:
1) GL(n,K) /SL(n,K) =K*;
2)Sn/A„=Z*=Z2;
3)Z /{n)=Z,
Решение. 1) Рассмотрим отображение ф: GL(n, К) —> К ,
сопоставляющее матрице ее определитель. Это отображение является
гомоморфизмом, так как у(АВ) = det(AB) = del (A) det (В) = ф (А) ц>(В).
Очевидно, что Кег ф = SL(n, К), является нормальной подгруппой в
GL(n, К). Теперь осталось воспользоваться первой теоремой о гомоморфизме
для получения требуемого изоморфизма.
Заметим, что классами смежности по ядру являются невырожденные
матрицы, имеющие один и тот же определитель.
2) Рассмотрим отображение ц>: S„ ->Z* = {±1}, сопоставляющее
подстановке ее знак в зависимости от четности. Так как четным
подстановкам при этом гомоморфизме соответствует +1, то Кег ф =Ап и,
следовательно, по первой теореме о гомоморфизме имеет место требуемый
изоморфизм
3) Для доказательства последнего изоморфизма нужно рассмотреть
следующий гомоморфизм ф: Z —> Z„ , сопоставляющий целому числу его
вычет по модулю ли вычислить ядро: Кег ф = (п).
5
1.1. Определения
Определение I Множество G с бинарной алгебраической операцией ( ■)
называется группой, если выполнены следующие аксиомы
1) операция ассоциативна, т.е. выполнено следующее равенство
(ab)c = а(Ьс), для любых а, Ь, с из группы С;
2) существует такой элемент из группы С, что для любого элемента
группы G выполняется ае = еа = а ;
3) для любого элемента а группы G существует такой элемент из
хруппы С, что аа " =а~ а = е.
Задача Ms I. Доказать, что введенное выше определение rpvmib плю-
сильно следующему определению:
Определение Г. Множество G с бинарной алгебраичеа пй операщи.
называется группой, если
1) операция ассоциативна;
2) для любых двух элементов я, Ъ из 6" существуют в С такие элементы
х, у, что ах = Ь, уа = Ь. Элементы х и у называются соответственно левым
и правым частными от деления Ь на а
Решение. Из первого определения сразу следуе г существование левого
и правого частных. Можно взятьх = а~ b и у = Ьа~
Если выполнены условия второго определения, то существует л* из G
что ах = а для любого а из G. Тогда для любого Ъ из С существует у из G .
уа = h, hx =yax = уа = Ъ, и т.е. дг - правая единица G. Аналогично
доказывается существование левой единицы л"' Из того, что л = х'х = х' следует
существование единицы, ее удобно обозначить через е.
Из второго определения очевидно, что для любого а из <7 сущеегвуе1
х: ах = е, откуда их а = а. Т.к. существует л'." д"'« = е. .mho-kiip xi. - <. .
слева, получим х'аха =х'а или ха = е

Тем самым равносильность определений доказана.
Заметим также, что
1) если ewe' - две единицы, то е = ее' = е'.
2) если х их' - два обратных элемента к я, то
ах = е =рх'ох =х' => ех =х' =?х=х';
3) т.к. из ах = Ъ => v = а'' b ,а из уа = b =>у = Ьа''
и доказана единственность обратного элемента, то очевидна и
единственность частных
Определение 2. Наименьшее п > 0, для которого выполнено а " = е
называется порядком элемента а и обозначается | я |. Если а " ^ е для любого п > О,
то говорят, что я имеет бесконечный порядок и пишут | я | = со.
Задача № 2. Доказать, что для любого а из G выполнены равенства
а а =о ,(а ) =а .
Задача № 3. Если а " = е, то и делится на | а |.
Решение. Обозначим | й | = m . Пусть л = Am + г, 0 < г <п , тогда
а =а =(а ) а =еа =а .
Из того, что аг = е и 0 < г <п следует, что г = 0.
Задача № 4. Доказать, что если элемент а группы имеет порядок и то
элемент а имеет порядок n/d, где d=(п, к) - НОД чисел я и к.
Решение. Нужно показать, что ( ак )п/ = е, и что ( а " ) т = е при
О < т < n/d.
г-т_ / к \ n/d kn/d /- и \ k/d
Прежде всего, (я ) =а =(а ) =е.
Пусть теперь т> 0 таково, что (ak)m = ah" = e. Из предыдущего
упражнения следует, что km делится на п. Значит. ~-т делится на —. Но
d d
39
менты 1 и 3 имеют порядок 4 Множество Z$ состоит из классов вычетов
(по модулю 5) О, 1, 2, 3, 4 и Z$ = Zs\ {0} является группой относительно
операции умножения классов вычетов. Роль нейтрального элемента играет
класс 1, элементы 1 и 4 имеют порядок 2, а элементы 2 и 3 имеют
порядок 4. Во-вторых, воспользуемся следующими фактами: при люс гп-
морфизме групп нейтральный элемент переходит l
элемент порядка п переходит в элемент порядка л. ( штсль
только два варианта изоморфизма:
Ф;: 0 -> 1 ф2: 0 -» 1
I -» 2 1-> 3
2-> 4 2 -> 4
3->3, 3->2.
Предложение. Пусть ср: G —> G ' - гомоморфизм групп Тогда
1) Ядро гомоморфизма Кег ф = /ф " (е ') } является нормальной подгруппой в
группе G.
2) В этом случае полные прообразы элементов G ' являются классами
смежности по ядру гомоморфизма Кег ц> (доказать самостоятельно).
Теоремы о гомоморфизмах
Теорема (Первая теорема о гомоморфизме). Гомоморфный
группы изоморфен ее фактор-группе по ядру гомоморфизма.
Теорема (Вторая теорема о гомоморфизме или о изоморфизме)
Пусть H.K<G, И <G. Тогда имеет место следующий изоморфизм
НК/Н= К/КГ\Н.

38
Задача № 71. Пусть ф^ (С [х], х ) -» (С, х ) - отображение множества
всех ненулевых комплексных полиномов в множество всех комплексных
чисел,
F= а0х " + а,х "'' +... + a „_ix + а„ (а0 *0).
Выяснить, какие из отображений ф| будут гомоморфизмами:
a) (pi(F) = а0; б) q>2(F) = а0+а, +... + а„_, + а„; в) y5(F) = а0 + а„; г) y4(F) = |я„|;
Отображение группы в группу называется изоморфизмО]М, если оно
взаимно однозначно и сохраняет операцию, если отказаться от требования
взаимной однозначности, то приходим к понятию гомоморфизма групп.
Две группы называются изоморфными , если между ними можно
установить изоморфизм. Изоморфные объекты устроены одинаково в смысле
операций, поэтому их в алгебре не различают или рассматривают как точные
копии друг друга и изучают группы с точностью до изоморфизма. При
гомоморфизме некоторые свойства алгебраической операции могут
потеряться, например, некоммутативность, хотя наиболее памятные (конечность,
коммутативность) сохраняются.
Примерами гомоморфных отображений являются следующие:
1) Z —> Z„, сопоставляющее целому числу его вычет по модулю п ;
2) R —>Z, сопоставляющее каждому числу из R его знак;
3) GL(n, К) —>К , сопоставляющее матрице ее определитель.
Задача № 72. Найти все изоморфизмы между группами
(Z4, +) и (Z5\ ■).
Решение. Во-первых, выясним строение этих групп. Множество Z4
состоит из четырех классов вычетов (по модулю i) 0, 1, 2, 3 и является
группой относительно операции умножения классов вычетов, класс 0
играет роль нейтрального элемента, элементы 0 и 2 имеют порядок 2 , а эле-
7
к п\ ни
— — \ = 1 (взаимно просты), поэтому т делится на —, откуда т>~.
У(1 (I) d d
Задача № 5. Найти все группы порядков 3, 4, 6 и написать для них
таблицы умножения.
Решение. Прежде всего заметим, что если в группе квадрат любого
элемента равен единичному, то эта группа абелева.
Действительно, если любые яиб е G ,то а = е, b =е и так как a b e G,
то (а Ь)2= е.
Далее, умножив ab-ab = е справа на Ь получим aba = b и, умножив
последнее равенство на я , получим ab = ha, т.е. коммутатиьнсх ^ь\х
двух элементов группы G.
1. Рассмотрим группу порядка 3, т.е. группу из i
Рассмотрим группу, порожденную одним единственным элемен гом а ,
имеющим порядок 3, т.е. а =е. Очевидно, что эта группа
состоит из элементов а, а2 ^е, oJ= е. Обозначим а через b .
Так как ab = аа2 = е, Ъа - е, Ь2 =а3а = е, то таблица
умножения Кэли, изображенная справа, имеет вид
симметричный относительно диагонали. Это означает, что группа
абелева.
Очевидно также, что других групп третьего
порядка нет.
е
а
b
е
е
а
b
а
а
Ь
е
h
Ь
е
а
2. а) Группа 4-го порядка, порожденная одним эле- с
ментом а : а = е состоит из элементов а, а = b, a = с, а
а4 = е и т.к. ab = аа2 = а3 = с, ас = аа' = е, то таблица ум- b
ножения имеет вид, указанный справа в таблице.
б) Рассмотрим еще один возможный случай. Пм
неединичных элемента группы G :a,b &G=>abeG.
ab = ha и группа С= {а, Ь, с = ab = ba, a = b = с } сое п
Ъ с
е a b
a b с
bee

e
a
b
с
e
e
a
b
с
a
a
e
с
b
b
b
с
e
a
с
с
b
a
e
Очевидно, что эта группа абелева и, в отличие от
предыдущих, порождена двумя элементами а и А т. е.
состоит из их степеней и произведений.
3 а) Группа, состоящая из степеней эпемента
я:|я| = 6, т.е. G = ja,fl ,а ,а , а ,а =е| Таблица
умножения составляется аналогичным образом как и в случае \G\ = 3,4.
б) Попробуем найти группу порядка 6, порожденную не одним
элементом (как в случае З.а). Пусть эта группа содержит элементы а и Ь. Значит G
содержит и их всевозможные степени и произведения, т.е. элементы вида
2 2
e,a,b,ab,ba,b ,а и прочие.
Если рассмотреть группу Н с соотношениями между элементами а и b
как в 2.6, т.е. Н= {a, b, е, ab: ab = Ьа, а2 = Ь2 = е }, то введение нового
элемента с ё Н даст еще 4 элемента. Поэтому рассмотрим группу,
содержащую элементы е,аиЬ, связанные соотношениями: а =Ь, а = е. Очевидно,
что эти элементы сами образуют группу (см. 1).
Введем новый элемент с : с #е,а,Ь. Обозначим ас - d, be =/.
Получаем 6 элементов: е, а, Ь, с, d, f. Заметим, что ее == се = е , т.к. е - единица в
группе. Для новых элементов с, d и/обязательно выполнение с = е, d = e,
f2 = е, т.к. в противном случае будем иметь группу G порядка больше, чем 6.
Далее, af=abc = aa2c = c, ad=a2c = bc=f,
b '/= b'bc = b2'c = ac = d,bd=a2ac = c.
А вот са найти так же просто уже не удается. Очевидно, са должен
совпадать с одним из элементов группы, т.е. е, а, Ь, с, d,f. Первые четыре
возможности отпадают сразу. Остаются две: 1)с"й = </и2)сй =/ Рассмотрим
первую, т.е. с а = d = ас. Умножим равенство са = ас слева на а 2 , а справа К
на с: а 2с ас = а 2 а с с = а Зе а = а 3 = е. Отсюда/i/ = е , значит fd d = d и по-
лучается/= d - противоречие.
37
Задача № 66. Пусть Л/ - мультипликативное множество всех
комплексных матриц порядка и > /, а С - мультипликативное множес№
комплексных чисел. Определим отображения cpi, ф2. ф3: М - > Г, по
Ф,(я) = detrt, ф2(я) = а„, ф3(я) = 1
Выяснить, какие из отображений являются гомоморфизмами
Задача № 67. Доказать, что ф: (М,*) -> (М2,«) является изоморфизмом
мультипликативных множеств тогда и только тогда, когда между всеми
элементами Mi и всеми элементами М2 можно установить такое взаимно
однозначное соответствие при котором
х, <н> х2 , у( <н> у2 (xi ,у, е М,, х2, у2 е М2) ОХ|*у, <^ х2 • у2.
Задача № 68. Пусть ф - изоморфизм М, на М2 мультипликативных
множеств. Доказать, что обратное отображение ф "' является изоморфизмом
М2 п&М,.
Задача № 69. Для мультипликативного множества всех целых чисел
вида 5 " (п = 1,2,3,...) найти все гомоморфизмы его в себя. Выяснить
их них являются изоморфизмами.
Задача № 70. Пусть ф: (М,,*) -> (М2,*) - гомоморфизм
мультипликативных множеств. Пусть Mj обладает каким либо из основных свойств:
ассоциативностью, коммутативностью, обратимостью справа, обратимостью
слева, наличием левых единиц, наличием правых единиц. Доказать, что тогда и
М2 будет обладать соответствующим свойством.

36
1.8. Морфизмы групп
Напомним, что на множестве М задана бинарная алгебраическая
операция, если задано отображение М хМ—>М декартова квадрата М хМ в
множество М.
Пусть (Mt*) - множество М] с бинарной операцией *, а (М2,*) -
множество Mi с бинарной алгебраической операцией •. Отображение
ф : Mi —> М2 называется гомоморфизмом, если для любых jc, у е Mt
выполняется равенство ф( х * у ) = ф(лг) • (р(у). Взаимно однозначное
отображение, являющееся гомоморфизмом называется изоморфизмом.
Иногда полезно рассматривать мультипликативные множества, т.е.
множества для любых двух элементов которых определена операция
умножения.
Задача № 65. Пусть (С, х )— мультипликативное множество всех
комплексных чисел, а ( R, х )— мультипликативное множество вещественных
чисел,
фь С -> R, такое что для Vze С => ф1(г) = |г|;
ф2: С -> R, такое что для Vze С => ф2(г) = |г| +1;
ф3: С -> R, такое что для V г е С :=> фз(г) = 0:
ф4: С -> R, такое что для VjeC^ ф4(г) = 2\
ф5: С -> /?, такое что для V г е С => ф5(г) = |г| ;
ф6: С-+ R, такое что для Vz е С => ф6(г)= 2|г|;
ф7: С-> Л, такое что для Vz e С=> ф7(г)=1/|г|;
Выяснить, какие из отображений ф; являются гомоморфизмами
Значит, единственная возможность: с а =/ Легко видеть, что cd = с b
и, таким образом, b с — d. Теперь легко получаем оставшиеся соотношения,
необходимые для составления таблицы Кэли
dа = ася = af= с,са—а2 с,
d b = а с а = а с а а = а а с a =f,
, _ „ 2
dc = ac -a, df=a ее а = а =Ь,
fa = c aa=c h=d, fb-caa2 = c,
fc = a2с с —а2 = b,
fd = caac = cbc-dc = a.
е
а
Ь
с
е
е
а
Ь
с
а Ь
а Ь
Ь е
е а
f d
с
с
d
f
d
d
f
с
f
f
с
d
a
f f d .
Задача № 6 Ассоциативна ли операция * на множестве М если
l)M = N,x*y = x>;
2)M = N,x*y=№J\(x,y);
3)M = N, x*y= 2xy;
4)M = Z, x*y = x~y;
5)M = Z,x*y = x2 + y2;
6) М = R, х*у = sinjf ■ sin у ;
7).\f=K,x*y = x_/V
Задача Я» 7. Какие из указанных числовых множеств с операци . и яп-
ляются группами:
1) ( А, ). где А - одно из множеств N, Z, О, Ji, i
2) (А, • ). где А - одно из множеств Л', Z, О, R,
3) ( А0, • ), где А - одно из множеств Л', Z, Q, К, С а Аи= А -{0}.
4) ( nZ, + ), где и - натуральное число;
5)({-1,1 },');

10
6) множество степеней данного вещественного чиспа с целыми
показателями относительно умножения;
7) множество всех комплексных корней степени п из единицы
относительно умножения;
Задача № 8 Какие из указанных совокупностей отображений
множества М = { 1,2,..., п } в себя образуют группу относительно умножения:
1. множество всех отображений;
2. множество всех инъективных отображений;
3. множество всех сюръективных отображений;
4. множество всех биективных отображений;
5. множество всех четных перестановок;
6. множество всех нечетных перестановок;
7. множество транспозиций;
8. множество всех перестановок, оставляющих неподвижными
элементы некоторого подмножества S с М;
9. множество (Е, (12)(34), (13)(24), (14)(23) } ;
10. множество {Е, (13), (24), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1432)},
Задача № 9. Какие из указанных множеств квадратных вещественных
матриц фиксированного порядка образуют группу:
1. множество симметрических матриц относительно сложения;
2. множество симметрических матриц относительно умножения;
3. множество невырожденных матриц относительно сложения;
4. множество невырожденных матриц относительно умножения;
5. множество матриц с фиксированным определителем d относительно
умножения;
6. множество диагональных матриц относительно сложения;
7. множество диагональных матриц относительно умножения;
IS
kidivia X» 60 . Выяснть. какие нормальные деппели т чея
следующими подмножествами группы S/
М,= ((12), (1234)), М2 = ((123), (132) ), М,= (е;.
Задача Л» 61 . Доказать, что аддитивная и мультипликативна1! i h мы
поля нормальны;
ЗадачаМ 62 . Доказать, что четверная группа Клейна является
нормальной подгруппой в группе S4;
Задача № 63 . Доказать, что
Ая <S„, SL(n,K) < GL(n,K), UT(n,K) <T(n,K).
Задача Л? 64 . Доказать, что все подгруппы группы (?» являются
нормальными

34
Особенно важную роль в группах играют те подгруппы, относительно
которых левые и правые классы смежности совпадают.
Определение. Подгруппа Н группы G называется нормальной, пишут
// < G, если Нх = хН для любого элемента х е G
Ясно, что условие Нх = хН равносильно условию х ~'Н х = Н. Теперь
можно сказать, что
1 подгруппа Н группы С тогда и только тогда нормальна в группе С ,
если вместе с каждым своим элементом она содержит и все элементы с ним
сопряженные посредством элементов из С, т.е. //' — Н или
2. подгруппа Н группы G тогда и только тогда нормальна в группе G,
когда она совпадает со всеми своими сопряженными (по этой причине
нормальные подгруппы еще называют самосопряженными). Употребляют
также названия нормальный делитель и инвариантная подгруппа.
Предложение Классы смежности по нормальной подгруппе образуют
группу относительно умножения подмножеств группы. Единицей этой
группы является сама нормальная подгруппа. (Доказать самостоятельно.)
Определение. Группа, образованная классами смежности группы G по
нормальной подгруппе Н , называется факторгруппой G по Н и
обозначается G 111
Задача .Л» 59 . Найти все нормальные подгруппы симметрической
группы Sj\
8. множество диагональных матриц, все элементы диагонали ммирых
отличны от О, относительно умножения;
9. множество верхних треугольных матриц относительно умножения;
10. множество верхних нильтреугольных матриц относительно
умножения;
11. множество верхних нильтреугольных матриц относительно
сложения;
12. множество верхних унитреугольных матриц относительно
умножения;
13. множество всех ортогональных матриц,
14. множество верхних нильтреугольных матриц относительно
операции X о Y = X + Y - XY :
15. множество ненулевых матриц вида I (x,v К "и
1 -у ч
но умножения;
(х > /
16. множество ненулевых матриц вида I (а,у еК), гд~ - viik-
\ку xj
сированное вещественное число, относительно умножения;
17. относительно операции умножения множество матриц
0 1
+
i0 -i
0Л ( 0 1
/
+
-1 0
0 i
[\ 0
Задача № 10. Какие из указанных множеств образуют группу при
указанной операции над элементами:
1. корни п - й степени из единицы (как действительные, так и
комплексные) относительно операции умножения;
2. корни всех целых положительных степеней из единицы
относительно умножения;
3. матрицы порядка п с целыми элементами относительно v.... чия;

12
4. матрицы порядка п с целыми элементами и определителем, равным
единице, относительно умножения;
5. матрицы порядка п с целыми элементами и определителем, равным
±1, относительно умножения;
6. подстановки чисел /, 2,..., п относительно умножения;
7. нечетные подстановки чисел 1, 2,..., и относительно умножения;
8. четные подстановки чисел /, 2,..., п относительно умножения;
9. векторы п - мерного линейного пространства R „ относительно
сложения;
10. параллельные переносы трехмерного пространства R, если за
произведение переносов принято их последовательное выполнение;
11. повороты трехмерного пространства R вокруг данной точки О, если
за произведение поворотов принято их последовательное
выполнение;
12. все движения трехмерного пространства R вокруг данной точки О,
если за произведение двух движений принято движение,
получающееся при их последовательном выполнении ;
13. положительные действительные числа относительно операции
* ж. *
а *b = а ;
14. положительные действительные числа относительно операции
а * Ь = а 2 Ь2;
15. действительные многочлены степени < и (включая ноль) от
переменной .v относительно сложения;
16. действительные многочлены степени и от переменной .v
относительно сложения;
17. действительные многочлены любых степеней (включая ноль) от
переменной .v относительно сложения;
т-
Предложение. Доказать, что число множеств, сопряженных с S в //,
равно индексу нормализатора множества S в Я, т.е. \Н: Nn (S)\
(Доказать самостоятельно )
Задача № 52 Доказать, что отношение сопряженности элементов в
группе является от ношением сопряженности;
Задача № 53 . Доказать, что если два элемента в группе сопряжены, то
их порядки равны;
Задача № 54 . Доказать, что если два подмножества rpvmii ~пр ы.
то их порядки равны;
Задача М 55 . Распределить по классам сопряженных элементов эче-
менты следующих групп:
a) S3,b)A4,c)S4,d)Qt\
Задача № 56 . В группе GL(2, R) найти нормализаторы элементов:
(1 0} (-1 0Л (1 0~\
"-[. 2)'-[-, .}'■[, ,}■
Задача № 57 . Доказать, что в симметрической группе S„ два элемента
сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый цикленный
гип, т.е. они имеют одинаковое строение при разложении на независимые
циклы;
Задача Л° 58 Используя нрстыдущую задач \ п„. ,ч ■ _■.
сов сопряженности п группе .9,-,

32
1.7. Нормальные подгруппы и факторгруппы
Определение. Если для элементов » и4 группы G найдется элемент л:
из группы G такой, что х' а х = Ь, то говорят, что элемент Ь сопряжен с
элементом а.
Часто используют обозначения л: ~'я х — ах. Легко проверить, что
(аЬ)х=ахЬх,(а)ху = аху.
Определение. Пусть S - подмножество группы С. Подмножество вида
S х={х' s х, s e S} называется сопряженным с S в группе G.
Очевидно, что любое подмножество, сопряженное с группой, само является
группой (проверить это).
Определение. Пусть S - подмножество группы G , а Н - подгруппа
группы G . Подмножество вида {х е Н :х ~lSx = S}= NH(S)
называется нормализатором множества S в подгруппе Н.
Очевидно, что множество NH(S) является подгруппой ( проверить ).
Аналогично определяется множество
{хеН.х-*sx = s, Vs e S}= ZH(S),
называемое централизатором множества S в подгруппе Н.
Заметим, что
а) если S одноэлементное множество, т.е. S = { s }, то нормализатор
совпадает с централизатором;
b)ZH(S)£N„(S);
с) если подгруппа совпадает со всей группой ( Н = G ), то говорят просто о
нормализаторе и централизаторе множества S. Централизатор всей группы
называется ее центром.
13
1.2. Система образующих
Определение. Пусть М не пустое подмножество группы G.
Совокупность всех элементов группы G равных конечным произведениям
положительных и отрицательных степеней элементов из М , является подгруппой
группы G , называемой подгруппой, порожденной множеством М , и
обозначаемой (М): (М) = { а*' -а^ ■-■а^, kf eZ, a; 6 М } ,
М называется системой образующих множества (М).
Если (М) = С, то М называется системой образующих группы G .
Примеры систем образующих.
1. Пусть G - группа 3-го порядка: G = fe,a,a =b }= (а ).
2. Пусть G - группа 4-го порядка. Из предыдущего упражнения еле—гг, что
возможно 2 случая:
а) G = {а, а2, а3, а = е} = (а ).
б) G= {a, b,c = ab = ba,a2 = b1 = e) =<a,b).
3. Пусть G - группа 6-го порядка.
a)G = {a,a2,a3, а4, а5, а6 = е} = (а ).
6)G = {e,a, Ь, с, d,f: а2 = Ь, а3= с2 = if =/ = nb =ha = е, ас = d, be =f} =
<a,c)=<b,c)=<a,f>=<b,f)=<a,d)=(b,d)=<d,c)=<d,f)=<f,c>.
Задача №11 . Пусть К - поле, GL ( п, К) = {А= (аф: (и,) еК, del A*0}.
Рассмотрим в GL ( п, К) матрицы вида:

14
Uj(a) = e + aejj = i
1 a
. и
(l
d(P) = e + (P-l)e
nn
p.
где а, р е К, p * 0, i ^j, etj - матрица, содержащая на (i,j)-u месте
единицу, а в остальных местах - нули; матрицы tij(a) называются трансвекциями.
Доказать, что Gl(n,K) = (tjj(a),d(P)/a,p e K,i * Д
Доказательство Для доказательства нужно проверить, что каждая
матрица из Gl(n,K) представима в виде tj ...trd(P)tr+1 ...ts, где /,• -
трансвекции. Умножим матрицу Л = (я;Д . на трансевекцию 1ц (а) справа,
считая для определенности j > i:
"и
а21
"nl
=
"12
"22
<*п2
Ч/
"21
J*nl
... ап..
... a2v.
... ani..
"12 —
"22 ■■■
"п2 ■■■
■ "2j ■
a„j •
"U ■■
"2i ■■
"ni ■■
.. aln^
■■ "2n
■■ "ппу
i
j
,
. aaIi+ajj
■ a"2i+"2j
■ a"ni
+ a
"j
1
... aln
■■■ "2n
... an„
a
0
Т. е. умножение матрицы А на трансвекцию tjj(a) справа
соответствует добавлению к у - му столбцу / - го столбца, умноженного на скаляр а е К .
->i
Задача ЛЬ 45 . Найти разложение бесконечной циклической г| ппы,
порожденной элементом-V, по но;и руппе, порожденной шемеш
Задача № 46 . Пус1ь G - конечная группа порядка и, II и ппа
порядка Л и к - индекс Н в G Доказать, что л = hk.
Примечание. Отсюда следует важный вывод, в конечной гр\ппе
порядок всякой подгруппы, также как и индекс, является делителем порядка
группы.
Задача № 47 . Доказать, что в конечной группе порядок всякого ее
элемента является делителем порядка группы.
Задача ЛЬ 48 . В симметрической группе 55 выяснить, какие из
нижеследующих множеств будут смежными по каким-либо подгруппам:
1. Kj = {(234), (1234)}; 4. К4={(12), (13),(14), (15)};
2.К2={(12), (123), (1234)}; 5. К5 = {(12), (152)(34)};
3. К3={е, (13)(24), (1234), (1432) };
Задача ЛЬ 49 . Пусть F, II являются подгруппами ip\nn.,i ( ..с.гь
что всегда существует разложение G по паре подгрупп (F, Н)
Задача ЛЬ 50 Найти разложение симметрической группы S4 по паре
подгрупп: F= {е, (123), (132) }, Н = {е,(12)(34)}.
Задача ЛЬ 51 . Найти разложение симметрической группы S3 no паре
подгрупп (F, Н), где F= Я = {е,(12) j.

30
Пусть F, Н являются подгруппами группы G и a G . Множество Fa H
называется двойным классом смежности группы G по паре подгрупп (F, Н) .
Задача № 38 . Доказать, что для любой подгруппы Н группы G всегда
существует левое и правое разложение G по Н. (Указание. Объединение
всевозможных правых классов смежности равно G Исключить из этого
объединения повторяющиеся классы, а далее воспользоваться результатом
предыдущего упражнения.)
Задача Л» 39 . Пусть х - некоторый элемент и Н - некоторая подгруппа
группы G, то х содержится в правом смежном классе хН и в левом смежном
классе Нх. Доказать.
Задача № 40 . Пусть даны два правых разложения группы G по
подгруппе Н . Доказать, что они представляют собой одно и то же разбиение
множества всех элементов группы G. Доказать то же для левых разложений.
Задача № 41 . Найти правое разложение симметрической группы S3 по
подгруппе, состоящей из двух элементов е и (12).
Задача № 42 . Найти левое разложение знакопеременной группы А4 по
подгруппе, состоящей из трех элементов е и (123), (132).
Задача № 43 Найти правое и левое разложения группы кватернионов
Q8 по подгруппе, состоящей из двух элементов . ±1 . Сравнить их и
объяснить результат сравнения.
Задача № 44 . Найти разложения циклической группы десятого
порядка по всем ее подгруппам.
Пусть A =Gl(п,К). Умножая Л слева или справа на трапсиекцпи.
добиваемся, чтобы а]2Ф0. Далее последовательно применяя элемспмрпыс
преобразования со столбцами магрнцы, т.е. умножая спра1
попучаем Maipimy, у которой на (1,1) - м месте I, а в i сильны
(10 0^
\* ' - /
Умножая эту матрицу на трансвекции слева, получаем матрицу, у которой
1 - й столбец и 1 - я строка состоят из нулей, за исключением места (1, 1), где
г1 0 ... 0^
о * ... *
стоит 1:
0
Применяя этот процесс к правой нижней клетке порядка п — 1, получим мат-
(1 ^
рицу вида:
/
Р)
Таким образом, ,1 =ij ...lrd(fi)tri 7. ./s.
Задача №> 12 . Доказать, что
1 Sl(n, К) = (tij (a),a e K,i * j).
2. Т(п, К ) = \4 е Gl(n, К) :atj = 0,1 > )\=
= ац(а), diu» ( Р j ,..., Рп ),a,Pie К ,i < f)
3 Sl(n.Z) = {e + eij .1 < i, j < n,/ * j) =
= ie + e12,el2 +e23 +... + e„^]n +(- /)" 'e,,^.

16
1.3. Группы движений
Определение. Преобразованием множества X называется взаимно
однозначное отображение/- X -> X этого множества на себя, т.е. такое
отображение, для которого существует обратное отображение
/-':*-> X,f'f=ff'-=e.
Здесь fg обозначает произведение отображений, т.е. последовательное
их выполнение: (fg)(x) =f(g(x)) , х е X, а е - тождественное
преобразование: е(х) =х, для любого л- еХ.
Совокупность G преобразований множества X называется группой
преобразований, если G содержит тождественное преобразование е , если
вместе с любым g e G существует g~~' e G и вместе с любыми gi, gi e G их
произведение g,- g2 e G.
Обычно эти условия выполняются, т.к. G определяется как группа
преобразований, сохраняющая некоторое свойство.
Определение. Преобразования, сохраняющие расстояние р(х,у)
между точками евклидова пространства (т.е. такие, что
p{g(x)tg(y))= Р(Х>У))> образуют группу движений. Если все они
сохраняют одну точку, то мы имеем дело с группой ортогональных
преобразований (или группу поворотов).
Ортогональные преобразования, сохраняющие ориентацию,
называются вращениями.
Группа тех или иных преобразований, сохраняющих некоторый
объект, может интерпретироваться как совокупность его симметрии.
Понятие группы позволяет в точных терминах охарактеризовать
симметричность данной фигуры. Именно, каждой фигуре можно сопоставить
29
1.6. Разложение группы по почгрунпе
Пусть Н - подгруппа группы G и и е G Множество вида
На = {ltd, Л е Н} называется левым классом смежности фуппы G по поц-
группе //, а аН = \ah, h е Щ называется правым классом смежм шы
G по подгруппе // ( название "правый" связано с ieu
справа ).
Задача № 36 . Если элемент Ь содержится в некотором правом классе
смежное™ all группы G по подгруппе // , го all = bll . Аналогично и для
левых классов смежности. Доказать.
Задача ЛЬ 37 . Пусть Н'— подгруппа группы G и а, Ь еС. Доказать, что
правые классы смежности аН и ЬН либо совпадают, либо не пересекаются
Аналогично и для левых классов смежности. Доказать.
Если G представлена в виде попарно непересекающегося объединения
своих правых классов смежности по И:
G= аН KJbHVJ... UcHu...,
то такое разбиение называется правым разложением группы G но подгруппе
Н. Множество элементов {а, Ь, ... , с,... } называется множеством пр< , ави-
телей этого правого разложения G по Н. Аналогично опре
разложение
G= На u HbKJ kj Hckj
Следует иметь в виду, что понятия левого и правого разложения условны и
иногда их меняют местами
Если число левых классов смежности конечно, то оно называется
индексом подгруппы Н в группе G и обозначается \G : II \.

28
I.стохастические матрицы
Л7 (п, R) = {a е GL(n, R) : £ ау = /, /= /,.... п};
j
2. дважды стохастические матрицы
St(n,R)*={a<= GL(n,R) : X a,j =Ъ a,j =/> '*/='....,«/;
j •
Задача № 34. Доказать, что множество теплицевых матриц
Tep(n,R)= {
О at a2
0 0 а,
1^0 0 О
'п-2
GL(n,R)}
образуют абелеву подгруппу в GL(n,R).
Задача № 35. Доказать, что множество циркулянтов
Cir(n,R)= (
а„
а„ i
а „-г
ai
а0
а
hi
а
а
'п-2
'п 3
е GL(n,R)}
li» У
образуют абелеву подгруппу в GL(n, R).
17
Р) с нею самой. 'Эта совокупность будет группой, характеризующей
симметричность фигуры
Преобразования симметрии могут состоять только из поворотов вокруг
некоторых осей, проходящих через точку О (рассматриваются nv
круг точки О ), отражения в некоторых плоскостях, нр ■ яшч\
О , зеркальных поворотов, для которых эта точка ecib Пересе кип. шь-
ной плоскости с поворотной осью к инверсии, т. е. отражения в этой точке
Задача № 13. Описать группу движений правильного п - угольника
Решение. Рассмотрим в плоскости правильный п - угольник А/... А„ ,
например , правильный шестиугольник AiA2A3AjAs А<,. Опишем, во -
первых, те перемещении в плоскости, которые совмещаю!' его с самим собой.
Очевидно, что таких перемещений равно л и каждое из них есть поворот
многоугольника вокруг центра на угол к—, где к е Z. Эти перемещения
п
образуют группу (за произведение берется последовательное выполнение
перемещений). Очевидно, эта группа циклическая
Далее, если рассматривать перемещения не в плоскости, а в
пространстве, то к перечисленным перемещениям прибавятся еще и пи
ния", т. е. noBopoibi па угол л вокруг осей симм-'ч.ч
угольник имеет// осей симметрии
1. если // четное, то осями симметрии являются «
п / 2 прямых, соединяющих середины противо-
„ „ А о а,
положных граней и п / 2 прямых, соединяющих , i. .
противоположные вершины;
имметрии суть пря-
2. если я нечетное, то оси симметрии суть
прямые, соединяющие вершину с серединой прочи
воположной стороны

Таким образом, группа движений правильного п - угольника имеет
порядок 2п и содержит подгруппу вращений порядка п .
Задача Л» 14. Описать группу движений правильного тетраэдра.
Доказать, что все вращения (повороты) правильного тетраэдра образуют
подгруппу группы движений.
Решение. 1) Для каждой вершины рассмотрим вращения вокруг
прямой, соединяющей эту вершину и центр противоположной грани. (Эту
прямую называют граневои медианой ) Такой осью вршдения является,
например, прямая А М . Очевидно, что тетраэдр
переходит в себя при повороте вокруг оси А М на
углы: ,— ,2л. Поворот на угол 2л
соответствует тождественному преобразованию. д
Т. к. тетраэдр имеет 4 граневые медианы, то
вокруг них существует 8 нетождественных
поворотов.
Каждому повороту соответствует подстановка, описывающая
перестановку вершин. Так^повороту вокруг А М на угол <р = — соответствует
подстановка
= (а) (dbc)=\dbc).
(A D В СЛ
{А В С D)
Эта подстановка является тройным циклом.
Очевидно, что и остальные повороты вокруг граневых медиан
описываются тройными циклами.
2) Далее существуют еще 3 поворота (нетождественных). Это повороты
на угол л вокруг каждой из трех прямых, соединяющих середины противо-
27
Доказать, что
1. НЛ является подгруппой группы G;
2. если d, Ф d2, то Hd i Ф НЛ2\
3. G не имеет других подгрупп, кроме подгрупп На.
Задача JVa 28. Доказать, что всякая бесконечная тш
печное множество подгрупп.
Задача № 29. Выяснить, каковы группы, у которых множество всех
подгрупп:
1. состоит из одной подгруппы;
2. состоит из двух подгрупп;
3. состоит из трех подгрупп.
Задача № 30. Доказать, что пересечение любого множества подгрупп
само является подгруппой.
Задача № 31. Пусть все неединичные элементы группы имеют
порядки, равные 2. Доказать, что эта группа абелева.
Задача № 32. Доказать, что подмножество
Я= { е, (12)(34), (13)(24), (14)(23) } группы S< является i чгп
пой. Составить таблицу умножения группы Н. Группу Н называю ср-
ной группой Клейна.
Задача Л» 33. Доказать, что следующие множества матриц образуют
подгруппы в GL(n, R):

26
Задача № 25. В множестве Qs, состоящем из восьми элементов:
± 1, ± /, ± j, ± к , задано действие при помощи таблицы умножения:
1
-1
i
-i
J
-J
к
-к
1
1
-1
i
-i
J
-J
к
-к
-1
-1
1
-l
i
-J
J
-k
к
-j
-i
i
I
-I
к
-к
-J
J
i
i
-i
-I
I
-k
к
J
-J
-J
-J
J
-k
к
1
-1
i
-i
J
J
-J
к
-к
-]
1
-i
i
-k
-k
к
J
-J
-i
i
1
-1
к
к
-к
-J
J
.
-.
-I
1
Доказать, что Og является группой, найти все ее подгруппы. Указанная
группа называется группой кватернионов.
Задача № 26. Пусть С конечная циклическая группа порядка и,
порожденная элементом х Для натурального числа d, являющегося делителем и,
обозначим через На совокупность элементов х J, х 2<1, хза,...,х("/'®'' = х "
Доказать, что
1. На является подгруппой группы G;
2. если di Ф di, то НЛ\ Ф На2\
3. G не имеет других подгрупп, кроме подгрупп H,i при всевозможных
делителях d числа п.
Задача ЛЬ 27. Пусть G бесконечная циклическая группа , порожденная
элементом х. Для целого неотрицательного числа d обозначим через //,;
совокупность элементов вида дг *'' (к = 0, ± 1, ± 2,...).
19
положных ребер тетраэдра (и называемых реберными медианами) Повороту
вокруг прямой М N соответствует подстановка
(А В С ПЛ
j: d а в.
Очевидно, что всем трем таким вращениям
соответствуют подстановки, являющиеся
произведениями двух двойных циклов.
Всего в 1) и 2) перечислены 12
различных поворотов (вращений).
Соответствующие этим вращениям
подстановки образуют знакопеременную
группу л 4
3) Очевидно, что еще не перечислены
все движения, т.к. не учтены симметрии,
такие как, например, симметрия
относительно плоскости A D М ( где Л/ - середина
СВ ). Очевидно, такой симметрии
соответствует транспозиция
f А В С D
{AC){BD\
А С В D
(ВС).
Теперь уже нетрудно понять, что все цвижиш
всеми подстановками из группы S 4

20
1.4. Группы подстановок
Определение. Подстановкой на множестве Q = {/,2,...,л} называется
взаимно однозначное отображение этого множества на себя.
Удобно задавать подстановку прямым указанием образа каждого
элемента:
1 2 ... п
п= ■■■ " тг: I I I ,Цк) = л(к),к<ЕП.
{«,> „2, ... „.,) I(I) Ц2) l(n)
Последовательное применение двух подстановок приводит к
подстановке, называемой их произведением
Например, если а
12 3 4
м\; d
то
2 3 4
12 3 4
s ху х ■*■ Ф Ф ■*■ - х
fl 2 3 4\(1 2 3 4\ , 1 2 3 Г\
ар= || = 2 3 t 1= |
[2 3 4 1) [l 2 4 3) i i ; x {2 4 3 l)
2 4 3 1
Заметим сразу, что произведение подстановок (при и > 3 ) не
коммутативно, т.к. ар * fia.
Число всех подстановок из п чисел равно н /. Подстановка называется
четной, если четности верхней и нижней строк совпадают, и нечетной-в
противном случае.
Определение. Подстановка, получающаяся из тождественной при
помощи одной замены любых 2-х элементов i иу называется транспозицией:
тельно, С)
f1 2 A I, Л
■\ \ = \2 3) порождает циклическую группу второго
порядка: (с7) = {е,су>
Аналогично, подгруппы (а4) = ^,а4\ {а^)=^,а^\ являются
циклическими группами 2-го порядка.
Найдем теперь другие множества, замкну)ме огпосительнс операции
умножения
Рассмотрим подстановку а^
2 3 1
= ('
)
ные степени:
а]-
1 2 3
2 3 1
(1 2 3
2 3 1
12 3
3 1 2
{1 3 2) = а4,
„.?
а ~3 = a4aj = е.
Таким образом, мы получили циклическую подгруппу 3-го порядка,
состоящую из всех степеней a j :
(а3) = {а3, а4, е}.
Нетрудно понять, что циклическими
подгруппами 2-го и 3-го порядка
исчерпываются все собственные подгруппы сим- \(12|)
метрической группы S3, включения
между которыми изображено представленной
диаграммой.
Задача № 24 . Найти все подгруппы в i руппах.
1) D4 (группа движений квадрата);
2) А4 (знакопеременная группа 4-го порядка)

24
3) Очевидно, что рассматривая поле Q вместо R получим включение
GL(n, Q) >SL(n, Q). Далее, SL(n, Q) sSL(n,Z)
и SL(n, R) является подгруппой в SL(n, Q).
Подгрупповые включения между группами
GL(n. К) и SL(n, К) при К = Z ,Q, R можно
изобразить диаграммой:
4) В симметрической группе Sn
множество А„ всех четных подстановок образует
подгруппу, т.к. произведение двух четных подстановок является
подстановкой четной. Эта группа называется знакопеременной группой и - й степени.
Задача № 23. Описать все подгруппы симметрической группы Sj.
Решение. Из общего курса алгебры известно, что элементы группы 5j
исчерпываются шестью подстановками:
е =
1 2 3
12 3
1 2 3
а4 =
.«; =
,а5
(12 3
1 3 2
,а2 =
12 3
2 1 3
«3 =
12 3
2 3 1
к3 1 2
Составим таблицу Кэли:
12 3
3 2 1
Из этой таблицы видно, что S$ является на
самом деле группой, группой
некоммутативной, т.к. таблица не симметрична
относительно диагонали.
Обратим внимание на то, что
а/И/ = a j = е,еа\ = а^е = aj, следова-
а, а2 аъ ал
е
«I
«2
«з
«4
«1
е
«4
«5
«2
«2
«3
е
а,
«5
«3
«2
«5
«4
е
«4
«5
«1
е
«3
«5
«4
«3
«2
«1
а, | а5 аз а4 ai а2
21
'1 2 i j n
J 2 ... j i n)
Обозначается символами (ij).
Удобно записывать подстановку в виде "'циклов'".
Определение. Циклом называется последовательность нескольких
чисел, в которой первое число переходит во второе, второе в третье и т. д., а
последнее в первое. Цикл обозначается заключением его чисел в общие скобки.
Если число переходит в само себя, то оно одно образует цикл. Циклы,
не имеющие общих чисел, называются независимыми Любую подстановку
можно разложить на независимые циклы.
(1 2 3 4 5 6 7 8\ , ч, v,v
Пример.] =(/ 6 3Y2 5 МУ/
\6 5142387)К л ЛА
Задача Ли 15 Доказать, что любая транспош""
становки на противоположную.
Задача Л» 16 . Доказать, что число четных подс1ановок равно числу не-
и'/
четных и равно "У7.
Задача №17 Доказать, что любая подстановка предешвима в виде
произведения транспозиций.
Задача №'18 Доказать, что любая подстановка может быть получена из
любой другой посредством нескольких транспозиций