Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
государственный университет имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет
В. В. ТРОФИМОВ
ЗАДАЧИ
по теории групп Ли и алгебр Ли
Издательство Московского университета
1990

1 ОГЛАВЛЕНИЕ
БЕК 22.14 |
Т 76 |
УДК 512.81 |Введение .*... • 4
I Часть I. Грушш Ли
|§ I. Грушш Ли 5
Рецензента: § 2. Алгебры Ли 8
доктор физико-математических наук, профессор А.Т.Фоменко § 3« Траектории левоинвариантных векторных полей И
кандидат физико-математических наук А.А.Панчишкин § 4. Экспоненциальное отображение 15
§ 5. Сдвиги функций по траекториям 18
§ 6. Действия групп Ли .' ,.. 22
Печатается по постановлению § ?• Линейные представления групп Ли 26
Рвдакционно-издательского совета § 8- Автоморфизмы групп Ли 31
Московского университета § 9- Формула Маурера - Картана 36
§ 10. Основные глобальные теоремы о группах Ли 39
т § II. Вопросы неодносвязности. Накрытия 42
- z~ § 12. Подгруппы Ли 7... 44
Задачи по теории групп Ли и алгебр Ли. - М.: Изд-во МГУ, Часть 2 Алгебры Ли
§ 13. Нилыютентные представления алгебр Ли 47
ISBK 5-2II-0I844-3. § 14. Разрешимые алгебры Ли и их линейные представления 50
В пособии содержатся задачи и упражнения по курсу групп Ли §15. Представления нильпотентных алгебр Ли 52
и алгебр Ли, а также по геометрии симметрических пространств. § 16* Полупростые алгебры Ли 55
Для математиков разннх специальностей, физиков-теоретиков, § 17• Подалгебры Картава 57
студентов и аспирантов университетов. § ^-8. Метрика Киллинга 61
§ 19. Критерий Картана 63
§ 20. Структура полупростых алгебр Ли 66
§ 21. Простые алгебры Ли 69
§ 22. Дополнительные задачи 72
Часть 3. Симметрические пространства
§ 23. Понятие симметрического пространства 76
§ 24. Компактные группы Ли как римановы симметрические
пространства 78
077@2)—90 — заказное ББК 22.14 § 25. Инволютивные автоморфизмы групп Ли и связанные
ISBH 5-2II-0I844-3 (^сГ) Московский, государственны! с ними симметрические пространства 81
университет, 1990 Литература 84

ВВЕДЕНИЕ
Настоящий сборник задач подготовлен в результате многолетнего
преподавания курса "Группы Ли и алгебры Ли" для студентов механи-
механико-математического факультета Московского государственного универ-
университета. Он содержит задачи, которые неоднократно рассматривались
на практических занятиях. При подготовке сборника были использова-
использованы учебники и задачники, указанные в списке литературы.
Расположение материала по параграфам соответствует структуре
лекционного курса и учебника ?l5j , а также традициям преподавания
курса групп Ли и алгебр Ли на кафедре высшей геометрии и топологии.
Иногда задачи дополняют теоретический материал курса fl5j . Услов-
Условно темы, представленные в задачнике, можно разбить на три части:
а) геометрия групп Ли (§§ I-I2); б) теория алгебр Ли (§§ 13-22);
в) геометрия симметрических пространств (§§ 23-25).
В начале каждого параграфа приведен список используемых поня-
понятий. Их определения и основные связи между ними см.в учебнике [15].
В задачнике встречаются следующие стандартные обозначения:
ff{_ - поле вещественных чисел;
<С - поле комплексных чисел;
Н - тело кватернионов;
Q(n) - группа ортогональных матриц;
7l'(n) ~ группа унитарных матриц размера тг на тг ;
SO(n) _ группа специальных ортогональных матриц Aj cL&?A=- d. %
$ V.(n) - группа специальных унитарных матриц A, JL^tA— 1 ;
GL(n,K.) - группа всех невырожденных матриц над полем К^
A ;
- группа матриц A, d.e~i A = i
i>t> (п) — группа симплектических матриц;
алгебра Ли группы Ли обозначается соответствующей готической буквой,
например Q - группа Ли, а &?- - её алгебра Ли;если дается таб-
таблица умножения алгебры Ли с базисом е , ... _, е ^ , то выписывают-
выписываются только ненулевые коммутаторы ? е. , е • J .
Часть I. ГРУППЫ ЛИ
§ I. 1руппы Ли
Группа Ли, левый сдвиг, правый сдвиг,
левоинвариантное векторное псле, правоинвариантное
векторное поле.
I.a) Докажите, что группа SO(Z) гомесморфна окружности.
Какому многообразию гоюесморфна группа (P(Z) 16) Докажите, что
группа ВОСЗ) гомеоморфна проективному пространству JR.P3 .
в) Докажите, что на множестве всех прямых на евклидовой плоскости
Р. нельзя задать структуру группы Ли.
2. Докажите, что множества GrL(n,R) и QL(n, (С)являются
некомпактными группами Ли размерностей 71* и Z7iz соответственно.
3. Докажите, что множества S^fe>ei.)и SL(n, ^являются не-
некомпактными группами Ли размерностей nz— 1 и In*-— Z соответст-
соответственно .
4. Докажите, что множество SOtn) является компактной группой
Ли размерности n(ri-i)/Jl.
5. Докажите, что множество Itfa) является компактной группой
Ли размерности гг А , a SUfn.) является компактной группой Ли
размерности п г~ 1.
6. Докажите, что группа SO fa) линейно связна и совпадает
с компонентой единицы в группе ??(п) , а группа C?fn) состоит из
двух связных компонент.
7. Докажите, что группы 7/(п) и ?>2?(т?) линейно связны.
8. Докажите, что группа {тИ™, Н) состоит из двух связных
компонент, а группы GLfn, С) и $LG7, С) связны.
9. Вычислите образ мономорфизма у»; U(n)—=*- SO(% n) > возни-
возникающего при овеществлении т. ; <Cn—*-J?*~n .
10. Линейное преобразование ft', ut —*~ ft называется симп-
лектическим, если оно сохраняет кососимметрическое скалярное
произведение >^ (f^fc-—А' ?* ) » гдв ^Д> -'fn.' ?л> —¦>V'n)*E §L
Докажите, что множество симплектических преобразований образует
группу, обозначаемую через &ь(?г, Л)- Докажите, что группа
Sp(-?, &) изоморфна группе SZ f-2, ft)> которая гомеоморфна
произведению окружности на двумерную плоскость.
Iх-1402 5

II. Линейное преобразование А : С
называется
симплектическим, если оно сохраняет скалярное произведение
( аг
р
п-&< ¦?) • Докажите, что множество
симплектических преобразований пространства ч— образует группу,
обозначаемую через S/bC™, С) *
12. В обозначениях задачи & 10 докажите, что Sf> (n, *?) -
некомпактная группа Ли размерности п (Z72.4-1) .
13. В обозначениях задачи № II докажите, что ?>/>(п3С)- не-
некомпактная группа Ли вещественной размерности zn ( Z тг ¦+ ?) .
14. Докажите, что множество кватернионных преобразований
пространства Н ( Н - алгебра кватернионов), сохраняющих ска-
скалярное произведение ^~t ее. ?. , Л^^ ^ €ЕJhf> образуют группу,
* =у . * *
которую обозначим через рр(п) . Докажите, что эта группа совпа-
совпадает с группо$ линейных кватернионных преобразований, сохраняющих
форму R_e ZT а.. 6{ .
С1
15. Докажите, что множество Р/> (К-У является связной компак-
компактной группой Ли вещественной размерности п (Z7t -t-l). При отожде-
отождествлении// с (С группа Sfi^T?) вкладываетоя как под-
подгруппа в Я/. (Z тг) в виде матриц / «^ &_ ) . Эта матри-
ца является унитарной тогда и только тогда, когда bJr ~
Я Яг' + ВВ*= ?7.
16. Докажите следующие равенства : а) $!0(лк.)Г\ Sb(n)= fl)
( SО С2.7?) и ???>('Г7) рассматриваются как подгруппы в одной
и той же группе Ktzn) ); б) ?f>(n)= Sjb(n, С) С] ЪК^п);
,С)= Wn); v')S/t>(n,Jl)nK(*n)= гС(п).
с операцией ум-
ум17. Пусть Сг - множество столбцов
ножения X&Y = X + О. (X) Y , где
/е.х/>(хпВ)
О
<s-xf> (хп В) - экспонента матрицы х.
единица группы, а обратный элемент
В ; нулевой элемент
?. (X) имеет вид
Докажите, что для любой матрицы D определенные так операции
задают структуру группы Ли на множестве G .
18. Приведите пример группы Q- с такой топологией, что опе-
операция взятия обратного элемента непрерывна, а операция умножения
непрерывна по каждому переменному в отдельности, однако по совокуп-
совокупности переменных умножение не непрерывно (группа G" бесконечна).
19. Пусть Q - группа Ли. Докажите, что на касательном рас-
расслоении Т G имеется естественная структура группы Ли. Найдите
её алгебру Ли.
20. Докажите, что формулы (fo: §л ; ^:§3)Gо:%t- \: °13) =
^§5 §)
задают структуру группы Ли на проективном пространстве
Докажите, что зти формулы получены из операции умножения матриц
при естественном гомеоморфизме f'JftF'—**SOC), f(%: ^х:^г:&з) =
Докажите, что имеет место изоморфизм групп
7

§ 2. Алгебры Ли
Алгебра Ли, структурные константы, гомоморфизм алгебр
Ли, автоморфизм, коммутатор векторных полей, алгебра
Ли группы Ли, изоморфизм.
21. Пусть ul - произвольная алгебра Ли, на пространстве
OI&OL® Ot определим коммутатор формулой
где ov з <f^^Ol^ ,<'-/, Z. , a ?. -параметр. Докажите, что
ОС Ф OZ- Ф OZ. является алгеброй Ли относительно этого умножения.
22. Пусть асГ =¦</__, 0L- сг?г + *-- ^о . Определим ком-
комлей
мутатор формулами С в0' _, еп
*~ i%, ( 7п ~~7гг) °п+гп, о
гебра Ли (алгебра Вирасоро).
23. Пусть ' /Я ~ связность на многообразии М . Для
векторного поля X на М определим производную " -**>/*'*
СВЯЗНОСТИ QI формулой аС^Ю^- ^i? X^+
+ Л-'«71*- —0ZA 'If; + ф>Х '/V- + ^;Х -Пр~ ^ • —
= О и C^n^mJ^C'7
'о . Докажите, что
- ал-
алОпределим Z - форму С Г(К, У) равенством СГ(Х,У)ц ~
где
А> I векторные поля на М . ~Ba.aU*^^^ , где oU -
алгебра Ли векторных полей на /¦/ , а 52 а - пространство Z -форм
на М , определим произведение [(X Л) (Y /«)] ¦=
= (LX.YJ, cr(X,Y) + Ш)/- ~ %(Y) Я ) /докажите, что
°?9 х S 2 %_ — алгебра Ли относительно так определенного умноже-
умножения.
24. Пусть СА. - дифференциальный оператор в частных произ-
производных 0_и(х,у) = 1???м> + "Ъ*иГъ?> + и>*-« 6с,у). Оператор
называется
оператором симметрии для <Х , если t Z^, Ql=R.(x,y) Q_ .
а) Докажите, что множество €%- операторов симметрии образует
алгебру Ли относительно естественного коммутатора, б) Вычислите
в явном виде алгебру Ли &р . Покажите, что cum Of'— ^
Вычислите структурный тензор алгебры Ли (?? .
25. Вычислите алгебру Ли ^? симметрией (см.задачу В 24)
уравнения Щредингера для свободной частицы Q = i-?g +
=¦ б" . Вычислите
структур—
ис г — О % Докажите, что cum
ный тензор алгебры Ли <?? .
26. Покажите, что если Л - коммутативная ассоциативная
алгебра (с единицей 1 ), &? - алгебра Ли, то ^ <8> Л - алгеб-
алгебра Ли относительно коммутатора [X®а, У®вЗ— С
27. Пусть &f - пространство, сопряженное к алгебре Ли
&Y , B. Jj - структурный тензор алгебры Ли ^ в базисе
е еие^е77 - дуальный б
тельно базиса &
- дуальный базис пространства
ОС^ - координаты в ?f*^ относи-
Докажите, что умножения
9,
задают структуру алгебры Ли в пространстве всех гладких функций
С°° (^ ) на *%?* (здесь &?= cpTfszf- , * =С?сх,-~ ,хп)).
28. а) Вычислите алгебры Ли групп Ли СтЬ(^^иС) и (т1>(П, С),
б) Вычислите алгебры Ли групп Ли S?(n, &.) и SLC^j С) •
29. Вычислите алгебру Ли группы Ли /bOi77) .
30. Вычислите алгебру Ли групп Ли 2с(п) и SZ((n) .
31. Ортогональный оператор А ^~/-> ОB ж ) определяет комплекс-
комплексную структуру в Л , если А = ~~'/Е* • Докажите, что мно-
множество всех ортогональных комплексных структур в IR, совпадает
с пересечением группы Ли SOC-%^) с её алгеброй Ли -ло (%¦ **) .
32. В обозначениях задачи № 10 докажите, что алгебра Ли
~п, JR-) у группы Ли ?>?>CriJ /R) состоит из вещественных
Xi X ч, ) , где X1 ~ произвольная веще-
p
/
матриц
имеют порядок
1
ственная матрица порядка >? , а матрицы Лг^
?? и симметричны.
33. В обозначениях задачи № 14 покажите, что алгебра Ли
-i/> C-n.) группы Ли St> Cn ) состоит из комплексных матриц

X
порядка
вида
где ?; f - вомплексная
- комплексная симмет-
косоэрмитсва матрица порядка У1 ,
ричная матрица порядка Л. .
34. В обозначениях задачи J6 II докажите, что алгебра Ли
(к С) группы Ли Sp(n, С) состоит из комплексных матриц
-г,1 ^-гЛ , 1'Дв z?z - произвольная комплексная мат-
Jr-гЛ
рица порядка тг , а матрицы zr^ и гт3 симметричны.
35. Покажите, что пересечение группы Ли Zlf/V) а её алгеброй
Ли U-C/V) , т.е. 1((А/) П и (A/)t совпадает с несвязным объедине-
объединением всех комплексных грассмановых многообразий, образованных
комплексными подпространствами всех размерностей от I до
¦* — L Л//Z J в комплексном пространстве (С ^, т.е.
= (j C ()
в комплексном пространстве
(j QC (Л/, i)
*Ы(Л/) fl u(M)
сечение
матриц Я. , что 9 = — ?7 .
36. Докажите, что таблица умножения С
. Покажите, что пере-
совпадает с множеством таких унитарных
структуру алгебры Ли. Выпишите её
-=• О
задает в пространстве ^
структурный тензор.
37. В пространстве гС зададим умножение
и ie3,e#j = в/ еа , «, ^W f <, ^ f . В= (вg) - матрица
размера 2x2. Докажите, что получаем алгебру Ли. Докажите, что
эта конструкция позволяет получить любую трехмерную алгебру Ли.
38. Вычислите группу От автоморфизмов алгебры Ли
Найдите размерность группы Q- и её матричную реализацию. Вычис-
Вычисления выполните для следующих матриц:
- Hi);
здесь <^ €. (-1, о) (J (О, I), o<f><i, ^=
10
' 39. В пространстве цк зададим умножение таблицей
5 С вЛ; е>3 = & s- t 0^.3* ?*3~ G6 • Докажите, что получится
алгебра Ли. Вычислите структурный тензор этой алгебры Ли
Укажите алгебру Ли векторных полей на /2 , изоморфную
40. Найдите все векторные поля 2=. , такие, 4TOi./v,rJ-
у _ v, 2— + z/ _2_ v __ 'Э 3
¦ если л — -*- э аг ^ ^v и ; —
§ 3. Траектории левоинвариантных векторных полей
Траектории векторных полей и их свойства, траектории
левоинвариантных векторных полей, однопаргметрические
подгруппы, однопараметричесвие подгруппы как траектории
левоинвариантных векторных полей.
41. Приведите пример векторного поля на некомпактном много-
многообразии, траектории которого не порождаются действием какой-либо
однопараметрической группы преобразований.
42. Пусть У^ - однопараметрическая группа диффеоморфизмов,
соответствующая векторному полю Х- . Покажите, что
CY.XJ' ^frf(Y)-Y).
43. Постройте на стандартной трехмерной сфере /-> три ли-
линейно независимых в каждой точке гладких векторных поля. Найдите
в явном виде интегральные траектории этих полей.
44. Докажите, что множество всех интегральных траекторий век-
векторного поля V(x> —( Xх, —X0, Х3^ — х*-) , где ос =
= fr?x?***-*J eS3(M =*)<=:#' , гомеоморфно сфере S* .
Найдите связь с расслоением Хопфа ,5* —>• S —> S' . Как связа-
связано это векторное поле с кватернионами?
45. Найдите интегральные траектории векторных полей:
а) V ( { !
б)
в)
Г)
= { ос -у- Иг, х ч-у, Зх ¦+ г } j
и

46. Найдите левоинвариатное векторное поле на группе Ли
C) t отвечающее однопарамётрической группе вращений вокруг
а) оси <Усс ; б) сои Ojr ; в) оси О г .
47. Найдите левоинвариантное векторное поле на группе Ли
ЕГ(ЗУ движений пространства JQ , отвечающее однопараметри-
однопараметрической подгруппе сдвигов вдоль вектора а. €Ь JR. .
Ли ,S0C) c JRР , а проектив-
проективВ3 радиуса -9" , у которо-
которо48. Отовдествим группу
ное пространство Z?/33 с диском
го на границе склеены диаметрально противоположные точки. Вычис- \
лите на сЗ векторное поле, отвечающее левсинвариантному полю,
построенному по однопараметрической группе вращений вокруг оси с
направляющим вектором а'=- ¦{/;/,' J J .
49. На группе Ли ^(зу. движений пространства Jl найдите
левоинвариантное векторное поле, отвечающее однопараметрической
подгруппе 1
где
/• со
50. Докажите, что
ol (V) — 27
является однопараметрической подгруппой в /J» ОC) , где ф 5" —
= с Т., с* = <fjf -+с^ + сД ? ={CficZjc3 \-co-~sZ? . Выясните гео-
геометрический смысл этой подгруппы.
51. Вычислите однопараметрическую группу дробно-линейных
преобразований, в которую переходит при стереографической проек-
проекции однопараметрическая группа вращений вокруг оси:
и
—О
б)
х
+3?= о.
52. Пусть G - компактная связная группа Ла. Докажите,
что каждая точка х <S Q принадлежит некоторой однопараметри-
однопараметрической подгруппе.
53. Пусть
/
I
о
о
S0C) можно представить в
<9 О
Докажите, что любую матрицу
виде А — Оу L.0 Вр, Запищите однопараметрическую подгруппу
из задачи J6 50 в координатах ( V., О, Р).
54. Пусть JI —( с3 о% — с*} ' Докажите, что матрица
( - С2. Cj. О )
OfC)= (Е-+Л) ( е-^)^1- принадлежит группе &О{з),
где С = ( с± ; с^ j с 3.) . Какие ортогональные матрицы получают-
получаются таким способом? Запишите однопараметрическую подгруппу из
задачи J 50 в координатах
ся> с3) на группе
S
Докажите, что операция умножения в группе SOf3) в координатах
(Ci, Сз_г съ) имеет вид Ofc^) C?fcr) — Of с") , где
с" = ( С +с' -h Lc,c'j) / С' i— CC') .
55. Рассмотрим сферу S как множество единичных кватернио-
кватернионов f, , Ip f = i. . Докажите, -vsq Q,(-?)=/>o(co*7?¦+<'-*пт?)/>о
однопараметрическая подгруппа, где f>o - фиксированный кватерни-
кватернион. Пусть JR, — {'p\foefi'=O^. Поставим в соответствие каждой
точке Р <=- S преобразование t&f/O : ^—^ />^/>~1 > Докажите,
что ь# С/>) — линейное отображение пространства ^ , сохраняю-
сохраняющее квадратичную форму ^2^ и ориентацию, т.е. vfl-(/>) ?= SOfe).
Докажите, что построили гомоморфизм ffl- группы ? 3 на всю
группу ^>C?f3) . Найдите его ядро. Опишите образ однопараметри-
однопараметрической группы' « ( z?~) при этом гомоморфизме.
С
56. Рассмотрим на единичной сфере -О атлас, состоящий из
стереографической проекции из северного полюса /У и стереографи-
стереографической проекции из южного полюса /V . Пусть координаты в этих
картах (и, v) и (и , -ir) . Рассмотрим на S* векторное поде
Ж , заданное формулами:
12
13

JLи _(-&-*tu)(u*+ vA
B)
Г)
-1 e+?*¦-+•&*¦
***
1
и
4-h
46
:
и
и
U* ¦+ ъг*
¦f-ы -f-iS
¦Ы-СгХ^+г?-)
на
на S^/V'
59. Найдите на группе Ли
траектории левоинвариантного векторного поля
единице принимает значение -р~1
однопараметрическая группа движений
а) (х=х+ **'?, б) х' =
движений пространства
, которое в
, где
^
60. Найдите на группе Ли ^"ч-v траектории левоинвариант-
левоинвариантного векторного поля §Г , которое в единице принимает значение
а) ? ( ° Л 6) ? /* i) В)
-( ° Л-
на S -*/К Докажите, что алгебра Ли л>и.(я') группы Ли
состоит из
косоэрмитовых матриц
V
на
с нулевым следом.
§ 4. Экспоненциальное отображение
Экспоненциальное отображение, его локальная диффео-
морфнссть, каноническая система координат, матрич-
матричная экспонента.
'•¦¦ 61. Пусть X - элемент алгебры Ли 4-М^, ^\) группы Ли
качественную картину поведения интегральных траекторий ! <?? (g^ fl) . покажите, что если U-eZ? X
то
С-2
этих векторных полей на лЗ
57. Найдите на группе Ли
нтного векторного поля
а]
траектории левоинвариа-
, которое в единице принимает значение |
EL f
^-G fh
-У.
если
I
58. Найдите на группе Ли St?(S) траектории левоинвариант-
левоинвариантного векторного поля S" , которое в единице принимает значение
X > о
rj vi у \
то
^X)
**.
X)
у
Л.
а)
б)
62. Докажите равенство
14
15

/Л
О
1 О
?
ЬосЬ
есс.
о
63. Докажите равенство
о а с \
о & )=- со*, ъ
-е о)
такая, что функция о(-?*?/ ^^ ограничена при
69. Пусхь Сг - группа Ли с алгеброй Ли &Т . Докажите
равенства: 9
а) еооь/Х'ео^б^У
16
где
64. Докажите, что в канонических координатах закон умножения
имеет вид Vfcc, g) = 0?+% + 2.~ />^J+..., где многоточие оз-
означает члены порядка ^ 3 .
65. Пусть V и \v - подпространства в /^ Gr ( Сг -
группа Ли) такие, что \/Ф Vv '=- Те. G • Определим отображение
У: Т& G- —> G Формулой У (if, иг) = ъх/> -гг- «<^> -W ,
где V G V ^ ъсг& \Х/ • Докажите, что У является диффео-
диффеоморфизмом некоторой окрестности точки О€F T^ G sa некоторую
окрестность единичного элемента в группе Ли Q- .
66. Пусть f-'/i *¦ Сг - непрерывный гомоморфизм вещест-
вещественной прямой JR_ в группу-Ли Q . Докажите, что отображение
Ч3 гладкое.
67. Пусть V.' Н ^ (т - непрерывный гомоморфизм групп
Ли. Докажите, что отображение Ч3 гладкое.
68. Пусть Сг - группа Ли с алгеброй Ли C^ . Докажите, что
если Хг I €г О? , то для достаточно малого ?~ имеем
*Y=**/>(*(X+Y) + °f*VJ , где
О (~?у - гладкая &? -знщяная функция переменного ^~ ,
6)
где о A? ) - гладкая ^ -значная функция, такая, что
о (¦? ъ) / ^ 3 ограничена при -? —> О .
70. Пусть Сг - группа Ли с алгеброй Ли %Г . Докажите, что
дифференциал экспоненциального отображения алгебры Ли Of в (?
равен
1 - е
— ас/v
отождествляется с касательным прост-
простX €=~ <^ t здесь
ранством 7~у fi? '
71. Докажите, что отображение всс/> является гомеоморфиз-
гомеоморфизмом в окрестности точки А тогда и только тогда, когда собствен-
собственные значения оператора ас(' \/ отличны от
72. Докажите равенство
Х ) ()
где
= о
73. Пусть
где с (~6) - некоторая кривая в матричной алгебре Ли
жите равенство
. Дока-
74. Докажите равенство
75. Докажите, что 6 "~ ^ ~~ = С
при подходящем выборе матриц С ' С " •
76. а) Докажите, что если Jr~ - кососимметрическая матрица,
то g,1* - ортогональная матрица, б) Докажите, что если ^ -
восозрмитова матрица, то е - унитарная матрица.
77. Пусть /г - нильпотентный эндоморфизм конечномерного
векторного пространства V над /? . Положим -0п (i -t- yY) =
2-1402 I7

n
(конечная сумма), а) Докажите, что эндо-
также нильпотентны;
морфизмы 0пA + Л/) и е.М— У
б) докажите равенства ^? е/"= А/.
78. Вычислите &Х/> <z.dуг для алгебры Ли {¦€*,..., €SJ
с соотношениями С 63 e^-j = е^ С ^^„ &s-J ~ &я.
79. Вычислите &ос/> ас(^ для алгебры Ли /€».,,. е^ /
с соотношениями [ е< €>, I — р, Г €* е, Т — %= ^
j-> *•-*" *- з ? •- а^^-з^— <- у s
80. Пусть кк^ - трехмерная алгебра Ли над ?- , заданная
на векторном пространстве (CH+~C)^+<CY при помощи соотношений
?X,YJ = ^ ?//,Х] = 2Х, LH,Y1 =.-ZY . Докажите,
что если V" - группа Ли о алгеброй Ли 'Х^. , то
А/ размерности У1 . Предположим, что [ У.С,Х/ц~ О в некоторой
окрестности при любых -Сf Д . Докажите, что существует такая
координатная система ( эс1, . ¦, аг*1) , что Х^ш совпадает с
¦х ' С с -5 s ) в координатной окрестности и
для векторного поля
85. Вычислите отображение
вД-
86. Вычислите отображение j &" для векторного поля ^ в JR.
87. Вычислите отображение <р^ для векторного поля ^ в
= охр
(
X
cA
для
§ 5. Сдвиги функций по траекториям
0
Отображение ^ в пространстве функций, групповой
коммутатор, коммутатор экспонент, коммутатор векторных
полей.
88. На группе оОC) найдите левоинвариантное векторное
поле, отвечающее однопараметрической подгруппе ео^б ~?§ для та-
таких § , что ортогональное преобразование ^сс/> f имеет вид:
81. Пусть
ГРУППЫ (г , & ^=
- две кривые,, проходящие через единицу
_, ^ = iC ^' f&) . Докажите, что
«/7^
82. Пусть I7, 7 - векторные поля,
Докажите формулу Г **#, /?J = ^/^ Г7
83. Пусть s, Y - векторные поля, У^^, *г*- - соответствую-
соответствующие им однопараметрические группы преобразований. Докажите, что
? °1, §1— О тогда и только тогда, когда преобразования f^
коммутируют с преобразованиями ^^ .
- гладкие функции.
в) г^ - А.
84. Пусть
- линейно независимые вектор-
векторные поля, определенные в некоторой окрестности точки/многообразия
18
89. Материальный шар зажат между двумя параллельными плос-
плоскостями (касательными к нему). При движении плоскостей (сохраняю-
(сохраняющем параллельность плоскостей и расстояние между ними) шар враща-
19

ется без скольжения в точках контакта. Рассмотрим все такие пере-
перемещения шара, индуцированные движением верхней плоскости, при ко-
которых нижняя точка контакта шара описывает замкнутую траекторию
на нижней плоскости, т.е. точка контакта возвращается на прежнее
место. Какая чаоть группы SОC) может быть получена такими
вращениями шара (фиксируются повороты шара после возвращения в
исходную точку)?
90. а) Докажите, что ^г[^&]~0, где [с93 Bl-J?8-Bj?.
б) Докажите, что если it X = О , то оператор X можно пред-
представить в виде X = t <&3 SJ . в) Пусть At,..., A^Bj,...^ S^
- произвольные линейные операторы. Докажите, что сумма
^~. С Ai В* J представляется в виде коммутатора [A, В] .
г) Докажите, что если Z1*" У = О г То существует такой базис, в
котором все диагональные элементы матрицы Q, оператора SI равны
нулю.
91. а) Докажите, что любые два вращения на 180° в группе
SС? С3>) сопряжены, б) Докажите, что любое вращение
можно представить в виде Г= Т^ 7ГЛ
, где Т±> Т^ - повороты
в) Докажите, что любое вра-
врана 180° относительно некоторой оси.
щение Т€r SOC) есть коммутатор.
92. Пусть (т - группа Ли, алгебра Ли которой имеет базио
&х3--, е с и коммутационные соотношения [ €у, ^л.1= @з
L e*> езЛ — *V ' ie*> е^ = &е • Предположим, что -г^.., х
- координаты на пространстве fi*
дуальном к &¦*,
, оопряженном к Of в базисе,
рассмотрим две функции
)
очитать, что d-f, cCg ?? &р .
малых второго порядка (при -?
Отождествим <%?* с <%? • Тогда можно
& . Вычислите с точностью до бесконечно
? о ) коммутатор
где есс?> : &Y—=?> От - экспоненциальное отображение.
93. Пусть Сг - группа Ли, алгебра Ли которой имеет баэио
&i л ... <? g и коммутационные соотношения L ^л, ^]- ?j,
LeJy е'ъл - е9 , Lei,e9]~ е^ , ie^^e^j^ е6. предположим,
что Xtj..., x ?• координаты на пространстве %?*> сопряженном
к ^ , в базисе^ дуальном к €?*,..., е^ .На
две функции ?(эс± ,..., х<т) = 2. х± осс — 2. ос3 х^
20
Отождествим <2f с ~р . Тогда можно считать, что dfj^
Вычислите с точностью до бесконечно малых второго порядка (при
ТЬ ~* О ) коммутатор
где €^& / Of —> Сг - экспоненциальное отображение.
94. Для комплексной матрицы А — (Яу) положим
= /^/луТ*7. Предположим, что //, Е><? Шп) , ЦЕВ$<$,
Докажит^, что если коммутатор /\~iB~iA & коммутирует с /\ , то
95. В группе SO(^>) вычислите с точностью до бесконечно ма-
малых второго порядка (при. ~&—> О ) коммутатор
О
А =
96. Вычислите оператор TL^f § ^F-sv У^-ёТ*"» ° точностью до
бесконечно малых второго порядка для следующих полей: а) на ^
; б) на Л
- такое гомоморфизм группы верхне-
97. Пусть /С -'
треугольных^ матриц
ЧТО г(пЛа °§~T((?)F(x) "" ДЛЯ НвКОТОрОЙ ФУНКЦИИ
F ф consf и для всех лг^-^"*", ^ ё G , где
пространство, сопряженное к алгебре Ли ?%1 группы Ли бг
шите все такие гомоморфизмы рС .
98. Пусть Vv - каноническая система координат в окрестности
единицы в ?: Gr группы Ли Q . Построим каноничеокий атлас на
Q- , разнося окрестность "NX/ по всей группе Ли (? о помощью
]
Опи-
Опи2х-1402
21

левых сдвигов. Координатной окрестностью точки g- е (г будет
Lg. (W) , в точках, увлеченных с помощью левого сдвига Lg.
из точки aceW , сохраним численно те же координаты, что и в
канонической окрестности А^/ . Докажите, что канонический атлас
на (j задает аналитическую структуру на Q
99. Докажите, что в каноническом атласе (см.задачу № 98)
операция умножения 2 — оси и операция взятия обратного элемен-
элемента 2- = хГ1 являются аналитическими отображениями.
100. Пусть &Лг...у е^ в С^- - базис алгебры Ли группы Ли
Q- , построим соответствующие левоинвариантные векторные поля
-X1 -X п на группе Ли Q . Через со1*" обозначим базис
двойственных линейных дифференциальных форм (т.е. oJ^(Xi)= %г~)-
Докажите, что в канонической системе координат (связанной с бази-
базисом е^ _, ... _, 6 п S С?? ) имеет место равенство
где W» (х) - координаты формы со
§ 6. Действия групп Ли
Действие группы Ли, орбита действия, стационарная
подгруппа, фундаментальное векторное поле, отвечаю-
отвечающее действию /R_ , восстановление действия по фун-
фундаментальному векторному полю, каоательный гомомор-
гомоморфизм, дифференциал действия, восстановление дейст-
действия по дифференциалу, инварианты.
101. Пусть Or ~ «-> BC) г у\ _ пространство вещественных
симметрических 3x5 матриц со следом 0 , <j(x}= Я ягу J
Найдите все орбиты этого действия и стационарные подгруппы точек
зсе М .
102. Через -X. / Сг обозначим множество, элементами которо-
го являются орбиты действия группы. Ли Сг на уу . На Л/Сг
определена фактор-топология (множество 1L С^- Х/бГ - открыто
тогда и только тогда, когда 7г ~* ( 1Л) открыто в X , где
tf : X—^* X/ Q - естественная проекция). Докажите, что
проекция 71 - непрерывное открытое отображение. Пусть (J -
компактная группа. Тогда: а) пространство X/ G~ хаусдорфово;
22
группы Ли
на wi. ( 2С>
б) л '¦ X ^ s\ / Q - замкнутое отображение; в) проекция
7г : X —*- K/Cr ~ собственное отображение, т.е. прообраз
любого компактного множества компактен; г) компактность прост-
пространства JC равносильна компактнооти пространства X / Сг ;
д) локальная компактность пространства Л равносильна локаль-
локальной компактности пространства X / G~ • Рассмотрим действие
Сг , отвечающее векторному полю Cos^ar, -j-1/7 cc)
') и действие группы ~? <^- IR- на плоскости (ограни-
(ограничивая построенное дейотвие на подгруппу 2Г<^ JFL ). Докажите,
что фактор-пространство JR / ~2L нехаусдорфово.
103. Найдите группу всех дробно-линейных преобразований дис-
диска оЭ^ =¦ {-2-^С / \ъ\< 1 Т в комплексной плоскости. Докажите,
что эта группа изоморфна группе S/L(?, R)/ Z^ , а также группе
всех преобразование, сохраняющих форму с{эс*-+ dy^— с?^я в про-
пространстве /ft (x, у, ?¦) . Установите связь с геометрией Лобачев-
Лобачевского .
104. Ортогональный оператор
плексную структуру в пространстве
у определяет ксм-
если dp*"— -E1. Дока-
Докажите, что множество М всех ортогональных комплексных структур
в IR. является гладким многообразием, на котором транзитив-
но действует группа SO(*-n) по фор]
те стационарную подгруппу элемента
гомеоморфно
жена в
О —
^ . Найди-
Докажите,что
Гдв
"^ )
° /
U(n) стандартно вло-
ЁУ
c в
\В С,
105. Докажите, что каждая следующая система уравнений опре-
определяет однопараметричеокую группу преобразований. В каждом слу-
случае найдите фундаментальное векторное поле и орбиты: а) X —Clx.,
V '' — У / А • г<Л ~r'=.CL/?ZX Ч''•= О- п Ф ( Ж /2 —
целые числа); в) х'— j
106. Найдите действия группы Ли
векторные поля:
зная фундаментальные
Найдите орбиты этдас действий.
107. Найдите гомоморфизм
алгебры Ли (?f группы Ли Сг
23
? в алгебру Ли векторных полей
движений плоскости:

x! * =.
= a*
ос
— X'
3 — V'
a
отвечает стандартному действию группы
на плоскости
108. Найдите гомоморфизм в алгебру Ли векторных полей алгеб-
алгебры Ли <2? группы Gr вращений пространства JR , отвечающий
стандартному действию группы G- на fft .
109. Рассмотрим отображение «L пространства IR- (х^у,^-)
в множество матриц размера^* 2. ; /fc,y,2)=^ I -= /
Пусть " /-> и B), ах. ) t определим преобразование &(&)'• Щ-^* R.
формулой
-г'
а) Докажите, что эта формула определяет линейное отображение
пространства ffl . Найдите матрицу преобразования ОСУ) .
(У) () & ( Г) Ute()
рр ffl йд рцу рр
б) Докажите, что &(ГХУ*.)= 6(УХ) & ( Г*) и dUte(*)? О t
т.е. получаем гомоморфизм О: S/i(z^ R) —*¦ G-L ( 3^ IR_).
в) Докажите, что О (У) сохраняет квадратичную форму -дсг+у^2а
в М- , следовательно ct&i Q(X) = zb. 1 . г) Докажите, что
<Le~? 6(У)= + 1 , т.е. имеем гомомофизм <9.' SLB, $)-*-S0{2f 4)ф
д) Докажите, что &(У) созраняет передний световой конус
— dc^-i-y3-— г*- — О ? ^ ^ О .т.е. получаем гомоморфизм
группы SLk2-^ R) в трехмерную группу Лоренца SO ( %-, ¦?) •
е) Вычислите ядро гомоморфизма & -' SLB,#l) —*SC?OB, 4).
ж) Докажите, что гомоморфизм О является эпиморфизмом и мы
имеем изоморфизм групп ??(&, JR) /(±B) ^ SО0 B, d ).
НО. Рассмотрим в псевдоевклидовом пространстве ft ^ псевдо-
псевдосферу -ac^-f-y^f- Bz — — R* и стереографическую проекцию из
точки (—R.'jO'jO) на плоскость х = О .а) Докажите, что пово-
поворот на угол *? относительно осей Охг Оу, О s- переходит
в дробно-линейное преобразование плоскооти. Найдите его коэффи-
коэффициенты через угол V . б) Докажите, что любое преобразование из
группы S (Эо (-2, ±) при стереографической проекции переходит в
дробно-линейное преобразование из группы S ltd, 1). в) Докажи-
Докажите, что отображение f- S00B,±)^> S"K(l,l)/(±?) задаваемое
24
стереографической проекций, является изоморфизмом групп.
111. Пусть У <= SL (Zj JR.), рассмотрим действие
—?> ffif (см.задачу Л 109). а) Докажите, что если i - неподвиж-
неподвижная точка преобразования У , то (°>> * > ^-) - неподвижная
точка отображения &(У) . б) Пусть П = { t+i *? €(С{ \ У О}
- верхняя полуплоскость, Р - гиперболоид —х^-^-у1-^- 3*.
Определим отображение Г]Г': П -^ J~" так: для любой точки нГё. Г1
выбираем If € SZ(-2? /Я) так, чтобы Y(с) — i*s~ и положим
Т'(W) - ( ос; yj, г-3 =• О(?) ( о J * ', о) . Докажите коррек-
корректность этого определения, в) Докажите, что Т1 задает гомеомор-
гомеоморфизм /7 на Р и что отображение У переводит действие
группы Ли S?B, JR.) на П с помощью дробно-линейных
преобразований в действие &(У) , ?€: S/. (%-, JR.)t на f .
112. а) Докажите, что конечная группа не может эффективно
действовать на проотранотве Д" . б) Пусть X - компактное мно-
многообразие и его эйлерова характеристика ^ (X) 7^ О . Докажите,
что всякое непрерывное действие на X компактной связной группы
Ли G не является свободным действием. Выясните, что происходит,
если группа G несвязна.
¦ ИЗ. а) Пусть G - группа Ли, действующая на многообразии
М . Докажите, что орбиты действия группы Ли G- на /Ч являются
иммерсированными подмногообразиями, б) Пусть Q- - компактная
группа Ли, действующая на многообразии М . Докажите, что мно-^
жество Gr - неподвижных точек является гладким подмногообрази-
подмногообразием в М .
114. Пусть G - компактная связная группа Ли. Докажите,что
для любого элемента ^€^ ^f* отационарная подгруппа элемен-
элемента ? в коприсоединенном представлении связна.
115. Пусть 6г - компактная группа Ли, действующая на много-
многообразии М , а Н - замкнутая подгруппа в Q . Обозначим
черезМ и множество точек, стационарные подгруппы которых есть
И , т.е. Мн~ {?с^/Ч I (гх =Я } . Докажите, что
Мf_i - подмногообразие в J4 и каоательное пространство
Т* ( Мн) к А/ /у Б произвольной точке ас
Н- неподвижных векторов в 7^. /Ч
116. Пусть конечная группа Ли Q- гладко действует на глад-
гладком многообразии М . Докажите, что если действие группы G
свободно, то фактор-пространотво М/ Q является многообразием.
25
р
А/ „ состоит из

117. Орбиты группы w" разделяются инвариантами, если для
любых двух векторов зсл у €" V , принадлежащих различным орбитам,
существует такой инвариантный многочлен ? , что ?(х.У^ ^(и-) т
Докажите, что орбиты компактной линейной группы, действующей в ве-
вещественном векторном пространстве, разделяются инвариантами.
118. Исследуйте действие группы Ли G~L (fl, Я-) на простран-
пространстве ^п симметрических билинейных форм на ^ ^ и
покажите, что орбиты описываются с помощью ранга и индекса формы.
Докажите, что фактор-пространство QL(ti, И)/О(п) диффеоморфно
открытому выпуклому конусу в fontn+D/z >а твм самым и
пространству ff\.
119. Действие группы Q на М называется собственно разрыв-
разрывным, если для любой точки х& М найдется такая её открытая
окрестность V , что^^У) П $г(\/)~ 0 для всех j^'e Q- ,
Я- ^= ?^ . Приведите пример такого действия без неподвижных то-
точек бесконечной циклической группы ^L гомеоморфизмом двумерного
многообразия М , что орбита каждой точки - замкнутое дискрет-
дискретное подмножеотво, но действие не является собственно разрывным.
120. а) Пусть группа Q- действует без неподвижных точек на
сфере ?п . Докажите, что каждый элемент порядка два группы Q
принадлежит её центру, б) Докажите, что группа А3 перестановок
на трех элементах не может действовать на сфере gi без неподвиж-
неподвижных точек.
§ 7. Линейные представления групп Ли
Линейное представление группы Ли, линейное представле-
представление алгебры Ли, точное представление, присоединенное
представление алгебры Ли.
Пусть
О
1
}¦
}¦
Докажите, что (J- / Сго не имеет точного линейного представления.
26
122. Докажите, что Г* является линейным представлением груп-
группы Ли IR , и найдите такую матрицу </г , что
а)
б)
«Hi ?).
Найдите векторное поле ^ на их. , отвечающее действию Г .
Укажите интегральные траектории поля ^ .
123. Пусть jo: ?-*¦ GrL(V) и б"; G —^QlCvV) _ представ-
представления группы Ли (j- . Докажите, что следующие отображения являют-
являются представлениями группы Ли G- : а) прямая сумма jo$<o .' (¦?->
—> (?/ (v®Vv ) , (р Ф б') (?) ~ J-3 (?) Ф в" (&¦) ', б) тензорное произ-
произведение Р®&"; G—^*~GL (V&W);(Р® ^(З-) —Р(9) ® ^~(j&) '
в) контра градиентное представление Р*"; Q -^ GL (V*),
У \$) — ' J'f-^f) / , V - дуальное к V пространство. Вычис-
Вычислите соответствующее представление алгебры Ли.
124. Пусть /*<¦ - действие группы Ли G на многообразии Ji .
Предположим, что то ^ /W - неподвижная точка, т.е.
лх.С?) т о — ~>гг о для воех Q ? G . Тогда отображение
У^; Q- —=»• GL (l~m М) , определяемое формулой *r(#) ~
— djuC?) \rY M • является представлением группы Ли 6г •
125. Вычислите векторное поле на &? , отвечающее коприсое-
диненному представлению группы Ли Q- ( алгебра Ли Of отвечает
группе Ли Сг ). •
126. Пусть Gr ~ SK B-) ,Н - пространство воех однород-
однородных многочленов <f степени -ZJ, у' — о, 1/-2л 1 >
а
- представление
.. <С . Покажите, что
где $~ ~ [ ir F) , ^
группы Ли G- . , . . , .
и (i о\ v _ /о ±\ у - о о)
127. Элементы П~у0 _J;/ ~^о о)г ' ~ \1 О}
образуют базис в алгебре Ли 6^.C., С) , удовлетворяющий комму-
27

ментах базиса HJ X,
(И) =
тационным соотношениям С Н^ XI — Z X , [H^Y] = — Z У
? X, YJ = ¦// • Пуоть ^^ Z^~ • Расомотрим линейное отобра
жение 7Г.": 1-СB, С) —=»• 0f^($.+l,?) , определяемое на эле-
элеH X У
где Яу -(/(к —J + 1) , О ^ ^ ^ к . Докажите, что отображе-
отображение /?~^ является неприводимым представлением алгебры Ли
!¦?B. , С) в пространстве С .
128. Пуоть Ну Л, J - базис в алгебре Ли 3-е к, С) из задачи
Л 127, а 77 - некоторое представление в вонечномерном векторном
пространстве V . Предположим, что гг ф О - собственный век-
вектор для//(//) , TifM)^ =ЛгГо f % <е С .а) Докажите,
что при /? €Г ~Ж1^ справедливы соотношения
Если
1)
б) пусть Я(Х)ъ-о = 0,^^ 7гС\)'"гг , < - о, у, .
Докажите, что ^(9С) гь = -с(^-1 + ?) г^_у ( i
^•о =• ° , ^О-У ^ ° > то Я - с\ - У .
129. Пусть & - неприводимое представление алгебры Ли
*¦?( 2, €2) в комплексном векторном пространотве V размернос-
размерности к. ¦+¦ i . Докажите, что Я" эквивалентно -?~^ из задачи
№ 127, т.е. оуществует такой линейный изоморфизм jf-.'У—*- С ,
что 2% СЮ^-тг^^-ТГСХ) -V- для всвх гг<=Л/, Хе ^С^ С).
130. Пусть Aj Y, П - образующие для 4<?ы, О из задачи
J6 127, ъ 7К - произвольное конечномерное представление алгебры
Ли *?B-, ?) . Докажите, что
28
cm
У; // - базис алгебры Ли
С)
а Я~
13. Пусть
произвольное конечномерное представление алгебры Ли ,
в векторном пространстве у .а) Докажите, что эндоморфизм ^
полупрост ж его собственные значения целочиоленны. б) Пуоть V^
собственное подпространство оператора ^(/-/) , отвечающее собст
венному значению Z ; тогда докажите, что имеют место включения
7c(X)
(X)
ет
П
132. Пусть ff - представление вещественной алгебры Ли
в вещеотвенном векторном пространстве V - Пусть Я"*~ - индуци-
индуцированное им представление' комплексифшеации О/С в комплексифи-
V векторного пространства V
кации
т.е.
Докажите, что если м неприводимс, то Я* либо неприводимо,
либо является прямой суммой двух неприводимых компонент.
133. Рассмотрим коприооединенное представление Лес группы
Ли Q , отвечающайалгебре Ли С1 , (Ас/?#)(х) = -?(Ad _, *) ,
где а €г Сг , f^ Csf , эс ^ йг . Докажите, что аннулятор
Ann. (?) элемента <? <? &* * общего положения в <ЭУ* коммута-
коммутативен, где Ann (/)= {*%<??/ ad* / - О / f at/* -
дифференциал представления Аа.
134. Найдите аннулятор ковектора f-€ ty общего положения
в *У*ддя коприсодиненного представления группы Ли бг , ассоции-
ассоциированной с алгеброй Ли OZ с базисом €^ _, ... _, е^- и соотноше-
соотношениями С el3ezl = е3 , Л eyj e^-j = е^ с е^^ e3j = е^
135. Найдите аннулятор ковектора ^^ <^ общего положения
в ^^ Для коприсоединенного представления группы Ли, ассоцииро-
ассоциированной с алгеброй Ли, имеющей базис &±>..:> ^с и соотношения
29

136. Докажите, что группа SOf-З)
стве решений уравнения "? \ -t 1^*л ~f~
¦Щ
предотавлена в простран-
= о по пра-
137. Докажите, что группа ЬО( 3)
стве Нт решений уравнения
представлена в простран-
т решений уравнения а~"*~ -+- 7^ г ~^. "Э •? __ q
в пространстве ///г? однородных многочленов степени л>7 . Дока-
Докажите, что представление группы S??f3) в пространстве ///>?
неприводимо. Вычислите размерность пространства /~//п . Докажите,
что имеет место разложение в прямую сумму // ^ -=
138. Пусть группа /б> <^f &) действует по тензорному закону
в пространстве I/ всех комплексных кососимметрических тензоров
0Ll<f ( l,J — "^ -^^_?d ^ ^ • Это действие оохраняет эрми-
эрмитову форму ^Z av «v , поэтому О(S 1/(&)) является
подгруппой в группе SIC (/V) всех унитарных преобразования
пространства 1/ с определителем равным единице^, р .* f)
- ооотввязтвующев представление, /W=
централизатор C(^f)={h^f(SZ^(<r))\
. Вычислите
= f> g J элемента
? в группе Ли у (Sif-fo)) . Пусть €Xj...j € ^ базис алгеб-
алгебры Ли группы Ли J> (Sit D)) по модулю алгебры Ли централизатора
С/>; . Пусть (/I,B)= t*/IB, A,B<~cyifC6-J. Вычислите
139. Пусть группа Ли Su.C) действует по тензорному за-
закону в пространстве V комплексных симметричеоких тензоров
Л lJ ChJ— 1; 2., 3 ) . Это представление сохраняет эрмитову
форму 2l1 CL '<*' аъ' , поэтому P(SUC)) является подгруппой
в SU(f) . Пусть^-^We< '^jW^rf^^V
Вычислите централизатор <-(?) =
30
элемента ^ в группе Ли J3 (Stlfe)) . Пусть С^ ..., fm - базис
алгебры Ли группы Ли у>(ЗЪ((Ъ}) по модулю алгебры Ли централиза-
централизаC( . Вычислите detII (.-pi, fij)/l где ? q~ie
р р
> где ?. -q~iet-Q—
тора
s ^
140. Пусть группа Ли SolB.)*?>2(C) действует в простран-
пространстве всех комплексных тензоров «У^ /— У, ^ < = У,3, 3 , S ltd)
действует на первый индекс, a S ЬСС 3) на второй индекс по тен-
тензорному закону. Это представление J> сохраняет форму
CL Ji О77 , поэтому j>(SK/b)x SKC)) <
Вычислите централизатор ^)^j^
элемента ? в группе Ли fCS'Ufe') x S'2^^3)) щ Пуоть
?*, ..-, €»у ~ базис алгебры Ли группы Ли j>(Sitfe) X
по модулю алгебры Ли централизатора С(?) • Вычислите
Ы II (/г, /у) I/ , где (А, В) = tt Ав} S
§ 8. Автоморфизмы групп Ли
Автоморфизм группы Ли, внутренний автоморфизм,
присоединенное представление группы Ли.
141. Пусть g - матрица ?z-ro порядка. Обозначим через
~о" матрицу, элементы которой комплексно сопряжены элементам
д , а через д> ^ ?
матрицы
так, что
отображения
142. Пусть 6г - пятимерное многообразие
- матрицу, транспонированную к ?
¦*? — %? ' ' Д°кажитв» что
5> (S7^)** - внешние автоморфизмы
с умноже-
умножением
^л>-
^ - фиксированное иррациональное число, СХгСг.
Тогда (^ - группа Ли. а) Для -5., i?<S JR. определим отображение
<5^ : Cr ~> G . Формулой <^1г^ Сс^Сг.г^Се^^С^^,
г) о Докажите, что с/
- аналитический изо-
31

Z. ,то
морфизм. б) Докажите, что если t= h-*> ¦+ An , ?г
совпадает с внутренним автоморфизмом'
O-* (о, о, лч-п) (с,, с, г) (О, о, ¦i+n)
в) Через А*? обозначим автоморфизм d о1+? алгебры Ли ^
группы Ли Q- . Докажите, что воли -i,r>^o, ?п-^ ?о, n~* =*° , то
А*„4п -> A*ot. , п —><=у> , в Аи? С'<??) . г) Пока-
Покажите, что Ao.t/ь ^ -Z?(?>?) . Докажите, что подгруппа
E?Y$f) не замкнута в Аи/ ( &?') .
143. Пуоть Q =
_ унитарная группа, ?лл,¦¦,/??
ур ру, лл,,/??
- вещественная диагональная матрица с одинаковыми первыми 77
элементами, одинаковыми следующими nz элементами и т.д.
(n^n^-ir ... + п ? =. П) ,4 =?Tn^t_>nfU(n) . Вычисли-
Вычислите отационарную подгруппу элемента А в присоединенном представ-
представлении группы Ли и(п ) . При каких значениях П± , /г ^
получим орбиту, диффеоморфную комплексному проективному простран-
пространству СР ?
144. Пусть A e-sofesz) есть (ом. J§ 143)
А =
О
Тогда орбита точки п в присоединенном представлении гомеоморф-
гомеоморфна пространству S О(лп) / У-(п^) X... х 2 "
145. Докажите, что еоли (см. J6. 143)
\О О о/
то орбита этой точки в присоединенном представлении группы
р
SO0>-n + J) гомеоморфна
146. Докалите, что ерли
x ... х
?) .
32
А =,
О
то орбита этой точки в присоединенном представлении группы Sf>(n)
гомеоморфна ^/>(t7)/U(nx) х ... X 2^(п$. ) .
147. Определим коприсоединенное представление Ал группы
Ли Q формулой (A4*f)(x) = f(A<trt x) ,тде/^§Г*,
Ч. €: G- , * 6- <2?- , ty*^ пространство, сопряженное к ал-
алгебре Ли Q2 группы G . а) Докажите, что Ае/ - линейное
представление группы Ли Q . б) Вычислите дифференциал представ-
представления Act . в) Докажите, что сфера S является орбитой ко-
присоединенного представления, укажите соответствующую группу Ли.
г) Докажите, что проективное пространство JR.P не является
орбитой коприсоединенного представления никакой группы Ли.
д) Докажите, что IR-P не является орбитой коприсоединенного
представления никакой группы Ли. е) Докажите, что сфера 3 п при
п ~^s 3 не является орбитой коприсоединенного представления
никакой группы Ли.
148. Пусть (jt - группа Ли, отвечающая трехмерной алгебре
Ли ty3 , Ad*- коприсоединенное представление группы Ли Q3'.
Опишите на пространстве (fy3)* функции, постоянные на орбитах,
представления Ad.
149. Опишите все орбиты коприсоединенного представления
группы Ли, отвечающей матричной алгебре Ли
150. Опишие все орбиты коприсоединенного представления груп-
группы Ли аффинных преобразований прямой ff{ . Найдите все орбиты
присоединенного представления этой же группы. Убедитесь в том,
что орбиты представлений Act и Ad различны.
151. Пусть У' Cr^Au/ci/j - представление группы Ли Q в
векторном пространстве V" , a f': &/—?¦ ?F/ic/(V) - индуцирован-
индуцированное представление алгебры Ли, ,5"= ,(?-Xj>V - полупрямое произве-
произведение, 7"= <?? Фр V - полупрямая сумма. Умножение в «S"
задается формулой (#±i«x)B±,u*)=zCi22,ui+SC?*)u*) ' а ком~
мутатор ъТ - формулой [(fJ,4),(&,4)ML§f,%bff?j)t?-:fY&)zrjL).
3-1402 , 33

а) Докажите, что и - алгебра Ли группы Ли S . б) Покажите,
что присоединенное представление вычисляется по формуле
и) ш
где
. в) Покажите, что коприсоединенное представление вы-
числяется по формуле [ Ad(ct f.-i] (V,a) = Ad(<iUY-i (V, a) =
(Ad* (LT a , У?ф а) , где /?? </' I u e V ,
(Ad* V+(fLT(M) a , У?ф а) , где /?? </' I u e V ,
? Of , a U €- V , отображение Ри : &/ —> V задается
рмулой^ри7^^^#) U и (fruf'^Cf*, ~J> (<?'*) * ) ¦
152. Опишите инволютивные автоморфизмы классических групп
ли SUCn), SO(n),
153. Пусть
- алгебра Ли, порожденная векторными полями
jfc * с координатами зс, -V и„ гг •
= Ъос
^ -+ЗХ
¦Ь
Докажите, что преобразование "°~ , индуцированное отображением
рр ур
* . заданным формулами х ' =
X -4- -^ У s
является автомор-
автоморфизмом порядка 3 алгебры Ли
154. Пусть Gr n - матричная группа Ли
(о ° ЭСо \
«* О „ х
о
е
О
— гг
34
где (хо,..., аг^с/, ,...,</« je^t
Покажите, что отображение rS : Г^», »
,xn_J}uo, ut,..., Uy,-±) является автоморфизмом группы Ли
= - их— .. — и
т.е.
uo = ~
(гп (порядка f
155. Найдите общий вид автоморфизмов: a) JR. —* R ;
б) ?х-ъ Т1 ; в) Тх-^ R* ; г) Тл-+ Тх , где /R* - дейст-
действительная прямая, 7iX= /-г-е"?Г/ /?/ ^^ |~ окружность.
найдите группу внутренних автоморфизмов.
157. Группу движений ?Г(п) пространства $\, представьте
как подгруппу в Q-L (n-f-Jj JR.), образованную матрицами вида (¦& ^
Я- fc «С ? i с \ri-iLr7j in- J .в этой реализации группы
?7 С ti) вычислите дифференциал d? '. е^/г)—^> еСп) автоморфизма
-?¦ : E:(ri) —> ?Г(п) индуцированного параллельным переносом
T^.R^-^ ЯП на вектор а € #V Щ)Ы^ - Т~ ($(TJx%
Х€Ь JR. , 9- ^ Е'(п) ; G.C/7)- алгебра Ли группы Ли ? (к) .
158. Отождествим алгебру Ли 40 C) группы Ли SO{3) с л. :
/ о -? Р \ .
I р о — 2 )—> (t*/3' &) - Вычислите присоединенное и копри-
^ г О /
соединенное представления в этом отождествлении. Найдите орбиты
для Ad и AJ. и функции, постоянные на орбитах этих пред-
представлений.
159. Докажите, что орбиты общего положения присоединенного
представления группы Ли SOD) гомеоморфны ? х S • Опишите
функции, постоянные на орбитах.
160. Пусть ?? - алгебра Ли, подгруппу в Аис(^), по-
порожденную множеством [&х^>о( <b=<xdx f
через Ad. ( 6f') . Докажите, что /jdffi
па в Аи-6( <-%) . Вычислите Аи-'б' (&Т )
алгебр Ли <s>f = l?(Z} С) и ^ = -$оГз) . Для этих двух слу-
случаев найдите алгебру Ли группы Ли Ad (&%)'•
35
/ обозначим
- нормальная подгруп-
подгрупи Act (&?) для

§ 9. Формула Маурвра - Картава
Параллелизуемое многообразие, базис левоинвариантных
форм на группе Ли.
161. Докажите, что любое ориентируемое трехмерное многообра-
многообразие параллелизуемо.
рицу
162. Пуоть Сг - группа.матриц S — ($ij) • Рассмотрим мат-
?7? — ?~х d<7 , элементами которой являются й - формы
1 гДв ^c-i ~ элементы обратной мат-
матрицы ?~* . Докажите, что °° ?j - левоинвариантвне формн.
Докажите, что среди форм и-> ij имеется базис левоинвариантных
форм. Среди уравнений, содержащихся в матричном уравнении
с{?2 = — Jj? л -52* , имеются структурные уравнения для груп-
группы Ли Q- .
163. Пусть G- - группа матриц ? = (&у} • Раосмотрим мат-
матрицу ?j2. =• cLg. m $ ~* ~ • Докажите, что: а) элементы матрицы
. JZ2 - лравоинвариантные формы; б) среди этих форм есть базис
правоинвариантных форм; в) матричное уравнение с/ъ?= —52л -^2
содержит структурные уравнения для правоинвариантных форм. Дока-
Докажите, что для матричных групп структурные уравнения для левоинва-
левоинвариантных форм отличаются знаком от структурных уравнений для
правоинвариантных форм.
164. Для матричной группы
Г/ ас О
Сг = < Ы-е»х х г | / х>0
1\ о о 1
вычислите базис левоинвариантных форм и для них напишите структур-
структурные уравнения. Найдите структурный тензор.
165. Для матричной группы из предыдущей задачи вычислите базис
правоинвариантных форм и для них напишите структурные уравнения.
Найдите структурный тензор.
166. Найдите базис левоинвариантных форм группы движений плос-
плоскости. Напишите структурные уравнения, вычислите структурный тензор.
Покажите, что на этой группе существует инвариантный элемент объе-
объема, т.е. докажите существование формы СО степени 3, инвариант-
инвариантной относительно правых и левых сдвигов и нигде не обращающийся
в ноль.
36
167. Найдите базис левоинвариантных и правоинвариантных форм
на ""группе гомотетий плоскости
р(х селч' ¦+ у* л^п ?>) -f- a. j
.' —
С
и1 - f (~X
-h
Напишите соответствующие структурные уравнения.
168. Найдите правоинвариантные и лавоинвариантные формы объе-
, ма для группы
169. Докажите, что на группе Ли Q-L (-2-) сущеотвует инва-
инвариантный элемент объема. Вычислите его. Напишите структурные урав-
уравнения для этой группы Ли.
170. Докажите, что на группе Ли Q¦ =\ ( 0 J; ) I Х * **С }
существует инвариантный элемент объема. Вычислите его. Напишите
структурные уравнения для этой группы Ли.
171. Пусть и)х , ...у UJn - базис левоинвариантных форм, а
to^ , ¦ ¦¦ > ^п ~ базис правоинвариантных форм на группе Ли Q ,
<л*>? — У, GL^c (AJ -Я » ^t А ~ Функции на группе Ли Сг .
Пусть Л — aL^tf II Яг#/1 • Докажите равенотва: А($п) =&(?)&(/>),
A(g~S) — 1 / А(?) ~, т.е. Л - гомоморфизм группы (г
в мультипликативную группу положительных действительных чисел.
172. В обозначениях задачи J§ I7I докажите, что если объем
группы конечен, то АС^)= i . Приведите пример, показывающий,
что обратное неверно. Для компактных групп А(^)—^ J.
173. В обозначениях задачи J§ I7I докажите, что
174. Докажите, что левоинвариантннй элемент объема является
правоинвариантным тогда и только тогда, когда dec Act S 2. .
175. Докажите, что левоинвариантный элемент объема на группе
Ли Сг является правоинвариантным тогда и только тогда, когда
структурный тензор С. . ¦ удовлетворяет равенству J^1. С ¦* =О
jla 'J? G l=* J
3x-I402
37

q
для группы Ли
176. Вычислите функцию cLe-C Act ,
J ( &~ ) I x ?^0 г • Укажите правоинвариантные и лево-
инвариантные элементы объема для этой группы Ли.
177. Вычиодите базис левоинвариантных форм для группы Ли
\(± О &> X
G = <U jc г
[\о о 1
Напишите структурные уравнения для этой группы Ли.
178. Вычислите базис левоинвариантных форм и структурные
уравнения для группы Ли *5*Z (Z) .
179. Пусть В'lR-xtR. —> In. - ненулевое непрерывное ^Ж
билинейное отображение. Через Ср-о обозначим произведение
Я<КЯР'Х IR- с операцией (х, у, г-)(х1, у/
г + 27 ч- В(*,у')) . Докажите, что формы
являются базисными левоинвариантными формами, где ее , ^ , В-
базисные функции на 6rg , индуцированные базисами et-} -f.u }
пространств JR , In., IfL соответственно^ В(€г? ^и)~ Z ВУи $
Вычислите дуальный базис левоинвариантных векторных полей.
180. Пусть
G =
I1
°
°
\о
О
1
О
О
о
положим ¦
О
о
1
о
о
-с. (А
<
а*
<*1
1
О
а
а.
Для A G G-
Докажите, что векторные поля У- = •-^г'> ' ~
~?~? — э г- • образуют базис левоинвариантных векторных
полей. Вычислите двойственный базис ^1,^1-, ° i левоинвариантных
дифференциальных форм. Вычислите матрицу Грама базиса Х^ Yp ?с'
относительно метрики J.6X'= ^~. (ol.^-t-
38
§ 10. Основные глобальные теоремы о группах Ли
IIОдносвязность, гомотопные пути, групповое многообразие,
I групповая алгебра, переоадка путей.
181. а) Докажите, что ОС односвязно. б) Докажите, что сфера
S при *\^-Z—односвязное пространство.
182. а) Докажите, что проективное пространство Сг односвяз-
односвязно. б) Докажите, что проективное пространство IR.Pn неодносвязно.
183. Докажите, что если конечномерная подалгебра н^-^^СМ)
порождается полными векторными полями, то {%^- . вся состоит из
полных полей.
184. Приведите пример таких полных векторных полей и, гг f
что поля и. + ТУ и С « , xrj не полны.
185. Пусть Н - верхняя полуплоскость,
на Н тав, что базисным элементам
, JR.) действует
алгебры Ли -Ь-бС3-, Ю отвечают векторные поля L^~ Эх
соответственно. Восстановите действие ( зс3 ¦у _ стандартные коор-
координаты на//= { у- > О } ).
186. Пусть G=QLl(R),3= (" %)*G,* = X+if. (?>О)-
такая точка верхней полуплоскости Н , что ^? — Н . Тогда
матрица я допускает единственное представление
и) \ о i/1-^e со* е Jf
о j ) переводит точку с € //
в точку 2-= х + 1'% • Рассмотрим функции вида F^fe^y, &) ,т.е.
функции, не зависящие от Ur . Если
= \u(+),xfr),yM <
Положим L* у. = -[^
39
~ Э
. Вычислите операторы

Л* \оо)>Аз- (-ioJ>A3 \± o),*+-\o -.
187. Пусть Сг - компактная связная группа Ли. Докажите, что
любая орбита присоединенного представления группы Ли Q однссвяз-
на.
188. Пусть (г - связная локально связная топологическая груп-
группа, И - её замкнутая локально связная подгруппа. Пусть Q ло-
локально односвязна, а // и Сг/Н односвязны. Докажите, что Сг
также сдносвязна.
- множество всех прямых на плоскости «С , ^
&(-Z) - алгебра Ли группы Ли Е. С 2.) движений прэстранотва JR. .
Группа ET(z) действует на X • Докажите, что X. гомеоморфнс
листу Мёбиуса /, . Вычислите гомоморфизм алгебры Ли е (я.) в ал-
алгебру Ли векторных полей на L
190. Пусть М
Докажите, что /I
191. Пусть A/- {(xjXtt x3) ^С^\х.^+^+х^= о I,
Докажите, что А/ односвязно.
192. Пусть
базисом в^^...,
ями
сднссвязно.
- алгебра Ли с
е _г и соотношени-
соотношени- j =
Сг - группа Ли, отвечающая
Пусть Сг действует в ^? так,
*Р: fy —> с&О?г) алгебры Ли
полей на /? имеет вид f(ex) =
3
что соответствующий гомоморфизм
<Э7 ъ алгебру<?)(&*) векторных
Найдите представление алгебры Ли ^Z' , отвечающее представлению
группы Ли (j- , построенному по гомоморфизму Y .
193. Пусть &f - алгебра Ли с базисом С1г'ел> &з и соотно-
соотношениями се± 9 ehj= et, [ez , е3j=ex+ ez , Q - группа ли,
40
отвечающая ^ . Пусть G действует в R. так, что ссстветствую-
щий гомоморфизм f : Of —^ 4&( IR. ) алгебры Ли С% в алгебру Ли
?(IR3) векторных полей на IR,3 имеет вид f(e,y~- x, ¦—- ,
Найдите представление алгебры Ли <%? , отвечающее представлению
группы Ли 6" , построенному пс гомоморфизму f .
194. Пусть
- алгебра Ли с базисом t.±,..., € г и ссотнсше-
ниями
Докажите, что ^? - алгебра Ли группы Ли ЕC) движений прост-
пространства 1R. . Пусть Е ( 3) действует на R так, что соответст-
соответствующий гомоморфизм f : &f -> ?> (Re) алгебры Ли &f в алгебру Ли
<?)С IR. ) векторных полей на 31 имеет вид
— ~хз
Найдите действие группы Ли См) , отвечающее гомоморфизму У .
Вычислите полный набор функционально независимых функций, поотоян-
ных на орбитах этого действия.
195. Пусть Сг и г/ - группы Ли, причем группа Сг односвяз-
односвязна. Докажите, что для всякого гомоморфизма <Р." <У—^ %ф- алгебр
Ли ( &f - алгебра Ли группы Ли Q- , ty\- - группы Ли Н )
существует такой гомсморфизм ?; Q- —> // , что сС f = f .
196. Докажите, что группа Ли SfCn, ?) сдносвязна.
197. Докажите, что группа Ли SI (п, ?) однсовязна.
198. Докажите, что группа Ли S7Л ( П.) односвязна.
199. Докажите, что компактная симплектичеокая группа St>(n)
односвязна.
200. Приведите пример однссвязного параллелизуемого многооб-
многообразия, не являющегося группой Ли.
41

§ II. Вопросы неодносвязности. Накрытия
|| Накрытие, .тривиальное накрытие, поднятие или накрытие
м пути, универсальное накрытие, фундаментальная группа.
201. Докажите, что группа $/> B) изоморфна группе Sf>in (S~) ,
являющейся универсальным накрытием над группой SO(S~) .
202. Вычислите фундаментальную группу УГ, ( S!f> Cft> iR)) .
203. Вычислите фундаментальную группу #± (SL (%> №)).
Вычислите фундаментальную группу квадрики зс? -*-•-. •*• ozb —
_ ^-г _ у. а. _ у х г.
204. Докажите, что универсальное накрытие группы Ля S/,(i,R)
не имеет точных линейных представлений.
205. Докажите, что группа { (м,со} \ l/*l< i , —<ю-<<*> <+°о J
A<^>) См', со1) = Суй «г ~ui")f
с умножением (и, ы>
причем VW г* = <Sr> I t с j—'v,
главное значение логарифма, является универсальным накрытием для
группы Ли $6 &,$).
206. а) Покажите, что компактная коммутативная связная группа
Ли изоморфна тору, б) Покажите,'что коммутативная связная группа
Ли изоморфна произведению тора на векторное пространство.
207. Покажите, что группы StC(z) и S^> (l) изоморфны в
алгебраическом смысле и сбе гомеоморфны трехмерной сфере S
Покажите, что фактор—группа 'руппи S"btC.) по подгруппе ^^.,
состоящей из двух элементов (?% ~^~) , изоморфна группе SOC)
и гомеоморфна трехмерному проективному пространству JR.P
Выясните связь с кватернионамл.
208. а) Докажите, что #t (IR-P J — &i_ . Вычислите "й. (uiP )
и "Fj_ С <Cfn) . 6) Может ли проективная плоокооть JRP* накры-
накрывать тор Т Z или наоборот? в) Постройте универсальное накрытие
над тором 7"**» над проектившш пространством IR Р
209. а) Докажите, что на торе 7~* следующие кривые ^S, Уг не
гомотопны:
42
б) Докажите, что два отображения ?o><f '• S —> п. не гомотопны:
ТО
210. а) Докажите, что любая подгруппа свободной группы сво-
свободна (приведите геометрическое доказательстве), б) Пусть F* -
свободная группа с R образующими, А -> 4 , F*f - её подгруппа
индекса 71 . Докажите, геометрические, что F" -свободная груп-
группа с п ( ?—1)+ i- образующими.
211. Постройте! универсальное накрытие для группы Ли
212. Докажите, что-% (Ufa)) = &;, (Ufr))= 7± (S&&)) =%
213. Докажите, что sTi CGLCn, С)) =
214. Пусть
{ \
Покажите, что группа S It C.) гомеоморфна сфере о . Поотрсйте,
используя кватернионы, универсальное накрытие SU(?) к SZ/fa) —*¦
—5» S0(fJ . Докажите, что группа SOY4) гомеоморфна произ-
произведению S 3 * JR. Р3.
215. Докажите, что Ял (О(п))'= 77л С SОС/7)) = ,
-/Г^ (SQS3)) = Я~х (Я Р V = ~Жх .
216. а) Пусть действие группы ($" на -Л собственно разрыв-
разрывно (см.задачу .№ 119). Докажите, что естественная проекция
f> : X —> X/G является накрытием, б) Пуоть X - линейно
связное пространство, группа G- действует на X ообственно раз-
разрывно. Докажите, что если X односвязно, то ^ (X/Q) = (г
217. а) Докажите, что фундаментальная группа бутылки Клейна
имеет вид & - {а^-в* \ ш,п е Z, 4а =a~Je } , т.е. (^-группа
с двумя образующими аг & и одним соотношением ?я = а~* ¦& .
43

б) Докажите, что фундаментальная группа восьмерка
неабелева.
218. Пусть Сг - конечная абелева группа. Покажите, что су-
существует пространство X Q > Фундаментальная группа которого изо-
изоморфна Сг .
219. Пусть G - связная локально связная топологическая груп-
группа, // - её замкнутая локально овязная подгрушш, Но - компонен-
компонента единицы в Н . Докажите, что существует такое отображение ^
пространства G-/ //„ на G-/H , что G- / "о есть накрывающее про-
пространство для G-/// относительно отображения f . В частности,
если Н - нормальный делитель, то G-/ по - накрывающая группа
для Сг /Н относительно гомоморфизма ? .
220. а) Докажите, что (г — ЖФ&&Ж$ & не является фунда-
фундаментальной группой никакого трехмерного многообразия, б) Докажите,
что любая конечно-псроаденная абелева группа является фундаменталь-
фундаментальной группой некоторого четырехмерного многообразия.
§ 12. Подгруппы Ли
IПодгруппа Ли, нормальный делитель, подалгебра,
адела, соответствие Ли.
221. В алгесре Ли векторичх полей на плоскости К-
_3_ 7 •
рассмотрим
следующие подпространства:
/ 3"Э - ос -
2l.
эх
2_
г ?э_ J2_ «v- 2_ ос 2 и 3_
i;
. 2- эг^З-
Ъэс J •*¦ Эх
44
Покажите, что ^ , t = J, ..-'_. б~J - подалгебры )
222, Пусть ^={-3^^ ъ% ' ? ъу • Х ъх J - подалгеб-
подалгебра в алгебре Ли (?)(ffl ) векторных полей на плоскости Я. . Дока-
Докаh% Т } и ih?+#Tp , ? ^ } -
жите, что [
подалгебры в
держащие
и что это единственные подалгебры в
со-
223. Проверьте, что в алгебре Ли df= {-^ 3 эс^ , *z^
VZ ' /ф I подалгебры %={h>*h>Х*Ъ
и
>
э~у~ J
являются идеалами.
224. Пусть
и с умножением
1
^В ~ трехмерная алгебра Ли с базисом ef, <^, е3
[ев)е^] = о , ? е3 г ев1 = В# во , В =
. Найдите нетривиальные идеала в &f g , инва-
¦ риантные относительно всех автоморфизмов, для следующих матриц:
'> В = С ° /
?J;
o-t.
« в =
и) R - / ° ~J
& - (f о
где
225. Пусть U" - группа Ли всех движений евклидова прост-
пространства, // - подгруппа параллельных переносов. Докажите, что
Н - нормальный делитель в Сг . Пусть 07', Pi- - алгебры Ли
групп Ли (г, Н соответственно. Опишите вложение идеала 5^> в
алгебру Ли 01 .
226. Докажите, что если пФ 4 , то C?fn) не содержит
отличных от SOfn} собственных замкнутых подгрупп размерности
большей, чем (п-1) (n—3.}/Z .
227. Пусть Н - связная замкнутая подгруппа группы SOft?).
Покажите, что если Яг Ф 4 , то И изоморфна или SOC71-!) или
универсальной накрывающей группе S/Ып (п-1) ) группы SC(n-?) ^
Если У*Ф^, 8 , то // лежит в, о(э(я) как подгруппа, оставляющая
45

инвариантным одномерное подпространство в К . Если л = <? ,то
или И — SO(?-) (так как // оставляет некоторое одномерное
подпространство в ^?^ инвариантным), или // = Sf*'n (9) , а вло-
вложение ? ' //—> SQ(8) задается опинорным представлением. Опишите
представление f .
228. Пусть// - замкнутое в топологическом смысле подмножест-
подмножество группы Ли G- , которое являетоя подгруппой в алгебраическом
смысле. Докажите, что Н является подгруппой Ли.
229. Пусть п - замкнутая подгруппа группы Ли <-Г . Покажи-
Покажите, что фактор-пространство G- /// является гладким многообра-
многообразием и e&Vn G/H~ ckm G~ ~ dim•¦// . Покажите, что отображения
гладко и для каждого элемента ^ €г G-/// существуют окрестность
<Э_ точки «. и гладкое отображение Т: Q —> G такие, что
230. Пусть A cz G - связная подгруппа Ли свяэной группы Либ.
Докажите, что А является нормальной подгруппой в Q тогда и
только тогда, когда её алгебра Ли является идеалом в алгебре Ли
группы Ли Q .
231. Центр Z 01- алгебры Ли <ЗГ определяется равенством
Z <^= {Х& <# I С X,Y3 = ° яля всех Уб ^? /, а центр
^- ? группы Ли ? - равенством ^.Q= {^^Q- ( s~7~— ?~б~
для всех Гб G~} • а) Докажите, что для связной группы Ли 6"
ее центр является ядром присоединенного представления, б) Докажи-
Докажите, что если Q - связная группа Ли, то её центр является
замкнутой подгруппой Ли в Q , а его алгеброй Ли олужит центр
~Z. &f- алгебры Ли О7 группы Ли Q .
232. Пусть У; Q-—^ К - гомоморфизм групп Ли. Докажите,
что если А - К-«« V и &1 — fCerz J. P , то А является
замкнутой подгруппой Ли в Q с алгеброй Ли OZ .
233. Пусть Q ^ S0C) - нормальный делитель в SOf3) .
Докажите, что Сг = S0C).
234. Пусть G - группа Ли, а Н - подгруппа Ли. Обозначим
через Of. и 5^ их алгебры Ли. Предположим, что группа Ли //
имеет не более чем счетное множество компонент. Докажите, .что
jsl — { Х^~ 01 I -&cj?> гХ 6 Н .для воех zf
235. Докажите, что: а) пространство смежных классов
0(^1) / С)(П—1) гомеоморфно сфере S"~ >
46
пространст-
/ И(П 1) гомеоморфно сфере S • в) пространство
Sjb(n) /Sp (n-i) гомеоморфнс S , где группы O/ft-l.),
-i) S/ь (tt -J) стандартным образом вложены соответственно
236. Пусть «•/,(/), /j - подгруппа в Q- L (h) , состоящая
из линейных преобразований, оставляющих на месте каждый вектор
некоторого фиксированного Д- репера, а) Докажите, что множество
смежных класоов GL(n)/G-L(n> p) гомеоморфно пространству всех
$ - реперов пространства ]f^n , т.е. /^-членных последователь-
последовательностей линейно независимых векторов этого пространства, б) Дока-
Докажите, что О(n)/O{ft- н) гомеоморфно пространству V^, ?.
ортонормальных -А - реперов, в) Докажите, что пространство
SO(n) / S ОС"-Я) гомеоморфно Vnf ? .
237. Пусть Мпъ Д - множество воех к- мерных линейных
подпространств пространства jfc . Докажите, что пространство
омежных классов O(/l)/(P(fo xOf/i — fi) гомеоморфно Мп / .
238. Пусть G" - замкнутая подгруппа группы л\ . Тогда или
Q. — { 0 ] . или Сг — ${ , ниш. Q- - дискретная группа вида
a'Z = {0,a,-<l, МХ^-Ла,-- } для некоторого а .
239. Пусть /-/i) //д.- подгруппы Ли группы Ли G . Докажите,
что пересечение Н^ [) Hz ~ подгруппа Ли и алгебра Ли группы
H-i П Из. всть пересечение алгебр Ли групп Н± и Из. •
240. Пусть Их , Нз_ - группы Ли с алгебрами Ли hQ-t} /tyz
соответственно, а) Докажите, что если *fy с. к^-а , то в некото-
некоторой окрестности единицы имеем включение ИЛ ^ Hi • б) Докажите,
что е!сли &, = <lCp'i , то в некоторой окрестнооти единицы имеем
равенство /-/± = //г .
Часть 2. МГЕЕЕЫ ЛИ
§ 13. Нильпотентные представления алгебр Ли
||Фактор-алгебра, нильПотентная матрица, нильпотентное
¦представление, алгебра Ли нильпотентная, теорема Энгеля.
241. Докажите, что алгебра Ли с базисом ^i,--•, ^с и соотно-
соотношениями с et, €z з - е3 г с е^ ^] = ef>[eb
нильпотетнтна. Найдите ее центр и идеалы 02^ =
47

инвариантным одномерное подпространство в К . Если л = <5? >то
шш А/ — SO (?) (так как // оставляет некоторое одномерное
подпространство в ^?^ инвариантным), или Н = Sf+'n(?) , а вло-
вложение ? ' /?—> SO(8) задается спинорным представлением. Опишите
представление ? .
228. Пусть// - замкнутое в топологическом смысле подмножест-
подмножество группы Ли Q- , которое являетоя подгруппой в алгебраическом
смысле. Докажите, что Н является подгруппой Ли.
229. Пусть п - замкнутая подгруппа группы Ли w . Покажи-
Покажите, что фактор-пространство G- /// является гладким многообра-
многообразием и cUm G/f-/ — dim G~ ~ dim--/У . Покажите, что отображение
гладко и для каждого элемента g €г Cr/ rf существуют окрестность
О. точки ч, и гладкое отображение Т: Q —> G такие, что
м° с = icL a
230. Пусть А с <?" - связная подгруппа Ли связной грушш Ли б:
Докажите, что А является нормальной подгруппой в ? тогда и
только тогда, когда её алгебра Ли является идеалом в алгебре Ли
группы Ли Q .
231. Центр Z. О? алгебры Ли №
= { X ? ф I С X,YJ = ?> юя *овх f
^ ^ грушш Ли Q- - равенством 2 Q = {G'^Gr ( s"c~=-
для всех Т€: Q- J . а) Докажите, что для связной группы Ли G
ее центр является ядром присоединенного представления, б) Докажи-
Докажите, что если Q - связная группа Ли, то её центр является
замкнутой подгруппой Ли в Q , а его алгеброй Ли служит центр
"Z &f алгебры Ли &J группы Ли Q .
232. Пусть Y: Q-—^ К - гомоморфизм групп Ли. Докажите,
что если /\ = К-е* V и CZ ~ fCen J. P , то А является
замкнутой подгруппой Ли в Q с алгеброй Ли OZ .
233. Пусть Q cz SQC) - нормальный делитель в SOC3) .
Докажите, что (г = S0C).
234. Пусть G - группа Ли, а Н - подгруппа Ли. Обозначим
через Of. и 5^ их алгебры Ли. Предположим, что группа Ли //
имеет не более чем счетное множество компонент. Докажите, что
%{\/?XH для всех it &Я] .
а) пространство смежных классов
S"~* I & пространст-
определяется равенством
Y? Of } , а центр
G (
235. Докажите, что:
/ О( П-1) гомеоморфно сфере
46
во
/?<(п 1) гомеоморфно сфере S % в) пространство
Sjb(n) /Sp(n-l) гомеоморфно S , где группы Of Я-¦*¦),
ySUfn-l) S/b (r> -л) стандартным образом вложены соответственно
236. Пусть CcL(f>, ?) - подгруппа в Q- L (h) , состоящая
из линейных преобразований, оставляющих на месте каждый вектор
некоторого фиксированного к- репера, а) Докажите, что множество
смежных классов GL (п)/GL(n> ft} гомеоморфно пространству всех
•$ - реперов пространства ]f^n , т.е. ^-членных последователь-
последовательностей линейно независимых векторов этого пространства, б) Дока-
Докажите, что О(п}/'О(п- к) гомеоморфно пространству V^, ?.
ортонормальных А - реперов, в) Докажите, что пространство
SOCrO/ SOCn-Я) гомеоморфно Vn, A .
237. Пусть Мп, Д - множество всех к- мерных линейных
подпространств пространства ff^n . Докажите, что пространстве
смежных классов O(fl) /(Р(А) хОСп — б) гомеоморфно Мп ? .
238. Пусть G" - замкнутая подгруппа группы J< . Тогда или
Q- =. { 0 ] > или G- — IR , или Q- - дискретная группа вида
a Z = (<?,<*,-Я, 2а^-З.О(}... } для некоторого а .
239. Пусть Hi Нз.~ подгруппы Ли группы Ли 6г . Докажите,
что переоечение Ц± [) Н а - подгруппа Ли и алгебра Ли грушш
Н^/1 Hz есть пересечение алгебр Ли групп //^и //г •
240. Пусть Н? , Нз_ - грушш Ли с алгебрами Ли *g-t "^z
соответственно, а) Докажите, что если 5^ cz. ittyx , то в некото-
некоторой окрестности единицы имеем включение //^ d//г . б) Докажите,
что е!сли &, = A^j , то в некоторой окрестности единицы имеем
равенство Н± з= /-/г .
Часть 2. МГЕЕРЫ ЛИ
§ 13. Нильпотентные представления алгебр Ли
||Фактор-алгебра, нильпотентная матрица, нильпотентное
II представление, алгебра Ли нильпотентная, теорема Энгеля.
241. Докажите, что алгебра Ли с базисом ^?1, ¦¦¦, ^с и соотно-
соотношениями ?ef, €z з - е3 г с е^ f3]=ef)[ef/rj- eс
нильпотетнтна. Найдите ее центр и идеалы 07^. = СФ, tye-i J *
47

242. Докажите, что алгебра Ли с базиоом G±,--> e e и ооот-
ношениями С е±,еэ.1= &S-, 1е±,&^~е<г, С е*, е*J = е<г .
нильпотентна. Найдите ее центр и идеалы 6fL — i 6f j <3fl-± J ,
243. Докажите, что алгебра Ли с базисом &±, ..., &е и соотно-
соотношениями Сех> e3l= es-J С ?*,?*>= ?<$-, re^e3J= <*-?-<>,
С е«, е ^ J — е^- ( <х^ О ) нильпотентна. Найдите ее центр _,
/
244. Докажите, что алгебра Ли с базисом е^,...,
шениями це1,е±з= eej с ел, е37 = е+ , се,,
и соотно-
соотнои
ol
= е ,5- нильпотентна. Найдите ее центр9 Кег ас/
и соотно-
соотно245. Докажите, что алгебра Ли о базиоом
шениями С е*, esj = е+г t ел eyj=- e^, C
нильпотентна. Найдите ее центр. Укажите базис, в котором операто-
операторы act ^ записываются верхнетреугольными матрицами. Приведите
пример не нильпотентной алгебры Ли.
246. Докажите, что алгебра Ли с базисом ^х,-,е-е и соотно-
соотношениями let, еА] = е3+в*-, ?ejL>e3j = ei,, [_ е.Лз e^-j = e^
нильпотентна. Найдите ее центр. Укажите базис, в котором все
операторы я^х одновременно записываются верхнетреугсльными
матрицами.
247. Докажите, что центр ft - мерной алгебры Ли не может
иметь размернооть 77—1 . Докажите, что и вообще, ни в какой
(быть может, бесконечномерной).алгебре Ли центр не может быть
подпространством коразмернооти 1 .
248. Пусть ОС - центральный идеал в алгебре Ли ^ ,
фактор-алгебра Ли Of/ОС нильпотентна. Докажите, что <2?
нильпотентна.
249. Пусть &? - конечномерная алгебра Ли, допускающая
автоморфизм Т без неподвижных точек, Т — /fT . Докажите,что
[ &f, &^1 нильпотентна.
250. Пусть Ojf - не нильпотентная конечномерная алгебра Ли
над алгебраически замкнутым полем. Докажите, что <^Г обладает
двумерной неабёдевой подалгеброй.
251. Докажите, что: а) нильпотентная алгебра Ли размерности
2 - абелева; б) в неабелевой двумерной алгебре Ли существует
48
базис тс} у , такой, что I 3е, #1 = X.
252. Докаяите, что неабелева нильпотентная алгебра Ли размер-
размерности 3 имеет базис х, у, н , такой, что L"jc, yj = ^-
Cx,eJ=O, Су, 37 =¦ о . ,
253. Докажите, что если ^ имеет базис е^,...,^ 0 таОли-
цей умножения Еел,е*] == е$-,[es,e3]=. eCt
ie€j= - е3 все остальные С €?г eyj =¦ о ,
то ^- - нидьпотентная алгебра Ли. Найдите ее центр и идеалы
254. Пусть &f- - алгебра Ли о центром ^С , Покажите, что
если вС~ Ер^ grj и Ж*п вС — / , то О? изоморфна алгеб-
алгебре Ли ? = { х±>..., хП) gs ,.„, ря t г } о. коммутаторами
L*«.,^/j — ~L^iy X-i"l=s Z- и остальные коммутаторы базисных
элементов равны О (алгебра Ли Гейзенберга).
255. Пусть V - конечномерное векторное пространство, а
Л - подалгебра Ли алгебры Ли' af-d'(Y) . Предположим, что
tx зс^ = О для любых зс,у & & . Покажите, что любой
элемент из LdLf/CJ нильпотентен.
256. Пусть и. :V *• v — линейный оператор в конечномерном
векторном пространстве V , и = гг ч- ъсг- , Где Lt*,wl=O,
Ztr - нилыготентное преобразование, %Г -полулрсстое (т.е.
диагонализируемое в некотором базисе). Докажите, что
а<?и = «^v +- ccdur , причем f ad^ ¦**&]= О ,
а?? гг - полудростое преобразование, ял «г - нильпотент-
ное преобразование, где
267. Пусть OZ - идеал алгебры Ли ф, V- конечномерное
векторное пространство, J> — представление алгебры Ли C?Z в
у , неимеющев инвариантнйа подпространств, отличных от О
и V . Докажите, что если любой элемент из J>(&t) нильпотентен,
то J>(Ot)= О .
258. Пусть V - конечномерное векторное пространство, J3 -
представление алгебры Ли <2? в у . Докажите, что все идеалы
0Z алгебры Ли ОТ , для которых эндоморфизм J>(x) при любом
*"" , 49

¦зс е &?¦ нильпотентен, содержатся в одном из низе.
259. Пусть L - группа Ли с алгеброй Ли Jf . Докажите, что
алгебра Ли аС. нильпотентна тогда и только тогда, когда существует
такое полиномиальное отображение Р'. ofx «? —> еС , что
е*^ J< eoc/> Y = -е^ #ДГ, Y; да* X, Y ? % .
260. Пусть ?j - связная нильпотентная группа Ли с алгеброй
Ли аС ' Докажите, что экспоненциальное отображение €жй ' ов-*¦
—* Z» является регулярным отображением алгебры Ли Л. на группу
Ли ? .
§ 14. Разрешимые алгебры Ли и их линейные
представления
Коммутант алгебры Ли, производный ряд, разрешимая
алгебра Ли, теорема Ли.
261. Пусть Г( К) - алгебра Ли всех верхнетреугслышх мат-
матриц порядна к , а Уг(Я') - подалгебра в 7^(я) , имеющая
нулевые диагональные элементы. Докажите, что: а) ?(Я) разреши-
разрешимая, п (/?) нильпотентная и совпадает с производной алгеброй
алгебры ?{&) ; б) центры обеих алгебр Ли ?(к) и тг(Я)
имеют размернооть 1.
262. Пусть ч" - группа всех отображений 'a>g ' ?-^ax + v^
ЭС<?- /ft, &¦, € ^ IR. , ОС >О . Определите на Q струк-
структуру группы Ли. Найдите ее алгебру Ли <2? . Покажите, что &Z -
разрешимая алгебра Ли ж что это единственная с точностью до изомор-
изоморфизма некоммутативная алгебра Ли размерности <? над /? .
263. Пусть &? - разрешимая алгебра Ли над ? , &Z - мини-
минимальный собственный идеал в О7 . Докажите, что 0Z имеет раз-
размерность I.
264. Пусть Qp - конечномерная алгебра Ли над алгебраически
замкнутым полем характеристики нуль. Предположим, что в ОТ.
имеется УХ. -мерная разрешимая подалгебра 9^ 7е й? . Докажите,
что в &? имвется (n + i)- мерная подалгебра.
265. Пусть Ф ~~ Я-мерная алгебра Ли над алгебраически
замкнутым полем характеристики нуль, 7TL -максимальная собствен-
собственная подалгебра в ОТ - Докажите, что если 7Z разрешима, то
U тП1 *
50
266. Покажите, что алгебра Ли ^-{^1г -> ^"-» Х'Тп. ' ^ъ!1 S
разрешима. Найдите ее производный ряд.
267. Покажите, что теорема Ли неверна в случае алгебраически
незамкнутого поля.
268. Покажите, что алгебра Ли с базисом efj...., ^^- и коммута-
коммутаторами С.ед,е3]=еь Ce^e^-j -.г<?г^ L ^z,^s-l= еа.+ ^з,
С ез j es-3 = ез + ^fs С&з, es~l =• & ь разрешима. Найдите
ее производный ряд и форму Киллинга.
269. Покажите, что алгебра Ли с базисом ?*,.-, е^ и коммута-
коммутаторами ?еье^л=:4ег 9 i е<, е3л= -е^ L ел, е33 = *¦ «з ,
9
разрешима. Найдите ее производный ряд и форму Киллинга.
/~
270. Найдите общий собственный вектор для представления аа
алгебры Ли Of с базисом ^i}..., ^s~ и с осотношениями
L e e j e ? ее^ е
271. Найдите общий собственный вектор для представления /1 йл
алгебры Ли \ei,..., €.5-} с соотношениями ?€<, ^7- ?*,.
272. Цусть 03- - алгебра Ли с базисом €/., €^^ е3 и соот-
соотношениями [et, €5] = в^ , L &л, ^-ъ\=е.^+ ^z • Найдите базис, в
котором представление /[*- ас/ алгебры Ли ^® (fc[xl/foe*))
записывается верхнетреугольными матрицами.
273. Пусть ЕР( 1) - группа движений прямой ui . Рассмотрим
ее стандартную матричную реализацию ?($; л) = (<Л я ) , где of—
изометричное преобразование Jr '¦ а\ ~^ и\ , о. - вектор парал-
параллельного переноса. Найдите общий собственный вектор для представ-
представления Л У .
21 А. Пусть
а ^ - алгебра Ли гр;
в пространство B°°С
О
апп
Ли Сг . Продолжим представление /fa
гладких функций на пространстве
дуальном к алгебре Ли 07 , по формуле ("Я-а т)(х)~т(Аа1
где 9 6-Сг , T^Qf • Расомотрим соответствующее представление
4х-1402 51

У алгебры Ли G? . Найдите такой набор многочленов /^,..., ^
что Adt "Pi — *(?) ¦?¦* • гДв ^ (<?) ~ некоторое одномерное
предотавление группы Ли (х , а т± j •¦• * т-i ~ функционально
независимы и $-±,- -, ?¦$ - "полная" система. Опишите возможные
здесь предотавления Яс- .
275. Решите задачу № 274 для алгебры Ли
fO. OCj, Х± Х3 \
О О Х9 Xs- \
о о о хе I
о о о о / .
276. Решите задачу №.274 для алгебры Ли с базисом С*, fij, €3
и соотношениями С 6х,^з7— ^i, ^е-г^ ез1 = ^х ¦+• &я. .
277. Пусть <$- - разрешимая алгебра Ли, А - коммутативная
алгебра. Докажите, что Ф® А - разрешимая алгебра Ли.
278. Пусть @? - разрешимая алгебра Ли, V - конечномерное
векторное пространство, ' J> - представление алгебры Ли <2f в J/ .
Предположим, что для любого X €¦ <^ эндоморфизм J>(x} приводим
к треугольному виду. Докажите, что представление J3 приводимо к
треугольному виду.
279. Пусть В(х^)— с г я-с/х- <*du - форма Киллинга
алгебры Ли ^ и В(С^ <^1„ LOf, Of]) — О . Докажите, что
в этом случае. ОХ разрешима.
280. Докажите, что конечномерное неприводимое представление
связной разрешимой группы Ли одномерно.
§ 15. Представления нильпотентных алгебр Ли
]|1арактеристическое уравнение линейного оператора,
корневое подпространство.
ненного
базисом
L е3,
281. Найдите корневые подпространства и веса для коприсоеди
d и присоединенного clol представлений алгебры Ли с
e±j е_г_,е3
3^ е^ и соотношениями С ег._, &&1 ~ &х >
,91 = ег.
282. Найдите корневые подпространства и веса для коприсоеди-
ненного ас{ и присоединенного представлений алгебры Ли о бази-
базисом е± ,..., в.5- и соотношениями С e3j> е^]= eXf L&i, esl — &*.
52
283. Найдите корневые подпространства и веоа для представления
а</ алгебры Ли с базцеом 6^ ,..., в^ и соотношениями
284. Найдите корневые подпространства и веса для представления
S clc?* алгебры Ли с базисом 6.±,..., в^- и соотношениями
285. Пусть Or - группа Ли, отвечающая вещественной алгебре
Ли 01 с базисом ?*„.-., &е и соотношениями С. &±^ G^J=^3j>
С ?±, ёз] = &&, С €± , вs- J ~ е<Г • Продолжим представле-
представление Ad* в пространство С (ф*) гладких функций на прост-
пространстве ^*", дуальном к алгебре Ли <?? группы Ли (г , по формула
Ш* 4) С*) = {(Act2-1 ОС) , где^е^ f€&~
ос е Of . Рассмотрим соответствующее представление ^ алгеб-
алгебры Ли <^- . Найдите такой набор многочленов ф? _,..., ^ ,
аннулируемых представлением Н^ (т.е. Yfx)-fi-j = О, i-f3..., d^
X €¦ ^^ ), что любая другая функция с таким свойством функцио-
функционально выражается через ?j3..., ?л и 4i,--^ *fi. функционально
независимы.
286. Решите задачу № 285 для алгебры Ли с базисом ?*,...,
и соотношениями С^, е^ j = еъ ? с ei} e3j =е^ Д ?х, е^,1 — "
287. Решите задачу № 285 для алгебры Ли с базисом es>..
и соотношениями [еи е*.]—ее, ?e±,e3j= e + f с ел, е31 =
288. Решите задачу № 285 дд» алгебры Ли &f верхнетреуголь-
верхнетреугольных матриц:
о " о
- алгебра Ли с базисом &i,..., ^^ и соотношения
^ 1~ &i. Решите задачу Л 285 для
289. Пусть
ми ?«л,^1-
алгебры Ли 01 й
290. Пусть ^ - алгебра Ли с базисом е1,..., ез- и соот-
соотношениями ? ез,е&3= ^i , /Г€>^^ ^5-J = €>i . Решите задачу J6 285
для алгебры Ли ^ ® (IRCxi,XiJ /(x*, х? )) .
291. Пусть &f - алгебра Ли с базисом €-,,..., &s- и соотноше-
соотношениями f <?.г, es] = ех , ? e3j, e^-J = ?л, f€V, e^-j - ^ . решите
задачу № 285 для алгебры Ли
53
<8>

292. Вычислите корневое разложение для присоединенного и ко-
присоединенного представлений аннулятора Н s-iX^Qf \ ае/^^= о}
( 4~ ^ g? - ковектор общего положения) на 0? и я/*" соответст-
соответственно, где <tt - алгебра Ли с базисом ^j.,.-, &s- я соотноше-
соотношениями ? &1У €f J =¦ e-i, L &*., €s-j =. а вд _, i e3> e^-j = ^ €3 ,
L &t, e.j-3 = с e^ ( ct&c Ф о, - 1 < с « 4? ^ a ^ ^ ) .
293. Вычислите корневое разложение для присоединенного и
коприсоединенного представлений аннулятора Hf- ¦{X&0?/a</t^-о}
( f. €: &f - ксвектор общего положения) на <? и ^"^ ссстветст-
венно, где ф - алгебра Ли с базисом &1,..., ¦&s- и соотношения-
соотношениями t€a.,esl= etj ie3,es-l=/!>ei-e<,,cefj e^j - e3 +/>е+.
294. Вычислите корневое разложение для представления Л а<%
аннулятора Hj? — 1 Х?- ?? / ас/*^=О } ( ^е <??* - ковектор
общего положения) на /\ ^^ , где &Z — алгебра Ли с базисом
€f ,..., Cs- и соотношениями L€tr ^rJ - е1, L ^a., ^s-J = €i + ez
295. Вычислите корневое разложение для представления ?f ctd
аннулятора /// = 4 X €¦ ф / <гс?? ? = О } ( /"^ 0^"*- ковектор
общего положения) на S <^ , где ^ - алгебра Ли с базисом
€i , fj, f3, ^f- и соотношениями С^л, &з3 = &i , С ^з, 6V J =г €^
296. Пусть //^» = {Х^<^\аеС^ 4 = О } ( ^ ^ - ковектор
общего положения) - аннулятор элемента ?^t9f* <&*=:<&'*+ ^~,(Pf*~-
корневое разложение ф относительно представления а</*
алгебры Ли /// на 0/* , a <?f= Bf -у- Т? c?f ~ - корневое
" <? *° %*о <? *
разложение <^ относительно представления сга алгебры Ли
Н^ на <?f . Фиксируем ковектор <Z ё &* и рассмотрим отобра-
отображение <f>a (z) = осе/* (X , ^ ; <?f -^- cgf* • Докажите, что
если а ? &f* g ^ ?^.. , то - - -
297. Пусть /г - связная, однссвязная нильпотентная группа
Ли с алгеброй Ли 1П, , Z ?t - такая строго убывающая после-
последовательность идеалов в 7Z . что [7П, TZ {г)] С HZ li+1> и
Tfl-i, Ttz - такие взаимно дополнительные подпространства в 9Т
что 7lCi)= Jl^ir^f 7lz П Пи), с-=о, /,... G1 (o>= 71),
Докажите, что отображение V (X, V) =¦ &xfi X елсь У является
аналитическим диффеоморфизмом пространства TL± x ТС а. на /V
54
298. Пусть /V - связная нильпотентная группа Ли. Докажите,
что diet not о == ^ для всех g. G /V .
299. Пусть (л - группа Ли, отвечающая алгебре Ли
базисом ei;, ... , е s- ж ооотношениями С &^гв32= еХ} f
= 1е±,1е*,е<г1=?л, Le3,erf=e3> ie*. esj = - e3,
f e3; 6s-] =¦ в 4, , А/- подгруппа, отвечающая под-
подалгебре, порожденной €"$._, е s- . Рассмотрим группу Ли Т G" с
алгеброй Ли Т(<?) ( Т Q- - каоательное расолоение над Q ).
Найдите корневое разложение для представления not подгруппы
Уна Т()
300. Пусть группа Ли 1т — \\ w и "*¦$) ( действует по тен-
зорному закону в пространстве симметричных тензоров на Ц\,
Найдите корневое разложение для этого представления.
§ 16. Полупростые алгебры Ли
IРадикал, полупростая алгебра Ли.
301. Докажите, что разрешимая алгебра Ли не содержит полу-
полупростых подалгебр, отличных от {о } .
302. Пусть 01 - прямая сумма алгебр Ли ^XJ ...., ^5 .
Докажите, что ее радикал есть прямая сумма соответствующих ради-
радикалов алгебр Ли Q? L -
303. Докажите непосредственно, что для любой полупростой ал-
алгебры Ли ОТ- сущеотвует группа Ли, алгебра Ли которой есть ^? .
304. Пусть ?? - полупростая алгебра Ли, А <?? <^ . Докажите,
что следующие условия эквивалентны: а) оператор ad.^ (А)
полупрост (соответственно нильпотентен); б) суще^ствует такое
представление 7/ф О алгебры Ли ^- , что оператор 7Г (А) полу-
полупрост (соответственно" нильпотентен); в) для любого представления
Jf алгебры Ли <g? оператор 5/ (А) полупрост (соответственно
нильпотентен).
305. Пусть <JZ - полупростая алгебра Ли. Докажите, что каж-
каждый элемент /\ 6- «^ обладает единственным разложением вида
Д = $-f- А/ , где оператор clcL с полупростой, а ««^ нидь-
потентный. Докажите, что если 61 <г (^ - полупростая подалгеб-
подалгебра и /) С ОТj , то $,А/?ф± . Докажите, что оператор
4хх-1402

полупрост (соответственно нильпотентен) в &?t тогда и только то-
тогда, когда он полуярост (соответственно нильпотентен) в ОЗ. .
306. Пусть алгебра Ли (У^- такова, что её присоединенное пред-
представление <хсС вполне приводимо, т.е. для любого вс.а?- инвариан-
инвариантного подпространства Ц/ cz. Op существует clg6- инвариантное
дополнительное подпространство W' (ty- -IV Ф Wj ctcC^^'^
с^ VV ) . Докажите, что это имеет место тогда и только тогда,
когда ^у является прямой суммой О^^^ф 9° некоторого абелева
9°
В этом случае
1
- такая ее под-
подвполне при-
при(X) ниль-
ниль/е-
€Jj
и коммута-
коммутае3 и соотноше-
соотноше= е3
-полупростая алгебра Ли. Вычислите радикал
идеала OZ и некоторого полупроотого идеала 9°
ОТ. совпадает с центром алгебры Ли О? , У =
307. Пусть (Я - полупростая алгебра Ли, a
алгебра, что присоединенное представление й? в
водимо. Докажите, что если X ?~ &!¦ и оператор
потентен, то X ^ L <%, <% J .
308. Докажите, что алгебра Ли с базисом е^
ционными соотношениями re^,eAj= ез^ ? е*,
?, вз, ^ ±1 — ^j. полупростая.
309. Докажите, что алгебра Ли с базисом б(,
ниями Сеь елз s-2в.Лг ?€¦,, e^j- <?,, Се^е
полупростая.
310. Пусть ^^
алгебры Ли 0f $
311. Пусть
алгебры Ли Of
312. Вычислите радикал алгебры Ли группы Ли движений прост-
пространства lR_n .
313. Пусть оС С^ ?? - такая подалгебра, что (%? есть полу-
полупрямая сумма <^=&Ф <? , где <^" - радикал алгебры Ли &f .
Докажите, что естественный гомоморфизм 7": ^-^ <$f/4§' изоморф-
изоморфно отображает л на полупростую алгебру Ли й? /^?~ . Докааите,
что <^ - максимальная полупростая подалгебра в &1 .
314. Докажите, что для любой конечномерной алгебры Ли <&-
над JR_ или С существует такая полуцростая подалгебра ^ ,что
(^- является полупрямой суммой ty ~ of© ^° , где 9° - радикал
в ^ . .^
315. Докажите, что идеал bfy <"~ ^ содержит радикал алгебры
Ли <3?" тогда и только тогда, когда &L./ %^- полупроста.
56
- полупростая алгебра Ли. Вычислите радикал
Ц х*]/{х?, хл3) .
и комму-
комму^ + с3
316. Пусть ^ - разрешимый идеал алгебры Ли &t . Докажи-
Докажите, что радикал &f / 7~ Равен радикалу Сд. , профакторизо-
ванному по а .
317. Докажите, что алгебра Ли с базисом 6Х, ...3 e
таторами L et> e9j = et, LeXf e^j- e±+ ex> ? e3f e<, j ^ с3
не содержит полупростых подалгебр, отличных от { о } .
318. Пусть е(п) - алгебра Ли группы Ли Е(п) движений
пространства Rn . Найдите радикал алгебры Ли е(п.)^(^[х]/Сз^))т
319. Найдите радикал /t алгебры Ли Щ = <>/-^(п, JR.) <8>
<2) (IRLX^ /С'*3)) • Укажите такую полупростую подалгебру ЧГ , что
tg- есть полупрямая сумма ^-= ?°Ф^ .
320. Найдите радикал Л алгебры Ли 0^-С(ЯгЮ, полупростую
подалгебру 1Г~ , такую, что &с(п, ft) есть полупрямая сум-
сумма *f?cn, ю = <к ф т . вычислите <ре(»,ю/?г.
§ 17. Подалгебры Картана
иРанг алгебры Ли, регулярный элемент, аннулятор
элемента, корни алгебры Ли, подалгебра Картана.
321. Пусть ^(п, С) - множестве всех комплексных матриц
порядкапсо следом О , -b-^C/i, <C) является алгеброй Ли относи-
относительно матричного коммутатора [_А,В>]—АЕ>~В/\ . Докажите, что
подалгебра ^^ , состоящая из всех диагональных матриц со оле-
дом 0 , есть подалгебра Картана. Найдите соответствующее корне-
корневое разложение *-/?( W , О относительно ^- , вычислите
корневые вектора и систему корней.
322. Пусть ъо('п', С) _ алгебра Ли всех кососимметрических
комплексных матриц порядка 71 относительно коммутатора
{А,В1= АВ>~ВА , ^с/ ^ll^al fy'H- Докажите, что so(n, С)
имеет подалгебру Картана иф > натянутую на векторы
Exi—i slL ~ &Zl Zc-1 j lM*i *¦ ^ С я. J . Найдите соответст-
соответствующее корневое разложение для Ьо(п, С) относительно
вычислите корневые векторы и систему корней.
323. .Пусть 3/>/>7 Г~) = -/ / -1 z+\ \ Z.- - комплекс-
комплексныв матрицы порядка 72
— Ц ?а.с S~4/H • Докажите, что
57
симметричны
-$Ь(п? С) имеет подалгебру

Картана hfr > натянутую на векторы Еи -?п+1 п.+с Х
Найдите соответствующее аорневое разложение для ЪАСп, С) отно-
относительно Хд< -, вычислите корневые векторы и систему верней.
324. Пусть Lo ( V) - пространство линейных преобразований
со следом 0 , /\ «• у- ^-тая внешняя степень пространства V .
Обозначим Cf = /.o(Ca) Ф Л (С8) и введем в <g коммутатор
LA,T]ijAe=Ai
{ T
u
*€+
Т1 T1 7
C*
где
( С ) и ?€• Д (<^Г / - фиксированный ненуле-
ненулегде ^1,%,^А ( С ) и ?€• Д (<^Г / - фиксированный нену
вой элемент. Докаасите, что й?" - алгебра Ли. Пусть е* €
базис в С* такой, что $( ех , ... , е^) = ^ , ^-подалЪе
рав 2_/о (С /» соотоящая из диагональных преобразований в
базисе €.*,..., е^ . Докажите, что <?? - простая алгебра Ли,
*Qr- её по^лгебра Картана. Положим ?tOUa<jf.(Cf,...,Cs)) =• С-
и е»-.6 - базис, сопряженный к е^,,., ^8 • Докажите, что
ес ® e.s e i л ej л ?.? л е^> _ корневые векторы
( ^У^ ^> ^ различны) относительно i^- , a PI - J^?--~Sj
?с: -h €.j -+ &?+¦ Е^} - система корней ( i, / #f ? различны)".
325. %сть ^= /\YCT«A,^!lCl /iVf'J
(см.обозначения в задаче J6 324). Зададим коммутатор С А,В~}
формулами „ .
/ /
а* и''*
58
LOL, и
я
а', и* €гЛЧ,
где ? - фиксированный ненулевой элемент пространства /j (<?9).
Докажите,что &1 - алгебра Ли. Докажите, что это простая алгебра
Ли; если ^^ ~ подалгебра в Ло (С ) » состоящая из диагональ-
диагональных преобразований в базисе ^х,.-, €3 (?.*(&,—,€*) = 1 ) *
то ^ - подалгебра Картана. Найдите относительно нее систему
корней и корневые векторы.
326. Пуоть СЭ=С3Ф€?ФС3, отождествим Ъ'
с подпространством в И
С
считая, что гб® Ц®гг.=;
Аналогично (?- J ®\L J Wlz. J отождествим о подпроотранством в
А (С9)* • Алгебра Ли LO(C3)®LO(C3) © Lo(€i) отождест-
вляетоя о подалгеброй алгебры Ли Lo \<С9) > Докажите, что $'
?<L
® ®С J подалгебра в алгебре Ли С$ из задачи Л 325.
Покажите, что ^ - простая алгебра Ли. Найдите ее подалгебру
Картана, сиотему корней, корневые подпроотранства.
327. Докажите, что любая подалгебра Картана максимальна ореди
нильпотентных подалгебр.
328. Пуоть о? - алгебра Ли Я х? матриц оо оледом нуль над
алгебраичеоки замкнутым полем характеристики, отличной от двух.
Докажите, что подалгебра, порождаемая нильпотентной матрицей,
отличной от нуля, является макоимальной нильпотентной, но не яв-
является подалгеброй Картана.
59

329. Докажите, что любые две подалгебры Картана алгебры Ли
^ над алгебраически замкнутым полем сопряжены относительно•
группы автоморфизмов алгебры Ли <Э? .
330. Докажите, что подалгебры OC=R. (-i о
являются подалгебрами Картана в 4<~B., #?) , однако не существует
автоморфизма Q^Aut C*?B, ft)) , для которого &((%) — &~ .
331. Обозначим через е элемент { ° * ) алгебры Ли .
6-С. ( 2-, ?-/ . Покажите, что Ч— 6 _ максимальная нильпо
(?)
. , / . Покажите, что максимальная нильпотентная
подалгебра Ли в л С (%, ?) » не являющаяоя подалгеброй Картана.
332. Пусть
ниями СX,yl =* ^
идеал к у -+¦ п г
- алгебра Ли с базисом Х>У* г и соотноше-
соотноше, Сх,гТ=* , Ly,?3 - О . Пусть &Z -
этой алгебры Ли. Покажите, что tJt &? — •? и
333. Пусть 01. - алгебра Ли над бесконечным полем Я . По-
Покажите, что следующие свойотва эквивалентны: а) "Ц?_ № =¦ еит &р- ;
б) алгебра Ли & нильпотентна; в) алгебра Ли ^ имеет конеч-
конечное число подалгебра Картана размерности, равной ъя 0?- ;
г) алгебра Ли (>? имеет единственную подалгебру Картана.
334. Пусть От - компактная группа Ли с полупростой алгеброй
Ли С% , Т - максимальный тор в (х , т.е. макоимальная ком-
компактная связная абелева подгруппа в Q, а {Г* - его алгебра Ли.
Докажите, что комплекоификация {J"^~ является подалгеброй Кар-
Картана в ксмплексификации (% .
335. Пусть ^ - полупростая алгебра Ли, ъс (ty) = &f ®
®Ш[*3/Ь(*)). Найдите подалгебру Картана в _?2 (<%) • Вычислите кор-
корневое разложение для S? ('р-) относительно найденной подалгебры
Картана.
336. Пусть &(П) - алгебра Ли группы Ли L (п) движений
пространства fft . Найдите подалгебру Картана и вычислите соот-
соответствующее корневое разложение.
337. Опишите регулярные элементы алгебры Ли М-с(/7, /К) .
338. Опишите регулярные элементы алгебры Ли с базисом
€i,?z, €"з и коммутационными соотношениями Г &1, в3 J —
=: а ех - ez J ie^, e3j = et+a ez (a >o) .
339. Опишите регулярные элементы, найдите подалгебру Картана
и> корневое разложение алгебры Ли с базисом б"*.,.-, ^ ^ и соотно-
60
шениями Сzt
о , —
i а « ? <¦ ± .
. 340. Опишите регулярные элементы, найдите подалгебру Кар-
Картана и корневое разложение для алгебры Ли <5Г® (Л С xl/
где
- алгебра Ли с базисом
и соотношениями
§ 18. Метрика Киллинга
Метрика Киллинга, дифференцирование.
341. В обозначениях задачи Л 241, докажите, что B(?(w,
п(&)) — О , где В - форма Киллинга алгебры Ли ¦?(&).
342. Пусть izf(n, С) - алгебра Ли всех комплексных матриц
порядка п со оледом нуль (относительно коммутатора L^
= АВ — В А )• Докажите, что ее форма Киллинга равна
е
343. Пусть -ьо(л, О - алгебра Ли всех кососимметрических
комплексных матриц порядка ~У1 с' коммутатором LA,ВЦ=АВ—S/\
Докажите, что ее форма Киллинга равна 3/X,Y) =
?Х КГ<= io(n, с).
(пг)?гХ\, КГ< io(n, с).
- 344. Пусть -y>(ftj С) =¦ J I * ^м?. -
матрицы порядка 71 , ^-г, ^з оимметричные j
L/4, В] обычный матричный LA}B1~ AB -^ В А
что форма Киллинга алгебры Ли -bf>(n, С) равна
(z ) ? XY, XY€ -s/f*, c).
комплексные
, коммутатор
. Докажите,
345. Докажите, что вое дифференцирования двумерной неабеле-
вой алгебры Ли являются внутренними.
346. Пусть конечномерная алгебра Ли о? над полем характе-
характеристики ноль допускает невырожденное дифференцирование °?>
Докажите, что < нильпотентна.
347. Пусть ЙГ - вещественная алгебра Ли с положительно
определенной формой Киллинга. Докажите, что 0?={0] .
348. Покажите, что радикал инвариантен относительно всех
дифференцирований.
349. Докажите, что каждая нильпотентная алгебра Ли имеет
внешнее (т.е. не являющееся внутренним) дифференцирование.
61

350. Вычиолите метрику Кидлинга пятимерной алгебры Ли
с базисом в/,..., &s~ и таблицей умножения
Ли:
a)
б)
351. Вычиолите метрику Киллинга оледующшс пятимерных алгебр
=?еъ-
Сел,
352. Найдите вое дифференцирования алгебры Ли Cf— {?<,...,
с таблицей умножения: С^г,?уЗ- е1, Е^з,^<гЗ — €& .
353. Найдите все дифференцирования алгебры Ли &={ei,..., ef }
с таблицей умножения ?е*, €$,J — &1, Е^з, е* 1 = -ел
354. Пусть (*¦ - аосоциативная алгебра над С , порожденная
образующими А, ? с соотношением f>& — frf> — d . Зададим в
Q структуру алгебры Ли: {.?qJz= fg—f^. а) Найдите центр
алгебры Ли Q . б) Докажите, что все дифференцирования алгебры
Ли B. внутренние, в) В Q. рассмотрим подалгебру OZ , порож-
порожденную элементами /,/>, f-, /**>/*?¦* У* • Покажите, что &?
допускает внешнее дифференцирование J&(f>mp-n + р. п^зпг) —
355. Пусть ? —*¦ •*&? - гомоморфизм алгебры Ли & в ал-
алгебру Ли дифференцирований алгебры Ли Ot . Определим умножение
в ? е OZ , полагая L К«), <*',<*'>!= (Е4#'1 , La, a'l +
+ <SX,<X — &)/?' &)> а> а & &Z> -°>& ?~ dt . Докажите, что это
умножение превращает <Я- Ф @1 в алгебру Ли.
356. Пусть О •' $~* & - такой автоморфизм алгебры Ли
Z — 1 . ПУСТЬ <& ={3C-€:0f\& 3е — х S И JZ ~{°
х =z — зс. } . Докажите, что ^=ЛФЙ , ? <^,Sl<z- <fc »
fij^ifl , Liz, fei^tP- . Покажите, что если В - форма
Киллинга алгебры Ли Of , то B(?c,ff) = О для зее &ug. &я
357. Пуоть ^ _ нильпотентная алгебра Ли. Предположим, что
любой коммутативный идеал алгебры Ли TL , инвариантный относи-
относительно любого дифференцирования этой алгебры Ли, имеет размерность
62
не больше единицы. Докажите, что тогда *ls — либо нулевая ал-
алгебра Ли, либо алгебра Ли Гейзенберга {**>••-, */»., У/, .... </п. ,
| [ Xi,#?J = - L$lP *cl ~ 2 } .
358. Пусть J3 - конечномерное представление алгебры Ли
% .Для х,^^- ^Г положим #(oc,tf)= ZS J>(*^>f(y).
а) Докажите, что ¦& - билинейная симметричная форма на алгебре
Ли Of . б) Докажите, что tf(cu{ x,ti) + #(*:, ctct'^ г-) = О,
в) Докажите, что еоли OZ - идеал алгебры Ли ui , а <^б -
ортогональное дополнение относительно S(x, и) , то Ot'1' - идеал
в ^
359. Вычиолите метрику Киллинга через структурный тензор.
360. а) Вычислите метрику Киллинга для алгебры Ли ^.(п)
группы Ли ЕГ(п ) движений проотранотва JR. .6) Вычислите
метрику Киллинга для алгебры Ли
§ 19. Критерий Картана
361. Пусть б" - автоморфизм простого порядка р алгебры
Ли4(т.е. 6"^= са? ), не имеющий неподвижных точек, отличных от
О . Докажите, что алгебра Ли 01 нилтпотентна.
362. Выразите условие .полупростоты алгебры Ли в терминах
структурного тензора С;°? •
363. Пусть в? - алгебра Ли (относительно обычной операции
коммутаторов) квадратных матриц седьмого порядка, допускающих
запись вида
О
-2г
-К
л*
~~"Я.
63

где 2-^,..., &6, z<fi , ¦ ¦¦>-"re, hi, A^ e <C . Докажите, что
^ - полупростая алгебра Ли. Найдите ее прдалгебру Картана
корни &i относительно "&> и соответствующие корне-
корневые векторы.
364. Докажите, что алгебра Ли о? над полем характеристики
ноль разрешима тогда и только тогда, когда Тх Са.*сл} =¦ О
для любого элемента ос <G. ^С — С с?, dC j .
365. Докажите, что алгебра Ли о базисом ^1, ел, ез о коммута-
коммутационными соотношениями
= e
i,
3 =
полупростая. Найдите ее подалгебру Картана и соответствующее
корневое разложение.
366. Докажите, что алгебра Ли с базисом е.1ле^ге3 и соотноше-
соотношениями 1^л,блЛ=&3, Ce^e3;j = е± , Г^е^Л= е^ полупростая.
Найдите ее подалгебру Картана и соответствующее корневое разложе-
разложение.
367. Известно, что если (??- - нильпотентная алгебра Ли, то
ее форма Киллинга ё -= О . Верно ли обратное утверждение?
368. Иэвеотно, что если форма Киллинга Е> — О алгебры Ли
О7 , то Of разрешимая. Верно ли обратное утверждение?
369. Пусть К - поле нулевой характеристики, V - конечно-
конечномерное векторное пространство над к и <ty - подалгебра Ли
алгебры Ли ЕГпс? (V) . Докажите, что алгебра Ли ^ разрешима
тогда и только тогда, когда ~tx (осу) — О для всех
' Г J
0 0 g
370. Пусть Oi - полупростая алгебра Ли, х^ ^» - такой
элемент, что a<L х — нильпотентный эндоморфизм. Докажите, что
найдется элемент /> €" ^ , такой, что С n^x]=J^ . Докажите,
что для любого представления алгебры Ли 0f оператор J'(x)
нильпотентен.
371. Приведите пример алгебры Ли О? о ненулевым радикалом,
на которой задана невырожденная симметричная билинейная форма
В (т.е. В(<*с(^?, 2-) + B(f, а.<^^у = О для
372. Докажите, что если <j4? - конечномерная алгебра Ли,
обладающая невырожденной формой Киллинга, то каждое дифференциро-
дифференцирование о& алгебры Ли &? внутренне, т.е. at)~ °-cC x для
некоторого элемента зс е- О^ .
64
373. Докажите, что если ^3?- — полуцроотая алгебра Ли над
алгебраически замкнутым полем, то OZ оодержит элемент я. ^Ф О ,
такой, что оператор л«^ нильпотентен.
374. Пусть ff^CX)— detfxE-<*Аа)- характеристический много-
многочлен преобразования о.<хл в алгебре Ли ОС , о© - дифференци-
дифференцирование в &? . Докажите, что если ? независимая переменная, то
375. Проверьте критерий Картана. для алгебры Ли <%'® (ff(LxJ/
/(х3)) , где &р - четырехмерная алгебра Ли с базисом €, Сд
&з г ff и коммутационными соотношениями [ е* €]
376. Проверьте критерий Картана для алгебры Ли &¦= % ®
xl/(x3)) , где 0? - четырехмерная алгебра Ли с базиоом Z^,
€.^,4Ъ>€$ и коммутационными соотношениями ? €f} <?з7= ^,
C«t,e33 =ez, ?ef, e^=-€x,CeZje^J= et . найдите под-
подалгебру Картана в А и соответствующее корневое разложение.
377. Проверьте критерий Картана для алгебры Ли if =¦
— &? ® jLftf^J / (х*) ) , где ^^ - пятимерная алгебра
Ли с базисом ^г,..., С.$- и соотношениями
Найдите подалгебру Картана в ??. и соответствующее корневое раз- .
ложение.
378. Пусть ?f - алгебра Ли комплеконых многочленов от веще-
отвенных переменных Pj Ъ* относительно скобки Пуасоона
I f, / $ — ^~±~ ър ~~ QgT 9^~ • Д°кажич?е, что каждое
дифференцирование ob алгебры Ли 0? имеет вид: о2* ~
€Г С.
, где ^ €=¦
379. Пусть "^ - ассоциативная алгебра, порожденная образую-
образующими р, $¦ с соотношением рр — &/3— * • Структура алгебры Ли
в of вводится стандартным образом: CfigJ — &f ~~ g ¦?
Докажите, чта вое дифференцирования алгебры Ли оС внутренние.
380. а) Докажите, что алгебры Ли Of и j? из задач J6» 378,
379 не изоморфны, б). Докажите, что подалгебра в сС , порожден-
порожденная элементами 1,/>> *?-,/>">/'?> Р'** допускает внешнее дифферен-
65

дарование, задаваемое формулой
§20. Структура полупростых алгебр Ли
381. Цусть &? - полупростая алгебра Ли над (С , ^
подалгебра Картава. Обозначим через А множество ненулевых кор-
корней алгебры Ли 01 относительно А^ . Пусть / - подмножество
в Л , удовлетворяющее условиям: если %"€¦ С , то —/€• Г* ;
если ^ 5"е Г и $+ S~ €: Л , т0 f + Fe Г . Пусть 0?г -
наименьшая подалгебра алгебры 1л <?? , содержащая все корневые
подпространства О? , ^^ /~* '. Докажите, что тогда Фу
полупростая алгебра Ли, а *?*¦ /7 *-%г-< ~ подалгебра Картава в
382. Докажите, что следующие свойотва характеризуют подалгеб-
подалгебру Картана bfr полупроотой алгебры Ли О^ : a) /ty - максималь-
максимальная коммутативная подалгебра алгебры Ли <2г ; б) для всякого
П 4= (fa- эндоморфизм clcl ^ пространства (Ж полуцрост, т.е.
диагонализируется в некотором базисе.
383. Перечислите все сиотемы корней простых алгебр Ли ранга 2.
384. Цуоть о( - серия, содержащая корень J3 , имеет вид
Jb + TlaC (f> ** п ** % ) • Покажите, что если Х^ € <Y°%
X-ct ? <%~* , Xjb^ $ * , .где Jb Ф О , ty* - корневое
подпространство, отвечающее корню оС , то [)( [X<*,X/iJJ ~
= {:?A-/>) <?(Л«) в<Х/Х_„) Х^ \в -Форма
Киллинга алгебры Ли '^ ).
385. В подалгебре Картана fty выберем произвольный вещест-
вещественный базис и положим о( (/))=¦ ^fx ?t~* ... ~*~ °fm i:m , где т/z -
комплексная размерность ^- и ?i,.-, ^'т - вещественные коор-
координаты элемента h €" Ъ/? • Корень сС назовем положительным, если
первая из ненулевых координат °(t, ¦•¦ , ^м положительна (°( >О) .
Соответственно, мы считаем, что <Х. >Jb , если d.—JiX). Поло-
Положительный корень называется простым, если его невозможно предста-
представить в виде суммы двух положительных корней. Докажите, что проотые
корни образуют базио. Докажите, что всякий корень оС однозначно
записывается в виде ^Т гтг^ °° Z • Где UJc ~ простые корни и
7П. i - целые чиола одинакового знака. Докажите, что числа
66
LJ
,^j)/(ri ?, h-i) целые, где (A, Y J - метрика
Киллинга я ^°i (n) = С At- , A ) , Вычислите матрицу // nij II
для классических алгебр Ли *>€(п, С), ло(п, €)к */>(», С").
386. Цусть Ж. = {jr—j. ® 0^оФ ••• Ф Qf.? ~ полупростая гра-
градуированная алгебра Ли с 07_t -ф О , fyQ Ф О ( С ??;, фО]*—
с=ц- &?- c-t-J )• Пусть /3 - форма Киллинга алгебры Ли Jf .
а) Докажите, что «Jf~ ^1^® ^о Ф &f j , т.е. 0f^ =¦ О ;
б) Докажите, что отображение с< ; ? —=» % , определенное равен-
равенством оС( X -i ¦'"Хо *" Xi) = ~ X _х +ХО •-" X j является инволютивным
автоморфизмом алгебры Ли of , где Xt' € &р? , *' = —j(, О, i. .
в). Докажите, что подцространотво ^1^ Ф ^^ перпендикулярно к
^o относительно ^ . г) Докажите, что В>\<%-?~0, В/%?х— О .
д) Докажите, что *%f а ~ дуальное векторное пространство к ^-^
относительно опаривания (X-i, Ki) = S(X^± ^t) • в) Докажи-
Докажите, что два представления <яй^>^>)/<У_/ и Gicfgftyo) / ^'j' алгебры
Ли g?'^ сопряжены отноовтельно формы Киллинга ^ . ж) Докажите,
что существует единственный элемент ее ^о такой, что
• 387. Пусть hi, .•-, лт - базис подалгебры Картана *^- в
полупростой алгебре Ли Of . Дополним этот базис корневыми векто-
векторами ??<? ?г Of* для всех ненулевых корней °^ . Цусть
Аы. ? С ?^< ^}з ] = О * если о^ +yi ^f- С не является
корнем,' и ? ?•„/, Bjbl ~ A^jb ^Ji > еоли ^ ^^ ~
ненулевой корень. Здесь (h,h[c) = °L (Л) • Положим ^K.f,~ О
если °t +_р> Ф О не является корнем, а) Докажите, что для
любых корней d,Ji имеем А/л,^— — Л^ы_/ъ • б) Пусть У
ненулевые корни, причем Ы. + Jb ¦*• Y= О . Докажите, что
№*jh= /У/ьы. = /^Voc • в) Пусть o(9J3, YP S~ -ненулевые
корни, причем cL+S+Y-t-S^O ,но попарные суммы корней
oL, J!>, Y, о не равны нулю. Докажите, что имеет место равенот-
M У А/ /УV A? = О.
388. Цуоть //^Jb такие же, как в задаче № 387, <*,Ji _
ненулевые корни, причем Ы-tj?> Ф О , d Ф J& . Докажите, что
если oL — оерия, содержащая Jb , состоит из всех векторов вида
Jb + ld. ,/>? Я^р . то ^ Уы & ( П/
389. Пусть 6f> 01f - проотые алгебры Ли %д- , %д- - подал-
67

гебры Картана в ft? и ^г' соответственно; А (соответственно
Af ) - множеотво ненулевых корней алгебры Ли (?? (соответст-
(соответственно ^f/r )-. Пусть *f - такое взаимно однозначное отображение
пространства )Q на ty , что сопряженное V к ? отобра-
отображает систему Д' на систему ^ . Докажите, что существует
изоморфизм ? '. О/ —>¦ 0f' , продолжающий f .
390. Пуоть До(у5 определены так же, как в задаче й 387.
Докажите, что векторы ?~^ €. C/ можно выбрать так, что бы вы-
выполнялись соотношения ^ыл = /У-ы. -гъ •
391. Пуоть /K^j3 такие, как и в задаче J6 387, и корневые
векторы E^t^ Of* выбраны так, что А^а = ^—ы. —& • Дока-
Докажите, что A/^js — р D—¦/>') (<*>**¦)/х. -^> О,
т.е. А/ы.? - вещественные чиола. Здесь </, уз - ненулевые корни,
причем oL=?JZ> , °^ ~*~J^ ^ О и оС - оерия, содеражщая J3, ,
состоит из векторов вида jh + А °( » /> < Я $fi •
392. Пусть оС - комплексная алгебра Ли, *^' - абелева под-
подалгебра в оС , А - конечный набор ненулевых линейных функциона-
функционалов на Jfo- • Для любого линейного функционала Л на щ- обозна-
чим через <Х. совокупность таких элементов хе <?С , что
? h, xj — Л(h) X для всех h & )ty . Предположим, что:
а) линейная оболочка множества А оовпадает с пространством
линейных функционалов на А/?- ; б) еоли оС &¦ Л. , то
А и L ? °^ ^""'J^ Г<?^ Для любого о( €г А. ;
в) <^ = ^- ф ^~Г У^ . Докажите, что У5 -
подупроотая алгебра Ли, 1^ - подалгебра Картана в л. и раз-
разложение of =• ?р- Ф J*?-u ?* есть разложение алгебры Ли Jjf
относительно подалгебры Картана tfy на корневые поддространотва.
393. Пусть &1 - полупростая комплексная алгебра Ли, А^ -
её подалгебра Картана и о^>4,) = (h, /) и ) для корня оС^ А
( Л - множеотво ненулевых корней). Определим линейное отобра-
отображение S*'. )Сг —> &* формулой ^
( A
~ (n^ 7 p^ ) .
Докажите, что
394. Пуоть vV - группа, порожденная преобразованиями *->д
Pi ? /\ . Докажите, что W - конечная группа (определение
для $? см.в задаче * 393).
68
г395. Найдите группу W (определенную в задаче J6 394) для
алгебры Ли 5-С-(п, ?2) .
в96. Найдите группу w (определенную в задаче № 394) для
алгебры Ли -ьоСп, С) .
397. Найдите группу W (определенную в задаче № 394) для
алгебры Ли -ььСп, С) .
j 398. Пусть ы^- - подалгебра Картана в Cff.= 1~Cl3j, С) , сос-
состоящая из диагональных матриц, 6" - тождеотвенное представление
алгебры Ли ^ в пространстве V™ С . Внешняя степень
J* =" /I б" представления б" действует в пространстве
?~ — Л V Вычиолите оиотему весов представления
и опишите соответствующее корневое разложение пространства
399. Пусть (% - алгебра Ли комплеконых матриц размера
6*€ , кооосимметричных относительно побочной диагонали, а
следующая подалгебра Картана К _ Г^а 4 с О
L» О ~" —
| тождественное представление алгебры Ли О% в пространстве
V — С? . Внешняя степень р -/I, б" представления 6" дей-
действует в пространстве ? = /1 Се . Вычислите систему весов
представления ^/> / %?¦ и опишите соответотвующее корневое раз-
разложение пространства ? .
400. Пусть & - полупростая алгебра Ли над полем /
| характеристики 0 и ?: ^~"> ??/?</(V) - её представление.
1 положим B_f(X,Y)= zft ф(Х)-РСХ) ( X, Y ?r ot )
| Докажите, что: а) если Bj ~ О , то ? =. О (т.е. ?(х) — О
| для всех X ? &^- ); б) если представление ? точно, то форма
! В J> невырождена.
i
§ 21. Простые алгебры Ли
| 401. Пусть 0? - простая алгебра Ли над С . Докажите,что
0f Л проста, a (?f^) не проста.
| 402. Алгебра Ли с базисом Х^ Xt, /з и коммутационными
соотношениями С Xi, X^.J= X^, Z^ Xi^ X3]~2. Хд.проста.
Покажите, что можно выбрать такой базис Y*^ Yi Ys , что
403. Приведите пример алгебры Ли над полем С комплексных
' чисел, не имеющей вида 0f , где 07 - алгебра Ли над полем
, 5-I4Q2 69

IK- вещеотвенных чисел.
404. Пусть <^Г - простая трехмерная алгебра Ли, а В - ее
форма Киллинга. Обозначим через C?fS) орт-огональную алгебру
Ли формы 3 ¦. Покажите, что ас?' Су'-> О (В) - изоморфизм.
405. Пуоть ^ - простая трехмерная алгебра Ли, а В - ее
форма Киллинга. Докажите, что элемент хG- <?^ регулярен тогда и
только тогда, когда В(х., эсу ^ О
406. Пусть Я - алгебраически замкунтое поле характеристики
Z , S)n~ K[xf,...mxn]/{xf, ..., х?) . Докажите, что
упность всех дифференхшюовяний -g)^ образуют простую алгебру
Р >
совокупность всех дифференцирований
Ли Wn •
407. Пусть <^Г - трехмерная алгебра Ли. Докажите, что сле-
следующие условия эквивалентны: a) &f — ?с%^ &3 '• б) форма Кил-
Киллинга 3 алгебры Ли &? невырождена; в) алгебра Ли <%? полу-
полупроста; г) алгебра Ли ^'проста.
408. Пусть ?%? - простая комплексная трехмерная алгебра Ли,
3 - ее форма Киллинга. Докажите, что следующие овойства алгебры
Ли &? эквивалентны: а) <?? содержит ненулевой изотропный
(относительно В ) вектор; б) № изоморфна -i-сС^л ^^ •
409. Пусть <?? - трехмерная простая алгебра Ли над полем f{ .
Снабдим векторное пространство /\ — -f{ ф- ?? единотвенной струк-
структурой алгебры, в которой 1 - единичный элемент и произведение
^л ^ -> А задано формулой ху = ? Bfoy) •*¦ + ¦?¦ ?*> ?
ос, ? F <%?- . Докажите, что п - алгебра кватернионов над
полем А . Проверьте тождество ZLx_, С у, &JJ = &(Jc,jf) & —
— В (X, &) ^ для X, fr, 2г ^ <?7 , В - форма Киллинга
алгебры Ли 0f .
410. Докажите, что ло(^) - не простая алгебра Ли. Найди-
Найдите ее разложение на простые идеалы.
411. Докажите, что алгебра Ли Ъ<,(/?, t.) простая.
412. Докажите, что алгебра Ли -1>о(я,С) (tt^S) простая.
413. Докажите, что алгебра Ли '*/6<^> €-/ простая.
414. Пусть ^ - простая алгебра Ли над алгебраичеоки замкну-
замкнутым полем Я и пусть <p(#j &) - инвариантная симметричная
билинейная форма на <^? . Покажите, что ^ пропорциональна форме
Киллинга.
70
415. Запишите условие простоты для комплексной полупростой
алгебры Ли в терминах ее сиотемы корней.
416. Пусть itli7 ?=ы.) ~ такой базис комплексной полупростой
I алгебры Ли 01 , как ошгоано в задаче & 387, причем /У&ъ -
| z^-J* ' Пололим Uori(B^e-^^v^ ^-с-*,
| /J"^ =v/<x;^ ос ^ Д , Л - система корней алгебры
| Ли Gt относительно некоторой подалгебры Картана^ Докажите, что
| подпространство о? , натянутое на 1(-и, Vat, /» gf , является
! подалгеброй Ли, такси, что с? = С$- и аС алгебра Ли неко-
некоторой компактной группы Ли.
417. Докажите следующие изоморфизмы простых алгебр Ли:
418. Докажите следующие изоморфизмы простых алгебр Ли
419. Докажите следующие изоморфизмы алгебр Ли: lo(f) =.
где
~22 Я±/ I
/ I
Ъ.± 2?^ - комплексные матршда порядка 2, причем J?x - косооим-
метрическая, а 2^ - эрмитова j .
420. Докажите следующие изоморфизмы проотых алгебр Ли:
где
(O - i I -=r ¦==- 1 I 2* 2,- комплексные матрицы
порядка 3, причем z?t - кососимметрическая.а 2^^ эрмитова г ;
(
р р z?t
и*D) ~ 1 ( — * /I 2*2
1А ~ZA ,^/\
~ комплексные матрицы поряд-
ка 2 и
71

§ 22. Дополнительные задачи
421. Пусть >^- = f €tj .. ., es } _ алгебра Ли с коммутационны-
коммутационными соотношениями С Gi, ^з,1 - €s~
i_ e^, <?31 - ев; L +,
f еъ, е* 1 =¦ - ез-, С еъ, ew = - ^ с e9j e6 j = - е8.
Докажите, что: a) 8(fy)^^(fy) ; 6) *>(ty)~Щ)+С(%),
где «©( -^ - алгебра Ли всех дифференцирований, Т(/^) _ алгебра
нних- дифференцировании, С.(%л-) - центральные дифф
ваная
ффрцрваний, Т(/^) _ алгебр
внутренних- дифференцировании, С.(%л-) - центральные дифференциро-
ваная <=с/ - а* —> 2f( Xj^/ с ^ Д
422. Приведите пример такой алгебры Ли
(<?f) — О ; 6) C(&)=:J^{&) , где
Z- {<??)- центр,
a)
ры Ли g V^
дифференцирования,
ренцирования.
423. Пусть
что если C2(fo.)
что:
- радикал алгеб-
алгеб? - центральные
- внутренние диффе-
диффе- подалгебра Картана алгебры Ли ^ . Докажите,
) : ЗГ (%^) , то <^ разрешима. Здесь C(J&)
- центральные дифференцирования, ЗГfty) - внутренние дифферен-
дифференцирования.
424. Пусть <*- - алгебра Ли, С(аб) - центральные дифференци-
дифференцирования ос/'оС—> с? , т.е. такие дифференцирования ас? > что
оЕ^&'Л^лелсит в центре ^(ев) алгебры Ли <^f . Докажите, что
эндоморфизм /4 : о? —* ^ является центральным дифференцирова-
дифференцированием тогда и только тогда, когда А(а?) <^ z~ ($.) ж
/^ ( [of, сС]У ~ О . Докажите, что OfoC) - подалгебра в алгебре
Ли о?>( j?) всех дифференцирований. Является ли С(с?) идеалом?
425, Пуоть Л- - алгебра Ли, являющаяся прямой суммой своих
идеалов о?с- _, *'=/,... ^ т? , С(а€)- центральные диф-
дифференцирования оЭ '• <5^~> of , т.е. такие дифференцирования с® ,
что o?>^cS?j лежит в центре ^-(??) алгебры Ли о^ • Докажите,
что <2)(о?) — -ZT^of) ~t~ A (в?) тогда и только тогда, когда
оЭб^) = -Г^') ^ С( ?¦ ) , где ?(?)- алгебра
внутренних дифференцирований.
426. Приведите пример такой алгебры Ли ОТ
что
72
ity) ~*~ ^~(ф) » гДе -?¦(&) - пространство внутренних
дифференцирований, C(@f)= {?):(%- —*> z[fdt) J - центральные
дифференцирования, 2z(<gf) - центр, а ?)(<??) - пространство
всех дифференцирований.
427. 'Пусть Qft & - алгебры Ли, <Л • ф-*?~- линейное
отображение. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
а) MLX, 1Х,ХПУШ, [JX, J4U для воех X,Y6^;
б) J(CKLXZ1)LJX,[<#Y, <*?U длявоех X,Y,Ze ^r;
в) для любого базиса е/* — ^ ^« алгебры Ли 0/ выполнено равен-
равенство ^1е^ [е^.г е^]] = Zrf-ec, L^^Jj ^?€&fi для
тройки индексов С i,j, -Я) 3 L ** -Я j J. <Л.
428. Пусть ^ - алгебра Ли, Z (*f) — { Т
ШЛХ^ЫТхЛтигПявя всех Х^,^е^1 . Докажите, что
/, ( <2f) - группа Ли. Пусть ^ - ее алгебра Ли. Докажите, что
следующие утверждения эквивалентны: a) S^ °? '> <$) ?[X, LX ?JJ=
= С SX, ?Y, ZJJ + СХ, TSY, EJ] + ГX, f У, S 2JJ да всех
X/Y, 2-еgr; в)
+ сх,?х., 5ZJJ
429. Пусть ^- - алгебра Ли, А'<^~* ty - такое невырожден-
невырожденное линейное отображение, что /4ГХ_, CY^ Z72 ~ ?/4Х, [AY, A z?J]
для всех Х^ X ^^ ^ • <?С - радикал алгебры Ли <?? . Дока-
Докажите, что /\<jt =¦ й^" •
430. Докажите, что идеал ?r~ =Lfy,^JП& не инвариантен
относительно таких линейныг преобразований ,4 ^ (?Z ( ^"J
алгебры Ли Of , что /1 ?Х,[У, ZJ3~f/|X,?/4Y, Л ?JJ (для всех
X, Y, 2- €- ^? ). Здесь & - радикал алгебры Ли Of .
431. Пуоть •?¦ - наибольший нильпотентный идеал в алгебре
Ли <^Г . Пусть /4 € G-L С&)- такое линейное преобразование,
что 7) ?Х, ?X277= tAX, LA Y, /1ZJ7. Докажите, что /1 П = W .
432. Пуоть ^ <^" - полупр^оотые алгебры Ли над алгебраичео-
ки замкнутым полем к. , А' Ф ~* & - такой линейный изомор-
изоморфизм, что ACX,LX?1] = LA X/iCAY, A ~Z I 1 (для всех X,
Y, "? *= ty ). Фиксируем подалгебру Картана ^- в <0Г ;
А - сястеыаненулевых корней алгебры Ли О? относительно 'fy ,
X^ - корневой вектор, отвечающий корню о< 6- Л. . Полежим
В = k?t U U Я Xы . Докажите, что существует такая
а лег л ^
5х-1402 ' 73

Функция а; В*В —> & , что A LX}Y]^EfXjY) LAX, AY]
для всех X,Y €¦ В и S (X,Y) ** О , если LA X,AYJ Ф О . Дока-
Докажите, что еоли ho (= %fr - произвольный регулярный элемент, то
S. CX^>Xji)= b.Cfioj, А<)~ всякий раз, когда J5, a(G Л и
<* +Jb €r A U I о 1 .
433. Пусть (fl и .&f - алгебры Ли над алгебраически замкну-
замкнутым полем К , причем &i простая, a j?~ полупростая. Докажи-
Докажите, что если А ¦' 6/ ~> & - такой линейный изоморфизм, что
/4 г. X, ?Y, 211 — L AX, LAY,Л 277 для всех X,Y, ^&&> то либо
А , либо —/1 является изоморфизмом алгебр Ли и Д_ - простая
алгебра.
434. Пусть <# и <& - конечномерные полупростые алгебры Ли
над полем /С характеристики нуль. Предположим, что <#"— ^/Ф
©^^Ф... Ф^у,- разложение ^^ на простые идеалы ^'. (они опре-
определены однозначно с точностью до перенумерации)^/^: <^ —>¦ &
- такое невырожденное линейное преобразование, что A[X,[Yj^lJ-
- [АХ, LAY, А ?]] . Тогда tfST= А%х © ... ф А #„ - разложение
в прямую оумму алгебры Ли &" на простые идеалы. Если Лс ~
— А \ <tyс , то либо Ас , либо — Ас является изоморфизмом
&f I на A fy V •
435. Предположим, что ^ - конечномерная полупроотая ал-
алгебра Ли, oL '• &/-* <*f*-CV) - ее конечномерное представление.
Пусть <?'. &(^> V линейное, а « : ^Г;с^~*' V - билинейное
отображения, такие, что « /'х, Х^ = О и
для всех Xj I, 2" ^^ • Докажите, что справедливо равенство
J(LX,Yl)-*C(X)J(Y)+'*Mc((Xh?{X, Y) для всех X.
436. Пусть ^ - такая алгебра Ли, что $^=?^S
и d^ / & ~ пРоетая алгебра Ли, где ? - радикал алгебры Ли
ф. , А '¦ <^~> &? - такое невырожденное линейное преобразова-
преобразование, что А ¦ I X, "Т Y, ?]]=Ш, LAY, A?1L Докажите, что либо
п , либо —А - автоморфизм алгебры Ли <%р . Приведите при-
пример неполупростой алгебры Ли
437. Пусть
<Э7
такой, что
- полупростая алгебра Ли над
74
J ?
, /к? - её
подалгебра Картава, М- {^^ Аи?(ф)\ ^(ty) = -^ } , где
Аит? ( %) ~ группа автоморфизмов алгебры Ли 01 ,
o€:cicLFflr- присоединенная группа, лес (<%) =
х е М}. Докажите, что: а) Аи.Щ) ^А<1(<*()• /У ;
б) Aut(<y)/A<t(y)= У/ЛЮЛЩЬ
438. Пусть <^ - простая алгебра Ли над С- , 6V ^—? ^ _
такой автоморфизм алгебры Ли <^? , что <Sm= j . Положим
ь.тгг <*
-555— . Тогда собственные значения для 6~ имеют вид
следовательно,
, 6" - диагонализируемое преобразование и,
® tyj ' гДе *&/ ~ 00<3отввннов П°Д~
пространство, отвечающее собственному значении ?¦ . Покажите,
что С <%i, <§O'J c— *&c+j • Обратное, если мы имеем такое раз-
разложение алгебры Ли tt , то можно построить соответствующий авто-
автоморфизм <5"-' ф ~"* $Г. Пусть (У- , Y) - невырожденная инвариантная
билинейная форма на О? . Докажите, что: ?) (&?;, Ф/)— О •
если -с-*-/ ^=0 (mod тп) ; б) <&е- и **&/ образуют пару соп-
сопряженных пространств относительно ^X,Y) , если с +J =
= О (гпос?т) •
439. Пусть &р _ полупростая алгебра Ля,?:$(-* ^"-симмет-
^"-симметричный относительно формы Киллинга линейный оператор. Покажите,
что если а<^?<е(х)га] ~ CLcCx°<P> а^^— а<^а.° ^ ' ае^ *
для всех ос 6- &f > то существует такой элемент ? (Е* <9/ , что
440. Пусть &f - комплексная полупростая алгебра Ли, ас -
регулярный элемент. Постройте такой линейный оператор ?'• У/^> <%¦
что ? WaO^aJ = С ~&> *} и ? а.} 4J =г о для некоторого эле-
элемента ? . Являются ли такие операторы самосопряженными отноои-
тельно формы Киллинга?
75

Часть 3. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 23. Понятие симметрического пространства
Преобразование оимметрии, увлечение связнооти,
автоморфизм связности, симметрическое пространство,
трансвекция.
с п
441. Докажите, что сфера «-> является симметрическим про-
пространством. Вычислите преобразование симметрии.
442. Покажите, что прямое произведение симметричеоких проот-
ранств является оимметрическим пространством.
443. Пусть М - симметрическое пространство, 6"^. - оимметрия
относительно точки х ? М . Определим в М умножение
Х-"% — ^x-(jf) . Покажите, что это умножение удовлетворяет
соотношениям: а) ?• X. = X ; 6) X' (Х'у) =? ;
в> Х- (y'lt)- (х-у) • (X' ~г-) ; г) у каждой точки эс имеется
такая окрестность Ъ( ,- что равенство X.-Q — </ влечет у= от
для всех и из окрестности 2t .
444. Пуоть IrL^IH, С или IH . Предположим, что
if f. ( IK*) - множество всех подпространств в $f n размернос-
размерности р (многообразие Грассмана). Докажите, что /1/. (Ц?п) -
симметрическое пространство. Вычислите преобразование симметрии.
445. Левоинвариантная аффинная связнооть на группе Ли Сг
задается линейным отображением Л •' ^ ~> End (ty), где &f -
алгебра Ли группы Ли Сг . а) Покажите, что условие А(ЮУ~
~Л(У)Х ~ С Х} Y3 означает равенство нулю тензора кручения
- абелева алгебра Ли и
где &/ - базис IR . Определим
I с у формулами &i Bj = ву ес- , б2 е+. - — е, -// е^ ,
•е^ -е з ~ ~ 7 с ^ , остальные произведения нулевые. Вычис-
Вычислите компоненты тензора кривизны этой связности. Докажите, что
А о не плоокая. в) В обозначениях п.б докажите, что
V&Rj Р? = О , т.е. связность Ло задает на группе Ли
Q- структуру локально симметрического пространства,
г) Докажите, что уравнения геодезических связности /\ о на уни-
версальной накрывающей имеют вид эс -<-/.. У- Х-<> = О , где
/— Я — ^/ *"'
' t- / — со-г>-ъ z и геодезические на ней не имеют кратных
J 76
связности Д • б) Пусть Of —
Д /¦ я,Ч р. _ /- «. Я '
точек, д) Докажите, что связнооть /\ 0 - полная аффинная связность,
е) Покажите, что на группе Q = l&+X /R.f* SOfi) xS0B) геоде-
геодезические для овязнооти Д о • имеют точки самопереоечения. ж) Най-
Найдите наименьшую алгебру Ли .^ и ее инволютивный автоморфизм
6~: <5? —> о? такой, что тройка (оС^, aCs',6~) определяла полное
глобальное симметрическое пространство со связностью Ло .
з) Опишите все локально изоморфные группы Ли с абелевой алгеброй
Ли О7 и опишите те из них, на которых геодезичеокие для связ-
связности /1 о не имеют кратных точек.
446. Пусть Л7 - риманово симметричеокое проотранств. Дока-
Докажите, что фундаментальная группа 7Г± ( /Ч) коммутативна.
447. Пусть От = -Lо (М)- связная компонента единицы группы
движений риманова симметрического пространства А/ . Докажите,что
каждая Qf - инвариантная р -форма на М замкнута.
448. Является ли множество всех прямых на плоскости симметри-
симметрическим пространотвом?
449. Является ли симметрическим пространством множество всех
больших окружностей на S ?
ID 3
450. Пусть IK-i - псевдоевклидово пространство со скалярным
произведением -лг-^г+-гг„ а> = f "х '*-+(?*' + ?*- — Rz } -
псевдосфера. Докажите, что S - симметрическое пространство.
Вычиолите его тензор кривизны. Обобщите это утверждение на случай
У1 -мерного пространства.
451. Пусть Р. - однопараметрическая группа трансвекций,инду-
трансвекций,индуцирующих параллельный перенос вдоль геодезической У/z?) , прохо-
проходящей через точку X — Х"(о) . Она определяет на многообразии
М векторное поде
Докажите, что еоли X , \ - два таких векторных поля, то
452. Пусть М - связное симметрическое риманово пространство,
Сг - подгруппа в овязной компоненте единицы группы движений,
порожденная всеми трансвекциями, а Л - централизатор подгруппы
Q в группе движений. Докажите, что если Р - дискретная
подгруппа в Л , то отображение N ^> М/Г является римановым
накрытием, а М / Г -риманово симметрическое пространство.
Если AJ —> Д/ ' - риманово накрытие, причем /V /
77

симметрическое, тс М - А< / Г , где / - некоторая дискрет-
дискретная подгруппа в А • Группа А коммутативна.
453. Множество всех ортонормированиях реперов (_€^_3...г C-s)
в пространстве IR. является гладким многообразием, которое на-
называется многообразием Штифеля М = V^ (/R.n) . Являетоя ли мно-
многообразие V& (Цп) симметрическим пространством?
454. Докажите, что плоскость Лобачевского является симметри-
симметрическим пространством. Опишите ее группу изометрий.
455. Является ли симметрическим пространством многообразие
единичных касательных векторов к 9? -мерной сфере S ?
456. Пусть М - такое римансво многообразие, что каждая точ-
точка 𠈕 /W является изолированной неподвижной точкой некоторой
инвслютивнсй изометрий 6^> (б'3'=Ы, «5^,-5^ <</) многообразия
Д^ . Покажите, что для каждой точки ^ €=г Д/ существует
такая нормальная окрестность 2/ точки %- , что 6~V. есть
геодезическая оимметрия в ic .
457. Пусть М - римансвс глобально оимметрическое простран-
пространство. Покажите, что тогда его группа изометрий обладает аналити-
аналитической структурой, совместимой с компактно-открытой топологией,
причем с этой структурой она является группой Ли преобразований
многообразия М .
о"
458. I. Опишите группу изометрий 77-мерной сферы о .
2. Опишите геодезические в следующих симметрических пространствах:
а) пространстве Jfe ; б) сфера S п ', в) пространство Лобачев-
Лобачевского Z. . Приведите примеры трансвекций.
что если
459. Вычислите скалярную кривизну оимметрического простран-
пространства SQCn) с двусторонней инвариантной метрикой.
460. Вычислите кривизну симметрического пространства
S %i ( Л ) с двусторонней инвариантной метрикой. В случае ,
группы SZC(-Z) явно опишите геодезические линии. Приведите при-
примеры трансвекций.
24. Компактные группы Ли как римановы симметрические
пространства
Компактная группа Ли, биинвариантная метрика, геодези-
геодезические линии биинвариантной метрики, кручение, секцион-
секционная кривизна.
78
461. Пусть fidЛ.Ы-1Ad^ I $& G}. Докажите,
замыкание Ал ((г) группы Ad (G-) в G-L @f) компактно, то
алгебра Ли &f = /? (G-) есть прямая сумма простых идеалов.
л/ / /V \
462. Докажите, что алгебра Ли Of^L (\х) компактной группы
Ли Q есть прямая сумма простых алгебр Ли.
463. Докажите, что связная группа Ли Сг допускает биинва-
риантную риманову метрику тогда и только тогда, когда группа
/4<^((г) — {Ada ( 9 ?г Q- J компактна. Докажите, что скалярное
произведение <. %}\У на ^Г — и С Сг) распространяется до
биинвариантной римановой метрики тогда и только тогда, когда
< С ?^XJ,Y> + <\ X, C^jYjy = С для всех Х,Х ~^ ^ ^- '¦
464. Докажите, что две биинвариантные римансвы метрики
(если они существуют) на группе Ли и- с простей алгеброй Ли
Of ¦= cj С G~) пропорциональны.
465. Определим билинейную функцию <Ж '¦ у ~Р ^ .Ч'МЛЛ^ ?/~
— JL I v. L ^ ^ ! / -" -* ^ » где \Aj Ту- скалярное
произведение на алгебре Ли Of . Докажите, что Ы. ~ О тогда и
только тогда, когда метрический тензор <^ X; Y **> биинвариантен и
в этом случае операторы ал у , X ?r &f » кососимметричны на
(^^ < х, y > ; .
466. Докажите, что если связная группа Ли Gr допускает би-
инвариантную риманову метрику, то отображение e>xf>: &f—> С?
сюрьективне ( Of, - алгебра Ли группы Ли G ).
467. Докажите, что любая биинвариантная римансва метрика
< X,, Y У на п. -мерной (я > i) связней группе Ли Q
с простей алгеброй Ли <3f получается сдвигом скалярного произве-
произведения на Q , пропорционального форме Киллинга.
468. Пусть для алгебры Ли <?? '¦ egr - J&r
¦=LJ7, Jcr _J. Докажите, что если для алгебры Ли ОТ группы Ли Сг .
выполняется неравенство ^? (л' ф d>sfs* , то для любой левсин-
вариантной римансвой метрики на Сг существует двумерное направ-
направление с отрицательной секционной кривизной.
*
469. Пусть -f < со dim 0? * < П , где 01 - алгебра Ли
группы ли G, n =M^G; у«± ф, <&(*-"L t$f#<*>]; 4L>4.
Докажите, что в этом случае на Q- существует левсинвариантная
риманова метрика < X, Y^ , секционная кривизна которой для не-
79

которых двумерных направлений отрицательна.
470. Докажите, что множество всех точек односвязной компакт-
компактной группы Ли Q , неподвижных при каком-либо ее автоморфизме
? : Q- —> Q связно.
471. Пусть /, п - коммутирующие элементы компактной одно-
связной группы Ли Q . Докажите, что найдется такси максимальный
¦юр Т C=L Q > что #, 6 G Т .
472. Докажите, что всякая связная компактная группа Ли Сг
с полупростей алгеброй Ли &? является связной компонентой еди-
единицы полней группы движений некоторого риманова многообразия.
473. Докажите, что алгебра Ли ^Г компактной группы Ли Q
единственным образом разлагается в сумму своего центра $г и про-
простых идеалов, т.е. ^ = „S" © -?-1 ^с. •
474. Докажите, что полупростая алгебра Ли является алгеброй
Ли компактной группы Ли тогда и только тогда, когда ее форма Кил-
линга отрицательно определена.
475. Фактор-группа Т - й. / ~2L называется П -мерным
тором, а) Докажите, что при ri ф гп торы Т и Т*trt неизомерф-
ны. б) Докажите, что топологическая группа является тором тогда
и только тогда, когда она представляет собой компактную абелеву
связную группу Ли. в) Докажите, что каждый элемент компактной
связной группы Ли Q- принадлежит некоторой подгруппе Т a G ,
являющейся тором, г) Для любого тора Т , содержащегося в связ-
связней компактней группе Ли Сг , и любого элемента -5 <r Q- , пере-
перестановочного со всеми элементами из 7~" , существует такой тер
Т'<=. G . чтоТ^ Т' и se-T''-.
476. Пусть N(Т) - нормализатор максимального тсра
Т <^~ (г в компактной группе Ли Q- , т.е. /\f(T)= {l€Cr/iT'i~sa
=. Т } . а) Докажите, что Т является нормальным делителем
в А/(Т). б) Докажите, что группа W(G) ~/V(T)/T
конечна для любой компактной группы Ли Q и каждый отличный от
единицы элемент определяет нетривиальный автоморфизм тора 7^ •
477. Опишите максимальные торы групп Ли 6г = О(л(п^ж t/(ii)
ж вычислите конечную группу W—ZVCT)/ Т* , где Т - макси-
максимальный тер, А/(Т) = {^^ Q^T^ — "J1 } (см.задачу & 476).
478. Опишите максимальные торы группы Ли От - ЪО(п)
и вычислите конечную группу W— Л'(Т) / 7~" » где Т - макси-
80
малыши тор, М(Т)-{^€г (г1*Ть ' = Т ] (см.задачу & 476).
479. Опишите максимальные торы группы Ли Сг — S/> (n) и
вычислите конечную группу W=A/(T)/T , где Т1 - максимальный
тор, /Y{T)=i^€r(rl^T-i'f = Т } . Найдите порядок группы
W=/V(T)/T .
480. Пусть Сг~-«р«л ( П-) - универсальное накрытие для
оО(&) . Опишите максимальные торы группы Ли $/"'и С К) и вычис-
вычислите конечную группу $/=А/(Т)/Т1, где Т7 - максимальный тор,
/V(T) ={l€G /iTV '= 7 I (см. задачу № 476).
§ 25. Инволютивные автоморфизмы групп Ли и связанные
с ниши оимметричэские пространства
Ранг симметрического пространства, симметрическое
пространство вида Q-/ // , ~2Г - градуированные
алгебры Ли.
481. Докажите, что однородное пространство Slt(n)/SQfn)
является симметрическим. Вычиодите его размерность и ранг. Здесь
$Q(n} -> SZt(n) - естественное вложение.
482. Докажите, что однородное пространстве $U(kn)/S/>C/?)
является симметрическим. Вычислите его размерность и ранг. Здесь
вложение Sb ?>?") —> S 1/B-ft) порождено комплекоификацией-.
483. Докажите, что однородное пространстве $7/(l>+y)/S(U(f>)*
¦ х 14'(р)) является симметрическим. Вычислите его размерность
и ранг. Вложение S(?/O>)x 2tfe)) —>S2/(b+9>) - стандартное •
484. Докажите, что однородное пространство C(/?)/(f)
X SC?(р)) является оимметрическиы. Вычислите его размерность
и ранг. Вложение SOty)* ^Оф) -> SO (f+P) - стандартное ;
H)
H)
485. Докааг.те, что однородное пространстве
является симметрическим. Вычислите его размерность и ранг. Вло-
Вложение 2((h) —^ SO(S-i^) порождаетоя операцией овеществления.
486. Докажите, что однородное пространстве Sfifn)/?/(п)
является оимметрическим. Вычислите его размерность и ранг. Вло-
Вложение 2?(п) —> Sfo (n у стандартное.
81

487. Докажите, что однородное пространство ^b^zzw)/?^^.)*
х Sp(n>)) является оимметрическим. Вычислите его размерность и
ранг. Вложение $ь(п)к S/>{m) —=> St>(n-t-m) _ стандартное
488. Пусть Q- = 2t(fl), H = 1С(п-1) . Покажите, что про-
пространство X — (г/// симметрично и может быть представлено в
виде многообразия в <Сп , заданного формулой г?гг^ + ••- +
489. Пусть G=$O(f>,p') и Н =SOQ>-t,f,) . Покажите, что прост
ранство Х- Gr/H симметрично и может быть представлено как
гиперболоид, заданный формулой х* ¦*¦•'¦
р
xl ~~x?j-f~'
490. Покажите, что симметрическое пространство X ~
ВШ^, i)/t(D) можно реализовать как единичный диск J& = г
1 г/ <• 1 } . Покажите, что действие группы
о?) задается дробно-линейными преобразованиями
-р*г.
491. Докажите, что инвариантный метрический тензор на прост
ранстве с2) из задачи J* 490 имеет вид 7гг ~ Я (f ~
IRP
492. Докажите, что цррективные пространства IR
я ?/ Р являются симметрическими. Найдите их ранги.
493. Докажите, что ориентированные большие окрежности на
сфере ,5* образуют симметрическое пространотво. 7кажите для
зтого оимметрического пространства представление вида &/// •
Выполните аналогичное упражнение для множества неориентированных
больших окружностей на сфере JS •
494. В группе движений плоскости ах. докажите следующее
тождество. Пусть <х,^с - три произвольные ооевые симметрии.
Тогда
495. Пусть М ~ симметрическое пространотво ()/(
К SO(f)), а ?:М-:> Л1 - гомеоморфизм периода 3. Докажите,
что s? на Ду имеет неподвижную точку.
82
496. Пусть А/ - симметрическое пространство S0(8)/(S0fr)x
X SO(b)), а ?'-М—>М - такой гомеоморфизм, что некоторая его
степень гомотопна тождественному отображению. Ч.ервз-?* tf*(Af $)
^(j4 № )
обозначим индуцированное отображение в проотран-
стве когомологий. Докажите, что линейное отображение ? имеет
собственное значение, равное +1.
497. Пусть ? €¦ G - произвольный элемент компактной мат-
матричной группы Ли (г, п - ее замкнутая подгруппа, действующая
на Q- присоединенным образом, C(?)={h€H j л?=? //- централи-
централизатор элемента 5 при этом действии. Пуоть &i,..., €n - базис
алгебры Ли Ofr группы Ли Н по модулю^Ли /!~(?) централизато-
централизатора C(g) . Докажите, что объем vo-? ОС^отрбшн Ofg) относи-
относительно бйинвариантной метрики на ц- вычисляется по формуле
VO
¦fCfj)
/
t = §¦
группы Ли Q
, Y) - метрика Киллинга алгебры
где
Ли
498. Пусть J* - представление изотропии симметрического про-
пространства fA ~ Gr/И - SZf(tt) /SО(п) . На Q рассмотрим би-
инвариантную риманову метрику. Вычислите объем орбиты С?^^)
регулярного элемента % 6 Si/(n) » С?($) = { ?(Х)Я j X € Н }.
499. Пусть S - представление изотропии симметрического
пространства М- (т/Н = Sf>(n+m)/$p{r>y Ж S/>(m) . На G рассмот-
рассмотрим биинвариантную римансву метрику. Вычислите объем орбиты
&( регулярного элемента Я € S& (п+т) &С)
/е« }
5CD. Пусть ^Р — представление изотропии симметричеокого
пространства М= Q-/H'-S/>fa) / Zf(n) • На Q- расомотрим би-
биинвариантную риманову метрику. Вычислите объем орбиты Of#)~
= { р(х)ч I X" €- Н } регулярного элемента о & Sfi ('/г ) .
83

Литература
1. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраичес-
алгебраическим группам. М.: Наука, 1988.
2. Гото М., Гроссханс Ф. Подупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1981.
3. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.
4. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978.
5. Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная геомет-
геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986.
6. Капланский И. Алгебры Ли и локально компактные группы. М.: Мир,
1974.
7. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1972.
8. Лоос 0. Симметрические пространства. М.: Наука, 1985.
9. Наймарк М.А. Теория представлений групп. М.: Наука, 1976.
10. Новиков СП., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии
и топологии М.: Наука, 1987.
11. Новиков СП., Мищенко А.С, Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т.
Задачи по геометрии (дифференциальная геометрия и топология).
М.: Изд-во Моск.ун-та, 1978.
12. Понтрягин Л.С Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.
13. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982.
14. Серр. Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.
15. Трофимов Б.В. Введение в геометрию многообразий о симметриями.
М.: Изд-во Моск.ун-та, 1989.
16. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли.
М.: Мир, 1987.
17. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополни-
Дополнительные главы. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1983.
18. Фоменко А.Т. Сиыплектическая геометрия. Методы и приложения.
М., Изд-во Моск.ун^та, 1988.
19. Хелгаоон С. Дифференциальная геометрия и симметрические проот-
ранства. М.: Изд-во иноотр.лит., 1964.
20. Шевалле К. Теория групп Ли. T.I.M.: Изд-во иноотр.лит., 1948.
Учебное издание
Трофимов Валерий Владимирович
Задачи по теории групп Ли и алгебр Ли
Зав» редакцией Н.М.Глазкова
Редактор Т.В.Зластовская
Художественный редактор А.Л.Прокошев
Технический редактор Н.И.Смирнова
Н/К
Подписано в печать 28.02.90
Фермат 60x90 ^16 Бумага офсет. № 2
Офсетная печать
Усл.печ.л. 5„25
Тираж 500 экз.
Цена 15 ксп„
Уч.-изд.л. 4,84
Заказ jfi №3,
Заказное. Изд..» 1712
Ордена "Знак Почета" издательство Московского университета,
103009, Москва» ул.Герцена. 5/7'.
Типография ордена "Знак Почета" изд-ва МГУ.
П9899р Москва, Ленинские горы
84