Полный сборник решений задач группы А - Сканави М.И.

Автор: Сканави М.И.
Теги: математика высшая математика задачи по математике
ISBN: 5-9466-033-0
Год: 2003
Похожие
Полный сборник решений задач группы Б. Книга 2.
Полный сборник решений задач по математике для поступающих в ВУЗы. Группа А
Физика. Полный курс. Примеры, задачи, решения
Сборник задач по математике с решениями. 8—11 классы
Текст
                    полный
СБОРНИК РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧ
для поступающих
В ВУЗЫ
группа А
Под редакцией
М. И. СКАНАВИ
Москва
«Мир и Образование»
Минск
«Харвесг»
2003

УДК 51(076.1)
ББК 22.11
П51
Все права защищены. Перепечатка отдельных глав и произведения
в целом без письменного разрешения владельцев прав запрещена.
Полный сборник решений задач для поступающих в вузы.
П51 Группа А / Под ред. М. И. Сканави. —М.: 000 «Издательство «Мир
и Образование»: Мн.: 000 «Харвест», 2003 . — 912 с: ил.
ISBN 5-9466-033-0 (000 «Издательство «Мир и Образование»)
ISBN 985-13-1189-8 (000 «Харвест»)
Впервые в помощь абитуриентам публикуется полный сборник задач
с решениями под редакцией М. И. Сканави по всем группам сложности.
Книги помогут учащимся научиться решать экзаменационные задачи
различного уровня сложности любого вуза.
Условия и нумерация всех задач полностью соответствуют изданию
«Сборник задач по математике для поступающих в вузы» под редакцией
М. И. Сканави, 6-е издание (М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование).
УДК 51(076.1)
ББК 22.11
ISBN 5-9466-033-0
(000 «Издательство «Мир и Образование»)
ISBN 985-13-1189-8
(000 «Харвест»)
© Коллектив авторов, 2003
€> 000 «Харвест». Дизайн обложки, 2003

Решения к главе 1
Вычислить (1.001—1.040):
(7-6.35): 6.5+ 9,9
1.001. , - - - --- ■
1,2:36 + 1.2:0,25-1- :--
{ 16 J 24
Решение.
(7-6,35): 6,5+ 9,9 0,65:(
fu:36 + U:0.25-l-5-V6-9 f'-+~
( !б] 24 (30 5
= 1£ = 20.
2
Ответ: 20.
•4bSHKi):eus8-
Решение.
[№№i-%}^-w]
i.5 + 9,9
2И 24 "
16/169
- ОД 08)11,6-
.1,6-1» =
25
0,1 + 9,9
169 24
48 169
19
"25'
[56-47 4 24 —17 ~\ 19 / \ 19
= £? *-_.%-4 J .;0,25 -1,6- -=0,1 + 1 )-1,6--- = 1,76-0,76 = 1.
I. 72 5 28 J 25 ; 25
Отпет. 1.
3

1.003.
0,5:U5 + -:1--- |-3
5 7 11
,,5 + i:18I
4 3
0,5^54:4-1-3
1 5 7 "i
,,5 + ll:18l
4J 3
Ответ: 32.
55 11
7 3_
4 55
168 4 55
~55~VT"
32.
1.004.
(2,7 -0,8)- 2-
(5Д-1,4):
h 0.125
70
Решение.
(2,7 -0,8)- 2 i
2^ + 0,43.
2
(5Д-1.4):
f 0,125
70
:2- + 0,43 =
2
19 7
103
38 70 8
ю' з
- + 0,43 =
5
20 5 20
Ответ: О.5.
+ — + 0,43 = 0,02 + 0,05 + 0,43 = 0,5.
1.005.
2A:U + 3i ,
4 3.5
1 ' 7
2,5-0,4-3- '
3
2- + 4,5 0,375
6
2,75-1-
Решение.
1 ' 7
2,5-0,4-3- '
3
Ответ: 5.
2i + 4,5 1-0,375 i 10 _
_6 П__2 3 .7_ 3
2,75-1-
5 1 5
2~3
20 3
LI
1,25 '
:7-2 = 5.

1,006.
13,75 + 9- -1Д
1 6-
10,3 - 8
6,8-3': !-55
5 6
■27-
56
Il3,75 + 91\u Г<Л-зЛ.55 (^ + 55
(10,3-8-|-5 f3--3--]-56
2 9 3 6
11 1
163
6
Ответ:
Г 2]
18 5
10 9
1.
(2,3 -0,5)- -:
3) 16 35
Г34_
18 1 35
5 ' 6
56
j 6_ _ 163 _ 55 2 _ Ш
28 "б ~~2 3 6
169
6
163 _
6
(I.
0J +
1.007.
1 '0,1--' 1-2,52
«-;^-;-h-i-i73
[b<4}(i-«-*h
Н+«»ч)Н}й
1 63
_ 3 25 _il 5„3
'2.р.7 5 7
60 " 13
Ответ: 3.
fi_ j + 1 'i
_[б + 10 + 15 j
(1 1 1
:fi + -L_lY«
[б 10 15 J 25
-ll.fi_i\.!
5j\4 6 J 13
5

1.008.
3-+2.5 4,6-2-
3 3
2,5-1- 4,6+2 -
3 3
5,2
0,05
+ 5,7
-0,125
Решение.
3 i + 2,5 4,6-2-!
3 1 ' 3
2,5-li 4,6 + г!-
3 3
10 5 23 _ 7
J 2. J 1 ?6
'23 7 ' 5
5,2
0,05
--0,125
\ _l 10
7 8
5__4 _
2 3 5 + 3
~{ 7 104' 5 J'1^10 + ToJ~ 2 17~ '
Ответ: 1.
1.009.
0.4 + 81 5-0.8-5- 1-5 :2-
11
8,9-2,6:^
•90.
34-
0,4 + 815-0,8-- 1-5:2;
2l 2
(,9-2,6'.- 1-34 —
3jj 5
90
I 04+40-4-5- 90
-.1 LL
15 „ 89 13 3) 172
— ■8 +
8 10 5 2 5
34,4-90
344 9
fl50_89 391 172 2172
TV To+10 J" 5
Ответ: 9.

5-1._41;5А
l010 L«_iLii.342+MiMi+i.
42+0.75 -З^- 7 7° 7
[45 6 J 15
|4?+0.75|-3 —
I 3 J 13
83 15
_ 90 83
65 48
12 13
Ответ: 1
1.011. il
Решение.
240 5
7 7
+ 0,425-
30,5 +
Г229 25
,2 0,3:0,01 2 ~45"~"<F
34- + - •— + --*— ,-
7 70 7 fl4 3^
I 3 +4j
1
~6-20'
-0,005
- + 3-
6 3
240
7
t«.
5 2 5,
•- = - + - = 1.
7 7 7
6 - + 5 -
—i—^-0,05.
26:3
7
\ 83
J'15
48
13
240 30 2
+ — + -
7 70 7
Г- + 0,425-0,005 ):0J ft-+5-
30.5 + - + 3- 26:3-
6 3 7
(0,6 + 0,42)-10 124'26
61
"i
102
34
1
+ -•»
6
7
-1
4
10
" 3
1
~20~
26-7
3 7
: + _-
10 4
1
"20
0,05 =
Ответ: 2.

1 12 2
3-1,9 + 19.5:4- 3.5 + 4- + 2-
Ю12 -^ 2.-- 3- ^
62 ( l
^-0,16 0,5 1- + 4,1
75 ^ 20
Решение.
1 1 7 2 10 19 39 ^ IГ21 4!
3- 1,9 + 19,5:4- 3,5 + 4- + 2— '-•- +- •- гкг + тт
3 2 . 3 15 = 3 iO 2_? 2jj20_10
62 „ „ ' ( 1 "I 62 4 "7 14 32
0,6 0.5 1-— + 4I - + — + —
75 [20 J 75 25 2 3 15
19 13 103
= Xli_ 40_=!^ = 4
2 103 4 .
3 To
5)}:.7 4,75 + 7!-
-U-- + J- : 0,25
Ответ: 4.
|l-:p7- + 0,6-0,005
5 40
1.013. J—4 -Y—--±1- - + f : 0,25.
-+l—\-~ 33:4^
6 3 30 7
Решение.
(, 1
-.(^ + 0,6-0,005 ]}l,7 4>75+7I
-A " + -*■ :025 =
?. + ,I-,* 33:45
6 3 30 7
6.(17 3 J_\17 19 15 6 51 17
,40 5 200 10 4 2л 5 '50 10 49 , . _ ,„
6 ' 3 30 33 5
Ответ: 12.
8

4,5 -1--6,75 •-
3 ' 3
1.014.
[ 3 3 8
1-0,22:03-0.96
.11
0.2 - — I-1.6
40 '
i4'5jI6i75Jl
f3T.„3 + 5l.'T:22
3 3 8 3
4 (9 5 27
1 -0,22:0,3 -0,96-
,11
2 3
02- — |1,6
40
10 3_ 16
з 'ю+ з"
3
8 8
15 11 1_0_24
5 40 5
l 30 _ 27 | 2 24
i4 4 I 3 1_25 _ 18 1
.?' 3
2 5 5
Ответ: 1.
!,88+2
3 I 3
1.015.
0,625
13 26
f°^6 + C
0,56 :0.5
7.7:24- + - -4,5
4 15 '
Решение.
[138 + 2235
0625-?T
18
'"9
(TL.S + 1)
[\0 99 15 J
Ответ: 4.
*[
2
12
1^0,15
7,7:24-
3
4 —
16
5 1
8 4
0,56 j:
"41
(12
Ж
fl4
0.5
|.4,5 "
28 '
+ 50
+ 45,
(1.88 + 2Д2
''~ 5~13~
8 18'
L. = 4
1!
3
h ■ ---
16
26
8 4
. _ +._ =
3 2
-A.
9

1.016. f 16—-13— ]• —+ 2Д
(2 9 J 33 I 33 11
Решение.
{ 2 9) 33 (33 11J 11 [2 9 J 11
Hf_8 -1 ) 2 -4? 6 I i-f£ iZ--)
+ io[зз ззJ+ ii~i~8'ii+ з+11~ зз+ зз ~"'
Ответ: 2.
f,H_!3W
0,128:3,2 + 0,86 63 21
1.017. —j- -i г-1—-
--1Д + 0.8 0,505 ---0,002
6 5
Решение.
flI2-l3]-3,6 («-Ml?
0,128:3,2 + 0,86 (ь 63 _2JJ 0,04 + 036 [_63__63j_5_
l-ц+ад 'o,505^-o,oo2="i;o>8 'W^wof
6 . 5
=l.i.'.I8_=8
18 9 6,2-5
Ответ: 8.
31:10!°^а35 0^"il1,4
1.018. - u 5,- /" : ч - -
1,75-1^-^ 0,5-- -3
17 56 (_ 9 j
Решение.
31:10+0,175:0,35 [~K\* ~ + ~ -1
,,75-lH.H fo,5-l]-3 ~2-2»-5-I W
17 56 I, 9 J 4 17 56 18
5 7-18 10 l_s
/7_3l 18-7-3 3 3
Ответ: 3.

0,125:0,25 + 1-:2,5 , ,
1,019, , j- L6 J ii +ii9 .0,5.
(10-22:2,3)0,46 + 1,6 ^20 J
Решение.
0J25-.025 + 1-9 :2,5 ,,, , ~ +5 ,, ,„
VI6-. - JE + lA0,5 = - 2_JL. _ + IZ+ !» ,
(10-22:2.3)0,46 + 1,6 (20 J (\0_???1?2 8 40 20
23" [50 + 5
8 17 38 5 11 „
= ,---„- + --+ - = +-- = 2.
18 40 40 8 8
5 5
Ответ: 2.
^0 .Г|^-2П^-Г0,6:33Л21 + 3,75:11]:2,2.
'•" "• ^ 7 49 j 147 ^ ' 4 J 2 2)
Решение.
ff,b23l 22_|3|2.+ ,1V
[( 7 49 j 147 lv 4 J 2 2j
= rf8_23li47_0il6.2j5+2J\22 = r33,147_ |;
|^7 49 J 22 J ^49 22 '
= (4,5-0,4 + 2,5) •—=3.
'22
Ответ: 3.
[ 5^4 j 3 ^ 18 36J 65 j 3
Решение.
2:3^f3A:13U + r2l-A2].I8ll =
5^4 J 3 ( 18 36 j 65 J 3
( 16 4 2 36 65 J 3 ^8 8 SJ 3 2
Ответ: 0,5,

0,5+ ' +-'- + 0,125 (3,75-0,625)—
,.022. 4_J-_- + 'Ж.
i + ft4 + !* 12'80^
3 15
0,5 + 1 +-'- + 0,125 (3.75-0.625)-4-8- - + - + -1 + i ,,,,.„
_I_4_6. j + _L Ц5 = 2_ A^l_8 + 3d?l:48.
1 ., i4 12.8 0Д5 1 2 14 3,2125
- + 0.4 + — ' ^ -+- + — ^
3 15 3 5 15
25 3 U
= _ji. £+.!=; =0,625 + 0,375 = 1.
24 5 3,2
Ответ: 1.
84">26
1.023. f262-:6,4Vl9,2:3-5V-7--J-7- '
3 ' И 9i 0,5-.182--ll 18
3
Решение.
»*-2*
3 A 9J 05-,8=.ii 18 I3 32A5 32,
'" ' 3
6_o Tj
__ 7ll80__ • _25 27_HJ_1_2_ 1 _ 45 _ 1_12 _ 1
ITXTl I» ~ б" "5~~ 3^33' 18~2 ~T Ts"
2'5б'
18 '
Отпет: 10.
7 11
0,725 + 0.6+— + —
1.024. -«L--20 -0Д5.
0,l28-6--0,0345: —
4 25

Решение.
7 11
0,725 + 0,6 + — + -^
40 20
0Д28-6--0.0345: —
4 25
1325
■0,25 =
29
40
0,128-6,25-0,0345: ОД
■0,25 =
_ 1325 + 0,725
0,8-0,2875
Ответ: 1.
0,25 =
2,05
0,5125
■0,25 = 1.
1.025. j (5200,43):0Д6-2172-1-Г 31,5:12- + 114-2- + 6li
Решепие.
(520.0,43):0Д6-217-2-;
223,6:0,26-217--
31,5:12-- + 114-2- + 61- 1=
5 3 ~ '
63 5 ,, 7 23
+ 114—+
2 63 3 2
-527)-(1 + 26бД23
= 333-330 = 3.
Ответ: 3.
(3,4-1,275).-
1.02, Ч±Ь + <»
18 [ 85 17 )
125
2+ 1-5
5,75 + -
Решение.
(3,4-1,275)--
17
—7 ^+0,5
А.Д+61
18 [ 85 17 J
12.5
2 + -*
5,75 + -
У25.1*
17
5 Г 92 104
181 85+ 17
17 16
= 58б'п+, + , = ,+2 = 3-
18 85
Ответ: 3.
- + If2+'2'5
) 2 (^ 6,25

1.027.
3,75 + 2-
2--l,875 2,75-1-
V -
Решение.
I 1
3,75 + 2-
2-3+1.5
2 _4
2--1,875 2,75-1-
3^75 + 2,5_ _ 2.75 + 1^5 ^ K)_
2.5-US75 2/75-1,5 J 1 Г
J 625__425\H)=('|0_17,| 10 = 33 10 _6
[o~625 U5JU~{ 5 J 11 5 П
Ответ: 6.
1.028. ((21,85: 43,7 + 8,5:3,4): 4,5): !-"+l —.
« ' ' ' ' ' 5 21
Решение
((21,85 : 43,7 + 8,5 : 3,4): 4,5): l2 +1'-' J (0,5 + 2,5): 4 -'- ]■ - + -
; ; 5 21 (/ ; 1 j 5 2
5 32 10 32 42
9 J 7 21 21 21
Ответ: 2.
1.029. (1-+3,5:1-
[5 4
Решение.
22+3,4:21--0,35.
5 8
(2 П 2 1
1" + 3,5:1- :2" + 3,4:2--0,35 =
[5 4 J 5 8
= (1,4 + 3,5:125) .'2,4 + 3,4:2,125-0.35 = (1,4 + 2.8): 2,4 +
+ 1,6-035 = 4,2:2,4 + 125 = 1,75 + 125 = 3.
Ответ: 3.
14

h75- 2i4),29 }m
1 030 ^ — ^ '— -*-
' ' (l3-0,416):6,05 + l,92
Решение.
0,3275 -[2^+±\ 12 2\ 0,07 (ад275-(!* +« 1 -^1:0,07
[ 88_331 _^J 1 _L V88 _33j iiojr_
(13-1)~41б)7бД)5+1,92 ~ 1У84Тад5+"уТ
Ш 605 9_Л 100 (11)_±\Щ
400 ""264 110 J i 400 16 J V 7 100 1 1
2,08 + 1,92 4 50 7 4 2
Ответ: 0,5.
5~2L U25 + l-3-A
1.031.-^4.5 _4__12.
5 0,59
6
= 0,5.
5 21 3
----- U25 + 1--
6 45 4
1_5 °.59
6
_ 1 25 _ 5
5 6 6'
5
Ответ: - ■
6
('--Л'
1.032. '
■-- : 0,(
300
5
J.2
t
)925
5
= _6
),25
_ 7 9 7_ 5
15 8 + 4 12.
11 59
6 loo
+ 12,5-0,64.
116 59 100
З0ТГ24' 59
15

Решение.
- + 12,5-0,64 =
-37--. 0,0925 "' ' ^-40°
300 300 37
P-4f4
Д3 у + 8 = 3(-l)'2+8 = 3 + 8 = ll.
3
Ответ: 11.
8+2^4
1033- 7:Г-2з24Лпо"°'5'
30 111 401
Р+2П]:2.5 f5 + 65l2i '0.1
I8 _A4J __.05= ii 24±Э-2 =_i_J = 2-2=,
,,23 4 1 110 '■ ' ""
1,3 + -- + — - -
30 11 I 401
"ПЗ 23 4 ] 110 40! Ш) 3 '3 '
[Го + ЗД + П)'401 165 401
Ответ: 1.
((7-6,35):6,5+ 9,9)- ' -
1.034. 7 , j? , :(ШЛ
1,2-36 + 1-:0,25-Г ..
I 5 b) 4
Решение
((7-6,35): 6.5+9,9)--- (0,65:6,5 + 9,9)-- -8
-- If*- -0,125 = -- -6-4—:
5" 6 j 4 (5 36 5 6 j 4
16

(04+9.9)- W-- .
v ' 8 2 5
' \_ 24_П^5 90 3'
v30+ 5" 6 j*4 30
5
Ответ: ~ •
3
I 45 15 9 65 99 „e
1.035. ^--7-^ -T>-J 0,5.
f 18- -13 - I- —
[ 2 9J 85
2I8-i );i38+3A.26 25 .9 +198 26
45__15J_9 _65_ 99 9 J25__65_?9
' --13-) — " Г"-'24) -
2 9 J'85 ['2 _9_ J 85
= l^6i= 1 = 9
85 2 1
T8 85 9
Ответ: 9.
3.75:ll+fw:3-3b1+fl1—23Л^.
2_ (_ _ 4 j 2 I/7 49 J 147
5^4 J 3 ^ 18 36 J 65
Решение.
3,75:11+Г«:зП.2?+(11-?3Л^
2_Ц _J j__2 J_ 7_49_Jj47 =
"2:3-ЧГзГ:1зЩ2-Г " ^ fg =
5^4 j 3 ^ 18 36j 65
17

33 2+f3.^V+f®-—1 — 5 33 147
4 3 j 2 4 J 2 [7 49 J' 22 = 2 49"'22
"'2.А + Г13.13\3_Г42_17\18 -5 + 3_65J8 ■
16 I 4 2 18 36 65 8 8 36 65
= 16.
4.625-Ш :9+2,5:U5:6,75 :,53
{{ 18 26 j 4 J 68
--0,375 j: 0,125 + 1---7-|: (0,358-1,4796:13,7)
7 9
-4—
_ 2 2
, ]
1-i
2
Ответ:
_ 8
1
2
16.
1.037.
4,625-'3 -П9+2,5 :1,25:6,75 :,5
18 26 4 ' '°
[-•-0,375 |:0Д25+[-- -]: (0,358-1,4796:13,7)
37 ^4+2:6.75)6l f35 + 2;27^68
4j_9 Jlli_=L,8__ ' 4J,2I
' 0,125:0,125+0.25: (0358-0,108) ~' 1 + 0 5"5":"о,25"
_ 121 68 1
" 54 '12V 2
17
Ответ: --■
_17
27
[3l-2^2± ,А-АГз'+5 ,1
in„ lUi_18_ ^i.31 12L2_6JL13
• 19 f 13 13 5^,2 14
5 2 —+ - +1
42 28 24 27 3 9
18

Решение.
12 18
24
"Чз-1-
52 2
-,9:f513-
84 \. 42
43_47 49
12 18 24
,13 5,2
> — + - - +1
28 24 27 3
1 4
36 3
Z + 5 || .20 (2\1 36__3_
31 52(2 6 ИЗ 72" 31 52
1_3 \ 20
3" 13
69
" 28 "
■:^
19 .[223
84^42
7__ \'\ 20
2 __4_Jj3^ _ 13 20
Т+25 _Т'П
27 + 27
29 _ 4
Н27 27
Г9 Г71
84 ' 56 Н
Ответ' 5
Г
1.039.
(3.2-1.7): 0.003 I 20
1,5 -1.5
'29_
35"
4:0,2
2,44+ ,14 -1
I 25J8
62 —+1,364:0,124.
20
(ЗД-1,7): 0,003
(W з
".О
,4:0,2 |2.44+114]--
35 7 25 8
\ 3)
1,5 : 0.003 20 2
62—-
20
35
4-5
1,364:0.124 =
l^ + ll»
20
500 _ 9^
"8 " 40'
Jl?5_9_| 20 +11.1_241. 20+п = |2
^ 2 20 j 1241 20 1241
-^- + 11 =
1241
Ответ: 12.
19

1.040. 54 :(М.1(б-<У±?:«5):! |-20,384:1,3
7 [ 7 [ 80,0125 + 6,9 '
5
7 [ 7 i^ 8-0,0125 + 6.9 j J
7[ 0,1 + 6,9 J J 7 [5
=r —: (7,2-2,9-15.68) = —: (20,88-15,68) =
Л:И.6(б-^±МН)-,5,68]=^-.^Гб-^1_15,68|
7 5
39 . 39 . 26 _ 15
' 7 " ~7 ' 5 _ 14'
15
Ответ: - ■
14
Найти X из пропорции (1.041 — 1.045):
(4-3.5-(2^-1Л):0Л6 j?-3-'
104, ^ LZ_5JL_=i7_JL_6..
* 41^-40±9-
84 60
Решение.
3,5.(2-U !1\о,,6.(4123-40^
[7 5JJ [84 60
32 3.1
7~14'6
4-3.5-115-6]]:0,16.I6 (4-7.33U.^
7 5 35 2 35 '25 35
23 I
7 7
4-^1 1.16 7 25 16
10) 25 35 ^ го 4 35.
2 2
Ответ: 1.

Ц: 0,375-ОД 0.016:022 + 0,7
4 2
6 -:15 -+0.8
25 5
Решение.
(0,016:0.12,0.7) 6 4:152 + 0,8) ± l+J YL* .77 + *
х = __ "( 25 5 j (125 25 10 I 25 5 5
1.2:0.375-0,2 3,2-0,2
3 3 3
Ответ: ~-
2
1043 - -0J^ -«.UL 2'J._
f19_r1'i s 7 0.675-2.4-0,02'
^24 40 J 16
Решение.
f 28_17> fl9 21"|„7 (91 17^7 4 135
, 63 21 J 124 40 J 16 163 21 J 10 15 16
(0,675-2.4- 0,02) 0,125 (1,62-0,02)-0,125
40 63
1.6-0J25 02
Ответ. 5,
1.044. т—
911-1-0,945:0.9]
1 20 _J
10,5 0,24-15,15:7,5 { 3__4^.7
40 8'

Решение.
9 1—-0,945 :0,9 ■ (10,5-0,24 -15J5:7.5)
f = i 20 Г -J_ .
3 3
1--—4-:7
40 8
9{11-11)(2,52-2.02) 9.i.I £
43 35 „ 43 5 9
40
r~^-:7
40 8 20
Ответ: 5.
1.045.
15,2-0,25-48,51:14.7 _ (44 11 66 2 J 5
3,2+O.Si 5 --ЗД5
(15,2-0,25-48,51:14.7)- 32 + 0,8(5^3^5 ]
f= nEID.:2i\ii
1^44 11 66 2 J 5
(3,8-3,3)-(3,2 + 0,8■ 2,25)_ 0,5-(3,2 +1,8) _ 0,5-5
[ A_JL-A| 6
44 66 ' 2 [5
5__ 1 ) 6 16
44 33 [5 12 5
= 25.
Ответ: 25.
Вычислить наиболее рациональным способом (1.046 — 1.048):
-Д307
1.046.
в-
V(i5,3 + 1,7)2 -4-6,3-1.7

Решение.
n/63-1,7
1,7 V63
л/63 ■ 1,7
Vl,7 V63
л/^З+и)2-7-6.3-1,7 \/б32 +2-63-1,7 + 1.72 -4-6,3-1,7
л/бЗ-1,7-
^63" -л/1,7
76,3-1,7
63-1,7 _ 6,3-1,7
т/б,33 -2 6,3-1,7+1^ л/(б,3-1-7)2 6>3^1'7
Ответ: 1.
1.047.
fi^9' +Wio
2 2 20
4--0Д5+4-:--
7 ^ 7 3
ДЛИ.
3
Решение.
(
л/5612 -4592
42.оД5+42-:2°-
7 7 3
М,/К)
i^ =
У^61 + 459Х561-459)
30 3_ 30 3_
7 20 7 20
4,/То
3
2,/То '
il 020-102
+4лЯо
3 _7л/1022-10+36л/П) 3
2,/То 9 2л/ш "
714лДо+36лЯо 3 750,/То 3 375
2,/То
2,Ло 3
125.
Ответ: 125.
1.048.
JHJ-i/mj
23

Решение.
f/Tff -%Щt-(|-V2
-1 + 72
шч
Ответ:
Вычислить:
1.049.
2^+5"
(0,5)-:-5(-2Г2-
1-4,75.
Решение.
r^5u
(0,5)--5(-2)-Ч^Т2 _!_.__ ?_+f3T
' I'J (0.5У (-2)= UJ
-+4,75 =
4i 1
4
1 _5
025 4 + 4
+4,75 = - 4 +4,75 = - + 4- = 5.
9 4-rl 4 4
Ответ 5.
1.050. — -
(0.6)" - (0,1)"
3:2''- 1,5"' +
Решение.
(S: 2'Г-(1,5)4
lrl^_
П' s Г3V
-9 __ -9 _ -9 _
Ответ. - „

Решения к главе 2
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ПОНЯТИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ.
ТОЖДЕСТВО И ТОЖДЕСТВЕННОЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Алгебраическим выражением называется совокупность конечного
количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных
между собой знаками алгебраических действий и знаками
последовательности этих действий (скобками).
Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия
сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным
показателем, называют целым рациональным выражением Если кроме
указанных действий, входит действие деления, то выражения называют
дробно-рациональным.
Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе
называются рациональными. Если входит еще и действие извлечения
корпя, то такое выражение называют иррациональным
Числовы м значением алгебраического выражения при заданных
числовых значениях букв называют тот результат, который получится
после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в
выражении действий.
Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического
выражения называют множество всех допустимых совокупностей значении б\ кв,
входящих в -это выражение.
Действия над степенями
Действия над степенями производятся по нижеследующим правилам:
ат -а" -а'7'*"; (2.1)
25

a'" : a" =am'n
(a • b)" =a" - bn
Одночлен
Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором
числа и буквы связаны только двумя действиями — умножением и
возведением в натуральную степень.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких
одночленов.
Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его
членами. Одночлен есть частный случай многочлена.
Формулы сокращенного умножения
(a + bf -a2 + 2ab + b2 \
(a-bf =al-2ah+b2;
(a + bf = «3+3u26 + 3a62+63:
[a-bf = <r-3«26 + 3a62-63;
(а-Ь\а + Ь)=а2 -b2;
(a-b%i2 +oft + ft2)=o3 -б3;
(a + bjfi2 -o6 + 62)=a3 +Л3;
■i-bjfi1 +crh + abl +63)=a4 -b";
■)(a4 + «36 + a262 +a63 + 64)=a5 -b5:
>)(u4-a36 + «2.'>2-«63+64)=a5+65;
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)

(a-b^t5 +aAb + a*h2 +a2h> +ah4 ta5)=a* -b6 ; (2.16)
(a~bja*+a5b + a4b2 fcrV + a2b4 +ab5 + b6)=a7 -b7; (2.17)
{a + h%ib -a5h + aAb2 -игЬъ +a2bA -ab5 +b6)^ a1 +b7; (2.18)
(а-Ь^а"-1 +a"-2b+a"-yb2 +a"~4h} +... + b"~l )^a"-b", (2.19)
где л —любое целое число;
(a + biall-]-an-2b + a"-*b: -a"-4h}+... + b"-[)=:a" +b" , (2.20)
где n - 2k +1. к — натуральное число;
(a + b + vf ~a2+b2+c2 +2ab+2ac + 2hc ; (2.21)
(а + Л-с)2 =a2+62+c2+2tf6-2ac-26c; (2.22)
(a + b + c+df -a2 +b2 +c2 + d2 +
+ 2ab + 2ac + 2ad +2bc + 2bd +2cd;
(a+b-c-df = a2 + b2 + c2 + d2 +
+ 2ah-2ac-2ad-2bc-2bd+2cd;
(2.23)
(2.24)
a(x~x}Xx~x2)^ax2+bx + c , (2.25)
где xp x, — корпи квадратного трехчлена ах" +bx+c .
Формулы (2.16) — (2.24) остаются верными, если вместо одночленов
а, Ь,с, а1 подставить любые выражения.
Многочлен Рп{х) относительно переменнойх вида
Р„ {х)=а0хп + а]хп~1 +п2х"~2 + ... + all_]x + a{j,
где а0 , в], йт , ... ап — действительные числа и «0 ± 0 , называется
многочленом, расположенным по убывающим степеням х, или
многочленом, представленным в каноническом виде.
Числа а0 , ах, а,,... «„ называются его коэффициентами, одночлен
а()х" —его старшим членом, а0 —свободным членом, число
п—степенью многоч,/епа (и — натуральное число).
Корнями многочлена Рп (х) будем называть такие значения
переменной х, при которых многочлен Рп(х) превращается в нуль.
Разделить многочлен Рп (.v) иа многочлен Qm {х)(щ < п)зпачргт найти два

таких многочлена Sn_m(x) и яД.х), чтобы P„{x)^Qm{x)Sn_m(\)-i Rk{\) и
степень многочлена Rk(x) была меньше степени делителя (?,„(*). т.е.
к<т . При этом многочтеп Sn_l}l(x) называют частым, а многочлен
Rk(x) —остатком
Для любых двух многочленов ^„(-v) и
всегда найдется, и притом единственная пара многочленов Sn__w (x) и
-^fc(v), удовлетворяющая тождеству
р„ М=(?м (*&,.;, (*)+ ** W (а- <'"),
т.е. если делитель не пуль -— многочлен, то действие деления многочленов
всегда выполнимо.
ТеоремаБезу. Если многочлен Рп(х)=а0х': + а,х'м + а2х"~2 +... + а„
разделить на двучлен _v - а , то в остатке получим число R, равное
значению данного многочлена при _v = «,t.c. R=Ptt{a).
Схема сокращенного деления многочлена на двучлен. При делении
многочлена Рп(х) = аих" + ап_ххп~1 + а„_2Л'"~2 f ... + я0
расположенного по убывающим степеням х, па двучлеи х - а применяется метод
сокращенного деления, называемый схемой Горнера.
Имеют место следующие формулы для нахождения коэффициентов
частного h^b-,.,...^bnA и остатка R.
6, =Я| +СЮ0,
Ь2 = а2 +чЬ},
R = ап +аЬпЛ.
Практически вычисление коэффициентов частного Qn s(x) и остатка
R проводится по следующей схеме (схеме Горнера).
Пусть требуется раздедять многочлен Ptt(x)~ attx" +ап ]х!1"] л-ап_,хп~2 +
+... + а0 па двучлен х- а .
Значение а двучлена, коэффициенты многочлена (hn_,, Ьп _■»,..., Ь()) и
остаток запишем в следующей форме:
28

an
Ьп-\ ~ а„
an-\
b„_2 =a„..] +
4 ab„^
On-2
b„ з =a„^> t-
+ab„-2
U\
bo -/ii+abi
«0
R - f/o + (/fto
Отсюда -записываем частное
Q„-\(x)=bn_]\-n~] +bn_2x"~z +... +-Л(лч-&|
если R = 0. и результат деления
Pn(x):(x-a) = Q„^(x)+— или P„(.r)s (х-«)£„_, (д-)+Я ,
х-а
если Я * 0.
Понятие корня. Основные свойства корня
Алгебраические выражения, содержащие операцию извлечения
корня, называются иррациональными.
Корнем и-й степени из числа а называется такое число 6, п-я сгепепь
которого равна а(п>2). Обозначается цй , где а — подкоренное
выражение (или число), п — показатель корпя (п > 2; Tie Л').
По определению v a = b , если Ь" - а , или (уо J - а .
Основные свойства корня
Если корни рассматривать в множестве действительных чисел, то:
а) корень четной степени из положительного числа имеет два
значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку;
б) корень четной степени из отрицательного числа в множестве
действительных чисел не существует;
в) корень нечетной степени из положительного числа имеет только
одно действительное значение, которое положительно;
г) корень нечетной степени из отрицательного числа имеет то 1ько одно
действительное значение, которое отрицательно;
д) корень любой натуральной степени из нуля равен пулю.
Действие, посредством которого отыскивается корень и-й степени из
29

данного числа а, называется извлечением корня я-й степени из числа а,
а результат извлечения корня в виде Ща называют радикалом.
Таким образом, множество действительных чисел не замкнут о
относительно извлечения корня че гной степени, а резулы ат этого действия
(корень) не однозначен.
Заметим, что множество действительных чисел замкнуто относптечь-
но извлечения кория нечетной степени, а результат лого действия одно-
значен.
Арифметический корень и его свойства
Арифметическим значением корня или арифметическим корнем
степени л (л > 2; л £ N) из положительного числа а называется
положительное значение корня. Корень из нуля, равный нулю, также будет
называться арифметическим корнем, т.е. vrt = h есть арифметический корень.
где а>0,Ь>0 и Ьп =а .
Множество неотрицательных действительных чисел замкнуто
относительно извлечения арифметического корня, а результат этого действия
однозначен. Это значит, что для любого неотрицательного числа а и
натурального числа л (« > 1) всегда найдется, и при том только одно,
такое неотрицательное число Ь, что Ь" = а .
Правила действий над корнями
Для любых действительных чисел я, b и с и натуральных пик имеют
место следующие правила действий над корнями.
b'*fa2l,4[b^*fc=2^&c, (2.26)
г"![аЬ~с = 2"^-lnJ4b ■ !%^ . (2.27)
2| = 2'НЛ &*°). (2.28.
30

{^f =2"+47 , (2.30)
2»+^Г = (2«^)\ (2.31)
2'"+fi^ J2'"H*2"%, (2.32)
12»-+Ф»% = г,„>-1[^;, (2.33)
4a-2Hlb'-2fc~ = 2{Лс (a>0,6>0,c>0), (2.34)
2{Лс^\лЩ.ъ^\ (abc>0), (2.35)
1,fa -2JI (a>o,6>o)
2"4ь V6
(2.36)
->0,6*0 ,, ,74
2nWa=2l'!fa (o>0), (2-38)
2*=2^ (a>0), (2.39)
(2*f=2^ (a>0), (2.40)
(a —любое действительное число). (2.41)
Во множестве действительных чисел рассматриваются корни нечетной
степени из любых действительных чисел и корни четной степени из
неотрицательных чисел, причем берутся арифметическиезиачения корней.
Замена дробного выражения, у которого числитель или знаменатель
(или оба) иррациональны, тождественно равным ему выражением с
рациональным числителем (знаменателем) называется исключением
иррациональности из числителя (знаменателя) дробного выражения.
При исключении иррациональности из числителя (знаменателя)
дробного выражения числитель и знаменатель этого выражения умножают
на множитель, сопряженный с числителем (знаменателем).
Сопряженным множителем относительно иррационального
выражения А называют всякое не равное тождественно нулю выражение В,
которое в произведении с А не содержит знака корня, т.е. А В рационально.
31

Рассмотрим основные случаи исключения иррациональности из
знаменателей дробных выражений (аналогично выполняется исключение
иррациональности из числителей):
А
1. Дроби вида „/"Y , где п > к, а > О, А — некоторое выражение; в каче-
•47<
как ?jak -'у/a" k -«.
Умножив числитель и знаменатель этой дроби на л/а"~ .получим
A Aian~k A'4an '
2. Дроби вида -
47 47-47~-
А
(я>0).
' 4a±Jb '
Выражения -Ja+Jb и -Ja-Jb взаимно сопряженные, так ь
(4а + 4b\[a -4ь)= а-Ь, поэтому
А _ A{la-Jb) _A(ja-Jb)
/1 А4а Ayfb
4a+4b 2а 26
', если а > О, а ~ b ;
Л _ A(4a+Jb) _ A^ + Jb)
'■Ta-S'lfaSyiiSf а-Ь при а > 0, 6 > (W 6 .
3. Дроби вида
\Га±Гь 4aT±iM + 4b2"
Выражения Уа + Щ и \а2 -УаЬ+llb2 , а также Уа ~lfb и
Va +*Jab +\b взаимно сопряжены, так как их произведения (и+Ь) и
(a~b) рациональны. Поэтому исключить иррациональность из
знаменателей указанныхдробей можно следующим образом:
32

аШ-Ifcb+№) J^-lI^b+lfb2
^+^ &+\1ь]№-1Бь+№
a + b
гдеяиб —любые действительные числа, причем а + ЬфО.
аШ+&+№} аШ+Чл^
^-Я fa-lft]№+U+\
а-Ъ
гдеаиб—любые действительные числа, причем афЬ ■
"Га-Ч^Ь+Чь2 (Ча~-Чл ^^Ш+Чъ) " + b '
где а и Ь— любые действительные числа, причем а л Ь Ф§.
А _ А^-Чь) А^Ча-Чъ)
47л-ЧЛл№~ Ш +Чл+Чё\Га-Чъ) а'Ь
гдеяиб — любые действительные числа, причем афЬ .
4. Дроби ввда ^^/f и «/^^Г '
Для выражения Ща-ЩЬ сопряженный множитель можно определить
из тождества
(х-у\х"~1 + х"~2у+...+ху"~2 +у"~1]-х" -у" .
Если принять х~ыи,у-'ыЬ , то получим
\$а-Чъ\Чап ' +л/я" 2Ъ + ... + ЩаЬ" 2 +4lb" ' }=a-b
Следовательно,
Ча-'Чь
2Ь+..,+ЦаЬ"-2 +<ЦЬ-
а-Ъ
2 М. И Сканави, группа А

где а*Ъ (я > 0,6 £ О, если п — четное; а, Ь — любые действительные
числа, если» —нечетное).
Для выражения У a +yb сопряженный множитель можно определить
из тождества
(х+у\х""1~хп~2у + ... + х(~у)"~2 +(~у)"~1)=х" +(~l)"y" ■
Если принять х - ч[а, у = %[b , то
Следовательно,
А л(1к4^'-Ща1к-гЬ+...+ЩаЬ1к-1 -24ь^)
2кГа+2Ць~ а-Ь
при а > О, 6 й О, афЪ\
л(1к^-lk+4a2k4+...-2kiab2kA ~2к^
2k^ + 2k*4b а + Ь
где а и b — любые действительные числа н я + 6 * 0 .
А
З.Дробивида^^^.
Умножив знаменатель на Та + 4b-4c > получим
(■Ja+-Jb+-Jc)fi + -Jb--Jc)=a + b-c+2-Jab .
Умножив последнее выражение на а + b - с -2 Jab , найдем
({a + b-c)+2jab)(a+b-c)-24ab)=(a + b-c)2-4ab.
Таким образом, множителем, сопряженным со знаменателем данной
дроби,является (Vu + 4b-4c)x.\fi +b-с-2-Jabj.Следовательно,
A ^A(-J7,+4b~J7la + b~c-24ab)
■Ju + Jb+Jc (a + b-cf -4ab
где aJ>0,6>0,r>0,(a+6-c)2 -4a6*0.
34

Аналогично исключают иррациональность из знаменателей дробей
А А
■Ja + 4b -4c -Ja-Jb ~Jc '
Если знаменатель дроби — сумма четырех квадратных корней
А
у-— г г ^ , причем ab ~ cd , то исключить иррациональность из
V<J+V6 +vr+V('
знаменателя этой дроби можно так:
A =A{4~a + S)-{4c~ + Jd}^A[ra + Jb-4^-Jd)
47,+4ь+4~с+Л (47,+4ь)-{Гс+Д) а+ь-c-d '
wea20,bZ0,cZ0,d>0,a + b*c + d.
A_
6. Дроби вида з/^ + ^.
Найдем сопряженный со знаменателем множитель. Для этого
воспользуемся тождеством
(x + y + zftx2 + у~ +z ~xy~xz~yz)=x3 +y +z3 -3xyz ■
Еслипринять x = \[a,y=lfb,z~yfc,To
Умножив полученное выражение на
В = (а + Ь + с У + 3(а + Ь + c^Jabc + 9i[^bcf ,
получим
(а + Ь + с - fiabc )■ B = (a+b + cf -llabc .
Следовательно,
л(ъ4^ +tftf +tfj-Ч^-Ч^с-Чьс\в
Ча+Чь+Чс {a + b+cf -27abc
при
35

Преобразование сложного
квадратного корня (радикала)
Выражения вида J A ± -JВ называются сложными квадратными
корнями (радикалами). Для их преобразования пользуются формулой
Ал
4лг-в ^ 1а-4а2-в
4а±4в -
где А>0,В>0 и А - В > 0 ; знаки берутся либо только верхние, либо
только нижние. В правильности этой формулы можно убедиться,
возведя обе части формулы в квадрат. Эта формула упрощает сложный
радикал, если А2 -В —точный квадрат.
Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения
параметров (2.001—2.124):
Vx+1 1
2.001. —j= г'-Г-Г-
XVX+X+VX X -т/х
Решение.
ОДЗ:0<х*1.
Гх + 1 1 -Jx +1 т/х(-Ут/х-l)_
x-Jx +x + Jx x2-Vx t/x(x + t/x+i) 1
{•/x+l\fx-\) 4xixJx-\)^ x~\
7x\x~T7x\lfft^VJ 1 ,/x"(Wx"-l)
VxIxVx-l)
X i ' = x-i.
1
Ответ: x -1 .
2.002. {(fP^)-\(fP+fqy\Ji±U
P-1
Решение.
ОДЗ: p*q.

№-ЯГ+Ш+ЯГ\Ц^
р-ч
(fp-itif kTp+fuf
, р-ч _Цр+1йУ+Цр-1йУ {Гр-4ч~\Гр+1я)
1р+4ч {Jp-JvJ 4р+\1ч
_jp +2i[pq +4ч +jp -2i[pq +4ч 2{jp +4ч) ^
4р-4ч 1р-4ч
{Гр-4ч\Гр+4ч) р-ч
Ответ:
Р-Ч
2.003.
Решение.
Пусть X =
Ua2 +aJ7T*TVf1/a2 -aJT^'t
2-Ja4
Jf+JM fr>*>o)
^la2+Ja2-b2 l^-J^-i2
2Va36
Oafa + Va2-*2]-]/^^2-*2]'
2a4ab
\Л,Ца+4а2-ь2 -h-4a2-b2
1
2a4ab
ala+yja2 ~b2 -l4a2 -a1 + b2 + a-4a2 -b2 ]
2ajab
2a-2b _a-6.
2jab Jab

Y= ft + ft 2-^"i^ 2A4tf -2j7ib + {jbf ={47i-4bf
чь \а 4ь 47, 477b 477ь
Тогда Х:Г^:УЦЖ- = -^Ь)-^ - "~Ь =
^ ^ 47ф\47,-4ь? (47,-4ь)
(a-b%[7,+4b) (t,-bJ47,+4bj _ (a-bjfi + Sj _
'(47,~S){47,+4b~)={47,^47)fa+4'bt= (?-ь?
_ {47+4bf
a-b
Ответ: ^ ^.
0-6
f(a+6)"
2.004. , ,
Решение
ОДЗ:а*-6 = -
Пусть X = M
y-f "V
{(a + bf"a
Тогда А-: Г
bc2ll\a +
Ответ: 0,2.
-»/4.c
.6-3/4
-0,04.
a+i)'
,16-Si,
<A
б)"'3
1
-»/4.(
■6-3/4
,1/6
b-
-4„>3
/3 ,
1
.W '
*V 1
(a + Л
,4/3
1
b1'2
(«+6)*/3
с2'3
(a+6)"/3
.ftlc.c2'!
- = i"
\2n 16-8» 1
/ a j
[t, + b)-"r''t
a(8-V%
C2"
.,,(«-/3)'
6'-'2.
•(а+бГ3
Mo.04),/2
i/6
; 6 = 0,04.
.2/3
-I „(8-
C2/3
.a(8-4„V3
= 4Щ:
b;
Лф .
=
= 0,2,
:2/3
(" +
■бГ3
38

2х~"ъ
2-003. v2/,_3v-V3
Решение.
[х*0,
ОДЗ: дг*1,
[х*3.
2x-V х2**3
x2/3-3x"V3 x'P-x
х2/3 х + 1
х^(х-1) (х-*
2х-2-х + 3-х-1
■ (x-lXx-3)
Ответ: 0.
2.006. ^+fb
<-*):(й+3
Решение.
\а*Ь.
ОДЗ: Ь>0,
X'
X5'3-
.2/3
-з)
(*-
46
J=l
!/3 х+1
-х2''3 х2-4х
х+1
х2-4х + 3 х
2 1
-v-3 .t-1 (
0 0
■1Х*-з) '
9b + &Jab
■lb 4а
1
:+3
2x"V3
""3(х-3)
х+1
x-lXx-3)
6>0.
\Ja+Jbf -4b а + 9Ь + б4аЬ a+2y[ab + b-4b
[ja+7,4bf q+ 2-,/яб - ЗА . {ja+ iSf Jab
Vo6 v^6
39

{а+24аЬ-гь\Га+г4ь\4а+4ь)
a + 2jab~ib =J_
ab(a-4ab+3yTab-lb) ab'
1
Ответ: —г-
ab
2.007. &J+*TnUfa-K?. 1 ^
Решение.
ОДЗ:
[m * я,
jm>0,
L>0.
2(m-/i) Jm*-Jn*
_ vm + 2Цтп + Jn + 4m - 2Щтп + Jn
2{Jm -4n){Jm + Jn)
\Jm -Jni \fmj +yJmn +\Jnf
-3-Vmw ~
2\Jm +JnfcJm~Jni \-JmJ +Vm« +\Jnf
2\Jm ~Jn Jffm +v« j
- \Jm) + 4mn + (•Jn) - 2.4mn ~ (Vm j" -
- 24mn +
-3vm« =
Отвотг (,/^-,/л)2-
40

2.008.
Решение.
72 +35^
- + 3'»to/ -2
vi
ОДЗ: >/2+3^^0,«^^-1^-| .
tm$i^-2w
,/2+3^ ""^J "I 9
j2+i\Jy
U2\jy-2
[г,ф-г)1 )-Ш± )-Ш W.
Ответ: у
2.1
2.009.
Решение.
ОДЗ:0</*1.
ДО-*
ИМ**

2,1
;(JM
2.1
Ifl
2+r
■i[H-ffi-j) №;
V 4 r V 4r
.in
2 (,/7
-V?
| 1 1-2/+7" 1 b-f_ Ut + l-2t + t*~ 1-r
V +4' r 2 it \ 4r 2Vr
ll+2r+7~
l_+£
1+r 1+r
Vr Vr 1 + r
l |i + W_i-r l±l_Azl i±L"i±^ _?L r
г 2л/Г 2л^ 2^ 2^ 2^
Ответ:
2.010.
._4±t+vr+7+^=.
2—(//+4 V/+4
решение.
fr+4>0, [r>-4,
°«3'- 2-VTM*0**W0.
J/ + 4 r— 4
■ i/r+4H
Vr+£+2
V7+4 Wr + 4
2--Л + 4 Vr + 4 2-V/+4
т/г + 4 + 2 Wr + 4f+4
Vr + 42-vr+4l vr + 4
1±1.
Vr + 4

t[yfi+4 + 2fe+Jr + 4) (т/7+4 f+4
~ 17+a^.-4T+4^.+JT+a) ,/7+4
t\Jt + 4 + 2j (т/г +4J~ +4 _
77+4(4-/-4) т/г+4
-(/+4 + 4т// + 4+41 / + 4 + 4
т// + 4
-<-4т/Г+4-8 + М
т/7+4
Л + 4
4т/7+4
т/7+4
Ответ: -4 .
fl+т/х т/7+ltl fl-т/х л/Г
2.011.
^т/Г+х 1+т/~7 I [т/Г+л: 1-т/х
[l+x>0.
ОДЗ:|
х>0, ss>
1-т/г *0
х>0,
ХФ\.
Г]+4х t/7+.yY fl-т/х т/l + x'
т/l + А' 1 + т/л7 J (^т/l+X 1-т/х
^-^-(т/Г+ТЛ =Ги2т/л: + .
V^ra J'l
fl-2/v+.v-l-v"l f 2т/*
_( -ijx Т 4х
(ih-t/777)2 -(-т/Г+17)2 1
VT+Tf+Tx)
Iwir
43

4.v _4x((l-77)2-(l + 77)2)
(71+7(1-71))-' (7T+7(!+77)(i-77))2
4л(1-27д-+д-1-277-х)_ -16^77 16*77
(1+Х)(1-х)2 (1+\)(1-Х)(1-х) (1-Л-2)(.Т-1)'
16x77
Ответ: —-——
(I-.v-)(*-!)
2.012.
д-1
v».5.
1 2
J'2^' ,1.5 _, ,.-0,5'
х+х""+1 X
Решение.
f.v > 0.
ОДЗ:
-1 2 (*"2-1)(.y"2+1) (х"2)3-! 2
х + x''-'+l д-'-5-1 х-"'3 x+x'^+l x,;J+l
= <*^ ^+^+1» + 2х"2=,х"2-1,2 + 2х"2=х-2х|
х + д +1
+ 1 + 2д-Г2=х+1.
Ответ: х + 1.
2.0,3. -^Л= + -^^1 + .,а + 1
•Ja+Ja+l 4а~4а^\)\ V а —1
Решение.
ОДЗ:
/— у (£( > 0,
Va - V« - 1 * 0. <=s J <=> а > 1.
[а>1
а + 1_
44

Пусть X— выражение в первых скобках. }'— во вторых:
v I I ■Ja-4a-\+Ja+4uT\
Ja + sla + \ ■Ja-4a~\ (Ja + JaT\)(Ja - Vu-T)
2л[а+Ju + \ -Ja~\
, -Ja + \ -JaT~l +Ja-\
Тоща X: Y
Ju + l+Vu-1
1 Va-1
2i/U+t/« + I -i/a-1
V^(2>/«" + V7+T--,/o^T) /
= ,=—i —/^ = v« ~ 1.
2V« + Va +1 - -Ja - I
Отпет: -fa~\.
2.014.
.x"q+x:'-v
Решение.
[л го.
одз,- j.i-ao.
(л *у.
Л'- 1- л
A"''V +
l'2l.lM + v„4i,
v,,2-2.v"V'4 + )
,.з 4 , i/:,,i<4
V7v?+4^v2
v;
45

V - 1 ( /> j/^KV* + У< )
(/t+ 7г)("У7-У^)2 (ч/Т <-т/VnV.v -V7r
(У1-4У7)(4У7+4Уп 4A+j/T
Ответ.
2.015. V)'"'""
Решение.
ОЛЗ: jy*0.
I у > 0 при ш = 2к.
(m-n)-+4m
■n(»i+»)(»i-,7) .
/!Г +2пиШ!
~„ „„».-») = >.!,„„w„ ^ ,.».(»-..) =>7„=^
Ошвии: "^.
2.016.
(:r " + zz «)--4;
I (- '' -г "г +4z ; (/
ОДЗ:г*0, p*0.q*0.
((z2"+-2«)2-4-
2 ;j+2',
(J "_-l '/v
j(:2")2+2Z2',+::"+(:2")2-4-
Г+4*1 "+ь'< I (Г1 >'г-2-
•'+(:'■'«)-+4:
;,4J ,;
46

<--'V-2-2"ti'<'+<_-"r ~J f--2"-
I {zh"\2+2-y^] '<'+(-' ")- I [(_-'"'' + -'«Г' j --''" + -'"''
2.017. _iri_.!^.+*"4. v'/4+,
,v3/4+.v12 vl/2 + , * +'■
ОДЗ: x>0.
x3'4 + ,l<2 vl/2+, -V + \тЗ'4+х2/4 ^vf^ ^
л-2,4(х"4+1) 1
Ответ: J~^_
2Ю18.'±£±Г- + 2-'--*-+* I .(5-2.т2);л' = Д92:
( 2j + .г2 2.г-л
2.Г+Л-2 2.V-.V2 '
't?t£:+2_b.'-.+-i. i .(5-2^=
I .v(2 + .x) Jt(2-.v) '
((2-_х)(\ + х + х2Н2х(2 + х)[2-х)-(2+х)(\-х + х2)Т' f5_2 2,
[ .v(2 + .v)(2-.r) " J
С 2 + 2.v + 2_v2 - .v - .v2 - xJ + 8.v -2.^-2 + 2л -2.r2 - x + x2 - .v3 1
x{4-x2) " ,
47

^^I^H-^i^fc^l -1S-2X'
2x(5-2x2)
_(4-x2)(5-2y2)_4-x2
2(5-2x2) 2
Отсюда при х = >/3,92 имеем
4-(л/зД2~)2 4-3,92 _ 0,08 _
2 2 ~ 2
Ответ: 0,04.
0,04.
2.019.
\[xy+yf I x = 64.
j/x j>" -д/х с" -V^
ОДЗ;2 = ^ + ^У-^?7-3У7^0-
1?г-у2№+\Гу)
з/^Г + зСГТ 3/,3„2 j/„s
Х-^" -ЦХ-у- -Цу
{х-у1х + у%Гх+^)
]/7Ш+][/)- \[7(tf7
3/^4.3 „2 U.
*>'+^ Г
"^/7(х+^)-=/7(х+^)
(x-yj$Ix~ + \[y) ( i— 3Г7
-^L-HMr
"v^-V^

Mi --УгК>/? + ^т+г//)
=-y7+^+^r-^-V7=^/?=V(i4T.
= V4J" =4" = 16.
Отнеш. 16.
2.020
(1+nlVI+o
2n з 4+8/а+4/д-
VI
Решение.
2a
r^O,
(1+а)л71 + й
ОДЗ: \a*0, <=> я > 0.
o*-l
2a , 4+8/a+4/a~ _6
(1+п)л/Г+а" 1 л/2 \[<1+п)лУ1+а
4 + 8/a + 4/«"
_
8a- 6 j 4a"+8a+4
(l+ar'd+n) Ul «2л/2
(1+a)4 V 2a4 \J(l+«)4 a
8«3 Jl6(o + l)4 J 8a3 8(l+«)4 _ 61б4 _ 2\/«5
0//)№
49

4x x + Vx -1
2.021. f !—-
x + Vx2-l | -1
Решение.
fx + 1/xT-l I -1*0,
ОДЗ: i\
x2-l>0.
4x[x + Vx2-l) 4x[x + Vx2-l j
x + Vx-1 -1 x'+2xVx -l+x'-l | -1
4x x + Vx2 -1
2x2+2xVx--l-l I -1
4x1
fx + Vx2-]4]
2x2+2xVx2-l-1-1 ]2x2+2xVx2-1-1 + 1
4x[x + vV-l
2x2 + 2xVx2 -1-2 2x' + 2xVx -1
4x(x + Vx2-l
x + Vx" -1
2|x2+xVx2-l-l t>x x + vV-1 I (xz-l}+xVxz-l
x + Vx2-! _ 1
x2-l(Vx2-l+x | Vxz-1
1
Ответ:
Jx^-i
50

2.022. 4~х_*
■Jx
Решение.
ОДЗ: 0 < -v * 2 .
V(x + 2)2-8x _ Vx2+4.v + 4-8x _ VxVx2-4x-4 _
_JxJ[x2-2f V^]x-2|
" ~x^2 __*^2 '
Отсюда:
1) для x<2,--Jx ;
2) для a' g (2;-ь*>). vx .
Ответ: -Jx для xe (02); Vx для д'е (2:^).
2.023. ^6xl5+2X)-yJ^j2x-2ylTx.
Решение.
OR'i.xZO-
^6х(5 +27б) - v'Wil - 27з1 = ф>х^+27б) ■ JTfapWf] =
=4б4+2^]-4^[^-^1 =>№^/?) ^-27б)=
= t/бх^ + 2/б )■ 6х(5 -~2^б) = V36.v2(2?- 24) = t/збх2 = Тбх.
Ответ. 4бх.
2.024. ^4^ + 47^-&-Л*--2-Узх
ОДЗ:х>0.
51

^4х([ 1 + 4-Уб) ■ &,/2х - 27зТ = ^4x(l 1 + 4л/б) • ^2>/х"(2,/2 - ,/J) =
= ^4х^1 + 47б)-^/х"(2,/2-7з))! = ^4х(| 1 + 4л/б) • ^4х(| 1 - 4л/б) =
= ^4x(l 1 + 4-Уб )■ 4x(t 1 - 4-Уб) = $16х2 (121 - 96) = 6л/400х2~ = V20x".
Ответ:
аг-а-2Ь-Ь21а (а +аг +ab + a2b b )
2.025.7 1 n ! : 5 5 + Г t
a = 23;6 = 22.
Решение.
ai-a-2b-b1\a (a3 + a2 +ab + a2b b \__
я4-я2-2я6-62
a2 -a-b У a-b a-b\
(a2 -a-bjp2 +a + b) a2 +a + b
a'-a~b a-b
= ki£±*fe=*) = e_ft = 23-22 = l
a + a + 6
Ответ: 1.
52

2.026.
3!
■1Ш
547) fVWft
Решение.
fa>0,
ОДЗ:
6>0.
[Ж]_ (д¥5у/2 (V^^Wj aW15)P/2)
[V^^VTj ^ (д}/6 &1/6у ^^ ^5/6)4.^1/6)4 ^
я ' a '
a^-b^
b\ia bya 6i/i2
„10/3 ,2/3
= <Г10'5 .£ l£ =a-2 .„Ю/3-3/2 .2/3-3/4 -2 (20-9>6 . (8-9V12 _
a3/2.63/4 " о -CI а о -
= ^2.all/6.6-V12=a-2+,l/6.
1 = 1
%1/6.61/12=,^-
1
Ответ:
alb
2.027.
Ъ+ЗГ7 ■§-
П-х1
Ь-х2
Решение.
ОДЗ:
|1-^2-л:^>0,
ll-x2 *0.

4x + <ll-x2 -Щ-х4г^х:
l&
x+sl2-x* -m-xill-x
'Jl-x'
Чх2 + 2х^2-х2 +2-Л-2 Ъ-х^г-х1
Mx + xh-x1 \i\-xJ2-x2 pfl+x^-x1 Ъ-xh-x2 )
4\-x'
f2(\-x2t<2-x2)) ^^TTI7) ^7f
4\-xL
^.^x2f ^-F
VT"?"
-V2 при Vl-*2 < 0;
Ответ: - 6-Д при Vl-x2 < 0; V2 при Vl - х2 > 0 .
2.028.
/ 2 2V1/2 2 /
х\х -а } +1 « v х + а
a(x-«P+(^-a)l/2'.»-(x-2-a2f **-с
Решение.
ОДЗ:
х" -я" >0.
х-а>0,
х*0,
х-4х2 -а2 *0
\х>а,
<=> | х- * 0,
а*0.
54

xx -a- + 1
а(х-аУ'г+(х-аГ'х-{х1-а^ x2-ax
=r + l
x + \x~ -a
a2-Jx + a 1 _ ^(x+afc-a)
-Ji2-a2 1
~a x-4x2-a2 *(*-*)" ^(Vx^)2
hVx2-V
я -J x + a + a\x-a)(a + x-a)
a2y/x + a x(x-a)
v-2 v-2 . „2
я х(х + я)
X -X +Я
х(х-я) а2х{х + а) х(х-а)
1 1 _х-я+х + я_ 2х 2
х{х + а) х(х~а) х(х + аХх-а) х{х2 -а2} х2-а2 '
Ответ:
^+4f±-j\
2.029.
Решение.
ОДЗ: Гга2-
г<-2.
г2 -4-,1-^-
г2 -л/И -16

f^f?iHf?f [{?+*№■]
r2-4?~^~6
гг-4?^й>
2гДг-= +4 J-Jl + 4- -(r2 -4)-Jl--4-
'--4?
r2-Jr4 -16
^ ^ .^iJ^^^Q^ -4f .^
-VH'-ie
r3+4 2^Мб)7И-1б r^-4 f2 ,/,< w)
w w w r ^{r 16> ,
r2 -47~-
VrV-VT^fP
2 2V7
2V7
Л о аг112-247,
Решение.
ОДЗ:
Ja>0,
[0*1/2.
1/2ч а | 0 a2i/2-247i = a2+2ai/2+(i/2)2
" +i/2+" aJbi-'&F'i «1Я

W-Т.Л
2.иЧ- = ^4if гЧ*-аГ-\а1Р-2г1,)_
' а"'2 • 2"4 Т}1ги\, ]Г- -21/ТГ а''2 ■ 2"4
(c^-^ia + l^c^-H1'1) = а+2"1 _ ц +21/4 .Ц'/3+21'-
aV2.2l/4.(al/3_2l/4) а,/2.2,/Д я1/2.2,/4
и1/2.!1'4
,1/2 ,1/4
Ответ: -1
2.031.
С4ГТ ,
л'/2
4^-1
%
Та+\
-4а
I а-\сг
Решение.
fa>0,
ОД* 1*1.
\1а' -1 4
4^-
4^
^2 ^4ГТ ^
Vfl +1 г
л/я
(^4-
?1
^-l№" + ^+ll V ['(4Л4-1[4У7-4^4-П
i-= ^4-Й ■ 1— 1-41,
f-i f+i
) }
4л/7 + f +1 + fa f2 • f V7 - fa +1 - V7
а- л/а"1 ^ ^ ^ ^ a ~ V«J
.(<?.л.,|".4.*^.^|.1.
Ответ:

2.032.
J abc + 4 . I be
abc + 2
a = 0,04.
Решение.
ОДЗ:6С>0.
J abc + 4 . [be
abc + 4 t 4jbc Vabc + 4jubc+4
a 4a _V a
•Jabc +2
УиЬс_ + 2[
Jabc +2
J abc + 2
•Jabc + 2
■Iabc+2 Ja\Jabc+2) Ju ДЙ 0,2
Ответ: 5.
$lpT(f+J(2p~^f
2.033.
iJ4p + 2^'
4p'-\
Решение.
ОДЗ: Р S
^4p + 2^4p2-\
2p + \ +^2p-\\{jlpir\f -J2p~+~]j2p-i+(j2p-l f
\2p + \ + 2-[4p2 -\+2p-\
2~р~+] + /2~рЦ]2р + ]-^4р2-1 +2р-\
^2p + lf + 2^4p2 -1 + {Др~^
58

_ (JTp +1 +/2p-l)(4p -д/Т/)- - I) _
фр+\+^2р~^\)(4р-^4р2-\) Г~Г
, _==^ = 4^-^/4,,-.
V2/J + 1 4-,/zp-l
Отчет: 4р-^4р2 -\.
2.034. 1
Решение.
ОДЗ: u > 1
7^1
fl -Vu--1
Л +1 Vn^T
(ff-l)Va-t 1 -(u + l)Vff-l
\la + \ \a
l-l/^-l
Vff-1 . ^
1 __ J (и-1ь/а + 1-(и+1)т/й"-1 ' 7«^T - V« + I
>/«^l Л' -1 ~/(« + l)(u-l)
ч/яП7(^!)(« + !) _, (l-V"Z-l)J(a+l)(a-l),
\l(a-\j(u + \)(4a:^\-4^+l) ■Ja'-HyfcTA-yfa + l)
X ;= =
Vn+l
Ответ: va'-l
l-l + V«--l = Va -1.
2.035.
«+2
2 "] 7«-л/2
\/2e /2a+2 u-4Ta) " + 2
Решение
ОД'?.
я *2.
59

ia-H _■
■Jla -Jla +2 ' a-4lu ) a+2
u + 2 a 2 | -Ja-42 _
Jla J2(jli+j2) Ja(Ja-Jl)) a + 2
_ (a+IKJa' +J2)(ja-j2)-aj7i(ju~-j2) + 2j2(Ju' +J2) -Ja-Jl _
J2a{-Ju~+-J2)(-JU~--J2) a + 2
_ U--4-U2 +aj2a +2-Ла+4 1 _ Jlaja+l) _ 1
J2a(4u + j2) a + 2 J2a(ju+Л)(а + 2) J^ + Jl'
1
Ответ: г- rr ■
•Ja +V2
J36mrrp +mA—+ J3np J36mri2p
( Ь" к
2.036. I "<J36mn~p +mJ—+J3np I фбтп'р --J3mn -p\—
(_ V "' A ' ;'
Решение.
ОДЗ:
mn > 0,
np > 0,
m *0,
P*0,
mp> 0.
yj3bmn~p +mJ—+J3np yj3bmn~p- 43шп -p I— =
- т]36тп~р +(v3mn +J3np) I J36inn~p-(j3nw + J3np) =
= J36mn2p -(-v/Зпш +J3np)2 =
= \/36ш/Г/> -3nw-2j9mn"p -3np = -3n(m + p).
Ответ: -Зп[т + p).
60

Решение
U>0,
1/2 _д.-„2
l/o'-l
Г,
ху
- X
2 V2
-*-1'2
х-1
Гх
—,
~Тх
2
.V"
г*-
1
-,£-
-VIV7-2
*/х*-2 -х'-2
v.v3 Л3 Л3
х2 +2 (.г2 +2)-/! _ (х2+2)У7_
-*•»* xi]xj~x
Ответ:--Jxl 1ч—у
(т/я 1 Т fV"-l
Решение.
ОДЗ: 0<а*1.
х~
т/я+1
л/я-1
-VI 1
I л/« i_l fV^-i V^+il f(V^)2-iN| (У^-1)2-(У1+1)2 _
^2 2л/ы" J [л/йч-1 л/й-lj [ 2л/« j (л/й + 1)(л/а-1)
_(а-1)2 а-2л/ач-1-а-2л/а-1 _ (и- 1)2(-4-/ц ) _ о-1_1-и
4а а-1 4а(и-1) ,/н" ,/и"
Ответ:
Га
61

2.039. __=_.==-.=_JL_.=== ; A = 4.
]Лч(»П '/* т%4/' «'/4 -з/r'3
Решение.
9bv .sT , ^±:-«-!i
A2 6" ft2
*: 9ill,/,-a3'-
о''*-36
5/3 ^,2^*!:±^:.^_3iv3)
Л2
ЛЧзб5'3
-6 = -4.
*
Ответ: ~4.
I 1
2.040. «"^-L6'^2
II 2fa
й 6 + f
a = 0,02;A = -ll,05;r = l,07.
Решение.
1 1
О Ь + С f[ />" +f-n- \
\+ ..!_ [ 26f I'
« 6+f
-n2 'I
1'
J
0-6-
abc
62
u-Л-с.
«6c
6 + с-й
■с а(б + с) 2bc + b2 +c2 -az
h + c+a 2bc
„(b+c)

abc (b + c-a)a(b + c) \b2 +2bc + c2)-a2 abc _
a-b-c a(b + c\b+c + a) 2bc a-b-c
_b+c-a (b+c)1 -a2 ab _ -(a-b-c\b + c + a%b + c-a)a
b+c+a 2 a-b-c 2(b+c + a\a-b-c)
_-(б + с-а)в_(а-6-с)в_(0,02 + и05-1,07)-0,02_
2 ~ 2 2 "
Ответ: 0,1.
1 1 a2 +2
2-041- 2Twr)+2T^)"Ti^-
Решение.
ОДЗ: 0<a*l.
1 1 a2+2 1—Уя+1 + л/я a2+2_ 2
2^+Va") 2(l->/a") 1-a3 ~ 2|l + >/a")|l->/a") 1-a3 ~2(l-a)
a2 +2 1 a2+2 1+д+д2-д2-2
(1-д)(1 + д+д2) 1-a (l-fl)(l + fl+fl2)~ (l-a)(l+a+a2) "
.. -(Ы -1
(l-a)(l+a+a2) a2+a+l
-1
Ответ: ~~^ "■
J2(x-a)
2x-a
2.042.
a = 0,32; x= 0,08.
Решение.
■Ix ) (42x+Ja
-J2x+Ja\ [ 2-v/a
J2(x-a)
2x-a
[ -Jx V2x+Va I
■Jbc+Ja'l I 2>£
Л(х-а)
2x — a
63

2-Ja
x + 2Va(72x+Va)
(■Jxf +2j2ax +{j2af
Л(х-а)
У2(л--д)
1/2
Jl(x-a)
■JZx+Ja (Vic- -v/aJ(V2x + Ja) -fix +Ja
_ Jl(x-a)-{fx +Jb,\[2x'-ti)_
xj2-a-!2-xJl+4ax-24ax+aJl
2x~a
-T& -,/0,32-0,08
2x-a 2-0,08-0,32
Ответ: 1.
( , iff
-on (" ^ 'f" +
( ■, i Y f
("-i){-
Решение.
одЧ*о.
Г 2 iTf i Y""
I" ~1?\ Г»)
-0,16
-0,16 ~ '
1 Л"~т
i)
Л"
i)
fmV-1
I »'
fmn + П
J ! « J
WV-1
mn-\

(mn~\f (mn + \f (mn + \f-m
пгт ' m"-m
(mn-\f(mn + l)" (mn-lf-"
= (mn-\)m (mn + \f -m2n -п"-"
'(mn-\f (mn+Xf m-m n2m
m -n"-m" m-m" m
m „,">+и
m n n n n n
Ответ:
2.044.
Решение.
va+-ix-a Vx2-a2 -x+a
w-<
-1; x>a>0.
yjx-a x-a ]_ be 1
< + a+Jx-a Vx2 -a1 -x+a) V a2
<Jx-a
Я x + a +Vx-a ых-а\ях + а -
-Jx-a sfx-a
Jx-aJ
Jx+a +vx-fl vx+ й-vx-a J л/л^ _a2
x-a[Jx + a ~ilx-а)+т1 x-a{Jx + a +^x-a) a
[Jx + a + ^x-aj^Jx + a - -J x-a) -Jx2 -a2
\x2-a -x+a + ijx -a +x-a a _2\x2-a -a
x+a-x+a Vx2-a2 " 2ajx2-a2
Ответ: 1.
3 М. И. Ска наян, группа Л

2.045.
1-Vx ifx
Vx x
-1/2
Решение.
ОДЗ:0<х*1.
fV?-« 1+Л)
\~Гх Л
1 + -= + —
•Ух x
{ГхШ-Л
+ 2& + 1Y42 jyiifi-]) Ьм/х
1-Vx" Гх
i+Ух
\I/2
t(7x+,r j
j _4/— 1 + Vx | -Jx _|--Ух + 1 + -Ух j -Ух _ 1 -v/x
[ Л J 'Vx"+i| t/x" J'Л+Г^'Л+Г
_J Vx-1 -Ух-1 = 1—Ух
1—Ух
Ответ:
2.046.
1-х
УП2"-!
1-х
Л + х
У1-х2 +х-1 Vl + x-Vl-x
Решение.
ОДЗ:
|х*0,
lfix<l.
1-х2 -1 ( 1-х
Л + х
^Vl-x2 +x-l Vl + x-Vl-x
У1-х(-У1 + х--У1-х) vY+x-Vl-x
Л-х^-1
Л-х' -1
66

Л-JC
Л + х
Jl-x' -1 Vl-x+Vl + x
Vl + x-vl-x Vl + x-vl-x
Л-х2-1 WI-jc+VI + xwT+x+i/I-jcI
1 + x-Vl-xIVl + x+vl-xl
i/l-x -1 l-x + 2Vl-x2+l+x Vl-x-1
1 + x-l + x
Л + x-Vl-x
2x
x2
Ответ: -1.
я-6 a2 +62 + я
l-x'-l
- = -1.
2.047. 2a~6 02"2,+^-f yfr+b+ab+al
fa4 +Aab2 + a2):\lb1 +a) V '
Решение.
ОДЗ:
2
2я2+я6-62 *0,<
я*0,
6*0
2
a*-b,
я*0,
6*0.
я-6 я + 6 -4-я
я-
2я
6 я2+62
-6 (я + бХ2'
W+.J
+а
-ь)
т— ' (—^ \Ш + 6 + я6
(4б4+4я62+я2Д262+я)
262+я
(я-бХя + б)-я2-62-я
41 +Ь+<,Ь + а)= (°+ЬХ2а-Ь) ^ +b+ab+ay_
2b +a
67

a2_i2_a2_i2_a
(a+b)(2a-b)(2b2+a)
__-(2b2+a)
(a+b)(2a-b)(2b2 +a)
■(b(b + \) + a(b+\)) =
(b + l)(a + b) =
2a-b b-2a
Ответ:
b-2a
2.048.
2E--tf+hL=M; V-m. ^=078;a = 7/25
2p-' +?'
2 + ^
Решение.
(2p-qy +2q -Ърд 4р_^Ур<1 4p_^4pq+^q_^2q^-_3pg
„2 = "22'""'
2 + ^
p(Ap-'iq) 2 + pq2 P(4P-1<1) Ap-iq
= p-g = 0,78 = 0,78-0,28 = 0,5.
25
Ответ: 0,5.
f p?3 2p?2
2-0^W'2~o>+?)3'2'.
ОДЗ. Р + Ч >0«f>-}.
| pg3 2/;g2 po
и j.j />2 p2q
Jp+q )[(p+q)5'2 (p+q)112
\i p1 Л L
-_^P£_
2?
0>+?>"2 l(/>+?)2 p+« "I'(p+?)V2
/>+? ,
68

pq (q2-2q(p+q)+(p+q)2 ] p2 (p+q-q
~(p + qf2\ (p + q? ](р^Г\ P+«
_pq{g2 -2pq-2q2 + p2 + 2pq+q2) (p + qf2 jp+q) _
{p+qf2 {p+qf p2p
(p+q)1 p
Ответ: q{p + q}
2(x4+4x2-12)+x4+llx2+30
2.050.
x* + 6
Решение.
l{xi +4x2 -12)+x" +llx2 +30 _ 2(x2 + б)(х2 -2)+(х2 + б}х2 +s)_
x2 +6
(х2+б)^(х2-2)+х2+5)_
x' +6
Ответ: 1+Зх .
^-b^a'+lfiS+aVb
2.051.
2x2-4 + x2+5=3x2+l = l+3x2
a'-b
a\lb+aJH-b\lb-4ab2 аЩ-Ma3b2 -W + aJH
a=4,91;6=0,09.
Решение.
L2-b2]a2^ + aMb
a'-b
allb+aJa'-bl/b-JaT2 аЩ-64агЬ2 -ЦТ2 +a^
(a-bXa + bi^+aMb+^b2) fl3 _b
a{fi +\[b]-b(JH + Vb) a[fi +Уь)-УЬ~Уа' + Vb)~
(а-ЬХа + Ь^+аЦЬ+Уь2] ai_bj^J
= \fa+4b\a-b) (^+Щ,-\1ь) =
69

= а + 6 = 4,91 + 0,09 = 5.
Ответ: 5.
2.052.
' *-*'Г-д
Решение.
fl-x2 >0, f— 1 < х < 1,
:\2-хг-2^7\
ОДЗ:
х*0
:*0.
^2^+'+^
Г-
J-+i+- '
«fl-x'
1
Vl-x^
2-х -2Vl-x^
l-2Vl-x'+l-x"
у1\-х* \~Jl-x'
1-2V1
fuVi-x2 Ti-Vi-X2 уГл/1-x21
VI-x
= l-x2.
Ответ: 1 - x
(-M=
-t-^if

2.053.(Ь2Г-^2Г2|+2(!-/Г:
Решение.
0ДЗ:-1 </><!.
.р^4+рГ2)^-/У
V-1/2
1
1
2
\+р-
Jl-P*
2-2^-рл 2
2
Ответ: г-
1-/
За2 +2дх-х2
2.054. -г у г
(Зх + дХд + х)
Решение.
р~ V'+/> ,
__2 l+p2-2Vl-p4+l-p2
2-2^1-/ +2^1-/ _ 2
i 4 -"; г-
-2 + 10
дх-Зх
а2 -9х2
ОДЗ:
х*±",
3'
Зд2+2дх-х2 дх-Зх2 _-(х + дХх-Зд)
(Зх+дХд + х) д2-9х2 (Зх+дХа + х)
+10-
х(д-3х)
-х+Зд , _10х
(д-ЗхХд + Зх) Зх + д Зх+д
х+Зд—6х—2д + 10х Зх + д
Зх+д
Зх + д
- = 1.
Ответ: 1.
71

2.055.
\Jx + y ijx-y
Цх~у
\jx + y
-2
x-y \x + y
Решение.
ОДЗ: x*±y.
Vx + y Vx-
x + y Цх-у
Цх-у Цх + у
2 :
jx-y \x + y I
Щх + у) -2^{x + y\x-у) + Щх-У) \jx + y-\[x
Щх+у~Цх-у) Ух2-у2
фг~-2
-у- ЦХ + y-iJX-y
Ответ: Щх + у - Цх-у.
Цхл-у -цх-у
2.056.
1 1 b(abc + a+c)
ал ал— ч '
b+1/c Ъ
Решение.
ОДЗ:
а+——г*0,
Ь + -
a+-i*0,
о
b{abc + a+c)#0.
1 1 b(abc + a + c)
ал-- ал— ч '
Ь + ]/с Ъ
72

с ab+\ b(abc + a + c)
4
bc + \
46c+4 ab + 1
\abc + a + c b b(abc + a + c)\
[2 V1/2
4ab c + 4bc + 4ab + 4 4 ]
b(abc+a + c) b(abc+a+c) I
(4ab2<: + 4bc + 4ab + 4-4\l/2 (ЩаЬс + а + с)^
I b(abc + a + c) I I b(abc+a+c) \
W 4V2 2
Ответ:
2.057.
(x+y)2 -4xy
y-x J x2 -xy
Решение.
от.
x*±y,
x*0,
y*0.
(x+yf -4xy
[У-х) x2 -xy
((y~xf x2 +2ху+уг -4xy
x(x-y)
y2 -2xy + x x2 -2xy + y
x2 x(x-y)

y2-2xy + x2 (x-yf _^__^
,-V^PT{ s ~>b-y)} 'TV7?)"
y2-2xy + x2 x-y
W^TY
у -xy
SV-yTl x1 }'7P-y.2]
y2(y-xf x4 (x-yf _x-y
x* У2\?2-У2) (x-y\x+y) x+y"
Х-У
Ответ: х+у-
2.058.
1 1 Hi 1 II , * +c'
a b + c I a b + c I 26c
1+-
a = l —; 6 = 0,625; с = 3,2.
40
Решение.
1 1 Ul 1 ill, 6-+C -"
a b + c J I a b + c JI The
1,2 , Л _ „2
1+-
a+b + c -a+b+c \ lbc + b +c -a
1,2 , „2 „2
a(6 + c) ' a(6 + c) J 26c
д+6 + с д(б + с) \ ip2 +2bc + c2)-a2 _
a(b + c) -a + b + c J 26c
д+6 + с 26c 2(a + b+c)bc
-a+6+c (6 + c)2-a2 (-a+6 + cX6+c-aX* + e + a)
26c _ 2-0,625-3,2 " 4 _4
"(-a+b + c)2 =Г_ ,33+ f =(-I;825 + 3,825f =i
^40
• Ответ: 1.
= 1.

2.059.
l\( x 1 , ])\(x-yf+4xy
-—+ —
\уг x I l у2 у x I i+y/x
Решение.
[x*0,
ОДЗ: Г*".
Iх * -У-
l|/ «JV' xJ/ 1+^x
-(x2-2xy+y2 +4xy]x
I XV Xy I Х+У
Г(х + Дх2-ху+у2) __V__\ (x + y)2x
x+y 1
у (x+y)x xy
1 ■
Ответ: —■
xy
f 3 2 1 ^
1M-{2x-y 2x + y 2x-5yJ
Решение.
°Д3: si
1 ^
Ux2-y2
f_3 2 1 \ у2 f3(2x + y)-2(2x-y) 1__\
\2x-y 2x+y 2x-5yJ'4x2-y2 { (2x-yX2x+y) 2x-5yJ
y2 (bx+iy-4x+2y 1 1 4x2 -y2
4x2-y2 2x-5y
75

2x + 5y 1 \4x2-y2 (2x + 5y\2x-5y)-4x2+y
\4x2~y
4x2-y2
y2
-24
2x-5y
2 2x-5yj
4x2-25y2
(4x2 -/'
24
5y-2x
24
У2
-4x"'
l+y2
■Sy)
(4x2-
4x2 -y2
/
-y2\2x-Sy)
-24y2
(2x-5y)y2
5y-2x
,^ ( 2 „ llx-2A f , 2x2+x+2'i „/_•,
2.061. x +2x -U + l ; ; x = 7,(3)
( Зх + l J [ 3x + l '
Решение.
2 „ 1Ьс-2И , 2х2+х + 2
x + 2x-- : x + 1
Зх + l J I 3x + l
3x3 +6x2 +x2 +2x-l lx + 2 , 3x2 +3x + x + l-2x2 -x-2
Зх + l ' ix + ]
_3x3+7x2-9x + 2 Зх + l =3x3+7x2-9x + 2_
Зх + l x2+3x-l x2+3x-l
_ 3x3 +9x2 -3x-2x2 -6x + 2 _ 3x(x2 +3x-l)-2(x2 +3x-l)_
x2+3x-l x2+3x-l
= (x2+3x-l)(3x-2) = 3x_2 = 3 (3)_2,3.73_ 1_
*2+3x-l ' 9 3
= 3 —-2 = 22-2 = 20.
3
Ответ: 20.
2.062. Гба2+5а-1 + —Уза-2 + —
^ а+1 J ^ а + 1
Решение.
ОДЗ:а*-1.
76

f6a2+5a_l+£±iU3a_2+-i-)=
_ (a+lX6«2+5a-l) +a+4 . (l+JX3fL^2)j+3 _ 6a3+lla2 + 5a+-3
a + l a+l a+l
__ajbl_ _ 6a3+2a2+2a + 9a2+3a+3 _
3a2+a+l 3a2+a + l
2a(3a2+a + l)+3(3a2+a+l) (3a2+a+l)(2a+3) „ ,
= ,- = s =2a + 3.
3a2+a + l 3<r+a + l
Ответ: 2a+3.
.... ^i"6:^4 _J2 4^(2.v + l)
Z-U63-4+2i-|+^2'4_4+J^ 1-2* ■
x л-2
Решение.
\x*U,
ОДЗ: 1
I 2
-1-64
л"6-64 __ _^ 4х2(2х + \) = / х1
4 + 2х^+х~2 4-- + -1- 1_2л: 4 + - + -- 4г-4* + 1
1-(4л2)
1-2л- 4л2+2л + 1 (2л-1)2 1-2* хА(4х2+2х + \)
а
х*_ ^л-2^ +1) _ (1-4j2)(1+4^2 + 16j4) _ 4х2(2х +1) _
(2x-l)2 l-2x (4i'2+2x + l)(l-2x)2 1-2*
- (1^2^^5)0+4^ + 16/) _4х2(2х + \) _ (1+2j)(1+4.v2 +1 бИ) _
.2,
4/(2£+1) _ (1 +2-0(1 +_4t2+_16VV-4x2(2j: +1)(4£2 +2х +1)
1-2х (4x2+2x + l)(l-2.v)
77

=;(l+2x)(l + 4x2+16x4-16x4-8x3-4x2) (1 + 2x)(l-8x3)
(4x2+2x + l)(l-2x) (4x2+2x + l)(l-2x)
_(l + 2xXl-2x)^+2x+4x2)=_1|2;e
(4x2+2x + l)[l-2x)
Ответ: 1+2х.
2.064.
,,. 4a2-б2
2i + " e а36-2а262+а63
63+2а62-3а26 а2-62
Решение.
еда]
6*0,
6*-За,
b*±a.
Aa2 -b2 lab-a1 -4a2 +b2
а аЪ-Ъа Ъ +ab _ a
63+2a62-3a26 a2-62 б(б2 + 2a6-3a2)
ai(a2-2ai+i2)_^2+2ai+i2)-4a2 ab(a-bf
(a-b\a + b) = a6(6 + 3aX*-a) (a-b\a+b)~
_ (a+i)2-4a2 _ (a + i-2aXa+i + 2a) _
~-(6+3aXa+6)" -(6 + 3aXa + 6)
_ (b-aXb+ia) b-a _a-b
-(Ь + Зада+Ь) a+b a+b
a-b
Ответ: r-
a + b
2.065. " V V {Vx + b).
Vx-Vy
Решение.
x>0,
ОДЗ: y>0,
x*y.

Vx +Vxy 4--\/ху-\Х АГ 4Г",
Vx-^y
4Vx-(V7+V7)-^(V7+V7) .4Г-аГ1
С47+$7)(Гх-Щх+Гу) 4гт 4P
Ответ: x + y.
■x+y.
2.066.
4.._4/i..,4_4/rr-
Решение.
ОДЗ:
x>0,
y>0,
x * y.
f^ + ^y^-jx^y-Jy1 _ (Ix* +Jxy1)-((xTy+Jy1) =
_ VxCV-v2 +Уу2)-л/у(У-у2 +д/у2) _ Ух(х + у)-л/у(х + у) _
=4v9(41/7+VxT)-Vr(V7+V7)" VyWyj-VTu+y)'
^ (x+yxVx"-Vy") ^ (^-t/7)(4Vx"+t/y) ^ ^ ; 4г:)
Ответ:
-(Гх+ТуУ
79

2.067.
а*+аЪ-'-
a-V3_a-i/«6-V3+6-2P з/j-
Решение.
ОДЗ: ja>0,
62/3_aV66V3+aV3^a
а^+аб"1
■v/a+т
6
a-V3_a^-V3+i-2/3 3/j J 1_ + J_ 3/6"
^ & lib1
41 €£> №
'■la2b'
[M/Z+^py' 6/7 f&vWpP" 6/7
Щ\Ь+6№у[?-№+€*} с/т- S/^+S/t7] 6^?
Щ№-&+№) ~W № ~W~
=—I—— J=l£_B-=V7=e5/6.
Ответ: а'

- + \a+b+2c)
(a b ah f „ „ , 5
2.068. i l 5—; a = 7,4; 6= — .
1 1 2 4c2 37
~a2+¥ + ab a2b2
Решение.
'Н-!Н*)_^*+»+*)
1 1 2 4C' a +2a6 + 6 2-4c2
a2 62 a* a2b2 a2b2
(a+b-2c\a+b+2c)
_ qb (а+Ь-2с\а+Ь + 2сУЬ2
(a+bf-(2cf {(a+b)2-(2c)2},b
a2b2
_(a + b-2c\a+b+2c^ib ^^^ _5_ = 37 _5__j
(a+6-2cXa+6 + 2c) " ' ' 37 5 ' 37 ~
Ответ: 1.
a7/3_2a5/3i2/3+ai4/3
2.069.
Решение.
ОДЗ:
a*0,
а5/3_а4/3^3_аг,2/3+а2/3^а
a7/3,2a5/3i2/3+afe4/3 ^
aV3_a4/3iV3_a62/3+a2/3ia -a2/3(a3/3'_a2/3iV3_aV3i2/3+Z)3/3)X
(a2P -b2"f a2'3-b2" i/^-b^P1^) ш ,V,
"(а1/3-б"3И3-62/3)"а1/3-6^' а'/з_г,'/з -a
Omeem: aV3+6V3.
81

(pi-b^-ilb)
2-0Ж Ца*+№-№-№
Решение.
ОДЗ: а * ±Ь.
(а + Ь\а-Ь^-Иь)
\17+\[^-\17ь-\[ь* \ГаШ+^\-ИьШ-г^
(а+ь$-Уь)
= а-Ь.
Ответ: а-Ъ.
(т — \}Jm - (л - l)Jn
2.071.
т п + тп + т -т
Решение.
1т > О,
п>0,
vmn + л+т-1*0.
(m~\)Jm -(n-\)Jn _m^/m~-Jm~n-Jn +Vn
4тъп+тп + тг-т т4т~п+тп + т2 -т
m\Jmn +n+m~l)
\Jm-Jn\\m +Jrrm +ijn2 j-(ym-vnj
m\>jmn +n+m~lj
_ (уш-уйдт+Уши+n-l) Jm-Jn
m\Jmn + n+m~\) m
Ответ.
■Jm — Vn

1БьШ-\[а*\\[7-№
2.072.
7]+V7
In* ^iL^ul _3/„3
a* +^а262 -Va36
Решение.
ОДЗ: а*0.
УлШ-\[7)+3J7-№
Ответ: \[а* -l[b*.
■v/s-2-Уб
2-073- pTWp3W]'
Решение.
" VT-,/1
У(Л-^У Уз-,/2_
VT-,/2 л/З-л/2
Ответ: 1.

2.074.
(„■"-WW"-")'"1"''
(а'""_а-"')("Уа""' +Va"T')
Решение.
ОДЗ:
я > 0, если шип — четные числа,
а*0,
(я+п)/(тп)
а2"" -2a'""a"" +а2/" ч-У"*"'" »
„2/.I ,„(1/»,)+(1/„) , „21„ ■ "'""«" '
+ а""+4а
(и""'-а"»)(а|""+а"")(а|+1""+а|+"")
а2""+2а<'
1
1
1
Ответ:
a(va -Ja)
2.075.
U'
-9^'"кУ^-"'-зУл'-")
и""'+3^"")2-12^(ш+")'('""»
Lv>0, если m и и —четные числа,
ОДЗ: |х*0,

(л-|/"'+Зх1/")2-Ш""+")/""")
II т , Mm Jin „ 2/в_., (1/ш)+(1/„)
-V +6.Y X +9x
2x"
(^'^-3x,''')(^'43i,'")(i,,'"')-,-3x<"")-1)
~2/m_6j;(l/7n)+(l//0~+9j2/;i
(л"'"-Зл"")(л"'"+Зл-"")(—-—-)
U"'"-3x"")z
(x""'-3x"")(x"m+3x"")--(xl""-3x1'") i/„,
X _ *
Aim 1v\tn\1
(x""'-3x""f
Mm , -i „1/h
Ответ:
3^12
■J45-4S
н5^27(7Г5+3) = -гШ^= + 5л|— (VII+ 3) =
V3'15-4V3 V 5
V3,/l5-4V3 V5 7J(Vi5-4)
=^_+30+6Vn= J^+f) +30+ai =
,/15-4 (Vi5-4)(Vl5+-4)
= 6( +4) +30 + б7Г5" = -б7Г5-24 + 30 + б7Г5=6.
15-16
Ответ: 6.
85

Решение.
а^'-Г1 a262 fa2-62T' a~6 . alb2
а~ъ + Г3' (a+6)2-3a6 I a* J _!_+_!_ ' a2 + 2ab + b2-iab
a3 63
6-a
ni gb a2 -ab+b2 ab _ (a-b^b*
V-^'^Ti3"" a262 a2-*2" a% + 6)^2-a6+62)X
aV
a2-ab+b2 ab ab ^-Л\[ + Л) __ 1
X a2b2 (a + b\a-b)~ (a + bf ^fi+l + Jtf~A
Ответ: — ■
4
(t-2f+l2t
2.078. ' J "- ' •- '
[t2+2t+2 (2+4( + 3 t2+5t + 6j 2
Решение.
ОДЗ:
«"-3,
<*-2,
(*-l.
2( 1 f (f-3)2 +12<
^(2+3(+2 (2+4(+3 (2+5(+6j 2
f 1 2( if (2-6(+9 + 12(
[(( + 2Х<+1) (< + ЗХ< + 1) (< + 3X< + 2)J 2
f< + 3+2<(<+2) + < + lf <2+6< + 9 f2(< + 2)+2<(<+2)f (t + if
{ (( + lX< + 2X< + 3) J ' 2 [(« + 1X< + 2X<+3)J ' 2 :
(2(t + 2Xt+l)f(t + if 4(t+2f(t+lf(t+3f
2((t + lXt+2Xt + i)f 2(t + 2f(t + \f(t+if
Ответ: 2,

--^ = Л(И1+3).
Ответ:
(a-bf+ab a5+b5+a2b3+a3b2
2.080.
' (a+bf ~ab' (a3 +b3 +a2b + ab2)(a3 ~-b3)
Решение.
{a*b,
ОДЗ:
\a*~-b.
(a-bf+a^ _ a5+i5+aV+rt362 a1 -2ab + b2 +ab
(a+b)2 -ah' (a3 +b3 +a2b + ab2)(a3 -63) a2+2ab + b2-ab
i'l"l+a_2*!l + <?l1*it*5i u2-ab + b2
' (Ui} +b3) + (a2b+ab2))(.a3-b3) ~ a2 +ab+b2
((а_+6)(а2 -ab+b2) + ab(a+b)Xa-b){a2 +ab'+b2) __
a2(a3+63)+62(fl3+63)
(a + b)(a2-ab+b2)(a2+b2)
Ответ: и —b.
,~^=a-i.
87

2.081.
Nt+2 2V«-2
Л"2
■Jt-2 -Jt + 2 -it1-A
4t -4.
Решение.
ОДЗ:<>2.
(i/7+2~ 2л/(^2 4(
V«-2 -Jt+2 -it1-A
JCd-4 =
M£
Г +2(-2(+4-4(
h'-A
Vt-A =
bz-A
t(t + 2)-2(t-2)-At
<2-4< + 4
1/2
1
(-2
4.2
V«-4 J V« -4
(-2 (-2
■lt-lJt+2 -Jt + 2 -Jt + 2-4t + 2 '+2
. V^4
(+2
1
2'082- b(abc+a+c)
Решение.
ОДЗ:
6*0,
abc+a + c?0,
be*-I,
ab*-l.
1
a +
1 1
1 ' Г
я+ —
6 + 1/c 6
1 1
1
b(abc+a+c) I , 1 b(abc+a+c) с 'ab+l
b+\jc b bc + l
1 bc + l ab + l _l-{bc + l\ab+l) _
b(abc + a+c) abc + a + c b b(abc'+a + c)

_ \-аЪгс-аЪ-Ъс-\ _ -b(abc + a + c) _ .
b(abc + a + c) b(abc+a+c)
Ответ: -1.
-./,„- (-, л 2 5x2-6x + 3 } ( 2x
2.083. 2-x+4xz + : 2x + l+-
x-1 | 1 x-1
Решение.
ОДЗ.х*1.
f2-x+4x45*2-6* + 3V2x + l+^q
I x-1 Д x-lj
_(4x2-x + 2J(x-l)+5x2-6x + 3 (2x + lXx-l)+2x _
x-1 x-1
_4x3-3x + l x-1 ^(i3+l)+(3x3-3x)
x-1 2x2+x-l (x2-l)+(x2+x)
= (x + l)(x2-x + l)+3x(x-lXx + l)^
(x-lXx + l)+x(x + l)
_(x + l)(x2-x + l + 3x2-3x)^4x2-4x + l_(2x-l)2 ^2x l
(x + lXx-1 + x) 2x-l 2x-l
Ответ: 2 x -1.
(l-b „ а-П f, a-1 2-6
2.084.^+2— Д*._ + в._
a = Jl+U&b = fl-U,2.
Решение.
,г - - |.i f, "-' |д 2-iV.(2-iX"-2)+2(a-lX*-l)/
Г2-6 £-1^
[б-1+ а-2Д" 6-Г" a-2j "" (i-lX«-2)
%-lXa-2)+a(2-iX*-')_. ab-2 (p-lfa-l)
(6-lXa-2) "(*-lXa-2)'a26-a62-2a + 2ft
аб-2 аб-2 1 1
ab(a-b)-2(a-b) (a-bXab-2) a-b Л + 0,8 - Jl + 0,2
Ответ: 1,
= 1.

2.08S. f^^-V^y7"^
■Ja +Jb
a-b
Решение.
ОДЗ:
a SO,
бго.
a *6.
(aja+bjb j-r^f -fa +Jb\
■la +4b
Г -J^ + Jb
[(Л)2-(#)2
Ja+Jb
a-b I
v/aJ +V6J
■Ja+Jb
-4a~b
■Ja +-JE
^4a+Jb)(Ja-Jb)) \ l^i-Jb?
ф-Jb)2
(Ja'-Jbj2
Ответ: 1.
= 1.
2.086.
a-4a2-b~* a + 4a2-b2
а+л/а2-*2" a-4a2~b2
Wa4-ay
(5i)2
Решение.
ОДЗ:
6*0.
a-Ja2-*2 а + 4а2-Ь2 \л4а*-а2Ь2
а + 4а2-Ь2 а-\а2-Ъ2 \ W
90

Ui-Ja2 -h2)2 -«t+ylo2 -b2~ )2 25b2
{a + \la2 -b2 )(a -Та2 -b2 ) 4^a2(cr -b2)
a2 -2aiJ~-h2 +И2 -b2 -a2 -2aVo2 -b2 -a1 +b2 25b2
a2-a2+b2 4-|a|-i/o^4
Wa2-62" 25b2 25a f—25, если a > 0,
b1 4Ц-4«2-Ь2 N 125, если а <0.
Ответ: -25, если а >0; 25, если а < 0.
■Ji(a-b2) + 4lb& J2a-4Tc
2.087.
^2(a-b2)2 +(2b4Ta)2 |l_ jl
Решение.
[a>0,
ОДЗ: |e>0,
(2(a-62)2+(26^)2^0.
4ъ(а-ь2)+4гь& 727-727 4^(а~ь2)+24т>ь2
^2(a-b29 +(2bjTa)2 II_ ll -J2(,a-b2)2 л-^аЬ2
72(7" -7c) _ S(a-b2+2b2) 72(7ц-7ё)7дё.
iL^L ~7277-2аь2+б4+4а*2 7з(7?-Л)
7" 7c
a+Ь2 -Tar _ -(a + 62)7ac _ -(a+62)7ac _ i
7a2 +2ab2 +64 [ 77a+62)2 я+б2
Ответ: -Jac.
91

2.088. Vl-x2 +1
Решение.
ОДЗ; -1<х<1.
Л + х
= + -Л-Х .
i
1
'l + x
'1-х2 +1к/1Тх
,/f^I Uh/l-*2 +l):
1 + Vl-x2
= Vl+.x.
1 + Vl-x2
Ответ: Jl + x.
-n .2+V?l
Решение.
fn * ±8,
_№•
23Л ) 4-V^
3Л-2 )^? + 23Л'
2 + 3/л 2 + lfn
-№н
23Л 1 4-V^
23-^lJ ,4 + 2^ + V^ V7-2^ + 2^„
2 + lfn ' 2 + lfn 4n-2
^(^+2) 2+3Л 4 + 2^ + ^
Vn^ 2-Vn , 1Г ,r „
2-^M 3Л
Ответ: 2.
92

2.090. (a-bf(4a+Jb) 3+2a4a+bjb xJab-b)
a4a+bJb a-b
Решение.
a*b,
ОДЗ: • a > 0,
6>0.
(a-b)\4a+Jb)~3+2a4a+b4b 3(Jah-b) _
a4a+bjb a-b
_^L_._' +2a4a+bJb
_(4a+Jbf Mb(Ja-Jb)
aja+bjb (4a-Jb)(4a+Jb)
_ (a -bf +(2a4a+bJb)(yIa+Jbf ijb
(4a+Jbf(a4a+bJb) 4a + 4b
_ 3a3+9a2b + 9ab2 + 3b3 + 9a24ab + 9b24ab + 6ab4ab _
a3 +3a2b + 3ab2 +b3 + 3a24ah + 3b24ah + 2ab4ab
__ 3(fl') +3a2b + 3ab2 +1? +3a24ab +3b2 Job+ 2ab4ah) _
a3 +3a2A + 3aft2 +b3 + 3az4ab+ 3b24ab + 2ab4ab
Ответ: 3.
2091 ^-УШ ^'/3^'")2-4^,2;t-2».-l/«
^"2+^|/3у/6 *5/y3-.*"V'3
Решение.
л:*0,
ОДЗ:
.v*0,
*"2+*"У'г *5'V'3-*"V3 "V6+*2'y6
x~ ;5'у/"_/<у/б +;2'v6 x2v/6+3'"6)x
93

* х^у^^-у*) V6yV6 х2'6(х''6+у''6)Х
хФ-2ХФуУ*+уФ 2 _ х^-уЧ* jx^-y^J
2 _ ^^-у/в х^-уф г (j^6-/6)
t^V? = x2'6(x''6+y''6)' x^y2"1 +7^_x2<V6+y,/6)X
(x^-y^I^+y^6) 2 J*"6-/6)2 2
* x3/6y2^ +i4'6y'/6 x'^y2'6 """■И*/6
x*6 -2.r'/6/6 ч-у2'6 +2х'/у/6 x2'6 +y^6 _ x'/3 +yV3
Ответ: fi/ 5 2
Vх У
2.092.
x-1
x-1
[TMT^j
3/5
-if
Решение.
ОДЗ: х*±1.
x-1 x-1
[t(*+1)2 'fr^j
:^-lf =
xVx-1
VmF
^x+If ^/(x-l)2(x+l)2
■Vs
-1 Vx^T
f^f
[Vfr+ip ^^ J ^2_i)4
хУх-1 + Vx^T
Vm?
94

/ , N-V5
Vx^ijx +i)
1
l :
fVOc-lXx^
= (^-1Хх+1)Г
#г?
VmF
•3/5
C^f ^C
Ответ; ■
1
х2-Г
Vi+i S-i
Z09M^wr+^w?ir_^+2
Решение.
0ДЗ: W(V3-i^.
( УЗ+1 : УЗ-1 Uy^ 2 |2 |
. (>/з+1^-т/з+л/г)+(-Уз-1^+уз+V?) {jiJ-2+2/t ^
(Vf+i+V3j(J7+i-V3) Vf
2-,/зТ < + 2,/<-2 =2-Л(и-2т/<-2) ;yj
Ответ:
2Ш- m^+S^ + W
Решение.
ОДЗ; m Ф 0.
1-33,

Л3-
■ПтЧ'-п
т2*3+il[m7l+9п*3
ЗГГ -ЛГ~ "
1-33,
mV3(m-27n)
,V3p3J,-(k.*)J
т ^+3т"\"3+9П2"
™V3
-/
V^ т*3 ч-ЗгЛ"3 +9п*3 m"3 -in'13
^ m1^3 -inV3\m2" ч-З^У3 +9„2/3) m"3
m*3 + 3m'V3 +9п*3 ' ' m* -Зл''3 '
Ответ: О.
2.095. z"43" :z9-''2 z3"-"2.
Решение.
[0<z*l,
ОДЗ: p*0,
U>*±3.
„2/3 =
„2/3 =
z?*3p :z9_p! -z3^ =z^*3p 9"^ ^"^ =
- ,рЬн-з)*(р-зЬ+з)~рЬ-з) _ , Л+зХр-э) .
р-6/н-9ч-12р-3;>~9
р-+зр
p(/>+3)
7рО>+зХр-з) =zp{p+3h-3l=zP-3
Ответ: zp 3.
2.096.
Nx-V
Vx -\x-ci1 Vx+vx-л2
ых+Ых-а vx-vx-я
Решение.
[x>0,
ОДЗ: Ixi-a1,
\a*0.
96

■Jx-Ых-а2 т/л--t
~~ъ-а
Jx+-\lx~a Jx-\x — a
x (Jx-4x-a2)2 -(-Jx +Ых-а2 )2
(7л: + т/дг-а2 )(Vx —lx-cr )
A- (.Y-2y.Y(x-a~) + .v-a~ ~x-2^x(x~ct") -x + a
-»1 (4~x)2-(4x-a2)2
x _ rA^x(x-a2) _ Via2
.Y-a2 x-x+a2 4x-a2 -(-4^х(х-а2))
4(x-a2) 4(a-x)
2.097.
4(a2-x)
(2-л/дг + 2):| J- + l--~
V x Jx
Решение.
ОДЗ: лг>0,х*2.
(2-Vx + 2):|J2: + l-~
4 M. И. Скала ви, группа /
97

4x 4x 4x
(2-VxTl)^
2x
(г-т/хПУх
л/2+х-2
Ответ: 2.
л/2 + х
"А)
2.098.
\-4Ti
«2( RT
l-Vi?
—V5F
<
V27
Решение.
[* >0,
ОДЗ:Ц
1--Л7
1-V2?
^+
1/г7
-V27
I-*1
■4
-V2?
-tfiF
-Л? 4.
1-Й?
-^
1 +
1/2/
1-V*7
-Й?"ЛР"+^
l-tfa
V27
У^-УгТ)
-ЛТ5"
= (ьй7)х

((l+tfsTi-t/zT+V^ Y'
-—i—= L^r-
1+1/2F
= (i-*/27}x
-^J+^-^T =(l-^2j)(l-t/27)
V 1-1/2?
Ответ: 1.
2.099. ; _ " " л " '■ 2-3
fx*0,
ОДЗ: У*0,
x*Sy.
(x2'3+23/^+4.^) f fl^x^x'/3/3-^3
g] х^+гх"3/3^
2"fy f^/3_8yxV3):xV
R/x4 -8/7x :3/^
= x2/3 +2хУУ'3 + 4y2'3 23^-VI = (^3 +2х"У3 +4у2'ъУъ
xV3yV3
ify-4i= (x^3+2x^V3+4^3V3 2yV3 -x^3 =
X з/J ^V3_2yi/3^V3+2xV3y./3+4yV3)-' yV3
„'/3 ^..^/з _
2y"3~xV3 /
Ответ: -1.
99

2.100.
. •> , J Vz
z-2 +
Решение.
fz>0,
^-z4z~ + 2-2ji)\+fz) _j-J4
z-2+- "z
+ 4+z =
z2-2z + l Z V z
k-^)(z + 2fk + ^).z z4~zh+zf
(z-.f £
.j-V^+^^fz ^...(l-zHz^fz
(z-,f Zt?+Zb (z-,f.
-z(2+z)=(z + 2)!z-z(2+z)=(z + 2)z(z + 2-l) = z(z + lXz + 2).
Ответ: z(z +lfe + 2)
1
2.101.
^+4 If a 1 J_
[a + 72 a3 +2^2 J'(2 ^2 a
Решение.
a*0,
i
\а+Л аъ+ 2-Л }\2 -Ji a
" +4 4£__L I
" + >/2 a^^lf

a' + 4
а2-Ли+ 2
(2 J2 «j l^a + 72 (a + j2)(a2-j2a+2 j
я2-,/2а + 2-а2-4 a2-4la + l ~4la-l 1
(,а+Л)(а2-Ла+г) 2a a + >/2 2a
-Jlja + Jl) _J___>/?
a+VI >/2<i 2a
^2
Ответ
2.102.
2я
~'з
-0-«)"
l + a(a-2)
-a + 1 \(a + l)
1
Решение.
ОДЗ:
a*±l.
(a-1)"
--(!-")"
I l+a(a-2)
a'-a + l K(a + 1)
1
1 1-a
„3
\+a'-2a
a2-a + \ |a + l| (o-l a-1 J a2-« + l |a + l| a-1
Ja-1)i_ 1__ _ (a + 0(a^-£+ lKaj-J) _ (a +_1)(«_-_1)
a2-a + l |a+l| (a2-a + l)-j,
(a+\)(a~\)
-(a + 1)
(a+l)(a-0_
a + 1
- = 1 - a, если a +1 < 0, или a < -1;
a-1. если a + 1 >0. или, учитывая ОДЗ.
a>-l,a*0 и a*l.
Ответ: 1-a для яе(-~:-1); а-1 для as (-1,'0)U(0;1)(1;~).
101

I. (^-аь((, + ^УН{(аьУ2-ь)-(а-Ь)-<).
2.103.
Решение.
\ab > 0.
ОДЗ:
аФЪ.
Ш-abip + J^Y \ {l{(abf2 -ь)(а-ьГ )= (Jab ^=1/
a-b ^ Ja{J\,+Jb)j \Ja~JblJa+Jb)
{ Ja+Jb J ijb [ Ja+Jb J ijb
Jab[Ja+Jb-Jb) Ja+Jb a
Ja+Jb ijb 2'
Ответ: —■
2.104.
Решение.
fa* 0,
°Д3: й*0.
И б3 Va6 б3 аб
V^27
6 К б3 Va6 63 о*
i/V-2a3
6V б3 V aV a* V I Ц^Ъ?
b2
aJb^Aa* a2jjb^-4ab 2aVT4 -4a6 "
- + -
102
V62-2a3

llb^^iJL Vl bl Щг-2а^+2а^а
W ь bjifir—? ft2
+b)
$l?~^
Ответ: (a+bflb2 + 2a3.
1 + л/ьГх 1-,/Г+х I xl-\
2.105.
1-x + vl-x 1 + x-Vl+x
-Vl-x2
Решение.
ОДЗ:
i-l <x<l,
[x*0.
1 + Vl-x . 1-Vl + x ] x -1
2
ll-x + Vl-x 1 + x-Vl + x
1+Vbjc 1-Vl+x V x2-l
/Г^хрЬ^+7) л/Г+7(л/Г+хЛ]] 2
1 1 1 x2-l
--Vl-x2 =
i\~xl
П-х 4\+х \ 2
1 + X--JI-X
X -1
-Vl-x2
1 + X-2V1-* +l-x xz
1-
=-i+V
Ответ:
1-х2
С?)
2
-x
-*2-V
_i.
x2-l
2
-*2 =
2 "'
-1.
1-х-"
103

4a -* 2 otn~ff a4+2aV+4A4 / 2 ,. ГРт?
2.106. -7 r-V" -2Wa -6 ; =—Va + 2Ma -6" ;
a6-866 4a2+4a6+62
a = 4/3; 6 = 0,25.
Решение.
-- -\a-2Ma-b 5 г— V" +2Ha -b =
a6-866 4a2+4a6+62
_^а-фа + б) о4+2о262+464
^f-V)3' (Za+6)2 Х
xL>-2b47^Ya>+2b47^) =
(a2 -2Ьг\а* +2агЬг +4bAfta + b)
_(2а-Ь%' -2агЬг +Ab')=(2a-b)j{(l1~2b1J J2a-bj,2 -2Ьг)
(a2-262)[2a+6) ^2-262)[2а+бГ t»2-262X2a + b)
2а-6 2Г0'25 Г0'25 8-0.75 7.25 29
" 2а+6 " 2-1+0,25 "«+0.25 " 8+°.75 " 8'75 " 35 '
3 3
29
Ответ: —.
l + (a + x)-' ( l-^2+x2)l 1
Решение
ОДЗ:
а *1,
a*0,
x*0,
x*-a,
x * 1 - a.
104

1 _!_ Д + х + 1
l+(a+x)-' Л ]-l(i2+x2)\ +a + x 2ax-l+a2+x2 = a + x ^
l-(a+x)J ^ 2ax J ] 1_ 2ax a+x-1
a+x a+x
^LtlS^i^ljll- £i£il (д + *)2 -1 _ (a+x + lXa+x+lXa + x-l)
2ях a + x-] lax (a + x-])2ax
] У \ аг -а + \ + а-\
a + + 1
{a + x+\f _{ a-] J _( g-1
lax
a" a-]
(a-lf !<• I
a3
' 2(a-lJ
2.108. {l + ta+1
a = 0,75; 6 «4/3.
Решение.
(t+!+2)(l7
a2+2a6+62 a:
2a
a-1
a3
!(«-!)•
№"
-=b}(l
l+lab+b2
— )=
a + lb+
'-lab!
la
a-]
a+lb+ —
11
!(—+ — )
Да + * a-6j
b2)( a , 6 j|.
a 1 l^a+6 a-6 Jj
V+M> + 62
a1 -ab + ab+b2
ab 2a(a+b) I я (a+b\a-b)
Ja+bf(a2+b2),(a+b)2ifl2+b2)ja+bf(fi2+b2) a(a+bla-b)
2a2b(a+b) ' a(a+b\a-b) 2a2b(a+b) (a+bfip2 +b2)
h 0,75-1 1-* -I- ,
= £Z* = J 3.4 3 ._ 12 =__7_
~2я6~ 2-0.75.1 " 2-1.1" 2 ~ 24-
3 4 3
7
Ответ: -—т-
14

2.109.
-44-
+( -l(Wx VW"1 I +
-2?<
a = 3-;x = 0,28.
7
-4a?/-
+(-lOaVT-Vta^:)"1 ] +
-2?,
-64a3-Ли , 100a2x 8a2 Vx" г— г—
= — -+- —— = -64aVax+100a-8oVax =
a2 a»: /a
= 100a-72a^=100-34—723-J3-0^8 =
7 7 V 7 25 7 7 7
I' i Г5 "\
/c-_rf Ic +cd
\c+d \c2-cd '
Ответ: 100.
Решение.
; c = l;d = \jA.
tc-d
2fic
fsH. \c2+cd\..Ic-* i-^d Mc + d)
Vc+rf 4c2 -erf Г c2,S ' JcTd +U^d)
c-d -Jc + d ) -Jc — d c—d+c+d
2c
c2JTc j^i/c + rf Jc-d ) c2JTc Jc+d-Jc-d с2-Лс Jc + d
c-4~c-4cTd сл/с2 +crf 2£ТП Jl-liTl'^ 3
Ответ;
106

{abA+aAb + \LA ~bA)
2ЛП- Sb^+a^^-l^+^b)'
Решение.
fa* О,
°Д3:Ь*0.
[abA +аАЪ + \\аА -bAJ = [b + a+ [и b)
а2к-Ча'2*24?7оЛ) al_ b^_ (a_ b_\
b1 a2 \h a,
oft " "1 ab J ' aV
aU±\al±tL
„2.2 '
a* +b* -a3b-ab3
a'i1 ab агЬ2
{a1+ab+b1\a~bf агЬ2
aV "р~-а3ь)-\(,Ь'~¥)~
- (a2+ab + b%-bf = (a2+af>+62)(a-6)2
~~abi(i> (a-byi?(a-b))~ ab(a^h%P~'bTf
(a2 + ab+b2\a^b)2 =J_
'ab^'~b)la-b\a2 +ab + b2) ab'
Ответ:
ab
2.112.
■rir-*'
(5 +2(" +4Г'
V 4-4(4
Jl-Jt -Jl+Jt >
Решение.
ОДЗ:
|(>0.
i*2.
107

ai-»m£
■Л-Л 42+4i,
$2?~? \ JfV+2f+4> If -Jt+fi + Ji-Jt )
(2-()2 [{(Jl-Jixfi + Jt')]
V(2-r)(4+2(+r2)+^j
ЗП "1
(Vr +2( + 4
tf^o1
2£-
2-f "
V(2-()2 ^
Jj4 + 2t + t2-(2~t + t) fo-tf = V(2-r)(4 + 2r+r2) = ViT7
Ответ:
7Г
П'Р
2.113.
(x"''+i"")2-2.v1"'(x"''+x1/'') x(«-'',''" + l'
Решение.
ОДЗ:
1 л: > 0,
= <^"iL-^")(£2^ + .vl/''-v"'' +x2"'2+ _ >?_
(.r"''+x"»)(x"''+;rl/<'-2.v1;') .v"^i;»+T
108

(a""-.v"*)(.v2''<'+.vI"'.v"*+a:2^) л""
~\xl/l'+~x,r<t)(xt/~l'-xl''l) + л-'"'
.v2^ + *1"'.v"j'+.L2"< _.v^x'^ =
_x2,P+2x"PxV,'+x2'" _u""+x1/»)2_ .!/„ 1
,"/>+*"« .r""+.v""
Ответ: -Jx + vx.
9-4a"2 1 + <Г'-6<Г2 1
х"г+хУ«=рГх+€х.
2.114.
За^^а"3'2 a
■3'2 ",,-W±i,-!'2 ■
3<T
Решение.
ОДЗ:
a*0,
a*-3,
2
a*-
3
3a-"2 + 2a-3'2 а^ + За'3'2
' 9-Л
1 +
1 6
1 , 3
-?- + -?-
„1/2 aV2 иг aV2
9a -4 a+a-b
ia + 2_ а + Ъ
9a -A aiu a'+a-Ь a'
3a + 2
a+3
[(3a+2)(3a-2) (a + 3)(a -2) ) / 3a-2 a-2
'3a-2-a+2
Ответ: 16а .
2a
109

2.115. Aab +
1+1-1 -a3 (Ja+Jb) ,( Ja+Jb
2bJi 2ajb
{ja~ + Jbf -2ja~b (a + Jab^t (b + JabV
Решение.
fa>0,
°Д3: 6>0.
Aab +
1+1-1 la3 \ Ja+Jb] ,(Ja+Jb^
2bJ~a
2aJb
{ja+Jbf~2jab ( a + Jab] (b + Jah
2 J 4 2
26^a 26,/i
.♦4
-4ab +
Ja+Jb Ja+Jb _. , a' +b3
a + b
a+2ja~b+b~2jab 2 , L
a+Jab b + Jab
2bja+2ajb
Ja+Jb ^ub (a+bja2 -ab+b1) 2jab(ja+Jb)
2b+2jah+2a + 2jah a+b Jli+Jb
\p + Jabjb + Jabj
Jal(ja+JbJ 2 2 r- Ja~b{ja~ + Jb)
—r——-1 i—L—~- = 4ab + a -ab + b -Jab——^ ^-' =
2(jaf+2jab+(Jbf) (fa+Sf
= a2 + iab + b2 ~ab=a2 +2ab+b2 =(a + 6)2.
Ответ: (a + bf.
110

2.116. Ь/mn-
Решение.
)m>l,
л>0,
тп ymn
-Гп
т + ытп } т-п
■Jn :Цтпытп -
( i— тп ~\ ifrnn-ijn г-\ 3/ 7=
\ Vmn ==- : тып :\тп^тп-
m+Jmn ) т-п ] [ ^m+_i
(^ \Jm+4n)Jm \ {Jm~4nj^m+4n)
■Jn :Jmn -
-1
mn 1-
л
%1$т~-Гп)
Чп-Unffin +ifn\-Jm+Jn)
-Jm + Jn
1 m4 -1 f утп(Ут+Уи-Уп) v«
ifi m2 I -Jm+Jn $[m+i[n\Jm+Jn)
1 m4-1 [vmn-Vm p +vJiWm + Vn) /-]
K-== j-= -=—=-••* -£= '-m-Jn x
Vffm m I vm + Vn vn J
K-== — = ifnifn^Im+ifn)-mjnj —= — =
Vmfl m ilmn m
2 rUl~ *Г tr¥ ' m4-l m24mn m* -1
njn
n-Jn
•imn m
m4-l m'-m'+l 1
Ответ:
111

2.117.
(aV2_6V2)"1((I3/2_i3/2)_
(Л+Л)-2у
ЦаЬ-Jab -
uU-jy-
ОДЗ:
a*b,
a>0,
b>0,
-1<а<1.
^'Г^-^УШЧ
•Jabjab +
1+1 М-а*
-1/2 У Iav2_6v2"
[JZ+JEf :Л*
i+-
1-a'
1 1-я2
[ a"2-*"2 JW'2 l-a2+a2
= а+Л"2 +6-а_2аП"2 Л 1, ^a2 =
' a1'2*1'2
= -a''26^.
a1'2*1'2
l-l-u2=-l + l-a2=-a2
Ответ: -а
2
2.118.
3 15
Л-1 Л-2 3-Л
(sA'-
Решение.
3 15
Л-1 Л-2 3-Л
|.(л+5г

J 2(73 + l) jfi + 2) 15(з+Уз) ) 1
ЦЛ-1Уз+1) (73-2173+2)+ (з-7з1з+7з)/7з+5"
= Г2(Л + 1)з(7з+2) 15^+7?)] 1
(2 -1 6 j'73 + 5
^-473-10+15+57з 1 _7з+5 1 _ 1
2 7з+5 2 '7з+5~2'
Ответ: ~-
^7^/54 +15^128
2.119. ТгтТ^^ГТг^^'
V4^32+V9V162
Решение.
3/7754 + 15^128 ^ У7У27~2" + 15Уб4-2 _ 77-372+15-472
\J4il32+\[#Щ ^З/ПП + ^^/ИЗ & • 2$/2 + $ • 3^2
^ V21V2+60V2 ^ VsiT? = 3#f ^з'Тг^з
Ш+'&Ш гШ+гъШ г'Тг+з'Тг 5'72 5'
^12724 + 67375 ^Щ+бТШ^
5^4 ■ 473 + 7^18 ■ ЗТЗ _ 537l бТз + 7^5473
^12-27з + 6-573 ^2473 + 307?
ИЗ

5^8-2^3+7^27-2^3 ^5-2^Щ+ 1-$Щ
Ъ^Ш Ц21-2Щ
I0V2W+21V2W _ 3lV2VJ _31
У$М ~ 3^2W " 3 '
Ответ 4/l2.
Решение.
Ответ: 2^/ш.
114

2.123. 2-JwJu+3jsW-2i/T5-4^SjxJ
Решение
2^юШ + Зд/бЛв -2V75 -4VllW27 =
= 2^AaJ^l +з75>Яб~3 -2^25^1-4Vl5V9~3 =
^г^О-гТз+Зд/з 4л/1-2л/>/25 3 -4Vli^3Vf =
= 2VWI + 3 ■ 2^/571 - г^/бУТ - 4д/457? =
= 2>/l6-5,/3 +(>Jb&-2jb& -аЬ-5fi =
= 2 ■ А^Щъ + бл/бТТ - 2^/571 - 4 3^571 =
= вл/бЛ + бл/бТТ - 2т/5-Д -12^/571 = Мл/бТТ - Мл/бТТ = 0.
Ответ: 0.
2.124. б'/бУЖ- 33V9Vl62 -1 lVl8 + 2^75л/50.
бешеные.
537бУ32 - 3^97Тб2 -116>/18+2^75750 =
= 53Уб7Тб^-33^5Ж?-11^9^ + 2^75,/ЙГ2~ =
= 5iJi^j2 -itfrTiJI -1 1VW2 +231/125~зД =
=5 ■ г'Д/г - з ■ з$^2 -1 lVWf+2 ■ sl/WJ =
=1 о/зТ! - 2о3^з7г + loViWf - о.
Ответ: 0.
115

Проверить справедливость равенств (2.125—2.134):
2.125. 4: 0,63/1 = 10^15 : f 0,25^216^1
Решение.
Преобразуем отдельно левую и правую части равенства:
б) loVU:fo;25V216y9l=10^:fi--V23-33-
.32/3
10-3V4-23'4 23'4-3П/12 5 ■ 3V4 • 23'4 ■ 2
= 20-3~2'3.
2 ' 22 23/4-31,/12
Получили, что 20 ■ 3~2/3 = 20 ■ 3~2'3.
2.126. (4 + ^?)(Л0-^6)-а/4-Л5 =2.
Решение.
Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда
(t + -Л1У (Ло - 4б J (t - J\s)= 4,
(4 + -Л1 ](t - -Л114 + -Л1 |f 0 - 2^60 + б)= 4,
(V - УПj* \ + л/Г5 ^ 6 - 2,/бЬ")= 4,
(16-15)(4 + ,/i5)-2-(8-V60)=4, ^ + -Л5^--У4~П)=2,
(4 + ^15^-2^5)= 2, £t + ,/i5).2^-,/i5)=2,
(t + ,/i5^1-,/i5)=l, 42-(Л1)2=1, 16-15 = 1, 1 = 1.
2.127. ^3-Лф + ^5)-(Л0-^2")=8.
Решение.
Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда

(з - Л $ + -Js )(з + Js )? - 2S +1)= 32,
Гз2-(^Н + Д)(б-2Д)=32,
(9-5)^ + V5)-2.(3-V5)=32, 8(3 + ^-^/5)= 32,
^-(^^Зг, 8(9-5)=32, 8-4 = 32, 32 = 32
2.128.
Решение.
Преобразуем левую часть равенства:
$Д7Л~.$ГШ-Ш J{ji + Sf -^-бЛ-ЦИ ^
V2-1 ^2-1
^^ + 2-Л8+б)^-6.У2)-У18_6У^ + 6.У2)^-б72)-^/18 _
V2-1 ~ V2-1
_ 6j92-(6j2~j -Jj/II ^ ^72 -Jj/l8 ^ Уз1-^! ^
1/2-1 V2-1 V2-1
У/2)
= -УТ.
V2-1
Итак, - VI = -УЗ.
25-t/2
2.129.
Решение.
Положим
+ 2У? [
v— + -= + 2=-l.
5 Л
7250 + 5^8 t/5622+i/5TT2? ^2 -^2~Ш+ ЛУ

(0^+ffl p^JpJ-l^i,^)2]
Ш _5_ J2 + 2-572 +25 __ [^Тл/2"У =5 + У2
V5 +72+ =^ 572" =|^ _«/?Т
Получили -1 = -1.
Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда
21/27-2^-p-.f ^ ^.Jj^
i/27-JJtj+T ' V27-V2VT+I
118

Уэт-ч/зл/з-л/Гп =1 4727-727з+1 _
V27-1/2V3+1 ' Mri-JiS+i
2.m.f^)-f^#|=2^Wr.
Решение.
J6 Г 7б(^-5)Т 2/{
9-б75 + 5 7б-5
(/61+24-У5,
—^-=-6 = 2V61 + 24V5, —^-=-6 = 2^61 + 2475,
14-6V5 7-375
7-3^5 7-375
7-375 (7-375I7+375)
пг-№ 4
з75+4 = 7б1 + 2475.
Возведем обе части последнего равенства в квадрат. Тогда
()75 + 4^=61 + 2475, 45 + 2475+16 = 61+2475,
61 + 2475=61+2475.
1 3.4
2.132.
77-7б 7б-7з 77+75"
Решение.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на выражение,
сопряженное ее знаменателю, имеем
77+7б з(7б+7з) 4(77-7з)
(77-7б)(77+7б) (7б-7з](7б+7з)+(77+7з)(77"-7з)'
119

7б = 7б.
з
2.133.
75-75 77+72 77-75'
Решение.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на выражение,
сопряженное ее знаменателю, имеем
з(75 + 72") 5(77- Л) 2(77 + 7?)
(■JE-J2WE+J2) yi+jiyn-Ji) yi-Syi+S)'
№+#)+№ ~Я) = Щ±Й, 7J + V2+77-^ = 77 + 7J,
Л+4Е=Л+S-
71-1 ,10-77?
2.134. -j=— = 5 т=.
V2+1 V10 + 7V2
Решение.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на выражение,
сопряженное еезнаменателю, имеем
Ш-Ш2-1
Ш + ЛД-Х
"^0 + 772^0-772")' 2-1 V 100-98 '
2-27i+l = j100-1^gg. 3-2j2=$9^JI.
Возведем обе части последнего равенства в куб. Имеем
(3-2727=99-7072, "27-5472 + 72-1 б72= 99-7072,
99-7072 = 99-7072.
120

Сделать указанную подстановку и результат упростить (2.135—2.145):
2.135. йГ—; С J x = az'36 I1.
b> ■ х
Решение.
f"" О,
°Д3:1б*0.
^аЧ-У -аУ3/2(а2 +Ь2)+Ь112 _
а2 а2+Ь2 v2 а2-а2-Ь2+Ь2
..Ьг12 Ь'Р __ b"2 _0
ЬПаФ b4-aW
Ответ: 0.
2Л36. —.. -2*+#; *—.
бешеные.
ОДЗ: 0<6*1.
4ь\\-Л) i~Jb+ Jb ^_jbj i-fi
l-JE \-4ь i—Jb i-Jb
^Jb+b-2jb+Jb-b
I—lb
Ответ: 0.
( x + 2b x + 2a\ x __ АаЪ
2Л37- \J^2b + x~2a)2' *~7+6'
Решение.
ОДЗ:а*-6*0.
121

( 4ab ., 4ab ,
+ 26 - + 2a
a+b , a+b
4ab
2(a+b)°
i^-26 **--2a
a+b a+b
(4ab + 2ab+b2 4ab-2ab-2b2 4ab + 2a2+2ab 4ab-2a1-2ab)
- + -
a+b
a+b
a+b
a+b
a+b (2b(3a+b) a+b 2b{3b+a) a+b Л a+b _
X2ab'[ a+b '2b(a-b)+ a+b ' 2b(b-a)J 2ab ~~
(Ъа+b УЬ+аЛ a+b (Ъа+Ъ "!Ь+а\а+Ъ_
\ a-b b-a J 2ab \ a-b a-b J 2ab
Ъа+Ь-%-а a+b _2a-2b a+b _2{a-b\a+b) ^a+b
Ответ:
a-b 2ab
a+b
a~b 2ab 2{a-b)ab
ab
ab
2.138. (* + lX* + 2Xx + 3Xx + 4)s x-
Jl-5
(^-s+l){^l+2){Jbl+i).(Jbl+4l=
2 II 2 II 2 II 2
- + 1
- + 4
- + 2
+ 3
'^-0 + 5-^ + 4
^ +5.Vb5+6
'-/7-5^ |5 Л-5
•/7-5Y , 5(ч/7-5)
2
+ 4
+ 10
ч/7-5^ |5 ч/7-5
+ 6
-У7-5 Y , 5(4/7-5)
2
+ 24 =

f32-W7+W7-25^ +10f32-W7+W7-25Y24 =
f 16-SfJ , 5^7-25 "| Lln (16-5-У7 5^7-25 "| _„
1 +10- h +24 =
?)« ? W
Ответ:
2.139.
Решение.
(z-lXz + 2Xz-3Xz + 4). . V3-1
23 ' " 2
'4Ч(4^]№Ч№Ч
23
f£±Y+£zi-2
12 J 2
Щ +^-12
2 2
Viz1) +JL1
23
2 ■
) \\
yj-iT+:/3-i
~2 2
23
2 2
-14
■Уз-iT : -Уз-i
2 2
+ 24
23
'ir£/3+j/^!T _14 f^ + ^-J |+24
23
123

2^ + ^1] _14.Ы + ^1 ,+24
23
lt-14.I + 24j.7 + 24_3
23
23
Ответ: —-
4
,,лп 4x + lXx + 2Xx + 3), v_^-3
2.140. { — rg т\—-, x-—-—■
(x-lXx + 4) 2
Решение.
Js-з ГЛ-з„уд:з,Д^„
Ч-¥^
-Д-3 W-l.J^^^f^,;
^")(¥«
(^|и?
и*)
\з.^+2
2 2
(г^Т+зИ1 +2.toT+^M
+ 4
4 2
124

f 14-6^5 зУб-Э^ ,,f 14-6^5 зУ5-9
7-3i/5 , 3^5-9
(l-3-Js ^3j5-9) |2 С7-3^5 f 3^5-9,
7-3V5+3-»/5-9
-4
f 7-3^5+3^5-9 Y+ /7-3^5+3^5-9
-1-4
Ответ:
Q-yfr+2). Л-1
Решение.
№№«
=¥-=¥«
Уз-И f-Уз—i
i+i
'-Уз—1 f-Уз—i
-+i
f^l+^i-2 5^з+^._2
■Уз-0 ^-i
2 2
- + -
4 2
4-2-Уз : -Уз —1
4 2
2-Уз , Уз-i 2 2-Уз+Уз-1 2
2 2 2
[2-УЗ -Уз-1
2 2
2-S + S-1
= 6.
Ответ: 6.

■Ji + X-
2.142. 1
V3 + A--
Решение.
&
Л + 2
1
1
V3 - x ■ Vx
1
v3 - .v ■ Vx
1
i
-2
-2
2
= V5.
т/з+~5б-т/>/б+2 -Ji-S--J-j6-2
■J}^j6^Jb -2+Jb+Ji-iJb + 2
fi—j6-J-J(i-2—j3 + -j6--J-j6+2
Jl + -j6-y[J6 + 2--Jl-&-Jj6-2
У(з-Уб%/бЛ) + -Д; + УбХ/б+2) = t/W6^12 + t/5^ + 12
^-у/бУб-2)-^ + ^бУб+2) т/5>/б-12-т/5^6+12
Usj6-l2+^Sj6+l2\(Sj6-l2 + ^5^f6+l2
Гт/5>/б-12 -т/5,/6+12 VV5^6 -12 +л/5>/б +12
(■JsJb-lH-JijE+n
ilsje-n) — fVsVe+12
_5Уб-12 + 2^Уб-12^Уб+12) + 5>/б + 12
5^6-12-5^6-12
Ю-Уб+г^-Уб)2-^2 _ 5^6+^150-144 _ 5л/б + >/б Уб
-24 ~ -12 ~ -12 ~ 2 '
Ответ:
126

Решение.
2ft,
tb +
-1
№■"
la b
гиг
H [jb Jl
2bf
+ 2ab + b'
Aab
-1
]_(Jl + Jb_
2\Jb JZ\ V4
{■Га Jb
-1
a + b Q
2jab V
+ 2ab + b'
^
Tab+ b2 -Aab
Aab
Jb'J-a] ' 2^b
W-lab+b1
4ab
2ft,
Aab
a+b p
2Ja~b V
2bft
+ 2ab+b -Aab
Aab
a + b p
2,Лй V
-2ab + b
Aab
Aab
2ft
a-6
2Jg~b _b(a-b)(a+b~a+b\
a+b a-b J^h 1 2iui I
a+ft |(a-ft)2 £±b__£zt Jab
2jab i 4ai 2^ 2^
b(a-b) 2jah
^ 2A
Ответ: a-b.
127

Решение.
2а, 1 +
1 а
2а, 1 +
1 а-Ь'
1 а
г I \ъ
2
+ .1 +
т 1Ь
2* 1 [Job]
af + ~
-2а6 + 6"
4а6
2aj^r
-2a6 + 6"
4а6
_о-6_+ I a2 -2ab+tf- a-b I
24а~Ь+\ + 4ab 2,/ai»
2аЯЩ^ 2afe
\ 4ab \>
4ab+a-2ab + b2
4ab
4ab
2a(a + b)
24ah
a-b a+b
a-b f la2+2ab+b2' a-b Ua+bf
24a~b « 4a6 24a~b+i 4ab 2^> ^
a(a + b) (а-Ь + а+ЬЛ a(a + b) 2a a(a+b) Jab _
■Jab у 24ab J Jab 2yfab -Jab a
Ответ: a + b.
2.145. H*J}±£
l + ax V1 - bx
Решение.
a V I
;—; 0 < - < a < 6.
6 2
4-J¥ -iJ¥ ^
2a -b
b ,
-~ч/¥ HJ¥ -й

1+i №=*) ,.
Па-Ъ_
Jb
1. 1 \b2(2a-b) 1+V2£z»
a + Jb(2a-b) (yfb - ^a-bj-Ib - -J2a-b
_Jb--j2a-b
a—Jb(2a-b) -fb+j2a-b
a-Jb(2a-b) (Jb +J2a -ьЩ —J2a-b)
{a + Jb(2a-b)la + Jb(2a-bj) b-2^b(2a-b) + 2a-b
{a-i]b(2a-b)\a + Jb(2a-b)) b-2a+b
{a + Jb(2a-bjf _2a-2jb(2a-b) l(a + Jb(2a-bjf
a2-b(2a-b) 2b-2a \ a2-2ab+b2
a-jb(2a-b)
b-a
i
a + Jb(2a-b)
a-b
a-Jb(2a-b) a + Jb(2a-b)
b-a
a2 -b(2a-b) a2 -2ab + b2 (b-af
(b-af ~ (b-af ~ (b-af
Ответ: 1.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби (2.146—2.151):
14
>+'4Г2*-\17)
2.146.
1В
Решение.
и
+ V2'
14
й+Vi V9+V2
dffi -№ -2+У95 -21 -V942! +V93 24
t^ + ViT^7-
V^ + V^-'V^ + ^F-
ч^?"-^!
(V^-V^+^-VFW+VFl
М. VI. Скананк, группа А

-2ftf3-V2p3+t/2fc + ,/2)L
Ответ: г(Цз -УгрЗ + ,42% + Л\
4to+V9TVi3I+4V^l ,
=-—ib Ц^М^4
Ответ: (Vl3 +V9%/l3 +з)
3+-Л + -Л
(з + (72+,/з|з + (72+,/з|) (з + ^ + Тз))2
_9 + 6{j2+S)+{j2+Sf _9 + 6{j2+S)+2 + 2j6+3
9-(2 + 2,/б+з) 9-5-24б
u+dfi+S)+2S _ 7+з(У2+Уз)+Уб ^
4-2^6 ~ 2—^6
_ (7+з(72 + Уз]+ УбХг+^б)
(2- &^2 + Л) ^~
= 14+ б(У2+1/з)+ 2^6 +7->/б+з(У12+.Л8)+6
4-6
130

_ 14 + 6^2+6^3 + 9-JE +6-УЗ+9-У2 +6 _ 20 + 12&+isjl +9л/б _
-2 -2
(4 + зУ2~)^+зУз)
2
Ответ: --^- "- '.
2
6
2Л49- Л+S+S'
Решение.
б{42+&-4ъ) 6{l2+4l-4l) ^6{j2+Jl-S]_
[Jl+S + Sifi + S-S) 2 + 3-5+2-JF3 ~ 2-»/б
ъ{Л+S-S) =г{42 +S-41\!ь _з(УГ2+-Л8--Узо)_
■>/б ,/б -Уб 6
_л/4~3~+У9~2—УЗО _2>/3+3-Л--УзО
2 ~ 2
2i/3+3-j2--j30
2
2-72-Л
Ответ:
2.150. -—7^ ТГ-
2 + V2-V3
Решение.
■Л-Л-Тз
Предсгавимзаданнуюдробьвввде -г=—т=—/=■ Умножим эту дробь
на и[л +4l + V3 И + 2-3-2л/4-2) и, применив равенство
(Та +4b-Jc\Ja + yfb--Jc\a+b-c-2jabj-(a + b+cf -Aab, где
я>0,Ь £ 0 и с > 0,получим
(^4 -72 -Тз)(74 +72 +,/314 + 2 -3-2,/4~2")
W + j2-fiy4 + j2+fi\A + 2-3-2j4~2
131

9-32
(4 + 2-3)2-4-4-2
23
Ответ.
23
2.151.
а-1
Решение.
ОДЗ:0<а*1.
а-1
(a-i/^I?+6V??+^IT+6>/^+^ir+^"
(a-lU^+^ + ^i7+V7+V7+V71
я я
(Л + ^fa+V^ + ^l
Ответ:
{Га+Ща + Ча>+г4~а
132

2.152. Показать, что если г = Ца+4а2 + 63 -Ц4а2 + 63 -а ,
z' +3bz-2a = 0-
Решение.
z>Jlla + Ja7+bT-^a7+b>-a) =
Jlla + 4a2+b> +l[a~-4a2+b}
Ыа + 4а2+Ьъ^ + 3^aWa2+63T('a-Va2+63
3'Ja + Va2 + 63 Ya - 4 a2 + 631 +|Va^2+F
^a+4a2 +i3 +33)[a +Va2 +63 ja+ т/a2 +b3 \a-4a2 +i3 ] ч
13|fa + Va2+i3Ta-Va2+A3Ya-Va2+A3l+a->/a2
+ 33l
= 2a+33:
+V =
Jfa+V^+i'p-fV^+i'f
Hia2 Ma2 +b31)a-Ja7 +Ь>У
= 2а + з1~^77^у -а2 -Ь3)+3р2 -a2 -b3]a-Ja2 +Ь>У
= 2a + W-bHa+4a2 + ьЛ+Ц-Ьг(а-4а2 +Ьг\
= 2a-ib^a+4a2 +Ьг -ЪЬЧа-4а2 +Ьг =
= 2а-Ъа^а+4а2+Ьг +л/а- 4а2 +Ьг |=2a-3ftz.
Тогда г3 +3br-2a = 2a-3bz + 3bz-2a = 0 , что и требовалось дока-

2.153. Если т/8- а + т/5 + а = 5 , то чему равен J(&-a)(5 + a) ?
Решение.
f 8 - « > О,
°Д3:15 + а>0~-5йай8-
Возведя обе части равенства в квадрат, имеем
8-я + 27(8-яХ5+а) + 5 + я = 25,или л/(8-яХ5+я) = 6.
Ответ: 6.
2.154. Чему равна сумма -^25-х2 + Vl5-x2 > если известно, что
разность -^25 -х2 -\\5~x2 = 2 (величину х находить не нужно)?
Решение.
[25 - х2 > О, г- /—
иД [15-х2 > О
Умножив обе части равенства на -^25-х2 +\\5~х2 > имеем
р25-х2 -Vl5-x2 YV25-X3 +Vl5-x2l=
= 2fV25-x3 +Vl5-x2>)«
«25-x2 -15 + x2 =2fV25-x2 Wl5-x2 \
откуда V25-X2 +V15-X2 =5.
Ответ: 5.
2.155. Преобразовать (я2 +Ь2Дс2 + я*2) так, чтобы получилось
(яс + W/ + (яд1 - Ьс)2 .
Решение.
Раскрывая скобки, получим я2 с + я я*2 +b2c2 +b2d2 .Прибавим и
вычтем выражение labcd. Тогда
а2с2 +2abcd +b2d2 +a2d2 ~2abcd +b2c2 =(ac+bdf+(ad-bcf =>
=> (я2 +b2\c2 +d2)=(ac+bdf +(ad-bcf. -
134

2.156. Вычислить сумму кубов двух чисел, если их сумма и
произведение соответственно равны 11 и 21.
Решение.
Пусть а +6 = 11 и аЪ = 21. Тогда
аг +ЬЪ =(а+Ь%2 ~ab+b2)=(a+bi{a+bf -3aft)=l l(l l2 -32l)=
= ll(121-63) = 638.
Ответ: 638.
2.157. Вычислить значение выражения:
а)£—z, z = ^S + S+llS-j2;
6)x3+3.v, x = l]j5+2-llS~2.
Решение.
(\ls+j2+№-fi
-ШгТЖ+Ы-^У
_ Гъ+Г2+?№+Г2){Гг~Я)+${Гг+42Уг~й! +S~Ji
(Цд+л-Ы-яу
3
2Д+$\ё+&№-&№+л)+зууз+&№-&№-&)
fVV3+^-VV3-V2J=
2S+3!l{3-2%f3 + j2)+$l{3
3
3
-2%13-Д)-
3
-$]fi +V2-
-З^/Л+л/2
$]S-J2
-$IS-j2
.2S.
3 '
б)х3 + Зх = Г^Я72-3т/^5-2") +3(Y>/^+2-VV5^2l=
= -,/5+2-3 ^ + 2)!(75"-2) + 3^(75" + 2)(7?-2)2-V5"+2h
135

+ 337-Л + 2-331/-Л-2=4-331Д75+2)(75-2)(75+2) +
+ 35У(,Я + 2](75-2](75-2) + 331/ЛТ^-3^75-2 =
= 4-331/(5-4)(->/5+2) + 33J(5-4)(V5-2) + 33i75 + 2-3,1/^-2 =
= 4 - З^-Л + 2 + З^-Л - 2 + 33т/-Л + 2 - 3^75 -2 = 4.
2-Уз
Ответ: а) ——-; б) 4.
I

Решения к главе 3
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Соотношения между тригонометрическими функциями
одного н того же аргумента
sin2 a + cos2 a=i; (31)
tga = , a*-(2n + l\ nsZ; (3.2)
cosa 2
cos a „
ctga = , a*m, nsZ; (3 3)
sin a
tgactga=l, a*~r~> «eZ; (3.4)
l+tg2a = —-j-, a*-(ln + il ncZ.
cos a 2 '
(3.5)
l + ctg2a = —-—, a*roi, «eZ (3«
sin2 a ■ v ' '
(здесь и в дальнейшем запись neZ означает, что я — любое целое
число).
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Для некоторых углов можно записать точные выражения их
тригонометрических величин (табл. 3.1).
137

Таблица 3.1
Аргумент
(ос, градусы,
(Г(0)
15*
12
-■(г)
»•(;)
"(f)
45*
4
54- (*
1">
60°
75°
V
'5п
12
90"(f)
/
Функция
sin a
0
S-1
2-5l
Я-1
4
1
2
2^
1
h
-JE + 1
4
■2
■Д+1
2-Л
1
cos а
1
■Уз+1
111
2
,/5+1
4
1
г-h
1
2
Уз-i
ih
0
tga
0
2-V3
^-1
J10+2V5
1
л/ю-2л/5
7J+1
1
,/J+i
VlO-2^5
Л
2+,/3
°°(не
определен)
ctga
°°(не
определен)
2 + ,/3
^10 + 2-Л
V5-1
Л
,/5+1
Ло-г-Л
1
VlO-2,/5
75+1
1
73
2-Уз
0
138

Знаки функций по четвертям
Таблица 3.2
Четверти
I
II
III
IV
Функция
sin a
+
+
-
-
cos а
+
-
-
+
tga
+
-
+
-
ctga
+
-
+
-
Формулы сложения и вычитания аргументов
тригонометрических функций
sin(a + p) = sinacosp + cosasinp ;
sin(a-p) = sinacosp-cosasinp;
cos(a + р) = cos occos p - sin asin p;
cos(a -p) = cosacosp + sinasinp;
BV H' l-tgatgp' 2
tg(a-p)
_ tga-tgp
1 + tgatgp
, a,p,a-p*-+jw, ieZ.
ctg(a + p)=£^£Mzl, a,p,a+p*m, „6z.
ctga + ctgp
ctg(a-p) = ^M±I, a,p,«-p*m, "^Z
6V H' ctga-ctgp'
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
Формулы двойных и тройных аргументов
sin 2a = 2 sin a cos a ; (315)
cos2oc = cos2oc-sin2oc=2cos2cc-l = l-2sin2a; (3.16)
139

» i 2tga n 7C& я _
tg2a = ^—, а*-н ,/fceZ,a*~+m,n£ Z .
l-tg2a 4 2 2
tg3a = 3tga-t2E4 a^(2„+lbeZ.
1—3tg a 6
cos
2 2
(3.17)
ctg a~l nk , „ „
ctg2a=—2 , a* — ,/fce Z,a*7w,/ieZ ■ (3 181
2ctga 2 > i • /
sin3a = 3sina-4sin3a; (3.19)
cos3a = 4cos3a-3cosa ; (3-20)
(3.21)
, , 3ctga-ctg3a joi _
ctg3a = Д Ё , o*?,,eZ (3 22)
l-3ctg a 3 v '
Формулы половинного аргумента
2 a 1-cosoc
n — =
2 2
2 a _ 1 + cosa
Sm 2=~2 ' (3J3)
(3.24)
, 2 a 1-cosa ,„ ,-. _
tg - = - , a*n{2n+l}n£Z ; (3.25)
2 1 + cosa '
,'iO 1+cosa „ _
ctB -r = - , a*2m,neZ; (3.26)
2 1-cosa '
a sina l~cosa „
tg^r = : = —: . a*70i,neZ; (3.27)
2 1 + cosa sina
, a 1 + cosa sina „
ctg—= —: = - , a^70i,neZ; (3.28)
2 sina 1-cosa . '
140

Формулы преобразования суммы н разности
тригонометрических функции в произведение
sina + sinB = 2sin °cos -; (3.29)
. „ . a + B . a-B
sina-sinB = 2cos -sm ■
2 2 '
(3.30)
cos a + cos В = 2 cos '-cos ■ (3 31)
2 2 '
„ . . a + B . a-B „ . a + B . B-a
cos a-cos В = -2 sin -sin -=2sin -sin- (3 32)
2 2 2 2 ' '
cosa + sina = v2cos(45°-aj; (3.33)
cosa-sina = V2sin(45°-aj; (3.34)
. „ sin(a + B) „ тс, ,\ _
tEa + tEP = ^o^' a,P*-^-lb6Z; (3.35)
tga-tgB = ^fe^fi, a,p*^»-lb6Z; (3.36)
cosacosB 2 ' v '
. „ sin(a + B) „
ctga + ctgp =—s <-£, a,B*7w, neZ- (3 37)
sinasinB ' ^ ■ t
ctga-ctgB=S'n'P~ J, a,B*7w, neZ. n 38)
sinasinB ' w-""/
tga + ctgB =—^—Щ, a*- + nk,k£Z,fi*mi,n£ Z ■ n 39)
cos asm В 2 ' '*■'■■'*'
. „ cos(a + B) re , , _ „ _
tga-ctgB = v . „, a*~ + jrf:,*eZ,B^jc«,/ieZ . пш
cosasinB 2 ' ^-™'
2 7W „
tga + ctga = . , a*—-, «eZ; (3.41)
sin2a 2 '
tga-ctga = -2ctg2a, a*—, «eZ; (3.42)
141

l + cosa = 2cos2 —; (3-43)
i ~ ■ 2 ОС
l-cosa=2sin — ; (3-44)
l + sina=2cos2[ 45° . (3.45)
l-sina = 2sin2J45--|-1. (3 46)
. . sin(45°+a) -Л sinks'+ а) rc _
l+tga = ! L- s ', a*- + iui, neZ-(3 47)
cos45 cosa cosa 2 v '
, sinW5°-a) i/2sint45'-a) и
1~tga = h^ = ' ■ a*~+m, nsZ- (3.48)
cos45 cosa cosa 2 v '
l + tgatgB =—^ 21 a,B*5+™> neZ- nim
cos a cos В 2 ' i.J>Kv
l-tgatgP=c0<a + P) a,B*f + m, «Z. и»)
cosacosB 2 ' iJ"Av
t 0 . cos(a-B) n „
ctgactgB + l = i—Щ, a,B*roi, «eZ.
sin asm В '
, 7 cos2a л „
l-tg"a = -—, a*- + jw, «eZ.
cos a 2 '
(3.51)
(3.52)
, , 2 cos2a „
l-ctg'a = ———, a*roi, n&Z ; <?-ЬЪ)
_2n_sin(a + B)sin(a-B)
tg oc-tg^(J = —^—^—V—^S a,B*- + m, jeZ; (3.54)
cos'acos В 2 '
» 2 » 2o sin(a + B)sin(|3-a) „ „
ctg^a-ctg'B^—\ ; . Г > a.P*™. "eZ-
; (3.55)
tg2a-sin2a = tg!asin2a, а*- + к„, nsZ; (3.56)
ctg2a-cos2a = ctg2acos2a, a*m, nsZ; (3.57)

Формулы преобразования произведения
тригонометрических функции в сумму
sinasinp = -(cos(a-|3)-cos(a + |3)); (3.58)
cosacosp = -(cos(a + |3)+cos(a-|3)); (3.59)
sinacosp = -(sin(a + |3)+sin(a-|3)); (3.60)
sinasin(isjnY =
= -(sin(a + p-Y) + sin(p + Y-a)+sin(Y + a-|3)-sin(a + |3+Y)); (3.61)
sin a cos (i cos y =
--(sin(a + p-Y)-sin(p + Y-a)+sin(Y+a-|3)+sin(a + |3 + Y)); (3.62)
sinasin(icosY =
= -(-cos(a + p-Y)+cos(p+Y-a)+cos(Y+a-|3)-cos(a + |3 + Y)); (3.63)
cosacos(icosY =
= -(cos(a + p-Y)+cos(p + Y-a)+cos(Y + a-|3) + cos(a+|3 + Y)). (364)
Формулы, выражающие трнгонометрнческне функции
через тангенс половинного аргумента
2tg-
sina = 1—, а*л(2л+1)> neZ; (3.65)
1-tg2-^
a = 2-, a*ji(2n+l); «cZ; (3.66)
cos
14-tP2
2
l + tg2a

2tg-
tga = ?-, a,~*^n+\\ neZ;
1-tg
2«
ctga =
2tgI
a ^ тги, «eZ .
Формулы приведения
(3.67)
(3.68)
sin — ±a =cosa, sin(7i±a) = + sma,
sin -л±а = -cosoc, sin(27r±a) = ±sina;
coa-±a = ±sina, cos(jr±a)=-cosa,
coa-7r±a =±sina, соя(2тг±а)= cosa;
(3.69)
(3.70)
td -±a = + ctga, а*тт, ns Z,
V J
tg(7r±a)- + tga, а*-(2л + 1), «gZ,
ta -7r±a = +ctga, аФтт, n&Z,
V )
tg(2n±a) = ±tga, а*|(2н+1), «eZ;
ctd-±a = + lga, а* — (2л+1), neZ,
ctg(ji±a)=±ctga, а*тш, «gZ,
ctd -n±a = + tga, a*-(2n + l), «eZ,
ctg(2ji±a) = + ctga, а*7ш, «eZ.
144
(3.71)
(3.72)

Обратные тригонометрические функции
sin(arcsin х) = х, -1 < х < 1;
sm(arctgx) =
sin(arcctg х) ~ .
cos(arccos х) ~ х, - К х <* 1;
cos(arctg x) = .
V1+.V
cos(arcctg л:) = .—
tg(arctg х) = х;
tg(arcctg .*) = —, j:*0;
(3.73)
(3.74)
(3.75)
(3.76)
(3.77)
<3.78)
(3.79)
(3.80)
(3.81)
(3.82)
tg(arcsin.r) = , —1 < лг< 1; (3.83)
л/l-.v2
tg(arccosx)= Y . -1<л-<0, 0<х<1; (3.84)
X
ctg(arcctg x) = x; (3.85)
ctg(arctgx) = - , ,v *0; (3.86)
ctg(arcsinx) = - , -lSx<0, 0<x<l; (3.87)
145

ctg(arccos.v) =
(3.8
arccos VI-x , если 0 < л- < 1,
- arccos VI - х2, если -1 < х < 0;
arcsin* = arctg-j^^=, -1 < ,v< 1;
у}\-х2
\l~x
arcctg , если 0 < x й 1
Vl-JT
arcctg к, если -1 < x < 0;
arcsinVl~.v2, если 0<х< 1,
n~arcsin-J\~x2 , если — 1 < л < 0;
(3.89)
(3.90)
(3.91)
(3-92)
Vl-jr
arctg , если 0 < x < 1,
я + arctg , если -1 й д* < 0;
(3.93)
arccos x = arcctg , , — 1 < Л' < 1;
arctgj: = arcsin-= , -°°< *<<*>;
arctg a* =
Jl+x
arccos-;^^=, если .y>0,
- arccos , , если х < 0;
2
(3.94)
(3.95)
(3.96)
146

arctg x -
arcctg x =
arcctg x =
arcctg—, если x > 0,
arcctg тс, если x < 0;
, если x > 0,
, если х < 0;
arccos —;= , если x > 0,
- arccos -==, если x < 0;
arctg — , если x >0,
arcctgx = <
(3.97)
(3.98)
(3.99)
(3.100)
7i + arctg—, если x < 0;
arcsin x + arccos x = -
arctg x+ arcctg x-
1<х<1
arcsin x + arcsin y-
arcsin\х-\\-уг +у4\-хг ,
если ху <0 или хг л-у1 < 1;
л-arcsin\х-\\-уг +у4\-хг ,
если х > 0, у > 0 и хг + у2 > 1;
-rc-arcsin\х-\\-уг +у\1-х2 ,
еслих<0, у<0их2 +у2 >1;
147
(3.101)
(3.102)
(3.103)

arcs in x-arcsin .у =
arcsinlxyjl-у2 -ут1\-х2 L
если xy > 0 или x2 + y2 < 1;
к - arcsin
fxVi~^-W^~\
если x>Q,y<Qnx2 + y2>\;
- я-arcsin x-^/l-^ ~yyjl-x2 L
если х<0,^>0их2+т2>1;
(3.104)
arccos x + arccos у =
arccos|x^-V^-x2 J->-2)L
если x + у > 0;
2rt-arccosixy-ij§-x2$-y2) i
если x + у < 0;
(3.105)
arccos x - arccos у =
arccos) xy + у(l - x2 J(l - y2 J L
если x > у;
arccosf xy - ^-x2J^~y2) \
если x < у;
(3.106)
arctg x +arctg _y =
arctg —, если xy < 1;
\~xy
X + V
n + arctg —, если x > 0 и ху > 1; (3.107)
l-x_y
X + V
-7Г + arctg ,если х<0иху>1;
l-x_y
148

arctgx-arctgy =
» x ~ У i
arctg —, если xy > -1;
1+xy
я + arctg — ,еслих >0иху<-1; (3 108)
l + xy
-71 + arctg — ,еслих <0иху<-1;
l + xy
Доказать тождества (3.001—3.062):
3.001. (l + cos-I2a + tg2a)(l-cos~12a + tg2a)=2tg2a.
Решение.
cos '2a+tg2a)(l-cos '2a+tg2a)=2tg2a =
, 1 sin2a Y, 1 sin2a *\
i н i 1 =
cos2a cos2aj^ cos2a cos2a J
cos2a + l + sin2a cos2a-l + sin2a
cos 2a cos2a
_ ((cos2a + sin2a)+lX(cos2a + sin2a)-l)_ (cos2a+sin2a)2-l
cos 2a cos2 2a
_ cos22a+2sin2acos2a + sin22a-l _ !+2sin2acos2a-l _
cos2 2a cos2 2a
_ 2sin2acos2a _ 2sin2a
cos2 2a cos2a
Получили 2tg2a = 2tg2a.
3.002. cos_l2a + ctg -Jt + 2a Mctg-jt-a =1.
Решение.
2tg2a.
cos ' 2a + ctd — n + 2a Ltd —n-a
IЧл + гс
cos2a
/4л + гс
J 4Л + Л „ Л 4Л + ГС
+ CU —-— + 2a -ctd — a =
149

1^+стл+1г2а]|г8ги
— + ctg! —+2а
1-tg2 а 12
1 + tg2 а
1+tg2 а
■ctg|--a]=
+ ctd—+ 2а -ctd —-а
tg'a 12 || 14
I+t8*a-tg2al -4t8a-lI + tg*a-
tg-j-tga
tg2a.
1 + tga
-tg'a J tg--tga t'-tg'" J '"'S"
1+tg2 a 2tga | 1+tga l + tg2a-2tga 1+tga _
-tg'a l-tg'aji-tga 1-tga 1-tga
-2tga+tg2a '+tga__ (1-tga)2 1+tga _
-tgaXl + tga) 1-tga ~(l-tgaXl+tga) 1-tga" '
Получили 1 = 1.
cos(3n-2a) ( 5rc
3.003. -ttl ^ = tS\a~ —
Решение.
cos(37T-2a)
'571
-cos 2a
-cos 2a
2sin2|^+a
-cos —+2a
2
(Ak+k . \
-cos +2a
-cos2a
l-cos| 2rc + -+2a
- cos 2a
1-cos -+2a
2
~cos2a
l+sin2a
150

si™ — 2a |
U ' =-tg|^-a|=-tg|7t+i
1 + cos —2a
Ь
=-"{т-аНа~?
Получили tg a-— -tg a
I 4 J I 4
tg2a+ctg3B_ tg2a
3-004- ctg2a+tg3p_ tg3(3'
Решение.
sin 2 a cos3B sin 2a sin 3B+cos 2a cos 3B
tg2a + ctg3B _ cos 2 a sin3B cos 2a sin 3B
ctg2a + tg3B " cos2a sin3J3 ~ cos2acos3B + sin2asin3B "
sin2a cos3B sin2acos3B
_sin2asin3B + cos2acos3B sin2acos3B
cos2asin3B cos2acos3B + sin2asin3B
sin2acos3B sin2a cos3B „ 1 tg2a
" Т"^™—i г ™ =tB2a'ctg3P = tB2a'7^5■ = 7S5-'
cos2aslnЗв cos 2a sm3B tg3B tg3B
tg2a _ tg2a
Получили ^р-^зр-
3.005. cosa+cos2a + cos6a + cos7a = 4cos—cos—cos4a.
2 2
Решение.
cosa+cos2a+cos6a + cos7a = (cosa+cos7a)+(cos2a + cos6a) =
= 2cos4acos3oc +2cos4occos2oc - 2cos4oc(cos3oc+cos2oc)=
Sol ct a. Sat
-2cos4a-2cos—cos—= 4cos—cos—cos4a.
2 2 2 2
a a 5a a 5a
Получили 4cos— cos — cos4a = 4cos—cos — cos4a.
' 7 7 7 7
151

a 2la
3.006. sin9a + sinl0a + sinlla+sinl2a=4cos —cosasin -.
Решение.
sin 9a + sin 10a + sin 1 la + sin 12a =
= (sin9a+sin!2a)+(sinl0a+sinl la) =
^ . 21a 3a ^ . 21a a . . 2 la Г 3a a\
= 2sin——cos —+2 sin cos— =2sin—— cos—+cos— =
2 2 22 2 ^ 2 2 J
. . 21a . a , a . 21a
= 2sin -2cosacos— = 4cos— cosasin—-.
2 2 2 2
Тождество доказано.
3.007. cos2a - cos 3a - cos4a + cos 5a = -4 sin —sin a cos—.
2 2
Решение.
(cos2a+cos5a)-(cos3a + cos4a) =
7a 3a , 7a a . 7a ( 3a a ^
= 2cos —cos /cos—cos- =2cos— cos cos— =
2 2 22 2^2 2 )
. 7a ( . . a) A . a . 7a
= 2cos -2sinasin— =-4 sin—sin a cos —.
2 [ 2 ) 2 2
Тождество доказано.
3.008. sin 4a - sin 5a - sin6a +sin 7a = -4sin — sin a sin—.
2 2
Решение.
sin 4a + sin 7a - (sin 5 a+sin 6a)=
. . 1 la 3a . . 1 la a , . 1 la( 3a a\
= 2sin —cos 2sin cos— = 2sin—- cos——cos— =
22 22 2^2 2j
, . 1 la ( , . ■ o.\ . . a . . 1 la
-2sin-—■ -2sinasm - = -4sin—smasin—.
2 [ 2 J 2 2
Тождество доказано.
152

3.009. cosa + sina + cos3a + sin3a = 2V2cosasin — + 2a
Решение,
cosa + cos —a + cos3a + cos —3a
-, ' f« ) , It ft ,
= 2cos~cos—a +2cos~cos —3a
4 [4 J 4 [4
= 2cos— cos —a +cos —3a =2 2cos —2a cosa =
41 14
2-Л cosacosf—-2al= cosacosf~-~-2a ]
= 2->/2cosacos --[ - + 2a = 2i/2cosasin ~ + 2a
I4 J I2 4
is --[- + 2a = 2i/2cosasin
l2 И )) И
Тождество доказано.
3.010. tga + ctga + tg3a + ctg3a = —
sin 6a
Решение.
sina cosa sin3a cos3a _sin2a+cos2 a sin2 3a+cos^ 3a
cosa sina cos3a sin3a sinacosa sin3acos3a
112 2
sinacosa sin3acos3a 2sinacosa 2sin3acos3a
2 2 _ 2sin6a + 2sin2a _2(sin6a+sin2a)_
sin2a sin 6a sin2asin6a sin2asin6a
2 2sin4acos2a 4sin4acos2a 4-2sin2acos2acos2a
sin2asjti6a sin2asin6a sin2asin6a
_ 8sin2acos~2a _ 8cos~2a
sin 2a sin 6a sin 6a
Тождество доказано.
153

3.011. (sina) ' +(tga) '=ctg-.
Решение
,. vi , 4_i 1 1 i 1 1 cosa
(sina) -Htgal = + = +---.— = + =
sma tga sina ^^ sina sina
, l+2cos~— 1 2cos — cos—
_M-cosa_ 2 2 2__ &
sina ~ . . a а - • a a .a- 2'
2 sin—cos— 2 sm-cos— sin —
2 2 2 2 2
Тождество доказано.
sin — + 3a . .
3.012 LL .l = ctg -л + -а
-sin(3a-n) *\4
ЧН cos3a 4i") ^f ^Y
] + sin 2 ■ - a
( 2
Г 3a . 3aY 3a . to) ( to . toY 3a . 3oO
cos sm— cos—+sin — cos— -sin— cos--+ sin—
2 2 I 2 2 _ 2 2 I 2 2
2 3a . 2 3a _. 3a 3a z' -*rv irv
Cos' + SUT +2sin — COS—- ггк— j-sin J
2 2 2 2 c0!>^p+slny
3a .3a , 3a , л , n, ta
cos—-sin— 1-tg— tg---tg-tg-— ,
2 2_„ 2___4— 4__2__ J__ _
3a . 3a , 3a ± л ± 3a . Jt
cosy+smy 1 + tgy tg-+tgy tg| —
. f11 За) .У л За) /5л За
л 3aV
4+т)
Тождество доказано.
154

sin2oc - sin3oc + sin4a
3.013. — ^- = tS3a-
cos2a-cos3a + cos4a
Решение.
(sin2a + sin4a)-sin3a _ 2sin3acosa-sin3a _ sin3a(2cosa-l)
(cos2a+cos4a)-cos3a 2cos3acosa-cos3a cos3a(2cosa-l)
sin3a
= —— = tg3a.
cos 3a
Тождество доказано.
3.014. 2sin2(3;i-2cc)cos2(5n + 2cc) = -sinI-7i-8a 1
„ -Iх 1-COSX
Применяя формулы понижения степени sin -
2 2
2-V 1+COSX
cos ~ = —: , представляем левую часть в виде
2 2
2 (1 -cos(6n-4a)Xl + cos(l07[+4a)) = 1(|_cos(6i[_4a))(ucos(l0;[+4a)) =
^i(l-cos4aXl+cos4a)al(l-cos24a)=l[l-l+c°s8al=
jfLl.IcostoVifi-icostaVi-Isinf^-a
2^ 2 2 J 21.2 2
Тождество доказано.
3.015. sin2a(l + tg2atga)+-i^I1^ = tg2a + tg2f*+-l
1-sin a 14 2)
Решение.
Обозначив
v ■ -. /, . -. . \ ■ -, (, sin2a sina
X = sin2a(l+tg2atga)=sm2odl+
I cos2a cos a
_ sin2a(cos2acosa + sin2asina)
cos 2a cos a
155

и применив формулу cos xcos у + sin xsiny- cos(x - у), представим это
выражение в виде
sin2acosa sin2a
X-
cos2acosa cos2a
1 + sini 2
tg2cc.
Пусть У =
1+sincc
1-sina
1-sin 2-
Поскольку sin2x =2sinxcosx ,то
,..cc a , a . 2 a _ . a a
l + 2sin—cos — cos — + sin —+2 sin—cos—
2 2 _ 2 2 2 2.
l-2sm—cos — cos —+ sin 2sin—cos—
2 2 2 2 2 2
COS hSin —
2 2_
a . a
cos—sin—
2 2
cos — + sin —
2 2
cos sin —
2 2
Разделив числитель и знаменатель выражения в скоб ках на cos -- * О
и применив формулу -&—.—— = tg(x + у), где х, у, х + у* — + кп, ns Z,
1-tgxtgy 2
1 + tg-
Л2 Л Л2
Wgf
l-tg-tgy
■i^iiiHM
Тогда A- + y = tg2a + tg2 - + -
[4 2
Тождество доказано.

3.016. l-sin4a+ctg| тп-2а ]cos4a = 0.
Решение.
l-sin4a + ctg — л-2а |cos4a =
(Зж
в -
cos 2a
= cos22a + sin22a-sinfe-2a)+—v- J-cosfe-2a) =
sm^-2a
И J
3n „ . Зл . „
cos-—cos2a+sin— sin2a
= cos22a-2sin2acos2a + sin22a + -—z^—— 4 >
. Зл _ Зтг . _
sin — cos 2a - cos—sin 2a
4 4
f г-> • 2*, \ / л --»\2 -cos2a + sin2a
x(cos 2a-sin 2a = (cos2a-sin2af + x
v ' cos2a + sin2a
x(cos2a-sin2aXcos2a + sin2a)= (cos2a-sin2a)2 -
(cos2a-sin2aXcos2a-sin2aXcos2a + sin2a)_
cos 2a + sin 2a
= (cos2a-sin2a)" -(cos2a-sin2a)" =0.
Тождество доказано.
-.л.-, ■ 6 a 6 a sin2a-4
3.017. snr —-cos° —= cosa.
2 2 4
Решение.
n v (■ 2 оЛ Г га
Пусть X = sin — - cos —
Используя формулы понижения степени sin —:
2 х 1 + cosx
cos — = —-—, получаем
157

Y n_cosa^ n+cosal l-3cosa+3cos'da-cosJa
l+3cosa + 3cos a+cos a 1 / , . 3 ^
= - -6cosa-2cos al=
8 8V '
2cosa/ , 2 1 cosa/ / . 2 \\
= —j— (-3-cos 2aJ= —(-3-(l-sm 2aJJ=
cosa/ , , . 2 1 sin2a-4
= -3-1+sin al=— cosa.
4 V ' 4
Тождество доказано.
3.018. cos)|n + 4a |+sin(3ji-8a)-sin(4ji-12a) =
=4cos2acos4asin6a.
Решение.
cos — rc+4a +sin(3n-8a)-sin(4n-12a)=
= sin4a+sin8a + sinl2a = 2sin6acos2a+2sin6acos6a =
= 2sin6a(cos2a + cos6a)=2sin6a-2cos4acos2a =
=4cos2acos4asin 6a.
Тождество доказано.
cos — 7t-6a +sin(jt+4a)+sin(3ji-a)
3.019. —-^ J = tgcc
sin — rc + 6a |+cos(4a-2rc)+cos(a+2rc)
Решение.
cos —7t- 6a +sin(rc+4a)+sin(3n-a)
12 I sin6a-sin4a + sina
■ (5 , \ 1л . \ , . \ cos6a+cos4a+cosa
sin — n + 6a + cos(4a-2rc)+cos(a+2rc)
_ 2cos5asina+sina _ sina(2cos5a+l) _ sina _
2cos5acosa+cosa cosa(2cos5a+l) cosa
Тождество доказано.

1+ctg 2a--n kg-п+а
3.020. \ i ) \t i = Itg2a
ctga + tga 2
Решение.
sin 2a sin a cos2acosa + sin2asina
l+tg2atga_ cos 2a cos a cos 2a cos a ,
ctga+tga cosa i sina
sin a cosa sin a cos a
cos2acosa + sin2asina sinacosa _ cos a sin a
cos2acosa cos2a+sin2a cos2a
2cosasina sin2a 1
2cos2a 2cos2a 2
Тождество доказано.
tg2a.
3.021. sina + sin an—rc |+sin| a--rc |=0.
Решение.
8 ^ . .(
-7r-a = sina+sirf
. (15tc-ji
;I1 з
-sin 3n~
+oc -
[a+f
7Г
loccos —+ cosocsm
)>
7Г
3~~
■ (14 ', ,
sina+sin —7Г+0С -sin
I3 J I
. (9n-n "\ . . (, ( к
-sin a =sina+sin 5ti+ a —
I 3 J I I 3
=sina-sinja— -sin! a+— = sina-sinacos —
я . л . 1 . V3 1 . -Уз
-sinacos—cosasin—=sma—sin an cosa—sin a cosa =
3 3 2 2 2 2
=sina-sina=0.
Тождество доказано.
2 2 о COS2 a-COS2 В
3.022. ctg2a-ctg2B = —-—rT-£.
sin asm В
159

Решение.
cos2 a _ cos2 p _ sin2ficos2a+cos fisin2a _
sin2 a sin2p sin asin p
_ (sinpcosa-cospsinaXsinpcosa + cosp>sina)_
sin2 asin2 p*
■ to \ • (a \ — (cos2a-cos2B)
_sin(p-a]sin(p + a]_ 2 _:_
sin2 asin2 p* sin2 asin2 p*
y^cos2a-l-2cos2p+l)
sin asin p* sin asin p*
Тождество доказано.
3,023. (cosa-cosp)2 +(sina-sin|})2 =4sin2 °.
Решение.
cos2a-2cosacosp+cos p + sin a-2sinasinp + sin |} =
= (cos2 a + sin2a)+(cos2 p+sin2 p)-2(cosacosp+sinasinp) =
= 2-2cos(a-p) = 2-2cosf2-^£l==2-2fl-2sin2-a^l=
. . . . 2 a-B . . 2 a-p*
= 2 -2 + 4sin - = 4sin ——.
2 2
Тождество доказано.
(tga+cos 'ajfcosa-ctga) .
1.024. i —-^f =H = 1
(cos a +ctg a^tg a -cos aj
3.
Решение.
fsina 1 Y cosa^
/ 1 V \ +- cosa--—
\tga + cos alcosa-ctga) ^cosa cosa | sin a
(cosa+ctga)(tga-cos-1 aj Л cos a Ysina _ 1 "j
sina + 1 (sina-l)cosa
_ cosa sin a .
cosa(sina+l) sina-1
sin a cosa
Тождество доказано.
cos+-
sin a 1 cosa cosa

sin4oc cos2oc (3
1П25 = ctg — л-а
Jui3- 1 +cos 4a 1 + cos 2a ^2
Решение.
2sin2acos2a cos2a 2sin2acos2a cos2a
l+2cos22a-l l + cos2a 2cos22a l+cos2a
sin 2a cos 2a sin 2a (Ъ
tga = ctg — rc-a
cos2a(l+cos2a) 1+cos 2a [2
Тождество доказано.
3.026. cos2(a-90")+ctg2(a-270")=—yi \-cos2(a + 180").
v v sin2(a+90°) v
Решение.
cos2(a-90°)+ctg2(a-270°)=sin2a + tg2a = sin2a + ^7^- =
cos a
sin2acos2a + sin2a _ sin2a(cos2a+l)_ (l-cos2a)(l+cos2a)_
cos2 a cos2 a cos2 a
l-cos4a 1 2
-cos'a + 180" .
3027' l+ctgt360"-aj ctg(270°-a)-l
Решение.
l-tg(90' +aj 1+ctga _ tga tga+1 tg(l80' +al+l
sin2 (a+90°)
Тождество доказано.
l-tg^O" +a) _ tg^8Q' +a)+l
l+ctgp60"-a) 1-ctga j 1_ tga-1 ctg(270°-a)-l'
tga
Тождество доказано.
tg2acos^'2B-tg2Bcos_12a , „>
3.028. -,- ч„ = tg(a-B).
cos 2a + cos 2p
i М- И. Сканавн, группа А 161

Решение.
sin2oc 1 sin2p 1
tg2otcos~'2ft-tg2ftcos~12ot_ cos2a cos2ft cos2ft cos 2a
cos-'2a+cos-'2|3 ~ 1 f 1
cos 2a cos2p
sin2a-sin2(i
_ cos2acos2fl _ sin2a-sin2fl _ 2cos(a + fl)sin(a-fl) _
~ cos 2a + cos 2ft ~ cos2a + cos2p ~ 2cos(a +'p)cos(a- p) ~
cos2acos2p
sin(a-p) , „>
cos(a-p)
Тождество доказано.
3.029. 2 sin"'4a-td —+4a + tg(5rc+a)=ctga.
Решение.
=2(^-'Е(3,1+г4а)+1ва)=2(^-'{!+4а))+'ва=
,f 1 t . > .f 1 cos4a"l
= 2 +ctg4a +tga = 2 + + tga =
^sin4a J (^sin4a sin4a I
2(l+cos4a) . 1 l-tg2a .
=-4—; - + tga = 2 — + tga = —a—+tga =
sin 4a 2tga tga
1
=ctga.
tga tga
Тождество доказано.
162

. т(\5 . ) ,(\7 . Л cos4a
3.030. sln V*"2" rcos1 T"2a Г"
■Si ■
Решение.
„ • 2 X 1-COSX
Используя формулы понижения степени sin — --
2 2
i X l+cos*
cos — = -
2 2
-, представляем левую часть равенства в виде
1-соя 4а 1+соя 4а 1-соя 4а
4 14 14
2 2
1 + cos —^i^-4a со5|4п-|-^+4а I
4 1 1 U 1
cos| 4гс + | —-4а cos 4гс- — + 4а соя 4гс +—4а
cos|-+4a| cos| — -4а
4 ) \( (* л \ (*
' =— cod —+4а \+соа — -
2 2[ \4 J \4
1 - тс . V2 . cos4a
= 2 cos—cos 4a = cos 4a = j=—.
2 4 2 Ji
Тождество доказано.
3.031. (cos a - cos J})2 - (sin a - sin J})2 = -4 sin2 -—- cos(a + p).
Решение.
(cos a - cos $f - $in a - sin p)2 =
-cos2a-2cosacosp + cos2 p-sin2a+2sinasinp-sin2 (5 =
= |cos2 a - sin2 aJ+|cos2p-sin2 p'J-2(cosacosp,-sinasinp,) =
= cos2a + cos2p-2cos(a + p) =

= 2 cos(a + p)cos(a - p)- 2 cos(a + p)=
= 2 cos(a + pXcos(a - P)~ 1)= 2 cos(a + P]( cosf2' ^T^ I"! I
= 2cos(a + pfl-2sin2^fi-ll=^sin2^-£cos(a + p).
Тождество доказано.
3.032. sm^-taVsin'f—2a]-^.
I8 J I8 J Я
Решение.
1-cos —-4a 1-cos 4a
cos -4a cos 4a
1 4 14
cos|2n- -+4a cos 2rc + --4a
= 1 cosl 2п + | - -4a | |-cos| 2n-l - +4a 11 |=
If (it
= — cos ■
||-4a -cos[^ + 4a =i[-2sin|sin(-4a) =
I4
■Jl . , sin4a
~ —sin 4a =—-f^--
2 -Д
Тождество доказано.
3.033. cos4a-sin4actg2a = cos2a-2cos2a.
Решение.
cos4a-sin4actg2a = cos4a-sin4a =
sin 2a

_ sin2otcos4a-cos2asin4a sin(-2a) _ -sin2a
sin 2a sin a sin2a
= -l = 2cos2a-l-2cos2a = cos2a-2cos2a.
Тождество доказано.
3.034. sin" —+- -sin' — + - \--yi-.
1,8 A) [s 4) Л
Решение.
(9тг a л (In a)
V
8rc+rc а) (&к-ж а
—;—+— I _ соя—:—+—
co< . , ,
1 1 4 2 1 4 2
2 2 2 2
if f, (an)) ( (а я
-~\ cos 2tt+ -cos 2rc + —+ —
l{ { {2 A)) \ [2 4
if (a n\ fa n
= - cos -cos — н—
2l U 4J I2 4
If a ж .a. re a re .сс.гЛ
~—\ cos — cos— + sin—sin — cos—cos —+ sin —sin— =
2^24 24 24 2 4)
1 , . a . n Ji . a sinf
= — 2 sin—sin— = — sin— =—p^.
2 2 4 2 2^
Тождество доказано.
4a =
tg2a-l
3.035. cos4atg2a-sin4a-—-—
Решение.
sin2a . . sin2acos4a-cos2asin4a
cos4a sin4a = =
cos2a cos2a
165

_sin(-2a)_ sin 2a _ 2tgg
cos2a cos2a tg2a-l
Тождество доказано.
3.036. sin22a-cos[--2a feinf2a-—]=-.
Решение.
.2, fn , V Л, 71 "\ 1-COS4C1 1 . Л 71 "\
sin 2a-cos --2a bin 2a— = sin 4a-- -
I3 / I 4 2 2 { 2)
1 . 71 1 cos4a 1 . fn . \ 1 1 cos4a cos4a 1
—sin — = +—sin --4a — = -• + - —
262 2 2 [2 J 4 4 2 2 4
Тождество доказано.
3.037. sin2a+cos—a cos -+a --.
Решение.
Используя формулы
. ? x 1-cosx
sin — =
2 2
cos x cos y= — (cos(x-_y)-T-cos(x + j>)) ч
представляем левую часть равенства в виде
l-cos2a \( „ 2тг ^ 1 cos 2a cos2a 1 1
cos2a + cos-
2 2^ 3 J 2 2 244
Тождество доказано.
tg3a l-ctg23a _
3'038, tg23a-l ctg3a
Решение.
- = 1.
1
tg3a 1-й^За_ tg3a tg23a
tg23a-l ctg3a tg^a-l 1
tg3a

= tg3a tg23a-l tg3a, tg3a tg23a-l = L
tg^a-l tg23a tg^a-l tg3a
Тождество доказано.
3.039. cos4a-sin4actg2a = -l.
Решение.
cos4a-sin4actg2a = cos4a-sin4a =
sin2a
_ sin2acos4a-cos2asin4a sin(-2a)_-sin2a _
sin2a sin2a sin2a
Тождество доказано.
l-cos4a l + cos4a .
304°- -^^~S^i^i~2-
Решение.
l-cos4a l + cos4a _ l-cos4a l+cos4a _
cos~22a-l sin"2 2a-1 1 t 1 _1
cos2 2a sin2 2a
_ (l-cos4a)cos22a (l+cos4a)sin22a _ (l-cos4a)cos22c(
1-cos2 2a 1-sin2 2a sin2 2a
(l+cos4a)sin22a _ (l- (l -sin2 2a))cos2 2a (l+2 cos2 2a -l)sin2 2a _
cos2 2a sin2 2a cos2 2a
2sin22acos22a 2cos22asin22a „ •>- , - 2~
-. __^_—— + ——_— = 2cos 2a + 2sur2a =
sin 2a cos 2a
= 2£os22a + sin22a)=2.
Тождество доказано.
tea-cos-1 a , _i
3.041. — = tgacos 'a.
cos a - ctg a
Решение.
sin a _ 1 sin a -1
tga-cos a __ cos a cos a _ cos a _
cos a - ctg a _ coscx cos a(sin a ^\)
sin a sin a
167

sin ос-1 sin a sin a sin a 1 _i
= _ -s = = tgacos a.
cosa cosa(sina-lJ cosa-cosa cosa cosa
Тождество доказано.
3.042. cos2(45° -a)-cos2(60° +a)-cos75Dsin(75° -2a)=sin2a.
Решение.
Используя формулы
2 x 1 + cos x
cos — =
2 2
и
sinxcosy = — (sin(x~y)+sm(x+y)),
представляем левую часть равенства в виде
l + cosfeo°-2a) l + cos(l20e+2a) 1 /. , . v . /, ..D . \\
s: i s '--(sin(-2a)+sin(150 — 2aJ)=
= -(l + cos(90e-2a)-l-cos(l20e+2a)+sin2a-sin(l50e-2a)).
Так как
cos(?0D-2a)=sin2a, cos(l20°+2a)=cosl20Dcos2a-sinl20°sin2a^
=—cos2a sin2a
2 2
и
sinU50e -2a)=sinl50Dcos2a-cosl50esin2a = -cos2aн sin2a ,
XI -) -) '
— sin2an—cos2an sin2a + sin2a—cos2a sin2a
2 2 2 2 2 I
= — ■ 2 sin 2a = sin 2a.
2
Тождество доказано.
168

l-2sin a 1-tga
3.043. -—^Г~ = Г^--
l + sin2a 1 + tga
Решение.
Используя формулы
l-2sin2 x = cos2x, sin2 j:+cos2 j: = l
и
sin 2x - 2 sin x cos x,
представляем левую часть равенства в виде
cos 2a cos 2a
X = -
cos2a+sin2a + 2sinacosa (cosa + sin of
Применяя формулу cos2x = cos~ x-sin x , имеем
cos a-sin2 a _ (cosa + sinaXcosa-sina)_ cosa-sina
(cosa + sina)2 (cosa + sina)2 cosa + sina
Разделив числитель и знаменатель этой дроби на cos a * 0, получим
1 + tga'
Тождество доказано.
sin2a + sin5a-sin3a - .
3.044. i-T^— = 2sina.
cosa + l-2sin 2a
Решение.
sin2a + (sin5a-sin3a)_ 2sinacosa + 2cos4asina _
~cosa + (l-2sin22a) cosa + cos4a
2sina(cosa+cos4a) , .
_ k— и - 2sin a.
cos a + cos 4a
Тождество доказано.
ctg22a-l 0
3 045 — ~ cos 8actg4a = sin 8a.
2 ctg2 a
Решение.
ctr2a-l „ , tg22a
—^ cos8actg4a = -&—= cos8acte4a =
2ctg2a e 2
tg2a
169

^l-t^g tg2g_cos8a l-tr2a_cos8otc
tg^a 2 B 2tg2a
= cos8actg4a = cos 8a = (l-cos8a)=
tg4a tg4a tg4a tg4a
1 „ a \ sin8a(l-cos8a) .
= -, — (l-cos8a)= i * = sin8a.
l-cos8a v l-cos8a
cos 8a
Тождество доказано.
cos4a+l 1 . .
3.046. ———;— = -sm4a.
ctga-tga 2
Решение.
cos4a +1 cos4a + l cos4a + l _ (cos4a+l)sinacosa
ctga-tga cosa sina cos2 a-sin2 a cos2a-sin2a
sina cosa sinacosa
_ (cos4a + l)2sinacosa _ (cos4a + l)sin2a _cos4a+l - _
2(cos2a-sin2a) 2cos2a 2
cos4a + l sin 4a _sin4a_ 1
2 l + cos4a~ 2 ~2
Тождество доказано.
3.047. ctg(l5-+2a)=^a-.
l+sin4a
Решение.
sin 4a.
Пусть A" = ctg(*5° +2a)=
1
tg(45° +2a)
1-cosx
„ t \ , , X 1-COSX
Применяя к выражению ts45 +2a) формулу tg —=—: , гДе
v ' 2 sinx
x^7T+27W, neZ,имеем
1 sinfro" +4aj _ cos4a
l-cos(po°+4a) l-cos^0'+4a) l+sin4a'
^staffO* +4a)
Тождество доказано.
170

(sin2 a + tg2 a+lfcos2 a - ctg2 a +1
3.048. f—J , 2 *N. 2 -г Л
(cos a+ctg a+ljsin a + tg a-lj
Решение.
(sin2 a + tg-2 a+lj(cos2a-ctg2a + l
(cos2 a +ctg2 a+ljsin2 a + tg2 a-1
i . 2 sin a , | 2 cos" a ,
| sin an ^—+1 | cos a —+1
sura
2 cos a , . 2 sin a ,
cos a +—г—+1 sin a +— 1
sin a cos a
-=1.
Тождество доказано.
,/tga + ,/ctga
3.049.
sin a + cos a
2
sin2a
Решение.
tga+^ctga ] tga+2^tgactga+ctga
sin a+cos a
sin a
+2 +
cos a sin a
sin a+2sinacosa +cos a
cosa sin2a+2sinacosa+cos2 a
sin a cos a
sin2a+2sinacosa+cos2a sin2a+2sinacosa + cos2 a
1 2 2
sinacosa 2sinacosa sin2a
Тождество доказано.
171

3.050. sin2^5° + a)-sin2(s0° -a)-sinl5°cos(l5° +2a)=sin2a.
Решение.
sin2(l5"+a)-sin2po"-a)-sinl5-cosJ5"+2a)=
cos^042a)_l-cos(60--2a)_l(s.n(_2a)+s|.n(3y+2a|=
2 2 21
cosfco'+2a) 1 cosfco' -2a) sin2a sin(30'+2a)
2 2 2 2 2 2
= -(-cosp0"+2a)+cos(60"-2a)+sin2a-sinp0'+2a))=
(sin2a+cos60ocos2a+sin60°sin2a+sin2a-sin30°cos2a-cos30°sin2a)=
- 2sin2a-i—cos2on sin2a--cos2a sin2a =
2 2 2 2 1
2sin2a=sin2a.
2
Тождество доказано.
3.051. sin a+cos a+3sin2 acos2a = l.
Решение.
sin6 a + cos6 a +3sin2 acos2 a =
= (sin2 a J +(cos2aj +3sin2acos2a =
= (sin2a+cos2a]^in4 a-sin2 acos2 a+cos aj+3sin2 acos2 a =
= |sin4 a + cos4 a J- sin2 acos2 aj+3sin2 acos2 a =
= ^in2a + cos2aJ -2sin2acos2a -sin2 acos2 a +3sin2acos2a =
-3 sin2 acos2 aJ+3sin2acos2a=l.
Тождество доказано.
tg3a _ 3-tg2q
3'052- "tg^T~l-3tg2a'
Решение.
tg2a + tga
tg3a _ tg(2a+a)_ l-tg2atga tg2a + tga
tga tga tga (l-tg2atga)tga

2-M- + tga tgJ-V+1
1-tra
|,--*i£-.,gaU fl-^ltga
1-tg a I 1-tg a
1-tg2 a _3-tg2a
l-t^a-ltg'a l-3tg2a'
Тождество доказано.
3.053. sinasin(x-a)+sin2 —-a | = suT .
Решение.
Используя формулы
sin ^sinB = ~(cos(^ - B)- cos(A + b))
. 2 A l-cos.4
sin
2 2
представляем левую часть равенства в виде
A- = I(cos(2a-x)-cosx) + b£2fc^ = £2!fcz^)_£^
2V v ' 2 2 2
1 cos(j: - 2a) 1,. ч 1 ( ( x
н - - = -(l-cosx)= — 1-coa 2- —
2 2 2V 2[ \ 2
4fl-fl-2sin24]4fl-l + 2sin244-2sm2^SIn2X
21 ^ 2)\ 2[ 2 J 2 2 2'
Тождество доказано.
3.054. cos2 a-sin22a = cos2acos2a-2sin2 acos2 a.
Решение.
cos2 a-sin2 2a = cos2 a-(sin2a)2 = cos2 a-(2 sin a cos a)2 =
= cos2a-4sin2 acos2 a = cos2 a|-4sin2aj=
173

= cos2a(l-2sin2 a-2sin2 aJ=cos a(cos2a-2sin aj=
= cos2 acos2a-2sin2 acos2 a.
Тождество доказано.
3.055. --2(cos2a + cos4a + cos6a)-l = 0.
sin a
Решение.
2(cos2a+cos4a + cos6a) -1 =
sin a
sin(6a+a) , „ . , , ,
~__L.—-^-2cos2a-2cos4a-2cosoa-l =
sina
—^ -^-2cos6a -2cos2a-2cos4a-l
sina J
sin6acosa+cos6asina , , ^ . л „ . ,
2cos6a |-2cos2a-2cos4a-l =
2cos2a-2cos4a~l =
sma
_ sin6acosa + cos6asma-2cos6asina
sina
sin 6a cosa - cos 6a sm a
- 2 cos2a - 2 cos4a -1 =
1 =
sma
= f™^-2cos4al-2cos2a-l = f^«±5)_2cos4aV2coS2a.
I sina
sma
sin4acosa+cos4asina-2cos4asina
sina
2cos2a-l =
sin4acosa-cos4asjna - , . sin3a , . , .
= — ————— 2cos2a-l = 2c6s2a-l =
sina sina
gn^a+a)-2cos2aVl = f5in2acOSa+COs2aSil"X-2cos2al-U
sin2acosa+cos2asina-2cos2asina _ sin2acosa--cos2asina
sina sina
,sH£_, = ,_,=0.
sina
Тождество доказано.

3.056. sin2a-sin2B = sin(a + B)sin(a-B).
Решение.
sin2 a-sin2 B = (sina-sinBXsina + sinB) =
. a+B . a-B . a + B a-B
= 2 cos !-sin --2s>n -cos - =
2 2 2 2
' . a+B a+pY. . a-B a-B"|
2sm -cos - 2sin ^cos =
ч 2 2 | 2 2 j
= sin(a + B)sin(a-B).
Тождество доказано.
3.057. cos4 x + sin2 у + - sin2 2x -1 = sin(y + x)sin(y - x).
Решение.
cos4x + sin2y + -sin22x-l = cos4x + sin2y + — (sin2x)2-) =
= cos4x + sin2 y + — (2sinxcosx)2 -1 =
= cos4x + sin y + — -4sin2 xcos x-l =
4
= cos4 x+sin2y + sin2 xcos2 x-l =
= (cos4 x + sin2 x cos2 x)+ sin2 у -1 =
= cos2 x(cos2 x + sin2 x)- (l - sin2 y)=
= cos2 x - cos2 у = (cos x - cos yXcos x + cos y) =
. x+y . x-y x+y x-y
= -2sin Lsin -2cos -cos -
2 2 2 2
{. ■ x+y x+yY . x-y x-y
= 4 2sin -cos - 2sm -cos -
\ 2 2 X 2 2
= -sin(x + y)sin(x - y) = sin(x + y)sin(y - x).
Тождество доказано.
175

ctg | + a tg(2ji-2a)
3.058. L I ,
ctg -я-2а -tga
-2v3sin —+ a sin —a L=2sin 2a —
I4 J I4 J I 3
Решение.
Используя формулу sjnxsiny = — (cos(x-y)-cos(x-fy)) нформулы
приведения, перепишем левую часть равенства в виде
„ tgatg2a гт( к\ tgatg2a /т .
Х-—-—= V3 cos2a-cos- = —— V3cos2a =
tg2a-tga ^ 2) tg2a-tga
2tga . 2tg2a
tga- -— &—
1-tg a /г 1-tg a c- .
= —^i v3cos2a = 1— ц—\-V3 cos2a =
2tSa -tgq tga^-l+tg2a)
l-tg2a l-tg2a
= *Ц >/3cos2a = sin2a--\/3~cos2a = 2 -sin2a cos2a
l + tg2a [2 2 J
= 2 sin2acos—cos2asin— =2sin 2a —
I 3 3 J t 3
Тождество доказано.
tg(7t+2a)cta -к+а
3.059.
Решение.
tg2a-tga
—a poJ . _.,
4 I 14 I 14
+2co9 —a poJ - + a S=->/2sirJ —2a .
Используя формулу cos ,rcosy = ~(cos(x-y)+cos(x + y)) нформулы
приведения, перепишем левую часть равенства в виде
176

х = ч,-~к ^ + Cos2a+cos- = ^~"6" +cos2a =
tg2a-tga 2 tga-tg2a
2lgo ,
—-2—tea
1 — tp (X 2 tp К
= ^-^ hcos2a = -—-~— + cos2a = -sin2a+cos2a =
1-tra
= cos2a-sin2a = cos2a-cos—2a = -2 sin— sin 2a— =
I2 J 4 I 4J
= _2.^.f-sinf2-2a]]=^sin^-2a
2 I V4 JJ V4
Тождество доказано.
,„,„.. ч. cos2a+sin2a
3.060. tg4a+cos '4a = : .
cos2a-sm2a
Решение.
-i , sjn4a 1 l+sin4a
tg4a + cos 4a = v = =
cos4a cos4a cos4a
_ (cos2a + sin2a)2 _ cos2a+sin2a
(cos2a+sin2aXcos2a-sin2a) cos2a-sin2a
Тождество доказано.
3.061.
tga+tgB tga-rgB .2 -, -•>
- K ' -^-—~+2tg a = 2cos a
tg(a+B) tg(a-B)
Решение.
~ sin(x+y) ^ sinfx- y)
Так как tgx + tgy = *—-1- н tgx-tgy = ^—'-!- , где
cos x cos у cos x cos у
x, у * ~ + я«, и e Z , то левую часть равенства можно записать в виде
sin(a+B) sin(a-B
cos a cos В cos a cos
sin(a+B) sin(a-B
cos(a+3) cos(a-3)
Y_cosacosp | cosacosp , -,2 a_ cos(a + B)+ cos(a-B) | 2(x_
sin(a+B) sin(a-B) cosacosB cosacosB
177

cos(a + 3)+cos(a-3) ., 2 2cosacos3 г ■,, t 2 \
_—v—r± J—^ + 2tg'a = ;r + 2tg a = 2U + tg'ab
cos acos [3 cos acos p
= —y— =2cos"'a
cos" a
Тождество доказано.
3.062. 1 — sin22a + cos2a = cos2a + cos4a.
4
Решение.
1- - sin2 2a+ cos2a = 1 — (sin2af + cos2a =
4 4V '
= 1 - - (2sinacosaf + cos2 a-sin2 a = 1 4sin2 acos2 a+
4 4
+ COS2 a-sin2 a = l+cos2a~sin2a| + cos2a)=
= (l+cos2 a](l-sin2 a)= (l+cos2 ajcos2 ascos2 a+cos4 a.
Тождество доказано.
Упростить выражения (3.063—3.113):
a , ") 2 a . 2 a
--Зп -cos —+sin —.
2 4 4
3.063. 1-sin " -3n -cos2 - + sin2 "
Решение.
1 - sm
a,4! 2a .-.a, . ( аЛ 2a .2a
— in -cos —+ sin -=l + siri37t— -cos —+ sm — =
2 J 2 2 \ 2) 4 4
,■2» .a.2afaN\..2a..a a
= 2sin -+sin- = 2sin — + sin 2-— = 2sin -+2sin — cos— =
42 4 [ 4J 4 44
_ . af . a оЛ ., . a( . a . (к а\\
= 2sin- sin —+ cos— =2sin- sin—+ S11J =
4[ 4 A) 4[ 4 \2 4jJ
„ . a _ . rc fo i"! ./r.a faun
= 2sin- '2sin-coa =2V2sin — соя — +
4 4 \4 4j 4 \4 4 2
.2^51п|со^^ + |)]=2725!п^^
Ответ: 2V2sin — sin
4 4

l + sin2g
3.064. cos(2a-2n)ctg[a--n
l + sin2a
l+sin2a
cos(2a - 27i)ctgj a—n
cos(27i-2a] -ctgj -7i-a
l+sin2a 2 l+sin2a г
j- r+cos a = ,— v.+cos a =
~cos2actgj^±^-a cos2actdit+[~-a I
l+sin2a 2 cos2a+sin2a+2sinacosa 2
—r+cos a= 7 г hcos a =
cos2oxtd —a
-(cosa+sina^sin —a
cos2a
cos —a
4
sin —a
cosGcos —a
H
fi,
-(cosa+sinaj ■—(cosa-sina)
(cosa+sinaXcosa-sina)—(cosa+sina)
fcos a = -l+cos a-
= -\l-cos2 a)= -sin2 a.
Ответ: -sin a.
if a], t 2(3 3
cos 7t + — 1 + tg-a — ж
3.065. . ,(9 aY if 5 оЛ 2(3 7 "|
Sin ' -7C+- tg — 7C -tg2 -a-- 71
2 2 2 4 4 2
179

Решение.
cos>+^|l+tg2(|a-|7t
. _if9 aY 2(5 аЛ -,(3 7
sin ' -n+- tg -тс-- -tg^ -a—я
2 2 2 4 4 2
1+1 tg|-a--7t
. (9 o'
Sin -7C + —
2 2 ,
*H -HK-
1
COS
lu+
rr |
<JJ
f
1 1
H
-tg
<
I**-
<
— a
4 ,
|
J
sir
f4
t
Л +
rr |
;J
ЧН W-#-f
1+1 tgl l^-l«
, 8ГС+ГС a]
Sm|^~+2
MT-4
Гбл+гс За
lco^+4j||1 + |ts[f,t-|a
sin|4rc + ||+"
tg 2ti+
2 4
td3rc +
re 3a
2~T
-°»")[1 + hf f |Sin[f + "j cos^ll+ctg^jcos
3a 1 a
2
12 4
re 3a
2~T
2 a 2 3a
ctg2T-ctg2 —
4 4
180

,3a
1 + -
■ 3a
a
COS— COS'
2 4
. 2 3a 2 3a
„ sin 1-cos —
2 a ^ 4^
i 3a
2 a 2 3a
cos — cos —
4 4_
. 2 a . 2 3a
4
X 0
-cos-
. 2 3a 2 a 2 3a . 2 a
sin —cos —cos —sin —
4 4 4 4
. 2 a . 2 3a
sin — sin —
4 4
. 2 a . 2 3a
sin -sin —
4 4
> 3a
. 2 3a 2 o. 2 3a . 2 a
sin —cos —cos —sin —
4 4 4 4
2 a a . 2 a
cos — cos — sin —
4 2 4
( . 3a a 3a . a Y . 3a a 3a . a
sin — cos cos — sin— sin—cos— +cos — sin —
[44 4 4j^44 44
2a a. 2a , , ?ft 2a a .2a a
cos —cos—sin — 4sin —cos —cos— sin —cos —
42 4_ 4 4 2 _ 22.
sm —sma 4sin —sina
2 2
.a a „ . a a
sm —cos— 2sin —cos— ■ „ ,
2 2 2 2 sma 1
4sinoc 8sinoc 8sinoc 8
. . a .
4 sin —sin a
2
Ответ: -
3.066.
sin 27Г +
"И
cos| 27t+—
4
fa , V о (7 a
cos —Зти ctg —+ cos — ти
[4 /E8 [2 4
Решение.
sin 2ti + — ctg—cos 27I + -
4 8 4
COS 371 Ctg - + COS,
4 8 12 4

{, о! о ( a
Z7I+ — Ctg С0я2т1+ —
cosl 3rc— ctg- + cos3rc+
1 4 Г 8 1 2 4
.а й a
sin— — -cos—
. a a a 4 . a 4
sin — ctg — cos — sin —
4 8 4 8
a a . a a
-cos —ctg — sin— cos— л
4 8 4 a 8 ■ a
40 ч cos —+ sin-
4 . a 4
sin-
. a a a . a
sin — cos — cos — sin —
4 8 4 "
cos
a
4
ro*
a
sin —
a
8
8
+ sin
a .
4
a
8
a a a . a
sin — cos — cos — sin —
4 8 4 8
a a . a . a
cos—cos—+ sin —sin —
4 8 4 8
. a
sin —
8___ о
a ~ tg 8'
cos —
Ответ: - tg-
3.067. cosa(l+cos 'a+tgajl-cos 'a+tga)
Решение.
cosa(l + cos-1 a+ tg ajl - cos"' a+ tg a)=
(, 1 sinaYi 1 sinaA
= cosa 1+ + 1 + =
I cosa cosa 1 cosa cosa I
cosa+1+sina cosa-l+sina
= cosa ~
182

((cosa+sina)+lX(cosg+sina)-l) _ (cosa+sina)2 -1 _
cosa cos a
cos2a+2sinacosa+sin2a-l 2sinacosa . .
= = = 2sina
cosa cos a
Ответ: 2 sin a.
3.068. sin2 a(l + sin-1 a + ctg a|l - sin'1 a+ctg a).
Решение.
sin2a^+sin"'a+ctga)^-sin"1a+ctga)=
. 2 (, 1 cosaY, 1 cosa
= sin od 1+ + 1 + -—
^ sina sinaj^ sina sma
. 2 sina+1+cosa sina-1+cosa
= sin a : =
sina sina
= ((sina + cosa)+lX(sina+cosa)-l) = (sina + cosa)2-l =
= sin2a+2sinacosa+cos2a-l = 2sinacosa = sin2a.
Ответ: sin 2a
l-cos(8a-3rc)
лиоу- tg2a-ctg2a
Решение.
l-cos(8a-3rc)_ l-cos(3rc-8a) (l-cos(3n-8a))sin2acos2a _
tg2a-ctg2a ~ sin2a cos2a sin22a-cos22a
cos2a sin2a
(l-cos(3;i-8a))-2sin2acos2a _ (l + cos8a)sin4a
2|cos22a-sin22a) 2cos4a
(l + 2cos24a-l)sin4a _ 2cos24asin4a _ -2sin4acos4a _
2cos4a 2cos4a 2
sin 8a
2~~'
sin 8a
Ответ: r—■
183

(ж а V (ж а V а
3-070-СО\б-2Нз-2/т2'
Решение.
(ж aVfn <х V а \( . ж . (ж V) . а
cos sin sin- = - sin- + sin —a sin—=
[б 2j [3 2j 2 2[ 6 [2 j) 2
lfl У a 1 . a 1 . a 1 . a
= - - + cosa sin— = -sin— + — sin — cosa = — sin — +
2^2 J 2 4 2 2 2 4 2
l(. ( oO . 3 1 1 . a 1 . a 1 . 3 1.3
sin — +sm—a =—sin sin — + — sin—a = — sin—a.
1 ' ~ ' ~ ' 1 2 4 2 4 2 42
13
Ответ: -sin-a
4 2
3.071. sm2fy + 2pysin2fy-2p
Решение.
sin2fg + 2pysin<^2p]='^<«+4p)j-cos(a-4p) =
1 cos(a + 4B) 1 cos(a-4S) \ r , .„\ , .„«
= - у-И-- + ——- --jW"- 4B)-cos(a + 4B)) =
= -sin asin(- 4B) = sin asin4B.
Ответ: sinasin4B.
cos_12x + sin2xtg2x 1
3.072.
Решение.
l + cos4x . . -,1ж
4sin- -
4 Xftg4-
cos 2x + sin2x'tg2x
l + cos4x
4sin-|--.vctg--
184

1 . „ sin2x
— + sin2x
„ coszx coszx
1 + cos 4x
1 + sin 2x
sm|--x
_ cos2x { 1 1 + sin- 2x ^
l + cos4x . . fn *) fn *) cos2x(l + cos4x)
4 sin —x cos — * I '
I4 J I4
1 l + sin22x _ 1
4smf|- jclcosfc-x)' cos2x(l + 2cos22x-ij 2cos2л:'
l + sin22x 1 l + sin22x + cos22x 1 + 1
2cos 2x 2cos2x 2cos32x 2cos32x
2 1
2 cos 2x cos 2x
= cos 3 2x.
Ответ: cos 2x.
3.073. cos2(a+2B)+sin2(a-2B)-l.
Решение.
2/- -,oi ■ К -,n\ , l+cos(2a + 4B)
cos (a+2B)+sin (a-2B)-l = * " +
l-cos(2a-4B) 1 cos(2a+4B) 1 cos(2a-4B)
+ 2 ~2+ 2 +2 2
= -(cos(2a+4p)-cos(2a-4|3)) = -sin2asin4|3.
Ответ: -sin2asin4B.
3.074. sin2(a+2B)+sin2(a-2B)-l.
Решение.
■ 2/ -ю1 ■ 2/ -,„\ , l-cos(2a + 4B)
sin (a+ 2BJ+sin (a - 2BJ-1 = И +
185

l-cos(2a-4B) 1 cos(2a + 4B) 1 cos(2a-4B)
+ 2 2 2 +2 2
= - - (cos(2a + 4B)+cos(2a - 4B)) = 2 cos2acos4P = - cos2acos4p.
Ответ: -cos2acos4B.
3.075. (cosa-cos2B)"+ (sma + sjn2B)2.
Решение.
(cos a - cos 2B)2 + (sin a+sin 2B)2 =
= cos2a-2cosacos2B + cos22B + sin2a + 2sinasin2B + sin22B =
= (cos2 a + sin2 a)+ (cos2 2B+ sin2 2Bj-2(cosacos2B - sin asin2B) =
= 2-2(cosacos2B-sinasin2B) = 2-2cos(a + 2B) =
= 2_242.^b-2fl-2sm2^b-2 + 4sta2<x^ =
. • 2« + 2B
= 4sm2 1.
2
и • 2<* + 2B
Ответ: 4sm' K.
(l-cos2a)cosW5" + 2a)
3.076. *——ji—" '.
2sin 2a-sin4a
Решение.
i, ., \ /.,. -\ tt-l + 2sin2a (cos2a-sin2a)
(l-cos2a)cosft5 +2a; т '2 _
2sin22a-sin4a ' 2sin2 2a-2sin2acos2a
72sin2 a(cos2a-sin2a) ifisin2a _ i/2sin2 a _ i/2sina_
-2sin2a(cos2a-sin2a) -2sin2a 4sinacosa 4cosa
-tga.
4
Ответ: tga.
4

3.077. cos2|-л:-- Vcos2f1'n+" |.
Решение.
cos2
1+
1
7
"К
■K
-л
V8
cod
CO!
-CC
a) 2(ll
: -cos —
a) {»
'4Л-7Г
2
Hi
1 U
2
id - + -
И 2,
-2sin~~sin -
4 I
Ответ:
У2 . a
— sin —
2 2
"):
-t1"
l),
+ cos
■f)}
a'
Л + —
4
L + cos
I ,,-
i I3"
1 + cos
1—^
12rc + rc a4]
2
' 4
= — COS 71-
it a
4 2
)HI
72 . a
= TSm2'
[M
cos — -
"4
a
"l
_ 1
' 2
IJ-
a
"I
1 + cos
COS Л -
f—*—
COS 371-'
1 (*
- cos -
) U
'11 a)
14 2j
2
(Ml)
2
u-
a
+ 2
"III
2JJI
)>
3.078. ctg 45 ° — + ctg 135" - -
. ч . ч cos 45" cos 135" —
ctg45--^+ctgl35- «V. I 2». I 2
2J ' 2J sm|45--| sin(l35--|
sin[l35--tX ]cos[45'-~ 1+ cosf 135- - ^ \inf450 - - 1
sm|45--| Jsinll35--"
187

sinU80"-a
nU -|\in 904 Ur -§]] sinks' -f U45- -f
2sina 2sina 2sina .
2tga.
"2sinf45--^cosf45--^rsmK-«)~ «»«
Ответ: 2tga.
l+ctg2actga
3.079. t t ■
tga+ctga
l+ctg "-'.ctga 2 + c^a-l
l+ctg2actga _ 2ctga 2 _ l+ctg a
tga+ctga " _J_ + Ctga ~ l+ctg2a " 2
ctg« ctga
x ctga =ctga
l+ctg2 a 2
„ ctga
Ответ:
2
sin na-sin ma
Решение.
cos ma-cos na cos ma-cos na
sin na-sin ma sin ma-sin na
. m + n
sin a
"} m+n
* = tg—^— a.
m + n 2
cos a
2
~ t m+n
Ответ: tg—-—a.
188

3.081. sin2 a—- ll-tg2a)tg — + a cos 2 —-
Решение.
sin2 a p-tg-a)tg| -+a |cos"'i| --a 1=
2 / ' V J ' [4 )
4
_ . i-cos - + 2a
-cos 2a ^ __ [2 J
-cos |
, ; i -cosla. \
= cos~a
1 + cos 2a J (n , i , i "- л
1 sin - + 2a | 1 + cos| - - 2a
__l + cos2a 1 + cos 2a-1 +cos 2a 1 +sin 2a 2
2 1 +cos 2a cos 2a 1 +sin 2a
Ответ: 2.
1-sin"1 20E+-7C
Решение.
,_.. . ' =, ' ...,_
'^ Г+П 1_*{aa+f)
.1 1 cos2a+T
-cos 2a cos 2a cos 2a
cos2a + l-cos2a 1 1
i
, i
S,n^-+2a|
cos 2a ___
cos 2a+1
1
Ответ : —j— ■
2cos a
189

cos a+cos В
3.083. т ТГ-ri:—T~'
tgacos B+tgBcos 'a
Решение.
1 1 cosa+cosB
cos*1 a + cos-1 В _ cosa cos В cosacosB
tgacos",B+tgBcos"'a__sina_J_+sin^ _[_~ sin a + sin В
cosa cosf3 cosB cosa cosacosB
. a + B a-B a+B
n 2cos -cos - cos n
_cosa+cosB_ 2 2 _ 2 a+P
~ sina+sinB ~ -, • «+P o-B ~ • a+P ~ 2 '
v 2sin -cos - sin—--
Ответ: ctg—-~.
tgUn-a |+tg;
|+a^
3.084. ,(S Л (3
ctg -л-a +ctg -л+a
Решение.
tg\-~K-a + tg3 ^+a I л
j2 j ^2 j ctga-ctg'a
ctg3Un-a +ctg -л+a ctg3[-?y^-a l-tga
ctg a-ctg3 a ctga-ctg3 a _ ctga-ctg3 a
t з(- (it Y) 4 tg3a-tga 1 1
ctg ^--ajj-tga ct?a^tga
= ctgaVctg2a) = ctg4a
1-ctg a
ctg3 a
Ответ: ctg4 a.

3.085. 1 '
1—sin - + a
2
Решение.
, » -1 ^ =1 »_=,-__!_ =
I2 J sinf^ + a] cosa cosa
cosa cosa-1 cosa 1 1 1
cosa-1 cosa-1 cosa-1 . ~. ■ г a , ... 2 a
1-zsin 1 2 sin --
2 2
2'
3.086. l^^a
tg Uit-a +tga
, . 1 + ^— tga
l-tg(n-2a)tga _l + tg2atga _ 1—tg a
f3 ^ , ctga+tga 1 . „
tg-n-a + tga ь ь -— + tga
1^2 J tga
l-tg2a+2tg2a
l-tg2a _l+tg2a tga _ tga 2tga
l + tg2a l-tg2a l + tg2a l-tg2a 2(l-tg2a)
tga
2 l-tg2a 2 E 2
tg2a
Ответ: —-—■
191

ctg a+y Fos a~2
3.087. if n\ ,( к
ctg" a-- -cos a+-
ctg- a + - cos' a-- ctda+- I cos a--
Ctt1 —2 «+§ -ctg?-a Ucos5 + a
„ , sin" a
- tg asm a _ cos2 a
ч2 II I I2
sin'a
tj^a-sin'a sin2a . г sin2a(l-cos2a)
* —т, sm a *-= '
cos"a cos a
cos2 a sin4 a sin4 a
cos a sin a(l-cos~aj sin asm" a sin a
Ответ: 1.
ctg(270"-a) ctg2(360"-a)-l
ЗШ- rV^T-180-)' ctg^LSO'+a)"'
Решение.
ctg(270"-a) ctg2(360'-a)-l _ tga ctg2a-l_ 2tga
i~-tg2(a-180 ) ctg(l80°+a)~~ l-tg2a ctga l-tg2a
ctg2a-l . - 4 -
x — = tg2actg 2a = 1.
2 ctg a
Ответ: 1.
cos2(a-270") sin2(a+270")
sin"2 a+90")-l cos-2a-90*)-l
192

Решение.
cos2 (a- 270',
sin~2(a + 90°)-l ' cos-zla-90")-l
sin •'la+ 270°)
r-1
fcin(270°+a)f sin2 a cos2 a _ sin2 a cos2 a
___J [ ___!___[ _J__i l-cos2a l-sin2a
(мфо°-а]Р cos2" sin2« cos2 a sin2 a
sin2 a cos2 a cos2 asin2 a sin2 acos2 a cos2asin2a_
l-cos2a l-sin2a sin2 a cos2 a
= cos2a+sin2a=l.
Ответ: 1.
(l+tg2(a-90°))(sur2(a-270°'
3.090.
Решение.
fctg2|a+270°)jcos-2(a + 90°)
+ tg2 (a - 90" ДмгГ2 (a - 270°)-1)
(l + ctg2 (a + 270° jjcos"2 (a + 90°)
1
1 +
^%fe
r-l
-270°
1 +
g(270°+a)
1
^os^0° + a)/
(i + irtffor-,$}(.*—T
V ^(sin(270°-aj/
V J (cospo° + aj/
(f+ctg-a).(-L—l) fl+
cos a I 1-cos a
sin a cos a
t^+tral-
7 M. И. Сканави, группа А
1 +
sin a
1
cos' a ] sin a
193

sin a + cos2 a sin2 a 1
sin2 a cos^a^ cos2 a ^ sin2 acos2 a _
cos2 a+sin2 a 1 1 cos2 a
Ответ: sin a.
sin2 —ha l-cos'l a-
2 2
3.091. f— ,
tg2 |+a -ctg2 a-|
sin2 — +a -cos2
tg2(f+arctg2f
cos2 a-sin2 a
ctg^a-tg^a
(pos2a-sin2a)c
H)
-f)
cos" a -
cos2 a
sin2 a
os2 asin
cos4 a-sin4 a
cos2 asin2 a
cos2 a+sin2 a
sin2 2a
Ответ: .
(•>
ftg
-sin2
sin2
cos2
2a
cos2 asin2 a =
1H
H
a cos2
a cos4
a cos
(cos2 a -
f-Hf-)!
-HHJ
a-sin2 a
a-sin4 a
2 asin2 a
-sin aicos2 asin2 a
(cos2 a-sin2 ajcos2 a+sin2a)
4 cos2 a
4
sin a sin2 2a
4
3.092.
4
a a
tg- -ctg-
. a . a
tg~ + ctg-
194

Решение.
.ос а . 2 ос 2 ос
sin— cos— sin —cos —
2 2 2 2
а а
tg 2 ~ctS j
а а
tg2+dgy
а
cos —
2
. а
sin —
2
. а
sin —
2 .
а
cos —
^—3-
а . а
cos — sin —
2 2
. i а 2 <x
sin" — + cos —
2 2
. •> ос 2 ос
= Sin" COS — :
2 2
а . а а . а
cos — sin — cos — sm —
2 2 2 2
=4 cos^
( 2 ОС . 2 ОЛ
= 4 COS Sin — =-C
1 2 2j
Ответ: -cosa.
cos2 a-ctg2a+l
3.093. —1 -i -•
sin a+tg a-1
Решение.
2 cos a ,
2 . 2 , COS a ^—+1
cos a-ctg a+l_ sin2 a _
sin2 a + tg2a-1 . 2 sin2a ,
sin a+—5 1
cos a
sin2 a cos2 a - cos2 a + sin2 a
sin2 a -cos2 a ,
■ 2 2 '2 2 '2 s
sin acos a+sin a-cos^a sin a
Ответ: ctg a.
cos^a-gQ'j+ctg'lpO' + 2a)+l
3094- sin2^a-270,)+tg2,£70'' + 2a)+l'
Решение.
cos2^a-90,)+ctg2^0J+2a}+l _
sin2 £a - 270 )+ tg2 (270" + 2a)+1
195

(=os(90°-2qjf + (itgpo'+ 2af +1 sin22a + tg22a + l
(- sin^70* - 2a|f + (tg^70° + 2a jf +1 cos2 2a+ctg2 2a+1
. 2-, sin2 2a , sin2 2a cos2 2a + sin2 2a + cos2 2a
sin 2a+—j Hi j
or 2a cos 2a
2„ cos 2a , sin22acos22a + cos22a + sin 2a
cos 2a+—j " 2
sin 2a sin 2a
sin2 2a у
= ^r—- = tg22a
cos 2a
Ответ: tg2 2a.
3.095.
sin2! 4a-
ctgj-7t-2a +td-~Ji + 2a
Решение.
sin | 4a-- -sin --4a
ctgl -n-2a + tg -rc+2a ctgI-n-2a + td -n+2a
cos 4a cos2 4a cos2 4a
tg2a-ctg2a sin2a cos2a sin2 2a-cos2 2a
cos 2a sin 2a sin2acos2a
cos2 4asin2acos2a cos2 4asin2acos2a _
cos2 2a - sin2 2a cos4a
cos 4a-2 sin 2a cos 2a _ cos4asin4a _
2 2
_2cos4asin4a _ sin8a
4 4~'
Ответ: —sin 8a.
4

1 l-cos(4ct-;i)
2tgfVaVfa--5] + sin32a
3.096.
2tp( — ТГ — CL 1сО!г1 Ct-
1
2ct^ a+-rc pin2 a — it
Решение.
l-cos(4a-7i)
2tgf|I:-alcos2r- ^ sin32a
1
2ctgfa + |7tjsin2fa-|7tj 2t/-7t-a
1- cos (n -4a) ■ 1
sin3 2a (2 У /3
2ctg -тг+a -sin —тг-а
I2 I I2
1 l+cos4a 1
- + -
2ctgasin2a sin32a -2tgacos2a 2cosa ;in2a
sin a
1 + 2cos22a-l 1 1 2cos22a
+ ; + ^r~- = ^~. ~ + , +
sin 2a cos2 a 2sinacosa sin 2a
cos a
1 _ 1 2 cos2 2a 1 _2sin22a + 2cos22a
2sinacosa sin2a sin3 2a sin2a sin3 2a
2 (sin2 2a + cos 2a) _ 2
sin3 2a sin3 2a
2
Ответ: . -i „ •
sin 2a
197

cos2g+2sin2(a-;i) cos2 a+4sina+sin2 (a+n)
3097' cos3(a-4n) + cosa(4sina+l) '.
Решение.
cos2a+2sin2(a-;t) cos2a+4sma+sin2(a+;i)
cos3(a-4rc) cosa(4sina+l)
_ cos2 a+2 (- sin (it - a)f cos2a + 4sina+(sin(;i+a))2 _
(cos(4n-a))3 cosa^tsina+1)
cos2a+2sin2a cos2a+4sina+sin2a cos2a+2sin2a
-+
cos3a cosa(4sina+l) cos3a
l+4sina cos a+2sin2a 1 _cos2a+2sin2'a + cos2a
cosa(4sina+l) cos3a cosa cos3a
_2cos2a+2sin2a_2(cos2a+sin2a)= 2
cos a cos a cos3 a
2
Ответ: з
cos a
3.098. sin 2a—л + cos 2a--rc +cos -rc + 2a
{ 2 j { 3 J [3
Решение.
Пусть
A" = sin 2a—к Ucos 2a—тг +cos —7r+2a =
= -sin —я-2а +cos -тс-2а +cos —тс+2а
I2 J I3 J I3
-sin —rc-2a |=cos2a;
cos -rc-2a =cos 2a =cos Згс- —н2а
\3 J \ 3 J I I3 .
= -cog —+2a = -cos—cos2a+sin— sin2a = -— cos2a+—sin2a;
13 3 3 2 2

(Л \ Л 1 Л [Ч
—7i+2a = cos — 7icos2a-sin—7isin2a = —cos2a sin2a.
3 J 3 3 2 2
i -Уз i -Уз
A" = cos2a— cos2a+—sin2a—cos2a sin2a = 0.
2 2 2 2
Ответ: О.
3099 4sin2(a-5n)-sin2(2a + n)
cos2 2a—rc ]-4 + 4sin2a
Решение.
4sin2(a-5n)-sin2(2a+n) _ 4(-sin(5;i-a))2-(sin(n + 2a))2 _
со82Г2а-|п|-4+48т2а fco/in-2all -4+4sin2a
4sin2a-sin22a _ 4sin2a-4sin2acos2a _
sin22a-4+4sin2a 4sin2acos2a-4+4(l-cos2a)
4sin2a(l-cos2a) 4sin2 asin2 a
4(l-cos2a)cos2a-4+4-4cos2a 4 cos2 a-4 cos4 a-4 cos2 a
4 sin4 a
4 cos a
=-tg*a.
Ответ: - tg4 a.
3.100. sin2 -rc + a -sin2[ —rc-a
Решение.
■ if9 ) . г(17
sin -rc+a -sin
я_а)=^*ШЕ+а)] -Jsiijl^-aj =
= siiJrc+ - + a 111 -I sin|2rc+[ ^-a 111 =sin2| ^+a |-sin2| ^-a 1=
199

1-соя-+2а 1-соя—2а , соя-+2а , cod--
■2а
2 2 2 2 2 2
= 2 m\ 2 ~2а rcosj т +2а =2 -2sin~sin(-2a)
= —— (-sin2a)=—sin2a= -i=sin2a.
2 '2 J2
Ответ: —=sin2a.
3.101. ctg(4a-nj cos4! - л-2а -sin4! -n-2a 11.
ctg(4a-n)| cos4 -rc-2a -sin4 — л-2a
=-ctg(rc-4a) cos
(4-k + k
is ———
2a - sin
(&Ж + К
n —
2a
= -ctg(n-4aJ||cos|n+|--2a III -Isinl 2n+|--2a |
= ctg4a cos4 --2a -sin4--2a
= ctg4a
= ctg4acos| --4a |= sin4a = cos4a.
1 2 J sin4a
Ответ: cos4a.
200

cos2 — n-2a -sin2 — rc-2a
I4 J L4
3.102. ( a . aY (. a] (n a),.
cos— + sin — cos 2л — + cos — + — ma
I 2 4 I 2J I2 2.
Решение.
cos2 -7r-2a -sin2 -7r-2a
и J и
cos —+ sin— cod 2rc +cos —+ — sina
{ 2 2 I \ 2 J [2 2JJ
(5 . ) (4n + n л Л
cos -rc-4a cos 4a
i2 J ._ L2 _J
I a . а У а . о . I 2 a • 20 ■
cos—hsin— cos sin— sina cos sin — sma
2 2 2 2 2 2
cod 2n+ --4a 2cos ~-4a
[ (2 jj= [2 J=2sin4a.
cosasina 2cosasina sin2a
4sin2acos2a
= 4cos2a.
-гс-a U+sin2a)
sin 2a
Ответ: 4cos2a.
3.103. — (5
cos —л-2a
I2
бешеные.
tg -гс-a Il + sin2a) ta — a ll+sin2a)
(5 Tl f4rc + jt .
cos -л-2а cog —- 2a
201

Jn+ --a ll + sin2a) tg--a Il + sin2a)
cos]27t + |--2a|| cos|y-2a
ta - - a (1 + sin 2a)
sin —2a
Ц L.(i + Sjn2a)
1+cos —2a
U
sin 2a sin 20
cos2a
•(l+sin2a) -
v ' cos 2a
:I + sin2a = ^^ = ctg2a.
sin2a sin2a
Ответ: ctg2a.
tg2a
3.104.
tg4a-tg2a
Решение.
tg2a _ tg2a _ tg2a(l-tg22a) l-tg22a
tg4a-tg2a~ 2tg2a tg2a(2-l + tg22a) l + tg22a~
l-tg22a
sin22a cos 2a-sin22a
= cos22a=__^osi2cL__ = cos22a_sin22a = cos4a
, sin 2a cos 2a + sin 2a
cos 2a cos 2a
Ответ: cos 4a.
sin6q cos(6a-fl)
sjn2a cos2a
Решение.
sjn6a cos(6a-7r)_ sin6a cos(7r-6a)_ sin6a cos6a _
sjn2a cos2a sjn2a cos2a sjn2a cos2a
202

sin6acos2a-cos6asin2a sin4a 2sin4a
sin2acos2a sin2acos2a 2sjn2acos2a
2sin4a ,
Ответ: 2.
1 + cos (4a - 2и)+cos 4a —
3.106.
l+cos(4a + 7i)+cos| 4a+—7i
Решение.
l+cos(4a-2n)+cos[4a-— l + cos(2ii-4a)+cos—4a
l+cos(4a+n)+cos 4a + — л l + cos(n+4a)+cos —rc+4a
l + cos4a + sin4a l + 2cos22a-l + 2sin2acos2a
l-cos4a + sin4a l-(l-2sin22a)+2s>n2acos2a
_ 2cos22a+2sin2acos2a _ 2cos2a(cos2a + sin2a)_ cos2a _
2sin22a+2sin2acos2a 2sin2a(sm2a + cos2a) sin2a
Ответ: ctg2a.
sin(2a + 2;t)+2sin(4a-;t)+sin(6a + 4;t)
' cos(6it-2a)+2cos(4a-it)+cos(6a—4n)
Решение.
sin(2a+2;i)+2sin(4a-;i)+sin(6a+4;i)
cos(6n-2a)+2cos(4a-n)+cos(6a-4ji)
_ sin(2n+2a)-2sin(;i-4a)+sin(4;i + 6a) _ sin2a-2sin4a+sin6a
cos(6jt-2a)+2cos(n-4a)+cos(4n-6a) cos2a-2cos4a+cos6a
_ 2sin4acos2a-2sin4a _ 2sm4a(cos2a-l) _ sin4a _
2cos4acos2a-2cos4a 2cos4a(cos2a-l) cos4a
Ответ: tg4a.
203

4sinj —7i + a
3.108. - \~ 7
3 a 2(3
«nrri
Решение.
4 sin —n + a.
tg2(f*-f)-ctg>(
4sinl 2n+
KH)H
4cosa
2 a .2a
cos — sin —
. 2« 2a
sin — cos —
2 2
4 cos a sin2
H) (■
H
' /3 сЛ
Ctg —74
. V 2)
4cosa
4a
cos —sin
2
sin —cos
2
a , a
—cos —
2 2
-G
1
4a
i
a
7
4sin
a"
n —
2
4 sin
2 a
=
Г471 + 71
\)b
f+a)
-2«
-tg2-
+a
/3 aN
i— 7IH
I2 2,
ctg:
U
4 cos a
га
2
-tg2
a
2
cos a
Ответ: sin a.
smi
3.109.
(2a + B)+sin(2a-B)-cos| -7i-2a
cos(2a + B)+cos(2a-B)-sin —7i + 2a
204

Решение.
sin(2a+B)+sin(2a-B)-cos -тс-2а|
v fi \- fi ^2 j_2sin2acosB + sm2a _
cos(2a+B)+cos(2a-B)-sin -rc+2a p
sin2a(2cosB + l) sin2a „
= 7 —т = = tg2a.
cos2a(2cosB + l) cos2a
Ответ: tg2a.
cos 3a + cos4a + cos 5a
3.110. -— — ——
sin 3a+sin4a+sin 5a
Решение.
cos3a + cos4a + cos5a 2cos4acosa + cos4a _ cos4a(2cosa + l)_
sin3a + sjn4a + sin5a 2sin4acosa + sin4a sin4a(2cosa + l)
cos4a
= —-r- = ctg4a
sin4a
Ответ: ctg4a.
cos2 —rc-2a + 4cos2 — rc-a -4
l+cos(4a-n)-8sm2(5n-a)
Решение.
cos2 —я-2a +4cos2 —n-a -4
1 + cos(4a - 7t)- 8sin2 (5л - a)
( (4n + n . Yf J (бл + тс Yf „
cos — 2a +4 cos a 11 -4
1 + cos(rc- 4a)- 8^in(5n - a)f
|cos|2n + [--2a||| +4cos|3n + f--a HI -4
l + cos(rc-4a)-8(sin(5rc-a))2
205

cos all + cos a I sin22a + 4sin2a-4
l-cos4a-8sjn a l-cos4a-8sin a
4sin2acos2a-4(l-sin2a)_4sin2acos2a-4cos2a
l-(l-2sin22a)-8sin2a 2sin22a-8sin2a
4cos alsin a-l) -4cos acos a -4cos4a
8sin2acos a-8sin2a 8sin a(cos a-lj -8sin2asin a
cos4 a
-ctg'a.
2 sin a 2
1 4
Ответ: —ctg a.
5. ) . (л a
cos — 7i-a km — + —
2 2 2
3.112.
2frc-aY_ . rc-a [3
cos 2sm + cos — тт-a
4 I 2 2
Решение.
5
cos —
2
V (it a
л-a sum — ч—
J 12 2
2fn-aY. . rc-a (3
cos 2sm + соя—rc-a
I 4 I 2 Ь
/Чгс+гс V fi a
cos| —- o. jsin — + --
2 2
2frc aY„ . frc О.Л (3
cos 2siw +cos -rc-a
4 4 1 12 2
cos 2rc + —a sin —+ —
2frc a.Y. .fit a) (3
cos 2sira +cos -тт-a
4 4 1 (2 2 2
206

2 a |cosy 2sinacos-
i fn a
+ cod
\2 2
2 cos— sjna
1 + sin — 2cos~-sina
2 1 2
2 I 2
2sinacos— 2sinacos—
2 2
(, . aL a . . a a
1+sin— 2cos 2sin—cos —
2 I 2 2 2
. . a a . a
2sm —cos— 2sin —
2 2 2__
2tg,
• 2« 2 a a 2
-sin — cos — cos —
2 2 2
tt
Ответ; 2tg—.
l + cosa + cos2a + cos3a
3.113. : ; 2 : ■
cosa+2cos a-1
Решение.
l+cosa + cos2a + cos3a _ 1 + cos2a + (cos a + cos 3a) _
cos a+2 cos2 a -1 cosa+2 cos2 a -1
_ l+cos2a+2cos2acosa _ l + 2cos2a-l + 2(2cos2a-l]cosa _
cosa+2 cos2 a-1 cosa + 2cos2 a-1
_ 2cosatcosa+2cos2 a-l)
cosa + 2cos2 a-1
Ответ; 2 cos a.
-2 cos a.
Преобразовать в произведение (3.114—3.147):
3.114. sin4a-2cos22a+l.
Решение.
sm4a-cos4a = sin4a-sin(90D-4a)=2cos45Dsin(4a-45D)=r
= 2 — sJn^a-45D)=V2sin^a-45D).
Ответ: •j2sin^la-45°).
207

3.115. tgy + ctgy+2.
Решение.
.a a . 2 a -> a
sin— cos— sin — +cos" —
tg^ + ctg^+2 = -A + —2. + 2- 2 2..
2 2 a . a a . a
cos— sin— cos —sin —
2 2 2 2
1 . 2 2 2+2sina
= + 2 = + 2 = +2 = =
.a a . a a sina sina
sin—cos— 2sin—cos —
2 2 2 2
Ж Ж
f тс ^ —+ a —a
iA • 1 2 sin- + sina 22sin-2 cos-2
_2Q + sina)_ [ 2 j_ 2 2
sina sina sina
4sin - + — V°4 4sin - -
sina sina
. . fit oV fi a4! 2fn <x>
4sin — н— Bin—+ — 4sin —+ —
sina sina
ж a V -i
- + — sin a.
4 2f
4sin — + — Pin a.
4 2 P
Ответ: 4 sin
3.116. cos a-sin a.
Решение.
_4 . _4 1 1 sin a-cos a
cos a-sm a = —- -z— = ^ ^— =
cos a sin a cos a sin a
_ -16(cos4 a-sin4 a)_ -16(cos2 a-sin2 a)(cos2 a+sin2 a)_
16sin4acos4a sin4 2a
-16cos2a ,, cos2a 1 ,, „ . _3„
= д = -16 — = -16ctg2asin 2a.
sin 2a sin2a sin 2a
Ответ: -16ctg2asin"32a.
208

tg a-tg a
ЗЛ17- ctg4a-ctgV
Решение.
tg4a-tg6a _ Ji£(x-ti£a_ - tg4"^-tg';")
ctg'a-^a 1 1 b^tgjjx
tg4a tg2a tg«a
tg4a(l-tg2aj 4 8
= _ё—s_6—'tg a = tg a.
1-tg a
Ответ: tg8a.
3.118. l-3tg2(a + 270").
Решение.
l-3tg2(a+270")=l-3(tg^70"+a))!=l-3ctg2a=4f---ctg2a |=
\ & ]1 S , ) .(l S cosaYl S cose;
--—ctga -+—-ctga =4 --——.— -+—■-—
2 2 12 2 112 2 sina 12 2 sum
1 . S 1 V3
-srna cosa —sinan cosa
M 2 2 2 2
sina sina
4(sfflacos60° -cosasin60°J(sinacos60° +cosasin60°)_
_ 4sin(a - 60° )sin(a+60°)
Ответ/ 4sin(a-60°)sin(a + 60°)sin""2a.
3.119. l-3tg2(a-180°).
Решение.
l-3tg2(a-18ff)=l-3(-tg(l8ff-a)J =
209

= l-3tg2a=4[---tg2a =4--—tga -+—tga
1 >/J small Ji_ sin a
2 2 cosa I 2 2 cosa
1 ,/S . Yl ,/S . '
-cosa sma -cosan sina
2 2 2 2
_4(sin30"cosa-cos30°sina|sin30'cosa + cos30''sina)
cos2 a
_ 4sin(30° - ajsin^O' +a)
cos2 a
Ответ: 4sin(30° -ajsjn(30e + a)cos~2 a.
3.120. tg2fa--n -ctg2 a+-n
tg'|a--n -ctg2[a+-n = -tg -я-a - ctg -л+a
= ctg a-
sin a cos a sin acos a
4|cos2 a-sin2aJ(cos2a+sin2a) 4cos2a
4sin2acos2a sin2 2a
Ответ: 4cos2asin~2 2a.
3.121. 3sin2(a-270")-cos2(a+270°).
Решение.
3sin2^-270°)-cos2(a + 270°)=3(-sin^70° -af -(cos£>70° +a| =
= 3^in£>70° - af - (cos(270" + ajf = 3 cos2 a - sin2 a =
210

/3 2 I . 2 } IS 1 . Тл/З 1 . "|
= 4—cos a—sm a =4—cosa—sina—cosan—sina =
V 4 J I2 2 i2 2 J
= 4(cos30Dcosa-sin30°sinaJtcos30°cosa + sin30Dsina)=
= 4cos(30° +a)cos(30° -a).
Ответ: 4cos(30" +a)cos(30" -a)
3.122. sin'!^x + 90'')-3cos2(a-90''J
Решение.
sin2 (a + 90°)- 3 cos2 (a - 90° )= (sin (90° + a)} - З^дафо" - of =
= cos2a-3sin2a = 4 —cos2 a—sin2 a =
И 4 J
h S . Yi S .
= 4 —cosa sina —cosan sma
= 4sin(30° -сфкфо" +a).
Ответ: 4sin(30° -a)sin(30° +a).
3.123. sin2[p--|-cos2[a — ж
sin2(p-^j-cos2(a--jij= -sin[*-|5j - cod-y-a
( . (ж „Yf ( (Ъж
= sin —В - cos a
I I2 JJ I I2
_l+cos2(i l-cos2a_l cos2p 1 cos2a _
2 2 2+^2 2+ 2
= —(cos2a+cos2p)=-'2cos(a+|3)cos(a~|3)=cos(a+|3)cos(a-3)
Ответ: cos(a + p)cos(a - p)
211

атэ-Wff,-.,.
Решение.
3-4cosf^-aV3-4.-' + COs(3'I-2a) =
I2 J 2
= 3-2-2cos(3n-2a)=l-2cos(3n-2a) =
= l + 2cos2a = 2 — + cos2a =2 cos —+cos2a =
I2 J I 3 J
= 2-2cos — + a cos —a =4cos| —+ a cos —a
6 6 \6 U
Ответ; 4 cos —+ a cos —a
I6 J I6
.2 "
Решение.
3.125. 3-4sin2|--a
3-4sin^-al=3-4.bcos('I-2«) =
I2 J 2
= 3-2+2cos(7r-2a) = l + 2cos(7r-2a)=l-2cos2a =
= 2 —cos2a =2 cos —-cos2a
= 2 • - 2 sin — + a sin — a = -4 sin — + a sin — a
I I6 J I6 )) I6 J I6 J
л . (n V ( к
= 4sin — + a sin <x- —
Ответ: 4 sin —+ a sin a —
6 6
212

3.126. l + cos|^+3a l-sin -7t-3a + ctg -n + 3a
Решение.
1+cosf —+3a -sin — n-3a +ctd —7t+3a
=;l-sin3a + cos3a-tg3a = l-sin3a + cos3a =
cos 3a
_ (cos3a-sin3a)cos3a+cos3a-sin3a_ (cos3a-sin3aXcos3a + l)^
cos 3a cos 3a
cos3a-cos —3a j |(cos3a + cos27r)
-2sin —
4
-2Л.
2
2,/2cos2
sin
sin
;3a
2
3a-
f3a
■ 1
cos
71
71
~4
7U
3a
■2cosj
cos3a
w-
cos 3a
-3a]
71 +
cos
3a ^
3a ^
2
CO!
(-
{-?)
3a ^
cos —
2 1
cos 3a
2,/2cos2^sinf*-3a
Ответ:
cos 3a
3.127. l + cospa+270°)+sin£a + 450°).
Решение.
l + cos^a + 270°)+sin^a + 450°)=l + cos^70° +2a)+sin(450° + 2a)
= l+sin2a+cos2a = cos2a+sin2a+2sinacosa+cos2a-sin2a =
= (cos2a+2sinacosa+sin2a)+(cosa-sinaXcosa+sina) =
= (cos a+sin a)2 + (cos a - sin aXcos a+sin a)=

= (cosa + sinaXcosa + sina +cosa- sina) =
= 2(cosa + sina)cosa = 2(cosa+cos(90D -aj)cosa =
= 2 ■ 2 cos45° cos(jx - 45° )cos a=4 cos (a - 45° jcos a =
= 2V2cosacos(jx-45D)=2-^cosacos(45° -a).
Ответ: cosacos45 -a .
3.128. l-cos(2a-270D}fsin(2a+270o).
Решение.
l-cos(za-270D)+siti^a+27(r)=l-cos(z7(r-2a)+siti^70D+2a)=
= l + sin2a-cos2a = sh2a+cos2a+2sinacosa-(cos2a-sin2a)=
= (sina+cosa]P +sin2a-cos2a = (sina+cosa]P +
+ (sma+cosaXsina-cosa)=(sina+cosaXsina+cosa + sma-cosa)=
= 2(sina+cosa)sina—2(sina + sin(90°-ajjsjna =
= 2 -2 sin45° cos(a -45° Jsina = 4—sinacos(a -45° J=
= 2л/2 sinacos(a -45° )= 2^2 sinacos(45" - a).
Ответ: sm a cos
3.129. sm||7r-2a |+2sin2|2a--^|-l.
Решение.
sin|-K-2a +2sin2[2a—к 1—1 = sinf -7r-2a +2sin2f-7r-2a 1-1 =
= cos2a+2cos22a-l =cos2a+cos4a = 2cos3acosa =
= 2cosacos3a.
Ответ: 2cosacos3a.
3.130. l-cos(2a-n)-cos(4a+7r)+cos(6a-27r)
214

Решение.
l-cos(2a-7r)-cos(4a+7r)+cos(6a-27r) =
= l-cos(7r-2a)-cos(7r+4a)+cos(27r-6a)=
= l+cos2a + cos4a + cos6a = l+2cos2a-l + cos4a+cos6a =
= 2cos2a + cos4a + cos6a = 2cos a+2cos5acosa =
л / с i л л a+5a a-5a
= 2cosa(cosa+cos5a) = 2cosa-2cos——cos =
V ' 2 2
= 4cosacos3acos2a = 4cosacos2acos3a.
Ответ: 4cosacos2acos3a.
3.131. 1+ctg —я-4а Usin"1 —я+4а
I2 J I2
Решение.
\+сщ-п~4а +sin ' -7c+4a =l+ctg(-7c-4a |+
sid-7r+4a
, , . , 1 , sin4a 1 cos4a+sin4a+l
=l + tg4a+—_^i+_ — +—_. = 21 =
cos4a cos4a cos4a cos4a
_cos22a-sin22a+2sin2acos2a+cos22a+sirr2a
cos4a
_ (cos2a-sin2a)(pos2a+sin2a)+(cos2a+sin2a)2 _
cos4a
- (ras2a+sin2aXcos2a-sin2a+cos2a+sin2a)_2(cos2a+sin2a)cos2a
cos4a cos4a
2cos2oJ cos2a+cod y-2a 2cos2a-2cos-cosJ2a-- |
cos4a cos4a
2V2cos2acos2a— 2V2cos2acod —-2a
cos4a cos4a
2v2cos2acod —2a
Ответ:
cos 4a
215

sjna-2cos3a-sin5a
3.132. т—г —.
cosa-2sm3a-cos5a
Решение.
sina-2cos3a-sin5a _ (sina-sin5a)-2cos3a
cosa-2sin3a-cos5a (cosa-cos5a)-2sin3a
2cos3asin(-2a)-2cos3a _ -2cos3asin2a-2cos3a _
-2sin3asin(-2a)-2sin3a 2sin3asin2a-2sin3a
_-2cos3a(sin2a+l)_ , sin2a+l _ , l + sin2a_
~ 2sin3a(sin2a-llJ sin2a-l l-sin2a
-+sin2a 2sinl7 + arslj~a
i =ctg3a f 1 У4 U
--sin2a 2oosj-+a siiJ--a
соя—-аюоя—-a cos —-a
= ctg3a 1= |-ii—J=ctg3a £ }=a.giaai\^-a\
sinl—a siJ—a sin2---' *
I4 J I4 J I4
Ответ: ctg3actg2 --a
Решение.
= 2соА^-^уЛсо1^к-а\-\ =
= 2sin2 V3sina-l = l-cosa + -\/3sina-l =
2

f 1 JJ
- cos a + V3 sin a = -2 — cos a - — sin a
~2 sin—cos a-cos —sin a = -2sid —a =2sin a—
6 6 и e,
Ответ: 2 sin a—
{ 6
„„, sin4a + sin5a + sin6a
3.134. .
cos4a+cos5a+cos6a
Решение.
sin4a + sin5a + sin6g _ (sjn4a + sin6a)+sjn5a _
cos4a+cos5a + cos6a (cos4a + cos6a)+cos5a
_ 2sin5acosa + sin5a _ sjn5a(2cosa+l) _ sin5a _ _
2 cos 5acos a + cos5a cos5a(2 cos a +1) cos5a
Ответ: tg5oc
3.135. -cos5acos4a-cos4acos3a + 2cos 2acosa.
Решение.
- cos 5acos4a - cos4acos 3a + 2 cos2 2acos a =
= - cos 4a(cos 5a + cos 3a)+2 cos" 2a cos a -
= -cos4a-2cos4acosa + 2cos2 2acosa =
= -2cos 4a,cosa + 2cos2 2acosa = -2cosa(cos2 4a-cos2 2aJ=
= -2 cos a(cos 4a - cos 2aXcos 4a + cos 2a) =
=-2 cos a(-2 sin 3asin a) ■ 2 cos 3a cos a =
= 2cosa(2sinacosaX2sin3acos3a)=2cosasin2asin6a.
Ответ: 2cosasjn2asjn6a.
3.136. sinl0asin8a + sin8asjn6a-sin4asin2a.
Решение.
sinl Oa sin 8a + sin8asin6a- sin 4a sin 2a. =
= sin8a(sinl0a + sin6a)-sin4asin2a =
= 2sin8asjn8acos2a-sin4asjn2a =
217

= 2 sin2 8acos 2a - sin4a sin 2a =
= 2sjn2 8acos2a-2sin2acos2asjn2a=
= 2sin28acos2a-2sin2 2acos2a=; 2 cos2a|sin2 8a-sin 2a)=
= 2 cos 2a(sin 8a - sin2aXsin 8a + sin 2a)=
= 2cos2a-2cos5asin3a-2sin5acos3a =
= 2cos2a(2sin3acos3aX2sin5acos5a) = 2cos2asin6asinl0a.
Ответ: 2cos2asin6asinl0a.
cos 7a - cos 8a - cos 9a + cos 1 Oa
3 137 .
sin7a - sin8a - sin 9a + sinl Oa
Решение.
cos7a-cos8a-cos9a + cosl0a _ (coslOa+cos7a)-(cos9a + cos8a)_
sin 7a- sin8a- sin9a + s jnl Oa (sinl0a+sin7a)-(sjn9a + sin8a)
- 17a 3a - 17a a 2roSl7afros3a £
2cos~—cos—-2cos—-cos— -^cos^- C0S^T-T
^22 2 2 ^ 2 I 2 2
. . 17a 3a . . 17a a . . i7af 3a a
2sm-— cos——2sm—- cos— 2sin— cos— - —
2 2 22 2^22
17a
C0ST^ Ha
= — = ctg .
.17a Б 2
sin
2
. 17«
Ответ/ ctg—-.
3.138. sin5a-sin6a-sin7a + sin8a
Решение.
sin5a—Sin6a-sin7a + sin8a=(sin8a + sin5a)-(sin7a + sin6a)=
_ . 13a 3a . . 13a a . . I3af 3a a\
= 2sm cos 2sin cos— = 2sm cos cos— =
2 2 22 2^2 2 )
_ . l3af . . . a\ . . a . . 13a
— 2sin-— -2sinasm— =-4sin — srnasin .
2 2 2 2
. . a . . 13a
Ответ: -4sin—sinasin—.

3.139. cos3a-cos4a-cos5a+cos6a.
Решение.
cos3a-cos4a-cos5a + cos6a = (cos6a + cos3a)-(cos5a+cos4a) =
. 9a 3a 9a a , 9af За а\
-2C0S COS /COS COS——/COS COS COS— -
2 2 22 2^2 2 )
. 9a < . . аЛ . . a . 9a
-2cos -2smasin— = -4sin—sinacos—.
2 2 2 2
, • a ■ 9a
Ответ: -4sm—sinacos —.
2 2
sinl3a + sinl4a + sinl5a + sinl6a
3.140.
cosl3a + cosl4a + cosl5a+cosl6a
Решение. '
sinl3a + sinl4a + sinl5a + sinl6a
cosl3a+cosl4a+cosl5a + cosl6a
(sinl6a + sinl3a) + (sinl5a + sinl4a)
(cosl6a + cosl3a) + (cosl5a + cosl4a)
90*v 3 90*v r* 29a ( Ъ а ^
2sin—cos-a + 2sin^a-cos- 2sin— cos-a + cos-
_ 2 2 22^ 2 I 2 2 j
29a 3 . 29a a T 29a Г 3 a
2cos —-cos-a+2cos—-cos — 2cos cos-a + cos —
22 22 2^2 2
- - 29a
JSm— . 29a
, 29a g 2 '
2 cos
2
. 29«
Ответ: Щ-^г--
3.141. sin2a + sin4a + sin6a.
sin2a + sin4a + sin6a = (sin2a + sin4a)+sin2(3a)=
-2sin3acosa+2sin3acos3a = 2sin3a(cosa + cos 3a)=
-2sin3a-2cos2acosa = 4sin3acos2acosa.
219

Ответ: 4sin3acos2acosot
3.142. sin5a + sin6a+sin7a + sin8a.
Решение.
Sin5a+sin6a + sin7a + sin8a = (sin5a + sin6a)+(sin7a + sin8a) =
_ . 1 la a . . 15a a , a ( . 1 la . 15a ^
— 2sin cos —+ 2sm cos —= 2cos — sin hsin =
2 2 2 2 2[ 2 2 )
„ a . . 13a a . 13a
= 2 cos — -2sin cos a -4cos— cos asm .
2 2 2 2
„ л a 13a
Ответ: 4cos—cosasin —-.
3.143. cos5a+cos8a + cos9a + cosl2a.
Решение.
cos5a + cos8a + cos9a + cosl2a = (cos5a + cos8a)+(cos9a + cosl2a) =
. 13a 3a . 21a 3a . 3a ( 13a 21a "|
— 2cos cos h2cos cos—=2cos— cos + cos \-
22 22 2^2 2 J
3a ., 17a . . 3a . 17a
~2cos 2 cos cos2a = 4cos — cos2acos .
2 2 2 2
_ . 3a . 17a
Ответ: 4cos — cos2acos .
2 2
3.144. 3 + 4cos4a+cos8a.
Решение.
3+4cos4a+cos8a=3+4(2cos22a—l)+2cos24a-l =
= 3 + 8cos22a-4 + 2pcos22a-l)2-l =
= 8cos22a+2(4cos42a-4cos42a+l)-2 =
= 8cos22a + 8cos42a-8cos22a+2-2=8cos42a.
Ответ: 8 cos 2a.
3.145. .Jtga+sina —Jtga-sina, 0<a<-.
Решение.
т/tga+sma-Jtga-sina =^tga(l+cosa)-^tga(l-cosa) =
220

= Vtga+sma-.Jtga-sma=-v/tga(l+cosa)-,/tga(l-cosa) =
= Vtga-i/l + cosa-Vtga-Vl-cosa = ^tga(1/l + cosa-Vl-cosa):
= Vtg^Ul + 2a>S2|~l~Jl~fl~2Sin2|
FT.—( o. ■ a\ it-—( a (n a
= V2tga oosj-sinj =^2tga cosj-cod--y
i/2 tg a
-2sin
о i_o a 7t a
2 2 2.;„2~2" 2
. pr-— . 7t . f a я
-^tgasm-smU--
-1 FT,— -J2 . (а теЛ _ г— . (n a
= -2j2tga-TSii^I--J=2,/tgaSin^--I
= 2V^Sin^^ + f))=2^co^ + |
Ответ: 2 Jtg a cos — + —
v & I 4 2
3.146. l + sin2a-cos2a-tg2a.
Решение.
sin 2a
H-sin2a-cos2a-tg2a-l + sin2a-cos2a-
cos2a
_cos2a-(cos2a-sin2a)cos2a-sin2a _
cos 2a
_ (cos 2a - sin 2a) - (cos 2a - sin 2a)cos 2a _ (cos 2a - sin 2a)(i - cos 2a) _
cos 2a cos 2a
cos2a-cos —-2a (cos2л-cos2a)
cos 2a
- 2 sin — sin 2a - — Г- 2 sinfa + a)sin(7C - a))
cos 2a
221

-2- —sin|2a--](-2sin2a) 2V2sin2asin2[ 2a-- j
cos 2a cos 2a
• 2v2sin2acos -- + 2a
4
cos 2a
2v2 sin2acos —+ 2a
Ответ: -
cos 2a .
3.174. sin2a + sin4a-sin6a.
Решение.
sin2a+sin4a-sin6a = sin2a + sin4a-sin2(3a) =
= 2 sin 3a cos a - 2 sin 3a cos 3a = 2 sin 3a(cos a - cos 3a) =
= 2 sin 3a- (-2 sin 2asin(-a)) = 4sin3asin 2asin a.
Omeem:4sin3asin2asina.
Доказать справедливость равенств (3.148—3.152):
3.148. (sin 160° + sin 40°)(sin 140° + sin 20°) + (sin 50° - sin 70°) x
x(sinl30°-sinll0°) = l.
Решение.
(Sinl600+sin400)(sinl400+sin200)+(sin500-sin700)(sinl300-sinll0°) =
= (sin(l80o-20o) + sin40o)(sin(l80o-40o)+sin20°) +
= (sin 50° - sin 70°)(sin(l 80° - 50°) - sin(l 80° - 70°)) =
= (sin20o + sin40o)(sin40o + sin20o)+(sin50o-sin70o)(sin50o-sin70D)-
= (sin20o+sin40°)2+(sin50o-sin70°)2 =(2sin30°cosl0°)2+
+(2cos6O3sint0°)2= |2-cosl0° I +|2--sinl0° I =cos2 !0°+sin2l0° = l.
Равенство справедливо.
3.149. (cos34T1+Ug56Tl =ctg28°.
222

Решение.
tos34°r +(tg56°r = + ctg56° =—t \ + ctg56°
v ; V ; cos34" cra^O--56*)
1 cos56° l+cos56° _l+cos2^8°)_l+2cos228°-l_
sin56° sin56° sin56° sin2(28°) 2sin28Dcos28"
2cos228° cos28°
= = r = ctg28 .
2 sin28 cos28 sin28
Равенство справедливо.
cos28°cos56° cos2°cos4° V3sin38°
3.150. — +-
sin2° sin28° 4sin2"sin28°
Решение.
cos28°cos56° , cos2°cos4° sin28°cos28Dcos56°+sin2"cos2Dcos4D
sin2° sin28° sin2°sin28"
4sin28° cos28° cos56° +4sin2° cos2° cos4° _
4sin2"cos28°
_ 2sin56° cos56° +2sjn4° cos4° _ sinl 12° + sin8° _
4sin2°cos28° 4sin2°cos28°
2sin60'cos52- 2^-cos^0"-38") jj^g.
4sin2°cos28° 4sin2°cos28° 4sin2°sin28'
Равенство справедливо.
3.151. l-2sin50° = 0,5cos_1160°.
Решение.
, „ . -„. (i-2sin50°)-2cosl60° 2cosl60' -4sin50°cos 160"
l-2sin50 = -* ' = =
2cosl60° 2cosl60°
2cosl60°-2^in(-110°)+sin2l0')_
2 cos 160"
-2sin50°)-2cosl60° 2cosl60°-4sin50°cosl60°
-l-2sin50°
2 cos 160" 2 cos 160°
223

_ (2cosl60P-2(sin(-110P) + sin210P) _ 2cosl6Q°+2sinl 10°-2sin210°
2cosl60° ~ 2cosl6QP
_ 2cos(180°-20°) + 2sin(90° + 20°)-2sin(180° + 30°) _
2 cos 160°
2.1
_-2cos20° + 2cos20° + 2sin30°_ 2_ _ _J
2cosl60° ' 2cosl60° 2cosl60°'
Равенство справедливо.
3.152. (cos70°+cos50°)(cos310° + cos290°) + (cos40° + cosl60°)x
x (cos320° - cos 380°) = 1.
Решение.
(cos 70° + cos 50°)(cos 310° + cos 290°) + (cos 40° + cos 160°) x
x(cos320°-cos380°) = (cos70° + cos50°)(cos(360o-50°)+cos(360p-70°)) +
+(cos(90° -50°) +cos(90° + 70°))(cos(270° + 50°) - cos(450°- 70°)) =
= (cos70°+cos50°)(cos70°+cos50°) + (sin50°-sin70°)(sin50°-sin70°) =
= (eos70°+cos50°)2 +(sin50°-sin70°)3 = (2 cos 60° cos 10")3 +
+ (2cos60°sin(-10°))2=|2-i.-cosl0°I +|-2- i sinl0° | =
Равенство справедливо.
Вычислить (3.153—3.166):
. 2 Ж 2 3lt . т 5П 2 7П
-1 154 Sin' - +COS hsin 1-COS .
J J' 8 8 8 8
Решение.
. ■> л 2 Згс . 2 5л 2 7ге
Sin - + COS hSIn 1-COS =
ж , Зп 5rc , 7rc
1-cos- 1+cos— 1-cos— 1 + cos —
= 4 + 4-+ -4.+ 4 :
2 2 2 2
224

и 4л-л 4п + п 87Г-7Г
4-COS — +COS COS hCOS
4 4 4 4
4 - COS—+ COS 71 -COS 71 + — +COS 27U
4 4 4 4
4-COS COS—+COS—+ COS — .
4 4 4 4-4=2
2 2
Ответ: 2.
3.154. tg435'+tg375\
Решение.
tg435° +tg375° = tg(450° -15")+tg(360* +15°)=
» ic » ic. cosl5° sinl5' cos215° + sin215°
= ctgl5 +tgl5 = - + =
sinl5° cosl5° sinl5°cosl5°
i -> -> -)
= =r = 4.
sinl5°cosl5° 2sinl5°cosl5° sin30° |
2
Ответ: 4.
3.155. tg255°-tgl95°.
Решение.
tg255°-tgl95°=tg£>70°-15°)-tg(l80°+15") =
cosl5° sinl5° cos215°-sin215°
= ctgl5 -tgl5 = = =
sinl5 cosl5 sinl5°cosl5°
cos30° 2cos30° 2cos30° „ „na „ r-
2ctg30° =2V3.
sinl5°cosl5° 2sinl5°cosl5* sin30
Ответ: 2>/з~.
3.156. sin -Tt-2 arctg-
Я М. И. Ска наем, группа А 225

Решение.
sin —7t-2arctg— = -cod2arctg—
2cos" arctg— -1 =
= 1-2 cos arctg- || =1-2
= 1-2
25 25'
Ответ: ~ •
13 5
3.157. ctg—я-ctg--п.
Решение.
.13 .5 t 1271+71 5 ( 71 > 571
Ctg Tt-Ctg — 7I = Ctg Ctg 7I = Ctg 7IH -ctg =
12 12 12 12 \ 12 J B12
к Sk . Ък к 5я . 7t
c cos— cos— sin—cos cos—sin—
= ctg—-ctg— 13- !2. = !2 12 12 12.,
12 12 „.-..t „•_ 5te ...ti^Si
sin— sin-
12 12

sm—stall 12
12
2sin-
1 f 4ti 6tc
— cos cos —
2 12 12
2-£
i 2_:
71 71 1 - '
COS COS— 0
3 2 2
2^3.
Ответ: 2>/з".
3.158. sin 2a + -7t
Решение.
если tga =
n 2a + -7t =sin +2a =sin тс+ 2a + —
4 4 4
-sin 2a + -
226

.. л _ . л VI . _ VI _
= -sm2acos— cos2asm— = sin2a cos2a =
4 4 2 2
•/2/. , , \ VI f 2tga l-tg2a"|
= (sin2a+cos2a) = —%,— + %r~ =
2 2 [l+tg2a l + tg2aj
44
_J2_ tg2a-2tga-l_V2 9 3 _ 17VI
2 1 + tg2 a ~ 2 ,4 26
9
_ 17^2
Ответ: .
26
Г 7 Л 2
3.159. cos 2aн—71 , если ctga = ~,
{ 4 ) 3
.Решение.
cos 2a + —я =cos +2a = соэ 2n+ 2a— =
1 4 J I 4 J \ [ 4jJ
(, lO -, л ... л VI . VI . _
= cos 2a— =cos2acos- + sin2asin- = —cos2a + — sin2a =
\ 4 J 4 4 2 2
VI/ . . . ч VIfl-tg2a 2tga "l
= — (cos2a+sin2a)=— =r—+—==— =
2 2 [l + tg2a l + tg2aj
| + __2 1_
_ V2fl+2tga-tgza'j_V2" ctga ctg'a^
2 [ l + tg2a J 2 , , 1
ctg2a
4 4
_VI ctg2a+2ctga-l VI 9 + 3 7 VI
~ 2 ct^a + l' "2 4 " 26 '
9
Ответ: .
26
227

3.160. , „ . - ■ если tga = 0,2.
6 + 7sin2a
Решение.
5 5 5 + 5tg2a
6+7sin2a 61 Htga 6+6tg2a+14tga
l + tg2a
5 + 50,04 _ 65
6+60,04 + 14 02 113'
Ответ: —r-
2
3.161. t—; T-, если tga = 0,2.
3+4cos2a
Решение.
2 2 2+2tg2a _2 + 2tg2a_
3+4cos2a 4-4tg2a 3+3tg2a+4-4tg2a 7-tg2a
l + tg2a
_2+2-0,04_26
7-0,04 87'
26
Ответ: rr-
ft ft
3.162. sina, если sin— +cos— = 1,4.
Решение.
sin— + cos— = 1,4 =э
2 2
=»sin2-+2sin"cos" + cos2- = l£6, (sin2 - + cos2 -1+ sina = 1£6,
2 22 2^2 2j
l+sina = l,96.
Тогда sina = l,96-l = 0,96.
Ответ: sina = 0,96.

3.163. sin2a, если sina-cosa = p.
Решение.
sina-cosa = p =>
=>sin2 a-2sinacosa + cos2 a- p2, l-sin2a = p2,
откуда sin2a = l-/j2.
Ответ: 1 - p .
3.164. 2-13cos2a + sin" 2a, если ctga = —.
Решение.
2-13cos2a + sirr12a = 2-13cos2a + —— = 2-13 13t.g—+
sin2a 1 + tg a
2 13 i#_ 1 + -V-
| 1 = 13-13tg2a | l + tg2a_2 ctg2a | ctg2a
2tgct 1+tg2 a 2tga n 1 2
l+tg2a ctg2a ctga
13 1
^ 13ctg;a-13|ctg;a+l=2 25 , 25+ =
ctg2a+l 2ctga J^+1 _2
25 5
= 2 13-325 1 + 25 2 | 312 26=2|12 13 = 57
1 + 25 2-5 26 10 5 5'
57
Ответ: —■
3.165. l + 5sin2a-3cos"'2a, если tga = -2.
Решение.
l + 5sin2a-3cos_12a = l + 5sin2a — = 1+ 10tg"
cos2a 1 + tg a l-tg2a
229

^u lOtgg 3 + 3tg2g=1|10(-2) 3 + 3(-2f _
l + tg2oc l-tg2a 1 + 4 1-4
= 1_^ + ll = 1_4 + 5 = 2.
5 3
Ответ: 2.
злее. ^ ^+a j-ts (т_04 если tE (т+2оТТГ
= tg^+[a+^]-tg^_[«3)]=tg[«+|)+tg(a-|)=
sin2a 2sin2a 2sin2a ... 2
^2tg2a = -
( k\ ( л\ я ,_„„,.->„ cos2a ctg2a
cos a+- cosJ a— cos- + cos2a Б
tgUp + 2a = tg(^+2aj=tgl3*+l^ + 2ajl=tgl^ + 2<x|
9
= -ctg2a = -,
2 2
ctg2a 9
11
22
Ответ: ~~г-
ctg2a =
22
9
9.
11'
3.167. Найти число ae ^">л , если известно, что tg2a = ——.
Решение.
2tga _ 12 2tga 12
l-tg2a 5' l-tg2a 5
= 0 =>
230

=>6tg2 a-5 tga-6 = 0 , откуда (tga), = — , что не подходит к решению
задачи, так как по условию угол принадлежит 2-й четверти и его
тангенс отрицателен, и (tgct^ = -— .
Отсюда, a = -arctg— + ти, neZ. Так как осе — ,к , то
t 2
a = -arctg — + 7C.
2
Ответ: я-arctg—.
3.168. Доказать, что если А и В — острые углы некоторого
прямоугольного треугольника, то sin2i4 + sin2£ = 4sini4sin£.
Решение.
sm2A + sm2B = AsmAsmB =>
=> 2 sin A cos A + 2 sin В cos В - 4 sin A sin В.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° •
Отсюда А + В = 90', В = 90'-А, и
2sinAcQsA + 2smlpO° -A^oslpO0 -^)=4sin^sin^0° - л) =>
=^ 2 sin Л cos Л + 2 cos A sin Л = 4 sin Л cos Л,
4sin^cos^ = 4 sin ЛсовД
что и требовалось доказать.
3.169. Найти число р — < р < я , если известно, что tg(a + р) = — и
tga = -4 .
Решение.
BV v' l-tgatgp 19
-4 + tgJ} 9
Так как tga = -4 , то 1 + 4tgp_19'
231

P = -arctg5 + 7m,ne 2 . С учетом того, что Ре v71 , получим
j} = 7t-arctg5.
Ответ: P = ;i-arctg5.
4 4 1
3.170. Найти sin a+cos а если известно, что sina-cosa = - .
2
Решение.
sin4 a + cos4a = (sin2 a + cos2a/ -2sin2acos2a = l-2sin2acos2a.
Возведя обе части равенства sina-cosa = — в квадрат, получим
, , 1
sin a-2sinacosa+cos a-— .
4 '
откуда
3.2 2 9
sinacosa=—, sin acos a =—.
8 64
Подставив зто значение sin2 acos2 a в исходное равенство,
получим
■ ,, 4 ,,9.9 32-9 23
sin a+cos a = l-2— = 1 = = —.
64 32 32 32
23
Ответ: — ■
3.171. Дано: ctga = -,ctgP = -,0<a<~,0<p<|. Найти a+p\
Решение.
n 3 1 cosa cosB 25
ctga + ctgp = - + -, + —J- = —,
4 7 sina sinp 28
sin(icosa+cos(isina _25
sinasin(i 28
„ . 3 cosa 3 cos2a 9 l-sin2a 9
По условию ctga = -, —— = -, —5— = —, : = —, откуда
4 sina 4 sin2a 16 sin a 16
232

sin2ct = — и, так как ае\ °^J
4 , „ 1 cos2 В 1 l-sin2B l
since = -; ctgp = -,——!- = —, —^ =—
5 7'sin2B 49' sin2B 49'
sin B = — и.таккак Pe| ";— |,то
SinBs-p-s—r
V50 5V2 '
Подставляя полученные значения, получаем
sin(oc + e) 25 . , -ч Jl
, ч - -—, sin(ct+pl =— ,
•4 _7_ 28 v p' 2
5 5V2
откуда a + B = (-l)" — + ял,пе2;и учитывая ограничения на a, P , име-
ем a + |3 =—.
п Зл
Ответ: a + (J = —-.
4
3.172. Найти ctg2a, если известно, что sin|a-90°J=-— н
270" < а < 360" ■
Решение.
sin(a-90*)=--, -sin£o--a)=--, sm£o°-a)=-,
2 2 4
cosa =—, cos a=~,
3 9
, ■ 2 4 .2 5
1-sin a =—, sin a = —.
9 9
233

/5
С учетом того, что хе (270°; 360°), имеем sina= . Учитывая
найденные значения, получим
1 1
ctg2a= = —- =
tg2a 2_tga
l-tg2a
4 5
9 9 _ Ji
Ответ: —.
20
l-tg2a_
2tga
. sin" a
cos a
2 sin a
cosa
2 ■ 2
cos a-sin a
2 sina cos a
3.173. Доказать, что если an P удовлетворяют неравенствам
ялЛтг 7 „ 1 ллтг
0<а<~,0<р< — и cosa--;=, tgp = —, то а + 2р = —.
2 2 ,/50 3 4
Решение.
sina 2tgp
н l-tgatg2p ^smoi __2tgp_
cosa i _tg2p
_ sina(l-tg2_P) + 2tgPco_sa
cosa(l-tg2P)-2sinatg|3
Так как ae|0;~
7 2 49 , . ■> 49 . , 1 1
cosa = -=-, cos a =—, l-sin"a = —, sin"a =—, sina = —;=.
V50 50 50 50 ,/50
1 7 i
Учитывая значения sina = —^=, cosa = —1= и teB=-, имеем
4b0 V50 3
234

5ina(l-[g2P) + 2tgPcosa^ V50| 9 J 3 Viso _
cosa(l-tg2B)-2sinatgB If^lK] 1
V50\ 9 J 3 Vs?
Отсюда tg(a + 2B) = l,T.e. a + 2B=5 - (при 0<a< * и 0<В< п-), что
и требовалось доказать.
3.174. Найти tg2a, если нзаестно, что cos(a-90°) = 0,2 и
90° < ос < 180°.
Решение.
cos(a-90°) = cos(90°-a) = sina = 0,2,sin2 a = 0,04,
1 -cos2 a = 0,04, cos2 a = 0,96 = ~-4-,
25
(24 2,/б
cosa = -J—- =—— при ae(90°;180°).
2.4-^1 r
„ sin2a 2sinacosa 5 5 1 4V6
Далее, tg2a = =— -;-_ = :n—i = ■
cos2a cos2a-sin2a ?4 1_ 23
25 25
n 4^
Ответ: .
23
3.175. Доказать, что если а и В удовлетворяют неравенсгвам
0<a<-,0<8<5 и tga = 5,ctgB=-, тоа + Р = 3л.
Решение.
. 2 cosB 2 cos2В 4 l-sin2B 4 . ,„ 9
3 smB 3'sin2B 9 sjn2p 9 13
откуда при 0<B< - имеем
„3 , sina sin2a „_ 1-cos a „, -> 1
sinP = -j=; tga = 5; = 5; —;—= 25; =— = 25;cos"a = —.
i/13 cosa cos2 a cosza 26
235

Отсюда при 0 < а й — находим cos a = —f=. Тогда
2 ,/26
2 13
ctgB-tga = --5 = -y,
cosB sina _ cosacosB-sinasinB _ cos(a+B) _ 13
sin В cos a sin В cos a sin В cos a 3
Использовав найденные значения sinB=-f=r и cosa = —т=, имеем
Ju -J26
cos(a + B)_ 13 13-i2cos(a + B) 13
~3 i y> 3 _~' откуда
■Jl3 ,/26
cos(a + B)= ——, отсюда a +В = — ,что и требовалось доказать.
3.176.Дано: ctga = 4, ctgp = -, 0<a<|, 0<B<|.Найти a + B.
Решение.
. cosa . cos2 a ,, l-sin2a ,,
ctga = 4,- = 4,—=— = 16, 5 = 16,
sina sin a sin a
откуда sin a = —, отсюда при 0 < a < — имеем
17 2
1 , „ cosB 5 cos2 В 25 l-sin2B 25
sina = -==; ctgB = *- = -,—J- = —, r—K =—
Si sinP 3'sin2p 9 sin2B 9 '
откуда sin B = — , следовательно, при 0<В<- имеем sinB = -=.
34 2 V34
т . . 0 cosa cosB sinBcosa+sinacosB , 5 17
Тогда ctga + ctgp = + ^ = —" 1 = 4 + _ = —
sina sinB sinasinB 3 3
sin(a + B)_17
sinasinB 3
236

Использовав найденные значения sina = -f=^ и sin В=—;=, имеем
л/17 ,/34
sin(a+B) _17 17i/2sin(a + B)_17
J L."3' 3 " 3'
л/17 ч/34
т/2
откуда sin(a + B)= —.
Отсюда а + В = - для 0<а<~ и 0<В<-.
Ответ: а + р = —.
4
Зл
3.177. Вычислить (l + ctgaXl + ctgp),ecra a + B = —
Решение.
a + ctgaXl+ctgpb 1 + ^ 1 + 52Е -
cosp sina + cosa
sin a 1 sinp J sin a
sinp + cosp _ cosacosp + sinasinp + sinacosp + cosasinp
sinP sinasin|i
ч 2fcos(a-B)+^)
cos(a-p)+sin(a + p) { 2 I 2
-(cos(a-p)-cos(a + p)) cos(a-p)+ —
Ответ: 2.
3.178. Вычислить (l + tgaXl + tgP), если a + P = -.
Решение.
i, . Vi . a\ fi . sinaY, sinp") cosa+sina
(l + tgaXl + tgp)= 1 + 1 + —t U x
I cosal cospj cosa
237

cos ft + sin ft _ cos gcos ft + sin asin ft + sin acos ft + cos asin ft _
cosft cosacosft
2|cos(a-B)+^
cos(a-B)+sin(a + B) _ ( 2
2-(cos(a-p)+cos(a + p)) с08(а-в)+~
= 2.
— (cOs(a — ftWrnsfa + ftYl l~ a\
Ответ: 2.
3.179. Доказать, что если sina= , sinB = —— и a,B —острые
углы, то а + В = 60°.
Решение.
<Ял . г 21 , 2 21 2 28
sina= ,sin a=—,1-cos a =—,cos a=—;
7 49 49 49
так как aa — острьш угол, то cos a = J— = ;
. „ -Ш. . 2o 21 , 2o 21 2o 175
sinB = -—,sin B= —,1-cos В = ,cos B = ;
14 ^ 196 196 196
так как ВВ — острый угол, то cosB = I—— = ——. Тогда
V196 14
• I а\ ■ „ ■ а ^1 Sjl iJl -Jll Jl
sm(a + B]=smacosB+cosasinB = + = —.
^ ^ K 7 14 7 14 2
Следовательно, a + В = 60*, что и требовалось доказать.
sina+tga
3.180. Показать, что выражение неотрицательно в
области определения.
Решение.
sina+tga _ sina+tga _
tga
238

2H
2tg;
1 + tg"
2'6
2*3 1-tff ♦!♦„'«
i+.g2fli-.g2-:
!1
4tg^
1^?K
li^fli-^flfi-tffW
8tg.z
.-,^11..,,
Vs*?
l-.g2«l.+.g2
>0,
что и требовалось доказать.
3.181. Исключшъ а нз равенств х= tg"oc, j'=sin'i a
Решение.
«2,
9 Sill Ot у V 7
x=tgia=—-1~- = •-*=— и -scos a
cos" a cos a *
Отсюда
v+- = sin a+cos a, v + — =1, xy+ v- x, x- y-vy.
x ' x
Ответ: х — у = ху.
3.182. Доказать, что cos2-cos8<0.
Решение.
cos2-cos8 = -2sin5sin(-3) = 2sin5sin3.
Так как — < 5 < 2тс, то sin 5 < 0; 3 < тс, поэтому sin 3 > 0. Тогда
2sin5sin3< 0 и cos2 — cosS < 0, что и требовалось доказать.
239

3,183. Величины а, р\ у в указанном порядке составляют арифметиче-
sina-siny
cosY- cosa
п sina-siny _
кую прогрессию. Доказать, что = ctgp.
Решение.
Согласно свойству членов арифметической профессии
а,=а'-1+а4+!:, * = 2.3,...,я-1,
* 2
поэтому
a + Y
2
Тогда
sina-siny =, _L2..____2__ =ctg?_+J! = ctgp
cosy-cosa 2sill«+Ysjn«-T 2
2 2
что и требовалось доказать.
3.184. Дана дробь , =. Преобразовать нодко-
l + ^32cos415°-10-8^
ренное выражение к более простому виду, после чего дробь сократить.
Решение.
l + V32cos415°-10-8V3 l + V32(cos215°)2-10-8,/3
5 5
l+H1+cf °°] -">-*/э 1+;Ы,+^Т-,о-8Л
1+^2(2+,/з~)2-Ю-8,/3 1 + ^2(4 + 4,/3+3)-10-8,/з 1 + ^4
5(1-^4+^16) _5(1-У4+^/16)_1 эд,.у^
(l + V4)(l-V4+yi6) 1+4
Ответ: 1-V4 + V16.
240

3.185. Выразить tg4 a+ctg4 а через т, где m = tga+ctga.
Решение.
tg4 a+ctg4 a = ((tga+ctgaf - 2 tgactgaj" - 2 tg2 actg2 a =
= ((tga+ctgaf-2f-2 = ^7i2-2j-2 = m4-4mz + 4~2 =
= m4-4m2+2.
Ответ: т* -4m2 +2.

Решения к главе 4
ПРОГРЕССИИ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность, у
которой задан первый член ау а каждый следующий член, начиная со
второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом
d, называемым разностью прогрессии.
Если заданы первый член а{ и разность арифметической профессии
d, то /7-й член арифметической профессии вычисляется по формуле
a„Sfl,+rf(n-l), ■ (4-1)
Формула (4.1) называется формулой общего члена арифметической
прогрессии.
Свойства членов арифметической прогрессии
1. Каждый средний член арифметической профессии равен
полусумме равноотстоящих от него членов:
%=£i=rLaJ:±L, * = 2.3,...,/>-l. (4.2)
2. В конечной арифметической профессии суммы членов,
равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны сумме крайних членов:
«1 +а„ = а2 +а„_\ —. . = </; +u„_k+\ -... - 2аi + d{n~\). (4.3)
242

Сумма п первых членов арифметической прогрессии
Сумма п первых членов арифметической прогрессии равна
S^^ + a"-;, (4.4)
2
Учитывая (4.3), т.е что а{ +а„ -2а1 + </(/;~1), формулу (4.4) можно
■записать в виде
S„ = 2^"-i).„. (4.5)
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность, у
которой задан первый член b]t а каждый следующий член, начиная со второ-
го,равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное
для данной последовательности число q, называемое знаменателем
прогрессии.
Если заданы первый член bi и знаменатель геометрической
прогрессии <7,то п-н член геометрической профессии вычисляется по формуле
К=Ь\ЧП~1- (4.6)
Формула (4.6) называется формулой общего члена геометрической
прогрессии.
Свойства членов геометрической прогрессии
1. Квадрат каждого среднего члена геометрической прогрессии равен
произведению равноотстоящих от него членов, т.е.
6?=64-А+|.* = 2,3,...,п-1. (4.7)
2. В конечной геометрической прогессии произведения членов,
равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны произведению
крайних членов:
*i А = *2 А-. =Аз А-2 -■•■=** A-*+i-=*? ■?""'■ 0-8)
3. Произведение п первых членов геометрической прогрессии с по-
243

ложительными Членами равно корню квадратному из п-тл степени
произведения ее крайних членов:
P„=({k-b„)". (4-9)
В общем случае
Сумма п первых членов геометрической прогрессии
Сумма п первых членов геометрической прогрессии вычисляется по
формуле
S„=b-^-{q*\). (4.10)
\~q
Учитывая (4.6), т.е. что bn =bxqn~ , формулу (4.10) можно
представить в виде
*,,=« (4.11)
1-fif
Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии
Бесконечный числовой ряд, образованный из членов геометрической
прогрессии by + b2 + b3+ ... + bn +... , при \q\< 1 сходится, и его сумма S
равна
S =-^-. (4.12)
\~q
Формулу (4.12) называют также формулой суммы членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии. \
4.001.3а изготовление и установку самого нижнего железобетонного
кольца заплатили 2600 руб., а за каждое следующее заплатили на
200 руб. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы
было уплачено еще 4000 руб. Средняя стоимость изготовления и у станов-
244

4
ки одного кольца оказалась равной 2244 руб. Сколько колец было
установлено?
Решение.
Пусть аг = 2600 — первый член арифметической
прогрессии, d ~ -200— разность этой прогрессии, и — количество членов.
2.2б00+(„-1)(-200) п+4000
Тогдапо формуле (4.5) получаем - - — =2244-,
п 9
1 40
9п -41/7-360 = 0, откуда "i = 9;/;2 =--— (неподходит).
Ответ: п ~ 9.
4.002.Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии
равна 5/3, а произведение третьего и четвертого ее членов равно 65/72.
Найти сумму 17 первых членов этой профессии.
Решение.
Имеем -<
65
I 3 4 72
Используя формулу (4.1), находим
\а, +а, +4d = -, 2л, + 4d = -,
11 3 ' 3
L, + 2</)(л1 +3</) = — (л, + 2</)(д1 +3rf)=—-
Ui +2d=-, \al+2d = -,
6 6
<=> s <=> < , , '^
5 w St1-1
U=--2</. kl = 6-2-4-3.
U1 **</='.■
I 4 I 4
245

. 1 1 ,r
2- + —16 П9
По формуле (4.5) получаем Sl7 =—-— 17 = .
119
Ответ: ——■
4.003. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25
выстрелов стрелок получал штрафные очкн: за первый промах — одно
штрафное очко, а за каждый последующий — на 1/2 очка больше, чем
за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7
штрафных очков?
Решение.
Пусть а{ =1 —первый член арифметической прогрессии, d = -z —
ее разность, Sn=7 — сумма п членов этой прогрессии, где п —
количество членов. По формуле (4.5) имеем
*-.п = 7 п2 +Зп-28 = 0,
2
откуда п{ = -7 (не подходит); пг =4 . Отсюда: стрелок попал в цель 21
раз.
Ответ: 21 раз.
4.004. Найтн три первых члена д}, д2, д3 арифметической
прогрессии, если известно, что д} + д3 + д5 =-12 н а{а3а5 = 80.
Решение.
[а{ +д3 +д5 =-12,
Из условия имеем <
[д, -а3-а5 =80.
Используя формулу (4.1), получим
(а{ + а{ +2d+al+4d = -\2,
|д,(д1+2*/Х«1+4^)=80 **
Jflt + 2d = -4,
^\ai{al+2dXai+2d+2d)=80^
246

U =-4-2d, U =-4-2d,
[щ ■ (-4Х-4 + 2d) = 80 ** [щУ -2)= -10 '
U =-4-2d, U=-4-2d,
|(-4-2dXd-2)=-10**{^=9
U =-4-2d,
|d = ±3.
fa =-4-2d, U=-4-2d,
т,е.
U=2, /a, =-10,
V = -3mHV=3.
Тогда
Я[ = 2,я2 = 2-3 = -1,я3 =2-6 = -4;
или
я1" = -10,я2" = -10 + 3 = -7,яз =-10+6 = -4.
Ответ: 1) 2, -1, -4; 2) -10, -7, -4.
4.005. Найтн чнсло членов арифметической прогресснн, у которой
сумма всех членов равна 112, произведение второго члена на разность
прогресснн равно 30, а сумма третьего и пятого членов равна 32.
Написать трн первых члена этой прогресснн.
Решение.
f(n+d)d = 30.
Из условия имеем \, „ л / . л ~~ S„=112=*
' [(ei + 2d)+(e, + 4d)=32 "
=>я,=16-3^, (16-2^ = 30, 2d2-16d + 30 = 0
или
d2-8d + 15 = 0=>
fa"=3, f/ = 5
=> J , или \ »
[щ =7 (Щ =1
Для каждого из решений воспользуемся формулой (4.5).
247

1) При а{ = 7, d''=3 получим
112 = 14+3fc-l) 3*2+Ш-224=0
2
32
откуда щ=1, п2= (не подходит). В этом случае имеем
а\ = 7, д2 = 10,д3 =13-
2) При а" = \ Г = 5 имеем П2 = 2 + 5^~%, 5и2-Зи-224 = 0,
откуда п = 7, п = -6,4 (не подходит). В этом случае трн члена таковы:
а{ = 1, аг — 6, д3 =11.
Ответ:!; 1)7, 10,13; 2) 1,6, 11.
4.006. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м,
а каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем
в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700 м?
Решение.
Пусть я, =800 — первый член арифметической прогрессии,
d = -25 — разность, Sn = 5700 — сумма п членов этой прогрессии.
Используя формулу (4.5), получим
1600-0,-1)25^ „2_65„+456 = 0,
2
отсюда п{ =8 , п2 =57 (неподходит).
Ответ: 3d 8 часов.
4.007. Прн делении девятого члена арифметической прогрессии на
второй член в частном получается 5, а прн делении тринадцатого члена
на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый
член и разность прогрессии.
Решение.
„ f«9=5«2,
Из условия имеем <
[й13»2а6+5.
Используя формулу (4.1), получим
U+Sd = 5{a{+d} J4ai=3d,
Ц + 12^ = 2(й1 + 5^)+5<=>Ц = 2^-5,<=>
248

|4(2d-5) = 3d, Id = 4,
ja,=2</-5 l«i = 3.
Ответ: 3; 4.
4.008. Найти четыре числа, образующих геометрическую
прогрессию, у которой сумма краиннх членов равна -49, а сумма средних
членов равна 14.
Решение.
ГА,+А4=-49,
Из условия имеем <,
[b2+b3 =14.
Используя формулу (4.6), получим
JA, + V3 = "49, Ja,(i + ?')= "49,
[а,? + А,?2=14 }а,?(1+?)=14
о|*|(1 + ^-? + ?2)=-49,
Ц(1 + ?) = 14.
Разделив первое уравнение системы на второе, получим
Йф^) = Д 5^£±i + «»=0, 14?2+35? + 14 = 0;
V(l + ?) 14 ? 14
2?2+5? + 2 = 0 т.е. q' = -2, ?*=--, At =7, 6, =-56.
Тогда получим:
1) А,' = 7, А2' = -14, А3' = 28, А4' = -56 ;
2) А," = -56, А," =28, А," = -14, А4" = 7-
Ответ: 1) 7,-14, 28, -56; 2) -56, 28, -14. 7.
4.009. Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем \q\ < 1, сумма которой равна 8/5, второй член равен-1/2.
Решение.
' А, _8
Используя форму лы S = - н А„ =b[qr,~[, получим < =>
\Ь\Ч = --

=>*, = ——-, 1-6»2-16»-5 = 0,откуданайдем ?| =--, ?2=т>1(не
. ,, f П( Щ
подходит). Тогда °з = °\Ч -\ J ' 4
1
Ответ: -■
о
4.010. Найти три первых члена бесконечной геометрической
прогрессии со знаменателем |я| < 1, сумма которой равна 6, а сумма пяти
первых членов равна 93/16.
Решение.
Используя формулы S = —— и (4.11), получим
1-я
~- = 6. [*|=б0-»1 f*i-6(l-,i
*^_„Ч«ыЫ=»Нв_1 ~
1-я 16 I 2
1-я 16 1
|i,=6| 1—1=3,
__1_
' 2
Тогда ij=3-- = -, i,=3-- = -.
Ответ; 3,—,—.
2 4
4Ю11. Сумма трехчисел, образующих арифметическую прогрессию,
равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна 14/9. Найти этн числа.
Решение.
{щ+ аг+а2 = 2,
? 5 ? 14
я,2+я2-+я32=у.
250

Используя формулу (4.1), получим
\al+ai+d + aK+2d = 2i
]a^(a1 + df + (ai + 2df^
3
4+Ul+d\^
**"j 3 Отсюда имеем; 1) j , 1 2)-j
1за?-4й1+1=о. [d=-j; [d*=l.
Тогда
^ / 2 ' 1 " 1 " 2 "
2 1 12
Ответ: 1) 1,~>-;2) т.т,1.
4.012. Сумма третьего и девятого членов арифметической
прогрессии равна 8. Найти сумму 11 первых членов этой прогрессии.
Решение.
Из условия имеем а3 + (Ц=^. По формуле (4.1) получаем
al+2d+al+Sd=S, 2al+\0d = &, а по формуле (4.5), находим
2А±ШП=4
11 2
Ответ: 44.
4.013. Сумма трех первых членов возрастающей арифметической
прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии
отнять по 1, а к третьему члену прибавить 1, то полученные трн чнсла
составят геометрическую прогрессию. Найтн сумму 10 первых членов
арифметической прогрессии.
Решение.
Из условия имеем: а{-\, a{ + d-l, a{+2d + l —трн
последовательных члена геометрической прогрессии. По формуле (4.5) находим
53 =—1 3 = 15 нлн a{ + d^5. По формуле (4.7) получаем
(a{+d-\f ={al-\Xal + 2d + l). Подставляя в это уравнение значение
251

я, = 5-d, получим l6 = (4-d)(6-hd), d2 +2^-8 = 0. Отсюда о1, =-4,
d2 =2 . Тогда Я[ =9, я2 = 5> яз = '; я1 = 3> аг = 5> яз =7-
Учитывая, что по условню щ < я2 < я3, получнм flt = 3, J = 2. Тогда
510-12±21.,0-120.
Ответ: 120.
4.014. Известно, что прн любом п сумма Sn членов некоторой
арифметической прогрессин выражается формулой Sn - 4п2 - Ъп . Найтн трн
первых члена этой прогрессии.
Решение.
Пусть л=2 и л=3. По формуле (4.4), находим
L.a±a.2 = 4-(2)!-3-2 = 10,
L3=-Sl^.3=4(3)2-3.3 = 18
I 2 '
или по формуле (4.1) получаем
al + al+d=W, (2al + d = 10, ГЯ1 = 1,
я1 + я1 + 2о' = 18<=>{я1 + а' = 9 **]d = 8.
Тогда я2 =я1 + о' = 9, я3 =Я[+2^ = 17.
Ответ: 1,9, 17.
4.015. Вычислить
(l + З2 + 52 +... + (2n-l)2 +... + 1992)-(г2 +42 +62 + (2n)2 +... + 2002).
Решение.
Из условия имеем
l + 32 + 52 + ... + (2n-l)2+... + 1992-22-42-62-(2nj2-...-2002 =
= (1-2)2+(з2-42)+(52-62)+... + ((2л-1)2-(2п)2)+... + ^992-2002)=
= (l-2Xl+2)+(3-4X3 + 4)+(5-6X5 + 6)+... + (2n-l-2nX2«-l + 2n)+
+ ... + (199-200Х199 + 200)=-3-7-11-...-(4п-1)-...-399.
Отсюда Я! = -3, d = -4, ял=-399. Используя формулы (4.4) и
п = -— + 1, получнм
d
252

-т,-299 f-399 + 3 }
Sn=—~\-~^+l =-20100.
Ответ: -20100.
4.016. Найти четыре числа, образующих геометрическую
прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше
четвертого на 560.
Решение.
[6,-^2=35,
Из условия имеем <
|А,-64=560.
По формуле (4.6) получаем
1^-6,-7 = 35, Гб,(1-<7) = 35, 1-з = 35^
}%2-%3=560 }%2(1-^) = 560 q2(l-q) 560
=> q2 = 16,q{ =-4,q2= 4. Подставляя q{ = -4,получнм
b\ =7,t>2 =-28,6з = П2,64 =-448. Подставляя q2 =4, получим
h"--— h"=-— /ь" = --60 b" = -21—
1 " 3 ' 2 3 '^ 3~~' 4 ~~3 '
ло ... ,,o .ч 35 140 560 2240
Ответ: 1) 7, -28, 112, -448; 2) - --,——,——, —.
4.017. Найтн четыре числа, образующих геометрическую
прогрессию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше
четвертого на 18.
Решение.
Гб3-6,=9,
Из условия имеем <
\р2 ~^4 = 18.
По формуле (4.6) получаем
|б,^-/>,=9, \bx{q1-\) = 9i ?2_| _9_
[b]q-blql=\S [-blq(q2-\) = lS ~q{q2 -1) *8
9 9
=> q - -2. Подставляя q = -2, получаем Ь\ = ——- = —- = 3. Тогда
^=-6,63=12,64 =-24.
Ответ: 3, -6, 12, -24.
253

4.018. Знаменатель геометрической прогрессии равен 1/3, четвертый
член этой прогресснн равен 1/54, а сумма всех ее членов равна 121/162.
Найти число членов прогрессии.
Решение.
Из условия имеем
*4 =
_1_
54'
162'
По формулам (4.6) н (4.11) получаем
i4 =*,,'= Jit *L = ±, il=I;
4 "14 "1 з • 27 54 ' 2
' 1-я
n
1-1
3
m
: 162"
243^"-l)= 242-3" =
=> 3"=243, л = 5.
Ответ: n — S.
4.019. Наитн первый член н знаменатель геометрической
прогресснн, если известно, что b4 -b2 =-45/32 и Ь6-Ь4 =-45/512 .
Решение.
-*4-*2=-
Из условия имеем \
\Ьь-Ьа =-
45
32'
45
512'
Используя формулу (4.6), получим
V3'6!?'
45
"32'
<
45
512
L(?2-l)=
L^-d—
45
32'
45_"
512
-l) 512
ГН 32 "
254

? 1 1 1
^ ^ ~Тл' ^' = ~7' ^2 =7 ' П°ДставляяэтиЗНачения ?i H Чг ънайдем
b] = -6 и Ь] = 6 ■
Ответ: 1) -6,--;2) 6,- .
4 4
4.020. Найти первый и пятый члены геометрической прогрессии, если
известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов
равна 1820.
Решение.
Из условия имеем q = 3, S6 = 1820 .
По формуле (4.11) получаем -^—'—* = 1820, 6] = 5.
Используя формулу (4.6), найдем Ь5 = 6]#4 = 5 ■ (з)4 = 405.
Ответ: 5, 405.
4.021. Арифметическая прогрессия обладает следующим свойством:
прн любом п сумма ее я первых членов равна 5«2 . Найтн разность этой
прогрессии и три первых ее члена.
Решение.
Пусть п = 2 н/! = 3-По формуле (4.5) находим
\2al + d 2
2 'Z-D'z> Ы+(1=20, \d = l0,
2а{ + 2d . 2 \a]+d=l5 Ui=5.
Тогда а2 =15, аъ =25 .
Ответ: 10; 5, 15,25.
4.022. Произведение трех первых членов геометрической
прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель
этой прогрессии.
Решение.
rVVA3=l728,
Из условия имеем \, , , ,.
[О] +&2 +£>з ="3.
Используя формулу (4.6), получим
255

J6,&,?V = 1728, о|У=1728, „1^ = 12-
\bl+b1q + blq2=63 [6, + 6,? + (V)?=63 [6,+12 + 12? = 63
f&»=12, ,
[й,+12? = 51.
f = 4 нлн ? = —.
Отсюда получаем < или < 4
|й'=3 [*i =48.
Ответ: 1) 3, 4; 2) 48, - .
4.023. Решнть уравнения:
а)2д: + 1 + д:2-х3+.г4-.г5+... = 13/6, где |*| <1;
1 2 я 7 | ,
6)— + х + х +... + Х +... = -, гдеЫ<1.
х 2 ' !
Решение.
а) 2х + 1 + (х2-хг + х4-х5 +...)= — .
6
По формуле S = —^— получаем
1-я
2х + 1 + -^ = ]— =>18д:2+5л:-7=0 =>*1=-. *2=-х;
1+х 6 2 9
6) — + [х + х2 + ... + х" + ...)= —.
х '2
По формуле (4.12) получаем
! + — = !, 9x2-9* + 2 = 0 => *, = -, х, =-.
х 1-х 2 • 3 3
1 7 12
Ответ.а) *1=;р *2 = -^:б) *i = j' *2 =j.
256

4.024. Первый член арифметической прогрессии равен 429, разность
ее равна -22. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их
сумма была равна 3069?
Решение.
Из условия имеем ах = 429, d - -22, Sn = 3069.
По формуле (4.5) получаем
2-429-22б-1).л = 3()69> (429-11(„-1)>, = 3069,
„2-40н +279 = 0 => л, =9, л, =31.
Ответ: 9нли31.
4.025. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем \q\ < 1 равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии
равна 153,6. Найти четвертый член н знаменатель прогрессии.
Решение.
[61+62+6, + ... = 16,
Из условия имеем \ . . ,
[612+622+63+... = 153,6,
По формуле (4.6) получаем
ibl+blq + blq2+... = 16, |б,^ + ? + ?2+...)=16,
[б2+6,У+61У+... = 153,6 ** \b2^ + q2 + q4+..)=\53,6.
По формуле (4.12) получаем
6,—= 16,
Ь2—Ц- = 153,6
1-Я
=>& = l6(l-q) => {l6(l-q)J =- = 153,6, откуда » = -. Тогда
1-^г 4
*! =1611-— =12. По формуле (4.6) получаем Ь4 =l\q3 =12 = — .
3 1
Ответ: —, -■
16 4
9 М. И. Сканави, группа А 257

4.026. Найти натуральные числа, образующие арифметическую
прогрессию, если произведение трех н четырех первых ее членов равны
соответственно 6 и 24 .
Решение.
Га,(a, -hci)(a2 +d) = 6t
Из условия имеем { =>
[а^сц +(/)(а, +2(/)(а, + 3д,) = 24
=> '-±-1 ^ =— => a, + 3</ =4,а, я4-3«Л
a|(tti+rf)(a2 + rf)(fli+3(/) 24
Получаем уравнение
3</3-22</2+48</ -29 = 0 <=>3</3-3</2-Ш2+ 19</ + 29д' -29 = 0 <=>
<=>(д,-1)(3д''!-19д, + 29) = 0=>д,| =1,^3 = ' ± (не подходят).
6
d =1 => a, =1, a2 =2, «а=3, а4 = 4.
Ответ: 1,2,3,4,...
4.027. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии
равна 6, их произведение равно 135/16. Найти сумму 15 первых членов
этой профессии.
Решение.
Из условия имеем
а3 + а9 = 6,
135
«з-9=Тб-
По формуле (4.1) получаем
fa,+2d+a,+8rf = 6, ffl|+5rf = 3,
1 135 =>i 135
(«1+2</)(o1+8(/)=-7 (a,+2rfXfl|+&') = --
I 16 I 16
=> a, = 3-5d =>(3-5<( + 2d)(3-fW + 8(0 = —-,
16
16 ' 4 2 4
_ ' 17 " 7
1огда «] = - и д, =
258

По формуле (4.5) получаем
/ 14 „ - + --14
с -Х_4 15 = 37,5 илн5и = •*—4 15 = 52,5.
15 2 '5 2
Ответ: 37,5 нлн 52,5.
4.028. Найтн число членов конечной геометрической прогрессии, у
которого первый, второй н последний члены соответственно равны 3,
12 н 3072.
Решение.
Из условия имеем 6] -Ъ,Ьг -\2,...,Ьп =3072 .
По формуле (4.6) получаем
[*, =3, fi, =3,
<£,<7 = 12, «-117 = 4, =>4"-1 =45 «л-1=5=> л = 6.
(А,?"-1 =3072 [4"-' =1024
Ответ: 6.
4.029. Найти сумму всех положительных четных двузначныхчисел,
делящихся на 3 нацело.
Решение.
Из условия имеем а{ =12, ап =96, я* =12 .
По формулам (4.4) и (4.5) получаем
я.-я, , 96-12 , ,, _ 12+96 ,, ...
п = — L+l; /1 = +1 = 15, S„= 15 = 810.
d 6 "2
Ответ: 810.
4.030. Найтн знаменатель q бесконечной геометрической
прогрессии щ < \), у которой каждый член в четыре раза больше суммы всех ее
последующих членов.
Решение.
Из условия имеем b] =4(S,-A]).
По формуле (4.12) получаем
, / А, . 1 . 4А,(1-1 + я) 1
6,^3.-6, j 61=^тгг^,1-,=4,,, = 1.
1
Ответ: —■
259

4.031. Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого
многоугольника, наименьший угол которого равен 120°, образуют
арифметическую профессию с разностью в 5°. Определить число сторон
многоугольника.
Решение.
Из условия имеем щ =120°, d = 5°. Используя формулы суммы
членов арифметической прогрессии (4.5) и суммы внутренних упюв
«-угольника Sn =180°(л-2), нолучнм
2
=> }ц = 9,л2 = 16 (не подходит, так как в этом случае
=> а 1 {, = 120°+5° ■ 15 = 195°, а внутренний угол выпуклого л-угольннка
всегда меньше 180° ).
Ответ: 9.
4.032. Произведение третьего и шестого членов арифметической
профессии равно 406. При делении девятого члена профессии на ее
четвертый член в частном получается 2. а в остатке 6. Найти первый член и
разность прогрессии.
Решение.
[ау аь= 406,
[я9 = 2я4+6.
И-j условия нмеем < По формуле (4Л) получаем
la, =2- '
|(а,+ 2dXa| +5*0=406,
Ц+8</=Да,+3d) + 6. ^
=>а,=2^-6н 14о'2-33д'-185 = 0,
откуда найдем
37 ' ( Ъ1 \ 79
а", =- -,d7 =5. Тогда а, =2 -6= (не подходит) нли
14 { U) 1
а" = 1 5-6 = 4.
Ответ Л н 5.
260

4.033. В бесконечной геометрической прогрессии с положительными
членами н со знаменателем Ы < 1 сумма трех первых членов равна 10,5, а
сумма прогрессии 12. Найти профессию.
Решение.
По формулам (4.6) н (4.12) получаем:
J/j,+%+%2 = 10,5, j/J,(l + </ + 42) = iO,5,
[6, =12(1-?) ^,=12(1-9).
Отсюда 12(l-tf)(l + tf + tf2) = 10,5, 12(1 -</) = 10,5, ^ = 0,5.
Тогда 6, =12(1-0,5) = 6, Ь2=Ъ, Ьъ = -.
Ответ: 6,3 — ....
2
4.034. Найти три первых члена арифметической профессии, у
которой сумма любого числа членов равна утроенному квадрату этого числа.
Решение.
Пусть л =2 и л =3. Изусяовияимеем
\а{+а2=3-22,
[д, + а2 +йз =3-3 .
По формуле (4.1) получаем
Гй,+й, +(/ = 12, j2o, + ^=12, \d-d,
\a[+a[+d+a[+2d=2'7 \a{+d = 9 Ц =3.
Тогда а2 =9,а^=15.
Ответ: 3,9, 15.
4.035. При делении тринадцатого члена арифметической профессии
на третий член в частном получается 3, а при делении восемнадцатого
члена на седьмой член в частном получается 2 и в осгатке 8. Определить
разность н первый член прогрессии.
Решение.
Из условия имеем
Гй1з=3</3,
Цх=2я7+8
261

Используя формулу (4.1), получнм
U+l2d = 3{al+2d\ U=3d, U = 12,
{д, + \ld = 2(ц + 6d)+ 8 ^ {о, = 5d -8 ^ [Л = 4,
Ответ; 4, 12.

Решения к главе 6
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Для любых a, b н с верны равенства:
(a + bf =a2+2ab + b2; (6.1)
(a-bf =a2-2ab + b2; (6.2)
a2-b2=(a-b\a + b); (6.3)
(a + bf =a>+3a2b + 3ab2+b}; (6,4)
(a-bf=a'-3a2b + 3ab2-b}; (6.5)
a'+b^ia + bi^-ab + b2); (6.6)
a'-b'^ia-b^+ab + b2); (6.7)
ax2 +Ьх + с = а(х-х1Хх-х2),где jbi2 —корннуравнения
ax2 + bx + с = 0 • (6-8)
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ
НЕИЗВЕСТНЫМ
Уравнением с одним неизвестным называется равенство
fi(xhSl(x\ (6-9)
где fi(x) н g{{x) — некоторые заданные функции переменной х над
числовым множеством М.
Решением (корнем) уравнения (6,9) с одним неизвестным называет-
к.г такое численное значение неизвестного, взятое нз множества чисел,
263

указанных в условии уравнения, которое обращает данное уравнение в
тождество (верное равенство).
Решить уравнение — это значит найти множество всех его решений
или показать, что решений нет.
Областью допустимых значений неизвестного (ОДЗ) уравнения
(6.9), называется множество всех значений, взятых из числового
множества, над которым задано уравнение, при которых существуют обе фун-
кцни(частиуравнения) /{{х) и gi(x).
Пусть в результате преобразования уравнения (6,9) получено уравнение
f2(x) = gM (6.10)
Если все решения уравнения (6.9) являются решениями уравнения
(6.10), то уравнение (6.10) называется следствием уравнения (6.9).
Два уравнения (6.9) и (6.10) с одним и тем же неизвестным
называются равносильными (эквивалентными), если уравнение (6.10) является
следствием уравнения (6.9) и, наоборот, уравнение (6.9) является
следствием уравнения (6.10) или если оба уравнения решений не имеют.
При преобразованиях уравнения область его допустимых значений
может изменяться, полученное уравнение в общем случае
неравносильно данному. Если при некоторых преобразованиях ОДЗ уравнения
расширяется, то полученное уравнение может иметь корни, посторонние
для данного уравнения.
Если обе части данного уравнения возвести в одну и ту же степень, то
все его корни будут корнями полученного уравнения, т.е. полученное
уравнение всегда будет следствием данного, обратное утверждение не
всегда имеет место.
Всякое целое рациональное алгебраическое уравнение п-й степени с
одним неизвестным может быть записано в виде
апхп + а!1_[хп~1 +... + Д|А+д0 -0 (д„ * 0\ (6.11)
где ani ап_{,..., aQ —заданные числа (коэффициенты уравнения), х —
неизвестное, п — натуральное число.
Коэффициенты ап и д0 называются соответственно старшим
коэффициентом и свободным членом уравнения (6.11).
Уравнение первой степени с одним неизвестным
Целое рациональное алгебраическое уравнение первой степени
называют просто уравнением первой степени.
264

Любое уравнение первой степени с одним неизвестным может быть
приведено к каноническому виду
ах + Ь=0 (я*0) (6.12)
Уравнение (6.12) является частным случаем уравнения (6.11), если в
последнем положить и ~ 1, а{ -1 и а0 = Ь .
Уравнение ах + b ~ О (а ф 0) в множестве действительных чисел
всегда имеет решение, и притом только одно:
Ь
х - —.
а
Уравнение второй степени с одним неизвестным
Целое рациональное алгебраическое уравнение второй степени
называется уравнением второй степени, или квадратным уравнением.
Всякое квадратное уравнение с одним неизвестным можно привести
к каноническому виду
ах2 + bx + c=0 (а*0) (6.13)
Уравнение (6.13) является частным случаем уравнения (6.11), если в
последнем положить п ~ 2 > а2 ~ а , щ ~ b и д0 = с .
Квадратное уравнение (6.13), записанное в канонической форме,
называется неполным, если хотя бы один из его коэффициентов, кроме
старшего я, равен пулю.
Если все коэффициенты квадратного уравнения, записанного в
каноническом виде, отличны от нуля, то оно называется полным.
Полное квадратное уравнение, старший коэффициент которого
равен 1 (а = 1), называется приведенным квадратным уравнением; оно
имеет вид
Х2 +pX + q-0. (6.14)
Формулы корней полного квадратного уравнения
Если D-b2 -4дс>0 (днскр(шшшнтуравнения),тоуравнение(6.13)
в множестве действительных чисел имеет два и только два
действительных корня, которые определяются по формулам
265

-4b2-Лас „ _-b + 4b2-4ac (Ы5)
1 2a 2a
Если b2 -4ac> 0, то ^ * x2, а если £2 ~4ac - 0, то х1 = х2. Если
/j2 -4дс < 0, то уравнение (6,13) действительных решений не имеет.
В частном случае, когда b — четное число, т.е. b = 2к , уравнение
(6.13) принимает вид дх2 + 2&д: + с = 0 ,аформулы(6.15)
преобразуются в следующую:
-к±4к2-ас ,, .,.
х = . (6.16)
а
Если уравнение приведенное, т.е. имеет вид х2 + рх + д = 0, то для
определения его корней получим
Я
«_£ + .(£ я (6.17)
Разложение квадратного трехчлена на множители
Выражение ах2+Ьх + с при д*0 называется квадратным
трехчлен ом.
Выражение D — b —Лас называется дискриминантом квадратного
трехчлена.
Если D ^ 0, то квадратный трехчлен разлагается на множители с
действительными коэффициентами:
ах2 + Ьх + с~а(х- Х\ \х-х2\ (6.18)
где хх и х2 — корни квадратного трехчлена, определяемые по формулам
нахождения корней полного квадратного уравнения.
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называется целое рациональное
алгебраическое уравнение четвертой степени, которое может быть приведено
к канон ическому виду
266

ax4+bx2+c^Q (a*0). (6.19)
Заменив л;2 на*,получим at + bt + с = 0, из которого находим
-/j-Vb2-4ac _-/) + л/б2-4ас
, /2 _ -
2а ' 2я
Если (, >0 и (2>° (я>0,с>0,й2-4яс>0,6<0 или
я < 0, с < 0, i2 - 4яс > О, b > О), то биквадратное уравнение имеет четыре
действительных корня
, Ub-4b2-*ac , bi + Vft2^
:=±1Г^ '^=±ll 27"
4яс
Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения
Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения и имеющие
вид
(6.20)
(6.21)
решаются с помощью подстановки
Ш ,
Тогда , / \ ~ и относительно (получается уравнение
j\\x) *
at + b--~c или at2 ~ct + b = 0 (f*0).
Теорема Виета
Корни уравнения «„х" + fl^x"*1 +... + fl[X + e0 = 0 (д„ * 0) сего
коэффициентами связаны следующими соотношениями;
267

. дл-2
X] +Х2 +... + Х„ ,
ап
Х\%2ХЪ + Х]Х2Х$ + ■-. + Хп—2хп-\Хп ~ ~
Х1Х2Х3-■■хп-\хп ~ \~Ч '
Например, для уравнений четвертой степени ах4 -t-bx3 +■ сх2 +■ dx + e = О
(й ф О) теорема Виета имеет вид
Ь
хх +х2 +х3 +х4 - —,
а
с
Х\Х2 +Х^Х$ + Х\Х4 +Х2Х3 + Х2Х4 +Х3Х4 ~ ~~>
а
d
Х]Х2Х$ + Х]Х2Х4 -Ь-ХуХъХ4 ~г Х2Х?Х4 — ,
а
__ е
Х\Х2Х^Х4 — — 5
а
для кубического уравнения ах3 + Ьх2 + сх + d - О (а Ф 0):
Х\ +Х2 +Х3 =
Х]Х2 +Х]Х$ +^2^3 ;
Х\Х2Х^ — ',
а
для квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0 (я * 0):
268

' b
a
i „ c
lxlx2 - ~-
Иррациональные уравнения
Иррациоштьиымуравтншм называется алгебраическое уравнение, если
хотя бы один из членов которого иррационален относительно неизвестного,
т.е. это есть уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала.
Общий метод решения иррациональных уравнений заключается в
следующем; сначала изолируется один радикал, затем обе части
уравнения возводят в степень, потом снова изолируют радикал и т.д. При
возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень получается
уравнение, в общем случае неравносильное данному; поэтому проверка
найденных значений неизвестного по условию исходного уравнения
обязательна, т.е. является составной частью решения.
Если обе части уравнения f\{x)~ fi\x) возвести в четную степень п,
то корнями полученного уравнения (/](*))" =(/2 (я))" будут все корни
исходного уравнения /\(х)~ /2(х) иуравнения f\(x)--f2(x).
При переходе от уравнения /iM-AM к уравнению
(/j(x))n =(/"2(х))п потери корней не произойдет, но могут появиться
посторонние корни, а именно: корни сопряженного с исходным уравнения
Если обе части уравнения f\{x)~ fi{x) возвести в нечетную степень
к, то получим уравнение (/j (*))* = (f2 (x)f, равносильное исходному в
множестве действительных чисел.
Прн возведении в нечетную степень обеих частей уравнения,
рассматриваемого в множестве действительных чисел, посторонние корни
не появляются.
Приступая к решению иррационального уравнения, целесообразно
предварительно определить ОДЗ, так как может оказаться, что это
уравнение не определено в области действительных чисел.
269

При решении иррациональных уравнений следует иметь в виду, что
не принадлежащие к ОДЗ значения неизвестного всегда посторонние
для решаемого уравнения; их можно отбросить без проверки по
условию. Найденные значения неизвестного из области допустимых
обязательно следует проверить по условию уравнения, так как они также
могут оказаться посторонними.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Системой п уравнений с т неизвестными называется п уравнений, в
каждом из которых неизвестные, обозначенные одной и той же буквой,
означают одну и ту же неизвестную величину.
Решением системы п уравнений с т неизвестными называется
всякая упорядоченная совокупность из т таких чисел, которые, будучи
подставлены в систему вместо неизвестных, обращают каждое
уравнение системы в тождество.
Решить систему уравнений — значит найти множество всех ее
решений или показать, что она решений не имеет.
Если система не имеет решений, то ее называют несовместной или
противоречивой, в противном случае — совместной.
\а{х+Ьху = си
Система < может либо иметь единственное решение,
[c^x + bjy = c2
либо иметь бесконечно много решений, либо не иметь решений. При
графическом способе решения каждому уравнению данной системы
ставится в соответствие некоторая прямая на плоскости ХО Y; таким
образом, данной системе на плоскости соответствует пара прямых. Две
прямые на плоскости могут либо пересекаться в одной точке, либо
совпадать, либо не иметь общих точек.
Прн пересечении прямых данная система имеет единственное
решение; при совпадении прямых данная система имеет бесконечно много
решений; если прямые не имеют ни одной общей точки, то данная
система решений не имеет.
Решить уравнения (6.001 — 6.066):
х2 +1 х2 -1
6.001. 2-L1-X. i=23.
х-4 х+3
270

Решение.
ОДЗ: х * -3, х * 4.
л:2+1 х2-1 ,,, 16х2-25л:-275 .
= 23 <=> —, о г— = 0 =>
х-4 х + 3 (х-4\х+3)
=>16a:2-25x-275 = 0=>x, =- —, х, = 5.
1 16 2
55
Ответ: Х\ ~~—, х2 -5.
16
6.002. -*- + _2_о2.
х -я л: -о
Решение.
ОДЗ: х*я, х*Ь,
л: - д л: - 6 (х-дДд:-/))
=>2х2 -3(a + b)x + (a + bf = 0=>Х! = ——, хг -а + Ь.
а + b ,
Ответ: х, = —г—, хг=а + Ь.
х + х - 5 Зх , п
6.003. +-j - + 4 = 0.
х х +х-5
Решение.
от-.х*о,х*=^-.
„ х +х-5 . 1 . Л л
Пусть = z , тогда z + - + 4 = и =>
>z +4z + 3 = 0, => Z[ =-3, z2 =-1.
Чтобы найти л:, решим два уравнения:
х2+х-5 , л:2+л:-5 ,
= -3 или = -1.
271

Решая каждое из них, находим:
Ху ~~5, х2 =1, х3 =-l-V6, xA --1 + V6.
Ответ: х{ ~~5, х2 =1, *з.4 = -l±v6,
4 50
6.004. х -—^—--14.
2л: -7
Решение.
4
ОДЗ; х Ф
v ^
4 z+2 50 ,,
Пусть 2л: -7 = z,тогда — =14 =>
2 z
=>z2 -21z-100 = 0<=>z, =-4, z2 =25.
Чтобы найтих, решим два уравнения 2.x4 - 7 = -4 или 2х4 - 7 = 25,
решив которые, получим х, -~i/~, *2 ~{/~' хз ~~2, *4 ~2-
Ответ: х1г = +<(-, х5|4 = ±2.
1 1 1
6.005.
4^2] (x + l)2 12'
Решение.
ОДЗ: х * 0, х * -1, х * -2.
1 • 11 1
- = — » -
х(х + 2) (x + if 12 х=+2х х2+2х+1 12'
Пусть х2 +2х = z, тогда
2 И2 „ . ,
0=>z2+z + 12 = 0=>z, =-4, z2 =3.
4zTT)
Чтобы найти х, решим два уравнения:
х2 +2х =~4 или х2 +2х =3.
Решая их, находим: xi2 e
0(/)<О) х3 =-3, х4 =1.
Ответ: Xji2 е 0, х3 = -3, ха, =1.
272

1 X
6.006. x+-=2 —
x m
Решение.
ОДЗ: х Ф 0, m * ±я.
+ И2
-Я"
1 ^m2 + n2 2 -,'n2
x m2-n~
m-hn
KOpHH X[ - , X2 ■
m-n
m+n
Ответ: x{ =
m-n
x2 ft3
6.007. "T + —=
a x
Решение.
ОДЗ: х*0,а*0.
m"
m-n
m + n
m—n
m -hn
b b2
-+—•
я о
-t-л2
.где
x+l = 0
m * Ц.
x2 A3 6 ft2 x4-L2b+ab2l2+aV .
+. — = -+ — « i j-^ = 0
aJ х- a a ax
wm x4 -(a2b + ab2pc2 +а*Ь3 =0, ax*0.
Уравнение является биквадратным относительно х. Пусть х2 ~ у,
тогда наше уравнение принимает вид
y2-(a2b + ab2)y-ta3b3=0,
откуда
У1.2
a2b + ab2 ±^(a2b + ab2f -4aV
а-Ь+ah2 ±4аАЬ2 +2а3Ь3 + а2Ь4 -4д V _
2
a2b+ab2 ±УдУ -2дУ + а2Ь* = сгЬ + аЬ2 ±^(a1b-ab1J
2 2
a2b+ab2 ±(a2b-ab2) ,-, г,
= * s v, ~ab~, y-> =a b.
2
273

Чтобы найти х, нужно решить два квадратных уравнения:
х1 = ab2 или х2 = я26.
х[ 2 - ±\ab2 - ±b4a , где с учетом ОДЗ а > 0;
х3|4 = ±4аЧ> = ±a4b , где ft >0 ■
Ответ: х,2 = ±b4a , где я >0 ; х34 = ±a4b , где i > 0 .
х-3 х+3 х + 6 х-6
6.008. + = + .
х-1 х+1 х + 2 х-2
Решение.
ОДЗ: х*+1,х#+2.
х-3 х + 3 х + 6 х-6 2х2-6 2х2-24
Х-1 X +1
х2-3
отсюда х - 0.
Ответ: х =
5я
6.009. ——
у+ я
Решение.
ОДЗ: у#-а
х+2
х-2 х
х2-12 6х2
х2_4 ~V-lj(x2
0.
4а
+ г-
у+2я
, у Ф —2а,
+ ^V = 8.
3>+3я
у * -За.
2-1
-4)'
х2-4
= 0,
5я | 4я | За ^g<=> 8/+36ау2+38д2у
у + я у+2я у+Зя (у + яХу + 2яХ>'+Зя)
у(4у2+18яу+19я2)=0,
У*-2а,
УФ-За
> у = 0 или 4у2+18яу + 19я
274

Отсюда д
^-9д±т/81д2-76д2 _-9a±aS _a(-9+Js)
г, п а(-9±45)
Ответ: у^ = 0, y2j ~ —i '.
1 1 1
6.010. -5—Г з—Г = ТТ-
х'+2 х' + 3 12
Решение.
ОДЗ.х*-^2,х*-^3.
_1 1 _ 1 л6+5х3-6
хъ +2 х3+3 12**12(«3+2](«3+з)~ **
[х6+5л:3-6 = 0,
{(х3 +2)(х:3 + з)* 0.
Пусть хъ -у . Получаем квадратное уравнение относительно у:
jv2 +5^ — 6 = 0. Отсюда у1 = -6, уг~\.
Отсюда хъ = -6 или хъ -\ и х, = -т/б , х2 =1.
Ответ: х^ ~~У6,х2 =1.
, .. х-2 х+2 х-4 х+4 28
6.011. + = + ■
х-1 х+1 х-3 х+3 15
Решение.
ОДЗ: х * ±1, х * ±3.
х-2 х+2\ (х-4 х+4Л 28
Изусловияимеем^ + ^Д—+ ^j-~ -«
х2-2 х2-12 14 2д:2+6 14
V-1 х2_9- 15<=>^_1J(?e2_9j- 15**
х2+3 7 х2+3 7 „
•(^-1р-9Г"15**И-1)^-9)+Т5 = 0**
275

7*4-55л:2+ 108 „ f7A-4-55x2 + 108 = 0,
(х2-1)(х2-9) {(x2-lX*2-9)*0.
Пусть х ~ у, откуда
7v2-55v + 108 = 0; у, =4, v, =21-.
' * 7
Чтобы найти х, решим два уравнения: х -4, л-|д=±2 ил*1
,2.27. ,_- J"
/27
Ответ: xi2 =i2,x}4 -±J—.
6.012. (*-1)(;е2-3) + (2;е-1)(х2+2)=3.
Решение.
ОДЗ: .т 6 Л.
Имеем
л-3-х2-Зл: + 3 + 2л:3-л:2+4л--2=3»
«3.г-1-2х2+л-2 = 0»Зл:-1-Зд:2+д:2-д: + 2д:-2 = 0<=>
«3x2(x-l)+x(x-l)+2(x-l) = 0»(x-l)(3x2-t-x- + 2) = 0
x-l = 0,.v, =1 или Зх2 + х + 2 = 0,х2,зей (В<0).
Ответ: х~\.
6.013. 3\х + -\ ]-7|l + --1=0.
Решение.
ОДЗ: л*0.
3(x-t-l)(x2-x-t-l)-7(.r-t-l)j: „ (х + 1)(3(х2-х + 1)-7х) „
276

(А+1)(Зл:2-10л:+3)
Имеем (лг+1)(3л:2-10л: + 3) = 0. Огскда х + 1 = 0, дс, = -1 или
3x2-10* + 3 = 0, хг =-, *3 = 3.
Ответ: Х\ ~ -1, л"2 = -. хз - 3.
4 5
6.014. -,--+ 3—=2-
*2+4 .Г+5
Решение.
ОДЗ: xeR.
2х4 +9y2 1 т т
-— ~ =0<=>2д:4+9а2=0од:2(2х2+9)=0,
(л:2 +А)(Х2 +5)
х2 = 0,*, =0или 2х2+9 = 0, дг23е0.
Ответ: х = 0.
7(дг2)(д:-ЗХ£-4)=_2
U1:>' (2.v-7)(*+2)(*-6)
Решение.
7
ОДЗ: -т * - , .1 * -2, х Ф 6.
Пд"3 -93л:2 + 190*
Из условия получаем = 0. С учетом ОДЗ это урав-
(2д-7)(а+2)(д-6)
нение равносильно
11д3-93д-2+190д = 0»д(11д2-93д+190) = 0=>
=>.Г! =0 или 11д2-93л: + 190 = 0, х7 =5, л = —.
38
Ответ: Х\ = 0, л? =5, х, = —-.
2 з u
277

6.016. ^^ + ^ = 2,9.
x x +\
Решение.
ОДЗ: х Ф 0.
х1+1 1 v2-29v+l
Пусть = у,тогда У +— 2,9 = 0<=>^ '-+—: =
х у У
у2-2,9у+1 = 0,
у*0
х2 + \ 5 х2+\ 2
Отсюда = — или = —.
х 2 х 5
Первое уравнение имеет корни *i = 2, л:2 = "Т, а второе уравнение
решений не имеет (/) < 0).
Ответ: х1 = 2,х2 =—.
х+п т-п х+р т~р
6.017. = -■
т + п х-п т + р х-р
Решение.
ОДЗ: хф п,хФ р,тф -п,тф~р.
Из условия получаем
(х + п\х-п)-(т-п\т + п) ^(х + р\х- р)-(т- р^т+ р) ц
(т + "Х*-") (™ + Л*-.р)
2272 27 22
х -п -mz+n __ х* -pL -mL + pL
(m + n)x-n(m + n) {m+ p)x~ p(m+ p)
{m + n)x-n(m + n) (m+ p)x- p(m + p)
2 2 2 ?
X -ПС X ~nf
{m + n)x-n(m + n) (m + p)x- p(m + p)
I (m + npc - n(m + n) (m + p)x~ p(m + p)
278

Отсюда получаем х -т = 0 о х = т , х12 = ±ш, или
1 1
(m + n)x-n(m + n) (m + р)х~ р(т + р)
-О»
(m+ p)x-p(m+ р)~ (т + п)х + п(т + п) _
((т + н)х-н(т + н)Х(т + р)х-р(т + р))
или с учетом ОДЗ
{m+ p)x-{m+n)x-p{m+p)+n{m + n) = Oo
о (m + р)х-(/и + н)х = р{т + р)-н{т + н)<=>
<=> (m + p-m-n)x = pwi + р2 ~mn~n о (р-л)х = /^ -л + рт-тп о
о (р-n)x = (p-n)(p+n)+m(p -и)<=> (p-n)x=(p-n)(p+n + m)
Отсюда:
1) если р ~ п ~ О, р = л , то, учитывая ОДЗ, х е R, кроме р и п\
2)если р - н # О, р*н,тод:3=р+н + /и.
Ответ: если л = р, то хе R, кроме пир; если п * р, то лс, = m ,
х2 = —т, хъ-т + п + р.
6.018. х2 +Х + Х'1 + х~2 =4.
Решение.
ОДЗ:**0.
Из условия имеем х + ~~2~ + * + ~ ~ 4 = 0.
Пусть х + — -у=> х2 +2 + —j = y2 или х2 + —- = у2 -2.Нашеурав-
х х х2
нение принимает вид у2 -2 +у-4 = 0 ыу2 +у-6~0 , откуда
У\ - ~3, У2 = 2 . Относительно д- получаем два уравнения: д: + — = -3 ,
д:
-З + л/5 1 „
откуда jq -у = или д- + — = 2 , откуда x3 4 = 1.
2 л:
л -З + л/5
Ответ: х12 — , *3 4 = ' ■
279

21
6.019. —2 --x2+4x=6.
x -4x+10
Решение.
ОДЗ. хе R.
Из условия имеем ~ ^~\х ~4a4-10j+4 = 0.
х~ - 4х +10
Пусть х2-4х + \0 = у*0: — -у + 4 = 0 о у ~4У~21 =0.Урав-
У У
нение у2 - 4у - 21 = 0 имеет корни я = -3, у2 = 7 . Относительно х
получаем два уравнения: х2 ~4х +10 = -3 , х -4х+13 = 0 (/)<0)или
х2 -4х + 10 = 7, д:2 -4дг + 3=0, х, = 3 , д:2 =1.
Ответ: xt = 3, д-2 = 1 ■
д-д х-б - с
6.020. - + = 2>5-
х~Ь х-а
Решение.
ОДЗ: х*Ь,х*а.
„ х~а ,' -is n У — 2,5jv +1
Пусть - = у: у + --2,5 = 0; ± '-^— = 0.
х-Ъ у у
Уравнение у2 -2,5j> + 1 = 0 имеет корни У\ =—, у2 =2 . Получаем
х-а \
два уравнения относительно х: 1~^> 0ТКУДа х\ -2а-Ь, или
х~а -> ,,
—— = 2, откуда х2 = 2о - о .
Ответ: если а * 6, то д1=2д-й, д-2 = 26 - д ; если д = 6, то
корней иет.
6.021. 8л:4+ Х3+64*+ 8 = 0.
Решение.
ОДЗ: I6S.
280

Из условия имеем
(8.y4+.y-,) + (64,y+8) = 0<=>a:3(8,y+1) + 8(8.y + 1) = 0<=>
<=> (8х + 1)( Д' + 8) = 0 <=> (8д + 1X.Y + 2)(х2 -2.x + 4) = 0.
Отсюда 8.Y+1 =0,*, =—, или д+2 = О.А--, = -2, или
8
х2-2х + 4 = 0, ,Y,4e0(D<O).
Ответ: Л, = - ■ ,х->=-2.
6.022. (дг + 3)3-(л-+1):,=56.
ОДЗ: хе Я.
Из условия имеем
(x + 3-.y-1)(("1' + 3)2+(-* + 3)(.i + 1) + (.v+])2) = 56<=>
<=>2(.y2 + 6x + 9 + x2+4x+3 + .y2+2i + 1) = 56<=>
<=> д-2 + 4х-5 = 0,д, = —5, х2 = 1.
Ответ: Xj = -5,х^ =1.
, „,, х+2 х + 6 х + 10 .
6.023. + + -- — = 6.
х + 1 х + 1 х + 5
Решение.
ОДЗ: лг*-1,л-*-3,л-*-5.
Из условия имеем:
(х + 1)+1 (д + 3)+3 (д + 5)+5 ,
х + 1 х + 1 х + 5
х+1 1 х + 3 3 х+5 5
<=>_-- + + + __ -+ + = 6<=>
х + 1 х + \ д + 3 д + 3 д + 5 х+5
13 5, Зх3 + 18х2+23х „
<=>3+ + + = 6<=> -- =0.
х + 1 л- + 3 д+5 (х+1)(х + ЗХд + 5)
С учетом ОДЗ получаем 3xs + 18д2 + 23х = 0 или
x(3x2 + I8x + 23) = 0, откуда д, =0, или
281

, -9 + -Л2 -9-лЛТ
Зл-2 +18л + 23 = 0. х2 = ,*3 = .
-9 + л/12 -9-л/12
Ответ: *i = и, х2 = , *э = ■
, 12 4
6024 4* +12* + —+-г-=47.
Решение.
ОДЗ: * * 0.
Группируя, получаем:
f4*2+4rl+fl2* + — |-47 = 0о
о4| х2+4-1+121* + - 1-47=0.
Пусть * + —= у=> *2 +2 + -^- = у2 или *2 + — = v2 -2 Тогда
* Л"2 *2
4(у2-2)+12>>-47 = 0> 4у2 +12^-55 = 0, у,=--,у2 =-.
1 11 15
Относительно* получаем два уравнения: * н— = —
-П±лЛЬТ 1
корнями которых являются *it2 = > * э - -z > хи = 2-
-11 + л/Й)5 1 .
Ответ: х^ = , *3 = —, *4 = 2.
6.025. (*-в)3-(*-*)3=*3-в3.
Решение.
ОДЗ: *е Д-
Левую и правую части уравнения разложим на множители как
разности кубов:
(х-а-х + ЬЦх-af +(х-а\х -*)+(* -bf)=(b-e)b2 л-ba + a1),
282

(b - afp2 - lax + a2 + x2 -(a + b)x + ab + x2 - Ibx + b2 j-
-(*-я$>2+*й+я2)=0,
(b-afex2 -i{a + b)x + ab + al + Ь2У{Ъ-а%1 + Ъа + а2)=а&
o(*-e)(>r2-(e + *)x)=0.
Отсюда:
1)если b-a = Q,b~a ,го хе R;
2) если b-a*0, b* а ,то х2 - (а + b)x = 0, или x(x -(a + b))-0,
откуда Х[ = 0, х2 = а + Ь.
Ответ: если а = b , то хей; если а * Ь, то Х| = 0, х2 = а + 6.
6.026. — = (e + l)P.
х-1
Решение.
ОДЗ.х*1.
Приводим уравнение к общему знаменателю:
ах2 -(a+lf(x-[) _ Q ^ ах2 -(a + [fx + (a + [f =(j
х-\ х-\
С учетом ОДЗ ах2 - (а + if х + (а + if = 0, откуда
*ц = - = 2a
Ja + if±4(a + lf[(I2+2a + l-4a)ja + if±J(a + lf(a-lf _
2я 2я
(a+iy±(fl-if.
2я
(a + lf-^-l)2 _я2+2я + 1-я2+1_я + 1
2д 2д д
(fl + lf+fl2-! я2+2я + 1 + я2-1 2я2 + 2й
х2 = - L = = = а +1.
2а 2а 2а
Ответ: Х\ , где а * О; х2 = а +1.

(x-af +x(x-a)+x2 _ 19
(x-af -x(x-a) + x2 7
Решение.
ОДЗ: (x-af -x(x-a) + x2 *0.
Из условия получаем
б(х - af-13х(х - a)+6x2 n ,{ У ,, { \ , 2 n
-ijj—i-- ■? {—-r = 0=>6(x-ef-13x(x-e)+6xJ =0.
7[(x-af-x(x-a)+x2 )
Разделим обе части последнего уравнения на х * 0:
Пусть = У: 6 у2 -13у + 6 = 0 . Корнями полученного квадрат-
2 3
ного уравнения являются у\ = —, Уг - т-
х-а 2 х-а 3
Имеем два уравнения: = — или = —, откуда х1=3д,
хг - -2а . Сделав проверку по ОДЗ, получим ответ.
Ответ: если д * 0 , то х^^За ,хг = -2а ; если а = 0 , то корней нет.
х 2а —х а + b .
6.028. г + т = 1-
я + 6 а-Ь х
Решение.
ОДЗ: в # +*, х # 0.
Из условия имеем
х 2а-х а + b „
- + 1 = 0»
а+b а-Ь х
(a-by+(2a-x\a + b)x-(fl + bf(a-b)-(a + bXa-b)x_Q
{a + bXa-b)x
(а-ЬУ +2а(а + Ь)х-(а + ьУ -(a + bf(a-b)-(p2 -b2)c ^Q
284

{(а-ЬУ-(а + Ь)х1)+^а{а+Ь)х-{а1-Ь2)к)-(а + ьЛа-Ь)_
(«2-*2>
(а-Ь-а-Ь)х2 + (2д2 +2аЬ-аг + Ь2\с - (а + bf (a-b)
~ (а2-*2)*
-2ftx2+(»2+2aft + ft2)c-(a + ft]F(a-ft)_
** (а2-*2)* "
СучетомОДЗ-2*л:2+(а2+2а* + *2)>:-(а + *)2(а-*) = 0или
2*х2-(д + *)2д: + (д + *)2(д-*) = 0, откуда
'1Д-
(а
(а + *)Ч
ч-*)2!^
:^Д + *Г-
4*
[ + £д(д + (
4*
-№(,
bf-
a + bf(a-b)
■8*(a-b))
(д+г>У±(д+г>)>/д2+2дг>+г>2-8аг>+8
4*
(д+г>У±(д+г>)>/д2-бдг>+9г>2 ^(д+бУ + ^+^д-зб)2
4* "~ 4*
(д+г>У+(д+г>Хд-з»)^(д+»Х(д+*)±(д-з»)).
4* 4*
(д + *Хд + *-я + 3*) (д + *)4*
ДГ1 = ; ' = f = Д + Ь,
1 4* 4*
_(д+г>Хд+г>+д-зг>)_(д+фд-2г>)^(д+г>Хд-*)__д2-*2
*2 4* 4* 2* " 2* '
2 _ .2
Ответ:если 6*0 ,то Х| =а + Ь, х2 = :— ;если 6 = 0,то х = д.
2о
6.029. «Izl + £z£ = 1.
ддг-1 д

Решение.
1
ОДЗ: й#0,х#-
а
Изусловия имеем:
-1
-=1о + 1 — = 1<=> --- = 0»
ax-l a a дх-1 a ax-l a
-кЛ,
{ах - l)a
: учетом ОДЗ ах2 - х - (я2 - ф = 0, откуда
_ l±-Jl + 4a2(a2-l)
*''2 = S
2я
1-2я2 + 1 1-е2
1 2я в
1±л/4я4-4я2+1^1±У1?я2-1)'
2я 2я
1 + 2я^-1
х2 = = я.
2я
Ответ: Х\=-
6.030.
,х2 = я прн я#0.
5х
4-х2
кх 4
Решение.
ОДЗ: х * ±2.
Перепишем это уравнение в виде
х2+6
5х
х2-4
5х
х'-4
х2+6
4
5х
х2-4
5х
5х
х -4 х2-4 х -4 х -4
С учетом Ода получим уравнения х2 +5х + 6 = 0 или х2-5х + 6 = 0,
286

откуда *i = -3, х2 = -2, хъ = 2, ха, = 3; х2 = -2 и х, = 2 не подходят по
одз.
Ответ: х\ =-3,х2 = 3.
6.031. ^Ъх + 4+^х-4=24х.
Решение.
ОДЗ: Зл: + 4>0, х-4 >0,л:>0=> х>4.
Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем
Зх + 4 + 2^(3дг + 4X-V-4) + a:-4=4x о
о 27(3.v + 4X-v-4) = 0.
Еще раз возводя в квадрат, получаем: (Зх + 4Хл:-4) = 0 .Отсюдаимеем
4 4
3.V + 4 = 0 или х-4 = 0,^^-—,х2=4;х1=-— не входит в ОДЗ.
Проверяя х = 4 непосредственной подстановкоивисходноеуравнение,имеем:
Ответ: х -4 ■
6.032. tJx+Jx + 11 + д/х-Jx+TI = 4.
Решение.
Пусть ,/дс + П = у £ 0 или д: +11 = у2 , т.е. д: = у2 -11. Тогда
lly2 +у-11+л]у2 -у-\\ =4 ИЛИ Jy2 +у-ц =4-ily2 -y-ll .
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
у2 +У-11 = 16-«4у2^у^П+у2 -у-\\, Цу2 -у-\\=\6-2у
или 4-\у2 -^-11=8-^. После возведения обеих частей уравнения в
квадрат, найдем
16у2-\6у-\76 = 64-\6у + у2, 0<уй8=>
\l5y2 =240,
=> < или у = 4.
[0<у<8
Отсюда получаем vл: + 11 = 4 или д + 11 = 16, х = 5. Проверкой
убеждаемся, что это корень исходного уравнения.
Ответ: х =5.
287

6.033. -J\5-x + j3~x =6.
Решение.
(15-х >0, [хй.15,
°Д3:|з-*>о ~|*<з. **xS3-
Из условия имеем:
■J15-X = 6-V3~x=>15-;t = 36-12V3~x+3-;t,
12V3-x=24,V3-.y=2.
Отсюда 3 - л: = 4 или л: = -1. Проверкой убеждаемся, что это
корень исходного уравнения.
Ответ: х = -1.
6.034. l + Vl+Wx2-24 =*.
Запишем уравнение в виде -yjl + xvx2 -24 = лс-1. Возведя обе
части уравнения в квадрат, получим
|l + xVx2-24=x2-2x + l,<=>|Wx2-24=x2-2x,<
L-1>0 [jc >1
к/х2-24=х-2,=
U>1.
=>лг -24 = лГ -4x+4 или 4.x =28; x = l.
Проверяя x = 7 непосредственной подстановкой в исходное
уравнение, имеем:
Ответ: х = 7 ■
(х -a\lx-a + (x-b\lx -Ь , ( ,\
6.035. / / г - = Д-Ь (о>6)
-jx-a +y}x -о
Из условия имеем
(Ул>^д / + (Ух - 6 [
V х - а + V х - Ь
= 0-6.
288

Разложим на множители числитель левой части уравнения как сумму
кубов:
Ух-a + Jx-b] У.х-а) - fix - а\х - b) + \Jx -bj
i == == —i = a-b.
Ых-а +ых -b
Так как Jx-a + -Jx-b * О, то
(■Jx-aj --J(x-а\х-b) + Ух -bj -a-b <=>
<=> x-a- fix~a\^-bj + x-b = a-b <=>
«2дг-2я=^(л:-яХ*-*)<=*2(л:-я)=,/(*-<'Х;<:-',)=>
=>4(х-я)2 =(д:-яХд:_',)<=>',(л:-а)' - (x-aX*-4)=0 <=>
Из последнего уравнения следует, что либо х - а = 0, откуда х{ - а,
4а-Ь
либо Ъх-Ла + b-Q, откуда х2 = —-— .
Подставляя х1нх2ъ начальное уравнение, убеждаемся, что это
действительно корни.
п 4а-Ь
Ответ: х, —а;х-, .
2 3
6.036. i/3x + 7-i/x + l=2.
Решение.
[Зх+7>0,
ОДЗ: { '<=>х>-1.
м [л: + 1>0
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
Зл: + 7-2л/(Зл: + 7Хл: + 1)+л: + 1=4<=>4л: + 4=2л/(Зл: + 7Хл: + 1)<=>
о 2(х + I) = fiix~+?fa + ]) =>4(х- + if = (3* + 7Хх + l)о
<=>4(х+1)2-(Зх + 7Хх + 1)=0<=>(х + 1Х4х+4-Зд:-7) = 0<=>
<=>(x + iXjc—3) = 0 или д:+1 = С1 ^ =-1 или д: -3 =0,хг =3.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что это корни
начального уравнения.
Ответ: х^ --1, х2 =3.
10 М. И. Сканавн, фуппа А 289

6.037. Vl + Vx+Vl-V? =2.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Возведя обе части уравнения в куб, получим
l + Jx + 3
«3^(| + л/х)(|-л/х/^1 + -^+ $-•«/* 1=6.
Так как , то уравнение принимает вид:
331/(f + ^-^)-2 = 6oV^ + ^-V^J = l<=>^b-^ = l<=>
<=>1-д: = 1,д: = 0.
Ответ: х = 0.
6.038. 2V7-x:0,
,63ji=10$/iJ:-V216V9.
Решение.
ОДЗ: 7-х>0ох<7.
Будем упрощать исходное уравнение:
ioVu
2V7-
■Л
104/4
2У7-д:
2^7-х-5^3 _ 40У?
3 21^ГГ
<=>V7-x=2.
Очевидно, что х = 3 есть корень этого уравнения и других корней нет.
Ответ: х = 3.
6.039. |^Ы_£_р=4.

Решение.
Из условия имеем
[х + 5 х 1х + 5
1 +4i 4 = 0<=>1 "
V х V х + 5 \ х
,-4 = 0.
Пусть
[х + 5
= у>0: у + — 4 = 0<=>у -4у + 4 = 0<=>
У
<=>(у-2)2=0<=>з'-2 = 0<=>з' = 2.
_ \х + 5 -, г, „ ^
Тогда J = £ . Проверкой убеждаемся, что это выражение
удовлетворяет условию.
х + 5
Отсюда -
= 4 <=> х + 5 = 4х, х =;
Ответ: х -
3
6.040. т/24 + Лх-лЬ + V* =1.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Возведя обе части уравнения в куб, получим
2А + ^-ЪЩА + ^){5 + 4х^)+ЪЩ4 + 4х% + 4х^ -5-Ух" =
н-З^ + ^ + ^^ + ^-^ + ^У-^.
Так как ^/24 + -Ух - V5 + -Ух* = 1 п0 условию, то получаем
^ + -Ух)^ + -Ух) = 6«=»(м + -Ух)^ + -Ух)=216,
(^+29^-96-0.
Откуда Ух = 3 , -Ух = -3 (не подходит). Отсюда х = 9.
Ответ: х = 9 .
291

6.041. Vx + 34-Vx-3=l.
Решение.
Возведя обе части уравнения в куб, получим
*+34-х + 3-^(* + 34Х*-3)(У* + 34-й^з)=1.
Так как Vx + 34 -Vx-3 = 1, то имеем следующее уравнение:
37-3^(х + 34Хд:-3) = 1о^ + Зф-3) = 12о
<=>(x + 24Xx-3) = 1728<=>x2 + 31x-1830=0; х, =-61,ж, =30.
Проверкой убеждаемся, что это корни исходного уравнения.
Ответ: Х[ =-61, х2 =30.
6.042. х2+Зх-18 + 4л/х2+Зх-6=0.
Решение.
Пусть л/х2 + 3х-6 = j>>0. Тогда х2+3х-6 = ;у2
ИЛИ
х2 + 3х = у2 +6
и уравнение принимает вид'.
у2 + 6-18 + 4у = 0<=> j>2 + 4у-12 = 0, }>1 =-6 (неподходит), у2 =2 .
Тогда
л/х2+3х-6=2<=>х2+3х-6 = 4<=>
о х2 + Зх-10=0; х^-5, х2=2.
Проверкой убеждаемся, что это корни заданного уравнения.
Ответ: Х\ = -5, х2 = 2.
6.043. л/х2+32-2л/х2+32=3.
Решение.
Пусть Vx2 + 32 =;у > 0 . Относительно у получаем уравнение
у2 -2у -3=0, откуда д =-1 (не подходит), j>2 =3.Тогда
44хГ+31 = 3 о х2 + 32 = 81 <=> х2 = 49.
292

Это выражение удовлетворяет заданному уравнению. Отсюда \х\ = 7
или *1д = ±7.
Ответ: ху = -1, х2 = 7.
6.044. \j(5x + 2f —=JL= = 6.
^(Sx + 2)3
Решение.
ОДЗ:х*-^.
Пусть ^(Sx + lf = у, у#0- Относительно у имеем уравнение:
у = б(у#0)<=>у2-6у-16 = 0, откуда у, =-2 , j>2 = 8 . Тогда:
1) #>* + 2)3=-2; x, = -ii
23-2 -2К/4 + 1
5 5
2) Щх + if = 8; х2 = 6.
-гб/4 + l)
Ответ: xi = Ч ', хг = 6.
6.045. хУх-4>/х2~ + 4=0.
Решение.
Пусть Ifx = у, тогда х = j>3, х2 = у6. Относительно у имеем
уравнение
у'- у-4уг + 4 = 0 <=> /-4/ +4 = 0 о (у2 -2^=0 о
о у2-2 = 0, /=2,
откуда дг =+-^2 . Тогда ъ4х = -i/2, X! = -JH vilfx = Л, х2 =Л.
Ответ: х, = -2-J2, х2 =2-^2.
293

6.046. 3^-5^ = 2*-'.
Решение.
,г- 5 2
Из условия имеем 3v х —рг = —.
Ух х
Пусть \[х = у, у ф 0, и уравнение принимает вид
33,_.1_А = 0(г*о)«3>'4-5г-2 = 0<=>з(><2)г-5(/)-2 = 0,
откуда у1 =2; у1 =-1 (неподходит).Тогда yl2 =±V2=> vx =-2 или
Ц~х~ = -1г, х, = ~Дх2=,/8 .
Ответ: х, =-!■&, х, =2i/2.
6.047. х2 + л/х2 +20 = 22.
Пусть Vx2 +20 =у > 0, тогда х2 +20 = у2, х2 = j>2 -20 и
уравнение принимает вид у2 -20 + у = 22еэ у2 + у-42 = 0 , откуда найдем
3>!=-7, j>2=6; з>,=-7<0 не подходит. Тогда -Jx2 +20 =6 или
х2+20 = 36. х2 = 16, *и = ±4-
Ответ: х{ - 4, х2 = -4 .
4 ^/х+3
6.048.
- = 2.
Ух" + 2
Решение.
ОДЗ: ^с+2*0,^с*-2,х*-8.
Пусть . Относительно у уравнение принимает вид
- + ^~ = 2 (y#0)<=>y2-9y + 20 = 0,откуда у, =4, у2 =5.
У 5
Тогда: 1) ^/х + 2 = 4; х, =8; 2) ^/х + 2 = 5; х2=27.
Ответ: %\ = 8; х2 =27.
294

6.049. V77I + 4,/*3+8 = 6.
Решение.
ОДЗ; 1Ч1>0«1'>-!«1>-2.
Пусть ух3 + 8 =у, у>0,пуравнение принимает вид у2 + у = 6 <=>
<=>y2+j>-6 = 0, откуда у, = -3 , j>2 = 2 ; л = -3 не подходит. Тогда
Vx3+8 = 2, л;3 +8 = 16, хг =8, * = 2-
Ответ: х~2.
(5-хУ5-х+(х-ЗУх-3
6.050.
V5 - х + Vx - 3
Решение.
Г5-Л > О,
ода*-з>о,~3^-<5-
- = 2.
Перепишем уравнение в виде
■JS-x + ylx-3
числитель левой части на множители как сумму кубов:
{jS-x + ylx-iUiS-xf -Jls-xfrSfj + ^x-tf
■J 5 - х + -Jx - 3
Учитывая, что знаменатель положителен, получаем
разложим
^{5-xf -4{S-x\x-i)+^{x-if =2 о
<=>5-л:-,/(5-хХ*-3)+х-3=2 <=>
<=> ^(5-хХд--3) = 0, (5-*Х*-3) = 0,
откуда 5-х -0 , Х| =5, или * - 3 = 0 , л2=3. Проверкой
убеждаемся, что это корни исходного уравнения.
Ответ: х{ ~5,х2 =3.
6.051. Jx~+j-j9-x=j2x-l2.
295

Решение.
|х + 1>0, |х>-1,
ОДЗ: Ь-х>0, «ix<9, &6&хй9.
[2х-12>0 [х>6,
Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены,
получаем J(x + ф - х) = 11-*, откуда
(x + lX9-x) = 121-22x + x2 о х2 -15х + 56 = 0; х,=7,х2 = 8.
Проверкой убеждаемся, что это корни заданного уравнения.
Ответ: xi ~1 ,x2 = 8.
6.052. Тт= 7Т="Л/3-
x-Vx -х x + vx -х
Решение.
ОДЗ: К -* *0'« ИХ-1)£°'« «(-»;0)U[l;+-)
Из условия получаем
с + ух" - х - л: + Ух2 - х /г 2ыхг -х __ /г
-х +х
,^/Ei = ^«^P = ^(x*0)
X у/х
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем = 3 или
х = 4 . Проверкой убеждаемся, что л; = 4 является корнем последнего
уравнения с радикалами.
Ответ: х = 4.
У7-1 V7-i ,
6.053. тт= ТГ~7= '
Vx2-1 Vx +1
ОДЗ:х*+1.
296

Пусть 1[х = у, у # ±1. Относительно у уравнение принимает вид
/-1 y+i y2-i y+i
<=>y2+l-3' + l = 4<=>y2-y-2 = 0,
откуда найдем yt =-1, y2 =2 . Тогда Ух =-1, x2 =-1, или 3/x =2,
x2 = 8; xl = -1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: х = 8.
6.054. V5 + Vx"+i/5-^=^.
Решение.
ОДЗ:(5 + ^а0'«-125,х,Ш.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем уравнение
<=>2j25-V?=V?-10=>100-4V? = V?-2oV? + 100o
откуда V?=0, x, =0, или л/х2-16 = 0, Vx^ = 16, х2 =64 . При
проверке Xj =0 не удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: х = 64.
6.055. -JxZfx + Ijxjic = 56.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Из условия имеем
6 3 / 3 Л2 3
х«'-хю=56<
-х>°-56 = 0.
297

Пусть х10 = у>0. Относительно у уравнение принимает вид
у1 -у-56 = 0, откуда у\--1 или уг-Ъ; ух--1 <0 не подходит.
- - / ^
Тогда хю =8 .Отсюда х = 83 , х = \13р , x = 2w =1024 .
Ответ: х = 1024.
6.056. 4хг + 9-4х2-1 = 2.
Решение.
ОДЗ: дг2-7й0.
Перепишем уравнение в виде л1х2+9 = л1х2-7 + 2 . Возводя обе
части уравнения в квадрат, получаем
х2 +9=х2 -l+jx2 -7+4<=> Jx2-7=3<=>a-2-7=9<=>
<=>х2=16, х,,2 = ±4.
Проверкой убеждаемся, что это корни заданного уравнения.
Ответ: х^ =4, х2 - -4.
6.057. VlO-x2 W*2+3=5.
Решение.
ОДЗ: 10-х2 >0.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем .
10-x2+2^0-x2Kx2+3)+x2+3 = 25»>/(!0-^2t2 + 3)=6<
<=> (l0- х2)(x2 + з)= 36 <=> а-4 - 7х2 + 6 = 0, х2 = 1 или х2 = 6;
Хф = ±1,Х3,4 =±7б.
Ответ: х^2 = ±1, *3 4 - iv6-
6.058. т(Е*: + 7р1,2.
Vx+3 V5-A:
Решение.
(х # -3,
°Д3:Ь*5.

p- x
Пусть l\ г - z, z Ф 0. Относительно z уравнение принимает вид
V х+3
z + - = 2 «.z2 -22 + 1 = 0 «• (z-lf =0» 2-1 = 0, z = l.
ч5-х , 5-х ,
Тогда Ц =1 » г--1; х = \.
Нх+г
Ответ: х~\.
Il6z
дг + 3
6.059.
V z
Решение.
[2*1,
-1 V16г
= 2,5.
ОДЗ:
z#0.
16z
„ < l°z
Пусть ^ —- = у, у * 0 . Относительно у уравнение принимает вид
j> + —= 2,5»;у2 -2,5у +1 = 0, откуда у\=—,У2=2. Тогданлн
У 2
Дб7_1 1& _ 1 . _ 1 .._.. ,ДбГ_2 lfe 32
ч-2'^Т = з1'2' = -ЦТ,нлн\2-,
Ответ: 2i = ,23 =2.
511
6.060. V5x + 7-V5x-12=l.
Решение.
Перепишем уравненне в виде V5x + 7 = ^J5x~Y2 +1 н возведем обе
частн в куб:
5A: + 7 = 5A:-l2 + 3(fe-12)!+3fe-12+l»
<а$5х-п} +У5х-\2-6 = 0.
Пусть \l5x-12 = (. Относительно ( уравненне принимает вид
t —г — 6 — 0, откуданайдем t} - -3 и t2 =2 .
299

Тогда или V5x-12 --3 . 5л:-12 = -27, х; = -3 , или л/5х-12 =2,
5л:-12 = 8, х2=4.
Ответ: Х[ =-3, х2 =4.
6.061. 2^ + 5^-18 = 0.
Решение.
ОДЗ: д го.
Обозначим д/д7 = у ;> 0. Относительно у уравнение принимает вид
9 9
2уг + 5у-\8 = 0, откуда найдем У\ =--, уг=2; yi =-—<0 не
подходит.
Тогда^ = 2, х = 26 = 64-
Ответ: х = 64.
6.062. т/зх2+1+7х2+3 = л/бх2+10.
Решение.
Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем
Зх2 +1+2^х2+1^<:2+з) + х2 + 3 = 6х2 +Ю<=>
<=> ^(Зх2 +l)(x2 +з) = х2 +3 =>
=>(Зх2 +1)(д2 +з)= (д2 +3^ <=> (Зх2 +l)(x:2 + з)-(х2 +3^ = 0 <=>
<=> (х2 + з)(зх2 +1-д2 -з)=0 <=> (д2 +з|д2 -l)=0;
л2 +3 * 0, д2 -1 = 0, х2 =1, хц = +1.
Ответ: х^ = ±1 ■
Vx"+Vx"
6.063.
~ = 3.
Гх-Гх
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Перепншем уравнение в виде
^/T+j/7 . £%£+0 . ^+i ,
—==—т= = 3 <=> ,—) ( = 3<=> -=— = 3 »
300

У7-И , n , УГ-и-з^+з „
«__-3=0,.rsil<=> j—- = 0«
V-v-I Vx-I
»-2,^л:+4 = 0»'^л: = 2,х = 2" = 64.
Ответ: x = 64.
6.064. Vx + 2 + -УЗдГП = 4lx + 6.
Решение.
f.r+2>0,
ОДЗ:|зд- + 8>0,»л>-2.
(2.y+6>0
Запишем уравнение в виде Vx + 2 -yllx+b = -V3x + 8 и возведем
обе его части в квадрат:
1+2-2^(д+2)(2х + 6)+2.т + 6 = Зд: + 8«.
<=> yl(x + 2)(2x + 6)=0,
откуда л+2 = 0. л'! =-2. или 2д + 6^0, х2 --3—не подходит по ОДЗ.
Проверкой убеждаемся, чго х~—2 является корнем данною уравнения.
Ответ: х~—2.
6.065. i/2.y+5 +i/5i-+6 = ->/l2.v+2?.
Г2.Т+5 >0,
ОДЗ: J5.v+6>0, ».v>- -.
[l2.v + 25>0
Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем
2j+S + 2^(2.v + S)(Si+6)+5.Y+fi = I2.v+2S о
<^2j(2x+5)(5x + 6) =5х + 14=>
=>4(2х+5)(5.г + 6) = 25х2+140л:+196»15д2+8а'-76 = 0,
38 _ 38
огкуда-v'i -- , л'з = 2; Х| = не подходит по ОДЗ. Проверкой
убеждаемся, что х = 2 является корнем уравнения.
Ответ: х~2.
301

6.066. x2-4x-6=j2x2-$x + \2.
Решение.
Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем
(х2 -4x-6f = 2х2 -8х+12 <=> (х2 -4x-6f -l{?2 -4х-6+1 г)=0.
Пусть х2 -4х-6= у, у > 0 . Относнтельно у уравнение прнмет вид
у2 -2у-24=0, откуда j>, = -4 , j>2 = 6; ух - -4 не подходит.
Тогда х2 -4д:-6 = 6» х2 -4л:-12 = 0, хх = -2, л:2 = 6.
Проверкой убеждаемся, что это действительно корнн исходного уравнения.
Ответ: х\ — -2, х2 = 6.
Решить системы уравнений (6.067—6.119):
|(х+о2)2+0'+оз)2=1,
6.067. , , nQ
[х + у = 0$.
Решение.
Перепишем систему в виде
Ux+0,2f+(y + 0jf=l, ^Ux+0,2f+{y + 0^f=\,
|*+ 02-02+.У+0,3-0,3 = 0,9 1(л: + 02)+6'+0,3) = 1.4.
Ьс + 02 = и,
Пусть s
[.у+ 0,3 = v.
,m2+v2=1, f(M + vf-2Mv = l,
Тогда ! «J ч ' '
и + v = 1,4 I и + v = 1,4
'0,4)F-2uv = l, Jl,96-2Mv =
u + v = I,4 [u+v = l,4
l Гот = 0,48,
[m+v = I,4.
По теореме Внета возможны только следующие варианты:
[и, =0,6, [«2=0,8,
< илн <
[v, - 0,8 |v2 = 0,6.
\х + 02 = 0,6, \х + 02 = 0,8, f х, = 0,4, fjc2 =0,6,
Тогда { илн { -^ илн \
[^+0,3 = 0,8 [^ + 03 = 0,6; ^,=0,5 Ь2=°3-
Ответ: (0,4; 0,5 ), (0,6;0,3)
302

х' +у' = г
6.068.
Решение.
По теореме Виета возможны только следующие варианты:
1)
Ответ: (2;-(\ (-1;2)
Л
= -1,
= 2.
6.069. I
Решение.
1 =5,
2 =13.
= 13.
■ -У
Перепишем систему уравнении в виде
°«3:Wo.
Приводя к общему знаменателю, получаем
tx + y = 5xy, !х + у = 5ху, 1х+у = 5ху,
[х2 +у2 =]3х2у2 ** \(x + yf -2xy = \3x2y2 **\xy(6xy-l) = 0.
Последняя снстема равносильна двум снстемам уравненнй:
{х + у = 0, |лг,=0,
\ху=0 **|Л=0.
1)
Это решение не подходит по ОДЗ.
2)
Ответ:
5
► , = -.
6 V
3 2 J 2 3
Уг
*ъ
й-.

6.070.
.13
' 6'
Решение.
fx*0,
ОДЗ:
у*0.
Умножив левую и правую частн первого уравнения на бху * 0,
получим
\х + у = 5
1у2-5у+6 = 0,
[х+у = 5, [У1-Х
Ответ: (2;3)(3;2)
Щх+yf -2ху)=Пху, \ху = 6,
х + у = 5 \х+у = 5,
х\ =2, [х2 =3,
уг=2.
6.071.
-у = 1,
-у3~г
Решение.
Преобразуем второе уравнение системы
\х-У = 1,
\(х-у%г+ху + у2)=1
\х-у = \,
[1+Здг>' = 7
Ответ: (2;l)i (-1;-2)
х-у = \
I Y2 <
(х-уу +3ху = 7
х~у = ], bq =2,
откуда i
ху-2, \У\=\
хг=-\,
Уг =-2.
6.072,
J 1_ =
\у-\ у+\
{у2-х-5 = 0.
Решение.
ОДЗ:
у*±\,
х*а.
304

Преобразуем первое уравнение системы
х(у+\)-х(у-])~у -1, ху + х-ху+х = у2 -1, 2х = у -I,
у - .х = 5 [у - х = 5 [у - х = 5
^ л: = v2 - 5. Подставнв это значенне х в первое уравнение системы,
получим 2\у2 -5J= у2 ~\,уг = 9,j>, = 3, j>2 =-3;тогда х, =4, дг2 =4 .
Ответ: (4; 3) (4; - 3)
[у2-лу = -12,
6.073.
\х1-ху = 2Ь.
Решение.
Из условия имеем
у(у-х) = -\2,
xlx-y)=2S.
Разделив первое уравнение на второе, получим
у(х-у) = \2
х{х-у) 28' <=>
л:(л:-;у)=28
x{x-y)=2i
Зх
х(х-у)=2%.
Зх
Подставив у - ~ из первого уравнения системы во второе, полу-
Зх
4*~ И8
Зх
х2=49.
Отсюда:
Зх г ,
У= —, )У\='\
1*1 = _7
х = -7
Ответ: (-7; - 3), (7;3)
305

6.074.
x + y + — = 9,
У
(х + у)х _
20.
Решение.
ОДЗ: у*0.
\х+у = и, .
Пусть i х Имеем { По теореме Внета возможны толь-
1 - = v. Imv = 20. v
ко следующие варнанты:
f "1 = 4,
Ь=5
Тогда
I)
|д: + 3'=4,
1) \х
= 5,
*1 =
У\ =
"2 = 5,
{х + у = 5,
2> ^ = 4,
дг2 =4,
й =1.
Ответ: у! J К4;1)
6.075.
х у + ху =6,
ху + х + у = 5.
Решение.
\ху{х+у)=6,
Из условия имеем 4 , ч „

}xy = u,
Пусть 1 ,
J [x + у = v.
„ fMV = 6,
Относительно и и v получим систему < , откуда по теореме
[и + v = 5
Внета находим щ -2 , и2 -3 , Vj =3 , v2 =2 .
[я* = 2, \ху = % fx'=1> Й=2,
Тогда ^ или < ,откуда 1 ,н| _,
\х + у = Ъ [х + у = 2 [Ух-1 №->■
Ответ, (t l\ (2;l)
[*У+*У =12,
6.076. ,
[*У-*У =4.
Решение.
Из условия имеем 1 2 11 \ .
[х У [у-х) = 4.
Разделнв первое уравнение на второе, получим
х2у2(у + х) 12 у + х . . . .
- -У '- = — » = 3 » у + х = зу-зхеэ у-2х.
х2у2(у-х) 4 у-х
Из первого уравнения системы находим
x2(2xf +x'Qxf =12»8д:5+4д:5 =12 «л:5 =1, х = 1.
Тогда у = 2 .
Ответ: (];2)
/х4+/=82,
6.077. I ,
[ху = 3.
Решение.
Перепишем систему в виде
{(x + yf -2xyJ -2xV =82, f((x + y)? -6f -18 = 82)<=> '
XF = 3 I xy = 3
307

((x + yf-6f=\00,
xy = 3.
Из первого уравнения yc + J')' -а = 10, откуда (x + yf = 16 или
(x + yf =-4; (x + yf =-4 не подходит. Тогда
[х+у = 4, 1*1=1, 1*2=3,
,)W = 3, |Л=3, |у2=1
2)
ix + y = -A, \xj = -1.
ху = 3,
Уъ=-\ \У*
Ответ: (l;3) (3;1>, (-1,- 3) (-3,-1)
\х'+уг=Ъ5,
6.078. 1
[х + у = Ъ.
Решение.
По формуле суммы кубов получаем
{(x + yi^-xy + y1)^,
\х + у = 5
|5(25-Злу)=35, Г25-Здгу = 7
\х + у = 5 \х+у = 5
(x + y%x + yf-ixy)^iu
х + у = 5
ху-Ь,
x + y-i.
п т> 1Х1~ 2> 1*2 = 3,
По теореме Виета возможные варианты; { или <
№=3 Ьг=2.
Ответ: ^; з! (3; 2)
\х1 +уъ =9,
6.079. 1 ,
[ху = 2.
Решение.
Перепишем систему в виде
308

<
2
x6 -9л:3 +8 = 0, гдел:#0,
2
Из первого уравнения получаем л-3 = 1 или х\ = 8, откуда х; = 1,
х2 = 2 . Тогда ^1=2, у2 = 1.
Ответ: (l;2);(2;l)
„2
6.0
Jm/+mv=15,
|v2 +m>=10.
'Решение.
Jm(m+v) = 15,
Перепншем систему в виде | / +vl = 10 и V33^1111™ первое
уравнение на второе:
m(m + v) 15 и 3 3v
-7 i =— » —= —»и =—.
v(m + v) 10 v 2 2
Подставив w = -^- во второе уравнение системы, получим
3vz
= 10
5vz
= 10,
2 ' 2
и2=3.
Ответ. (-3;-2) (3;2)
= 4 > откуда V; = -2 , v2 = 2 , Тогда и, = -3 ,
6.081. I
х3+у3 = 65,
Решение.
Разложив левые части, представим систему в виде
\(х + у{х2 - ху + у2)= 65, ^ \(х +у%х + уУ -Ъху)= 65,
\ху(х + у) = 20 \ху(х + у) = 20.
309

Пусть |Л + ^"'Тогда H2-3v)=65-«.
[xy = v. mv = 20
m(m2-3v)=65,
_20
Из первого уравнения получаем мм - 3 — = 65 , и3 = 125 , отку-
20
20 \х + у = 5, Ui = 4, \хг = 1,
да и = 5 . Тогда v = — = 4 и < Отсюда < , н <
5 [ху=4. [3-1=1 [у2=4.
Ответ: (4; life 4 )
6.082.
х2+у4=5,
ху2 =2.
Решение.
Из второго уравнения системы д: = — . Тогда из первого уравнения
получаем —j \ + у4 = 5 , у% - 5у4 +4 = 0. Отсюда у4 = 1 илн у4 = 4 ,
U )
откуда з>1=-1, Л =1 > Уз =—«2 , y4=*J2. Тогда х12= — = 2;
«3,4 =^ = 1-
Ответ: (2; Ц (2; - Ц (f; ^) (l; - ,Й)
\n{x + yf +х = 2,5-у,
6Ш- {6(x-yf+x = 0,125 + у.
Решение.
12(д: + у)2+(х+у)-2,5 = 0,
Перепишем систему в виде
б(х-;у)г+(л:-;у)-0Д25 = 0.
310

Тогда первое уравненне будет квадратным относительно х + у, а
второе относительно х-у . Решая указанные уравнения, получаем
(х+у\л =
(х-у)з,4 =
-1±-УГ+120 -1+11
24
-1 + УГ+З
12
24
-1±2
12
Перебирая возможные варианты, имеем:
f 1 ( 3
2)
1)
\х+у =-
\Х-У = -
\х + у =
\У\ =-
1
I 12
\х2=-
\У2 =~
Ответ:
1 1
'12'
1
\х + у =—,
12
дг4 =
\У4 =
4'6 }ll2'3
6.084.
Решени
l+z
х 3
х 3
—+ —
I2 У
е.
= 1
1
2
ОДЗ:
Ь*0.
JL-_JL
'24' 24
3 1
Приводя к общему знаменателю, получаем
(6 + ху = 9х,
\ху + 6 = 3у
> 9х - Ъу = 0 ,
311

2 Зх
откуда у = Зх . Отсюда получаем — +— = 3, х2 -Зх +2 - О при х Ф 0,
х 3
откуда ATi = 1, %2 - 2 ; тогда у, = 3 , уг = 6 .
Ответ: (1;3)(2;б)
6.085.
х +у
х + у
1 1 3
—+ —= —
х у 4
Решение.
[л:* О,
ОДЗ:Ь*0,
[х*-;у.
Перепншем систему в виде
Ш + у2 )= 10(х + у\ ^ \з{(х + yf - 2ху) = 10(х + у\
[4(х + у)=3ху [4(х+у)=3ху.
Пусть] Тогда в новых переменных 1. _,
3mj-10m-6v = 0,
Отсюда v = -m н Зи2 -10и-9 -и | = 0, Зи2-18и = 0, откуда
щ = 0 , и2 = 6; тогда V; = 0 , v2 = 8 .
Получнли совокупность двух систем
\х+у = 6,
W = 8.
дг + у = 0,|
»W = o шш2)
Решая эти системы, найдем
Ответ: (2;4^ (4;2)
= 2,
Л =4 "Ь=2
312

6.086.
\(x-yp-S)=K,
[x+y = 5.
Решение.
Перепншем эту систему в виде
{{х-у\х-у\х+у) = 4Ь,\(х-уЧ(х+у)=45,^
\х + у = 5 \х + у = 5.
=> (х- у)- = 9, откуда х -у = -3 илн х-у = 3 . Получили совокупность
двух систем:
f*-j> = -3, fx-j> = 3,
1)
х + у = 5, ^\х+у = 5.
Решая эти системы, найдем
Ответ: (4;Ц(1;4)
6.087. з з Л
х у-ху = о.
Решение.
х\ = 4> }х2 - I
У\ = 1 [Уг= 4-
Пусть t = — } тогда >, = /д: н система принимает вид
|x4r-*V=6 <
*4(l-f4)=15,
x4Li3 )=6.
]_ ,4 ir
После деления получаем г = — » 2(2 - 5( + 2 = 0, откуда
t-t 6
'i = 2> 'г =2.
При \ =— из уравнения ;t4(l-(4)=15 имеем

откуда л:; = -2 , x2 = 2 ; тогда у; = -1, у2 = 1 ■
Прн (2 =2 имеем x4(l-16) = 15, х4 =-1, это решение не подходит.
Ответ: (-2;-Ц (2;l)
ix .У _^
у х 6'
х2-у2=5.
Решение,
\х*0у
°H*o.
После преобразований первого уравнения, получим
2 2 5
6 => -ху = 5 «эху = 6, у = —.
2 2с6 *
х -у =5.
Из второго уравнения системы находим
х2-^|- = 5»х4-5х2-36 = 0
х '
откуда х =-4 или х =9;х = -4 не подходит, поэтому х\ = -3 ,
х2 = 3; тогда Vi = -2 , j>2 = 2 .
Ответ/ (-3;-2), (3; 2)
Jm3+v3 +l = m,
6.089. I з з
[и v =-т.
Решение.
Из первого уравнения системы v3 = m -1 - и3. Подставив это
значение v3 во второе уравнение, получим
M3(m-l-M3)=-m»(M3]f-(m-l^3-m = 0,
314

откуда
3 m-\±4{m-\f +4m т-\±Ытг -2т+1+4т
«1,2= ^ = 1 :
m~\±4m2 +2/Я+1 _ m-\±4(m+\f _m-\±(m+\)
2 '2 ~ 2 '
3 m-l-m-1
«i = j = ~ ' "i " _1 >
или
з m-l + m + I ,,—
«2 = = m , u2=i]m ;
тогда v,3 =m , Vj = Vm илн v| -m-\-m = -1, v2 =-1.
Ответ: (-1; l[m](l[m; -l)
ЙХ + — ■
6.090. | , У
— + ay ■■
Решение.
fx*0,
= 2,
= 2eft.
„ \axy + b-2y, л .
Перепишем систему в виде < =* 2у = 2abx, у = abx.
[b + axy-2abx
Из первого уравнения системы получаем а2х2 -2ах +1 = 0 (при b ф 0)
[н (ах - \у = 0, откуда jq = x-i ~ —. Тогда у = a b ■ - = b, где й * 0.
я а
Ответ: еслн й£ = 0 , то корней иет; еслн йЬ * 0, то х = —, у = Ь.
а
Нх-у)-ху = 30,
6Ш-\(х + у).ху = \20.
315

Решение.
После деления второго уравнения системы на первое получаем
(х + у)ху _ 120 3 „
7 \—-ТГ, у = -х. Из первого уравнения системы находим
(х-у)ху 30 ' у 5
х — л: Ьс-л: = 30, \3 =53, откуда х = 5; тогда у = 3 .
Ответ: (5; 3)
6.092. i0 .
Решение.
Из второго уравнения системы у = -8 - х. Подставив это значение у
в первое уравнение системы, получим
х2 +(-$-xf +6х+2(-&-х) = 0*Эх2 +10х+24=0,
откуда х; = -6 , х2 - -Л ; тогда yt = -2 , у2 = -4 .
Ответ: (-6;-2) (-4;-4)
v - и = 1,
6.093. \w-v = i,
(fi-if+(v-2f+(w-3f =3.
Решение.
Из первого уравнения системы найдем v = 1 + и ■ Подставив это
значение v во второе н третье уравнения системы, имеем
fw-(l + u) = l, tw-u = 2,
{(„_!)> +(1 + „-2)J +(w-3f =3 **{(«-if ^-l)3 +(»-!? =3 **
|и>-и = 2,
el2(»-lf+(»-3b3.
Из первого уравнения последней системы найдем w - 2 + и .
Подставив это значение w во второе уравнение этой же системы, находим
316

х- у
ху-5.
x + y
=
13
6
2(»-|)Ч(2 + в-3)] = Зо(в-1)' = 1,
откуда u = 2.Тогда vv = 4, av = 3.
Ответ: (2;3;4).
6.094.
Решение.
ОДЗ: x*±y.
Преобразовав первое уравнение системы, получим
Ых+у)1 +6(.v-v)2 = l3(x-y)(x + y)t=>x2 = 25 у1,
откуда
-V| =-5 V. Х2 = 5V\
Из второго уравнения системы находим у~ --I (не подходит) шш
у" - 1, откуда .Чд=^1- Тогда *i,2=±5-
CWctj. (5:1). (-5:-!).
Гз*+2у+2г = 13,
6.095.J2.v + 3y+2; = 14,
[2*+2 v+ 3s = 15.
Сложив все три уравнения, подучим 7(*+.v + z) = 42, откуд:!
х + у + z = 6. Теперь будем последовшельно вычитать тто уравнение из
каждого уравнения системы:
f3* + 2v + 2z = 13, f2.v-r3>> + 2r = 14,
<=>.r = l; { <=> v = 2;
[л- + .1' + : = 6 |.t + y+; = 6
f2*+2v + 3z = 15,
<=>v=3.
(.v+.l-+r=6
Отве/ч:(1;2;3).
317

6.096.
Решение.
у
Деля первое уравнение снстемы на второе, получаем — = 8, у = 8х .
Из второго уравнення системы имеем х ■ 64х -2 r x --~ , откуда
х - - ; тогда у = 4 .
Ответ: J >^
6.097. Ы + у + 2г = 7,
[гдг+з^+г^г.
Решение.
Будем преобразовывать систему по методу Гаусса, т.е. из второго н
третьего уравнення системы вычтем первое, помноженное на
соответствующее число
x+2y + 3z = 3, fx+2y + 3z = 3, fx+2y+3z = 3,
3x + y + 2z = 7,e*\-5y-7z = -2, »Jy + 5z = 4, <=>
2x+3y+z = 2 {-y-5z = -4 [-5y-lz = -2
x+2y+3z = 3, ix = 3-2y-3z, \x = 2,
»-jj>+5z = 4, »<y = 4-5z, «Jy = -1,
18z = 18 (z = l |z = l.
Ответ: (2;-l;l)
6.098. 1 , n ,
Решение.
Перепишем систему уравнении в виде

Ux + y\x2 - xy + y2
\xy(x + y) = -2
1=7.
(x+xi(x+yf-3xy)^l,
xy{x + y) = -2.
\x + y = u,
Пусть < тогда снстема уравнений нмеет вид
[ху = v,
U2-3v)=7,^v = _2
|uv = -2 и
Из первого уравнения полученной системы найдем
иГ»2 +-1=7<=>ы3+6 = 7. и3=Ь
откуда и = 1. Тогда v = - - = -2 . Далее,
W = -2 |)Л=-1
Ответ: (2;-Ц(-1;2)
х2 =-1,
у2 =2.
6.099.
]д:2 + ху+у2 =91,
|л: + Л/х)> + J> = 13.
Решение.
ОДЗ: лу>0.
[Vx = и > 0,
Пусть 4 тогда
Относительно и и v снстема уравнений принимает вид
1и4 +«V +v4 =91, „ j(»2 +v2]f -2„V +«V =91,
х = м
2
>- = V ,
х -и
,2 „4
[иг +UV+V1 = 13 [Mz + И = 13-«v.
Из первого уравнения полученной системы имеем
(\3-uvf-u2v2 =91, 169-26«v+mV-«V=91, «v=3.
Из второго уравнения системы получим ^
319

M2+v2=13-3, (u + vf-2uv = l0, (u + vf=W+2uv = l6,
откуда
w + v = -4
илн
w+v=4.
Получилн две снстемы уравненнй:
, f«+v = -4, , f«+v=4,
1) i нлн 2) i ,
откуда по теореме Внета находим
[щ = -1, |и2 = -3, [иг = 1, [щ = 3,
{v,=-3, Ь=-1, {v3=3, {v4=l.
Тогда для { .— - 0, для < - 0,
л=1,
Ответ: (l;9);(9;l)
,4 =1, [V*=3, |x2=9,
,- откуда -^ ^ откуда -^
V?=3> h=9. №=i, Ь=ь
6.100.
/и +v -Vh-v =2,
\fu +v - Vh-v =8.
Решение.
|m + v>0,
°fl3:lM-v>0.
Перепишем систему уравнений в виде
и +v -iju-v =2,
i$Ju+v-ilu-vfiJu +v +л/и-у)=8
u+v-iju-^v =2, \iiu+v~$Ju-v =2,
2(Vw+v +Vw-v)=8 |V« + v+3/w-v =4.
Складывая и вычитая уравнения системы, получаем

\2i/u+v=6, \ilu+v=3,
Отсюда
f« + v = 81, fu = 41,
[m-v = 1, [v=40.
Ответ: (41;40)
Jx + у + IJx - у = 6,
6.101.
Решение.
f*+;y>0,
Перепишем систему уравнений в виде
Jx + у + ух - у = 6,
VC^-vo^F-»
Jx + y -yx-y =8.
Ujc + J^m, Jm+v=6,
Если К/ то '
IV* ~ У = v>
[mv = 8.
По теореме Внета единственно возможные варианты
fu,=2, (и2=4,
или 1
v, =4
v,=2.
L/x + .y=2, Ujc + J'=4- [дг+у = 4,
Тогда 1 . или s . откуда < или
[\1х-у=4 [Vx"3'=2. U - J' = 64
|дг + у=16, U=34, fx, =12,
Ответ: (34; - 30), (12; 4)
I M. И. С канав и, группа А
321

U2x-y+ll-j3x+y-9 =3,
6Л02- \Ц2Х-у + и+ф~хТу^ = 3.
Решение.
(фх-у+11 = и>0,
Относительно и и v система принимает вид
Im2-v2=3, |(u-vXm + v) = 3, Jm-v = 1,
1 u + v = 3 [и + v = 3 1 и + v = 3,
Тогда
]фх-у+11 = 2, f2x-;y+ll = 16,
[i]3x+y-9=l [3x+y-9 = l
откуда
2x-y-
3x+y =
= 5,
= 10,
откуда
f.-з.
b=i.
Ответ: (3; l)
6.103.
&$•>•
у]5х + у + ^/5x - у = 4.
Решение.
ОДЗ:
5д: + у>0,
5д:-у>0,
^>0.
П7 2
Пусть , — = z>0. Тогда z — = 1 или z -z-2 = 0, где z#0 . От-
V х z
сюда z, = -1, z2 = 2 ; z, = -1 < 0 не подходит.
322

Тогда J— -^, — = 4, у = 4х .Из второго уравнения системы имеем
-J5x+4x + -JSx- 4х = 4, $9х + -Ух = 4, 4-Ух = 4, -1х = 1, откуда
находим х = 1. Тогда у = 4. Непосредственной проверкой убеждаемся, что
это решение.
Ответ: (l;4)
V^ + ^,/I = 12,
лгу = 64.
Решение.
6.104,
л:>0,
°Д3'Ь>о.
Перепишем систему в виде
W-$7+{76J?=i2, ^ Wi/tfy+yi)=и,
[лу = 64 [яу = 64.
Пусть ^ = и>0,а ^ = v>0 . Тогда имеем
jMV(«+v) = 12,
1. б..б _ ,. <
(uvf(u + v) = \2,
uv = 2
|4(m+v) = 12, fu + v = 3,
[mv = 2 [mv = 2,
Гм, =1, \u2 =2,
откуда -^ или i
v,=2 v2=l.
откуда
f Xi = 1, \%1 - 64.
i или \
[у, =64 ^2=1.
Ответ: (1;64)(б4;1)

6.105. i
fo-y? -i.
Решение.
f|x + ^ = 3,
Из условия имеем i. . Из этой системы уравнений получаем
следующие четыре системы:
\х + у = -\ {х + у = -3, \х + у = 3, \х\у = 3,
Складывая н вычитая уравнения каждой системы, найдем ее
решения:
*1=-2, |х2 =-1, |х3=2, fx4=l>
Л=-1. V2=-2, [Уз=\ [У* =2.
Ответ: (-2;-l)l(-l;-2)l(2;l)l 0;2)
6.106.
w+v = Vuv +3.
w = x ,
v2=/.
Решение.
ОДЗ: Mv > 0.
„ fi/u = x > 0, f и = j
Пусть < <
|yv=j>>0, [v=i
Относительно д- ну получаем систему
+ / = *У +13, ^ |(^ +/J _2л:У = *У +13, ф
(хг+у2]-Зхгуг-П = 0,
Л"2 +у2 = ху+3.
Из первого уравнения системы имеем
(ху + 3)Р-3;еУ-13 = 0, л-У + 6ху + 9-Зх2у2 -13 = 0,
324

xy = 2, (xy = 1,
(x+yf=3xy + 3 ШШ 2) {(x+y)2 = 3xy + 3,
откуда находим
[л:, =1, \х2=2.
л =4 № =
*3 =
Уз
л/б-ч/2
2 '
■JZ+J2
х4 =
74
41 + -Л
2 '
■Л-Л
|Л" = 1, |и,=1, {Л" = 2, |и2=4,
Тогда|Л = 2, Ь-4; {Л = 1, Ь=1;
Уб-ч/2
2 ' k=2-V3,
Тб+,/2 lv, =2 + Д
л/б+,/2
■J6-Jl v4=2-V3.
u. =2 + V3,
Ответ: (l; 4), (4;l)t (2-7з~;2 + Л) (г + 73;2~7з)
6.Ю7. yx J? 3
[xy = 9.
Решение.
\x>0,
ОДЗ:
h>>0.
Пусть < где и > 0 и v > 0 .
Относнтельно м н v система уравненнн прнмет вид \и v 3 '
uV=9.

Учитывая, что и > О, v > 0 , получаем
4
u + v _4
uv 3
uv = 3 [wv = 3
vx =1, fx, =1, U/x =3.
и + v = 4,
= 3,
откуда
«1=1. j«2=3>
= 3; lv,=l.
6.108.
Тогда , _ , , _ ,
[■Jy=x 1л=9; №>=i, b=i-
Ответ: (v,9),(9;\)
У$.-^х~уУ +iafe + Jx + yY =5,
[Л^—Jx-yY -sfy + Jx+yY =3.
Решение.
Перепишем снстему уравненнй в виде
= 5,
= 3.
2-Jx~y 2 + ^х + у
4 5
,/л:~.у 2+^х+у
\х-у >0,
ОДЗ: |х+у>0,
[х-у#4.
Пусть
1
2-~у]х~у
1
Относительно w и v система уравнений прини-
2 + ,/х + .у
мает вид
|3M + 10v = 5,
|4u-5v = 3.
Отсюда получаем и -1; v = — . Тогда
326

■Jx-y
2+yjx + y 5
2-Jx-y =1,
<
2 + yjx + y =5
jx-y=i \x-y = \,
jx + y=3 \x+y = 9,
откуда
\y=4.
Ответ: (5:4)
\x+y=2i.
Решение.
6.109.
Пусть
fy=v,
\y=v
' Относительно и и v система принимает вид
]M + v=4, Jm + v=4,
{m3+v'=28 [(u + vj^t1-uv + v2)=2i^'\
ju + v = 4,
** [mv=3,
откуда
fu,=l, fu2=3,
\v,=3; \v2 =1.
V*=l, lx,=l Wi = \ \x2=2l,
M + v=4,
((m + v)2-3mv)=7
Тогда 1 „, , „.
1^ = 3 bi=27; [з/^ = 1 Ь=1.
Omeem: (l;27), (27; l)
|^/x+;y +^/x-.y =4,
6.110.
Jx + y-i]x-y =i
327

Решение.
ОДЗ:
х+у>0, \х>-у,
Х~У>0, [X>y.
jx + y = н >0, \yjx + y =иг
Пусть
"х- у =v>.0, \<Jx—у =vz
Относительно и и v система примет вид
M + v=4, fM + v=4, Jm + v=4,
M2-v2=8<=>[(« + vX«-") = 8<=>l«-v=2,
е
' = 3, _, №+7 = 3, fx+y=81, f* = 4i,
откуда -^ Тогда ■{ , <=> J откуда •
у =40.
Ответ: (41; 40)
6.111.
x + j> = 5.
Решение.
ОДЗ:
л:>0,
у>0.
Перепишем систему уравнений в виде
i{jx~+S>)=-i4v>,
Ух~ + 4у[-4х~у: = 5
{\х +Jy =и,
где w £ 0 и v > 0 . Тогда
2u = 3v,
<
-2v = 5
_2и
' 3 '
_2и
: з '
2и
M2-2v = 5 »'-2-j=5
_2и
= 3 '
Зи2-4и-15 = 0.
4 4
Из второго уравнения tf| =-—, u2 =3; их =— не подходит.
Тогда v = 2 н

x+2jxy+y = 9,(x + y = 5,
ху = 4 \ху=4.
Используя теорему Виета, находим:
Ответ: (4; l), (l; 4).
lJx~ + J>>=10,
6.112. ,_ V-
Решение.
[х>0.
ДГ| =4, \хг =1,
Л =1; Ьг =4-
ОДЗ:
[j>>0.
Пусть j
\i[x = и > О, fV3c = и:
[^ = 1,20, |-/y=v2
Относительно и и v система имеет вид
lMz +vz =10, (
[u+v=4
откуда
|«,=1, /и2 =3,
V,=3; \v2=l.
Тогда
(m + v)2-2mv = i0,<=> f«v = 3,
u + v=4 \u + v=4,
4>/л" = з;
4/^ = 1 °b=81; b=l.
Omemi: (l; 8l). (81; 1>
6.113.
x + a | у
х + ^ = х^+д.
=2,
329

Решение.
\х + а
Пусть - =/, где / > 0. Относительно / уравнение принимав
1 ? у 1-х + а
вид /+ =2,? -2? + 1 = 0,(/-1г =0, откуда 7 = 1. Тогда
х + х + а = х(х + а) + и,х + {а~2)х = 0,х(х + а-2) = 0,
откуда л'] =0,л2 ~2-а. Тогда у, = я, v2 ~2.
Ответ: чат й*0, то -vt=0, ух = «, л2 —2- a, v2 =2; если <г=0, го
х = у = 2.
vJlx-xJlv =6,
6.114. v
Uv3-.v2v-30.
Решение.
0ДЗ: Lo.
Перепишем первое уравнение в виде -Jl^xy —^x~y) = b и
положим V-v-v" = "■ \Х~У ~ v- 'Ж и>0, v>0. Тогда система относительно и
и г примет вид
JV2(.,-v) = 6. J„-v-*/2, kl' = 3^-
1 , , «Н <=Н 30 <=>
l«--v2=30 [(w-i>)(« + v) = 30 " + ,' = T7J
[u-v = 31/2,
, откуда u = 4V2, v = V2.
[w + v = 5V2,
330

Значи г
Д? = 4,/2, |лг =32.
/?7=^2 [х2у = 2.
Перемножив эти уравнения, получим х i J = 64, откуда лт = 4. Окон-
2 1 32 .
чагельно находим -v =
Ответ. (- ; 8).
2
4 2'
6.115.
[^+^=з,
Решение,
Пусть
[y = v
Относительно w и v система принимает
и + v = 3,
H+v = 3,
»v = 2,
u + v-3,
<
(k + v)2-3w = 3
» + v=3,
32-3»v = 3
'2=2, f^ = l,
откуда •{ ' , ■! Тогда \ откуда
■ -2: ("2=1- [^ = 2,
[V7=2, Г, = 8.
^ откуда ^
Ответ: (1;8)Д8;1).
Vu-VV = 1,
6.116.
Ii/w+i/v =5.
331

Решение.
fu>0,
°Д3ф>о.
Пусть \ Относительно хну система принимает вид
[Ъ=у>0.
х-у = 1,
x2 + v2=5(
х-у = \ (х-у~\, jx-y = l,
(x-yf +2ху = 5 ** [1 + 2ху = 5 **\ху = 2,
fjf, = -I, U2=2, |х,=-1<0,
откуда { { { не подходит.
Ь=-2; \у2=К V,=-2<0
№=2, f« = i6,
Тогда \ <=>^
Ответ: (16; 1)
fx-y = 8a2,
6.117. | г- г-
Решение.
\х>а,
°Д3:Ь>о.
Перепишем систему уравнений в виде
(>/* "4у V* + 4у )= 8«2. ^ [(>/* -4)>)'4а = 8а2,
-Jx+-Jy=4a [Jx+Jy=4a.
,. тт о f^--/y=0, Г* =0,
1) Прня = 0имеем^ откуда^
-, „ „ \Jx-Jy=2a, \-Jx=3a, \х2
2) При а ф 0 имеем ^ откуда J <=> j
при я > 0 .
:9«z

Ответ: если д = 0,то х, - у, =0;если я>0,то х2 =9д2,^2 =д2
если д < 0, 0 .
6.118.
р + _у \х~у
\х + у \х~у
[8 V 12
Решение.
\х+у>0,
ОДЗ:
x-v>0.
Обозначим •
где и > 0 и v > 0 .
fw + v=14,
Относительно ми уснстемапрнннмает вид ^ и v <=М
U 2 l
Ги = 10
откуда ^ Тогда
у=4.
jx=124,
откуда j^ = 76
= 10,
\х+У _
2
)х->' _
{ 3
100,
16
х + у = 200,
х-у = 48,
Ответ: (124;7б)
■Jx~Jy= 0,5 Jxy,
6.119. ^ ,
х + у =5.
Решение.
ОДЗ:
Гх>0,
Ь>0.

Пусть < где и > О н v > О.
Относительно и н v система принимает вид
m-v = 0,5uv, fu-v-O^wv,
u2+v2=5 j(u-v)2+2Mv = 5
=> (0,5uvf +2uv-5 = 0, 0,25(Mv)2 + 2mv-5 = 0,
откуда uv = -]0 илн mv = 2; mv=-I0<0 не подходит. Тогда
Jm-v = 0,5mv, fu-v = l, f« = 2, [Vx=2, fx=4,
|»v = 2 ~[m> = 2, 0TKy№{v = l; |^ = 1) |r = l-
Ответ: (4;l)
и x2 —корни данного уравнения.
Решение.
-г _2 11 *,2+*2 (x1+x2)2-2xlx2
{x)X2f
По теореме Внета xt + х2 ~—, xt -x2 -
*Т-2 - —- —
-2 -2 I а ) а а2 а Ь2 -2ас а2 Ь2 -2ас
Х\ +*2 -~
а"
oz -2ас
Ответ: ? ■
J_ 1
6.121. Составить квадратное уравнение с корнями г н если
х{ и х2 — корни уравнення ах + Ьх + с = 0 .
334

Решение.
1
Пусть у + ру + д-0 есть нскомое уравнение с корнями
f ь
\хх + х2 =—,
-_L ] "
i ~ .Из условия по теореме Внета имеем ] с
хг \хгх2=-.
Л =
Т0ГДа Ьл -9-
Отсюда
/ \ Г I О Xi+x2 b с b
Р=-(у1+У2) = -\— + — =—' Ls-:-=_>
I х{ x2 J Х\Х2 а а с
=— _L=^
Получили уравнение у2 +~у + ~=0, д ■ с * 0 , « су2 + by + а = 0 .
с с
Ответ: су2 +by + a=0 прн а ■ с Ф О .
6.122. Составить уравнение второй степени, один нз корней
которого был бы равен сумме, а другой — пронзведенню корней уравнения
ах +bx + c = 0 •
Решение.
Пусть у2 + ру + q = О — нскомое уравнение с корнями yi = х{ + х2,
Уг = xi' х2 ■ По теореме Внета имеем
b
у] = х{+х2 = —,
с н i
у2 =хх-хг =- К -у2 =д.
а
Отсюда р = -(у1 + у2) = = , д = у,у2=—=г- Получили
а а а а1
уравнение
335

у2 + у -=0<=>fl2v2 +a(b-c)y-bc = 0 .
а а1
Ответ: а2у2 + a(b-c)y-bc = Q.
6.123. Составить уравнение второй степени, корнн которого были
бы на единицу больше корней уравнения ах + Ьх + с = О .
Решение.
Пусть у2 + py + q = 0 —искомое уравнение с корнями >,I=x]+l,
у-у =х2 +1. Из условия по теореме Внета
{ Ь
J a тогда
с
\х\ -х2 = -,
1у] + у2 = jt] +1 + х2 +1 = X] + х2 + 2 = — + 2 = -р,
У\'Уг~ (х\ +^ХХ2 +!)=*]*-> + X] + х2 +1= + ! = <?,
а а
f =b~2a
a-b + c
Получили уравнение
2 b—2a a—b + cn it, „ \ , п
у + у + = 0<=>aj> + (b-2a)y + a-b+c=0 ,
а а
Ответ: ay2 +(b-2a)y + a-b + c = 0.
6.124. Определить коэффициенты квадратного уравнения
х2 + рх + q =0
так, чтобы его корнн были равны р и q .
Решение.
{p + q=~p, [2p + <7 = 0,
По теореме Виета ч ~ .. ,
V?=? l?0>-i)=o.

Из второго уравнения системы имеем q = 0 ила р-[ = 0. Тогда
?1 =0, р, =0; рг =1, q2 =-1рг =-2.
Ответ: р, = qt =0; р2 = 1, q2 = -2 .
6.125. Найтн коэффициенты Л н В уравнения х2 + Ах + В =0, если
известно, что числа Л н 5 являются его корнями.
Решение.
По теореме Внета
\А + В = -А,
\АВ=В
2Л + В = 0, U=0,
Л2=1,
В, =-2.
[в(л-1)=о \в,=о
Ответ: А, = В, = 0;А2 =\,В2 =-2.
6.126. Прн каком целом значеннн & однн из корней уравнения
4х2 -(3fc + 2)x + (fc2 -l)=0 втрое меньше другого?
Решение.
Из условия по теореме Внета имеем
Ък + 2
4 '
■2-1
х, = 3х.
_3fc + 2
4 '
_ fc2 -I
4 '
= 3х,
3/i + 2
Xi -~
16
х2 = 3хь
3fc + 2
16
где hZ. Отсюда 37* -36&-76 = 0,
дит).
38
*i =2, к2 = е 2 (не подхо-
Ответ: к — 2.
6.127. Прн каком целом значении^ уравнения Зх2 -4х + р-2=0 н
х -2рх + 5 = 0 имеют общий корень? Найтн этот корень.
Решение.
Пусть X, — общий корень, тогда
J3x2 -4х, + р-2 = 0, J3x,2 -4xi + P-2 = 0,
[х1 -2pxt + 5^0 [Зх2-6рх|+15 = 0
=>-4х,+6рх, + р-2-15=0, (бр-4)х,+р-17 = 0,
337

откуда хх = — . Из второго уравнения системы имеем
fin—4
6р-4
И^Р.) _2p[22z£ +5=0, 12р3-31р2-138р + 369 = 0,
12р3 -36р2 +5р2 -15р-123р +369 = 0,
(l2/>3 -36р2)+(5р2 -15p)-(l23p-369) = 0,
12р2(р-3)+5р(р-3)-123(р-3) = 0,
(р-3)<12р2+5р-12з)=0.
, 41
Отсюда р-3=0, р, =3,илн ]2р +5р-]23 = 0,откуда Рг =_Т7,
41
Рз = 3; Р2 = ~тт не подходит. Таким образом, р = 3 , тогда х = 1.
Ответ: х =\, р = 3 .
6.128. Найтн все значения д, прн которых сумма корней уравнения
х2 -2а(х -])-]= 0 равна сумме квадратов корней.
Решение.
Ixi +x2 =2а,
Поусловию д:2-2яд: + (2я-]) = 0.ПотеоремеВнета 1 _, ,
Далее,
х, + х2 =^t + х\ -{хх +хг) -2xtx2 » Xi +x2 ={х{ + х2) -2х{х2 .
Используя значения X[+x2=2« н хгх2=2а-\, получаем
2д = (2д)2-2(2д-1), откуда 2д2-Зд + 1=(Ь ai =y, «2 =1 •
Ответ: си = — д? ^1.
2 ' 2
6.129. Прн каком значеннн д. уравнения х2 + дх + 8 = 0 н
х + х + а = 0 имеют общий корень?
338

Решение.
Пусть хг — общий корень, тогда
[х,2+а^+8 = 0, д-8
■^ => алг( -,v( + 8-а =0, .v( = .
[jc, +JC!+a=0 д-1
Из второго уравнения системы имеем
, . а3-24а + 72 . I
+ а=0, = ()»■
а-1 I la-lj (а-\)2
V-24а+ 72= 0,
а*1,
а3+21б-21б-24а + 72 = 0, (а3 + 21б)-24а-144 = 0,
^3+63)-24(а + б)=0,
(а + б)(г-6а + 3б)-24(а + б) = 0,
(а + б)(*2-6а + 12)=0,
откуда а = -6 . Для квадратного уравнения D < 0,0 .
Ответ: а = -6.
6.130. В уравненнн х -2х + с = 0 определнть то значенне с, при
котором его корни xt и х2 удовлетворяют условию 7х2 ~4xt =47 .
Решение.
j ЛС| + х2 =2,
Из условия по теореме Внета имеем -j*i -x2 =с, Отсюда
|7*2-4*, =47.
х2 =2-xt и получаем
\xl\2-xl) = c, \xl\2-xl) = c,
[7(2-jc,)-4x, =47 \jc, =-3.
Таким образом, с = -15.
Ответ: с = — 15 .
6.131. Не решая уравнения х -(2а + 1)х + а +2 = 0, найти, при
каком значении а одни нз корней в два раза больше другого.
Решение.
Из условия по теореме Внета имеем
339

1*1 +x2 = 2д + 1, |3л'| = 2д + 1,
х1 -х2 = Д2 +2, » J2.V[2 = д2 + 2,»
х2 -2xt be 2 =2х[
2д + 1
flz+2
*2
= 2*,.
Отсюда
Т--
3 2
2д + 1Т_ д^+2 4д-+4д+1_д^+2
^ 9 2
<=>д' -8д+16 = 0»(д-4)2 =0.
Таким образом, д =4 .
Ответ: д = 4.
6.132. Прн каком значении р отношение корней уравнения
х2 + рх-\6 = 0 равно -4?
Решение.
По теореме Виета и условию имеем систему
= -4
-Зд:, =-р,
-4х,2=-16
л, + Л"2 = — р, \xt+ х2 = —р,
Xt ■ Х2 = -16, <=> -j X[ ■ Л"2 = -16, =>
х2=-4х1
х -Е-
*?-4.
*i-4*, =-/>, ^
х1(-4х1) = -16
Таким образом, — =45откуда р2 =36,или ptj2 =±6.
Ответ: р^ =±6.
6.133. Не решая уравнения Зх -5лс -2 =0 , найти сумму кубов его
корней.
Решение.
По теореме Виета и условию имеем систему
340

\x,-x, = --
x\+x\ = (x, + x2\xf -хххг + *f )=(*, + x2j[x, + x2f -3Xlx2).
Отсюда' хх +x\
з_5
215
' 27 '
Ответ:
215
27 '
6.134. При каком целом значении 6 уравнения 2* + (36-l)x-3=0
и 6х2 -(26-3)х-1 =0 имеют общий корень?
Решение.
Пусть хх —общий корень. Тогда
2x,2 + (3fe-l)x1-3 = 0,
6д:,2-(2й-3)х1-1 = 0
6х2 + (96-3)х-9 = 0,
6х2-(2Ь-3)х1-\ = 0~
<=>(96-з)х + (26-3)х-9 + 1 = 0, х =
life-6
Из первого уравнения имеем
116-6
34
99
34
|-(36-1
, Ъг =2;
116-6
-3=0, 996' -1646-68=0,
6. не является целым значением.
1 99
Ответ: 6-2.
6.135. При каком положительном значенни с одни корень уравнения
8х2 -6лг + 9с2 =0 равен квадрату другого?
341

Решение.
По теореме Виета н условию нмеем систему
хх + х2
х1 " х2 ~'
v - v2
Х2 -Х|
, 1
--»2
8**4'
9с2
хг-хх,
*!+*? =
хх ■ хх
_3
~ 4'
9с2
4*1+4^,-3 = 0,=
з 9с2
Отсюда получаем с2 - -3 или с2 = —; с = -3 < 0 не подходит. Тог-
1 I 1 л
да Cj = —, с2 =-; С| = — <0 не удовлетворяет условию.
Ответ: с=—.
3

Решения к главе 7
ЛОГАРИФМЫ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ
Степени с действительными показателями
а0"!, (7.1)
где 0° не имеет смысла;
а~" --v(a*°), (7.2)
а
где п - действительное число;
д»2^(д>0)> (7-3)
где тип- натуральные числа;
„а-)>
(7.4)
(7.5)
Ifi'Jmd^, (7.6)
где а и Р —действительные числа.
Показательная функция
Показательной функцией переменной* называется функция
у = ах,
где а - данное число.
343

Если а< О, то функция ах определена только при целых и при
дробных значениях х (если знаменатель дробного показателя- нечетное
число). Если а = 0, то выражение О* определено при х > О. Если а > О, то
функция ах определенапрнвсехдействнтельныхзначенияхд:,причем
прн а = 1 имеем ]х = 1, т.е. функция равна постоянному.
В дальнейшем показательную функцию ах будем рассматривать прн
а>0 Haiti.
Основные свойства показательной функции
у-ах при а> О, я*1:
1. Показательная функция определена прн всех действительных
значениях х(хе R).
2. Областью изменения показательной функции служит множество
всех положительных действительных чисел, т.е. у е (0, + «.).
3. Прн а > 1 показательная функция строго возрастает, т.е. нз
неравенства jcj < х2 следует неравенство a* <aXl . Причем если
хе (-°°;0), то ye(0;l); если а- = 0, то у = \ ; если х<= (0;<*>), то
ye (j; + °o), т.е. если хе (-<*>;+<*>), то уе (О;+ <*>); у -»0 прн х -»-оо н
^->+оо при х-^+оо. ¥
4. При я е (0; l) показательная функция строго убывает, т.е. из
неравенства лс, < х2 следует неравенство а*1 > ах*. Причем если х е (- оо; 0),
то >-е (l; + oo); если х = 0,то >- = 1;еслн хе (0; + <*>), то ye (0;l), т.е.
если хе (-°°; + °°), то уе (0; + °°); >--»+<» при х ->-оо и у-»0 прн
л; ->+оо.
5. Характеристическое свойство: значение показательной функции от
суммы равно произведению значений этой функции от слагаемых, т.е.
а*+Х2=аХ1-аХ2.
Логарифмы н нх свойства
Логарифмом числа Ь по основанию а называется показатель
степени, в которую надо возвести число д, чтобы получить число b: loga Ь = х,
если ах =6,или
al0^b =b- (7-7)
344

В дальнейшем основание логарифмов будем считать положительным
и отличным от единицы (а>0,д*1).
Приведем некоторые свойства логарнфмов (при любом
положительном основании, отличном от единицы).
1. Логарифм единицы равен нулю. т.е. log,, 1 = 0.
2. Логарифм основания равен единице, т.е. Iog^o =1.
3. Для любого положительного числа b существует, и притом только
одно, такое действительное число а, что bg„ b = а.
4. Hi равенства logw х} = log,, х2 следует xs ~ х2 (и наоборот).
Основные правила логарифмирования
1. Логарифм произведения двух или нескольких положительных
чисел равен сумме логарнфмов этих чисел, взятых по тому же
основанию, т.е.
bgfl(6-c) = Ioge6 + log(,c. (7.8)
Замечание. Логарифм произведения нескольких чисел, если оно
положительно, равен сумме логарнфмов модулей этих чисел, взятых по тому
же основанию, т.е.
\og(l(brb2...b„) = \oga\bs\ + \oga\b2\ + ...+
+ Iog>wj (brb2...b„>0). (7.9)
2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности
логарифмов делимого н делителя, взятых по тому же основанию, т.е.
^ga-^\ogab-\ogac. (7.10)
с
Замечание. Логарифм частного двух чисел, если оно положительно,
равен разности логарифмов модулей делимого н делителя, взятых по тому
же основанию, т.е.
k>g0- = loge|6|-Iogfl|cl (bc>Q). (7.11)
с
3. Логарифм степени положительного числа равен произведению
показателя степени на логарифм ее основания (логарифмы взяты по тому же
основанию), т.е.
log(lbc = c\ogab. (7.12)
345

Замечание. Логарифм положительной степени числа, отличного от
нуля, равен произведению показателя степени на логарифм модуля ее
основания, взятый по тому же основанию, т.е.
loga6c=clogfl|u| [be>o). (7.13)
Формулы перехода от одного основания логарифма к другому
1. Логарифм числа по данному основанию равен логарифму этого
числа по новому основанию, деленному на логарифм данного
основания по новому основанию, т.е.
Log„iV = ^. (7.14)
log,, a >■ I
1
Множитель - называется л/од улел* перехода.
log,, я
2. Из формулы (7.14) при N = Ь получаем
3. Часто в логарифмических преобразованиях пользуются
тождествами
log/JV = ilog|fl|JV (</">o) (7.16)
log, j N
log,feA^ И (ab>0)
l+l0gjfljfe
(7.17)
Логарифмическая функция, ее свойства и график
Логарифмической функцией называется функция вида
У - logfl х,
гдед>0, д*1 их-независимаяпеременная.
По определению логарифма выражение у = logfl x означает то же,
что и выражение ау = х , т.е. логарифмическая функция есть обратная
функция по отношению к показательной.
346

Основные свойства логарифмической функции
1. Логарифмическая функция определена при всех положительных
действительных значенияхх (нуль и отрицательные числа при
положительном основании логарифмов не имеют).
2. Областью изменения логарифмической функции служит
множество всех действительных чисел уе (~оо;+оо).
3. При д>0 логарифмическая функцня возрастает, т.е. если
0<xs <х2, то logfl Xj <logfl х2. Причем если хе (0;l), то уе (-<*>;0);
если х = 1,то ;у = 0;если хе (1; + °°),то ye (О; + <*>),т.е.если хе (0;+°о)5
то ^е(~оо; + оо); у-*-**> при х -»0 и >--»+°° ПрИ х _»+оо.
4. При 0<д<1 логарифмическая функция убывает, т.е. если
0<x,<x2,to logflx, >loga x2. Причем если хе(0;1),то уе(0;+°о);
если х = 1,то у~0;если хе (l;+<*>), то уе (-*>;0), т.е.если д:е(0; + »),
то у е (-<*>;+ <*>); у-*-**> при х-»+оо и ^-»-н» при х ->0-
5. Характеристическое свойство: значение логарифмической
функции от произведений двух положительных чисел равно сумме значений
функции от каждого из чисел:
loga(x, x2)=logflx, +logex2.
Показательные уравнения
Показательным называется уравнение, содержащее неизвестное
только в показателе степенн.
Рассмотрим несколько типов показательных уравнений, решаемых
методами элементарной математики.
Показательные уравнения рассматриваются в множестве
действительных чисел. Проверка найденных значений неизвестного по
условию уравнения при решении показательных уравнений в общем случае
обязательна.
1. Уравнение вида ''
ах=Ь (7.18)
называется простейшим показательным.
Рассмотрим уравнение (7.18) при а > О и а ф 1. Если b > О, то
уравнение имеет единственное решение х = log([ b . Если Ь <■ О, то уравнение
решений не имеет.
347

2. Показательное уравнение вида
afi{x)=bf^\ (7.19)
где д >0,д *1, Ь>0,6* 1,а fxixifjix) —заданные элементарные
функции, логарифмированием приводится к виду
fi(x)logea = f2(x)logcb.
Если последнее уравнение решается методами элементарной
математики, то тем самым решается уравнение (7.19).
Логарифмические уравнения
Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее
неизвестные только под знаком логарифма.
Логарифмические уравнения, как и показательные, рассматриваются
в множестве действительных чисел. Проверка найденных значений
неизвестного по условию уравнения в общем случае является обязательной.
1. Уравнение вида
logfl x = b, (7.20)
где х - неизвестное, ааиЬ- заданные числа, называется простейшим
логарифмическим.
Если а > 0 и а ф 1, то такое уравнение при любом действительном
значении b имеет единственное решение
х=аъ. (7.21)
2. Логарифмическое уравнение вида
loge >;(*)= loge/2(*} (7.22)
где а > 0 и а ф 1, после потенцирования приводится к виду
/iW = /2W- (7-23)
Корнями уравнения (7.22) будут только те корни уравнения (7.23),
при которых /i(x)> 0 и /2(х)> 0, т.е. корни, принадлежащие к области
определения уравнения (7.22).
3. Логарифмические уравнения вида
/(logavW)=0, (7.24)
где f(t) и у(х) —некоторые заданные функции, заменой loga у(х)= t
приводятся к уравнению f(t)~0 .
348

Показательно-логарифмические уравнения
Если неизвестное в уравнении входит в показатель степени и под
знак логарифма ил и в основание логарифма, то такое уравнение
называют показательно-логарифмическим.
Показательно-логарифмические уравнения чаще всего решают,
логарифмируя обе части уравнения, н приводят их к логарифмическим
уравнениям.
При решении систем показательных и логарифмических уравнений
в основном применяются те же способы, что и при решенни систем
алгебраических уравнений (подстановки, алгебраического сложения,
введения новых неизвестных и Др.).
Упростить (7.001 -7.015):
7.001. 'V25Ios<'5 +49,OSs7.
Решение.
rjz—— .
V25,og>5 +49,08!7 = V52,ogi 6 + 72,og' = V5,og! 6' + 7,OE'8! =
= i/62+82 =10.
Ответ: 10.
I 4
7.002. ei'08'3 +27,OE'36+3Iog''.
Решение.
' < зг 36 i, 7 2
glIog53+27I„g»36+3Ic>g,9=34Ioei5+3Jos> +32OS' =5"+362+49 =
= 625 + 216+49 = 890.
Ответ: 890.
7.003. -log2log2l/V2.
Решение.
-log2log2VV2 =-log2log228 = -log2-log22 = -log22 ~3 =3.
О
Ответ: З.
349

7.004. -log3log33VV3-
-log3 log3 V^/3 = -log3 log3 39 = -log3 -log33 = -log3 3"2 = 2.
Ответ: 2.
7.005.
27Io&3 +5Io6:549
3 + 5Io&625 .5Io653*
Решение.
27Iog23 +5!о§2549
gjIog49 _gbg49
(33)o8j2+5loE527iY(92Jo8H_^Jo8!23=
3+51о8!24=.з
Г3ЮВ,2' +5Iogs7 Y9Iog,4= _2Iog23> ^ ^ +7^2 _зз
15-(-ll)
3 + 5tofo4-3
-11.
3+4-3
15
Ответ: -11.
7.006. 36,08«5 +ioHe2 _3r°8>36
Решение.
36,08«5 +101"'82 -3r°b36 =62Iog65 + _L5 3l°8j26! _
It)'82
= 6,0f'5!+^-3'08'6=52 +5-6 = 24.
Ответ: 24.

7.007.
Решение.
^V8»4 +25i°gl2i8 I.49108'2.
„гз-Чи-*»'
49
log, 2 .
h52Iog!32J
(3
+ 4 -4=19.
_72Iog,2 _
Ответ: 19.
I
7.008. - ^ yifie^ -125,08«6
409
Решение.
1_ _Л-
[1о8!9 +3,08Л3 (,гу±_
о 1 log, У о «Л /f-\ Z , <
— ШГ8^7 -125108"6
409 lv '
,2Iog,25
у2 I _53I°gj'
409
7Iog,25_5Iogs62
Ответ: 1.
1 9Iofie52 +3Iog3
409
з Y з >
25+ 62
25-62
409
625-216 _
409
7.009.
( i i i i A
jylogj" . jyIog,AT .jylogstf ...jylogsu"
(основания
логарифмов представляют собой идущие подряд натуральные степени числа 2).
351

Решение.
( l i I I A
xrIog3W _jyIog4W jyIogB^ ... xrIogsi2^
= (дг1о8«2 .дг1»**4 .jylog*» ___yog„5I2V; _
= (2-4.g.-512)i7=^-22-23-2'^ = ^+2+3++9)B.
Выражение Sn =1 + 2 + 3 + ... + 9 является суммой членов арифметн-
_ а, + ап
ческой прогрессии, где я, =1,d = l,an = 9, л =9. Тогда оп ^——~п~
i ^
= —-9 = 45.Отсюда fc45P=23 =8.
2
Ответ: 8.
7.010.
Решение.
(2'°1К° .jtoto^+i)" _2а):Г74'08"" -50'5"'8''3" -1
Г2'ое«° _з,08=^(''!+^', -2al: f74,og»° -5°'5'°8^° -1
-^'"fo»' _3l08i(°2+I)_2aYf'7IO8'',! _5,08s° -{]=
tl2-a-l) ( 2 \ 2
^ '--(a + a + lj=a + a + l.
-2a-\
a -a-1
Ответ: a2+a + l
log. Va -1-log,/. Va -1
7.011. — -^
logal(a2 -lJ-log^Va2 -1
Решение.
log. УТИ -log2, VT^i _ ^'°E,("2 -l)^l°g2("2 -0
log^^-O-log^^M Ilog„(,2-l)-Ilog„k2-l)
352

log^ -lj=logaVa -I.
Ответ: loga va —1.
_2_+J 2 ^
7.012. я1о£ла+ ■b-la10*"1'*1 -blo&ha+l + ablog"b+ .
Решение.
a'08" .u-2a'08-w-u'08''",+aul08-<' =a-a2,08-',-u-
-2aa,oe'b -bb1"^ +a-b-b2l0Si" ^aaloe-b' -b-labbaA
+a-fe-u'08'"' =ab1b-la1b1 + aba2 =аЬг -2a2b2 +aba2 =
= a9 -2a2b2 + a3b = ab(b2 -2ab+a2)= ab(b-af =
= ab(a-bf.
Ответ: ablp-bf.
7.013.
252to*«25+21og2log2log2a2toe'<
Решение.
252,08»25+21og2log2log2a2b8-4
\fe,°*>»f+2log2log24W,°*iY-S
|(49^+21og22
1-я
Ответ: l + a.
12 M. И. Ска нави, группа А
l
■»-
-Я
-й2
(7 + 2).i-«2
1-я
353
1-я2
= 1 + 0.

7.014. (log„6 + log6a + 2Xlog1I6-logeb6)logjfl-l.
Решение. ,
(log06 + log6a + 2Xlog„4-log„46)logba-l= log„fe + —- + 2 x
log„6
\oggb ~) 1 log^fc+21ogafc + l
log„ ab Jlog„/> log„ b
log» 6
" log0a + log0u J log„fe
(log, ft+ 1? Г ^Jog^fe ^ 1
inn к \ 1 _l_ Inn
-1 =
f log,, fe)log„ 6
— * I"™" 1 + log„ b (log,, 6
Jo^b + lf Г ' "l ' , = (log. 4+ 1^ + 106,6-1)
log, 6 " [ l + log>jlog7*
— 1 = log„ 6 +1 -1 = log„ 6.
Ответ: loga 6.
1-log J 6
7.015. ~ -■
(log„u + logba+Ologa-
o
l-log„6
(l-logao)^ + logao + log^o
(loge6 + logba + l)-log0^ logai + -J— + 1 Ylog.a-logJ
_t-'°E.p)^ + log.° + log.°)log.f'_1 fe
togj6 + l + loge6)(l-log«*)
Ответ: logfl 6.
7.016. Если logfl 27 = b, то чему равен log j^
Решение.
6r L, 1 11
log rr va = — -21og4 a = - = - = —.
Ь 6 Б3 31oga3 logu27 6
Ответ: —.
354

7.017. Показать, что при условии х>0 и >->0 из равенства
д-2 +4у2 =[2ху следует равенство lg(x+2>')-21g2=0,5(lgx+lg>')
Решение.
Из условия имеем: (x+2yf -2х-2у = \2ху, (x+2yf =1вху.
Прологарифмировав обе части полученного равенства по
основанию 10, получим:
lg(x+2yf =lgl6xy, 21g(x+2;y)=lgl6+lgx+lg:yI
21g(jc+2^) = 41g2+lgx+lg^ lg(x+2^)-21g2=0,5(lgx+lg^)
7.018. Вычислить сумму 2 х + 2~Л,если4Л +4"х =23.
Решение.
2Х+2~Х ==fyx+2~vj =л/4х+4-,г+2=л/23+2=л/25=5.
Ответ: 5.
7.019. Доказать, что если у = 2 и z = 2^ ,то х = ±.J0,5 log2 log2 z ,
и указать все z, при которых х принимает действительные значения.
Решение.
По условию у > О и z > О. Прологарифмировав обе части равенства по
основанию2,получим iog2 ^ = log,2х , log2 y = х2,откуда x = ±^j[og2y ■
Аналогично z=2y => у =-N/log2z .
Таким образом, x = +^log2 ■N/log2z = ±y0,51og2 log2z . Отсюда
log2log2z>0, log2z>l, z>2 .
Ответ: z>2.
Решить уравнения (7.020 - 7.046):
7.020. fl+^llg3 + lg2 = rg^7-3I/,:).
Решение.
[x*0,
ОДЗ: {27_3l/,>0.
355

;3 2*+ig2 =
27-3 v
,нл
;lg
27-3»
2-3 2x =27-3*. 3*+6-32*-27 = 0.
j_ j_
Это уравнение, квадратное относительно 32х; найдем 32л = -9,
которое не подходит, и 31х = 3, откуда х ■■
Ответ: —■
7.021. 31og52 + 2-A: = log5(3v-52-*)
Решение.
ОДЗ: 3*-52~*>0.
1
log
8 + 21og55-log5(3*-25-5")=x»log5
8-25
3*-25-Г-
200
откуда = 5* <=* 15* =15 .Такимобразом, х=2 .
з*-25-5-»
Ответ: 2.
7.022. T/log3;t9-41og9-/3x=l.
ОДЗ:
:>0,
log3 х > 0, х > 1.
1/log3 х9 =l+41og9-\/3x <=» -j9log]X = 1 + log3 Зл: <=>
<=» ,/9 log3 л: = 1 + log, 3 + log3 x в ^9 log3 x = 2 + log3 x.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
9 log3 х =4 + 4 log3 x + log2 x <=> logj x-5 log3 jc + 4 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно log3 x , имеем
(log,*), =1, (log3A:)2 =4 .откуда х, =3, х2 =34 =81.
Ответ: 3:81.

7.023. 1оёьлЗ-1оёЬл 2-0,5 = 0.
Решение.
ОДЗ:
[1-*>0,
3 3 / 9 5
Из условия logj^- = 0^ e$- = jl-x=>- = l-x , откуда х = --.
2 2 4 4
Ответ: .
4
7.024. lg5 + lg(x + 10) = l-lg(2x-l)+lg(21x-20)
Решение.
ОДЗ:
ЛЧ-Ю>0,
2*-1>0, х>
2U-20 > 0,
20
lg5 + lg(*+lO)=lglO-lg(2*-l)+lg(2U-20)<==>lg50( + 10) =
= lg10.(2bc-20)^5(;( + l()b10.(2bc-20))
2х-1 2jc-l
откуда 2х2 -2Ъх + 30 = 0 . Решая это уравнение, имеем хх = 1,5; х2 = 10.
Ответ: 1,5; 10.
7.025. log2182-21og2V5-A: = log2(ll-A:)+l.
Решение.
[5-х>0,
ОДЗ:
11-л:>0,л:<5.
log2182-log2(5-A:)=log2(ll-A:)+log22=>log2J^-=logj(ll-A:)-2,
182
= 2(11-4
5-х
откуда х2 -16л:-36 = 0, х, --2 , х2 =18; хг =18 не подходит по ОДЗ.
Ответ: -2.
357

7.026. log5Vx-9-log510 + log5V2*-l=0.
Решение.
[д-9>0,
ОДЗ:{2х-1>0,,т>9.
Из условия
V(*-9X2*-l) Пц J(x-9llx-\)
10 10
=>(д--9Х2лг-1)=100,
7 7
откуда2д2-19д:-91 = 0, д, =13, д, = -TJ *2 =-Т не подходит по ОДЗ.
Ответ: 13.
7.027. lg(x + l,5)=-lgx.
л„„ [д+1,5>0,
ОДЗ: ■
[х > 0.
lg(x +1,5)+ lg x = 0 => lg(x +1,5 )х = 0 => х2 +1,5д -1 = 0,
откуда Xf = —, хг =-2 ; х2 =-2 не подходитпо ОДЗ.
Ответ: —-
2
7.028. 52(-,08!2','*'-2 = 5л+ь%2.
Решение.
\5 *+Ioes 2 j - 5 *+Ioes 2 - 2 = 0; решив это уравнение как квадратное от-
не имеет решений.
Таким образом,
5v*es2 = 2 => log5 5w,"b2 = log52, д + log52 = log5 2,
откуда х = 0 ■
Ответ: 0.
358

7.029. 0,25"* л+3-°'51°ь('2"') = JltT^T).
Решение.
[*+3>0,
ОДЗ: f2-^>0.3<.x<7
[1-х 2.0.
Ш условия имеем
(Vm^^-^^TTi, ^=^T7i, х-з = №П).
Следовательно, х2-4х-5 = 0 при х>3.=> х, =5,х2 =-1; х2 =-1
не подходит по ОДЗ.
Ответ; 5.
7-030. x]gsJjF*-[g25=0.
Решение.
A-lg5 5 =lg25, lg5 5 =lg52, 5 5 =52,
2х2 -8.x , , , „
= 2, х-4д:-5=0,
5
откуда л, = 5, хг =-1.
Ответ: 5; -1.
7.031. log50c-2)+logVj(x3 -2)+ log02(x-2)=4.
Реше/ше.
ОДЗ: х-2>0, х>2.
Из условия имеем
iog5(x-2)+21og5(x3-2)-logs(A:-2)=4> log3(x'-2)=2,
откуда л-3-2=25, л-3=27.Тогда т = 3-
Ответ: 3.
359

7.032.
2-lg4 + lg0,12
lg(y3x + l+4) -lg2x
Решение.
bt>0,
ОДЗ: |Зд: + 1>0, -х>0.
[lg(j3x+ 1 + 4)* lg2x,
Из условия
Зх + 1+4
|100-lg4 + lg0,12 = lg(V3TfI + 4)-lg2A:=>lgl55-J- = lg
4 2х
ч/з^+Т+4 /
3= . =>>/Зх + 1 = 6х-4, 6д:-4>0=>
2*
|3д: + 1 = 36д:2-48д: + 16,
]бд:-4>0
12л -17*+5=0,
х>л.
3
Корнями квадратного уравнения будут хх =—,хг =1; х, =— не
подходит.
Ответ: 1.
7.033. х'*5*""5'8* =0,0001.
Решены?.
ОДЗ: 0<л:#1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем
lg хы'xii%x = lgO.0001 => (lg3 x - 5 lgx)lgx = -4,
lg4x-51g2A:+4 = 0.
Отсюда §gx\ =-[, (lgx\ =1, (lg*), =-2 , (lg*), =2. Тогда х, =
x, =10. хъ = —- x, =100.
2 100 ' 4
Omeem.-U"^10;100-
100 10
360

7.034. lg(3*-2"-*)=2 + 0,251gl6-0,5;<:Ig4.
Решение.
ОДЗ: 3*-2"-* >0.
Из условия
lg(3" -24"')= lg100+ lg2 - lg2* => lg(3" -24-*)= lgi°^i,
3'-2"-*= —
2х '
Отсюда 6* = 216, откуда х = 3 .
Ответ: 3.
7.035. log3(81*+32*)=31og2790.
Решение.
Изусловня log3^1* +32*)=log3 90, 92* + 9" -90 = 0, откуданай-
дем 9х = -10, что не подходит, или 9х =9, откуда имеем х- 1.
Ответ: 1.
7.036. 3AT-log68* =log6(33*+A:2 -9)
Решение.
ОДЗ: 33*+х2-9>0.
H3ycnoBm3A: = log68* + log6(33,r + x2 -9) Зл: = tog6 8х(з3аг +х2 -9),
откуда 63'=8'(з3*+д:2-9) 33jr =33* + х2 -9 о х2 = 9.Тогда хи =±3.
Ответ: -3; 3.
7.037. log6(V +l^-log6^32-*2 + 9~)=log62-l.
Решение.
Из условия
log6^3,J+l'j-log/32-*49J=log62-log66,
3'\+1 -2, З2*3 2У1 3-0.
i 3*
+ 1
'* +9
= log6|
9-3'1' +9 6'
2
Решая это уравнение как квадратное относительно 3 , получим
3* =-1 (не подходит) или 3* =3 , откуда х ~hxu = ±1 ■
Ответ: -I; 1.
361

7.038. lg 6
7.038. lgl 625^'-20*+55 | = 0.
Решение.
!-20-v+55 .v!-20i+55
Из условия имеем 625-5 5 = 1, 5 5 =5 4, откуда
х2-20х + 55_
5
Ответ: 5; 15
= -4, х2-20х + 75=0. Тогда х, =5; х-2 =15.
7.039. Igfl0,«(,!-2i)y2^igx-ig25.
Решение.
0ДЗ:Р-21>°^>>Й.
[х > 0,
Из условия имеем
х2-21 л: х2-21 _ х
Ig(x2-2l)-lgl00 = lgx-lg25, lg- — = lg —,
BV ' Б Б ' Б 100 Б 25 100 25
Получаем квадратное уравнение х2 -4х-21 = 0,корнямикоторо-
го будут х1 ~ 1, х2 ~ -3; х1 - -3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 1.
7.040. lg(*2+l)=21g'(*2+l)-l.
Решение.
ОДЗ: х#0.
lg(x2 +l)=-TT \-1. !S2(x2 + l)+lg(x2 +l)-2 = 0.
№ + lj
Решая это уравнение как квадратное относительно lg(x2 +lj,
найдем lg(x2 +1)= -2 и lg(x2+l)=l. Отсюда x2+l = 0,01, x2=-O,99,0.
x2+1 = 10, x2 =9.Тогда х12=±3.
Ответ: -3; 3.
362

7.041. lg,/<F^)" + lllg2 = ll.
Решение.
*('3-0 I £йЫ
lg5 2 +lg2"=ll, IgU 2 .2»
Огсюдаимеем5 2 ■2,,=10,,,5 2 =5". Тогда- X, = U,
л:2-13л:+22=0, откуда x, =2 ; хг = 11.
Ответ: 2; 11.
7.042. 4lg5-l)=lg(2,+l)-lg6.
Решение.
4lg5-lgl0)=lg^+l)-lg6, .xlg-5- = lg^-ti,
lu 6
,g2-*=lgll±I, 2-'=—i, 22<+2^-6 = 0.
6 6
Решив это уравнение как квадратное относительно 2 х, найдем
2 * = -3 (не подходит), 2х ~ 2 , откуда имеем я- = 1.
Ответ: 1.
ig[8i.^
7.043.
Реше/ше.
г^— ',~"' - -я
Имеем81-л/3':^* =1, 3 3 =3'4, откуда-—— = -4, хг -8л:+12 = 0;
х, = 2; хг -6.
Ответ: 2; 6.
7.044. log, 9.x2. log, .х = 4.
Решение.
ОДЗ: 0<л:*1.
Имеем
'"Ез9а: -log2 л: = 4, (k>g39+log3x2)log3x=4, logl.v + log3x-2=0.
log3x
363

Решая это уравнение как квадратное относительно log3 x, найдем
(log3 х\ = -2 , откуда хх = - , (log3 х\ -1, откуда х2 = 3.
1 ,
Ответ: -£>->■
7.045. log5(3A:-ll)+log5(.x-27) = 3 + log5 8.
Решение.
ГЗх-11 >0,
°да|,-27>о, х>2г
Имеем
log5(3^-l l) + log5(x-27)=log5125 + log58,
logs(Зл:-11)■ (х:-27) = log3(l25■ 8i (3*-llX*-27)=12S-8,
Злг2-92х-703 = 0,
19 19
откуда находим х, =37, х2 --—; хг -—— не подходит по ОДЗ.
Ответ: 37.
7.046. lg(s-*)+ 2 lgvT^ =1.
Решение.
|5 - д: > О,
[3-л:>0,
Имеем lg(5-*)+lg(3-jc)=l>lg(5-j:X3-*)=l, откуда (s-*X3-x) = Ю,
х1 - 8л: + 5 = 0 . Тогда хх -4-л/ГГ, х2 = 4 + л/ГГ; л-2 = 4 + л/П не
подходит по ОДЗ.
Ответ:
7.047. Найти натуральное число п нз равенства
32-35-3g ■■■З3"-1 ^275.
Решение.
32+5*-+3"-' =315, 2 + 5 + 8 + ... + Зл-1 = 15.
В левой части уравнения имеем сумму членов арифметической
прогрессии Sk, где я, =2, а- = з, ак = Зл-1, к = ———+ 1= " +1 = и-
364
ОДЗ: i- -' х<ъ-

с а\+ак , 2 + 3/1-1 Ъп2+П
Тогда Ък ~ — к ~ п = , н уравнение принимает
~ 1
+"=15, Зл2+л-30 = 0, откуда „ = 3.
Ответ: 3.
вид
2
Решить уравнения (7.048 — 7.127):
7.048. 0,5^(д:2 -55л: + 9о)-lg(* -36))= lg>/2.
Решение.
р-55х + 90>0,
. |л:-36>0.
Из условия
0,5^g(x2-55x + 90)-lg(x-36))^0,51g2,lgJ:2~55^6+90 = lg2,
*2-SSx + 90_2
х-36
Имеем х1 — 57jc + 162 = 0 при хф36 ■ Отсюда х, = 54 , х2=3;
х2 = 3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 54.
7.049. lg(5-*)-ilg(35-A:3)=0.
Решение.
fS-*>0, ,,—
ОДЗ: \ , х < V35.
А |35-х3>0,
H3ycnoBHHHMeeM31g(5-x)=lg(35-A:3) lgfc-x)3
=lg(35-x3),откуда (i-xf = 35-.т3, х2 -s* + 6 = 0 -Тогда х, =2, х2 =3.
Ответ: 2; 3.
7.050. log2^—- + log2(x2-25j=0.
Решение.
ОЛЗ' > 0 ™н дг е (-«>;- 5)U (5; «■)
" ' х + 5

Имеем log, '*~5А* —' = 0, (лг-5)2 = 1, откуда *-5 = -1 или
х + 5
-5 = 1- Тогда х, = 4 , х2 ~ 6; х, = 4 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 6.
1в8-1в(л:-5)
7.051. -а__^ i = _i.
lgVx + 7-lg2
Решение.
|х-5>0,
ОДЗ:|д: + 7>0, х>5.
[■Jx + 1 *2,
Из условня
lg8-lg(A:-5)=lg2-lgVI+7"> lg—5— = lg-рЗ—-,
-^-= , 2 , Wl+7=r-5, 16д: + 112 = л:2-10д: + 25>д:>5.
*-S -]х + 7
Имеем х1 ~26х-87-0 , откуда х, =29 , х2 =~3; х2 =~3 не
подходит по ОДЗ.
Ответ: 29.
х2
7.052. log£54x + log2—= 8.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Имеем
logj4x + log2— -8 = 0, (log24 + log2 x^ + logj^-logj 8-8 = 0,
log2 x + 6 log2 x ~ 7 = 0.
Решая это уравненне как квадратное относнтельно log2 x , найдем
(log2 х\ = -7, откуда д:, = 2 "' = — , илн (log2 х\ -1, откуда х2 = 2.
Ответ: rrz
1 :2.
366

7.053. lg(lgj:)+lg(lgj:3-2)=0.
Решение.
fig x > О, ,,
ОДЗ:^ , х>ШЮ.
|lgA:3-2>0,
Из условня имеем
lg(lg*-(lg*3-2))=0, lgx(31gx-2)=l,
31g2x~2lgx~l = 0.
Решая это уравненне как квадратное относительно lg-v, найдем
(\gx\ -~~,откуда х, ~jj=r,mm(lgx\ =1,откуда хг = 10; х, -jf=
не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
7.054. log2 х + log4 x + log8 x = 11.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Имеем log2 x + — log2 x + ~log2.x= 11, log2 x= 6, откуда х~26 =64.
Ответ: 64.
7.055. log,(Г-8)= 2-х.
Решение.
ОДЗ: 3*-8>0.
9
По определению логарифма имеем 3X~8 = 32_V, 3*-8 =—,
З2* - 8 ■ 3* - 9 = 0, откуда, решая это уравненне как квадратное отно-
= -1, 0 ; или 3* = 9, откуда х ~2 .
-13-7lg*-'.
снтельно Ъх, найдем 3*
Ответ: 2.
7.056. 7|8,~
Решение.
ОДЗ: х >0.
Из условня
7ii-v_5-5le-'
. 51вл+1 _
5
: = -1, 0
з.5'«-'
7
35-7lBI+65-7lsv =21 5l8* + 175-5lg*
367

откуда lgx = 2 н x = 100.
Ответ: 100.
- ,отку-
7.057. 5x+6-3'"=43-5"4-193"5.
Решение.
Имеем 56 -5* -43-54 -5* = З7 -3* -1935 -3*
да х = -3.
Ответ: -3.
log, (727^7 + l)
7.058. : 1 rz _\"°.5-
log5(V2A:-7 + 7j
Решение.
чОДЗ:2х-7йО,д:г j.
Из условия
log,(т/2х-7 +1)= i log, (Лх-7 +7) log,(,/2x-7 + l)= log, i/i/2x-7+7,
откуда
Jlx~7 + l = Jj2x-777 ^(-Jlx-lJ+lJlx-T+l^Jlx-T+l,
(л/2л:-7]Р + л/2х-7-6 = 0.
Решнв это уравненне как квадратное относительно v2x - 7 , найдем
■Jlx-1 = -3,0; нлн ^2х-1 = 2, откуда х = 5,5.
Ответ: 5,5.
7.059. л/з-З1^ .(Л^=81.
Решение.
ОДЗ-. х>0.
368

1 х 2-ь/л+х t+ x 2+Jx+x
32 .3I+VI .3 2(1+^) _34 32 1+V7 2(l+^) =з4
откуда
1 x 2 + Vx+x
2+Г7Х"1^^Г '~x~8^9=0-
Решнв это уравнение как квадратное относительно
ых ~ -1,0 ; или vx = 9, откуда х = 81.
Ответ: 81.
7.060. ^"■V't'-O.US1'1 =4^2.
ОДЗ:д:#0.
Перепишем уравнение в виде
22 .23 -2 2" =22 -23, 22+3 2* =2 X
откуда
х х 1 7 .
2 3 2х 3
Тогда х\ = —, х2 - 3.
Ответ: ~~>^-
5 1
7.061. J2 ■ 0,54Л+|°-16^^ = 0.
Решение.
ОДЗ: хйО.
Из условия
22 .9 4^/л+ю -2^+1 22 4^+|0 =2^+|
(Vl]f-3Vx-io = o.
откуда
1 5 2
2 4Vx+10 Vx + 1
369

Решая это уравнение как квадратное относительно \х , найдем
Jx ~ -2, 0; или Jx~5, откуда х ~ 25.
Ответ: 25.
>-71) 1/0,25 гН
7.062. S3»
Решение.
ОДЗ 7
I 3
Перепишем уравнение в виде
to-9 Ъх-1 Зл-9_Зл-[
23v-7.2 Зл-з =2°>23v_7 3'-з=2°,
откуда
Зл-9 Зл-1 . 5
= 0=> х = -.
Ъх-7 Ъх-Ъ 3
Ответ: -.
3
7.063. 2r-}-5'1-li=0fi[(l0x^?.
Из условия 10г""3 = 103лг_5,х2-3=3.х-5,д:2-Зл: + 2 = 0, откуда
,v, = 1, л-2 = 2.
Ответ: 1; 2.
Решение.
Имеем
...... . ,, ,
370

откуда X, = — , х2 = 3.
2
Ответ: —;3.
2
7.065. 5Л_Л -0,2Л =^25.
Решение.
ОДЗ: 0<х#1.
_!_ _J_ 2 _! L 2
Из условия 5 *"!* • 5 Л =53, 5*-Л Л =53 .
Отсюда т=г —у= = —, 2\Jx J + 4х - 6 = 0. Решив это уравне-
х-т/х -Jx 3
ie как квадратное относительно Vx , найдем -Jx = -2,0 ; или v х = —,
9
куда д: = - .
9
Ответ: —■
4
1 1 Л
7.066. 2^-' -0,5Л+| =4"+Л.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
1 |_ ijx _1 l_ 2>S
Имеем: 2Л"' 2 Л+| =2*+Л, 2Л-' Л+| = 2*+Л .
Тогда ~у= у=— = ~ , х-4х -2 = 0. Решая это уравне-
Vx -1 V* +1 х + V*
ние как квадратное относительно vx , найдем -Jx - -1,0 ; или -Jx -2,
откуда имеем д = 4 ■
Ответ: 4.
4+VIPx
7.067. 2,5 ^ ■0,4|-Л:*=5к10Д5.
Решение.
ОДЗ: 9-x>0,x<9.
371

Перепншем уравнение в виде
«♦УЕ* . ../sir., . , . **^_,
2 I 12 J 12 I ' 12
Л^-i
Тогда
4W9-* д: , ,, /г дг2-д:-56 = 0,
V9-.1 U<9,
откуда х, = -7 , х2 = 8 .
Ответ: -7, 8.
-2 I -г ^2 , 2^-,
7.068. 2*"1 -3* = 3*~'-2*+2.
Решение.
Имеем^4-Ч-2Ч-Ч1]Ч!;
Тогда х2 = 3 , откуда *, = —Уз , *2 = V3 .
Ответ: - V3; V3.
7.069. logJj^-6)-logJj(2'-2)=2.
Решение.
[4*-6>0,
|2*-2>0.
HineeMlogfr = 2. — = 5, 22*-5-2*+4 = 0 .Решаяэто
V52*-2 22-2
уравненне как квадратное относнтельно 2х,найдем b'v) = 1, откуда
нмеем х, = 0 , илн (2т J^ = 4 , откуда имеем хг =2; xt =0 не подходнт
поОДЗ.
Ответ: 2.
7.070. 4lo8"! +logJ;3 = 0^^2+loe'-,-4loe'JC).
Решение.
ОДЗ: х>0.
372

Перепишем уравнение в внде
42log»*+21og33 = 0,2(l6-4log»v-4log>*} 42lo6>*-3-4log»>c+2=0.
Решая это уравненне как квадратное относительно 4!°ё9* ,
найдем (4log'* \ = 1, откуда (log, х\ = 0, х, = 1, нлн (4log> '\=2, откуда
Ответ: 1; 3.
7.071. 3-52дН-2-5*ч=0,2.
Решение.
Из условия Ъ-¥х -2-У = 1, 352лг —2-5* —1 = 0. Решая это
уравненне как квадратное относительно у , получаем 5* =—, 0 ; или
5' = 1, откуда х = 0.
Ответ: 0.
I I I
7.072. 10* +25' =4,25-50*.
Решение.
ОДЗ: х*0.
Разделив обе части уравнения на 2 5 *, имеем 2х -4,25
+1 = 0,
откуда, решаяуравнение как квадратное относительно 2 *, получим 2х
2х
= 4, откуда I - I -А,х2=- .
М 2 1 ''
откуда — \ =-2, х, =— ,или
11'"
Ответ: х, = --; х2 = j ■
7.073. 9*'-'-36-3JtJ-3+3 = 0.
Решение.
2 2
Имеем 36—+ 3 = 0, З2*2 -12-3*2 +27 = 0 . Решив это
9 27
373

уравнение как квадратное относительно 3* , получим 3* = 3 ,
откуда х2 =1, *1д =±1, нли З*2 =9, откуда х2 = 2 , х3,4 -±v2 .
Ответ: ~ V2;-1;1;V2.
7.074. 4х -№-2х-] -24=0.
Решение.
Из условия 22л - 5 ■ 2v - 24 = 0. Решая это уравненне как
квадратное относнтельно 2х , получим 2х = -3,0; или 2* = 8 , откуда х-Ъ.
Ответ: 3.
7.075. (Уз~)Ч^Г° = 84.
Решение.
Перепишем уравненне в виде
№)' +М.-84 = 0, ъЩ'+faf -252 = 0.
Решая уравненне как квадратное относнтельно \$3) , получаем
feV1 = -11,0 ; нли te)" = 9,31» = З2, откуда — = 2, х = 20.
v ' 3 10
Ответ: 20.
7.076. 9^-27 = 6-3^.
Решение.
ОДЗ: x-5Z0,xZ5.
32V?5 _6.3ЛГ5_27 = 0.
Решаем уравненне как квадратное относнтельно 3 . Имеем
3 5 =-3 (не подходит) нлн 3 =9, откуда -Jx-5 = 2 , нли
д: - 5 = 4 . Тогда д: = 9.
Ответ: 9.
7.077. 172v*-8*-8 = 24v* "8*.
Решение.
ОДЗ: х2-8д:>0,л:(=(-~;0]и(8;+<»)
Имеем 2 ■ 22" ~8л -17 ■ 2" ~8* +8 = 0. Решая это уравнение как
374

квадратное относительно 2
-/.v2-8=-l,0; или 2-1**7*'
Vv " , получаем 2" ~gx =2"', откуда
= 8, откуда 4х2 -8х =3, х2-8х = 9,
2-8д:-9 = 0, -t, =-1, хг = 9.
Ответ: -1; 9.
7.078. 8"-2 » +.12 = 0.
Решение.
ОДЗ: ж * 0.
Перепишем уравнение в виде
2*-2 " +12 = 0,
( ъ\г
■2*+12 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно 2 *, получаем
= 2
, откуда
1, х\ = 3, или 2
= 6, откуда
log2 2 <
= log26 [2] =iog26 *2 = 3
log26
= 31og62 = log68
Ответ: 3; log6 8.
7.079. 21ogx27-31og27.v = l.
Решение.
ОДЗ: 0<х#1.
Перейдем к основанию 27. Имеем
31og27 х -1 = 0 => 31og|7 .т + log27 л: -2 = 0.
Решая это уравнешю как квадратное относительно log27 x, получаем
1 2 -
(log27 х\ =-1,откудаХ| = —,HiiH(log27 x)2 =-,откудах2 =273 =9.
1
Ответ: тг^-
375

7.080. 1е(,/б + * + б) = .
Решение.
[б + д:>0,
ОДЗ:]д:>0, 0<.y#1.
Перейдем к основанню 10. Имеем
lg(v/6 + ;t+6)=21g-/x, [gy6 + x+6)=[gx.
т С г С * {х2-\Ъх + ЪО = 0,
1огда VO+ х +6 = х, -Jb +х = х-Ь=ь 1
[х>6,
откуда л: = 10.
Ответ: 10.
7.081. log5x + log»25 = ctg2-p.
о
Решение.
ОДЗ: 0<х#1.
Перейдем к основанню 5. Имеем
log5x+ = ctg 4it+- , log5x + = 3=>
log5x ^ ^ 6)) log5x
=> log2 x-31og5 x + 2 = 0.
Решая это уравненне как квадратное относнтельно log5 x,
получаем (log5 х\ =1 илн (log5 х\ = 2 , откуда хх = 5 ; х2 = 25 .
Ответ: 5; 25.
IgJ+S
7.082. д: 3 = 105+lg\
Решение.
ОДЗ: 0<х#1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанню 10, имеем
lg-x 3 = lgl05+lg\ gX lgA:^(5 + lgA:)lglft lg2x + 21g.x-15 = 0.
376

Решая это уравнение как квадратное относительно lgx . получаем
(lg х), = -5, или (lgл), = 3, откуда хх = 10"5, х2 = 1000.
Омвеш. 10~5; 103.
7.083. д-|°В41-2 =23(icBjx-n
Решение.
ОДЗ:0<.г*1.
Логарифмируя обе части уравнения но основанию 4, имеем
log4 x'°^'-2 = log4 2"|о^>-|), (log4 *-2)log4 * = 3(log4 .x- l)log4 2.
log4J-21og4A: = -(log4i-l), 21og4x-71og4:* + 3 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно log 4 л-,найдем
1
(log4 .v), = --, (log4 .т), =3. Следовательно, .т, = 42 = 2,.v2 = 43 = 64.
Ответ: 2; 64.
2*+ 10 9
7.084. ~ - - = —2 ■
4 2
Из условия
2- ±1? 9 Д'_+1_0 = 36 2jr + 10.2, _ 144 = 0.
4 2Д2~2 4 2'
Решая это уравнение как квадратное относительно 2 , найдем
2х =-18,0, или 2* =8,откуда лс =3.
Ответ: 3.
7.085. 10|+лг~-10|_д" =99.
Имеем 1010jZ—l—, -99 = 0=> 10102'2 -9910д2 -10 = 0. решив
101"
х- г2 1
это уравнение как квадратное относительно 10 .получим 10 =- ,0,
или Юл =10, откуда х2 = 1,.г, 2 =±1-
Ответ: - 1; 1.
377

7М6--х ~ш=0-
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Записывая уравненне в виде т 3 ---■■■ н логарнфмнруя обе
ViOO
част по основанню 10, получаем
Igx'^.lg ' j\-|lg*llg*=~lgl00, 21g2*-31g.v-2 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относнтельно lg х , находим
Og*)i ~—z нли (lgx), =2, откуда *, =10 2 = -=, *. = Ю2 =100.
2 л/10
Ответ: -==г;Ю0.
л/10
7.087. 7х(Л^~б-[- =0.
Решение.
Из условия
7*.2*2-3 = 7*-2-2* =>2*2-' = 2~2*, x2-3 = -2a', х2+2*-3 = 0 ,
откуда X; =-3 , х2 =1.
Ответ: -3; 1.
7.088. 3-4|og^-46-2log^-1=8.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Имеем 3-2 °ё* -23-2 og*~ -8 = 0. Решая уравненне как
квадратное относительно 2 °ё*2, найдем 2log*3 = —,0 ;или 2loej:2 =8 , откуда
logx2 = 3, a- = V2.
Ответ:
378

7.089. 9logVl(*+l) = 5logv^2-v4').
Решение.
ОДЗ: * + 1>0,х>-1.
Из условия
(х + If 2х2 +1
Решая это уравнение, имеем х, - 0 , х2 = 2 .
Ответ.- 0; 2.
7.090. 27lg*-7-9l8*-21-3lg*+27 = 0.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Имеем
33'8*-7-32l8*-21-3l8*+27 = 0, (з31е*+27)-7-31е*(з||рс+з)=0>
(з|8*+з)(з2|8лг-3-3|8>+9)-7-318''(з|8л: + з)=0>
(3l8'+3)(32lg'-l0.3l8v+9 = o),
откуда З2'8* -10-318* +9-0 . Решая это уравненне как квадратное
относительно з'8д , получаем р18* ) = 1 илн (з18* ^ - 9, откуда (lgx), = О
нлн (jg*)i = 2 . Отсюда х1 - 1, х2 = 100 .
Ответ: 1; 100.
7.091. log2^3x-6)-log2(9*-6)=l.
Решение.
[4-3* -6 > 0,
ОДЗ: ^
[9*-6 >0.
Имеем log, —- = 1, —г = 2 => Ъ2х -2-3* -3 = 0. Решая
32х-6 32дг-6
его как квадратное относительно 3*, найдем 3* = -1,0 ; илн 3* - 3,
откуда л: = 1.
Ответ: 1.
379

7.092. 21og3(x-2)+log3(x-4)2 = 0.
Решение.
ОДЗ: i 2 < x Ф 4.
l*-4*0,
Из условия 2 log3(x - 2)+2 log3|x - 4| = 0 или log3 (x - 2)+ 1оЕз|х - 4| = 0.
Имеем:
|2<x<4, |2<x<4,
0 |1оЕз(д:-2)+1оЕз(4-л:)=0Ф*11оЕз(д:-2Х4-Д:)=0Ф*
|2<х<4,
**{x2-6x + 9 = 0,
откуда x, = 3 ;
2) J*>4> h>4,
\1оЕз(д:-2)+1оЕз(д:-4) = 0Ф*11оЕз(х-2Хд:-4)=0Ф*
x >4,
\x2-6x+7=0,
откуда х2 = 3 +
Ответ: 3; 3 + v 2.
2
7.093. 1оЕз x ■ loE, x -log27 x ■ log81 x = -.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Ill 2
Имеем log3 x- — log3 x ■ — log3 x — log3 x = —, log3 x - 16 , откуда
(log3 x), =-2 илн (log3x)2 =2 .Отсюда x, =— , x2 = 9.
Ответ; т|9.
7.094. 4logs*2 -41оь*+1 +41°8s*-1 -1=0.
Решение.
ОДЗ: х >0.
Из условия 4-4 ogs * - 15 ■ 4logs * - 4 = 0 . Решая это уравнение как
380

квадратное относительно 4 °ё5 х, найдем 4 °Ss * = —, 0; или 4 og5 * = 4 ,
4
откуда logg х = 1, х = 5 ■
Ответ: 5.
7.095. T/log„x + ^log,fl = —.
Решение.
[log„ л: > 0,
ОДЗ: ]о<я#1,
[о<х*1.
Из условия
Vlog0 х + —L=-^ = 0 => 3(Vlog0 xj - lO^log,, x +3 = 0 .
Vl°ga * 3
Решая это уравнение как квадратное относительно ^/loga x ,
получаем ylog„x)[ = - , 0ogo x\ = -, откуда х, = 9-Ja , или (^log0 л: )j = 3,
(log„ x\ = 9, откуда х2=а9.
Ответ: va; я9, где 0 < я # 1.
7.096. lg(3x2+12x + 19)-lg(3A: + 4)=l.
4
ОДЗ: Зх + 4>0,л:>—.
, Зх2+12х+19 . Зх2+12х + 19 2
Имеем lg = 1, = 10, Ъх -18л:-21 = 0
Зх + 4 Зх + 4
при Зх + 4 # 0 . Отсюда хх = -1, х2 = 7.
Ответ: -1; 7.
7.097. log3(x-3)2+log3|x-3| = 3.
Решение.
ОДЗ: х-3#0,л:#3.
381

Из условия
21og3|x-3| + log3|x-3| = 3, 31оВз|а-3| = 3, log3|x-3|=l,
откуда ;.v-3; = 3. Тогда (л'-3)| =-3 или (а'-3)2=3. Отсюда aj — О,
х2 =6.
Ответ; 0; 6.
7.098. |gVJT^3 + lgVx+3 = 2-0,5lg625.
Решение.
ОДЗ: J х>Ъ.
\х + Ъ>0
Имеем
lgV*-3+lgVx+3 = lgl00-lg25, lgV-v2-9^1g4, -Jx2~9=4,
откуда -v2 = 25, X\ = -5, x2 = 5, *! = -5 не подходит но ОДЗ.
Ответ: 5.
7.099. lg(3-x)-Sg(27-.*Vo.
Решение.
ОДЗ: 3-х>0, х<3.
Перепишем уравнение в виде
31g(3-*) = lg(27-*3),lg(3~*)3 = lg(27-*3).
Тогда (3-х)3 =27-л-3 => .t2 - 9,t = 0, откуда х} = 0,x2 = 9;.v2 =9 не
подходит по ОДЗ.
Ответ.0.
7.100. 21gx-lg4 = -lg(5-jc2).
U > о, г
ОДЗ:< , 0<*<V5.
[5-х2 >0,
Из условия
lg.x2+lg(5-,v2) = lg4, lg(;r(5-A'2))=lg4,.v2(5-x2) = 4,
x4-5j2+4 = 0.
382

Решая это уравнение как биквадратное относительно х , найдем
ж, =-1, х2 = 1, хъ = -2, х4 = 2; ж, =-1 н ху = -2 не подходят по О ДЗ.
Ответ: 1; 2.
7.101. lg8-lgV* + 6 = lgl6-lg0t-2)
Решение.
Л„„ Га: + 6 > О,
ОДЗ: J л: > 2.
[х-2>0,
Имеем
lg-=L= = lg-^-, -JL—JL 24хП = х-2, д:2-8х-20 = 0,
Va: + 6 х-2 Vx + 6 *-2
откуда л:, = 10, х2 = -2; х2 = -2 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
7.102. 21g-y4^+lg(6-x)=l.
Решение.
f4-x>0,
ОДЗ: I х<4.
М [6-х>0,
Перепишем уравнение в виде
lg(4-j:)+lg(6-A:)=l, 1В(4-д:Хб-х)=1,
откуда(4-д:Хб-х)=10, х1 + \0х-14 = 0.Следовательно,х, =5-л/ll,
хг = 5 + л/lT; д:2 = 5 + VI1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5-Л7.
7103 1В(2д:-19)-1Е(Зл:-20)_ L
Решение.
f2jc -19 > 0, 19
°Д3:Ь-20>0, Х>У
Из условия
lg(2x-19)-lg(3x-20) = -lgjc, lg(2;c-19)+lgA: = lg(3x-20]i
д:(2х-19) = Зх-20, д:2 -11х + 10 = 0.
383

Отсюда х] = 10, х2 =1; х2 =1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
™4-igferL
Решение.
ОДЗ: \ -<х*1.
[6х-5>0, 6
Имеемся2 = lg(6;t-5), откуда х2 = 6х-5, х2 -6х + 5 =
0,отсюда х, = 5 и д2 = 1; х2 = 1 не подходнт по ОДЗ.
Ответ: 5.
7.105. logoj> + loge(y + 5)+log„0,02 = 0.
Решенне
У > 0,
у + 5>0, V
0<я#1 L
Имеем
loga(y(y + 5)0,02)=0, 062уг+0}у = 1, 0,02/ + ОДу-1 = 0,
откуда ух = 5 ; уг = -10 не подходит по ОДЗ.
Ответ: у = 5 прн 0 < я * 1.
7.106. log, -Я - log2 -Л = log3 27 - log, (2x)
ОДЗ: 0<х#1.
Перепншем уравненне в внде
|log, 2--log2,2 = 3-log, 2-1, log2 2- 61og, 2 + 8 = 0.
Решая это уравненне как квадратное относительно log x 2 , найдем
log, 2=2 , log, 2 = 4, откуда х2=2 илн х*=2. Тогда х,=—\/2,
Х2=Л,хъ = -il2 , x4 =V2; ж, =-V2 hi, =-V2 не подходят по ОДЗ.
Ответ: H2;J2.
ОДЗ:
384

7.107. (logj x-3)log2 x + 2(log2 x + l)log2 V2 = 0.
Решение.
ОДЗ: x>0.
Из условня
log2V2=log22l/3=i, log|x-31og2x + |log2* + | = 0,
31og2A:-71og2x + 2 = 0.
Решая уравненне как квадратное относнтельно log2 х , нмеем
(log2 х\ = - нлн (log2 х\ = 2 , откуда хх = \ll, х2 = 4 .
Ответ: ^2; 4.
7.108. 041og2,(*-4)-l,31og2,G(-4)+3,6 = 0.
Решение.
ОДЗ: х-4>0, х>4.
Решая это уравнение как биквадратное относительно log2(x -4),имеем
(log2(*-4)), =-2; (1о82(д:-4))2 =2; (log2(*-4)), =-3 ; (logj(x -4))4 = 3 ,
откуда х, = — , х2 =8, хъ = —, х4 =12.
4 о
Ответ: —, —, о; 1Z. '
4 8
7.109. 52хЦ +22х -52х +22х+2 =0.
Решение.
Запишем уравнение в виде
5!l_52*=-22*-4-22\
5
(If # -■
Ответ: 1.
13 М. И. Сканави. группа Л
-1.5*,
5
385
-5-2:

7.110. log2^-2*)=10l»(3"J().
Решение.
f9-2*>0,
ОДЗ: х<Ъ.
3 - x > О,
Имеем log2(j-2*)=3-x, 9-2'=23"', 22x -9-2' +8 = 0 .
Решив это уравненне как квадратное относительно 2х , имеем £* ] = 1
или Цх jj = 8 , откуда х{ = 0 , х2 = 3; хг = 3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 0.
7.111. 11Е|'271 + 32Л1+1Е10 = 2.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
ИзусловшДЦЪкЗ^ + ^г, 1/271 + 32'С1=З.Тогда271+32'/:" =
= 1000, 32л/*=36,откуда VI = 3, л: = 9.
Ответ: 9.
7.112.
(У2?)П^Г ' =t/3T.
Решение.
ОДЗ: х й 0.
7
Перепншем уравненне в виде З^4 ,:>ЛЧ 'J J = 34 . Тогда
,5|rifl?+if) = 3
f-JfIf+JfH'-2- — о.
14 14
откуда х, =10 , х2 =—— ; хг =—— не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
386

7.113. x's' =1000x2.
Решение.
ОДЗ: 0<лг#1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем
lg.v'e*=lgl000A:2, lgxlgx = lgl000+lg;<:2, lg2 х-2\%х-Ъ = 0.Решая
это уравненне как квадратное относительно lg х, получаем (lg x\=-l
или (lg х^ =3,откуда х, =0Д, х2 =1000.
Ответ: 0,1; 1000.
7.114. lgM* + 9))+ lgii^ = 0.
х
Решение.
ОДЗ: д:(д: + 9)>0,хе(-~;-9)и(0;~)
, х{х + 9\х + 9) „ , ., , ,
Имеем lg - = 0, откуда (х + 9f = 1. Тогда (х + 9\ = -1,
х, =-10 или (х + 9\ =1, х2 = -8; х2 = -8 не подходит по ОДЗ.
Ответ: -10.
7.115. Ig2(l0ta)+lg2(l0j:)=14 + lgi.
х
Решение.
ОДЗ: х>0.
Логарифмируя, имеем
(lglOO+lgxf + ftglO+lgxf^-lgx, 21g2A: + 71gx-9 = 0.
Решая это уравненне как квадратное относительно lg x , получаем
{\gx\ = -- или {[%х\ =1,откуда хх =10~9/2, хг =10.
Ответ: 10~э/2; 10.
7.116. l + 21og*2-log4(l0-x) = ——.
log,,*
Решение.
f0 < х * \
0ДЗ:{,<ю.
387

Переходя к основанию 2, нмеем
1 + log200-x) = _4__ 2&0-л:)=4, log2x(l0-x)=4^
log2 х log2 х
=>л:2-10л:+16=0,
откуда хх = 2, х2 = 8 .
Ответ: 2; 8.
7.117. 21ое'*г ■5|о8)*=400.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Из условия 4l08,*-5l08,Jt =400, 20108"* =202 , откуда log3* = 2,
х = 9-
Ответ: 9.
7.118. S108''**-21)^2 .25"°'5lo8!* =1.
Решение.
ОДЗ:{*2-21>°' х>&.
[х>0,
Записываем
5bg2 {x2 -2l). Q 04 . ' ^ [ glog2(х2 -2l) _ 52+log2 х
' 250-5|°82Х
log2(x2-2l)=2 + log2x, log2(x2-2l)=log24x,
откуда х2 -21 = 4х, х2 -4л:-21 = 0, xt = 7, х2 = -3; х2 =-3 не под-
ходнтпоОДЗ.
Ответ: 7.
7.119. 42|ОВ8(2^2)-ОД5|ОВ8(2^3) = ^[6.
Решение.
(2*-2>0, 3
ОДЗ:-! *>-.
[2д--3>0, 2
Имеем
4210е8(2д:-2) _4-10е8(2^-3) =42/3, 42]о^2х-2^]о^2х'-^ =42/3
21og8(2,-2)-log8(2,-3)^, log8%^4 ¥#=4'
3 2л:-3 3 2л:-3
388

х2-4л: + 4 = 0, (дг-2)2 =0,
откуда х = 2■
Ответ: 2.
7.120. 1ое3Гз'2из^28+|1=1ое5од.
Решение.
Изусловня
logJy'""x^+ -)=-{, 3*Мз«28+- = -, 3'^3"28=i,
откуда X, = 3, х2 = 10.
Ответ: 3; 10.
7.121. log2(4v+4)=A: + log2(2,+l -з)
Решение.
ОДЗ: 2v+l-3>0.
Перепишем уравненне в виде
log2(22*+4)-log2(2-2*-3)=A:, log2 т^- = *,
22*+4 , ,,
— = 2", 22,-32*-4 = 0.
22v-3
Решая это уравненне как квадратное относительно 2х, получаем
2х = -1,0 ; или 2х =4, откуда л; = 2 .
Ответ: 2.
7.122. ^275Л =3*(/"-4).
Решение.
ОДЗ: л:SO.
Имеем 35Л =3*(Л~4'=>571 = д:(Л-4) 71 = 0, х,=0, или
(Vx]f-4Vx-5 = 0-
389

Решая это уравненне как квадратное относительно , получаем
V* = -1,0 ; или Vx = 5, х ~ 25.
Ответ; 0; 25.
7.123. log6 ^Зя°5_лг) + 8 log6 2 = 8.
Решение.
Из условия log6 3*(15-* + log6 28 = 8, log6 (И15-**7.28 )= 8. Отсюда
3*«5-*У7.28=68, 3*(l5~*>7=38. Тогда Alzll = 8, х2-15* + 56 = 0,
7
откуда *t = 7, х2 = 8 .
Ответ: 7; 8.
7.124. log5(4* + l44)-41og52 = l + log5(2*~2 +l)
Решение.
Имеем
22л +144 , jV \ 22л +144 5J2*+4)
22х -20-2^+64 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно 2х , получаем
\2Х\ =4 или цх\ =16, откуда .*, =2, х2 =4 .
Ответ; 2; 4.
7.125. 27х1ов"* = ;с10'3.
Решение.
ОДЗ: 0<**1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 3, имеем
log3 27*'*" = log3 х'*3, 3 + ilog23 х = [1 log3 *,
logf x-101og3 х + 9 = 0.
Решая это уравненне как квадратное относительно log3 x ,
получаем (log3 х\ = 1 илн (log3 х)2 = 9, откуда х{ = 3, х2 = З9.
Ответ; 3; З9.
390

7.126. log, 9 4-log^ 729 = 10.
Решение.
\x > 0, „
°Д3;Ь=±1, 0<"'1-
Имеем log, 9-(- — log, 9 = 10, log,9 = 4, откуда xA =9, x-Jb,
x=-Jb не подходит по ОДЗ.
Ответ:
7.127. log2(25*+3 -l) = 2 + log2(5*+3+l)
Решение.
ОДЗ:25*+3-1>0, 25*+3>25°, х>-3.
Из условия
log2£>53 -25' -l)=log2 4(53 -5* +l) 253 -52лг -1 = 4-53 -5* +4,
3125-52* -100-5* -1 = 0,
откуда, решая это уравненне как квадратное относнтельно 5х , имеем
5* = ,0;илн 5* = 5~2 .откуда х = -2.
125
Ответ: -2.
Решить системы уравнений (7.128 - 7.149):
flog х + log, у = 2,
7.128. \ ,
[х2-.у = 20.
Решение.
ГО < х * 1,
ОДЗ:|о<„1.
Из первого уравнения имеем:
log,*-)--—! 2 = 0, log2;t-21ogyA:-t-l = 0, (log x-l} =0,
log, д:
391

откуда logj,x = l, х-у. Из второго уравнения системы имеем
у2 - у - 20 = 0, откуда ух = -4 , уг - 5; yi = -4 не подходит по ОДЗ.
Тогда х - у - 5 .
Ответ: (5; 5)
|10мв(^) = 50,
' [lg(x-y)+\g(x + j>) = 2-lg5.
Решение.
\х-у>0,
°^{х + у>0.
Имеем:
|lgl0WB(^) = ig50, Jl + lg(* + j>) = lg50, ^
{lg(x2-/)=lg20 "lx2-/=20
\x + y-5, \x + у = 5,
откуда x = — , у- — .
Ответ: \—\ —
2 2
7130 {18(^ + /) = 2-lg5,
\\%(x + y)+\%(x-y) = \%\2 + \.
Решение.
\x + y>U,
°*ЪЛх-у>0.
Иэ условия
\\%{х2 +у1)^\%20, [х1 +у2 =20,
{lg(x2-^) = lgl2 °{x2-/=12.
392

Отсюда х2 = 16, откуда х1л = ±4 . у2 = 4 , Дг = ±2 . Следовательно,
fx,=4, |Л2=4,
Ь=2; Ь=-2.
Остальные решения не удовлетворяют ОДЗ.
Ответ. (4; 2) (4;-2)
log4A: + log4 ^ = l + log49,
7JM- [, + ,-20 = 0
Решение.
\х>0.
°ДЗ: I n
[j> > 0.
.. to = 36, U=2, to =18,
Имеем 4 откуда ^ 1
\х + у = 20, |Л=18; \д=2.
Ответ; (2; 18). (18; 2).
У-9* =81,
7.132.
lg(y + ATf -lgAT = 21g3.
Решение.
х>0,
°Д3:Ь+^о.
Иэ первого уравнения системы з-*+2х =34, _у + 2х=4, у=4-2х.
Из второго уравнения системы lg— — = lg9, откуда — — = 9.
х х
Тогда исходная система приобретает вид
'.y = 4-2x, ,
vj =>л:2-17л: + 16=0,
{у + ху = 9х
откуда ху = 1, хг =16. Тогда ^, = 2 , ,у2 = -28 .
Ответ: (l;2) (16; -28)
393

7.133.
j log,*-flog,
\xy = 27.
Решение.
ОДЗ:
ГО < х Ф1,
[0<у*1.
J" =
_5
~2!
Из первого уравнения системы имеем: 2 log2 x-5 log, х + 2 = 0,
откуда, решая это уравнение как квадратное относительно log, x ,
найдем (logj, л:)[ = - нли (log,х)2=2. Отсюда х,=4у , хг-уг ■
Из второго уравнения системы найдем уъ12 =27, .У] = 9 .
Подставляя значение х2 = у2, найдем у2 = 27, j>2 = 3 .
= 3, Гх2 = 9,
Учитывая ОДЗ, имеем \
Ь=9; Ь2 = з.
Ответ: (3;9)(9;3)
[з2* -2' = 725,
7.134. \
[У -2>12 =25.
Решение.
Перепишем систему уравнений в виде
|(з'-2>'/2)^*+2>'/2) = 725, |з*+2>-{2=29, Гз' = 27,
[3*-2'/2 =25 [З'-г'/2 =25 [2'/2 =2,
f*=3,
откуда \ 2
Ответ: (3;2)
7Л35.{'^^2)--2'
[log2A:-4 = log23-log2.y.
394

Решение.
f*>0,
°Д3:|,>0.
х , 3 х 3
второго уравнения системы найдем log2 — = log2 —, откуда ~- = — ,
16 у 16 у
х=—. Далее получаем — +/-100 = 0, / -100/ +2304 = 0 ,
у [у)
откуда д2 = ±6 > Л.4 = ±8; ,у2 = -6 и у, - -8 не подходят по ОДЗ.
Тогда л:, = 8 , хг = 6.
Ответ: (8;б1(б;8)
[32^*=81,
7.136.
[Ig-Jxy =l + lg3.
Гл:>0,
°Д3:|у>о.
Из первого уравнения системы нмеем 3 *у =3" ,2jx -Jy =4 ,
yjy -l-Jx-Л . Из второго уравнения системы получим Jxy =30,
■Jx-Jy =30. Система принимает вид
\£-2f-*-~W -2^-15 = 0,
откуда Jx =5 или Jx =—3 (неподходит).Тогда Jy -6
.Следовательно, x = 25, J" = 36.
Ответ: (25; 36)
395

7.137. 2 г +2 ' =2-5'
[lg(2x-^) + l = lg(F + 2x)+lg6.
Решение.
f2x-v>0,
°ДЗ:{^2х>0.
Из первого уравнения системы получаем
2 2
-2,5-2 2 +1 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно 2 2 , найдем
-2 или
2^
2, откуда (х-у\=-2 или (х~у)2 =2.
Из второго уравнения системы получаем lg 10(2х - у) = lg б(у + 2х),
откуда I0(2x-^) = 6(v + 2x), х =2_у. Таким образом, исходная система
эквивалентна системам уравнений:
[х-у~-2, [х-у = 2,
Я-2У, 2>U*
(-,=-4, х2=4, U=-4,
|j>, = -2; |j>2 =2; (ji, =-2 (не подходит по ОДЗ).
Ответ: (4; 2)
2/-1 =5
7.138.
*'+2=125.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Логарифмируя первое и второе уравнения системы по основанию 5,
получаем
log5x2'-'=log55, _
[log5*'i+2= log5125
k/-l)log5*=l, 1.
/ \ => log5 X = т .
>2+2)log5x = 3 2y2-\
396

2 ~
Из второго уравнения системы имеем -iL-±— = 3, у2 = 1, откуда
2/-1
^ =+1. Тогда log5 х = 1, т.е. х = 5.
Ответ/ (5;l]t. (5, — l).
llog3(x-2^)+log3(3A:+2^) = 3.
Решение.
\х-2у>0,
°ДЗ: [3, + 2,>0.
Имеем
12 2 =23-? _ 13 + ^^ = 3-^, |*=-.у,
2
[log3Gt-2j-X3* + 2jO = 3 [(х-2^3*+ 2^ = 27, ^ "9"
откуда, учитывая ОДЗ, получаем х = 3, .V = -3 .
Ответ: (3; - 3)
Г4*+у =2у-*,
ОДЗ: х > 0.
Из условия
'>>2x+2y =<>у-х \2х + 2У = у-Х,
../-5 *У = -ЗХ-
Из второго уравнения х4 = (- 3xf ■ - 5, х4 — —, откуда, учитывая
16
1 3
ОДЗ, получаем х =— , У = —г.
'. 1 3
Ответ:

flog4A:-log2.y=0,
7.141. i , ,
[x2-2.y2-8 = 0.
Решение.
U>0,
ОДЗ:
y>0.
Перепншем первое уравнение системы в виде
log4 л: = log2 / =>-log2x = log2.y, log2x = log2/, x = f.
Из второго уравнения системы имеем _у4-2_у2-8 = 0, откуда с
учетом ОДЗ, у = 2 . Тогда х = 4 ■
Ответ: (4; 2)
'log2 х + log4 у = 4,
7.142. 1, ,
[log4x + log2^ = 5.
Решение.
1л: >0,
°Д3:Ь>о.
Перейдем к основанию 2. Имеем
1
jlog2x + -log2, = 4, j21og2x + log2^ = 8,
]li , с ]log2x + 21og2 j< = 10~
-log2x + log2^ = 5 L
log2x2.y = 8,
_log2x/=10
2 л8
x y = 2
2 лИ
xj» =2
2
Из первого уравнения системы у = —г-. Из второго уравнения
х
*■ \ =210, х3=26,откуда х = 4, ^ = 16.
Ответ: (<4;1б)

7.143.
х+у х+у
2 3 +2 6 =6,
(x +5y =bxy.
Решение.
Из условия
х+У
2 6
+ 2 6 -6 = 0- Решая это уравнение как квад-
х+у х+у х+у
ратное относительно 2 6 , имеем 2 6 =-3,0; или 2 6 =2, откуда
х + _у
15 x + _v = 6.
Из второго уравнения системы х -бух + 5у = 0, решая его как
квадратное относительно х , имеем х( = у, х2 = 5у. Исходная система
эквивалентна двум системам:
1){* + , = 6, 2){* + ' = 6-^,)Ь=3' 2)Ь=,5'
'\х = у; '\х = 5у Ь=3; Ь=1-
Ответ: (3; 3J (5; 1>
\2" У =Ь,
7.144. \
[У .4' = 12.
Решение.
Разделив второе уравнение заданной системы на первое, получим
3"-4'_12 21L-2 y-y=1^*-iy
2х -У 6 ' 2х'2' ~ '
Это равенство возможно, когда
[1 + х-2у = 0~
Тогда х = у = 1
Ответ: (l,l)
х = .у, 1 + _у - 2_у = 0, .у = 1.
399

7.145.
у = 1 + Iog4 х,
У=46.
Решение.
ОДЗ: 0 < л- * I.
Логарифмируя второе уравнение системы по основанию 4, имеем
Iog4 л-1' = log4 46, v Iog4 х = 6. Отсюда
V = 1 + log4 х, 7
1 =>(l + Iog4.v)Iog4x = 6, IogJ-r+Ii
ylog4A: = 6
, А'-6= О,
откуда, решая это уравнение как квадратное относительно Iog4.v, найдем
(Iog4Jt)i =-3, (Iog4*)2 =2,дг| =—-,х2 = 16. Тогда у, =-2, г2=3.
64
Ответ:!—; -2 1 (16; 3).
7.146.
[^^(«( = 8,
I°g31Ogl/9- = 0.
Решение.
ОДЗ'. -
()<л#1.
v>0.
log|„~>0=>0<^<I.
Из первого уравнения системы ху = -х или с учетом ОДЗ у ~ х . Из
1
второго уравнения имеем log5/9 -- =
. Исходная система
переписывается в виде \ х 1
Ответ: (3; 27).
= -, откуда с учетом ОДЗ х - 3, у = 27.
400

[log*, (х-.у) = '.
7UT (logw(x + ,)=0.
Решение.
[x -у > 0,
ОДЗ: jx + joO,
[0<ху*1.
Имеем
\x-y-xy, 1
[х+у = \
откуда х, =—-—, х2 = —-—,
Тогда с учетом ОДЗ имеем х = —
(-1 + л/5 ,3-уВ)
Ответ/ э ' 2 (
\(x + y)-2>-2*=ty5,
{(x + yW^ =5.
Решение.
\0<х + у*1
ОДЗ:|2»-Д
)-4-
л=:
1 + -/5
2
-х) = 0,
2 '
3-
, у = —
2 ,
X + X
3
^2=-
2
-1 = 1
-V5
2
Логарифмируя оба уравнения по основанию 10, имеем
lg(* + j0-2'-2*=lg(.
^2J =>jlg(i±2) = lg5
[lg(x + ^)2^=lg5 I *~-v
Из второго уравнения системы получаем Ig(x + ^)=(2x-^)lg5 ,тогда
(2x-^lg5 + {y-2x)lg2=2(lg5-lg2i (2x-^lg5-lg2) = 2(lg5-lg2}
2х-^ = 2.

Исходная система принимает вид
2х-у = 2, \2x-y~2,
lg(x + .y)=21g5, \х + у = 25,
Ответ: (9; 1б)
4х'2у-7-2х'2'' =$.
Решение.
ОД.З: х-4у>0.
Из условия
[^'f ~7-2*-2-"-8 = 0.
Иэ первого уравнения системы имеем log9(x-4^) = 0, откуда
х-4у-\. Решая второе уравненне системы как квадратное
относительно 2х'2у, получаем 2х' у = -1,0 ; 2х"2у =23, откуда х -2у = 3 .
(x-4y = l [х = 5,
Исходная система принимает вид« => ]
[х-2у = Ъ [у = 1.
Ответ: (5;1)

Решения к главе 8
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же аргумента
sin2a + cos2oc = i; (8-1)
sin а ж и ,\ ^
tgoc = - , а#-(2н + Ц neZ; (8.2)
cosa 2
cosa т /о о-,
ctga= , а#ля, ле2; (8.3)
since
tgactga = l, a#—, neZ; (8.4)
l+tg2a = —1~r~, a*^(2n + ll »e2; (8.5)
cos a 2
, 1
1+ctg a = —;—, a#m, neZ. (8.6)
sin a
(Здесь н в дальнейшем эапнсь пе2 означает, что п- любое целое
число.)
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Для некоторых углов можно записать точные выражения их
тригонометрических величин (табл. 8.1), а также энакн функций по четвертям
(табл. 8.2).
403

Таблица 8.1
Аргумент
(а, градусы,
радианы)
о'(о)
15- {±\
\12J
18- U)
I10;
зо- (*)
I6 J
36- (*)
I51
45' (*}
[4 )
54- (H)
I10 J
I31
I12 J
90- (l)
(2 )
Функция
sin a
0
Л-1
2Л
Л-1
4
1
2
Л^л
2j2
1
Л
Л + 1
4
й
2
Л + 1
2j2
1
cos a
1
Л + 1
2j2
•Js+Js
2j2
Л
2
Л + 1
4
1
Л
2i/2
1
2
Л-1
2j2
0
tga
0
2-Л
Л-1
л/ю + 2Л
1
VlO-2,/5
1
1/5+I
■v/l0-2i/5
Л
2 + Л
оо (не
определен)
ctga
00 (не
определен)
2 + Л
л/ю + 2Л
Л-1
Л
•Л+1
•Ло-гЛ
1
л/ю-гЛ
Л+1
1
Л
2-Л
0
404

Таблица 8.2
Четверть
i
и
ш
IV
Функции
sin a
+
+
-
-
cos а
+
-
-
+
tgoc
+
-
+
-
ctgoc
+
-
+
-
Формулы сложения и вычитания аргументов
тригонометрических функций
sin(a+p)=sinacosp + cosasinp;
sin(a-|i) = sinacos|}-cosasin|} ;
cos(a + р) = cos a cos p - sin a sin p;
cos(a - p)=cos a cos p + sin a sin p;
tg(a+Pbtgct+tgP, a,p,<x + p*5 + m, „eZ.
1-tgatgp 2
tg(a-p)= tgct~tgP , a>p>a-p*- + roi, neZ-
l + tgatgp 2
ctg(a + p)=ctgctctg|i-1, аДа + Р**». „e Z ■
ctga + ctgp
ctg(a-p)=ctgctctg|a + 1, a,p,a-p*m, „e Z
ctga-ctgp
(8.7)
(8.8)
(8.9)
(8.10)
(8.11)
(8.12)
(8.13)
(8.14)
Формулы двойных и тройных аргументов
sin2a = 2sinoccosa; (8.15)
cos2a = cos2 a-sin2 a = 2 cos2 a-l = l-2sin2 a; (8.16)
„ 2tga к nk , _ к _
tg2a = ^—, a# —+—,к2,о*- + и,»£2.
l-tg2a 4 2' 2
(8.17)

. , ctg ос-1 кк , „ ,
ctg2a = —- , a#—Де2,а*«»,ле2- fs 181
2ctga 2 ' v '
sin3a = 3sina-4sin3 a; (8-19)
cos3a = 4cos3 a-3cosa 5 (8.20)
, 3tga-tg3o кг. >
tg3a = —£ f—, a*-U" + UneZ. (8 2n
1-3tg a 6 ■ '
, 3ctga-ctg3a кп
Ctg3"= l-3ctg2a ' a*T--2. (8.22)
Формулы половинного аргумента
. ? <* 1-cosa
sin 2—2—; (823)
7 a 1 + cosa
2=—2—' (8'24)
tg2a = l-cosaj а^(2и + 1Ье2 (825)
2 1 + cosa
га 1 + cosa
ctg — = - , a#2ro,neZ; (8.26)
2 1 - cos a
, a sina 1-cosa „
tg— = - = —: , a*m,neZ; (8.27)
2 1 + cosa sina
a 1 + cosa sina
ctg —= = - , aznn.neZ; (8.28)
2 sma 1-cosa
406

Формулы преобразования суммы и разности
тригонометрических функций в произведение
. „ „ . а + В а-В
sina + sinB = 2sin -cos -• (8.29)
2 2
. „ „ а+В . а-В
sina-sinB = 2cos -sin -■ (8 30)
2 2
„ „ а+В а-В
cosa + cosp = 2cos -cos -■ (8.31)
2 2
„ . . а + В . а-В . а + В . В-а
cos a-cos В = -2 sin -sin - = 2sin ~sinr ; (8.32)
2 2 2 2
cosa + sina= i/2cos(45°-a); (8.33)
cosa-sina = i/2sin(45--a); (8.34)
tga + tgB=sin(ct + |a) a,p*?(2„-lb6Z; (8.35)
cos a cos p 2
cos acos p 2
tga-tgB=sin(ct-|i], a,B*i(2„-l}„e2; (8.36)
_ sin(a + B) n ~
ctga + ctgB = —i VJ-, a,p*m, neZ; (8.37)
sin asm В
ctga-ctgB=sm^~ct^, a,e*m, neZ; (8.38)
sin a sin В
tga + ctgB^00^""^, a*- + nk,ke 2,р*ю,ле 2; (8.39)
cosasinB 2
tga-ctgB = -c0^Ct + ^, a*- + «t,/fceZ,p*]tn,neZ; (8.40)
cos asm p 2
2 ял
tga+ctga = , a#—, «eZ: (8.41)
sin 2a 2
tga-ctga = -2ctg2a, a#—, ne2; (8.42)
■407

l + cosa = 2cos —; (8.43)
l-cosa=2sin2 —; (8.44)
l + sina = 2cos2|45°-" |; (8.45)
l-sina = 2sin 45° ; (8.46)
, , sm(45°+a) ,/2sin(45°+a) л _ ,_ ,_,
l + tga = s '- = s '-, ос#- + тш, «eZ; (8.47)
cos 45° cos a cos a 2
. . sin(45°-a) v/2sin(45°-a) л
l-tga = i £■ = i ', а#- + яя, neZ; (8.48)
cos45°cosa cosa 2
l + tgatgp = ^LlM, а,р*- + ял, «2; (8.49)
cos acos p 2
l-tgatgP = -^±^, a,p*- + m, «e2; (8.50)
cos a cos p 2
ctgactgp + l = -cos^ct~^, a,p*jw, neZ; (8.51)
sin asm p
, т cos 2a я „
l-tg2a = r—, a#- + 7W, яе2; (8.52)
2 cos 2a _
l-ctgza = —, a#roi, kZ; (8.53)
sin a
„2„ .„2n_sin(a + p)sin(a-p) „r^
cos2 acos2 p ' 2
tg2a-tgzp = —s—jKi—T-^' a. P *- + »". »£2; (8.54)
2 ?„ sin(a + p)sin(p-a) „ „
ctg2a-ctg"P = —i-^p—f '., a,p#m, «eZ; (8.55)
sin" asin В
408

tg2 ос-sin2 a = tg2asin2a, a# — + m, neZ; (8.56)
ctg2 a-cos2a = ctg2 acos2 a, a*m, neZ; (8.57)
Формулы преобразования произведения
тригонометрических функций в сумму
sinasinB = -(cos(a-B)-cos(a + B)); (8.58)
cosacosB=-(cos(a + B)+cos(a-|j)); (8.59)
sin acos В = - (sin(a + B)+ sin (a - в)); (8.60)
sinasinBsin7 =
= -(sin(a + B-7)+sin(B+7-a)+sin(7+a-B)-sin(a+B + 7)); (8.61)
sin a cos В cos 7 =
= -(sin(a + B-7)-sin(B+7-a)+sin(7 + a-B)+sin(a + B + 7)); (8.62)
4
sinasinBcos7 =
=—(-cos(a + B-7)+cos(B + 7-a)+cos(7 + a-B)-cos(a + B + 7)); (8.63)
4
cos a cos В cos 7 =
— x(cos(a + B-7)+cos(B+7-a)+cos(7+a-B)+cos(a + B + 7)), (8.64)
4
409

Формулы, выражающие тригонометрические функции через
тангенс половинного аргумента
2tg,
1+tg2-
■ 2 ОС
l-tg2y
cosa = —,
. + ts2f
a ф 7t(2n + l\ n<= Z ;
i.65)
(8.66)
2tg
tga =
-, ot, — #— (2n+l) neZ;
l-tg2f 2 2
(8.67)
, 2 «
1-tg2^
ctga = —, а*яя, ne Z.
2tgi
(8.68)
Формулы приведения
sin—± a = cos a, sin(it±a)=+sina,
sin — тг + ос =-cosa, sin(2rc + a) = + sina;
(8.69)
cos —±a = + sina, cos(7t±a) = -cosa,
cos -it±a =±sin a, cos(2it±a) = cosa;
(8.70)
410

tg — ±oc = + ctgoc, ос#яя, ne Z,
tg(it±a)=±tga, a# —(2n+li neZ,
tffl — n+a =T ctga, а#ля, neZ,
tg(2it±a)=+tga, a#-(2n+li ne Z;
(8.71)
ctg — ±a =+tgoc, a*—(2n+l\ ne Z,
ctg(jt±a)=±ctga, ос#яя, neZ,
ctg — it±a = + tga, a* — (2n + l\ neZ,
ctg(2;i±(x)=+ctga, афтт, ntZ.
1.72)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное
входит только под знак тригонометрических функций непосредственно
или в виде линейной функции неизвестного, причем над
тригонометрическими функциями выполняются только алгебраические действия.
Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшими тригонометрическими уравнениями называются
уравнения вида
sin х = т, (8.73)
cosx=m, (8.74)
tgx = m, (8.75)
ctgA: = m, (8.76)
где m- любое действительное число.
411

Решить простейшее тригонометрическое уравнение - значит найти
множество всех углов (дуг), имеющих данное значение
тригонометрической функции.
Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений.
1. sinx = т. Если |т| < 1, то решения данного уравнения
определяются формулой
х = (-l)" arcsin/и + яя, пе Z. (8.77)
Если |/и| > 1, то уравнение (8.73) решений не имеет.
2. cos х-т. Если jmj < 1, то решения этого уравнения определяются
формулой
x = ±arccosm+27trt1 пе Z. (8.78)
Если |/и| > 1, то уравнение (8.74) решений не имеет.
3. tgx = m. При любом действительном т
х = arctgm +7Ея, пе Z. (8.79)
4. ctgx = m. При любом Действительном т
х =arcctgm + 7tn, neZ. (8.80)
В частных случаях при m = -1, m = 0, m = 1 получаются
следующие формулы:
sinx = -l; jc = — + 2яя, не 2; (8.81)
sin л; =0,- x = 7tn, ne Z; (8.82)
sinд: = 1; х = — + 2кпу пе Z; (8.83)
cos.x = -l; х = 7Г + 2лл, пе Z; (8.84)
cosx = 0; х- — + тш, пе Z; (8.85)
cosxsrl; x = 27tn, ne Z; (8.86)
tgx = -l; х =— + 7Ш, не 2; (8.87)
tgx=0; х~ш1, neZ; (8.88)
412

tgjc — 1; л: = —+ яя, не 2; (8.89)
4
ctg* = -l; x =— + nn, neZ; (8.90)
4
ctgx=0; х~— + ЯЯ, яе2; (8.91)
ctgx = l; x = - + 7tn, neZ. (8.92)
Тригонометрическиеуравнениявида81п(дх + б)=т, cos(«x + fe)= m,
tg(ax+b)-t, c\g\(ix + b)=t, где дх+fe —линейная функция, |mj<l,
д ф 0, х, 6 — любые действительные числа, также относятся к
простейшим н приводятся к уравнениям (8-73) -(8.76) заменой ах + Ь = у.
Тригонометрические уравнения, содержащие
тригонометрические функции одинакового аргумента
Рассмотрим тригонометрические уравнения, рациональные
относительно тригонометрических функций.
Пусть имеем
R($\nx,co$x)=0, (8.93)
где R- рациональная функция относительно sin x acosx .
Данное уравнение приводится к алгебраическому относительно
тригонометрической функции одинакового аргумента. Затем, решая
получившееся алгебраическое уравнение относительно этой функции,
приводят данное уравнение к нескольким простейшим тригонометрическим
уравнениям, из которых находят значения неизвестного и проверяют,
какие из них являются решениями данного уравнения.
Если хф \1п+\)к, где пе Z, то каждое тригонометрическое
уравнение вида (8.93) можно привести к рациональному уравнению
относительно неизвестного tg— с помощью формул (8.65) - (8.68). Решая
уравнение таким методом, можно потерять корни вида х = (2п+1)л,где
413

n e Z, для которых tg — не имеет смысла. Поэтому необходимо
проверить, являются ли числа д: — (2« + l)jt, где пе Z, корнями исходного
уравнения.
Если уравнение (8.93) или приводимое к нему при замене х на к - х
не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному
относительно sin х.
Если уравнение (8.93) или приводимое к нему не изменяется при
замене х на -х , то его имеет смысл приводить к рациональному
относительно COS X .
Если уравнение (8.93) или приводимое к нему при замене л; на к+х
не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному
относительно tgx .
Однородные тригонометрические уравнения и уравнения,
приводящиеся к ним
Тригонометрическое уравнение вида
aQcosn x + citсо$п~ хsinx + a2co$n~ xsin x + ... + ansinn x~0, (8.94)
где а0, я,,..., ап — данные числа, an — натуральное число, называется
однородным уравнением относительно функций sin x и cos x . Сумма
показателей у sin л; и cosx во всех членах такого уравнения
одинакова. Эта сумма называется степенью однородности уравнения или
показателем однородности.
Уравнение (8.94) является частным случаем уравнения (8.93) и
делением обеих своих частей на cos " х ф О (или на sin " х ф О ) приводится к
целому рациональному относительно tgx (или ctgx):
ао tg" x + at tg""1 x+a2 tg""2 x + ... + an = 0
или
Дос1ё * + fljtg x + fl2tg х + ...+дл =0;
при этом область определения уравнения сужается на значения
х = —(2/1 + 0 (или на х-т), где пе Z.
Умножением на тригонометрическую единицу (sin2 x +cos2 xf ,
где fee N , можно привести к однородному некоторые уравнения, не
414

являющиеся однородными. Так, к уравнению вида (8.94) сводится
уравнение
а0 cos2" х + a, cos2"" xsinx + a2 cos""2 xsin2 x +...+an sin" x = b.
Для этого нужно умножить Ь на тригонометрическую единицу:
b = fe(sin2 x + cos2 xf, ke Z.
Уравнение вида a sin <ox + b cos Oix = с [a2 +b2 ф o)
Это уравнение является частным случаем уравнения (8.93),
следовательно, его можно решать с помощью универсальной подстановки, а
также приводить к однородному.
Укажем еще один способ решения этого уравнения, так называемый
способ введения вспомогательного угла. Пусть
я sin ox*+ fe cos (йх = с ^2+62*о). (8.95)
Разделим обе его части на -^/д2 + £2 , тогда
а Ь
JTTt
J77t
=r COS (ИХ =
477i
Пусть Ф —одно из решений системы
cos<p = -
sin<p =
''477?
b
4777
Воспользовавшись этими равенствами, запишем уравнение в виде
с
SU1 (ИХ COS ф + COS (ИХ Sin ф = .
4az +b2
Применив формулу sin (а + р)=sin а cos p + cos а sin P, получим
уравнение 8т((йх + ф) =
Vfl2 +b
, которое, как видно из проделанных
415

выкладок, равносильно исходному уравнению. Если
а2 +Ь2 > с 2,т° уравнение имеет решение
(Hx + <p~(-lY arcsin-
V?
477t
или
(-1)" .С ф 1В
х= — arcsm - —+— ~
Если
J77t
> ,т.е. а2 +Ь <с2,тоуравнениерешениннеимеет.
Уравнения, рациональные относительно выражений
sinx+cosx и sinxcosx
Если левая часть тригонометрического уравнения /(х) = О содержит
лишь одно из выражении sin х + cos х или sin х - cos x н функцию sin 2x
(или произведение sin x cos х), то, вводя новое неизвестное t - sin x + cos x
или ( = sin х-cos x и учитывая, что sin2x = (sinx+cosx)" -l, sin2x =
= 1-(sinx-cosx)", приходим к уравнению относительно t.
СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
При решении систем тригонометрических уравнений пользуются
способом подстановки или сводят системытригогометрических уравнений к
системам алгебраических уравнений. В ряде случаев для решения системы
тригонометрических уравнений ее преобразуют с помощью почленного сложения,
вычитания, умножения, деления уравнений с целью, например, исключить
одно из неизвестных, разложить полученное уравнение на множители и тд.
Решениясистемызаписываютсяввидеупорядоченныхпар (х; у).
416

Решить уравнения (8.001 - 8.175):
8.001. cos3x-sinx = V3(cosx-sin3x)
Решение.
s
cos3x-V3cosx = sinx-V3sin3x, <=>— cos3x +—sin3x =
2 2
1 . S , я ... я
= —sinx +—cosx, <=>cos3xcos —+ sin3xsin—=
2 2 3 3
it . it . f, пЛ ( пЛ
= cos — cosx + sin —smx,<=>cos3x— = coa x— <=>
6 6 [ 3j \ 6)
.it it
/ \ / \ 3x 1-х—-
«cos 3x— -cos x— =0,<=>-2sin - - "
3) 1 6 ) 2
it it
3x—--x + -
i ? ^- = 0<=>sin|2x-- Isinl x~— 1=0.
2 { 4 J ( 12
Тогда:
l)sinf2x--l=0, 2х,--=я*, х, =- + —= -(4fc + ll keZ;
' [ 4) ' ' 4 '828
2) sin x =0, x, = яя, x, = — + ля = — (l2n + l\ neZ.
{ 12 J 2 12 2 12 12
Ответ: x, =-(4fc + llx2 = —(l2n+Ц k,ne Z.
8 12
8.002. 7+4sinxcosx + y(tgx+ctgx)=0.
Решение.
(sin x * 0,
cosx#0.
- . ■ ./sini oosi4! „
7 + 4sinxcosx + l,5| + | = 0 <=>
cosx sinx
, ,f sin2x+cos'x |
<=>7 + 4smxcosx+U =0<=>
I sinxcosx I
<=>7 + 4sinxcosx + : = 0<=> 7+2sin2x + = 0.
sinxcosx sm2x
14 M. И. Сканави, группа А

Отсюда получаем уравнение 2 sin 2л: + 7sin 2л: +3 = 0, квадратное
относительно sinlx. Таким образом, sin2x = -3,0, или sin2;t = — ,
откуда 2x = (-l)*[-|W *eZ, л-ЙГ^ + у, *е Z.
Ответ: x = (-\f«~+ — , keZ.
12 2
8.003. 4ctg* +sin22A: + l = 0.
1 + ctg x
Решение.
ОДЗ: sinx#0.
Из условия
4 cos л:
—§Ш^_ + sin22A: + l = 0,<=>sin22x + 2sin2x + l = 0<=>
, cos х
sin л:
<=> (sin2x +1^ = 0, sin2A: = -l.
Тогда 2д: = — + 2жк, keZix = — + жк - — {4к-\\ ке Z.
Ответ/ х = — (лк-\\ keZ.
4
„„„ sin2 2x-4 sin2* 2
8.004. —5 5 + l = 2tg x.
sin 2x +4sin x-4
Решение.
ОДЗ: cosa:#0.
Имеем
sin22x-4sin2 x+sin2 2x+4sin2 x~4
sin 2x+4sin x-4
= 2tg2A:e
2snr2;t-4 „ •, sinz2x-2 2
- = 2tg*X,—-r- 7-; = tg X<=>
sin 2A:+4sin'д:-4 sin 2x+4sin .v-4
418

sin 2x -2 l-cos2x
~»..
cos32x+cos22x = 0,
22x+4sin2x-4 l+cos2x
l-cos22x-2 \-coslx
w - ■
1-cos 2x +2-2cos2x-4 1 +co$2x
cos2 2x\cos2x + \)= 0.
Отсюда:
ncos22x = 0, cos2x = 0, 2x = ~ + nk, ke Z,
2
'424*
2) cos2x + l = 0, cos2x = -l, 2л: = л+27Сл, ле2,
x2 = — + ЛЛ = — (2n + l]t neZ.
Объединяя решения, получаем x = — + — = — (lm + \\ me 2.
4 2 4
Ответ: x= — l^m + l\ meZ.
4
8.005. sinzsin(60°-z)sin(60°+z)=-.
8
Из условия
sinz|2sin(60°-z)sin(60* + z))= —,<=>sinz(pos2z-cosl20° )= — <=>
<=>2sinzcos2z+sinz = - <=> -sinz +sin3z + sinz = —, sin3z = —.
2 2 2
Тогда 3z = (-l)*.30°+180°*:, h2, z = (- If ■ 10° + 60° k, keZ.
Ответ: z = (-if 10° +60°*:, h2.
8.006. cos~22i-sin~22( = -.
Реше/ше.
[cos2( * 0,
ОДЗ: {
M [sin2(*0.
419

Перепишем уравнение в виде
1 18. cos22(-sin22( 8 „
-, ; - = 0, ; s +- = 0,<=>
cos It sin It 3 sin 2(cos It 3
cos4t 2 „ cos4( 2 „ „ 2 , , „ „
<=>—-—+- = 0, -— + - = 0, 2cos 4f-3cos4(-2 = 0.
sin22( 3 l-cos24( 3
Решив это уравнение как квадратное относительно cos4t, найдем
cos4(=2,0;cos4( = -- откуда4( = ±-тч-2я£, keZ, t = ±-+—
2 3 6 2
1
■2, Y) ; C0S4f = -
/fceZ.
Ответ: t = ±-+—, keZ.
6 2
8.007. tg3(-tg(-4sin( = 0.
Решение.

ОДЗ-.{С°83'voices ( * 0.
Использовав формулу tga - tg В = —-—^Ц-, перепишем уравнение в
cosacosp
sin2r 2sin(cos( , . . „ . fl-2cos3("\ „
вице— 4sin( = 0, 4sm( = 0, <=>2sinr- —, =0.
cos3(cos( cos3(cos( ^ cos3r J
OraOflasin( = 0,(i = 7tfc, ke Z,iraHl-2cos3( = 0,cos3f = - 3f = ±- + 2iui,
it 2m
2 9 3
Ответ: h - 1&', h = ±T + . k,neZ.
9 3''
8.008. cos~'3(-6cos3(=4sin3(.
Решение.
ОДЗ: cos3(#0.
Из условия
l-6cos2 3r-4cos3lsin3t=0, cos2 3l+sin2 3l-6cos2 3l-4cos3lsin3f =0,
5cos2 3(-sin2 3(+4cos3(sin3( = 0.
Разделив уравнение на-cos2 3( #0,имеем tg2 3(-4tg3(-5 =0.Решив
420

это уравнение как квадратное относительно t g3?, получим (tg3t\ = -1 или
(tg3()2 =5, откуда Зг, =~ + я*, it=-~ + — = ~(4k-\\ keZ-
arctg5 яя
3(2 = arctg5+jtn, l2 =—-—+—■ neZ.
Ответ: Г, =—(<№- 1J Г2 = —~ +—, k,neZ.
8.009. ctg(-sin( = 2sin2-.
Решение.
ОДЗ: sin(#0.
cosf . . 2 . .
sinf = l-cosf =>cosf-sin t = smt-smtcost,
sint
(cos( + sin(cos()-^in2 ( + sin()=0, cos((l + sin()-sin((l + sin()= 0,
(l + sin(Xcos(-sin() = 0.
Отсюда 1) l+sinf = 0 или 2) cosf-sinf = 0 . Тогда:
l)sin( = -l, r, =-—+2nJfc = —(4*-li fee 2;
2) cosf = sirU <=> tgf = 1, ь = — + 7Ея = — (4n + ll не Z
4 4
Ответ: 1, =y(4i-l) '2 = ^(4n +U k,ne Z.
8.010. 8coszcos(60° -z)cos(60* + z)+l = 0.
Решение.
Имеем
4cosz|cos2z+cosl20°)+l = 0, 4coszcos2z-2cosz + l = 0<=>
1 2
<=>2cosz+2cos3z-2cosz + l = 0, cos3z = —, 3z = ±—n+2-nk,
2 3
z = +-7t + , h2.
9 3
,2 Ink , ,
Ответ: z = +-lt+——, isZ.
421

8.011. sini+2A: Wg3;t+sin(it + 2.x:)--j2cos5;<: = 0.
Решение.
ОДЗ: sin3A:#0.
Из условия
cos2xctg3x-sin2x-V2cos5x = 0 <=>
fcos2xcos3.v . ^ iz , „
<=> sin2x -V2cos5x = 0,
^ sin3A: J
cos2xcos3x-sin2xsin3x пг с п
V2cos5x = 0<=>
sin3x
cos 5л: г- cos5A:(l-V2sm3A:)
<=> V2cos5a: = 0, E ' = 0.
sin3x sin3x
Отсюда:
1)cos5a: = 0, 5x = - + nk, x, = — + — = — (2/fc + ll ieZ,
2 10 5 10
или
2)]—j2s\n3x = 0, sin3A: = ^y-, 3x = (-l)"j+m, *2 =(-l)"^ + -
!v = l-ll' HTn Y, = I— IF
12 3 :
ne Z.
Ответ; x, =—(2fc + ll x, = (-l)"— +—, k,neZ.
1 10 2 12 3
8.012. sinxcos2x + cosxcos4x = sin — + 2x sin 3x
I4 J I4
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
-sinx + sin3x+cos3x+cos5x = cos5x-cos —х »
U J
<=>sin3x+cos3.v = 0, sin3x = -cos3x, tg3x = -l,
откуда Зх = -- + пл, * = -- — +— = — (4n-ll neZ-
4 12 3 12
Ответ: х=—\4п-\\ neZ.
422

8.013. sin2x = cos4 —-sin4—.
2 2
Решение.
Имеем
2 2^ 2 2
2 sin x cos л: - cos x = 0« cosx(2sin x-i)= 0.
Тогда:
1) cosx-0,дг| = —+ 7tn = —(2п+Ц neZ;
ИЛИ
2) 2sinx-l = 0, sinx = -, x2 = (-if - + nk, keZ.
2 6
Ответ: xt = — (2n+l) x7 = (-If — + я&, и, fce 2.
2 " 6
8.014. (l+cos4.x)sin2x = cos2 2x.
Решение.
Из условия
^+l-2sin22x)sin2x = l-sin22x, 2sin3 2x-sin2 2x-2sin2x+l = 0,
sin2 2x(2sin2x-l)-(2sin2x-l)=:0, (2sin2x-l)^in2 2x-l]=0.
Отсюда или
l)2sin2x-l = 0, sin2x = -, 2X-(-\f- + iiky x, = L\f — +
' 2 v ' 6 1 v ' 12 2
или
2) sin22x-1 = 0, sm2* = ±l, 2x= —+ яя, x, =- +— = -(2л + Ц
2 2 4 2 4 *
ne2.
Ответ: xt=(-\) — + —; д:2 = -(2л + ll k,neZ.
8.015. sin2 2z + sin2 3z + sin2 4z + sin2 5z = 2.
Перепишем уравнение в виде
-(l-cos4z)+-§-cos6z)+-(l-cos8z)+-(l-cosl0z)=2,
z. 2 2 2
(cos4^+cos6z)+(cos8z + cosl0z)=0, «=>2cos5zcosz + 2cos92cosz=0,
423

2cosz(cos5z + cos9z)=0.
Тогда:
1) cosz = 0,z, = — + nk = — (2k+l\ ktZ,
или
2) cos5z + cos9z = 0, 2cos7zcos2z = 0, cos7z = 0, 7z = — + яя
2
I ПЛ )l /Л л ^ _ It
z,=_ + — = —pn + U neZ; cos2z=0, 2z = - + 7tm,
14 7 14 '2
it 7tm it /_ > _
z3 = — +— = — (2/я + Ц /и е-i; z, входит в z2.
Ответ: z, = —(2n +liz2 = -(2m +Ц n,me 2.
14 4
8.016. ^42г + 8т"^2г = 25.
Решение.
ОДЗ: sin2z#0.
Из условия
C0S 2z +—\ 25 = 0<=>cos42z + l-25sin42z = 0<=>
sin 2z sin 2z
<=> (;os2 2z)P + l-25sin4 2z = 0, (l-sin2 2zf +l-25sin4 2z = 0 о
<=>12sin4 2z+sin2 2z-l = 0.
Решив уравнение как биквадратное относительно sin 2z , получим
sin2z = ±- откуда 2z = ±—+ яА:, z = ±— + — = — (бк±\\ keZ
2' ' 6 12 2 12
Ответ: z = —(6k±l\ keZ.
8.017. tg2xcos3x + sin3x + V2sin5x = 0.
Решение.
ОДЗ: cos2a:*0.
Перепишем уравнение в виде
424

+ sin 3x + V2 sin 5л: = 0 »
sin2xcos3x
cos 2 x
sin2xcos3x+cos2xsin3x rz . .
+ V2sin5x = 0,
cos2x
sin5x pr . sin5xh + v2cos2x)
+ V2sm5x = 0, ^ - = 0.
cos2x cos2x
Отсюда или
nk
1) sin5x = 0, 5л: = пк, xi -—, &e Z,
' l 5
или
Jl 3
2) 1 + V2cos2^ = 0, cos2x = , 2л: = ±—л + 2ян,
x, = ± — тг + яя -— (8n±3l ne Z.
2 8 8
Ответ: Xj = —; x2 =-(8n ±3), к,пе Z.
8.018. ctg -~ + x - tg2 x = (cos 2x - l)cos~2 x.
Решение.
ОДЗ: cosx*0.
Имеем
7 cos2x-l sinx sin2 x l-cos2x
-tgx-tg2x = —, + —r~ = 5—<=>
cos x cosx cos x cos x
sinxcosx+sin2x 1-Qcos x-l) . / \ _ . 2
0 _ —z—_ s=>sinx(posx+sinxj-2sin x
COS X COS X
sin x(cosx +sinx -2sin x)= 0, sin x(cosx -sin x)= 0.
Тогда-.
1) sinx = 0, x, = nk, ke Z,
ИЛИ
2) cos x - sin x = 0 » tgx = l, x2 = — + nn - — (4n+l]t, ne Z.
Ответ: *i = nk; *2 = "T (4n +U k,ne Z.
425

8.019. cos —cos sinxsin3x-sin2xsin3x = 0.
2 2
Решение.
Перепишем уравнение в виде
cosa- + cos2a--cos2*: + cos4x-cosa'+cos5x = 0<=>
9л" х
<=> cos4x+cos5x = 0, <=>2cos—cos—= 0.
2 2
Тогда или
9х „ 9лг я , к 2жк к г ,
и cos — = 0, — = - + жк, *, = - + = -(2&+Ц fceZ,
' 222 '99 9
2) cos—= 0, — = — + т, хг =n + 2jw = n(2n + li »eZ; х, вхо-
Ответ: x=-{2k+l\ keZ.
f х х
8.020. l-sin3x= sin cos —
[2 2
Решение.
Имеем
l-sin3x = sin2 —2 sin —cos —+ cos2 —, sin3x-sinx = 0<=>
2 2 2 2
<=> 2sinxcos2x = 0.
Тогда или
1) sinx = 0, x1 = ял, ne2,
или
2)cos2x = 0, 2x = — + жк, x, = — + — = —fefc+ll Are Z
2 4 2 4
Ответ: x, =nn; x, =—(2k+l\ n,keZ.
4
8.021. 2ctg2xcos2 x+4cos2x-ctg2x-2 = 0.
Решение.
ОДЗ: sin x * 0.
Из условия 2cos2x(ctg2 x + 2)-(ctg2x+2)=0, или (ctg2 x + 2/>

x(2cos2 x-l = 0/, (:tg2x + 2)cos2x = 0 . Так как ctg2x + 2*0, то
cos2x = 0 2x = — + nk , x- — + — - — (2k + \\ ke Z.
2 '424
Ответ: x = — (lk + \\ ke Z.
4
8.022. 2sin3x+2sin2xcosx-sinxcos2 x-cos3 x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
2 sin x(sin л: + cos x)- cos x(sin x+cos x)= 0,«
» (sinx+cosx)^sin x-cos x]=0.
Тогда:
1) sinx + cosx = 0,
или
2) 2sin2 x-cos2 x = 0.
Имеем:
1) tgx = -l
ИЛИ
2) tg2 x = -yоткуда xx=--~ + %n- = l(4n-l\ neZ;
x23 =±arctg— + nk, ke Z.
Jl
Ответ: xx =—(4n-\\x2j -±arctg—- +nk, n,ke Z.
Решение.
Из условия
2 sin 8x cos x = 1 + cos — 2x -1 - cos — + 4x «
i I2 J I2 J
» 2 sin 8xcos x = sin 2x + sin 4x »
» 2sin8xcosx-2sin3xcosx = 0,» cosx(sin8x-sm3x)=0.
Тогда:
1) cos x = 0
или
2) sinSx-sinSx^O,
427

откуда 1)х, = — + я& = — (2к+\\ ке Z,2)2sm—xcos—x-0, sin — л: = 0,
5 2 ,11 .11 к , и 2 ,
-х = пп хг- — -т, не Z ; cos—-л-=0, —-* = — + ш . х, = — + — я/ =
2 ' 2 5 2 ' 2 2 ' 3 11 11
= -(2/+Ц /Е2.
Ответ; х, = -(2fc + l)t.r2 =-roi;дг3 = — (2/ + Ц k,n,leZ.
8.024. tgA: + tg2x-tg3A: = 0.
Решение.
{cosx* 0,
cos 2л: * О,
cos3a:#0.
Используя формулу tgoc-tgP = —-—^-, перепишем уравнение в виде
cosotcosp
sin3x sin3x Л sin3x(cos3x-cosxcos2x)
— и <=> = и,
cosxcos2x cos3x cosxcos2xcos3x
откуда:
1) shi3a: = 0 или 2) cos3x-cosa:cos2a: = 0.
Тогда:
l)3x = itn, x, -—, neZ;
1 3
2) 4cos3 x-3cosx-cosx(2cos2 x-\)=0, cosx(cos2 x-lj=0,
cosx*0,=> cosx = ±1, xt = nk, keZ;x2 входитв^.
Ответ; х~~{~> ne *■•
8.025. sin([5° +x)+sin(45°-A:)=l.
Решение.
Имеем:
„ . 15° + x + 45° -x 15'+x-45°+X , / ,_„\ ,
2sm cos = 1, coslx-15 1=1.
2 2 x '
Тогда x-15° =3604% x = 15°+360°/i, fee 2.
Ответ: х = 15° + 360° /i, h2.
428

8.026. cos x + ctg3x = ctg
Ъх
Решение.
ОДЗ:
cosx* О,
sin3x * О,
sm—#0.
. 2
Из условня
1 I , 3i „ 1
+ ctg3x-ctg— =0<=>
cosx I 2 cos л:
sin Ъх — х
2
= 0<=>
sin Зх sin—х
2
. 3
sm — x . . . ,,
1 2 n __} _-n sm3*~cosx _n
cosx . , .3 cos* sin3x ' cosxsin3x
sin3xsin—x
2
(n
sin3x-cosx = 0, <=> sin3x-sin—x = 0<=>
I2 J
it , it
3x4 x Ъх 1-х
<=>2cos sin = 0,
откуда: 1) cos x + J = °; 2) sin 2x -- = 0.
Тогда:
hj + - = — + nk, x, = — + жк =~(4k + \\ keZ;
' 4 2 ' 4 4
21 2x — = ля, л, = — + — = —I4n + U neZ.
' 4 2 8 2 8
Ответ: xt =-(4k + \} x2 =—(4n + l\ k,neZ.

8.027. sin л-sin Зл- +sin 4л: sin 8л- = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
— (cos(x-3a-)-cos(*+3*))+ — (cos(4a--8*)-cos(4* + 8x))=0,
, ,, „ , . 2л + 12л: . 12л-2л: . .
cos2x-cosl2x = 0<=>2sin sm = 0, sm7л-sin5a- = 0.
2 2
Отсюда:
. 1) sin lx - 0, 1х-тшу х-.-—, не 2;
' ' 7
тсА:
2)sin5A-=0, 5л- = Ttfc, д-2 =—, k&Z.
т "* , -г
Ответ: л:, = —, х2 = —, n,keZ.
8.028. 2tg3*-2tg2* + 3tg*-3 = 0.
Решение.
ОДЗ: cos*#0.
Из условия 2tg2 *(tgx-l) + 3(tg*-l) = 0, (tgj:-l)^tg2 д- +з)=0 .
Отсюда tg*-l = 0,tgx = l,x = —+ 1В! = -(4n + l)i ле 2.
Ответ: х-— (4н + ll ne 2.
4
8.029. cosA-cos2* = sin|-^ + * Isinl — + 4л l + sin —+ 4л cos —-5л-
I4 J I4 J I4 J I4
Решение.
Перепишем уравнение в виде
— (cos(* -2х)+ cos(x+2л)) =
1( (л > , 1 (* * „ Yl
= — cos —1-л 4х -cos —+ Л- + —+ 4л- +
Ч И 4 J I4 4 JJ
if . (Зп . 7 я , "\ . (Зя , 7я .
+- sm — + 4л- + 5х +sin — + 4л- + 5л
2|1 4 4 J 14 4
430

<=>cosx + cos3x = cos3x-cos — + 5x -sin(Tt-9x)+sin — к-х <=>
«cos* = sin 5*-sin 9* + cos x, sin 9x-sin 5л: = 0 <=>
9*+5x . 9*-5л: „
<=> 2 cos -sin = 0,
2 2
откуда:
я£
nsin2*=0, 2x = 7cA:, x, -—, k^Z-
i 2
2icos7a: = 0, 7л = - + яя, x2 - — + — = —(2n + ll neZ
> 2 2 14 7 14
Ответ: xt = —;x2 =—fan+l\ k,neZ.
8.030. 2 + tgx-ctg- + ctg*tg- = 0.
Решение.
ОДЗ:
cos x * 0,
sin x * 0,
sm— * 0,
2
cos— * 0
2
„ , a 1 + cos a a sin a
По формулам половинного аргумента ctg— = , tg~ = ,
2 sma 2 1+cosa'
поэтому
. sinx 1 + cosx cosx sin л; . . 1 + cosx cosx .
2 + + = 0=}2 + — + = 0,
cos x sin x sin x 1 + cos x cos x 1 + cos x
4 cos2 x + 4 cos x +1 = 0, (2 cos x + lf =0,
откуда cosx = —, x = ±~n + 2nk =— (3k±l\ fee Z .
Ответ: x~—(3k±l\ ke Z.
431

8.031. sin2* + sin(Tt-8x)=V2cos3*.
Решение.
Из условия
■ -, о /Ton-,- 2л+8л 2л-8л Д" -> п
sin 2x+sin8x- V2 cos3* = 0 <=> 2sin cos V2 cos3x = 0,
2 2
2sin5xcos3x--\/2cos3x = 0, cos3^psin5A:-V2)=0.
Отсюда:
ncos3;t=0, 3x = — + nk, x, = —+ — = — (2k + l\ keZ-
> 2 6 3 6
2) 2sin5л:-,/2=0,sin5л: = — ,5x = (-\f j + m,
I ,y, я Jin „
2 20 5
Ответ: xt = -fak + l\ x2 = (-l)" — + —-, k,neZ.
о zO 5
8.032. 0,5(cos5* + cos7;v:)-cos22* + sin2 Зл = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
5x + 7x 5х-7х \ /, , \ 1 I. , \ -
cos cos (I + cos 4л:)+ —11-cos 6л )= 0 <=>
2 2 2 2
<=>2cos6a-cosx-1-cos4a- + 1-cos6a- = 0, 2cos6лcosx-
f r 1 n -, t -, 4л+6л 4л-6л
-Icos4x + cos6x)=0<=>2cos6xcosx-2cos cos = 0,
2 2'
cos6xcosx-cos5xcosx = 0<=> cosx(cos6x-cos5x)=0.
Отсюда:
l)cosx = 0, x,= —+nk~ — (2k + l\ keZ;
' x 2 2
~ ■ 6л + 5л . 5л-6л п
2) cos6л-cos5л = 0, -2sin sin ~0.
' 2 2
.11 11 2lUl .XX ,
Тогда sin — x = 0, —х = 7Ея, л? = , не Z-sin — = 0, —-пЛ
2 2 2 11 '22
хъ— 2%l, / е Z; л3 входит в л2.
7Г / , \ 27ЕЯ , „
Ответ: л, =—(2А:+Ц л2 =——, к, н е Z.

8.033. 2(cos4A,~sinxcos3A,)=sin4A- + sin2x.
Решение.
Имеем
2 cos 4х - 2 sin x cos 3x - sin 4x - sin2 x = 0, 2 cos 4x - sin (x - 3x )-
-sin(x + 3x)-sin4x-sin2x= 0, 2cos4x + sin2x~sin4x-sin4x-
-sin2x= 0, 2cos4x~2sin4x- Oo tg4x = 1,
откуда 4х~ — + кк, х- — + — - — [4к + Ц ке Z .
4 16 4 16
Ответ: x=~-(4k+l\ keZ.
16
8.034. sinxcosxcos2xcos8x = —sinl2x.
4
Решение.
Из условия
2(2sinxcosx)cos2xcos8x = sinl2x »2sin2xcos2xcos8x==siril2,x: «
t^sin4xcos8x-sinl2x = 0t^-(sin(4x-8x)+sin(4x+8x))-sinl2x =0,
-sin4x + sinl2x-2sinl2x = 0, sinl2x+sin4x = 0«
. . I2x+4x 12x-4x .
<=>2sm cos = 0, sine* cos 4лс =0.
2 2
Отсюда:
П sin8*-0, 8х = я&, x,-—, keZ ■
2)cos4x=0, 4x~— + %n, x2= —+ — = — (2п + Ц и e Z ; x2 вхо-
2 8 4 8
ДНТ В Х] .
як i -,
Ответ: х-—, ке Z.
8
8.035. 3sin22x + 7cos2x-3 = 0.
Решение.
Имеем
3^~cos22x)+7cos2x-3=0«3cos22x-7cos2x = 0!
cos2x(3cos2x-7)=0.
Отсюда:
433

ncos2x = 0, 2x- — + nk, x,- — +— = — (2k + ]\ keZ:
> 2*424
7
2) 3cos2x-7 = 0, cos2x = ->l-0.
Ответ: x=-{2k + l\ keZ.
4
8.036. sin2xsin6x-cos2xcos6x = V2sin3xcos8x.
Решение.
Из условия
(cos2xcos6x -sin2xsin6x)+ V2 sin 3xcos8x - 0 <=>
<=>cos8x + >/2sin3* cos8x = 0, cos8x(l + -\/2sin3xj=0.
Отсюда:
ncos8x = 0, 8x = —+ яя, x, =—i- — = — fen + ll neZ-
' 2 ' 16 8 16
2) l+*/2sin3x = 0, sin3*=~, 3x = {-lf(~\nk = (-if+i^
Х2=(-1У ITT' ^2-
Ответ: x, = £(2n + lb2 = (-l)'+1 4 + ^. ",^2.
16 12 3
8.037. sin3xcos3x = sin2x.
Решение.
Имеем
2sin3xcos3x-2sm2x-0, <=>sin6x-2sin2x -0.
sin3(2x)-2sin2x = 0, <=>3sin2x-4sin3 2x-2sin2x = 0,
4sin3 2x-sin2x = 0, sin2x(4sin2 2x-lJ=0.
Отсюда:
n sin2x = 0, 2x-%n, x> =—, neZ1
' 2 '
21 4sin22x-l = 0, sin22x = -, sin2x = + -, 2x = ±- + nk
' 4 2 6'
x2,=±- + —= -(6/i±l), kzZ.
2.3 I2 2 12* *
Ответ: xx = —; х2.з = — (бк ± l\ n,keZ.
434

8.038. cos2x~5sinx-3 -0.
Решение.
Из условия 1 — 2sin2 x-5sinx-3 = 0, 2sin2 x + 5sinx + 2 = 0.
Решая это уравненне как квадратное относительно sinx, имеем
sin* --2,0 ;илн sinх --— откуда x-(-\j — + пк, ке Z.
2 6
Ответ: х = (-]f+i ^ + nk, keZ.
6
8.039. 3sin2x + 2cos2x = 3.
Решение.
Имеем
6sinxcosx + 2\cos2 x-sin2 jc)=3(cos x + sin2 xj,
Решив это уравненне как квадратное относительно tgx, найдем
{lgx\ -~ wm{tgx\ = 1,откуда х{ = arctg- + fl& -arcctg5 + 7t&, keZ;
х-, - —\-Ttn = —(4n + l) ne Z.
2 4 4 '*
Ответ: x} = arcctg 5 + nk; x2 - — (4« +1 \ k,neZ.
г.л,<л ГЗТГ ^ 2 1 + COS2X
8.040. ctg x \- ctg; x + r = 0.
^ 2 ) sin2 x
Решение.
(cos x ф 0,
ОДЗ; \
[sin x ф 0.
Перепишем заданное уравненне в виде
tgx-ctg2 x + = 0, » tgx-ctg2 л:+ 2 ctg2 х=0,
sin x
ctg2 х+ = 0, ctg3 х = -\, ctgx = -l.
ctgx
435

Тогда х = —л + яА: = —(4fc + 3\ keZ.
4 4
Ответ: х=-(4к + 3\ keZ.
4
8.041. cos9x-cos7x + cos3x-cosx - 0.
Решение.
Перепншем уравнение в виде
, . 9х + 1х . 9х-7х . Зх+х . Зх-х
-2 sin sin 2sm sm = 0<=>
2 2 2 2
<=>sin8xsinx + sm2xsmx = 0 <=>sinx(sin8x + sin2x)=0.
Отсюда:
l)sinx=:0, xt-TUi, neZ;
„ „ . &x + 2x %x-2x „
2) sm8* + sin2x-0 <=>2sin cos—-— = 0,
sin5xcos3x = 0
жк
Тогда илн sin5A: = 0, 5x = nk , x2-—, keZ,nn« cos3a: = 0,
3x = — + nm, x-. = - + — = —(2m+ l), me Z; x, входит в хг.
2 3 6 3 6
Ответ/ х, =—; x-> = — (2m + l\ k,meZ.
1 5 2 6 *
8.042. 2| tg—— I | = cosr.
ОДЗ: cos-#0.
Имеем
. (
sm —
2__
(
cos-
2
. 2 sin—cos-
cos —sm - ЦОфэ-1
2 2 „„ I
i ' ■ ' 1 л ( ■ < 'I2 . r (
x cos—hsin- = 0<=> sm—cos— | hsm — + cos—
2 2J I 2 2W 2 2
436
= 0<=>

{ . t t )( . t t 9 /
sin -cos- 2 -к sin cos — + cos"--
Отсюда:
/
i— _ _ _
2 2 2 2
Из первого уравнения получим
tg =1. -= +iui,t= +2Ш1--(4п+1), neZ.
Ь2 2 4 '2 2
Ответ: t = - (4и+1), «eZ.
8.043. sin Ъг -cos 3z
Решение.
И ч условия
=1
4г 4г Л -Л
sin 32 cos3z = <=> sin 32COS45 -cos 32sin 45°= — <=>
2 2 2 2
7з
<=>sin(32-45°)= —,
откуда 3z-45° = 60°+360°*: или Зг-45°= 120°+360°*\ Отсюда
г, =35°+120Ч-, 22 = 55° +120°*, ке Z.
Ответ: ;, = 35°+ 120°*-, 22 = 55°+120°Ме Z.
8.044. V3sjh2a+cos5a:-cos9a: = 0.
Решение.
Перепишем 'заданное уравнение в виде
гг . . . . 5.v + 9,v . 5*-9*
V3sin2x-2sm sin = 0»
2 2
<=> v3sm2x + 2sin7xsin2.v = 0<=>sin2x(V3 + 2sin7а) = 0.
Отсюда:
1) sin 2x = 0, 2х = пл, х, - ■ ,ле Z;
1 2
437

- 2)V3+2sin7x = 0, sin7;t = - —-, 7x = {-if*' ^ + жк,
2 ' 21 7
Ответ: х, = —; х2 = (- If — +—, n.kzZ.
8.045. 2cos2 x + 5sin;(-4 = 0.
Решение.
Имеем 2(1- sin2 A:)+5sinA:-4 = 0 nnH2sin2 л:-5 sin л:+ 2 = 0. Решив
это уравнение как квадратное относительно sin х , получим sin x = 2, 0 ,
или sinх = - , х = (-if у + пк, ке Z .
2 о
Ответ: х ^(-lf — + кк, ке Z.
'б
„„., ■ г 3z 1 . , . 3z г
8.046. sin—cos = sin2z = sin—cos—.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
\( . (г ЪгЛ . (z 3zY| sin2z
1Г{2-т}+»п{гт)}-7Г-
\( . (Та z\ . (3z zVl
— sin +sin 1-— = 0<=>
ч I2 2J U 2JJ
. _ 2sin2z ■ л л
<=> -sinz + sin2z j= sinz-sin2z = u<=>
•Уз
<=> V3sinz+sin2z = 0<=> V3sinz + 2sinzcosz = 0,
sinz(y3 + 2cosz)=0.
Отсюда:
l)sinz = 0, Z| = Ttn, ne2;
г т/з~ 5
2) V3 + 2cosz = 0, cosz = , z, =± — Ji+2nk, keZ.
' 2 6
Ответ: z, = Jtn;z, =±— гс+2яА:, n,keZ.
' 6

1 1 -Jl
8.047. sinz cos z-sin 2 cos z-—.
Решение.
Из условия
>£ ..,.: L..2. .:..гЛ J*
С 2 ■ 2 | V2 . . / 2 2 1 V2
-sinzcoszlcos z-sin zl=— <=> 2sinzcoszcos z-sin г 1= <=>
v '8 ^ '4
•У2 -Д J2
<=>sm2zcos2z = <=>2sm2zcos2z = , sin4z = ,
4 2 2
откуда 4г-(-1Г7 + 1*, ^(-'Г^ + ^г, *eZ.
4 16 4
a»»».- z=(-ir4+-, ^z-
16 4
8.048. sin — + 5x cos —+ 2x = sin — + x sin —6x
I4 J I4 J I4 J I4
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
- sin — + 5х 2х Usin ~+5х + ~ + 2х \-
Ч v4 4 J I4 4 ))
= — cos — + х i-6x -cos — + х + —Ьх U=> sin3x +
Ч I4 4 J I4 4 ■ ))
+ sin —+ 7л: -cos7x + cos —5х =0 » sin3x+cos7.\-cos7x4-
V2 J I2 J
. _ л . . . _ л л ■ Sx + 3x 5x-3x .
+ sm5x = 0, sin3;c + sm5.x = 0<=> 2 sin cos = 0.
2 2
sin 4x cos x = 0.
Отсюда:
l)sin4;t = 0, 4x = 7tn, x, =—, neZ;
1 4
2) cosx = 0, x2 = — + itk, ke Z; x2 входит в х}.
Ответ: х = —, n e Z.
4
439

„ ■ (Зк
8.049. cos3x = 2sin ь х
Решение.
Перепншем заданное уравнение в виде
4cos3x-3cosx = -2cosx, <=>4cos3 x-cosx -0 <=>
<=> cosa:(4cos2 A:-l)= 0.
Отсюда:
ncosj- = 0, x. = — + пк = — (2к + Л keZ-
' '2 2
2} 4 cos x-l-Q, cosx-±—, x7=±— + tui, neZ
' 2 3
Ответ: x, =— (2k + \\ x2 =±— + JW, k,ne Z.
8.050. 5(l + cos;t)=2 + sin4 лг-cos4 x.
Решение.
Из условия
5 + 5cosx—2 + \cos x-sin xjcos x + sin2 xj=0,
2cos2 x + 5cosx + 2 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно cos x , получим
1 2
cos л: = -2,0 ;илн cosa: = — .откуда х- ±-к + 2жк, ке Z .
2
Ответ: х-±—к + 2пк, к е Z.
8.051. l + sm2x = (cos3x + sm3xf.
Решение.
Имеем
l + sin2x = cos 3x + 2sin3xcos3x + sin Зх, 1 4- sin2x -1 + sin6x,
. . - „ 6д: + 2д: . 6,х-2д: „ . .
sinox-sin2x = 0 <=>2cos sin = 0, cos4xsin2x = 0,
2 2.
откуда:
ncos4;t = 0, 4х = — +кк, х. =—v—= — (2fc+ ll keZ-
' 2 '848
440

2)sin2x = 0, 2х-тт, х-, =—, не Z
' 2 2
Ответ: х, = — (2к + \} х2 =—, k,neZ.
о 2
8.052. sin3A: = 2cos --л:
I2
Решение.
Перепишем уравнение в виде
3sinx-4sin3 х -2 sin л:, 4sin3 x-sinx = 0., sinx(4sin x-lj= 0,
откуда:
1) sin x = 0, X| = яя, n e Z ;
2 1 It
2) 4sin x-l = 0, sinx = ±—, x-,, = + — +itfe, keZ.
' 2 2'3 6
Ответ: хг = 7ш; х2 3 -±— + tOc, n,ke Z.
6
8.053. cos4x + 2sin2x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
2cos22x-l + l~cos2x = 0, 2cos2 2x-cos2x = 0,
cos 2 x (2 cos 2 x -1) = 0,
откуда;
ncos2x = 0, 2x~- + nk, x>=- +— = -(2fc+l) h2;
2 4 2 4
2) 2cos2x-1=t0,cos2x = -,2x = ±- + 27dj,x, - + —+itn,ne 2.
7 2 3 2 6
Ответ: x, = — (2k + \\x, - + — +юг, к,пе Z.
1 4 h - 6
8.054. sinx + sinIx -cos5x + cos(3x- 2n )= 0.
Решение.
Из условия
/- \ / , ^ Л -. ■ x + 7x x-7x
(sin x + sin 7x j- (cos5x - cos3xJ= 0«2 sin—-—cos —-— +
441

, . 5л: + 3л: . 5.v-3.i; . .
+ 2sin sin - = 0 <=>sin4xcosxH-sin4xsinx = 0,
2 2
sin4x(cos3x + sin *)= 0,
откуда:
l)sin4A: = 0, 4x = nk, x,=-—, Are 2;
2) cos3x + sinx = 0, 2cos x + — cos 2x— =0.
> { 4j { 4j
Полученное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
a) cos дс + — =0, х + —= —+ ял, д.'2 = — + т> ле2;
' ( 4J 4 2 4
б)cos 2x =0, 2л- = — + ят, л-, = — (4m + 3jt meZ.
' I 4 J 42 3 8
Решения x, входят в Xj.
Wfc
Ответ: x> -—, x^ ■= — (4«-t-3l i,ne2.
1 4 * 8
25
8.055. cos4 2x + 6cos2 2т = —.
16
Решение.
Имеем 16cos4 2x + 96cosz 2x-25 = 0. Решив это уравнение как
биквадратное относительно cos2х , получим cos2x—± —, 2х = ± — + кк _
, к пк
х = + - + — ,где fce Z
6 2
Ответ: х = ± — + —, Аге2.
6 2
8.056. l + cosf + cos2f + cos3f = 0.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
l+eos/ + 2cos2 f-l + 4cosJ / -3cosf -0,
4 cos3 f + 2cos2 f-2cosf -0 <=> 2cosf(2cos2 f+ cosf-l)= 0.

Отсюда:
l)cosf = 0, Ц = — + nk~-(2k + \\ kzZ;
2) 2cos2f + cosf-l = 0.
Решив уравненне как квадратное относительно cost, получнм
(cosf)2 =-l, t2 = п + 2тт, n<zZ; (cost\ = ~, t3 = + — + 2тгт, meZ.
Объединив решения t2 н/3, получим t2 = — (2n +1) neZ.
Ответ: t} = - (2jfc +l) f2 = - (2n +1) k,neZ.
8.057. cos2x = V2(cosx-sinx)
Решение.
Из условия
cos x-sin2x-V2(cosx-sinx) = 0«
» (cos x - sin x )(cos x + sin x - V2 J= 0.
Тогда:
1) cos x - sin x = 0,
2) cosx + sinx-V2 = 0.
Шпервого уравнения tg x ~\, х1-~ + як,ке Z. Из второго уравнения
cos
■Л . Ji . n . . n ,
JC h Sin X = 1 » COS X COS — + Sill ЛС Sm — = 1 <=>
2 2 4 4
«cos л:— =1,
4
откуда х - — = 2тт, х2 = — + Inn, ne 2. Объединив решения х, н х2
получим х = ~ + кк, ke Z ,
Ответ: x = ~ + nk, ke Z.
4

„ ( . Зх Зх
8.058. 1 + cos7a:= sm cos —
^2 2
Решение.
Имеем
■ 2 Зх „ . Зх Зх 2 Зх , „ , . л
l + cos7A: = sin 2sm—cos i-cos —, 1 + cos7a: =l-sm3jc,
2 2 2 2
lx + -~3x
= 0, cos\2x + — bos 5л:— =0.
cos7x + sin3x- 0, cos7a- + cos| —3x | = 0<=> 2cos-
Ix— + 3x
2 ^ 4) [ 4
Отсюда:
(\ I1! n , 7ГТГ . Jt
1) cos 2x + — =0, 2x + —=—urn , 2x= — + nn,
[ 4 J 4 2 4
x, =—I- — = —14н + 11 neZ;
1 8 2 8
[ti\ ,. к к , ,. 3 ,
5л: =0, 5x = - + Л* 5х=-Т[+Т[А:
4J 4 2 4
л, = — п+ — = — (4k + 3\ke Z
2 20 5 20
Ответ х1 = - (4н + l)t х2 = — (4к + 3\п,ке Z.
8.059. 2tg4 3A:-3tg2 3jc + 1 = 0.
Решение.
ОДЗ: cos3x # 0.
Решнв это уравнение как биквадратное относительно tg3x, полу-
/г ±arctg— ,
чнм: 1) tg3x = ±— , х|2 = —-— + —, keZ;2) tg3x = ±l,
, 7t 7Ш
Отвал.' х1д =+-arctg —+ у;л3,4 =±^" + у. k,nsZ.
444

is Ix +
8.060. sin2x-sin3x + sin8x=cos ,.. .
^ 2
Решение.
Из условия
(■ -. ■ -» \ / ■ г. --т\/ч -. ■ 2л-Зл 2л + 3х
(sin2x-sin3xj+ (sin8x-sin/;tj = 0, <=> 2 sin cos- ь
. . 8л-~7л Ъх+lx п . х 5х . х 15л п
+ 2sin cos - 0, -sin—cos h sin—cos -0 <=>
2 2 2 2 2 2
. x( 5x 15л:" .
<=>-sin— cos cos =0<
2^ 2 2
5л^ 15л: 15л 5х
«sin—-2sin— — sin———2_ = 0<=>
2 2 2
. x ... 5 n
<=> sin—sin 5x sin — x - 0.
2 2
Тогда:
1) sin— = 0, — = ™ , x, =2roi, neZ;
2 2 '
кк
2) 8т5л: = 0, 5л- = itfc, x2 = —, ksZ-
5 5 2
3) sin-* = 0 — л- = 7С/и, л-3 =-itm, me 2; л:, н л-3 входят в л2.
пк
Ответ: х~—, keZ. °
5
8.061. 4tg23x-cos"23x=2.
Решение.
ОДЗ: совЗл: # 0.
Имеем
4sin23* 1 , „ 4(l-cos23x) 1 , .
cos Зл: cos Зл: cos Зл: COS Зл:
4tt-cos2 3*)-l-2cos2 Зл- = 0, cos2 Зл = -.
~ , ,v2, , л , , л яА: , „_
Отсюда cos Зл:-±—, Зл- = ±— + пк, х-±—+ —, k^Z.
2 4 12 3
, тг пк , -,
Ответ: л- = +—- + —, keZ.
12 3
445

8.062. cos3 x + cos2 x-4cos2 — =0.
Решение.
Из условня
cos3x + cos x-4-~(l + cosx)=0, cos x+cos x-2cosx-2 = 0,»
<^>cos2 x{cosx + \)-2{cosx+\)-0, »(cosx + l)(cos2 x-2J=0.
Тогда cosx+I = 0,cosx=-l,Xi = 7Г+27И = 7г(2и + 1)ие Z; cos2 x-2^0.
Ответ: :* = 7t(2n+l) neZ.
8.063. sin9^ = 2sin3x.
Решение.
Перепнсав уравнение в виде sin3(3x)-2sin3x = 0
нвоспользовавшись формулой sin3ct = 3 sin a -4 sin а, имеем
3sin3x-4sin33x-2sin3x = 0, 4sin33x-sin3x =0,
sin3x(4sin23x-l)=0.
Тогда
1) sin3x = 0, 3x = 7tn, xj= —, neZ;
- 1 . , 7t . , К Ilk
2)4sin23x-l = 0,sin3x = ±-,3x = ±- + 7^,x2=±— + — ,keZ.
2 о lo J
ля , тг тг& , „
Ответ; x{ ~—; x2 --"S"1"-^-' n,keZ.
8.064. (sin~'z + cos-IzJ(sinz + cosz)+2 = 0.
Решение.
fsinz * 0,
[cosz * 0.
Перепишем уравнение в виде
1 1 ^ / . \ л л sinz + cosz /. \ л .
+ ■ (sinz + coszj+ 2 = 0, (sinz + coszj+ 2 = 0.
sinz cosz J sinzcosz
Отсюда
(sinz + coszf + 2sinzcosz = 0, sin z + 2sinzcosz+cos2z+2 sinzcosz =
= 0,4 sinz cosz = -1, sin2z =—.
2
446

Тогда 2,=(~l)'+l-+7tf,z=(-l/+'-+— ,kzZ.
6 12 2
Ответ: : =.(-l)'+l -™ + —. Ae Z.
12 2
8.065. sin2z + cos2z = -j2sin3z.
/>еше(ше.
По формуле cos a + sin a - cosf - - a
получаем
•У! cos 2z = Л sin 3z» cos —~2z -sin3z = 0»
I4 / I4
«cosl — — 2z l-cosj--3z 1=0,
?-2z+5-3, *-2z-* + 3z
-2sin4 ?_ —sin4- -i = 0,
2 2
sin sin =0.
I2 8 J I2 4
Тогда:
„ . (5= 3lt 1 „ 5; 3lt 5z 3lt
l)sm - =0, ----- =jtii - = ~ +j[ii
( 2 8 J 28 2 8
:, =- —n+-i4i= - -(8n + 3), ne Z;
' 20 5 20v
2)sinf ?-" =0, --- = л*,- = - + ni,
12 8 2 8 2 8
2 4 4
Отвин: z, = -?~(8n+3);z, = -(8i+l), n.ke Z.
1 20 2 4
8.066. 6sin2A + 2sin22.v=5.
Решение.
Перепишем это уравнение в виде
6- -(J-cos2.v) + 2(l-cos2 2.v)-5=0<=>2cos22;t+3cos2
cos2,v(2cos2,v + 3) = 0.
447

Тогда
cos2x=u, 2х~ — +ля, х, =: —+—= — \2п + \), ntZ:
2 ' 4 2 4V
2cos2x + 3*0.
Ответ: х - —(2н +1) п е 2.
4
8.067. sin3x + sin5x = 2(;os22х -sin23x\
Решение.
Перепншем заданное уравнение в виде
„ . 3x+5x Зх~5х J\ /, л \ 1 л , Л
2sin cos—-— =2 — 0 + cos4xj~—0-cos6лj <=>
2sin4xcosx = cos4x+cos6x »
л . . л 4х + Ьх Лх~Ьх .
»2sin4;tcosx-2cos cos =0 »
2 2
» sin4xcos л: - cos 5x cos x = 0, cos x(sin4x - cos 5x) = 0.
Отсюда:
1) cosx=0, X| = — +лл = — (2и+Ц neZ;
4x h5x 4x + —5x
9 2
2) sin4x-cos5x = 0»2sin cos =0,
' 2 2
. (9x кЛ (х кЛ .
sin cos =0.
I2 ч l2 ч
. (9x n\ „ 9x it , 9x it it
Тогда илн sin^--j = 0, Y~4=nk- T=4 + ^' *2 = 4 +
+ 2„* = il(4/i+l), *6 2,или cos(i-il = 0, i_* =f+ n/, 1 = 25 +
9 18 ^2 4j 2 4 2 2 4
+ к, x3 -—K+2nl, /e 2; x3 входит в jq.
Ответ: xx =-(in+ \\ x2 =--(^k+ \\ n,keZ.
L lo
448

8.068. tgr + л ~ctg2x-sin 2x(i + cos2a:)=0.
Решение.
ОДЗ: smxstO.
Из условия
2 1 + 2COS X-l „ 2 ~ 2
-ctgx-ctg д: + ^ = 0, -ctgx-ctg A: + 2ctg x = 0,
sin" x
cl%2 x-a%x = 0, ctgA:(ctgx-l)=0.
Отсюда:
l)ctgx = 0, хх = ~+тА = ~{2к + \\ /fceZ;
2)ctgjr-l = 0, ctgx«H, x-, = — + id! = — (4n+l\ neZ.
" 4 4
Ответ: л:, =— (2fc + l); д:2 = — (4n + l), k,neZ.
8.069. 2sin3 x-cos2x~sinx = 0.
Решите.
Имеем
2sin3 A:-l + 2sin2 x-sin;v = 0, 2sin3 x+2sin2 x-sin;(-l = 0,
2sin2 A:(sinx + l)-(sinA: + l) = 0, (sinx + 1Д2sin2 x-l)=0.
Отсюда:
l)sinx + l = 0, sin*=-l, x, =-- + 2ni = — (4fc-l) fceZ;
2)2sin2A:-l = 0, sinx=± —; д:2 =-- + — = -(2n + l) «Z.
2 2 4 2 4
Ответ: x, =—(4k-\\ x2 = — (2n+l\ k,neZ.
8.070. 3sin5z-2cos5z = 3.
Решение.
Из условия
3sin2|~z]-2cos2|~zj-3|cos2-z + sin2-z |=0<=>
IS M. И. Сканнян, группа Л

* ■ 5 5 J 25 . 25 ) J 2S ■ 25 I „
<=>6sin—zcos—z-2 cos — z-sin — z -3 cos —z+sin —z U=0<=>
2 2^2 2 J ^ 2 2 J
■ 25 , . 5 5 . 25 „
<=>sm —z-6sm-zcos—z+5cos —z = 0.
2 2 2 2
2 5
Разделив это уравненне на cos -~z * 0 , получим
2 5,5,.,.
tg -z-6tg-z + 5 = 0.
Решив уравненне как квадратное относительно tg—z, найдем
5,5 л к 2 ,
«2I",'2Z-4+'*'Z, = io + 5,*'*6Z'
или
5 с 5 с 2.2
tg-z = 5 , —z = arctg5 + 7t«, z2 =— arctg5+—лл, ne Z.
Ответ: 2j = —+ -t^;z2 =-arctg5 + -7tn, k,ne Z.
8.071. 4sin3z +—cos3z = 3.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
». . 3z 3z 2 3z ■ 2 3z л 2 3z л . 2 3z .
24sin—cos — + cos sin 9cos 9sin — = 0o
2 2 2 2 2 2
,A . 2 3z л. . 3z 3z „ 2 3z .
<=>10sin 24 sin—cos h8cos — -0.
2 2 2 2
Разделив это уравненне на 2 cos2 — ф 0, получим
5tg2^-12tg^ + 4=0;
3z 3z 2
решив уравнение как квадратное относительно tg^-, найдем tg —= —
y = arctg- + im, z1 = -arctg- + -jtnJ Л£2; tg-^ = 2, ~-;t = arctg2 +
2 2
+Jlfc, z3 = -arctg2 + -Ttfc _ k& Z.
2 2 2 2 2
Ответ: z, = -arctg- + -iBi;z2 =-arctg2 + -ni, k,neZ.
450

8.072. (cos6x-l)ctg3A: = sin3A:.
Решение.
C№:sin3;<:*0.
Имеем
(cos2(3a:)-i)cos3jc L 2, A , . 2, „
-—-— sm3jc = 0, Gcos 3A:-2lcos3A:-sin 3дг = 0,
-2(l-cos2 3x)cos3A:-sin2 3л: = 0, 2sin2 3;tcos3A: + sin2 3л: = 0,
sin2 3x(2cos3x + l)=0.
Так как sin3x
#0,to 2cos3x + l = 0, cos3x = -- Зх = ±-к+2пк
2 2
2 2
± — 74—3
9 3
8.073.
sin\- + x sin--*
cod -~ + x bos —x
= 3.
Решение.
ОДЗ:
cos[ — +x I* 0,
cos| x |* 0.
Перепишем уравнение в виде
cosxcosx = 3cos -~ + x cos —x
I4 ) I4
cos2x-3cos — + x kos—л: =0»
4 J I4 J
I / , i 3f fn " ^ fn it
<=* —(l+cos2xl— cos — + x — + x +cos — + x + —
24 2|^ [4 4 J ^4 4
-x Ц»
451

<=>1 + cos2x-3(cos2x + 0)=0, cos2x = —,
2x = ±— + 2iui, x=±— + mi, neZ.
3 6
Ответ: x = ± — +nn, neZ.
6
8.074. I-cos(t +x)-sin - = 0.
Решение.
Имеем
1 + cos x +cos— = 0 <=> 1 + 2 cos2 — 1 + cos— = 0,
2 2 2
-. 2* * л *f-. * Л л
2cos — + cos— = 0, cos— 2cos —+1 =0.
2 2 2( 2 '
Отсюда:
1) cos— = 0, — = - + nk, x, =n+2nk=nb.k+\\ keZ:
' 2 • 2 2 '
x x 1 x 2 4
2) 2cos — + 1 = 0, cos—= —, — = ±— 7Г + 2лл, x7 = ± —тг + 4лл,
' 2 2 2 2 3 2 3
Ответ: x\ = л(2А:+1);.х2 =±~к+4тт, k,ne Z.
_2_
8.075. 9cosx =9sinx -3COs*.
ОДЗ: cosx^O.
Решение.
Из условня
2 2
32cosX =32шХ,2-^-x ^32coSx =32smx+-^ ^2cosx = 2smx+~^~
COS;t
Отсюда
cos2 x-sinxcosx-l = 0, sinxcosx + l-cos2 x = 0,
sinxcosx + sin2 x = 0> sinx(cosx + sinx)= 0.
Тогда:
1) sin.x = 0, Xj =тш, neZ;
2) cosx + sinx = 0 <=> tg* = I, х2 =-- + 1сА, &e z ■
4
Ответ: x{ =im;x2 = — + л£:, n,keZ.
4
452

8.076. sinx-sin2x + sin5x + sin8x = 0.
Решение.
Имеем
/. ■ „ \ / ■ ■n^/^ -,- х-2х х + 2х
(sinx-sin2x}+(smx + sm8A:}=0<=>2sm cos +
. . 5дч-8л" 5л:-8л" . . . х Зх . . 13л:
+2 sin cos = 0<=> -2 sin—cos h2sin x
2 2 2 2 2
Зх . . Зх( . x . 13хЛ . Зх
xcos— = 0<=>-2cos— sin sin = 0<=>cos—x
2 2 [ 2 2 J 2
x \3x x \3x
*) T • *) *) 3x 1x
x2sin— — cos— — = 0 «cos—sin3jccos— = 0.
2 2 2 2
Отсюда:
Зх Зх к , я 2 , Ял,, ,\ , _
I) cos— = 0, — = — + кк, х, = — + — пк = — 12к+Ц keZ:
' 2 2 2 '33 Зч
2)sin3x = 0. Зх = кп, х, = —, neZ;
' 2 3
7х 7х я я 2я/ Я/,, ,ч , ^,
3)cos—=0, —=-+я/, ^3=т+^г=чР/+1* /eZ;
2 2 2 111
Xj ВХОДИТ В л:2 .
Ответ: х, =——;д:2 = — (2/ + l) n,leZ.
2
8.077. 2sinz-cosz = -.
Решение.
Переходя к половннному аргументу, находнм
= 0,
,„2£
2" "'" 2 J "1^"" 2 "'" 2
3sin2i+20sin-cos--7cos2- = 0e3tg2|+20tg|-7 = 0;
z z
решив это уравнение как квадратное относительно tg—, найдем tg— = -7,
453

- = -arctg7+7r&, z, =-2arctg7+27ti, ke Z ; tg- = -, - = arctg-+
+it/, z2 =2arctg-+2it/=2arcctg3+2it/, /eZ.
Ответ: z, = -2arctg7 + 27t£;z2 =2arcctg3 + 2n/, k,leZ.
8.078. cosI — +5д: |+sinA: = 2cos3x.
Решение.
Из условня
(sin5jc-sinjc)+2cos3jc = 0e»2cos sin +2cos3jc = 0,
K ' -22
2sin2Arcos3x + 2cos3x = 0, 2cos3jc(sin2jc + l) = 0.
Отсюда:
ncos3x = 0, Зх = — + -кк, x,= — + — = — (2k+]\ keZ-
' 2 ' 6 3 64 *
2) sin2x+l =0, sin2x<=-l, 2x =—+2nn, xj = — + тш =
2 4
= —(4n-l) neZ
4
О/шотг *i =7(2*+!), x, =-(4n-l) fc,neZ.
6 4
8.079. (l + sin jc)tg i = cos"1 x - cos x.
I4 2J
Решение.
[cos л: ф 0,
i4 2
Имеем
x ] 1 - coa — x\\
1 (l + sinxYl-sinx) 1-cos2a
cosx, - £ i =
cos л: cos л: cosx
454

Отсюда l-sin x = \-cos2 x, sin2 x = cos2 * <=> tg2 л; =1, откуда
tgx = ±I,T.e, jcj = — + itk , ke Z, x2= — + nn, neZ. Объеднннв x,
4 4
к nk к (гч, ч „
н x2,получнм x= — +— = _(2A: + i]) ke Z.
Ответ: x = ~(lk +l) h2.
4
8.080. cosx-V3sinx =cos3x.
Решение.
Из условия
(cosx-cos3x)-V3sinx = 0<=> -2 sin sin V3sin;t = 0,
2sin 2xsin x - V3 sin д: = 0, sinx(2sin2;t-V3 j=0.
Отсюда:
1) sinx = 0, xl = ли, пе Z ;
2) 2sin2x-V3=0, 2sm2x = ^,2x = (-]f ^ + nk,
' 2 3
Xl=(-lf* + ?*, kzZ
2 V ' 6 2
Ответ: ^ = тш; x2 = (-if ~ +-~, n,keZ.
о 2
8.081. 6sin2 x + sinxcosx-cos2 л: = 2.
Решение.
Имеем
6sin2 x + sinxcosx-cos2x-2\sin2x+cos2x]=0,
4sin2x+sinxcosx-3cos2 x = 0<=> 4tg2x + tgx-3 = 0.
Решнв это уравненне как квадратное относнтельно tgx , получнм
tgx = -l, jc, - — +itk , Are 2; tgx = -, x2 =arctg- + nn, neZ.
4 4 4
71 3 , „
Ответ: x{ =— +izk;x2 =arctg—+ тш, k,ne Z.
4 4
455

8.082. cos7A+sin8.v = cos3x-sin2.v.
Решение.
Имеем
lx + За- 1х — Ъх
(cos7-y-cos3A,) + (sinSA, + sin2A-) = 0<=>-2sin - sin' "■■ н
л . 8-V + 2.V 8jc-2jc . . . _ . . . . ,
+ 2sin ——cos =0, -2sin5.vsin2x + 2sin5vcos3x = 0,
2 2
-2sin5A(sin2A--cos3A') = 0.
Отсюда:
J)sin5.Y = 0,5х = кн, .(|=—,neZ;
2)sin2.v-cos3.v =0<=>sin2A'-sin —3x <=>
2jr+--3jr 2.y--+3jt /я x\ /5 я\
<=>2cos — sin-—— -—- = 0, 2cos sin ~x-~ =0.
2 2 14 2 J [2 A)
Отсюда:
(n хЛ (x n\ . x n n , 3
a)cos =cos =0, = — +nk, x-, = ~n + 2nk =
[4 2) [2 4 J 2 4 2 2 2
= -7t + 27rA = 7t(4A-J),AeZ;
2 2
6)sinf 5~x-ll)=0,-x-- = nl,x, = -~ + -TU = ~ (4/ + 1), /e г.
1^2 4 J 2 4 3 10 5 10
Ответ: Л| = ""-; х-, = K(4k-l);x-, = -(4/ + I), п,*,/е г.
1 5 " 2 3 10
8.083. sin" -i:-2sinACOsx = 3cos" x.
Решение.
Разделив обе части уравнения на cos д- *0, имеем tg л — 2 tg х —3 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно tg х, найдем
(tg-t)| =-1, л', = — + кк, к е Z;(tgx)-> =3; х2 = arctg3 + Tin, ne Z.
4
Ответ: х] - — + пк, х2 = arctg3+ftH, k,neZ.
4
456

8.084. cos5x + cos7x = cos(7i + 6x)
Решение.
Из условия
5х 4~ 7х 5х 1х
2 cos cos + cos 6x = 0, 2 cos 6x cos x+cos 6x = 0,
2 2
cos 6х(2 cos х +1) = 0.
Отсюда:
1) cos6x = 0, 6х = — + кп, х, =—+— = —(2w + l\ neZ;
} 2 l 12 6 12^ h
1 2
2)2cosx + l = 0, cosx =—, х-, =+-71 + 2л&, fceZ.
2 2 3
Ответ: x{ - — (2w + l)x2 — ±—7c + 27iA:, n,keZ.
8.085. 4sinxcoa—-x +4sin(rc+x)cosx + 2sin — я-х kos(jc+x)=1.
бешеные.
По формулам приведения имеем
4sinxsinx-4sinxcosx+2cosxcosx-l = 0,
4sin2 x-4sinxcosx + 2cos2 x-(cos2 x+sin2xj=0,
3sin2x-4sinxcosx+cos2x = 0, <=>3tg2x~4tgx + l = 0;
решив уравнение как квадратное относительно tg x , найдем (tg x\- - ,
X! =arctg- + 7i&, keZ; (tgx^ =1, х2 =- + кп , weZ-
Ответ; х{ = arctg - + кк; х2 = — + nnt ktne Z.
8.086. cos6x = 2sin —+ 2х
I2
Решение.
Представив уравнение в виде cos3(2x)~2sin— + 2х =0 иприме-
нив формулу cos3a=4cos3a-3cosa , имеем
4cos32x-3cos2x + 2cos2x = 0 . 4cos32x-cos2x = 0.
cos2x(lcos22x-l)=0.

Отсюда:
l)cos2x = 0, 2x = - + itt, x,=-+—= -(2* + l)l keZ; .
2 4 2 4
2)4cos22x-l = 0, cos2x = ±-, 2х = ±- + ли,
2 3
л ли
x, =±— + —, ие Z.
2 6 2
Ответ: x, = —(2fc+l)x2 =±—+—, k,neZ.
4 6 2
8.087. 2sinxcos— + x -3sin(n-x)cosx+sin — + x cosx = 0.
Решение.
По формулам приведения
2sinxsinx-3sinxcosx+cosxcosx = 0,
2sin2 x-3sinxcosx + cos2 x = 0<=>2tg2 x-3tgx + l = 0;
■решив уравнение как квадратное относительно tgx,найдем (tgx)s = — ,
х, =arctg- + uA:, ке Z; (tgx); = 1, х2 =- + ял =-(4и + 1), ие Z.
Ответ: х, = arctg- + nA:;x2 =-(4n + l)l k,neZ.
8.088. (sin4( + cos4()2 =16sin2(cos3 2(-8sin2(cos2(.
Решение.
Из условия
Sin24( + 2sin4(cos4( + cos24( = 8(2sin2/cos2()cos22(-4(2sin2(cos2/)e
<=> sin2 4/+2sin 4*cos4/ +cos2 4* = 8sin 4* -(l + cos4/)-4sin4f,
sin24/ + 2sin4/cos4/ + cos24/ = 4sin4/(l+cos4/-l)i sin2 4/+ 2 sin 4/cos 4/ +
+ cos24*=4sin4/cos4/, sin24/-2sin4*cos4/+cos24* = 0,
(sin4/-cos4()!=0, sin4/-cos4( = 0etg4/ = l, 4f = — + nk,
4
16 4 16V
Ответ: t = ^-{4k+l), keZ.
16
458

8.089. cos^(-18")tg50" +sin^(-18")= l- .
2cos130*
Решение.
Имеем
cosfef-18")sin50° . L ,„Л 1
E £ + smEf-18 1= 1 \<=>
cos50° 2cos(|80°-50°j
cosfcf-18°)sin50°+sinfcf-18°)cos50° _ 1
cos 50° -2 cos 50°
=>sin^(-18°+50°)=--; sin(2r+32")=-I.
Отсюда:
1) 2( + 32°=-30°+360°£, keZ, I, =-31° +180°*;
2) 2f + 32° = 210°+360°(t, r2 =89° +180°*, keZ.
Ответ: (, =-31° +180° к; г2 =89° +180°*, hZ,
8.090. tg-ctg — + cos"'-sin"1 — = 1.
2 2 2 2
|cos-*0,
sin—*0.
2
Перепишем уравнение в виде
. ( 3(
sin —cos— . . т. , т.
2 2 1 i г. ■ ' 3( Г . 3( ,
^+ —-l = 0=>sin—cos cos—sin —+1 = 0<=>
t ■ 3( ( . 3( 2 2 2 2
cos—sin— cos —sin —
2 2 2 2
<=>sin +1 = 0, -sin( + l = 0, sin( = l.
I2 2J
Отсюда t = - + 2Tdc = -(4k+l\ keZ.
2 2
Ответ: I = — (4£ +1) teZ.

1 1 • ,
8091 "7= Р «sin 2».
влт- ,/3-tg» V3 + tg(
Решение.
ftgf Ф ±Д
°ДЗ: 1
Имеем
JhlMz£±3L=sin2l, ^_-sin2(=o«
(£-tg,)(fl+tg,) з-tg /
2sinf
cost ■ -, n 2sin*cos2* . _ „
** —^^ sl"2/ = 0 <=> sin2f = 0 =>
3-sin f cos/(3cos2/-sin2/)
cos21
=>2sin/cos/-2sin/cos/pcos2/-sin2/J=0,2sinfcosf(l~3cos2/+sin2/J-0,
2sin/cos^in2/+cos2/-3cos2/+sm2fJ=0,-2sin/cos/(cos2/-sm2/J=0,
sinfcosfcos2f =0.
Отсюда:
1) sinf = 0, г, =ял, we Z;
2)cos2f = 0, 2f = - + wt, , =- + ^ = £(2Л + Ц k<=Z;cost*0.
2 4 2 4
Ответ: h = nn; U = — (lk + \), n,ktZ.
4
8.092. cos(20° + x)+cosp0°-x)=-.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
. 20° +х + 100° -х 20° +х-100° +х 1 . ,п„{ лпл 1
2cos cos = —, 2cos60 (лг-40 J= —,
2 2 2 ^ ' 2'
cos(x-40D)= —.
Отсюда
х-40° =±60°+3604, jci =-20" +3604; х2 =100°+3604, keZ .
Ответ: х, а -20° +3604; х2 =100° +3604, keZ.
460

8.093. cosfsin - + 6( +cos —-( sin6( = cos6(+cos4(.
Решение.
По формулам приведения
cosfcos6f+siiWsin6f = cos6f+cos4f <=>
<=>cos(6(-()-2cos cos = 0, cos5(-2cos5(cos(=0,
2 2
cos5((l-2cos() = 0.
Отсюда:
l)cos5( = 0, 5f = - + iofc, f,= —+— = — (2k+\\ keZ;
' 2 ' 10 5 10v *
2)l-2cos( = 0, cos( = -, r, =±- + 2n/, /eZ.
2 3
Ответ: t, = — tk + Uи =±- + 2nl, k,leZ.
1 10 2 3
1 - cos x .
8.094. T"""2-
sin —
2
Решение.
ОДЗ: sin-*0.
Из условия
l-COS2[f] ,.
>—' = 2 <=> —
. X
sin —
2
-1 + 2 sin2 —
2
X
sin —
2
= 2=>sm—= 1, — = — + 2idc,
2 2 2
x = n + 4irir = jr(4A: + l)i £eZ.
Ответ: x - ж(4к +\\ ke Z.
1x 3x x 5x
8.095. sin — cos— + sin—cos — + sin2xcos7jc = 0.
2 2 2 2

Применив формулу sinacosP = — (sin(a-P)+sin(a + p)), запишем
уравнение в виде
\( . <1х ЗлЛ . (7х ЗхХ\ \(.(х 5х\ . (х 5хХ)
- sin +sin —+— +- sin +sin — + — +
4 I2 2J I2 2JJ 2l I2 2J I2 2JJ
+- (sin(2x - 7x)+sin(2x + lx)) = 0,
sin 2x + sin 5x - sin 2x + sin 3x -sin 5x + sin 9x = 0,
9x+3x 9x —3x
sin 9x + sin 3x = 0 <=> 2 sin cos = 0, sin 6x cos 3x = 0.
Отсюда:
1) sin6x = 0, 6x-nnt xl= —, weZ;
2)cos3x=0, 3x = - + jc/:, x2=- + —, &e Z; *., входитв jc, ,
Ответ: * = —> ne Z.
6
8.096. sin3x + sin5x ~sin4x.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
Зх 4-5х Зх— 5х
2 sin cos sin 4х = 0, 2 sin 4x cos x - sin 4x = 0,
2 2
sin 4x(2 cos x -1) = 0.
Отсюда:
1) sin4x = 0, 4x = 7tw, x, =—, we Z:
i 4
2) 2cosx-l = 0, cosx = i, x2~±-+2nk=-(6k±l\ keZ.
2 2 3 3V Л
Ответ: х{ = —;x2 = — (бк±l\ n,ktZ.

Решение.
sin z + cos z - (sin2 z +cos2 zj= 0, sin z +cos z-ЫО,
sin2 — +cos2 — - sin2 —+cos2— =0,<=>2sin—c^ — , WJ
[2) 1^2 J ^ 2 2) 2 2 2
.->2 .?Z -> Z „ - . Z Z л . ■) Z
-sin --Sin—cos - = 0<=>2sm-cos— 2sin - = 0<=>
2 2 2 2 2 2
<=>2sin— cos— sin— =0.
A 2 2)
Отсюда:
. z z
1) sin— =0, — = кп, z, =2ял, neZ:
' 2 ' 2 '
2) cos—sin- = 0<=>tg--l, - - = — + жк, z2 -~ + 2nk = ~(4k+\\
2 2 B2 2 4 2 2 2V л
hZ.
Ответ; zx = 2im\ z2 = — (4& + l} n,k e Z.
8.098. sin z + sin 2z + sin 3z = cosz + cos2z + cos 3z.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
„ . z + 3z z-3z .. . z + 3z z-3z
2sin cos + sin2z = 2cos cos +cos2z <=>
2 2 2 2
<=>2sin2zcosz + sin2z = 2cos2zcosz+cos2z, sin2z(2cosz+l)-
-cos2z(2cosz+l) = 0, (2cosz + lXsin2z-cos2z) = 0.
Отсюда:
1) 2cosz + l = 0, cosz = --, z, = + — к + 2пк = -1&к±\\ kt Z ;
2 3 3
2) sin2z-cos2z = 0<=>tg2z = l, 2z=- + jw, z2 =- + — = -(4«+Ц
4 8 2 8
«eZ.
Ответ: zl =— (7i(3£±l) z2 =—{4п + Ц к,пе Z.
463

8.099. ctgx-tgx + 2 '
tgx+1 tgx-1
Решение.
ftgx*±l,
ОДЗ: jcosx*0,
[sin x Ф 0.
Из условия
4sinjc
cosx sinx cosx л cos2 х-sin2 jc 4sinxcos2 x
— ._ \ '■'jjg-* = 4 ^ 1 = 4 ^
sinx cosx sin2* j sinxcosx COs4in2x-cos2x)
cos2x
2cos2.r 2sin2x . cos2 2x-sin2 2x , cos4:x ,
__=4) -^ = \} ctg4x = l.
sin2x cos2x 2sin2xcos2x sin4x
Отсюда 4x = — +7iw, x = — + — = — (4w+l\ ne Z .
4 16 4 16
Ответ: x =— (4/1 + 1) n e Z.
16
8.100. l-cos6x = tg3x.
Решение.
ОДЗ: cos Зх Ф 0, Зх Ф - + im, x ± - (2w +1\ n e Z.
2 6
Имеем
1—cos6x = 0, (l-cos6x)(i+cos6x)-sin6x=0,
1 + cos ox
1—cos 6x-sinox = 0, sin2 6.x-sinox = 0, sin6x(sinox-l) = 0.
Тогда:
1) sin ox = 0, 6х = ял, х{=— , но с учетом ОДЗ х, = —,
6 3
Л1 ^ 2л +1, meZ;
2) sin6x-l = 0, sin6x = l, 6х = — +2кк, х2 =— +— =s—(4&+l),
2 12 3 12
keZ-
Ответ: х\ -~'>х2 =— (4* + Ц m,keZ.
464

8.101. v2cosx + cos2jr + cos4x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
/г . 2.v + 4.v 2а-4а /г
л/2 cos а + 2 cos cos = 0 <=> v2 cos a' ■+
2 2
+ 2 cos Зл- cos .v = 0 <=> cos a( v2 + 2 cos Зл-) = О.
Отсюда:
1)cosa = 0, xl = K+Tdc=~(2k + \),keZ;
Jl 3
2) v2 + 2cos3a = 0, cos3a = , За =±— я+2ял,
2 4
л=:±Я+ roi = -*-(8n±3),*,neZ.
4 3 12
Ответ: хх = -(2Л + 1); a2 = —(8h±3), A-,oe Z.
Решение.
Имеем
(sin" a+cos~ a) -2sin2 acos2 A-sin2A+0,5 = 0<=>l-- sin 2л-
-sin2x + =0, sin22A + 2sin2;t-3 = 0.
2
Решив это уравнение как квадратное относительно sin 2а, получим
sin2а = -3,0, или sin2а = 1, 2а = -- + 2тг«, а = — +тгн = - (4и + 1), пе Z.
2 4 4
к
Ответ: х- - (4л +1), «е Z.
4
Решение.
ОДЗ; cos.v*0.
Перепишем уравнение в виде
2 cos 2*+ 2-^--С—-—-* -5 = 0 => 2cos2a(1 + cos2a) + 2(1 -cos 2л)-
I + cos 2а
-5(I + cos2a) = 0, 2cos"2a-5cos2a-3 = 0.
465

Решив это уравнение как квадратное относительно cos2x , найдем
cos2x = 3,0,mm cos2x = --, 2х = ±-п + 2пк
2 3
Ответ: x-—{3k±l\ ktZ.
8.104. sin2xsin6.x = cosxcos3x.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
— (cos(2x - 6х)- cosi^x + 6х))— (cos(;t - 3x)+cos(x + Зх))= 0,
cos4x-cos8x-cos2x-cos4x = 0, cos8* + cos2x = 0<=>
. $х+2х Sx-2x
2cos cos = 0, cos5xcos3x = 0.
2 2
Отсюда:
l)cos5x=0, 5х = - + кк> x,=—+ — = —&+{), keZ;
2 x 10 5 10 - h
., _ „ _ 71 71 КП 71 /- ,\ _,
2) cos3x = 0, 3x = — + 7tw, Xj = — +— = — Liw + ll we Z .
; 2 2 6 3 6 Л
Ответ: xl =— (2&+l) x2 = -(2w + l)i &,weZ.
10 6
8.105. sin42x + cos42x = sin2xcos2x.
бешеные.
Имеем
^in22;t + cos2 2xf -2 sin2 2;tcos2 2x - sin 2;tcos 2* = 0,
l-2sin2 2xcos22*-sin2;tcos2;t = 0<=> sin24x+sin4x-2 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно sin 4x, найдем
sm4x = -2,0 , или sin4x = l, 4x = -+27tw, x = -+— = —(4w+l),
2 8 2 8V "
we Z.
Ответ: x = -{*n + l\ we Z.
466

8.106. cos(3x-30")-sin(3A:-30")tg30" = .
2cos210"
Решение.
Из условия
L „Л sin(3;t-30°)sin30° 1
cosLjx-30 1 Е с = j <<=>
cos30° 2cos(180°+30°)
cos(3x-30')cos30'-sinpx-30')sin30° 1
E L E L 1 4 = 0 <=>
cos 30° 2cos(|80°+30°j
cosfex-30" + 30°) 1 „,,,,«
c ' + = 0<=>2cos3x+l = 0,
cos 30° 2 cos 30°
откуда cosЪх =—, Зх = ± — к+2пк, x-± —+—izk, ke Z.
2n 2 , ,
Ответ: х = ±— + -як, keZ.
8.107. 4sinx + cosx = 4.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
4sin2\— +cos2 — -4 cos2 —+sin2 — = 0<=>8sin — cos-— +
l2J l2J I 2 2J 2 2
•) X . •) X „ „ . 2 X n . X X
-4cos —4sm — = 0, 5sm —8sm —cos —+
2 2 2 2 2 2 2
+ 3cos2 |=0,<=>5tg2--8tg| + 3 = 0.
x
Решив последнее уравнение как квадратное относительно tg — , найдем
(«f ]=|. Y|=arctg- + roi,x,=2arctg-+2»i,B6Z; tg| | =1,
. - + пк,х2 = - + 2т* = -(4* + 1), keZ.
, 2 JL, 4 2 2 2К '
Ответ: Х\ =2arctg- + 2roi;x2 = — (4k + l\ n,keZ.

8.108. 2sin2z + tg2z = 2.
Решение.
ОДЗ: cosz*0.
Из условия
. . 2 sin2 z . 2 , sin2 z
2sin z + г 2 = 0<=>2sm z + = 2 = 0=>
cos z 1-sin z
=>2sin2z^-sin2z)+sin2z-2(l-sin2z)=0, 2sin4z-5sin2z + 2 = 0.
Решив это уравнение как биквадратное относительно sinz , полу-
ш sinz = ±—, z = - +— = -i2k + \), keZ.
2 A 2 A* '
Ответ: z = — (2k +1\ keZ.
A
8.109. cos2x + cos6jt + 2sin2x=l.
Решение.
Из условия
cos2x + cos6x-t|-2sin2;t)=0<=>cos2;t+cos6x-cos2;t = 0, cos6x = 0.
m л Я ЯИ Я /- ,\ „
Тогда 6х = -+ли, * = —+ -r = 7r(2'I + U. neZ.
2 12 о 12
Ответ: х = —(2w + l)l we Z.
8.110. cos3xcos6x = cos4xcos7x
.Решение.
Имеем
— (cos(3;t - 6;t)+cos(3;t + 6x)) = — (cos(4;t - lx)+ cos(4x + 7*)}
cos 3x + cos 9x - cos 3x - cos I Ix = 0, cos 9x - cos I Ix = 0 <=>
. . 9x+Ilx . 9x-llx . . .. . .
<=>-2sin sin = 0, sinl0xsmx = 0.
2 2
Отсюда:
1) sin 1 Ox =0, 10x = яи, x, =—, we Z;
/ ' 10
2) sin x = 0, jc2 = я&, Л e Z; x2 входит в х1.
^ KW
Ответ: x = —, и е Z.

8.111. sin3x +—sin5x + — cos5x = 0.
2 2
Решение.
Перепишем уравнение в виде
sin3x +cos30° sin 5x +sin30° cos 5x = 0, sin3x + sin(30o + 5xJ= 0 <=>
. . 3x + 30°+5x 3x-30°-5x . . (. Л.Л ( ..Л п
<=>2sm cos = 0, smWx + 15 JcosLx+15 1=0.
2 2 r ^ '
Отсюда:
l)sin(4x + 15o)=0, 4x + 15° = 180° &, x, =-— + 45°k, keZ;
2) cos(v + 15°)=0, x+15° =90°+180° и, x2 = 75° +1804 neZ.
Ответ: ^ = -3°45 + 45°k;x2 = 75° + 1804 k,ntZ.
8.112. ctg3x + sin~2 x-3ctgx-4 = 0.
.Решение.
ОДЗ: sinx*0.
Из условия
cos3x 1 3cosx л _ з . . 2 . . з
—-—+—г ; 4 = 0=>cos x+sinx-3cosxsin x-4sm x = 0,
sin x sin2 x sinx
cos3x + sinx(sin2x+cos2x)-3cosxsin2x-4sin3x = 0, cos3x +
+ sinx cos2 x+sin3x-3cosxsin2 x-4sin3x = 0, (cos3x + sinxcos2 xj-
-3cosxsin2x-3sin3 x = 0, cos2x(cosx+sinx)~3sin2x(cosx+sinx)=0,
(cos x+sin x)(cos2 x - 3 sin2 x)= 0.
Отсюда:
1) cos x +sinx =0;
2) cos2 x-3sin2 x = 0 => ctgx = -1, xl =— + im , we Z;
4
ctgx = ±v3 , x2=±— + кк, ke Z.
6
Ответ: *i ~—- + nn;x2 =±Т+т±уп,ке Z.
4 О

8.113. cos23x+cos24x + cos25;t = -.
2
Решение.
По формулам понижения степени получаем
— (l + cos6х)+ — (l + cos8;t)+ - (l + coslOx) = —, cos6;t +cos8x +
„ ~ 6x+10x 6x-l0x
+coslOx = 0 <=> 2cos cos +cos8;t = 0,
2 2
2cos8xcos2x+cos8x =0, cos8x(2cos2x + l)=0.
Отсюда:
I)cos8x = 0, 8х=-+кк, хг=~ + — = — (2* + ll hZ;
; 2 * 16 8 16V *
2)2cos2x+l=0, cos2* = —, 2x = +~7i + 2nk, x2 = ±-+nn = -{3n±\\
Ответ: ^ = —{2k+l}x2 --i?n±i\ k,nt Z.
Id 5
8.114. l + sinx-cos5x-sin7x =2cos2 — x.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
l+sinx-cos5x-sin7x = l+cos3x <=? (sin;t-sin7;i:)-(cos5;t+cos3;<:)=0<=>
«*-2sin3xcos4x-2cos4xcosx = 0, -2cos4;t(sin3;t+cos;t)=0.
Отсюда:
l)cos4x=0, 4х = - + кк, х, =- + — =-{2k+l\ keZ-
} 2 ' 8 4 8
/ \ 3x + x
2) sin3;t + cos.x: = 0<=> sin3x+siiJ x \=0, 2sin x
\2 J ' 2
xcos = 0, sinl x + ~ |cos]2x-- 1=0.
3x--+x
_2
2 ■' —I" 4 Г""! " 4
sin jc + — =0, x + — = nn, x-. = — + ял = —(4и-1\ neZ,
I 4 > 4'24 4V *
470

cos2х— =0, 2х— = — + л/, х,= —л +—, /eZ-
[ 4j 4 2 3 8 2
Х3 ВХОДИТ В Xj .
Ответ: хх = — (2&+l) x2 = —(4w-l) Л, we Z.
8.П5. -™L-2-ctg2.
1 + cosz
ОДЗ:{51пг*°'
|cosz*-l.
Из условия
1Z _ COSZ _ . 2 -. ■ /i Л /i \ r.
2+—— = 0=>sin z-2smz(l+cosz)+cosz(l + cosz) = 0,
1+cosz sinz
sin2z-2sinz-2sinzcosz+cosz+cos2z=0, (l-2sinz)+
+ (cosz-2sinzcosz) = 0, (l-2sinz)+cosz(l-2sinz)=0,
(l -2 sinzXl + cosz)= 0.
Отсюда
l-2sinz = 0, sinz = —, z = (-lf — + 7tk, ke Z; 1+cosz *0 .
2 6
Ответ. z = (-lf — + nk, keZ.
6
8.116. sin(l5° +x)+cos(45" +x)+- = 0.
Решение.
Имеем
sin(|5°+A:)+sin£>0°-45'-x)+~ = 0, sin(|5° +x)+sin(45°-jt)+
1 . . . 15'+a: + 45°-a: 15"+x-45°+.x 1 .
+ - = 0<=>2sm cos + - = 0,
2 2 2 2
2sin30'cos(x:-15')+- = 0> cos(x-15°)=—.
471

Отсюда
х-15о=±120°+360°Ь Xi=-105e+360°fc; х2 =135° +360°&, keZ ■
Ответ: хх = -105° +360°&;х2 =135° + 360°&, &е Z.
8.117. 1 + sin 2x = sin х + cos х.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
sin x+2sinxcosx+cos2 x-(sinx+cosx)=0, (sinx + cosx)^ -
- (sin x + cos x) = 0, (sin x+cos xXsin x + cos x -1) = 0.
Отсюда или sinx + cosx = 0, или sinx+cos^r-l = 0- Из первого
уравнения tgx = -l, х, =— + кк = — (4&-l), ке Z . Второе уравнение
4 4
запишем в виде
» . X X 2 X ■ 2 -^ f 2 л ■ 1 л I r\ t • л л
2 sin — cos— +cos —sm — cos —+ sm — =0, 2sm — cos —
22 2 2|^2 2 J 22
-2sin2 —=0, 2sin— cos sin— =0.
2 2 ^ 2 2 J
Отсюда
sin — = 0, — = im. x7 = 2кп, пе Z ,
2 2 2
или
cos--sin- = 0<=>tg-*l,- = - + ji/,X3=- + 2jc/ = -(4/ + l\/€Z
2 2 62 * 2 4 3 2 2V Л
Ответ: xl = — (4к-Цх2 = 2яи;х3 = —(4/+l) k,n,l€ Z.
4 2
8.118. 3(l-siiH) + sin4f*l + cos4f.
.Решение.
Из условия
3-3snu+sin4f-l-(cos2fjF =0, sin4f-3sinf+ 2-(l-sin2fjF =0<=>
<=>2sin2f-3snu + l = 0.
Решив последнее уравнение как квадратное относительно sin *,получим
(sinfjj =1, *2=- + 2тш^ — (4я + 1), neZ.
Ответ: '\ = {-^Т^ + ^сИ2=^(Лп + 1\ k,ntZ.
о 2
472

8.119. td-^ + x -3tg2x = (cos2x-l)cos~2x.
Решение.
(cos x * 0,
ОДЗ: i .
[sin x * 0.
Имеем
,. 2 COS2x-l 1 2 1-C0s2x
-ctgx-3tg x- <=> + 3tg x = - <=>
cos x x$x I(l + cos2x)
<=> + 3tg2x-2tg2x = 0, + tg2x = 0=>tg3x + l = 0,
tgx tgx
tgx = -l, х = -- + кк = -{4к-1\ keZ.
4 4
Ответ: х = — (4Л-Ц keZ.
4
8.120. cos2 — + cos2— -sin22x-sin24x = 0.
2 2
Решение.
По формулам понижения степени
-(l + cosx)+-(l + cos3x)--(l-cos4x)—(l-cos8x)=0,
(cosx + cos3x)+(cos4x+cos8x)=0<=>2cos2xcosx+2cos6xcos2x
2cos2x(cosx + cos6x)=0.
Отсюда:
l)cos2x = 0, 2x=- + xk, x,=- + — = -tik+\\ keZ;
2 ' 4 2 4
x + 6x x-6x n Ix 5x n
2) cosx-t-cos6x = 0<=>2cos cos = 0, cos—cos— = 0
' 2 2 2 2
, 7x „ 7x я л 2 i/, ,i ._,
а) cos— = 0, — = — + Ш1, x7 ~ —+ -~яя = —(2w + lL weZ;
2 2 2 2 7 7 7^ *
б) cos— =0, — =- + */, x,=- + -nl=~l}l + l), leZ.
2 2 2 ' 5 5 5
Ответ: x, =-(2£+l)x2 =i(2/i+l)x3 =i(2/+l)i k,n,leZ.
4 7 5

sin x - 2 2 х
8.121. =tg
• 2 л 2 ■* 2
Sin Х- 4 COS —
2
бешеные.
cos2-* О,
J 2
ОДЗ: 1
sin 4cos — *0.
I 2 2
Перепишем заданное уравнение в виде
sin2x-2 _l-cosx l-cos2x-2 1-cosx
sin2 x-2(l + cosx) 1 + cosx' l-cos2x-2-2cosx 1 + cosx
cos2 x + 1 1-cosx „ cos2 x + 1 1-cosx „
- = 0. = 0=»
= 0,
cos2x + 2cosx+l 1+cosx (l+cosx)2 1 + cosx
=>cos2 x+l-(l-cosx)(l+cosx)=:0<=>2cos2 x = 0, cosx = 0,
x = - + iot = -(2fc + l)l keZ.
2 2
Ответ: x = -(?k + l\ keZ.
8.122. cos2 x + cos22x-cos2 3x-cos24x = 0.
Решение.
По формулам понижения степени
-(l+cos2x)+-(l+cos4x)—(l+cos6x)—(l + cos8x)=0,
(cos2x+cos4x)-(cos6x+cos8x)=0 <=>2cos3xcosx-2cos7xcosx = 0,
2cosx(cos3x-cos7x)=0.
Отсюда или cos x = 0, или cos 3x - cos Ix - 0. Из первого уравнения
имеем xl - —h кк , ke Z. Второе уравнение эквивалентно
следующему: sin 5xsin2x = 0, откуда или sin 5х = 0, 5х = яи, хг =—, /ieZ,
нлн sin 2х = 0, 2х = Ш, хъ= —, / е Z; х, входит в х3.
„ л« я/ , „
Ответ: х. = —; х, = —, и, / е Z.
5 2
474

8.123. sin3x-4sinxcos2;c =0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
sin Зх - 2(sin(x - 2х)+ sin(x + 2*)) = 0, sin Зх + 2 sin x - 2 sin Зх = 0,
sin Зх - 2 sin x = 0.
Так как sin3a = 3sina-4sin3a , то 3sinx-4sin3x-2sinx = 0,
4sin3x-sinx = 0, sinx(4sjn2 jc —lj= 0.
Отсюда:
1) sin x - 0, Xj = 7iw, w e Z ,
2)4sin2x-l = a sinx = ±i, x2 *±- + nk = -(6k±l), keZ.
2 6 6
Ответ: *\ = ли; x2 = т (б& + Ц n,ke Z.
6
8.124. tgx + ctgx = 2cos~14x.
бешеные.
{cos x * 0,
sin x * 0,
cos4x *0.
Из условия
sinx cosx 2 _„ sin x+cos x_ 2 _
cosx sinx cos4x * sinxcosx cos4x
<=> — = 0=>2sin22x + sin2;c-l = 0.
sin2x 1-2 sin2 2x
Решив это уравнение как квадратное относительно sin2x,
найдем (sin2x)i = -1, 2х5 =—+2кк , *i =— + лА: , ке Z ; (sin2x)2 =- ,
2х2 =(-1/—+ я/, х2 = (-1/— +—, /eZ„ Объединив решения х1 и
л кк к tA, ,\ , „
х-, ,получим х = — +— = —(4Л+1), keZ .
2 12 3 12
Ответ: x = — {4k + l), kt Z.

8.125. sin —+ 3x -sin(n-5x)= V3~(cos5x-sin3x)
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
— + 3х-к + 5х ~ + Зх + ж-5х / / %л
2SU1-2- cos-2- л/з! cos5x-cod —Зх <=>
2 2 { \2 JJ
/ \ f -. \ 5х + — Зх — 3.x - 5х
<=>2sin 4х— bos х -2v3sin - sin — = 0,
I 4Г14 J 2 2'
2sin 4x-— Icos — -x +2V3sin\x + - kin\4x-- =0,
2smf4x-|Tcosf^-xWsinfx + |ll=0.
Отсюда:
l)sin4x— =0, 4x — = кк, 4х = — + кк, х,=~ + — = — {4k+l\
14 1 4 4 16 4 16
keZ;
(Ъ% \ nr . f k\ n Зтг . Зтг .
2) cos x + л/3 sin x + — = 0<=>cos—cosx + sin—smx +
I4 J I 4J 4 4
/T ■ К ГТ Ж ТГ . . ТГ
+ V3sinxcos— + V3cosxsin — = 0, - cos x cos — + sinxsm — +
+ cosxcos—+ sinxsin—= 0<=>-cos x + — +cos x— = 0<=>
6 6 ( 3j { 6j
Я Ж К К
X +Х+— Х+ Х + — г \
<=>2sin S ?-sin Ъ- §- = 0,sin x + — sin- = 0,
2 2 [ 12 J 4
sin\x + — = 0, x2 = -—+ гот = —(12и-1\ neZ.
[ 12 J 2 12 12 *
Ответ: x, =—(4fc + l)x2 = —(12и-1) k,neZ.
10 12

8.126.
1
1
16
l + cos2z l + sin2z И
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
1
1
-11 = 0,-
-11 = 0 =
l+I(l+cos2z) l + !(l-cos2z) П 3+cos2z 3-cos2z "
=>cos22z =—,cos2z = ±—,2z = ±— -frcA:,
4 2 6
z = ±4+^-4fc*±ll*«=Z.
12 2 12
Ответ: z = — (бк +1), teZ.
tg-tgx + l
, X 2 X .X
2tg-cos — tg—+ ctgx
Решение.
ОДЗ:
cos — * 0,
2
sin x * 0,
tg|+ctgjc*0.
Из условия получаем
sin — sin x
2
COS — COS X
2
- . X i X . X
2 sin —cos — sin —
2 2 2 , oosx
= 2л/з <
COS*
sinx
sin — sin x + cos — cos x
2 2
X
cos — cos x
2
cos — sin x
2
. X . X
sin — sin x + cos — cos x
2 2
= 2S<
477

cos .v sin x r- cos2 x - sin x rr
» = 2v3 » = 2v3,
sin* cos x sin x cost
cos V-sm2 .r = ^ ^2r = ^ 2x = 1 + rtj
2sin.xcos* 6
ж nk ж
x = —+ — = —(6* +1), ke Z.
12 2 12
Ответ: x = - -(6* +1), k e Z.
12
(ж \ л/2
8.128- cos4xcos(jr + 2j)-sin2jccos —4л =—sin4x
I2 J 2
Решение.
По формулам приведения
л/2
- cos 4 л cos 2л - sin 2.x sin 4* 2 sin 2л cos 2л = 0> cos 4jt cos 2* +
2
+ sin 4xsin 2x + V2 sin 2x cos 2л = 0 <=> cos 2л + V2 sin 2x cos 2x = 0,
cos2x(I+^sin2x) = 0.
Отсюда:
n -. я я ян я,- .. -,
I)cos2.v=0, 2x=—+ яи, x, = — + -- =— (2w + l),neZ;
2 4 2 4
/r
2)l+V2sin2;t = 0)sin2* = -^)2* = (-l)*+1-+7ut,
2 4
Owwem: x, = -(2n +I);jr2 =(-I)A+1| + ^, н,*е Z.
8-129. sin л - sin 3*-sin 5* +sin Ix = 0.
Имеем
(sm л +sm7x)-(sin3x+sm5jc) = 0<^2sm -cos-
. . Зл+5л Зх~5х . i -> • A л
-2 sin cos = 0,2 sin 4л cos 3x -2 sin 4л cos x = 0,
2 2
2 sin 4*(cos 3* - cos x) = 0.
478

Отсюда:
кк
1) sin4x = 0, Ах —ilk, X\ = —, к€ Z;
3 х + х х — Зх
2) cos3x-cosx = 0 <^2sin — sin —— =0, -sin2xsinx = 0,
2 2'
откуда
а) sm2x = 0, 2x = nn, x7 -- —, ne Z
' 2 '
б) sin x = 0, x3 = л/, / e 2 ; x2 и x3 входят в х{.
~ Ttk , ^
Ответ: x = —, k e Z.
4
8.130. sin3x~sin7x = V3sin2x.
.Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
Зх-7х Зх+7х
cos
2 2
-sin 2x(2 cos 5х + л/з)= 0.
Отсюда:
кк
1) sin2x = 0, 2х=кк, х,=—, keZ:
j i 2
2) 2cos5x + V3 =0, cos5x = -—, 5х = ±-я + 2яя, x7=±— + ~nn>
2 6 6 5
we Z
7I& Л 2 _
0/шет; ^i =^r;x2 =±t + T7IW' *'пе7-
2 о j
8.131. V3-tgx = tg[^--x
(cos x * 0,
cosf--xl*0.
Из условия
• ( ^
. . sin x +— x
V3=tg*+tgj^-xU*V3 ^—^—
V ' COS X COS X
3

V3= -f r=*2cosx:cOL
2cosxcos| —x ^
= 1,
ooilx-— +cos— = \ coilx— =-, 2x— = ±—+2itA:;
\ 3) 3 \ 3j 2 3 3
2xx=2-nk, x^-idc, keZ; 2хг =—+2л/, x2 =—+it/ =—(3/+l) /eZ.
Ответ: *i = nk; x2 = - (3/ +1) £, / e Z.
8.132. sin2xcos^x-4tg2x + 3cos"2x-l2=0.
Решение.
ОДЗ: cos x * 0.
Имеем
sin2x 4sin2x 3 ,. . l-cos2x 4-4cos2x
~. — + ; 12=0, +
COS X COS X COS X COS X
3
-12 = 0=>8cos4x + 2cos2x-l = 0.
COS^ X
Решив это уравнение как биквадратное относительно cosx ,
получим cosx = ±—, х~± — + пк~— (ЗЛ+l), ке Z.
2 3 3
Ответ: x = -(ik±l\ keZ.
8.133. sin23A: + sin24x = sm2 5x + sin26x.
Решение.
По формулам понижения степени
— (l-cos6x)+—(l-cos8x)= — (l-cosl0x)+ — (l-cosl2x)l
(cos6x + cos8x)-(cosl0x + cosl2x) = 0 <=>2cos cos
j \ 2 2
, 10x + 12x 10x-l2x . . . , „
-2 cos cos = 0<=>2cos7xcosx-2coslbccosx = 0,
2 2
2cosx(cos7x:-cosllx) = 0.

Отсюда:
l)cosx = 0, x, = — + пк = — (2£ + 1) keZ;
~. „ ., л . . 1х + \\х . \\x~lx п
2) cos 7л:—cosllx = 0 <=>2sin sin =0,
2 2
sin9xsin2x = 0.
Отсюда:
пи
a)su>9x = 0, 9х = кп, х2 =—, «eZ;
6)sin2x = 0, 2х = я/, x3=—-, /e Z; xl входит в x3.
Ответ: x\ - ~r, хг - ~^~< ''we z-
8.134. (sin2(-sin42(J + lpos~i2t-cos2tf =1.
Решение.
|sin2/*0,
ОДЗ: i
M \cos2<*0.
Имеем
? 1 1 •> '
sinz2(-2 + —г— + 2+cos22( = l,
sin 2t cos It sin 2f cos'2*
<=>cos22( + sin22( = 4sin22<cos22(, sin24( = l, sin4( = ±l,
откуда 4( = —+ rot, i = -r + — = — (2A + l)l keZ.
2 8 4 8
Ответ: l=~(2k+l\ ke Z.
8
8.135. sin4 x+cos4 x = cos2 2x +0,25.
Решение.
Из условия
(■ 2 ¥ I 2 ¥ 2-, „-,<; (l-COS2xf (l + COS2x^
(sin'xj+^os xf =cos^2a:+0,25<=> + ——
= cos2 2x+ 0,25 <=>2cos22x-l = 0<=>cos4x = 0, 4x = - + nk,
2
ж +пк=1(?к I keZ
8 4 8
Ответ: x = -(2fc+l)l keZ.
о
16 M. И, Сканани, ipynna A 481

8.136. sin2z — 4cos2z =4.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
2sinzcosz~4(cos2 z-sin2 zj-4(cos2 z + sin2zj=0,
2sin2COS2-8cos2 z = 0, 2cosz(sinz-4cosz) = 0.
Отсюда:
1) cosz = 0, zx =- + rot = -(2fc+l)l keZ;
2) sinz-4cos2-0**tgz = 4, z2 = arctg4 + JTrt, ne Z.
Ответ: zl ~ — (2& +1) z2 = arctg 4 + ял, k,nt Z.
8.137. 3+2sin2x = tgx + ctgx.
Решение.
fcos* *0,
O«3-isinx^0.
Имеем
I cos* sinx
2sin22x + 3sin2x~2 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно sin2x, найдем
1 -» /i^t71 ; f \ь к кк
= -2,& , или smz.T =
keZ.
sin2x =-2,0, или sin2.T = I 2x = (-lf^+nk t x = {-lf^-+l
2 6 12 2
Ответ: x = (-if тт+-г-» ^€Z.
8.138. sin2 - + * |=sin* + sin:
t5-)
Решение.
По формулам понижения степени
- l-coJ- + 2* =sin( + - l-coJ — ~2t 11 2sin/+cos -+2f -
4 I4 )) 4 I4 J] I4 J
-cos[i-2( = 0<=>2sin< + 2sin- - sin- - = 0<=>
I4 J 2 2
482

о 2sin / — 2sin —sm2/ =0. 2sin?-2v2 sin*cos* = 0,
4
2sin/(l-V2cos/) = 0.
О t сюда:
)) stn/ -0. /, -nn, n e Z;
/г
2) 1 - VI cos t = 0, cos ( = —, fr - + - + 2rat = - (8k ± 1), к е Z.
2 " 4 4
Ответ: I, = ли; /-> = ■(8A ±1), «Де Z.
- 4
Э A" . i A' X _ . X 2 * - -t X
8.139. stn -sin" cos -3sin -cos - + 3cos - = 0.
3 3 3 3 3 3
Решение.
Перепишем уравнение в виде
■ 2 -v ( X х\ t 2 * ( ■ х х\ п
stn stn -cos -3cos - stn - -cos - - 0.
3^3 3j 3[ 3 3 )
stn -cos sin ---3cos"': 1-0.
.V A 9 J 2 -v
Отсюда: sin -cos- - 0, sin — -3cos =0.
3 3 3 3
1) tg T = 1, -- = " + я*, л-, = - я +ЗяА = - (4* +1), * e Z;
3 3 4 4 4
2) t«2 ' =3. ш'- = ±л/з. - = ±—+я*. x, = ±я+3ял =я(3л±1).
- з з зз
»€ Z.
Ответ: x, = — (4£+l);x2 = 7t(3«± 1), *, л е Z.
8.140. tg(;r-15°)ctgU+15°) = -.
Яел/слле.
Имеем
sin(.y-15°)cos(jr + 15°)_ I _. sin(x-15°-x-15°)+sin(x-15°+A+15°)
cos(A'-15")sin(x + l5°) 3 sm(x + 15°-x + 15°)+sin(x+15°+x-15°)
483

1 • 1
1 -sm30 + sm2jc 1 2 1 n • -, ,
— = 0, = 0, —-= = 0=»sm2x = l,
3 sin30'+sin2A: 3 i + sin2x 3
2
2x = 90° +360°*, x = 45°+180°A: = 45°(4A:+l) keZ.
Ответ: x = 45°{4k + \\ keZ.
8.141. cos(jc + l)sin2(j[: + l) = cos3(A: + l)sin4(A: + l)
Решение.
Перепишем уравнение в виде
—(sin(2x+2-x-l)+sin(2x+2+A:+l))-
(sin(4A: + 4-3x-3)+sin(4A: + 4+3A: + 3))=0, sin(x: + l)+sin(x + 3)-
-sin(jc + l)-sin(7A: + 7) = 0, sin(3x + 3)-sin(7A: + 7)=0 <=>
. Зх + 3 + 7д:+7 . 3.v + 3-7x-7 , . . / ,
<=>2cos sin = 0,cos(5jc + 5)sin(2x+2)=0.
Отсюда:
1)cos(5a: + 5)=0, 5x + 5 = £ + iflfc, x, = -l + — + — = -^k+l)-l,
2 10 5 10
keZ;
2) sin(2x + 2) = 0, 2л:+2=ян, x2=-l +—, weZ.
Ответ: *i = "1 + —(2£+l) jc2 =-1 + y, k,neZ.
8.142. cos(4x + 2)+3sin(2x + l) = 2.
Решение.
Из условия
cos2(2x +1)+ 3sin(2x: +1)-2 = 0 <=> l-2sin2 (2a: +1)+ 3sin(2;t +1)-2 = 0,
2sin2(2x + l)-3sin(2A: + l)+l = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно sin(2x +1), найдем
(sin(2* + l)), Л, 24+l = (-iy| + rt, ,,=(_iyi_i + ^, fcGZ:
(sin(2x + l))2 =1, 2x2+1 = - + 2jw, x, =--t- + "" = -(*« + 1)-- /ieZ.
Ответ: д:|=(-1Г + —;x?= —(4w+l)—, k.neZ.
1 ' 12 2 2 2 4 '2
484

8.143. cos4;t+2cos2x=l.
Решение.
Имеем
cos2(2x)+2cos2 x -1 = 0, <=> 2 cos2 2x-l + cos2x = 0,
2cos2 2x + cos2;c-l = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно cos2;t,
найдем {cos2x\ =-1, 2х1 = п + 2кк , Хх= — + пк, keZ'> (coslx^ = —,
2х2=±—+ 2яи, л2=±—+ тш, we Z. Объединив х{ и *2 > получим
3 6
О 3 О
Ответ: х = — (2&+1} &е Z.
6
8.144. sin4 *+cos4 х = —.
8
Решение.
Представим уравнение в виде
(sin2 x+cos2 xf -2sin2 xcos2 x— = 0, 8-4(4sin2 jccos2 xj-5 = 0,
3-4sin2 2x=0, sin2 2*= — sin2;t=±—, 2х = ± — + кк.
4' 2 3
-_±^+^=Цзк±\\ keZ.
6 2 6
Ответ: x = -(Зк±l), keZ.
6
8.145. cosx-cos2x = sin3x.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
. . х + 2х . 2х-х . Зх . х . -(ЗхЛ
2sm sin sm3* = 0, 2sm — sm sin2— =0,
2 2 2 2 I2 J
. . 3x . x . 3x 3x Л . . 3x ( . x Зх \
2sin — sin 2sra—cos—=0, 2sm— sin cos— =0.
22 2 2' 2^2 2 )
485

Отсюда:
. Зх _ Зх . 2 , , _
У) sin — = 0, — = кк, х,^—пк, keZ-
'22 ' 3
л_л Зх х л Зх
■ х Зх „ „ . 2 2 2 222
2) sin--cos — = 0<=>2sin-— — cos^—^—— = 0,
'22 2 2
sin x cos
4/ [4 2
Отсюда:
a) sin be— =0, x— = nl, х-, = —+л/ = — (4/+l)l /eZ;
4 4 24 4 *
(*
I4
ne Z.
... (ft x\ . X К К 1 71 / ч
б) COS =0, + — = — + ЯИ, Х-, = 7I + 27IW = —(4И-Ц
' 14 2l ' 2 4 2 ' 3 2 2V h
Ответ: хх =-кк;х2 = — (4/ + l);x3 =z-(4n-l)t k,i,ne Z.
3 4 2
8.146. tgx + tg50o+tg70° -tgxtg50°tg70°.
Решение.
ОДЗ: cosx*0.
Из условия
sinx sin 50" sin 70° sin x sin 50° sin 70° __
cos x cos 50° cos 70" cos x cos 50" cos 70"
=s> ^in xcos 50" cos 70" - sin x sin 50° sin 70°)+
+ (sin 50° cos x cos 70" +sin70°cosxcos50°J=0,
sinx|cos50"cos70" -sin50°sin70° j+
+ cos x^in 50" cos 70° + cos 50" sin 70" j= 0 <=>
<=>sinxcos(50o-r-70o)+cosxsin(50o +70" j=0, sinxcosl20° +
+ cosxsin 120° =0, sin(x+l20°)=0, -sin(x-60°)=0.
Отсюда x-60° = 180°w, x = 60° + I80°w, neZ.
Ответ: x = 60° +180°n, ne Z.

8.147. cosx-sinx = 4cosxsin2 x.
Решение.
По формулам понижения степени
cosx-sinx = 2cosx(l-cos2x)<^2cosxcos2x-(cosx + sinx)=0,
2cosx(cosx + sinxXcosx-sinx)-(cosx + sinx)=0,
(cos x + sin хД2 cos x(cos x - sin x)-1) = 0, (cos x + sin x)x
x(2cos x-2sinxcosx-l)=0<=> (cosx + sinxXcos2x-sin2x}=0.
Тогда:
1) cosx + sinx = 0<=> tgx =-L, x, = — + кк = ~{4k-l\ ke Z;
4 4
2) cos2x-sin2x=0<=> tg2x = l, x2 = —+— = — (4« + l} «e Z .
Ответ: xl=—(4k~l}x2~—{4n + l)l k,ntZ.
8.148. tg2xsin2x~3V3ctg2xcos2x = 0.
Решение.
[cos2x*0,
ОДНт2**0.
Имеем
sin2xsin2x 3V3cos2xcos2x . 3 г- 3
= 0=>sin 2x-3v3cos 2x = 0,
cos2x sin2x
tg32x=3V3, tg2x = V3, 2x = - + *n,x = -+^=4(3w + l)w€Z.
3 6 2 6
Ответ: x = — (Зи +1) n e Z.
6
8.149. cosx-cos3x = sin2x.
Решение.
Из условия
x Ч" Зх Зх — х
2 sin sin sin2x = 0. 2sin2xsinx-sin2x = 0,
2 2
sin 2x(2 sin x -1)= 0.

Отсюда:
як
П sin2x =0, 2х = пк, х, =—, ке Z ■
' ' 2
2) 2sinx-l = 0, sinx = —, x2 =(-1)" — + 7Ш, weZ.
2 6
кк ( ,,„ л , _
Ответ: *i ~^->х2 = l_1) Т + 7Ш> к,пе Z.
1 о
8.150. V2~(l + cosx) = ctg|-.
ОДЗ: sin —^0.
a 1+cosa
По формуле ctg — = —: получаем
2 sin a
V2(l + cosx)-i±^ii = 0, (l+cosx(^—i-] = 0.
sin x I sin x I
Отсюда:
1) l+cosx = 0, cosx = -l, х{ = л + 2тш =7t(2w + l} weZ;
2) Ji L=o, sinx = —, x7^{-lf- + Kk, keZ
' sin* 2 2 4
Ответ; *| = n(2w +1) x2 =(~ч~~ + ^ n,k€ Z.
4
. Зх-7я 7t-3x _i 3
8.151. sin cos = cos — x.
2 2 2
Решение.
Зх
ОДЗ: cos—^0.
Перепишем уравнение в виде
. (п Зх) (к Зх~] 1 . Зх . Зх
sin — + — +соа — =0<^cos hsin-
2 2 J 12 2 Зх 2 2 Зх
/V J cos— cos—
cos-
2
cos2 v sin —cos 1 = 0 <^> cos 3x + sin 3x -1 = 0,
2 2 2
488

sin3x-(l-cos3x)=0 «2 sin—cos 2 sin2 — =0,
. 2 2 2
Зх( Зх . ЪхЛ
2sm— cos sin— =0.
H 2 2)
Отсюда:
,. . Зх _ 3.x , Ink , „
1) sm — = 0, —-nk, x, = , keZ:
'22 ' 3
.. 3x 3x _ . Зх Зх Зх , Зх л
2) cos sm — = 0, sm— = cos—, tg— = 1, — = — + nn,
2 2 2 2 5 2 2 4
71 2тШ 7t / ,\ „
x, = —+ = — (4w+ll we Z.
2 6 3 6 Л
Ответ: хх =-—;x2 =—(4w + l} &,weZ.
5 о
8.152. sin23x = 3cos23x.
Решение.
Разделив это уравнение на cos2 Зх Ф 0 , получим
1ё2Зх = 3,1ёЗх = ±7з,Зх = ±^ + 71Л,^ = ±|+у = |(ЗЛ±1),Лег.
Ответ/ х = |(3&±1} &eZ.
8.153. sin3x+sinx = 4sin3x.
Решение.
По формуле sin3a = 3sina~4sin3a получаем
3sinx-4sin3 х + sin х- 4 sin3 x = 0, 8 sin3 x-4sinx = 0,
4sinx(2sin2 x-l)=0.
Отсюда:
l)sinx = 0, xx = кк, keZ;
2)2sin2x-l = 0, sinx = ±—, jt2=-+— =-(2и+1\ neZ.
' ' 2 ' 2 4 2 4V Л
Ответ: х, - jcA:; x2 = — (2«+l)i k,neZ.
4
489

8.154. sin6x + sin2x = —tg2x.
Решение.
ОДЗ:со82**0.
По формуле sma + sinp = 2 sin—— cos—~~ получаем
л . 6х + 2х 6.x-2х sin2x _ . . „ sin2x
2sin—-—cos -— = 0, 2sm4xcos2x = 0,
2 2 2 cos2 x 2 cos 2x
4sin2xcos2;ccos2x — -0=>8sin2xcos32x-sin2x = 0,
2cos2x
sin2x^cos32x-l)=0.
Отсюда-.
1) sin2x = 0, 2* = яи, x,= —, neZ;
2)8cos32x-l = 0,cos2x = i,2;t=±- + 2jEA:,x, =±-+яА:=-(б&±11
2 3 2 6 6V Л
&€Z
Ответ: *i =^r',x2 ~-~{6k±\\ n,keZ.
2 6
2 cos(7i + x)- 5 cos ~ л - л
COS-7I+X -COs(fl-xJ
Решение.
ОДЗ: sinx + cosx^O.
По формулам приведения
-2cosx + 5sinx 3 n „ .
= 0=* 7smx~7cosx = 0 <=> tgx=l,
sjnx+cosx 2
x = -+7i£=-(4£ + l)t /ceZ.
4 4
Ответ; x = — (4& + ll ke Z.
4

8.156. (sin2A + V3cns2.r)2 =2-2cos|-it- v|
Решецие.
Имеем
4 - sin2.\ +^^cos2.\ I =2-2cos|—7i-
2 sin-- sm 2.v + cos —cos2a- =1-cos ic-v |<=>
6 6 3
>2cos2 --2л -1+cos -it-.t |=0<=>
<=> cos -4.v +cos "rc-x =0<=>
I3 J I3
it . 2it it 2%
- 4.V + л - - 4x ■ + л-
«2cos3- -3--cos-3 -3 - =0,
2 2
Oi сюда:
1) sin ' -0,-- =тш,Л|= - тш, (ieZ;
2 2 5
., (in z\ 3x it it , 2 2 2 it
2) cos + - =0, - = -- + - + nk, x1 = it + - 7i/r = - 3t + l),
^ 2 6 J 2 6 2 2 9 3 9
JeZ.
Ответ: л"| - -гсп,Хт = — (3/: + 1), n,ke 2.
8.157. ctgv+tg2.v + l = 4cos2.v + - -"--2cos2.\.
sin x
Решение.
fcps2.v*0,
ОДЗ: .
По формуле sin3a = 3sma-4sin a запишем уравнение в виде
cos* sin2.x , я -> 3sin.v-4sin -v ^
- - + - +1 = 4cos"a + 2cos2.v,
sin -v cos 2x sin x
491

cos2xcosx+sin2xsin^ . . j sin^(3-4s
+ l = 4cos x + S-
smxcos2x sin*
- +1 = 4cos2 x + 3 - 4sin2 x -2cos2x <^-
sinxcos2;t
cos*
„ . _ ._ - =4(cos2x-sin2x)+2-2cos2*<^ = 4cos2*
sin *cos2x sin xcos2x
+2-2cos2* <^ — 2(cos2*+l)=0,
sinJccos2* ' sin*cos2*
~2fecos2*-l+l)=0, . C°SX 4cos2* = 0,
sin*cos2*
-4cosx Uo,
I sin*cos2x
cos*(l-4sinxcos;tcos2x) n /< . . \ n
= 0, cos x[l - sin Ax) ~ 0.
sin*cos2*
Отсюда:
l)cosx = 0, ;t|=- + 7ifc = -(2&+l) hZ;
2) l-sin4* = 0, sin4*=l, 4* = —+27Ш, x7 = — + —= —(4« + l\
2 2 8 2 8 Л
«e Z.
Ответ: хх =—$.к + Цх2 =— (4и+Ц fc,neZ.
8.158. tgxtg20°+tg20° tg40° + tg40° tg*«l.
Решение.
ОДЗ: Cos**0.
По условию
sin*sin20° sin20" sin40° sin40" sin* , _
_ + _ _.+ . 1-0,
cos x cos 20° cos 20" cos 40° cos 40° cos*
(sin x sin 20" cos 40" + sin x cos 20° sin 40°)+
+ (cos* sin 20" sin 40" -cos *cos20° cos 40" )= 0,
sin *(sin 20° cos 40" + cos 20" sin 40" j-
- cos *(cos 20° cos 40° - sin 20" sin 40° J = 0 <=>
<^sin*siri(20o+40°)-cos;ccos(20o +40°)= 0, sin*sin60°-
492

-cosa:cos60° =0, -cost* + 60"J=0, д: + 60° =90*+180*/t,
х = 30° +180°к, keZ.
Ответ: х - 30* +180° к, keZ.
8.159. 2cosJ 1 = sin 3jt.
2
Решение.
Имеем
cosjc-cos —Зх =0»sin —х kin —2х |=0,
sin х- — kin 2;t— =0.
I 4J I 4J
Отсюда:
1) sinмс—1=0, x—-iik, x, ~~ + лА:= — (4&+l\ keZ:
{ 4) 4 '4 4 *
. Л, л"\ . . л я яя я/л ,\ _
т\ sin 2*—Ь=0, 2х — -ля, *, =~ + — = — (4и + Ц neZ
Z' [ 4 J 4 2828V h
Ответ: xt =-(4& + 1}х2 =-(4w + l)t k,neZ.
8.160. sin22x + sin2 * = —-.
16
По формулам понижения степени
1 -cos2 2х + - (l -cos2*) = 0, 16cos2 2x + 8cos2x -15 = 0.
2V ' 16
Решая это уравнение как квадратное относительно cos2;t , находим
5 3 3
cos2;t = —,0,или cos2x = — t 2;t = +arccos —+2 л&,
4 4 4
х = ±—arccos — + кк, ке Z ■
2 4
1 3 , , „
Ответ: х = ±—arccos— +кк, keZ.
2 4
493

8.161.3 cos x = sin A' + sin2x-
Решеные.
Из условия sin2 x+2sinrcos r-3cos2 x = 0. Разделив это урав-
квадратное относительно tg*,находим (tg.x)t =-3,.xt =-arctg3 + nA-,
ke Z; (tg.x)2 = 1, ^2 ~ ~ +Kn -—(4n + l), л е Z.
Ответ: xl ~ -arctg3 + 7tA, x2 ~ - (4n + \), k.n e Z.
4
8.162. 2(l-cos2*)=,/3tgx
Решение.
ОДЗ;со5л:*0.
Из условия
2(i-co.2j[)-^l=^i>=0,(l-co.2J)-(2-^-Vo-
sin 2* I sin 2x j
Отсюда:
1) 1 -cos2.x = 0, cos 2*- 1,2x~2nk, x\ = nk, ke Z;
2)2 — *0, sin2.r = —,2x = (-1)"- +1ся. л-, = (-!>"-+ —
sin2x 2 3^62
«eZ.
Ответ, х, =л/:, д-, =(-l) - +—,L/ieZ.
1 2 6 2
8.163. «cos2 "--(« + 2b)sin2 - -acosjt-bsinjr; />*0.
2 2
По формулам понижения степени
a,t ч и + 2{} ,. , . *,
-(I+cos.y)-- —- ■(l-cosj)-acos.i;+/jsm.v = 0,fl + acosA--fl-2/j +
+(а + 2/j)cos x - 2(7 cos x + 2b sin .v = 0 <=> 2/> cos x + 2bsin x ~ 2b - 0,
/>(cosx + sinjt-l)s=0.
Так как b Ф 0, то получаем уравнение cos х + sin я -1 = 0;
494

cos2 — + sin2 — - cos2 —+ sin2i = 0<=>sin — cosi-sin2 — = 0,
{2} 1^2 J ^ 2 2) 2 2 2
. x( x . хЛ _
sin— cos sin— =0.
2{ 2 2j
Отсюда:
1) sin —= 0, — ~nn, x, ~2izn, n<z Z ■
'22
2)cos--sin- = 0«tgj=l, - = _+я*, jCj=Y+2Jtfc=-(4fc + l]l
Ответ: *i = 2ян;*2 ~—fafc + l} пДе Z.
8.164. sin5x = cos4x.
Решение.
По формулам приведения
/ \ 5х + 4х 5х + 4х
sin 5x- sin —4х = 0<=>2sin cos = 0
2 2 2
f-!Ht+^°-
sin
Отсюда:
. f9x л ^ 9л: it л 2 я i, ,% _,
1) sin =0, = ли, х, =— + -лл= — (4я + Ц »eZ;
^ 2 4) 2 4 ' 18 9 18 *
2)cos-+- =0, - + - = ~ + nk, x,=—+2nk = -Uk + n keZ.
^2 4j 2 4 2 2 2 2V *
Ответ: x, = — (4и +1) x2 = —(4* +1) n,ke Z.
8.165. 2tgx-2ctgx = 3.
Решение.
cosx*0,

^.f sin л- cos* i „ sin" a'—cos x 3 cos2a"
2 ; =3, ; =T<=>-
coSa: sin* J sinxcosx 2 sin2x 4'
3 „ 3 1 3 тш
ctg2-A" = —, 2jt = -arcctg —+ яп, л =— arcctg—+—, neZ.
4 4 2 4 2
1 3 ли
Ответ: х =--arcctg--f — , we Z.
8.166. 25sin2x+100cosx = 89.
Решение.
Из условия
25(l-cos2x)+100cosx-89 = 0, 25cos2 x-100cosx + 64 = 0 .
Решив уравнение как квадратное относительно cosx , получим
16 Л 4 л ,
cosa =—,0,или cosx= — , x=±arccos— + 2кк, ке Z.
4
Ответ: х - + arccos ~- +2л&, А- е Z.
8.167. cos2-A4-sin2 л-+ sin л-= 0,25.
Решение.
Перепишем уравнение в виде 1-2sin2 x + sin2 Х +sin л--0,25 = 0 ,
4 sin2 jt-4suix-3 = 0, Решив его как квадратное относительно sin л-,
получим sinx =—, 0 ; sinx = —, х = (—1у+ — + пк , к е Z .
2 2 6
Ответ: х = (-l)*+1 ~+пк, к е Z.
о
1
8.168. : J—= l+cos4x
l-tg'2*
Реше/ше.
fcos2jc*0,
°да ttg2jc.ii.
т a 1-cosa
По формуле tg" — имеем
^ * J 2 1+cosa
496

0 + C0S4.X i + Cos4.v
1 + C0S4.Y 2cos4x
Так как 1 +cos4;t Ф 0, то
s=l, cos4x = -. 4дг = ±— +2nk,
2cos4x 2 3
Ответ: x = — (б& + l)t Л е Z.
8.169. sin л -) sin 3x = 4cos3 ;t.
Решение.
Из условия
2sin —cos- 4cos3.v-0, 2shi2a'cos.v-4cos х~0<=>
2 2
<=>2cosx(2sin;tcos.x-2cos2 jcJ— 0, 4cos2 jt(sin;v~cosx)=0.
Отсюда:
l)cosx=0, jc, s — + jcA:^-(2& + l)l hZ;
2) sinjc-cosx =0<=>tgx=l, jc2 = — + 7i«=-(4«+L)t neZ,
4 4
Ответ: *i = - (2* +1) x2 = — (*« + U k,neZ.
2 4
8.170. cos2x + 3sinx =2.
Решение.
Имеем L-2sin2x + 3sin;t~2 = 0, 2 sin2 x-3sin.\+L =0 . Решив это
уравнение как квадратное относительно sin* , получим (sin.x)l=—,
*1 = И/ т + я*> Ле Z; (sinx)j =L, x2 = - + 2л« = г(4« + 0, neZ.
Ответ: xl={-\f— + пк; х2 = — (4л +1} к,П€ Z.
6 "2
497

8.171. coslx = L-sin2jt.
Решение.
По формулам двойного аргумента получаем
cos2 х-sin2 ;t=cos2 jr+sin2 jt-2sin.vcosx, 2sin2 .v-2sin .vcosx=0,
2 sin ;t(sin x -cos x)= 0.
Отсюда:
L) sin x = 0, Xj = яи, w e Z ;
2) sin x - cos x ^ 0 <=> tg.v = t, x2 = — + jcA: = — (4& +1} & e Z .
4 4
Ответ: xl = ли; „x2 = — (4& +1} «, к е Z.
4
8.172. tg(70°+x)+tg^0°-x)=2.
Решение.
ОДЗ:
cospO^ + jcj^O,
cos^0°-a:)*0.
„ , „ sin(a + B)
По формуле tga+ tgp = ^ представим уравнение в виде
cosacosp*
т(70°+х+20'-л:)
sin
sin 90*
cos|70°+x)cos^0*-x) ' coslyO' + .-tJcos^O'-A:)
=» 2cos(70° + x)cos(>0° ~x)= 1 <=> cos(70" + л: -20° + x)+
+ cos(70' + x + 20' - x)= 1, cos^x + 50° )= 1, 2x + 50° = 360° к,
x = -25" +180°к, keZ.
Ответ: х = -25' + 180Ч-, keZ.
8.173. sin* + sin — -sin\ x + —
Решение.
Перепишем уравнение в виде
П
sinx + sin— I— sjn2
х+-
= 0<=>2sin — cos -
2 2

1 1 I
x+— x+— x+-
-2 sin ^cos *- = 0, 2 sin 7-
2 2 2
1 1
x + -
cos — - cos
2 2
= 0<=>
11 11
. X X + — X+— X
v+A 2Lj 2L я. К
<=>2sin -2 sin—- 2—sin—? 2—.
2 2 2
1
x + -
sin ^sin —sin — = 0.
2 2 2л
Отсюда:
1) sin ^ = 0, ^ = xk, x,= — + 2nk, keZ;
2 2 л
2) sin — = 0. — = ян, д? ~ 2ян, n e Z .
'22 2
Ответ: *i -— + 2nk;x2 = 2nn, k,neZ.
8.174. tg23.v-2sin23x: = 0.
Решение.
ОДЗ: ам3д*0.
sin2 Зд
Имеем
cos 3x
Отсюда:
2 sin 3x = 0, sin Зд:
кк
cos 3x
--2 =0
1) sin3x = 0, 3x = nk, xx~—, keZ-t
„. 1 ., „ . , v2 . л ля л ли
2) г 2=0, cos3x = +—, Зд = ™ +—, д, =— + — =
cos2 Ъх 2 4 2 12 2
= £(2и + 4 neZ.
Ответ: х^ =—;х2 = — (2n + l\ k,ne Z.

8.175. 6ctg2;c-2cos2A: = 3.
Решение.
ОДЗ: sin.x^O.
Из условия
6cos2A' 2 -, п 6(1 + cos2a:) / , •,
2cos x-3 = 0»—- --(1+cos2jc)-3 = 0=>
sin2* l-cos2x
=> 6(l + cos2x)-(l+cos2x)(t-cos2x)-3(l-cos2A:)=0,
cos22x + 9cos2a: + 2=0.
Решая это уравнение как квадратное относительно cos2x:, имеем
, -9-V73 . _ , -9 + V73
cos2x = <-L0 ,или cos2a: = , откуда
2 2
. ^ -9+V73 , , 1 -9 + V73 , , _
2x = ±arccos + 2л«:, х = ±—arccos + яА:, fceZ.
4 2 2
Ответ: х = ±—arccos + mfc, keZ.
2 2

Решения к главе 9
НЕРАВЕНСТВА
НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Неравенства/Дх)>/2(х),/|(х)>/2(х),/|(х)</3(х),/|(х)</2(х),
где /i(x) и /2(х) — заданные функции переменной х (одна из них
может быть постоянной), называются неравенствами с одним
неизвестным.
Переменная величина х называется неизвестной. Если fx (x) и /2 (х) —
алгебраические выражения, то неравенство называется алгебраическим.
Решением неравенства с одним неизвестным называется такое
значение неизвестного, при котором данное неравенство обращается в
тождественное (истинное).
Решить неравенство с одним неизвестным — значит найти
множество (совокупность) всех его решений или показать, что оно не имеет
решений.
Областью допустимых значений неизвестного данного неравенства
(ОД 3) или областью определения неравенства называют множество всех
значений неизвестного, при которых существуют обе части неравенства.
Равносильные неравенства н основные теоремы о
равносильности неравенств
Так как рассматриваемые ниже понятия и свойства неравенств
одинаковы для неравенств fi(x)> f2(x), fi(x)>f2(x), f\(x)< f2(x),
fi (-*) ^ fi (x) >т0 будем рассматривать только неравенства вида
/iW>/2W-
Пусть даны два неравенства с одним неизвестным
/lW>/2W, (9.1)
501

g\(x)>g2(x).
Неравенство (9.2) называйся следствием неравенства (9.1), если все
решения неравенства (9.1) есть решения неравенства (9.2) или
неравенство (9.1) не имеет решений.
Два неравенства (с одним неизвестным) называются равносильными
(эквивалентными), если каждое из них является следствием другого.
Если иад обеими частями неравенства с одним неизвестным
произвести тождественные преобразования, не меняющие области определения
неравенства, то получим неравенство того же смысла, равносильное
данному, т.е. если дано неравенство /i (■**)> ./П*) с областью определения D
и в результате тождественных преобразований получилось неравенство
/з(ЛГ)> /а(х) с т°й же областью определения, то они равносильны.
Если к каждой части данного неравенства прибавить одно и то же
число или выражение, имеющее смысл при всех значениях неизвестного из
области определения неравенства, то получим неравенство того же
смысла, равносильное данному, т.е. если дано неравенство f](x)> fii*) с
областью определения D и т(х) — число или выражение,
имеющее смысл при всех значениях х из Д то неравенство fy(x) + m(x)>
> f2(x) + m(x) равносильно данному.
Члены неравенства можно переносить с противоположным знаком из
одной части неравенства в другую.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное
число или выражение, принимающее положительные значения при всех
значениях неизвестного из области допустимых, то полученное
неравенство того же смысла будет равносильно данному.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное
число или выражение, принимающее отрицательные значения при всех
значениях неизвестного из области допустимых, то подучим равносильное
данному неравенство противоположного смысла, т.е. если дано неравенство
/i(-y) > fi{x) и число или выражение т(х) < 0 при всех* из ОДЗ
неравенства, то неравенство /5 (_х) ■ т(х) < fji.x) *'«(х) будет равносильно данному.
f (х)
Неравенство^-5-^-> 0 равносильно неравенству {\(х)/2(х)>0 при
/2(д-)*о.
Неравенство -•■' -<0 равносильно неравенству f\(x)- f2(x)<0 при
fi(x)
/200*0.
502

РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Решение неравенства первой степени с одним неизвестным
Неравенства вида
ЛМ>Л(4 /КФЛМ
/.М<Л(4 /iW^AW
где /j (х) и /2 (х) — линейные функции переменной д- (одна из которых
может быть постоянной), называются неравенствами первой степени с
одним неизвестным.
Всякое линейное неравенство с одним неизвестным всегда можно
привести к каноническому виду \
ах + Ь>0- (9.3)
Решение неравенства ах + Ь>0
Если а > О, то после умножения обеих частей неравенства на — > О
получим равносильное данному неравенство х + — > О, из которого
ь
последует д: > — .
а
Если а<0, то после умножения обеих частей данного неравен-
1 Л Ь .
ства на — < 0 получим равносильное данному неравенство х + — < 0,
а а
Ь
из которого следует х < — .
а
Если а =0, то при b < 0 для любого действительного значения х
неравенство обращается в неверное, т.е. решений не имеет, а при b > 0
данное неравенство верно при всех действительных значениях х , т.е.
все действительные числа являются решениями неравенства.

Решение неравенств второй степени (квадратных) с одним
неизвестным
Неравенство, обе части которого есть многочлены относительно
неизвестного не выше второй степени, причем хотя бы один из них
второй степени, называется неравенством второй степени с одним
неизвестным.
Всякое неравенство второй степени с одним неизвестным
(квадратное неравенство) можно привести к одному из его канонических
видов:
ах2 + bx+c>0, ax2 +bx + c>.0,
1 1 (9 4)
ах + Ьх + с < О, ах + Ьх + с й О,
где х * О .
Решение неравенства ах2 + bx + c>0 (а ■$. 0)
Если а > О, то данное неравенство равносильно неравенству
2 Ь с п
х +—х+—>0
а а
или
х2 +px + q>0, (9.5)
Ь с
где р=— , q=~.
а а
Если а < 0, то данное неравенство равносильно неравенству
2 Ь с _
jr+ —* + ~<0
а а
или
х2 +px+q<0, (9.6)
Ь с
где р-~, q- — .
а а
Другие неравенства вида (9.4) также приводятся к виду,
аналогичному (9.5) или (9.6).
Исследование трехчлена х2 + px + q =0
Рассмотрим трехчлен
х2 +px+q. (9.7)
504

1. Если D~p2 ~4q > 0, то трехчлен ,т2 + px + q можно разложить
на множители с действительными коэффициентами
х2 +px+q^(x-XlXx-x2\
- корни трехчлена
■- \\* ) * W-)
(х{ <х2).
Если х < jcj < х2, то х - хх < 0 и х ~х2 < 0 ; тогда х2 + рх + q > О .
Если х, < х < х2, то х-хх > 0, a jv - х2 < 0 ; тогда *2 + рх + q < 0 .
Если х > х2 > хх, то х - х1 > 0 и л - х2 > 0 ; тогда *2 + /7Х + q > О .
Вывод. Если £> = /7Z - Aq > О, то квадратный трехчлен х2 + px + q
положителен при значениях х , меньших меньшего корня и больших
большего корня, и отрицателен при значениях х , лежащих между
корнями.
2. Если D = р2 - Aq - О \q =— I то трехчлен х2 + px + q прини
4
мает вид
2 2 Р2 ( Р
хг + px + q-x +рх + *-— = \х+ —
Р Р
и при всех х * —- будет положительным, а при х = —- равен нулю.
3. Если D = р2 - Aq < О, то трехчлен x2+px + q можно
представить в виде
Так как х + — >0 при всех х , а 4а-р2 >0, то трехчлен
I 2J
2 + px + q положителен при всех значениях л .
505

Решение целых рациональных неравенств с одним
неизвестным
Целым рациональным алгебраическим неравенством с одним
неизвестным называется такое неравенство, обе части которого есть
многочлены относительно неизвестного.
Степенью целого рационального алгебраического неравенства с
одним неизвестным называется большая из степеней многочленов,
входящих в это неравенство.
Всякое целое рациональное алгебраическое неравенство л-й
степени с одним неизвестным может быть приведено к одному из
канонических видов
а0х" +а,х"4 + а2х"~2 + ... + а„^_2х2 + ап„лх + а„ > О, (9.8)
а0хп + щхпА + а2х"~2 + ... + ап„2х2 +а„„лх + ап >0 (9.9)
или
а0х" + а]хпА + а2х"~2 + ... + а„^_2х2 +ап^х + а„ <0, (9.Ю)
Oqx" + щх""' + а2х""2 +... + ап_2х2 + апАх + а„ <О (9.11)
(я0*0).
Метод интервалов
Чтобы найти решения неравенства
{х-х1Хх-х2Ь-Хз)-(х-хл)>0 (9.12)
или
{х-х^х-x2)ix-х3)...(х-х„)<0 , (9.13)
достаточно нанести на числовую ось нули (корни) левой части
неравенства хг,х2, х3, ...,*п, а затем проверить знак левой части неравенства
на каждом из полученных интервалов путем подстановки любого числа
из этого интервала. Тогда множеством всех решений неравенства (9.12)
(х - х] X* - х2 X* - х3)... {х - хп) > О
будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак плюс,
а решением неравенства (9.13)
{х - Х\\х — х2\х - х3)...{х - хп)<0
будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак минус.
506

При решении неравенств
{х~х]Хх-х2\х~хг)...(х-хп)>0
и
{х - xi X* - х2 Xх ~ хг )■ ■ ■ (х ~ хп) - ^
с помощью метода интервалов, кроме соответствующих интервалов зна-
копостоянства левых частей неравенств, к их решениям надо относить и
их нули (корни).
Обобщенный метод интервалов
Рассмотрим схему решения неравенства (9.8)
а0х" +щхп~1 + а2х"~2 +... + ап_2х2 +апАх + ап >0 (а Ф 0)
Многочлен а0хп •\-щхп~1 + а2х"~' + ...+ ап_2х2 + ап~]х + ап вмноже-
стве действительных чисел можно представить в виде
а0хп+а1х"~ + а2х"~' + ... + а„^2х +ап_1х+ ап =
= а0{х - х^ {х - хгТ2 ...{х-хк)щ (х2 + p1x + qlf ...\х2 + p,x + qif)
где х1,х2,...,хк —действительные корни соответственно кратности
тьт2,...>тк, а трехчлены х2 + p]x+ql,...,x2 + ptx+qt имеют
отрицательные дискриминанты, т.е. при всех х положительны.
Неравенство (9.8) можно переписать в виде
a0{x-xl)mi{x-x2)m2 ...(*-**Г* (к2 +P]X + qif ...
...\х2 +p{x + qtf >0.
Так как квадратные трехчлены в этом неравенстве принимают
положительные значения при всех действительных значениях неизвестного,
то оно равносильно неравенству
flak - х, Г (л-^Г ■■■(*-**У" >0.
Множители левой части неравенства с нечетными показателями можно
оставить в первой степени,-а с четными- опустить, выписав те значения х,
при которых они обращаются в нуль. Тогда неравенство примет вид
при а0 >0 оно равносильно неравенству
507

а при а0 < 0 —неравенству
(х - Хл\х - Xh)...(x - Xjj<0 .
Последнее неравенство решаем методом интервалов.
Дробно-рацнональные неравенства
Неравенства вида
или
(9.14)
(9.15)
где Рп(х)=а0х" + щхпА +а2х" 2 +... + ап__2х2 + а„чд: + а„ (а0 * 0) и
Qm(x)= b0xm +blxm~' +b2xm~2 + ... + bm_7x2 +bm_tx + bm (b0
#о)—многочлены переменной х, называются дробно-рациональными неравенствами.
При решении таких неравенств пользуются следующими
утверждениями:
Р (х)
1. Неравенство —^-jA > 0 равносильно неравенству
лМа.Ю>о.
) " > \ г
Р (х)
2. Неравенство " \ , > 0 равносильно системе неравенств
АЫйтМга
3. Неравенство " \ < О равносильно неравенству
^Ма»(*)<о.
4. Неравенство —^Л_± <, О равносильно системе неравенств
QM
р„ШЛ*Но,
508

Таким образом, решение дробно-рациональных неравенств
сводится к решению целых рациональных неравенств.
При решении дробно-рациональных неравенств нужно
придерживаться следующей схемы;
а) перенести все члены неравенства в левую часть;
б) привести все члены левой части неравенства к общему знаменателю;
в) заменить дробные неравенства целыми;
г) разложить левую часть полученного неравенства на простейшие
множители;
д) привести полученное неравенство к виду (9.12) или (9.13);
е) найти решения полученного неравенства по методу интервалов.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ
НЕРАВЕНСТВ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Системой неравенств с одним неизвестным называется несколько
неравенств, в которых под одной и той же буквой, обозначающей
неизвестное, подразумевается одна и та же величина.
При решении системы неравенств с одним неизвестным обычно
решают каждое из неравенств системы, а затем находят пересечение
множеств полученных решений.
Решить систему неравенств с одним неизвестным - значит найти
множество всех ее решений или показать, что система не имеет решений.
НЕРАВЕНСТВА С НЕИЗВЕСТНЫМ ПОД ЗНАКОМ
АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
При решении неравенств, содержащих переменную под знаком
абсолютной величины (модуля), используется определение абсолютной
величины:
If М- J /Мпрн/(*)>0,
|Л *'Ь/(х)при/(х)<0.
Кроме того, иногда бывает полезным применить геометрический
смысл модуля числа, согласно которому \х\ есть расстояние от точки х
числовой прямой до начала отсчета, а \х - а\ — это расстояние на
числовой прямой между точками х и а.
509

Рассмотрим неравенство
Ax\)<g{x), (9.16)
где f(x) и g(x) —некоторые функции.
Неравенство такого вида равносильно следующей совокупности
двух систем неравенств:
\х < 0, \х> О,
1)t/(-')<eU)™Dl2)W)<eU)
Рассмотрим неравенство
\fk]<sU), (9-П)
где f(x) и g{x) —некоторые функции. Неравенство такого вида
равносильно следующей совокупности двух систем неравенств:
М*)>0, JgtosQ,
l)\-g(x)<f(x)<g(x)^^\xe0.
Рассмотрим неравенство
\f(x}>g{x), (9.18)
где f(x) и #(*) — некоторые функции. Это неравенство равносильно
следующей совокупности двух систем неравенств:
[/(*)> sto „лиг)!^^0' , ч
/(*)< -g{x) Iх 6 одз неРавенства (918>
Рассмотрим неравенство
|/N|<g(x), (9.19)
где f(x) и g(x) — некоторые функции. Это неравенство можно решить
двумя способами. Во-первых, оно равносильно совокупности двух систем:
\х < О, Jх > О,
d{|/(-^<^)h™2){|/(^<sw
Во-вторых, оно также равносильно двойному неравенству
-g(x)<f\x\)<g(s)
Рассмотрим неравенство
|/N|>gM, (9.20)
П'

где f(x) и g{x) — некоторые функции. Это неравенство можно решить
двумя способами. Во-первых, оно равносильно совокупности двух систем:
[х < О, (х> О,
1>l|/(-^>e^)H,I,l2)U/H>«<*)
Во-вторых, оно также равносильно совокупности двух неравенств
/N)>sM
Рассмотрим неравенство
|/Иф(*Ь (9.21)
где f(x) и g(x) — некоторые функции. Это неравенство решается при
помощи разбиения области его допустимых значений на промежутки,
каждый из которых является промежутком постоянства знака как функции
f{x), так и функции g(x). Затем на каждом из этих промежутков
решается неравенство без знака абсолютной величины. Объединив решения на
всех промежутках, получим множество всех решений неравенства.
Некоторые неравенства вида (9.21) j/(*)| ^ \g{x] целесообразно
решать, перейдя к равносильному неравенству (/(х))2 > {g{x)f, т.е.
возведением обеих частей исходного неравенства в квадрат.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Алгебраическое неравенство называется иррациональным, если его
неизвестное входит под знак корпя.
При решении иррациональных неравенств, как и иррациональных
уравнений, корни четной степени рассматриваются только
арифметические, а корни нечетной степени рассматриваются на всей числовой
оси (при всех действительных значениях подкоренных выражений).
Если неравенство, обе части которого неотрицательны при всех
значениях неизвестного из области допустимых, возвести в любую
натуральную степень, то получим неравенство того же смысла,
равносильное данному, т.е. если дано неравенство
/iW>/2W,
причем при всех х нз ОД 3 /] (д:) > 0 и /2 (х) > О, то неравенство
511

равносильно данному.
Если обе части неравенства возвести в нечетную натуральную
степень, то получим неравенство того же смысла, равносильное данному,
т.е. если дано неравенство
/;(*)>/2(Д
то неравенство (/] {х ))~"+i >{f2{x)Y'ui равносильно данному.
В частности, неравенство вида
^7Н<2ЛЙ neN, (9.22)
равносильно системе 1 ^-/- ч / \ а неравенство вида
2"fflx)<7"4Жх), neN, (9.23)
равносильно неравенству f(x) < g{x); неравенство вида
2V7H<sW "eN, (9.24)
f/(x) г О,
равносильно системе -| g{x) > О, а неравенство вида
1/(*)<ШГ,
2"+#H<sW ибЛГ, (9.25)
равносильно неравенству f(x)< [g{x)fn^; неравенство вида
2#R>sM ибЛГ, (9.26)
равносильно совокупности двух систем неравенств
Ых)<о, Шао,
1/Ыг о илн |/Ы> Ш)2",
а неравенство вида
2и^7И>£(4 «еЛГ, (9.27)
равносильно неравенству f{x)> {g{x)f"+] ■

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
НЕРАВЕНСТВА
Прн решеннн показательных неравенств используются следующие
правила:
1) Если а > 1, то неравенство
аЛМ<аАМ (9.28)
равносильно неравенству fx (х) < /2 (х), а неравенство
а/.М >„/=(*> (9.29)
равносильно неравенству /j (x)> /2 (д).
2) Если 0 < а < 1, то неравенство
а/,М<аАЫ (9.30)
равносильно неравенству /, (д )> /2 (д), а неравенство
a/iW>a/iM (9.31)
равносильно неравенству /, {х) </2{х).
3) Если а > 1, то неравенство
log./,(*)< log,/2(х), (9.32)
где /j (д) > 0, /2 (д) > 0 , равносильно неравенству /j (д) < /2 (д), а
неравенство
1о8а/,(д)>1о8а/2(д), (9.33)
где/|(х)>0, /2(д)>0,равносильно неравенству/,(х)>/2(д).
4) Если 0 < а < 1, то неравенство
log./,(*)< log,/2(х), (9.34)
где /, (д) > 0, /2 (х) > 0, равносильно неравенству /, (д) > /2 (х), а
неравенство
log0/iW>log,,/2W, (9.35)
где /1{х)> 0, /2 (д)> 0, равносильно неравенству fi(x)< /2(х).
17 М. И. Сканави, группа А
513

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Тригонометрическим неравенством называется неравенство, в
котором неизвестное входит под знак тригонометрических функций
непосредственно или в виде линейной функции неизвестного, причем над трн-
гонометрнческнмн функциями выполняются только алгебранческне
действия.
К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся:
1. Неравенство sin * > а. Если а <-1, то решением неравенства
будет любое действительное число. Если -1 < а < 1, то решениями
неравенства будут
arcsina + 2jrrt<x<7i-arcsina + 2jrrt, ne Z, (9.36)
Если а > 1, то неравенство решений не имеет.
2. Неравенство sin х < а. Если а < -1, то неравенство решений не
имеет. Если -1<в£1,то решениями неравенства будут
7i-arcsina + 2jrrt < ;t<27i + arcsina + 2jrrt, ne Z . (9.37)
Если а > 1, то неравенство верно при всех действительных значениях х.
3. Неравенство cos х > а . Если а < -1, то неравенство верно при
всех действительных значениях х . Если -1 < а < 1, то решениями
неравенства будут
~агссо5а + 2яи<х<агссо5а + 2яи, «е Z . (9.38)
Если а > 1, то неравенство решений не имеет.
4. Неравенство cos х < а . Если а < -1, То неравенство решений не
имеет. Если -1 < а < 1, то решениями неравенства будут
агссо5а+2тш<х<271-агссо5а + 2лл, ne Z. (9.39)
Если а > 1, то неравенство верно при всех значениях х .
5. Неравенство tgx > а . Это неравенство имеет решения при
любых действительных значениях а, причем
arctga + ял < х<— +ял, weZ. (9.40)
6. Неравенство tgx < а. Это неравенство имеет решения при
любых действительных значениях а, причем
— + ли< х< arctgа + кп, ne Z. (9.41)
514

7. Неравенство ctg х > а . Это неравенство имеет решения при
любых действительных значениях а, причем
кп < х<arcctgа + кп, neZ. (9.42)
8. Неравенство ctg х < а . Это неравенство имеет решения при
любых действительных значениях а, причем
arcctg а + кп < х < к + кп, пе Z. (9.43)
В случае нестрогих неравенств к решениям присоединяются
соответствующие концы интервалов.
9.001. Показать, что для всех положительных чисел аяЬ верно
неравенство Va + л/й > -Ja + b ■
Решение.
Возведя обе части данного неравенства в квадрат, имеем
эквивалентное неравенство д + > а + Ь <^> 2ыаЬ > 0 <^> ыаЬ > 0, ab > 0 ■
Так как а>0нЬ>0,то последнее неравенство очевидно, и тем самым
справедливость равносильного ему исходного неравенства доказана.
9.002. Доказать, что если а>0 н Ь > 0, то ~г-—п-
Va +\b
Решение.
Так как Va + л/б > 0, то получим
<ifab
2^<{j^ + Jb)^b^>2^b--{j^ + Jb)^buO;
учитывая, что - Va6 < 0, найдем Та - itfab + 4b > 0 <^> $Ia-i[bf
дополученное, а значит, и исходные неравенства истинны.
9.003. Доказать, что если р>0 и q >0,то {р + l\q +2\р + q)> 16 pq .
Решение.
Имеем
p2q + pq2 +2p2 +2q2 + 4pq + 4p + 4q>\6q &
& p2q + pq2 +2p2+2q2 -\2pq + 4p + 4q>0<&
<*bp2-4pq+2q2)+\p2q-2pqjp~q~ + pq2)+4\p-2jp~q'+q)
+ ЦРЧ$МSpq + S^fp~q')>0<^2(p~gf +{py[q-qjp] +
515

+ 4{jq-^pj+lJpq{pq-4j^+4)>0^
<=>2(p-qf + {pjq-qfpf+4fjq-fpf +2yfpqijpq-if kO.
Полученное неравенство истинно, а значит исходное неравенство
справедливо.
1 2
9.004. Доказать, что если а * 2 , то ~j ~ > ~%—~.
а — 4а + 4 а -о
Решение.
Перепишем данное неравенство в виде
1 ^2 a2+2fl + 4-2fl + 4
(a-2f {a-2%i2+2a + 4)> ° {a-lflp2 + 2а + 4)> °
,>0.
(а-2)2(д2+2й + 4)
Так как а2 + 8 > 0 при а е i?; (а - if > 0 при аФ2 и а2 + 2а + 4 > 0
прн а е R , то это неравенство очевидно. Итак, исходное неравенство
истинно.
9.005. Доказать, что если т , п и р представляют собой длины
сторон некоторого треугольника, то т2 +п2 + р2 <2{тп + тр+пр).
Решение.
Для всякого треугольника сумма двух сторон больше третьей:
т+п>р,п + р>т,т + р>п.
Запишем неравенства в виде
р-т <п,т-п< р,п-р<т.
Возведя каждое из этих неравенств в квадрат, получим
\p~mf <п2, р2 ~2тр + т2 <п2,
\m~nf < р ,<^> т — 2тп + п < р ,
\п~pf <т п ~2пр+р <т .
Сложив левые и правые части этих неравенств, найдем
2т +2п +2р -2{тп + тр + пр)<
<^> т + п + р < 2\тп + тр + пр\
что и требовалось доказать.
516

9.006. Доказать, что если т > 0 и п > 0, то тп(т + п) < т3 + пг.
Решение.
Из условия
тп{т + п)< (/и + иД/и ~тп + п ),
/mi(m + w)-(m + w)(m2 ~mn + n J<0,
(m + nftnn~m2 +mn~n2 J<0, -(m + лДт2 ~2тп + п j<0,
- (/и + wXm - «)s 0, (/и + «Xm ~ «Г ^ О-
Так как /и + п > 0 по условию; (m~nf > 0, отсюда
(m + wX'"-")2 ^0-
9.007. Доказать, что для любых действительных чисел хну верно
неравенство х2 + 2у2 + 2ху + 6у + 10>0.
Решение.
Имеем х2 +у2 +у2 +2ху+6у + \0>0, (x + yf +(у2 + 6у + ю)>0.В
полученном неравенстве (х + yf >0 дляхе i? и .ye i?,a ;Л +6у + 10>0
для уеЛ,таккак£> = 36-40<0.3начнт,н(д: + у)2+()'2+6у + 10)>0,
что и требовалось доказать.
9ХЮ8. При каких значениях а оба корня уравнениях2 ~{a + i)x + a + 4 =0
оказываются отрицательными.
Решение.
Используя теорему Виета, получаем, что оба корня отрицательны
тогда и только тогда, когда их сумма х( + х2 < 0, а произведение х, ■ х2 > 0.
Имеем систему неравенств
х, +х2 =а + 1<0, [а<-1,
■ X! ■ х2 = а + 4 > 0, « J а > -4,
zW-2a-15>0 lfc-5Xfl + 3)>0.
Методом интервалов получаем ае (-4;-3].
Ответ: ае (-4;-3].
517

9.009. Показать, что для любых двух положительных чисел
произведение их суммы на сумму их обратных величин не меньше четырех.
Решение.
Пусть а > 0 н Ь > 0 ■ Предположим, что
( ,1л(х,х\л ( . L\ a + b л^.п a2+2ab+b2~4ab^n
\fl + b)- — + — >4« \a + b) 4>0, & >0«
уа b j ab ab
a2~2ab + b2 .. {a~bf ..
° A °
Так как (а - bf > 0 и ab > 0 при а>0иЬ>0,то г— -г U и нера-
венство истинно, следовательно, и исходное неравенство справедливо.
9.010. Найти целые положительные значения х , удовлетворяющие
неравенству г- > 2х + 2 .
■Решение.
Имеем
5х + 1 „ . . 5jc + l-2(x + lXx-l) . -2х2+5х+3 .
2х-2>0« - ->0« >0«
х-1 х-1 х-1
fax2 ~5х-з\х~1)<0 & 2\ х+- \дг-ЗХлг —1)<0.
_1
"2
С помощью числовой прямой найдем, что х = 2 ■
-1/2
Ответ: х = 2.
9.011. Найти целые решения системы неравенств
(.х-1 2х + 3 х « х + 5
L х + 5 4-х . х + 1
I 8~+ 2 "Х"~4~'
Решение.
Имеем
2 3 6 2 J 7<=^<*<2.
, х + 5 4-х , х+1 _ U>- 9
1 + 3x + <0 9
18 2 4 1
518

Значит, х = 1 -
Ответ: х = I.
9.012. Найтн натуральные значення * , удовлетворяющне снстеме
неравенств
pog^(x-l)<4,
1 х х — 5 2х
(х -3 л' 3-х
Решение.
Из условия
0<л--1<4,
\ X Л"-5 2л"
1<л-<5,
I . . -0 , г—<0
Ух-Ъ х х~Ъ [ х\х~Ъ)
\\<х<5,
»J4а-2 -8л- + 15>Оприхе-К,
Ыл--3)<0.
С помощью чнсловой прямой находим решение системы х-2-
Ответ: х =2.
9.013. Прн каких значениях х функция у = >/10 + х -42~х
принимает положительные значения?
Решение.
Учитывая ОДЗ, из условия имеем
V10 + X-V2-X >0, 10 + д:>4-4д: + х2, X -5jc-6<0,
jlO+A->0, <=> ■] д: >—10, »|л->-10,
2-a-J;0 \х<2 \х<2
[-1<д:<6,
»|л->-10,
\х&2.

С помощью числовой прямой находим решения системы -1 < х <; 2 .
-10 -12 6 х
Ответ; хе (-1;2]
9.014. Найти множество целых значений х, удовлетворяющих
системе неравенств
jjt + 2
Решение.
Учитывая ОДЗ, решаем второе неравенство системы:
[£±8_2>0, t^>0, f(*-4X* + 2)<0,
\х + 2 « х + 2 '« , ,,
lo<(*-i)<io [i<*<ii ^l<x<lL
С помощью числовой прямой находим целые решения системы х1 = 2;
х, =3.
Ответ; х, = 2\х7 =3,
2 2
9.015. Прн каких значениях т неравенство х ~тх> — выполня-
ется для любых х ?
Решение.
2
Имеем х ~ тх > 0. Неравенство выполняется для х е R,
когти
да D = m2 + —<0« — <0, (т+2%п2 -2m+4W<0. Так как
mm v '
тг -2/и + 4 >0 прн те R, то полученное неравенство равносильно
неравенству {т + 2}п < 0 . Методом интервалов получаем -2 < т < 0.
Ответ; т е (-2; 0)
520

Найти области определения функций (9.016- 9.021):
9.016. у =
х2 -7х + 12
х -2.Х-3
РеШеШе'2 , „ г ,¥ А \(Х~3?(х-ф + 1)>0,
D{y): ф^^гО, (^Ш4>-0, х-3,0,
Методом интервалов находим решение системы х < ~ 1 или х > 4.
Ответ: х е (- °°; -1) U [4; °°)
9.017. у = 0,5 *->.
бешеные.
4-х2а0, [-22x^2,
х-1*0 [**!•
О/иве/и: хб[-2;1)и6;2].
D(y):
9.018. y = .log03^-
V х +
Решение.
\х-\
* + 5'
>0,
Ж): Г" ,
log0,3—-гй°.
I х+5
х-1
х + 5
х-1
>0,
(x-lX* + 5)>0,
х + 5 х + 5>0.
х + 5*0
Методом интервалов находим решение системы х > 1 ■
Ответ: хе (l; °°)
521

9.019. У= /log! log
Решение.
£+1
D(y): logilog3iii>0, 0<log3 i±JS1, l<i±i;£3,
- x — l x—l x — l
H>i iii-i>o,
г ! **r"!
£±1<з i±l-3so
U-i U-i
[x + l-x + 1
Л"
Ж + 1-
-1
-3x
->0,
+3<n
U-i
>o,
x-I>0,
b2i+4s0 1(х-2)(х-1)г0 1(х-2Хх-1)>0.
V x-1
:>1,
Спомощью числовойпрямои находим решенне х ^ 2-
Ответ: х £ [2; °о}
9.020. у-
Решение.
•f^-
D(y): 5-X--S0,
д:(д:2-5х+б)<0, Jjc(x-2X^-3)s0,
х * 0, \х Ф 0.
Методом интервалов находим х < 0 или 2 й л: £ 3 .
о| + Ь з
Ответ: хе (-°o;0)ll[2; з]
522

9.021. У-J—; ,
К V-x2+2a: + 8
Решение.
logo,3(x-l) log0|3(x-l) [logM(x-l)sO,
V-.x2+2x + 8 ' -J~x2+2x + S ' 1-jc2+2a: + 8>0
fx-I>I, \x>2,
|a:2-2a:-8<0 [-2SX<4
Ответ; xe [2; 4)
Решить неравенства (9.022 - 9.095):
9.022. + —^— <1.
2-х 2 + .х
Решение.
Имеем
1 5 , „ 2 + д: + 10-5д:-4 + д:2 . х2-4а: + 8 .
+ 1<0, , г, , <0, т „ 5>0.
2-х 2 + х \2-хХ1 + х) (х-2Хх + 2)
В полученном неравенстве х2 -4д: + 8>0 прн хе R, поэтому оно
равносильно неравенству (х -2\х + 2) > 0 . Методом интервалов
находим х < -2 или х > 2 ■
Ответ: х е (- °°; - 2)11 (2; °°)
, Зх-1 ,
9.023. log, ——-<1.
- х + 2
Решение.
Это неравенство равносильно неравенству
Зх-1 1 3JC-1 1 . 9д:-3-д:-2 . 8д:-5 .
>-, >0, , *—>0, >0,
х + 2 3 х+2 3 3(.v + 2) х+2
{Sx~sXx+2)>0.
523

С помощью числовой прямой находнм х > - или х < -2 ■
5/8
Ответ: х е (- °о; - 2) U
За:-5 ,
9.024. log3-—-si.
x+l
Решение.
Неравенство равносильно системе неравенств
З.т-5
х + 1
Зх-5
I х + 1
>0,
<
S3
7^+1)>0'ЛН^+1)>0'
-SO
и
:>-1.
Методом интервалов находнм х > -
Ответ: х е
9.025. log, (x + 27)-log„ (l6-2x)<log, .
Решение.
х + П ,
Из условия log, ——— < log, x. Это неравенство равносильно, с
16-2х
учетом ОДЗ системе неравенств
х + П
<х,
16-2*
х + 27>0, »■
16-2д:>0
х + П
16-2х
х>-21,
-2х>-16
~х<0,
[2л:2-Ш + 27
2х-16
: > -27,
>0,
524

2(х-Цх-- |£2x-I6)>0,
х > -27,
х<8.
С помощью числовой прямой находим 3 < х < ~
Ответ: х е | 3; —
2
9.026. log0з(Здс - 8)> log0,з(•** + 4
Решение.
Это неравенство равносильно системе неравенств
Зд:-8>0,
Зд:-8<д:2+4
3'
[д:2-Зд: + 12>0.
Так как jc2-3a: + 12>0 при х е R, то последняя система неравенств
8
эквивалентна неравенству х > - .
Ответ: х е
9.027. {x + l)(3-xlx-2f>0.
Решение.
Имеем
(x + llx-3fc-2Y <0, К* + 1Х*-3)<0, Г-1<*<3,
v Л Л [л:-2*0 \х*2.
Ответ: хе (-l;2)U(2;3)

9.028. л/Зх-д:2 <4-х.
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств
hx~x2 <{4~xf, Ьд:2-11д: + 16>0,
I,3x-x27l0, <=>Ы*-3)<0,
4-jc>0 \х<4.
Так как 2х2 — 11лг + 16 >0 при х е R, то полученная система нера-
[д:(*-3)<0,
Методом интервалов нахо-
[Л V *t.
ДИМ 0 < X < 3 ■
Ответ: х е [0; 3]
1
9.029.
Зд:-2-д:г lx-4-Ъх2
Решение.
Перепишем данное неравенство в виде
—^— г >0, 7 n-7—гг ^>0,
Зх2~7х+4 х2-Ъх+2 ,/ ,/ 4"| {х-\\х-2)
-2-, + 3
3(*-if*~
4 2
>0, -г-^-г >0, (х-\\х-'\-2)<й.
(x-iU~A-\x-2) ' (—'{—|V-2)
Методом интервалов получаем х е (- оо; l)lj —; 2
4/3
Ответ: хе (-oo;l)U| -;2

9.030.—!— <_?_
x+2 x-3
Решение.
Имеем
-~- -~,<0«--^;f-9--<0«(2x + 9)(x + 2)(J;-3)>0.
x + 2 x-3 (x+2)(.y-3)
Методом интервалов получаем jre| ---;-2 |U(3;=°).
-9/2
Ответ: *е --;-2 U(3;=°).
3x2-10* + 3 „
9.031. --, >0.
л-2-10* + 25
Решение.
'■зГ3) MM»",
Изусловия -^—=J- >o»^ зГ
С помощью числовой прямой получаем дге ~°°;-~ U(3;5)U(5;=°).
Omeeni: *е -<*>■- U(3;5)U(5;=°).
9.032. J2x2-9x + I5|>20.
Решение.
Имеем 2д- — 9д* +15 > 0 при хе R, следовательно, исходное иера-
527

венство равносильно неравенству 2х2 -9* +15 > 20 , 2х2 -9*-5 SO,
2(рс~5
В)
> 0. Отсюда л: <-- или х>5.
Ответ: х е - =°;
9.033. i'
в-).
бешеные.
Используя геометрический смысл модуля, получаем, что
-6 <д
-5*<6 <=>
*2-5*-6<0, f(* + lX*-6)<0,
[*2-5х + 6>0 К*-2Х*-3)>0.
С помощью числовой прямой получаем хе (-1; 2)U (3; б).
шжжш
Ответ: хе (-1;2)11(3;б)
9.034. 5л:-20<л:2£8л:.
Решение.
Перепишем это неравенство в виде системы неравенств
х2-5д:+20>0,
л:2-8л:<0.
Так как х2 - 5* + 20> 0 при хе R , то данное неравенство
равносильно неравенству х - 8х ^ 0, х{х - 8) < 0. С помощью метода
интервалов находим хе [0;8].
Ответ: х е [О; 8]
+ +
II 1. >
0-8 х
528

4* -1
9.035. г- г<0.
log,,, -(l-log73)
Решение.
log17 — (l-log73) <0, поэтому исходное неравенство
равносильно следующему: Ах2 -1 > 0 . Решив его, найдем х>— или х< —.
■-,л>
Ответ: хе | -°°;-^- |U|—;
log„/y(log25-l)l
9036- £.ф-*) >0-
Решение.
log03 — (log2 5 -1) < 0, поэтому исходное неравенство
равносильно следующему: (х-8Хл:-2)>0. Отсюда х <2 или х>8-
2
Ответ: хе (- =°; 2)U (8; =°)
9.037. (0,(4))"^'> (0,(6)^4
Решение.
Преобразовав бесконечные десятичные периодические дроби в
простые, найдем
«л:2 <8,-2,/2 <x<ljl.
Ответ: хе (-2л/2;2л/2~).
529

За:2-16л:+ 21 .
9-038- log„,3^+4)<0-
Решение.
Выражение log0]3 \х2 + 4J< 0 при х е R. Следовательно, исходное
неравенство равносильно неравенству
Зх2-16д: + 21>0, з1р-3\х-1 |>0.
Методом интервалов получаем х е - =°; - U (3; =°).
7/3 -
Ответ: х е | - =°; — U (3; =°)
1ов51д:'+3] „
9.039. V , "<0-
Решение.
log5pr2 +3)>0 при хе R,поэтому 4х2 -16л: <0, x(jc-4)<0.
Ответ: х е (О, 4)
х-7
9.040. -?====<"■
т/4д:2-19д: + 12
Данное неравенство равносильно системе неравенств
fx-7<0,
|4jc2 ~19jc + 12 >0.
Методом интервалов получаем х е I
Ответ: х е
530

9.041. л:6-9л:3+8>0.
Решение.
Пусть х3, = у . Тогда получаем у2 ~ 9у + 8 > 0. Решив это
неравенство, найдем
у<\.
Тогда
х3<1,
(х-2%1 +2д: + 4)>0,
{x-lix2+x + l)<0.
Так как х +2* + 4>0ил:2+л:+1>0 при хе 7?,то последняя сово-
д:-2>0,
x-UO,
х>2,
х<1.
купи ость неравенств равносильна совокупности
Ответ: х е (- =°; l)U (2; =°)
9.042. 0,32t4t6t"t2* >0,372 {xeN}
Решение.
Данное неравенство равносильно неравенству 2 + 4 + 6 + ,..+2х<12,
где в левой части неравенства сумма членов арифметической
прогрессии, у которой «[ =2, d = 2, <in =2x. Тогда получаем
[2 + 2*
"'„[(!+*)*< 72,
2а:-2
2
Отсюда имеем х2 +x-12<0i -9< д:<8 ■ Так как х = пе N, то
и = 1,2,3,4,5,6,7.
Ответ: 1,2,3,4,5,6,7.
9.043. 4х2-х~\2<х.
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств
hi
\x2-x-\2lL0,
\х>0, »■(
\х2-х-П<х2
х>4,
х £ -3,
х>0,
х>-\2.
531

С помощью числовой прямой получаем х е [4; =о).
44WWWV
Ответ; х е [4; =°)
9.044. ^7-15,-2,' >0
х + 3
Решение.
Данное неравенство равносильно системе двух неравенств
17
" 2
\х>-3.
Ответ: хе(-3;1)
fl7-15jc-2x2 >0, ]2д:2+15д:-17<0,
х + 3>0 \x>-3
-<х<Х
9.045. ^J9x-20<x.
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств
9х-20>0,
х > 0, »
9х-20<д:2
х2-9х
.20
х ^—.
9
х>0
+ 20
>о,
е$ ■
х >5,
х <4,
20
х>—.
9
Ответ: *е Up4 |ufe =°)
, Зх2-7д: + 8 -
9.046. !< = <2-
х +1
Решение.
Перепишем данное неравенство в виде
Зх2 -Ixxl
х'+1
Зх2-7х + 8
->;
<2
з*2
Зх2
-7х + 8
2+1
-7х + 8
-1>0,
-■><<)
*2+1
532

\2х -7х + 7>0,
Так как v2 -t-1 > 0 >то получаем i ..
[х -7д + 6<0.
Здесь 2х2 - 1х + 7 > 0 при д е JJ, поэтому эта система равносильна
неравенству х2 -7д + 6<0, (jc-1X-x-6)<0, 1 < jc < 6 .
Ответ: х е (l; б)
д4+д2+1 „
9.047. -; <0.
х1 -4д-5
Решение.
Так как д4 + д2+1>0 при хе R, поэтому имеем хг -4д-5<0.
(jc + lX*-5)<0, -1<д<5.
Ответ: хе (-1;5)
9.048. *li>-L.
х-5 1-х
ОДЗ; х * I, х * 5.
Из условия
4-х 1 . (4-xXl-*)-x + 5 . х2-6х + 9
х-5 1-х (д-5Х1-л:) (х-5)(х:-1)
-^2?<0,(х-ЗГ(х-5Ь-1)<0.
(х-5\х-1)
Методом интервалов находим х е (1; 3)U (3; 5).
zzr4~F^
Ответ: хе (l;3)U(3;5>
9.049. lg10lg^+21'>l + lgA:.
Решение.
ОДЗ:д>0.
533

Получаем
lg(xr2 +2l)>lgl0 + lgjc » lg(x:2 +2l)>lgl(h: » ■
x +21>10x,
x>0
д:2-10д: + 21>0,
<
x>0
x>7,
x<3,
r>0.
Ответ: xe (0;3)U(7;=°)
д:2-Зд: + 2.
9.050.
-2.1.
x + 3x + 2
Решение.
ОДЗ: x*-2,x*-l.
Имеем
jc2-3jc+2 -6jc
—г 1^0<^-^ ^и, т я *-
д:2+Зд:+2 д:2+Зд:+2 U+2X*:+l)
x{x+2fc+l)&0.
:*-1.
Методом интервалов находим хе (-«>; -2)U(-1;0].
ll
Omee/и: хе (-=»; -2)U(-1;0]
. Y!"2*
9.051.
21.
Решение.
ОДЗ: **<).
Из условия
Ответ: х е (0; 2]
-<0, =—=-£,0,
хФО.
534

9.052. 21"2* <0Д25.
Решение.
ОДЗ: х*0.
Перепишем данное неравенство в виде
1 - -1 - 1 1
21"2" <2~3»1-2* <-3, 2*>4, 2'>22, ->2, 2>0,
х х
1-2* „ 2л:-1 „ , ч
>0, <0, {1х~\)х<0.
С помощью числовой прямой находим х е | 0; —
1/2
Ответ: х е 0; —
I 2
9.053. х2-Ъ'-У* SO.
Из условия д:2-3*-3-3* £0> 3*(д:2 -з)<0. Так как 3*>0при
х е i?, то полученное неравенство равносильно неравенству х2 - 3 й 0,
х2 <3> -J$<x<S-
Ответ: х е [- -Уз; VJJ
9.054. 52rf >5*+4.
Решение.
Имеем 5 ■ р* Г - р*)+ 4 > 0 • Решив его как квадратное относнтель-
4
но 5 ,получим 5 <-— ,0, или 5х >1, откуда *>0.
Ответ: хе (0;=°)

9.055. 0,5*~2 > 6.
Решение.
Из условия
22""*>6, log222-* >log26»2-;c>log22-3, Jc<2-l-log23,
jc<l-log23.
Ответ: x е (- =°; 1 - log2 3)
logout*+ l) j
9056- logo^lOO-logo^* '
Решение.
ОДЗ: x>~\.
Имеем
log0,(x + l) log„,3(* + l)-logw —
60,3 1 -1 < 0, ^-<0
100 ' ,100
logo,3 -J- logo,3 "g-
где log0 з < 0 ■ Следовательно,
1 л , 100 . , / ,i , ЮО
logo^(JC + l)-l°go,3-^->0. l°go,3(JC + l)>logo^-g- »
, 100 Г9д:-91 „
x + l< , <0, , 91
9 «^ 100 -l<x< —.
x + l>0 [jc > -1,
(.91
Ответ; x e A> g
l»>8l l0g2-j
9.057. 0,3 T >1.
Решение.
ОДЗ: ^^>1.
Перепишем неравенство в виде
- '°е{Ье!7^ -,о , , Зх + 6 . , Зх+6 , Злг+6 ,
03 ! >0,3°»log,log2^—<0, log2^—->1, -;-— >2,
| д: +2 д: +2 х +2
Зх+6 ., - Зх+6-2х2~4 . -2д:2+Зд: + 2 2x2-3a:-2 .
— 2>0, >0, , <0.
х2+2 х2+2 х2+2 х2 +2
536

Так как х2 +2 >0 ,то 2л:2 -3x-2<0, ~-<х <2.
Ответ: х е | —;2
9.058. 2 2 >1.
Решение.
ОДЗ: л:>0.
Из условия
tobf*tobut-ir ,о , , 5л: .
2 2 >2 » log0 4 л:-log0 4 — >0»
» logo,4 *| 'ogo,4 х + 1о8о,4 2 | > 0.
Отсюда
log0|4A:>-logo,4-,
l°go,4JC<°
0<j
х>\.
Ответ: х е О, - U (l; =°)
2U 2)
9.059. 4*-22^1) + 83 >52.
Решение.
Имеем
41-4*~1+4'""2 >52, 4*- — + — >52, 13-4* >16-52,
4 16
4х > 4 еэ л: >3.
Ответ: х е (3; =°)
9.060. 21og8(jc-2)-log8(j<:-3)>j.
ОДЗ: x>3.
Имеем
log8(jc-2
» , г ^ 2 , (х-2)2 2 fk^I>8f
r-log8(x-3)>-, log8^ J->-<*>\ х-3
х-3 3
х>3

*-3 H *"3 ~*>3.
x>3 [x>3 l
Ответ: х е (3; 4)U (4; =°)
9.061. 25" <6-5*-5.
Решение.
Записав неравенство в виде fpxJ -6-(5*)+5 <0 и решив его как
квадратное относительно 5", получим 1<5* <5, откуда найдем
0<х<1.
Ответ: хе (0;l)
9.062. I -
Решение.
ОДЗ-.xeR.
Имеем
<2,5.
/2^°Ьи'г~,х*г> (2^~]
, log025^2-5A: + 8j2i-l»A:2-5A: + 8<4<
«л:2 -5х + 4<0, 1<д:<4.
Ответ: х е [1; 4\
U 1-2
9.063. 4" -2* -3<0.
Решение.
OJX$:X*0.
Из условия
3<0»
4 4
2х —2х ~ 12<0, решим его
как квадратное относительно 2х . Получим 2х >-3 , откуда найдем
538

x *0 , или 2х <4 , откуда найдем — £2 , 2<0, <0 ,
Г(2дг~1)х>0,
1**0,
2
х<0.
Ответ: хе (- =°; 0)U —; =°
3(2^-7)
9.064. -
Решение.
Из условия
■ 12,25 2 >1.
>1»
К1) I4) I7
»3-(2д:-7)£4лг + 1, дг <11.
Ответ: х е (- =о; 11]
15
9.065.
->1.
4 + Зх - х2
Решение.
Перенесем 1 в левую часть неравенства и приведем его к общему
д:2-Зд: + 11
знаменателю. Имеем
х1 -За:-4
-<0. Так как х2-Зх + 11>0
при
хей.тох - Зх - 4 < 0 . Решив это неравенство, найдем -1 < х < 4.
Ответ: х е (-1; 4)
9.066. 0,64 < -Jog*^ < 1. .
Решение.
Перепишем неравенство в виде
(0^<(0,8)^<(0,8)Р <
-Зх
2
с2-За:
2
539
>0' [х2-3х>0,
[х2-Зх-4<0

(x(x-3)>0,
К*-4Х*+О<о.
С помощью числовой прямой получаем х е (-1; 0)U (3; 4).
-10 3
Ответ: хе (-1;0)U(3; 4)
9.067. - + log, x - log3 5x > log, (х + 3)
Решение.
ОДЗ: х>0.
Перейдем к основанию 3. Имеем
T + Tbg3 Jc-log, 5л: > -log3(jc + 3)
log, x-21og3 5jc+21og3(j[: + 3)> -1 »
\о%ъх-\о%ъ25хг -^Xog^x-vif >-l, log3 *V ' >-l<
25x*
x{x + 3f 1
3 »
3x -7x + 27
>0,
25x'
x>0
Ответ: хе (0; =°)
9.068. Чы<»>0.
бешеные.
Переходя к основанию 0,3, получаем
с>0.
х-1
1
-<1,
logo,:
х-1
>0<
х + 5
х-1
х + 5
'х > -5.
х + 5
|х + 5>0,
" |(д:-1Хд: + 5)>0"'[д:>1
Ответ: х е (l; =о)
<=> -^ дг + 5
>0,
->0 ((x-lXx + 5)>0
х>1.
540

9.069. (bgoa{x-lf>4.
Решение.
ОДЗ:л:>1.
Переходя к равносильному неравенству, получаем |log0 2 {х - Ц > 2 .
Отсюда:
!) log,v{x-l)>2e$0<x-l<{02.Y »1<а:<1,04;
2) log02(A:-l)<-2 »д:-1>(0,2)""2, х>26.
Ответ: xe(i, 1,04)U (26; =°)
9.070. log, 5 Т<0-
' х-2
Решение.
Данное неравенство равносильно системе двух неравенств
2х-% \х-6
Т^<1- \-x~i<0' \(х-ф~2)<0,
2£-8>()" £-4>0"|(х-4Хх-2)>0.
jc—2 Ljc —2
С помощью числовой прямой получаем хе (4; 6).
2 4 6 х
Ответ: х е (4; 6)
9.071. log0i3(x2 -5* + 7)>0.
Решение.
Данное неравенство равносильно системе двух неравенств
Ix2 -5x + l>0, \xeR,
\х2~5х + 1<1 [2<*<3,
Ответ: х е (2; 3)
2<х<3.
541

9.072. xt-вх1 +9x6-x2 +6x-9<0.
Решение.
Перепишем неравенство в виде
х6(?2 ~6х + 9)~^с2 ~6х + 9)<0, (х6 -l)(x2 -6* + 9)<0/
(x-3)2(x:3-l)(x3+l)<01 {x-3f {x-\%c2 +x + \\x+\ix2 ~x + \)<0.
В этом неравенстве выражение х2 +х + \>0 и х2 -х + 1>0 при
xeR, поэтому оно равносильно неравенству (x-3f(x-\Xx + l)<0.
Методом интервалов получаем х е (-1; 1).
-I1 h з х
Ответ: хе (-1; 1)
9.073. йЧа3-а-1<0.
Решение.
Группируя, получаем
а3(а+1)-(а + 1)<0, {а + ^а2 ~\)<0, {а + ХХа-Х^а2 + а + \)<0.
В этом неравенстве а2 + а +1 > 0 при ае R, поэтому оно
равносильно неравенству (а + ifa -l) < 0. С помощью числовой прямой получаем
аеН;1).
Ответ: ае (-l;l)
9.074. тъ+т2 -/и-1>0.
Решение.
Иэ условия
m2(m + l)~{m + l)>0, {m + lim2-l)>0, (т + \Хт + \Хт-1)>0,
/ ,\2/ ,\ „ Г/и — 1 > 0, \т>\,
[m + l*0 [т*-1,
Ответ: т е (1; =°)
542

1 + log, x - log, x < 1
9.075. log2
Решение.
Данное неравенство равносильно двойному неравенству
0 < 1 + log, х - log, x < 2 , -1 < log, х - log, x < 1.
5 1 5
Перейдем к основанию — . Имеем
-l<log, д + log, х <l, — 1 <2log, х<\ —<log!A:<—»
9 9 9 9
1 ,
3
Ответ: хе — ;3
9.076. т/д:1°е!'/х >2.
Решение.
ОДЗ:л:>0. , г .
log; V* 10g2-y
Иэ условия х 2 >2, х " >2. Логарифмируя обе части
неравенства по основанию 2, получаем
log;* .
log2 x 4 >log22, —-—log2A:>l, log2 x > 4 еэ |log2 x\ > 2 =>
=>1) log2 x < -2, или 2) log2 x > 2 .
Отсюда: 1) 0 < x < — или 2) x > 4 .
4
Ответ: x e 0; - U (4; =°)
9.077. 2X+2 -2X+3 -2X+4 >5X+1 -5t+2.
бешеные.
Имеем
4-2*-8-2x-16-2x>5-5x-25-5x, -202х >-20-5х «
-(!)'-(f)'#»'
Ответ: х е (0; =°)
543

9.078. о,32*!-3*+6 <0,00243.
Решение.
Из условия
0j32Ar2-3«6<035 «2д:2-3д: + 6>5, 2л:2-Зл: + 1>0,
2(x-l{x-l)>0.
Ответ: х е [ - =°; - U (l; =°)
„_ х -х +х-1^,
9.079. г S 0.
x + S
Решение.
ОДЗ: д:*-8.
;х2(х-1)+(х-1)^0 ^-'J^+'Lq
Перепишем неравенство в виде -
х + 8 ' х+Х
Так как х2 +1 > 0 при х е i?, то полученное неравенство равносильно сис-
Г(х-1Х* + 8)<0,
теме неравенств i
Методом интервалов получаемое (-8; l].
Ответ: хе (-8; l]
х4 -2х2 -8 .
9.080. —J-- г<0-
jt + 2х +1
.Решение.
ОДЗ: х*-1.
Решив биквадратное уравнение х4 - 2х2 -8 = 0, представим нера-
/ 2 V 2 \
венство в виде -£ ^Ц= < <0. Так как х2 + 2 > 0 при xei? и
. (x + lf
544

(x + lY >Опри х & —1,то это неравенство равносильно системе
иерарх-2X.Y+2) < О,
венств|х*-1.
Ответ: хе (-2;-l)U(~ 1;2)
9.081. Iogli2 (.v - 2)+ Iogu (x + 2) < log, 2 5.
Решение.
ОДЗ:х>2.
Имеем log12(x-2Xx + 2)<logy 5. С учетом ОДЗ полученное
неравенство равносильно системе неравенств
fx2-4<5, \х2 <9, Г-3<х<3,
i e$i «4 »2<х<3.
|х-2>0 |х>2 [х>2
Ответ: х е (2; 3)
9-082- (x + lX» + 2Xx + 3)>L
Решение.
ОДЗ: х * -3, х * -2, х * -1.
Имеем
(*-1Х*-2Х*-3)_1>0<=ф -12х2-6 >0^
(x + lXx + 2Xx + 3) (x + lXx + 2Xx + 3)
2*2+1 «о.
(x + lXx + 2Xx + 3)
Так как 2х2 +1 > 0 при х е #, то полученное неравенство
равносильно неравенству (х + lXx + 2Хх + 3) < 0 . Методом интервалов
находим х е (-«о; - 3)U (-2; -1).
-3
Ответ: хе (-=°;-3)U(-2;-l)
j M. И. Сканавн. группа /

9-083. ~<?^I-
Решение.
ОДЗ:х*-1.
Из условия
1 1 . 3-3* -1-3*-5 2-3*-6 .
<о»? « \<о, -t v \<о.
3*+5 3-3*-1 ty*+5#-3'-l) (3*+5)(3-3r-l)
Так как 3v + 5 > 0 ПРИ д: е i?, то это неравенство равносильно
неравенству ——— <0, (з'-зУз*-- ]<0, Зч <3* <3, -1<х<1.
3-3* -1 V \ 3J
Ответ: х е (-1; l)
9.084. logjf(log,^*-9))<l.
Решение.
fxe(0;l)U(l; + ~) Ue(0;l)U(l; + ~) ,, ,„ .
Получаем следующую систему неравенств
U>log310, fx>log310,
[log Jog, (з* -<>))< log, x " |log9(3' -9)<x *
f;c>log310, f;c>log310,
|log9(3* -9)<log99* " [3X -9 <32x '
[jce(log310; + =<>)
Отсюда x e J ; + =>
Wg3
* > logj 10,
^|-У+9>0
Ответ: ve ьГз> + °
546

9.085. 0,2 x -1 > 25.
Решение.
ОДЗ: Х*Х\.
Перепишем неравенство в виде
■Г?\ С2 л:2+2 - х2+2 x^+l + lx2-! .
5*-*>5'e> ; >2, —.— + 2<0, <0,
х2-\ х2 -1 х2-1
Зх2 U*0, Гх*0,
X2 -1* ' |д:2-1<о"[-1<л:<1.
Ответ: хе (-1;0)U(&,0
9.086. 52Л+5<5Л+1+5Л.
Представим данное неравенство в виде 5 I + 5 < 5 ■ 5 +5
5 х 1 -6 ■ 5 + 5 < 0. Решив это неравенство как квадратное
относительно 5" , получим 1< 5^ < 5, 0^V^<1, 0<х<1.
Ответ: х е (0; 1)
9.087. |3-log2;c|<2.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Данное неравенство равносильно неравенству '
-2 <3-log2 х <2, -5 <-log2 Jc<-l»l<log2A:<5, 2<jc<32.
Ответ: х е (2; 32)
9.088. 5-0Д,е>:>0,041е2.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Имеем
5-5~lgI>5~21e2, 5We*>5-le4»l-lg;o-lg4, lgx-lg4<l,
lgi<l»0<-<10, 0<x<40.
4 4
Ответ: х е (0; 40)
547

9 089. ,0g2 l0gi ,0g5 X>°'
Решение.
Это неравенство равносильно неравенству
log! log5 д: > 1 <=> 0<log5 д < — <^ 1< д< Vs.
з
Ответ: х е |; л/5 J
9.090. зЛ+3Л-'-3Л-2<11.
Решение.
ОДЗ: *>(). ^_ ^_
Из условия 3^ + - —<11,П-3^ < 9 11,3^ <32. Оно
равносильно неравенству -Jx < 2, 0 < х < 4.
Ответ: х е |р; 4)
9.091. о,5*<;0,25х\
Решение.
Имеем 0,5* <0,52*2 «;с>2х2, 2д2-х<0, х(2х-1)^0- Методом
интервалов получаем х е 0; — .
1/2
1
9.092. logo>5 х + log05 x-2 < 0.
Ответ: х е | 0; —
.Решение.
ОДЗ: *>().
Решив это неравенство как квадратное относительно log0>5 х,
получим -2 < log0^ д- < 1, 0,5 < д- < 4 .
Ответ: х е [0,5; 4]
548

\ogy
9.093. 5 x- <1.
Решение.
ОДЗ: ^- > 0.
x-2
Это неравенство равносильно неравенству log3 <0, а после-
х
днее неравенство эквивалентно системе двух неравенств
—-1<0, Т-2 .
\ ~\~
^->0 [(х-2)х>0.
, х
Методом интервалов получаем хе (2; =°).
0
Ответ: х е (2; =°)
9.094. log, .v + log^j x + log, х < 6.
з
ОДЗ: д: > 0.
Перейдем к основанию 3. Получим log3 * + 21og3 *-log3 л: <6 ,
21og3A:<6, log,x<3, 0<д:<27.
Ответ: х е (0; 27).
9.095. log4(jc + 7)>log2(A: + l).
Решение.
ОДЗ: х>-1.
Перейдем к основанию 2. Имеем
-log2(jc + 7)>log2(A: + l)» log2(x + 7)>21og2(A: + l)»
»log2(x + 7)>log2(x + l)2.
549

Последнее неравенство равносильно с учетом ОДЗ системе
неравенств
x + l>(x + if, \x2 + x-6<0, \-3<х<2,
-1>0 [х>~\ [х>-1
Ответ: хе(-1;2)

Решения к главе 10
ЗАДАЧИ IJO ПЛАНИМЕТРИИ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Произвольный треугольник (а , Ь, с —стороны; a, (S, у —
противолежащие им углы; р - полупериметр; R —радиус описанной
окружности; г — радиус вписанной окружности; S —площадь; ha —
высота, проведенная к стороне а):
S = jaK; (ЮЛ)
5, = -*csina; (10.2)
S = Jp(p-ab-blp-c) ; (10.3)
P'
(Ю.4)
„ a2 sinBsinC ,,„ ,
s = — -z-r——; Ю.6)
2 sin A
а- =Ьг + c2 -Ibccosa (теоремакосинусов); (Ю.7)
= = =2Л (теорема синусов). (10.8)
sin a sinp sin у
2. Прямоугольный треугольник (а , Ь — катеты; с — гипотенуза;
ас, Ьс —проекции катетов на гипотенузу):
S = ~ab; (10.9)
551

ь2
S = -Ch.:
2 "
a+b-c
2
*-b
= с2 (теорема Пифагора);
К bc '
(10.10)
(10.11)
(10.12)
(10.13)
(10.14)
— = -; (10.15)
а с
Ь±=Ь-- (10.16)
Ь с
a = csina = ccosP = utga = uctgP. (10.17)
3. Равносторонний треугольник:
4
. ал/3 .
6 '
ал/3
(10.18)
(10.19)
Д = —Г1- (10.20)
4. Произвольный выпуклый четырехугольник (dl и d2
—диагонали; ф —угол между нимн; S —площадь):
S = -dtd2sin<f. (10.21)
5. Параллелограмм (а и Ь — смежные стороны; a — угол между
ними; ha — высота, проведенная к стороне а):
S = aha =ausina = — </,</2sin(p. (10.22)
6. Ромб:
S = aha = a2 sin a = -d,d2 . (10.23)

7. Прямоугольник:
S = ab = ~dxd2 sin(p. (10.24)
8. Квадрат (d — диагональ):
S = a2=d2/2.
9. Трапеция (й и b —основания; // —
средняя линия):
a + b
2 '
2
- расстояние между
(10.25)
ними; / —
(10.26)
(10.27)
10. Описанный многоугольник (Р —полупернметр; г —радиус
вписанной окружности):
S = pr, (10.28)
11 .Правильный многоугольник (ап —сторона правильного
«-угольника; Я —радиус описанной окружностн; г —раднус вписанной
окружности):
а3=*л/3; a4*Rjl; а6=Я; (10.29)
na„r
S ^~. (10.30)
12. Окружность, круг (r —раднус; с —длнна окружности; S —
площадь круга):
С = 2%г; (10.31)
S = nr2- (10.32)
13,Сектор(/ —длнна дуги, ограничивающей сектор; «°
—градусная мера центрального угла; а — раднанная мера центрального угла):
/ = ^ = га; (10.33)
180°
5 = ^1 = 1^ (10.34)
360° 2 '
553

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ
ЭЛЕМЕНТАМИ ФИГУР
1. Трн меднаны треугольника пересекаются в одной точке, которая
делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершнны треугольника.
2. Длнна медианы треугольника выражается формулой
m.-i^2+cJ)-<.',
где а , Ь, с —длнны сторон треугольника.
3. Длнна стороны треугольника выражается формулой
а = — •jlynl + т] )- ml 5
где та, ть, тс —длнны медиан треугольника.
4. Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки,
пропорциональные двум другим его сторонам.
5. Длина биссектрисы треугольника выражается формулой
/с = ^аЬ — аф{ ,
где а и Ь —длнны двух сторон треугольника ABC; а, н Ьх —отрезки
третьей стороны.
6. Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его
сторон а , b и с по формуле
_ ,jab(a + 6+ <?Х« + Ь- с)
с а + Ь
7. Для всякого треугольника зависимость между его высотами ha ,
hb . hc и радиусом г вписанной окружности выражается формулой
1111
— + — + — = -
ha hb hc r '
8. Площадь S равнобедренной трапеции, диагонали которой
взаимно перпендикулярны, равна квадрату ее высоты, т.е. S - h2 .
9. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать
окружность, является средним геометрическим ее оснований
Доказательство всех этих дополнительных соотношений можно
найти в любом издании данного сборника задач последних лет.
554

A
Рис. 10.1 Рис. 10.2
10.001. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной
окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти
катеты треугольника.
Решение.
Поусловикъ4£' = 5см,ЯЕ = 12см (рис 10.1). Обозначим через
г—радиус вписанной окружности. ВЕ-ВР= 12см, РС = г, ВС- РС+ВР= 12 + г,
AE=AF, CF= r, AC = CF + AF = r + 5, АВ=АЕ + ЕВ = 12 + 5 = 17.
ААВС, ZC = 90°. Имеем ЛЯ2=ЛС2+ЯС2, (г + 12)2+ (г + 5)2 = 289,
г2 +17r-60 = 0, r = 3 см.Следовательно, 5С = 15 см, ЛС = 8 см.
Ответ: 8 см, 15 см.
10.002. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной
трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной
окружности лежит на большем основании трапеции.
Решение.
Так как AD —диаметр окружности (рис. 10.2), то OD = ОС = 10 см.
Проведем CL1AD ; тогда OL = 6 см и из bCLO находим
CL = 40С2 - Oil = 8 (см).
Тогда из AALC н ACLD имеем
АС = 4ci3 +AL2 = J64+256 = 8-Л (см)
н
CD - JCL2 + LD2 = V64+16 = 4-Л (см).
Ответ: 4,/5 н8,/5 СМ.
555

Рнс. 10.3 Рис. 10.4
10.003. Вравнобедреннойтрапецииданы основания а = 21 см, й = 9 см
н высота h = 8 см. Найти радиус описанного круга.
Решение.
Трапеция ABCD вписана в круг (рнс. 10.3). Значит, AABD —вписан.
ВС = 9<M,AD = 2\cu,BE = h = tai,AE = ^—!-;\ЛЕВ, ZBEA = 90°.
Имеем
АВ = V64 + 36 = 10 см; ABED, ZBED = 90°.
Имеем
ED = AD-AE = 2\-(, = \5ai, BD = J225 + M=\1 см.
Обозначим через R радиус описанного круга:
„ ABBDAD 171021 1п,,_
R = = — = 10,625 см.
^SbASD 4 • — -8 ■ 21
2
Ответ: 10,625 см.
10.004. Высота ромба, проведенная нз вершнны тупого угла, делит
его сторону на отрезкн длиной тип. Определить диагоналн ромба.
Решение.
Длина стороны ромба равна т + п.Иъ ААВК (рис. 10.4) находим
ВК1 = {m + nf -т2 .В АВКД имеем
BD2 = ВК2 +n2 =(m + nf -т2 + п2 = 2п(т+п),
т.е. BD = J2n(m + и).
556

Е В
Рис. 10.5
Рис. 10.6
Так как ЛС~ + BD~ - AAD~ = 4(т+пГ, то
АС2 = 4{т + п)2 -2тп - 2п2 - 4т2 + втп + 2п2,
т.е АС = \4т + 6тп + 2п .
Ответ: BD~ ^J2n(m+n),AC = v4m2 + bmn + 2п2 .
10.005. В прямоугольный треугольник с катетами а и Ь вписан
квадрат, имеющий имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти
периметр квадрата.
Решение.
Обозначим сторону квадрата через х (рис. 10.5). Так как
А4СВ - AFEB, то а = - . Имеем
.Y Ь- Л'
ah п . Aab
х = — .Р = А.\ -
а + b a+b
Aah
Ответ:
a+b
10.006. Две окружности радиусов R = 3 см и /■ = 1 см касаются
внешним образом. Найти растояние от точки касания окружностей до их
общих касательных.
Решение,
Обозначим FM = х (рис. 10.6). Из АОуТО ~ AFMO имеем
Н-у R+r r(R-r) „_ ^ /-(/?-/•> 2Rr
- =— - , отсюда л-— —-, Eh =x + r =— — + *- = -- - =
л- г R+r R + r R+r
6 3 „ „
= - - см. Если же в качестве оощеи касательной окружностей
рассматривать прямую EF, то искомое расстояние равно нулю.
Отасщ; 0 и - см.
2
557

в к с
m
A Q E D
х
Рис. 10.7 Рис. 10.8
10.007. Около окружности диаметром 15 см описана равнобедренная
трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания трапеции.
Решение.
По условию KQ= 15см,Л5 = С£>= 17см, ВС + AD= AB+CD = 34. В
&CED гСЕО = 90°, СЕ = KQ (рис. 10.7) Имеем DE = V289-225 = 8 см.
AD = 2ED + ВС= 16 + ВС, ВС+16 + ВС= 34, ВС= 9 см, AD- 25 см.
Ответ. 9 см; 25 см.
10.008. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной
4 см. проведена медиана боковой стороны. Найти основание
треугольника, если медиана равна 3 см.
Решение,
\х2 = 16 + 16-2-16cosa.
Используя теорему косинусов, получим 1 =ф
[m2 = 16+4-2-8eosa
=* .V2 -2т2 =-8, х2 = 10, .v= >/Г0 (рис. 10.8).
Ответ: СМ.
10.009. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а
боковая сторона равна 10 см. Найти радиусы вписанной и описанной
окружностей и расстояние между их центрами.
Решение.
S^bc^-AC-BD, где BD = yJAB2 - AD2 = VlО2 - 82 = 6 (рис. 10.9),
т.е. Здлйс =6-8 = 48(см-). Пусгь Ли г — радиусы описаииой и
вписанной в треугольник окружностей. Тогда
558

R-
Рис. 10.9
AB-BC AC 101016 25
Рис. 10.10
S 48 8
(см), r = — = — =;-(CM ),
3 p 18 3
AS 4 48
где p — полупериметр AABC, расстояние между центрами
Oi02=01B~OiB = 02B-{BD-OiD) = R-{Ci~r) = R+r-(i =
= - + --6 = 11-6 = 5 (см).
3 3
8 25
Ответ: -, - и 5 см.
3 3
10.010. Каждая сторона правильною треугольника разделена на три
равные части, и соответственные точки деления, считая в одном
направлении, соединены между собой. В полученный правильный треугольник
вписана окружность радиуса г = 6 см. Определить стороны треугольников.
Решении.
По условию .4S= CS= AC, SB=BD=DC=MC= KM = AK=AF =
= 6 сь
et «■ / , lnlmc FB+BM + FM 3FB
= FE = ES. r = 6 см (pHc.l0.10).6u/rSW = — — ''--
= FB2 —. r.e. FB = 12-Л см. В MFM Z&.FA M = 60°, AF ■■
AS
AM ■= AC. FM = AF^ + AM- -2-AF-AM cosZFAM (по теореме
косинусов), откуда FM1 =—'-•+- AS2~2- AS2 — , FM2 = --'~ ■
9 9 9 2 9
FM=^z,AS=FM -S, FM = BF,AS = llSS = 3(> см.
л/3
Ответ. I см и 36 см.
559

Рнс. 10.11
Рнс. 10.12
10.011. Основание равнобедренного треугольника равно 4^2 см, а
медиана боковой стороны 5 см. Найтн длины боковых сторон.
Решение.
Так как ААВС —равнобедренный, то высота BD является
медианой {рис. 10.11); далее, точка пересечения меднан делнт каждую нз них
в отношении2:1, откуда АО = — (см). Из AAOD получим
OD=^A02-AD2
10
-Ш
•М
(см),
т.е. BD = -Ш (см). Из ДДОС имеем ВС = 6 (см).
Ответ: ВС = 6 см.
10.012. Из точкн Л, не лежащей на окружности, проведены к ней
касательная и секущая (рис. 10.12). Расстояние от точкн А до точкн
касания равно 16 см, а до одной нз точек пересечения секущей с
окружностью равно 32 см. Найтн раднус окружности, если секущая удалена
отеецентрана5см.
Решение.
По условию АС = 32 см, ЕО = 5 см, АВ = 16 см, АВ2 = АС ■ AD ,
256= 32- AD,AD = $cm,CE = ^ = 12 см,С0 = л/25+144 =13см.
Ответ: 13 см.
560

Рнс. 10.13
Рис. 10.14
10.013. Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18 см. Проведена
окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на
большей стороне. Найти отрезки, на которые центр окружности делит
большую сторону треугольника.
Решение.
Используя теорему косинусов, из рнс. 10.13 имеем:
АВ1 = ВС- хАС1 -2BCAC-cosa
122 = 15z + 18
-21518cosa, cosa = —, sin
4
a = i/l
1 - cos a
ВС2 = AB2 + AC2 -2- AB■ AC cos(3
.V7.
bfi
^lS1 =122 +П2 -2 12 1ga>sP, cosB = — , sin В = Jl - cos2 В
K 16 16
OM _ R . n_OK^_R_ sina_ x _4
~ ОС ~ 18- x' Ш АО ' x И sin(3 ~ 18-л: ~ 5 '
5х = 72-4л:, 9x = 72, x = i, у = Ю. AO = i см, ОС = 10 см.
Ответ: 8 и 10 см.
10.014 Хорда окружности равна 10 см. Через один конец хорды
проведена касательная к окружности, а через другой — секущая,
параллельная касательной. Определить радиус окружности, если внутренний
отрезок секущей равен 12 см.
Решение.
Проведем радиус в точку А ;таккак ОА1ЛЫ ,то ОАХВС и BD = 6 см
(рис. 10.14). Пусть О А - г, OD = х. Тогда AD = 4лВ2 -BD2 = 8, т.е.
г + х = % (1). Но OD2 =OB7 -BD2 или г2-х2=ЪЬ; так как
561

Рис. 10.15 Рис. 10.16
г1 - х1 = (г + х\г - х), то г - х - 36/8 = 9/2 (2). Решив систему
уравнении (1) и (2), найдем г - 6,25 (см).
Ответ: 6,25 см.
■ 10.015. Через концыдуги окружности, содержащей 120°, проведены
касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой,
вписана окружность. Доказать, что ее длина равна длине исходной дуги.
Решение.
Обозначим через г — радиус вписанной окружности, R — радиус
дуги. ZAOxB =60°, Z.BAOx-9Q' (рнс. 10.15),значит, ZABOx =30D. Из
R
ABA О, имеем ВО,
sin 30°
- = 2 Я, из АВЕ02 ZBE07 - 90". Отсюда
В02 ~2г, Ох02 ~l(R~r). По условию получим, что 0,02 -R + r,
l(R~r)~ R + r, R~3r, r = — ; таким образом, lx ~2ж-г
длина вписанной окружности, /2 = R ■ а = R . Следовательно, /j = /2,
что и требовалось доказать.
10,016, В сектор АОВ с радиусом R и углом 90° вписана
окружность, касающаяся отрезков ОА, ОВ и дуги ЛВ (рис. 10.16). Найтн
радиус окружности.
Решение.
AOMF — равнобедренный(ZM05 ^ZMFO = 45°)■ Отсюда МО => MF,
OF-Rjl . Из Д0.00 - AOMF имеем— =~-^, r= r{J2-\).
R л/2Я v '
Ответ: R{j2 ~\)

Рнс. 10.17
А К
Рнс. 10.19
10.017. Дана точка Р, удаленная на 7 см от центра окружности радиуса
11 см. Через эту точку проведена хорда длиной 1 б см. Каковы длины
отрезков, на которые делится хорда точкой Р?
Решение.
Проведем диаметр CD через точку Р (рис .10.17), которая разделит ею
на отрезки PD и СР длиной 11 — 7=4 и 11 + 7 =18 (см). Пусть АР - х;
тогда РВ=\Н~х. Так как AP-PB-CP-PD-А-П, то х(\%-х)-12
или л" — 18д +72 = 0. откуда х\ =12, д>> =6, т.е. хордаЛЯ делится точкой
Р на отрезки длиной 12 и 6 см.
Ответ: 12 и 6 см.
10.018. Найти длины сторон АВ и АС треугольника ABC, если
ВС — 8 см, а длины высот, проведеных к АС и ВС, равны соответственно
6,4 и 4 см.
Решение.
По условию ЯС=8см, Л£ = 4см, ВК-6,4 см (рнс. 10.18).Из
АВКС-МЕС следует, что — = ;АС-5 см. Из МЕС имеем
* АС
4
■■ 8 - 3 '
5 см; тогда из ААЕВ находим
С£ = л/25-1б =3 см, BE ■■
АВ = л/Тб+~25 =741 см.
Ответ: V41 см, 5 см.
10.019. Площадь равностороннего треугольника, вписанного в
окружность, равна Q (рис. 10.19). Доказать, что радиус окружности равен 2Q VJ / 3.
Решение.
По условию S^bc-Q2, АВ = ВС - АС. Пусть ВО = ОС- АО = Л,
тогда 3SM0C =Q2. 3R2 ■ ~sinl2O°«02, ^R2 =q\r=1-±=Q2 =
= — , что и требовалось доказать.
563

Рнс. 10.22 С
10.020. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с
диагоналями 12 и 6 см. Найтн радиус окружностн.
Решение.
По условию ABCD —ромб, BD =12 см, АС = 6 см (рнс. 10.20). Обозна-
АС
чнм: 0,0 = *, R — раднус окружностей. Тогда х - R ——■- - R - 3.
В ШОВ ZO,OB = 9Q°, R2 =36 + {R-3f, Я = —= — см.
1 6 2
Ответ: 7,5 см.
10.021. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного
треугольника, равна т и делнт прямой угол в отношении 1:2. Найтн
стороны треугольника.
Решение.
По условию СО = т, АО^ВО, =-, АВ~2т {О —центр
ZACO 1
описанной окружностн) (рнс Л 0.21). Обозначим ZA СО = х, ZBCO = 2х,
х + 2х = 90°, х = 30°, ZACO = ZCAO . В ДЛЯС Z^C5 = 90° ,
5C = 2msin30° ~т, АС~4*тг - т2 =/и-Уз.
Ответ: т ; mv3 , 2/и .
10.022. Определить острые углы прямоугольного треугольника, если
медиана, проведенная к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 1:2.
Решение.
ZBCO 2
АО^ОВ, = у (рнс. 10.22). В ААВС ZACB = 9Q ; таким
образом, о —центр описанной окружностн, значит, АО-ОВ-СО,
ААОС —равнобедренный, ZA-ZOCA, ZB = ZBCO . Обозначим
564

Рис. 10.23 Рнс. 10.24
АОСА - х , значит, /.ВСО - 2х, х + 2х - 90", х~30°, таким образом,
гл = зо°, ^всо=zb = бо°.
Ответ: 30°, 60°.
10.023. Дан квадрат, две вершины которого лежат на окружности
радиуса я, две другие — на касательной к этой окружности. Найти
длину диагонали квадрата.
Решение.
Пусть х — сторона квадрата (рнс. 10.23), в AOEA ZOEA-9Q0,
ЕЛ2 =ОА2 -OE2,R2 -(X-Rf =?L,?L + X2 = 2xR;x = — ;AC = xJTZ
1 ' * 4 5
Ответ: 1,6Ял/2.
10.024. Длины параллельных сторон трапецнн равны 25 и 4 см, а
длины непараллельных сторон — 20 и 13 см. Найти высоту трапеции.
Решение.
По условию ВС = 4 см, AD = 25 см, АВ = 20 см, CD = 13 см
(рис. 10.24).Проведем BE1AD и CF1AD.Пусть BE = CF =h, AE = x,
FD = у. Тогда из ААВЕ н ACFD находим И1 = 202 - х2 = 132 - у2.
Учитывая, что у = 25-4-jc = 21-jc, имеем 202 -х2 =132 —(21 —jt)2
нлн 42лг = 672, откуда л- =16 (см). Итак, h = -Jltf -1 б2 =12 (см).
Ответ: 12 см.
10.025. Общая хорда двух окружностей служит для одной нз ннх
стороной вписанного квадрата, а для другой — стороной правильного
вписанного шестиугольника. Найти расстояние меясду центрами окруж-
565

Рис. 10.25
ностей, если раднус меньшей из них равен г (рассмотреть два
возможных случая расположения окружностей).
Решение.
1-й случай. По условию ОхА = г , CD ~ 2СЕ; ЬОхЕС — равнобед-
К
ренный, гО.ЕС = 90°, СЕ = г • —, CD = r-fc, R =r-fc (рис. 10.25,a).
2
Обозначим
CB = a = r.V2, 0|Я = - = — = r— ■ ДС£0,, ZC£02 =90°,
2 2 2
£O2=C£ctg30°=^.V3=^V3=^,
2 2 2 2
1 2 2 2 2
2-й случай. 0,02 =E02~EOt, CD = r-4i, £0, =—, £02 =rS/2,
г(л/б-л/1)
Ответ:
(рис. 10.25,5).
L
г(Уб + л/2~). г(Уб-У2")
2 ' 2
10.026. Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной
12 см н касательная, длина которой составляет 2/3 внутреннего отрезка
секущей. Определить длину касательной.
Решение.
2
По условию Л В -12 см, АС = — ZJ5 (рис. 1026). Обозначим 5Z) = д:,

Рис. 10.27
тогда АС2 = АВ- AD, 1-х) = 12(12-*), х2 +27*-324 = 0, х = 9 см,
2
АС = --9 = 6 см.
3
Ответ: 6 см.
10.027. Каждая из трех равных окружностей радиуса г касается
двух других. Найтн площадь треугольника, образованного общими
внешними касательными к этим окружностям.
Решение.
Треугольник ABC —правильный (рис.10.27);поэтомуегоплощадьрав-
на , где а — сторона треугольника. Проведем ОК1АС ■ Так как
£ОАК = Ж,то AO = 2r, AK = rS,откуда а = 2гл/3+2г = 2г(Уз+l).
Следовательно, S = ^^ + 2^ + '^ -2r' feV5 + з).
4
0/ивг/и. 2г2^л/1 + з)
10.028. Основания равнобедренной трапеции а н /?, боковая
сторона ее равна с, а диагональ равна d . Доказать, что d = ab + c .
Решение,
По условию ВС^а, AC^d, CD^c, AD^b (рис. 10.28). В ACED

Рис. 10.29
ZCED = 90", CE2=c2-(~ ] ■ В ААЕС ZAЕС =90°, d2=c2-
_b2-2ab + a2 + b2+2b-o + a2 .ji = fe. fl + (,2 , что и требовалось доказать.
4 4
10.029. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а н
служит для одной окружности стороной правильного вписанного
треугольника, а для другой—стороной вписанного квадрата. Определить
расстояние между центрами окружностей (рассмотреть два возможных случая).
Решение.
1-нслучж.Т1оусж>вто АВ = а = AN = NM = MB = BD=AD,OlE = ~
1ВОгЕ = 2/LEDB = 60°, 02Е = ЕВ ctg60° = —=,
2V3
0.02 = ГТ= +1 = | (з + V3") (рнс. 10.29, а).
2-й случай. 0,0, =02Е-ЕО,, ЕО, =-, £02 = £B-ctg60" =—=;
^ 2v3
0,°2 = 27з~2=^-^ (РН°' 10'29''?)'
Ответ: а
10.030. На сторонах квадрата вне его построены правильные
треугольники, н их вершины последовательно соединены. Определить отношение
периметра полученного четырехугольника к периметру данного квадрата.
Решение.
Обозначим сторону квадрата через х , тогда периметр квадрата
568

лг
Рнс. 10.30
= 4х, AFBM — равнобедренный, Z.FBM = 360* -90' -2-60* =150',
FM = -Jlx* ~2х -cos 150° =x-$2 + S (рнс. 10.30). Таким образом,
pEFMN -ах^Тъ, ?-=^ = JhA.
"а *
Ответ;
л/б+л/2
10.031. В ромб, который делится своей диагональю на два
равносторонних треугольника, вписана окружность радиуса 2. Найти сторону ромба.
Решение.
Пусть а — сторона ромба, a i/j и d-, —его диагонали (рис. 10.31).
Так как высота ромба равна диаметру окружности, то его площадь а .
С другой стороны, S - — d) d2 , откуда, учитывая, что d] ~ a , находим
d2 = 8. Но а2 =
или а = — + 16, т.е. а-
4
8V3
Ответ; 8-Уз/3.
10.032. В треугольнике длины двух сторон составляют 6 и 3 см (рнс.
10.32). Найти длину третьей стороны, если полусумма высот,
проведенных к данным сторонам, равна третьей высоте.
569

Решение.
По условию АС = 6 см, ВС = Ъ см. Обозначим через ha , hb , hc —
- = й,. ЛВ£С ~ ДЛЛГ
-2- + 1
2=А
6 Л„
-il
"ля"'
; AANC
2 + 1
12_
/1В '
высоты. Тогда -
L
К _ б /;„+/!;, _ 6
-АЛЕВ =* ^■-15. -j^—^в
ЛЯ = 4 см.
Ответ: 4 см.
10.033. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с
основанием 12 см я высотой 8 см, проведена касательная, параллельная
основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного
между сторонами треугольника.
Решение.
Найдем длину боковой стороны ВС (рис. 10.33): ВС-\ВМ +МС2 -
-V62+82 =10 (см). Учитывая, что А О—биссектриса ААВМ, имеем
МО/ОВ = AMI А В или г/(8- г)= 6/10, откуда г = 3 (см).Таккак Я£|Л С,
то A£>B£ - ДЛЯСт.е. DE/AC=BN/BM или 0£/12 = (8-2г)/8,
откуда DE-3 см.
Ответ: 3 см.
10.034. Из одной точки проведены к окружности две касательные
(рис. 10.34). Длина каждой касательной 12 см, а расстояние между
точками касания 1,4,4 см. Определить радиус окружности.
Решение.
По условию АК-AN =12 см, KN =14,4 см. В ААЕК гАЕК = 90°,
570

в
Л £ = ^144-(7,2 J2 = 9,6 см, КЕ1 =АЕОЕ,ОЕ
Рис. 10.36
9,6
5,4 . В йХЕО
ZKEO = 9Q°, R = ,/51,84 + 29,16 = 9 см.
Ответ: 9 см.
10.035. Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности
радиуса R в точках В и С так, что треугольник ABC —
равносторонний. Найти его площадь (рис. 10.35).
Решение.
По условию OB = OC = R, АВ = АС = ВС .Так как ААВС
—равносторонний, тоS = ВС2 —; ZABO = 9Q°, ZABC = 60°, ZCBO = 30°,
4
BC = 2-Rcos3u = S-R, S = 3R2
Л
Ответ; 3R
2VJ
10.036. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со
стороной, равной 6 см, так, что угол 60° у них общий и все вершины
ромба лежат на сторонах треугольника. Найти стороны треугольника.
Решение.
В AFBD (рис. 10.36) катет FD -6 см и лежит против угла в 30°,
откуда FB = 12 см и, значит, АВ = \$ см. Далее, в ААВС имеем
А С = АВ/2 = 9 см. Наконец, ВС = л/АВ2 - АС2 = 7243 = 9л/з (см).
Ответ: 9 , 9-*/з~ и 18 см.
571

в
Рис. 10.37
Рис. 10.38
10.037. Дан правильный треугольник ЛВС (рис. 10.37). Точка К
делит сторону А С в отношении 2:1, а точка М — сторону АВ в отношении
1:2 (считая в обоих случаях от вершины А). Показать, что длина отрезка
КМ равна радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.
Решение.
MB 2 АК 2
По условию -777 =Т> тг^~Т-Пусть ЛМ = х. Так как ААВС— пра-
АМ 1 лС 1
вильный.то ZBAC = 60° и КМ1 = AM1 + АК2 -2 ■ AM-AKcosbb';
KM2 = 4х2 +x2 -4х2 cos60
AB = 3x,R=3x-
КМ
х-Уз.Значит, Я = /Ш
Зх2; КМ = х&; R = AB—;
Что и требовалось показать.
10.038. Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол
содержит 60° (рис. 10.38). Диагональ параллелограмма делит его тупой
угол на части в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма.
Решение.
ZABD 3
По условию 2BC + 2CD = 90 см, ZBCD = 60°. ,„„„ =т ■ Имеем
ZDBC 1
BC + CD = 45, ZABC + ZBCD = Ш° .Пусть ZCBD = x , ZABD = 3x,
следовательно, Зх+х + бО' =180° и х = 3й°, ZABD = 9U'.B AABD
AB=ADcos60°, АВ = ~=~, AB=CD; BC + —= 45, ЗВС = 9й;
2 2 2
ЯС = 30 см. AD = DC = \S см.
Ответ: 15 и 30 см.
10.039. Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной
трапеции, пересекаются под прямым углом (рис. 10.39). Найти длины
сторон трапеции, если ее площадь равна 12 см2, а длина высоты равна 2 см.
572

E
Рис. 10.40
Решение.
90°
По условию SMBCD = I2 см2, BE = 2 см; ZOAD = ZODA = = 45°.
-1Е— = АВ,АВ = ^= -2 = 2sf2= CD, AE = BE = 2. BC + AD . ВЕ = П,
sin 45° 4l 2
BC + AD .2 = 12,ВС+/(В = 12,тогда 2ВС + 2Л£=12, ВС + АЕ=6,
2
ВС + 2=6, ВС = 4см, AD = 4 +4 =8 см.
Ответ: 4 и 8 см; 2-Jl и 2-Jl см.
10.040. В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так,
что диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрежи
длиной 15 и 20 см (рис. 10.40). Найти площадь треугольника и длину
вписанной полуокружности.
Решение.
По условию АО = 20 см, ОВ = 15 см. Обозначим через г радиус
полуокружности; AAFO ~ АОЕВ, имеем —= , =;4V225-r =3r;
15 V225-r2
ЛС=л/400-144+12 = 28,ЗС=%/225-144+12 = 21,5=^—^ = 294см2.
2
Ответ: 294 см2,12ясм.
10.041. Величинаодного из углов параллелограмма равна 60°, а
меньшая диагональ 2V31cm. Длина перпендикуляра, проведенного из точки
пересечения диагоналей к большей стороне, равна л/75/2 см. Найти
длины сторон и большей диагонали параллелограмма.
573

A N M D A c
Рис. 10.41 Рис. 10.42
Решение.
Проведем BNLAD (рис. 10.41); так как BN = 20М, то BN = V75 см.
Учитывая, что в AANB ZABN = 30', имеем AB = 2AN и, значит,
A AN2 = 75 + AN2, откуда AN = 5 см и АВ = 10 см. Далее, из &BND
получим ND2 = BD2 - BN2 = 124 - 75 = 49; следовательно, ND = 7 см
и AD = \2 см. Наконец, из равенства AC2 +BD2=2AB2 + 2AD2
находим АС2 =200+ 288-124 = 364, т.е. АС = 2&~\ см.
Ответ: 12; 10 и 2-У91 см.
10.042. Один из углов трапеции равен 30°, а прямые, содержащие
боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом (рис. 10.42).
Найти длину меньшей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия
равна 10 см, а одно из оснований 8 см.
Решение.
По условию ZBCA = 3Q', ZABC = 90', КМ = 10 см, DE = S см,
—-— = Ю, АС = 12 см (так как КМ — средняя линия). Так как
АВ AC x+DB 12 , 1
ЛОВЕ ~ AABC.ro — = —; дд =у (где AD = x), x = DB ■- .
В ADBE, ZDBE = W, ZBED = ZBCA = 3b\ DB = DEsmW =8/2 = 4,
значит, х = 4 ■ — = 2 см.
2
Ответ: 2 см.
10.043. В окружность, диаметр которой равен V12 , вписан
правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой пра-
574

Рис. 10.43
Рис. 10.44
вильный треугольник, в который вписана новая окружность. Найти
радиус этой окружности.
Решение.
По условию R = 0,5 V12 . Сторона А В правильного вписанного
треугольника (рис. 10.43) равна Лл/З , т.е. 0,5V12 ■ VJ = 3 . Найдем
сторону CD нового треугольника: а = ^32 -1,52 =1,5л/з\ Так как радиус г
вписанной в него окружности равен av3/6, то окончательно получим
г = 1,5л/3--ЛУб = 3/4.
Ответ: 3/4 .
10.044. В окружности проведены две хорды АВ = а и А С = b. Дли-
надуги АС вдвое больше длины дуги АВ. Найти радиус окружности.
Решение.
Обозначим■ ZBOA = а, тогда ZACB = — , a2 = 2R2 -2R2 -cosa
2
{R — искомый радиус) (рис. 10.44). По теореме синусов = = 2R,
.ос sin а
sin<x = — a2 =2R2 -2R2 Л?
2R ' 2R
2R1
= 1-Л
4R'
R2 :
4а2-/,2'
Ответ.
^4az
4*J

Рис. 10.45
С D
Рис. 10.46
10.045. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из
центров под углами 90° и 60°. Найти радиусы окружностей, если
расстояние между их центрами равно V3+1.
Решеш/е.
Пусть /• — радиус одной, R — радиус другой окружности. По условию
Z/fOlfl = 90°,Z/lO2fl = 60°, 0,02 = т/Т+ 1; АВ = r4l:
OiE = ABI2;OiE = i-~,AB=2Rsm3u° = R\ZA02E = :^^1^ L
значит. R=r4l. £0,=Я^=,-^, 0,02=0,Ь'+0,£ = ^ + ^ =
2 2 ' - 2 2
= fi + l.iij6+j2) = (fi + \)-2.r = j2;R=j2-j2=2(plK. 10.45).
Ответ: 2 и
10.046. Окружность касается большего катета прямоугольнош
треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имее г
центр на гипотенузе треугольника. Каков радиус окружности, если длины
катетов равны 5 и 12?
Решение.
По условию АС =5, СВ = \2 (рис. 10.46). В ААВС ZC = 90°.
I А В АС
АВ= л/25 + 144 =13. Имеем MCB~&ODB=>— = . Пусть OD - R
ОВ OD
13 5
— радиус данной окружности, югда —= и ОВ = 13-Л. поэтому
13-Я R 18
576

Рис. 10.47
Рис. 10.48
10.047. Периметр прямоугольного треугольника ABC {ZC = 90°)
равен 72 см, а разность между длинами медианы СК и высоты СМ
равна 7 см (рис. 10.47). Найти длину гипотенузы.
Решение,
По условию СК - СМ = 7 см, РАВС = 72 см, р =
= 36.Если^--
радиус вписанной окружности, то г = р- АВ, S = рг = р(р-АВ).
Обозначим АВ = х, К —центр описанной окружности, СК=АК =
= КВ = -—_ = — ; 5=36.(36-*); ~-СМ = 1 (по условию) CAf = — ~7;
2 2 2 2
7л
362 -36х, х2 + 130*-5184=0, * = 32 см.
2(2 f 4 2
Ответ: 32 см.
10.048. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне
касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен г ■ Найти
раднус большей окружности.
Решение.
ПоушовИю^ЯЛС = 6О\0,С = г(рис.1О.48).ВДЛС01 ZACO} =90°,
О, С
ZO,AC = 30°; АО]
А02ЕА ~ ЩСА =
Ответ: Зг .
]9 М. И. Осанави, группа -А
- = 201С = 2г.В Ш2ЕА Z02EA = 9V;
Я = 3г.
sin 30'
Q2E _3r + R , R _3r + R
0,С 2г ' г 2г
577

30/
Рис. 10.49
Рис. 10.50
10.049. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит
гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найти катеты треугольника.
Решение.
По условию ZC = W, AD-30 см, BD = 4() см (рис. 10.49). Пусть
А С = х, ВС = у. Так как точка^ равноудаленная от сторон ута, лежит на его
* X 30 4х „ 2 2 ,«2 2 16.V2
биссектрисе, то — =—, т.е. у =—. Но х + у = Air или х + - = 70"
Н v 40 7 3 } 9
откуда л - 1764. Итак, .v = 42 (см),_у = 56 (см).
Ответ: 42 и 56 см.
10.050. Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник,
равен 3 см, а катет равен 10 см.
Решение,
Проведем радиусы OD, ОМ и ON в точки касания (рис. 10.50)
Имеем OD = ОМ = СМ = CD и, следовательно, BD = 10 - 3 = 7 (см). Но
BD = BN и AN = AM (касательные, проведенные из одной точки).
Положим AN = х; тогда (х + 7)2 = (.v+3)2 +10", откуда 8* =60, т.е. л* - 7,5 (см).
Отсюда АВ = 14,5 (см) и получаем ответ: R = 0,5Л5 = 7,25(см).
Ответ: 7,25 см.
10.051. Три окружности разных радиусов попарно касаются друг
друга. Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный
треугольник. Найти радиус меньшей окружное™, если радиусы большей и средней
окружностей равны 6 и 4 см.
Решение.
578

Пусть г — радиус меньшей окружности. Тогда 0{02 =г + 4,
0,03=г + 6 (рис. 10.51). Так как 02032 =Ог022+0,032, то 102 =
= (r + 4f +(r + 6f , г2 +10г-24 = 0, откуда г = 2 см (корень г = -12 не
удовлетворяет условию).
Ответ: 2 см.
10.052. Окружность касается одного из катетов равнобедренного
прямоугольного треугольника и проходит через вершину
противолежащего острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на
гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен а.
Решение.
ПоусловиюСВ =а, АС=СВ{рнс. 10.52).Значит, Z.CAB = Z.CB'А = 45°
/г
(так как ZC=90°) => AB = aJl. AACB ~ АОЕВ => —~ = —,
aJl-R R
л/2+1
Ответ: аЦ-л12)
10.053. В параллелограмме ABCD высота, проведенная из
вершины В тупого угла на сторону DA, делит ее в отношении 5:3, считая от
вершины D (рис. 10.53). Найти отношение AC :BD ,если AD:AB = 2.
Решение,
579

в
с
Рис. 10.54
Рис. 10.55
/.
/
в
\м
\
Рис. 10.56
По условию
AD
АВ '
ED 5 Sx .
AE=V ^ = 3x + Sx = 8x, ^ = 2.
= xjl , BD =J25x1TtxY = xJ32=4xJ2
AB = 4x, BE = Jl6x2 -9x2
{ABED, ZBED = 9U').U AAFC ZAFC = 9V, AC = JfC2+AF2 ;
AF = BE = xJl, FC = 3x+Sx = llx, AC = 4\2\x2 +lx2 =SxJl ;
AC _ixjl _2
BD 4XJ2
Ответ: 2:1.
10.054. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см,
как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон
треугольника (рис. 10.54). Найти радиус окружности, если длина высоты,
проведенной на основание треугольника, равна 3 см.
Решение.
По условию AB = BQ, AQ = S см, BE =3 см. АВ = Vl6+9 -5 см,
16
1 з
АЕ2=ВЕОЕ
Ч--Т №Н
ОЕ-3 = 16
R
ОЕ--
AB2=BDBC,
625-25-9 _ 400 „20
9 9 ' 3 '
Ответ:
20
10.055. В равнобедренный треугольник с углом 120° при вершине и
580

боковой стороной а вписана окружность (рис.10.55). Наши радиус тгой
окружности.
Решение.
По условию АВ = ВС = а, ZABC = \2§°, ZBAC = ZACB =30°,
В£=а™Ж = ^$=г.АВ + ВС+АС-,АС=2а-со530°=^ = аГЗ;
2 2 2
S
2
1 2 . ОЛО a2S a2S r{aS+2a) afi(2-S)
— a ■sm 121)= => = —- -:/- = - -.
4 4 2 2
aS(2-S)
Ответ.
2
10.056. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой
внутри правильного многоугольника, до всех прямых, содержащих его
стороны, есть величина постоянная.
Решение.
Соединим любую внутреннюю точку Р со всеми вершинами
многоугольника и опустим перпендикуляры на все стороны (или их
продолжения). Пусть длины этих перпендикуляров равны^, fif2, ....ci„. Нужно
доказать, что сумма d\ + с{2 + -~+d„ не зависит от Р. Площадь
многоугольника 5 =0.5а(У[ +fif2 + ... + dn), где а — сторона многоугольника. Значит,
d\ +d2 + ...+d„ =25 fa, т.е. эта сумма не зависит от выбора точки Р. Что и
требовалось доказать.
10.057. Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона
равны. Найти длину средней линии, если высота трапеции равна 2 см, абоко- '
вая сторона 4 см.
Решение.
По условию AD = 2 см; DB = ВС = 4 см (рис. 10.56). В &DAB
ZDAB=9W, АВ = /\бЦ = у[Т2, ВЕ = —= — =- = !, ВМ = — = 2.
2 2 2 2
В ABEMZBEM = 9$°, ЕМ = 4а^\=41 и NM = NE + ЕМ = АВ + ЕМ =
= л/12+7з^з7з(см).
Ответ: СМ.
581

Рис. 10.58
10.058. В правильный треугольник вписан квадрат, сторона
которого равна т . Найти сторону треугольника.
Решение.
По условию EF = FN=NM = EM=m (рис. 10.57); ЛВ = ВС = ЛС=х.
xjb xfi 2х mb-Уз+з)
4±.ABOC~AFNC => ^— = ^7 пу.чз+3,
2 2т 2\х-т) з
ВО
-м
Ответ:
■г(гУз
+ 3
10.059. В окружности радиуса г проведена хорда, равная г/2 .
Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через
другой — секущая, параллельная касательной (рис. 10.58). Найти
расстояние между касательной и секущей.
Решение.
ОК = ОМ =г, КМ = -;потеоремекосинусов KM2 = ОК2 +ОМ2 -
2
-20К ОМ cosa, — = 2r2 -2r2cosa, cosa = —. ОЕ = г cosa = г-
4 8 8
(ZKOM = Za). EK = KO-EO = r—r = -r .

Рис. 10.59 Рис. 10.60
10.060. Радиусы вписанной и описанной окружностей
прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5 см (рис. 10.59). Найти
катеты треугольника.
Решение.
Поусловиюг = 2 см,R --^5 сжПААСВ, ZACB = 90°, АВ = 2Я = 1й,
АК=АЕ,КВ=МВ,АС=АЕ + СЕ=АК + СЕ = АК + г,ВС =МВ + СМ =
= KB + CM = r + KB , AC + CB = 2r + AB, AC + CB = 2(л + л). Пусть
АС = х, тогда СВ = 2(г + л)-х , CB = U-x . Так как АВ2=АС2 +
+ ВС2, то 100 = х2+196-28д:+л2, .т,=8, .t2 =6.
Ответ: 6; 8 см.
10.061. Перпендикуляр, проведенный из вершины
параллелограмма к его диагонали, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 и 15 см.
Разностьдлин сторон параллелограмма равна 7 см (рис. 10.60). Найти
длины сторон параллелограмма и его диагоналей.
Решение.
По условию АЕ = 6 см, ЕС = 15 см, ЯС - АВ = 1 см. Обозначим ВС = х,
АВ = х-1-ЪЬ&ЕА ZBEA=9Q' => BE2 = х2 -14JC + 49-36. В АВЕС
ZBEC = 9Q° => BE2 =x2 -225.Отсюда х2 -Ux + 49-36 = х2 -225;
х =17, значит, ЯС = 17см, ЛЯ = 17-7 = 10 см, ЛС = 6 + 15 = 21 (см);
АО = —, £0 = — -АЕ= — -6 = -, B£ = V289-225 = 8, ВВ = 2-./б4 + —
2 2 2 2 V 4
(ДВЕО, где ZBEO = 90°), ЯЛ = ^/з37 .
Ответ: 10; 17; 21;>/з37 см.
583

Рис. 10.61
10.062. В большем из двух концентрических кругов проведена
хорда, равная 32 см и касающаяся меньшего круга (рис. 10.61). Определить
длину радиуса каждого из кругов, если ширина образовавшегося
кольца равна 8 см.
Решение.
По условию СВ = % см, ЛЯ = 32 см, ЕВ2 =ВСВК . Так как
ЕВ = ~ = 16 и ВК = ВС + 2г,то 256 = 8 ■ (8 + 2г) => г = 12, R = ОС + СВ =
= г + 8 = 12+8 = 20 см.
Ответ: 12 и 20 см.
10.063. В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий,
а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении
2:3. Диагонали ромба равны тип (рис. 10.62). Найти стороны
треугольника, содержащие стороны ромба.
Решение.
KD 3
По условию—~ = -, BD = m, АС = п-Отсюда АВ
DM 2
\m2 n1
1Т + Т =
1 Гг 2 . „ . ~ AD KD
= ~Ыт +п . AKAD ~ ADCM => 7^77 = 7777 и.таккак АВ = ВС^
2 CM DM
J 22 I 2 2
-DC^AD (поусловию), „,+," = 3, CAf = m „+ " , ВМ = СМ +
+ BC = -Jm2 +n2
Так как
СМ
KD AK
3
АК
DM CD
и АК =
-Vm^Tn2 КВ = АК+АВ = -4тг +П1
4 4
5 Г~2 2
Ответ: ~л1т +«

12 D
Рис. 10.63
Рис. 10.64
10.064. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см,
основание 12 см. К окружности, вписанной в треугольник, проведены
касательные, параллельные высоте треугольника и отсекающие от
данного треугольника два прямоугольных треугольника. Найти длины
сторон этих треугольников.
Решение.
Площадь треугольника находится по формуле (рис. 10.63):
5, = Л/р(р-аХ^-ЬХр-с)->/14б-10Х16-10Х16-12)=:48.
S 48
Радиус вписанной окружности г =~ = — = 3 (см); г = DH. НС = DC -
р 16
-DH = 6-3 = 3 см; ABCD и AFCH подобные, поэтому
DC _ ВС
НС ~ FC '
Отсюда FC -
ВСНС 10-3
DC
~5 см. Из &FCH следует, чго FC
= 4 (см).
= FH2+HC2 ; FH = -JfC2 - НС2 =4^-
Ответ: 3 см, 4 см, 5 см.
10.065. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой
окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности.
Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности равен г .
Решение.
Пусть а — сторона треугольника, R — радиус вписанной в него
окружности; тогда R
aS
Проведем радиусы ОМ и 0{К в точки
585

Рис. 10.66
касания (рис. 10.64). Из подобия треугольников АОМ и АОгК имеем
Л АО ,„ а&
— Отсюда, учитывая, что А О = , получаем
г АО-R-r З
ал/3 _ ал/3 ]
6r 3f 2^.-5^-г)
ол/З
= &>/з.
Ответ:
10.066. Один ю катетов прямоугольного треугольника равен 15 см,
а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см (рис. 10.65).
Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.
Решение.
Искомый радиус накодится по формуле: г = ; ААВС н
ВС DC
ABDC подобные, отсюда ~т^~1^ - ВС~ -АС-DC. Из ААВС ио-
АС ВС
лучаем АС2 -АВ2 =ВС2. Отсюда: (\6+xf-\S2 = \б(\6 + х). Решая
уравне1ше х2 + \6х -225 = 0, находим .х, =-25 см (не удовлетворяет
решению задачи) или х-, = 9 см. А С = 9 +16 = 25 см. ВС = V16-25 = 20 см.
15 + 20-25
Итак,
= 5 см.
Ответ: 5 см.
10.067.Внутрикругарадиуса15смвзятаточкаЛ/ на расстоянии 13 см
от центра. Через точку Af проведена хорда длиной 18см. Найтидлины
отрезков, на которые точка М делит хорду.
Решение.
ПроведемOCLAB (рис. 10.66).ТогдаСВ = -АВ=9 см. Из AQBC
2

Рис. J 0.68
находим ОС = JoB2 -ВС1 = 12 (см), а из АОМС получим МС =
-yjOM2 -ОС2 = 5 (см). Следовательно, АМ-9 + 5~\А (см), MB =
= 9-5 = 4 (см).
Ответ: 14 и 4 см.
10.068. Длина основания треугольника равна 36 см. Прямая,
параллельная основанию, делит площадь треугольника попопам. Найти дли-
ггу отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника.
Решение.
Обозначим искомую длину через х .Тогда из подобия
треугольников ЛЯС и LBM (рис. 10.67)имеем AC2 :x2 =S:(5/2),где5 —
площадь ДЛЯС.Отсюда АС2 =2х2 и х = 18л/2 (см).
Ответ: ]8л/2 см.
10.069. Радиус окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, равен 15 см, а радиус вписанной в него окружности равен 6 см.
Найти стороны треугольника.
Решение.
По условию AB = 2R -2-15=30 (см) (рис. 10.68). Радиус вписанной
_а+Ь-с
2
окружности г
. Отсюда 2г = а + b - с . Решая систему
12г=а + Ь-
\а2 +Ь2 =с
12 = а + />-30,
а2 +Ь2 =900,
получаем д, = 18 (см), />, = 24 (см) или а2 - 24 (см), b2 - 18 (см).
Ответ: 18; 24 и 30 см.

Рис. 10.69
10.070. В круговой сектор с центральным углом 120° вписан круг. Наш и
радиус вписанного круга, если радиус данного круга равен R.
Решение.
A()-lA()i -_ прямоугольный. ZO,07A =60°. sin 60° =—L_-__. ;
1 У ] 2 02Ol R-r
-— = ~—- (рис. 10.69). Отсюда /■ = ——^
2 R-r w 2+V3
Ответ: Sr{2-S).
J0.07J. Найти сторону правильного шестиугольника, равновеликого
равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что
цен-1р описанной окружности лежит на большем основании трапеции.
Решение.
Так как AD — диаметр окружности (см. рис. 10.2), то OD - ОС -=
= 10 см. Проведем CL J_ AD; тогда OL = 6 см и из ACLO находим
--SR(2-S).
CL = io~C^Ol} = 8 (см). Тогда SABCD = 0,5(5С + AD) CL -0,5(12 +
+ 20)-8 - Е28 (см"). Обозначив сторону правильного шестиугольника че-
Ьх2& ,„ 2 128-2 16^3
речх, имеем — - U&, откуда х — j^, т.е. л- = ———.
»А/3 ..
J 0,072. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см. а
боковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного Kpyia.
Решение.
Проведем ВО 1 АС (рис. 10.70); так как ААВС — равнобедренный,
то BD является и медианой. Имеем BD2 = АВ1- ~ AD~, откуда
5D=V392-152 =36(см)и. -значит, $ - --30-36 = 540 (см2"). HoS=pr^
— 54г, откуда г = 10 см.
Оншет: 10 см.
588

10,073, В квадрате, сторона которого 12 см, середины его смежных
сторон соединены между собой и с противоположной стороной квадрата.
Найти радиус круга, вписанного в образовавшийся треугольник.
Решение.
Найдем площадь треугольника NMD (рис. 10.71); 5дд'л/о=
= SABCD-2SmCD~SmBM;S&NBM=^5^b = \$(c^);SAMCD = ^5-b-\2 =
= 36 (см2); Swmd =144-2-36-18 = 54 (см2). Так как MD = DN =
= Vl22+62 =Vi80=6>/5(cm), .WV=V62+62 = б72(см), то Рдумо =
= 0,5(12л/5 + 6-У2) = 6-У5+3-У2 (см). Тогда по формуле (10.4) получим
г-= 54^ = —Д-7= = 2л/5-Л(см).
6V5+3V2 2V5+V2
Ответ: 2-JS -4l см.
10.074. Одна из двух параллельных прямых касается окружности
радиуса Л в точке Л, а другая пересекает эту окружность в точках В и С. Выразить
площадь греугольника ABC как функцию расстояниях между прямыми.
Решение.
Пусть расстояние между параллельными прямыми равнол- (рис. 10.72);
тогда площадь S треугольника ЛВС равна 0,5£С ■ х. Так как АМ±ВС. го
ВМ = МС и ВЫ - МС = ЛМ ■ MD = х(2Д - х). Значит, 0,255С2 = х(2Я - х),
откуда 5 = 0,5.v ■ 2^2Rx - х2 = W2Ar - х2.
Ответ: x\2Rx — x~.
10.075. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти
расстояние между точкой пересечения его биссектрис и точкой
пересечения медиан.
589

Решение.
Выберем систему координат
хОу, связанную с данным
прямоугольным треугольником АО А В,
таким образом, как это показано на
рис. 10.73. Тогда
AB=J0A2+0B2 =V92+1? = 15,
S = - ■ ОА ■ OB = 54 см-,
2
/7 = i(9 + 12+15) = 18cM
S 54 .
r = — =— = 3 см.
p 18
Точка пересечения биссектрис совпадает с центром вписанной в
этот треугольник окружности— Cj(3;3). Найдем точку С2
пересечения медиан как точку пересечения прямых AD и ВК . Составим
уравнение прямых AD и ВК . Пусть уравнение AD : у{ =* к{х + Ь^, где
40,12) и £>(^;о). Отсюда ^=12, 0 = -&,+12, &]=--. Значит,
AD: у^--х + \2.
Пусть уравнение прямой ВК: у2 ~ к2 х + Ь2, где 5(9;0)и А'(0;б).
Тогда Ь2 =6, 0 = 9£2 +6, к2 = — . Получили, что уравнение ВК '■
2 .
у = -—л + о . Координаты точки С2 находим из системы
У-
-х+6,
2.x-6 = 0, х = 3,^=4,С2(3;4)
По формуле расстояния между двумя точками координатной плоско-
y = -jx+12
сги имеем: QC2 = >/(3 -З)2 +(3 ~Af =1 см.
Ответ: 1 см.
590

Рис. 10.74
10.076. Найти отношение радиуса окружности, вписанной в
равнобедренный прямоугольный треугольник, к высоте, проведенной к
гипотенузе.
Решение.
Так как ААВС — равнобедренный и прямоугольный, то высота CD
является биссектрисой, т.е. ZDCA= ZA =45° (рис- Ю.74); поэтому
AD-DC и AC~yJ2DC - Но АС = АК + КС ~ DC + r (АК = AD как
касательные, проведенные из одной точки), откуда г = yJ2.DC - DC , т.е.
r/DC = j2-\.
Ответ: 4l~\.
10.077. В равнобедренном треугольнике основание и боковая
сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найти биссектрису угла при
основании треугольника.
Решение.
DC
АС/
BD
АВ'
20-х
5 20
HD- =20-4=16 (см). Длина биссектрисы
(рис. 10.75). Отсюда х = 4 (см). DC = х ~ 4 (см),
AD - 4AC-AB-BDDC = V20-5-4 16 = 6 (см)-
Ответ: 6 см.
10.078. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найти
расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до центра
описанной около него окружности.
591

\
C
Рис. 10.76
Рис. 10.77
Решение.
AB = -JaC2 +CB2 =л/б2+82 =10 (см) (рис. 10.76). Рассгояние
между центрами ОК = ^ОЕ2 + ЕК2;р = (ЛВ + ВС + АС)/2 = 12 (см). Радиус
вписанной окружности '' ~ р~ АВ -2 (см).
Получим
KE = AE-AK=AF-AK=b-5 = \(cn),
OK
= т1оЕ2 + ЕК2 =J4 + l = j5.
Ответ: см.
10.079. Найти биссектрисы острых yi лов прямоугольною
треугольника с катетами 24 и 18 см.
Решение.
DC BD 1—; Т х 24-х
4С = АВ ФЖ 10Л7); АС=}'24 +|8 =30 (см), -0=
^"-Отсюда .v = 15, CD= 15 (см), SD=24-15 = <> (см).
Биссекгриса Z.BAC AD=JaCAB-CD-BD = -J10-1^15-9 = 9&(cm).
AM _ MB у _ 18-у
АС ~ ВС ' 30 ~ 24
Биссектриса /.ВСА:
. Отсюда )• = 10 (см), AM = 10 (см), MB - 8 (см)
см = 4Jc1k^a~m~mb -= т/зТг^^То = sVTo (см).
Ответ: и 8>/н^см.
502

с
^\12oV^
о>?Ъ()-
/7.x \.
\,
Л
Рис. 10.78
Рис. 10.79
10.080. Доказать, что если в четырехугольнике (рис. 10.78) диагонали
лежат на биссектрисах его углов, то такой четырехугольник есть ромб.
Решение.
Z.BCA = ZDCA , Z.BA С - ZDA С; ZABD = ZCBD , /.CDB = ^/ШЯ =>
=> ABAD = ABCD. Отсюда ZBAD = ZBCn, ВС = АВ , DC = DA ■
AABC=AADC . Отсюда ^/1BC = ^/1DC, ЛВ=/Ш, ВС = DC.
Получаем /45 = ВС = CD = ZM . Так как ААВС — равнобедренный, то
SO — высота и медиана BDJ-A С . Что и требовалось доказать.
10.081. Площадь прямоугольника равна 9 смг, а величина одного из
углов, образованного диагоналями, равна 120° (рис. 10.79). Найти
стороны прямоугольника.
Решение.
CD = x. AOC.D —равносторонний; AO=OC=CD=x; АС-2х .
Площадь прямоугольника S ~ — d, d2 sin 60 = — 2х • 2х ■ — , 9 = х2 VJ .
з з4^4
Отсюда ,т = 4- = ^Т7Г = 33/4 =^/27 (см). AC = 24V27 (см).
V3 З'4
Из ДЛСО:
/1В2 =/1С2-СВ2 = 4,/27-Л7 = 3,/27,
/ID = т/Зл/27 = 35/4 = 3^3 (см).
Ответ: iJTJ и 3>/з см.
593

Рис. 10.80
10.082. Площадь
равнобедренной трапеции, описанной около
круга, равна 5, а высота трапеции
в два раза меньше-ее боковой
стороны (рис. 10.80). Определить
радиус вписанного круга.
Решение.
CN = CD 12; AD + ВС =АВ + CD =
= 4х. Площадь равнобедренной
трапеции
5 = - {AD + ВС)- CN = - 4-т ■ х = 2х2
2 2
Отсюда х = . I— . Искомый радиус
CN -Is -J2S
R = -
Omeenr
2V2 4
■J2S
10.083. Сумма длин диагоналей ромба равна т , аего площадь
равна 5 ■ Найти сторону ромба.
Решение.
AC + BD = m; AC = x,BD = y . S = -dtd2 (рис. 10.081). Решая си-
[х + у~т, m+4m2-iS m-Jm2-&S
стему 1 ?£ _ получим х, = , у, = или
-\1т2 -85 гп+\1т2 -85
—г . У2 = : ■
Отсюда:
ВС2 ■■
ВС =
i-Vm2-85
m--Jm2-8S
т2 -45
л//и2-45
Ответ:
л/т2 -45

Рис. 10.82
10.084. Периметр ромба равен 2 м, длины ею диагоналей относятся
как 3:4. Найти площадь ромба.
Решение.
Искомую площадь найдем ] ю формуле S = — АС ■ BD -2АООВ (рис.
10.81). В MOB АВ2 = АО2 + В02, где OS = Л0, .43 = - = - (м). Тогда
4 4 2
2 16
ЛО = /__ л.е.
1 2 9
получим уравнение л ~ АО + ^-- АО", откудл
100
4 16
40- 0.4 (м). Ииш, S =2-0,4' 0.3 = 0,24 (м2).
Ответ: 0.24 м2.
10.085. В равнобедренную трапецию вписана окружноеib радиуса /?.
Верхнее основание трапеции в лва раза меньше ее высоты. Иайти
площадь трапеции.
Решение.
\2v = (R+2x) + R,
CD~ v: ED~x (рис. 10.82). Решим систему \ ' От-
\x2+4R2=zy2.
сюда получаем \ = - R. тогда AD = R + 2x- R + 3R =4/?. Искомая
площадь S = ' (AD + BC)-EC~ -(R+4R) 2R^5R2.
Отпет: 5R~.
10.086, На каждой медиане правильного треугольника пчята точка,
делящая медиану в отношении 3:1, считая от иершнны. Во сколько раз
площадь треугольника с вершинами в тшх трех точках меньше площади
самого треугольника?
595

EF = -AC;FD = -AB;ED = -BC (pvLC.lO.fi). AABC и AFDE —
подобные, —&AJ^ = k2=22=4. AFDE и ALUM -- подобные,
SAFDE
KL= ■'- FD; KM=-ED; Ш-- EF; ^FDE- = k2 = 4. Далее, АЫШ и
2 2 2 Хдхам
ANRP — подобные и * = 2, т.е. ^"^-=4. Итак, |Л=-в-с =4 4 4 = 64
Ответ: в 64 раза.
10.087. В равнобедренный треугольник вписан квадра1 единичной
площади, одна сторона которого лежит на основании треугольника. Найгп
площадь треугольника, если известно, что центры масс феуюльника и
квадрата совпадают (центр масс треугольника лежит на пересечении его
медиан).
Решение.
Ю — медиана. ВО : 00 = 2 :1: OD = 0,5 (см), ВО= 1 (см), BD =
= OD + SO=1,5 (см) (рис.10.84), ABEF и ABDC - подобные.
SD DC r, „„ BD EF ,^, 1,5 0,5 ,r ,^. „
-=- -. Отсюда DC= - . DC= - = 1,5 (см). ,-К=2х
S£ EF BE 0.5
xDC =3 (см), Sajsc = АС-ВП- 3 1.5= "= (кв. ел).
Ответ: кв. ед
4

Рис. 10.85
Рис. 10.86
10.088. В окружность радиуса R вписана трапеция, у которой нижнее
основание вдвое больше каждой из остальных сторон. Найти площадь
тралении.
Решение.
AD = 2x = 2R (рис.10,85). Отсюда х ~- R. Искомая площадь
2 V 4 2 2
2 2 4
зЛ ,
Ответ: Л".
4
10.089. Найти площадь круга, описанного около равнобедренного
треугольника, если основание -лого феугольника равно 24 см. а боковая
сторона 13 см.
Решение.
Плошадь круга S-nR~ (рис, 10.86). Радиус описанной окружносш
« =

liberie S.
1
AC BD.
- 16<
&BDC получим BD = VBC'2 - DC'2 = VIЗ2 -122 = 5 (см). Тогда
1 , - ^ „ 13-13-24 169 , , .,
= 24*i=60 (см-). 0]сюда R = -= - (см). Итак,
2 4 60 10
я = 285.61 я (см").
Ответ 285.61л: ем-

Рис. 10.87
10.090. Расстояние от центра круга до хорды длиной 16 см равно 15 см.
Найти площадь треугольника, описанного около круга, если периметр
треугольника равен 200 см.
Решение.
Радиус окружности из АОСВ- -/? = V152 +82 =17 (см). Искомая
площадь треугольникаSADKL = R-p = \l -1700 (см2)(рис. 10.87).
Ответ: 1700 см2.
10.091. Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную
трапецию, если ее большее основание равно а , а угол при меньшем
основании равен 120°.
Решение.
В ACED ZCDE = 6W и cos 60=^— (рис. 10.88). Отсюда iLl* = I
2с ^ 2с 2
а-b = с. Для описанной равнобедренной трапеции а + b ~ 2с.
\и-Ъ = с. 2 . ЛЛ 2R
Решая систему < получим с = —аш sin 60 = —. Отсюда
[а + Ь = 2су 3 с
_ sin60-c у/3 у/3 ^ п2 3 2 ъа1
К = = -—с = —а . Площадь круга о = %к = я— а = .
2 4 6 36 12
Ответ:
12
10.092. В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15 и
60° (рис. 10.89). Найти площадь треугольника.
Решение.
ZABC^105°; ZABC = 180° --ZAOC .Отсюда ZAОС = 150°.Зна-
598

Рис. 10.89
Рис. 10.90
чит, ZCMC=15°.Mi A4DO находим AD = Rcosl$',AC = 2AD =
= 2Лссв15'. Из АЛОВ (равнобедренного):
АВ2 = R1 + R: -2R1 cosl20° = 2/?2(l + cos60°) = ЗЛ2; AB=JbR.
Площадь треугольника ABC.
1
1 JT
5 = /ffl/fCsinl5° =
2 2
Ответ: —К .
4
10.093. Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а
гипотенуза равна с. Оиредеиить площадь круга, вписанно! о в треугольник.
Решение.
ААВС —прямоугольный (рис. 10.90); АВ = х, ВС -у. Известно,что
2p=x+v+e. Отсюда х + у-2р-с. Радиус вписанной окружности
х+ у-с 2р-с-с
г= = — - р-с. Искомая площадь круга находится но
формуле 5 = nr* = п(р-с) .
Ответ: п(р-с)2.
10.094. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный
треугольник (рис. 10.90), если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16 м.
Решение.
AD АВ
АС= AD + DC = 25 (м); ДЛШ и ААВС —подобные: -- = -- . Ог-
АВ АС
сюда 9 = -- >x2=9-25 = 225,x=4225 = \5{u),AB=15(m).ABDChAABC
х 25
DC ВС ^ 16 у 2 ,, ., ,лл
— подобные: - — . Отсюда — = — , у =16-25 = 400,
ВС АС у 25
599

A
И
Рис. 10.91
= V400 = 20 (м), BC = 2Q (м). Радиус вписанной окружности:
а + Ь-с 15 + 20-25
5 (м). Искомая площадь круга
2 2
S = nr2 = 25я (м2).
Ответ: 25к м2.
10.095. Площадь равнобедренного треугольника равна 1/3
площади квадрата, построенного на основании данного треугольника. Длины
боковых сторон треугольника короче длины его основания на 1 см. Найти
длины сторон и высоты треугольника, проведенной к основанию.
Решение.
По условию ВС2 =3 -ВС АН (рис. 10.91) или АН=-ВС. Но
АН2 =АВ2 -\-ВС\ и,значит,-ВС2 -АВ2 --ВС2 или АВ2 = — ВС2,
12 I 9 4 36
т.е. АВ~-ВС. Тогда получим АВ~-(ЛВ + \), откуда АВ = 5 (см).
о о
Следовательно, ВС = 6 см, АН = 4 см.
Ответ: 5; 6 и 4 см.
10.096. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около
круга, равна см2 (рис. 10.92). Определить боковую сторону
трапеции, если известно, что острый угол при основании равен тг/3.
Решение.
1R л/3
- прямоугольный и sin60е - ——. Отсюда 2R = ^^CD,
ACED
CD = x
По условию
Ответ: 8 см.
CD 2
2R = -—x . Площадь трапеции S = —-—h = 2Rx = —-j
= 32-Уз => х2 =64, л: = 8 (см).

ML
С А
Рис. 10.93
Рис. 10,94
10.097. Площадь прямоугольного треугольника (рис. 10.93) равна
2V3 см2. Определить его высоту, проведенную к гипотенузе, если онаде-
литирямой угол в отношении 1:2.
Решение.
ZABD =30°. ZDBC = 60°. Площадь ААВС находится по формуле
5= АВ ВС. И) ДВОС получаем ВС = - . Иэ AADB находим
2 sin 60°
АВ= А° . Тогда 5='- -DC—AD^- =^-DC AD. Так как MDB и
sm30° 2sin60°sin30° V3
BD DC ,
Д7ШС - подобные, ю ~ . Отсюда BD~ - AD DC. То!да
AD BD
S = -j= BD2 = 2-Уз и BD=S (см).
V3
Ответ: V3 см.
10.098.Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на
части, площади которых относятся как 2:1. В каком отношении, счигая oi
вершины, она делит боковые стороны'.'
Решение.
1. 5
.\ЛВС ~SAMNC +SmBN
ЛА4ВС
3
От сюда
= A- + 2.v = 3t; "-а^.- = -- (рис. 10.94).
1 MB /2 Ав = ^х UB = Jl_x. AM=(S-4l)x,
3 АВ V3
/I.W V3-V2 1
2' ■S'iiBC^-SjM./v.c+^AeM.JVi <РИС- Ю94)- Аналогично находим
М,5:/Ш,=(7з + 1):2.
Ответ: (S +2): 1 или (уВ + 1): 2.
601

Рис. 10.95
10.099. Площадь равнобедренной трапеции (рис. 10.95), описанной
около круга, равна 8 см2. Определить сюроны трапеции, если угол при
основании содержит 30°.
Решение.
2R с
Из &CED получим sinSO0^^^. Отсюда 2R-- . Площадь i ране-
с 2
ции 5 = 2Re = -- = 8. Огсюда с1 -16, с = 4 (см), CD = AB = 4 (см), Име-
ia+b=4t
\Ь=а+4у[з.
ED г |я+й=4,
ем cos30°= —-,£X> = 2v3 (см). Решим систему <| ,_ Отсюда
получим a = 4~2V3, b = 4 + 2V3.
Ответ: 4-2л/3; 4+2-Уз~;4 и 4 см.
10.100. Равносторонний шестиугольник ABCDEF состоит из двух
трапеций (рис.10.96), имеющих общее основание CF. Известно, что
АС= 13 см,Л£= 10 см. Найти площадь шестиугольника.
Решение.
АСКА —прямоугольный, АК =- АЕ = 5 (см), СК = VАС2 - АК2 =
=Л
32-52 = 12(см). cosq>= — ;sinq>= —. Рассмотрим АСОВ (ZCOB =
5 5 12 120
= 90°): sin2(p=- и sin2(p = 2sin(pcos(p = 2 - ■ - =- .. Ото™ л -=
.v 13 13 169 uluo-|a
169-5 169 СО , т., 144
= -- - = (см), cos2(p= --; cos 2(p = cos" (p-sm~ ш = -
120 24 k x 169
602

в с
Рис. 10.97
К
Рис. 10.98
25 119 , 169 119 119
.Отсюда СО = — ■ — = — (см), СО = KF, CF = СО +OF =
24 169 24
169 169'
119 407
= СК + AF =12+ —- = —- (см). Площадь искомого шестиугольника:
Sabcdef =2Sco£f =2±(CF+ED)-EK =№ + ^j.5 = 120 (см*).
Ответ: 120 см2.
10.101. Найти площадь правильного треугольника (рис. 10.97),
вписанного в квадрат со стороной а , при условии, что одна из вершин
треугольника совпадает с вершиной квадрата.
Решение.
CD^al BE=FD = x\ AF=AE=a~x\ CE = EF=CF=y. Pe-
2 2 2
yl=az+x\
шимсистему< д-1 +^z =2(a-;tf . Решая это уравнение,
[y2=2(a-xY\
получим jt = a(z--Уз)- Найдем / = а2 +а2Ц~у[з^ =а2(8-4-Уз).
Площадь искомого правильного треугольника находится по формуле
4 4 V /
Ответ: а2(2л/3-з)
10.102. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол
пополам. Меньшее основаттие трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см.
Найти площадь трапеции.
Решение.
По условию ZBCA -ZACD (рис. 10.98). Но ABC А = ACAD ,азна-
603

Рис. 10.99 Рис' Ю-100
чит, AACD —равнобедренный и AD = CD. Имеем 3AD + ВС = 42;
так как ВС = 3 см, то Л£>=13 см. Проведем BK1AD ; тогда
АК = -(\Ъ~Ъ)=Ъ (см)ииз ААКВ находим BK^-jtt1 -52 = 12 (см).
2
Итак, 5 = i(3 + 13)-12 = 96fcM2).
Ответ: 96 см2.
10.103. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный
треугольник, если высота, проведенная к гипотенузе, делит последнюю на
отрезки длиной 25,6 и 14,4 см.
Решение.
Так как ААВС — прямоугольный и CD1AB (рис. 10.99), то
AC2 =AB-AD= 40-25,6 и ВСг = АВ BD = 40-14,4,откуда АС =32 (см),
ВС = 24 (см) и 5MSC =--32-24=384 (см2). С другой стороны,
S&abc - рг- 48г . Следовательно, г ~ 8 и 5кр = кг2 = 64тг (см2).
Ответ: 64я см2-
10.104. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см,
площадь его равна 24 см2. Найти площадь описанного круга.
Решение.
Гипотенуза треугольника с = 2R (рис. 10.100).
Решим систему
р = х + у + 2R,
с 1
Л=— Ху, С
2 У
x2+y2=AR2
24-
у = 8 (см). Радиус круга i?
описанного круга 5 = тс/?2 = 25тг (см2).
Ответ: 25я см2.
24=^x + y + 2R,
^ - — ХУ> получим х = 6 (см),
х2+/=4Д2,
— = 5 (см). Площадь искомого
604

E \g/ F
\ХСК7\/
AVT7/C
т
Рис. 10.102
10.105. Найти площадь равнобедренного треугольника (рис. 10.101)
с углом 120°, если радиус вписанного круга равен ijll см.
Решение.
Из ДВВСпаходим BD = BCsin30'= —; DC =BCsin60" = —ВС.
2 2
Полупериметр ДЛВС р - — (х + х + л13х)= х 1+ —
Площадь ДЛВС: S = рг = х\ 1 + — Ш.
С другой стороны, 5" = — А С ■ 5Z) = — v3x ■ — = — х .Решим урав-
^ 2 Г. л/з\/гг „ г(г + ,/з)*/12 _
нение —х = х\ 1 + — к/12 . Получим л = —£ L . Тогда площадь
42 S
ААВС S
S
'2(2+73)^12
=2(7+47з)
IfcM2).
Ответ: г(7+4,/з)(см2).
10.106. На сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника с
гипотенузой с вне этого треугольника построены квадраты. Центры этих
квадратов соединены между собой. Найти площадь полученного треугольника.
Решение.
BE = KC = -;EF=2BE = c (рис. 10.102).Четырехугольник ABCD —
квадрат. Отсюда AC-BD-c .Площадь искомого треугольника
1 1 , с2
S = -BDEF=-c2 =—.
2 2 2 2
Ответ: —.
2

Рис. 10.103
К М
Рис. 10.104
10.107. В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат
на сторонах первого, астороны составляют со сторонами первого
квадрата углы в 60°. Какую часть площади данного квадрата составляет
плошадь вписанного?
Решение.
Пусть AL ~а, LB~b и LK ~ с (рис РЗ103). Тогда площадь данного
квадрата St ~(a+bf -a2 +2ab+b2 ~c + 2ab. Так как Z.BLK-60°,
то Z.BKL = 30°, откуда с = 2/>, a^bS и, значит, 5, ^4/j2+2/?2-Уз .
Площадь вписанного квадрата 52 -с2 ~4/?2 .Итак,
*-- 4fc2 -' 4-2Л
S, 4b2+2b2S 2 + V3 ' .
Ответ: 4-2л/з~.
10.108. Найти площадь квадрата, вписанного в правильный
треугольник со стороной а.
Решение.
&ВКС и АЕМС — подобные
ВС ВК I j т
-Ёс"-Ш'вк = 4вс-кс ~
„„ ЕС-ВК (а-х)аЛ
ЕМ ~хпх~ ~ - . Отсюда 2ах =
V 4 2 ВС 2а
- ат!3(а~х)- Решая уравнение, получим х~ —. Площадь искомо-
„2 "
го квадрата:
2 + V3 '
За
Ответ: За2 \1 -4-Уз )
fl2(7-4V5).
606

G
x /
xjl
\
H
\j
Рис. 10.105
Рис. 10.106
10.109. На сторонах равностороннего треугольника вне его
построены квадраты. Их вершины, лежащие вне треугольника,
последовательно соединены. Определить площадь полученного шестиугольника, если
сторона данного треугольника равна а .
Решение.
Площадь искомого шестиугольника (рис. 10.105)
Shkdefc=Sa,,bc +3Sahkb +^Saksd ^^—— + 3a2 + 3-tf2sinl20° =
4 2
Ответ: аэ(з+л/з).
10.110. Данный квадрат со стороной а срезан по углам так, что
образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь этого
восьмиугольника.
Решение.
Пусть АЕ = л- (рис. 10.106). Тогда ЛВ = 2AE+EF или 2x + xjl = а,
_4>-У2)
'2+V2 2
се лс 2 4х2 2 4а2Ц-4л/2+2) . 2/г- Л
S=SABCD~*Sb.4EN=a Y"Q 8 V2~4-
Ответ: 2a2{jl-\)
10.111. Сторона правильного треугольника, вписанного в
окружность, равна а . Вычислить площадь квадрата, вписанного в ту же
окружность.
откуда х = -
. Следовательно, искомая плошадь
607

Решение.
Обозначим радиус описанной окружности через R. Тогда и ~ /W3 ,
откуда R = а/>[з ■ Так как сторона вписанного квадрата равна i?v2 ,
то его площадь S-2R2 -2а2 /з .
Ответ: 2а2 /3.
10.112. Вычислить отношение нлошадей квадрата, правильного
треугольника и правильного шестиугояьника, вписанных в одну и ту же
окружность.
Решение.
Пусть R —радиус окружности. Тогда сторона правильного впи-
D/r „ а\Л 3R2J3 _
санного треугольника аъ =• i?v 3 и 53 = = . Далее, сторо-
4 4
наквадрата а4 =i?v2 и S4 =a4 = 2J? и, наконец, сторона правильно-
_ bR2S 1R1&
то вписанного шестиугольника аь ~R и 56 = = .
4 2
Следовательно, 54 : 53 : S6 = 8: Зл/з : 6л/з .
Ответ; 8:3-Уз : б-Л.
10.113. Сторона равностороннего треугольника, вписанного в
окружность, равна а . Вычислить плошадь отсекаемого ею сегмента.
Решение.
Площадь сегмента АпВ равна разности площадей сектора А ОВ и
TtR2 , 1 R aR
А40В (рис. 10.107). Находим Sa„-A0B~—-, Ь&аов =у<*■— :=-^~,
kR2 aR a
откуда j --— . Так как л= -= , то окончательно получим
3 4 S
s~ 36 ■
Ответ: а 2(4тг-3л/з)/36.
10.114. Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна а .
Вычислить площадь отсекаемого ею сегмента.
Решение.
Площадь круга 5кр = izR2. Радиус круга R ~ — . От-
сюда S кр ~ . Площадь искомого сегмента:

Рис. 10.107
Рис. 10.109
-lbs.hfc
Ответ:
тг-2
7Г-2
10.115.Надиаметре 2R полуокружности построен правильный
треугольник, сторона которого равна диаметру. Треугольник расположен
по ту же сторону от диаметра, что и полуокружность. Вычислить
площадь той части тр еугольника, которая лежит вне круга.
Решение.
AAOD , ADOE , АОЕС, ADBE —равносторонние со стороной ^
(рис. 10.108). Искомаяплощадь S =S&DBE ~SC.TM. 5"сегм ~ — R R ;
о 4
"-> ADBE Г- Л
2 s = ^Ri-*R>+^Ri=R>(3-^l
4 - > 4 6 4 I 6
Ответ: R'
■ {ъЛ-к
10.116. Круг радиуса R обложен четьфьмя равньши кругами,
касающимися данного так, что каждые два соседних из этих четырех кругов касаются
друг друга (рис. 10.109). Вычислить площадь одного из этих кругов.
Решение.
В Д0,002 г0^002 -90°. Решим уравнение Лх2 = 2(pc + Rf .
Найдем х - i?| + v2 ), где х - г — радиус четырех равных кругов. Площадь
искомого круга S = кг2 ^izR2^^ = яЛ2(з+2л/2~).
Ответ; kR
20 М. И, Сканави, группа t
609

Рис. 10.110
10.117. В точках пересечения двух окружностей с радиусами 4 и 8 см
касательные к ним взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь
фигуры ОхАВ02, где АВ — общая касательная к окружностям, аО,и
02 — нх центры.
Решение.
Таккак01А1АВ и02В1АВ ^тоО^А^В и,значит,фигураОхАВ02 —
трапеция (рис. 10.110). Касательные в точке С взаимно
перпендикулярны, а потому каждая го них проходит через центр другой окружности, т.е.
OtC = 4 см,02С=8 см,откудаOt02 = ^О^С2 + 02С2 =4-75 (см).ГТро-
ведемО^ЦлЯ иго WxD02 найдем ojy = ^0^0\-02D2 = V80—16 = 8 (см).
Следовательно, S0iABOj = 0,5(8 + 4)8 = 48 см2.
Ответ: 48 см2.
10.118. Определить сторону ромба, зная, что площадь его равна s ,
а длины диагоналей относятся как т.п.
Решение.
Запишем BD-mx; АС ~ пх (рис. 10.111). Площадь ромба
I 25m
1 /25 '25
S - — mnx2, откуда х = J— . Тогда BD — mJ— =
2 V rnn \mn
-;АС = Ъ
Сторонаромба5С2=1502+1лС2= = ^m+^n^2+n2) Qt
4 4 An Am 2mn
сюда ВС-
Ответ:
s(m2+/»2)
2тп
S(m2+n2
Imn

10.119. Периметр ромба равен 2р;
длины диагоналей относятся как т.п.
Вычислить площадь ромба.
Решение.
Используя рнс. 10.1 \1,имеем BD = тх,
,c-„.wfMfj=pH
У+яг)
{ 2 ) 4
Периметр
2р = ЛВС=*^Щ^ = 2х£^7
Рис. 10.112
Отсюда х -
•Ли2 +пг
Площадь ромба S = — BD- А С ~ — тпх2 = — >
2 2 2 (m + „•<
Ответ:
тпр
2\{п2 + п2)
10.120. Две окружности радиуса R с центрами в точках О, и 02
касаются друг друга. Их пересекает прямая в точках А , В, Си Z)
так, что ЛЯ = ВС = CD . Найтн площадь четырехугольника OiAD02 ■
Решение.
ААОхВ , ДО,гО, АВОС, АОС02, AC02D —правильныесо
стороной Л (рис. 10.112). Площадь ДЛО,Я SM0>B
комого четырехугольника OxAD02 S - SSMOjB ~
_R2S
4
5R2S
Площадь ис-
Отеет:
5R2S
611

Рис. 10.113
10.121. Вычислить площадь
прямоугольной трапеции, если ее
острый угол равен 60°, меньшее
основание равно а и большая
боковая сторона равна b ■
Решение.
Ь&
Высота трапеции равна ,
а большее основание равно а + —.
„ „If />>V3 (4a + b)bj3
Следовательно, ее площадь S = — а+а+— = - .
2^ 2 J 2 8
Ответ: .(4a + b)bfi/S.
10.122. Большее основание трапеции имеет длину 24 см (рис. 10.113).
Найтн длину ее меньшего основания, если известно, что расстояние
между серединами диагоналей трапеции равно 4 см.
Решение.
AE = EC;DF=FBtKE = DC/2\FT = DC/2\DC=x>KT = 2KE + EF =
пп х + 24 , х+24
= х + 4 . С другой стороны, КТ - —-—. Решая уравнение х + 4 = —-— 5
получим х = 16 (см).
Ответ: 16 см.
10.123. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около
круга, равна S ■ Определить боковую сторону трапеции, если известно, что
острый угол при основании равен к/6.
Решение.
Пусть х — длина боковой стороны; тогда высота трапеции равна
1
— х. Так как трапеция описана около круга, то сумма ее оснований
равна сумме боковых сторон. Следовательно, площадь трапеции
S = — ■ 2х ■ — х , откуда х = -JlS .
2 2
Ответ: V2S.
10.124. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника
(рис. 10.114). Доказать, что треугольники, прилегающие к боковым
сторонам, равновелики.
612

Рис. 10.114
Рис. 10.115
Решение.
Рассмотрим АА OD и АСОВ ■ Они подобные,
АО _ DO
СО ВО
= к. Отсю-
\DO=kBO, „
№ \AO = kCO. ^
, ^-B0A0smZB0A=~B0kC0smZB0A,
SuC0D=-C00DsmZC0D = -C0kB0smZC0D и ZBOA^ZCOD.
Отсюда следует, что S&B0A = SUC0D, что и требовалось доказать.
10.125. На большем катете треугольника как на диаметре построена
полуокружность (рис. 10.115). Найти ее длину, если длина меньшего
катета 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой
пересечения гипотенузы и полуокружности, равна 24 см.
Решение.
Из ABDC получим DC = 4ВС2 -BD2 = V900-576 =18 (см). ABDC
и AADB —подобные. Отсюда BD2 -DCDA => DA~BDl/DC^
= 242/l8=32 (см).ИзДЛЯС имеем АВ= 4АС1 -ВС2 =40 (см).
Длина полуокружности 1~%АО- 2071 (см).
Ответ: 20 тг (см).
10.126. На диаметре полукруга построен правильный треугольник,
стороны которого равны диаметру. Как относятся площади частей
треугольника, лежащих вне и внутри полукруга?
613

в м
Решение.
Площадь части треугольника, которая лежит внутри полукруга:
S, =2SM0D +S„„ = ?££+"£ = Л'(2^±«1 (рис. 10.116). Пло.
щадь части треугольника, которая лежит вне полукруга:
S2=S
&BDE J cer
"-Ver —
4 6 4
зТз-я
Отношение площадей: ^2 - Щ^~Пр ЫЗ~П
Ответ:
Зл/З-тг
Зл/З+тс'
10.127. В правильный треугольник со стороной, равной а, вписана
окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Найти
площадь шестиугольника.
Решение.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со сторо-
aS „
ной а , равен г = . Сторона шестиугольника, вписанного в эту ок-
6
а&
ружность, равна радиусу: а6 =г ~ , а радиус окружности, вписан-
6
ной в этот шестиугольник, г =-
2tg
180°
а6уЗ _ а-УЗ ■ УЗ а
*~2 6~2 4'

Площадь шестиугольника i = -
Ответ:
2 2-6-4
«2л/3
10.128. Около квадрата, сторона которого равна а, описана
окружность, а около окружности —правильный шестиугольник.
Определить площадь шестиугольника.
Решение.
Радиус описанной около квадрата окружности равен половине диа-
"^ о.
гонали квадрата г = —— . Эта же окружность является вписанной для
аь <я6л/3 ajl аь&
шестиугольника: г = ~ —-— . Получим = —— , откуда
1t 180° 2 2 2
_«v2 6
"б ~г=~. Тогда площадь шестиугольника
6-a6r bajl-ajl гг 2
S~— = = =V-3a m
2 2-л/з-2
Ответ: J^a2.
10.129. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых
сторон делится точкой касания на отрезки длиной т и п . Определить
площадь трапеции.
Решение.
Пусть АК=т, КВ^п (рис. 10.117). Тогда КВ = ВМ=МС~п,
AK=AN=ND=m■
Найдем высоту трапеции:
h = ВН = ^АВ2 -АН2 = ^(т + п'ГЦм'- nf = ijmn .
Итак, S = -(BC+AD)h^(m + n)h=2jnm(m+n).
Ответ: ijmn (m + п]
10.130. Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает
сегмент, площадь которого равна (2тг - 4) см2- Найти площадь квадрата.
Решение.
п я*2
Пусть R — радиус круга. Тогда площадь сектора равна , а
4

площадь треугольника равна— н,
следовательно, площадь сегмента
С tzR2 R2 R2(k~2)
составляет — = .
4 2 4
R2(k-2)
Имеем -~2к~4, откуда
4
R~2yJ2 (см). Итак, площадь
квадрата равна 2R2 =16 (см2).
Ответ: 16 см2.
10.131. В ромб с острым углом 30° вписан круг, площадь которого
равна Q . Найти площадь ромба.
Решение.
Проведем радиусы OK , OL , ОМ , ON в точки касания
(рис. 10.118). ZABC = 180° - ZBAD = 180° -30° =150°. Так как
диагонали в ромбе являются биссектрисами, то Z.ABO = = 75 е. Значит,
вгл КО КО
ВО~ „ = -т.Тогда АВ
ВО
КО
2КО
sin75° cosl5° ' sinZOAB sinl5°cosl5° sin30°
= AKO = 4r . У ромба АВ = ВС = CD = AD = 4r . Площадь ромба
S = ABADsinlV =l6r2sin30° ■ Площадь круга 0 = яг2, откуда
г2 = — . Поэтому окончательно S = — .
Ответ; —.
к
10.132. В круговой сектор, дуга которого содержит 60°, вписан круг.
Найти отношение площади этого круга к площади сектора.
Решение.
Пусть В, D, Е — точки касания. Радиус окружности, из которой
вырезан сектор, обозначим R, а радиус вписанной в сектор окружности—
616

Рис. 10.119
Рнс. 10.120
г (рис. 10.119). Значит, ВО = DO = EO = r,a BO = R. 00 =R-r
DO =00 sin30*-Этозначит,что г = — (R-г),откуда К = Ъг. Площадь
сектора S,
л!Г60ф жЯ' Ъта-'
360°
. Площадь вписанного круга S2=nr~
S,:S,^7zr2:^~ = 2:3.
' l 2
Ответ: 2:3.
10.133. Из точки м , находящейся на расстоянии а от окружности,
проведена к этой окружности касательная длиной 2а ■ Найти площадь
правильного шестиугольника, вписанного в окружность.
Решение.
Проведем радиус ОА в точку касания (рис. 10.120)нобозначим
радиус окружности через г - Тогда в АОАМ имеем (2af+r2 =(a+rf
или 4<я2 + г2 = а2 + 2аг + г2 , откуда г = —. Таким образом,
„ 6r2 S 27а2 &
Ответ:
21а2 л/3

с а + Ь I l
ны, S ~ h , откуда h -
- 32 (см). А площадь
D " ADC
Рис. 10.121 Рис. 10.122
10.134. В равнобедренной трапеции одно основание равно 40 см, а
другое 24 см. Диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны.
Найти ее площадь.
Решение.
Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно
перпендикулярны, равна квадрату ее высоты: S = /г . С другой сторо-
о + b _ 40 + 24
2 " 2 '
S--=322 =1024 (см2).
Ответ: 1024 см2.
10.135. Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны
равны 26 и 28 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от
вершины), н через точку деления проведена прямая, параллельная основанию.
Определить площадь полученной при этом трапеции.
Решение.
По условию АВ = с = 30 см, АС = b = 26 см, ВС = а ~ 28 см (рис.
10.121). Тогда р = Ъ$(а + Ь + с)^42, р~а^\4 , р-b ~\6 , р-с =12 я
по формуле Герона находим SAABC :
AMNC ~ ААВС , то SuMNC :S^BC
определяем площадь трапеции:
= V42-14-16-12 =336 (см2).Таккак
= СК2 :CD2 ^=4/25 = 0,16. Отсюда
i=Sa
- 336 - 0,3 6 ■ 336 = 282,24 (см2).
13 АМН В -^ЛАВС ~^AMNC ~
Ответ: 282,24 см2.
10.136. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла
делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить
площадь треугольника.
Решение.
Пусть ВС = х (рис. 10.122). Тогда AB = J%[ + x2 и -="^81+V
4 5
618

- биссектриса). Отсюда имеем 25л-"
л =12 (см). Следовательно, SAABC --BC ■ АС- — Л2 9 = 54 (см2).
Ответ: 54 см2.
10.137.Хорда АВ постоянной длины скользит своими концами по
окружности радиуса R. Точка С этой хорды, находящаяся на
расстояниях а и b от концов А и В хорды, описывает при полном обороте
окружность. Вычислить площадь кольца, заключенного между данной
окружностью и окружностью, описанной точкой С.
Решение.
АЛОВ —равнобедренный (рис. 10.123).Значит, Z.BAO = Z.ABO = а .
Пусть ОС = г . По теореме косинусов г2 -R2 +a2 -2aRcosa. С другой
стороны, г2 = R2 +b2 -2bRcosa . Приравнивая, получим а2 -Ь2 =
2R
= ж\Л2 -ab). Площадь
= 2i?cosa(a -6), откуда cosa = ——-.Значит, г"
2i?
= R2 -ah . Площади кругов Sl = tzR2 , S2 = кг2
кольца S = Sl - S2 = kR2 - kR2 + %ab = nab .
Ответ: ixab.
10.138. Три равные окружности радиуса г попарно касаются одна
другой. Вычислить площадь фигуры, расположенной вне окружностей
и ограниченной их дугами, заключенными между точками касания.
Решение.
Отрезш1,ссюдиняющиеце1ггры окружностей (рис. 10.124), образуютпра-
вильный треугольник со стороной Ъг. Его площадь: 5j = =
2S.
Площадь 1-го сектора S2 -
Jtrz60° кг1
360* 6
619
. Так как секторовтри, то пло-

щадь фигуры, расположенной вне
окружностей и ограниченной их дугами,
заключенными между точками касания, будет равна
г1 __г2(2л/3-я)
S = r2S
Рис. 10.125
Ответ:
2 2
г2(2-Л-ти)
10.139. На сторонах ромба как на
диаметрах описаны полуокружности, обращенные внутрь ромба. Определить
площадь полученной розетки, если диагонали ромба равны а и Ь.
Решение.
Площадь полученной розетки будет равна сумме площадей четырел*
заштрихованных (рис. 10.125) частей. Площадь каждой заштрихованной
части равна разности площади полукруга и площади прямоугольного тре-
а b
г'
угольника со сторонами
нугу', с - \и~ +Ь~
Тогда радиус полуокружности К = - г = -- ^
Площадь полукруга S] = - tzR ~ -- (а + Ь ). Площадь прямоугольного
треугольника S7 ~ =—. Площадь розетки S-4(Si-S->) =
2228 . v [ -'
f It i , 7 (lb
32 '8
7~~~ "~*
Omaenv.
K(ir +lr)-4ab
10,140. Доказать, что если через вершины четырехугольника
провести прямые, параллельные его диагоналям, то площадь параллелограмма,
определяемого этими прямыми, в два раза больше площади данного че-
тырехуюльника.
Решение,
По условию (рис. 10.126), KL\\AC\NM, KNJBD\}IM. Плошадь
параллелограмма KLMN равна
620

Рис. 10.126
Рнс. 10.127
-* KLMN ~ Ь ABCD
JAKB *
DBLC
+ S,
CDM 1
3AND ■
Так как КВ\\АО н КщВО, то КВОА — параллелограмм н АВ ~
его диагональ, Значит, SAKB = SAB0 ■ Аналогично SBLC =SB0C ,
$CMD - Ь COD > b DNA = $DO A ' ТОГДа
SfCLMN = $АВСО + У$ВОС +^COD+^DOA +$АВо)
■'ABCD + ^ABCD
= 25
ABCD,
что и требовалось доказать.
< 10.141. Определить боковые стороны равнобедренной трапеции, если
ее основания н площадь равны соответственно 8 см, 14 см и 44 см2.
Решение.
Пусть ЯС = 8, AD = \4 (рнс. 10.127). Проведем BL1AD, CM1AD .
S лисп = BL . Отсюда BL = ABCD = 4 (см). По условию
2 BC+AD
AB-CD, BL - СМ ■ Значит, AL = MD = =3 (см). Тогда
AB^^BL2 +AL2 =Vl6 + 9=5 (см)-
Ответ: 5 см.
10.142. В правильный треугольник вписана окружность, а в нее —
правильный шестиугольник, Найтн отношение площадей треугольника
н шестиугольника,
Решение.
Пусть сторона правильного треугольника равна а, Тогда его пло-
щадь 5, = . Радиус окружности, вписанной в треугольник, г = .
4 6
621

Рис. 10.128 **■ 10Л29
Он будет равен стороне шестиугольника, вписанного в эту окружность:
а6 = , А радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник:
_ а6УЗ _ а
2~~4~
Площадь шестиугольника
s -ва5Г -ц2^• 5| -й2^-8-
2 2 8 ' S2 4я2л/з "
2.
Ответ: 2.
10.143. Общей хордой двух кругов стягиваются дуги в 60° и 120°.
Найти отношение площадей этих кругов.
Решение.
Пусть АВ — общая хорда, Rt, R2 — радиусы соответствующих
окружностей (рис. ] 0.128). По теореме косинусов
АВ2 = i?,2 +Л,2-2ВДео5бОа = R{ .
С другой стороны, АВ2 = i?22 + i?22 - 2R2R2 cosl 20° = 3R% . Значит,
Ri = 3R% . Площади кругов S, = jlK2 , S2 = %R2 ■
S, ЗД|я_3
Ответ: 3:1.
10.144. В прямоугольнике проведены биссектрисы двух углов,
прилежащих к большей стороне. Определить, на какие части делится пло-
Отношение -
622

Рис. 10.131
щадь прямоугольника >тимп биссектрисами, если стороны
прямоугольника равны 2 и 4 м.
Решение.
Пусть АК и DL - биссектрисы (рис. 10.129). AD = 4, В4 - 2.
ZKAB = 45°. ZB=90°, ZBKA= 45е. Значит, МВК —
равнобедренный и АВ = ВК ~ 2 (м). Аналогично, КС - CD = 2 (м). Так как
ВК -i- (_Х = 4 (м), то ючки L п К совпадают. Имеем SjBh -
АВ■ВК;
■2 = 2(M-),Sn
CK-CD---2 2 = 2 <\Г), SAKn
= S
ABCD ~-MSA'
-Sn
= 2-4-2-2^4 (м~).
Ответ: 2, 2, 4 (м:).
10.145. Высота ромба равна 12 см. а одна т его диагоналей равна
15 см. Найти площади ромба.
Решение.
Пусть ВК=\2 (ем). 5Z) = J5 (см) (рис. 10.130) Из Д5А7>
я* 12 4 „ n,v г~~^ Г"7с7 з
sma= =-- - -;так как 0 < <х < 90 то cosa-vl-sin а. = 1 --.
BD 15 5 V 25 5
01) BD BD 15 ■ 5 75
Из &/10D cos <х = - - . откуда АО - - - = - = - (см).
AD 2AD 2cosa 2-3 6 '
75 ?
Площадь ромба S-AD ВК - -12 = 150 (см").
6
Ответ: 150 см2.
10.146. Длина выесны, опущен нон на основание равнобедренно! о
треугольника, равна 25 ем. а радиус вписанной окружности |>авеи 8 см. 11ай1 и
длину основания 1реушлышка.
623

Решение.
Uycn>K,L,M—точки касания (рис. 131).
Тогда ВК = 25 (см), OK=OL= ОМ = 8 (см).
Значит,
ВО = ВК-ОК = \1 (см),
ВМ = 4В02 -ОМ2 = -У289-64 -15 (см).
Рис, 10.132 Тогда tg ос = ——- = —. С другой сторо-
ВМ 15
ны, tgcc = —— откуда .АТС = #ATtga = 25-— = — (см). Значит,
ВК ' J 15 3
ел
АС = 2КС = — (см).
80
Ответ; ~— см,
10.147. В параллелограмме спериметром 32 см проведены диагонали.
Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 8 см.
Найти длины сторон параллелограмма,
Решение,
Обозначим стороны параллелограмма через а и Ь . Тогда его
периметр равен p = 2(a + b)=32. Периметр одного треугольника равен
Pi = b +~г +^г , второго р2 = а + —- +—- , где dt, а2 — диагонали
параллелограмма. Разность Pi~p2 =b-a = 8. Получили систему:
(а+Ь=\6,
i, 0 Решая ее, найдем а = 4, 6 = 12.
[о-а = о.
Ответ: 12 см, 4см,
10.148. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна
h, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60°.
Решение.
Так как центральный угол COD равен 60° (рис. 10,132), то
вписанный угол CAD равен 30°. Следовательно, h = -AC виз ААКС
получим АК = 4аС2-СК2 =hS . Находим площадь трапеции;
624

S = - (BC+ AD}i = (AE + ЕК}г = AK-h = hS-h=h*& .
Ответ: h24b.
10.149. Круг, раднус которого равен r , разделен на два сегмента
хордой, равной стороне вписанного квадрата. Определить площадь
меньшего нз этих сегментов.
Решение.
Обозначим сторону вписанного квадрата через а. Диаметр
окружности является его диагональю. Это значит, что 2а = {2R) , откуда
a-Rjl ■ Площадь круга S, = kR2. Площадь квадрата S2 =a2 =2Л2 ,
Площадь меньшего сегмента
с Wc M яЛ2-2Л2 _ R2{k-2)
i--li!-i2b 4 4 '
R2(*-2)
Ответ: - .
4
10.150. Определить площадь кругового кольца, заключенного
между двумя концентрическими окружностями, длины которых равны С1 и
С3 (Сг>С2).
Решение.
С, С2
Длина окружности С, — 2тс/?,, С2 = 2жЯ-,, откуда Л, = — - R2 = —— .
2тг 2тг
%С{ С\ с]
= Т^" = 7Г; s2 =~Г ■ Площадь
4я~ 4тг 4тг
кольца S = S}-S~> = — ICf - С2 ).
4ic
ci2~c2
Ответ:
4л
10.151. Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне
правильного вписанного треугольника. Определить отношение плошадей
этих сегментов.
Решение.
Пусть г -—- радиус круга, a S^ и S2 — площади сегментов. Тогда
^=н1_1г.г^=±г^я_зл),
1 3 2 2 12 г ''

S2 =jtr2 -S, =ro-2 - — г2((я-3,/з)= — r2^it + 3V3)
12 * '12
S, _4jt-3v5
Значит, "j ~ —~r ■
S2 8jt + 3V3
4я-3л/з
Ответ: ~ р •
8jt + 3V3
10.152. В правильный шестиугольник, сторона которого равна а,
впнсана окружность, н около него же опнсана окружность. Определнть
площадь кругового кольца, заключенного между этимн окружностями.
Решение.
г. - ° а^3
Радиус вписанной в шестиугольник окружности г, = = .
1, 180" 2
2tg—
Радиус описанной же окружности около шестиугольника гг =а .
Площадь большего круга 52 = тш1, меньшего— Sx = я—— .
Площадь кольца Л =i2 ~^i =na ~.—
™2
Ответ: .
4
10.153. Круг радиуса л разделе}! двумя концентрическими с ним
окружностями на три равновеликие фигуры. Найти радиусы этих
окружностей.
Решение.
Обозначим радиусы внутренних окружностей через Rx и R2. Пусть 5 —
площадь самого малого круга; тогда я/?,2 = 5, tzR\ = 25, %R2 = 35 ■ Сле-
довательно, %Rt = и тг#2 = > откуда i?i = —= и R7 =RA— .
1 з з -Л V3
Ответ: рг и ^-.("г ■
10.154. Площадь кругового кольца равна 5 . Радиус большей
окружности равен длине меньшей окружности. Определить радиус последней.

Решение.
Радиус большей окружности обозначим
через Л,, а меньшей — через Л,. Площадь
кольца S = krI - яЛ2. Так как R2 = 2яЛ, ,то
5 = я4я2Л,2 -пЛ,2 =лД,2(4я2 -l).
°ntMa/!l=lfadhv Рис. 10.133
Jt(4jt2 -l) '
0твет i^-\f
10.155. В круге радиуса R по разные стороны от центра проведены две
параллельные хорды, одна из которых равна стороне правильного
вписанного треугольника, а другая—стороне правильного вписанного шестиуголь-
пика. Определить площадь части круга, содержащейся между хордами.
Решение.
Длина хорды, равная стороне вписанного правильного шестиуголь-
3R г~
иика, а6 = R , а треугольника а3 =-—= -JlR (рис. 10.133). Площадь
л/3
сектораОЛВ S{ равнаплощаднсегментаплюсплощадьтреугольника
ЛОВ : S\ = 5сегм1 + SA0B = = . Откуда
360' 6
с ЛЛ2 1 02 ■ £а° ^ ^2л/3
сегм1 g 2 6 4
Площадь сектора ОС£> S2 также равнасумме площадей сегментаи
пты* ? ? ^с зсЛ2 -120- яЛ2
треугольника 01>С : ^2 =Лсегм2+^сшс = ;—~ —т~, откуда
360° 3
„ %R2 1 _2 ■ ,™ Я*2 JJR2 „
SCS[m2 - — — R sin 121) = — — . Площадь круга,
содержащаяся между хордами:
%R2 i R2S %R2 SR2 ^R2[k + &)
S = %RZ ~5r™i -5wr„, =tcRz
6
m2 '
д2(* + Уз)
Ответ: i ■
2
627

я,
В С 10.156. Вкруграднуса R впнсаны
два правильных треугольника так, что
прн нх взаимном пересечении каждая
нз сторон разделялась на трн равных
отрезка. Найтн площадь пересечения
этих треугольников.
Е и Решение.
Рис ] 0 134 Фигура, образованная прн
пересечении таких треугольников, будет
правильным шестиугольником. Сторона
вписанного правильного треугольника равна щ = —= = лШ? - Тогда
л/3
1 -Уз
сторона правильного шестиугольника равна а6 = — а3 = — R. Радиус
вписанной в него окружности г
а6 = а6л/з = л/З-л/ЗЛ = R'
' 180° 2 3-2 2 '
с 6a6r 6RS-R л/ЗЛ2
Площадь шестиугольника: Ь6 = = = .
10.157. Через точкн R я Е, принадлежащие сторонам АВ я AD
параллелограмма ABCD, и такие, что AR = (2/3)АВ , АЕ = (\/3)AD,
проведена прямая. Найтн отношение площади параллелограмма к
площади полученного треугольника.
Решение.
Пусть h — высота параллелограмма ABCD, hx —высота
треугольника ARE (рис. 10.134). Тогда SABCD ^AD-h, S^re --^АЕ-п\- Но
h АВ 3 _ SABCD ADh AD-h
— = = —. Следовательно, — = - = -—; — = 9.
>h AR 2 S"*£ lAE.u L±AD-lh
2 '23 3
Ответ: 9.
628

10.158. Три окружности радиусов Ri=6 см, R2~l см, R3=8 си
попарно касаются друг друга. Определить площадь треугольника,
вершины которого совпадают с центрами этих окружностей.
Решение.
Отрезки, соединяющие центры этих окружностей, равны:
^ = i?j+i?j =6+7 = 13 (см), b = R2+R3=l+8=\5 (см), c = Ri +R3 =
= 6 + 8 = 14 (см). Тогда площадь этого треугольника можно найти по
формуле Герона, где » = а + /? + с = 13 + 15 + 14 = 21 (см):
2 2
5 = yjp(p-aXp-bXp~c) = yl21(21-13X21-14X21-15) = 84 (см2).
Ответ: 84 см2.
10.159. Найти отношение площадей равностороннего треугольника,
квадрата и правильного шестиугольника, длины сторон которых равны.
Решение.
Пусть сторона правильного треугольника, квадрата, шесщгуголь-
-г ? а2 УЗ _ 2 „ 6&а2 _
ника равна а . Тогда о3 =—-— , 54 = а , S6 ~—-— . Значит,
S3-.S4:S6=^:fl2:^a2=V3:4:6V5.
Ответ: 4з:4:б4з.
10.160. В трапеции, площадь которой равна 594 м2, высота 22 м, а
разность параллельных сторон равна 6 м, найти длину каждой из
параллельных сторон.
Решение.
Так как S = — {a + b)h , то ~(a + b)-22 = 594, откуда а+Ь = 54. Из
ja + b = 54,
системы уравнений j _ . _ с находим а = 30 (м), Ь-24 (м).
Ответ: 30ми24м.
10.161. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника
с катетамн 6 и 8 см проведен перпенднкуляр к гипотенузе. Вычислить
площади образовавшихся треугольников.
Решение.
Пусть СК —перпенднкуляр к гипотенузе АВ ААВС (рис. 10.135).
629

Рис. 10.135
Рис. 10.136
Тогда АВ = у1ВС1+АС1 =10 (см); SASC =-АС ВС = 24 (см2);
ДВКС ~ АА СВ. Значит,
■ВС"
авкс
24-64
Тогда S,
100
-— . Найдем
ВС)
= 15,36 (см2).
■ =24-15,36 = 8,64 (см2).
Ответ: 15,36; 8,64 (см2).
10.162. Вычислить плошадь равнобедренного треугольника, если
длина его высоты, проведенной к боковой стороне, равна 12 см, а длина
основания равна 15 см.
Решение.
Пусть АК —перпендикуляр к боковой стороне ВС (рис. 10.136).
Тогда АК = 12 , АС= 15 (см); КС=4лС2 ~ АК2 = л/225-144=9
(см).Обозначим АВ=ВС = х.Тогда АВ2 = АК2 +13х2 или х2 =144 + (.y-9)2 ,
откуда х= — (см). Тогда S^c =- Л.К ■ 5С=-12 — = 75 (см2).
Ответ: 75 см2.
10.163. Сторонытреугольникаравны 13,14н 15 см. Найти
отношение площадей описанного и вписанного в этот треугольник кругов.
Решение.
Пусть г и Л —радиусы вписанной и описанной окружностей. Тогда
S _ аЪс „
/• = —, i? = -— . Найдем
Р 45

-л/21-8-7-6 = 84 (см2).
Следовательно,/- = 4 см, R = —"- см,
8
откуда получим искомое
отношение площадей: -
С65
Ответ: ~
i32
Рис. 10.137
10.164. Вычислить площадь трапеции ABCD (Л£>|ВС),если длины
ее оснований относятся как 5:3 и площадь треугольника ADM равна
50 см2, где М — точка пересечения прямых А В и CD.
Решение.
Пусть ABCD — данная трапеция (рис. 10.137). AD.BC = 5:3;
SiDM =50. MDM ~ АВСМ. Значит, ^°**- =
. Тогда
*вс2

AD'S л
ъ всм
= 50-18 = 32 (см2).
5 ABCD = ^ADM '
Ответ: 32 см:.
10.165. В правильный треугольник вписана окружность и около него
описана окружность. Найтн площадь образовавшегося кольца, если
сторонатреугольника равна а.
Решение.
S
- -—а
4
а' л/3 2 ^
= _ = — а.Ошюда5 = т^г ~ш~
Ответ: .
■Уз з
Имеем S4 = — а2 , р = -а, г -
2 Д . я3
= — а, R =
За 6 4S.
3 12
7Ш'
4
631

Рис. 10 138
10.166. Один из ка1етов прямоугольного гре>-
юльнпка равен 15 см, а радиус окружности,
вписанной в феугольник, равен 3 см. Найти площадь
1реугольника.
Решение.
Пусгь A, Z,. М — точки касания вписанной
окружности (рис. 10.138). Тогда КО ^ LO - МО = 3
(см). СА -= 15 (см). Отсюда СМ = КС -■= 3 (см),
МЛ - СА - СМ - 15-3-12 (см). Значит, LA -
-= 12 (см). Обозначим SA = BL = х. Тогда пло-
щадыреугольиика S - 2SgK<) +2$OL i +Skow -
= 2-— v- 3 + 2 — ■ 1 2*3 + 3-3= 3v+45. С другой
стороны, S^(x + 3) 15-- = .v+ . То1да - x+ =3.v + 45. откуда v = 5.
222 22
lliaic. площадь треуюльиика S = 15-8- - = 60(см').
Ответ. 60 см:.
10,176. Доказать, чю площадь трапеции равна произведению длины
одной из непараллельных сгороы и длины перпендикуляра, ироведенио1 о
мере:! середину другой боковой стороны к первой.
Решение.
Пусгь точки А', М — середины непараллельных сторон АВ и CD (рис.
!0. И9). ML — перпендикуляр к стороне АВ, BN — перпендикуляр к AD-
BN
Из ЛЛЛ7? найдем sina = --.Из \KLM получим sinoc =
А В - КМ
Зна-
LM
где АД/ — средняя линия фапешш ABCD. Итак.
В,\
ЧП'К =
/IS AM
Л5- /.М = 5,V KM = 5, что и требовалось доказать.
10,168. Доказать, что если диаметр нолукру1 а разделить на две
произвольные части и на каждой из них построить как па диаметре
полуокружность (внутри данного полукруга), го площадь, заключенная между т ремя
полуокружностями, равна площади круга, диаметр которого равен длине
перпендикуляра к диаметру полукруга, проведенного в точке деления до
пересечения с окружностью.
Ранение
Пусть R — радиус данного полукруга, а /- радиус одною in hoci-
632

Рис. 10.139
роенных полукругов (рис. 10.140). Тогда площадь заданной фигуры
равна Щт:Я2 -ш2 -k(r-rf)=w{R-r). Так как ZADB=9W, то
CD2 = АС ■ СВ = 2r -2(r -r) = 4r{R-г), откудъ ^?- = nr(R -r). Что
4
и требовалось доказать.
10.169. В круг радиуса R вписан прямоугольник, площадь
которого вдвое меньше площади круга. Определить стороны прямоугольника.
Решение.
Пусть стороны прямоугольника равны а и b .Тогда диагональ его,
являясь диаметром окружности, равна \а2 + Ь2 , т.е. а + b = 4R
a2+b2 = 4R2,
Площадь круга nR = lab. Получим систему: -
tzR1 =2ab.
Откуда
R^n+4±R^4-n
Rj% + 4 +RJ4-TZ
Ответ:
Rjn + 4±Rj4-Ti
10.170. Определить площадь круга, вписанного в сектор круга
радиуса R с хордой 2а.
Решение.
Опустим радиусы вписанного круга в точки касания (рис. 10.141).
Тогда из прямоугольных треугольников AABD и АОКВ получаем
OK AD r a Ra
smct = = «=> - — <=> Rr~Ra-ra <&r = .
OB AB R-r R R+a
633

Отсюда л
Ответ; щ
10.171. Основания трапеции равны а и /?, углы при большем
основании равны к/6 и л/4 . Найти площадь трапеции.
Решение.
Пусть BC\\AD и Z.A = п/6, Z.D = л/4 . Опустим перпендикуляры ВК
и CL иа сторону AD (рис. 10.142). CL = BK обозначим через Л.Тогда
tgn/4-——.Значит, LD = h. Тогда А К = b-a~h,'d tg7t/6 = =
h \ h . b-a _
= - , —== = - > откуда h = —=—. Площадь трапеции
b-a-h -Уз b-a-h Jl+\
s_a + b h_a + b b-a = [jj -l)(ft2 -а2)
2 2 'Ji+i 4
Ответ: ^ ^- '.
4
10.172. В ромб с острым углом 30° вписан круг, а в круг — квадрат.
Найти отношение площади ромба к площади квадрата.
634

Решение.
Пусть К , L , М , N — точки касания окружности и сторон ром-
КО АО
ба. гА = Ж (рис. 10.143), АЛОВ - АОКВ . Значит, ~г=~—г .
OB AB
Обозначим KO = OL~OM = ON^r , AB=BC=DC = AD = a . Tor-
r acos!5° a a
да -——~ -———, откуда r = asin!5 cosl5° =—sin30°. Диаметр
asm 15 a 2
окружности является диагональю вписанного в окружность квадрата, т.е.
2b1 = (2г)2,где/>—сторона квадрата, тогда/? =rj2 = — Jl sin 30°.
Площадь ромба 5, я a2 sin 30" - а2 •-. Площадь квадрата S2 = b2 == .
S.
Отношение — = 4 .
Ответ: 4.
10.173. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют
арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найти длину гипотенузы.
Решение.
Пусть с —длина гипотенузы. Тогда длины катетов равны с-\ и
с-2. Имеем {с-if +{c-2f = с2 или с2 -6с+ 5 -0, откуда с~5 (см)
(второй корень уравнения не удовлетворяет условию).
Ответ: 5 см.
10.174. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около
круга, равна S . Определить радиусэтого круга, если угол при основании
трапеции равен 30°.
Решение.
Пусть BC\AD, ZA-Ж (рнс. 10.144). Обозначим 5С = a, AD = b;
635

Рис. 10.146
опустим перпендикуляр ВК на AD, обозначим его h , АВ = с . Так
как окружность вписана в трапецию, то а +Ь = 1с или с = . Из
. ,.„ h lh 2h 1
ААВК найдем sm JO = — = - = — откуда а + Ь~ 4Л . Значит,
с а + Ь а + Ь 2
S = - h = 2h2; так как h = 2r ,то S =8г2, откуда г = А— = .
2 \8 4
Ответ:
J2S
10.175. Найти площадь равнобедренного треугольника, если
основание его равно а , а длина высоты, проведенной к основанию, равна
длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.
Решение.
По условию DK — средняя линия ААВС (рис. 10.145). Так
как BD = DK = -BC, то ZC = 30° и BC = 2BD-^ ABCD имеем
CD2 = ВС1 - BD2 или ?- = 4BD2 - BD2 , откуда BD = J-Щ .
Следовательно, S = - АС■ BD = CD■ BD = ^2..
2 12
Ответ:
а2&
12
10.176. Доказать, что в параллелограмме ABCD расстояния от
любой точки диагонали А С до прямых ВС и CD обратно пропорциональны
длинам этих сторон.
Решение.
636

Пусть К— произвольная точка
диагонали Л С (рис. 10.146). Опустим
перпендикуляры КМ и KN на ВС и CD.
Из /\КМС КС = -^-. Из ДА'МГ
sina
vr KN sinP KN
Л.С - . Это значит, что —- - —.
sinp sina MK
Из AACD no теореме синусов находим
CD AD
: - = 7 -г, и так как AD - ВС, то
sinp ВС ^ KN ВС .
--- =— . Это значит, чго — =— — к
sma CD MK CD
M
Рис. 10.147
или KN CD=k MK-BC-k Отсюда KN - ,MK=-- . что и тре-
CD ВС
бовалось доказать.
10.177. Доказать, что отношение периметра треугольника к одной из
ею сторон равно отношению высоты, опущенной на эту сторону, к радиусу
вписанной окружности.
Решение -
Так как площадь треугольника S = pr = dj5ah(l, то 2р! а = ha ! г, что и
требовалось доказать.
10.178. Найти длины сторон равнобедренного треугольника ЛВС с
основанием АС, если известно, что длины его высот AN и ВМ равны
соответственно /' и т.
Решение.
ВМ ВС „ п „„
ACMS- ДСМ4 (рис 10.147), откуда -777 = -,—■ Отсюда ^С= ЯС,
AN AC
1
МГ = -ЛС = -BC-M-3ABMCBCZ=MB1 + MCZ,BC
2 2т
+ МС2,ВС2 = т2 + 5С2[ —
2т ,
откуда SC--
. ЛС =
2 m f;
V4«r -/' v4jh ~n
637

D
E F
Рис. 10.149
Рис. 10.148
10.179. Ромб, у которого сторона равна меньшей диагонали (рис.
10.148), равновелик кругу радиуса R . Определить сторону ромба.
Решение.
Из условия AABD —равносторонний, следовательно, ZBAD-6tf.
Площадь ромба: S = *2 sin 60° =—х2 =%R2 -.
Ответ: R I—=■.
\Л
10.180. Вычислить площадь трапеции по разности оснований,
равной 14 см, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15 см, если
известно, что в трапецию можно вписать окружность.
Решение.
Пусть АВ = \3, CD = 15 (рис.10.149). Обозначим АЕ = х , FD = у.
AD-BC- 14, значит, х + ^ = 14; BE2 =АВ2 -х2, CF2 =CD2 -у2,
откуда 13 -х =15 -у" ■ Получили систему
х + у = \4,
[\3'-х'=\52-у2,
куда л: = 5, У = 9. Значит, ВЕ = \2, ВС + AD = АВ + CD = 28. Тогда
Sabcd = (ЯС + ЛО)^=28.6 = 168 (см).
Ответ: 168 см2.
10.181. В квадрате со стороной а середины двух смежных сторон
соединены между собой и с противоположной вершиной квадрата.
Определить площадь внутреннего треугольника.
638

Рис. 10.151
Пусть К, L —середины AD и CD (рнс 10.150).Тогда S,
1
2 22 2 8 3
.1 £_£_
:2°'2 ~ 4
чит, S = S0 -S, -S2 -S3
За2
2 2 4 '
Площадь квадрата S0 -а2. Зна-
а2 а2 За2
Ответ:
8
10.182. Около квадрата со стороной а описана окружность. В один
из образовавшихся сегментов вписан квадраг. Определить площадь
этого квадрата.
Решение.
Диагональ квадрата является диаметром окружности (рис. 10.151).
(2Л)2 =2а2 , откуда R = V2a . Пусть сторона меньшего квадрата
равна х. Тогда РМ2 +Р02 =ОМ2 , РМ
а2
—, откуда х
РО--
- + х . Значит,
2 ' 2
Площадь меньшего квадрата
25 '
Ответ:
25
10.183. В равнобедренную трапецию вписан круг. Доказать, что
отношение площади круга к площади трапеции равно отношению длины
окружности к периметру трапеции.
639

Pi
Рис. 10.152
-a+b+2 =2(a + b).
Решение.
Обозначим основания
трапеции через а и Ь . Так как круг
вписан в трапецию, то а + b = 2 ■ с, где
с — боковая сторона. Значит,
. Тогда площадь
трапеции 5,
а + Ь
h, где h — ее
высота; периметр
Площадь круга S2 =кг = л— . Длина окружности / = 2кг = к/г,
4
S2 тОг -2 %h
I
Что и требовалось доказать.
S, 4{a + b)-h 2{a + b) Pl
10.184. Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны
которой содержат 16 и 44 см, а непараллельные — 17 и 25 см.
Решение.
Пусть В К и CL —перпендикуляры, опущенные на A D (рис. 10.152).
ВС = \6 (см), Л£> = 44 (см), .45 = 17 (см), CD = 25 (см). Обозначим
АК = х, LD = y. Тогда АВ2-АК2=ВК\ CL2 = CD2 - LD2 . Это
значит, что 172 -х2 = ВК2 , CL2 -252 ~ут . Получили систему
17z
= 252-
[х+у+ 16-44,
' откуда х=8, ^=20. Имеем CL =7625-400 = 15 ,
_ BC+AD „г 16 + 44 t_ .„, л
^дгд= 2 С ~2 '5 = 45°(см^
Omeem: 450 см3.
10.185. В равнобедренной трапеции длина средней линии равна 5, а
диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапецнн.
Решение.
Пусть основания трапеции равны а и Ъ , высота — h ■ Тогда пло-
640

Рис. 10.153
„ a + b , - „ п ,-> ^ , a + b г
щадь S h, С другой стороны, S =h . Значит, Л = =5, откуда
S = 25.
Ответ: 25.
10.186. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как 5:12,
а длина ее высоты равна 17 см. Вычислить раднус окружности, описанной
около трапецни, если известно, что ее средняя лнния равна высоте.
Решение.
Пусть ВС = 5к. AD = 12* (рис. 10.153). Тогда ^™~ = Л = 17,
\2к+5к
= 17, откуда А = 2. Значит, 5С= 10, /Ю = 24. Пусть (X 1 /Ш,
BK1AD, AK=LD= A~-~- = 7 (см); CD = ylci?+LD2 = \/]72+72
О. 17
13л/2, sinoc = -— = ^-т=- Из ДЛ1С найдем АС = >lCL* + Al/
CD 13v 2
:^
ЛС
-•Jll1+\12-\lyJ2 По геореме синусов "-1"- -2й, следовательно,
sin a
пЛлъЛ
R, Л = 13 (см).
172
Ответ: 13 см.
10.187. Высота, проведенная к основанию равнобедренного
треугольника (рнс. 10.154), равна Н и вдвое больше своей проекцнн на боковую
сторону. Найти площадь треугольника.
21 М..И. Сканавк, группа А
641

Решение.
Пусть ВК = Н ,BL —проекияяВКнаАВ.
ВК__ЬВ_ Н _ Н
АВ~ВК' АВ~2Н'
ААВК ~ AKLB
откуда АВ = 2Н ■
Значнт,
Рис. 10.155
АК = ^АВ2 -ВК2 =Uh2 -Н1 =Ял/3 .
Площадь
" Х-ВК-АС = -Н-2Н& = Н2Л.
2 2
Ответ: Н2 -Д.
10.188. Радиус окружностн, опнсаниой около прямоугольного
треугольника, относнтся к раднусу вписанной в него окружностн как 5:2.
Найтн площадь треугольника, если один нз его катетов равен а.
Решение.
Пусть R н г — радиусы впнсаииой н опнсаииой окружностей,
ВС = а (рнс. 10.155). Положим BD = x ; тогда BL = x (как
касательные, проведенные нз одной точкн), LA = А К = 2R - х (так как
ААВС —прямоугольный,то АВ = 2R). Имеем АС2 + ВС2 = АВ2 илн
\r+2R-xf+a =4R .Но R = 5r/2 , x = а -г ,нпоследиее уравнение
приметвид (7г - af + а2 = 25г2 илн 12г2 -Таг + а2 = 0, откуда г, = а/3,
г2 = а/4 . Этим корням соответствуют значения {АС\ =4а/3 ,
{АС\ =За/4. В результате получаем два решения:
_1_ 4а_2а2_ _i_ За _ За2
1_2°' 3 ~ 3 ' 2 ~2°' 4 ~ 8 '
2а2 За2
Ответ; илн .
3 8
10.189. В сегмент, дуга которого равна 60°, впнсаи квадрат.
Вычислить площадь квадрата, если раднус круга равен 2V3 + VI7 .
Решение.
Обозначим ВС = CD = DA = АВ=х (рис. 10.156). Рассмотрим &ONC,
642

В N С
Рнс. 10.157
ZONC = 90". Имеем ON2 + NC2 = ОС2, где ОС = Д = 2,/3+т/Г7 . CW =
= OM + MN = OM+x, NC = -.H AOMF ZOMF = 90\ ZMOF =
2
zeof ,„„ 7з 7з
= —г— = 30 тогда OAf = OF = R , следовательно, ON =
2 2 2
; + x . Таким образом, нмеем -^г— + х \ + — = R2, Решая квад-
2 2 4
ратное уравнение, получнм, что х =— [Jll -2v3 J; SABCD=x2;
^+^у;Уу!-2у!з)
1, S.
10
= 1.
Ответ: 1.
10.190. В треугольнике длины сторон относятся как 2:3:4 (рнс.
10.157). В него впнсан полукруге днаметром, лежащим на большей
стороне. Найтн отиошеине площади полукруга к площади треугольника.
Решение.
По условию АВ: ВС: АС = 2: 3:4. Обозначим АВ = 2х, тогда ВС = Зх,
АС = 4х, sa.
ВС-АС . /п^л упп. Лх2-Эх2-\6х1 7
= sin ZBCA cosZBCA= = -
2 ' -24х2 8'
■ увгл I, 49 VT? „ Ъх2^5 „
smZBLA=J\-— =——; S^bc = : .Пусть О —центр полукруга
V 64 й 4

АВ АО 2 AC , 4x 5
н BO - бнссектрнса, тогда — = —; j = —-1,—= -; ОС = 2,4* .
В ДОЯС ZOEC = 90\ OE = R = OC smZBCA^^-^- = ~xJE;
5 о 10
-ял . Таким образом,
тсЯ2 9я-15х2 27 _ 2
"р 2 100-2 40
„ _27 2 4 9л _Зя>Я1
\P:W = 4()™ ._7-^ = ioV_= 5Q
Ответ: .
50

Решения к главе 11
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Произвольная прнзма (/— боковое ребро;Р — периметр
основания; S — площадь основания; Н — высота; /^сч — периметр
перпендикулярного сечения; 5сеч — площадь перпендикулярного
сечения; 56ок — площадь боковой поверхности; V — объем):
s6oii=pcJ; (П.1)
v = sh; (П.2)
V = Sct4l. (11.3)
2. Прямая прнзма:
S6oK=Pi. (11.4)
3. Прямоугольный параллелепипед (а, ь, с — его
измерения; d — диагональ):
S6„=PH; (11.5)
V = abc; (П.6)
d2 = a2+b2+c2- (11.7)
4. Куб (а — ребро):
F = a3; (П.8)
a- = a,/3. (И.9)
5. Произвольная пнрамнда (5— площадь основания; Я —
высота; V —объем):
V = ^-SH. (11.10)
645

6. Правильная пирамида (/>— периметр основания; / —
апофема; 56ок — площадь боковой поверхности):
5бо«=|л; (Н.Н)
V = \SH. (11.12)
7. Произвольная усеченная пирамида (Sl я S2 — площади
оснований; h — высота; V — объем):
V = ^h(?l+S2+Js^). (11.13)
8. Правильная усеченная пирамида {Ц я Р2 — периметры
оснований; / — апофема; 56ок — площадь боковой поверхности):
Seo,=\(Pl+P2)l- (11.14)
9. Цилиндр (r— радиус основания; Н — высота; 56ок —
площадь боковой поверхности; V — объем):
S6oK=2nRH; (11.15)
V = %R2H- (П.16)
10. Коиус {R— радиус основания; н — высота; / —
образующая ^бок — площадь боковой поверхности; V — объем):
S6oK=%Rl; (11.17)
V = ^nR2H . (11.18)
11. Шар, сфера {R— радиус шара; S — площадь сферической
поверхности; V — объем):
S = 4nR2; (11.19)
V = -nR3. (11.20)
12. Шаровой сегмент {r— радиус шара; h — высота сегмента;
S — площадь сферической поверхности сегмента; V — объем):

S = 2nRh;
(11.21)
V = iA'\R—hi
(11.22)
13. Шаровой сектор (к— радиус шара; h — высота сегмента;
V —объем):
V = -nR'h.
3
(11.23)
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ
ЭЛЕМЕНТАМИ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ
1. Пусть в пирамиде выполняется одно нз следующих двух
условий: а) все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные
углы; б) длины всех боковых ребер равны. Тогда вершина
пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания
пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).
2. Пусть в пирамиде выполняется одно нз следующих условий:
а) все боковые грани образуют с основанием равные углы; б) длины
всех апофем боковых граней
равны. Тогда вершина пирамиды
проецируется в центр окружности,
вписанной в основание пирамиды
(эта же точка служит точкой
пересечения биссектрис углов в
основании пирамиды).
3. Если в наклонной призме
боковое ребро у4|В, составляет равные
углы со сторонами основания,
образующими вершину А, (рис. 11.1),
то основание о высоты ВхО лежит
на биссектрисе угла Ах.
647

Это же утверждение можно
сформулировать так: если в трехгранном угле два
острых плоских угла равны, то проекция
их общего ребра иа плоскость третьего
плоского угла является его биссектрисой.
4. Если высота треугольной
пирамиды проходит через точку пересечения
высот треугольника, лежащего в
основании, то противоположные ребра
пирамиды перпендикулярны.
Справедливо и обратное утверждение.
5. Если SO — высота пирамиды SABC н SA1BC, то площадь
SA01BC (рис. 11.2)
Доказательство указанных дополнительных соотношений
можно иайтн в любом издании данного сборника задач последних лет.
Рис. 11.2
11.001. В основании пирамиды лежит прямоугольный
треугольник с гипотенузой, равной с и острым углом 30°. Боковые ребра
пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найти
объем пирамиды.
Решение.
По условию ZACB = 90°, ZBAC = 30° (рнс. 11.3); поэтому
ВС = ~, АС = ——> откуда 50СН =-АСВС = —-. Проведем SO
2 2 2 о
так, чтобы АО = ОВ ТогдаО — центр описанной около ААВС
окружности, SO — высота пирамиды (см. «Дополнительные
соотношения между элементами призмы и пирамиды», п. I). В AASO
гем ZSАО = 45°
V = ^SoaSO--
Ответ: ——.
48
и, значит, SO
_с\1з
48 '
-АО =
. Итак,

s
ol Л
Рис. 11.3
Я!
D
Рнс. 11.4
11.002. Вычислять объем правильного тетраэдра, если радиус
окружиостн, описанной около его граин, равен R .
Решение.
У тетраэдра ребра равны. Обозначим их через а . Радиус
окружности, опнсаииой около осиоваиня тетраэдра (а это правильный
треугольник), равен R = , откуда а = R-J3 . Высота тетраэдра
проецнруется в центр опнсаиион около осиоваиня окружиостн
(рнс. 11.4). Тогда SH = 4sA1-AH1 =л/а2-Д2 =т/зЛ2-Л2 =Rji.
„ „ а27з зУзд2
Площадь основания Ь„я = = . Тогда объем
4 4
y = ^soc
Ответ:
4 3 4
11.003. Сторона осиоваиня правильной треугольной пирамиды
равна а, двугранный угол прн основании равен 45°. Определить
объем и полную поверхность пирамиды.
Решение.
У правильной треугольной пирамиды SA = SB = SC (рнс. 11.5); SH —
высота, причем Н — центр описанной окружности; D — середина А С,

в'
A'f
KLsS
Ml
ЬС
\A
Рис. 11.6
это значит, что HD1AC (ввдьДЛЯС —правильный). ZSDH = 45°Пло-
щадь основания S0CH = . Из ASDH имеем DH = SHtg45° = SH ■
С другой стороны, оя — радиус вписанной окружности — г ■■
aS
Это значит, что SH = ——. Тогда апофема SD = = -у=. Полу-
6 sin 45* V6
периметр основания Р~~а- Площадь боковой поверхности
а141
s6m = SDp = —— . Полная площадь S = S0CH + S6oK
+ S6„. = * ',
а объем Р = - SH ■ Sm = —- .
3 24
24* 4
11.004. Определить объем иаклоииой треугольной призмы, у
которой площадь одной из боковых граней равна s, а расстоянне от
плоскости этой граин до противолежащего ребра равно d ■
Ответ:
650

Решение.
Через точку К на ребре А А' = / (рнс. 11.6) проводим сечение
перпендикулярно к этому ребру. Тогда KMAJSB',т.к. BBlAA'; KNi-CC,
т.к. СС'\АА'. В AKMN проведем высоту KD. KD1MN и KDi.CC,
следовательно, KDiMB'CC н KD = d . По условию площадь грани
ЯЯ'С'С равна S- Тогда К = 5дш„ ■ЛЛ' = -Н)-МЛ'-ЛЛ' = -<г-а-/,
где M/V = а, MNi.CC = I ■
Далее, К = ^(а./) = ^4МЛ'СС') = ^5'.
Ответ: V = —dS.
11.005. Плоскнй угол прн вер-
шние правильной треугольной
пнрамнды равен 90°. Найтн
отношение боковой поверхности
пирамиды к площади ее основания.
Решение.
У правильной пнрамнды
АВ = ВС = АС = а (рнс. 11.7).
ZASC = 90% SA = SC = SB- Это
значит,что ZSAC = 45". AD = DC.
AD _ ajl
2
Тогда из AS AC: SA =
cos 45°
ный). SD — апофема. Тогда SD = ASsin45° =
С
A D
Рис. 11.7
(так как AASC — равиобедреи-
Боковая
поверхность S6oK = p-SD , где р
За1 -4
полупернметр основания -
3 а За2 а2 л/3 п
~а— = . Площадь основания оосн = . Отношение
л6о. Ы 4 _ /г
Ответ: yfe.
651

11.006. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см,
а диагонали его боковых граней равны 4-Ло и Зт/п ем.
Определить объем параллелепипеда.
Решение.
Обозначим стороны основания а и Ь, высоту параллелепипеда h, и
пусть Ь>а- Диагональ основания параллелепипеда d0 = \al + b2 ■
Диагональ боковой грани с ребрами Ь и h равна j = 4 b2 + h2 = 4т/1о .
Диагональ боковой грани с ребрами а и Л равна J = -Ja2 + h2 = 3i/l7 .
Диагональ параллелепипеда d = -Jdl+h2 =13- Получим систему
b2+h2=(lJTo},
a- +h2 =\}jnf, откуда а = 3, Ъ = 4, Л = 12.Объем у = abh = 144 см5.
а2+й2+Л2=132,
Ответ: 144 см3.
11.007. Найтн отношение объема куба к объему правильного
тетраэдра, ребро которого равно днагоиалн граин куба.
Решение.
У тетраэдра все ребра равны. Обозначим их через а. Радиус опн-
санион около основания тетраэдра окружности К = —— .
Основание высоты Н является центром описанной около ААВС
окружности (см. рис. 11.5). Тогда Н = \а -R =—т=- и объем V\=—SQ&l-H.
л/3 3
Так как ААВС правильный , то Soca = . Значит, Vx = .
Пусть ребро куба равно b ■ Днагоиаль куба равна fj-Jl ■ Она равна
Г" U- Q w l3 °Ъ
ребру тетраэдра ЬыЪ = а > откуда ° - ""Тг . Объем куба к2 - о - —-г* .
V, а312 3
Отношение ух ijla^jl
Ответ: 3.
652

11,008. В прямом параллелепипеде стороны основания равны а
я Ь, острый угол между иимн содержит 60°. Большая днагоиаль
осиоваиня равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найти
объем параллелепипеда.
Решение.
Большая днагоиаль осиоваиня лежит напротив большего угла
т.е. 180°-60" =120°. Отсюда, по теореме косинусов,
dx = -vV+/?2 -2a/?cosl20° = 4 а2 + b2 + ab ■ Меньшая диагональ
основания параллелепипеда d2 = 4а2 + b2 -2a/>cos60° = 4 а2 +b2 -ab ■
По условию меньшая диагональ параллелепипеда равна dx. С
другой стороны, d2 =h2 +d2, где/i — высота параллелепипеда. Это
значит,
•, что h = TJd? -dl = 4lab ■ Площадь основания
, . й.с Sab -Jlabjab
H = a/?sin60 =—-—. Объем V = 50сн ■ h = .
Ответ:
4bab4ab
Рис. 11.8
11.009. Центр верхнего основания
правильной четырехугольной
прнзмы и середниы сторон нижнего
основания служат вершинами вписанной
в призму пирамиды, объем которой
равен V ■ Найти объем прнзмы.
Решение.
Пусть сторона основания прнзмы
равна а (рнс. 11.8). Тогда сторона
ajl
осиоваиня пирамиды равна —-—, а площадь этого основания рав-
а2
на -— . Обозначим объем прнзмы через Vx; имеем Vl = ah , где/i —
высота прнзмы. Так как по условию объем пирамиды равен V, то
Р = 1~.Й.Но a2h = Vx, откуда V{=bV .
Ответ: 6V .
653

/
I
/\
A
/1.'
/si
• /
/
" 1
m
А К D
Рис. 11.9
Рис. 11.10
11.010. В кубе, ребро которого равно а, центр верхней грани
соедниеи с вершинами основания. Найти полную поверхность
полученной пирамиды.
Решение.
Из условия ясно, что высота пирамиды равна высоте куба, т.е. а
(рис. 11.9). К — середина AD,HHX — высота. Тогда НК = — ,
aS
НХК = ~$ННХ +НК =\\аЛ+\~\ -~V~- Полупериметр основания
р = — - Аа = 2а. Боковая поверхность 56ок ~ НХК ■ р = —— ■ 2а = a2 V5 .
Площадь основания 50СН = а1. Полная поверхность
S = S6oK+SOQa=a2 +a2S =a2^+S)-
Ответ: a2(l+V5)
11.011. Основанием правильной пирамиды служит
многоугольник, сумма внутренинх углов которого равна 720°. Определить
объем пирамиды, если ее боковое ребро, равное /, составляет с
высотой пирамиды угол 30°.
Решение.
По формуле суммы внутренних углов многоугольника узнаем
вид многоугольника 720° =180" («-2)- Отсюда п = 6» т.е. получили
654

шестиугольник; так как угол между боковым ребром н высотой
равен 30°, то высота h = /cos30° = — /. Радиус опнсаииой около
шестиугольника окружности i? = /sin30" ~ — Ои равен стороне шести-
/
угольника а = —. Радиус окружности, вписанной в шестиугольник,
а а& /л/3 0
равен г = = = . Значит, площадь основания
F „ 180° 2 4
2tg —
„ bar Щ2 1 . З/3
5осн = -у = —jjj—, а объем К = -5^ ■ Л = — .
Ответ: —.
16
11.012. Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной
четырехугольной пирамиды, равна ее боковому ребру и равна а.
Найти полную поверхность пнрамиды и ее объем.
Решение.
Обозначим сторону квадрата через Ь- Диагональ квадрата
(/ =/j^ . Она равна боковому ребру пнрамиды a-b4l (рнс. 11.10).
Площадь основания S^ = b2 = — . Высота пирамиды, как видно
нз рисунка, h = xj a1 ~ —
. х , L (*Y (За2 a2 aV? „
Апофема пирамиды * = i/" + г ~ V ~2~ + "IT ~—^ . Полуперн-
2а с _; _ а^^
метр основания р = 2b = —j=. Боковая поверхность ^бок -' 'P~~Z~fz>
655

Рнс. 11.11
2а а2Л a2Jl a1 ttUl+l)
-^ = —j-. Полная поверхность S = S6oK+SOQ1 = —— + у = —^—'.
Объем V = -S„
Ответ:
h_la2 afi _
3 2 ' 2
У?) УзУ
' 12 '
УЗа3
4VJ"
11.013. Центр верхнего основання куба с ребром, равным а,
соедниеи с середииамн сторон нижнего основания, которые также
соединены в последовательном порядке. Вычислить полную
поверхность полученной пнрамиды. /
Решение.
Так как ребро куба равно а, то сторона основания пнрамиды
SABCD равна —— (рнс. 11.II). Учитывая, что OK = -AD = -—,
2 2 4
найдем апофему пнрамиды: SK = \S02 + ОК2 = Ja2 +—=
V84
Значит, 5fi,
I ajl ЪалЦ За2
S =
ajl
yS.0K=2al
Ответ: 1а ,
656

11.014. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна h,
а двугранный угол при основании равен 60°. Найтн полную
поверхность пирамиды.
Решение.
Так как Z.SKO - 60° (рнс. 11.12), то OK = -SK = — . Основание
пирамиды — правильный шестиугольник, поэтому ZKOD = 30° н
KD = -OD. Тогда OK2 = OD2 - KD2 = 4KD2 - KD2 = 3KD2, т.е.
*-л h& nc- ^n h^ п с ЬРЕ2& h2&
KD = , DE = 2KD = . Получаем: S.™ = = ,
6 ' 3 У осн 4 2
, =3DE-h = h2S, $пс
t"SfioK -
3h2S
Ответ:
3h2S
11.015. Найтн полную
поверхность правильной треугольной
пирамиды, сторона основания
которой равна а, а двугранный
угол при основании равен 60°.
Решение.
Радиус вписанной в правильный
ААВС окружности равен г-——
(рнс. II. 13); SH — высота
пирамиды, SK — апофема, к — середина АС, ZSKH = 60° ■ Апофема
/ = -— = —г—. Боковая поверхность 56ок = р I, где Р — полупери-
п За а& За а2 & а2&
метр основания р = ~-.Тогда S6oK = — —~—z—» "Vh - ■
2 3 2 2 4
Полная поверхность 5" - 50сн + 56ок =
a2S a2& За2&
Ответ:
За2&
657

11.016. Основание четырехугольной пирамиды — прямоугольник с
диагональю, равной Ь, и углом 60° между диагоналями. Каждое нз
боковых ребер образует с плоскостью основания угол 45°. Найтн объем
пирамиды.
Решение.
По условию BD = b,ZAOB = 60° (рис. 11.14); отсюда АВ = -,
AD= — . Значит, 50СН = АВ -AD=^-. Так как ZSAO = ZSBO =
2 4
ZSCO = ZSDO=45° то SO — высота пирамиды и SO= -. Итак,
2
F = ISoc,,so=^.
3 ос' 24
A3V3
Ответ: .
24
11.017. Сторона основания правильной треутльной пирамиды равна
I см, а ее боковая поверхность составляет 3 см*-. Найти объем пирамиды.
Решение.
Обозначим сторону основания правильной треугольной пирамиды че-
•> За
рез а, т.е. а = I (см); 5бок -Ъ (см"). Так как S6oK -р{, где р= -■- —
полупериметр основания, а/ — апофема, то / = ----- =—- = 2 (см). Ра-
р 3/2
«л/3
диус вписанной в правильный треугольник окружности /■ = —=
6
J* , ч т - J, fc 2 С ЗГ i/i?
= — (см). Тогда можно найти « = v/ -/• =,/4 =—j= (так как
6 V 36 27з
основанием высоты в правильной пирамиде является центр вписанной
в треугольник основания окружности). Площадь основания
2JV IX
^осп = — (ем2). Тоща объем
4 4
„ 1„ , 1л/з V47 V47 з,
К= S ■/! = = = (см ).
з з 4 гТз 24
Ответ'. см .
24
658

s
L'-'''o ^\/
Рис. 11
D
14
B^~
Рис. 11.15
11.018. Основанием пнрамиды служит треугольник со
сторонами, равными а , а я b. Все боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом 60°. Определять объем пнрамиды.
Решение.
По условию АВ-ВС = а (рис. II. 15); поэтому ВН = а =
4
-~,]4а2~Ь2 . Отсюда Som = -AC BH = -b<Aa2 -b1 . Проведем
высоту SO ■ Так как все ребра пнрамиды одинаково наклонены к
плоскости основания, то точка О — центр описанной около ААВС
окружиостн. Пусть раднус этой окружиостн равен л . Тогда
а2Ь а2
OB = R = -
4S„,
I
, = В ASOB ОВ = ^ ; поэтому
4а'-Ь2 2 '
SO = 4 SB2 - OB2 = J 40В2 -OB2 = OBS = -JLJ2=. Имеем
44a2 -b2
v-l4 ™-' b44a2-b2 a2S _a2bS
3 3 4 f^—tf 12
Ответ:
a2bS

11.019. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно
/, а высота равна h ■ Определять объем пирамиды.
Решение.
Обозначим AS = l, SH = h (см. рис. II.5). Тогда
АН = -JaS2 -SH2 = v/^-Л2 ■ В правильной пирамиде АН является
раднусом опнсаииои около правильного ААВС окружности, т.е.
Ш = * = ^ » #^ = ^,откуда fl = ^I^ = ^f^].
3 3 V3
„ <?S З7з(/2-/,2) _
Площадь осиоваиня оосн = = i '. Тогда объем
4 4
3 осн 3 4 4
Ответ:
VJ/ifr2
4
11.020. В осиоваинн наклонной прнзмы лежит параллелограмм
со сторонамн 3 н 6 дм и острым углом 45°. Боковое ребро призмы
равно 4 дм н наклонено к плоскости осиоваиня под углом 30°.
Найти объем прнзмы.
Решение.
Пусть АВ = 3 (дм), AD =6 (дм), AAi =4 (дм) (рнс. 11.16); А^Н —
высота. Тогда AiH = AAism30° = 2 (дм). Площадь осиоваиня
S0CH =/l£-,4Dsin45° =9^2 (дм2). Объем
V = Smi-AiH = 9j2-2 = lbj2 (дм1).
Ответ: [8л/2 Д"3-
11.021. Каждое нз боковых ребер пирамиды равно 269/32 см.
Основание пирамиды—треугольник со сторонами 13, 14 и 15 см.
Найти объем пирамиды.
Решение.
269
Пусть SA = SB = SC = — (см) (рнс. 11.4), а АВ = с = 15 (см),
ЯС = а = 13 (см), /1С = 6 = 14 (см), SH — высота. Это значит, что
ZSTM = ZSHB = ZSHC■ Тогда АН = ВН=СН (изравенства Д4SH,
660

Рис. 11.17
ABSH, ACSH). Значит, Н является центром описанной около
ААВС окружности и Л = . Площадь ААВС можно найти по
формуле Герона S = -Jp(p-a)(p-b)(p-c), где р = -=21 (см).
Тогда S = V21(21-13)(21-14)(21-157 = 84 (см2). Вычислим радиус оми-
131415 65
санной окружности R = = (см) и высоту пирамиды
SH = hs2-AH*= v!h,- I -(о"- I = ^ <CM)'
32
32
Объем V = [- S,„.„ SH = - ■ 84 • — = 60,375 см3.
3 ot" 3 32
Ответ: 60,375 см3.
11.022. Определить объем правильной четырехугольной призмы, если
ее диагональ образует с плоскостью боковой грани угол 30°, а сторона
основания равна а.
Решение.
Пусть АВ~ВС= CD=DA = a. B,D — диагональ призмы, ZBB| А = 30°
(рис. 11.17). Обозначим АВ. = Ь. Тогда Ь = =av3. Высота
tg30°
661

h=BBl = Vb2 - a2 = ajl - Объем V = S0CH h . Так как ABCD
—квадрат, то 50СН = a2 ■ Тогда V = a2 ajl =a3Jl .
Ответ: аъ^2.
11.023, В правильной четырехугольной пирамиде сторона
осиоваиня 6 дм, а высота 4 дм. Найтн боковую поверхность усеченной
пирамиды, отсекаемой от данной плоскостью, параллельной ее
основанию н отстоящей от нее на I дм.
Решение.
Пусть AD = DC = BC = AB= ах (6 дм), SH — высота, SH = 4 (дм)
(рис. II.18). По условию НН1 = 1 (дм). Из подобия AHES и AH&S
НЕ _ SH
(где е н£\ —середины CD и C,Z>, соответственно): ti р ~ си ,ио
SHX = SH - ННХ = 4 -1 = 3 (дм). Значит, ад = Н£: - = - (дм). Зиа-
3 4
чнт, А А = 2ВД = | (дм). SEX = yjsrf+Hrf = J32 + f |1 = ^ (дм).
5£ = VsH2 + H£2 = л/42 + З2 = 5 ■ Тогда 5бок1 = д ■ 5£,, S6oK2=p2-SE,
где /7j, /72 — полупериметры ,4j5,CjA и ABCD соответственно;
р2=2-6 = \2 (дм), А =2-= 9 (дм). Тогда S^, = 9 ■-- = —- (дм2);
^бок2 = 12-5 = 60 (дм2). Боковая поверхность усеченной пирамиды
S6„k = S6„K2 - S60Kl = 60- ^ = i^ = 26,25 (дм*).
Ответ: 26,25 дм2.
11.024. Основаниями правильной усеченной пирамиды служат
квадраты со сторонами а и Ь (а >Ь). Боковые ребра наклонены к
плоскости осиоваиня под углом 45°. Определить объем усеченной
пирамиды.
Решение.
Пусть AD = DC = ВС = АВ = а , Ав\ = ВА = СА = АА\ = b
(рис. 11.19), ZDfDH = 45", гдеDXH — высота усеченной пирамиды.
662

Рнс. II.18
Рнс. 11.19
00,||АЯ, ОН = 0XD,. 0,1), = - В, А = - 6,/2 . Диалогично ОЬ = -аЛ .
■Jl Jl
Значит, HD = OD-OH = ^Y(a-b). ЯД =#Dtg45" =^-(a-b);
Sabcd = °2 > ^AVA ~ * ■ Объем усеченной пирамиды
У - ^HtyVABCD + JS ABCDS A'A", + SA>lcAl~^^
±Jl(a-bp + ab + b^
4^-b%
Ответ: "^-(a3-*3)
11.025. Боковые ребра правильной усеченной треугольной
пирамиды иаклоиеиы к плоскости основания под углом 60°. Стороны
нижнего н верхнего оснований равны соответственно а н b (a>b)-
Найти объем усеченной пирамиды.
Решение.
Пусть АВ = ВС=АС=а, АХВ[ = ВХСХ = С,А, =b, ZAXAH = 60'
(рис. 11.20). Таккак ААВС и Afifii —правильные,то О нС\ —центры
663

45-
1 \
1 \
1 \
1
1
\
\
\
\
\ \
Phc. 11.20
D К
Phc. 11.21
описанных около них окружностей. Это значит, что Л,0, = Rl =
3 '
ЛО = Д = —. 4#||О0| . Значит, Art^AO-KO-^R-R, = ^-(а-6).
•Уз -
Высоту Л,Я можно найти: \Н = y(Htg6G° = -— {\а-Ъ)-4ъ =(а-Ь).
Площадь S,,«c
a2V3
ft2V3
Тогда объем
' = ^itf(s.4Bc+,/
ЗлвсЗ^вр! +$л1в1с1
Уф-ьГ-
a2S -Ji , b2J$
ab-t
=4(«3-*3)-
Ответ: —[a -b \
11.026. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб.
Плоскость, проведенная через одну нз сторон нижнего основания и
противоположную сторону верхнего основания, образует с
плоскостью основания угол 45°. Полученное сечение имеет площадь,
равную Q. Определить боковую поверхность параллелепипеда.
664

Решение.
Проведем BKLDC (рис. 11-21), тогда B^KLDC также. Отсюда
ZBKB' - 45° н ВК = ВВ' - h , В'К = -Jlh ■ Пусть стороны ромба
равны а. Тогда боковая поверхность
S6=4aBBl = 4ай = 4^а-\/2й =
л/2
= 2^-CDB'K = lj2Q, так как по
условию площадь сечеиня AiBlCD
равна Q.
Ответ: 2Qjl.
11.027. Определить объем
правильной четырехугольной
пирамиды, если ее боковое ребро составляет
с плоскостью основания угол 45°, а д
площадь диагонального сечеиня
равна S-
Решение.
Пусть АВ = ВС = CD = AD = a (jmc. 11.22). Тогда А С = ajl . SH _
fZ
высота, ZSCH - 45". SH = CH tg45° =—— . Площадь диагоиаль-
„ I A„ _„ Jla ajl a1 r-
ного сечения S = — AC ■ SH - —— = -—, откуда a = J2S ■
Значит, SH = У5 ■ Площадь основания 5осн = a2 = 2S ■ Объем
V = \soCH- SH-2S- JS -~^SJS.
Рис. 11.22
Ответ:
11.028. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 30°.
Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°.
Определить объем и полную поверхность пирамиды, если радиус
вписанного в ромб круга равен г .
665

Рис. 11.23
Решение.
Пусть PABCD — данная пирамида (рис. 11.23), рн — высота,
HKX.CD , значит, PKX.CD , ZPKH = 60', ZBCD = 30°, НК-г ,
ZCDH = 75° ■ Из AHDK найдем DK = —^—. Из ДОШ ЯС = ——;
tg75" tgI5'
DC = DK+KC = i\-
I
sin 90'
2r
^tg75° tgl5°J sinl5°cosl5° sin30°
= 4r
Площадь основания S^ = ВС DC sin 30° = 4r-4r- = 8r2 . Высота
РН нэ Д/>ЯЛГ равна .РЯ = НК tg 60° = rjh , a i>AT =
cos 60°
- = 2r. Tor-
8r3V3
Да F = -S0„W = i8r2rV3 з
, боковая поверхность
£6wc = /> ■ i^, где р — полупериметр основания р = 2 Ar = $r ; это
значит, что S6ot = 8r • 2r = 16r2 . Полная поверхность
S = S6(,K+S'OCH = l6r2+8r2=24r2.
Ответ: —-—, 24r ■
666

11.029. Объем правильной треугольной пирамиды, боковая грань
которой наклонена к плоскости основания под углом 45°, равен 9 см3. Найт и
полную поверхность пирамиды.
Решение.
Пусть РАВС—данная пирамида (рис. 11.24), РН— высота, где Я —
центр вписанной в ААВС окружности; НК±АС, значит, PKi-AC,
да = ,=^-, ZPKH= 45°. Далее, РН = НКщ45° = ^, рк = -^- =
6 6 cos 45°
Дл/Зл/2 а-Гь _а2л/3 _Ъа
= = ; ьоси — . Боковая поверхность Лбок РК -
6 6 4 2
= -<,■ — = —р. Тогда S = S6oK+SOCH = у- . Объем V =
= ~Sm. РН = "--=9, откуда а = 6 (см). Итак, s = 36,/з (1 + >Я) =
3 24 4
= 9^3(1+V2) см2.
Ответ: 9л/з~(1+-/2) см2.
11.030. В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм
со сторонами I и 4 см и острым углом 60°. Большая диагональ
параллелепипеда равна 5 см. Определить его объем.
Решение.
Пусть АВ = 1 (см), ВС= 4 (см) (рис. 11.25); ZSAD=60°. тогда
= /fB2+BC2-2/fBDCcosl20°=l + 16 + 2 4 ^=21, Л С, =5 (см).
Значит, СС2 = /fQ2-/fC2=25-2l = 4 (см2). Тогда СС,=2 (см). Объем
I/ = S0C„ -О:,; S0cll=/f3 /fDsin60° = b4—= 2,/з (см2). Тогда
У = 2&-2 = 4& (см)3.
Ответ: 4S СМ .
667

с,
/Ь дУ
j£-i±
W
D
Рнс. 11.26
11,031. Центр куба, ребро которого равно а, соединен со всемн
его вершииамн. Определять объем н поверхность каждой нз
полученных пнрамид.
Решение.
Так как при указаииом построении образовалось 6 одинаковых
пирамид (рнс. 11.26), то каждая нз инх имеет объем V - —- н полную
6
а2+4-1-аОК. Но ОК = 4ор2 +РК2 = — ,
ПОВерхИОСТЬ "Ьполн
"ТКУ»1 S™.™=a2+a2V2=a2(l + V2)
Ответ: — ; fl2(,/2
+ 1
11.032. Основание пирамиды —
равнобедренный треугольник с
основанием 6 см н высотой 9 см. Каждое боковое
ребро равно 13 см. Вычислить объем
пирамиды.
Решение.
Пусть АС = 6 (см), ВК = 9 (см)
(рис. 11.27), />Н — высота,
РА-РВ -PC- 13 (см); из равенства
АРНА = АРНВ^АРНС следует
АН = НВ-НС , значит, Я — центр
668

Рис. 11.28
AC
опнсаииой около ААВС окружности. Тогда АК = КС = —— = 3 (см).
Значит, ВС = АВ -■- 4 В К1 + КС2 = V81+9 = З-Ло .
Площадь основания Socil = SABC =—ВК-АС = -6-9=^21 (см2).
Тогда раднус опнсаииой окружности
„ АВВС-АС З-Ло-З-Ло-6 , . . ,
R = = = 5 (см). Значит,
4SABC 427
РН = 4РАг~АНг = 12 (см). Объем V = \-5жа ■ РН = i ■ 27■ 12 = 108 (см3).
Ответ: 108 см3.
11.033. В треугольной пирамиде боковые ребра взаимно
перпендикулярны н имеют длины ^70> V99 н Vl 26 см. Найтн объем н
площадь основания пирамиды.
Решение.
По условию ZAPC = ZAPB = /.ВРС = 90°, АР = -УТО , РВ = V99 ,
PC = 7l26 (рис. 11.28, а). По теореме Пифагора
АВ = у1рА2 +РВ2 =,/70 + 99 = 13, ВС = т1рВ2+РС2 =,/99 + 126 = 15.
669

с,
v,! е
,'■>
N
X
\
\
с]
/
D
F Е
Рнс. 11.29
АС = 4ра2 + РС2 = 770 + 126 = 14 ■ Тогда площадь основания SABC
можно найти по формуле Героиа
SABC = 72I(21-I3)(2I-I4)(2I-15) = 84 (см2). Для того чтобы найти
объем пнрамиды, перевернем ее так, чтобы основанием была грань
РАВ (рнс. 11.28,б).Отэтогоееобъемиензмеиится.Тогда С/> = л/126
является высотой полученной пнрамиды, т.к. АРАВ —
прямоугольный, то его площадь SPAB - -1?А ■ РВ = —V70 ■ V99 , Объем
V = ^CPSPAB=^Jm~Jl^j99=2[j55 (см3).
Ответ: 2{-Js5 см3, 84см2.
11.034. Определить объем правильной шестиугольной призмы, у
которой наибольшая диагональ равна d , а боковые грани —
квадраты.
Решение.
3x2S
V = S-H ■ Обозначим D,D = х (рнс. 11.29). Тогда имеем
AB = BC = CD = ED = FE= AF = Dfi = x (по условию) S
AD^lx-Ъ AADDt, ZADD, = 90°; значит, AD, = ^AD2 +D,D2 ; (no
670

условию ADl = d). Имеем, что d = х4$ \ отсюда x = —j= = H,
л/5
S =
3d2S
10
V = S-H =
м\/з
Юл/5
Ответ:
3d'S
10V5 '
11.035. Найти объем куба, если расстояние от его диагонали до
непересекающегося с ней ребра равно d -
Решение.
Расстояние от ребра AAt до диагонали BlD равно расстоянию
от этого ребра до плоскости BBtDtD , т.е. длине отрезка А1Е
(рнс. 11.30). Пусть ребро куба равно а; тогда из Д4,ЕД находим
2d2 = а2 , откуда а = djl ■ Итак, V = ay =2d1Jl ■
Ответ: 2d3 -J2.
11.036. Определить объем
октаэдра (правильного восьмигранника),
ребро которого равно а .
Решение.
Y = -SH,TaeH = 2h = 2SO,S = a2
(рнс. 11.31). В ASOC ZSOC = 90°, тог-
да SO2 ^SC^-OC2, где ОС=~;
SO2
2<f-<f
а2 и _ а и _ 2а
2 42' V2'
и, таким образом,
2а V2 з
л/2 3 '
Ответ:
a3V2
671

л ».
|р
•
•
•
•
•
/X
Рис. 11.32
Рис. 11.33
11.037. Основание призмы— квадрат со стороной, равной а.
Одна из боковых граней — также квадрат, другая — ромб с углом
60°. Определить полную поверхность призмы.
Решение.
Snomx-4Sabcd+2Sbcca (ряс. 1132), SABCD = а2 (так как ABCD —
I 2л/з
квадрат и АВ-а\ $всс& ~Ха sin^O" = —-— (BB^Cfi — ромб,
ВВ{=а, ZB{C{C = 60° ), Snom = 4a2+a2S = а2\$ + л/з).
Ответ: а2(4 + -Уз)
11.038. Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из
вершин верхнего основания одинаково отстоит от всех вершин
нижнего основания и удалена от плоскости этого основания на
расстояние, равное ь. Сторона основания равна а. Определить полную
поверхность параллелепипеда.
Решение,
S = 2Som + 5бок, где S6oK = ASA^B (pHc. 11.33), 50сн = а1 (ABCD —
квадрат) и ЕО=^.Ъ ЬЕО\ ZEOA{ = 90°, тогда А{Е = Ж +—;
SMBBl=ABAxE=a^b~+a2 , S = 2a2+2aJ4b2+a2 ■
Ответ:
2а{а + 4лЬ2 +а2

г
,^lY
-^
ч1
Vs.,
^
с
^
М W
Рнс. 11.34
11.039. В кубе центры оснований соединены с центрами боковых
граней. Вычислить поверхность полученного октаэдра, если ребро
куба равно а.
Решение.
S = 8 Skmc , где СЕ = ,|5_ +~_
ял/2
СЕ = BE = ВС (рнс. 11.34),
поэтому Z-BfC = Z£CB = ZCB£ = 60° и
1 ал/2 ал/2 . ,„, а2л/з
Lsin60° =-
2 2 2 8
8
Ответ: а2 л/з~.
11.040. Основанием пирамиды служит треугольник с длинами
сторон 6, 5 и 5 см. Боковые грани пирамиды образуют с ее
основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Определить
объем пирамиды.
Решение.
16
V = -SH, S = Jp(p-6lp-5lp-5); /> = y = 8, поэтому 5 = 12;
12 3
S = pr; отсюда г = у = ^-в &SOE, ZSOE = 9W (рнс. 11.35),
22 М. И. Сканави, группа А
673

д
\
Рнс. 11.36
в,
й
Рис. 11.37
ZSEO = 45° (п0 условию) => ЕО = SO = — (так как ЕО = г), отсюда
F = 1.12.| = 6cm3.
Ответ: 6 см3.
11.041. Определить объем прямоугольного параллелепипеда,
диагональ которого равна / н составляет с одной гранью угол 30°, а с
другой 45°.
Решение.
У = аЬ-с-Ъ Д4ЯС (рнс. 11.36) ZA,BC = 90°;
I
IS
a = .BC = 4C-sin30° = -; А1В = ~.Ъ АА,С,С, ZA,ClC = W,
C,C = c=4C-sin45*=-^-; AB = Ь = ^А,В2 -с2 =J™-— =J— ;
/3,/2
F = afc =
Ответ:
/3V2
11.042. Определить объем правильной четырехугольной
усеченной пирамиды, еслн ее днагоиаль равна 18 см, а длины сторон
оснований 14 н 10 см.
674

Решение.
Искомый объем выражаемся формулой V — — (S} + S2 +-JS^S2 ), 'ДО
S\ = 19б (см2),52 = 100(см:). Найдем Л = Й,К (рис. 11.37). Имеем В{К =
-\BiD -КО . Так как B,B\D\D— равнобедренная трапеция. гю
5А' = 0,5(ВО-5,£>1) = 0)5(14-Л"-10^) = 2/2 (см) и KD = BD-BK~
= 12-У2 (см), i.e. h~4\%2~(\2j2)2 =6 (см). Итак,
(^ - (196+I0O + 14O) = 872(cmj).
3
Ответ: 872 см ,
11.043. Основанием прямого
параллелепипеда служит ромб, площадь которого
равна Q. Площади диагональных сечений
равны S] и S2. Определить объем и
боковую поверхность параллелепипеда.
Решение.
Имеем 1'-SlKllh, 1де $Ж11=0(ио
условию); таким образом, следуе! найти h. Так как ABCD -
ромб, то Socti - 0,5 AC-BD (рис. 11.38); учитывая, что AC-h-S^.
S S S S
BDh=S2, находим АС- ''-, ВО- -2 -. Отсюда получаем 1Q -Л.. _-.
h h h h
г.е, h -
■(i)
Sfin
f^2. Тогда F = ]S'^Q . Из ДОЖ : CD2 =
V 20 V 2
2 (S, f Sf+S,2
+ 1 ": = - . Итак.
1,2/! J 4/i2
K-4CZ)-A = 4A-Vil ^ -2,k2+S32.
' AC
k~2
' BD"
2A
Олтеш: jS,S2Q/2; 2tJs2+S2.
11.044. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно /
и наклонено к плоскости основания под упюм 60°. Найти объем пирамиды.
675

Bl
д
Рнс. 11.39
А В
Рнс. 11.40
V = -SH .В Д50С ZSOC = 90°, ZSCO = 60°. SC = / (Рнс. 11.39).
Отсюда имеем ОС = SC COS601 = 1- ■ Я = SO = SC sineO" = -у';
DC-AD = AB-BC -Ь AADC ZB = 90° (по условию),
4/2 /2
/1В2 + ВС2 = ЛС2! 2ЛВ2 = 40С2; S = AD
I f_ Si jlS
3' 2 ' 2 12 '
/37з"
4-2 2
Ответ.
12
11.045. Наибольшая днагоиаль правильной шестиугольной
призмы равна d и составляет с боковым ребром призмы угол 30°.
Найти объем призмы.
Решение.
V = SH.BAADD, (рис. 11.40)ZADD, = 90°, ZAD,D = 30°, AD, = d,
тогда Я = ДD = rf■ cos30' = rfV3/2; /IB = rfsin30° = rf/2. Пусть ВС = х,
676

с,
/i\\ в,/
С
А
/^
в,
\
\
\
\
- Л -
\
4*1
Рис. 11.41
Рнс. 11.42
АЕ = \--х]:2 = ---, ZEBA = 3V; x= .
12 J 4 2 sin30
АЕ -у л г d
-2АЕ х = х
2
1 d d е 3^2 я 3rf2^3 ., „„ З^л/з й'Тз <И3
2л = —; jc = —; S = - d V3 = ; Р = SH = =
2 ' 4 2 32 32 2 64
Ответ:
9£_
64
11.046. Стороны осиоваиня прямоугольного параллелепипеда
равны а я b. Днагоиаль параллелепипеда иаклоиеиа к боковой
граин, содержащей сторону основания, равную b, под углом 30°.
Найтн объем параллелепипеда.
Решение.
V^S-H, S = a-b- В ЩАВ ZfyAB = 90" , Z^Z),5 = 30°
(рнс. 11.41).Отсюда А£\^а-ctg30° = а-Д, # =^АО^-А^} = Ъа1 ~Ь2 \
V = 5 - Я = abha1 -Ъ2 ■
Ответ: аЬыЪа2 -Ь2.
11.047. Стороны осиоваиня прямоугольного параллелепипеда
равны а я Ь. Днагоиаль параллелепипеда иаклоиеиа к плоскости
осиоваиня под углом 60°. Определить боковую поверхность
параллелепипеда.
677

Рнс. 11.43
Решение.
В ABAD ZBAD=9W> DB = -J a2 + b2 (рнс. 11.42). В ЩВВ
ZDlDB = 9Q\ DlD = DBtitt? =S -4a2 +b2 , S^^ = &a • <Ja2 +b2 ;
Saffi = & ■ Ja2+b2 ; S = 2^^ + SBBiCf) = 2 VJ ■ Ja2+b2{a + b).
Ответ; 2л/3л/я2 + b2(a+b).
11.048. Найтн объем наклонной треугольной призмы,
основанием которой служит равносторонннн треугольник со стороной,
равной а, еслн боковое ребро призмы равно стороне осиоваиня и
наклонено к плоскости основания под углом 60°.
Решение.
Проведем А{К перпендикулярно плоскости ЛВС (рнс. 11.43); тог-
а2&
да V = S^ABC-AlK,где SMBC= —7—. Учитывая, что ZA^AK-bb',
л г <*& „ v o2S а& За3
находим А, К = . Итак, V = = .
^2 ' 4 2 8
Ответ:
За'
11.049. Найти объем правильной треугольной призмы, еслн
сторона ее осиоваиня равна а и боковая поверхность равновелика
сумме площадей оснований.
678

V = Soc„ • Я (рнс. 11.44), 3S6oK = 2 • SOCH ; Sm
a2S
Sn„, = 3a ■ Я;
4 ' 6 ' 4 6 8'
Ответ: а3/8.
11.050. Найти боковую поверхность правильной
шестиугольной пирамиды, высота которой равна h, а боковое ребро равно /.
Решение.
S6m = 6• S^SA =6-)-AF SK = 3AF■ SK (рнс. 11.45); ASOA,
ZSOA = 90° > OA = 4l-h=AF
= $
4
SX = J/
/2-Л2 л/зТТл
тогда Se,
1=з.#^*^Л$П^чР].
О/пвг/п; |V(/2-A2)t3/2+^"
679

в
Рис. 11.48
11.051. Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой
плоский угол при вершине равен 90°, а сторона основания равна 3 см.
Решение.
V=-SH (рис. 11.46); S = -J};OC= — = — = л/3 (так как
3 4 3 3
ЛЗ = ЗС = ЛС=« = Зсм);£0=^ = ^-. В &ESCZESC=90°, Я2 = ЕОх
2 2 1/2 3 4 1/2
9 9V2
4Л' 8
Ответ:
•)Jl з
11.052. В правильной треугольной призме площадь сечения,
проходящего через боковое ребро перпендикулярно противолежащей боковой
грани, равна Q. Сторона основания призмы равна а. Найти полную
поверхность призмы.
Решение.'
S = 2Soc« +3SBBIAIA (рис. 11.47); CD = ^^; АВ = ВС = СА = а.
680

2 ' ' ал/3 > Л»« - 4 '
Q = CDClC = ^-ClC; C'C = ~7j; S,
SBBl^A=AB-BB, =AB-CC = 2fj=-a^.t
5 = -^ + 2ел/3 = 7з(о,5а2+2е).
Ответ: V3(o,5a2 + 2g)
11.053. Высота правильного тетраэдра равна h- Вычислить его
полную поверхность.
Решение.
S = Socll+3SABsA=4SbABC = 4^~ = AB2yl3 (рис. 11.48);
4
ЛО = ЛВ4з/3, так как 5/1 = ЛЯ = SB = ЯС = SC = АС (по усло-
АВ1
вню); AAOS, ZAOS = 9u': AS1 = OA1 +S02 AS2 =—-+h2-
Ответ:
2 ' 2
3/i2V3
2
11.054. Каждое нз боковых ребер пирамиды равно Ъ ■ Ее
основанием служит прямоугольный треугольинк, катеты которого
относятся как т.п, а гнпотеиуза равна с. Вычислить объем пнрамнды.
Решение.
V - ~S И . Обозначим АВ~тх, ВС ~ пх (рис. 11.49). По
условию АС = с, 5С = /?-В ААВС ZABC = 9$"> значит, с2 ~т2х2+п2х2,
1 т ^«с —
н S - -тпх = -*-^= ^. Так как
> -у I—г г и о — — тик — —т—г г-
'+« л/m2 + я2 2 2(т2+«2
681

4\
В
Рис. 11.49
в--.. г"'-.-- '"•-
v.-:'.'Q..-':-
M
,- 'ё"----:.1:-:.у
Рис. 11.50
с lie1 л!Ah1 -с1
H = SO и ЛО = ОС■= SO = -, то Н2 =/)" ----; Н = -^-—— (в &SOC
2 4 2
ZS»C = 90° ):К =
Ответ.
1 шп c2V4/>2 -с2 __ wm-2V4/>2 -с2
3 2 (,„2+/,2)2 12(т2+я2)
т/?с V46 -с2
11,055. Центр верхнего основания куба соединен с серединами сторон
нижнего основания. Образовался четырехфаниый угол, каждый плоский
угол которого равен а. Доказать, что 30" < а < 45°.
Решение.
Имеем АВ = 4 AM2 + MB2 = J—
сг сг «V2
(рис. 11.50). lb ASOB
находим SB = S.A = .\aA +"- =— -. Пусть ZBSA = a. тгадпв &SAB но
4 2'
т 1 7 "" т 5а"
геореме косинусов подучим АН' - 2SB' - ZSB cosoc. или - -2- - -
, Sa2 4 0 J2 4 J)
-2 - co.s (X. 01кудасоза = Очевидно, чго < —< . >е . деи-
4 5 2 5 2
clBtnejibiio. 30 <а<45^.

Рис. 11.51 Рис. 11.52
11.056. Диагональ прямоуюльиого параллелепипеда равна 10 см
и образует с плоскостью основания yi-ол 60°. Плошадь основания равна
12 см2. Найти боковую поверхность параллелепипеда.
Решение.
Из AD]DB (рис. 11.51) находим BD = 5 см. £>£>, = 5л/з см. Боковая
поверхность 5б0К = 2(£>А -DC+ ОД ■ AD) = 2DDl(DC+AD). Но DC2 + AD2 =
= BD2 = 25. а по условию DC- AD = 12. Значит, (DC+AD)2^
= DC2 + AD2 +2DC AD = 25 + 24 = 49, откуда DC f ЛО = 7 (см). Итак,
Sow =2.54/3- 7^70л/3(см2).
Ответ: СМ'.
11.057. Определить объем прямоугольного параллелепипеда, еелнего
диагональ равна d. а длины ребер относятся как т : п : р.
Решение.
V = abc, £>,5 = rf. Обозначим ,45 = m.r, 5C' = m\ 5j5 = />.v (гак как
ш:п:р~ /15:5(7:5,5) (рис. 11.52). В до,D5 ZD,D5 =90°. Югда
П,52 =D}D2+DB2. В ADAB А1)АВ = 90' и DB2 = AD2 + АВ2.
поэтому D,5~=£)1D + /Ш~+Л5". </2 = p2.v2 + »г \2 +»~ \"\ значт. v-
^/m" -i~n2 + p1
683

s
A'
B
Рис
'■&■
11.53
^ = 3>C
Al-
■-JC
Рис. 11.54
Отсюда V = AB ■ ВС ■ B,B = mnpx* = ^
mnp d
ijfi
Ответ: I 2 ? ->\V2 •
11.058. Определять объем правильной треугольной пнрамнды,
если высота треугольинка, служащего ее осиоваинем, равна h, a
апофема пирамиды равна т .
Решение.
V = -SH, MC = h, SM = m (рис. 11.53). AB = ВС = AC , значит
CM
ABj3
2СМ _ 2/i ^
ав4ъ_^ь_
3 '
Д50М ZSOM = 90°
Я = VSM2 -Л/О2 = Am1 -— =J-
9m -Г
Отсюда Р =
з VI'
4^
S
tf-fihJ
Ответ:
^-h^9m2-h2.

11.059. Площади боковых граней прямой треугольной призмы
равны м, N и р. Боковое ребро ее равно /. Определить объем
призмы.
Решение.
По условию 5^щвл = М _ SBlC<BC = N г S^cq = Р, CQ = I
N М Р
(рис. 11.54). Тогда BC = j- AB = ~; ЛС = у;
г/ си с ; ; JN + M + P (N+P-M} (N+M-P} (M+P-N']
(по формуле Герона находим 5 )• Таким образом,
V =.-—J(N + М + р\м + N~Р\М + Р-n\N + Р-М).
Ответ: Jjffi+ М +Р\М + N - Р\м +P-NIN + Р-М).
11.060. Известны площадь
основания Р и объем V правильной
четырехугольной призмы. Вычис- д
лить ее полную поверхность.
Решение.
5„=25осн+45бок (рис. 11.55),
где Р = 50СН и р ~ а2 (а — сторона
„ V к
квадрата). V = РН
А
я = -
Рис. 11.55
5бок =а-Н = 4р —. Отсюда
S = 2P+4K
4Р
4V
Ответ: *Р + ~1=г •
11.061. Найти боковую поверхность правильной треугольной
призмы с высотой h, если прямая, проходящая через центр верхнего
685

s
Рис. 11.56
Рис. 11.57
основания и середину стороны нижнего основания, наклонена к
плоскости основания под углом 60°.
Решение.
Обозначим сторону основания через а . Тогда S6oK = Ъак .
Проведем высоту OtO (рис. 11.56). В Д£>00, имеем ZOO,/) = 30°, поэтому
0,Z) = 20D и 40D2 - OD2 = h2, откуда OD = Л7з/з . С другой
стороны, OD = а7з/б и,следовательно, a~2h ■ Итак, 5бок = 3■ 2А■ h = 6h2.
Ответ: 6Л2.
11.062. В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые
грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены
к нему под углом 45°. Среднее по величине боковое ребро равно /.
Найти объем и полную поверхность пирамиды.
Решение.
По условию SC = l, ZSSC = 90°' ZSCB = 45° (рис. 11.57), отку-
/ 1 /3л/2
да SB = BC = -j= . Имеем V = - ВС2 ■ SB = —— . Полная поверх-
72 3 12
i — •-> л
I — ^осн +25Д5ЛВ +25^5^/,, так как SASAB - 5Д5ВС,
, ■ Но 5л,
^ASAB
2 2L/2
' 4 '
686

3&SAD
= ~ADSA = -
I -L iJl^L
2 '2' Jl' 4 '
Итак,
"ол" ~ 2 + 2 + 2 2
/\/2 г2^)
12 ' 2
11.063. Найти объем и полную
поверхность правильной
четырехугольной пирамиды, сторона
основания которой равна а, а угол
наклона боковой грани к плоскости
основания равен 60°.
Решение.
Ответ:
к = 35оси'я,где S0CH=a2 и zSEO= 60° (рис. 11.58). В ASO£
ZSO£ = 90° => # = SO = -tg60° =-т/з. Имеем V = ~S . Далее,
2 2 6
S = Sm, +4S6 = a2+4S6,we S6 =-a-S£; S£ = - = a, значит
ося b b 2 2 cos 60
S6=y и5' = 3а2
Ответ: 3a2 ;
а',/3
11.064. Найти объем правильной треугольной пирамиды,
высота которой равна h , а все плоские углы при вершине прямые.
Решение.
Проведем BD1AC (рис. 11.59). Пусть сторона основания будет а.
Так как пирамида правильная, то OD = ——, AD = DC = — ,
6 2
a2S
Выразим а через h ■ В ASA С имеем SA = SC,

5
5
■-Ус
BbJr}
О \~/D
А
Рис. 11.59
Л^= =
\ -) В
С
Рис. 11.60
ZCSA = 90°. откуда ZASD = 45° и SD = AD = ^ ■ Тогда
V 4 36 Л
:Л-Уб-
.. 1„ , 1 a2S , 1 №\/3 , Л3,/3
Имеем К =-SOCHA = j——./, = -■ ^ Л~~2~-
Ответ: h?S/l.
11.065. Найти боковую поверхность правильной треугольной
пирамиды, если плоский угол при ее вершине равен 90°, а площадь
основания равна S ■
Решение.
a2 J} _ 24S
Пусть а — сторона основания; тогда S = —-— , откуда а - 4г- .
Искомая боковая поверхность выражается так: S6oK~b—aBD
а 0 За2 3 4S „ /г
(рис. 11.60). Так как BD = DC = -,T0 S^ = — = -■-щ = S-J3 ,
Ответ: S^.

s
A {
Л X
'SF,\ e
i
/'
A\
у
4
4
У
F E
Рис. 11.62
D
11,066. Найти объем правильного тетраэдра с ребром, равным а.
Решение.
Объем тетраэдра V = -SH (рис. 11.61). Площадь основания на-
а24з
ходится как S = —-— . Рассмотрим ASDC (Z.SDC = 90°);
= Ja2 - "j = ^4з . Рассмотрим ASOD (ZSOD = 90"):
Я = #^7 = ^-^.в ААВС
радиус вписанной
окружности г = —— . Тогда
6
V 4 36
1а_
41-
Окончательно получаем:
1 а2-Л 2а_ = аЧ2_
:3 4 Л 12
Ответ:
а3 Л
689

11.067. Правильная шестиугольная призма, боковые ребра
которой равны 3 см, рассечена диагональной плоскостью на две равные
четырехугольные призмы. Определить объем шестиугольной призмы,
если боковая поверхность четырехугольной призмы равна 30 см2.
Решение.
Пусть АВ-а (рис. П.62); тогда искомый объем К = 6—-—А,где
h = 3 см — высота призмы. Найдем а . По условию боковая
поверхность призмы ABCDAJSXCXDX равна 30 см2. Но 56ок = (ЗАВ + AD)h;
здесь AD = 2а (как диаметр окружности, описанной около
правильного шестиугольника). Следовательно, 5а-3 = 30, откуда а = 2 см.
22л/з г-
Итак, К=6—^--3 = 18V3 см3.
4
Ответ: lsVJ CM'-
11.068. По стороне основания, равной а, определить боковую
поверхность и объем правильной четырехугольной пирамиды, у
которой диагональное сечение равновелико основанию.
Решение.
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной
пирамиды находится по формуле 5бок = r-W (рис. П.63). Периметр
основания равен р = 4а ■ Из условия SABCD = SASC . Отсюда a2 =—ACSO.
Из квадрата ABCD А С -а-^2. Подставим и получим 2а2 = a*J2SO.
Отсюда SO = aJ2.m ASOE SE = JS02+0E2 =J2a2+^-=y ■
1 . За 2
Подставим и получим обок = —4а • —- = За .А искомый объем
находится по формуле К = —5Я = —aaaV2 = —-—.
2 ""Л
Ответ: За > ~~~;— •
690

5
С,
Рис. 11.64
11.069. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно
высоте основания, а площадь сечения, проведенного через это
боковое ребро и высоту основания, равна Q. Определить объем призмы.
Решение.
Искомый объем призмы находится как V — SH (рис. 11.64).
Площадь сечения DDXCXC Q = DCCCi. Так как по условию
г- x2S
DC = CCt, то DC = CQ = 4Q ■ Площадь ААВС : S = —j-.Из
ACDB 6 + -T- = х . Отсюда х = —. югда " j -~r
46 _ s-M- 6
= ~т- ■ Тогда ° ~ , - -/г и i
мый объем К
6^
Ответ: QyJQ/i.
11.070. В прямом параллелепипеде стороны основания равны а
и b и образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S-
Определить объем параллелепипеда.
691

Решение.
Объем параллелепипеда находится по формуле К = 50СНЯ
(рис. 11.65). Площадь основания S0CH =ft-asin30° -~ab. Площадь
боковой поверхности S-PH. Периметр основания Р = 2{а + b) ■
S
2(a + b)-
S
Отсюда " - -.( л . Тогда получим объем параллелепипеда.
к= abs
4(a + ft)'
abS
0твет: Ж^ьу
11.071. Найти отношение объема правильной шестиугольной
пирамиды к объему правильной треугольной пирамиды при
условии, что стороны оснований этих пирамид равны, а их апофемы в
два раза больше сторон основания.
Решение.
Объем шестиугольной пирамиды: Vx = ~Sl Щ , Площадь основания
шестиугольной пирамиды Sx = -~<r V3 , а высота равна Ht = J/2 — г* ,
За
где апофема 1 = 2а, а радиус вписанной окружности г\ ~ ~гт=. Тогда
Н = —л/13 . Подставим и получим V\ = ——« v3 •■■ = —a V39 .
Объем треугольной пирамиды Vi ~~r^i^i- Площадь основания
_, a V3 п. г
этой пирамиды 52 = —-— , а ее высота н2 - if г - к , где радиус
Тогда V2 3 4 6
= —^— . Подставим и получим Н2 = — V141 .
1й37з л/йТ
вписанной окружности г2
6
692

Рис. 11.66
Получаем отношение:
\\_ _ а3У39-46 _ 3 б2л/Гз _ 18-Л833 _ 6,/пШ
6^1833
141
47
Ответ:
47
11.072. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда
относятся как т: п, а диагональное сечение представляет собой
квадрат с площадью, равной Q. Определить объем параллелепипеда.
Решение.
Искомый объем V = S^h, где S^ = АВ AD (рис. 11.66), Л
—высота параллелепипеда. По условию BBtDXD — квадрат и, значит, h - JQ .
Найдем АВ и ЛД.Таккак AB:AD = m :л,то AD-—АВ.В AABD
т
имеем АВ2 + AD2 = BD2, т.е. ЛВ2 +-^-^£2 =g => ЛВ
'Л
ЛВ =
«J(2 mri'
J -Итж, К = ЛВ Л/>й
е>/ё
Ответ:
■qJq-
693

11.073. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3 н
6 см. Найти длину ребра такого куба, чтобы объемы этих тел относились
как их поверхности.
Решение.
Объем прямоугольного парллелепипеда равен Vmp =2-3-6 = 36 см3.
Объем куба VK = а". Площадь полной поверхности прямоугольного
параллелепипеда находится так: Smp~S6oK +25OCH = /7/ +2Saai =2(2 + 3) 6 +
+2 -3 2 = 72 см2. Площадь полной поверхности куба SK = 6а2. Из усло-
^пар ^пар л 36 72
вия = -. Отсюда - = - -. Получаем а ~ 3 см.
Ответ: 3 см.
11.074. Высота пирамиды равна 8 м. На расстоянии 3 м от вершины
проведена плоскость, параллельная основанию. Площадь полученного
сечения равна 4 м2. Найти объем пирамиды.
Решение.
Искомыйобъемпирамиды V'--SH (рис. 11.67).Нирамит SABCDEF
. , sO 8
подобна пирамиде SA\B,C,D\EiFl с коэффициентом подобия к - -— ■ = -.
50| 3
" ABCDFF I 2 /-.
Тогда площади их оснований относятся как — ' — = к . Отсюда
Sabcdef = М "4 - ~6 (см2). Значит, Г - - --6 -8 =* 75,85 см3.
Ответ: =75,85 см3.
11.075. Доказать, что объем конуса равен объему цилиндра с гем же
основанием и той же высотой минус произведение боковой поверхности
этот цилиндра на 1/3 радиуса его основания.
Решение.
Пусть Vwn — объем цилиндра, VKOH — объем конуса, г —
радиус основания, h — высота; тогда ГциЛ = кг h, VKOU = - пг h = ГЦ||Л.
694

s
Рис. ll.i
1 2 2
Так как 5б0К1[ИЛ =2егА , То -5боклшлг = -лг2Л = - Vm![. Отсюда
К™„ --Sfir
Что и требовалось доказать.
11.076. Высота конуса равна диаметру его основания. Найти
отношение площади его основания к боковой поверхности.
Решение.
Площадь основания конуса: 5OCH=ni?2 (рис. 11.68). Площадь
боковой поверхности конуса 5бок = kRI , где
/ = 4h2+R2 = iJ4R2+R2 = Ry[l ■ Отсюда 5бок = kR2 -Л . Оконча-
S0CH nR2 1 _75
тельно получим ~ - Г77 ~ ~/7 ~ ~Т~ ■
Ответ: ——■
695

s
Рис. 11.69 Рис. 11.70
11.077. Выразить объем конуса через его боковую поверхность S
и расстояние г от центра основания до образующей.
Решение.
Объем конуса находится по формуле V~-SH--kR2H (рис. 11.69).
Рассмотрим АОВА (Z.OBA = 90°): sina - —. Из &SOA (ZSOA - 90°):
к
Н =: / sin a = / — . Площадь боковой поверхности 5бок = kRI . Окон-
R
чательно запишем объем конуса:
3 3 R 3 3 б
Ответ; -Sr.
11.078. Цилиндр образован вращением прямоугольника вокруг
одной из его сторон. Выразить объем у цилиндра через площадь S
этого прямоугольника и длину С окружности, описанной точкой
пересечения его диагоналей.
Решение.
Искомый объем цилиндра находится как V~kR2H (рис. 11.70). По
построению R = а, Н =Ь ■ Площадь прямоугольника S - ab = RH .
696

Рис. 11.71
Рис. 11.72
Длина окружности с = 2га-, где г = —. Тогда С = 2л- = тш = яД .
Тогда окончательно получаем V = nR RH = CS .
Ответ: CS.
11.079. Доказать, что если два равных конуса имеют общую
высоту и параллельные основания, то объем их общей части
составляет 1/4 объема каждого из них.
Решение.
Пусть радиус основания каждого из данных конусов равен 7?, а
высота равна Я (рис. 11.71). Тогда объем каждого конуса
V1 = -kR Я Общая часть состоит из двух конусов; ее объем
2 2f
У г = — яг Л , где г — радиус основания, Л — высота. Рассмотрим
осевое сечение фигуры. Так как AOfiA ~ AOfiB, то АО: ВС = Ор : 0\С
, н R
или R:r-H :h ■ Но Л = ^Г. откуда следует, что Г = Т"- Итак,
* 3 4 2 12 4
Что и требовалось доказать.
697

11.080. На основаниях цилиндра с квадратным осевым сечением
построены два конуса с вершинами в середине оси (цилиндра).
Найти сумму полных поверхностей и сумму объемов конусов, если
высота цилиндра равна 2а ■
Решение.
По построению Н ~ 2R (рис. 11.72). Эти конусы одинаковые.
Площадь полной поверхности одного конуса: Sl = S6oK + SOCH - kRI + тс/?2.
Из ААВС 2l~l4lR- Отсюда i-yJ2R- Так как 2R-2a, то
Sl = па14l + па2 ■ А сумма полных поверхностей S = 2ra2U/2 + lJ-
1 2 1 3
Объем одного конуса VX--%R H = - та .А сумма объемов конусов
3
Ответ: 2тш2[Л + l); 3 ш* •
11.081. Около конуса с радиусом основания R описана
произвольная пирамида, у которой периметр основания равен 2р .
Определить отношение объемов и отношение боковых поверхностей
конуса и пирамиды.
Решение.
Пусть общая высота конуса и пирамиды равна Н (рис. 11.73).
Обозначим объемы конуса и пирамиды через Vl и V2, а их боковые
поверхности — через Sl и S2; тогда V\ = —nR Я, sl = iiRl, где / —
образующая конуса. Найдем V2 и S2 . Так как периметр основания
пирамиды равен 2р, а основание конуса — вписанная в
основание пирамиды окружность, то площадь основания пирамиды
равна pR, откуда Уг=-р&Н, S2 = pi (высота любой грани равна /).
Итак, Ш.^Н-ЛрЯН-^.. ^ = KRl:pl = ^.
V2 3 3^ р S2 р
kR
Ответ: .
Р
698

Рис. 11.73
11.082. Высота конуса и его образующая равны соотве1Ственно 4 и
5 см. Найти объем вписанного в конус полушара, основание которого
лежит на основании конуса.
Решение.
Из ASOA: АО - R - V25—16 - 3 см (рис. 11.74). Объем искомого
полушара Г= тиЛ Из ASBO: г2 + (5-х)2 = 16. Из ААВО : х2 +г2 = 9.
Решив систему
r~+xz=9,
получим
Тогда г= V9-xi =
12 т, 2 123 1152 у .
; — (см). Окончательно получаем К=—л—^- = ".v.-71 (см-).
1152 з
Ответ: - — - 71 см .
125
11.083. Определить объем шара, вписанного в правильную пирамиду,
у которой высота равна h, а двуфанный угол при основании равен 60°.
Решение.
Проведем сечение правильной пирамиды через апофему Л В и высоту
ВС^ А, на которой лежит центр шара, вписанного в пирамиду (рис. 11.75).
Шар касается боковой грани в точке К апофемы АВ.
699

в
/ <^с
Рис. 11.75
0
п
С
Рис. 11.76
Тогда /ВАС = 60* ■ /.ABC = 30° ■ Из АВКО имеем sin30° =
г \ 1 , _ 4 з 4 ,з
о^: _ 1
~дв ~ 2'
Ответ: тт7^1 ■
81
11.084. Конус и полушар имеют общее основание, радиус
которого равен R . Найти боковую поверхность конуса, если его объем
равен объему полушара.
Решение.
2
Так как объемы конуса и полушара равны, то V = — kR ; с дру-
1 о
гой стороны, V = - nR h, где h — высота конуса, т.е. h = 2R- Имеем
5бок = kRI , где / = yJR2+h2 - RS ■ Итак, 5бок = kR2S-
Ответ: nR2 J5.
11.085. В цилиндре площадь сечения, перпендикулярного
образующей, равна А/, а площадь осевого сечения равна N.
Определить поверхность и объем цилиндра.
Решение.
Площадь осевого сечения 5сеч, = H-2R = N . А площадь сече-
700

ния, перпендикулярного образующей, 5се,и = тгЛ2 -M. Площадь полной
поверхности цилиндра находится так:
S - 5бок +25ос|1 = ItzRH + 2kR~ - Nn + 2M. Объем цилиндра можно
найти так: V = tzR~H = MH. Радиус основания R = J—, а высота цилиндра
V 71
„ N Njrz „ „ .
Н - --- —р=. Находим искомый объем цилиндра:
2R 24М
V = M • — = —VAftt.
2VM 2
Ответ: Nn + 2M; - vMtu.
2
11.086. В конус, осевое сечение которого есгь равносторонний
треугольник, вписан шар. Найти объем конуса, если объем шара равен
3271/3 см3.
Решение.
4 ч 3?
Объем шара Уш - -пг = — тг (рис. 11.76). Отсюда г = 2 см. Ооъем
искомого конуса находится как Гк = -тг/?"//. Так как AASB — равносторон-
йЙ , 12 . г-
нии, то радиус вписанной окружности г ~ . Отсюда а = —^= - 4V3 см.
6 V3
Радиус основания конуса R- - = 2v3 см. Из bSOB SO = И -
= V5B2 -OB2 = yj(4S)2-(2л/3)2 =6см. Окончательно получим: Гк -
= -1тг(27з)2-6 = 24тг.
Ответ: 24л см3.
11.087. Доказать, что объем конуса равен 1/3 произведения боковой
поверхности на расстояние от центра основания до образующей.
701

s
н
i R.
Рис. 11.77
Решение.
Нужно доказать, что объем конуса ^ = т-5,6ок-г. Объем конуса
V = — kR Я. Высоту конуса можно выразить как Я = / sin а из ASOA
г 1г
(рис. 11.69). Рассмотрим ASOB: sina = — .Тогда Я = — . П одета-
к к
вим в объем и получим V-~nR — = ~KRlr . Но известно, что
5 КЗ
5бок = kRI . Тогда окончательно получим: V = -S6ok r.
Что и требовалось доказать.
11.088. Даны шар, цилиндр с квадратным осевым сечением и конус.
Цилиндр и конус имеют одинаковые основания, а их высоты равны
диаметру шара. Как относятся объемы цилиндра, шара и конуса?
Решение.
SocHu — SocHt ; Н«~Нц~ 2./?ш ; RK = Ra - Rm . Объем шара
4 г, 4 * 1 2 2 г,
Vm = -KR^--KR . Объем конуса VK =- тсК Я =- kR\ Объем
цилиндра Кц = kR2H = 2kR3 . Отсюда отношение:
702

Кц:Кш:К,*б:4:2«3:2:1.
Ответ: 3:2:1.
11.089. Радиус основания конуса равен R, а угол при вершине в
развертке его боковой поверхности равен 90°. Определить объем конуса.
Решение.
Объем конуса находится как: V~-tzR2H (рис. 11.77). Длина дуги
л/а id „ „ „ „ л_ -т,7^
сектора, с = — .С другой стороны, с - 2kR ■ Отсюда 2kR = — и
180 2 2
получаем / = AR, где / — образующая. Тогда Н = J{4Rf~R2 = Jl5R.
I .— , J\5 3
Подставим и получим V-=~n-Jl5R =——kR .
Ответ: —~кК .
11.090. Вычислить .поверхность
т.*па, полученного от вращения ром-
бг площадью Q вокруг одной из его
сторон.
Решение.
Площадь искомого тела:
5 = 5боки+25бок|;он (рис. 11.78).
Площадь боковой поверхности
цилиндра находится как 5б0Кц =2kRH . Высота цилиндра Я = а , а радиус
цилиндра Л =asina- Отсюда
*^бок ~ 2тш sinoc. Площадь боковой
поверхности конусов (они одинаковые) S6oK = л/У, где /? = asina,
а I = а. Отсюда S6or> = ita2 sina. Площадь ромба Q = a2 sina ■
Окончательно получаем S = 4ла2 sina = 4ng .
Ответ: 4kQ.
11.091. На отрезке АВ как на диаметре построена
полуокружность с центром в точке О , а на отрезках ОА и ОВ построены две
полуокружности, расположенные в той же полуплоскости с грани-
Рис. 11.78

цей АВ, что и первая. Найти поверхность и объем фигуры, которая
образована вращением вокруг АВ фигуры, ограниченной этими
тремя полуокружностями, если АВ = 20 см.
Решение.
Объем искомой фигуры равен: V = Vm -2Vm > где КШ| = —лЯ,
(рис. 11.79). Так как АВ - 20 см, то 7?, =10 см. Тогда получаем
4000
КШ|=——п. Так как Л, = 10 см , то Щ=5 см. Отсюда
4 „з 500 ^ „ 4000 1000 ,„„. , „
Кш, = -КЩ = —и . Тогда V = —— л — л = 1000л см1. Площадь
искомой фигуры равна: S = Sm| + 2Sm2. Площадь большей
сферической поверхности равна: 5Ш| = 4л7?, = 400л. Площадь меньшей
сферической поверхности равна: 5Ш, = 4лЛ; = 100л. Тогда
S = 400л + 200л = 600л см2.
Ответ: 600л см2; Ю00л см3.
11.092. Треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см вращается
вокруг большей стороны. Вычислить объем и поверхность полученной
фигуры вращения.
Решение.
№ АЛОВ (ОВ = 2\-х) R2 =П2 -fal-xf (рис 11.80). Из ЛАОС
, , , /?2=172-(21-xf,
(ОС=х) R1 =102 -х1 ■ Решая систему: -j 2 2 2
чим ОС - х = 6 см, а ОВ = 21 -6 = 15 см. Тогда R = 4\йг -б2 = 8 см.
Площадь большего конуса S6oK| = nRIl = л8-17 = 136л см2. Площадь
меньшего конуса S6o]<2 = лД/2 = л8Ю = 80л см2. Тогда площадь
поверхности искомой фигуры равна: S = 5бок +5бок =216л см2. Объем
1 7 1
большего конуса Vx = -kR Я, = -л64 15 = 320л см3. Объем меньше-

в
Рис. 11.79
_R
ю\
С
Рис. П.!
го конуса V2 =-кИ2Нг = -л64-6 = 128л см3. Тогда объем искомой
фигуры равен: V = Vl+Vi= 448л см3.
Ответ: 448л см3; 216л см2.
11.093, Найти отношение поверхности и объема шара
соответственно к поверхности и объему вписанного куба.
Решение.
Пусть радиус шара равен т? > ребро куба равно а ; тогда
л - — ~ -—-, откуда а - г- . Обозначим объемы и поверхности
4 з
шара и куба соответственно через Vx, V2 и S{, S2. Имеем ^ = — л7? ,
опЗ
V2=a3=—j^, 5!=4пЯ2, 52 = 6а2 = 87?2, откуда ух : К2 = тгл/з :2,
5( : 52 = л: 2
Ответ: ти: 2 ; тиТз : 2 ■
11.094. Найти отношение поверхности и объема шара
соответственно к полной поверхности и объему описанного вокруг него
конуса с равносторонним осевым сечением.
23 М. И. Сканави, группа А
705

Рис. 11.81
Рис. 11.82
4 з 1 2
Объем шара Уш = -лг , объем конуса VK = -яЛ Я (рис. 11.81).
Так как сечение — равносторонний треугольник, то г - —— . Отсюда
6
а ~ —f= = 2V3r # а радиус основания конуса Л = — = V3r . Высота конуса
'S'
H = Ja2-~ = i/l2r2-3r2 =3г. Отсюда
4гсг3-3
отношение
И. Згс3г2-3г 9'
Площадь сферической поверхности 5Ш = Ляг1. Площадь полной
поверхности конуса
5к = 5бок + Soch = 1tRa + kr1 = "i/Зг' 2-Узг + Зга-2 = 9w2 • Отсюда отно-
S„_.4ro-2 _4
шение: SK ~ W ~ 9 '
Ответ: у ~ с 9'
11.095. Около правильной треугольной призмы, высота которой
вдвое больше стороны основания, описан шар. Как относится его
объем к объему призмы?
Решение.
Объем шара равен: Vm ~~kR (рис. 11.82). Объем призмы равен:
Vn ~S H . Площадь основания призмы равна: S = ——— , а высота
призмы Я = 2а . Отсюда V„ =—-— .Рассмотрим ААОБ : ОВ = —Н = а;
706

AB = r ~—~ (радиус описанной окружности для равностороннего
треугольника).
Тогда r = 4abT^o¥ = JJ^ = ^- = ^.ToW
V 9 3 Я
и -4 8а В
vm - т к^~г • Искомое отношение: ^—яг^^
3 3V3 /^''^^^
Кш _ 4-8я3л-2 _ 64л / i \ \ \
~К~ ЪъЛаъЯ ~ 27 ' /~ --Т _1"~\~~-]
64л Г"~~/ 1 J—A
Ответ: ~TZ~- \ / | \ /
11.096. Определить поверхность шара, AVlA.-yC
описанного около конуса, у которого ради-
ус основания равен 7?, а высота равна h ■ iw 11 03
Решение.
Поверхность шара равна: 5Ш =4яг2 (рис. 11.83). Сечение конуса —
равнобедренный треугольник. Для него радиус описанной
окружности г = ^-^-.Дпя ААВС S = ~ACBD = -2Rh = Rh. Стороны
г-,—- ,_ 2я(я2 + й2) (яЧй2]
AB = BC = ^Ri + h2 ■ Отсюда г = —i—-—1 = ^гг—'. Оконча-
4Rh 2«
? л («2 + ^2)Z ^2+Л2У
тельно получаем Sm ~ 4л -* ^~J~ = —*-—-—<— .
ш 4А2 А2
Ответ: —^—;—*—.
h1
11.097. В шар вписан конус, образующая которого равна
диаметру основания. Найти отношение полной поверхности конуса к
поверхности шара.
Решение.
Рассмотрим осевое сечение конуса, которое пройдет через центр шара.
Так как диаметр основания конуса равен образующей, то в сечении
получим правильный треугольник, вписанный в окружность (рис. 11.84)).
Пусть радиус шара равен R ; тогда АВ = R-Jb , Л/> = ——. Обозна-
707

.1.
A\ D /С
Рис. 11.84 Рис. 11.85
чим полную поверхность конуса через Sj, а поверхность шара— через
S2. Имеем S, = к^-■ ЯлВ + л\^-\ = -nR2, S2 = 4kR2, откуда
S, :S, =9:16.
Ответ:
16
11.098. Боковая поверхность конуса вдвое больше площади
основания. Площадь его осевого сечения равна Q. Найти объем конуса.
Решение.
1 1
Объем конуса VK = —kRH (рис. 11.85). Площадь осевого сечения
Q = -2RH = RH . По условию S6oK = 2S0M . Отсюда kRI =2kR2 и
1 = 2R ■ Из рисунка I2 = Н2 + R2 = 4R2 . Отсюда я = /?,/з . а также
Я = —. Тогда — = /?v3 и получаем Л = %=■. Окон
чательно
получаем: V„=-kRH-R = -k^&-.
' 3 3 iff
Ответ: ТШ^^б-
708

11.099. Равнобедренная трапеция с
основаниями 2 и 3 см и острым углом 60°
вращается вокруг меньшего основания.
Вычислить поверхность и объем
полученной фигуры вращения.
Решение.
Искомый объем V - VmSi - 2КК0Н, а
поверхность S = SmJl +2SK0H,где Vmn, Ккок
и S.
ЦИЛ > 'JKOH
- объемы и боковые
поверхности цилиндра и конуса
соответственно (рис. 11.86). Имеем Кцил=7ггаА, где
Рис. 11.86
r^CK, h=AD^3 см. Так как DK = ~(AD-BC)~~ (cm),
CD=2DK = \ (см), то CK = ^CD2-DK2 =f~[~) =Ц- (см). Спе-
3 -, 9к 1 лг 1 3 1 7Г
довательно, кцил =7i---3 = -—- (см3), ккон = тл-"-- 7 = "о
(см3),откуда V--~ - = 27i (см3). Наконец, находим
4 4
5Ш1Л=2ягА = 2я.^-3 = Зя^З (см2), 5кон = тиг/= ти■ ^■ 1 = ^ (см2),
откуда 5 = 371^3+лТз =471^3 (см2).
Ответ: 4ти7з см2; 2л см3.
11.100. Высота конуса разделена на три равных отрезка, и через
точки деления параллельно основанию проведены плоскости,
разбивающие конус на три части. Найти объем среднего усеченного
конуса, если объем данного конуса равен у.
Решение.
1
^ус.к = тЧ^' +$2+ л1$\$2 J; 5( = TiR? , S2 - kB-I > тогда получим,
что VycK = -/m(i?, + i?2 + i?i-/?2) (рис. 11.87). По условию имеем
709

А = у,где Я- — -
ЪУ
kR2
следов ательно,
h = ——у . Получим, что
Так как
Ml
R) \R)" r2
ДВО,Я ~ ДВОС,то имеем
0,Е ВО, R, Iя R, 1
ОС ВО' R ' н ' R 3 'ТШ<
как ABOjF ~ ДВОС, то
кг _ 2/3'Я -Rj._2
/г
я
у" 3(13
/г з'
'I)"
7К
' 27 ■
Рис. 11.87
Ответ:
TV_
27'
11.101. Боковая поверхность
конуса развернута на плоскости в сектор, центральный угол
которого содержит 120°, а площадь равна S • Найти объем конуса.
Решение.
Пусть радиус основания конуса равен г , а его образующая
1,, 2л id2 , /зТ
■ — = —г-, откуда / =
равна /. Тогда площадь развертки S = —/
Но S = id7 = jd\
и, следовательно, г -
13л
. Объем конуса найдем
1 I Ьс с^ \") с
по формуле К = —яг й где А = \( -г =,1 — =2/—— . Итак,
т 3 V л Зл V Зл
V -1 ^ 2 /— - 2s*6nS
~ 3 ' Зл ' V Зл ~ 27л
Ответ: 2s76ltS/(27n).
11.102. Из медной болванки, имеющей форму прямоугольного
параллелепипеда размерами 80x20x5 см, прокатывается лист
толщиной 1 мм. Определить площадь этого листа.
710

Решение.
Искомую площадь найдем по формуле S = Vjh , где V — объем
листа, h — его толщина (при этом форма листа значения не имеет).
Так как объемы обоих тел равны, то V = 80 ■ 20 ■ 5 = 8000 (см3). Итак,
5 = 8000/0,1-80000 см2 =8 м2.
Ответ: 8 м2.
11.103. Металлический шар радиуса r перелит в конус,
боковая поверхность которого в три раза больше площади основания.
Вычислить высоту конуса.
Решение.
Так как радиус шара равен R, то объемы тел равны — тиЛ .
Пусть г — радиус основания конуса; тогда, по условию,
5бок = Злг2. С другой стороны, S6oK=nrl, где / — образующая
4
конуса.
Поэтому / = Зг , откуда h = л//2 -г2 = 2гЛ , т.е.
Находим V = — пг2Л =—л- — h2 h = — тЛ . Из равенства
16
4 з I з
t-ilR =Т7,1Л получим h = 2Rlfi-
Ответ: 2Rll4.
11.104. В правильном
тетраэдре построено сечение его
плоскостью, проходящей через ребро
АС и точку К , принадлежащую
ребру SB , причем ВК : KS = 2 :1
Найти объем отсеченной
пирамиды КАВС, если ребро тетраэдра
равно а.
Решение.
Vkabc = |«д4лс ™ (рис. 11.88),
2лЯ
где SM вс = ——. Так как SO\KN ,
24
Рис. 11.8
711

2 -Л
то BN : NO = BK:KS = 2 :1, откуда BN = -BO. Ho BO = -—, т.е.
D>, 2ал/з „.. [ZZi Г^Т \to24? 2дл/б
ВЛ^ и, значит, KN = ЫВК - BN* =,— —= „ ■
9 V 9 27 9
1 a2S 2a4b al-h
Итак, К = :
j <t ? 10
Ответ: а3-Л/18.
11.105. Ромб вращается вокруг
своей большей диагонали, а
затем вокруг меньшей диагонали.
Доказать, что отношение объемов
полученных фигур вращения
равно отношению площадей их
поверхностей.
Решете.
Пусть сторона ромба равна а,
а его диагонали равны 2dv и 2d2
(рис. U.89). При вращении получается тело, состоящее из двух
конусов. Обозначим объем и поверхность тела вращения вокруг
диагонали А С через VАС и SAC, а вокруг диагонали BD — через VBD и
SBD. Тогда VAC = -ndUi, SAC = 2nadl, VB1
'-nd2du SBD=2mid1
Тогда
Vm
(2/3^.4 _ 4 _ SA
' (2/3>trff4 d2 SB
Что и требовалось доказать.

Решения к главе 12
ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ
НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ
ЭЛЕМЕНТАМИ ФИГУР
1. Площадь параллелограмма ABCD (рис. 12.1) можно вычислить
по следующим формулам:
„ АСг-ВОг ,
s = ЧА-
(а)
s=d°Lzd£L4ZA0D,
(б)
где О — точка пересечения диагоналей АС « BD■
2. Пусть известны длины бис двух сторон треугольника А В С
и угол А , образуемый ими (рис. 12.2). Тогда длина биссектрисы AD
треугольника, проведенной из вершины этого угла, выражается
формулой
2bcms(A/2)
6 + с
4
713

3. Справедливы следующие
соотношения между элементами шара и
вписанного в него конуса:
/ = 2Я since; (a)
/2=2ЛЯ, (б)
где R — радиус шара, / — длина
образующей конуса, я — его
высота, а — угол между образующей и
плоскостью основания.
Такие же соотношения
справедливы и для вписанной в шар
пирамиды, боковые ребра которой имеют
длину / и составляют с плоскостью
основания угол а.
4. Пусть ДВ, —боковое ребро
пирамиды или призмы, А{0 — его проекция на плоскость основания,
ZBlAiO = a, ZOAiA2=^, ZBlAlA2~y (рис. 12.3). Тогда справедливо
равенство cosy=cosacos|}.
Доказательство этих соотношений можно найти в любом
издании данного сборника задач последних лет.
Рис 12.3
12.001. Сумма двух неравных высот равнобедренного
треугольника равна /, угол при вершине равен a. Найти боковую сторону.
Решение.
По условию АВ=АС , АА{1ВС, ВВ{ХАС, ZA4C = a, AAl+BBl^l
(рис. 12.4).Пустьвс = й-ИзДЛДС имеемЛД =—ctg—, АС~ ,
2 2 2sin-
а из &ВВ,С находим в В, -asin =acos—. По условию
12 2) 2
-ctgy + acosj-/, -ctgyll + 2sin-j = /, д =
2/tg^
l + 2sin-
. Получили
714

Рис. 12.5
ЛС =
/tgi
, . . on . a af, . . а
l + 2sm— sin— cos— l + 2sin —
2)2 21 2
а
cos—+ sma
2
.{па}. , . и+а я-За
sin +sina 2sin—-—cos—-—
I 2 2 J 4 4
Ответ:
2 sin
rc + a Jt-3a'
cos———
12.002. Угол при основании равнобедренного треугольника
равен a. Найти отношение радиусов вписанной и описанной
окружностей.
Решение.
По условию АВ-ВС, ZBAC = ZBCA = a . Пусть АС = х,
тогда из ААЕО, ZAEO = 90° имеем OE = r = — t%— (рис. 12.5), где
г —радиус вписанной окружности. Из АЛЕВ ZAEB = 90"
имеем, что АВ--
АЕ ^ х
cosa 2cosa
Рассмотрим АВК(\, ZBK(\ = 90°,
„_ „ ВК „„ АВ х .-
Вц=/< = — ; В£ = = (О, —центр описанной ок-
^ cosKBOl 2 4cosa
715

ружности). ZABE = 9(y-a, тогда B01=R =
4cosacos(90°-a)
xtg--2sin2a
.Следовательно, — = - = tg — ■ sin 2a-
4cosasina R 2-х 2
о ■ -
Ответ: tg — -sin 2a.
12.003. В ромбе через вершину острого угла, равного a,
проведена прямая, делящая этот угол в отношении 1:2. В каком
отношении эта прямая делит сторону ромба, которую она пересекает?
Решение.
Пусть ZABC=a и ;^£вс = 2 .значит ZEBC = -a, ZABE = -,
ZDBC = ^^ = -> ZEBM = ZEBC-ZDBC = — -- = - (рис. 12.6).
2 2 3 2 6
Из подобия AADO ~ AEDM следует s . Так как
ED DM
ЛЕ DO
AD = ED + АЕ,тоС— = ±2L. _ (. Обозначим АВ = BC = CD = AD = х-
ED DM
Из ACOD ZCOD = 90', ZODC = a/2, OD = DCcos — = дс-cos—,
BD=2DO = 2xcos^. Из Двд/£ , ZBAf£ = 90°. £Af = BAftg^.
2 6
Рассмотрим AEMD, ZEMD = 9ff, DM=EMcl%-, DM = BMtg— ctg—,
2 6 2
где BAf = BD-DM . тогда £>Af = (fl.D-.DAf)tg—ctg—. Получили,
6 2
1 BD-DM Dn , a 1
— -,где fli> = 2jccos—. Тогда —■
. a _ a DM 2 . a , a
tg-ctgy tg-.ctg-
a . . a a a
v.-"s- 2xtg-ctg-cos- AE
-2--1J />Af = 5 - -■ Следовательно, tit--
DM l + tg^ctg" ED
6 6 62
716

Рис. 12.6
Рис. 12.7
x.cos-2.|l + tg-.clg-
2.v tg cts»—cos-
6 ь2 2
, а а . а а . а а
1-tg —ct£— sin—-cos sin- cos —
B6 2 _ 2 6 6 2 .
2tg - ctg-
6 2
2sin- cos —
6 2
AE
ED~
- а а
Ответ: cos :cos —.
6 2
12.004. В квадрате ABCD через середину М стороны /1В проведена
прямая, пересекающая противоположную сторону CD в точке N. В каком
отношении прямая MN делит площадь квадрата, если острый угол AMN
равен а? Указать возможные значения а.
Решение.
ABCD— квадрат, М е АВ. MA =MB. ZAMN =а, N € CD (рис. 12.7);
требуется найти S,j
-1MND ■ JBMNC-
Пусть АВ ~ а\ тогда
MA + ND
1
\-2ND
~4 '"' SBMNC~
MB+NC
2
-ND
717

= За-2ND SAma=a^2Np_ n mj\AD и и3 д^ HMt>
4 S5MAC 3e-2M> L
ем A/£=«ctga. Отсюда ND~MA~ME=—actga= ь . Значит,
71
Samnd = _^± а_~_2"_с!ё?L_ 1~с1ё а_ = ]8«IL = t8а_~ tgA = Jа_ к )
Sbmnc Ъа-a + lactga 1+ctga tga+1 i + tgatg? I 4 J
4
Наименьшее значение угла a достигается в случае совпадения точки
N с вершиной D; тогда tga=a :(a/2) = 2. С другой стороны, а<тс/2.
Итак, arctg2<a<7i/2.
Ответ: tg a-- I arctg2<a<тс/2.
12.005. Высота равнобедренной трапеции равна А, а угол между ее
диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен а. Найти среднюю
линию трапеции.
Решение.
По условию в равнобедренной трапеции ABCD имеем: АВ - СД
BBX1AD, BBt =h: ACf)BD = 0, ZCOD = ol (рис. 12.8). Так как ZCOD —
внешний угол равнобедренного треугольника AOD, то Z.OAD = ZODA —
= ". Далее,имеем B,D =ED + В,Е = - AD + - ВС = -(AD + ВС)- MN,
2 '222
meMN—средняя линия трапеции. Из ABB\D получим BtD =BB{ ctg — =
Ответ: «ctg- .
12.006. В прямоугольном треугольнике даны его площадь S и острый
угол а. Найти расстояние от точки пересечения медиан треугольника до
гипотенузы.
Решение.
В прямоугольном треугольнике АСВ имеем: Z.ACB = 90°, Z.CAB = а,
S6ABC =5- ЛВ1 = V и ЛС1 = Cls- ssl ПСС, =0 (рис. 12.9);
718

A
A, E
Рис. 12.9
нужно найти расстояние от о до АВ . Проведем CD1AB и положим
CD = h.VbAADC ЧАСОВ находим АС = -£—, СВ = —-. ,- = .
sina • [п „| cosa
sin — -a
2 ^2 >
Так как S- — AC ВС-- , то A = VSsin2a . Проведем OFJAB ,
2 sin 2a
OFf)AC = F,OFf)CB = E и OFf)CD = К .Так как АСКО ~ ACDQ,
£К_-°£Л rv 2 1 VSsin2a
то cD~ СС ~ 3 ' откУДа ^* =Tt-i), а л£> = — CD = это
и есть расстояние от о до АВ, поскольку О е F£||^B .
Ответ: -VSsin2a.
12.007. В прямоугольник ABCD (AB\\CD) вписан треугольник
AEF . Точка Е лежит на стороне ВС, точка F — на стороне CD.
Найти тангенс угла EAF, если AB:BC = BE:EC-CF:FD = k-
Решение.
•Поусловию --i.= BK = £L = ic (рис. 12.10).Обозначим AD = ВС = х,
ВС ЕС FD
ВС х
тогда АВ = DC = kX ■ BC = BE+EC = kEC + EC,отсюда ЕС = -—- = -—-,
l+k l+k
719

Рис. 12.10
Рис. 12.11
ВЕ = —^-. DC=FC+DF=kDF+DF .тогда DF = —^-, FC =——.
1 + А 1+А 1 + А
ZK4£ = Z.04£-ZZX4F. ZDAE = ZBEA (BC\\AD, AE —
секущая), отсюда ZFAE = ZBEA-ZDAF ■ Получили, что tgZFAE =
= lg(ZBEA-ZDAF)= ^ZBEA-tgZDAF Рас им д^
DF кх к
ZADF = 90'< tgZI)AF = —- = -,-—т- = -—-Из ААВЕ, ZABE = 90°,
AD (1+A)x 1+A
teZBEA=^=^i^ = l+k . Окончательно tgZFAE= l±*_-
BE kx
1-4+1
i^-M)
MP
Ответ:
MP
12.008. В параллелограмме to сторонами а и ь и острым углом
а найти тангенсы углов, образуемых большей диагональю
параллелограмма с его сторонами.
Решение.
SABCD = absma(pHcA2.ll)HSABCD=2SAACD=AC-CDsinZACD;
получили, что a*sina = a ACsinZACD, ZADC = lS0°-a,
AC2 =a2+b2-2abcosZADC (no теореме косинусов). Отсюда
AC = Ja2 + b2+2abcosa, ftsina-Va2 +b2 + 2a6cosa sitiZ^CZ);

Asina
По
sin ZACD = /~2 ,2 . , ,
Va +o + 2aocosa
теореме косинусов находим, что
AD2 = АС2 + CD2 -2АС-CD-cosZACD,
cmZACD =
tgZACD =
2a + 2a6cosa
2aVa2 +62 + 2a* cos a '
bs'ma
Рис. 12.12
Va2+62+2a6cosa Asin
1/a2+*2+2a*co7ol « + *cosa a+icosa
tg ZB C4 = tg (ZB.4 Z) - Z.4 CD) =
tgZg-4Z)-tgZ^ICZ)
l + tgZ.R4.DtgZ.4CZ>"
tga-
b sin a
a + 6cosa
1 + tga-
Asina 6 + acosa
Ответ:
a + 6cosa
b sin a
a + 6cosa' 6 + acosa'
12.009. Основание равнобедренного треугольника равно a, угол
при вершине равен а. Найти длину биссектрисы, проведенной к
боковой стороне.
Решение.
Имеем АВ=АС, ВС = а, ZBAC = a, ZABB1 = ZB1BC
(рис. 12.12). Тогда ZABC = ZACB = £-£, ZBIBC = ~^,
2 2 4 4
,,„„ fi о i о) i !o
Zittf,C = ,u_7'-'J+T""Tj-T + "7"-H3 &BBtC по теореме синусов
щ
. f п a
sin —-—
12 2
sin — + —
U 4
, т.е. BBX =
sin — + —
U 4.
Ответ:
sin 45'
3a
721

в
Рис. 12.13 Рис. 12.14
12.010. Около круга радиуса R описана равнобедренная трапеция
с острым углом а при основании. Найти периметр этой трапеции.
Решение.
По условию ABCD —трапеция, AB = CD, О —центр вписанного
в трапецию круга, OE1AD, OE = R, ZBAD = а, а < л/2 (рис. 12.13);
нужно найти PABCd = AD + 2АВ + ВС. По свойству описанного
четырехугольника AD + ВС = 2АВ и PABcd = 4-4В. Проведем ВК\рЕ;
тогда ВК = 20Е = 2R . Из ЬЗКА находим АВ = -— иРлвсв = -—■
sin a sin а
iR
Ответ: ——.
sin а
12.011. Доказать, что во всяком треугольнике разность между
суммой квадратов любых двух его сторон и произведением этих
сторон, умноженным на косинус угла между ними, есть для данного
треугольника величина постоянная.
Решение.
Пусть АВ = с, ВС = а, А С = Ь- Соответственно ZBA С = а, ZBCA = у,
ZABC = |3. Обозначим dt =a2 + 62-aft-cosy, d2 =a2 +c2 -ac-cosp ,
d3=c2 + *2 -cb- cos a ■ По теореме косинусов с1 = а1 + Ь2 - 2abcos у,
Ьг =а2 + c2-2accosp\ а2 =с2 +62-2rf>cosa- Тогда rf, = c2+a*cosy,
d2 =62 + accos(i, <f3~a2+*ccosot> <^i +<^2 -^2 +c2 +a(ftcosy + ccos(i)=
722

Рис. 12.15 Рис. 12.16
= Ь2 + с2+а{СЕ+ВЕ) = Ь2+с2+а2 (рис. 12.14). d2+d,=b2 +a2 +
+ c(acos|3 + 6cosa) = 62 +a2 + c(BF + AF)=b2 +a2 +c2, </3 + d,=a2 +c2 +
+ i(ccosa + acosy)=a2+c2 + 6-(CAf + AM) = a2 + c2 +b2.
Следовательно, dt +d2=d2 +d^~d^ +dt. Откуда dt=d3, dz-=.d2, значит,
dl ~d2~d-i = a2 +Z?2 +c2 . Что и требовалось доказать.
12.012. Даны стороны а, Ъ, с и d четырехугольника,
вписанного в окружность. Найти угол, заключенный между сторонами а и ъ ■
Решение.
Так как ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность,
то ZB+ZD= ZA + ZC = lS0° ■ Из hBCD по теореме косинусов
BD2 = а2 + Ь2 -2a*cosZC-Из hBAD BD2 =d2 + с2
-2dccos^Л.Отсюда rf2+c2+2AcosC = a2 + 62-2a*-cosC (рис. 12.15). 2(a* + A)cosC = -
^^-\f.c2),mCy^-^f),z.c^J^\f:dl-A.
2(ab+dc) \ 2lflb+dc) )
a2+b2-d2-c2
Ответ: arccos -, : .
2{ab+dc)
12.013. Отношение площади прямоугольного треугольника к
площади квадрата, построениого на его гипотенузе, равно k •
Найти сумму тангенсов острых углов треугольника.
723

Решение.
В AACB ZACB = 90a. Пусть ZCAB~ay ZABC = $, тогда
tgct + tgp^ Sin(a + P) = _ .(a + B = 90°). Обозначим AB = BF =
cos a ■ cos p cosa - cos p
S AC ВС
= EF = AE = x (ABFE — квадрат) (рис. 12.16). -^- = _____ .
^ABFE 2 ■ X'
ЛС-ЛД- cosa, CB = ABcosfi, тогда _м__ = ^C0S«-C0SP; _____ д.
1 _ 1
(по условию). Имеем, что 77 ,7 . Следовательно,
—./С COS Ct ■ COS p
tga+tgp- —.
2k
Ответ: tga + tgp = —-.
2k
12.014. Площадь прямоугольной трапеции равна s, острый угол
равен a. Найти высоту трапеции, если ее меньшая диагональ
равна большему основанию.
Решение.
По условию ZCBA-90', ZADC = a, AC = AD. SABCD = S,
„ BC+AD , 2S 2S
тогда S = Л, откуда h- =
2 BC+AD AD-ED+AD
(рис. 12.17). Из ACED, ZC_D = 90°, __> = A-ctga. Из AAEC
Z.4_C_90°, ZCAE = 180°-2a (AC = AD), AC = -^~, тогда
sin 2a
j,_ ?^ ,2 2S-sinacosa , /777"—
2~h c^aT' h ~ rj • A = V2Sctga.
£._ д--5" sin2 a
2-sinacosa sina
Ответ: ,/2Sctga.
12.015. Общая внешняя касательная двух внешне касающихся
окружностей составляет с линией центров угол a. Найти
отношение радиусов этих окружностей.
724

Рис. 12.17 Рис. 12.18
Решение.
Пусть R , г — радиусы двух внешне касающихся
окружностей, ZOlAC = a. R = OtE + EC, EC = r (OfilAC, 02B1AC,
ОгЕ1АС) (рис. 12.18). Из АО&Е, Z02EOl = 90°, ZOfi2E =
-ZO\AC = a; имеем 0\Е-0\Ог -sina, 0]02=r + R; тогда
OlE = {R+r)sina, значит, R = r + (/? + r)sina, /?(l-sina)=r(l + sina),
r 1-sina 1^4 2)
Ответ: ctS П~^\
12.016. Две высоты параллелограмма, проведенные из вершины
тупого угла, равны hx и /^, а угол между ними равен a. Найти
большую диагональ параллелограмма.
Решение.
По условию BFXCD, ВР = П2, BE1AD, ВЕ = 1ц, ZEBF = а ■
Тогда ZABF = ZCFB = 90° (AB\CD), ZABE = 90° -а. Из ЬЗЕА
ZBEA = 90', -4£ = Vtg(90°-a)=Arctga (Рис. 12.19). Из hBFC
ZBFC = 90', CF = A2ctga, AB = CD = -P~, ВС = АВ = ф-,
725

Рис. 12.19
Рис. 12.20
п лгЗ. >i + tf + 2A,Vcosa
ZZ) = 180 -a- По теореме косинусов АС = — - j-1 ,
sin a
Jhl + Й,2 + 2h,h,-cosa
следовательно, А С = — ; — .
sin a
Jhi + h?+2hh, ■ cosa
Ответ: -*-±—2 2_f .
sin a
12.017. Диагональ прямоугольника равна d и делит угол
прямоугольника в отношении т: п . Найти периметр прямоугольника.
Решение.
По условию ABCD — прямоугольник, AC=d, ZACB-^ (рис. 12.20).
ZACD п
К ТС ТС ,лг^в пт
Так как ZBCD = —, то по: + пх = —, х = —, г • £А СИ = -?
2 2' 2(т + п)' 2(т + п)'
Z.4CZb
2(т + п
. Из Д4.ВС и ДЛДС находим BC = doo%
2\т + п)
DC=dcosTT^^- Отсюда .Рлясс =2Ucosx7 i + rfcos;
2(m + n)'
>S -7 г + Д COS -7 ■
2(m + п) 2{т + л.
= 4<fcos — cos
тс тс(т-л)
4 4(m + п)
Ответ: 2jidQ.os-
--2J2dc
4(т + л)
4(т + п)
12.018. В равнобедренной трапеции, описанной около круга,
отношение боковой стороны к меньшему основанию равно k ■
Найти углы трапеции и допустимые значения к ■
726

A
Рис. 12.21
Рис. 12.22
Решение.
CD
По условию ~~^-к . Обозначим ZBAE = a (рис. 12.21). Имеем
BC + AD=2AB,zl AD = ВС + 2АЕ.тогда ВС + АЕ = АВ, — + — = 1.
АВ АВ
Из АВЕА (Z.BEA = 9(f) имеем AE = ABcosa, AB = CD, тогда
1 Л—1 Л —1
—+ cosa = l, a = arccos , ZABC = ZBCD = K-a = K-arccos .
к к к
Возможные значения k находим из системы
1—>0,
1 — <1
I к
к>1-
к-\ к-\
Ответ: arccos—— и л-arccos ——; /с>[.
12.019. Площадь равнобедреииого треугольника равна S, а
противолежащий основанию угол между медианами,
проведенными к его боковым сторонам, равен а. Найти основание.
Решение.
Имеем АВ = АС, S^bc = S, ABl=BlC, АСХ=СХВ, ВВ1Г\СС1 = 0,
ZBOC=a (рис. 12.22). Тогда Здяос =т5дляс = -S, так как
высота АВОС, проведенная из О, равна — высоты ААВС,
проведенной из А ■ Находим площадь кВОС'.
727

■>ляос -
„„2 . [ п а I . I п а
ВС sin sin —
2 2 2 2
2 sin а
BC2clg" BC2ctg^ ,
= . Итак, — = -S, откуда
4 4 3
ВС2 cos2 "-
2
2sina
суда ВС2 =
BC2cos2-a
2 _
. . a a
4sin cos
2 2
45 .g«
: ^ =>BC =
3
-Г-Р
Г8!
Ответ: 2U ---*-.
12.020. В сегмент, дуга которого равна а, вписан правильный
треугольник так, что одна его вершина совпадает с серединой дуги, а две
другие лежат на хорде. Площадь треугольника равна S. Найти радиус дуги
сегмента.
Решение.
По условию /ЛВС =а (рис. 12.23). Пусть ЕМ = MF = EF = а,
с с о а2Л и ългл °Л 1Н
Ъ^емЬ'-Ъ, тоща 5 = ; п = МО = ; отсюда а =■—==, значит,
4 2 V3
S = */r^ = ~-R = BO + OM~Rcos- + ffTs, откуда R=J?JL.
3 4 Тз" 2 2 a
4
Ответ:
2sinz
„2Й
4
12.021. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а,
радиус вписанного круга равен г. Через вершину угла при основании и
центр вписанного круга проведена прямая. Наитн отрезок этой прямой,
заключенный внутри треугольника.
Решение.
Имеем АВ = АС, О — центр окружности, вписанной в ААВС.
ZABC=a, OD1MC, OD=i\ BOf)AC=Bi (рис. 12.24). Так как
728

В D С
Рис. 12.23
Рис. 12.24
ВВ^ — биссектриса ZABC, то ZB,BC=y, a ZBB,C = п-—. Из ДО.ОВ
получаем BD=/-ctg , Так как/) — точка касания основания ВС
равнобедренного феутольника ЛВС с окружностью, то ВС = iBD = 2/ctg
2rctg—
В Д5В|С по теореме сннусов имеем —'- = -
sin a
2rctg-~sma 4/-cos —
_2 _
За
. За
sin—-
2
Ответ;
4/-cos —
2
. За '
729

A
1/ 0,75V3>\1
В В
Рис. 12.25
Рис. 12.26
12,022, Найти утл треугольника, если известно, что стороны,
заключающие этот угол, равны 1 и 3, а биссектриса угла равна 0,75л/з.
Решение.
В &АВС имеем: ЛС-= l.BC-3, Z4CC, =ZBCC,, СС, =0,75л/3;
требуется иайти Z/1CB (рис. 12.25).
, 2«/jcos(C/2)
Воспользуемся формулой /£ -- , - (см. «Некоторые соотно-
а + п
шения между элементами фигур», с. 713). Выразив отсюда cos - -. имеем
С L(a + b)
cos = '—- ---,
2 lab
или, после подстановки значении
а= 1, А = 3, /,, =0,75л/з,
С Зл/3-4 л/3
cos - = = —.
2 4 2-13 2
Следовательно, — = 30°, откуда С = 60°.
Ответ: 60°.
730

12.023. В равнобедренном треугольнике даны основание а и
угол а при основании. Найти длину медианы, проведенной к
боковой стороне.
Решение.
Имеем АВ=АС, ВС = а, ZABC = a, AB{=B{C (рис. 12.26). В
ААВС по теореме сниусов находим
АС
ВС
sina sin|180° -2aj
.„ asina a „
=> AC = . =- .Проведем А.ВЛВС . Из &ВА.В, получаем
sin2a 2cosa
4B,=-BC = ^, ДЛ,=1,4Д = -.4С = " , Z£,4B = 180°-a и no
2 2^2 2 4cosa ^
теореме косинусов
„2_я2 а2 „ '
BBf
-cos(180°-a =
4 l6cos a 8cosa
-fl Д2 д2 _ a2(8cos2a + l)
4 16cos2a 4 16cos2a
BB, = ^ 8 + —l—=?-yJ9+te2a.
4 V cos a 4
Ответ: -V9+tg2a.
12.024. Найти отношение
периметра трапеции, описанной около
окружности, к длине этой
окружности, если углы при большем
основании трапеции равны а и |3.
Решение.
По условию ABCD — трапеция, описанная около окружности,
ZBAD = а, ZCDA = В. Пусть R — радиус вписанной окружности.
Длина окружности / = 2лЛ (рис. 12.27). р = ВС + AD + АВ + CD,
2 о
BC + AD = AB + CD, 2(AS+CD) = P. Из ДДК4 ZBJr-4 = 90*, АВ=- .
731

1R ( 1 1 i
Из ACED ZCED = 90°> CD =—-.Тогда P = 4R\ + —- ;
sinp ^sma sinpj
л . a+p a-p
n -,( • ■ o\ 4-S1I1 — COS
P _2(sma + smfl)_ 2 2
/ Tcsina-sinp 7E-sinasjnp
л . a+p a-p
4 ■ sm cos -
Ответ: 2 2—
7t-sinasin|3
12.025. В прямоугольном треугольнике ABC острый угол А
равен а радианам. Дуга окружности с центром в вершине прямого
угла С касается гипотенузы в точке D и пересекает катеты АС и
ВС соответственно в точках Е и F. Найти отношение площадей
криволинейных треугольников ADE и BDF.
Решение.
По условию в ААСВ ZACB = 90"> ^.САВ~а (рис. 12.28).
Обозначим АС~х- Из AADC, ZADC-90", CD=xsina> тогда
Sc£D=±x2smia.(l-a\ (т.е. ZACD^-a), S^DC^CDAD-
2 12 ) 2 2
^Д£ - S&ADC ScED ~
2 • 2 [ Я
х cosasina 12
Из &CDB, ZCDB = 90', £.B = xsinatga, S4CM = — sin2atga,
v -i,! ™г„ „ с _o 9 _x2sin2atga x2sin2aa
Jcflf ~2 aa, ^dfb ~^&cdb~^cdf 1 ; >
SDFB _ sii^afea-a) _ tgq-a
AED sin2actga-^+a ctga-y+a-
tga-a
Ответ: ~
ctga- —+a
732

12.026. В параллелограмм со сторонами а и Ь (а<6) и острым
углом а вписан ромб; две его вершины совпадают с серединами
больших сторон параллелограмма, две другие лежат на меньших
сторонах (или на их продолжениях). Найти углы ромба.
Решение.
Пусть DC = b, BC = a, ZADC=a=ZAKO; NEFM —ромб,
КО = —= - (рис. 12.29), OF = — = -.Из AEOF ZEOF = 90\
2 2 2 2
OF
tg ZOEF = .Из АКЕО ZKEO = 90° (AD\\NF, ЕО —секущая
ЕО "
ZFOE = ZKEO = 90°), ЕО = --sina, значит, tgZOEF = ———;
2 2о sin a
ZNEF = 2ZOEF = 2arctg
, ^£irM = 7i-2arctg~-:—.
osina osina
Ответ: 2arctg-
rc-2arctg-
' osina' °osina '
12.027. Около круга радиуса т? описана трапеция с углами а и
р при большем основании. Найти площадь этой трапеции.
Решение.
Пусть BAD = u, ZCDA = $, OE = R (рис. 12.30). Тогда
SABCD = B^m--2R.SABCD={BC+AD)R.TaKKiiKBC + AD = AB + CD,
то BC + AD = 2R\~ + -!-] (АВ = — , CD = — )- Тогда
^sina sinpj sma sinp
733

,=2RJ
Ответ:
1
I
sina sinp
2.R2(sina+sinp)
sinasinp
,_2 ■ a+P a-p
47? -sin -cos -
. 2 2
sinasinp
,„2 • a+P a-p
4Л • sin - cos
2 2
sinasinp
12.028. В равнобедренный треугольник с углом а при
основании вписана окружность радиуса г. Найти радиус окружности,
описанной около треугольника.
Решение.
По условию АВ = ВС, £ВАС = ZBCA = a, r — радиус
вписанной окружности (рис. 12.31). Пусть АВ = АС = х, тогда
АС = V;c2-2(l+cos2a) = 2x-cosa; S = pr,гдг р —
полупериметр
т „ * _, . л2 sin 2a
Д45С . Таким образом, 5 = —-2xcosa-sma = , значит,
x2sin2a (2x + 2xcosaV 2(l+cosa)r „ ВС
= i и х = . . Имеем -— = 2Я (по
2 2 sm2a sma
2(1 +cos a)-r (l + cosa)-r
теореме синусов), тогда —: т^— = 2л; л —
a 1+cosa
ctg —= —: ,то R =
sinasin2a
. a
rctg-
sin 2a
rctg-
Omeem: L.
sin2a
734

12.029. Площадь равнобедренного треугольника равна S, угол
между высотой, проведенной к боковой стороне, и основанием
равен а. Найти радиус круга, вписанного в треугольник.
Решение.
По условию SABC=S, АВ=ВС, ZEAC = a, ZECA = 90°-а
(рис 12.32). ZABC = 180" -2(90° -а)= 2а. так как АВ =ВС ■ Имеем, что
S = р-г,
2S
~,где р —полупериметр ААВС . Обозначим АС = х1Ь
х 1 х х2
AABD ZBDA = 90°, BD = -ctgct, тогда S = -x-ctga = — ctga,
2 2 2 4
отсюда x = 2JStga, BC = AB=-— = -5! 2—, p = ±—£— +Jstga;
since 2sina sina
S-sina JStga-cosa rz sin(n/2-a)
тогда r = ,_ — - = —тт д— = V^tga-
JStga(sina + l
(sina + l)
1 + cos
= V^iS-t/f-f
Omeem: V^tga-tgl---
12.030. Равносторонний треугольник пересечен прямой,
проходящей через середину одной из его сторон и составляющей с этой

стороной острый угол а. В каком отношении эта прямая делит
площадь треугольника?
Решение.
Пусть АВ=ВС=АС=а, ZMEC=a, АЕ = £С (рис. 12.33). Из ШКЕ,
ZMKE = 90', EK = MK-aga. В АМКС, ZMKC =90°. КС =
= A/K-ctg60°=^; ЕС=ЕК+кс=мк\аеа+4=
a2V3 5
$авме - $аавс ~ $аесм > ^аавс - : > тогда -
ABAfJL-
f . \' ~авмс ~длдс -шм' дли!. . > "- ~
8ctg<x+ ' Secm
2^ ""-л 2VJ !
S ctga
2-4
1
_ ^1. ^A = 2^ctg«+l=2J5cosa+sina
„ 2л/3 cosa+sina
Ответ: .
sin a
12.031. В квадрат ABCD вписан равнобедренный треугольник
AEF\ точка Е лежит на стороне ВС, точка F — на стороне CD и
АЕ = AF ■ Тангенс угла AEF равен 3. Найти косинус угла FAD .
Решение.
Имеем: ABCD — квадрат, AEF — равнобедренный треугольник,
AE=AF, Ее ВС, FeCD, lgZAEF = 3 (рис. 12.34); требуется найти
cosZFAD. Положим ZAEF = a, ZFAD = |3;тогда ZEAF = 180" -2а-Так
как AABE = AADF (по катету и гипотенузе), то р = -(90°-180° +2а)=
= а-45°. Отсюда cosp = cos(a-45°)= —-(cosa + sina). Учитывая,
736

E С
Рис. 12.34
что tga = 3, находим 1+9 = -—, откуда cos a = —==, sina =
cos a VIО
3 . V2 4 241
= tgacosa = -^= cosp = ;== =
vTO' 2 Vfo 5 '
Ответ:
i4l
12.032. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми
сторонами равен a, радиус вписанной окружности равен г.
Найти площадь треугольника.
Решение.
По условию в ААВС АВ = ВС, ZABC = a, r — радиус вписанной
окружности. Из АОЕС ZOEC = 90' (рис. 12.35), ЕС = г clg ZECO =
= r-ctgln/4-- . Из ДДЁС, ZB£C = 90'. имеем ВЕ = ЕСсщ —
, ,, a i о- „ „ 2 1 ?[ я otЛ a
= r-clg|7^4--J-ctgY. Тогда S = -r clg I — — — \"S^ =
= r*.Ctg2| — l-Ctgj
Ответ: r C,S
/ti-оЛ a
(— j'C,8I-
24 M. И. Ска нави, группа /

Рис. 12.37
12.033. Около круга описана прямоугольная трапеция с острым
углом а. Найти высоту трапеции, если периметр ее равен р .
Решение.
Пусть ZCDA = a, /ABC =90°. Р —периметр трапеции (рис. 12.36)
(BC\\AD). Так как BC+AD = AB + CD , a P = BC+AD+AB + CD ,
то BC-¥AD = — = DC+AB. Обозначим AB = CE = x-Vh ACED,
х Р х
ZCED = 90°, CD = —— тогда — = х + —— и отсюда
sin a 2 sin а
Psina
Psina
2(l + sina) 2 ; . а а
Sin hCOS —
2 2
4 cos
4 2
Psina
Ответ: 4.cos2 i_ct
U 2
12.034. В равнобедренном треугольнике угол при основании
равен a. Найти отношение площади треугольника к площади
описанного около него круга.
Решение.
По условию А В = ВС, ZBAC = a. Пусть т? — радиус
описанного круга, тогда SKp = jlR2 = ПВО2 (рис. 12.37). Пусть АВ = ВС = х ,
ZABC = lS0' -2a. тогда ZOBC = 90'-a ■ Из ДВ£0 ZB£O = 90",
738

во =
BE _ х
sin a 2 sin а
, получим, что S - . . 5Д4ВС=-Л5 х
4 sin а 2
х sin ZA ВС = — sin 2а. Тогда
£алдс_4-;с •sin2g-sin а_
271.Х2
_ 2sin2а-sin а
71
_ 2sin2asin2a
Ответ: .
7U
12.035. В треугольнике даны
длины двух сторон а и b и угол
а между ними. Найти длину
высоты, проведенной к третьей
стороне.
Решение.
По условию АВ = а, ВС = Ь, ZABC = a (рис. 12.38), тогда
Рис. 12.38
1
b -labcosa (по теореме косинусов), Зд^с =—a-^-sina и
SA4BC = -ACBE=-^a2+b2-2abcosaBE- BE= S
2 2 iJa2+b2-2ab-cosa
ВЕ =
ab sin a
■Ja2 +b2 -labcoso. '
absina
Ответ:
sa2 +b2 -labcosa
12.036. Показать, что если в треугольнике отношение тангенсов
двух углов равно отношению квадратов синусов этих же углов, то
треугольник равнобедренный или прямоугольный.
Решение.
tgA _ sin2 A
В ААВС имеем —~ - . -» „ : требуется доказать, что треуголь-
tg-S snrfi r
ник либо равнобедренный, либо прямоугольный. Из данного
равенства получим sin A sin2 Я cos В - cos A sin В sin2 A = 0 или
739

sin/isin5(sin5cos.5-cos/isin/i) = 0. Ho sin^^O» sinB*0, так как
An в —углы треугольника; следовательно, sin25~sin2/4 = 0 или
'A + B = tz/2,
2cos(^+5)sin(5-^)=0, откуда
cos(A+B) = 0,
sin{B-A) = 0
В-А = 0.
Итак, либо С = ти/2, т.е. треугольник прямоугольный, либо А=В>
т.е. треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать.
12.037. В ромб ABCD и в треугольник ABC, содержащий его
большую диагональ, вписаны окружности. Найти отношение
радиусов этих окружностей, если острый угол ромба равен а.
Решение.
ABCD — ромб (рис. 12.39), ZBAC = a (а<90°)> 1 —радиус
окружности,, вписанной в ромб, г2 — радиус окружности,
вписанной в ААВС • Пусть АВ = а- Проведем BE1AD. В АВЕА
„~ -. asinoi ..
BE-2rx =asma, откуда ц =—-—. Из ААВС по теореме
косинусов имеем AC-^la1 -2a2cos(l80o-a) = 2acos— . Отсюда
Рьавс =2a+2acos— =4acos —
2 4
saabc = гй2 sin(l80o -a)= -a1 since,
25,
,AABC .
AABC 4«COS
a sin a r,
.„2 a r2
4 cos
asina-4cos —
= i = 2cos2^.
la sin a 4
Ответ: 2cos
,2 a
740

12.038. На меньшем основании равнобедренной трапеции
построен правильный треугольник. Его высота равна высоте трапеции,
а площадь в 5 раз меньше площади трапеции. Найти угол при
большем основании трапеции.
Решение.
с
Поусловшо AB=CD, ВЕ = ЕС=£С, ЕМ = СО, SbBEC=^ifB-,
тогда AD = ВС +20D = ВС +2 COctgZCDO (рис. 12.40). Из АЕМС
ZEMC = 90°, ZMCE = 60", ЕМ = СО = ВС~, тогда
AD = BC+2 BC~ ctgZCDO,
sabec = ВС1 -J"> a SASCS> = SS^EC (п° условию), поэтому
\l + ~ctgZCDO =j, ctgZCDO = J}, ZCZ>0 = 30°-
Ответ: 30° ■
12.039. Высота BD правильного треугольника ABC
продолжена за вершину в и на продолжении взят отрезок BF, равный
стороне треугольника. Точка F соединена отрезком прямой с
вершиной С . С помощью этого построения показать, что tg 15° = 2 - V3 ■
Решение.
По условию BF = AB = BC = AC В AFDC ZFDC = 90'.
ZDFC + ZFCD = 90". ZBFC+ ZDCB + ZBCF = 90', ZBCF = ZBFC
так как BF = ВС (по условию), тогда 2 ■ ZBFC + 60° = 90'. ZBFC = 15°
BE
(рис. 12.41). BE1FC, тогда BE = FEtgl5' => tgl5' = . Обозна-
FE
чим BF = ^B = BC = ^C = x, тогда ЕС = ^2х2(l-cos([80° -30°)) =
' 741

F
D С
Рис. 12.41
= x>/2 + 7з (по теореме косинусов). Из hBEC ZBEC = 90°,
ЗЕ = х2 - -£ 'х2 = — V2 -v3 . Следовательно,
1&1,__2хЩ__2_г
Ответ: 2 - >/3.
12.040. Высота равнобедренной трапеции равна h . Верхнее
основание трапеции из середины нижнего основания видно под
углом 2а, а нижнее основание из середины верхнего — под углом 2р .
Найти площадь трапеции в этом общем случае и вычислить ее без
таблиц, если Л = 2, а = 15". р = 75°.
Решение.
В трапеции ABCD имеем: AB = CD, BC\AD, Ms AD, AM = MD,
NsBC, BN = NC, BE1AD, BE=h> ZBMC=2a, ZAND = 2& (рис. 12.42).
Так как ААВМ = ACMD и AABN = ANCD (по двум сторонам и
углу между ними), то ВМ = МС и AN = ND ■ Из AAMN и ABMN
находим AM = htg$. BN = Atgot, отсюда SABCD = {AM+BN)h =
2(tga + tgp) = i—^
cosacosp
При Л = 2, a = 15° и Р = 75° имеем

4 sin 90°
— = 16.
cosl5°cos75° cosl5°sinl5° sin30°
A2sin(a+p)
Ответ: z~; 16.
cosacosp
12.041. Даны две стороны b и с треугольника и его площадь,
равная 0,46с. Найти третью сторону.
Решение.
По условию SA<SC = 0,4 ■ * • с , где Ь = АС, с = АВ (рис. 12.43).
Обозначим СВ = х, тогда S^bc = 4р(р-сЬ>-ЬЪ>-х)>гДе Р = —^~~"
1с + Ь +
= V 2
х Л + х-с й+с-х х+с-Ь
(по формуле Герона) и Здляс =
g4*v-(*2+<2-?7 o,4*c=^E3
41 ' ■ --- 4
2,56*2с2 =4*V -(*" + 2с2*2 -2х2*2 +са -2с2х2 +х4), отсюда
л-4 -^(b2 +r )+*4 +c4 +0,56*V = 0, /> = 4*4 +862с2 +4с4 -4*4 -4с4 -
,,2 2*2+2с2±2,4*-с п—-.
-2Д4Л2=5,76*2с2- х = j =* х = ^+с ±ПЬс-
Ответ: -JЬ2 + с2 ±l,2bct
12.042. Из точки, взятой на окружности радиуса я, проведены
две равные хорды, составляющие вписанный угол, равный а ра-
743

/1 ч
/l\ /
/ 1 s /
\ ' s
\ 1 \
XI Ч
1 \ ч
\
Si >v _
11
\
4
^ -~y
D
Рис. 12.46
дианам. Найти часть плошади круга, заключенную внутри этого
вписанного угла.
Решение.
По условию АС-АВ, ZCAB-a, R —радиус окружности (рис. 12.44).
Scab = 2SiC0A + SC0B ■ SC0B ЛсО1- ZCOB, ZCOB = 2ZCAB = 2a,
тогда SCOB=jR2-2a = R2a, ZCOA=36° ~2a = 180°-a . Имеем, что
SAC0A =-«2sinfl80,-a)=~sina; SCAB ^sina + ^a^la+sina).
Ответ: R2(a+sina).
12.043. Через вершину А равнобедренного остроугольного
треугольника ABC и центр описанной около этого треугольника
окружности проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке D ■
Найти длину AD, если АВ = ВС = Ь и ZABC = a-
Решение.
По условию АВ = ВС = Ь, ZABC = a, О —центр описанной
окружности. Рассмотрим hBEO, ZBEO = 90\ ВО = = АО,
2 cos —
OE = BEtg— = -tg— (рис. 12.45). А О = ВО, значит,
ZBAO---ZABO = ^, a + - + ZBDA = \m и ZBDA = \W -— . Из

AOED, ZOED = 90°, OD --
AD=AO+OD=
OE =b *2
sin ZBDA 2 ■ 3a '
sin —
2
*tg-.
. a . 3a
2cos— 2sin —
2 2
f . 3a . (
sin 1-sin-
a . 3a
cos— sin —
2 2 )
_ , 2_ _ о sin a
a . 3a ~ . 3a'
cos— sin— sin —
2 2 2
£sina
Ответ: sjn ^
2
12.044. В прямоугольном параллелепипеде диагональ
основания равна d и составляет со стороной основания угол a. Через эту
сторону и противоположную ей сторону верхнего основания
проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол |5.
Найти боковую поверхность параллелепипеда.
Решение.
По условию AC = d,ZACD = OL , ZAXDА = р\(рнс. 12.46).
5б =2SAiD]DA +25/>1с1сд - Из AADC ZADC = 90a AD = dsma>
DC = dcosa- Мз \AAXD, ZAAlD = 90", Л^ =rfsina-tgp , тогда
saa}d}d =AD-AlA = d2 sin2 a ■ tg p; SDDxCtC = d2 cos a ■ sina ■ tgp. Имеем
S6~2d2 tg|5sina(sina+cosa)~2v2<y2 tg|} sina sin a •-т= + cos a —т=- -
= 2-Jld2 tgfi-sinoJ sinacos —+ cosasin —
= 2^rf2-sina-tgp-sin(a+-
Omeem: 2-hd1 ■sinatgf3sin ot + —

12.045. Разность между образующей и высотой конуса равна d >
а угол между ними равен а. Найти объем конуса.
Решение.
Пусть SO — высота конуса, SA и SB — его образующие
(рис. 12.47). По условию SA-SO = d, ZA SO = a. Пусть ОА = Л.Мз
ASOA находим SO -i?ctga, SA = ——. Используя условие, имеем
R „ i?(l-cosa) „ a , n , _ a
Rciga = ——: = Лtg— = a, откуда R = dcig —. Получи-
sina sin a 2 2
ли VK0H = -kR2 ■ SO = ~nRl ctgct = -ndl ctg1 — ctga .
Ответ: ~ndl ctg3 —ctga.
12.046. Основанием пирамиды служит правильный
треугольник. Одно боковое ребро перпенднкулярно плоскости основания и
равно /, два других образуют с плоскостью основания угол a. В
пирамиду вписана прямая призма; три ее вершины лежат на
боковых ребрах пирамиды, три другие — на основании пирамиды.
Диагональ боковой грани призмы составляет с плоскостью основания
угол [J . Найти высоту призмы.
746

Решение.
По условию АВ = ВС = AC, SA1AB, SA1AC. ZSBA=a- ZSCA.
ZOA£=$. SA=i (рис. 12.48). Из ASAB {ZSAB = №); АВ = ВС = AC =
= ! ctga, SB-——, Обозначим AE-FE-AF-x, тогда ич ЬЛЕО ime-
sina
см qe = r-tgp = M^. tt-iASMO{ZS,UO = 9()-')- SM = д tga, 5Л = *-tga +
^.tgMtga+tgP) = Z,.= .' 0£= "8.P = '-'i*- ,=
tga+tgp tga+tgp _ sina , sinp )
1 cosa cos(3 j
/cosasinP
sin(a + p)
Ответ:
/cos<xsin(5
sin(a+p)
12.047. Диагонали осевого сечения
усеченного конуса точкой пересечения
делятся в отношении 2:1. Угол между
диагоналями, обращенный к основаниям конуса,
равен а. Длина диагонали равна /. Найти
обьем усеченного конуса.
Решение.
llyci'b ABCD — диагональное сечение
{рис. 12.49). По условию, АК:КС-2:\. Это тначи-i. ч го
AK = -l,KC=] L Из ААОК найдем АО. Так как ZAKO = °' ю
3 3 2
Рис. 12.49
.4(9=/! Л" sin
" /sin -
Из ЛСО,К: OxC = KCsm r
1 ,
-/sm-
3""" 2" " 2
соту 001 найдем как сумму OiK + KO. где О^К = KCcos
- /cos . КО - АК cos - - " /cos . Тогда
3 2 2 3 2
747

Рис. 12.50
00, = / cos^. Объем у---к1Ж+ RIR2+Ri), где Л = 00, =/cos-
R,=AO = -lsia— R,
i з 2 ' 2
= 0,C = -/sin- Тогда
3 2
К =-и/cos— -/ sin — + -/ sin — + -rsin —
3 2 1,9 23 23 2
7 ,3 . 2 a a 7 ,з . .a
= —m' sin —cos—= —иг sin asm—.
27 2 2 54 2
Ответ: — n/ sin a sin —.
12.048. Найти угол при вершине осевого сечения конуса, если
центральный угол в развертке его боковой поверхности равен a
радианам.
Решете.
Обозначим образующую конуса через R, а радиус окружности,
лежащей в основании конуса, через г (рис. 12.50). Длина сектора,
полученного в развертке, равна / = Ra . С другой стороны 2кг = I •
Ra
Это значит, что 2тгг = Ra, откуда г = —— . Угол при вершине осевого
271
„ _ .Bra „ .a
сечения конуса обозначим В. Тогда sin - = — = — и р = 2 arcsin —.
2 у? 2тс 2те
Ответ: 2 arcsin
2п

Рис. 12.52
12.049. Плоский угол при вершине правильной шестиугольной
пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью
основания. Найти этот угол.
Решение.
Пусть OABCDEF — правильная шестиугольная пирамида,
00|l(/lBC), ZFOE = ZOFO, (рис. 12.51).Положим OF = l nZFOE = a;
тогда FE = 4ll2 -212 cosa =21 sin— . Учитывая, что 0,F = FE, в
&0O,F имеем cosa = ——— ; -2sin2 —+l=2sin—; Isin2 — +2sin—-1 = 0;
. a -l + л/з a . т/3 -I , . л/3-1
sin— = ; — = arcsin : a = 2arcsin .
2 2 2 2 2
Ответ: 2 arcsin
S-l
12.050. Через вершину С основания правильной треугольной
пирамиды SABC проведена плоскость перпендикулярно боковому
ребру SA ■ Эта плоскость составляет с плоскостью основания угол,
косинус которого равен 2/3 . Найти косинус угла между двумя
боковыми гранями.
749

Решение.
Пусть СКВ — данное сечение (рис. 12.52). Это значит, что KC1AS -
KB1AS , L — середина ВС , ZALK = а ■ Необходимо найти
/.СКВ = р . Обозначим АВ = ВС = АС = а. АВКС —
равнобедренный, у него KB = КС (т.к. CKXAS , KB1AS , АВ = АС , АК —
Р LC
общая). Тогда tg—= ——. Из прямоугольного треугольника AKL
2 aZ*
(ведь KL1AS , т.к. jh, лежит в плоскости КВС ) найдем KL '■
KL = AL cos а, где AL — высота правильного ААВС , AL = ——.
„. ял/з аЛ 2 аЛ _ й_ а-3 _ ,/з
Тогда АХ = -—cosa = —— - = -—. Тогда tg--- т=-~.
2 2 3 3 2 2«v3 ^
Значение cos р = ~ = —~ = -.
1
Ответ: — ■
12.051. В основании прямой треугольной призмы лежит
равнобедренный треугольник ABC , у которого АВ = ВС = а и ZBAC -а
Через сторону а С проведена плоскость под углом ф(ф<л/2) к
основанию. Найти площадь сечения, если известно, что в сечении
получился треугольник.
Решение.
Пусть ALC —данное сечение (рис. 12.53), ЬК —перпендикуляр к
АС, значит. КВ1ЛС (по теореме о 3-х перпендикулярах), К —
середина АС.1Ъ ААВК АК = АВ cosa = a cos а. АС =2АК - 2acosa .
.-. „ 1 „ „ 1 a1 sin 2a „,
Площадь ААВС SABC = - AC- AB = a cos asm a = . Так как
SApr a2 sin 2a
ААВС является проекцией AALC , то SALC - ~££±-
a2 sin 2a
От eem: — -
2costp
соэф 2со5ф
750

в,
4
/ I1 >
/ || <
/' ilB \
»
1
1
К
Рис. 12.53
\
\
Рис. 12.54
12.052. Треугольник ЛВС вращается вокруг прямой, лежащей в
плоскости этого треугольника, проходящей вне его через вершину
А и одинаково наклоненной к сторонам АВ и А С ■ Найти объем
тела вращения, если АВ = а, АС = Ь и ABAC-а-
Решение.
Объем данного тела можем получить, если из объема усеченного
конуса с диаметрами ВЩ и CCj в основаниях отнимем объемы конусов с
вершиной в л и диаметром в основании ВВ, и с вершиной в Л и
диаметром в основании СС, (рис. 12.54). Опустим перпендикуляры ВК
и CL на прямую I. Тогда ZKAB = ZCAL = — = 90' - — . Тогда
КВ = ABsia 90°
1 CL = ACsin| 90°-- = 6cos-;
AK = /IBcos 90° - — = asin — AL = 6sin — . Высота усеченного кс
нуса KL- AK + AL =s'm —(a+ b). Объем усеченного конуса
V = -n-KL-(kB2 + KB LC +LC2)= -nsm-(a + b)cos1 ~(a2 + ab + b2

Объем V: =-пАК ■ KB2 = ~тш3 cos2-sin-. Объем V2 = -kALLC2 =
1,з 2 ct . a
= - tip cos — sm — . Тогда объем полученного тела вращения
K = K'-K-K--7Ccos2-sin-(a3+2a26+2a62+63-rt:i-63)=
] 2 3 2 2\ /
= —Tzab[a + b)cos — sin —= — ao(a +/Jisinacos —.
3 2 2 3 v 2
л ,/ ,\ . a
Ответ: — ab[a+ b)smctcos — .
3 2
12.053. Боковая поверхность правильной треугольной
пирамиды в 5 раз больше площади ее основания. Найти плоский угол при
вершине пирамиды.
Решение.
Пусть SABC — правильная треугольная пирамида, 5бок = 55д^вс
(рис. 12.55); требуется найти ZASB ■ Пусть SA = / и ZASB = а;
тогда S5oK=-l sina. Из AASB по теореме косинусов находим
АВ2 = 2/2-2/2cosa = 4/~sin2~-; тогда Зд^яс = ~г^ =
= / V3sin — ..Используя условие, имеем: —/ sina = 5/ V3sin — ;
, . а a _ /- . 2 a a -Л a 4 -Л . 4 -Л
3sm —cos—-5v3sm — ■ tg—= — ; — =arctg — .т.е. a = 2arctg— .
2 2 2*252 5 5
Ответ; 2 arctg -—-.
12.054. Высота конуса равна Я, угол между образующей и
высотой равен а. В этот конус вписан другой конус так, что вершина
второго конуса совпадает с центром основания первого конуса, а
соответствующие образующие обоих конусов взаимно
перпендикулярны. Найти объем вписанного конуса.
752

Решение.
Пусть SO = H, ZLSO = u (рис. 12.56), SL1K0; ASOK —
прямоугольный. Значит, KO = SOsma = HsmaVb ASOL ZOLS = 90°-a-
Тогда ZLOK=a- Отсюда ZO,KO = ZLOK =a (как внутренние
накрест лежащие). Тогда OtK = OKcosZOiKO-Hs'mo.cosa = — Hsin2a.
Из ЩКО 00,= OK sin a = Я sin2 a . Объем
V = - кО,К200, = - лЯ sin2 а - Я2 sin2 2а = —- лЯ3 sin2 asin2 2a
3 ' ' 3 4 12
Ответ: —пН3 sin2 asin2 2a.
12
12.055. Сторона большего основания правильной
четырехугольной усеченной пирамиды равна a . Боковое ребро и диагональ
пирамиды составляют с плоскостью основания углы, равные
соответственно аир. Найти площадь меньшего основания пирамиды.
Решение.
Имеем, ABCDAJS£,D, — правильная четырехугольная
усеченная пирамида, АВ = а, 00\1.{АВС), BlE\lpiF\OOl, ZD,DE = a,
753

ZBfiE = f, (рис. 12.57). Пусть Afix = x; тогда B{D{ = WI, BD = a-h ,
ал/2 л/2 _{a-x)j2
FD = OD-OF--
ED = OD + OE = ^- + ^J^±x^.m AD.FD находим
D,F = /Btga = i2—p^-tga,aio AB,££ получим
B!£ = £/)tgp = fci|^-igP.TaKKaK DlF = BXE = OOt, то
(a-A:)tga = (fl+x)tgp, x(tgp+tga)=fl(tga-tgp), т.е. x = ?^zE..
sin(a+P)
Получили SAIICD
!(«-P)
Ответ:
sin2(a + p)
a;sin2(a-p)
sin2(a+p)
12.056. Радиус круга, вписанного в прямоугольную трапецию,
равен г, острый угол трапеции равен a. Эта трапеция вращается вокруг
меньшей боковой стороны. Найти боковую поверхность тела вращения.
Решение.
Пусть KLMN — точки касания круга с трапецией, причем
КО = ОМ = OL = ON -r, ZMDC = a (рис. 12.58). Пусть трапеция
754

вращается вокруг стороны ВА — получил: усеченный Koiryc. Боковая
поверхность его 5бок ~ к\Щ + К2 У , где R{~BC, R7 ^ AD, / = С/)-Так
как OD — биссектриса ZMDC и ДОМ/) — прямоугольный, то
DM =—'—- = rctga/2; АМ-r. тогда /ID = /fM + Af.D = r 1+ctg— ;
tga/2 I. 2)
ZBCD = 180" - A ADC = 180° - a ■ Тогда из Д/fCO.
ЛГ = — = rlg~CB,BK+CK = r + ng^. CD = l = — .
180°-a 2 2 sma
tg-—-
Тогда
_ . a a . -, a 2 a
<„\ т т 2 2sin — cos — + sin" - +cos —
a a 2r 2ет 2 2 2 •>
i- + rctg- + r + rtg— = - - =
2 2) sma sina „.a a
J sin-cos—
2 2
4m-2 /, . ч 4nr2 f . n . Л 8nr2 . n/2+a я/2-a
-—т—(1 + sinaj- 2 sin—+ sina = —^—sin-^—cos —
2 J sin2a 2 2
8га-2 (к а*) (к а*] 8w2 [к к оЛ f e a
—5—sin - + — cos —— =—=—cos — cos — —
sin2 a U 2) U 2j sin2 a \2 4 2) ^4 2
8nr ,(л a]
= —^-cos
sin2a U 2)
8лг 2 it a
Ответ: ~~2 cos T~X
sin a ^4 2
12.057. В основании прямой призмы лежит прямоугольный
треугольник с острым углом a. Диагональ большей боковой грани
равна d и образует с боковым ребром угол р . Найти объем призмы.
Решение.
Пусть ААВС — прямоугольный, ZC = 90°, ZBAC = a
(рис. 12.59). По условию ВА, =<! , /.В\А = $. Тогда из АВА^А
высота призмы AAl=dcos$, а AB^dsinfi, так как АВ —гипотенуза
ААВС , то /lC = /(Bcosa = rfsinpcosa. Площадь основания

ъ
вг
/i\
] ^/
! «/^
№-/
JS а>-..
dcosfi
dsin(3
Рис. 12.59
Рис. 12.60
Я,,-» =— АВ' АСъ\\\о. = — с/ sin В rf sin Bcos asin а = — rf2 sin 2а sin2 3.
oc" 2 2 4
Объем К = S(tCfi AAt - - <Y3sirr |5cos|5sin2a = ■ £/3sin|5sin2|5sin2a.
л rf" sinBsin2Bsin2a
Ответ: - - —-.
8
12.058. Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются иод
углом, равным а, обращенным к основанию. Объем цилиндра равен V. Най-
ти высоту цилиндра.
Решение.
Пусть АА]В]В — осевое сечение цилиндра, ZAOB-ct (рис 12. 60).
Положим АА] = И\ тогда, учитывая, что ZOAB = ZOBA = -', из АА]АВ
находим АВ= tfctel = tfte - . Следовательно, К = 71
61 2 2 б 2 Ч
НЩ3
2
. откуда И -
.Л а
.2-
Ответ:
4Kctgz
756

Рис. 12.61
12.059. Найти острый угол ромба, зная, что объемы тел,
полученных от вращения ромба вокруг его большей диагонали и вокруг
его стороны, относятся как 1:2-^5 .
Решение.
Обозначим сторону ромба а, а острый угол а (рис. 12.61, а). Это
значит, что ZDAB-Oi, AC — большая диагональ. При вращении
ромба вокруг большей диагонали получится тело, состоящее из 2-х
равных конусов (рис. 12.61,6). Объем каждого конуса К' = — S'0CH h',
где h' — высота конуса, равная а О, а 50СН = яг2, где у~ВО- Из
AABO AO~acos—, 50= asin—• Значит, V, = — щ a2sin— и2cos— =
2 2 3 12/2
2л з - 2 о а п^
= — a sin -rcos— . Объем тела К2, полученного при вращении
ромба ABCD вокруг стороны DC, можно найти как объем
цилиндра с центрами окружностей в основаниях К и L (ведь конусы с
вершинами С и D равны). V2 ~ S'^n ■ h" , где h" = KL~CD ~a-
Площадь основания 50CH =kAL2; т.к. AC — диагональ ромба, то
,4C=2acos — а из AALC AL = ЛС-sin — = 2asin — cos— . Тогда
2 2 2 2
5осн - п -4fl2 sin2 г* ■cos2 — = ™2 sin2 о . Тогда объем V2 = то3 sin2 a -
757

По условию Vl:V2=l:2-Js , это значит, что
2па sin —cos— , г/ ^ « R
■у ~) 1 ла/7т а Vj
- -— = —^.откуда 3cos—= V3 . Значит cos—= —.
, „ з ■ 2 а 2 а iJl 2 2 3
3-4ла sin — cos — ^J
-> 2« , , 5 , 1 1
cosa = 2cos 1 = 2 1 = - Значит a = arccos —
2 9 9' 9
1
Ответ/ arccos-.
9
12.060. Основанием пирамиды служит равнобедренный
треугольник, у которого боковая сторона равна а, а угол при вершине
равен а. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под
углом р . Найти объем пирамиды.
Решение.
По условию SABC — треугольная пирамида, АВ=ВС=а,
ZABC = a, SO±(ABC), ZSAO = ZSBO = ZSCO = $ (рис. 12.62). Так
как ASOA = ASOB = ASOC (по катету и прилежащему углу), то
ОА = ОВ = ОС , т.е. о — центр окружности, описанной около
ААВС ■ Пусть OA = R; тогда AB = 2Rs\aZACB или
a = 2Rsm\ =2/?cos—,а д = —-—.Из ASOA находим
U 2 2 _ а
' 2cos —
2
SO= "tgP , откуда
2cos—
2
^„„p=^SA<3C.SO = ia2sina-^- = ia3sin^tgp.
3 6 2cos^ 6 2
2
1 з . a „
Ответ: -a sin — tg p.
6 2
12.061. Основанием прямой призмы служит равнобедренная
трапеция, у которой основания равны а и Ь (а>Ь), а острый угол
равен a. Плоскость, проходящая через большее основание верхней
758

s
A i\
^ \b
/
Си
f
\
\
Рис. 12.63
трапеции и меньшее основание нижней трапеции, составляет с
плоскостью нижнего основания угол р" . Найти объем призмы.
Решение,
Пусть AD = a, ВС = Ь, ZADC = а (рис. 12.63). Проведем CKlAlDl,
иэ точки К опустим перпендикуляр KL га AD, значит, CL1AD (по
теореме о 3-х перпендикулярах); ZKCL = р. В равнобедренной трапеции
ABCD LD=AD~BC = — .№ \CLD CL = LDtga = —tga.
2 2 2
_ a+b a+b a-b
Тогда площадь основания о осн = ■ CL = — — tg a =
= --^-tga-H3 ДСЛХ (ZCL/S: = 90-) AX = CLtg|3=^tgatg|3.
4 2
Объем призмы V = —-—tga-—— tgatgp =
\?-ЪгХа-Ъ
tg2atgp\
Ответ:
-ЬЧа-
Vatgp.
12.062. Угол между диагоналями основания прямоугольного
параллелепипеда равен a. Диагональ параллелепипеда составляет с
плоскостью основания угол |5. Найти высоту параллелепипеда,
если его объем равен V ■
759

л ,
1 •
1 •
D'
1 •
| •
/
7
Рис. 12.64
Рис. 12.65
Решение.
Объем параллелепипеда V = S0CH ■ Я, где Я — высота (рис. 12.64).
Из рисунка видно, что d ~ ~х. Так как в основании
параллелепипеда лежит прямоугольник, то его диагонали равны, а площадь основа-
1 ,2 . 1 Я2 .
ния -->осн-г" sina- — —j—sina. Подставляя все в формулу, полу-
2 2tg р
чим: V = ^—sina. Откуда #3 = 5—^, значит, Я =з/—— .
2tg2p sina Vctg psina
Ответ:
IV
Ifctg psina
12.063. Каждое из боковых ребер четырехугольной пирамиды
образует с высотой угол a. Основанием пирамиды служит
прямоугольник с углом Р между диагоналями. Найти объем пирамиды,
если ее высота равна h ■
Решение.
Так как каждое из боковых ребер четырехугольной пирамиды
образует с высотой угол а, то вершина пирамиды проектируется в точку
пересечения диагоналей прямоугольника, лежащего в основании
760

(рис. 12.65). Таким образом, если d — длина диагонали, то — - Л tg а и
площадь основания 5 = 4--- — ■ — sinр = --1/2 sinр = 2А2 tg asinp.
Объем пирамиды V = -S-h ^-2Л3 tg2asinp\
Ответ: —A3 tg asinp.
12.064. В основание конуса
вписан квадрат, сторона которого
равна а. Плоскость, проходящая через
одну из сторон этого квадрата и
через вершину конуса, при пересечении
с поверхностью конуса образует
равнобедренный треугольник, у
которого угол при вершине равен a.
Найти объем конуса.
Решение.
Пусть ABCD — данный квадрат
со стороной а (рис. 12.66) и пусть
секущая плоскость проходит через
сторону AD . Тогда по условию
ZASD-ol. Пусть l — середина
AD. Это значит, что AL - — . Так как AASD — равнобедренный, то
AS--
AL
. Диагональ АС квадрата является диаметром
sin— 2sin —
2 2
d Jl
окружности: 2д2 = d2 ■ Откуда d -a-Jl , AO = r~ — ~ —— . Тогда
высота SO~iJaS2-a02
f2t
a2 l-2sin2
761

Площадь основания конуса 50СН = ш =л— . Тогда объем
1 1 па2 a-v/coscc _ ra3Vcoscc
3 осн 3 2 0 - 2 « , „ . а
2 sin — 12sin —
2 2
тш Vcosa
Ответ: 12sin«
2
12.065. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды
равно / и составляет с плоскостью основания угол a. Найти объем
пирамиды.
Решение.
Пусть SABC — правильная треугольная пирамида. SA = l,
SOl{ABC), ZSAO = a (рис. 12.67). Из ASAO находим 50 = /sina,
AO = lcosa, откуда АВ = АО^Ъ = lJbcosa. Следовательно,
AB2S 3Sl2cos2a
т. 1 0 __ 1 3V3/2cos2a , . /3-\/3sin2acosa
K^=^saabc SO = ~ - /sina .
. /37з sin 2a cos a
Ответ: .
8
12.066. Через диагональ нижнего основания правильной
четырехугольной призмы и противоположную вершину ее верхнего
основания проведена плоскость. Угол между равными сторонами
сечения равен а. Найти отношение высоты призмы к стороне
основания.
Решение.
Обозначим сторону основания призмы а (ведь в основании
призмы лежит квадрат, т.к. призма правильная). Диагональ квадрата
d = a-Jl (Рис- 12.68). Так как сечение — равнобедренный треуг.оль-
, d . a d
ник со сторонами / и углом между ними а,то /=— :sin — = .
2 sin —
2
762

s
' 1 ч
/ 1
/ 1
1 1
/
\^
/a
Рис. 12.68
Тогда высота призмы
h=ji2-s =
2а'
Ж'
ajlc
f»n'f
2sin— 2sin—
2 2
Тогда отношение
2sin-
Ответ:
2sin-
12.067. Основанием прямой призмы служит равнобедренный
треугольник с углом а при вершине. Диагональ грани,
противоположной данному углу, равна / и составляет с плоскостью
основания угол Р. Найти объем призмы.
Решение.
Пусть АВСАХВХС^ — прямая призма, АС=СВ, ZACB = a,
AlB = l, ZA^BA = ^ (рис. 12.69), нужно найти Vnp=S&ABC-AlA. Из
AAiAB находим AAl-ls'm^, AB = /cos|5, а из AADC имеем
763

Рис. 12.70
DC = ADctg— = -/cospctg— . Отсюда
уп = —/cosp—/cospctg—-/sinp = -/3cos2pctg—sinp=-/3sin2pcospctg—.
^22 24 28 2
Ответ: ~/3 sin2|kos|5ctg™.
о 2
12.068. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды
образует со стороной основания угол а. Найти угол между боковым
ребром и высотой пирамиды и допустимые значения а.
Решение.
Обозначим сторону основания через а (рис. 12.70), а боковое
ребро — через /. Тогда из равнобедренного треугольника,
являющегося боковой гранью пирамиды, найдем I -
2 cos a
Так как
пирамида правильная, то основанием высоты является центр,
описанной около треугольника-основания пирамиды окружности. А радиус
a-Jb . q R aV3-2cosa 2cosa
этой окружности /? = ——. Тогда smp~
/
За л/3
2 cos a
Так как 0<Р<л/2,то 0< sin|}< 1, т.е. 0<—]^<1 или
2 cos a
~7Г
>0.

Решая эту систему и учитывая, что 0<а<тс/2, получим, что
■■(*!)■
. 2cosa тс тс
Ответ: arcsm —}=—; — < а < — .
7з б 2
12.069. Плоскость, проведенная
параллельно оси цилиндра, делит
окружность основания в отношении т.п.
Площадь сечения равна S ■ Найти
боковую поверхность цилиндра.
Решение.
Пусть ЛВСВ — данное сечение
(рис. 12.71). Пусть длины дуг BLC и
СКВ относятся как т : п . Это значит,
что DLC = тх , СКВ = пх. Так как
DLC + CKD = 2tzR , где R = OB — радиус окружности лежащей в
основании цилиндра, то (т + п\х = 2kR , откуда х = . Значит,
т + п
DLC = , CKD = . С другой стороны, СКВ - Ret, где а —
т+п т+п
радианная мера центрального угла для дуги СКВ ■ Это значит
2KRn „ 2тш _,,
= i?a, откуда а = . Так как ADOC —равнобедренный,
т+п т+п
Рис. 12.71
то ВС =2BOsin— = 2Rsin , Площадь S сечения
2 т + п
S = BCAB=2Rsin Я , откуда Н =
т+п
окружности l = 2%R ■ Тогда S6oK = LH =
. Длина всей
2i?sin
т + п
S „ п kS
■2tzR =
2i?sin-
Ответ:
nS
765

s
b\V
Рис. 12.72
Рис. 12.73
12.070. Боковые ребра правильной треугольной пирамиды
попарно взаимно перпендикулярны. Найти угол между боковой
гранью и плоскостью основания.
Решение.
По условию AASC = Z.CSB = /.ASB = 90" (рис. 12.72). Кроме
того, AS = SB = SC, AABC —правильный; SK1BC, НКХВС,тце
Н — основание высоты. Так как ASCB — прямоугольный и
равнобедренный, то ZSCB = 45°. Обозначим SC через а , тогда
SK = SC sin Z.SCB
л/2 г
= <7Sin45° -а—- , а ВС-а-42 (как гипотенуза
ASCB); HK является радиусом вписанной в hABC окружности.
значит, HK = r
e-i/2-л/з -r ПК
-. - ■ Тогда cos а =
6 SK
д-ЛУз 2_УЗ
бя-Л ~ 3

Значит, a = arccos-
Уз"
Ответ: arccos
S
12.071. В полушар вписан конус; вершина конуса совпадает с
центром окружности, являющейся основанием полушара;
плоскости оснований конуса и полушара параллельны. Прямая, проходя-
766

щая через центр основания конуса и произвольную точку
окружности большого круга полушара, составляет с плоскостью основания
конуса угол а. Найти отношение объемов полушара и конуса.
Решение.
Обозначим радиус круга, лежащего в основании полушара, через
R, т.е. OK = R, а в основании конуса — через г, т.е. 0{L = r,
Z.OxKO = a (рис. 12.73). Тогда высота 0^0 конуса будет равна
h = KOtga = Rtgа. С другой стороны, образующая конуса OL
является радиусом полушара. Тогда L02 = О]} - 00\ или г2 -R2 -h2■,
это значит, что г
= ^TTr2 га = legs2«-sin2« =R4^2l Tor.
V cos a cosа
да объем конуса VK =-S0CH h = -nr2h = ~nR2—— Rtga, Объем
3 3 3 cos a
_, 2 n3 Vn 2cos2a
полушара Vn=—nR . Отношение
Ответ:
3 VK cos2atga'
2 cos2a
cos 2a tg a
12.072. Основанием пирамиды служит прямоугольный
треугольник с острым углом a. Высота пирамиды равна # ■ Все боковые
ребра составляют с плоскостью основания один и тот же угол,
равный р. Найти объем пирамиды.
Решение.
Так как все боковые ребра наклонены под одинаковым углом к
плоскости основания, то основанием высоты данной пирамиды будет
являться центр описанной около основания окружности. Так как в
основании лежит прямоугольный треугольник, то центром описанной
около него окружности будет являться середина шпотеггузы (рис. 12.74).
Тогда SK = H, ZSCK = $, ZACB = 90\ ^САВ = а- Тогда из ASCK
CK=R = Hjtg$, гипотенуза AB = 2R = — ,
tgp
Объем пирамиды V = -S0CH H, где SOCH = -ABACsina =
767

Рис. 12.74
Рис. 12.75
1 2Я 2tfcosa . ,_ Я28т2а гт Я38т2а
= —sina. Тогда объем V = ; Н = .
2 tgB tgB
3tg2B
3tg2B
Я sin2a
Ответ: ~ .
3tg2B
12.073. Образующая конуса равна а, расстояние от вершины
конуса до центра вписанного шара равно Ъ ■ Найти угол между
образующей и плоскостью основания.
Решение.
По условию SM-a, SO, =b (рис. 12.75). Точка К — точка касания
конуса и шара. ДЖО, ~ ASOM (ZS —общий, Z.SKO, = Z.SOM = 90°).
Тогда ZKO,S = а. Отсюда из ДЖО, г = КО, =6cosa. Из AMSO
.„2«
5Q_6+r_6(l+cosa) = 26cos 2 vm,m,m,sintt=2singm^
МС а
получим 2sin — cos —
26cos у a b „ b
*-. Откуда tg— = - a = 2arctg-.
a 2 a a
Ответ: 2arctg-
768

Рис. 12.76
Рис. 12.77
12.074. В конус вписан шар. Отношение радиуса окружности
касания шаровой и конической поверхностей к радиусу основания
конуса равно к ■ Найти косинус угла между образующей конуса и
плоскостью основания.
Решение.
Из условия задачи радиус окружности касания шаровой и
конической поверхностей будет КОх, радиус основания конуса L02
(рис. 12.76). ZSL02 =&. Из рисунка видно, что ASKO ~ AS02L, a
ASKO ~ АКОхО, значит, ZKOQ = ZSL02 =a. Тогда из AKQO
КО = ^-.№ AL002 002 = L02-tg-. Так как КО и 002 равны,
КО, , Л а КОх . а . . 2а , .а [к
то ^-L = L01\g-. —— = sinatg- = 2sin - = к. Тогда sin~= -
sina 2 L02 2 2 2 V2
А значит, cosa = l-2sin2 — = 1-2— = i-k .
2 ?
Ответ: \-к.
12.075. Площадь основания цилиндра относится к площади его
осевого сечения как т.п. Найти острый угол между диагоналями
осевого сечения.
Решение.
Пусть радиус окружности, лежащей в основании цилиндра, ра-
769

вен R, а высота Н (рис.
tg
а-
л я<
а _ 4т
2 юг
- 2arctg
;тся сх =
Ответ
= kR2 -.2RH--
' Поскольку
4т
, Если же
юг
2arctg—.
4т
12.77).
= т
а-
ш
п
4т
i: a = 2arctg --
юг
: п,
Тогда 50СН = kR
R
то —— = ■
2Н
— острый угол.
п
> —
4
при
4т ,
, то — > 1
71/1
/« Л
-< -; а:
п 4
• See., =
—. Так как
кп
, имеем
4т
— <\
юг
~2RH.
. а
<82 =
, т.е.
. Так как
2R
: -, то
И
т 71
-< - и
п 4
1 и искомым острым углом яв-
= 2 arctg
к/г т к
—- при --> - .
4т п 4
12.076. В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом ot.
Отношение высагы призмы к стороне основания равно к. Через сторону
основания и середину противоположного бокового ребра проведена
плоскость. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания.
Решение,
Пусть ABCDA]B^ClDl — прямая призма, ABCD — ромб, ZBAD = a
(а<90°), ААХ : АВ = к, C{E = EC,ADEF — сечение призмы (рис. 12.78);
1ребуется найти Z(ABC);(FAD). Пусть АВ - а; тогда АА] =ка. Проведем
BKL.4D; тогда FK1AD (потеоремеотрехиерпендикулярах) и ZFKB —
линейный угол между сечением и основанием ABCD. Из ААКВ найдем
BK-asma.: так как EF}AO, to FB = -BB, = -ka. Наконец, из AFBK
2 2
FB ka k к
получим tg ZFKB = — = — — -= - -, откуда ZFKB =arctg — -.
ВК 2а sin a 2 sin a 2 sin а
Ответ: arctg- .
2sina
12.077. Стороны основания прямого параллелепипеда относятся как 1 :2,
острый угол в основании равен а. Найти угол между меньшей диагональю
параллелепипеда и плоскостью основания, если высота параллелепипеда
равна большей диагонали основания.
Решение.
Обозначим стороны основания параллелепипеда через а и Ь. Тогда
а : b = 1 : 2. Большая диагональ основания
; -уa2 +lr -2a/?cos(i80°-a) = ^а2 + b2 + 2abcosct. Учитывая, что
770

Рис. 12.78
Рис. 12.79
b-2a, d2 - V5a2 + 4a2cosa ■ Меньшая диагональ основания
d, = 4 а2 + b2 -2a* cos a = Ла2-4a2 cos a ■ Так как высота
h = d2 = ^5a2+4a2cosa , To tgp (рис. 12.79) можно найти как
Л p + 4cosot
tgP =
ri
5-4cosa '
5 + 4cosa
Ответ: arctg.
V5-4cosa
12.078. Отношение одной из сторон основания треугольной
пирамиды к каждому из остальных пяти ее ребер равно к ■ Найти
двугранный угол между двумя равными боковыми гранями
пирамиды и допустимые значения к ■
Решение.
Пусть SABC —треугольная пирамида,
АС АС АС АС
АВ~ ВС ~ SA~ SB '
AC AC
= ~sc=k (ри0,12,80^ Так как AB=BC = SA = SB=sc=-jr> т0
AASB = ABSC (по трем сторонам). Проведем AD1SB и соединим
точки d и с ■ Тогда AASD = ASDC (SA = SC> сторона SD —
771

s
Рис. 12.81
общая и ZASD = ZDSC ), откуда следует, что ZSDC = ZSDA = 90° ■
Поэтому ZADC — линейный угол двугранного угла ASDC, т.е.
искомый угол. Из AADC по теореме косинусов находим
, , , ._ SAS ACS
AC2 = 2AD2 -2AD2 cos ZADC , где Л.О = —— = ^^—, так как
AASB — равносторонний. Значит, АС — 2
2 2k
ЪАС
(l-cos ZADC);
4k'
ZADC fk2 kS
,,_„ 2k' , . 2 ZADC 2k'
l-cosZADC = ; 2sin = ; sin
3 2 3 2
ZADC = 2iLicsin——, где 0<—— <1,т.е. 0<k<S-
Ответ: 2 arcsin ——; о < к < VI ■
12.079. Плоскость квадрата составляет угол а с плоскостью,
проведенной через одну из его сторон. Какой угол составляет с той
же плоскостью диагональ квадрата?
Решение.
Пусть ABCD — квадрат, ABKL — данная плоскость, ВС1АВ,
ВК1АВ, ZCBK-a. (рис. 12.81), КС —перпендикуляр к плоскости
ABKL, АС — диагональ квадрата. Обозначим сторону квадрата а ■
772

Из прямоугольного АВКС КС = ВС sin а; искомый ZKAC можно
КС
найти из АКЛС: sinp = —— , где KC^asina, А С = ал/2 ■ Тогда
АС
. п asina sina „ п . sina
sinp =—^- —^.Откуда [J = arcsm-
a-FL •&
Я
Ответ: arcsin
4г
12.080. Боковое ребро
правильной треугольной призмы равно
стороне основания. Найти угол
между стороной основания и
непересекающей ее диагональю
боковой грани.
Решение.
Обозначим сторону основания
призмы через а (рис. 12.82).
Необходимо найти угол между АВК
и ВС, но т.к. ВСЦв^ , то этот
угол равен углу между АВХ и Рис. 12.82
ВКСХ. Диагональ АВ1 является
диагональю квадрата, т.е. АВХ - a-Jl , аналогично ACx=a-Jl-
Тогда по теореме косинусов: АС\ -АВ\л-В{2] -2ЛЯ, SiQcosa или
1 4г
2a2 = 2a2 + a2-2a2->/2 cos a, откуда cosa =
Ответ: arccos
s
2-Л "
12.081. Диагонали боковых граней прямоугольного
параллелепипеда составляют с плоскостью основания углы а и р. Найти угол
между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.
Решение.
Пусть стороны параллелепипеда будут а и &,авысота д (рис. 12.83).
ъ „ tga
Тогда h-atga-
S, откуда а tgp
773
. Диагональ основания

Рис. 12.83
atgct
'-•^ МУ=-<~Ж#
А
А
tga
/ М \ х
/ " S \ П
1 \ \ \
/ 1 > ч
1 к^ ,-
Рис. 12.84
tga tg
1 tg2a Vtg1"
V tg2P
\
\
7
С
D
atgp
a+tg2p
_J 1_
ctgq ctgft
Jctg2a + ctg2p
Vctg2a+ctg2p
или ctgy = Jctg2a+ctg2p.
Ответ: arcctgyctg2 a+ctg2 p.
12.082. Найти угол между непересекающимися диагоналями двух
смежных боковых граней правильной четырехугольной призмы, если
плоскость, в которой они лежат, составляет с плоскостью основания угол a.
Решение.
Так как призма правильная, то в ее основании лежит квадрат.
Обозначим его сторону а (рис. 12.84). В01АС , ВК01ЛС , АВрВ = a .
ВО
Из АВ.ВО найдем В{0~ . Так как ВО — середина диагонали
cos a
■Jl Jl J?
BD,io BO = — . Тогда 5,0 = -^—, 0C = S0 = —.Из ДАОС
2 2cosa 2 '
P ОС aV2-2cosa ^ a „
tg— - —— = —f=— = cos a . Тогда p = 2 arctg cos a .
2 5t0 2av2
Ответ: 2 arctg cos a.
774

12.083. Найти угол между
апофемами двух смежных боковых граней
правильной л-угольной пирамиды,
если плоский угол при ее вершине
равен а.
Решение.
Пусть SABC к — правильная п-
угольная пирамида, Z.ASB ~ u , SM
и SN — апофемы смежных боковых
граней; требуется найти Z.MSN
(рис. 12.85). Проведем SOl{ABC) и
соединим О с точками А , В, М и
N. Имеем ZAOB-2—, ZABC = "|,"~ >. Пусть АВ = а.Иъ AMSB
найдем SM = — ctg — . Далее, из &MNB по теореме косинусов нахо-
,,„2 "2 "2 л(л-2) аЧ, ( 2л
ДИМ MN* = COS—- '- = 1 1-COsl 71
2 2 n 2
2jt ) 1 2
1 + cos— \ = a cos
, а из AMSN получим MN~ = ISM'
- 2SM2cos AMSN = 2 — ctg2 - (l - cos ZMSW) = a2 sin2-—— ctg2 -
Отсюда a' cos
2 . 2 ZMSN 2
= a sin ctg
. ZMSN к а
sin— = cos-tg— . По-
2 n 2
лучили ZMSN = 2arcsin cos-tg—
I n 2
Ответ: 2arcsin cos—tg
12.084. Найти косинус угла между апофемой и диагональю
основания правильной четырехугольной пирамиды, у которой
боковое ребро равно стороне основания.
775

■S
Рис. 12.87
Решение.
Обозначим сторону квадрата, лежащего в основании пирамиды
через a; SK —апофема, АС —диагональ (рис. 12.86). Проведем
1 J?
КМ\АС , КМ — средняя линия AACD , КМ=-АС=-—; ASAD
" 2 2
является правильным (у него AD =SA = SD = a)- Тогда SK
алВ
Аналогично SM - ——. Из &KSM найдем Z.SKM = а . По теореме
косинусов SM2 = KS2 + КМ2 - 2KS ■ KM cos а или
За2 За2 о2 а£ а-И „ 1 -Уб
= У—--2— — cosa. Откуда cosa = -pr =— .
4 4 2 2 2 V6 6
Ответ:
Л
12.085. В конус вписана треугольная пирамида, у которой
боковые ребра попарно взаимно перпендикулярны. Найти угол между
образующей конуса и его высотой.
776

Решение.
Пусть 50 — высота пирамиды (рис. 12.87). Боковые ребра пирамиды
равны, значит, АО- ОБ~ ОС ~R, значит, пирамида SABC — пра-
вилъная. Обозначим сторону основания пирамиды а . Тогда л = .
ZASC = 90° • Значит, ZSCA = ZSAC = 45°. Тогда SC из AASC равна
АС
SC =
2cos45° л/2
.ft ASOC toZCSO.M-O^.^-.O,.
л/б
куда Z.SCO = arcsin —.
Ответ: arcsin —.
12.086. В грани
двугранного угла, равного а,
проведена прямая, составляющая
угол р с ребром двугранного j
угла. Найти угол между этой
прямой и другой гранью. Рис. 12.88
Решение.
По условию Yj Пу-г =/, двугранный угол / равен а, А В еу1г
(/;ЛЯ)=р; требуется найти (у2;АВ) (рис. 12.88). Проведем АО±у2,
АС±1', тогда ZACO~a (как линейный угол двугранного угла
АВСО), ^АВС = р. Так как ОВ —проекция АВ на Y2,To Z.ABO —
искомый угол. Пусть АО-а', тогда АС ~ (из ААОС ), а в
sin a
ААСВ имеем ЛЯ =
Л0
ЛС
sinp sin а sin p
Наконец, из АЛОВ находим
sinZ^S0 = ^- = sinasinB. Получили £АВО - arcsin (sin a sinp).
АВ
Ответ, arcsin (sin a sin В).
777

12.087. Найти угол между образующей и высотой конуса, у
которого боковая поверхность есть среднее пропорциональное между
площадью основания и полной поверхностью.
Решение.
По условию задачи 5бок = ^50СН ■ S - ylSocli{S6oK + 50СН).
Обозначим образующую конуса /, раднус окружности основания ^ . Тог-
R
да 5бок = kRI , S0CH = kR , a since = —, где а — искомый угол,
поэтому я = / sin а - Тогда %l2 sin a = -jid2 sin a\nl2 sin а + nl2 sin2 а),
откуда sinaa+sina-l--0 ■ Решая это квадратное уравнение, полу-
-1±-Л _ я -Л-1 ^
чим sin a = . Так как 0 < a < — г то sin a = —-— . Тогда
Vs-i
■ Vs-i
Ответ: arcsin .
12.088. Все боковые ребра треугольной пирамиды составляют с
плоскостью основания один и тот же угол, равный одному из
острых углов прямоугольного треугольника, лежащего в основании
пирамиды. Найти этот угол, если гипотенуза треугольника равна
с, а объем пирамиды равен V ■
Решение.
Так как все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью
основания равные углы, то основанием высоты является центр описанной
около основания окружности. Так как ААВС — прямоугольный
(Z.B = 90° )> т0 центр этой окружности лежит на середине гипотенузы,
с
т.е.Д-- (рис, 12.89).Обозначим Л4 = а.Тогда v45= ^Ccosa = ccosa-
т о 1 ,п ,^ • 1 2 ■ с sin 2a _,
Тогда 50СН -—АВ-ACsinct- — с sinacosa= , По условию
2 2 4
AC ctsot
ZSAK = ZBAC = а . Тогда высота SK = АК -tga = — tga = —~ .
778

к
Рис. 12.8
Рис. 12.90
1 с sin^ot ctccc - -i
Объем V = -SoaI-SK =—— «—.откуда 12К = с' sin" a .
Значит, sin a -.
12Кс -JllVc
. -J12VC
Ответ: arcsin —.
с
12.089. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна ; и
составляет с боковым ребром угол а . Найти объем
параллелепипеда, если периметр его основания равен р .
Решение.
ABCDAXBKCJ)X — прямоугольный параллелепипед, 5,/) = /,
ZB,/)/), = а, PMCD=P (рис. 12.90). Из AB,D.D находим
DD{ = /cosa, а ДВ, = DB = /sina . Положим ЛВ = х, AD = у ; тогда
2х+2у=Р,
х2 +у2 = /2sin2a
х + у = Р/2,
х2 +у2 = /2sin2a
= Р2/4.
Вычитая из первого уравнения второе, получим ху
х + 2ху + у
х2 + у2 = /2sin2a.
P2-4/2sin2a
779

Отсюда
Рис. 12.92
Pa-4/asin2a . /(p2-4/2sin2a)cosa
У*™ -„ / cos a = -*■ С .
Ответ: ~\P2 -4/2sin2a)cosa.
12.090. Плоскость, проведенная через образующую цилиндра,
составляет с плоскостью осевого сечения, содержащего ту же
образующую, острый угол a. Диагональ прямоугольника,
полученного в сечении цилиндра этой плоскостью, равна / и образует с
плоскостью основания угол р. Найти объем цилиндра.
Решение.
Объем цилиндра находится так: у - hR2h ■ Высота цилиндра
Я = C4 = /sinp (из ДС45)(рис. 12.91). Из АСАВ: АВ = /cosp .
Рассмотрим AOFB (zOFB-90" )■ FB~--AB~-~ cos р. Радиус основа-
„ „п FB /cosp* _
ния цилиндра равен: R ~ ОВ = — . Подставим и
окончательно получим:
cos a 2 cos a
/2cos2p . . . 7d3 sin2Pcosp*
y~n _л. / sin p = j .
Ответ:
nl sin2pcosp
780

12.091. Сторона ромба равна а, а его острый угол равен а.
Ромб вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину
параллельно большей диагонали. Найти объем тела вращения.
Решение.
Объем тела вращения есть сумма объемов двух одинаковых фн-
гур ^т.вр-^К (рис. 12.92). Объем такой фигуры есть: У-Уус.к~Ух-
Объем'усеченного конуса равен: Куск=—— (й +r +Rr). Раднус
большего основания R ~ OD - 2asin—. Радиус меньшего основания
а а
г = ВС - asm — . Высота усеченного конуса: Н ~ВА~ acos — .
Подставим и получим:
-1 - 2 ■ 2 « 1-1а-.1-2°Л~1ъ-а-
KVCK =—acos— 4я sin —ta sin —via sm — =— na sin—sina
yC.K 3 — 2^" ™" 2' " " 2 ' " 2j6"""2
Объем конуса с меньшим основанием;
1 2гт 1 3 • 2 a a 1 3 ■ a •
К, = -яг tf = -тса sin —cos —= -тса sin—sin a. Тогда объем тела
3 3 2 2 6 2
вращения равен:
Кш^^АКск~к)~А ~тш3sin —sina — rca3sin—sina =2тш3sin — sina
т.вр \ ус.к к/ 1 6 2 6 2 J 2 '
2
12.092. Объем шара равен V. Найти объем его сектора, у
которого центральный угол в осевом сечении равен a.
Решение.
2 2
Объем сектора находится так: Vc =—Tci? h (рис. 12.93). Объем шара:
V = -пЯг. Отсюда R = з — . Из Д05С (ZOBC = 90° ),BO = Rcos £ .
■^ V 4тс 2
Тогда высота сегмента Л = ЛЯ = Л-Я0 = -К| 1-cos— \ = 2Rsmz — .
781

С i...
Ok'
£---_-:
\%-
Рис. 12.93
Рис. 12.94
Подставим и окончательно получим:
,г 4 „з ■ 2а 4 ЗК . 2 а „ ■ 2 <*
V, = -kR sinz — = -л—sin — = К sin - .
c 3 4 3 4л 4 4
Ответ: Vim'—.
4
12.093. Угол между высотой правильной треугольной пирамиды
и боковым ребром равен а (а<тс/4). В каком отношении делит
высоту пирамиды центр описанного шара?
Решение.
Из AS0.4 (равнобедренный: SO = OA) следует: OD1SA и
SD=DA=^ (рис. 12.94). Из ASDO SZ) = SOcosa; x = 2SOcos<x-
Отсюда SO-- . Из &SO.A SO.-SAcosa- xcos a . Тогда
2cosa ' '
00, = SO,-SO = xcosa-
2xcos" a~x
Отаода:
= cos2a.
2cosa 2 cos a
00, (2xcos2a-xEcosa „ ■>
L = -c с = 2cos"a-l =
50 2cosa-x
Ответ: cos 2a.
12.094. Основания двух конусов, имеющих общую вершину,
лежат в одной плоскости. Разность их объемов равна V ■ Найти объем
меньшего конуса, если касательные, проведенные к окружности его
782

основания из произвольной точки окружности основания большего
конуса, образуют угол а.
Решение.
Разность объемов конусов: V\~Vi = V (рис. 12.95). Объем боль-
1 2 1 2
шего конуса V\~~ к&\ И . Объем меньшего конуса У% - — ъЩ. Н. Из
ААВО (ZOBA = 90°J- sin--~г~ = ~г- ■ Тогда R} = —^-.Подста-
Z CA4 Л] . ОС
1 sin —
2
вим: К = -1ся(к,2-/г|)=^1сЯ
Л
-#
= - TiHRl ctg2 —. Отсюда
W
2 а
!Ctfctg2y
Тогда объем меньшего конуса
ЗК „ V
3 *"«82§
■Я =
«g у
т, 2 ОС
!» 2
Ответ: Ktg'
!»
783

12.095. Боковая грань правильной усеченной треугольной
пирамиды составляет с плоскостью основания острый угол а. Найти
угол между высотой и боковым ребром пирамиды.
Решение.
Из ASOD (ZSOD-90'): SO = DOtga,a Z>0 = ^— (радиусвпи-
6
хТз
санной окружности) (рис. 12.96). Отсюда 50 = tga . Из ASOA
6
{Z.SOA- 90°) tg(3 = ; АО~~— (радиус описанной
окружности). Тогда tgP = —т= = 2ctga. Отсюда p = arclg(2ctga).
3xv3 tga
Ответ: arctg(2 ctg a).
12.096. В конус вписан полушар: большой круг полушара
лежит в плоскости основания конуса, а шаровая поверхность
касается поверхности конуса. Найти объем полушара, если образующая
конуса равна / и составляет с плоскостью основания угол a.
Решение.
2
Объем полушара равен: Кпш ~ ~nR (рис. 12.97). Из ААВО
{ZABO = 90°) Я^ОВ^ОАъта.Из ASOA (ZSOA~90°) 04 = /cosa-
Подставим i? ^/cosasinas—sin2a. Тогда объем полушара равен
2 /3 /3
К..,,-— л — sin32a = —Tcsin 2a.
пш 3 8 12
Ответ: —7csin32a.
12
12.097. Стороны оснований правильной н-угольной усеченной
пирамиды равны а и Ь ■ Боковая грань составляет с плоскостью
основания угол a. Найти боковую поверхность пирамиды.
Решение.
Боковая поверхность пирамиды равна: S6oK = —
Рг=па (рис. 12.98). Рассмотрим \ВСА (ZBCA = 90'):
784

■S
Рис. 12.97
Рис. Ш
AC = AO-BOi
а-Ь
„ 180° „ 180° , 180'
2tg 2tg 2tg
- (ЛО и ВО, — радиу-
cosa _, . 18
2cosatg —
сы вписанных окружностей). Из АВСА :АВ =1 = = :
Подставим и получим:
1 / .\ а-Ь
Sfi„« = -л(а+*)-
&-*W—
Ответ:
2cosatg
I 2 r2\. 180°
180
4 cos a
4 cos a
12.098. В шар вписан конус. Площадь осевого сечения конуса
равна 5, а угол между высотой и образующей равен а. Найти
объем шара.
Решение.
Объем шара равен: V -■- kR , Площадь осевого сечения конуса
1 / 2S?
равна: S-~l sin2a. Отсюда / = J-т—г-. Справедливо следующее
785

соотношение между элементами шара и вписанного в него конуса:
I = 2R sin 90° - а)= 2R cos а. Отсюда R = . Подставим и получим:
* ' 2cosa
2S -„ „4 2S 2S
. Объем шара V =
Hsin2acos2a 3 4sin2acos a v4sin2acos2a
aU
2 S-v/2Ssin2a 1 „ ^2Ssin2a
= :'—; г- = тя5-
3 2sm22acos'a 3 sin22acos3 a
1 „ V2Ssin2a
Ответ: - яо -
3 sin 2a cos a
12.099. Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб со
стороной д и острым углом a. Все боковые грани наклонены к
плоскости основания под одним и тем же углом р . Найти полную
поверхность пирамиды.
Решение.
Пусть SABCD —пирамида, ABCD —ромб, ZBAD = a (a<90°),
ЛД = я, ((MB)(/(BC))=((SBC}(/(BC))=((SC4[ABc))=iSDA\(/fBC))=p\
SOL[ABC) (рис. 12.99). Проведем апофемы пирамиды SE, SF, SK ,
SL ; тогда ОЕ1АВ , OFXBC , OK1CD , OL1AD (по теореме о 3-х
перпендикулярах) и, значит, ZSEO = ZSFO = ZSKO = ZSLO = |3 .
Sujcd о2 sin a
Далее имеем S6oK = -Лг-— = — . Отсюда
cosp cosp
a2sina 2 . a2sina(l + cosp) 2a2sinacosJ|
cos|3 cos|3 cos|3
2a sin a cos'
Ответ;
cosp
12.100. В основании прямой призмы лежит равнобедренная
трапеция, у которой диагональ равна а, а угол между диагональю и
большим основанием равен a. Диагональ призмы наклонена к
основанию под углом р*. Найти объем призмы.
786

s
Рис. 12.99 Рис. 12.100
Решение.
Объем призмы находится так: V = SH (рис. 12.100). Высота
призмы находится из B^BD (/LBfiD - 90°): Я = a tg Р . Площадь
основания S = BE . Из ДВЯО (z#£D = 90°): B£ = asina,a
Ь"В = асоза.Таккак AD = EF + AE + FD = BC + 2FD,t:o
AD + ВС =2ВС + 2FD = 2{BC + FD) = 2(EF + FD) = 2ED =2acosa . Тогда
„ 2acosa a1 . _, „
5 = — asina = — sm2a . Окончательно получаем:
V = — sin2atgp\
Ответ: —sin2atgp\
12.101. Сторона основания правильной четырехугольной
призмы равна и. Угол^между пересекающимися диагоналями двух
смежных боковых граней равен a . Найти объем призмы.
Решение.
Пусть ABCDAlBlClDl — правильная четырехугольная призма,
АВ = и, ZAfDC, =а (рис. 12.101). Имеем А1С1 = а~$2 . Пусть Аф = х;
787

Рис. 12.101
тогда DC^ = x . Из ДДОС] по теореме косинусов находим
т/2
2а2 = 2х2 - 2х2 cos а = 4х2 sin2 у . "«УДа х = „' • Из ДОД4 имеем
^7#
2sin —
2
М>,=
к„ =
fsm2f
а3 л/2 cos а
2sinf
2 J _ oleosa
2sm —
Отсюда
Ответ:
a3 л/2 cos a
, . a
2sin-
z
12.102. Объем конуса равен V ■ В конус вписана пирамида, в
основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом a
между боковыми сторонами. Найти объем пирамиды.
Решение.
Объем пирамиды равен: Vn--SH (рис. 12.102). Площадь
основания пирамиды S = .Из АЛБС СВ = 2АВsin—. Тогда
4R 2
788

2^53sin^ 2x3sin^ 2x
sins'- 2, = 2_. Отсюда R = ^-. Объем конуса
4R 4R 45
1 2 3V
V- — kR Я. Отсюда Н ■=■—г-. Подставим в объем пирамиды:
3 Jti?
т, 1 5-ЗК1652 4KS3
кп = j = . С другой стороны, площадь осно-
2
2
вания равна: S = - х sin a . Тогда окончательно получим:
„ 4Kx6sin3a K«na4sin2-|cos2| 2K
К„ = = - - — =—sin a cos — .
о 6 • 2 а 2я -2а Я 2
вта sin' — sin —
2 2
2К . 2а
Ответ: —sin а cos —.
л 2
12.103. Через две образующие конуса, угол между которыми
равен а, проведена плоскость. Найти отношение площади сечения
к полной поверхности конуса, если образующая конуса составляет
с плоскостью основания угол р .
Решение.
1 , .
Площадь сечения равна Sa;4 = -SA sin а (рис. 12.103), полная
поверхности конуса равна S„m =S6ok + Socb = 7lR/ + 7lR2 =kAOSA + kA02- Из
ASCM (ZSO-4 = 90*) -40 = S.4cosp\ Подставим:
Smn =ilS^2(cosP + cos2P). Тогда окончательно получаем:
5W4 SA2 sin a _ sin a
S^ = 2^cosP+cos2p)"4ltcoSpWP '
sin a
От вет: „-.
4л cos В cos2 -
2

s
Рис. 12.103
<'" О
С
Рис. 12.104
12.104. Отношение боковой поверхности правильной
треугольной пирамиды к площади ее основания равно к • Найти угол
между боковым ребром и высотой пирамиды.
Решение.
По условию SABC — правильная треугольная пирамида,
S6ok : s&abc = к. SOL(ABC); требуется найти ZASO (рис. 12.104).
Пусть SO = h и ZASO = a; тогда в dSOA имеем А О = h tg a ,
откуда АВ = АО& = Ы%аЛ , OD = -ОА = -Л tg а. Проведем SD1AC
и из ASOD найдем SD = Jso2+OD2 = JA2 +-Л2 tg2cc = -,/4 + tgJ~a .
Следовательно, S^ok = - ЛВ • SD = - Л tg a ■ V3 ■ - >/4 + tg2 a =
3;2» GTi П~~1 „ 3A2tg2a-»/3 .,
= -Л tgaV3\4 + tg aj, 5д.„с = = . Имеем уравнение
4 4
3A2tga,/3(4 + tg2a)4_, 74 + '82«
4 3A2tg2aV3
tga
= £; 1/4ctg2a + l = £;
790

4ctg a = k -1; ctga
Я
kl-l
откуда a = arcctg-
2
Ik1^.
Ответ: arcctg
12.105. Через две образующие
конуса, угол между которыми
равен а, проведена плоскость,
составляющая с основанием угол р*.
Найти объем конуса, если его
высота равна h .
Решение
Объем конуса равен: V-~TzhR2 (рис. 12.105).Из ААСО (zACO = 90°)
Рис. 12.105
R2 = A02 =ОС2+АС2 Из ASOC (ZSOC = 90°) 0С = --. Из
&SCA (ZSCA = 90°) ^C = SCtg-,aii3 ASOC SC - —- . Подста-
2 smp
a2 A2tg2^ A2cos2p4tg2~
вим и получим: r2 =—-—l 2_-—^
тельно получаем: V
tg" p sin2 p sin2 p
cA3 cos2p + tg2|
Оконча-
3 sin2 p
jrt'fcOs'P + tg2^!
Ответ:
3sin-|3
12.106. Высота правильной треугольной пирамиды равна я,
двугранный угол при основании равен а. Найти полную
поверхность пирамиды.
791

5
Рис. 12.107
Решение.
Полная поверхность пирамиды равна: 5,
поп бок "*" осн
Sora (рис. 12.106).
Площадь основания Soal = Зг2т/3 . Из ASOD (ZSOD-90°) находим:
r = DO = Hctga. Тогда SOCH = 3\/з ■ Я2ctg2 a. Площадь боковой
поверхности равна: 5бок = - Pi. Из ASOD '■ l = SD = ——. Сторона основания
AB = Z.-2jbH*ga. Тогда S6oK = I• 6^Я2^ = з7з~Я22£- .
V3 2 sin a sirr a
Окончательно получаем:
= з7зя2
ЬЗТЗЯ2ctg2 а = з7з~Я:
cos all + cos a)
sin a
2 a
cosa-2cos -- - /г
=з7зя2 2_=МЯ2_е?^.
" " 2 sin2°
Зт/З 2 cos a
Ответ: п ,
792

12.107. Около шара описан усеченный конус, у которого
площадь одного основания в четыре раза больше площади другого
основания. Найти угол между образующей конуса и плоскостью
его основания.
Решение.
По условию S2 =45[ (рис. 12.107). Отсюда кР,2 = 4kR[ => R2 = 2i?t
(AO = 250,). Искомый угол можно найти так: cos ZCDO = = —- .
v w CD CD
Известно, что CF2 = BCAD = 2BOi ■2AO=%B02. Из &CFD (ZCFD = 90°)
CF2 +FD2 = CD2 ■ Отсюда CD = <J%BO? + BO2 = -j9BO{ = ЪВО^ ■
Окончательно получаем: cos ZCDO ■
Ответ: arccos
12.108. Через сторону нижнего
основания куба проведена
плоскость, делящая объем куба в
отношении т : п , считая от нижнего
основания. Найти угол между
этой плоскостью и плоскостью
основания, если т<п ■
Решение.
По условию у ~ . Объем
ВО,
ZCDO = arccos - .
зво,
А
F
3
А
/^
ф* | Ч
^ ' "л
•v| ' \
Л 1 ^
X
, | \
\DL-1
к\/
^__
А
Рис.
в,
N^
\ Ч
\
\
гх^
^s
/
\
С/
v/p
"а
12.108
V\ = SH = -KPKOAD (рис. 12.108). Из АОКР (Z0KF=WY
ОР = -^—, OK = OPsina = KPlga. AD = KP. Отсюда К, = -/СР3 tg a.
cos a 2
Объем куба у ^ АВг = КРг ■ Тогда у, = у~у1=кР3—КРЪ tga =
-КР 1- —tga Подставим в соотношение:
793

Ъ. X2KPHga *" ^P3tg° tga
.Отсю-
l~tgajH>J '6" ^l-itgalW
2m _ (2m
да 2m-mtga = ntga; tga = -— => a-arctg —^
m + n
Ответ: arctg| ■
12.109. Высота правильной треугольной призмы равна я ■
Плоскость, проведенная через среднюю линию нижнего основания и
параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с
плоскостью нижнего основания острый двугранный угол а . Найти
площадь сечения, образованного этой плоскостью.
Решение.
Пусть ABCAXBXCS — правильная треугольная призма, АА1 = Н,
AN = NB, ВМ = МС, ((А^МУХАВС)) = а (рис. 12,109). Проведем
ВЕААС и EFJAA^, ZFEB = а как линейный угол двугранного угла.
Пусть BE П MN = О ; тогда F01MN (по теореме о 3-х
перпендикулярах). Сечение AlNMCi — трапеция, так как MN\AC . Из AFEO
Находим FO = —— = ——, £0 = tfctga, откуда Я£ = 2tf ctg a. Из
sin a sma
&BEC получим £C=M^ = .g£ctg60o=2ffctga—=2 tg0C;
a^ лг 4#V3ctga _
значит, AC = A{Ci= . Получили
с AC + MN г- Н Я2Уз~с1ёа
1 ' 2 sma sma
Я27зс1ёа
От eem: ; .
sma
12.110. Найти боковую поверхность усеченного конуса,
описанного около правильной треугольной усеченной пирамиды, зная,
что острый угол трапеции, служащей боковой гранью пирамиды,
равен а и что в эту трапецию можно вписать окружность радиуса г ■
794

в,
'О \
Е
Рис. 12.109
Решение.
Боковая поверхность усеченного конуса равна S6oK =л(Д, +R2)l
2г
(рис. 12.110). Высота трапеции АГ-2г.Из AXF/i: ЛЛ = ,
sm a
.„_ 2г 4г
^-^ -" . Обозначим ^jCj -а, АС - b ■ Из трапеции я-я + - Из-
вестно,что a-b-Ar2 =а2 +а— ■ Решая уравнение а2 +а 4г2 =0,
tga tga
. fl + cosa^ _., fl-cosa^
получаем ах - -Zr\ —: и аг - Lr\ ~^~Г \', aY — не подходит.
Тогда *-2/!=^1+-^ = 2И
sin a J tg a
sin a
1 + cos a
Известно также, что
Л[ ; R2 ~~т~ • Окончательно получаем
V3 / ,ч, 7з„ fl-cosa+l + coscO 2r 8-Л]
S60K = 't-v(a + *)' = 't_r2i
sin a 3sin2a
Ответ:
8-,/зго-2
3sin a
795

12.111. Сторона основания треугольной пирамиды равна а ,
прилежащие к ней углы основания равны а и Р. Все боковые ребра
составляют с высотой пирамиды один и тот же угол ф. Найти объем
пирамиды.
Решение.
Объем пирамиды V--SH (рис. 12.111). Из &SOA (ZSOA-W)
Н -SO- . По теореме синусов: 2R-2AO-—; г =
tgip sinpo-a-p)
а а
- ~^1 ~£\. Тогда Я = ri гт. По теореме синусов
СВ а „ asinp
= —-, г => СВ- —-,—~. Площадь основания
sinp sin(a + p) sin(a+|5)
1 „„ . la sinBsina ^ „,
S = -aCB$ma = -^-—r-■ Тогда
2 2 sin(a + p)
1 a3sinpsina 1 a3sin|3sinactgq>
~l4tg9sin2(a + p)~12 sin2(a + P)
a3sinpsinactg9
Ответ: ,. . ц Т\~■
12sin (a + p)
12.112. Расстояние от центра основания конуса до его
образующей равно d • Угол между образующей и высотой равен a . Найти
полную поверхность конуса.
Решение.
Полная поверхность конуса Saon =S6„+SOCB = nJ?/ + E/?2 (рис. 12.112).
Из АОВА (ZOBA = W, ZBOA = ZASO = a) R=OA = . Из
cos a
ASOA (ZSOA=90') SA = ^- ; из ASBO SO = -—. Тогда
cos a sm a
d
l-SA- — . Отсюда
796

Рис. 12.112
sin a cos a cos a cos a^sma
<r 11 +sin a)
тад cos —+2sm —cos—+sin —
1 2 2 2 2
■ - , , a.all a.a
sum cos —-sm — sin a cos sin— cos —+sin —
1 2 2 J I 2 2 Д 2 2
ml1
a . a
cos — + sm —
2 2
m/2
sinaf a . a VC a . a V . f a .a
[cos —-sin— cos —+ sm— since cos — sin —
2 2 I 2 2 J I 2 2
m/z
m/2
, . ( 1 Vf a . a)2 . . ( 1 a 1 . af
2smcd -j- cos — sm— 2sina -i-cos — —j-s'air
VJlji 2 2 J ^ 2 ^ 2j
m/'
ml1
„ . , . 7i a тс . a
2sma sin—cos cos—sin —
1 4 2 4 2
2sinasin'
4 2
Ответ:
lid2
2 sin a sin
4 2

12.113. Основанием пирамиды ABCD служит прямоугольный
треугольник ABC (ZC-900)- Боковое ребро AD
перпендикулярно основанию. Найти острые углы треугольника ABC > если
ZDBA = a и ZDBC = $ (<х<р).
Решение.
Пусть DABC —пирамида, ZACB = 90°, AD±(ABC), ZDBA = cl,
ZDBC = $ (а<р) (рис. 12.113). Пусть AD = h ; тогда из AADB
находим AB = hctga> DB = ~—. Так как ВС1АС , то DCXBC и из
sin a
ADCB получим fiC=/>ficos|5 = — . Итак, в ААВС имеем
sinZ4 =
ВС h cos p _ cos p
AS = sina-Actga~cosa' откуда
cosfi
Z^ = arcsin
cosp
Z.B = arcsin
2 cos a
. cos В cosВ
Ответ: arcsin ; arccos —-.
cos a cos a
12.114. В правильной шестиугольной призме плоскость,
проведенная через сторону основания и середину отрезка, соединяющего
центры оснований, составляет с плоскостью основания острый угол
798

a. Найти площадь сечения, образованного этой плоскостью, если
сторона основания призмы равна а .
Решение.
Площадь сечения SCC4 -2SBAF£ =2 РК\ (рис. 12.114).
Радиус вписашюй окружности в основании призмы: ОК =г- .
Из АРОК (zPOK = 90°)- РК = = — ■ Радиус описанной
cos a 2 cos a
окружности r = ВР - a ■ Отсюда BE - 2a ■ Окончательно получаем:
йТз Ъаг4ъ
SCC4={BE + Af)PK =$a+a]
Ответ:
2 cos a 2 cos a
S
2 cos a / , \
12.115. В конус вписан шар, по- /.--"'}~"-\
верхность которого равна площади /' i \д
основания конуса. Найти косинус / [ ^s'\.
угла при вершине в осевом сечении /[ Qf \
конуса. / \ | / \
Решение. /""" ^'~~ ' ~~''"~ "~"\
Поусловию 5Ш = SKH (рис. 12.115), ^Z^ZZ~"o ~ZZ^k
Отсюда 471^ = krI => RK =2ЛШ .
Рис Р 115
Рассмотрим &SCA • По теореме
косинусов {2 AOf =2SA2 -2SA2 cosa = 2SA2(i-cosa). Отсюда
2SA2-2(RKY , 2Rl
cosa = i-!^~- = l 1, &soA и ASBO^ подобные:
2SA SA
— = — => 5^ = 5а-^- = 250,.Из ASOA: SA1=OA2+S02,*
BOx SO^ Rm
SO = SOl+OlO = -~-+0]B. Подставим: SA2 =OA2 +(— +OxB
SA2 i SA1
SA2 = R2K + + ЯА-^ +Rl =5R^ + + SA-Rm . Решая уравнение
4 4

^~-SA■ ^-5^=0, получаем: 1) &4 = ^Ц 2) SA = ^- (не
4 3 3
, 2-4Л,2„-9 , 18 7
подходит). Тогда окончательно получаем: cosa = 1 ^— = 1 -— = —.
100/^ 25 25
Ответ:
25
12.116. Основанием прямой призмы служит равнобедренный
треугольник, у которого боковая сторона равна а , а угол между
боковыми сторонами равен a. Найти объем призмы, если ее боковая
поверхность равна S ■
Решение,
Объем призмы V = Som ■ И (рис. 12.116). Площадь основания рав-
1 2 . S
на: S0CH = - аг sin a. Боковая поверхность S = РН, отсюда Н- — .
Обозначим АС-х- По теореме косинусов:
x2=2a2-2a2cosa = 2a2(l-cosa)- Тогда x = a^J2({-cosa) = 2asin- .
Отсюда P = 2a+2as
a ^ ( .о
1— ~2а\ 1 + sin —
2 I 2
Окончательно получаем:
V = — a sina
2
2a| 1+sin — I 4l 1+sin
aS-2sin—cos —
2 2
/ 2 a . 2« , . о a
4 cos — +sin -~+2sin — cos —
l л л л л
, о • а( 2 О • 2 °0
2aSsin — cos —sin —
2{ 4 4)
4 cos —+sin —
4 4
if a
'4
aSsin — \ cos sin —
2l
a] aSsia2
2 cos —+ sin —
4 4

Рис. 12.116
eSsin-U-tg- aSsin- tg--tg- . ,
21 4 J 214 4 1 «S . о i о
v ' K '--—sin-tg '
я а| 2 2 14 4j
2| 1 + tg-
2|l + tg-tg-
aS . а л-а
Ответ: —-sin —tg .
2 2 4
12.117. Основанием пирамиды., вписанной в конус, служит
четырехугольник, у которого смежные сюроны попарно равны, а
угол между одной парой смежных сторон ра^н а. Найти
отношение объема пирамиды к объему конуса.
Решение.
Объем пирамиды ^п = г S0Ch ■ # (рис. 12.117). Площадь
основания пирамиды SOCii=2SAABC = 2-ABBC (zABC = 90° )■ Из ААВС
AB=20Csin-;a. BC^lRcos—. Тогда S^ = 4Д2 cos-sin-= 2Д2 since.
Объем конуса VK = — kR H . Тогда искомое отношение:
2sina
Ответ: .
26 M. И. Сканави, групгга t

12.118. Найти косинус угла между смежными боковыми гранями
правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро
равно стороне основания.
Решение.
№ ААОС по теореме косинусов AC2 = 2A02-2A02cosa
2А02 -АС2
(рис. 12.118). Отсюда cosa = ZTTTa • Из ^вс (ZABC = 90'):
2А02
AC=jlJ =аЛ. № ЬАОВ (^AOB = W): AO = Ja2-~=-
2-3a:
2 '
Тогда окончательно получаем: cosa
1
4_
-2а2
2
Ответ: -
12.119. В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой
касаются конус и шар, равен г ■ Найти объем конуса, если угол
между высотой и образующей конуса равен a.
802

Решение.
Объем конуса равен: V = -%lq-H (рис. 12.119). Из ДЛО,0
(ZAO,O = 90") OA = Rm= ; 00, = rtga.H3 t±SO,A
1 cosa '
(ZSQA = 90') SO, = . Высота конуса:
1 tga
tf = SO,+0,0 + Лш =r + tga +
^cosa tga
(l+sina)sina+cosza | (sina+1
sin 2a
Из ASBC (ZSBC)
■ sina+1 i sina fsina+n
**="t8a=r|7n^^ho^=,rar Тогда
,, 1 ifsina+n „ fsina+П l -, (sina+l)'
V = ~m-\ =— -2r-\ \ = -nr —j =
3 I. cos a J \ sin2a J 3 cos a sin a cos a
,, ,„ . 2 „ _ . a a
то- cos — +sm — +2 sm—cos—
1 2 2 2 2
2a . 2a
з[ a . a
кг cos —+sm —
2 2 J
з( a . a
TO" COS —+51П —
I 2 2
1+-
2 )
-, i i a . a
3 cos asm a cos—sin —
2 2
3cos'asina
J2_
a
s —
2j
803

И.+<В§.< „з , »>*»?-*
i ( л ai 3cos asina з(п <±\ 3cos2asina
3cos2asinaltg--tg-j '8 ^ 2J
з . зГи «
jtrctg '
Ответ:
4 2
3cos asina
12.120. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды
равно т и наклонено к плоскости основания под углом a. Найти
объем пирамиды.
Решение.
Объем пирамиды V = ~S0CHH (рис. 12.120). Из &SOA находим:
АС
SO = H = msma; AO = mcosa = —~ . Отсюда _4C = 2mcosa . Пло-
АСг 4m2cos2a „22^
щадь основания S0CB = —— = = 2т cos a. Тогда
V ~— 2m2cos2a-msina = -m3cosasin2a
3 3
Ответ: -m3cosasin2a.
12.121. Основанием пирамиды служит правильный треугольник
со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны
плоскости основания, а равные боковые ребра образуют между
собой угол a. Найти высоту прямой треугольной призмы,
равновеликой данной пирамиде и имеющей с ней общее основание.
Решение.
Пусть DABC — пирамида, АВС — правильный треугольник,
{АВВЩавс), {BCD)l{ABC), ZADC = a, АВ = а (рис. 12.121).
Требуется найти высоту призмы с основанием, равным ААВС, причем
^яр = ^пир ■ Высота пирамиды совпадает с ребром DB. так как
перпендикуляр, опущенный из D на (АВС), должен принадлежать и
804

s
D
Рис. 12.120 Рис. 12.121
(АВС),и (CBD). Проведем DK1AС ; так как AADC — равнобед-
а а
= — ctg —
2 2
„а а
ренный, то КА = КС. Из ADKC находим DK=-ctg — , а из
ДОВК получим 1
1 а2-Л а I 2а , а3 17 2« ,"1 ^
Отсюда Кпир=---^— --^ctg2 —-3 =^J3I «8 ^~3 ■ Так к<»к
а27з а2^ „ а" \( . 2 а >
К =К g Н то # =— ./3 ctg 3
кш.Р •'пр 4 п , то 4 24 \ I 2 )'
откуда
I. (% а).
, a, sin —+— si
а . 2« 2* V \6 2 J
= -, ctg2 ctg2- = — —
6V 2 6 , . а
3sm —
Ответ: 3sin
, sin —+ — sin .
■ а V U 2) U 2)
805

s
-Л-+—як
В
Рис. 12.122
Рис. 12.123
12.122. Найти объем конуса, если в его основании хорда длиной а сгя-
гивает дугу в а радианов, а высота конуса составляет с образующей утл (3.
Решение.
Пусть SAK — конус, SO — его высота, ВК — хорда, ВК - а,
иВпК = а, ZOS/C=P (рис. 12.122). Так как иВпК = а, то Z.BOK = а.
Пусть R— радиус основания конуса; тогда в АОВК имеем a" -2R -
-2«-coscx=4fl-s
-—, т.е. a = 2Rsin—. откуда Л= — - ■•■-. Из
2 2 2sin(a/2)
&SOK находим SO = <Жс(вВ = - -ac!g"--. Итак,
2sm(a/2)
I<- = -tlR2 SO = -л
3 3
a «ctgp _ тш ctg(3
. . 2a , a~ . ,o'
4sm — 2sin 24snr —
2 2 2
Omeem:
ita'clgP
24sin3
806

12.123. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2а, a
сумма длин его высоты и образующей равна а. Найти объем конуса.
Решение.
По условию SA + SO = a => SO=a-SA (рис. 12.123). Объем
конуса V = -кЯгН .Из &SOA SO = SA cos а. Тогда SAcosa = a-SA ■
l+cosa l+cosa'
Тогда окончательно получаем:
1+cosa
„ 1 a sin a acosa
V = -7t7
,. 2« 2«
з cosa-4sin —cos —
" 2 2.
3 (l+cosa)2 (l+cosa) 3
3-8cos4
Ответ:
з . 2 о
а к cos a -sin —
2
6cos4
a
2 A,
12.124. Найти полную
поверхность прямого параллеле- д
пипеда, если в основании его
лежит ромб с острым углом а рис ^ 124
и меньшей диагональю d , а
высота параллелепипеда в два раза меньше стороны основания.
Решение.
Полная поверхность параллелепипеда Snon =5бок +25ОС(Т (рис. 12.124).
л л АВ а
По условию ААХ - —— - — . Периметр основания Р~4а> а высота
Я = - . Тогда 5бок --
4— -2а .Из AABD по теореме косинусов
Z>fiz = 2^4 В1 - 2АВ1 cos a; d1 - 2al - 2az cos a . Тогда аГ
2(1 -cos a)

Площадь основания S0CH =2SAABD=2-a sinct = a sin a.
Окончательно получаем:
_ , , • 2rf2 2rf2sina 2rf2(l+sina)
'I
л
cos
cos
Ответ:
2«
2
■ 2«
+sm —
2
2 sin2
2(1-
+2 sin
a
2
л a . тс .
— cos —+ sm—sin
4 2 4
d1
. 2a
sin —
2
COS — ■
u
• 2«
sin —
2
-f)
cos a)
a
1 —COS
2
if
♦
f)
-cos a)
rf2
Ш
U 2,
- !«
sm —
2
4 sin2
( «
COS —
I 2
. 2<X
sin —
2
)
a
+sin
11
12.125. В правильной двенадцатиугольной пирамиде, ребра
которой пронумерованы подряд, проведено сечение через первое и пятое
ребра. Плоскость сечения образует с плоскостью основания пирамиды
угол a, а площадь этого сечения равна S ■ Найти объем пирамиды.
Решение.
Пусть SAxA2A-i...A{2 — правильная двенадцатиугольная
пирамида, SAlA5 —сечение пирамиды плоскостью, ((SAiA5\[AlA2A3))=a,
Зазл}а5 - S (рис. 12.125). Проведем SO±(AlA2A3). Пусть ОА^ - R ; так
как ZAlOA2~—~~30°, /_ApAs -30° -4-120% то AXAS —сторона
правильного вписанного в окружность треугольника и АХА$ = R^b .
Проведем ОК1А1А5; тогда ZApK-6Q\ OK ^-R. Из ASOK
находим SK = = - 50 = ~i?tga, так как ZSKO —линейный
cos a 2 cos a 2

s
/
/
/
/
/
/
/
/
|\
l->
H'
1 2
ЧЛ
\
\
\
Рис. 12.126
угол двугранного угла между сечением и основанием. Имеем
•Wi, = \ 4^' SK, т.е. S = \ Rfi ■
R2J3
, откуда л - —^
Далее, 5^ = 125ДОЛл, =12 ™i?2sin30D =3R2 = I25J?Sa==4SV3cosa.
Получили
1 0 0„ 4sV3cosa 1 2VScosa . 4 5 sin aVs cos a
k„„p=-Ac»s0 = — _.^__U!„ = -g. =
cos a
4S4S ■ r-
Ответ: —-— smavScos a.
12.126. Найти угол в осевом сечении конуса, если сфера с
центром в вершине конуса, касающаяся его основания, делит объем
конуса пополам.
Решение.
Объем сектора VCCK = — nR^ ■ h (рис. 12.126). Объем конуса
1 ? V 2 7 1 ?
VK = - я/Г Я . По условию VceK = -г-; - nR^h = - nRAH . Высота ко-
3 2 3 6
нуса Я =7?ш; высота сегмента h=Rm-SA.W'$ &SAB находим:
809

SA = Rm-cos-. Отсюда Л = Rm 1-cos- |. Из ASOC находим:
а 2 „-. f ol 1 „1 2«
R = OC = Rm tg-. Подставим: ^„(l-cos- N-xf^tg -
>4 1-cos- =tg -. 4 1-cos- =—= 1; 4 1-cos- = -
I 2J 2 L 2j cos2a/2 I 2j „„2 a
cos
2a( аЛ ( oY, оЛ , a a
4cos - 1-cos— = 1-cos- 1+cos- => 4cos - = 1+cos- .
2 a a a
4cos cos—-1 = 0. Обозначим cos—=/. Решая уравнение
2 „ 1+-Л7 1—Jl7 ,
4/ -/-1 = 0 , получаем /, =—-— и t2= (не подходит). От-
8 2
a i+Jil a H-VT7 ^ „ \+Jl7
сюда cos — = —-— => — = arccos —-—. Тогда ot = 2 arccos :—.
2 8 2 8 8
. i + Ji7
Ответ: 2 arccos—-—.
8
12.127. Разверткой боковой поверхности цилиндра является
прямоугольник, диагонали которого пересекаются под углом а.
Длина диагонали равна d ■ Найти боковую поверхность цилиндра.
Решение.
Пусть ААХВХВ —развертка боковой поверхности цилиндра, АА1
и ВВХ — его образующие, АВ и АХВХ — длины окружностей его
оснований, ABl = d, ZAOA^=a (рис. 12.127). Так как ААОАх —
внешний угол равнобедренного треугольника АОВ, то £ОВА = — .
Из АА1АВ находим А^А *-d sin — у AB = dcos— . Получили
5бок =2kRH = AB-AAx = d2sin — cos— = -~d2sinct.
1 л •
Ответ: -« sin a

Рис. 12.127
Рис. 12.128
12.128. В конус, образующая которого равна /, вписана правильная
шестиугольная призма с равными ребрами. Найти боковую поверхность
призмы, если угол между образующей и высотой конуса равен а.
Решение.
Боковая поверхность призмы 5бок -P-h (рис. 12.128). Пусть ребро
призмы равно х. Тогда h = x и > = 6х.Из tsSOA SO = /cosa- Из
ASO,B SO, = Найдем SO = 00, +0,S = x + =
tga tga
1 + .Решим
tgaj
уравнение: х\ {+—— | = /cosa
1 tga
/cosasina
Тогда S,
бок
6/ cos asin a
cosa+sma
3/2cos2asin2a 3/24cos2asin2a
= 6x2
(cosa + sina)2 ( i Y2, ., / . л л . Y
\-j= (cosa+sinaf 4l sin—cosa+cos—sina
ЗГ sin2 2a
4sin'| — + a
Ответ:
3/2 sin2 2a
811

5
Рис. 12.130
12.129. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды,
если сторона ее основания равна а, а двугранный угол при
основании равен а.
Решение.
1 ,
Объем пирамиды V- — SH (рис. 12.129). Площадь основания:
S-a2- Высота пирамиды из &SOE SO-H--tga. Отсюда
K = -Ttga = Ttga.
аъ
Ответ: ~~ tg a.
6
12.130. Развертка боковой поверхности цилиндра представляет
собой прямоугольник, в котором диагональ равна а и составляет с
основанием угол a. Найти объем цилиндра.
Решение.
Объем цилиндра у ~ kR2H (рис. 12.130). Высота цилиндра из
ААВС равна Я = C5 = asina ■ Длина окружности основания
; = АВ = acosa- Но, с другой стороны, c=2nR. Тогда R--
2к
a cos a a cos asm a
Подставим и получим: К=71 asina = .
Ответ:
a cos asm a

Решения к главе 13
ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
13.001. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой
как 1/5 :1/3:1/20, а четвертое составляет 15% второго числа. Найти эти
числа, если известно, что второе число на 8 больше суммы остальных.
Решение.
Искомые числа таковы: к/5 ; к/3 ; к/20 ; ОД 5 • к/3 = к/20 . По усло-
к к к к
вию ~- 8 = 7+Jo~ + 5o> 0ТКУда & = 240-
Ответ: 48; 80; 12; 12.
13.002. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т
целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с
содержанием 75% воды?
Решение.
В целлюлозной массе содержится 0,85-500 = 425 кг воды. Пусть
выпарено х кг воды; тогда получим 425-х = 0,75(500-х), откуда
х = 200 (кг).
Ответ: 200 кг.
13.003. В двух бидонах находится 70 литров молока. Если из
первого бидона перелить во второй 12,5% молока, находящегося в
первом бидоне, то в обоих бидонах будет поровну. Сколько литров
молока в каждом бидоне?
Решение.
Пусть первоначально в первом бидоне х, а во втором 70-х
литров молока. После переливания в первом бидоне осталось
х-0Д25х = 0,875х литров, а во втором стало 70-х+0Д25х литров.
По условию 70-х + 0Д25х = 0,875х , откуда х = 40 ■ В первом бидоне
было 40 литров, во втором — 30 литров молока.
Ответ: 40 и 30 л.
813

13.004. Две бригады, работая одновременно, обработали
участок земли за 12 ч. За какое время могла бы обработать этот участок
каждая из бригад в отдельности, если скорости выполнения работы
бригадами относятся как 3:2?
Решение
Пусть Зх —скорость выполнения работы первой бригадой, 2х —
скорость выполнения работы второй бригадой. Первая бригада
1 1
выполнит всю работу за — часов; вторая — за — часов. Вместе
1 1
они выполнят всю работу за — = — часов. По условию
Зх + 2х Эх
— = 12, откуда х = 60- Первая бригада выполнит всю работу за
= 20 часов; вторая — за -—— = 30 часов.
3-— 2 —
60 60
Ответ: 20 и 30 ч.
13.005. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к
искомому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке. Найти число.
Решение.
Пусть искомое число имеет вид 10х + у. Тогда по условию
х + )> = 12 (1) и 10х + >> + 36 = 10>' + х, т.е. х->> + 4 = 0 (2). Складывая
(1) и (2), получим 2х = 8, откуда х = 4,а у = %.
Ответ: 48.
13.006. Тракторист вспахал три участка земли. Площадь
первого равна 2/5 площади всех трех участков, а площадь второго
относится к площади третьего как 3/2:4/3. Сколько гектаров было во
всех трех участках, если в третьем было на 16 га меньше, чем в
первом?
Решение.
Пусть площади участков равны х, У , х-16 (га). По условию
х = -(х + >'-16 + х) и >>:(х-1б)= 3/2:4/3, откуда у = -(х-1б). Имеем
5 о
814

-- 2х-16 + -х-18 <=> x = - —--34 , х- /. Далее находим
S{ 8 J 5^8 J 5M
272 Л 216 D 544 216 ,, ,-, , ч
— -16 = —. Вся площадь составляет —+ 16 = 136 (га).
Ответ: 136 га.
13.007. Цену товара сначала снизили на 20%, затем новую цену
снизили еще на 15% и, наконец, после пересчета произвели
снижение еще на 10%. На сколько процентов всего снизили
первоначальную цену товара?
Решение.
Пусть х — первоначальная цена товара. После первого
снижения цена стала x-0,2x = x(l-0,2); после второго— x(l — ОДX1 — ОД5);
после третьего — x(l - 0ДХ1 ~ °J 5Xl ~ °4)= 0,612х - Значит, всего
первоначальную цену товара снизили на 1-0,612 = 0,388 = 38,8%.
Ответ: 38,8%.
13.008. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько
пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы
концентрация соли составляла 1,5%.
Решение.
Пусть х кг соли в 30 кг морской воды, х кг составляют 5%.
Отсюда х -1,5 кг, 30 кг — 100%. В разбавленной морской воде: 1,5 кг
соли составляет 1,5%, а кг— 100%, откуда а = 100 кг
разбавленной морской воды. Значит, надо добавить 100-30 = 70 кг пресной
воды.
Ответ: 70 кг.
13.009. В библиотеке имеются книги на английском,
французском и немецком языках. Английские книги составляют 36% всех
книг на иностранных языках, французские— 75% английских, а
остальные 185 книг— немецкие. Сколько книг на иностранных
языках в библиотеке?
Решение.
Пусть х — всего книг на иностранных языках. Английских книг —
03 6х; французских 0,7 5 ■ 0,36х . По условию 0,36х + 0,7 5 - 03 6х +18 5 = х,
откуда х = 500-
Ответ: 500.
815

13.010. Насос може'1 выкачать т бассейна 2/3 воды за 7,5 мин.
Проработав 0,15 ч, насос остановился. Найти вместимость бассейна,
если после остановки насоса в бассейне еще осталось 25 м3 воды.
Решение.
Пусть ,v м1 — вместимость бассейна. За 7,5 мин насос может вы-
кача1ь —-V воды. За 0,15 ч -* 9 мин насос выкачал - э-- - 0,8л воды, В
бассейне осталось 0.2х воды. По условию 0,2.y = 25, откуда х - 125.
Ответ: 125 м-\
13.011. Вследствие реконструкции оборудования проишодитель-
ность труда рабочего повышалась дважды в течение года на одно и то
же число процентов. На сколько процентов возрастала каждый раз
производительность труда, если за одно и то же время рабочий
раньше вырабатывал изделий на 2500 руб., а теперь на 2809 руб.?
Решение.
Пусть за 8 часов работы рабочий изготавливал а деталей. Тогда
2500 _
расценка составляет — руб. за деталь, а производительность труда
равна - деталей в час. После первого увеличения производигельности
а х -а
на д'% рабочий стал изготовлять -_ + - — детален в час; после второго
8 100-8
увеличения производительности еще на д*% — ~ 1 + ттт И + . ~
деталей в час. За 8 часов он стал изготовлять а\ 1 + —"— деталей и заработал
1 100
( х Y 2500 _ ( х V 2500 „
а\ 1+ ■ руб. Согласно условию, а\ 1 + -— ■ =2809
{ 100) а *У ( 100 J a
откуда л" = 6%.
Ответ: 6%.
816

13.012. Рабочий день уменьшился с 8 до 7 ч На сколько
процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же
расценках заработная плата возросла на 5%?
Решение.
Пусть за 8 ч работы мастер изготовлял а деталей и
зарабатывал ь руб. Тогда расценка составляет hja руб. за деталь, а
производительность труда равна а/8 деталей в час. После увеличения
а ха
производительности на х% мастер стал изготовлять ~+~—77 Де-
талей в час. Поэтому за 7 ч он изготовил R щп Деталей и
заработал — 1 + — - = — 1 + —- руб. Согласно условию.
Р 8 L lOOja 8 I 100J F
— [l + —|=1,05Л, откуда х-20%-
8 t 100 J
Ответ: 20%.
13.013. В январе завод выполнил 105% месячного плана
выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше,
чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил
двухмесячный план выпуска продукции?
Решение.
Пусть х/2 — месячный план завода; х —двухмесячный план. В
январе завод выполнил 0,05-я/2 сверх плана; в феврале —
0,04 0,05-х/2 . За два месяца завод перевыполнил план на
0.05 —+ 0,04 ■ 0,05^ = 0,071х . Значит, завод перевыполнил
двухмесячный план выпуска продукции на 7,1%.
Ответ: 7,1%.
13.014. Найти три числа, если первое составляет 80% второго,
второе относится к третьему как 0,5 :9/20 , а сумма первого и
третьего на 70 больше второго числа.
Решение.
Пусть х —первое число, у —второе число, - —третье число.
817

Тогда, согласно условию,
Решая систему, получим
л- = 0,8>-,
у_ 0,5
' z ~ 9/20'
x + z = y + 10.
х-80; ? = 100; z = 90.
Ответ: 80, 100, 90.
13.015. Турист проехал расстояние между двумя городами за 3
дня. В первый день он проехал 1/5 всего пути и еще 60 км, во второй
1/4 всего пути и еще 20 км, а в третий день 23/80 всего пути и
оставшиеся 25 км. Найти расстояние между городами.
Решение.
Пусть х км — расстояние между городами. Составим
следующую таблицу:
День
Первый
Второй
Третий
Путь, пройденный за день
-х + 60 (км)
-х+20 (км)
23
— х + 25 (км)
80 v }
По условию — х+60+
<;+20 + ^х+25 =
80
. откуда х = 400■
5 4
Ответ: 400 км.
13.016. Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2 и 3,
а обратные величины соответствующих знаменателей
пропорциональны числам 1, 1/3 и 0,2. Найти эти дроби, если их среднее
арифметическое равно 136/315.
Решение.
Составим следующую таблицу:
Дробь
Первая
Вторая
Третья
Числитель
X
2х
Зх
Знаменатель
Уу
з/у
№у

Первая дробь —ху; вторая — —ху; третья — 0,6:ху. Среднее арифме-
ху + ^ху + О.бху ,36 136 4
тическое дробей — —=—-, откуда .п>= - =-. Значит,
3 315 238 7
4 8 12
первая дробь — ; вторая— —; третья— --.
4 8 12
Ответ: — :--;—.
7 21 35
13.017. НаПти сумму трех чисел, зная, что третье относится к
первому как 18,48 : 15,4 и составляет 40% второго, а сумма первого и
второго равна 400.
Решение.
п г 1848 6
Пусть л-, v, z—указанные числа. Но условию имеем: — = = --.
х 1540 5
г = 0,4v,-V+v = 400. Так как у = - z и z = —x, то v = 3a и ,г+Зд'-400=>
' 2 5
=>.v=100,z=6x=120. Тогда
5
5 = .v+v + r = 400+ 120 = 520.
Ответ: 520.
13.018. Вкладчик снял со своего счета в Сбербанке сначала 1/4 своих
денег, потом 4/9 оставшихся денег и еще 640 руб. После этого у него
осталось па сберкнижке 3/20 всех его денег. Как велик был вклад?
Решение.
Пусть вклад составляет х руб. Тогда первый остаток равен ; вто-
4
Зл- 4 3* З.т .. За- а Зд-
рои остаток 640= ■ . Имеем -— — - = 640 откуда
4 9 4 20 4 3 20
л'-2400 (руб.).
Ответ: 2400 руб.
819

13-019. На уборке снега работают две снегоочистительные
машины. Первая может убрать всю улицу за 1 ч, а вторая — за 75% этого
времени. Начав уборку одновременно, обе машины проработали
вместе 20 мин, после чего первая машина прекратила работу. Сколько еще
нужно времени, чтобы вторая машина закончила работу?
Решение.
Весь объем работы примем за 1. Производительность первой машины
3 4 1
равна 1 (за 1 ч), второй 1: - = (за 1 ч). Работая вместе — ч, они выпол-
1 14 7
нят 1 + - - - = всей работы. Тогда на долю второй машины останется
3 3 3 9
2 2 4 1
- работы, для чего потребуется -: - = - (ч).
9 9 3 6
Ответ: 10 мин.
13.020.Сумма первых трех членов пропорции равна 58. Третий член
составляет 2/3, а второй —3/4 первого члена. Найти четвертый член
пропорции и записать ее.
Решение.
Пусть пропорция имеет вид — = —. По условию я+/? + с = 58;
h d
"> 3 3 ■>
с~ - д; Ь~ -а. Значит, а + -а+ ~-а = 58, откуда а = 24; с= 16; Ь = 18.
3 4 4 3 >
Значит, d ~ = 12.
а
м 24 16
Ответ: »2; -=-.
13.021. Одна бригада может убрать все поле за 12 дней. Другой
бригаде для выполнения той же работы нужно 75% этого времени. После того
как в течение 5 дней работала только первая бригада, к ней
присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Сколько дней работали
бригады вместе?
Решение.
Пусть бригады работали вместе х дней. Производительность
1 .. г 1 1 п
первой оригады — -; второй бригады— -—-- = -. По условию
1.(1 11
- -5+ --+ - kv = l, откуда л" = 3 дня.
12 [12 9 J
Ответ: 3 дня.
820

13.022. На вступительном экзамене по математике 15%
поступающих не решили ни одной задачи, 144 человека решили задачи с
ошибками, а число решивших все задачи верно относится к числу
не решивших вовсе как 5:3. Сколько человек экзаменовались по
математике в этот день?
Решение.
Пусть х человек всего экзаменовались. Не решили ни одной
0Д5х-5 Л„с
задачи 0,15х человек; решили все задачи— —-—- 0,23х
человек. По условию 0,15х + 144 + 0,25х = х, откуда х = 240-
Ответ: 240.
13.023. Однотипные детали обрабатываются на двух станках.
Производительность первого станка на 40% больше
производительности второго. Сколько деталей было обработано за смену на
каждом станке, если первый работал в эту смену 6 ч, а второй — 8 ч,
причем оба станка вместе обработали 820 деталей?
Решение.
Пусть производительность второго станка х; тогда
производительность первого— 1,4х деталей в час. Первый станок обработал
в смену 1,4х-6 деталей; второй— х-8 деталей. По условию
1,4х-6 + х-8 = 820, откуда х=50- Значит, первый станок обработал
в смену 1,4-50 60-420 деталей; второй— 50-8 = 400 деталей.
Ответ: 420 и 400 деталей.
13.024. Тракторная бригада может вспахать 5/6 участка земли
за 4 ч 15 мин. До обеденного перерыва бригада работала 4,5 ч,
после чего остались невспаханными еще 8 га. Как велик был
участок?
Решение.
Пусть х га — весь участок. До обеда бригада вспахала
4,5 -х ^ !5
6_ = — х га. По условию —х + 8 = х, откуда х = 68 га.
4,25 17 17
Ответ: 68 га.
13.025. От пристани в город отправилась лодка со скоростью 12
км/ч, а через полчаса после нее в том же направлении вышел
пароход со скоростью 20 км/ч. Каково расстояние от пристани до
города, если пароход пришел туда на 1,5 ч раньше лодки?
821

Решение.
Пусть х ч был в пути пароход. Тогда х + 0,5 +1,5 ч была в пути лодка.
Пароход прошел 20-х км, а лодка 12(х+2) км. Тогда 20х = 12(х + 2),
откуда 1 = 3ч. Расстояние между городами и пристанью 20■3 = 60 км.
Ответ: 60 км.
13.026. Турист проплыл по реке на лодке 90 км и прошел пешком
10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем
на путь по реке. Если бы турист шел пешком столько времени,
сколько он плыл по реке, а плыл по реке столько времени, сколько шел
пешком, то эти расстояния были бы равны. Сколько времени он шел
пешком и сколько времени плыл по реке?
Решение.
Пусть х ч турист шел пешком. Тогда он плыл на лодке (х + 4) ч.
10 90
Скорость туриста пешком — км/ч; на лодке — км/ч. Согласно
i0( А\ 90
условию, —^х + 4) = -х откуда х~2 ч.
х х+4
Ответ: 2 и 6 ч.
13.027. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13.
Если от этого двузначного числа отнять 9, то получится число,
записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.
Решение. .
Пусть искомое число имеет вид Юх + у. Согласно условию,
1x2+^=13
< . Отсюда х = 3, у = 2 .
[l0x + >>-9 = 10>> + x
Ответ: 32.
13.028. Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а
знаменатели пропорциональны соответственно числам 1, 3, 7.
Среднее арифметическое этих дробей равно 200/441. Найти эти дроби.
Решение.
х 2х 5х
Искомые дроби имеют вид: — ; w~ > ~п~ ■ По условию
х 2х 5х
7+Зу + 7у 200 х„4 2*„ 8 5х_20
3 =Ш>0ТКУДа У'^ 3,-21= 7,-49"
4 8 20
Ответ: ^; YV 49 '
822

13.029. В штате гаража числится 54 шофера. Сколько свободных
дней может имегь каждый шофер в месяц (30 дней), если ежеднсвко
25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для
профилактического ремонта?
Решение.
Пусть х свободных дней в месяц имеет каждый шофер. Тогда
рабочих дней — 30 - х. По условию (30-v)-54 = 60-0.75-30, откуда
v = 5.
Ответ: 5.
13-030. Три бригады рабочих сделали насыпь. Вся работа оценена
в 325 500 руб. Какую зарплату получит каждая бригада, если первая
состояла из 15 человек и работала 21 день, вторая — из 14 человек п
работала 25 дней, а число рабочих третьей бригады, работавшей 20
дней, на 40% превышало число рабочих первой бригады?
Решение,
Пусть* руб. получит один человек за один день работы. Тогда
первая бригада получит* -15-21 руб.; вторая — * • 14 • 25 руб.; третья - -
л- * 1,4 ■ 15 - 20 руб. По условию 15 ■ 21.т -+ 14 ■ 25х + 1,4 • 15 ■ 20\- =
-325 500, откуда _v = 300. Значит, первая бригада получит 15 21 ■ 300 =
-94 500 руб.; вторая— 14 ■ 25 300- 105 000 руб.; третья — 1,4- 15 х
х 20 - 300- 126 000 руб.
Ответ: 126 000, 105 000 и 94 500 руб.
13.031. Группа студентов во время каникул совершила поход по
Подмосковью. Первые 30 км они прошли пешком. 20% оставшейся части
маршрута проплыли на плоту по реке, а затем опять шли пешком, пройдя
расстояние в 1.5 раза больше того, которое проплыли по реке. Остальной
путь проехали за 1 ч 30 мин на попутном грузовике, который шел со
скоростью 40 км/ч. Какова длина всего маршрута?
Решение.
Пусть * км - - длина всего маршрута. Тогда студенты проплыли па
iijioiy (.v -- 30) ■ 0,2 км, затем прошли пешком еще ],5(.\-3())-0,2 км. По
условию 30 + (.v-30)0.2 + l,5(_v-30)-0.2 + 401,5 = x. откуда х = 150 км.
Ответ: 150 км.
13.032. За 3,5 ч работ один штамповочный пресс может
изготовить 42% всех заказанных деталей. Второй пресс за 9 ч работы
может изготовить 60% всех деталей, а скорости выполнения работы
на третьем и на втором прессах относятся как 6:5. За какое время
823

будет выполнен весь заказ, если все три пресса будут работать
одновременно?
Решение.
Пусть х деталей — весь заказ. Тогда скорость работы первого прес-
0,42х 0,6х 6 0,6х
са — . , дет/ч; второго — ——- дет/ч; третьего — — ■ ——- дет/ч.
Значит, все три пресса, работая одновременно, выполнят весь заказ за
= 3,75 (ч) = 3 4 45 мин.
0,6х 0,42х 6 ^бх
9 3,5 +5~' 9
Ответ: за 3 ч 45 мин.
13.033. Каждая из двух машинисток перепечатывала рукопись
объемом 72 страницы. Первая машинистка перепечатывала 6
страниц за то же время, за которое вторая перепечатывала 5 страниц.
Сколько страниц перепечатывала каждая машинистка в час, если
первая закончила работу на 1,5 ч быстрее второй?
Решение.
Пусть х страниц в час перепечатывала первая машинистка,
5 „ 72
тогда вторая— ~х. Первая машинистка работала — часов;
вторая— часов. По условию — = -r—-L.5, откуда х = 9,6 (стр/ч);
5 х ->
— х -х
6 6
вторая перепечатывала —-9,6 = 8 стр/ч.
6
Ответ: 8 и 9,6 стр/ч.
13.034. В магазин для продажи поступили учебники по физике и
математике. Когда продали 50% учебников по математике и 20%
учебников по физике, что составило в общей сложности 390 книг, то
учебников по математике осталось в три раза больше, чем по
физике. Сколько учебников по математике и сколько по физике
поступило в продажу?
Решение.
Пусть в продажу поступило х учебников по математике, У
учебников по физике. Продали 0,5х+0,2>>=:390 учебников. Осталось
0,5х учебников по математике, 0,8}> учебников по физике. По усло-
824

fO,5x+0,2y = 390
0,5x
вию 7Г<г~ = 3- Решив систему < 0,5х , получим х-720;
0,5 V =: 3
[0,8у
у = 150.
Ответ: 720 и 150.
13.035. Обувная фабрика за первую неделю выполнила 20%
месячного плана, за вторую произвела 120% количества
продукции, выработанной за первую неделю, а за третью неделю —
60% продукции, выработанной за первые две недели вместе.
Каков месячный план выпуска обувн, если известно, что для его
выполнения необходимо за последнюю неделю месяца
изготовить 1480 пар обуви?
Решение.
Пусть х — месячный план выпуска обуви. За первую неделю
фабрика выпустила ОДх пар обуви, за вторую— 1,2-ОДх; за
третью— 0,6(0,2х+1,2-0,2х) пар. По условию
0Дх+1,2-0Дх + 0,б(0Дх+1Д-0,2х)+1480 = х, откуда х = 5000 пар.
Ответ: 5000.
13.036. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие 12%.
Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Решение.
Пусть х кг сухих грибов получится из 22 кг свежих. Тогда воды в
сухих грибах— 0Д2х . По условию x-0,12x = 22(l-0,9); 0,88х = 2Д.
Откуда х = 2,5 кг.
Ответ: 2,5 кг.
13.037. Одна мельница может смолоть 19 ц пшеницы за 3 ч,
другая — 32 ц за 5 ч, а третья — 10 ц за 2 ч. Как распределить 133 т
пшеницы между этими мельницами, чтобы, одновременно начав
работу, они окончили ее также одновременно?
Решение.
Пусть х ч— время работы мельниц. Первая мельница смелет за
19 32 Ю
это время —х ц пшеницы; вторая— —х ц; третья— — х ц. По
19 32 10
условию —х+— х +—х=1330, откуда х = 75 ч. Значит, первая
825

мельница смелет —--75 = 475 ц; вторая— —-75=480 ц; третья —
1°-75 = 375ц.
2
Ответ: 475, 480 и 375 ц.
13.038. В трех секциях спортивной школы было 96 спортсменов.
Число членов конькобежной секции составляло 0,8 числа членов
лыжной, а число членов хоккейной секции составляло 33 — %
суммарного числа членов двух первых секций. Сколько спортсменов
было в каждой секции?
Решение.
Пусть х чел. — число членов лыжной секции; 0,8х чел. — конь-
зз1
кобежной секции; ——(х + 0,8х) чел.— хоккейной секции, По уело-
зз!
вию х + 0,8х +—-(х + 0.8х)=96, откуда х = 40 чел. в лыжной сек-
100
ции. В конькобежной секции 0,8 40 = 32 чел.; в хоккейной —
96-40-32=24 чел.
Ответ: 40, 32 и 24 чел.
13.039. За первый квартал автозавод выполнил 25% годового
плана выпуска автомашин. Число машин, выпущенных за второй,
третий и четвертый кварталы, оказалось пропорционально числам
11.25, 12 и 13,5. Определить перевыполнение годового плана в
процентах, если во втором квартале автозавод дал продукции в 1,08
раза больше, чем в первом.
Решение.
Пусть л — годовой план автозавода. За первый квартал завод
выполнил 0Д5х плана, за второй квартал завод выпустил 1\25у
машин, что составило 1,08-0Д5х плана: 11^5>- = 1,08-ОД5х = ОД7х ,
отсюда >> = 0,024х. За третий квартал завод выполнил
12>> = ]2-0,024х = 0,288х плана, за четвертый— 13,5>> = 0,324х пла-

на. За весь год завод выполнил 0,25.г + 0,27х+0,288л- + 0,324л = 1,132х
плана, т.е. он перевыполнил план на 0,132 = 13,2%.
Ответ: 13,2%.
13.040. Трое сотрудников получили премию в размере 2970 руб.,
причем второй получил 1/3 юго, что получил первый, и еще 180 руб.,
а третий получил 1/3 денег второго и еще 130 руб. Какую премию
получил каждый?
Решение.
Пусть ,v руб. — премия первого сотрудника. Тогда —л +180 руб. —
второго: - л-+ 180 +130 руб. — третьего. По условию
Л- + -Л-+180+- .т +180 1+130 = 2970. откуда а-= 1800руб. — премия
первого сотрудника; -1800 + 180 = 780 руб. — премия второго;
- 780 + 130 = 390 руб.—третьего,
Ответ: 1800, 780 и 390 руб.
13.041. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и
получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого
раствори было взято?
Решение.
Пусть взяли х г 30%-ного раствора соляной кислоты н (600 - л') г —
10%-ного раствора. Масса соляной кислоты в 30%-ном растворе
составляет 0,3х г: в 10%-ном — 0.1(600 - х) г. В полученном 1 5%-ном
растворе масса соляной кислоты составляет 0,15- 600 = 90 г. По
условию 0.3* + 0,1(600 - х) = 90, откуда х = 150 i" 30%-иого раствора;
600 - 1 50 = 450 г 10%-го раствора.
Ответ: 150 н 450 г.
13.042. Площади трех участков земли относятся как 2 - -1 ; 1 Из-
4 6 8
весгно, 1гго с первого участка собрано зерна на 72 ц больше, чем со
второго. Найти площадь всех трех участков, если средняя урожайность
составляет 18 ц с 1 га.
827

Решение.
Пусть х , У , z —площади участков. Тогда х/у = 6/4, y/z = 4/3>
откуда х=6к , у = 4к , z-Ък- По условию (б&-4&)-18 = 72 , Ь2и
площадь всех трех участков составляет х+)> + 2 = 2(б + 4 + 3)=26 (га).
Ответ: 26 га.
13.043. Расстояние между Москвой и Смоленском по железной
дороге равно 415 км. На этом пути расположены города Можайск и
Вязьма. Расстояние между Москвой и Можайском относится к
расстоянию между Можайском и Вязьмой как 7:9, а расстояние между
Можайском и Вязьмой составляет 27/35 расстояния между Вязьмой
и Смоленском. Найти расстояния между каждыми двумя соседними
городами.
Решение.
Пусть х км — расстояние между Можайском и Вязьмой. Тогда
7 35
— х км— расстояние между Москвой и Можайском,- — х км —
7 35
между Вязьмой и Смоленском. По условию — х + х + —~ х = 415, отку-
7
да х = 135 км. Между Москвой и Можайском— —-135=:105 км;
между Вязьмой и Смоленском — -—135 = 175 км.
Ответ: 105, 135 и 175 км.
13.044. В магазин привезли сахар и сахарный песок в 63
мешках, всего 4,8 т, причем мешков с сахарным песком было на 25%
больше, чем с сахаром. Масса каждого мешка с сахаром составляла
3/4 массы мешка с сахарным песком. Сколько привезли сахара и
сколько сахарного песка?
Решение.
Пусть привезли х мешков сахара; 1Д5х мешков сахарного
песка. По условию х + 1Д5х = 63, откуда х = 28 мешков сахара;
1,25-28 = 35 мешков сахарного песка. Теперь пусть всего у т сахар-
у
ного песка; 4,8->> т— сахара. Тогда — т— масса одного мешка
828

4,8-7
сахарного песка; ——— т— масса мешка сахара. По условию
3 у 48-у
{—- L.} откуда 7 = 1,8 т сахарного песка; 4,8 —1^—3 т сахара.
Ответ: 1,8 и 3 т.
13.045. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45%
меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы
полученный новый сплав содержал 60% меди?
Решение.
Первоначально в сплаве 36-0,45 = 16,2 кг меди. Пусть добавили
х кг меди. Тогда масса нового сплава 36 + х кг, масса меди в нем
16,2+х кг. По условию 16Д + х = (36+х)-0,6, откуда х=13,5 кг.
Ответ: 13,5 кг.
13.046. Охотничий порох состоит из селитры, серы и угля. Масса
серы должна относиться к массе селитры как 0,2.1,3, а масса угля
должна составлять Ч-% массы серы и селитры вместе. Сколько
пойдет каждого из веществ на приготовление 25 кг пороха?
Решение.
02
Пусть х кг— масса селитры. Тогда —х кг— масса серы;
02 } Uo ОД ( ОД V ^
v—-х —- кг— угля. По условию х+—-х+ х + —х --=25,
1^ ) ЮО 1,3 I, 1^ J 9
откуда х = 19,5 кг селитры. Тогда —19,5=3 кгсеры; (3 + 19,5)- =2,5 кг
угля.
Ответ: 3 кг серы; 19,5 кг селитры; 2,5 кг угля.
13.047. Музыкальный театр объявил конкурс для поступления в
оркестр. Первоначально предполагалось, что число мест для
скрипачей, виолончелистов и трубачей распределится в отношении
1,6:1:0,4. Однако затем было решено увеличить прием, и в
результате скрипачей было принято на 25% больше, а виолончелистов на
20% меньше, чем ранее намечалось. Сколько музыкантов каждого
жанра было принято в оркестр, если всего приняли 32 человека?
829

Решение.
Пусть предполагалось набргць 1,6л скрипачей, л — виолончелистов,
0.4.V трубачей. Тогда набрали 1.25 ■ 1,6.v скрипачей. (I - 0.2)*
виолончелистов, 0.4ж трубачей. По условию l,25l.6v + (t -0,2)v + 0,4д -32, откуда
л" = 10. Значит, набрали 1,25 ■ 1,6 ■ 10 =■ 20 скрипаче!!; 0,8 ■ 10=8
виолончелистов; 0,4 ■ 10 = 4 грубача.
Ответ: 20 скрипачей, 8 виолончелистов, 4 грубача.
13.048. Длина Дуная относится к длине Днепра как 19/3 : 5. а длина
Дона относится к длине Дуная как 6,5 : 9,5. Найти протяженность каждой
из рек, если Днепр длиннее Дона на 300 км.
Решение.
Пусть х км — длина Дуная. Тогда длина Днепра — х км, длина
Дона '—х км. По условию ——х—'--х=300, откуда л=2850км—
9,5 19/3 9,5
длина Дуная. Тогда длина Днепра -2850=:2250 км, длина Дона —
^■2850 = 1950 км.
9,5
Ответ: 2850, 2250 и 1950 км.
13.049. Первое из неизвестных чисел составляет 140% второго, а
отношение первого к третьему равно 14/11. Найти эти числа, если разность
между третьим и вторым на 40 единиц меньше числа, составляющего 12,5%
суммы первого и второго чисел.
Решение.
1 П
Пусть л: — первое число, Тогда -—х — второе число, - -х — третье
число. По условию - х * + 40 = 0,125 л+- х [ откуда л-= 280. Вто-
14 1,4 { 1,4 f
рое число - = 200; третье— — 280 = 220.
1,4 F 14
Ответ: 280, 200, 220.
13.050. Заработные платы рабочего за октябрь и ноябрь относились
как 3/2 : 4/3, а за ноябрь и декабрь как 2 : 8/3. За декабрь он подучил на
450 руб. больше, чем за октябрь, н за перевыполнение квартального плана
830

рабочему начислили премию в размере 20" о ei о техмесячною зираСника.
Наши размер премии.
Решение.
Ilycib.v руб. - заработная iuaia рабочею шпояб'рь, Тома за октябрь
(34^9 ,- „ f 8 „"\ 4 . м
она составляет v= v руо,: за 1екаорь — - :2 v- i ру<>- "°
(2 3j 8 l-ч ; з
условию -v-- v + 450 откуда л = 2160 руб.— заработная плата за но-
3 8
ябрь; - -2160=2430 руб.— за октябрь: ?1бО- ?880 руб. — за декабрь.
« 3
Тогда размер премии— (2160 + 2430 + 2880) 0,2 - 1494 руб.
Ответ: 1494 руб.
13.051- По наклоненной доске длиной 6 м катятся два цилиндра, у
одного из которых длина окружности равна 3 дм, а у другого 2 дм. Можно
ли увеличить длины окружностей обоих цилиндров на одну п ту же
величину так, чтобы на том же пути один из них сделал на 3 оборота больше
другого?
Решение.
Допустим, что длины окружностей можно увеличить на х дм. Тогда
60 г 60 „
первый цилиндр сделает — — оборотов, второй— . По условию
3 + х 2 + х
-+3 = — — .откуда х + 5.x-14 = 0. Решив это уравнение, получим,
3 + х 2 + х
что длины окружностей можно увеличить на х ~ 2 ды.
Ответ: можно увеличить на 2 дм.
13.052. Искусственный водоем имеет форму прямоугольника с
разностью сгорон 1 км. Два рыбака, находящиеся в одной вершине пого
прямоугольника, одновременно
отправились в пункт, расположенный в
противоположной вершине. При тгом один
рыбак поплыл напрямик по диагонали,
а второй пошел пешком вдоль берега. Л
Определить размеры водоема, если
каждый рыбак передвигался со скоростью
4 км/ч и один из них прибыл к месту
назначения на 30 мин раньше друюго.
А-+ 1
831

Решение.
Пусть л км — длина меньшей стороны водоема, х + 1
км—длина второй стороны (рис. 13.1). Тогда первый рыбак проплыл
tJx2 +(x + {f км, а второй прошел х+х + 1 км. По условию
(л- + х +1)/4-0,5 = ^x2+{x + \f /4, откуда х = 3 км.
Ответ: 3x4 км.
13.053. Кристалл, находясь в стадии формирования, равномерно
наращивает свою массу. Наблюдая формирование двух
кристаллов, заметили, что за год первый кристалл увеличил свою
первоначальную массу на 4%, а второй — на 5%, в то время как прирост
массы первого кристалла за 3 месяца оказался равным приросту
массы второго кристалла за 4 месяца. Каковы были
первоначальные массы этих кристаллов, если известно, что после того как
каждая из них увеличилась на 20 г, отношение массы первого
кристалла к массе второго кристалла достигло числа 1,5?
Решение.
Пусть а — первоначальная масса первого кристалла; Ь —
второго; н пусть х — прирост массы первого кристалла за 3 месяца. За
год прирост массы первого кристалла составляет 4х \ второго
кристалла— Зх ■ По условию я + 4х=1,04а, b + 3x=l,Q5b. По условию
Гй+4х = 1,04я
я + 20
также -—— = 1,5. Решив систему <b + 3x-i,Q5b находим, что
0 + 20
[a + 20=l,5(b+2o\
а = 100 г; й = 60 г.
Ответ: 100 и 60 г.
13.054. Один фермер получил средний урожай гречихи 21 ц с 1
га, а другой, у которого под гречихой было на 12 га меньше,
добился среднего урожая 25 ц с 1 га. В результате у второго фермера было
собрано на 300 ц гречихи больше, чем у первого. Сколько центнеров
тречихи было собрано каждым фермером?
Решение.
Составим следующую таблицу:
Фермер
Первый
Второй
Площадь, га
X
а--12
Урожайность, ц/га
21
25
Масса, ц
2U
25(х-12)
832

По условию 25(\--12)-21л= 300, огкуда х = 150- Тогда 2\\— 3150 (и), л
25(х -12)= 3450 Ц.
Ответ: 3150 и 3450 ц.
13.055. Па вагоноремонтном заводе в определенный срок
должно быть отремонтировано 330 вагонов. Перевыполняя план
ремонта в среднем па 3 вагона в неделю, па заводе уже за две недели до
-рока отремонтировали 297 вагонок. Сколько вагонов в неделю
^смонтировали на заводе?
Решеш-х.
Пусть а вагонов в неделю ремонтировали на заводе, а должны
оыли ремонтировать по плану -- (х-З). Тогда срок выполнения пла-
3?0 ( 330 ^
на— —- недель. По условию —■ -2 -\- -297 - Отсюда х = 33.
А--3 - {х-ъ )'
Ответ: 33.
13.056, На расстоянии s км грузовой автомобиль расходует бен-
ппа на а л больше, чем легковой. Расходуя I л бензина, грузовой
;л!Гомобнль проходит по той же дороге на b км меньше, чем
легковой. Каков расход бензина каждого из этих автомобилей на
расстоянии S КМ?
Решение.
Пусть .v л бензина на s км расходует грузовой автомобиль,
\ -а л — легковой. Тогда, расходуя I л бензина, грузовой автомо-
S S
онль проходит — км, а легковой— — — — км. По условию
a b +4sab
_ + /? - ___ . Отсюда Ьх- - abx - sa - 0, откуда х - — —
v л - а 2Ь
бстинл расходует грузовой автомобиль на s км.
ab + -J(rb +4sab -ab+ila b +4sab
Ответ: — н л.
2b 2b
13.057. Две силы приложены к одной точке н направлены под
прямым углом. Модуль одной из них на 4 Н больше модуля другой,
■л модуль равнодействующей на 8 Н меньше суммы модулей данных
сил. Найти модули данных сил и их равнодействующей.
Решение.
Пусть х Н— модуль одной силы, х+4 Н— второй. Тогда
модуль равнодействующей силы— х+х + 4-Н Н. Из рисунка 13.2 вид-
27 М, И. Сканани. груаяа А 833

x + 4
->- но, что x2+(x + 4f = {x + x + 4-&Y ,
откуда „r-i2 H. Модуль второй
силы— 16 Н, модуль
равнодействующей силы — 20 Н.
Ответ: 12, [6 и 20 Н.-
13.058. В лаборатории
измеряется скорость, с которой распростра-
Рис. 13.2 няется звук вдоль стержней,
сделанных из разных материалов. В первом
опыте оказалось, что весь путь, состоящий из трех последовательно
соединенных стержней, звук проходит за время а с, а путь,
состоящий из второго и третьего стержней, звук проходит в два раза
быстрее, чем один первый стержень. В другом опыте второй стержень
заменили новым, и тогда последовательное соединение из трех
стержней звук прошел за время Ь с, а соединение из первого и второго
стержней вдвое медленнее, чем один третий стержень. Найти
скорость распространения звука в новом стержне, если его длина / м.
Решение.
Пусть ft, t2, t$, tA соответственно — это время прохождения
звука вдоль 1-го, 2-го, 3-го, нового стержней. Четвертый стержень —
это новый, которым мы заменяем второй во втором опыте. По
условию в первом опыте:
Uh + h)=tt =
>2ti = 2a-tx, ti
во втором опыте
h+U + h = b>
>3tl+3t4=2b;
\b-U=\{b-a).
4 3 * 3'
Тогда скорость распространения звука в новом стержне
_ / _ 3/
У~Г4~2&-в)м/с;гда*>*-
3/
Ответ: ~/, _ "\ м/с; имеет смысл при Ь > а.
13.059. По обе стороны улицы длиной 1200 м лежат
прямоугольные полосы земли, отведенные под участки, одна — шириной 50 м,
834

а другая — 60 м. На сколько участков разбит весь поселок, если более
узкая полоса содержит на 5 участков больше, чем широкая, при условии,
что на узкой полосе каждый участок на 1200 м2 меньше, чем каждый
участок на широкой полосе?
Решение.
Пусть х участков на широкой полосе, х + 5 участков — на узкой,
v м - ширина участка на узкой полосе, у + 1200 м — на широкой.
((А + 5)у = 1200-50,
По условию < Решив систему, находим .v = 20 учас-
[jc(.v +I200) = 1200.60.
тков на широкой полосе. Значит, на узкой — 25 участков. Всего 20 + 25 —
= 45 участков.
Ответ: на 45.
13.060, Груз массой 60 кг давит на опору. Если массу груза уменьшить
на 10 кг, а шющадь опоры уменьшить на 5 дм2, то масса, приходящаяся на
каждый квадратный дециметр опоры, увеличится на 1 кг. Определить
площадь опоры.
Решение.
7 60 , ,
Пусть х дм'1 — площадь опоры. Тогда — кг/дм- — масса,
приходящаяся на 1дм2 опоры. После уменьшения массы груза и площа-
50 / 2 гт 50 . 60
ди опоры эта масса равна -— — кг/дм . По условию —— -1 = - , от-
_r ~ 5 .v ~ 5 .V
куда .у = 15.
Ответ: 15 дм~.
13.061, Для оплаты пересылки четырех бандеролей
понадобились 4 различные почтовые марки на общую сумму 84 кон. Определить
стоимость марок, приобретенных отправителем, если эти стоимости
составляют арифметическую прогрессию, а самая дорогая марка в 2,5 раза
дороже самой дешевой.
Решение.
Пусть .v коп. — стоимость самой дешевой марки, д- + (/, x + 2d,
х + 3d — стоимости остальных марок. По условию
(л + л + </+ л-+ 2<f + л-+ 3t/= 84,
1 . л._лс. откуда х = 12; (/ = 6. Стоимости
марок: 12 коп., 18 коп., 24 коп, 30 коп.
Ответ: 12 кои., 18 коп., 24 коп, 30 коп.
835

13.062, Ученик токаря вьп ачиваег шахматные пешки для
определенною числа комплектов шахмат. Он хочет научиться нзтотавдпвгпь
ежедневно на 2 пешки больше, чем теперь; югда такое же задание он выполни;
на !0 дней быстрее. !:хдп бы ему уда.Н'сь научиться ичштовдя i ь
ежедневно на 4 пешки больше, чем иеиерь. го срок выполнения таипо же задания
уменьшился бы на ! блпен Сколько комплектов шахма! обеспечиваем
пешками r>ioi ученик, если для каждого комплекта нужно 16 чешек"
Решение:
Hycib шкарь обеспечивает лешкампл' комплектов шахмат. Он
выполняй задание и\ г дней. По условию
( |/lv ^ опала >, - 15
I ' +4 ti--16)-KiY.
! v )
Onmvm: \5
13.063, В зрительном заде лдуба бьыо 320 мест, расположенных
одинаковыми рядами. После того как число мест в каждом ряду увеличили на
4 и добавил» еше одни ряд, в зрительном чане стало 420 мест Сколько
стило рядов в фжелы-шм чале'.'
Решение.
320
]]\сн. в зрительном зале оьыо i рядов: -— число мест и одном
л
ряду. После тою как число месг в ряду увеличили на 4 и добавили
/ V0 )
один ряд, все:о мел и зпле апяо I -f 4 f i +]) - 420. откуда х =20,
Значит, в зрительном шпе теперь имелся 21 ряд.
Отпет: 21.
13.064, Запас сена таков, 'но можно ежедневно выдавав h:i всех
лошадей 96 ki, li действительности ежедневную порцию каждой
лошади СМ01ЛИ увелпчщь на 4 ki. так как две лошади были проданы
Сколько лошадей было первоначально'.'
Решение.
Пусгь первоначально было \ лошадей, (ежедневная порция
Об
каждой лошади оыла к:. 1 ак как две юшадн были проданы др\-
836

тому колхозу, то их стало х — 2, а ежедневная порция каждой
лошади стала — +4 кг. По условию 1-4 (х-2)~96 , откуда \-=8-
х У х )
Ответ: 8.
13.065. Сочинение писали 108 экзаменующихся. Им было
роздано 480 листов бумаги, причем каждая девушка получила на
один лисг больше каждого юноши, а вес девушки получили столько
же листов, сколько все юноши. Сколько было девушек и сколько
юношей?
Решение
Пусть ,\' было девушек, [08-х — юношей. Юноши получили
но v листов, а девушки— по j'4-l листов. По условию
Jx(y+ [) + ([ 08-.v)j'= 480,
! -b+ll-(!08- ) откуда л--48-Девушек было 48, юношей —
108-48 = 60-
Ответ: 48 и 60.
13.066. На машиностроительном заводе разработали новый тип
деталей для генераторов. Из 875 кг металла изготовляют теперь на
три детали нового тнпа больше, чем деталей старого типа
изготовляли из 900 кг. Какова масса детали нового и старого типов, если
две детали нового тнпа но массе меньше одной детали старого типа
на 0,1 -f
Решение.
Пусть х кг-- масса детали нового типа, у кг— старого. По
875
условию v-2x-l00. Из 875 кг изготовляю! —— деталей нового
X
900
типа, из 900 кг изготовляли —— деталей старого типа. По условию
У
875 900 ч \т.т=3
— — _3 _ решив систему \ х у ' находим х-175 кг,
XV
[у- 2Л-100.
г-450 кг,
Ответ: 175 и 450 кг.
13.067. В первый день спортивных соревнований не выполнили
зачетные нормы и выбыли из дальнейшей борьбы 1/6 часть состава
S37

команды юношей и 1/7 часть состава команды девушек. В течение
остального периода соревнований нз обеих команд выбыло из-за невыполнения
норм одинаковое количество спортсменов. Всего к концу соревнований
не выполнили зачетные нормы 48 человек нз команды юношей и 50
человек из команды девушек, ио из общего количества спортсменов,
выполнивших зачетные нормы, девушек оказалось вдвое больше, чем юношей.
Какова была первоначальная численность команд?
Решение:
Пусть,зачетные нормы выполнили* юношей и 2х девушек. Тогда
первоначальная численность команд составляет л- + 48 юношей и 2х + 50
девушек. По окончании первого дня соревнований выбыло —(л + 48) юно-
6
шей и —(2д' + 50) девушек. Позже еще выбыло из обеих команд
одинаковое количество спортсменов, поэтому 48—(,v+48)-50—(2л+50), от-
6 7
куда л' = 24. Итак, первоначальная численность команд — 72 и 98 человек.
Ответ: 72 юноши и 98 девушек.
13.068. Рабочий час мастеров Л и В оплачивается неодинаково, но оба
мастера работали одинаковое число часов. Если бы А работал иа один час
меньше, а В — на пять часов меньше, то А заработал бы 720 руб.. а В —
800 руб. Если бы, наоборот, А работал на пять часов меньше, а В — на
один час меньше, то В заработал бы на 360 руб. больше, чем А, Сколько
заработал каждый мастер в действительности?
Решение:
Пусть мастера работали д; часов. Если бы А работал на I час
720
меньше, то он зарабатывал бы руб. в час; если бы В работал на
JC-1
5 часов меньше, то он зарабатывал бы руб. в час. По условию
л-5
- (.v-l)- —-(x-5) = 360, откуда* = 25. В действительности Л за-
х - 5 х -1
работал '25 = 750 руб., В заработал - • -25 = 1000 руб.
Ответ: 750 и 1000 руб.
838

13.069, В одном бассейне имеется 200 мэ воды, а в другом — 112 м\
Открывают краны, через которые наполняются бассейны. Через
сколько часов количество воды в бассейнах будет одинаковым, если
во второй бассейн вливается в час на 22 mj больше воды, чем в
первый?
Решение.
Пусть количество воды в бассейнах станет одинаковым через .v
часов. Пусть у mj вливается воды в первый бассейн в час, у+22 м1 —
во второй. По условию 200 + ху = И2 + л;(у+22), откуда х~4-
Ответ: через 4 ч.
13.070, Через час после начала равномерного спуска воды в
бассейне ее осталось 400 mj, а еще через три часа — 250 mj. Сколько
воды было в бассейне?
Решение.
Пусть х mj воды было в бассейне. За 1 час спуска из бассейна
вылили (х-400) mj; за 4 часа спуска — (x-250) mj. По условию
х-400 = -——, откуда х = 450-
Ответ; 450 mj.
13.071, Для перевозки 60 т груза из одного места в другое
затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги
на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем
предполагалось, поэтому было дополнительно затребовано 4 машины.
Какое количество автомашин было затребовано первоначально?
Решение.
Пусть х машин было затребовано первоначально. Одна маши-
на может перевозить — т груза. Ввиду неисправности дороги
затребовали х+4 машины, а на одну машину грузили
груза. По условию 0,5 Кх +4) = 60. Отсюда * = 20-
(?-«)
Ответ: 20.
13,072, Город С, расположенный между пунктами А и В,
снабжается газом из этих пунктов, расстояние между которыми 500 км.
Из резервуара А в каждую минуту откачивается 10000 м3 газа, а из
839

резервуара В — на 12% больше. При этом утечка газа в каждой
магистрали составляет 4 м3 на километр трубы. Зная, что в город С
газ поступает из резервуаров А и В поровну, найти расстояние
между городом С и пунктом А .
Решение.
Пусть х км — расстояние между А и С, 500 - х км — между С и
В. Учитывая утечку газа, из А в С поступает 10000-4* м1 газа,
из В в с поступает 10000-1Д2-4(500-х) mj газа. По условию
10000-4х = Ц2-]0000-4(500-х), откуда Л- = 100-
Огпвет: 100 км.
13.073, Имеются два куска кабеля разных сортов. Масса первого
куска равна 65 кг; другой, длина которого на 3 м больше длины
первого и масса каждого метра которого на 2 кг больше массы
каждого метра первого куска, имеет массу 120 кг. Вычислить длины
этих кусков.
Решение.
Пусть хм— длина первого куска кабеля, х + 3 м— второго.
65
Масса каждого метра первого куска кабеля— — кг, По условию
х
масса второго куска кабеля— {х + 3\ —+2 =120, откуда х=5 м
или х = 19,5 м. Длина второго куска кабеля 8 м или 22,5 м.
Ответ: 5 и 8 м или 19,5 н 22,5 м,
13.074, В швейный цех поступило три кипы бельевого
материала, всего 5000 м. В первой кипе количество материала было в три
раза меньше, чем во второй, а в третьей — 22% всего количества. Из
материала первой кипы сшилн 150 простыней н 240 наволочек. Для
изготовления одной простыни требовалось на 3,25 м больше
материала, чем для изготовления одной наволочки. Из скольких метров
материала шьется одна наволочка?
Решение.
Пусть х м материала было в первой кипе, Зх м ■—- во второй,
5000022=1100 м — в третьей. По условию х + Зх + 1100=5000>
откуда х = 975 м — в первой кипе. Пусть одна наволочка шьется из у м
материала, а простыня— из 325 + у м. На простыни всего израсхо-
840

довали (3.25 -f vM50 м материала, па '^водочи! -- ? Ш\ м По
условию 150(з.25ч v) + 240,i =-У75. откуда v = U5.
Отвепг из 1.25 м
13.075, Двое рабочие за смену вместе изготовили 72 детали.
После того как первый рабочий повысил производительность труда на
15%. а второй -- на 25%. имеете за смепу они стали изготовлять 86
деталей. Сколько деталей изютовдяег каждый рабочий за смепу
после повышения производительности груда?
Решение.
Первоначально рабочие изготовляли за смену д- и 72-д деталей,
а та rev 1,15 т и 1_25(7?~-л-) деталей. По условию 1.15.y+90-U5\- = 86:
!)lv = 4; д -=40: 1.15-40 = 46
Ответ. 46 и 40 деталей,
13.076. Сбор кукурузы с полей животноводческой фермы
составил 4340 ц. На следующий год запланировано получить 5520 ц
кукурузы за счет увеличения плошади па 14 га и повышения
урожайности на 5 ц с i ia. Определить илошадь, занятую иод кукурузу,
п урожайность r центнерах с I га (урожай был меньше 40 ц с 1 ia),
Решение
4340 ,
Пусть \ га — площадь, занятая иод кукурузу, - -- ц/га —
х
урожаЙлоеть Ни следующей: I од площадь у-И 4 га, а
урожайность -1---+5 Д/га, По условию | --— + 5 (л + 14) = 5520. откуда
X V -V )
4340
х = 98 га Kiin л =124 га. >рожайносгь -44,3 ц/га или
98
124
Ответ- 124 ia; 35 it с I га.
13.077. Старший брат на мотоцикле, а младший на велосипеде
совершили двухчасовую безостановочную поездку в лес и обратно.
Прч этом мотоциклист проезжал каждый кнломеф па 4 мин
быстрее, чем велосипедист. Сколько километров проехал каждый из
братьев за 2 ч, если известно, чго путь, проделанный старшим братом
за yj о время, на 40 км больше?

Решение.
Пусть х км проехал младший брат, х + 40 км — старший. Млад-
120 120
ший брат проезжал 1 км за мин, старший за мин. По
г х г 40 + х
120 120
условию 4 = — , откуда д; = 20-
х 40 + х
Ответ: 20 и 60 км.
13.078. Турист ехал на автомобиле 5/8 всего пути, а остальную
часть— на катере. Скорость катера на 20 км/ч меньше скорости
автомобиля. На автомобиле турист ехал на 15 мин дольше,, чем на
катере. Чему равны скорость автомобиля и скорость катера, если
весь путь туриста равен 160 км?
Решение.
Турист проехал на автомобиле 160- —= 100 км, а на катере
о
160-100 = 60 км. Пусть х км/ч—скорость катера, 20+х км/ч —
100 60
автомобиля. Турист ехал на автомобиле -tr ч, на катере — — ч.
20 +х х
100 60 ...
По условию — = 0,25, откуда * = 60 или дт = 80-
20 +х х
Ответ: скорость автомобиля 100 или 80 км/ч; скорость катера
80 или 60 км/ч.
13.079. Первый турист, проехав 1,5 ч на велосипеде со скоростью
16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, азатем продолжает путь с
первоначальной скоростью. Спустя 4 ч после отправки в дорогу первого
туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле второй турист со
скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они приедут, прежде чем
второй турист догонит первого?
Решение.
График движения изображен на рис. 113. Пусть г — время (в часах),
за которое второй турист догонит первого. Так как vMn =16 км/ч,
vMOT=56 км/ч, то 5ВСЛ =(2,5 + 016, 5мот = 56/. Отсюда 56? = 16?+ 40,
т.е. t~\ (ч). Итак, 5-56 км.
Ответ: 56 км.
13.080. Из поселка, расположенного в 60 км от города, сегодня
должен приехать отец студентки, который хотел посетить
воскресную лекцию. Однако лекция перенесена на другой день. Чтобы
842

Рис. 13.4
предупредить отца об этом, дочь поехала по шоссе ему навстречу.
При встрече выяснилось, что отец и дочь выехали на мопедах
одновременно, но средняя скорость дочери была вдвое большей.
Возвращаясь после встречи, каждый из них увеличил первоначальную
скорость на 2 км/ч, и дочь прибыла в город на 5 мин позже, чем отец
в поселок. С какой средней скоростью отец и дочь ехали
первоначально?
Решение.
Пусть х км/ч—- первоначальная скорость отца, 2х
км/ч—дочери. До встречи отец проехал у км, дочь — 60-у км. По условию
60-
У
-У
откуда у =20 км проехал отец, 40 км проехала дочь. На
20
х+2
= 14-
40
ч, дочь — ч. По условию
2x+2
обратный путь отец затратил
40 20 1
= — , откуда х-
2х+2 х+2 12
Ответ: 14 и 28 км/ч.
13.081. Мотоциклист отправился из пункта А в пункт В ,
отстоящий от А на 120 км. Обратно он выехал с той же скоростью, но через
час после выезда должен был остановиться на 10 мин. После этой
остановки он продолжал путь до А, увеличив скорость на 6 км/ч.
Какова была первоначальная скорость мотоциклиста, если
известно, что на обратный путь он затратил столько же времени, сколько
на путь от А до В ?
843

1меем АС =
120-х
, =>
x + 6
120
X
120
X
где
_7
~6
л- —
120
ч
лч
пер-
-X
6 '
По условию АС = CD (рнс, 13.4). Имеем АС
Щ
воначальиая скорость; CD = \ + - +
6
откуда х = 48 (км/ч).
Ответ: 48 км/ч.
13.082. Две группы туристов должны идти навстречу друг другу
из турбаз А и В, расстояние между которыми 30 км. Если первая
группа выйдет на 2 ч раньше второй, то они встретятся через 2,5 ч
после выхода второй группы. Если же вторая группа выйдет на 2 ч
раньше, чем первая, то встреча произойдет через 3 ч после выхода
первой группы. С какой средней скоростью идет каждая группа1?
Решение.
Пусть х км/ч — скорость первой группы, у км/ч — скорость
второй. Если первая группа выйдет раньше второй, то 2,5у + (2,5 + 2)х - 30.
Если вторая группа выйдет раньше первой, то Зх + (3+2)у = 30. Ре-
[2,5г+4,5х = 30,
шив систему \. . _л находим х = 5 км/ч. у = 3 км/ч.
[Зх + 5у-30,
Ответ: 5 и 3 км/ч.
13.083. Товарный поезд был задержан в пути на 12 мин, а затем
на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив
скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.
Решение.
Пусть скорость поезда до задержки равна х км/ч, а после нее —
(х + 15) км/ч. Тогда (рис. 13.5) АВ = ~, СЕ = 60, С/>=-60-~.
60-* 60 60 ~- 60
BD = 5_, АЕ .Так как BD= ЛЕ ,то 5_=——, от-
х х+15 х х + 15
куда х = 60 (км/ч).
Ответ: 60 км/ч.
13.084. Из пунктов А и В , расстояние между которыми 120 км,
вышли одновременно навстречу друг другу два автобуса. В пути
первый сделал остановку на 10 мин, второй— на 5 мин. Первый
автобус прибыл в В на 25 мин раньше, чем второй прибыл в А .
S44

Можно считать, что скорости
движения автобусов были
постоянными, причем скорость первого
автобуса превышала скорость
второго автобуса на 20 км/ч.
Сколько времени продолжалась
поездка пассажиров каждого из
■•■тих автобусов между пунктами
4 и 5?
Решение
Пусть х км/ми и скорость вто- .
/
п
рою автобуса,
первого. Первый автобус был
I х + - | км/мин -
v 3;
Рис. 13.5
Е t
120 „ ПО .
„___ + Ю мин; второй 4 5 мин. По vc-ловию
1 X
х+-
120
120
-25. Отсюда х - 1 км/мин. Первый автобус был а
120
ч40мин;второй - —--*■ 5-125мнн-2ч5мин.
пути —j- f 10= 100 Mini"
1 + -
3
Ответ: I ч 40 мин и 2 и 5 мин.
13.085- Два Dpaiа взяли свои велосипеды и одновременно
тронулись в путь с намерением проехать 42 км. Старший брат на
всем пути сохранял одну и гу же скорость, а младший 6pai
каждый час отставал от старшего на 4 км. Но так как старишй брат
отдыхал в пути целый час, а мчадший — только 20 мин, то к
финишу они прибыли одновременно. Сколько времени
продолжалась поездка?
Решение.
Пусть „v км/ч— скорость старшего брата, тогда (.v-4) км/ч —
скорость младшего. Старший брат был в пуш время
42
845

младший — время tMi
42
" х-4
По условию
41 , 42 1 t , 42 .1
1-1 = г+т, отсюда v = iR и f = 1 + —= 3-
18 3'
Ответ: 3 ч 20 мин.
13.086. Задумано целое положительное число. К его записи
присоединили справа цифру 7 и из полученного нового числа вычли
квадрат задуманного числа. Остаток уменьшили на 75% этого
остатка и еще вычли задуманное число. В окончательном результате
получили нуль. Какое число задумано?
Решение.
Пусть задумано число х . Рассмотрим числа iOx + 7, 10х + 7-.\-2 и
остаток
й0х+1-
U
.Тогда ^{10х + 1-х\
'-6х-7=0:
-(г
100 v
=> А' = 7.
Ответ: 1.
13.087. Задумано целое положительное число. К его записи
присоединили справа цифру 5 и из полученного нового числа вычли
квадрат задуманного числа. Разность разделили на задуманное
число, а затем вычли задуманное число и в результате получили
единицу. Какое число задумано?
Решение.
Пусть х — задуманное число. Тогда новое число можно пред-
lOx + 5-x2
ставитьввнде Юх + 5- По условию
Ответ: 5.
Рис. 13.6
= 1, отсюда х = 5 ■
х
13.088. На рис. 13.6
изображена окружность,
касающаяся двух взаимно
перпендикулярных осей Ох и 0>>, и
прямая АВ, касающаяся
окружности в точке Р . Радиус
окружности R = 10 см, а
площадь треугольника ОАВ
равна 600 м2. Найти
координаты точек а , В , Р ,
учитывая, что О А > ОВ ■
846

Решение.
Пустьйий—-длины катетов;тогда a-10 + b-lO
—длинагипотенузы. Отсюда (а+Ь-20)2 =а + Ь" и—=600, откуда а - 40 (см).
b = 30 (см), т.е. Л(40; 0), В(0; 30). Находим угловой коэффициент прямой
3 3
АВ: к--~. Значит, уравнение прямой АВ имеет вид !•'-- -л+30, а
4 4
уравнение окружности — вид (л-Ю)"1" + (_у-10)~ = 100. Решение
системы этих уравнений дает координаты точки Р: Р( i 6; 18).
Ответ: ,4(40; 0), В(0; 30), Р(16; 18).
13.089. Некоторое расстояние поезд прошел со скоростью 120км/ч.
После этого расстояние, на 75 км большее, он прошел со скоростью 150
км/ч. а остальное расстояние, на 135 км меньшее пройденного. — со
скоростью 96 км/ч. Как велик весь путь, если средняя скорость поезда
оказалась равной 120 км/ч?
Решение.
Участок
Первый
Второй
Третий
Расстояние
.V КМ
75 +х км
2х - 60 км
Скорое ]ь
(20 км/ч
J 50 км/ч
96 км/ч
Время
ч
120
75 +л
- ч
150
2а--60
ч
96
Весь путь равен л + 75 + .т + 2л-60 = 4.т+15, все время равно
х 15 + х 2*-б0 43л-~150 ^ 4.Y + 15 ,„л
+ + - _ = ... — . Средняяскоросгыюезда: --- ^п =120.
J20 150 96 1200. ' ^ 43л-150
1200
Отсюда л- = 100 км. Весь путь составит: 4 ■ 100 + 15 = 415 км.
Ответ: 415 км.
13.090. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг.
содержащий 45% меди. Сколько чисто № олова надо прибавить к тгому
куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40% меди?
847

Первопача i: ко и e:i." 'if oi u.'o '2 0,-1 > ~- 5,1 кг ^c tri. Iidcxj ,u,;i-
kh i и шва -'-- - M,s ki I! i .ik ua i-1 looiuiin I- s "O i 2 ■ l.H'i i)u,..i
0 4
t'lrn,,-::; 1.5 ki
13.091. ЦмсК'ПШ^СХ ii i ,k. l ,г Юм if] ,t.H,:r,. ,!f :, „: ,. nopj:ui„i4
;.o iIiml-li h<i\ jbvm opi ap , :;huiv-i по ц^Лс- 1? 5 p; о sd I ki. ik-pe.a'i upi .i
i!)i ;,i:!)H! ncpemjnt) к\ 11." jiLil-.iii ivitijp it j р;чс| o^tine 20 к;*!, a Biupan
'3,i(!M, <t to вюрая принимайнн (,in.i;iM!-i:i j i по:.\ пк\ n uej)i-!^i si.у iob.hm
)i,! 2 7(H) p\6 6(1,1 h U)L MCpUOli OIlpC is. ППЬ.ГМ) Il.K-n KJ_IOt ptK.TVlOit лл iHi 'Я
Ki\',K,ih)i opt атнария it какую i ;,\t:,n u,j:> js'injimMn ja 'totvap и с; о нср^-
iuwk\
/'( /(,'( 77(7Г
IlCllvl l,.!\ Я ycJUHIjL' W iH'i" - ' - ..n::. • ;-2 i j,,, .
()])! iMIil >:UMII( ! "1 (lit II (1 (KI ) '■ !(!:S.V<i£ ft, ■ ikjJ4,!;.i,l f^nill'll!
Sv.tl.i ip.'4.) ^"SiWHH.
! : ! !!>>"■)
.V»2 i U>0 \ j 1/.5fn,n \) I { S(-|l(j и ' 42(200 ,}
\ - 120 (kii *()0--\-ISO (u< I- Ю ~>\ 4M0 (p:o ), 42(2.0') ii
(^iwu'ni 120 ki и 4860 pyo : 180 м it 7%0 pyo
13.092. /U'lievKiitHj премия бч.п! pacnpc.'u.u'.'ia mi* ж i\ 1рсмя i}i..ir-
pe.ut с isiMif первый получил iio'iostUHv Ясс,} премчн tVi 2;22 torn, 'i to
!M,I\ "sum ,iBOC !|UMI\ BMc<-'!'t' H I UpOil ilUJiV Ч{! 1 ] 4 aoeii ! IpCMH И Ч i ^0
umsci по (учспмыч «М'.'с ic rp:.>M>i oci ,vii,4VMK l'pci nil !jo iv4i' ; 200OO
p\ 6 l\;i,^ велики <bi ia премия и l'ko.ubko дене1 i{(i'i\ 4ti'i кпж,;ыи irmfi;v-
/'t NlCIttti'.
IKeru pyo --iipe\iil« нериою ii^iopenru','4. \'p\u iviopoio lio
\ с MiBiii-o вся премия piiHini v v t 4)000 pvfy Г01 ш

I v= -(.v+v + 30000)- 3 о-+30000).
J 2 22
1 , ■ откуда v = 40000. i'= 25000. Вен
v = (л- + v + 30000) + — (л + 30000).
I 4 56
премия 40000 + 25000 + 30000 = 95000 руб.
Ответ: 95000 руб.; 40000, 25000 и 30000 руб.
13.093. Сплав меди е серебром содержит серебра на J 845 г больше,
чем меди. Если бы к нему добавить некоторое количество чистого
серебра, по массе равное 1/3 массы чистого серебра, первоначально
содержавшегося в сплаве, то получился бы новый сплав, содержащий 83,5%
серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процентное содержание
в нем серебра?
Решение.
Пусть х г — масса серебра, х - 1845 г — масса меди. Тогда
2л: - 1845 г — масса всего сплава. После добавления серебра его
масса станет .v + — jr г, а масса сплава— 2.т-1845 + -д; г; .v+~.vr
3 3 3
составляют 83,5%. Значит, масса сплава [ * + -х |:0,835. Тогда
■И
:0,835 = 2д-1845 + -.г, откуда х = 2505 г — масса серебра.
Масса всего сплава 2-2505-1845 = 3165 г; 3165 г составляют 100%,
ЧСПС с о/ 3165 100 -,0 10/
2505 г серебра составляют у%; -— = —-, отсюда- v = 79,1%.
2505 у
Ответ: 3165 г; =79,1%.
13.094. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа.
После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5%
железа, в оставшейся руде содержание железа повысилось на 20%. Какое
количество железа осталось еше в руде?
Решение.
В 200 кг примесей железа будет Л'~_~тх(г" ~2^ кг-
Первоначально г кг железа составляло в 500 кг руды v%, т.е.
849

500 ;
100
• = 5у кг. В оставшейся руде (5 у-25) кг железа составляет
{у +20)% . Таким образом,
2у=85, у =
85
425
руде останется железа 5у-25 = ——25 = 212,5-25-187,5 кг.
Ответ: 187,5 кг.
D
Рис. 13.7
13.095. На ровной
горизонтальной
площадке стоят две мачты
на расстоянии 5 м друг
от друга. На высоте 3,6 м
от площадки к каждой
мачте прикреплено по
одному концу куска
проволоки длиной 13 м.
Проволока натянута в
плоскости
расположения мачт и прикреплена
к площадке, как
показано на рис. 13.7. На каком расстоянии от ближайшей мачты
находится точка прикрепления проволоки к площадке?
Решение.
Обозначим искомое расстояние через х . Из ААВС получим:
АВ2+ВС2 =АСг* ЛС=у, (x + 5f + 3,62~y2. Из AAED получим;
АЕ2 + ED2 = AD2■'- AD = z- x2+3,62=z2. По условию: z + y=13. Ре-
[(* + 5)г + 3,вгя.к2,
шив систему: \х2 + 3,62 =z2, находим, что х-2,1 м.
z+> = 13,
Ответ: 2,7 м.
13.096. Велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м
меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 120 км он затрачивает
времени на 2 ч больше, чем мотоциклист. Вычислить скорость
каждого из них.
Решение.
Пусть х км/ч—скорость мотоциклиста. Мотоциклист затратил
850

на весь путь
120
ч, а велосипедист -
120
+ 2 ч. Скорость велоснпе-
(х - 0,5 ■ 60) км/ч. По условию (х - 0,5 ■ 601 — + 2 | = 120 ,
V х
сюда х - 60 км/ч — скорость мотоциклиста. Скорость
велосипедиста— 60-30 = 30 км/ч.
Ответ: 30 и 60 км/ч.
13.097. Расстояние от А до в по железной дороге равно 88 км, а
по реке оно составляет 108 км. Поезд из А выходит на 1 ч позже
теплохода и прибывает в В на 15 мин раньше. Найти среднюю
скорость поезда, если известно, что она на 40 км/ч больше средней
скорости теплохода.
Решение.
Пусть х км/ч—скорость поезда, ^-40 км/ч—скорость тепло-
108
— ч. По условию
и. х-40
108 "
х-40
Ответ: 88 км/ч.
13.098. Пешеход и велосипедист отправляются одновременно
навстречу друг другу из городов А и в, расстояние между которыми
40 км, и встречаются спустя 2 ч после отправления. Затем они
продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 7 ч 30 мин
раньше, чем пешеход в В . Найти скорости пешехода н
велосипедиста, полагая, что они все время оставались неизменными.
Решение.
Таблицу значений скорости, пути и времени заполним в
порядке, указанном цифрами (1), (2), ..., (12):
хода. Поезд был в пути — ч, а теплоход -
х
88 1
~UJ' 0ТКУда *^88 ■
Турист
Пешеход

Велосипедист
До встречи
скорость,
км/ч
(0*
(2)
20-х
времи, ч
(3)2
(4)2
путь,
км
(5) 2х
(6)
40 -2х
После встречи
скорость,
км/ч
(7) X
(8)
20-х
время,
ч
(id
40 -2х
X
(12)
2х
20-х
путь,
км
(9)
40 -2л
(10)
2х

_ 40-2* 2x 15 л , . .
По условию = —, откуда х = 4 (км/ч).
х 20 -х 2
Ответ: 4 и 16 км/ч.
13.099. Расстояние между поселками А и в равно s км. Из А
отправились в В одновременно по одной и той же дороге два
автотуриста, которые должны были прибыть в В в одно и то же время. В
действительности первый турист прибыл в В на п ч раньше срока,
а второй на Зл ч опоздал, так как последний проезжал за каждый
час в среднем на г км меньше первого. Определить среднюю
скорость каждого автотуриста.
Решение.
s s
Пусть? —время, v, и v, —скорости;тогда~~~'~и,(1) — ~t + 3и,
(2) vi~v2 = r. Вычитая (1) из (2), получим s\ =4и =$
sr \Ч+\-Ъ)=г,
(v, - v2]s = 4nviv2 =* vjv2 =—-. Решением системы < , , sr
An vii-v2) = -—,
являются корни Z[ = v} и Z2 = ~v2 квадратного уравнения z ~rz~-~ = 0.
„ nr+Jnr(nr + s) ~nr+Jnr(nr + s)
Получаем ответ: или км/ч.
2« 2п
Л nr + Jnrinr + s) ~nr + Jnr(nr + s)
Ответ: — " —
2n 2n
13.100. Определить целое положительное число по следующим
данным: если его записать цифрами и присоединить справа цифру 4, то
получится число, делящееся без остатка на число, большее искомого
на 4, а в частном получится число, меньшее делителя на 27.
Решение.
„ _ 10х+4 . _„
Пусть х —искомое число. По условию = х + 4-27 , отку-
х+4
да х = 32.
Ответ: 32.

13.101. В один и тот же час навстречу друг другу должны были
выйти А из поселка М и в из поселка N . Однако А задержался и
вышел позже на 6 ч. При встрече выяснилось, что А прошел на 12 км
меньше, чем в . Отдохнув, они одновременно покинули место
встречи и продолжили путь с прежней скоростью. В результате А пришел
в N через 8 ч, а в пришел в М через 9 ч после встречи. Определить
расстояния MN и скорости пешеходов.
Решение.
Пусть х км — расстояние от М до места встречи; дт+12 км —
расстояние от N до места встречи. Тогда расстояние между М и N
равно 2х + 12 км. Пусть у км/ч — скорость пешехода А-, z км/ч —
+ 6,
Решив систему, нахо-
скорость пешехода в ■ Тогда
Дим: дг = 36 км, у = 6 км/ч, z==4 км/ч. Тогда весь путь равен
2-36 + 12 = 84 км.
Ответ: 84 км, 6 и 4 км/ч.
13.102. Даны два двузначных числа, из которых второе
обозначено теми же цифрами, что и первое, но написанными в обратном
порядке. Частное от деления первого числа на второе равно 1,75.
Произведение первого числа на цифру его десятков в 3,5 раза
больше второго числа. Найти эти числа.
Решение.
Представим первое число в виде Юх + у, тогда второе — Юу + х.
[•^ = .,75,
По условию: UOy + х Решив систему, находим х = 2,
у~{. Искомые числа 21 и 12.
Ответ: 21 и 12.
13.103. От станции железной дороги до турбазы можно пройти
по шоссе или тропинкой, причем тропинкой ближе на 5 км. Два
853

товарища условились, что один пойдет по шоссе, строго
выдерживая намеченную скорость v км/ч, а второй — тропинкой со
скоростью 3 км/ч. Второй пришел на турбазу раньше первого на 1 ч,
Найти расстояние от станции до турбазы по шоссе и скорость v
первого товарища, если известно, что v — целое число.
Решение.
Пусть х км — расстояние от станции до турбазы по шоссе, х~5 км —
по тропинке. По условию ■■— = 1, откуда х ~ . Выражение
имеет смысл при v-> 3 • Подбором находим: при v= 4 км/ч х = 8 км.
Остальные решения этого уравнения не удовлетворяют условию
х-5>0.
Ответ: 8 км, 4 км/ч.
13.104. Длина автобусного маршрута 16 км. В часы «пик» автобус
переходит на режим экспресса, т.е. значительно уменьшает число
остановок, вследствие чего продолжительность поездки от начала до конца
маршрута сокращается на 4 мин, а средняя скорость автобуса
увеличивается на 8 км/ч. С какой скоростью идет автобус в режиме экспресса?
Решение.
Пусть х км/ч— скорость автобуса в режиме экспресса. Тогда
Г 16 1\
время поездки в этом режиме будет о~Т7 ч- По условию
( 16 о
—— —— ре = 16, откуда х = 4% км/ч.
Ответ: 48 км/ч.
13.105. По одной из трамвайных линий начали курсировать
трамваи новой конструкции. Рейс протяженностью 20 км
продолжается теперь на 12 мин меньше, так как средняя скорость трамвая
новой конструкции на 5 км/ч больше средней скорости трамвая
устаревшей конструкции. Сколько времени затрачивает на рейс
трамвай новой конструкции и какова его средняя скорость?
Решение.
Пусть х км/ч— средняя скорость трамвая новой конструкции.
20
Тогда время, которое он затрачивает на рейс, — — ч. По условию
20 20 1 20 4
— = г-т, откуда х=25
х х-5 5
Ответ: 48 мин, 25 км/ч.
_ -— , откуда л =25 км/ч, и время— тт^" ч = 48 мин.

13.106. Самолет должен пролететь 2900 км. Пролетев 1700 км, он
сделал вынужденную посадку на 1 ч 30 мин, после чего полетел со
скоростью, на 50 км/ч меньшей, чем раньше. Найти
первоначальную скорость самолета, если известно, что он прибыл на место через
5 ч после вылета.
Решение.
Пусть х км/ч — первоначальная скорость самолета. До посадки
1700 1200
он был в воздухе ч, после посадки— —- ч. По условию
л- х-50
1700 ic 1200 .
+ 1,5+ — = ->, откуда находим х = 850 км/ч.
х х-50
Ответ: 850 км/ч.
13.107. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать
заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В
действительности же получилось так, что сначала работала только одна первая
бригада, а заканчивала ремонт участка дороги одна вторая
бригада, производительность труда которой выше, чем у первой
бригады. В результате ремонт заданного участка дороги продолжался
40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3
всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован заданный
участок дороги каждой бригадой отдельно?
Решение.
Пусть х — скорость работы первой бригады, У — второй. Рабо-
1
тая вместе, бригады отремонтируют участок за дн. По
условию - 18 . Производительность первой бригады —; второй —
х + у х
'-L.-18,
х + у
2 1 11 .„
+ =40,
3 х 3 у
1 2 1 11
. По условию + = 40. Решив систему
У 3 х 3 у
находим: — = 45 да • 30 да шт _ = 24 дн., 72 да уЧиты-
х у х у
вая условие задачи, окончательно: — = 45 да, — = 30 дн> Значит,
х у
855

первая бригада отремонтирует весь участок за 45 дн., вторая— за
30 дн.
Ответ: 45 и 30 дней.
13.108. На полях, выделенных агролаборатории для опытов, с
двух участков собрали 14,7 ц зерна. На следующий год после
применения новых методов агротехники урожай на первом участке
повысился на 80%, а на втором — на 24%, благодаря чему с этих же
участков было собрано 21,42 ц зерна. Сколько центнеров зерна
собирают с каждого участка после применения новых методов
агротехники?
Решение.
Пусть х ц зерна собирают с первого участка после применения
новых методов, у ц — со второго участка. По условию х+у = 21,42.
х У
Первоначально с первого участка собрали тх ц, со второго— ._. ц.
[х + у = 21,42
х у
По условию —г +ГГГ - *А7. Решив систему < х у __ находим
4 [1,8 1Д4
х= 10,26 ц; у = 1Ц6 ц.
Ответ: 10,26 и 11,16 ц.
13.109. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг
другу из двух мест, расстояние между которыми равно 270 км.
Второй проезжает в час на 1,5 км меньше, чем первый, и встречается с
ним через столько часов, сколько километров в час делает первый.
Определить скорость каждого велосипедиста.
Решение.
Пусть х км/ч — скорость первого велосипедиста, * -1,5 км/ч —
второго. До встречи первый проехал х ■ х км, а второй х(х ~ 1,5) км. По
условию х2 +х(х-1,5) = 270, откуда х=12 км/ч; 12-1,5 = 10,5 км/ч.
Ответ: 12 и 10,5 км/ч.
13.110. Два поезда отправляются из пунктов А и В навстречу
друг другу. Они встретятся на половине пути, если поезд из А
выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из В . Если-же оба поезда выйдут
одновременно, то через 2 ч расстояние между ними составит 1/4
расстояния между А и В ■ За какие промежутки времени каждый
поезд проходит весь путь?
856

Решение.
Пусть первый поезд проходит весь путь за х ч, второй — за У ч;
расстояние между А и в равно а км, Тогда скорость первого
поезда — — км/ч; второго — — км/ч. Первый пройдет половину
х у
пути за у =— ч; второй—за — ч„ По условию ■—+ 2- —
/ х
J а а\Ъ
Выйдя одновременно, поезда пройдут за 2ч 4 ~" +~* ~та км =>
х у) 4 '
J Решив систему, находим: х~4 ч, у = 8 ч.
12 2
Ответ: 4 и 8 ч.
13.111. Поезд был задержан на ( ч. Увеличив скорость на т км/ч,
машинист на перегоне в s км ликвидировал опоздание.
Определить, какую скорость должен был иметь поезд на этом перегоне, если
бы не было задержки.
Решение.
Пусть Ш| км/ч — скорость поезда, если бы он шел без задержки;
(j ч — время движения поезда в этом случае. По условию тх ■ t{ = s.
Двигаясь быстрее со скоростью т{ + т км/ч, поезд был в пути \tx -1) ч.
\щ -(i = (m, +mX<,-0,
Тогда s = (ml+m\li-l). Отсюда ],__£_ Решив систе-
■Jtm(4s + tm)-tm
му, находим mY = .
Jlm\As+lm)-tm
Ответ: ——- км/ч.
2(
857

13.112. Два тела движутся навстречу друг другу из двух мест,
расстояние между которыми 390 км. Первое тело прошло в первую
секунду 6м,ав каждую следующую проходило на 6 м больше, чем в
предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с
и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд
после того как начало двигаться первое тело, они встретятся?
Решение.
Пусть t с — время движения первого тела до встречи; t - 5 с —
at2 Ыг Л?
второго. Первый прошел до встречи — = — = Зг км; второй —
12(1-5) км. По условию 3t2 +I2(t~5)~360, откуда t-Ю с.
Ответ: через 10 с.
13.113. В отверстие трубы вошла одна материальная частица, а
спустя 6,8 мин в то же отверстие вошла вторая частица. Войдя в
трубу, каждая частица немедленно начинает поступательное
движение вдоль трубы: первая частица движется равномерно со
скоростью 5 м/мин, а вторая в первую минуту пробегает 3 м, а в каждую
следующую минуту на 0,5 м больше, чем в предыдущую. Через
сколько минут вторая частица догонит первую?
Решение.
Пусть t — время (в минутах), за которое вторая частица
догонит первую. Расстояние, пройденное второй частицей, равно сумме
t членов арифметической прогрессии, у которой ах~Ъ, d~0,5;
2a+d{t-i) 6 + 0,5(f-l)
следовательно, s = 1~ 1. To же расстояние,
пройденное первой частицей, составит 5(6,8 + f)-34 + 5f. Итак,
6 + 0,5(>-1) ., .
t-54 + Jt, откуда t~\l (мин).
Ответ; 17 мин.
13.114. Расстояние между двумя городами равно а км. Два
автомобилиста, выехав из этих городов навстречу друг другу,
встретятся на полпути, если первый выедет на t ч раньше второго. Если же
они выедут одновременно друг другу навстречу, то встреча
произойдет через It ч. Определить скорость каждого автомобиля, если
считать, что скорости постоянны на всем пути.
Решение.
Пусть х км/ч—скорость первого автомобиля, у км/ч—второ-
858

го. Первый проедет полпути за -— ч; второй — за ~^~. По условию
~. За 2t ч они проедут 2t(x + y) = a км. Решив систему
2х 1У
Ых + у) =
[2х 2у
находим х{ ~ л—-—<—, х2 ~ < 0. Тогда
-S\i
to
ЛкЛ)я4й1
Ответ: ^—-^ и -^^ ' км/ч.
At At
13.115. Турист А отправился из города М в город N с
постоянной скоростью 12 км/ч. Турист в , находившийся в городе #,
получив сигнал, что А уже проехал 7 км, тотчас выехал навстречу ему и
проезжал каждый час 0,05 всего расстояния между М и N ■ С
момента выезда В до его встречи с А прошло столько часов, на
сколько километров в час продвигался В . Найти расстояние между
городами М и N, если оно не меньше 100 км.
Решение.
Пусть х км — расстояние между М а N . Тогда скорость
туриста В — 0,05х км/ч. До встречи А проехал 7+0,05х-12 км;
В проехал (0705xf км. По условию 7 + 0,05х-12 + (о,05х)2 =х, от^
куда xj=20 км; x2=140 км. Учитывая, что х>100 км, находим
х = 140 км.
Ответ: 140 км.
13.116. Выйдя со станции с опозданием в 20 мин, поезд покрыл
перегон 160 км со скоростью, превышающей скорость по
расписанию на 16 км/ч, и пришел к концу перегона вовремя. Какова по
расписанию скорость поезда на этом перегоне?
Решение.
Пусть х км/ч— скорость поезда на перегоне по расписанию.
Двигаясь со скоростью (х + 1б) км/ч поезд прошел перегон за t ч.
859

Значит, (x + l6)t = 160; двигаясь со скоростью х км/ч, поезд прохо-
[(а- + 16> = 160,
1
дит перегон за t +— ч. Отсюда { ( \\ откуда х = 80 км/ч.
3 Ы t + ~ =160,
Ответ: 80 км/ч.
13.117. Велосипедист проехал 60 км из пункта а в пункт в • На
обратном пути он первый час проехал с прежней скоростью, после
чего сделал остановку на 20 мин. Начав движение снова, он
увеличил скорость на 4 км/ч и поэтому потратил на путь из в в А
столько же времени, сколько и на путь из А в В ■ Определить
скорость велосипедиста на пути из а в В ■
Решение.
Пусть х км/ч — скорость велосипедиста на пути из а в В ■ На
60 , 1 60-х
путь из л в в он затратил — ч; на путь обратно— 1 + т + г-
х 3 х + 4
60 , 1 60-х
По условию —=1 + — + —.откуда х = 20 км/ч.
х 3 х + 4
Ответ: 20 км/ч.
13.118. Два автобуса одновременно выехали с фабрики и
отправились в зону отдыха, к озеру. Расстояние между фабрикой и озером
48 км. Первый автобус прибыл к озеру на 10 мин раньше второго,
причем средняя скорость второго меньше средней скорости первого
на 4 км/ч. Вычислить скорости автобусов.
Решение.
Пусть х км/ч — скорость первого автобуса, х-4 км/ч — второ-
48 48
го. Первый автобус приехал к озеру за — ч, второй— за ч.
48 48 1
По условию = - откуда х = 36 км/ч, 36-4 = 32 км/ч.
х-4 х 6
Ответ: 32 и 36 км/ч.
13.119. Произведение цифр двузначного числа в три раза
меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то
получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Найти это число.
Решение.
Представим искомое число в виде 10х + у. Тогда
860

h0x + y~3xy
< Решив систему, находим х-2, У~4 . Иско-
\l0x + y + l8 = 10y + x. У
мое число — 24.
Ответ: 24.
13.120. Мотоциклист остановился для заправки горючим на 12
мин. После этого, увеличив скорость движения на 15 км/ч, он
наверстал потерянное время на расстоянии 60 км, С какой скоростью он
двигался после остановки?
Решение.
Пусть х км/ч — скорость мотоциклиста после остановки; t ч —
время, за которое мотоциклист прошел бы 60 км со скоростью х~ 15 км/ч;
t - ОД ч — время, за которое мотоциклист прошел 60 км со скоростью
f(?-0A-60
х км/ч. Тогда < i , ' Решив систему, находим х = 75 км/ч.
[фс-15)=г60.
Ответ: 75 км/ч.
13.121. При испытаниях на дальность самолет пролетел от
заводского аэродрома до заранее намеченного пункта всего s км,
затратив на это t{ ч. Затем он повернул обратно и за время t2 ч
возвратился на аэродром щ < t2). В полете туда и обратно истинная скорость
самолета (скорость относительно неподвижной массы воздуха)
сохранялась одной н той же, а неравенство tx < t2 объясняется влиянием
ветра, сначала попутным, а затем встречным. Найти истинную
скорость у- самолета, скорость ветра vB и путь sacT = vB(f2 -4),
пройденный самолетом относительно неподвижной массы воздуха.
Решение.
От аэродрома до намеченного пункта самолет летел со скорос-
v„. Решив
систему:
>4-vB км/ч, а обратно —
S
— ~ v+ vB
h
находим v=
S
со скоростью — - v-
h
Sfe + 'i) v _s('2-'i)
2(,r2 ' * 2l\h
861

S -v(, ,)-S(h-hf
lt\h
0meem 2№ 'V'~ 2№ • »" ^~ ■
13.122. Два брата имели билеты на стадион, расположенный в
20 км от их дома. Чтобы добраться до стадиона, они решили
воспользоваться своим велосипедом н договорились, что отправятся
одновременно, один на велосипеде, а другой пешком; проехав часть
пути, первый оставит велосипед, а второй, дойдя до места, где будет
оставлен велосипед, дальше поедет на нем и догонит первого у
входа на стадион. Где должен оставить велосипед первый брат и
сколько времени уйдет на дорогу, если каждый из братьев будет
идти равномерно со скоростью 4 км/ч, а ехать в 5 раз быстрее?
Решение.
Пусть х км пройдет второй брат. На этот путь он затратит — ч.
Оставшиеся 20-х км он проедет за ч. Все время движения
второго брата—~л+"~оп" ч. Первый брат проедет х км за —- чи
/ ч 20-х Л г х 20-х
пройдет (20-х) км за —-— ч. В пути он будет —- + —-— ч. По
, откуда х = 10 км. На всю дорогу
условию
Уйдет
X
20
х 20-.
4+ 20
20-х _
4
х _. х
~~20 +
10 20
= 20 +
20-.
4
-10
4
= 3 ч.
Ответ: на середине пути; 3 ч.
13.123. Мотоциклист задержался у шлагбаума на 24 мин.
Увеличив после этого свою скорость на 10 км/ч, он наверстал
опоздание на перегоне в 80 км. Определить скорость мотоциклиста до
задержки.
Решение.
Пусть х км/ч — скорость мотоциклиста до задержки, х + 10 км/ч —
на перегоне. Не задерживаясь, мотоциклист проехал бы 80 км за t ч,
862

но он прошел 80 км со скоростью х + 10 км/ч за t-0,4 ч. Тогда
f(x + 10X'-0,4) = 80
V л ' ' откуда х = 40 км/ч.
|хг = 80,
Ответ: 40 км/ч.
13.124. Из порта одновре- х+3 км/ч
менно вышли два теплохода,
причем один из них пошел на х
юг, а другой на восток. Через кмЛЦг
2 ч расстояние между ними
составило 174 км. Найти
среднюю скорость каждого
теплохода, если известно, что один
из них в среднем за каждый
час проходил на 3 км'болыпе, Рнс. 13.8
чем второй.
Решение.
Пусть х км/ч — скорость второго теплохода, х + 3 км/ч — первого.
За 2 ч первый прошел 2(х + 3) км, а второй 2х км. Из прямоугольного
треугольника (рис 13.8) по теореме Пифагора (2х)2 + (2(х + 3))2 = 1742>
откуда х = 60 км/ч.
Ответ: 60 и 63 км/ч.
13.125. Скорости пассажирского и товарного поездов относятся
как а: Ъ- Пассажирский поезд вышел со станции а на 0,5 ч позже
товарного, а прибыл на станцию в на 0,5 ч раньше его. Найти
скорости поездов, если расстояние между А и В равно s км.
Решение.
Пусть ах км/ч — скорость пассажирского поезда, Ьх км/ч — то-
s s
варного. Пассажирский поезд был в пути — ч, товарный — — ч.
. Тогда скорость
По условию -— = г- 0,5 + 0,5,
Ьх ах
откуда
sb-t
пассажирского поезда
аЬ
км/ч; товарного —
км/ч.
Ответ:
км/ч.
863

13.126. По двум окружностям равномерно вращаются две точки.
Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и
поэтому успевает сделать в 1 мин на два оборота больше. Сколько
оборотов в минуту совершает каждая точка?
Решение.
Пусть первая точки делает оборот за х с; вторая — за х + 5 с. В
60 60
минуту первая точка делает — оборотов, а вторая — . По
60 60 .
условию — = 1-2, откуда х = 10 • Первая точка делает в мину-
х х + 5
60 60 . е
ту — = 6 оборотов, вторая— 77 оборота.
Ответ: 4 и 6.
13.127. По сигналу дрессировщика два пони одновременно
побежали равномерно вдоль внешней окружности арены цирка в
противоположных направлениях. Первый пони бежал несколько
быстрее второго и к моменту встречи пробежал на 5 м больше чем второй.
Продолжая бег, первый пони подбежал к дрессировщику,
оставшемуся на том месте, от которого начали бежать поии, через 9 с после
встречи со вторым пони, а второй— через 16 с после их встречи.
Каков диаметр арены?
Решение.
Пусть х м пробежал до встречи второй пони, х + 5 м — первый.
Тогда длина всей арены nd - 2х + 5 • Скорость первого пони — м/с,
х + 5 х + 5 х
второго— ——- м/с. По условию 9 = 16 г, откуда х = 15,
16 х х + 5
/-JO/-35 м. Отсюда d = — = 11 м.
к
Ответ: = 11 м.
13.128. Над пунктом А вертолет был в 8 ч 30 мин. Пролетев по
прямой s км, вертолет оказался над пунктом в • Продержавшись в
воздухе над пунктом в 5 мин, вертолет пошел обратным курсом по
той же трассе. К пункту а он вернулся в 10 ч 35 мин. От ^ к д он
летел по ветру, а обратно против ветра. Скорость ветра все время
была постоянной. Найти скорость ветра, если собственная скорость
вертолета также все время постоянна и при безветрии равна v км/ч.
864

При каком соотношении между заданными величинами задача
имеет решение?
Решение.
Пусть х ч занял путь от Л к 5 , у ч — от В к А . По условию
s
х + у = 2 . Скорость вертолета от А к в была v+ vB = — , а на
обратном пути— v-vB-— Решив систему
ьу = 2,
v-vB=-,
У
vB = ^v(v-s) км/чпри v>i .
Ответ: ^v(v-f) км/чпри v>,s .
13.129. В 9 ч самоходная баржа вышла из ^ вверх по реке и
прибыла в пункт в '■> 2 ч спустя после прибытия в д эта баржа
отправилась в обратный путь и прибыла в а в 19 ч 20 мин того же
дня. Предполагая, что средняя скорость течения реки 3 км/ч и
собственная скорость баржи асе время постоянна, определить, когда
баржа прибыла в пункт в • Расстояние между А и в равно 60 км.
Решение.
Пусть v км/ч — собственная скорость баржи. Из ^ в д баржа
60 6° 60 . 60 ,.1
плыла -—г ч, обратно— ч. По условию —г+2 + - = 10-
v-3 v+3 v-3 v+З З
откуда v=15 км/ч. Баржа прибыла в В в 9 + = 14 ч.
Ответ: в 14 ч.
13.130. Два приятеля в одной лодке прокатились по реке вдоль
берега и вернулись по той же трассе через 5 ч с момента отплытия.
Весь рейс составил 10 км. По их подсчетам получилось, что на
каждые 2 км против течения в среднем им требовалось столько же
времени, сколько на каждые 3 км по течению. Найти скорость течения,
время проезда туда и время проезда обратно.
Решение.
Пусть vKM/ч — собственная скорость лодки, vT км/ч—скорость тече-
865

ния. По условию
2 3
5 5
.. 5 _,
Время проезда туда «г с ~ •>
12 12
откуда
= 5,
ч, обратно
5 * 25 /
:— км/ч; v"7y км/ч.
-2 ч.
Ответ: —г км/ч; 3 и 2 ч.
13.131. Бакенщик, инспектируя свой участок реки, в
обыкновенной весельной лодке поднялся вверх по реке на 12,5 км, а затем
по той же трассе вернулся на прежнее место. В этом рейсе он
преодолевал каждые 3 км против течения и каждые 5 км по течению в
среднем за одинаковые промежутки времени, а всего в пути
находился ровно 8 ч. Найти скорость течения и время рейса бакенщика
вверх по реке.
Решение.
Пусть v км/ч — собственная скорость лодки, vT км/ч — скорость
течения. По условию
5 ь 20 /
откуда vT = — км/ч, v= — км/ч.
о 6
Время рейса бакенщика вверх по реке -
12,5
20
6 "
= 5 ч.
Ответ:
км/ч; 5 ч.
13.132. В лабораторной установке некоторая жидкость
поступает в сосуд через три входных крана. Если открыть все краны
одновременно, то сосуд наполнится за 6 мин. Если же наполнять сосуд
только через второй кран, то на это потребуется 0,75 того времени,
за которое может наполниться сосуд только через один первый кран.
Через один третий кран этот сосуд наполняется на 10 мин дольше,
866

чем через один второй кран. На какое время надо открывать каждый
кран в отдельности для наполнения сосуда?
Решение.
Пусть первый кран надо открыть на х мин, второй — на у мин,
третий-— на z мин. Если все краны открыть одновременно, то
—+—+-=-. По условию у=0,75х; z = y + iO. Решив систему
х у z 6
1 1 1-1
xVz~6' 56
у~ 0f75xi находим *=^г~ мин; у = 14 мин; 2 = 24 мин-
56
Ответ: на -—, 14 и 24 мин.
13.133. Бассейн для плавания имеет три трубы разного сечения
для отвода воды с помощью равномерно откачивающего насоса.
Через первую и вторую трубы вместе при закрытой третьей трубе
наполненный бассейн опорожняется за а мин, через первую и
третью вместе при закрытой второй — за Ъ мин, а через вторую и
третью трубы при закрытой первой — за с мин. За какое время
наполненный бассейн опорожняется через каждую трубу в
отдельности?
Решение.
Пусть через первую трубу бассейн опорожняется за х мин; через
вторую — за У мин; через третью—за z мин. По условию:
1 1 1
х у а
1 1_1
х z b
1 1 1
— + - = -,
у z с
2abc
ab+ac-
Ответ: за
откуда х =
, мин.
ОС
2abc
ab + bc-ac
labc
мин
ab + bc~ac
labc
У
ас
labc
' ac + bc — ab ab + ac-
labc
+ bc—ab
, мин.
-be
867

13.134. Согласно программе, два стайка на поточной линии должны за
а ч обработать по одинаковому числу деталей. Первый станок выполнил
задание. Второй станок оказался не вполне исправным, работал с
перебоями, вследствие чего за то же время обработал на п деталей меньше, чем
первый. На обработку одной детали на втором стайке затрачивалось в
среднем на h мин больше, чем па первом. Сколько деталей обработал каждый
станок?
Решение.
Пусть* деталей обработал первый станок,х — п деталей — второй. На
обработку одной детали на первом станке затрачивалось — ч, на втором
х
а „ a a h
— ч. Поуеловию = — + —, откуда
х — п х — п х 60
1т-
-■Jb2n2 + 240abn -1т+Ф)2п2 + 240аЬп
2Ь 2Ь
lm + 4b2n2+240abn -bn + 4b2n2 + 240abn
Ответ: и деталей.
2b 2b
13.135. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по
обработке деталей на 15 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада
учеников отработает 18 ч, выполняя *то задание, а потом бригада слесарей
продолжит выполнение задания в течение 6 ч. то и тогда будет выполнено
только 0,6 всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников
для самостоятельного выполнения этого задания?
Решение.
Пусть х ч необходимо ученикам для выполнения задания: х - 15 ч —
бригаде слесарей, За 18 ч ученики выполнят —18 всего задания, за 6 ч
6 „ 18 6
слесари выполнят всего задания. По условию I = 0,6.
х -15 х х -15
откуда л: "45 ч.
Ответ: 45 ч.
13.136. От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч
20 мнн вслед за плотом с той же пристани отправилась моторная
лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость пло-
868

та, если известно, что скорость моторной лодкн больше скорости
плота на 12 км/ч?
Решение.
Пусть х км/ч — скорость плота, х+12 км/ч—скорость лодкн.
20 20
20 км плот пройдет за — ч, лодка — за — ч. По условию
х х + 12
20 20 16
— = — , откуда .х = з км/ч.
х х + 12 3
Ответ: 3 км/ч.
13.137. Три машины разных систем выполняют некоторую
счетную работу. Если всю работу поручить только одной второй или
одной первой машине, то одна вторая машина затратит на
выполнение всей работы на 2 мин больше, чем одна первая. Одна третья
машина может выполнить всю работу за срок, вдвое больший, чем
одна первая. Так как части работы однотипны, то всю работу можно
поделить между тремя машинами. Тогда, работая вместе и закончив
работу одновременно, они выполнят ее за 2 мин 40 с. За какое время
может выполнить эту работу каждая машина, действуя отдельно?
Решение.
Пусть первая машина может выполнить работу за х мин,
вторая— за у мин, третья— за z мин. По условию
у-х+2,
z = 2x,
1113
~+—+--->
х у z 8
откуда х-в мин, у = ъ мин, 2 = 12 мин-
Ответ; за 6, 8 и 12 мин.
13.138. Двое рабочих, из которых второй начал работу на 1,5
дня позже первого, работая независимо один от другого, оклеили
обоями несколько комнат за 7 дней, считая с момента выхода на
работу первого рабочего. Если бы эта работа была поручена
каждому отдельно, то первому для ее выполнения понадобилось бы на 3
дня больше, чем второму. За сколько дней каждый из них отдельно
выполнил бы эту же работу?
Решение.
Пусть первый рабочий выполнил бы всю работу за х дн., вто-
7
рой— за дг-3 Дн- За 7 дн. первый выполнил — всей работы, за
869

7 - 1,5 = 5,5 дн. второй сделал —'-— работы. Тогда —+ - '— = 1,
откуда - 3 х х — 3
дах = 14 дн.
Ответ: за 14 и 11 дней.
13.139. Найти двузначное число, частное отделения которого на
произведение его цифр равно 8/3, а разность между искомым числом и
числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 18.
Решение.
Представим искомое число в виде Юх + у. Тогда по условию
[10-v+v = 8
Л ХУ 3 откуда х = 6, v - 4. Искомое число — 64.
[l(b: + .y = 10v + .v + 18, *
Ответ: 64.
13.140. На одном из двух станков обрабатывают партию деталей на
3 дня дольше, чем на другом. Сколько дней продолжалась бы обработ ка
этой партии детален каждым станком в отдельности, если известно, чго
при совместной рабоге на этих станках втрое большая партия деталей
была обработана за 20 дней?
Решение.
Время (?), количество работы, выполняемой в единицу времени, т. е.
производительность (W), и весь объем работы ( V) связаны соотношением
V = Wt. Примем V — 1 и заполним следующую таблицу:
Первый
Второй
Время, дин
х- 3
Объем работы
I
I
3
Производитель-
ПОСТ!.
1
X
_\_
3
20
870

Так как при совместной работе станков их производительности
1 1 3
складываются, то — + г-гг, откуда х = 15-
х :с-3 20
Ответ: 15 и 12 дней.
13.141. Было задано целое число. Требовалось увеличить его на
200 000 и полученное число утроить. Вместо этого приписали к
цифровой записи заданного числа справа цифру 2 и получили
правильный результат. Какое число было задано?
Решение.
Пусть х — искомое число, Приписав к этому числу справа
цифру 2, получим число Х0х +2 ■ По условию 10х+2 = з(х+200000),
откуда * = 85714.
Ответ: 85714.
13.142. Чан наполняется двумя кранами А и В . Наполнение
чана только через кран А длится на 22 мин дольше, чем через кран
В . Если же открыть оба крана, то чан наполнится за 1 ч. За какой
промежуток времени каждый кран отдельно может наполнить чан?
Решение.
Пусть чан наполняется только через кран В за х мин, через А —
1 1 1
за х+22 мин. По условию — + гт~ = 77:> откуда х = 110 мин.
х х+22 60
Ответ: за 132 и 110 мин.
13.143. Некоторую работу А выполняете срок, на а дней
больший, чем В , и на Ъ дней больший, чем С . Работая вместе, А и В
выполняют эту работу за столько же дней, что и С. Определить
время, за которое каждый выполняет эту работу отдельно. При
каком соотношении между заданными величинами задача имеет
решение?
Решение.
Пусть А выполняет работу за х дн., В —за х-а дн., С — за
х-Ь дн. По условию — + —^— = ——г, откуда х = Ь + ^Ь(Ь-а) дн.;
при b>a, x-a^=b-a+^b(b-a) ДН.; x-b~^b(b-a) ДО.
Ответ: b + ^]b(b-a); b-a + ^b(b-a); *Jb(b-a) дней; задача
имеет решение при Ь > а ■
871

13.144. Сумма всех четных двузначных чисел разделилась на одно пч
них без остатка. Полученное частное отличается от делителя только
порядком цифр, а сумма его цифр равна 9. Какое двузначное число являлось
делителем?
Решение.
Представим делитель в виде 10а+Ь. Тогда по уело-
р«°_=104+в.
вию ) 10° +« откуда а = 4. h = 5. Искомое число — 54.
Ответ: 54.
13.145. Сначала катер шел 10 км по течению реки, а затем вдвое
большее растояние — по озеру, в которое река впадает. Весь рейс
продолжался 1 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость
течения реки 7 км/ч.
Решение.
Пусть I' км/ч — собственная скорость катера. По течению реки
10 20 Г1 10 20 ,
катер шел ч, но озеру — - ч. Но условию ——-+— =1,откуда
v+7 v v+7 v
i-':-23v'-UO = 0, т.е. v=28 (км/ч).
Ответ: 28 км/ч.
13.146. Найти три числа, из которых первое больше второго во столько
раз, во сколько второе больше третьего. Если из первого числа вычесть
сумму двух других, то получится 2, а если к первому прибавить
полуразность второго и третьего, то получится 9.
Решение.
Пусть л', \\ z — искомые числа. По условию
:v - I
У z
x-(y + z) = 2, откуда
- 8, г =4, = = 2 или* =-6,4; у- 11,2; z = - 19,6.
Ответ: 8; 4; 2 или - 6,4; 11,2; -19,6.
872

13.147. Имеется лист жести в форме прямоугольника, у которого
отношение длины к ширине равно 2:1. Из этого листа изготовлена
открытая сверху коробка таким образом, что по углам листа
вырезано по квадрату со стороной 3 см, и получившиеся края загнуты.
Определить размеры листа жести, если объем коробки оказался
равным 168 см3.
Решение.
Пусть 2а см — длина листа, а см — его ширина. Длина коробки
(2а -б) см, ее ширина — (а-в) см, а высота — 3 см. Объем коробки
равен з(а~вр.а-в)= 168, откуда д = ю см — ширина листа, 20 см —
его длина.
Ответ: Юх20 см.
13.148. Фотокарточка
размерами 12x18 см вставлена в рамку
постоянной ширины. Определить
ширину рамки, если ее площадь
равна площади самой карточки.
Решение.
Пусть х см — ширина рамки
(рис. 13.9). Тогда ее площадь
равна 2l2x+l(l%+2x)x см. По
условию 2-12*+2(l8+2x)x = 1218,OT- Рис. 13.9
куда х = 3 см.
Ответ: 3 см.
13.149. Найти два числа, сумма которых равна 44, причем
меньшее число отрицательно. Процентное отношение разности между
большим и меньшим числами к меньшему числу совпадает с
меньшим числом.
Решение.
Пусть х и У —искомые числа (у<0). Тогда
х + у~44,
^^100 =
У
У,
куда х = 264, >> = -220.
Ответ: -220 и 264.
13.150. В рукописи задачника по арифметике был написан
пример, в котором данное число надо умножить на 3 и от полученного
результата отнять 4. В типографии допустили опечатку: вместо
873

знака умножения поставили знак деления, а вместо минуса — плюс.
Тем не менее конечный результат от этого не изменился. Какой
пример предполагали поместить в задачнике?
Решение.
Пусть х — данное число. Тогда предполагаемый пример имеет
вид— Здг-4 у а напечатанный— --+ 4 . По условию Зх-4 = —-+4,
откуда Х = Ъ-
Ответ: 3-3-4 ■
13.151. Кошка, гнавшаяся за мышкой вдоль длинного
коридора, догнала ее через а с после начала погони. Первоначальное
расстояние между ними / м. Если при таком же Начальном
расстоянии мышка с перепугу побежала бы не от кошки, а навстречу ей, то
была бы схвачена через b с. Полагая, что в том и в другом случае
кошка и мышка прилагали бы максимальные усилия, найти
средние скорости каждой из них.
Решение.
Пусть х м/с — скорость мышки, у м/с — скорость кошки. За а с
/ + ах
кошка пробежала / + ах м, значит, = а . Во втором случае за b с
1 + а
кошка пробежала / - Ьх м, и —— = Ь . Решив систему
У
l(a-b) l(a+b)
находим jc* \ ; у- .
lab lab
l(a + b) l(a-b)
Ответ; \ , и „ , м/с.
lab lab
13.152. Участок прямоугольной формы обнесен изгородью. Если
от него отрезать по прямой некоторую часть так, что оставшаяся
часть окажется квадратом, то при этом его площадь уменьшится на
400 м2, а изгородь уменьшится на 20 м. Определить первоначальные
размеры участка.
Решение.
Пусть хху м — первоначальный размер участка (х<у). Тогда
первоначальная площадь участка— х-у м2. По условию
874

.vy = x"+400 (рис. 13.10). Длина изгороди 2(.г+у) = 4д+20. Решив
Рнс. 13.10
\x-v = x*+400,
систему < находим х = 40 м,у = 50 м.
[2(a- + _v) = 4.y+20,
Ответ. 40 х 50 м.
13.153. Для спортплощадки
отвели участок в форме прямоугольника
с диагональю, равной 185 м. При
выполнении строительных работ длину
каждой стороны уменьшили на 4 м.
При этом прямоугольная форма была
сохранена, но площадь оказалась
уменьшенной на 1012 м2. Каковы
действительные размеры
спортплощадки?
Решение.
Пусть л- — длина, а у — ширина площадки. По теореме Пифагора
.Y2 +у2 =1852. Крометого,(л--4)(у-4) = ху-1012, откуда ху -4(х+ у) -
= ху —1028; х + у = 257; у=257-л\ Решив квадратное уравнение
= 0, находим X] =■ 104, х-у = 153.
Ответ: 100 х 149 м.
13.154.3а 1 кг одного продукта и 10 кг другого заплачено 20 руб. Если
при сезонном изменении цен первый продукт подорожает на 15%, а
второй подешевеет на 25%, то за такое же количество этих продуктов будет
заплачено 18 руб. 20 кои. Сколько стоит килограмм каждого продукта?
Решение.
Пусть х руб. — цена одного продукта, у руб. — другого. По условию
х + 10у = 20. При сезонном изменении цен цена 1 кг первого продукта будет
стоить 1,15л- руб., а 1 кг второго — 0,75j' руб. Тогда 1,15л: + 10 -0,75у^ 18,2.
[1,15л- + 0,75'10>> = 18,2,
Решив систему < _ находим л; = 8 руб., у ■
Ответ: 8 руб. и 1 руб. 20 коп.
1,2 руб.
875

13.155. В первую неделю отпускного путешествия друзья
израсходовали на 60 руб. меньше, чем 2/5 количества вшых с собой денег: во
вторую неделю 1/3 остатка и еще на билеты втеагр 12 руб.: в третью неделю
3/5 нового остатка и еще на морские прогулки 31 руб. 20 коп., после чего у
них осталось 420 руб. Сколько денег было израсходовано за три недели
путешествия?
Решение.
Пусть первоначально было.v руб.
Неделя
Первая
Вторая
Третья
Израсходовали
•>
-д--60 (руб.)
-I-.V + 60 |+12 = -.v + 32 (руб.)
3{5 ) 5
= —Л + 48 (руб.)
Ос!аток
1
-х + 60 (руб.)
•>
-.v+28 (руб.)
' 6
х + 28—-*-48 =
5 25
= — -v-20(py6)
По условию —.Y-20 = 420, откуда* = 2 750 руб. За три недели было
25
израсходовано 2750 - 420 = 2330 (руб.).
Ответ: 2330 руб.
13.156. Моторная лодка, обладающая скоростью движения 20 км/ч,
прошла расстоянне между двумя пунктами по реке туда и обратно, не
останавливаясь, за 6 ч 15 мин. Расстоянне между пунктами равно 60 км.
Определить скорость течения реки.
Решение.
Пусть vT км/ч —скорость течения реки; 60 км туда лодка прошла за
60 60 60 ■ 60 ,„
— ч, а обратно за— ч. По условию 1 ——= o,z5, от-
20 + vT F 20 -гт у 20+ vT 20-vT
куда vT = 4 км/ч.
Ответ: 4 км/ч.
13.157. Найти двузначное число такое, что если его разделить
на произведение цифр, из которых оно составлено, то в частном получи г-
876

ся 16/3, а если вычесть из него 9. то разносгь будет также двузначным
числом, которое отличается от искомого числа только порядком
следования цифр,
Решение.
Пусть Юл + у— искомое двузначное число. Тогда
[Юл-+.у _ 16
i ху 3 откуда х = 3, у = 2. Искомое число — 32.
[l0.* + y-9^l0y + .v,
Ответ: 32.
13.158. В магазин привезли яблоки 1-го сорта на сумму 228 руб. и
яблоки 2-го сорта на сумму 180 руб. При разгрузке привезенные яблоки
случайно перемешались. Подсчет показал, что если теперь продавать все
яблоки по одной цене — на 90 коп. ниже цены килограмма яблок 1-го
сорта, то будет выручена ранее намеченная сумма. Сколько килограммов
яблок привезено, если известно, что яблок 2-го сорта было на 5 кг больше,
чем 1-го сорта?
Решение.
Пусть в магазин привезли х кг яблок первого сорта и х + 5 кг яблок
второго сорта. Всего привезли яблок 2х + 5 кг. Килограмм яблок 1-го
■\~)Q ( ТТЙ "\
сорта стоит —— руб. Новая цена яблок — 0,9 руб. Сумма,
вырученная за продажу всех яблок, — —--0,9 |(2.\ + 5). По условию
0,9 |[2.v+5)= 228 + 180, откуда д- = 40 кг. Всего привезли яблок
2 ■ 40 + 5 - 85 кг.
Ответ: 85 кг.
13.159. От трех кафедр института поступили заявки на приобретение
дополиительнош оборудования для лабораторий. Стоимость оборудования
в заявке первой кафедры составляет45% огзаявки второй кафедры, а
стоимость оборудования в заявке второй кафедры —80% от заявки третьей.
Стоимость оборудования в заявке третьей кафедры превышает заявку
цервой наб40тыс.руб. Какова общая стоимость оборудования в заявках всех
трех кафедр?
877

Решение.
Пусть х, у, z тыс. руб. - - <поммос1ь оборудования в заявках первой,
|\-0.45г.
второй и третьей кафедр coomeifieeHHO. По условию \ у = 0,8,-. ог-
[: = .v + 640.
куда д- = 360 тыс. руб., у - 800 ibic. руб., г = 1000 тыс. руб. Общая
стоимость оборудования в заявках всех трех кафедр — 360 + 800 +
+ 1000 = 2160 (тыс. руб.)
Ответ: 2 млн 160 тыс. руб.
13.160. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в
частном получится 4 и в остатке 3. Если же это число разделить на
произведение его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 5. Найти это число.
Решение.
Пусть искомое число есть 10.v f у. Тогда по условию имеем систему
j10*+,-3 = 4(* + y)I=iv = 2ii; = 3
[\0х + у-5-Зху
Ответ: 23.
13.161. Перевозка тонны груза от пункта М до пункта N по железной
дороге обходится на£ руб. дороже, чем водным путем. Сколько тонн груза
можно перевезти от М до N по железной дороге на сумму а руб., если
водным путем на эту же сумму можно перевезти на к т больше, чем по
железной дороге?
Решение.
Пусть х т груза можно перевезти по железной дороге, (х + к) т —
водным путем. Перевозка тонны груза по железной дороге стоит
— руб., водным путем — - руб. По условию — =£. откуда
х х+к х х+к
-Ьк + 4ьгкг+4аЬк
lb
-bk + ^blkz+Aahk
Ответ:
878

13.162. Некоторый товар был куплен осенью и за него было уплачено
82? руб Килограмм yroi о твара осенью на 1 руб. дешевле, чем весной, и
поэтому на ту же сулшу весной было куплено на 220 кг меньше. С'колько
стоит 1 кг товара весной и сколько его было куплено осенью?
Решение.
Пусть осенью было куплено л* кг товара. Весной на ту же сумму было
825
куплено л- 220 кг товара. Сюимоеть 1 кг осенью руб., а весной —
х
— руб. Поусловию — = I, откудат =550кг. Стоимость I кг
х -220 .v-220 .v
товара весной ——— =2 руб. 50 коп.
550-220 F
Ответ: 2 руб. 50 коп.; 550 кг.
13.163, При уборке урожая с каждот из двух участков собрано по
210 ц пшеницы. Площадь первого участка на 0,5 га меньше площади
второго участка. Сколько центнеров пшеницы собрано с 1 га на каждом
участке, если урожай пшеницы на первом участке был на 1 ц с гектара больше,
чем на втором?
Решение.
Пусть л-га — площадь первого участка, (.v + 0,5) га —площадь
второго , 210
го. С 1 га на первом участке собрано - - ц пшеницы, на втором —
.V
2Ю _ 210 210
— ■■ ц.Поусловию — - -— = 1, откуда л'= 10 га. С 1 га на первом
.v + 0,5 х х + 0,5
210
участке собрано = 21 ц пшеницы, со второго — 20 ц.
Ответ: 21 и 20 ц.
J3J64, Стоимость 60 экземпляров первого тома и 75 экземпляров
второго тома составляет 2700 руб. В действительности за все эти книги
уплатили только 2370 руб., так как была произведена скидка: на первый том в
размере 15%, а на второй — в размере 10%. Найти первоначальную цену
этих книг
Решение.
Пусть л' и у руб. — первоначальная цена первого и второго
томов соответственно. По условию бО.г + 75у = 2700. После скидки цена
879

первого тома стала 0,85л: руб.. второго — 0,9у руб. По условию
60-0,85* + 75 ■ 0.9у - 2370. Решив-систему
60*+ 75 у = 2700, ,Л _ ,„ ,
■у ' находим л- - 20 руб., у = 20 руб.
60-0,85.v + 750,4v=2370,
Ответ: 20 руб.
13,165. Имеется 140 банок даухвместимостей. Объем банки большей
вместимости на 2.5 л больше объема банки меньшей вместимости.
Общий объем больших баиок равен общему объему малых банок и равен
60 л. Определить количество больших и малых банок.
Решение.
Пустьх — количество больших банок. (140 -л) — мал ых,у л — объем
(х(у + 2,5) = 60,
меньшей банки, (г + 2,5) л —- большей. По условию <, ,
4 [(140-д-)у = 60,
откуда х - 20 — количество больших банок и 140 - 20 - 120 малых банок.
Ответ: 20 и 120.
13.166.Ученику надо было найти произведение числа 136 на
некоторое двузначное число, в котором цифра единиц вдвое больше цифры
десятков. По рассеянности он поменял местами цифры двузначного числа,
агчеш и получил произведение на 1224 больше истинного. Чему равно
истинное произведение?
Решение,
Пусть искомое число — 10,v + 2х. Число, записанное в обратном
порядке, — (20л- + л-). По условию 136(20* + х) ~ 136(10* + 2*) - 1224,
откуда л•- 1, Искомое число— 10 + 2=12, а истинное произведение равно
12- 136= 1632.
Ответ: 1632.
13,167. Моторная лодка и парусник, находясь на озере в 30 км друг от
друга, движутся навстречу и встречаются через 1 ч. Если бы моторная
лодка находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то иа это
потребовалось бы 3 ч 20 мин. Определить скорости лодки и парусника, полагая,
что они постоянны и неизменны в обоих случаях,
■Решение.
Пусть л: км/ч — скорость лодки, у км/ч — парусника. По
условию л~-1 + у ■ I =30, Во втором случае за 3 ч 20 мин лодка прошла бы

,, , ЗЬ + 20 , U + y = 30,
ЗтУ + 20 км. Тогда — = 3{ . Решив систему (Игу + Ю
[—г~=3-
находим х = 18 км/ч, у = \2 км/ч.
Ответ: 18 и 12 км/ч.
13.168, Однозначное число увеличили на 10 единиц. Если
полученное число увеличить на столько же процентов, как в первый раз,
то получится 72. Найти первоначальное число.
Решение.
Пусть х —искомое число, которое увеличили на у\00 %.
Тогда х + \0-ух, откуда у- , По условию (х + Ю) = 72,
х х
откуда х - 2 ■
Ответ: 2.
13.169, Кристалл, находясь в стадии формирования, равномерно
наращивает свою массу. Наблюдая формирование двух
кристаллов, заметили, что первый из них за 3 мес. дал такой же прирост
массы, как второй за 7 мес. Однако по истечении года оказалось,
что первый кристалл увеличил свою первоначальную массу на 4%,
второй — на 5%. Найти отношение первоначальных масс этих
кристаллов.
Решение.
Пусть годовой прирост массы х равен а; тогда по условию
За За
годовой прирост массы у равен — , Имеем я = 0,04х, — = 0,05>> =*
4x7 „ п
=* =— =* х:у = 33:12.
5 У 3
Ответ: 35:12.
13.170, Одна тракторная бригада вспахала 240 га, а другая —
на 35% больше, чем первая. Ежедневно первая бригада
обрабатывала на 3 га меньше, чем вторая, но закончила работу на 2 дня
раньше второй. Сколько гектаров обрабатывала каждая бригада
за рабочий день, если известно, что намеченная ежедневная норма
20 га перевыполнялась обеими бригадами?
Решение.
Вторая бригада вспахала 240-135 = 324 га. Пусть х га
ежедневно обрабатывала первая бригада, (х+3) га—вторая; У дней рабо-
29 М. И. Сканави, группа Л 881

тала первая бригада, [у+ 2) дня — вторая. По условию
(х-у = 240,
1(х + 3)(у + 2) = 324,отк>'да^ = 24га-
Ответ; 24 и 27 га.
13.171. В семье отец, мать и три дочери; всем вместе 90 лет.
Разница в возрасте у девочек — 2 года, Возраст матери на 10 лет больше
суммы возрастов дочерей, Разность лет отца и матери равна
возрасту средней дочери. Сколько лет каждому члену семьи?
Решение.
Пусть х лет — возраст младшей дочери. Тогда возраст
средней — х + 2 года, старшей — х + 4 года, матери —
х + х + 2 + х + 4 + 10 = Зх + 16 лет, отца Зх + 16 + х+2 = 4х + 18 лет. По
условию х + х+2 + х + 4 + Зх+16 + 4х + 18 = 90, откуда х = 5 лет-
возраст младшей дочери, 5 + 2 = 7 лет — средней, 5 + 4 = 9 лет —
старшей, 3-5 + 16 = 31 год — матери, 4-5 + 18 = 38 лет—отца.
Ответ: 38, 31,5, 7 и 9.
13.172. Два сосуда с раствором соли поставлены для
выпаривания. Ежедневно выпариваемые порции соли постоянны для
каждого сосуда. Из первого сосуда получено 48 кг соли, а из второго,
стоявшего на 6 дней меньше, — 27 кг. Если бы первый сосуд стоял
столько же дней, сколько второй, а второй столько, сколько первый,
то из обоих растворов получилось бы одинаковое количество соли.
Сколько дней стоял каждый раствор?
Решение.
Пусть х дней стоял первый раствор, У дней — второй. Ежедневно
48
выпариваемая порция для первого сосуда — кг соли, для второго —
27
кг, По условию
48 _27
х у ' откуда х = 24 дня, >> = 18 дней.
у-х-6,
Ответ; 18 и 24.
13,173. Если неизвестное двузначное число разделить на число,
изображенное теми же цифрами, но в обратном порядке, то в частном
получится 4 и в остатке 3. Если же искомое число разделить на сумму
его цифр, то в частном получится 8 и в остатке 7. Найти это число.
882

Решение.
(\0х+у = {\0у + х)-4 + 3,
Пусть 10х+>> ~ искомое число. Тогда ]iox+y=:(y + x)-8 + 7
откуда х-1, у -1 ■ Искомое число — 71.
Ответ: 71.
13.174. В четырех ящиках лежит чай. Когда из каждого ящика
вьшули по 9 кг, то во всех вместе осталось столько же, сколько было
в каждом. Сколько чая было в каждом ящике?
Решение.
Пусть в каждом ящике было по х кг чая, осталось по (х-9) кг.
По условию 4(х-9) = х, откуда х = 12 кг,
Ответ'. 12 кг.
13.175. Катер отошел от причала одновременно с плотом и
прошел вниз по реке 40/3 км. Не делая остановки, он развернулся
и пошел вверх по реке. Пройдя 28/3 км, он встретился с плотом.
Если скорость течения реки 4 км/ч, то какова собственная
скорость катера?
Решение.
40_28
Катер и плот были в пути -2 ?— = 1 ч. Пусть v км/ч — соб-
40
ственная скорость катера. Вниз по реке катер шел —2— ч, а вверх —
4+v
28 п 40 28 68
-т к ч. По условию —? г + —г г = 1, откуда v-—- км/ч,
3(v -4) ' 3(^+4) 3(v-4) 3
Ответ: 68/3 км/ч.
13.176. Общая вместимость трех цистерн составляет 1620 л,
Две из них наполнены керосином, а третья пустая. Чтобы
наполнить ее, нужно использовать либо все содержимое первой
цистерны плюс 1/5 содержимого второй, либо все содержимое второй
плюс 1/3 содержимого первой, Найти вместимость каждой
цистерны.
Решение.
Пусть х л — вместимость первой цистерны, У л — второй, г л —
883

третьей. По условию
X+y+Z-\620 ,
z-x + -yt откуда х-540 л, >> = 450 л,
1
z = 630 л.
Ответ: 540, 450 и 630 л,
13,177, Планом было предусмотрено, что предприятие на
протяжении нескольких месяцев изготовит 6000 насосов, Увеличив
производительность труда, предприятие стало изготовлять в месяц на
70 насосов больше, чем было предусмотрено, и на один месяц
раньше установленного срока перевыполнило задание на 30 насосов.
На протяжении скольких месяцев было предусмотрено выпустить
6000 насосов?
Решение.
Пусть было предусмотрено выпустить 6000 насосов за х меся-
6000
цев. В месяц предприятие должно было изготовлять насосов, а
6000 „
изготовляло 1-70 насосов. Работая х-1 месяц, предприятие
откуда
выпустило 6030 насосов. Значит, 1-70 (х-1) = 6030 ,
х = 10 месяцев.
Ответ: десяти.
13.178, Два парка общей площадью ПО га разбиты на равное
количество участков. Участки каждого парка по площади равны
между собой, но отличаются от участков другого, Если бы первый
парк был разбит на участки такой же площади, как второй, то он
имел бы 75 участков, а если бы второй был разбит на такие же
участки, как первый, то он содержал бы 108 участков. Определить
площадь каждого парка,
Решение.
Пусть S — площадь парка, п — число равновеликих участков,
Q — площадь участка. Тогда S : п - Q, Данными и искомыми
значениями заполним таблицу в последовательности, указанной
цифрами (1), (2), ...,(12):

Парк

Первый

Второй
Первоначально
S
(7) х
(8)
110-х
«
(1.) Ш8Х
110-х
(12)
75(110-х)
X
Q
(9)
11 Ох
108
(10)
X
75
При новом разбиении
S
(1) X
(2)
110-х
п
(3)
75
(4)
108
Q
(5)
X
75
(6)
110-х
108
По условию
108х 75(110-
, откуда х - 50 ■
110-х ;
Ответ: 50 и 60 га.
13.179. Отец хочет разделить 36 яблок между пятью своими
детьми. Половину всех яблок он отдает сыновьям, которые делят их
поровну, а другую половину отдает дочерям, которые тоже делят их
поровну. Оказалось, что каждая дочь получила на 3 яблока
больше, чем каждый сын. Сколько у отца было сыновей и дочерей?
Решение.
Пусть у отца было х сыновей и 5-х дочерей, Каждая дочь
18 18 _
получила яблок, а каждый сын — — яблок, По условию
18
5-х
18
- 3 , откуда х = 3 ■
Ответ: 3 сына и 2 дочери.
13.180, Одна из двух дробей вдвое больше другой. После
возведения каждой из дробей в квадрат и сложения этих результатов
получается некоторая сумма. Та же сумма получается после
возведения каждой из дробей в куб и сложения этих результатов. Найти
данные дроби.
Решение.
Пусть х — первая дробь, 2х — вторая. По условию
f4x'=^
Ответ:
f8x3, откуда
i
5 10
- первая дробь,
5 10
- вторая,
885

13.181, Бригада рабочих должна была изготовить за смену 7200
деталей, причем каждый рабочий делал одинаковое количество
деталей. Однако в бригаде заболело трое рабочих и поэтому для
выполнения всей нормы каждому из оставшихся рабочих пришлось
сделать на 400 деталей больше. Сколько рабочих было в бригаде?
Решение.
7200
Пусть х рабочих было в бригаде. Каждый рабочий делал
х
деталей. После того как в бригаде стало х - 3 рабочих, каждый стал
делать по 1-400 деталей. По условию 1-400 нх-3)-7200 t
откуда х - 9 ■
Ответ: 9,
13.182, В два сосуда одинаковой массы налита вода, причем
масса сосуда А с водой составляет 4/5 массы сосуда в с водой. Если
воду из сосуда В перелить в сосуд А , то масса его вместе с водой
станет в 8 раз больше массы сосуда В . Найти массу сосудов и
количество воды в них, зная, что в сосуде В содержится воды на 50 г
больше, чем в сосуде А .
Решение.
Пусть х г — масса сосудов, Масса сосуда В с водой у г, сосуда А
с водой — У г. Масса воды в сосуде А — \~У~х\т,ъВ — \у-х) г.
f4 я
\ — у + у-х-ох,
По условию j ,. ч откуда х = 50 г, у - 250 г. В сосуде
\у-х-\-у-х\ = 50,
Л — 150 г воды, в В — 200 г,
Ответ: 50, 150 и 200 г,
13.183, В зале клуба имеется 500 стульев, расположенных
рядами, причем каждый ряд содержит одинаковое количество стульев.
После реконструкции зала в каждом ряду оказалось на 5 стульев
больше, чем было, но зато число рядов уменьшилось на 5. В
результате общее число мест в зале уменьшилось на 1/10 прежнего
количества стульев. Сколько рядов было в зале и сколько стульев было в
каждом ряду?

Решение.
Пусть х рядов было в зале, у стульев в каждом ряду. Всего мест
в зале было х-у-500. После реконструкции зала мест стало
f у \ 9 \x-y-500,
(у+5Дд;-5) = — -500. Решив систему \, rV , находим
10 Цу + 5 Ajc - 5 J = 450,
х = 20, У-25.
Ответ: 20 рядов по 25 стульев в каждом.
13.184, Если бы ученик правильно перемножил два написанных
на доске числа, то прлучил бы в произведении 4500. Но,
переписывая с доски сомножители, в одном из них ученик вместо последней
цифры 5 написал цифру 3 и после умножения в результате получил
4380. Какие числа должен был перемножить ученик?
Решение.
Г(Юх + 5)у = 4500,
Пусть 10х + 5 — первое число, у — второе, Тогда у, v
откуда х- 1, первое число 10-7 + 5 = 75; у = 60.
Ответ: 75 и 60.
13.185, При испытании двух двигателей было установлено, что
первый израсходовал 300 г, а второй 192 г бензина, причем второй
работал на 2 ч меньше, чем первый. Первый двигатель затрачивает
в час на 6 г бензина больше, чем второй. Какое количество бензина
в час расходует каждый из двигателей?
Решение.
Пусть х г бензина в час расходует второй двигатель, (б + х) г в
300 192
час — первый, Первый двигатель работал ч, второй — ч.
300 192
По условию •£, откуда х = 24 г в час расходует бензина
х+6 х
второй двигатель, 24 + 6 = 30 г в час — первый.
Ответ: 30 и 24 г,
13.186, Бригада каменщиков взялась уложить 432 м3 кладки, но
в действительности на работу вышло на 4 человека меньше.
Сколько всего каменщиков в бригаде, если известно, что каждому
работавшему каменщику пришлось укладывать на 9 м3 больше, чем
первоначально предполагалось?
887

Решение.
Пусть всего в бригаде х каменщиков. Каждый каменщик уклады-
432
вает м3 кладки. Т.к. работало х - 4 каменщика, то каждому при-
х
шлось укладывать по 1-9 м5 кладки. Значит, 1-9 (х-4)=432,
откуда х = 16■
Ответ: 16.
13.187. Бригада рабочих должна была изготовить 8000
одинаковых деталей в определенный срок. Фактически эта работа была
окончена на 8 дней раньше срока, так как бригада делала
ежедневно на 50 деталей больше, чем было намечено по плану. В какой срок
должна была быть окончена работа и каков ежедневный процент
перевыполнения плана?
Решение.
Пусть работа должна была быть окончена за х дней. Ежедневно
8000 (Ш0^ы
бригада должна была делать дет., а делала +;)и
работала всего (х-8) дней. Значит, + 50 \(х-8) = 8000, откуда
х = 40 дней. В день бригада должна была делать по ~ 200 дет.,
250-100 ,..
а делала 200+50 = 250, У-—гтт—-125%. Значит, ежедневный
процент перевыполнения плана 125 -100 = 25 %.
Ответ: 40 дней; 25%.
13.188. На обработку одной детали рабочий А затрачивает на
к мин меньше, чем рабочий В . Сколько деталей обрабатывает
каждый из них за t ч работы, если А обрабатывает за это время на
п деталей больше, чем В ?
Решение.
Пусть В обрабатывает х дет., А— х + п дет, На обработку 1 дет.
t t t t к
А затрачивает ч, В — — ч. По условию = —, откуда
х + п х х х + п 60

Л + ff
A/i
= :
+ VA
-£лч
-> -у
2k
+ 240(A-/i
V + 240/Ati
2k
kn+ik2n2 + 240tkn
n — .
2k
Ответ: (-kn + >Jk2n2+ 240(kn)/(2k) и (b+VA'V +240tkn)/(2k).
13,189, Сумма квадратов корней уравнения л" -Ъах +а~ = О равна
1,75. Найти значение а.
Решение.
•> -у 1 За—а
D = 9a~-4<r=5<r. лг, = i *2 я —J— ■ По условию
+ — (3+V3)- = i./o, откуда я- =
4
Ответ: ±0,5
--(3-л/5)2+ —(3+л/5)2=1.75, откуда я2 = - , а =±0,5.
4 4 4
13.190. Кусок платины, плотность которой равна 2.15 104 кr/м3.
связан с куском пробкового дерева (плотность 2.4 10 кг/м?). Плотность
системы равна 4,8-10" кг/м\ Какова масса куска дерева, если масса куска
платины составляет 86,94 г?
Решение.
Обозначим массу куска дерева как х кг, объем куска дерева как
yt м3, а объем куска платины как у2 м\ Объем куска платины
Vl = ._?.,.„. —_ =4.044-КГ6 м3. Теперь можно составить систему
' " 2,15-104 кг/м3
уравнении
---=2,4-]<г;
Решив ее. находим
.-? + ¥94.1.(Г^= 2_
Л +4,044 -Ю-6
л = 8,694 10"2-4,8 -102 -4,044-10"6 =85 г.
Ответ: =85 г.
889

Рис. 13.11
13.191. К материальной
точке приложены две силы, угол
между которыми равен 30°.
Модуль одной из приложенных сил
в 77з Раза больше модуля
другой, а модуль
равнодействующей силы на 24 Н больше, чем
модуль меньшей силы.
Определить модуль меньшей силы и
равнодействующей силы.
Решение.
Пусть ^
косинусов:
Н — модуль меньшей силы (рис. 13.11). По теореме
^4 + x^x2+(7V3x^-2x-7V3x-cos(l80o-30o), откуда
х = 2 Н — модуль меньшей силы; 24+2 = 26 Н — модуль
равнодействующей силы.
Ответ: 2 и 26 Н.
13.192. Имеются три сосуда, содержащих неравные количества
жидкости. Для выравнивания этих количеств сделано три
переливания. Сначала 1/3 жидкости перелили из первого сосуда во второй,
затем 1/4 жидкости, оказавшейся во втором сосуде, перелили в третий
и, наконец, 1 /10 жидкости, оказавшейся в третьем сосуде, перелили в
первый. После этого в каждом сосуде оказалось 9 л жидкости.
Сколько жидкости было первоначально в каждом сосуде?
Решение.
Составим таблицу:

Сосуд
1
2
3

Первоначальное
количество
жидкости
х л
у л
2 Л
После
первого

переливания
2
— х л
3
1
у+~х л
z л
После второго
переливания
2
Vя
Ъ( 1 ^
4Г1Т
,+1(,+1,)л
После третьего
переливания
2 if If 1 Y\
3 Щ *{■ 31)
3f 1 "l
- VH—x л
41 3 )
9
To
Z + -\ V + -X
К 4Г 3 j
Л
890

Решив систему
2
-.»■ +—I <: +
3 К) 4
3( 1
_?_
ю
находим л- = 12 л;
4 3
у = 8 л; z = 7 л.
Ответ: 12. 8 и 7л.
J3.193. Научениях разведывательный катер подошел к головному
кораблю эскадры и получил приказание произвести разведку впереди
эскадры по направлению ее движения на расстоянии 70 км. Определить, через
какое время катер вернется к головному кораблю эскадры, продолжающей
ндги вперед, если известно, что скорость катера 28 км/ч, а эскадра должна
двигаться со скоростью 14 км/ч.
Решение.
Пусть катер вернется к головному кораблю через х ч. За это время
эскадра пройдет I4.v км. Значит, катер должен пройти 70 + 70 - 14л км. По
условию 140 - 14л — 28л, откуда х = 3 - ч.
Ответ: через 3 ч 20 мин.
J3.194. Переднее колесо движущейся модели на протяжении 120 м
делает на 6 оборотов больше, чем заднее. Если окружность переднего
колеса увеличить на 1 /4 ее длины, а окружность заднего — на 1/5 ее длины,
то на том же расстоянии переднее колесо сделает на 4 оборота больше, чем
■заднее. Найти длины окружностей переднего и заднего колес.
Решение.
Длина окружности колеса С, число оборотов п и расстоянием свячаны
формулой Сп — s. Таблицу значений этих, величин заполним в порядке,
указанном цифрами (I), (2), ..., (12):
Колесо
Переднее
Заднее
До изменения
С
(Пу
<2).i
,S
№ 120
(4) 120
п
(5) Ь1
X
у
После изменении
С
(7) ЪХ-
4
(8) 6/.
5
S'
(9) 120
(10) 120
и
on 12(M
5.V
„2, 1М 5
6.V
891

120_Ш
По условию, имеем систему J откуда Х-А (м). у -5 (м).
I* >>
Ответ: 4 и 5 м.
13.195. Бригада монтеров могла окончить электропроводку в 4 ч
дня, прокладывая в час по 8 м. После выполнения половины всего
задания один рабочий выбыл из бригады; в связи с этим бригада
стала прокладывать в час по 6 м и закончила запланированную на
день работу в 6 ч вечера. Сколько метров провода было проложено
и за сколько часов?
Решение.
Пусть было проложено х м провода, Прокладывая по 8 м
электропроводки в час, бригада могла бы проложить ~х м провода'за
—-- ч. Но она работала тт + 2 ч. По условию 77 + ^ ' ^ ~ 7/ х, отку-
X Л: 96
да х=96 м. Всего бригада работала 77 + 77 + -"~ГГ+2~14 ч-
16 16 8
Ответ: 96 м, за 14 ч.
13.196. Через два часа после выезда с фабрики глофер посмотрел
на спидометр и заметил, что проехал только 112 км. Он прикинул
мысленно, что если и дальше поедет с той же скоростью, то на 30 мин
опоздает с доставкой груза на станцию. Поэтому шофер увеличил
скорость и прибыл на станцию даже на 30 мин раньше срока.
Определить начальную и последующую скорости движения
автомобиля, если расстояние от фабрики до станции по спидометру
составляет 280 км.
Решение.
112
Первоначальная скорость автомобиля = 56 км/ч. Всего шо-
2
280 , .
фер был в пути —- -1 - 4 ч. Пусть он увеличил скорость на х км/ч.
56
С этой скоростью он ехал 2 ч и проехал 280-112 = 168 км. Значит,
2(56 + х) = 168, откуда новая скорость автомобиля 84 км/ч.
Ответ: 56 и 84 км/ч.
892

13.197. В кинозале имеется две двери, широкая и узкая. Через обе
двери после сеанса зрители выходят из зала в течение 3 мин 45 с.
Если зрителей выпускать через одну широкую дверь, то выход из
зала займет времени на 4 мин меньше, чем в том случае, если
зрителей выпускать только через одну узкую дверь. Сколько времени
требуется для выхода зрителей из кинозала через каждую дверь в
отдельности?
Решение.
Пусть х мин необходимо, чтобы выпустить зрителей только
через широкую дверь, (х + 4) мин — только через узкую. В одну мину-
i
ту через широкую дверь выходит
1 1 1
чел., через узкую -
1
По условию:
с+4 31
^-f. откуда х = 6 мин.
Ответ: 6 и 10 мин.
13.198. Некоторое вещество впитывает влагу, увеличивая при
этом свою массу. Чтобы впитать 1400 кг влаги, требуется взять
нераздробленного вещества на 300 кг больше, чем раздробленного.
Сколько процентов от массы вещества составляет масса впитанной влаги в
случае раздробленного вещества и в случае нераздробленного, если
во втором случае зто число процентов на 105 меньше, чем в первом?
Решение.
Пусть надо взять х кг раздробленного вещества, (х+300) кг —
неразаробленного.
х кг составляет 100%
1400 кг — у1 %
х + 300 кг составляет 100%
1400 кг — у2 %.
Отсюда
140000
140000
" х + 300 '
Решив систему, находим >>1 = 280 %;
у2 = 175 %.
Ответ: 280 и 175 %.
893

13.199. На пути от села до поля колесо грузовика делает на 100
оборотов меньше, чем колесо велосипеда, и на ] 50 o6qjoTOB больше, чем
гусеница трактора. Найти расстояние между селом и полем, если известно,
что длина окружности колеса грузовика составляет 4/3 длины окружности
колеса велосипеда и на 2 м короче гусеницы трактора.
Решение.
Пусть дм— расстояние между селом и нолем, у м—длина
окружности колеса велосипеда;
грузовика,
4„+2
3'
трактора,
Колесо грузовика делает -—оборотов; велосипеда— -обороюв; гусе-
1,. У
ница трактора-
—— оборотов. По условию
3, + 2
100,
— +150,
куда .* = 600 м,
Ответ: 600 м.
13.200. Две шкурки общей стоимостью в 22500 руб. были проданы на
аукционе с прибылью в 40%. Каксеоа стоимость каждой шкурки, если от
первой было получено прибыли 25%, а огвторой— 50%?
Решение.
Пусть* руб. — стоимость первой шкурки, 22 500 -л руб. — стоимость
второй. Первая шкурка была продана за I ,25а" руб., вторая — за
1.5(22500-л) руб. По условию 1,25л + 1,5(22500-*) = 1,4-22500. откуда
х-9000 руб.
Ответ: 9000 и 13500 руб.
13.201. Спортивная площадка имеет форму прямоугольника, длина
которого наЬ м больше ширины. Площадка окаймлена дорожкой
одинаковой ширины в а м. Каковы размеры спортивной площадки, если ее
площадь равна плошади окаймляющей ее дорожки?
894

Решение.
Пусть х м —ширина площадки, Ьл
Площадь площадки — x(x + b) м
м — ее длина (рис, 13.12).
Площадь дорожки —
2ах + 2(b + х + 2а)а, откуда х =
b'+32a-b + 4a
b+x =
i + b+yjb
*ЪЖ
[l
Ответ: ■Jb2 + 32а2 - Ь + 4а
)/2 и (Л
b'+32a' +4 + 4a /2 м
)А
6 + *
■ ■
X
4 ,.
д
13.202. Две машинистки
должны перепечатать рукопись,
состоящую из трех глав, из которых
первая вдвое короче второй и втрое
длиннее третьей. Работая вместе,
машинистки перепечатали первую
главу за 3 ч 36 мин. Вторая глава
была перепечатана за 8 ч, из
которых 2 ч работала только первая
машинистка, а остальное время
они работали вместе. Какое время
потребуется второй машинистке
для того, чтобы одной
перепечатать третью главу?
Решение.
Пусть х — скорость работы первой машинистки, у
1
По условию —
х + у
вая глава. За 8 ч работы первая машинистка перепечатала 8л; вто-
10х + у = з(х + >-)+7
Рис. 13.12
второй.
= 3,6 — время, за которое была перепечатана
перрон главы, вторая за 6 ч -
8х + 6>> = 2 . Решив систему
х +у -ху = \0х + у.
По условию
1
--3,6, 1 _
х + у находим .v = -. Третью гла-
8х + 6>>=2,
895

2^
ву вторая машинистка может перепечатать за f = —= 3 ч.
У
Ответ: 3 ч.
13.203. Расстояние между двумя селами равно 10 км. Два человека
выходят одновременно из одного села в другое, причем первый идет
со скоростью, на 3 км/ч большей, чем второй, и приходит к месту
назначения на 3 ч раньше. С какой скоростью идет каждый из них?
Решение.
Пусть х км/ч — скорость второго, х + 3 км/ч — скорость первого
человека. По условию у = 7, откуда х = 2 км/ч.
Ответ: 2 и 5 км/ч.
13.204. Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую
работу за 8 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить
всю работу на 12 ч скорее, чем второй, если тот будет работать
отдельно. За сколько часов каждый из них, работая порознь, может
выполнить работу?
Решение.
Пусть х — скорость работы первого рабочего, У — второго. По
U--8, , ,
условию <* у откуда —-24, — = 12. Первый рабочий может
-=-+12, А' у
[х У
выполнить всю работу за 24 ч; второй — за 12 ч.
Ответ: 12 и 24 ч.
13.205. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в
частном получится 3 и в остатке 7. Если затем взять сумму
квадратов цифр этого числа и вычесть из нее произведение тех же цифр, то
получится первоначальное число. Найти это число.
Решение.
Пусть ]0х + у —искомое число. По условию
(]0х + у = з{х + у)+1,
\х2+у2 -ху = \0х + у, откуда х = 3' У = 7. Искомое число —37.
Ответ: 37.
13.206. Трехзначное число оканчивается цифрой 2. Если ее
перенести в начало записи числа, то полученное число будет на 1 8
больше первоначального. Найти это число.
896

Решение.
Пусть искомое трехзначное число имеег вид 100л + 1Оу + 2; ioiaa
после перенесения цифры 2 оно примет вид 200 + I0.v 4- у (1). По условию,
200+ ]Qv +j'-(10(br+ 10y + 2)= 18, откуда ]0.г + у = 20. Подставив это
выражение в (1), получим 200 + 20 - 220. Итак, первоначальное
трехзначное число есть 202.
Ответ: 202.
13.207. Экспресс проходит путь от Москвы до Санкт-Петербурга на
3 ч 30 мин быстрее пассажирского поезда, так как за 1 ч он проходит на
35 км больше. Сколько километров в час проходит каждый из них, если
расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом принять с округлением
равным 650 км?
Решение.
Пусть х км/ч — скоросгь пассажирского поезда, х + 35 км/ч — ско-
650 650 „с ,с ,
рость экспресса. По условию = 3,5, откуда л = 65 км/ч.
х х + 35
Ответ: 65 и 100 км/ч.
13.208. Некоторое двузначное число в 4 раза больше суммы и в 3 раза
больше произведения своих цифр. Найти это число.
Решение.
[Юл + у = 4(л-+ v).
Пусть 10* + y — искомое число. По условию i,,. _, ог-
[10.« + y = 3,vy,
куда х = 2, у = 4. Искомое число — 24.
Ответ: 24.
13.209. Два тела одновременно начали прямолинейное движение
навстречу друг другу. Одно из них проходит в каждую минуту 7 м, другое в
первую минуту прошло 24 м, а в каждую последующую проходит на 4 м
меньше, чем в предыдущую. Через сколько минут оба тела встретятся, если
первоначальное расстояние между ними было равно 100 м?
Решение.
Пусть тела встретятся через / мин. За это время первое тело пройдет It
м. Скорость второго тела — (24-4(1-1))м/мин, и за г мин оно пройдет
0,5((2-24-4(Г-1))г м.Поусловию(24-2(/-1))/ + 7 = 100,откудаг = 4мин.
Ответ: через 4 мин.
13.210. На сколько процентов следует увеличить длину радиуса круга,
чтобы площадь круга стала больше на 96%?
897

Решение.
Пусть радиус круга надо увеличить на х. Тогда г, =г + х,
5j =1,965, 51 = tuj2. Значит, l596r2 -izir + xf ■ Отсюда находим, что
х = 0,4г . Значит, радиус круга надо увеличить на 40 %.
Ответ: на 40 %.

Приложение
Действия над числами
Законы
перем естител ьн ы й
сочетател ьн ы й
распределите льн ый
закон умножения
относительно
сложения
Сложения
a+b=b+a
(a-\rb)+c=*a-\r(b+c)
Умножения
о * b=b• а
(о • Ь) • с—а • (6 " с)
(а+b) " с—ас+Ьс
Проценты
1 % — один процент
1 % от числа А
b % от числа А
Отношение числа А к числу В,
выраженное в процентах
Нахождение числа А, если b %
его равны В
1 : 100 = 0,01
— = 0.01А
100
В = Ь. —= Ь-0,01А
100
Ь = ^-100
в
А = - 100
b
899

Арифметическая и геометрическая прогрессии
Формула четных чисел
Формула нечетных чисел
Формулы гс-го члена
арифметической прогрессии
Свойство гс-го члена
арифметической прогрессии
Формулы суммы гс первых
членов арифметической
прогрессии
Формулы гс-го члена
геометрической прогрессии
Свойство я-го члена
геометрической прогрессии
Формула суммы гс первых
членов геометрической
прогрессии
Формула суммы бесконечной
геометрической прогрессии
ап = 2гс;я € Z
ап = In + 1; п е Z
ап ~ ап-\ + d >
ап =й, +d(n-l);ne N,d e R
Q - _«j s+L- neN
2
2
2а, + <*(и-1)
2
2Ui>°»2Ui >0
1-9
900

Числовые промежутки
отрезок
интервал
полуинтервалы
aix<b
a<x<b
a<x<b
а< x<b
[а;Ь]
(а;Ь)
[а;Ь)
(а;Ь]
,««М*^
a' b * х
^«йв»^
a b
_—^х
о^^Ша^
а Ь1 * х
Логарифмы
Определение
логарифма числа х по
основанию о
Основное
логарифмическое тождество
Свойства
логарифмов
Переход к другому
основанию в
логарифмах
Если logax=b, то аь=х, х>0,а>0, а Ф1
x-=olog'x;a>0, аФ1. x>0
log„o=l, logal=0: а>0, а Ф1
\ogaxy=\ogax+\ogay
ioga-=\ogax-\ogay
У
logaxk=h ■ logax
1
log k x= — ■ logax
а к
o>0. x>0, y>0, а Ф1, k Ф1
log* a
iogax
log, а
o>0, a Ф1, x>0, x Ф1. b>0, b *l

Решение линейного уравнения
Уравнение
ах+Ь~0
а
а*0
о=0
о=0
Ь
ЬеК
6=0
6*0
Корни
Ъ
а
X eR
0
Графическое
решение
а
SSiliiiSiS,x
Решение линейных неравенств

Неравенство
ах+Ь<0
ах+Ъ<0
ах+Ъ<0
ах+Ъ^О
ах+Ъ<0
ах+Ь^О
а
а>0
а>0
а<0
а<0
а-0
а-0
Ь
6eR
6eR
bsR
ЬеП
6<0
6<0

Равносильное

неравенство
b
х<-~
а
Ь
х<-~
а
х>л
а
х>_Л
а
-
-
Множество
решений
хе(—°°-у— )
а
хе(—°°;— ]
а
хе(— ;°° )
а
х е [ - - ;°° )
а
хеП
хеП
Графическое
решение
!5ШКЖ«_
-Ь ""
JSHHS*»,
~а
^,
-U "
^^
!| •*
„_„
«ЖЖЖШ!
902

I

Неравенство
ax+b<0
ax+b<0
ax+b>0
ax+biO
ax+b>0
ax+b^O
ax+b>0
ax+b^O
ax+b>0
ax+b-0
a
o=0
o=0
o>0
o>0
a<0
o<0
o=0
o=0
o=0
o=0
b
b>0
b>0
ЬеП
ЬеП
ЬеП
ЬеП
b>0
b*0
b^O
b<0

Равносильное

неравенство
-
-
b
x>
a
b
x>-~
a
b
x< —
a
b
хй--
a
-
-
-
—
Множество
решений
0
0
xe( —; ~)
a
xel —; ~)
a
a
a
xeB.
rtR
0
0
Графическое
решение
^^
^_^™^
ЗГ*x
«™™,
^ „ X
Ш^Л№. ^ ..
.b
«ЖНЖ
^e^"
„
903

Простейшие выражения с модулем
а
а>0
о=0
о<0

Выражение
\х\=а
|х|<о
\х\<а
\х\>а
N*«
|х| So
.|х|<0
|х|>0
\Х\>-0
|х|-о
И'а

Равносильное

выражение
f х-а
\х■— -а
\ х<а
\х>-а
1 хйа
|дс>-а
х> а
х <-а
х>а
х<~а
х = 0
—
хфО
-
—
-
Множество
решений
{-а;а}
хе (-а;а)
х€ [-а;а]
ME (_oomju
[ajoo)
{0}
0
x€ R
0
xe R
Графическое
решение
-а а
-а а
-а а
шка^ г^ваш> ^
-а а
-а а
0
0
«ШШШШШ»
_~W

Решение квадратного уравнения
Квадратное
уравнение
ax2+bx+c=0,
аФО
Т>-Ъ2-4ас
D>0
D=0
D<0
Корни
-ь-Jd
2а
-b+y[D
2а
Ъ
*i=*2=- —
2а
0
Графическое
У
01
У
01
У
51
^,
решение
х>—Л, ■
К;
/
•х.
^
;
Теорема Виета
ax2+bx+c=0
а*0, D>0
х\ и Х2 — корни
квадратного уравнения
*1+*2=~-
Решеиие показательного уравнения
ах=Ь равносильно а*~а1о*°ь; а>0, аф\
Ь>0
b <0
Графическое
решение
Корни
x=loga6

Определение тригонометрических функций угла
а
sin a = -
с
Ъ
cos а =■- -
с
а
tga = -
D
+ " Ъ
ctgct = -
а
Если точка А получена
поворотом начальной точки Ао
единичной окружности на
угол сс, то ординату точки
А называют синусом угла а ,
абсциссу точки А —
косинусом угла сс.
Отношение синуса угла СС к
косинусу угла а называют
тангенсом угла а , a
обратное отношение
косинуса угла а к синусу
угла а называют
котангенсом угла сс :
sin a cos а
tg а = ; ctg а =
cos а sin а
С
В с Л
У
1
[-1
-1
А (cosa; sina)
Л"-
,v
п *
906

Формулы приведения тригонометрических функций
X
sin х
cos х
tg X
ctgx
2+"
cos Of
-sina
-ctga
-tga
2~a
cos a
sina
ctga
tga
Tt + a
-sin a
-cos a
tg a
ctga
Tt-a
sin a
-cos a
-tg a
-ctg a
3
- rt + a
-cos a
sin a
-ctg a
-tg a
3
-Tt-a
-cos a
-sin a
ctg a
tg a
2Tt + a
sin a
cos a
tg a
ctg a
2Tt-a
-sin a
cos a
-tg a
-ctg a
Выражение одних тригонометрических функций через другие

Функция
sina
cosa
tga
ctga
sina
sina
+i/l-sin2 a
sina
VI-sin2 a
Vl-sin2a
sina
Функция —
cos a
+Vl-cos2a
cos a
Vl-cos2a
cos a
cos a
\/l-cos2a
- аргумент
tga
ч tga
^/l+fg2a
1
■Jl + £2a
tga
1
tga
ctga
1
Vl+c(g2a
, cfga
•y/l + rt^a
1
cfga
ctga
907

Формулы сложения и вычитания аргументов
тригонометрических функций
tg(a +
tg
tacts (a
sin
sin
cos
cos
p)~
P) =
+ P>
ctg(a-p)
a + P) = sin acos P
a - P) = sin acos P
a + (5) =- cos acos (5
(a- P) = cos acos P
tga + tgP a
-tgatgp' a'*'a
tga-tgP
■■„ > a. p, о
1 + tgatgP
ctgactgP -1
ctga + ctgP
ctgactgP+ 1
ctga-ctgP ' a'
+ cos asin P
- cos asin P
- sin asin P
+ sin asin p
+ P*|(2n+1)
-P*|(2n+1),
p, a+P*tcn,
P> a~P* jc«> n
n sZ
n eZ
n gZ
&
Формулы преобразования произведения
тригонометрических функций в сумму
sin a sin р =
sin a cos /J>
cos a cos /J =
-(cos(a-
■-(sin(a-
■-(cos(a
-/»)-
-/»)
-/»)
-cos(a + /}))
^ sin(a + /}))
<- cos(a + /}))
908

Основные соотношения для треугольников
Треугольник ABC (Д ABC)
А, В, С — вершины ДАВС
ZA, ZB, ZC — углы Д ABC
АВ=с, ВС=о, АС=Ь — стороны
ДАВС
Первый признак равенства
треугольников: если o=Oi, b=b\.
ZA=ZAU то AABC-AA^jCj
Второй признак равенства
треугольников: если b=bit ZA—ZA},
ZC=ZC1; то ДАВС=ДА1В1С1
Третий признак равенства
треугольников: если a=ai, b=bi, c=ci,
то AABC'AAjBjCi
BD1AC =>BD — высота Ль,
проведенная из вершины В на
сторону Ь.
АК=КС => ВК — медиана пц,
проведенная из вершины В на
сторону b
В
А/
b
В
/\
' .\
А ь С
В
/\
\
А Ь С
В
/\
1\
A b С
/к
ьЛ$
h'
/\
t
А, Ь,
в,
/\
/:
А, Ь,
в.
Л
1:
А, Ь,
п _ \
A D 6
К
sc
я
с,
\
с,
а,
С,
С
909

Содержание
Решения к главе 1 3
Решения к главе 2. Тождественные преобразования
алгебраических выражений 25
Решения к главе 3. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений 137
Решения к главе 4. Прогрессии 242
Решения к главе 6. Алгебраические уравнения 263
Решения к главе 7. Логарифмы. Показательные и
логарифмические уравнения 343
Решения к главе 8. Тригонометрические уравнения 403
Решения к главе 9. Неравенства 501
Решения к главе 10. Задачи по планиметрии 551
Решения к главе 11. Задачи по стереометрии 645
Решения к главе 12. Задачи по геометрии с применением
тригонометрии 713
Решения к главе 13. Применение уравнений к решению
задач 813
Приложение 899

АВТОРСКИЙ КОЛЛЕКТИВ
Егерев Виктор Константинович
Зайцев Владимир Валентинович
Кордемский Борис Анастасьевич
Маслова Тамара Николаевна
Орловская Ираида Федоровна
Позойский Роман Исаевич
Ряховская Галина Сергеевна
Сканави Марк Иванович
Суходский Андрей Матвеевич
Федорова Нина Михайловна
ТВОРЧЕСКИЙ КОЛЛЕКТИВ
Профессор кафедры высшей математики
Белорусского Государственного Университета Информации
и Радиоэлектроники Карпук Андрей Андреевич
Профессор кафедры высшей математики
Белорусского Государственного Университета Информатики
и Радиоэлектроники Жевняк Ростислав Михайлович
Кандидат физико-математических наук Ермолиц-
кий Александр Александрович

Учебное издание
ПОЛНЫЙ СБОРНИК РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
ГРУППА А
Под редакцией М. И. Скаиави
Подписано в печать с готовых диапозитивов 24.10.02.
Формат 60х90'/,6. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 57,0. Тираж 5000 экз. Заказ 4251.
ООО «Издательство «Мир и Образование».
Изд. лиц. ИД № 05088 от 18.06.2001 г.
109193, Москва, 5-я Кожуховская ул., д. 13, стр. 1.
Тел./факс (095) 928-78-26
E-mail: mir-obrazovanie@rambler.ni
ООО «Харвест».
Лицензия ЛВ № 32 от 27.08.2002.
РБ, 220013, Минск, ул. Кульман,
д. 1, корп. 3, эт. 4, к. 42.
Республиканское унитарное предприятие
«Полиграфический комбинат имени Я. Коласа».
220600, Минск, ул. Красная, 23.