Waves and Fields
in Optoelectronics
HERMANN A. HAUS
Massachusetts Institute of Technology
Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 07632

Х.Хаус
Волны и поля
в оптоэлектронике
Перевод с английского
под редакцией
канд. физ.-мат. наук К. Ф. Шипилова
Москва «Мир» 1988

ББК 22.34
Х26
УДК 535.2 + 621.38
Переводчики: канд. физ.-мат. наук В. А. Ассман, А. С. Доброславский,
канд. техн. наук А. Б. Мещеряков, канд. физ.-мат. наук А. В. Тищенко
Хаус X.
Х26 Волны и поля в оптоэлектронике: Пер. с англ. — М.:
Мир, 1988. — 432 с, ил.
ISBN 5-03-000761-X
В книге, написанной американским специалистом по оптоэлектронике, дается
последовательное изложение основ волоконной, интегральной и нелинейной оптики
с применением современных математических методов анализа процессов
распространения света. Некоторые рассматриваемые в книге вопросы (оптическая бистаА
бильность, распространение оптических солитонов и т. д.) до сих пор освещались
лишь в специальной журнальной литературе. Книга написана четким и понятным
языком, содержит достаточно много численных примерав и задач. Может служить
учебным пособием.
Для специалистов в области интегральной, волоконной и нелинейной оптики ,
а также для студентов и аспирантов, специализирующихся по этим вопросам.
- 1704050000-170. 72-88 ч. 1 ББК 22.34
041@1)—88
Редакция литературы по физике и астрономии
ISBN 5-03-000761-Х (русск.) © 1984 by Prentice-Hall, Inc., Englewood
Cliffs, New Jersey 07632
ISBN 0-13-946053-5 (англ.) © перевод на русский язык, «Мир», 1988

Предисловие редактора перевода
Немногим более двадцати лет прошло с момента создания
первого лазера — события, которое сыграло огромную роль в
развитии современной физики и других областей науки и техники.
Уникальные свойства лазерного излучения позволили открыть
и изучить новые физические явления, дали порой неожиданные
возможности для решения многих научных проблем, нашли
разнообразные применения в технических разработках и
способствовали появлению новых областей науки. В настоящее
время происходит дальнейшее развитие лазеров и их
применений, и как следствие все более широкий круг научных
работников и инженеров самых разнообразных специальностей
работает с лазерными приборами, проектирует и конструирует
оптические системы преобразования лазерных пучков, вовсе большем
числе учебных заведений студенты получают сведения по
основам квантовой электроники. Вопросам квантовой электроники,
лазерной техники и применениям лазерных систем посвящено
достаточно много научной литературы, рассчитанной на разные
круги читателей. Среди них книга Хауса является, на наш
взгляд, весьма удачным учебным пособием по курсу основ
лазерной и интегральной оптики, предназначенным как для
студентов, так и для специалистов, использующих лазерное
излучение в разнообразных целях.
Прежде всего необходимо отметить, что отличительной
особенностью книги является высокий научный уровень,
сочетающийся с простым и вполне доступным изложением не только
основ лазерной оптики, но и более сложных и тонких вопросов
математической физики и нелинейной оптики. Объясняется это
тем, что автор при отборе и систематизации материала
использовал свой многолетний опыт педагогической деятельности в
разных учебных заведениях США и Японии. По своему
теоретическому уровню книга предназначена для студентов, поэтому
многие доказательства и выводы даны почти полностью.
Наряду с теоретическими вопросами представлено описание
принципов работы некоторых лазерных устройств и интегрально-
оптических элементов. Здесь можно провести параллель между
настоящей книгой и монографией Г. С. Горелика «Колебания
и волны: Введение в акустику, радиофизику и оптику» A959 г.),

6 Предисловие редактора перевода
которая долгие годы служила учебным пособием для студентов
физических специальностей и была настольной книгой многих
научных работников.
Мы здесь не будем давать подробную характеристику
каждой главы, поскольку это сделал автор в своем предисловии
и введении, однако отметим некоторые особенности изложения
материала. В первых главах на основании макроскопического
уравнения Максвелла с формально введенными
диэлектрической и магнитной проницаемостями и электропроводностью
подробно разбираются вопросы распространения
электромагнитных волн в средах и системах, нашедших широкое применение
в оптических приборах, в частности в интегрально-оптических
устройствах. После изложения дифракционных теорий Френеля
и Фраунгофера, где дан анализ пространственного
распределения лазерного пучка, получено параксиальное волновое
уравнение и обозначены границы его применимости. Рассмотрены
законы распространения гауссовых пучков, их общие свойства
и теория преобразования оптическими системами. Особенности
пространственного распределения амплитуды лазерных пучков
и необходимость учета фазовых соотношений не позволяют в
общем случае применять методы, развитые классической
оптикой.
Затем описаны свойства различных волноводных структур
и введен формализм связанных волн, который хорошо
вписывается в общую схему изложения. Представляются интересными
главы, посвященные последовательному и подробному
рассмотрению сведений по нелинейной оптике и устройствам, в основе
которых лежат новые физические явления. Необходимо
подчеркнуть, что сведения по некоторым из рассмотренных
вопросов (оптическая бистабильность, солитоны и др.) можно найти
лишь в специальной журнальной литературе. Завершается книга
рассмотрением принципов работы приемников оптического
излучения.
Одно из достоинств книги состоит в скрупулезном выборе
задач к каждой главе, решение которых требует лишь
внимательного изучения представленного материала. Их можно
разделить на три разновидности: иллюстрирующие различные
физические аспекты, задачи прикладного и принципиального
характера, а также задачи комплексного характера,
соответствующие реально функционирующим системам. Их решение не
только дает представление о порядках величин и позволяет
закрепить полученные сведения, но и показывает, как применять
полученные знания для практических расчетов оптических
лазерных устройств.
Необходимо отметить, что в ряде случаев при переводе
встречались термины, которые имеют несколько различных
толкований, или не имеют соответствующих русских эквивалентов,

Предисловие редактора перевода 7
или являются лабораторным жаргоном. Во всех таких случаях
мы использовали термины, адекватно отражающие физический
смысл определяемой характеристики и получившие широкое
распространение в советской научно-технической литературе.
К сожалению, в книге Хауса мало отражены результаты
современных работ советских исследователей, и по этой
причине отдельные вопросы оказались недостаточно полно
освещенными.
Характеризуя книгу в целом, следует подчеркнуть, что она
представляет безусловный интерес для студентов и аспирантов,
изучающих лазерную и интегральную оптику, а также для
научных работников и инженеров, занимающихся разработкой
и эксплуатацией лазерных и оптоэлектронных систем и
устройств.
Перевод книги выполнен канд. техн. наук А. Б.
Мещеряковым (предисловие, введение, гл. 1 и 2), А. С. Доброславским
(гл. 3 и 4), канд. физ.-мат. наук А. В. Тищенко (гл. 6—14),
канд. физ.-мат. наук В. А. Ассманом (гл. 5).
/С. Ф. Шипилов

Моей семье посвящается
Предисловие
Не имеется абсолютного критерия оценки книги,
представляющей собой введение в область, с которой читатель незнаком или
знаком лишь поверхностно. Однако существуют субъективные
оценки. Какое-то конкретное изложение вопроса или объяснение
могут помочь некоторым читателям в понимании материала,
в то время как другие не найдут его полезным. Субъективный
характер оценки является отражением субъективности процессов
изучения и осмысливания.
Настоящая книга является частично изложением работ
многих исследователей в том виде, как это усвоил автор и как он
преподносит этот материал своим студентам. Кроме того, в ней
предпринята попытка представить формулировку задач и их
решения, использовавшиеся автором в его научных
исследованиях. Такая цель, поставленная автором, не позволила привести
таблицы значений параметров материалов, подробно
рассмотреть различные типы оптических волокон, свойства
фотоприемников и т. п. Читателю предлагается достаточное количество
числовых примеров, чтобы можно было представить себе,
какими по порядку величины являются размеры приборов,
интенсивности излучения, расстояния, на которые оно
распространяется, числа мод и т. д.; эти сведения необходимы для
решения некоторых задач, связанных с обработкой сигналов.
Главная же цель книги состоит в представлении математических
моделей и подходов для анализа распространения излучения,
резонансных явлений и нелинейных оптических взаимодействий.
Эти методы можно использовать и в других дисциплинах,
связанных с аналогичными явлениями, и в этом смысле данная
книга претендует на более общий характер, чем это следует
из ее названия.
Автору большую помощь оказали дискуссии с его коллегами
и студентами. Разделы по практическому применению
оптических систем были написаны по материалам, которые стали
доступными автору благодаря проф. М. М. Сэлуоэру. Это
относится особенно к разд. 3.8, части разд. 4.4, разд. 5.7,
экспериментальной части разд. 9.3 и разд. 13.7.
Использование составляющей векторного потенциала вместо
амплитуд возбуждения в скалярном волновом уравнении в пара-

Предисловие 9
ксиальном приближении было подсказано в результате
обсуждения этих вопросов с проф. Е. П. Иппеном. Вводный курс для
студентов «Оптика и оптоэлектроника», конспект которого
использован при написании данной книги, читался совместно
проф. С. Изекиелом и автором. Помимо указанйых конкретных
вопросов эти и другие коллеги оказали влияние и на иные
аспекты книги. Во многом мне помогли студенты своими
вдумчивыми и дотошными вопросами. Джэй К. Ли и Крис М.
Габриэль внимательно прочитали рукопись и исправили большое
число ошибок. Кроме того, проф. Этан Буркофф из Института
им. Джона Гопкинса любезно предоставил список замеченных
ошибок. Шинг Лих Лин выполнил рис. 5.3 и 5.4, Мохаммед
Н. Ислам изготовил все остальные графики, построенные с
помощью ЭВМ, и сделал много замечаний по рукописи.
Перепечатка рукописи была весьма аккуратно выполнена Синди Копф.
Если данная книга передаст читателю некоторую долю того
волнения и чувства первооткрывателя, которые испытал автор
при изучении данной темы и во время работы над ней,
позволившей мне внести скромный вклад в развитие некоторых
вопросов этой области исследований, то можно считать, что книга
оказалась удачной.
Херманн А. Хаус

Введение
Создание лазера привело к возрождению исследований в оптике
и к подлинно революционным достижениям в научном и
техническом плане одной из ее областей, которую стали называть
«квантовой оптикой». Подобно любому изобретению такого
уровня, лазер позволил значительно улучшить традиционные
методы хорошо разработанной области исследований, а также
открыть новые области и новые применения. Мы кратко
остановимся на главных особенностях квантовой оптики, которые
могут послужить основой для разработки новых систем, новых
приборов и новых методов измерения.
Лазерное излучение отличается от теплового (оптического)
благодаря следующим своим свойствам:
1) пространственной когерентности в пределах широкой
апертуры;
2) временной когерентности на больших интервалах времени;
3) очень высокой яркости;
4) широкой абсолютной спектральной полосе.
Излучение лазера, работающего в одномодовом режиме,
является полностью пространственно-когерентным. Все излучение
лазера, проходящее через некоторую площадь поперечного
сечения, можно сфокусировать в пятно, поперечные размеры
которого будут ограничены только дифракцией. Это свойство делает
лазеры идеальными источниками для выделения огромных ин-
тенсивностей электромагнитного излучения. Благодаря
пространственной когерентности лазерного излучения стало возможным
реальное осуществление голографии — процесса, который был
открыт Д. Габором еще до изобретения лазера, но не был
практически реализован до тех пор, пока не появились лазерные
источники излучения. За свое открытие Габор был удостоен
Нобелевской премии лишь после того, как благодаря лазерам голография
была осуществлена в реальности. Пространственная и временная
когерентность лазерного излучения позволила также
осуществлять пространственные фурье-преобразования в «реальном
времени». Временная когерентность излучения лазеров позволяет
использовать их в доплеровских локаторах (для обнаружения
турбулентности в прозрачном воздушном пространстве) и
помогает при голографировании и пространственном фурье-преобра-

Введение 11
зовании в том смысле, что разница между временами
прохождения двух интерферирующих пучков оказывается несуществен-
ной. Она делает возможным осуществление интерферометрии
и спектроскопии с очень высоким разрешением. Временная
когерентность играет важную роль в оптико-волоконной связи,
поскольку при распространении по волокну импульса
узкополосного лазерного излучения не происходит уширения его
огибающей.
Высокая яркость лазерного излучения (большая
интенсивность на единицу площади и телесного угла) объясняет его
применение для обработки материалов и сверления отверстий
лазерными пучками, а также делает возможным осуществление
лазерного отжига. Кроме того, это свойство имеет большое
значение для лазерного термоядерного синтеза, когда с помощью
лазера производят нагрев и сжатие соответствующих мишеней.
Практическое применение лазерного излучения обусловлено
также и его широким абсолютным спектром частот. С помощью
лазеров можно генерировать и усиливать очень короткие
импульсы. Это объясняется тем, что относительная ширина полосы
порядка 1 % «переводится» в очень большую абсолютную полосу
благодаря (обычно) очень высокой несущей частоте. Таким
образом были получены импульсы излучения субпикосекундной
длительности. Эти импульсы позволили открыть путь для
экспериментальных исследований с очень высоким временным
разрешением, например, процессов, происходящих в твердом теле,
времена релаксации которых имеют порядок К)-12—1СН3 с. Кроме
того, потенциальные возможности пикосекундных импульсов
связаны с перспективой создания высокоскоростной обработки
информации связи (кодирование и декодирование).
Специфические особенности лазерного излучения и квантово-
оптических устройств способствуют разработке особых
математических методов. Мы кратко обсудим эти методы, поскольку
они определяют выбор формализма в данной книге.
Длина волны и период оптического излучения очень малы.
На столь коротких расстояниях и за такие малые интервалы
времени усиление, нелинейное взаимодействие волн, изменение
фазы и т. п. для имеющихся сред также малы. Это позволяет
проводить анализ взаимодействия во времени и в пространстве
с помощью дифференциальных уравнений первого порядка (а не
с помощью волнового уравнения второго порядка).
Взаимодействия можно рассматривать как малые «возмущения»
параметров распространения волнового пакета или изменения моды
во времени. Формализм связанных мод, развитый в 1950 г.
для СВЧ-диапазона, имеет особую ценность для приборов
квантовой электроники. Нелинейные эффекты нетрудно учесть в
уравнениях связанных мод.

12 Введение
Ширина оптических пучков, вообще говоря, много больше
длины волны. Это позволяет применять результаты
плосковолнового рассмотрения для описания основных особенностей
любого явления, связанного с отражением волн. В тех случаях,
когда существенную роль играет дифракция, используется
волновое уравнение в параксиальном приближении. С помощью
этого метода мы очень просто получаем результаты теории
дифракции Френеля. В рассматриваемое волновое уравнение
нетрудно включить нелинейные эффекты, что позволяет
анализировать такие явления, как самофокусировка, формирование
оптических импульсов и синхронизация мод.
Оптические нелинейности являются «слабыми». Это означает,
что отклик среды (поляризацию) на приложенное поле можно
разложить в ряд Тейлора и оставить в этом разложении лишь
небольшое число членов. Интерференция источников
(образуемых нелинейностями) при различных частотах является, вообще
говоря, деструктивной, до тех пор пока не будет обеспечена
синхронизация фаз, что также позволяет пренебречь
возникновением боковых полос при нелинейном взаимодействии. Это
является большим преимуществом для математического анализа, но
вызывает трудности при конструировании оптических систем.
Действительно, любая система по оптической обработке сигналов
или система связи должны включать в себя нелинейные
устройства, скоростные характеристики которых совместимы со
скоростями обрабатываемых сигналов. Слабые нелинейности,
вносимые оптической средой, проявляются лишь на больших
расстояниях, на которые распространяется сигнал. Поэтому стремятся
к тому, чтобы нелинейные оптические устройства имели
«большие» задержки во времени. В будущем именно в этой области
оптических устройств следует ожидать наибольшего прогресса.
Цель настоящей книги состоит в том, чтобы дать введение
в математические методы, физические идеи и общие
представления об устройствах оптоэлектроники. Мы рассматриваем
главным образом волны и поля излучения, которые выводятся
из уравнений Максвелла, с учетом приближений, справедливых
для полей оптического диапазона. Мы не обсуждаем физические
свойства лазеров. Краткое описание, которое дал А. Ярив в своей
прекрасной книге «Введение в оптическую электронику», вряд ли
можно улучшить. Поскольку понятия усиления и насыщения
усиления являются достаточно простыми, они вводятся ad hoc.
Эти понятия позволяют рассматривать порог лазерной
генерации, мощность, выделяемую лазером, а также генерацию
лазерных импульсов в режиме синхронизации мод.
Наше рассмотрение начинается с уравнений Максвелла
и определений плотности энергии и потока мощности излучения
с учетом обобщения на случай диспергирующих сред. Особое
внимание уделяется понятию групповой скорости. Затем мы

Введение 13
обсудим вопросы прохождения и отражения плоских волн
на границе раздела двух оптических сред. После этого
рассмотрим применение многослойных сред в качестве отражающих
и антиотражающих покрытий.
Кроме того, мы определим некоторые свойства матрицы
рассеяния, используемые для анализа цепей СВЧ-диапазона.
Действие отражающей поверхности (зеркала) можно рассмотреть
в общем виде так, чтобы после этого можно было перейти
к теории интерферометров. Мы обсудим различные общие типы
интерферометров. Поскольку с помощью интерферометрии можно
измерить степень пространственной и временной когерентности,
мы представим теорию когерентности.
Далее, используя параксиальное волновое уравнение, мы
исследуем распространение оптических пучков конечного сечения,
ния. Затем обсудим фурье-преобразование, осуществляемое парой
линз. Рассмотрим распространение гауссовых пучков и их
преобразование. Эрмит-гауссовы пучки играют такую же роль
в волновой оптике, как и синусоиды в теории связи. Любой
входной сигнал на входной опорной плоскости можно представить
в виде сусперпозиции эрмит-гауссовых пучков. Преобразование
эрмит-гауссовых пучков оптическими системами дает нам
информацию об общих свойствах преобразования оптических пучков.
Этот метод позволяет проводить исследование мод в оптических
резонаторах Фабри — Перо. Мы рассмотрим свойства
оптических резонаторов, выступающих в роли фильтров, а также
специфические свойства конфокальных резонаторов.
Рассмотрение направленного распространения оптического
излучения в диэлектрических пластинках служит введением для
определения каналирующих свойств оптических волноводов
и оптических волокон. Мы найдем моды, распространяющиеся
в волокнах с параболическим распределением показателя
преломления и обсудим их характеристики. Изучим
распространение излучения в диспергирующих волокнах и опишем систему
из двух решеток, что позволит нам понять, почему происходит
уширение импульса при его распространении вдоль волокна
с дисперсией. Следующая глава посвящена описанию метода
связанных мод; этот метод является весьма эффективным для
исследования оптических систем, в которых моды излучения
взаимодействуют друг с другом во времени и в пространстве.
Найдено, что характеристика пропускания интерферометра Фабри —
Перо является общим свойством любого резонатора, который
имеет один вход и один выход. Формализм связанных мод
можно также использовать для описания структур с
распределенной обратной связью, которые разрабатываются для
интегрально-оптических применений. Эти структуры можно
рассматривать так же, как описываемые выше слоистые среды. Это дает
нам возможность получить общие выражения для характеристик

14 Введение
пропускания и отражения (фильтрации) в зависимости от
частоты.
В последующей главе мы применим параксиальное волновое
уравнение для описания некоторых нелинейных оптических
явлений, введя показатель преломления, зависящий от
интенсивности излучения; к этим явлениям относятся самофокусировка,
формирование импульса в оптических волокнах и
синхронизация мод с помощью насыщающегося поглотителя.
Соответствующие устройства являются прототипами оптических
приборов, которые будут применяться в нелинейных методах
обработки оптических сигналов. Мы обсудим также принцип
действия бистабильного устройства (с гистерезисом), которое
предполагается использовать для хранения информации.
Нелинейные оптические материалы являются, вообще говоря,
анизотропными. Для многих нелинейных процессов необходимо
иметь фазовое согласование и соответствующую поляризацию.
Поэтому мы рассматриваем характеристики распространения
излучения в анизотропных средах и вводим поверхность
показателей преломления и поверхность нормалей. Затем мы
определим электрооптический эффект и рассмотрим фазовые и
амплитудные модуляторы, принцип действия которых основан
на использовании этого эффекта. Модуляторы можно также
создать, используя дифракцию оптических волн на фазовой
«решетке» показателей преломления, образуемой стоячими или
бегущими акустическими волнами.
Затем мы рассмотрим нелинейные оптические среды в более
общем виде. В качестве практических примеров мы обсудим
устройства с удвоением частоты и параметрические генераторы.
В заключение дается краткое описание приемников оптического
излучения и вопросов, связанных с отношением сигнал/шум,
которые возникают при детектировании оптических сигналов.

Глава 1
Уравнения Максвелла для однородных сред
и некоторые важные соотношения
Начнем с рассмотрения уравнений Максвелла в вещественной
форме записи. Для случая линейной зависимости между
вектором поляризации Р и напряженностью электрического поля
Е, а также между вектором намагниченности М и
напряженностью магнитного поля Н можно получить волновое уравнение
и хорошо известные решения его в виде плоских волн.
Рассмотрим теорему Пойнтинга и найдем выражения для потока
мощности и плотности энергии излучения в линейных средах.
Запишем векторы, синусоидально изменяющиеся во времени,
в комплексной форме и покажем, что в общем случае
синусоидально изменяющееся во времени поле имеет эллиптическую
поляризацию.
Затем мы рассмотрим уравнения Максвелла в комплексной
форме записи. При такой форме записи линейные среды могут
обладать частотной дисперсией; иными словами,
диэлектрическая проницаемость и магнитная восприимчивость могут быть
функцией круговой частоты со. Полученная из этих выражений
теорема Пойнтинга приводит к соотношениям, которые
оказываются полезными при изучении резонирующих сред. Мы
рассмотрим ряды Фурье и интегралы Фурье. Понятие групповой
скорости дается на основе анализа распространения излучения
в виде волнового пакета. Методы фурье-анализа мы обобщим
также на случай статистических временных функций. Более
подробное рассмотрение уравнений Максвелла читатель может
найти во многих замечательных учебниках по
электромагнетизму (см., например, книги [1] и [2]).
1.1. Уравнения Максвелла в вещественной форме
Для среды с намагниченностью М и поляризацией Р уравнения
Максвелла для напряженности электрического поля ?(В/м)
и напряженности магнитного поля Н(А/м) в системе единиц
МКС имеют следующий вид [1—4]:
закон Фарадея:
V X Д = ^оЯ-^- |x0Af, A.1)

16 Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
закон Ампера:
^ХЯ = ^-ео? + ^ + /! A.2)
закон Гаусса для электрического поля:
V.eo?=-V.P + p, A.3)
закон Гаусса для магнитного поля:
V • ti0H =-V - ix0M, A.4)
где р — плотность заряда, а / — плотность тока, создаваемого
всеми зарядами, за исключением тех, которые связаны с
поляризацией. Входящая в уравнение Максвелла величина е0:
ео~A/36лI(Г9А.с/(В.м)
представляет собой электрическую постоянную, а величина
\хо^4п1О~7В • с/(А • м)
— магнитную постоянную.
Если среда линейна, изотропна и не обладает дисперсией
(т. е. отклик среды является мгновенным), то векторы Р и Е
связаны простым материальным уравнением:
Р = г0%еЕ. A.5)
Аналогично, имеем материальные уравнения, связывающие
векторы М и Я:
М Н A.6)
где %с и %т — соответственно электрическая и магнитная
(скалярные) восприимчивости. Таким образом, можно записать
следующие уравнения:
-lrHy A.7)
^ + I, A.8)
где б^еоA+Хе) и [I г= juo(l + %m)— соответственно
диэлектрическая и магнитная проницаемости. Кроме того, имеем
V.eE = p, A.9)
0. A.10)
Рассмотрим среду, в которой отсутствуют свободные заряды,
т. е. р = / = 0. Для того чтобы из уравнений Максвелла
получить уравнение, в которое входит только вектор Е, умножим
обе части уравнения A.7) векторно на оператор V и подставим
результат в A.8). Если при этом учтем, что J = 0, то получим

1.1. Уравнения Максвелла в вещественной форме 17
уравнение
VX(VXE) = -iie-^-. A.11)
Данное уравнение справедливо для сред с пространственным
изменением величины е. Используя хорошо известное
тождество 1}, это уравнение можно переписать в виде
Отсюда полагая V-E = 0, что имеет место, например, когда е
не зависит от пространственных координат, получаем волновое
уравнение
V2E = [ie^-. A.12)
Следует заметить, что не всякое векторное поле, которое
является решением волнового уравнения, представляет собой
решение уравнений Максвелла. Необходимо потребовать, чтобы
V-? = 0. A.13)
В общем случае пространственно неоднородных
диэлектрических сред это соотношение не выполняется.
В случае однородной среды решением волнового уравнения
являются одномерные плоские волны. Действительно, можно
убедиться в том, что волновому уравнению [4, 5]
удовлетворяют следующие выражения:
E = ?[f+(z-vt) + f_(z + vt)], A.14)
-y[f+{z-vt) + f-(z + vt)\, A.15)
где х и у — единичные векторы вдоль осей х и у декартовой
системы координат, а /+ и f-— произвольные функции; f+(z—vt)
соответствует распространению волны в направлении +г, а
f-(z-{-vt) — распространению в направлении —г. Величина
<у/г/\1 называется волновой проводимостью данной среды.
Скорость распространения волны равна v = 1/(|ыеI/2. Из
уравнений A.9) и A.10) при р = 0 следует, что электрическое и
магнитное поля взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости,
перпендикулярной направлению распространения. Решения
A.14) и A.15) иллюстрируются графиками на рис. 1.1;
соответствующие решения получены при условии, что в момент
времени ^ = 0 пространственное распределение Ex(z) является
1} Для любого вектора Л, который можно дважды дифференцировать,
справедливо тождество вида:
V X (V X А) = V (V • А) - V2A.

18
Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
прямоугольным, a Hy(z) = 0. Волны с поляризацией вектора Е
в направлении у и вектора Н в направлении —х представляют
собой также решения волнового уравнения.
Теорема Пойнтинга — это закон сохранения энергии для
электромагнитных полей. Теорему Пойнтинга [1, 2, 5] можно
получить, если выражение A.1) скалярно умножить на Н, а
выражение A.2) на — Е, затем провести сложение результатов и
а
«И
гт
V
"ill—*~v
i
i
l|h-^u
Рис. 1.1. а и б — зависимости Ех и Ну от г для двух различных моментов
времени, причем Ну (г, ? = 0) = 0; в — зависимости Fx и Ну от z yl t,
построенные над плоскостью г, *. Разрез при t == /0 показывает зависимости ?* и
Я^ от z при постоянном f.
использовать тождество V • (JB X Щ =
Таким образом, имеем
X Е) • Я — (V X Щ
V • (? XЯ) + -«-
+ -5- D
A.16)
где ?•/ — мощность, создаваемая плотностью тока / в единице
объема. Член
характеризует скорость изменения плотности энергии
электрического поля. Для того чтобы это доказать, исследуем интеграл
от удельной мощности по времени, представленной этим чле-

1.1. Уравнения Максвелла в вещественной форме
19
ном, т. е. энергию, производимую за интервал времени от —оо
до t:
причем будем считать, что Е = О при t = —оо. Таким образом,
если ? = 0 при / = —оо, то интеграл A.17) определяется
.(z+vt)
Рис. 1.1. (продолжение).
только конечным значением напряженности электрического
поля Е и равен удельной объемной энергии ео?2/2, необходимой
для увеличения Е от нуля до значения, которое Е имеет в
момент времени /. Эта энергия полностью восстанавливается, если
положить, что при /=+°° поле вновь обращается в нуль:

20 Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
Интеграл от мощности по времени отрицателен; энергия
возвращена. Аналогично величину \х0Н2/2 можно интерпретировать
как плотность энергии магнитного поля.
Член Е- (dP/dt) представляет собой удельную мощность,
создаваемую плотностью поляризационного тока dP/dt. В общем
случае нельзя установить, сохраняется ли интеграл от этой
мощности или не сохраняется, или имеет место и тот и другой
случай, но для конкретного материального уравнения такой
критерий можно найти. Рассмотрим линейное материальное
уравнение A.5). Удельную мощность, выделяемую в процессе
поляризации, можно записать в виде
ЕЕ 4
Нам удалось записать удельную мощность как производную по
времени от положительно-определенного члена. Используя те
же рассуждения, что и выше, можно показать, что выражение
гс%еЕ2/2 представляет собой плотность энергии, запасенной в
процессе поляризации.
Обозначим плотность электрической энергии, запасенной в
электрическом поле и дипольном моменте, через we:
A.18)
Аналогичные рассуждения в случае линейных магнитных
материалов показывают, что выражение \хо%тН2/2 представляет
собой энергию, связанную с процессом намагничивания.
Обозначим плотность магнитной энергии, запасенной в магнитном
поле и магнитном моменте, через wm:
wm^ A/2) М1+Хт)Я2 = A/2) ЦЯ2. AЛ9)
В этих обозначениях теорему Пойнтинга для линейной
изотропной среды можно записать в виде
V . (Б X Я) + -§r(we + wJ + E.J = 0. A.20)
Отсюда мы видим, что сумма удельной мощности,
обусловленной плотностью тока проводимости J, скорости изменения
энергии во времени и потока удельной мощности, определяемой
вектором Пойнтинга ?ХЯ, равна нулю. Напомним, что в
соответствии с определением дивергенции !):
V-Аи lim IY& A-da\\IV
V->0
J) Линейный, поверхностный и объемный интегралы будем различать по
обозначению дифференциала, по которому производится интегрирование, а
именно ds — для линейного интеграла, da — для поверхностного, a dv — для
объемного.

1.1. Уравнения Максвелла в вещественной форме 21
Поверхность S,
ограничивающая
объем V
По/покЕхН
Элемен
обz am a
dv-dxdydz
Элемент
площади da
Рис. 1.2. К определению элемента площади и поверхности.
дивергенция вектора Л равна потоку вектора Л из
единицы объема через поверхность S, ограничивающую объем V
(рис. 1.2).
Выбрав произвольную поверхность 5, ограничивающую объем
V, проинтегрировав выражение A.20) по объему и использовав
теорему Гаусса, найдем
Е X Н . da + -^- J (We + wm) dv + J E • J dv = 0. A.21)
V V
Это есть интегральная форма записи теоремы Пойнтинга.
Поток вектора Еу^Н через поверхность, т. е. мощность
электромагнитного излучения, выходящего из объема, скорость
изменения энергии в данном объеме во времени и мощность,
обусловленная плотностью тока проводимости /, в сумме должны быть
равны нулю.
Определим векторный потенциал А и скалярный потенциал
Ф. Ограничимся рассмотрением немагнитных материалов, когда
li z=z ji0. Так как дивергенция вектора \хоН равна нулю, то, вводя
векторный потенциал как
A.22)
автоматически удовлетворяем условию A.10). Для любого
магнитного поля выражение A.22) определяет только ротор
вектора Л. Поскольку однозначное определение векторного поля
требует определения как его ротора, так и его дивергенции,
нам нужно дать определение еще и дивергенции вектора Л, что
мы сделаем ниже. Подставляя выражение A.22) в уравнение
A.7), для вектора Е находим
Ь— dt УФ, (I.Z6)

22 Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
где Ф — пока еще не определенный нами скалярный потенциал.
Если подставить выражения A.22) и A.23) в уравнение A.8),
то получим
V X (V X А) = -iioe (-^-) - fxoe -|p VO + fx0/. A.24)
Используя выражение A.23), уравнение A.9) можно привести
к виду
(^ ) -р. A.25)
Воспользуемся теперь преимуществом произвольного выбора
дивергенции вектора А. Выбираем
V.A + jxoe^ = O. A.26)
В вакууме (е = ео) такое определение дивергенции вектора А
называется калибровкой Лоренца. Эта калибровка является
удобной, поскольку в случаях вакуума и однородной
диэлектрической среды она приводит к волновому уравнению для
потенциалов АиФ. Подставляя уравнение A.26) в A.24), имеем
?? ц0 (Ve) -^ . A.27)
Аналогично, подставляя A.26) в уравнение A.25), получаем
^-e—i-v..-^-. d.28)
Векторный потенциал удовлетворяет волновому уравнению,
которое содержит член, учитывающий наличие свободных
зарядов, и член, содержащий потенциал Ф; в неоднородных
диэлектрических средах потенциалы Ф и А связаны друг с другом.
В однородных средах в отсутствие свободных зарядов
потенциал Ф также удовлетворяет волновому уравнению и
потенциалы Ф и А не зависят друг от друга:
|? = O, A.29)
= 0. A.30)
1.2. Векторы в комплексной форме [1, 5, 6]
Для линейных сред уравнения Максвелла являются линейными.
Любое синусоидальное возбуждение (например, синусоидальное
распределение плотности тока J) на частоте со приводит к
гармоническому отклику (т. е. векторы Е и Н изменяются с тече-

1.2. Векторы в комплексной форме 23
нием времени по синусоидальному закону). Любое
нестационарное (переходное) возбуждение и соответствующий ему
отклик можно представить в виде суперпозиции синусоидальных
возбуждений и откликов. Поэтому мы остановимся на
рассмотрении гармонических стационарных решений уравнений
Максвелла. Эти решения удобно рассматривать, используя
комплексные переменные. В данном разделе мы представим физическую
интерпретацию комплексных векторов.
Скалярную функцию времени [например, напряжение v(t)],
которая является гармонической с частотой со, удобно записать
как вещественную часть функции комплексной переменной:
v (/) = Re [Ve/erf] = | V | cos (со/ + ф). A.31)
Здесь |V|—модуль комплексного напряжения V, а ф — его
аргумент, ф = arg[V]. Мы будем использовать латинский шрифт
для обозначения комплексных амплитуд функции возбуждения.
Гармонически зависящая от времени векторная величина может
быть разложена на три скалярные составляющие. Каждая из
этих составляющих имеет свою амплитуду и фазу. Обобщение
представления A.31) на случай векторных величин имеет вид
A (/) = Re [&AX + уА„ + zAz) e!<*f] = х | А, | cos (со/ + фх) +
+ У IА^ | cos (со/ + фу) + z | А2 | cos (со/ + фг). A.32)
Здесь AXi Ау, А2— комплексные скалярные величины. Фазы фХу
фу и фг являются аргументами соответствующих комплексных
скалярных величин. Вектор в комплексной форме можно
записать следующим образом:
A^xA, + yA, + zA2. A.33)
Этот вектор описывает временное поведение вектора А(/)
следующим образом:
А (/) = Re [А ехр (/со/)] = Re [A] cos со/ — Im[A] sin©/, A.34)
где
Re [A] = х Re [Ax] + 9 Re [Ay] + z Re [AJ,
a Im[A] определяется аналогично в виде мнимых частей
составляющих вектора в комплексной форме. Как вещественная
Re [А], так и мнимая Im[A] части являются вещественными
векторами, каждый из которых определяется тремя
вещественными скалярными величинами. В сочетании они описывают
комплексный вектор А, который определяется в виде трех
комплексных скаляров:
A = Re[A] + /Im[A].

24
Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
Геометрическим местом концевых точек вектора A(t) в
любой момент времени является эллипс (рис. 1.3). Действительно,
вектор
А @ = Re [A] cos со/ — Im [A] sin ю/
должен лежать в плоскости, содержащей вещественную Re [А]
и мнимую Im[A] части. Если мы выберем в такой плоскости
декартову систему координат с координатным вектором х вдоль
оси вещественных значений Re [А], то получим
Im [A] = x Im Ax + у Im A^,
Ax @ = Re Ax cos со/ — Im Ax sin со/,
Ay{t) = — \mAy sin со/.
Из соотношения A.37) имеем
sin со/ = —
Im Ay
а из выражений A.36) и A.38) —
C0S «* - "ЩАХ Л- (/) ~ ImX Re A, A' ®'
A.35)
A.36)
A.37)
A.38)
A.39)
Складывая возведенные в квадрат выражения A.38) и A.39),
находим квадратное уравнение относительно составляющих
Ax(t) и Ay(t), которые описывают эллипс в плоскости AXt Ay.
Если вектор напряженности электрического поля
одномерной плоской электромагнитной волны как функция времени
описывает в любой точке пространства эллипс, то говорят, что
волна является эллиптически поляризованной. К частным
случаям эллиптической поляризации относятся линейная и
круговая поляризации волны. Поле волны с правой круговой
поляризацией вращается наподобие винта с правой резьбой, так что
поступательное перемещение винта совпадает с направлением
распространения волны. Неплоские волны в разных точках
пространства могут иметь различные эллипсы поляризации.
cut =-л/2
= 0
Геометри чесное
место
концевых точек
вектора. А(?)
Рис. 1.3. Эллипс поляризации.
Векторы Re А и Im А лежат в
плоскости страницы. Эллипс
касается сторон параллелограмма,
которые параллельны векторам
Re А и Im А. Эти векторы
являются осями эллипса.

1.3. Уравнения Максвелла в комплексной форме 25
Усреднение по времени. Комплексные амплитуды позволяют
непосредственно вычислить средние по времени значения
произведений скалярных величин, гармонически зависящих от
времени. Следовательно, если к элементу цепи приложено
напряжение v(t) и через него протекает ток i(t), то среднее по
времени значение подводимой к нему мощности равно (v(t)l(t)} =
= A/2) Re [VI*]. Для обозначения усреднения по времени
используются угловые скобки. Можно показать, что аналогичное
выражение справедливо и для векторных величин:
т т
A(t)XB (о)=4- \А (о х в (о dt=4- \ 4- (Ае'а( + А* е~ш"> х
о о
X №<** + Ке-№) dt = -J- Re [A X В*]. A.40)
1.3. Уравнения Максвелла в комплексной форме
Если в уравнения Максвелла A.7) и A.8) для линейной среды
подставить характеристики поля в комплексной форме Е(г)е/сог,
Н(г)е1Ш и J(r)e/C0', которые представляют собой произведения
комплексных функций пространственных координат и функции
времени е/ш, то временную зависимость можно исключить. При
этом уравнения Максвелла сводятся к дифференциальным
уравнениям только одной пространственной переменной:
VXE = —/о>|аН, A.41)
VXH=/'G>eE +J. A.42)
При этом можно получить вещественные, зависящие от
времени поля, которые удовлетворяют исходным уравнениям A.7)
и A.8), если выбрать либо вещественную, либо мнимую часть
полей E(r)e/C0', H(r)ef<ot и J(r)e/C0'. Принято выбирать
вещественную часть. Теорема Гаусса для электрических и
магнитных полей принимает вид
V-eE = p, A.43)
S/-\iH = 0. A.44)
До сих пор комплексную форму записи мы использовали
лишь для того, чтобы упростить получение решений уравнений
Максвелла A.7) — A.10) в случае стационарных
синусоидальных полей. Еще одно достоинство такой записи состоит в том,
что оно позволяет исследовать взаимодействие
электромагнитного поля со средой, у которой отклик на действие полей Е и Н
не является мгновенным. Для среды с мгновенной
поляризуемостью (среда без дисперсии) справедливо выражение A.5).

2 6 Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
В линейной диспергирующей среде векторы Р и Е связаны
друг с другом линейным интегродифференциальным уравнением.
Для стационарных синусоидальных полей операторы
дифференцирования и интегрирования, действующие на функцию
времени, заменяются умножением или делением комплексной
амплитуды на /со. По-прежнему имеет место соотношение
)Е, A.45)
где диэлектрическая восприимчивость %е является функцией от
со и в общем случае представляет собой комплексную величину.
Аналогичные замечания относятся и к магнитной
восприимчивости %т. От частоты зависят как диэлектрическая
проницаемость:
хЛ©)], A.46)
так и магнитная проницаемость:
И (<»>) = Но [1+Х* (и)]- A-47)
Из выражений A.41) и A.42) можно получить теорему Пойн-
тинга в комплексной форме. Поскольку, согласно выражению
A.40), среднее по времени произведения векторов с
синусоидальной временной зависимостью вычисляется как
произведение комплексной амплитуды одного вектора на
комплексно-сопряженную амплитуду другого вектора, теорему Пойнтинга в
комплексной форме можно получить, используя произведения
ЕХН* и E-J*. Скалярное умножение выражения A.41) на Н*
и комплексно-сопряженного выражения A.42) на —Е с
последующим сложением результатов дает
V.(EXH') + /©(|iH • Н*-е*Е Е*) + ЕГ = 0. A.48)
Член Re[/co(fiH-H* — е*Е-Е*)] дает вклад в вещественную
часть дивергенции комплексного вектора Пойнтинга таким же
образом, как дает вклад в нее член Re(E-J*), соответствующий
плотности мощности, рассеиваемой током J. Следовательно,
вещественную часть первого члена в A.48) можно
интерпретировать как удельную плотность мощности, рассеиваемую в
диэлектрической и магнитной средах. В средах без потерь для
волн с вещественной частотой со должны выполняться
следующие соотношения:
Ime*E • Е* = 0, ImjiH • Н* = 0.
Поскольку величины ЕЕ* и Н-Н* являются вещественными,
проницаемости е и \х должны быть тоже вещественными:
Ime = 0. A.49)
Im|x = 0. A.50)

1.3. Уравнения Максвелла в комплексной форме 27
Теорема Пойнтинга в комплексной форме имеет много
интересных следствий, одно из которых относится к резонансным
явлениям. Рассмотрим замкнутый объем V с идеально
проводящей поверхностью S, в котором заключена среда без потерь
и источников электромагнитного поля. Если электромагнитное
поле находится в резонансе, то оно может существовать и в
отсутствие источника поля. Интегрирование выражения A.48) по
объему, ограниченному такой идеально проводящей
поверхностью, и применение теоремы Гаусса дают
Е X Н* ¦ da + /ю J (цН • Н* - еЕ • Е*) dv = 0.
5 V
Интеграл по поверхности 5 обращается в нуль, поскольку
вектор Е параллелен элементу da на поверхности. Следовательно»
если в данном объеме существует поле, то должно выполняться
следующее равенство:
\ Н • H*dv. A.51)
Для сред без дисперсии это означает, что средние по времени
значения электрической и магнитной энергий равны друг другу.
Комплексная форма уравнений Максвелла позволяет
довольно просто получить их решение в общем случае в виде
плоских волн, распространяющихся в произвольном
направлении. Из уравнений Максвелла, записанных в комплексной
форме, в случае J = р = 0 и пространственно однородной
диэлектрической проницаемости г можно получить уравнение
Гельмгольца для вектора Е в однородной среде:
V2E + со2цеЕ = 0. A.52)
По сравнению с волновым уравнением A.12) это уравнение
позволяет исследовать более сложные случаи, поскольку здесь
проницаемости ц и е могут зависеть от частоты. Кроме того,
чтобы решение уравнения A.52) удовлетворяло уравнениям
Максвелла, оно опять-таки должно удовлетворять условию
V-E = 0. A.53)
Удобно описывать распространение плоской волны в
произвольном направлении без связи с какой-либо конкретной
системой координат. Определим волновой вектор к как вектор,
перпендикулярный фронту волны. Найдем решение уравнений
Максвелла A.41) — A.44), предполагая, что векторы Е и Н
зависят от пространственной координаты как ехр(—/к-г).
Таким образом, мы полагаем, что
Е = Е+в-'к'г, A.54)
Н = Н+е-/кг. A.55)

28 Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
Плоскость,
6 которой лежит
векторы Е и Н
Рис. 1.4. Плоскость постоянной фазы и комплексные векторы поля.
В плоскостях, которые удовлетворяют условию kr = const (см.
рис. 1.4), фазы векторов Е и Н постоянны. В случае принятой
нами пространственной зависимости, действие оператора V на
поля Е и Н можно заменить умножением на множитель /к. Из
уравнений A.41) и A.42) имеем
, A.56)
A.57)
Умножив векторно уравнение A.56) на —/к и использовав
уравнение A.57), получим
-к X (к X Е+) = -к (к • Е+) + к2Е+ = ©2|хеЕ+. A.58)
Двойное векторное произведение в левой части этого
соотношения дает вектор, который перпендикулярен волновому
вектору к и равен со2|яеЕ+. Отсюда следует, что вектор Е+ должен
быть перпендикулярен вектору к. Однако, согласно теореме
Гаусса A.43), в среде без свободных электрических зарядов
должно выполняться равенство
/к-Е+ = 0, A.59)
откуда следует, что вектор Е+ перпендикулярен вектору к.
Подобное совпадение результатов является одним из многих
примеров, когда какой-то частный вид решения, удовлетворяющий
одному из уравнений Максвелла, автоматически удовлетворяет
и другим уравнениям Максвелла.

1.3. Уравнения Максвелла в комплексной форме 29
Соотношение A.58) позволяет найти дисперсионное
уравнение для модуля вектора к:
Решение для вектора Н получается из уравнения A.56):
XE+. A.61)
Комплексный вектор напряженности магнитного поля Н
перпендикулярен вектору Е; векторы к, Е и Н образуют правовин-
товую ортогональную систему координат, как показано на
рис. 1.4. Согласно соотношению A.60), величина вектора к
равна co((Li8I/2. Плоскость постоянной фазы перемещается с
фазовой скоростью vp. Поскольку полная
пространственно-временная зависимость волновой функции имеет вид ехр[/(со^ — к-г)],
то, для того чтобы фаза сохраняла свое значение при
изменении времени t на Д?, пространственная координата,
параллельная вектору к, должна изменяться на величину Агц, которая
определяется выражением
В случае плоских волн в среде с данными [i и е имеем
1/2. A.62)
Применим теперь теорему Пойнтинга в комплексной форме
к решению в виде плоских волн. Комплексный вектор
Пойнтинга
^/|Е+|2 A.63)
не зависит от пространственных координат. Его дивергенция
равна нулю и, следовательно, из уравнения A.48) в случае
J = 0 имеем
eE.E* = jxH. H*. A.64)
Это соотношение можно получить непосредственно из
выражения A.61). В средах без дисперсии средние по времени
плотности электрической и магнитной энергий плоских волн должны
быть равны друг другу.
Другое соотношение, которое может представлять интерес,
следует из соотношения A.63). Воспользовавшись
дисперсионным уравнением A.60) и выражением A.64), соотношение
A.63) для сред без дисперсии можно записать в виде
± ^we + wm), A.65)

30 Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
где мы использовали выражения для плотностей энергии A.18)
и A.19). Величина A/2)ЕХН* является вещественной для
бегущей волны и представляет собой среднюю по времени
плотность потока мощности излучения. В соответствии с
соотношением A.65) вектор средней по времени плотности потока
мощности излучения совпадает по направлению с волновым
вектором к, а по величине равен сумме средних по времени
плотностей энергии, умноженных на скорость 1/^/\хг. Можно
представить себе, что поток мощности излучения (плотность потока)
обусловлен переносом энергии (плотности энергии) со
скоростью 1/д/(ле. Ниже мы увидим, что для анизотропных и
диспергирующих сред выражения для плотности энергии и
скорости ее переноса должны быть другими.
1.4. Преобразования Фурье и групповая скорость
Значение гармонического анализа состоит в том, что в
линейной системе любой зависящий от времени процесс можно
рассматривать в виде суперпозиции отдельных синусоидальных
составляющих. Периодическую по времени функцию f(t) с
периодом Т можно представить в виде ряда Фурье
f(t)= Z F{n)ein^\ A.66)
где соо = 2п/Т — основная частота, a F(n) —коэффициенты
Фурье. Коэффициенты F(n) вычисляются из интеграла
(Т/2)
J e4nwt
J e4nwtf(t)dt. A.67)
- (Т/2)
Для апериодических функций используют интегральное
преобразование Фурье. Апериодическую функцию можно
рассматривать как периодическую в пределе, когда период Т стремится
к бесконечности, т. е. Г->-оо, 2п/Т = Асо-^О. При этом
величина псоо становится непрерывной переменной то0 = &>. Из
разложения Фурье A.66) получаем
= lim
ag)-»o
П П
где
F(n)
Дсо

1.4. Преобразования Фурье и групповая скорость 31
Таким образом фурье-образ запишется в виде
Г/2
( 1 Л Г —/
Д(о->0 ->°о _г^
Следовательно, мы имеем пару преобразований Фурье: прямое
преобразование Фурье (фурье-образ):
-mdt A.68)
и обратное преобразование Фурье !):
оо
f(t)= J F(<a)el*d<i>. A.69)
Если функция f(t) является вещественной, какой и должна быть
любая физическая переменная, то для фурье-амплитуд F(co)
справедливо следующее равенство:
F(—©) = F*(©). A.70)
На рис. 1.5 приведено несколько примеров пар интегральных
преобразований Фурье.
Свертку двух функций времени f(t) и g(t) записывают
следующим образом:
оо
g®/= J g{t-t')f{t')dt'. A.71)
— оо
Фурье-образ свертки двух функций пропорционален
произведению фурье-образов этих двух функций времени. Это нетрудно
показать:
оо оо
-~ \ g<8>fe4mldt=-±- \ dt \
—оо —оо
Введем пару новых переменных: t — V и f. Якобиан функций g
и f равен единице. Следовательно,
D)F(a>). A.72)
1) Мы используем определение пары преобразований Фурье, в котором
фурье-образ содержит множитель 1/2, а обратное преобразование вообще не
содержит множителя.

32 Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
16
0
1
1 /1
J
-0,1
3 д
i
сиГр —
16
—^.
f(t)=O \t\>'
-70
(JUXD
Lr( / [s\n(tu-wo)Tp s
f(t)
Рис. 1.5. Примеры пар фурье-преобразований.
На этом и завершается доказательство. Уравнение A.72)
представляет собой теорему о свертке. На рис. 1.6 показаны этапы
выполнения операции свертки.
Рассмотрим теперь распространение плоской волны, фурье-

1.4. Преобразования Фурье и групповая скорость
1,0 0,5
33
СОТр ¦
Рис. 1.5. (продолжение).
коэффициенты которой существенны только в узком диапазоне
частот около ±0о- Пусть такая волна распространяется вдоль
оси z и имеет место соотношение к = 0 <\f\ielzs=:kz. Комплексная
напряженность электрического поля этой волны запишется в
виде [ср. с выражением A.54)]
Е (©, г) = Е+ @) ехр [—jk (со) г]. A.73)
С помощью A.69) находим зависящую от времени
напряженность электрического поля
оо
Е (/, г) = J ехр {/ [со/ - k (со) г]} Е+ (со) Л». A.74)
—оо
До сих пор мы не пользовались какими-либо
приближениями. Предположим теперь, что диэлектрическая
проницаемость е является функцией частоты со и, следовательно, волно-

Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
\л
?'-
к
t'-
Г g(t-t')f(t')dt'
J-oo ^^________
Рис. 1.6. Последовательные этапы выполнения операции свертки.
вое число k не просто пропорционально частоте со. Разложим
функцию &(со) в окрестности значения соо в ряд и ограничимся
членом первого порядка по А(о = (со — соо); членами более
высокого порядка можно пренебречь, поскольку они дают
незначительный вклад в интеграл из-за принятого нами допущения,
что Е+(со) отлично от нуля только в узком диапазоне около
частоты со0:
<йо
Асо.
A.75)
Рис. 1.7 иллюстрирует дисперсионное уравнение для
конкретного случая зависимости волнового вектора k от частоты со,
а именно уравнение
~~"S0' где ®l =

1.4. Преобразования Фурье и групповая скорость 35
Для этого дисперсионного уравнения величина k является
вещественной лишь при условии |со|>(ор. Ширина спектра Е(со)
будет соответствовать узкому интервалу частот вблизи частоты
соо, для которых зависимость &(со) можно аппроксимировать
прямой линией, удовлетворяющей разложению A.75). Из
соотношений A.74) и A.75) имеем
Б (U z) = ei
Полоса
частот
A.76)
здесь мы провели разделение интегралов по положительным
и отрицательным частотам. Из A.76) мы видим, что в
зависимость E(t, z) от z входят два множителя:
1. Быстро меняющийся член, характеризующий несущую
волну, распространяющуюся с фазовой скоростью
/ ()
2. Медленно меняющаяся огибающая, распространяющаяся
с групповой скоростью d(x>/dk= l/(dk/d(x>) (рис. 1.8).
В средах без дисперсии обе скорости совпадают, но в
диспергирующих средах, диэлектрическая проницаемость которых е
зависит от частоты, фазовая и групповая скорости различны.
Следует заметить, что вышеупомянутый вывод для
групповой скорости не ограничивается только случаем плоских волн,
он применим к любому линейному процессу, в котором
= ?0 7
со2/
7
cLoj групповая скорость
j<—Wizpuncc. спектра Е+(со)
су фазовая скорость
Рис. 1.7. Возможная зависимость k от со и соответствующий расчет фазовой
и групповой скоростей.

36 Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
/ЛГк
а
сю=О
Рис. 1.8. Распространение несущей и огибающей волн, а — пространственно-
временная область; б — частотный спектр.

1.5 Спектр мощности и автокорреляционные функции 37
зависимость от пространственной координаты имеет вид
^ехр[—jk (со) z] на частоте со. У нас будет достаточно удобных
•случаев использовать этот факт при рассмотрении оптических
волокон.
При анализе дифракционных явлений нам понадобится
производить фурье-преобразование функций двух пространственных
координат. Рассмотрим функцию f{x,y) пространственных
координат хну. Двумерное фурье-представление такой функции
f (ху у) имеет вид
f(x, у) = \ dkx J F(kxky) e4^x+kyyUky, A.77)
— оо —оо
где kx и ky — пространственные частоты.
Фурье-преобразование, обратное к A.77), запишется следующим образом:
P (U U \ ( 1 V [ sjr f f(r jj\J(kXX + kyy) flij (\ 7Я\
г \кХу Ку) — I 9 I \ ил \ I \л, у) t? a uy. \i.io)
— оо —оо
Свертка функций f (ху у) и g(x, у) имеет вид
оо оо
g ® f в J dx' J g (x - *', у - г/0 / (х', у') dy'. A.79)
—оо —оо
«Фурье-образ такой свертки дается выражением
оо оо
(%г-У [ &* [ g®fef(kxX+kyy>> dy = BnJ G(kxy ku)F(kxy ku),
—oo —oo
A.80)
которое является обобщением теоремы свертки на случай
двумерных функций.
1.5. Спектр мощности и автокорреляционные
функции
Если возвратиться к одномерному фурье-преобразованию A.69)
временной функции, то можно заметить, что его применимость
ограничивается требованием, согласно которому квадрат
функции f(t) должен быть интегрируемым, т. е. интеграл
\f{t)?dt
не должен расходиться. Это имеет место для амплитуд
импульсов поля излучения конечной энергии. Стационарные

38 Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
оптические поля не являются периодическими, и если
предположить, что они отличны от нуля при t = —оо, то требование о
нерасходимости интеграла не выполняется 1К Кроме того, функция
/(/) может быть статистической. Для того чтобы иметь
возможность анализировать такой случай, используют следующую
хитрость. Процесс рассматривается, как если бы он был
периодическим с периодом Т, где Т выбирают достаточно большим.
При этом любая величина, представляющая интерес,
определяется при переходе к пределу Т-+- оо.
Таким образом, предположим, что f(t) есть функция
выборки стационарного статистического процесса, происходящего
на временном интервале —Т/2 ^ t ^ Г/2. Найдем с помощью
соотношения A.67) коэффициенты F(n) фурье-преобразования
функции /(/), рассматривая ее при этом, как если бы она была
периодической вне указанного интервала времени. Определим
величину
lim [r|F(Ai)|2/2ji] = (p((D), A.81)
Г->оо
где со отождествляется с пщ. Черта в выражении A.81)
означает статистическое усреднение по функциям выборки,
полученным для рассматриваемой системы в течение
последовательности очень длительных (в идеальном случае бесконечных)
временных интервалов. Существует и другая возможность^
когда функции выборки получают из совокупности (ансамбля)
одинаковым образом подготовленных систем. Оба способа
получения функций выборки эквивалентны, если
рассматриваемый процесс является стационарным и эргодическим [7].
Функция Ф(со) называется спектральной плотностью. Обратное
фурье-преобразование функции спектральной плотности:
оо
elm Ф (со) da> = f(t)f(t — t) A.82)
дает автокорреляционную функцию f(t)f(t — %). Эта функция
представляет собой статистическое среднее произведение
функции f(t) на ее значение через промежуток времени т. В случае
стационарного процесса автокорреляционная функция не
зависит от времени. Соотношение A.82) можно доказать,
подставляя в него выражение A.81), заменяя интегрирование по о>
суммированием и используя выражение A.67) для F(n).
Заменяя в A.66) и A.67) величину соо на Дсо = 2jt/T, чтобы
4) Остальную часть этого раздела читатель может пока пропустить; она
ему понадобится при изучении когерентности в разд. 3.7 и 4.4, а также шума
в гл. 14. Если последние вопросы читателя не интересуют, то ее вообще
можно опустить.

1.5. Спектр мощности и автокорреляционные функции 39
подчеркнуть ее дифференциальный характер в пределе Г-^оо,
и учитывая, что со = п Дсо, получаем
4AJ
о = lim
n
772
= lira 4- \ e-"l*mffiFF№efnAmdt =
T-*°° -Jr/2
Г/2
= lim-M f(t)f(t-x)dt = f(t)f(t-x); A.83)
Г"*~ -1/2
здесь мы учли, что в случае стационарных процессов
статистическое среднее не зависит от времени.
Спектральная плотность и автокорреляционная функция
являются весьма полезными для описания статистических
процессов, например оптического излучения. Значение
автокорреляционной функции при т = 0 дает среднеквадратичное
значение функции /(/).
Определение спектральной плотности A.81) дает простой
способ анализа статистического процесса. При этом систему
рассматривают, используя коэффициенты Фурье F(n), как если
бы они относились к гармоническому или любому другому
периодическому процессу. После завершения анализа
вычисляют квадрат абсолютного значения, нормированный на 2я/Г,
и проводят усреднение. Рассмотрим в качестве примера
линейную систему, возбуждаемую компонентами Фурье F(n).
Предположим, что отклик можно записать в виде
G(n) = H(v>)F(n),
где со = пД@ = 2лп/Т. При этом выходной спектр Ф^(ю)
связан с входным спектром <Df (со) соотношением
<Dg (со) = Игл \Т Щ-Щ = Нт Г| Я (со) |2 Т ^Mif] = | Я (©) |2 Ф, («о).
На практике приборы, с помощью которых выполняют
измерения, автоматически будут давать статистически средние
Значения.
Для анализа электромагнитных полей, спектры которых
лежат в оптическом диапазоне частот, целесообразно ввести
обратное фурье-преобразование исходя только из положительных
значений частоты. Таким образом, вместо разложения A.66)
для периодического процесса можно определить следующую
комплексную функцию времени:
f @ = V'2" Z F («) г1™*- A.84)
п-0

40 Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
Вещественная функция f(t) связана с функцией f(/)
соотношением
± f(t)]. A.85)
Множитель л/2 введен здесь для того, чтобы значения
функции f2{t), усредненные по нескольким периодам времени, можно
было найти из квадрата модуля комплексной функции f(/)f*(O
без дополнительных коэффициентов. Соответственно вместо
полного спектра F(n) в интервале —оо ^ п ^ +оо
используется спектр только для положительных частот. Если, кроме того,
обозначить величину <\/~2F(n) через F(n), то средние по времени
значения функции f2(t) можно вычислить следующим образом:
(Р@)= Е |F(n)p. A.86)
Мы будем считать, что все спектры оптического излучения
принадлежат только области положительных частот
(односторонний спектр), и пользоваться соответствующей комплексной
временной функцией f(t). В рамках этого нового определения
спектра соотношение A.83) принимает вид
(<?/A)t<I>(co)dco = lim У Г
Г/2
[
Г/2
= lim-~ ^ f (/) Г (t — х) dx = f @ f* (t — т). A.87>
^"^ -Г/2
Фурье-преобразование в случае одностороннего спектра дает
обобщенную комплексную автокорреляционную функцию
комплексной функции времени f(/). Эту комплексную
автокорреляционную функцию мы будем обозначать следующим образом:
rff(T)-f(/)f(f-T). A.88)
1.6. Заключение
Материал первой главы состоит главным образом из обзора
основных понятий, как правило, уже известных читателю и
используемых в данной книге. После введения вектора
поляризации Р и вектора намагниченности М мы сформулировали
линейные материальные уравнения. Дано представление о
комплексной форме и подробно разъяснен смысл комплексных.

1.6. Заключение 41
векторов, которые задаются шестью вещественными
скалярными величинами. Один из способов возможного объяснения,
лочему для описания эллиптической поляризации волны
необходимо иметь шесть вещественных скалярных величин, основан
на следующем доводе. Определение эллипса поляризации
требует пяти чисел: два задают ориентацию плоскости, в которой
находится эллипс, одно определяет ориентацию главной
оптической оси этого эллипса в данной плоскости, и еще два
характеризуют длины большой и малой осей. Шестая скалярная
величина описывает изменение фазы во времени. Комплексные
векторы представляют собой весьма удобный способ компактной
записи этих чисел. Вещественная и мнимая части комплексного
вектора А дают сопряженные оси эллипса, и отсчет точек
эллипса начинается от оси Re [А].
Мы провели рассмотрение теоремы Пойнтинга в
вещественной и комплексной форме записи. Первый вид записи теоремы
представляет собой выражение закона сохранения энергии
электромагнитного поля в средах без дисперсии; из второй формы
записи следует, что диэлектрическая проницаемость и
магнитная восприимчивость изотропной среды без потерь должны
быть вещественными величинами. Кроме того, теорема
Пойнтинга в комплексной форме показывает, что для сред без
дисперсии средние по времени плотности электрической и
магнитной энергий бегущей волны должны быть равны друг другу,
а при резонансе равны друг другу и средние по времени
значения электрической и магнитной энергии. В случае
диспергирующей среды, как мы покажем в разд. 11.5, выражения
A/4)е|Е|2 и A/4)jut] Н J2 нельзя идентифицировать как
плотности соответствующих энергий.
Мы обсудили использование фурье-анализа и ввели ряды
и интегралы Фурье. Судя по литературе, нет единого мнения
относительно того, в какой из интегралов Фурье нужно вводить
множитель 2я. Мы выбрали случай, при котором обратное
•фурье-преобразование A.69) не содержит такого множителя,
когда оно записано как функция угловой частоты. Кроме того,
мы рассмотрели теорему о свертке и определили двумерное
•фурье-преобразование. Понятие групповой скорости дано
исходя из скорости распространения огибающей волнового
пакета, создаваемого суперпозицией фурье-амплитуд в узкой
полосе частот.
Затем были даны понятия спектра мощности и
автокорреляционной функции; мы показали, что каждая из этих функций
является фурье-образом другой. Спектр мощности был
истолкован как предел статистического среднего квадратов фурье-
амплитуд периодического процесса, когда период Т-^оо. Такая
интерпретация приводит к сравнительно простому способу
анализа статистических процессов в линейных системах; в этом

42 Гл. 1. Уравнения Максвелла для однородных сред
случае процессы рассматривают, как если бы они были
детерминированными, затем находят преобразование фурье-амплитуд
данной линейной системой и полученный результат возводят
в квадрат и усредняют.
В заключение мы рассмотрели односторонний спектр и
соответствующую комплексную функцию времени. Эти понятия,
в частности, полезны для анализа оптических сигналов,
спектры которых не доходят до нулевой частоты.
Задачи
1.1. Найдите плотности энергии we и шт, а также вектор Пойнтинга Е X Н
для плоской волны x?0cos(co/ — kz), которая распространяется в
вакууме. Проверьте справедливость теоремы Пойнтинга A.20).
t.2. Напишите через комплексные векторы выражение для электрического
поля плоской волны с правой круговой поляризацией, имеющей частоту со
и распространяющейся в вакууме в направлении +z, причем
максимальное значение ?о имеет место при ( = 0 в точке z = 0 в направлении
оси х. Запишите в комплексной форме вектор напряженности магнитного
поля и векюр Пойнтинга.
1.3. Лазерная термоядерная установка «Шива» в Ливерморской лаборатории
им. Лоуренса способна облучать мишень диаметром 100 мкм оптическим
излучением мощностью 1013 Вт на длине волны 1,06 мкм.
а) Найдите среднеквадратическое значение напряженности
электрического поля Е в В/м, считая облучение однородным (однородный поток
вектора Пойнтинга) по поверхности мишени (в предположении линейной
поляризации излучения).
б) Сравните полученный в п. а результат с напряженностью
электрического поля, создаваемого зарядом протона A,6-10~19 Кл) на расстоянии,
равном боровскому радиусу @,5 А или 0,5-10~10 м).
1.4. Диэлектрик с одной резонансной частотой можно смоделировать в виде
распределения положительных и отрицательных электрических зарядов;
положительные заряды неподвижны, а отрицательные связаны с
положительными зарядами пружинами с коэффициентом упругости к. В этом,
случае резонансная частота со0 = yk/tn и уравнение движения
отрицательных зарядов имеет вид
где т — масса, а — феноменологический коэффициент затухания, d —
смещение отрицательного заряда относительно положительного заряда и q—
величина заряда. Найдите диэлектрическую восприимчивость %е,
определяемую выражением Ps^E, где Р = — qNd и # —концентрация
частиц.
1.5. Найдите дисперсионное уравнение для поперечных электрических волн в
диэлектрике (задача 1.4). Нарисуйте кривую зависимости k от со.
Определите фазовую скорость vp = ($/k и групповую скорость didjdk (считайте,,
что коэффициент затухания а = 0).
1.6. Напишите функцию времени /(/), которой соответствует фурье-образ
где Лих — постоянные.

Литература 43
1.7. Найдите фурье-преобразование выражения
J
(СО -
2(д2р
1 Г (О + шП
J L 20^ J
где о)о и сор — постоянные.
1.8. Определите свертку функции f(?)=cosco? с прямоугольным импульсом
g@, определяемым следующим образом: g(t) = 1/тр при \t\ ^ тр/2 и
g(?) =0 при |/| > Тр/2. Чему равна эта свертка в пределе при тр-*-0?
1.9. Пусть имеются следующие функции времени:
^2
Напишите для этих двух функций комплексные функции времени i(t),
связанные с односторонними спектрами (считайте, что сот < <0о).
ЛИТЕРАТУРА
1. Lorrain P., Corson D., Electromagnetic Fields and Waves, W. H. Freeman,
San Francisco, 1970.
2. Stratton J. A., Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, New York 1941.
[Имеется перевод: Стрэттон Д. А. Теория электромагнетизма. — М. — Л.: Гос-
техиздат, 1948.]
3. Fano R. M., Chu L. /., Adler R. В., Electromagnetic Fields, Energy and
Forces, Wiley, New York, 1960.
4. Panofsky W. K. //., Phillips M., Classical Electricity and Magnetism, Addi-
son Wesley, Reading Mass., 1955. [Имеется перевод: Пановский В., Фил-
липе М. Классическая электродинамика. — М.: Физматгиз, 1963.]
5. Ramo S., Whinnery J. R.y Van Duzer Т., Field and Waves in Communication
Electronics, Wiley, New York, 1965.
6. Adler R. В.. Chu L /., Fano R. M., Electromagnetic Energy Transmission
and Radiation, Wiley, New York, 1960.
7. Bendat J. S., Principles and Applications of Random Noise Theory, Wiley,
New York, 1958. [Имеется перевод: Бендат Д. С. Основы теории случайных
шумов и ее применение. — М.: Наука, 1965.].

Глава 2
Отражение плоских волн на границах
раздела сред
При анализе распространения, отражения или преломления на
границах раздела оптические волны можно с достаточно
хорошим приближением считать плоскими. Это связано с тем, что
поперечный размер оптических пучков Bw)9 как правило,
больше, чем длины волны излучения в вакууме (А,). В таком
приближении можно пренебречь дифракцией на расстояниях, много-
меньших, чем (яку2Д) (см. гл. 4 и 5).
В данной главе мы определим коэффициент отражения
плоской волны, падающей на плоскую границу раздела двух сред.
При этом мы получим закон Снеллиуса как следствие
непрерывности оптических полей на границах раздела двух сред.
Коэффициент отражения зависит от угла падения и поляризации
падающей плоской волны. Мы рассмотрим явление полного
внутреннего отражения, возникающее на границе раздела
оптически более плотной среды с оптически менее плотной средой.
Получим выражение для сдвига Гуса — Хенхена, который играет
важную роль в оптических волноводах, использующих явление
полного внутреннего отражения для создания определенной
направленности оптических волн. Введем понятие волнового
сопротивления, которое можно применить для анализа слоистых
сред. Для увеличения отражения излучения на границе раздела
сред используются многократные слои, что находит применение,
например, при изготовлении диэлектрических зеркал, но эти
многократные слои можно выбрать таким образом, что
отражение станет меньше (антиотражающие покрытия). В последнем
разделе данной главы мы рассмотрим отражение излучения от
гофрированных абсолютно отражающих поверхностей (т. е.
решеток) и применение таких решеток в оптической
спектроскопии.
2.1. Отражение поперечных электрических волн
от границы раздела [1, 2]
В разд. 1.3 мы рассматривали вопрос об использовании
комплексных векторов для решения уравнений Максвелла в виде
плоских волн. Рассмотрим плоскую волну, поляризация которой

2.1. Отражение поперечных электрических волн
45
Рис. 2.1. Отражение и
преломление ТЕ-волны на границе
раздела сред.
такова, что вектор напряженности электрического поля
параллелен поверхности раздела двух сред, как показано на рис. 2.1
(поперечная электрическая, или ТЕ-волна):
В общем случае часть энергии падающей волны проходит в
среду, а часть отражается. Коэффициенты отражения и
пропускания определяются граничными условиями; тангенциальные
составляющие векторов Е и Н должны быть непрерывными при
2 = 0. Но из этого следует, что зависимость отраженной и
прошедшей волны от координаты х должна быть такой же, как и
зависимость падающей волны от координаты х (рис. 2.1):
*<•> = *<?> = *,. B.1)
Следствием соотношения B.1) является закон Снеллиуса:
Ум^ sin Q{ = Vm-282 sin 92. B.2)
Напряженность электрического поля со стороны среды 1 (z < 0)
представляет собой сумму электрических напряженностей
падающей и отраженной волн:
B.3)

46 Гл. 2. Отражение плоских волн
Волновой вектор отраженной волны имеет такую же х-состав-
ляющую, как и волновой вектор падающей волны.
Составляющую вектора магнитной напряженности вдоль оси х можно
получить из закона Фарадея A.41):
B.4)
Подставляя в это уравенние соотношение B.3), можно найти
выражение для Н* в области z < 0:
§'Ч B.5)
где отношение
-l^y^cose^rt1' B.6)
представляет собой волновую проводимость Уо!) среды 1 для
ТЕ-волны, распространяющейся под углом 0i относительно оси г.
Обратная ей величина называется волновым сопротивлением
ZqK Прошедшая волна записывается в виде
B)
Sfe-'^V'** B.7)
причем х-составляющая вектора напряженности магнитного
поля Н дается выражением
Н1 = -^Е?Л-"«: B.8)
откуда получаем волновую проводимость в среде 2
для ТЕ-волны, падающей под углом 62 к оси г. Величина,
обратная этой волновой проводимости, есть волновое
сопротивление Zf\ Из непрерывности тангенциальных составляющих
векторов Е и Н следует непрерывность отношения
Z=-Ey/Hx. B.9)
Величина Z — это волновое сопротивление на границе раздела
сред. Из соотношений B.3), B.5), B.7) и B.8) при 2 = 0 имеем
E(l) i ЕA)
yd) Ь+ +Ь- _ 7B) (9 lm
Zo еA)~ЕA) ~ ' * '
Величина Г ^ Е-/Е+ является коэффициентом отражения.
Решая уравнение B.10) относительно E(.i)/E+)> получаем следую-

2.1. Отражение поперечных электрических волн 47
щее выражение для ГA):
г")= %~+%- BЛ1)
Воспользовавшись законом Снеллиуса, найдем выражение для
коэффициента отражения в явной форме:
! - д/l - sin2 Gi -^- л
V в2М>2 V
B.12)
Плотность потока мощности излучения вдоль направления z
равна
B.13)
Таким образом, величина |Г|2 равна отношению отраженного
?W 73W 7$°12' IS
&l~0° 10° 20° 30° 40° 50°/ 60° 70° 80° 9O0
Угол Брюстера
Рис. 2.2. Квадрат коэффициента отражения как функция угла падения.
Кривая А — ТЕ-волна; кривая В — ТМ-волна; я =1,52 (показатель преломления
стекла). (Согласно Хвольсону [6].)

48 Гл. 2. Отражение плоских волн
потока мощности к падающему. Из непрерывности мощности на
границе раздела следует, что плотность мощности прошедшего
излучения, очевидно, определяется выражением B.13). На
рис. 2.2 показаны зависимости величины |Г|2 от угла
падения на__диэлектрическую среду с показателем преломления
п = д/е/ео= 1,52; показатель преломления связан с
диэлектрической проницаемостью соотношением е = еоп2. Для двух
немагнитных сред мы имеем \xi = \i2 = \х0.
2.2. Отражение поперечной магнитной волны
от границы раздела сред [1, 2]
Рассмотрим плоскую волну, вектор напряженности магнитного
поля которой параллелен границе раздела двух сред
(поперечная магнитная, или ТМ-волна) (рис. 2.3). Как и прежде,
существуют отраженная и прошедшая волны. Из условия
непрерывности х-составляющих на границе раздела еще раз приходим
к закону Снеллиуса B.2). При исследовании отражения и
прохождения излучения удобно записать выражения для волн
исходя из амплитуд Н+ и Н_ падающего и отраженного
вектора Н:
Н, = U>e/fti2 + HIV2) еЧк*Х. B.14)
Выражение для вектора напряженности электрического поля Е
можно получить из закона Ампера A.42) при J = 0:
VXH=/coeE. B.15
Подставляя в это уравнение выражение B.14), получаем х-со-
ставляющую вектора Е:
Ех=J$L (н%Чк*)г - H'V'4) г'Ч B. ш)
CDS 1
Для прошедшей волны имеем
Н, = Н{?еЧкг е~1кх\ Ех = ^^%~'кг V4
Как и в первом случае, из непрерывности тангенциальных
составляющих напряженности электрического поля следует
непрерывность волновых сопротивлений Ех/Ну при z = 0:
08!

2.2. Отражение поперечной магнитной волны 49
Волновая проводимость бегущей ТМ-волны записывается в виде
YQ = &e/kz= УеДг (l/cos9). B.18)
Заметим, что здесь косинус угла падения стоит в знаменателе,
в то время как в случае ТЕ-волн он находится в числителе.
Используя определения волновых проводимостей или обратных
им величин, соотношение B.17) можно переписать в виде
у(\)
B.19)
Сравнение этого выражения с B.10) показывает, что
коэффициент отражения Г в случае ТМ-волн выражается так же, как
и в случае ТЕ-волн, если Г при этом определить как —Н_/Н+.
Это объясняется тем, что для данного направления вектора Е
напряженность магнитного поля отраженной волны направлена
в сторону, противоположную направлению магнитного поля
падающей волны.
При таком определении коэффициента отражения Г
выражение B.11) справедливо и для ТМ-волны. Использование этих
выражений для волновых сопротивлений и закона Снеллиуса
Рис. 2.3. Отражение и
пропускание ТМ-волны на границе
раздела сред.

50 Гл. 2. Отражение плоских волн
приводит к соотношению:
pd) _ Vl — sin2 8t — д/l — sin2 (8
V1 ~
B 20>
ТМ-волны могут проходить через границу раздела двух сред
(диэлектриков) без отражения. Это следует из того факта, что
коэффициент отражения Г, определяемый выражением B.20),
стремится к нулю при вещественном угле, когда \i\ = ц2 =
Недействительно, из выражения B.20) следует, что это имеет
место, когда угол 8i = Ов, где QB — угол Брюстера
B.21)
2.3. Полное внутреннее отражение [1, 2]
В тех случаях, когда среда 1 имеет большее значение величины
Уце (т. е. является оптически более плотной), чем среда 2, для
некоторой области углов падения 0! из закона Снеллиуса B.2)
нельзя получить вещественных значений угла 02. Для
оптического диапазона мы имеем \i « (i0 и, очевидно, можно считать,,
что только е существенно отличается от е0; е = еоп2, где п —
показатель преломления. Оптически более плотная среда имеет
более высокий показатель преломления п. Из выражения B.2) у
если |Я1 = |я2 = ню, получаем
sin 92 = AfeJb sin 9le B.22)
Предельный угол 9С — это такое значение угла 9i, больше
которого sin 62 > 1 и, следовательно, для угла 02 не существует
вещественных решений (рис. 2.4):
sin 0С = л/е2/г{ =/i2//i1. B.23)
В тех случаях, когда не получается вещественных решений
для угла 02, необходимо перепроверить предположение о
существовании проходящей волны. Непрерывность для лс-составляю-
щих, а именно
J^-ftf, B.24)
приводит к таким значениям k{?> которые не могут
соответствовать распространяющейся волне, когда 0i > 0С. При этом
постоянная распространения волны должна была бы принимать
отрицательные мнимые значения, т. е. волна затухала бы в
среде 2: &<,2> = — /аB2). В этом случае
B.25)

2.3. Полное внутреннее отражение
51
Рис. 2.4. Диаграмма векторов к при предельном значении угла падения
волны.
Таким образом, Uf может быть больше чем со д/(ыое2> и
граничное условие B.24) удовлетворяется. В случае ТЕ-волн
падающая и отраженная волны электрического поля Е в среде 1
описываются, как и прежде, выражением B.3), а х-составляющая
магнитного поля Н — выражением B.5). Электрическая
составляющая прошедшей волны теперь имеет вид
B)
a г
B.26)
а соответствующая ей составляющая Н*, согласно закону Фара-
дея B.4), определяется выражением
dz
B.27)
Из условия согласования волнового сопротивления —Е^/Н^ на
обеих сторонах границы раздела имеем
4° E<j)-E<i>
B)
o
B.28)
Это выражение является одним из видов соотношения B.10), но
здесь волновое сопротивление оптической среды 2 представляет
собой мнимую величину. Zio) = jXio\ где ^ — вещественная
величина. Из B.28) находим следующее выражение для коэффи-

52 Гл. 2. Отражение плоских волн
циентов отражения Г = Е(-/Е(+:
B.29)
Отсюда следует, что |ГA)|=1 и амплитуда отраженной волны
ЕA* равна амплитуде падающей волны. В оптической среде 1
вдоль оси z образуется стоячая волна, не переносящая энергии
в этом направлении. Напряженность электрического поля
волны в среде 1 можно записать в виде
B.30)
¦ = -(l/2)arg(D<
? (/)g(D
На рис. 2.5 показаны кривые зависимости составляющей Еу
при х = 0 от г в предположении, что фаза составляющей Е+*
равна нулю. Заметим, что производная дЕу/дг непрерывна на
границе раздела оптических сред вследствие того, что дЕу/дг
пропорциональна составляющей Н*, которая должна быть
непрерывной функцией.
Из рис. 2.5 видно, что нуль стоячей волны Е простирается
в область оптической среды 2. Он находится под границей
раздела оптических сред на расстоянии от этой границы, которое
называется сдвигом Гуса — Хенхена [3, 4]. На рис. 2.6
представлена диаграмма электрической и магнитной составляющих
полей ТЕ-волны в произвольный момент времени. Как строятся
такие диаграммы, мы объясним в гл. 6.
Среда 7
Сдвиг Гуса-Хенхена
Л
1
Среда Z
Рис. 2.5. Электрическое поле ТЕ-
волны в случае ее падения под
углом полного внутреннего
отражения. Величина Еу (г = 0)
выбирается вещественной; в
рассматриваемом поперечном сечении она
вещественна для всех значений z.

2.3. Полное внутреннее отражение
Силовые линии поля И
Силовые
линии,
тюля Е
Рис. 2.6. ТЕ-волна, отраженная от границы раздела; 8i/e2=l,2.
Распределение поля движется вправо с фазовой скоростью (u/kx.
Читателю предлагается самостоятельно получить
соответствующие выражения для тангенциальных составляющих полей
Е и Н в случае полного внутреннего отражения для падающей
ТМ-волны. Диаграммы электрических и магнитных полей ТМ-
волны в произвольный момент времени представлены на
рис. 2.7.
Явление полного внутреннего отражения можно
использовать для каналирования электромагнитного излучения внутри
оптических тонкопленочных волноводов или в оптических волок-

54 Гл. 2. Отражение плоских волн
Силовые линии поля Е
Силовые
линии
лоля И
Рис. 2.7. ТМ-волна, отраженная от границы раздела; 81/62=1,2.
Распределение поля движется вправо с фазовой скоростью со/?*.
нах с изменяющимся показателем преломления, как это
описывается в гл. 6.
2.4. Преобразование волнового сопротивления
и коэффициента отражения
В предыдущих разделах мы пользовались понятием волнового
сопротивления на границе раздела оптических сред. Но оно
^оказывается полезным и в более общем смысле: его можно

2.4. Преобразование волнового сопротивления 55
найти для любого произвольного поперечного сечения волны.
Например, волновое сопротивление Z(z) = —Е^/Н* ТЕ-волны
в оптической среде 1 при любом значении z в соответствии с
выражениями B.3) и B.5) можно записать в виде
^A±I^ B.31)
Мы опускаем индекс 1, указывающий рассматриваемую
оптическую среду, поскольку в данном случае это выражение
справедливо для плоской волны в любой среде (например, в среде 2).
Выражение B.31) можно использовать для вычисления
волнового сопротивления Z(z) в любом сечении 2, если дано волновое
сопротивление Z@) при z = 0. Запишем сначала это выражение
для сечения z = 0:
Z@) = Z0|±?; B.32)
выразим из него Г через Z@) и подставим результат в
выражение B.31). После некоторых преобразований получаем
7 (<у\— 7 Z (Q) "" J'Z° tg
L (Z) Z
7 (у\ 7 (О W\
L (Z) — Z° Zo-jZ(O)tg(kzz) " V-M>
Это полезная формула. Применим ее для того, чтобы показать,
что волновое сопротивление Z(z) при z = — [Bт + l)/2kz]n,
где т — целое число, связано с Z@) следующим образом:
zfr <2'34>
Это следует из B.33), поскольку при указанных выше
значениях z имеем igkzz = oo. Нормированный импеданс Z(z)/Zo
при 2 = — Bт-\- \)n/2kz равен обратной его величине при
2 = 0. Такие точки находятся от плоскости 2 = 0 на расстоянии,
равном нечетному целому числу четвертьволновых отрезков,
причем длина волны определяется выражением (см. рис. 2.6
и 2.7)
/ B.35)
Данная длина волны определяется как расстояние вдоль оси z
между плоскостями равной фазы:
B.36>
где Я = 2я/со л/\1& — длина волны, измеряемая в направлении
распространения волны, а 9 — угол падения. Имеет смысл
обобщить понятие коэффициента отражения для любой координаты
2. Отношение напряженностей электрического поля отраженной
и падающей волн в любой плоскости z записывается в виде
rB). B.37)

56 Гл. 2. Отражение плоских волн
При сделанных обобщениях получаем следующее соотношение
между волновым сопротивлением и коэффициентом отражения
в любом сечении:
\±^ B.38)
Обратное соотношение, выражающее коэффициент Г («г) через
Z(z), имеет вид
тм=шт%- B-39)
Для ТМ-волн можно получить полностью аналогичные
соотношения (см. табл. 2.1).
Таблица 2.1. Сводка основных формул
ТЕ-волны ТМ-волны
ГB) = —
/-?—1- z0=y'-^-cose
z^-w
Z(z) _ 1-
Zo 1 - Г B)
Z B) - Zo
Г B) =
2 B) + Zo
_ Z @) -/Zo tg fe2
~x~' "u Zo-jZ{0)tgkzz
Соответствующие формулы можно записать также через величину, обратную
сопротивлению, а именно через проводимость
ТЕ-волны ТМ-волны
,= л/ —cos9
— cos9 го=а/-^--^
ц V (A cos 9
Y B) = - -^ У B) =
К B) 1-ГB)
Ко 1 + Г (г)
Г ,-ч _ Кр - К B)
1(г)-К0 + КB)
К/,ч_К К @) - /Кр tg fez2
W ° K0-/T@)tgfe22

2.5. Четвертьволновые диэлектрические слои 57"
Преобразование коэффициента отражения B.37)
показывает, что отраженная волна находится в фазе с падающей
волной. В плоскостях z, расположенных друг от друга на
расстоянии kz Az = я, величина Г (г) является вещественной и
положительной. Эти расстояния равны целым числам полуволн %г/2.
В плоскостях на половине этого расстояния падающая и
отраженная волны находятся в противофазе.
В разд. 6.4 мы будем использовать выражение B.33) для
анализа оптических волноводных слоев, а в следующей главе
при рассмотрении интерферометров Фабри — Перо мы
воспользуемся выражением B.38).
2.5. Четвертьволновые диэлектрические слои
Отражение плоских волн от границы раздела диэлектрической
среды можно исключить, если нанести на нее слой диэлектрикз-
с другой величиной диэлектрической проницаемости и толщиной
в четверть длины волны для определенной волны и
определенного угла падения. Рассмотрим случай, изображенный на
рис. 2.8. В качестве подложки используется вещество,
характеризуемое магнитной проницаемостью \х0 и диэлектрической
проницаемостью е = е0м2. Падающая сверху ТЕ-волна, как
показано на рисунке, образует в подложке прошедшую волну.
Волновое сопротивление для электромагнитной волны в подложке
записывается в виде Z@) = У|i0/e/cos Э = -yJ\iQ/e0/(ntosQ).
Волновое сопротивление преобразуется в соответствии с
выражением B.34). Оно имеет вещественное значение, если толщина
слоя, измеряемая в среде 1, в направлении под углом 6 равна
четверти длины волны. Выбрав величину d следующим образом:
d = 41}/4 = (ЯA)/4) A/coseO, B.40)
при z = —d в соответствии с B.34) получим
Условие согласования на границе подложка — воздух требует,
чтобы Z(—d) со стороны подложки равнялось волновому
сопротивлению воздуха: Zo— "\/ix0/&0(l/cos%). Это имеет место,
когда
п] cos2 Gj = п cos 9 cos Эо. B.42)
Для данного угла 6о значения углов 9 и 0i определяются
законом Снеллиуса. Соотношение B.42) позволяет найти показатель
преломления четвертьволнового слоя, необходимый для
согласования подложки с воздухом, чтобы исключить отраженную

.58
Воздух
Гл. 2. Отражение плоских волн
q \ Подложка
Рис. 2.8. Преобразование волнового сопротивления четвертьволновым слоем.
волну. Для этой цели применяют так называемое
просветляющее покрытие. В частности, если Э0 = 0, то п\ = п.
Условие согласования зависит от угла падения. Если оно
выполняется при нормальном падении волны, то для других
углов падения согласование оказывается неполным. На рис. 2.9
приведены зависимости квадрата модуля коэффициента
отражения |Г|2 от угла падения для ТЕ- и ТМ-волн при их отражении
от поверхности с показателем преломления Vei/^o = ni=== 3,56.
На практике иногда трудно подобрать диэлектрик с
показателем преломления п\, который удовлетворил бы условию
B.42) при данном п и, кроме того, хорошо сцеплялся бы с
подложкой. Поэтому обычно используют несколько
четвертьволновых слоев. Рассмотрим такую систему чередующихся слоев,
представленную на рис. 2.10. Волновое сопротивление на
границе раздела, обозначенной индексом 1, можно вычислить с
помощью выражения B.41). Применяя выражение B.34), находим
волновое сопротивление на границе раздела 2:
Ы \ — х /1*о 1 ( fljCOSei V
(г2) -Aj — -^ir U2cos62 ) '
При прохождении излучения через два таких слоя волновое
сопротивление нужно умножить на ri\ cos2 ^xfn\ cos2 92. В том
случае, когда на подложку нанесено m пар таких слоев, волно-

2.5. Четвертьволновые диэлектрические слои
0,9
0,8
0,7
0,6
,0,5
0,3
0,2
0,1
О 20° 40° 60° 80°
Рис. 2.9. Коэффициент отражения ТЕ- и ТМ-волн от поверхности,
«просветленной» с помощью четвертьволнового слоя при 6 = 0, как функция угла
падения.
Входная
плоскость
Подложка
Рис. 2.10. Просветление с использованием т пар слоев; Z (z\)
X (n cos в/п? cos2 B{); Z (z2) — Vl*o/8o W" cos e) {n\ cos2 l2

60 Гл. 2. Отражение плоских волн
Бое сопротивление на входной плоскости (см. рис. 2.10)
принимает вид
Даже если отношение П\ cos 61/Я2 cos 62 близко к единице, этот
множитель можно сделать большим, если использовать большое
значение га. Такая комбинация слоев будет действовать как
просветляющее покрытие, если множитель п\ cos 81/^2 cos 02
выбрать таким, чтобы импеданс Z(zi) был равен волновому
сопротивлению волны для «входной среды» i:
Можно подобрать среды с такими показателями преломления
П\ и /22, что импеданс Z(zi) будет существенно отличаться от
Ztf\ При этом имеет место высокий коэффициент отражения.
Такое покрытие называется отражающим.
Зеркала с очень высоким коэффициентом отражения и
малыми потерями имеют отражающие покрытия, состоящие из
большого числа диэлектрических слоев, а не металлические
покрытия, поскольку последние, вообще говоря, приводят к более
высоким потерям. Разумеется, будет ли диэлектрическое
покрытие выполнять функции просветления или отражения, зависит
от частоты излучения. Такие слои являются строго
четвертьволновыми лишь для одной конкретной частоты. Изменение
частоты приводит к изменению коэффициентов отражения и
пропускания. Анализ свойств многослойных покрытий, толщина
которых не равна строго четверти длины волны, является
значительно более сложным, и в этой главе мы его рассматривать
не будем. В гл. 8 мы применим упрощенную модель для
анализа спектральной зависимости коэффициентов отражения от
многослойных структур.
2.6. Отражательные решетки [5]
Отражательная решетка образуется периодически
«гофрированной» поверхностью. Падающая монохроматическая плоская
волна при отражении от такой решетки разделяется на разные
порядки (т. е. отраженные плоские волны распространяются под
разными углами). Углы, под которыми распространяются
отраженные волны, определяются частотой падающей волны. Таким
образом падающие волны, имеющие различные частоты,
разлагаются в спектр. Найдем способ определения углов отраженных
волн, создаваемых отражательной решеткой. В расчете будем
предполагать, что решетка имеет синусоидальный профиль отра-

2.6. Отражательные решетки 61
Л
Рис. 2.11. Схематическое представление поверхности решетки.
жающей поверхности. Рассмотрим решетки, которые дают
большое отражение в —1-й порядок, и обсудим их применение.
Поверхность отражательной решетки схематически показана
на рис. 2.11. Предположим, что она является абсолютно
отражающей. Пространственный период решетки обозначим через Л.
Отраженные волны должны удовлетворять граничному условию,
согласно которому тангенциальная составляющая
электрического поля волны должна быть равна нулю. Рассмотрим
сначала волну, которая поляризована нормально плоскости
рисунка (в направлении оси у). Если падающая волна имеет вид
уЕ,ехр(—/к/-г), то суперпозиция падающей и отраженной волн
уЕ# будет удовлетворять условию
Е? ехр [- (jkix + jkuz)] \2=h(x) + Е* (х, z) \z=hix) = 0. B.46)
Поле падающей волны на возмущенной поверхности запишется
в виде
ехр (—jkixx) exp [—jki2h (*)].
Поскольку величина h(x) является периодической функцией
координаты х с периодом Л, то ехр[—jkiZh(x)] является также
периодической функцией с тем же периодом. Поле отраженной
волны должно компенсировать поле падающей волны при z =
= h(x). Этому условию можно удовлетворить тогда и только
тогда, когда поле отраженной волны будет иметь вид
Е*(*, z) = exp(-jkixx)g{x, z), B.47)
где g(x, z) — периодическая функция координаты х с
периодом Л. Действительно, g(x, h(x)) тоже периодическая функция
величины х и, следовательно, граничное условие B.46) может
быть удовлетворено.
Отраженная волна должна быть решением уравнений
Максвелла. Функцию вида B.47) можно образовать из плоских

62
Гл. 2. Отражение плоских волн
волн, являющихся решениями Максвелла, если положить
Ед = exp {—jkixx) 2 Rm exp (jk{$z) exp ( — / -^- лЛ . B.48)
Здесь Rm — постоянные, a &/S* подчиняются условию A.60):
\2 , fm\2 9
B.49)
Электрическое поле отраженной волны представляет собой
сумму бесконечного числа плоских волн, расходящихся под
разными углами относительно оси г. На рис. 2.12 показана схема
построения волновых векторов к плоских волн.
Связь между углом отражения m-го порядка с углом па
дения волны можно получить, если вспомнить, что
) = sin 0. и [kix + Bя/Л) т]/ш д/^оео = sin &?\ а
)==2п/Х. Таким образом,
sin 6^ = sin б, + тЯ/Л. B.50)
Это выражение описывает закон отражения от решетки.
Заметим, что углы 8^ зависят от длины волны X. Благодаря этой
зависимости отражательные решетки можно использовать для
спектрального анализа.
Для того чтобы показать, как можно вычислить
коэффициенты Rm в выражении B.48), рассмотрим простой случай,
когда решетка имеет небольшое синусоидальное возмущение:
h (х) = h0 cos Bя*/Л) (Ао/Л < 1). B.51)
В случае небольшого возмущения поверхности решетки можно
порядок
Нулевой порядок
порядок
порядок
Плоскость
решетки
Рис. 2.12. Построение углов рассеяния для отражений высшего порядка от
решетки.

2.6. Отражательные решетки 63
воспользоваться методами теории возмущений и произвести
разложение в ряд Тейлора по параметру йо/Л. Главное назначение
отражательной поверхности — это образовывать отраженную
волну точно так же, как и зеркало. Поле, связанное с
падающей и отраженной волной, гасится на гофрированной
поверхности волнами порядка т Ф 0, амплитуда которых меньше
амплитуды падающей волны в Ло/Л раз. Поле, создаваемое
волнами более высоких порядков на поверхности решетки,
приблизительно такое же, как и поле, создаваемое этими волнами в
плоскости 2 = 0; разница оказывается порядка (/го/ЛJ.
Напряженность электрического поля отраженной волны в случае
плоского идеального отражателя и падающей волны вида
Е; ехр (—jkixx) ехр (—jkuz) дается выражением
Е* ехр (—jkixx) [ехр (-jkuz) - ехр {jkizz)\. B.52)
На возмущенной поверхности z = h(x) это поле запишется в
виде
ехр (—jkixx) {ехр [—/ (^Acos-|V)] — exp[/
^)] B.53)
здесь мы ограничимся членами первого порядка в разложении
по /io/Л. Эта волна должна гаситься волнами более высоких
порядков. Поскольку амплитуда волны B.53) при z = h(x)
примерно равна амплитуде волны при 2 = 0, из выражений B.46),
{2.48) и B.53) находим
[(^)(^)] 0. B.54)
Следовательно,
R+i = R^i = iki2h0Eiy B.55)
а все другие коэффициенты Rm равны нулю.
Мы не будем проводить дальнейшего анализа решеток, у
которых либо зависимость h(x) не имеет синусоидального вида,
либо более глубокие канавки или «штрихи», т. е. большие
значения отношения ho/A. Вместо этого остановимся на случае,
когда решение можно получить из простых соображений.
Решетки часто используются в качестве
«частотно-чувствительных» зеркал в одном из плеч лазерных оптических
резонаторов, чтобы получить лазерную генерацию только на одной
моде. Применение решетки в этом случае позволяет получить
в первом приближении мощность до 95 % от мощности падаю-

64 Гл. 2. Отражение плоских волн
Падающая волна
\
\
\ Л
\
Oi
/^
\9,
@)
—-^.
/
/
/
/
/
Нулевой.
J порядок
Рис, 2.13. Условия максимального отражения от решетки с нанесенными на
нее штрихами.
щего излучения, если угол падения равен углу блеска. На
рис. 2.13 приведена простая поясняющая схема такого
«решеточного отражателя». Решетка имеет ступенчатый* профиль
штриха, поверхность которого перпендикулярна направлению
падающего излучения. Отражение в этом направлении будет
значительно сильнее, если высоту штриха Н сделать кратной
половине длины волны излучения. Поскольку длина волны, как
правило, столь мала, что требуемому качеству обработки
трудно удовлетворить, практическое значение имеет только случай,
когда Н = Х/2. Рассмотрим условие отражения излучения в
—1-й порядок в направлении падения волны. Из закона
отражения для решеток B.50) имеем
— sin eSfu = sin 6/ = Я/Л — sin
Следовательно,
Я/2Л = sin 0,.
Но величина 'К/2А равна sin QB, где 0в — угол блеска,
показанный на рис. 2.13. Таким образом, отражение от решетки
находится в согласии с доказательством, основанным на когерентной
суперпозиции волн, отраженных от различных штрихов решетки.
Эффективность решетки зависит от поляризации падающей
волны. Если решетка облучается под углом 6; = Эв и
поляризация волны такова, что вектор Е находится в плоскости рисунка
(рис. 2.13), то все граничные условия согласованы с
плоскостями узлов стоячих волн, параллельных штрихам решетки или
совпадающих с ними. Решетка отражает только в —1-й
порядок. Если поляризация вектора Е перпендикулярна плоскости
рисунка, то граничные условия не согласуются столь просто.
Имеет место отражение и в других порядках.

2.7. Спектрометры с дифракционными решетками
65
2.7. Спектрометры с дифракционными
решетками [5]
На рис. 2.14 показана схема спектрометра с решеткой. Свет от
источника, спектральный анализ которого надо произвести,
фокусируется на узкую щель. Прошедший через щель свет колли-
мируется, как правило, с помощью фокусирующего зеркала, а
не линзы. Дифракционная решетка диспергирует свет (угол 6#
зависит от длины волны Я), который затем фокусируется второй
линзой пли зеркалом. Обычно эти две фокусирующие линзы или
два фокусирующих зеркала являются одинаковыми. Ширину
щели выбирают так, чтобы получить оптимальное освещение
решетки в соответствии с теоретическим пределом ее
разрешения (см. разд. 4.4).
В некоторых приборах фотопластинку помещают в
фокальной плоскости второй линзы, и излучение с различными
длинами волн регистрируется в разных местах на фотопластинке.
В других приборах щель размещают в фокальной плоскости, а
решетка вращается по известному закону, в результате чего
излучение с различными длинами волн проходит через эту щель.
Теоретическая хроматическая разрешающая способность
Закон отражения для решетки B.50) справедлив в случае
бесконечных параллельных плоских волн, падающих на решетку,
имеющую бесконечно большую ширину. Конечная ширина
решетки ограничивает возможность разрешать волны, длины
которых отличаются друг от друга на величину, меньшую, чем
хроматическая разрешающая способность. Угол QR, входящий
в выражение для закона отражения решеток, определяет
центральный угол дифракционной картины решетки [см. разд. 4.2,
Первая
линза
Источник
света
Рис. 2.14. Спектрометр на
плоской решетке.
Фотопластинка*
Вторая
линза

66 Гл. 2. Отражение плоских волн
уравнение D.31)]. Волна, отраженная от решетки под углом
0#, имеет следующее распределение амплитуды:
sin2 Г(ЛГлД) Л (sin Э D — sin 9I
iW~ sin2 [(я/Я,) Л (sin 8^ - sin 6)] ' {Z'0D)
где N — полное число штрихов. Главный максимум
наблюдается, когда и числитель, и знаменатель обращаются в нуль.
Если N велико, то числитель изменяется гораздо быстрее, чем
знаменатель, и только он определяет угловую ширину
максимума.
Для главного максимума справедливо равенство sin 9 =
= sin QRt Если незначительно увеличить или уменьшить 6, то
величина /(9) резко падает, и, когда числитель снова достигает
нулевого значения, знаменатель не равен нулю. Таким образом,
интенсивность дифрагировавшего света спадает до нуля, когда
угол 9 увеличивается на величину 69, которая определяется
соотношением
(Nn/k) \6 (sin 9) = я B.57)
или
B.58)
Последняя величина, кроме того, приблизительно равна полной
угловой ширине (на половине максимума) дифрагировавшего
пучка.
Вычислим теперь наименьшую разрешимую разность 81 длин
волн между двумя спектральными линиями. Две спектральные
линии становятся разрешимыми, когда максимум на одной
длине волны совпадает с первым нулевым значением
дифракционной картины на другой длине волны. Угол отражения 9#
является функцией длины волны К. Максимум имеет место, когда
угол наблюдения 9 изменяется в соответствии с условием
69 cos 9 = 69д cos 6д. B.59)
Найдем соотношение между величинами 8QR и 6Х; для этого
продифференцируем уравнение решетки B.50). Таким образом,
мы имеем
6Я = (Д/m) 6QR cos 9д. B.60)
Подставляя B.60), а также B.59) в выражение B.58), находим
= mN\
величина Х/8Х называется хроматической разрешающей
способностью.
Для того чтобы получить разрешение порядка 1 нм и менее,
произведение mN должно равняться нескольким тысячам. Так
как щ обычно равно 1, полное число канавок или штрихов

2.8. Заключение 67
решетки должно быть значительным. Обычные решетки имеют,
как правило, 6000 штрихов на сантиметр и более, а большие
высококачественные дифракционные решетки имеют десятки
тысяч штрихов.
2.8. Заключение
Отражение и пропускание волн оптического диапазона на
границе раздела сред описываются законом Снеллиуса, который
следует из условия согласования пространственных
составляющих полей на двух сторонах от границы раздела, и
коэффициентом отражения, который вычисляется из условия
согласования тангенциальных составляющих электрических и магнит-
пых полей. Закон Снеллиуса не зависит от поляризации
излучения, в то время как коэффициент отражения имеет такую
зависимость. В частности, ТМ-волны могут проходить под углом
Брюстера границу раздела между двумя диэлектрическими
средами, не испытывая отражения. Полное внутреннее отражение
имеет место в том случае, когда на границу раздела двух
диэлектрических сред волна падает из среды с большей
диэлектрической проницаемостью под углом, который больше предельного
угла. Явление полного внутреннего отражения можно
использовать для волповодного режима распространения волн
оптического диапазона в волокнах и оптических волноводах; эти
вопросы мы обсудим в гл. 6.
Непрерывность тангенциальных составляющих
электрических и магнитных полей па границе раздела обычно описывают
через волновое сопротивление или через обратную ему
величину, а именно через волновую проводимость. Волновое
сопротивление представляет собой отношение тангенциальных
составляющих электрического и магнитного полей. Представление
волнового сопротивления в виде функции расстояния от границы
раздела B.33) является главным результатом, который мы
использовали для рассмотрения вопроса об отражении от
многослойных просветляющих и отражающих покрытий.
Использование многослойных покрытий расширяет диапазон значений
неоднородностей показателя преломления, которые можно
согласовать с имеющимися материалами решеток, и позволяет
получать поверхности с высоким коэффициентом отражения.
Отражение от «гофрированной» решетки представляет собой
пример краевой задачи, в которой одной отраженной волны
недостаточно, чтобы удовлетворить граничным условиям. Углы,
под которыми происходит отражение в высокие порядки,
зависят от частоты (или длины волны). На этом свойстве
отражательной решетки основано применение решеток в спектрометрах
для увеличения разрешения по частоте. Мы определили хрома-

68
Гл. 2. Отражение плоских волн
тическую разрешающую способность спектрометра на решетке
как Х/дК, где 8Х — область длин волн, разрешаемых прибором.
Было найдено, что разрешающая способность равна mNy где
т — порядок отражения, а N — число штрихов на решетке.
Задачи
2.1. Отражение под углом Брюстера 6в равно нулю. Оцените чувствительность
отражения к отклонениям от угла Брюстера. Для этого разложите
выражение для коэффициента отражения Г до членов первого порядка по
величине 0i—9S и ее квадрату. Если величина |Г|2 должна быть не более
10~2, то как велико допустимое угловое отклонение? Считайте, что среда
с показателем преломления п = 1,7 граничит с воздухом.
2.2. Получите выражения, аналогичные формулам B.28) —B.30), для полного
внутреннего отражения ТМ-волны.
2.3. Зеркала для Не — Ne-лазера (Х = 6328 А) изготавливают из многих
слоев ZnS и Тг^ Показатели преломления этих материалов равны
соответственно 2,5 и 1,5 В качестве подложки используют стекло с п = 1,5.
Какое наименьшее число слоев необходимо нанести, чтобы получить
отражение падающей мощности более чем 99,5 %? Считайте, что падающая
волна распространяется под прямым углом.
2.4. При полном внутреннем отражении ТЕ-волны на границе раздела двух
сред электрическое поле образует в среде 1 идеальную стоячую волну
"г
I0
Рис. 32.4.
(рис. 32.4). Максимум волны имеет фазовый сдвиг Ф относительно
границы раздела сред; 6g = 90° — Ф — сдвиг Гуса — Хенхена.
а) Решите краевую задачу в случае, когда 9i > 0С. Покажите, что
|Е+| = |Е-|.
б) Получите выражение для ctg 0С через углы 0i и Эс (Эс — предельный
угол полного внутреннего отражения). Для Эс = 45° постройте
зависимость 6с от 9i.
2.5. а) Покажите, что если полное сопротивление Z@) —мнимая величина, то
величина Z(z), определяемая выражением B 33), является чисто мнимой
для любого значения z. Как это связано с законом сохранения энергии?
б) Покажите, что если Z(z)—чисто мнимая величина, то |Г(г)| = 1, и
свяжите этот факт с законом сохранения энергии.
2.6. Для члена первого порядка в разложении Тейлора по ho/A получите
выражения для амплитуд волн, отраженных от решетки, изготовленной
из абсолютно проводящего материала с прямоугольными профилем
штрихов высотой ho и периодом Л; падающая волна имеет вид Е =
= yEiexp(—jk2z)exp(—jkxx), а канавки параллельны оси у.

Литература 69
2.7. Найдите зависимость от длины волны отражения в —1-й порядок от
решетки при значении угла падения 8г- = 85 :Х\ dfy^^'jdX . Определите эту
зависимость, записывая ее через угол блеска.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ramo S., Whinner у I. R., Van Duzer Г., Field and Waves in Communication
Electronics, Wiley, New York, 1965
2. Adler R. В , Chu L J., Fano R. M., Electromagnetic Energy Transmission
and Radiation, Wiley, New York, 1960
3. Kapany N. S., Burke J. /., Optical Waveguides, Academic Press, New York,
1972, p. 7.
4. Kogelnik H., Weber H. P., "Rays, stored energy and power flow in dielectric
waveguides", J. Opt Soc , 64, No. 2, 174—185 A979).
5 Born M., Wolf ?., Principles of Optics, Macmillan, New York, 1964.
[Имеется перевод 2-го изд: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука,
1970.]
6. Хвольсон О. Д. Курс физики. В 5 томах. Т. 2. Учение о звуке (акустика).
Учение о лучистой энергии. — Берлин: Госиздат РСФСР, изд. 5-е, 1923.

Глава 3
Зеркала и интерферометры
Плоское зеркало частично отражает и частично пропускает
падающую на него волну. Действие зеркала может быть описано
линейной системой уравнений, связывающих амплитуды
падающей, прошедшей и отраженной волн. Поскольку волна может
приходить с двух сторон зеркала, мы имеем дело с амплитудами
двух падающих и двух отраженных волн. Линейная зависимость
порождает матрицу второго порядка, так называемую матрицу
рассеяния. Матрица рассеяния описывает действие любой
линейной системы, оперирующей с двумя падающими и двумя
отраженными волнами. Ограничения, накладываемые на
матрицу рассеяния, вытекают из принципа взаимности, который
справедлив для всякого изотропного материала. Дополнительные
ограничения появляются в предположении отсутствия потерь,
если такая идеализация допустима для материала, из которого
изготовлено зеркало.
В разд. 3.1 мы выводим принцип взаимности из уравнений
Максвелла. В разд. 3.2 описывается формализм матрицы
рассеяния для всякой линейной системы. В разд. 3.3
устанавливаются свойства матрицы рассеяния с учетом принципа
взаимности и (или) отсутствия потерь. В разд. 3.4 мы используем
матрицу рассеяния для описания полупрозрачного зеркала.
Два полупрозрачных зеркала, расположенные па расстоянии
/ друг от друга, обладают максимальным пропусканием для
падающей волны в том случае, когда частота этой волны кратна
обратному времени прохождения между зеркалами. Тяким
образом, два расположенных друг за другом зеркала могут
использоваться в качестве полосового фильтра, пики пропускания
которого приходятся на определенные характерные частоты.
Подобная система носит название интерферометра Фабри — Перо.
Аналогичным образом устроен и резонатор оптического
квантового генератора — лазера. Интерферометр Майкельсона,
обсуждаемый далее, служит для иной цели. В интерферометре
Майкельсона входной пучок делится полупрозрачным зеркалом
на две части, которые после введения в каждую из них
определенной задержки соединяются вновь. Исследуя
интерференционную картину при различных задержках каждой из частей
пучка, можно измерять временную когерентность исходной
волны. Наконец, мы опишем интерферометр Тваймана — Грина,
который применяется для проверки «истинной параллельности»
плоских оптических компонентов.

3.2. Формализм матрицы рассеяния 71
3.1. Принцип взаимности [1]
В этом разделе мы выведем принцип взаимности для
изотропной среды на языке теории поля. Пусть Е(а) и Н(а) — некоторое
решение уравнений Максвелла:
C.1)
V X Н<в> = /юеЕ<«>. C.2)
Аналогично определим и другое решение с индексом (Ь).
Умножим скалярно уравнение C.1) на Н{Ь) и C.2) на Е{Ь).
Складывая результаты, получаем
(V X Е<а>) • Н<*> + (V X Н<*>) • Е<*> = — /со [|хН<6> • Н<а> —
C.3)
Поменяв местами индексы в C.3), запишем новое уравнение и
вычтем одно уравнение из другого. При этом в правой части
получим нуль, а в левой — дивергенцию:
V • (Е<*> X Н<6> - Е<*> X Шв>) = 0. C.4)
Проинтегрируем уравнение C.4) по объему V> ограниченному
поверхностью S. С учетом теоремы Остроградского — Гаусса, мы
можем написать следующее равенство:
& (Е{а) X Н{Ь)) -da = & (Е<*> X Н<в>) • da. C.5)
Это и есть теорема взаимности в теоретико-полевой
формулировке. Она налагает ограничения на решения уравнений
Максвелла для среды, описываемой скалярными диэлектрической и
магнитной проницаемостями.
3.2. Формализм матрицы рассеяния [2, 3, 4]
Разработаем формализм матрицы рассеяния для плоских волн,
проходящих через слоистую оптическую среду. Пусть на такую
систему (рис. 3.1) падает плоская волна, которая частично
проходит сквозь нее, а частично отражается. При данной
поляризации волны действие системы полностью описывается четырьмя
амплитудами, а именно амплитудами падающей и отраженной
волн на передней и задней плоскостях системы. Амплитуды
отраженных волн связаны с амплитудами падающих волн
линейными соотношениями, так что независимыми оказываются
лишь две амплитуды. Будем обозначать амплитуды падающих
волн через а, а отраженных — через Ь.

72
Гл. 3. Зеркала и интерферометры
Входная
плоскость
Система
Выходная
плоскость
Схематическое представление
Рис. 3.1. Падение (не обязательно нормальное) ТЕ-волны на систему
плоскопараллельных пластин.
Пронормируем амплитуды аг и Ъ\ таким образом, чтобы
мощность, падающая слева на единицу площади, давалась
выражением
Аналогичную нормировку используем и для амплитуд а2 и Ьг-
Отождествление правой части выражения C.6) с мощностью
согласуется с результатами, полученными в разд. 2.1 для
ТЕ-волны. Мы показали, что Еу можно записать в виде
где
C.7)

3.2. Формализм матрицы рассеяния 73
Аналогичное отождествление можно провести и для ТМ-волн
(см. разд. 2.2). Действительно, интерпретация в виде C.6)
является весьма общей и с некоторыми изменениями применима
к оптическим модам в волноводах, о чем мы еще поговорим в
разд. 6.8.
Возвращаясь к системе, изображенной на рис. 3.1,
воспользуемся тем обстоятельством, что амплитуды ai и а2 можно
выбрать как независимые переменные, тогда t>i и Ь2 будут
линейными функциями амплитуд а{ и а2. Система описывается
матрицей рассеяния
bi = 5na1 + 512a2, C.8)
b2 = S2ia1 + S22a2. C.9)
Уравнения C.8) и C.9) описывают рассеяние в системе,
имеющей два входа. Эти уравнения носят весьма общий характер, их
можно применить для описания излучения на входных и
выходных концах волноводов или оптических пучков конечного
сечения, а не только в случае плоских волн. При этом величины
|а/|2 и )Ь/|2 должны быть нормированы таким образом, чтобы
каждая из них представляла собой мощность волны.
Отражение ТЕ-волны от границы раздела (см. разд. 2.1)
является примером конкретного возбуждения конкретной
системы с двумя входами. Чтобы лучше понять развитый здесь
формализм, применим его к решению этой задачи. Нормированные
амплитуды волн даются выражениями C.7) при г = 0.
Элементы матрицы рассеяния, определенные в разд. 2.1, запишутся
в виде
yd) __ уB)
t#' (ЗЛ0)
оуО)
= 2 a/YB)IY{{) C 11)
Замена Е+УЕ+* на 1 + ГA) следует из непрерывности
тангенциальной составляющей поля Е на границе раздела двух сред.
Величину 522 получим из C.10), поменяв местами индексы
1 и 2:
S22=-Sn. C.12)
Полное электрическое поле в среде 1 на границе раздела
связано с ai и bi соотношением

74 Гл. 3. Зеркала и интерферометры
Тангенциальная составляющая магнитного поля равна
b,)^. C.14)
Заметим, что средняя по времени плотность потока мощности
дается выражением
— 4- Re [Е«>Н<»>-] = | а, |» — | bt p C.15)
и что в нее не входит волновая проводимость, когда в правой
части стоят величины ai и Ьь Аналогичные выражения
получаются и для ТМ-волн.
Соотношение C.8) и C.9) удобно записать в матричной
форме, определив два вектор-столбца
а
а также матрицу второго ранга
S
ГЧ и ГЧ
L a2 J 1Ъ2У
[Оц О12 
<>2\ *~>22 J
В этих обозначениях соотношения C.8) и C.9) заменяются
компактным выражением
b = Sa. C.16)
3.3. Свойства матрицы рассеяния [2—4]
Если линейная система, описываемая матрицей рассеяния S»
обладает свойством взаимности, то элементы матрицы
рассеяния должны удовлетворять условию взаимности. При
отсутствии потерь в системе на матрицу накладывается также
условие нулевых потерь. Наконец, дополнительные ограничения
вытекают из условия обратимости времени, которому подчиняются
решения уравнений Максвелла для линейной системы без
потерь. В этом разделе мы рассмотрим все указанные условия.
Их удобно использовать при описании линейной системы с
помощью матрицы рассеяния, поскольку они могут служить для
контроля правильности расчетов или же для определения
неизвестных элементов матрицы по известным.
Рассмотрим сначала принцип взаимности и запишем его
с использованием волновых амплитуд а и Ь.
В качестве поверхности 5 в C.5) выберем цилиндрическую
поверхность, охватывающую рассматриваемую систему таким
образом, чтобы торцы цилиндра совпадали с входной и
выходной плоскостями системы. Для систем с конечными размерами

3.3. Свойства матрицы рассеяния
75
поперечного сечения выбор цилиндрической поверхности не
приводит к трудностям при решении задачи; поверхность
проводится за пределами области, которая содержит поле (рис. 3.2, а).
Когда же принцип взаимности применяется к бесконечным
плоским волнам, идущим под некоторым углом к опорным
плоскостям, то возникают следующие две трудности:
а) В зависимости от координаты, скажем ху поля изменяются
в виде ехр(—jkxx) (см. рис. 3.2,6), и если принцип взаимности
C.5) применить к волновым решениям, распространяющимся
под тем же углом, то в подынтегральные выражения в C.5)
войдет ехр(—2jkxx).
б) В выражении C.5) под знаками интегралов появятся
вклады от цилиндрической поверхности (рис. 3.2,6).
Поверхность 5
а, N
> 1 '
1 |
\ |
Входная
плоскость
а
Поверхность «S
Боковая поверхность
цилиндра
У
i I
j
1 i ^
1 а2
1
j
Выходная
плоскость
Выходная
плоскость
Боковая поверхность
цилиндра
Рис. 3.2. а — схематическое представление линейной системы, связанной
с двумя волноводами; на боковой поверхности цилиндра 5 поля равны нулю;
6 — отражение и пропускание плоской волны от слоистой среды.

76 Гл. 3. Зеркала и интерферометры
Обе эти трудности удастся устранить, если выбрать в
качестве решений (а) и (Ь) волны с теми же по величине углами
падения, но имеющими противоположные знаки, так что
ехр(— jk{x)x) = exp(jk{x)x). Заметим, что благодаря симметрии
задачи матрицы рассеяния для двух решений в
плоскопараллельной системе идентичны. Вклады интеграла \ [Е(а) X Н(Ь)] • da
по боковой части поверхности 5, указанной на рис. 3.2,6,
уничтожаются, в чем легко убедиться, рассмотрев
соответствующие потоки Е(а) X Н(Ь>. Таким образом, в выражении C.5)
интеграл по всей поверхности сводится к интегралам по торцевым
плоскостям цилиндра. Запишем один из этих интегралов череа
амплитуды волн [ср. с C.15)]:
C.17)
Аналогичное выражение можно получить и для \ Е{Ь) X Н(а) • day
s
переставив в C.17) верхние индексы (а) и (Ь). Длинная
строчка в правой части C.17) принимает в матричной записи более
изящный вид. Напомним, что матрица, транспонированная по
отношению к S и обозначаемая как St, получается из матрицы
S зеркальным отображением ее элементов относительно
главной диагонали. В частности, для квадратной матрицы второго
ранга
Г 5ц S2\ 1
L 012 О22 J
C.18)
Транспонирование вектор-столбца at дает вектор-строку
at = [a,, a2]. C.19)
С учетом этих определений выражение C.17) можно переписать
в виде
E<fl> X Н<*> • da = -
При этом из принципа взаимности C.5) следует, что
b(«>a<*> = a[fl)b<*); C.20)
здесь мы учли то, что bta = atb по определению
транспонирования вектор-столбца, и сократили члены в правой и левой
частях уравнения.

3.3. Свойства матрицы рассеяния 77
Пользуясь записью C.16) и учитывая то, что по
определению транспонированной матрицы
bt =
преобразуем C.20) к виду
a^)Sta(fe) = a<e>Sa<*>. C.21)
Поскольку а(а) и &{Ь) можно приписать произвольные значения
фазы и амплитуды, из C.21) следует, что
St = S, C.22)
т. е. матрица рассеяния линейной системы, удовлетворяющей
условию взаимности, симметрична. В случае системы с двумя
входами (двухполюсной системы) это значит, что
Сохранение мощности
Если в системе отсутствуют потери, то полный приток
мощности в систему должен быть равен нулю:
В матричной форме это соотношение запишется следующим
образом:
а+[1 -S+S]a = 0, C.24)
где 1 — единичная матрица, а верхний индекс + обозначает
комплексно-сопряженную транспонированную матрицу:
Поскольку «вектор» возбуждения а произволен, из C.24)
следует
S+S = l.
Таким образом,
S+ = S. C.25)
Матрица рассеяния системы без потерь является унитарной.
Полученные выражения в матричной записи справедливы не
только для системы с двумя входами, но и для системы с
любым числом входов. В случае двухполюсной системы
выражение C.25) можно записать через компоненты матрицы:
|5и|2 + |521|2=1, C.26)
|522|2 + |512|2=1, C.27)
ЗД2 + ад2 = 0. C.28)

78 Гл. 3. Зеркала и интерферометры
Матрица рассеяния двухполюсной системы имеет четыре
комплексные компоненты. Соотношение взаимности C.23)
исключает одну из них, и в качестве параметров системы мы имеем
три комплексных числа (или шесть вещественных параметров).
Уравнения C.26) — C.28) совместно с условием C.23)
образуют систему трех независимых вещественных уравнений. Таким
образом, двухполюсная система без потерь, удовлетворяющая
условию взаимности, полностью описывается тремя
вещественными параметрами.
Обращение времени
При отсутствии источников (J = 0) уравнения Максвелла
A.7) и A.8) инвариантны по отношению к замене времени t
на —t и поля Н на —Н. Аналогичное свойство сохраняется
и в более общем случае для изотропной диспергирующей среды,
у которой диэлектрическая и магнитная проницаемости зависят
от частоты. Если выражения A.41) и A.42) заменить на
комплексно-сопряженные при вещественных со, то вид уравнений
не изменится, а входящими в них полями будут Е* и —Н* при
условии, что е(о)) = е*((о) и jlx(со) = |л*(со). Это условие
выполняется для среды без потерь. Волна, движущаяся в
направлении +2 по закону ехр(—/(Зг), превращается в волну,
изменяющуюся по закону ехр(/|3г). Временная зависимость, которая по
определению имеет вид ехр(/со/), в сочетании с новой
пространственной зависимостью ехр(/Cг) описывает волну, движущуюся
в обратном направлении. Новые значения полей Е и Н будут
комплексно-сопряженными прежним значениям полей, причем
у Н поменяется знак.
Ограничения, накладываемые обратимостью времени на
элементы матрицы рассеяния, аналогичны (но не тождественны)
тем, которые вытекают из сохранения энергии. Для того, чтобы
это показать, заменим члены в C.16) на
комплексно-сопряженные:
b* = S V. C.29)
Значения Ь* можно интерпретировать как обращенные во
времени амплитуды отраженных волн (т. е. как падающие волны,
Ь*=>а). Аналогично а*=^Ь (см. рис. 3.3), и из C.29)
получаем
или

3.4. Матрица рассеяния полупрозрачного зеркала
79
Рис. 3.3. Возбуждение (а) и его обращение во времени (б).
Поскольку последнее уравнение описывает ту же двухполюсную
систему, что и C.16), то с необходимостью имеем
или
(з.зо)
Это условие отличается от условия, полученного в
предположении сохранения энергии C.25). Указанные условия
совместимы, только если матрица, комплексно-сопряженная матрице
рассеяния, равна комплексно-сопряженной транспонированной:
S* = S+.
Иными словами, S должна быть симметричной матрицей. Таким
образом, из обратимости времени и сохранения энергии
вытекает условие взаимности.
3.4. Матрица рассеяния полупрозрачного зеркала
Применим метод матрицы рассеяния к общему случаю
полупрозрачного (без потерь) зеркала, а именно к системе,
частично отражающей и частично пропускающей без потерь
падающую волну. Положение опорной плоскости 1 можно
выбрать таким образом, чтобы отраженная волна (рис. 3.4) была
в противофазе с падающей волной:
C.31)
[см. замечание в связи со свойствами коэффициента отражения
B.37)], или
C.32)

80
Гл. 3. Зеркала и интерферометры
Е?~Ьг
A)
Рис. 3.4. Полупрозрачное зеркало.
(г)
где г\ — положительное вещественное число. Таким же
образом можно расположить и опорную плоскость 2. Следовательно,
мы имеем
Su = — rl9 C.33)
S22 = -r2. C.34)
Условие взаимности C.23) требует, чтобы матрица S была
симметричной. Если в системе отсутствуют потери, то в
соответствии с выражениями C.26), C.27), C.33), C.34) можно
написать
I С 12 1 I С 12 1 «.9 /О Qf;\
|о21| = 1 — |оп| =1—Гу, (б.бЪ)
C.36)
I С 12 1 I С 2 1 Г2 1С 12
Стало быть, элементы матрицы 5ц = —г\ и 522 = —г2 равны
между собой, т. е. г\ = г2 = г, даже если система
несимметрична. Из выражения C.28) находим
В силу специального выбора опорных плоскостей отношение
S22/S11 равно единице; поэтому S\2 является чисто мнимой
величиной. Запишем 5i2 в виде
512 = //, C.38)
где t — коэффициент «прозрачности» (или прозрачность):
t = уГ^ГР". C.39)
Прозрачность / не обязательно должна быть положительной;
квадратный корень может быть взят с любым знаком. Благо-

3.5. Интерферометр Фабри — Перо 8t
даря особому выбору опорных плоскостей матрица S для
системы без потерь приведена нами к виду
C.40)
L ]l : —Г J
где
t=<\/l—r2. C.41)
Таким образом, матрица S содержит только один вещественный
параметр, который можно регулировать, а именно коэффициент
отражения г.
В представленном нами общем выводе матрицы S зеркала
не учитываются поляризация и угол наклона падающей волны,
которая может быть волной ТЕ, ТМ или их комбинацией.
Разумеется, г может быть функцией поляризации и угла падения.
Определяемая выражением C.40) матрица S обязательно
будет комплексной, если она описывает систему без потерь.
Необходимые фазы элементов S устанавливаются надлежащим
выбором опорных плоскостей. После того как были выбраны
опорные плоскости, а матрица S была приведена к виду C.40)
при какой-либо конкретной частоте о)о, эта матрица
оказывается уже непригодной для описания данной системы при
других частотах, поскольку 1) выбор опорных плоскостей зависит
от частоты, 2) г и t могут зависеть от частоты и 3) для
отрицательной частоты —(Do матрицу S нужно заменить на
комплексно-сопряженную, а у коэффициента пропускания
заменить знак. Из последнего утверждения следует, что матрица S
вида C.40) в принципе не может быть частотно-независимой.
В некоторых случаях удается выбрать опорные плоскости, так
что матрица S оказаывается частотно-независимой; однако при
этом ее вид будет отличаться от C.40) [см. соотношения
C.10) —C.12)].
3.5. Интерферометр Фабри — Перо [5—7]
Интерферометр Фабри — Перо находит множество применений;
он используется как узкополосный фильтр, как резонатор в
лазерах, его можно применить для анализа оптического спектра.
В этом разделе мы рассмотрим принцип действия
интерферометра Фабри — Перо, выведем для него матрицу рассеяния
и кратко расскажем о некоторых его применениях.
Интерферометр Фабри — Перо образуется двумя
полупрозрачными зеркалами, расположенными параллельно на
расстоянии / друг от друга. В общем случае расстояние / велико по
сравнению с длиной волны. Исследуем характеристику
пропускания интерферометра Фабри — Перо.

82
Гл. 3. Зеркала и интерферометры
Пусть, как показано на рис. 3.5, а, волна с частотой со
падает слева на зеркало 1, которое частично пропускает ее с
амплитудой jt\a\, а частично отражает с амплитудой —г\а\.
Прошедшая волна попадает на второе зеркало, куда она приходит
со сдвигом по фазе (am/с) cos 9/ = 6/2. Здесь доля —-r2(#i)X
У^е~1Ь12г1 отражается, а доля (jt2) (#i) e~~/6/2 aj проходит. Волна,
отраженная от зеркала 2, возвращается к зеркалу 1 с
добавочным фазовым сдвигом 6/2 и вновь отражается; таким
образом, после вторичного отражения от зеркала 1 мы имеем
*V2 ОЛ) е~]б а1в Волна с этой амплитудой, отразившись от
зеркала 1, вновь проходит тот же путь, что и первоначальна
Опорные
плоскости
зеркала 1
Опорные
плоскости
зеркала 2
а
Рис. 3.5. а — отраженные и прошедшие волны в интерферометре Фабри — Перо;
п — показатель преломления среды; б — к определению падающих,
отраженных и внутренних волн.

3.5. Интерферометр Фабри — Перо
83
пропущенная волна (/fi)ai. Каждое повторение этого процесса
эквивалентно умножению на г\Г2ег*ь. Суммарная амплитуда
волны, распространяющейся вправо от зеркала 1, в опорной
плоскости этого зеркала, расположенной справа от него (рис. 3.5,6),
дается выражением
а =
C.42)
Определив амплитуды а и аь можно перейти к отраженной
волне Ъ\ и полной внутренней волне b (рис. 3.5,6), используя
элементы матрицы рассеяния зеркала 1; таким образом, мы
можем написать следующие соотношения:
C.43)
C.44)
= /71а1 — г{Ъ.
Решая эти два уравнения относительно bi с учетом C.41),
получим
¦¦¦—nfT^-- (М5)
Выражение для прошедшей волны Ь2 следует из C.42) для
амплитуды а, но с задержкой ехр(—/6/2) и прохождения сквозь
зеркало 2:
Ь2=--^1_а, C.46)
Уравнения C.45) и C.46) содержат элементы Sn и S2i матрицы
рассеяния интерферометра Фабри — Перо. В силу взаимности
S21 = S12, а 522 получается из S\\ заменой индекса 1 на 2.
Таким образом, матрица рассеяния интерферометра Фабри —
Перо записывается окончательно в виде
S =
Г — ('i —
- Г[г2е~16 L -
. • •
; - (г2 - г{е-*
C.47)
В задаче 3.3 читателю предлагается проверить, выполняется
ли для этой матрицы S сохранение мощности. В завершение
анализа найдем из C.44) амплитуду b с учетом C.42):
/'Г1в~C48)
Важным свойством интерферометра Фабри — Перо является
то, что мощность прошедшего через него излучения зависит от
частоты. Мощность (на единицу площади) прошедшей волны

84
Гл. 3. Зеркала и интерферометры
дается выражением
I bo I2 = I So
я |2
A - r,r2J + 4r,r2 sin2 F/2)'
C.49)
В этом виде выражение для мощности прошедшей волны
справедливо также и для зеркал с потерями; при этом ru r2, t\ и t2
могут быть комплексными и не удовлетворять соотношению
C.41). Выражение упрощается, если t2 = t2= I — r\y т\ = т\ =
= r2 = R и t\ — t\ = 1 — R. При этом получаем
12 |
C.50)
Здесь /? — коэффициент отражения зеркал, определяемый как
отношение мощности отраженной волны к мощности падающей
волны. Спектр пропускания интерферометра показан на
рис. 3.6. Максимумы пропускания наблюдаются, когда 6/2 =
= (con/c)cos 0/ = тл, где m — целое число, т. е. когда частота
f = со/2я принимает одно значение из набора характеристик
1,0
\
i
|\ i
У
У
I i
У
к
^J_ I
Рис. 3.6. Пропускание идеального интерферометра Фабри — Перо; гх

3.5. Интерферометр Фабри — Перо 85
частот
fm = 2/i/ cos 9 ' C*51^
При этом условии расстояние I между внутренними опорными
плоскостями зеркал, измеренное вдоль волнового вектора,
направленного под углом 6 относительно нормали к плоскости
зеркала, составляет т полуволн. Частотное расстояние А/
между максимумами пропускания записывается в виде
Полоса пропускания интерферометра Фабри — Перо
определяется как частотное расстояние между максимумами
пропускания, выраженное в длинах волн ДА, (в вакууме):
I да, I = (-^) я = -^ cos e. C.53)
Полная ширина максимумов пропускания, определяемая на
полувысоте максимума, получается приближенно из соотношения
C.50) в предположении, что 1 —R <С 1 (см. рис. 3.6):
6/1/2 = {l~R)c . C.54)
11 2яУ/? я/cos6 V Т
Входящая в это выражение величина
я д/а р A/ /q кс\
называется резкостью интерферометра.
Рассмотрим теперь разрешающую способность (по длине
волны или частоте) интерферометра Фабри — Перо. Будем
считать две линии разрешимыми, когда их максимумы отстоят
друг от друга на ширину максимума пропускания 6/1/2.
Хроматическая разрешающая способность интерферометра Фабри —
Перо дается выражением
C.56)
'1/2
М/2
Следует сравнить эту величину с хроматической разрешающей
способностью B.61) спектрометра с дифракционной решеткой.
Роль mN здесь играет параметр FBcosQI)/'k. Резкость F можно
довести до 30—50, прежде чем на разрешающей способности
начнут сказываться другие факторы, такие, как точность
установки зеркал. Зеркала могут находиться на расстоянии одного
метра и больше друг от друга, так что указанный параметр
для видимой области спектра может достигать нескольких
сотен тысяч. Таким образом, хроматическая разрешающая спо-

86 Гл. 3. Зеркала и интерферометры
собность у интерферометра Фабри — Перо может быть намного
выше, чем у спектрометра с дифракционной решеткой.
Так называемый сканирующий резонатор Фабри — Перо,
установленный перед детектором излучения, можно
использовать в качестве анализатора спектра. Чтобы показать это,
определим расстояние, на которое следует сместить зеркало,
чтобы перейти от m-й моды к моде, отличающейся от нее
одним межмодовым расстоянием c/B/cosO) (в вакууме п = 1).
В дальнейшем будем считать, что 6 = 0, cos0=l
(исследуемый пучок коллимируется таким образом, что его можно
аппроксимировать бесконечной плоской волной с
перпендикулярным зеркалу волновым вектором). Для частоты m-й моды fm
из C.51) имеем (п — 1)
fml = mc/2. C.57)
Таким образом, изменение расстояния Д/ связано со сдвигом
частоты Afm соотношением
AL/L = -A///. C.58)
Для сдвига частоты, равного межмодовому расстоянию с/21,
из C.57) и C.58) находим
Перемещая одно из зеркал на Х/2, мы сдвигаем всю картину
пропускания, изображенную на рис. 3.6, на один шаг (на одно
расстояние между максимумами).
Предположим теперь, что положение зеркал на расстоянии
Х/2 меняется как функция времени. Если освещать систему
плосковолновым параллельным пучком света, содержащим
различные спектральные компоненты, занимающие участок спектра,
равный или меньший Д/, то интенсивность прошедшего
оптического излучения как функция времени будет соответствовать
спектральному распределению |ai(co)|2, при условии что
ширина максимума пропускания много меньше, чем ширина
спектра |ai(co)|2. На выходе детектора, помещенного за
зеркалом, будет регистрироваться спектр | ai (со) |2.
Система, аналогичная интерферометру Фабри Перо,
используется в качестве лазерного резонатора. Расчет лазерного
резонатора, который мы подробно проделаем в гл. 5, начинается
с определения резонансной моды в подобной интерферометру
Фабри — Перо структуре в пределе идеального коэффициента
отражения зеркал (нулевые потери). Представленный в данном
разделе анализ обеспечивает методы расчета таких
резонансных мод. Для этого вернемся к выражению C.42), которое
определяет амплитуду а волны, выходящей из зеркала 1 внутри

3.5. Интерферометр Фабри — Перо 87
интерферометра Фабри — Перо, возбуждаемого волной аь
В случае когда г\ = г2 = 1 и 9 = 0, при ai ф 0 выражение
C.42) обращается в бесконечность на тех частотах, для
которых б = 2тп. Однако при нулевой накачке (ai->0) в
резонаторе может существовать волна конечной амплитуды. Это
соответствует резонансу, при котором плоская волна с собственной
частотой многократно отражается между двумя идеально
отражающими зеркалами, образуют резонансную моду
интерферометра Фабри — Перо. Следует заметить, что мощность,
пропускаемая проходным резонатором Фабри — Перо, имеет
максимумы на тех же частотах, что и резонансы в «закрытом»
резонаторе Фабри — Перо. Волна b внутри резонатора у зеркала 1
(см. рис. 3.5,6) связана с волной а соотношением [ср. C.42)
и C.48)] Ь = —а. Поскольку в волне а электрическое поле
соответствует Е+ (волна, бегущая в прямом направлении в
резонаторе), а в волне b мы имеем ?_ (обратная волна в
резонаторе), полный вектор электрического поля Е в правой опорной
плоскости зеркала 1 равен нулю; опорная плоскость лежит в
плоскости узлов электрического поля. То же самое относится
к левой опорной плоскости зеркала 2.
Интерференционные фильтры
Наиболее распространены интерференционные фильтры,,
рассчитанные на пропускание узкой полосы спектра и
подавление всех частот, лежащих вне этой полосы. Такими фильтрами
являются тонкопленочные интерферометры Фабри — Перо,
изготовленные нанесением металлической пленки на обе
поверхности диэлектрической пластинки.
Напыленные металлические пленки делаются очень
тонкими и полупрозрачными. Они служат зеркалами
интерферометра Фабри — Перо, расстояние между которыми
определяется толщиной диэлектрической пластинки. Оптическая
толщина такого слоя определяется соотношением т = 2nd, где п —
показатель преломления диэлектрической пластинки, am —
целое число, обычно выбираемое равным 1 или 2. На частотах,
сильно отличающихся от частоты, на которую рассчитывается
фильтр, возникают нежелательные максимумы пропускания,
которые подавляются, например, с помощью стеклянного
светофильтра, играющего роль подложки.
Интерференционные фильтры можно сконструировать таким
образом, что они будут иметь очень узкую полосу пропускания,
но при этом в жертву нередко приходится приносить
прозрачность. Типичной для интерференционного фильтра является,
например, полоса пропускания шириной 7 нм при 70 %-ном
пропускании в максимуме.

88
Гл. 3. Зеркала и интерферометры
3.6. Интерферометр Майкельсона [6]
Мы показали, что сканирующий интереформетр Фабри — Перо
позволяет исследовать спектральный состав падающей световой
волны. Интерферометр же Майкельсона дает возможность
измерять автокорреляционную функцию, фурье-преобразование
спектра. В то время как интерферометр Фабри — Перо
идеально приспособлен для анализа узкополосных процессов,
интерферометр Майкельсона удобен для исследования
широкополосных оптических спектров. В этом разделе мы получим
матрицу рассеяния интерферометра Майкельсона, а в
следующем разделе покажем, как с помощью этого интерферометра
можно измерить автокорреляционную функцию.
Схема интерферометра Майкельсона показана на рис. 3.7.
Падающая волна ai разделяется полупрозрачным зеркалом
(г =1/^/2, /=1/д/2) на две компоненты. Первая компонента
„Вход1' /
„ Выход"
Зеркало Мь
Плечо Ь длиной 1ь
Полупрозр.
зеркало
/
J
\ /~р~
Плечо а длиной 1а
Зеркало Ма
Р
' Плоскость наблюдения
Рис. 3.7. Интерферометр Майкельсона.

3.6. Интерферометр Майкельсона 89
идет горизонтально на рисунке вдоль плеча а к
концевому зеркалу, и, отразившись от него, возвращается назад
с фазовым множителем —ехр(—j2kla), где k = со/с. Вторая
компонента (— 1/д/2а,) идет вертикально вдоль плеча Ъ и
возвращается обратно с фазовым множителем —ехр(—j2klb).
На «выходе» полупрозрачного зеркала эти компоненты
соединяются и дают волну Ь2:
Ь2 = у ехр (— j2kla) Zi + j exp (— j2klb) a{ =
= j exp [- jk (la + lb)\ cos k (la - lb) a{ = S2la{. C.59)
Амплитуда отраженной волны на входной опорной плоскости
записывается в виде
bj = у [ехр (- J2kla) - ехр (- \2ЫЬ)\ ах =
= - / ехр [- jk Aа + lb)] sin * Aа - lb) a, = Snale C.60)
Матрица рассеяния интерферометра Майкельсона имеет вид
— sin k (Iа — lb) cos k (L — L
! i
[
Элемент S22 получается из 5ц взаимной перестановкой величин
1а и 1ь. Это следует непосредственно из конструкции
интерферометра (рис. 3.7) или же из условия отсутствия потерь C.28).
Мощность прошедшего излучения дается выражением
| Ь212 = | S21121 а, |2 = cos2 k Aа - lb) | ax p. C.62)
Таким образом, в отличие от интерферометра Фабри — Перо,
частотная характеристика интерферометра Майкельсона имеет
не столь острые максимумы пропускания.
Если в плоскости наблюдения поместить экран (рис. 3.7),
направить в интерферометр свет определенной частоты и
перемещать одно из зеркал параллельно самому себе, то
освещенность экрана будет меняться от максимальной до нулевой и
обратно всякий раз, как разность хода 1а — h меняется на
четверть длины волны. Если зеркало Ма слегка наклонить на угол
0/2, как показано на рис. 3.8, то волна, идущая от зеркала Ма
и отраженная полупрозрачным зеркалом, будет
распространяться под углом 9 относительно волны, идущей вдоль плеча Ь.
Для волн, поляризованных в направлении оси у (рис. 3.8),
электрическое поле в волне Ь2 дается выражением [ср. с
C.59)]
80 у 2 ( COS 6
+ ехр(-Щ1ь)е-1**}гц,

90
Гл. 3. Зеркала и интерферометры
Волновой фронт волны,
отраженной от Ма
Волновой
венгтгор волны,
отгрсиксенной
от Ма
Рис. 3.8. Интерферометр Майкельсопа с наклонным зеркалом.
Угол 0 делается малым, чтобы интерференционные полосы
отчетливо наблюдались; при этом мы имеем cos 8 « 1, sin 0 « 8.
Поток вектора Пойнтинга (интенсивность) определяется в
плоскости z = const в зависимости от координаты х следующим
образом:
Распределение интенсивности имеет вид полос шириной Я/0.
Если угол 0 мал, то ширина полосы может быть сделана много
больше длины волны.
3.7. Когерентность [6]
В интерферометре Майкельсона происходит наложение двух
волн, которые интерферируют между собой. До сих пор мы не
считались с тем фактом, что эти волны могут иметь
статистический характер и интерференция поэтому окажется неполной.
В уравнение C.59) входит комплексная амплитуда ai,
которая полагается зависящей от времени по закону ехр(/со/). Если
мы имеем дело с периодическим процессом во времени, то
выражение C.59) следует рассматривать как уравнение, связы-

3.7. Когерентность 9t
вающее между собой коэффициенты фурье-разложения а\(п)
и Ъ2(п) по частоте о)« = яДо), где Дсо = 2я/Г; причем период
процесса (ср. с разд. 1.4):
а1(/)=Еа,(«)Л(. C.63)
П
Статистический (случайный) процесс можно рассматривать как
предельный случай периодического процесса при Г->оо.
В уравнении C.59), рассматриваемом как выражение для
одного фурье-коэффициента периодического процесса, можно
ввести зависимость от времени, умножив его на ехр(/пАсо/)
и суммируя по всем п. При k = (о/с имеем следующее
выражение:
Ь2 @ - | к (/ - ха) + а, (/ - т,)], C.64)
где
ха = 21а/с, хъ = 21ъ/с
Мы не вводим новых обозначений для функций времени; чтобы
отличать их от фурье-компонент, достаточно посмотреть на
аргумент в скобках. Удивительно появление множителя / в C.64),
так как из-за него амплитуды Ь2(/) оказываются мнимыми.
Придется поэтому пересмотреть наши исходные
предположения. Ранее мы уже упоминали, что S-матрица зеркала не
является частотно-независимой — при переходе к отрицательным
частотам ее нужно заменить на комплексно-сопряженную,
вычисленную для положительных частот. Полагая г = 1/д/2 и/=
= //д/2 Для всех частот, мы не учли того, что при переходе
к отрицательным частотам t следует заменить на —/, не говоря
уже о том, что сама величина г (а с ней и t) может зависеть
от частоты. Если оптический сигнал достаточно узкополосный,
то зависимостью г и t от частоты со можно пренебречь, но
переменой знака у t пренебрегать нельзя. Здесь мы выйдем из
затруднительного положения, дав новое определение парам
фурье-образов, рассмотренным в разд. 1.4, основанное на
одностороннем фурье-преобразовании. Этот способ часто
используется в квантовой оптике и позволяет избежать указанной
выше трудности.
Будем интерпретировать ai(tf) и Ь2(/) как комплексные
функции времени, спектр которых является односторонним и
представлен областью положительных частот. При этом
коэффициент пропускания полупрозрачного зеркала, равный ]/л/2
для положительных частот, автоматически поменяет знак в
выражении для h*2(t)y связанным со спектром отрицательных
частот.

92 Гл. 3. Зеркала и интерферометры
Средняя по времени мощность излучения, прошедшего через
интерферометр Майкельсона, запишется в виде
<1 Ь2 (О I2) = 4 {2 <| а, (() р) + (а, (/ - тв) а; (/ - т,)> +
+ О! (' - *.) а, (/ - т,))}, C.65)
где мы приняли во внимание, что <|ai(/)|2> не зависит от
времени. Для стационарного статистического процесса величина
<ai (' - *«) а; (/ - т,)) = (а, (/) а; (/ - т)) C.66)
есть комплексная автокорреляционная функция Гц(т) для
ai [6], где т = %ь — та. Детектор, регистрирующий среднюю по
времени мощность на выходе интерферометра, будет
показывать величину
|{ 1 } C.67)
Перемещая одно из зеркал, мы будем следить за вещественной
частью автокорреляционной функции. Если входной сигнал
сконцентрирован в узкой полосе частот с центром на частоте
соо, то его удобно записать следующим образом:
а1@ = А1(/)е/Ч C.68)
где k\(t) меняется со временем гораздо медленнее, чем
экспоненциальный множитель; функция k\(t) представляет собой
огибающую сигнала ai(/).
Корреляционная функция записывается в виде
Г11(т) = (А1(/)А;(/-т))^. C.69)
Корреляционная функция (Ai (t) A* (t — т)) обращается в нуль
при т много больших, чем время когерентности тс Время
когерентности по определению равно такому значению времени т,
при котором корреляционная функция уменьшается в е раз по
сравнению с ее величиной при т = 0. Зависимость Гц (т) + Гц (т)
от т дается выражением
1 (Г„ (т) + Г;, (т)) = | (А, @ A; (t - т)> | cos (%x + ф), C.70)
где ф — аргумент функции Гц(т). При перемещении одного из
зеркал интерферометра сигнал на выходе детектора проходит
через максимумы и минимумы в соответствии с отношением
<i Ai (о i2) +1 <а, (о а; (/ - т)> |

3.8. Интерферометр Тваймана — Грина
93
1
-с
-
1 1
1 1
1,0 \
'1
1
||
1
' 1
1
сиог
1
1
-
1
-SO
-40
О
а
40
so
-80
Рис. 3.9. Средняя по времени интенсивность как функция величины со0т.
а — со0тс = 16,6; б — со0тс = 1,66.
Таким образом удается определить величину нормированной
автокорреляционной функции
\(A{(t)A\(t-x))\
(А! (О | 2>
а с ней и время когерентности. Интерферометр Майкельсона
хорошо приспособлен для измерения временной когерентности.
На рис. 3.9 показаны зависимости «выходной» мощности
<|М0|2> от т для ДВУХ статистических процессов с
различными временами когерентности. Для иллюстрации мы выбрали
корреляционную функцию вида <Ai(/)Ai(/+ т)> = 1/chat при
а = const. Время когерентности т6 равно значению т, при
котором значение функции уменьшается в е раз; хс = 1,657/а.
Здесь предполагалось, что на вход интерферометра
Майкельсона поступает плоская волна с постоянной по всему
фронту амплитудой. Если же амплитуда а имеет статистический
разброс по волновому фронту, то такое излучение называют
пространственно-некогерентным (или частично когерентным).
Пространственная когерентность измеряется, как правило,
дифракционными методами, и мы ее рассмотрим в следующей главе.
3.8. Интерферометр Тваймана — Грина
и его применение [6]
Этот прибор (рис. 3.10) напоминает интерферометр
Майкельсона. Он используется для проверки плоскостности оптических
окон и других оптических элементов, важной характеристикой
которых является их пропускание (в противоположность
отражению).

94
Гл. 3. Зеркала и интерферометры
Источник
Л ъ.
V3"/;
<
Плоскость
наблюдения
/
\
^j
7
' Проверяемый
образец,
>
Картина
полос при
клиновидном
дефекте
Рис. 3.10. Интерферометр Тваймана — Грина; справа внизу представлена
картина интерференционных полос при клиновидном дефекте.
Интерферометр Тваймана — Грина использует коллимиро-
ванный свет; зеркала устанавливаются достаточно
параллельно, с таким расчетом, чтобы одна интерференционная полоса
перекрывала все поле зрения. Проверяемый объект (например,
плоскопараллельная пластина) вводится в одно из плеч
интерферометра. Появление в поле зрения новых полос будет
свидетельствовать о разности хода, возникающей внутри пластины,
когда пластина имеет, скажем, клиновидный дефект и с одного
края толще, чем с другого. Клиновидность, а вместе с ней и
неоднородность фазовой задержки через пластину эквивалентна
наклону зеркала, и в плоскости наблюдения появляются почти
прямые интерференционные полосы. Аналогично, если пластина
не вполне плоская, а имеет слегка сферические поверхности, на
экране возникнут кольцевые полосы.
Интерферометр Тваймана — Грина используется также для
контроля линз. Для этого одно из зеркал заменяют маленькой
зеркальной сферой, а линзу располагают так, чтобы центр
сферы находился в ее фокусе. Если качество линзы высокое, та
возвращающийся от сферы сквозь линзу пучок будет колли-
мирован. При наличии аберраций или других дефектов линзы
фронт возвращающейся волны не будет плоским и на экране
появятся полосы, позволяющие судить о качестве линзы.
3.9. Заключение
Мы ввели понятие линейной двухполюсной системы,
описываемой линейными соотношениями, связывающими две падающие
и две отраженные волны. Матрица рассеяния двухполюсной
системы имеет ранг, равный двум, и содержит четыре комплекс-

3.9. Заключение 95
ных коэффициента, которые в общем случае являются
функциями частоты. Принцип взаимности накладывает на матрицу
рассеяния требование симметричности. Если в двухполюсной
системе отсутствуют потери, то возникает еще три
вещественных соотношения, связывающие элементы матрицы рассеяния,
так что остаются три независимых вещественных параметра.
Два из них устраняются выбором двух опорных плоскостей,
и остается единственный параметр — коэффициент отражения.
Таким способом мы получили матрицу рассеяния для
полупрозрачного зеркала. В общем случае выбор опорных плоскостей
зависит от частоты.
Для анализа интерферометра Фабри — Перо мы
просуммировали волны, многократно отражающиеся между двумя
зеркалами, и получили описывающую его матрицу рассеяния.
Поскольку расстояние между зеркалами обычно намного
превышает длину волны, а максимумы пропускания имеют место,
когда расстояние между заркалами равно целому числу
полуволн, характеристика пропускания мощности у интерферометра
Фабри — Перо проявляет очень резкую зависимость от частоты.
Сканирующий интерферометр Фабри — Перо позволяет
анализировать спектр падающей волны, если этот спектр является
более узким, чем межмодовое расстояние. В основном по
принципу интерферометра Фабри — Перо устроен также резонатор
в лазерах. В пределе идеально отражающих зеркал на частотах,
при которых между опорными плоскостями зеркал
укладывается целое число полуволн, для интерферометра Фабри —
Перо существует решение, описывающее стоячую волну внутри
резонатора. Соответствующие этим решениям распределения
поля внутри резонатора называются резонансными (или резо-
наторными) модами колебаний.
Матрица рассеяния интерферометра Майкельсона проявляет
более плавную зависимость от частоты, чем у интерферометра
Фабри — Перо. Интерферометр Майкельсона можно
использовать для измерения временной когерентности падающего на
него света через отношение максимумов и минимумов
интенсивности прошедшей волны. Таким образом можно определить
автокорреляционную функцию исследуемых колебаний.
Согласно результатам разд. 1.5, спектральная плотность и
автокорреляционная функция связаны между собой
преобразованием Фурье. Соответственно как интерферометр Фабри —
Перо, так и интерферометр Майкельсона дают в принципе одну
и ту же информацию, но в различном объеме и с разной
степенью трудности ее получения. Сканирующий интерферометр
Фабри — Перо однозначно разрешает узкие спектры, в то время
как возможности интерферометра Майкельсона ограничиваются
временами когерентности, меньшими, чем разность времен
прохождения в обоих плечах интерферометра. Интерферометр

96 Гл. 3. Зеркала и интерферометры
Тваймана — Грина, представляющий собой разновидность
интерферометра Майкельсона, служит удобным инструментом для
проверки плоскостности оптических элементов.
Задачи
3.1. Пользуясь обратимостью времени, покажите, что нулевое отражение под
углом Брюстера наблюдается при переходе плоской волны как из среды
с малым показателем преломления в среду с большим показателем
преломления, так и из среды с большим показателем преломления в среду
с малым показателем преломления Покажите, что пластина, на которую
плоская волна падает под углом Брюстера, обеспечивает полное
пропускание без отражения на обеих границах раздела.
3.2. Проверьте коэффициенты S-матрицы, определяемые выражениями
C.10) — C 12), на сохранение мощности для ТЕ-волны, падающей на
поверхность диэлектрика и отражающейся от нее
3.3. Исследуйте S-матрицу интерферометра Фабри — Перо, даваемую
выражением C 47), на сохранение мощности
3.4. Двухполюсные системы, помимо матрицы рассеяния, могут быть описаны
и другими матрицами Взяв за независимые переменные амплитуды at
и bi, можно записать следующие соотношения (рис. 33.4):
а) Запишите элементы Т-матрицы через элементы матрицы рассеяния.
Покажите, что det|T| = 1, если Si2 = S2i.
б) Найдите Т-матрицу для зеркала без потерь с коэффициентом
отражения г.
Рис. 33.4.
3.5. Определенная в задаче C 4) Т-матрица особенно удобна для анализа
каскада двухполюсных систем. Рассмотрим двухполюсные системы а
и р (рис. 33.5). Выход системы а является входом системы |3; кроме
того, va=Taua, Ур=Трир=ТрУ2^ТрТаи(х. Матрица Т каскада
двухполюсных систем есть матричное произведение матриц Т отдельных систем,
образующих каскад.
а) Найдите Т-матрицу, описывающую распространение прямой и
обратной волн, волновые векторы к которых направлены под углом 6 к оси z,
между опорными плоскостями z = 0 и z = /.
б) Получите Т-матрицу интерферометра Фабри — Перо, рассматривая
его как каскад, состоящий из зеркала, вакуумного слоя толщиной / и
еще одного зеркала. Покажите, что отношение \/Таь для каскада равно
элементу S2i матрицы рассеяния S, определяемой выражением C.47).

Задачи
97
If
af>
=
= u»
I«
bf'j
a? i b<*>
Рис. 33.5. Преобразование, производимое каскадом двухполюсных
систем.
3.6. Пусть потери за один проход волны в симметричном интерферометре
Фабри-Перо равны L(< 1). Эти потери можно учесть в матрице
пропускания каждого зеркала, положив
Используя этот прием в C.49), определите зависимость мощности
прошедшего сигнала от L при данном г.
3.7. При /ч ф г2 определите резкость интерферометра Фабри — Перо, т. е.
межмодовое расстояние, деленное на полную ширину полосы
пропускания. Найдите мощность, передаваемую в режиме резонанса, как функцию
величины R{ = г\ и R2 = r\. Покажите, что коэффициент пропускания
мощности равен единице при R\ = Rz и меньше единицы в остальных
случаях.
3.8. Частоты, излучаемые лазером с резонатором Фабри — Перо, могут быть
определены по формуле C.50). Лазерная среда обладает усилением,
поэтому k=((dlc)n следует заменить на (со/с)/z + ja,g, где ag > 0 —
пространственная скорость нарастания амплитуды. При этом величина б
становится комплексной! (Будем считать, что /ч = г2.)
а) Найдите для симметричного интерферометра Фабри — Перо
отношение прошедшей мощности к падающей при нормальном падении волны
(9 = 0) как функцию величины agl при резонансе [(со/с)п/ == ттс].
б) Каким должно быть усиление е ё , чтобы это отношение стало
бесконечным? При этом значении agl интерферометр Фабри — Перо имеет
выходную мощность при отсутствии входной: он переходит в режим
лазерной генерации.
3.9. Гелий-неоновый лазер, работающий на линии X = 6328 А, может
генерировать на несколько различных частотах, соответствующих
резонансным модам, отстоящим друг от друга на А/= с/2/ [ср. с C.52)].
Допустим, что излучение на трех модах а(*> (к = 1, 2, 3) имеет
одинаковую амплитуду, а фазы этих мод имеют во времени случайный характер.
Пусть на вход интерферометра Майкельсона падает волна &\ = ]Г ^k\
Запишите интенсивность выходного сигнала интерферометра <|Ьг|2> в
виде функции от la — h.
3.10. При определенном подборе расстояния между зеркалами в
интерферометре Майкельсона выходная волна Ьг отсутствует. Задача состоит в
том, чтобы определить зависимость отраженной волны b! на входе интер-

98 Гл. 3. Зеркала и интерферометры
ферометра от длин плеч 1а и h. Как зависит отношение для стоячей
волны
на входе от 1а и 4? Что можно сказать о сохранении мощности?
ЛИТЕРАТУРА
1. Kurokawa /С, An Introduction to the Theory of Microwave Circuits,
Academic Press, New York, 1969, p. 219.
2. Collins R. ?., Foundations for Microwave Engineering, McGraw-Hill, New
York, 1966.
3. Slater J. C, Microwave Circuits, McGraw-Hill, New York, 1950.
4. Ghose R. N.t Microwave Circuit Theory and Analysis. McGraw-Hill, New
York, 1963.
5. Fabry C, Perot A.y Theorie et applications d'une nouvelle methode de spec-
troscopie interferentielle, Ann. Chim. Phys., 16, 115 A899).
6. Born M., Wolf ?., Principles of Optics, Macmillan, New York, 1964.
[Имеется перевод: Борн M.t Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970.]
7. Yariv Л., Introduction to Optical Electronics, Holt, Rinehart and Winston,
New York, 1976. [Имеется перевод: Ярив. А. Введение в оптическую
электронику. — М.: Высшая школа, 1983.]

Глава 4
Дифракция Френеля в параксиальном
приближении
Предшествующие главы были посвящены вопросам
распространения, отражения и пропускания плоских волн, а также
рассмотрению систем, в которых имеют место эти явления.
Поперечное сечение любого реального оптического пучка конечно.
Пучки конечного сечения могут быть представлены в виде
суперпозиции плоских волн, аналогично тому, как функция
времени на ограниченном отрезке может быть представлена в виде
фурье-разложения по синусам. Параксиальное приближение
упрощает анализ распространения пучков конечного сечения,
которым мы займемся в настоящей главе. Пользуясь
представлением такого пучка в виде суперпозиции плоских волн,
выразим его свойства через интеграл дифракции Френеля в
параксиальном приближении. Мы рассмотрим также дифракцию Фраун-
гофера, которая представляет собой предельный случай
дифракции Френеля для больших расстояний («приближение
дальней зоны»). Будет исследована картина дифракции Фраун-
гофера на прямоугольном отверстии и на нескольких таких
отверстиях. Затем мы разберем действие тонкой линзы на пучок
света и покажем, что линза осуществляет пространственное
фурье-преобразование пучка.
В заключение мы рассмотрим альтернативный подход к
анализу оптических пучков, а именно метод параксиального
волнового уравнения, и выясним связь между этим уравнением
и интегралом дифракции Френеля.
4.1. Дифракционный интеграл Френеля [1, 2]
Дифракционный интеграл Френеля описывает распределение
амплитуды скалярной волны (подобной волне давления) в
любом сечении z = const через начальное распределение при 2=0.
Для того чтобы применить скалярную теорию дифракции
к электромагнитному полю, мы должны заменить волновое
уравнение электромагнитного поля скалярным волновым
уравнением.
В гл. 2 мы изучали распространение комплексного
электрического поля, связанного с плоской электромагнитной волной,

100 Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
имеющей частоту со и волновой вектор к. Такое поле
описывается векторным волновным уравнением A.52). Скалярное
волновое уравнение получается из векторного волнового
уравнения, если искать решения в виде пг|)(л:, у, г), где п —
единичный вектор, a i|)(x, у, z)— скалярная функция. Мы упоминали
уже, что в вакууме электрическое поле должно быть
бездивергентным, и поэтому представление Е в виде m|)(x,у,г), вообще
говоря, неправомерно.
В вакууме векторный потенциал также подчиняется
векторному волновому уравнению A.29), и дивергенция V-A не
обязательно равна нулю; она просто определяет скалярный
потенциал Ф в виде выражения A.26). Таким образом, если мы
примем в A.29) функциональную зависимость
А (г, 0 = пф(*, у,г)е№, D.1)
то получим
= 0. D.2)
Амплитуда г|)(х, у, г) векторного потенциала подчиняется
скалярному волновому уравнению, и на г|) не накладывается
никаких других ограничений. Решениям скалярного волнового
уравнения можно вернуть векторный характер потенциала путем
надлежащей идентификации поляризации поля.
Общее решение скалярного волнового уравнения в виде
плоской волны в декартовых координатах записывается как
причем
k2x + k2y + k\ = k2 = со2/'с2 = Bя/ЛJ. D.3)
Если волновой вектор к направлен под небольшим углом к оси z
(рис. 4.1), то он является параксиальным, и мы можем написать
kz = Yft2-/?-*! «*_(*!+ kl)/2k. D.4)
Это и есть параксиальное приближение для г-компоненты
вектора к. Ограничимся рассмотрением полей волн, которые
подчиняются этому условию. Фазовый множитель ехр(—jkz) в
дальнейшем не будем выписывать в явном виде. Определим
функцию
* (х, У,*) = и (х, у, г) ехр (— jkz), D.5)
и будем использовать u(x,yyz) в качестве распределения
амплитуды. Когда же мы будем искать полное волновое решение,
то будем вновь записывать множитель ехр(—jkz).

4.1. Дифракционный интеграл Френеля
101
Рис. 4.1. Разложение волнового вектора к.
Представим амплитудное распределение u(x,y,z) в виде
суперпозиции плоских волн [ср. с A.77)]:
и(х,у,г)=\" с1кхГ U0(kx, ^
J —OO * —OO
D.6)
Здесь Uo(kxyky)—амплитуда решения в виде плоской волны
с определенными поперечными компонентами вектора k: kx и ky.
Для того чтобы параксиальное приближение было
справедливым, функция Uo(kx,ky) должна обращаться в нуль для
аргументов, лежащих за пределами области
«1.
Смысл функции Uo(kx,ky) станет ясен, если заметить, что при
z = 0 амплитудное распределение uo(xty) в соответствии с D.6)
можно записать в виде
Щ
(*,*/)= Г dkx\°° U0(kx,ky)e-f(k*x+hyyUky. D.7)
Функция U q (kx, ky) — фурье-образ распределения амплитуды
ио(х,у) при z = 0. Выражая U0(kx,ky) через ио(х,у) с учетом

102 Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
A.78), получим
^JГГ Пк+к)Уо- D.8)
В параксиальном приближении, которое справедливо в том
случае, когда поле можно представить в виде суперпозиции волн
с параксиальными волновыми векторами, решение скалярного
волнового уравнения u(x,y,z) удается представить через
известное начальное распределение ио(х,у) при z = 0. Объединяя
D.6) и D.8), имеем
и (х, у9г) = \°° dxo\°° щ (*0, у0) dy0 (-j-) \ dkx \ dky X
J _оо J — оо ч *">ь ' J — оо J — оо
X e~f I ** (x-*o)+ky (У-*о)]е1 [(kl+4)/2k] \ D.9)
Это выражение является сверткой распределения ио(х,у) с
ядром Френеля
D.10)
Интегралы в D.10) можно вычислить, дополнив показатель
степени до полного квадрата. Рассмотрим интеграл по kx:
где
*2_ j [kx-k(x/*)]2Z
Аналогично поступим и с интегралом по ky. В результате для
ядра Френеля получим
h(x, у, z) = ^е-да+м. D.11)
Подстановка D.11) в D.9) дает дифракционный интеграл
Френеля в параксиальном приближении:
и (х, у, г) = ^ Г dx0 \ °° щ (*0, У о) е~
Л'6 J —оо J— оо
Этот интеграл полезен тем, что он позволяет во многих
случаях сделать разумные предположения о начальном
распределении Uo(xo, yo). Если, например, плоская волна падает на
тонкий поглощающий экран с отверстием (рис. 4.2), то волна будет

4.1. Дифракционный интеграл Френеля
103
Волновые фронты ^
падающей плоской
z=0
Рис. 4.2. Поглощающий экран с отверстием.
поглощаться всюду, кроме отверстия, сквозь которое она
пройдет с минимальными возмущениями, если диаметр отверстия
много больше длины волны X. Распределение векторного
потенциала при г = 0 справа от экрана в случае, когда
электрическое поле поляризовано вдоль оси у, запишется в виде
и распределение и(х0, у0) однородно в пределах отверстия и
равно нулю в остальной части экрана.
Дифракционный интеграл Френеля показывает, как
изменяется распределение Uo(xq,у0) при распространении волны
в вакууме. Функция h(x, yy z) в D.12) является
пространственным «импульсным откликом» дифракционной оптики на
возбуждение при х = у = z = 0. Это станет очевидно, если
заметить, что выражение D.12) должно давать ио(хоУу0) в пределе
Z-+0. Чтобы наглядно представить себе, каким образом
функция h действует как импульсный отклик, можно рассмотреть
с помощью D.11) ее поведение в пределах малых z. Фаза
величины h как функция х и у имеет нулевой наклон при х = 0,
у = 0 (т. е. фаза стационарна), но затем, когда в пределе
z-*0 значения х и у получают конечные приращения,
изменяется бесконечно быстро. Свертка функции ио(хо, у0) с
Hm2->o h (x, у у z) воспроизводит исходную функцию, так как и
дает вклад в интеграл только в точке, где фаза h стационарна.

104 Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
Кроме того, интеграл D.12) показывает, что на тех
расстояниях z, на которых h еще не претерпевает значительного «уши-
рения», распределение и(х,ууг) останется примерно таким же,
как и Uo(xOi у о); первые нули функции h вблизи х = у = 0
должны занимать область, значительно меньшую, чем та, на
которой по заметно меняется. Пусть заметные изменения
распределения u{x,y,z) происходят лишь на масштабе Ax^dXt
Ay ^ dy. До тех пор пока
-§5"<#»я, -^4» я, DЛЗ>
и(х> У> z) практически не зависит от г. Волна с конечной
поперечной протяженностью сохраняет свой профиль, когда она
распространяется в «ближней зоне», определяемой условием
г < dllK
Можно показать также, что в пределах ближней зоны профиль
с наклонным волновым фронтом:
Щ (*о> Уо) = fo (ха> Уо) e"fkxX°
не искажается, а лишь сдвигается в поперечном направлении;,
когда волна распространяется вдоль оси г. Здесь
предполагается, что /о(*о, Уо) медленно изменяется в зависимости от х0
по сравнению с ехр(—jkxxo). Уравнение D.12) дает
« /0(* _ Ь.г, у) e-'Ve/(W('/)^, D.14)
где мы воспользовались тем, что
] и
в пределе малых z имеют характер единичных импульсов.
Мы ясно видим сдвиг профиля в аргументе х — (kxz)/k.
Кроме того, имеет место наклон волнового фронта, что
выражается множителем e~ikxX. Наконец, наблюдается изменение
фазового сдвига в силу того, что волновой вектор к направлен
под углом к оси z (это отражается наличием члена с kx/k).
В координатах фурье-преобразования [т. е. в терминах
амплитудной функции U0(kXi ky)] распространение волны в
вакууме описывается намного проще, чем с помощью D.12). Из
выражения D.6) мы видим, что функция U(kx, ky, г), являю-

4.1. Дифракционный интеграл Френеля 105
щаяся фурье-образом распределения и(х, у, z), имеет вид
U(kx, ky, z) = U0(kx, ^)е'[(*1+4)АФ D.15)
Определим функцию
^в'К**+*')/2*к D.16)
которая является фурье-образом функции h(x, у, z). В этих
обозначениях выражение D.15) записывается в следующем
сокращенном виде:
U (kxt kV9 z) = BяJ Н {kxy ky, z) Uo (kx, ky). D.17)
В пространстве фурье-преобразования, согласно теореме о
свертке, свертка двух функций заменяется произведением их
фурье-образов.
Во всех наших рассуждениях о распространении волны вдоль
оси z направление п векторного потенциала выбирается в
плоскости ху. Таким образом, электрическое поле Е будет
поляризовано главным образом в плоскости ху, хотя будет
присутствовать и небольшая продольная компонента, существование
которой необходимо для выполнения условия V-E = 0. Это
следует из соотношений A.23) и A.26), примененных к векторному
потенциалу в комплексной форме. Действительно, в силу A.23)
электрическое поле запишется в виде
D.18)
а скалярный потенциал
ф = —1— v-A. D.19)
Таким образом,
D.20)
Если к = пи{ху у, г)ехр(—jkz) поперечна к оси г, дивергенция
включает производные по значительно более медленным
поперечным изменениям. Скалярный потенциал дает вклад в
продольную компоненту электрического поля, которая гораздо
меньше поперечной; вклад же в поперечную компонету еще
меньше.
Плотность потока мощности вдоль оси z дается
приближенно выражением
2|M|2. D.21)
Корректность этого результата будет доказана в разд. 4.5.

106 Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
4.2. Дифракция Фраунгофера [1]
Дифракция Фраунгофера является предельным случаем
дифракции Френеля для больших расстояний между входной
плоскостью (z = 0), в которой устанавливается начальное
распределение ио{хо, уо), и плоскостью наблюдения при некотором z.
В этом пределе (в приближении дальней зоны) аргумент
экспоненты в D.12) заменяют на
7 [(x - х0J + (у- у,J) « ^ [(л:2 + г/2) - 2х*0 - 2г/г/0] D.22)
и пренебрегают членом k(x2-\- yfj/z. Таким образом,
приближение Фраунгофера справедливо в том случае, когда
распределение амплитуд, существующее на входной плоскости, имеет
поперечную протяженность d, такую, что
d <C д/ z/k .
В этом пределе
и (х, yyZ) = J^e-i I* <*+*>/**] \ ^ dx0 \ ^ щ (х0, у0) X
X ехр [4 (хх0 + ууо)] dyQ. D.23)
Интегрирование по xq и у0 дает фурье-образ функции ио(хо, у0)
[ср. с D.8)]. Обозначим его через t/0. Аргументами функции 00
являются kx/z и ky/z:
( \ • BяJ Г • k(x2 + y2)-\TJ ( kx ky \ ,
и (х, у,г) = 1 -^- ехр [- / 2J \ Uq [~Т' "Г) ' ^
Заметим, однако, что распределение амплитуд умножается еще
на фазовый множитель: i|)(x, у, z) = u(x, у, ,г)ехр(—jkz)% где
Фазовый множитель = ехр { — / [ 2z У ' ^z\ \'
что указывает на искривление волнового фронта. Чтобы
определить кривизну фронта на оси г, рассмотрим поверхность
постоянной фазы ф для малых отклонений V*2 + #2 от оси- На
самой оси мы имеем х2 + у2 = 0 и kz = ф. Для малых углов
(параксиальное приближение) мы имеем V*2 + у2 «С z, так что
величину г, входящую в знаменатель показателя экспоненты
фазового множителя, можно заменить константой, т. е.
положить z ж ф/k. Таким образом, поверхность постоянной фазы
описывается уравнением
k
Z
20
которое представляет собой уравнение параболоида. Парабола,,
образованная в сечении параболоида плоскостью xz (у = 0)„

4.2. Дифракция Фраунгофера
107
имеет в точке х = 0 радиус кривизны, определяемый
выражением
1 d2ld2 A 1. D.25)
Ф z
Картина дифракции Фраунгофера соответствует такой кривизне
фронта, которая была бы у волны, создаваемой точечным
источником, помещенным в центре отверстия. Радиус кривизны
считается положительным, когда фронт представляется
выпуклым, если смотреть со стороны больших г.
Рассмотрим для примера равномерно освещенную щель при
0
1, |*о К 4/2, 0<\yQ\<dy/29
При этом распределение амплитуд при произвольном z запи
шется в виде
jk (х2 + ,
и(х, у, z) = -
2z
-]их
X
sin (kdxx/2z) sin (kdyy/2z)
D.26)
(kdxx/2z) (kdyy/2z)
Ширина дифракционной картины в направлениях х и у
характеризуется первыми нулями при
х = 2nz/kdx, у = 2nz/kdy.
Углы, образованные линиями, идущими от центра щели к
первым линиям узлов дифракционной картины (рис. 4.3), назы-
Рис. 4.3. Картина дифракции Фраунгофера от равномерно освещенной
прямоугольной щели. Распределение амплитуды показано без учета фазового
множителя.

108 Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
ваются углами дифракции:
На рис. 4.4 показан трехмерный график, соответствующий D.26)
без учета фазового множителя.
Рассмотрим теперь периодическую систему из N щелей,
показанную на рис. 4.5. Эти щели возбуждаются однородно и
синфазно. Такая система может служить моделью решетки,
обсуждавшейся в разд. 2.5. Каждой щели соответствует свое
распределение ип(х0, уо). Для того чтобы получить картину
дифракции Фраунгофера, рассмотрим выражение D.23) и заменим
в нем ио(хо9уо) суммой по амплитудным распределениям,
сдвинутым в пространстве относительно распределения для щели
с номером п = 0:
X щ (х0 — пА, г/о)-
п
Заменой переменных хо->х'о + пАу уо->у'о можно привести все
члены в интеграле D.23) к одинаковому виду. Однако
экспонента в каждом члене меняется:
ехр [^ (хх0 + уу0)] -> ехр [-^- (хх'о + уу'о)] ехр (л/'-~- Л) •
Интеграл можно переписать в виде
и(х, у, 2) = ^e-i/M^
(М-\)/2
х ехр [4- к+ууо)] ч} Е ехр inl Ч-Л) • D-28>
n=-\(N-\)/2]
Дифракционная картина представляет собой картину от одной
щели, умноженную на коэффициент, характеризующий перио-
Рис. 4.4. Функция распределения,
построенная по формуле D.26) без-
учета фазового множителя.
Начало координат в центре,
направление осей х и у указано стрелками^

4.2. Дифракция Фраунгофера
109
N-1
Падающая
волна
Ы-1
Рис. 4.5. Периодическая система щелей. 9 — угол наблюдения,
личность решетки (параметр периодичности решетки):
А (в,
exP
sin 6 cos
n=-[(N-l)/2]
где мы ввели сферические координаты и положили
— = sin 9cos</>.
Сумму можно вычислить в укороченном виде:
- ,д . v sin [(NkA sin 9 cos Ф)/2]
\ > r) sjn [(^kA sin 9 cos 0)/2]
D.29)
D.30)
На рис. 4.6 приведены зависимости параметра периодичности
решетки от угла 6 для разных значений N и А при ф = 0.
Проведенное нами рассмотрение можно применить для
определения предельной разрешающей способности спектрометра с
дифракционной решеткой, обсуждаемого в разд. 2.7.' При этом
нам придется рассматривать косое падение и (или) отражение.
Параметр периодичности решетки легко определить и для этого
более общего случая. Как показано на рис. 4.7, п-я щель в ре-

110 Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
20 *
э=-л/г
-20
Рис. 4.6. Параметр периодичности решетки для системы щелей.
а — N = 20, kA = 2я; б — N = 20, /гЛ = 4я.

4.2. Дифракция Фраунгофера
111
& —т— п -л щель
Волновой
вектор „
падающей
Рис. 4.7. Периодическая система щелей при освещении плоской волной под
углом 6^.
шетке освещается наклонно падающей волной, волновой вектор
к которой лежит в плоскости xz и составляет угол 0; с осью г.
Амплитуда в центре n-й щели сдвинута по фазе вперед на
knA sin Qi. В дальней зоне при угле наблюдения 0 излучение,
идущее от n-й щели, отстает по фазе на knA sin 0 cos ф. Таким
образом, параметр A(Q) можно записать в виде
sin [(NkA/2) (sin 6 cos Ф — sin 6.)]
*' sin [(JfeA/2) (sin в cos 0 — sin e.)] * 14-°>U
Если решетка щелей возбуждается отраженным светом, то 0/
нужно заменить на угол отражения 0#. Выражение D.31) для
параметра периодичности решетки является более общим
результатом, чем закон Снеллиуса B.50) для решетки. Когда в
D.31) число щелей (или штрихов решетки) N стремится к
бесконечности, параметр периодичности решетки распадается на
последовательность импульсных функций с центром в
sin 0д cos ф = sin 0; + 2nm/kA.
В плоскости падения (cos^=l) вышеприведенное выражение
сводится к закону Снеллиуса B.50). Кроме того, в параметр
периодичности входит ширина «порядков» пропускания или
отражения, определяемая конечными размерами решетки.
Ширина картины при sin 8» = 0 между первыми двумя нулями
дается выражением
4я 2Я
60
NA '
которое совпадает с D.27), если положить dx—NA.

112 Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
Коэффициент решетки D.31) был использован в разд. 2.7
для определения разрешающей способности спектрометра с
дифракционной решеткой.
Пространственная когерентность
Дифракция Фраунгофера на двух щелях лежит в основе
метода измерения пространственной когерентности. В
параксиальном приближении выражение D.28) применительно к двум
щелям, расположенным на расстоянии Л друг от друга и
возбуждаемым волнами с амплитудами а@) и а (Л), дает
и = Щ (х, у, z) [а @) + а (Л) ехр (- /&А9)],
где uq(x, у, г) — распределение амплитуд в дифракционной
картине для щели с центром при хо = уо = 0. При этом среднее по
времени распределение интенсивности запишется в виде
<1 и |2> = | щ |2 [(| а @) |2) + (| а (Л) |2) + (а @) а* (Л))ехр (jkAQ) +
+ (а* @) а (Л))ехр (— jkAB)]. D.32)
В случае когда Л много меньше, чем длина когерентности ХСУ
а обе щели имеют одинаковую освещенность, так что
то
<|а@)а*(Л)|)~<|а@)|2>
и наблюдаемая под разными углами 0 картина полос имеет
идеальный контраст. Когда же Л>ЯС, мы имеем <а@)а*(Л)>«
«0 и интерференционные полосы не наблюдаются. Таким
образом, наблюдая картину интерференции от пары щелей при
различных расстояниях между щелями, можно найти длину
когерентности %с. Разумеется, при увеличении Л полосы
становятся все мельче и мельче, и при больших Л для их наблюдения
может потребоваться микроскоп.
4.3. Действие тонкой линзы
До сих пор мы рассматривали распространение оптических
пучков конечного сечения в вакууме. Мы вывели дифракционный
интеграл Френеля в параксиальном приближении, который дает
распределение амплитуд (для векторного потенциала)
и(х, у, з)ехр(—jkz) при любых х, у, z через распределение
амплитуд Uo(xo, yo) на «входном» сечении при z = 0.
Пучок может взаимодействовать с такими оптическими
компонентами, как линзы, призмы и решетки. Принцип действия
решетки мы рассматривали в гл. 2; решетка расщепляет падаю-

4.3. Действие тонкой линзы
113
Фронт плоской
полны
Волновой, фронт с
радиусом кривизны f
Рис. 4.8. Плоская волна, фокусируемая линзой с фокусным расстоянием f.
щие волны в различные порядки, к каждому из которых можно
применить дифракционный интеграл Френеля. В этом и
следующем разделах мы познакомимся с действием тонкой линзы
на оптический пучок в параксиальном приближении.
Рассмотрим волну с комплексным амплитудным
распределением и(х, у), падающую на двояковыпуклую собирающую линзу
с фокусным расстоянием /, как показано на рис. 4.8. Часть
волнового фронта вблизи оси линзы проходит через более толстый
слой оптически плотного материала линзы, чем часть волнового
фронта, удаленная от оси. Фазовая задержка, испытываемая
центральной частью волнового фронта, больше, чем для вне-
осевой части; таким образом, фазовая задержка является
монотонной функцией расстояния от оси линзы. Если линза тонкая,
то распределение амплитуд на выходе и'{х,у) такое же, как
и на входе; линза вносит лишь зависящую от х, у фазовую
задержку ф(х, у). Фазовая задержка, создаваемая идеальной
тонкой линзой, дается выражением
Ф (х> У) = Фо —оГ (х2 + У2)у D.33)
где фо — задержка в центре, a f — фокусное расстояние линзы.
Пренебрегая постоянной фазой, действие линзы можно описать
соотношением, связывающим распределения амплитуд на
выходе (и') и входе (и):
и' {х, У) = и (х, у) ехр [/-^г (х2 + У2)] = и (х, у) I {ху у), D.34)
Фокусное расстояние f является характеристикой линзы.
Известно, что это есть расстояние от линзы, на котором плоская
волна после прохождения через линзу собирается в точку
(в фокусе).

114 Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
Покажем, что в соответствии с D.33) плоская волна под
действием линзы фокусируется на расстоянии f за линзой.
Рассмотрим полный фазовый множитель плоской волны после
прохождения через линзу:
Фазовый множитель = ехр{ — /[ 2f "^ ^z 11' D.35}
В предыдущем разделе мы видели, что фазовый множитель
вида D.35) указывает на искривление фронта с радиусом
кривизны —/, причем знак минус соответствует «вогнутому»
фронту, если смотреть справа в отличие от предыдущего случая,
когда фронт был выпуклым (ср. с рис. 4.3). Волна, как уже
говорилось, соберется в фокусе на расстоянии f от линзы.
Заметим, однако, что пучок конечного поперечного сечения, как
будет показано в гл. 5, не даст в фокусе идеальной точки. В той
же главе мы увидим, что истинный фокус (т. е. точка, где
сходящийся пучок имеет минимальное поперечное сечение)
находится от линзы на расстоянии, несколько отличающемся от /.
4.4. Линза как фурье-преобразователь [2]
Мы показали, что дифракция Фраунгофера эквивалентна фурье-
преобразованию входного распределения амплитуды в дальней
зоне с точностью до фазового множителя, соответствующего
искривленному фазовому фронту. Система линз может
осуществлять фурье-преобразование без искривления фронта и к
тому же необязательно в дальней зоне. Таким образом, система
линз оказывается идеальным прибором для реализации
пространственного фурье-преобразования данного амплитудного
распределения как однократно, так и повторно. Простая система
такого рода показана на рис. 4.9. «Входное» распределение
амплитуды создается в фокальной плоскости перед линзой.
Волна проходит расстояние f до линзы в вакууме, преобразуется
линзой, затем после прохождения в вакууме еще раз расстояния
/ наблюдается в задней фокальной плоскости линзы. В задней
фокальной плоскости наблюдается картина, соответствующая
фурье-преобразованию исходного распределения.
Математическое обоснование этого факта носит довольно-
формальный характер и изложено в приложении к настоящей
главе. Входное распределение амплитуды преобразуется на
передней поверхности линзы, далее изменяется при прохождении
через линзу, согласно D.34), и, наконец, претерпевает
дальнейшее преобразование, проходя в вакууме расстояние /. Здесь мы
используем иной подход к задаче, обладающий своими
достоинствами. Он состоит в разбиении входного распределения
амплитуды на освещенные участки площадью dxdy, каждый из кото-

4.4. Линза как фурье-преобразователь 115
и(х,у) и(х,у)
Передняя
опорная
плоскость
Входная
плоскость
Выходная
плоскость
Рис. 4.9. Преобразование, производимое линзой между ее фокальными
плоскостями.
рых достаточно мал, так что линза для любого из этих участков
находится в дальней зоне: d2x<^.kfy d2 <^. kf (рис. 4.9).
Каждый из участков дает свое собственное фурье-преобразование
на передней поверхности линзы с искривленным волновым
фронтом. При прохождении через линзу кривизна волнового фронта
устраняется, и за линзой наблюдается суперпозиция
плосковолновых фурье-преобразований. Эта суперпозиция, однако, не
является еще фурье-преобразованием входной суперпозиции волн,
так как фазовые множители имеют не те значения, какие
должны быть. Лишь после прохождения плоской волной расстояния f
фазовые множители корректируются и в выходной плоскости
(г = f) наблюдается картина, соответствующая фурье-преобра-
зованию исходной волны. Рассмотрим этот подход более
подробно.
Пусть распределение амплитуды во входной плоскости есть
мо(*о, Уо) (рис. 4.9). Если распределение имеет очень малую
поперечную протяженность dx, dy, т. е.
то линзу можно считать находящейся в дальней зоне и
возбуждение на передней опорной плоскости линзы в соответствии с
D.24) запишется в виде
и(х, у) =
(kx/f, ky/f).
D.36)
После прохождения через линзу экспоненциальный множитель
исчезает, что следует из выражения D.34), и мы имеем
D.37)

116 Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
Таким образом, осуществляется идеальное фурье-преобразова-
ние; линза убрала кривизну волнового фронта. Однако мы
потребовали, чтобы линза находилась в дальней зоне для
объектной (входной) плоскости. Получилось, что картина фурье-пре-
образования наблюдается в любой плоскости за линзой, а не
только в фокальной плоскости, как мы утверждали вначале.
Для того чтобы распространить наши рассуждения на случай,
когда протяженность начального распределения не столь мала,
чтобы линза находилась в дальней зоне, рассмотрим два малых
участка исходного распределения иа(х0, у0) и иь(х0 — g, у0)
(рис. 4.9), для которых линза находится в дальней зоне.
Расстояние между ними g, однако, не удовлетворяет условию
|2/Я/ <С 1. Фурье-преобразование суммы ua(xQy уо) + иь(хо—g,t/0)
должно иметь вид
ФП {иа (*0, у0) + щ {х, - g, г/о)} = Ua (kx, ky) + Ub (kxt ky) eik*\
D.38)
Это именно то соотношение, которое необходимо нам для
доказательства того, что линза осуществляет фурье-преобразова-
ние входного сигнала. Рассмотрим физические изменения,
которые претерпевает волна вида
и (*о> Уо) = иа (*о> Уо) + иь (*о — 5» Уо), D.39}
проходящая путь от входной плоскости до левой опорной
плоскости линзы и далее преобразуемая линзой. В соответствии
с выражением D.34) на передней (левой) опорной плоскости
линзы мы имеем
и{х, y) = f
+ Ub (k (x -1)/f, ky/f) е-'* н*-
Прохождение рассматриваемой волны через линзу добавляет
множитель exp [jk(x2 + у2) /2f]:
[Ua (kx/f, ky/f) + Ub (k (x - g)/f, ky/f) eiWfe-!W% D.40)
Это еще не то, что нам нужно [мы хотим получить выражение
вида D.38)]. Но посмотрим теперь, что произойдет после
прохождения волны от задней опорной плоскости линзы до
выходной (задней фокальной) плоскости.
Как следствие малости выбранных участков распределения,
задняя фокальная плоскость находится в ближней зоне для
амплитудного распределения D.40). Действительно, Ua и Ub
испытывают значительные изменения, когда аргументы kx ==•
= kx/f и ky = ky/f изменяются на Akx ~ l/dx и №у ~ l/dy, где

4.4. Линза как фурье-преобразователь 117"
dx и dy — масштабы изменения величин иа и иъ. Фокальная
плоскость на расстоянии f находится в ближней зоне, поскольку,
используя D.13) для приращения Ах, вызывающего заметное
изменение функции Ua{kx/f)y мы получим
ИЛ*J = к (№xf\2^ f __М
)
f fKk) kd\ 7M\ ^ '
если dx достаточно мало. Аналогичные соображения
справедливы и для Ау. Но, поскольку задняя фокальная плоскость
находится в ближней зоне, прохождение волны не сопряжено с
дифракцией или искажением волнового профиля. В
распределение Ua(kx/f, ky/f) вносится фазовый сдвиг ехр(—jkf), но по
соглашению мы опускаем этот множитель. Возбуждающая
волна Ъ падает наклонно, так что ее волновой вектор
составляет угол 6 = — \/\ с осью z, р в соответствии с D.14) ее
центральное положение смещается на \. При этом фазовая
задержка будет равна
(т. е. по отношению к иа мы имеем опережение фазы на ?/f)
Таким образом, амплитуда иь в выходной плоскости запишется
в виде
что и требуется условием фурье-преобразоваыия D.38). Итак,
при прохождении волны от входной опорной плоскости к
выходной амплитудное распределение D.36) подвергается фурье-пре-
образованию с kx = kx/f и ky = ky/f. Обобщение
вышеизложенного на суперпозицию всех участков разбиения входного
распределения амплитуды uq(x09 у0), имеющей фурье-образ Uo(kx, k-s),
дает следующее распределение:
и" (х, у) = j-^f- Uo (kx/f, ky/f). D.41)
Тот факт, что линза осуществляет фурье-преобразование
двумерного комплексного распределения амплитуды, имеет большое
практическое значение для обработки изображений. Даже при
использовании быстрых алгоритмов фурье-преобразования
цифровая обработка на ЭВМ сопряжена с большим объемом
вычислений. Обычно при обработке изображений не требуется та
точность, которую может дать цифровое фурье-преобразование.
Аналоговый метод, реализуемый путем оптического
преобразования сигнала, способен обеспечить достаточную точность при
значительном повышении скорости обработки; скорость
лимитируется только постоянной времени используемых приемников*

18 Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
Пространственный /\
Лазер фильтр /^ \
"ZZH "
Точечное у
отверстие j
W
Рис. 4.10. Устройство для оптической «пространственной» фильтрации.
излучения, а точность — пространственной разрешающей
способностью системы датчиков и линз.
На рис. 4.10 показана схема оптической системы,
применяемой для обработки когерентного оптического сигнала. Свет от
гелий-неонового лазера фокусируется на точечное отверстие
объективом с коротким фокусным расстоянием (комбинация
объектива и малого отверстия отмечена на рисунке как
«пространственный» фильтр). На расстоянии fx от плоскости точечного
отверстия располагается линза L\ с фокусным расстоянием f\t
которая коллимирует свет лазера. Исходная информация Т
(в виде, например, фотографического диапозитива) помещается
в переднем фокусе (f2) второй собирающей линзы L2. Эта линза
осуществляет фурье-преобразование исходного распределения
амплитуды в задней фокальной плоскости F. Линза L3
осуществляет обратное фурье-преобразование и восстанавливает
исходное изображение в выходной плоскости W. Устанавливая
различные диафрагмы в плоскости преобразования F, можно
устранять определенные компоненты из пространственного
частотного спектра исходного сигнала, изменяя соответственно и
наблюдаемое в плоскости W изображение.
В завершение этого раздела сделаем еще одно важное
замечание. Формальная теория дифракции Френеля в
параксиальном приближении утверждает, что одна линза осуществляет
идеальное фурье-преобразование. Повторное
фурье-преобразование с помощью еще одной линзы восстанавливает идеальное
изображение в выходной плоскости системы двух линз.
Изображение, предсказываемое этой теорией, является идеальным в
силу того, что пределы в интегралах берутся от —с» до +оо. На
практике же поперечные размеры оптических систем имеют
апертурные ограничения и апертурная дифракция препятствует
получению идеальных изображений. В следующей главе,
занимаясь оптическими пучками конечного сечения, мы исследуем
ограничения на разрешающую способность оптической системы,
накладываемые ее конечным поперечным сечением. В этой связи

4.5. Параксиальное волновое уравнение 119
заметим кстати, что параксиальное приближение D.4)
ограничивает фурье-разложение исходного распределения амплитуды
конечным диапазоном значений kx и ky. Распределение
амплитуды, компоненты фурье-разложения которого занимают полосу
частот конечной ширины, не может заметно изменяться на
масштабах Ахо ^ l/kx, Дуо ^ l/ky, что само по себе ограничивает
разрешающую способность.
4.5. Параксиальное волновое уравнение [3]
В теории цепей существуют два эквивалентных описания
отклика линейной системы на входное возбуждение. Первый состоит
в том, что записываются дифференциальные уравнения системы
и отыскиваются частные однородные решения этих уравнений.
Отклик системы записывается в виде линейной суперпозиции
таких решений. Второй подход состоит в определении
импульсного отклика системы; выходной сигнал в этом случае
записывается в виде свертки импульсного отклика и сигнала
возбуждения. Дифракционный интеграл Френеля можно рассматривать
как свертку входного сигнала щ{х,у) при z = 0 и импульсного
отклика h(xy у, г), дающую выходной сигнал в плоскости г.
Можно предположить, что существует и альтернативный подход
к задаче о параксиальной дифракции, основанный на
построении дифференциального уравнения с собственными решениями,
суперпозиция которых описывает отклик системы. Покажем, что
такой альтернативный подход действительно существует. Он
обладает определенными достоинствами, которые станут ясны
позднее.
Параксиальное приближение в теории дифракции начинается
с суперпозиции решений волнового уравнения, полученных в
предположении, что угол между волновым вектором к и осью z
мал. Это эквивалентно утверждению, что функция ty(x, у, г)
проявляет значительно более медленную зависимость от х, у,
чем от z. Отсюда следует, что функцию -ф (jc, у, г) можно
записать в виде произведения ехр(—jkz) на и(х,у, г) D.5):
•ф (х, уу z) = u {х, у, z) exp (— jkz), D.42>
где и(х, у, z) изменяется гораздо медленнее, чем экспонента
ехр(—jkz). Подставляя выражение D.42) в волновое уравнение
D.2), получаем
здесь
VT^x^-+y4-. D.44>

20 Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
Поскольку | {д/дг) и | <С ku, мы можем пренебречь производной
д2и/дг2 по сравнению с k(du/dz). В результате получается
следующее параксиальное волновое уравнение:
-2jk -|j =0, D.45)
представляющее собой приближенную форму волнового
уравнения.
Прямым дифференцированием нетрудно проверить, что
h(xy у, г) [выражение D.11)] есть точное решение
параксиального волнового уравнения, каковым и должен быть импульсный
отклик. Таким образом, параксиальное волновое уравнение и
его собственные решения должны приводить к результатам,
эквивалентным тем, которые предсказывает теория дифракции
Френеля. Достоинством параксиального волнового уравнения
является то, что он легко обобщается на случаи
распространения волн в неоднородных и нелинейных диэлектрических
средах, в то время как интеграл дифракции Френеля не допускает
столь простого обобщения.
Импульсный отклик h(x, у, г) можно вывести
непосредственно из решения скалярного волнового уравнения D.2) для
точечного источника ехр(—jkr)/r, где г = л/х2 + у2 + z2. Если
ограничиться точками вблизи оси г, то можно приближенно
написать, что
и импульсный отклик принимает вид
Jl^L « e-ikzLe-i[kix*+y')/2z]9 D.47)
где в знаменателе мы заменили г на г, а в показателе
экспоненты сохранили полное выражение D.46). Заметим, что, не
считая множителя ехр(—jkz), правая часть выражения D.47)
совпадает по виду с ядром Френеля D.11). Таким образом,
представленный нами вывод дает легко запоминающееся правило
для быстрого восстановления ядра Френеля.
Параксиальное волновое уравнение описывает простую
картину начальной стадии дифракции на малых расстояниях от
входной плоскости, расположенной, скажем, при 2 = 0. Из
уравнения D.45) следует
Аи = - -i- AzV\u. D.48)
Пусть вначале мы имеем дело с плоским волновым фронтом и
вещественной фукцией распределения и. Тогда в результате ди-

4.5. Параксиальное волновое уравнение
121
фракции в и будет внесена квадратичная компонента. С
помощью D.48) можно записать фазовый сдвиг, вносимый в и:
Az
2k
D.49)
Если распределение и вначале является гауссовым (рис. 4.11),
то вносимая в и фазовая задержка будет такой, как показано
на рисунке. Центральная часть пучка отстает по фазе, в то
время как его внешняя часть опережает по фазе; плоский
изначально фронт искривляется. Чем дальше от оси находится точка
на поверхности постоянной фазы, тем меньше для нее значение
z. С искривления волнового фронта начинается дифракция
пучка: диаметр пучка увеличивается с расстоянием. В гл. 6 и
10 мы покажем, что дифракцию можно устранить, если фазовый
сдвиг D.49) компенсируется противоположным фазовым
сдвигом в среде, имеющей соответствующий профиль показателя
преломления.
Параксиальное волновое уравнение описывает поведение
векторного потенциала А = пи(х9 у, г)ехр(—jkz) оптических
пучков в предельном случае, когда размеры пучка в поперечном
сечении много больше длины волны [и(х, у, г) зависит от х и у
гораздо слабее, чем ехр(—jkz) зависит от г]. Допущения, с
учетом которых выведено параксиальное волновое уравнение,
предполагают наличие сответствующих допущений и в выражении
и (ас)
Дф
Фазовая
задержки
Дф =const
\ Волновой фронт
\
Рис. 4.11. Сдвиг фазы АФ, приобретаемый исходным гауссовым пучком при
прохождении им малого расстояния Az.

122 Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
для потока мощности. Возникает вопрос о корректной
интерпретации 2-компоненты вектора Пойнтинга. Покажем, что верной
является интерпретация, содержащаяся в уравнении D.21), где
в качестве поперечного электрического поля рассматривается
Ег = — JMiu ехр ( — jkz), D.50)
а в качестве поперечного магнитного поля
^ХЕГ. D.51)
Для доказательства этого утверждения рассмотрим
сохраняемость величины
SOO Г ОО
\ \ufdxdy,
— оо «J —оо
которая, по нашему предположению, пропорциональна
мощности, проходящей через данное сечение, и не зависит от г;
иными словами,
^Г Г \u?dxdy = Q. D.52)
w J-oo J-оо
Чтобы доказать это, воспользуемся параксиальным волновым
уравнением D.45):
Правую часть можно преобразовать к виду
W Гсо Гео УГ " ["*Vr" ~ "Vr"<] ^ ^ =
= -zrr- & i • [u VTu — uVTu*] ds,
где линейный интеграл берется по контуру на бесконечности,
причем i есть единичная нормаль к контуру в плоскости ху.
Поскольку величина и на бесконечности обращается в нуль,
интеграл равен нулю и тем самым равенство D.52) доказано. Таким
образом, верно наше предположение о том, что плотность
потока мощности (интенсивность) равна A/2) V8oMH21 u f*
4.6. Заключение
Компонента kz волнового вектора плоской волны, вектор к
которой составляет малый угол с осью г, дается выражением
±
Такой вид величины kz объясняет вид пространственного фурье-
преобразования функции импульсного отклика h(xyyyz)exp(—jkz)

Приложение 4А 123
в теории дифракции Френеля в параксиальном приближении,
которая пропорциональна
kl + kl
X + куУ 2k
Отклик системы в плоскости z получается как свертка
импульсного отклика h(xy у, г) с функцией амплитудного распределения
Uq(x, у) на входной опорной плоскости z = 0. Эта свертка и
есть дифракционный интеграл Френеля в параксиальном
приближении. Мы применили его к дифракции Фраунгофера и
показали, что картина дифракции в дальней (фраунгоферовой)
зоне представляет собой фурье-преобразование входного
амплитудного распределения с точностью до фазового множителя,
соответствующего искривленному фазовому фронту. Рассмотрена
дифракция на прямоугольной щели и на системе таких щелей.
В последнем случае дифракционная картина представляет собой
произведение картины от одной щели на параметр решетки.
Анализ дифракционной картины позволяет сделать вывод о
пространственной когерентности излучения, падающего на систему
щелей.
Мы познакомились также с действием тонкой линзы на
проходящую через нее волну. Амплитудное распределение в одной
фокальной плоскости линзы представляет собой
фурье-преобразование распределения в другой фокальной плоскости. Здесь не
появляется дополнительного фазового множителя, как в
дифракции Фраунгофера, поэтому фурье-преобразования могут
осуществляться неоднократно.
Показано, что система тонких линз (без учета
ограниченности апертуры) преобразует распределение освещенности
объекта в идеальное изображение. Разрешающая способность
реальных систем имеет предел, обусловленный тем, что апертуры
таких систем имеют конечные размеры; этот вопрос мы
рассмотрим в следующей главе. Наконец, мы выписали
параксиальное волновое уравнение и показали, что импульсный отклик на
суперпозицию плоских волн на входе является решением
параксиального волнового уравнения. Это уравнение дает
альтернативный метод решения задачи о дифракции, а именно в виде
суперпозиции собственных решений. Этой задачей мы займемся
в следующей главе.
Приложение 4А
Формальный вывод фурье-преобразования линзами
Известно, что распространение волны в вакууме на
расстояние z описывается произведением BnJH(kx, ky, z) на фурье-
образ Uo(kx, ky), что выражается интегралом свертки Френеля-

124 Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
с входным распределением амплитуды ио(ху, уо)« Поскольку
система, изображенная на рис. 4.9, содержит два участка
распространения волны в вакууме, удобнее всего описывать
действие этой системы в координатах фурье-преобразования, в
которых распространение в вакууме определяется более просто.
Преобразование, осуществляемое линзой, дается выражением D.34).
В пространстве фурье-преобразования имеем
К)=\ dK \ *< {к -
здесь
ЫJ SI\1j{Х> у)е!{кхХ+куУ) dy =
[ср. D.10)].
Фурье-преобразование распределения амплитуды на
передней плоскости линзы U связано с фурье-преобразованием Uo на
«входной плоскости», расположенной на расстоянии, равном
фокусному, соотношением
U = BnJH(f)U0. DA.3)
Фурье-преобразование в выходной плоскости является
результатом действия линзы и последующего распространения волны
в вакууме от задней плоскости линзы до задней фокальной
плоскости:
V» = BяL Я (f) {L®H (f) Uo), DA.4)
или в более подробной записи
V"<*« V = w Г. Л* SI dk'yехр {- ik \{К ~ КУ +
+ (*, - КJ}} ио К К) ехР [ж (К2+К2)] х
=w \dkr* \ dky и° с* k'y)ехр № (м;+кю] •
DА.5)
Это соотношение показывает, что U"{kx,ky) пропорционально
обратному фурье-преобразованию функции U0(kx,ky):
Фурье-преобразование выходного распределения амплитуды
пропорционально входному распределению амплитуды. Таким

Задачи 125
образом, изображенная на рис. 4.9 система осуществляет
пространственное фурье-преобразование.
Фурье-преобразование распределения, описываемого
выражением DА.6),дает
?f(fJf) DA.7)
что согласуется с выражением D.41).
Задачи
4.1. Найдите картину дифракции Фраунгофера для пары одинаковых щелей
шириной dx и длиной dyy разнесенных по оси х на расстояние L > dx.
Постройте распределение интенсивности в нормализованных переменных
для у = О, L — 2dx.
•4.2. Оптический пучок с гауссовым распределением амплитуды по сечению
где Wo — вещественный параметр, падает на тонкую линзу с фокусным
расстоянием f (рис. 34.2). Вычислите из интеграла дифракции Френеля
Рис. 34.2.
распределение и(х, у, г) за линзой. Найдите минимальный диаметр пучка
(диаметр пятна в фокусе). Заметьте, что пучок имеет минимальный
диаметр не точно на расстоянии, равном фокусному; это является следствием
конечности поперечного размера пучка.
4.3. Рассмотрите гауссов пучок, узкая часть (перетяжка) которого лежит в
плоскости 1 и который смещается вбок, как показано на рис. 34.3. Этот
Смещение
оси
г г
Плоскость (/) B) C)
Рис. 34.3.

126
Гл. 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
пучок описывается выражением
(*о - xdf + Уо
а) Найдите выражение для распределения амплитуды пучка в
плоскости 2 как функцию х и у. Можно ли поместить в плоскости 2 ирисовую
диафрагму, чтобы регулировать амплитуду независимо от смещения x<j}
б) Можно ли объяснить наблюдаемые явления с точки зрения
геометрической оптики?
в) Как выглядит пучок в плоскости 3? Происходит ли изменение
масштаба?
г) Пусть функция распределения в плоскости 1 есть Мо(#о, Уо)- Можете
ли вы, не повторяя вычислений, записать и(х\ у') в плоскости 3?
4.4. а) Найдите картину дифракции и(х} у, z) в дальней зоне для амплитуды,
создаваемой квадратным отверстием с центром в начале декартовой
системы координат (рис. 34.4, а), освещаемым нормально падающей
плоской волной.
Уо
t
а
j
!
а
\
Уоь
-*—а -+
-*—а —»•
а б в
Рис. 34.4.
б) Для отверстия, показанного на рис. 34.4,6, найдите дифракционную»
картину для интенсивности в случае, когда нормально падающая плоская
волна освещает начало координат, как и в п. а.
в) Нарисуйте распределение интенсивности вдоль линии х = у.
г) Пусть центральная часть отверстия в п. а закрыта квадратным
экраном со стороной (а/2) (рис. 34.4, в). Найдите картину дифракции в
дальней зоне.
д) Нарисуйте зависимость модуля квадрата функции распределения при
у = 0 от х.
4.5. В плоскости 1 на рис. 34.3 распределение амплитуды имеет вид
«о (*<ъ У о) = Л [1 + cos Bя/Л) лг0].
Если в плоскости 2 поместить круглый экран радиусом
с центром на оси, то каким будет распределение интенсивности в
плоскости 3?
4.6. Рассмотрите «продольный» векторный потенциал
A==?exp[-i2GF

Литература 127
Покажите, что с этим потенциалом в параксиальном приближении
связано пренебрежимо малое электрическое поле.
4.7. Покажите, что дифракционный интеграл Френеля в двух измерениях х и
z записывается в виде
и (х, г) = д/JL { J «„ (*,) ехр [- / k(X~2X°J] dx
Покажите также, что ядро Френеля удовлетворяет параксиальному
волновому уравнению в двух измерениях:
* в_2/*|«_0.
дх2 J dz
ЛИТЕРАТУРА
1. Вот Л1. Wolf E.y Principles of Optics, Macmillan, New York, 1964.
[Имеется перевод: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970.]
2. Goordman J. W.y Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, New York, 1968.
[Имеется перевод: Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. — М.: Мир, 1970.]
3. Kogelnlk Я., "On the propagation of Gaussian beams of light through lens-
like media including those with a loss and gain variation", Appl. Opt., 4,
1562 A965).

Глава 5
Эрмит-гауссовы пучки
и их преобразования
Изложенная в предыдущей главе теория дифракции Френеля
представляет векторный потенциал в любом произвольном
сечении при постоянном значении z как свертку конкретного
амплитудного распределения в сечении с координатой z = 0 с
импульсным откликом. Вместо описания распространения волн
с помощью импульсного отклика можно исследовать
распространение характеристических решений волнового уравнения
(в параксиальном приближении) и их преобразование
оптическими системами. Такой подход имеет свои преимущества.
Например, при конструировании интерферометров и резонаторов
представляют интерес их моды и резонансные частоты. Весьма
подходящими для этой цели являются решения параксиального
волнового уравнения в виде эрмит-гауссова пучка.
В настоящей главе мы рассмотрим теорию гауссовых
пучков, их преобразование оптическими системами, а также изучим
эрмит-гауссовы пучки высших порядков. Мы отойдем от
традиционного подхода, воспользовавшись неопубликованной работой
Когельника. Начнем с развитого в предыдущей главе описания
импульсного отклика параксиального волнового уравнения.
Параллельный перенос (трансляция) системы координат в
направлении оси z сохраняет параксиальное волновое уравнение
неизменным. Следовательно, после трансляции системы
координат импульсный отклик остается решением параксиального
волнового уравнения. Это справедливо, даже если расстояние
переноса сделать мнимым. Решение в виде гауссова пучка
строится с помощью именно такого перемещения. Величина
перемещения определяется минимальным диаметром гауссова пучка.
В разд. 5.2 мы получим решения для стоячей волны в виде двух
гауссовых пучков, распространяющихся навстречу друг другу.
В узловых поверхностях решений стоячей волны, которые
являются сферическими, можно помещать сферические зеркала,
которые не приведут к возмущению решений. При этом мы
определим моды резонатора со сферическими зеркалами и
условия существования мод для зеркал данного радиуса
кривизны и расстояния между ними.
В разд. 5.3 мы найдем полный набор эрмит-гауссовых
решений, по которым можно разложить любое возбуждение во

5.1. Гауссовы пучки 129
«входной плоскости». Пространственное распределение этих
решений охватывает все физические случаи, которые описываются
теорией дифракции Френеля. Затем мы получим полный набор
мод резонатора Фабри — Перо со сферическими зеркалами и
определим их собственные частоты.
Рассмотрим затем преобразование гауссовых и эрмит-гаус-
совых пучков оптическими системами и введем так называемый
параметр q. Помимо того факта, что параметр q позволяет
найти простое описание действия оптической системы на
гауссов пучок, с его помощью можно по-другому вывести критерий
существования мод в резонаторе Фабри — Перо со
сферическими зеркалами. Это сделано в разд. 5.6 после краткого описания
оптических систем методами геометрической оптики и
установления связи между геометрической оптикой и параметром q
в случае гауссовых пучков.
В последнем разделе мы рассмотрим влияние дифракции на
формирование изображения и опишем различные методы
определения «неидеальности» оптических элементов, в частности
аберраций.
5.1. Гауссовы пучки
Мы показали, что точное решение скалярного волнового
уравнения сводится к точному решению параксиального волнового
уравнения, если в разложении координаты г по степеням
выражения (х2 + y2)/z2 ограничиться членом первого порядка. Это
решение пропорционально функции импульсного отклика
Параксиальное волновое уравнение инвариантно относительно
трансляции вдоль координаты г, когда z-^z— z0. Таким
образом, другим решением этого уравнения является функция
h (x, yyz — z0).
Очень интересное решение параксиального волнового
уравнения можно получить, сделав переменную Zq мнимой: Zo =
= —jb [1]. При этом устраняется сингулярность решения на
вещественной оси z. Полученное решение скалярного
параксиального волнового уравнения по причинам, которые станут
ясными позднее, обозначим с помощью нижних индексов «00». Это
решение запишется в виде
«оо
Функцию Uoo(x,y,z) удобно нормировать, умножив ее на
некоторую постоянную таким образом, чтобы выполнялось следую-
, У, г) = Х{г'+.Ь) ехр[-jky^y]• E.1)

130 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
щее соотношение:
Г Г \Щ0(ху y,z)\2dxdy=l.
J _со J —ОО
Благодаря закону сохранения мощности [выражение
D.5.2)] нормировка в одном сечении, например с координатой
г = 0, обеспечивает аналогичную нормировку для других
значений г. Вычислив интегралы, найдем, что искомая постоянная
равна д/2&Я. Таким образом,
. У. 2) = /Л/?
Разделяя аргумент экспоненциального множителя на
вещественную и мнимую части, а также выделяя в множителе z + jb
амплитуду и фазу, запишем выражение для ^оо в виде
E.3)
где w2 (z) = Bb/k) A + z2\b\ E.4)
l/#(z) = z/(z2 + 62), E.5)
tg ф = ф. E.6)
Решение E.3) описывает волну с гауссовым профилем
амплитуды (гауссов пучок) и сферическими фазовыми фронтами
радиусом R(z) (ср. разд. 4.2), распространяющуюся в
направлении +2. Обозначим радиус пучка, при котором амплитуда
уменьшается в е раз по сравнению с ее значением на оси
через w. Мы видим, что минимальное значение w0 радиуса равно
Щ = Л/2Щ, E.7)
или, другими словами, выбор начала координат на мнимом
расстоянии —jb на оси z соответствует минимальному значению
радиуса пучка wq. Величина b = kw2f2 = яш^/Я называется
конфокальным параметром.
Нас обычно интересуют гауссовы пучки с заданными
минимальными радиусами w$\ поэтому удобно записать параметры
в выражениях E.4) — E.6) как функции величины w0:

5.1. Гауссовы пучки
131
Рис. 5.1. Зависимость радиуса пучка
от расстояния.
Рис. 5.2. Зависимость кривизны
волнового фронта пучка от расстояния.
На рис. 5.1 и 5.2 показаны зависимости величин w и \/R от
координаты z. Уравнение E.8) показывает, что пучок с
радиусом перетяжки w0 асимптотически расширяется в конусе с
коническим углом 0, где
tg 8 = w/z « 6 = K/jiwq. E.11)
Угол расширения известен из теории СВЧ антенн как угол
дифракционной расходимости. Антенна размером d имеет
диаграмму направленности излучения, ограниченную углом
порядка X/d. Аналогичное соотношение встречалось в выражении
D.27) для угла дифракции на отверстии.
Фазовая скорость гауссова пучка
Фазовая скорость гауссова пучка не равна с= 1/л/\хоео как
в вакууме. Из соотношения E.3) с восстановленным множителем
ехр(—jkz) найдем следущее выражение для эффективного
волнового числа &эфф*
6Эфф dz = kz— <j>. (о. 12)
Следовательно,
E.13)
dz
С
Мы видим, что фазовая скорость больше скорости света. В
частности, в сечении z = 0 эффективное волновое число дается
выражением
k k2/kl. E.14)
Эту зависимость для эффективного волнового числа можно
объяснить тем, что поле образовано суперпозицией плоских волн

132 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
таким образом, что формируется пучок конечного поперечного
размера. Типичные значения х- и (/-компонент волнового
вектора к таких волн равны
kx = ky~^?/w0. EЛ5)
Таким образом, соотношение
k2z + kl + kl = k*
дает
k2 a- k2 9
^± k--^, E.16)
kwl
2k kw
что соответствует значению &эфф в соотношении E.14).
Параксиальное приближение
Решение E.2) в виде гауссова пучка может быть
использовано для проверки приближений, сделанных при выводе
параксиального волнового уравнения. Тогда мы пренебрегли членом
д2и/дг2\ по сравнению с k\ (ди/дг)|, или, что эквивалентно,
ди/дг\ по сравнению с k\u\. Производная ди/дг гауссова
решения E.1) имеет вид
-§Г
Пренебрежение этим членом по сравнению с ku означает, что
1/6 < k = 2яД или
Х<1. E.18)
Диаметр пучка должен быть большим по сравнению с длиной
волны. Кроме того, справедливо неравенство
b2)<l E.19)
для диапазона значений х и у, в котором существует
амплитудное распределение. Поскольку сумма х2 + у2 имеет порядок
величины до2, a w2 = wl[l + (z2/b2)], то неравенство E.19)
означает, что до2/62<С1, т. е. мы получаем условие,
аналогичное E.18).
Электрическое и магнитное поля гауссова пучка
Напряженности электрического Е и магнитного Н полей
можно выразить через комплексный векторный потенциал А
с помощью соотношений A.22) и A.23):
VXA, E.20)
= — /соА — УФ, E.21)

5.1. Гауссовы пучки 133
где потенциал Ф в соответствии с выражением A.26) для
вакуума дается выражением
Предположим, что вектор А направлен вдоль оси х:
А = хиоо(х, у, z)e-*z. E.23)
При этом можно написать следующее выражение:
fioH = V X ?цю (*> У> *) *-/teI = - /А [У^оо - fz |*g-] е-"»9 E.24)
в котором мы пренебрегли производной duoo/dz по сравнению
с kuoo в соответствии с данным выше определением. Согласно
закону Гаусса, магнитное поле в дополнение к* (/-компоненте
имеет небольшую г-компоненту. Выражение для напряженности
электрического поля, с той же степенью приближения, можно
записать в виде
Е = - /© [зшоо - /z 4^-1 е-*2. E.25)
|_ к OX J
Из этого выражения находим напряженность электрического
поля гауссова пучка, записанного в виде решения E.2):
г] ехр (- jkz) X
E.26)
На рис. 5.3 показаны две эпюры напряженности электрического
поля Е в фиксированный момент времени t. При их построении
использовалось то обстоятельство, что напряженность
электрического поля без дивергенции должна быть равна ротору
векторного потенциала, который мы обозначим через С(х,у, г).
Легко доказать, что в рамках параксиального приближения
векторный потенциал, удовлетворяющий соотношению E.25),
имеет вид
Силовые линии электрического поля перпендикулярны линиям
градиента двумерного скалярного потенциала Су (х, у = const,
z); таким образом, силовые линии являются линиями равного
уровня (изогипсами) потенциала Су (х, у = const, z). Плотность
силовых линий поля пропорциональна его напряженности. Это
дает нам простой алгоритм для построения эпюр с помощью
компьютера. Рис. 5.3 иллюстрирует распространение двух гаус-

134
Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования

5.1. Гауссовы пучки 135
C
о
Си
2
а
си

136 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
X i
Рис, 5.4. Электрическое поле излучающего диполя с векторным потенциалом1
Ах = exp (—jkr)/r в два различных момента времени с интервалом между
ними А? = Jt/2(D.
совых пучков различных диаметров для увеличенных
значений %/Wq.
Для сравнения со случаем, представленным на рис. 5.3, на
рис. 5.4 показаны силовые линии электрического поля с
векторным потенциалом А* = e~jkr/r, являющимся решением
уравнения D.2) для излучающего диполя. Две эпюры показывают
поле в два момента времени, разделенные интервалом Д^ =
= я/2со. Сходство с гауссовым пучком несомненное.
Разумеется, оно не является неожиданным, поскольку решение для
гауссова пучка получено из решения для излучающего диполя
путем устранения сингулярности в начале координат благодаря
переносу источника вдоль мнимой оси и использованию
параксиального приближения.

5.2. Резонаторы со сферическими зеркалами
137
Фис. 5.4 (продолжение).
Мощность гауссова пучка единичной амплитуды дается
выражением
4 Г Г
* J _оо J -
оо J -оо
±. E.27)
5.2. Резонаторы со сферическими
зеркалами [2, 3]
В разд. 3.5 при изучении интерферометра Фабри — Перо мы
обсудили его резонансные моды в предельном случае, когда
внутри интерферометра с идеально отражающими зеркалами
может существовать электромагнитное поле без какого-либо

138 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
притока энергии извне. Резонансы соответствуют
возникновению стоячих волн электромагнитного поля между зеркалами,,
при этом узловые плоскости волн совпадают с опорными
плоскостями зеркал.
В этом обсуждении мы пренебрегали тем, что реальные
зеркала имеют ограниченные поперечные размеры, неявно
полагая их бесконечными. В действительности поперечное
амплитудное распределение моды в реальном интерферометре
Фабри— Перо с плоскими зеркалами конечных поперечных
размеров зависит от дифракции волн на границах зеркал
(приводящей также к дифракционным потерям). Интерферометры же
Фабри — Перо со сферическими зеркалами практически
исключают влияние границ зеркал на модовое амплитудное
распределение и связанные с этим дифракционные потери. Опишем
это подробнее.
Рассмотрим решение в виде гауссова пучка E.2):
«оо (х, у, г) e-ikz = '^f+fi g"/te e~Vk <*f+"a>/2 <*+'*». E.28>
Это решение соответствует волне с гауссовым распределением
амплитуды, распространяющейся в направлении оси +г. Если
заменить z на —г, то получим решение параксиального
волнового уравнения
которое описывает волны, распространяющиеся в направлении
— z:
Що (х, У, - г) е*** = ~~[^1Л el**e+Vk &+*№<*-'*>]. (б.29>
Суперпозиция решений E.28) и E.29) образует стоячие волны
с узловыми поверхностями электрического поля, параллельными
волновым фронтам с радиусом кривизны /?; последний
находится из следующего соотношения:
Если зеркало 1 расположено в точке z\ и имеет радиус
кривизны, определяемый выражением
— = *l 9 , E.31)
а зеркало 2 находится в точке z2 и его радиус кривизны
определяется следующим образом:
i-ф F-32>

5.2. Резонаторы со сферическими зеркалами
139
Рис, 5.5. Геометрия резонатора; М — зеркало.
(рис. 5.5), то возможен «захват» этой стоячей волны (т. е.
чтобы удовлетворить граничным условиям, решение должно
иметь вид стоячей волны). Разумеется, расстояние между
зеркалами должно в точности соответствовать целому числу узлов
стоячей волны. Если диаметры зеркал много больше, чем
диаметр гауссова пучка, то конечные размеры зеркала не имеют
¦практического значения, поскольку поле гауссова пучка на
краях зеркала пренебрежимо мало.
Мы рассмотрели задачу, в которой конструкция системы
подгонялась под определенное волновое решение. На практике
воникает обратная задача: для данной системы зеркал с
радиусами кривизны R\, R2 и расстоянием между ними d
требуется найти резонансную моду, соответствующую этой
конфигурации. Таким образом, необходимо решить уравнения E.31)
и E.32) относительно Ъ при условии, что г2 — z\ = d. Попутно
заметим, что обычно принято различать выпуклые и вогнутые
зеркала посредством формального приписывания первым
отрицательного знака радиуса кривизны. Таким образом, задача,
соответствующая рис. 5.5, формулируется следующим образом:
найти параметр Ь, если задано расстояние
z2 - Z{ = d, E.33)
— =-^-2> E.34)
- — = -A-«, E.35)
R г\ + Ь2
где R\ и R2 — радиусы зеркал, взятые положительными для
вогнутых зеркал и отрицательными для выпуклых.
Случай 1. Одно плоское, другое вогнутое зеркало. В
простейшем случае Ri = oo, R2 = R0 (рис. 5.6). Тогда z\ = О и
Z2 = d. Из соотношения E.34) имеем
E.36)

140
Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
Перетяжка
Рис. 5.6. Резонатор, описываемый
соотношением E.36).
Рис. 5.7. Симметричный резонатор.
Радиус пучка резонансной моды имеет минимальное значение
у плоского зеркала. Решения находят при условии, что Ro > d.
При Ro <C d решений не существует. Действительно, при
критическом значении Ro = d диаметр пучка стремится к нулю.
Здесь возникает вопрос о справедливости параксиального
приближения для волнового уравнения, поскольку пучок диаметром
много меньше, чем длина волны, нарушает предположения,
которые лежат в основе вывода параксиального волнового-
уравнения.
Случай 2. Симметричный случай. Резонатор, в котором Ri =
= R2 = ROy нетрудно получить, добавляя к системе на рис. 5.6
ее зеркальное изображение (рис. 5.7). В выражении E.36)
расстояние d должно теперь рассматриваться как d/2. Таким
образом выражение E.36) принимает вид
E.37)
(см. рис. 5.5), из
Случай 3. Общий случай. Когда Ri ф
соотношений E.33) — E.35) имеем
Возводя в квадрат обе части этого соотношения, можно
получить следующее уравнение для Ь2:
E.39>
[d-
Это уравнение имеет вещественные решения для Ъ только в
случае, когда числитель является положительным. Простым
преобразованием можно показать, что при этом должно
выполняться условие
<ШкI- E-40>
На рис. 5.8 представлена диаграмма, показывающая области
значений d/Ri и d/R2, в которых существуют решения [3, 4].
На рис. 5.9 представлены случаи резонаторных систем, для
которых получены решения. Когда оба зеркала вогнутые, реше-

5.2. Резонаторы со сферическими зеркалами 141
Рис. 5.8. Области существования резонаторных решений на плоскости dlRu
d/R2.
Решения
Нет решений
Рис. 5.9. Конфигурации резонаторов, для одних из которых решения
существуют, а для других нет.

142 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
ние существует, если оба центра кривизны зеркал находятся
либо вне области между зеркалами, либо внутри ее и
перекрываются для противоположных зеркал. В случае же когда одно
зеркало выпуклое, а другое вогнутое, центры кривизны
выпуклого и вогнутого зеркал должны лежать вне области между
зеркалами, и центр кривизны выпуклого зеркала должен
находиться дальше вогнутого. Резонаторы, для которых не
существует решений в виде гауссовых мод, называются
неустойчивыми резонаторами [4,5]. Такие резонаторы применяются в
лазерах, использующих активную среду с большим усилением.
Большие дифракционные потери неустойчивых резонаторов
помогают получить устойчивую модовую картину, поскольку в
устойчивом резонаторе (имеющем решения в виде гауссовых
мод) активная среда с большим усилением склонна к
генерации на эрмит-гауссовых модах высших порядков (см. разд. 5.3).
5.3. Моды высших порядков [2, 3, 6—8]
Мы нашли пока только одно решение параксиального волнового
уравнения, а именно решение в виде гауссова пучка и00. Для
описания пучка с произвольным амплитудным распределением
во входной плоскости требуется бесконечное множество решений
параксиального волнового уравнения. Существует
ортогональная система функций, в которую функция Гаусса входит как
функция низшего порядка; это система функций, образованная
из произведений полиномов Эрмита и функций Гаусса (см.
приложения 5А и 5Б).
Эрмит-гауссова функция порядка пг независимой
переменной | определяется как произведение полинома Эрмита Hm(i)
порядка m и функции Гаусса ехр(—?,2/2). Полиномы Эрмита
низших порядков даются выражениями (см. приложение 5В)
Яо (Б) = 1, Я1 (Б) = 2Б, Я2 (Б) = 4?2 - 2.
Эрмит-гауссовы функции являются их собственными фурье-об-
разами (приложение 5В). Поэтому эрмит-гауссово амплитудное
распределение во входной плоскости (г = 0) сохраняет
аналогичную функциональную зависимость и в дальнем поле
(дифракция Фраунгофера). Но сохраняются ли в случае
дифракции Френеля эрмит-гауссовы функции в ближнем поле?
Дифракционный интеграл Френеля является сверткой входного
амплитудного распределения с ядром Гаусса — Френеля
[D.11)]. Мы покажем, что результатом свертки
эрмит-гауссовых функций с гауссовой является произведение полинома
Эрмита с гауссовой функцией при распространении последней в
пространстве. Это — обобщение понятия моды, введенного в
теории волноводов [9]. При распространении в волноводе конкрет-

5.3. Моды высших порядков 143
ной моды ее конфигурация в поперечной плоскости сохраняется
неизменной. В свободном пространстве дифракция приводит
к уширению пучка, так что масштаб его структуры в
поперечной плоскости увеличивается.
Обозначим эрмит-гауссову функцию m-го порядка через
*Ы?):
ЪтA)^НтA)е~^. E.41)
Определим распространяющуюся в прямом направлении
(двумерную) эрмит-гауссову волну моды порядка га, n в сечении
2 = 0 как
итп (Хо, Уо) = СтпЪт (^|f-) ¦„ (&*¦) ¦ E.42)
На рис. 5.10 иллюстрируются несколько эрмит-гауссовых мод
низших порядков. Гауссова мода, описанная в предыдущем
разделе, представляет собой частный случай с т = п = 0.
Распространяющаяся в прямом направлении волна моды итп имеет
в сечении z вид, определяемый с помощью дифракционного
интеграла Френеля:
итЛх, у, z)=i^\~ f
Л2 J_oo J_oo
X exp { - -§ [(x - x0J + (y - r/0J] } dx0 dy0. E.43)
Это выражение является сверткой эрмит-гауссовой функции
с гауссовой. Такая свертка в одномерном случае приводит, как
показано в приложении 5В, к следующему результату:
X
i) E-44)
Это тождество следут применить дважды — один раз при
интегрировании по Хо и один раз при интегрировании по уо. В
первом случае go и g определяются как
g0 — V2~ xo/wo, I = У 2~х/ш0; E.45)
такого же вида соотношения имеют место и при интегрировании
по у0. Заметим, что в выражении E.44) коэффициент а должен
быть отождествлен со следующим выражением:
а = jkwl/2z = jb/z, E.46)
где Ъ — определенный ранее конфокальный параметр (Ь==
= яоу2)/ЛL Такое же нормирование применяется и при
интегрировании по у0.

144
Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
Рис. 5.10. Эпюры эрмит-гауссовых функций низшего порядка. Начала
координат х, у находятся в центрах эпюр. Направления осей л;, у указаны на
рисунках, а — т = 0, п — 0; б — т = I, п = 0; в — т — 0, п = 1; г — m = 1,
1
Двойной интеграл в E.43) приводит к следующему
результату:
X ехр [- ^ (х2 + г/2)] в/ <-+"
+1> *,
E.47)
где wy R я ф — функции координаты г, определенные выше
соотношениями E.4) — E.6) для решения в виде гауссова пучка.
Выражение E.47) показывает, что распространяющаяся в пря-

5.3. Моды высших порядков 145
мом направлении волна моды т, n с амплитудным
распределением итп(ху у у г) увеличивается в диаметре при распространении
вдоль оси г. Кривизна волнового фронта стабилизируется. Все
моды имеют одинаковые зависимости радиуса кривизны
волнового фронта R и основного масштабного параметра w от
координаты z\ Единственное различие в поведении мод разных
порядков как функций расстояния z проявляется в фазовом
множителе ехр[/(т + л + 1Ж ; моды высших порядков при
распространении имеют большее опережение по фазе. Это
вытекает из того факта, что распространяющиеся моды высших
порядков имеют более высокие значения поперечных компонент
kXy ky волнового вектора и, следовательно, большие фазовые
скорости в направлении оси z (меньшие значения компоненты
kz). Следует заметить, кроме того, что при своем
распространении распределение поля в искривленных волновых
фронтах [т. е. распределения, в которых опущен множитель
€хр(—jk/2R) (х2-\-у2)] остается эрмит-гауссовым. Масштаб же
при этом изменяется в w/wq раз.
Постоянная нормировки Стп может быть выбрана таким
образом, чтобы
Г Г итп(х0, у0) |2dx0dyQ=l. E.48)
Г
Используя тождество, полученное в приложении 5В:
Г Н1{1)е~12с11 = л/^2пп\, E.49)
J —оо
находим
(АГ- E-50)
При распространении пучка вдоль оси z нормировка
сохраняется в силу закона сохранения энергии.
Разработка теории дифракции Френеля с помощью эрмит-
гауссовых мод
Полный набор эрмит-гауссовых функций можно
использовать для разложения произвольной входной амплитудной
функции по(хо,уо) в точке z = 0. При этом для предсказания
амплитудного распределения u(x,yyz) в любом сечении z могут
быть использованы простые характеристики распространения
этих мод в прямом направлении. Таким образом, если мы
положим
> Уо) = J] Атпитп (*0> #<Ь * = °) =

146 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
то сможем найти коэффициенты разложения Атп, используя1
условие ортогональности эрмит-гауссовых функций [см.
выражения EВ.15) и EВ.16) в приложении 5В]:
-oo J-oo
E.62).
При этом амплитудное распределение u{x,y,z) в любой точке
пространства можно записать в виде
и {х, у, г) = ? Лтпитп (*, у, г), E.53)
mt n
где umn(x,y,z) дается выражением E.47). Мы упоминали, что
зависимости различных мод от координаты z отличаются
только фазовым множителем ехр[/(/п + п + 1)ф]. В предельном
случае, когда z велико, имеем z/b » 1, ф = я/2. Таким образом,.
lim и(х, У,г) = ? (i)(fft+"+1)|-^=m"^2 X
большие г ^ 2 д/да2Я2т+пт! п!
Следует заметить, что выражение E.54) отличается от E.51)
в следующих отношениях:
1. Начальный диаметр пучка w0 возрастает до значения
w = wo(z/b).
2. Амплитуда изменяется пропорционально b/z = Wo/w.
3. Волновой фронт имеет кривизну 1/7? ~ \/z.
4. Каждый член имеет сдвиг фазы (т + п-\- 1) (я/2).
Эти четыре изменения входного амплитудного распределения
при распространении пучка в свободном пространстве являются
фактически новым выводом теории дифракции Фраунгофера.
Действительно, эрмит-гауссова функция порядка т
эквивалентна ее фурье-образу с множителем (l/V2ft)(/) (см.
приложение 5В).
Для значений z, которые ненамного превышают 6, фазовый:
множитель является более сложным, поэтому распределение
поля в сечении z не будет фурье-образом распределения поля в
сечении z = 0. Тем не менее все сложности параксиальной
теории дифракции Френеля заключены только в фазовом
множителе exp [j(m + п+ 1)ф].

5.3. Моды высших порядков 147
Моды высших порядков резонатора Фабри — Перо
Для моды порядка т, п, поляризованной вдоль оси х и
распространяющейся в прямом направлении, напряженности
электрического Е и магнитного Н полей находятся так же, как и в
случае т = п = 0 [см. выражения E.25) и E.24)]:
Выражение для напряженности электрического поля можно
записать в виде двух составляющих:
Е = - /со (х«т„ - [г Щ?) е-**, E.55)
ц0Н = - jk (уитп - /? ^ff) е-"*. E.56)
= л/ J? 2— ei (т+п) ф ехр Г __ Л_ (л;2 + у2)Л Х
У п2т+пт1п\ z + jb HL 2RK ^yJ]
X ехр (- jkz) [(x - z ±) ^n - г\ $L ^Л]. E.57)
Компонента (х — zx/R) tymi>n параллельна волновому фронту;
сдвинутая на 90° компонента перпендикулярна ему (в рамках
параксиального приближения). Распределения полей в случае
поляризации вдоль оси у имеют выражения, аналогичные E.55)
и E.56).
Две распространяющиеся навстречу друг другу моды т, п,
имеющие одинаковые амплитуды, образуют узловые
поверхности итп на волновых фронтах; напряженность электрического
поля, касательная к волновым фронтам, обращается в нуль
посередине между поверхностями. Таким образом, как и прежде
для гауссовых мод резонатора Фабри — Перо, получим
резонансные моды высших порядков посредством суперпозиции
эрмит-гауссовых мод, бегущих в прямом и обратном
направлениях. Сложим решение итп(х, г/, <г)ехр(—jkz) с решением,
полученным заменой z на —г. Узловые поверхности
тангенциального электрического поля образуются при этом на
криволинейных волновых фронтах с радиусами кривизны R = (г2 + Ь2)/г,
зависящими от г. Расстояние между узловыми поверхностями
равно половине длины волны, определяемой через эффективное
волновое число ^Эфф [ср. с выражением E.12)]:
Наличие фазового множителя (т + п+ 1)ф приводит к тому,
что различные эрмит-гауссовы моды резонируют на частотах,
отличных от частоты основной моды т = п = 0. Рассмотрим для
примера симметричный резонатор, изображенный на рис. 5.7.
Для того чтобы удовлетворить граничным условиям на зеркалах

148 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
(или, точнее, на опорных поверхностях зеркал, определенных
как узловые поверхности тангенциальной составляющей
напряженности электрического поля), изменение фазы между
зеркалами должно быть равно целому числу, умноженному на я,.
скажем рл, где р — целое число. Однако набег фазы у эрмит-
гауссовых мод порядка га, n на интервале от перетяжки пучка
в точке г = 0 до сечения z равен (т-\- п-{- 1)ф, где ф =
= arctg(z/b). В симметричном резонаторе зеркало находится
на расстоянии z = d/2 от перетяжки пучка. Набег фазы от
зеркала к зеркалу при этом удваивается, т. е. мы имеем
2(т + п+1)ф, где ф = arctg(d/26):
г d/2
\ &эфф(z)dz = pn = kd — 2(m + n+ I) arctg(d/2b).
J -d/2
Поскольку k = 2nf/c, частоту fmnp резонансной моды порядка
га, n, p (нижние индексы указывают на изменение
распределения поля в направлениях х, у и z соответственно) можно
записать в виде
с с Г ,2(т + я+1) , d ~\ /с irov
fmnp = 2rf [P + я аГС^ Wl • <б'б8>
Резонансные частоты мод, найденные в разд. 5.2, соответствуют
частному случаю т = 0, п = 0, р. Конфокальный параметр Ь
можно вычислить по формуле E.37) для любых значений
интервала d и радиуса зеркала
Сосуществует важный для практики частный случай, в
котором разделение частот резонансных мод является особенно
простым,— это случай, когда 2b = d (т. е. Ro = d). При этом мы
имеем конфокальный случай, поскольку фокусы зеркал
совпадают. (Фокус / находится на расстоянии R/2 перед зеркалом;
см. разд. 5.4.) В данном случае мы имеем
fmnp = ? [р + у (« + я + 1)] • E-59)
Все моды четных порядков (га + п — целое четное число) имеют
один и тот же спектр эквидистантных резонансных частот, а все
нечетные моды располагаются посередине между четными
(рис. 5.11). Это обстоятельство имеет важное приложение для
сканирующих интерферометров Фабри — Перо, работающих в
проходящем свете, которое мы теперь и обсудим. Когда мы
впервые изучали сканирующий интерферометр Фабри — Перо,
то характеризовали плоскую падающую волну только одной
величиной, а именно углом падения 0. Однако любой пучок
конечного диаметра является суперпозицией волн с различными
волновыми векторами к. Таким образом, различные компоненты
волнового вектора к при одной и той же частоте возбуждают
разные эрмит-гауссовы моды, которые резонируют при различ-

5.4. Параметр q гауссова пучка и его преобразование
149
OZ(p-Z)
ZO(p-Z)
Щр-Z)
00(р~7)
вОр
ОЗр
О7(р-7)
Ю(р~7)
I
I
0Z(p-1)
Щр-7)
77(р-1)
00р
ЗО(р-7)
03(р-7)
07р
70р
I
02р
20р
77р
ЗОр
ОЗр
07(р + 1)
70{р + 1)
I
0Z{p+7)
2О(р + 7)
77{p+l)
00(р + 2)
Рис. 5.11. Схема расположения резонансных частот конфокального
резонатора Фабри — Перо.4
ных расстояниях между зеркалами и вызывают «ложные»
сигналы на выходе. Конфокальный интерферометр Фабри — Перо
позволяет избежать этой трудности.
5.4. Параметр q гауссова пучка
и его преобразование [3, 5, 7]
В разд. 5.2 при рассмотрении резонаторов мы использовали
совмещение отражающих поверхностей зеркал с узловыми
плоскостями стоячей волны. Аналогичные результаты можно
получить, если для описания гауссовых пучков использовать так
называемый параметр q. Такой подход имеет дополнительное
преимущество, поскольку его можно обобщить на эрмит-гауссовы
моды высших порядков и получить компактное описание их
преобразования линзами, зеркалами и другими оптическими
элементами.
Гауссов пучок полностью характеризуется комплексным
параметром z = jb. Вещественная часть дает расстояние от
местонахождения перетяжки пучка, а мнимая часть — значение
радиуса кривизны фронта:
1
jb z2 + b2
=4--/
E.60)
Таким образом, если известно, как преобразуется параметр q,
то понятно, как преобразуется и сам гауссов пучок. Поскольку
все эрмит-гауссовы моды высшего порядка описываются
одинаковыми величинами R и w и, следовательно, одним и тем же
параметром qy их преобразование происходит по одинаковым
законам, за исключением, разумеется, изменения фазы (т +
-\-п+\)ф. Мы рассмотрим здесь преобразование параметра q
тремя основными оптическими элементами.

150
Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
Рис. 5.12. Преобразование пара- Рис. 5.13. Преобразование линзой радиу-
метра q при прохождении пуч- са кривизны фазового фронта пучка,
ком расстояния d.
Область свободного пространства длиной d. В плоскости г
параметр q равен г + /&, а в плоскости zr на расстоянии d от
плоскости z (рис. 5.12) мы имеем
Таким образом, значение параметра q изменяется от q до q\
причем
q' = q + d. E.61)
Тонкая линза с фокусным расстоянием f. Если гауссов
пучок вида
л/2
V * gi(f>?—ix24-u2\(nJ?—ik. (x24-u2)f2R /g g2)
падает слева на тонкую линзу (рис. 5.13), то после
прохождения через линзу его радиус w останется неизменным, а
фаза Ф(х,у) сдвинется [см. D.33)]. У показателя экспоненты
—jk(x2 + у2)/2R появится иная зависимость от переменных х, у:
ад
I
2f
W
Теперь пучок имеет другой радиус кривизны волнового фронта,
а именно /?', определяемый следующим образом:
R'
f '
E.64)
Используя определение параметра q E.60), заключаем, что его
преобразование запишется в виде
.или
~~~q
q
- (g/f) •
f '
E.65)
E.66)

5.4. Параметр q гауссова пучка и его преобразование
I Поверхность зеркала (Ro)
15t
Волновой фронт
падающей плоской
волны
У
Интервал опережения
Двойной интервал
опережения
Волновой фронт
после отражения
Волновой фронт
после отражения
и разворота пучка
Рис. 5.14. Отражение пучка от сферического зеркала; разворот пучка.
Зеркало радиусом Ro. Зеркало радиусом Ro отражает пучок"
и изменяет радиус кривизны волнового фронта. Если мы
развернем пучок, как показано на рис. 5.14, то найдем, что
отставание по фазе при падении, равное k(x2 + y2)/2/?, становится
двойным опережением 2[k(x2 + у2)/2R0], поскольку длина пути
сокращается дважды — при падении и при отражении. Таким
образом, радиус R' «развернутого» отраженного пучка дается
выражением
1 1 2
R'
E.67)
Зеркало действует как линза с фокусным расстоянием f = R0/2.
Мы нашли, что преобразование параметра q любым из трех
рассмотренных оптических элементов можно представить как
билинейное преобразование
я' =
Aq + B
Cq + D
[А В1
с матрицей преобразования „ п •
странства эта матрица имеет вид
E.68).
Для свободного про-
1С D\ Lo lj
E.69)'
Тонкая линза с фокусным расстоянием / описывается матрицей
А ВЛ Г 1 О
С D
]¦
F.70)

152 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
Рис. 5.15. Последовательность оптических систем.
В случае зеркала радиусом Ro в формуле преобразования
линзой используется фокусное расстояние f = Ro/2. С помощью
простых алгебраических действий можно показать, что
преобразование параметра q оптической системой из двух элементов
(рис. 5.15) имеет вид
_ Ад0 + В
E.71)
где матрица преобразования
Г Л ВЛ\А2 В2]ГЛ, 5,1
1С D\ [С2 D2llCl Dj
[А2АХ + BzCi A2BX + B2Dl I
E.72)
является произведением матриц преобразования отдельными
оптическими элементами.
Для всех найденных до сих пор матриц преобразования,
которые связывают входной параметр q в свободном пространстве
(в воздухе) с выходным параметром q' тоже в свободном
пространстве, выполняется условие
det
A
С
E.73)
Поскольку определитель произведения матриц равен
произведению определителей, это условие выполняется для любой
последовательности оптических элементов.
Произведение матриц отдельных оптических элементов в
системе встречается в задачах 3.4 и 3.5 в связи с Т-матрицей
двухполюсной системы. Коэффициент отражения Г = b/а
подчиняется билинейному преобразованию, в котором элементы
Т-матрицы являются коэффициентами. Может возникнуть
вопрос: аналогичен ли параметр q коэффициенту отражения, т. е.
равен ли он отношению амплитуд двух возбуждающих сигналов,
которое преобразуется как коэффициент отражения? На этот
вопрос можно ответить утвердительно. Как мы покажем в
следующем разделе, преобразование параметра q однозначно
соответствует преобразованию геометрического отношения. Из
доказательства следует также соответствие АВСО-матриц, найден-

5.5. ЛБСО-матрица в геометрической оптике
153
ных в этом разделе, с Л?С?-матрицами, полученными из гео-
метрооптического рассмотрения. Во многих случаях легче
вывести ЛБСО-матрицы из геометрической оптики, чем
непосредственно из преобразования параметра q.
5.5. А В CD-матрица в геометрической оптике
В геометрической оптике изображение формируется путем
преобразования лучей, выходящих из точки на объекте, до их
пересечения в точке изображения. Такое описание не расходится с
параксиальной теорией дифракции Френеля. Действительно,
выполненный в разд. 4.4 анализ показал, что линза дает
идеальное изображение, если считать, что ее апертура имеет
бесконечно большой диаметр (иначе говоря, дифракционные
искажения являются результатом конечного размера апертуры).
Таким образом, можно надеяться установить соответствие
между соотношениями, полученными в геометрической оптике,
и соотношениями теории дифракции Френеля. Функция
импульсного отклика, лежащая в основе теории дифракции, является
решением волнового уравнения в случае точечного источника
со сферическими волновыми фронтами. Волновой вектор к в
любой точке сферического волнового фронта может быть
представлен как луч, исходящий из источника. Преобразование
волнового фронта оптической системой можно по-другому описать
как искривление лучей.
В данном разделе мы выведем ЛВСй-матрицу
геометрической оптики. Покажем также, что эта матрица однозначно
соответствует матрице преобразования параметра q.
Рассмотрим изображение предмета (показанного на рис. 5.16
вертикальной стрелкой) оптической системой. Если изображение
существует, то лучи, исходящие из любой точки предмета,
должны встретиться в соответствующей точке изображения.
Выберем две произвольные опорные плоскости между предметом
Предмет
Изображение
Рис. 5.16. Преобразование луча оптической системой.

154
Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
и оптической системой, а также между изображением и
оптической системой. Лучи «пронзают» опорные плоскости на
расстояниях Г\ и г2 от оси с углами наклона г\
Оптическая система связывает величины г2
нами преобразования
и г2 соответственно.
г2 с
г, и
г{ зако-
r2 = f(r{,r2-)y E.74)
r2 = g(ri> <)> E-75)
где f и g— функции переменных г{ и rfv Если оптическая
система должна сформировать идеальное изображение, законы
преобразования E.74) и E.75) должны быть линейными. Мы
продемонстрируем это утверждение с помощью рис. 5.17. Из
вершины стрелки предмета высотой h0 выходит луч,
пересекающий опорную плоскость 1 в точке г\ под углом г'ь
Преобразованный луч проходит, по определению, через вершину стрелки
изображения высотой hi. Он пересекает опорную плоскость 2
в точке г2 под углом г2# Точка меньшей высоты, координата
которой равна ?й0 @<!< 1), должна отображаться в точку с
координатой Ун. Соответствующие лучи должны пересекать
опорные плоскости в точках %гх и \г2 под углами %г'{ и gr2. Все
это показывает, что соотношение между г2, г2 и rv r\ должно
быть линейным; в общем виде оно записывается следующим
образом:
r2 = Arx + Brfl9 E.76)
r'2 = Crx + Dr'x. E.77)
Это соотношение можно записать в матричной форме, если опре-
делить следующие матрицы-столбцы
ГЧ Гг*1.
, I и , I.
Сложная оптическая система описывается матрицей ABCD,
Оптическая
система
Рис. 5.17. Иллюстрация линейного преобразования лучей идеальной
оптической системой.

5.5. Л BCD-матрица в геометрической оптике
155
(/) 1B)
Рис. 5.18. Тонкая линза с примыкаю- Рис. 5.19. Слой диэлектрика толщи-
щими к ней опорными плоскостями. ной d с показателем преломления п.
которая является произведением матриц отдельных входящих
в нее элементов. Рассмотрим сначала закон преобразования
[соотношения E.76) и E.77)] для тонкой линзы с опорными
плоскостями, как показано на рис. 5.18. Поскольку тонкая линза
не изменяет расстояния г от оси луча, проходящего через нее,
мы имеем г2 = г\ и, таким образом, А = 1, В = 0. Угол наклона
г'2 не меняется для луча, проходящего через центр линзы, г\ = 0.
Следовательно, D = l. Наконец, для луча, параллельного оси
(г' = 0) и проходящего через фокус, справедливо соотношение-
и поэтому
f
=—1//.
Таким образом, ABCD-матрица тонкой линзы имеет вид
С D] l-l/f I J
E.79>
Мы видим, что это та же самая матрица, как и полученная из
преобразования параметра q.
Рассмотрим теперь матрицу преобразования диэлектрической
пленки толщиной d с показателем преломления п. При п = 1 —
это случай свободного пространства (воздуха). На границе
раздела между воздухом и средой луч отклоняется в соответствии
с законом Снеллиуса в его параксиальной форме (рис. 5.19):
П2
Г2 = ГГ
Таким образом, ЛВСД-матрица границы раздела запишется
в виде
ТА Л| Г1 0 1
Vc d] Lo 1//1J
E.80)

156 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
Прохождение лучом расстояния d приводит к следующему
преобразованию: гъ = г2-\- dr'2, г'3 = г'2я При этом Л?С?)-матрица
имеет вид
V А В1 Г 1 dl
Uz>HoiJ-
Затем луч проходит через вторую границу раздела, ABCD-ма-
трица которой записывается в виде E.80), но с заменой п на
1/п. Последовательность трех областей дает результирующую
матрицу
[А В 1 Г 1 d/n 1
с D]-[o 1 ]• <582)
В случае п = 1 она сводится к Л5С?>-матрице, полученной
ранее для преобразования параметра q областью свободного
пространства длиной d. Мы обобщили этот результат на случай
произвольного показателя преломления п и показали, что
Л5СД-матрица диэлектрической пленки с показателем
преломления п и толщиной d такая же, как и ЛВС?)-матрица
свободного пространства длиной d/n.
Рассмотрим для примера тонкую линзу с опорными
плоскостями, расположенными на расстояниях 1Х впереди линзы и /г
позади нее. Л5СД-матрица всей системы является
произведением Л?С/)-матриц трех «компонент»:
[c"d\= _± "Ч .. "I- E-83)
f
Л
Если предмет расположен в плоскости 1\, изображение
находится в плоскости /2, то мы должны иметь равенство
г2 = Мгь E.84)
где М — увеличение, а величина г2 не зависит от г[ш Таким
образом,
B = /i + /2(l-<i/f) = 0,
или
1//, + 1//2=1//. E.85)
Это хорошо известное соотношение, связывающее плоскости
пространства предмета и изображения для тонкой линзы. Кроме
того, увеличение равно |Л|:
. E.86)

5.6. Применение 4ВС/)-матрицы
157
Опорная
плоскость 1
Опорная
плоскость 2
Рис. 5.20. К объяснению преобразования оптической системой отношения г/г'.
Возвращаясь к общему закону преобразования E.78),
рассмотрим закон преобразования отношения г/г':
E.87)
С (г
D
Это билинейный закон преобразования, по форме
тождественный преобразованию параметра q. Следует заметить, что
отношения fxjr\ и г2/г2 представляют собой соответственно
расстояния Azi и Дг2 на рис. 5.20, т. е. расстояния между опорными
плоскостями и точками пересечения лучей с осью оптической
системы. Мы отмечали, что гауссов пучок можно рассматривать
как параксиальный предел решения для точечного источника,
смещенного на мнимое расстояние z0 = —jb. Расстояние z +
-±-jb = q соответствует «комплексному расстоянию» от опорной
плоскости до точки пересечения с осью «комплексного луча»,
принадлежащего гауссовой моде. Этим объясняется, почему
параметр q имеет тот же закон преобразования, что и отношение
Az = г/г'.
В наиболее общем случае ЛВСТЭ-матрица имеет четыре
подгоночных параметра, ее определитель не равен 1, как и в
случае матрицы E.80). В приложении 5Г мы исследуем общий
случай оптической системы, описываемой такой матрицей.
5.6. Применения Л?С7)-матрицы
В разд. 5.2 мы описали конструкцию резонаторов Фабри — Перо
с зеркалами заданного радиуса кривизны, расположенными на
расстоянии d друг от друга. Мы совместили узловые
поверхности тангенциальной составляющей электрического поля с
поверхностями зеркал и получили критерий для расстояния между
зеркалами, при котором существуют резонаторные моды.

158 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
f, = r,/z
Рис. 5.21. Резонатор (наверху) и его представление (внизу) в виде биперио-
дической последовательности линз.
Аналогичные результаты можно получить при
использовании формализма ЛВС?)-матриц. Резонатор, состоящий из двух
сферических зеркал, может быть представлен в виде бипериоди-
ческой последовательности линз, как показано на рис. 5.21.
Необходимое условие для существования моды заключается в том,
чтобы пучок воспроизводил себя после прохождения им
расстояния 2d. ЛБСД-матрица оптической системы, состоящей из
линзы с фокусным расстоянием /ь последующей области
свободного пространства длиной d, линзы с фокусным расстоянием
/2 и снова области свободного пространства той же длины dy
запишется в виде
[с дМ __Lfj_^__L ,_JL Г E
f2 V1 U ) U h
Параметр q преобразуется в qf следующим образом:
q' = ^-
Cq + D
E.89>
Если мода существует, то параметр q должен повториться после
одного полного прохода: q' = q. Воспользуемся следующим
уравнением для q:
Cq2 + (D-A)q-B = 0, E.90)
откуда для q находим выражение
A — Dt
A + D
где мы использовали тот факт, что
AD-CB=\.
E.91)
E.92)

5.6. Применения ЛВСО-матрицы 159
Радиус пучка будет вещественным [см. выражение E.60)],
когда lmq=?0. Для того чтобы параметр q имел мнимую часть, из
выражения E.91) получаем следующее условие:
<L E-93)
Подставляя сюда элементы матрицы из E.88), имеем
следующее условие:
которое аналогично условию E.40).
Рассмотрим теперь более подробно матрицу E.88) в
частном случае, когда l//i = 0. Это случай резонатора,
образованного плоским и сферическим зеркалами. Опорную плоскость
расположим у плоского зеркала (рис. 5.21), где имеет место
перетяжка пучка. С учетом замены f2 на / матрица E.88)
принимает вид
га в-\_\1~т ы~т\
1С d\-\ l i-±\
L f l f J
E.95)
Мы нашли, что A =D. Это закономерно, поскольку параметр q
в выражении E.91) должен быть мнимым, так как перетяжка
пучка находится в опорной плоскости. Таким образом, мы имеем
для q следующее выражение:
d), E.96)
которое при 2f = RQ совпадает с выражением E.36).
Матрицы вида E.95) обладают рядом полезных свойств;
в частности, позволяют легко найти матрицу последовательности
m оптических элементов, каждый из которых описывается
матрицей E.95). Такие последовательности интересны тем, что
восстанавливают гауссов пучок с плоским волновым фронтом в
любой опорной плоскости. Дифракция, которую испытывает
пучок при прохождении им расстояния 2d, компенсируется
линзой. Для того чтобы получить выражение для матрицы всей
системы, заметим, что матрицу E.95) можно записать через
углы 9:
VA B1 Г cos8 %sin9l
[с d] = Ursine cosej' <5-97)
Л/
где угол в определяется выражением
cos8=l— d/f, E.98)

160 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
а параметр % равен
% = ^dBf-d). E.99)
Если т-я система последовательности описывается ABCD-ua-
трицей E.97), то результирующая матрица последовательности
запишется в виде
[А В1т Г COs9 %sin6~|m Г cosm9 % sin m0~|
CD] ~\_ -sine cosBj ~[ -sinmB cosm9J#
E.100)
Выражение E.100) может быть доказано методом
математической индукции, предполагая, что соотношение справедливо для
степени т, а затем доказывая, что оно справедливо и для
степени /72+1.
Линза с градиентным показателем преломления
Важным частным случаем последовательности одинаковых
оптических систем (бесконечно малой длины) является случай
диэлектрического стержня с параболическим профилем
показателя преломления я, который обсуждается в следующей главе;
это пример оптического волокна. Такой профиль имеют линзы
с градиентным показателем преломления (коммерческое
название этих линз — Селфок). Они представляют собой тонкие
стержни (диаметром порядка 1 мм), которые действуют как
линзы и применяются для формирования пучков излучения на
выходе из полупроводниковых диодных лазеров и оптических
волокон. Рассмотрим диэлектрический стержень со следующим
профилем показателя преломления:
^) E.101)
где по — показатель преломления в центре стержня, а 1/Л —
коэффициент параболической зависимости (скорость спадания)
показателя преломления п с увеличением расстояния от оси.
Участок стержня бесконечно малой длины Аг действует на
пучок следующим образом:
1. Профиль показателя преломления п приводит к
искривлению волнового фронта. Этот эффект эквивалентен
действию линзы с фокусным расстоянием /, которая приводит
к появлению зависящего от радиуса фазового сдвига —</>
[ср. с выражением D.33)]:

5.6. Применения ЛБСО-матрицы 161
из чего мы можем заключить, что
-р = $-Д2. E.102)
2. Стержень действует как слой толщиной Az с показателем
преломления п0. Этот эффект может быть представлен
действием двух слоев толщиной Аг/2 с показателем
преломления п0, один из которых расположен перед линзой,
а другой — после нее. Результирующая ЛВС?)-матрица
дается выражением E.95) с заменой d на Az/2nQ [ср. с
E.82)], а величина 1// находится из соотношения E.102):
— л2 AZ 1 — -^ J L ^2~ А 2/г2 J
,-
Угол 6 дифференциальной оптической системы можно
получить, сравнивая выражения E.103) и E.97):
E.104)
а параметр % дается выражением
Х = А/яо. E.105)
Теперь легко найти ЛВС?)-матрицу стержня длиной /.
Результирующий угол тб в выражении E.100) при распространении
на расстояние l = m&z равен mQ = l/h, и ЛБСЛ-матрица в
соответствии с E.104) запишется в виде
[/ h . / 1
C0SX ^sinX
--^sin-f cosf J'
n n h -*
E.106)
Стержень, описываемый этой матрицей, обусловливает гауссов
пучок с плоским волновым фронтом и (мнимым) параметром q,
который может быть найден из соотношения E.91) при
использовании выражений для элементов матрицы E.106):
<7 = -^— == / —«—, или ш2 = . E.107)
То, что цилиндрический стержень с параболическим профилем
показателя преломления действует как линза, очень просто
показать из E.106) в частном случае, когда l/h — n/2 (рис. 5.22).
При этом ЛВСО-матрица такого стержня совпадает с ABCD-ма-
трицей тонкой линзы с фокусным расстоянием h/n0 и с опор-

162
Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
Рис. 5.22. Линза с градиентным коэффициентом преломления «длиной» я/2
и ее эквивалент.
ными плоскостями, помещенными в ее фокальных плоскостях
[ср. выражение E.106) при l/h = я/2 с выражением E.95) при
5.7. Методы испытания оптических
систем [10—12]
До сих пор мы обсуждали идеальные оптические системы,
которые преобразуют сферические волновые фронты в
сферические и формируют идеальные изображения предметов. В
реальной действительности изображения являются неидеальными
частично из-за дифракционных эффектов, а частично из-за
несовершенства оптической системы. Дифракционные эффекты
обусловлены конечными размерами апертур. Такие эффекты нельзя
описать с помощью геометрической оптики; с этой задачей
может справиться волновая оптика. Простую качественную
картину влияния дифракции вследствие конечных размеров
апертуры дает анализ гауссовых пучков. Если оптический пучок
проходит через линзу с радиусом апертуры w и при этом
требуется, чтобы он сфокусировался в пятно с минимальным
радиусом wo, то радиус пятна w0 должен (приближенно)
подчиняться закону преобразования гауссова пучка (рис. 5.23).
Мы имеем
Wo = Xf/nw. E.108)
При конечной длине волны значение w0 не может быть
равно нулю. Если отношение f/nw стремится к единице, то Wo
становится равным X. Это условие примерно выполняется, если
число Френеля F линзы равно единице (число Френеля F опре-

5.7. Методы испытания оптических систем
163
Рис. 5.23. Конечный размер сфокусированного светового пятна как следствие
ограниченности апертуры линзы.
деляется как отношение фокусного расстояния к диаметру
линзы).
Дифракционные искажения обусловлены волновой природой
света и неизбежны (хотя плохая конструкция оптической
системы может их усугубить). Компоненты оптических систем
отличаются от идеальных, свойства которых мы до сих пор
рассматривали. Существует много способов испытаний,
предназначенных для установления отклонений свойств оптических
элементов от идеальных.
Аберрации
Аберрации можно определить как отклонение исходно
сферического волнового фронта от сферичности. Вычислить
аберрацию волнового фронта можно, сравнивая искаженный (т. е.
несферический) волновой фронт со строго сферическим. Это
может быть осуществлено в различных интерферометрах, в
которых искаженный волновой фронт интерферирует со строго
сферическим. Если сравниваемые волновые фронты сделать
плоскими, то интерференционная картина будет аналогична
приведенной на рис. 5.24, где жирная кривая B) представляет
искаженный волновой фронт, a So — эталонный или правильный
волновой фронт. Чтобы найти результирующую интерференционную
картину, построим вспомогательные волновые фронты Si, S2
и т. д., находящиеся на расстояниях одной, двух и т. д. длин
волн перед фронтом So и аналогично S_b S_2 и т. д.,
расположенные позади волнового фронта. Светлые полосы образуются

164
Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
Интерференционные
I полосы
Рис. 5.24. Интерференция между правильным и искаженным волновыми
фронтами.
в тех местах, где кривая 2 пересекается с одной из этих
поверхностей, как показано на рисунке. Таким образом,
интерференционная картина является изображением изогипс, или
уровней 2, расположенных относительно поверхности 5о на
расстояниях, равных целому числу длин волн. Ниже мы рассмотрим
некоторые реализации этого метода.
Интерферометр Физо. Интерферометр Физо применяется
для испытания плоскопараллельных прозрачных пластинок.
Интерференционная картина образуется вследствие интерференции
волн, отраженных от передней и задней поверхностей пластинки.
При этом интерференционные полосы соответствуют линиям
постоянных значений 2nt на расстояниях, кратных длине волны
(рис. 5.25).
Интерферометр Тваймана—Грина. В интерферометре Твай-
мана — Грина (рис. 5.26) входящий пучок разделяется и
соединяется в месте расположения делителя пучка. Оба зеркала
наклоняются таким образом, чтобы наблюдалась
интерференционная картина в виде клиньев. Затем наклон зеркал регулируется
до тех пор, пока волновые фронты, появляющиеся в окуляре
(нижний пучок на рис. 5.26), не станут параллельными, а
интерференционная картина не исчезнет. Испытуемая
плоскопараллельная пластинка вводится в боковое плечо интерферометра,
как показано на рис. 5.27. Результирующие интерференционные
полосы представляют собой линии постоянных значений
2(п— 1)/, расположенные на расстояниях, кратных длине волны.
Рис. 5.28 иллюстрирует испытание призмы;
интерференционная картина показывает отклонение от плоскостности
волнового фронта. Испытание линзы производится так, как показано
на рис. 5.29, с помощью выпуклого зеркала, центр кривизны ко-

5.7. Методы испытания оптических систем
165
, . п Коллиматор
Делитель
пучка
Точечное
отверстие
Рис. 5.25. Интерферометр Физо для испытания плоскопараллельных
пластинок с показателем преломления п.
Концевое
зеркало
Делитель
11/ЧКСС
Точечное
отверстие
Боковое
зеркало
Коллиматор
Лита
Боковое
плечо
Рис. 5.26. Интерферометр Тваймана — Грина.
Делитель /
пучка /
Боковое
зеркало
/
Рис. 5.27. Испытание плоскопараллельной пластинки.
Делитель
Диспергирующая
призма
Концевое
зерксто
Рис. 5.28» Испытание диспергирующей призмы в интерферометре Тваймана
Грина.

166 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
Делитель /
пучка. '
/
Фокус
/ Испытуемая * кривизны
линза Выпуклое
зеркало
Рис, 5.29. Испытание линзы.
торого находится в точке F\ являющейся номинальным фокусом
линзы. В области справа от линзы выпуклое зеркало создает
эталонный сферический волновой фронт. Если линза имеет
различные фокусы для лучей, лежащих в двух
взаимно-перпендикулярных плоскостях, проходящих через ось линзы, то они
могут быть найдены путем соответствующего расположения
центра кривизны сферического зеркала относительно точки F''.
Источником света, применяемым в интерферометре Твайма-
на — Грина и ему подобных, обычно является ртутная лампа
низкого давления со светофильтром, выделяющим зеленую
спектральную линию с длиной волны 0,546 мкм. Поскольку эта
линия имеет конечную спектральную ширину, оба плеча
интерферометра должны быть сделаны приблизительно равной длины
(в пределах от 10 до 50 мм) для того, чтобы получить
интерференционную картину с достаточно высоким контрастом.
Если в качестве источника используется лазер, то
вышеупомянутое ограничение устраняется. Кроме того, становится
возможным создание других модификаций интерферометра
Тваймана — Грина, например с делителем пучка в сходящемся
свете. Однако лазерное освещение имеет также и недостатки;
излучение лазера имеет столь большую длину когерентности, что
образуются посторонние интерференционные системы,
включающие в себя каждый пучок рассеянного света и любое
паразитное отражение в системе. Кроме того, длина волны лазера
может не совпадать с той, на которую рассчитана оптическая
система, так что ее характеристики на расчетной частоте могут
отличаться от полученных.
5.8. Заключение
Гауссов пучок является решением параксиального волнового
уравнения. Это решение описывает основные свойства
дифракции пучка, угол его расходимости при данном минимальном
диаметре и зависимость кривизны волнового фронта от расстояния.
Решения в виде стоячих волн, построенные из гауссовых пучков,
иллюстрируют основные моды резонатора Фабри — Перо со

Приложение 5А 167
сферическими зеркалами конечного поперечного размера. Такие
моды существуют только при определенном расположении
зеркал, а минимальный диаметр пучка определяется геометрией
зеркал. Эрмит-гауссовы решения высших порядков получаются
из интеграла Френеля; для них зависимости поперечного
сечения пучка и радиуса кривизны фронтов этих мод от координаты
2 такие же, как и у основной моды. Если рассматривать
дифракцию как суперпозицию эрмит-гауссовых мод, то все
сложности дифракции Френеля сведутся к отличию фазовых
зависимостей у различных эрмит-гауссовых мод. Моды резонатора
Фабри — Перо высшего порядка могут быть образованы из
эрмит-гауссовых стоячих волн; показано, что среди проходных
резонаторов Фабри — Перо только конфокальный резонатор
обладает простейшей модовой структурой.
Параметр q является емкой характеристикой радиуса
кривизны и диаметра гауссова пучка, а как обобщение — и
диаметра эрмит-гауссова пучка. Этот параметр подчиняется
билинейному закону преобразования, включающему в себя
коэффициенты ЛБСО-матрицы. Эта матрица получена также из
анализа оптических систем методами геометрической оптики.
Расстояние от опорной плоскости, расположенной в месте
пересечения луча с осью системы, тоже подчиняется аналогичному
билинейному преобразованию. Данное обстоятельство
объясняется тем фактом, что параметр q является (комплексным)
расстоянием от опорной плоскости источника, генерирующего гаус-
соь пучок.
Математический аппарат ЛВС/)-матриц приводит к хорошо
известным соотношениям, описывающим формирование линзой
изображения предмета. Мы исследовали оптические свойства,
создаваемые последовательностью тонких линз, и рассмотрели
линзу с градиентным показателем преломления.
Поняв закономерности дифракционной оптики и
преобразований волнового фронта, мы смогли изучить методы испытания
аберраций оптических систем.
Приложение 5А
Определяющее уравнение для эрмит-гауссовых функций
Эрмит-гауссовы функции лучше всего изучать с помощью
дифференциального уравнения, для которого они образуют
полный набор решений. Таким уравнением является известное из
квантовой механики уравнение Шредингера для одномерного
гармонического осциллятора [13, 14, 15], которое в
нормированном виде записывается следующим образом:

168 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
Область II '/<Л Область I tyfr Область II
Ж
Рис. 5.30.
Это дифференциальное уравнение дает набор функций г|)т(?)
единственной независимой переменной g, ортогональных в том
смысле, что выполняется условие
= 0 при
EА.2)
Чтобы доказать это и лучше понять смысл решений уравнения
EА.1), рассмотрим его геометрическую интерпретацию с
помощью рис. 5.30. Поскольку коэффициенты уравнения EА.1)
симметричны относительно переменной g, решения должны быть
либо симметричными, либо антисимметричными. Симметричное
решение, которое начинается в центре (? = 0) и с нулевым
углом наклона идет вправо, имеет далее конкретные значения
угла наклона и кривизну, определяемые дифференциальным
уравнением второго порядка. В области I решение будет
описываться вогнутой кривой, а в области II — выпуклой. При
?-Н) решение будет стремиться к ±оо, если мы неправильно
выберем собственное значение величины Я, соответствующее
конечному решению. Решение низшего порядка имеет
наименьшую кривизну, наименьшее собственное значение и лишь один
экстремум. Это решение есть функция Гаусса е~^12 с
собственным значением Я=1. Каждому более высокому собственному
значению соответствует решение, имеющее на один экстремум
больше. Следующее решение антисимметрично и имеет два
экстремума, последующее симметрично с тремя экстремумами
и т. д.
Затем мы исследуем, каким образом решения высших
порядков связаны с решениями более низких порядков. Для этой
цели удобно ввести операторы «рождения» и «уничтожения»
или «повышающие» и «понижающие» операторы d/d?=Fg, где
знак минус берется при повышении, а знак плюс — при пони-

Приложение 5А
169
жении. Рассмотрим функцию г|)(|), которая, согласно
предположению, удовлетворяет уравнению EА. 1) и обращается в
нуль при ?—>-±оо. Подействуем на уравнение EА. 1)
оператором d/d% =F | и переставим члены таким образом, чтобы
(d/dl =F |) находился справа от d2/dl2 и |2. Заметим также, что
справедливы следующие равенства:
EА.4)
Подставляя эти равенства в уравнение EА.1), подвергнутое
действию оператора d\d\ =F \, получаем
w [{щ т 0 ¦] +[(я ±2) -|2] [(ж+0 ¦]в °- EА-5)
Мы воспроизвели первоначальное уравнение, в котором новому
решению (d/d? + ?)г|) соответствует собственное значение X ± 2.
Рассмотрим решение низшего порядка ехр(—?2/2) с Я= 1. Оно
имеет наименьшую возможную отрицательную кривизну в
области, где выполняется условие (К — ?2)>0, и, следовательно,
наименьшее возможное значение К. Следующее решение
получается при действии повышающего оператора, и это решение
(d/dl — ?)ехр(—12/2) = —2?ехр(—12/2) имеет два экстремума.
Каждое последующее применение оператора дает
дополнительный экстремум. Таким образом, применяя последовательно
повышающий оператор, мы получили все возможные решения.
/77 =3
Рис. 5.31. Эрмит-гауссовы функции трех низших порядков.

170 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
Собственное т-е значение Хт дается выражением Хт =
= 2(т+1/2). Ряд собственных функций показан на рис. 5.31.
Наоборот, действие понижающего оператора приводит к
тому, что из решений более высокого порядка получаются
решения низшего порядка, поскольку он вызывает ступенчатое
«спадание» собственных значений по «лестнице» с шагом,
равным двум, и в результате образуются решения, которые на один
порядок ниже предыдущего. Решения уравнения EА. 1) для
различных дискретных собственных значений являются эрмит-
гауссовыми функциями.
Приложение 5Б
Свойство ортогональности эрмит-гауссовых мод
Эрмит-гауссовы функции if>m(?) ортогональны в том смысле,
что для них выполняется следующее условие [13, 14]:
если тфп. Для доказательства этого воспользуемся исходным
уравнением EА. 1):
^+К^т~1Чт-0у EБ.2>
где
Фт^Ят(Б)*"№. EБ.З)
Умножая уравнение EБ. 2) на <фл и вычитая из него такое же
уравнение, но примененное к функции tyn и умноженное на г|)т,
получим
оо оо
$ $^(^^И = 0; EБ.4)
здесь мы учли то, что функции г|эт и tyn обращаются в нуль при
^ = +00. Таким образом,
EБ.5)
когда ХтфХп. Уравнение EБ.4), примененное к интегралу
EБ. 1), с учетом условия EБ.5) дает условие ортогональности
EБ.1).

Приложение 5В 171
Если ввести функцию EБ.З) в уравнение EБ.2), то получим
дифференциальное уравнение для полиномов Эрмита:
- 21 -^f- + 2тНт = 0. EБ.6)
Приложение 5В
Производящая функция и свертка эрмит-гауссовых функций
Производящая функция для эрмит-гауссовых функций (как
мы докажем ниже) имеет вид
= 1 ?¦.<»;
F(s, |)^( ^)
п=0
здесь мы применили символ tyn{l) Для обозначения
эрмит-гауссовых функций. Эрмит-гауссовы функции являются
«коэффициентами» разложения в ряд Тейлора по переменной 5
производящей функции F(s, |). Сравнение обеих частей уравнения
EВ.1) при s = 0 дает <ф0 (|) = ехр(—Е2/2). Применяя
понижающий оператор d/d'g +1 к обеим частям уравнения EВ. 1),
покажем теперь, что все оставляемые члены ряда представляют
собой решения уравнения EА. 1). Мы используем символ
частной производной, поскольку F является функцией двух
переменных, а именно s и |. Мы получим
= 2sF(s, g) = 2
п=0
где мы непосредственно продифференцировали
экспоненциальную функцию F(s, g), учитывая, что действие оператора д/д% + ?
на функцию F(s,q) эквивалентно ее умножению на 25. Затем
заменим функцию F(s, |) ее исходным разложением и в
заключение приравняем результат к воздействию оператора д/д% + ?
на данное разложение. Сопоставляя члены с одинаковыми
степенями величины 5, получаем
>»+i(i) = 2(rt+l)iMi). EB.3)

172 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
Понижающий оператор преобразует {п-\- 1)-ю функцию \|)л-н(?)
в я-ю функцию г|)Л(^). Поскольку функция гроШ является
функцией Гаусса, функция i|)i(|) должна быть первым решением
высшего порядка дифференциального уравнения EА. 1).
Расположение остальных собственных функций вдоль «лестницы»
можно идентифицировать, применяя метод математической
индукции.
Производящую функцию можно использовать для
вычисления функции tyn (I) = Нп (?) e~?f2. Разлагая функцию F(s, I) в.
ряд по степеням ее переменной 5 и приравнивая члены в EВ. 1)
при одинаковых степенях, имеем
H0(l)=l, EB.4)
#i(?) = 2g, EB.5)
Я2(|) = 4^2-2. EВ.6)
Производящую функцию можно использовать для
установления соотношения между dHn/dh, и Нп-\. Это достигается
дифференцированием выражения EВ. 1) по переменной | и
переписыванием результата Bs — %)F{s, l) через исходные суммы.
Сравнивая члены с одинаковыми степенями s, получаем
-^-Я„ = 2яЯ„_,. EВ.7)
Если продифференцировать это равенство, воспользоваться
дифференциальным уравнением EВ.6) для Нп и EВ.7) с целью
исключения производных, то получим рекуррентную формулу
{ = 0. EВ.8)
Другим очень важным применением производящей функции
является вычисление сверток и фурье-образов собственных
функций я|)п(?). Рассмотрим сначала фурье-образ разложения в ряд
Тейлора производящей функции:
— оо /2=0
=~ш Sexp (~s2+ы ~ "f+m)dl=
щ- Sexp [~ "t+Bs+lk) l ~ ~t~{2s+ikJ]
— оо
Вычисление интеграла приводит к значению д/2я> и мы узнаем,
что коэффициент в последнем выражении является производя-

Приложение 5В 173
щей функцией F(js, k). Таким образом,
v /г=0
Фурье-образ функции Нп(^)е~^12 равен произведению (l/V2fi) X
X (/Г на аналогичную функцию аргумента k.
Рассмотрим теперь свертку эрмит-гауссовой функции tyn(Q =
= Нn(g) e~^2l2 с другой гауссовой функцией [15]:
= J exp [s
Сначала свернем полный набор функций if«(^o), приравняем их
свертке производящей функции и затем вычислим свертку
последней путем дополнения ее до полного квадрата. Вычисление
интеграла приводит к значению л/2п/(а + 1). Оставшийся
экспоненциальный множитель является производящей функцией для
эрмит-гауссовых функций. Приравнивая первое выражение в
EВ.10) к последнему выражению, представленному в виде
последовательности функций я^, получаем
п=о
Проводя почленную идентификацию, получаем

174 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
Последнюю формулу мы использовали в основном тексте.
Следует заметить, что квадратный корень в аргументе функции tyn
нужно интерпретировать таким образом, чтобы получать
решения, затухающие с увеличением |?|. Таким же образом следует
интрепретировать и выражение
а + 1
В заключение рассмотрим произведение двух производящих
функций с целью нахождения интеграла нормировки:
оо оо
= ? I "Ж" S Hm{l)Hn{l)e-Vdl. EB.13)
0
m=0 /г=0
Левая часть легко вычисляется и дает
EВ.14)
Приравнивая члены с одинаковыми степенями величин sup
после подстановки значения интеграла EВ.14) в выражение
EВ.13), получаем следующее выражение:
оо
H\{l)e~1'dl = sjn2nn\, EB.15)
а также условие ортогональности
оо
[ Hm(l)Hn(l)e~vdl = Q. EB.16)
— оо
Приложение 5Г
Общий случай параксиальной оптической системы и ее
ABCD-матрица
Л5С?-матрица тонкой линзы, находящейся между
произвольно расположенными опорными плоскостями, определяется
соотношением E.83). Ее элементы вещественны, а определитель
равен единице. Следовательно, эта матрица описывается тремя
произвольными параметрами (тремя степенями свободы). В
наиболее общем случае реальная ЛВСД-матрица имеет четыре
степени свободы. Покажем это на примере толстой линзы с двумя

Приложение 5Г
175
Главная
плоскость
Главная
плоскость
О) (г)
Рис. 5.32. Геометрическое построение оптических лучей для толстой линзы.
Опорная
плоскость A)
Опорное*
плос/юсть (Z)
различными фокусными расстояниями; в этом случае мы имеем
наиболее общую Л5С?)-матрицу. Различные фокусные
расстояния у оптических систем могут быть в тех случаях, когда вход
и выход системы находятся в различных средах.
Толстая линза характеризуется координатами двух главных
плоскостей и двумя фокусами [12], как показано на рис. 5.32.
Геометрическое построение лучей для нее осуществляется
следующим образом:
а) Для луча, параллельного оси слева от главной
плоскости 1, с данным значением r\a) и г[(а)==0 строится продолжение
от главной плоскости 1 до главной плоскости 2, от которой луч
проводится через фокус 2. Таким образом, определяются
следующие величины:
Ja)
Г2 —
(а)
Т
(а)
(а)/г
— —П //2-
Отсюда мы находим два элемента ЛБСД-матрицы:
A=l-d2/f2,
C = -l/f2. EГ.2)
б) Для луча, который проходит через фокус 1, строится
продолжение до пересечения с главной плоскостью 1, от которой
этот луч идет параллельно оси. Это построение позволяет найти
величины
(Ь)
для rAb) = — (d{ — /Л/
получим два уравнения для элементов В и D:
и произвольного значения т\ш Отсюда
r(b)
r(b)

176 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
Решая эти уравнения относительно В и D и используя
соотношения EГ.1) и EГ.2), находим
<*2. EГ.З)
EГ.4)
Оптическая система, изображенная на рис. 5.32, имеет
четыре независимых параметра d\, d2y f\ и f2. Выбором значений
f2 и d2 мы устанавливаем элементы А и С матрицы в
соответствии с выражениями EГ.1) и EГ.2). Из выражений EГ.З) и
EГ.4) получаем элементы В и D при данных значениях f{ и d\.
Отметим, что определитель матрицы записывается в виде
det
гл вл_и_
\_С D] ~ W
Любая оптическая система с определителем, равным единице,
имеет f\ = f2.
Задачи
5.1. Напряженность электрического поля гауссова пучка E.26) имеет я-ком-
поненту и г-компоненту. г-компоненту можно разделить на две части,
одна из которых находится в фазе с модой «оо, а другая имеет фазовый
сдвиг 90° по отношению к Що. Синфазная компонента определяет
кривизну силовых линий, которая эквивалентна кривизне волновых фронтов.
90°~9
Волновой
фронт
R
Рис. 35.1.
Покажите, что это утверждение справедливо, вычисляя величину
Rf^/^z] и замечая, что (рис. 35.1)
5.2. Гауссов пучок с длиной волны X = 2я/& падает на интерферометр Май-
кельсона. Перетяжка пучка Wq располагается в плоскости
полупрозрачного зеркала.
а) Рассматривая сначала гауссов пучок как плоскую волну, найдите
распределение интенсивности в плоскости наблюдения как функцию
параметров la, 1ь и /, предполагая, что система имеет идеальную юстировку
(рис 35.2).
б) Учитывая затем конечный размер перетяжки, повторите снова решение
задачи, сформулированной в п. а. В частности, выполните расчет для

Задачи
177
Плоскость
наблюдения
Рис. 35.2.
случая 1а = U. Существует ли при этом видимая интерференционная
картина (нули интенсивности) ? Будет ли она существовать при 1а Ф W
5.3. Пучок, излучаемый лазерным диодом (с длиной волны А,), может быть
аппроксимирован гауссовым пучком с эллиптическим поперечным
сечением:
/ X2 \ / У
и (х, у) = А ехр ( 2~ I ехР ( ~
V Щх) \ wiy
и плоским волновым фронтом (рис. 35.3).
У А
Рис. 35.3.
а) Докажите, что хорошо известные формулы для перетяжки пучка и
радиуса кривизны волнового фронта могут быть применены раздельно
для компонент гауссова пучка эллиптического сечения, зависящих от х
и у.
б) Какими будут углы расходимости пучка в обоих радиальных
направлениях (в плоскости х, у) в случае, когда X = 0,81 мкм, Wox = 10 мкм,
woy = 1 мкм?
5.4. Резонатор Фабри — Перо освещается через линзу с фокусным
расстоянием f гауссовым пучком, перетяжка которого ш0 находится в опорной
Я = 21
Рис. 35.4.

178
Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
плоскости, показанной на рис 35 4. Найдите значения / и ш0> при
которых внешний пучок будет согласован с основной модой резонатора.
5.5. Для решения этой задачи используйте рис. 35.5.
а) Найдите геометрооптическую Л?С?)-матрицу для плоской границы
раздела двух сред с показателями преломления пх и щ соответственно.
Рис. 35.5.
б) Определите Л?С/)-матрицу из преобразования параметра q (т. е.
исходя из его действия на радиус кривизны волнового фронта).
в) Предполагая, что граница раздела имеет теперь радиус кривизны Ro>
повторите решение задачи, сформулированной в п. а.
г) Постройте Л?С/)-матрицу для последовательности двух сферических
поверхностей, сложенных вместе (т. е для тонкой линзы). Сравните
результаты с Л BCD-матрицей тонкой линзы.
5.6. В случае когда мы ищем решение для гауссова пучка в резонаторе со
сферическими зеркалами, предполагается, что волновой фронт согласован
с поверхностью зеркала Цель данной задачи состоит в том, чтобы
доказать, что это условие всегда выполняется, если параметр q должен
воспроизводиться после одного прохода.
а) Используя формализм, развитый в разд. 5.6, покажите, что во входной
опорной плоскости (рис 521) величина Re(\/q) = (A— D)/2C равна \/Ri.
б) Вопрос может быть поставлен иначе. Почему мы требуем, чтобы
параметр q воспроизводился после одного прохода^ Предположим, что
необходимо его воспроизведение только через п проходов. Для
опровержения этой гипотезы рассмотрите требование, чтобы параметр q
воспроизводился после двух проходов. Постройте матрицу
[с

Задачи
179
Найдите параметр q, соответствующий этой новой матрице. Что вы
нашли? Какую информацию это дает относительно п проходов, если п —
четное число? Указание: воспользуйтесь формулой
2С
)
2С
) + С '
5.7. Покажите, что гауссов пучок с перетяжкой Wi, расположенной на
расстоянии di от линзы с фокусным расстоянием f, преобразуется в пучок
Рис. 35.7.
с перетяжкой ш2, расположенной на расстоянии d2 по другую сторону
линзы (рис. 35.7), причем
A)
B)
(*,-/)*+(*-?/*)'
Xf
— I]2
или
Указание: Воспользуйтесь формализмом ЛБСО-матрицы и потребуйте,
чтобы чисто мнимый параметр qi преобразовывался в чисто мнимый
параметр ^2. Примените выражение A) к случаю Wi = 0 к сравните
результат с формулой линзы E.85), дающей соотношение между положениями
предмета и изображения относительно линзы. Предполагая, что
(я^/яJ <С (d{ — /]2, исследуйте поправку к величине \jd2 в формуле
линзы, обусловленную тем обстоятельством, что w ф 0. В каком случае
поправка будет иметь наиболее важное значение?
—Н
,(—Н—0—
Лазер
Рис. 35.8.
Интерферометр
Фабри-Перо
5.8. Определите отношения <2t// и dilf для двояковыпуклой линзы,
согласующей резонансную моду (т = 0, л = 0, р) лазерного резонатора, у
которого одно зеркало плоское, а другое — сферическое, с конфокальным
интерферометром Фабри — Перо (рис. 35.8). Используя результаты зада-

180 Гл. 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
чи 5 7, возьмите реальную величину фокусного расстояния / и найдите
значения di и d2. Определите значения di и d* при Ri = 100 см, h =
= 99 см, f = 20 см и к = 10 см.
5.9. Используя результаты задачи 4.7, найдите (гауссово) решение низшего
порядка волнового уравнения в двумерном случае способом, аналогичным
примененному в разд. 5 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kogelnik H., частное сообщение, Intern. Quantum Electronics Conference,
Kyoto, 1970
2. Kogelnik #., Li Т., Appl. Opt., 5, 1550—1567 A966).
3. Kogelnik #., "Modes in optical resonators", in Lasers (ed. A K. Levine).
Marcel Dekker, New York, 1966 ch. 6.
4. Siegman A. E., Arralhoon /?., IEEE Journ. Quant. Electr., QE-3, 156
A967).
5. Siegman A. ?., IEEE Journ Quant Electr, QE-12, 35 A976).
6. Siegman A E, An Introduction to Lasers and Masers, McGraw-Hill, New
York, 1971.
7. Arnaud J. A , "Hamiltonian theory of beam mode propagation, in Progress
in Optics (ed. E. Wolf), North-Holland, Amsterdam, 1973.
8 Yariv A., Introduction to Optical Electronics, Holt, Rinehart and Winston,
New York, 1976. [Имеется перевод* Ярив А. Введение в оптическую
электронику.— М* Высшая школа, 1978.]
9. Ramo S., Whinnery J. R, van Duser Г., Fields and Waves in
Communication Electronics, Wiley, New York, 1965
10. Murata K., Prog. Opt., 5, 199—245 A966)
11. Frangon M.t Optical Interferometry, Academic Press, New York, 1966
12. Born M., Wolf E., Principles of Optics, Macmillan, New York, 1964
[Имеется перевод 2-го изд.: Бори М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука,
1970.1
13. Schiff L. /, Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1968. [Имеется
перевод 2-го изд.: Шифф Л. Квантовая механика. — М.: ИЛ, 1955]
14. Cohen-Tannoudji С, Diu В., Laloe /\, Quantum Mechanics, WTiley, New York,
1977.
15. Bateman #., Tables of Integral Transforms, vol. 2, McGraw-Hill, New York.
1954, p. 290.

Глава 6
Оптические волокна и волноводные слои
Световые волны могут распространяться в оптических волокнах
за счет полного внутреннего отражения, реализующегося в среде
с изменяющимся показателем преломления. Одной из моделей
оптического волокна является среда с параболическим профилем
показателя преломления [1]. Строго говоря, такой профиль, в
котором показатель преломления уменьшается параболически,
начиная с некоторой положительной величины на оси
симметрии среды, реализовать невозможно, поскольку рано или
поздно показатель преломления станет отрицательным.
Преимуществом же этой модели является то, что для нее можно
получить решения параксиального волнового уравнения в простом
виде. Они представляют собой функции Эрмита — Гаусса,
рассматривавшиеся в предыдущей главе. Упрощенная модель дает
уже много интересных особенностей. Оказывается, разные моды
распространяются с различными фазовыми скоростями, что
ограничивает возможность распространения по длинным
волоконным световодам без искажений.
Более реалистичной является модель оптического волокна
с положительным показателем преломления, занимающим
область определенного радиуса, а именно область, ограниченную
внешним радиусом волокна [2]. В этом случае точное
рассмотрение затрудняется тем, что решения должны иметь вид
функций Бесселя. Однако большую информацию о физических
свойствах позволяет получить упрощенная модель пленочного
оптического волновода [3, 4]. Такая модель дает полностью
правильное представление о дисперсии мод и зависимости числа
волноводных мод от частоты. Поэтому мы здесь приведем
подробное ее рассмотрение.
Затем мы изучим случай, когда диэлектрическая пленка
помещена между двумя средами с различными показателями
преломления, причем не обязательно симметричным образом
[5]. Этот случай играет важную роль для
интегрально-оптических приложений. Нередко встречаются случаи, когда
оптическая волна направляется с помощью «световодного слоя»,
расположенного на поверхности подложки. Световодный слой сам
по себе не ограничивает поперечные размеры моды,
распространяющейся параллельно поверхности слоя. Дополнительное огра-

182 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
ничение может возникнуть по другим причинам, для изучения
которых мы отсылаем читателя к соответствующей
литературе [6].
Рассмотрим распространение излучения вдоль одномодового
оптического волокна, а также вопросы дисперсии групповой
скорости, поскольку она оказывает влияние на импульсные
характеристики. Особенно подробно изучим случай
распространения вдоль оптического волокна с дисперсией импульса гауссовой
формы. Покажем, каким образом расплывание такого импульса
можно компенсировать, используя пару дифракционных
решеток. Затем вычислим величину изменения постоянной
распространения при изменении показателя преломления оптического
волокна. Эта задача имеет большое значение для
проектирования датчиков, которые используют изменение показателя
преломления оптического волокна, создаваемое исследуемым
физическим явлением. Доказательство ортогональности мод
сопровождается рассмотрением соответствующих вопросов мощности,
энергии и скорости передачи энергии мод, распространяющихся
в оптических волокнах.
6.1. Волновое уравнение, неоднородный диэлектрик
В свободной от источников неоднородной диэлектрической среде
векторный потенциал удовлетворяет следующему уравнению
[ср. с формулой A.27)]:
V2A + ©VoeA = — /юц0УеФ. F.1)
Соотношение между потенциалами АиФ можно записать в
виде A.26):
V . А + /юцоеФ = 0. F.2)
Электрическое поле дается выражением A.23):
Е = —/соА — УФ, F.3)
а магнитное поле — выражением A.22):
ц0Н = V X А. F.4)
В неоднородном диэлектрике векторный и скалярный
потенциалы связаны друг с другом. Эта связь слаба, если
пространственное изменение диэлектрической проницаемости е мало на
расстояниях порядка длины волны. Пренебрегая этой связью,
мы получаем следующее волновое уравнение для потенциала А:
0. F.5)
Распространение излучения в оптических волокнах мы будем
изучать, используя это приближенное волновое уравнение. Пред-

6.1. Волновое уравнение, неоднородный диэлектрик 183-
положим, что рассматриваемая среда однородна вдоль осевого
направления, но ее параметры изменяются в радиальном
направлении и что вектор А имеет определенную поляризацию,
скажем параллельную оси у. Таким образом, мы можем
написать
к = уи(х, У)еч*г\ F.6)
здесь р — не найденная еще постоянная распространения.
Экспоненциальный множитель ехр(—j$z) включает в себя полностью
зависимость от координаты г, так что множитель и(х, у) можно
считать не зависящим от г. Из формулы F.5) получаем
дифференциальное уравнение
где
р = хх + уу.
Уравнение F.7) представляет собой уравнение Шредингера
для частицы в двумерной потенциальной яме —со2|ле(р). Его-
решения являются ограниченными в том и только в том случае,
когда потенциальная функция р2— оз2[ле(р) имеет
отрицательные значения.
Действительно, рассмотрим следующее тождество,
получаемое в результате умножения уравнения F.7) на величину а* и
интегрирования по всей плоскости ху:
u*V2Tudxdy +
— оо —оо —оо —оо
Мы можем преобразовать первый интеграл, интегрируя его па
частям:
— oo —oo —oo —oo
u*v\udxdy = jj J Vr- [u*VTu]dxdy —
оо оо
— oo —oo
Первый интеграл в правой части можно преобразовать в
интеграл по контуру С на бесконечности с помощью теоремы
Гаусса, применив ее к (двумерному) объему единичного
размера в 2-направлении:
§ ds,
где п — единичный вектор нормали к контуру. Этот интеграл
равен нулю, поскольку функция и обращается в нуль на беско-

184 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
нечности. Таким образом,
оо оо оо оо
VTu* ¦ VTu dxdy+ J J [p2 - co^oe (p)] | и f dx dy = 0.
— oo —oo
Первый интеграл является положительным. Поэтому второй
интеграл должен быть отрицательным, т. е. неравенство
Р2-©2|х0е(р)<0
должно быть справедливо по крайней мере на части области
интегрирования. Ограниченные решения соответствуют волно-
водным модам и имеют место лишь для определенных величин
собственного значения (З2. В трех следующих разделах мы
проведем рассмотрение трех частных случаев.
6.2. Параболический профиль диэлектрической
проницаемости [1]
Предположим, что мы имеем среду, у которой диэлектрическая
проницаемость изменяется с расстоянием от оси по
квадратичному закону (рис. 6.1):
со2ц0е (|>) = co2jx0e @) [1 - (х2 + y2)/h2]. F.8)
Обозначим через k0 постоянную распространения бесконечной
плоской волны, распространяющейся в среде с однородной
диэлектрической проницаемостью е@), равной значению е на оси:
Подставляя правую часть выражения F.8) в уравнение F.5) и
используя нормированные переменные
F.9)
уравнение F.8) принимает стандартный вид:
д2иЩ2 + д2и/дц2 + [Я - (I2 + л2)] и = 0, F.10)
где
Я = (*о2-Р2)Л/*о. F.11)
Решения этого уравнения можно найти методом разделения
переменных: u = X(l)Y(r[). Уравнение для функции X(Q
становится дифференциальным уравнением для одной переменной:
d2X\dl2 + (Хх -12)Х = 0; F.12)
аналогичное уравнение получаем и для функции Y(r\).
Собственное значение X является суммой величин Хх и Ку.
Уравнение F.12) имеет вид уравнения EА.1) с решениями

6.2. Параболический профиль диэлектрической проницаемости 185
(Г\\
C{U)
Z
Ось
Рис 6.1. Аксиально-однородная среда, в которой диэлектрическая
проницаемость 8 является функцией расстояния от оси.
НтA)ехр(—?2/2), а Хх = 2т + 1. Таким образом, решение
уравнения F.10) можно записать в виде
причем
> = //m(g)/yrt(r]N
+ 2, m, л = 0, 1, 2,
F.13)
F.14)
Функция итпAУг\) представляет собой модовое распределение
или профиль моды тп. Основная мода при А,оо = 2 имеет
распределение
%) (х, У) = л/2^(l/w) ехр [- (х2 + y2)/w2], F.15)
где
и,2 = 2h/k0 = (hK/n) Veo/e @). F.16)
Следовало бы сравнить радиус пучка w, определяемый
выражением F.16), с параметром q, полученным в разд. 5.6 для
параболического профиля показателя преломления
п = п0 [1 - (х2 + y2)/2h2]
(О)/во [1 - (х2 + y2)/2h2].
При небольших изменениях показателя преломления его
профиль полностью согласуется с профилем диэлектрической
проницаемости, определяемым выражением F.8). Найдено, что
параметр q [формула E.107)] линзы с градиентным показателем
преломления должен совпадать с полученным из формулы F.16)
значением.
Постоянную распространения тп-й моды можно вычислить
из выражения F.11):
fmrL==kl(i — hmrJbJU- F-17)

186 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
Мы видим, что постоянная распространения меньше, чем ko\
следовательно, фазовая скорость волноводной моды больше, чем
у бесконечной плоской волны, распространяющейся в среде с
однородной диэлектрической проницаемостью е = е@). Такой
результат обусловлен тем, что распределение поля моды имеет
конечные поперечные размеры; при этом по мере удаления от
оси оно попадает в области с более низким значением
диэлектрической проницаемости. Моды высших порядков с более
сильным изменением поля в радиальном направлении имеют более
высокие фазовые скорости. У таких мод волновые векторы к
имеют более сильный наклон по отношению к оси z, а их поля
проникают дальше в области меньших значений е. Фазовая
скорость становится бесконечной при \тп ~ koh. Радиальный
размер такой моды дается приближенно выражением ц2 « |2 « \тп.
Но отсюда следует, что мода имеет значительную амплитуду,
когда ?2 « koh и [в соответствии с формулами F.9)] х2 ~ /i2,
у2 « h2. Из определения F.8) видно, что при этом значении
радиуса е = 0 и, таким образом, обращение в нуль величины $тп
неудивительно. Моды со столь высокими собственными
значениями теряют физический смысл, поскольку обращение в нуль
диэлектрической проницаемости нереально. Разумеется, в
действительности оптические волокна не могут иметь бесконечно
большого поперечного сечения. Радиус оптического волокна
много меньше /г, и, следовательно, искомые нами решения
нужно выбирать среди функций Гаусса — Эрмита более низкого
порядка; только эти решения можно рассматривать как
соответствующие моды, интенсивность которых на физической
границе волокна пренебрежимо мала.
Если Xmn/(koh) < 1, то выражение F.11) можно записать
приближенно в виде
Pmn « fto [I - ("* + П + l)/koh]. F.18)
При этом независимо от модовых номеров тип обратная
групповая скорость запишется следующим образом:
Этот результат справедлив лишь для параболического профиля,
который, строго говоря, реально не может существовать.
Физически существующий профиль приводит, вообще говоря, к
разным групповым скоростям у различных мод (разд. 6.3 и 6.4).
Параболический профиль показателя преломления приводит
к модам, которые являются приближенным представлением мод
многомодовых оптических волокон, применяемых в настоящее
время в технологии оптоволоконной связи. Преимущество
многомодовых оптических волокон (по сравнению с одномодовыми
волокнами, обсуждаемыми в разд. 6.5) заключается в том, что
падающие волны с волновыми векторами к, составляющими

6.3. Диэлектрический тонкопленочный волновод 187
относительно большой угол с осью волокна, испытывают
полное внутреннее отражение и «захватываются» волокном. В этом
случае мощность светоизлучающего диода (СИД) или лазера
вводится более эффективно в многомодовое волокно, чем в
одномодовое, воспринимающее только узкий диапазон углов
наклона вектора к (малый телесный угол). Недостатком много-
модового волокна является то, что моды обладают разными
фазовыми скоростями. Две моды с разными фазовыми скоростями
интерферируют на выходном конце оптического волокна.
Интерференция изменяется со временем из-за температурных
эффектов и механических вибраций, которые меняют фазовый
множитель рт„/ при распространении тп-й моды на расстояние / по
волокну. При наличии большого числа интерферирующих мод
этот эффект статистически усредняется по всем
интерферирующим модам, и возникающие трудности можно преодолеть.
Многомодовое волокно позволяет передавать информацию со
скоростью в несколько мегабит на расстояние несколько километров
[7]. При этом расстояние, на которое можно передавать
информацию, ограничивается не потерями в оптическом волокне, а его
дисперсией. Ли ссылается [7] на распространение импульсов
СИД со среднеквадратичной полосой 35 нм и длиной волны
1,3 мкм с уширением импульса 10 пс/км в многомодовом
волокне. (Сравните с тем, что мы рассмотрим в разд. 6.5). В
случае когда сигналы должны распространяться на большие
расстояния и связь должна осуществляться с высокой скоростью,
необходимо использовать одномодовые волокна.
6.3. Диэлектрический тонкопленочный волновод
Простым примером диэлектрического волновода является
пленка из диэлектрического материала с диэлектрической
проницаемостью ei и толщиной 2d (рис. 6.2). В этом случае задачу можно
решить точно, без внесения каких-либо приближений в
волновое уравнение для векторного потенциала. Ищут решения
волнового уравнения для векторов электрического и магнитного
полей внутри и снаружи пленки, которые затем согласуются с
граничными условиями на поверхности пленки.
Поперечные электрические моды
Начнем с анализа поперечных электрических (ТЕ) волн с
векторным потенциалом и электрическим полем,
поляризованными вдоль вектора у, перпендикулярного направлению
распространения (вдоль оси г). Поскольку структура симметрична,
выбираем начало декартовых координат в ее центре и ищем
решения для электрического поля в симметричном или антисимме-

188 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
z
е
Рис. 6.2. Диэлектрическая пленка.
тричном виде относительно плоскости симметрии волновода
(плоскости уг). Симметричное решение можно записать
следующим образом:
Ey
= Acos?vxe ' ,
= Be~/P Vе**,
1*1
л:
л;
<
>
<
d,
d,
-d.
F.19)
F.20a)
F.206)
Напряженность магнитного поля получаем из закона Фара-
дея A.41). Ее 2-компоненту можно записать в виде
Н2 = (—jkx/(d\i0) A sin kxxe~^z,
х\-
X ^
X <
<d,
>d,
:—d.
F.21)
F.22a)
F.226)
В силу симметрии необходимо удовлетворить граничным
условиям только при х = d. Непрерывность величины E^/H2 при
х = d дает
tg(kxd) = ax/kx. F.23)
Кроме того, из волнового уравнения мы имеем
р2 — ai = coVoe, F-24)
F.25)
Объединяя эти два уравнения, находим следующее
характеристическое уравнение:
ax/kx = V®2Me|-e)/ft?-l. F.26)
Дисперсионные кривые, представляющие зависимость
постоянной распространения р от частоты, строятся с помощью рис. 6.3
по точкам пересечения функций tgkxd и ax/kx для каждой
частоты и моды с последующим вычислением значений C из
формулы F.25). С уменьшением частоты со отношение ax/kx дви-

6.3. Диэлектрический тонкопленочный волновод
189
жется к началу координат и исчезают все пересечения, кроме
пересечения с первой ветвью тангенциальной функции. Оно
соответствует основной моде т = О, не имеющей отсечки. Все моды
высших порядков (га > 0) имеют «отсечку»; они не являются
волноводными ниже определенной критической частоты, или
частоты отсечки.
Дисперсионные кривые на рис. 6.4 получены с
использованием формулы F.25) для значений kx, вычисляемых для
каждой частоты на рис. 6.3. На низких частотах основная мода
имеет малую величину kx. Следовательно, ig(kxd) ж kxd и
соотношения F.23) и F.26) дают
2 e)d2 — kid2 « kAxd*.
Пренебрегая членом k\dA по сравнению с k\d2 имеем k2x =
= co2fA0 (e; — е) и из формулы F.25) получаем р ^ сод/це. Волна
распространяется со скоростью, характерной для внешней
области. Это можно объяснить тем, что большая часть поля при
Симметричные моды
s,or
-5,0
Асимметричные люды
Рис. 6.3. Графическое решение уравнений F.26) и F.23). Штриховые
линии — ТМ-моды. Предполагается, что e*/e = 1,1.

190
Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
15,0
1QP
5,0
_ Асимптота p~cv V/*oei
Асимптота ft -\JJioZ
1 i I i 1 1 1 i 1 i I
УЗ
1,5
Рис. 6.4. Дисперсионная диаграмма для ТЕ-волн в диэлектрическом
тонкопленочном волноводе; ni = 9; п = 3,5, d = 0,6 мкм. Внутренний показатель
преломления выбран специально большим, чтобы разнести дисперсионные
кривые.
низких частотах находится вне пленки. В случае когда со—>-оо,
величина kxd стремится к я/2, и из формулы F.25) мы находим
Р «со V^o8*- Теперь волна распространяется со скоростью,
характерной для материала пленки. Поле ограничено внутренней
частью структуры (рис. 6.5).
0,8
0,6
0,4
0,2
</'
1
-у
у
(
/
/
;
1
1
1
1
1
1
If
1
1
1
\
1
\
\
к \
\
\
1 ^
1
1
1
\
\
\
I V
1
\%
\ -
\-
Ч
-г -г о 1 \ г
~d
Рис. 6.5. Распределение электрического поля основной моды для трех
различных частот.

Рис. 6,6. а — основная ТЕ-мода (т = 0) диэлектрической пленки. При 8 =
= еоп2 длина волны Я, для которой построен график, дает,ся соотношением
nd/k = 0,37; б — трехмерное распределение потенциала Re [о|? (*, z) ] для
основной ТЕ-моды.

192 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
Линии Н-ПОЛЯ
Линии
Е-поля
Рис. 6.7.а. Первая антисимметричная ТЕ-мода (т = 1) диэлектрической
пленки; при 8 = г0п2 длина волны А,, для которой построен график, дается
соотношением nd/X = 1,4.

6.3. Диэлектрический тонкопленочный волновод
193
Рис. 6.7.6. «Трехмерное» распределение потенциала Re
симметричной ТЕ-моды низшего порядка.
(#, г) ] для
антиДля полноты выражений F.19)
Нх = (—//а>|*) дЕу/дг = I (—
1
F.226) заметим, что
xxe4**, \x\<d,
~*\ x>d, F.27)
*г, x<-d.
На рис. 6.6, а представлено распределение полей Е и Н в
зависимости от координаты z в некоторый момент времени. При
построении его мы учли, что в соответствии с F.27) компоненты
Нх и Еу находятся в фазе. В рассматриваемом случае бегущей
волны и то и другое поле достигают своих максимумов
одновременно (т. е. в одном положении на оси г). Поле Еу и z-co-
ставляющая магнитного поля отличаются по фазе на 90° в
пространстве и времени. Поскольку V*// = 0, линии магнитного
поля должны быть замкнутыми. При построении силовых линий
магнитного поля полезно заметить, что линии \x,qH являются
линиями одинаковых значений вещественной части потенциала
¦-{{
(Л/со) cos (kxd) (
\x\<d,
\x\>d,
умноженного на ехр(/ю/). Действительно,
-у х
ж] *{х' z) =
F-28)
в чем можно убедиться прямым вычислением. Градиент
создает линии наибольшего провала, векторное произведение напра-

194
Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
влено перпендикулярно им вдоль линий одинаковых значений
Re Ж*, г)).
Нетрудно показать, что уф = А, где А — векторный
потенциал, ротор которого равен ji0H, поскольку в нашем примере
двумерного поля мы имеем
-У Х Р Ж + *-5г]+ (*' z) = V Х $* {х> z)]-
На рис. 6.6,6 изображено «трехмерное» распределение
потенциала Re^e'40'] в данный момент времени t = 0.
Линии Е-поля
Линии
И-поля
Рис. 6.8.а. ТМ-мода диэлектрической пленки наинизшего порядка (т=0).
При 8 — г0п2 длина волны Я, для которой построен график, дается
соотношением nd/X = 0,35. Поперечная постоянная распространения kx та же, что
и на рис. 6.6а.

6.3. Диэлектрический тонкопленочный волновод 195
Re[3(*,z)]
Рис. 6.8.6. «Трехмерное» распределение потенциала Re [S (л:, /) ] для ТМ-моды
наинизшего порядка.
Можно показать, что антисимметричные моды с узловой
плоскостью электрического поля в центре пленки приводят к
характеристическому уравнению
) = -<W*x. F.29)
Графическое решение этого уравнения приведено на рис. 6.3.
На рис. 6.7а представлены силовые линии поля
антисимметричной моды низшего порядка (т—\).
Поперечные магнитные моды
Магнитное поле поперечных магнитных мод в пленке на
рис. 6.2 направлено вдоль оси у и связано уравнениями
Максвелла с электрическим полем, расположенным в плоскости xz
и имеющим как х-, так и г-компоненту. Векторный потенциал А
теперь обладает дивергенцией; имеется скалярный потенциал Ф,
и нет нужды вводить векторный потенциал для записи полей
задачи, решить которую можно точно, без каких-либо
приближений. Используем решения волнового уравнения для
составляющей Ну (внутри и вне пленки), найдем связанное с ней
электрическое поле и удовлетворим граничным условиям на
поверхностях раздела сред.
Поперечные магнитные (ТМ) моды с симметричной х-состав-
ляющей электрического поля имеют поперечную составляющую
поля Н, а именно:
Ну
= A cos&xxe ,
= Ве-а*хе~т,
= Bea*xe~m,
\x\<d,
x>d,
х< —d.
F.30)
F.31)

Линии Е-поля
Линии.
Н-поля
Рис. 6.9.а. Первая антисимметричная ТМ-мода диэлектрической пленки.
При 8 = г0п2 длина волны А,, для которой построен график, дается
соотношением nd/X=\,\8. Поперечная постоянная распространения кх та же, что
и на рис. 6.7а.

6.3. Диэлектрический тонкопленочный волновод
197
Рис. 6.9.6. «Трехмерное» распределение потенциала Re [S (л:, z) ] для первой
антисимметричной ТМ-моды.
Электрическое поле следует из закона Ампера A.42):
VXH=/coeE, F.32)
так что его 2-компонента запишется в виде
= ~^7Л sin kKxe~m, \x\<d.
l
/@8 дх | _____ ах
/0)8
\x\>d.
F.33)
Согласование волновых сопротивлений дает характеристическое
уравнение
(kxd) = ajm. F.34)
Мы снова можем построить графическое решение
трансцендентного уравнения
V[Vo(e<-e)-*|]/^f F.35)
tg (М) =
v = (Ф
как показано штриховой линией на рис. 6.3.
В этом случае решение полностью совпадает с графическим
решением для ТЕ-мод, за исключением лишь того, что
монотонно спадающие кривые пересечения лежат на высоте, которая
в 8//е раз больше. Это указывает на то, что для ТМ-мод
величина kx несколько больше, а C меньше, чем для ТЕ-мод.
Электрическое поле в любой момент времени можно представить
линиями одинаковых значений вещественной части потенциальной
функции
{—Цшг) A cos kxxe~m, \x\<d,
(-//сое) A i
w __

198 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
умноженной на ехр(/со/). Эта потенциальная функция показана
на рис. 6.86 в некоторый момент времени. Заметим, что
потенциал имеет разрыв в точке \x\ = d. Электрическое и магнитное
поля изображены на рис. 6.8а. ТМ-моды с асимметричной х-со-
ставляющей электрического поля аналогично приводят к
характеристическому уравнению
ctg (kxd) = (-e,/e) У coVo (е, - е) - k\ \ kx. F.37)
Значения kx находятся графическим построением на рис. 6.3.
Мода имеет отсечку, поскольку аргумент котангенса должен
быть больше я/2, и величина kx не может обращаться в нуль
при стремлении частоты к нулю [ср. с формулой F.37)].
Рис. 6.9а представляет собой картину полей Е и Н первой
антисимметричной ТМ-моды. Снова при построении мы использовали
то, что линии электрического поля являются линиями
одинаковых значений вещественной части потенциала F.36),
умноженного на ехр(усо^).
В противоположность волноводу с металлическими стенками
[3, 4] в случае диэлектрического волновода мы нашли только
конечное число решений для мод. В металлическом волноводе
мода, у которой частота ниже частоты отсечки, имеет мнимую
постоянную распространения. Мода диэлектрического волновода
ниже отсечки перестает быть волноводной; она становится
модой «утечки», и ее поле расширяется до бесконечности в
поперечной плоскости [8, 9]. Вообще говоря, данное
распределение поля в плоскости ху связывается с суперпозицией волновод-
ных мод, волн утечки и полей излучения.
6.4. ТЕ-моды в волноводном слое общего вида [5]
Найдем теперь дисперсионное уравнение для ТЕ-мод в
волноводном слое, который не обладает предполагаемой в
предыдущей главе симметрией. Мы используем обозначения Когельника
и Рамасвами [5] и построим нормированные дисперсионные
кривые. Геометрия волноводного слоя изображена на рис. 6.10.
Решение для подложки дается выражениями F.206) и F.226).
Чтобы отличить его от решения для покрытия, будем обозначать
постоянную пространственного затухания в подложке через as.
Импеданс на нижней границе пленки запишется в виде
где
F.39)
F.40)

6.4. ТЕ-моды в волноводном слое
199
Покрытие
Пленка.
Подложка
Рис. 6.10. Волноводный слой для ТЕ-волн.
Этот импеданс трансформируется пленкой с
характеристическим импедансом Z(of) [ср. с формулой B.6)]:
z(of) = (i/cos
в импеданс Z в соответствии с формулой B.33):
z
4°
F.41)
F.42)
Импеданс Z должен быть равен импедансу для экспоненциально
затухающей волны в «покровном слое» Zc — — / V^o/8o (k/ac)>
Таким образом, мы получаем следующее характеристическое
уравнение:
tg (*»/) = [(а,М») + Ык
Определим нормированную частоту
нормированный параметр распространения
Ь = (р2 — со2м<ое5)/со2[Хо (ef — es)
и параметр асимметрии
Уравнение F.43) можно записать в виде
F.43)
F.44)
F.45)
F.46)
F.47)
На рис." 6.11 представлена зависимость величины V от Ь, когда
величина а рассматривается как параметр; эта зависимость
является универсальной для любого волновода. На рисунке
показано, что основная мода т = 0 распространяется на всех часто-

200
Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
I I I I I I I
8 10 К П Т6
Рис. 6.11. Нормированный параметр распространения Ъ в волноводе как
функция нормированной частоты V для трех ТЕ-мод наинизшего порядка при:
различной степени асимметрии. (Из работы [5].)
тах лишь в симметричном случае (а = 0). Этот случай мы
рассмотрели в предыдущем разделе. Кривые а = 0, га = 0, 1, 2
соответствуют дисперсионной диаграмме на рис. 6.4. Две
асимптоты на этом рисунке преобразуются заменой переменных F.44)
и F.45) в линии Ь = 0 и Ъ = 1 соответственно.
Оптические волноводы с двумерным ограничением поля
изготавливаются на основе тонкопленочных волноводов, в которых.
Волпоъаднсш область
/ПГ
Валноводнсся область
*р> nf> ns>
Рис. 6.12. Поперечные сечения оптического волновода.

6.5. Распространение по одномодовому волокну
201
77 =
Рис. 6.13. Световод, образованный локальным изменением показателя
преломления (см. обсуждение в разд. 7.7).
показатель преломления пленки или ее толщина несколько
уменьшаются за пределами волноводной области, как показано
на рис. 6.12. Поле моды сосредоточено в области большего
показателя преломления и (или) большей толщины. Оно спадает
в подложке и в областях с меньшим показателем преломления
или с меньшей толщиной пленки. Модовое распределение
приблизительно повторяет распределение моды тонкопленочного
волновода, за исключеием того, что в ^/-направлении
распределение имеет теперь конечную протяженность. Моды
по-прежнему называются ТЕ- и ТМ-модами, хотя они и не обладают
точно поперечным электрическим или магнитным полем.
Аналогичная терминология применима к волноводам,
создаваемым за счет изменения показателя преломления в
ограниченном поперечном сечении (рис. 6.13). Поскольку отношение
а/b обычно больше единицы, распределение мод и поляризацию
волн можно считать с некоторыми изменениями, такими же, как
я в случае бесконечно широкой пленки.
6.5. Распространение по одномодовому волокну
Мы изучили распространение волн в среде с параболическим
показателем преломления и в диэлектрическом тонкопленочном
волноводе. Первый случай можно рассматривать как модель
многомодового волокна, по которому распространяется большое
число мод. Однако одномодовый режим распространения имеет
ряд преимуществ для оптической связи. Устраняются биения
между различными модами, имевшие место при многомодовом
распространении. Протяженность распространения теперь
ограничена только дисперсией групповой скорости единственной
моды. По этой причине будущее высокоскоростной оптической
связи принадлежит одномодовым волоконным световодам.
В случае одномодового волокна с однородной круглой
цилиндрической сердцевиной, окруженной средой с меньшим
показателем преломления (рис. 6.14, а), для нахождения
векторного потенциала необходимо решить (приближенное) волновое
уравнение F.5). Приближенное решение его находится подста-

202 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
а
Рис. 6.14. а —профиль показателя преломления; б — амплитудное
распределение решения наинизшего порядка.
новкой выражения F.6) в векторное волновое уравнение,
сводящееся при этом к скалярному волновому уравнению F.7).
В разд. 6.1 мы нашли, что р2 < GJjutoe(p) по крайней мере
в части области —оо < х < оо, —оо < у < оо. Поэтому
необходимо, чтобы выполнялось неравенство Р2 < со2^овг, где е/ —
диэлектрическая проницаемость сердцевины. Покажем, что за
пределами цилиндрической сердцевины р2 > со2[х0е. Это следует
из того факта, что решение вне сердцевины должно
удовлетворять уравнению
Ци - (р2 - coV) и = 0, F.48>
где 8 — постоянная величина. Поскольку решение должно
экспоненциально спадать, а не осциллировать на бесконечности, то
в последнем уравнении разность р2— (хJ[хг должна быть
положительной, т. е. р2 > со2|Ы8. Следовательно, постоянная
распространения заключена между двумя пределами (ср. с рис. 6.4
для пленки)
Решение наименьшего порядка является цилиндрически
симметричным и имеет профиль, приведенный на рис. 6.14,6.
Решения высших порядков обладают более чем одним
экстремумом и, следовательно, большей кривизной, т. е. большим значе-

6.5. Распространение по одномодовому волокну
203
нием отношения Vj.u/u. Сделав отношение (в, — е)/е достаточно
малым, можно исключить решения с большей кривизной на
любой данной частоте и, таким образом, устранить любые моды
высших порядков. В этом состоит принцип действия одномодо-
вого оптического волокна. Разумеется, в круглом
цилиндрическом волокне все еще возможно существование двух различных
поляризаций (например, вдоль осей х и у). Поляризация
определяется способом возбуждения на входе.
Точное решение уравнения F.48) включает функции
Бесселя и нами рассматриваться в дальнейшем не будет. Читателю
мы рекомендуем обратиться к обширной литературе по этому
вопросу [2]. Для определения дисперсии групповой скорости
нам не нужно вычислять дисперсионную кривую C(ш) из
характеристического уравнения F.48), поскольку на практике
определяющую роль играет дисперсия диэлектрической
проницаемости материала, т. е. зависимость е(со). На рис. 6.15
представлена зависимость дисперсии от длины волны в одномодовом
•оптическом волокне. Чтобы объяснить смысл параметра
дисперсии, рассмотрим более подробно распространение импульса по
¦одномодовому волокну.
Предположим, что мы решили задачу на собственные
значения и определили величину В из уравнения F.48) как функцию
ю3
Рис. 6.15. Дисперсия |одномо-
дового волокна длиной 11 км.
Длина волны, которой
соответствует нулевая дисперсия,
равна Я ===== 1,32 мкм. (Из
работы [11].)
Дисперсия диэлекгприч,
проницаемости
Полнил
1,0 Ъ5
Я, мм*

204 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
частоты. При этом зависимость векторного потенциала Ау
можно записать в виде
Ау = а(г)и{х, у), F.49)
где а (г)—амплитуда с зависимостью от г-координаты в виде
ехр[—/($(<*>)г]. Можно записать следующее дифференциальное
уравнение для амплитуды а(<г):
= —j$a. F.50)-
Рассмотрим теперь возбуждение со спектром, занимающим
узкий диапазон частот вблизи частоты соо, так что зависимость
Р (со) можно представить в виде следующего разложения с
учетом нескольких членов:
) +J^(ffl)_<Bo) + _i_jg.(tt_ щ?] а. F.51)
Пространственно-временная зависимость а (-г, t) находится
обратным преобразованием Фурье:
оо
а (г, /)=ЛЛ(г, ©)Жо, F.52)
где, как и в определениях разд. 1.5, мы используем только
положительно-частотные компоненты; функция а (г, t) является
комплексной и вещественная функция времени имеет вид
A/У2)[а(г, /) + а'(г, /)].
Если спектр функции а (г, со) узкий и расположен вблизи
частоты (о0, то удобно выражать его как функцию разности
(со — со0). Кроме того, удобно выделить в отдельный множитель
член ехр[—/Р(©о)<г], соответствующий сильной зависимости от
пространственных координат:
а (г, ©) = А (г, © — ©0) ехр [—/р (©0) г]. F.53>
Эта формула определяет комплексную «огибающую» А (г, со—со0)
волны, медленно меняющейся в зависимости от г.
Фурье-преобразование выражения F.53) определяет
пространственно-временную огибающую А(<г, t):
a (z, t)= [ Л (г, ©)Ло =
= \ е1 (Щ-Ио) 'A (z, со - со0) ехр {-/ [р (соо)z - щ1]} d (а - щ) =
—.оо
= A (z, t) ехр {-/ [р К) z - ©о^]}. F.54).

6.5. Распространение по одномодовому волокну 205
Используя определение огибающей А (г, со — со0), из
разложения F.51) находим
-д^-А(г, со —cdo) =
, cd-cd0). F.55)
Обратное преобразование Фурье выражения F.55) имеет вид
где мы использовали следующее свойство преобразования
Фурье:
[/ (со - со0)Г А (г, со - ©о) = ФП [<Э"А (г, *)/Ля1 F.57)
и где l/yg = dp/dco — обратная групповая скорость. Огибающая
Л (г, /) распространялась бы, не изменяясь с групповой
скоростью, если бы не член в правой части, который вызывает «ди-
сторсию». Заметим, что он является мнимым (т. е. воздействует
на фазу).
Существует простая интерпретация члена <э!2РД/со2, которая
применима к импульсам, не являющимся фурье-ограниченными,
т. е. к таким импульсам, спектральная ширина которых
значительно превышает обратную ширину импульса. В этом пределе
импульс шириной 1Др можно рассматривать как составленный
из многих спектральных компонент, занимающих всю полосу
Асо » 1/тр. Каждый из таких импульсов характеризуется
собственной обратной групповой скоростью l/vg, которая
изменяется по спектру шириной До в диапазоне величин
После прохождения расстояния / импульсы, связанные с
крайними точками спектра, сдвинуты на интервал
^x = A(l/vg) I = (d2p/dco2) A©/.
Это и есть величина, которая представлена на рис. 6.15.
Величина д2р/дса2 выражена в единицах нс/нм-км в предположении,
что Ат измеряется в наносекундах, ширина полосы — в
нанометрах (т. е. диапазон длин волн АХ, где | АХ/Х0 \ = \ Ао)/со01),
а длина / — в километрах. Следует заметить, что здесь имеется
минимум на длине волны 1,3 мкм. Это объясняет, почему в
настоящее время делается упор на развитие оптических компонент,
работающих в этом частотном диапазоне (в частности, лазерных
диодов на основе четверного соединения InGaAsP). Заметим
также, что дисперсия определяется дисперсией диэлектрической
проницаемости.

206
Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
100
10
0,1
0,01
I I ' J| IIГТ||IП-
— Лазер >| |-«- СИД
- Ступенчатый профиль
AlGaAs
Плавный
-профиль
10
10000
Q1 1 10 100
Спектральная ширина источника, нм
Рис. 6.16. Уширение импульса Bam) и ширина полосы [произведение
скорости передачи информации (аи) на длину оптического волокна /вол] в
зависимости от спектральной ширины источника 2as. Прямая — многомодовое
волокно со ступенчатым профилем показателя преломления; стекло
GeO2 • В2О3 • SiO2, A = 0,01; средние кривые — многомодовое волокно с плавным
изменением показателя преломления; стекло GeO2- В2О3 • SiO2, A = 0,01,
ширина полосы увеличивается в 100 раз; нижние кривые — одномодовое волокно,
стекло B2O3*SiO2, Д = 0,001; штриховой линией представлен нижний предел
уширения импульса в кварцевых волокнах. (Из работы [7].)
На рис. 6.16 представлена зависимость уширения импульса
от спектральной ширины источника, а также связанная с этим
информация о величине произведения скорости передачи
данных на длину волокна. Показаны оба случая — многомодовое
распространение (верхние кривые) и одномодовое
распространение (нижние кривые).
6.6. Распространение импульсов гауссовой формы
в диспергирующих системах
В предыдущем разделе мы отметили, что импульсы с данной
спектральной шириной испытывают уширение при
распространении через диспергирующее оптическое волокно вследствие того,
что различные частотные компоненты движутся с разными ско-

6.6. Распространение импульсов гауссовой формы 207
ростями. Это до некоторой степени качественное объяснение
достаточно для понимания процесса распространения
импульсов с относительно широкими спектрами, такими, как импульсы,
получаемые модуляцией светоизлучающих диодов (СИД). Для
того чтобы объяснить механизм уширения узкополосных
импульсов, особенно в случае так называемых фурье-ограниченных
импульсов, у которых произведение ширины полосы Дсо/2я на
ширину импульса %р порядка 0,5 (различные значения
соответствуют различным формам импульса), рассмотрим более
подробно уравнение распространения импульса F.56).
Это уравнение в случае оптического волокна с дисперсией
можно сделать удивительно похожим на параксиальное
волновое уравнение D.45) для двух измерений (скажем, по
координатам z и х, так что V2 =д2/д*2). Определим новые переменные
r = {t-to)-(z- *оЖ, F.58)
l = z-z0, F.59)
где to и го—произвольные постоянные. Заметим, что g!t = 0 при
dt = dz/vg (т. е., когда координата z изменяется со скоростью
vg). Рассматривая такую движущуюся точку, находим, что
переменная I линейно возрастает со временем t, т. е. Д? = vgAt.
Следовательно, параметр g характеризует время (в единицах
расстояния), за которое происходит наблюдение такой
движущейся точки.
Используя эти новые переменные, уравнение F.56) можно
записать следующим образом:
Это уравнение имеет тот же вид, что и параксиальное волновое
уравнение D.45) для двух измерений при F2 =д2/дл;2.
Следовательно, его решения должны совпадать с решениями двумерного
волнового уравнения в параксиальном приближении (задача
5.9). Гауссов пучок в двумерном случае описывается
выражением
A/VF+/6) exp [-jkx*/2 (z + jb)].
Сравнение волнового уравнения D.45) с уравнением F.60),
описывающим распространение в среде с дисперсией, устанавливает
соответствие между величинами, представленное в табл. 6.1.
Необходимо заметить, что производная d2$/da2 может быть как
положительной (нормальная дисперсия), так и отрицательной
(аномальная дисперсия) [см. задачу 6.5]. В табл. 6.1 это
обстоятельство учитывается знаком величины k, связанной с
решением параксиального волнового уравнения. Используя
решение этого волнового уравнения и соответствие из табл. 6.1, на-

208 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
Таблица 6.1
и (х, z) А (т, 6)
— z/k g (d2fi/d(d2)
X X
b/k a
ходим решение, описывающее распространение гауссова пучка
вдоль оптического волокна с дисперсией:
+ д0 - z (d2fb/da>2) Р U [г (</2РА*со2) - /а -
где мы положили to = zo/vg, a 80 ^ го (rf2|3/rfco2) — параметр
ЛЧ-модуляции1). Рассмотрим это решение при z = 0:
л / п уч А г at2 1 г j60t2
А (г = 0, /) = ¦ 7 =г ехр г^ ^- ехр 79—
V/a + бо Ч 2(a2 + 6^)J FL 2(a2 + 6
F.62)
Импульс оказывается модулированным по частоте; его частота,
равная производной фазы по времени, зависит от времени:
0 = аф/dt = 0О ~ <V/(a2 + бо)- F.63)
Для положительного параметра модуляции бо высокие частоты
располагаются в переднем фронте импульса (/ < 0), а низкие —
в заднем фронте (/>0). Для отрицательного параметра
модуляции имеет место обратное поведение. Фурье-образ амплитуды
А(г = 0,/)?/ы записывается в виде
а (z = 0, 0) = U0/V/2^) ехр [- A/2) (а - /б0) @ - 0ОJ].
Следует заметить, что полная ширина спектра |а(со) |2 на
полумаксимуме (ПШПМ) (измеряемая в герцах) не зависит от
параметра модуляции бо:
Спектральная ПШПМ = (In 2/n2aI'2. F.64)
Аналогичное утверждение не будет справедливым для
временной длительности импульса (интенсивности) на полумаксимуме,
равной
Временная ПШПМ = 2д/Aп2)аA + бо/а2). F.65)
1} Импульсы с ЛЧ-модуляцией (с линейно-частотной модуляцией) иногда
называют чирп-импульсами (англ chirp). — Прим. ред.

6.6. Распространение импульсов гауссовой формы 209
Если бо=7^О, то длительность импульса оказывается больше
гарантированной спектром; при б0 = 0 импульс является фурье-
ограниченным гауссовым импульсом и произведение полуширин
равно
2|* =0,441.
Предположим теперь, что импульс распространяется в
оптическом волокне длиной / без потерь. В соответствии с формулой
F.61) амплитуда его при z = l запишется в виде
^^^ F.66)
Ч 2(a2 + 62)J V '
где т — временная задержка:
l9 F.67)
6 = б0 - (d2p/rfco2) / F.68)
есть модифицированный параметр модуляции. Импульс отстает
вследствие групповой задержки при распространении на
расстояние /. Кроме того, длительность импульса изменяется
вследствие изменения параметра модуляции. В частности, если бо?=0,
и 6 = 0, то импульс укорачивается. Это можно объяснить
следующим образом: если волокно обладает «нормальной
дисперсией», т. е. d2|3/dco2 > 0, то групповая скорость фурье-компонеит
с более высокими частотами меньше, чем с более низкими
частотами. При бо > 0 высокочастотные компоненты расположены
в передней части импульса. Они движутся медленнее
низкочастотных составляющих и настигаются ими. При слишком
большой длине / оптического волокна эффект может быть очень
значительным, в соответствии с формулой F.68) величина б
становится отрицательной, и импульс снова расширяется.
Оптические волокна проявляют нормальную дисперсию на
частотах, превышающих критическую, и аномальную — на
частотах ниже критической (ср. с рис. 6.15). Импульсы,
распространяющиеся через оптическое волокно в условиях выше
критической частоты, приобретают в конечном счете отрицательное
значение параметра б, как видно из формулы F.68). Чтобы
заново сжать их, необходима система с аномальной дисперсией
(d2|3/dco2) / < 0. Такие системы удобнее реализовать
искусственным путем (т. е. без среды с аномальной дисперсией) с помощью
пары решеток [10].
Посмотрим теперь, как можно сделать такую систему.
Заметим, что при распространении сигнала по оптическому волокну
фазовая задержка зависит от частоты: ф (со) = |3(со)/. Аналогично
вычислим фазовую задержку плоской волны,
распространяющейся через пару параллельных одинаковых решеток. Пусть,

210
Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
PABQ =
Рис. 6.17. Пара решеток, используемая для сжатия импульса.
как показано на рис. 6.17, плоская волна выходит из точки Р
и появляется в точке Q. Без потери общности предположим, что
максимумы каждой из основных фурье-компонент решетки
имеют место при пересечении с указанной на рисунке нормалью.
На отрезке АВ", длина которого определяется как b = g/cosQRf
где g_ расстояние между двумя решетками, длина оптического
пути равна
) [1 + cos (в, + 9*)].
F.69)
Заметим при этом, что угол QR на рис. 6.17 является
отрицательным в предположении, что решетка отражает в отрицательный
порядок [т = — 1 в выражении B.50) и К/А > sin в/], а период
решетки достаточно мал:
sin 9Л= sine,-А/Л. F.70)
JABQ = р = Ъ [1 + cos (9,. + в*)] =
Фазовый сдвиг ф волны на оптическом пути PABQ дается
выражением
^ (©/??)р + С(©)
где С (со) —коррекция фазы вследствие отражения от решетки.
Ее можно оценить, учитывая фазу решетки в точке N на
рис. 6.17. В этой точке отраженная волна —1-го порядка
приобретает фазовый сдвиг —я/2 в соответствии с выражением

6.7. Изменение показателя преломления в оптическом волокне 211
{2.55). Фаза падающей волны опережает на kixd фазу в точке В.
Отраженная волна отстает по фазе на [ktx— Bn/A)]d, где d —
расстояние, равное
BN = -gtgQR. F.72)
Следовательно,
С (со) = - я - kixd + (kix - 2я/Л) d = - я + Bя/Л) ? tg вл. F.73)
Фаза —я в формуле F.73) обусловлена двумя отражениями в
точках А и В. Групповая задержка равна
dj>/d<u = р/с + [(©/с) dp/d®
Использование равенств F.69), F.70) и F.73) показывает, что
сумма членов в квадратных скобках обращается в нуль и мы
имеем
= р/с.
Дисперсия, создаваемая решетками, характеризуется величиной
d*4>/d(u2 = (\/с) dp/dco = — A/со2) (Я/Л) Bя/Л)/[1 - (sin 6,- — Л/ЛJ]3/2.
Вторая производная отрицательна; пара решеток действует как
среда толщиной / с аномальной дисперсией постоянной
распространения р, причем
6.7. Изменение показателя преломления
в оптическом волокне
Одномодовые оптические волокна можно использовать в
качестве датчиков температуры, механических деформаций и
скорости вращения (гироскопа). Такие устройства контролируют
изменение показателя преломления, создаваемое указанными
физическими величинами, которые должны быть измерены
датчиком, по изменению фазы волны, распространяющейся через
оптическое волокно. В волокнах, используемых для оптической
связи, возникают также нежелательные фазовые сдвиги за счет
изменения показателя преломления с температурой. В этом
разделе мы оценим влияние изменения показателя преломления на
постоянную распространения в оптическом волокне.
Начнем рассмотрение с волнового уравнения F.48)
применительно к невозмущенному волокну. Предположим, что это
уравнение решено, найдены распределение поля и{х, у) и постоянная
распространения р. Предположим далее, что диэлектрическая
проницаемость г(х, у) изменяется от г(х, у) до е(х, у)-{- 8е(х, у).
Новая постоянная распространения равна |3 + бр, а новый про-

212 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
филь поля будет и + Ьи. Можно найти уравнение относительно
возмущений 6C и Ьи, вводя в уравнение F.48) возмущение
первого порядка по этим величинам:
V2Tbu + co2fx0e Ьи + со2|х0 Ь&и = 2р 80 и + Р2 Ьи. F.74)
Умножим это уравнение на распределение и* и возьмем
интеграл по поперечному сечению волокна:
da (uV\ Ьи + az\ioeu Ьи - рV Ьи), F.75)
где символ \ da указывает на интегрирование по поперечному
сечению. Покажем теперь, что второй интеграл в правой части
уравнения F.75) равен нулю. С этой целью воспользуемся
тождеством, справедливым для любых двух дважды
дифференцируемых функций:
фЧ*т$ = Vr . (o|)Vr<? - ?Vri|>). F.76)
Применим это тождество, обозначая ф — Ьи и ty = и*. Таким
образом,
da (uV2T Ьи) = J da (buV2Tu) + J daVT • (a*Vr Ьи - 6a Vru*). F.77)
Интеграл от «двумерной» дивергенции вектора можно
преобразовать в интеграл от потока через поверхность цилиндра,
поперечное сечение которого ограничивается контуром С
(рис. 6.18):
[ daVT • (uVT Ьи — Ьи VTu) = ф dsn* (u*VT Ьи — buVTu). F.78)
J ^ с
Поскольку интеграл \ rfa берется по бесконечному
поперечному сечению, контур С находится на бесконечности. Поля вол-
новодных мод и и и + ди равны нулю на бесконечности. Таким
образом, из формул F.77) и F.78) имеем
da (VV| Ьи) = J da F^V^*). F.79)
Далее заметим, что распределение и* в соответствии с
соотношением F.48) удовлетворяет уравнению
V2Tu* + со^0е (*, у) ^ = рV, F.80)
где нами использовано то, что постоянная распространения 0
вещественна. Объединяя формулы F.79) и F.80) с F.75), по-

6.8. Ортогональность волноводных мод
21*
Контур С
Поперечное
сечение вс
F.81)»
Рис. 6.18. Поперечное сечение цилиндра SQ и контур С.
лучаем следующее выражение для возмущения б|3:
бр = J daoVo бе | и \2J2$ \^da\u |2.
Возмущение распределения поля 8и исчезло! Именно поэтому
выражение F.81) является весьма полезным; не нужно знать
вид возмущенного поля, чтобы вычислить изменение постоянной
распространения в первом порядке по возмущению бе.
Последнее выражение можно использовать, чтобы показать,
на сколько чувствительна к изменениям показателя преломления
фаза волны, движущейся по оптическому волокну длиной /
(много метров). При длине волны 1 мкм в 1 м укладывается
106 длин волн. Изменение бе/е на К)-9 изменяет отношение бр/Р
на тот же порядок величины. Фаза волны, распространяющейся
по волокну длиной 1 км, изменяется на величину порядка 2я.
Поскольку оптическое волокно тонкое, километр его можно
намотать на цилиндр достаточно малого размера, чтобы его можно
было вставить в измерительный инструмент, чувствующий
малые изменения оптического показателя преломления.
6.8. Ортогональность волноводных мод [12]
Закон сохранения энергии, которому удовлетворяют волны,
распространяющиеся вдоль волноводной структуры, подразумевает
«ортогональность» решений, что мы сейчас и покажем. Эта
ортогональность является обобщением ортогональности решений в
виде полиномов Эрмита — Гаусса скалярного волнового
уравнения для оптических волокон с параболическим профилем
показателя преломления.

-214 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
Закон сохранения энергии требует, чтобы интеграл от
вещественной части комплексного вектора Пойнтинга по
поперечному сечению волноводной структуры не изменялся вдоль
структуры (в направлении оси z):
(d/dz) \da • (Е X Н* + Е* X Н) = 0, F.82)
где обозначения определены на рис. 6.18, a da = z da.
Обозначим модовые распределения электрического и магнитного полей
символами ew и h^ соответственно, так что суперпозицию волн
можно записать в виде
— La Л\ХУ * ец> (Ь.Оо)
Н = Е a^'Vh^. F.84)
м-
Мы используем буквы греческого алфавита для индексации мо-
дового номера; при этом нижний индекс, обозначенный одной
греческой буквой, может обозначаться двумя латинскими
буквами; например, [1*-+тп, если рассматривается двумерное мо-
довое распределение. Подставляя выражения F.83) и F.84) в
уравнение F.82), получаем
fe11XK + e;XhJ = O. F.85)
И, V С
Поскольку а^ и av произвольны, находим, что
da • (e>1 X К + е; X \) = 0, F.86)
если р — р* Ф 0. Выражение F.86) — это одна из форм записи
условия ортогональности.
В более простой форме это условие получается путем
наложения на выражение F.86) условия взаимности C.5) в
сочетании с обращением времени, рассмотренным в разд. 3.3.
Применим сначала операцию обращения времени к волноводной моде.
Замена электрического поля^ моды v на поле е* и магнитного
поля ftv на — ft* приводит к новому, обращенному во
времени решению уравнений Максвелла с пространственной
экспоненциальной зависимостью ехр(+ /13*2;). Это решение
представляет собой «обратную волну», движущуюся в направлении
—<г, если зависимость ехр(—JPv^) первоначально
соответствовала прямой волне.
Применим теперь принцип взаимности C.5) к решениям (а)
и (Ь), причем будем считать, что Е(а)->ец, а Е( )->ev.
Поверхность S выбирается в виде двух параллельных граничных
плоскостей Sc, перпендикулярных оси z при z = 0 и z = z, и огра-

6.8. Ортогональность волноводных мод 215
ничивающей их цилиндрической поверхности бесконечного
радиуса. Зависимость произведения Е(а) X Н(Ь) от координаты z
имеет вид ехр[— /(Р^ — $*v)z]. Из Условия C.5) находим, что
ехр[- /(рй — р;)аг—1] \sc da . (е§1 X h*v - < X h^) = 0. F.87)
Это равенство должно выполняться для любого значения г.
Если рц— р* =5^0, то интеграл по поперечному сечению должен
обратиться в нуль. Но этот интеграл имеет тот же вид, что и
интеграл F.86), за исключением того, что в нем вместо знака
плюс стоит минус. Складывая эти два интеграла, получаем
более простое выражение ортогональности:
л*.е^ХЬ; = 0. F.88>
В представлениях полей F.83) и F.84) мы не делали
явного разграничения между прямыми и обратными волнами.
Прямые волны — это волны с положительными постоянными
распространения рц, в то время как обратные волны имеют
отрицательные Рц. (Строго говоря, прямые и обратные волны
различаются знаком групповой скорости или обратной ей
величины dfiu/dto- Во всех случаях, встречающихся в данной книге,
этот более строгий критерий совпадает с условием р^ ^ 0.)
Обращение времени, примененное таким образом, показывает,
что каждому решению в виде прямой волны соответствует
решение в виде обратной волны.
Поскольку разделение на прямую и обратную волны имеет
некоторое преимущество, перепишем выражения F.83) и F.84)
в виде
Е = S e^ (a^"yV + V;V), F.89)
Н = IIV (a^V + VyV), F.90>
где суммирование теперь ведется по модам (т. е. по парам
волн). Мы будем пользоваться обозначением «\х-я мода» для
пары, состоящей из прямой и обратной волн с распределениями
полей е^ и hu и с постоянными распространения ±Р(х
соответственно.
Мощность, проходящая через поперечное сечение, дается
выражением
\ Re \ Е X Н* • da = ? (| a J2 - | b J2) X
с м-
X Т Re
c * X h; • da = 2 (| a J» - | b, |2). F.91>

216 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
Последнее выражение предполагает соответствующую
нормировку распределений полей е^ и h^. Мы использовали то, что
мощность можно записать в виде разности квадратов амплитуд
противоположно направленных волн, как было показано в
разд. 3.2 при определении матрицы рассеяния двухполюсной
системы.
В разд. 6.3 мы упоминали, что для представления поля в
диэлектрической волноводной структуре, не замкнутой на
бесконечности, необходимо, вообще говоря, использовать волноводные
и излучательные моды. Излучательные моды не имеют простой
экспоненциальной зависимости от г-координаты ехр(—/|3vz) при
вещественной |3V. В приведенном нами выше доказательстве
ортогональности предполагается именно такая простая
зависимость, и поэтому оно применимо лишь к волноводным модам.
Поскольку в хорошо сконструированной оптической волноводной
системе не должно быть взаимодействия с излучательными
модами, обычно правильным является представление поля в виде
суперпозиции волноводных мод, как это сделано в выражениях
F.89) и F.90).
6.9. Мощность, энергия и групповая скорость
В разд. 1.3 мы показали, что усредненную по времени плотность
потока мощности плоской волны, движущейся в среде без
дисперсии, можно записать как произведение плотности энергии на
скорость переноса энергии 1/л/[х&. В среде с дисперсией и(или)
в неплоской волне, такой, как волна, распространяющаяся в
оптическом волокне, это соотношение не выполняется. Однако
все еще справедливо представлять усредненный по времени
поток мощности
одиночной бегущей вперед волноводной волны с узкой шириной
спектра как произведение энергии на единицу длины и
скорости переноса энергии:
(w)da. F.92)
Здесь интегрирование производится по поперечному сечению, а
ve — скорость переноса энергии. Усреднение по времени,
обозначаемое угловыми скобками, выполняется по одному периоду
квазисинусоидального электромагнитного поля. Найдем теперь
СКОРОСТЬ Ve.
Рассмотрим в оптическом волокне ji-ю моду с данными
распределениями поля ец и h^, распространяющуюся с простран-

6.9. Мощность, энергия и групповая скорость 217
ственной зависимостью ехр(—/Рц-г). С помощью суперпозиции
фурье-компонеит можно построить протяженный, но
ограниченный вдоль оси z «пакет» с большим, но ограниченным периодом
времени. Спектр такого интеграла Фурье занимает узкую
полосу частот, с центром около «несущей частоты со0», так что
постоянную распространения Р(со) можно представить в виде
усеченного разложения в ряд Тейлора:
где Дсо = со — соо. Впредь мы будем опускать индекс |л,
указывающий на [х-моду, чтобы упростить запись. Отдельная фурье-
компонента электрического поля имеет вид
Е(ю) = а(©)е-'Р<«>*е(*э у). F.93)*
Обратное преобразование Фурье дает
Е (г, t) = ехр {/ [со0/ — р (©0) z\) e (x, у)\ d Дсо а(Дсо) X
J Полоса
X ехр [/ Дсо (/ - z dp/dco)] + к. с. F.94) •
Аналогичное выражение можно записать для поля Н(г,/) через
распределение h(x, у) с той же амплитудой а (Дсо) [ср. с
формулами F.89) и F.90)]. Плотности энергии и усредненная по
одному периоду плотность потока мощности пропорциональны
абсолютным величинам квадрата интеграла
\ d Дсо а(Дсо) ехр [/ Дсо (/ — г dp/dco)]. F.95)
J Полоса
Выбирая спектр а (Дсо), форму пакета
\Sc{w)da
как функцию координаты z можно произвольно изменять (за
исключением того, что длина пакета должна согласовываться
с требованием поддержания узкой полосы). Пакет движется
без искажений с групповой скоростью vg = dco/dp (рис. 6.19).
Локальные, усредненные по времени энергию и поток мощности
при желании можно изменять. Единственным способом,
которым можно удовлетворить выражению F.92), является
выполнение условия ve == vg. Таким образом, скорость переноса
энергии равна групповой скорости.
Заметим, что мы трактуем поля е(х, у) и h(x, у) как не
зависящие от частоты. Оправдывающим обстоятельством такому
приближению является то, что частотная зависимость
постоянной распространения появляется в экспоненте и поэтому она
намного важнее, чем зависимость от частоты распределений
поля г(х,у) и h(x, у); последней можно пренебречь по
сравнению с первой.

218 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
Узловая точка
Расплывание И поля
энергетического пакета
Рис. 6.19. Энергия, «захваченная» в волновой пакет.
Если имеются две противоположно направленные волны
одной и той же моды, то их мощности <Р+> и <Р_> вычитаются,
как следует из формулы F.91). Суммарная мощность является
разностью мощностей, связанных с прямой и обратной волнами.
Энергия на единицу длины \ {w)da равна сумме энергий, соот-
sc
ветствующих каждой волне:
(w) da = JL (| a J2 + | b^ |2} = -JL {(P+) + (P_)}. F.96)
6.10. Заключение
Мы изучили волновое уравнение для случая неоднородного
диэлектрика и, в частности, для диэлектрика с параболическим
профилем показателя преломления, чтобы можно было
рассматривать моды в многомодовом оптическом волокне.
Основная мода близко связана с модой в системе с градиентным
показателем преломления, представленной в предыдущей
главе. Число мод было бесконечным, но лишь конечное число
имело вещественные постоянные распространения. Переход от
вещественной к мнимой постоянной распространения имеет
место, когда мода простирается в области с отрицательной
диэлектрической проницаемостью, т. е. в области, не имеющей
физического смысла.
Без введения каких-либо приближений представлены
точные выражения для диэлектрического тонкопленочного
световода. Мы нашли ТЕ- и ТМ-моды в случае симметричного
расположения пленки и ТЕ-моды асимметричного волноводного
слоя. Дисперсионное уравнение показывает, что на низких
частотах поле моды простирается в область, внешнюю по
отношению к пленке; на высоких частотах поле моды сосредоточено
внутри пленки.
В одномодовом оптическом волокне отсутствуют эффекты
модовой интерференции, связанные обычно с многомодовым

Задачи 219
распространением. Дисперсия одномодовых волокон
значительно меньше, чем многомодовых, так что с помощью
одномодовых волокон информацию можно передавать с более
высокими скоростями. Мы изучили распространение импульса через
одномодовое волокно, уширение импульса и способы его
обращения при помощи пары решеток, которые эквивалентны среде
с аномальной дисперсией. Нами рассмотрен вопрос об
изменении постоянной распространения, обусловленном изменением
показателя преломления, которое можно использовать в
волоконных датчиках. Мы доказали ортогональность мод, используя
сохранение энергии и обратимость времени. Наконец, была
определена скорость распространения энергии и показано, что
в случае оптического волновода или оптического волокна она
равна групповой скорости.
Задачи
6.1. Предположим, что GaAlAs-лазер, работающий на длине волны 8300 А,
излучает импульсы длительностью 10 не. Лазер в импульсном режиме
обычно генерирует несколько «аксиальных» мод, разделенных по частоте
на величину с/2п1, где п = 3,5, / = 200 мкм. Допустим, что излучаются
три моды. Вычислите уширение импульса (разность между скоростями
огибающих импульса) для наибольшей и наименьшей частот в случае,
когда оптическое волокно длиной 11 км имеет дисперсию, показанную на
рис. 6.15. Какова длина оптического волокна, в котором импульс
уширяется не более чем на 20 %?
6.2. Найдите минимальную толщину волноводного слоя GaAs(nf),
расположенного на подложке из AlGaAs(ns), при которой мода высшего порядка
только начинает распространяться при X = 1 мкм. Считайте, что пс = 1,
ns = 3,5 и rif = /zs-l,03. Используйте рис. 6.11.
6.3. Цилиндрический стержень с параболическим профилем показателя
преломления переводит излучение из плоскости предмета в плоскость
изображения без какого-либо увеличения (рис. 36.3). Входное распределение.-
Плоскость . Плоскость
предмета | . 1 изображения
Рис. 36.3.
и(х0, г/о) можно рассматривать как разложение в бесконечный ряд
функций Эрмита — Гаусса. На некотором расстоянии все функции Эрмита —
Гаусса имеют фазы, кратные 2я. Каково минимальное расстояние, на
котором это происходит? Ответ выразите через параметры k0 и К. Чему
равна длина /, если радиус равен 1 мм, длина волны X = 6328 А
(Не — Ne-лазер), а показатель преломления а изменяется от 1,7 до 1,6
в пределах поперечного сечения? Чему равен радиус w основной
гауссовой моды?
6.4. Необходимо рассчитать тонкопленочный волновод, в котором первая
ТЕ-мода высшего порядка не распространялась бы на данной частоте
(рис. 36 4). Разработайте критерий для профиля показателя преломления,

220 Гл. 6. Оптические волокна и волноводные слои
который должен быть в этом случае. При Дя = 0,02я и п = 1,7 найдите
предельную толщину d при л = 6328 А.
Рис. 36.4. п(д)
6.5. Определите параметр дисперсии d2|3/<i2co для диэлектрика, модель
которого представлена в задачах 14 и 1.5 Положите а = 0 и постройте
график зависимости производной d2fi/doi2 от частоты о.
6.6. По аналогии с параксиальным волновым уравнением покажите, что
дисперсия производит фурье-преобразование входного импульса после его
распространения на большое расстояние, однако фазовый множитель при
этом не участвует.
6.7. Используя гауссовы моды, полученные из скалярного волнового
уравнения для волокна с параболическим профилем показателя преломления,
а) получите распределения полей етп(х, у) и hmn(x, у) по аналогии с
формулами E.55) и E.56);
б) используя свойства ортогональности функций Эрмита — Гаусса,
покажите, что справедливо соотношение ортогональности F 88).
'6.8. Покажите, что потенциалы F.36), умноженные соответственно на
диэлектрическую проницаемость в; и 8, связаны с полем, заданным в виде
векторного потенциала, ротор которого дает смещение плотности потока
ЛИТЕРАТУРА
1. Kogelnik #., "On the propagation of Gaussian beams of light through
lenslike media including those with a loss and gain variation", Appl. Opt.,
4, 1562 A965).
2. Marcuse D, Light Transmission Optics, Van Nostrand, Princeton, N. J.,
1972. [Имеется перевод: Маркузе Д. Оптические волноводы. — М. Мир,
19741
3. Adler R В , Chu L. /., Fano R. M. Electromagnetic Energy Transmission
and Radiation, Wiley, New York, 1960.
4. Ramo S , Whinner у J. R., Van Duzer T, Field and Waves in
Communication Electronics, Wiley, New York, 1965
5. Kogelnik #., Ramaswamy V., "Scaling rules for thin-fiber optical
waveguides". Appl. Opt., 8, 1857 A974).
6 Tien P. K., "Integrated optics and new wave phenomena in optical
waveguides" Rev. Mod. Phys., 49, 361—420 A977).
7. Li Т., "Optical fiber communication — the state of art", IEEE Trans. Com-
mun., 946—955, July 1978
8. Tamir T, Oliner A. A., "Guided complex waves, Part I", Proc IEE, 110,
310 0963).
9. Tamir Т., Oliner A. A , "Guided complex waves, Part II", Proc. IEE, 110,
325 A963)
10. Treacy E. В.. "Optical pulse compression with diffraction gratings, IEEE
J. Quantum Electron., QE-5, 454—459 A969).
11. Yamada J. /., Saruwatari M., Asatani K., Tsuchiya #., Kawana A., Su-
giyama /(., Kimura Т., "High speed optical pulse transmission at 1,29 jam
wavelength using low-loss single-mode fibers", IEEE J. Quantum Electron.,
QE-14, 791—800 A978).
12. Adler R. B, "Waves in inhomogeneous cylindrical structures", Proc. IRE,
40, 339—348 A952).

Глава 7
Связь мод; резонаторы и ответвители
Резонанс представляет собой широко распространенное
явление, которое может принимать разнообразные формы. Говоря
о резонансе, мы, как правило, воображаем себе массу на
пружине или LC-цепь. В обоих случаях основным является
дифференциальное уравнение второго порядка. Интересующийся
физикой резонатора как такового немного получит от изучения
формализма, развитого в настоящей главе. Однако во многих
случаях приходится рассматривать связь резонатора с одним
или несколькими волноводами, а также с другим резонатором,
и здесь анализ, развитый в настоящей главе, принесет несом-
ненную пользу. В его основе лежит небольшое число физических
понятий и используется минимум алгебраических выкладок.
В разд. 7.1 мы выведем основное уравнение для
«положительно-частотной» амплитуды резонансной моды, а в разд. 7.2
рассмотрим случай, когда на входе резонатора имеется волна
или связь с волноводом.
Найдена мощность, передаваемая резонансной моде, в
зависимости от частоты. В этом же разделе рассматриваются
условия критической связи. В разд. 7.3 развитый нами
формализм применяется для расчета порогового усиления и выходной
мощности лазера. В разд. 7.4 рассматривается проходной
резонатор и его характеристики сравниваются с проходным
резонатором (или фильтром) Фабри — Перо, описанным в гл. 3.
В разд. 7.5 представлена теория, описывающая связь между
двумя резонаторами, и найдено решение для связанной системы
в зависимости от времени. Конец главы посвящен
рассмотрению того, как полученные нами решения для связи в
зависимости от времени можно преобразовать к случаю
пространственной связи. Мы обсудим также возможности использования
оптических волноводных ответвителей в качестве
перестраиваемых фильтров или оптических переключателей.
Развитый для изучения связи мод формализм представляет
собой по-существу теорию возмущений и имеет широкий
диапазон применения. Он особенно удобен для исследования
оптических нелинейностей и взаимодействия оптических волн со
звуковыми (см. гл. 9 и 13).

222 Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
7.1. Положительно-частотная амплитуда моды
Излагаемый в настоящей главе формализм связанных мод,
имеет общий характер и применим к многочисленным
физическим системам с резонансными или распространяющимися
модами. Однако полезно сначала обратиться к простому примеру,
чтобы проиллюстрировать смысл используемых физических
параметров. В качестве такого примера выберем LC-цепь. Ее
поведение описывается следующими уравнениями (рис. 7.1):
v = L(di/dt)9 G.1)
i = — C(dv/dt). G.2)
Эту систему двух дифференциальных уравнений первого
порядка можно привести к уравнению второго порядка для
напряжения:
d2v/dt2 + со^ = 0, G.3>
где
co02=l/LC. G.4)
Используя комплексные переменные
а± = л/С/2 0 ± / aJZJCI), G.5>
систему дифференциальных уравнений первого порядка можно
свести к двум независимым дифференциальным уравнениям
первого порядка. Складывая и вычитая уравнения G.1) и G.2)
с соответствующими коэффициентами, получаем
da+/dt = j®oa+, G.6>
dajdt = — /co0a-. G.7)
Для того чтобы лучше понять смысл амплитуд а+ и а_,
рассмотрим амплитуду а+ и ее связь с напряжением и (или) током
в резонансной цепи. Решения уравнений G.1) и G.2) имеют вид
o* + *), G.8)
/ @ = VC/T | V | sin (co0/ + ф), G.9)
где |V| — максимальная амплитуда напряжения в LC-цепи,.
а ф — фаза (ф — arg V). Таким образом,
G.10)
Величина а+ в соответствии с уравнением G.6) имеет
экспоненциальную зависимость от времени: ехр(/а>оО и, следова-

7.1. Положительно-частотная амплитуда моды 223
id)
Рис. 7.1. LC-цепь. Рис. 7.2. LC-цепь с
потерями.
тельно, нормируется следующим образом:
V|2=r, G.11)
где W — энергия, запасенная в цепи. Величину а+ можно
определить как положительно-частотную компоненту амплитуды
моды. Резонансная мода полностью описывается уравнением
G.6), поскольку уравнение G.7) является
комплексно-сопряженным ему. Очевидное преимущество данного формализма
заключается в приведении системы дифференциальных
уравнений к двум независимым уравнениям (т. е. система уравнений
разделяется). Заметим, что об удобстве работы только с
положительными частотами мы уже говорили в связи с анализом
интерферометра Майкельсона (разд. 2.7). В дальнейшем мы
везде будем опускать нижний индекс «+».
Потери в цепи, если они в ней имеются, можно учесть,
включив проводимость G параллельно емкости С и
индуктивности L (рис. 7.2). Если потери малы, то учесть их в уравнении
для модовой амплитуды G.6) нетрудно. При этом мы имеем
da/dt = /со0а — а/т0, G.12)
где 1До — скорость затухания волны, обусловленная потерями.
Скорость затухания можно вычислить, не обращаясь к
модифицированным уравнениям цепи. Поскольку величина |а|2
затухает по экспоненциальному закону ехр(—2t/xo)y а
уменьшение энергии в единицу времени равно диссипированной
мощности Ра, имеем
dW/dt = - B/т0) W = - Pd. G.13)
В предельном случае малых потерь, которые можно
рассматривать как возмущение, величину Pd вычислить несложно.
Действительно, среднее по времени значение теряемой мощности
дается выражением
a|2,! G.14)
где мы воспользовались соотношением G.11). Таким образом,
= 01щС = 21щхй = l/Q0, G.15)

224 Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
где безразмерная величина 2/оHт0 равна обратной величине не-
нагруженной добротности Qo или фактору качества («ненагру-
женного» резонатора, т. е. не соединенного с внешней
«нагрузкой»).
Если бы мы записали сначала уравнения цепи (рис. 7.2) и
точно вычислили комплексную частоту s =—A/т) + /со, то
получили бы
s=~l/x+ /со = - G/2C + / V1/LC - G2/4C2. G.16)
Заметим, что скорость затухания соответствует нашим оценкам,
сделанным с помощью метода возмущений. Однако поправка
к частоте со0= l/л/ЬС представляет собой величину второго
порядка по G/C. Эта поправка не получается из приближенного
рассмотрения. Напомним, что приведение дифференциального
уравнения второго порядка, описывающего резонатор без
потерь, к двум независимым уравнениям первого порядка было
корректной математической процедурой. Однако введение
потерь путем модификации независимых уравнений верно лишь
приблизительно. Введение потерь на самом деле связывает два
уравнения для амплитуд а+ и а_, и об этом свидетельствует
изменение вещественной части в выражении для собственной
частоты резонатора во втором порядке нормированного
параметра потерь (G/oHC).
Другие возмущения резонансной цепи или резонансной моды
могут быть учтены так же, как и вносимые потери. Одним из
таких примеров возмущения является подсоединение
резонансной цепи к внешней передающей линии или связь резонатора
Фабри — Перо с падающей на него извне волной благодаря
частично пропускающему зеркалу.
7.2. Резонатор с входной волной или волноводом
Из уравнения для положительно-частотной составляющей
амплитуды а следует, что она изменяется во времени по
экспоненциальному закону ехр(/сооОехР(—^Ао). Если резонатор
связан с волноводом или с внешним пространством через частично
пропускающее зеркало, как показано на рис. 7.3, то необходимо
учесть следующие два эффекта:
а) изменение скорости затухания и
б) возбуждение моды с амплитудой а за счет падающей
волны.
Скорость затухания моды изменяется из-за того, что теперь
энергия диссипирует не только внутри резонатора, но уходит
также в волновод или окружающее пространство. При этом

7.2. Резонатор с входной волной или волноводом 225
Zo = 7/Y0 =
:cL
а
Рис. 7.3. а — GLC-цепь, соединенная с передающей линией; L и С —
соответственно индуктивность и емкость на единицу длины; б — оптический
резонатор с частично пропускающим зеркалом (М).
уравнение G.12) мы должны модифицировать следующим
образом:
a) dsi/dt = /со0а - A/т0 + 1/хв) а, G.17)
где 1/хе — дополнительный коэффициент затухания из-за утечки
энергии (нижний индекс е означает «внешний»). Из уравнения
G.17) найдем скорость изменения энергии
dW/dt = a* da/dt + a da*/dt = -2 A/т0 + 1/тв) W. G.18)
В этом случае полные потери мощности резонансной моды из-за
процессов диссипации и утечки из резонатора рассматриваются
как члены первого порядка в разложении Тейлора по
параметрам, определяющим мощность диссипации и утечки. Мощность
утечки Ре дается выражением
откуда находим «внешнюю» добротность Qe резонатора:
PMW = 2/(о0т, = l/QBHem. G.19)
Для приведенной на рис. 7.3, а схемы, в которой линия
оканчивается согласованной нагрузкой, получим
G.20)
В волноводе по направлению к резонатору может
распространяться возбуждаемая источником волна с аплитудой s+

226
Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
(рис. 7.4). При этом падающая волна s+ приводит к
возбуждению в резонаторе моды а, и мы имеем следующее уравнение:
da _ __
б)
G.21)
где х — коэффициент связи между резонатором и волной s+.
Нормируем амплитуду s+ таким образом, чтобы величина |s+|
равнялась мощности, переносимой падающей волной, в отличие
от величины |а2|, которая равна энергии. Общее рассмотрение
волноводной моды, падающей на резонатор, и эволюции во
времени возбуждаемой резонансной моды заставляет нас снова
обратить внимание на обозначения, используемые для
различных мод. Амплитуду моды в резонаторе мы обозначаем через а.
В гл. 6 использовались обозначения а^ и Ьд для амплитуд
прямой и обратной волн jx-й моды, а в гл. 3 через а и b мы
обозначили амплитуды падающей и отраженной волн. Поскольку
алфавит ограничен, а применение малоизвестных букв
нежелательно, мы выбрали здесь символ s+ для обозначения
амплитуды волны а (первая буква англ. слова source), падающей на
резонатор. Отраженную волну будем обозначать через s_.
В обозначениях гл. 2 мы имели бы соответственно а и Ь, а в
гл. 6 —ад и Ьц, для [я-й моды.
Мы будем рассматривать только одну моду, поэтому индекс
jli не потребуется. (Обобщение на случай большего числа мод
станет для читателя очевидным после прочтения разд. 7.4, в
котором речь идет о двух волноводах или модах.)
Если источник дает сигнал на частоте со, то амплитуда
s+~exp(/co/) и отклик имеет место на той же частоте, и из
С, ^ G,
Рис. 7.4. Резонаторы с внешним возбуждением. М — частично пропускающее
зеркало.

7.2. Резонатор с входной волной или волноводом 227
уравнения G.21) мы найдем
Покажем теперь, что величины х и %е связаны друг с другом.
Это можно было бы сделать, записав уравнения для
изображенной на рис. 7.4 GLC-цепи, связанной с источником через
передающую линию. Однако помимо того, что эта процедура была
бы громоздкой, вывод зависел бы от выбора модели и поэтому
утратил бы общность. Вместо этого можно воспользоваться
общим свойством уравнений Максвелла для непоглощающих
сред, которое присуще и другим физическим уравнениям,
например, таким, как уравнения распространения звука, а именно
свойством обратимости времени. Под обратимостью времени
мы понимаем следующее. Пусть у нас имеется набор
математических функций, которые представляют собой решения
рассматриваемой системы; мы утверждаем, что эти функции можно
«обратить» во времени, при этом величина t заменяется на —t,
поток мощности меняет знак (например, в случае
электромагнитной волны, если вектор Е сохраняется, вектор Н заменяется
на —Н), а результирующие функции остаются решениями
системы. Это свойство использовалось в разд. 3.3 при получении
соотношений для матрицы рассеяния и в разд. 6.8 при выводе
соотношений ортогональности мод в удобной форме. В
рассматриваемой нами задаче мы применим обратимость во времени
при условии, что 1До = 0 (т. е. внутренние потери отсутствуют),
с целью получить выражение для величины х. В отсутствие
внешнего источника амплитуда (s+ = 0) моды затухает со
скоростью 1/хе, поскольку волна s_, уходящая из резонатора в
соединенный с ним волновод, уносит с собой энергию. Из
уравнения G.17) и условия сохранения энергии следует
-^|a|2 = -^|a|2==--!s_|2. G.23)
Рассмотрим обращенное во времени решение. Уходящая из
резонатора волна S- преобразуется в падающую волну s+. Кроме
того, в резонаторе энергия нарастает (а не спадает) по
экспоненциальному закону ехр[+BДе)/]. Обращенное во времени
решение для положительно-частотной амплитуды а+@
становится отрицательно-частотной амплитудой а_(?), поскольку
зависимость ехр (/со/) изменяется на ехр(—jtot). Придерживаясь
ранее принятого соглашения рассматривать только
положительно-частотные амплитуды, заменим волну а+(/) на волну а_@
еще до операции обращения времени, чтобы уравнение,
удовлетворяющее обращенному решению, записывалось в виде
G.21), содержащему по-прежнему в правой части член /соо, т. е.
записывалось для положительно-частотной амплитуды
обращенного во времени решения.

228 Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
Обозначим положительно-частотную амплитуду
обращенного во времени решения через а. Вместо того чтобы затухать
во времени, она нарастает, и из соотношения G.23) имеем
^ I я |2 — /о/т \ I я I2 G 9А\
Обращенное во времени решение возбуждается падающей
волной s+ на частоте со0 и нарастает со скоростью \/хе. Таким
образом, частота возбуждения равна
со = со0 — j/xe.
Подставляя эту частоту в выражение G.22) при условии
1/то = 0, найдем, что
//О \ /7 ОК\
а = <KS^./\zxe). \/ .ZD)
Далее, поскольку мощность |s+|2 обращенной во времени
волны равна мощности |s_|2 исходной волны и |а| = |а| при
/ = 0, из соотношения G.23) получаем
| ^ |2 __ ф/х ) | а Р = B/т ) I ^ Р. G.26)
Объединяя выражения G.25) и G.26), находим
G.27)
Фаза коэффициента связи к не играет роли, поскольку
относительно волны s+ фаза волны а выбирается произвольно. Таким
образом, уравнение G.21) принимает вид
+ Л/|5+. G.28)
Это уравнение описывает возбуждение моды резонатора
падающей волной. Мода резонатора характеризуется тремя
параметрами: своей резонансной частотой соо, скоростью затухания
1/то амплитуды, обусловленного внутрирезонаторными
потерями, и скоростью уменьшения 1/те амплитуды за счет утечки
энергии из резонатора.
Коэффициент отражения
Интересно вывести уравнение для амплитуды s_, так чтобы
мы могли вычислить коэффициент отражения Г = s_/s+ в
случае произвольного возбуждения. Система линейна, поэтому
амплитуду s_ можно представить в виде суммы амплитуд s+ и а
со своими коэффициентами:
s_ = css+ + caa. G.29)
Нами уже выполнен мысленный эксперимент по оценке
величины s_ для случая s+ = 0. Таким образом, из соотношения

7.2. Резонатор с входной волной или волноводом 229
<7.23) имеем
s_ = У2/т7а = саа, G.30)
откуда
Ca=^We\ G.31)
здесь, выбрав соответствующую опорную плоскость, в которой
определяется амплитуда s_, мы задали фазовый множитель
при са равным единице. Другой коэффициент cs можно
вычислить из условия сохранения энергии. Действительно, полная
мощность, входящая в резонатор, должна быть равна сумме
энергии, запасаемой резонатором, и энергии, теряемой при
этом:
I s+ |2 - | s_ |2 = (d/dt) | а |2 + 2 A/то) I a |2. G.32)
Однако из уравнения G.28) имеем
4т ia i2=-2 (•?¦+i) ia i2+V? (a*s+ + О- G-33>
Сравнение выражений G.32) и G.33) дает
- B/тв) | а |2 + д/27^7 (a*s+ + as*+) = | s+ |2 - | s_ |2. G.34)
Исключая из формулы G.34) с помощью соотношений G.29) и
G.31) величину а, получаем
cs = -l. G.35)
Следовательно,
s_ = - s+ + V2/t7 a. G.36)
Уравнения G.28) и G.36) являются фундаментальными
уравнениями резонатора, имеющего связь с волноводом или
оптической модой лишь на одном конце (входе). В качестве
примера их применения найдем зависимость коэффициента
отражения от частоты возбуждающего сигнала со. Коэффициент
отражения резонатора в установившемся состоянии [1]
находится из соотношений G.36) и G.22):
г = -i=- = П/т^) — П/тр) — / (со — сор) /? о7\
s+ A/т,) + A/т0) + У(со-со0) • {/'°Ч
На комплексной плоскости величина Г описывает окружность
(рис. 7.5). При резонансе мы имеем
г =
рез
В случае хе = То отражение отсутствует и внешняя добротность
QBHem равна ненагруженной добротности Qo. Мощность,
входящая в резонатор при данной падающей мощности |s+|2, мак-

230
Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
АГтГ
Недостато иная
связь
?/те<!/т0
Направление
возрастания
частоты
Оптимальная связь
Ux0 = !/re
Избыточная связь
f/re>!/r0
Рис. 7.5. Функции Г (со) в комплексной Г-плоскости для различных значений
отношения те/т0.
симальна. Это условие критического согласования. Если |со —
— соо | ^ A До) + A/te), то возбуждение происходит вдали от
резонанса (Г = —1) и мы имеем полное отражение (рис. 7.5).
В случае когда \jxe > 1/то, скорость утечки энергии из
возбужденного резонатора выше скорости затухания из-за
внутренних потерь. Это так назыаемый случай сильной связи. Если же
1/те < 1/то, то говорят, что связь резонатора является слабой.
Полная проводимость
В соответствии с определением B.38) коэффициент
отражения можно связать с нормированным импедансом (или
проводимостью) :
Qo)-
G.38)
Это выражение описывает полную проводимость в параллельной
GLC-цепи как функцию частоты (рис. 7.4), нормированную на
полную проводимость Уо передающей линии и полученную
путем разложения с точностью до первого порядка по со — со0 в
окрестности резонансной частоты соо:
соо

7.3. Расчет факторов качества 231
Мы использовали здесь выражения G.15) и G.20) для
добротности цепи. Таким образом, формализм, развитый для
обычной резонаторной моды на частоте ©о, позволяет получить
проводимость параллельной GLC-цепи как функцию частоты.
Выбор опорной плоскости на расстоянии в четверть длины волны
от используемой в анализе опорной плоскости приведет к
импедансу последовательной RLC-ixenn.
Уравнение G.28) удобно использовать для изучения
неустановившегося возбуждения резонатора. Предположим, что
падающая волна возбуждения на частоте со имеет ступенчатый
характер при / = 0:
t
o,
Отклик на нее представляет собой суперпозицию отклика в
установившемся режиме и решения однородного уравнения,
которое получается из условия, что а = 0 при t = 0:
где 1/т — I/to + 1/т<?- Устойчивый режим устанавливается
после переходного процесса, который длится в течение времени
порядка т.
7.3. Расчет факторов качества, порога лазерной
генерации и выходной мощности
Преимущество теории возмущений, рассмотренной в
предыдущем разделе, состоит в том, что можно достаточно просто
определить различные типы добротности резонатора Фабри —Перо
при данных коэффициентах пропускания зеркал и внутренних
потерях. Найдем сначала внешнюю добротность QBHem, считая,
что потери в резонаторе отсутствуют, а затем исследуем
отдельно влияние потерь. Рассмотрим резонатор, изображенный
на рис. 7.6. При резонансе в нем возбуждается волна, близкая
к стоячей, которая в случае полностью отражающих зеркал
переходит в полностью стоячую волну. В этом случае две бегущие
волны, распространяющиеся в резонаторе в противоположных
направлениях и образующие стоячую волну, имели бы равные
амплитуды. По определению энергия, запасенная в резонаторе,
Ц7 = |а|2. В пределе высоких коэффициентов отражения
величина \а\2/2 равна энергии каждой из противоположно бегущих
волн. Рассмотрим общий случай резонатора, заполненного
средой с показателем преломления п(со). Групповая скорость vg =
59 где р = со/г/с, равна отношению мощности к энергии,

232 Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
Рис. 7.6. Резонатор, заполненный средой с показателем преломления п.
запасенной на единичной длине (см. разд. 6.9). Таким образом,,
в предельном случае высокого коэффициента отражения зеркал
мощности двух противоположно направленных волн
приближенно одинаковы [ср. с выражением F.96)]:
|2//К; G.41)
здесь / — длина резонатора. Мощность Реу покидающая
резонатор через частично пропускающее зеркало с пропусканием
t2 see Г, дается выражением
Ре = Т <Р_> = (Т/2) (| a \2/l) ve. G.42)
Таким образом, внешнюю добротность можно записать в виде
1 ?е 2 Tvg
<2внеш G>0W CO0Te 2со0/
G.43)
Из соотношений G.42) и G.43) можно получить интересный
результат; можно найти отношение мощности <Р+> одной из
двух бегущих противоположно направленных волн внутри
резонатора при резонансе к мощности падающей волны |s+|,
возбуждающей резонатор. В отсутствие внутренних потерь
резонатора из выражения G.26) с помощью соотношений G.41)
и G.43) получим
I s+ I2 = B/тв) | а Р = (Tve/2l) | а |2 = Т <Р+>. G.44>
Мощность внутри резонатора в \/Т раз больше мощности
падающей волны.
Вычислим теперь ненагруженную добротность Q.
Предположим, что заполняющая резонатор среда имеет постоянную
затухания поля а и мощности 2а. Потери мощности на единичной
длине резонатора равны 2а(Р±) для каждой из противоположно
распространяющихся бегущих волн. Если предположить, что
потери малы, т. е. мощность каждой из двух противоположно
направленных бегущих волн приблизительно постоянна вдоль
оси резонатора, то полная потеря мощности (диссипация
мощности) Pd равна
pd = 4а/ (Р±) = 2а | a |2 ve. G.45)

7.3. Расчет факторов качества 233
I
Рис. 7.7. Резонатор, содержащий усиливающую среду.
Таким образом, величина, обратная добротности ненагружен-
ного резонатора, определяемой внутренними потерями,
запишется в виде
Qo
COqTo
СОо
G.46)
Предположим теперь, что на некоторой длине lg резонатора
в результате накачки [2] создается усиление. Усиливающая
среда сама по себе благодаря генерации излучения мощностью
Pg вызвала бы рост амплитуды моды с коэффициентом 1/xg,
который можно вычислить так же, как и постоянную затухания
амплитуды вследствие диссипации мощности Ра. Обозначим
постоянную нарастания амплитуды бегущей волны с расстоянием
через ag. Тогда (рис. 7.7) можно написать следующее
соотношение:
Pg = ^glg(P±). G.47)
Соответствующая постоянная нарастания l/xg определяется
выражением [ср. с G.46)]
2/co0Tg = Pg/voW = 2aglgVg/aQl. G.48)
При этом уравнение для модовой амплитуды в лазере
принимает вид
da/dt = (/0О - 1/то - 1/тв + l/re) a + ^JWe s+. G.49)
В отсутствие какого-либо внешнего источника возбуждения
(s+ = 0) решение этого уравнения запишется следующим
образом:
а = А ехр (/0О — 1/т0 — 1/тв + 1/%) /.
Для того чтобы лазер генерировал в стационарном режиме без
какого-либо внешнего источника возбуждения (s+ = 0), должно
быпоняться соотношение
1/тя=1/т0+1/тв,

234 Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
ИЛИ
ag = (l/lg)a + T/4lg. G.50)
Величина ag— это значение коэффициента усиления, при
котором достигается порог генерации, т. е. это усиление, которое
необходимо для самовозбуждения генератора. При превышении
порога генерации начинает сказываться эффект насыщения
усиления (уменьшение усиления среды с ростом интенсивности
излучения), т. е. усиление ag9 определяемое выражением G.50),
остается постоянным при действующем уровне мощности
лазера. Коэффициент усиления в режиме насыщения записывается
в виде [2]
где а^ — коэффициент усиления в режиме малого сигнала
(/->-0), / — интенсивность (прямой и обратной волн
резонатора), а fs — интенсивность насыщения, т. е. интенсивность, при
которой коэффициент усиления ag уменьшается вдвое по
сравнению с первоначальным значением при нулевом уровне
интенсивности. Предположим, что площадь поперечного сечения
пучка в усиливающей среде равна Ag. Мы не будем учитывать
особенности, связанные с неоднородным распределением
интенсивности по сечению пучка и будем рассматривать
интенсивность волны постоянной на всей площади сечения Ag. Учитывая
то, что усиление должно удовлетворять выражению G.50),
мощность двух волн внутри резонатора можно записать в виде
1Аш='А (Ч - №2а - тщут,Ja + г/2у.
Мощность Ptf пропускаемая через зеркало и покидающая
резонатор, равна произведению этого выражения на 7/2. В
предельном случае, когда 2а/ <7и 2а°/_ > Г/2 мощность Р/, вы-
ходящая из лазера, равна
Pt = I8Ag2fgle.
Она пропорциональна коэффициенту усиления малого сигнала
и интенсивности насыщения. Проведенное нами рассмотрение
показывает, каким образом можно найти параметры резонатора
с помощью величин, характеризующих потери, усиление и
пропускание зеркала. Мы продемонстрировали также, что работу
лазера — процесс, который является нелинейным, поскольку
усиление зависит от интенсивности в резонаторе, — можно
описать тем же набором уравнений. В приложении 7А мы
рассмотрим пример использования этого же формализма для описания
другого нелинейного явления, а именно внешней синхронизации,
мод генератора.

7.5. Связь двух резонаторных мод 235
7.4. Проходной резонатор
Если резонатор связан с двумя волноводами, т. е. энергия
вводится и выводится через оба зеркала, как в проходном
резонаторе Фабри—Перо, то уравнение G.21) модифицируется
следующим образом:
(^ ^ b)G-52)
Здесь величины 1/хе\ и \/хе2 соответствуют затуханию моды
незаполненного резонатора за счет передачи мощности излучения
в каждый из двух волноводов. Аналогично тому, как это было
сделано раньше для одного волновода с отключенным другим
волноводом, можно получить
щ = л/2/тв1, и2 = л/2/те2. G.53)
Мощность, прошедшая из волновода 1 в волновод 2, равна
2112 D2/)l I2
|2 _ 21а _ l+ I
где 1/т = A/тв1) + AДв2) + A/то). Если нет потерь, т. е. 1/т =
= (l/tei) + (l/T^2), то мощность прошедшей волны при резонансе
со = оH запишется в виде
I s_212 = D/те1тв2) | s+1 Р/[A/тв1) + A/тв2)]2. G.55)
Полное пропускание реализуется в симметричном резонаторе,
для которого \/%е\ = 1/тв2. Если связь с внешними каналами
неодинакова, то пропускание оказывается меньше. Эти
результаты согласуются с расчетами пропускания интерферометра
Фабри — Перо при резонансе (или вблизи него) на одной из его
мод C.49), использующими весьма правдоподобное
приближение.
Амплитуды отраженных волн s_i и s_2 можно вычислить,
используя следующее обобщение выражения G.36):
a; G.56)
аналогичное выражение можно написать и для величины s_2.
7.5. Связь двух резонаторных мод
Связь между двумя резонансными модами хорошо описывается
с помощью простого формализма, определяющего изменения
резонансной моды во времени. Примеры такой связи между
модами многочисленны. На рис. 7.8 показаны две связанные
LC-цепи, а также два оптических резонатора, связанных друг
с другом через частично пропускающее зеркало, которое яв-

236
Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
ляется общим для каждого из этих резонаторов. Еще один
пример — это связь квантовомеханических энергетических уровней
вследствие возмущения волновых функций, другим примером
является связь двух маятников, прикрепленных к одной струне.
Рассмотрим уравнение движения мод с амплитудами а{ и а2
и собственными частотами coi и оJ двух несвязанных
резонаторов без потерь:
dajdt = jio^iy G.57}
dajdt = /(о2а2. G.58>
Предположим, что связь между модами осуществляется за счет
некоторого слабого возмущения системы, создаваемого,
например, небольшим соединительным конденсатором на рис. 7.8, а,
или, как в случае рис. 7.8, б, заменой полностью отражающего
зеркала между двумя резонаторами на частично пропускающее
зеркало. Такие возмущения можно учесть, записывая уравнения
G.57) и G.58) следующим образом:
G.59>
G.60)
dajdt = /coja! + х12а2,
da2/dt = /<о2а2 + ><21аь
где %i2 и X2i — коэффициенты связи. Слабая связь означает,
что |%i2|<C coi и |x2i|<C 0J. Простая запись системы уравнений
G.59) и G.60) не является сама по себе очевидной.
Действительно, поначалу можно ожидать, что коэффициенты связи xi2
и x2i должны быть линейными интегродифференциальными
операторами. Однако если связь слабая, то произведение | xi2a21
в среднем мало по сравнению с членом |coiai|; поэтому связь
может влиять на временную эволюцию амплитуд ах и а2 только
в случае, когда частоты coi и оJ близки друг к другу. Таким
образом, временную зависимость можно приближенно записать
в виде exp {/[(o)i + оJ)/2]/}. Любое дифференцирование такой
функции приведет к дополнительному множителю / [ (coi + co2)/2]
и к другим, очень малым членам. Следовательно любое диффе-
-I
¦I
а
м
6
Рис. 7.8. Примеры связанных резонаторов, а — две связанные LC-цепи; б—-
два связанных оптических резонатора; М — частично пропускающее зеркало..

7.5. Связь двух резонаторных мод 237
ренцирование, входящее в член, описывающий связь, можно
заменить на множитель /(coi + а>2)/2, а интегрирование — на
множитель —2//(а>1 +юг); коэффициенты xi2 и %2i можно
рассматривать как комплексные числа, а не как операторы.
Сохранение энергии накладывает ограничение на величины
Xi2 и И2ь Получаемая из уравнений G.59) и G.60) скорость
изменения энергии во времени должна быть равна нулю:
d n da, da, da0 da*
= a*x12a2 + a^a* + а*и21а, + a2x21a* = 0.
Так как начальные амплитуды и фазы величин ъх и а2
выбираются произвольно, коэффициенты связи должны
удовлетворять соотношению
«,2 + ^ = 0. G.61)
Переходная характеристика
Найдем собственные частоты связанной системы.
Предполагая, что решение зависит от времени в виде exp(/W)> из
уравнений G.59) и G.60) имеем два однородных уравнения
относительно амплитуд а{ и а2. С целью получения нетривиального
решения приравниваем детерминант нулю и таким образом
находим следующие корни:
© = (©! + оJ)/2 ± УК®1 - <о2)/2]2 + | х1212 а К + ©2)/2 dz Qo-
Две частоты связанной системы «разделяются» из-за наличия
связи. В частности, если coi = со2, то отличие между двумя
собственными частотами связанных мод равно 2?2-0 = 2|xi2|.
Предположим, что в начальный момент времени t = 0 амплитуды мод
равны ai @) и а2@). Тогда, используя решения с временной
зависимостью вида
ехр [/ (©! + со2) //2] ехр (± А0>
находим
а{ (/) = [а{ @) (cos Qot - / (ю2 - <*>{)/BQ0) sin Qo/) +
+ (x12/Q0) a2 @) sin Q0/]exp {/ [(®{ + co2)/2] /}, G.62)
+ a2 @) (cos Qo^ — / (wi — <»J)/2Qo sin QQt)] exp {/ [(&{ + co2)/2] t). G.63)
Рассмотрим случай, когда а2@) = 0 и со1=со2. При ^ = 0
возбуждена только мода 1, но в момент Qot = n/2 возбуждение
полностью переходит в моду 2. При Qot = я возбуждение
возвращается в моду 1 и мода 2 оказывается невозбужденной. Про-

238
Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
1*2 I*
= cu2
а
Рис. 7.9. Зависимость энергии в модах 1 и 2 от времени, а — симметричный
случай; б — общий случай.
цесс автоматически повторяется. Возбуждение передается туда
и обратно с частотой 2Q0 = 2|%i2|, которая определяется связью.
На рис. 7.9 показана зависимость энергии мод 1 и 2 от времени.
Как видно из этого рисунка, в случае когда сох ф со2, передача
энергии из моды 1 в моду 2 происходит не полностью.
Расчет коэффициентов связи
Для любой физической системы коэффициент связи х12
можно найти из энергетических соображений. Рассмотрим
вначале две LC-цепи в отсутствие соединительного конденсатора
Сс. При этом мы имеем
3\ —
Через соединительный конденсатор энергия переходит из цепи
1 в цепь 2. С помощью G.60) можно написать следующее
уравнение:
d | а2 \2/dt = x21aia; + x*ta;a2.
Из физических соображений заключаем, что мощность
редаваемую из цепи 1 в цепь 2, можно записать в виде
G.64)

пеG.65)

7.5. Связь двух резонаторных мод 239
где угловые скобки означают усреднение по нескольким
периодам на резонансной частоте со2. Обозначая огибающие
напряжения комплексными величинами V\(t) и V2@> напряжение v\{t)
можно записать в виде
vx (t) = A/2) [V1 @ ем + V; (t) е-***]; G.66)
Аналогичное выражение имеем и для напряжения v2(t). При
этом мощность Р21 запишется следующим образом:
^V^e/^-^)' - jiu{CcV]V2e-ito-<»)ty G.67)
Здесь мы пренебрегли вкладом производной dW\/dt по
сравнению с величиной /coiVi. Используя определяющее выражение
G.10) для амплитуд at и а2, имеем
п 1 ГУ /coiCg * }щСс * \п п fi$n
Р21 = 7 К 7^гГ а'32" ^Ж aia2)J • G<68)
Сравнение этого выражения с G.64) дает
Аналогичным образом получаем выражение для xi2:
х12 =
Поскольку x12 + xJ1 = 0,b написанных выше выражениях
частоты со! и оJ следует рассматривать как среднее арифметическое
(coi + co2)/2 или среднее геометрическое V^i^- Эта поправка
имеет тот же порядок величины, что и члены, которыми мы
пренебрегли в нашем рассмотрении (например, мы пренебрегли
производной dV\/dt по сравнению с /wiVi).
Наши результаты можно проверить для конкретного случая,
когда L\ = L2 = L, C\ = С2 = С и coi = со2 = щ. Симметричные
напряжения Vi=V2 не приводят к зарядке соединительного
конденсатора и, следовательно, мы имеем симметричную моду
с частотой cos= l/^/LC. В случае антисимметричной моды Vi =
= —V2 мы имеем эквивалентную цепь, изображенную на
рис. 7.10,6, и частоту юд= l/^L(C + 2Cc).
Расщепление резонансных частот в случае Сс <^ С равно
(os — соа = cosCc/C.
Из анализа связанных мод находим, что расщепление должно
быть равно 2|xi2| = coo(Cc/C), что совпадает с предыдущим
выражением. Существует, однако, расхождение между точным
рассмотрением и теорией связанных мод, если отождествить
несвязанные системы 1 и 2 с теми, которые остаются после удаления
соединительного конденсатора Сс. Теория связанных мод дает

240
Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
а
Рис. 7.10. Вспомогательная цепь для оценки резонанса антисимметричных
собственных мод связанной системы, а — случай, когда соединительный
конденсатор разделен на два; А — эта точка заземлена при антисимметричном
возбуждении; б—эквивалентная схема антисимметрично возбуждаемой системы.
Средняя частота ((Ds + @a)/2 предсказана неверно. Это обычное
затруднение теории связанных мод, которая в первом порядке
(по величине связи) легко и правильно предсказывает
«расщепление» частот, но дает такое значение средней частоты
связанной системы, к которому нужно подходить осторожно и
критически. В рассматриваемом нами примере мы должны были
емкость несвязанных цепей считать равной С-\-Сс. Однако в
большинстве случаев нас интересует расщепление вследствие
связи, а не средняя частота, поскольку именно расщепление
резонансных частот определяет скорость перекачки энергии из
одной цепи в другую, и наоборот.
Рассмотрим теперь связанные резонаторы, представленные
на рис. 7.8, б. Предположим, что они оба симметричны.
Необходимо сравнить уравнение движения G.60) моды 2 с уравнением
G.28) для резонатора, возбуждаемого внешней волной с
амплитудой s+. В нашем случае волна s+ образована одной из двух
бегущих волн, распространяющихся в противоположных
направлениях в резонаторе 1 и образующих стоячую волну. Так как
запасенная в резонаторе 1 энергия равна |ai|2, мощность одной
волны равна A/2) | ai \2c/l (ср. с разд. 7.3) и должна
соответствовать квадрату амплитуды волны, падающей на резонатор 2,
т. е. величине |s+|2. Таким образом,

7.6. Пространственная связь мод 241
Используя формулу G.43) при vg = с, получаем
| Х211 = л/фе1 = aJT c/2L G.69)
Фаза коэффициента %2\ зависит от определения фазы волны а*.
Если связать выбор фазы а{ с электрическим полем в
резонаторе, то тем самым мы зададим фазу коэффициента Х2ь Однако
в большинстве случаев фаза несущественна и коэффициент x2i
можно считать вещественным и положительным.
7.6. Пространственная связь мод [3—6]
В предыдущем разделе мы рассмотрели связь между двумя
модами во времени. Начальные условия задавались в момент
времени t = 0, и моды изменялись от этих начальных условий во
времени.
Другой задачей, имеющей большой практический интерес,
является вопрос о пространственной связи мод1) в
установившемся режиме. Например, два оптических волновода связаны
один с другим через свои остаточные поля (рис. 7.11). Волна,
возбужденная первоначально только в одном волноводе,
переходит в другой волновод. Поскольку таким процессом передачи
энергии можно управлять электрически, этот механизм передачи
энергии, можно использовать для переключения излучения в
оптических волноводах. Другой тип связи осуществляется между
бегущими в противоположных направлениях волнами
периодически возмущенного оптического волновода. Такие оптические
волноводы можно создать методами интегрально-оптической
технологии и использовать для того, чтобы в оптический волновод
можно было встроить эквивалент зеркала без физического
разрушения волновода. Нелинейные оптические явления позволяют
осуществить связь между волнами, имеющими различные
частоты. Эти явления можно рассматривать, используя
представленную здесь теорию связанных мод.
Рассмотрим амплитуды а{ и а2 мод 1 и 2, которые в
отсутствие связи имеют постоянные распространения |3i и C2. Эти
амплитуды удовлетворяют уравнениям
dajdz = — /Р^, G.70)
da2/dz = — /р2а2. G.71)
Педположим теперь, что две волны каким-либо образом слабо
связаны друг с другом и волна ах действует на волну а2, а вол-
1) Термин «связь мод» глубоко укоренился в литературе и
прослеживается вплоть до оригинальной работы Дж. Пирса [3]. Фактически, при
пространственной связи мод связываются волны, так как каждая волноводная мода
состоит из прямой и обратной волны.

242
Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
Рис. 7.11. Профиль показателя преломления в поперечном сечении,
образующий два оптических волновода; Л — распределение поля вдоль оси х в
волноводе 1; Б — то же в волноводе 2.
на а2 — на волну аь При этом уравнения G.70) и G.71)
принимают вид
dajdz = — /р^! + х12а2, G.72)
da2/dz = — /р2а2 + Щ\^\. G.73)
При выполнении условия сохранения энергии на величины
%12 и X2i накладываются ограничения. Слабость связи означает,
что мощность двух волн можно вычислить, пренебрегая связью.
Нормируем амплитуды а{ и а2 таким образом, чтобы мощности
мод были равны соответственно la^2 и |а2|2. Поскольку волны
могут переносить мощность в противоположных направлениях,
будем отличать направления потоков мощности с помощью
знаков плюс и минус. Определим величины рх и р2, которые в
зависимости от того, в каком направлении распространяется
поток энергии вдоль оси z (в положительном или отрицательном),
принимают значение +1 или —1. Полный поток мощности Р
тогда запишется в виде
Я = р1|а1|2 + р2|а2|2. G.74)
Условие сохранения энергии требует, чтобы эта величина не
зависела от координаты z:
dP
dz
-г Рг
¦ = о,
G.75)

7.6. Пространственная связь мод 243
откуда следует, что
Pl*12 + ^2*21 = °- G-76)
Из уравнений G.72) и G.73) можно получить следующее
характеристическое уравнение при предполагаемой зависимости
решения в виде экспоненты ехр(—/|3z):
(Р — Pi) (Р — Э2) + Xi2X21 = 0; G.77)
решение этого уравнения имеет вид
Pi + Рг . , . /( Pi"—РгЛ2 я> „ п 7йч
— 2 ± Д/ V 2 ) ~~ кмкы ' G.70)
Для волн, переносящих энергию в одном направлении, р\р2 =
= +1» Х12Х21 = — | >ci212, а постоянная распространения |3 всегда
вещественна. В случае р\Р2 = —1 (т. е. для волн, переносящих
энергию в противоположных направлениях) Xi2x2i =|xi2|2 и
J3 — комплексная величина при условии, что
Отметим, что заметная связь может быть только в том случае,
когда разность ||3i — C2| порядка величины |%i2|, которая в
свою очередь мала по сравнению с постоянными |Ci| и |C2|
(предположение слабой связи). Таким образом, |3i « C2, и
фазовые скорости обеих волн должны иметь одинаковый знак. Тем
не менее энергия может распространяться в противоположных
направлениях (р\р2 = —1), если групповые скорости волн
направлены противоположно друг другу. Это случай прямой и
обратной волн в периодической структуре, что мы рассмотрим в
следующей главе. Потоки энергии могут иметь противоположные
направления и в случае однонаправленных групповых скоростей,
если энергия одной из волн отрицательна [4, 7, 8]. Понятие
отрицательной энергии является обычным в физике плазмы, но
в несколько измененном виде его полезно также использовать
и в некоторых задачах нелинейной оптики. Этот вопрос
рассмотрим в гл. 13.
Предположим, что обе постоянные распространения Pi и C2
зависят от частоты и соответствующие этим волнам групповые
скорости отличаются друг от друга. Для любой частоты со
найдется пара значений $х и C2, задающая посредством формулы
G.78) постоянную распространения |3 связанной моды. Если обе
волны имеют одинаковые направления групповых скоростей, то
их дисперсионные кривые могут пересекаться, как показано на
рис. 7.12, а, и |3=(pi + p2)/2zh|>ci2|. Вдали от точки пересечения
постоянная распространения асимптотически приближается к
невозмущенным значениям.

244
Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
На рис. 7.12,6 представлен другой случай, а именно когда
групповые скорости направлены противоположно друг другу.
В гл. 8 мы покажем, как можно добиться пересечения
дисперсионных кривых Ci и |32 двух волн. Здесь же нам
достаточно указать на то, что пересечение двух таких кривы*
ведет к экспоненциально нарастающим и спадающим
решениям.
Рассмотрим случай однонаправленных положительных
групповых скоростей (рх =р2 = +1). Предположим, что волны ai@)
и а2@) начинают распространяться из начала координат при
2 = 0. При этом решения оказываются аналогичными решениям
для случая связанных во времени мод, определяемых выраже-
Рис. 7.12. Дисперсионные диаграммы связанных мод (подразумевается
линейная зависимость постоянных распространения ${ и р2 от частоты со) а —
групповые скорости волн имеют одно и то же направление; б — групповые
скорости направлены противоположно.

7.7. Применения волноводных ответвителей 245
ниями G.62) и G.63):
а{ @) ( cos poz + / 9R Pl sin poz) + -jT" a2 @) sin po2 X
v -^Po / Po J
a2 (^) = [|^ a! @) sin p0^ + a2 @) (cos |30г + / ^^* sin Po^)] X
X exp {— / [(p! + p2)/2] г}, G.80)
где
Зависимость амплитуд волн, возбужденных при z = 0, от
координаты г аналогична временной зависимости амплитуд резона-
торных мод в переходном режиме. В случае а2@) = 0 рис. 7.9
дает пространственную картину изменения величин |ai(z)|2 и
|а2(г)|2, причем величину Qot нужно заменить на $oz. Решения
G.79) и G.80) лежат в основе работы оптических ответвителей,
переключателей и перестраиваемых фильтров, о чем и пойдет
речь в следующем разделе.
7.7. Применения волноводных ответвителей
Известно несколько важных применений волноводных
ответвителей [9—13]. Мы обсудим два из них: перестраиваемый фильтр
и оптический волноводный переключатель. Прежде чем
приступить к их теоретическому описанию, расскажем о том, как
изготавливаются связанные волноводные структуры. Лабораторные
образцы обычно делают на кристаллах LiNbO3, поскольку они
обладают большим линейным электрооптическим эффектом
(гл. 11), и можно на их основе достаточно просто изготовить
волновод. Линейный электрооптический эффект позволяет
путем приложения электрического поля изменять показатель
преломления и, следовательно, величины ${ и (или) C2 двух
связанных волноводов. Особенности этого эффекта мы обсудим
позднее; на данном этапе нам важно знать только то, что постоянные
распространения ${ и C2 можно изменять, прикладывая
напряжение.
Волноводы изготовляются методом диффузии титана. В том
месте, где должен быть создан волновод, на поверхность
кристалла LiNbO3 фотолитографическим способом наносится
тонкий слой титана (рис. 7.13, а). При нагревании структуры титан
диффундирует в LiNbO3, образуя в кристалле цилиндрическую
область, обогащенную Ti (рис. 7.13,6). Эта область по
сравнению с окружающим чистым ниобатом лития имеет более
высокий показатель преломления и образует волновод, полностью-

246 Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
LiNbO3
•Области с диффундировавшим Ti
Рис. 7.13. Образование волноводов
посредством диффузии титана в
LiNbO3.
Рис. 7.14. Ответвитель Г-типа, образованный диффузией титана в LiNbO3.
Слева видны электроды. (Фотография публикуется с любезного разрешения
д-ра Ф. Дж. Леонбергера, лаборатория им. Линкольна.)

7.7. Применения волноводных ответвителей
Элетприческое поле
2А7
Волновод /
Волновод Z
Рис. 7.15. Электрическое поле Е, создаваемое напряжением, приложенным*
к электродам.
аналогичный волоконному и пленочному волноводам,
рассмотренным в предыдущей главе. Диффузия вызывает локальное
расширение материала и приводит к вспучиванию поверхности
(рис. 7.13, в). Это можно увидеть под микроскопом (рис. 7.14).
Наконец, на поверхность кристалла наносят электроды.
Прикладывая к электродам электрическое напряжение, изменяют
постоянные распространения |3i и |32 в двух волноводах
(рис. 7.15).
Перестраиваемый фильтр
В основе работы перестраиваемого фильтра, впервые
предложенного Тейлором [10] и изготовленного Олфернессом и
Кроссом [13], лежит диаграмма дисперсионных кривых,
представленная на рис. 7.12, а. Два волновода с различными
дисперсионными кривыми Ci и C2 располагаются рядом на длине /
(рис. 7.16). В отсутствие внешнего электрического напряжения
их дисперсионные кривые имеют вид, как показано на рис. 7.17.
Предположим, что в начале области связи волноводов при
z = 0 внешняя волна подается только в волновод 1. Тогда в
соответствии с формулой G.80) мощность волны, переданная в
B)
I I
I |
z=O z=l
Область связи
а
В волноводе Z показатель
преломления выше
б
Рис. 7.16. Два неодинаковых связанных волновода, а — вид сверху; б — вид.
в поперечном сечении (в увеличенном масштабе).

248 Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
Р
Рис. 7.17. Дисперсионные кривые для двух неодинаковых волноводов,
показанных на рис. 7.16. а —общий вид дисперсионной диаграммы; б — область
вблизи точки пересечения дисперсионных кривых (внутри кружка на рис. а).
$700 5900 6100 6300
о
Длина волны, А
б
Рис. 7.18. Передача энергии между волноводами, изображенными на
рис. 7.16, в зависимости от частоты (из работы [14]). а — теория; б —
экспериментальная зависимость в сравнении с теоретической.

7.7. Применения волноводных ответвителей 249
волновод 2, запишется в виде
I а2 (I) |2 = | х21/р012 sin2 (ро/) | а1 @) |2. G.82)
Допустим, что величина |x2i|/ выбрана таким образом, что
полная передача мощности имеет место при Pi = р2 на частоте со0,
т. е. |x2i|/ = 3n/2. На рис. 7.18 показано, как изменяется
эффективность передачи мощности в зависимости от частоты,
благодаря тому, что разность
Pi — P2 = (dPi/dco — др2/дш) (со — со0)
является функцией частоты.
Работа перестраиваемого фильтра основана на том, что
прикладываемое электрическое напряжение может изменять
постоянные распространения. Можно сдвигать частоту пересечения
о)о, и, следовательно, перестраивать передаточную функцию.
Коэффициент связи к2\ не зависит от приложенного напряжения
во всех практически реализуемых случаях. Если выбрать
величину | X2i | / = зх/2, то результирующая передаточная кривая в
зависимости от частоты имеет меньшие по высоте боковые
максимумы, но главный максимум при этом оказывается более
широким.
Оптический волноводный переключатель
Ответвитель длиной /, для которого выполняется условие
||/ = я/2, передает всю мощность из волновода 1 в
волновод 2, если Pi = p2. В случае симметричных волноводов
передача зависит лишь незначительно от частоты, поскольку pi = р2
на всех частотах, а коэффициент |xi2| обычно зависит от
частоты слабо. Прикладываемое к электродам напряжение
(рис. 7.15) сдвигает дисперсионные кривые в противоположных
направлениях, так что Pi Ф р2. Если
A/2)(Р,-Р2) = УЗ|х12|, G.83)
то передача из волновода в волновод отсутствует. В этом и
состоит принцип работы оптического переключателя.
В практически действующем переключателе достигается
полная передача с коэффициентом экстинкции более чем 25 дБ. Она
осуществляется только в том случае, если |ki2|/ = k/2.
Поскольку отклонения микроструктуры трудно контролировать, а
величина |xi2| сильно зависит от пространственного
расположения волноводов (см. разд. 7.8), желательно встроить внутрь
структуры регулировку, которая бы после изготовления
позволила осуществлять подстройку. Предложенный Когельником и
Шмидтом Др-ответвитель [И] представляет собой именно такую
структуру. Он состит из двух ответвителей, составленных выход-

250
Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
-f
z = О z = L/Z z=l
Рис. 7.19. Схематическое представление Др-ответвителя.
ными концами, с электродами, подключенными по двухтактной
схеме, как показано на рис. 7.19. Даже в случае когда величина
|xi2|/ незначительно больше чем я/2, можно достичь полной
передачи, прикладывая электрическое напряжение
соответствующей амплитуды. Для того чтобы это показать, рассмотрим
решения G.79) и G.80) и применим их к работающим вместе двум
ответвителям, каждый из которых имеет длину //2, причем
величина Ci —132 меняет знак во второй секции. Найдем значения
амплитуд на выходе z = /:
a2(/) = ax @J -g- sin |30y[cos po|-
sin
G.84)
G.85)
Полная передача мощности реализуется при условии, что
а{ (/) = 0, т. е. если
где Ро = Ук2+[(Р1-р2)/2]2,
а |х12|^х. Передача мощности не происходит, если
Эти условия иллюстрируются на рис. 7.20. Когельник и Шмидт
построили диаграмму, показывающую состояние полной
(крестик) и нулевой (параллельные черточки) передачи энергии в
плоскости 2х//я, (|3i —р2)//я (рис. 7.20) вместе с
соответствующими им кривыми. Области между кривыми соответствуют
смешанным состояниям.

7.7. Применения волноводных ответвителей
251
1Z
Рис. 7.20. Диаграмма переключения ответвителя с двумя противоположно
включаемыми секциями. Крестиком в кружочке обозначено состояние полной
передачи энергии, а двумя параллельными линиями в кружочке обозначено
отсутствие передачи энергии. Из работы [11].
Область с увеличенной,
диалектри ческой
проницаемостью, q
N
Рис. 7.21. Типичное распределение ТЕ-моды.

252 Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
7.8. Коэффициент связи
В приведенном выше анализе пространственной связи мод
предполагалось, что коэффициент связи Xi2(=±x2i) известен.
Приведем теперь один из способов его вычисления. Обозначим
нормированное распределение поля в волноводе 1 через t\(x, у), а
в волноводе 2 через е2(х,у) (рис. 7.21). Мы полагаем, что
полное поле в обоих волноводах представляет собой линейную
комбинацию двух указанных распределений поля (ср. с рис. 7.11):
Е (*, У, z) = ъх (z) ej (x, у) + а2 (г) е2 (х, у). G.86)
Согласно определению, поле а^ представляет собой поле
в отсутствие волновода 2; иными словами, мы мысленно
считаем, что увеличения диэлектрической проницаемости, которое
создает волновод, не происходит. На рис. 7.21 изображено
типичное распределение поля. Передача мощности из одного
волновода в другой вызывается поляризационным током /соР2ь
создаваемым в волноводе 2 проникающим в него полем
волновода 1:
/соР21 = /со (е; — е) aje, (x, у). G.87)
Заметим только, что разность е;— е появляется вследствие того,
что поляризационный ток /coea^i течет в отсутствие волновода 2,
и его необходимо вычесть. Передаваемую мощность можно
вычислить следующим образом:
= ""т[/(оа1а2$(8* ~8)ei -е^я + к. с], G.88)
где интегралы берутся по поперечному сечению волновода 2.
В то же время из анализа связи мод известно, что эта
мощность равна
d | а2 \2/dz = x2iaia2 + x2iala2. G.89)
Сравнивая G.88) и G.89), получаем следующее выражение:
х21 = - ^ \ (ы - е) е, • е2 da, G.90)
где интеграл берется по поперечному сечению волновода 2.
Аналогично получаем
^$,--e)e2-e!da; G.91)
здесь интеграл берется по поперечному сечению волновода 1.
Можно показать, что даже в отсутствие симметрии xI2= — к21.

7.9. Заключение 253
Это подтверждает общее доказательство, которое приводит к
выражению G.76).
Рассмотрим в качестве примера структуру из двух
связанных пленочных волноводов, представленных в разд. 6.3. Для
ТЕ-волн в двух пленочных волноводах вычисление интеграла
перекрытия дает
12
При выводе этого выражения мы воспользовались
характеристическим уравнением F.26) и выражениями F.24) и F.25).
Обращаем внимание на экспоненциальную зависимость
коэффициента связи xi2 от расстояния D между центрами двух поло-
сковых волноводов.
Можно показать, что выражения для коэффициентов связи
G.90) и G.91) следуют из вариационного принципа, в котором
в качестве пробного решения используется выражение G.86).
Поскольку вариационный метод нечувствителен к
приближениям, сделанным в пробном распределении поля, этот
альтернативный способ получения соответствующих выражений
позволяет дать им прочное обоснование [4, 15].
7.9. Заключение
В данной главе охвачен материал, имеющий очень важное
значение для анализа оптических волноводных устройств, — связь
мод во времени и в пространстве. В обоих случаях связь
предполагалась слабой, и при рассмотрении скорости изменения
огибающих в пространстве и времени мы ограничивались первыми
производными, а производными более высоких порядков
пренебрегали. Поэтому окончательные выражения были получены
в простом виде. Такое приближение справедливо в случае
оптических устройств, поскольку в них практически всегда скорости
изменения за период или на длине волны малы.
Уравнение резонансной моды, связанной с волноводом на
входе резонатора или с внешней волной, содержит только
существенные параметры, учитывающие внутренние потери A/т0)
и связь с «внешним миром» A/те). При получении выражений
для связи с возбуждающей резонанс волной или волноводной
модой мы использовали свойство обратимости времени. Этот
общий метод дает не зависящие от выбранной модели
соотношения, которые применительно к электрическому полю
приводят к хорошо известному выражению для полной проводимости
в зависимости от частоты. Временная связь между двумя
резонансными модами описывается системой двух
дифференциальных уравнений первого порядка. Закон сохранения энергии

254 Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
устанавливает зависимость между двумя коэффициентами связи.
Решение характеристического уравнения приводит к
синусоидальной зависимости амплитуд связанных мод от времени.
Аналогичным образом находят пространственную связь между
модами. При этом коэффициенты связи получаются из условия
сохранения мощности. Для связи между двумя модами
(волнами), имеющими однонаправленные потоки мощности,
получены периодические решения, а для связи мод с
разнонаправленными потоками мощности — нарастающее и спадающее
решения.
Уравнения резонатора были применены для расчета порога
лазерной генерации. Поскольку в нашу задачу не входит
изучение физики процесса лазерного усиления, мы воспользовались
простым уравнением насыщения усиления, которое содержит
всю необходимую информацию для анализа стационарного
выходного излучения лазера. Пространственную связь мод мы
применили для рассмотрения перестраиваемого фильтра и
оптического переключателя — основных компонент
интегрально-оптических волноводных систем.
Приложение 7А
Внешняя синхронизация мод генератора
В лазерах систем связи используется фазовая или частотная
модуляция. Частотно-модулированный сигнал хорошо
усиливается лазером с внешней синхронизацией существенно более
слабым управляющим сигналом. Мы будем называть
управляющим сигналом входной сигнал, а мощность, излучаемую лазером
с внешней синхронизацией, — мощностью выходного сигнала.
Процесс внешней синхронизации можно описать уравнением
G.49). Предположим, что управляющий сигнал имеет частоту со:
s+ = S+*'<*. GА.1)
Выделим в величине а амплитудный и фазовый (зависящий от
времени) множители:
GА.2)
где А — вещественная величина. Подставляя выражение GА.1)
в уравнение G.49) и выделяя мнимую и вещественную части
уравнения, имеем
dA/dt = (l/xg - l/xe - 1/то) А + V2^7 S+cos ф (t) GA.3)
= К - со) - V2/^7 (S+A4) sin ф (t). GA.4)

Приложение 7А 255
Первое из этих двух уравнений определяет временную
зависимость амплитуды А резонансной моды. Благодаря насыщению
эта амплитуда связана с параметром усиления \/xg через
энергию А2. Второе уравнение определяет зависимость фазы от
времени. Если управляющий сигнал мал, то можно пренебречь
влиянием волны S+ на амплитуду А в уравнении для фазы,
считать амплитуду А постоянной и отождествить величину А2 с
энергией генератора, работающего в режиме свободных
колебаний. В этом случае GА.4) является уравнением синхронизации
Адлера [16]. Если внешняя синхронизация эффективна, то
генерируется излучение на частоте со управляющего сигнала. При
этом d<f>/dt = 0. В соответствии с формулой GА.4) это возможно,
только если
(©о - соJ х\ < 2Б+тв/Л2. GА.5)
Квадрат отклонения частоты синхронизующего сигнала,
нормированный на скорость утечки энергии 2/т*, должен быть меньше
отношения инжектируемой мощности S+ к мощности 2Л2/те>
покидающей резонатор. Усиление мощности синхронизующего
сигнала происходит до тех пор, пока отклонение его частоты
<о— со0 меньше, чем 2/те. Разумеется, мы исходили из
предположения, что усиление велико и, следовательно, предполагали,
что | со — со0|<С2те. Обозначим через col разность со — со0 в
случае, когда неравенство GА.5) переходит в тождество. При этом
мы получаем область частот col, в которой имеет место
синхронизация:
coL = V2/^S+M. GA.6)
В новых обозначениях Асо = со — со0 и col уравнение GА.4)
можно записать в виде
d<j>ldt = — Дсо — coL sin ф. GА.7)
Решением этого уравнения является функция [17]:
ф = -2 arctg(Vl-K/A«>J *g [A/2) VAc°2-<40 + К/д©)}-
GА.8)
Вне области синхронизации при |Aco|>cdl эта функция
является периодической во времени. Это означает неудачную
попытку «захвата» фазы генератора фазой управляющего
сигнала, повторяющуюся всякий раз при сближении этих фаз.
Если |Aco|<col, to квадратные корни становятся мнимыми,
а тангенс гиперболическим. Установившееся значение фазы
дается выражением
ф = -2 arctg [(coL/Aco) - V(Aco/coLJ - / ], GА.9)

256 Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
которое эквивалентно тождеству
sin ф S5 — Aco/coL,
соответствующему решению уравнения GА.7) для
установившегося состояния.
Задачи
7.1. В формализме связанных мод теория возбуждения резонансной цепи
приводит к дифференциальному уравнению первого порядка. Начните
рассмотрение с простой цепи и получите такое уравнение в несколько этапов,
вспомнив о параксиальном приближении (приближение медленноменяю-
щейся огибающей).
2v+(t)
Рис. 37.1.
о_Г-
Пусть имеется последовательная ^LC-цепь, образующая передающую
линию с полным сопротивлением Zo. При данном напряжении падающей
волны V+(t) эквивалентная схема этой цепи имеет вид, изображенный
на рис. 37.1 [17]:
V+ (t) = A/2) [v+efot + V+e-W].
а) Запишите два дифференциальных уравнения, связывающие
напряжения vL и vc с током i, используя закон Кирхгофа и следующее
выражение:
а± = V5/2 (vc ± } л/TJCi).
Получите уравнение для амплитуды а+, содержащее величины V+ и а—
В предельном случае высокой добротности Q имеем
coL co0L
так что связью между амплитудами а+ и а_, а также между а+ и
V+e~~ можно пренебречь.
б) Выразите величины 1/т0, 1/те и и через параметры цепи. Вспомните,
что справедливо тождество
где s+ — нормированная амплитуда падающей волны.

Задачи
257
7.2. Используя рис. 37 2,
а) напишите матрицу рассеяния резонатора с двумя отверстиями для
связи с внешней цепью,
б) сравните матрицу рассеяния, полученную для случая резонатора без
потерь, с выражением для асимметричного резонатора Фабри — Перо
(cos 0 = 1). Выразите величины 1/т?1 и 1/т<?2 через коэффициенты
отражения fi и Гг,
= а;
в) найдите полную ширину 6/i/2 на половине максимума резонансной
кривой для симметричного случая из уравнения связанных мод и
сравните полученное выражение с формулой C.4) при cos 0 = 1.
7.3. Примените выражение G.40) для амплитуды в неустановившемся режиме
к симметричному резонатору Фабри — Перо без потерь, описываемому с
помощью формализма связанных мод (т0 = <»). Используйте соотношение
G.54), которое также в неустановившемся режиме дает
Сколько времени понадобится на то, чтобы получить коэффициент
пропускания 90 %? Ответ выразите через те, считая xei = хег = хе (положите
о = соо).
7.4. В волноводном переключателе постоянные распространения Pi и $2
изменяются при приложении напряжения (линейный электрооптический
эффект). В ответвителе, удовлетворяющем условию |х|/ = я/2,
осуществляется полная перекачка энергии из волновода 1 в волновод 2. При каком
значении разности ||3i — рг| перекачка полностью отсутствует?
7.5. Проверьте формулу G.69), вычисляя непосредственно резонансные
частоты системы, изображенной на рис. 37 5. Воспользуйтесь тем, что
и запишите характеристическое уравнение. Разложите функцию
S
V
'¦[г Я
Частично прозрачное зеркало
Рис. 37.5.
ехр[—у(о)/с)/] вблизи значения (о)о/с)/ = пяи найдите расстояние между
частотами связанных мод До.

258
Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
7.6. Используя рис. 37.6,
а) выпишите в общем виде уравнения для амплитуд связанных мод
ai(z) и а2(г) в синхронизованном (pi = fk) волноводном ответвителе и
решите их, приняв в качестве начальных амплитуд ai@) и а2@);
б) выберите длину г = /, такую, что |х|/ = я/4. Покажите, что можно
изменять мощность |ai(/)|2 выходящую из волновода 1, варьируя
отно1ф
сительный сдвиг фаз амплитуд а{ @) и а2 @) = е
a.2(O)=a.,(O)eJ*
1ф
@);
Выход {1), а,
Выход (Z), аг
Рис. 37.6.
в) сравните результаты п. б) со случаем, когда на полупрозрачное
зеркало падают волны, как показано на рис. 37.6.
7.7. Рассмотрите оптическое волноводное устройство, изображенное на
рис. 37.7 (указанная на рисунке величина К является вещественной и по-
I
I
I
Отвегпвитель
Рис. 37.7.
ложительной). В задаче рассматривается действие ответвителя при
условии, что
at @) = (l/V2) це-'*, а2 @) = (l//V2 ) а/в",
где Ф — фазовый сдвиг, создаваемый электродной структурой,
расположенной слева от точки 2 = 0 (см. разд. 12.4).
а) Найдите амплитуды ai(/) и аг(/).
б) При К1 = я/2 и К1 = я/4 определите величины |at (/) |2 и |аг(/) |2.
в) Предположите, что ф = (я/2)sin(Ш) — (я/4).
Постройте график зависимости энергии |аг(/)|2 при Ю = я/4.

Литература 259
7.8. Уравнения связанных мод для двух одинаковых оптических волноводов
имеют вид
dajdz = — /Paj + /ха2,
da2/dz = — /Ра2
где х — вещественная и положительная величина, а Р = со/у. Аналогичная
система уравнений справедлива для обратных волн Ь4 и Ь2 (рис. 37.8).
Ь,- ,
а) Найдите решения ai(z) и а2(з) записанной выше системы уравнений
б) Предположим, что в поперечных сечениях, расположенных в
плоскостях z = 0 и z = /, происходит полное отражение (bi = —-ai, Ьг = —аг).
Каковы резонансные частоты этой структуры?
ЛИТЕРАТУРА
1. Slater 7. С, Microwave Electronics, Van Nostrand, Princeton, N. J., 1950.
2. Yariv A., Introduction to Optical Electronics, Holt, Rinehart and Winston,
New York, 1976. [Имеется перевод: Ярив А. Введение в оптическую
электронику — М.: Высшая школа, 1983.1
3. Pierce /. R., "Coupling of modes of propagation", J Appl. Phys., 25, 179—
183, 1954. Это оригинальная работа, в которой было впервые введено
понятие связи мод.
4. #oms Я. Л., "Electron Beam waves in Microwave tubes , Proc. of
Symposium on Electronics, Polytechnic Institute of Brooklyn, Apr. 8—10, 1958.
5. Louisell W., Coupled Mode and Parametric Electronics, Wiley, New York,
I960. [Имеется перевод. Люиселл У. Связанные и параметрические
колебания в электронике — М: ИЛ, 1963.]
6 Yariv Л., Coupled mode theory of guided wave optics, IEEE J. Quantum
Electron., QE-9, 919, 1973. хт r
7 Sturrock P. A., "Kinematics of growing waves", Phys. Rev., 112, No. 5,
1488—1503 A958).
8 Haus H. A , "Power-flow relations in lossless nonlinear media , Trans. 1Kb,
PG-MTT, 317—324 A958).
9 Marcatili E A J "Dielectric rectangular waveguide and directional coupler
for integrated optics", Bell. Syst. Techn. J., 48, 2071—2102 A969).
10 Taylor H F "Optical switching and modulation in parallel dielectric
waveguides", J. Appl. Phys., 44, 3257—3262 A973).
11 Kogelnik H Schmidt R. V., "Switched directional couplers with alternating
ДР", IEEE J. Quantum Electron., QE-12, No. 7, 396—401 A976).
12. Noda J. Fukuma M, Mihami O, "Design calculations for directional
couplers fabricated by Ti-diffused LiNbO3 waveguides", Appl. Opt, 20, No 13.
2284—2298 A981).
13. Alferness R. C, Cross P. S., "Filter characteristics of codirectionally coupled
waveguides with weighted coupling", IEEE J. Quantum Electron., QE-14,
No. 11, 843—847 A978).

260 Гл. 7. Связь мод; резонаторы и ответвители
14. Alferness R. С, Schmidt R. V., "Tenable optical waveguide directional
coupler filter", Appl. Phys. Lett., 33, No. 2, 161 — 163 A978).
15. Haus H. A., Islam M. N., "Application of variational principle to systems
with radiation loss", (в печати), 1982.
16. Adler R., "A study of locking phenomena in oscillators',, Proc. IRE, 34,
351—357 A946).
17. Dwight H. ?., Tables of Integrals and Other Mathematical Data, MacMil-
lan, 1961, p. 99. [Имеется перевод: Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и
другие математические формулы. — М.: Наука, 1977.]
18. Adler R. В., Chu L, /., Fano R. M, Electromagnetic Energy Transmission
and Radiation, Wiley, New York, 1960, p. 155.

Глава 8
Структуры с распределенной
обратной связью
Использование структур с распределенной обратной связью в
интегрально-оптических схемах было предложено Когельником
и Шенком [1]. Решеточные структуры с распределенной
обратной связью (РОС-структуры) могут выполнять функции зеркала
или фильтра [2].
В РОС-структурах осуществляется связь встречных бегущих
волн, групповые скорости которых имеют противоположные
направления. Наличие такой связи приводит к экспоненциально
нарастающим или затухающим решениям связанных волн,
полученным в предыдущей главе. В настоящей главе мы
исследуем уравнения, описывающие решетки с распределенной
обратной связью. Мы проанализируем отражающий фильтр и
найдем частотную зависимость его отражения. В гл. 2 было
показано, что состоящее из четвертьволновых слоев многослойное
отражающее покрытие обеспечивает очень высокий
коэффициент отражения. Представленное в настоящей главе
рассмотрение относится к таким структурам, если коэффициент отражения
от одного двойного слоя много меньше единицы. При этом
достаточно просто получается частотная зависимость
коэффициента отражения, а из нее — зависимость ширины полосы
отражения от параметров слоя.
Мы покажем, что РОС-решетка может также работать в
режиме проходного резонатора, хотя и с более широкой полосой
пропускания. Две решетки, сдвинутые на нечетное число
четвертей длин волн, образуют высокодобротную систему с очень
узкой полосой пропускания на частоте маскимума отражения
для одной решетки или вблизи нее. Для оценки добротности мы
воспользуемся рассмотрением проходного резонатора,
представленным в гл. 7. В заключение покажем, каким образом можно
вычислить коэффициент связи между противоположно
распространяющимися волнами при конкретных параметрах
структуры.
8.1. Уравнения, описывающие структуры
с распределенной обратной связью
В предыдущей главе мы упомянули о явлении связи между
двумя волнами с противоположно направленными групповыми
скоростями. Для достижения заметной связи необходимо, чтобы

262
Гл. 8. Структуры с распределенной обратной связью
эти волны находились в синхронизме; иными словами,
постоянные распространения двух волн не должны отличаться на
величину, которая была бы существенно больше, чем
коэффициент связи |xi2|.
Обычно постоянные распространения волн с противоположно
направленными групповыми скоростями сильно различаются.
Как же в таком случае добиться синхронизации волн с
положительной и отрицательной групповыми скоростями? В данном
разделе мы покажем, как это можно сделать.
Рассмотрим структуру типа изображенной на рис. 8.1, а.
Обозначим амплитуду волны с положительной групповой
скоростью (прямая волна в волноводной структуре) через а, а
амплитуду волны с отрицательной групповой скоростью
(обратная волна) — через Ь. В отсутствие периодического возмущения
величины а и b удовлетворяют дифференциальным уравнениям
а, (8.1)
(8.2)
Предположим теперь, что волноводная структура
периодически возмущена (рис. 8.1,6). Поскольку это возмущение
вызывает модуляцию поля по закону cosBn/A)z,
поляризационный ток, связанный с электромагнитным полем волны а ~
~ехр(—/Р-г), движущейся вдоль периодической структуры,
приобретает дополнительные колебательные компоненты
(пространственные боковые полосы). Эти боковые полосы называют
пространственными гармониками. Они являются частью
электромагнитной структуры волн и могут связываться с другой
^ш?ШШ
1
Рис. 8.1. а — волноводная структура без периодического возмущения; б, ву
г — волноводные структуры с распределенной обратной связью; п С2 < пС1 < я*

8.1. Уравнения для распределенной обратной связи 263
волной, у которой постоянная распространения близка к
постоянной распространения пространственной гармоники. В
случае косинусоидального возмущения и зависимости от
пространственных координат в виде ехр(—j$z) получаем следующее
выражение для пространственных гармоник:
ехр (— /рг) cos Bя/Л) z =
Если разность р — 2я/Л близка к —р, то поляризационные токи
излучают в обратном направлении и излучение складывается
когерентно на длине /, удовлетворяющей неравенству
или
IP—я/Л К я/2/.
Экспоненциальный член с аргументом [р + Bя/Л)]г не дает
обратного излучения, так как его пространственная зависимость
-сильно отличается от ехр(/рг). Связь между волнами а и b
можно учесть в уравнении (8.2), если в него добавить член,
отвечающий излучению поляризационных токов в обратном
направлении:
db/dz = /pb + щаае1 {2n'A)z. (8.3)
К аналогичному эффекту приводит взаимодействие с
периодическим возмущением обратной волны:
da/dz = - /pa + x«abe-'Bre'A)z. (8.4)
Уравнения (8.3) и (8.4) можно свести к уравнениям связанных
мод с пространственно-независимыми коэффициентами, вводя
новые переменные
()i(niA)z и ь =
При этом получаем следующие уравнения:
dA/dz = - / (р - я/Л) А + каЬВу (8.5)
dB/dz = / (Р - я/Л) В + щаА, (8.6)
которые похожи на уравнения связанных мод G.72) и G.73).
Роль Pi и р2 играют здесь ± [р — (я/Л)]. Обратные групповым
скоростям величины dPi/do и dfc/dto имеют противоположные
знаки, а синхронизм осуществляется при условии, что (pi —
— Р2)/2*->р — я/Л = 0. Так как волны имеют противоположно
направленные групповые скорости, равенство G.76)
справедливо при р{^ра=\, р2^рь = — 1 и каЬ = к*Ьа,
Уравнения (8.5) и (8.6) можно упростить, вводя следующий
параметр расстройки:
6^р-я/Л, (8.7)

264
Гл. 8. Структуры с распределенной обратной связью
+р(ои)
Полоса
отражения
Рис. 8.2. Дисперсионная диаграмма, построенная в соответствии с
уравнениями (8.5.) и (8.6.), причем в невозмущенном случае постоянная
распространения р (со) является линейной функцией частоты со.
который характеризует отклонение постоянной
распространения от л/А. Вблизи частоты со0, для которой р(со0) = я/Л, имеем
Р = Р W + (^рД/со) (со — соо)
и, таким образом,
б==(со —
(8.8)
где vg — групповая скорость d(u/d§. С учетом параметра
расстройки б и равенства хаЬ==х*Ьа = 'к уравнения (8.5) и (8.6)
принимают простой вид:
dA/dz = - j 6A + хВ, (8.9)
j6B + xA. (8.10)
На рис. 8.2 изображены дисперсионные кривые,
соответствующие уравнениям (8.9) и (8.10) с решением в виде G.78) для
случая и12и21 «-> КаъНьа = I и |2 > 0. Постоянная распространения
пары связанных волн равна р = ± л/^2 — I >с |2. Невозмущенные
дисперсионные кривые для ±Р(со) выбраны в виде прямых
линий. Заметим, что переменные A(z) и В (г) позволяют
устранить пространственную зависимость ехр[±/(я/Л)г]. Они
являются огибающими, аналогичными огибающей А (г, со — co0)v
определяемой выражением F.54).

8.2. Отражающий фильтр 265
8.2. Отражающий фильтр [1, 2]
Уравнения распределенной обратной связи (РОС) (8.9) и (8.10)
•описывают периодические возмущения, имеющие место в вол-
новодной структуре на участке определенной длины. РОС-струк-
тура конечной длины действует как фильтр. В этом разделе мы
получим формулы, характеризующие такую фильтрующую
структуру.
Рассмотрим отражение от периодической структуры длиной /,
с граничным условием В = 0 при z = 0 (рис. 8.3). В случае
|б|<|х| решения уравнений (8.5) и (8.6) записываются в виде
exp(=FYz), где
±Y=± Vl*l2-62> (8.11)
причем к = ^аЬ==к1а и й == р — (я/Л). Таким образом, при
|6|<|х| решения описываются экспонентами, в то время как
при |6|>|х| они являются периодическими функциями.
Общие решения с произвольными коэффициентами
записываются в виде
А = k+e-ч* + А^г9 (8.12)
B = B+e-vz+B_^ (8.13)
где только два из четырех коэффициентов независимы. Из (8.9)
находим связь между В± и А±:
x. (8.14)
При z = 0 отраженная волна отсутствует, В+ = —В_ и, таким
образом,
B = -2B+shv2. (8.15)
Используя уравнение (8.10), амплитуду А (г) можно записать
в виде
А = -2В+ (y ch yz - /6 sh yz)/n. (8.16)
Коэффициент отражения Г = В/А при z = —/ имеет величину
Г (~~ *) = "~ (Y/x*) ch yl + (/б/х11) sh yl ' ^8-17)
Анализ можно обобщить на случай произвольного
коэффициента отражения Г@) на границе 2 = 0. После несложных
выкладок получаем
Г (~\ — WM + Г @) [(у/х) cth yz + / (б/х)] (R]R,
1 {Z)~ Г @) + [(у/%) cth yz - /б/к] * Коло)
Выражение (8.17) является частным случаем выражения (8.18)
при условии, что Г@) = 0 и z = —/. На рис. 8.4 представлена

266
Гл. 8. Структуры с распределенной обратной связью
В
в=о
Рис. 8.3. Отражающий фильтр.
зависимость коэффициента отражения Г(—/) от частотного
параметра б, следующая из (8.17). Видно, что на некоторых
частотах в пределах полосы пропускания коэффициент отражения
обращается в нуль. На этих частотах в соответствии с
соотношением (8.15) при чисто мнимой величине у обратная волна
имеет синусоидальное распределение внутри структуры и
исчезает на ее концах. Эти частоты являются резонансными для
периодической структуры, работающей как распределенный
пропускающий фильтр Фабри — Перо. В отличие от простой
пары зеркал в обычном резонаторе Фабри — Перо
периодическая структура имеет большое число отражающих «зеркал»,
причем любая пара этих зеркал располагается симметрично
относительно центральной плоскости структуры с определенным
промежутком.
На рис. 8.4 величина |х| сохраняется постоянной и равной
своему значению при 6 = 0, т. е. она предполагается частотно-
независимой (б-независимой). Это допущение согласуется с
приближениями, присущими теории связанных мод. Две моды а
и b связаны в пределах области нормированной частоты ±б
с коэффициентом связи ±|х|. Зависимостью \к\ от частоты.
Ь 051т-
Ь 0,5
Рис. 8.4. Зависимость коэффициента отражения |Г|2 однородной РОС-сгрук-
туры длиной / от параметра |б/х|.

8.2. Отражающий фильтр
267
п
ч
с
п-Ап
z = z2
?г
"г
п
Z
+ Лп
С/
п
Z
е
0
Один элеменгп
периоды ческой
структуры
'Рис. 8.5. Двойной диэлектрический слой в однородной среде с показателем
преломления п\ 8 == (гх + е2)/2 = /г2е0, 2/г А/г « (б! — е)/е0 « —• (е — е2)/е0.
можно пренебречь, поскольку она имеет второй порядок
малости (т. е. равна произведению б на dyi/d6).
Результаты проведенного анализа справедливы для любой
периодической структуры. В частности, он применим в случае
многослойной диэлектрической структуры, описанной в разд. 2.4,
при условии, что отражение от каждого слоя достаточно
слабое, так что разностное уравнение для амплитуд на дискретной
границе можно заменить дифференциальным уравнением. Для
того чтобы настоящее рассмотрение можно было применить
к многослойным структурам, необходимо оценить величину каь
для этих структур. Для этого воспользуемся рис. 8.5. Пусть
в среде с показателем преломления п помещены два слоя,
образующие один период структуры, причем показатель
преломления одного слоя равен n + An, а другого n — An. Вычислим
отражение от этих двух слоев, толщина каждого из которых
равна одной четверти резонансной длины волны (Х/2п = А).
В разд. 2.5 приводится следующее выражение для волнового
сопротивления в опорной плоскости 2 при нормальном падении
(см. рис. 2.10):
(8.19)
(8.20)
п{/п2 = (п + Дл)/(я — An).
Следовательно,
А/г \2
)
1 /ji0 _ (л
1 /^ ,ft 9П
-Л/тт- (8-21)
Коэффициент отражения Г от одной пары периодических слоев
равен по определению коэффициенту отражения от одного эле-

268 Гл. 8. Структуры с распределенной обратной связью
мента периодической структуры [см. B.39)]. Из уравнения
(8.10) при dz = —Л, АВ = —х*ЛА = ГА имеем
* . _ г _ A +4ДАг//г) — 1 2 Art (r 99,
A+4 IS.nlп) + \ п к '
Дискретное приближение, выполненное для m элементов, дает
нормированный импеданс на входе (z/Z0 = nZ/^\xo/eo)'-
ZjZQ = (/li/ziaJ = (nJn2J{l/A). (8.23)
Подставляя в это выражение соотношение (8.20) для п\/п2 и
(8.22) для |х|, получаем
в пределе Ап/п-^0. При очень малых значениях Ап/п член
в квадратных скобках стремится к е. С другой стороны,
приближение связанных мод дает следующее выражение для
коэффициента отражения [формула (8.17) при 6 = 0]:
r(-/) = th(|x|/). (8.24)
Импеданс во входной плоскости в соответствии с уравнениями
B.38) и (8.24) запишется в виде
Z/Zo = A + Г)/A — Г) = ехр B | х | /).
Таким образом, в пределе малых Ап/п оба приближения дают
одинаковые решения. Однако приближение связанных мод
намного проще и приводит к простым выражениям для всего
частотного диапазона.
Следовательно, рис. 8.4 дает частотную зависимость
коэффициента отражения от многослойного зеркала для значений
|х|, вычисленных в «центре полосы» F = 0) в рамках
приближения теории связанных мод. Как уже отмечалось, такое
предположение законно. Отражающий фильтр перестает быть
таковым за пределами полосы ослабления, т. е. для |8|>|х|,
так как отражения от отдельных слоев, интерферируя, гасят
друг друга. Слабая частотная зависимость величины |х|
остается незамеченной.
Ширина полосы, в пределах которой коэффициент
пропускания фильтра Г=1—|Г|2 увеличивается в два раза,
определяется из выражения (8.17). Коэффициент пропускания
фильтра имеет вид
1 — th2yl
Т =
1 + F2/Y2) *h2 у I '
Ограничимся случаем малого пропускания и высокого
отражения {yl\^ 1). При этом функцию thyl можно заменить на

8.3. Проходной резонатор с высокой добротностью 269
1—2ехр(—2yl), а коэффициент пропускания можно
приближенно записать в виде
Зависимость величины Т от частоты определяется главным
образом экспонентой, и множитель 72/1х12 можно заменить
единицей. Кроме того, вместо Ду можно рассмотреть относительное
изменение величины у, которое в пределе малых 6/|х|
приблизительно равно Ay/|x|«—A/2N2/|х|2. При всех сделанных
предположениях изменение величины 6i/2, обеспечивающее
удвоение коэффициента пропускания, дается выражением
2/х | = У1п2/|х|/.
Используя точное выражение для |х|Л из (8.22), находим
относительную ширину полосы на полувысоте максимума:
Дсо1/2/со = 2 (v8/<o) | б]/21 = B/я) д/2 In 2 V(l/m) (Дл/л);
здесь мы использовали подстановку vg = с/п, А = Х/2п и
(//Л)=т, где т — число пар слоев. Минимальный
коэффициент пропускания дается выражением
Таким образом, минимум пропускания определяется
произведением т(Ап/п), а ширина полосы — отношением Ап/(пт).
8.3. Проходной резонатор с высокой
добротностью [3]
Периодическая структура, рассмотренная в предыдущем
разделе, действует как зеркало в пределах своей полосы
отражения (|б|<|х|) и имеет ряд резонансов в полосе пропускания
(|6|>|х|). Можно добиться заметного пропускания структуры
и в пределах полосы отражения, если расположить две
периодические структуры (решетки) на расстоянии одной (или
нечетного числа) четверти длины волны друг от друга (рис. 8.6).
Этот резонанс оказывается более узким, чем резонансы
отдельной структуры, поскольку коэффициент отражения каждой
решетки соответствует частоте, на которой отражение
максимально.
Последующий анализ носит приближенный характер,
поскольку мы используем предположение очень большой
добротности Q резонатора; при этом запасенная в структуре энергия
значительно превышает энергию, покидающую структуру за
один цикл. В данном случае можно применить формализм, раз-

270
Гл. 8. Структуры с распределенной обратной связью
Четвертьволновый промежуток
Рис. 8.6. Проходной резонатор.
витый в разд. 7.2 и 7.4, и избавиться от необходимости
подробного рассмотрения системы двух структур. Таким образом,
предположим, что имеются две полубесконечные структуры,
разделенные промежутком А,/4, где А, — длина волны, соответствующая
центру полосы отражения. При этом мы имеем «закрытый»
резонатор. Мощность, покидающую резонатор конечной длины,
найдем с помощью теории возмущений. Параметры хе\ и xe<i
(структура симметрична и поэтому хе\ = т<?2) можно найти из
отношения запасенной энергии к теряемой; при этом можно
применить формализм, представленный в разд. 7.4.
Рассмотрим полубесконечную решетку, занимающую область
0 < z < оо. В случае возбуждения резонатора на границе
z = 0 решения для амплитуд А и В имеют вид
А = А+е-1*12, (8.25)
В = -^-А+бН»К (8.26)
УС
Для полубесконечной решетки, занимающей область —оо <
< z ^ 0, решение имеет вид
А = А_е'*1г, (8.27)
B = J2LLA_el"K (8.28)
При z = 0 получаем (рис. 8.7)
Создавая четвертьволновой промежуток между решетками,
можно согласовать коэффициенты отражения на границах z = 0_
и z = 0+, поскольку такой промежуток преобразует величину Г
в —Г. Чтобы лучше уяснить этот факт, заметим, что
формализм связанных мод для периодической структуры мы
представим через «пространственные огибающие» амплитуд А (г) и
В (-г). Реальные амплитуды волн а (г) и Ь(г) могут быть
получены из амплитуд А (г) и В (г) умножением их соответственно
на ехр[—/(я/Л)г] и ехр[/(я/Л)г]. В центре полосы отражения

8.3. Проходной резонатор с высокой добротностью
271
длина волны волноводной моды равна 2А. Введение
четвертьволнового промежутка изменяет экспоненциальные множители
при А и В соответственно на —/ и на +/• Распределение
амплитуды в резонаторе представлено на рис. 8.7.
Если обе решетки не полубесконечные, то резонатор
оказывается «открытым» для внешней среды и имеет конечные
значения добротностей Qe\ и Qe2. Определив эти добротности, а
также ненагруженную добротность Q, из выражения G.54) можно
найти зависимость прошедшей мощности от частоты.
Вычислим добротности Qe\ и Qe2, используя простое приближение.
В случае когда затухание явно выражено, |х/|^>1,
отражение на границах z= ±1 незначительно влияет на граничные
условия при z = 0. Для начала выберем при z = I
произвольные значения амплитуд А+ и В+. Тогда при z > 0 получим
следующие выражения:
В = - (| к |
где А_ находится из А+ с учетом граничного условия В = 0
при z = L Таким образом,
А^А+е-2'*!',
и, следовательно,
A(z=:i) = 2A+e-\*\l.
Мощность, теряемая через граничную плоскость 2, запишется
в виде
Запасенная в структуре энергия вычисляется как энергия на
единицу длины, которая в свою очередь, как следует из выра-
\x\z-
Рис. 8.7. Распределение амплитуды поля A (z) в структуре, образованной
двумя полубесконечными решетками, разделенными четвертьволновым
промежутком. Размер промежутка в масштабе рисунка пренебрежимо мал.

272 Гл. 8. Структуры с распределенной обратной связью
жения F.96), связана с мощностью через групповую скорость.
Групповые скорости волн, движущихся в противоположных
направлениях, противоположны по знаку; противоположные знаки
имеют и мощности, в то время как энергия, переносимая
волнами, всегда положительна. Энергия на единицу длины равна
<??>> = (|А|2 + |В|2)/ия. Для приближенного вычисления
величины W в случае значительного пространственного затухания
можно использовать бесконечно длинную структуру:
— I —оо
Таким образом, внешнюю добротность Qe можно вычислить из
выражения
Qe2 coott? ©о яс i|X'1
Аналогично получаем выражение для внешней добротности
Qe\ на граничной плоскости 1. Внешняя добротность
пропорциональна отношению 1/Х, где X — длина волны излучения в
вакууме, и функции ехр B1 х | /) /1 х | /. В структурах с большими
значениями |х|/ можно реализовать очень высокую внешнюю
добротность. Если же в структуре присутствует собственное
затухание а, то на единице длины теряется мощность, равная
р = 2сс(|А|2 + |В|2). Полная мощность, теряемая в структуре,
дается выражением
/ оо
Ро= \pdz~
-/ -оо
Следовательно, ненагруженная добротность равна Qo = (x)o/avg.
Эти выражения позволяют найти пропускание мощности вблизи
резонанса как функцию частоты [см. G.54)].
Расчет проходящей через резонатор мощности излучения
в полосе, значительно превышающей по ширине область
резонанса, представляет собой всего-навсего простое упражнение по
алгебре. На рис. 8.8 представлена зависимость пропускания от
частоты для проходного резонатора без потерь (а = 0) в
пределах полосы, включающей область пропускания периодической
структуры. Будем считать, что расстояние между двумя
решетками сохраняется равным четверти длины волны. Это
допустимо, поскольку при реальных величинах |х| диапазон
изменений частоты, представленный на рис. 8.8, очень мал. Узкая
центральная полоса пропускания соответствует рассмотренному
выше резонансу, и ее ширина на полувысоте максимума дается
выражением
Асо1/2 = 2/тв1 + 2/хе2 = 4/хе = 4vg \ к \е~21 * IК

8.4. Коэффициент связи 273
hO
i
1.0
0,1
0
Рис. 8.8. a — характеристика пропускания РОС-структуры с
четвертьволновым промежутком между решетками; б — центральная часть зависимости
рис. а в увеличенном масштабе.
В нормированных единицах имеем
дв1/2 = 41 х | ехр (— 2 | х | /).
Ширина полосы экспоненциально зависит от величины |х|/.
Поэтому, увеличивая |х|/, можно добиться очень узкой линии
пропускания в таком резонаторе с разнесенными решетками.
8.4. Коэффициент связи
До сих пор мы полагали, что значение коэффициента связи каь
известно либо из теории, либо из эксперимента. Покажем
теперь, как можно треоретически вычислить величину каь для

274 Гл. 8. Структуры с распределенной обратной связью
структуры, изображенной на рис. 8.1,6. Периодически убирая
диэлектрический материал из волноводной структуры или
добавляя его, мы периодически возмущаем диэлектрическую
проницаемость на величину бе = (nj — azj) e0> Объем возмущенной
области периодически изменяется вдоль оси z по закону
cosBn/A)z, т. е. объем положителен или отрицателен в
зависимости от того, попала граница раздела в область с
показателем преломления щ или нет. Мы предполагаем, что
амплитуда синусоидального возмущения h много меньше длины волны
в среде, т. е. h <С A/^f- С помощью формализма связанных мод
мощность Рав, передаваемую в прямую волну на единичной
длине в присутствии возмущения, можно записать в виде
РАВ = A* dA/dz + A dPi/dz = *в&ВА* + х^АВ*. (8.29)
С точки зрения электромагнитной теории она равна доли
мощности, генерируемой в объеме Vp, занимаемом одним периодом
решетки А (см. рис. 8.1,6):
Рлв = - 13Г J Е^ • (/соР,) dv + к. с, (8.30)
vp
где Ел — электрическое поле, связанное с волной А, /coPs—
плотность поляризационных токов, связанных с полем В и
создаваемых периодическим возмущением. Величина Рв отлична
от нуля только внутри объема 8V с возмущенной
диэлектрической проницаемостью. В двумерной структуре, изображенной на
рис. 8.1,6, элемент объема равен dFV) = hdzcos [Bя/А)г] и
имеет единичную длину в третьем измерении. Распределения
полей волн А и В можно представить как распределения
векторных полей ел(р) и ?в(р)> являющихся функциями координатного
вектора р ===хх -\-уу; например, в случае полного синхронизма
мы имеем
ЕА = Аел (р) е-№ = Аел (р) г'^А'2. (8.31)
Аналогичное выражение может быть получено и для амлитуды
Ев. Величина мощности на единицу длины Рав в соответствии
с (8.30) запишется в виде
2=0
X el WA) *ъ*А (х = — d) ¦ ев (х = - d) dz + к. с., (8.32)
где координата границы раздела выбрана в точке х — — d.
Интегрирование дает
Рлв = —1ГB0(n*-nl)he\(x = -d).eB{x = -d)A'B + K. с.
(8.33)

8.5. Заключение 275
Сравнение (8.29) и (8.33) приводит к выражению
к = I— 8 (пъ п2\ fr е* (х — d). е (х = d). (8.34)
Мы воспользуемся полученным в разд. 6.3 решением для поля
симметричного волновода с профилем, таким, как, например,
на рис. 6.5. Для этого мы должны заменить разность п\ — п?
на п] — п2, причем %n\ = zi представляет собой
диэлектрическую проницаемость волноводного слоя, а г^п2 = е —
диэлектрическая проницаемость внешней среды. Таким образом, мы
имеем
kxd + A/2) sin 2kxd + (kx/dx) cos2 kxd
8. — 8\ kxh 1
)
cos kxd [kxd + kx/ax] [ 1 + ax/kx] ' (8<35^
При записи правой части этого выражения использовано
дисперсионное уравнение F.23).
8.5. Заключение
Структура с распределенной обратной связью является
примером структуры, в которой прямая и обратная моды (волны)
связаны между собой. Периодические пространственные
изменения с периодом Л приводят к появлению у волны с
постоянной распространения C пространственных боковых полос |3 ±
zh 2я/Л. Боковая полоса |3 — 2я/Л может быть синхронизована
с волной, имеющей постоянную распространения —C. Такая
связь может привести к экспоненциальным решениям, которые
затухают по мере удаления от точки (или сечения) их
возбуждения.
Частотный диапазон, в пределах которого уравнения
связанных мод имеют спадающие решения, является полосой
отражения. Фильтрующие структуры можно изготовить из
решеток конечной длины, при этом они обеспечивают максимальное
отражение в пределах полосы отражения и полное пропускание
на резонансных частотах в пределах полосы пропускания. Две
решеточные структуры, смещенные одна относительно другой
на нечетное число четвертей длины волны, обнаруживают в
центре полосы отражения резонансное пропускание с узкой
полосой и высоким значением внешней добротности Qe, так как
решетка используется в этом случае на частоте максимального
отражения.
Мы вывели формулу для коэффициента связи между прямой
и обратной волнами. Мы использовали выражение для мощно-

276
Гл. 8. Структуры с распределенной обратной связью
сти, передаваемой из волны В в волну А через коэффициент
связи хлб, и приравняли ее мощности поляризационных токов
волны В, вызываемых периодическим возмущением волновода.
Задачи
8.1. Коэффициент связи у.аь является функцией положения решетки
относительно опорной плоскости. Если опорную плоскость сместить на долю X
периода Л в положительном направлении оси г, то фаза коэффициента
связи Каь изменится.
а) Найдите изменение величины каь в зависимости от X при резонансе
F = 0).
б) Проделайте то же самое для коэффициента кьа. Выполняется ли при
этом условие сохранения энергии каЪ = к*Ьа?
8.2. Многослойные зеркальные покрытия обеспечивают частотно-зависимые
коэффициенты отражения. Рассмотрим бесконечную плоскую волну, па-
Слоистая среда
В
-6—/\
а
Рис. 38.2.
дающую перпендикулярно на многослойную среду (рис. 38 2, а).
Воспользуйтесь уравнениями связанных мод
dA/dz = — / 6Л + хВ,
dB/dz = / 6В + иМ.
а) Определите коэффициент отражения Г при условии |б| < \к\ для
полубесконечной многослойной среды, простирающейся от z=0 до г=оо.
б) Предположите, что вы изменили угол падения волны от 0 до
некоторого угла 6; (рис. 38.2,6). Что произойдет при этом с полосой
отражения, если при 6/ = 0 она определяется как |б| = | (со — (Ho)/vg\ ^ |х|?
Считайте, что v = с/п, где п — средний показатель преломления, в то
время как среда в области z < 0 имеет показатель преломления п0.
\.3. Отражающий фильтр полностью пропускает, если уд2 — | % |2 / = я. Из
(8.15) и (8.16) видно, что в этом случае амплитуда В = 0 при z = 0
и z = / Это резонанс отражающего фильтра
Значение внешней добротности Qei = cootei/2 в резонансе может быть
найдено из G 43). Действительно, при s+2 = 0 в резонансе для
симметричного резонатора без потерь 1/то = 0, t<?i = xei = т<?, и мы имеем
|а|2 = (те/2) |s+i|2, где |а|2 — количество запасенной энергии, a |s+i|2 —

Задачи
277
мощность падающей волны. Используя соотношения (8.15) и (8.16),
оцените внешнюю добротность Qe. Сравните результат с величиной Q,
найденной в разд. 8.3. Почему последняя имеет более высокое значение?
Замечание: Величины |а| теории резонаторов и а в формуле (8 1)
являются различными физическими величинами; в первом случае — это
амплитуда резонансной моды, а во втором — амплитуда прямой волны,
являющаяся функцией координаты г.
а) Покажите, что параллельная резонансная цепь (рис 38 4а) вблизи
резонансной частоты, включенная в передающую линию в сечении, коэф-
Г
.г
т
Рис. 38.4а.
фициент отражения в котором равен TL, преобразует величину 1\ в
величину Г следующим образом:
г_
A)
где 2/со0тб = К0/со0С и юо=1/У?С.
б) Система из двух решеток, разделенных друг от друга промежутком
длиной А/4, действует как проходной резонатор и в окрестности резо-
Входная опорная
плоскость
Л /4-сдвиг
Выходная опорная
плоскость
I
Центр решетки
нансной частоты, т. е. при малых 6/х, имеет эквивалентную цепь,
изображенную на рис 38.4а. Опорные плоскости выбираются так, как показано
на рис 38 4. Докажите, что преобразование A) можно получить из
выражения (8.18), если разложить в нем числитель и знаменатель в ряд по
6/х и ограничиться членами первого порядка. Используйте то
обстоятельство, что х = —/К, где К — вещественная и положительная величина, как

278
Гл. 8. Структуры с распределенной обратной связью
следует из (8.35). В расчетах пренебрегите величинами ехр(—2yl) и
б2/х2 по сравнению с единицей и воспользуйтесь приближенным
равенством
Покажите, что найденное вами значение параметра хе согласуется со
значением, полученным на с. 272.
па периодов па ч- пь периодов пь периодов .
пь
-Л/2
-Резонатор а-
Входная опорная
плоскость
Четвертьволновый
промежуток
а
-Резонатор Ь
Выходная опорная
плоскость
о nrw^
4f-
Входная опорная
плоскость
Выходная опорная
плоскость
Рис. 38.5.
8.5. Докажите, что расположение решеток, указанное на рис. 38 5, а,
эквивалентно цепи на рис. 38.5,6. Найдите величины Y0La, Y0Lb, Ca/Y0 и Сь/Yo,
выраженные через параметры решетки. Воспользуйтесь результатами
решения задачи 8.4.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kogelnik #., Shank С. V., "Coupled-wave theory of distributed feedback
lasers'1, J. Appl Phys, 43, 2328—2335 A972).
2. Flanders D. C, Kogelnik #., Schank С V., Stanley R. D., "Narrow-band
grating filters for thin-film optical waveguides", Appl. Phys. Lett., 25, 651—
652 A974).
3. Haus H. A , Shank С V.y "Antisymmetric taper of distributed feedback
lasers", IEEE J. Quantum Electron., QE-12, 532—539 A976).

Глава 9
Акустооптические модуляторы
До сих пор нами рассматривались структуры, параметры
которых не зависят от времени. Мы изучали отражение от
периодических пространственных возмущений и применение этого
процесса в проходных резонаторах и фильтрах.
Оптическая волна, распространяющаяся в среде, свойства
которой периодически изменяются в пространстве и времени,
обогащается модуляционными гармониками. Это
обстоятельство можно использовать для модуляции и отклонения
оптических волн. Поскольку скорость распространения звуковых волн
на пять-шесть порядков меньше скорости света, то их длина
волны становится сравнимой с длиной оптической волны, если
звуковая частота на пять-шесть порядков меньше оптической.
Бегущие или стоячие звуковые волны создают в акустооптиче-
ской среде движущиеся или неподвижные слои с
пространственно-неоднородным показателем преломления. Оптические
волны могут рассеиваться от чередующихся слоев с различными
показателями преломления.
В настоящей главе мы получим соотношения сохранения
импульса и энергии, которые накладывают условия на
волновые векторы и частоты взаимодействующих звуковых и
оптических волн. С помощью формализма связанных волн изучим
взаимодействие между падающей оптической волной и
рассеивающей звуковой волной. Найдем, что при соответствующих
условиях появляется дифрагированная оптическая волна,
частота и направление которой относительно падающей оптической
волны оказываются смещенными. Сделаем количественные
расчеты параметров взаимодействия для случая простой
геометрической конфигурации. Затем рассмотрим акустооптический
амплитудный модулятор. После этого обсудим вопросы
активной синхронизации мод лазеров. Такой вид синхронизации мод,
осуществляемый при помещении в лазерный резонатор
модулятора, приводит к генерации коротких импульсов. Поскольку
полоса усиления лазерной среды очень широкая, импульсы могут
быть короткими (обычно 50 пс). В конце главы мы вычислим
через фотоупругие константы среды мощность, необходимую
для работы акустооптического модулятора.

280
Гл. 9. Акустооптические модуляторы
9.1. Акустооптический ответвитель [1]
В акустооптическом модуляторе звуковая волна создает
пространственную модуляцию показателя преломления среды
(акустооптической среды), на которой дифрагирует оптическая
волна. Изменение показателя преломления п линейной
акустооптической среды пропорционально деформации. Для
детального рассмотрения процесса дифракции воспользуемся
уравнениями Максвелла.
Уравнение, описывающее электрическое поле, получаем из
уравнений A.1) и A.2), беря ротор первого и подставляя его во
второе (при М = J = 0):
= - eo|xo d2EJdt2 - ^о д2Р/д12.
(9.1)
Вектор электрического смещения еоЕ+Р можно разделить на
два члена: один обусловлен стационарным исходным
показателем преломления п, а другой — наведенным звуковой волной
показателем преломления An, который зависит от
пространственных координат и времени. Таким образом, мы можем
написать следующее выражение:
г0Е + Р = е0 [п + An (г, t)}2 Е « г0п2Е + 2е0п An (r, t) E, (9.2)
где мы пренебрегли членом, содержащим (AnJ, ввиду его
малости (An <С п) в большинстве интересующих нас случаев.
Объединяя выражения (9.1) и (9.2), получаем
= - ^ео^г [2л Д« (г, /) Б]. (9.3)
V X (V X Е) +
Рассмотрим плоскую звуковую волну с волновым вектором ks,
лежащим в плоскости xz (рис. 9.1). Изменение показателя пре-
Облсссти. с
увеличенным п
Рис. 9.1. Объемная решетка и диаграмма волновых векторов, к; — волновой
вектор падающей оптической волны; ка — волновой вектор дифрагированной
волны; ks — волновол вектор звука.

9.1. Акустооптический ответвитель 281
ломления, вызванное этой волной (с частотой со5), зависит от
пространственной координаты так же, как и плоская волна:
An (r, t) = An cos (<ost — ks • r) =
= J^L у <V"V) + в4 <V~ V)], (9.4)
где символом An (без переменных г, t) мы обозначили
максимальную амплитуду модуляции показателя преломления.
Применим теперь закон Гаусса к электрическому полю,
создаваемому изменением (деформационным) показателем
преломления Аи (г, t):
V . гЕ = р = eV . Е + Е . Ve, (9.5)
где
б = 80 [п + An (г, /)]2 « 80 [/г2 + 2л Ля (г, /)],
т. е. диэлектрическая проницаемость является функцией
координат г и времени t. В рассматриваемом случае
пространственно-временной зависимости An и, следовательно, е вектор Ve
лежит в плоскости xz. Пусть электрическое поле Е направлено
вдоль оси у. Тогда ?-Ve = 0, и если нет свободных зарядов
(р = 0), то в соответствии с формулой (9.5) дивергенция
электрического поля Е равна нулю. Из уравнения (9.3) получаем
V2E - [х0г0п2-^- = ixoeo -^ [2n An (г, /) Б]. (9.6)
Умножая электрическое поле падающей плоской волны
Е~ехр[— /(М — со,/)]
на зависящий от времени показатель преломления, в правой
части уравнения (9.6) получаем источник дифрагированных
волн с частотами
<*d = ±G>s + (*i (9.7)
и пространственной зависимостью в виде
exp[—j(ki±ks)-r].
Для того чтобы дифрагированные волны, интерферируя друг
с другом, не исчезали, волновой вектор источника
дифрагированных волн k= ±ks + kf- должен совпадать с волновым
вектором дифрагированной волны kd на частоте источника со^.
Вообще говоря, если
ks + k, = k* (9.8)
то векторное равенство —ks + k,- = kd не выполняется.
Возбуждается только одна дифрагированная волна. Уравнение (9.7)

282 Гл. 9. Акустооптические модуляторы
выражает закон сохранения энергии, а уравнение (9.8) — закон
сохранения импульса Х).
Обычно (Ds <С со/ и поэтому |kd|«|k;|. На рис. 9.1
представлена используемая при анализе векторная диаграмма для к.
Рассмотрим пленку из акустооптического материала, в
которой при распространении в ней волны с вектором к/ происходит
возбуждение волны с волновым вектором ка. Найдем
приближенное решение уравнения (9.6), записав падающую и
дифрагированную волны в виде произведения двух сомножителей,
один из которых является полем плоской волны с обычной
пространственно-временной зависимостью, а другой учитывает
медленные пространственные изменения амплитуды поля,
возникающие вследствие акустической связи между двумя волнами:
E, = yA,(*)e-/(k''r-*''), (9.9)
Еа = уАа(г)еч №-"<**); (9.10)
здесь зависимость амплитуд А/ и Ad от г-координаты
обусловлена взаимодействием между падающей и дифрагированной
волнами из-за модуляции показателя преломления. Подставим
в уравнение (9.6) дифрагированную волну, которая
возбуждается полем падающей волны при ее взаимодействии со
средой, в которой имеет место звуковая модуляция показателя
преломления, и пренебрежем при этом вторыми производными
от амплитуды А^(г):
- (К - <*>№*) К - 2/к, • VA, « - К/*') п Д/гАГ (9.11)
В правой части этого выражения мы оставили только тот
источник, который имеет соответствующие частотную и
пространственную зависимости. Поскольку
kd = ®d VWo n> a k<* * ^А^ (z) = kd (dAJdz) cos 9,
получаем
dkdldz = — j (щ/2с) (An/cos 9) A/# (9.12)
Можно записать уравнение, аналогичное (9.11), для падающей
волны, возбуждаемой дифрагированной волной. Из уравнения
(9.6) находим
dkjdz = - j (e>i/2c) (An/cos Q)kd. (9.13)
Уравнения (9.12) и (9.13) представляют собой уравнения
пространственно связанных мод. Коэффициенты связи даются
выражениями
— / К-/2с) (An/cos 9) и — j((od/2c)(An/cosQ).
1) В квантовой механике импульс.квазичастицы равен hk, а энергия
равна /гсо, где h — постоянная Планка, деленная на 2я.

9.1. Акустооптический ответвитель
283
Преобразователь
Оптическая
еалт
V(t)
Кристалл Ge
Рис. 9.2, Типичная диаграмма волновых векторов в случае акустооптической
дифракции.
Поскольку о/ ф со,/, эти коэффициенты связи, вообще говоря,
не равны друг другу. Здесь нет ошибки. В дальнейшем мы
узнаем, что в данной системе не выполняется закон сохранения
мощности, поскольку в данном случае механическим
(акустическим) способом создается или забирается мощность
оптической волны. Однако различие частот со^ и со, составляет
величину порядка 10~5, и поэтому здесь не следует специально
рассматривать это слабое расхождение. Во всех других
отношениях система ведет себя точно так же, как система связанных
волн без потерь. В случае Ad = О при z = О решения
уравнений (9.12) и (9.13) запишутся в виде
A,B) = A,@)cos|x|2, (9.14)
Ad(г) = - /А,- @) sin \x\z, (9.15)
где
2с
cos 9
2cos9
Падающая волна, перемещаясь вдоль среды, в которой
распространяется звуковая волна, преобразуется в
дифрагированную волну. Дифрагированная волна оказывается сдвинутой по
частоте. Если длина взаимодействия достаточно велика
(|х|г>я/2), то дифрагированная волна перекачивается
обратно в падающую волну. Это предполагает, разумеется, что
обе волны не разделены пространственно, т. е. произведение
/sin0 много меньше, чем поперечное сечение пучка. Из рис. 9.2

284 Гл. 9. Акустооптические модуляторы
становятся очевидными такие применения рассматриваемого
процесса, как отклонение оптического пучка и частотный сдвиг.
Выражения (9.14) и (9.15) имеют и другую интерпретацию.
Действительно, возвращаясь к выражению (9.4), замечаем, что
в нем можно положить cos = 0. Результирующее выражение
описывает стационарную «объемную решетку», образованную
«замороженным» периодическим (косинусоида льным)
изменением показателя преломления. Волновой вектор
дифрагированной волны по-прежнему должен удовлетворять закону
«сохранения импульса» (9.8), но частоты дифрагированной и
падающей волн одинаковы: cod = со,-. В этом случае мы имеем те же
уравнения связанных мод (9.9) и (9.10), только коэффициенты
связи теперь точно равны друг другу и со^ = со/. Справедливы
решения (9.14) и (9.15). Они описывают взаимодействие
дифрагированной и падающей волн в объемной решетке.
9.2. Акустооптический амплитудный модулятор
В предыдущем разделе мы рассмотрели взаимодействие
бегущей акустической волны с оптической волной. Падающая волна
по мере продвижения в акустической среде то исчезает, то снова
появляется с неизменяющейся по времени интенсивностью в
соответствии с выражением (9.14); у дифрагированной волны
изменяются частота и направление. Интенсивность падающей
волны модулируется, если последняя взаимодействует со
стоячей звуковой волной. Этот принцип используется, например,
в акустооптическом германиевом модуляторе излучения СО2-
лазера (X = 10,6 мкм) (рис. 9.2) и в кварцевом модуляторе
видимого света.
Преобразователь возбуждается электрическим сигналом и
создает в кристалле стоячие акустические волны с
экспоненциальной пространственной зависимостью exp(/ks-r) и
ехр(—/ks-r). Простейший случай имеет место, когда волновой
вектор падающей волны направлен так, что закон сохранения
«импульса» выполняется строго (рис. 9.3) для одной из
бегущих звуковых волн:
kd = ks + kt. (9.16)
Звуковая волна, бегущая в противоположном направлении, не
удовлетворяет закону сохранения импульса. Изменение
показателя преломления теперь можно записать следующим
образом:
п (г, /) = Aaz sin os/ cos (ks • г) = -~- (exp [/ (co5/ — ks • r)] +
+ exp [/ (со,/ + k5 • r)] — exp [— / (®st — ks • r)] —
-/W + ks.r)]}. (9.17)

9.2. Акустооптический амплитудный модулятор 285
Акустоопти ческая
среда
Дифрагированная
волна
Падающая
волна
z=0 z = i
Рис. 9.3. Акустооптический амплитудный модулятор.
Данная ситуация сложнее рассмотренной в разд. 9.1, так как
тогда присутствовала лишь одна звуковая волна с
пространственно-временной зависимостью exp [zb/(co<^ — ks-r)] [ср.
выражения (9.4) и (9.17)]. Падающая волна с частотой со/
создавала дифрагированную волну с частотой со^ = со/ + <о5 и
волновым вектором k/ + ks = krf, а дифрагированная волна
совершала обратный переход в волну с частотой со<*— со2 = со/ и
волновым вектором k/ = kd — ks. Теперь же у нас существуют
четыре типа преобразований, обусловленных изменением
показателя преломления, с фазовыми множителями exp [±/(cos/ ±
±ks-r)j. Падающая волна с частотой со/ может приводить
к образованию дифрагированных волн на частотах со/ ± cos
с волновым вектором к^ = к/ + ks, которые преобразуются
обратно в волны с частотами (со/ ± cos)± cos и волновым
вектором k/ = kd — ks. Так как частота звука cos мала по сравнению
с оптической частотой, генерируемые на частотах со/ zfc 2cos
волны остаются согласованными по фазе. Они удовлетворяют
соотношению kd = k/ + ks при (Od = со/ db mcos для очень широкого
диапазона значений т. При этом мы имеем целую систему
боковых полос.
Простейший способ решения задачи состоит в применении
адиабатического приближения; при этом вычисляются
параметры электромагнитной волны, дифрагированной на
создаваемой звуковой волной (объемной) решетке, свойства которой не

286
Гл. 9. Акустооптические модуляторы
ICOS U
Рис. 9.4. Зависимость амплитуд А/ и А^ от времени
меняются со временем. Затем предполагается, что глубина
пространственной модуляции показателя преломления медленно
меняется во времени. В приложении 9А мы рассмотрим другой,
более строгий подход.
Используем выражения (9.14) и (9.15) применительно к
задаче с объемной решеткой. При z = I имеем
(9.18)
(9.19)
Предположим теперь, что величина An изменяется во времени
по закону An(t)^*-An sin (Ust. На рис. 9.4 построены графики
з.ависимости амплитуд А,(/) и Ad(l) от времени.

9.2. Акустооптический амплитудный модулятор 287
Разложение амплитуд А/(/) и Ad{l) в ряд Фурье
выполняется с использованием функций Бесселя [2]:
оо
exp (jx sin aj) = ? /fflW^'. (9.20)
m=—oo
Отсюда молено получить
cos (x sin co5/) = Z /m W e/moV (9.21)
четные m
sin (x sin co5/) = — / 2 Jm{x)em(*s ; (9.22)
нечетные т
здесь мы использовали следующее свойство бесселевых
функций: Jm(—х) = (—\)т]т{х). Амплитуда падающей волны,
разложенная на фурье-компоненты, имеет вид
Ли/ \
(9.23)
четные т
Амплитуда дифрагированной волны запишется также в виде
разложения Фурье:
(9.24)
нечетные т
Этот результат аналогичен полученному в приложении 9А с
использованием взаимодействия бесконечного ряда боковых
полос. Условие адиабатичности модуляции выполняется, если
время прохождения оптической волны через кристалл много
меньше периода модуляции 2л/(о5.
Следует отметить два обстоятельства. Во-первых, боковые
полосы падающей волны возбуждаются на четных гармониках,
а у дифрагированной волны — на нечетных. Во-вторых,
основная гармоника полностью исчезает, если модуляционный
аргумент функций Бесселя удовлетворяет следующему условию:
(щ1с)(Ш12 cos 6) = 2,405,
т. е. соответствует первому нулю функции Бесселя /0.
Ели глубина модуляции невелика, то аргумент в выражении
(9.23) мал и амплитуда боковых полос на частоте 2o)s
запишется в виде (о)/->со)
An \ 1 / со f Дя
А* (/, со)
/ со . An \ 1 / со .
—У2 V с l 2cos9 ) ~ 8 I с L

288
Гл. 9. Акустооптические модуляторы
9.3. Активная синхронизация мод [3, 4]
В предыдущем разделе мы установили, что при прохождении
через акустооптическую среду с возбужденной в ней стоячей
звуковой волной световой пучок испытывает амплитудную
модуляцию. Такая модуляция может использоваться в различных
целях. Одной из них является генерация коротких лазерных
импульсов с помощью активной синхронизации мод. Этот
процесс мы и изучим в данном разделе. Его теория хорошо
вписывается в общее математическое рассмотрение настоящей главы,
посвященной распространению оптических волн в системе,
параметры которой зависят от времени.
Рассмотрим систему (рис. 9.5) из двух зеркал, образующих
резонатор Фабри — Перо, между которыми помещены
усиливающая лазерная среда, поглощающая среда и модулятор.
Последний изменяет величину потерь в резонаторе с частотой,
равной или близкой частоте межмодовых биений в резонаторе
Фабри — Перо. Это соответствует тому, что период модуляции
потерь равен времени TR двойного прохода излучения в
резонаторе. (Если резонатор Фабри — Перо заполнен воздухом, то
Д/ = с/2/= 1/7V) Принцип синхронизации мод схематически
объясняется на рис. 9.6. Излучение, распространяющееся в
резонаторе Фабри — Перо в прямом и обратном направлениях,
испытывает то не зависящее от времени усиление, то зависящее
от времени поглощение, что эквивалентно результирующему
усилению, зависящему от времени. Для той части излучения,
которое проходит модулятор в момент времени, когда вносимые
им потери минимальны, усиление оказывается максимальным.
Излучение, проходящее в другие моменты времени, усиливается
меньше или даже ослабляется. Формируется усиливающийся
I
0
У сила ванущая
- лазерная
среда (сс9) |^ iL ^
- Модулятор
Поглощающая
среда (<xL)
Опорная
плоскость
Рис. 9.5. Схема лазера с синхронизацией мод; в опорной плоскости задается
распределение поля Ех {t).

9.3. Активная синхронизация мод
289
[ Огибающая
импульса
Юбласть
\ общее о I
\усиления\
Потери'
Время—^
Рис. 9.6. Зависимость от времени усиления и ослабления огибающей
импульса в лазерном резонаторе с синхронизацией мод.
короткий импульс. В установившемся состоянии усиление
становится равным потерям, а сужение импульса за один проход
компенсируется его уширением за счет дисперсии усиливающей
среды. Следует заметить, что рис. 9.6 и приведенные выше
рассуждения предполагают, что импульс проходит через модулятор
мгновенно. Это верно только в том случае, когда время
прохождения излучения через модулятор мало по сравнению с шириной
оптического импульса и модулятор размещается
непосредственно на одном из зеркал.
Качественное описание можно теперь обосновать
количественными результатами.
Усиление, потери и модуляция
Лазерная (усиливающая) среда длиной lg характеризуется
[1] зависящим от частоты коэффициентом усиления 2>
ag/{l +[(со — <Do)/cog]2}, где (о0— центральная частота линии
усиления, tog — ее ширина, a aglg— интегральное усиление в
центре линии.
Волна, электрическое поле которой направлено вдоль оси х,
Ех((д) ~ а (со), распространяется в г-направлении в лазерной
*> Строго говоря, частотно-зависимый коэффициент усиления должен
иметь частотно-зависимую мнимую часть (т. е. прошедший через среду свет
должен получить фазовый сдвиг). Такое требование определяется
соотношениями Крамерса — Кронига [5]. Мнимая часть не влияет на конечный
результат, и для простоты мы ею пренебрегаем.

290 Гл. 9. Акустооптические модуляторы
А Коэффициент
усиления
Лоренцева
форма
си—^
Парабола
Рис. 9.7. Аппроксимация лоренцевой линии усиления параболой.
среде и выходит из нее усиленной в соответствии с
экспоненциальным множителем:
а <») ~ [l + «АО " (-^Л а <«). (9.26)
где мы предположили, что ctg/g <С 1 и [(со — соо)/(оя]2<С 1, так
что по этим параметрам можно выполнить разложения в ряд.
Оба предположения обычно справедливы. Второе предположение
имеет силу, если спектр последовательности импульсов,
обусловленный модуляцией, является более узким по сравнению с
полосой усиления. Лоренцева форма профиля усиления
ag/[l + (со — g>0J/cd|] заменяется параболой (рис. 9.7). Для того
чтобы обосновать первое предположение, заметим, что
коэффициент усиления аё не зависит от времени, а насыщение
усиления, вызываемое единичным импульсом, мало; насыщение
обусловлено совместным действием большого числа импульсов. Это
предположение справедливо, если время отклика усиливающей
среды велико по сравнению с временем двойного прохода
импульса через резонатор 1\ Устанавливается усредненное по
времени значение усиления, достаточное только, чтобы преодолеть
малые потери за один проход.
Кроме усиления имеются не зависящие от времени потери,
которые вызваны неизбежным поглощением и утечкой энергии
1) Вместо формулы насыщения G.51) мы используем ее обобщение на
случай временной зависимости:
dajdt = - (ag - o»)/t, - (ag/rg) (///e),
где тё — время релаксации усиливающей среды. В установившемся режиме
(d/dt = 0) эта формула сводится к выражению G.51). В случае когда время
между импульсами много меньше чем rg, усиление не успевает за изменением
интенсивности I(t) и реагирует только на ее усредненную по времени
величину.

9.3. Активная синхронизация мод 291
излучения из лазерного резонатора. Мы объединим все эти
потери в один феноменологический коэффициент потерь at среды
длиной //, при этом полные не зависящие от вермени потери
представляются следующим множителем:
ехр (— щ1ь) а (со) « A — az//) a (со). (9.27)
Волну, которая проходит через модулирующую среду с
зависящими от времени модулируемыми потерями, удобнее всего
описывать во временной области. Если среда длиной 1т обладает
коэффициентом потерь am/m(l — coscom/)» to амплитуда
прошедшей модулятор волны А(^)ехр(/(о0/) [где А @ — огибающая,
соо — несущая частота] изменяется на множитель, называемый
коэффициентом модуляции, который записывается в виде
ехр [- ат1т A — cos сом/)] ~ 1 — ат1т A — cos coMt). (9.28)
Мы обязаны описывать совместное действие усиления и потерь
на амплитуду волны либо в частотной, либо во временной
области. Мы выберем последнее. Умножение амплитуды а (со) на
величину /(со— соо) в частотной области эквивалентно
дифференцированию огибающей A(t) по времени [ср. с формулой
F.57)].
За один полный проход в резонаторе волна пересекает
дважды три элемента [модулятор (am), лазерную усиливающую среду
(ag) и среду с потерями (а*)]. С учетом первого порядка
суммарное действие поглощения и усиления на амплитуду А (О
записывается в виде
(9.29)
Эта формула определяет оператор О, выражающий общее
действие усиления, потерь и модуляции на импульс излучения.
Уравнение стационарной синхронизации мод во временной
области
Функция 0{A(t)}, сдвинутая на время одного полного
прохода резонатора TR, совпадает с функцией А(/); следовательно,
мы имеем
0{A(t-TR)} = A(t)
или
0{A(t)} = A(t + TR). (9.30)
В установившемся состоянии А(/) является периодической
функцией с периодом 2я/сом:
(9.31)

292
Гл. 9. Акустооптические модуляторы
Осла дленный
передний фронт
Ait)
Исходная
огибающая
Усиленный,
задний,
фронт
Рис. 9.8. Задержка импульса, обусловленная ослаблением его переднего
фронта и усилением заднего фронта.
Если период сигнала, управляющего синхронизацией мод,
отличается от времени полного прохода TR, то импульс будет
синхронизоваться благодаря уменьшению его длительности. При
этом, разумеется, предполагается, что достигнут
установившийся процесс синхронизации мод. Если 2я/сом < TRy то
импульс укорачивается в результате обрезания его заднего фронта
и усиления переднего фронта. Обратное происходит, если
2я/сом > TR (рис. 9.8). Введем следующее обозначение:
M = TR + 6TR, (9.32)
где 8TR — изменение времени прохода из-за сужения импульса.
Объединяя выражения (9.30) — (9.32), имеем
А (/) - 6TR (dA/dt) = О {А (t)}, (9.33)
где величина 8TR предполагается малой и отброшены все члены
разложения в ряд Тейлора, начиная с первого. Используя
соотношения (9.29) и (9.33), получаем следующее уравнение
активной синхронизации мод:
- 2ат1т A - cos <*Mt) + bTR 4] А @ = 0. (9.34)
Это уравнение является уравнением Матье [2], которое дает
периодические решения с периодом 2я/сом. Уравнение можно
еще больше упростить в предположении сильной синхронизации
мод, т. е. такого режима, при котором четко разделенные
импульсы наблюдаются примерно в момент времени ^ = пB/)

9.3. Активная синхронизация мод 293
когда потери минимальны (здесь п — целое число). В этом
случае, разложив cosco^ вблизи этого минимума при / = 0,
получим
\2aglg (l +-^-^~\—2alll — amlm<d2Mi2 + бГ/r^-l A(/) = 0. (9.35)
L v <*g dt) dt J
Это уравнение дает приближенное решение для амплитуды A(t)
при ^ = 0 и около этого момента времени. Исследуем уравнение
(9.35) в случае «синхронизма» FГ# = 0), который достигается
соответствующей подстройкой частоты модуляции сом- При этом
уравнение (9.35) переходит в уравнение Шредингера для
частицы в параболической потенциальной яме, решение которого
записывается в виде (см. приложение 5А)
А (/) = Hv (со/) ехр (- со2//2), (9.36)
где
0)р= V"^^^' (9'37)
1 ~ а^/а^ = (со2/со2) Bv + 1), (9.38)
a #v — полином Эрмита v-ro порядка. Уравнение (9.38)
представляет собой соотношение между коэффициентом усиления
aglg> глубиной модуляции ат1т, частотой модуляции сом и
шириной ЛИНИИ С0?.
Обычно со2 <С I со |2, что согласуется с нашим
предположением, которое позволяет разложить в ряд множитель (9.26), и
усиление не сильно превышает потери (aglg « aiU). Формула
(9.38) при этом определяет величину, на которую усиление
превышает потери, а именно величину aglg/ailt — 1. Уравнение
(9.34), определяющее форму импульса, и его приближенная
запись (9.35) являются линейными уравнениями, коэффициенты
которых зависят от времени; этим уравнениям удовлетворяет
импульсная функция с произвольной амплитудой. Фактическая
амплитуда импульса находится из выражения для избыточного
усиления (9.38). В установившемся режиме коэффициент
усиления ag меньше коэффициента усиления малого сигнала с^ и
спадает с увеличением интенсивности сигнала в резонаторе. Таким
образом, мы имеем следующее соотношение:
где Is — интенсивность насыщения (ср. примечание на с. 290).
Отсюда мы видим, что выражение (9.38) можно использовать
для определения интенсивности сигнала, представляющего
собой последовательность импульсов.
Покажем теперь, что насыщение усиления является
причиной устойчивости основного решения в виде функции Гаусса и
неустойчивости решений в виде функций Эрмита — Гаусса вые-

294 Гл. 9. Акустооптические модуляторы
шего порядка. Действительно, если фундаментальное решение
возбуждено с необходимым уровнем усиления, то решения более
высокого порядка, не имеющие достаточного уровня усиления,,
не возбуждаются. И наоборот, если бы было возбуждено одно
из решений высшего порядка, то уровень усиления превышал бы
необходимый для устойчивой генерации моды низшего порядка
и ее амплитуда росла бы до тех пор, пока усиление не снизилось
бы до величины, соответствующей установившемуся значению.
Все решения в виде функций Эрмита — Гаусса высшего порядка
неустойчивы [4].
Предыдущие рассуждения приводят к следующим выводам:
1. В установившемся режиме импульсы имеют гауссову
форму.
2. Ширина импульса обратно пропорциональна корню
четвертой степени из глубины модуляции amUn и корню
квадратному из ширины полосы усиления Усо^.
Полная ширина импульса на половине уровня максимальной,
интенсивности равна
ПШПМ-=2 Vln2"/cop.
Если amlm/aglg= 1, @м/2я = 100 МГц, а ширина полосы
усиления cog/(o0 = 0,2% на длине волны излучения Nd3+: YAG-ла-
зера X =1,06 мкм, то мы имеем ПШПМ = 42 пс. Ширина
полосы усиления 0,2 % меньше, чем ширина оптического перехода
в Nd?+: YAG на длине волны 1,06 мкм. Экспериментально
обнаружено, что при установке в лазерном резонаторе элемента,,
ограничивающего ширину полосы (например, эталона Фабри —
Перо), формируются более короткие импульсы. Казалось бы,,
это противоречит предыдущему анализу, предсказывающему
сужение импульса с увеличением со^. Тем не менее оказывается,
что ухудшение параметров импульсов с «чрезмерной» шириной,
полосы при синхронизации мод связано с уширением
оптического спектра; различные участки оптического спектра
участвуют в процессе синхронизации мод некогерентно относительно
друг друга. Отдельные импульсы имеют временную
подструктуру, которая может проявляться при исследовании
автокорреляционной функции интенсивности импульса в процессе
генерации второй гармоники (см. разд. 13.6). Разрушение спектра
импульса связано с шумами спонтанного излучения, которыми мы
пренебрегли в предыдущем рассмотрении [5, 6].
Уравнение стационарной синхронизации мод в частотной
области
В некоторых практических случаях удобнее записывать
уравнение синхронизации мод в частотной области. Одним из таких
случаев является периодическая зависимость усиления или по-

9.3. Активная синхронизация мод
295
Yc(n)
Рис. 9.9. Эквивалентная цепь, соответствующая уравнению (9.39).
терь от частоты, как это имеет место, например, в составном
резонаторе Фабри — Перо [7]. Кроме того, в частотной области
уравнение синхронизации мод приводит само по себе к
интерпретации в рамках синхронизации аксиальных мод, откуда и
происходит термин «синхронизация мод».
Рассмотрим п-ю фурье-компоненту Ап периодической
функции A(t) с периодом 2я/сом. Дифференцирование по времени
(d/dt) равносильно умножению величины Ап на /том, а
умножение функции А(/) на coscom^ связывает компоненты An+i и
Ап-\ с Ап. Из уравнения (9.34) получаем
[2aglg
2 (щи + ajm) + jncoM 6TR] An =
(9.39)
Этому уравнению можно поставить в соответствие
эквивалентную цепь, изображенную на рис. 9.9 [4]. Величину А/г,
представляющую поле я-й аксиальной моды, можно расматри-
вать как комплексную амплитуду напряжения. Правая часть
уравнения (9.39) обусловлена токами, генерируемыми
компонентами А„+1 и Ая-1. Эквивалентная цепь на рис. 9.9
демонстрирует нам процесс, называемый синхронизацией мод. В
резонаторе п-я аксиальная мода синхронизируется с (п—1)-й или
(п+1)-й модой благодаря наличию у них модуляционных
боковых полос.
Нормированная полная проводимость лазерной среды для
л-й моды дается выражением
(9.40)

296 Гл. 9. Акустооптические модуляторы
Полная проводимость (емкостная) резонатора на п-й моде
записывается в виде
Величина 1т[Ус(/г)] увеличивается с ростом п, т. е. с
увеличением отклонения от центральной частоты соо. Это обусловлено
возрастающей расстройкой мод резонатора с увеличением
номера п. В самом деле, величина 8TR показывает, на сколько по
времени полного прохода через резонатор мы далеки от
«синхронизма», т. е. от равенства частоты модуляции сом и межмодо-
вого расстояния 2n/TR (в резонаторе, заполненном средой с
показателем преломления, равным единице, эта величина равна
2пс/21)\ величина 8TR характеризует расстройку. В соответствии
с выражением (9.32) мы имеем
2л 2я 6Г-
1 R l R l R
Отсюда следует, что отклонение частоты Доь п-й моды от
центральной частоты дается выражением
= П [ СОМ — -у— I « — -у- П -J*- » — П(дм -у-*- =
V L R / ' R J R l R
b^f. (9.42>
С учетом (9.42) выражение (9.41) можно записать следующим
образом:
Ц^ (+ 2/ ^- QOrt) + 2am/m;
здесь Qon = (onl/2ailic — добротность ненагруженного резонатора^
определяемая потерями за проход 2aih [ср. с формулой G.46)].
Устройство синхронизации мод
На рис. 9.10 иллюстрируется синхронизация мод с помощью
акустического модулятора. Пьезоэлектрический
преобразователь, управляемый электрическим сигналом на выбранной
частоте, возбуждает в кварцевом блоке звуковую волну. Если
толщина кварцевого блока D равна целому числу звуковых
полуволн, то возбуждается резонансная стоячая звуковая волна.
Она вызывает периодические изменения показателя
преломления во времени и пространстве, создавая тем самым объемную^
дифракционную решетку, на которой дифрагирует основной
лазерный пучок. Таким образом, в лазерном резонаторе
формируется элемент потерь. В кварце при возбуждении его с часто-

9.4. Акустическая мощность, необходимая для модуляции
297
Стоячая звуковая
волна
Дифрагированные
порядки
Преобразователь
Плоское
вернало
Рис. 9.10. Схематическое представление устройства для синхронизации
лазерных мод посредством модуляции внутренних потерь.
той fs = 70 МГц создается решетка с периодом 4 мкм. Кроме
того, поскольку решетка сформирована стоячей волной, она
исчезает и появляется дважды за один период возбуждающей
частоты, так что вносимые в резонатор потери изменяются с
удвоенной частотой управляющего сигнала 2fs [см. (9.23)] и
его гармоник.
Кварцевый блок можно изготовить в форме призмы, чтобы
он действовал в лазере как спектрально-селективный
(диспергирующий) элемент. Поскольку в кварце скорость звука
зависит от температуры, необходимо соблюдать тщательную
термостабилизацию модулятора. Изменение температуры на величину
порядка 0,02 °С приводит к расстройке частоты звукового
резонанса, достаточной для того, чтобы глубина модуляции
снизилась ниже требуемого уровня.
9.4. Акустическая мощность, необходимая
для данного уровня модуляции
Акустооптический эффект описывается с помощью фотоупругой
постоянной р; при этом можно написать следующее соотношение
между изменением показателя преломления Аи и
деформацией s:
&n = -n3ps/2. (9.43)
Соотношение (9.43) в действительности является тензорным и
связывает два тензора второго ранга: тензор напряжений и
тензор диэлектрической проницаемости (см. гл. 11). Таким
образом, фотоупругая постоянная р является тензором четвертого
ранга. В изотропной среде тензор четвертого ранга описывается

298 Гл. 9. Акустооптические модуляторы
двумя константами, в анизотропной среде констант требуется
больше. Для данной звуковой волны и поляризации
электромагнитного поля можно записать соотношение типа (9.43), в
котором постоянная р определяется из тензорных компонент. Если
их представляет собой смещение среды в направлении оси х и
волна движется тоже вдоль оси х, то деформация дается
выражением
s = dujdx. (9.44)
Интенсивность Is звуковой волны равна удвоенной плотности
кинетической энергии, умноженной на скорость звука
(групповую) vs'
/s = (l/2)pa>2|M \2vs, (9.45)
где р — объемная плотность вещества. Из (9.44) находим
\s\ = \ksus\ = \^ux\. (9.46?
Таким образом, соотношение между интенсивностью звука и
деформацией имеет вид
/5 = (l/2)pt;3|s|2. (9.47))
Таким образом,
| Ал | = (п*р/2) д/^Ур^Г- (9.48)
Изменение показателя преломления пропорционально корню
квадратному из акустической мощности. Выражение (9.48)
справедливо и для модулятора бегущей волны. Максимальная
деформация в модуляторе стоячей волны пропорциональна
величине
где и+ и и~ — смещения, связанные с волнами,
распространяющимися в противоположных направлениях. Интенсивности 1±
таких волн определяются выражением (9.47). Следовательно,
максимальное изменение показателя преломления (амплитуду
решетки) можно записать в виде
Ад = п3р Д/2/+/Р4 (9.49>
Вычислим теперь акустическую мощность, необходимую для
получения данной глубины модуляции в лазере с
синхронизацией мод, описанном в предыдущем разделе. Из соотношения
(9.25) найдем амплитуды боковых полос, образующихся за один
проход через модулятор оптического излучения с амплитудой
A(t). В соответствии с выражением (9.28) изменение
амплитуды А@ после двукратного прохождения через модулирующий

9.4. Акустическая мощность, необходимая для модуляции 299
элемент характеризуется множителем 2ат1т A — cos comt), где
com = 2g)s; CDs — частота звуковой волны. Этот множитель
вызывает образование у фурье-компоненты АЛехр(/а>лО боковых
полос на частотах сО/нЬсод* с амплитудой ат1тАп. Таким
образом, отношение амплитуд каждой из двух боковых полос к
амплитуде основной гармоники равно ат1т. Сравнение с
соотношением (9.25) показывает, что
Полагая cos0 « 1, отсюда находим
A« = 4V2^X/(«/c)/m. (9.51)
Если воспользоваться соотношением (9.49), то получим
выражение, связывающее интенсивность звука it с параметром
модуляции am/m.
Предположим, что 1т = 1 см и X — 1,06 мкм. Таблица 12-1 из
книги Ярива [1] дает следующие значения:
j9 = 0,2f р = 2,2- Ю3 кг/м3, ys = 5,97- 103 м/с, л=1,4б.
Для максимальных потерь ат1т = 0,25 оценки дают it =
= 137 Вт/см2. Мощность, необходимую для получения
звуковой волны такой интенсивности, можно вычислить исходя из
формулы G.28) для акустического резонанса. На резонансной
частоте, в предположении идеального электроакустического
преобразователя, имеем
где |а|2 — звуковая энергия, а |s+|2 — подводимая
электрическая мощность. Интенсивность звука в резонаторе с площадью
поперечного сечения зФ и длиной U дается выражением
/+ = vs| а |2/2/5^ = (т2/т,) (vs/lsst) | s+ |2. (9.52)
vs|
Если акустический резонатор имеет критическое согласование,
то в него вводится максимальная мощность и хе = 2т = то.
Коэффициент затухания 1До, обусловленный внутренними потерями
в резонаторе, дается выражением [ср. с G.46)]
1/т0 = asvs,
где as — коэффициент пространственного (амплитудного)
затухания звуковой волны, а vs — ее групповая скорость. Из (9.52)
лолучим следующее выражение яля акустической мощности
внутри резонатора:

300 Гл. 9. Акустооптические модуляторы
Мощность звуковой волны, бегущей в резонаторе, равна
подводимой электрической мощности, умноженной на величину
l/4asls. При использовании реального преобразования с КПД
г] мощность уменьшается на множитель ц.
9.5. Заключение
Звуковая волна с частотой cos, распространяясь в акустоопти-
ческой среде, создает бегущую объемную решетку, на которой
дифрагирует оптическая волна частотой со;. Дифрагированная
волна сдвигается по частоте: соа = о); ± cos, и ее волновой
вектор удовлетворяет закону сохранения импульса: kd = k/±ks.
Дифрагированная волна преобразуется обратно в падающую,
и такое взаимное обращение описывается уравнением
связанных мод. В акустооптическом амплитудном модуляторе
используется стоячая звуковая волна. В простом приближении решетка,
образуемая стоячей волной, рассматривается как стационарная
объемная решетка; найденные в этом приближении решения для
падающей и дифрагированной волн записываются затем с
учетом зависимости параметров решетки от времени. В другом
подходе процесс модуляции можно анализировать с помощью
бесконечной системы уравнений связанных мод. Оба метода дают
аналогичные результаты, если для всех порядков дифракции
выполнено условие согласования фаз.
Результаты анализа акустооптического амплитудного
модулятора использованы при рассмотрении лазерной системы с
активной синхронизацией мод. Учтено влияние конечной полосы
усиления, приводящее к уширению импульса в процессе его
усиления. Амплитудный модулятор нейтрализует этот эффект
уширения, так что можно получить установившуюся
последовательность импульсов, если частота равна значению, обратному
времени полного прохода излучения через резонатор. Мы
вычислили мощность, которую необходимо ввести в акустооптический
модулятор (кварцевый), чтобы получить режим синхронизации
мод.
Приложение 9А
Акустооптический амплитудный модулятор; другой метод
рассмотрения
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 9.3, и выделим
m-ю гармонику падающей волны с частотой coi + tfUOs (т^О).
Обозначим ее амплитуду через А*т). В волновом уравнении
(9.6) источником дифрагированной волны А^т) являются гар-

Задачи 301
моники падающей волны на частотах о/ + (m + l)o)s. При этом
мы имеем уравнения, аналогичные уравнениям (9.12) и (9.13),
за исключением того факта, что гармоники падающей волны
связаны теперь с парой дифрагированных волн и наоборот.
Кроме того, в выражениях для коэффициента связи величина
Ап/2 заменяется на Ап/4/ [ср. с выражениями (9.4) и (9.17)].
Таким образом, можно написать следующие уравнения:
dhWIdz = - ЫР/Ас) (An/cos 9) [А{Г) - A<m+1)] (9A. 1)
dkT^dz = - ЫГ]/4с) (An/cos 6) [АИ* - А<?+1)]. (9A.2)
Это бесконечная система уравнений относительно бесконечного
набора гармоник. Простое решение существует в случае, когда
множители в правой части этих уравнений приблизительно
равны друг другу, т. е. @{™>/с « <юИ/с « со^°)/с(или со./с для
краткости), что является вполне справедливым допущением,
поскольку частота звука мала по сравнению с частотой
оптического сигнала. Решение основывается на рекурсивной формуле
для функции Бесселя [2]:
dJp/dx = A/2) (/р^, —/p+i), (9A.3)
где
Решения системы уравнений (9А.1) и (9А.2) запишутся в виде
ASw)~/m(*) и Aim)-~/mD (9A.4)
Если падающая волна с частотой со;0) имеет при z = 0
начальную амплитуду А/@), то в дальнейшем она будет изменяться
по закону Jq(x) и ее гармоники будут пропорциональны
функциям Бесселя четного порядка, в то время как
дифрагированные гармоники будут пропорциональны функциям Бесселя
нечетного порядка. При z = I амплитуды даются выражениями
Af > = Jm (-g- -^ /) А, @), т четное, (9А.5)
A(dm) = - Jm (-J- -^q l) A{ @), m нечетное. (9А.6)
Эти решения совпадают с формулами (9.23) и (9.24).
Задачи
9.1. Предположим, что оптический пучок отклоняется дефлектором брэггов-
ского типа на ЫЫЬОз. Верхняя пропускаемая частота звука равна 1 ГГц.
Какое максимальное отклонение можно получить? Скорость звука в
кристалле LiNbO3 равна 7,4 км/с. Длина волны света X = 0,6328 мкм,
показатель преломления п = 2,3.

302
Гл. 9. Акустооптические модуляторы
9.2. Рассмотрим среду, в которой распространяется звуковая волна,
описываемая зависимостью вида exp[j((ost — к«г)] + к. с. и создающая
изменение показателя преломления:
п (г, t) = по + (А/2/2) [exp (jv>st — jks • г) + к. с].
Падающий (неограниченный плоскопараллельный) пучок света
«рассеивается» на неоднородностях показателя преломления и образует
«дифрагированный пучок» с волновым вектором kd (условие фазового
согласования поясняется на рис. 39.2).
2= ~1
Рис. 39.2.
а) Чему равна частота рассеянного пучка для указанной векторной
диаграммы?
б) Запишите уравнения связанных мод для огибающих Az и Ad
падающего и дифрагированного (рассеянного) световых пучков.
в) С учетом граничных условий (следите за направлением
распространения полей Et и Ed)у а именно А,@) = Л, Ad(l) = 0, решите систему
уравнений связанных мод.
г) Сравните полученные вами результаы для предельного случая cos->0
с результатами, полученными для отражательной решетки (разд. 8.2).
9.3. Найдите решения уравнения синхронизации мод (9.35) в случае
отсутствия синхронизма FTR ф 0). Примените подстановку А(/)= f(t)exp(at)
и исключите первую производную соответствующим выбором параметра а.
Определите избыточное усиление и сдвиг импульса во времени
относительно момента времени, когда потери минимальны, как функции
расстройки 6TR. Исследуйте только фундаментальное решение.
9.4. Рассмотрим бесконечный ряд одинаковых связанных волноводов.
Уравнения связи записываются в виде
dan/dz=- /ра„ + и (а„_, - а„+1).
а) Покажите, что для этой системы уравнений закон сохранения энергии
выполняется только при действительных значениях х.
б) Найдите общее решение этой системы, если в исходной плоскости
2 = 0 возбужден только один волновод с п = 0, а все осотальные не
возбуждены. Указание: используйте амплитуды огибающих an(z) =
= A,z(z)exp(—/fte) и рекурсивную формулу для функций Бесселя (9А.З).
в) Используя графики функций Бесселя [2], представьте наглядно
процесс распространения энергии.

Литература 303
ЛИТЕРАТУРА
1. Yariv A, Introduction to Optical Electronics, Holt, Rinehart and Winston,
New York, 1976. [Имеется русский перевод: Ярив А. Введение в
оптическую электронику. — М.: Высшая школа, 1983.]
2. Handbook of Mathematical Functions (eds. H. Abramovitz. I. A. Stegun),
New York: Dover, 1972. [Имеется перевод: Справочник по специальным
функциям с формулами, графиками и математическими таблицами/Под ред.
М Абрамовица, И. Стиган. — М.: Наука, 1979]
3. Kuizenga D. /., Siegman A. E,, "FM and AM modelocking of the
homogeneous laser —Part I: Theory", IEEE J. Quantum Electron., QE-6, 694—708
A970)
4. Haus H. A , "A theory of forced modelocking", IEEE J. Quantum
Electronics, QE-11, No. 7, 323—330 A975).
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М.:
Наука, 1982.
6. Haus Н. А, Но Р. Т., "Effect of noise on active medelocking of a diode
laser", IEEE J. Quantum Electron., QE-15, No. 11, 1258—1265 A979).
7. Haus H. A., "Modelocking of semiconductor laser diodes". Jap. J. Appl.
Phys., 20, No. 6, 1007—1020 A981).

Глава 10
Некоторые нелинейные явления
Нелинейные оптические явления представляют огромный
практический интерес. Нелинейность в оптических волокнах
(зависимость показателя преломления от интенсивности) может
приводить к нежелательной фазовой модуляции при сравнительно
низких уровнях мощности. Это вызвано тем, что при
распространении на большие расстояния (многие километры) свет
сконцентрирован в волокне с малым поперечным сечением, так
что даже малые исходные мощности (мВт) могут дать высокие
интенсивности со всеми сопутствующими нелинейными
эффектами. Нелинейность, как показано в работе [1], может также
приводить к формированию пикосекундных импульсов. Явление
формирования пикосекундных импульсов за счет нелинейности
показателя преломления аналогично (хотя и не идентично)
процессу сужения импульсов из-за насыщения (зависящего от
интенсивности) потерь. Последнее явление, нашедшее широкое
применение для генерации пикосекундных световых импульсов,
называется пассивной (с помощью насыщающегося
поглотителя) синхронизацией мод. Одной из главных трудностей на пути
осуществления программы лазерного термоядерного синтеза
является самофокусировка оптических пучков. Поскольку в
средах, у которых показатель преломления растет с увеличением
интенсивности света, пучки высокой интенсивности имеют
тенденцию к самофокусировке, сфокусированная таким образом
интенсивность может привести к оптическому разрушению.
Нелинейная оптика — обширная область физики — родилась
благодаря пионерским работам многих исследователей, и в
частности Н. Бломбергена, получившего за свою работу
Нобелевскую премию. Некоторые вопросы нелинейной оптики не
представляют особой трудности для понимания, и их изучение
требует минимальной подготовки. Именно такие вопросы мы и
рассмотрим в настоящей главе. Более глубокое рассмотрение
нелинейной оптики мы представим в гл. 12 и 13 после изучения
процесса линейного распространения света в анизотропных
средах.
Данная глава посвящена вопросам самофокусировки,
формированию импульсов и пассивной синхронизации мод. В
заключение мы рассмотрим модель нелинейного резонатора, которая
дает в сжатой форме описание явления бистабильности,
ставшего в настоящее время предметом интенсивных исследований

10.1. Самофокусировка 305
^благодаря перспективности его использования в устройствах
оптической памяти и оптических логических устройствах.
10.1. Самофокусировка
Если в нелинейной среде, показатель преломления которой
зависит от интенсивности оптического сигнала, распространяется
пучок с конечными поперечными размерами, то значения
показателя преломления внутри и вне пучка оказываются разными.
В случае когда показатель преломления растет с
интенсивностью, в области распространения пучка образуется «оптический
волновод»; при этом дифракция нейтрализуется волноводным
действием в области с повышенным показателем преломления.
Волноводное распространение не обязательно носит
стационарный характер, поскольку профиль показателя преломления
зависит от распределения интенсивности и наоборот. Если все
же возникло установившееся волноводное распространение, или
если пучок, постепенно уменьшаясь в размерах, сфокусировался
в малое пятно, то говорят о процессе «самофокусировки».
В среде, диэлектрическая проницаемость е которой является
функцией координат, векторный потенциал А приближенно
удовлетворяет волновому уравнению F.5):
V2A + co2fx0eA = 0, A0.1)
где со2М<0е = co2fx0e0n2, A0.2)
а п — показатель преломления. Выделим в операторе у2
поперечные и продольные производные. Предположим, как и
прежде, что векторный потенциал направлен вдоль оси у.
А~уи(х, у, z)e~^z, A0.3)
где и — функция, медленно меняющаяся вдоль оси г.
Пронормируем функцию и(х, у, г) таким образом, чтобы квадрат ее
модуля \и\2 был равен интенсивности. Определим, кроме того,
величину
k0 = со vWo n0 A0.4)
как постоянную распространения на выбранной частоте со0 при
«невозмущенном» значении показателя преломления п0. Из
уравнения A0.1) получаем
V2Tu — 2jk0 ди/dz = — G>2\iQe0 (п2 — п2) и. A0.5)
Рассмотрим сначала двумерный случай, когда V2~ = d?/dx2t
При этом будем считать, что показатель преломления п зависит
от интенсивности / следующим образом:
п = п0 + п2! = по + п2\и |2, A0.6)

306 Гл. 10. Некоторые нелинейные явления
где п2 — коэффициент нелинейности показателя преломления.
Подставляя выражение A0.6) в уравнение A0.5) и пренебрегая
членами, квадратичными по п2\и\2, поскольку предполагается,
что они много меньше линейного члена, получаем
Введем переменную
q = z/2k0 A0.8)
и параметр
(Ю.9>
Тогда уравнение A0.7) можно преобразовать к стандартному
виду нелинейного уравнения Шредингера:
-^+S" + K^l2w = 0- A0Л0>
При к > 0 (т. е. при п2 > 0) решение этого уравнения имеет
вид [2J
Г* л ехр [/ (?» - т)») q + /Eat - /»]
в справедливости которого можно убедиться непосредственной
подстановкой. Величины ?, т), х0 и ^ являются произвольными
параметрами.
Для того чтобы понять физический смысл решения A0.11),
рассмотрим сначала простой случай | = 0. Отбрасывая
несущественную фазу ф9 выражение A0.11) можно переписать в
виде
и ' ch г] (х — х0)
Это выражение описывает пучок, профиль которого вдоль
координаты х имеет ширину, пропорциональную величине 1/т|,
а постоянная распространения k = k0 [I + (гJ/2^)]# Постоянная
распространения увеличилась по сравнению с формулой A0.4)
на слагаемое, пропорциональное rf, где ц — обратная ширина
пучка. Интеграл площадей ^J%j2 \ \u\dx равен 2я]> и не
J —с»
v Этот интеграл легко вычисляется с помощью следующих
преобразований:

10.1. Самофокусировка 307
Профиль
пучка
Рис. 10.1. Пучок, наклоненный по отношению к оси г.
зависит от параметров пучка.
Рассмотрим теперь случай \ФЪ. Центр профиля
распределения с исходной координатой х0 в плоскости z = 0 при
распространении пучка в направлении оси z смещается, и мы имеем
новую координату центра х0 — l(z/k0) (рис. 10.1). Пучок
наклонен по отношению к оси z на угол 0 = l/k0. Также наклонен и
волновой фронт, представляемый теперь фазовым множителем
ехр {- / [k0 A + (л2 - I2)l2kl) z + Цх] }.
Волновой вектор k в этом выражении тоже наклонен на угол
|/&о по отношению к оси z. Поправка к г-составляющей вектора
&, равная величине —?2/2&0, является параксиальным
приближением и приводит к разности cos 0— 1.
Физическая интерпретация стационарного решения задачи
самофокусировки проста, если вспомнить модовый анализ
диэлектрического тонкопленочного волновода. Поперечное
изменение показателя преломления с максимумом в некоторой точке
х (скажем, х = 0) и спадающее в направлениях х и —х,
образует диэлектрический тонкопленочный волновод, в котором
могут существовать одна или несколько поперечных мод. В
нелинейной среде с прямой зависимостью показателя преломления
от интенсивности создается именно такой профиль показателя
преломления. Единственное отличие от линейного случая
заключается в том, что профиль интенсивности должен
соответствовать профилю показателя преломления — условие,
накладываемое решением нелинейного уравнения Шредингера.
Замечательная особенность нелинейного уравнения
Шредингера состоит в том, что его можно решать при более сложных
граничных условиях [и(х, г = 0)] и нелинейное
«нестационарное» решение можно исследовать в общем виде. Это уравнение
относится к классу уравнений, решаемых методом обратного
рассеяния [2—6]. Известно [7], что начальное распределение
aJy.12 и (х, 0), интеграл площадей от которого больше чем я, но

308 Гл. 10. Некоторые нелинейные явления
меньше чем Зя, в конце концов преобразуется в устойчивый
пучок с интегралом площадей, равным 2я [5—7].
Фокусировка в трехмерном пространстве представляет собой
более сложную задачу, для которой не найдено решения в
окончательном виде. Оператор Лапласа для функции с
цилиндрической симметрией имеет вид
д2 д2 1 д ( д \
дх2 ' ду2 р dp v dp /
Волноводный эффект по-прежнему достигается за счет
повышения диэлектрической проницаемости в максимуме
распределения интенсивности пучка. Интеграл \ \u(p)fpdp не зависит
от масштабного параметра решения (точно так же, как интеграл
\u{x)\dx не зависел от величины ц). Следовательно, общая
— оо
мощность самосфокусированного пучка не зависит от
параметров пучка [8, 9].
Между решениями для двух- и трехмерной самофокусировки
имеется существенное отличие. В двумерном случае, если
интеграл площадей превышает 2я, пучок через некоторое время
приобретает устойчивую форму. В трехмерном же случае при
превышении критического значения мощности пучка
параксиальное волновое уравнение предсказывает катастрофическое
сжатие пучка в точку. Этим объясняется возникновение оптического
разрушения в мощных лазерных системах.
10.2. Распространение солитонов в волоконных
световодах [1]
В предыдущем разделе мы рассмотрели распространение
световых пучков, дифракционная расходимость которых в
поперечном направлении компенсируется волноводными свойствами
среды, обусловленными увеличением показателя преломления с
ростом интенсивности. Процесс образования солитонов в
волокнах с нелинейной дисперсией математически тождествен
двумерной самофокусировке. Солитон — это импульсное возбуждение
среды с нелинейной дисперсией, распространяющееся без
искажений. Уширение импульса, вызываемое только дисперсией
среды, компенсируется нелинейной фазовой модуляцией
импульса, обусловленной нелинейностью среды.
Рассмотрим сначала выражение F.81) для постоянной
распространения моды низшего порядка с профилем поля и(х, у)
в одномодовом волокне, возмущаемом изменением
диэлектрической проницаемости бе. Оно выражается через изменение
показателя преломления 8п следующим образом: бе = 2п бяе0. Та-

10.2. Распространение солитонов в волоконных световодах 309
ким образом, мы имеем
\ пЬп\и\2 da
'¦da
Постоянная распространения C является также функцией
частоты. Воспользуемся тем же разложением в ряд, что и в разд. 6.5
[выражение F.51)], дополнив его только тем вкладом, который
дает величина б/г в 6C:
= Р (соо) + (со - <о0) ^ + ^ (со - со0J -0 +
"oVo
A0.13>
В выражение A0.12) мы подставили вместо частоты со несущую
частоту соо, а вместо C — функцию C((о0) и учли в разложении
наинизшие из значащих степени величин (со — со0) и б/г. Вводя
огибающую А (г, (о— со0), определяемую как а (г, со) =
= A(z, со — coo)exp {/[о)о^ — Р(соо)^]}, и выполняя обратное
фурье-преобразование, как и в F.55), получаем следующее
уравнение:
д 4- 1 д Л Д (у Л — L
Преобразование независимых переменных
приводит это уравнение к виду [ср. с формулой F.60)]
л 6/г I w|2(ia
A0.15)
A0.16)
= 0. A0.17)
До сих пор мы не конкретизировали природу возмущения б/г.
Выберем теперь нелинейное возмущение показателя
преломления пропорциональным интенсивности импульса,
распространяющегося в волокне:
Ьп = п21\ A0.18)

310
Гл. 10. Некоторые нелинейные явления
здесь /?2 — линейный коэффициент в разложении показателя
преломления п по степеням интенсивности /, причем
/ = |A(z, t)\2\u\\
Таким образом, уравнение A0.17) можно переписать в виде
тде
\ п0п2 I и |
da
\u\2da
A0.19)
A0.20)
При выводе формулы A0.20) мы использовали зависящую от
времени постоянную распространения, поскольку вклад
нелинейной среды х|А|2 в р изменяется во времени. Некоторые
недоразумения возникают из-за того, что постоянная распространения
C рассматривается обычно зависящей от частоты о. Вспомним,
что величина А (г, t) является огибающей несущей сигнала
ехр(/сооО- Постоянной распространения можно приписать
несущую частоту оH. В случае когда спектр А (г, /) узкий, т. е. его
ширина много меньше чем соо, можно, несомненно, считать, что
<о = соо. Если показатель преломления изменяется во времени,
то изменяется во времени и постоянная распространения р.
Уравнение A0.19) по виду совпадает с уравнением
самофокусировки A0.10) и, следовательно, имеет аналогичное решение
при условии, что d2fi/du>2 < 0 (т. е. волокно имеет аномальную
дисперсию). Этому случаю на рис. 6.15 соответствует область
справа (в динноволновой области) от точки нулевой дисперсии
волокна. Можно снова заключить, что возможны решения в
виде импульсов, имеющих форму гиперболического секанса, и
\A(z,i)\
Рис. 10.2. Решение в виде импульса для данного момента времени t.
Скорость распространения огибающей равна
Параметр ? характеризует отклонение несущей частоты сос от частоты со0:
<йс — COq = V^

10.3. Пассивная синхронизация мод насыщающимся поглотителем 311
что они устойчивы (рис. 10.2). Влияние дисперсии
компенсируется нелинейным изменением показателя преломления. На
основании существующих решений, описывающих формирование
таких импульсов [5—7], можно сделать вывод, что начальный
импульс, площадь которого в нормированных единицах лежит
между я и Зя, преобразуется в стационарный импульс площадью
2я. Некоторые типичные значения приведены в статье [1].
Рассмотрим еще одно явление, вытекающее из солитонного
решения. Аномальная дисперсия (d2p/d(D2 < 0) в соответствии
с формулой F.68) приводит к положительному параметру
ЛЧ-модуляции, т. е. к импульсам с ЛЧ-модуляцией, у которых
высокие частоты сосредоточены у переднего фронта, а низкие —
у заднего. Поскольку изменение показателя преломления за
счет нелинейности компенсируется изменением за счет
аномальной дисперсии, одна нелинейность сама по себе привела бы к
импульсам с низкочастотными составляющими у переднего
фронта и с высокочастотными у заднего (см. задачу 10.3). О том,,
как это явление используется для укорачивания импульсов,
рассказывается в следующем разделе.
Большой интерес к исследованиям вопросов формирования
и распространения солитонов по оптическим волокнам
объясняется уникальными свойствами солитонов. Однажды
сформировавшись, солитон имеет определенное произведение амплитуды
на длину («площадь») и распространяется по волокну без
искажений, несмотря на наличие у волокна дисперсии. Это является
привлекательным с точки зрения передачи импульсно-кодиро-
ванных сообщений, в которых наличие импульса в некотором
временном интервале означает «один», а отсутствие — «нуль».
Такое сообщение могло бы передаваться по волокну без
искажений. Солитоны можно использовать для приведения
импульсов к стандартной форме. Импульс произвольной формы,
имеющий площадь между я и Зя, преобразуется в импульс в виде
гиперболического секанса.
10.3. Пассивная синхронизация мод
насыщающимся поглотителем [11, 12]
При изучении условий образования солитонов мы наблюдали7
процесс, в котором уширение импульса из-за дисперсии
уравновешивалось нелинейным изменением показателя преломления.
Этот процесс является «консервативным», или «реактивным»,
поскольку и дисперсия, и фазовые сдвиги, обусловленные
изменением показателя преломления, не влияют на мощность волны,
с которой они взаимодействуют.
Синхронизация мод с помощью насыщающегося поглотителя
представляет собой конкурирующий процесс между диссипатив-

312 Гл. 10. Некоторые нелинейные явления
ным процессом и процессом усиления. В этом состоит основное
различие между синхорнизацией мод насыщающимся
поглотителем и формированием солитонов, рассмотренным в
предыдущем разделе. Однако в стационарном состоянии эти процессы
приводят к очень похожим результатам. Дисперсия
коэффициента усиления (изменение коэффициента усиления с частотой
из-за конечной ширины полосы усиления среды) приводит к
сужению спектра и тем самым к уширению импульса, проходящего
через усиливающую среду. Среда с насыщающимся
поглощением, потери в которой уменьшаются с увеличением
интенсивности, ослабляет малоинтенсивные «крылья» импульса сильнее,
чем высокоинтенсивный «центр», и, следовательно, сужает
проходящий через нее импульс. В установившемся состоянии эти
два процесса уравновешивают друг друга.
Изучим сначала распространение плоской волны в
однородной среде, представляющей собой гипотетическую смесь двух
сред: лазерной усиливающей среды и среды с насыщающимся
поглощением. Затем покажем, что аналогичные уравнения
применимы для анализа распространения импульса в резонаторе
Фабри — Перо с помещенными внутри него тонкими слоями
гипотетической среды.
Мнимая часть постоянной распространения соответствует
затуханию или усилению в зависимости от того, отрицательна она
или положительна. Наличие нелинейного зависящего от частоты
усиления можно представить в виде разложения постоянной
распространения C в окрестности частоты со0!) [ср. с формулой
(9.26)]:
Р = C (©о) + ja8 {1 - [(со - co0)/cog]2}, A0.21)
где ag— пространственный коэффициент нарастания усиления
в центре линии при со = со0. Наличие насыщающихся потерь
можно учесть, добавляя к разложению величины C по со член,
зависящий от интенсивности:
Р = Р (О + /а* 0 - К© - co0)/cog]2} - М/A + IIIs)y (Ю.22)
где Is — значение интенсивности, при котором затухание а/
уменьшается вдвое, т. е. интенсивность насыщения потерь.
Теперь можно записать уравнение, которое аналогично
F.56), за исключением того обстоятельства, что в данном
случае дисперсия связана с усилением и добавляется к члену,
учитывающему насыщение потерь [ср. с формулой A0.14)]. Таким
1} Строго говоря, вводить зависимость от частоты мнимой части
показателя преломления без учета частотной зависимости его вещественной части
незаконно (см. [13]). Однако такой учет незначительно меняет физические
свойства решения, рассматриваемого здесь в приближенном виде.

10.3. Пассивная синхронизация мод насыщающимся поглотителем 313
образом, мы имеем следующее уравнение:
A0-23>
Для того чтобы решить это уравнение, заменим отношение
1/A +1/Is) на 1—I/Is и пронормируем амплитуду А таким
образом, чтобы величина |А|2 равнялась интенсивности. В
результате получаем
1 д\Л /1| 1 d2 \ л Л
) А = аЛ 1 + —«-—о-) А — щ [ 1 —
Преобразованием координат A0.15) и A0.16) последнее
уравнение можно привести к виду
д cl, д2А |А|2
A + ()A + -f-^ + a/V-A = 0. A0.24)
Это уравнение напоминает A0.19) и в то же время имеет
два отличия: оно включает в себя новый член с множителем
ag — ai и вместо производной d/dt> мы имеем j(d/dt). Последнее
отличие носит фундаментальный характер. Оно обусловлено
различием физических механизмов, ответственных за форму
импульсов. В процессе образования солитонов дисперсия
групповой скорости и изменение показателя преломления воздействуют
на фазу; в случае же синхронизации мод насыщающимся
поглотителем дисперсия усиления и насыщение потерь влияют на
амплитуду. В отсутствие нелинейности амплитуда А в случае
дисперсии групповой скорости удовлетворяет уравнению Шре-
дингера, а в случае дисперсии усиления — уравнению диффузии.
В установившемся режиме формирования импульсов мы
имеем
А_ 1. ±Л — п
dt,~ dz^~ vg dt u'
и уравнение A0.24) принимает вид
0=К ~ ад А + (%№ d2kldf + ai iA |2 А^- A0-25)
Конечная ширина полосы усиления, определяемая выражением
A0.21), вызывает уширение импульса во времени, описываемое
оператором «временной» диффузии (ag/co|) (d2jdt2y Эта
диффузия во времени может быть компенсирована членом,
описывающим насыщение потерь и пропорциональным |А|2. Уравнение
A0.25) имеет тот же самый вид и, следовательно, такое же
решение, что и уравнение A0.10) в установившемся режиме,

314 Гл. 10. Некоторые нелинейные явления
когда член j(du/dq) можно заменить произведением величины
и на вещественный постоянный множитель (т. е. когда параметр
? полагается равным нулю). Таким образом, мы имеем
А = A0/ch y B — vgt); A0.26)
здесь
^Y2 = (y2ag)co*|Ao|7/s A0.27)
и
a,-ag = (<yco*KY2. A0.28)
Уравнение A0.27) связывает обратную ширину импульса \/vgy
с нормированным значением насыщения потерь («//%) | Ао|2//5
и с шириной полосы усиления со^. Уравнение A0.28) показывает,
что в отсутствие импульса у системы имеются потери. Усиление
фактически существует только в том случае, когда потери
насыщаются в максимуме импульса или вблизи него. Это
предполагает, что система устойчива к возмущениям. Разумеется,
возмущения не должны находиться в пространственно-временном
интервале, занимаемом импульсом. Хэджелстайн [14] показал,
что рассматриваемые уравнения устойчивы к любым
возмущениям.
До сих пор мы рассматривали распространение импульса в
однородной нелинейной среде, представляемой в виде
последовательности бесконечно тонких слоев с дисперсией усиления и
насыщающимся поглощением. Формирование импульса в
резонаторе Фабри — Перо можно описать теми же уравнениями,
если среда с насыщающимся поглощением расположена вблизи
одного из зеркал, а длина импульса в пространстве много
больше, чем толщина поглощающего слоя и расстояние между ним
и зеркалом. Действительно, рассмотрим выражение (9.34), в
котором модулируемые потери имеют вид
Если эти потери из-за насыщения в поглощающей среде
подвергаются автомодуляции, то последнее выражение заменяется
следующим:
Результирующее уравнение имеет вид
A0.29)
За исключением оператора 8TR(d/dt) это уравнение по виду
совпадает с уравнением A0.25). Оператор 8TR(d/dt) выражает
отличие времени возврата импульса от собственного времени

10.3. Пассивная синхронизация мод насыщающимся поглотителем
315
Интенсивность
Ч I
Н \
I I
I I
I I
I I
I I
I I
Бремя
Возрастание
потерь
Область
суммарного
усиления
Усиление
Время
Среда с
поглощением
Отражающее
зеркало
1
Усиливающая
среда
<-
Импульс
Частично
пропускссющш
зеркало
Рис. 10.3. Пассивная синхронизация мод.
полного прохода резонатора TR. В рассматривавшейся до сих:
пор в данном разделе модели распространения импульса нет-
аналога этому члену, поскольку не предполагалось, что
импульс возвращается после отражения. В случае активной
синхронизации мод величина 8TR определялась выбором частоты
модуляции. При синхронизации мод насыщающимся
поглотителем значение 8TR устанавливается самим решением задачи,
поскольку система сама фиксирует отклонение от собственного
времени полного прохода резонатора. Разумеется, поскольку
решение уравнения A0.25) найдено без члена с производной
d/dty выражение A0.26) также является решением уравнения
A0.29) при 67* = 0.
На рис. 10.3 схематически показано действие импульса
(верхняя кривая), проходящего через поглотитель. В поглощении
выжигается «временная дырка». В центре импульса наблюдается
суммарное усиление, по краям — суммарное ослабление.
Зависящее от времени суммарное усиление сужает импульс. Это*
сужение компенсируется дисперсией лазерной среды.

316 Гл. 10. Некоторые нелинейные явления
Оценим ширину импульса при параметрах, сравнимых с
выбранными в случае активной синхронизации мод. При со^/со0 =
= 0,2% Я = 1,06 мкм, ag/attt 1 и |А0|2/Л> = 0,1 A0%-ное
насыщение поглощения) находим полную ширину на полувысоте
максимума импульса, имеющего вид гиперболического секанса:
ПШПМ = 2 In A + л/2 )/vgy = 1 J&/vgy = 2,2 пс.
Синхронизация мод насыщающимся поглотителем позволяет
получать импульсы много короче, чем в случае активной
синхронизации мод. В первом случае изменения коэффициента
поглощения сравнимы по длительности с шириной импульса, в то
время как при активной модуляции поглощения их длительность
порядка времени полного прохода резонатора излучением.
Полученное нами выше значение ширины импульса меньше
времени релаксации обычной поглощающей среды. Такой случай
нельзя рассматривать с помощью развитой здесь теории, однако
в работе [15] разработана подробная теория.
В работе [16] были получены импульсы, длительность
которых (90 • 10~~15 с) значительно меньше времени релаксации
насыщающегося поглотителя. Дальнейшее сжатие импульса было
достигнуто [17] пропусканием его через оптический волоконный
световод. Вследствие нелинейного изменения показателя
преломления (п2 > 0) спектр импульса расширяется. Такие
импульсы оказываются линейно «промодулированными» по частоте
таким образом, что у переднего фронта сосредоточены низкие
частоты, а у заднего — высокие; импульсы приобретают
отрицательный параметр ЛЧ-модуляции [ср. с формулой F.63)].
Импульсы с отрицательным параметром ЛЧ-модуляции можно
сжать при помощи пары решеток, аналогичных одной из
рассмотренных в разд. 6.6. Таким способом получена генерация
импульсов длительностью 30-10~15 с на длине волны X = 619 нм.
Длительность этих импульсов составляет всего лишь 14
периодов оптической волны.
10.4. Оптическая бистабильность [18 — 23]
Мы обсудили влияние нелинейной среды на форму импульсов,
которые в ней распространяются. Существует класс нелинейных
явлений, обладающих гистерезисом, иными словами,
установившийся отклик системы на входной сигнал зависит от
предыстории возбуждения. Поскольку все элементы памяти в том или
ином виде используют гистерезис, повышенный интерес к
оптическим системам с гистерезисом вызван их возможным
применением в устройствах оптической памяти.

10.4. Оптическая бистабильность
317
Бистабильность системы с нелинейным поглощением
На рис. 10.4 изображена простая нелинейная оптическая
система, обладающая бистабильностью. Она представляет собой
резонатор Фабри — Перо, заполненный средой с насыщающимся
поглощением. Описывающие эту систему уравнения получаются
из G.28). Уравнение относительно амплитуды а поля в
резонаторе, возбуждаемом падающей волной s+, имеет вид
где
da/dt = (/©о - 1/т) а +
1/т=1/то+1/те.
A0.30)
A0.31)
Если резонатор содержит насыщающийся поглотитель, то
величина 1/то зависит от энергии |а|2 и преобразуется следующим
образом:
где а* — энергия в резонаторе, при которой потери уменьшаются
вдвое по сравнению со значением при малых уровнях энергии.
Подставляя A0.32) в уравнение A0.30), получаем
da /1
— = /(о0а — а [
dt ' ° \, Т0 1
1
|2/а02
1 \ . / 2
A0.33)
Рассмотрим процесс возбуждения резонатора на резонансной
"частоте. Полагая s+ = S+ ехр (/сооО и а = А ехр (/ю00» в
установившемся режиме имеем
A0.34)
На рис. 10.5 построен график, где по оси абсцисс отложена
правая часть выражения A0.34), а отношение А/ао — по оси
ординат. Пересечение с вертикальной линией дает рабочую точку.
Частично
пропускающее
зеркало
\
Насыщающийся
поглотитель
Рис. 10.4. Резонатор Фабри—Перо, заполненный средой с насыщающимся
поглотителем.

318 Гл. 10. Некоторые нелинейные явления
14,0
12,0
10,0
А_\ 8,0
«о
6,0
4,0
2,0
Рис. 10.5. График зависимости левой части выражения A0.34) от амплитуды Л*.
В зависимости от выбора параметров получаем одну или три
точки пересечения. Последнее имеет место при Те/то > 8.
При наличии трех точек пересечения система следует по
нижней ветви по мере возрастания амплитуды 5+ до
критического значения Sc\, а затем скачком переходит в верхнее
положение. При уменьшении амплитуды S+ от большого значения
мы спускаемся по верхней ветви вплоть до значения SC2, а
затем скачком переходим на нижнюю ветвь. С помощью
выражения A0.34) можно проследить эволюцию системы во времени.
Действительно, на рис. 10.6 в пределах заштрихованной области
производная d(A/ao)/dt является функцией отношения А/а0.
И без интегрирования выражения A0.33) по времени из
графика видно, каким образом осуществляется переход системы
между верхней и нижней ветвью; скорость изменения отношения-

10.4. Оптическая бистабильность 319
14,0 г
dA/dt > О, скачок вверх
. 10.6. Графическое представление производной dA/dt.
А/а0 наибольшая, когда размер заштрихованной области в
горизонтальном направлении максимален.
Бистабильность систем с нелинейным показателем
преломления
В рассмотренном нами бистабильном резонаторе нелинейным
процессом, вызывающим бистабильность, было насыщающееся
поглощение. Первое предложение по созданию бистабильных
устройств предполагало использование именно насыщающегося
поглощения [18]. Но впервые бистабильность была
продемонстрирована на системе с нелинейным (зависящим от
интенсивности) показателем преломления [19]. Анализ установившегося
состояния такой системы несущественно отличается от
представленного выше.

320 Гл. 10. Некоторые нелинейные явления
Предположим, что резонатор длиной / заполнен средой с
показателем преломления п = /20 + ^2/, где / — интенсивность,
равная сумме интенсивностей двух противоположно направленных
волн. Собственная частота ооо резонатора
®0 = пс/п1 A0.35)
зависит от интенсивности / ^ c\a\2/s?ln0, где зФ — площадь
поперечного сечения однородного (предположительно)
оптического пучка. Таким образом, выражение A0.35) принимает вид
пс (Ооо I |2
где
A0.37)
Уравнение для резонатора запишется теперь в виде
ц<* | • / 1 д а 1 I _| / ^ МП ЧЯ^
Установившееся значение энергии |а|2 при амплитуде на входе
удовлетворяет уравнению
а0
+
а0
A0.39)
На рис. 10.7 приведен график зависимости левой части
выражения A0.39) от величины |а/ао|2. График имеет два экстремума
при положительных значениях |а/ао|2 (т. е. имеющих
физический смысл), если выполнены условия
со<(о00 A0.40)
и
(со00-со)т>УЗ. A0.41)
Первое условие подразумевает, что управляющая частота
должна быть меньше резонансной частоты щ0 для слабого сигнала
(при условии, что п2 > 0). Высокая интенсивность может
понизить резонансную частоту и привести к резонансу на частоте,
близкой к управляющей; при этом становятся возможными два
значения установившейся интенсивности. Из второго условия
следует, что частоты должны отстоять друг от друга на
достаточно большом расстоянии по сравнению с шириной полосы
резонатора. На рис. 10.7 показано, каким образом происходит
возбуждение системы при увеличении интенсивности падающей
волны |5+|2. При низких значениях интенсивности имеется одно
пересечение. По мере продвижения к более высоким значениям
интенсивности входного сигнала нормированная энергия в
резонаторе достигает критической величины |ai/ao|2. При дальней-

10.4. Оптическая бистабильность
321
Zxz
Рис. 10.7. Бистабильное поведение резонатора, заполненного средой с
нелинейным показателем преломления,
шем росте интенсивности происходит скачкообразное изменение
энергии, а затем энергия увеличивается в соответствии с верхней
ветвью графика. На обратном пути при уменьшении
интенсивности входного сигнала энергия внутри системы уменьшается
до величины |а2/ао|2, а затем скачком спадает до значения на
нижней ветви. Переходные процессы в данном случае в отличие
от насыщающегося поглощения не поддаются простому анализу.
Амплитуду следует считать комплексной величиной, так что
уравнение A0.38) представляет собой систему двух нелинейных
дифференциальных уравнений относительно Re [а] и Im[a].
Далее рассматриваться нами эта задача не будет.
Интересно тем не менее оценить характерные значения
мощности и постоянной времени. Предположим, что резонатор имеет
оптимальную связь и в него поступает максимальная мощность
при данном значении входной мощности
мы имеем
1/тв=1/т0=1/2т.
|s+|2. Таким образом,
A0.42)
Частотный сдвиг Ао)О, необходимый для изменения состояния
системы, в соответствии с формулой A0.41) приближенно равен
величине, обратной постоянной времени резонатора т. Из
выражения A0.36) имеем
(о00|а|2/а02«1/т. A0.43)

322 Гл. 10. Некоторые нелинейные явления
Мощность внутри резонатора в условиях резонанса в
соответствии с A0.39) равна
о00т 2т2 ° п2 с
A0.44)
здесь мы использовали выражения A0.37), A0.42) и A0.43).
Если ограничиться рассмотрением оптического волноводного
устройства, то площадь поперечного сечения М> имеет обычно
порядок величины {Х/поJ. Скорость затухания 1/т0 определяется
амплитудным коэффициентом потерь а [м-1] линейной среды,
заполняющей резонатор. Таким образом [ср. с формулой
G.46)],
= 2ас/по. A0.45)
Скорость затухания \/%е для «зеркала» с пропусканием Т дается
формулой G.43). Зеркалом может быть РОС-структура;
выражение G.43) применимо и в этом случае, если размеры зеркала
значительно меньше эффективной длины резонатора /.
Объединяя формулы G.43), A0.42), A0.45) с соотношением A0.44),
получаем
| s+ |2 = (Т/2п) (aty/yio). A0.46)
Величина тг2ЯоА3а,измеряемая в Вт» представляет собой
основную характеристику нелинейной среды. Чем больше эта
величина, тем меньше мощность, необходимая для работы бистабиль-
ного устройства. Пропускание зеркала Т (< 1) можно
использовать для дальнейшего снижения мощности за счет
увеличения постоянной времени резонатора.
Рассмотрим, например, GaAs. Значение п2 на длине волны
X = 1,06 мкм равно [24]
я2=1,57- Ю"9 ед. СГС.
Для того чтобы перевести значение п2 из системы единиц СГС
в единицы МКС, выразим электрическое поле в В/м, а
мощность в Вт/м2. Тогда
п = п0 + п2 [МКС] / [Вт/м2].
Преобразование одной системы в другую дает
п2[МКС] = Dя/3) • 10A/az0)п2[СГС].
Кроме того, мы имеем
по = 3,2, а = 6- 10~3 см (при длине волны Я =10 мкм).
Таким образом, параметр нелинейности равен
3а = 2,95- Ю3 Вт.

10.5. Заключение 323
В настоящее время интерес к бистабильным устройствам
объясняется их гистерезисными свойствами. Это позволяет
накапливать информацию в резонаторе оптическими методами, по
одному биту на резонатор. Недостатком системы является то,
что такое устройство «хранит» информацию лишь до тех пор,
пока на входе резонатора имеется сигнал с амплитудой s+.
Постоянная времени устройства определяется либо постоянной
времени среды, либо характерным временем резонатора в
зависимости от того, какая из этих величин больше.
10.5. Заключение
Изучение некоторых нелинейных оптических явлений
значительно упрощается, если предположить, что зависимость показателя
преломления от интенсивности имеет вид п = /70 + n2l.
Интенсивный оптический пучок в максимуме своего распределения
вызывает увеличение показателя преломления (п2 > 0) и таким
образом формирует оптический волновод. Это явление
называется самофокусировкой и описывается нелинейным
уравнением Шредингера. В двумерном случае (плоская геометрия)
это уравнение имеет простое стационарное решение в виде
гиперболического секанса с фазовым множителем. Фазовый
множитель описывает наклон оси пучка относительно оси г.
Дифракция, представленная оператором д2/дх2, компенсируется
искривлением волнового фронта за счет изменения показателя
преломления.
Аналогичное двумерное нелинейное уравнение Шредингера
описывает распространение солитонов в оптическом волокне.
Этот процесс похож на явление самофокусировки. Здесь
дисперсия действует как «дифракция» во времени и описывается
вместо пространственного дифракционного оператора д2/дх2
оператором A/2) (d2p/Ao2) (d2/dt2). Нелинейность показателя
преломления приводит к фазовым сдвигам, компенсирующим
влияние «дифракции». Интерес вызывают солитоны в их
общепринятом виде, у которых нормированная «площадь» равна 2я.
Есть надежда, что такая нормировка импульсов найдет
практическое применение.
Установившееся решение уравнения пассивной
синхронизации мод аналогично решению нелинейного уравнения
Шредингера. Процесс является консервативным, и такая аналогия не
распространима на случай неустановившегося режима.
Импульсы, получаемые с помощью пассивной синхронизации мод,
значительно короче, чем при активной синхронизации мод
благодаря более эффективному их формированию. Это
демонстрируется простым числовым примером и в достаточной степени
подтверждается экспериментально.
Теория резонаторов, развитая в разд. 7.2, была использована

324 Гл. 10. Некоторые нелинейные явления
для анализа бистабильных устройств. Бистабильность можно
получить в среде с насыщающимся поглотителем. В резонаторе
с большими потерями внутренняя энергия является невысокой
до тех пор, пока мощность входного сигнала не достигнет
критического порога переключения. При этом внутреняя энергия
переключается на более высокий уровень, а поглотитель
насыщается. При обратном движении вдоль характеристической
кривой (при уменьшении мощности входного сигнала) высокий
уровень внутренней энергии поддерживается даже тогда, когда
входная мощность становится ниже первоначального порога
переключения. Среда с нелинейным показателем преломления
позволяет создать устройство, весьма близко напоминающее
бистабильный элемент. Однако теперь два состояния
соответствуют различным резонансным частотам резонатора; одно из
состояний имеет место при высоком уровне внутренней энергии,
а другое — при низком.
Задачи
10.1. В установившемся состоянии самосфокусировавшийся цилиндрический
пучок имеет характерную мощность. Из рассмотрения, приведенного в
разд. 10.1, следует, что уравнение, описывающее профиль распределения
пучка, можно записать в нормированном виде:
тт(«4г)+| ¦"•»-«'• <¦>
где X— собственное значение, | = р/а, причем а — расстояние
нормировки, U = и/у Is. Интенсивность Is определяется выражением
Это выражение позволяет вычислить характерную мощность. Решая
уравнение A) [8, 9]. получаем для основной моды следующее значение
интеграла:
Каково установившееся значение самофокусированной мощности в
сероуглероде CS2 (п2= 1,2-Ю-11 ед. СГС, п0 = 1,61, X = 632,8 нм) [25]?
10.2. Найдите энергию солитона длительностью т = 1 пс,
распространяющегося в одномодовом кварцевом волокне (тип С2828); п0 = 1,53; пг =
= 0,0208- Ю-11 ед. СГС [25]. Дисперсия составляет 102 пс/нм (ср. с
рис. 6.15). Можно считать, что мода имеет гауссов профиль
распределения с Wo = 1,5 мкм. Длина волны излучения равна 1,4 мкм.
10.3. Пусть импульс, имеющий гауссову форму
A it- z/vg) = Ло ехр {_ [(t - z)Ag72Tp}'
распространяется в недиспергирующем волокне с нелинейным
показателем преломления Пч > 0. Используя формулу A0.19), покажите, что
первоначальный импульс без ЛЧ-модуляции становится ЛЧ-модулирован-
ным. Вычислите спектр импульса после прохождения им расстояния /.
Покажите, что спектр уширяется.

Литература 325
10.4. При синхронизации мод дисперсии усиления противодействует
зависимость усиления от времени. Ширина импульса при активной
синхронизации мод попорциональна величине
В случае пассивной синхронизации мод насыщающимся поглотителем
при равенстве коэффициентов потерь и усиления ширина импульса
пропорциональна величине
l/0gYs
Покажите, что в обоих случаях ширина импульса пропорциональна
отношению
4/
[®g ' (I Кривизна зависимости усиления от времени |I/2]1/2
10.5. Найдите диапазон параметров, в пределах которого зависимость А/а0 от
5+/а0 на рис. 10.5 является однозначной.
10.6. В бистабильных устройствах желательно иметь максимально возможную
величину отношения |a2|2/|ai|2 (ср. с рис. 10.7). Найдите наибольшее
достижимое значение этого параметра.
ЛИТЕРАТУРА
1. Mollenauer L. F., Stolen R* #., Gordon J. P., "Experimental observation
of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers", Phys. Rev.
Lett., 45, No. 13, 1095—1098 A980).
2. Захаров В. ?., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки
и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. — ЖЭТФ, 1971,
т. 61, в. 1G), с. 118-134.
3. Haus Н. A, "Physical interpretation of inverse scattering formalism applied
to self-induced transparency", Rev. Mod. Phys., 51, No. 2, 331—339 A979).
4. Whitham G. В.. Linear and Nonlinear Waves, Wiley-Interscience, New York,
1974.
5. Каир D. /., "Coherent pulse propagation: a comparison of the complete
solution with the McCall— Hahn theory and others", Phys. Rev. A. 16,
No. 2, 704—719 A977).
6. Каир D. J., Reiman A., Bers A., "Space-time evolution of nonlinear three-
wave interactions, I. Interactions in an homogeneous medium", Rev. Mod.
Phys., 51, No. 2 A979).
7. McCall S. L, Hahn E. L, "Self-induced transparency", Phys. Rev., 183,
No. 2, 457—485 A969).
8. Chiao R. Y.. Gar mire ?., Townes С. Я., "Self-trapping of optical beams",
Phys. Rev. Lett, 13, No. 15, 479—482 A964).
9. Haus H. A.y "Higher order trapped light beam solutions", Appl. Phys. Lett.,
8, 128—129 A966).
10. Kelley P. L., "Self-focusing of optical beams", Phys. Rev. Lett., 15, No. 26,
1005—1008 A965).
11. Haus H. Л., "Theory of modelocking with a fast saturable absorber" J
Appl. Phys., 46, No. 7, 3049—3058 A975).
12. Haus H. Л., "Modelocking of semiconductor laser diodes", Jap. J. Appl.
Phys., 20, No. 6, 1007—1020 A981).
13. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М.:
Наука, 1982

326 Гл. 10. Некоторые нелинейные явления
14. Hagelstein P., "Periodic pulse solutions and stability in the fast absorber
model", IEEE J. Quantum Electron., QE-14, No. 6, 443—450 A978).
15. Haus #., A, "Theory of modelocking with a slow saturable absorber", IEEE
J. Quantum Electron., QE-11, 736—746 A975).
16. Fork R. L., Greene B. /., Shank C. V., "Generation of optical pulses shorter
than 0,1 psec by colliding pulse modelocking", Appl. Phys. Lett, 38, 671—
672 A981).
17. Shank C. V., Fork R. L,, Yen R., Stolen R. #., "Compression of
femtosecond optical pulses", Appl. Phys. Lett., 40, 761—763 A982).
18. Szoke A, Daneu V., Goldhar /., Kurnit N. A, Bistable optical element and
its applications", Appl. Phys. Lett., 15, 376—379 A969).
19. Gibbs H. M., McCall S. L. Vencatesan T. N. C, Gossard A. C, Passner Л.,
Wiegmann W., "Optical bistability in semiconductors", Appl. Phys. Lett., 35,
451—453 A979).
20. Optical bistability, IEEE J. Quantum Electron., Mar. 1981, спец. выпуск.
21. Gibbs H. M., McCall S. L, Gossard A. C, Passner A, Wiegmann W., Ven-
katesan T. N< C, Controlling light with ligth: optical bistability and optical
modulation, in: Laser Spectroscopy IV (eds. H. Walther, K. W. Rothe),
Springer-Verlag. Berlin, 1979.
22. Garmire ?., Allen S. Z)., Marburger /., Multimode integrated optical
bistability switch, Opt. Lett., 3, 69—71 A979).
23. Smith P. W., "On the physical limits of digital optical switching and logic-
elements", Bell System Technical Journal, 61, 1975—1994 A982).
24. Chen Y. /., Carter G. M., "Measurement of third order nonlinear
susceptibilities by surface plasmons", Appl. Phys. Lett., 41, 307—309 A982).
25. Chang Т. У., "Fast self-induced refractive index changes in optical mediar
A survey", Opt. Eng.. 20, 220—232 A981).

Глава 11
Распространение волн в анизотропных
средах
Нелинейные оптические процессы, как правило, происходят в
анизотропных средах. В частности, вследствие анизотропии
смесительного кристалла выполняется условие фазового
согласования при генерации второй гармоники. Анизотропия, наведенная
приложенным электрическим полем, обеспечивает модуляцию
оптического сигнала. Поэтому, прежде чем дать более
детальное, чем в гл. 10, рассмотрение вопросов нелинейной оптики, мы
изучим линейное распространение волн в анизотропных средах
и представим некоторые основные соотношения для таких сред.
В разд. 11.1 мы рассмотрим теорему Пойнтинга применительно
к анизотропной среде. Из этой теоремы и принципа
обратимости следует, что тензор диэлектрической проницаемости 8
должен быть вещественным и симметричным. Разд. 11.2
посвящен изучению распространения волн в анизотропной среде, а
также построению эллипсоидов показателей преломления и
поверхности нормалей (или волновых векторов), которая
определяет скорость распространения волн в любом направлении в
кристалле. В разд. 11.4 мы изучим распространение волнового
лакета в анизотропной диспергирующей среде и дадим понятие
групповой скорости. Как показано в разд. 11.5, групповая
скорость есть скорость распространения энергии. В разд. 11.6 мы
рассмотрим распространение эрмит-гауссовых пучков в
анизотропной среде. Дополнительную информацию читатель может
найти в книгах [1, 2].
11.1. Диэлектрический тензор анизотропной среды
и теорема Пойнтинга
В линейной и анизотропной среде должны существовать общие
линейные соотношения между тремя компонентами вектора
плотности поляризации Pi (i = ху у, г) и тремя компонентами
электрического поля Ei. Эти соотношения можно записать
следующим образом:
Pi = 80 S %i /?/>
f=x, у, z
где коэффициенты определяют тензор восприимчивости %*/•

328 Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
В дальнейшем мы опускаем повсюду знак суммирования и
используем правило Эйнштейна, подразумевающее суммирование
по повторяющимся индексам:
Обычно три декартовы координаты обозначают номерами 1, 2, 3
вместо букв х, у, г. Мы будем применять оба обозначения.
Кроме того, используется векторная форма записи:
Р = еох-Б, A1.2)
которая не зависит от выбора системы координат.
Тензор диэлектрической проницаемости с компонентами гц
удобно записать через вектор плотности электрической индукции
Dt» во?, + Рь = 80 (/„ + %ц) Ej = гиЕ„ A1.3>
где Itj — единичный тензор, у которого диагональные элементы
равны единице, а все остальные нулю. В векторном обозначении
имеем __
D = e E; A1.4)
здесь е — тензор диэлектрической проницаемости, определяемый
девятью «компонентами». С помощью теоремы Пойнтинга в
комплексной форме, справедливой для случая анизотропной
диэлектрической среды, мы покажем, что не все эти компоненты
независимы. Уравнения Максвелла в отсутствие
намагниченности имеют общий вид [ср. с уравнениями A.7) — A.10)]:
A1.5>
A1.6)
A1.7)
A1.8)
Эти уравнения дополняются новым материальным уравнением
A1.4) для линейной анизотропной среды. Нередко возникает
необходимость в зависимости, обратной A1.4):
Е = х D, A1.9)
где тензор х является обратным тензору е:
к = [7]~\ A1.10)
Материальные уравнения A1.4) и A1.9) можно обобщить
на случай анизотропной среды с дисперсией:
D=es(©).E, A1.11)
E = x(<d)-D; A1.12)

11.1. Диэлектрический тензор анизотропной среды 329
здесь е (со) и х(со) являются, вообще говоря, комплексными
тензорами, элементы которых зависят от частоты. Уравнения
Максвелла с учетом обобщенных материальных уравнений A1.11)
можно записать в комплексной форме следующим образом:
A1.13)
-E, A1.14)
V.[I(co).E]=p, A1.15)
A1.16)
Используя теорему Пойнтинга в комплексной форме, теперь
покажем, что в непоглощающей среде тензор ёГ обладает
свойствами симметрии. Теорема Пойнтинга в комплексной форме
выводится тем же способом, как и A.48), и записывается в виде
V-(EXHV /о (Е • ? • Е* - (IqH • Н*) + Е • Г = 0. A1.17)
В случае синусоидальной зависимости в установившемся
состоянии (величина со вещественна) усредненная по времени
мощность, передаваемая диэлектрической среде без потерь,
должна быть равна нулю:
Re [/соЕ • ? . Е*] = -Im [соЕ • е* ¦ Е*] = 0.
Это равенство должно выполняться при произвольном выборе
компонент вектора Е. Например, если у вектора Е отлична от
нуля только компонента Ev, то Im [e* I Ev |21 = 0 и, следователь-
но, составляющая гХх вещественна; аналогично вещественными
должны быть и составляющие еуу и ezz. Кроме того,
im [8;^е; + 8;,е,е;] = im [(гху - гух) exe;j = о.
Поскольку значения Е* и Еу произвольны, имеем
Приведенное доказательство аналогично установлению
зависимости между коэффициентами связи к\2 и Х21 в выражении
G.61) с использованием закона сохранения энергии.
Составляющая еХу соответствует /xi2, а гух — величине /x2i.
Таким образом, в общем случае имеем
ец = гц A1.18)
для вещественных значений со; тензор г является эрмитовым.
Он не симметричен в том смысле, что транспонирование его
дает комплексно-сопряженный тензор. Для сред с
асимметричным тензором е доказательство теоремы взаимности из разд. 3.1
¦оказывается неверным, в чем читатель может убедиться, по-

330 Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
вторив доказательство для анизотропной диэлектрической
среды, диэлектрическая проницаемость которой является
тензором. Мы не будем изучать невзаимные среды (любая из таких
сред должна обладать магнитными свойствами), а ограничимся
рассмотрением лишь взаимных сред без потерь. Они имеют
вещественные симметричные_ тензоры диэлектрической
проницаемости. Обратный тензор % = е-1 является также
вещественным и симметричным.
11.2. Распространение волн в анизотропных
взаимных средах без потерь
Распространение плоских волн в анизотропных средах
описывается, с одной стороны, уравнениями Максвелла, а с другой
стороны — анизотропным диэлектрическим материальным
уравнением. Рассмотрим сначала ограничения, налагаемые на
векторы D и Е уравнениями Максвелла, а затем, вводя
материальное соотношение между D и Е, определим постоянные
распространения k волн в анизотропной среде. Начнем с того, что,
задав пространственную зависимость в виде ехр(—/к г),
докажем с помощью уравнений Максвелла следующее
соотношение:
где Ei — составляющая вектора Е, перпендикулярная
волновому вектору к. Для среды, свободной от токов проводимости,
уравнения Максвелла в комплексной форме запишутся
следующим образом [ср. с формулами A1.14) и A1.13)]:
VXH=/cdD, A1.20)
VXE = -Mi0H. A1.21)
Возьмем ротор от обеих частей уравнения A1.21) и
воспользуемся A1.20), чтобы исключить вектор Н:
A1.22)
Если предположить зависимость полей от пространственных
координат в виде е~1к'т, то получим
V X (V X Е) = k2 (E - ^- к) = к2Ех. A1.23)
Из этого уравнения следует, что действие оператора VXV на
функцию типа ехр(—/к-г) дает вектор, перпендикулярный к.
В соответствии с формулой A1.22) вектор D параллелен
VX(VXE) и, следовательно, он должен быть перпендикулярен
вектору к. Кроме того, в отсутствие свободных зарядов перпен-

11.2. Распространение волн в анизотропных взаимных средах
Плоскость
векторов Е,
331
Рис. 11.1. Расположение векторов D, Е и к.
дикулярность векторов D и к следует из уравнения для
дивергенции A1.7), которое дает
—/k-D = 0. A1.24)
Мы подставили предполагаемую пространственную зависимость
в два из четырех уравнений Максвелла (закон Ампера и закон
Фарадея) и обнаружили, что третье уравнение Максвелла,
а именно закон Гаусса для электрических полей выполняется
автоматически.
Возвращаясь к выражениям A1.22) и A1.23), замечаем, что
вместе они приводят к соотношению A1.19), которое таким
образом доказано. Относительное расположение векторов D,
Е и к показано на рис. 11.1.
Рассмотрим теперь материальное уравнение A1.12), в
котором к является вещественным симметричным тензором.
Ориентируя соответствующим образом систему координат
относительно среды, симметричный тензор можно диагонализовать
(это доказывается в приложении 11 А, посвященном
преобразованиям тензоров). Рассмотрим сначала материальное
уравнение в такой системе координат, в которой тензор х диагоналей:
\*хх 0 0]
х- 0 7суу 0 .
L о о nzz\
A1.25)
Декартовы координаты х, у> z выбраны вдоль главных осей
тензора.

332 Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
Распространение вдоль главных осей
Если вектор к плоской волны направлен вдоль оси г, та
в соответствии с формулой A1.24) мы имеем Dz = 0. В этом
частном случае составляющая Ег равна нулю, поскольку
тензор х диагоналей. Остальные компоненты (х и у) векторов D
и Е связаны соотношениями
EX = *XXDX9 A1.26)
Ъу = кУуЪу. (П-27>
Если вектор D имеет нелинейную поляризацию вдоль одной из
осей (либо х, либо у) и кХх Ф куу, то составляющая Ех
оказывается не параллельной D, что противоречит соотношению
A1.19). Отсюда заключаем, что волна, распространяющаяся
вдоль главной оси в направлении г, должна быть линейно
поляризованной вдоль одной из двух оставшихся главных осей
тензора диэлектрической проницаемости. В случае когда
электрическое поле поляризовано вдоль оси ху из соотношений
A1.19) и A1.26) находим, что
k* = ^K*. (И.28)
Фазовая скорость волны равна л/кхх/\х0. Аналогично для у-ио-
ляризованных векторов D и Е из соотношений A1.27) и A1.19)
имеем
^-coW*^. A1.29)
Фазовая скорость этой волны равна л/куу/^о. Таким образом,,
фазовые скорости волн разной конструкции,
распространяющихся вдоль оси г, различны. Кристаллы, в которых
распространяются волны различной поляризации с разными фазовыми
скоростями, называют двулучепреломляющими. К аналогичным
выводам приходим, выбирая вектор к вдоль осей х или у.
Если линейно поляризованная волна, распространяющаяся
в направлении оси «г, падает нормально на поверхность
кристалла (параллельную плоскости х> у), то она частично
отразится, а частично пройдет в глубь кристалла, причем мы будем
иметь две волны, линейно поляризованные вдоль осей х и у
и распространяющиеся с соответствующими фазовыми
скоростями. Граничные условия удовлетворяются отдельно для
каждой из двух поляризаций (см. задачу 11.4).
Распространение в произвольном направлении
До сих пор мы имели дело с распределением вдоль главных
осей тензора к (или тензора е). Покажем теперь, каким
образом можно определить величину волнового вектора с произ-

11.2. Распространение волн в анизотропных взаимных средах 333
вольным направлением в пространстве и соответствующее ему
состояние поляризации. У волны с данным направлением
волнового вектора к вектор электрической индукции D
перпендикулярен этому направлению; вектор D лежит в плоскости,
перпендикулярной к (см. рис. 11.1). Проекция электрического поля
Е на эту плоскость должна быть параллельной вектору D
и связанной с ним соотношением A1.19). Для того чтобы найти
возможные направления векторов D и Е, запишем тензор к
в системе координат, ось z которой совпадает с вектором к.
В этой системе координат (будем обозначать ее штрихами)
-г-компонента вектора D обращается в нуль и, следовательно,
составляющие вектора Е_ь перпендикулярные к, запишутся в
виде
Е'х = кххЪ'х + x'xyDy, A1.30)
; '' ' A1.31)
причем KyX = K'xy. Векторы Е± и D параллельны друг другу,
только если
ЕХ = ЯЭ, A1.32)
где X — скалярная величина. Вводя это ограничение в
уравнения A1.30) и A1.31), находим однородное уравнение для Х9
а именно уравнение на собственные значения. Нетривиальные
решения существуют, только если его детерминант равен нулю:
{*хх - Л) (щу - Я) - кх2у = 0. A1.33)
Это квадратное уравнение имеет два решения:
{пщ
Направления собственных векторов, принадлежащих этим двум
решениям, находятся подстановкой последних в уравнение
A1.30):
К *'ху
Тангенс угла наклона 6 вектора D по отношению к оси хг равен
t0 D^/D^ (рис. 11.2). Используя тождество
= 2tge/(l-tg29)
и выражение A1.35), получаем
tg29 = 2<у/(>4-*;,,). (Ц.36)

334
Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
Рис. 11.2. Направления собственных векторов. Указаны направления векторов
D, для которых вектор Ej_ параллелен D.
Это уравнение определяет два взаимно перпендикулярных
направления, показанных на рис. 11.2. В соответствии с A1.21)
вектор Ех связан с D через собственные значения Л±;
постоянные распространения, отвечающие этим двум собственным
значениям находим из соотношения A1.19):
A1.37)
Эллипсоид показателей преломления
Операции, описанные выше, наиболее просто представить
с помощью поверхности второго порядка, определяемой
компонентами тензора к. В системе координат, совпадающей с
главными осями, уравнение поверхности запишется в виде
+ КууУ2 + *zzz2 = 1/во.
A1.38)
Поскольку компоненты кц всегда положительны (см.
приложение НА), это уравнение эллипсоида. В штрихованной системе
координат с осью z\ параллельной выбранному направлению
вектора к, уравнение эллипсоида принимает вид
A1.39)
Плоскость, проходящая через начало координат г' = 0 и
перпендикулярная оси г\ рассекает эллипсоид по эллипсу
(рис. 11.3, а)
A1.40)

11.2. Распространение волн в анизотропных взаимных средах
335
Выбирая новые координаты х" и у" таким образом, чтобы
ось х" составляла с осью хг угол 0 (рис. 11.3, б):
х' = х" cosQ — y" sinQ,
у/ = х// sine + //"cos0,
A1.41)
получаем новое уравнение эллипса, содержащее новые
тензорные компоненты х^, где i, j = x, у. Нетрудно показать, что
недиагональный элемент запишется в виде
<у = <у cos 29 + (»/2) К, - *'хх) sin Ж (l l-42)
Выбирая соответствующим образом tg 20 = 2х^/(х^—к'уу)9
недиагональный элемент к" можно свести к нулю. Это значение
угла 0 уже было получено в выражении A1.36). Поле Е
параллельно вектору D, если последний направлен вдоль одной из
Сечение,
перпендикулярное
оси гг
а
Рис. 11.3. а — эллипсоид, определяемый уравнением A1.38); б — эллипс
в плоскости, перпендикулярной оси z'.

336 Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
осей х" или у"\
A1.43)
A1.44)
где
D
цуу _ _ у ^ _ j -f- Xjfy .
Очевидно, что х^ = Я+, а >с^ = Я_, т. е. мы получаем
собственные значения, определяемые выражением A1.34). Таким
образом, выражения A1.43) и A1.44) представляют собой
решения характеристического уравнения A1.32).
Уравнение эллипсоида A1.38) дает геометрическую
интерпретацию выражения A1.32). Для того чтобы найти
поляризацию волновых решений и их постоянные распространения
в случае, когда вектор к ориентирован вдоль общего
направления z7, следует поступить следующим образом (см. рис. 11.3, а
и 11.3,6):
1) необходимо рассечь эллипсоид тензора к A1.38)
плоскостью, перпендикулярной оси zf и
2) выбрать координаты х" и у" вдоль главных осей эллипса
пересечения.
Волна с вектором D, направленным вдоль оси х", имеет
величину |к|, равную 1г = (йп"х/с, где n"XXi — 1/д/е0^, а волна с
вектором D, параллельным оси у"у имеет k = mn/1rJ1Jlcy где #'' =
______ У У/ УУ
= 1/<\/в0Куу. Показатели преломления п"хх и пуу являются
главными осями эллипса пересечения (рис. 11.3). Поэтому эллипсоид
A1.38) также называют эллипсоидом показателей преломления.
Для того чтобы более четко представить себе эту
интерпретацию, уравнение эллипсоида A1.38) можно переписать в виде
О
пхх
О1-45)
где n*xesl/eoxxx и т. д.
Поверхность нормалей
Мы нашли, что каждому направлению распространения
можно сопоставить две взаимно перпендикулярных поляризации
вектора D. Величина к для этих двух направлений определяется
выражением A1.37). Отмечая два значения величины k для

11.2. Распространение волн в анизотропных взаимных средах
337
каждого направления вектора к, можно построить поверхность
векторов к, или показателей преломления n = k(c/co). Эта
поверхность (волновых) нормалей является в общем случае
поверхностью четвертого порядка. Для одноосного кристалла
поверхность четвертого порядка вырождается в сферу и
эллипсоид, что мы теперь и покажем.
Эллипсоид показателей преломления одноосного кристалла
(рис. 11.4) имеет одну ось вращательной симметрии — ось г.
Проведем плоскость, перпендикулярную вектору к. Малая и
большая оси эллипса пересечения лежат соответственно в
плоскости рисунка и в перпендикулярной ей плоскости. Точку
поверхности нормалей находим, откладывая в направлении век-
\ Эллипсоид
показателей.
преломления
/1 Плоскость,
I перпендикулярная к
/ Обыкновенная
поверхность
нормалей
Необыкновенная
поверхность
нормалей
z i
Обыкновенная
Необыкновенная
Рис. 11.4. Геометрия поверхности нормалей. Поверхность имеет вращательную
симметрию относительно оси г. Наверху изображен случай положительного
одноосного кристалла, а внизу — случай отрицательного одноосного
кристалла.

338 Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
тора к расстояние 1/д/и"л:8о> КОТОРое равно длине малой оси
эллипса пересечения. Повторяя эту процедуру для всех
ориентации вектора к в плоскости рисунка, получаем эллипс с осями,
ортогональными поверхности эллипсоида пересечения. Большая
ось 1/д/^е0 имеет постоянную длину для всех ориентации
k/сод/\хе0 и дает окружность, показанную в поперечном сечении.
Полная поверхность нормалей получается вращением
окружности и эллипса вокруг оси симметрии кристалла (оси z).
Образующаяся при этом сфера является поверхностью, которой
соответствует распространение обыкновенной волны; эллипсоид
вращения соответствует распространению необыкновенной
волны. Уравнение эллипсоида показателей преломления для
одноосного кристалла является упрощенным вариантом выражения
A1.45):
2 2 2
где «обыкновенный» показатель преломления п0 определяется
выражением
п0 = пхх = пуу = 1/еокхх = 1/гокуу = ехх/е0 = гуу/е0,
а «нобыкновенный» показатель преломления пе записывается
в виде
Поверхность нормалей составлена из эллипсоида
и сферы
^ + ^"=1 (И.47>
=l. A1.48)
Поверхность нормалей можно представить как поверхность в
пространстве волновых векторов к, поскольку она определяет
амплитуду вектора к для любого направления. Для
необыкновенной волны
(kl + kl)/n2e + kl/nl = а>2/С2, A1.49)
а для обыкновенной
В диспергирующей одноосной среде величины пе и по зависят
от частоты.
Используемое нами понятие поверхности нормалей
согласуется с работой [1]. В литературе часто строят лучевую по-

11.3. Плотность энергии в анизотропном диэлектрике 339
верхность, откладывая значения обратного показателя
преломления в направлении групповой скорости [2]. Следует
разделять эти два способа.
11.3. Плотность энергии в анизотропном
диэлектрике с дисперсией
Тензор диэлектрической проницаемости анизотропного
диэлектрика с дисперсией, но не имеющего потерь и
удовлетворяющего свойству взаимности, является симметричным, зависит от
частоты со, причем для вещественных значений частоты со он
является вещественным. Определим среднюю по времени
плотность энергии в диэлектрике. Так как поляризация
Pi = Ьц (о) — еоЛ/] ?/
не является непосредственной функцией поля ?/, то нельзя
утверждать, что средняя по времени плотность энергии в
диэлектрике равна просто A/4)Е*-ёГ-Е, как в случае
диэлектрической среды без дисперсии. Чтобы найти среднюю по времени
плотность энергии, необходимо тщательно изучить вопрос
о мощности, передаваемой диэлектрику при возрастании поля.
Поскольку тензор *Г является функцией частоты со, нарастание
поля должно сохранять квазимонохроматичность (одночастот-
ный характер) поля.
Начнем рассмотрение с уравнений Максвелла A1.13) и
A1.14) при J = 0:
A1.50)
A1.51)
В мысленном эксперименте мы возмущаем эти уравнения
малым током накачки 6J на частоте со + бсо, причем Im бсо < 0,
так что зависимость от времени имеет вид ехр(|1тбсо|ОХ
Хехр[/(соо + Re бсо) ^] в соответствии со скоростью нарастания
поля. Ток накачки вызывает экспоненциальное нарастание поля.
В первом порядке возмущения уравнения A1.13) и A1.14)
имеют вид (Е->- Е + 6Е, Н-> Н + 6Н и т. п.)
V X 6Е = — /cojli06H — /бсоц0Н, A1.52)
V X 6Н = 6J + /б (сое) • 6Е. A1.53)
Умножим скалярно комплексно-сопряженное уравнение A1.50)
на 6Н, комплексно-сопряженное уравнение A1.51) на —6Е,
уравнение A1.52) на Н*, A1.53) на —Е* и результаты
сложим. Рассматривая возмущение бсо как дифференциал, полу-

340 Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
ченный нами результат имеет вид теоремы Пойнтинга для
возмущений
+ /бсо[[х0Н ¦ Н* + Е* • ?^р. • Е] + Е* • 6J = 0. A1.54)
Произведение —(l/2)ReE*-6J представляет собой удельную
мощность возмущающих токов. Благодаря их наличию в
вышеприведенном уравнении член A/2) [Е*Х 6Н + 6ЕХ Н*] можно
рассматривать как возмущение вектора Пойнтинга,
обусловленное током 6J. Мнимая часть второго члена в A1.54), а
именно: _
-1тBб©L- [иоН • Н* + Е* • -^- • Е]
должна быть равна скорости изменения средней по
времени плотности энергии. Естественно, энергия
квадратична по амплитуде поля. Экспоненциальное нарастание поля
ехр [—Im (бсо) t] сопровождается экспоненциальным ростом
энергии от времени в виде ехр{—2[ImFco)/]}. Скорость
нарастания, т. е. производная по времени, равносильна
умножению на величину —ImB6(o). Таким образом, средняя по
времени плотность энергии в диэлектрике равна
(we) = A/4) Е* - (dcoe/dcD) • Е. A1.55)
В случае изотропного диэлектрика без дисперсии мы имеем
(wey =A/4)еЕ-Е*, т. е. уже известное соотношение.
Вывод выражения для средней по времени энергии
применим к любому квазимонохроматичному процессу. Плотность
энергии плоской волны дается выражением A1.55) как частный
случай соотношения общего вида. В разд. 11.5 мы повторим
этот вывод применительно к плоской волне и получим, кроме
того, явные выражения, связывающие групповую скорость,
плотность потока мощности и плотность энергии.
11.4. Групповая скорость в анизотропном
диэлектрике с дисперсией
Оптический пучок с конечными поперечными размерами можно
представить в виде суперпозиции плоских волн с различными
ориентациями волнового вектора к. Это мы уже
продемонстрировали на примере эрмит-гауссовых пучков,
распространяющихся в свободном пространстве. Здесь же мы обобщим
анализ на суперпозицию волн с различными векторами к и
разными частотами, образующую волновой пакет, ограниченный

11.4. Групповая скорость в анизотропном диэлектрике 341
в трех пространственных измерениях. Вместо интеграла по
совокупности поперечных компонент вектора к на одной частоте
мы производим интегрирование как по поперечным, так и по
продольным составляющим вектора к. Частота при этом
изменяется в соответствии с дисперсионным уравнением
| к (со) | = (со/с) п (к, со). A1.56)
Дисперсионное уравнение задает поверхность в ^-пространстве
для каждого значения со. Очевидно, что поверхность нормалей
совпадает с поверхностью ck/со при постоянной частоте со.
Запишем решение волнового уравнения для электрического
поля Е(г, /) в анизотропной среде в виде суперпозиции плоских
волн, волновые векторы которых находятся вблизи вектора ко,
т. е. к = ко + Ак, а частоты вблизи частоты соо, т. е. со =
= «о + Асо:
Е (г, /) = J d3Akexp {}[Ы - (к0 + Ак) • г]} Е (А/г). A1.57)
В этом интеграле d3Ak означает интегрирование по трем
составляющим вектора Ак. Электрическое поле E(r, t) является,
вообще говоря, комплексным, поскольку оно представляет собой,
только положительно-частотную часть полной функции,
зависящей от времени [ср. с формулой A.85)]. Пространственно-
временную зависимость ехр[/(соо/ — ко*г)] можно факторизо-
вать и разложить частоту со в ряд по возмущению Ак:
© = Щ + Асо = со0 + (дсо/дк) • Ак = соо + (Vkco) • Дк, A1.58)
где дсо/дк — градиент частоты со в к-пространстве; он
перпендикулярен поверхности постоянной частоты со. Используя
разложение A1.58), из выражения A1.57) получаем
Е(г, О = ехр[/(юо*-ко-г)]Х
X \ d3Ak ехр [-/Ак • (г — Vkco/)] E (Ак). A1.59>
Волновой пакет движется с фазовой скоростью соо/|к0| в
направлении вектора ко ис групповой скоростью vg = Vkco в
направлении, перпендикулярном поверхности k = k(co) при
постоянной частоте со.
Рассмотрим вначале случай без дисперсии, когда
поверхность волновых нормалей не зависит от частоты. Градиент Vkco
перпендикулярен поверхности волновых нормалей, построенной
при к = ко, а групповая скорость равна vg = с /п.
Для того чтобы более ясно показать процедуру построения
волнового пакета в случае зависящей от частоты формы
поверхности нормалей, проделаем это в несколько этапов. Интеграл
по Ак в выражении A1.59) разделяется на две части: dAk^dAk^
по поверхности постоянной частоты в к-пространстве и по>

342 Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
Поверхность векторов к
при постоянной частоте ш
11.5. Координаты
$ в направлении, перпендикулярном этой поверхности
(рис. 11.5). Первый интеграл по поверхности постоянной
частоты со дает форму пучка, которая была бы достигнута в
установившемся режиме (со постоянна). Интеграл по Ak% является
интегралом по частоте, так как величина Ak$ параллельна
градиенту Vk©; с изменением Ak$ связано соответствующее
изменение частоты со. Интеграл по ki образует волновой пакет
конечной протяженности во времени и конечных размеров в
направлении вектора к. Этот волновой пакет движется в
направлении к? СО СКОрОСТЬЮ | VkCO |.
Нетрудно найти величину групповой скорости вдоль
главных осей эллипсоида показателей преломления. Таким образом,
вдоль оси х
& = ckx/nxx.
Дифференцирование частоты со по kx дает
da>/dkx = — (с/п2хх) {дпхх/ди>) {dco/dkx) kx + c/nxx;
следовательно, для групповой скорости vg = dco/dkx получаем
d(i)/dkx = Vg =
1
nxx
(дпхх/да)
A1.60)
В разд. 6.9 мы определили скорость перемещения энергии
как отношение средней по времени мощности волны к ее
энергии на единицу длины. Формируя волновой пакет из волн со
слабо отличающимися частотами, мы нашли, что эта скорость
равна групповой скорости. Аналогичный вывод можно повто-

11.5. Групповая скорость, поток мощности и плотность энергии 343
рить для плоской волны в анизотропной среде, в результате
чего мы получим, что средний по времени поток мощности
через единичную площадь (l/2)Re[EX H*] связан с величиной
следующим образом:
(l/2)Re[EXH'] = vg(«;). A1.61)
Подробное доказательство этого соотношения приводится в
следующем разделе.
11.5. Групповая скорость, поток мощности
и плотность энергии в анизотропном
диэлектрике с дисперсией
В предыдущем разделе мы доказали, что энергия,
сосредоточенная в волновом пакете, должна распространяться со
скоростью волнового пакета. Это соображение привело к
соотношению между плотностью энергии и вектором Пойнтинга,
включающем в себя групповую скорость. В данном разделе мы
обобщим рассмотрение, проведенное в разд. 11.3 на возмущение
плоской волны, и строго докажем соотношение A1.61).
Рассмотрим плоскую волну с пространственно-временной
зависимостью ехр[/((о/ —k-r)] в среде с тензором
диэлектрической проницаемости ?(со). Применив в этом случае уравнения
A1.50) и A1.51), получим следующие уравнения:
—/к X Е = —/copi0H, A1.62)
_/кХН = /сое-Е, A1.63)
где со и к вещественны для плоской волны в среде без потерь.
Введем теперь мысленно в эти уравнения возмущение в виде
плотности возбуждающих токов 6J по частоте со + бсо с
постоянной распространения к + бк. Возмущения уравнений
A1.62) и A1.63) при Е-»Е + бЕ, Н->Н + бН запишутся в
виде
—/к X 6Е - /бк X Е = — /бсо^оН - /со|хо 6Н, A1.64)
-/к X 6Н - /бк X Н = /б (сое). Е + /01 • 6Е + 6J. A1.65)
Умножим скалярно комплексно-сопряженное уравнение A1.62)
на 6Н, комплексно-сопряженное уравнение A1.63) на —6Е,
уравнение A1.64) на Н*, уравнение A1.65) на —Е* и
результаты сложим. Эти операции приводят к возмущенной теореме

344 Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
Пойнтинга, отличающейся от формулы A1.54) наличием
членов с бк и бсо:
-/бк • (Е X Н* + Е* X Н) +
+ /бсо [ц0Н • Н* + Е* (dcoi/dco) • Е] + Е*. 6J = 0. A1.66)
Взяв вещественную часть этого выражения, получим
(Im6k).(EXH* + E*XH)-
- 1т бсо [\х0Н Н* + Е* (dcol/dco) • Е] + Re (Е* • 6J) = 0, A1.67)
где мы учли, что тензор е является эрмитовым при
вещественных значениях со. Последнее выражение представляет собой
формулировку закона сохранения энергии. Скорость изменения
вещественной части комплексного вектора Пойнтинга в
пространстве
S = A/2)EXH* A1.68)
равна 2(Im6k)-ReS. Скорость изменения средней плотности
энергии (w) во времени равна — 2Aтбсо)<ш>, причем [ср. с
A1.55)]
J( ^) A1.69)
В соответствии с формулой A1.67) пространственное изменение
величины Re S и нарастание во времени плотности энергии
определяются мощностью токов 6J, приложенных к единице
объема.
Для нахождения связи произведения групповой скорости на
плотность энергии с вектором Пойнтинга можно использовать
уравнение A1.66). В отсутствие источников (б/= 0) из A1.66),
A1.68) и A1.69) мы получаем следующее выражение для
вещественного бк:
бк • Re S = бсо (w). A1.70)
В отсутствие источников частота со связана с вектором к. При
фиксированной частоте поверхность волновых нормалей
определяет величину \k\ для любой ориентации вектора к
(рис. 11.6). В случае когда бсо = 0, поправка бк должна быть
параллельна поверхности волновых нормалей. Из формулы
A1.70) следует, что произведение бк-ReS равно нулю; иными
словами, вектор Re S перпендикулярен поверхности волновых
нормалей.
Используя эту информацию, перепишем уравнение A1.70)
в виде

11.6. Распространение эрмит-гауссова пучка в анизотропной среде 345
. Поверхность
\ векторов к»
Поверхность
нормалей.
Рис. 11.6. Поверхность нормалей и поверхность постоянной частоты 0.
где Vkco = дсо/дк — градиент частоты о) в пространстве векторов-
к, в котором частота со является функцией от к. Полученное
выражение завершает рассмотрение волнового пакета, начатое
в предыдущем разделе. Полезно также указать, что вектор
Пойнтинга, т. е. векторное произведение
перпендикулярен поверхности волновых нормалей и,
следовательно, электрическое поле Е параллельно этой поверхности.
11.6. Распространение эрмит-гауссова пучка
в анизотропной среде
Интересно изучить распространение эрмит-гауссовых пучков в-
анизотропных средах, поскольку такие пучки используются в
большинстве оптических приложений. Рассмотрим вначале
необыкновенные волны в одноосном кристалле. Поверхность
нормалей для таких волн (записанная через компоненты
волнового вектора) определяется соотношением A1.49). Скалярное
волновое уравнение относительно волны Ч? получается заменой
k2x на — д2/дх2, k2 /на — d2jdtj2, k\ на — д2д22в соответствии с

346 Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
обратным преобразованием Фурье:
-2ТТ + "^ГТ + ~ТГТ + ©WoW = 0. A1.71)
п%дх1 пгедуг n20dz2
Величина **? представляет собой амплитуду векторного
потенциала в направлении, перпендикулярном вектору D. Вводя
новые переменные
?_„ r n==« и Г = п у {\\ 79^
можно получить волновое уравнение в
сферически-симметричном виде
Таким образом, можно исаользовать все решения, полученные
для случая распространения в вакууме. В частности, поле
основной моды, распространяющейся в произвольном
направлении ?', дается выражением
где k = со/с. Картину распространения в реальном
пространстве можно получить, если преобразовать оптическую ось пучка
и волновые фронты в декартову систему координат ху уу г.
Направление ?' определяет ось пучка. В сферической системе
координат ось пучка и нормаль к волновому фронту совпадают.
Интересно проследить связь между направлением оси пучка
и направлением нормали к волновому фронту при обратном
переходе в анизотропную среду. В частности, в разд. 11.4
направление групповой скорости идентифицировалось как
направление нормали к поверхности волновых нормалей.
Поэтому следует ожидать, что ось гауссова пучка, которая
определяет направление распространения энергии, будет
перпендикулярна к поверхности волновых нормалей. Выберем некоторую
точку xq, 2o на оси гауссова пучка. Эта точка преобразуется
в точку g0, ?о. Угол Э, образуемый осью пучка с осью х
(рис. 11.7), дается выражением
tg В = zo/xo = neynol0 = (пе/п0) tg ф. A1.75)
Рассмотрим точки пересечения с фазовой плоскостью, которые
имеют в преобразованном пространстве координаты gi и ?ь Им
соответствуют точки с координатами х\у z\\
ne. A1.76)
Направление, перпендикулярное волновому фронту (т. е.
направление волнового вектора к), образует угол р с осью х:
A1.77)

11.6. Распространение эрмит-гауссова пучка в анизотропной среде 347
Поскольку прямая gi?i перпендикулярна вектору (?о>?о), имеем
?i/6i= So/So-
Таким образом, из формул A1.77) и A1.75) следует, что
tgP=41—= —¦^¦ = tge~. A1.78)
ЬО Пе Х0 ГГе ПГе
Рассмотрим теперь точку на поверхности волновых векторов,
для которой вектор к составляет с осью х угол C. При этом
эллипс, образуемый поверхностью нормалей после умножения
на со/с, т. е. k = (ю/с)я(к/|к|) описывается уравнением
(рис. 11.7,6)
kl/nl + kl/nl = co2jli080. A1.79)'
Уравнение касательной к эллипсу в точке пересечения с
вектором к, имеющим компоненты kx, kz, записывается в виде
dkjdkx = -kxnl/kznl A1.80)
Нормаль к касательной, параллельной групповой скорости,
направлена под углом, тангенс которого дается выражением
•* Z в 1^. о 6 /11O1Y
где 0 — угол наклона оси пучка, определяемый выражением
A1.75). Вектор kxx-\-kzz направлен вдоль фазовой скорости.
Следовательно, мы получили такую же зависимость между
направлениями групповой и фазовой скоростей, как и между
осью гауссова пучка и нормалью к фазовой повернхости на оси
пучка A1.78).
На рис. 1.7, в в увеличенном масштабе показаны контур*
и волновые фронты гауссова пучка, распространяющегося в
анизотропном кристалле.
Гауссов пучок A1.74) после преобразования в декартовы
координаты х, у, z не обладает цилиндрической симметрией.
Минимальный диаметр пучка wq в системе координат в
соответствии с решением A1.74) равен
wQ =
На рис. 11.8 размер w0 отложен вдоль волнового фронта. После
преобразования в систему координат х, z этот отрезок
располагается вдоль преобразованного волнового фронта и оказывается
равным wo. Его проекция на плоскость, перпендикулярную
направлению оси пучка, дает радиус ww гауссова пучка в
анизотропной среде. Преобразование A1.72) после исключения углов.

348 Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
t
Ось пучка и нормаль
к волновому фронту
Волновой
фронт
z0
а
Ось пучка
Волновой
фронт
--><>
'/t
//
KS,-
?>\
>/
Профиль
, Ось
' лучка
пути
в плоскости xz
Рис. 11.7. Связь между осью пучка и нормалью к волновому фронту; п0-
—1,5 пе.
со0 cos у-
1
Рис. 11.8. Радиус пучка в двух системах координат.

11.7. Заключение 349
и р посредством выражений A1.75) и A1.78) дает
Радиус в направлении оси у запишется просто как отношение
wQy = Wo/ne. A1.83)
До сих пор мы рассматривали только одноосные кристаллы.
Более общий случай кристаллической симметрии приводит
к более сложным (четвертого порядка) поверхностям
волновых нормалей. Однако параксиальные пучки состоят из лучей,
векторы к которых расположены вблизи определенного
пространственного направления. В пределах малого телесного угла
любую непрерывную поверхность можно аппроксимировать
эллипсоидом, если оба радиуса кривизны гауссова пучка
положительны. Следовательно, представленный нами анализ
справедлив во всех таких случаях.
11.7. Заключение
Анизотропная среда описывается тензором диэлектрической
проницаемости_е или обратным ему тензором к. Для среды без
потерь тензор е является эрмитовым. У взаимной среды тензор
8 является симметричным, а в отсутствие потерь и
вещественным. Вектор электрической индукции плоской волны,
распространяющейся в непоглощающей взаимной среде,
перпендикулярен волновому вектору к. Для любого произвольного
направления распространения к/|к| существуют, вообще говоря, две
ортогональные поляризации вектора D и два значения модуля
|к|; анизотропная среда является двулучепреломляющей. Оба
значения вектора к определяются размерами большой и малой
осей эллипса, образуемого пересечением эллипсоида
показателей преломления с плоскостью, перпендикулярной вектору к.
Поверхность (волновых) нормалей формируется из эллипсоида
показателей преломления путем выделения двух значений
«показателей преломления» п = ck/a вдоль каждого направления
распространения. Для одноосного кристалла поверхность
нормалей состоит из сферы (обыкновенная волна) и эллипсоида
(необыкновенная волна).
Анизотропная диэлектрическая среда с дисперсией требует
повторного вывода выражения для плотности энергии. Мы
нашли, что усредненная по времени плотность электрической
энергии равна
4

350 Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
В изотропной среде с дисперсией тензор е можно заменить
скалярной функцией частоты.
Волновой пакет, распространяющийся в анизотропной
среде, имеет, вообще говоря, различные направления фазовой
скорости (скорости распространения фазы) и групповой скорости
(скорости распространения огибающей). Направление
групповой скорости совпадает с направлением вектора Пойнтинга,
который перпендикулярен поверхности нормалей; электрическое
поле направлено по касательной к этой поверхности. Среднее
по времени значение плотности потока мощности по величине
и направлению равно произведению групповой скорости на
среднюю по времени плотность энергии. Ось
распространяющегося в анизотропной среде гауссова пучка совпадает с
направлением групповой скорости; поверхности постоянной фазы
в общем случае не перпендикулярны оси пучка.
Приложение 11А
Преобразование векторов и тензоров [3]
Для обозначения трех осей декартовой системы координат
воспользуемся индексной записью. Единичный вектор вдоль
какой-либо из этих осей обозначим через X/, где i= 1, 2, 3;
следовательно х\ = х, х2 = у, хъ = z. Любой вектор Е можно тогда
записать в виде
Е= Ех^. (ПАЛ)
i
Опустим знак суммирования и воспользуемся правилом
Эйнштейна для суммирования по повторяющимся индексам:
В другой системе координат х/ мы имеем
Умножая выражения A1А.2) и A1А.З) скалярно на х,- и
приравнивая результаты, получаем
xi-E = Ei = х{ • х/?/ = А'цЕ]
или
Et = A',,tfr. (ИА.4>
здесь
A'u—i,-xf A1A.5)
есть матрица преобразования двух систем координат (рис. 11.9).

Приложение 11А
351
А
г
Рис. 11.9. Преобразование координат.
И наоборот, умножая скалярно выражения A1А.2) и A1А.З)
- A F (\ 1 Д (\\
на X/, имеем
где
A1А.7)
Матрицы преобразования Ац и Л/j, которые преобразуют ?/
в Еь и наоборот, удовлетворяют важному тождеству.
Поскольку скалярное произведение коммутативно, мы имеем
Преобразование из системы координат Xt в систему координат
X/ и обратно сохраняет первоначальные значения векторных
компонент:
Следовательно,
где б*/ —символ Кронекера (8ki — 1,_если k = i9 и 6^ = 0,
если кфь). Преобразование тензора х следует из
преобразования векторного соотношения между Е и D, записанного в
штрихованной системе координат:
Используя преобразование A1А.4) для выражения величин

352 Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
Et и Dj через Ei и D&, с помощью соотношения (ПА.8)
получаем
Но Ei = KikDk и, таким образом, нами получено правило
преобразования тензоров:
' A1A. 11)
Это правило легко обобщается на случай тензоров более
высокого ранга.
Скалярное умножение вектора на радиус-вектор дает
скаляр. Поэтому фазовый множитель плоской волны ехр(—/к г)
зависит от скалярной величины (фазы)
<f> = k.T = kiXim A1A. 12)
Постоянные значения этой величины соответствуют плоскости
постоянной фазы. В новой системе координат k. заменяется
на k'iy х. на л;^ Используя формулу (НА.4) преобразования
векторов kt и Xiy нетрудно показать, что уравнение плоскости
постоянных фаз инвариантно по отношению к преобразованию
координат:
Ф = ktXi = A'uk'fA'ux'i = bnk'jx'i = k'jx]\ A1A.13)
здесь мы учли равенство A1 А.9).
Тензор второго ранга, дважды умноженный скалярно на
радиус-вектор, дает также скалярную величину. Эта величина
является квадратичной функцией координат. Ее постоянные
значения приводят к уравнению поверхности второго порядка.
Примером такой поверхности является эллипсоид показателей
преломления
KijxixJ= 1/е0. (ПА. 14)
Это уравнение описывает эллипсоид, поскольку тензор %ц
является положительно-определенным. Очевидно, усредненная по
времени энергия в среде без дисперсии:
(w) = A/4) EfiilE) = A/4) Dtofl]
является также положительно-определенной величиной. Таким
образом %ц представляет собой положительно-определенный
тензор. Аналогично тому, как было получено соотношение
(НА. 13), можно доказать инвариантность уравнения эллипсоида
по отношению к преобразованию координат:
1/80 = '' '''

Приложение 11А 353
где преобразование A1А.4) применено к радиус-вектору Х{ и
использованы выражения A1А.9) и A1А.11).
Всегда можно выбрать такую систему координат, в которой
тензор Kij является диагональным. Чтобы обосновать это
утверждение, вначале воспользуемся следующими соображениями:
симметричный тензор, такой, как кц, имеет шесть степеней
свободы; у диагонального тензора их три. Величину с шестью
степенями можно представить с помощью диагонального тензора
(три степени свободы) и поворотом системы координат
[(скажем, поворотом оси Хз до оси Хз (две степени свободы) и
вращением вокруг новой оси Хз (еще одна степень свободы)].
Чтобы привести тензор кц к диагональной форме,
необходимо найти такие направления вектора А, которые приводят
к электрическому полю, параллельному Д:
Ei^XDh A1АЛ5)
где X— множитель. Из уравнения (НА. 15) заключаем, что
det [ки — XI ц] = О, (ПА. 16)
где 1ц — единичный тензор (/^==1, / = /, 1ц = 0> i?=j). Решив
это уравнение третьего порядка, находим три корня, а именно
собственные значения А,(а) (а = 1, 2, 3). Положив
KiIDf=X{a)D{ll\ a= 1,2,3, A1А.17)
получаем векторы Df\ Они являются собственными векторами
тензорного уравнения xt-yDy = D?. Три собственных вектора
являются взаимно ортогональными. Чтобы доказать это,
запишем уравнение (НА. 17) для двух собственных величин Х{а>
и Х<Р>:
х^(/а) = Я(а)Ма), (ПА. 18)
KijDf^X^W. A1A. 19)
Умножим (ПА. 18) на Df\ a A1A. 19) на D^ и вычтем одно
из другого:
Левая часть этого выражения равна нулю вследствие
симметрии: Kij = %/;. Следовательно,
если Х{а) ф Х(Р). Собственные векторы взаимно ортогональны.
Тензор х// в диагональной форме имеет нулевые недиагональные
элементы. Поскольку этот тензор является положительно-опре-

354
Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
деленным, все диагональные элементы должны быть
положительными. Уравнение поверхности нормалей имеет вид
*и*1 + Х22*2 + хзз*з = 1/е0;
при положительных коэффициентах кц это уравнение
эллипсоида.
Задачи
11.1. Рассмотрим одноосный кристалл с диагональным тензором х
'-L о о
о° -L о
о о 4
у которого два элемента одинаковы.
а) Покажите, что волна с круговой поляризацией, электрическое поле
которой имеет вид ^
при х = О, распространяясь в кристалле вдоль оси х> становится
периодически линейно-поляризованной. Пластинка, имеющая толщину, при
которой свет с круговой поляризацией преобразуется в
линейно-поляризованный, называется четвертьволновой пластинкой.
б) Выразите толщину d четвертьволновой пластинки через величины
п0, пе и X (длина волны в вакууме).
11.2. Покажите, что четвертьволновая пластинка из задачи 11.1 может
преобразовывать линейную поляризацию на входе в круговую на выходе.
Определите угол Е-поляризации относительно оси у.
11.3. Используя результат решения задачи 11.2, покажите, что система,
изображенная на рис. 11.3, действует как изолятор: свет, отраженный от
выходного зеркала, не проходит обратно к источнику.
Отражатель
Четвертьволновая
пластинка
Рис. 311.3.
11.4. В предыдущих задачах мы пренебрегли отражением на гранях
четвертьволновой пластинки. Теперь найдите отражение и пропускание
поляризованной по кругу волны из п. а) задачи 11.1, падающей со
стороны воздуха на поверхность кристалла, занимающего область
О ^ х ^ оо, с тензором х, заданным в задаче 11.1.

Задачи
355
11.5. Цель решения данной задачи — показать, что поле Е плоской волны
параллельно касательной к поверхности нормалей в точке пересечения
л
Эллипсоид ^
показателей
преломления
Поверхность нормалей
{необыкновенная)
Рис. 311.5.
с ней волнового вектора к. Уравнение эллипсоида показателей
преломления имеет вид
у27»
или, в обозначениях хг/:
Кхх*2 + Kzzz2 = I /во-
а) Покажите, что угол наклона касательной к поверхности нормалей
определяется выражением
tg Y = (ctgP) (п20/п*) = (ctg P) (*J*XX).
б) Покажите, что поле Е параллельно касательной.
11.6. Целью решения этой задачи является получение аналога закона Снел-
лиуса для отражения и прохождения света на границе раздела изотроп-
Вакуум
Положительная
одноосная
среда
Рис. 311.6.
ной и одноосной анизотропной сред. Считайте, что поверхность нормалей
положительного одноосного кристалла расположена так, как на
рис. 311.6; ось эллипсоида лежит в плоскости х, г.

356 Гл. 11. Распространение волн в анизотропных средах
а) Вектор к падающей ТЕ-волны расположен в плоскости х, z.
Запишите уравнение, определяющее направление прошедшей волны.
б) Решите задачу, сформулированную в п. а) в случае ТМ-волны.
в) Пусть вектор к имеет произвольную ориентацию. Опишите метод
нахождения угла преломления прошедшей волны. Совпадают ли теперь
плоскости падения и преломления? Почему?
11.7. Модель диспергирующей среды из задачи 1.4 можно использовать для
проверки понятия усредненной во времени плотности энергии.
Поскольку ускорение х заряженных частиц обусловлено инерционной силой,
кинетическая энергия (\/2)тх2 должна быть связана с зависящей от
времени поляризацией. Покажите, что выражение
содержит усредненную по времени плотность потенциальной энергии,
запасенной в пружине, когда на частицы действует сила пкдох, и
среднюю плотность потенциальной энергии. Рассмотрите случай без потерь
(а = 0).
11.8. Два гауссовых пучка с параллельными волновыми фронтами
расходятся, если их групповые скорости неколлинеарны. Согласование фаз
при генерации гармоник, обсуждаемой в гл. 13, достигается подбором
волновых векторов к двух волн, одна из которых является
обыкновенной, а другая — необыкновенной. Вычислите угол между фазовой и
групповой скоростями необыкновенной волны в одноосном кристалле
с показателями преломления пе и п0 как функцию угла наклона Р
волнового вектора к. Найдите максимальное значение этого угла как
функцию отношения По/rie, чему равен этот угол для LiNbO3, у которого
По = 2,29, пе = 2,20?
11.9,Покажите, что выражение [(z + jbx) (z+jby)]~1^2 exp [— jkx2/2 (z+jbx)X>(
Xexp [—jky2/2(z + jby)] является решением волнового уравнения в
параксиальном приближении. Оно описывает гауссов пучок с
эллиптическим поперечным сечением. Найдите «радиусы» пучка в х- и
^/-направлениях. Сравните полученные выражения с результатом решения
задачи 5.3.
11.10. На поверхность одноосного кристалла падает гауссов пучок с круговой
цилиндрической симметрией, поляризованный так, как показано на
поверхность
нормалей.
Обыкновенная (п0)
\
Необыкновенная (пе)
Рис. 311.10.
рис. 311.10; его радиус имеет минимальное значение на поверхности
одноосного кристалла.
а) Определите направление оси пучка в кристалле.
б) Найдите большую и малую оси гауссова пучка в кристалле у
границы раздела.

Литература 357
в) Найдите коэффициент отражения Г (рассматривая пучок как
бесконечную плоскую волну).
11.11. В задаче 11.9 вы показали, что выражение
1 Г jkx2 1 Г jky2 1
У (г + jbx) (z + jby) 6XP L" 2 B + ibx) J eXP L 2(z + jby)\
подчиняется изотропному волновому уравнению в параксиальном
приближении. Используя это, определите параметры ^ и ^ в
преобразованных выражениях для изотропного случая, аналогичных соотношению
A1.74), так чтобы поперечное сечение гауссова пучка при zr = 0 в
анизотропной среде представляло собой круг. Найдите зависимость от
параметров wx, и Wy, от z'. Используйте рис. 11.8.
ЛИТЕРАТУРА
1. Yariv Л., Quantum Electronics, Wiley, New York, 1975. [Имеется русский
перевод: Ярив А. Квантовая электроника. — М.: Советское радио, 1980.]
2. Born ?., Wolf ?., Principles of Optics, Macmillan, New York, 1964.
[Имеется русский перевод: Борн М.у Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1973.]
3. Nye J. /\, Physical Properties of Crystals, Their Representation by Tensors
and Matrices, Clarendon Press, Oxford, 1964. [Имеется русский перевод:
Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи
тензоров и матриц. — М.: Мир, 1967.]

Глава 12
Электрооптические модуляторы
Электрооптический (Поккельса) эффект является простейшим
и в то же время одним из самых важных нелинейно-оптических
эффектов. Принимая это во внимание, прежде чем приступить
к более детальному обсуждению нелинейно-оптических явлений
в гл. 13, рассмотрим несколько типов оптических модуляторов,
в основе работы которых лежит электрооптический эффект.
В электрооптических модуляторах под действием
электрического поля изменяется показатель преломления
диэлектрической среды. На этом принципе можно получить как
амплитудную, так и фазовую модуляцию оптической волны, проходящей
через среду. Расчет электрооптического модулятора выполняют,
как правило, исходя из требования получить необходимую
глубину модуляции при наименьшей потребляемой мощности в
наибольшей возможной полосе частот. Настоящая глава и
посвящена изучению этой задачи.
Рассмотрим сначала эллипсоид показателей преломления,
определяющий распространение света в анизотропной среде, а
затем покажем, каким образом электрооптический эффект
связан с изменением этого эллипсоида благодаря приложенному
электрическому полю. После этого мы рассмотрим
электрооптический модулятор, в котором используется наведенное
электрическим полем двулучепреломление. Те же эффекты лежат в
основе фазовой модуляции.
Модулируемое электрическое поле можно прикладывать как
в направлении распространения волны, так и в
перпендикулярном ему направлении. Последняя возможность
предпочтительнее, поскольку в этом случае за счет уменьшения поперечных
размеров оптической системы уменьшается величина
электрического напряжения, которое необходимо для достижения
определенной глубины модуляции.
12.1. Линейный электрооптический эффект
Тензор диэлектрической проницаемости такой среды, как ниобат
лития (LiNbO3) может изменяться под воздействием
приложенного электрического поля. В этом состоит проявление линей-

12.1. Линейный электрооптический эффект 359
ного электрооптического эффекта. Слово «линейный» здесь не
очень уместно, поскольку среда в данном случае является
нелинейной. Собственно, это название отражает линейную
зависимость тензора %, обратного тензору диэлектрической
проницаемости, от электрического поля.
Изменение компонент тензора щ записывается в виде
A2.1)
где rijk — тензор третьего ранга, который после умножения на
вектор дает тензор второго ранга. Коэффициенты линейного
электрооптического эффекта гцк характеризуют
диэлектрическую среду. Эллипсоид показателей преломления является
функцией приложенного управляющего электрического поля Е. Его
уравнение в тензорной форме можно записать следующим
образом:
(во*// + rilkEk) xiXj = 1, A2.2)
где Kij обозначает теперь обратный тензор диэлектрической
проницаемости в отсутствие внешнего электрического поля. Тензор
nik симметричен по индексам / и /. Обычно эти индексы
объединяют в один индекс, пробегающий шесть значений от 1 до 6.
Соответствие между тензорами riik*-+rIk, где /=1, 2, ..., 6
осуществляется по правилу
11 12 131
21 22 23
.31 32 33_
Характер зависимости эллипсоида показателей преломления
от электрического поля лучше всего продемонстрировать на
частном примере. Рассмотрим дигидрофосфат калия (KDP) с
химической формулой КН2РО4. Он принадлежит к
кристаллографической группе 42т [1]. В отсутствие внешнего поля этот
кристалл ведет себя как одноосная оптическая среда с
эллипсоидом (soytifxiXj= 1), уравнение которого, записанное через
показатели преломления, имеет вид
у2/п2 -U и2 In2 -4- у2In2 1 М9 Ъ
где п0 и пе — показатели преломления соответственно
обыкновенной и необыкновенной волны. Внешнее электрическое поле
изменяет уравнение эллипсоида. Для кристаллов группы 42т
компоненты m равны нулю, за исключением Гвг и r4i = г52.
Уравнение эллипсоида показателей преломления A2.2)
принимает теперь вид
4 + 4- + 4" + ^AlExyz + 2rAXEyxz + 2r63Ezxy = 1. A2.4)
К % К

360
Гл. 12. Электрооптические модуляторы
Ниобат лития принадлежит к кристаллографической группе Ът
и имеет следующие отличные от нуля коэффициенты г:
= —Г22 = Г61 >
г 13 ==
Соответствующий этому кристаллу эллипсоид показателей
преломления определяется уравнением
y + rlzEz) х2 + (l/tto + r22Ey + г2ЪЕ2) у2
(l/nl + гзъЕ2) г2 + 2 (г^) ^г + 2 (r51?,
A2.5)
12.2 Применение электрооптического эффекта
в амплитудном модуляторе
Рассмотрим кристалл типа KDP, имеющий симметрию 42т,
у которого главные оси направлены вдоль осей х, у, z, как
показано на рис. 12.1. Электрическое поле прикладывается вдоль
оси г. Это можно сделать, напылив на гранях кристалла z = 0
и 2 = 1 тонкие прозрачные проводящие электроды и подведя к
ним электрическое напряжение. Перед кристаллом помещается
поляризатор, а за кристаллом — анализатор, и все устройство
имеет вид, показанный схематически на рис. 12.1. Поляризатор
(или анализатор) представляет собой среду, потери излучения
в которой зависят от его поляризации. Потери очень малы
(в идеальном случае равны нулю) для одной поляризации,
обозначенной стрелкой, и велики (в идеальном случае бесконечны)
для другой, ортогональной поляризации.
Поляризатор
Рис. 12.1. Электрооптический модулятор.
Анализатор

12.2. Применение электрооптического эффекта
У
у'
361
Рис. 12.2. Пересечение эллипсоида показателей преломления с плоскостью
ху; штриховая линия — эллипсоид в отсутствие приложенного электрического
поля; сплошная линия — при наличии поля вдоль оси z.
Направленное по оси z поле изменяет эллипсоид показателей
преломления в соответствии с выражением A2.4):
nl
A2.6)
Главные оси эллипсоида располагаются вдоль осей х', у', z
(рис. 12.2), причем
г/=
A2.7)
A2.8)
Подставляя эти выражения в уравнение A2.6), получаем
уравнение эллипсоида показателей преломления в системе
координат, оси которой совпадают с новыми главными осями:
уу
где показатели преломления п'хх и п'уу даются приближенными
< 1 во всех практических случаях) выражениями
A2.10)
A2.11)
nyy~n0-nUr63/2)E2.
После прохождения через электрооптический кристалл х'- и
^'-компоненты электрического поля испытывают замедление
(рис. 12.1):
A2.12)
A2.13)
-i«*IOn'yyi

362
Гл. 12. Электрооптические модуляторы
Рис. 12.3. Графическое построение отклика модулятора.
Составляющая Еу, пропускаемая анализатором, записывается
в виде
= A/2)Е01-е
п' Л
УУ
-Ь
A2.14)
а для отношения прошедшей (It) интенсивности к падающей
(//) имеем
/,//, = sin2 [(фс) (пхх - пуу) I] ^ sin2 ((фс) r63nlE2l). A2.15)
Наибольшую выходную интенсивность при линейном отклике
на внешнее синусоидальное электрическое напряжение мы
получаем при таком напряжении смещения, при котором
аргумент синуса равен я/4 (рис. 12.3). Типичным параметром
электрооптической среды является значение электрического
напряжения Еги при котором аргумент синуса в формуле A2.5) равен
я/2. Для KDP при X = 0,55 мкм это значение составляет 7,5 кВ.
Поперечный модулятор
В случае когда амплитудная модуляция создается
электрическим полем, параллельным направлению распространения
света, для создания необходимой амплитуды модуляции тре-

12.2. Применение электрооптического эффекта 363
Рис. 12.4. Поперечный модулятор на кристалле KDP. А — анализатор, Рпад —
вектор поляризации падающей волны. Вектор Ео составляет угол 45 ° с
осью z в плоскости х''z.
буется фиксированное значение напряжения, которое не зависит
от размеров кристалла, т. е. уменьшение размеров
(миниатюризация) не позволит улучшить характеристики модулятора.
В поперечном же модуляторе это можно сделать, уменьшая
поперечные размеры кристалла. Рассмотрим устройство,
изображенное на рис. 12.4. В кристалле с симметрией 42т и главными
осями вдоль осей хну направление распространения у'
составляет угол 45° с осями х и у в плоскости ху. Оси х/ и уг
направлены вдоль главных осей эллипсоида показателей преломления,
измененного под воздействием приложенного электрического
поля. Изменение эллипсоида показателей преломления,
создаваемое составляющей Ez, по-прежнему определяется
выражениями A2.10) и A2.11). Компонента электрического поля
оптической волны, направленная вдоль оси г, не испытывает
фазовой модуляции, в то время как ^-компонента становится
модулированной по фазе. Полное электрическое поле оптической
волны на выходе из кристалла запишется в виде
-i(<u!c)n' U
x'
-/(©/с)я
е
= A/V2) Яоехр [-/
пхх + пе) 1/2} X
п'хх-пв)/*] у
A2.16)
Благодаря двулучепреломлению кристалла поле выходящей
волны оказывается эллиптически поляризованным даже в отсут-

364
Гл. 12. Электрооптические модуляторы
Ориентация
анализатора
Рис. 12.5. Эллипс поляризации на выходе поперечного модулятора.
ствие внешнего электрического поля. Определяя
@
С
1, A2.17)
можно построить диаграмму, приведенную на рис. 12.5 для
вещественной и мнимой частей векторов, стоящих в квадратных
скобках в A2.6). При этом мы получаем эллипс поляризации.
На выходе анализатора, ориентированного, как показано на
рисунке, под углом 45° относительно оси г, мы имеем
интенсивность
В этом случае при электрическом напряжении Ezh
эффективность электрооптического модулятора оказывается в A/2)//Л
раз больше, чем в случае, когда поле прикладывается
параллельно направлению распространения.
12.3. Фазовый модулятор
Системы, аналогичные амплитудным модуляторам, можно
использовать как фазовые модуляторы. Фазовая задержка волны,
распространяющейся через кристалл в геометрии,
представленной на рис. 12.6, при указанных на рисунке ориентациях кри-

12.3. Фазовый модулятор 365
Е0\\х
Рис. 12.6. Схематическое представление фазового модулятора. Ориентация
кристалла та же, что и на рис. 12.1.
сталла и поляризации Е дается выражением [ср. с A2.10)]
A2.18)
При синусоидальной модуляции приложенного электрического
поля Ez:
электрическое поле волны на выходе запишется в виде
где
A2.19)
A2.20)
Таким образом, выходное излучение оказывается промодулиро-
ванным по фазе. Максимальное отклонение фазы б равно по
величине аргументу синуса в формуле A2.15). Находим, что
необходимое для изменения аргумента на зт/2 напряжение равно
7,5 кВ. Это очень большое напряжение! Поэтому в практически
действующих фазовых модуляторах модулирующее напряжение
прикладывают в поперечном направлении к
распространяющейся волне для того, чтобы увеличить модуляцию при данном
электрическом напряжении за счет изменения отношения длины к
ширине.
Спектр поля на выходе из кристалла определяется
разложением функции Бесселя (9.20):
Е'х =
°1еш

366
Гл. 12. Электрооптические модуляторы
12.4. Волноводный модулятор Маха — Цендера
Эффективный способ модуляции оптического сигнала был
предложен Мартином [2] и реализован Леонбергером [3].
Модулятор состоит из волноводного интерферометра типа Маха —
Цендера (рис. 12.7 и 7.14). Входящий оптический пучок делится
поровну в ответвителе К-типа, а затем сводится в один
волновод. Небольшая асимметрия F-ответвителя приводит к
малозаметным потерям (менее 1 дБ в системе из двух У-ответвителей).
Если набег фаз в обоих плечах интерферометра одинаков, то
моды оптического волновода интерферируют в фазе и вся
входная мощность появляется на выходе (за исключением, конечно,
неизбежных потерь в волноводах и У-ответвителях). Если
разность в сдвиге фаз между плечами равна л, то моды
интерферируют в противофазе и возбуждают антисимметричные моды
выходного волновода. Если этот волновод одномодовый, то
энергия в него не попадает; свет излучается в подложку и теряется.
Таким образом, мощность на выходе можно изменять,
прикладывая к волноводам электрическое напряжение. Поскольку
расстояние w между электродами можно сделать очень небольшим
(~3 мкм), требуются относительно малые значения
переключающего напряжения [3].
Оценим величину электрического напряжения, необходимого
для полного гашения сигнала на выходе. Если поверхность
кристалла перпендикулярна главной оси LiNbO3, направленной
вдоль оси х, волноводы направлены вдоль оси у, а поле Е
в волноводе ориентировано вдоль оси z (ТЕ-волна), то для
модуляции используется компонента /-33 тензора щ.
Приложенное электрическое поле не меняет ориентации главных осей
эллипсоида A2.5). Разность фаз между плечами записывается
в виде
д^> = (©/с) r33nllEz ~ (со/с) г33п3е (l/w) V,
где V—приложенное напряжение. В LiNbO3 г33 = 30,8-10~12 м/В,
пе = 2,1694 при ^ = 0,85 мкм. Выбирая длину электродов / =
V
Рис. 12.7. Волноводный интерферометр Маха — Цендера на кристалле jc-среза
(ось х перпендикулярна плоскости рисунка).

12.5. Заключение 367
= 5 мм и ширину волноводов w = 3 мкм, а также предполагая
в очень грубом приближении, что распределение волноводных
мод и поле Е являются однородными, получаем напряжение,
необходимое для создания разности фаз я между волнами в
двух волноводах:
Vn = ? =1,67 В.
Измеренное экспериментально напряжение оказалось равным
1,6 В [3].
Интерферометр Маха — Цендера открывает возможность для
широкополосной модуляции. Электроды можно выполнить в
виде микроволновых полосковых линий, одной из
разновидностей передающих линий. Если характеристический импеданс
равен Zo, то необходимая для достижения фазового сдвига Д^ = я
мощность равна
2
Задавая Z0 = 50 Ом и используя значение напряжения 1,6 В,
имеем
Рп = 26 мВт.
Ширина полосы ограничена потерями в полосковой линии,
увеличивающимися с частотой и в конечном счете устраняющими
модуляцию на слишком высоких частотах, а также временем
прохода % оптической волны через 5-мм ячейку модулятора,
равным т = яЛ/с = 36 пс. Последнее ограничение можно
преодолеть, конструируя полосковую линию таким образом, чтобы
фазовая скорость в ней была согласована с групповой скоростью
оптической волны.
12.5. Заключение
В электрооптических модуляторах обычно используется
линейный электрооптический эффект. Этот эффект описывается
тензором третьего ранга щи, выражающим линейную зависимость
коэффициентов эллипсоида показателей преломления от
приложенного электрического поля. Мы рассматриваем в качестве
примеров две среды, KDP и LiNbO3. Так как линейный
электрооптический эффект описывается тензором третьего ранга, он
обнаруживает больше деталей кристаллографической
симметрии, чем эллипсоид показателей преломления.
В некоторых типах амплитудных модуляторов используется
двулучепреломление, вызываемое приложенным электрическим
полем. Включение в схему поляризатора и анализатора
преобразует вращение поляризации оптической волны в амплитудную
модуляцию. В фазовых модуляторах используется фазовый
сдвиг без вращения поляризации. Преимущество поперечного

368 Гл. 12. Электрооптические модуляторы
модулятора перед продольным заключается в том, что в нем при
фиксированном значении напряжения можно увеличить
вносимый фазовый сдвиг за счет увеличения длины взаимодействия.
Этот принцип используется во всех оптических волноводных
модуляторах. Удобным амплитудным модулятором в волновод-
ном исполнении является интерферометр Маха — Цендера, не
нуждающийся в поляризаторе и анализаторе. Модуляция в нем
осуществляется за счет интерференции модовых распределений
в У-ответвителе на выходе ячейки с фазовым сдвигом. Разность
фаз, равная я, приводит к возбуждению антисимметричных мод
высших порядков в выходном волноводе. Так как в одномодовом
волноводе эти моды распространяться не могут, при
электрическом напряжении, вызывающем такой фазовый сдвиг, мощность
на выходе интерферометра оказывается равной нулю
Задачи
12.1. Предполагая, что волна распространяется вдоль одной из главных осей
в LiNbO3, найдите такие комбинации направлений модулирующего поля
и поляризации Е, которые приводят к фазовой модуляции. Определите
среди них ту, которая дает наибольший эффект при даннном
модулирующем поле Е. Для LiNbCb при X = 1,96 мкм компоненты тензора г и
в единицах 19~12 м/В равны следующим значениям:
г33 = 39,8, г22 = 3,4,
Г\ъ=== 8,6, Г42== 28.
12.2. В среде (такой, как CdTe) с «осью вращения третьего порядка» (форма
кристаллической симметрии) электрооптические коэффициенты Гц в
системе координат, у которой ось z параллельна этой оси, запишутся в
виде тензора __
Гц —Г22 Г\Ъ
9 9 г33
г41 г42 9
Г42 —Г41 9
_—/*22 "Гц 9_
Пусть приложенное («накачивающее») электрическое поле имеет вид
Е = Е°р (х sin со t + у cos со ty
а) Найдите пересечение эллипсоида показателей преломления с
плоскостью ху.
б) Найдите главные оси х', у' эллипса с помощью следующего
преобразования координат:
х = х/ cos 8 — у' sin 0,
у = х' sin 9 + у' cos 6.
в) Покажите, что угол 9 изменяется с постоянной скоростью. Найдите
эту скорость [4].
12.3. Задача состоит в том, чтобы сконструировать зеркало с изменяющимся
коэффициентом отражения. Соответствующее устройство показано на
рис 312.3. Падающая волна распространяется через кристалл KDP, ори-

Задачи
369
ентированный так, как показано на рисунке, причем управляющее
электрическое поле параллельно оси z.
а) Найдите г- и х'-компоненты поля после первого прохождения через
кристалл.
Поляризатор
Зеркало
Рис. 312.3.
б) Вычислите амплитуду отраженной волны, выходящей из поляризатора,
как функцию приложенного поля Е2.
12.4. Для описанного в разд. 7 7 переключателя на связанных волноводах
оцените напряжение на электродах, которое нужно приложить, чтобы
устранить перекачку энергии из одного волновода в другой. Используйте
Рис. 312.4.
#-срез кристалла LiNbCb и считайте, что волноводы направлены вдоль
оси у, а управляющее электрическое поле — вдоль оси г. Расстояние
между электродами 5 мкм, длина волны X = 1,06 мкм, длина
взаимодействия 5 мм. Расположение электродов показано на рис. 312.4.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nye I. F. Physical Properties of Crystals, Their Representation by Tensors
and Matrices, Clarendon Press. Oxford, 1964. [Имеется перевод: Най Дж.
Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и
матриц — М.: Мир, 1967.]
2 Martin W. ?., "A new waveguide swtich modulator for integrated optics",
Appl. Phys. Lett., 26, 560—564 A975).
3. Leonberger F. /., Woodward С ?., Spears D. L., "Design and development
of a high-speed electro-optic A/D converter", IEEE Trans. Circuits Syst.,
CAS-26, 1125—1131 A979).
4. Carter G. M., Haus H. A., "Optical single sideband generation at 10.6 fim",
IEEE J. Quantum Electron., QE-15, 217—224 A979).

Глава 13
Нелинейная оптика
В предыдущей главе мы рассмотрели электрооптический
эффект, занимающий особое место среди явлений нелинейной
оптики. В настоящей главе мы построим общую теорию
нелинейно-оптических явлений. В последние годы эта область
исследований быстро развивается [1—5].
Мы определим нелинейно-оптический тензор
восприимчивости и объясним, почему электрооптический эффект является
особым случаем нелинейной оптики. Нами будут получены
некоторые соотношения между элементами тензора
восприимчивости второго порядка, которые являются следствием
соотношений Мэнли — Роу, а также построена модель нелинейной среды,
которая иллюстрирует зависимость тензора восприимчивости от
частоты.
Мы проанализируем параметрический генератор
(преобразователь с понижением частоты). В этом случае соотношениям
Мэнли — Роу найдено полезное применение. Далее мы изучим
процесс оптического удвоения частоты и выведем
соответствующие уравнения для того, чтобы оценить его эффективность.
Наконец, мы остановимся на тензорах восприимчивости
третьего порядка, на оптическом эффекте Керра, рассмотрим
одно из его примененией, а именно спектрометр с пикосекунд-
ным разрешением. С целью более подробного ознакомления с
нелинейно-оптическими явлениями читатель может обратиться
к соответствующей литературе [1—5].
13.1. Описание нелинейной среды
Оптическую нелинейность, используемую в целях модуляции и
умножения частоты наиболее часто связывают с реактивным
(не вносящим потерь) параметром (например, с
диэлектрической восприимчивостью). Поляризация Р линейной изотропной
среды пропорциональна электрическому полю:
A3.1)
где х — электрическая восприимчивость, не зависящая от
частоты в случае среды без дисперсии. Предположим, что поля-

13.1. Описание нелинейной среды 371
ризация Р нелинейно зависит от поля Е. Вначале забудем о
векторной природе величин Е и Р и будем оперировать с ними,
как с зависящими от времени скалярами. Функцию Р можно
разложить в ряд Тейлора по степеням Е:
P=Y,*dn)E\ A3.2)
п
где х{п) — коэффициенты при я-ой степени поля Е. Коэффициент
^(i) — это линейная восприимчивость, а %B> приводит к первому
нелинейному члену. Если среда симметрична по отношению к
инверсии (инверсия относительно начальных координат атомов,
составляющих среду, означает, что преобразование г->—г не
меняет параметры среды), то в разложении A3.2) отсутствует
член второго порядка. Чтобы доказать это, представим себе, что
поляризация Р создается полем Е, а затем заменим величину Е
на —Е. Обращение поля Е должно приводить к обращению
поляризации Р, поскольку сама среда инвариантна к такому
обращению. В выражении A3.2) все члены четного порядка
сохраняют знак при обращении поля Е. Поэтому все коэффициенты
у{2т) ^т — целое число) в среде с симметрией инверсии равны
нулю.
В твердом теле, в котором нелинейная поляризуемость
обусловлена нелинейным откликом электронных оболочек, можно
оценить порядок величины коэффициентов х{п) [4] • На
электроны действует внутреннее электрическое поле атома, которое мы
обозначим через ?ВнУтр. Когда амплитуда поля оптической волны
становится сравнимой с полем ?ВнУтр, волновые функции
электронов сильно искажаются, и поэтому разумно предположить,
что все члены в разложении A3.2) сравнимы по величине друг
с другом. Таким образом,
X -Свнутр — X -Свнутр
или
в предположении, разумеется, что ни один из коэффициентов %п
не равен нулю из-за свойств симметрии решетки. Оптические
поля, как правило, много меньше величины ?ВнУтр; поэтому при
изучении конкретного явления в разложении можно
ограничиться представляющим интерес членом наинизшего порядка,
поскольку все остальные члены по сравнению с ним
пренебрежимо малы.
Рассмотрим среду, не обладающую инверсионной
симметрией. Предположим, что поле E(t) содержит две частотные
компоненты:
Е (t) = A/2) [Е (юо) е'»** + Е (оэ) e'V + к. с]. A3.3)
Здесь мы в явном виде записали фурье-компоненты при
положительных и отрицательных частотах, в отличие от выражения

372 Гл. 13. Нелинейная оптика
A.85), соответствующего одностороннему спектру с
положительными частотами. Это сделано для того, чтобы привести в
соответствие наши обозначения с принятыми в литературе по
нелинейной оптике. Электрические поля создают поляризацию на
различных частотах. Если в разложении A3.2) учесть только
члены первого и второго порядка по ?, то поляризация на
частоте coY = (оа + сор создается полем E(o)Y), а также
произведением 2Е(соа)Е(о)р), образующимся из члена Е2. Определив
плотность поляризации на частоте wY:
Ру (/) = A/2) [Р (coY) e'V + Р* (coY) e-'V], A3.4)
комплексную амплитуду Р (coY) можна записать в виде
Р К) = ад*°Е К) + е0Х<2>Е (соа) Е Ц>). A3.5)
Поляризация на частоте со6 = соа — сор создается полем Е (со$)
и произведением 2Е (соа) Е* (сор):
Р К) - адс<!>Е К) + е0Х<2>Е (соа) Е* (а>р). A3.6)
До сих пор мы рассматривали величины Р и Е как скаляры.
Но поскольку поляризация и электрические поля являются
векторами, для определения зависимости Р от Е необходимо
использовать тензорную запись. Вектор поляризации P*(coY) на
частоте coY = соа + а>р записывается в виде
Р/ К) = адйУЕу (coY) + воХ/2Л К» °°а> <°з) Е/ К) Ей (Юр). A3.7)
Суммирование по индексам j и k подчиняется правилу
Эйнштейна. Это пример преобразования с повышением частоты. В
случае понижения частоты, т. е. для получения сое = соа — сор
плотность поляризации дается выражением
Р* Ы = воХ^Е/ (со6) + ео%?/к (соб; соа, —сор) Е7 (соа) Е* (шр). A3.8)
Здесь %ff\ (coY; соа, сор) — тензор восприимчивости второго
порядка, который является тензором третьего ранга. Рассмотрим
случай, когда оба электрических поля направлены вдоль оси х
и когда имеется лишь х-компонента вектора Р. Тогда
определенный только что нами тензор можно связать с
коэффициентами разложения A3.2) следующим образом:
В общем случае тензоры %fj>k (ay, соа, со^) являются функциями
частот соа и сор. Особый интерес представляет генерация второй
гармоники (ГВГ), когда соа = соз = со. При этом мы имеем (oY =
= ша + сор = 2@, так что среда поляризуется на частоте 2со.
Поскольку квадрат электрического поля не вносит вклада в век-

13.2. Связь с электрооптическими коэффициентами 373
торные произведения как в выражении A3.7), множитель 2
теряется и мы имеем
р. B0; со, со) = вох(//Е/ B@) + A/2) еде?/* Bю; со, со) Е, (со) Е* (со).
A3.9)
Процессы, в которых участвуют произведения двух
электрических полей, называются процессами второго порядка.
13.2. Связь с электрооптическими коэффициентами
Мы ввели в общем виде тензоры % для любого нелинейного
материала. В этом состоит основа современного метода
исследования нелинейных материалов. Для описания электрооптического
эффекта нами был использован традиционный способ, а именно
с помощью коэффициентов щ. В этом разделе мы установим
соответствие между тензором восприимчивости второго порядка
и коэффициентами r7j. Член ruEj дает изменение величины кц,
пропорциональное приложенному полю ?/ [см. выражение
A2.2)]. Первый индекс тензора щ пробегает шесть чисел,
второй—три числа. В последующем рассмотрении в духе
тензорных обозначений мы будем использовать вместо индекса / два
индекса. По определению приложение электрического поля
приводит к следующему:
вои*/ -* вох/у + е0 Ди,7 = eo%if + rijkEk. A3.10)
В линейном электрооптическом эффекте описывается
изменение оптического показателя преломления, обусловленное
постоянным электрическим полем или полем с частотой, много
меньшей, чем оптическая. Сравнивая тензор %f}k с riJk, мы
имеем тензор %<.%(со; со, 0), который выражает изменение тензора
диэлектрической проницаемости под действием внешнего
постоянного электрического поля Ek'.
ги->гИ + ео%{с}кЕк. A3.11)
Тензор диэлектрической проницаемости является обратным
тензору п. Так как изменение Ди*7 обычно очень мало по сравнению
с нц, обратный тензор запишется в виде
[х + Axjr/ « [к"]//- [х]«Дх/л[х]т/ = в// + воХ?ЛяЛ. A3.12)
Корректность второго выражения в A3.12) можно проверить,
умножая скалярно обе части формулы A3.12) на% + Дх и
показывая, что единичный тензор получается в первом порядке
по Дх.

374 Гл. 13. Нелинейная оптика
Рассмотрим в качестве примера одноосный кристалл. В
системе: координат, оси которой совпадают с главными осями,
тензор и одноосной среды имеет вид
1/л* О О
еох=| 0 1/п% О I. A3.13)
г1/л* и и л
О l/nl О
L 0 0 l/«2j
Изменение тензора к можно записать следующим образом:
= -*AEv A3Л4)
Например,
A3.15)
13.3. Процессы второго порядка
в среде с дисперсией
В среде с дисперсией тензоры % зависят от частоты. Для того
чтобы проиллюстрировать физические основы дисперсии,
построим здесь простую скалярную модель нелинейной среды.
Рассмотрим среду, состоящую из поляризуемых частиц с
концентрацией N и нулевым суммарным зарядом. Предположим,
что смещение х положительного заряда q внутри каждой
частицы по отношению к нейтральному положению
(совпадающему с центром отрицательного заряда) описывается
уравнением
т
где т — масса заряда, а — феноменологический коэффициент
потерь, а сумма ау^х + Dx2 отвечает возвращающей силе.
Пренебрежем вначале нелинейным членом Dx2, поскольку
он обычно очень мал по сравнению с а>2х. При этом
приложенное поле
Е = A/2) [Е (соа) е!«°* + Е (щ) е^1 + к. с] A3.17)
вызывает смещение на частоте соа с комплексной амплитудой
1 Е (в>а) л q \я\
Аналогичное выражение имеет место и для смещения

13.4. Соотношения Мэнли — Роу; процессы второго порядка 375
Можно скорректировать вид решения х с учетом члена D
в первом порядке по D и того факта, что члены с частотами,
отличающимися от соа и сор, должны сократиться в левой части
уравнения A3.16). Записывая coY (для преобразования с
повышением частоты) в виде
QY = COa + (Op, A3.19)
для x(coY) получаем следующее выражение:
х(© ) = ~ ^ХК)ХЫ A320)
coj — со- + ycoYa
Подставляя "величины х (соа) и х (сор) и используя то, что
Р (<oY) = qNx ((oY), где N — концентрация частиц, находим
XB)((oY; coa, (op) =
D(q2N/eom)(q/m)
(со2 - w2 + /coYa) (со2 - со2 -}- /соаа) @5 - со| + /со^а)
A3.21)
где (oY = coa + °)p- Формула A3.21) представляет собой одну из
возможных зависимостей тензора %B) от частоты. Из нее
следует, что нелинейность может увеличиваться, если частота
одного из приложенных электрических полей близка к
резонансной частоте со0.
Можно рассмотреть случай преобразования с понижением
частоты, для которого
G)Y = cop~coa. A3.21)
При этом смещение х(со7) запишется как
oYa
Y; -coa, cop) =
О iq2Nl^rn) (g/m) A3 24)
(о§ - со2 + /coYa) @05 - ©I - /coaa) (со2 - co| + /ayr)
13.4. Соотношения Мэнли — Роу;
процессы второго порядка
Соотношения Мэнли — Роу впервые были выведены
классическим способом для элементов нелинейной цепи без потерь [6].
Они были обобщены на сплошные нелинейные среды [7]. Было
показано, что им удовлетворяет любая система, обладающая
гамильтонианом [8]. Мы не будем выводить эти соотношения,

376 Гл. 13. Нелинейная оптика
а просто сформулируем их с точки зрения процессов рождения
и уничтожения фотонов [9].
Предположим, что мы освещаем элемент объема, в котором
заключена нелинейная среда без потерь, излучением на
частотах coY и сор, возбуждая излучение на частоте соа в процессе
(понижение частоты)
coa = coY-cop. A3.25)
Рассмотрим процесс как преобразование потока фотонов с
частотой coY, переносящих каждый энергию ft(oY, причем
ftcoY = ficoa + йсор, A3.26)
в фотоны с частотами соа и со^. Энергия фотона ftcoY уходит на
образование фотонов с энергиями ftcoa и ftco^, причем число
образующихся фотонов с частотой соа равно числу фотонов с
частотой cop- Фотон с частотой coY «расщепляется», давая два
фотона с меньшими частотами (и энергиями) соа и сор (Йсоа и /гсо^).
В этом заключается основное содержание соотношений Мэнли —
Роу применительно к процессу второго порядка.
Рассмотрим теперь процесс более подробно. В нелинейном
материале на частотах соа, сор и coY создаются плотности
поляризации Р(соа), Р(соз) и P(coY). Средняя по времени удельная
мощность поляризационных токов плотностью /coaPa на частоте
соа, деленная на ftcoa, а именно величина
(l/2)Re[/coaE*((oa).P(coa)]
hcoa
пропорциональна числу фотонов, создаваемых на частоте соа
в единице объема. Эта скорость образования фотонов должна
быть равна скорости рождения фотонов на частоте сор:
- A/2) Re [/Е* К). Р (соа)] = - A/2) Re [/Е* (сор). Р (сор)]. A3.27)
Это одно из соотношений Мэнли — Роу для частного процесса
A3.25). Оно является фундаментальным в теории
параметрических генераторов (см. разд. 13.5). Это соотношение выражает
тот факт, что поглощение на частоте со^ (т. е., исчезновение
фотонов на частоте сор) делает возможным поглощение фотонов
на частоте соа.
Соотношение Мэнли — Роу A3.27) накладывает ограничения
на тензор восприимчивости %{?Jk системы без потерь. Подставим
выражения для величин Р/(соа) и Р;(а)р) из формулы A3.8)
в соотношение A3.27) и заметим, что вклад члена %\у в
среднюю по времени мощность равен нулю:
Re W% К; coY, - юе)Е! К)Е/ К) е: Ы) =
= Re [М2Д К; «v -tta)E;K)E;K)E;K)].

13.5. Параметрические генераторы 377
Поскольку фазы и амплитуды полей E/(coa), E/(coY) и Е^сор)
имеют произвольные значения, должно быть справедливым
следующее равенство:
х?Л К; «v - °>э) = *& (°v «V - <°«). <13-28)
В случае коллинеарных полей и отсутствия потерь (а = 0)
можно проверить равенство A3.28), исходя из скалярной
модели среды с дисперсией, рассмотренной в разд. 13.3 (при этом
тензорные индексы можно опустить).
Интерес представляет также другой параметрический
процесс; а именно преобразование с повышением частоты. В этом
процессе один фотон с частотой соа и другой с частотой щ
аннигилируют, производя фотон с большей частотой сор:
Й(ор = ft©Y + й(оа. A3.29)
Скорость образования фотонов в единице объема, выраженная
через плотность поляризационных токов на частоте сэр, должна
быть равна скорости расхода фотонов на частоте соа; два фотона,
объединяясь, дают фотон с большей частотой (и энергией):
= - Re f/ЗЙ% К «у «О Е, (сор) Е, К) Е4 К)].
Так как поля Е( (соа), Е/ (coY) и Е^(сор) произвольны, мы можем
написать
4%К; -%• «M^tf'Ov «v «О- A3.30)
Это равенство снова можно проверить для скалярной
диспергирующей среды из разд. 13.3 в частном случае коллинеарных
полей и нулевых потерь (а = 0).
13.5. Параметрические генераторы
Термин «параметрический» пришел из электроники, где
параметрические усилители были разработаны в 50-х г. как
усилители с низким шумом. Взаимодействие между двумя
частотами— «сигнальной» и «опорной» — достигалось за счет
изменения параметра цепи (например, емкости) [10]. Процесс
параметрического взаимодействия хорошо известен. Ребенок,
раскачивающийся на качелях, изменяет расстояние от центра масс
до точки подвеса «маятника» (состоящего из качелей и
ребенка) дважды за период. За счет этого к маятнику дважды
за один период прикладывается мощность.
Электрическим аналогом такой системы является LC-цепь,
у которой емкость меняется во времени. Это изменение можно

378
Гл. 13. Нелинейная оптика
осуществлять электрическим путем. Более просто такое
изменение можно производить механически, меняя расстояние между
пластинами плоскопараллельного конденсатора. Это расстояние
увеличивается всякий раз, когда напряжение на конденсаторе
максимально, и уменьшается, когда оно равно нулю (рис. 13.1).
В первом случае напряжение увеличивается. Отношение
максимального напряжения к максимальному току равно л/L/C
в пределах каждой четверти цикла. Огибающие напряжения и
токи растут экспоненциально со временем; энергия
накапливается за счет работы, затрачиваемой на разведение пластин
конденсатора. И наоборот, если уменьшать расстояние между
пластинами в момент максимального напряжения и
увеличивать, когда оно равно нулю, то огибающие экспоненциально
спадают со временем. Начальное возбуждение в цепи
приводит, вообще говоря, как к нарастающим по экспоненте, так и
к спадающим решениям, но нарастающее решение в конечном
Период
сигнала
L J t.
1 Период l
накачки
Рис. 13.1. Вырожденный параметрический генератор.

Пучок
накачки
13.5. Параметрические генераторы 379
Нелинейный
кристалл
велик, но<1
велик, может быть
Рис. 13.2. Параметрический генератор.
счете становится преобладающим. Это пример вырожденного
параметрического генератора; слово «вырожденный» означает,
что сигнальная и опорная частоты равны между собой и
каждая из них равна половине частоты основной накачки.
В этом разделе мы рассмотрим невырожденный
параметрический генератор с сигнальной частотой (соа), отличающейся от
опорной (сор); их сумма равна частоте накачки coY:
coY = coa -f- (On. A3.31)
Уравнение связанных мод параметрического генератора
Рассмотрим резонатор с модами е(оа) и е(соз) на частотах
соа и сор соответственно (рис. 13.2). Воспользуемся
формализмом связанных мод, развитым в гл. 7. Мода а с амплитудой
аа связана с модой р, имеющей амплитуду ар, через источник
sa (аналогичную связь имеем и для моды р):
dajdt = /coaaa - аа/та + sa, A3.32)
dajdt = /(Oado — аб/^в "I" S3* A3.33)
Источники образуются благодаря взаимодействию полей E(coa)
и Е(оор) с полем накачки, их амплитуду можно оценить из
энергетических соображений. Скорость изменения энергии в моде a
равна мощности рар, передаваемой ей модой р:
_
2 ^ =
аа< =
A3.34)
Но эта мощность создается работой плотности
поляризационных токов против электрического поля Е(соа):
% = - A/4) /Ч J Е* К) • Р (а>а) dv + к. с. A3.35)

380 Гл. 13. Нелинейная оптика
Обозначим распределение поля накачки через e(coY). Тогда
мощность рар, передаваемую моде а можно записать в виде [ср. с
формулой A3.8)]
Ра, = - -^ $ *А К; «v - ®э)е; К) X
X е, (coY) e; (сор) dy аЗД + к. с; A3.36)
здесь учтено, что «самовоздействие» благодаря величине %{^(а>а)
равно нулю и только поляризация, создаваемая на частоте соа
полем накачки и модой C, вносит вклад в эту мощность.
Используя выражение A3.34), амплитуду источника, таким образом,
можно записать в виде
A3.37)
Выражение для амплитуды источника sp получается
перестановкой индексов аир.
Введем теперь медленно меняющиеся во времени
огибающие Аа:
@ Л
и т. д. Очевидно, источник sa будет иметь зависимость от
времени в виде ApAYexp[/(coY— сор)/], которая эквивалентна
ApAYexp(/W).
Ограничимся случаем сильной накачки на частоте coY, когда
ослаблением накачки за счет расщепления на сигнальные
частоты о)а и сор можно пренебречь. В этом пределе «слабого
сигнала» амплитуду накачки можно считать заданной (т. е.
постоянной). В этом пределе уравнения, связывающие амплитуды аа
и ар, линеаризуются. Определяя коэффициент
*<* - " ^ AYe0 \ ,$ К; со?> - сор) е* (*>„) еу К) е; («>) dv
A3.38)
и аналогично переставив индексы р и а, коэффициент связи
а, уравнения A3.32) и A3.33) можно переписать в виде
dAJdt = -Aa/Ta + KafiA.;, A3.39)
Этот вид уравнений связи мод во времени нам уже знаком [ср.
с формулами G.59) и G.60)]. Коэффициенты связи
удовлетворяют соотношению
= V@P' A3.41)

13.5. Параметрические генераторы 381
которое можно доказать, используя равенство A3.28) и
определение A3.38). Коэффициенты связи подчиняются соотношению,
отличающемуся от полученного в случае линейной системы без
потерь. В отсутствие потерь 1/та = 1/тр = О уравнения A3.39)
и A3.40) удовлетворяют закону сохранения
d \Aap d I Ao р
dt /ico — dt ЯсоЛ К^лг)
а р
Поскольку величины |Аа|2 и |Ар|2 представляют собой
энергии соответственно мод а и р, а отношения |Аа|2/Йо)а и
|Ар\2/%щ — числа фотонов. Соотношение A3.42) является
следствием образования пар фотонов на частотах соа и сор.
Мы столкнулись с аналогичным весовым множителем в
случае акустооптического ответвителя в разд. 9.1. Тогда мы
нашли, что коэффициенты связи между падающей и
дифрагированной волнами не одинаковы, а отличаются на множитель,
равный отношению двух частот. Соотношения Мэнли — Роу
«работают» и в этом случае. Падающая волна с частотой со,
создает фотон с энергией /гсо^ и рождает или поглощает фонон
с энергией Йсо5. Число фотонов сохраняется, поскольку каждый
падающий фотон создает один дифрагированный фотон.
Если предположить, что амплитуды Аа и Ар зависят 6т
времени по экспоненциальному закону ехр(—t/х), то из уравнений
A3.39) и A3.40) находим
V4(iir + ".A- <>3.43)
Из соотношения A3.41) следует, что произведение уса^а
вещественно и положительно. Таким образом, величина 1/т может
стать отрицательной, система приобретает экспоненциально
нарастающее решение, если
Заменяя знак > на знак равенства, получаем пороговое
условие «запуска» параметрического генератора. Оно определяет
амплитуду |хар|2 [т. е. амплитуда поля накачки |aYe/(coY)|2
должна обеспечивать достаточное «параметрическое» усиление,
чтобы превысить потери в резонаторе].
Если порог превышен, то из выражения A3.43) следует
экспоненциально нарастающее решение. Система может начать
(и начинает) работать из-за наличия неизбежного шумового
фона (даже при нулевой температуре имеются флуктуации поля
[11]) и поля нарастают на обеих частотах соа и сор. Когда
амплитуды этих полей вырастают до уровней, делающих заметным
ослабление накачки за счет расщепления, коэффициенты связи
хар уменьшаются по амплитуде и устанавливается стационарное
состояние без нарастания или спадания амплитуд.

382 Гл. 13. Нелинейная оптика
Сохранение импульса и перестройка параметрического
генератора
В оптических резонаторах взаимодействие в среде обычно
происходит на расстояниях, значительно превышающих длину
волны, при этом распределения мод е,(оэа) и т. п. имеют
волнообразный характер. Чтобы достичь когерентного перекрытия в
интегралах A3.37) и A3.38), необходимо, чтобы волновые
векторы взаимодействующих полей удовлетворяли соотношению
±ka±kp + kY = O. A3.44)
Двойные знаки (±) появляются из-за того, что в резонаторе
(обычно) взаимодействуют стоячие, а не бегущие волны.
Соотношение A3.44) выражает закон сохранения импульса в
параметрических процессах. Оно обеспечивает преимущество
частотной перестройки параметрического генератора. Поверхность
нормалей является в общем случае функцией частоты. При
нормальной дисперсии показатель преломления п увеличивается
с частотой. Предположим, что мы имеем положительный
одноосный кристалл. Если в качестве накачки выбрать
необыкновенную волну с волновым вектором kY, а волны ka и кр считать
обыкновенными, то условие согласования фаз с учетом
дисперсии может быть выполнено, как показано на рис. 13.3, а. На
этом рисунке отложены постоянные распространения
изотропной обыкновенной волны ka и k$ в зависимости от частоты,
причем кривая постоянной распространения &р, зеркально
отраженная относительно вертикали щ/2, складывается с кривой
/еа. Таким способом строится зависимость суммы ka + k$ от
частот о)а и сор = o)Y —^а. При фазовом синхронизме мы имеем
kY = ka + kp. Поверхности нормалей необыкновенной волны
вычерчиваются с учетом зависимости ky = {щ/с)пе{щ)
(рис. 13.3,6), а значения суммы ka + k$ берутся из графика
рис. 13.3, а и откладываются на горизонтальной оси.
Пересечение сферы такого радиуса ka + k$ с эллипсоидом дает конус
направлений фазового синхронизма.
Сигнал на частоте, для которой выполняется условие
фазового синхронизма, имеет наибольший коэффициент усиления.
Если межмодовое расстояние в резонаторе достаточно мало, то
резонанс осуществляется на частотах соа и шр (или вблизи них),
соответствующих направлению синхронизма, и эта пара мод
нарастает быстрее, чем моды, которые не синхронизированы по
фазе. В установившемся состоянии поток фотонов накачки
таков, что коэффициенты усиления этих мод равны
коэффициентам их потерь, в то время как коэффициенты усиления
остальных мод меньше и они подавляются. Генератор перестраивается
по частоте изменением ориентации кристалла, меняющим на-

13.5. Параметрические генераторы 383
^гб /гг является
осью симметрии
рисунка
(обыкновенная
волна)

(необыкновенная волна)
Рис. 13.3. Построение направления синхронизма для параметрической
генерации. Рисунок имеет вращательную симметрию относительно оси k2.
правление фазового синхронизма, и как следствие значения
частот соа и сор.
Параметрическое преобразование с повышением частоты
Соотношения Мэнли —Роу накладывают ограничения A3.41)
на коэффициенты связи мод с частотами соа и сор при
параметрическом преобразовании с понижением частоты, т. е. когда
связываемые моды имеют частоты, меньшие, чем частота
накачки. Другим интересным процессом является преобразование
с повышением частоты, при котором частоты соа и сор удовле-

384 Гл. 13. Нелинейная оптика
творяют следующему соотношению для частоты накачки coY:
®Р = <°Y + 0a- A3.45)
В этом случае анализ аналогичен изложенному выше, за
исключением того, что уравнения A3.39) и A3.40) заменяются
уравнениями
dkjdt = - Аа/та + хаEАр, A3.46)
- Ар/тэ + храАа. A3.47)
Ограничения, накладываемые соотношением Мэнли — Роу на
компоненты тензора у}2) A3.30), объединенные с выражением
A3.38), примененным к рассматриваемому случаю, приводят
к следующему соотношению между коэффициентами связи:
Характеристическое уравнение для предполагаемой
экспоненциальной зависимости решения ехр(/й/) имеет вид
Нарастающее решение в этом случае отсутствует — система
сама не запускается. Параметрическое преобразование с
повышением частоты по самой сути отличается от преобразования
с понижением. В последнем процессе сигналы на обеих частотах
могут возбуждаться спонтанно от шумов, в отсутствие какого-
либо внешнего возбуждения. Фотоны с частотами соа и сор
образуются попарно, а энергия обоих мод экспоненциально
нарастает. В параметрическом преобразовании с повышением
частоты фотон с частотой соа должен поглотиться, чтобы
образовать фотон с частотой сор = coY + соа.
13.6. Генерация второй гармоники [12]
Важным нелинейно-оптическим процессом является умножение
частоты. Возбуждая полем Е(со) на частоте со среду с тензором
нелинейности второго порядка %f)k Bco; со, со), можно получить
удвоение частоты, т. е. генерацию второй гармоники (ГВГ).
Как и в случае линейного электрооптического эффекта, для
которого вместо Х/%(©> <°> 0) обычно табулируют коэффициенты
rtjk, коэффициенты тензора второй гармоники обозначаются
следующим образом:
diik = du^ A/2)го%%Bщ со, со). A3.50)
Коэффициенты для кристалла КДР равны [13] d36 = d\\ =
= 0,45 + 0,03 в единицах A/9)-Ю2 (МКС), а для LiNbO3

13.6. Генерация второй гармоники 385
(плоская
вал на)
. Ось у
кристалла
Рис. 13.4. Устройство для удвоения частоты.
в тех же единицах приводятся следующие два коэффициента:
d3[ = 4,76 dz 0,5, d22 = 2,3 ± 1,0.
Симметрия у тензора Aци такая же, как и у тензора г;^-, причем
с однозначным соответствием между буквенными индексами.
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 13.4. В
одноосном кристалле с осью г, ориентированной так, как показано на
рисунке, распространяется плоская волна с частотой со,
электрическое поле которой располагается в плоскости xz, а
волновой вектор к параллелен оси у, причем его величина равна
/г (о) = (о/с)/г (со). Эта плоская волна при взаимодействии
с кристаллом вследствие его нелинейных свойств приводит
к поляризации на частоте 2со [ср. с выражением A3.9)]:
Р. Bсо) = A/2) ед^ B©; со, со) Ef (со) Ek (со). A3.51)
Распределение плотности поляризационных токов имеет вид
источника плоской волны с частотой 2со и пространственной
зависимостью ехр([—/2k(co)] -r) = exp[—j2k((u)y]. Такой
источник излучает в направлении главной оси у кристалла,
создавая поле ЕBсо), поляризованное в плоскости ху. Это поле
с частотой 2со интерферирует конструктивно только в том
случае, когда 2к(со) = кBсо), т. е. когда выполнено условие
фазового синхронизма излучения со второй гармоникой. Чтобы
рассмотреть общий случай, выпишем уравнение распространения
волны ЕBсо) при наличии источника sBco):
dE B®)/dy = - jk Bсо) Е B©) + s Bo). A3.52)
Амплитуду источника можно вычислить из энергетических
соображений, используя выражение для поляризации,
создаваемой на второй гармонике A3.51). Мощность на единицу
площади для второй гармоники дается выражением
= ±sJ-^ "B«>)|ЕBсо)|2.
A3.53)

386 Гл. 13. Нелинейная оптика
Скорость пространственного изменения вектора Пойнтинга
SyB(x)) находится из уравнения A3.52) путем скалярного
умножения обеих частей на величину Е*Bоо) и сложением с
комплексно-сопряженным выражением:
d[Sy]/dy = (l/2) л/го/[1о nBc»)[sBc>>) -Е* Bа) + к. с]. A3.54)
Правая часть этого соотношения представляет собой объемную
плотность мощности источника sBco). Она затрачивается на
работу возбуждаемых поляризационных токов /2соРBсо)
против поля ЕB(о):
п B©) [s Bсо) • Е* Bсо) + к. с] =
= - A/4) [/2соР Bсо) • Е* Bсо) + к. с]. A3.55)
Сравнивая члены в обеих частях последнего равенства,
получаем следующее выражение:
^xBco), A3.56)
где Р± — составляющая вектора Р, перпендикулярная оси у.
Продольная составляющая вектора Р вдоль оси у не связана
с полем ЕBсо), и ею можно пренебречь. Воспользовавшись
тензором восприимчивости второго порядка, имеем
s = ~ i' ^шх^Bсо; °°' 0) ё/(со) ё*(со) ехр [~ т (со) у]>
i=l9 3; A3.57)
здесь в явном виде записана пространственная зависимость
электрического поля на основной частоте: Ej(co) = Е/(со)Х
Хехр[—jk(to)y]. Выражение A3.57), подставленное в уравнение
A3.52), приводит к следующему уравнению для второй
гармоники:
j-j2k(^)yl i=l, 3. A3.58)
Вектор х!/Ш/ (со) Ё^(со) (/= 1,3) может иметь как х-, так и 2-со-
ставляющую. Поле второй гармоники направлено вдоль этого
вектора. Можно было бы вывести уравнение A3.58)
непосредственно из волнового уравнения способом, аналогичным
использованному при анализе дифракции света на звуковой волне
(разд. 9.1). Мы использовали теорию возмущений, так как
возбуждение моды пространственно распределенным
источником не отличается с математической точки зрения от
возбуждения моды во времени. Пример генерации второй гармоники
дополняет теорию возмущений, рассмотренную в разд. 7.2, и

13.6. Генерация второй гармоники 387
свидетельствует о ее гибкости. Эту теорию можно
распространить и на процессы, не являющиеся электромагнитными
(например, удвоение частоты при взаимодействии звуковых волн).
Интегрируя уравнение A3.58) с граничным условием
Е;Bсо)=0 при у = О, находим амплитуду поля второй
гармоники:
Е, B@, у) = -1 ^-^ X<2)fe Bсо; со, со) Е; (со) Е* (со) X
w с-,ь 1-жх и ехр {/ [к Bа>) - 2k (со)] у - 1}
Ле fe B@) - 2fc (<о) ' г— '. -э- (I
Поток энергии во второй гармонике на выходе из кристалла
у = I дается выражением
О) Е^ (со) | L j
, 3
где Ak = k Bco) — 2/г (со) — расстройка постоянных
распространения волны от условия синхронизма. Этот поток можно
выразить через квадраты потоков энергии на основной частоте
в случае, когда волна Е/ линейно поляризована вдоль оси х:
е0 c2az Bсо) /г2 (со)
t=l,3
Мощность максимальна, если вторая гармоника согласована
с поляризационными токами источника, распределенными по
экспоненциальному закону ехр [—2jk((u)y], (т. е. если Д& = 0).
Добиться точного выполнения фазового синхронизма вдоль
одной из главных осей кристалла можно, используя различие
в зависимостях значений п0 и пе от температуры. Обычно
необыкновенный показатель преломления пе зависит от
температуры сильнее, чем обыкновенный п0. Таким образом, если волна
Ех(со)— обыкновенная, а Е*Bсо)—необыкновенная, то,
нагревая или охлаждая кристалл, добиваются совпадения значений
(/)B) и Bco/)()
Генерация второй гармоники в пучках конечных
размеров [12]
Мощность сигнала второй гармоники пропорциональна
квадрату мощности основной волны и возрастает как квадрат длины
кристалла в соответствии с формулой A3.60). Это справедливо

388 Гл. 13. Нелинейная оптика
для достаточно широких пучков, для которых не имеет места
дифракция на длине /. Попытка беспредельно уменьшать за
счет фокусировки радиус пучка ад0 и тем самым увеличивать
интенсивность основной волны терпит неудачу из-за
дифракционной расходимости такого пучка в кристалле. Пучок
радиусом wo не расширяется на длине порядка
l~(nwyi)n, A3.61)
где к — длина волны в вакууме.
Рассмотрим пучок с радиусом w0 и рассчитаем мощность,
соответствующую этому значению радиуса пучка. На основной
частоте
So
о
--^Sy(a>, p = 0). A3.62)
Распределение мощности второй гармоники имеет вид
ехр(—4р2/^5) и, следовательно, она равна
2
= ^-SyB<s>, р = 0). A3.63)
Используя выражения A3.59) и A3.61) — A3.63), получаем в
случае синхронизма
При фокусировке интенсивность второй гармоники
пропорциональна длине /, а не ее квадрату /2. Разумеется, мощность не
может расти бесконечно с увеличением /. Ослабление мощности
основной (накачивающей) волны ограничивает выходную
мощность второй гармоники.
Измерение длительности импульса с помощью ГВГ
Генерация второй гармоники используется для определения
длительности импульсов, которые являются слишком
короткими, чтобы их можно было непосредственно регистрировать
быстродействующим фотоприемником. Схема
экспериментальной установки представлена на рис. 13.5. Последовательность
импульсов от лазера с синхронизацией мод, проходя через
полупрозрачное зеркало интерферометра Майкельсона, делится
на две последовательности, которые затем объединяются после
прохождения одной из последовательности импульсов через
переменную временную задержку в одном из плеч интерферо-

13.6. Генерация второй гармоники
389
метра. Для облегчения юстировки в интерферометре
используются уголковые отражатели. Объединяемые импульсы
фокусируются в кристалле с ГВГ, и мощность второй гармоники па
выходе регистрируется ФЭУ. Если необходима высокая
чувствительность, то сигнал можно промодулировать и использовать
синхронное детектирование, как показано на схеме.
Обозначим сводимые в кристалле с ГВГ поля через Ех1 и
Ед-2, где
Exl=E(l)exp[-jk(a)y], A3.65)
Ех2 = E(t — x) exp [— jk (со) у] ехр (— /сот).
A3.66)
В данном случае величина E(t) является огибающей
импульсного электрического поля, а множитель ехр(—/сот) — фазовой
задержкой при отражении от зеркала. Электрическое поле
второй гармоники на выходе из кристалла с ГВГ при фазовом
синхронизме пропорционально величине [Exi + E*2]2 в
соответствии с выражением A3.59). Мощность второй гармоники,
регистрируемая ФЭУ, пропорциональна усредненному по времени
значению квадрата электрического поля:
~<|Ех1 + ?х2|<>. A3.67)
Из-за наличия фазового множителя ехр(—/сот) она зависит от
задержки т. При перемещении зеркала на половину длины
волны показатель экспоненты изменяется на 2я. При
достаточно большой постоянной времени регистрирующего устрой-
Ю
9
LiNbO3
Рис. 13.5. Экспериментальная установка для измерения длительности
импульсов с помощью ГВГ. 1 — лазер с синхронизацией мод; 2 — прерыватель; 3 —
переменная линия задержки т; 4 — плечо А; 5—плечо Б; 6 — ФЭУ; 7 —
синхронный усилитель; 8 — синхронизирующий сигнал; 9 — фильтр на основную
частоту; 10 — дисплей.

390
Гл. 13. Нелинейная оптика
1,0 г
I
I
0.5
О
-1,0
1,0
-0,5 О 0,5
Время, пс
Рис. 13.6. Сигнал ГВГ в отсутствие шумов. (Из работы [15].)
ства эти быстрые изменения вследствие смещения зеркала
с нормальной скоростью, усредняясь, исчезают так же, как
и все члены, содержащие экспоненциальный множитель
ехр(—/сот). Обозначим угловыми скобками с индексом т это
усреднение. Раскрывая произведения, находим
(Р Bсо))т ~ ((|| Ех1 + Ех2 |4»т = ( | Ё (/) Г) + < | Ё (t - т) Г) +
+ 4(|Ё(/)|2|Ё(/-т)|2). A3.68)
(^ + ^)|4 не зависит от т и,
Усредненный по времени член |Ё(^ + ^|
таким образом,
Р Bсо) - 2 (| Ё (/) |4) + 4 (| Е @ Е (/ — т) |2>.
A3.69)
Теперь можно объяснить, каким образом длительность
импульса отслеживается посредством смещения зеркала в
интерферометре Майкельсона. При т = 0 на выходе имеем
РBсо)~6|Ё(т)|4.
Если последовательности импульсов сдвинуты таким образом,
что отдельные импульсы не перекрываются, то
и мощность равна
РBсо)~2(|Ё(/)|4>.
Отношение максимального сигнала к фону равно 3:1.
Поскольку величина |Ё(/)|2 пропорциональна
интенсивности

13.7. Эффект Керра; процесс третьего порядка 391
основной волны I(t), мощность второй гармоники связана с
автокорреляционной функцией интенсивности:
РBсо)^(/(/J) + 2(/@/(/~т)>. A3.70)
Еще раньше [14] сообщалось об использовании скрещенных
пучков Ei и Е2 в кристалле с ГВГ для устранения фона. Можно
подобрать углы так, чтобы выполнялось условие фазового
синхронизма: ki (со) + кг (со) = кBо), а вторая гармоника
появлялась только в присутствии обоих полей Ех{ и Ех2 и
распространялась в направлении ki(co) + k2((o). На рис. 13.6 изображен
сигнал ГВГ, полученный таким способом.
13.7. Эффект Керра; процесс третьего порядка
Так называемый линейный электрооптический эффект связан
с пропорциональным приложенному электрическому полю
изменением показателя преломления. Он описывается тензором
%г/г (°V> ^a» 0). Эффект Керра связан с изменением показателя
преломления, пропорциональным квадрату приложенного
электрического поля. Этот эффект реализуется в среде с
инверсионной симметрией, в то время как линейный
электрооптический эффект свойствен только средам, у которых отсутствует
такая симметрия. Особенно большими постоянными Керра
обладают такие жидкости, как нитробензол и сероуглерод,
которые состоят из анизотропных молекул, вследствие того, что
молекулы стремятся выстроиться под влиянием электрического
поля. Низкочастотному эффекту Керра соответствует тензор
Х^/ (соа; соа, 0, 0), где соа — оптическая частота.
Оптический эффект Керра заключается в изменений
показателя преломления, вызываемом «управляющей» оптической
волной на частоте сор. Этот эффект описывается тензором
Xf/ki (<V> coa, (Op, — соД Нелинейные оптические явления,
описанные в гл. 10, основаны на оптическом эффекте Керра.
Действительно, изменение показателя преломления в формуле
A0.6) пропорционально интенсивности /, т. е. квадрату
электрического поля оптической волны.
Оптический эффект Керра в жидкостях обусловлен частично
выстраиванием молекул при воздействии электрического поля
Е/ (сор) Е/ (со<х)> а частично изменением формы электронного
облака молекулы. Первый эффект в жидкостях с анизотропными
молекулами обычно выражен значительно сильнее, чем послед-
кий, хотя он и намного медленней. Его время отклика опреде-

392
Гл. 13. Нелинейная оптика
ляется временем, необходимым для переориентации молекул
и имеет обычно порядок нескольких пикосекунд.
На рис. 13.7 представлена экспериментальная схема
спектрографа с пикосекундным разрешением. Мощный лазер с
синхронизацией мод генерирует пикосекундные (или субпикосе-
кундные) импульсы, которые разделяются затем на
полупрозрачном зеркале. Часть энергии импульса воздействует на
образец, у которого изучаются флуоресцентные свойства. Другая
часть импульса (с регулируемой временной задержкой
относительно первой части) «управляет» затвором. В отсутствие
«отпирающего» импульса свет от образца не попадает на вход
спектрографа из-за наличия в схеме пары скрещенных
поляризаторов. Пикосекундный «отпирающий» импульс, проходя
через ячейку Керра, создает ограниченную область с двулуче-
преломлением, представляющую собой щель, движущуюся
вместе с импульсом и пропускающую свет. Движущаяся щель —
затвор разделяет излучение, попадающее на входную щель
спектрографа, по временам задержки относительно
возбуждающего импульса. Входная щель лежит в плоскости отпирающего
импульса. На выходе спектрографа сигнал является двумерным:
одно измерение представляет задержку, другое — частоту
излучения. Такая схема позволяет получать
спектрально-временные характеристики отдельных импульсов.
7
\
\
\
\
А Гг
\
6
N
\
3
s
Рис. 13.7. Ячейка Керра, используемая в спектроскопии с пикосекундным
разрешением. / — лазер с синхронизацией мод; 2 — отпирающий импульс; 3 —
скрещенные поляризаторы; 4 — пучок в виде полоски; 5 — затвор; 6 — образец;
7 — пробный импульс.

13.8. Заключение 393
13.8. Заключение
Для описания оптических нелинейностей мы использовали
представление вектора поляризации в виде разложения в ряд из
произведений амплитуд приложенного поля. Это разложение
является обобщением рядов Тейлора и его справедливость
обусловлена тем, что оптические нелинейности обычно слабы.
Поля, используемые в устройствах обработки сигналов, малы
по сравнению с внутриатомными полями и нелинейность /г-го
порядка сравнима по величине с п-м порядком отношения
приложенного поля к внутриатомному. Нелинейность п-го порядка
описывается тензором (п+1)-го ранга. Линейный
электрооптический эффект является частным случаем нелинейности
второго порядка.
Модель груза на пружинке с нелинейной возвращающей
силой использовалась как модель нелинейности второго порядка
с дисперсией. Соотношения Мэнли — Роу накладывают
ограничения на компоненты тензора %, которые лежат в основе
принципа действия параметрического генератора и
параметрического преобразователя с повышением частоты.
Параметрические генераторы, как это следует из их названия, возбуждаются
самостоятельно. Они обеспечивают только преобразование с
понижением частоты, т. е. генерацию пары частот соа и сор,
удовлетворяющих соотношению соа + сор = coY, где coY — частота
накачки. Преобразование с повышением частот не может начаться
самопроизвольно. Для него необходимо наличие источника
с частотой со», чтобы на выходе появилась частота coY + wa, где
coY — частота накачки. Параметрические генераторы можно
перестраивать, используя фазовый синхронизм волн в нелинейном
кристалле.
Различие в поведении преобразователей с понижением
частоты (генераторов) и с повышением частоты объясняется
соотношениями Мэнли — Роу. Последние подразумевают два вида
сохранения числа фотонов в следующих процессах второго
порядка: 1) образование или уничтожение пары фотонов на
частотах соа и сор и 2) рождение одного фотона на частоте соа,
поглощение одного фотона на частоте сор или наоборот.
Последний процесс сродни обычному сохранению энергии двух
связанных мод в одночастотном процессе, в котором сумма W\ + W2
сохраняется (не зависит от времени). Первый процесс сродни
сохранению энергии в одночастотном процессе, если одна из
энергий (скажем, W2) отрицательна; при этом сумма W\ + W2
сводится к W\ — \W2\ [16]. Такие процессы неустойчивы, они
могут экспоненциально нарастать во времени и описываются
с помощью того же формализма, что и параметрический
преобразователь с понижением частоты.

394
Гл. 13. Нелинейная оптика
Генерация второй гармоники является особым случаем
нелинейности второго порядка. Для эффективной генерации
второй гармоники необходим фазовый синхронизм. Генерация
второй гармоники является наиважнейшим методом измерения
длительностей импульсов лазеров с синхронизацией мод,
которые являются слишком короткими для прямых измерений.
Нелинейность более высокого порядка описывается тензорами
более высокого ранга. Оптический эффект Керра представляет
собой процесс третьего порядка. Мы рассмотрели
спектроскопическую установку с пикосекундным временным разрешением
как пример использования оптической нелинейности для
высокоскоростных измерений.
Задачи
13.1. В процессе параметрического преобразования с понижением частоты
фотон накачки, исчезая, рождает по фотону на частотах соа и сор. Найдите
соотношения между величинами %f^k (соу; соа, со^), %f^k (соа; соу, — (Ор) и
%Г-Д ((Op; CDy, —соа), аналогичные выражению A3.28).
13.2. Получите выражение для коэффициента связи в процессе
параметрического преобразования с повышением частоты, аналогичное формуле
A3 38), и докажите равенство A3.48).
IS
Рис. 313.3.
13.3. Найдите направление синхронизма для параметрической генерации в
кристалле с поверхностью нормалей, изображенной на рис. 313.3 при
1 2
Постройте график, из которого можно было бы найти направление
вектора к для которого ka + k$ = ky.

Задачи
395
13.4. Рассмотрите уравнения параметрического усилителя при расстройке
резонатора от условия coY = соа + Юр. Докажите, что они имеют вид
dAa/dt = ~ Аа/Та
' К " ШР ~~
а ехР [~
Введите новые переменные
Аа = Аа ехр [+ j (coY — (Dp — соа) t/2]
Ар = Ар ехр [— j (©Y ~ cop — ©а) //2].
Запишите уравнения для амплитуд Аа и Ар. Найдите из них
постоянную нарастания Re[—s] как функцию расстройки с предполагаемой
экспоненциальной зависимостью ехр(—st). Положите 1/та==1/Тр.
Постройте график зависимости Re [—sxa] от (coY — coa — сор) ta.
13.5. Для кристалла без дисперсии ГВГ-коэффициент йцк и
электрооптический коэффициент rijk связаны однозначным образом [выражения A3.14)
и A3.50)]. Например,
n2n\
== n2on\rx 3kEk
Ek = -
= -2(d{
Определите, насколько справедливо это соотношение в случае кристалла
LiNbO3, имеющего параметры
г22 = 3,4 . 10~12 м/В, d22 = 2,3 ± 1,9 • 10~22 ед. МКС,
по = 2,29,
пе = 2,20.
Эти значения заимствованы из табл. 8.1 и 9.2 книги Ярива [13] Он не
указал значение частоты для табл. 8.1, а табл. 9.2 составлена для X =
= 5500 А.
13.6. Каждая сторона пластины из материала, имеющего показатель
преломления /г, имеет отражающее покрытие с коэффициентами отражения
соответственно ri и г2 (рис 313.6). Рассмотрим пучки с однородным по
поперечному сечению s4> распределением интенсивности.
Рис. 313.6.
а) Найдите выражение для параметра 1/те такого резонатора на
резонансной частоте сот = пгяс/nl.
б) Предполагая, что внутри резонатора создается поле накачки в виде
бегущей волны амплитудой EY = уЕу cos (coY^ — kyz), а среда обладает
нелинейной восприимчивостью %i3i (coa; coY, — сор), и считая, что
выполнено условие фазового синхронизма, запишите уравнения связанных мод

396 Гл. 13. Нелинейная оптика
для частот соа и со^, которые находятся в резонансе с интерферометров
Фабри — Перо. Какова амплитуда отраженной резонатором волны
s_@a)B установившемся состоянии (отсутствуют нарастание и
спадание), если амплитуда падающей на резонатор волны равна
Нормируйте все величины на единичную площадь (в плоскости ху)
(|s+|2 — удельная мощность, |а|2 — удельная энергия) Используйте
феноменологические коэффициенты связи %а$ и %$а.
в) Вычислите параметр хар через коэффициент Xi з ь считая, что поля
на частотах соа и со^ поляризованы вдоль оси х.
г) Оцените пороговую интенсивность на частоте соа, близкой к частоте
сор. Синхронизированная генерация второй гармоники вдоль главных
осей в LiNbO3 при накачке светом с длиной волны 0,5 мкм возможна
при температурной «подстройке». Величину коэффициента %f^{ (coa; соу
— (Op), равную значению %311 (®у» ^а» ^р)8 соответствии с задачей 13.1,
можно оценить, используя соотношение зСзи B°>; °>> ©) = 2d31 = 2d3n =
= 2 • 6,25 • 10~12 м/В (см. работу [17]). Заметьте,что коэффициент dz и
приведенный в работе [17], соответствует величине dzi/го в книге Ярива
[13]. Используйте значения г\ — 0,99, 1 = 2 см.
13.7. Выведите уравнение акустооптической дифракции через условие
сохранения энергии методом, использованным для вывода уравнения A3.58).
13.8. В разд 13.6 мы пренебрегли ослаблением мощности основной волны.
В этой задаче предлагается ее учесть
а) Составьте систему двух уравнений для второй гармоники и основной
волны, распространяющихся в кристалле ЬЛМЬОз при выполнении
условия фазового синхронизма вдоль оси у (главной оси) LiNbCb и
поляризованных вдоль осей z и х соответственно. Покажите, что эти уравнения"
должны иметь вид
= - jKx 2E3 Bco) E* (со).
Из условия сохранения энергии определите связь между коэффициентами:
/Сг 1 и /Ci 2-
б) Покажите, что фазы поддерживаются такими, что вышеприведенные
уравнения можно переписать в виде
dk{jdy = — хАр dA2jdy =
где х, Ai и Аг — вещественные числа:
А2 - У^ Е3 Bсо), А, -
исключая фазовые множители единичной величины.
в) Решите записанные выше уравнения и найдите интенсивность волны
Ei(со), которая необходима для осуществления 90 %-ного
преобразования мощности на расстоянии 2 см. Используйте значение коэффициента
ds!, приведенное в условиях задачи 13.6, и длину основной волны
Я = 1 мкм. Пренебрегите расширением пучка и неоднородностью
профилей интенсивности.
13.9. Эллипсоид показателей преломления в условиях задачи 12.2 при цирку-
лярно поляризованном электрическом поле на частоте соо можно исполь-

Литература 397
зовать для генерации одной боковой полосы на частоте сор ± соо в
зависимости от направления круговой поляризации. Для доказательства этого
утверждения вычислите возмущение поляризации
где Дх«;(О—зависящий от времени тензор поляризуемости, найденный
в задаче 12.2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Shen У. /?., "Recent advances in nonlinear optics", Rev Mod Phys, 48,
No. 1, 1—32 A976).
2. Uanna D. C, Yuratich M. A , Cotter D., Nonlinear Optics of Free Atoms
and Molecules, Springer-Verlag, New York, 1979.
3. Nonlinear Optics (eds. P. G. Harper, B. S. Wherrett), Proc. of the Sixteenth
Scottish Universities Summer School in Physics, 1975, Academic Press, New
York, 1977.
4. Bloembergen N., Nonlinear Optics, W. A. Benjamin, Menlo Park. Calif.,
1965. [Имеется перевод: Бломберген Н. Нелинейная оптика. — М.: Мир,
1966.1
5. Butcher P. N, Nonlinear Optical Phenomena, Bull. 200, Ohio State
University, Engineering Experimental Station, 1965.
6. Manley J. M.y Rowe H. E., "Some general properties of nonlinear elements
Part I. General energy relations", Proc. IRE, 44, 904—914 A956).
7. Haus H. A, "Power flow relations in lossless nonlinear media", IRE Trans.
MTT, 6, 317—324 A958).
8. Penfield P.. Jr., Frequency-Power Formulas, Technology Press, MIT,
Cambridge, Mass. Wiley, New York, 1960.
9. Weiss M. 7\, "Quantum derivation of energy relations analogous to those
for nonlinear reactances", Proc IRE, 45, 1012—1013 A957).
10. Loisell W. H*, Coupled Mode and Parametric Electronics, Wiley, New York,
1960. [Имеется перевод* Люиселл У Связанные и параметрические
колебания в электронике — М.: ИЛ, 1963.]
11. Marcuse D., Engineering Quantum Electrodynamics, Harcourt Brace and
World, New York, 1970.
12. Boyd G. D.y Kleinman D. A., "Parametric interaction of focused Gaussian
Light beams", J. Appl. Phys., 39, No. 8, 3597—3639 A968).
13. Yariv A, Introduction to Optical Electronics, Holt, Rinehart and Winston,
New York, 1976. [Имеется перевод: Ярив А. Введение в оптическую
электронику.— М.: Высшая школа, 1983]
14. Ippen E. P., Snank С. V.y in: Ultrashort Light Pulses, Topics in Applied
Physics, vol. 18 (ed. S. L. Shapiro), Springer-Verlag, New York, 1977.
15 Fork R. L., Greene B. /., Shank C. V.t "Generation of optical pulses shorter
than 0,1 ps by colliding pulse mode locking", Appl. Phys. Lett., 38, 671 —
672 A981)
16. Sturrock P. A., "Kinematics of growing waves", Phys. Rev., 112, No 5
1488—1503 A958).
Л7. Byer R. L, in: Nonlinear Optics (eds. P. G. Harper, B. S. Wherrett),
Academic Press, New York, 1972, p. 148.

Глава 14
Регистрация оптических сигналов
Во многих случаях наблюдение и измерение оптических
сигналов сводится к задаче обнаружения сигнала на шумовом фоне.
Введя понятие временной и пространственной когерентности,
мы изучили некоторые функции, обладающие статистическими
свойствами. В нашем кратком рассмотрении вопросов
регистрации оптических сигналов мы сконцентрируем свое внимание на
счетчике фотонов, который вследствие фотовозбуждения
генерирует непосредственно электрический ток, и изучим
статистические свойства выходного сигнала такого счетчика.
Процесс образования носителей заряда является
статистическим и, следовательно, «шумящим» процессом. Мы изучим
шумовые характеристики и выведем формулу дробового шума.
Детекторы характеризуются мощностью эквивалентных шумов
(МЭШ), которая определяет «шумность» детектора. Мы
рассмотрим два предельных случая — один, когда МЭШ
вызывается шумами, производимыми самим сигналом вследствие
дробового шума тока, и другой, когда МЭШ определяется
тепловым фоном. В первом случае мы изучим конкретную систему
детектирования, а именно гетеродинный прием и определим
чувствительность этой системы. Во втором случае мы найдем
предельную чувствительность, достижимую при наличии
теплового шума.
В наши планы не входит обстоятельное изучение физических
свойств какого-либо конкретного регистрирующего устройства
и мы отсылаем читателя за дальнейшими подробностями к
литературе [1,2].
14.1. Квантовый выход
Электрический ток, создаваемый фотоприемниками,
пропорционален падающему потоку фотонов, вызванному генерацией
носителей в полупроводнике или электронной катодной эмиссией
в вакуумном диоде. Эти фотоприемники характеризуются
квантовым выходом г\у который равен отношению тока заряженных
частиц, снимаемого на выходе, к частоте попадания фотонов на
входе. Ток, обусловленный оптической мощностью Р, дается

14.2. Дробовой шум 399
выражением
i = r\eP/fi<d, A4.1)
где Р/Йсо — частота попадания фотонов на фотоприемник, со —
круговая частота излучения, а е — заряд электрона. Если
обозначить комплексную амплитуду электрического поля плоской
волны через Е, а ее постоянную распространения через к = knt
так что
? = A/2)(Ее/«'-'к'г + к. с),
то
р = J п . da A/2) V^/K E • Е*, A4.2)
А
где А — площадь приема сигнала у фотоприемника. Заметим,
что эта формула определяет оптическую мощность,
усредненную за один цикл оптического излучения, и что мы опустили
компоненту с удвоенной частотой, содержащуюся в мгновенной
части вектора Пойнтинга. Разумеется, из-за ограниченной
полосы электрической цепи выходной ток фотоприемника не
может включать в себя частотные компоненты на второй
гармонике принимаемого оптического сигнала, даже если они
возбуждались бы внутри фотоприемника. К тому же, как показывает
тщательный квантовомеханический анализ фотодетектирования
[3], компоненты на второй гармонике вообще не создаются
внутри фотоприемника. Поэтому использование в формуле
A4.2) усредненной по времени мощности вполне уместно.
Квантовый выход меньше чем единица. Если каждый
«первичный» носитель производит «вторичные» носители
посредством либо вторичной эмиссии в ФЭУ, либо лавинного
умножения в полупроводниковом диоде, то этот процесс можно учесть
с помощью коэффициента усиления G:
A4.3)
Шум, связанный с механизмом усиления, и шум, обусловленный
генерацией первичных носителей, требуют отдельного
рассмотрения. Мы рассмотрим подробно только последний шум.
14.2. Дробовой шум
Пусть в момент времени tt фотокатод вакуумного фотодиода
испускает электрон с зарядом —е, который движется в
направлении к аноду. Тогда во внешней цепи, соединенной с
катодом и анодом, возникает ток i(t) (рис. 14.1). Постоянный
ток, текущий за счет движения электрона фотоэмиссии, можно
представить себе как постоянную скорость изменения фиктив-

400
Гл. \4. Регистрация оптических сигналов
Излучение
Катод
Анод *г*
Рис. 14.1. Вакуумный фотодиод с источником напряжения смещения и
нагрузочным резистором.
ного заряда на двух электродах под действием тока i(t).
Электрон, выходящий из катода, оставляет после себя суммарный
неуравновешенный заряд -\-е. Этот фиктивный
неуравновешенный заряд на катоде уменьшается по мере того, как электрон
удаляется от катода, и это уменьшение сопровождается
соответствующим увеличением фиктивного заряда на аноде. Когда
электрон попадает на анод, он встречается с равным по
величине и противоположным по знаку фиктивным зарядом, после
соударения с которым он нейтрализуется. Во время движения
электрона в фотодиоде от катода к аноду течет ток, интеграл от
которого по времени равен -\-е\
i(t) = eh(t — ti), A4.4)
h(t — tt)dt=\. A4.5)
причем
Этот процесс практически не отличается от того, что имеет
место при образовании дырочно-электронной пары при
облучении фотонами фотопроводника, помещенного между двумя
электродами. Дырка движется к отрицательному электроду,
а электрон — к положительному. Суммарный эффект такой же,
как если бы только электрон двигался от катода к аноду;
разумеется, форму функции h{t) необходимо скорректировать,
вообще говоря, с учетом различных подвижностей и,
следовательно, скоростей дырок и электронов.
Суммарный ток i(t), создаваемый потоком зарядов,
запишется в виде
i(t)=eYih(t-ti), A4.6)
где ti — случайная переменная.

14.2. Дробовой шум 401
Применяя метод, изложенный в разд. 1.5, можно получить
спектр тока. При этом процесс рассматривается как
периодический с периодом Г, и в результате мы получаем
соответствующий дискретный спектр. Спектр имеет форму прямоугольника,
так как в пределе Т^-оо спектральная плотность определяется
выражением A.81).
Дискретное преобразование Фурье I(п) функции A4.6)
записывается в виде
-T/2
^\т~'1 e-iu>rh(t')dt'. A4.7)
772-?.
Если период Т очень велик, то нам не стоит беспокоиться о
небольшом количестве импульсов тока вблизи конца интервала.
Интегралы можно заменить на интегральное фурье-преобразо-
вание #(со) функции h(t), где
#(со) = A/2я) Г h(t)e-№dt. A4.8)
J —оо
Таким образом, фурье-компонснту 1(п) тока можно записать
в виде
1(п) = е Bя/Г) ? е~ш*Н (со). A4.9)
i
Спектр Ф дается выражением A.81):
Ф= lim —|/(rc)f = e2 lim )^-|Я(ш)|2 > e' t» *4. A4.10)
к г, /г
Если фотоприемник освещается светом с постоянной
интенсивностью (единственный случай, которым мы интересуемся в
данной главе), то значения tt являются независимыми
случайными переменными. В случае // ф tk и со ф 0 статистическое
усреднение дает нуль, так что двойное суммирование
заменяется на однократное при / = k. В случае же со = 0, т. е. для
постоянной составляющей спектра, необходимо проводить
двойное суммирование.
Рассмотрим вначале спектр в случае со ф 0. Если скорость
потока фотоэлектронов равна /о/в, где /о — постоянный ток,
создаваемый освещением, то сумма принимает вид
?e-/°('*-<*)= ? е-ЩЧ-*к) = Т1о/е. A4.11)
i, к i = k
При этом, объединяя выражения A4.10) и A4.11), получаем
следующий спектр для случая со ф 0:
ф (со) = ё2 Игл 2я | Я (со) |210/e = 2nefQ \ H (со) |2. A4.12)
7->оо

402 Гл. 14. Регистрация оптических сигналов
Для достаточно низких частот, для которых функцию h(t)
можно рассматривать как единичную импульсную функцию,
фурье-образ #((о) дается выражением
t^ 1/2я, A4.13)
а спектр ф оказывается по существу плоским:
ф(со) = е/0/2я. A4.14)
В литературе по шумам обычно вводят понятие
среднеквадратичных флуктуации тока в частотном интервале А/. Представим
себе, что наблюдаются среднеквадратичные флуктуации тока
через узкополосный фильтр, полоса которого имеет среднюю
частоту coo и ширину Асо = 2яД/\ Среднеквадратичные
шумовые флуктуации тока, проходящие через фильтр и
обозначаемые как \in\2, в соответствии с формулой A4.14) запишутся
в виде
]77Г2 = 2е/0Д/, A4.15)
где мы объединили вклады в спектральную плотность как при
положительной, так и при отрицательной частотах, поскольку
в эксперименте имеют дело только с положительными
частотами.
Прежде чем двигаться дальше, следует проверить спектр на
нулевой частоте (со = 0). Двойная сумма в выражении A4.10)
на этой частоте равна квадрату числа фотоэлектронов (Т10/еJ.
Используя значение Я(со = 0)= 1/2я, имеем
ф(© = 0)= lim ПТ/2п, A4.16)
что равно бесконечности. Однако мы должны учесть, что
формула A4.16) представляет собой дискретный спектр, частотные
составляющие которого находятся друг от друга на расстоянии
2я/7\ Таким образом, функцию A4.16) можно рассматривать
как импульсную функцию с площадью, равной квадрату тока,
т. е. величине l\.
Если функцию Я (со) нельзя рассматривать как импульс,
то спектр не является плоским, а спадает за пределами
характеристической частоты. Рассмотрим в качестве примера
идеализированную волновую форму тока, создаваемого электронно-
дырочной парой в фотопроводнике при одинаковых подвижно-
стях дырок и электронов. В этом случае функция h(t) имеет
форму прямоугольника шириной т0, где т0 — время пролета
через фотопроводник. Спектр Я (со) можно записать в виде
'"' 1 di—
di
то 2я сото/2

14.2. Дробовой шум
403
Рис. 14.2. Спектр дробового шума для прямоугольной функции h (t).
Подставляя это выражение для Я (со) в формулу A4.12),
получаем спектр дробового шума для этого идеализированного
случая. Спектр дробового шума изображен на рис. 14.2.
Интерес представляет определение эффективной ширины шумового
спектра как ширины 4пВ прямоугольника, имеющего такую же,
как и у спектра, максимальную высоту и площадь. Площадь
функции sin2(x/2)/(x/2J равна 2я, поэтому
ИЛИ
В = 1/2т0.
A4.18)
A4.19)
Мы используем выражение A4.19) ниже и в разд. 14.6.
Чтобы понять физический смысл формулы дробового шума,
рассмотрим эксперимент, в котором флуктуации тока
вызываются напряжением, приложенным к резистору /?,
фильтруются с помощью фильтра, имеющего ширину полосы В <С
<С о>о/2я с центральной частотой соо, и затем выводятся на экран
осциллографа. Если осциллограф работает в ждущем режиме,
то в каждый момент времени на экране мы видим синусоиду
с частотой coo, при условии что время развертки Ts «С \/В.
В пределах этого временного интервала фаза ф синусоиды,
а, следовательно, и ее частота соо + d<f>/dt не могут измениться.
Следующие друг за другом развертки являются синусоидами
с различными амплитудами и фазами. Среднеквадратичное
значение амплитуды напряжения на экране определяется
выражением
\V\2 = 2eI0R2B. A4.20)
Формулу дробового шума A4.15) можно вывести более
коротким, интуитивным способом, который может служить для

404 Гл. 14. Регистрация оптических сигналов
читателя мнемоническим правилом. Допустим, что мы
наблюдаем среднеквадратичные флуктуации тока i\ в проводниках,
связанных с фотоприемником, через фильтр с шириной полосы
В. В соответствии с формулой A4.19) для каждого наблюдения
нам требуется время то = 1/2В. В пределах этого интервала то
через фотоприемник проходит в среднем N зарядов:
N = x0I0/e = I0/2Be. A4.21)
При хаотическом попадании частиц на электрод величина ./V
флуктуирует, причем ее среднеквадратическое отклонение дается
формулой из книги [4] (см. приложение 14А):
Y2-Jr2 = N. A4.22)
Среднеквадратичные флуктуации тока можно записать в виде
т. е. мы получили формулу A4.15), если в ней положить Л/ = В.
Таким образом, формула дробового шума получается более
коротким путем. Эта формула дает спектр в окрестности со = 0.
Из нее непосредственно не следует спектр при со = оH Ф 0, даже
если он окажется правильным для этого случая так же, как и
для идеального случая, когда отклик тока имеет вид импульса,
поскольку спектр является плоским.
14.3. Мощность эквивалентного шума
Отношение сигнал/шум (S/N) при детектировании
определяется как отношение среднего квадрата тока сигнала |/5|2 к
среднему квадрату шумового тока |/„|2:
S/N = ГСТ/llTP. A4.23)
Если S/N < 1, то сигнал как бы «тонет» в шумах, в то время
как при S/N ^> 1 он легко обнаруживается. Обозначим
мощность падающего на фотоприемник оптического излучения через
Ps. Средний квадрат сигнального тока на выходе из
фотоприемника, согласно формуле A4.1), запишется в виде
2з, A4.24)
где со— частота падающих фотонов. Даже если оптический
сигнал является модулированным и, таким образом, имеет
конечную полосу, ширина ее очень мала по сравнению с оптической
частотой, так что падающие фотоны можно рассматривать так,
как если бы они имели одно значение со.

14.3. Мощность эквивалентного шума 405
Среднеквадратичный шумовой ток для полосы детектора
шириной В дается формулой A4.15) при Af = B. Таким образом,
отношение сигнал/шум дается выражением
N — VW 2el0B ' v*-—/
Постоянный ток /0 создается мощностью сигнала и фоновым
излучением. Обозначим среднюю частоту попадания на
детектор фотонов фонового излучения через г&. При этом мы имеем
A4.26)
Следовательно, отношение сигнал/шум запишется в виде
S (т|/А©J Pi
N
r\rb] В
A4.27)
Если электронный ток, обусловленный потоком фотонов
фонового излучения, велик по сравнению с током за счет
сигнальных фотонов, а такой случай имеет большое значение для
измерения малых сигналов на фоне теплового излучения, то
отношение сигнал/шум дается выражением
A4-28)
где индекс BL означает, что имеется ограничение фоновым
излучением. Мощность эквивалентного шума (МЭШ)
определяется как установившаяся (не зависящая от времени)
мощность полезного сигнала, при которой отношение сигнал/шум
равно единице:
(МЭШ)ВЬ = йсо У2г*В/т|. A4.29)
При увеличении площади фотоприемника А пропорционально ей
растет величина ?ь. Кроме того, если В увеличивается, то МЭШ
возрастает пропорционально л/В. Обычно определяют
количественную характеристику, которая не зависит от площади
фотоприемника и ширины полосы. Эта величина является
характеристикой типа фотоприемника и в меньшей степени зависит от
его геометрических свойств. Она обозначается как D* и
определяется следующим образом:
^* -у/АВ 1 / цЛ см • Гц1/2 ,хл ОАЧ
D s (мэш)вь = Ты Л/ ~*Г —вГ— <14-3°)

406 Гл. 14. Регистрация оптических сигналов
В разд. 14.5 мы найдем оценку возможной величины D*. Для
этого необходимо вычислить скорость образования носителей
за счет теплового фона.
14.4. Формула Планка для излучения черного тела
и формула Найквиста
Для нахождения фонового излучения вычислим вначале
плотность энергии в частотном интервале со, со + Ло внутри
замкнутого термостата, имеющего температуру Т. Энергия каждой
моды квантуется, так что энергия моды с частотой со равна [5]
п/гсо (п — квантовое число). Вероятность р(п) возбуждения
одной из электромагнитных мод термостата с энергией п/гсо
пропорциональна больцмановскому множителю [6] ехр [—(nftco/
/kT)]. Вероятность р(п) возбуждения моды на уровне п
должна быть нормирована таким образом, чтобы У?пр(п)=1.
Следовательно, нормированную соответствующим образом
вероятность р(п) можно записать в виде
р (п) = -^ = A — e~h*lkT) e-nh*lkT. A4.31)
у e~nh(dlkT
/г=0
Средняя энергия запишется следующим образом:
оо оо
ft со Yj Р (п)п = h(* 0 — е-ы'кТ)
п=0 /г=0
e-h<x>(kT
e
При вычислении суммы по всем значениям п мы
воспользовались тождествами
Jif -nXf n-nXJfl\ '-* A4.33)
e-xJ
n=0 rc=0
Число электромагнитных мод в термостате можно вычислить
следующим образом. Предположим, что термостат имеет
идеально проводящие стенки и представляет собой кубический
ящик со стороной L. Тогда частота (отпр моды га, п, р
определяется выражением
(я/LJ (га2 + п2 + р2) = ытпр/с2. A4.34)
Величина (я/L) л/т2 + п2 + р2 равна длине радиус-вектора,
идущего из начала системы координат, в которой каждая мода
представляется точкой с координатами гая/L, nn/L9 pn/L. Эти

14.4. Формула Планка
407
Сфера для подсчета
числа мод
Ячейка объемом
3
Рис. 14.3. Геометрия в ^-пространстве, иллюстрирующая подсчет числа мод
точки являются угловыми точками кубических ячеек объемом
(л/LK (рис. 14.3). Число мод в объеме V ^-пространства,
измеряемое в обратных кубических метрах, равно VL3/n3. В пределе
L-+oo ячейки становятся бесконечно малыми и суммирование
по объемам ячеек можно заменить интегралом. Число мод в
частотном интервале 0, со равно объему одной восьмой сферы
радиусом со/с, деленному на (л/LK. Число мод в частотном
интервале со, со + Дсо равно одной восьмой объема оболочки
сферы радиусом со/с и толщиной Дсо/с, деленной на (л/LK;
в результате мы получаем величину co2AcoL3/2Ar2. Энергия,
заключенная в этом числе мод на единицу объема, равна
произведению числа мод в единичном объеме со2Дсо/2с3л2 на среднюю
энергию моды, определяемую выражением A4.32), т. е. величине
со2 Асо /zee
2сV eh^kT-\ '
Поскольку каждая мода имеет две поляризации, эту величину
необходимо умножить на два. Обозначим плотность энергии
через p(co)dco:
A4.35)
со2
р (со) day = ~j-y da)
MkT .
Это та самая формула, которую Планк получил для плотности
излучения. Мы видим, что размеры термостата не входят в эту
формулу, что и требовалось доказать. Записанная здесь
плотность энергии создается волнами, распространяющимися в
различных направлениях. Тепловая мощность электромагнитных

408 Гл. 14. Регистрация оптических сигналов
волн, пересекающая площадь А в пределах телесного угла dQr
равна
dQ, л /Чу 1^ л со2 da /гсо (л . глП\
Аср (со) dco = dQA —^—ШШ • A4.36)
4л 4зт с 6 — 1
В следующем разделе мы применим эту формулу, чтобы
вывести выражение для величины D* идеального фотоприемника.
Прежде чем это. сделать, покажем, что вывод, аналогичный
представленному, приводит к формуле для теплового шума,
испускаемого нагрузочными сопротивлениями передающей
линии, т. е. к квантовомеханическому обобщению формулы Най-
квиста для теплового шума [7]. Вместо трехмерного ящика с
собственными частотами а)тпр рассмотрим одномерную
передающую линию длиной /, замкнутую в кольцо (рис. 14.4).
Собственные частоты m-й моды с частотой сот, распространяющейся в
одном из направлений, даются выражением:
(от//с = 2тя. A4.37)
Число мод, соответствующих приращению частоты Доз, равно
Д/72 = I Д(о/2яс. A4.38)
Энергия в частотном интервале со, со -f- До равна величине
/ /гсо Асо
а мощность ДР в этом частотном интервале в одном из
направлений равна энергии на единичную длину, умноженной на ско-
W-тепл
Рис. 14.4. Схематическое представление передающей линии длиной /. а
кольцевой резонатор; б — открытая линия, соединенная с нагрузкой.

14.5. Вычисление величины D * идеального фотоприемника 409
рость света с:
дР= >? А*. A4.39)
Выражение A4.39) представляет собой квантовомеханиче-
ское обобщение формулы Найквиста, которая получается из
этого выражения в пределе kT > ftco. При этом мы имеем
AP = kTBy A4.40)
где В = Дсо/2я —ширина полосы в герцах. В классическом
пределе kT ^> йсо формулу Найквиста можно применить для
вычисления среднеквадратичных флуктуации тока в короткозамк-
нутом проводнике с проводимостью G и температурой Т.
Разомкнем кольцевой резонатор и соединим его концы
проводниками с G = Уо> где Уо — волновая проводимость передающей
линии (рис. 14.4). Волны, распространяющиеся в
противоположных направлениях, поглощаются двумя согласованными
нагрузками. Если температура у нагрузочного сопротивления
такая же, как и у передающей линии, и поддерживается тепловое
равновесие, то нагрузки должны выделять такое же количество
мощности, которое они и получают (т. е. kTB в полосе В).
Проводник сам по себе является пассивным элементом и поэтому не
способен производить энергию. Эквивалентная цепь линейного
проводника в случае теплового равновесия с передающей
линией при температуре Т должна содержать внутренние
источники шумов; ее вольт-амперную характеристику можно
записать в следующем обобщенном виде:
i = Gv + iT, A4.41)
где iT— ток внутреннего источника (рис. 14.4). Мощность,
выделяющаяся в проводнике, соединенном с проводящей линией,
равна
A4.42)
для G = Yo- Таким образом,
A4.43)
14.5. Вычисление величины D * идеального
фотоприемника
Представленный в предыдущем разделе анализ можно
использовать для вывода параметра D* идеального фотоприемника.
Рассмотрим охлаждаемый фотоприемник площадью А.
Тепловое излучение из телесного угла 2я sin 9^8 собирается на входе

410
Гл. 14. Регистрация оптических сигналов
Детектор
площадью А //
Рис. 14.5. Поверхность детектора и телесный угол, в котором принимается
излучение.
фотоприемника, проходя через площадь Л cos 0 (рис. 14.5).
Полная тепловая мощность dPb, собираемая фотоприемником в
частотном интервале dco, следует из выражения A4.36):
dPh =
l х
2" sin 6 cos 6 dB.
A4.44)
Фотоприемник регистрирует излучение, начиная с некоторой
нижней частоты отсечки сос, определяемой работой выхода
светочувствительного покрытия в случае вакуумного фотодиода или
шириной запрещенной зоны в случае фотопроводящего
полупроводника. Будем рассматривать частотную характеристику
фотоприемника в виде ступенчатой функции единичной
амплитуды от частоты со == сос и до бесконечности. Скорость сбора
фотонов ?ь запишется в виде
dPb
2
— sin2902n
= ? sin2602n (^K (x* + 2xc + 2) e-*c,
A4.45)
где мы положили hcoc/kT 3> 1. В идеальном случае единичного
квантового выхода из A4.30) и A4.45) мы получаем следую-

14.5. Вычисление величины D * идеального фотоприемника
411
1 1
-
-
-
-
н
to
>О
г
>0
\\
\\
5
|
|
1 1 1
v
——-
——
S5
II
со
1 1 1
V ' '
\
\
\
1
1
/
/
/
\ \
^ \ \
IV
1 1 1
|М 1 1
^-
—
k \
hill
III 1
—
т
"
см
XPbSe =
i(i i
I1 ' ' _
_
_
-
— ~
-
-
-
I.M 1 . 1 I 1
"Я/г/?
6 > с я
5 о
о i
о g

412 Гл. 14. Регистрация оптических сигналов
щую формулу:
п* — [sin2 A *!LL!lDL r2 / Y2 _j \~хЛ
где мы выбрали частоту со по определению как частоту отсечки
(что соответствует наибольшему возможному значению D*).
Численный расчет дает
Хс/2
D'=l,3- ЮпC00/ГM/2— т-г-^ ГТ75-. A4.46)
sin 90 л:с(л:- + 2л:с + 2I/2
На рис. 14.6 представлены значения D* различных
фотоприемников. Для сравнения на этом рисунке приведена также
величина D* идеального фотоприемника, вычисленная по формуле
A4.46) при следующих условиях:
% = п/2у Т = 295 К.
При длине волны, соответствующей ширине запрещенной зоны
полупроводника, значение D* резко уменьшается. Следует
заметить, что реальный и идеальный фотоприемники с единичным
квантовым выходом имеют относительно близкие значения
величины D*.
14.6. Гетеродинное детектирование
В фотоприемнике, освещаемом оптическим излучением,
создается ток, пропорциональный падающей оптической мощности;
при этом фазовая модуляция падающего излучения не
детектируется. Фазовомодулированный оптический сигнал можно про-
модулировать, если поступающее на фотодетектор излучение
объединить с излучением стабилизированного лазерного
генератора; такой метод детектирования называют гетеродинным
детектированием, термином, заимствованным из техники обычной
связи. На рис. 14.7 представлена схема такого устройства.
Падающий оптический сигнал проходит через пропускающее
зеркало со слабым отражением, так что мощность падающего
излучения уменьшается лишь незначительно. Лазерный «гетеродин»
освещает то же самое зеркало с другой стороны, его излучение
частично отражается и объединяется с входным сигналом.
Смешанное излучение детектируется, а электрический ток детектора
после фильтра подается на вход усилителя. Рассмотрим
отношение сигнал/шум гетеродинного детектора, пренебрегая
излучением теплового фона.
Предположим, что поле падающего на детектор сигнального
излучения поляризовано линейно:
е/ш*'-/к*г + к. с).

14.6. Гетеродинное детектирование
413
Детектор освещается также излучением гетеродина,
электрическое поле которого имеет вид (l/2)(E0e/oH~;ko'r + к. с).
Предположим, что волны плоские. Ток, создаваемый в
детекторе, в соответствии с формулами A4.1) и A4.2) при da II я
запишется в виде
'о + '' = * /? J ^ Т Л/5"
'-/квт|2.
К. С.].
A4.47)
Член |E0|2 + |Es|2 дает постоянный ток. Мы видим, что при
частоте coo — cos имеет место сильное уменьшение сигнального
тока, если сигнальная волна и волна гетеродина
пространственно рассогласованы (т. е. экспоненциальный множитель
ехр [—/(ко — ks)-r] нельзя рассматривать как константу).
Впредь мы будем полагать, что (k0 — ks)-r = const. В этом
случае среднеквадратичный сигнальный ток запишется в виде
2
•е:
A4.48)
Величины Ро и Ps — это мощности соответственно
гетеродина и сигнала, смешиваемые детектором, а 0 — угол между
поляризациями гетеродина и сигнала. Заметим, что в
выражение для среднеквадратичного сигнального тока мощность Ро
входит как множитель, так что высокая мощность сигнала ге-
Рис. 14.7. Гетеродинный детектор. /—сигнал; 2 — частично пропускающее
зеркало; 3 — гетеродин; 4 — лазер; 5 — детектор; 6 — фильтр; 7 — входное
сопротивление усилителя, 8 — проводимость G.

414 Гл. 14. Регистрация оптических сигналов
теродина может привести к большому усилению. Усиление
можно определить как отношение тока, текущего в
гетеродинном фотодетекторе, к току, который имел бы место в идеальном
фотодетекторе с квантовым выходом, равным единице, если бы
на его вход поступал только полезный сигнал. При cos6 = l
коэффициент усиления *§ дается выражением
9 = 2e*(r)/h(uJPQPs = 2 Po.
Если мощность сигнала мала по сравнению с мощностью
гетеродина, то шум, обусловленный дробовым шумом постоянного
тока, создаваемого гетеродином, запишется в виде
КГР = 2eI0B « 2е* (-^) Р0В; A4.49)
здесь мы пренебрегли вкладом мощности сигнала по сравнению
с мощностью гетеродина. Следовательно, отношение сигнал/шум
равно:
S RTF л^соз2е A450)
N \in\2
При cos 9 = 1 отношение сигнал/шум равно квантовому выходу
г], умноженному на число сигнальных фотонов, принимаемых
за время \/В.
Если проводимость системы равна G, то к шуму
фотодетектора \in\2 необходимо добавить тепловой шум проводимости.
Тепловой шум будет сильнее дробового, если в соответствии
с выражениями A4.49) и A4.43) выполняется условие
ИЛИ
При малой мощности оптического сигнала тепловой шум может
оказаться преобладающим над сигналом. Оптическая мощность
Ро, для которой тепловой шум равен дробовому, дается
выражением
|(^)(^), A4.52)
где множители kT/e и hco/e имеют размерность электрического
напряжения.
Один электрон-вольт соответствует оптической длине волны
А, = 1,2 мкм, а отношение kT/e при комнатной температуре
равно 0,04 эВ. Обычно величина G равна 1/50 Ом-1. Это
значение, принятое в высокоскоростных фото детектор ах,
нагруженных на 50-омную линию. Следовательно, для G = 1/50 Ом-1 и

Приложение 14А 415
Я = 1 мкм имеем
Если мощность гетеродина меньше этой величины, то
преобладающим являются тепловые шумы. Мы не включили в
рассмотрение шумы, вносимые на стадии (стадиях) усиления.
Обсуждение этого вопроса читатель может найти в
соответствующей литературе [8].
14.7. Заключение
Вакуумные фотодиоды и фотоприемники с внутренним
фотоэффектом характеризуются своим квантовым выходом.
Постоянный ток, создаваемый установившимся освещением,
сопровождается дробовым шумом, который накладывает нижний предел
на уровень детектируемого оптического сигнала. Мы
представили два способа получения выражений для дробового шума:
один из них исходит из спектральной плотности, а другой — из
среднеквадратичных флуктуации числа импульсов тока во
временном интервале Т. Последний способ является весьма
простым и приводит к формуле для среднеквадратичных
флуктуации вблизи нулевой частоты.
Мощность эквивалентного шума фотоприемника — это такое
значение мощности оптического сигнала, при котором
отношение сигнал/шум равно единице. В случае детектирования при
наличии ограничивающего фона число тепловых фотонов,
попадающих на фотоприемник, необходимо вычислять по формуле
Планка. Полезным частным случаем формулы Планка является
формула Найквиста для среднеквадратичных флуктуации тока
в проводнике. Величина D*, характеризующая фотоприемник,
определялась таким образом, чтобы она не зависела от
площади и ширины полосы фотоприемника. Были вычислены
значения D* некоторых имеющихся в наличии фотоприемников и
эти значения сравнивались с величиной D* идеального
фотоприемника. Наконец, мы рассмотрели гетеродинное
детектирование и определили достижимое с его помощью отношение
сигнал/шум.
Приложение 14А
Статистика Пуассона
Найдем вероятность появления N фотонов или
фотоэлектронов во временном интервале 0 ^ t ^ T, если частота появления
равна г, а вероятность появления в любом временном интер-

416 Гл. 14. Регистрация оптических сигналов
вале не зависит от вероятности появления в любом другом
интервале. Обозначим через Po(t) вероятность отсутствия
фотоэлектрона на временном интервале @, t). Вероятность
P0(t -f- At), где Д^ очень мало, определяется как произведение
вероятности Po(t) на вероятность отсутствия в интервале At,
т. е. на величину 1 —rAt:
P0(t + At) = P0(t)(l-rAt). A4A.1)
Разлагая это выражение в ряд до первого порядка по Д^ и деля
результат на At, получаем следующее дифференциальное
уравнение для Po{t) (в пределе Д/->0):
dP0(t)/dt=-rP0(t), A4A.2)
решение которого записывается в виде
PQ(t) = e-«. A4A.3)
Рассмотрим теперь вероятность Pi @ появления одного
фотона внутри интервала t-\-At. Такое появление возможно двумя
путями. В первом из них вероятность равна сумме вероятности
непоявления в интервале @, t) и вероятности появления одного
фотона в интервале At, а во втором она равна сумме
вероятности появления одного фотона в интервале @, t) и
непоявления в интервале At. Таким образом,
Л (/ + Л/) = Ро @ г At + Л @ A - г At). A4A.4)
Дифференциальное уравнение для P\{t) имеет вид
dP{ (t)/dt = - rP{ (t) + rP0 (i). A4A.5)
Подставляя сюда выражение A4А.З), находим следующее
решение этого уравнения:
р1(/) = (г/)е-г*# A4А.6)
Этот вывод можно обобщить и найти вероятность TV появлений:
PN (t + At) = PN_{ (/) r At + PN (t) A - г ДО, A4А.7)
причем дифференциальное уравнение в этом случае принимает
вид
dpN (t)/dt =-rPN + rPN_x. A4A.8)
Последовательные решения уравнения A4А. 8), начиная с
функции P\{t), приводят к выражению
Ры=Щ?-е-«. A4А.9)

Задачи
417
На временном интервале 0 ^ t ^ T вероятность N появлений
равна
м = —щ-е > (МАЛО)
где N = ^nNPN = rT— среднее число появлений.
Распределение вероятности (НА. 10) известно как распределение
Пуассона. Можно показать, что среднеквадратичное отклонение в этом
случае записывается в виде
Задачи
14.1. Цель данной задачи состоит в вычислении функции h(t), описывающей
ток, индуцируемый электроном, движущимся со скоростью v{t)
@ ^ t ^ то) между двумя параллельными проводящими пластинами,
расстояние между которыми равно d, т е
V°v(t)dt = d.
а) Рассмотрите электрон как заряженную плоскость, параллельную
пластинам, имеющим площадь А (^> d2). Для короткозамкнутых пластин
Плоскость
с зарядом - е
ос
Рис. 314.1.
найдите индуцируемый заряд как функцию расстояния х @ ^ х < d)
от одной из двух пластин.
б) Найдите ток, возбуждаемый в короткозамкнутой цепи.
в) Представьте доказательство того, что полученный вами результат
справедлив не только для заряженной плоскости, а применим и к
точечным зарядам, если поперечные размеры пластин много больше
расстояния d
14.2. Рассмотрите интерферометр Майкельсона на рис. 314.2. Падающая
последовательность импульсов с большой скважностью, каждый из которых
имеет амплитуду E0{t) и фазовый множитель е/со°*, расщепляется на
две с амплитудами Ео (t)/^2. Эти две последовательности импульсов
проходят по ортогональным плечам интерферометра. После
прохождения длин оптических путей 21а и 2h импульсы попадают на
фотоприемник.
а) Найдите интенсивность сигнала, поступающего на фотоприемник, как
функцию параметра т
б) Покажите, что, если постоянная времени отклика фотоприемника
больше, чем длительность каждого импульса последовательности, то ток
на выходе фотоприемника дается выражением

418
Гл. 14. Регистрация оптических сигналов
где W — энергия импульса, у(т)—нормированная автокорреляционная
функция амплитуды импульса, а именно
W
Г E*(t)dt,
J —оо
E0(t)E*0(t-T)dt
SO
cos [щх + Ф (т)],
Ц (t) dt
где 0(т)—фаза произведения Ео (t) Eq (/ — т), a fr — частота повторения
импульсов. Каким образом можно использовать этот интерферометр
для измерения длительности импульса?
X 1
J
jE0{i)№
•г = ¦
Фотоприемнии
Рис. 314.2. Интерферометр Майкельсона.
в) Какая информация о статистической форме волны не обнаруживается
в этом эксперименте, но проявляется в процессе ГВГ (разд. 13.6)?
14.3. Какая мощность Ps необходима для получения отношения сигнал/шум
40 дБ при использовании фотоприемника cD*= 1012, с площадью
поперечного сечения А = 1 см2, г) = 0,1 и шириной полосы В = 100 МГц.
Предположите, что P2S = P2S. Рассмотрите случай, когда сигнал
ограничивается шумовым фоном.
14.4. Докажите справедливость формул A4.22), используя распределение
Пуассона из приложения 14А.
14.5. Модулированный лазерный источник излучает мощность 0,1 Вт в
основной гауссовой моде с w0 = 0,5 мм при X = 1,06 мкм. Это происходит
в дальнем поле на расстоянии / от фотодетектора с D* = 1012 и с
площадью А — 5 мм2. Найдите, какое должно быть максимальное
расстояние до лазерного источника, чтобы получить отношение S/N = 40 дБ
при ширине полосы 100 МГц. Насколько изменится /, если для создания
гауссова пучка с Wo = 5 см использовать параболическую вогнутую
антенну?

Литература 419
14.6. Решите еще раз задачу 14.5 для гетеродинной системы, в которой
мощность гетеродина равна 0,1 мВт. Пренебрегите шумом Найквиста.
Используйте значения т] = 10 % и 0 = 0
14.7. Теорема взаимности в электромагнитной теории приводит к следующему
соотношению между усилением антенны G(9, Ф) и ее приемным
поперечным сечением А (9, Ф) для излучения в направлении 9, Ф сферической
системы координат [9]:
А (9, Ф) = (Я2/4я) G (9, Ф).
Это соотношение можно доказать исключительно с помощью
термодинамики, используя формулу Планка для излучения Чтобы показать это,
потребуем, чтобы тепловая мощность G(9, Ф) (kTB/4я), пересекающая в
направлении 9, Ф антенну, соединенную с согласованной нагрузкой,
имеющей температуру Т, была равна мощности принимаемого теплового шума
(/ico <C kT). Обратите внимание на то, что величины G(9, Ф) и А (9, Ф)
относятся только к одной поляризации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Yariv A., Introduction to Optical Electronics. Holt, Rinehart anf Winston,
New York, 1976. [Имеется перевод: Ярив А. Введение в оптическую
электронику.— М.- Высшая школа, 1983]
2. Kingston R. AL, Detection of Optical and Infrared Radiation, Springer-Ver-
lag, Heidelberg, 1978.
3. Kelley P. L., Kleiner W. #., "Theory of electromagnetic field measurement
and photoelectron counting", Phys. Rev., 136, No. 2A, A316—A334 A969).
4. Feller W.t An introduction to Probability Theory and Its Application, Wiley,
New York, 1950. [Имеется перевод: Феллер В. Введение в теорию
вероятностей и ее приложения (дискретные распределения). — М.: ИЛ, 1952.]
5 Shiff L. /., Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1949 [Имеется
перевод: Шифф Л. Квантовая механика. — М/ ИЛ, 1957.]
6 Tolman R. С, The Principles of Statistical Mechanics, Oxford University
Press, New York, 1955.
7. Davenport W. В , Jr., Root W. L, An Introductoin to the Theory of Random
Signals and Noise, McGraw-Hill, New York, 1958.
8. Vand er Ziel A., Noise in Measurements, Wiley, New York, 1976.
9 Silver S., Microwave theory and design, Rad. Lab Series, McGraw-Hill, New
York, 1949.

Послесловие
Простые понятия наиболее легко запомнить и использовать.
К счастью, многие важные понятия нашли дальнейшее
творческое развитие, что привело с течением времени к упрощению и
облегчению их понимания и использования. В оптической
электронике существует ограниченное число действительно важных
понятий, многие из которых были разработаны в других
областях науки и нашли применение в этой недавно возникшей
области исследований. Понятие волнового сопротивления,
принятое в теории передающих линий и волноводов, оказалось
полезным при изучении отражения от слоистой структуры, а
также при нахождении мод пленочного волновода.
Интерферометр Фабри — Перо, разработанный в оптике, удобен при
рассмотрении формализма матриц рассеяния в теории волноводов.
В данной книге мы изучали узкополосные оптические
явления. Волновые пакеты, состоящие из многих длин волн, можно
рассматривать как малое возмущение решения, полученного для
установившегося состояния. Во всех случаях сохраняется
понятие групповой скорости как скорости распространения
огибающей. Кроме того, любой оптический пучок, представляющий
интерес, является широким — его диаметр значительно больше
оптической длины волны. Поэтому рассмотрение бесконечной
плоской волны позволяет получить большую часть необходимой
информации, разумеется, в тех случаях, когда волна изменяется
на расстояниях, много меньших или сравнимых с диаметром
пучка; это относится к исследованию преломления и отражения
от многослойных покрытий.
При исследовании распространения волны на расстояния,
превышающие длину волны, достаточно рассмотреть волновое
уравнение в параксиальном приближении. Это уравнение
применяется при изучении дифракции волноводного
распространения оптического излучения, волоконной оптики и
самофокусировки. Решение волнового уравнения (l/r)exp(—jkr) в
параксиальном приближении определяет функцию импульсного
отклика для задачи дифракции (здесь г — расстояние от начала
на вещественной оси); в случае гауссова пучка мы имеем
решение, когда начало г берется на мнимой оси.

Послесловие 42t
Решения в виде гауссова и эрмит-гауссова пучков более
высокого порядка содержат всю информацию о теории
дифракции Френеля. Сложные дифракционные картины, образующиеся
при дифракции Френеля, обусловлены только относительными
фазовыми сдвигами распространяющихся функций Эрмита —
Гаусса, через которые выражается поле на входной апертуре.
Эта простая модель позволяет также получить полное
представление о пространственном фурье-преобразовании с помощью
линзы. Моды, распространяющиеся в оптических волокнах с
параболическим распределением показателя преломления, тесно
связаны с решениями для свободного пространства, за
исключением того факта, что расширению пучка здесь препятствует
полное внутреннее отражение в слоистой среде. При
распространении пучка по волокну с параболическим профилем показателя
преломления сохраняется распределение в виде функции
Эрмита — Гаусса. Другой профиль показателя преломления приводит
к иному типу распределения мод и, в частности, к конечному
числу собственных мод, отвечающих физическому требованию
убывания поля на бесконечности. Наиболее важным методом
исследования оптических явлений, обсуждаемых в данной книге,
является теория возмущений. Дисперсия оптических волокон
исследовалась с помощью модифицированного уравнения
распространения волнового пакета, в котором учитывался вклад
величины d2C/d(o2, обусловленной кривизной дисперсионной
диаграммы р (со). Теория связанных мод, первоначально развитая
для СВЧ-диапазона, представляет собой также теорию
возмущений, в которой возбуждение составных структур
рассматривается как связь моды с внешним излучением или как связь
двух (или более) мод составной структуры. Этот метод
позволяет относительно просто изучать нестационарные процессы
возбуждения резонатора Фабри — Перо. С его помощью можно
исследовать связь между двумя оптическими волноводами,
близко расположенными друг от друга, и создать простые
модели оптических переключателей. Рассмотрение нелинейных
оптических явлений упрощается благодаря тому, что оптические
нелинейности являются слабыми. Они вызывают очень малые по
отношению к длине волны изменения, и, следовательно, здесь
в любом случае применим метод возмущений. С помощью все
того же метода возмущений мы смогли изучить
самофокусировку, формирование солитонов и синхронизацию мод в средах
с насыщающимся поглощением.
Большинство нелинейных оптических явлений происходит в
анизотропных кристаллах, поэтому мы уделили определенное
внимание вопросам распространения в анизотропных средах.
Благодаря анизотропии можно согласовать постоянные
распространения взаимодействующих волн («согласование фазы»), без
чего нельзя реализовать или сделать эффективными ни умноже-

422 Послесловие
ние частоты, ни параметрическую генерацию. Для изучения
параметрических взаимодействий снова использовалась теория
связанных мод. С помощью соотношений Мэнли — Роу было
показано, что самовозбуждение возможно в том и только том
случае, когда частота накачки превышает обе параметрически
возбуждаемые частоты.
Для оптического детектирования большую роль играет
представление о шуме. Шум — это случайный процесс,
статистические параметры которого аналогичны параметрам
некогерентного во времени излучения. Такие процессы квантуются через
корреляционные функции или плотности спектральных
мощностей. Мы получили автокорреляционную функцию и плотность
спектральной мощности дробового шума, а также формулу
Планка для излучения черного тела. Показано, что формула Найкви-
ста для теплового шума представляет собой частный случай
формулы Планка для одномерного низкочастотного процесса.
Вопросы, рассмотренные в книге, являются
фундаментальными для исследователя и конструктора приборов,
предназначенных для оптической обработки сигналов. Автор полагает, что
высокоскоростная оптическая обработка сигналов в настоящее
время находится на пороге больших достижений, предваряемых
совершенствованием методов изготовления микроструктур и
открытием материалов, обладающих сильной нелинейностью.

Предметный указатель
Аберрации 163
Автокорреляционная функция, 40, 92,
94, 391
комплексная 40, 92
Адиабатическое приближение 285
Активная синхронизация мод,
уравнение 292, 294
Ампера закон 16
Анализатор 364
Апертурные ограничения 118
ЛВСХ)-матрица 153
Билинейное преобразование 151—160
Бипериодическая последовательность
линз 158
Бистабильность оптическая 317, 319
системы с нелинейным
поглощением 317
— показателем
преломления 319
Ближняя зона 104
Брюстера угол 50
Волновое уравнение 17, 119, 305
параксиальное 120
скалярное 99
— число, эффективное 131, 147
Волновой вектор 27
параксиальный 100, 102
Волокно многомодовое 187
— одномодовое 186
— оптическое 53
Восприимчивость 16, 26
Гармоники пространственные 262
Гаусса закон для магнитного поля 16^
133
электрического поля 16
Гауссово распределение амплитуды
121, 125, 130
Гауссов пучок 137
Гельмгольца уравнение 27
Генерация второй гармоники (ГВГ)
372
Гетеродинное детектирование 412
Г уса — Хенхена сдвиг 52
Вариационный принцип 253
Волна необыкновенная 337,
— обыкновенная 337, 338
— плоская 17
Волновод оптический 200
тонкопленочный 52
Двулучепреломляющий кристалл 332J
Дигидрофосфат калия (КДР) 359„
338 384
Дисперсия аномальная 209
— нормальная 209
— нулевая 310
Дисперсионное уравнение 34

424 Предметный указатель
Дисперсионные диаграммы 190, 264
— кривые 188
Дифракция акустооптическая 283
Диэлектрический тонкопленочный
волновод 187
Длина волны 55
Добротность внешняя 225, 232, 272
— ненагруженная 224, 232
Дробовой шум 399, 403
формула 398, 402
Закон сохранения импульса 282, 382
— —• энергии 282
Изогипсы 133, 164
Импульсный отклик 120
Интеграл дифракционный Фраунго-
фера 106
Френеля 102
Интегральное преобразование Фурье
30
Интенсивность 122
— насыщения 290, 293, 312
Интерференционный фильтр 87
Интерферометр Майкельсона 88
— Маха—Цендера волноводпый 336
— Тваймана—Грина 70, 164
— Фабри—Перо, матрица рассеяния
83
— — — полоса пропускания 85
— резкость 85
— — — сканируемый 149
— Физо 164
Калибровка Лоренца 22
Квантовый выход 398
Керра эффект оптический 391
— — — анизотропные молекулы 391
Когерентность временная 93
— время 92
— длина 112
Конфокальный параметр 130, 143
Коэффициент отражения 46, 84, 228,
265
— потерь 291
— прозрачности 80
— связи 226, 238, 252, 380
— усиления 234, 289
— Фурье 30
Кристалл одноосный отрицательный
337
положительный 337
Линза с градиентным показателем
преломления 160
Лоренцева форма профиля усиления
290
ЛЧ-модуляция 208, 311, 316
— параметр 208
Максвелла уравнения 15
Матрица преобразования 151
— рассеяния 70, 73, 77, 83
— унитарная 77
Метод возмущений 224
Мода 142, 157, 185
— высшего порядка 142
— поперечная магнитная 195
электрическая 187
— резонансная 86, 95, 137, 148
— резонатора 95
— связь 235, 241
— скорость затухания 224
— утечки 198
— Эрмит—Гаусса, 170
Модулятор акустооптический 284
— амплитудный 360
— Маха—Цендера волноводный 366
— отклик 362
— поперечный 362
— фазовый 364
Ниобат лития (LiNbO3) 360
Обработка изображения 117
Обращение времени 78
Ответвитель волноводный 245

Предметный указатель 425
Отражение от решетки 62
Параксиальное приближение 106, 119,
132
Параметр расстройки 263
Параметрический генератор 377, 379
вырожденный 379
— — невырожденный 379
— процесс 377, 383
уравнение связанных мод 379
— усилитель 377
Параметрическое преобразование с
повышением частоты 383
понижением частоты 383
Переключатель оптический волновод-
ный 249
Периодическая структура 243
Плотность энергии магнитной 20
электрической 20
Поверхность лучевая 338
— нормалей 338
Пойнтинга вектор 20
— теорема 18, 20, 26
Показатель преломления 48, 50, 336
коэффициент нелинейности 306
•— — необыкновенный 338
обыкновенный 338
Поккельса эффект 358
Покрытие отражающее 60
— просветляющее 58
Полином Эрмита 142
Полное внутреннее отражение 50
Поляризация 15
— круговая 24
— линейная 24
— эллиптическая 24
Постоянная магнитная 16, 26
— пространственного затухания 198
— распространения 183, 185, 264,305
— фотоупругая 297
— электрическая 16
Потенциал векторный 21, 103, 133,
305, 346
— скалярный 21
Потери дифракционные 138
Преобразование Фурье 31
обратное 31
Приближение дальней зоны 106
— параксиальное 106, 119, 132
Проводимость волновая 17, 46, 49
— полная 230
Проницаемость магнитная 16, 26
— электрическая 16, 26
Процесс второго порядка 373
среда с дисперсией 374
— стационарный статистический 92
Разрешающая способность
спектрометра 109
хроматическая 66
Резонатор акустический 299
— конфокальный 149
— неустойчивый 142
— проходной 269
Решетка объемная 284
Ряд Фурье 30
Самофокусировка 305
Свертка, теорема 31, 37
— фурье-образ 31
Светоизлучающий диод (СИД) 207
Синхронизация мод активная 282
пассивная 311
Скаляр комплексный 23
Скорость групповая 35, 231
— фазовая 29, 35, 131
гауссова пучка 131
Снеллиуса закон 45
Солитон 308, 311
Соотношения Мэнли — Роу 375, 376
Сопротивление волновое 46, 55, 57
Спектроскопия с пикосекундным
разрешением 392
Среда акустооптическая 280
— с насыщающимся поглощением 312
Тензор восприимчивости 327
второго порядка 372
— второй гармоники 384

426
Предметный указатель
— диэлектрической проницаемости
328
вещественный симметричный
330
— единичный 328
— эрмитов 329
Теорема взаимности 71
Т-матрица 96, 152
Тонкая линза, действие 112
Угол блеска 64
— дифракционной расходимости 108,
131
— предельный 50
Уравнение диффузии 313
Уравнения материальные 16
— распределенной обратной связи
265
— связанных мод 263
— собственных значений 333
Условие взаимности 74, 79
— критического согласования
— нулевых потерь 74
— обратимости времени 74, 227
—- фазового синхронизма 385, 387
расстройка 387
Устойчивость 293
Уширение импульса 209
Фазовый синхронизм 385, 387
Фарадея закон 15
Фильтр отражающий 265
ширина полосы 268
— перестраиваемый 247
— пространственный 118
Фокусное расстояние 113
Фраунгофера дифракция 106
Френеля число 162
— ядро 102, 120
Функция спектральной плотности 38
Фурье-образ 31
— амплитуды 208
Характеристика переходная 237
— типа фотоприемника 405
Частота пространственная 37
Четвертьволновой диэлектрический
слой 57
Четвертьволновая пластинка 354
Шредингера уравнение 183
нелинейное 306
Эллипс поляризации 24
Эллипсоид показателей преломления
334, 363
Эффективность решетки 64
Эффект электрооптический 373
— — применение в амплитудном
модуляторе 360

Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие . 8
Введение . 10
Глава 1. Уравнения Максвелла для однородных сред и некоторые
важные соотношения . 15
1.1. Уравнения Максвелла в вещественной форме .... 15
1.2. Векторы в комплексной форме [1, 5, 6] 22
1.3. Уравнения Максвелла в комплексной форме 25
1.4. Преобразования Фурье и групповая скорость .... 30
1 5. Спектр мощности и автокорреляционные функции .... 37
1 6. Заключение . ... . . 40
Задачи 42
Литература . 43
Глава 2. Отражение плоских волн на границах раздела сред .... 44
2.1. Отражение поперечных электрических волн от границы
раздела [1, 2] 44
2 2. Отражение поперечной магнитной волны от границы
раздела сред [1, 2J 48
2.3. Полное внутреннее отражение [1, 2] . 50
2.4. Преобразование волнового сопротивления и коэффициента
отражения 54
2 5. Четвертьволновые диэлектрические слои 57
2 6. Отражательные решетки [5] . . . . .... 60
2.7. Спектрометры с дифракционными решетками [5] . . . .65
2 8. Заключение 67
Задачи 68
Литература ... , 69
Глава 3. Зеркала и интерферометры . . .... 70
3.1. Принцип взаимности [1] . . 71
3.2. Формализм матрицы рассеяния [2, 3, 4] 71
3 3. Свойства матрицы рассеяния [2—4] . . .... 74
3.4. Матрица рассеяния полупрозрачного зеркала ... .79
3.5 Интерферометр Фабри — Перо [5—7] 81
3.6. Интерферометр Майкельсона [6] . . 88
3.7. Когерентность [6] 90
3.8. Интерферометр Тваймана — Грина и его применения [6] 93
3.9. Заключение .... . . 94
Задачи ...... . 96
Литература . .... . .98

428
Оглавление
Глава 4. Дифракция Френеля в параксиальном приближении
4.1. Дифракционный интеграл Френеля [1, 2] . .
99
99
4 2 Дифракция Фраунгофера [1] 106
4 3. Действие тонкой линзы . . . . . 112
4.4. Линза как фурье-преобразователь [2] .... . 114
4.5. Параксиальное волновое уравнение [3] . . 119
4.6. Заключение 122
Приложение 4А 123
Задачи 125
Литература ... . 127
Глава 5. Эрмит-гауссовы пучки и их преобразования
... 128
Глава 6.
Глава 7.
5.1. Гауссовы пучки 129
5.2. Резонаторы со сферическими зеркалами [2, 3] 137
5.3 Моды высших порядков [2, 3, 6—8] 142
5.4. Параметр q гауссова пучка и его преобразование [3, 5, 7] 149
5 5. Л?С/)-матрица в геометрической оптике 153
5.6. Применения ЛВС?>-матрицы . 157
5.7. Методы испытания оптических систем [10—12] .... 162
5.8. Заключение 166
Приложение 5А . 167
Приложение 5Б 170
Приложение 5В 171
Приложение 5Г 174
Задачи 176
Литература . 180
Оптические волокна и волноводные слои . .... 181
6.1. Волновое уравнение, неоднородный диэлектрик .... 182
6.2. Параболический профиль диэлектрической проницаемости
[11 184
6 3. Диэлектрический тонкопленочный волновод .... 187
6.4. ТЕ-моды в волноводном слое общего вида [5] 198
6.5. Распространение по одномодовому волокну 201
6.6 Распространение импульсов гауссовой формы в
диспергирующих системах . . . 206
Изменение показателя преломления в оптическом волокне 211
6.7.
6 8.
6 9.
Ортогональность волноводных мод [12]
Мощность, энергия и групповая скорость
6.10. Заключение
Задачи
Литература
213
216
218
219
220
Связь мод; резонаторы и ответвители 221
7.1. Положительно-частотная амплитуда моды 222
Резонатор с входной волной или волноводом . . 224
Расчет факторов качества, порога лазерной генерации и
выходной мощности ...... . 231
Проходной резонатор .... 235
Связь двух резонаторных мод 235
Пространственная связь мод [3—6] 241
Применения волноводных ответвителей . ... 245
Коэффициент связи 252
Заключение . 253
Приложение 7А 254
Задачи . 256
Литература - . 259
7 2.
7 3.
7.4.
7.5.
7 6.
7.7.
7.8.
7 9.

Оглавление 429
Глава 8. Структуры с распределенной обратной связью 261
8 1. Уравнения, описывающие структуры с распределенной
обратной связью . . 261
8.2. Отражающий фильтр [1, 2] 265
8.3 Проходной резонатор с высокой добротностью [3] . . 269
8 4. Коэффициент связи . . 273
8.5. Заключение 275
Задачи 276
Литература . 278
Глава 9. Акустооптические модуляторы . . 279
9.1. Акустооптический ответвитель [1] .... .... 280
9 2. Акустооптический амплитудный модулятор 284
9.3. Активная синхронизация мод [3, 4] . . 288
9.4. Акустическая мощность, необходимая для данного уровня
модуляции 297
9.5. Заключение 300
Приложение 9А 300
Задачи ... 301
Литература . 303
Глава 10. Некоторые нелинейные явления 304
10.1. Самофокусировка 305
10.2. Распространение солитонов в волоконных световодах [1] 308
10.3. Пассивная синхронизация мод насыщающимся
поглотителем [11, 12] 311
10.4. Оптическая бистабильность [18—23] 316
10.5. Заключение 323
Задачи . 324
Литература . 325
Глава 11. Распространение волн в анизотропных средах 327
11.1. Диэлектрический тензор анизотропной среды и теорема
Пойнтинга 327
11.2. Распространение волн в анизотропных взаимных средах
без потерь 330
11.3. Плотность энергии в анизотропном диэлектрике с
дисперсией 339
114. Групповая скорость в анизотропном диэлектрике с
дисперсией 340
11.5. Групповая скорость, поток мощности и плотность энергии
в анизотропном диэлектрике с дисперсией 343
11.6. Распространение эрмит-гауссова пучка в анизотропной
среде 345
11.7. Заключение 349
Приложение НА 350
Задачи . 354
Литература . 357
Глава 12. Электрооптические модуляторы .... 358
12.1. Линейный электрооптический эффект . 358
12.2. Применение электрооптического эффекта в амплитудном
модуляторе 360
12.3 Фазовый модулятор 364
12.4. Волноводный модулятор Маха — Цендера 366

430
Оглавление
12.5. Заключение 367
Задачи 368
Литература • 369
Глава 13. Нелинейная оптика . . 370
13.1. Описание нелинейной среды 370
13.2. Связь с электрооптическими коэффициентами 373
13.3. Процессы второго порядка в среде с дисперсией . . . 374
13.4. Соотношения Мэнли — Роу; процессы второго порядка . . 375
13.5 Параметрические генераторы ... ... . . 377
13.6. Генерация второй гармоники [12] 384
13.7. Эффект Керра; процесс третьего порядка 391
13.8. Заключение ... 393
Задачи 394
Литература . . . . 397
Глава 14. Регистрация оптических сигналов . . 398
14.1. Квантовый выход 398
14.2. Дробовой шум 399
14.3. Мощность эквивалентного шума 404
14.4. Формула Планка для излучения черного тела и формула
Найквиста 406
14 5. Вычисление величины D* идеального фотоприемника . . 409
14.6. Гетеродинное детектирование 412
14.7. Заключение 415
Приложение 14А 415
Задачи 417
Литература . 419
Послесловие . 420
Предметный указатель 423

Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие
просим присылать по адресу: 129820,
Москва, 1-й Рижский пер., 2, изд-во «Мир».

Херманн А. Хаус
волны и поля в оптоэлектронике
Заведующий редакцией профессор А. Н. Матвеев
Зам. зав. редакцией С. М. Жебровский
Научный редактор А. Н. Куксенко
Мл. научные редакторы В. И. Аксенова,
И. А. Зиновьева
Художник В. Б. Прищепа
Художественный редактор К- В. Радченко
Технический редактор И И. Володина
Корректор Т. М. Подгорная
ИБ № 6257. Научное издание
Сдано в набор 14.05.87. Подписано к печати 08 01.88.
Формат 60X90'/ig. Бумага кн.-журн. сыкт. Печать
высокая. Гарнитура литературная. Объем 13,50
бум. л. Усл. печ. л. 27. Усл. кр.-отт. 27. Уч.-изд. л.
24,29. Изд. № 2/5189. Тираж 4200 экз. Зак. 623.
Цена 4 р. 40 к.
Издательство «Мир» 129820, ГСП, Москва, И-110,
1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 головное
предприятие ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга»
им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052,
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
Ленинградская типография № 4 ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения
«Техническая книга» им Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли.
191126, Ленинград, Социалистическая ул , 14,
зак 70 М