Физика процессов в генераторах когерентного оптического излучения - Тарасов Л.В.

Автор: Тарасов Л.В.

Теги: электротехника квантовая радиотехника физика

Год: 1981

Похожие

Справочник. Приемники оптического излучения

Оптическая и квантовая электроника

Нелинейные оптические кристаллы. Справочник

Лазеры на алюмоиттриевом гранате с неодимом

Текст

Л.В.Тарасов
ФИЗИКА
ПРОЦЕССОВ
В ГЕНЕРАТОРАХ
КОГЕРЕНТНОГО
ОПТИЧЕСКОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ

Л.В.Тарасов
ФИЗИКА
ПРОЦЕССОВ
В ГЕНЕРАТОРАХ
КОГЕРЕНТНОГО
ОПТИЧЕСКОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ
•
Лазерыг
резонаторы,
динамика
процессов
МОСКВА
«РАДИО И СВЯЗЬ» 1981

ББК 32.86
Т 19
удк бгкз
Тарасов Л. В. Физика процессов в генераторах когерент-
когерентного оптического излучения. — М.: Радио и связь, 1981.—
440 с. с ил.
Книга посвящена физике процессов в лазерах. Рассмот-
Рассмотрены три группы вопросов: способы получения инвертирован-
инвертированных активных сред, формирование поля излучения в резонато-
резонаторе, динамика процессов в лазерах. Отбор материала отражает
современный уровень развития лазерной техники. Дано систе-
систематизированное рассмотрение методов, используемых в тео-
теории лазеров, различных подходов и приближений.
Предназначается для научных работников и инженеров,
работающих в области лазерной техники, а также преподава-
преподавателей и студентов вузов.
224 рис., 14 табл., библ. 295 назв.
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук В. Н. Морозов, канди-
кандидаты физ.-мат. наук В. Г. Дмитриев и Е. А. Шалаев
Редакция литературы по электронной технике
304°7-113 -23-81 2403000000 ©Издательство
046@1)-81 «Радио и связь», 1981 г.

Предисловие
Генераторы когерентного оптического излучения вклю-
включают в себя две группы приборов. Основную группу сос-
составляют лазеры. Во вторую группу входят генераторы оп-
оптических гармоник, параметрические генераторы света и
др. Данная книга посвящена физике процессов в лазерах*).
Написание книги, отражающей с физических позиций
современный уровень развития лазерной техники, пред-
представляется актуальным в связи с тем, что лазеры находят
все более широкое применение как в научных исследовани-
исследованиях, так и в самых различных отраслях народного хозяйства.
Непрерывно возрастает число инженеров и исследовате-
исследователей, занятых в области лазерной техники и смежных с нею
областях.
Согласно авторскому замыслу данная книга должна
решать две задачи: во-первых, систематизировать и рас-
расширить представления читателя о физике процессов в ла-
лазерах, познакомить его с новейшими достижениями и на-
направлениями; во-вторых, снабдить читателя информацией,
которая помогла бы ему в дальнейшем более свободно поль-
пользоваться специальной литературой. Автор стремился от-
отразить современный уровень развития лазерной техники и
в то же время дать систематизированное рассмотрение ме-
методов, используемых в теории лазеров, обсудить различ-
различные подходы и приближения. Тем самым автор стремился
к созданию книги, которая не только представляла бы оп-
определенный интерес для научных работников и инженеров,
но могла бы также служить научной и методической осно-
основой для разработки специальных учебных курсов и посо-
пособий.
В книге рассмотрены три группы вопросов: способы по-
получения инвертированных активных сред, формирование
поля излучения в резонаторе, динамика процессов.
В первой главе при рассмотрении способов создания
инверсии в активных средах обсуждаются принципы и
*) Генераторы оптических гармоник и параметрические гене-
генераторы света будут рассмотрены автором в отдельной книге.

4 Предисловие
особенности работы лазеров различных типов: твердотель-
твердотельных, на органических красителях, фотодиссоционных, га-
газоразрядных, электроионизационных, газодинамических,
химических, плазменных.
Во второй главе анализируется роль резонатора в фор-
формировании поля излучения лазера, излагаются основы тео-
теории открытых резонаторов. Используются геометроопти-
ческое приближение, итерационный метод Фокса—Ли,
модель гауссовых пучков, закон ABCD. Учитываются
апертуры зеркал, наличие внутри резонатора линзы или
диафрагмы, разъюстировка элементов в резонаторе. Рас-
Рассматриваются резонаторы различной геометрии — как ус-
устойчивые, так и неустойчивые. В случае активных резона-
резонаторов обсуждаются эффекты тепловой линзы, затягива-
затягивания частот и «выгорания дыр». Уделяется внимание вопро-
вопросам селекции продольных мод, а также физике волновод-
ных резонаторов и пленочных лазеров с распределенной
обратной связью.
Третья глава начинается с обзора различных режимов
генерации лазера, включая режимы активной и пассивной
модуляции добротности резонатора, синхронизации про-
продольных и поперечных мод, модуляции нагрузки. Вводят-
Вводятся, анализируются и широко используются балансные
уравнения (уравнения Статца—Де Марса и их модифи-
модификации). На основе этих уравнений излагаются различные
вопросы динамики одномодовых лазеров: переходные про-
процессы, приводящие к затухающим пульсациям мощности
излучения, появление незатухающих пульсаций мощно-
мощности при наличии слабой модуляции потерь, генерация ги-
гигантских импульсов при мгновенном включении доброт-
добротности. Сопоставляются электрооптический и акустоопти-
ческий способы активной модуляции добротности. Подроб-
Подробно анализируются процессы в лазерах с просветляющими-
просветляющимися фильтрами. Синхронизация продольных мод обсужда-
обсуждается с использованием как спектрального, так и времен-
временного подходов. При рассмотрении самосинхронизации мод
в лазере с просветляющимся фильтром применяется вре-
временное описание на основе флуктуационных представле-
представлений. Временной подход используется также для описания
акустооптической синхронизации мод в лазере с однородно
уширенной линией усиления. Отдельно обсуждаются ме-
методы исследования сверхкоротких световых импульсов.

Предисловие
В приложениях рассматриваются полиномы Эрмита, мат-
матрицы Джонса, особые точки двумерной динамической сис-
системы и другие вопросы.
Данная книга является логическим продолжением ра-
ранее изданной книги автора «Физические основы квантовой
электроники» (М.: Сов. радио, 1976), где была дана общая
физическая картина взаимодействия оптического излуче-
излучения с веществом.
Автор глубоко благодарен В. Г. Дмитриеву, В. Р. Куш-
ниру, В. К. Новокрещенову, Е. А. Шалаеву, В. Н. Мо-
Морозову, В. А. Дьякову, В. В. Никитину, Ю. Н. Пчельни-
кову, А. М. Амельянцу, А. А. Соловьеву, В. Ф. Трухину,
прочитавшим рукопись книги и высказавшим весьма цен-
ценные замечания и пожелания. Автор выражает благодар-
благодарность А. Н. Тарасовой за помощь в подготовке рукописи к
печати.

Глава I
Illlilllllllllllllll
СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ
ИНВЕРТИРОВАННЫХ
АКТИВНЫХ СРЕД
1.1. Некоторые общие вопросы
Инверсия активной среды как необходимое условие ге-
генерации лазера. Излучение лазера рождается на перехо-
переходах между определенными энергетическими уровнями ак-
активных центров; их называют рабочими уровнями. Отне-
Отнесенные к единице объема активной среды заселенности ра-
рабочих уровней будем обозначать через пх (нижний рабочий
уровень) и п2 (верхний рабочий уровень). Разность
N = П2 — (gs/gi)/!! A-1.1)
называют плотностью инверсной заселенности рабочих
уровней. Здесь gi и g2 — кратности вырождения соответ-
соответствующих уровней; для простоты будем, как правило, по-
полагать, что gx — g2-
Если выполняется условие
N>0,
A.1.2)
то говорят, что имеет место инверсия активной среды. По-
Поскольку N есть в общем случае функция времени и прост-
пространственных координат, то понятие инверсии может отно-
относиться к определенным промежуткам времени и опреде-
определенным областям активной среды.
В термодинамически равновесной среде величина N от-
отрицательна: заселенность верхнего уровня меньше засе-

Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
i
т
1
1ЧК
х :
•>
•
Рис. 1.1
•3 ленности нижнего. Для соз-
создания инверсии необходимо
перевести активную среду в
неравновесное состояние.
Обеспечение инверсии ак-
-° тивной среды является не-
необходимой предпосылкой для
реализации в лазере режи-
режима генерации. Напомним,
что коэффициент усиления и пространственно-однород-
пространственно-однородной среды описывается выражением* >
[и = oN\, A.1.3)
где а — сечение вынужденных переходов между рабочими
уровнями. Из A.1.3) видно, что сам факт существования
эффекта усиления излучения при его прохождении через
активную среду предполагает выполнение условия A.1.2),
т. е. требует наличия положительной величины N. Необ-
Необходимость обеспечения инверсии физически очевидна, так
как только при N > 0 (т. е. при п2 > %) процессы инду-
индуцированного испускания на рабочем переходе будут преоб-
преобладать над встречными процессами поглощения излучения.
Для создания и поддержания инверсии применяют тот
или иной способ возбуждения (или, как говорят, способ
накачки) активной среды. Методы накачки лазеров доста-
достаточно разнообразны и будут рассмотрены в последующих
параграфах.
Квантовый выход и коэффициент полезного действия
лазера. Выбор схемы уровней активного центра и метода
накачки в существенной мере влияет на величину коэффи-
коэффициента полезного действия (КПД) лазера.
Предположим, что активный центр описывается схемой
из четырех уровней (четырехуровневая модель лазера;
рис. 1.1). На рисунке: 0 — основной уровень, / и 2 — со-
соответственно нижний и верхний рабочие уровни, 3 — уро-
уровень, заселяющийся под действием накачки (уровень воз-
возбуждения). Допустим, что вся мощность накачки погло-
поглощается активными центрами и перечеркнутые на рисунке
переходы не имеют места. В этом идеальном случае КПД
лазера оказывается максимальным; он равен отношению
*) См„ например, соотношения E.6.9) и E.6.10) из [1];

1.1. Некоторые общие вопросы
энергии ftco высвечиваемого фотона к энергии Евоз0, за-
затраченной на возбуждение одного активного центра:
A.1.4)
Величину ц' называют квантовым выходом лазера.
В действительности не вся мощность накачки поглоща-
поглощается активными центрами. Часть мощности рассеивается,
а часть поглощается неактивными частицами. Поэтому в
выражении для КПД лазера должен быть множитель, ха-
характеризующий долю мощности накачки, поглощаемую
активными центрами; обозначим эту долю через у. Кроме
того, не все возбуждаемые активные центры попадут на
верхний рабочий уровень 2; часть из них перейдет с уровня
3 сразу на уровень / или уровень 0 (см. на рис. 1.1 перехо-
переходы, перечеркнутые однократно). В результате в выражении
для КПД лазера появится множитель, характеризующий
долю поглощенной активными центрами мощности накач-
накачки, затраченную на «полезное» возбуждение, т. е. на воз-
возбуждение тех активных центров, которые попадают в ито-
итоге на уровень 2. Обозначим эту долю через v. Наконец, не
все активные центры, оказавшиеся на уровне 2, пройдут
через рабочий переход; часть из них перейдет с уровня 2
сразу на уровень 0 (двукратно перечеркнутый переход на
рис. 1.1). В результате выражение для КПД лазера попол-
пополнится еще одним множителем — отношением числа актив-
активных центров, прошедших через рабочий переход, к числу
активных центров, возбужденных на уровень 2. Обозна-
Обозначим это отношение через /. Таким образом, выражение для
КПД лазера принимает вид
A.1.5)
При увеличении доли мощности накачки, поглощаемой
активными центрами, увеличивается множитель у в A.1.5).
Применяя активные среды, где маловероятны «паразитные»
переходы типа тех, которые показаны на рис. 1.1 как пере-
перечеркнутые, можно увеличить множители v и f в A.1.5). За-
Заметим, что в рассмотренном на рис. 1.1 примере накачка
отличается высокой селективностью (избирательностью) —
она обусловливает заселение только уровня 3. При исполь-
использований накачки с меньшей степенью селективности может
происходить заселение также, например, уровня /; это
будет приводить к уменьшению множителя v в A.1.5).

10 * Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
з Условие инверсии для че-
~f' тырехуровневой модели (ста-
—(л2) ционарная накачка). На рис.
1.2 приведена схема четырех
уровней и показаны те пере-
—i n i ~f/1»' ходы, которые принимаются
¦ Л 'г ° (Пп) во внимание. Отнесенные к
A2i
I единице времени вероятности
Рис. 1.2 переходов обозначены буква-
буквами вблизи соответствующих
стрелок на рисунке. Поскольку генерация отсутствует, то в
рабочем канале 2—/ учитывается только спонтанное ис-
испускание (Л21 — коэффициент Эйнштейна для спонтанного
испускания). Уравнения баланса для станционарных за-
селенностей (стационарная инверсия) имеют следующий
вид:
для уровня 3 Fsti0 — (Rs+R3)ns = 0; A.1.6а)
для уровня 2 R3n3 + Fun0 — (#2+Л21)п2=0; A.1.66)
для уровня / Fjn0 + Л21/г2 — R-ji^ = 0. A.1.6в)
Поясним, как получается, например, уравнение A.1.6а).
Скорость возрастания заселенности уровня 3 равна числу переходов
0 -* 3 в единицу времени в единице объема, т. е. равна /^«о- Ско-
Скорость убывания указанной заселенности равна сумме чисел пере-
переходов 3 -* 2 и 3 —> 0, т. е. равна (i?3+ R'a) ns- В стационарном
случае скорости возрастания и убывания заселенности уровня долж-
должны компенсироваться; отсюда следует A.1.6а).
Вводя обозначения njrii — х, njnx = у, п^пг — z, пе-
перепишем уравнения баланса в виде следующей системы
уравнений:
F3x = (R3+Ri)z; |
\ A-1.7)
Условие инверсии A.1.2) имеет в рассматриваемом случае
вид
у>\. A.1.8)
Получив из A.1.7) выражение для у и подставив его в
A.1.8), можно придти к следующему неравенству:

1.1. Некоторые общие вопросы 11
Отношение Rs/ (R3 + R3) есть относительная вероят-
вероятность того, что находящийся на уровне 3 активный центр
перейдет на уровень 2. Следовательно, FSR^ (Я3 + #з)
есть вероятность заселения уровня 2 через уровень 3. А
поскольку на уровень 2 можно попасть также за счет пе-
перехода 0-+-2, то сумма
F = F2 + IF3R3/ (Я, + Я5I A.1.10)
есть полная вероятность заселения верхнего рабочего уров-
уровня. Далее заметим, что сумма
R=A21 + R2 A.1.11)
есть, очевидно, полная вероятность очищения (релакса-
(релаксации) верхнего уровня. С учетом A.1.10) и A.1.11) перепи-
перепишем условие инверсии A.1.9) в виде
\(Rx-A21)IR>FxIF\. A.1.12)
Общие принципы создания инверсии. Для создания ин-
инверсии принципиально важна селективность {избиратель-
{избирательность) заселения или очищения соответствующих уровней
активного центра. Обратимся в связи с этим к условию
A.1.12). Прежде всего из A.1.12) следует, что стационар-
стационарная инверсия предполагает выполнение неравенства
#1>Л21. A.1.13)
Иначе говоря, полная вероятность очищения нижнего ра-
рабочего уровня должна быть больше вероятности его засе-
заселения, происходящего в результате спонтанных перехо-
переходов с верхнего рабочего уровня.
Из A.1.12) видно также, что для создания инверсии
желательно выполнение неравенств
F>FX, ' A.1.14)
Ri^>R. A.1.15)
Эти неравенства как раз и отражают упоминавшийся вы-
выше фактор селективности, необходимый для реализации
инверсии. Неравенство A.1.14) означает, что полная ве-
вероятность заселения верхнего рабочего уровня должна су-
существенно превышать полную вероятность заселения ниж-
нижнего рабочего уровня. Неравенство A.1.15) означает, что
полная вероятность релаксации нижнего рабочего уровня

12 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
должна существенно превышать полную вероятность ре-
релаксации верхнего рабочего уровня.
На практике для создания инверсии достаточно обес-
обеспечить выполнение хотя бы одного из указанных двух не-
неравенств. В связи с этим важно обратить внимание на тот
факт, что инверсия может быть реализована не только за
счет преимущественного заселения верхнего рабочего уров-
уровня (по сравнению с нижним), но и за счет преимуществен-
преимущественного очищения нижнего рабочего уровня. Таким образом,
при рассмотрении методов накачки необходимо принимать
во внимание соотношение между вероятностями меха-
механизмов заселения и очищения рабочих уровней.
Механизмы заселения уровней (механизмы возбужде-
возбуждения).
Поглощение света (оптическая накачка.) При исполь-
использовании излучения накачки со специально подобранным
спектром частот можно обеспечить высокую селективность
оптического возбуждения за счет преимущественного за-
заселения верхнего рабочего уровня: F > Fx.
Неупругие столкновения со свободными электронами,
при которых часть кинетической энергии электрона пере-
передается активному центру (электронное возбуждение). Воз-
Возбуждающие свободные электроны могут создаваться либо
в самостоятельном (самоподдерживающемся) электричес-
электрическом разряде в газе, либо за счет использования ионизи-
ионизирующего излучения в сочетании с внешним электрическим
полем, ускоряющим электроны (несамостоятельный раз-
разряд). В последнем случае говорят об электроионизацион-
электроионизационной накачке. При электронном возбуждении неравенство
A.1.14), как правило, не выполняется*); часто имеет место
неравенство F < Fx.
. Неупругие столкновения со вспомогательными атомами
и молекулами с резонансной передачей энергии возбужде-
возбуждения от атома (молекулы) к активному центру. Резонансный
механизм передачи энергии предопределяет высокую се-
селективность накачки за счет преимущественного заселения
верхнего рабочего уровня (F > Fx).
*) Исключение составляют так называемые самоограннченные
переходы (см. ниже).

\
1,1. Некоторые общие вопросы 13
, Химическая накачка — возбуждение уровней в процес-
процессе специально подобранных экзотермических химических
реакций. Химическое возбуждение может характеризо-
характеризоваться сильно выраженной селективностью (F > Рг).
Рекомбинационная накачка — возбуждение уровней
.в результате рекомбинации электронов и ионов в специаль-
специально приготовленной плазме. При применении данного метода
возбуждения неравенство A.1.14) может не выполняться.
Тепловая накачка — возбуждение уровней за счет на-
нагрева активной среды. В этом случае F <. F\.
Механизмы очищения уровней (механизмы релаксации).
Радиационное очищение за счет спонтанного испуска-
испускания. Избирательность этого механизма определяется пра-
правилами отбора (переход может быть оптически разрешен-
разрешенным либо запрещенным в зависимости от характеристик
рассматриваемых уровней) и расстоянием между релакси-
рующим уровнем и нижележащим уровнем, на который пе-
переходят активные центры в процессе релаксации (иначе
говоря, величиной энергии ftra спонтанно испускаемого
фотона). Чем больше йш, тем выше вероятность радиаци-
радиационного очищения (при условии, разумеется, что данный пе-
переход является оптически разрешенным). Напомним, что
коэффициент Эйнштейна А для спонтанного испускания
в случае дипольных (т. е. оптически разрешенных) пере-
переходов описывается выражением*)
где (d) — отвечающий переходу матричный элемент элек-
электрического дипольного момента излучающей системы.
Механизм радиационного очищения может характери-
характеризоваться высокой степенью селективности. Если переход
2 -*- 0 оптически запрещен, а переход 1 -*¦ 0 оптически раз-
разрешен**) и, кроме того, характеризуется достаточно боль-
большой частотой, то в этом случае i?i > R.
Неупругие столкновения со свободными электронами,
при которых кинетическая энергия электронов возрастает
*) См., например, соотношение B.5.34) из II].
**) Для пояснения нумерации энергетических уровней можно
воспользоваться, например, рис; 1.1.

14 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
(электронное девозбуждение). Особой избирательностью
данный механизм не обладает.
Неупругие столкновения со вспомогательными атомами
и молекулами, при которых происходит передача энергии
от активного центра к атому (молекуле). Различают два
механизма передачи энергии — резонансный и газокинети-
газокинетический. В первом случае происходит возбуждение опреде-
определенных уровней атома или молекулы; избирательность
этого механизма достаточно высока (R± ^> R). Во втором
случае происходит возрастание кинетической энергии атома
или молекулы. Газокинетический механизм передачи энер-
энергии является, по сравнению с резонансным, существенно
менее избирательным и, кроме того, более медленным.
Как частный случай отметим девозбуждение при столк-
столкновениях активных центров со стенками резервуара, внутри
которого находится активная среда (пристеночное девоз-
девозбуждение).
Снятие возбуждения при адиабатическом расширении
газовой активной среды; при этом энергия возбуждения
активных центров превращается в кинетическую энергию
частиц быстро расширяющегося газа. Данный механизм
позволяет реализовать высокую селективность накачки
за счет преимущественного очищения нижнего рабочего
уровня (#! > R).
Химическое девозбуждение за счет использования специ-
специально подобранных химических реакций; при этом воз-
возможна высокая степень избирательности (Rx ^> R).
Передача энергии возбуждения коллективным движени-
движениям в среде; в частности, передача энергии фононам (увели-
(увеличение энергии колебаний атомов в кристаллической ре-
решетке).
Представленная картина физических механизмов воз-
возбуждения и релаксации уровней не является исчерпываю-
исчерпывающей; в дальнейшем она будет дополнена. Заметим, что боль-
большинство отмеченных механизмов связано с неоптическими
переходами в веществе*).
Разделение на механизмы возбуждения и механизмы
релаксации является в определенной мере условным. Сле-
*) Неоптнческие переходы и, в частности, неупругие столкно-
столкновения с участием электронов, атомов, молекул обсуждаются, на-
например, в [1]; см. также [2,3].

1.1. Некоторые общие вопросы 15
дует помнить, что, как правило, один и тот же механизм
приводит к очищению одних и заселению других уровней
активного центра.
Классификация лазеров с учетом различных методов на-
накачки. Традиционно лазеры классифицируют по типу ак-
активной среды, распределяя их по четырем основным груп-
группам: газовые, жидкостные, твердотельные, полупроводни-
полупроводниковые. Более точная классификация должна учитывать
не только тип активной среды, но и используемый метод на-
накачки. Подобная классификация приводится на рис. 1.3**.
В схеме на рисунке указываются типы накачки: оптичес-
оптическая, с использованием самостоятельного электрического раз-
разряда, электроионизационная, тепловая, химическая, реком-
бинационная. Эти типы накачки отмечались выше при пе-
перечислении физических механизмов возбуждения. Надо,
однако, иметь в виду, что вопросы создания инверсии долж-
должны рассматриваться с учетом не только процессов возбуж-
возбуждения, но и процессов релаксации энергетических уровней.
Заметим, что в некоторых типах лазеров избиратель-
избирательность релаксации рабочих уровней играет особо важную
роль в создании инверсии (в этих лазерах R± > R). Так,
например, в ионных лазерах принципиально важно относи-
относительно быстрое радиационное очищение нижних рабочих
уровней, в молекулярных и электроионизационных важ-
важна релаксация нижних рабочих уровней за счет неупругих
столкновений, а в газодинамических лазерах — за счет
адиабатического расширения газа. Особо важная роль
процессов релаксации в отдельных типах лазеров отмече-
отмечена на рис. 1.3. Впрочем, избирательность очищения рабо-
рабочих уровней играет большую роль и в других типах лазе-
лазеров (например, плазменных и химических).
Следует также принимать во внимание режим генерации.
Вопросы очищения уровней приобретают особую остроту
в случае непрерывной генерации (стационарная инверсия),
тогда как в импульсных лазерах на первый план выдвига-
выдвигаются обычно вопросы, связанные с избирательностью за-
заселения рабочих уровней.
Некоторые проблемы, возникающие при непрерывной
генерации; столкновительные лазеры. Выше отмечалось,
*) В данной книге полупроводниковые лазеры ие рассматри-
рассматриваются.

ГАЗОВЫЕ
НА АТОМНЫХ
ПЕРЕХОДАХ
ЭЛЕКТРОИОНИ
ЗАЦИОННЫЕ
^ ГАЗОДИНАМИ-
~*Л ЧЕСКИЕ

возб
1.1. Некоторые общие вопросы 17
что одним из условий реали- -,-т-. — Рис 1.4
зации стационарной инверсии
является условие, выражае-
выражаемое неравенством A.1.13).
Для выполнения этого усло-
условия требуется достаточно
быстрая релаксация нижнего
рабочего уровня. Неравенство
A.1.13) существенно ограни- V=o,i -п'=о,б
чивает выбор рабочих пере- "'
ходов, пригодных для осуществления стационарной ин-
инверсии, и, следовательно, непрерывной генерации.
Предположим, что релаксация нижнего рабочего уров-
уровня обусловлена спонтанным испусканием. В этом случае
для обеспечения высокой скорости релаксации надо ис-
использовать в соответствии с A.1.16) в качестве нижнего
рабочего уровня уровень, расположенный достаточно вы-
высоко по отношению к основному. Следовательно, рабочий
переход должен иметь место между высоко расположенны-
расположенными уровнями, а это означает, что квантовый выход лазера
tj' = йш/?возб будет весьма низким. Для типичного газо-
газового лазера на атомных переходах, работающего в непре-
непрерывном режиме, энергия Евоаб ж 10—20 эВ и величина
tj', как правило, не превышает 0,1. Использование высо-
высоко расположенных рабочих уровней приводит, кроме то-
того, к уменьшению множителей v и f в выражении A.1.5)
для КПД лазера, поскольку существует вероятность воз-
возбуждения в процессе накачки низко расположенных до-
дополнительных уровней, а также вероятность релаксации
активных центров на эти уровни. Неудивительно, что КПД
непрерывных газовых лазеров на атомных переходах ока-
оказывается всего лишь порядка 10~3.
На рис. 1.4, а изображена характерная картина распо-
расположения рабочих уровней при условии, что нижний уровень
очищается за счет спонтанного испускания. Здесь 0 — ос-
основной уровень, 1 и 2 — рабочие уровни; кроме того,
на рисунке показаны дополнительные уровни, являющие'
ся в данном случае паразитными. Для изображенной на
рис. 1.4, а схемы tj' =0,1. Чтобы повысить КПД лазера,
желательно перейти от схемы уровней на рис. 1.4, а к схе-
схеме, показанной, например, на рис. 1.4, б (в этой схеме
tj' =¦= 0,6). Иными словами, надо использовать переходы
'.* "' , Ь ...зтод. ;

18 Гл. 1. Получение инвертированных активных ерей
между относительно низко распо-
ложенными рабочими уровнями.
При этом неизбежно уменьше-
уменьшение скорости радиационного очи-
очищения нижнего рабочего уровня,
в связи с чем возникает необхо-
необходимость в использовании допол-
дополнительных механизмов релаксации
нижнего уровня. Роль таких до-
Рис. 1.5 полнительных механизмов релак-
релаксации могут играть неупругие
столкновения активных центров с атомами и молекулами,
специально вводимыми в газовую активную среду. По-
Подобные лазеры часто называют столкновительиыми.
Примерами столкновительных лазеров служат молекулярные
и электроионизационные лазеры, генерирующие на колебательных
переходах молекулы СО2. Отмеченные в схеме на рис. 1.3 случаи,
когда релаксация нижнего уровня за счет неупругих столкнове-
столкновений играет особо важную роль в создании инверсии, относятся имен-
именно к столкновительным лазерам.
Преимущества импульсной накачки; генерация на са-
самоограниченных переходах. При импульсной накачке,
когда инверсия реализуется лишь в течение некоторых
промежутков времени, быстрое очищение нижнего ра-
рабочего уровня может оказаться несущественным. Предпо-
Предположим, что при включении импульса возбуждения скорость
заселения верхнего рабочего уровня оказывается выше
скорости заселения нижнего уровня. В этом случае лазер
может работать за счет инверсии, возникающей в начале
импульса возбуждения. Подобная ситуация показана на
рис. 1.5, где кривые / и 2 описывают изменение во времени
заселенностей нижнего и верхнего рабочих уровней соот-
соответственно, а кривая 3 описывает импульс возбуждения.
Из рисунка видно, что инверсия реализуется в начале им-
импульса возбуждения — в течение промежутка времени tx.
Ясно, что в данном случае скорость релаксации нижнего
рабочего уровня несущественна.
Из сказанного следует, что в режиме импульсной на-
накачки возможно получение генерации в большем числе сред
и на большем числе переходов в данной среде, нежели при
стационарной накачке. В частности, реализуется генерация
на так называемых самоограниченных переходах.

1.1. Некоторые общие вопросы 19
Самоограниченными называют переходы, где верхним ра-
рабочим уровнем служит первый резонансный уровень актив-
активного центра, а нижним является метастабильный уровень.
Метастабильность нижнего уровня, исключающая воз-
возможность его радиационного очищения, не позволяет реа-
реализовать стационарную инверсию на таких переходах не-
несмотря на то, что первый резонансный уровень обладает,
как правило, наибольшим сечением электронного возбуж-
возбуждения в разряде. Однако на указанных переходах возмож-
возможна импульсная генерация; она может происходить в нача-
начале импульса возбуждения, когда скорость релаксации ниж-
нижнего уровня несущественна, а существенно отношение ско-
скоростей заселения рабочих уровней. Поскольку длитель-
длительность генерации ограничена в рассматриваемом случае свой-
свойствами самого перехода, такие переходы получили название
самоограниченных.
Отношение скоростей заселения рабочих уровней в слу-
случае самоограниченных переходов особенно благоприятно,
причем именно вследствие метастабильности нижнего
рабочего уровня. Дело в том, что сечения возбуждения
электронами по оптически запрещенным переходам, как
правило, много меньше, чем по разрешенным [3]; в резуль-
результате вероятность электронного возбуждения первого резо-
резонансного (верхнего рабочего) уровня оказывается сущест-
существенно более высокой, чем вероятность возбуждения мета-
стабильного (нижнего рабочего) уровня. Именно поэтому
лазеры, работающие на основе самоограниченных пере-
переходов, отличаются весьма высокими значениями коэффи-
коэффициента усиления*'.
Говоря о преимуществах импульсной накачки, надо
отметить также тот факт, что ее легче реализовать с
технической точки зрения, нежели непрерывную накачку.
Непрерывный достаточно стабильный подвод энергии к
активной среде, как правило, технически сложнее, чем им-
импульсный. Кроме того, при импульсной накачке обычно
нет необходимости в принудительном охлаждении нагре-
нагревающейся активной среды.
*) Благодаря этому обстоятельству указанные лазеры могут
работать в режиме сверхсветимости, т. е. без использования зеркал
резонатора или же е одним зеркалом (см. [4] гл. 8).

20
Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
Рис. 1.6
Импульсная накачка позволя-
позволяет реализовать различные импульс-
импульсные режимы генерации*^. При
этом удается осуществлять исклю-
исключительно сильную концентрацию
во времени и пространстве излу-
излучаемой световой энергии. Так, на-
например, реализованы режимы ге-
генерации мощных сверхкоротких
световых импульсов длительностью
10~и — 10-м с и пиковой мощ-
мощностью до 101а Вт.
В практике применения лазе-
лазеров импульсные режимы генера-
генерации встречаются заметно чаще,
чем непрерывные. Твердотельные
и жидкостные лазеры работают обычно в импульсных
режимах; при этом используется как импульсная, так и
непрерывная накачка. Непрерывная генерация характер-
характерна для газовых лазеров; однако и тут наблюдается повы-
повышение интереса к импульсной генерации [5].
Лазеры на разлетных молекулах. В заключение отме-
отметим весьма эффективный механизм очищения нижнего ра-
рабочего уровня, основанный на использовании в качестве
активных центров так называемых разлетных молекул.
Разлетная молекула — это молекула, основное состоя-
состояние которой является неустойчивым (отталкивательным).
Такая молекула может существовать лишь в электронно-
возбужденных состояниях. При переходе из электронно-
возбужденного состояния в основное она диссоциирует
(происходит «разлет молекулы на атомы>).
Известно, что атомы инертных газов «не желают» об-
образовывать молекул. Для создания молекул Аг8, Кга, Хеа
надо затратить энергию. Указанные молекулы существуют
только в возбужденных состояниях; они являются приме-
примером разлетных молекул.
На рис. 1.6 изображены электронные термы разлетной
двухатомной молекулы (в функции от расстояния между
*) Импульсные режимы генерации будут рассматриваться в
третьей главе книги. Отметим, что импульсная генерация может
быть реализована также в случае непрерывной накачки.

1.2. Оптическая накачка. Твердотельные лазеры 21
центрами атомов). Здесь 1 — терм, отвечающий основному
состоянию, 2 и 3 — возбужденные термы. В отличие от
состояния / состояния 2 и 3 устойчивые; горизонтальные
прямые на рисунке изображают колебательные уровни мо-
молекулы в этих состояниях. Вертикальной стрелкой пока-
показан переход 2 ->¦ 1;па — энергия фотона, высвечивающего-
высвечивающегося при переходе; А? — энергия разлетающихся атомов.
Предположим, что разлетные молекулы используются в
лазере как активные центры, причем терм 1 (основное сос-
состояние) отвечает нижнему, а терм 2 (первое электронно-
возбужденное состояние) — верхнему рабочему уровню.
Очевидно, что инверсия на переходе 2-^-1 будет иметь
место при любом количестве молекул, созданных накачкой
в состоянии 2. Как только разлетная молекула переходит
в состояние 1, она тут же покидает его вследствие «разле-
«разлета» на атомы. Активная среда на разлетных молекулах —
это среда с постоянно пустующим нижним рабочим уров-
уровнем.
Генерация на переходах из устойчивого электронно-воз-
электронно-возбужденного в отталкивательное основное состояние реали-
реализована в лазерах на молекулах инертных газов и галои-
галоидах инертных газов (так называемые эксимерные лазеры).
Использовались молекулы Аг2, Кга, Хеа, XeF, XeCl, KrF,
ArF и др. Эксимерные лазеры интересны, в частности, тем,
. что позволяют получать генерацию в УФ области спектра*).
1.2. Оптическая накачка. Твердотельные лазеры
Специфические свойства оптической накачки. Оптичес-
Оптическая накачка предполагает возбуждение активных центров
при поглощении активной средой излучения от некоторого
специального источника света. Метод оптической накачки
широко применяется в различных типах твердотельных и
жидкостных лазеров; он используется также в газовых
лазерах.
Различают некогерентную и когерентную оптические
накачки. При некогерентной накачке используется неко-
некогерентное накачивающее излучение; его источником могут
*) Например, в лазере на молекулах ArCl наблюдалась гене-
генерация на длине волиы 0,175 мкм, а в лазере на Ага— на длине вол-
волны 0,126 мкм (см. [4] гл.9);

22 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
служить газоразрядные импульсные лампы, лампы непре-
непрерывного горения (газоразрядные и накаливания), искро-
искровые разрядники, пламя и т. д.*). При когерентной накач-
накачке источником накачивающего излучения служит вспомо-
вспомогательный лазер.
Для оптической накачки характерна возможность осу-
осуществления исключительно высокой селективности воз-
возбуждения. Излучение накачки со специально подобранным
спектром частот позволяет возбуждать определенную группу
уровней или даже отдельный уровень. При когерентной
накачке можно «накачивать энергию» в конкретную линию
в спектре поглощения активного центра. Для усиления из-
избирательности возбуждения при некогерентной накачке
можно использовать также тот факт, что оптическая накач-
накачка осуществляется только на оптически разрешенных пе-
переходах. Итак, при оптическом возбуждении возможны
наиболее благоприятные условия выполнения неравенства
A.1.14); можно принять, что F\ — 0.
Применение оптической накачки расширяет функцио-
функциональные возможности лазера. Так, при когерентной накачке
лазер может функционировать как усилитель когерентно-
когерентного излучения или как преобразователь оптических частот.
Наконец, специфика оптической накачки проявляется
и в том, что она всегда инициирует в канале возбуждения
(на переходе между основным уровнем и уровнем возбуж-
возбуждения) обратный процесс, имеющий примерно такую же
вероятность, что и прямой процесс, связанный с поглоще-
поглощением излучения. Отнесенная к единице времени вероят-
вероятность поглощения излучения накачки
я>н = Ярн. A.2.1)
где рн — плотность излучения накачки на частоте возбуж-
возбуждения; В — коэффициент Эйнштейна для поглощения излу-
излучения в канале возбуждения. Наряду с поглощением проис-
происходит обратный процесс — индуцированное испускание,
инициированное излучением накачки. Вероятность этого
обратного процесса
w = Я'рн, A-2.2)
*) Для накачки лазеров, генерирующих в УФ области, может
быть использовано рентгеновское излучение, испускаемое электро-
электронами в синхротроне [6]. Это излучение называют сиихротронным
или магнитотормозным.

1.2. Оптическая накачка. Твердотельные лазеры 23
где В' — коэффициент Эйнштей-
Эйнштейна для указанного процесса.
Коэффициенты В и В' связаны
друг с другом известным соот-
соотношением*)
где g и g' — кратности вы- Рис. 1.7
рождения соответственно ос-
основного уровня и уровня возбуждения. Отсюда
wa = (g'/g)w. A.2.3)
Существование двух встречных процессов, вероятности
которых связаны соотношением A.2.3), запрещает совме-
совмещать при оптической накачке каналы возбуждения и ге-
генерации. Отсюда, в частности, следует, что минимально
необходимое число уровней активного центра при опти-
оптической накачке равно трем. Ниже убедимся в этом.
Условия реализации стационарной инверсии при опти-
оптической накачке. Начнем с рассмотрения двухуровневой схе-
схемы, изображенной на рис. 1.7. Вероятность а>21 склады-
складывается из двух слагаемых — отвечающего индуцирован-
индуцированному испусканию, инициированному излучением накач-
накачки, и отвечающего спонтанному испусканию:
о>21 = и» + A 2i A-2.4)
(неоптическими переходами пренебрегаем). Стационарные
заселенности уровней 1 и 2 обозначим соответственно че-
через п01 и п02 (значок «О» означает, что соответствующая ве-
величина рассматривается в отсутствие генерации). Полное
число активных центров в единице объема обозначим че-
через п'.
Уравнения ^баланса для заселенностей уровней имеют
вид
«01 ьун—пО2и>21 = 0; пО1+пО2=п'.
Вводя инверсную заселенность No = п02 — (g2/gi)«oi. по-
получаем
* См., например, соотношение Bil.6) из [l].

24
Гл. I. Получение инвертированных активных сред
N0/n>
Рис. 1.8
Рис. 1.9
Используя далее A.2.4) и A.2.3) (с очевидной заменой g
на gi и g' на ga). преобразуем A.2.5) к виду
i+A + gi/gs) a>H
A.2.6)
Введем так называемую скорость накачки Q, определяе-
определяемую как вероятность поступления активных центров на
верхний рабочий уровень. В данном случае Q = wn. Ис-
Используя И, перепишем результат A.2.6):
§2
A.2.7)
На рис. 1.8 показана определяемая формулой A.2.7)
зависимость NJn' от Q. Легко видеть, что, какова бы ни бы-
была скорость накачки, величина No остается отрицательной,
т. е. инверсия не реализуется. Это означает, что при опти-
оптической накачке двухуровневые схемы не годятся.
Обратимся к трехуровневой схеме, показанной на
рис. 1.9. Здесь /—3 — канал возбуждения, а /—2 — ка-
канал генерации. Уравнения баланса для заселенностей уров-
уровней имеют в данном случае вид
A.2.8)
«03^32=0;
«01 ^н— «оз (^31 + ate) = 0;}
«01 + П02 + П03 = П> •
Решая систему A.2.8), получаем
«01 = (n'/D) Л21 (йУ31 +о>з2); «02 = (n'/D) wH wsz, A.2.9)
где© — определитель рассматриваемой системы уравнений.

1.2. Оптическая иакачка. Твердотельные лазеры
Отсюда следует, что
—(ga/gi)
A.2.10)
Скорость накачки Q для
рассматриваемой схемы уров- _ь
ней может быть представле- *Ч
на в виде Рис 1Л0
Wo/».
8\Л2\
)- A-2.11)
Используя A.2.11), перепишем A.2.10):
j42i+QA +Ли
A.2.12)
На рис. 1.10 показана определяемая формулой A.2.12)
зависимость NJn' от Q. На рисунке изображены две кри-
кривые; штриховая отвечает частному случаю, когда А21 <^ w3Z.
Легко видеть, что в трехуровневой схеме стационарная
инверсия может быть реализована. Для этого необходимо
выполнение условия
Q>fe^ftMn A-2-13)
или, иначе,
>32) (An/ws2). A.2.14)
Величину йинв ^= (?2/й)Л21 называют пороговой по инвер-
инверсии скоростью накачки. Чем меньше Агъ тем ниже порог
инверсии. у
При использовании трехуровневой схемы, для которой
выполняется неравенство
Ал « w32, A.2.15)
достигается снижение величины йинв и, кроме того, воз-
возрастает предельное значение отношения NJn'.
Напрашивается вывод, что выгодно использовать схе-
схемы, для которых величина Л21 как можно более низка. Од-
Однако такой вывод неверен; оказывается, что чрезмерное
уменьшение Л21 нерационально. Этот вопрос будет обсуж-
обсуждаться в §2,1.

26
Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
Рис. 1.11
Твердотельные лазеры: вопросы практической реали-
реализации оптической накачки, рабочие схемы лазеров*). На
рис. 1.11, а показано схематически, как можно реализо-
реализовать оптическую накачку твердотельного лазера. Здесь / —
активный элемент, 2 — источник излучения накачки (на-
(например, газоразрядная лампа-вспышка), 3 — отражатель
для фокусировки излучения накачки на активный элемент,
4 — зеркало оптического резонатора, 5 — лазерное из-
излучение. На рис. 1.11,6 показано поперечное сечение ла-
лазера; поверхность отражателя является в сечении эллип-
эллипсом, в фокусах которого находятся активный элемент и ис-
источник накачки. На практике могут использоваться отра-
отражатели различной формы и конструкции. Так, использу-
используется двухламповый отражатель, показанный в поперечном
сечении на рис. 1.11, в. Такой отражатель позволяет по-
повысить выходную мощность излучения.
В твердотельном активном элементе различают матри-
матрицу {основу) и введенный в матрицу в виде примеси акти-
активатор (активный центр). Используются как кристалличес-
кристаллические, так и аморфные (стеклянные) матрицы.
В настоящее время эффект индуцированного испускания
обнаружен более чем у 250 диэлектрических кристаллов,
активированных примесями ионов переходных групп. Наи-
Наиболее широко представлены так называемые оксидные
кристаллы с упорядоченной структурой (например, кристалл
*) Общие вопросы работы твердотельных лазеров обсуждаются
в [7—9]. Основы теории твердотельных лазеров рассматриваются
в [10—12]. Спектроскопические свойства активированных лазер-
лазерных кристаллов систематизированы в [13,14]; см. также [4]. Конк-
Конкретные конструкции лазеров, устройство и характеристики освети-
осветителей изложены в [15]. Тепловой режим твердотельных лазеров
рассмотрен в [16]. Вопросы изготовления твердотельных активных
элементов освещены В [17].

1.2. Оптическая накачка. Твердотельные Лазеры 27
А12О3 с примесью ионов Сг3+ или кристаллы Y3A1SO12
и YA1O3 с примесью ионов Nd3+). Отметим также фторид-
ные кристаллы с упорядоченной структурой (например,
кристалл CaFa с примесью ионов Dy2+).
Эффективность оптической накачки определяется двумя
основными факторами. Во-первых, излучение накачки долж-
должно эффективно поглощаться активными центрами и в то же
время практически совсем не поглощаться в матрице. Во-
вторых, должна быть высокой квантовая эффективность
накачки: практически все активные центры, переведенные
накачкой на уровень возбуждения, должны перейти затем
на верхний рабочий уровень. Кроме того, желательно, что-
чтобы были минимальными потери энергии на вспомогатель-
вспомогательных переходах, например на переходе с уровня возбужде-
возбуждения на верхний рабочий уровень.
Для повышения эффективности оптической накачки ста-
стараются использовать в качестве «уровня возбуждения»
достаточно широкую энергетическую полосу или группу
уровней и обеспечить при этом соответствие частоты пе-
перехода (частот переходов) в канале возбуждения макси-
максимуму в спектре излучения лампы накачки. Применяют так-
также метод сенсибилизации, заключающийся в добавлении
в матрицу наряду с основными (генерирующими) ионами
ионов другого типа — ионов-сенсибилизаторов. Ионы-сен-
Ионы-сенсибилизаторы достаточно эффективно поглощают излуче-
излучение накачки и затем передают поглощенную энергию ионам-
активаторам*). Другой метод повышения эффективности
твердотельных лазеров предполагает использование в ка-
качестве кристалла-матрицы не простых соединений, а сме-
смешанных разупорядоченных систем (твердых растворов),
что приводит к существенному уширению спектра погло-
поглощения [20].
Используемые в твердотельных лазерах рабочие схемы
достаточно многообразны (см., например, [14]). Некоторые
примеры рабочих схем показаны на рис. 1.12. Цифрами 0,
1, 2, 3 обозначены соответственно уровни: основной, ниж-
нижний рабочий, верхний рабочий, возбуждения. Наличие у
уровня двух цифр указывает на то, что он выполняет две
*) Метод сенсибилизации предложен в [18]. Возможные меха-
механизмы обмена энергией между ионами в лазерных кристаллах об-
обсуждаются в [19].

28 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
активатор
Рис. 1.12
функции; так, например, уровень с цифрами 0 и 1 являет-
является одновременно и основным, и нижним рабочим уровнем.
Переходы в канале возбуждения показаны на рисунке
двойными стрелками, переходы в канале генерации — обы-
обычными прямыми стрелками, безызлучательные переходы —
волнистыми стрелками. На рис. 1.12, а представлена обыч-
обычная трехуровневая рабочая схема, а на рис. 1.12,6 — че-
четырехуровневая схема. На рис. 1.12, в приведен пример
трехуровневой схемы с использованием ионов-сенсибили-
ионов-сенсибилизаторов. Схемы на рис. 1.12, г, д называют каскадными
[21]. Индуцированное испускание происходит в данном
случае одновременно на нескольких переходах (на рисунке
на двух переходах). При этом используются переходы меж-
между уровнями либо одного и того же иона-активатора (пря-
(прямая каскадная схема; рис. 1.12, г), либо ионов-активаторов
разного типа (каскадная схема с промежуточным актом
передачи энергии возбуждения; рис. 1.12, д). Каскадные
рабочие схемы интересны, в частности, тем, что позволяют
максимально снизить потери, связанные со вспомогатель-
вспомогательными (безызлучательными) переходами.
Лазер на рубине. Впервые лазерная генерация была осу-
осуществлена на рубине [22]. Благодаря большой механичес-
механической прочности и теплопроводности кристаллов рубина,
возможности выращивания образцов высокого оптиче-
оптического качества лазеры на рубине до сих пор широко ис-
используются на практике.
Рубин — окись алюминия А12О3 (матрица) с примесью
ионов Сг3+ (активные центры). В лазерах обычно исполь-

1.2. Оптическая накачка. Твердотельные лазеры
29
2.5
2,0
1.5
1,0
0,5
1/Л
,ыкн~
р-—к
\
0^
1
CN
О\
VD
С
=====
л*
о>
чо
с
Ч
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Х.мкм
Рис. 1.13
0,691 0,693 0,695 0,697 X, мкм
6)
Рис. 1.14
1019
зуют розовый рубин с содержанием хрома 0,05% A,6
ионов в 1 см3).
На рис. 1.13 показана схема уровней иона хрома в руби-
рубине. Переход от ПК к энергии Е осуществляется по формуле
Е — 2nhcli.. В процессе накачки возбуждаются состояния
*FX и *F2. Каждое из них изображено на рисунке в виде не-
некоторой энергетической полосы, что связано с «размытием»
соответствующих энергетических состояний (следствие ма-
малости времени жизии активных центров в указанных сос-
состояниях). Активные центры быстро переходят из состояний
*FX и 4F2 на два близко расположенных метастабильных
уровня, обозначаемых как 2А и Е (расстояние между уров-
уровнями составляет 0,003 мкм). Эти уровни играют роль
верхних рабочих уровней. При переходе из состояний AFt
и *F2 на верхние рабочие уровни ионы хрома передают часть
своей энергии кристаллической решетке (неоптические пе-
переходы показаны на рисунке волнистыми стрелками). Ниж-
Нижний рабочий уровень обозначен как Mj); он является также
основным уровнем*). Из рисунка видно, что лазер на руби-
*) Нижний рабочий уровень состоит из двух подуровней с рас-
расстоянием между ними 4-10~6 мкм —1.

30 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
не может быть описан трехуровне-
трехуровневой рабочей схемой. - --¦ - —
На рис. 1.14, а представлен спектр '
поглощения рубина для случаев,
когда излучение накачки распро-
страняется параллельно (кривая /)
20.0 зоо 400 7\к и перпендикулярно (кривая 2) оп-
оптической оси кристалла**. В спектре
Рис. 1.15 поглощения хорошо выделяются две
относительно широкие линии с макси-
максимумами при К = 0,41 мкм (синяя полоса поглощения) и
К = 0,55 мкм (желто-зеленая полоса), отвечающие возбуж-
возбуждению состояний "/^ и *F2 соответственно. Штриховой ли-
линией показан спектр излучения источника накачки —
ртутной лампы. Легко видеть, что спектр ртутной лампы
хорошо соответствует полосам поглощения рубина, что
обеспечивает высокую селективность возбуждения и уве-
увеличивает долю полезно расходуемой мощности излучения
накачки.
На рис. 1.14, б представлен спектр люминесценции
ионов хрома в рубине. В спектре наблюдаются две линии:
0,6943 мкм (/?глиния; она соответствует переходу Е -> 4Л2)
и 0,6929 мкм (R2-линия; соответствует переходу 1А -> 4Л2).
Изображенная на рисунке кривая получена при температу-
температуре 300 К. При понижении температуры обе линии смеща-
смещаются в коротковолновую область спектра (рис. 1.15)
Лазер на иттрий-алюминиевом гранате с неодимом. Од-
Одним из наиболее широко используемых в настоящее время
твердотельных лазеров является лазер, в котором матри-
матрицей служит иттрий-алюминиевый гранат (YSA15O12), a
активатором — ионы Nd3+. Принятое обозначение этого
лазера ИАГ : Nd3+.
Лазер ИАГ : Nd3+ имеет сравнительно низкий порог
возбуждения и высокую теплопроводность, что позволяет
реализовать генерацию при большой частоте следования
импульсов, а также генерацию в непрерывном режиме.
КПД лазера сравнительно высок; он достигает нескольких
процентов.
*) Кристалл рубина имеет тригональную (ромбоэдрическую)
симметрию; его оптическая ось есть ось симметрии 3-го порядка.

1.2. Оптическая накачка. Твердотельные лазеры 31
Рис. 1.16
1/Х.мкм
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
м"'
-[
Основные переходы иона неодима в гранате показаны
на рис. 1.16. Переходы совершаются между определенными
атомными термами*^, которые изображены на рисунке
в виде «энергетических полос». Каждой «полосе» (каждо-
(каждому терму) соответствует группа относительно узких энер-
энергетических уровней, возникших в результате расщепления
данного терма в электрическом поле кристаллической ре-
решетки граната (штарковское расщепление).
В процессе накачки ионы неодима переходят из основно-
основного состояния, соответствующего терму Чд/2, в три группы
состояний: А, Б, В. Группа А соответствует термам *Fi/2
и 4S3/2", группа Б — термам 4Fb/2 и 2#9/2; группа В —
терму 4F3/2. Этим трем группам состояний отвечают три
полосы в спектре поглощения неодима в гранате, представ-
*) Обозначения атомных термов обсуждаются, например, в
[7, 23]; см. также §3.1 из [1]. ? У

32
Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
1,08
1,12 I, мкм
6)
ленном на рис. 1.17, а (соот-
(соответственно А-, Б- и В-поло-
сы). Тонкая структура полос
поглощения, хорошо видная
на рисунке, отражает эффект
штарковского расщепления
термов.
Терм *Fз/2 является верх-
верхним рабочим «уровнем». Ионы
неодима высвечиваются, пере-
переходя с этого «уровня» на уров-
уровни, соответствующие термам
4^11/2. *^9./2, 4/l3/2i I\5/2-
Основная доля энергии F0%)
высвечивается в переходах
4^з/2-»- 4/ц/2", в качестве
нижних рабочих уровней при-
принято рассматривать уровни,
соответствующие терму */11 / 2.
На рис. 1.17, б представлен
спектр люминесценции нео-
неодима в гранате для переходов 4^з/2->-*^11/2. Спектр
содержит 7 линий; наиболее интенсивны линии 1,0615
и 1,0642 мкм. В табл. 1.1 приведены значения длин волн
для 18 линий люминесценции с учетом различных пере-
переходов 114]; данные получены при температуре 300 К.
При упрощенном рассмотрении лазера ИАГ: Nds+
можно пользоваться четырехуровневой рабочей схемой*);
основной «уровень» — терм 4/9/2, нижний рабочий «уро-
«уровень»— терм 4/ц/2| верхний рабочий «уровень» — терм
*F3/2t «уровень» возбуждения — термы *F7/2 и *F5/2- За-
Заметим, что переходы F -»- / запрещены в дипольном при-
приближении (оптически запрещены), поскольку при таких
переходах орбитальное квантовое число иона неодима из-
изменяется на 3; следовательно, состояния, соответствующие
F-термам, являются метастабильными.
Для накачки лазеров ИАГ: Nd3+ часто применяют
криптоновые лампы. В отдельных случаях в решетку гра-
граната вводят сенсибилизатор — ионы хрома — и исполь-
1,04
Рис. 1.17
*) Четырехуровневая схема характерна для твердотельных ла-
лазеров, в которых активными центрами являются ионы Nd8+.

1.2. Оптическая накачка. Твердотельные лазеры 33
Таблица 1.1 !
Переходы
Длина волны Относительная
линий люмиие- интенсивность
сценшш, мкм переходов, %
0,8910
0,8999
0,9385
0,9460
,0521
,0615
,0642
,0737
,1119
,1158
,1225
.3184
,3331
,3351
.3381
,3533
,3572
1,833
25
60
14
зуют ксеноновые лампы. Хром в гранате имеет две широких
полосы поглощения (при длинах волн 0,43 и 0,59 мкм),
хорошо согласующиеся со спектром излучения ксеноно-
вых ламп. Возбужденные ионы хрома передают энергию
возбуждения активным центрам — ионам неодима. От-
Относительно большое время передачи энергии от хрома к
неодиму (около 6 мс) позволяет использовать такой метод
повышения эффективности накачки лишь в режиме непре-
непрерывной генерации.
Оптическая накачка полупроводниковым лазером или свето-
диодом. В настоящее время развивается метод узкополосной оп-
оптической накачки лазера ИАГ:Ш3+. В качестве источника накач-
кн применяют инжекционный лазер на GaAs или светодиод из
Ga^xA^As. В первом случае накачка осуществляется на длине
волны 0,88 мкм (накачка в группу В линий в спектре поглощения на
рис. 1.17, а); во втором случае — на длине волны 0,81 мкм (накачка
В группу Б линий того же спектра).
Накачивающее излучение вводится в торец активного элемен-
элемента. Лазер с такой накачкой показан на рис.} 1.18 [24]. Здесь 1 —
активный элемент (гранат с неодимом), 2 — инжекционный лазер,
3 — диэлектрическое зеркало с коэффициентом отражения R =
2 Зйк- J785

Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
= 99,8% для Л = 1,06 мкм и
R < 5% для К « 0,8 — 0,9 мкм,
4 — диэлектрическое просветляю-
просветляющее покрытие с R -< 0,5% для
Я, =з 1,06 мкм, 5 — внешнее сфери-
сферическое зеркало резонатора, 6—блок
питания инжекционного лазера.
Метод узкополосной оптичес-
р j ,« кой накачкн в торец активного
" * элемента создает предпосылки для
разработки миниатюрных твердо-
твердотельных лазеров, обладающих относительно низким порогом ге-
генерации и достаточно высоким КПД.
1.3. Лазеры на органических красителях
Оптическая накачка используется также для возбуж-
возбуждения жидкостных лазеров. Рассмотрим лазеры на основе
жидких растворов органических красителей*''.
Органические красители. Под красителями понимают
сложные органические соединения с разветвленной систе-
системой сопряженных связей, обладающие интенсивными по-
полосами поглощения в видимой и ближней УФ областях
спектра**). Для химического строения красителей харак-
характерно сочетание бензольных, пиридиновых, азиновых, пи-
рольных и других колец, располагающихся в одной плосг
кости. Наиболее сильно люминесцирующие красители рас-
распределяют по следующим восьми классам: ксантены,, по-,
лиметины, оксазины, кумарины, антрацены, акридины*,
азины, фталоцианины. --
В качестве практически важного примера отметим кра-
краситель родамин 60, относящийся к классу ксантенов. На
рис. 1.19, а приведена его структурная формула, основан-
основанная на бензольных кольцах. Ксантеновые красители, как
правило, поглощают и испускают свет в видимой области
спектра. На рис. 1.19, б показаны спектры поглощения
•) Наряду с растворами органических красителей в качестве
жидких активных сред используют жидкости, активированные нона-
нонами редкоземельных элементов (например, Eu8+, Nd*+). Различают
два типа таких жидкостей — металлоорганические (хелатные)
и неорганические (опрошенные); см., например, [4] гл. 17.
i ••) В настоящее время термин «краситель» отнюдь не предпо-
предполагает обязательное наличие у вещества окраски нли красящих
свойств.

1.3. Лазеры на органических красителях
35
NHC2H5) сГ
соосгн3
0,45 «,50 0,55 0,60
е) .
Рис. 1.19
(кривая 1) и люминесценции (кривая 2) родамина 6G.
Этот краситель излучает в диапазоне примерно 0,55—
.0,6 мкм.
В настоящее время лазерная генерация получена более
чем на 200 различных красителях. Общий диапазон длин
волн, генерируемых различными красителями, 0,3—1,3 мкм.
Подбирая соответствующие красители, можно получить
когерентное излучение практически любой длины волны
из указанного диапазона.
Поиски среди красителей новых активных сред связа-
связаны с решением проблемы химической и фотохимической
.неустойчивости применяемых красителей, а также с под-
подбором подходящих растворителей. Заметим, что в качестве
растворителя используют воду, этанол, метанол, цикло-
г,ексан, толуол, глицерин, бензол, ацетон и другие жид-
жидкости.
Существенно, что ширина линии люминесценции у кра-
красителей необычайно велика — она имеет порядок 0,1 мкм
(см. кривую 2 на рис. 1.19, б). Ширина же генерируемой ли-
линии может быть порядка всего лишь 10~* мкм и даже
меньше. Положение генерируемой лазером длины волны
в пределах ширины линии люминесценции можно плавно
варьировать, т. е. можно осуществлять в пределах пример-
примерно до 0,1 мкм плавную перестройку длины волны генерации.
Лазеры на красителях успешно конкурируют с парамет-
параметрическими генераторами света в видимой и ближней ин-
инфракрасной областях спектра*).
*) Органические красители и лазеры на их основе подробно
рассматриваются в [25—27]; см. также [4J гл.-18.

Гл. 1. Получение инвертированных активных ерей
Рис 1.20
Оптическая накачка лазеров
на красителях. Для возбужде-
*- ния красителей чаще всего при-
^ меняют когерентную накачку
излучением твердотельных ла-
лазеров (ИАГ : Nd3+, стекло с не-
неодимом, рубин), работающих в
импульсном режиме. В каче-
излучения используется как ос-
и гармоники, например вторая
стве накачивающего
новная частота, так
(К — 0,53 мкм) и третья (?ь = 0,35 мкм) гармоники излу-
излучения лазера ИАГ : Nd3+. КПД лазеров на красителях
с возбуждением при помощи вспомогательного импульсно-
импульсного лазера достигает десятков процентов. Для этанольного
раствора родамина 6G при накачке второй гармоникой ла-
лазера на стекле с неодимом был реализован КПД, равный
75%. При использовании когерентной накачки лазеры на
красителях могут функционировать в качестве широкопо-
широкополосных усилителей оптического диапазона; они могут так-
также осуществлять сравнительно простое и эффективное пре-
преобразование оптических частот.
Различают поперечную и лродольную схемы когерент-
когерентной импульсной накачки. В первом случае накачивающее
излучение распространяется перпендикулярно направле-
направлению генерации красителя, а во втором случае — параллель-
параллельно. В качестве примера на рис. 1.20 представлен один из
вариантов продольной схемы накачки. Здесь / — краси-
краситель, 2 — накачивающее излучение, 3 — излучение, гене-
генерируемое красителем, 4 — призма полного внутреннего
отражения, 5 — зеркало резонатора (непрозрачное для
накачивающего излучения).
Наряду с импульсной применяют также непрерывную
когерентную накачку. Для этого обычно используют ар-
аргоновый ионный лазер. Чтобы превысить порог генерации
красителя, приходится фокусировать накачивающее из-
излучение в растворе красителя в пределах области диамет-
диаметром порядка 10 мкм. При этом возникает опасность появ-
появления термооптических искажений в активной среде. Для
устранения этой опасности раствср красителя быстро про-
прокачивают через зону генерации (полная смена жидкости в
зоне генерации происходит за время порядка 1 мкс). Про-
Прокачка раствора красителя важна и в других отношениях,

1.3. Лазеры на органических красителях
37
Рис. 1.21
например с точки зрения уда-
удаления из зоны генерации про-
продуктов фотораспада.
Применяется также неко-
некогерентная оптическая накач-
накачка лазеров на красителях —
при помощи, например, труб-
трубчатых и коаксиальных им-
импульсных ламп. Лазеры с
ламповой накачкой имеют
КПД порядка 1% и ниже.
Схема уровней и основные
переходы. Молекула красите-
красителя имеет сложную структуру,
включает в себя много атомов,
характеризуется большим
числом состояний, представ- .
ляющих собой сложные комбинации электронных, колеба-
колебательных и вращательных состояний. Поэтому невозможно
изобразить в данном случае сколь-либо точную рабочую
схему уровней. При рассмотрении механизма создания ин-
инверсии в лазере на красителе пользуются предельно упро-
упрощенной, в определенном смысле условной рабочей схемой,
отражающей лишь некоторые принципиальные стороны
картины квантовых переходов в молекуле красителя. Эта
схема дана на рис. 1.21.
Уровни в схеме на рис. 1.21 показаны толстыми и тон-
тонкими горизонтальными прямыми; первые относятся к ко-
колебательным, а вторые — вращательным состояниям мо-
молекулы. Колебательно-вращательные состояния сгруппи-
сгруппированы около электронных состояний молекулы, которые
на рисунке обозначены как So, Slt Sa, Tly Г2. Состояние
So — основное состояние.
При возбуждении происходит переход одного из элект-
электронов молекулы в более возбужденное состояние. Если
спин этого электрона остается антипараллельным спину
остальной части молекулы, то говорят о синглетных элект-
электронных состояниях (состояния Sb S2), а также основное сос-
состояние So); если же при возбуждении спин электрона пере-
переворачивается и оказывается параллельным спину осталь-
остальной части молекулы, то говорят о триплетных электрон-
электронных состояниях (состояния 7\, Т2). Синглет-триплетные пе-

38 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
реходы связаны с переворачиванием спина электрона и по-
поэтому менее вероятны, нежели синглет-синглетные или три-
плет-триплетные переходы. На рис. 1.21 переходы показаны
стрелками; прямые стрелки обозначают оптические пере-
переходы (двойная стрелка — лазерный переход), а волнистые —
неоптические переходы.
Оптическая накачка переводит молекулу из электронного
состояния So в электронное состояние Sx. Возбужденная мо-
молекула быстро (за время порядка 10"ц с) безызлучатель-
но релаксирует на нижний колебательный уровень сос-
состояния Slt отдавая избыток энергии растворителю. Далее
молекула может совершить либо излучательный переход
Si -*- So (лазерный переход), либо один из следующих трех
переходов, конкурирующих с лазерным: переход Sx-*-S2,
связанный с дополнительным поглощением излучения на-
накачки; безызлучательный переход St^- So (внутренняя кон-
конверсия); безызлучательный. переход Si->T"i (синглет-три-
плетная конверсия). Синглет-триплетная конверсия может
приводить затем к дополнительному поглощению излуче-
излучения накачки на переходе Тг -*- Т2 (пгриплепг-триплетное
поглощение). Наряду с последним переходом возможны так-
также безызлучательный и излучательный переходы 7\ ->- So.
С точки зрения создания инверсии важен учет всех ука-
указанных переходов. Переходы Si -*- Sa и Тх -*- Т2 приводят
к дополнительному расходованию энергии накачки. Безыз-
Безызлучательный переход Sx ->- So, а также переходы Sj -> Тг -*¦
-*¦ So уменьшают число молекул, высвечивающихся в ра-
рабочем переходе.
Вредное влияние триплет-триплетного поглощения можно
уменьшить, если принять меры к увеличению вероятности переходов
Т\ -* So. Эта вероятность (а следовательно, время жизни молеку-
молекулы в состоянии Тъ имеющее порядок 1 мкс) зависит .от состава раст-
растворителя. Для увеличения указанной вероятности в раствор кра-
красителя добавляют специальные вещества — так называемые ту-
шителн триплетного состояния. Так, добавление парамагнитных
примесей (например, кислорода) способствует «перемешиванию»
синглетных и триплетных состояний и, как следствие, приводит к
возрастанию скорости триплет-синглетных переходов.
Перестройка длины волны генерации; селективные ре-
резонаторы. Как уже отмечалось, в лазерах на красителях
возможна перестройка длины волны генерации. При этом
может быть использована зависимость положения линии
генерации красителя от концентрации молекул красителя

1.3. Лазеры на органических красителях 39
Рис 1.22
в растворе, температуры раствора, коэффициентов отраже-
отражения зеркал резонатора. Чаще всего для перестройки длины
волны генерации применяют селективные резонаторы.
Селективный резонатор — это резонатор, внутри кото-
которого наряду с активной средой находится спектрально-се-
спектрально-селективный элемент. В качестве таких элементов используют
спектральные светофильтры, интерферометры Фабри—Перо,
дисперсионные призмы, дифракционные решетки.
На рис. 1.22, а изображен лазер на красителе с плавной
перестройкой длины волны генерации при помощи диспер-
дисперсионной призмы. Здесь / — кювета с красителем, 2 — нака-
накачивающее излучение (от вспомогательного лазера), 3 — вы-
выходное излучение, 4 — выходное зеркало резонатора, 5 —
призма, 6 — поворачивающееся относительно призмы отра-
отражающее зеркало. Кювета ориентирована таким образом,
чтобы перпендикуляр к ее стенке образовывал с направле-
направлением излучения красителя угол Брюстера ср. В этом слу-
случае генерируемое излучение является линейно-поляризован-
линейно-поляризованным (вектор Е колеблется в плоскости рисунка) и практиче-
практически отсутствуют потери на отражение излучения от стенок
кюветы. Роль селективного элемента играет в данном слу-
случае призма. В зависимости от ориентации плоскости зерка-
зеркала 6 относительно призмы реализуется генерация определен-
определенной длины волны. Поворачивая плоскость зеркала 6, мож-
можно плавно изменять длину волиы генерации (в пределах
ширины линии люминесценции данного красителя).
Аналогичный эффект дает использование вместо одного
из зеркал резонатора отражательной дифракционной ре-
решетки. Схема такого лазера показана на рис. 1.22, б.
Здесь /—4 — то же, что и на рис. 1.22, а, 5 — отражатель-
отражательная дифракционная решетка, 6 — телескопическая систе-
система для лучшего выделения остронаправленного излучения.
Угол дифракции 0 связан с длиной волны излучения "К
известным соотношением
2dsin0 = k, A.3,1)

40
Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
-3 -4
10-10 мкм
Рис. 1.23
где d — период решетки. При задан-
заданном значении угла 8 между перпен-
перпендикуляром к решетке и осью резона-
резонатора (при заданной ориентации ре-
решетки в резонаторе) будет генериро-
генерироваться излучение с длиной волны "к,
определяемой по формуле A.3.1)*).
Только для этой длины волны отра-
отраженное решеткой излучение будет
распространяться по оси резонатора.
Поворачивая дифракционную решет-
решетку, можно изменять угол 8 и тем
самым перестраивать длину волны
генерации.
Осуществляющий селекцию длин
волн элемент (призма, дифракци-
дифракционная решетка и т. п.) выполняет две функции: выде-
выделяет узкую линию генерации и позволяет варьировать
положение этой линии в пределах ширины линии лю-
люминесценции красителя. Использование одного селектив-
селективного элемента сужает линию генерации до 10~3—10~* мкм,
причем без существенного уменьшения выходной мощности;
в результате вместо широкой и относительно малоинтенсив-
малоинтенсивной линии люминесценции высвечивается очень узкая и
весьма интенсивная линия генерации. Эти две линии каче-
качественно сопоставляются на рис. 1.23 (/ ¦— линия люминес-
люминесценции, 2 — линия генерации).
Для более сильного сужения линии генерации исполь-
используют комбинации из нескольких селективных элементов.
При этом удается получить линии генерации шириной до
10~6 мкм при неизбежных существенных потерях генери-
генерируемой мощности.
Проблема расширения диапазона перестройки длины волны ге-
генерации. Для расширения диапазона перестройки длины волны ге-
генерации даииого активного раствора красителя могут применяться
различиые^методы. Так, например, можно использовать изменение
химической структуры красителя в результате химических реак-
реакций, происходящих при добавлении.в активную среду определен-
определенных реагентов. Взаимодействие молекул красителя с добавками при-
приводит к возиикновеиию ионных форм красителя с иными спектраль-
*) Разумеется, упомянутая длина волны должна попадать
внутрь линии люминесценции рассматриваемого красителя,

1.4. Газовые лазеры с оптической накачкой 41
ными свойствами. К сожалению, этот метод характеризуется ма-
малой оперативностью перестройки и к тому же необратим.
Более интересен метод, использующий обратимое изменение
спектральных свойств растворов кумарииовых красителей при про-
пропускании через них электрического тока [28]. Обнаружено, что при
пропускании тока спектр люминесценции красителя смещается
примерно на 0,05 мкм в длинноволновую область, в результате чего
расширяется (в полтора-два раза) диапазон перестройки длины
волны генерации для данного красителя.
1.4. Газовые лазеры с широкополосной
оптической накачкой
Проблема оптической накачки газовых активных сред.
Эффективность оптической накачки в случае твердотель-
твердотельных и жидкостных лазеров связана прежде всего с относи-
относительно большой шириной линий поглощения твердых и жид-
жидких активных сред—. порядка 0,1 мкм*>. Газовые активные
среды характеризуются существенно более узкими линия-
линиями поглощения — шириной 10~6 мкм и менее. Для осущест^
вления оптического возбуждения в газе необходимо, чтобы
излучение накачки обладало линейчатым спектром с до-
достаточно узкими линиями и чтобы максимум хотя бы одной
интенсивной линии источника накачки точно совпадал с
максимумом одной из линий поглощения активного центра.
Именно такая ситуация имеет место в лазере на парах
цезия ([29]). Атомы Cs возбуждаются излучением гелиевой
лампы, в спектре которой есть узкая интенсивная линия с
К = 0,3888 мкм, достаточно точно соответствующая длине
волны одного из переходов в цезии.
Что же касается обычной некогерентной (широкополос-
(широкополосной) оптической накачки, то она в случае газовых лазеров
должна представляться, очевидно, крайне малоэффективной.
Вследствие узости линий поглощения частиц газа лишь нич-
ничтожная доля световой мощности источника накачки будет
в данном случае использоваться для возбуждения актив-
активных центров; основная же часть падающей на активную сре-
среду световой мощности будет бесполезно расходоваться на
нагревание газа и окружающих предметов. Именно по-
поэтому широкополосная оптическая накачка в случае газо-
*) Ширина спектра поглощения для некоторых конкретных
сред (твердых и жидких) показана иа рис. 1.14, с, 1.17, с, 1.19,6.

Гл. 1. Получение инвертированиях активных Сред
Рис. 1.24
вых лазеров, как правило, не
применяется.
Возможность широкополос-
широкополосной оптической накачки в га-
газах; фотодиссоционные лазеры.
Исключением из правила явля-
являются газовые среды, содержат
щие молекулы, которые диссо-
диссоциируют под действием излуче-
излучения. Дело в том, что связанный
с фотодиссоциацией спектр по-
поглощения молекул в газе имеет
непрерывный характер и по ши-
ширине обычно не уступает спект-
спектрам поглощения твердых и жид-
жидких активных сред. Обратимся
в этой связи к рис. 1.24.
На рисунке изображены электронные термы двухатом-
двухатомной молекулы;(кривые / и 2). Предположим, что молекула
находится в одном из колебательных состояний терма /
(энергия молекулы равна ?<,)• При поглощении излучения
накачки молекула может перейти на электронный терм 2.
Согласно принципу Франка—Кондона*) такие переходы
должны изображаться на рисунке вертикальными стрелка-
стрелками (см. штриховые линии). Из рисунка видно, что переход
/—2 возможен при поглощении фотонов с энергиями ha,
удовлетворяющими неравенствам (Е± — Ео) <.ha<i(E3 —
— Ео). Если при этом ha < (?2 — ?о). то происходит пе-
переход из исходного колебательного состояния терма / в
одно из колебательных состояний терма 2. В этом случае
спектр поглощения состоит из ряда узких линий. Если же
ha > (?8 ¦— Ео), то происходит переход / -> 2, приводя-
приводящий к диссоциации молекулы. В этом случае спектр погло-
поглощения будет непрерывным; его ширина равна Еа — fa-
Непрерывный характер и относительно большая шири-
ширина спектра поглощения фотодиссоциирующих молекул поз-
позволяют использовать широкополосную оптическую накач-
накачку для инициирования реакций фотодиссоциации:
ha-^A* + B.
*) См., например, § 3.7 из И].

1.4. Газовые лазеры с оптической иакачкой 43
Среди продуктов диссоциации молекулы по крайней ме-
мере один оказывается в возбужденном состоянии (А*) и мо-
может быть использован для получения лазерной генерации.
Таким образом, широкополосная оптическая накачка в га-
газовых лазерах оказывается возможной при использовании
фотодиссоциации молекул в качестве промежуточного про-
процесса*). Такие газовые лазеры называют фотодиссоционными.
Различают два типа фотодиссоционных лазеров. В пер-
первом типе в роли возбужденного активного центра выступает
один из продуктов диссоциации молекулы (возбуждение в
первичных фотопроцессах). Во втором возбужденные ак-
активные центры образуются в результате химических реак-
реакций, в которые вступают продукты диссоциации молекул
(возбуждение в процессе вторичных химических реакций).
В последнем случае применяется также термин фотохимиче-
фотохимический лазер.
В настоящее время исследуются возможности создания газо-
газовых лазеров на разрешенных электронных переходах молекул при
прямой широкополосной оптической накачке (без фотодиссоциации
молекул). Эти возможности основаны на отиосительио широком
спектре поглощения ряда молекул (особенно многоатомных) в УФ
области спектра. Малая величина колебательных квантов может при-
привести к тому, что поглощение в указанной области будет иметь поч-
почти непрерывный характер **).
Фотодиссоционный йодный лазер. В качестве примера
фотодиссоционного лазера укажем лазер с генерацией на
переходах атомов йода [32]. Под действием широкополос-
широкополосной оптической накачки (с длиной волны 0,27 мкм) молеку-
молекулы CFgJ диссоциируют: CFSJ + ha>-*-CFs + J*. Ато-
Атомы йода J* возникают в возбужденном состоянии *Pi/2.
На переходах этих атомов в состояние 2Рз/2 происходит ге-
генерация излучения с длиной волны 1,315 мкм. Наряду с мо-
молекулами CF3J могут использоваться также молекулы
CHSJ.
КПД фотодиссоционных лазеров составляет примерно
0,5%. Повышение КПД возможно в принципе за счет рас-
расширения спектра поглощения диссоциирующих молекул
газовой активной среды, а также за счет использования хи-
*) Метод широкополосного оптического возбуждения лазер-
лазерной генерации в газах с диссоциирующими молекулами предложен
в [30].
**) Широкополосная оптическая накачка в газовых лазерах с
фотодиссоциацией молекут и без иее рассматривается в [31].

44 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
мических реакций, сопутствующих процессу фотодиссоциа-
фотодиссоциации. В связи с этим рассматривается задача расширения
класса активных сред, пригодных для фотодиссоционных
лазеров [31].
Проблема прямого преобразования солнечной энергии в лазер-
лазерное излучение. В работе [33] рассматривается возможность созда-
создания фотодиссоционного лазера, накачиваемого солнечным светом,—
солнечного лазера. Активная среда такого лазера должна удовлет-
удовлетворять ряду требований: полоса поглощения должна составлять
заметную часть ширины солнечного спектра, квантовый выход дол-
должен быть по возможности больше, генерация должна иметь место
при относительно слабой по интенсивности непрерывной накачке;
В качестве активной среды солнечного лазера предложена га-
газовая смесь, содержащая молекулярный цезий и ксенон. Молекулы
Cs2, поглощая солнечное излучение в полосе примерно от 0,44 до
0,52 мкм, диссоциируют на атомы цезия. Среди продуктов диссоциа-
диссоциации возникают возбужденные атомы цезия в состоянии 72Sj^2 (обо-
(обозначим их как Cs**). Лазерная генерация может возникать на пере-
переходах этих атомов в менее возбужденные состояния &Р31ъ и б^Р
Cs**-*Cs*
Указанным переходам отвечают соответственно длины волн генера-
генерации 1,47 и 1,36 мкм.
В рассматриваемом лазере весьма остро стоит проблема избира-
избирательного очищения нижних рабочих уровней атомов цезия (без де-
возбуждеиия при этом верхнего рабочего уровня). Предложен хими-
химический механизм очищения, основанный на том, что атомы Cs* (но
ие атомы Cs**) активно соединяются с атомами Хе, в результате
чего образуются возбужденные молекулы CsXe. Эти молекулы яв-
являются разлетиыми — их основное состояние неустойчиво. Пере-
Переходя в основное состояние, молекулы CsXe разваливаются на ие-
возбуждеииые атомы Cs и Хе.
1.5. Накачка с использованием самостоятельного
электрического разряда в разреженных газах
Типы газоразрядных лазеров. Для возбуждения газо-
газовых лазеров широко применяется метод накачки, исполь-
использующий самостоятельный электрический разряд в актив-
активной среде. Такие лазеры принято называть газоразрядны-
газоразрядными*). Они работают на весьма разреженных газовых средах;
давление газа составляет примерно 1—10 мм рт. ст.
*) Вопросы физики газоразрядных лазеров рассматриваются в
[34—36]; см. также [4,7,8.37, 38].

1.5. Использование самостоятельного разряда 45
Различают три типа газоразрядных лазеров: генери-^
рующие на переходах между уровнями ионов (лазеры на ио-
ионизированных газах — ионные лазеры); генерирующие на
переходах между уровнями нейтральных атомов (лазеры
на нейтральных атомах, или лазеры на атомных перехо-
переходах); генерирующие на переходах между уровнями моле-
молекул (лазеры на молекулярных переходах — молекулярные
лазеры). Активными центрами в указанных трех типах ла-
лазеров являются соответственно свободные ионы, свободные
атомы, свободные молекулы.
Ионные лазеры генерируют главным образом в видимой,
а также в ближней ультрафиолетовой/ области спектра
(примерно от 0,3 до 1 мкм). Лазеры на атомных переходах
генерируют в более широком диапазоне длин волн — от 0,4
до 100 мкм; при этом основное число лазерных переходов
попадает в область 1—20 мкм.
Наиболее широк диапазон длин волн генерации у моле-
молекулярных лазеров. Молекулярные лазеры, работающие на
переходах между вращательными уровнями одного и того
же электронного и колебательного состояния молекулы
(чиста вращательные переходы), генерируют в широкой ин-
инфракрасной области примерно от 10—20 мкм до нескольких
сотен микрометров. Молекулярные лазеры, работающие на
переходах между колебательными уровнями одного и то-
того же электронного состояния молекулы (колебательно-
вращательные переходы), генерируют инфракрасное из-
излучение в основном в диапазоне 5—50 мкм. Молекулярные
лазеры могут генерировать также на переходах между элек-
электронными состояниями молекулы; в этом случае длины
волн генерации попадают в видимую или ультрафиолетовую
области спектра (примерно 0,2—1 мкм)*>.
Колебательно-вращательные переходы в молекулярных лазерах
подчиняются правилам отбора:
At>= ± 1, Д/= 0, ± 1, A.5.1)
где о и / — соответствеиио колебательное и вращательное кванто-
квантовые числа; Af и А/ — изменения этих чисел при переходе. При Ду=О
говорят от Q-ветви переходов. Переходы с вращательного уровня
/ — 1 верхнего колебательного состояния на уровень / нижнего ко-
*) Примером являются молекулярные лазеры на переходах из
устойчивого электронио-возбуждеиного состояния в отталкиватель-
иое осиовиое (эксимерные лазеры).

*4 ? / Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
(
(j>2
± ±
i -¦ ¦ • )
1 ).
Анод
Рис 1.26
лебательного состояния относят к Р-ветви. Переходы с вравдатель-
иого уровня у + 1 верхнего колебательного состояния на уровень
/ нижнего относят к R-ветви. ,
Электрические разряды, применяемые в газоразрядных
лазерах. Активной средой газоразрядного лазера является
образующаяся при возникновении электрического разряда
газоразрядная плазма. Если времена нарастания и спада
импульса тока меньше характерных времен установления
равновесия в плазме, то имеет место импульсный электриче-
электрический разряд. Наряду с импульсными применяются также
стационарные (квазистационарные) электрические разряды.
В газоразрядных лазерах используются два типа стационар-
стационарных разрядов: дуговой (в ионных лазерах) и тлеющий
(в молекулярных лазерах и лазерах на атомных переходах).
Дуговой и тлеющий разряды сопоставляются на рис. 1.25,
где приводятся характерные изменения потенциала по дли-
длине разрядного промежутка для обоих типов разряда. Здесь
индекс / (а также кривая /) — дуговой разряд, индекс 2
(кривая 2) — тлеющий разряд; d — длина прикатодной
области разряда, L — длина области разряда, называемой
областью положительного столба, где характеристики раз-
разряда наиболее устойчивы, напряженность поля постоянна
по длине области (именно эта область используется как ра-
рабочая область активной среды), U' — рабочее напряжений
(разность потенциалов между анодом и катодом). Рисунок
иллюстрирует следующие неравенства (при одном и том же
для обоих разрядов расстоянии между анодом и катодом):
A,5,2)

1.5. Использование самостоятельного разряда
47
Таблица
Разряд -,
Дуговой
Тлеющий
1.2
10—100
>103
Плотность
тока. А/см1
Ю2—103
ю-3—o.i
та,к
~103
~3-102
те, к
~1б«
>10*
~10ls
10е— И11
Относи-
Относительная
ионизация.
ю-«—ю-а
* Характерные численные данные для рассматриваемых
разрядов сопоставляются в табл. 1.2. Здесь Та —темпера-
—температура тяжелого компонента плазмы (температура разряда),
Те — температура электронного компонента (электронная
температура), пе — концентрация свободных электронов
в плазме. Дуговой разряд — сильноточный высокотемпе-
высокотемпературный разряд с относительно высокой степенью иониза-
ионизации плазмы*); тлеющий разряд — слаботочный низкотем-
низкотемпературный разряд с относительно низкой степенью иони-
ионизации плазмы.
В зависимости от способа возбуждения стационарные
'разряды разделяются на высокочастотные и постоянного
тока. Первые возбуждаются переменным током с частотой
10—50 МГц (в этом случае электроды находятся вне газо-
газоразрядной трубки — рис. 1.26, а); вторые — постоянным
током (электроды помещаются внутри трубки—рис. 1.26, б).
Здесь / — газоразрядная трубка, 2 — электроды.
" Аргоновый лазер [39]. В качестве примера ионного ла-
зера рассмотрим лазер, генерирующий на переходах в Aril
(на переходах между уровнями однократного иона Аг+)**>.
Этот лазер показан схематически на рис. 1.27, где выбран
вариант -с возбуждением постоянным током: / — анод,
2 — катод, 3 — рабочий объем трубки, 4 — система водя-
водяного охлаждения, 5 — обводной канал, 6 — зеркала резо-
резонатора (полностью отражающее и выходное), 7 — вы-
выходные окна газоразрядной трубки, ориентированные под
*) Степень ионизации плазмы есть отношение концентрации
свободных электронов в плазме к концентрации тяжелых частиц.
**) Для спектроскопического обозначения ионизированных
газов используют римские числа, превышающие иа единицу крат-
кратность ионизации (так, Aril содержит ионы Аг+; АгШ — иоиы Агг+
ит.-д,).'-

4S
Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
1 Л Л
Рис. 1.27
Рис. 1.28
углом Брюстера к оси резонатора, 8 — выходное излучение.
Обводной канал предназначен для выравнивания давления
по длине газоразрядной трубки; в отсутствие такого канала
газ скопляется в анодной части трубки вскоре после вклю-
включения дугового разряда.
При использовании высокочастотного возбуждения элек-
электроды внутри трубки не применяются. Возбуждение разря-
разряда может производиться при помощи катушки высокочастот-
высокочастотного питания, надеваемой на обводной канал (рис. 1.28).
На рисунке / — часть обводного канала, 2 — катушка пи-
питания.
Широко распространен метод «отжимания» разряда от
стенок газоразрядной трубки при помощи продольного маг-
магнитного поля. В результате снижается скорость релакса-
релаксации возбужденных ионных состояний происходящих за
счет соударений со стенками трубки. Как следствие, повы-
шается выходная мощность лазерного излучения.
Механизм возникновения инверсии в аргоновом лазере.
На рис. 1.29 показаны основные переходы иона Аг+, играю-
играющие роль в создании инверсии в аргоновом лазере; штри-
штриховые стрелки — переходы, связанные с электронным воз-
возбуждением, непрерывные — оптические переходы. На ри-
рисунке изображены пять групп состояний, каждая из кото-
которых характеризуется определенной электронной конфигу-
конфигурацией (определенным распределением электронов в ионе по
состояниям с различными главным (п) и орбитальным (/)
квантовыми числами), а именно: 3p*4s, ЗрЧр, Зр*3р,
3p*3d, 3p4d. Группа состояний с электронной конфигурации
ей 3p4s (четыре электрона в состоянии сп=3 и1- 1 и
один электрон в состоянии с п — 4 и I = 0; четыре Зр-элек-
трона и один 45-электрон) соответствует нижнему рабоче-
рабочему «уровню»; будем называть его «4s-ypoBHeM». Группа со-
состояний с конфигурацией ЗрЧр соответствует верхнему ра-

1.5. Использование самостоятельного разряда
49
1/Х.мкм
Рис. 1.29
V-V
бочему «уровню» («4р-уровень»). Группа состояний с конфи-
конфигурацией Зр*3р (иначе говоря, с конфигурацией Зр6) со-
соответствует основному «уровню» («Зр-уровень»), Термин ¦
«уровень» употребляется здесь в кавычках по той причине,
что каждой электронной конфигурации отвечают несколь-
несколько энергетических уровней иона (несколько спектральных
термов)*). Так, например, электронной конфигурации ЗрЧр
отвечают 15 термов; следовательно, «4р-уровень» состоит
в действительности из 15 энергетических уровней. Именно
поэтому на рисунке с. каждой электронной конфигурацией
сопоставляется энергетическая полоса определенной вы-
высоты. В табл. 1.3 указаны спектральные термы, соответст-
соответствующие в данном случае основному, нижнему и верхнему
рабочим «уровням».
Заметим, что происхождение энергетических полос в схемах пе-
переходов иа рис. 1.16 (лазер ИАГ: Ndrf+) и на рис. 1.29 (аргоновый ла-
вер) различно. На рис. 1.16 каждая полоса соответствует одному
спектральному (атомному) терму, который подвергся штарковскому
расщеплению иа несколько подуровней под действием электричес-
¦) Связь между влектроииой конфигурацией и соответствующими
втой конфигурации спектральными термами объясняется, в частнос-
частности, в [40]; см. также § 3.1 из [ 1].

SO Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
Таблица 13
Электронная „
конфигурация Спектральные термы
*S3/2 2i>l/2 2/>3/2
Зр'Зр 2
1
\Ю3/2 W5f2 «D1/2*D3/2 *D5/2 «D7/2
Линии в спектре люминесценции аргона (переход 4р -»4s):
0.455 мкм, 0,466, 0,473, 0,477, 0,488, 0,497, 0,502, 0,515 мкм
кого поля кристаллической решетки. На рис. 1.29 каждая полоса
соответствует нескольким нерасщеплеппым спектральным термам.
На рабочем переходе 4р -> 4s излучаются 8 линий,
длины волн которых приведены в табл. 1.3. Наиболее ин-
интенсивными являются голубая линия с длиной волны
0,488 мкм (относительная интенсивность 45%) и зеленая
линия 0,515 мкм C5%). Верхний рабочий «уровень» («4р-
уровень»). возбуждается за счет нескольких процессов:
а) перехода Зр -> Ы -> 4р, б) перехода Зр -> 3d -*• Ар,
в) перехода Зр -> 4р (соответственно каскадное, ступенча-
ступенчатое и прямое электронное возбуждение).
Примечательно, что скорость электронного возбуждения
верхнего рабочего «уровня» (обозначим ее через F Dр))
меньше скорости электронного возбуждения нижнего ра-
рабочего «уровня» (F Ds)). Оказывается, что F Ds)/F Dp) ж 2.
Инверсия возникает за счет того, что нижние рабочие со-
состояния релаксируют значительно быстрее, чем верхние»
R (is)/R Dp) «10.
Релаксация рабочих уровней происходит главным образом
за счет спонтанного испускания. При этом существенно, что
переход 4р -> Зр запрещен в дипольном приближении (on-i
тически запрещен) и что рабочие уровни расположены до-
достаточно высоко по отношению к основному состоянию. Та-
Таким образом, в аргоновом лазере инверсия возникает не
за счет преимущественного заселения верхних рабочих со-
состояний, а за счет преимущественного очищения нижних
рабочих состояний.

1.5. Использование самостоятельного разряда
51
15
3,39 мкм
Рис. 1.30
Лазер на гелий-неоне; механизм возникновения инвер-
инверсии. Лазер на гелий-неоне явился исторически первым газо-
.вым лазером [41]. Генерация происходит на переходах между
¦уровнями нейтральных атомов неона. Наряду с неоном в со-
став активной газовой среды входит буферный газ — гелий.
. Давление газовой смеси имеет порядок 1 мм рт. ст., причем
• парциальное давление гелия примерно в 5—10 раз выше
давления неона. В лазере на гелий-неоне используется ста-
стационарный тлеющий разряд, возбуждаемый постоянным
током.
На рис. 1.30 показаны основные переходы в активной
-среде гелий-неонового лазера. Здесь штриховые стрелки —
.переходы, связанные с электронным возбуждением или де-
возбул<дением, непрерывные — оптические переходы, пунк-
-тирная стрелка— переход, связанный с пристеночным де-
. возбуждением, полукруглые стрелки — резонансная пере-
передача энергии возбуждения от атомов гелия к атомам нео-
неона. Изображенные на рисунке энергетические полосы для
атома неона соответствуют, как и в случае аргонового ла-
лазера, определенным электронным конфигурациям и, сле-
следовательно, состоят из нескольких уровней (нескольких
спектральных термов). На рисунке используются сокращен-
-ные, обозначения электронных конфигураций (обозначения
по Пашену): ls-полоса соответствует конфигурации 2ръ 3s,

52 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
2s-nojioca — конфигурации 2рБ 4s, Зв-полоса — конфигура-
ции 2p55s, 2р-полоса — конфигурации 2рБЗр, Зр-полоса —
конфигурации 2рБ4р. Все s-полосы состоят из четырех уров-
уровней, а р-полосы — из десяти.
Роль верхних рабочих уровней играют полосы 3s и 2s,
а роль нижних рабочих уровней — полосы Зр и 2р. Ос-
Основные рабочие переходы: 3s ->¦ Зр C,39 мкм), 2s -»- 2р
A,15 мкм), 3s ->- 2р @,6328 мкм — красная линия).
Инверсия в гелий-неоновом лазере возникает за счет
того, что скорость заселения верхних рабочих уровней зна-
значительно выше скорости заселения нижних. Решающим фак-
фактором является при этом резонансная передача энергии от
гелия к неону. Столкновение атома неона с атомом гелия,
находящимся на уровне 21S0, может привести к возбужде-
возбуждению одного из уровней атома неона вЗв-полосе; столкнове-
столкновение с атомом гелия в состоянии 23S1 может привести к воз-
возбуждению уровня атома неона в 2в-полосе. Процессу резо-
резонансной передачи энергии от гелия к неону благоприятст-
благоприятствуют три обстоятельства: близость соответствующих энерге-
энергетических уровней атомов гелия и неона, метастабильность
уровней 21S0 и 23SX гелия (а следовательно, невозможность
их релаксации за счет спонтанного испускания), более вы-
высокое давление гелия в газовой смеси (что уменьшает ве-
вероятность обратной передачи энергии — от неона к гелию).
Релаксация нижних рабочих уровней (полосы Зр и 2р)
происходит за счет спонтанного испускания — с переходом
атомов неона в полосу 1 s. Спонтанные переходы в полосу
Is с верхних рабочих уровней (полосы 3s и 2s) запрещены в
дипольном приближении. Релаксация уровней в ls-полосе
является «узким местом» в гелий-неоновом лазере; релак-
релаксация этих уровней происходит за счет процессов электрон-
электронного девозбуждения, а также за счет столкновений атомов
неона со стенками трубки. Последние процессы весьма су-
существенны; недаром мощность генерации лазера на гелий-
неоне обратно пропорциональна диаметру газоразрядной
трубки.
Лазер на парах меди [5]. В качестве еще одного примера
газоразрядного лазера на атомных переходах укажем лазер
на парах меди. Он интересен, в частности, тем, что относит-
относится к типу лазеров, генерирующих на самоограниченных
переходах. Для образования паров меди и для создания ин-
инверсии используется импульсный разряд.

1.5. Использование самостоятельного разряда 53
Схема уровней атома меди показана на рис. 1.31; штри-
штриховые стрелки — переходы, связанные с электронным воз-
возбуждением, непрерывные — оптические переходы, на ко-
которых наблюдается лазерная генерация @,51 и 0,58 мкм).
Верхний рабочий уровень [атомные термы 2Pi/2 и 2/>з/2",
им соответствует электронная конфигурация Cd10) 4р] есть
первый резонансный уровень атома меди. Нижние рабочие
уровни (термы г?>з/2И2?>5/2; им соответствует конфигурация
3d94s2) — метастабильные; переходы между этими уровня-
уровнями и основным уровнем (терм 2Si/2) оптически запрещены.
Напомним, что вероятность электронного возбуждения по
оптически запрещенным переходам много меньше, чем по
разрешенным. Поэтому электроны газоразрядной плазмы
будут весьма эффективно возбуждать верхние рабочие со-
состояния атома меди, практически не возбуждая при этом
нижние рабочие состояния. В реультате на этапе началь-
начального развития импульса возбуждения возникает сильно вы-
выраженная инверсия на рабочем переходе.
Молекулярный лазер на двуокиси углерода (СО2-лазер).
Молекулярные лазеры на двуокиси углерода*^ позволяют по-
получать высокие мощности в непрерывном режиме (до 10 кВт
и выше), они характеризуются исключительно высокими зна-
значениями КПД (до 40%). Активная среда СО2-лазера—смесь
нескольких компонентов: двуокиси углерода, молекуляр-
молекулярного азота и различных добавок (гелий, пары воды и др.).
Активные центры — молекулы СО2, излучающие на пе-
переходах между' колебательными уровнями основного
электронного состояния. Азот играет роль буферного газа,
молекулы которого резонансно передают энергию возбуж-
возбуждения молекулам СО2. Для возбуждения СО2-лазеров обыч-
обычно применяют тлеющий разряд; используется также им-
импульсный разряд.
На рис. 1.32, а схематически показан первоначальный
вариант СОг-лазера. Здесь 1 — система прокачки двуокиси
углерода, 2 — система прокачки азота, 3—область высоко-
высокочастотного тлеющего разряда, 4—рабочий объем, в котором
смешиваются возбужденные молекулы азота с невозбужден-
невозбужденными молекулами СО2, 5 — зеркала резонатора, 6 — вы-
*) СО2-лазер создан в 1964 г. [42]. СО2-лазерам посвящены об-
обзоры [43—46]; см. также [4, 8, 36].

54
Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
1/Х, мкм
Рис. 1.31
Рис. 1.32
ходное излучение. В данном варианте СО2-лазера электро-
_ ны в разряде возбуждают только молекулы азота, а затем,
уже в другой области пространства, возбужденные молеку-
. лы азота передают энергию активным центрам.
В последующих вариантах СО2-лазера применялся раз-
. ряд в смеси СО2 + N2; при этом, как правило, использо-
использовался тлеющий разряд постоянного тока. Схема такого СО2-
лазера показана на рис. 1.32, б. Здесь 1 — рабочий объем,
. 2 — анод, 3 — катод, 4 — зеркала резонатора, 5 — выход-
выходное излучение. Как и предыдущая, данная схема основана
на прокачке газа. Прокачка позволяет избежать нежела-
нежелательного изменения химического состава активной газовой
смеси, происходящего, в частности, в результате реакции
2СО2 -> 2СО + О2.
В настоящее время широко применяют отпаянные
СО2-лазеры (без прокачки газовой смеси). Срок службы
_ таких трубок может быть достаточно большим — до 1000 ч
и более..
Механизм возникновения инверсии в] СО2-лазере. Мо-
Молекула СО2 имеет 4 колебательные степени свободы, кото-
которым соответствуют 3 типа колебаний: симметричные
(рис. 1.33, а), деформационные (рис. 1.33,6), асимметрии-

1.5. Использование самостоятельного разряда 55
Рис. 1.33
Рис. 1.34
ные (рис. 1.33, в)*>. Частоту этих колебаний обозначим со-
соответственно через (оь оJ, (о3. Отметим: Йо^ — 0,163 эВ,
Йш2 = 0,078 эВ, Й(о3 — 0,276 эВ; щ « 2(о2.
Будем обозначать колебательные состояния молекулы СОг
набором трех колебательных квантовых чисел: vlt и2, vs:
Эти числа равны кратности возбуждения соответственно
симметричных, деформационных и асимметричных колеба*
ний молекулы СО2. Так, например, колебательное состоя-
состояние @20) (»t ~0,v2 — 2, v3 — 0) есть состояние, в котором
двукратно возбуждены деформационные колебания и не
возбуждены симметричные и асимметричные колебания:
Механизм возникновения инверсии в СО2-лазере пояс-
поясняет рис. 1.34, где показаны уровни молекулы СО2, отве-
отвечающие трем разным типам колебаний, а также первый воз-
возбужденный колебательный уровень молекулы азота. Верх-
Верхним рабочим уровнем является уровень @01); нижним —
уровни @20) и A00). На переходе @01) -> A00) генерирую
ется излучение с длиной волны 10,4 мкм, а на переходе
@01) -> @20) — с длиной волны 9,4 мкм. Возбуждение уров-
уровня @01) происходит за счет неупругих столкновений моле-
молекул СО2 с электронами (электронное возбуждение) и с
возбужденными молекулами N2 (резонансная передача
•) Энергия деформационных колебаний двукратно вырождена
(деформационный тип колебаний отвечает двум колебательным сте-
степеням свободы молекулы).

56
Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
R-ветвь
Р- ветвь
0,098
0,096
0 094
0,092
Рис. 1.35
энергии). Последние возбуждаются в столкновениях с элек-
электронами.
Релаксация уровней @20) и A00) происходит в основ-
основном за счет резонансной передачи энергии невозбужденным
молекулам СО2 — с накоплением молекул СО2 в состоянии
@10) (см. переходы, обозначенные на рис. 1.34 буквой г):
СО2 @20) + СО2 @00) -^ 2СО2 @10),
СО2 A00) + СО2 @00) ->¦ 2СО2 @10).
Релаксация уровня @10) — наиболее «узкое место». Ос-
Основной механизм релаксации этого уровня — газокинетиче-
газокинетический механизм передачи энергии молекулам Н2О или ато-
атомам Не (см. переход, обозначенный на рис. 1.34 буквой g).
Таким образом, неупругие столкновения молекул СО2 @10)
со специально вводимыми в газовую смесь добавками игра-
играют важную роль в создании инверсии. Напомним в связи
с этим, что СО2-лазеры относят к столкновительным
лазерам.
Заметим, что каждому колебательному уровню молекулы СО2
соответствует набор вращательных подуровней; следовательно, ра-
рабочие переходы @01) -» A00) и @01) -» @20) должны рассматри-
рассматриваться как колебательно-вращательные переходы, которым долж-
должны отвечать колебательно-вращательные полосы в спектре генера-
генерации лазера. Эти полосы Соответствуют Р- и ^-ветвям переходов.
Указанные ветви хорошо просматриваются на рис. 1.35, где пред-
представлен спектр генерации маломощного СО2-лазера (для перехода
@01) -» A00)). Примечательно, что с ростом мощности генерации
число одновременно генерируемых в Р- и Я-ветвях линий уменьшает-
уменьшается и может сократиться до одной-двух линий (эффект конкуренции
переходов). Иными словами, взаимодействие (конкуренция) пере-
переходов может приводить к тому, что генерация будет происходить в
основном лишь иа'одном из переходов Р- и Я-ветви. В результате
излучение мощных СО2-лазеров оказывается в высокой степени
онохроматичным.

1.6. Электроионизационные лазеры
57
Рис. 1.36
Возвращаясь к вопросу
создания инверсии в СО2-ла-
зере, отметим необходимость
обеспечения оптимального
отношения Е/Р (Е — напря-
напряженность поля в области поло-
положительного столба разряда,
Р — давление газовой смеси),
при котором сечения элект-
электронного возбуждения молекул
N2 и уровня @01) молекул
СО2 были бы достаточно боль-
большими, а сечения возбуждения
уровней A00), @20), @10)
молекул СО2 были бы относительно малыми. В качестве
примера на рис. 1.36 приведены зависимости доли энергии
до, передаваемой электронами плазмы в различные колеба-
колебательные степени свободы, от отношения Е/Р для конкрет-
конкретной ситуации, когда парциальные давления азота и двуо-
двуокиси углерода равны. Приведенные кривые показывают.что
оптимальные значения отношения Е/Р лежат в данном слу-
случае в интервале примерно 5—10 В/см-мм рт. ст.
Таким образом, необходимая для создания инверсии се-
лектцвность заселения верхних и очищения нижних рабо-
рабочих уровней в СО2-лазере обеспечивается на практике вве-
введением в активную среду азота и специальных добавок (в оп-
определенных пропорциях) и, кроме того, подбором оптималь-
оптимальной величины отношения Е/Р,
1.6. Электроионизационные лазеры
Проблема повышения давления в газовом лазере. Газо-
Газовые лазеры, возбуждаемые самостоятельным электриче-
электрическим разрядом (газоразрядные лазеры), характеризуются,
как уже отмечалось, низким давлением активной газовой
смеси — порядка 1—10 мм рт. ст. Это предопределяет от-
относительно низкую концентрацию активных центров: Ю15 —
1016 см~3, что на1 несколько порядков меньше, чем в твер-
твердотельных или жидкостных лазерах A019 —10го см~3). По-
Повышение концентрации активных центров весьма желатель*
но для увеличения мощности излучения, высвечиваемого

58 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
единицей объема активной среды. Поэтому вполне естест-
естественно стремление повысить давление (а следовательно, кон-
концентрацию активных центров) в существующих газовых
лазерах.
Однако повышению давления в газоразрядных лазерах
препятствуют два обстоятельства. Во-первых, при повыше-
повышении давления до нескольких десятков мм рт. ст. самостоя-
самостоятельный разряд оказывается практически непригодным для
возбуждения сколь-либо больших объемов газа: разряд
становится неустойчивым, «шнуруется», идет вдоль стенок,
не охватывает внутренней области газоразрядной трубки.
Во-вторых, необходимость обеспечения оптимального с точ-
точки зрения возбуждения нужных колебательных уровней
отношения Е/Р требует соответствующего увеличения на-
напряженности поля Е при повышении давления Р. Это, в свою
очередь, приводит к увеличению плотности.электронной со-
составляющей плазмы разряда. Переизбыток электронов явля-
является отрицательным фактором, так как при этом растет
эффективность так называемых «тушащих» столкновений
(в частности, столкновений, приводящих к девозбуждению
верхних и возбуждению нижних рабочих уровней).
Электроионизационный метод накачки газовых лазеров
высокого давления. Проблему повышения давления в га-
газовом лазере позволил решить электроионизационный уетод
накачки [47, 48]. В данном методе накачки самостоятельный
электрический разряд вообще не используется. Для получе-
получения быстрых электронов, способных эффективно возбуждать
активные центры, используют ионизирующее излучение в
сочетании с внешним электрическим полем. Ионизирующее
излучение порождает в активной среде свободные электро-
электроны, а электрическое поле ускоряет их. Дальнейшие процес-
процессы протекают фактически так же, как в газоразрядном ла-
лазере: быстрые электроны возбуждают определенные моле-
молекулы (атомы), что при соответствующих условиях приводит
к возникновению инверсии. На рис. 1.37 приведена схема,
поясняющая электроионизационный метод накачки. Здесь
/ — рабочий объем (он заштрихован), 2 — зеркала резона-
резонатора, 3 — ионизирующее излучение, 4 — электроды, на
которые подается электрическое напряжение, 5 — выход-
выходное^! излучение.
[8& На создание одного свободного электрона затрачивается
энергия порядка,нескольких десятков электрон-вольт; эта

1.6. Электроионизационные лазеры
59
щ
w
ш
3
ы
¦
У
1
Рис. 1.37
энергия берется от ионизи-
ионизирующего излучения. Каждый
электрон испытывает до 10Б
столкновений с частицами
активной среды, прежде чем
рекомбинирует или уйдет из
рабочего объема. В этих
столкновениях электрон пе-
передает частицам активной
среды энергию до 104 эВ, т. е. примерно на три поряд-
порядка больше энергии, затраченной на создание свобод-
свободного электрона. Такая большая энергия берется от внешне-
внешнего электрического поля. Электроионизационный метод
накачки позволяет, таким образом, осуществлять достаточ-
достаточно эффективное (с КПД до 30%) прямое преобразование
энергии электрического поля в энергию когерентного оп-
оптического излучения.
При применении данного метода накачки нетрудно Под-
Поддерживать оптимальное отношение Е/Р при повышении дав-
давления, поскольку концентрация свободных электронов те*
перь не зависит от напряженности внешнего поля Е, а
определяется интенсивностью ионизирующего излучения.
Рассматриваемый метод позволяет реализовать давления до
нескольких десятков атмосфер (даже до 100 атм). В связи
с этим появился термин лазер на сжатом газе.
При электроионизационной накачке процесс протекания
электрического тока через ионизованный газ отличается вы-
высокой устойчивостью независимо от величины давления. В ра-
рабочем объеме развивается несамостоятельный разряд, ха-
характеристики и структура которого остаются постоянными
при изменении величины объема разрядного промежутка
в довольно широких пределах (исследовались объемы до
100 л).
Для поддержания разряда необходима ионизация газа;
для получения инверсии необходимо возбуждение активных
центров. В газоразрядном лазере обе эти функции выпол-
выполняются одновременно одними и теми же электронами; при
этом характерное для самостоятельного разряда распредег
ление электронов по энергиям не является одновременно
оптимальными для ионизации, и для возбуждения. В элек-
электроионизационном лазере указанные функции выполняются
раздельно — ионизация газа обеспечивается ионизирую-

60 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
щим излучением, а электроны обеспечивают лишь возбужде-
возбуждение активных центров.
Электроионизационный СО2-лазер*>. Электроионизаци-
Электроионизационный метод накачки применяется в СО2-лазерах высокого
давления. Механизм возникновения инверсии в электроиони-
электроионизационном СО2-лазере иллюстрирует, как и для газоразряд-
газоразрядного СО2-лазера, рис. 1.34. Отличие состоит в том, что бы-
быстрые электроны, возбуждающие колебательные степени сво-
свободы молекул N2 и СО2, образуются теперь не в самостоя-
самостоятельном разряде, а под действием ионизирующего излуче-
излучения и ускоряющего внешнего электрического поля (не-
(несамостоятельный разряд). В качестве ионизирующего из-
излучения обычно используется пучок электронов из уско-
ускорителя (энергия электронов 100—500 кэВ, плотность тока
пучка порядка 10~* А/см2).
На рис. 1.38 показана упрощенная схема электроиониза-
электроионизационного СО2-лазера. Здесь 1 — рабочий объем, 2 — зерка-
зеркала резонатора, 3 — пучок электронов (ионизирующее из-
излучение), 4 — верхний электрод, 5 — нижний электрод,
6 — металлическая фольга, прозрачная для быстрых элек-
электронов, 7 — лазерное излучение. Заметим, что фольга 6
является весьма уязвимым местом в электроионизационном
лазере; она разделяет вакуумный объем ускорителя и ра-
рабочий объем, находящийся под высоким давлением.
Увеличение давления газовой смеси приводит к возра-
возрастанию мощности лазерного излучения с единицы объема
активной среды. Обозначим эту мощность через W. На рис.
1.39 приведена зависимость W (Р); экспериментальные точ-
точки А относятся к газоразрядному, а точки Б — к электро-
электроионизационному СО2-лазеру. Эта зависимость имеет
приблизительно квадратичный характер W ~ Р2. По срав-
сравнению с газоразрядным СО2-лазером мощность лазерного
излучения с единицы объема активной среды возрастает
в электроионизационном лазере в 106 раз.
Использование различных активных сред. Наряду с га-
газовыми смесями СО2 + N2 и СО2 + N2 + Не в электроиони-
электроионизационных лазерах применяют и другие активные среды
[48]. При этом используются рабочие переходы не только
*) Первые СО2-лазеры атмосферного давления с несамостоятель-
несамостоятельным разрядом созданы в 1971 г. [49,50].

1.6. Электроионизационные лазеры
61
Рис. 1.38
Рис. 1.39 " i ю io2 ю3 ад4
P, мм рт. ст.
между колебательными, но и между электронными состоя-
состояниями молекул.
Электроионизационный СО-лазер. Этот лазер излучает
на переходе между высоко расположенными колебальными
уровнями молекулы СО (и « 15); длина волны генерации
равна 5 мкм. Обычно используется смесь газов СО + N2
или СО + N2 + He. Лазер характеризуется необычайно
высоким КПД —до 50%.
Электроионизационный лазер на смеси Аг + N2. Ла-
Лазер излучает на переходе между электронными состояниями
молекулы N2; длина волны генерации равна 0,358 мкм. Ар-
Аргон играет роль буферного газа, резонансно передающего
энергию азоту.
Электроионизационный лазер на сжатом ксеноне. Ла-
Лазер излучает на переходе между возбужденным и основным
электронными состояниями разлетной молекулы Хе2; длина
волны генерации равна 0,172 мкм. Быстрые электроны воз-
возбуждают атомы Хе; возбужденные атомы Хе, сталкиваясь
с невозбужденными атомами, образуют возбужденные мо-
молекулы Хе2. Наряду с чистым ксеноном используют также
смесь Аг + Хе; аргон играет здесь роль буферного газа.
Способы ионизации. Наиболее часто применяется иони-
ионизация при помощи электронного пучка. Интенсивно иссле-
исследуется способ ионизации ультрафиолетовым излучением
(фотоионизация), которое может быть получено, например,

62 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
при помощи искровых разрядов [51]**. Представляет инте-
интерес также ирнизация тяжелыми заряженными частица-
частицами^ являющимися продуктами ядерных реакций.
Реализована генерация в электроионизационном СО2-ла-
зере, помещенном в активной зоне стационарного ядерного
реактора [52]. Использовалась активная газовая смесь со-
состава СО2 : N2 : 8He =1:4:5. Ионизация осуществлялась
продуктами ядерной реакции:
п + 3Не-> р + Т (+ 0,76. МэВ)
(п — нейтрон, р — протон, Т — ядро трития). Реакцию
инициировали образующиеся в замедлителе реактора теп-
тепловые нейтроны; плотность потока тепловых нейтронов
составляла 10м см^-с.
Исследуются возможности создания электроионизационного ла-
лазера с использованием вырабатываемой ядерным реактором энергии
не только для ионизации, ио и для ускорения возникающих в ре-
результате ионизации свободных электронов. Такой лазер представ-
представлял бы собой устройство, осуществляющее преобразование ядерной
энергии в энергию когерентного оптического излучения.
1.7. Газодинамические лазеры (тепловая накачка)
Тепловые методы создания инверсии. Для достаточно эф-
эффективного заселения колебательных и вращательных со-
состояний молекулы может быть использовано тепловое воз-
возбуждение. Для этого надо нагреть газ молекул до температур
примерно 1000—2000 К.
Разумеется, простое повышение температуры газа не
может обеспечить инверсии; при этом заселенность уровней
убывает с увеличением энергии по закону Больцмана:
п ~ ехр (—ElkT). На рис. 1.40, а, б сопоставляется характер
заселения колебательных уровней для разных температур
(для температур 7\ и Та; при этом 7\ < Т^). Кривая )
передает зависимость п ~ ехр (— E/kTJ, а кривая 2 —
зависимость п ~ ехр (— ElkT^). Хорошо видно, что повы-
повышение температуры приводит к эффективному заселению
верхних уровней, но при этом не обеспечивает инверсии за-
селенностей.
*) Электроионизационные лазеры с фотоионизацией часто на-
называют фотоионизационными лазерами.

1.7. Газодинамические лазеры (тепловая накачка) 63
,..- .Предположим, что нагретый
до температуры Т2 газ очень быст-
быстро охлаждается до температуры
Г?; пусть т — время, в течение
которого изменяется температура.
Предположим далее, что скорость
релаксации первого возбужденно-
возбужденного уровня (уровня ?х) много боль-
больше, скорости релаксации уровней
?2» Еа, ... Точнее говоря, будем
полагать, что время релаксации
уровня Ег (время tJ много мень-
меньше х, тогда как время релаксации
более высоко расположенных
уровней (время т2), напротив, мно-
много больше т: хг < t <C Т2> В этом
случае заселенность уровня Et бу-
будет при охлаждении газа следо-
следовать за изменением температуры,
тогда как заселенности других
уровней останутся при быстром по-
понижении температуры неизменны-
неизменными. В результате возникнет термо-
термодинамически неравновесная ситуа-
ситуация:, заселенность уровня Ег будет
соответствовать низкой температуре
(температуре Тх), а заселенности уровней Е2, Еа,
Т ( 140
6)
Рис. 1.40
будут
В й
(рур ) ур а уу
отвечать высокой температуре Т2 (см. рис. 1.40, в). В этой
ситуации реализуется, как хорошо видно на рисунке, ин-
инверсия на переходе между первым и вторым возбужденны-
возбужденными, колебательными уровнями*).
с Для быстрого охлаждения удобнее всего использовать
процесс адиабатического расишрения газа при выходе его
из узкой щели или сопла. Именно этот вариант тепловой
накачки и лежит в основе действия газодинамических лазе-
лазеров.
Отметим также возможность создания инверсии при
быстром нагревании газа при условии, что скорость тепло-
. *) Возможность создания инверсии при быстром охлаждении в
системах, уровни которых имеют разные времена релаксации, рас-
рассматривалась в [53, 54].

64 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
вого возбуждения верхних уровней молекулы больше, чем
нижних. Достаточно быстрый нагрев газовых систем мож-
можно осуществлять, например, используя ударные волны.
Газодинамический СО2-лазер*>. Активной средой в та-
таком лазере является смесь СО2 + N2 + Н2О. Характер-
Характерные пропорции различных компонентов смеси (по объему):
СОа —8%, Na — 90%, Н2О —2%. Активными центрами
служат молекулы СО2.
Упрощенная схема газодинамического лазера показана
на рис. 1.41. Здесь 1—форкамера, 2— сопловый блок,
3 — рабочий объем (объем оптического резонатора), 4 —
диффузор, 5 — зеркала резонатора, 6 — лазерное излуче-
излучение. В форкамере / активная газовая смесь приготовляется
в исходном состоянии (температура Т2 — 1400—1600 К,
давление Р2 = 20—30 атм). Смесь проходит через сопловый
блок 2 (ширина отдельной выходной щели в блоке состав-
составляет всего 1 мм) и расширяется в рабочем объеме 3. При
этом температура и давление падают до значений 7\ *=»
== 250—300 К, Pi = 0,05—0,1 атм; скорость газового по-
потока на выходе из соплового блока составляет 12О0-«-
1500 м/с. В рабочем объеме 3 происходит высвечивание мо-
молекул СО2. Диффузор 4 предназначен для торможения по-
потока газа и согласования его давления с давлением наруж-
наружного воздуха.
Существующие газодинамические СО2-лазеры дают ре-
рекордную мощность излучения, достигающую в непрерыв-
непрерывном режиме 100 кВт. К сожалению, КПД газодинамичес-
газодинамических лазеров невысок — он не превышает 1%.
Механизм возникновения инверсии в газодинамичес-
газодинамическом СО2-лазере**>. Как и в других типах СОа-лазеров, ин-
инверсия создается на переходах @01) -*¦ A00) и @01) -*¦
-*¦ @20) молекулы СО2. В заселении верхнего рабочего
уровня @01) важную роль играют процессы резонансной
передачи энергии возбуждения от молекул азота. Вводи-
Вводимые в смесь дополнительные компоненты (например, водя-
водяной пар) способствуют ускорению релаксации уровня
@10).
¦) Газодинамическим лазерам посвящена монография [55];
см. также [56].
•*) Возможность получения инверсии на колебательных уров-
уровнях молекулы СО2 при быстром расширении газа рассматривалась
в [57].

1.7. Газодинамические лазеры (тепловая накачка) 65
@01)
Рис. 1.41
Рис. 1.42
Специфика тепловой накачки проявляется в том, что в
данном случае колебательные уровни молекул N2 и СО2
заселяются за счет теплового, а не электронного возбужде-
возбуждения. Как отмечалось, при этом принципиально важно
различие времен релаксации верхних и нижних уровней.
Обратимся к рис. 1.42, где по сути дела повторена схема
уровней рис. 1.34. Здесь г — резонансные переходы, g —
газокинетические переходы. Релаксация уровня возбуж-
возбуждения молекулы N2 и уровня @01) молекулы СО2 осуществ-
осуществляется за счет газокинетического механизма передачи энер-
энергии (здесь пока не рассматривается резонасная передача
энергии от азота к углекислому газу), тогда как релакса-
релаксация уровней A00) и @20) молекулы СО2 происходит за
счет резонансного механизма. Поскольку скорость резо-
резонансной передачи энергии значительно выше, чем газокине-
газокинетической, то уже отсюда видно, что верхний рабочий уро-
уровень молекулы СО2 должен релаксировать медленнее, чем
нижние рабочие уровни *>. Особенно медленно релаксирует
колебательный уровень молекулы N2.
Теперь предположим, что смесь СО2 + N2, нагретая
до температуры, равной примерно 1500 К, быстро расши-
расширяется, проходя через узкое сопло (точнее, через сопло-
вый блок). При этом происходит резкое возрастание кине-
кинетической энергии молекул (напомним, что из сопла выходит
поток газа со сверхзвуковой скоростью около 1500 м/с).
Энергия поступательного движения молекул черпается
*) Напомним, что для преодоления «узкого места», связанного
с релаксацией уровня @10), как раз и вводятся в смесь быстро ре-
лаксирующие молекулы, например молекулы Н2О.
3 Зак. 1785

66
Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
Рис. 1.43
за счет энергии колебательного
движения; это означает, что
при выходе из сопла происхо-
происходит быстрая релаксация коле-
колебательных уровней. Крайне су-
существенно, что быстро релакси-
руют не все колебательные
уровни, а именно те, для кото-
которых время релаксации меньше,
т. е. нижние рабочие уровни
@20) и A00) молекулы СО2.
Что же касается уровня @01)
молекулы СО2> а также колеба-
колебательного уровня молекулы N2,
то при достаточно быстром расширениии газа они не успе-
успевают сколь-либо заметно релаксировать. В рабочем же
объеме, т. е. в условиях достаточно разреженного газа
(давление не выше 0,1 атм) эти уровни практически вооб-
вообще не релаксируют — наблюдается эффект «заморажива-
«замораживания» верхних колебательных степеней свободы.
На рис. 1.43 показан характер изменения заселеннос-
тей уровней @20) и @01) молекулы СОа по мере перехода
газовой смеси из форкамеры (параметры смеси Т2, Я2) в
рабочий объем (параметры смеси Ти Рг). В переходной об-
области (области сопла) происходит практически полное очи-
очищение уровня @20) и лишь небольшое уменьшение засе-
заселенности уровня @01). В рабочем объеме заселенность
уровня @01) практически «замораживается» при значении,
примерно соответствующем исходной температуре Т2.
Налицо инверсия заселенностей уровней @01) и @20).
Итак, молекулы СОа поступают в рабочий объем с прак-
практически незаселенными нижними рабочими уровнями (точ-
(точнее, заселенность этих уровней соответствует температуре
7\). Что же касается верхнего рабочего уровня, то он ока-
оказывается заселенным, как если бы газ продолжал находить-
находиться при температуре Т2.
При этом весьма важно, что оказывается «замороженной»
также заселенность колебательного уровня молекул N2.
Возбужденные молекулы N2 будут резонансно передавать
энергию возбуждения молекулам СО2 и тем самым поддер-
поддерживать относительно высокую заселенность уровня @01).
Напомним, что в газодинамическом лазере азот в количест-

1.7. Газодинамические лазеры (тепловая накачка) 67
венном отношении является основным компонентом смеси —
около 90%. Поэтому можно считать, что энергия коге-
когерентного излучения черпается в основном за счет колеба-
колебательной энергии молекул азота.
Таким образом, энергия, запасенная в колебательных
степенях свободы молекул, находящихся в форкамере,
расходуется при переходе газовой смеси в рабочий объем
через сопло следующим образом. Та часть энергии, которая
была запасена в симметричных деформационных колеба-
колебаниях молекул СО2, превращается в энергию поступатель-
поступательного движения потока, выходящего из сопла. Энергия же,
запасенная в асимметричных колебаниях молекул СО2,
а главное, в колебаниях молекул N2, превращается за вы-
вычетом потерь в резонаторе в энергию когерентного опти-
оптического излучения.
Пути повышения КПД газодинамических лазеров. От-
Относительно низкий КПД газодинамического лазера (не
более 1%) объясняется рядом причин. Прежде всего
бесполезно пропадает энергия поступательного движения
потока газа, выходящего из сопла (после торможения и
сжатия в диффузоре газ оказывается нагретым до высокой
температуры). Кроме того, с потоком газа из резонатора
удаляется некоторое количество возбужденных молекул
N2, не успевших передать энергию возбуждения молекулам
СО2, а также некоторое количество возбужденных молекул
СО2, не успевших высветиться*).
Для повышения КПД газодинамического лазера необ-
необходимо снизить указанные выше потери. Снижение потерь,
связанных с выносом возбужденных молекул из резонато-
резонатора, возможно за счет оптимизации параметров резонатора,
усовершенствования его конструкции. Что же касается
потерь, связанных с нагреванием газа в диффузоре, то в
этом случае требуются какие-то более радикальные реше-
решения. Так, например, возможно создание газодинамичес-
газодинамического лазера с замкнутым циклом использования газовой
смеси. Такой лазер должен включать в себя два дополни-
дополнительных элемента: компрессор и теплообменник. Они пред-
предназначаются для того, чтобы возвратить газовую смесь к
*) Преждевременный уход из резонатора вместе с потоком газа
некоторого количества возбужденных молекул азота и двуокиси
углерода определяет тип потерь в резонаторе, специфический для
газодинамических лазеров.
3*

68 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
исходным температуре и давлению. Таким образом, энер-
энергия поступательного движения газового потока может ис-
использоваться для возвращения газа в исходное состояние.
В этом случае газодинамический лазер уподобляется теп-
тепловой машине (с рабочим циклом, близким к циклу Карно).
После того как такой лазер начнет генерировать, внешний
подвод энергии должен будет лишь компенсировать поте-
потери при движении газа, потери в резонаторе и излучаемую
световую энергию.
1.8. Химические лазеры
Химические соединения — богатые накопители энер-
энергии. Эта энергия может частично высвобождаться при
перестройке химических связей (в экзоэнергетических хими-
химических реакциях). Весьма заманчиво преобразовать ука-
указанную энергию в энергию когерентного оптического излу-
излучения.
Химические лазеры как раз и являются устройствами,
в которых осуществляется такое преобразование энергии*).
Неослабевающий интерес к этому типу лазеров объясняет-
объясняется как практической важностью проблемы эффективного
прямого преобразования химической энергии в световую,
так и возможностью использования лазеров для изучения
химических процессов, сечений и кинетики реакций.
В существующих химических лазерах реализуется ге-
генерация на колебательных (точнее, колебательно-вращатель-
колебательно-вращательных) переходах молекул; нижняя граница диапазона длин
волн генерации этих лазеров составляет примерно 2,5 мкм.
Исследуются возможности создания химических лазеров
видимого диапазона (лазеров, генерирующих на переходах
между электронными состояниями молекул).
Химические реакции; инициирование и ускорение ре-
реакций. В химических лазерах чаще всего используются
реакции замещения, в результате которых образуются двух-
двухатомные молекулы в возбужденных колебательных состо-
состояниях. Будем- называть эти молекулы лазерно активными
центрами; они либо высвечиваются сами, либо обеспечи-
•) Возможность создания химического лазера рассматривалась
в [58—59]. Химическим лазерам посвящены обзоры [60, 61]; см.
также [8] н [4] гл. 7,

1.8. Химические лазеры 69
вают высвечивание других молекул, которым передают
энергию возбуждения**. Примерами используемых в ла-
лазерах реакций замещения являются следующие реакции
(значок * указывает на возбуждение молекулы): F + Н2 -*•
->HF* + H; F + D2->DF* + D; Н + С12-> НС1*+
+ Cl; Cl + HJ -^ HC1* + J.
Для инициирования этих реакций необходимо затра-
затратить определенную энергию на получение химически актив-
активных реагентов (F, Н, С1). Кроме того, необходимо позабо-
ботиться об ускорении химического процесса, поскольку
химический лазер может работать лишь на быстропроте-
кающих реакциях, обеспечивающих достаточно быстрое
заселение верхнего рабочего уровня высвечивающихся
молекул. Скорость химической реакции пропорциональна
концентрациям реагентов, вступающих в реакцию; поэто-
поэтому для ускорения реакции- надо образовать достаточно
большое количество химически активных реагентов.
Применяются разные способы инициирования и уско-
ускорения химических реакций (иначе говоря, разные способы
получения химически активных реагентов). Химичес-
Химически активными реагентами являются, в частности, реагенты
в атомарном состоянии; они получаются при диссоциации
молекул. Наибольшее распространение получили фотодис-
фотодиссоциация, диссоциация электронным ударом и тепловая
диссоциация молекул. В связи с этим различают следую-
следующие способы инициирования (ускорения) химических ре-
реакций: фотоинициирование, инициирование экектрон-
ным пучком или импульсом в электрическом разряде, теп-
тепловое инициирование.
В качестве источника излучения при фотоинициирова-
фотоинициировании обычно используют кварцевые импульсные лампы; при
необходимости более коротковолновой накачки (А, < 0,2 мкм)
применяют различные типы открытых разрядов (например,
искровой). Один из наиболее простых способов иницииро-
инициирования химических реакций — самостоятельный разряд
в газе; однако этот способ применим лишь» для относи-
относительно низких давлений и малых рабочих объемов.
Поэтому более интересен способ инициирования, основан-
основанный на использовании электронного пучка. Пучок электро-
•) В связи с этим говорят о прямом либо непрямом образовании
инверсии в химических лазерах (см. ниже).

70 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
нов позволяет инициировать реакцию за рекордно корот-
короткое время — порядка 10~8 — 10~7 с (при самостоятель-
самостоятельном разряде длительность инициирующего импульса не ме-
менее 10~в с). Тепловое инициирование реакций связано с теп-
тепловой диссоциацией молекул. Этот способ удобно приме-
применять в лазерах газодинамического типа, так как в них осу-
осуществляется сильный нагрев газа (для обеспечения боль-
больших скоростей истечения потока).
Химически активные реагенты могут создаваться также
за счет определенных химических реакций. В качестве
примера укажем реакцию NO + F2 -*• NOF + F. Окись
азота, существующая при обычных температурах в виде
устойчивого радикала N0, вступая в реакцию с молекуляр-
молекулярным фтором, обеспечивает образование химически активно-
активного атомарного фтора.
Цепной характер химических реакций; химическая и
лазерная длина цепи. Реакции, используемые в химичес-
химических лазерах, имеют цепной характер: химически активный
центр (атом или радикал) воспроизводится в процессе ре-
реакции. Предположим, что в смесь, состоящую из молекул
Н2 и F2, введены химически активные центры, например
атомы F. Можно ожидать, что в этой смеси будет проте-
протекать цепной процесс
F + Н2 ->- HF* + Н (+ 30 ккал/моль); Н + F2 ->
->- HF* + F (+ 100 ккал/моль);
F + Н2-> HF* + Н ( + 30 ккал/моль);
При создании определенного количества химически ак-
активных центров этот цепной процесс может стать достаточ-
достаточно быстрым, так что будет обеспечено условие возникнове-
возникновения генерации на переходах в молекулах HF*. Поскольку
упомянутое определенное количество химически активных
центров сохраняется* (воспроизводится) в цепном процессе,
появляется возможность за счет многократного использо-
использования некоторого количества воспроизводимых химически
активных центров вовлечь в реакцию огромное число мо-
молекул Н2 и F2 и создать тем самым много лазерно активных
центров HF*. В этом случае можно превратить в когерент-
когерентное оптическое излучение настолько большой запас хими-
химической энергии, содержащейся в смеси F2 + H2, что он

1.8. Химические лазеры 71
перекроет затраты энергии на создание химически актив-
активных центров.
На практике необходимо, однако, учитывать тот факт,
что реальный цепной процесс не бесконечен. Во-первых,
происходит гибель химически активных центров (Н + Н ->
-> Н2; F + F-»-F2), поэтому первоначально созданное ко-
количество Л/о этих центров обеспечивает появление ограни-
ограниченного числа Nx лазерно активных центров. Отношение
vMM = A^x/iV0 называют химической длиной цепи. Наличие
конечной химической длины цепи означает, что необходимо
не только инициировать, но и поддерживать химическую
реакцию, создавая новые химически активные центры вза-
взамен вышедших из игры.
Во-вторых, происходит гибель лазерно активных цент-
центров за счет процессов релаксации. В связи с этим вводят
понятие лазерной длины цепи глаз, определяемой отношени-
отношением скорости возникновения возбужденных лазерно актив-
активных центров к скорости релаксации этих центров *>. По-
Последняя, как правило, больше скорости уменьшения числа
химически активных центров, так что vM3<vXHM. Поэто-
Поэтому именно лазерная длина цепи обычно определяет КПД
химического лазера.
Быстрое уменьшение числа химически активных цент-
центров и процессы релаксации могут привести к тому, что цеп-
цепной характер процесса вообще не проявится. Так, напри-
например, процесс в смеси С1 + Н2 характеризуется настолько
малой лазерной длиной цепи, что должен по сути дела рас-
рассматриваться как нецепной процесс. Если, однако, в ука-
указанной смеси заменить хлор на более активный реагент
фтор, то процесс приобретет цепной характер.
Для удлинения лазерно-химических цепей целесооб-
целесообразно использовать в химических лазерах не простые, а
разветвленные цепные реакции, т. е. реакции, в которых
происходит не простое, а расширенное воспроизводство
(размножение) химически активных центров. Известно,
что при определенных давлениях и температурах в смеси
F2 + Н2 могут протекать химические реакции типа F2~|- HF->
->HF+F + F, обеспечивающие ветвление цепей. Можно
полагать, что использование таких реакций позволит соз-
создать химический лазер, у которого отношение энергии ла-
*) Понятие лазерной длины цепи введено^в [62].

72 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
*'*
2 зерного излучения к энергии, за-
R траченной на инициирование и
1 поддержание химической реакции,
7Г" будет существенно больше единицы.
— о Лазеры с прямым и непрямым
образованием инверсии. Если вы-
Рнг 1 4Л
гис" • свечивающиеся молекулы являют-
являются непосредственным продуктом
химической реакции, то говорят о прямом образовании
инверсии в химическом лазере. Необходимо, чтобы эти
молекулы возникали в определенном возбужденном состоя-
состоянии, соответствующем верхнему рабочему уровню.
На рис. 1.44 представлена упрощенная схема уровней
молекулы, являющейся активным центром (рассматрива-
(рассматриваются колебательные уровни). Здесь 1 к 2 — соответственно
нижний и верхний рабочие уровни; через F обозначена ско-
скорость заселения уровня 2 (скорость химической реакции),
через Ru R2 и R'2 — скорости релаксации соответствую-
соответствующих уровней. Специфика химической накачки проявляется
в возможности высокой избирательности возбуждения.
В отличие от оптической накачки возбуждение уровня 2
не сопровождается инициированным девозбуждением, по-
поэтому при химической накачке в принципе возможны даже
двухуровневые рабочие схемы. Решающим фактором в созда-
создании инверсии является, очевидно, соотношение между ско-
скоростью химической реакции и скоростями релаксации уров-
уровней. В частности, важно, чтобы выполнялось неравенство
Ri > R2. В двухатомных молекулах выполнение этого не-
неравенства затруднено из-за отсутствия процесса, который
приводил бы к избирательному очищению нижних колеба-
колебательных урввней. Напротив, переходы (и + 1) -> v идут,
как правило, быстрее, чем переходы v -> (и — 1). В связи
с этим целесообразно использовать непрямое образование
инверсии.
При непрямом образовании инверсии возбужденные двух-
двухатомные молекулы, являющиеся продуктом химической
реакции, резонасно передают энергию возбуждения невоз-
невозбужденным многоатомным (обычно трехатомным) молеку-
молекулам, которые затем высвечиваются в резонаторе. Иначе
говоря, инверсия создается на колебательных переходах
«холодных» молекул, образующих лазерную среду, в ре-
результате резонансной передачи энергии от «горячих» мо-

1.8. Химические лазеры
73
со2
Рис. 1.45
лекул, получающихся при
химической реакции. В каче-
качестве «холодных» молекул ис-
используют, как правило, мо-
молекулы СО2; в качестве «го-
«горячих» —¦ молекулы DF, HF,
НС1 и др. При передаче энер-
энергии молекулам СО2 наиболее
эффективно возбуждаются
асимметричные колебания
этих молекул (уровни (ООп)).
Химический лазер на фтор-
водородной смеси с непря-
непрямым образованием инверсии [63]. Хорошая энергетика и
и относительно большая длина лазерной цепи выдвинули
на одно из первых мест среди химических лазеров лазер на
смеси D2 -f- F2 + СО2 (тяжелый водород, фтор, углекис-
углекислый газ). Химические реакции в этом лазере инициируются
фотолизом, электронным пучком или при помощи реак-
реакции NO + F2 -> NOF + F. В последнем случае говорят о
чисто химическом DF — СО2-лазере.
Упрощенная схема такого лазера показана на рис. 1.45.
Здесь 1 — камера, в которой происходят химические реак-
реакции, 2 — оптический резонатор, 3 — зеркала резонатора,
4 — лазерное излучение. Сначала в камеру 1 вводится
смесь фтора с гелием *>. Затем в поток газа инжектируется
через множество отверстий углекислый газ и окись азота.
В результате химической реакции NO + F2 -> NOF + F
образуется химически активный реагент атомарный фтор.
После того как концентрация атомарного фтора достаточ-
достаточно возрастет, в смесь инжектируется водород; возникает
цепной процесс
F + D2-^DF* + D; D -f F2 -> DF* + F; F + D2->
->-DF* +D; ...
Возбужденные молекулы DF* передают энергию возбуж-
возбуждения молекулам С02; последние выносятся потоком в
резонатор, где и высвечиваются.
•) Гелий вводится для предотвращения перегрева и самовоспла-
самовоспламенения смеси фтора с водородом. Кроме того, гелий способствует
очищению нижнего рабочего уровня в молекулах СО2.

74 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
Химические лазеры на сероуглероде (химические СО-ла-
СО-лазеры). Недостатком фтор-водородных смесей является их
агрессивность в сочетании с высокой токсичностью. По-
Поэтому проводятся исследования других смесей, свободных
в определенной мере от указанного недостатка, и прежде
всего смесей на основе сероуглерода (CS2).
Прежде всего отметим смесь CS2 + О2 [64]. При облу-
облучении этой смеси светом длиной волны 0,18—0,22 мкм в ней
происходят следующие реакции *>:
CS2 + #to -> CS + S (фотоинициирование); S + О2 ->
->SO + O;
CS + О -> СО* -f S; CS2 + О -> SO -f CS.
В этих реакциях образуются химически активные реагенты
CS, S, О. Окончательными продуктами указанных реакций
являются молекулы сернистого ангидрида (SO) и возбуж-
возбужденные молекулы окиси углерода (СО*). Последние исполь-
используются как активные центры лазерной среды (прямое об-
образование инверсии). Наблюдаемый спектр генерации ха-
характеризуется диапазоном длин волн от 4,9 до 5,8 мкм. Ла-
Лазерное излучение генерируется на колебательных пере-
переходах молекул СО (и-> v — 1), причем v — 1, 2, ... 16.
Более эффективными химическими лазерами (требую-
(требующими меньших затрат на фотоинициирование реакций) яв-
являются лазеры на смеси CS2 + SO3 или на смеси CS2 +
-f O3 [65, 66]. В лазере на смеси CS2 + SO8 (сероуглерод
и серный ангидрид) вторая из приведенных выше реакций
Заменяется реакцией SO3 + Йш -> SO2 + О (при этом
длина волны излучения должна быть меньше 0,26 мкм),
а в лазере на смеси CS2 + О3 (сероуглерод и озон) — реак-
реакцией (*,„ « 0,22 — 0,28 мкм) О3 + Йш -> О2 + О.
Во всех химических лазерах на основе сероуглерода ак-
активными центрами лазерной среды являются молекулы СО.
Эти лазеры часто называют химическими СО-лазерами.
Основная реакция CS + О -+- СО* + S — ярко выражен-
выраженная экзоэнергетическая реакция; в ней выделяется около
80 ккал/моль, причем 80% этой энергии идет на возбужде-
возбуждение колебаний молекул СО. Обычно в газовые смеси хими-
химических СО-лазеров вводят добавки для увеличения скоро-
*) Малая длина лазерно-химической цепи предопределяет не-
нецепной характер процессов в рассматриваемом лазере.

1.9. Плазменные лазеры (рекомбинационная накачка) 75
сти релаксации нижних колебательных уровней молекулы
СО (например, закись азота N2O). Кроме того, вводят теп-
теплоемкие разбавители, например гексафторид серы SFe.
Химические лазеры на электронных переходах молекул. Как
отмечалось, в настоящее время проводятся исследования по созда-
созданию химических лазеров на электронных переходах молекул (хи-
мические лазеры видимого диапазона): Одна из возможностей созда-
создания таких лазеров связана с возбуждением электронных состояний
молекулы в результате реакции ассоциации атома и молекулы. В ча-
части, могут быть использованы реакции окисления [67] Ge + N2O ->
.-* N2 + GeO (+ 130 ккал/моль), Sn + N2O -* N2 + SnO
(+ 90 ккал/моль), приводящие к возникновению инверсии на элект-
электронных переходах молекул GeO и SnO. Для инициирования реакций
можно применить тепловой способ, используя температуры около
1000—1500 К. Другой способ инициирования предполагает опти-
оптическое возбуждение излучением СО2-лазера. Этот способ открывает
возможность эффективного преобразования инфракрасного излуче-
излучения в видимое.
1.9. Плазменные лазеры (рекомбинационная накачка)
Рекомбинирующая плазма как активная среда лазера.
Процессы рекомбинации при столкновениях свободных
электронов с положительно заряженными ионами в плазме
могут приводить к достаточно эффективному накоплению
атомов (ионов) в возбужденных состояниях, т. е. могут в
принципе использоваться для накачки лазерных перехо-
переходов.
Обозначим через Те температуру. электронной состав-
составляющей плазмы (электронная температура), а через Т —
равновесную температуру, для которой степень ионизации
совпадает с данной. Пусть пе и п+ — концентрации соот-
соответственно электронов и ионов. Скорость уменьшения п+ за
счет рекомбинационных электрон-ионных столкновений опи-
описывается уравнением
—dn+ldt = $n+n2, A-9.1)
где р — коэффициент электрон-ионной рекомбинации*'. Он
растет с уменьшением электронной температуры Те по за-
закону
Р = D779/2 A.9.2)
•) Здесь имеется в виду рекомбинация тройным столкновением,
¦поскольку в плотной плазме можно пренебречь радиационной ре-
рекомбинацией [68].

76 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
(D — некоторая постоянная). Из A.9.1) следует, что
п+ @ = п+ @) ехр (— t/x+), A.9.3)
где с учетом A.9.2)
T+ = 7i/2/Dni. A.9.4)
Чем меньше те, тем выше скорость рекомбинации и, как след-
следствие, эффективнее накачка. Легко видеть, что рекомбини-
рующая плазма должна характеризоваться достаточно вы-
высокой концентрацией электронов пе и в то же время доста-
достаточно низкой электронной температурой Те. Плазма в ре-
рекомбинационном режиме — это плотная, еысокоионизован-
ная плазма, электроны которой «переохлаждены», так что
выполняется неравенство
Те<Т. A.9.5)
Как активная среда лазера рекомбинирующая плазма
весьма привлекательна. В отличие от остальных активных
сред она не изменяет своего агрегатного состояния при
сколь угодно высокой плотности вводимой в нее энергии.
Это открывает возможность для создания особо мощных
лазеров. Кроме того, в рекомбинирующей плазме можно в
принципе использовать лазерные переходы, попадающие в
ультрафиолетовый и даже в рентгеновский диапазоны.
Свойства плазмы в рекомбинационном режиме радикаль-
радикально отличаются от свойств плазмы, используемой в газораз-
газоразрядных лазерах (й^йоследнем случае говорят о плазме в
ионизационном режиме). Сопоставление этих свойств дано
в табл. 1.4, где приведены характерные численные значе-
значения параметров плазмы.
Плазма в ионизационном режиме характеризуется ме-
менее высокой, чем в рекомбинационном режиме, концентра-
концентрацией свободных электронов и обратным по сравнению с
A.9.5) соотношением между температурами Те и Т. В ре-
рекомбинационном режиме электроны плазмы «переохлаж-
«переохлаждены»; в ионизационном они, напротив, «перегреты». На-
Налицо отклонения от термодинамического равновесия в
противоположные стороны.
Заметим, что для рекомбинационного режима харак-
характерно перемещение возбужденных атомов (ионов) сверху
вниз по энергетической шкале; это способствует преиму-
преимущественному возбуждению верхних уровней. В ионизаци-

1.9. Плазменные лазеры (рекомбинационная накачка) 77
Таблица 1.4
Параметр
пе, см-3
Те, К
Те/Т
Режимы
Ионизационный
Тлеющий
разряд
10е—И11
>104
>100
плазмы
Дуговой
разрчд
~1013
-10*
10
Рекомбинаци-
оиный
Ю14—101в
~102
0,1-1
онном же режиме заселение уровней обычно происходит в
обратном порядке — снизу вверх, что увеличивает вероят-
вероятность паразитного возбуждения нижних уровней.
Принципиальные вопросы создания лазера на рекомби-
нирующей плазме. В настоящее время активно исследуют-
исследуются вопросы теории и практической реализации лазеров на
рекомбинирующей плазме. Эти лазеры называют плаз-
плазменными или рекомбинационными*).
Подчеркнем принципиальное отличие плазменного ла-
лазера от газоразрядного. В процессе работы газоразрядного
лазера степень ионизации плазмы возрастает, а в случае
плазменного лазера падает. В этом смысле газоразрядный
лазер работает на переходе среды от газа к плазме**'*, тогда
как плазменный лазер работает на переходе от плазмы к
газу.
Сопоставление плазменного и газоразрядного лазеров
можно продолжать, рассматривая импульсную накачку.
В импульсном газоразрядном лазере генерация начинается
по достижении достаточно высокой интенсивности импульса
тока в разряде — на фронте импульса. В импульсном плаз-
плазменном лазере генерация начинается уже после окончания
импульса тока — после того, как возникнет достаточно
высокая степень ионизации плазмы и произойдет «охлаж-
«охлаждение» свободных электронов. Иными словами, плазмен-
плазменный лазер генерирует в послесвечении разряда.
*) Плазменным лазерам посвящена монография [69]; см. также
**) Чрезмерное увеличение степени ионизации плазмы в газо-
газоразрядном лазере может привести к срыву генерации.

78 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
Для создания плазменного лазе-
лазера надо решить две проблемы. Пер-
вал связана с получением плотной
высокоионизованной плазмы с «пере-
«переохлажденными» электронами, вто-
рая — с релаксацией нижнего рабо-
рабочего уровня.
Отметим особую сложность пер-
первой проблемы. Исследуются различ-
различные пути решения этой проблемы,
ис* ' отличающиеся друг от друга спосо-
способами ввода в активную среду энер-
энергии возбуждения и способами охлаждения электронов.
Если плазма как целое неподвижна, то эффективны два спо-
способа охлаждения свободных электронов: пристеночное ох-
охлаждение (в трубках относительно малого диаметра) и ох-
охлаждение за счет упругих столкновений с атомами буфер-
буферного газа, например, гелия или водорода. В движущейся
как целое плазме возможен газодинамический механизм
охлаждения — при адиабатическом расширении газовой
смеси.
В зависимости от способов ионизации среды, охлажде-
охлаждения электронов и очищения нижних уровней выделяют раз^
личные типы плазменных лазеров: импульсные, электронно-
пучковые, с ядерной накачкойг плазмодинамические, плазмохи-
мические.
«Открытая» двухуровневая модель плазменного лазера.
Соответствующая этой простейшей модели двухуровневая
фабочая схема показана на рис. 1.46. Здесь 1 и 2 — соот-
соответственно нижний и верхний рабочие уровни, F — вероят-
вероятность заселения верхнего уровня, R1 и R2 — вероятности
очищения уровней 1 и 2. Обозначив через щ и пг заселен-
заселенности рабочих уровней, а через п+ концентрацию ионов,
запишем уравнения баланса для стационарного случая
dnjdi = п+/т+— пг Rz = 0 ;| A9 6)
Скорость заселения уровня 2 есть скорость рекомбинации
ионов, причем, напоминаем, т+ = Те/2

1.9. Плазменные лазеры (рекомбииациоиная накачка) 79
Используя A.9.6), получаем следующее выражение для
инверсной заселенности рабочих уровней:
п2 — пх = я, A — njnj) = (п+/Я2т+) (I — Я2/Ях). A.9.7)
Формула A.1.3) для коэффициента усиления принимает в
данном случае вид
к = а (л2 — rtj ~ (ап+/Я 2т+) A — Яa/tfj), A,9.8)
или I"
Рассматриваемая упрощенная модель плазменного ла-
лазера отражает, как это видно из A.9.9), основные моменты:
необходимость создания высоких концентраций пе и п+ в
плазме, «охлаждения> электронов, обеспечения высокой ско-
скорости очищения нижнего уровня (чтобы выполнялось не-
неравенство jR2 < Ri)-
Проблема очищения нижнего рабочего уровня. Отметим
основные механизмы очищения нижнего рабочего уровня в
плазменных лазерах: радиационное, девозбуждение ох-
охлажденными свободными электронами, неупругие столкно-
столкновения с атомами специальных добавок, химическое очище-
очищение.
Радиационное очищение (очищение за счет спонтанного
испускания) эффективно тогда, когда нижний рабочий уро-
уровень расположен достаточно высоко, плазма является не
слишком плотной, рабочий объем не очень велик. В про-
противном случае более важен механизм очищения за счет
столкновений активных центров с охлажденными свобод-
свободными электронами. Этот механизм тем эффективнее, чем
выше концентрация электронов и чем сильнее они охлаж-
охлаждены. Заметим, что охлаждение электронов необходимо для
обеспечения режима рекомбинации (и, как следствие, за-
заселения верхнего рабочего уровня) и для ускорения про-
процесса очищения нижнего рабочего уровня.
Возникновение инверсии за счет электронного девозбуждения
происходит, в частности, в том случае, когда уровни активного
центра сгруппированы в две группы близкорасположенных уровней
и при этом нижний уровень в верхней группе является верхним ра»
бочим уровнем, а верхний уровень в нижней группе — нижним ра-
рабочим уровнем (см. рис. 1.47; здесь 1 гй 2 — рабочие уровни).
Дело в том, что вероятность электронного девозбуждения между

/
t
t
t 1
f 1
*
1
i 1
It
i 1
i
11 i
t
1
1
t
Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
уровнями разных групп заметно мень-
меньше, чем между близкорасположенными
уровнями одной и той же группы. По-
Поэтому столкновения с электронами при-
приводят в пределах каждой группы
уровней к преимущественному заселению
нижних и очищению верхних уровней
(см.стрелки на рисунке). Таким образом
создаются условия для образования
инверсии между нижним уровнем верх-
верхней и верхним уровнем нижней груп-
J I пы даже тогда, когда общая заселен-
* ность нижней группы превышает засе-
Рис 1 47 ленность верхней группы.
Для очищения нижних уров-
уровней могут использоваться также
неупругие столкновения активных центров (обозначим
их через А) с атомами специальных добавок (o6oiaa-
чим их через В). На рис. 1.48 показаны переходы, отвечаю-
отвечающие различным процессам столкновения (черта со штри-
штриховкой— уровень ионизации атома): рис. 1.48, а — резо-
резонансная передача возбуждения
А {т) + В @) ->- А @) + В (п);
рис. 1.48, б — ионизация примесного атома при перЬйШе
возбуждения (эффект Пеннинга) " ¦
А{т) + В @) ->¦ А @) + В+ + е;
(е — электрон; его энергия обозначена на рисунке через
Д?); рис. 1.48, в — резонансная перезарядка*)
Специально подбирая добавки (примеси), можно обесгл^дагь
преимущественное очищение именно нижних уровней, т. е.
реализовать ситуацию, показанную на рис. 1.49, где пред-
представлены заселенности рабочих уровней (пх и п2) в зависи-
зависимости от концентрации примеси (ппР). Видно, что при кон-
концентрациях примеси, превышающих некоторое значение
(значение п на рисунке), возникает инверсия заселенностей
рабочих уровней.
Эффективное очищение нижних уровней в плазменных
лазерах возможно также за счет специальных химических
•) Легко видеть, что этот процесс приводит не к очищению, а,
напротив, к заселению m-го уровня атома А.

1.9. Плазменные лазеры (рекомбинационная накачка) 81
А В
Рис. 1.48
'////, '/////////А
Рис. 1.49
реакций. Химическое очищение позволяет получать инвер-
инверсию даже на переходах в основное состояние *>.
Импульсные плазменные лазеры. Для ионизации актив-
активна ¦' среды в этих лазерах применяют быстро спадающие им-
импульсы электрического разряда с характерными парамет-
параметрами: напряжение до 20 кВ, сила тока до 300 А, длитель-
длительность импульса порядка 0,1—1 мкс. Импульс генерации
развивается в послесвечении разряда.
3 качестве активной среды используется смесь из легко
ионизируемого лазерно активного компонента и трудно ио-
», :руемого вспомогательного (буферного) компонента.
Последний нужен главным образом для обеспечения доста-
достаточно быстрого охлаждения свободных электронов в плаз-
плазме.
Под действием мощного импульса возбуждения созда-
создается плазма с высокой концентрацией ионов различной
кратности и свободных электронов. По окончании импуль-
импульса ¦ >збуждения совершается процесс быстрого охлаждения
сводных электронов за счет столкновений с атомами бу-
буферного газа. Затем происходит интенсивная рекомбинация
ионов и электронов, производящая накачку лазерных пере-
переходов в активных центрах, в качестве которых выступают
атомы или ионы (обычно однократные) легко ионизируе-
ионизируемого компонента смеси. В создании инверсии существенную
роль играет механизм электронного девозбуждения нижних
рабочих уровней.
Импульсные плазменные лазеры созданы, в частности,
на ионизированных парах щелочноземельных металлов
Mg, Ca, Sr, Ba. В качестве примера отметим плазменный
*) Подробнее о химическом очищении уровней см. ниже.

82 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
лазер на стронций-гелии, генерирующий на переходах в
Sr II, т. е. на переходах между уровнями однократных
ионов Sr+. Гелий играет роль буферного газа. Импульс воз-
возбуждения создает плазму с высокой концентрацией двукрат-
двукратных ионов стронция (ионов Sra+). Процессы рекомбина-
рекомбинации приводят к образованию возбужденных однократных
ионов Sr+, играющих в данном случае роль активных цент-
центров. Генерация реализуется на ряде переходов ионов Sr+;
основными являются линии 0,416 мкм (переход 6а Si/2 ->-
52Р1/2) и 0,431 мкм (переход 62S1/a->- &Pa/2) [71].
Плазменные лазеры с использованием жестких иониза-
ионизаторов; реактор-лазер. Весьма перспективны способы обра-
образования рекомбинирующей плазмы, основанные на исполь-
использовании жестких ионизаторов — пучка быстрых электро-
электронов, вводимого извне в холодный плотный газ, или оскол-
осколков деления атомных ядер, образующихся внутри работаю-
работающего ядерного реактора [69]. В первом случае речь идет
об электронно-пучковом плазменном лазере, во втором —
о плазменном лазере с ядерной накачкой или, иначе говоря,
о реакторе-лазере. Импульсные плазменные лазеры работа-
работают на свободно рекомбинирующей плазме, возникающей
после обрыва ионизирующего импульса разряда и быстрого
последующего охлаждения электронов плазмы. Плазмен-
Плазменные лазеры с использованием жестких ионизаторов могут
работать на стационарно переохлажденной плазме, в кото-
которой может непрерывно поддерживаться инверсия. Остано-
Остановимся подробнее на проекте плазменного лазера, называе-
называемом реактором-лазером.
Известно, что энергия, выделяющаяся внутри ядерного
реактора в результате деления ядер урана или плутония,
есть в основном кинетическая энергия «ядерных осколков».
Эти осколки представляют собой многократные ионы *>.
Осколки-ионы разлетаются с большими скоростями в срав-
сравнительно холодной среде **> и могут быть использованы для
создания интенсивно рекомбинирующей плазмы. Тем са-
самым возможно осуществление прямого преобразования ядер-
ядерной энергии в энергию когерентного оптического излуче-
*) Например, среди осколков деления урана-235 наиболее час-
часто встречаются 20-кратные ионы стронция и 22-кратные ионы ксе-
ксенона.
**) Скорости осколков порядка 10' м/с, энергия—около
100 Мэв.

1.9. Плазменные лазеры (рекомбинационная накачка) 83
ния (по «цепочке»: кинетическая энергия осколков деления,
энергия плотной высокоионизованной плазмы, энергия
лазерного излучения).
Принципиальная схема реактора-лазера представляется до-
довольно простой. Это есть набор параллельно расположенных тру-
трубок — энерговыделяющих элементов (сокращенно эвзлов), омывае-
омываемых теплоносителем. Каждая трубка-эвэл заполнена смесью из
газообразного соединения урана (например, гексафторида урана
_UFe) и лазерно активного компонента (например, гелия); трубка
имеет на торцах зеркала. При концентрациях UFe порядка 101* см~3
может быть достигнута критическая масса ядерного горючего, т. е.
могут быть обеспечены условия существования цепной реакции
деления ядер урана. Концентрация гелия должна составлять при-
примерно 1021 см~3; в таком плотном газе осколки-ионы будут эффек-
эффективно ионизировать гелий в трубках радиуса не менее 1 см. Охлаж-
Охлаждение плазмы обеспечиваетси теплоносителем, омывающим эвэлы*).
Таким образом, возможно создание в каждой трубке-эвэле интенсив-
интенсивно рекомбинирующей плазмы, накачивающей лазерные переходы в
гелии. В результате эвэлы превращаютси в излучающие лазерно
активные элементы.
Плазмодинамические лазеры. В этом типе плазменных
лазеров плазма движется как целое; в процессе ее движе-
движения и совершается переход в рекомбинационный режим.
Исследуются различные виды макродвижения плазмы:
расширение, сжатие, равномерное струйное течение [70].
При быстром (адиабатическом) расширении плотной
плазмы, предварительно нагретой электрическим разрядом,
происходит охлаждение среды, что и обеспечивает благо-
благоприятные условия для рекомбинации. На стационарно вы-
вытекающей из узкой щели или сопла плазменной струе можно
при определенных условиях получить непрерывную лазер-
лазерную генерацию.
Быстрое сжатие плазмы дает возможность эффективно
ввести в нее энергию большой плотности. Практически та-
такой способ ввода энергии в плазму можно осуществить в
установках, использующих пинч-эффект**). жатие плаз-
плазменного столба внешним продольным магнитным полем
обеспечивает рекордно высокую концентрацию свободных
электронов (выше 1017 см~3): Условия сжатия плазмы по-
позволяют в принципе реализовать рекомбинационный ре-
*) Нагревшийся теплоноситель может быть использован в па-
парогенераторе атомной электростанции.
**) Пинч-эффект—сжатие разряда под действием протекающего
по нему тока (самостягивающийся разряд); см., например, [72].

84
Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
Рис. 1.50
жим, поскольку значительные
потери энергии на тормозное
излучение (этот процесс эффек-
эффективен в плазме, содержащей
многократные ионы) могут су-
существенно замедлить нараста-
нарастание электронной температуры,
тогда как концентрация элект-
электронов в ходе сжатия будет уве-
увеличиваться. Таким образом, в
быстро сжимаемой плазме может иметь место эффективное
рекомбинационное заселение верхних рабочих уровней;
при этом нижние уровни будут очищаться за счет хорошо
действующего в данных условиях столкновительного меха-
механизма.
Интересная возможность получения непрерывной генера-
генерации в послесвечении разряда открывается при использова-
использовании плазменной смеси в виде равномерно текущей струи.
Напомним, что в импульсном плазменном лазере происхо-
происходят три последовательных процесса: первый — образова-
образование высокоионизованной плазмы, второй — охлаждение
свободных электронов плазмы, третий — рекомбинация
плазмы (накачка лазерных переходов). Если плазма мак-
макроскопически неподвижна, то эти процессы совершаются
в одном и том же месте пространства и поэтому должны чере-
чередоваться во времени — отсюда обязательный импульсный
режим работы лазера. Если же плазма движется в виде
струи, то все три указанных процесса могут совершаться
одновременно, но в разных областях пространства (разных
участках струи). Для пояснения приводится рис. 1.50.
Здесь 1 — газовая струя, 2 — область, где реализуется по-
поперечный разряд и создается высокоионизованная плазма,
3 — область, где происходит охлаждение свободных элект-
электронов, 4 — область рекомбинации, 5 — зеркала оптичес-
оптического резонатора, 6 — лазерное излучение. Такая разверт-
развертка последовательных процессов в пространстве (вдоль тече-
течения струи) позволяет в принципе совместить их во времени.
Плазмохимические лазеры. В отличие от химических
лазеров, где химическая энергия используется для возбуж-
возбуждения верхних рабочих уровней, в случае плазменных ла-
лазеров основная функция химических реакций заключается
в очищении нижних рабочих уровней. Исследования плаз-

1.9. Плазменные лазеры (рекомбинационная накачка) 85
мохимических лазеров проводятся в двух направлениях:
изучаются химические реакции, в результате которых ато-
атомы (ионы) уходят из определенных состояний, и рассмат-
рассматриваются среды на основе разлетных молекул [69].
Первое направление предполагает исследование кинети-
кинетики заселения и релаксации энергетических уровней в ходе
тех или иных химических реакций, протекающих в плаз-
плазменных смесях. В качестве примера укажем химические
реакции, обеспечивающие быстрый уход атомов водорода
из основного состояния [73]:
Н + F + HF ->- 2HF; Н +С1 + НС1 -> 2НС1;
Н + F + F2 -> HF + F2; Н + С1 + С12->- НС1 + С12.
Применяя эти реакции, можно реализовать генерацию на
переходах, отвечающих в спектре водорода линиям серии
Лаймана.
В плазменном лазере на разлетных молекулах процессы,
происходящие в рекомбинирующей плазме, приводят к об-
образованию электронно-возбужденных разлетных молекул.
Эти молекулы могут образоваться, например, при реком-
рекомбинации атомов в основном состоянии (обозначим их через
А @)) с атомами в возбужденном состоянии (обозначим
А A)): 2А @) + А A) -> Аа A) +А @). Здесь Л2 A) —
разлетная молекула в электронно-возбужденном состоянии.
Плазменные лазеры на электронных переходах разлет-
разлетных молекул принадлежат, по-видимому, к наиболее пер-
перспективным из уже действующих типов плазменных лазе-
лазеров, поскольку для них особенно просто решается проблема
очищения нижнего рабочего уровня и, кроме того, разно-
разнообразен выбор высвечивающихся молекул. В частности,
весьма перспективны соединения тяжелых инертных газов
(Аг, Кг, Хе) с элементами, характеризующимися высоким
сродством к электрону — галогенами и кислородом.
Список литературы
1. Тарасов Л. В. Физические основы квантовой электроники (оп-
(оптический диапазон).— М.: Сов. радио, 1976.— 368 с.
2. Атомные и молекулярные процессы: Пер. с англ./Р Гарстэнг,
Р. Николе, А. Стюарт и др. Под ред. Д. Бейтса. Пер. под ред.
Л. М. Бибермана и В. А. Фабриканта. — М.: Мир, 1964.—
778 с.

86 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
3. Вайнштейи Л. А., Собельмаи И И., Юков Е. А. Сечения воз-
возбуждения атомов и иоиов электронами.— М.: Наука, 1973. —
350 с.
4. Справочник по лазерам в 2-х т./Н. В. Карлов, К. С. Уиллетт,
В. Бриджес и др. Под ред. А. М. Прохорова.— М.: Сов. радио,
1978. Т. 1—504 с.
5. Петраш Г. Г. Импульсные газоразрядные лазеры.— УФН,
1971, т. 105, вып. 4, с. 645—676.
Исаев А. А., Петраш Г. Г. Исследование импульсных газовых
лазеров на атомных переходах. — Труды ФИАН СССР, 1975,
т.81,с. 3—87.
6. Михаилин В. В., Чернов С. П., Шепелев А. В. Экспериментальное
исследование сред для ВУФ лазеров с накачкой мощным рентге-
рентгеновским синхротронным излучением.— Квантовая электроника,
1978, т. 5, № 8, с. 1759—1766.
Кзонка П. Л. Накачка рентгеновских лазеров синхротронным
излучением и фотонами низкой энергии.— Квантовая электро-
электроника, 1978, т. 5, № 8, с. 1749—1753.
7. Ищенко Е. Ф., Климков Ю. М. Оптические квантовые генерато-
генераторы. — М.: Сов. радио, 1968.—472 с.
8. Рябов С. Г., Торопкий Г. Н., Усольцев И. Ф. Приборы кванто-
квантовой электроники.— М.: Сов. радио, 1976.— 312 с.
9. Koechner W. Solid-state laser engineering.— Springer — Verlag,
New York, Heidelberg, Berlin, 1976.—620 p.
10. Мнкаэлян А. Л., Тер-Микаэлян М. Л., Турков Ю. Г. Оптичес-
Оптические генераторы на твердом теле. — М.: Сов. радио, 1967. —384 с.
11. Методы расчета оптических квантовых генераторов в 2-х т./
Ф. К- Рутковский, В. П. Грибковский, А. М. Самсон и др. Под
ред. Б. И. Степанова — Минск: Наука и техника, 1968. Т.2—
656 с.
12. Мак А. А., Ананьев Ю. А., Ермаков Б. А. Твердотельные опти-
оптические квантовые генераторы.— УФН, 1967, т. 92, вып. 3,
с. 373—426.
13. Спектроскопические свойства активированных лазерных крис-
кристаллов: Пер. с. англ. /П. Герлих, X. Каррас, Г. Кетитц, Р. Ле-
ман: Пер. под. ред. В. И. Малышева.— М.: Наука, 1966.—208 с.
14. Каминский А. А. Лазерные кристаллы.— М.: Наука, 1975 —
256 с.
15. Белостоцкий Б. Р., Любавский Ю. В., Овчинников В. М. Ос-
Основы лазерной техники.— М.: Сов. радио, 1972.—408 с.
16. Белсстоцкий Б. Р., Рубаиов. А. С. Тепловой режим твердотель-
твердотельных оптических квантовых генераторов.—М.: Энергия, 1973. —
200 с.
17. Рябцев Н. Г. Материалы квантовой электроники.— М.: Сов.
радио, 1972.— 384 с.
18. Energy transfer from Er3+ to Tm^ and Ho3+ ions in crystals.
/L. F. Jonson, L. G. Van Uitert, J. J. Rubin, R. A. Thomas. —
Phys. Rev., 1964, v. 133A, № 1, p. 494—498.
19. Толстой М. Н. Безызлучательная передача энергии между ред-
редкоземельными ионами в кристаллах и стеклах.— В кн.: Спект-
Спектроскопия кристаллов.— М.: Наука, 1970, с. 124—135.

Список литературы 87
20. Новый тип кристаллов для ОКГ с оптическим возбуждением/
Ю. К- Воронько, А. А. Каминский, В. В. Осико, А. М. Прохо-
Прохоров. — Изв. АН СССР, Сер. Неорганические материалы,
1966, т. 2, №7, с. 1161—1170.
21. Каминский А. А. Каскадные рабочие схемы ОКГ на основе ак-
активированных кристаллов. — Изв. АН СССР. Сер. Неоргани-
Неорганические материалы, 1971, т. 7, № 5, с. 904—907.
22. Maiman Т. Н. Stimulated optical radiation in ruby. — Nature,
1960, v. 187, № 4736, p. 493—494.
23. Фриш С. Э. Оптические спектры атомов.— М.—Л.: Физматгиз,
1963. —640 с
24. Индуцированное излучение кристаллов иттрий-алюминиевого
граната с неодимом при накачке инжекционными лазерами/
В. И. Билак, Н. Р. Докучаев, А. М. Онищенко, В. А. Пашков,
А. И. Петров, М. Ф. Стельмах, Н. П. Черноусов.— Квантовая
электроника, 1975, т. 2, № 5, с. 1050—1054.
25. Степанов Б. И., Рубинов А. Н. Оптические квантовые генерато-
генераторы на растворах органических красителей. — УФН, 1968, т. 95,
вып. 1, с. 45 — 74.
26. Басе М., Дейч Т., Вебер М. Лазеры на красителях. — УФН,
.1971, т. 105, вып. 3, с. 521—574.
27. Лазеры иа красителях: Пер. с англ. /Ф. П. Шефер, Б. Б. Снэйв-
ли, К. Шенк и др. Под ред. Ф. П. Шефера. Пер. под. ред.
Л. Д. Деркачевой.— М.: Мир, 1976.— 330 с.
28. Томии В. И., Немкович Н. А., Рубинов А. Н. Использование про-
продуктов электрохимических реакций в активной среде лазеров
на красителях для расширения диапазона перестройки спектров
генерации.— Квантовая электроника, 1978, т. 5, № 5, с. 986—
994.
29. Rabinowitz P., Jacobs S., Gould G. Continuous optically pumped
Cs-laser. — Appl. Optics, 1962, v. 1, Ms 4, p. 513—516.
30. Раутиан С. Г., Собельман И. И. Фотодиссоциация молекул как
способ получения среды с отрицательным коэффициентом погло-
поглощения.— ЖЭТФ, 1961, т. 41, №6, с. 2018—2021.
31. Михеев Л. Д. Газовые лазеры с широкополосной оптической иа-
качкой.— Квантовая электроника, 1978, т. 5, № 6, с. 1189—
1220.
32. Kasper J. V., Pimental G. С. Atomic photodissociation la-
laser. — Appl. Phys. Letts, 1964, v. 5, № Ц, p. 231—233.
33. Голгер А. Л., Гудзенко Л. И., Яковленко С. И. О прямом пре-
преобразовании солнечной энергии в лазерное излучение.— Кванто-
. вая электроника, 1978, т. 5, № 9, с. 1982—1989.
34. Газовые лазеры: Пер. с англ. /В. Бениет, Г. Гулд, А. Блум и др.
Пер. под ред. Н. Н. Соболева.—М.: Мир, 1968.—344 с.
35. Аллен Л., Джонс Д. Основы физики газовых лазеров: Пер. с.
англ. — М.: Наука, 1970.— 300 с.
36. Елецкий А. В., Смирнов Б. М. Газовые лазеры.— М.: Атомиз-
дат, 1971.— 151с.
37. Пестов Э. Г., Лапшин Г. М. Квантовая электроника.— М.:
Воениздат, 1972,— 336 с.
38. Страховский Г. М., Успенский А. В. Основы квантовой элект-
электроники.— М.: Высшая школа, 1979.— 303 с.

88 Гл. 1. Получение инвертированных активных сред
39. Китаева В. Ф., Одиицов А. И., Соболев Н. Н. Ионные аргоно-
аргоновые оптические квантовые генераторы непрерывного действия.—
УФН, 1969, т. 99, вып. 3, с. 361—416.
40. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нереляти-
(нерелятивистская теория). — М.: Наука, 1974.— 752 с.
41. Javan A., Bennett W. R., Herriott D. R. Population inversion
and continuous optical maser oscillation in a gas discharge con-
containing a He — Ne mixture. — Phys. Rev. Letts 1961, v. 6,
№ 3, p. 106—107.
42. Patel С. К. N. Selective excitation through vibrational energy
transfer and optical maser action in N2 — СОг.— Phys. Rev.
Letts, 1964, v. 13, № 21, p. 617—618.
43. Тычииский В. П. Мощные газовые лазеры.— УФН, 1967, т. 91,
вып. 3, с. 389—424.
44. Соболев Н. Н., Соковиков В. В. Оптические квантовые генера-
генераторы на СО2. —УФН, 1967, т. 91, вып. 3, с. 425—454.
45. Пател К. Мощные лазеры на двуокиси углерода. — УФН.
1969, т. 97, вып. 4, с. 697—714.
46. Кузьмин Г. П. Импульсные СОг-лазеры.— Радиотехника и элек-
электроника, 1973, т. 18, вып. 8, с. 1553—1572.
47. Электроионизациоииые лазеры на сжатом углекислом газе/
Н. Г. Басов, Э. М. Беленов, В. А. Данилычев, А. Ф. Сучков.—
УФН, 1974, т. 114, вып. 2, с. 213—248.
48. Данилычев В. А., Керимов О. М., Ковш И. Б. Оптические кван-
квантовые генераторы на сжатых газах. — Труды ФИАН СССР,
1976, т. 85, с. 49—142.
49. E-beam sastained atmospheric presure CO2-laser/C. A. Fenster-
macher, M. 1. Nutter, I. C. Rink, K- Boyer.— Bull. Amer. Phys.
Soc, 1971, v. 16, p. 42—43.
50. Импульсный СОа-лазер с высоким давлением газовой смеси./
Н. Г. Басов, Э. М. Беленов, В. А. Данилычев, А. Ф. Сучков.—
В кн.: Квантовая электроника/Под ред. Н. Г. Басова, № 3,
М.: Сов. радио, 1971, с. 121—122.
51. Галактионов И. И., Горелов В. Ю., Подмошеиский И. В. Элект-
Электрические и генерационные характеристики фотоионизационного
СОг-лазера. — Квантовая электроника, 1976, т. 3, № 12,
с. 2570—2575.
52. Электроионизациоиный СО-алазер, работающий в активной
зоне стационарного ядерного реактора / Г. А. Батырбеков,
В. А. Данилычев, И. Б. Ковш, М. П. Марденов, М. У. Хасенов.—
Квантовая электроника, 1977, т. 4, № 5, с. 1166—1168.
53. Басов Н. Г., Ораевский А. Н. Получение отрицательных темпе-
температур методом нагрева и охлаждения системы.—ЖЭТФ, 1963,
т. 44, вып. 5, с. 1742—1745.
54. Басов Н. Г., Ораевский А. Н., Щеглов В. А. Тепловые методы
возбуждения лазеров.— ЖТФ, 1967, т. 37, № 2, с. 339—348.
55. Лосев С. А. Газодинамические лазеры.— М.: Наука, 1977.—
336 с.
56. Коиюхов В. К. Газодинамические СО^-лазеры.— Квантовая
электроника, 1977, т. 4, № 5, с. 1014—1022.
57. Коиюхов В. К.| Прохоров А. М. Инверсная населенность при

Список литературы 89
адиабатическом расширении газовой смеси.— Письма в ЖЭТФ,
1966, т. 3, № 11, с. 435—439.
58. Ораевский А. Н. Возникновение отрицательных температур при
химических реакциях.— ЖЭТФ, 1963, т. 42, № 2, с. 177—182.
59. Тальрозе В. Л. К вопросу о генерировании когерентного инду-
индуцированного излучения в химических реакциях.— Кинетика и
катализ, 1964, т. 5, № 1, с. 11—27.
60. Джиджоев М. С, Платоиеико В. Т., Хохлов Р. В. Химические
лазеры.— УФН, 1970, т. 100, вып. 4, с. 641—680.
61. Динамика химических лазеров /Н. Г. Басов, В. И. Игошин,
Е. П. Маркин, А. Н. Ораевский. — В кн.: Квантовая электро-
электроника/Под ред. Н. Г. Басова, № 2, М.: Сов. радио, 1971, с. 3—24.
62. Ораевский А. Н. Химический квантовый генератор на основе
разветвленных реакций.— ЖЭТФ, 1968, т. 55, № 10, с. 1423—
1430.
63. Cool Т. A., Falk F. J., Stephens R. R. DF — CO2 and HF — CO2
continuous wave chemical lasers. — Appl. Phys. Letts, 1969,
v. 15, № 10, p. 318—320.
64. Pollack M. A. Laser oscillation in chemically formed CO. —
Appl. Phys. Letts, v. 8, № 9, p. 237—238.
65. Химический лазер на смеси сероуглерода и серного ангидрида/
Ю. А. Герасимов, Г. Н. Кашников, В. К- Орлов, А. К- Писку-
Пискунов, Ю. В. Романенко, А. В. Таран.— Квантовая электроника,
1975, т. 2, №1,с. 140—143.
66. Химический СО-лазер на смеси CS2 + O3 с фотоинициирова-
фотоинициированием/А. С. Башкин, А. Н. Ораевский В. Н. Томашов,
Н. Н. Юрышев. — Квантовая электроника, 1976, т. 3, № 2,
с. 362—368.
67. Башкин А. С, Куприянов Н. Л., Ораевский А. Н. Химический
лазер видимого диапазона с использованием реакций окисле-
окисления.— Квантовая электроника, 1977, т. 4, № 5, с. 1063—1070.
68. Смирнов Б. М. Атомные столкновения и элементарные процес-
процессы в плазме.— М.: Атомиздат, 1968.— 350 с.
69. Гудзенко Л. И., Яковлеико С. И. Плазменные лазеры.— М.:
Атомиздат, 1978.— 256 с.
70. Гудзенко Л. И., Шелепии Л. А., Яковленко С. И. Усиление в
рекомбинирующей плазме (плазменные лазеры). — УФН, 1974,
т. 114, вып. З.с. 457—485.
Гудзеико Л. И., Шелепин Л. А., Яковлеико С. И. Теория плаз-
плазменных лазеров.— Труды ФИАН СССР, 1975, т. 83, с. 100—145.
71. Рекомбииациоиные лазеры на парах химических элементов.
Принципы получения генерации в рекомбинационном режиме/
В. В. Жуков, Е. Л. Латуш, В. С. Михалевский, М. Ф. Сэм.—
Квантовая электроника, 1977, т. 4, № 6, с. 1249—1256.
Рекомбииациоииые лазеры на парах химических элемен-
элементов. Генерация на ионных переходах металлов /В. В. Жу-
Жуков, В. С. Кучеров, Е. Л., Латуш, М. Ф. Сэм. — Квантовая
электроника, 1977, т. 4, № 6, с. 1257—1267.
72. Франк-Камеиецкий Д. А. Лекции по физике плазмы.— М.:
Атомиздат, 1968.
73. Кондратьев В. Н. Константы скоростей газофазных реакций.—
М.: Наука, 1971.

Глава 2
ФОРМИРОВАНИЕ
ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
В РЕЗОНАТОРЕ
ЛАЗЕРА
Говоря о принципиально важных элементах лазера, сле-
следует отметить наряду с активной средой и системой возбуж-
возбуждения (системой накачки) также оптический резонатор.
Для возникновения генерации в лазере необходимо, чтобы
инверсия активной среды обеспечила превышение усиления
над суммарными потерями в резонаторе. Изменяя уровень
и характер потерь в резонаторе, можно осуществлять уп-
управление процессом генерации. В соответствии со специфи-
спецификой используемого в лазере резонатора генерируется из-
излучение, поле которого имеет определенную спектральную
и пространственно-временную структуру. Формирование
поля излучения с определенной структурой — принципиаль-
принципиальная функция оптического резонатора в лазере.
2.1. Условие обеспечения генерации
Необходимость превышения начального коэффициента
усиления над коэффициентом потерь. Как известно, воз-
возрастание плотности светового потока по мере его распрост-
распространения в инвертированной активной среде сопровождает-
сопровождается процессом постепенного выравнивания заселенностей ра-
рабочих уровней, что приводит к эффекту насыщения усиле-
усиления. Коэффициент усиления к (г) в точке г (ось г — на-
направление распространения потока) выражается через
плотность светового потока S (г) следующим образом:

2.1. Условие обеспечения генерации 91
>c(z)= ^ , B.1.1)
где v — скорость света в активной среде: а — параметр
нелинейности рабочего перехода; щ — начальный коэф-
коэффициент усиления*1. Параметр нелинейности характеризует
быстроту выравнивания заселенностей рабочих уровней при
возрастании плотности светового потока. Начальный коэф-
коэффициент усиления определяется плотностью инверсной за-
заселенности рабочих уровней No в отсутствие генерации, т. е.
при S = 0:
*о = {B2ifl^lv)[n02—{gi/g1) п01] = oN0. B.1.2)
Здесь со — частота генерируемого излучения; В21 — коэф-
коэффициент Эйнштейна; о = B2i Йе>Л> — сечение индуциро-
индуцированного испускания в рабочем переходе; No = n02 — (gj
/gi) "oi (эта величина использовалась в § 1.2). Заметим, что
подстановка B.1.2) в B.1.1) приводит к результату A.1.3):
Световая мощность, генерируемая активными центра-
центрами в единице объема, описывается выражением **>
W (г) = к (z) S (г). B.1.3)
Исключая S (z) из B.1.1) и B.1.3), получаем
W (г) = (via) Ыо — >с BI. B.1.4)
Обозначим через WreH световую мощность, генерируемую
во всем объеме активной среды лазера:
dz. B.1.5)
Здесь s — площадь поперечного сечения активной среды;
L — длина резонатора (для простоты полагаем, что актив-
*> См., например, § 5.6 из [1].
**> См., например, D.1.17) из [1].

92 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
ная среда полностью заполняет резонатор и физические
величины не зависят от поперечных координат). Подстав-
Подставляя B.1.4) в B.1.5), находим
Ween = (vLs/a) [щ - < х>1, B.1.6)
1 г
где <и> = j- J к (z)dz — коэффициент усиления, усред-
'-' О
ненный по длине резонатора.
В случае стационарной генерации справедливо соот-
соотношение*)
(Ю^гЬ + тЬ B.1.7)
где ^и т]2 — линейные коэффициенты ослабления светового
потока, отвечающие соответственно вредным и полезным
потерям**'. Полезные потери обусловлены уходом части
энергии из активной среды в виде лазерного излучения;
коэффициент полезных потерь т]2 описывается выражением
, B.1.8)
где Rt и R2 — коэффициенты отражения зеркал резонатора
лазера. Вредные потери могут быть обусловлены поглоще-
поглощением излучения атомами (молекулами), не являющимися
активными центрами, рассеянием излучения через боковую
поверхность активной среды, дифракционными эффектами
и другими причинами.
Используя B.1.7), перепишем B.1.6) в виде
WreH = (vLs/a) [щ - (ть + т]2)]. B.1.9)
Этот результат позволяет сделать весьма важное заключе-
заключение (справедливое не только для стационарной генерации,
но и в общем случае): для обеспечения генерации необходи-
необходимо, чтобы выполнялось неравенство
B.1.10)
Иными словами, начальный коэффициент усиления должен
превышать уровень потерь в резонаторе, который опреде-
определяется суммой коэффициентов вредных и полезных потерь.
*) См., например, E.6.23) из [1]»
**) Для уяснения физического смысла этих коэффициентов
следует обратиться к дифференциальному закону Бугера: dS=
= — (% + "Па) s Ш

2.1. Условие обеспечения генерации
93
Таблица 2.1
Дипольный
переход
4я2
Магнитно- d
дипольный Л121=ЗЛ2
переход
Квадрупольный „ 4я2
переход Q21=3/i*
hi
= — ет
(п X цJг
(kQ).
21
<3= —
У2 У*
zx zy z2 ,
d—-электрический дипольный момент электрона,
\i—магнитный дипольный момент электрона,
Q—электрический квадрупольный момент электрона,
к-—волновой вектор излучения, n = k/fe,
(...J1—матричный элемент для перехода 2-Л
Чем больше разность [>с0 — (% + т]2)], тем больше генери-
генерируемая световая мощность. Порог генерации определяется
равенством
Щ=т\1 + т\г- B.1.11)
Начальный коэффициент усиления для оптически разрешен-
разрешенных и запрещенных рабочих переходов. Напомним, что оптически
разрешенными называют дипольные переходы (переходы, разрешен-
разрешенные в дипольном приближении); для них отличен от нуля матричный
элемент электрического дипольного момента системы. Если же этот
матричный элемент равен нулю, то соответствующий переход назы-
называют оптически запрещенным. Такой переход может быть разрешен
в более высоких приближениях — магнитно-дипольном, квадру-
польном и т. д.
Рассматривая взаимодействие оптического излучения с электро-
электроном атома, можно получить выражения для входящего в B.1.2)
коэффициента Эйнштейна В21 с учетом переходов различного типа*).
Эти выражения приведены в табл. 2.1. Они позволяют получить
следующие оценки (для длины волны излучения порядка 1 мкм):
Bq2iIBD2i «i°-e; bM21/bD21 » ю-*.
Таким образом, входящий в выражение для начального коэффи-
коэффициента усиления множитель B2i в 10* — 10е раз меньше для оптичес-
оптически запрещенных переходов, чем для оптически разрешенных. Отсюда
следует, что диктуемая соображениями создания инверсии метаста-
*) В §2.5 из [1] показано, как можно получить выражения для
коэффициента Эйнштейна Л21, описывающего спонтанное испуска-
испускание. Чтобы перейти от A2i к B2i, надо воспользоваться известным
B А 23/Л\
соотношением
= А
21

94
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
о»3]
«21
«о
"Опред
— Я
Рис. 2.1
Рис. 2.2
бильность верхнего рабочего уровня имеет свою отрицательную
сторону.
Оценивая величину начального коэффициента усиления, надо,
однако, учитывать не только множитель В21, но н произведение
B&.No- Входящие в это произведение множители обнаруживают про-
противоположные тенденции: увеличение времени жизни верхнего ра-
рабочего уровня приводит к возрастанию No, но уменьшает B2i,
уменьшение же упомянутого времени жизни приводит к возраста-
возрастанию B2i, но уменьшает No. Уменьшение No в последнем случае свя-
связано с тем, что при увеличении B2i растет также и коэффициент Эйн-
Эйнштейна Л21, т. е. учащаются спонтанные переходы в канале гене-
генерации.
Какие же рабочие переходы целесообразно использовать —
оптически разрешенные или запрещенные? Иначе говоря, что су-
существеннее — увеличение No в случае оптически запрещенных
переходов или увеличение В21 в случае оптически разрешенных
переходов?
Оказывается, что целесообразнее использовать запрещенные
рабочие переходы. Связанное с метастабильностью верхнего уров-
уровня уменьшение коэффициента В21 обычно с успехом компенсирует-
компенсируется возрастанием плотности инверсной заселенности уровней No.
Важно однако, чтобы время жизни верхнего рабочего уровня не ока-
оказалось чрезмерно большим. Чрезмерное уменьшение В21 может
привести к тому, что упомянутая компенсация окажется невозмож-
невозможной.
Зависимость начального коэффициента усиления от
скорости накачки. На рис. 2.1 показана трехуровневая
схема, тождественная схеме на рис. 1.9. В отличие от схемы
рис. 1.9 в канале 2—1 имеют место дополнительные пере-
переходы, стимулированные излучением генерации. Вероятно-
Вероятности этих переходов: ву21 = Аг1 + В21рген, и>12 = Bi2preH
(Рген — плотность генерируемого излучения).
Подставим A.2.12) в B.1.2) (положив для простоты gx=
=g2) и воспользуемся неравенством A.2.15). В результате
получим следующее выражение для начального коэффици-
коэффициента усиления:
к0 =f (B21/i>)ft(ort' (Q — A 21)/(Q + A 21). B.1.12)

2.1. Условие обеспечения генерации
95
Здесь, напоминаем, п' — пол-
полное число активных центров
в единице объема; Q=wHw32:
(wsl + w32) — скорость на-
накачки для рассматриваемой
схемы. Используя связь меж-
между ?2i и A 2i» перепишем
B.1.12) в виде
Л21), B.1.13)
Рис. 2.3
где через Ъ обозначен множи-
множитель nVrt'/wo2. На рис. 2.2
показана зависимость и0 (Q), описываемая выражением
B.1.13). Прямая А А соответствует уровню потерь. Пере-
Пересечение кривой щ (Q) с осью абсцисс определяет порог по
инверсии йинв, а пересечение с прямой АА — порог гене-
генерации QreH. Легко убедиться, что
о - & ¦ Q — А М
Если Q > Л 21, то величина начального коэффициента уси-
усиления приближается к своему предельному значению
и0 пред = "А-2Х-
B.1.14)
Сопоставим несколько кривых >с0 (й) для разных зна-
значений Л21 (при?этом будем полагать, что выполнено нера-
неравенство A.2.15), предполагающее метастабильность уров-
уровня 2). На рис. 2.3 изображены четыре кривые, пронумеро-
пронумерованные в порядке уменьшения А21. Из рисунка видно, что
чем меньше А2\ (чем больше время жизни уровня 2), тем
легче создать инверсию; однако при этом уменьшается
предельное значение начального коэффициента усиления.
Последнее обстоятельство как раз и отражает отмечавшуюся
выше отрицательную сторону метастабильности верхнего
рабочего уровня.
На рис. 2.3 проведена прямая А А, определяющая уро-
уровень потерь. Можно видеть, что при значении А21, отвечаю-
отвечающем кривой 4, генерация'вообще невозможна (чрезмерное
уменьшение величины А 21 привело к тому, что предельное
значение начального коэффициента усиления оказалось

96
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис 2.4
ниже уровня потерь). Та-
Таким образом, нижняя гра-
граница значений А21 опреде-
определяется величиной потерь.
Согласно B.1.14) и B.1.10)
должно выполняться усло-
условие
Л 2i > Ob + ЧъУЬ. B.1.15)
Зависимость начально-
начального коэффициента усиления
от частоты. Частотную за-
зависимость начального ко-
коэффициента усиления будем рассматривать, исходя из
B.1.2), где вместо В21 будем использовать спектральный
коэффициент Эйнштейна В21 (со). Напомним, то Вп(<о) —
= B21F (аз), где F (м)—функция, описывающая форму
спектральной линии излучения*'. Таким образом,
Щ (ю) = В2\F (©) Hd)Nolv. B.1.16)
Входящий в B.1.16) множитель В21 не зависит от часто-
частоты для дипольных и магнитно-дипольных переходов, тогда
как для квадрупольных переходов В21 ~ о2 (см. табл. 2.1).
Следовательно, для дипольных и магнитно-дипольных пере-
переходов х0 (to) ~ <oF (ю), а для квадрупольных переходов
Щ («О ~ <в3 F («). Качественно вид зависимости х0 (©)
определяется функцией F (ш), т. е. формой спектральной
линии излучения активного центра. Если, например,
спектральная линия имеет лоренцеву форму {однородно
уширенная линия) и рассматриваются дипольные переходы,
то
и0 (ш) ~ ©Д/[(<о — й0J + А2], B.1.17)
где ©о — частота, отвечающая максимуму линии; А — по-
полуширина линии на половине ее максимальной высоты.
На рис. 2.4 показана зависимость -к0 (ш), описываемая
формулой B.1.17); прямая А А соответствует уровню по-
потерь. В генерационном режиме «работает», очевидно, лишь
заштрихованный профиль функции щ (а>), называемый
*) Спектральные коэффициенты Эйнштейна и форма спектраль-
спектральной линии рассмотрены, например, в § 4.7. из [11.

2.2. Оптический резонатор и лазерное излучение . 97
линией усиления. Частота генерируемого на данном пере-
переходе излучения лежит в пределах ширины линии усиления:
щ <. © < <в2-
В предыдущей главе отмечались селективные резонаторы с пе-
перестройкой частоты излучения в пределах ширины линии люминес-
люминесценции. В порядке уточнения заметим, что диапазон перестройки
определяется не шириной линии люминесценции, а шириной линии
усиления (шириной линии люминесценции на уровне потерь).
2.2. Онтический резонатор и лазерное излучение
(начальные сведения)
Оптимальный коэффициент полезных потерь. Из B.1.9)
следует, что для увеличения WreH достаточно снизить по-
потери в резонаторе (уменьшить сумму % + т]2). В частности,
можно снизить уровень полезных потерь. Для этого надо,
согласно B.1.8), увеличить RXR2- Однако чрезмерное уве-
увеличение коэффициента отражения зеркал резонатора не-
невыгодно, поскольку с уменьшением t\2 падает доля генери-
генерируемого излучения, представляющая собой лазерное из-
излучение; эта доля определяется отношением T]2/(Th + "П2).
С учетом B.1.9) мощность лазерного излучения описывается
выражением
W==~hr «^« = —[ЯЬ-ОИ-Ч»)]-?—¦ B.2-1)
С уменьшением ti2 уменьшается ^/(т^ + тJ), но растет
множитель [}?о — (Tli + Т1г)-]- Следовательно, должно су-
существовать оптимальное значение коэффициента полезных
потерь Лгопт! обеспечивающее максимальную величину
выходной мощности.
Обычно рассматривают не выходную мощность W, а
плотность выходящего из резонатора светового потока S.
Величины W и S связаны простым соотношением
S = W/s, B.2.2)
где s — площадь поперечного сечения светового пучка (для
простоты полагаем ее равной площади поперечного сече-
сечения активной среды).
С учетом сделанного замечания перепишем B.2.1) в виде
S = (vL/a) [х„ — (тц + т]2)] VOli + Л2). B,2.3)
4 Зак. 17§5

Рис. 2.5
При этом
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
На рис. 2.5 показана зависи-
зависимость S от т]2, определяемая
выражением B.2.3). Порого-
Пороговое значение коэффициента
полезных потерь равно и0 —
—т^. Чтобы найти т]2опт, про-
продифференцируем функцию
S (т]2) и приравняем произ-
производную нулю. Находим
! ОПТ
. B.2.4)
>->тях = \
B.2.5)
Таким образом, для заданных значений и0 и г\х существу-
существует оптимальное значение коэффициента полезных потерь,
определяемое выражением B.2.4); ему соответствует мак-
максимальная плотность выходного светового потока, описыва-
описываемая формулой B.2.5). Дальнейшее увеличение Smax
требует увеличения щ и уменьшения ч\1ш
Предположим, что лазерное излучение выходит через
одно из зеркал резонатора, тогда как другое зеркало явля-
является полностью отражающим. Исходя из B.2.4) и B.1.8),
находим оптимальный коэффициент отражения выходного
зеркала резонатора
= ехр [ — 2L (
B.2.6)
При достаточно высоком коэффициенте усиления, ка-
каким характеризуются, например, неодимовые лазеры с им-
импульсной накачкой, Rom может быть относительно низким
A0 — 20%). В случае же гелий-неонового лазера, где
коэффициент усиления мал, #опт достигает 99%. Для реа-
реализации столь высоких значений коэффициента отражения
применяют многослойные диэлектрические зеркала, полу-
получаемые при нанесении на подложку (путем напыления) не-
нескольких тонких диэлектрических слоев, имеющих опти-
оптическую толщину, равную четверти длины волны излучения,
и различающихся показателем преломления *>.
*) О многослойных диэлектрических покрытиях см. [2] гл: 24.

2.2. Оптический резонатор и лазерное излучение 99
Если оба зеркала резонатора являются выходными зеркалами',
то вместо B.2.6) имеет место соотношение
v#i#2)onT=expI~2I (/>vn"i- %)]• B -2.7)
Пусть Sx — плотность потока, выходящего из зеркала с коэффи-
коэффициентом отражения Rlt a S2 — из зеркала с R2; Si + S2 = S;
Можно показать *), что
B.2.8)
Резонансные частоты. Оптический резонатор выделяет в
пределах ширины линии усиления набор резонансных длин
волн %q (резонансных частот <oq). Полагая приближенно,
что поле внутри резонатора описывается набором плоских
волн, распространяющихся вдоль оси резонатора, запишем
условие резонанса в виде
L = q\/2. B.2.9)
Здесь q — положительные числа (q > 1); L — длина резо-
резонатора. Условие B.2.9) означает, что на длине резонатора
должно укладываться целое число полуволн. Это условие
означает также, что сдвиг фазы (или, иными словами, на-
набег фазы) волны, совершившей двойной проход по резонато-
резонатору (от одного зеркала к другому и обратно), кратен 2я.
В самом деле, набег фазы для плоской волны, прошедшей
расстояние г, равен 2nz/%. На расстоянии 2L этот набег со-
составит 4nWk. Полагая, что указанный набег фазы кратен
2я, т. е. inWK — 2nq, приходим к B.2.9).
Учитывая, что»длина волны излучения связана с часто-
частотой соотношением
Я — 2nv/a = 2пс/п(о, B.2.10)
где п — показатель преломления среды, заполняющей ре-
резонатор, перепишем B.2.9) в виде
L = qnc/nag. B.2.9а)
Таким образом, резонансные частоты оптического резона-
резонатора описываются выражением
\(uQ=qnc/Ln\. B.2.11)
*) См., например, [3].
4*

ioo
Гл. 2. Формирование поля излучения в резойатор'е
Рис.
Заметим, что выражение B.2.11)
является приближенным. Оно
предполагает, что, во-первых, по-
поле в резонаторе описывается плос-
плоскими волнами и, во-вторых, дис-
дисперсия показателя преломления
несущественна. В дальнейшем оба
эти упрощающие предположения
будут сняты.
Согласно B.2.11) спектр резо-
резонансных частот эквидистантен:
разность между соседними часто-
частотами постоянна. Она равна
Дсо' = nc/Ln. B.2.12)
Поделив ширину линии усиления Дсо на Дсо', находим пол-
полное число резонансных частот в спектре генерации лазера
М = Дсо/Дсо' — AcoLn/nc. B.2.13)
Число М растет с увеличением оптической длины резона-
резонатора Ln и с увеличением ширины линии усиления Дсо.
Последняя тем больше, чем шире линия люминесценции ак-
активных центров и чем ниже уровень потерь в резонаторе.
Выделяя набор резонансных частот, резонатор преобра-
преобразует линию усиления, изображенную на рис. 2.4, в совокуп-
совокупность узких линий — так называемых спектральных линий
резонатора (рис. 2.6). Максимумы этих линий соответствуют
резонансным частотам, а ширина линии определяется по-
потерями в резонаторе. Обозначим ширину спектральной ли-
линии резонатора как Дсог. Отношение
Q = соо/Дсо,. B.2.14)
называют добротностью резонатора*^. Чем меньше потери
в резонаторе, тем выше его добротность (тем меньше Дсог).
Для разрешения узких линий в спектре генерации необ-
необходимо, чтобы выполнялось условие Дсог < Дсо'. Исполь-
Используя B.2.12) и B.2.14), преобразуем это условие к виду
Q > cooLn/лс.
B.2.15)
*) Добротность оптического резонатора будет подробно об-
обсуждаться в § 2.3.

2.2. Оптический резонатор й лазерное излучение 101
Положим соо/я « 1016 с, Ln « 10 см. Тогда из B.2.15)
следует, что Q > 10е. Реализуемые на практике значения
добротности лазерных резонаторов обычно удовлетворяют
условию B.2.15).
В реальных условиях проявляются дополнительные факторы,
влияющие на разрешение узких спектральных линий. Один из та-
таких факторов связан с неоднородностью показателя преломления
твердотельных активных сред. Используя B.2.11), нетрудно по-
показать, что флуктуация 6и показателя преломления вызывает флук-
флуктуацию резонансной частоты 6со ж со bnln. Для разрешения узких
линий в спектре частот необходимо, чтобы бсо < Дсо'; следователь-
следовательно, наряду с условием B.2.15) должно выполняться условие Ьп/п <
< яс/aiLn. Отсюда следует, что бп/п < 10-". Это неравенство
не всегда выполняется в твердотельных лазерах.
Моды (типы колебаний) оптического резонатора. Как бы
ло показано выше, резонатор лазера существенным обра-
образом влияет на мощность лазерного излучения, а также на
его спектральные характеристики. В действительности
влияние резонатора на свойства лазерного излучения явля-
является еще более значительным и принципиальным. Дело в
том, что резонатор формирует определенные состояния по-
поля излучения; их называют модами или типами колеба-
колебаний резонатора.
Отдельная мода обозначается так: TEMmngt где т и
п — поперечные индексы моды, a q — продольный индекс*).
Каждая мода характеризуется определенной пространст-
пространственной структурой поля (определенным распределением ам-
амплитуды и фазы) в поперечном к оси резонатора направле-
направлении, в частности на поверхности зеркал резонатора. Спе-
Специфику этой структуры фиксируют поперечные индексы
моды тип. Кроме того каждая мода характеризуется оп-
определенным сдвигом фазы за двойной проход резонатора,
рассматриваемым на оси резонатора. Этот фазовый сдвиг
равен 2 щ, где q — продольный индекс моды.
Заметим, что указание иа необходимость рассмотрения сдвига
фазы именно на оси резонатора связано с тем обстоятельством, что
мода не является, строго говоря, плоской волной. Ясно, что для
плоской волны такое указание было бы лишним: в случае плоского
*) Обозначение ТЕМ соответствует словосочетанию transverse
electromagnetic, которое переводится как поперечный электромаг-
электромагнитный (в оптическом резонаторе электромагнитные колебания
можио_рассматривать как поперечные).

102
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
ОФФ
ТЕМ00 ТЕМ„. ТЕМ„
ТЕМ,0 TEMU . ТЕМ12
ТЕМ]2
Рис. 2.7
волнового фронта безразлично расстояние от той или иной точки
фронта до оси резонатора.
Конкретному сочетанию индексов иип, отражающему
конкретную поперечную структуру поля в резонаторе, со-
соответствует ряд мод с разными значениями индекса q; это
продольные моды (их называют также аксиальными модами).
В спектре генерации каждой их них отвечает узкая линия.
Совокупность продольных мод с данным сочетанием индек-
индексов т и п объединяют под названием поперечной моды. По-
Поперечная мода характеризуется, очевидно, только попереч-
поперечными индексами (она обозначается TEMmn).
Каждый тип поперечной моды имеет определенную струк-
структуру светового пятна на зеркале резонатора. На рис. 2.7,а
показана структура наблюдаемого на круглом зеркале све-
светового пятна для нескольких наиболее простых (низших)
поперечных мод. Соответствующий этим модам характер
изменения знака амплитуды поля на поверхности зеркала
показан на рис. 2.7, б. Из рисунка видно, что индекс т
показывает, сколько раз амплитуда поля меняет знак в ра-
радиальном направлении, an — сколько раз она меняет знак
при повороте вокруг центра зеркала на 180°.
Поперечную моду ТЕМ00 называют основной модой. Для
нее характерна наиболее простая структура светового пят-
пятна. Из рис. 2.7, а видно, что чем меньше значения попереч-
поперечных индексов, тем сильнее сконцентрировано поле моды
вблизи центра зеркала.
Наблюдаемая в реальных условиях структура светового
пятна часто представляет собой суперпозицию нескольких
поперечных мод (многомодовый режим генерации). Спектр

2.2. Оптический резонатор и лазерное излучение 103
генерируемого излучения содержит обычно несколько уз-
узких линий (многочастотный режим генерации)*).
Роль оптического резонатора в лазере. «Основная функ-
функция оптического резонатора состоит в том, чтобы придать
световым волнам, излучаемым лазером, определенную фор-
форму, определенную модовую структурр ([4], с. 112). Модовая
структура поля излучения лазера формируется в резона-
резонаторе в процессе последовательных отражений излучения
от зеркал резонатора. В одних резонаторах структура поля
формируется за большое число проходов от зеркала к зер-
зеркалу (многопроходные резонаторы); в других резонаторах
процесс формирования поля излучения происходит всего
лишь за несколько проходов**5.
При рассмотрении роли резонатора в лазере удобно ис-
использовать фотонные представления, поскольку они на-
наилучшим образом учитывают специфику процесса генера-
генерации излучения в оптическом диапазоне, а именно тот факт,
что оптическое излучение рождается в результате много-
многочисленных актов высвечивания атомов или молекул, совер-
совершающих квантовые переходы из одних состояний в другие.
В определенном смысле уже отдельный высвечивающийся
атом (молекула) может быть сопоставлен с неким «резона-
«резонатором», с некой колебательной системой. Как писал акаде-
академик Л. И. Мандельштам, «мы представляем себе, что в
каждой молекуле газа находится оптический резонатор с
определенной частотой; свечение газа объясняется тем, что
резонаторы колеблются с одинаковой частотой и газ испус-
испускает свет этой частоты» ([5], с. 257).
Очевидно, что для получения когерентного света необ-
необходимо, чтобы акты высвечивания многочисленных моле-
молекул-резонаторов были взаимно скоррелированы (согласо-
(согласованы), причем не только по частоте излучения, но также
по направлению его распространения и по поляризации.
Иными словами, необходимо, чтобы осуществлялся прин-
принцип самоуправления (саморегулирования), или, как это
принято говорить в радиофизике, принцип положительной
•) Модовые картины от твердотельных лазеров могут быть ис-
искажены из-за неоднородностеи показателя преломления твердотель-
твердотельной активной среды.
**) При достаточно высоком коэффициенте усиления возможно
снятие инверсии активной среды за один проход. Такие лазеры мо-
могут работать без зеркал — в режиме сверхсветимостц.

104 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
обратной связи. Возможность такой корреляции (возмож-
(возможность реализации положительной обратной связи) зало-
заложена в самой природе индуцированного испускания: вто-
вторичный фотон рождается в том же самом состоянии, в ка-
каком находится первичный, инициировавший рождение вто-
вторичного фотона. Для осуществления указанной возможно-
возможности на практике необходимо обеспечить избирательность
заселения фотонных состояний*) в ходе индуцированных
переходов; иначе говоря, надо каким-то образом выделить
на практике определенные фотонные состояния, в которых
будут накапливаться фотоны, тогда как фотоны, спонтан-
спонтанно родившиеся во всех прочих состояниях, должны доста-
достаточно быстро «выводиться из игры».
Избирательность заселения фотонных состояний и обес-
обеспечивает в лазере оптический резонатор. «Возможность по-
положительной обратной связи, содержащаяся в явлении вы-
вынужденного излучения, осуществляется в квантовом гене-
генераторе с помощью резонатора» ([6], с. 315). Прежде всего
резонатор выделяет в пространстве определенное направ-
направление, в котором преимущественно происходит генерация.
Кроме того, резонатор осуществляет селекцию по частоте
и поляризации излучения. Часто используемые в резона-
резонаторах плоскопараллельные пластинки, ориентированные
под углом Брюстера к оси резонатора, как раз и обеспечи-
обеспечивают избирательность по поляризации генерируемых фото-
фотонов. Можно сказать, что выделение определенных фотон-
фотонных состояний, в которых и осуществляется преимуществен-
преимущественно генерация излучения, — принципиальная функция оп-
оптического резонатора. Чем жестче обеспечивает резонатор
избирательность заселения фотонных состояний, тем выше
когерентные свойства лазерного излучения (выше направ-
направленность, монохроматичность, степень поляризации).
Рассматривая вопрос о том, каким образом резонатор
обеспечивает избирательность заселения фотонных состоя-
состояний, подчеркнем, что это достигается за счет избирательно-
избирательности потерь для разных состояний. Для выделенных состоя-
состояний эти потери должны быть малы, тогда как для прочих
состояний они должны быть, напротив, велики. В соответ-
*) Фотонное состояние характеризуется определенной энер-
энергией, определенным импульсом и определенной поляризацией фо-
Т№3

2.2. Оптический резонатор и лазерное излучение 105
ствии с условием B.1.10) генерация реализуется лишь в тех
состояниях, для которых потери относительно низки.
Фотонные представления, несмотря на некоторую схе-
схематичность, позволяют хорошо оттенить с физической точки
зрения принципиальную функцию оптического резонатора.
Можно сказать, что, обеспечивая избирательность заселе-
заселения фотонных состояний, резонатор в конечном счете и фор-
формирует световой пучок с соответствующими когерентными
свойствами. При этом формируются энергетические, спект-
спектральные, пространственные и прочие свойства излучения,
генерируемого данным лазером.
В заключение остановимся на одном достаточно тонком вопросе.
Наиболее «бросающаяся в глаза» функция резонатора состоит в
возвращении при помощн зеркал части излучения в активную среду;
Разумеется, при этом происходит более эффективный съем инвер-
сиш Однако насколько это принципиально? Может лн резонатор
осуществлять избирательность заселения фотонных состояний, а в
конечном счете формирование поля излучения, не возвращая часть
излучения в активную среду?
На этот вопрос нельзя, по-видимому, дать категоричный ответ.
Лазеры без зеркал, как известно, существуют. Избирательность по
направлениям импульса фотонов осуществляется в таких лазерах за
счет выбора соответствующей геометрии активного элемента. Из-
Известно также, что существует практически полная аналогия между
структурой поперечных мод резонатора с зеркалами (где проис-
происходит возвращение излучения) и линзового волновода (где излуче-
излучение распространяется в одном направлении) [7]. В то же время из-
известно, что степень избирательности заселения фотонных состоя-
состояний (а следовательно, степень когерентности излучения), реализуе-
реализуемая в беззеркальных лазерах, как правило, заметно ниже по срав-
сравнению с лазерами, имеющими зеркала. Что же касается аналогии
между резонаторами с зеркалами и линзовым волноводом, то она на-
нарушается, когда речь заходит не о пространственных, а о спектраль-
спектральных характеристиках излучения: линзовый волновод не имеет ре-
резонансных частот.
Надо подчеркнуть, что поставленный выше вопрос должен рас-
рассматриваться с учетом усиливающих свойств активной среды. На-
Напомним, что оптимальное значение коэффициента отражения вы-
выходного зеркала резонатора зависит от величины начального коэф-
коэффициента усиления. Чем больше х0, тем меньше ROut и тем, следо-
следовательно, менее существенны отражательные свойства зеркала. На-
Напротив, при малых х0, когда i?OnT приближается к 100%, роль зер-
зеркала становится существенной.
Можно сказать, что наличие отражающих зеркал не является
необходимым при достаточно высоких значениях коэффициента
усиления активной среды. Именно поэтому могут работать в ре-
режиме сверхсветимости (т. е. без зеркал) лазеры на самоограничен-
самоограниченных переходах, в частности лазер на парах меди (см., например,
[8] гл,8.)., а«акже водородный и азотный лазеры, генерирующие в

106 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
УФ области спектра (см. [8] гл.9). Эти лазеры характеризуются весь-
весьма высокими коэффициентами усиления.
Указанное обстоятельство играет принципиальную роль в ре-
решении проблемы создания лазеров рентгеновского .и гамма-диапа-
гамма-диапазона, где отражающие зеркала попросту неизвестны. Приведем в
этой связи высказывание доктора физико-математических наук Иль-
Ильинского Ю. А. (из статьи «Проблема гамма-лазера», опубликован-
опубликованной в ж-ле «Природа», 1978, № 9, с. 49—53): «В ранних работах по
гаммалазеру большое внимание уделяли резонатору, который усили-
усиливает интенсивность лазерного излучения в результате того, что, от-
отражаясь от зеркала, оно многократно проходит через активное вещест
во. Создание зеркал для жесткого гамма-излучения — это самостоя-
самостоятельная задача, подход к решению которой пока еще не найден.
В 70-х годах стало ясно, что это ие главная проблема, потому что к
тому времени уже работали ультрафиолетовые лазеры без зеркал.
Такие лазеры дают направленное и монохроматическое излучение
прн условии, что усиление в активном веществе достаточно велико.
В этом случае активное тело лазера выполняется в виде стержня, дли-
длина которого обеспечивает требуемое усиление излучения при его
однократном прохождении в лазере».
Что же касается лазеров, характеризующихся относительно
невысокими значениями коэффициента усиления, то в них структура
поля излучения формируется из шума за большое число проходов из-
излучения по резонатору. В этом случае наличие отражающих зеркал
приобретает, по-видимому, принципиальный характер.
Пассивные и активные резонаторы. Если внутри резона-
резонатора нет усиливающей активной среды, то такой резонатор
называют пассивным. При наличии усиления говорят об
активном резонаторе.
Лазерный резонатор — это активный резонатор. Однако
при изучении процесса формирования поля излучения в ла-
лазерных резонаторах сначала рассматривают пассивные ре-
резонаторы. Большинство расчетных работ посвящено
именно пассивным резонаторам. Это объясняется не только
тем, что исследование активных резонаторов встречает серь-
серьезные трудности. Дело в том, что пассивный резонатор
позволяет получить в первом приближении вполне реали-
реалистическую картину процессов формирования светового поля
в лазерном резонаторе.
На основе рассмотрения пассивных резонаторов можно
исследовать затухание различных мод, выявить слабозату-
слабозатухающие моды, характеризующиеся наименьшими потерями
(высокодобротные моды), определить структуру поля этих
мод; кроме того, можно оценить влияние апертурных эф-
эффектов и линзовых систем. При наличии усиливающей ак-
активной среды именно высокодобротные моды усиливаются

2.2. Оптический резонатор и лазерное излучение 107
в первую очередь, поэтому полученные для пассивных ре-
резонаторов результаты оказываются применимыми к лазе-
лазерам вблизи порога генерации. Известно, что активный ре-
резонатор при низких значениях коэффициента усиления ха-
характеризуется практически такими же, что и соответствую-
соответствующий пассивный резонатор, распределениями амплитуды и
фазы поля на поверхности зеркал, а также потерями, свя-
связанными с дифракционными эффектами.
Заметим также, что для пассивных резонаторов развиты
достаточно сильные методы расчета. Эти методы могут быть
использованы для решения целого ряда задач, относящихся
к активным резонаторам.
Вместе с тем нельзя забывать, что наличие усиливаю-
усиливающей активной среды вносит определенную специфику в
процесс формирования поля в резонаторе (см., например,
[9]). Прежде всего следует отметить конкуренцию мод,
приводящую к перераспределению генерируемой мощности
из одних мод в другие. Это перераспределение может про-
происходить как по шкале частот (между продольными модами)
так и в пространстве (между поперечными модами). Актив-
Активная среда обусловливает конкуренцию мод благодаря не-
нелинейно-оптическому эффекту насыщения усиления. На-
Насыщение усиления на определенных частотах может при-
приводить к появлению «провалов» в профиле линии усиления
(эффект «выгорания дыр»). Насыщение усиления может при-
приводить также к тому, что более добротными становятся не
низшие, а высшие поперечные моды (моды с относительно
большими значениями поперечных индексов). Остановимся
на этом подробнее.
В пассивном резонаторе наименьшими потерями харак-
характеризуются, как правило, низшие поперечные моды и преж-
прежде всего основная мода ТЕМ00. Именно эти моды будут в
первую очередь возбуждаться при наличии усиления.
Интенсивность поля в них будет возрастать и может до-
достичь насыщения. Это означает, что коэффициент усиления
в той области активной среды, которая эффективно охваты-
охватывается низшими модами (т. е. вблизи оси резонатора), ста-
становится минимальным *>. В результате плотность инверс-
инверсной заселенности вблизи оси резонатора может оказаться
*) В соответствии с B.1.1) имеем итщ = Х(/[1 + (a/fl) SHacl.
где SHac — плотность потока при насыщении.

108 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.8
а) б)
ниже, чем в периферийной области. В этом случае начнут
возбуждаться поперечные моды высших порядков, зани-
занимающие большие объемы в активной среде (охватываю-
(охватывающие, в частности, периферийные области). Перераспреде-
Перераспределение мощности из низших мод в высшие может привести к
существенному изменению пространственной структуры
поля в резонаторе.
Наряду с эффектом насыщения усиления следует учи-
учитывать и другие факторы, влияющие на формирование поля
излучения в активном резонаторе. Так, например, диспер-
дисперсия показателя преломления активной среды может при-
приводить к так называемому эффекту затягивания частот
[10], проявляющемуся в нарушении эквидистантности спект-
спектра резонансных частот: резонансные частоты более плотно
группируются вблизи центра линии усиления. Нагревание
активной среды при поглощении излучения накачки при-
приводит к изменению ее показателя преломления. В резуль-
результате возникает так называемый эффект тепловой линзы:
активный элемент действует на излучение внутри резона-
резонатора подобно собирающей либо рассеивающей линзе (см.,
например, [11]).
В резонаторе, заполненном твердотельной (кристалли-
(кристаллической, стеклянной) активной средой, могут возбуждаться
дополнительные моды, появление которых связано с явле-
явлением полного внутреннего отражения от боковой поверхно-
поверхности активного элемента. Введя угол 0 между направлением
распространения моды и оптической осью резонатора, ра-
разобьем эти моды на две группы. Моды, для которых 6 =
= я/?, циркулируют в поперечном сечении активного эле-
элемента (кольцевые моды) — см. рис. 2.8, а. Моды, для кото-
которых 6=/:я/2, перемещаются в направлении оптической оси—
см. рис. 2.8, б. Моды первой группы являются паразит-
паразитными. Моды второй группы могут быть использованы для
создания волноводных резонаторов [12]. Рассмотрение допол-
дополнительных мод, реализующихся в заполненных резонато-
резонаторах, проводится, в частности, в [3,13].

2.3. Общие замечания об открытых резонаторах 109
Обычно на практике активный резонатор содержит некоторый
набор элементов (включая активный элемент), разделенных воздуш-
воздушными промежутками. Следовательно, при рассмотрении такого ре-
резонатора надо учитывать наличие целого набора отражающих по-
поверхностей, куда входят наряду с зеркалами резонатора торцевые
поверхности элементов, находящихся в резонаторе (в том числе тор-
торцевые поверхности активного элемента). В этом случае резонатор
уподобляется нескольким взаимно связанным резонаторам. Интер-
Интерференционные эффекты, возникающие в системе связанных резона-
резонаторов, могут существенно повлиять на спектр резонансных частот.
В данной главе основное внимание будет уделено пас-
пассивным резонаторам. Отдельно будут рассмотрены вопросы
влияния активной среды на спектр генерации (эффекты
«выгорания дыр» и затягивания частот) и на пространствен-
пространственную структуру поля излучения (эффект тепловой линзы),
а также волноводные резонаторы и тонкопленочные лазе-
лазеры. Подчеркнем, что вопросы формирования поля в актив-
активных резонаторах органически связаны с динамикой про-
процессов в генерирующих лазерах. Это — большой и принци-
принципиально важный круг вопросов. Он будет рассматриваться
в третьей главе книги.
2.3. Общие замечания об открытых резонаторах
Резонаторы, используемые в лазерах, относятся к так
называемым открытым резонаторам *>. Они имеют ряд су-
существенных отличий от применяемых в СВЧ диапазоне
объемных резонаторов.
Теория открытых резонаторов систематизирована в
[4,9, 13—15]; см. также [3,7, 16, 17] и [2] гл. 22 и 23.
Невозможность использования объемных резонаторов
в оптическом диапазоне. Рассмотрим прямоугольный объ-
объемный резонатор с проводящими стенками, схематически
показанный на рис. 2.9, a; L и D — линейные размеры резо-
резонатора. Моды в резонаторе упрощенно представим в виде
плоских волн, удовлетворяющих определенным граничным
условиям на стенках полости. Используя граничные усло-
условия для стоячей волны, находим, что составляющие волно-
•вого вектора моды имеют вид
кх = итЮ; ky = nn/D; кг = nqlL, B.3.1)
*) Особое место занимают волноводные резонаторы и пленочные
лазеры с распределенной обратной связью (см. § 2.14 и 2.15).

по
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
^ D
Рис. 2.9
где т, п, q — целые числа (индексы моды). Соотношения
B.3.1) позволяют найти выражение для резонансных длин
()
волн Л
•mnq-
2L
B.3.2)
Мода с индексами 0, п, q распространяется в плоскости
уг (для нее кх — 0) под углом 9 к оси резонатора, опреде-
определяемым числами п и q (рис. 2.9, б). Согласно B.3.1)
k sin 6 = nnlD и k cos 9 = nq/L; следовательно,
sin 9 = nK/2D; cos 6 = ql/2L. B.3.3)
Далее напомним, что число плоских волн в объеме V
резонатора, приходящееся на интервал частот от ш до
а + До, пропорционально ш2:
М ~ КоJАо). B.3.4)
Напомним также, что определяемая джоулевыми потерями
в проводящих стенках добротность резонатора пропорцио-
пропорциональна \^(а:
Q~V^~. B.3.5)
Приведенных сведений вполне достаточно, чтобы проде-
продемонстрировать практическую невозможность использова-
использования объемных резонаторов при высоких частотах излучения.
С ростом частоты происходит сгущение (уплотнение) спект-
спектра резонансных частот: расстояние между центрами спект-
спектральных линий резонатора, т. е. отношение Аш/М, умень-
уменьшается с частотой (согласно B.3.4) Д<оШ ~ 1/а>2). В то

2.3. Общие замечания об открытых резонаторах 111
же время увеличение частоты приводит к уширению спект-
спектральных линий: отношение w/Q, определяющее ширину
спектральной линии, растет с частотой (согласно B.3.5)
(o/Q ~ У^а). Ясно, что при достаточно высоких частотах
спектральные линии объемного резонатора должны пол-
полностью перекрываться; в результате резонатор утратит свои
резонансные свойства.
Чтобы обеспечить возбуждение лишь относительно не-
небольшого числа низших мод, надо согласно B.3.2) исполь-
использовать объемные резонаторы, линейные размеры которых
имеют порядок длины волны излучения. Заметим, что если
объем резонатора V « К3 « 1/ш3, то число возбуждаемых в
нем плоских волн с ростом частоты будет не увеличивать-
увеличиваться, а уменьшаться: М ~ КоJАо) ~ Аш/ш. Однако в таком
случае при переходе в оптический диапазон пришлось бы
использовать объемные резонаторы объемом порядка всего
лишь 1 мкм3. Не говоря о технических трудностях изготов-
изготовления подобных резонаторов, отметим, что столь сильное
уменьшение объема резонатора, а следовательно и объема
активной среды, недопустимо с точки зрения величины мощ-
мощности выходного излучения. Выход из положения был най-
найден в 1958 г., когда была выдвинута идея применения в оп-
оптическом диапазоне не объемных, а открытых резонаторов*).
Открытый резонатор. Конструктивно открытый резона-
резонатор отличается от объемного тем, что, во-первых, убраны бо-
боковые проводящие стенки, сохранены торцевые отражатели,
фиксирующие в пространстве ось резонатора, и, во-вторых,
линейные размеры резонатора выбраны большими по срав-
сравнению с длиной волны излучения.
Поскольку убраны боковые стенки, то в резонаторе мо-
могут возбуждаться лишь моды, распространяющиеся вдоль
оси резонатора или достаточно мало отклоняющиеся от нее
(рис. 2.9, в). Иначе говоря, для мод открытого резонатора
имеем sin 0 <С 1. Принимая во внимание B.3.3), заключаем,
что
п%Ю < 1; qklL « 1. B.3.6)
Так как К <С D и Л, <С L, то согласно B.3.6) в открытом ре-
резонаторе будут возбуждаться лишь те моды, для которых
т, п ^ 1; q > 1. B.3.7)
*) Авторами этой плодотворной идеи являются А. М. Прохоров
[18] и (незавиосим) Р. Дикке [19], А Шавлов и Ч. Таунс [20].

112 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Результат B.3.7) означает, что при переходе от объемного
резонатора к открытому наблюдается разрежение числа воз-
возбуждаемых мод — остаются лишь распространяющиеся
вдоль оси резонатора моды с /п, п, ^ 1; q > 1. Трехмер-
Трехмерная ситуация заменяется теперь фактически одномерной.
В связи с этим уместно напомнить, что если в трехмерном
случае М ~ со2Дсо, то в двумерном М ~ соДсо, а в одномер-
одномерном М ~ Дсо. Таким образом, в открытом резонаторе,
реализующем по сути дела одномерную ситуацию, число
резонансных частот не зависит от частоты. Напомним в
этой связи результат B.2.13): М = Aa>Ln/nc.
Итак, в отличие от объемного резонатора в открытом ре-
резонаторе спектр резонансных частот с ростом частоты не
сгущается, а, напротив, благодаря сохранению лишь отно-
относительно небольшого числа мод в существенной мере разре-
разрежается.
Отметим еще одно важное отличие открытого резонато-
резонатора от объемного. Дело в том, что сохранение только торце-
торцевых отражающих стенок в сочетании с малостью длины
волны, обусловливающей уменьшение дифракционных
эффектов, приводит к существенному различию потерь-для
разных мод. Это обстоятельство позволяет, во-перзых,
осуществлять дополнительное разрежение (селекцию) мод
вплоть до получения одномодового режима, а во-вторых,
обеспечить весьма высокую добротность для некоторых мод
или даже для одной моды.
Добротность резонатора. Обозначим через U @) энер-
энергию поля излучения в пассивном резонаторе в момент t =0.
Поскольку резонатор пассивный, то эта энергия будет со
временем уменьшаться (затухать) вследствие различного
рода потерь. Будем полагать, что процесс затухания энер-
энергии непрерывен и что уменьшение энергии — dU за про-
промежуток времени от t до t + dt пропорционально энергии
U (t) и длительности промежутка dt. Таким образом,
— dU = (l/x)U dt. B.3.8)
Отсюда следует, что энергия поля в пассивном резонаторе
должна затухать со временем по экспоненциальному зако-
закону:
U (t) = 1/@) ехр (-//т). B.3.9)

2.3. Общие замечания об открытых резонаторах 113
Параметр 1/т характеризует скорость затухания энергии
поля в резонаторе; он может рассматриваться в качестве ши-
ширины спектральной линии резонатора Дсог A/т = Дсог).
Добротность резонатора Q обратно пропорциональна ско-
скорости уменьшения энергии поля в резонаторе:
q s= их = со/Дсйг B.3.10)
(напомним в связи с этим соотношение B.2.14)). Исполь-
Используя B.3.10), перепишем B.3.8) в виде
— dUldt = i/co/Q B.3.11)
или
B.3.12)
Таким образом, добротность пассивного резонатора может
быть определена как помноженное на частоту излучения от-
отношение энергии, запасенной в резонаторе, к энергии, те-
теряемой резонатором в единицу времени. Соотношение
B.3 12) хорошо отражает связь между добротностью резо-
резонатора и присущими ему потерями.
Цотери, характерные для открытого резонатора, разде-
разделим на три группы: потери, обусловленные пропусканием
выходного зеркала резонатора; дифракционные потери,
обусловленные тем, что апертуры зеркал и всех элементов
внутри резонатора имеют конечные размеры; потери, свя-
связанные с частичным поглощением излучения внутри резо-
резонатора, в его зеркалах, а также с рассеянием излучения
через боковую поверхность активного элемента. В §2.1 и
2.2 использовалось разделение потерь на полезные и вред-
вредные. Очевидно, что указанные выше потери первой груп-
группы относятся к полезным потерям (соотношение B.1.8)
для коэффициента полезных потерь описывает потери, свя-
связанные с пропусканием зеркал резонатора). Потери третьей
группы являются, очевидно, вредными потерями. Что же
касается дифракционных потерь, то они могут выступать
в одних случаях в роли вредных, а в других случаях — в ро-
роли полезных потерь.
Забегая вперед, заметим, что в так называемых неустойчивых
резонаторах диффракционные потери обусловливают вывод лазер-
лазерного излучения из резонатора и поэтому должны рассматриваться
как полезные потери. В случае же устойчивых резонаторов дифрак-
дифракционные потери играют, как правило, роль вредных потерь. Однако

114 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
и в этом случае возможны ситуации, когда дифракционные потери
следует отнести, по крайней мере частично, к полезным потерям (на-
(например в резонаторах, где в качестве выходного зеркала использу-
используется отражающее зеркало с отверстием в центре).
Обозначим через г\ линейный коэффициент потерь, не
уточняя природу этих потерь. Найдем связь между коэф-
коэффициентом потерь г\ и добротностью резонатора. Для этого
будем рассматривать зависимость энергии поля U не от
времени, а от продольной пространственной координаты
z, как если бы изучался процесс затухания светового пото-
потока, распространяющегося в поглощающей среде:
U (z) = U @) ехр (— Tjz). B.3.13)
Длина 1/т] есть длина, на которой величина U уменьшает-
уменьшается в е раз. Ей соответствует время затухания
_ т = 1/tjo = п/к\с, B.3.14)
где п — показатель преломления среды, заполняющей ре-
резонатор. Подставляя B.3.14) в B.3.10), получаем
Q = соп/т]с *= 2л/г\к. B.3.15)
Обозначим через Qt добротность резонатора, связанную
с потерями t-ro вида, а через Q — результирующую доб-
добротность. Если разные виды потерь можно рассматривать
независимо друг от друга, то
С учетом B.3.11) получаем отсюда
l/Q = Sl/Qf B.3.16)
Результат B.3.15) согласуется с правилом B.3.16):
4 y4ly
Q 2л 2л -? ЛЛ 2л f Qi
Добротность резонатора, обусловленная пропусканием
выходного зеркала. Процесс затухания энергии поля в ре-
резонаторе вследствие пропускания выходного зеркала удоб-
удобно рассматривать, наблюдая за распространением излуче-
излучения внутри резонатора от одного зеркала к другому. Будем
полагать, что выходным является лишь одно зеркало резо-

2.3. Общие замечания об открытых резонаторах
115
U
U(z){\-R)
1/@)'
Рис 2.10
натора (коэффициент отражения R), тогда как другое пол-
полностью отражает излучение. Если излучение прошло внутри
резонатора длиной L путь длиной Аг, то это означает, что
оно Az/2L раз отразилось от выходного зеркала. При каж-
каждом таком отражении резонатор теряет долю энергии, рав-
равную 1—R. Следовательно, пройдя путь Аг, излучение по-
потеряет энергию
—AU = (UAZ/2L) A — Я). B.3.17)
Характер зависимости U от г показан на рис. 2.10, а. Эта
зависимость имеет ступенчатый характер; высота отдель-
отдельной «ступеньки» равна U (г) A — R). Для сравнения на
рис. 2.10, б приведена непрерывная кривая U (г), отвечаю-
отвечающая соотношению B.3.13). Для того чтобы можно было при-
приближенно воспользоваться соотношением B.3.13) в рассмат-
рассматриваемом на рис. 2.10, а случае, необходимо предположить
малость разности 1 — R, определяющей высоту «ступень-
«ступеньки». Это означает, что выходное зеркало должно иметь ко-
коэффициент отражения, достаточно близкий к единице.
Представим
Я = 1—Е. где?«1. B.3.18)
В этом случае можно перейти от B.3.17) к соотношению типа
B.3.13), которое будет иметь вид
U(z)^U @) ехр [— A — R) z/2L]. B.3.19)
Отсюда следует, что коэффициент полезных потерь, обус-
обусловленный пропусканием выходного зеркала резонатора,
может быть описан выражением
Я = A — RV2L. B.3.20)

116 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Подставляя B.3.20) в B.3.15), получаем
Q = 2ыЫс A — R) =» inL/X (I — Я). B.3.21)
Ранее приводилось выражение B.1.8) для коэффициента
полезных потерь. С учетом того, что резонатор имеет лишь
одно выходное зеркало, перепишем это выражение в виде
Ч = A/21) In A//?). * B.3.22)
Используя B.3.18), представим
1п A/1?) = In [1/A — ?)] да In A + Е) » Б = 1 — Я-
В результате выражение B.3.22) превращается в получен-
полученное выше выражение B.3.20).
Добротность и моды открытого резонатора. До сих пор
добротность резонатора рассматривалась без учета модо-
вой структуры излучения. Однако, как уже отмечалось,
потери в открытом резонаторе могут сильно изменяться от
одной моды к другой. Поэтому надо рассматривать, строго
говоря, добротность не резонатора вообще, а добротность
данной моды в данном резонаторе. Подчеркнем, что именно
различие потерь для разных мод лежит в основе процесса
формирования поля лазерного излучения; это обстоятель-
обстоятельство отмечалось в § 2.2 при обсуждении роли резонатора в
лазере.
Возбудим в пассивном резонаторе каким-либо образом
различные моды и будем наблюдать за процессом их посте-
постепенного затухания со временем. Различие потерь для раз-"
ных мод приведет к тому, что разные моды будут затухать
с разной скоростью, в результате чего модовая структура
поля будет со временем изменяться. В этой структуре все
сильнее будут преобладать моды, характеризующиеся на-
наименьшими потерями. Таким образом, резонатор уподоб-
уподобляется своеобразному «фильтру», выделяющему из про-
произвольного поля излучения компоненты, соответствующие
модам с наиболее низкими потерями. При наличии усили-
усиливающей активной среды высокодобротные моды пассивного
резонатора будут характеризоваться, очевидно, наиболь-
наибольшей разностью (х0 — ц); именно поэтому они и будут уси-
усиливаться в первую очередь.
Дифракционные потери. Число Френеля. Дифракцион-
Дифракционные потери обусловлены конечной величиной апертуры
зеркал резонатора. Они существенно зависят от величины

2.3. Общие замечания об открытых резонаторах 117
апертуры, формы и степени
юстировки зеркал, геометрии
резонатора, определяемой, в
частности, его длиной и ради-
радиусами кривизны используе-
используемых зеркал. Дифракционные
потери весьма чувствительны
к поперечной структуре поля
излучения; они быстро воз-
возрастают с увеличением попе-
поперечных модовых индексов т
и п. Ясно, что учет дифрак-\
ционных потерь — принци- \
пиально важная и в то же вре-^J1
мя очень сложная проблема.
Начнем с простейшего-под-
простейшего-подхода к этой проблеме. Пред-
Предварительно обратимся к из-
известной задаче о дифракции
Фраунгофера на круглом от-
отверстии (см., например, [21).
На круглое отверстие радиу-
радиуса а нормально падает плос-
плоская световая волна (рис.
2.11, а). Картина дифракции
в дальней зоне (при г > а)
будет характеризоваться ря-
рядом дифракционных колец;
угловой радиус первого (ос-
(ос)
Рис. 2.11
Рис. 2.12
"kla.
еслк
у ру р (
новного) кольца определяется углом дифракции 0
Аналогичная дифракционная картина возникает,
вместо отверстия радиуса а использовать плоское отра-
отражающее зеркало радиуса а и рассматривать дифракцию
не в прошедшем, а в отраженном свете (рис. 2.11, б).
Рассмотрим резонатор длиной L, образованный двумя
идеально отъюстированными плоскими отражающими зер-
зеркалами круглой формы с радиусом апертуры а (рис. 2.12,
а). Световая волна, отраженная от зеркала 1, дифрагирует
в угол 0 «Я/а. Чем меньше этот угол по сравнению с уг-
углом а = a!L, под которым видно зеркало 2 из центра зерка-
зеркала /i, тем эффективнее «перехватьшает» зеркало 2 излуче-
излучение, распространяющееся от зеркала /, и тем, следователь-

118 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
но, меньше будут потери излучения за счет дифракции.
Таким образом, для уменьшения дифракционных потерь
необходимо выполнение условия
%/а С alL .
Запишем это условие в виде
|о»/ГЛ»1|- B.3.23)
Величину
N = аУЬХ B.3.24)
называют числом Френеля. Чтобы выяснить физическую
сущность этого важного параметра резонатора, произведем
разбиение поверхности зеркала 2 на зоны Френеля, наблю-
наблюдаемые из центра зеркала 1. Это разбиение показано на
рис. 2.12, б точками Ах, Аг, А3, ... {АгА0 = рх — радиус
первой зоны, А2А0 ~ р2 — внешний радиус второй зоны
и т. д.). Зоны Френеля определяются соотношениями
АгВ0 — А0В0 = К/2; А2В0 — АгВ0 *= К/2; А3В0 —
— А2В0 - Я/2; ...
Легко видеть, что
L2 + р? = {Афо? - (АоВо + \f = (L + \f
Таким образом, площадь первой зоны Френеля, наблюдае-
наблюдаемой на поверхности зеркала 2 из центра зеркала 1, есть
itpf = nL%. Можно убедиться, что такова же будет пло-
площадь второй, третьей и прочих зон Френеля. Следователь-
Следовательно, полное число зон Френеля, умещающееся на поверхно-
поверхности зеркала 2, есть отношение na2lnL%, т. е. есть не что иное,
как число Френеля. Итак, число Френеля есть число зон
Френеля, которые видны на поверхности одного зер-
зеркала конечной апертуры из центра другого зеркала. Чем
больше зон Френеля перекрывает зеркало резонатора, тем
меньше дифракционные потери.
Фотонные представления позволяют особенно наглядно
объяснить условие малости дифракционных потерь B.3.23)
[9]. Предположим, что фотон отражается от зеркала 1 в
резонатор. Поперечная к оси резонатора координата фото-

2.3. Общие замечания об открытых резонаторах 119
на (у-координата) имеет неопределенность порядка размера
апертуры зеркала (Дг/ » а), и согласно соотношению неоп-
неопределенностей «/-составляющая импульса фотона должна
иметь неопределенность АРу » fl/Ay « ft/a. Это означает,
что направление движения фотона характеризуется неоп-
неопределенностью Д0 « APy/Pz (рис. 2.12, в). Поскольку Рг =*
= Йсо/с = 2 лЙА, то, следовательно, Д6 « к/а. По дости-
достижении зеркала 2 поперечная координата фотона будет иметь
неопределенность порядка LAQ « Lkla. Зеркало 2 должно
эффективно «перехватывать» фотоны, отраженные от зер-
зеркала /. Для этого необходимо, чтобы апертура зеркала была
существенно больше указанной неопределенности а ^>
> Lkla. Это и есть условие B.3.23).
Как уже отмечалось, вопрос о дифракционных потерях
достаточно сложен; естественно, что он не исчерпывается
рассмотрением условия B.3.23), т. е. не сводится лишь к
числу Френеля. Два резонатора с одним и тем же числом
Френеля могут характеризоваться для одной и той же по-
поперечной моды существенно разными величинами дифрак-
дифракционных потерь — в зависимости от геометрии резонатора,
учитывающей радиусы кривизны зеркал. Так, например,
если в плоскопараллельном резонаторе с N т 1 потери
мощности из-за дифракции могут составлять за один про-
проход 10—20%, то в конфокальном резонаторе (резонаторе со
сферическими вогнутыми зеркалами, радиусы кривизны
которых равны длине резонатора) дифракционные потери
мощности при тех же значениях числа Френеля оказывают-
оказываются на порядок меньше (они не превышают 1%) [22]. Отсюда
следует, в частности, что учет дифракционных потерь тре-
требует рассмотрения наряду с числом Френеля также других
параметров резонатора.
Основные параметры пассивного резонатора, образован-
образованного двумя зеркалами (сферическими либо плоскими).
Будем использовать обозначения: L — длина резонатора на
его оптической оси, гх и г2 — радиусы кривизны зеркал;
для вогнутого зеркала г > 0, для выпуклого г < 0. Рас-
Рассматривая апертуру зеркал, выделим три качественно раз-
различных случая.
1. Апертуры зеркал резонатора бесконечно велики (фак-
(фактически это означает, что радиус светового пятна на зерка-
зеркале много меньше апертуры зеркала). В данном случае число
Френеля бесконечно велико; дифракционные потери полага-

120 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
ются полностью отсутствующими. Основные параметры
резонатора *>:
|gl=l-L/ri; g2=l-I/r2|. B.3.25)
2. Апертуры зеркал резонатора конечны и равны (а —
радиус апертуры зеркала). Основные параметры резонато-
резонатора в этом случае:
\N = a*/L%; gl = \-L/r1; g2=l —L/r2(. B.3.26)
3. Апертуры зеркал конечны и неодинаковы. Обозначим
через аг радиус апертуры зеркала с радиусом кривизны
г1г а через а2 — зеркала с г2. Основные параметры резона-
резонатора в этом случае (см. [15, 23]):
—
B.3.27)
Заметим, что
GiGz = ftft. B.3.28)
Обратим внимание на то, что в общем случае необходимо
учитывать, наряду с геометрией резонатора, произведение
и отношение апертур зеркал резонатора. Параметры для
нескольких конкретных резонаторов приведены в табл. 2.2.
Наряду с двухзеркальными резонаторами используются так
называемые кольцевые резонаторы, в которых световой поток цир-
циркулирует по замкнутому контуру, образованному тремя или более
зеркалами. Кольцевые резонаторы и работающие на их основе оп-
оптические квантовые гироскопы рассматриваются в [24—26]; см. так-
также [2] гл. 23.
Геометрическое приближение.**) Строго говоря, геомет-
геометрическая оптика есть предельный случай волновой опти-
оптики при % -»- 0. Поскольку при К = 0 дифракционные явле-
явления принципиально невозможны, иногда говорят, что гео-
геометрическое приближение справедливо тогда, когда можно
пренебречь дифракцией. Однако такое условие применимости
геометрической оптики оказывается чрезмерно жестким.
*) Роль параметров gx и gz будет выявлена позднее.
**) Применяется также термин приближение геометрической
оптики.

2.3. Общие замечания об открытых резонаторах
121
Таблица 2.2
Плоскопараллельный резонатор
Конфокальный резонатор
Полуконфокальный резонатор
2 "Ч
Концентрический резонатор
Полуконцентрический резонатор
r1= oo,ra = i
Геометрические представления отнюдь не исключают диф-
дифракционных явлений. В современной теории дифракции по-
показывается, что «нарушение законов геометрической опти-
оптики происходит лишь в узких переходных зонах, где обра-
образуются не предусмотренные этими законами дифракцион-
дифракционные поля. Дальнейшее распространение этих полей —
вдали от мест их возбуждения — снова описывается зако-
законами геометрической оптики» (см. [27], с. 6). В связи с
этим возник, в частности, специальный термин — геомет-
геометрическая теория дифракции.,

122 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Будем пользоваться следующим правилом применимос-
применимости приближения геометрической оптики. Во-первых, необ-
необходимо, чтобы волновой фронт поля излучения был доста-
достаточно гладким; иначе говоря, должны быть достаточно
гладкими поверхности постоянной фазы. Это необходимо
для того, чтобы можно было говорить о существовании све-
световых лучей — линий, которые в каждой точке перпенди-
перпендикулярны к поверхности постоянной фазы. Во-вторых, не-
необходимо, чтобы указанные лучи были прямолинейными
в оптически однородной среде.
Отсюда, в частности, следует, что геометрическая опти-
оптика имеет дело не только с плоскими волнами (поверхности
постоянной фазы — плоскости), но также со сферическими
волнами, т. е. волнами со сферическими поверхностями по-
постоянной фазы, имеющими общий центр.
Иногда высказывается мнение, что критерием применимости
геометрического приближения в открытых резонаторах является
относительная малость дифракционных потерь. Это мнение, вообще
говоря, ошибочно. Так, например, для неустойчивых резонаторов
характерны большие дифракционные потери; тем не менее многие
результаты для указанных резонаторов получены в геометрическом
приближении. При решении вопроса о применимости геометричес-
геометрической оптики следует исходить из сформулированного выше правила,
а не из соображений малости дифракционных явлений.
Строгое рассмотрение процесса формирования поля излу-
излучения в резонаторе требует, очевидно, использования вол-
волновой теории. Однако целый ряд вопросов теории открытых
резонаторов может быть достаточно успешно исследован в
геометрическом приближении. Сюда следует отнести, в част-
частности, вывод условия устойчивости резонаторов, оценку
различных потерь, рассмотрение селекции поперечных мод,
учет разъюстировки элементов резонатора. Геометрическое
приближение служит хорошей основой для описания не-
неустойчивых резонаторов. В случае же устойчивых резона-
резонаторов можно использовать связь, которая, как оказывает-
оказывается, существует между геометрической оптикой и широко
применяемой для описания таких резонаторов оптикой гаус-
гауссовых пучков. Как сказано в [4] (с. 91), «один из наиболее
приятных сюрпризов современной оптики состоит в той лег-
легкости, с которой методы геометрического преобразования
лучей можно приспособить для'описания генерации и рас-
распространения лазерного излучения».

2.4. Приближение геометрической оптики 123
2.4. Линзовые волноводы и открытые резонаторы
(приближение геометрической оптики)
Рассматривая ход световых лучей в линзовом волноводе
или в открытом резонаторе, будем пользоваться паракси-
параксиальным приближением, т. е. будем полагать, что угол а,
образуемый световым лучом с оптической осью волновода
(резонатора), всегда настолько мал, что справедливы со-
соотношения tg а л; sin а « а.
Линзовый волновод и открытый резонатор. Между линзо-
линзовыми волноводами и открытыми резонаторами существует
весьма близкая аналогия [7,15].
Рассмотрим резонатор длиной L, образованный двумя
вогнутыми сферическими зеркалами с радиусами кривизны
ri и га (Рис- 2.13); фокусные расстояния зеркал равны со-
соответственно /х = rt/2 и /а = га/2. Вогнутое зеркало с фо-
фокусным расстоянием ft оптически эквивалентно комбина-
комбинации из плоского зеркала и плосковыпуклой линзы, имею-
имеющей фокусное расстояние 2/г. В связи с этим резонатор,
изображенный на рис. 2.13, можно заменить резонатором,
показанным на рис. 2.14, где вместо вогнутых зеркал ис-
используются указанные выше комбинации из плоского зер-
зеркала и плосковыпуклой линзы.
Сделаем следующий шаг: перейдем от резонатора, изоб-
изображенного на рис. 2.14, к линзовому волноводу, состав-
составленному из двояковыпуклых линз с чередующимися фокус-
фокусными расстояниями f± и /у, расстояние между соседними
линзами равно L (рис. 2.15). Система на рис. 2.15 оптически
эквивалентна системе на рис. 2.14, а следовательно, и на
рис. 2.13. Правда, в системах на рис. 2.13 и 2.14 световая
волна изменяет направление своего распространения на
обратное всякий раз, когда достигает зеркала, а в системе
на рис. 2.15 световая волна распространяется все время
в одном направлении.
Итак, открытый резонатор, образованный сферичес-
сферическими зеркалами с радиусами кривизны г± и г2 оптически
эквивалентен линзовому волноводу, состоящему из линз с
чередующимися фокусными расстояниями fx = rxl2 и f2 —
= г2/2. Шаг волновода (расстояние между соседними лин-
линзами) равен длине резонатора. Вогнутому зеркалу резонато-
резонатора соответствуют в волноводе собирающие линзы, выпук-
выпуклому зеркалу — рассеивающие линзы.

124
Гл. 2. Формирование поля излучения б резонаторе
2/, 2/:
Рис. 2.13
Рис. 2.14
Рис. 2.15
Рис. 2.16
Отличие линзового волновода от резонатора состоит в
том, что резонатор выделяет определенные (дискретные)
частоты, тогда как для волновода характерен непрерывный
спектр частот. В остальном же резонатор и волновод ана-
аналогичны друг другу. Как и в резонаторе, в волноводе воз-
возбуждаются и поддерживаются определенные поперечные
моды.
Аналогом конфокального резонатора является линзовый
волновод, показанный на рис. 2.16 (конфокальный линзо-
линзовый волновод). Все линзы такого волновода имеют одина-
одинаковое фокусное расстояние /, причем шаг волновода равен
удвоенному фокусному расстоянию (L — 2/). В качестве
примера на рисунке показаны два световых луча (луч 1 и
луч 2), распространяющихся в рассматриваемом волноводе.
На примере этих лучей можно видеть, что конфокальный вол-
волновод способен проводить свет — в нем существуют свето-
световые лучи, которые не выходят за пределы волновода (через
боковую границу волновода).
Линзовый волновод, способный удерживать излучение
вблизи оптической оси, называют устойчивым. Ему соот-
соответствует устойчивый открытый резонатор. Наряду с устой-
устойчивыми существуют также волноводы, в которых световые
лучи по мере распространения отклоняются от оси на сколь

2.4. Приближение геометрической оптики
125
Рис. 2.17
угодно большое расстояние и
в результате покидают вол-
волновод. Такие волноводы на-
называют неустойчивыми; им
соответствуют неустойчивые
открытые резонаторы. Оче-
Очевидный пример неустойчиво-
неустойчивого волновода — волновод,
составленный из рассеиваю-
рассеивающих линз. Ему соответ-
соответствует резонатор, образованный выпуклыми зеркалами.
Условие устойчивости для линзового волновода с чере-
чередующимися линзами*>. Выведем для параметров линзово-
линзового волновода (параметров L, /ь /2) условие, при котором
волновод является устойчивым. Предварительно напомним
уравнение тонкой линзы, для чего обратимся к рис. 2.17.
Два параллельных световых луча, образующих угол
а с оптической осью 00, проходят через линзу и фокуси-
фокусируются в точке А фокальной плоскости. Полагаем углы
а и а' достаточно малыми, так что tg a « а и tg a' « а'
(параксиальное приближение). В этом случае fa — fa' -f
+ у (см. рисунок). Таким образом,
а' — а = — ylf.
B.4.1)
Это и есть уравнение тонкой линзы. Оно выражает разность
углов наклона луча к оси после и до прохождения линзы
через фокусное расстояние f и расстояние у от точки встречи
луча с линзой до оптической оси.
Рассмотрим линзовый волновод, в котором фокусные
расстояния линз чередуются: flt f2, fu f2, ... Прохождение
светового луча по такому волноводу показано на рис.
2.18. Используя B.4.1), запишем
а2п+1—
n-l ' п'/2>
п= Уп+llfl-
B.4.2)
B.4.3)
*) Здесь и далее ограничиваемся рассмотрением световых лу-
лучей, которые лежат в плоскостях, проходящих через оптическую
ось волновода или резонатора (сагиттальные лучи не рассматри-
рассматриваются). Кроме того, полагаем, что волновод обладает цилиндричес-
цилиндрической симметрией. В этом случае можно рассматривать двумерную
(плоскую) задачу;

126
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
2л-1
Рис. 2.18
Из чисто геометрических соображений следует (см. рис. 2.18),
что
Fn = ^ + La2n_i; B.4.4)
Уп+1--=Уп+La^; B.4.5)
Yn+1^yn+1 + La2n+l. B.4.6)
Вычитая B.4.4) из B.4.5) и учитывая B.4.2), находим
Уп+1+Уп = УпB-иЬ).. B.4.7)
Вычитая B.4.5) из] B.4.6) и учитывая B.4.3), находим
^п+1+^п = #п+1B-ВД. B.4.8)
Заменим в B.4.8) п на п—1 и затем сложим получившееся
соотношение с B.4.8); получим
Уп+г + 2Yn + ?п_г = (уп+1 + уп) B-Llh).
Подставляя в это выражение результат B.4.7), приходим к
уравнению, связывающему положения луча только на чет-
четных линзах (линзах с фокусным расстоянием /2):
Fn+1-2[2(l-L/2/1)(l-L/2/2)-l]Fn+Fn_1 = 0. B.4.9)
Нетрудно убедиться, что такой же вид будет иметь уравне-
уравнение, связывающее положения луча на нечетных линзах.
Решение уравнения B.4.9) может быть представлено в
виде
Yn = A exp (imp) + В ехр (— imp). B.4.10)
Чтобы определить параметр q>, подставим первое слагаемое
из правой части B.4.10) в уравнение B.4.9); получим
[ехр (|ф) + ехр (—iq>)]/2 - 2 A —
A — U2f2)—1.
B.4.11)

2.4. Приближение геометрической оптики 127
Устойчивость волновода означает, что при любых п зна-
значения Уп (как и уп) должны оставаться в пределах ограни-
ограниченной области вблизи нуля; следовательно, параметр q>
должен быть вещественным (в противном случае в B.4.10)
появится слагаемое, неограниченно возрастающее с ростом
и). Если параметр q> вещественный, то [exp (iq>) +
-fexp(—tq>)]/2 = cos q>. Таким образом, для устойчивого
волновода соотношение (?.4.11) принимает вид
cos ф *= 2 A — LI2ft) A — L/2f2) — 1. B.4.12)
Отсюда следует условие устойчивости волновода: — 1 ^
^ cos ф ^ 1, которое может быть записано в виде
B.4.13)
Устойчивые и неустойчивые открытые резонаторы; ди-
диаграмма устойчивости. Воспользуемся аналогией между
линзовым волноводом с параметрами Llt /lf fz и открытым
резонатором с параметрами L, гх = 2/ь г2 = 2/2; при этом
введем параметры gx и g2 (см. B.3.25)). Эта аналогия пре-
превращает условие устойчивости волновода B.4.13) в условие
устойчивости резонатора
Л . B.4.14)
Если параметры gx и g2 открытого резонатора удовлетворя-
удовлетворяют условию B.4.14), то такой резонатор способен удержи-
удерживать внутри себя излучение; в противном случае резонатор
не удерживает внутри себя излучение (даже при условии,
что оба зеркала являются полностью отражающими).
Условие устойчивости (.2.4.14) часто представляют гра-
графически, используя координатную плоскость с осями, на
которых откладываются значения gi и g2; см. рис. 2.19.
Если «изображать» резонатор соответствующей точкой на
плоскости (gi, g2), то устойчивые резонаторы попадут сог-
согласно B.4.14) в заштрихованную на рисунке область, вклю-
включая ее границы, описываемые кривыми gxg2 = 1 и gxg2 —
= 0. Рис. 2.19 называют диаграммой устойчивости резо-
резонаторов.
Плоскость giga на рис. 2.19 разбита на области, обозна-
обозначенные римскими цифрами (от I до XVI). Каждой из этих

128
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.19
областей соответствует определенный тип геометрии резона-
резонатора. Различные типы геометрии резонаторов собраны в
табл. 2.3.
Отметим, что с физической точки зрения устойчивость
линзового волновода или открытого резонатора связана с
относительной малостью дифракционных потерь. Таким
образом, выход за пределы заштрихованной на рис. 2.19
области связан с существенным возрастанием дифракцион-
дифракционных потерь. Кривые g±g2 = 1 и gig2 = О разделяют обла-
области низких и высоких дифрационных потерь. Примечатель-
Примечательно, что при больших значениях числа Френеля имеет место
достаточно резкий переход между этими областями (см.
[28]).
Точка А на рис. 2.19 «изображает» плоскопараллельный
резонатор, Б — конфокальный резонатор, В — полукон-
полуконфокальный резонатор, Г — концентрический резона-
натор, Д — полуконцентрический резонатор. Плоскопа-
Плоскопараллельный, конфокальный, концентрический и полукон-
полуконцентрический резонаторы попадают на границу области
устойчивости. Это означает, что дифракционные потери в
них чувствительны (особенно при больших значениях числа
Френеля) к отклонениям параметров от теоретически иде-

2.4. Приближение геометрической оптики
129
Таблица 2.3
г 1 > ? , r3> L
r1>?,r2<0. (rl-L)<jr2j
III
тх >? , г2< 0 , (>]-?)
IV
r,<0,
r,<0,
VI
Г]<0 ,
VII
?/2<rj<?,
VIII
0<r,<t/2
IX-
fl< r,<?/2, ?/2 < '2 «i- <r\+
Z./2<r,<?, 0<r2<t/2, (rx*r2)>L
XI
?/2<r,<t,
XII
0<r1<t/2, 0<r2<t/2
XIII
0<r, <? ,
XIV
XV
»¦)» ?1 0<;2<?
XVI
r,<0,
5 Зек. 1785

130
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.20
альных значений. Поэтому
на практике предпочитают
заведомо отклониться немно-
немного в область устойчивости
за счет небольшого измене-
изменения длины резонатора. Ра-
Разумеется, это невозможно в
случае плоскопараллельного
резонатора.
Матрица передачи светового луча. Плоскость, прове-
проведенную перпендикулярно оптической оси (z-оси) на неко-
некотором расстоянии Zj от начала координат, будем называть
опорной плоскостью z = гх. Световой луч, пересекающий
опорную плоскость z = zlt характеризуется двумя пара-
параметрами: расстоянием у (zx) от оптической оси и тангенсом
угла наклона к оси а (гг). В параксиальном приближении
параметр a (z) может рассматриваться просто как угол
наклона луча к оси. Чтобы описать преобразование луча
при его распространении от опорной плоскости z = zx до
опорной плоскости z = z2, надо указать правило перехода
от параметров у (zj), а (гг) к параметрам у (z2), a (z2).
Ha рис.2.20 изображены два луча и отмечены две опор-
опорные плоскости. Из рисунка хорошо видно, в каких случаях
тот или иной параметр луча положителен, а в каких отрица-
отрицателен.
Рассматривая преобразование луча при его распростра-
распространении от одной опорной плоскости до другой, будем обо-
обозначать исходную опорную плоскость через Рг (параметры
луча уъ ах), а конечную — через Р2 (параметры луча у2,
а2). Преобразование луча при распространении от Рг до
Р2 описывается соотношениями
02 = Ayi +
или в матричной форме
а2 — Сух +
B.4.15)
B.4.16)
Матрицу (q ?)) называют матрицей передачи луча (матри-
(матрицей преобразования луча).

2.4. Приближение геометрической оптики
131
^it-
Рис. 2.21
Предположим, что световой луч проходит свободное
пространство протяженностью d (рис. 2.21,а). В этом слу-
случае
У г = Уг + М; а2 = «1-
B.4.17)
Сравнивая B.4.17) с B.4.15), заключаем, что А = 1, В = d,
С = О, D = 1. Таким образом,
М (d) — обозначение матрицы передачи луча для свобод-
свободного пространства протяженностью d.
Вид матрицы М (d) не зависит от выбора светового луча.
Рассмотрим, например, луч, показанный иа рис. 2.21,6. В этом
случае
Ух + (— J/2) = (— cci) d; — а2 = — ах.
Легко видеть, что эта система уравнений эквивалентна системе
Преобразование светового луча в тонкой собирающей
линзе иллюстрирует рис. 2.22, а. С учетом уравнения тон-
тонкой линзы B.4.1) можем записать
У2 = Ух, а2 = (—1//) У1 + oj. B.4.19)
Таким образом, матрица передачи луча М (/) для тонкой
линзы с фокусным расстоянием / имеет вид
B'4-20)
Если линза собирающая, то/>0, а если рассеивающая,
то / < 0.
5*

132
Гл. 2. Формирование Поля излучений в резонаторе
2 6)
Рис. 2.22
Преобразование луча при последовательном прохожде-
прохождении сначала свободного пространства протяженностью d,
а затем тонкой линзы с фокусным расстоянием / иллюстри-
иллюстрирует рис.2.22,б. Легко видеть, что
; а2 -= (— 1//) уг + ах = (— 1//) (г/х +
или
Уй = Ух + «id; «г — ir-ЩУх + A —
— dlf)a.i. B.4.21)
Таким образом, матрица передачи луча в рассматриваемом
случае (обозначим ее как М (d ->¦ /)) имеет вид
<2-422'
Такой же результат получается, если матрицу М (/) умно-
умножить на матрицу М (d):
1 0W1 d\f 1 d \
-\/f \)\0 1/ [~l/f \-dlf}'
Следовательно,
M{d-*f)- M(f)M(d).
B.4.23)
Итак, матрица, отвечающая двум последовательно выпол-
выполненным преобразованиям, равна произведению матриц
соответствующих преобразований. Правило перемножения
матриц передачи луча распространяется и на более слож-
сложные системы.

2.4. Приближение геометрической оптйкй
133
Рис. 2.23
h
Предположим, например,
что световой луч проходит
через систему тонких линз,
показанную на рис. 2.23.
Луч проходит слева напра-
направо — от опорной плоскости
Рг до опорной плоскости Рг.
Матрица преобразования све-
светового луча от Р± до Ра опре-
определяется как произведение
элементарных матриц передачи, какими являются мат-
матрицы типа" М (d) и М (/):
= М (d3) М (/а) М (da) М (/х) М (dj. B.4.24)
Подчеркнем, что порядок следования сомножителей в пра-
правой части соотношения B.4.24) противоположен порядку,
в каком выполняются преобразования над световьш лучом
(как если бы правая часть соотношения B.4.24) читалась
в обратном порядке — не слева направо, а справа налево).
Это обстоятельство обнаруживается уже в B.4.23).
Сделанное замечание весьма существенно, так как про-
произведение матриц не обладает свойством коммутативности.
Что же касается ассоциативного закона, то он для произ-
произведения матриц выполняется. Поэтому можно по-разному
выполнять парные перемножения матриц. Так, например,
матрицы в B.4.24) можно перемножить по схеме
М (d3) {M (/a) [M (d2) (M (ft) M
а можно выбрать схему
Ш (d3) (M (/2) M (d2))] W (/,) М
или схему
W (d3) М (/2)] [(М (d2) М (/0) М
или иную схему. Важно лишь, чтобы порядок расположения
матриц в произведении оставался определенным — таким,
как показано в соотношении B.4.24).
В табл. 2.4 приведены шесть матриц передачи луча.
Первые три были рассмотрены выше. Последние три (опи-
(описывающие преломление луча на границе двух сред) чита-
читатель может рассмотреть самостоятельно. В заключение от-

134
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Таблица 2.4
Характер преобразования
Схема преобразования
Матрица
пре образования
Свободное пространство
протяженности d
/1 Л
\0 1/
Тонкая линза с фокус-
фокусным расстоянием /
Сочетание свободного
пространства с тонкой
линзой
/ 1 * '
-1- —
\f f >
Преломление на плоской
поверхности, разграни-
разграничивающей две среды
(«1, п2)
W//A
Ш
/I 0
о -Hl
Среда протяженности d с
показателем преломления
п (плоские торцевые по-
поверхности)
1 А
п
10 1
Преломление на сфери-
сферической поверхности двух
сред (nlt и а)
1 0
п2 г

2.4. Приближение геометрической оптики 135
метим, что для всех матриц
передачи луча выполняется
соотношение
AD — ВС - njrit, B.4.25)
где % — показатель прелом-
преломления среды, в которой на-
находится исходная, а пг — Рис-2-24
конечная опорная плоскость.
Соотношение B.4.25) выражает свойство обратимости
хода световых лучей.
Матрица передачи луча для двойного прохода резона-
резонатора. Предварительно найдем матрицу преобразования лу-
луча при отражении от зеркала с радиусом кривизны г.
Из рис. 2.24 видно, что
Исключив р, находим а2 = — B ух I r) + Oj. Учитывая,
что yt — у2, получаем следующее выражение для искомой
матрицы:
Если зеркало вогнутое, то г > 0, если выпуклое, то г < 0.
Матрицу B.4.26) можно представить в виде B.4.20), так
как зеркало с радиусом кривизны г имеет фокусное расстоя-
расстояние f = г/2. Здесь проявляется обсуждавшаяся выше анало-
аналогия между линзоаыми волноводами и резонаторами, обра-
образованными сферическими зеркалами.
Рассмотрим резонатор длиной L с зеркалами, имеющими
радиусы кривизны гх (левое зеркало) и га (правое зеркало).
На расстоянии d от левого зеркала выберем опорную плос-
плоскость Р. Найдем матрицу передачи луча для двойного про-
прохода резонатора от плоскости Р (как показано стрелками на
рис. 2.25, а). Эта матрица может быть представлена в виде
произведения:
М (d-+ ъ^ L -+ г2^>~ (L — d)) =M {L — d)M (r2)X
ХМ (L) М (гг) М (d). B.4.27)
Используя B.4.18) и B.4.26), выполним перемножение мат-
матриц;

136
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.25
1 L \ I 1 d
-2/r, 1— 2L/rJ V— 2/Г! 1—2d/rx
1 '-'¦x
1
2L
X
Г2
В результате получаем следующую матрицу передачи луча
для двойного прохода, показанного на рис. 2.25,а*>:
1+ —(L—d)—-BL—d)— — (L-d)
Г Г Г Г
2L + —(L—d)—-BL-d)-- (La-d2)
rx r2 ri r2
4L
B.4.28)
*) Нетрудно убедиться, что определители всех рассматриваемых
здесь матриц передачи луча равны единице (AD — ВС = 1).

2.S. Расстройка открытого резонатора 137
Предположим, что в резонатор внесена линза с фокусным
расстоянием /; линза находится справа от плоскости Р на
расстоянии / от левого зеркала (рис. 2.25, б). В этом случае
вместо B.4.27) надо использовать следующее соотношение
для расчета матрицы двойного прохода резонатора от плос-
плоскости Р:
М (d ->/ч^ l-^f^- (L — l)-> ra-v (L — /)-v/ ->
_> (/ — d)) = M (I — d) M (/) M A — I) M (ra) M (L— t) x
XM(f)M (I) M (rj M (d). B.4.29)
Приближение геометрической оптики непригодно для
рассмотрения поля внутри резонатора даже при больших
апертурах зеркал. Тем не менее полученные в рамках гео-
геометрической оптики" матрицы передачи оказываются весь-
весьма полезными; как будет показано в § 2.8, такие же матри-
матрицы описывают преобразование гауссовых пучков *>.
2.5. Расстройка открытого резонатора**)
Приближение геометрической оптики позволяет учесть эффек-
эффекты расстройки открытого резонатора, связанные с тем, что отдель-
отдельные оптические элементы резонатора (линзы, зеркала и т. п.) ока-
оказываются в той или иной мере разъюстированными***).
Разъюстировка оптического элемента. Разъюстировка элемента
может быть связана с его смещением на небольшое расстояние от-
относительно оптической оси резонатора, а также с его поворотом
по отношению к оси резонатора на небольшой угол. При идеальной
юстировке элемента его оптическая ось совпадает с оптической осью
резонатора; при разъюстировке элемента такого совпадения уже нет.
Параметры светового луча на входе и выходе элемента, рассматри-
рассматриваемые относительно оптической оси данного элемента, будем обо-
обозначать соответственно через у1г at и у2, сеа, а параметры луча на
входе и выходе элемента, рассматриваемые относительно оптичес-
оптической оси резонатора, —через у[, а{ и у?, а?. Преобразование от
*) Так, например, матрица B.4.28) будет использована в
§ 2.9 при рассмотрении поля в резонаторе, формирующем гауссов
пучок.
**) Данный параграф написан при участии В. Р. Кушнира.
***) Эффекты, обусловленные неидеальной юстировкой резона-
резонатора, обсуждаются, например, в [4]. В [7] рассмотрены линзовые
волноводы со случайным смещением линз»

138
Гл. 2. Формирование поЛя излучения в резонаторе
Рис. 2.26
Ух, ai к У& а2 осуществляется при помощи матрицы передачи луча
для рассматриваемого элемента
a
B.5.1)
Задача состоит в том, чтобы выяснить, как в случае разъюстирован-
ного элемента осуществляется преобразование от у[, а{ку^,а'ъ.
Смещение оптического элемента. Предположим, что оптическая
ось элемента ОхОх сдвинута на достаточно малое расстояние Д«/
от оптической оси резонатора 00 (рис. 2.26, а). В этом случае
У1=у1—Ьу, cei=ai'; y3 = yL—byi аа = а'я. B.5.2)
Подставив B.5.2) в B.5.1), запишем
D
или
или
, aJUJ+V-CbA* У B >3)
Наклон оптического элемента. Предположим, что оптическая
ось элемента ОхОх повернута на достаточно малый угол Да относи-
относительно оптической оси резонатора 00 (рис. 2.26,6). В этом случае
»1«{/1+'Аа/2; а1 = а^—Да; f/a»^—/Да/2; а2=
= а?— Да. B.5.4)
Подставив B.5.4) в B.5.1), запишем
Уг — у А.
*ч aj— Да
D
а[— Да

2.5. Расстройка открытого резонатора
139
1
\
.
d.
»
Рис. 2.27
или
W
. B.5.5;
Показанный на рис. 2.26, б наклон произведен по направлению про-
против часовой стрелки. Если наклон будет производиться по часовой
стрелке, то в B.5.5) вместо Да надо использовать —Да.
Общий случай. Сопоставляя результаты B.5.3) и B.5.5), заклю-
заключаем, что преобразование луча от параметров у[, а[ к параметрам
у?, а, может быть представлено выражением
B.5.6)
Здесь Ае есть &.у либо Да, а величины Лх и Л2 выражаются через
элементы матрицы передачи луча для рассматриваемого оптического
элемента в соответствии с B.5.3) либо B.5.5). Прн одновременном
смещении и повороте оптического элемента выражение B.5.6)
принимает вид
(У'Л
Ur
Подчеркнем, что как Д#, так и Да предполагаются здесь достаточно
малыми.
Резонатор с разъюстированным оптическим элементом. Рассмо-
Рассмотрим резонатор, образованный двумя сферическими зеркалами с ра-
радиусами кривизны тг (левое зеркало) и г2 (правое зеркало). Внутри
резонатора помещен оптический элемент с матрицей передачи луча
Мэ.
В идеально съюстированном резонаторе ось светового пучка
есть прямая линия с параметрами 0,0; эта прямая совпадает с оп-
оптической осью резонатора (рис. 2.27, а). Если же оптический эле-
элемент внутри резонатора как-то разъюстирован, то в этом случае ось
светового пучка превращается в изломанную линию; теперь началь-
начальная и конечная поперечные координаты оси пучка уже не равны
нулю: уг Ф 0,. у2 Ф 0 (рис. 2.27, б). Можно сказать, что резонатор
с разъюстированным элементом (элементами) характеризуется из-

140 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
ломанной оптической осью с координатами у1 и уг на левом и пра-
правом зеркале соответственно.
Существенно, что независимо от наличия или отсутствия разъ-
юстированного элемента, ось светового пучка должна образовы-
образовывать прямой1уеол с поверхностью как левого, так и правого зерка-
зеркала резонатора. Это означает, что параметры оси пучка на зеркалах
будут в общем случае иметь вид
уц —ух1гл (на левом зеркале); уг, у2/г2 (на правом зеркале).
Выразим ух и #2 через матрицу передачи луча Мэ, характеризую-
характеризующую оптический элемент, помещенный в резонатор, а также через
параметры, описывающие разъюстировку элемента. Для простоты
будем'полагать, что элемент только смещен, но не наклонен. Наря-
Наряду с матрицей передачи Ма будем использовать матрицы передачи
М (dx) и М (dg), описывающие преобразование светового луча при
его распространении соответственно от левого зеркала резонатора
до оптического элемента и от оптического элемента до правого зер-
зеркала (эти матрицы задаются выражениями типа B.4.18)).
Параметры оси светового пучка на левом зеркале (параметры
Ух, — Ух/Гг) преобразуются в результате прохода резонатора сле-
следующим образом (с учетом B.5.6)):
Приравнивая получающиеся в итоге параметры параметрам оси
пучка на правом зеркале (параметрам^, #2/г2), получаем уравнение
Запишем это уравнение в виде
Здесь М = М (dg) Ma M (dx)— матрица передачи луча через сыос-
тированную систему (от левого зеркала до правого).
Соотношение B.5.8) представляет собой систему двух линейных
уравнений относительно Ух и у2
В2Ла); Л
где А, В, C,D — элементы матрицы М; Л2, J32> C2, Da — элементы
матрицы М (d2). Учитывая, что согласно B.4.18) А2 — 1, J52 = dz,
Са = 0, D2 = 1, перепишем B.5.9) в виде
У2 = АУ1-(Вух1Гх)+ Ау (Ах + <*аЛа)Л 5
J
Решая систему уравнений B.5.9а), нетрудно найти как уг так и у2.
Выпишем результат для уг-
»/')A+(l4Ji4A
B'5-10)

1 2.6. Метод Фокса — Ли. Эквивалентные резонаторы 14Г
Зная ух, можно для любой опорной плоскости найти смещение
изломанной оси разъюстированного резонатора относительно оп-
оптической оси идеально съюстированного резонатора. Для этого надо
(Ух \
матри-
yjrj
цей передачи луча, описывающей преобразование луча от левого
зеркала до рассматриваемой опорной плоскости.
2.6. Рассмотрение открытых резонаторов на основе
итерационного метода Фокса — Ли.
Эквивалентные резонаторы
Основные свойства открытых пассивных резонаторов оп-
определяются дифракционными явлениями. При рассмотре-
рассмотрении этих явлений будем пользоваться скалярной теорией
дифракции, т. е. будем описывать поле скалярной функцией
пространственных координат, в качестве которой может
выступать одна из составляющих вектора электричес-
электрической напряженности*). Кроме того, будем полагать доста-
достаточно малыми углы дифракции (параксиальное прибли-
приближение).
Дифракционный интеграл Кирхгофа — Гюйгенса. Рас-
Рассмотрим оптическую систему из двух параллельных плос-
плоскостей, отстоящих друг от друга на расстояние L (плоско-
(плоскопараллельный резонатор длиной L); см. рис. 2.28. Пусть
световое поле на левой плоскости (плоскость Pj) описывает-
описывается в скалярном приближении некоторой функцией и (Rx).
Распространяясь слева направо, поле достигнет правой
плоскости (плоскость Яа), на которой оно будет описывать-
описываться уже какой-то другой функцией — функцией i>(R2).
Теория дифракции позволяет выразить функцию v через
и. Для этого можно воспользоваться следующим интегра-
интегралом, представляющим собой модификацию дифракционного
интеграла Кирхгофа — Гюйгенса (см. [7]):
I ~(I +cos6)dSl. B.6.1)
Здесь / — расстояние от некоторой точки Rx [хъ #t) плос-
плоскости Рх до точки наблюдения Ra (х2, уй) на плоскости
*> Основы скалярной теории дифракции рассматриваются,
например, в [7,29].

142
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.28
Рис. 2.29
Р2; 6 — угол между оптической осью и прямой, соединяю-
соединяющей указанные точки.
При достаточно малых в интеграл B.6.1) принимает вид, фак-
фактически предсказанный Гюйгенсом еще в конце XVII в. По Гюйген-
Гюйгенсу, под интегралом должно стоять выражение и exp (ikl)ll. В этом
случае v (R2) есть результат сложения в точке R2 сферических воли
exp (ikt)ll, распространяющихся от каждого элемента плоскости
Px. Иначе говоря, плоскость Р\ уподобляется набору элементарных
источников сферических воли, причем иитенсивиость этих источ-
источников «регулируется» заданным на плоскости Рг полем и (Rx). По-
Последующее развитие теории дифракции внесло поправки в формулу
Гюйгенса, но при этом фактически не изменило сущности дифрак-
дифракционного интеграла, определяемой волновым принципом Гюйгенса—
Френеля.
Представим
Смысл параметра р ясен из рис. 2.28
р3 = (R2 -RJ2 = {хъ-x
С учетом B.6.2) перепишем B.6.1) в виде
B.6.2)
B.6.3)
X
.J
X
l+cos6
I
B.6.4)
Применяя дифракционный интеграл в случае открытых ре-
резонаторов, можно полагать, что I много больше поперечных
размеров поля. В результате выражение B.6.4) заметно
упрощается, поскольку можно положить
cos 6 « 1; Ml « ML, B.6.5a)

й.6. Метод Фокса — Ли. Эквивалентные резонаторы 143
а фазовый множитель можно представить в виде
exp [ikL УГЩЦ*] « exp [ikL (l + -J
= exp (ikL)exp (ik -2L\ B.6.56)
(здесь учтено, что р < L). В этом случае дифракционный
интеграл принимает вид (случай дифракции Френеля)
v (R2) = -^- exp (ikL) J «(RJ exp (i JL- p2j d*. B.6.6)
Интегральное уравнение Фокса — Ли. Фокс и Ли пред-
предложили итерационный метод отыскания поперечных мод
открытого резонатора [30]. Пусть на левом зеркале резо-
резонатора задано некое произвольное поле и (R^. Подставляя
это поле в B.6.6), вычисляют поле v (R2) на правом зерка-
зеркале. Затем опять используют соотношение B.6.6), подстав-
подставляя в интеграл вычисленное поле v. В результате находят
поле их на левом зеркале, обусловленное полем v на правом
зеркале. Применяя снова соотношение B.6.6), возвращаются
к правому зеркалу и находят для него поле vlt обусловлен-
обусловленное полем «! на левом зеркале. И так далее. Фокс и Ли по-
показали, что после достаточно большого числа проходов по
резонатору от одного зеркала к другому структура поля,
т. е. его зависимость от поперечных координат, начинает
воспроизводиться, повторяясь за каждый проход излучения
по резонатору. Это означает, что после достаточно большого
числа проходов поле на поверхности зеркал начинает опи-
описываться функцией и, являющейся решением следующего
интегрального уравнения (интегральное уравнение Фокса—
Ли):
B.6.7)
Не зависящий от поперечных координат комплексный
множитель у учитывает сдвиг фазы поля за проход (вклю-
(включая чисто геометрический набег фазы на расстоянии L,
описываемый в у множителем ехр (—:ikL)), а также уменьше-
уменьшение амплитуды и поля вследствие потерь в резонаторе.

144 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Предположим, что левое зеркало отражает в направлении
правого зеркала световую мощность
Из-за наличия потерь в резонаторе правое зеркало будет от-
отражать назад, к левому зеркалу, меньшую световую мощ-
мощность:
p,
С каждым проходом по резонатору мощность, отражаемая
зеркалом, будет уменьшаться (ее величина будет умножать-
умножаться всякий раз на |v|2); см. рис. 2.29. Доля световой мощ-
мощности, теряемой за один проход, есть
&W/W ~{W— \y^W)IW = 1 — |vl2. B.6.8)
Обозначим
М = ехр(-р). B.6.9)
Полагая, что потери за проход малы, представим: AW/W—
— 1 — |vl2 « 1 — A — 20) — 20. В этом случае линей-
линейный коэффициент потерь
т] = 20/L. B.6.10)
Поперечные моды открытого резонатора. Представим
интегральное уравнение B.6.7) в виде
B-6.11)
Здесь ? — интегральный оператор, описывающий преобра-
преобразование поля в рассматриваемом резонаторе за один про-
проход; у — собственные значения оператора С, и — его соб-
собственные функции.
Спектр собственных значений оператора L дискретен.
Чтобы фиксировать разные собственные значения, приме-
применяют пару целочисленных индексов тип (m, n = 0,1,2,...)
Собственную функцию оператора L, отвечающую собствен-
собственному значению утп, обозначают через итп. Это и есть тп-я
поперечная мода данного резонатора.
Таким образом, если, следуя Фоксу и Ли, принять, что в
результате прохода резонатора (от зеркала до зеркала)

2.6. Метод Фокса — Ли. Эквивалентные резонаторы 145
поле может воспроизво-
воспроизводить свою структуру, то
понятие поперечных мод
резонатора возникает са-
самым естественным образом:
поперечные моды как раз
и представляют собой та-
такое поле, которое воспро-
воспроизводит при проходе че-
через резонатор свою струк- Рис. 2.зо
туру. Математически же
поперечные моды — это собственные функции оператора
L, задаваемого интегральным уравнением B.6.7).
С учетом сделанных замечаний перепишем B.6.9). и
B.6.10):
pmn), B.6.9а)
/L. B.ftl0a)
Подставляя B.6.10а) в B.3.15), находим выражение для
добротности mn-й моды
Qran = jxLApmn. B.6.12)
Если известны собственные значения утп оператора L,
описывающего данный резонатор, то можно найти
потери для mn-й моды, равные согласно B.6.8) 1—
— IVmn|2- Кроме того, можно найти сдвиг фазы mn-й моды,
определяемый через arg ymn. Приравнивая сдвиг фазы за
проход произведению л на целое число qt можно опреде-
определить спектр резонансных частот для рассматриваемой по-
поперечной моды.
Резонатор, образованный двумя сферическими зеркала-
зеркалами. На рис. 2.30 показан в разрезе по оптической оси резо-
резонатор длиной L, образованный сферическими зеркалами с
радиусами кривизны гх (левое зеркало) и га (правое зерка-
зеркало). Произвольная точка на левом зеркале задается векто-
вектором Rlt расположенным в плоскости, проходящей через
данную точку перпендикулярно оптической оси; аналогич-
аналогичным образом вектор R2 задает точку на правом зеркале*).
*) Строго говоря, векторы Rx и R2 задают поперечные координа-
координаты соответствующих точек (координаты проекции точек на плос-
плоскости Рх и Ра; см. рис. 2.30).

146 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Для точек / и 2, выбранных на рис. 2.30, векторы Rx и R2
лежат в одной плоскости (плоскости рисунка), однако в
действительности эти векторы не обязаны находиться в од-
одной плоскости.
Исходя из рис. 2.30, можно заключить, что длина /
отрезка прямой, соединяющего точки, заданные векторами
Rx и R2, описывается выражением
/ = t(L-A1-A2J + (R2-R1J]'/2 B.6.13)
(если, в частности, векторы Rt и R2 лежат в одной плоско-
плоскости, как показано на рисунке, то вместо (R2 — R^2 в
B.6.13) следует использовать (R2 — RtJ). Так как (Дх +
+ Л2) « L, то
Следовательно,
/ - (L2 + [(R2 -^J-21 (Лх +A2)])'/2. B.6.14)
Сравнивая B.6.14) с B.6.2), заключаем, что в интеграль-
интегральном уравнении B.6.7) вместо р2 должно теперь использо-
использоваться выражение (Ra — R2J — 2 L (A2 + А2). Кроме того,
различие радиусов кривизны зеркал нарушает симметрию
резонатора; в таком резонаторе структура поля воспроиз-
воспроизводится не при единичном, а при двойном проходе резонато-
резонатора. В результате вместо интегрального уравнения B.6.7)
следует теперь рассматривать систему двух интегральных
уравнений
~i- f и (RJ К (Ri: R2) dSl = у' v (R2); B.6.15а)
Pi
~ f »
где
^ ^-[(R1_r1)«— 2L (A!+A2)]V B.6.16)
Pi
B.6.156)

2.6. Метод Фокса — Ли. Эквивалентные резонаторы 147
Поскольку векторы Rt и R2
задают только поперечные коор-
координаты точек на поверхности
зеркал, то можно считать, что
интегрирование в B.6.15) про-
производится по плоскостям Pi и
Р2, показанным на рис. 2.30.
Кривизна поверхности зеркал
учитывается в выражении
B.6.16) для ядра интегрально- Рис- 2-31
го уравнения.
Заметим, что функции и (R2) и v (R2) должны удовлет-
удовлетворять условию
| v (R2) I2 ds2. B.6.17)
Это условие вводится для того, чтобы собственные значения
у' и у" имели смысл, аналогичный смыслу собственного
значения у в B.6.7). Обозначим j |u(Ri)'|a<fei через W.
Учитывая B.6.17), находим, что доля световой мощности,
теряемой за проход резонатора от левого зеркала к правому,
равна
(W—\y'\2W)/W = \— |v'|2-
Доля мощности, теряемая за проход от правого зеркала к ле-
левому, равна 1 — |-у"|2. Доля мощности, теряемая за двой-
двойной проход резонатора, равна 1 — Iy'yT- Аналогом
рис. 2.29, относившегося к симметричному резонатору, яв-
является в данном случае рис. 2.31.
Из рис. 2.30 видно, что R\ = r\ — (гх — Д^2 «
fa Л — rf A — 2А1/г1) = 2&1Г! и соответственно R* =
= г\ — (г2 — А2J « 2Д2г2. Таким образом, 2 (Д2 + Д2) =
— (^i/^i) + (RVh)- Отсюда следует, что
(R2-R1J -2Z. (Д2 + Д2) = (l —^ R\ +
?!— 2R1R2. B.6.18)

148 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Таким образом, ядро интегральных уравнений B.6.15) мо-
может быть представлено в виде
К(Ri; R2) = exp [t JL (glK? +g2/?§-2RXR,)] . B.6.19)
Воспользуемся декартовыми координатами (R2 (xlt уг);
R2 (*2. У*)) и перепишем B.6.15) и B.6.19):
j27 j
Р
= y'v(x2,y2); B.6.20а)
—г- \\ v (x2, yj К (Xi, ух; х2, у2) dx2 dy2 ==
= V"«(*i.#i); B.6.206)
-fL [gx (xf
) B.6.21)
Предположим, что апертура зеркал много больше раз-
размеров светового пятна. Тогда независимо от действительной
формы зеркал можно произвести в B.6.20) разделение пере-
переменных и использовать при этом интегрирование в симмет-
симметричных бесконечных пределах. Вводя индексы моды т, п,
представим
) = «m (*l) «n (#l); Утп = УтУп\\ ^ g ^
Нетрудно видеть, что система уравнений B.6.20) «распада-
«распадается» на две одинаковые системы уравнений — систему урав-
уравнений для функций ит и vm и систему уравнений для функ-
функций и„ и vn. Ограничимся рассмотрением первой из этих
систем уравнений: "<:
\xi) A \xi' x2) uXi = ymvm(x2), ^л-D4zoa^

2.6. Метод Фокса — Ли. Эквивалентные резонаторы 149
Щ= f *>п (х2) К (x^ x2) dx2 = Ym um (Xl), B.6.236)
— со
где
К (Xi, x2) = exp ft ~ (gt х\ + g2 x\ —1xx x2) 1 • B.6.24)
Условие B.6.17) принимает теперь вид
] = J |om(x,)|»dxa. B.6.25)
Конфокальный резонатор (gt — g2 — 0; rx = ra = L).
Поскольку этот резонатор симметричен, достаточно одного
интегрального уравнения. Оно имеет вид
^ J um{xd^-t^-x1x^dxl = ymum(x^. B.6.26)
Левая часть уравнения B.6.26) описывает фурье-преоб-
разование над функцией ит. Решения такого уравнения —
это функции, обладающие свойством: фурье-преобразование
переводит их самих в себя (с точностью до постоянного
множителя). Такими функциями являются, как известно,
полиномы Эрмита-Гаусса*).
Полином Эрмита — Гаусса /п-го порядка может быть
представлен в виде
I'm @ = Bm m\ Vn)~1'2 Hn it) exp (-f72), B.6.27)
где Нт @ = exp (f2) (—1>» J^- exp (— t2) — полином Эр-
Эрмита m-го порядка. Полиномы т])т (t) удовлетворяют усло-
условию ортонормировки
I 0* = втп. B.6.28)
•) Полиномы Эрмита и Эрмита — Гаусса рассматриваются в
приложении 1.

150 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Выпишем несколько первых полиномов Эрмита — Гаусса:
я];2 @ = BУя)~1/2 Bf2-1) exp {-P/2).
Графики этих полиномов показаны на рис. 2.32.
Полиномы Эрмита — Гаусса удовлетворяют следующе-
следующему интегральному уравнению [311:
оо
—!= f 1|>«(*)ехр(-Ит)Л = *»1|>т(т). B.6.29)
1/2я J
Введем обозначения
В результате уравнение B.6.29) принимает вид, фактически
совпадающий с видом уравнения B.6.26):
Отсюда следует, что
-g-jexp(-^x?)- B.6.30)
На рис. 2.33, а приведены графики функций ит (л^)
для tn = 0,1,2, полученные для значений 2 na2/KL, равных
25 (кривые /) и 200 (кривые 2) [22]. Приведенные графики
соответствуют графикам полиномов Эрмита — Гаусса на
рис. 2.32. На рис. 2.33, б показаны формы световых пятен
для мод ТЕМ00, ТЕМго, ТЕМ20. Интенсивность светового
поля моды ТЕМт0 обращается в нуль по оси хг в тех точках,
где амплитуда ит (л^ меняет знак; число таких точек рав-
равно т.

2.6. Метод Фокса —Ли. Эквивалентные резонаторы
161
Учет величины аперту-
апертуры зеркал резонатора.
Предположим, что аперту-
апертуры зеркал имеют форму
квадратов. Обозначим че-
через 2аг размеры апертуры
левого, а через 2а2 пра-
правого зеркала (рис. 2.34).
Так как апертура зеркала
имеет форму квадрата, то
для разделения перемен- рИс. 2.32
ных в интегральных урав-
уравнениях можно по-прежнему пользоваться декартовыми
координатами. Однако в отличие от больших апер-
апертур пределы интегрирования в соответствующих интегралах
уже не являются бесконечными. Вместо B.6.23) будем те-
теперь иметь
Т/Г
ТДЕ
"г
J
VI
Уп.
dx2 =
; B.6.31a)
B.6.316)
где К {Xi, x2) описывается выражением B.6.24). Условие
B.6.25) имеет в данном случае вид
= J \vm(x2)fdx2.
B.6.32)
Следуя [23], перейдем к безразмерным переменным
lt = xjat\ U « л;2/аа. B.6.33)
В соответствии с B.6.32) введем функции
t/m№i) = «m(b«i)V^; Vm (Ь)-»„,(!, a,) v^i; B.6.34)
В результате система уравнений B.6.31) преобразуется к ви-
виду ¦
j l/m(y/t&;?2)^i-YmVm(y; B.6.35a)

152
Гл. 2. Формирование поля излуЧеиия в резонаторе
т=1
ж
У iN \
V
— 1
где .
АДА
fff
ТЕМ,о
ТЕМ20
б)
Рис. 2.33
Рис. 2.34
; У d|a = Vm f/m (У, B.6.356)
x |f + Ga |1 -2|! |2)]. B.6.36)
Здесь, напоминаем (см. B.3.27)),
N = а&г/кЬ; Gx = (ajau) A — L/^); G2 = (ajajx
X A —
Из B.6.35)—B.6.36) видно, что пассивный резонатор, об-
образованный двумя сферическими зеркалами, может быть
описан полностью при помощи только трех параметров.
Ими являются Af, Glt G2.

2.6. Метод Фокса — Ли. Эквивалентные резонаторы 153
Хотя эти результаты получены для квадратных апер-
апертур, допускающих разделение переменных в декартовых ко-
координатах, однако вывод о наличии лишь трех параметров
резонатора (N, Glt Ga) сохраняет силу и для апертур иной
формы и, в частности, для круглых апертур.
Для круглых апертур (радиусы апертур ах и аО воспользуемся
полярными координатами Ri (Rlt Фх), R2 (R2, Ф%). Система ин-
интегральных уравнений B.6.15) принимает в данном случае вид
2я af
1. ®i)K(Ri, Q>i', Rs, Ф2)Rid#id<D1 =
= Ynm »» W2. Ф2); B.6.37a)
B.6.376)
о о
0 0
где
При этом
2я с,
С С
0 0
= Т^питп(^1,Ф1).
Rz. Фа) = ехр 1 < —— [g!
—2i?i R^cos (Фг—Ф2)]
2яа,
1 1 1-М
B.6.38)
2, Ф2)|2R2d^2<*Ф2 .
B.6.39)
Введем новые переменные и амплитуды:
^mn (S2. Ф2) =timn
В результате система уравнений B.6.37) — B.6.38) преобразуется
к виду
2л 1
W J J Umn (Ь, ФО К (Ь. Ф15 ?2. Ф2) Ct db ^Ф1 =
00
*= Т^„ Vmn (f Ф2); B.6.40а)

154 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
2я1
Ш Г f Vmn (Ь, Ф,) К (Ь, Ф1-, Ь <">i) b <*Е2 <*Ф2 =
о о
= Т^,"тп(Ь.Ф1). B.6.406)
где
-2^Е2со8(Ф2-Ф1)]). B.6.41)
Из B.6.40) — B.6.41) видно, что и в случае круглых апертур резо-
резонатор описывается тремя параметрами (N, Glf G2).
Эквивалентные резонаторы*). Итак, три параметра (N,
Gu G2) определяют специфику оператора L в интегральном
уравнении B.6.11), а следовательно, его собственные значе-
значения -у и собственные функции и. Это означает, что распре-
распределение поля на зеркалах (определяемое функциями и),
а также дифракционные потери и резонансные частоты
(выражаемые через собственные значения v) полностью оп-
определяются параметрами Af, Glt G2.
Будем называть эквивалентными (подобными) резона-
резонаторы, у которых одинаковы дифракционные потери, резо-
резонансные частоты и распределения поля на зеркалах. Из пре-
предыдущего рассмотрения следует, что эквивалентные резо-
резонаторы должны иметь одинаковые числа Френеля W, одина-
одинаковые G2 и одинаковые G2. Пусть один из резонаторов опи-
описывается параметрами
п1\ г2
а другой резонатор — параметрами
Условие эквивалентности рассматриваемых резонаторов
имеет вид
= ЛГ; G1==GJ; G^G'2
B.6.42)
Из B.6.42) следует, что если поперечные размеры ре-
резонатора (параметры аг и а2) увеличить в е раз и одновре-
*) Эквивалентность резонаторов рассматривается р [23,15].

S.6. Метод Фокса — Ли. Эквивалентные резонаторы
1S5
Рис. 2.35
менно увеличить. в е2 раз про-
продольные размеры (параметры
L, гх, гг), то получившийся
при этом резонатор будет
эквивалентен исходному. За-
Заметим, что у этих резонато-
резонаторов совпадают не только G-
параметры, но и g-парамет-
ры.
Совпадение g-параметров
для эквивалентности резонато-
резонаторов, конечно, не обязательно.
Рассмотрим, например, по-
полуконцентрический резонатор
(gi = 1. 82 = 0), у которого
«1 < «а (рис. 2.35, а). Согласно B.6.42) ему эквивалентен
резонатор такой же длины, у которого а\ = а'2 = Ка^г»
g[ = a-i!a2, g2 = 0 (рис. 2.35, б). Поскольку а2 < а2, то
gi < 1; следовательно, резонатор на рис. 2.35, б близок к
конфокальному. Итак, полуконцентрический резонатор,
у которого апертура плоского зеркала много меньше апер-
апертуры сферического зеркала (а2 <$С «г), фактически эквива-
эквивалентен конфокальному резонатору такой же длины, у ко-
которого апертуры зеркал а[ и а'2 одинаковы, причем а[ —
= Й2 = VcLifLb.
Строго говоря, конфокальный резонатор может быть эк-
эквивалентен только конфокальному же резонатору. Ведь
если g! = g2 = 0, то условия эквивалентности выполняют-
выполняются лишь при g[ = g'2 = 0. Примечательно, что два кон-
конфокальных резонатора могут быть эквивалентными незави-
независимо от отношения апертур зеркал; лишь бы равнялись чис-
числа Френеля рассматриваемых резонаторов. Иначе говоря,
условие эквивалентности двух конфокальных резонаторов
имеет вид
B.6.43)
В качестве примера на рис. 2.36 показаны два эквивалент-
эквивалентных конфокальных резонатора одинаковой длины (оа аа=
)
Резонатор, эквивалентный резонатору с внутренней
линзой. Сначала рассмотрим резонатор, в котором тонкая

156
Гл. 2. Формирование Поля излучений в резонаторе
Рис. 2.37
линза с фокусным расстоянием / и сколь угодно большой
апертурой помещена непосредственно перед одним из зеркал,
например перед правым (рис. 2.37). Комбинация из зеркала
радиуса г2 и линзы с фокусным расстоянием / оптически
эквивалентна зеркалу радиуса rjl (r2 + /). Следовательно,
рассматриваемый на рис. 2.37 резонатор с линзой эквивален-
эквивалентен безлинзовому резонатору, правое зеркало которого
имеет радиус кривизны г^/(г2 + /)• Параметры этого ре-
резонатора
а2
аг
r2f
B.6.44)
Более интересен случай, когда линза находится на неко-
некотором расстоянии от зеркал [32]. Такой резонатор показан
на рис. 2.38, a; di — расстояние линзы от левого зеркала,
d2 — от правого. Создаваемое линзой изображение левого
зеркала (с распределением поля на нем) показано на рисун-
рисунке в виде штриховой кривой АА, отстоящей от линзы на
расстоянии d3; радиус кривизны кривой АА обозначим че-
через г{. При этом ах преобразуется линзой в —а{ (см. ри-

2.6. Метод Фокса — Ли. Эквивалентные резонаторы 157
сунок). Заштрихованный на рисунке резонатор длиной
da — ds есть безлинзовый резонатор, эквивалентный исход-
исходному резонатору с линзой. Воспользовавшись тем, что
da = dj /(di - /); аМ = - djda = 1 - djf,
находим параметры N и G2 безлинзового эквивалентного
резонатора
N= а[а* = ^ B.6.45)
M«*4) XW+ddd//)'
«I
ibii)] B.6.46)
Для определения параметра Gx следовало бы определить
Ьначала г{. Мы, однако, не станем этого делать, а рассмот-
рассмотрим другой эквивалентный безлинзовый резонатор. Этот
резонатор показан штриховкой на рис. 2.38, б. Восполь-
Воспользуемся аналогией с рассмотренным ранее случаем. По-
Поскольку
d. = dj/ (d, — /); аМ = — d2/d4 = 1 — djf,
то, следовательно,
«« ^? B.6.47)
[^(l+2^)| B.6.48)
«2 L / Г-L \ III
Как и следовало ожидать, результаты B.6.47) и B.6.45)
совпадают. Ведь каждый из заштрихованных на рис. 2.38
безлинзовых резонаторов эквивалентен исходному резона-
резонатору с линзой; следовательно, указанные безлинзовые ре-
резонаторы эквивалентны друг другу. Используя B.6.45),
B.6.46) и B.6.48), выпишем параметры эквивалентного без-

15S
Гл. 2. Формирование поля излучения В резонаторе
<S| a
^ о
-1 —
—i О
о е а
-J -J K-
«N
я-
з
I
•a -a"!"-
t I
<< q a
t I
•«I4- ^1

2.6. Метод Фокса — Ли. Эквивалентные резонаторы 159
линзового резонатора
B,6.49)
- Обратимся к табл. 2.5. Здесь сопоставлены три резона-
резонатора: безлинзовый; с линзой, помещенной непосредствен-
непосредственно перед зеркалом; с линзой, отстоящей от зеркал на неко-
некотором расстоянии. Для этих резонаторов приведены матри-
матрицы передачи луча, проходящего от левого зеркала к право-
правому. Первые две матрицы рассматривались в § 2.4 (см. B.4.18)
и B.4.22)), третья есть матрица М (йг -*¦ f -*¦ d2) =
=М (d2) M (f) M (dj. В таблице приведены также параметры
N, Glt G2 для эквивалентных безлинзовых резонаторов;
при этом использованы B.6.44) и B.6.49).
Из таблицы без труда усматривается некое общее прави-
правило. Предположим, что луч, проходящий от левого зеркала
(радиус кривизны зеркала гг) к правому (радиус кривизны
г2), преобразуется в соответствии с некоторой матрицей
(АВ\ _
\CDlm матрица учитывает как свободное пространство
внутри резонатора, так и возможные оптические элементы
в резонаторе, определенным образом размещенные по его
оси. Упомянутое правило состоит в том, что данному резо-
резонатору эквивалентен «пустой» резонатор со следующими
параметрами [32]:
B.6.50)
Резонатор с диафрагмой. Предположим, что внутри ре-
резонатора длиной L находится диафрагма — поглощающая
плоскость с отверстием, диаметр которого 2а. Апертуры зер-
зеркал резонатора полагаем неограниченно большими. Обо-
Обозначим через dx и d2 расстояния от диафрагмы до соответст-
соответственно левого (радиус кривизны гх) и правого (г2) зеркал;
dx + d? — L.

160
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
В частном случае сим-
метричного резонатора (ког-
d d L/2
да
рр (
= d2 = L/2 и гг =
2
г2 = г) удобно воспользовать-
ся аналогией между открыты-
открытыми резонаторами и линзовы-
линзовыми волноводами. Резонатор
с диафрагмой, изображен-
изображенный на рис. 2.39, a, f опти-
оптически эквивалентен линзово-
линзовому волноводу, показанному
i ¦ i на Рис- 2.39, б, а волновод,
J-4 д-|-с в свою очередь, эквивален-
~т\ [у . тен изображенному на рис.
' 2.39, в плоскопараллельному
резонатору с линзой посреди-
посредине; апертуры зеркал этого
резонатора равны апертуре
диафрагмы исходного резо-
резонатора, фокусное расстояние
линзы / = г/2. Используя
B.6.49), находим параметры
безлинзового резонатора, эквивалентного резонатору, по-
показанному на рис. 2.39, в, а следовательно, и резонатору
Рис. 2.39
на рис. 2.39, а:
~KL A—L/2/-)'
= Gi = l— — . B.6.51)
Этот безлинзовый резонатор показан на рис. 2.39, г. В от-
отличие от исходного резонатора с диафрагмой он имеет зер-
зеркала с конечной апертурой; радиус апертуры зеркал равен
1 — 2^, где а — радиус апертуры диафрагмы исходного
резонатора.
Заметим, что результат B.6.51) может быть получен из
B.6.50), если учесть, что матрица
рис. 2.39, в имеет вид
(А В\
[С D)
для

2.6. Метод Фокса — Ли. Эквивалентные резонаторы 161
2r
I
При этом надо положить в B.6.50) о^ = а2 = а, 1/гх *=
= 1/г, = 0.
Для несимметричного резонатора с диафрагмой не суще-
существует, вообще говоря, эквивалентного «пустого» резона-
резонатора. Можно, однако, показать [33], что и в общем случае
несимметричного резонатора с диафрагмой (и неограниченно
большими апертурами зеркал) дифракционные потери и
распределения амплитуды поля на зеркалах определяются
только тремя параметрами. В качестве таких параметров
выступают следующие комбинации из a, dlt da, rlt r2:
B.6.52a)
- (r1-2d1)d2(r2~ds) + (r2~2d2)d1(.r1~dl) g g
rd(rd)+rd(rd) ' k " ' '
Результат B.6.52) следует из соответствующих интеграль-
интегральных уравнений, описывающих распространение излуче-
излучения в резонаторе с диафрагмой.
При гх = г2 = г и dx = d2 = LI2 из B.6.52) получаем
; g=l—-; р = 0. B.6.53)
Сравнивая B.6.53) и B.6.51), заключаем, что для симметрич-
симметричных резонаторов с диафрагмой параметр у совпадает с чис-
числом Френеля N, а параметр g — с параметрами йг и G2
для эквивалентного безлинзового резонатора.
Рассмотрим конфокальный резонатор (rx = r2 = L)
с произвольным расположением диафрагмы на его оси. Для
него соотношения B.6.52) существенно упрощаются:
g = 0; p=0. B.6.54)
Отсюда видно, что два конфокальных резонатора с диафраг-
диафрагмой имеют одинаковые дифракционные потери и одинако-
6 Зак. 1785

162
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
вые распределения амплитуды
поля на зеркалах, если выпол-
выполнено условие
cPUlbiL-dJWa'y L'/ldi X
X(L'-d't)] B.6.55)
(здесь a, L, а\ — параметры
одного резонатора; a', L', d[ —
параметры другого резонатора).
Напомним, что конфокаль-
конфокальный резонатор без диафрагмы,
образованный зеркалами с конечными (притом неравны-
неравны) N /ЯХ
Рис. 2.40
р р (р
ми) апертурами, характеризуется параметрами N =12
G± = 0; G2 = 0. Параметр v = (РШЫ^ (L — dj
в конфокальном резонаторе с диафрагмой и бесконечно
большими апертурами зеркал играет такую же роль, какую
играет число Френеля N = a^aJ'kL в конфокальном резо-
резонаторе без диафрагмы и конечными апертурами зеркал.
Как у, так и N определяют дифракционные потери в соот-
соответствующих конфокальных резонаторах; малость дифрак-
дифракционных потерь соответствует большой величине этих па-
параметров (N > 1; у > 1).
Используя B.6.54), рассмотрим зависимость 1/^ от
dx при заданных значениях L и а (рис. 2.40). Легко видеть,
что наибольшие дифракционные потери в конфокальном
резонаторе имеют место, когда диафрагма помещается по-
посредине резонатора (d± = L/2). Если же приближать диаф-
диафрагму к зеркалу, то дифракционные потери начинают до-
довольно быстро уменьшаться (несмотря на то, что апертура
диафрагмы остается неизменной). Располагая диафрагму
сколь угодно близко к зеркалу, можно сделать параметр
у сколь угодно большим. Этот факт имеет интересное физи-
физическое объяснение (см. § 2.9).
2.7. Гауссовы пучки
Общие замечания; пространственная форма гауссова
пучка. Для описания структуры поля светового пучка,
формируемого в устойчивом резонаторе, широко применя-
применяется модель гауссова пучка. Для гауссовых пучков характер-
характерно быстрое уменьшение амплитуды поля при удалении от

2.7. Гауссовы пучки
163
13——-""^1
z
V pfz)
X
Рис. 2.41
Рис. 2.42
оси пучка; амплитуда уменьшается в соответствии с функ-
функцией Гаусса Лехр (—jc2/p2) (рис. 2.41). Параметр р играет
роль эффективного радиуса пучка.
Простейший тип гауссова пучка соответствует основной
поперечной моде. Зависимость модуля амплитуды поля ос-
основной моды от поперечных координат полностью описыва-
описывается функцией Гаусса:
B.7.1)
В случае мод более высокого порядка амплитуда поля гаус-
гауссова пучка выражается обычно через произведение функ-
функции Гаусса и полиномов Эрмита (т. е. через полиномы Эр-
мита — Гаусса):
B.7.2)
На рис. 2.42 схематически показана определяемая пара-
параметром р пространственная форма гауссова пучка внутри
некоторого резонатора. Величина радиуса пучка р изменя-
изменяется по длине резонатора (вдоль оси пучка). В некоторой
точке оси радиус пучка принимает минимальное значение;
будем обозначать его через р„. Опорная плоскость, про-
проведенная через эту точку, называется плоскостью перетяж-
перетяжки пучка (или «горловиной пучка»); см. заштрихованное
сечение на рис. 2.42. Будем рассматривать радиус пучка
в функции от расстояния г, отсчитываемого от перетяжки
пучка. Ниже будет показано, что
р2 = Р? + (А/я)«
B.7.3)
6*

164 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Соотношение B.7.3) есть уравне-
уравнение поверхности, ограничивающей в
пространстве поле гауссова пучка;
эту поверхность называют каустиче-
каустической поверхностью или, короче, ка-
каустикой. Она представляет собой ги-
гиперболоид вращения. Сечение этого
Рис. 2.43 гиперболоида плоскостью,. проходя-
проходящей через оси пучка, имеет форму
гиперболы; см. толстые линии на рис. 2.42.
Штриховыми прямыми на рис. 2.42 показаны асимптоты
гиперболы. Обозначим через р* угол между асимптотой и
осью пучка. Чтобы найти этот угол, следует предваритель-
предварительно привести уравнение B.7.3) к каноническому виду
(р7а2) — (zW) = 1. B.7.4)
Сравнивая B.7.4) с B.7.3), заключаем, что а = р„; Ь =
= проЛ. Тангенс угла р* есть отношение alb; таким обра-
образом,
tg p = Л/яр0. B.7.5)
Предполагается, что рассматриваемые здесь гауссовы пучки об-
обладают симметрией вращения вокруг оси пучка (круговые гауссовы
пучки). Такие пучки формируются в резонаторах, образованных
идеальными сферическими зеркалами, при условии, что внутри
резоиатора нет каких-либо элементов, нарушающих симметрию вра-
вращения вокруг оптической оси. На практике, однако, сферичность
зеркал резоиатора может нарушаться или даже сознательно не соб-
соблюдаться (астигматические резонаторы). Кроме того, внутри резо-
резоиатора могут находиться элементы, нарушающие его симметрию
вращения, например, наклонные плоскопараллельиые пластинки, в
частности окна Брюстера газоразрядной трубки. В подобных слу-
случаях световой пучок имеет в поперечном сечении ие круглую, а эл-
эллиптическую форму; такие пучки называют эллиптическими. На
рис. 2.43 схематически показана форма эллиптического гауссова
пучка в астигматическом резонаторе.
Теория гауссовых пучков рассмотрена в [22, 32, 34, 35,
17]; см. также [4, 7, 15]. В монографии [17] наряду с круго-
круговыми рассмотрены также эллиптические гауссовы пучки.
Распространение гауссова пучка в свободном простран-
пространстве. Воспользуемся тем, что плоскость перетяжки гаус-
гауссова пучка есть плоскость постоянной фазы. Иначе говоря,
в точке оси, отвечающей перетяжке пучка, волновой фронт
гауссова пучка является плоским. Это согласуется с сим-

2.7. Гауссовы пучки 165
метрией формы гауссова пучка по отношению к плоскости
перетяжки.
Рассматривая пока только основную моду, представим
поле гауссова пучка в плоскости перетяжки Ро в виде
и (I, л) = А ехр [- (Е2 + ri2) / pg].
B.7.6)
Здесь | и ц — декартовы координаты в плоскости Ро. Плос-
Плоская форма волнового фронта обусловила отсутствие в вы-
выражении для и (|, ц) фазового множителя следующего
вида: expttO (|, rj)].
Если задать поле гауссова пучка в некоторой плоскости
(например, в плоскости перетяжки), то можно определить
поле этого пучка в любой другой опорной плоскости, рас-
рассматривая в соответствии с теорией дифракции распростра-
распространение излучения от исходной плоскости до выбранной опор-
опорной плоскости. Выберем опорную плоскость Рг на расстоя-
расстоянии г от плоскости перетяжки Ро. Поле и (х, у, г) гауссова
пучка на плоскости Pz определяется дифракционным инте-
интегралом B.6.6), в который надо подставить поле B.7.6) и
заменить при этом L на г. Таким образом,
и (х, у, г) = —~ А ехр ^ -у- г\ х
B.7.7)
Используя B.7.7), находим выражение для комплексной
амплитуды поля основной моды гауссова пучка на рассто-
расстоянии г от плоскости перетяжки пучка*5:
и(х, у, г) = А (<лр°Аг) ехр (А
xexpf; <*+«>"/*« 1ехрГ__^+^(кроА^ ]
Поперечные размеры пучка определяет быстро уменьша-
уменьшающийся с удалением от оси пучка множитель
Г (*2+«/2)(яРоАг)*1
*) Соответствующие выкладки приведены в приложении 2.

166 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
в выражении B.7.8). Из вида этого множителя следует, что
радиус гауссова пучка р на расстоянии г от перетяжки опи-
описывается выражением B.7.3):
pg
Заметим, что
exp(i arctga)=cos(arctga)+tsin(arctga)——+fg_; B.7.9)
1/1 +a*
С учетом B.7.9) находим
1 exp [—
Согласно B.7.3)
В результате выражение B.7.8) может быть переписано
в виде
и (х, у, г) = А -^- ехр [ -(х2 + t/^/p2 (г)] х
Р(г)
х ехр (/ Г *L z_arctg f-**-U <*+*>*»* 11 . B.7.10)
Радиус кривизны поверхности постоянной фазы. Из
B.7.10) следует, что распространение гауссова пучка от
плоскости Ро до плоскости Рг сопровождается изменением
фазы, равным
2f^U('+^A . B.7.11)
1+(яр?Аг)а
При распространении от Ро до Pz плоский вначале волно-
волновой фронт пучка становится сферическим; поэтому в выраже-
выражении, описывающем изменение фазы, появляется слагаемое,
зависящее от поперечных координат:
А B.7.12)
Обозначим через R (г) радиус кривизны поверхности по-
постоянной фазы, пересекающей ось пучка в точке г (на рас-
расстоянии г от перетяжки); см. рис. 2.44. Из рисунка видно,

2.7. Гауссовы пучкн
167
tt(x.y).
Рис 2.44
Рис. 2.45
что сдвиг фазы в точке х, у плоскости Pz по сравнению с
точкой 0, 0 той же плоскости есть BлА) d (x, у). Так как
этот сдвиг фазы описывается выражением B.7.12), то, сле-
следовательно,
(* + *№ . B.7.13)
Далее учтем, что R2 — (х2 + yi) = lR—d (x, у)]2 (см.
рисунок). Поскольку d С R, то (R—df « R* A —2 d//?)=
= R* — 2 Rd и, таким образом, 2Rd fa x2 -j- #s. Подстав-
Подставляя этот результат в B.7.13), находим выражение для ра-
радиуса R (z) кривизны поверхности постоянной фазы
B.7.14)
С учетом B.7.14) выражение B.7.10) принимает вид
и(х, у, z) = А —^— ехр Г —
P(z) L
B.7.15)
Из B.7.14) следует, что на достаточно больших расстоя-
расстояниях от перетяжки пучка, удовлетворяющих неравенству
г > щ>*Л B.7.16)

168
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.46
(в этом случае говорят о
«дальней зоне»), радиус кри-
кривизны поверхности [ постоян-
постоянной фазы может быть описан
выражением R (z) да г. Та-
Таким образом, в дальней зо-
зоне гауссов пучок превраща-
превращается в сферическую волну и
может рассматриваться в
приближении геометрической
оптики. Что же касается
ближней зоны (г < щ%Гк), то для нее это прибли-
приближение не годится: световые лучи в этой зоне не являются
прямолинейными (рис. 2.45, а; здесь световые лучи показаны
непрерывными, а сечения поверхностей постоянной фазы
штриховыми линиями). Определяемая соотношением B.7.14)
зависимость R (z) представлена на рис. 2.45,6.
Основные соотношения, связывающие параметры гаус-
гауссова пучка. Параметрами гауссова пучка являются радиус
пучка р и радиус кривизны поверхности постоянной фазы
R, рассматриваемые на расстоянии z от перетяжки пучка,
имеющей радиус р0 (рис. 2.46). Полученные выше результа-
результаты позволяют записать ряд соотношений, связывающих
р, R, z, р0. Выпишем следующие соотношения:
P2=po-HW(z2/po)
pb = (%lnyz(R-z)
PaPo = (k/nfRz
B.7.3)
; B.7.17)
B.7.18)
Результат B.7.17) следует непосредственно из B.7.14).
Результат B.7.18) следует из B.7.3), если туда подставить z2
из B.7.17).
Комплексные параметры гауссова пучка. Выражение
B.7.15) для амплитуды поля и (х, у, z) может быть представ-
представлено в более компактном виде, если ввести комплексные
параметры пучка q (z) и R (z), предложенные Когельни-
ком [32]. Эти параметры определяются следующим образом:
1/9 = 1/Я +
B.7.19)

2.7. Гауссовы пучки
169
Р= — arctg
—i In (po/p)
B.7.20)
Используя эти параметры, перепишем B.7.15) в виде
и(х, у, г)=А ехр {» [р (г) + (х2 +
B.7.21)
Гауссов пучок как решение параболического уравнения.
Выражение B.7.21) описывает поле основной моды. Имея
в виду последующее обобщение результатов на моды высо-
высоких порядков, покажем на примере основной моды, что
гауссов пучок является решением параболического урав-
уравнения.
Хорошо известно волновое уравнение для монохромати-
монохроматической электромагнитной волны, распространяющейся в
свободном от зарядов пространстве:
V2 и (х, у, z) + Dл2А2) и (х, у, z) *= 0. B.7.22)
Представим амплитуду волны и (х, у, г) в виде
и (х, y,z) = U (х, у, z) ехр (i2nz/k). B.7.23)
Подставляя B.7.23) в B.7.22), приходим к уравнению
д2 У , д*У , д2 У . . 4л дУ о ,о ~ „•»
1 \ \-i =0. B.7.24)
дх2 dtfl dz2 К dz
Полагая, что функция U {х, у, z) относительно слабо зави-
зависит от координаты z> так что справедливо неравенство
дУ
дг
B.7.25)
преобразуем уравнение B.7.24) к виду
} &U . 4л дУ
' дуг + l ~ dz
B.7.26)
Это уравнение называют параболическим.
Убедимся, что функция U (х, у, г), имеющая вид (см.
B.7.21) )
U (х, у,г) = А ехр {i [Р (г) + (xs + у2) яА q (г)]}, B.7.27)

170 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
является решением параболического уравнения B.7.26).
Подставляя B.7.27) в B.7.26), получаем
4я Г dP i 1
TlTz rrl +
Это равенство должно иметь место при любых хи у. Отсюда
следует, что должны выполняться равенства
dPldz — ilq (z) =0; 1 — dqldz = 0. B.7.28)
Используя B.7.19) и B.7.20), нетрудно убедиться, что
равенства B.7.28) действительно выполняются.
Обобщение на моды высоких порядков. Используя
B.7.21) и B.7.2), представим амплитуду поля гауссова пуч-
пучка для mn-й моды в следующем виде:
итп{Х, у, z)=AHm(V2 ^)Hn(V2 -JL-) X
X ехр |* [P (z)+ (*» + f/2) -^ + Фтп B)]| exp (i -f5-
B.7.29)
где Фш подлежит определению.
Полагая, что ят-я мода, как и основная мода, является
решением параболического уравнения, подставим B.7.29)
(без множителя ехр (i 2nzlK)) в B.7.26). Эта подстановка
преобразует уравнение B.7.26) к виду
1 / &Нт оу dHm \ . 1 / <РНп 2у dHn \
Нт [ dX* dX Г Нп [ dY* dY )
^-р2^2_==0, B.7.30)
где
Y=V2~ylp.
Далее учтем, что полином Эрмита т-го порядка Нт (X)
удовлетворяет дифференциальному уравнению*)
0. B.7.31)
*) См. приложение 1.

2.8. Преобразование гауссовых пучков 171
Сравнивая B.7.30) и B.7.31), заключаем, что фазовый сдвиг
Фтп должен удовлетворять уравнению
— р2(Z) -^22- = —(т+ /г). B.7.32)
X dz
С учетом B.7.3) получаем отсюда
т-\-п С dz
J mn яр?А Jl
о о
Поскольку Фгоп @) — 0, то следовательно,
Фтп (?) = -(т+п) arctg (Xz/npB). B.7.33)
Используя в B.7.29) результат B.7.33) и переходя от
параметров q и Р к параметрам р и R, получаем следующее
выражение для амплитуды поля mn-й моды:
B.7.34)
Отметим, что радиус пучка р и радиус кривизны поверх-
поверхности постоянной фазы R (а следовательно, и параметр
q) не зависят от индексов моды т, п. Это означает, что при
использовании указанных параметров гауссова пучка до-
достаточно рассмотреть основную моду.
2.8. Преобразование и согласование гауссовых пучков
Для описания преобразования гауссова пучка при его
распространении от опорной плоскости г = гг до опорной
плоскости г = г2 надо указать правило перехода от пара-
параметров р (гг), R (гг) к параметрам р (г2), R (г2) или, иными
словами, правило перехода от q (z±) к q (za).

172 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Преобразование гауссова пучка в свободном простран-
пространстве. Предварительно убедимся в том, что
= z —»яр8/я| . B.8.1)
В самом деле, из B.7.19) находим
Из B.7.18) следует, что KR/np2 = npl/Kz; поэтому
С учетом B.7.14) получаем отсюда результат B.8.1).
Правило преобразования гауссова пучка в свободном
пространстве следует из B.8.1). Если пучок распространя-
распространяется ОТ 2 = 2Х ДО 2 — 22, ТО
B.8.2)
где <7i — q BX); 92 — Я (z2); d = za — z,.
Линза как фазовый корректор. Изменяя фазу световой
волны, линза выступает в роли фазового корректора. Рас-
Рассмотрим двояковыпуклую линзу, характеризующуюся
радиусом кривизны поверхностей г и радиусом апертуры
а (рис. 2.47). Обозначим: d0 — максимальная толщина лин-
линзы, d (х, у) — ее толщина в точке ху плоскости апертуры,
п — показатель преломления, f — фокусное расстояние.
Пусть ых (х, у) — поле на входной опорной плоскости Ръ а
«г (х, У) — на выходной плоскости Ра. Полагая, что модуль
амплитуды поля при прохождении линзы не изменяется,
представим
и, {х, у) = ых (х, у) ехр ЦBт1Л) + *Ф (х, У)Ъ B.8.3)
где Bn/K)du — набег фазы на расстоянии d0 между плоско-
плоскостями Ру и Р2; ф (х, у) — дополнительный сдвиг фазы,
обусловленный линзой. Суммарный сдвиг фазы равен, оче-
очевидно, сумме фазовых сдвигов внутри линзы и вне ее:
ао+ф(х, y)^^nd(х, у)+^~Ыо-d{x, у)].
Таким образом,
Ф(х, у) = B я/Я) (п - 1) d (х, у). B.84.)

2.8. Преобразование гауссовых пучков
173
-1//
Рис. 2.47
Рис. 2.48
Учитывая, что 1// = (п — 1) 2/г, преобразуем B.8.4) к ви-
ДУ
Ф (х, у) = (nr/Xf) d (x, у). B.8.5)
Из геометрических соображений (см. рис. 2.47) следует, что
d(x, y)= 2[-|~(r-V^-
Поскольку при я2 + f/2 = а2 функция d (x, у) обращается
в нуль, то, следовательно, d0 — а2/г. Окончательно полу-
получаем
Ф (х, у) = (я/Х/) [а2 - (х2 + у2)]. B.8.6)
Линза является, как можно видеть, квадратичным, фазо-
фазовым корректором.
Преобразование гауссова пучка в линзе. Обозначим через
Pit #ъ <7i параметры гауссова пучка непосредственно перед
линзой, а через р2, R2, q2 — непосредственно после линзы;
f — фокусное расстояние линзы. Являясь фазовым кор-
корректором, линза изменяет кривизну волнового фронта
(Я2 Ф #х); радиус пучка остается при этом фактически не-
неизменным (р2 = рх).
Кривизна волнового фронта связана в B.7.15) с завися-
зависящим от поперечных координат х, у слагаемым п (х2 + y*)/XR
в показателе экспоненты фазового множителя. Рассматри-
Рассматривая прохождение гауссова пучка через линзу, следует, в со-

174
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
^ *
Рис. 2.49
ответствии с B.8.6), дополнить указанное слагаемое сла-
слагаемым — л (л? + y2)/kf. Таким образом,
- [я (х"
я
или
B.8.7)
На рис. 2.48 изображена определяемая формулой B.8.7)
зависимость величины l/R2 от 1//. На рисунке выделены
три случая: а) 1// < \/Rt (точка 1), в этом случае R2 >
> 7?i > 0; б) 1// = 1/7?! (точка 2), в этом случае R2 = оо;
в) 1// > 1//?х (точка 3), в этом случае R2 < 0.
Отмеченные случаи поясняет рис. 2.49. Здесь 1 — по-
поверхность постоянной фазы (волновой фронт) при входе в
линзу, 2 — волновой фронт при выходе из линзы; точка
г = 0 фиксирует положение плоского фронта (перетяжку)
для пучка, входящего в линзу, а точка А — для пучка,
выходящего из линзы. Из рис. 2.49, а видно, что линза
лишь немного уменьшает расходимость пучка; рис. 2.49, б—
линза создает в том месте, где она находится, плос-
плоский волновой фронт; рис. 2.49, в — линза обращает волно-
волновой фронт.
Поскольку р2 = рь то правило B.8.7) очевидым об-
' обобщается на параметр q:
D^SK^
B.8.8)

2.8. Преобразование гауссовы^ пучков
175
Преобразование гаус-
гауссова пучка в линзовой
системе. Гауссов пучок
(рис. 2.50) распростра-
распространяется от плоскости Рг до
плоскости Р2 и проходит
при этом через линзу с фо-
фокусным расстоянием /;
dx — расстояние от Рг до
линзы, d2 —расстояние от линзы до Рг. Сначала пучок
преобразуется в свободном пространстве от Рх до 'линзы;
согласно B.8.7)
Яг = Яг + (к- B-8.9)
Затем пучок преобразуется в линзе; согласно B.8.8)
Рис. 2.50
или
<7з=-
B.8.10)
Наконец, пучок ^преобразуется в свободном пространстве от
яинзы до Ра; согласно B.8.7)
<74 = <7з + 4- B.8.11)
Объединяя B.8.9) — B.8.11), получаем следующее прави-
правило для преобразования пучка при его распространении от
плоскости Рг (параметр пучка qt) до плоскости Р2 (параметр
пучка qt):
. B.8.12)
Закон ABCD — закон преобразования гауссовых' пуч-
пучков в линзовых системах. Любое преобразование гауссова
пучка в линзовой системе может быть представлено в виде
Я2=(Ад1+В)/{Сд1+Р)\, B.8.13)
где
д ft и <7з — соответственно начальный и конечный па-
.. (А В\
раметры пучка. Матрица I c Dj описывает систему, обеспе-
обеспечивающую рассматриваемое преобразование пучка.

176 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Так, преобразованию пучка в свободном пространстве
протяженности d отвечает матрица (ср. B.8.7) и B.8.13))
B.8.14)
Преобразованию пучка в линзе с фокусным расстоянием
/ отвечает матрица (ср. B.8.10) и B.8.13))
1-1// 1/"
B-8.15)
Преобразованию пучка в линзовой системе, показанной на
рис. 2.50, отвечает матрица (ср. B.8.12) и B.8.13))
f |. B.8.16)
Если преобразование гауссова пучка есть последователь'
ность нескольких преобразований, то его матрица пред-
представляет собой произведение матриц составляющих преоб-
преобразований, записанных в порядке, обратном порядку,
в каком выполняются эти преобразования. Легко убедить-
убедиться, например, что
B.8.17)
Выражаемый соотношением B.8.13) закон ABCD позво-
позволяет легко находить правило преобразования гауссова пуч-
пучка в произвольной линзовой системе. ЛВСО-матрица со-
соответствующего преобразования определяется как произ-
произведение матриц типа B.8.14) и B.8.15), записанных в оп-
определенном порядке. Принимая во внимание аналогию
между линзовыми волноводами и открытыми резонаторами,
можно распространить закон ABCD и на резонатор, при
условии, что рассматриваются резонаторы, в которых све-
световые пучки являются гауссовыми. Матрица, описывающая

2.8. Преобразование гауссовых пучков
177
Рис. 2.51
Световые лучи
Гауссовы пучки
преобразование гауссова пучка при его отражении от сфе-
сферического зеркала с радиусом кривизны г, имеет вид
««-ил
который формально следует из B.8.15), если / = г/2.
Сопоставляя результаты, полученные в данном парагра-
параграфе, с результатами, полученными в § 2.4 при рассмотрении
преобразований светового луча, нетрудно обнаружить ин-
интересную аналогию между оптикой гауссовых пучков и
геометрической оптикой. Дело в том, что используемая в за-
законе ABCD для гауссовых пучков ЛБСО-матрица, описы-
описывающая некоторую оптическую систему, совпадает с опи-
описывающей эту же систему матрицей передачи светового луча.
Эта матрица выражается через произведение записанных
В определенном порядке «элементарных» матриц (для свобод-
свободного пространства, линзы, сферического зеркала), имеющих
одинаковый вид как в геометрической оптике, так и в опти-
оптике гауссовых пучков*'. Можно получить ЛБСО-матрицу,
рассматривая поведение световых лучей в оптической систе-
системе, и затем применить эту матрицу к гауссовым пучкам.
Собранные в табл. 2.4 матрицы передачи луча используются
при рассмотрении гауссовых пучков.
Впрочем аналогию между лучевой оптикой и оптикой
гауссовых пучков не следует преувеличивать. Аналогия
имеет место лишь постольку, поскольку речь идет о виде
*) Сопоставьте B.8Л4) и B.4.18), B.8.15) и B.4.20), B.8.18) и
B.4.26).

178
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
ABCD-матрицы для рас-
рассматриваемой оптической
системы. Что же касается
характера выполняемого
ЛБСО-матрицей преобра-
преобразования, то он различен
для луча и гауссова пуч-
пучка. Преобразование луча
описывается выражением
B.4.16), тогда как гауссов
пучок преобразуется в соответствии с законом ABCD,
описываемым выражением B.8.13); см. рис. 2.51.
В заключение заметим, что закон A BCD применим также
при распространении гауссова пучка в среде, показатель
преломления которой изменяется в поперечном к оптической
оси направлении по квадратичному закону
Рис. 2.52
п (х, у) = п0 — пг (х2
B.8.19)
Для сред с произвольным (неквадратичным) законом из-
изменения показателя преломления закон ABCD неприменим.
Он неприменим также в случаях, когда необходимо при-
принимать во внимание аберрации линз. Во всех этих случаях
в результате преобразования световой пучок перестает
быть гауссовым [7].
Преобразование гауссова пучка в квадратичной среде.
Квадратичной средой называют среду, показатель преломле-
преломления которой изменяется по закону B.8.19)*>. Применимость
закона ABCD к квадратичным средам объясняется тем,
что такие среды могут рассматриваться как набор из боль-
большого числа линз, расположенных последовательно вплот-
вплотную друг к другу **>.
Сравним линзу и плоскопараллельный тонкий слой квад-
квадратичной среды (рис. 2.52). Толщина слоя d0 выбрана рав-
равной максимальной толщине линзы. Показатель преломле-
*> Примером такой среды может служить оптическое волокно
с соответствующим радиальным градиентом показателя преломле-
преломления. Квадратичная среда может возникнуть также в результате
появляющегося при поглощении излучения накачки радиального
градиента температуры в активном элементе (эффект тепловой лин-
линзы).
**) Распространение света в квадратичной среде весьма сходно
с распространением в линзовом волноводе [36,7].

2.8. Преобразование гауссовых пучков 179
ния линзы равен м0; показатель преломления слоя описы-
описывается выражением B.8.19):
п (s) = п0 — п2 s*/2,
гдев2 = л;2 + у1. Сопоставим изменения фазы, возникающие
при распространении света от плоскости Рг до плоскости
Р2 на расстоянии s от оптической оси в случае линзы и в
случае слоя квадратичной среды (рис. 2.52). Искомый сдвиг
фазы для слоя
B.8.20)
для линзы
Фл(в) =—— "od(s)-}——[d0—d(s)]. B.8.21)
Поскольку d0 — d (s) = 2 (г — l/r2 — s2) « &lr (здесь
г — радиус кривизны поверхности линзы, s <^ г), то ре-
результат B.8.21) может быть переписан в виде
Фл(я) = —- nodo — (п0 — 1) —
или, с учетом того, что 1// — (п0 — 1) 2/г (/ — фокусное
расстояние линзы), в виде
Ф«(в)=-^-Яо4--^-. B-8.22)
Сравнивая B.8.22) и B.8.20), заключаем, что тонкий слой
квадратичной среды, имеющий толщину d0, изменяет фазу
проходящего через него светового пучка точно так же,
как тонкая линза с фокусным расстоянием
B.8.23)
ЛБСО-матрица преобразования пучка при его прохожде-
прохождении через квадратичную среду протяженностью d имеет вид
[15]
(-if j?
) /
B.8.24)

180
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.53
Легко видеть, что при п2 -»- 0 матрица B.8.24) превращается
в матрицу (q jn°], приведенную в табл. 2.4. Если в B.8.24)
устремить d к нулю и учесть при этом, что согласно B.8.23)
С-элемент матрицы будет стремиться к —1// (при достаточ-
достаточно малых d имеем —¦ У п2п0 sin 11/ — d\ « — Mad), то при-
придем к матрице B.8.15), описывающей преобразование пуч-
пучка в тонкой линзе.
Согласование гауссовых пучков. Задача о согласовании
гауссовых пучков может иметь различные практические
приложения. Пусть, например, выходящий из лазера гаус-
гауссов пучок требуется ввести в линзовый волновод, в другой
лазер (с целью накачки последнего), в резонатор парамет-
¦ рического генератора света и т. п. Во всех этих случаях гаус-
гауссов пучок, выходящий из одного резонатора, требуется
ввести в другой резонатор. Весьма важно, чтобы в процес-
процессе такого ввода исходный пучок был должным образом
преобразован или, как говорят, согласован с резонатором-
приемником. Для этого обычно используют линзу, помещае-
помещаемую в определенной точке между первым и вторым резона-
резонаторами (согласующая линза).
На рис. 2.53 показана типичная схема согласования.
Здесь / — первый резонатор, 2 — второй резонатор, 3—
согласующая линза (фокусное расстояние /); А и В — точ-
точки исходного и вторичного гауссовых пучков, в которых
пучки имеют плоский волновой фронт (точки перетяжки
пучков). Радиусы пучков в точках А а В обозначим соот-
соответственно через р10 и р20; расстояния от согласующей

2.8. Преобразование гауссовых пучков 181
линзы до точек А и В обозначим соответственно через dx и
d2. Задача .о согласовании пучков может, быть поставлена
следующим образом: даны р10, р2о, /; требуется найти dx и
d2. Решая эту задачу, выясняют, на каком расстоянии друг
от друга надо фиксировать центры согласуемых резона-
резонаторов и где именно надо поместить согласующую линзу *>.
Рассмотрим опорные плоскости Рг (параметр пучка ft) и
Ра (параметр пучка q2); см. рис. 2.53. Эти плоскости сов-
совпадают с плоскостями перетяжки пучков; следовательно,
параметры qx и q2 должны быть чисто мнимыми (коль ско-
скоро 1/7?! = 0 и \IR2 — 0). В соответствии с B.8.1) предста-
представим
<?!=—;яр?0Д==— iQi, g2=— wipioAsa— iQ2. B.8.25)
Воспользуемся Л5СО-законом: q2 = (Aqx + B)l(Cqx+D)
или, иначе, Aq± + В = Cq±q2 + Dq2. Подставляя сюда
B.8.25), получаем — iAQx + В = —CQiQ2 — iDQ2, или
аъом+в-о-л B826)
AQi— DQ2=0. J
Далее воспользуемся конкретным видом ЛБСО-матрицы для
преобразования пучка от Рг к Р2. Это есть матрица B.8.16).
Используя B.8.16), перепишем систему уравнений B.8.26)
в виде
(—Qi Qz/f) + (di + dj-dx d2/f) = 0 ; |
(l-d2lf)Q1-(l-dl/n(h = 0. 1
Эта система уравнений (рассматриваемая относительно не-
неизвестных йг и d2) имеет два решения. Первое решение
B.8.28а)
Второе решение
B.8.286)
*) При этом надо знать также, на каких расстояниях от зеркал
резонаторов находятся точки перетяжки пучков. Этот вопрос бу-
будет обсуждаться в § 2.9.

182 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Здесь /0 = (п/К) р10р20 — так называемая характеристи-
характеристическая длина. Для"согласования важно, чтобы- выполня-
выполнялось неравенство
/>/о- B.8.29)
Неравенство B.8.29) накладывает ограничение на выбор
согласующей линзы.
С учетом B.8.25) перепишем B.8.28) в виде
V7W ^f + VFlb1, B.8.30a)
Рго Рю
di=f—^VF4bl d^f—^VF^fl B.8.306)
Рго Рю
2.9. Гауссовы пучки в устойчивых резонаторах
Самовоспроизведение гауссова пучка при отражении от
сферического зеркала. На рис. 2.54, а изображен гауссов
пучок, распространяющийся от плоскости перетяжки Ро в
положительном направлении оси z; непрерывные линии со
стрелками — световые лучи, штриховые — сечения по-
поверхностей постоянной фазы (напомним, что в каждой точ-
точке световой луч перпендикулярен к поверхности постоян-
постоянной фазы). Радиус пучка в плоскости перетяжки (радиус
р0) полагаем заданным.
Используя вогнутое сферическое зеркало достаточно
большой апертуры, можно отразить световой пучок назад
так, чтобы он при этом воспроизводил сам себя (отразился
сам в себя). Для этого надо, чтобы каждый световой луч
пучка встретился с отражающей поверхностью зеркала под
прямым углом; иначе говоря, надо, чтобы поверхность зер-
зеркала совпала с одной из поверхностей постоянной фазы
пучка (рис. 2.54, б).
Предположим, что зеркало помещено на расстоянии d2 от
плоскости перетяжки Ро. Радиус кривизны поверхности
постоянной фазы для г = da равен согласно B.7.14)
Именно таким должен быть и радиус кривизны зеркала г2
для того, чтобы световой пучок при отражении воспроиз-
воспроизводился. Таким образом,
B.9.1)

2.9. Гауссовы пучкн в устойчивых резонаторах 183
Перепишем соотношение
B.9.1) в виде
р8 = (Я/яJ d2(r2-d2)
B.9.2)
(это есть соотношение
B.7.17) при г = d2 и
R = г2).
Рассматривая распро-
распространение гауссова пучка
от плоскости перетяжки
Ро не только в положи-
положительном, но и в отрицатель-
отрицательном направлении оси z,
поместим на оси пучка
еще одно вогнутое зеркало — на расстоянии dx слева от
плоскости Ро. Чтобы пучок воспроизводился при отраже-
отражении от этого зеркала, потребуем выполнения соотношения,
аналогичного соотношению B.9.2):
-<*!), B.9.3)
Рис. 2.54
где гх — радиус кривизны зеркала. Теперь световой пучок
«заперт» с двух сторон, причем таким образом, что при каж-
каждом отражении (как справа, так и слева) он воспроизводит
сам себя (рис. 2.54, в). Это означает, что рассматриваемый
гауссов пучок является модой резонатора, образованного
зеркалами, радиусы кривизны которых подобраны в соот-
соответствии с соотношениями B.9.2) и B.9.3).
Гауссов пучок в резонаторе (большие апертуры зеркал).
Приведенные выше рассуждения основывались на том, что
задан некий гауссов пучок с определенным р0 и для этого
пучка (для двух выбранных на его оси точек) подбираются
зеркала, осуществляющие отражение пучка самого в себя.
В действительности, однако, первичным фактором является
не пучок, а зеркала; именно зеркала формируют гауссов
пучок, воспроизводящийся при отражениях.
Рассмотрим резонатор длиной L, образованный двумя
зеркалами с радиусами кривизны гг (левое зеркало) и га
(правое зеркало) и с достаточно большими апертурами. Обо-
Обозначим через dx и da расстояния от плоскости перетяжки фор-
формируемого в данном резонаторе гауссова пучка до левого
и правого зеркал соответственно (рис. 2.54, в). С учетом

184 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
B.9.2) и B.9.3) запишем следующую систему уравнений для
определения dx и da:
diifx— dd^d2{r2— d2); dx +da » L. B.9.4)
Исключая, например d2, получаем отсюда
di (^ + ra — 2L) = L (г, — L). B.9.5)
Будем полагать *>, что
/-! + r2 — 2L gfe 0. B.9.6)
Тогда из B.9.5) следует
d, = I (г2— L)/(/i + r2 — 2L) . B.9.7а)
Аналогично находим
2L) . B.9.76)
Подставляя B.9.7а) в B.9.3), находим выражение для
определения радиуса пучка в плоскости его перетяжки
Y
(rl+r2-2L)* x '
Для определения радиуса пучка на зеркалах резонатора
(р2 для левого и ра для правого зеркала) воспользуемся со-
соотношением B.7.18), которое в данном случае принимает
вид
р? ра0 = (K/nf rt d,. при i = 1,2. B.9.9)
Используя B.9.8), находим
(ri-
—-. B.9.10)
Если резонатор симметричен (гх = га = г), то
2r—L
B.9.11)
*) Случай, когда гх + г2 — 2L = 0, будет позднее рассмотрен
отдельно!

2.9. Гауссовы пучки в устойчивых резонаторах
185
Результат для рЬ перепишем, ис-
используя параметр g (g = 1— Ur).
Таким образом, в симметричном
резонаторе
Рис. 2.55
B.9.12)
Из B.9.12) следует, что параметр
g должен удовлетворять условию
— 1 < g < 1, так как только для
этих значений величина р8 поло-
положительна (рис. 2.55). Легко ви-
видеть, что ро возрастает (при задан-
заданной длине резонатора) с увеличением параметра g, т. е.
с увеличением радиуса кривизны зеркал.
Фактически мы подошли к вопросу о том, в каких имен-
именно резонаторах может формироваться гауссов пучок. На
примере симметричных резонаторов видно, что резонаторы,
являющиеся неустойчивыми (g > 1 или g < — 1), не фор-
формируют гауссовых пучков. Строго говоря, гауссовы пучки
не реализуются также в резонаторах, находящихся на гра-
границах области устойчивости: в плоскопараллельном (g = 1)
и концентрическом (g = — 1). Невозможность воспроиз-
воспроизведения гауссова пучка в этих резонаторах физически оче-
очевидна*).
Возвращаясь к общему случаю несимметричных ре-
резонаторов, будем исходить из основополагающих соотно-
соотношений B.9.2) и B.9.3). Для существования в резонаторе
воспроизводящегося гауссова пучка необходимо, чтобы
правые части этих соотношений были положительными,
т. е. чтобы выполнялись неравенства
di (rx — d,) > О, (L — dj (r2 —
0. B.9.13)
Подставляя B.9.7а) в любое из неравенств B.9.13), полу-
получаем
Т (rx~L)(ri—L)(rl+r2~-L) Q
*) Речь идет о «пустых» резонаторах. В плоскопараллельном
резонаторе с внутренней лннзон гауссов пучок реализуется.

186 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Итак, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
(Ti-L) (ra-L) (гг + г2 -1)>0.
B.9.14)
Переходя к параметрам g2 и ga, запишем это неравенство
в виде
Отсюда следует
0<gig2<l • B.9.15)
Неравенства B.9.15) можно рассматривать как необходи-
необходимое условие существования в резонаторе воспроизводя-
воспроизводящегося гауссова пучка.
Сопоставляя B.9.15) с условием устойчивости резонато-
резонаторов B.4.14), заключаем, что в неустойчивых резонаторах
гауссовы пучки не реализуются. Кроме того, они не реа-
реализуются также в резонаторах, находящихся на границе
области устойчивости (когда gtg2 = 1 либо g^ ^O). Ис-
Исключение (и притом очень важное!) составляет конфокаль-
конфокальный резонатор (gi = 0, ga — 0) *>.
Замечания, связанные с учетом апертуры зеркал. Выше
предполагалось, что апертуры зеркал резонатора достаточ-
достаточно велики;
В этом случае граница, разделяющая области устойчивости
и неустойчивости резонаторов, физически резко выражена:
при переходе от неустойчивых резонаторов к устойчивым
дифракционные потери резко уменьшаются. В рассматри-
рассматриваемом случае указанная граница достаточно четко раз-
разделяет резонаторы с гауссовыми и негауссовыми пучками.
С уменьшением апертуры зеркал уменьшается и число
Френеля. При этом происходит постепенное сглаживание
различия дифракционных потерь в устойчивых и неустой-
неустойчивых резонаторах, находящихся вблизи границы области
устойчивости. Одновременно будет «размываться» граница
между резонаторами с гауссовыми и негауссовыми пучка-
пучками. Последнее означает, что с уменьшением числа Френеля
*) Конфокальный резонатор требует отдельного рассмотрения,
так как относится к случаю, когда условие B.9.6) не выполняется.

2.9. Гауссовы пучкн в устойчивых резонаторах
187
Рис. 2.56
область «негауссовых резона-
резонаторов» становится шире об-
области, отвечающей неустой-
неустойчивым резонаторам. Описа-
Описание поля в устойчивых ре-
резонаторах становится в зна-
значительной мере приближен-
приближенным или даже вообще некор-
некорректным.
В этих условиях струк-
структура поля в резонаторе мо-
может быть выявлена в резуль-
результате численного решения со-
соответствующих интегральных
уравнений на основе итера-
итерационного метода Фокса — Ли
(см. § 2.6). Метод Фокса — Ли
позволяет рассчитать поле
в резонаторе при произволь-
произвольных значениях параметров
N, Glt G2.
На рис. 2.56 представлены полученные численным ите-
итерационным методом распределения поля на поверхности
зеркала с круглой апертурой для симметричных резонато-
резонаторов (гг = ra, ax — Oi) с разными значениями параметра
g — 1 —Llr [15]. Распределения поля рассчитаны для ос-
основной моды в условиях относительно небольших апертур
зеркал — для N = 1. Представлены вычисленные для раз-
разных значений параметра g кривые для модуля амплитуды
поля \и\ (рис. 2.56, а) и для фазы поля Ф (рис. 2.56, б); эти
характеристики поля даны как функции от отношения рас-
расстояния от центра зеркала к радиусу его апертуры (это
отношение обозначено как v.) Параметр g варьировался
от нуля (конфокальный резонатор) до единицы (плоскопа-
(плоскопараллельный резонатор) и несколько далее, заходя в область
неустойчивых резонаторов с выпуклыми зеркалами @ ^
<g<l,2).
Представленные на рисунке зависимости демонстрируют
отсутствие при N = 1 резкого изменения в распределении
амплитуды поля при переходе от устойчивых резонаторов
в область неустойчивости; следовательно, нет и резкого
изменения величины дифракционных потерь. Для кднфо-

188 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
кального резонатора (g = 0) распределение \и (v)| достаточ-
достаточно хорошо описывается функцией Гаусса, а фаза поля прак-
практически постоянна по поверхности зеркала. Это означает,
что даже при N = 1 конфокальный резонатор формирует
гауссов пучок. По мере возрастания параметра g распределе-
распределение \и (v)| постепенно утрачивает сходство с функцией
Гаусса, а фаза поля начинает все сильнее изменяться по по-
поверхности зеркала. Уже в пределах области устойчивости
модель гауссова пучка становится фактически непригодной.
Заметим также, что кривые на рис. 2.56, а иллюстри-
иллюстрируют сделанное ранее замечание: дифракционные потери
определяются не только числом Френеля, но и другими па-
параметрами резонатора. При одном и том же значении числа
Френеля (N = 1) дифракционные потери существенно воз-
возрастают с увеличением параметра g. Конфокальный резо-
резонатор характеризуется минимальными дифракционными
потерями *>.
Мы убеждаемся, что условие B.9.15) является в об-
общем случае необходимым, но не достаточным условием ре-
реализации в резонаторе гауссова пучка. Для формирова-
формирования гауссова пучка требуется малость дифракционных по-
потерь. Следовательно, область «гауссовых резонаторов»
будет практически совпадать с областью устойчивости ре-
резонаторов лишь при достаточно больших числах Френеля
(при больших апертурах зеркал). В связи с этим условие
B.9.15) следует уточнить:
0<gig2<l; ЛГ»1 . B.9.15а)
Если неравенство N ~^> I не выполняется, то область «гаус-
«гауссовых резонаторов» будет меньше области, определяемой
неравенствами 0<&?а<1- Здесь уже нет сколь-либо
четких критериев. Можно лишь утверждать, что по мере
уменьшения числа Френеля (по мере уменьшения апертуры
зеркал) область «гауссовых резнаторов» будет все сильнее
стягиваться к точке gx = 0, g2 = 0, отвечающей конфокаль-
конфокальному резонатору. При достаточно малых числах Френеля
гауссовы пучки не формируются даже в конфокальном ре-
резонаторе.
*) При изменении знака параметра g зависимости | ы (v) | бу-
будут иметь такой же вид, как и на рис. 2.56, а, если рассматривать
их для | g |.

2.9. Гауссовы пучки в устойчивых резонаторах 189
Фазовый сдвиг для гауссова пучка и спектр резонанс-
резонансных частот. Как отмечалось в § 2.2, для определения спектра
частот резонатора надо воспользоваться тем, что сдвиг фазы
излучения за проход резонатора должен быть кратен я;
при этом фазовый сдвиг должен рассматриваться на опти-
оптической оси резонатора. Если формируемый в резонаторе
световой пучок является гауссовым, то в этом случае можно
определить спектр резонансных частот, воспользовавшись
соотношением B.7.34). Согласно B.7.34) сдвиг фазы для
тп-й моды гауссова пучка при его распространении от плос-
плоскости перетяжки (г = 0) до некоторой опорной плоскости
г = гх равен (для х = у = 0):
Фтп (Zi) = BnlK) zr — (т + п + 1) X
X arctg^Mnpo). B.9.16)
Сдвиг фазы тп-к моды за проход излучения по резона"
тору, показанному на рис. 2.54, в, например от левого зер-
зеркала к правому, есть <pmn (d2) — <pmn (— dj. Он должен
быть кратен я:
Фтп («У - Фтп (- «У = Щ- B.9.17)*)
Используя B.9.16), перепишем B.9.17) в виде
j. B.9.18)
Воспользовавшись B.9.9), представим
KdilitQo = ftp?l^ft при t = l,2.
Подставляя сюда результат B.9.10), получаем
-v-
•) Здесь q — положительные целые числа (продольный индекс
моды); не следует путать этот индекс моды с комплексным парамет-
параметром гауссова пучка .

190 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Далее преобразуем входящую в B.9.18) сумму арктангенсов
по формуле
arctgoc+arctg В = arccos ( ~ )
Используя эту формулу и учитывая B.9.19), преобразуем
соотношение B.9.18) к следующему виду:
Llm + n + l)arccos
|/(l - j-)(l - j-) = nq.
Таким образом,
— L—(m -f п + 1) arccos VlhFz = nq- B.9.20)
Используя B.2.10), получаем отсюда следующее выраже-
выражение для резонансных частот тп-Ъ моды гауссова пучка:
1)-Urccos Vglg2j\. B.9.21)
Применение закона ABCD к рассмотрению поля в резо-
резонаторе. Обозначим через q параметр гауссова пучка на не-
некоторой опорной плоскости Р, выбранной внутри резонато-
резонатора. Предположим, что преобразование пучка при его рас-
распространении от левого зеркала резонатора (радиус кри-
кривизны зеркала г2) до плоскости Р описывается AjBjCjDj-
матрицей, а от плоскости Р до правого зеркала (радиус кри-
кривизны г2) ЛаВ2С2Б2-матрицей (рис. 2.57). Мысленно со-
совершим двойной проход резонатора — от Р к левому зер-
зеркалу и далее, как показано на рисунке стрелками. ABCD-
матрица такого прохода может быть представлена произве-
произведением
Ах Вх\
1 1 . х
B.9.22)

2.9. Гауссовы пучки в устойчивых резонаторах
191
A1B1
I—
A2B.2
СгР2
—
р\
Используя закон ABCD для
гауссовых пучков B.8.13),
находим параметр q' пучка,
получающийся в результате
рассматриваемого двойного
прохода резонатора:
q' = (Ад + B)HPq + D).
B.9.23)
Поскольку при двойном про-
проходе резонатора структура
пучка должна воспроизводиться, то, следовательно,
q' = q. B.9.24)
Подставляя B.9.24) в B.9.23), получаем уравнение для оп-
определения параметра q пучка в выбранной опорной плоско-
плоскости Р
Рис. 2.57
= (Ag+B)l(Cg+D)
B.9.25)
Параметр q — комплексный, поэтому уравнение
B.9.25) эквивалентно системе двух уравнений, позволяю-
позволяющих найти в выбранном поперечном сечении резонатора ра-
радиус светового пучка и радиус кривизны его волнового фрон-
фронта. Представим
Ug = g + ih, B.9.26)
где согласно B.7.19)
g = l/R; ft = Шр\ B.9.27)
Подставляя B.9.26) в B.9.25), находим
(g2 — h*)B— g(D— А)— С +ih[2gB — (D — А)] =0.
Таким образом,
B.9.28)
Принимая во внимание, что AD —ВС = 1, представим ре-
решение системы уравнений B.9.28) в виде
D—А
2В
А = _1/ 1-
\
)

192 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
С учетом B.9.27) получаем окончательно
• B.9.29)
D-A Н я L I 2 j J
В § 2.4 была получена ЛВСО-матрица для двойного
прохода «пустого» резонатора от произвольно выбранной
опорной плоскости B.4.28). Используя эту матрицу, не-
нетрудно получить соотношения B.9.7), определяющие поло-
положение плоскости перетяжки внутри резонатора.
Выберем плоскость перетяжки пучка в качестве опор-
опорной плоскости, от которой будет производиться обход резо-
резонатора. Поскольку в этой плоскости 1/R = 0, то согласно
B.9.29) матрица двойного прохода должна обладать свой-
свойством
A^D. B.9.30)
Используя результат B.4.28), перепишем B.9.30) в виде (с
заменой d на dt)
^ -d2) - i- (L -<у =
Г1 Г2
Нетрудно убедиться, что это равенство эквивалентно соот-
соотношению B.9.5).
Неопределенность каустики конфокального резонатора
с неограниченными апертурами зеркал. Согласно B.9.5)
положение плоскости перетяжки гауссова пучка, формиру-
формируемого в некотором резонаторе, фиксируется «продольной
геометрией» резонатора (т. е. параметрами rlt r2, L). При
этом для симметричного резонатора (гх = г2) положение
плоскости перетяжки фиксируется в середине резонатора
(dx = LI2); симметричному резонатору соответствует и сим-
симметричная каустика.
Сказанное справедливо для всех резонаторов, формиру-
формирующих гауссов пучок, за одним исключением. Исключение
составляет конфокальный резонатор (rx = r2 = L). Одно
из наиболее интересных свойств этого резонатора заключа-
заключается в том, что положение плоскости перетяжки пучка, а
следовательно, и форма каустики в резонаторе «продоль-
«продольной геометрией» резонатора не фиксируются (см., напри-
например, [37]).

2.9. Гауссовы пучки в устойчивых резонаторах
193
2<72
If»
О Z./2
Рис. 2.58
Действительно, при гг = r2 = L соотношение B.9.5)
принимает вид d^O = L-0. Следовательно, dt может при-
принимать произвольное значение из промежутка 0 < dx <Х.
Этот промежуток определяется соотношением B.9.3), ко-
которое для конфокального резонатора длиной L выглядит
следующим образом:
pS = (Я/лJ &х (L — dj. B.9.31)
Если апертуры зеркал конфокального резонатора неогра-
неограниченно велики, то в этом случае отсутствуют какие бы то
ни было факторы, способные фиксировать каустику. В та-
таком резонаторе каустика оказывается неопределенной.
Она может быть как симметричной, так и в той или иной
мере несимметричной относительно зеркал.
Изменение формы каустики сопровождается изменением
радиуса пучка в плоскости перетяжки (радиуса р0). Из
B.9.31) видно, что р0 принимает максимальное значение в
случае симметричной каустики (при dx = L/2):
Рошах = КШ2^Г B.9.32)
Если устремить d2 к нулю либо к L, радиус р0 будет умень-
уменьшаться, приближаясь к нулю (рис. 2.58).
Независимо от формы каустики остается постоянным
произведение радиусов пучка на зеркалах. В этом легко
убедиться, если воспользоваться соотношением B.7.18).
Обозначим через рх и р2 радиусы пучка на левом и правом
зеркале соответственно. Согласно B.7.18)
p? = (l/pg)(X/jiJLd1; pi = (l/pjj)(b/яJL{L-d^. B.9.33)
Отсюда с учетом B.9.31) получаем
PiPa = Шп. B.9.34)
7 Зак. 1785

194 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
На рис. 2.59 изображены в качестве примера две каустики
конфокального резонатора с неограниченными апертурами
зеркал: симметричная и несимметричная.
Конфокальный резонатор с конечными апертурами зер-
зеркал. Перейдем от чисто умозрительного конфокального ре-
резонатора с бесконечными апертурами к реальному конфо-
конфокальному резонатору, зеркала которого имеют апертуры ах
(левое зеркало) и а2 (правое). Независимость формы каусти-
каустики конфокального резонатора от его «продольной геомет-
геометрии» приводит к тому, что каустика такого резонатора ока-
оказывается способной подстраиваться под его «поперечную
геометрию», определяемую отношением апертур зеркал.
В конфокальном резонаторе, в отличие от других резона-
резонаторов, именно апертуры зеркал фиксируют форму каустики,
определяя, в частности, положение плоскости перетяжки
пучка.
Предположим, что резонатор имеет зеркала с одинако-
одинаковыми апертурами (радиус апертуры а). В этом случае фик-
фиксируется симметричная каустика, поскольку именно такая
каустика будет соответствовать наименьшим дифракцион-
дифракционным потерям. Каустика симметричного конфокального ре-
резонатора характеризуется параметрами
d1 = L/2; ро = УШ2л; р = ]/Шя, B.9.35)
где р — радиус пучка на зеркалах.
Рассмотрим другой конфокальный резонатор такой же
длины; пусть теперь ах = а/2, а2 = 2а. Оба рассматривае-
рассматриваемых резонатора имеют одинаковое произведение апертур
зеркал: ага2 = а2. Поэтому они являются эквивалентными
резонаторами, характеризующимися, в частности, одина-
одинаковыми дифракционными потерями. Это заключение сле-
следует из полученного в § 2.6 условия эквивалентности кон-
конфокальных резонаторов B.6.43).
Какизвестно, мерой дифракционных потерь служит от-
отношение радиуса светового пучка на зеркале к радиусу
апертуры зеркала. Тот факт, что дифракционные потери кон-
конфокального резонатора не изменяются при уменьшении
вдвое апертуры одного зеркала с одновременным увеличе-
увеличением вдвое апертуры другого, означает соответствующее из-
изменение радиусов пучка на зеркалах:
Pi = р/2; р2 = 2р B.9.36)

2.9. Гауссовы пучки в устойчивых резонаторах 195
(заметим, что в соответствии с B.9.34) рхр2 = р2). С уче-
учетом B.9.35) перепишем B.9.36) в виде
B.9.37)
Таким образом, сохранение величины дифракционных по-
потерь в конфокальном резонаторе, несмотря на изменение
отношения апертур зеркал (при неизменном произведении
аха^, объясняется соответствующим изменением формы ка-
каустики, ее подстройкой под новые апертуры.
Используя B.9.37), найдем расстояние d\ от левого зер-
зеркала до плоскости перетяжки. Подставим B.9.37) в B.9.33)
и учтем B.9.31). В результате первое из соотношений B.9.33)
примет вид Я?/4я — KLd[/n\^d[ (L — d\). Отсюда d{ =
= L/17.
Оба рассмотренных здесь конфокальных резонатора изоб-
изображены на рис. 2.60. Там же показана каустика резонато-
резонаторов.
Как отмечалось, в неконфокальных резонаторах форма
каустики фиксирована «продольной геометрией» резонато-
резонатора. Существование гауссова пучка в устойчивых резонато-
резонаторах, параметры которых не близки к точке gx = g2 — 0,
возможно лишь при больших апертурах зеркал. Уменьше-
Уменьшение апертуры не может изменить фиксированной каустики
этих резонаторов; оно приводит лишь к росту дифракцион-
дифракционных потерь, так что пучок в конечном счете становится не-
негауссовым. Каустика конфокального резонатора, напротив,
способна подстраиваться под апертуры зеркал. Кроме того
конфокальный резонатор характеризуется минимальным
значеьием р&2 (при данном L)*K Указанные два обстоя-
обстоятельства приводят к тому, что дифракционные потери в
конфокальном резонаторе оказываются наименьшими по
сравнению с другими типами резонаторов (с таким же зна-
значением числа Френеля). По этой же причине конфокаль-
конфокальный резонатор способен формировать гауссов пучок даже
при относительно малых числах Френеля.
Конфокальный резонатор с диафрагмой. Если апертуры
зеркал достаточно велики, то решающее влияние на форму
каустики в конфокальном резонаторе может оказать диаф-
*) Для симметричных неконфокальных резонаторов имеем сог-
согласно B.9.11) р2 = XL/n Vl— g2- Сравните с результатом для кон-
конфокального резонатора: р2 = XL/n
7*

196
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.60
Рис. 2.61
рагма, внесенная внутрь резонатора. При больших апер-
апертурах зеркал перетяжка пучка фиксируется в той точке,
где находится диафрагма.
В § 2.6 отмечалось, что наибольшие дифракционные
потери в конфокальном резонаторе с диафрагмой*) имеют
место тогда, когда диафрагма находится посредине резона-
резонатора. Если же диафрагму смещать к одному из зеркал, то
потери будут уменьшаться. Это объясняется тем, что при
смещении диафрагмы каустика перестраивается; в резуль-
результате перетяжка пучка следует за диафрагмой. Согласно
B.9.31), максимальный радиус перетяжки р0 реализуется
для dx = L/2; если dx стремится к нулю или к L, радиус
перетяжки р„ уменьшается (рис. 2.58). Таким образом, по
мере приближения диафрагмы к зеркалу отношение ро/а
(а — радиус отверстия диафрагмы) будет уменьшаться,
что и приводит к уменьшению дифракционных потерь.
Рис. 2.61 иллюстрирует сделанные замечания.
Если бы каустика была фиксирована и не могла подстро-
подстроиться под диафрагму, то в этом случае смещение диафраг-
диафрагмы к зеркалу приводило бы не к уменьшению, а напротив,
увеличению отношения ро/а. В результате произошло бы
возрастание дифракционных потерь и, возможно, превра-
превращение гауссова пучка в негауссов.
*) Речь идет о дифракции на крае отверстия диафрагмы.

2.10. Неустойчивые резонаторы 197
2.10. Неустойчивые резонаторы
В 1962 г. Бойд и Когельник показали, что резонаторы,
параметры которых удовлетворяют условию B.4.14), харак-
характеризуются при больших числах Френеля малыми дифрак-
дифракционными потерями и что нарушение указанного условия
приводит к резкому возрастанию потерь [28]. Резонаторы,
для которых не выполняется условие B.4.14), были назва-
названы неустойчивыми*). Генерация при больших дифракцион-
дифракционных потерях считалась в то время невозможной; поэтому
неустойчивые резонаторы на некоторое время выпали из
поля зрения специалистов. Интерес к ним возродился лишь
во второй половине 60-х годов, после работ Сигмена [38,
39] и ряда других авторов (см., например, [40—42]).
Исследования продемонстрировали жизнеспособность
лазеров с неустойчивыми резонаторами. Была показана
целесообразность применения таких резонаторов при до-
достаточно высоких значениях коэффициента усиления актив-
активной среды — не ниже 10—20% на проход [43]. Оказалось,
что неустойчивые резонаторы обладают рядом преимуществ
по сравнению с устойчивыми (см. [44], а также [2], гл. 23).
Гомоцентричность пучка, выводимого из неустойчивого
резонатора. Ранее отмечалось, что многие результаты для
неустойчивых резонаторов удается получить в геометри-
геометрическом приближении (см. § 2.3). Идея геометрического
расчета неустойчивых резонаторов выдвинута в [38]; сог-
согласно этой идее поле внутри резонатора рассматривается в
виде суперпозиции двух сферических волн (в некоторых ре-
резонаторах сферической и плоской волн), распространяю-
распространяющихся в противоположных направлениях и преобразую-
преобразующихся друг в друга при отражении от зеркал.
Рассмотрим неустойчивый резонатор длиной L, обра-
образованный выпуклыми зеркалами с радиусами кривизны
гх и г2 и апертурами ах и а2 (рис. 2.62, а). Штриховыми ли-
линиями на рисунке показаны сечения поверхностей постоян-
постоянной фазы двух расходящихся сферических волн. Волну,
распространяющуюся слева направо, будем называть вол-
волной /, а справа налево — волной 2. Точка Ах — общий
центр поверхностей постоянной фазы волны /, а точка А2 —
*) Различные типы неустойчивых резонаторов собраны в табл.
2.3 (позиции III, V, VI, IX, XI — XVI); см. § 2.4.

198
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.62
волны 2. Распространяясь от левого зеркала к правому
волна / частично покидает резонатор в виде гомоцентричес-
гомоцентрического светового пучка с центром в Alt а частично отражается
от правого зеркала и при этом преобразуется в волну 2.
Волна 2, распространяясь от правого зеркала к левому,
частично покидает резонатор в виде гомоцентрического
пучка с центром вЛ2, а частично отражается от левого зер-
зеркала и при этом преобразуется в волну /.
Для преобразования волны / в волну 2, а волны 2 в вол-
волну / при отражении от зеркал необходимо, чтобы точка А2
являлась изображением точки Лх в правом зеркале, а точ-
точка А1 являлась изображением точки А2 в левом зеркале.
Это хорошо видно, если рассмотреть два последовательных
отражения какого-нибудь светового луча, соответствую-
соответствующего волне / или 2. На рис. 2.69, б показан луч ВгВ2, Pac"
пространяющийся от левого зеркала к правому. Так как
луч соответствует волне 1, то его продолжение за левое зер-
зеркало должно пересекать оптическую ось в точке Аг. Этот
луч отражается от правого зеркала и превращаеся в луч
В2СХ. Продолжение луча В2Сг за правое зеркало определя-
определяет изображение точки Лх в этом зеркале — точку А2. По-
Поскольку луч В 2Сг должен соответствовать волне 2, то, сле-
следовательно, точка А2 должна быть центром волны 2. При
отражении от левого зеркала луч B2Ct превращается в луч
СХС2. Так как луч СгС2 соответствует волне /, то его про-
продолжение должно проходить через точку Аг; следователь-
следовательно, точка Ах должна являться изображением точки А2 в
левом зеркале.

2.10. Неустойчивые резонаторы 199
Обозначим через zx расстояние от точки Аг до левого
зеркала, а через г2 — от точки Л2 до правого зеркала. Что-
Чтобы найти эти расстояния, воспользуемся формулой для
построения изображения в выпуклом зеркале:
(Ш') — A/d) = 2/|r|, B.10.1)
где d — расстояние от объекта до зеркала; d' — расстоя-
расстояние от изображения до зеркала; г — радиус кривизны зер-
зеркала. Рассматривая точку Л2 как изображение точки Аг в
правом зеркале, запишем соотношение B.10.1) для этого
зеркала (рис. 2.62, б):
(l/z2) - Il/fc + L)] = 2/|r2|. B.10.2a).
Рассматривая точку Лх как изображение точки Л2 в левом
зеркале, запишем для этого зеркала
+ L)\ = 2/lrJ. B.10.26)
Учитывая, что | /i | = — гх, | г21 = — г2, и используя из-
известные соотношения Llrt = 1 — gu L /r2 — I — g2, при-
приходим к системе уравнений
= -2 A -ft)/L; 1 2
]= -2A ~g2)IL.\
Решая эту систему, находим
2ft g2—gi—
B.10.4)
Для симметричного резонатора (gt = g2 = g) резуль-
результат B.10.4) принимает вид
B.10.5)
Потери в неустойчивом резонаторе по геометрооптичес-
кой теории. В устойчивых резонаторах потери, связанные
с конечной величиной апертуры зеркал, являются, как
правило, вредными, нежелательными потерями. В неустой-
неустойчивых же резонаторах указанные потери — это полезные
потери; благодаря им и образуется выходящий из резонато-

200 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
ра световой пучок*). Гомоцентричность пучка наводит на
мысль о том, что эти потери могут быть описаны в рамках
геометрической оптики; используется даже специальный
термин — геометрооптические потери.
Пусть у — поперечная координата на левом зеркале для
одного из лучей в неустойчивом резонаторе (рис. 2.62, б).
Проходя от левого зеркала к правому, луч отклонится от
оси; обозначим его координату на правом зеркале через у'.
По возвращении к левому зеркалу (после отражения от
правого зеркала) луч будет иметь координату Y. Отноше-
Отношение
М = Yly, B.10.6)
показывающее, во сколько раз увеличивается расстояние
от светового луча до оси за двойной проход резонатора, на-
называют коэффициентом поперечного расширения пучка.
Из рис. 2.62, б видно, что
у'/у = & + L)/Zl; Yly' = (za + L)/z2.
B.10.7)
Отсюда находим
г+1г±± B.10.8)
Множитель (z± + Ц/^ в B.10.8) определяет увеличение
поперечных размеров пучка при его проходе от левого зер-
зеркала к правому, а множитель (z2 + ?)/z2 — при проходе
от правого зеркала к левому.
Подставляя B.10.4) в B.10.8), получаем
М = SiS2+VsiS2(SiS2~i) _ B.10.9)
gl g* — V(l)
Для симметричного резонатора (g± = g2 = g) выражение
B.10.9) принимает вид
B.10.Ю)
*) Излучение выводится из резонатора благодаря тому, что
диаметр светового пучка оказывается больше диаметра апертуры
зеркала (рис. 2.62). Такой способ вывода излучения из резонатора
называют кольцевым; он характерен для неустойчивых резонаторов.

2.10. Неустойчивые резонаторы 201
В этом случае обычно рассматривают коэффициент расшире-
расширения не для двойного, а для однократного прохода резона-
резонатора:
l. B.10.11)
Радиус светового пучка, отражаемого левым зеркалом,
равен радиусу апертуры а1 этого зеркала. После прохода
резонатора (от левого зеркала до правого) радиус пучка
увеличится в (zx + L)/z1 раз и станет равным ах (zx -+- L)lzt.
Если радиус апертуры а2 правого зеркала меньше, чем
ai (zi ~Ь L)/zu т0 в этом случае от правого зеркала отразит-
отразится лишь некоторая часть световой мощности, отраженной
левым зеркалом. Отношение световой мощности, отражен-
отраженной правым зеркалом, к световой мощности, отраженной
левым зеркалом, равно*)
V2/1 =ai/[ai(z1 + L)/z1]2. B.10.12а)
Таким образом, доля световой мощности, теряемой за про-
проход от левого зеркала к правому, равна
Г, .* 2 = 1 -Y2/i = 1 —(a./ai№/Bi +Щ*. B.10.13а)
Аналогичным образом определяется отношение мощности,
отраженной левым зеркалом, к мощности, отраженной пра-
правым зеркалом,
yil3 = aV[ai(Zi + L)/zjr. B.10.126)
Доля мощности, теряемой за проход от правого зеркала к
Г8 -1 = 1 — Yi/8 = 1 —(«i/a2J[Zzl{z2 -\-L)f. B.10.136)
Используя B.10.12а) и B.10.126), находим долю световой
мощности, теряемой за двойной проход резонатора. Эта
доля равна
'". B.10.14)
Используя B.10.8), перепишем B.10.14) в виде
B.10.15)
Г=1—
*) Полагаем, что интенсивность поля в поперечном сечении пуч-
пучка практически постоянна.

Таблица 2.6
Излучение выходит через оба зеркала
Излучение выходит через правое зеркало
Излучение выходит через левое зеркал о
щщ
Vl/2
__ 1
V2/r
v2/r
v _ г _
71 /2 Ь»

2.10. Неустойчивые резонаторы 203
В симметричном резонаторе рассматривают долю световой
мощности, теряемой за один проход резонатора:
Г.= 1—A/Af.1). B.10.16)
Подчеркнем, что геометрооптические потери в неустой-
неустойчивом резонаторе не зависят от апертур зеркал. Величина
отношения апертуры может повлиять лишь на характер
вывода излучения из резонатора: через оба зеркала, через
левое и правое. Табл. 2.6 поясняет эти три возможных слу-
случая.
Применение закона ABCD к неустойчивым резонаторам.
Более общее и элегантное геометрооптическое рассмотре-
рассмотрение неустойчивых резонаторов могло бы быть проведено на
основе использования закона A BCD.
Легко убедиться, что закон ABCD применим к сфери-
сферическим волнам. Радиус кривизны волнового фронта гомо-
гомоцентрического пучка преобразуется при распространении в
свободном пространстве протяженностью d согласно оче-
очевидному соотношению (рис. 2.63):
R2 = Rt + d. B.10.17)
Тонкая линза с фокусным расстоянием / изменяет радиус
кривизны сферического фронта согласно соотношению
B.8.7):
1/Яа - (URd - A//). B.10.18)
Сопоставляя B.10.17) и B.8.2), B.10.18) и B.8.8), заключа-
заключаем, что в идеальных линзовых системах (включая системы
со сферическими зеркалами) параметр R гомоцентрического
пучка преобразуется точно так же, как" параметр q гауссова
пучка. Иначе говоря, закон ABCD, описываемый для гаус-
гауссовых пучков соотношением B.8.13), может быть применен
к радиусу кривизны волнового фронта R гомоцентрического
пучка:
B.10.19)
Выделим внутри неустойчивого резонатора опорную
плоскость Р на расстоянии dx от левого зеркала. Обозна-
Обозначим для этой плоскости: R (d^j — радиус кривизны фронта
сферической волны, распространяющейся от правого зер-
зеркала к левому; R' (di) — радиус фронта волны, распростра-
распространяющейся в обратном направлении. Радиусы R (dj) и

204
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.63
Рис. 2.64
R' (dj) могут быть найдены из условия воспроизводимости
поля за двойной проход резонатора:
R (<у = Ш D) + BVICR (dd + D\\ B.10.20a)
= [A'R' (dj + B'}I[C R' (d,) + D']. B.10.206)
(AB\
Здесь IQ?)\ — матрица двойного прохода резонатора, на-
начиная от плоскости Р к левому зеркалу (рис. 2.64, a), a
(А'В'\
{CD'} — матРиЦа двойного прохода резонатора, начиная
от плоскости Р к правому зеркалу (рис. 2.64, б):
B.10.21а)
B.10.216)

2.10. Неустойчивые резонаторы 205
Ограничимся случаем, когда обход резонатора соверша-
совершается так, как это показано на рис. 2.64, а (иными словами,
ограничимся уравнением B.10.20а). Уравнение B.10.20а)
имеет следующие два решения:
[A — C + V{A+Df~4]; B.10.22а)
— D— V(A+Df—4]. B.10.226)
Можно показать, что одно из решений является устойчивым
(малое возмущение радиуса фронта R затухает по мере рас-
распространения волны по резонатору), а другое — неустой-
неустойчивым*). Устойчивое решение описывает расходящуюся
сферическую волну, а неустойчивое — сходящуюся. Если
(А + D) > 2, то устойчивая (расходящаяся) волна есть
B.10.22а), а если (A f D)< — 2, то B.10.226).
ЛВСО-матрица двойного прохода резонатора, показан-
показанного на рис. 2.64, а, читателю известна — она описывается
выражением B.4.28). Пусть dl = L (опорная плоскость ка-
касается правого зеркала). В этом случае матрица B.4.28)
принимает вид
CD
. B.10.23)
4L ?___?_ j 4L8 2^_iL
Г^ Г 2 /"l Г2 /*? / f"l /
Матрица B.10.23) позволяет определить радиус кривизны
фронта световой волны сразу после отражения от правого
зеркала, т. е., иначе говоря, позволяет найти расстояние
z2 от правого зеркала до центра сферической волны, рас-
распространяющейся в резонаторе от правого зеркала к ле-
левому. В рассматриваемом случае
А + D = 2 Bglg2 — 1). B.10.24)
Предположим, что речь идет о неустойчивых резонаторах,
для которых gig2 > Г, и, следовательно, (А + D) > 2.
Устойчивая (расходящаяся) волна в таких резонаторах
*) См. приложение 3.

206
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.65
описывается выражением B.10.22а). Используя B.10.23),
находим из B.10.22а)
Этот результат был получен ранее; см. B.10.4).
Лазер с неустойчивым резонатором телескопического
типа. Этот резонатор показан на рис. 2.65. Здесь 1 — ак-
активная среда, 2 — вогнутое зеркало (радиус кривизны гг),
3 — выпуклое зеркало (г2), 4 — выходное излучение. Во-
Вогнутое и выпуклое зеркала имеют общий фокус; rx = 3L,
г% = —L. Для данного резонатора
& = 2/3; ?2 = 2. B.10.25)
Поле внутри резонатора телескопического типа описыва-
описывают суперпозицией плоской и сферической волн. Расходя-
Расходящаяся сферическая волна распространяется в резонаторе
от выпуклого зеркала к вогнутому, а плоская — от вогну-
вогнутого к выпуклому. Соответствующие этим волнам световые
лучи показаны на рис. 2.65. Легко видеть, что в данном слу-
случае
i ; 2 ; M = 3. B.10.26)
Рассматриваемый лазер аналогичен показанному на
рис. 2.66, а многокаскадному лазеру, представляющему
собой высокоэффективную селективную систему. Обозна-
Обозначения на рис. 2.66, а: 1 — задающий генератор, 2 — согла-
согласующие телескопические системы, 3 — активная среда. В
качестве задающего генератора используется лазер не-

2.10. Неустойчивые резонаторы
207
Рис. 2.66
большой мощности, для которого нетрудно реализовать
селекцию основной поперечной моды. Эта мода усилива-
усиливается затем на каждом каскаде.
Система, изображенная на рис. -2.6, а, высокоэффек-
высокоэффективна, но, к сожалению, сложна в техническом отношении!
Целесообразнее использовать лазер с неустойчивым ре-
резонатором телескопического типа, являющийся аналогом
рассмотренной системы. В существовании аналогии легко
убедиться, если немного изменить систему, изображенную
•на рис. 2.66, а, перейдя к линзовому волноводу, показан*
ному на рис. 2.66, б. Волновод составлен из чередую-
чередующихся собирающих (фокусное расстояние /J и рассеиваю-
рассеивающих (/2) линз, причем fx = 3[f2|- Расстояние между- сосед-
соседними линзами 2I/2I; оно заполнено активной средой. Теперь
задающий генератор отсутствует; его роль выполняет при-
осевая область активных элементов. Нетрудно видеть, что
рассматриваемый линзовый волновод оптически эквива-
эквивалентен резонатору телескопического типа. Заметим,г. что
штриховыми линиями на рис. 2.66, б показан световой' пу-
пучок, соответствующий неустойчивой (сходящейся) волне i

208
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
С'01
Рис. 2.67
6 10
Из рис. 2.66, б хорошо
видно, что генерация в
резонаторе телескопиче-
телескопического типа (как, впрочем,
и в любом неустойчивом
резонаторе) начинается в
приосевой области актив-
активного элемента. С каждым
двойным проходом излуче-
излучения по резонатору про-
происходит увеличение по-
поперечного [размера свето-
светового пучка в М раз. Чем
больше коэффициент рас-
расширения пучка М, тем бы-
быстрее совершается процесс
формирования поля излу-
излучения в резонаторе. Этот
процесс может завершить-
завершиться в течение всего лишь нескольких проходов по резона- .
тору.
Учет дифракции на крае зеркала; эквивалентное число
Френеля. Строгое рассмотрение потерь в неустойчивых ре-
резонаторах основано на использовании интегральных урав-
уравнений типа B.6.20) (см., например, [39, 41, 42]). Такое рас-
рассмотрение показывает, что получающийся в рамках геомет-
геометрической оптики результат B.10.15) является приближен-
приближенным. В действительности потери зависят от произведения
апертур зеркал; с изменением агаг величина потерь колеб-
колеблется около геометрооптического значения.
На рис. 2.67 приведены результаты расчета потерь на
основе итерационного метода [45]. Вычисления проводи-
проводились для симметричных резонаторов (аг — а2 = a, g1 *=
— §2 ~ ё)> апертуры зеркал выбирались в виде беско-
бесконечных полос шириной 2а. Представленные на рисунке кри-
кривые описывают зависимость потерь Г от числа Френеля
N = a2/lL для разных значений параметра g (g — 0,8 —
— 1,2). Там же для сравнения показаны штриховыми ли-
линиями результаты, получающиеся на основе геометричес-
геометрического рассмотрения [38].
Наблюдаемое на рис. 2.67 периодическое изменение
потерь при изменении а2 связано с краевым эффектом. —

2.10. Неустойчивые резонаторы
209
Рис. 2.68
дифракцией излучения на крае зеркала ([40, 42]; см. так-
также [44]).
Обратимся в связи с этим к рис. 2.68, на котором пока-
показан краевой луч BBlt превращающийся при отражении в
луч BjC. Дифракция на крае зеркала приводит к тому, что
кроме основной отраженной волны, представленной на ри-
рисунке лучом В^С, возникает дополнительная дифрагиро-
дифрагированная волна, представленная на рисунке лучами BXD.
Периодическое изменение потерь при изменении а2 можно
объяснить, рассматривая интерференцию излучения рас-
расходящейся волны, падающего на край зеркала, и излуче-
излучения дифрагированной волны, распространяющегося на-
навстречу расходящейся волне. Для взаимного усиления рас-
рассматриваемых излучений надо, чтобы путь 2d (а) от точки
F волнового фронта до края зеркала Вг и обратно (см. ри-
рисунок) был кратен длине волны к: 2d (а) = Кр, где р — це-
целое число. В этом случае сдвиг фазы дифрагированной вол-
волны относительно фазы волны, падающей на край зеркала,
будет кратен 2л.
Расстояние d (а) (расстояние от F до Вг) можно предста-
представить в виде
d (а) = (| г \—У"^^) +(L +z—V(L-\ гJ—а2).
Поскольку а <С [ г [, а < (L -f z), то
Таким образом, d (a) = -^—
v w 1L \_\t\

210 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Используя B.10.5) и учитывая, что Ll\r\ = —Llr = g — 1,
получаем
2L
Теперь условие Id (с) = кр принимает вид
(аЧЩ VsF-l =P- B.10.27)
Из B.10.27) следует, что изменение свойств неустойчи-
неустойчивого резонатора с изменением числа Френеля a2IXL долж-
должно характеризоваться периодом, равным I/Kg2—1. Кри-
Кривые на рис. 2.67 подтверждают это заключение (см. кривые
для g= 1,05; 1,1; 1,2).
Величину
B.10.28)
называют эквивалентным числом Френеля. Согласно B.10.27)
потери неустойчивого резонатора должны иметь одно и то
же значение для эквивалентных чисел Френеля, различаю-
различающихся на любое целое число. Нетрудно убедиться (см.
B.10.11)), что
(Л*. - I/Ms). B.10.29)
Для борьбы с краевым эффектом в неустойчивых резонаторах
принимают меры к уменьшению интенсивности дифрагированной
волны. Для этого используют зеркала со сглаженным краем, т. е. зер-
зеркала, у которых коэффициент отражения спадает на краю не скач-
скачком, а плавно — в пределах зоны шириной не менее a/NgKB [46].
Зеркала со сглаженным краем ослабляют зависимость потерь от
апертуры зеркал; при этом геометрооптическое рассмотрение потерь
в неустойчивом резонаторе становится более корректным.
Преимущества неустойчивых резонаторов. «Неустой-
«Неустойчивые резонаторы чаще всего используются с целью селек-
селекции поперечных типов колебаний и уменьшения угловой
расходимости излучения. При больших объемах активной
среды этот способ селекции является наиболее перспек-
перспективным, так как не связан ни с усложнением лазерной сис-
системы, ни с заметным уменьшением КПД излучателя» [44].

2.10. Неустойчивые резонаторы 211
Пример резонатора телескопического типа хорошо де-
демонстрирует повышенные селективные свойства неустой-
неустойчивых резонаторов, формирующих световые пучки с высо-
высокой степенью пространственной когерентности. Как извест-
известно, с точки зрения угловой селекции выгоднее работать
в условиях относительно больших дифракционных потерь,
так как дифракция обеспечивает срыв генерации в первую
очередь мод высоких порядков. Поскольку для неустойчи-
неустойчивого резонатора дифракционные (геометрические) потери
всегда велики, то при его использовании фактически не
требуется принимать какие-либо меры по дополнительной
селекции поперечных мод. Лазер с неустойчивым резона-
резонатором генерирует обычно только основную поперечную
моду (моду ТЕМ00); при этом часто достигается дифракци-
дифракционный предел расходимости. Заметим, что с точки зрения
направленности излучения желательно иметь более высо-
высокие значения коэффициента расширения М (более высокие
значения N)
В качестве примера заметим, что применение неустойчивого ре-
резонатора в лазере на стекле, активированном неодимом, позволило
реализовать угловую расходимость излучения 2-10~5 рад при ши-
ширине пучка 15 см 147]. Неустойчивый резонатор характеризовался
параметрами М = 2, N я= 56000, NbKa да 7000.
Весьма важным достоинством лазеров с неустойчивы-
неустойчивыми резонаторами является эффективное заполнение объ-
объема активной среды полем излучения. Даже при относи-
относительно небольших длинах резонаторов объем, занимаемый
полем основной моды, достаточно велик. В отличие от ус-
устойчивых резонаторов световой пучок внутри неустой-
неустойчивого резонатора не имеет перетяжки; в связи с этим мож-
можно не опасаться, что плотность световой энергии пучка
может возрасти в отдельных точках активной среды до зна-
значений, соответствующих порогу разрушения среды.
Неустойчивые резонаторы перспективны с точки зрения
создания лазеров с жестко заданными спектральными и
временными характеристиками. Как уже отмечалось, раз-
развитие процесса генерации в лазере с неустойчивым резо-
резонатором начинается в центральной (приосевой) области
активного элемента, а затем уже распространяется на весь
его объем. Если непосредственно по оптической оси вводить
внутрь резонатора лазера излучение от дополнительного

212 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
генератора, имеющее при небольшой мощности четко опре-
определенные спектральные и временные характеристики, то
тем самым можно осуществлять эффективное управление
процессом формирования излучения и получать в итоге
желаемые выходные параметры светового пучка [48].
Следует заметить, что роль приосевой области актив-
активного элемента в развитии процесса генерации имеет и свою
отрицательную сторону: лазеры с неустойчивыми резона-
резонаторами чувствительны к различного рода нерегулярностям
и дефектам в активной среде или на отражающих покрыти-
покрытиях в непосредственной близости от оптической оси резона-
резонатора.
Быстрое развитие процесса генерации в направлении
от оси к периферии приводит, в частности, к тому, что про-
пространственное (в направлении, перпендикулярном к оси)
развитие гигантского импульса в режиме модуляции доб-
добротности протекает в лазерах с неустойчивыми резонатора-
резонаторами быстрее, чем в лазерах с устойчивыми резонаторами. В
результате длительность генерируемого лазером светового
импульса заметно сокращается. Подчеркнем, что примене-
применение неустойчивого резонатора может существенно поелиять
на динамику процесса в лазере [49].
2.11. Принципы частотной селекции
Различают угловую и частотную селекции, называемые
также селекцией поперечных мод и селекцией продольных
мод соответственно*). Для выделения той или иной моды
необходимо, чтобы потери для нее оказались меньше потерь
для прочих мод. Селекция поперечных мод основана на
различии поперечной структуры поля мод разного поряд-
порядка, а селекция продольных мод — на различии частоты.
Различие структуры поля поперечных мод приводит к
различию дифракционных потерь. В неустойчивых резо-
резонаторах дифракционные потери настолько велики,
что обычно реализуется генерация лишь основной
поперечной моды. В устойчивых резонаторах дифрак-
дифракционные потери относительно малы, и поэтому приходит-
*) Методы селекции мод рассмотрены в [50]; см. также [9,13,51]
и [2] гл. 23.

2.11. Принципы частотной селекции
213
Дш'
Рис. 2.69
ся, как правило, принимать специальные меры, направлен-
направленные на преимущественное увеличение потерь для мод бо-
более высоких порядков. С этой целью, например, вносят
внутрь резонаторов диафрагму*) или подбирают геометрию
резонатора (параметры Gt и G2) таким образом, чтобы умень-
уменьшить число Френеля и тем самым увеличить различие в по-
потерях для основной и прочих мод. Ниже подробнее оста-
остановимся на принципах частотной селекции.
Различные типы частотной селекции. Предположим,
что активная среда имеет два рабочих перехода — между
двумя парами энергетических уровней. Когда говорят, что
переходы происходят на частотах щ и ю2> то имеют в виду
частоты, соответствующие максимумам линий люминесцен-
*) Сопоставление селективных свойств различных резонаторов
с диафрагмой даио в [33]; показано, что наибольшей селективностью
обладает конфокальный резонатор.

214 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
ции для рассматриваемых переходов. Для описания спек-
спектральных линий будем использовать зависимость от час-
частоты начального коэффициента усиления (зависимость
к0 (ш)).
На рис. 2.69, а изображены линии люминесценции для
двух рабочих переходов; Ашг — эффективная ширина ли-
линии люминесценции (ширина на половине ее максимума),
Дш — расстояние между максимумами линий (Дш = ш2 —
— (uj). Величина Аш принимает значения в интервале при-
приблизительно 1012 — 1016 с, a Acoj — в интервале от
1010 (газовые среды) до 1014 с (органические красители).
При наличии резонатора каждой линии люминесценции
соответствует (в спектре генерации) набор спектральных
линий резонатора, отвечающих резонансным частотам
(рис. 2.69, б). Согласно B.2.12) расстояние между максиму-
максимумами соседних линий резонатора составляет*) Аш' = nv/L,
где L — длина резонатора; v — скорость света в среде, за-
заполняющей резонатор. Ширина отдельной линии резона-
резонатора Ашг = 107 — 109 с.
Используя рис. 2.69, выделим три типа частотной се-
селекции в лазере. Первый тип — селекция в относительно
широкой полосе частот, когда подавляются нежелательные
переходы и обеспечивается генерация лишь на одном пере-
переходе. В этом случае генерация реализуется в пределах по-
полосы частот шириной Qt (рис. 2.69, б). Селекция второго
типа обеспечивает генерацию в более узкой полосе частот,
например, в пределах полосы шириной Q2 (рис. 2.69, б).
Варьируя положение этого интервала частот в пределах
ширины линии люминесценции, можно осуществлять плав-
плавную перестройку частоты генерируемого излучения* *>. Се-
Селекция третьего типа — это селекция продольных мод.
Она обеспечивает генерацию отдельной спектральной ли-
линии резонатора (обычно центральной линии). В этом слу-
случае селекция осуществляется в достаточно узком частотном
интервале — порядка 109 с и меньше.
Применение широкополосных поглощающих фильтров
и дисперсионных элементов. Для осуществления частот-
частотной селекции первого типа могут быть использованы срав-
*) Эффект затягивания частот будет рассмотрен в § 2.12.
**) Такая перестройка частоты осуществляется, например, в
лазерах на органических красителях (см. [52], а также § 1.3).

2.11. Принципы частотной селекции
215
Рис. 2.70
нительно широкополосные поглощающие фильтры внутри
резонатора. Так, например, выходные окна газоразрядной
трубки лазера на гелий-неоне изготовляют из специального
стекла, поглощающего в ИК области спектра. Тем самым
подавляют переходы с "к — 3,39 и 1,15 мкм; генерация реа-
реализуется лишь на переходе с X = 0,63 мкм. Сущность такой
селекции поясняет рис. 2.70, а; она основана на использо-
использовании соответствующим образом подобранной частотной
зависимости коэффициента вредных потерь % (ш). Гене-
Генерация происходит на переходе, соответствующем частоте
ш2, несмотря на то, что этот переход характеризуется бо-
более низким коэффициентом усиления по сравнению с пе-
переходом на частоте av
Для более узкополосной частотной селекции внутрь ре-
резонатора вносят дисперсные элементы (например, призму)
либо заменяют зеркало резонатора дифракционной отра-
отражательной решеткой. Примеры такой селекции приводи-
приводились в § 1.3 в связи с рассмотрением селективных резона-
резонаторов. График частотной зависимости коэффициента по-
потерь % (ш) селективного резонатора имеет резкий и узкий
«провал» шириной Q2 » 101а — 1013 с (рис. 2.70, б).
Поворачивая призму или отражательную решетку, можно
управлять положением этого «провала» на шкале частот
и тем самым осуществлять перестройку частоты генерации
в пределах ширины линии люминесценции на уровне по-
постоянных потерь (в пределах ширины Асо^ см. ри-
рисунок).
Для еще более узкополосной селекции используют в ка-
качестве дисперсионного элемента эталон Фабри—Перо (ин-

216
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.71
терферометр Фабри—Перо), представляющий собой систему
из близко расположенных параллельных плоских зер-
зеркал. Эталон Фабри —Перо позволяет выделить отдельную
продольную моду.
Общие замечания о селекции продольных мод. Для се-
селекции продольных мод требуется весьма узкополосный
фильтр, позволяющий выделить интервал частот меньше
109 с. Говоря об общих принципах селекции продоль-
продольных мод, обратимся к рис. 2.71 (штриховой линией по-
показан контур линии люминесценции). Рисунок поясняет
возможные пути осуществления такой селекции.
Прежде всего можно попросту повысить уровень потерь
настолько, чтобы разность х0 — ц (т) — суммарный коэф-
коэффициент потерь) оказалась положительной лишь для цент-
центральной продольной моды (рис. 2.71, а). Разумеется, при
этом существенно уменьшается генерируемая мощность.
Более выгодно изменить соотношение между максималь-
максимальными значениями начального коэффициента усиления цент-
центральной и остальных продольных мод (в пользу централь-
центральной моды) (рис. 2.71, б). Аналогичного результата можно
достичь, изменяя контур линии люминесценции, а точнее,

2.11. Принципы частотной селекции
217"
Рис. 2.73
уменьшая ширину А(ог (рис. 2.71, в)*К Можно также
увеличивать частотный интервал между максимумами про-
продольных мод за счет уменьшения длины "резонатора
(рис. 2.71, е). Разумеется, уменьшение длины резонатора
имеет свои отрицательные стороны: уменьшение усиления
за проход, снижение выходной мощности, увеличение рас-
расходимости излучения**). Наконец, можно попробовать реа-
реализовать достаточно узкополосную селективность коэффи-
коэффициента потерь (рис. .2.71, д).
На практике используют все отмеченные пути селекции
мод. Простейшие способы селекции основаны на уменьше-
уменьшении длины резонатора. Более интересны способы селекции,
использующие интерференционные, поляризационные и не-
нелинейно-оптические явления; ниже рассмотрим эти спо-
способы подробнее.
Интерференционные методы селекции продольных мод.
Эти методы основаны на использовании резонаторов с до-
дополнительными зеркалами (связанных резонаторов); см.,
например, [54—56].
* Значительное сужение линии люминесценции должно иметь
место в лазерах на атомных пучках [53]
**) Отмеченные отрицательные моменты могут отсутствовать
при применении неустойчивых резонаторов.

218
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
1
I
I
1
J
4
Рис. 2.74
Рис. 2.75
1,14 -кс/L
Рассмотрим лазер, показанный на рис. 2.72 [54]. Здесь
/ — газоразрядная трубка с окнами под углом Брюстера
(активный элемент), 2 — двулучепреломляющий кристалл,
расщепляющий световой луч на необыкновенный (ли-
(линейно поляризован в плоскости рисунка) и обыкновенный
(линейно поляризован перпендикулярно плоскости рисун-
рисунка), 3 — полностью отражающие зеркала, 4 — выходное
зеркало. Фактически мы имеем здесь два резонатора с раз-
разными длинами: L12 и L13. Межмодовые расстояния для этих
резонаторов равны соответственно
А(й,'2 = яс/1-1г и Аш1з = яс/113. B.11.1)
Будем полагать, что выполнено неравенство
А(ол<(Ао),'2—Дш;3). B.11.2)
В этом случае спектральные линии резонатора будут иметь
вид, показанный на рис. 2.73. Линии, отмеченные цифрами
1 и 2, оказываются заметно усиленными по сравнению с
соседними линиями, поскольку они соответствуют частотам,
для которых условие резонанса выполняется одновре-
одновременно в резонаторах длиной L12 и длиной L13. Возникнове-.
ние таких линий имеет, очевидно, интерференционное про-
происхождение. Расстояние между ними
Аш' *= лс/ (L13 — L12). B.11.3)
При достаточно малрй разности (L13 — L12) можно сделать
величину Аш' большой (Ас/ может превышать ширину
линии люминесценции).
Другой вариант интерференционной селекции мод свя-
связан с использованием трехзеркального линейного резона-

2.11. Принципы частотной селекции
219
Рис. 2.76
тора (рис. 2.74). Здесь / — активный элемент, 2 — полно-
полностью отражающее зеркало, 3 — выходное зеркало, 4 —
дополнительное зеркало. Интерференция световых волн,
формируемых в резонаторах длиной / и длиной L, при-
приводит, как и в предыдущем случае, к изменению соотно-
соотношения между интенсивностями мод. В [13] дан расчет для
IIL — 3/4 и R' = 0,65 (R' — коэффициент отражения до-
дополнительного зеркала). Рис. 2.75 иллюстрирует резуль-
результаты расчета. На рисунке показаны три моды; для срав-
сравнения штриховыми линиями даны соответствующие моды
в отсутствие дополнительного зеркала. Можно видеть, что
интерференционные эффекты приводят к преимуществен-
преимущественному усилению центральной моды и к раздвиганию мод.
Применяемые на практике варианты интерференцион-
интерференционной селекции продольных мод достаточно многообразны.
Используются, например, различные виды четырехзеркаль-
ных связанных резонаторов, у которых оси зеркал обра-
образуют прямой угол (см. [2] гл. 23). Один из таких резонато-
резонаторов показан на рис. 2.76.
Резонаторы с анизотропными элементами. Для селекции
продольных мод могут быть использованы поляризационные
свойства резонатора с анизотропными элементами. Пример
такого резонатора приведен на рис. 2.77. Здесь / — линей-
линейный поляризатор, 2 — двулучепреломляющая пластинка,
обеспечивающая разность фаз необыкновенного и обыкно-
обыкновенного лучей, равную Аф, 3 — зеркала резонатора. Оп-
Оптическая ось пластинки 2 перпендикулярна к оптической
оси резонатора и повернута на угол а по отношению к
направлению поляризации, фиксируемому поляризато-
поляризатором /.
Предположим, что в опорной плоскости Р (рис. 2.77)
поляризационное состояние светового луча описывается

220 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
вектором Джонса*'* [ej- Направление оси х выбрано по
направлению поляризации, фиксируемому поляризатором.
Матрица Джонса для двойного прохода по резонатору от
опорной плоскости Р имеет вид
М = МХМ (—а)М (ф)М (ф)М (о)ЛГх. B.11.4)
Входящие в B.11.4) матрицы имеют следующий смысл (см.
приложение 4):
Ц' °) B.П.5)
— матрица Джонса для линейного поляризатора, фикси-
фиксирующего направление поляризации по оси координат,
соответствующей первому компоненту вектора Джонса'
(по оси х);
) B.11.6)
—sin a cos a/
— матрица для приведения вектора Джонса к новым
осям (повернутым на угол а по отношению к исходным осям
координат);
о X) Bл1'7)
— матрица Джонса для двулучепреломляющей пластинки,
обеспечивающей набег фазы фх для х-составляющей вектора
Джонса и набег фазы ф2 для «/-составляющей. Пусть не-
необыкновенный луч поляризован по оси х, а обыкновен-
обыкновенный — по оси у. Обозначая через Дф = фх — ф2 разность
фаз необыкновенного и обыкновенного лучей после про-
прохождения двулучепреломляющей пластинки, перепишем
B.11.7) в виде
B.11.8)
Заметим, что
Дф = и (ne — no)d/c, B.11.9)
*> Применение векторов и матриц Джонса при работе с поляри-
поляризованными световыми пучками рассматривается в [4,57]; см. так-
также [58].

2.11. Принципы частотной селекции 221
где пе и п0 — показатели преломления для необыкновен-
необыкновенного и обыкновенного лучей соответственно; d — толщина
пластинки.
Подставляя B.11.5), B.11.6) и B.11.8) в B.11.4), полу-
получаем следующее выражение для матрицы Джонса для двой-
двойного прохода резонатора от плоскости Р (см. рис. 2.77):
/1 OWcosa — sina\ /е2гд<" 0\
~V0 °V sitla cosaJv ° Ч
cosa sinoWl 04^^
—sin a cosa/ \0 0/
* 2 f\\
0,
(E'\
Обозначив через \p>) вектор Джонса светового луча после
двойного прохода резонатора, представим
0\/ЕЛ
J
Е'у) { 0
Из-за наличия линейного поляризатора через резонатор
проходит только х-составляющая вектора Джонса. При
этом согласно B.11.11) относительные потери за двойной
проход составляют
Г = 1 — | Е'х |2/| Ех |2 = 1 — | cos2 ае'Дф + sin2 a |2. B.11.12)
Таким образом,
Г = sin22a sin2 Аф. B.11.13)
Согласно B.11.9) величина Аф зависит от частоты излу-
излучения; следовательно, описываемые соотношением B.11.12)
потери должны периодически меняться с частотой. Это из-
изменение потерь с частотой может быть использовано для
селекции продольных мод в рассматриваемом резонаторе.
Нелинейно-оптический метод частотной селекции. Пред-
Предположим, что в резонатор помещен поглощающий элемент,
обладающий следующими свойствами; он поглощает на
частоте рабочего перехода для данной активной среды; при
наличии достаточно интенсивного излучения на частоте
рабочего перехода происходит насыщение поглощения
вблизи центра линии поглощения (иначе говоря, имеет мес-

222
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Я a If»)
Лш.
Рис. 2.78
то нелинейно-оптический эф-
эффект просветления среды). В
результате проявления ука-
указанного нелинейного эффекта
форма линии поглощения (за-
(зависимость коэффициента пог-
поглощения от частоты т}а(со)) из-
изменяется: появляется «провал»,
который может быть достаточ-
достаточно узкополосным. Ширина про-
провала Асоа может быть меньше
ширины Асог спектральной линии резонатора. В этом слу-
случае можно не только выделить одну продольную моду,
но еще более сузить ширину генерируемой линии (рис.
2.78).
В качестве поглощающего нелинейного элемента ис-
используют ячейку с газом низкого давления. При давлениях
около 10~2 мм рт. ст. получают Асоа — Ш5 — 106 с,
что примерно на два порядка меньше ширины моды Асог
[59].
Полагая Асоа <^ Асоа и учитывая, что положение прова-
провала в спектре поглощения газовой ячейки хорошо фикси-
фиксировано на шкале частот, можно заключить, что данный ме-
метод есть не только метод частотной селекции, но также ме-
метод стабилизации частоты излучения лазера (стабильность
центра линии поглощения может достигать 101).
2.12. Эффекты «выгорания дыр» и затягивания частот
Ранее отмечалось (см. § 2.2), что наличие активной (уси-
(усиливающей) среды влияет на процесс формирования поля
излучения в резонаторе. В частности, изменяются энергети-
энергетические и спектральные характеристики излучения. Рас-
Рассмотрим в этой связи эффекты «выгорания дыр» и затягива-
затягивания частот. Строгий анализ указанных эффектов дан в [60];
см. также [9, 10].
Однородное и неоднородное уширение спектральных
линий. Линия люминесценции рабочего перехода актив-
активной среды формируется в результате суммирования вкла-
вкладов, вносимых различными активными центрами, совер-
совершающими данный переход. Предположим, что вклад каж-

2.12. «Выгорание дыр». Затягивание частот 223
дого активного центра соответствует всей полосе частот,
характеризующей линию люминесценции среды. В этом
случае говорят об однородном уширении линии люминес-
люминесценции. Усиление на различных частотах однородно-уши-
однородно-уширенной линии обеспечивают одни и те же активные центры.
Если различные активные центры (группы активных
центров) вносят вклад в различные частотные участки ли-
линии люминесценции, то говорят о неоднородном уширении
линии. Усиление на различных частотах неоднородно уши-
уширенной линии обеспечивают различные группы активных
центров.
Однородное уширение связано с процессами релакса-
релаксации уровней за счет спонтанного испускания и различного
рода столкновительных актов, поскольку эти процессы
равновероятны для всех активных центров. Как известно,
эти процессы обусловливают лоренцеву форму линии лю-
люминесценции*). Профиль лоренцевой линии описывается
формулой
А!B.12.1)
w n (со—<о0J+Д2
Здесь соо — основная частота, отвечающая максимуму ли-
линии, А — полуширина линии на половине ее максимума;
А = Ат + Аст, где Av — естественная полуширина (свя-
(связана со спонтанным испусканием), а Дст — столкнови-
тельная полуширина. Заметим, что функция F± (со) нор-
оо
мирована на единицу: J Fx (co)dco = 1.
о
Равновероятность процессов релаксации для всех ак-
активных центров приводит к тому, что форма линии люми-
люминесценции активной среды совпадает с формой линии от-
отдельного активного центра. Иначе говоря, функция B.12.1),
описывающая форму линии отдельного активного центра,
описывает также форму однородно-уширенной линии сре-
среды.
В общем случае такого совпадения нет; реальные линии
люминесценции среды оказываются более или менее неод-
неоднородно-уширенными. Неоднородное уширение может быть
*> См. например, § 4.7 из

224
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
обусловлено разными причи-
причинами: эффектом Допплера, про-
пространственной неоднородностью
среды, перекрыванием лоренце-
вых линий с разными основны-
основными частотами (например, при
штарковском растеплении ра-
рабочих уровней) и т. п. Основ-
Основная причина неоднородного
уширения линий в газовых сре-
средах — эффект f Допплера. Оче-
Очевидно, что активные центры,
имеющие разные скорости дви"
жения, будут вносить вклад в разные интервалы частот
линии люминесценции среды. В этом случае имеет место
гауссова форма линии
<о0
Рис. 2.79
ю—юрJ In 2
B.12.2)
где соо — основная частота; Ad — полуширина линии на
половине ее максимума; функция F2 нормирована, как и
функция Flt на единицу.
Функции Fi (со) и F2 (со), приведенные для удобства
сравнения к одинаковой полуширине, сопоставляются
на рис. 2.79. Из рисунка видно, в частности, что гауссова
линия характеризуется более быстрым уменьшением с рос-
ростом |и — соо|.
Насыщение усиления при однородном и неоднородном
уширении линий; эффект «выгорания дыр». Ранее отмеча-
отмечалось*), что по мере возрастания плотности светового по-
потока, распространяющегося в инвертированной активной
среде, происходит постепенное уменьшение коэффициента
усиления х от его начального значения х0 до значения
«яае=Л. B.12.3)
где г\ — линейный коэффициент суммарных потерь. В ре-
результате устанавливается стационарный процесс, характе-
характеризующийся насыщенным коэффициентом усиления хнас
и насыщенной плотностью светового потока SHac, опреде-
определяемой из B.1.1) при использовании B.12.3).
*) См. § 2.1; а также § 5.6 из [1].

2.12. «Выгорание дыр». Затягивание частот
225
Примем во внимание зависимость коэффициента усиле-
усиления от частоты и рассмотрим случаи, когда х0 (со) соответ-
соответствует однородному и неоднородному уширению. Будем
полагать при этом, что уровень потерь настолько высок,
что осуществляется селекция центральной продольной мо-
моды.
При неоднородном уширении линии х0 (со) в рабочих
переходах будут участвовать лишь те активные центры,
которые вносят вклад в пределах частотного интервала
вблизи соо, отвечающего центральной продольной моде.
В результате будет происходить селективное (избиратель-
(избирательное) снятие инверсии активной среды в пределах указан-
указанного частотного интервала; в этом случае на профиле кри-
кривой, описывающей частотную зависимость коэффициента
усиления, появится провал (как говорят, «выгорит дыра»).
Сказанное поясняет рис. 2.80, а, на котором штриховой
линией показана неоднородно уширенная линия х0 (со),
а непрерывной кривой — линия хнас (со). Согласно B.12.3)
*пас («о) — Ц,
B.12.4)
что и определяет глубину выгоревшей дыры. Ширина ды-
дыры соответствует ширине линии отдельного активного цент-
центра, т. е. лоренцевой ширине 2А, которая в данном случае
существенно меньше ширины 2AD линии к0 (со).
Если ширина дыры меньше межмодового частотного
расстояния
2Д <nc/Ln, B.12.5)
то при снижении уровня потерь будет наблюдаться выгора-
выгорание дополнительных дыр, отвечающих различным продоль,-
8 Зак. 1785

226 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
ным модам (рис. 2.80, б). Подчеркнем, что генерация раз-
разных продольных мод осуществляется в данном случае за
счет высвечивания разных групп активных центров. Это
означает, что лазер может генерировать одновременно и
притом независимо на нескольких модах.
Если условие B.12.5) не выполняется, происходит вза-
взаимное перекрывание выгоревших дыр. В результате воз-
возможно выгорание фактически всего профиля линии уси-
усиления (рис. 2.80, в).
При однородном уширении линии к0 (со)] эффект вы-
выгорания дыр не наблюдается. Предположим, что при доста-
достаточно высоких потерях лазер генерирует лишь централь-
центральную продольную моду. Поскольку вклад в излучение этой
моды вносят в данном случае все активные центры, то в ре-
результате происходит глобальное изменение профиля линии
х (со) (рис. 2.81). Таким образом, возбуждение одной (цен-
(центральной) моды приводит к глобальному обеднению инвер-
инверсии активной среды, что, в свою очередь, препятствует воз-
возбуждению других мод.
Рисунки 2.80 и 2.81 хорошо иллюстрируют качествен-
качественное различие между случаями неоднородного и однород-
однородного уширения. В случае неоднородного уширения при
генерации одной моды используется лишь часть энергии,
запасенной в инвертированной активной среде; поэтому
интенсивность генерируемой моды для неоднородно уши-
уширенной линии перехода заметно меньше, чем для однородно
уширенной. Кроме того, следует помнить, что при однород-
однородном уширении эффект насыщения усиления препятствует
возбуждению дополнительных продольных мод.
Специфика рассмотрения насыщения усиления при неоднород-
неоднородном уширении линии перехода. Коэффициент усиления для актив-
активного центра, вносящего вклад вблизи частоты со', может быть пред-
представлен в соответствии с B.1.1) в виде
BЛ2.6)
*(со;со) = ;;? ,-.
1 -\-(l jv) а (со ; co)S
где
Ио(со'; co)=XoFi(co', со); а(со'; co)=aFj.(co'; со); FiUo'; co) =
_ _Д 1
~ п (со—со'J + Д2
Коэффициент усиления активной среды при неоднородном ушире-
уширении линии за счет эффекта Допплера выражается следующим интег-

2.12. «Выгорание дыр». Затягивание частот
227
У1'
1
1 /
It
J
V
\\
V\
0(Ш)
\
к
Рис. 2.82
Рис. 2.81
ралом, учитывающим вклады со стороны различных активных цент-
центров:
со
x(co)=J и(со'; co)Fa(w')d(u', B.12.7)
где
1
J
Подставляя B.12.6) в B.12.7), находим
, Г In2 и0 Г ехр[ —(to'—too)Mn2/A2D]
B.12.8)
Приравнивая и (to) к линейному коэффициенту суммарных потерь,
получим уравнение для определения насыщенного значения плотно-
плотности светового потока S.
Эффект затягивания частот. Согласно B.9.21) спектр
резонансных частот пассивного резонатора имеет вид (для
основной моды гауссова пучка)
со.
Ln у п
B.12.9)
где п — показатель преломления среды, заполняющей ре-
резонатор. Спектр частот эквидистантен; расстояние между
соседними частотами Лео' — nc/Ln.
При наличии активной (усиливающей) среды спектр
частот резонатора изменяется. Он утрачивает эквидистант-

228 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
ный характер вследствие зависимости показателя прелом-
преломления усиливающей среды от частоты. Характер этой за-
зависимости вблизи основной частоты рабочего перехода соо
показан на рис. 2.82. Из рисунка видно, что если со ¦< соо,
то п (со) < п (соо). В соответствии с B.12.9) заключаем,
что частоты сод, лежащие слева от со0, оказываются сдвину-
сдвинутыми вправо. Если же со > соо, то п (со) > п (соо), поэтому
частоты соч, лежащие справа от соо, оказываются сдвину-
сдвинутыми влево. В результате весь набор резонансных частот,
соответствующий профилю линии усиления, оказывается
сдвинутым к основной частоте перехода. Как говорят, час-
частоты «затягиваются» к центру линии усиления.
Эффект затягивания частот для случаев однородного и
неоднородного уширения. Как известно (см., например,
[9]), поглощающая среда может быть описана комплексным
показателем преломления:
«компл = П + itli,
при этом мнимая составляющая пг выражается через ли-
линейный коэффициент поглощения т)а
«! = т!ас/2со. B.12.10)
Зависимости п (со) и пх (со), соответствующие однородному
(лоренцеву) уширению линии люминесценции, могут быть
найдены в рамках классической теории дисперсии диэлектри-
диэлектрической восприимчивости на основе рассмотрения модели
гармонического осциллятора, характеризующегося собст-
собственной частотой со0 и коэффициентом затухания у. Эти за-
зависимости в случае газовой среды имеют вид*>
i^ . B.12.11а)
y2w2
n
(cog— <oV+y2w2
„ 1 = D т B.12.116)
(cog— <o2)a+Y2cu2
где D — некоторый постоянный множитель, вид которого
в данном случае несуществен. Полагая, что частота со дос-
достаточно близка к соо, так что
cog — со2 « 2со (соо — со), B.12.12)
*) См. например, § 4.5 из [1].

2.12. «Выгорание дыр». Затягивание частот 229
перепишем B.12.11) в виде
n-\=D («..-"J/Sh B.12.13а)
. B.12.136)
2/4 V
С учетом B.12.10) получаем из B.12.136) зависимость ко-
коэффициента поглощения от частоты
,B.12.14)
Легко видеть, что линия поглощения г\а (со) имеет лорен-
цееу форму.
Поделив B.12.13а) на B.12.14), получим
п (со) = 1 + т]о (со) (соо — со)с/усо. B.12.15)
Чтобы использовать B.12.15) для объяснения эффекта
затягивания частот, учтем, что собственная частота осцил-
осциллятора со0 соответствует (при квантовомеханическом обоб-
обобщении соотношений B.12.13)) основной частоте перехода,
а коэффициент затухания у может рассматриваться в ка-
качестве лоренцевой ширины 2Д. Кроме того, переходя к рас-
рассмотрению усиления, надо заменить в B.12.15) коэффици-
коэффициент поглощения г\а (со) на коэффициент усиления х (со),
взятый с обратным знаком (усиление рассматривается как
отрицательное поглощение). Таким образом,
п (со) = 1 — х (со) (соо — со)с/2соА. B.12.16)
В случае стационарной генерации коэффициент усиле-
усиления равен коэффициенту потерь: к = т). Учитывая B.3.10)
и B.3.15), заключаем, что
х = Асог/с, B.12.17)
где Асог — ширина спектральной линии резонатора. Под-
Подставляя B.12.17) в B.12.16), находим
!^r_. B.12.18)
2w
Легко видеть, что частотная зависимость показателя пре-
преломления, описываемая выражением B.12.18), соответст-
соответствует при со, близких к соо, зависимости, представленной на
рис. 2.82.

230 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Пусть сод — некоторая резонансная частота пассивного
резонатора (при п ¦= 1), а ад — соответствующая резонанс-
резонансная частота активного резонатора. Из B.12.9) следует, что
<йд/е>д = п (а$. B.12.19)
Подставляя B.12.18) в B.12.19), получаем
(Лд _ . ю0 — Mq Д(ОГ
Окончательно находим
{toq — ш,)/ (соо — «v) = Дсог/2Д. B.12.20)
Отсюда видно, что, если частота берется слева от центра
линии усиления (соо —ьз'д > 0), то ьзд > сод и, следова-
следовательно, сдвиг частоты в активном резонаторе происходит
вправо. Если же частота берется справа от центра линии
усиления (соо —ы'д <; 0), то big <C coQ — сдвиг частоты
происходит влево.
В случае неоднородно уширенной линии перехода ра-
работают лишь те активные центры, которым соответствуют
частоты, отстоящие от соо не далее чем на Д (не далее чем
на полуширину однородно уширенной линии). Доля таких
активных центров составляет примерно Д/Дп, тле До —
полуширина неоднородно уширенной линии. Следователь-
Следовательно, усиление на неоднородно уширенном переходе должно
быть в До/Д раз меньше, чем при однородном уширении.
Это означает, что вместо B.12.17) надо теперь использо-
использовать
х = (Д«г/с) (Д/До).
В результате вместо B.12.20) получаем
« — юд)/ (соо — а'д) — Дсог/2Д0. B.12.21)
При более строгом рассмотрении в правой части соотно-
соотношения B.12.21) появляется дополнительное слагаемое,
дающее нелинейный вклад в эффект затягивания частоты
[9].
2.13. Тепловая линза
Эффект тепловой линзы. При поглощении излучения
накачки активная среда нагревается; в результате изме-
изменяется ее показатель преломления. Пусть п @) — показа-

2.13. Тепловая линза 231
тель преломления среды в некоторой ее точке в отсутствие
излучения накачки. Если при наличии излучения темпе-
температура среды в данной точке повышается на величину Д7\
то показатель преломления становится равным
п (AT) = п @) + (dnldTjAT, B.13.1)
где dnldT — физическая характеристика среды, называе-
называемая температурным коэффициентом ее показателя пре-
преломления.
При отводе тепла через боковую поверхность активно-
активного образца происходит преимущественное охлаждение его
периферийной области; поэтему температура образца до-
достигает максимальной величины в его приосевой области
и постепенно понижается в направлении от оси к перифе-
периферии. Отсюда следует, что при выполнении неравенства
dnldT> 0 B.13.2)
приосевая область активного образца оказывается соглас-
согласно B.13.1) оптически более плотной по сравнению с пе-
периферийной областью. Если же, напротив, имеет место не-
неравенство
dnldT < 0, B.13.3)
то приосевая область активного образца оказывается опти-
оптически менее плотной.
В оптически неоднородных средах световые лучи откло-
отклоняются в область с более высоким значением показателя пре-
преломления; поэтому npKdn/dT>0 распространяющееся вдоль
активного образца генерируемое излучение будет фокуси-
фокусироваться, тогда как при dnldT < 0 оно будет, напротив,
дефокусироваться. В первом случае активный образец
уподобляется собирающей, а во втором — рассеивающей
линзе. В этом и заключается эффект тепловой линзы.
Кристаллы рубина и иттрий-алюминиевого граната имеют по-
положительные температурные коэффициенты показателя преломле-
преломления; тепловая линза, образующаяся в этих кристаллах, является со-
собирающей. Для рубина dnldT = 1,4-10—5 К, для граната dn/dT=
= 7,3- 10~eK—x [61]. Эффект рассеивающей тепловой линзы наблю-
наблюдается в некоторых типах стекол.
При рассмотрении тепловой линзы в активном образ-
образце твердотельного лазера можно в первом приближении не
учитывать поглощения в нем генерируемого излучения, по-
поскольку мощность этого излучения примерно на два поряд-

232 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
ка меньше мощности излучения накачки. В данном случае
имеет место ситуация, когда тепловая линза, обусловлен-
обусловленная поглощением одного излучения (излучения накачки),
воздействует на формирование поля другого излучения (из-
(излучения, генерируемого в активной среде лазера). Роль
генерируемого лазером излучения в образовании тепловой
линзы становится существенной тогда, когда это излу-
излучение является единственным фактором, обусловливающим
нагревание среды. Примером может служить нелинейный
кристалл для параметрического преобразования частоты,
где в качестве накачки используется излучение от лазера.
В подобных случаях тепловая линза, обусловленная
поглощением в среде некоторого излучения (лазерного
пучка), воздействует на это же самое излучение. Эффект
тепловой линзы выступает здесь как нелинейный э<}х|)ект;
его называют эффектом тепловой нелинейности или, ко-
короче, тепловой самофокусировкой*). Если, например, ла-
лазерный пучок наводит в каком-либо элементе собирающую
тепловую линзу, то в результате тепловой фокусировки
будет возрастать плотность пучка в приосеюй области эле-
элемента, а вместе с тем будет увеличиваться и поглощение
излучения в этой области. В результате будет наблюдаться
усиление фокусирующих свойств наведенной тепловой
линзы.
Термоупругие напряжения; термические искажения ре-
резонатора. Перепишем соотношение B.13.1) в виде
п (AT) — п @) = АпТ + А«о = (дп/дТ)сАТ + Апа.
B.13.4)
Эта запись отражает тот факт, что полное изменение пока-
показателя преломления в некоторой точке среды складывает-
складывается из чисто температурного изменения An г = (дп/дТ)аАТ
и изменения Апо, обусловленного возникновением в нерав-
неравномерно прогретой среде термоупругих напряжений. Точ-
гее говоря, изменение показателя преломления Апа обус-
обусловлено фотоупругим эффектом (называемым также пьезо-
оптическим. эффектом), проявляющимся при возникнове-
возникновении в среде термоупругих напряжений. Коэффициент
(дп/дТ)а есть температурный коэффициент показателя
*) Теория эффекта тепловой самофокусировки рассмотрена на-
например, в 162].

2.13. Тепловая линза 233
преломления, измеренный в условиях равномерного нагре-
нагревания тела в отсутствие напряжений (легко видеть, что при
д„о = о имеем dn/dT — (дп/дТ)о)*К
Величина Апа выражается через упругооптические по-
постоянные среды и упругие деформации, вызванные нерав-
неравномерным нагревом. Порядок величин An-f и Аяа одинаков.
Так, например, для кристалла ниобата лития (LiNbO3),
помещенного в лазерный пучок, получены оценки [63]:
Лпг = 1,4 • Ю~Б • AT; Дпо = 0,66 • \0~ъ • Л Т. Если,
в частности Дпг<0, а Дпа>0, то возможны как слу-
случаи, когда (Дпг + Д«а) < 0, так и случаи, когда (Апг +
+ Дпа) > 0.
Существенно, что термоупругие напряжения приводят не прос-
просто к появлению дополнительного вклада в величину изменения по-
показателя преломления. Через фотоупругий эффект этн напряжения
воздействуют на опгпическую^индикагпрису образца**). Если в исход-
исходном состоянии образец оптически изотропен (жидкость, стекло, кри-
кристалл кубической симметрии), то под воздействием термоупругих
напряжений он приобретает свойства одноосного кристалла, об-
обладающего двулучепреломлением; его оптическая индикатриса пре-
превращается из сферы в эллипсоид вращения. Кристалл иттрий-алю-
иттрий-алюминиевого граната имеет кубическую симметрию; в результате по-
поглощения излучения накачки в нем возникает термически иницииро-
инициированное двулучепреломление, приводящее, в частности, к деполяри-
деполяризации излучения лазера на иттрий-алюминиевом гранате. В слу-
случаях, когда образец в исходном состоянии является одноосным
или двуосным кристаллом, изменения оптической индикатрисы
могут иметь довольно сложный характер: поворачиваются главные
оси оптической индикатрисы, изменяются значения главных пока-
показателей преломления, одноосный кристалл приобретает свойства
двуосного кристалла.
Фотоупругий эффект — не единственный эффект, свя-
связанный с термоупругими напряжениями. Другой эффект —
тепловое расширение образца и, как следствие, искривле-
искривление его торцевых поверхностей, что, естественно, также
влияет на расходимость генерируемого излучения. Эффек-
Эффекты, обусловленные термоупругими напряжениями, в со-
сочетании с чисто температурным изменением показателя
преломления определяют в своей совокупности так назы-
называемые термические искажения резонатора.
*) В справочной литературе обычно приводят именно (дп/дТ)а.
**> Об оптической индикатрисе см., например, в§ 4.3 из [1];
там же, в § 4.4 рассматривается фотоупругость.

234 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Термические искажения резонатора обсуждаются, в част-
частности, в [11, 64, 65]. Рассматривая влияние термических
искажений на излучение лазера, необходимо в общем слу-
случае учитывать одновременно и ряд других факторов, напри-
например рассеяние на неоднородностях показателя преломле-
преломления. Совместное влияние рассеяния и эффекта тепловой
линзы на расходимость светового пучка рассмотрено в [66].
Фокусное расстояние и главные плоскости тепловой
линзы. Как показывают исследования, зависимость пока-
показателя преломления от поперечных координат хну, свя-
связанная с образованием тепловой линзы, является с боль-
большой степенью точности квадратичной [11]:
п (х, у) = «о ± «а (х2 + у2)/2. B.13.5)
Здесь п0 — показатель преломления на оси образца
(х = у = 0); знак плюс относится к рассеивающей а знак
минус — к собирающей тепловой линзе. Таким образом,
образец с наведенной в нем тепловой линзой может рас-
рассматриваться как квадратичная среда.
Найдем выражение для фокусного расстояния тепловой
линзы, полагая, что показатель преломления среды описы-
описывается формулой
п (S) = п0 — Яя^/2, B.13.6)
где s2 = х2 + у2. Предположим, что на торец нагретого
образца длиной d падает световой луч, параллельный
оси 00 и отстоящий от оси на расстояние sx (рис. 2.83, а).
Преобразование луча в результате прохождения через об-
образец может быть описано соотношением типа B.4.16):
где для ЛБСО-матрицы используется результат B.8.24).
С учетом B.8.24) получаем следующие параметры луча на
выходе из образца:
a2==CSl=— SlV~nlJ4 sin U/"-^-d)- B-13.8)

2.13. Тепловая линза
235
О-Ч —"Г
6)
Рис. 2.84
Рис.-
На рис. 2.83, а введено обозначение / для расстояния по оси
00 от точки пересечения выходящего луча с осью до опор-
опорной плоскости Н, проведенной через точку пересечения
продолжений входящего и выходящего световых лучей
(эти продолжения лучей показаны на рисунке штриховыми
линиями). Легко видеть, что
/ = -sx/a2. B.13.9)
Подставляя B.13.8) в B.13.9), находим
B.13.10)
Величина / не зависит от %. Это означает, что любой луч,
распространяющийся параллельно оси 00, пересечет эту
ось после прохождения образца в определенной точке —
точке / на рис. 2.83, б. Иначе говоря, тепловая линза мо-
может рассматриваться как идеальная линзовая система. При
этом плоскость Н является, очевидно, одной из главных
плоскостей данной системы, а / — ее фокусное расстояние.
На рис. 2.83, в показаны обе главные плоскости тепло-
тепловой линзы — плоскости Нх и Я2. Расстояние h от главной
плоскости до соответствующего торца образца определяет-
определяется из очевидного соотношения
h=f — s2/ (—a2).
f—c-»^.*.(/¦*-«)

236 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Используя B.13.8), находим
tgfl
-С Упопъ & V 2 \ «о
^l/—V B-13.11)
2 \ « /
В твердотельных лазерах обычно выполняется неравен-
неравенство
с1У7Г2<?1. B.13.12)
С учетом этого неравенства перепишем результаты B.13.10)
и B.13.11) в виде
1// = М; h -= dl2n0. B.13.13)
Учет тепловой линзы в лазерных системах. Предпо-
Предположим, что в активном элементе наведена тепловая линза,
для которой известны параметры f и h. Чтобы учесть эту
тепловую линзу, надо заменить активный элемент идеаль-
идеальной линзовой системой, состоящей из тонкой линзы
с фокусным расстоянием / и двух отрезков свободного про-
пространства протяженностью h каждый. На рис. 2.84, а изоб-
изображен исходный резонатор, образованный зеркалами с ра-
радиусами кривизны гх и г2. Внутри резонатора находится
активный элемент длиной d, расстояния от левого и пра-
правого торцов элемента до ближайшего зеркала равны соот-
соответственно 1г и /2. Штриховыми линиями показаны глав-
главные плоскости тепловой линзы активного элемента. На
рис. 2.84, б изображен эквивалентный резонатор с тонкой
линзой. Он имеет такие же зеркала, как и исходный резо-
резонатор, но иную длину. Длина исходного резонатора L =
= 1г + d + /2; длина эквивалентного резонатора с тонкой
линзой V = lx + 2h + /2.
Приведение резонатора с внутренней тепловой линзой
к резонатору с обычной (тонкой) линзой позволяет пе-
перейти затем к рассмотрению эквивалентного безлинзового
резонатора (см. §2.6).
Эффект тепловой линзы играет обычно важную роль
при формировании поля излучения в твердотельном лазе-
лазере*). При этом возможно заметное уменьшение эффектив-
*) Тепловая линза может играть заметную роль также в мощных
газовых лазерах (например, в молекулярных лазерах на двуокиси
углерода).

2.13. Тепловая линза 237
ности съема энергии с единицы объема активной среды и
даже срыв генерации. Один из способов борьбы с эффек-
эффектом тепловой линзы состоит в компенсации этого эффекта
за счет внесения в резонатор дополнительных элементов,
корректирующих волновой фронт генерируемого излу-
излучения (например, дополнительных линз). Другие способы
связаны с ослаблением термических искажений резонато-
резонатора за счет определенных конструктивных и технических
решений в применении к конкретному лазеру.
Если известны параметры f и h тепловой линзы для
данного активного образца и данных условий накачки, то
можно учесть и использовать эффект тепловой линзы, под-
подбирая должным образом тип резонатора и его геометричес-
геометрические размеры, включая расстояния от зеркал до торцевых
поверхностей образца. Осуществляя согласование тепло-
тепловой линзы с зеркалами резонатора, можно в принципе
обеспечить максимальное заполнение объема активного
элемента генерируемым излучением и тем самым повысить
выходную мощность лазера.
Радиус светового пучка на левом торце активного об-
образца в резонаторе на рис. 2.84, а может быть выражен со-
согласно B.9.29) через элементы матрицы М — (с?>) двой-
двойного прохода резонатора на рис. 2.84, б от опорной плос-
плоскости, находящейся на расстоянии Лг от левого зеркала
резонатора. Эта матрица определяется так:
М*=М (h)M (J)M (h + /2) М (r2) M (h + /2) М (f)M (h +
+У М (rJM (У. B.13.14)
В результате искомый радиус светового пучка оказывается
выраженным через геометрические параметры резонатора
'ь 4. ri> Г2 и через параметры f, h тепловой линзы. Под-
Подбирая геометрические параметры, можно 'обеспечить мак-
максимальную величину радиуса пучка.
Вопросы согласования тепловой линзы активного образца с зер-
зеркалами резонатора рассмотрены, например, в [67, 68]. В работе [68]
на примере резонатора с двумя активными образцами исследоваиа
зависимость выходной мощности лазера от взаимного расположе-
расположения активных образцов и зеркал резонатора с учетом наведенных
тепловых линз.
На практике фокусное расстояние / тепловой линзы, наведен-
наведенной в твердотельном активном элементе, оказывается зависящим не
только от мощности и пространственного распределения накачки,

238 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
но и от мощности генерируемого излучения. Параметр же h практи-
практически не изменяется при самых различных мощностях накачки.
Поэтому резонатор реального твердотельного лазера может рассмат-
рассматриваться как резонатор с внутренней линзой, положение которой
фиксировано, а оптическая сила изменяется в некотором интерва-
интервале значений. Большую практическую важность приобретает в этой
связи поиск резонаторов с такой геометрией, которая обеспечивала
бы наименьшую чувствительность каустики поля к \ изменениям
оптической силы внутренней линзы. Этот вопрос проанализирован
в работе [69], где рассмотрены плоскосферические резонаторы.
Проведенный в [69] анализ позволяет рассчитывать резонаторы
твердотельных лазеров, не чувствительные к изменениям оптичес-
оптической силы тепловой лннзы, наведенной в активном элементе.
2.14. Волноводные резонаторы
Существует весьма эффективный способ борьбы с ис-
искажениями волнового фронта генерируемого излучения,
обусловленными эффектом тепловой линзы и искривлени-
искривлением активного элемента при его тепловом расширении. Этот
способ основан на использовании так называемых волно-
водных резонаторов, в которых можно реализовать моды,
сохраняющие форму волнового фронта несмотря на нали-
наличие термических искажений резонатора*).
Волноводный резонатор; волноводные моды. Представ-
Представление о волноводном резонаторе дает рис. 2.85. На рисунке
показано продольное сечение активного элемента, имеюще-
имеющего форму прямоугольного параллелепипеда; / — полиро-
полированные верхняя и нижняя боковые грани элемента, 2 —
среда вокруг боковой поверхности элемента (например,
охлаждающая жидкость), 3 — зеркала резонатора, ори-
ориентированные под углом а к плоскости торцов активного
элемента; L — длина активного элемента, d — его попе-
поперечный размер в плоскости рисунка. На рисунке показан
также световой пучок, дважды претерпевающий полное
внутреннее отражение от граней / активного элемента
(вместо светового пучка можно ограничиться изображени-
изображением светового луча — см. штриховые линии). Заштрихован-
Заштрихованные на рисунке участки соответствуют объему активного
элемента, не участвующему в генерации; он составляет
х/4 от всего объема элемента. Углы ос и у — углы падения
*) Лазеры с волноводными резонаторами предложены в 1972 г.
(см. [70]). Они обсуждаются в [12].

2.14. Волноводные резонаторы
239
Рис. 2.85
и преломления для поверхности торца соответственно;
они связаны известным соотношением
sin a/ sin у = п,
B.14.1)
где п — показатель преломления активного элемента.
Существенно, что определяемый ориентацией зеркала
резонатора относительно плоскости торца активного эле-
элемента угол а (а следовательно, и угол у) не может быть
выбран произвольно. Необходимо, чтобы произведение
L tg у было кратным величине d:
L tg Vm = md.
B.14.2)
В этом случае световой луч, проходя по активному эле-
элементу, претерпевает т раз полное внутреннее отражение
от боковых граней и выходит из элемента под тем же углом
ат, под каким он в него вошел. Рисунок 2.86 поясняет ус-
условие B.14.2).
Если зеркала резонатора ориентированы по отношению
к плоскости торца активного элемента под углом а = ат,
определяемым соотношениями B.14.1) и B.14.2), то в этом
случае в волноводном резонаторе возбуждается волновод-
ная мода типа т. В случае, изображенном на рис. 2.85, воз-
возбуждается волноводная мода типа 2, а на рис. 2.86 — вол-
новодная мода типа 5*К
*) Рисунки 2.85 и 2;86 соответствуют плоскому волноводному
резонатору, поскольку рассматривается отражение не от всех че-
четырех боковых граней активного элемента, а только от двух про-
противоположных (верхней н нижней). В более общем случае следует
принимать во внимание отражение и от другой пары боковых гра-
граней (объемный волноводный резонатор); при этом каждая волновод-
волноводная мода будет характеризоваться уже не одним, а парой индексов.

240
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Число волноводных мод
в резонаторе. Число возмож-
ных^волноводных мод огра-
ограничено [условием полного
внутреннего отражения от
боковых граней активного
элемента:
cos у
B.14.3)
Рис. 2.86
где пг — показатель преломле-
преломления среды, окружающей бо-
боковые грани элемента (пх <. п). Если cos у < njn, то
излучение выходит из активного элемента через боковые
грани.
Перепишем B.14.3) в виде
1/ A + tg2 у) > («АJ
и подставим сюда B.14.2). В результате получим условие,
ограничивающее возможные значения т для волноводных
мод, возбуждаемых в рассматриваемом резонаторе:
B.14.4)
Среди мод, определяемых условием B.14.4), могут быть
моды, испытывающие полное внутреннее отражение не
только от боковых граней, но и от торцов активного элемен-
элемента. Такие мо^ды циркулируют внутри элемента и, следова-
следовательно, являются паразитными модами. Эти моды удов-
удовлетворяют условию sin ут ^ 1/п или, иначе, tg2 ym/ A +
+ tga ут) ^ 1/п2. Подставляя сюда B.14.2), находим
d
Если
/(¦в-
B.14.5)
B.14.6)
то паразитные моды не возникают и число волноводных
мод, которые могут быть использованы как рабочие, оп-

2.14. Волноводные резонаторы
241
Рис. 2.87
Рис. 2.88
ределяется условием B.14.4). В противном'^случае число
рабочих волноводных мод определяется неравенством
L l B.14.7)
т-
IV-1
Говоря о числе волноводных мод, следует учитывать,
что угол а может быть как положительным, так и отри-
отрицательным; поэтому число мод, определяемое условием
B.14.4) (или условием B.14.7)), надо умножить на 2.
В связи с этим различают моды типа +т и моды типа —т —
в зависимости от знака угла а. На рис. 2.87 показаны в ка-
качестве примера моды типа +3 и типа —3.
Волноводный резонатор половинного типа. Используя
систему из четырех зеркал, можно возбудить в резонаторе
одновременно две .волноводные моды, для которых индекс
т имеет одинаковую величину, но разный знак. На
рис. 2.88, а показаны два таких случая: для \т\ = 1 и для
\т\ = 2. При этом, как нетрудно видеть, объем активно-
активного элемента используется полностью.
Штриховая прямая на рис. 2.88, а есть сечение плоско-
плоскости симметрии: правая половина рисунка представляет
собой зеркальное отражение его левой половины. Отсюда
следует, что ход световых лучей в правой половине рисун-
рисунка не изменится, если его левую половину убрать, заменив
плоскость симметрии полностью отражающим плоским
зеркалом (рис. 2.88, б). Резонаторы, изображенные на

242
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.89
рис. 2.88, б, называют вол-
новодными резонаторами по-
половинного типа; в первом из
рассмотренных случаев воз-
возбуждены моды с дробным ин-
индексом (т = +1/2 и т = —
—1/2), во втором — с целочи-
целочисленным индексом (т = +1
и т = —1).
Примечательно, что для
возбуждения моды с дробным
индексом в половинном вол-
новодном резонаторе достаточ-
достаточно одного из наклоненных под углом а зеркал (рис. 2.89, а).
Что же касается возбуждения мод с целочисленным ин-
индексом, то в этом случае необходимы оба наклоненных зер-
зеркала (рис. 2.89, б). Последнее означает, что целочислен-
целочисленные моды +/п и —т (в частности, моды +1 и —1) в поло-
половинном волноводном резонаторе являются взаимно связан-
связанными.
Преимущества волноводных резонаторов. Применяя вол-
новодный резонатор, можно избежать искажения формы
волнового фронта излучения тепловой линзой активного
элемента. Эту возможность хорошо иллюстрирует
рис. 2.90, на котором изображен волноводный резонатор
половинного типа с модой т = ± 1. Тепловая линза пред-
предполагает зависимость показателя преломления от попереч-
поперечной координаты у: п — п (у). Рассмотрим тонкий слой ак-
активной среды, ограниченный плоскостями у и у + Ду ( см.
рисунок). Легко видеть, что любой световой луч в моде
т = ±1 дважды пересекает указанный слой, проходя
в нем один и тот же путь, оптическая длина которого рав-
равна п (y)Ay/ sin -у (на рисунке показаны три световых луча:
/, 2, 3). Положение слоя по оси у выбрано произвольно;
поэтому если разбить весь активный элемент на тонкие па-
параллельные слои, то сделанное выше замечание о равенстве
оптических путей для всех световых лучей в моде будет спра-
справедливо для каждого слоя, а следовательно, и для активно-
активного элемента в целом. Иначе говоря, в случае, изображенном
на рис. 2.90, каждый световой луч в волноводной моде про-
проходит в активном элементе оптический путь одной и той же
длины. Отсюда следует, что тепловая линза активного эле-

2.14. Волиоводные резонаторы
243
Рис. 2.90
мента не может в данном случае исказить волновой фронт
светового пучка. v
Отметим, что в волноводных резонаторах можно по-
подобрать такие комбинации волноводных мод, которые ока-
оказываются нечувствительными не только к тепловой линзе,
но и к иным термическим искажениям активного элемента
(например, к изгибу активного элемента, вызванному теп-
тепловым расширением). Во всех случаях удается добиться
взаимной компенсации изменений волнового фронта свето-
светового пучка, происходящих в процессе его распространения
по деформированному активному элементу.
Преимущество волноводного резонатора перед обычным
плоскопараллельным резонатором демонстрирует рис. 2.91
[12], где представлены две экспериментальные кривые, вы-
выражающие зависимость выходной мощности WBbIK лазера
от числа вспышек N лампы накачки; кривая / относится к
обычному резонатору, а кривая 2 — к волноводному
(в обоих случаях активный элемент не охлаждался, что при-
приводило к быстрому нагреву). Из рисунка видно, что если
в случае обычного резонатора термические искажения от-
относительно быстро приводят к срыву генерации, то в слу-
случае волноводного резонатора имеет место сравнительно
медленный спад кривой (заметим, что этот спад определя-
определяется отнюдь не термическими искажениями элемента, а
ухудшением его генерационных характеристик с повыше-
повышением температуры).
Исследования лазеров с волноводными резонаторами
обнаружили высокие селектирующие свойства этих резо-
резонаторов, причем как в отношении селекции поперечных
мод, так и в отношении частотной селекции. Практически

244
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
во всех вариантах волновод-
ного резонатора наблюдает-
наблюдается одночастотный режим ге-
генерации (селектируется цен-
центральная продольная мода).
Исследования волноводного
лазера на иттрий-алюминие-
иттрий-алюминиевом гранате с неодимом [71]
показали, что одночастотный
режим генерации имеет место
вплоть до мощностей накач-
накачки, при которых разрушается кристалл. В этом же лазе-
лазере наблюдалась генерация одной поперечной моды; число
Френеля при этом превышало 104.
Рис. 2.91
2.15. Оптическое излучение в тонкопленочном
волноводе. Распределенная обратная связь
Тонкопленочный оптический волновод представляет со-
собой диэлектрическую пленку толщиной d порядка длины
волны излучения (d « 1 мкм), нанесенную на подложку
(рис. 2.92). Будем рассматривать двумерный случай, по-
полагая, что световые лучи не выходят из плоскости yz (ось
у перпендикулярна плоскости, разграничивающей плен-
пленку и подложку; ось z соответствует направлению, вдоль
которого распространяется излучение в пленочном волно-
волноводе). Как и в обычном диэлектрическом волноводе, распро-
распространение света в пленке основано на явлении полного
внутреннего отражения, в связи с чем необходимо, чтобы
выполнялись неравенства
п>п1 и п> п2,
B.15.1)
где п, пъ пг — показатели преломления соответственно
пленки, подложки и среды над пленкой. Обычно над плен-
пленкой находится воздух, поэтому будем полагать, что щ <. пл.
На рис. 2.9? показан световой луч внутри пленки, пре-
претерпевающий полное внутреннее отражение от ее 'границ;
угол падения луча на границу пленки обозначен через 0.
Луч проходит внутри пленки зигзагообразный путь; в свя-
связи с этим говорят о зигзагообразных лучах (зигзагообраз-
(зигзагообразных световых волнах). Представление о таких лучах (вол-

2.15. Излучение в тонкопленочном волноводе 245
нах) позволяет рассмотреть
ряд принципиальных вопро-
вопросов, связанных с распрост-
распространением света в тонкопле-
тонкопленочных волноводах.
Строгое рассмотрение оп-
оптики диэлектрических пле-
пленок, опирающееся на уравне-
уравнения Максвелла, проводится,
например, в [72]. Оптические Рис. 2.92
явления в тонкопленочных
волноводах обстоятельно анализируются в [73—77]; см.
также [2] гл. 28.
Тонкие диэлектрические пленки используются не толь-
только как пассивные элементы, предназначенные для переда-
передачи световых сигналов. Они применяются также как актив-
активные элементы (так называемые пленочные лазеры); кроме
того, они используются для осуществления нелинейных
взаимодействий световых волн — генерации оптических
гармоник, параметрической генерации света, вынужден-
вынужденного комбинационного рассеяния света. В [73] отмечается,
в частности, что «использование тонкопленочных диэлек-
диэлектрических волноводов открывает путь к созданию миниа-
миниатюрных лазерных устройств, оптических модуляторов,
фильтров, параметрических генераторов и других элемен-
элементов для систем связи с большой информационной емкостью,
быстродействующих вычислительных устройств и для си-
систем оптической обработки информации... Такая перспекти-
перспектива послужила основой для возникновения на стыке микро-
микроволновой техники и оптики новой области исследова-
исследований — интегральной оптики».
В данном параграфе будут рассмотрены лишь некоторые
вопросы распространения света в тонкопленочном волново-
волноводе, ввода излучения в пленку, а также пленочные лазеры
с распределенной обратной связью.
Волноводные моды в тонкой пленке. В соответствии с
двумя возможными поляризациями света различают два
типа мод, распространяющихся в тонкопленочном волново-
волноводе: ТМ и ТЕ. Представление об этих модах дает рис. 2.93.
На рис. 2.93, а отличны от нуля следующие составляющие
векторов поля: Еу, Ez, Hx (последняя составляющая ори-
ориентирована перпендикулярно плоскости векторов Е и к).

246
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.93
Это есть ТМ мода, т. е. поперечная магнитная мода; век-
вектор Н в этой моде перпендикулярен к направлению рас-
распространения излучения по волноводу**. На рис. 2.93, б
отличны от нуля составляющие Ну, Hz, Ex. Это есть ТЕ
мода, т. е. поперечная электрическая мода; вектор Е пер-
перпендикулярен к направлению распространения излучения.
Поскольку граничные условия на поверхности раздела
двух сред для перпендикулярной к границе и параллельной
ей составляющих поля не зависят друг от друга, то, сле-
следовательно, моды ТМ и ТЕ можно рассматривать как вза-
взаимно независимые. Это означает, в частности, что они не
превращаются друг в друга при отражениях от границ
пленки.
Выберем, например, моду ТЕ и рассмотрим зависи-
зависимость от времени и пространственных координат для ска-
скалярной функции, описывающей одну из составляющих поля
моды, например Ех; обозначим эту функцию через и (у, z, t).
Заметим, что с таким же успехом можно было бы выбрать
составляющую Ну или Нг (или же рассмотреть составляю-
составляющие моды ТМ). Поле излучения в волноводе можно предста-
представить в виде суперпозиции двух плоских монохроматичес-
монохроматических волн, волновые векторы которых (векторы к' и к") по-
показаны на рис. 2.94 (|к'| = | к" | = kn; k = со/с):
и {у, z,t) = Ul exp (tk'r) + exp (tk"r)] exp (—tot).
B.15.2)
Учитывая (см. рис. 2.94), что
к' г = k'y у + k'z z = kn (ycos 6 + z sin6);
к" г = k'y у + k"z z = kn (— у cos G + z sin 6),
*) Обозначение ТМ происходит от словосочетания transverse
magnetic, которое переводится как поперечный магнитный.

2.15. Излучение в тонкопленочном волноводе 247
Рис. 2.94
перепишем B.15.2) в виде
и (у, z,t) = Ul exp (ikny cos 6) + exp (—ikny cos В)] х
X exp (iknz sin 6) exp (—Ш). B.15.3)
Введем обозначения
P = kn sin 6; b = kn cos 6. B.15.4)
С учетом этих обозначений выражение B.15.3) принимает
вид
и (у, z,f) = U [ exp (iby) + exp (—iby)] exp (фг — iaf).
B.15.5)
Заметим, что если результат B.15.5) рассматривать примени-
применительно не к составляющей Ех моды ТЕ, а, например, к составляю-
составляющей Hz, то в этом случае вместо амплитуды U надо использовать
амплитуду Un sin 6 (это следует из соотношения между векторами
Е и Н в плоской волне). Таким образом, изменится лишь амплиту-
амплитуда составляющей поля, не зависящая ни от пространственных коор-
координат, ни от времени.
Из B.15.5) видно, что излучение распространяется по
пленке в направлении оси z со скоростью
v = со/р — сЩ = с/п sin 6, B.15.6)
а в направлении оси у возникает стоячая волна
w (у) = U [ exp (iby) + exp (—iby)] = W cos (by). B.15.7)
Последнее обстоятельство означает, что в направлении оси
у должно выполняться условие резонанса (по аналогии со
стоячей волной в обычном резонаторе). Это условие выде-
выделит допустимые значения параметра Ь, а следовательно,
угла 6 для волноводных мод, которые могут распростра-
распространяться в данной пленке.
Для получения условия резонанса надо рассмотреть рас-
распространение зигзагообразной волны, например, от точки
А до точки В (рис. 2.95), что соответствует двойному про-

248 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
ходу толщины пленки d. При этом необходимо наряду с
геометрическим набегом фазы в направлении оси у, рав-
равным, как легко сообразить, 2bd, учесть также изменение
фазы волны при полном внутреннем отражении на нижней
и верхней границах пленки. Обозначим эти измерения фа-
фазы через —я|з и —ф соответственно. Можно показать (см.,
например, [72]), что
я|з = 2 arctg v p ~ККП1> : B.15.8a)
B.15.86)
Суммарное изменение фазы волны (в направлении оси у)
за двойной проход толщины пленки должно быть кратно
2л:
2bd —я|> — ф = 2я/л; т-0,1,2, ... B.15.9)
Соотношение B.15.9) выражает искомое условие резо-
резонанса.
Заданному целому числу т соответствует определенный
угол падения светового луча на границу пленки (угол 0т),
а следовательно, и определенные параметры pm, bm, ij)m,
фт (поскольку согласно B.15.4) и B.15.8) все эти парамет-
параметры являются функциями от 9). Поэтому соотношение
B.15.9), строго говоря, следует записывать в виде
B.15.10)
Индекс т фиксирует порядок волноводной моды. Вол-
новодные моды разного порядка различаются величиной
угла 6, который согласно отмеченному выше условию
резонанса может принимать лишь дискретные значения
6т'. Чтобы найти 6т, надо решить трансцендентное уравне-
уравнение B.15.10).
С возрастанием т угол 8т уменьшается. Отсюда сле-
следует, что величина параметра Ьт увеличивается, а парамет-
параметра рт, напротив, уменьшается; см. B.15.4). Последнее об-
обстоятельство означает, что с ростом т растет скорость рас-
*) Ниже будет показано, что моды разных порядков различа-
различаются также распределением поля в направлении оси у.

2.15. Излучение в тонкопленочном волноводе 249
пространения излучения в пленке в направлении оси z
B.15.6). Из B.15.8) видно, что с ростом т параметры
4>т и Фт уменьшаются. Таким образом,
60>6i>62>"-; po>Pi>p2>---; bo<bi<b2<-;
> ••¦; Фо>ф1>Фг> ¦¦¦ B.15.11)
Число вол ново дных мод в пленке. Процесс уменьшения
угла 6т с ростом т (равно, как и процесс изменения прочих
параметров) не может быть бесконечньм. Угол 9т не мо-
может, очевидно, стать меньше предельного угла полного
внутреннего отражения на границе пленки с подложкой
6пРсд, определяемого известным соотношением
sin 6ПРед = njn. B.15.12)
Разность р2 — (fcttiJ для 6 = 9пРед равна
Р2 (бпред) - № = (knf Sin2 6пред- (kntf = 0.
Таким образом, если угол 9, уменьшаясь, становится рав-
равным углу 6ПРед, то в этом случае обращается в нуль под-
подкоренное выражение в B.15.8а), а следовательно, и изме-
изменение фазы волны на границе пленки с подложкой. При
углах 6 < 6пред упомянутое подкоренное выражение ста-
становится отрицательным; полного внутреннего отражения
на границе пленки с подложкой не происходит. Ясно, что
волна св< 6„ред уже не может являться волноводной мо-
модой данной пленки. Условие
6m > arcsin (njn) B.15.13)
ограничивает число волноводных мод, которые могут рас-
распространяться в конкретном пленочном волноводе. Напри-
Например, в пленке из Та2О5 толщиной d = К = 0,78 мкм, напы-
напыленной на стеклянную подложку, возможны четыре вол-
волноводных моды (т — 0; 1; 2; 3).
Распределение поля в волноводных модах. Согласно
B.15.7) распределение поля по оси у в волноводной моде
/п-го порядка описывается внутри пленки функцией вида
и>т (У) = 9U cos фту). B.15.14)
Можно показать (см., например, [75]), что на верхней гра-
границе пленки функция wm (у) принимает значение.
w'm = 2U cos (<pm/2), B.15.15а)

250 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
а на нижней границе
w"m ~ 2 (—I)™ U cos (г|>т/2). B.15.156)
В подложке и в среде, находящейся над пленкой, поле спа-
спадает по экспоненциальному закону (по мере удаления от
границы пленки). Над пленкой распределение поля можно
представить в виде
-(ktizJ Y), B.15.16а)
если условиться отсчитывать координату Y от верхней гра-
границы пленки. Расстояние.
рт = [К - (кп2)*\-1'* B.15.17а)
есть расстояние от верхней границы пленки, на котором
поле затухает в е раз. Аналогичный характер имеет рас-
распределение поля в подложке
wm (Г) = w"m exp(VK-(kntf У); B.15.166)
(здесь координата У отсчитываается от нижней границы
пленки). Расстояние
^m = [Pm-(fen1J]-1/2 B.15.176)
есть расстояние от нижней границы пленки, на котором
поле затухает в е раз.
На рис. 2.96 показано распределение поля для четырех
первых волноводных мод (т ¦= 0; 1; 2; 3); в нижней части
рисунка изображен ход зигзагообразного луча для каж-
каждой из рассматриваемых мод. Обратим внимание, что кар-
картина распределения поля внутри пленки не обладает сим-
симметрией относительно горизонтальной прямой, проходя-
проходящей точно посредине пленки: картина несколько сдвинута
по направлению к нижней границе пленки, что связано с
неравенством п2 < щ (при п2 > пг картина была бы сдви-
сдвинута к верхней границе, а при п2 = пг имела бы место
упомянутая выше симметрия). Используя неравенство
п2<.пх и формулы B.15.8), легко заключить, что <рт >
и, как следствие (см. B.15.15)),
!<|<К;,|. B.15.18)

2.15. Излучение в тонкопленочном волноводе
251
Рис. 2.96
Граничные условия B.15.15) полностью определяют по-
положение на оси у косинусоиды B.15.14), описывающей рас-
распределение поля внутри пленки*).
Еще более несимметрично распределение поля выше
верхней границы пленки и ниже ее нижней границы. Это
связано как с неравенством B.15.18), так и с неравенством
Рт<Рт, B.15.19)
которое также есть следствие неравенства п2 > п2. По-
Поле в подложке уменьшается с расстоянием от границы плен-
пленки медленнее, нежели в среде над пленкой. Из рис. 2.96
видно также, что эффект наличия поля вне пленки воз-
возрастает по мере увеличения индекса т, фиксирующего по-
порядок моды.
*) Для определения положения косинусоиды на оси у доста-
достаточно, конечно, одного из условий B.15.15).

252 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
В соответствии с B.15.10) представим толщину пленки
в виде выражения следующего вида:
d = {mnlbj + ®j2bm) + (Фт/26т). B.15.20)
Из рис. 2.96 видно, что участок d'm = mn/bm соответству-
соответствует расстоянию между крайними максимумами косинусо-
косинусоиды B.15.14); внутри этого участка косинусоида обраща-
обращается в нуль т раз. Хорошо видно, таким образом, что чис-
число узлов в распределении поля равно порядку волновод-
ной моды.
Экспоненциальный спад поля по мере удаления от гра-
границ пленки наружу не должен наводить на мысль о зату-
затухании поля вследствие поглощения в подложке (или в сре-
среде над пленкой). Дело в том, что в случае волноводных мод
нет потока энергии по оси у. В данном случае весь поток
световой энергии распространяется только по оси z (т. е.
вдоль пленки), но при этом поперечный размер потока пре-
превышает толщину пленки d примерно на величину рт + Рт
(для волноводной моды порядка т). В связи с этим вводят
понятие эффективной толщины пленочного волновода для
моды порядка т:
Dm = d + pm + Pm. B.15.21)
Границы, соответствующие эффективной толщине Dm, по-
показаны на рис. 2.96 горизонтальными штриховыми пря-
прямыми.
Методы ввода и вывода излучения для тонкопленочного
волновода. Весьма малая толщина пленки (d»l мкм) соз-
создает определенные трудности как для ввода излучения в
пленку, так и для вывода излучения из пленки. Широко
применяются два метода ввода (вывода) излучения: при-
зменный и дифракционный*).
В призменном (туннельном) методе используется трех-
трехгранная призма, располагаемая над пленкой таким обра-
образом, чтобы между основанием призмы и поверхностью плен-
пленки существовал небольшой зазор толщиной Д порядка до-
долей длины волны излучения (Д «0,2>,)**>. Для ввода излу-
*) Применяется также метод вывода (ввода) излучения через
постепенно суживающийся край пленки (см., например, [73, 78])
**) Зазор между призмой и пленкой может иметь переменную
толщину (клиновидная форма зазора).

?.15. Излучение в тонкопленочном волновоДе
253
Ч/Ч5
Рис. 2.97
чения в пленку исходный коллимированный световой пу-
пучок направляют на призму так, чтобы он испытывал пол-
полное внутренее отражение от ее основания (рис. 2.97, а).
Известно, что при полном внутреннем отражении поле от-
отражающегося светового луча проникает за отражающую
поверхность на расстояние порядка долей длины волны
(рис. 2.97, б). Используя это явление, можно реализовать
эффективную передачу световой энергии из призмы в плен-
пленку (или в обратном направлении).
В дифракционном методе на участки пленки вблизи ее
концов наносят фазовую дифракционную решетку, период
которой согласован с длиной волны излучения. Ввод (вы-
(вывод) излучения основан в данном случае на явлении дифрак-
дифракции.
На рис. 2.98 представлены в упрощенном виде схемы с
применением призменного (а) и дифракционного (б) методов
ввода и вывода излучения. Здесь 1 — тонкая пленка, 2 —
подложка, 3 — входное излучение (излучение, вводимое
в пленку), 4 — выходное излучение (излучение, выводи-
выводимое из пленки). В обоих случаях контакт внешнего излу-
излучения и излучения внутри пленки происходит на относи-
относительно большой длине /. Это обстоятельство предопределя-
предопределяет (при условии согласования угла падения входного излу-
излучения с углом 6т соответствующей волноводной моды)
достаточно высокую эффективность передачи световой
энергии, превышающую 50% (эффективность призменного
метода может достигать даже 80—90%).
Анализ различных методов ввода и вывода излучения
в случае тонкопленочных волноводов проводится, в част-

254
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Рис. 2.98
Рис. 2.99
ности, в [73, 75]. Ниже остановимся немного подробнее на
призменном методе.
Принцип действия элемента связи призма — пленка.
Принцип действия этого элемента поясняет рис. 2.99. Штри-
Штриховая прямая в призме соответствует плоскому фронту све-
световой волны, падающей на основание призмы. Этот фронт
изображен в тот момент, когда световая волна достигла
точки / основания призмы и согласно отмеченному выше
эффекту проникновения поля отражающейся волны за отра-
отражающую поверхность возбудила зигзагообразную волну
в пленке в точке /'. Распространяясь вдоль пленки, зиг-
зигзагообразная волна пройдет расстояние s от линии VI" до
линии 2'2" за время
xx=slv, B.15.22)
где v — скорость распространения излучения по пленке в
направлении оси z, определяемая формулой B.15.6). Рас-
Распространяясь внутри призмы, фронт волны пройдет рас-
расстояние от точки 4 до точки 2 (это расстояние равно s sin ф;
см. рис. 2.99) за время
ssincp
cn3
B.15.23)
где п3 — показатель преломления призмы.
По мере перемещения фронта волны, падающей на ос-
основание призмы, будут последовательно возбуждаться
зигзагообразные волны в разных точках пленки: 1', 2', 3', ...
Если при этсм окажется выполненным условие
%х = та> B.15.24)

2.15. Излучение в тонкопленочном волноводе 255
то момент возбуждения волны в той или иной точке пленки
будет совпадать с моментом прихода в эту точку волны, рас-
распространяющейся по пленке; в результате возбуждаемая
волна окажется в фазе с волной, которая уже существует
в пленке, что приведет, очевидно, к усилению последней.
Условие B.15.24) называют условием согласования. С уче-
учетом B.15.6), B.15.22) и B.15.23) оно может быть записано
в виде
п sin G = ns sin ф. B.15.25)
Из B.15.25) видно, что, подбирая величину отношения
п3/п, а также угла ф, можно реализовать условие согла-
согласования для определенного угла 6, т. е. для определенной
волноводной моды. Таким образом, призменный метод вво-
ввода излучения в пленку позволяет в принципе возбуждать
в пленке любую заданную волноводную моду.
Распределенная обратная связь. Предположим, что по-
показатель преломления активного элемента пространствен-
пространственно промодулирован в направлении его оптической оси
(оси z):
п (г) - п0 + An cos Bгаг/Л), B.15.26)
причем период пространственной модуляции Л по порядку
величины равен длине волны излучения. В этом случае име-
имеет место так называемая распределенная обратная связь,
позволяющая осуществлять генерацию без применения ре-
резонатора с отражающими зеркалами.
Принцип распределенной обратной связи основан на
использовании явления брэгговского отражения световых
волн от периодической структуры, образующейся внутри
активного элемента в результате пространственной моду-
модуляции его показателя преломления. На рис. 2.100 штри-
штриховыми линиями выделены условные отражающие плоско-
плоскости периодической структуры; расстояние между сосед-
соседними плоскостями равно периоду пространственной моду-
модуляции Л. Рассматривается отражение назад световых волн,
падающих нормально на выделенную систему плоскостей.
Взаимное усиление отраженных волн будет иметь место при
условии
2Ло = ml
B.15.27)

256 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
где п — показатель'преломления активного элемента; т —
целые числа (практически следует учитывать лишь т — 1).
Условие B.15.27) и есть условие брэгговского отражения
в рассматриваемом случае.
Таким образом, вместо отражения световых волн от зер-
зеркал резонатора, помещаемых вблизи торцов активного
элемента (или на самих торцах), можно использовать эф-
эффект брэгговского отражения световых волн на периоди-
периодической структуре внутри активного элемента по всей длине.
В результате возникает высокоселективная по длине волны
обратная связь — так называемая распределенная обрат-
обратная связь (сокращенно РОС). РОС-лазер генерирует излу-
излучение с длинами волн К, значения которых удовлетворяют
условию B.15.27) и находятся в пределах ширины линии
усиления.
Заметим, что структуры с регулярными неоднороднос-
тями, имеющими период, сравнимый с длиной электромаг-
электромагнитной волны, широко используются для усиления и ге-
генерации излучения в диапазоне СВЧ (см., например, [79]);
такие структуры могут быть изготовлены относительно
просто, поскольку их период составляет примерно 1—10 мм.
В диапазоне рентгеновского излучения соответствующие
периодические структуры предусмотрены самой природой;
это — кристаллическая решетка*'. Что же касается опти-
оптического диапазона, то в этом случае требуются периоди-
периодические структуры с периодом порядка 1 мкм. Возможность
практической реализации таких структур появилась лишь
в 70-х годах в связи с развитием технологии микроэлектро-
микроэлектроники, на основе использования тонкопленочных оптичес-
оптических волноводов. Первый РОС-лазер был создан в 1971 г.
[81]. Принципы и особенности работы таких лазеров рас-
рассматриваются, в частности, в [82—84, 73].
Пространственная модуляция показателя преломления
активного элемента — это лишь один из способов реализа-
реализации РОС-лазера. Другие способы основаны на пространст-
пространственной модуляции коэффициента усиления или на моду-
модуляции геометрических параметров (поперечного сечения
активного элемента). Вопросы практической реализации
*) Возможность создания РОС-лазера в рентгеновском диапа-
диапазоне на основе использования периодической структуры кристалли-
кристаллической решетки рассматривалась уже в 1965 г. [80].

2.15. Излучение в тонкопленочном волноводе
257
Рис. 2.100
Рис. 2.101
различных способов создания РОС в оптическом диапазоне
рассматриваются, в частности, в [83].
Пленочные РОС-лазеры. Одним из важных элементов,
используемых в интегральной оптике, является пленочный
лазер. Активный элемент такого лазера представляет со-
собой тонкую активированную пленку. Очевидно, что в пле-
пленочном лазере нельзя использовать резонатор с отражаю-
отражающими зеркалами. В этом случае обычно применяют распре-
распределенную обратную связь.
В качестве активной пленки в пленочных РОС-лазерах
сравнительно часто используют пленку желатины, в ко-
которой растворен активатор, например родамин 6G*>. При-
Пример такого лазера представлен на рис. 2.101 [85]. Здесь
/ — пленка желатины с родамином 6G (d « 1 мкм), 2 —
подложка с гофрированной поверхностью (Ad « 0,01 мкм,
Л « 1 мкм), 3 — излучение накачки (вторая гармоника
неодимового лазера, Я,н = 0,53 мкм), 4 — призма для
вывода из пленки генерируемого излучения, 5 — выход-
выходное излучение. Распределенная обратная связь обеспечи-
обеспечивается в данном случае периодическим изменением толщи-
толщины активной пленки, обусловленным наличием гофриро-
гофрированной поверхности подложки. Гофрирование поверхно-
поверхности подложки производится химическим травлением через
маску, полученную фотолитографическим способом.
Интересен способ пространственной модуляции коэф-
коэффициента усиления активной пленки за счет периодического
изменения интенсивности когерентной оптической накач-
накачки вдоль оптической оси. Для этого можно воспользовать-
воспользоваться, например, схемой накачки, изображенной на
*) Наряду с пленочными РОС-лазерами на органических краси-
красителях широко распространены также РОС-лазеры иа полупровод-
полупроводниковых пленках.

258
Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
^ 2 _
vrtw\
'Ш
1
_ 2
штшшшш.
Рис. 2.103
Рис. 2.102
рис. 2.102, с. Здесь / — коллимированный световой пу-
пучок от лазера, используемого для накачки, 2 — светоде-
лительная пластинка, 3 — полностью отражающие зер-
зеркала, 4 — накачиваемая активная пленка. На поверх-
поверхность пленки падают два когерентных световых пучка (угол
между направлениями распространения пучков есть 2ср).
В результате на поверхности пленки возникает картина
интерференционных плос с периодом
inq>, B.15.28)
где Я,н — длина волны излучения, используемого для на-
накачки пленки. Периодическое изменение освещенности
поверхности пленки приводит к соответствующей прост-
пространственной модуляции ее коэффициента усиления.
Варьируя взаимное расположение зеркал 3 и пленки 4
в схеме на рис. 2.102, а, можно плавно изменять величину
угла ф, а следовательно, и период модуляции Л (см.
B.15.28)). Поскольку длина волны генерации пленочного
РОС-лазера определяется периодом модуляции Л (см.
B.15.27)), то тем самым можно осуществлять плавную пе~
рестройку длины волны излучения, генерируемого таким
лазером.
На рис. 2.102, б показана еще одна схема пространствен-
пространственной модуляции коэффициента усиления активной пленки
на основе использования интерференции световых пучков,
освещающих пленку. Здесь / — призма, 2 — иммерсион-

Список литературы 259
ная пленка, 3 — активная пленка. Применение в данной
схеме призмы позволяет в ns раз уменьшить период моду-
модуляции Л по сравнению со схемой, показанной на рис. 2.102, а
(п3 — показатель преломления призмы).
Возможность плавной перестройки частоты генерации
(на основе управления параметрами периодической струк-
структуры) — не единственное преимущество РОС-лазеров.
Осуществление фактора избирательности для фотонных
состояний по всей длине активной среды вполне закономер-
закономерно приводит к высоким спектральным и пространственным
характеристикам генерируемого излучения. Известно, что
уже сейчас РОС-лазеры заметно превосходят по этим ха-
характеристикам обычные (резонаторные) лазеры на анало-
аналогичных активных средах*К
Пленочные лазеры с периодической структурой в качестве
зеркала резонатора. Существуют пленочные лазеры, в которых
брэгговское отражение световых волн реализуется не по всей дли-
длине пленки, а лишь на участках вблизи концов [84]. Рис. 2.103 дает
представление о таком лазере. Здесь / — активный участок пленки,
2 —• участки с периодически изменяющейся толщиной пленки, 3 —
подложка. Участки пленки 2 функционируют подобно зеркалам в
обычных лазерных резонаторах. Они обеспечивают частичное воз-
возвращение излучения обратно в пленку (за счет брэгговского отра-
отражения). Кроме того, эти участки действуют как фазовая дифракци-
дифракционная решетка и осуществляют частичный вывод излучения из плен-
пленки (в виде излучения генерации лазера).
В отличие от РОС-лазера здесь иет периодических неоднород-
ностей в активном элементе. Подобные пленочные лазеры называют
лазерами с периодической структурой в качестве зеркала резонатора.
Эти лазеры интересны, в частности, тем, что длины активного участ-
участка и участков с периодической структурой, а также период послед-
последней можно изменять независимо, что позволяет в принципе найти
оптимальный вариант с максимальным подавлением нежелатель-
нежелательных мод и с предельно узкой спектральной линией генерации.
Список литературы
1. Тарасов Л. В. Физические основы квантовой электроники (опти-
(оптический диапазон).— М.: Сов. радио, 1976.— 368 с.
2. Справочник по лазерам в 2-х т. М. Ф. Стельмах, Г. Когельник,
В. П. Быков и др.; Под ред. А. М. Прохорова.— М.: Сов. радио,
1978.Т.2. —400 с.
3. Методы расчета оптических квантовых генераторов в 2-х т.
Б. И. Степанов, П. А. Апанасевич, В. П. Грибковский и др.;
*) Правда, РОС-лазеры пока еще уступают обычным лазерам
по энергетическим параметрам (КПД, пороговым характеристикам).
9*

260 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
Под ред. Б. И. Степанова.— Минск: Наука и техника, 1966.
Т.1.—484 с.
4. Джеррард А., Берч Дж. М. Введение в матричную оптику: Пер.
с англ./Под ред. В. В. Коробкина.— М.: Мир, 1978.—341 с.
5. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука,
1972.—470 с.
6. Квантовая электроника: Маленькая энциклопеди я/Д. Н. Клыш-
ко, М. Е. Жаботинский, А. В. Францессон и др.; Под ред. М. Е.
Жаботинского.— М.: Сов. энциклопедия, 1969.— 431 с.
7. Маркузе Д. Оптические волноводы: Пер. с англ./Под ред.
В. В. Шевченко. — М.: Мир, 1974.— 576 с.
8. Справочник по лазерам в 2-х т. Н. В. Карлов, К- С. Уиллетт,
В. Бриджес и др.; Под ред. А. М. Прохорова.— М.: Сов. ра-
радио, 1978, Т.1.—504 с.
9. Мэйтлэнд А., Данн М. Введение в физику лазеров: Пер. с
англ./ Под ред. С. И. Анисимова.— М.: Наука, 1978.— 407 с.
10. Беинет В. Газовые лазеры: Пер. с англ./Под ред. Т. А. Шмао-
нова.—М.: Мир, 1964.— 119 с.
11. Дмитриев В. Г., Уманский Б. М., Шкунов Н. В. Термические
напряжения в активных элементах в непрерывном режиме на-
накачки. — В кн.: Квантовая электроиика/Под ред. Н. Г. Басова,
№ 2, М.: Сов. радио, 1971, с. 80—86.
12. Микаэлян А. Л., Дьяченко В. В. Лазеры с волиоводными резо-
резонаторами.— Квантовая электроника, 1974, т. 1, № 4, с. 937—
— 949.
13. Микаэляи А. Л., Тер-Микаэлян М. Л., Турков Ю. Г. Оптические
генераторы на твердом теле.— М.: Сов. радио, 1967.—384 с.
14. Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волново-
волноводы. — М.: Сов. радио, 1966. — 475 с.
15. Kogelnik H., Li T. Laser beams and resonators. — Appl. Optics,
1976, v. 5, № 10, p. 1550—1567.
16. Ищенко Е. Ф. Климков Ю. М. Оптические квантовые генера-
генераторы.— M.: Сов. радио, 1968.— 470 с.
17. Гончаренко А. М. Гауссовы пучки света.— Минск: Наука и тех-
техника, 1977.— 142 с.
18. Прохоров А. М. Молекулярный усилитель и генератор субмилли-
субмиллиметрового диапазона волн. — ЖЭТФ, 1958, т. 34, № 6, с. 1658—
1659.
19. Dicke R. H. Molecular amplification and generation systems
and methods.— US Patent 2851652, 1958.
20. Schawlow A. L., Townes С H. Infrared and optical masers.—
— Phys. Rev., 1958, v. 29, p. 1940 — 1949.
21. Ландсберг Г. С. Оптика.—М.: Наука, 1976.—928 с.
22. Boyd С. D., Gordon J. P. Confocal multimode resonator for
millimeter through optical wavelength masers. — BSTJ, 1961,
v. 40, № 2, p. 489—508.
23. Gordon J. P., Kogelnik H. Equivalence relations among spherical
mirror ortical resonators.— BSTJ, 1964, v. 43, № 6, p. 2873—
2886.
24. Привалов В. Е., Фридрихов С. А. Кольцевой газовый лазер.—
УФН, 1969, т. 97, вып. 3, с. 377—402.

Список литературы 261
25. Федоров Б. Ф., Шереметьев А. Г., Умников В. Н. Оптический
квантовый гироскоп.— М.: Машиностроение, 1973.— 222 с.
26. Бычков С. И., Лукьянов Д. П., Бакаляр А. И. Лазерный ги-
гироскоп.— М.: Сов. радио, 1975.— 230 с.
27. Боровиков В. А., Кинбер Б. Е. Геометрическая теория дифрак-
дифракции.— М.: Связь, 1978.—248 с.
28. Boyd С, Kogelnik H. Generalized confocal resonator theory.—
— BSTJ, 1962, v. 41, № 4, p. 1347—1369.
29. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. Пер. с англ./Под ред.
Г. И. Косоурова.—М.: Мир, 1970.—364 с.
30. Fox. A., Li Т. Resonant modes in a maser interferometer.— BSTJ,
1961, v. 40, № 2, p. 453—488.
31. Град штейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений.— М.: Наука, 1971.
32. Kogelnik H. Imaging of optical modes-resonators with internal
lenses. — BSTJ, 1965, v. 44, № 3, p. 455—494.
33. Трехпараметрическое представление радиационных потерь в ре-
резонаторе с диафрагмой/Н. Г. Вахитов, В. А. Зенкин, В. Р. Куш-
нир, Н. В. Шкунов.— Электронная техника. Сер. 10. Квантовая
электроника, 1975, вып. 1, с. 24—29.
34. Ooubau С, Schwering F. On the guided propagation of elect-
electromagnetic beam waves.— IRE Trans. 1961, v. AP-9, p. 248—
256.
35. Kogelnik H. On the propagation of Gaussian beams of light
through lenslike media including those with a loss or gain varia-
variation. — Appl. Ortics,, 1965,v. 4, № 12, p. 1562—1569.
36. Tien P., Cordon J., Whinnery J. Focusing of a light beam of
Gaussian field distribution in continuous and periodic lens-
like media.— Proc. IEEE, 1965, v. 53, № 2, p. 129—140.
37. Дешан Ж-» Мает П. Преобразование пучка при распростране-
распространении в системе квадратичных линз. — В кн.: Квазиоптика:
Пер. с англ. и нем./Под ред. Б. 3. Кацеленбаума и В. В. Шев-
Шевченко.—М.: Мир, 1966, с. 189—209.
38. Siegman A. E. Unstable optical resonators for laser applications.
— Proc. IEEE, 1965, v. 53, № 3, p. 277—287.
39. Siegman A. E., Arrathoon R. Modes in unistable optical resona-
resonators and lens waveguides — IEEE J., 1967, v. QE-3, № 4, p.
156—163.
40. Ананьев Ю. А., Свеицицкая Н. А., Шерстобитов В. Е. Свойства
ОКГ с неустойчивым резонатором. — ЖЭТФ, 1968, т. 55, № 1,
с. 130—140.
41. Bergstein L. Modes of stable and unstable optical resonators.—
— Appl. Optics,, 1968, v. 7, № 3, p. 495—504.
42. Sanderson R. L., Streifer W. Unstable laser resonator modes.—
— Appl. Optics, 1969, v. 8, № 10, p. 2129—2136.
43. Siegman A. E. Unstable optical resonators.— Appl. Optics,
1974, v. 13, № 2, p. 353—367.
44. Ананьев Ю. А. Неустойчивые резонаторы и их применения.—
В кн.: Квантовая электроника/Под ред. Н. Г. Басова, № 6.—М.:
Сов. радио, 1971, с. 3—34.
45. Fox А. С, Li Т. Modes in a maser interferometer with curved
mirrors.— In: Proceedings of the Third International Congress

262 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
on Quantum Electronics. New York: Columbia Univ. Press,
1964, p. 1263—1270.
46. Ананьев Ю. А., Шерстобитов В. Е. Влияние краевых эффектов
на свойства неустойчивых резонаторов.— В кн.: Квантовая
электроника/Под ред. Н. Г. Басова, № 3,— М.: Сов. радио,
1971, с. 82—89.
47. Ананьев Ю. А., Чернов В. Н., Шерстобитов В. Е. Твердотель-
Твердотельный лазер с высокой пространственной когерентностью излуче-
излучения. — В кн.: Квантовая электроника/ Под ред. Н. Г. Басова,
№4. — М.: Сов. радио, 1971, с. 112—113.
48. ОКГ с телескопическим резонатором/ Ю. А. Ананьев, Г. Н. Ви-
Винокуров, Л. В. Ковальчук, Н. А. Свенцицкая, В. Е., Шерстоби-
Шерстобитов. — ЖЭТФ, 1970, т. 58, № 3, с 786—793.
49. Нестационарные процессы в моноимпульсных лазерах с не-
неустойчивыми резонаторами/Н. С. Голубева, Л. Ф. Криницына,
Л. С. Орбачевский, В. И. Рождествин.— Квантовая электро-
электроника, 1977, т.4, № 1, с. 49—57.
50. Галутва Г. В., Рязанцев А. И. Селекция типов колебаний и ста-
стабилизация частоты оптических квантовых генераторов.— М.:
Связь, 1972.— 72 с.
51. Ананьев Ю. А. Угловое расхождение излучения твердотель-
твердотельных лазеров.— УФН, 1971, т. 103, вып. 4, с. 705—738.
52. Бонч-Бруевич А. М., Костин Н. Н., Ходовой В. А. Селекция
и перестройка частоты в генераторах на красителях.— Оптика
и спектроскопия, 1968, т. 24, № 6, с. 1014—1016.
53. Басов Н. Г., Летохов В. С. О лазерах на атомных пучках.—
Письма ЖЭТФ, 1966, т. 2, № 1, с. 6—7.
54. White A. Laser cavities with increased axial mode separation.—
— BSTJ, 1966, v. 45, № 2, p. 339—350.
55. Бакеев А. А., Чебуркин Н. В. О собственных частотах трехзер-
кального резонатора.— Радиотехника и электроника, 1969,
т. 14, №7, с. 1302—1308.
56. Авербах В. С, Власов С. Н., Таланов В. И. Методы селекции
типов колебаний в открытых квазиоптических системах. —
—Изв. вузов СССР. Радиофизика, 1967, т. 10, № 9, 10, с. 1333—
— 1357.
57. Шерклифф У. Поляризованный свет: Пер. с англ./Под ред.
Н. Д. Жевандрова. — М.: Мир, 1965.— 264 с.
58. Молчанов В. Я., Скроцкий Г. В. Матричный метод вычисления
собственных состояний поляризации анизотропных оптических
резонаторов.— В кн.: Квантовая электроника/Под ред. Н.Г.
Басова, № 4.— М.: Сов. радио, 1971, с. 3—26.
59. Летохов В. С. Автостабилизация частоты световых колебаний
лазера нелинейным поглощением в газе.—• Письма ЖЭТФ, 1967,
т. 6, № 4, с. 597—598.
60. Bennett W. R. Relaxation mechanisms, Dissociative excitation
trancfer and Mode pulling effects in gas lasers.— In: Proceedings
of the Third International Congress on Quantum Electronics.
New York: Columbia Univ. Press, 1964, p. 441—458.
61. Белостоцкий Б. Р., Рубанов А. С. Тепловой режим твердотель-
твердотельных оптических квантовых генераторов.— М.: Энергия, 1973.—
200 с.

Список литературы 263
62. Сухорукое А. П. Тепловая самофокусировка световых пучков.—
В кн.: Нелинейные процессы в оптике: Сб. трудов I Вавилов-
ской конф. по нелинейной оптике/ Под ред. Р. В. Хохлова.—
Новосибирск: Наука, 1970, с. 61—81.
63. Малдутис Э. К., Рекснис Ю. И., Сакалаускас С. В. Вклад термо-
термоупругих напряжений в dnldT кристаллов гексагональной и три-
гональной симметрии, нагретых излучением лазера. — Кван-
Квантовая электроника, 1975, т. 2, № 11, с. 2493—2497.
64. Желтое Г. И., Полканов Ю. А. Влияние термических напряже-
напряжений иа оптические свойства активных элементов из рубина.—
— В кн.: Квантовая электроника и лазерная спектроскопия/
Под ред. А. М. Самсона. — Минск: Наука и техника, 1974,
с. 146—156.
65. Вигасин А. А., Сухорукое А. П. О влиянии термоупругих на-
напряжений на самофокусировку квазинепрерывного излучения.
Квантовая электроника, 1975, т. 2, № 3, с. 519—524.
66. Воробьев В. В., Шеметов В. В. Тепловое самовоздействие свето-
светового пучка в среде со случайными неоднородностями показателя
преломления. — Квантовая электроника, 1975, т. 2, № 7,
с. 1428—1432.
67. Влияние согласования резонатора на мощность твердотельных
ОКГ/В. П. Быков, Н. Г. Вахитов В. К- Новокрещеиов, Н. В.
Шкунов.— В кн.: Квантовая электроника/Под ред. Н. Г. Ба-
Басова, № 2.— М.. Сов. радио, 1971, с. 53—56.
68. Кушнир В. Р., Немков А. Н., Шкунов Н. В. Влияние геомет-
геометрии резонатора на выходную мощность ОКГ с несколькими ак-
активными элементами.— Квантовая электроника, 1975, т. 2,
№ 6, с. 1312 — 1314.
69. Кушнир В. Р. О стабильности каустики в плоскосферических
резонаторах с внутренней линзой.— Квантовая электроника,
1978, т. 5, № 6, с. 1248—1256.
70. Микаэляи А. Л., Дьяченко В. В. Явление сохранения вол-
волнового фронта в сильно деформированных твердых средах.—
Письма в ЖЭТФ, 1972, т. 16, с. 25—27.
71. Одночастотный лазер иа гранате с волноводным резонатором/
Н. Ф. Глущенко, В. В. Дьяченко, А. Л. Микаэлян, П. П. Ца-
Царев.— Квантовая электроника, 1977, т. 4, № 4, с. 783—786.
72. Борн М., Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ./Под ред. Г.П.
Мотулевич.— М: Наука, 1970.— 856 с.
73. Золотое Е. М.т Киселев В. А., Сычугов В. А. Оптические явле-
явления в тоикопленочных волноводах.— УФН, 1974, т. 112, вып. 2,
с. 231—273.
74. Ицхоки И. Я- Интегральная оптика и нелинейные явления в тон-
тонких пленках. — Зарубежная радиоэлектроника, 1975, № 9,
с. 99—115.
75. Введение в интегральную оптику.: Пер. с англ./ М. Бариоски,
П. Тьен, Дж. Гоелл и др.; Под ред. М Барноски. Пер. под ред.
Т. А. Шмаоиова. — М.: Мир, 1977. — 367 с.
76. Когельиик Г. Введение в интегральную оптику. — УФН, 1977.
Т. 121 вып. 4, с. 695—726.

264 Гл. 2. Формирование поля излучения в резонаторе
77. Интегральная оптика: Пер. с англ./ Т. Тамир, Г. Когельник,
Дж. Хаммер и др.; Под ред. Т. Тамира. Пер. под ред. Т. А.
Шмаонова.— М.: Мир, 1978.—344 с.
78. Золотое Е. М., Пелехатый В. М., Прохоров А. М. Излучение
из сужающегося края оптического волновода.— Квантовая
электроника, 1976, т. 3, № 7, с. 1478—1482.
79. Брнллюэн Л., Пароди М., Распространение волн в периодичес-
периодических структурах: Пер. с франц./Под ред. П. А. Рязина.— М.:
ИЛ, 1959.— 457 с.
80. Ривлин Л. А. Письма в ЖЭТФ, 1965, т. 1, с. 7.
81. Kogelnik H., Shank С. V. Stimulated emission in a periodic
structure.— Appl. Phys. Letts, 1971, v. 18, № 4, p. 152—153.
82. Kogelnik H., Shank С V. Coupled wave theory of distributed
feedback lasers.— J. Appl. Phys., 1972, v. 43 № 5, p. 2328—
2340.
83. Лазеры с распределенной обратной связью /В. Н. Лукьянов,
А. Т. Семенов, Н. В. Шелков, С. Д. Якубович.— Квантовая
электроника, 1975, т. 2, № 11, с. 2373 — 2398.
84. Танг К. Лазерные источники в интегральной оптике.— В ки.:
Введение в интегральную оптику: Пер. с англ./Под ред. Т. А.
Шмаонова.— М.: Мир, 1977, с. 336—368.
85. Тонкоплеиочный лазер на родамине 6G иа волноводе с гофриро-
гофрированной подложкой/Л.Н. Дерюгин, О. И. Овчаренко, В. Е. Со-
тнн, Т. К- Чехлова — Квантовая электроника, 1975, т. 2, № 9,
с. 2073—2075.

P'E'iisiiiiiiiiiiiiiiisiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiim
Глава 3
CD
¦¦¦шиш
ДИНАМИКА
ПРОЦЕССОВ В ЛАЗЕРЕ
По мере развития лазерной техники все большее зна-
значение приобретают исследования динамики процессов, оп-
определяющих физическую картину работы лазера в различ-
различных режимах. Это связано прежде всего с необходимостью
создания лазеров с заданными значениями параметров из-
излучения — энергии в импульсе, длительности импульса,
средней и пиковой мощности, частоты следования импуль-
импульсов и т. п. Большое практическое значение имеет задача
создания лазеров с экстремальными характеристиками, в
частности задача создания сверхмощных лазеров. Весьма
важно обеспечение устойчивости и стабильности различ-
различных режимов генерации, хорошей воспроизводимости па-
параметров излучения от импульса к импульсу. Исследования
динамики процессов в лазерах являются основой для ре-
решения практически важной проблемы управления парамет-
параметрами лазерного излучения. Заметим также, что эти исследо-
исследования органически связаны с изучением реальной прост-
пространственно-временной структуры излучения, генерируе-
генерируемого лазерами, что крайне важно для интерпретации нели-
нелинейно-оптических явлений, включая явления, на основе
которых работают параметрические генераторы света, гене-
генераторы оптических гармоник, комбинационные лазеры.
Существующие лазеры позволяют получать световые им-
импульсы различной длительности —миллисекундные, микро-
микросекундные, наносекундные, пикосекундные. Реализованы
режимы генерации как одиночных импульсов, так и их по-

266 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
следовательностей, характеризующихся разными частота-
частотами следования импульсов (в диапазоне примерно до 10 МГц,
а в режиме синхронизации мод — до нескольких гигагерц).
Значения пиковой мощности генерируемых импульсов
занимают широкий диапазон — до 1012 Вт и выше.
Импульсы лазерного излучения находят широкое при-
применение в разнообразных технологических процессах, свя-
связанных с обработкой материалов, в световой локации и
связи, измерительной технике, системах обработки инфор-
информации, различных физических, химических и биологичес-
биологических исследованиях, медицине и т. д. Заметим, что умень-
уменьшение длительности лазерных импульсов и увеличение кру-
крутизны их фронта необходимо, например, для высокотемпе-
высокотемпературного нагрева плазмы (проблема управляемого термо-
термоядерного синтеза); увеличение крутизны спада коротких
световых импульсов требуется для исследования релакса-
релаксационных процессов, а также для решения задач современ-
современной измерительной техники. Для ряда технологических
задач, в голографии, для накачки параметрических гене-
генераторов света может потребоваться, напротив, относитель-
относительное увеличение длительности лазерных импульсов.
Одно из первых систематических описаний нестацио-
нестационарных режимов лазерной генерации дано в [1]; см, также
2—6].
3.1. Общие сведения о режимах работы лазеров
Реализуемые на практике режимы генерации лазеров
являются, как правило, импульсными, их описание прин-
принципиально невозможно без рассмотрения динамики про-
процессов. Однако и в случае непрерывной генерации вопросы
динамики играют важную роль. Строго говоря, лазерная
генерация практически всегда является нестационарной.
Стационарная генерация есть по сути дела не более как
идеализация, пригодная для описания отдельных реальных
ситуаций лишь в некотором приближении.
Причины нестационарности лазерной генерации. Оче-
Очевидной причиной нестационарности генерации является
часто применяемая на практике нестационарная накачка,
например накачка излучением импульсных ламп или им-
импульсным электрическим разрядом. Не менее очевидной

3.1. Общие сведения о режимах работы лазеров 267
причиной является целенаправленное изменение во време-
времени величины вредных потерь (активная модуляция доброт-
добротности резонатора) либо полезных потерь (модуляция на-
нагрузки). Нестационарности генерации может способство-
способствовать внесение в резонатор нелинейных элементов, напри-
например насыщающегося резонансного поглотителя (просвет-
(просветляющегося фильтра)*>.
Отмеченные причины нестационарности генерации свя-
связаны с целенаправленным «вмешательством» в процесс ге-
генерации. Вместе с тем существуют факторы, действующие
в известном смысле помимо нашей воли. Эти факторы мо-
могут иметь как техническую, так и физическую природу
Говоря о факторах, имеющих техническое происхож-
происхождение, отметим нестабильность параметров резонатора,
активной среды, системы накачки (например, неравномер-
неравномерность нагрева активного элемента в процессе импульсной
накачки, вибрации зеркал резонатора). Исследования вы-
выявили важную роль нестабильностей технического проис-
происхождения; была обнаружена высокая чувствительность ла-
лазера к различного рода возмущениям его параметров (см.
[9,10], а также [4]).
Обращаясь к факторам физической природы, отметим
прежде всего многомодовость излучения лазера, имеющую
место в большинстве реализуемых на практике случаев.
Разным модам отвечает разная структура поля в резона-
резонаторе, разная величина коэффициентов усиления и потерь.
Характер режима генерации зависит от количества одно-
одновременно возбуждаемых мод; вхождение в генерацию каж-
каждой новой моды сопровождается, вообще говоря, наруше-
нарушением стабильности кинетики генерации [11]. В разные мо-
моменты времени энергия излучения может по-разному рас-
распределяться между модами — сначала могут реализовать-
реализоваться более выгодные условия для генерации одних мод, а за-
затем для других (см., например, [12]).
Далее отметим, что отнесенные к единице времени вероят-
вероятности переходов между уровнями активных центров имеют
конечную величину. Это означает, что процессы заселения
и релаксации рабочих уровней характеризуются некоторой
*) Внесение в резонатор просветляющегося фильтра приводит,
вообще говоря, к снижению устойчивости стационарной генерации,
а при определенных условиях может обусловливать незатухающие
пульсации мощности излучения (см. например, [7.8)].

268 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
инерционностью. Она приводит к тому, что обусловленное
накачкой возрастание инверсной заселенности уровней не
прекращается по достижении порогового значения инвер-
инверсной заселенности; возникающее в процессе генерации из-
излучение снижает затем инверсную заселенность до величи-
величины, которая оказывается ниже порогового значения. В ре-
результате наблюдаются периодические изменения во време-
времени величины инверсной заселенности около ее порогового
значения, что приводит к пульсациям мощности излучения
12].
Необходимо также иметь в виду, что лазерное излуче-
излучение возникает в результате избирательного усиления пер-
первичной люминесценции. Иначе говоря, первоосновой слу-
служат случайные процессы спонтанного испускания. Опре-
Определяемая этими процессами нерегулярная во времени и
пространстве картина упорядочивается при переходе ла-
лазера в режим генерации, однако это упорядочение не явля-
является полным. Заметим, что помещенный в резонатор про-
просветляющийся фильтр, характеризующийся достаточно ма-
малым временем релаксации, обнаруживает тенденцию под-
подчеркивать (выделять, усиливать) наиболее интенсивные
флуктуации в начальном распределении поля излучения
(см., например, [13, 14]).
Режим свободной генерации. Предположим, что в ре-
резонаторе лазера находится только активный элемент и нет
каких-либо нелинейных элементов или элементов, свойства
которых изменяются под воздействием внешних сигналов.
В этом случае говорят о режиме свободной генерации. Фак-
Фактически этот термин объединяет несколько разных режи-
режимов; их общая черта — отсутствие какого-либо специаль-
специального управления генерацией, какого-либо воздействия
на нее извне. В частности, отсутствует какая-либо модуля-
модуляция (как активная, так и пассивная) добротности резона-
резонатора. Свободная генерация может иметь место как в слу-
случае импульсной, так и в случае непрерывной накачки.
Наиболее интересна картина свободной генерации в
твердотельных лазерах. Свободное излучение твердотель-
твердотельного лазера представляет собой, как правило, последова-
последовательность относительно коротких импульсов или, как при-
принято говорить, пичков*>. Длительность отдельного пичка
*) В газовых лазерах пульсации мощности менее выражены.

3.1. Общие сведения о режимах работы лазеров 269
Рис. 3.1
10. мкс
равна 10 7 —Л0 6 с @,1—1 мкс); мощность достигает зна-
значений 104—105 Вт. Временной интервал между соседними
пичками составляет примерно 1—-ДО мкс.
На рис. 3.1 приведены три осциллограммы излучения
твердотельного лазера, соответствующие трем характерным
типам пульсаций (трем характерным пичковым режимам)
.14]: а) режим регулярных затухающих пульсаций с вы-
выходом на генерацию с постоянным уровнем мощности; б)
режим регулярных незатухающих пульсаций; в) режим
нерегулярных незатухающих пульсаций*).
Пички в интенсивности выходного излучения были обна-
обнаружены в первых же экспериментах с рубиновым лазером
*) В случае импульсной накачки иезатухающие пульсации су-
существуют на промежутке времени, отвечающем длительности им-
импульса накачки. Его длительность равна для твердотельных лазе-
лазеров 0,1—1 мс. В лазерах на красителях используют более короткие
Импульсы иакачки — до 1 мкс; это необходимо для уменьшения
влияния триплет-триплетного поглощения.

270 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
в 1960 г. [15]. Однако природа пичков до сих пор продол-
продолжает оставаться предметом исследований (см., например,
[16—,18]). На основе одномодовой модели лазера можно
показать, что регулярные затухающие пульсации связаны
с переходными процессами, сопровождающими начало ге-
генерации при появлении очередного импульса накачки; ина-
иначе говоря, эти пульсации связаны с отмечавшейся выше
инерционностью процессов заселения и релаксации уров-
уровней [1, 2]. Существенное влияние на характер пичкового
режима оказывает многомодовость генерации [4, 11, 16—
20]; в частности, наличие многих мод может вносить в кар-
картину пульсаций неупорядоченность.
Особенно много неясностей существовало в вопросе о
природе режимов незатухающих пульсаций. Исследования
пичковых реж шов твердотельных лазеров и в особенности
лазера на иттрий-алюминиевом гранате с неодимом под-
подтвердили выдвинутое в [9] предположение, что незатухаю-
незатухающие пульсации связаны главным образом с влиянием не-
нестабильности резонатора на динамику лазера, т. е. в основ-
основном имеют техническое происхождение. Для лазера на гра-
гранате с неодимом были получены прямые доказательства
связи незатухающих пульсаций с вибрациями зеркал ре-
резонатора и неравномерным (во времени) нагревом актив-
активного элемента [21]. Незатухающие пульсации могут быть
связаны также с многомодовостью генерации [16].
Режим генерации гигантских импульсов при активной
модуляции добротности резонатора. Идея использования
модуляции добротности резонатора лазера с импульсной
накачкой для получения мощных и коротких световых им-
импульсов была реализована в 1962 г. [22, 23]. Управляя доб-
добротностью резонатора, сначала обеспечивают высокий уро-
уровень вредных потерь, т. е. специально поднимают порог
генерации. Это позволяет создать значительную инверсную
заселенность в активной среде. Затем по сигналу извне
уровень потерь, а следовательно, и порог генерации быстро
понижаются до минимально возможного значения; в ре-
результате начальная величина инверсной заселенности ока-
оказывается существенно выше нового порога, отвечающего
малым потерям. В этих условиях вместо последовательно-
последовательности пичков, высвечивается единичный короткий световой
импульс большой мощности (так называемый гигантский
импульс).

3.1. Общие сведения о режимах работы лазеров 271
Мощность гигансткого импульса тем больше, чем зна-
значительнее превышение начальной инверсной заселенности
(реализуемой в условиях низкой добротности резонатора)
над пороговым значением инверсной заселенности (отве-
(отвечающим высокой добротности резонатора). Мощность полу-
получаемых на практике гигантских импульсов достигает
109 Вт*). Длительность гигантского импульса имеет поря-
порядок 10—100 не. Минимальная длительность импульса мо-
может достигать значений 1—3 не (см., например, [24]).
Для реализации рассматриваемого режима генерации
помещают в резонатор лазера модулятор (переключатель
потерь), управляемый внешним сигналом. Под воздейст-
воздействием сигнала модулятор быстро изменяет уровень вредных
потерь в резонаторе (переходит из состояния, соответствую-
соответствующего высоким потерям, в состояние, соответствующее низ-
низким потерям, и обратно). Поскольку такие переходы со-
совершаются в результате воздействия извне, данный ре-
режим модуляции добротности резонатора называют актив-
активной модуляцией. Применяются различные типы модуля-
модуляторов. Первоначально появились оптико-механические мо-
модуляторы, затем стали использоваться электрооптические,
а позднее —¦ акустооптические модуляторы [25—28].
Обычно модулятор работает как управляемый оптичес-
оптический затвор; под воздействием управляющего сигнала из-
изменяется пропускание затвора, а следовательно, и по-
потери в резонаторе. Если затвор «открыт», то потери низки
(добротность резонатора высока); если затвор «заперт», то
потери высоки (добротность резонатора низка). В отдель-
отдельных случаях роль модулятора играет быстро вращающееся
зеркало резонатора (модулятор оптико-механического типа).
Очевидно, что переходы оптического затвора из «заперто-
«запертого» состояния в «открытое» должны быть синхронизованы
с импульсами накачки: затвор должен «открываться» после
того, как достигнута достаточно высокая инверсная засе-
заселенность рабочих уровней.
На рис. 3.2 показан процесс развития гигантского им-
импульса при активной модуляции добротности резонатора;
кривая Р (t) описывает изменение во времени мощности
*) Дальнейшему росту мощности импульса препятствуют спон-
спонтанное излучение и сверхлюминесценция, возрастающие с увели-
увеличением начальной инверсной заселенности

272
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Р@
Рис. 3.2
генерируемого излучения. Там же показано изменение во
времени добротности резонатора (кривая Q ({)) и плотности
инверсной заселенности (кривая N (t)). В исходном состоя-
состоянии имеем низкую добротность (Q = Qmin) и высокую на-
начальную плотность инверсной заселенности (А/ = Nt). Под
• воздействием управляющего сигнала добротность Q начи-
начинает возрастать и соответственно начинает уменьшаться
пороговое значение плотности инверсной заселенности
(оно на рисунке не показано). Как только порог, умень-
уменьшаясь, сравняется с величиной Nlt начнется процесс ге-
генерации; этот момент времени выбран на рисунке в качест-
качестве начального момента (t = 0). Из рисунка видно, что про-
процесс генерации гигантского импульса состоит из двух эта-
этапов: относительно длинного этапа медленного (линейного)
развития импульса (длительность этого этапа *0 « 100 не)
и короткого этапа быстрого (нелинейного) развития (дли-
(длительность этапа tx « 10 не). Почти вся энергия импульса
высвечивается на втором этапе, поэтому длительность ги-
гигантского импульса принято измерять по длительности
указанного этапа (по величине t^). Заметим, что уменьше-
уменьшение инверсной заселенности происходит практически лишь
на этапе быстрого развития импульса.
Обозначим через Iq промежуток времени, в течение ко-
которого добротность возрастает от наименьшего до наиболь-
наибольшего значения {время включения добротности). Если
to. С *о» т0 говорят о быстром включении добротности;
рис. 3.2 соответствует имен но такому случаю. Процесс раз-

3.1. Общие сведения о режимах работы лазерое 273
вития импульса при быст-
быстром включении добротно-
добротности обычно рассчитывают,
полагая для простоты, что
добротность возрастает
мгновенно 129]. Если вре-
время tQ порядка t0, то необ-
необходимо учитывать конкрет- -
ную скорость возрастания р 3 з
добротности [30, 24]*>. ^ ' '
При достаточно медленном включении добротности кар-
картина генерации качественно меняется: вместо единичного
импульса могут высвечиваться несколько импульсов с по-
постепенно уменьшающейся мощностью и возрастающей дли-
длительностью (рис. 3.3). Временной интервал между импуль-
импульсами постепенно нарастает, изменяясь от 100 не до 1 мкс.
Режим генерации гигантских импульсов при пассивной
модуляции добротности резонатора. Пассивная модуляция
добротности основана на применении нелинейных элементов,
характеристики которых меняются в зависимости от мощ-
мощности излучения, генерируемого в активном элементе.
Широко используются просветляющиеся фильтры — оп-
оптические затворы, работающие на основе нелинейно-опти-
нелинейно-оптического явления просветления среды**). Наряду с нелиней-
нелинейными фильтрами применяют также нелинейные ячейки на
основе вынужденного рассеяния Мандельштама—Брил-
люэна, полупроводниковые зеркала с коэффициентом от-
отражения, зависящим от интенсивности падающего свето-
светового пучка, и др. [4].
Идея применения в квантовой электроникепросветляю-
щихся сред была высказана в 1964 г. [31]. Вскоре она была
реализована на практике для получения гигантских им-
импульсов в рубиновом лазере (см., например, [32])***).
*) Строго говоря, время t0 зависит от tQ. Поэтому более пра-
правильно сопоставлять (q не с f0, а с временем двойного прохода ре-
резонатора т0 = 21.1с [24]. Если ^< т0, то следует говорить о быст-
быстром включении добротности, а если tq > То, — о медленном вклю-
включении.
**) Применяется термин фототропные затворы.
***) Лазеры с просветляющимися фильтрами, работающие в ре-
Жиме генерации гигантских импульсов, рассматриваются в [2,6].

274
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
t
10
X
'о
' I
MO I
—\p
"а ('А В
P(t)
>*—
X _,
^ <j i
Рис. 3.4
На рис. 3.4 показан процесс развития гигантского им-
импульса при пассивной модуляции добротности резона-
резонатора лазера с импульсной накачкой. Модуляция доброт-
добротности осуществляется за счет применения просветляюще-
просветляющегося фильтра. Кривая Р (t) на рисунке описывает измене-
изменение во времени мощности генерируемого излучения; там
же показано изменение во времени коэффициента резонан-
резонансного поглощения фильтра на частоте генерации (кривая
•ла (f)) и плотности инверсной заселенности уровней актив-
активной среды (кривая N (f)). Исходное состояние соответству-
соответствует непросветленному фильтру (иа = и0о); в этом состоянии
пороговое значение плотности инверсной заселенности до-
достаточно велико (обозначим через Л^поРтах). По мере поступ-
поступления в активный элемент излучения накачки величина N
будет'расти. Как только она достигнет значения NaoV max,
начнется процесс генерации*). Этот момент времени выбран
на рисунке в качестве начального момента (t — 0). Как и
при активной модуляции добротности, процесс формиро-
формирования гигантского импульса состоит из двух этапов: дли-
длительного этапа медленного (линейного) развития (длитель-
(длительность этапа tf0) и короткого этапа быстрого (нелинейного)
развития (длительность этапа tj). При пассивной модуля-
модуляции добротности этап линейного развития примерно на по-
порядок длительнее, чем при активной модуляции; он со-
составляет теперь примерно 1 мкс. Это объясняется тем,
*) Генерация гигантского импульса в лазере с просветляющим-
просветляющимся фильтром возможна при выполнении определенных условий;
эти условия будут рассмотрены позднее (см. § 3.8).

3.1. Общие сведения о режимах работы лазеров
275
1-
л
т
Сверхкороткие
¦^7 импульсы
Гигантский
И •импульс
^ Ж
1 к ,
Рис. 3.5
что развитие импульса на
рассматриваемом этапе про-
происходит при пассивной мо-
модуляции добротности в усло-
условиях высоких потерь; из ри-
рисунка видно, что фильтр про-
просветляется фактически лишь
на втором (нелинейном) эта-
этапе развития импульса. Дли-
Длительность второго этапа со-
составляет примерно 10 не (как
и при активной модуляции).
После высвечивания ги-
гигантского импульса коэффициент резонансного поглощения
фильтра снова возрастает — за счет спонтанных переходов
в фильтре. Время Та, в течение которого фильтр возвра-
возвращается в исходное (непросветленное) состояние, есть вре-
время релаксации фильтра.
Режим синхронизации продольных мод (режим генера-
генерации сверхкоротких световых импульсов). Создание лазеров
с модуляцией добротности явилось крупным шагом в
развитии лазерной техники. Следующий крупный шаг
связан с созданием лазеров с синхронизацией продольных
мод.
Предположим, что лазерное излучение содержит т про-
продольных мод, частоты которых располагаются эквидистант-
эквидистантно—на расстоянии Q друг от друга (напомним: Q = nv/L,
где L — длина резонатора). Ширина линии усиления Да>
связана с Q и т очевидным соотношением: Да> = Qm.
Предположим далее, что моды синхронизованы по фазе, т, е.
разность фаз двух любых соседних мод имеет определенное
фиксированное значение. В этом случае будет иметь место
взаимная интерференция продольных мод*>, в результате
чего возникает последовательность сверхкоротких све-
световых импульсов. Длительность т отдельного импульса оп-
определяется шириной линии усиления или, иначе говоря,
числом синхронизованных мод
т « 1/Дш = l/Qm.
*) Употребляется также термин «сцепление мод» (mode loc-
locking).

276 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Мощность сверхкороткого импульса оказывается пример-
примерно в т раз больше средней мощности излучения в отсутст-
отсутствие синхронизации мод. Период следования сверхкоротких
импульсов Т выражается через частотный интервал между
синхронизованными модами:
Т « 1/Q.
Гигантский импульс при наличии синхронизации про-
продольных мод превращается в последовательность сверхко-
сверхкоротких (сверхмощных) импульсов. На рис. 3.5 дано при-
приблизительное сопоставление гигантского импульса и по-
последовательности сверхкоротких импульсов в лазере с
импульсной накачкой*). Протяженность во времени этой
последовательности импульсов примерно равна длительно-
длительности гигантского импульса ^; таким образом, число сверх-
сверхкоротких импульсов можно оценить отношением tjT.
Для реализации режима генерации сверхкоротких све-
световых импульсов необходимо выполнение двух основных
условий. Во-первых, лазер должен генерировать достаточ-
достаточно большое число продольных мод**>. Во-вторых, эти мо-
моды должны быть эквидистантными по частоте и синхрони-
синхронизованными по фазе.
Для выполнения первого условия надо иметь достаточ-
достаточно широкую линию усиления и, кроме того, предусмотреть
специальные меры по предотвращению в резонаторе воз-
возможной селекции продольных мод (селекция мод является
в данном случае нежелательным эффектом). Ширина ли-
линии усиления Ла> составляет примерно 10й с для лазера
на рубине, 1012 с для лазеров с неодимом, 1013—10м с
для лазеров на органических красителях. Полагая Q «*
« 108 с, получаем отсюда, что максимально возможное
(при условии предотвращения селекции) число продольных
мод равно для указанных лазеров соответственно 10s,
104, 10Б —10е. Казалось бы, при m = 10е сверхкороткий
•) Замечание об импульсной накачке не является лишним. Дело
в том, что гигантские импульсы реализуются при условии импульс-
импульсной накачки; что же касается режима синхронизации мод, то он
реализуется в лазерах как с импульсной, так и с непрерывной накач-
накачкой.
•*) В принципе для реализации режима синхронизации мод
требуется не менее трех продольных мод.

3.1. Общие сведения о режимах работы лазеров 277
световой импульс должен иметь длительность т « (fim)«
ja 10~14 с A0~Б не). В действительности, однако, не удается
получить импульсы длительностью менее примерно 10~3 не,
поскольку с возрастанием ширины линии усиления неиз-
неизбежно нарушается требование эквидистантности частот про-
продольных мод*>, что, естественно, ухудшает условия синхро-
синхронизации**). Длительность реализуемых на практике сверх-
сверхкоротких световых импульсов составляет примерно 10~а —
10~3 не; мощность достигает величины 10й Вт.
Для связывания (сцепления) продольных мод по фазе
применяют методы как активной, так и пассивной синхро-
синхронизации. В первом случае применяют принудительную пе-
периодическую модуляцию параметров резонатора с частотой,
равной или кратной частоте Q. Во втором случае исполь-
используют внутри резонатора просветляющийся фильтр или не-
нелинейный диэлектрик. При этом существенно, чтобы фильтр
имел весьма малое время релаксации; необходимо, чтобы вы-
выполнялось условие То < Т. При рассмотрении пассивной
синхронизации мод часто применяют термин самосинхро-
самосинхронизация мод (mode self-locking).
Первые экспериментальные результаты по активной
синхронизации продольных мод были получены на гелий-
неоновом лазере [33]. В 1966 г. в [34] было показано, что
при определенных условиях в лазере с быстро релаксирую-
щим просветляющимся фильтром может осуществляться
пассивная синхронизация (самосинхронизация) продольных
мод. Вопросы реализации и специфика режимов генерации
сверхкоротких световых импульсов на основе активной
либо пассивной синхронизации продольных мод рассматри-
рассматриваются, например, в [35—41].
Возможна также самосинхронизация продольных мод
в режиме свободной генерации за счет нелинейных свойств
активной среды [42—45]***^.
Режим синхронизации поперечных мод. Согласно
B.9.21) поперечные моды в резонаторе со сферическими
*) Отметим эффект затягивания частот, рассматривавшийся в
§2.12.
*•) Согласно флуктуационным представлениям чрезмерное уве-
увеличение числа продольных Мод ухудшает условия синхронизации
даже в случае эквидистантных частот (см. § 3.11).
•**) В этом случае иногда используют термин спонтанная
синхронизация.

278 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
зеркалами характеризуются эквидистантным набором ре-
резонансных частот с шагом, равным Q = v arccos V^gig^/L,
где L — длина резонатора; gx и g2 — его обобщенные пара-
параметры. Эквидистантность частот—необходимое условие син-
синхронизации мод. Тот факт, что это условие может выпол-
выполняться не только в случае продольных, но и в случае по-
поперечных мод, подсказывает возможность осуществления
синхронизации также и для поперечных мод.
Если синхронизация продольных мод приводит к гене-
генерации последовательности сверхкоротких световых им-
импульсов (иначе говоря, к периодической модуляции гене-
генерируемой световой мощности во времени), то при синхро-
синхронизации поперечных мод должно наблюдаться перераспре-
перераспределение генерируемой световой мощности в поперечном к
оси резонатора направлении (иначе говоря, должна на-
наблюдаться пространственная модуляция световой мощности).
В отсутствие синхронизации поперечных мод ось светово-
светового пучка, генерируемого лазером, совпадает с оптической
осью резонатора. В случае же синхронизации поперечных
мод такое совпадение имеет место лишь в некоторые момен-
моменты времени; синхронизация поперечных мод приводит к
тому, что поперечное сечение генерируемого светового пуч-
пучка (зона генерации) начинает совершать периодические дви-
движения в плоскости зеркала с частотой Q, соответствующей
разности частот синхронизованных мод. Этот эффект был
впервые предсказан в [46]; он подробно обсуждается в [47]..
Экспериментальное подтверждение существования эф-
эффекта синхронизации поперечных мод дается, например, в
[48, 49] для газовых и в [50—52] для твердотельных лазе-
лазеров. На рис. 3.6 приводятся взятые из работы [51] распре-
распределения интенсивности генерируемого излучения по диа-
диаметру D зеркала резонатора, полученные при синхрониза-
синхронизации трех низших поперечных мод для нескольких последо-
последовательных моментов времени:
к = 0; U = n/2Q; t3 ~ n/Q;
U = 3n/2Q; tb = 2n/Q.
Из рисунка видно, что зона генерации совершает колебания
в плоскости зеркала с периодом Т — 2n/Q.
Исследования эффекта синхронизации поперечных мод
представляют несомненный практический интерес. Лазеры

3.1. Общие сведения о режимах работы лазеров 279
с синхронизацией поперечных
мод могут оказаться весьма
перспективными для примене-
применений в оптоэлектронике, в си-
системах передачи и обработки
оптической информации.
Режим разгрузки резонато-
резонатора (cavity-dumping). Этот ре-
режим генерации называют так-
также режимом модуляции нагруз-
нагрузки и режимом модуляции полез-
полезных потерь*). В отличие от ре-
режима модуляции добротности
резонатора здесь осуществляет-
осуществляется управление не вредными, а
полезными потерями.
Для реализации режима раз-
разгрузки резонатора используют
лазер с высокодобротным резо-
резонатором, зеркала которого
имеют коэффициент отраже-
отражения, близкий к единице. В
резонатор помещают управ-
управляемый внешним сигналом бы-
быстродействующий модулятор (переключатель) полезных
потерь, предназначенный для вывода части излучения из
резонатора. Применяют модуляторы (переключатели) как
акустооптического, так и электрооптического типа.
В лазерах, работающих в режиме разгрузки резонатора,
используется обычно непрерывная накачка.
Предположим, что модулятор полезных потерь не вклю-
включен, а накачка действует. В этих условиях при наличии
инверсной заселенности рабочих уровней, превышающей
относительно невысокий порог генерации высокодоброт-
высокодобротного резонатора, будет происходить нарастание плотности
фотонов внутри резонатора (за счет преобладания индуци-
индуцированного испускания над резонансным поглощением на
рабочем переходе и над потерями). Непрерывно действую-
-да
Рис. 3.6
*) Термин разгрузка резонатора более адэкватен принятому в
иностранной литературе термину cavity-dumping (дословно dum-
dumping — вывод; cavity-dumping — вывод из резонатора).

260 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
щая накачка будет при этом все время поддерживать ин-
инверсную заселенность рабочих уровней над порогом генера-
генерации. В данном случае генерация фактически уже идет, од-
однако, излучение оказывается запертым внутри резонатора.
Далее предположим, что на короткое время включается
модулятор полезных потерь. Это приводит к выводу из ре-
резонатора короткого светового импульса — резонатор ча-
частично «разгружается» от накопившихся в нем фотонов.
Сравнивая режим разгрузки резонатора с режимом ак-
активной модуляции добротности, отметим, что в последнем
случае плотность фотонов внутри резонатора в исходном
состоянии (когда добротность низка) очень мала; лазер на-
находится ниже соответствующего высоким потерям порога
генерации. При включении добротности начинается разви-
развитие генерации — одновременно начинает формироваться
выходной импульс. Заметим, что его формирование начи-
начинается от спонтанного фона (от уровня шумов), что и при-
приводит к существованию относительно длительного этапа
линейного развития (см. рис. 3.2).
В отличие от режима модуляции добротности режим раз-
разгрузки резонатора характеризуется высокой добротностью
в исходном состоянии; лазер находится выше соответствую-
соответствующего низким потерям порога генерации. До того как вы-
выходной импульс начнет формироваться, генерация уже идет
и резонатор заполнен фотонами. Подчеркнем: если в режи-
режиме модуляции добротности генерация начинается после
подачи управляющего сигнала на модулятор, то в режиме
разгрузки резонатора модулятор включается в уже
генерирующем лазере. Это существенно сокращает процесс
формирования выходного импульса (в развитии импульса
нет длительного линейного этапа). В результате появляет-
появляется возможность реализации более высоких частот следова-
следования световых импульсов.
При выводе фотонов из резонатора лазер должен оста-
оставаться выше порога генерации, отвечающего состоянию с
высокой добротностью. Это требование ограничивает дли-
длительность промежутка времени, на которое можно включать
модулятор.
Колебания плотности инверсной заселенности рабочих
уровней в режиме разгрузки резонатора являются значи-
значительно более слабыми, чем в режиме модуляции добротности.
Это связано с тем, что порог генерации в исходном состоя-

3.1. Общие сведения о режимах работы лазеров 281
нии, а следовательно, и начальная инверсная заселенность
в случае разгрузки резонатора существенно ниже, чем при
модуляции добротности.
Если вывод излучения из резонатора осуществляется
на длине волны рабочего перехода в активной среде, то
говорят о линейной нагрузке. На практике также осущест-
осуществляют вывод излучения на длине волны второйгармоники*К
Так как мощность излучения второй гармоники пропорцио-
пропорциональна квадрату мощности основного излучения (в прибли-
приближении заданного поля), то применяется термин квадратич-
квадратичная нагрузка. Это есть частный случай нелинейной на-
нагрузки.
Принципиальная возможность режима разгрузки ре-
резонатора при использовании быстродействующего акусто-
оптического модулятора обсуждалась в [53]. Этот режим ге-
генерации достаточно подробно исследован в непрерывно на-
накачиваемом лазере на гранате с неодимом (см. [54—57]).
В 158] рассмотрена разгрузка резонатора в лазере на кра-
красителе с импульсной накачкой.
В [55] показано, что разгрузка резонатора в непрерыв-
непрерывно накачиваемом лазере на гранате с неодимом позволяет
получать среднюю выходную мощность, равную максималь-
максимальной мощности непрерывной генерации; при этом удается
реализовать частоты следования световых импульсов от
100 кГц до десятков мегагерц (при длительности отдельных
импульсов порядка 100 нс)**>. Для сравнения укажем, что
в режиме активной модуляции добротности при непрерыв-
непрерывной накачке максимальная частота следования импульсов
составляет приблизительно 50 кГц 159].
Генерация последовательности импульсов в лазерах с не-
непрерывной накачкой. На практике часто требуется иметь
управляемую регулярную последовательность световых им-
импульсов, следующих друг за другом с достаточно высокой
частотой. Для этого используются режимы генерации им-
импульсов при непрерывной накачке.
*) Это есть режим внутрирезонаторной генерации второй гар-
гармоники. Для его реализации в резонатор вносят удвоитель частоты
излучения, генерируемого в активном элементе.
**) Максимальная мощность непрерывной генерации — мощ-
мощность генерации непрерывно накачиваемого лазера без модуляции
потерь с оптимальным коэффициентом отражения выходного зерка-
зеркала, '

282 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Интенсивно исследуются непрерывно накачиваемые ла-
лазеры на гранате с неодимом 154—57, 59—64]. Они имеют
среднюю мощность выходного излучения порядка 1—10 Вт.
Максимальное значение средней выходной мощности может
достигать нескольких сотен ватт 161].
Для генерации импульсов в непрерывно накачиваемых
лазерах первоначально использовалась активная модуля-
модуляция добротности резонатора. Сначала был применен оп-
оптико-механический модулятор в виде вращающегося зерка-
зеркала [60]. Однако такой метод модуляции оказался малоин-
малоинтересным при непрерывной накачке из-за плохой стабиль-
стабильности амплитуды от импульса к импульсу (что связано с
плохой воспроизводимостью положения отражающей пло-
плоскости вращающегося зеркала). Широкое признание полу-
получили появившиеся позднее акустооптические модуляторы.
Они позволили достичь предельно высоких частот следова-
ния импульсов / « 50 кГц [59].
Режим генерации импульсов в непрерывно накачивае-
накачиваемом одномодовом лазере при активной модуляции доброт-
добротности резонатора имеет следующие энергетические и вре-
временные характеристики: частота следования импульсов
/ « 10 кГц, длительность импульса tx « 100 не — 1 мке,
пиковая мощность Ртах « 103 Вт, средняя выходная мощ-
мощность РсР « 1 —10 Вт (заметим: РсР « РтахУ). Рассматри-
Рассматриваемый режим может использоваться и при частотах / ¦<
¦< 10 кГц; однако при уменьшении / ниже примерно 5 кГц
происходит падение КПД лазера — тем большее, чем мень-
меньше f [59, 62]. Как уже отмечалось, частоты / ограничены
сверху значением примерно 50 кГц. Наличие верхней ча-
частотной границы связано с существованием длительного
этапа линейного развития выходного импульса.
Чтобы получить последовательность импульсов с часто-
частотой следования выше 50 кГц, надо обеспечить более быстрое
нарастание интенсивности импульса. Для этого можно
«оборвать» генерируемый импульс на участке спада интен-
интенсивности и тем самым сохранить внутри резонатора доста-
достаточно высокую плотность излучения (а также относитель-
относительно высокую плотность инверсной заселенности рабочих
уровней). В этом случае генерация будет развиваться уже
не от уровня шумов, а от уровня излучения, сохраненного
в резонаторе благодаря «обрыву» импульса. Такой метод
позволяет поднять частоту / примерно до 100 кГц [63],

3.1. Общие сведения о режимах работы лазеров
283
То5/, «га
Другой путь увеличения /
состоит в использовании ре-
режима разгрузки резонатора.
Частоты f, реализуемые в этом
режиме, ограничены сверху фак- 0,5
тически лишь скоростью накоп-
накопления излучения в резонаторе
(время накопления соответст-
соответствует времени нескольких прохо-
проходов излучения по резонатору).
Выше отмечалось, что при средней выходной
мощности, равной максимальной мощности непрерыв-
непрерывной генерации, имеет место ограничение частот f снизу:
должно выполняться неравенство /> 100 кГц [55, 56].
Дело в том, что требование сохранения средней выходной
мощности при низких частотах следования импульсов при-
приводит к необходимости вывода из резонатора чрезмерно
большого числа фотонов в импульсе; в результате инверс-
инверсная заселенность рабочих уровней может оказаться ниже
порога генерации.
Типичные характеристики режима разгрузки резона-
резонатора: частота следования импульсов / « 100 кГц — 10 МГц,
длительность импульса tx « 10—100 не, средняя выходная
мощность PcV « 1—10 Вт.
На рис. 3.7 приведена зависимость Рср/Р0 от /, где Ро —
максимальная мощность непрерывной генерации [55]. На
рисунке выделены три области: 1 — область частот, осво-
освоенная в режиме модуляции добротности (/ < 50 кГц), 2 —
область, освоенная в режиме разгрузки резонатора A00
кГц < / < 10 МГц), 3 — область между верхней частот-
частотной границей режима модуляции добротности и нижней
границей режима разгрузки резонатора. В области 3 оба
рассматриваемых режима оказываются, вообще говоря, не-
неустойчивыми.
Применяя более глубокую модуляцию нагрузки (обес-
(обеспечивающую более эффективную разгрузку резонатора за
один импульс), можно реализовать устойчивую генерацию
в области 3 [57]. С другой стороны, как отмечалось, «обрыв»
импульса может привести к устойчивости в рассматривае-
рассматриваемой области режима модуляции добротности.
Использование отрицательной обратной связи для полу-
получения импульсов микросекундной длительности. В каче-

Гл. 3. Динамика процессов е лазере
стве модификации режима модуляции добротности резона-
резонатора лазера с импульсной накачкой отметим режимы гене-
генерации, в которых используется отрицательная обратная
связь для управления длительностью и формой гигантского
светового импульса*). Отрицательная обратная связь ока-
оказывает тормозящее воздействие на развитие возникающего
при включении добротности резонатора процесса индуци-
индуцированного испускания. В результате процесс снятия ин-
инверсии в активной среде (а следовательно, и процесс форми-
формирования выходного импульса) протекает более длительное
время. Длительность светового импульса удается увеличить
при этом примерно на два порядка — вместо нескольких
десятков наносекунд получают несколько микросекунд
(при уменьшении энергии в импульсе в несколько раз).
Возможны разные способы реализации отрицательной
обратной связи с целью увеличения длительности гигант-
гигантского импульса [65]. При электрооптическом способе мо-
модуляция добротности осуществляется электрооптическим
затвором, пропускание которого изменяется под воздейст-
воздействием как модулирующего напряжения, включающего затвор,
так и сигнала обратной связи, пропорционального интенсив-
интенсивности излучения внутри резонатора. Когда затвор «откры-
«открывается», начинает возрастать интенсивность выходного из-
излучения. Соответственно начинает увеличиваться и интен-
интенсивность сигнала обратной связи, в результате чего пропу-
пропускание затвора снижается, что и приводит к торможению про-
процесса развития светового импульса. Длительность импуль-
импульса увеличивается при возрастании чувствительности фото-
фотоприемника в цепи обратной связи (при возрастании отно-
отношения интенсивности сигнала обратной связи к интенсив-
интенсивности выходного излучения, попадающего на фотопри-
фотоприемник), а также при уменьшении скорости включения до-
добротности.
Отрицательная обратная связь может осуществляться
также при помощи нелинейных элементов, помещаемых в ре-
резонатор. Нелинейные потери в таких лазерах могут быть
обусловлены различными нелинейно-оптическими явлени-
явлениями: двухфотонным поглощением света, генерацией второй
гармоники, вынужденным комбинационным рассеянием све-
*) Обратная связь называется отрицательной, если потери с
ростом интенсивности излучения увеличиваются.

3.1. Общие сведений о режимах работы лазеров 265
та 165]. В качестве примера рассмотрим двухфотонно е по-
поглощение света в полупроводнике.
Предположим, что в резонатор помещена полупровод-
полупроводниковая пластинка, ширина запрещенной зоны которой
А? удовлетворяет условию fito <L А? < 2ftco, где to —
частота рабочего перехода в активной среде. В случае, на-
например, рубинового лазера указанное условие выполняет-
выполняется для CdS, а в случае неодимовых лазеров — для CdSe,
GaAs. При помощи оптического затвора включим доброт-
добротность резонатора и тем самым дадим начало росту интенсив-
интенсивности излучения, генерируемого в активном элементе. По
мере роста интенсивности излучения будет расти вероят-
вероятность двухфотонного поглощения этого излучения в полу-
полупроводниковой пластинке; иными словами, прозрачность
пластинки для генерируемого излучения будет уменьшать-
уменьшаться. Чем сильнее будет поглощаться свет в полупроводнике,
тем сильнее будет затормаживаться нарастание плотности
фотонов в резонаторе и, следовательно, тем сильнее будет
замедляться увеличение вероятности индуцированных пе-
переходов. В результате процессы снятия инверсии в актив-
активной среде и формирования светового импульса растянуты
во времени. Длительность генерируемого импульса возра-
возрастает при уменьшении скорости включения добротности и
при увеличении энергии в импульсе накачки.
Отметим в заключение, что введение отрицательной об-
обратной связи может способствовать стабилизации пара-
параметров лазера. Еще в 1962 г. электрооптическая обратная
связь использовалась для сглаживания пичковой структу-
структуры излучения рубинового лазера [66]. Для этих же целей
применяются нелинейные поглотители, потери в которых ра-
растут с увеличением интенсивности излучения (см., напри-
например, [67]). Исследования внутрирезонаторной генерации
второй гармоники в лазерах на гранате с неодимом показы-
показывают, что введение отрицательной обратной связи за счет
преобразования во вторую гармонику приводит к резкому
уменьшению степени чувствительности выходного излуче-
излучения к малой модуляции потерь; при этом может наблюдать-
наблюдаться сглаживание фазочастотнои характеристики лазера [68].

286 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
3.2. Приближенные уравнения для описания динамики
процессов в лазерах (балансные уравнения)
В первом приближении динамика процессов может быть
описана на основе так называемых уравнений баланса.
Подобные уравнения уже применялись ранее — при рас-
рассмотрении заселенностей рабочих уровней в стационарных
условиях (см. §1.1, 1.2). Система балансных уравнений
позволяет найти зависимость от времени для плотности
инверсной заселенности рабочих уровней и мощности гене-
генерируемого излучения.
Дифференциальное уравнение для плотности светового
потока. Будем рассматривать одномерную ситуацию —
монохроматическое излучение распространяется в активной
среде вдоль z-оси (вдоль оптической оси лазера). Плот-
Плотность светового потока, распространяющегося в положи-
положительном направлении г-оси, обозначим как S+ (z, f), а плот-
плотность потока, распространяющегося в противоположном
направлении, — как S_ (z, t). Рассмотрим приращение
AS+ потока S+ при его распространении от точки z до точ-
точки z + Az. Используя дифференциальный закон Бугера,
представим
AS+ = [к (z, t) —tU S+ (z, t)Az + q (z, t) Az. C.2.1)
Согласно C.2.1), приращение плотности потока на пути от
точки z до точки z + Az содержит три слагаемых:
v. (z, t) S+ (z, t) Az — приращение плотности потока за
счет усиления излучения активными центрами (напомним:
к (z, f) есть коэффициент усиления активной среды);
— %S+ (z, t) Az — уменьшение плотности потока за
счет поглощения неактивными центрами, а также за счет
рассеяния излучения (% — коэффициент вредных потерь);
q (z, t) Az — приращение плотности потока за счет лю-
люминесценции (за счет процессов спонтанного испускания).
Последним слагаемым ввиду его относительной малости
часто пренебрегают и пользуются более простым уравне-
уравнением:
AS+ = lx(z, t)— tjJ S+(z, t)Az. C.2.2)
Процесс распространения потока от точки z до точки
z + Az требует времени Д? = Azlv, где v — скорость све-
света в активной среде. Таким образом, AS+ ¦= S+ (z + Az,

3.2. Балансные уравнения 287
t + At) — S+ (z, f). Приращение плотности потока обус-
обусловлено двумя причинами: изменением плотности потока
с расстоянием и изменением во времени. Первая причина
приводит к появлению в выражении для приращения AS+
слагаемого -^ Az, а вторая — слагаемого —?- -г— Az =
= —gp Az. Таким образом,
C.2.3)
С учетом C.2.3) перепишем уравнение C.2.2) в виде
~1^+Т~ltb==lIX(Z> Q-^S+fr 0- C-2-4)
Обозначим через 0 сечение вынужденного перехода
в канале генерации. В соответствии с A.1.3), представим
% (г, t) = oN (z, t), C.2.5)
где N (z, t) — плотность инверсной заселенности рабочих
уровней. В результате дифференциальное уравнение C.2.4)
для плотности потока S+ принимает вид
ds+ + j
dz v dt
Дифференциальное уравнение для плотности потока S_
имеет аналогичный вид:
v f\ п 1 9 (у i\ / 9 PjK\
Су 1} IJ-^J O_ li&j If. I*-*" *"Vy*J)
Уравнения C.2.6) содержат три неизвестные функции:
S+ (z, t), S_ (z, f), N (z, t). Перейдем к рассмотрению не-
недостающего третьего уравнения.
Дифференциальные уравнения для плотности инверсной
заселенности (трехуровневый и четьфехуровневый лазеры).
Рассмотрим трехуровневую схему, изображенную на рис. 3.8.
На схеме используются обозначения: w — вероятность вы-
вынужденных переходов в канале генерации (канале 2—1),
wH — вероятность вынужденных переходов в канале /—-3

288
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
«"н
(вероятность переходов, ини-
инициированных излучением на-
накачки), 1/т — вероятность
спонтанных переходов в ка-
канале генерации, 1/т31 и
1/т32 — вероятности спонтан-
спонтанных переходов соответствен-
соответственно в каналах 1—3 и 2—3
(все вероятности отнесены к
единице времени). Обозначим
через rtj (z, t) плотность заселенности t-ro уровня, а через
п' полное число активных центров в единице объема.
Балансные уравнения для заселенностей пк, Гп2, п3 имеют
следующий вид:
1
Т31
V)
1
Т32
IV
1
1
1
Рис. 3.8
дпг
dt
дп2
dt
dns
dt
п2
т
«3
«2
т
«3
Т31
C.2.7)
(заметим, что 5«x/5f + дщ/dt + dnJdt ~ 0; это совершен-
совершенно естественно, поскольку сумма пх + я2 + пз — п' от
времени не зависит). Вычитая первое уравнение C.2.7)
из второго, находим
dt
Т32 Т31 I
C.2.8)
Далее воспользуемся так называемым двухуровневым
упрощением: будем полагать, что на уровне 3 активные
центры практически не накапливаются (попадая на уро-
уровень 3, они быстро покидают его, переходя в основном на
уровень 2). Это означает, что выполняются условия
п3 С ях; дп3Ш « 0; т
за
131-
C.2.9)
При выполнении этих условий трехуровневая схема ста-
становится похожей на двухуровневую (в этом1 случае dn^ldt я$
d/di)

3.2. Балансные уравнения 289
Используя C.2.9), преобразуем третье уравнение C.2.7)
к виду
ХЮаПг = П3/Т32. C.2.10)
С учетом C.2.9) и C.2.10) перепишем C.2.8):
д (п2 — пг)Ш = — 2хю (п2 — щ) + 2wan1 — 2па/т. C.2.11)
Будем полагать, что ¦
# = /1,-/1!. C.2.12)*)
Учитывая, что п3 <^ п1г можно принять пх + л2 = п' и,
следовательно, «х = (и' — Л/)/2; л2 = (л' + Л/)/2.
В результате уравнение C.2.11) принимает вид
dN/dt = — 2wN + шн (л' — N) — (л' + W)/t.
или окончательно
dN/dt = — (шн + 2ш + т-1) N + ri (at — т-1). C.2.13)
Обратимся к схеме четырех уровней, где оптическая
накачка осуществляется в канале 0—3, а генерация —
в канале 2—1. При этом будем, как и в случае трехуровне-
трехуровневой схемы, использовать двухуровневое упрощение, в свя-
связи с чем будем полагать, что после попадания на уровень
3. активные центры быстро переходят на метастабильный
уровень 2; кроме того, будем полагать, что нижний рабочий
уровень / быстро очищается (скорость перехода 1 —>~0
достаточно велика). В рамках такого упрощения нетрудно
получить следующее дифференциальное уравнение для плот-
плотности инверсной заселенности N (в данном случае N =
)*>
dN/dt = — (шн + w + г-1) N (г, f) + n'wH. C.2.14)
Здесь w и шн — вероятности вьшужденных переходов в ка-
каналах генерации и накачки соответственно; 1/т — вероят-
вероятность спонтанных переходов в канале генерации.
*) Мы полагаем для простоты, что кратности вырождения рабо-
рабочих уровней одинаковы (gjgi = 1). Отсюда, в частности, следует,
что одинаковы коэффициенты Эйнштейна (а равно и сечения) для
обоих вынужденных переходов в канале генерации: индуцирован-
индуцированного испускания и резонансного поглощения активными центрами.
**) В основе вывода уравнения C.2.14) лежат те же рассужде-
рассуждения, которые использовались при выводе уравнения C.2.13). Этот
вывод приводится, например, jb [1].
Ю Зак. 1785

.290 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Полная система балансных уравнений в частных произ-
производных. Напомним, что сечение процесса а есть отнесенная
к единице времени вероятность процесса до, деленная на
плотность потока / фотонов, инициирующих данный про-
процесс:
C.2.15)
Поскольку / = (S+ + SJ)/h(o, где ha — энергия одного
фотона, то следовательно,
а = wha>/(S+ + S_). C.2.16)
Учитывая далее, что до = В .(S+ + SJ)/v, где В — ко-
коэффициент Эйнштейна для вынужденных переходов в ка-
канале генерации, получаем из C.2.16) уже известное чита-
читателю выражение для сечения о (см. § 2.1):
o = Bh«>lv. C.2.17)
Объединяя C.2.6) и C.2.13) и учитывая при этом C.2.16),
приходим к полной системе балансных уравнений для трех-
трехуровневого лазера (в рамках двухуровневого упрощения):
dS+ ,
dz
dS—
dz
dN
dt
1 dS+ r
v dt ~ ICTJ
p 1 dS_
v dt
Г 2о ,s
Гн ftco ¦*
N G t\ - П 1 *
„ 4,1]
т J
]S_(z,0;
iv • ' Л М
C.2.18)
В случае четырехуровневого лазера последнее уравнение в
системе C.2.18) должно быть заменено уравнением
Wa. C.2.19)
Укажем граничные условия для функций S+ и S_.
Для этого обратимся к рис. 3.9, на котором схематически
изображен активный элемент длины L со специально обра-
обработанными торцами; коэффициенты отражения торцов рав-
равны Rx (для z — 0) и #2 (для z = L). Граничные условия
имеют вид
S+ @, t) = RXS. @, t); S_ (L, t) = R2S+ (L, t). C.2.20)

3.2. Балансные уравнения 291
Усредненные балансные уравнения (скоростные урав-
уравнения). При работе с балансными уравнениями используют
еще одно упрощение. Это упрощение связано с выполнением
усреднения плотности инверсной заселенности и плотности
светового потока по длине активной среды (точнее: по дли-
длине резонатора). Предварительно представим
S+ + S_ = S; S+ — S_ = S'. C.2.21)
Складывая первые два уравнения C.2.18) и учитывая
C.2.21), ^аходим
dS'/dz + v^dS/dt = Ш (z, t) — %] S (z, t).
Интегрируем это равенство по длине активной среды
L
S'(L, f)~S'(O, t) +-^~ \S(Z, t)dz =
о
= а Г N {z, t) S (z, t) dz — % Г S (z, t) dz. C.2.22)
о о
Используя скобки <...> для обозначения усредненных функ-
функций «/> = т | / (z, f) dz), перепишем C.2.22) в виде
^ о
S' (L) — S' @) + (Uv) d(S>/dt = oL <NS> -^USy. C.2.23)
При выполнении усреднения предполагалось, что свойства
¦активной среды пространственно однородны, так что ни
а, ни % не зависит от координаты z.
Можно показать (см., например, [1]), что при рассмо-
рассмотрении реальных ситуаций хорошо работает приближенное
соотношение:
(NS> « <N> <S>. C.2.24)
С учетом C.2.24) запишем уравнение C.2.23) в виде
S' (L) — S'(Q) + (Uv) d(Sy/dt = L(o(N) — г\г) <S>. C.2.25)
Легко видеть, что выходящая из резонатора плотность
светового потока (SBbIX) есть
5Вых = IS+ (L) — S_ (L)] + [S_ @) — S+ @)] =
= S' (L) — S' @). C.2.26)
10*

292 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Используя коэффициент полезных потерь т]2 (см. §2.1),
можно представить SBbIX в виде
SBblx = L<s> Ч2. C.2.27)
где, напоминаем,
т]2 = A/2L) In (l/#;itf2). C.2.28)
Сравнивая C.2.27) и C.2.26), заключаем, что
S' (L) — S' @) = L(S) ч\2,
после чего уравнение C.2.25) может быть переписано в виде
(L/v) d (Sy/dt = Lo <5> (N)—L (т^ + r]2) <S>. C.2.29)
Таким образом, усреднение по длине активной среды
позволяет существенно упростить систему балансных урав-
уравнений. Вместо системы трех уравнений в частных произ-
производных мы имеем теперь систему двух усредненных урав-
уравнений:
1 d
~о~ dt
.C.2.30)
dt tm
Усредненные балансные уравнения называют также ско-
скоростными уравнениями.
Поскольку ниже будут использоваться, как правило,
только усредненные балансные уравнения, то знак усред-
усреднения <...) в дальнейшем может быть опущен; рассматри-
рассматривая функции от времени, входящие в балансные уравнения,
будем полагать, что пространственное усреднение уже вы-
выполнено. Учитывая это замечание и вводя обозначение
¦- К = aye, C.2.31)
перепишем систему усредненных балансных уравнений
трехуровневого лазера C.2.30) в следующем виде:
i -?- 5 = aS @ N (t) -(тн + th) S (t);
C.2.32)

3.2. Балансные уравнения 293
Для четырехуровневого лазера второе уравнение в систе-
системе C.2.32) следует заменить уравнением
— М = В' М (t)N(t) —-
dt w w
J-M= ~ — S(t)N(t) — ЛЖ. (К+ 1) + — /0C.2.33)
dt tun т т
Уравнения Статца — Де Марса. При выводе системы ус-
усредненных балансных уравнений C.2.32) использовались
определенные предположения относительно схемы уров-
уровней активного центра. В более общем виде (не зависящем от
выбора конкретной схемы уровней) балансные уравнения
были сформулированы Статцем и Де Марсом еще в 1960 г.
[69]. Система уравнений Статца—Де Марса имеет сле-
следующий вид:
C.2.34)
Искомыми функциями являются здесь плотность ин-
инверсной заселенности N (t) (как и в C.2.32)) и плотность
числа фотонов на частоте генерации М (f). Величина М (f)
легко выражается через плотность светового потока S (f).
Действительно, поделив S (t) на скорость распространения
излучения v, получим плотность излучения; поделив затем
на энергию фотона /ico, придем к плотности числа фотонов
М (t). Таким образом,
М (t) = S (t)/vh(o. C.2.35)
В уравнения Статца—Де Марса входят следующие по-
постоянные параметры: В' •= 6/гсо — коэффициент Эйнштей-
Эйнштейна для вынужденных переходов в канале генерации, по-
помноженный на энергию фотона; Т — определяемое совокуп-
совокупностью вредных и полезных потерь время жизни фотона в
резонаторе (согласно B.3.10), это время следующим обра-
образом выражается через добротность Q резонатора: Т =
= Q/co); Тх — время продольной релаксации (релаксации
разности заселенностей уровней)*); 1/7\ — вероятность из-
*) О продольной н поперечной релаксации см., например,
в § 5.7 из [70].

294 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
менения разности заселенностей уровней за счет релакса-
релаксационных процессов; р — целое число, описывающее изме-
изменение разности заселенностей рабочих уровней при излу-
излучении одного фотона; No — равновесная плотность инверс-
инверсной заселенности в отсутствие генерации (физическое со-
содержание этого параметра подробнее обсудим ниже).
Уравнения Статца—Де Марса имеют наглядное физиче-
физическое объяснение. Первое уравнение означает, что плотность
числа фотонов в резонаторе растет в результате вынужден-
вынужденных переходов в канале генерации (за счет преобладания
индуцированного испускания над резонансным поглоще-
поглощением) и убывает благодаря наличию потерь в резонаторе.
Скорость возрастания равна произведению плотности ин-
инверсной заселенности N на отнесенную к единице времени
вероятность вынужденных переходов w. С учетом C.2.35)
имеем w = BS/v == ВНыМ = В'М, и, следовательно, рас-
рассматриваемая скорость равна wN = B'MN, что и отражено
в первом уравнении Статца—Де Марса. Что же касается
скорости убывания плотности числа фотонов^ то она равна
М/Т, т. е. обратно пропорциональна добротности резонато-
резонатора. Заметим, что величина 1/7 весьма просто выражается
через коэффициенты вредных и полезных потерь:
1/7 = о (ih + т]2). C.2.36)
Второе уравнение Статца—Де Марса означает, что плот-
плотность инверсной заселенности убывает в процессе индуци-
индуцированного испускания и возрастает благодаря преобла-
преобладанию эффекта накачки над эффектом очищения верхнего
рабочего уровня в результате релаксационных процессов.
Скорость убывания равна fiB'MN, а скорость возрастания
равна (No — N)lTr.
Необходимо более подробно обсудить параметр No, на-
названный выше равновесной плотностью инверсной засе-
заселенности в отсутствие генерации. Предположим, что обес-
обеспечены условия, заведомо исключающие возникновение ге-
генерации (например, разъюстирован резонатор). Пусть в
этих условиях действует накачка постоянной мощности.
Если бы отсутствовали релаксационные процессы (отсутст-
(отсутствовало бы спонтанное очищение уровней), то в рассматри-
рассматриваемой ситуации плотность инверсной заселенности N
должна была бы расти до тех пор, пока все активные центры
не перейдут на верхний рабочий уровень (N = п'). Однако

3.2. Балансные уравнения 295
релаксационные процессы всегда имеют место; поэтому
функция N (f), возрастая, будет стремиться к некоторому по-
постоянному значению (меньшему, чем п'), при котором эф-
эффект возрастания N за счет накачки и эффект уменьшения
N за счет релаксационных процессов оказываются взаимно
скомпенсированными. Указанное значение плотности ин-
инверсной заселенности и есть No. Подчеркнем: чем больше
мощность накачки, тем, очевидно, больше значение No,
при котором реализуется отмеченная выше компенсация.
По этой причине No называют также параметром накачки.
Заметим, что второе уравнение Статца—Де Марса име-
имеет, как легко видеть, решение N — No, если положить в
нем М = О (генерация отсутствует) и dNIdt = 0 (накачка
и процессы релаксации скомпенсированы).
Иногда предпочитают (см., например, [54, 59, 68]) использо-
использовать вместо М (t) и N (f) функции F (t) = ftcoAf (Он N' (t) =
= ha>N (t). Эти функции описывают плотность энергии излучения
(на частоте генерации), запасенной в поле внутри резонатора н в
инвертированных активных центрах соответственно. В этом случае
систему уравнений Статца—Де Марса C.2.34) записывают в виде
t = BF(t)N'(t)-tF(t); }
dN'/dt=R—7,N'(t)—$BF(t)N'(t).j '
Здесь | = 1/Т; Я, = 1/Г1; R=Noha)/T1.
Сопоставление уравнений Статца — Де Марса и системы
усредненных балансных уравнений. Сопоставим уравнения
Статца—Де Марса и систему балансных уравнений C.2.32).
Воспользовавшись соотношениями C.2.17), C.2.35), C.2.36)
и соотношением В' == Вйсо, перепишем уравнения Статца—
Де Марса C.2.34) в виде
~S = voS @ N(t)-v (П1 + ту S @;
dt ' to
C.2.37)
Первое уравнение в системе уравнений C.2.37) совпадает
с первым уравнением в системе C.2.32). Вторые уравнения
в этих системах немного различаются, что связано с учетом
в C.2.32) конкретной (в данном случае трехуровневой)
схемы рабочих уровней. Сравнивая вторые уравнения сие-

296
Гл. 3. Динамика процессов в" лазере
г=0
Рис. 3.9
S-
Рис. 3.10
-л'
тем C.2.37) и C.2.32), заключаем, что для трехуровневого
лазера
р = 2; 7\ = xl{K + 1); No = п'(К— ЩК + 1). C.2.38
Сравнивая второе уравнение C.2.37) с уравнением C.2.33),
получаем аналогичный результат для четырехуровневого
лазера:
р = 1; Тх = т/(К" + 1); No = я7С/(К" + 1). C.2.39)
Поясним полученные результаты для р и 7\. Посколь-
Поскольку в трехуровневой схеме нижний рабочий уровень (уро-
(уровень /) является также основным уровнем, то при рождении
фотонов в канале 2—/ разность заселенностей рабочих уров-
уровней будет уменьшаться не только за счет уменьшения за-
заселенности верхнего уровня, но и за счет увеличения за-
заселенности нижнего уровня; при рождении одного фотона
разность заселенностей должна, таким образом, уменьшать-
уменьшаться на 2 (поэтому р = 2). В четырехуровневой же схеме
уменьшение разности заселенностей рабочих уровней про-
происходит только за счет уменьшения заселенности верхнего
рабочего уровня, поскольку активные центры с нижнего
рабочего уровня быстро переходят на основной уровень;
поэтому здесь* р = 1.
Результат для времени продольной релаксации 7\ не-
нетрудно понять, если переписать его в виде
1/7\ = (К + 1)/т = шн + 1/т.
Отсюда видно, что полная вероятность релаксации
складывается из вероятности накачки и вероятности ре-
релаксации в канале генерации.

3.2: Балансные уравнения 297
Определяемая соотношениями C.2.38) и C.2.39) зави-
зависимость No (К) представлена графически на рис. 3.10; кри-
кривая / относится к трехуровневому лазеру, а кривая 2 —
к четырехуровневому. Рисунок хорошо демонстрирует воз-
возрастание параметра накачки No с ростом мощности накачки
(точнее, с ростом величины К = wHx).
Пороговая плотность инверсной заселенности и условие
генерации. Пороговое значение плотности инверсной за-
заселенности, по достижении которого начинается процесс
генерации (будем обозначать его как Nuov), определяется
из физически очевидного условия
dMIdt > 0.
Используя первое уравнение C.2.34), получаем
N > МВ'Т C.2.40)
и, следовательно,
NaoV = МВ'Т = 1/ШсоГ. . C.2.41)
Поскольку, как уже отмечалось, Т = Q/co, то в соответст-
соответствии с C.2.41) можно записать
NnoV - \1ВЩ. C.2.42)
Пороговое значение плотности инверсной заселенности об-
обратно пропорционально добротности резонатора.
С учетом C.2.17) и C.2.36) выражение C.2.41) для по-
порогового значения плотности инверсной заселенности мо-
может быть записано также в следующем виде:
Л^пор = (Л1 + 42 )/<*• C.2.43)
Для реализации генерации необходимо, чтобы порого-
пороговое значение плотности инверсной заселенности не превы-
превышало значения No для данной мощности накачки. Это оз-
означает, что условие генерации (условие самовозбуждения)
может быть представлено в виде
| C.2.44)
или с учетом C.2.43)
<riVo>Di + 42)- C.2.45)
Заметим, что условие C.2.45) уже встречалось ранее; мы
имеем в виду использовавшееся в § 2.1 условие B.1.10).
«о > Di + 4i)

298 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
(это есть условие превышения начального коэффициента
усиления щ над уровнем потерь, определяемым суммой коэф-
коэффициентов вредных и полезных потерь). Неравенство
C.2.45) согласуется с B.1.10), если в соответствии с B.1.2)
представить начальный коэффициент усиления к0 в виде*>
щ = oN0. C.2.46)
Для трехуровневого лазера условие генерации C.2.45)
может быть записано с учетом C.2.38) в виде неравенства
an' (К — ЩК + 1) > fai + Ч2) C.2.47)
или, иначе,
К > [on' + (Tji + tiJMon' — Di + Ч2)]. C-2.48)
Отсюда находим пороговое значение для вероятности wa
(характеризующее пороговую мощность накачки):
Используя C.2.39), запишем условие генерации C.2.45)
применительно к четырехуровневому лазеру:
сп'Ю(К + 1) > Di + Л2)
или, иначе,
К >(ть + т|я)Лоп' — К + ть)]- C.2.50)
Пороговое значение для вероятности дан имеет в данном
случае вид
Сравнивая C.2.49) и C.2.51), заключаем, что для четырех-
четырехуровневой схемы порог по накачке оказывается ниже, чем
для трехуровневой схемы (при условии, что в обоих слу-
случаях одинаковы значения параметров а, т, п', %, Ч12).
Безразмерная форма записи уравнений Статца—Де
Марса. Часто уравнения Статца—Де Марса записывают
*) Используя C.2.38) и учитывая специфику «двухуровневой*
упрощения», нетрудно получить из C.2.46) выражение B.1.13)
для начального коэффициента усиления.

3.2. Балансные уравнения
299
m(t') ~
(n = B'TN)
в виде, использующем только безразмерные величины, а имен-
именно:
— безразмерное время, 1
ТХМ{1' 7\)—безразмерная интен-
интенсивность поля,
р —отношение плотности
инверсной заселенно-
заселенности к ее пороговому
значению,
оР — безразмерный пара-
параметр накачки,
—отношение времени
релаксации разности
заселенностей к вре-
времени жизни фотона
в резонаторе.
При переходе к безразмерным величинам уравнения Статца—
Де Марса C.2.34) принимают, как нетрудно убедиться, сле-
следующий вид:
= TXIT
C.2.52)
dmldt' = Gm{n—\);
dn/dt' — a—n(m + 1)
C.2.53)
При этом необходимо иметь в виду, что dldt = Т\ xdldt'.
Лаконичность безразмерной записи делает ее весьма
•удобной для анализа протекающих в лазере процессов.
В частности, в безразмерной записи условие генерации
C.2.44) выглядит так:
C.2.54)
Учет вклада спонтанного излучения в интенсивность
поля. Используя безразмерную форму записи, покажем,
как можно учесть в балансных уравнениях вклад в интен-
интенсивность поля со стороны той части спонтанного излуче-
излучения, которая попадает в возбуждаемую моду резонатора
(это соответствует учету слагаемого q (z, t) Кг в C.2.1)).
Заметим, что несмотря на относительно малый количест-
количественный вклад спонтанное излучение может существенно
влиять на характер протекания процессов в лазере.

300 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Слагаемое Gmn в первом уравнении C.2.53) учитывает
вклад вынужденных процессов (индуцированного испуска-
испускания и резонансного поглощения). Переходя к спонтанному
излучению, надо, во-первых, исключить полевой множитель
т, во-вторых, вместо безразмерной разности заселенностей
рабочих уровней п использовать безразмерную заселенность
верхнего рабочего уровня (обозначим ее как пв) и,
в-третьих, учитывая изменение коэффициентов Эйнштейна
при переходе от вынужденного испускания к спонтанному,
ввести поправочный множитель е. Таким образом, искомый
вклад со стороны спонтанного излучения может быть пред-
представлен в первом уравнении C.2.53) дополнительным сла-
слагаемым вида GenB- Поскольку
пв « (л + п")/2, где п" = n'/Nnop, C.2.55)
то «спонтанное слагаемое» может быть записано в виде
Ge (n + п") (множитель V2 учтем здесь в множителе е).
С учетом вклада со стороны спонтанного излучения ба-
балансные уравнения, записанные в безразмерной форме, бу-
будут выглядеть следующим образом:
r = Gm(n-lI+Ge(n+n'');|
dnldt' = a—n(tn-\-l). J
Приведем характерные численные значения параметров,
входящих в уравнения C.2.56), применительно к двум твер-
твердотельным лазерам — рубиновому и активированному не-
неодимом. Эти значения сведены в табл. 3.1 14].
Общие замечания о методе балансных уравнений. Ба-
Балансные уравнения типа уравнений Статца—Де Марса
иногда называют точечными уравнениями. Пренебрегая
пространственными переменными, эти уравнения описывают,
по сути дела, точечную модель лазера, т. е. такую модель,
в которой все пространство, занятое активной средой, как
бы сведено в одну точку. Изменения в пространстве здесь
не принимаются во внимание, учитываются лишь измене-
изменения во времени. Указанное обстоятельство заметно ограни-
ограничивает возможности данного метода. Так, например, балан-
балансные уравнения не годятся для рассмотрения пространст-
пространственно неоднородных активных сред; они не позволяют учесть
пространственную неоднородность инверсной заселенности
и ряд других пространственных эффектов.

3.2. Балансные уравнения 301
Таблица 3.1
Лазер
Рубиновый
Неодимовый
Параметры
а С
30 1№
2 104
с
Ю-13
ю-ч
п"
100
1
Надо особо отметить, что в методе балансных уравнений
не рассматривается ни амплитуда, ни фаза поля, а лишь его
интенсивность. Отсюда следует, что не учитываются фазо-
фазовые соотношения в генерируемом излучении и связанные с
ними интерференционные явления. Поэтому балансные
уравнения недостаточны для расчета спектральных или уг-
угловых характеристик излучения, а также для анализа ко-
когерентных нелинейно-оптических явлений.
Тем не менее метод балансных уравнений оказывается
весьма полезным при рассмотрении динамики лазеров. Как
показывает практика расчетов, такой упрощенный подход
позволяет достаточно корректно рассмотреть ряд вопросов,
связанных с изменением во времени параметров одномодо-
вого лазера и его излучения. В частности, метод балансных
уравнений позволяет выявить основные черты динамики
процессов в режиме свободной генерации и в режимах ге-
генерации гигантских импульсов, включая режимы работы
лазера с просветляющимся фильтром. Балансные уравнения
используются также при рассмотрении многомодовых лазе-
лазеров [4, 71, 72].
Ограничиваясь сделанными замечаниями качественно-
качественного характера, отметим, что достаточно строгий анализ
условий применимости балансных уравнений содержится
в [4,73,74]. Эти условия для одномодового лазера включают,
в частности, требование малости времени поперечной ре-
релаксации Т2 (времени релаксации поляризации среды) по
сравнению как с временем продольной релаксации Ти так
и временем жизни фотона в резонаторе Т:
Тг<Тц Та«Т. C.2.57)
В твердотельных лазерах неравенства C.2.57) всегда вы-
выполняются. Для этих лазеров характерны следующие зна-
значения времен: Тг « К)-3 — 10~4 с, Т » К)-8 с, Т8 » 10~12с.

302 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Лазер как распределенная автоколебательная система. Бо-
Более строгий подход к динамике лазера, учитывающий развитие про-
процессов не только во времени, но и в пространстве, основывается на
использовании уравнений Максвелла для описания излучения и
квантовомеханических уравнений для описания вещества (так назы-
называемая полуклассическая теория — см., например, [1, 4, 75]). В рам-
рамках такого подхода удается восполнить основные «пробелы» метода
балансных уравнений — учесть фазовые соотношения и рассмотреть
интерференционные явления в резонаторе многомодового лазера.
Полуклассический подход позволяет проанализировать динамику
многомодовых и прежде всего двухмодовых лазеров [17, 75—77].
Целесообразно хотя бы в общих чертах продемонстрировать
полуклассический подход к динамике многомодового лазера; при
этом лазер может рассматриваться как автоколебательная система
с распределенным отрицательным сопротивлением (см. [75]), а так-
также [78, 79]). Ограничимся рассмотрением одномерной задачи, по-
полагая, что излучение распространяется строго по оси резонатора
(по оси г) и что изменением поля в поперечном к оси направлении
можно пренебречь. В этом случае волновое уравнение для составляю-
составляющей вектора напряженности электрического поля имеет следующий
вид для пустого резонатора без потерь:
. C.2.58)
&a с* 'dt*
Представим Е (z, t) в виду суммы по продольным модам:
Е(г, t) =% An(t) sin (knг), C.2.59)
n
где kn = nn/L, L — длина резонатора. Соотношение C.2.59) учи-
учитывает граничные условия Е @, t) = E (L, f) = 0. Подставляя
C.2.59) в C.2.58), получаем
d*An/dt*+Q*An=*O, C.2.60;
где йп = rrnc/L.
При учете потерь в резонаторе надо дополнить левую половину
уравнения C.2.60) слагаемым —- a>BfQn , где Qn — добротность
at
п-й моды. В случае активного резонатора в рассматриваемом урав-
уравнении появляется еще одно слагаемое; оно выражается через вели-
величину электрической поляризации Р (z, t), играющей роль источ-
источника поля, распределенного по оси г. Это слагаемое имеет вид [78]
4л —fir, гдеР„@= —J P(z, t) sin (kn,z)dz.
о
Таким образом, вместо C.2.60) имеем следующее уравнение, опи-
описывающее и-ю продольную моду в активном резонаторе с потерями:

3.2. Балансные уравнения 303
Функции A'n{t) и Рп (t) представляют в виде
Ап U)=En (t) cos [«„ *+ф„ (ft]; C.2.62. a)
Pn @ = Cn @ cos [con (+Фп @1 + Sn (t) sin [ш„ t+<pn (t)], C.2.626)
где En (t) и фп (i) — медленно меняющиеся за период 2я/соо ам-
амплитуда и фаза n-й моды; функции С„ (f) и Sn (t) также полагаются
медленно меняющимися. Выражения C.2.62) подставляют в C.2.61)
и отбрасывают члены со вторыми производными медленно меняю-
меняющихся функций. Затем приравнивают нулю коэффициенты при
cos [a>nt -f- ф„ (t)] и при sin [и„/ -j- фп (t)] в отдельности и пре-
dE dEd ^
aQdEn dEndyn юо^Ф„
небрегают слагаемыми, содержащими — , — , Еп -— .
Qn at at dt Qn dt
dffn
Учитывая, что а>„ -\ можно принять равным Qn, получают в
dt
итоге следующие уравнения для амплитуды и фазы и-й моды:
dt ' 2 Qn
„ - Qnj En = -2jxcoo Cn.
Их называют укороченными уравнениями, а также самосогласован-
самосогласованными уравнениями.
На следующем этапе выражают поляризацию (точнее, функции
Сп и Sn) через амплитуды мод. При этом используют квантовоме-
ханическое описание вещества активного элемента при помощи
матрицы плотности*). Для относительно небольших напряженно-
стей поля в резонаторе (вблизи порога самовозбуждения) зависи-
зависимость С„ и Sn от амплитуд мод может быть представлена в виде [78].
=о0в?в-Рв?"-2 вптЕпЕ*тг C.2.64а)
тфп
=ап?„ + Рп?Д+ 2 TnmEn Щг, C-2.646)^
тфп
где аоп, Р„, ап, р„, 6пт, хпт — некоторые коэффициенты, завися-
зависящие от Й„, степени инверсной заселенности уровней, времени ре-
релаксации верхнего и нижнего рабочих уровней, ширины линии по-
поглощения. Физический смысл этих коэффициентов обсуждается в
[78]; для газового лазера они рассчитаны в [75]. С учетом C.2.64)
укороченные уравнения C.2.63) принимают вид
*> Матрица плотности объясняется в [80Ь Применение матрицы
плотности для описания взаимодействия излучения с активной ере-'
дой см. в [75, 79].

304 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
i cn
Tnm ?'«-
C.2.65)
Нетрудно видеть, что коэффициент аоп есть коэффициент усиления
для n-й моды. Условие самовозбуждения я-й моды имеет вид
«on > b),/2Qn. Коэффициенты 6nm и т„т играют роль коэффици-
коэффициентов связи, описывающих взаимодействие мод.
3.3. Режим свободной генерации. Регулярные
затухающие пульсации мощности излучения
Предгенерационный этап. Будем для простоты рассма-
рассматривать импульс накачки прямоугольной формы; длитель-
длительность импульса равна tu, момент t = 0 соответствует мо-
моменту включения импульса накачки. Обозначим через tnoT>
время с момента включения накачки до момента начала ге-
генерации. В течение этого промежутка времени происходит
накопление активных центров на верхнем рабочем уровне
до тех пор, пока плотность инверсной заселенности, воз-
возрастая, не достигнет порогового значения iVnop = (¦% +
+ тУ/о.
На предгенерационном этапе следует положить в ба-
балансных уравнениях S = 0 (М — 0). Тогда, рассматривая
для конкретности трехуровневый лазер, получаем из
C.2.32)
dN/dt = [n' (K—l) — N @ (К + 1)]/т. C.3.1)
В случае прямоугольной формы импульса накачки величи-
величина К может рассматриваться как постоянная (в течение вре-
времени действия накачки). Используя это, нетрудно найти
решение уравнения C.3.1). Оно может быть представлено
в виде
N (t)/n' =2К(К+ 1)~1 {1 - ехр [- (К + 1) Ы) — 1.
C.3.2)
При t = 0 имеем N = —п\ При ?-> оо величина N (f)
асимптотически стремится к значению N0 — n'(K — 1)/(К+
+ 1) (рис. 3.11). Из C.3.2) следует, что время ?

3.3. Режим свободной генерации
305
Рис. 3.12
когда функция N (f) проходит через нуль (см. рисунок),
равно
*инв = * (/С + I) In [2/С/(/С — 1I. C.3.3)
Генерация начинается, когда функция N (f) достигает зна-
значения Naop. Следовательно,
C.3.4)
К+х
»: \1
-Nnov )\
Из рис. 3.11 видно, что необходимым условием возник-
возникновения генерации является условие No > iVnop. Это ус-
условие обсуждалось в § 3.2; было показано, что рассматри-
рассматриваемое условие может быть записано в виде C.2.48). От-
Отсюда следует, что мощность накачки должна быть выше по-
порогового значения, определяемого правой стороной нера-
неравенства.
На рис. 3.12 изображен график функции N (f) для трех
разных ситуаций, отвечающих разным мощностям накачки:
а) мощность накачки ниже пороговой (К\ < /Спор), б) мощ-
мощность накачки лишь немного превышает порог (/С2 ^ /Спор).
в) мощность накачки достаточно велика (К3 > /Спор)- Го-
Горизонтальные штриховые прямые соответствуют различным
значениям параметра накачки No; непрерывная горизон-
горизонтальная прямая соответствует значению iVnop. Хорошо вид-
видно, что с увеличением мощности накачки растет No. Гене-
Генерация становится возможной при No > Nnop; при этом
с ростом К время tnoV уменьшается. Обратим внимание

306 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
на то, что, хотя в случае (б) генерация в принципе возмож-
возможна, однако она не возникает, поскольку taoV2 > tu (импульс
накачки оканчивается раньше, чем достигается пороговое
значение плотности инверсной заселенности).
Заметим, что в пределе при /С > 1 можно принять
Nof&n'. В этом случае из C.3.4) получаем
*ш,р = —In , 2"'° . C.3.5)
ин и a— Cn+Tte)
Переходные процессы, сопровождающие возникновение
генерации (регулярные затухающие пульсации мощности
излучения). Возникновение генерации сопровождается пе-
переходными процессами, приводящими к регулярным зату-
затухающим пульсациям мощности генерируемого излучения.
Анализ этих пульсаций проюдился многими авторами [1,
2, 4, 73, 81—86].
Обратимся к системе балансных уравнений C.2.32).
С учетом C.2.43) запишем эту систему в виде
at nut x т
C.3.6)
Исследуем систему C.3.6) вблизи стационарных значений
SCT и AfCT; для этого представим
S @ = SCT + AS @; N(t)-=NCv + &N(t) C.3.7)
и будем полагать, что
AS (t) « Sc ; AN @ « iVCT. C.3.8)
Значения SCT и Nc.c находим, положив dSldt = 0 и
dN/dt = 0 в C.3.6):
ЛГСТ = Л'ПОР; SCT=—^L_pL (*:_!)_
¦"•поро L т
1 C.3.9)

3.3. Режим свободной генерации
307
Подставляя C.3.7) в C.3.6) и используя C.3.9), полу-
получаем
— AS = vaSCT AN + vaASAN;
dt
2o
dt tm
X<*+1>—f
tm
(NCTAS+ScrAN-
X
C.3.10)
Учитывая C.3.8), пренебрежем слагаемыми с ASAN.
В результате система уравнений линеаризуется: превраща-
превращается из нелинейной в линейную (относительно AS и AN):
d
dt C.3.11)
АЛ^ = (Л^Ст AS + SCT АЛ/) (/С +1
dt tm x
Исключая AN из C.3.11), приходим к дифференциальному,
уравнению для AS (t)
AS+f-f
+ 2-
ЙСО
dt
¦SnTiV,TAS==O.
C.3.12)
Подставим сюда C.3.9), учтем C.2.38) и воспользуемся со-
соотношением
vo = GWnoP)-\ C.3.13)
вытекающим из C.2.17) и C.2.41) . В итоге получим
+ S+
dt2 WnOp П. Л " 7Т
C.3.1^)
Решение уравнения C.3.14) будем искать в виде
AS (t) = С exp {pt). C.3.15)
Подставляя C.3.15) в C.3.14), получаем уравнение относи*
тельно параметра р (характеристическое уравнение)
Г 1) = °- C-ЗЛ6)

308 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Корни уравнения:
Рг .г = - (Nof2Nmv П) ± VD12, C.3.17)
где
D = (NofNmv Ttf-i [(NofNmv)-l ]IT1\.
Будем полагать, что выполняется неравенство
D<0. C.3.18)
Это будет иметь место в том случае, если
4 GУГ) l(N0INUOJ>) - 1 ] > (N0/Nnopf C.3.19)
или (при переходе к параметрам G и а, введенным в § 3.2)
4G (а — 1) > а2. C.3.20)
Данные, приведенные в табл. 3.1, показывают, что нера-
неравенство C.3.20), а следовательно и C.3.18), должны выпол-
выполняться с запасом.
При выполнении неравенства C.3.18) корни характери-
характеристического уравнения оказываются комплексными. В этом
случае решение уравнения C.3.14) может быть представ-
представлено с учетом C.3.17) в виде
AS = ехр (- N» t/2Nnov 7\) [С exp (i УЩ t/2) +
+ С*ехр(—iVW\t/2)]. C.3.21)
Выражение C.3.21) описывает, как легко видеть, регу-
регулярные затухающие пульсации с частотой следования
r
"пор
Амплитуда пульсаций затухает по экспоненциальному за-
закону с постоянной времени
tsa^2T1NnoV/N0. C.3.23)
Картина регулярных затухающих пульсаций, описывае-
описываемая соотношением C.3.21), показана на рис. 3.13; момент
if = 0 на рисунке соответствует моменту начала генерации*).
*1 Полагаем, что t3aT < tH, поэтому пульсации успевают затух-
затухнуть до того, как окончится импульс накачки.

3.3. Режим свободной генерации
309
1>ис. 3.13
Используя безразмерные параметры G и а, перепишем выраже-
выражения C.3.22) и C.3.23) в виде (при этом учтем, что G > 1)
\а~ 1)/а* - 1
~/0(а-1)/7у, C.3.24)
C.3.25)
Например, для рубинового лазера а = 30, G = 105, 7\ ~ Ю-3 с.
Отсюда следует, что й ж 10е с—1, /аат = 10~* с.
Проведенное рассмотрение основывалось на C.3.8). Од-
лако в начальный период развития генерации эти неравен-
неравенства не выполняются; поэтому пульсации, соответствующие
переходным процессам, следует, строго говоря, рассматри-
рассматривать не на основе линейной системы уравнений C.3.11),
а на основе нелинейной системы C.3.10). На рис. 3.14 пред-
представлена характерная кривая, полученная на основе стро-
строгого расчета затухающих пульсаций в рубиновом лазере
при помощи ЭВМ. Хорошо видно, что реальная картина
пульсаций на начальном этапе развития значительно от-
отличается от картины, изображенной на рис. 3.13.
Учитывая сделанные замечания, проведем более стро-
строгое рассмотрение режима регулярных затухающих пуль-
пульсаций в твердотельном лазере. При этом будем пользовать-
пользоваться уравнениями Статца—Де Марса, записанными в без-
безразмерной форме (уравнениями C.2.53))* >.
*' Разумеется, можно было бы с самого начала рассматривать
затухающие пульсации на основе безразмерных уравнений Статца—
Де Марса. Однако нам представлялось методически оправданным
провести вначале рассмотрение, исходя не из системы уравнений
C.2.53), а из системы C.2.32), которая должна восприниматься не-
неискушенным читателем как более конкретная и более наглядная в
физическом отношении.

310
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
t,MKC
Рис. 3.14
Фазовый портрет свободно генерирующего твердотель-
твердотельного лазера. В соответствии с уравнениями C.2.53) лазер как
динамическая система описывается двумя функциями от вре-
времени: п (f) и т (tr). Определим плоскость состояний лазера
(иначе говоря, фазовую плоскость) как плоскость, в которой
роль декартовых координат играют переменные п и т.
В каждый момент времени состояние лазера «изображается»
определенной точкой на фазовой плоскости (изображающая,
или представляющая точка). С течением времени изобра-
изображающая точка вычерчивает на фазовой плоскости некото-
некоторую кривую, называемую фазовой траекторией. Семейство
возможных фазовых траекторий принято называть фазо-
фазовым портретом рассматриваемой динамической системы.
Если лазер описывается уравнениями C.2.53), то его
фазовые траектории могут быть найдены из уравнения
dm
т(п—1)
a—(m -\- \)n
C.3.26)
которое получается в результате деления первого уравнения
C.2.53) на второе. Одна из таких фазовых траекторий изо-
изображена на рис. 3.15. Она дает представление о фазовом
портрете лазера, описываемого балансными уравнениями
Статца—Де Марса.
В рассматриваемом на рис. 3.15 случае изображающая
точка движется по спиральной кривой, накручивающейся на

3.3. Режим свободной генерации
311
"¦щах
точку Л, имеющую коор-
координаты
C.3.27)
Точка А «изображает» со-
состояние лазера, соответст-
соответствующее стационарной ге-
генерации; в этом легко убе-
убедиться, если положить в
C.2.53) dmldt' = 0 и
dnldt' =0*).
Показанная на рисунке
спиральная кривая начи-
начинается в точке а с коор-
координатами
па = \; та = ттЫ.
C.3.28)
Точка а есть состояние, в котором впервые (с начала на-
накачки) достигается пороговое значение плотности инверс-
инверсной заселенности; точка а соответствует моменту возникно-
возникновения генерации. Интенсивность поля tnmin в этот момент оп-
определяется спонтанными переходами; подчеркнем, что
ю-1
mroin ¦—
Рис. 3.15
n
С указанного момента времени начинается генерация
первого пичка. По мере движения изображающей точки пс
фазовой траектории от точки а до точки с происходит воз-
возрастание мощности пичка; максимальное значение мощно-
мощности достигается в точке с (координаты точки: пс = 1;
тс — mmax)- Затем мощность первого пичка спадает, умень-
уменьшаясь до значения, немного превышающего величину tnmiD
(см. точку е на рисунке), после чего начинается генерация
второго пичка. Каждому пичку в генерируемом излучении
соответствует один оборот спиральной "кривой. Тот факт,
что с каждым оборотом спираль все сильнее приближается
к точке А, означает постепенное затухание пульсаций как
*> Соотношения C.3.27) представляют собой записанные в без-
безразмерной форме соотношения C.3.9) (при условии, что No =
'(tfI(tfl

312
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Рис. 3.16
интенсивности поля излучения, так и плотности инверсной
заселенности.
Фазовый портрет лазера, изображенный на рис. 3.15,
«развернут» во времени на рис. 3.16, где представлены гра-
графики двух функций от времени: т (f) и п (f) (напомним:
f = #7\). Начало отсчета времени (f = 0) соответствует
моменту возникновения генерации; штриховыми линиями
на рисунке намечен ход соответствующих кривых на пред-
генерационном этапе*>. Промежуток времени t'o (см. рису-
рисунок) соответствует начальному этапу генерации первого
пичка (этап линейного развития генерации); промежуток
11 — эффективная длительность пичка; г'ч — эффективный
промежуток времени между двумя последовательными пич-
ками. Рисунок хорошо демонстрирует определенную син-
синхронность пульсаций плотности инверсной заселенности
и пульсаций интенсивности поля излучения. Он показывает
также, что скорость движения изображающей точки по фа-
фазовой траектории на рис. 3.15 не является постоянной:
нижние участки спиральной кривой (например, участки
а—Ь или d—/) изображающая точка проходит значительно
*) Поведение плотности инверсной заселенности на предгене-
рациониом этапе обсуждалось ранее; см. рис. 3.12.

3.3. Режим
Таблица 3.2
Лазер
Рубиновый
Неодимовый
свободной генерации
Параметры
7-,. с t[
2-Ю-3 7-Ю-4
2-Ю-4 2,5-10-3
'2~2'о
8- Ю-3
0.16
"max
700
30
313
mmln
ю-8
3-10—13
медленнее, чем верхние (например, участки b—d или f—h).
Из рис. 3.16 видно, что (<2 ~ 2^6) > t{. Чем дальше от
оси абсцисс на фазовой плоскости находится изображаю-
изображающая точка, тем выше ее скорость.
Введем обозначение v = я — па ~ п — 1. В режиме
свободной генерации величина v значительно меньше еди-
единицы (vmax « 0,1). Другие численные данные, характери-
характеризующие свободную генерацию двух типов твердотельных
лазеров, приводятся в табл. 3.2 [4].
Выявление структуры фазового портрета лазера. Ха-
Характерные черты структуры фазового портрета лазера в
режиме свободной генерации можно выявить, не решая урав-
уравнения C.3.26), Для этого надо прежде всего исследовать
поведение фазовых траекторий вблизи особой точки, со-
соответствующей стационарной генерации (точка А на
рис. 3.15). Конкретно: надо линеаризовать систему баланс-
балансных уравнений в окрестности особой точки и, рассмотрев
корни получающегося характеристического уравнения, вы-
выявить тип особой точки [87]. Указанная программа дейст-
действий обсуждается в приложении 5, где, в частности, рассма-
рассматриваются шесть типов особых точек.
Линеаризация системы уравнений C.2.53) вблизи осо-
особой точки C.3.27) приводит к следующей системе уравне-
уравнений:
.dv/dt ——av — ц. I
Здесь ц (О = т (Г) — тД = т — (а — 1), v (Г) = п (Г) —
— пА = п — 1, причем ц < тл, v С пА. Системе C.3.29)
отвечает характеристическое уравнение
р2 + ар + G (a — 1) *= 0, C.3.30)
*> Эта система уравнений соответствует системе C.3.11), пред-
представленной в безразмерной форме.

314 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
корни которого имеют вид (ср. с C.3.17))
P ±4V«2
тг 4-l). C.3.31)
Поскольку, как отмечалось ранее, справедливо неравенство
4G (а — 1) С а2, C.3.32)
то, следовательно,
Pi.2=—f±iVG(a-l). C.3.33)
Корни характеристического уравнения являются в данном
случае комплексньши с отрицательной вещественной частью.
Это означает (см. приложение 5), что мы имеем здесь особую
точку типа устойчивый фокус. Поведение фазовых траекто-
траекторий вблизи особой точки такого типа показано на рис. П.5.1.г,
приведенном в приложении 5 (ср. с рис. 3.15).
Итак, мы выяснили характер поведения фазовых тра-
траекторий вблизи особой точки с координатами па = 1;
тА — a— 1. Далее, исходя из вида уравнения C.3.26),
можно сделать ряд дополнительных заключений о структу-
структуре фазового портрета:
а) прямая т = 0 (т. е. ось абсцисс на фазовой пло-
плоскости) является одной из возможных фазовых траекторий;
б) поскольку G ^> 1, то наклон фазовых траекторий
должен быть велик (dm/dn > 1) везде на фазовой плоско-
плоскости, за исключением областей, примыкающих к прямым
п = 1 и т — 0;
в) во всех точках прямой п = 1 касательная к фазовой
траектории должна быть горизонтальной (dm/dn = 0).
Суммируя все сделанные выше замечания, нетрудно
придти к структуре фазового портрета, изображенной на
рис. 3.15. При этом надо лишь воспользоваться дополни-
дополнительной информацией о том, что в режиме свободной гене-
генерации справедливы неравенства
(л — 1)< 0,1; mmax >(a - 1). C.3.34)
Анализ картины пульсаций на основе балансных уравнений.
Рассматривая этап линейного развития генерации первого пичка (на
рис. 3.15 ему соответствует участок а — b фазовой траектории),
учтем, что т < (а — 1), ив связи с этим пренебрежем величиной

3.3. Режим свободной генерации 315
т в правой части второго уравнения C.2.53); в результате придем
К следующей системе балансных уравнений:
dmjdt' = Gm(n —1); Л
\ C.3.35)
Полагая, что момент V = 0 есть момент начала генерации (п @) =
= 1, т @) = /nmin), получаем, выполнив интегрирование второго
уравнения C.3.35),
п (У) = а — (а — 1) ехр (—Г). C.3.36)
Величина V изменяется от нуля до t'u (напомним: t'o есть длительво-
сть рассматриваемого этапа генерации; см. рис. ЗЛ6). Поскольку
t'o ж 0,01—0,1 (см. табл. 3.2), то можно положить ехр (—t') =
= 1 — V', после чего получаем из C.3.36)
v (Г) = п (Г) — 1 = (а — 1) V. C.3.37)
Таким образом, на участке а — b фазовой траектории плотность
инверсной заселенности возрастает со временем линейно; именно по-
поэтому этап развития генерации, отвечающий данному участку фа-
фазовой траектории, называют линейным.
С учетом C.3.37) перепишем первое уравнение C.3.35) в виде
dmldt' = G (а — l)mt'. Интегрируя это уравнение от нуля до f,
находим
ln(m(i')/mmln)==i/2G(a-l)(rJ. C.3.38)
Исключая время из C.3.37) и C.3.38), приходим к выражению
v(«') = [B(a-l)/G)ln(m(r)/mmln)]1/2. C.3.39)
Подставляя в C.3.39) т = а. — 1, получаем оценку для vmax:
vmax = [B(a-l)/G)lh((a-l)/mInin)]1/2. _ C.3.40)
Подставляя 3 C.3.37) v = vmax, получаем оценку для i'o:
f? = vmax/(a —1). C.3.41)
Чтобы воспользоваться полученными соотношениями, надо
знать народу с параметрами G и а также параметр mmin. Для оцен-
оценки mmin следует воспользоваться системой уравнений C.2.56), учи-
учитывающей вклад спонтанного излучения в интенсивность поля (ве-
(величиной т во втором уравнении упомянутой системы можно пре-
пренебречь). Приближенное выражение для тт1а имеет вид [4]
-. C.3.42)
1
Заметим, что хотя величина ттп и весьма мала (см. табл. 3.2),
однако учет ее принципиально важен при рассмотрении возникно-
возникновения генерации. Предположим, что спонтанные переходы (и вооб-
вообще флуктуации) отсутствуют, так что mmin = 0; в этом случае
изображающая точка будет перемещаться все время по фазовой
траектории, совпадающей с осью абсцисс, т. е. по прямой т = 0.
Спонтанные переходы необходимы, чтобы, обеспечив хотя и очень

316 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
малую, но все же отличную от нуля величину mmln, тем самым
«столкнуть» изображающую точку с траектории т — 0 на одну из
фазовых траекторий, которые при возрастании п уходят вверх иа
фазовой плоскости. Следовательно, наличие спонтанных перехо-
переходов принципиально важно, поскольку при этом качественно изме-
изменяется характер движения изображающей точки на фазовой плос-
плоскости.
Далее рассмотрим этап генерации, которому соответствует на
рис. 3.15 участок b —с фазовой траектории. Используя перемен-
переменную v = п — 1 и учитывая при этом, что v < 1, перепишем исход-
исходную систему балансных уравнений C.2.53) в виде
dm'dt' =Gmv;
d\/dt' = a—(m
Отсюда следует
dm/dv = Gmv/ [a — (m + 1)]
} C.3.43)
и, следовательно,
шах
J a~(mm+l) dm=G J
l
C.3.44)
(интегрирование выполняется на участке b — с фазовой траектории)
Принимая во внимание, что mmax > (а — 1), получаем из C.3.44
Gv^ax/2. C.3.45
Этот результат может быть представлен с учетом C.3.40) в виде
«max —(a— I) In [(а—l)/mmln]. C.3.46)
Используя второе уравнение C.3.43), можно получить оценку для
времени t{, которое характеризует длительность этапа генерации,
отвечающего участку b — d фазовой траектории (иначе говоря,
эффективную длительность пичка):
t{ « B/Gvmax) In [2Gv«,bx A<*-1)]. C.3.47)
Замечания о свободной генерации в многомодовом лазе-
лазере. Как отмечалось в § 3.1, наряду с регулярными затухаю-
затухающими пульсациями мощности наблюдаются нерегулярные
и незатухающие пульсации. Нерегулярность пульсаций
может быть связана, в частности, с многомодовостью ла-
лазерного излучения*).
Выше было показано, что процесс генерации первого
пичка имеет относительно длительный начальный этап ли.
*} Свободная генерация в многомодовом лазере рассматривает-
рассматривается, например, в [4,11,18—20,88].

3.3. Режим свободной генерации 317
нейного развития; длительность этого этапа to существен-
существенно превышает длительность самого пичка t{ (см. табл. 3.2).
Далее заметим, что величина пороговой плотности инверс-
инверсной заселенности (величина (% + тJ)/а), а следовательно,
и параметры а и mmin различны для разных мод. Это при-
приводит к тому, что для разных мод будут различны моменты
начала генерации первого пичка, а также длительности
этапа линейного развития генерации. В результате гене-
генерация разных мод может начинаться в различные моменты
времени, причем пичок одной моды может успеть излучить-
излучиться раньше, чем окончится этап линейного развития другой
моды. В последнем случае высвечивание пичка первой моды
будет нарушать условия развития пичка второй моды, по-
поскольку процесс высвечивания неизбежно влияет на вели-
величину плотности инверсной заселенности. Все это может при-
приводить к нерегулярности наблюдаемой картины пульсаций
мощности.
3.4. Лазер с нестационарным резонатором.
Незатухающие пульсации мощности излучения
Под нестационарным резонатором здесь понимается ре-
резонатор, добротность которого подвергается слабой моду-
модуляции либо преднамеренно (например, при помощи акусто-
оптической или электрооптическйй ячейки), либо случайным
образом (за счет различных факторов технического проис-
происхождения, которые, как правило, имеют место в реальных
условиях работы лазера). Существенно, что даже незначи-
незначительная нестабильность параметров резонатора может за-
заметно влиять на режим генерации лазера.
Балансные уравнения для лазера с периодически изме-
изменяющейся добротностью резонатора*>. Предположим, что
добротность резонатора изменяется периодически с не-
некоторой частотой сом:
Q (t) = Qo О - Р cos coM0, C.4.1)
*' Одномодовый лазер с периодически изменяющейся доброт-
добротностью резонатора рассматривается, например, в [9, 10, 17, 21, 89—
91].

318 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
причем глубина модуляции добротности предполагается
достаточно малой {слабая модуляция добротности):
Р « 1- C-4.2)
Используя C.4.1), перепишем первое уравнение Статца—
Де Марса C.2.34) в следующем виде:
dMIdt = B'MN — Mco/Qo A — р cos ©MQ
или с учетом C.4.2)
dMIdt = B'MN — (М/То) A + р cos uj), C.4.3)
где То = Qq/ы- Переходя в соответствии с C.2.52) к без-
безразмерной форме записи, преобразуем уравнение C.4.3)
к виду
dtnldt' — Gmn — Gm A + р cos со„0, C.4.4)
где eei = o>Mri; G = Tx/T0.
Итак, в случае слабой периодической модуляции доброт-
добротности резонатора система балансных уравнений-(записанная
в безразмерной форме) может быть представлена в виде
dtnldt' =Gm(л— 1 -*рcosv>it')\ 3 4 5
Эта система уравнений не имеет стационарных решений,
поскольку содержит время в явном виде (слагаемое
— GmP cos co^' в первом уравнении системы). Характер
процессов, описываемых уравнениями C.4.5), существенно
зависит от величины параметра модуляции р, а также от
отношения сОм/Q', где
Q'=VG(a— 1) C.4.6)
есть представленная в безразмерной форме частота затухаю-
затухающих пульсаций для р=0 (см. C.3.24), а также C.3.33)).
Параметр Q' называют собственной частотой релаксацион-
релаксационных колебаний лазера около положения равновесия.
Предположим, что накачка слабая (а ^ 1) и что лазер
лишь часть периода модуляции находится выше порога ге-
генерации (Р > (а — 1)). Кроме того, будем полагать, что
«м ¦€. &' (низкочастотная модуляция добротности). За-
Зависимость m(t'), рассчитанная в этих условиях при помощи

3.4. Лазер с нестационарным резонатором
319
Рис. ЗЛ7
C.4.5), представлена на рис,
3.17 [21]. Конкретно: а =
= 1,01; р = 0,1; < = 0,45;
Q' =4,5; G = 2-Ю3. Из
рисунка видно, что излуче-
излучение реализуется в виде по-
последовательности серий зату-
затухающих пичков. Частота сле-
следования этих серий есть ча-
частота модуляции. Всякий раз начало генерации сопровож-
сопровождается возбуждением серии затухающих пичков.
Далее рассмотрим ситуацию, когда Р < (а — 1). На
рис. 3.18 представлены рассчитанные на основе C.4.5)
зависимости т {t) для трех разных значений отношения
сОм/Q': a) uUQ.' =0,1; б) aJQ' = 2; в) со„/?У = 10 (во
всех случаях а = 2,. 0 = Ю-3, Тх — 2- 10~3 с, G - 6- 10Б).
В рассмотренных на рисунке случаях реализуются, как
легко видеть, незатухающие пульсации мощности излуче-
излучения. На рис. 3.18, а, в процесс пульсации имеет две состав-
составляющие — низкочастотную и высокочастотную. На
рис. 3.18, а низкочастотная составляющая соответствует
частоте модуляции (частоте со,!,), а высокочастотная — ча-
частоте собственных колебаний (частоте Q'); в случае (в)
имеет место противоположная ситуация. Наиболее интересен
случай (б), когда частота модуляции близка к частоте соб-
собственных колебаний; именно в этом случае пульсации имеют
большую амплитуду.
Во всех случаях, показанных на рис. 3.18, имеет место
определенная подстройка частоты пульсаций под частоту
модуляции. В частности, указанная подстройка происходит
в случае (б), где частота со' следования пичков оказывает-
оказывается равной со„/8 (как говорят, на частоте со„/8 наблюдается
синхронизация пичков). Периодическая модуляция доброт-
добротности резонатора способствует, таким образом, упорядоче-
упорядочению процесса лазерной генерации [92, 93].
Р* Пульсации малой * амплитуды. Представим функции п (f) и
т (f) в виде
= 1 + v
т (Г) = а — \
C.4.7)
где v (f) и |х (*') — отклонения соответствующих функций от их
значений, отвечающих решениям невозмущенной стационарной

320
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
2яТ,
О 100 200 *,мкс 0 50 100 150 (,мкс 0 20
¦О
Рис. 3.18
10. *,мкс
системы C.3.27). Предположим, что амплитуды пульсаций интен-
интенсивности поля и плотности инверсной заселенности малы:
1; К(«- 1).
C.4.8)
Подставляя C.4.7) в C.4.5) и учитывая C.4.8), а также неравенство
C.4.2), линеаризуем систему балансных уравнений в окрестно-
окрестности точки A, а — 1) фазовой плоскости. Получаем
dp/dt' =G (а — 1) (v — р cos ю^ /')-Д
d\Jdt' = —(х—c.v. J
C.4.9)
Исключая v, приходим к следующему дифференциальному уравне-
уравнению для ц:
C.4.10)
При р = 0 уравнение C.4.10) превращается, как нетрудно убедить-
убедиться, в уравнение C.3.14), записанное в безразмерной форме.
Решение уравнения C.4.10) ищем в виде
ехр («о,; Г)
ехр (-/
C.4.11)

3.4. Лазер с нестационарным резонатором 321
При этом заметим, что правая часть уравнения C.4.10) может быть
представлена в виде суммы слагаемых, содержащих либо
ехр («юм<'), либо ехр (—ш^'), поскольку
м -е J;
Функция [ix ехр (jgW) будет являться решением уравнения C.4.10),
если в его правой части сохранить лишь слагаемые с ехр
Учитывая это, нетрудно получить выражение для ^
1 +
Й1 = — G(a-l)p——— ^—— . C.4.12)
2 юм G(a—1)—toy^a
Выражение C.4.12) имеет резонансный характер. Резонанс
наступает, когда частота модуляции добротности юм удовлетворяет
условию
a?=VG{a—l). C.4.13)
В соответствии с C.4.6) это означает, что частота модуляции равна
частоте собственных колебаний системы.
При выполнении условия резонанса C.4.13) получаем из
C.4.12) (с учетом того, что G > а)
Jiimax=G(a-l)P/2a. C.4.14)
Необходимо иметь в виду, что полученные здесь результаты
справедливы лишь при условии малости амплитуды пульсаций (см.
условие C.4.8)). Это означает, в частности, что должно выполнять-
выполняться неравенство
Himax«(a—1).
которое с учетом соотношения C.4.14) может быть записано в виде
Р С 2a/G. C.4.15)
Замечания о возможности реализации незатухающих
пульсаций большой амплитуды. Используя рассмотренный
выше случай пульсаций малой амплитуды, можно сделать
некоторые заключения относительно условий реализации
незатухающих пульсаций большой амплитуды. Во-первых,
частота модуляции должна быть близка к собственной ча-
частоте колебаний системы (условие резонанса). Во-вторых,
глубина модуляции должна быть не слишком малой; для
выхода в режим незатухающих пульсаций большой ампли-
амплитуды необходимо, чтобы выполнялось условие (ср. с C.4.15))
Р^2а/С C.4.16)
И Зак. 1785

322 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Поскольку a/G« 10~4, то из
C.4.16) следует, что параметр
модуляции р должен быть по-
порядка или больше Ю~4.
Сделанные замечания под-
подтверждает зависимость т (t),
приведенная на рис. 3.18, б.
Частота пульсаций со' оказы-
оказывается в некотором целочислен-
Рис. 3.19 ном отношении к частоте мо-
модуляции со„ (на рисунке со' =
сом/8), что указывает на параметрический характер меха-
механизма возбуждения пульсаций.
Итак, рассматривая слабую периодическую модуляцию
добротности резонатора, следует различать две качествен-
качественно разные ситуации. Первая ситуация реализуется, если
выполняется условие C.4.15) (пульсации малой амплиту-
амплитуды). В этом случае величина [Л, хотя и растет вблизи резо-
резонанса, однако остается существенно меньше стационарного
значения а — 1; при этом частота следования генерируемых
пульсаций равна частоте модуляции добротности. Вторая
ситуация реализуется, если выполняется условие C.4.16)
(пульсации большой амплитуды). В этом случае амплитуда
ц вблизи резонанса оказывается большой (fimax > (а — 1)),
причем частота следования пульсаций находится в неко-
некотором целочисленном отношении к частоте модуляции доб-
добротности.
Периодическая модуляция добротности при равномер-
равномерном движении отражающей плоскости. Примечательно, что
эффект периодической модуляции добротности резонатора
возникает, в частности, при равномерном движении вдоль
оптической оси каких-либо отражающих плоскостей, на-
например, плоскости выходного зеркала или торцевой пло-
плоскости активного элемента [9, 10]. Этот эффект нетрудно
объяснить, обратившись к продольному эффекту Допплера.
Предположим, что плоскость торца активного элемента
движется со скоростью v вдоль оси резонатора (см. рис. 3.19,
где штриховой линией показано сечение упомянутой пло-
плоскости). Пусть со — частота световой волны, прошедшей
через движущуюся плоскость, а сох — частота волны, от-
отраженной от этой плоскости. Согласно эффекту Допплера
сох = со + Acod = со 4- 2сои/с. C.4.17)

324 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Предположим, что температура активного элемента из-
изменяется во времени со скоростью dTldt. Оптическая длина
/опт активного элемента будет в этом случае изменяться со
скоростью
dlojdt = liylT/dt, C.4.21)
где / — геометрическая длина элемента; к\ — температур-
температурный коэффициент его показателя преломления (в § 2.13 этот
коэффициент обозначался как dn/dT)*K В результате будет
происходить периодическая модуляция добротности резо-
резонатора с частотой модуляции, определяемой по формуле,
аналогичной C.4.19):
< ldt. C.4.22)
Подставляя C.4.21) в C.4.22), получаем
< = 27Х (и/с) indT/dt. C.4.23)
Аналогия между формулами C.4.19) и C.4.22) означает,
в частности, что резонансная скорость изменения оптиче-
оптической длины активного элемента должна определяться та-
таким же выражением, что и резонансная скорость движения
отражающей поверхности, т. е. выражением C.4.20) (ины-
(иными словами, обе резонансные скорости одинаковы).. Выше
отмечалось, что ирез для рубинового лазера принимает зна-
значения в пределах 1—10 см/с. Нетрудно убедиться, что ско-
скорость dlonT/dt, определяемая выражением C.4.21), как раз
попадает в случае рубина в указанный интервал значений.
Действительно, при / = 10 см, ц = 1,4- 10~Б Кг1, dTldt —
~ 10* К/с получаем dlcnT/dt — 1,4 см/с.
Природа незатухающих пульсаций в режиме свободной
генерации. Выше было показано, что незатухающие пуль-
пульсации возникают при слабой периодической модуляции доб-
добротности резонатора. Существенно, что такая модуляция
добротности может осуществляться не только при ис-
использовании внутри резонатора специальных модулирую-
модулирующих устройств, но и за счет движения отражающих плоско-
плоскостей и быстрого изменения во времени температуры актив-
*) Эффектом теплового расширения активного элемента пренеб-
пренебрегаем. Кроме того, здесь не учитываются эффекты, связанные с про-
пространственной неоднородностью нагрева элемента, и предполага-
предполагается что величина dTldt одинакова во всех точках его поперечного
сечения.

324 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Предположим, что температура активного элемента из-
изменяется во времени со скоростью dTldt. Оптическая длина
/опт активного элемента будет в этом случае изменяться со
скоростью
dlojdt = liylT/dt, C.4.21)
где / — геометрическая длина элемента; к\ — температур-
температурный коэффициент его показателя преломления (в §2.13 этот
коэффициент обозначался как dn/dT)*K В результате будет
происходить периодическая модуляция добротности резо-
резонатора с частотой модуляции, определяемой по формуле,
аналогичной C.4.19):
K = 2T1{a/c)dtom/dt. C.4.22)
Подставляя C.4.21) в C.4.22), получаем
< = 27\ (со/с) lr\dT/dt. C.4.23)
Аналогия между формулами C.4.19) и C.4.22) означает,
в частности, что резонансная скорость изменения оптиче-
оптической длины активного элемента должна определяться та-
таким же выражением, что и резонансная скорость движения
отражающей поверхности, т. е. выражением C.4.20) (ины-
(иными словами, обе резонансные скорости одинаковы).. Выше
отмечалось, что орез для рубинового лазера принимает зна-
значения в пределах 1—10 см/с. Нетрудно убедиться, что ско-
скорость dloujdt, определяемая выражением C.4.21), как раз
попадает в случае рубина в указанный интервал значений.
Действительно, при / = 10 см, ц = 1,4-10~5 К, dTldt =
~ 104 К/с получаем dlcnT/dt = 1,4 см/с.
Природа незатухающих пульсаций в режиме свободной
генерации. Выше было показано, что незатухающие пуль-
пульсации возникают при слабой периодической модуляции доб-
добротности резонатора. Существенно, что такая модуляция
добротности может осуществляться не только при ис-
использовании внутри резонатора специальных модулирую-
модулирующих устройств, но и за счет движения отражающих плоско-
плоскостей и быстрого изменения во времени температуры актив-
*) Эффектом теплового расширения активного элемента пренеб-
пренебрегаем. Кроме того, здесь не учитываются эффекты, связанные с про-
пространственной неоднородностью нагрева элемента, н предполага-
предполагается что величина dTldt одинакова во всех точках его поперечного
сечення.

3.4. Лазер с нестационарным резонатором 325
ного элемента. Последнее означает, что периодическая мо-
модуляция добротности и, как следствие, появление незату-
незатухающих ипульсаций могут иметь место в режиме свободной
генерации — как результат вызванных случайными при-
причинами движений (вибраций) отражающих плоскостей,
а также как результат быстрого нагревания активного эле-
элемента при поглощенпи импульса излучения накачки. Тот
факт, что реальная скорость движения отражающих пло-
плоскостей, равно как и скорость нагрева активного элемента,
не является постоянной, не имеет принципиального зна-
значения, поскольку раскачка интенсивных пульсаций при
достижении резонанса происходит весьма быстро — за
время порядка всего 10 мкс. Для возбуждения интенсивных
пульсаций достаточно, чтобы скорость движения отражаю-
отражающей плскости хотя бы на относительно короткое время ока-
оказалась близкой к резонансной.
Таким образом, модель одномодового лазера с нестацио-
нестационарным резонатором позволяет выявить важную роль не-
стабильностей технического происхождения как одной из
причин возникновения незатухающих пульсаций интенсив-
интенсивности лазерного излучения.
3.5. Активная модуляция добротности резонатора
В предыдущем параграфе обсуждалось влияние слабой
модуляции добротности резонатора на динамику лазера.
Теперь перейдем к рассмотрению глубокой модуляции доб-
добротности, обеспечивающей переход лазера в режим генера-
генерации гигантских импульсов (при импульсной накачке) или
в режим генерации регулярной последовательности им-
импульсов (при непрерывной накачке). Рассмотрим три вида
активной модуляции добротности: оптико-механическую [26,
60], электрооптическую [25—27], акустооптическую [25,
28, 59].
Оптико-механическая модуляция добротности. В этом
способе модуляции добротности широко используются вра-
вращающиеся отражащающие плоскости. В качестве примера
на рис. 3.20 приведены две схемы с оптико-механической
модуляцией добротности. Здесь 1 — активный элемент,
2 — призма полного внутреннего отражения, вращающаяся
вокруг оси, перпендикулярной оси резонатора, 3 — вы-

326
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
1
2
/
Я
5
Рис. 3.20
ходное зеркало резонатора,
4 — дополнительная (непод-
(неподвижная) призма полного внут-
внутреннего отражения. В про-
процессе вращения призма 2
лишь на короткое время
обеспечивает высокую доб-
добротность резонатора. Угол
поворота призмы, при кото-
котором добротность снижается в
два раза по сравнению с
максимальным значением,
оказывается порядка угло-
угловой минуты. При скорости
вращения призмы поряд-
порядка 103 оборотов/с время переключения добротности состав-
составляет примерно 100 не. Введение дополнительных оптиче-
оптических элементов позволяет увеличить эффективную угловую
скорость вращения призмы (при неизменной реальной ско-
скорости вращения). Так, в схеме на рис. 3.20, б эффективная
угловая скорость вращения оказывается вдвое выше реаль-
реальной.
Электрооптическая модуляция добротности. Этот ме-
метод модуляции добротности основан на использовании элек-
электрооптического эффекта, заключающегося в изменении по-
показателя преломления среды под действием внешнего элек-
электрического поля. Различают два электрооптических эффек-
эффекта — квадратичный (эффект Керра) и линейный (эффект
Поккельса). В первом случае изменение показателя прелом-
преломления пропорционально квадрату электрической напря-
напряженности внешнего поля, а во втором — первой степени
напряженности поля*). Эффект Поккельса существует лишь
в кристаллах, не имеющих центра симметрии. В качестве
примера укажем одноосные кристалы KDP (химическая
формула КН2РО4) и DKDP (формула: КХ>2РО4 или, точ-
точнее, KH2_2a:D2;i.PO4, где х — степень дейтерирования).
Рассмотрим электрооптическую модуляцию добротности
резонатора на основе эффекта Поккельса. Предварительно
поясним сущность самого эффекта.
70],
*' Эффекты Поккельса и Керра рассмотрены, например, в [25,

3.5. Активная модуляция добротности резонатора
327
0
о]
Рис. 3.21
"о
Рис. 3.22
Y
Iе n, *
X
На рис. 3.21 изображена оптическая индикатриса од-
одноосного кристалла, представляющая собой эллипсоид вра-
вращения вокруг оптической оси 00; п0 и пе — показатели пре-
преломления для обыкновенной и необыкновенной волн соот-
соответственно (они являются главными показателями преломле-
преломления кристалла). У кристаллов DKDP и KDP п0 = 1,49,
пе — 1,46 при длине волны света около 1 мкм и температуре
образца 20° С*>.
Приложим к кристаллу внешнее электрическое поле,
направленное по оси 00. Под действием поля оптическая
индикатриса • кристалла превратится из эллипсоида вра-
вращения в трехосный эллипсоид (кристал превратится из
одноосного в двухосный). На рис. 3.22 показаны сечения оп-
оптической индикатрисы плоскостью, перпендикулярной оси
00 (перпендикулярной направлению приложенного поля):
штриховая линия — до включения поля, непрерывная —
после включения поля. Главные показатели преломления
кристалла после включения поля nlt пг, пе\ главные ди-
диэлектрические оси X, Y, Z (последняя перпендикулярна
плоскости рисунка). Эффект Поккельса описывается в рас-
рассматриваемом случае соотношениями
«1 — п0 + nlrE/2; п2 ~щ — пЬгЕ/2, C.5.1)
где Е — напряженность электрического поля; г — одна
из электрооптических постоянных кристалла.
*) Оптические свойства кристаллов, применяемых в электро-
электрооптике и нелинейной оптике, суммированы в [94].

328
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Будем рассматривать продольный эффект Поккельса —
свет распространяется вдоль направления поля (перпенди-
(перпендикулярно плоскости рис. 3.22). В этом случае внутри кри-
кристалла будут распостраняться две линейно-поляризованные
волны, поляризации которых направлены вдоль осей X
(скорость волны с/tii) и У (скорость волны с/л2). Исполь-
Используя C.5.1), находим разность фаз указанных волн после
прохождения светом пути / в кристалле:
Аф = 2л1 (пх — п2)А0 — 2лп3сги/К0. C.5.2)
Здесь Ко — длина волны света в вакууме, U — El — напря-
напряжение, приложенное к кристаллу (/ — длина кристалла
по оси 00). Для кристалла DKDP г = 2,6- К)-11 м/В, для
кристалла KDP r— 1-101 м/В.
. На рис. 3.23, а приведена схема лазера с модуляцией
добротности на основе продольного эффекта Поккельса.
Здесь / — активный элемент, 2 — ячейка Поккельса (К -*-
кристалл DKPP, Э — электроды), 3 — линейные поляри-
поляризаторы, 4 — зеркала резонатора. Направление поляриза-
поляризации света, прошедшего через поляризатор (направление аа
на рисунке) составляет угол ip с направлением главной ди-
диэлектрической оси кристалла X (направление ЪЪ на рисун-
рисунке).
Предположим, что на кристалл подано напряжение
(ячейка Поккельса включена). В этом случае световые вол-
волны с поляризациями вдоль оси X и вдоль оси Y окажутся
после прохождения ячейки сдвинутыми по фазе друг отно-
относительно друга на величину Дф, определяемую соотноше-
соотношением C.5.2). В результате линейно-поляризованный све-

3.5. Активная модуляция добротности резонатора
329
товой пучок, входящий в ячейку Пок-
кельса, превратится на выходе из ячей-
ячейки в эллиптически поляризованный пу-
пучок. Пусть на ячейку подано напря-
напряжение, при котором
напряжение называют
обозначают как
дует, что
Аф != я; такое
полуволновым и
Из C.5.2) сле-
= kolBnsor).
C.5.3) hie. 3.24
При использовании полуволнового напряжения поляриза-
поляризация светового пучка на выходе из ячейки остается линей-
линейной; однако при этом направление поляризации оказывает-
оказывается повернутым на угол 2т|э относительно исходного направле-
направления. Это хорошо видно на рис. 3.23, б, где А — амплитуд-
амплитудный вектор световой волны на входе ячейки, а А' — на
выходе. Представим входящую в ячейку волну как супер-
суперпозицию двух линейно-поляризованных волн — с показа-
показателем преломления лх (амплитудный вектор Ах) и с показа-
показателем преломления п2 (амплитудный вектор А2). Так как
при U = U%i2 указанные волны, проходя через ячейку,
сдвигаются друг относительно друга на половину длины
волны, то один из амплитудных векторов (вектор Ах или
вектор А2) должен изменить свое направление на противо-
противоположное.
Вследствие поворота направления поляризации на угол
2i|) световая волна, вышедшая из ячейки Поккельса, смо-
сможет лишь частично пройти через второй поляризатор. Ин-
Интенсивность волны, прошедшей через второй поляризатор
(обозначим ее через А„р), связана с интенсивностью волны,
прошешей через первый поляризатор (интенсивностью Л2),
соотношением
= cos2 2ф,
C.5.4)
которое легко усматривается из рис. 3.24.
Таким образом, включение ячейки Поккельса в схеме
на рис. 3.23, а приводит к увеличению потерь по сравнению
со случаем, когда ячейка выключена. Максимальная сте-
степень повышения потерь при включении ячейки достигается
при гр = я/4; в этом случае А„р = О — затвор полностью
заперт. При выключении ячейки Поккельса (при снятии

330 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
напряжения с ее электродов) реализуется быстрое и зна-
значительное увеличение добротности резонатора. Время пе-
переключения добротности определяется скоростью изме-
изменения напряжения на электродах ячейки Поккельса; оно
составляет несколько наносекунд.
Акустооптическая модуляция добротности. В основе
действия акустооптического затвора лежит явление дифрак-
дифракции света на ультразвуковой волне. Предположим, что в не-
некоторой среде (твердой или жидкой) распространяется пло-
плоская ультразвуковая волна, возбуждаемая пьезопреобразо-
вателем; при этом в среде возникают механические напряже-
напряжения, связанные с локальными сжатиями и разрежениями.
Через фотоупругий эффект эти напряжения воздействуют
на показатель преломления среды. В результате в среде
образуются различающиеся показателем преломления пе-
периодические слои (пространственный период равен длине
звуковой волны Л), перемещающиеся по среде со скоростью
звука. При прохождении световой волны через такую среду
будет иметь место дифракция на пространственной перио-
периодической структуре, связанной с периодически изменяю-
изменяющимся показателем преломления.
Полагая, что звуковая волна частоты Q распространяет-
распространяется вдоль оси у, представим показатель преломления среды
в виде
п{у, t) = n + An sin [Bя#/Л) — Ш]. C.5.5)
Здесь п — показатель преломления среды в отсутствие
ультразвуковой волны, An — амплитуда изменения пока-
показателя преломления. Величина An определяется амплитудой
упругой деформации, с которой она связана через упруго-
оптические постоянные среды; в свою очередь, амплитуда
упругой деформации зависит от мощности звуковой волны
Ра [25].
Будем считать, что выполнено условие
ШЛ">1, C.5.6)
где К — длина световой волны в среде; / — длина акусто-
акустооптического взаимодействия (путь, проходимый световым
пучком в объеме среды, охваченным звуковой волной). При

3.5. Активная модуляция добротности резонатора 331
Я
=1:
Л
Пьезопреобразователь
Рис. 3.25
Рис. 3.26
выполнении условия C.5.6) имеет место дифракция Брэг-
Брэгга*).
Принцип действия акустооптического затвора на осно-
основе дифракции Брэгга поясняет рис. 3.25. Здесь Я—ширина
звукового пучка; цифрами обозначены направления рас-
распространения пучков: / — звукового, 2 — падающего све-
светового, 3 — прошедшего светового, 4 — дифрагированно-
дифрагированного светового (преломление света на границе затвора на
рисунке не показано). Угол 8б (угол Брэгга) определяется
соотношением
sin 9Б = Л/2Л.
C.5.7)
Затвор ориентируют внутри резонатора лазера таким об-
образом, чтобы направление падающего светового пучка вну-
внутри затвора соответствовало условию C.5.7). Если пьезо-
пьезопреобразователь выключен, световой пучок проходит че-
через затвор, не изменяя направления (затвор открыт). При
включении пьезопреобразователя падающий световой пучок
(интенсивность пучка /0) будет частично преобразовывать-
преобразовываться в дифрагированный пучок (интесивность /J, направле-
направление которого образует угол 28б с направлением падающего
пучка. Чем ближе к единице отношение /i//0, тем меньше
пропускание затвора в направлении падающего светового
*) Если / Я/Л2 С 1, то имеет место дифракция Романа — Наша
[28]. В акустооптических затворах этот вид дифракции, как прави-
правило, не реализуется.

332 ' Гл. 3. Динамика процессов в лазере
пучка. Отношение /х//0 является мерой эффективности
акустооптического затвора.
В приближении плоских волн имеет место соотношение
(см. [28])
C.5.8)
Здесь Ко — длина световой волны в вакууме, М2 — так
называемый коэффициент акустооптического качества:
М2 = n
где р — упругооптическая постоянная среды, р — плот-
плотность среды, v — скорость звука. Из C.5.8) следует, что
/х//0 = 1, если акустическая мощность Ра принимает зна-
значение
Роа = (Kb cos2 9Б)/2М) (Hit). C.5.9)
В этом случае происходит 100%-ное преобразование па-
падающего светового пучка в дифрагированный (затвор пол-
постью заперт).
Результаты C.5.8) и C.5.9) справедливы для плоских
волн. На практике, однако, имеют дело с расходящимися
(сходящимися) волнами. При дифракции таких волн полное
отклонение падающего светового пучка невозможно в
принципе; поэтому равное единице отношение IJI0 на прак-
практике не реализуется.
Будем полагать, что световой пучок является гауссо-
гауссовым и что акустооптический затвор помещен в месте пере-
перетяжки пучка, имеющей радиус р0. Эффективность такого
затвора зависит от величины параметра а, определяемого
следующим образом [951:
а *= BУлРо) (Я/Л). C.5.10)
Множитель 2Я/яр0 есть угол расходимости светового гаус-
гауссова пучка с радиусом перетяжки р0 (см. B.7.5)), а Л/Я —
угол расходимости звукового пучка; следовательно, а есть
отношение углов расходимости светового и звукового пуч-
пучков. На рис. 3.26, а показана зависимость /i//0 от Ра для
нескольких значений параметра а, а на рис. 3.26, б —
зависимость ItIIa от а при Ра = РОа. При заданной акусти-
акустической мощности эффективность затвора тем выше,чем мень-
меньше параметр а. Кривая на рис. 3.26, а, проведенная для

3.5. Активная модуляция добротности резонатора 333
Таблица 3.3
Затворы
Характеристики
Электро- Акусто-
оптический оптический
Минимальные потерн, %
Максимальные потери, %
Быстродействие, не
1—3 0,1—0,3
«100 20—60
<5 102—Ю3
о = 0, соответствует формуле C.5.8). Остальные кривые
получены на основе рассмотрения дифракции гауссовых све-
световых пучков [28].
Обозначим через At время переключения акустооптиче-
ского затвора — время, в течение которого возникает или,
напротив, исчезает дифрагированный пучок. Оно может быть
оценено как время, за которое звуковая волна проходит
расстояние d, равное диаметру светового пучка: At м dlv.
Полагая d — 0,2 см, v — 6-105 см/с (плавленый кварц),
получаем А^ л; 300 не. Для уменьшения At надо уменьшать
й; именно поэтому акустооптический затвор помещают в
месте перетяжки падающего св'етового пучка. Чем меньше
радиус перетяжки, тем меньше At, тем выше быстродейст--
вие затвора. Однако следует помнить, что с уменьшением
радиуса перетяжки возрастает расходимость светового пуч-
пучка (растет параметр а) и, как следствие, понижается эффек-
эффективность затвора. На практике предпочитают работать при
значениях параметра а, близких к единице.
Широкое распространение получили акустооптические
затворы из плавленого кварца. Плавленый кварц характе-
характеризуется высокой степенью прозрачности. Однако коэффи-
коэффициент акустооптического качества у него низок, поэтому
требуется относительно высокая акустическая мощность
(Ра « 50 Вт на частотах 25—50 МГц).
Акустооптическая и электрооптическая модуляция доб-
добротности (сопоставление). В табл. 3.3 сопоставляются ос-
основные характеристики акустооптических и электрооптиче-
электрооптических затворов. Из таблицы видно, что минимальные потери
(потери в открытом состоянии затвора) в случае акустооп-
акустооптических затворов примерно на порядок ниже, чем у элек-

334 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
трооптических, и составляют
около 0,1%. Электрооптиче-
Электрооптические затворы хорошо запи-
запираются (максимальные поте-
потери составляют практически
100%), тогда как акустоопти-
ческие затворы запираются
заметно хуже. Время пере-
Рис 3 27 ключения у электрооптиче-
электрооптических затворов на два и даже
три порядка меньше, чем у
акустооптических, и составляет несколько наносекунд.
Акустооптические затворы применяют преимуществен-
преимущественно в лазерах с непрерывной накачкой, а электрооптические —
с импульсной. Это связано со свойствами затвора и с тем
фактом, что лазеры с импульсной накачкой характеризу-
характеризуются существенно более высокими значениями коэффициен-
коэффициента усиления по сравнению с непрерывно накачиваемыми ла-
лазерами. Заметим в этой связи, что оптимальный коэффи-
коэффициент пропускания выходного зеркала составляет обычно
всего несколько процентов для непрерывно накачиваемых
лазеров, тогда как для лазеров с импульсной накачкой он
превышает 50%.
При низких значениях коэффициента усиления, харак-
характерных для лазеров с непрерывной накачкой, существует
возможность срыва генерации уже при относительно не-
небольших потерях, вносимых затвором в резонатор. Поэто-
Поэтому в таких лазерах могут эффективно использоваться акус-
акустооптические затворы как обладающие наиболее низкими
потерями в открытом состоянии. Тот факт, что эти затворы
плохо запираются, не играет важной роли при условии, что
частота следования световых импульсов достаточно высока
E—50 кГц для непрерывно накачиваемого лазера на грана-
гранате с неодимом). Однако при низких частотах следования им-
импульсов или, тем более, в режиме одиночных импульсов
потери, вносимые акустооптическим затвором в запертом
состоянии, могут оказаться недостаточными для срыва ге-
генерации непрерывно накачиваемого лазера (и, следователь-
следовательно, для реализации режима модуляции добротности). Хо-
Хорошее запирание затвора особенно важно в лазерах с им-
импульсной накачкой. В этом случае не играет роли тот факт,
что в открытом состоянии затвор может вносить относитель-

3.5. Активная модуляция добротности резонатора 335
но высокие потери (порядка нескольких процентов); важ-
важно лишь, чтобы затвор хорошо запирался и мог обеспечить
срыв генерации при больших значениях коэффициента уси-
усиления. Поэтому в лазерах с импульсной накачкой предпочти-
предпочтительны электрооптические затворы.
Ранее отмечалось, что для повышения быстродействия
акустооптических затворов надо использовать световые
пучки с малым радиусом перетяжки и помещать затвор в
месте перетяжки пучка. В лазерах с импульсной накачкой
это требование будет приводить к сильному нагреванию зат-
затвора (и даже к его разрушению).
Модуляция полезных потерь. С понятием модуляция
добротности принято связывать модуляцию вредных по-
потерь. При этом для режима модуляции полезных потерь ис-
используется специальный термин — разгрузка резонатора
(cavity-dumping); см. §3.1. С более общей точки зрения,
согласно которой добротность резонатора определяется как
вредными, так и полезными потерями, модуляция полезных
потерь может быть отнесена к одному из вариантов актив-
активной модуляции добротности резонатора.
В [53] описан быстродействующий акустооптический зат-
затвор на плавленом кварце, предназначенный для реализа-
реализации режима разгрузки резонатора. Время переключения
затвора 5 не. Это достигается фокусировкой светового пуч-
пучка; радиус пучка в затворе составляет 20 мкм. Рассматри-
Рассматриваемый затвор (играющий в данном случае роль модулятора
полезных потерь) показан на рис. 3.27. Здесь 1 — активный
элемент; 2, 3,4 — высокоотражающие зеркала; 5 - затвор,
помещенный в центре сферы, отвечающей поверхности зер-
зеркала 4; 6 — пучок, выводимый из резонатора при включе-
включении затвора. Непрерывные линии описывают световой пу-
пучок при выключенном затворе, а штриховые — при вклю-
включенном.
3.6. Режям генерации гигантских импульсов
при активной модуляции добротности резонатора
Основные временные этапы*). Развитие гигантского им-
импульса удобно рассматривать, выделив основные временные
этапы в картине генерации.
*) Генерация гигантских импульсов при быстром включении
добротности обсуждается в [1—4], см. также [29, 96—98, 24].

336
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Рис. 3.28
Обратимся к рис. 3.28 (ср. с рис. 3.2). В верхней половине
рисунка изображены три зависимости от времени: для
плотности инверсной заселенности (кривая N (f)), для по-
пороговой плотности инверсной заселенности (кривая Nncp(t)),
для добротности резонатора (штриховая кривая Q (/)).
Две последние кривые взаимосвязаны, поскольку согласно
C.2.42) Nnov(f) — WhQ (f)]'1. Добротность изменяется от
минимального значения Qmln (высокие потери) до максималь-
максимального значения Q (низкие потери); переключение доброт-
добротности осуществляется за время tQ. Соответственно поро-
пороговая плотность инверсной заселенности изменяется от
максимального значения Af0nop до минимального значения
^пг.р- Кривая в нижней половине рисунка описывает за-
зависимость от времени для плотности числа фотонов в гене-
генерируемом излучении (зависимость М (t)). Выделим три по-
последовательных этапа: этап накачки и этапы линейного и
нелинейного развития генерации.

3.6. Гигантские импульсы при активной модуляции 337
Этап, накачки предшествует генерации (N (t) <
< Nnop @)- Благодаря накачке возрастает плотность ин-
инверсной заселенности N (t). В некоторый момент времени
(он обозначен на рисунке tвкл) начинает быстро расти доб-
добротность резонатора, соответственно начинает быстро умень-
уменьшаться порог генерации. Снижение порога приводит к пере-
пересечению графиков N (t) и. NnoV (t); момент времени, соот-
соответствующий точке пересечения А (см. рисунок), есть момент
начала генерации. На рисунке он выбран в качестве на-
начального момента t = 0.
Этап линейного (медленного) развития генерации име-
имеет длительность /0. Он характеризуется практически по-
постоянным значением плотности инверсной заселенности
(обозначим это значение через Ni; строго говоря, Ыг —
= N @)). Поскольку в рассматриваемом здесь случае бы-
быстрого включения добротности справедливо неравенство
ki <С *о. то уже на начальной стадии этапа линейного раз-
развития генерации добротность достигает своего максималь-
максимального значения, так что развитие генерации происходит в
условиях низких потерь. К началу генерации (т. е. к моменту
t = 0) плотность фотонного поля принимает значение Mmin,
обусловленное спонтанными процессами. На линейном эта-
этапе генерации функция М (t) возрастает незначительно и
лишь в самом конце данного этапа начинается быстрое ее
возрастание, указывающее на переход к этапу нелинейного
развития.
Этап нелинейного (быстрого) развития генерации име-
имеет длительность tlt существенно меньшую длительности t0
линейного этапа (см. рис. 3.28). В течение данного этапа
плотность инверсной заселенности падает до минимального
значения NK, причем это значение оказывается меньше ко-
конечного порогового значения AfnoP. Практически вся энер-
энергия, сосредоточенная в гигантском импульсе, высвечивает-
высвечивается на данном этапе.
Необходимым условием увеличения энергии гигантско-
гигантского импульса является увеличение разности Nt — AfnoP
(на рисунке эта разность обозначена как AN). Для этого
надо, во-первых, обеспечить достаточно большую разность
^опор — NnoP, т. е. глубокую модуляцию добротности.
Во-вторых, необходима высокая интенсивность накачки,
позволяющая приблизить величину параметра накачки Af0
(а следовательно, и величину N Щ к значению N0noV.

338 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Наконец, в-третьих, необходимо согласовать момент tBKn
включения добротности с импульсом накачки—добротность
должна начать увеличиваться уже после того, как величи-
величина N (t) достаточно приблизится в результате накачки к
своему предельному (для данной мощности накачки) зна-
значению No.
Балансные уравнения. Мгновенное включение доброт-
добротности. Учтем зависимость добротности резонатора от вре-
времени:
C.6.1)
Здесь Q — максимальное значение добротности, Т — соот-
соответствующее этому значению время жизни фотонов в резона-
резонаторе, / (t) — некоторая функция от времени, изменяющаяся
от значения / @) *= Q/Qmin до 1*>. С учетом C.6.1) перепи-
перепишем систему балансных уравнений C.2.34) в виде
dMIdt = B' MN—Mf {f)IT; \ 3 6 2
= — $В' MN +(N0—N)/Tt. j
Далее заметим, что время развития гигантского импульса
(включая линейный этап) много меньше времени 7У*); по-
поэтому можно пренебречь в C.6.2) слагаемым (No — N)/Tu
т. е. не учитывать процессы релаксации и накачки в течение
времени высвечивания гигантского импульса. В результате
система балансных уравнений существенно упрощается:
dM/dt = B' MN—Mf(i)/T;
Подчеркнем: процессы релаксации и накачки принципиаль-
принципиально важны на предгенерационном этапе. Что же касается
этапа генерации гигантского импульса, то вследствие от-
относительно малой длительности этого этапа указанные вы-
выше процессы оказываются фактически несущественными.
Процесс генерации гигантского импульса завершается
раньше, чем произойдет сколь-либо заметное изменение
плотности инверсной заселенности, обусловленное процес-
процессами релаксации и накачки.
*) Для простоты полагаем, что моменты включения добротности
и начала генерации (моменты tBKn и t = 0) совпадают.
**) Напомним (см. § 3.1), что (/„ + /J ^ 10-7 с.

3.6. Гигантские импульсы при активной модуляции 339
Переходя к безразмерной форме записи, воспользуем-
воспользуемся соотношениями C.2.52), где в качестве Т и Nnov взяты
значения параметров, относящиеся к состоянию с максималь-
максимальной величиной добротности. Система уравнений C.6.3)
будет выглядеть так:
dtn/dt'=Gm[n-f {?')}; ] C 6 4)
-dn/dt' = —mn. J
Будем полагать, что включение добротности происходит
мгновенно. В этом случае функция / может быть записана
в виде
C.6.5)
f>0. V '
Таким образом, на этапе генерации (f > 0) имеем / = 1.
В результате приходим к следующей системе балансных
уравнений:
dm/dt' = Gtn (n — 1); Q
(o.b.b)
dnldt' =~mn
Предположим, что наряду с модулятором добротности в резо-
резонатор помещен нелинейный элемент, осуществляющий отрицатель-
отрицательную обратную связь. Это может быть сделано для увеличения дли-
длительности гигантского импульса. В качестве нелинейного элемен-
элемента можно использовать полупроводниковый кристалл с двухфотон-
ным поглощением на частоте генерации. В этом случае в первом
уравнении системы C.6.6) появится дополнительное слагаемое,
учитывающее нелинейные потери в резонаторе; указанное слагае-
слагаемое пропорционально квадрату интенсивности поля в резонаторе.
Система уравнений C.6.6) принимает в рассматриваемом случае
вид
*n/<tt'=Gm(n-l)-g»n«; 1
dnldt'^-тп. ) C'6-7)
Здесь g — некоторый параметр, характеризующий двухфотонное
поглощение в нелинейном элементе.
Фазовый портрет лазера при мгновенном включении
добротности. Поделив первое уравнение C.6.6) на второе,
получим
dmldn =. — G(n — \)ln. C.6.8)

340 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Выполняем интегрирование:
т п
Г dm-— G^dnh.—Ц. C.6.9)
Здесь
п1 = п@) = Я1^поР; ml = m(f)) = M1№'Tl. C.6.10)
В результате приходим к следующему уравнению для фа-
фазовых траекторий лазера при мгновенном включении доб-
добротности:
т = mr + G [nj_ — п — In (njn)]. C.6.11)
Полагая dm/df = 0, получаем из C.6.6), что макси-
максимальное значение интенсивности поля, отвечающее пико-
пиковой мощности гигантского импульса, достигается при п = 1.
Подставляя п — 1 в C.6.11), находим это максимальное
значение
«max = G fa - 1 — In %) C.6.12)
(поскольку ттах ^> тх, то слагаемое mr в правой части
выражения C.6.11) можно в данном случае не учитывать).
Физически очевидно неравенство Л^ — Л^пс,р > 0. От-
Отсюда следует, что величина пи представляющая собой отно-
отношение Ni/NncP, должна быть больше единицы:
пх>1. C.6.13)
Обозначим через пк отношение NK/NnoV, где AfK —
конечная плотность инверсной заселенности, реализуемая
по окончании процесса высвечивания гигантского импуль-
импульса. Для оценки пк положим т = 0 в C.6.11); получаем
п„ + In («!/«„) =пг + mxIG. C.6.14)
Второе слагаемое в правой части этого равенства значи-
значительно меньше первого. Пренебрегая им и вводя обозначе-
обозначение | = njtii, перепишем C.6.14) в виде
I =1 + In Уг^, C.6.15)
На рис. 3.29 приведена зависимость ? A/пО, определяе-
определяемая соотношением C.6.15). Из рисунка видно.что 1< Мпг
или, иначе говоря,
пи<1. C.6.16)

3.6. Гигантские импульсы при активной модуляции 341
«'ис. 3.29
Рис. 3.30
0 п
Таким образом, NK < Nuov, чт0 свидетельствует об опре-
определенной инерционности процесса высвечивания импуль-
импульса. В момент, когда убывающая функция N (t) достигает по-
порогового значения AfnoP, генерация не прекращается,
так как находящиеся в резонаторе фотоны все еще продол-
продолжают инициировать акты высвечивания возбужденных ак-
активных центров.
Чем больше отношение N1/Nnop, тем меньше отношение
NJNncV. Например, для пх = ЛуЛГпоР — 2 имеем \ = 0,2
и, следовательно, nK = NK/Naop = 0,4. Для пх ~ 3,5 име-
имеем ? — 0,04 и, следовательно, пк — 0,14.
Собирая полученные выше результаты, нетрудно изо-
изобразить фазовый портрет лазера в случае мгновенного
включения добротности. Этот портрет представлен на
рис. 3.30. Три фазовых траектории, показанные на рисун-
рисунке, отвечают трем разным значениям пг (трем разным отно-
отношениям NjNjjgp).
Одна из фазовых траекторий разбита на два участка,
соответствующие этапам линейного (участок а—Ъ) и нели-
нелинейного (участок b—с) развития генерации. Разбиение про-
произведено приблизительно*); ордината точки Ь выбрана рав-
равной половине максимального значения интенсивности поля
для данной фазовой траектории. Скорость движения изо-
изображающей точки по фазовой траектории непостоянна:
точка проходит относительно короткий участок а—b за
*) Четкой границы между этапами линейного и нелинейного
развития генерации указать невозможно.

342 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
время t'o, а относительно длинный участок Ъ—с за время t[,
причем t[<^t'o.
Анализ этапа линейного развития генерации. На данном этапе
генерации будем полагать
п = % = const. C.6.17)
Кроме того, учтем вклад спонтанного излучения, в связи с чем вмес-
вместо первого уравнения из C.6.6) будем использовать уравнение
dmfdt' = Cm (% — 1) + Ge («х + n"), C.6.18)
которое получается из C.2.56) с учетом C.6.17). Перепишем урав-
уравнение C.6.18) в виде
dm/ (т + б) = G (пх — \)dt', C.6.19)
где б = е (% + «")/ (% — 1), после чего выполним интегрирова-
интегрирование:
m, 0
В результате получаем
т (f) = (mi + б) exp [G (% — \)t'\ — б. C.6.20)
Можно показать (см., например, [4]), что
C.6.21)
Поскольку обычно (Q/Qmin — «i) > (% — 1). то из C.6.21) сле-
следует, что тх < б. Поэтому перепишем C.6.20) в виде
т (Г) = б [ exp [G (% — l)t'] — 1]. C.6.22)
Можно считать, что формула C.6.22) достаточно хорошо опи-
описывает участок кривой т (?), который на рис. 3.31 соответствует
заштрихованной области; длительность t'o этого участка рассмат-
рассматривается как длительность этапа линейного развития генерации;
Подставляя т = mmax/2 в C.6.22), оценим величину %:
*S = [1/C(n1-1>] ln(mmax/26) C.6.23)
(при этом учтено, что б <? mmax). Используя C.6.12), преобразуем
C.6.23) к виду
Т G(ni — I— Inn,)
;0 = ^Г!= -In — ii C.6.24)
Рассмотрим конкретный численный пример: Т = 10~8 с, пг = 3,5,
п" = 102, G = 105, е= 10-". В этом случае выражение C.6.24)
дает <0 = 1.5 ¦ 10-? с = 150 не.

3.6. Гигантские импульсы при активной модуляции
343
Рис. 3.31
m
mfflillllf
'0
X
\l
К
ra
E
E
t'
Энергетические характеристики гигантского импульса.
Мощность Р генерируемого излучения может быть пред-
представлена с учетом C.2.27) и C.2.35) в виде
Р = SBbIX s = h(ovr\2MV, C.6.25)
где s — светящая площадь торца активного элемента; V —
объем, участвующий в генерации. Перепишем выражение
C.6.25), используя C.2.36) и C.2.52):
«Ы Gm T7 n2 Gm ^ C.6.26)
%+Ча PBri aiVnop
Введем безразмерную выходную мощность р
p==p\-Jb У—]~1. C.6.27)
L oNuov pBTf J
В этом случае результат C.6.26) принимает вид
р = Gm. C.6.28)
Используя C.6.12), получаем выражение для максималь-
максимальной величины выходной мощности (в безразмерной форме)
: = Gmmax = G* (п, -1 - In ,Ч). C.6.29)
Исследуем возможность увеличения /?тах. Напомним
в связи с этим, что пх = ЛуЛ^ор = BhNjQ. Отсюда видны
два пути увеличения пг: увеличение Nx и увеличение Q.
Поскольку функция F (пг) = пг — 1 — In пг с ростом пг
монотонно растет (в интересующей нас области пг > 1),
a G2 не зависит от Nlt от отсюда следует, что с ростом Nx
(с ростом мощности накачки) выходная пиковая мощность
должна увеличиваться. При этом следует помнить, что рост
величины Nt ограничен величиной п' (Nt < п') — плотность
инверсной заселенности не может, очевидно, превысить

344 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
предела, когда все без исключения активные центры пере-
переведены на верхний рабочий уровень.
Предположим, однако, что, зафиксировав величину Nlt
мы предпочитаем увеличивать добротность Q. Учитывая, что
G — Txto/Q, перепишем C.6.29) в виде
Ртах (Q) = (аЭД (bQ-l- In bQ), C.6.30)
где а = 7\к>; Ъ = BhNx.
Приравняв нулю производную dpmax IdQ, можно найти
оптимальное значение добротности резонатора (значение
QonT). позволяющее получить максимальную пиковую вы-
выходную мощность. Легко убедиться, что QonT определяется
уравнением
bQout — l=21nfeQonT. C.6.31)
Отсюда
bQOuT=«опт 1 = 3,5. C.6.32)
Полезно переписать результат C.6.29) в виде, не исполь-
использующем безразмерных величин. При этом учтем, что
In
где L — длина резонатора; R — коэффициент отражения
выходного зеркала (второе зеркало будем полагать полно-
полностью отражающим).- Используя C.6.27), получаем из C.6.29)
4
Полагая /Vi//Vnop = 3,5, находим отсюда выражение для
максимальной пиковой выходной мощности импульса
C.6.34)
Оценим энергию высвечивающегося гигантского импуль-
импульса. Если в процессе его высвечивания плотность инверсной
заселенности уменьшилась от величины Л^ до величины
NK, то это означает, что в единице объема активной среды4
родилось A/Р) (#! — NK) фотонов. Помножив это число на
энергию фотона На, генерирующий объем активной среды
V и отношение i^/Oli + Лг). описывающее долю генери-
генерируемой световой энергии, выходящую через зеркало резо-
резонатора в виде полезного излучения, находим энергию ги-
гигантского импульса
U = (Ло/Р) V (Nj, — NR) т]а/(% + ть). C.6.35)

3.6. Гигантские импульсы при активной модуляции 345
Длительность и форма гигантского импульса. Основная
часть энергии импульса высвечивается, как уже отмеча-
отмечалось, на этапе нелинейного развития генерации; поэтому
под длительностью импульса понимают длительность ^
указанного этапа. Для оценки величины tx поделим энер-
энергию импульса U на его пиковую мощность Ртах:
к « U/Pmax. C.6.36)
Представим U согласно C.6.35) в виде
U = (Йю/Р) VNnoV (пг - пк) тУ(ти + т]2), C.6.37)
а Ртах согласно C.6.26) и C.6.29) в виде
^ J C.6.38)
Поделив C.6.37) на C.6.38), получим
Учитьшая, что ЫВ — av; Nuop = 1/Тш; G — TJT, на-
находим окончательно
tx = Т (пх — n.y)l{nL — 1 — In ях). C.6.39)
Рассмотрим численный пример: Т = 10~8 с, пх — 3,5,
пК = 0,1, В этом случае получаем tx = 2,8-10~8 с = 28 не.
Пренебрежем величиной пК по сравнению с пх и пере-
перепишем выражение C.6.39) в виде
\ltx = (l/Тпд (П1 — 1 — In nj C.6.40)
или с учетом того, что пх — BhNtQ, в виде
1/^ = (const/Q2) (fcQ — 1 — In fcQ), C.6.41)
где b = БЙ/Vi. Сравнивая C.6.41) с C.6.30), обнаружива-
обнаруживаем, что пиковая мощность импульса и обратная величина
его длительности одинаково зависят от добротности Q. Дли-
Длительность импульса достигает минимума при том же зна-
значении добротности, при котором оказывается максималь-
максимальной пиковая мощность импульса (т. е. при bQ0U1. — п^Т =
= 3,5). Отсюда следует, что уменьшение пиковой мощности
гигантского импульса при возрастании добротности в об-
области bQ > 3,5 связано с удлинением импульса.
На рис. 3.32 показана определяемая соотношением
C.6.40) зависимость длительности гигантского импульса

346
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
2,8 Г ~>
Рис. 3.32
©/2G
¦1*1=7,389
-8-4-2 2 4 8 t/T
от величины 1/пг. В области А удлинение импульса с умень-
уменьшением % объясняется замедлением увеличения числа фо-
фотонов в резонаторе при приближении к порогу генерации,
что приводит к увеличению времени нарастания импульса.
В области В удлинение импульса с увеличением пг объяс-
объясняется удлинением спада импульса при уменьшении по-
потерь.
Легко видеть, что с ростом пг неизбежно изменяется
форма импульса. Действительно, с увеличением пг проис-
происходит сокращение времени нарастания импульса, тогда как
время спада при достаточно больших пх должно удлинять-
удлиняться. Если при малых пг гигантский импульс имеет приблизи-
приблизительно симметричную форму, то при возрастании пх не-
неизбежен переход к резко несимметричной форме, когда вре-
время нарастания импульса оказывается заметно меньше вре-
времени его спада. Это хорошо видно на рис. 3.33, где приве-
приведена полученная при помощи ЭВМ форма гигантского им-
импульса для трех разных значений пх [97]. В качестве нуле-
нулевого на рисунке выбран момент времени, соответствующий
всякий раз пиковой мощности импульса.
Режим генерации гигантских импульсов при различных вре-
временах включения добротности. Усредненные по длине резонатора
балансные уравнения (уравнения Статца—Де Марса) могут доста-
достаточно точно описывать процесс генерации лишь в тех случаях, ког-
когда длительность импульса больше времени двойного прохода излу-
излучения по резонатору. При рассмотрении же генерации достаточно
коротких импульсов (длительностью менее 10 не) требуется учет

3.6. Гигантские импульсы при активной модуляции 34/
12
Рис. 3.34
пространственных эффектов; в этом случае усредненные балансные
уравнения не годятся.
Более корректный подход основан на использовании балансных
уравнений в частных производных (иначе говоря, балансных урав-
уравнений, не усредненных по длине резонатора). Входящие в эти урав-
уравнения плотности излучения и инверсной заселенности являются
функциями не только времени, но и продольной пространственной
координаты. Такой подход предпринят в [24]; была использована
следующая система балансных уравнений в частных производных:
дг
1 dS+
v dt
dz ' v dt
dN aN
— =-2 —(S++S_).
dt Йсо
C.6.42)
Это есть уже известная читателю система C.2.18), в которой послед-
последнее уравнение модифицировано с учетом специфики задачи (не учи-
учитываются процессы релаксации и накачки в течение времени вы-
высвечивания гигантского импульса). На основе численного интегри-
интегрирования на ЭВМ балансных уравнений C.6.42) выявлена форма
светового импульса для различных значений времени включения
добротности tq (рис. 3.34). На рисунке представлена зависимость
мощности светового импульса Р от времени t (момент t = 0 есть
момент начала генерации) для значений /д, равных 1,5 не (кривая
1), 3 не (кривая 2), 10 не (кривая 8), 20 не (кривая 4), 40 не (кривая
5), 60 не (кривая 6). Обозначим время двойного прохода излучения
по резонатору через т0; в рассматриваемом случае т0 ж 2 не. Из
рисунка видно, что при быстром включении добротности (jq < т0)
имеет место субструктура генерируемого импульса, модулирован-
модулированная с периодом порядка т0; она связана с нестационарным перерас-

348
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Рис. 3.35
пределением интенсивности поля и плотности инверсной заселен-
заселенности по длине активного элемента.
Увеличение времени включения добротности приводит к исчез-
исчезновению указанной выше субструктуры гигантского импульса,
при этом наблюдается возрастание времени линейного развития
импульса (времени tv) и падение энергии импульса. Последнее свя-
связано с тем, что при tQ > tv развитие генерации начинает протекать
в условиях больших потерь.
В случае достаточно медленного включения добротности (ко-
(когда tQ > /0) могут генерироваться несколько независимых световых
импульсов [1]. Динамику происходящих в данном случае процес-
процессов*) иллюстрирует рис. 3.35. В верхней половине рисунка изобра-
изображена функция N (/); штриховой линией показана функция Afnop W>
отражающая медленное возрастание добротности резонатора. В
нижней половине рисунка изображена функция М (t), вид которой
говорит о высвечивании в рассматриваемом случае группы из трех
импульсов. Момент времени tA отмечает начало изменения порого-
пороговой плотности инверсной заселенности (в этот момент начинает рас-
*) В данном случае (равно как и Ь случае мгновенного включе-
включения добротности) могут использоваться усредненные балансные урав-
уравнения.

3.6. Гигантские импульсы при активной модуляции 349
20 40 60 80 (.но
Рис. 3.37
30 40 50 60 *.,нс
ти добротность). В момент tB кривые N (t) и Nnov (t) пересекаются —
начинается генерация первого импульса, проходящая последова-
' тельно этапы линейного (длительность /0) и нелинейного (/t) разви-
развития. В результате высвечивания первого импульса инверсная за-
заселенность падает ниже порога. Продолжающееся понижение по-
порога, обусловливает в момент времени tc новое пересечение кривых
N (<) и Nnop @; в этот момент начинается генерация второго им-
импульса. Позднее, в момент tDi начинается генерация третьего импуль-
импульса. Процесс высвечивания импульсов прекращается, когда уста-
устанавливается постоянное значение порога, отвечающее максималь-
максимальной добротности.
Замечания о развитии импульса в поперечном к оси резонато-
резонатора направлении. Неравномерное по поперечному сечению актив-
активного элемента распределение начальной плотности инверсной за-
заселенности приводит к тому, что процесс генерации имеет опреде-
определенное развитие в поперечном к оси резонатора направлении. При
более высокой начальной инверсии в приосевой области активного
элемента генерация начинается вблизи оси и в течение некоторого
времени распространяется вширь, охватывая в конечном счете
весь объем активного элемента, заполненный возбуждаемыми в ре-
резонаторе модами. Гигантский импульс может рассматриваться как
сумма импульсов, высвечиваемых разными областями поперечного
сечения активного элемента; эти импульсы сдвинуты по времени,
каждый из них имеет длительность, меньшую длительности всего
гигантского импульса. Это хорошо иллюстрирует рис. 3.36 [29].
Изображенная в верхней половине рисунка тонкая структура ги-
гигантского импульса рубинового лазера (с мгновенным включением
добротности) содержит три импульса: 1 — импульс, высвечиваемый
центральной областью торца активного элемента (радиус области
0,5а, где а — радиус всей светящейся области торца), 2 и 3 — им-
импульсы, высвечиваемые кольцевыми областями торца (радиусы ко-
колец: 0,5а, 0,75а; 0,75а, а). В нижней половине рисунка приведена
кривая р (i)la, где р (t) — радиус области генераций в момент /.

350 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
На линейном этапе развития генерации происходит установление
генерации в приосевой области активного элемента; в течение не-
нелинейного этапа генерация развивается в поперечном направлении.
При увеличении коэффициента усиления активной среды и умень-
уменьшении апертуры длительность процесса «растекания» генерации по
поперечному сечению активного элемента уменьшается.
Существенное сокращение длительности этого процесса име-
имеет место в лазерах с неустойчивыми резонаторами, специфика ко-
которых предопределяет быстрое развитие генерации от оси активно-
активного элемента к периферии. На рис. 3.37 приведена тонкая структура
гигантского импульса рубинового лазера с неустойчивым ре-
резонатором [99]. Здесь 1 — импульс, формируемый в приосевой об-
области (радиуса 0,5 а), 2 — импульс, формируемый в остальном объ-
объеме активного элемента. В случае, изображенном на рисунке, мож-
можно фактически говорить об одновременном выходе в генерацию все-
всего поперечного сечения активного элемента (импульс 2 запаздыва-
запаздывает по отношению к импульсу 1 всего на 1 не).
3.7. Лазеры с просветляющимся фильтром
Просветляющийся фильтр. Просветляющийся фильтр
представляет собой нелинейный резонансный поглотитель,
способный обратимо изменять коэффициент поглощения
под действием достаточно интенсивного светового потока
определенной частоты. Просветляющийся фильтр содержит
молекулы (атомы), резонансно поглощающие излучение на
частоте рабочего перехода для данного лазера; эти молекулы
(атомы) будем называть ниже поглощающими центрами.
В основе работы просветляющегося фильтра лежит нели-
нелинейно-оптический эффект просветления среды: непрозрач-
непрозрачная вначале среда становится прозрачной (просветляется)
при возрастании интенсивности падающего на нее излу-
излучения.
В качестве просветляющихся сред часто используются
растворы органических красителей — цианиновых (фтало-
цианина и криптоцианина) и полиметиновых. Цианиновые
красители используют в лазерах на рубине, полиметино-
вые—в лазерах, активированных неодимом (см., например,
[6, 100—103]).
При рассмотрении взаимодействия излучения с погло-
поглощающими центрами применяют обычно либо двухуровне-
двухуровневую, либо трехуровневую модель просветляющейся среды.
Ниже рассмотрим двухуровневую модель.
Разность энергии уровней поглощающего центра долж-
должна соответствовать частоте а рабочего перехода в актив-

3.7. Лазеры с просветляющимся фильтром 351
ной среде лазера. В исходном состоянии все поглощающие
центры находятся на нижнем уровне — фильтр максималь-
максимально непрозрачен (непросветленное состояние фильтра). В
этом состоянии
где Па •— полное число поглощающих центров в единице
объема; п1а и п2а — плотности заселенности соответствен-
соответственно нижнего и верхнего уровней поглощающего центра*'.
При облучении фильтра светом на частоте генерации будут
происходить процессы резонансного поглощения и инду-
индуцированного испускания, сопровождаемые переходами по-
поглощающих центров между двумя рассматриваемыми уров-
уровнями. Поскольку п2а < «ia. то будет преобладать резо-
резонансное поглощение, в результате чего разность (п1а — п2а)
будет постепенно уменьшаться — фильтр начнет просвет-
просветляться. При достаточно интенсивном облучении разность
заселенностей (п1а — п2а) может стать равной нулю; в
этом случае коэффициент резонансного поглощения обраща-
обращается в нуль — получаем максимально просветленное со-
состояние фильтра:
п1а — П-Ъа
После прекращения действия излучения релаксационные
процессы обеспечат возвращение поглощающих центров
на нижний уровень; в итоге фильтр вернется в исходное
(непросветленное) состояние.
Балансные уравнения для заселенностей уровней по-
поглощающего центра имеют в случае двухуровневой модели
следующий вид:
dnia __ r> S R S n2
la
Tm
C.7.1)
Здесь S — усредненная по длине фильтра плотность све-
светового потока, Ва — коэффициент Эйнштейна для вынуж-
вынужденных переходов между уровнями поглощающего центра,
va — скорость света в веществе фильтра, Т1а — время про-
*) Здесь и ниже индекс а показывает, что соответствующая ве-
величина характеризует просветляющийся фильтр.

352 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
дольной релаксации для фильтра A/Т1а есть вероятность
спонтанных переходов с верхнего уровня на нижний).
Введем плотность инверсной заселенности для уровней
поглощающего центра
Na = п2а — п1а.
Величина Na отрицательна, поскольку п2а<.п1а. Вычи-
Вычитая из первого уравнения C.7.1) второе и учитывая, что
«1а + П2а = П'а, ПОЛучаеМ
dNjdt = - 2BaNaS/va - (Na + n'a)ITla. C.7.2)
Заметим, что в исходном состоянии (в момент
t=0) Na @) = - Па.
Далее введем линейный коэффициент резонансного по-
поглощения фильтра ка. По аналогии с C.2.5) можем записать
ка = — oaNa, C.7.3)
где аа — сечение вынужденных переходов между уровня-
уровнями поглощающего центра. По аналогии с C.2.9)
аа = Bjuoha. C.7.4)
Величина
«оа = -(та^а(О) = (та/г^ C.7.5)
есть начальный коэффициент резонансного поглощения,
т. е. коэффициент поглощения фильтра, находящегося в
исходном (непросветленном) состоянии.
С учетом C.7.3) и C.7.5) перепишем C.7.2) в виде
= -2Ва
-^е- = -2Ваха-?- + ' C-7-6>
at Va I ia
Для стационарного режима (dujdt = 0) получаем от-
отсюда
• *в (S) = — , C-7.7)
аК ' 1-|-(S/Snop)' V ;
где
SnoP = vJ2BaTla = fUo/2aaTla C.7.8)
есть условная пороговая плотность светового потока, по
достижении которой коэффициент резонансного поглоще-
поглощения фильтра уменьшается в два раза. Определяемая фор-
формулой C.7.8) зависимость ка (S) показана на рис. 3.38.

3.7. Лазеры с просветляющимся фильтром
353
Рис. 3.38
Рис. 3.39
Полный коэффициент поглощения фильтра г\а склады-
складывается из коэффициентов резонансного и нерезонансного
поглощения:
ца (S) = ка (S) + ц1а. C.7.9)
Коэффициент нерезонансного поглощения г\ы не зависит
от S; он связан с поглощением излучения теми молекулами
(атомами) фильтра, которые не являются поглощающими
центрами, и может быть назван коэффициентом вредных
потерь в фильтре.
Дифференциальное уравнение для усредненной плот-
плотности светового потока. На рис. 3.39 представлена схема
лазера с просветляющимся фильтром. Здесь / — активный
элемент, 2 — система накачки, 3 — просветляющийся
фильтр, 4 — зеркала резонатора. Будем использовать обоз-
обозначения: /, la, L — длины соответственно активного эле-
элемента, фильтра, резонатора; v — cln и»о= с/па — скорость
света соответственно в активном элементе и фильтре.
Чтобы получить дифференциальное уравнение для ус-
усредненной по длине рассматриваемого здесь резонатора
плотности светового потока, воспользуемся уравнением
C.2.25), которое перепишем с учетом C.2.26) в следующем
виде: •
^^ C.7.10)
Обобщая уравнение C.7.10) на случай лазера с фильтром
(применительно к схеме, изображенной на рис. 3.39), уч-
учтем, что при усреднении плотности потока по длине резо-
резонатора необходимо принять во внимание различие харак-
12 Зак. 1785

354 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
теристик активного элемента и фильтра. В рассматривае-
рассматриваемом случае имеем
L
С dS(z, t) dz \l | /g |
J dt v(z) [ v ' va ^
^a(z)N(z,t)S(z,t)dz
dt
(г) S (г, 0 d* =
Отсюда видно, что аналогом уравнения C.7.10) является
в данном случае следующее уравнение:
f Г ' I 'a , L-U + U) I
"Г 1 i
L v va с J
Т.
dt
—/it <S>—/o4io<S>. C.7.11)
Введем так называемый коэффициент заполнения ре-
резонатора активной средой:
C.7.12)
Используя этот коэффициент и опуская для упрощения за-
записи скобки <...), перепишем уравнение C.7.11) в виде
. C.7.13)
Учитывая далее, что согласно C.2.27) SEblx = lSr\2, полу-
получаем
dt \ J
(A)s. C.7.14)

3.7. Лазеры с просветляющимся фильтром
355
Уравнение C.7.14) является обобщением первого уравнения
C.2.32) на случай лазера с просветляющимся фильтром.
Наконец, введем параметр Т — йремя жизни фотона
в резонаторе:
Т = [ци AЪ + (UI) ты + гJ)]~\ C.7.15)
Теперь уравнение C.7.14) может быть записано в виде
dSldt = pvoNS — [iv (/„//) caNaS — A/Т) S. C.7.16)
или с учетом C.7.3)
dSldt = [ivaNS — цо (/„//) xaS — A/Т) S. C.7.17)
Полная система балансных уравнений для лазера с
просветляющимся фильтром. Полная система балансных
уравнений должна включать уравнение C.7.17) или C.7.16)
для усредненной плотности светового потока в резонаторе,
уравнение баланса для активного элемента и уравнение
баланса для просветляющегося фильтра. В качестве урав-
уравнения баланса для активного элемента возьмем второе
уравнение C.2.37), а в качестве уравнения баланса для
фильтра возьмем уравнение C.7.6). Таким образом, пол-
полная система балансных уравнений для лазера с просветляю-
просветляющимся фильтром имеем следующий вид:
dt
d/Ka
dt
NS — iil
ftco
fid)
s +
' Па
C.7.18)
Искомыми функциями являются здесь плотность светово-
светового потока в резонаторе S (t), плотность инверсной заселен-
заселенности в активном элементе N (t) и коэффициент резонанс-
резонансного поглощения в фильтре яа (t). Разумеется, вместо функ-
функции ка (t) можно было бы рассматривать плотность инверс-
инверсной заселенности в фильтре — функцию Na (t).
Напомним, что время Т1 определяется вероятностью
накачки wH и вероятностью спонтанных переходов в канале
генерации 1/т:
1/7\ = юц + 1/т, C.7.19)
12*

356
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
а параметр накачки No определяется (для трехуровневого
лазера) соотношением
No = n' (wux — 1)/(о»нт + 1). C.7.20)
Запишем систему уравнений C.7.18) в безразмерной
форме, используя безразмерное- время f (f = ИТг\ dldt —
= Tf'd/fft'), безразмерную интенсивность поля m (f):
m (f) = рВ7\5 (t')/v = pa7\S (t')/hw, C.7.21a)
безразмерную плотность инверсной заселенности в актив-
активном элементе п (f):
п (О = poaTN (О, C.7.216)
безразмерную плотность инверсной заселенности в фильтре
па (f):
па (О = - ртТХ (Г) IJl. C.7.21b)
С учетом C.7.21) система балансных уравнений C.7.18)
может быть записана в следующем виде:
dm 1
dt' ~f[
=— m -)--
m m:
T
_<*_«_ J_ = Ч. п + J-
dt' T T Т
C.7.22)
dt'
X
I —«о)
Будем использовать безразмерные параметры*':
G = 7\/Т; б = 7уГ1а; р = 2сха/рсх; C.7.23)
а = iivoTN0; C.7.24)
аа = —(it»Txo0 /а// = —livToa n'a IJI. C.7.25)
С учетом введенных безразмерных параметров система
уравнений C.7.22) принимает вид
dmldt' =
dn/dt' =a—n(m + 1);
dnjdt' =aa 6—na (pm + 6).
C.7.26)
*) Напомним, что безразмерные параметры G и а уже исполь
зовались ранее — см., например, C.2.52).

3.7. Лазеры с просветляющимся фильтром
357
Система балансных уравнений C.7.18) (или в безразмер-
безразмерной форме C.7.26)) является основой для рассмотрения раз-
развития во времени процессов в одномодовом лазере с просвет-
просветляющимся фильтром [2, 4, 7, 17, 104, 105]*>.
Стационарные решения системы балансных уравнений.
Рассмотрим стационарную ситуацию, в связи с чем примем
dtnldf = 0; dn/dt' = 0; dnjdt' = 0.
В этом случае система уравнений C.7.26) преобразуется
к виду
1 = 0; Л
C.7.27)
nd=aj[l+(p/8)m]. I
Система C.7.27) имеет, как нетрудно убедиться, следующие
три решения:
А) /я„=-0; пА = а; паА = аа; C.7.28)
где Ф = сс—1+(б/р)(сса—1);
пБ = а/A -\-тБ);
C.7.29)
В) /яв =
)
(р/б) Год].
C.7.30)
Решение C.7.28) описывает стационарное состояние,
которое обычно является исходным. В этом состоянии гене-
генерация отсутствует (тА = 0), активный элемент характери-
характеризуется большой величиной плотности инверсной заселен-
заселенности (пА = а), фильтр находится в непросветленном со-
тоянии (паА = аа). Состояния генерации могут описывать
решения C.7.29) и C.7.30). При этом важно, чтобы полу-
получаемая из C.7.29) (или C.7.30)) величина тБ (или тв)
имела физический смысл, т. е. была бы вещественной и не-
неотрицательной:
Im{m} = 0;
C.7.31)
•) Обобщение системы балансных уравнений на многомодовый
случай выполняется в [106] (см. также [4]).

358 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Здесь через т обозначается любое стационарное решение
для интенсивности поля, имеющее физический смысл.
Весьма важно исследовать стационарные состояния
C.7.28) — C.7.30) на устойчивость. Напомним, что если
состояние неустойчиво, то небольшие флуктуации величи-
величины т (а также величин п и па) могут безвозвратно вывести
систему из данного состояния: при наличии же устойчивости
система будет неизменно возвращаться в рассматриваемое
состояние. Чтобы исследовать устойчивость некоторого
стационарного состояния (т, п, па), представим
т = т + Am, п ~ п + An, па = па + Апа, C.7.32)
где Am, An, Ana — малые отклонения соответствующих
величин от их стационарных значений. Подставим C.7.32)
в C.7.26), учтем, что т, п, па удовлетворяют системе урав-
уравнений C.7.27), и пренебрежем произведениями типа АтАп
как величинами второго порядка малости. В результате
получим следующую систему линейных дифференциальных
уравнений относительно функций -Am (f), An (f), Ana (f )*>:
dAm/dt' =G(n+ na— 1) Am -\-GmAn + GmAna
dAn/dt' = —n~Atn~(m+l)An;
dAnJdt' = —na pAm—(p/n +6) Ana.
Характеристическое уравнение, соответствующее дан-
данной системе линейных дифференциальных уравнений, мо-
может быть записано в виде
G(n + na— 1)—р Gm Gm
—п —(т + 1)—р 0
= 0. C.7.33)
P
Это есть алгебраическое уравнение третьей степени; обоз-
обозначим его корни через ри рг, р3. Если вещественные части
всех трех корней отрицательны, то состояние т, п, па
*) Выполненная процедура известна как линеаризация сис-
системы нелинейных уравнений в окрестности стационарного решения.
Подобная процедура выполнялась ранее (в § 3.3) при рассмотрении
режима свободной генерации.

3.7. Лазеры с просветляющимся фильтром 359
является устойчивым; если же хотя бы один из корней име-
имеет положительную вещественную часть, то рассматривае-
рассматриваемое состояние будет неустойчивым [87].
Следует подчеркнуть, что опри определенных условиях
(при определенных значениях параметров G, р, б, а, аа)
оба стационарных состояния генерации C.7.29) и C.7.30)
оказываются неустойчивыми. Это означает, что даже при
стационарной накачке и стабильности параметров актив-
активного элемента, фильтра, резонатора режим генераии лазе-
лазера с просветляющимся фильтром может быть нестационар-
нестационарным. Иными словами, сам факт наличия внутри резонатора
просветляющегося фильтра может приводить к неустойчи-
неустойчивости стационарной генерации.
Неустойчивость исходного стационарного состояния
и условие самовозбуждения генерации в лазере с просвет-
просветляющимся фильтром. Вопрос об устойчивости (неустойчиво-
(неустойчивости) исходного стационарного состояния C.7.28) принципи-
принципиально важен для выяснения возможности самовозбуждения
генерации в лазере с просветляющимся фильтром. Предпо-
Предположим, что состояние C.7.28) является устойчивым. В этом
случае флуктуационные изменения плотности поля и плот-
плотности инверсной заселенности не смогут перевести лазер
в состояние генерации; как бы сильно ни возрастала в дан-
данном случае интенсивность накачки, лазер с фильтром будет
неизменно находиться в окрестности исходного состояния
C.7.28). Иными словами, устойчивость состояния C.7.28)
означает, что накачка активного элемента сама по себе (без
дополнительного воздействия на систему) не может переве-
перевести лазер с просветляющимся фильтром в режим генерации.
Чтобы в процессе накачки активного элемента возникла
генерация, необходима неустойчивость состояния C.7.28).
Характеристическое уравнение C.7.33) принимает в
случае состояния C.7.28) следующий вид:
G(a + aa— 1) — р 0 0
—а —\—р 0 =0
—aap 0 — б — р
или, иначе,
[G (ее + аа - 1) - р] (- 1 - р) (- б - р) ¦= 0. C.7.34)
Корни этого уравнения:
рх = G (а + аа — 1); рг ¦= — 1; р3 = — б. C.7.35)

360 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Все корни вещественные, причем корни ргч р3 отрицатель-
отрицательные. Отсюда следует, что вопрос об устойчивости (неустой-
(неустойчивости) состояния C.7.28) связан с отрицательным (по-
(положительным) значением корня рг. Рассматриваемое со-
состояние будет неустойчивым, если этот корень положителен,
т. е. если
C.7.36)
Условие C.7.36) есть необходимое условие самовозбуждения
генерации в лазере с просветляющимся фильтром. Заме-
Заметим, что в отсутствие фильтра условие C.7.36) превращает-
превращается в условие генерации C.2.54).
• Обсудим физическое содержание условия C.7.36). Ис-
Используя C.7.23), перепишем это условие в виде gN0 >
> t*oa (Ul) + (i/i*.vT)] или с учетом C.7.15)
t . -,a| C-7.37)
Произведение oN0 есть начальный коэффициент усиления
х0. Следовательно, условие C.7.37) есть не что иное, как
уже знакомое читателю условие B.1.10), записанное для
лазера с просветляющимся фильтром. Это условие озна-
означает, что для самовозбуждения генерации необходимо, что-
чтобы начальный коэффициент усиления превышал уровень
потерь, который в данном случае складывается из началь-
начального коэффициента резонансного поглощения фильтра, ко-
коэффициентов вредных потерь в активном элементе и филь-
фильтре и, наконец, коэффициента полезных потерь, связанно-
связанного с выходом излучения через зеркала резонатора. При
этом коэффициенты, характеризующие фильтр, берутся от-
отнесенным к единице длины активного элемента, т. е. умно-
умножаются на /„//.
Мягкое и жесткое возбуждение генерации. Условие
Im {т} — 0 (см. C.7.31)) означает, что должно выполнять-
выполняться неравенство
{la — 1 + (б/р) (аа — 1)]2+4 (б/р) (ее + аа — 1)} > 0. C.7.38)
В сочетании с требованием т ^ 0 неравенство C.7.38)
определяет условия, при которых возможна генерация в
лазере с просветляющимся фильтром. Существенно, что эти

3.7. Лазеры с просветляющимся фильтром 361
условия, вообще говоря, менее жестки, нежели условия,
определяемые неравенством C.7.36). . -.
Обратимся к рис. 3.40, где на плоскости (а, аа) выде-
выделены три области, помеченные цифрами I, II, III (рассма-
(рассматриваются только отрицательные значения параметра аа
и положительные значения параметра а). Прямая линия /
на рисунке удовлетворяет уравнению
а + аа — 1 = 0, C.7.36а)
а штриховая кривая 2 — уравнению
[ее + 1 + (б/р) (аа — I)]2 +
+ 4 (б/р) (а + аа — 1) = 0. C.7.38а)
Точка С имеет координаты:
а = A — б/р)-1; а'а = — (б/р) A — б/р). C.7.39)
Это есть точка касания прямой / и кривой 2.
В области I на рис. 3.40 выполнено условие C.7.36).
Это есть область самовозбуждения генерации в лазере с
фильтром. В области III не выполняется условие C.7.38),
дополненное требованием т ^ 0 (иначе говоря, в области Ш
не выполняются условия C.7.31)). Это есть область, где
генерация в лазере с фильтром вообще невозможна. В об-
области II генерация возможна, хотя невозможно ее самовоз-
самовозбуждение. В этом случае для возбуждения генерации не-
необходимо наряду с накачкой активного элемента просве-
просветить фильтр излучением от некоторого вспомогательного
источника, например от дополнительного лазера. О таком
способе возбуждения генерации говорят как о жестком
возбуждении генерации, применяя к случаю самовозбужде-
самовозбуждения термин мягкое возбуждение. Итак, показанные на
рис. 3.40 области I, II, III являются областями соответст-
ветственно мягкого возбуждения генерации (самовозбуж-
(самовозбуждения), жесткого возбуждения генерации, отсутствия гене-
генерации. Прямую / называют пороговой прямой, а кривую
2 — граничной кривой.
Необходимым условием существования области жестко-
жесткого возбуждения генерации является условие
б/р<1. C.7.40)
Чем меньше отношение б/р, тем больше область жесткого
возбуждения генерации. Это хорошо иллюстрирует рис. 3.41.

362
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Рис. 3.40
Рис. 3.41
Точка Сх на рисунке соответствует случаю, когда б/р <^ 1;
соответствующая область жесткого возбуждения генера-
генерации показана обычной штриховкой. По мере увеличения
отношения б/р (по мере приближения этого отношения к еди-
единице) точка Сх будет перемещаться вниз по прямой а +
+ аа — 1=0, уходя в бесконечность при б/р = 1. На
рисунке показана точка С2 с более высоким, по сравнению
с точкой Сх, отношением б/р; соответствующая область жест-
жесткого возбуждения генерации отмечена штриховкой прямыми
штриховыми линиями.
Устойчивость (неустойчивость) стационарных состояний в слу-
случае мягкого возбуждения генерации. Если выполнено условие мяг-
мягкого возбуждения генерации (условие C.7.36)), то получаем
Ф </Ф2 + 4 FУр) (а + аа — 1) и, следовательно, тв < 0.
Это означает, что в области мягкого возбуждения генерации воз-
возможно лишь стационарное решение C.7.29) (в области жесткого
возбуждения генерации возможны оба решения — C.7.29) и
C.7.30)).
Устойчивость решений C.7.29) и C.7.30) исследовалась в ряде
работ (см., например, [7, 104, 105], а также [2, 4]). Приведем здесь
некоторые результаты этих исследований, ограничиваясь случа-
случаем мягкого возбуждения генерации (требующим рассмотрения лишь
решения C.7.29))*).
*) Заметим, что решение C.7.30) всегда неустойчивое. Поэтому
анализ устойчивости стационарной генерации в любом случае сво-
сводится к анализу устойчивости решения C.7.29).

3.7. Лазеры с просветляющимся фильтром
363
«а
1 «'
Можно показать, что прямая линия
а + рбаа = О
C.7.41)
выделяет на плоскости (а, иа) область, где решение C.7.29) во всех
случаях является устойчивым — область абсолютной устойчи-
устойчивости. Эта область располагается над прямой C.7.41); ниже этой
прямой возможны неустойчивые стационарные состояния C.7.29).
Если рб < 1, то прямые а + р6аа = 0 и а + аа — 1 = 0 не
пересекаются (в области отрицательных значений параметра аа) —
см. рис. 3.42, а. На рисунке обычной штриховкой показана граница
области абсолютной устойчивости, а пунктирной штриховкой —
граница области мягкого возбуждения (самовозбуждения) генера-
генерации. В данном случае область самовозбуждения генерации оказыва-
оказывается целиком внутри области абсолютной устойчивости.
Более интересен (и практически более важен) случай, когда
р6>
C.7.42)
В этом случае прямые a -J- р6аа =0 и а + аа — 1 = 0 пересе-
каютси (рис. 3.42, б). Точка пересечения D имеет координаты:
а'=рб/(рб—1); «д = — 1/(рб—1).
C.7.43)
В рассматриваемом случае возможно взаимное перекрытие облас-
областей самовозбуждения генерации и неустойчивости. Область I на
рис. 3.42, б — область, где самовозбуждение сочетается с абсолют-
абсолютной устойчивостью. В области II (эта область на рисунке заштри-
заштрихована) самовозбуждение может сочетаться с неустойчивостью ста-
стационарной генерации. Для уточнения условия неустойчивости
удобно рассмотреть отдельно случаи: р > 6, р яг б, р <g 6.
Если р > 6, то стационарное решение C.7.29) может быть за-
записано в виде
mR = a—1
—1).
C.7.44)

364 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Подставляя C.7.44) в характеристическое уравнение C.7.33), мож-
иой найти следующее условие неустойчивости:
—аа > (p/G6)cc (a — 1), C.7.45)
выделиющее в пределах области II на рис. 3.42, б некоторую оп-
определенную область неустойчивости (область неустойчивости на
рисунке не показана).
Если р ^ 6, то стационарное решение C.7.29) можно запи-
записать в виде
а+«а —1 ,
П ; П1"* »
р а+Оо—1 \
C.7.46;
В этом случае условие неустойчивости стационарной генерации
имеет вид
—аа > 6o/Gp (a — 1). C.7.47)
Если р» 6, то стационарное решение C.7.29) описывается
соотношениями
/пь. = а+аа—1; пБ=а/(а+аа); «аБ = аа/(а+аа), C.7.48)
откуда можно получить следующее условие неустойчивости:
—аа > а/рб. C.7.49)
Последнее неравенство можно переписать в виде
а + р6аа < 0.
Отсюда следует вывод, что в данном случае область неустойчивости
стационарной генерации совпадает с заштрихованной на
рис. 3.42, б областью II.
Режимы генерации лазера с просветляющимся фильтром.
Прежде всего отметим, что возможные режимы генерации бывают
двух видов — с мягким и с жестким возбуждением генерации. В
последнем случае требуется внешняя подсветка для дополнитель-
дополнительного просветления фильтра. Режимы с жестким возбуждением ге-
генерации возможны лишь при 6 < р.
При выполнении условия C.7.42), т. е. при рб :> 1, целесооб-
целесообразно выделить на плоскости (а, аа) две области, обозначенные на
рис. 3.42, б как области I и II. Если параметры а и da попадают в
область I, то процесс генерации (речь идет о режимах с мягким воз-
возбуждением генерации) будет развиваться следующим образом.
Генерация самовозбуждается, как только накачка увеличит плот-
плотность инверсной заселенности п в активном элементе до порогового
значения (—аа + 1). Момент V начала генерации определяется,
таким образом, соотношением
п (?) = —аа + 1. C.7.50)*
*) В отсутствие фильтра выражение C.7.50) превращается в
известное читателю выражение п (С) = 1 — см., например, C.3.28);

3.8. Гигантские импульсы при пассивной модуляции 365
Если выполнены определенные условия, которые будут рассмотре-
рассмотрены в следующем параграфе, то процесс генерации будет иметь
моноимпульсный характер — высвечивается гигантский импульс.
При стационарной накачке в этом случае реализуется режим пе-
периодической генерации гигантских импульсов. Если же условия
генерации гигантского импульса не выполнены, то возможно воз-
возникновение режима затухающих пульсаций излучения с выходом на
стационарную генерацию.
Предположим, что параметры а и аа оказываются внутри об-
области II на рис. 3.42, б, попадая при этом в область неустойчивости
стационарной генерации. Как и в предыдущем случае, генерация
самовозбуждается, как только накачка обеспечит выполнение со-
соотношения C.7.50). Характер же генерации оказывается специфи-
специфическим, что связано с неустойчивостью стационарной генерации.
При это возможны как незатухающие пульсации излучения, так и
возникновение гигантских импульсов.
3.8. Режим генерации гигантских импульсов
при пассивной модуляции добротности резонатора
Из различных способов пассивной модуляции добротности
резонатора выделим способы, основанные на применении
просветляющихся фильтров. Лазеры с просветляющимся
фильтром обсуждались в предыдущем параграфе. Теперь
рассмотрим условия обеспечения в таких лазерах режима
генерации гигантских импульсов и обсудим характеристики
этого режима.
Условия обеспечения режима генерации гигантских
импульсов в лазере с просветляющимся фильтром. Каче-
Качественно ясно, что генерация гигантского импульса предпо-
предполагает достаточно большую величину начального коэффи-
коэффициента резонансного поглощения фильтра хоа (при малой
величине иОа просветление фильтра приведет к малому воз-
возрастанию добротности). Поскольку согласно C.7.5) кОа —
— оап'а, то увеличение коэффициента иоа означает увели-
увеличение плотности поглощающих центров «„ и сечения вы-
вынужденных переходов в фильтре аа. На «языке» безразмер-
безразмерных параметров увеличение начального коэффициента ре-
резонансного поглощения фильтра означает увеличение па-
параметра \аа\.
Очевидно, однако, что чрезмерное увеличение | аа\
недопустимо, так как при больших | аа | будет нарушаться
условие самовозбуждения генерации C.7.36), которое за-
запишем в виде
К |< (а— 1). C.8.1)

66 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Необходимо оценить, по сравнению с чем именно должна
быть велика величина |аа|. Будем исходить из того, что
пиковая мощность гигантского импульса на несколько по-
порядков выше пиковой мощности пичка свободной генера-
генерации. Это означает, что превышение начальной инверсной
заселенности над пороговым значением, отвечающим про-
просветленному фильтру (т. е. как раз величина | аа |), долж-
должна быть на несколько порядков больше величины Vmax,
фигурировавшей в § 3.3 при рассмотрении свободной ге-
генерации. Используя C.3.40), приходим, таким образом,
к следующему неравенству:
|aa|»K(a-l)/G/" C.8.2)
Объединяя C.8.1) и C.8.2), получаем необходимое ус-
условие самовозбуждения гигантского импульса
l/(a-l)/G«|aa|<(a-l). C.8.3)
Напомним, что для рубинового лазера a — 30, G — 105,
так что условие C.8.3) принимает вид 0,01 <С |aa|<30.
Для лазера, активированного неодимом, имеем a = 2,
G — 10*. В этом случае условие C.8.3) принимает вид
0,01 <С laa|< 1- Таким образом, чтобы в рассматривае-
рассматриваемых случаях удовлетворялось условие C.8.3), необходимо
реализовать значение
|aa[«l. C.8.4)
Известно, что для генерации гигантского импульса
важна высокая скорость включения добротности. В рас-
рассматриваемом случае это означает, что фильтр должен до-
достаточно быстро просветляться, т. е. должна быть велика
производная dnjdt'. Достаточным условием того, что ука-
указанная производная будет велика, является, как это легко
видеть из C.7.26), условие
р » 1 C.8.5)
или, иначе,
оа > о. C.8.6)
Таким образом, сечение вынужденных переходов в фильтре
должно быть существенно больше сечения вынужденных
переходов в активном элементе. Обычно на практике реа-
реализуется р » 10*.

3.8. Гигантские импульсы при пассивной модуляции 367
Условие C.8.5) (или C.8.6)) в сочетании с условием
C.8.3) и определяет основные требования к параметрам
системы «лазер с просветляющимся фильтром», при выпол-
выполнении которых реализуется самовозбуждение гигантского
импульса.
Отметим, что практически важный случай, когда выпол-
выполняется неравенство C.7.42), означает с учетом C.8.5), что
имеет место неравенство
. б < 1 C.8.7)
или, иначе,
Т1<Т1а C.8.8)
или, иначе,
(wB + 1/т) > 1/7\а. C.8.9)
Это означает, что обычно вероятность релаксации в филь-
фильтре меньше суммы вероятностей накачки и релаксации в
активном элементе. Иначе говоря, обычно используются
относительно медленно релаксирующие просветляющие филь-
фильтры. Именно в таких фильтрах достигается наиболее пол-
полное просветление.
Развитие гигантского импульса в лазере с просветляю-
просветляющимся фильтром. Моментом начала генерации является
момент времени, для которого выполняется соотношение
C.7.50), т. е. момент выполнения условия генерации в ре-
резонаторе с непросветленным фильтром. Процесс генерации
гигантского импульса можно разделить, как и в случае
активной модуляции добротности, на два этапа — длитель-
длительный этап линейного развития генерации (длительность t0)
и короткий этап нелинейного развития генерации (длитель-
(длительность tj); см. в связи с этим рис. 3.4 и замечания, приводив-
приводившиеся в §3.1. Напомним, что t0 « 103 — 2-Ю3 не, что на
порядок больше длительности линейного этапа при актив-
активной модуляции, a tx л; 10—30 не, что соответствует дли-
длительности нелинейного этапа при активной модуляции.
На этапе линейного развития генерации происходит уси-
усиление первичной люминесценции. Этот процесс соответст-
соответствует развитию пичка свободной генерации при постоянных
потерях, отвечающих непросветленному фильтру. Коэффи-
Коэффициент резонансного поглощения фильтра и плотность ин-
. версной заселенности в активном элементе сохраняются на
этом этапе практически постоянными. Интенсивность из-

368
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
0,5 0,75 1 То
Рис. 3.44
лучения увеличивается на рассматриваемом этапе по при-
приблизительно экспоненциальному закону, возрастая от
значений порядка 10~4 Вт/см2 в самом начале этапа до зна-
значений порядка 1—10 Вт/см2 в конце этапа.
Длительность линейного этапа в существенной мере
зависит от величины параметра р, а также от коэффициента
поглощения фильтра в непросветленном состоянии кОа.
Уменьшение р при неизменных параметрах активной среды
связано с уменьшением сечения вынужденных переходов
в фильтре оа. Согласно C.7.8) уменьшение оа приводит к
увеличению SncP. Таким образом, при уменьшении пара-
параметра р требуется более высокая плотность излучения для
просветления фильтра и, как следствие, более длительный
этап линейного развития генерации. На рис. 3.43 приведены
экспериментальные кривые [6], демонстрирующие развитие
гигантского импульса в рубиновом лазере при использова-
использовании двух различных фильтров: 1 — фильтр на основе раст-
раствора фталоцианина хлористого галлия в хлорбензоле (р —
= 1,6-10*), 2 — фильтр на основе раствора фталоцианина
хлористого алюминия в этаноле (р = 0,8-104). В первом
случае длительность этапа линейного развития генерация
равна 103 не, во втором случае 1,5-103 не.
. При увеличении коэффициента поглощения иос увеличи-
увеличивается | аа | и, согласно C.7.50), возрастает начальная плот-
плотность инверсной заселенности в активном элементе, при
которой начинается процесс генерации. Чем выше указан-
указанная плотность инверсной заселенности, тем быстрее раз-
развивается процесс генерации на линейном этапе, что приво-
приводит к уменьшению длительности этапа. На рис. 3.44 при-

3.8. Гигантские импульсы при пассивной модуляции 369
ведена экспериментальная кривая [6], иллюстрирующая
уменьшение времени t0 с увеличением хОа. По оси абсцисс
отложено начальное пропускание фильтра То, определяе-
определяемое через хОа и 1а по формуле То = ехр (— иОа/а). .
Балансные уравнения; аналогия со случаем мгновен-
мгновенного включения добротности*). Принимая во внимание отно-
относительно малую длительность процесса развития гигант-
гигантского импульса**', можно, как и в случае активной модуля-
модуляции добротности (см. § 3.6), пренебречь в балансных урав-
уравнениях накачкой и релаксационными процессами в актив-
активном элементе (и фильтре).' В результате система балансных
уравнений в безразмерной форме C.7.26) может быть запи-
записана в виде
C.8.10)
Поделив третье уравнение C.8.10) на второе, получим
dnjdn = рпа/п,
или
dnjna = pdn/n. C.8.11)
Проинтегрируем уравнение C.8.11) с момента начала гене-
генерации до некоторого произвольного момента времени. В мо-
момент начала генерации: па = аа, п — 1 — аа (см. C.7.50)).
Поэтому запишем:
dm/dt' =
dn/dt' =
dnjdt' =
Gm(n+na-l);
— nm;
- —na pm
"a J «
1—ra
откуда следует, что
где ^=1— аа.
C.8.12)
*) Режим генерации гигантских импульсов в одиомодовом лазе-
лазере с фильтром рассматривается, например, в [2,107—109].
**) Даже с учетом линейного этапа эта длительность составля-
составляет примерно 10~6 с, что существенно меньше величины 7\, а тем
более Т1а (напомним, что 7\ = 10~3 — 10~4 с). .

370 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Пользуясь результатом C.8.12), исключим па из уравнений
C.8.10). В итоге приходим к следующей системе балансных
уравнений:
dm/dt' ^Gm[n + aa(n/njp — 1]; J C 8 13)
dnldt' = —mn. J "¦¦
Из C.8.13) нетрудно получить уравнение для фазовых
траекторий лазера с просветляющимся фильтром, работаю-
работающего в режиме генерации гигантских импульсов. Поделив
первое уравнение C.8.13) на второе, получим
dm = G w+Ka("/ni)p —' C 8 14)
dn n
Выполняем интегрирование:
ns
В результате приходим к уравнению для фазовых траек-
траекторий:
m==m.+G К—я—1*1-^+— * • C.8.15)
Сравним уравнение C.8.15) с уравнением C.6.11) для
фазовых траекторий лазера при мгновенном включении до-
добротности. Эти уравнения отличаются лишь тем, что в
случае фильтра в скобках в правой части уравнения име-
имеется дополнительное слагаемое аа (Щ — пр) /ряР. При вы-
выполнении условия C.8.5) этим слагаемым можно с учетом
C.8.4) пренебречь; в результате мы придем к фазовому
портрету лазера, изображенному на рис. 3.30. Мы убежда-
убеждаемся, что условие C.8.5) действительно обеспечивает «мгно-
«мгновенное» переключение добротности в лазере с просветля-
просветляющимся фильтром.
Исходя из установленной аналогии со случаем мгновен-
мгновенного включения добротности, воспользуемся соотношением
C.6.12), чтобы выразить пиковую интенсивность поля ттах.
Учитывая, что пг = 1 —aa, получаем из C.6.12)
= G [— aa — In (I — а„)]. C.8.16)

3.8. Гигантские импульсы при пассивной модуляции 371
Согласно C.8.4) 1 — аа « 2, что близко к значению пг —
= 3,5, которое использовалось в § 3.6 при рассмотрении
активной модуляции добротности. Неудивительно поэтому,
что энергетические характеристики гигантских импульсов,
полученных при активной и при пассивной модуляции доб-
добротности, оказываются достаточно близкими.
Сопоставление режимов генерации гигантских импуль-
импульсов при активной и пассивной модуляции добротности;
комбинированная модуляция добротности. Выше отмеча-
отмечалась определенная аналогия между указанными режимами
генерации. В обоих случаях наблюдается относительно
длительный этап линейного развития генерации, на кото-
котором плотность инверсной заселенности* практически не
меняется, и короткий этап нелинейного развития генерации,
на котором высвечивается основная часть энергии, содержа-
содержащейся в гигантском импульсе. В обоих случаях гигантские
импульсы имеют достаточно близкие параметры — длитель-
длительность импульса (определяемую длительностью нелинейного
этапа), пиковую мощность, энергию. В балансных урав-
уравнениях для лазера с просветляющимся фильтром обнару-
обнаруживается при р ^> 1 почти полная аналогия со случаем бы-
быстрого (мгновенного) включения добротности.
Вместе с тем каждый из сопоставляемых режимов гене-
генерации гигантских импульсов имеет свою специфику. Гене-
Генерация при активной модуляции добротности начинается
в момент времени, когда пороговая плотность инверсной
заселенности будет снижена до значения плотности инверс-
инверсной заселенности, обусловленного к указанному моменту
времени накачкой. Напомним, что Nnov (t) = 1/BhQ (t).
Управляя изменением во времени добротности Q, можно тем
самым управлять изменением во времени порога генера-
генерации Nuov и достаточно точно фиксировать момент начала
генерации по отношению к внешнему сигналу — до 10 не
для электрооптических затворов и до 100 не для оптико-
механических затворов с вращающейся призмой.
Генерация гигантского импульса при пассивной модуля-
модуляции добротности начинается в момент времени, когда обус-
обусловленная накачкой плотность инверсной заселенности, по-
постепенно возрастая, достигнет порогового значения, опре-
определяемого потерями в резонаторе с непросветленным филь-
фильтром; это пороговое значение определяется соотношением
C.7.50):

372
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Nit)
\
А12
Рис. 3.45
"пор "
I
0
C.8.17)
В этом случае можно воздействовать на момент начала гене-
генерации, лишь управляя изменением во времени интенсивно-
интенсивности накачки. При этом не удается фиксировать момент на-
начала генерации сколь-либо точно. Время начала генерации,
отсчитываемое от момента поджига лампы накачки, силь-
сильно флуктуирует от вспышки к вспышке (от импульса к им-
импульсу); различие может достигать 10~5—10~4 с.
Сделанные замечания поясняет рис. 3.45. Предположим,
что возрастающая в процессе накачки кривая N (t) флуктуи-
флуктуирует от вспышки к вспышке в пределах заштрихованной на
рисунке области. На рис. 3.45, а показано пересечение
функций N (t) и yVrIop (t) при активной модуляции доброт-
добротности (быстрое включение добротности), и на рис. 3.45, б —
при пассивной модуляции добротности. В первом случае
имеет место управляемое изменение во времени порога ге-
генерации; во втором порог генерации во времени не меняет-
меняется. Легко видеть, что интервал разброса моментов начала
генерации при пассивной модуляции оказывается значи-
значительно шире, чем при активной: At2 ^> А^.
Для более точного фиксирования момента начала гене-
генерации и улучшения воспроизводимости временного хода
процессов применяют комбинированную модуляцию доб-
добротности, т. е. используют совместно просветляющийся
фильтр и модулятор активного типа. Наличие просветляю-
просветляющегося фильтра, как правило, увеличивает скорость включе-
включения добротности и улучшает параметры излучения; моду-

3.8. Гигантские импульсы при пассивной модуляции 373
Таблица 3.4
_ Энергии. Длительность, Мощность,
Случаи джк нс МВт
1
2
3
0,35
0,4
0,6
43
20
16
8
20
37
лятор активного типа фиксирует момент начала генерации
и способствует упорядочению картины появления импуль-
импульсов от вспышки к вспышке. В качестве конкретного приме-
примера в табл. 3.4 приведены данные по параметрам гигантско-
гигантского импульса для трех случаев [6]: / — рубиновый лазер с
активной модуляцией добротности при помощи вращающей-
вращающейся призмы, 2 — рубиновый лазер с пассивной модуляцией
на основе использования фталоцианинового красителя,
3 — вариант комбинированной модуляции. Можно видеть,
что применение комбинированной модуляции повышает в
данном случае энергию и пиковую мощность импульса и
сокращает его длительность.
Выше отмечалось, что при пассивной модуляции дли-
длительность этапа линейного развития генерации оказывает-
оказывается примерно на порядок больше, чем при активной модуля-
модуляции. Это связано с тем, что при активной модуляции доб-
добротности процесс генерации на линейном этапе развивает-
развивается фактически в условиях низких потерь в резонаторе
(в случае быстрого включения добротности), тогда как при
пассивной модуляции процесс генерации на линейном этапе
развивается в условиях высоких потерь. Указанное' разли-
различие двух рассматриваемых режимов генерации гигантских
импульсов хорошо видно на рис. 3.46, где сопоставляются
зависимости М (t) и Nnov (t) для каждого режима (а —
режим активной модуляции при быстром включении доб-
добротности, б — режим пассивной модуляции). Физически
ясно, что быстрое уменьшение потерь при активной модуля-
модуляции добротности облегчает (ускоряет) развитие генерации,
что и проявляется в сокращении (по сравнению со случаем
пассивной модуляции) 'длительности линейного этапа.
На рис. 3.47 представлены экспериментальные кривые
для временной зависимости мощности излучения для ак.-

374
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
M(t)
Л'п
Рис. 3.46
тивной (кривая /) и пассивной (кривая 2) модуляции доб-
добротности рубинового лазера [6]. Время на рисунке отсчиты-
вается от момента начала генерации; для мощности выбрана
логарифмическая шкала. Из рисунка видно, что увеличение
длительности линейного этапа в случае пассивной модуля-
модуляции приводит к увеличению уровня мощности, от которо-
которого начинается рост гигантского импульса на нелинейном
этапе; этот уровень мощности примерно на три порядка вы-
выше по сравнению со случаем активной модуляции.
Естественная селекция продольных мод при пассивной
модуляции добротности. Рассматривая многомодовую мо-
модель лазера, можно показать [106, 110], что благодаря от-
относительно большой длительности этапа линейного раз-
развития генерации в лазере с просветляющимся фильтром
успевает проявиться сильная конкуренция между различны-
различными модами, вследствие чего одни моды затухают, тогда как
другие, напротив, усиливаются и выходят на этап нелиней-
нелинейного развития генерации. Как показано в [110], относитель-
относительное различие в величине добротности двух мод, равное все-
всего 10~3, может приводить при длительности линейного эта-
этапа 2-103 не к тому, что указанные моды будут различаться по
интенсивности на порядок к началу просветления фильтра.
Таким образом, даже незначительное случайное различие
в добротности может приводить к резкому усилению отдель-
отдельных мод*).
*) Ранее неоднократно отмечалось, что лазерное излучение име-
имеет флуктуационное происхождение, поскольку первичными излу-
чательными процессами являются спонтанные процессы. Одна из
особенностей лазеров с просветляющимися фильтрами состоит в том,
что в них флуктуационная природа лазерного излучения проявля-
проявляется особенно ярко.

3.9. Синхронизация продольных мод
375
1
10*
1
-2
10
0
P. Bt/см2
I_
1
^^
1
к
r
100 500
Рис. 3.47
1000 *,нс
Дщ-108, Т
Проявляющаяся на этапе линейного развития генера-
генерации конкуренция между различными модами приводит к за-
заметному уменьшению числа мод, сохраняющихся в поле
излучения к началу просветления фильтра. Число сохра-
сохраняющихся мод оказывается более чем на порядок меньше
числа мод, имевшихся в момент начала генерации*). В связи
с этим говорят об эффекте естественной селекции продоль-
продольных мод при пассивной модуляции добротности.
Указанный эффект проявляется в заметном сужении спек-
спектра генерации лазера (поскольку преимущественно сохра-
сохраняются моды, находящиеся вблизи центра линии усиления).
На рис. 3.48 представлена зависимость эффективной шири-
ширины спектра генерации от длительности этапа линейного раз-
развития генерации [6]. Чем больше длительность линейного
этапа, тем сильнее проявляется эффект естественной селек-
селекции продольных мод, тем, следовательно, сильнее сужается
спектр генерации. Именно поэтому спектр излучения лазе-
лазера при пассивной модуляции добротности оказывается су-
существенно более узким, чем при активной модуляции.
3.9. Синхронизация продольных мод (генерация
сверхкоротких световых импульсов)
Синхронизация фаз продольных мод лазера позволяет
реализовать импульсы длительностью 10~2—10~3 не с пи-
пиковой мощностью до 1012 Вт — так называемые сверхкорот-
*) Согласно оценкам, приведенным в [39], число продольных
мод в неодимовом лазере уменьшается с 3.-104 до 6-102.

376 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
кие световые импульсы (используется также термин ультра-
ультракороткие световые импульсы)*^.
Исследования по синхронизации продольных мод ин-
интенсивно развиваются, начиная с 1966 г., когда была опуб-
опубликована основополагающая работа [34]. Обстоятельный
анализ этих вопросов дается в [38, 39, 111—113].
Сущность идеи синхронизации продольных мод. Наиболее
просто идею синхронизации продольных мод можно объяс-
объяснить следующим образом. Предположим, что в резонаторе
лазера возбуждены т продольных мод и при этом выполнены
два условия: во-первых, моды эквидистантны, т. е. разность
частот двух соседних мод постоянна (обозначим эту разность
частот через fi); во-вторых, моды синхронизованы по фазе,
т. е. разность фаз двух соседних мод постоянна (обозначим
эту разность через Ф). Пронумеруем все моды в порядке
возрастания частоты с помощью целочисленного индекса k,
принимающего значения: — (т — 1)/2, — (т — 1 )/2 +1»
— (т — 1)/2 + 2, ..., (т — 1)/2 (мы предположили, что
т — нечетное число; это предположение, разумеется, не-
непринципиально). Моду с индексом k — 0 будем называть
центральной; обозначим ее частоту и фазу через <оо и ф0
соответственно (эта мода находится в центре линии усиле-
усиления). Тогда частота и фаза произвольно выбранной k-н
моды могут быть представлены в виде
«й = ю0 + Ш; Фй = Фо + ?Ф- C.9.1)
Используя C.9.1), получаем следующее упрощенное выра-
выражение для поля в резонаторе (учитывающее лишь зависи-
зависимость от времени):
E(t) = 2
k= — (in—
Для простоты будем полагать, что для всех k Eh = Ео
(в действительности это не так, поскольку начальный коэф-
коэффициент усиления зависит от частоты; однако отмеченное
обстоятельство не меняет существа дела). В этом случае
соотношение C.9.2) может быть записано в виде
Е @ = E0G @ exp [i ((o0t + Фо)], C.9.3)
*) Напомним, что в §3.1 приводились общие сведения о режиме
генерации сверхкоротких световых импульсов; там же приведены не-
некоторые численные данные.

3.9. Синхронизация продольных мод
377
где функция
C.9.4)
2
— (m—1
есть, как легко видеть, сумма т членов геометрической про-
прогрессии со знаменателем q = exp [i (Qt + Ф)] и первым чле-
членом ах — ехр [— i (т — 1) (Qt + Ф)/2]. Используя форму-
формулу для суммы геометрической прогрессии, находим
ехр [ип(Ш + Ф)] — I _
__ ехр \lm (Qt4-Ф)/2] — ехр
Учитывая, что sin ? = (е'Е — e~fS)/2i,
ний результат в виде
G
w
перепишем послед-
последили, изменив начало отсчета времени, в виде
sin (mQt/2)
sin (Qf/2)
C.9.6)
Из C.9.3) следует, что функция G (t) может рассматри-
рассматриваться как огибающая амплитуды поля с несущей частотой
<оо. Иными словами, поле в резонаторе, «составленное» из
т синхронизованных продольных мод, оказывается промо-
дулированным по амплитуде функцией G (t). Характер этой
модуляции определяется выражением C.9.6).
На рис. 3.49 показан вид функции \G (t)\, полученный
на основе выражения C.9.6) для случаев: а) т = 5, б) т =
= 11. В обоих случаях амплитуда Ео отдельной моды при-
принята равной единице. Время Т есть так называемый период
модуляции (его называют также периодом резонатора);
он соответствует разности частот соседних мод Q:
Т = 2я/Й.
C.9.7)
Из рисунка видно, что с увеличением числа синхронизован-
синхронизованных мод m огибающая G (t) принимает форму, отвечающую

378 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
последовательности световых импульсов, имеющих ампли-
амплитуду тЕ0 и длительность порядка Т/т; эти импульсы сле-
следуют друг за другом через промежуток времени Т (см. им-
импульсы, заштрихованные на рисунке). Чем больше т, тем
выше амплитуда и короче длительность указанных световых
импульсов.
Если бы моды не были синхронизованы, то мощность
излучения имела бы вид
^несинхР ~ тЕо- C.9.8)
При синхронизации мод получаем иной результат для пи-
пиковой мощности:
= {mEof = /пРнесинхР. C.9.9)
Следовательно, пиковая мощность излучения при синхро-
синхронизации т мод возрастает в т раз по сравнению со случаем,
когда синхронизация мод не имеет места.
Итак, интерференция т продольных мод, эквидистант-
эквидистантных по частоте и синхронизованных по фазе, приводит (при
достаточно больших т) к тому, что лазерное излучение при-
приобретает характер последовательности весьма коротких
и весьма мощных световых импульсов, следующих друг за
другом через промежуток времени Т, равный периоду ре-
резонатора; длительность отдельного импульса равна- при-
примерно Т/т*К
Неселективный резонатор. Очевидным необходимым
условием реализации идеи синхронизации продольных мод
является условие одновременного возбуждения достаточно
большого числа таких мод**). В этом случае принципиаль-
принципиально необходим многочастотный режим генерации.
Максимально возможное число продольных мод в резо-
резонаторе определяется известным соотношением:
т = Aco/fi = AaL/nv, C.9.10)
где Дсо — ширина линии усиления, L — длина резонато-
резонатора, v — скорость света в среде, заполняющей резонатор.
*) Данная ситуация отвечает идеальному случаю так называе-
называемой полной синхронизации мод; см. § 3.11.
**) В §3.11 будет показано, что чрезмерное увеличение числа
продольных мод должно приводить к ухудшению условии их син-
синхронизации.

3.9. Синхронизация продольных мод
379
Рис. 3.49
С учетом C.9.10) период резонатора Т = 2n/Q может быть
представлен в виде
T = 2L/v, C.9.11)
а длительность сверхкороткого импульса может быть оце-
оценена как
Т/т « 1/Дсо.
C.9.12)
Характерные значения Дсо и m для некоторых лазеров
приведены в §3.1. Напомним, что для рубинового лазера
имеем Да» « 10й с1, пг ?» 103, а для неодимового лазера
До « 1012 с, m та 10*. Эти данные показывают, что при
синхронизации продольных мод в рассматриваемых лазе-
лазерах можно в принципе реализовать световые импульсы
длительностью 10~2—10~3 не.
Чтобы превратить отмеченную возможность в действи-
действительность, необходимо предотвратить селекцию продоль-
продольных мод в резонаторе. Речь идет об интерференционной
селекции мод (см. §2.11), которая всегда имеет место в
обычных резонаторах благодаря наличию в них целого ряда
дополнительных отражающих плоскостей (например, тор-

380 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
цов активного элемента, подложек зеркал и т. п.). Для пре-
предотвращения интерференционной селекции мод применяют
так называемые несежктивные резонаторы: все зеркальные
покрытия наносят на клиновидные подложки, а торцы ак-
активного элемента срезают под углом Брюстера. Такой ре-
резонатор изображен на рис. 3.50. Здесь 1 — активный эле-
элемент, 2 — зеркала на клиновидных подложках, а — угол
Брюстера; жирной ломаной линией показан ход светового
луча в резонаторе. В неселективном резонаторе отсутствуют
дополнительные отражающие плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярные световому лучу; в нем сохранены лишь две отражающие
плоскости, образующие собственно резонатор (сечения этих
плоскостей обозначены на рисунке прямыми АА)*К
Активная синхронизация мод. Чтобы связать фазы
продольных мод, можно прибегнуть к периодической моду-
модуляции параметров резонатора с частотой, равной или крат-
кратной разности частот соседних мод. Поскольку эта модуляция
производится под действием внешних сигналов, подавае-
подаваемых на электрооптический либо акустооптический модуля-
модулятор внутри резонатора, то говорят об активной синхрони-
синхронизации мод.
Предположим, что амплитуда центральной моды промо-
дулирована периодически с частотой &. В этом случае рас-
рассматриваемая мода может быть представлена в виде
Е it) - Ео A + Р cos Qt) exp [i (aot + q>0)], C.9.13)
где p — глубина модуляции @ < p* ^ 1). Поскольку
cos Ш = [exp (iQt) + exp (— ЩУ2,
то выражение C.9.13) можно переписать следующим обра-
образом:
Е it) — Ео exp [i (<oof + ф0)] +
exp [i (<оо + О) t + щ0] + (РЯ./2) X
X exp [i (и0 — Q) t + 1ф0]. C.9.14)
*) Полезно подчеркнуть, что если ранее, в § 2.11, рассматрива-
рассматривались специальные меры, предпринимаемые для усиления частотной
селекции мод (и обеспечения в конечном счете одномодовой гене-
генерации), то теперь требуется, напротив, принимать меры для исклю-
исключения селекции.

3.9. Синхронизация продольных мод 381
Мы видим, таким образом, что периодическая амплитуд-
амплитудная модуляция с частотой Q приводит к превращению моды
на несущей частоте <оо фактически в три синфазные моды —
на частотах соо, со0 + Q и <оо — Q.
Если частота модуляции ?1 выбрана равной разности
частот соседних мод, возбуждаемых в лазере, то боковые
частоты со0 + ?1 и <оо — ?1 будут совпадать, очевидно, с ча-
частотами мод, являющихся соседними с центральной модой.
В этом случае второе и третье слагаемые в правой части
C.9.14) будут играть роль вынуждающей силы для указан-
указанных соседних мод. В результате эти соседние моды будут
генерироваться в фазе с центральной модой, т. е., иначе
говоря, окажутся синхронизованными с центральной модой.
В случае, когда частота модуляции выбрана п-кратной
разности частот соседних мод, синхронизуются моды
с частотами, различающимися на величину, превышающую
межмодовый интервал в п раз.
Первые эксперименты по активной синхронизации мод
были выполнены на гелий-неоновом лазере в 1965 г. [33].
Впоследствии подобные эксперименты проводились глав-
главным образом на твердотельных лазерах (см., например,
[114]), а также на лазерах на органических красителях
(см. [115]). Активная синхронизация продольных мод ана-
анализируется в [112, 113]*>.
Пассивная синхронизация мод (самосинхронизация мод).
Периодическая модуляция параметров резонатора может
быть осуществлена не только внешним сигналом, но и в из-
известном смысле автоматически — нелинейным откликом
на биения мод. Для этого необходим нелинейный элемент
внутри резонатора, например просветляющийся фильтр.
В принципе могут использоваться нелинейные свойства
активного элемента. В подобных случаях говорят о пас-
пассивной синхронизации мод или, иначе, самосинхронизации
мод.
Довольно широко применяются просветляющиеся филь-
фильтры**). Каждая пара продольных мод, возбуждаемых в ла-
*) Акустооптическая активная синхронизация продольных мод
подробно рассматривается в § 3.12
**) Обсуждавшийся в § 3.8 эффект естественной селекции про-
продольных мод в лазере с просветляющимся фильтром не исключает
возможности осуществления пассивной синхронизации мод; см.
§3.11.

382 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Рис. 3.51
0.1 не
зере с фильтром, будет периодически модулировать вели-
величину коэффициента резонансного поглощения фильтра с ча-
частотой, равной разности частот рассматриваемых мод. Это
приведет, в свою очередь, к тому, что все моды окажутся
промодулированными по амплитуде. В результате, как и в
случае активной синхронизации, может реализоваться оп-
определенная связь между фазами различных мод.
Самосинхронизация продольных мод в лазере с просвет-
просветляющимся фильтром может быть рассмотрена также с иных
позиций — на основе использования флуктуационных пред-
представлений. При таком подходе генерация сверхкоротких
световых импульсов рассматривается как результат выде-
выделения фильтром наиболее интенсивных флуктуации поля
излучения из начального спонтанного шума и подавления
остальных (менее интенсивных) флуктуации. Флуктуацион-
ные представления развивались в работах [13, 14, 39, 116];
см. также [111]. Объяснение самосинхронизации мод с точ-
точки зрения этих представлений является в настоящее вре-
время общепринятым; такой подход позволяет провести рас-
рассмотрение явления самосинхронизации мод наиболее пол-
полно и последовательно. Мы обсудим флуктуационные пред-
представления более подробно в §3.11.
Для самосинхронизации мод используют фактически
такую же схему лазера с просветляющимся фильтром, что
и в случае генерации гигантских импульсов. Специфика
заключается главным образом в следующих трех моментах.
Во-первых, необходимо предотвратить интерференционную
селекцию мод, т. е. использовать неселективный резонатор.
Во-вторых, просветляющийся фильтр должен характеризо-

3.9. Синхронизация продольных мод 383
ваться малым временем релаксации (по сравнению с перио-
периодом резонатора):
Т1а<Т. C.9.15)*)
В-третьих, необходимо выполнить определенные требова-
требования к геометрии схемы — длине резонатора, форме от-
отдельных элементов и их взаимному расположению [40, 117].
В частности, просветляющийся фильтр целесообразно рас-
располагать вблизи выходного зеркала резонатора.
На рис. 3.51 приведена типичная схема лазера, работаю-
работающего в режиме самосинхронизации мод. Здесь 1 — актив-
активный элемент, 2 —• просветляющийся фильтр (кювета с раст-
раствором быстро релаксирующего красителя), 3 и 4 — соот-
соответственно отражающее и выходное зеркала резонатора на
клиновидных подложках; аг и а2 — углы Брюстера для
активного элемента и кюветы соответственно.
Самосинхронизация продольных мод при использовании
просветляющихся фильтров достаточно подробно исследова-
исследовалась в экспериментах с рубиновыми и неодимовыми лазе-
лазерами (см., например, [34—37, 118]).
Комбинированный метод синхронизации мод. Свойства
сверхкоротких световых импульсов, получаемых при
пассивной синхронизации (самосинхронизации) мод, отли-
отличаются от свойств импульсов, получаемых при активной
синхронизации. При пассивной синхронизации удается
реализовать длительность импульса, близкую к предель-
предельной длительности, определяемой шириной линии усиления.
При активной же синхронизации длительность импульса
оказывается существенно больше (на порядок и выше).
С другой стороны, при пассивной синхронизации время по-
появления последовательности сверхкоротких световых им-
импульсов может флуктуировать в пределах до 10—100 мкс;
параметры импульсов воспроизводятся от одного импульса
накачки к другому лишь с некоторой вероятностью. Им-
Импульсы же, получаемые при активной синхронизации, ха-
характеризуются высокой стабильностью параметров.
Оптимальные результаты ищутся на пути, использующем
комбинированный метод синхронизации мод. В этом случае
внутри резонатора помещают просветляющийся фильтр и
синхронизатор мод активного типа; используется также со-
*) Это условие будет обосновано в § 3.11.

384 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
четание фильтра, играющего роль пассивного синхрониза-
синхронизатора мод, с модулятором добротности активного типа.
В [ 119] исследовалось сочетание электрооптического синхро-
синхронизатора мод с двухкомпонентной средой, содержащей два
типа частиц — активные и резонансно поглощающие цент-
центры. В [120] рассматривался лазер с самосинхронизацией
мод при наличии внутри резонатора, наряду с просветляю-
просветляющимся фильтром, электрооптического модулятора доброт-
добротности. В [121] изучалась возможность получения режима
самосинхронизации мод в условиях управления доброт-
добротностью резонатора при помощи совокупности из фототроп-
ного и оптико-механического затворов.
На рис. 3.52 сравниваются световые импульсы, получен-
полученные в случаях активной и комбинированно^ синхрониза-
синхронизации продольных мод [119]. Импульс 1 получен в рубиновом
лазере с использованием электрооптического синхрониза-
синхронизатора мод на основе кристалла ниобата лития; импульс
2 получен в том же лазере при условии, что наряду с элек-
электрооптическим синхронизатором использовался просвет-
просветляющийся фильтр (раствор криптоцианина в этиловом спир-
спирте). Длительность импульса 1 составляет 0,1 не, а импуль-
импульса 2 — 0,01 не (длительность импульсов оценивалась по
ширине спектра). В обоих случаях время от момента вклю-
включения синхронизатора мод до момента приобретения импуль-
импульсом максимальной мощности стабилизировано с точностью
до 1 не.
Способы уменьшения времени релаксации просветляющихся
фильтров. Необходимость применения быстро релаксирующих
просветляющихся фильтров (см. условие C.9.15)) предопределяет
развитие исследований способов уменьшения времени релаксации
красителей. При этом используют зависимость времени жизни воз-
возбужденных состоянии молекул красителей от характеристик окру-
окружающей среды — природы растворителя, его температуры, вяз-
вязкости и т. п. [122]. В [123] исследовалась зависимость времени ре-
релаксации полиметииового красителя от природы растворителя; по-
показано, что, подбирая разные растворители, можно добиться пя-
пятикратного изменения величины времени релаксации*).
Сокращение времени жизии возбужденного состояния за счет
изменения внешних условий принято называть тушением люминес-
*) Влияние природы растворителя на время релаксации фильтра
объясняется наличием процессов безызлучательной дезактивации со-
состояния Sx молекулы красителя в результате внутренней конвер-
конверсии — с переходом колебательной энергии в окружающую среду
(см. § 1. 3).

3.9. Синхронизация продольных мод 385
ценции. Можно использовать
эффект концентрационного
тушения (самотушения), про-
проявляющийся при увеличении
концентрации красителя в
растворе [124]. Этот эффект
связан с образованием в кон-
концентрированном растворе ас-
социатов (состоящих из не-
нескольких молекул красителя),
которые при возбуждении не
люминесцируют, а относи-
относительно быстро передают „ _
энергию возбуждения неактив-
ным комплексам в результате
резонансного взаимодействия с ними.
Следует особо отметить возможность сокращения времени ре-
релаксации просветляющегося фильтра за счет возбуждения в раст-
растворе красителя сверхлюминесценции [125] или генерации [126]. В
последнем случае кювета с красителем помещается в специальный
резонатор, оптическая ось которого составляет некоторый угол с
оптической осью основного резонатора; излучение активного эле-
элемента служит для красителя своеобразной оптической накачкой
поперечного типа. Возникновение генерации в растворе красителя,
помещенном в специальный резонатор, обеспечивает сравнительно
быструю релаксацию фильтра.
Влияние эффекта самофокусировки света. Процесс генерации
сверхмощных световых импульсов может сопровождаться допол-
дополнительными нелниейио-оптическими эффектами н, в частности, эф-
эффектом самофокусировки света. Экспериментально обнаружено из-
изменение временной структуры сверхкоротких световых импуль-
импульсов в иеодимовых лазерах, которое может быть объяснено влиянием
самофокусировки излучения в активном элементе (см., например,
1127]). Обратимся в связи с этим к рис; 3.53. Кривая 1 описывает
форму светового импульса, которую он имел бы в отсутствие само-
самофокусировки. Прямая АА фиксирует уровень мощности, отвечаю-
отвечающий порогу эффекта самофокусировки. Когда мощность импульса
в процессе его генерации достигает этого порога, проявляется са-
самофокусировка излучения, вследствие чего возрастают потери —
световой пучок начинает рассеиваться через боковую поверхность
активного элемента (см. правую часть рисунка). Указанные потери
максимальны для наиболее интенсивной части светового импульса;
в результате образуется провал в той части импульса, которая долж-
должна была соответствовать максимуму его интенсивности. Поэтому
реализуемая форма светового импульса описывается не кривой 1,
а кривой 2 (см. рисунок).
Из рисунка видно, что самофокусировка не только изменяет
форму светового импульса, но и ограничивает его пиковую мощ-
мощность. Вопрос ограничения мощности генерируемого излучения за
счет самофокусировки имеет большое значение при оценке предель-
предельных энергетических характеристик лазеров [128, 129]. Самофоку-
Самофокусировка ограничивает интенсивность генерируемого излучения на
13 Зак. 1785

386 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Рис. 3.54
уровне, равном примерно 109 Вт/см2 (для обычно применяемых ла-
лазерных схем).
В [130] рассматривается возможность использования эффекта
самофокусировки для сокращения длительности и увеличения конт-
контраста*) сверхкоротких световых импульсов. Эту возможность по-
поясняет рис. 3.54. Здесь 1 — среда, в которой имеет место самофо-
самофокусировка излучения, 2 — поглощающий экран относительно не-
небольшого диаметра, 3 — входной световой импульс (в общем слу-
случае это может быть группа импульсов различной интенсивности),
4 — выходной световой импульс. Менее интенсивная часть вход-
входного импульса 3 не испытывает самофокусировки и поглощается в
значительной мере экраном 2. Более интенсивная часть входного
импульса благодаря уширеиию пучка за счет самофокусировки прак-
практически минует экран 2. Поэтому выходной импульс 4 должен быть
более коротким и более контрастным по сравнению с входным им-
импульсом 3.
В [130] показано, что более выгодно использовать не абсолют-
абсолютно непрозрачный экран малого диаметра, а неоднородный экран,
коэффициент прозрачности К которого возрастает с расстоянием
г от оси по закону К (г) = К @) ехр (r^/а2), где а — диаметр экра-
экрана. Такой экран обеспечивает наименьшие потери для наиболее ин-
интенсивной части импульса, в результате чего происходит не только
сокращение длительности импульса, но и увеличение его пиковой
мощности. В рассматриваемом случае эффект самофокусировки иг-
играет позитивную роль — он5приводит не к увеличению, а, напротив,
к уменьшению потерь (для наиболее интенсивной части светового
импульса).
Следует отметить, что пространственно неоднородный экран
не обязательно должен быть поглощающим. Вместо поглощающего
экрана может быть использована усиливающая среда, характеризу-
характеризующаяся пространственно неоднородным коэффициентом усиления.
*) Контраст сверхкороткого импульса измеряется отношением
пиковой мощности импульса к уровню мощности несинхронизиро-
ванного фона. Увеличение контраста есть по сути дела увеличение
степени синхронизации излучения.

3.10. Измерение длительности световых импульсов 387
3.10. Измерение длительности сверхкоротких
световых импульсов
Основные направления в развитии методов исследова-
исследования структуры импульсов. Развитие исследований по син-
синхронизации лазерных мод теснейшим образом связано с раз-
разработкой методов измерения длительности сверхкоротких
световых импульсов. Хорошо освоенные осциллографиче-
ские методы в данном случае не годятся, так как их раз-
разрешение ограничено временами 0,1 не. Существуют две
группы методов измерения длительностей импульсов поряд-
порядка 10~2—10~3 не — прямые и косвенные методы.
Первоначально были предложены и начали разрабаты-
разрабатываться косвенные методы. Отметим в связи с этим две работы,
опубликованные в 1967 г.: в [131] использовался эффект
возбуждения второй гармоники двумя световыми пучками;
в [132] была изложена методика, основанная на измерении
длины трека люминесценции при двухфотонном поглощении.
Эта методика (так называемая двухфотонная методика или,
иначе, методика столкновений) благодаря своей простоте
получила вскоре широкое распространение.
При использовании косвенных методов измерения струк-
структуры световых импульсов измеряются не собственно пара-
параметры импульса, а некоторые интегральные величины, чаще
всего функции корреляции интенсивности*). Эти методы
обладают ограниченными возможностями; они не позволяют
однозначно восстановить форму импульса [111].
В самом начале 70-х годов успешное развитие получили
методы прямого измерения быстропротекающих процессов,
основанные на применении электронно-оптических преобра-
преобразователей [111]. Были созданы фотоэлектронные регистра-
регистраторы (ФЭР), характеризующиеся временнйм разрешением
10~2—б-10~8 не. В 1972 г. был разработан электронно-оп-
электронно-оптический преобразователь с циклоидальной разверткой во
времени, позволяющей получить разрешение 5-10~* не.
Большой интерес представляет задача регистрации не
только интенсивного излучения, но и самого поля, т. е.
задача регистрации не только амплитудной, но и фазовой
информации, содержащейся в лазерном излучении. С этой
*) Косвенные методы временных измерений называют также
корреляционным^
13*

388
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Рис. 3.55
целью был предложен в 1971 г. голографический метод за-
записи нестационарных волновых полей, позволяющий полу-
получать максимальную информацию о временном ходе сигнала,
включая информацию об амплитуде, фазе, а также спектре
сигнала (см. [111]).
Метод, использующий генерацию второй гармоники.
Сущность этого косвенного метода измерения длительности
сверхкоротких световых импульсов поясняет рис. 3.55.
Здесь 1 — лазер, 2 — светоделительная пластинка, пре-
превращающая исходный лазерный импульс в два импульса,
3 — неподвижное зеркало, 4 — подвижное зеркало, 5 —
нелинейный кристалл, в котором происходит генерация вто-
второй гармоники, 6 — фильтр, пропускающий только вто-
вторую гармонику, 7 — фотодетектор. Благодаря зеркалам 3
и 4 оба световых импульса, получающиеся при расщепле-
расщеплении пластинкой 2 исходного импульса, попадают в нелиней-
нелинейный кристалл. С помощью подвижного зеркала 4 можно
варьировать время задержки At одного импульса отно-
относительно другого.
При At = 0 рассматриваемые световые импульсы пол-
полностью перекрываются. В этом случае световая мощность
в нелинейном кристалле максимальна, поэтому фотодетек-
фотодетектор зарегистрирует относительно интенсивный импульс вто-
второй гармоники.
Обозначим через т эффективную длительность сверхко-
сверхкороткого светового импульса. При At > т световые импульсы
не перекрываются; в этом случае мощность второй гармо-
гармоники резко уменьшается. Если Ea (t) — поле одного из
попадающих в нелинейный кристалл световых импульсов,

3.10. Измерение длительности световых импульсоп 389
то поле импульса второй гармоники, выходящего из кри-
кристалла, может быть представлено в виде
Е2е> @ = const [Еа @ +Еа (t + АО]2 =
=* const [El {t) +E*(t + At) -f 2Ea (t) Ea (t + At)]. C.10.1 )*>
При At>x корреляционное слагаемое 2?и (t) Ea (t + At)
обращается в нуль; в результате мощность второй гармони-
гармоники падает.
Таким образом, для измерения т надо постепенно увели-
увеличивать от нуля время задержки At и следить при этом за ин-
интенсивностью импульса второй гармоники. Время At, при
котором будет наблюдаться резкое ослабление указанной
интенсивности, и есть длительность светового импульса т.
Двухфотонная методика. Как уже отмечалось, этот ме-
метод основан на наблюдении люминесценции при двухфотон-
ном поглощений.**). Сущность метода поясняет рис. 3.56.
Здесь 1 — лазер, 2 — светоделительная пластинка, пре-
превращающая исходный лазерный импульс в два импульса,
3 — зеркала, 4 — кювета с раствором красителя (например,
родамина 6G), который люминесцирует за счет двухфотон-
ного поглощения света, 5 — фотоаппарат, регистрирую-
регистрирующий светящийся след (трек) в кювете с красителем. Ин-
Интенсивность люминесценции при двухфотонном поглощении
пропорциональна четвертой степени амплитуды поля. По-
Поэтому удается сфотографировать довольно четкий след, дли-
длина которого А/ отвечает промежутку времени, когда рас-
распространяющиеся от зеркал 3 навстречу друг другу два
световых импульса в достаточной мере перекрываются. Этот
промежуток времени равен т/2 (т — длительность свето-
светового импульса). Очевидно, что . .
т = 2Д//и, C.10.2)
где v — скорость света в растворе красителя. Фактически
данный метод основан на мгновенном измерении длины све-
светового импульса в пространстве.
*) Напомним, что поле второй гармоники пропорционально
квадрату напряженности поля основной волны (в приближении за-
заданного поля).
**) Применяется также название метод двухфотонной люминес-
люминесценции (сокращенно: метод ДФЛ). Это название не совсем удачно,
поскольку процесс люминесценции здесь обычный (одиофотониый).
13в Зак. 1785

390 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Рассматриваемый метод нашел широкое применение
в исследованиях по синхронизации лазерных мод, поэто-
поэтому остановимся на нем немного подробнее. Выход люми-
люминесценции при двухфотонном поглощении пропорциона-
пропорционален квадрату интенсивности возбуждающего излучения:
/люм (г) = const J P (z, t) dt C.10.3)
(ось z выбрана вдоль направления распространения света
в кювете с красителем; z — расстояние от центра кюветы).
Записывая световое поле исследуемого сигнала как
Е @ exp (tof), представим величину I2 (z, f), входящую в
C.10.3), в виде
+Е (t + —\ exp (i& (t +—))] [компл. сопр.]V . C.10.4)
Здесь учтено, что два световых импульса распространяются
по оси z со скоростью v навстречу друг другу.
Можно показать [111], что подстановка соотношения
C.10.4) в C.10.3) приводит в конечном счете к результату
'люм
•¦ const
им
2 Г P{t)dt+4 Г I{i)l(t + 2—
C.10.5)
гДе *ивм — время измерения. Вводя вместо переменной г вре-
время задержки At — 2z!v, получаем из C.10.5) следующее
выражение для трека люминесценции, наблюдаемого в кю-
кювете:
изм ¦¦
[мот ив
2 Г /»(*)Л + 4 Г
[
C.10.6)
Используя специальное обозначение для корреляционной
функции интенсивности
= —!— Г I(t)I(t+At)dtt C.10.7)
'изм J
'изм
<„зм .

3.10. Измерение длительности световых импульсов
391
Рис. 3.56
Рис. 3.57
перепишем результат C.10.6) в окончательном виде:
Y (ДО = 2ф @) + 4ф (ДО- C.10.8)
Предположим, что интенсивность / (t) исследуемого
светового импульса имеет вид, показанный на рис. 3.57, а.
Используя C.10.6), находим функцию г[з (At), описывающую
трек люминесценции. Эта функция имеет вид, показанный
на рис. 3.57, б. Согласно C.10.8) импульс интенсивности
свечения в максимуме в три раза превышает интенсивность
свечения в тех местах трека, где встречные световые импуль-
импульсы не перекрываются. Измеряя ширину указанного импуль-
импульса интенсивности свечения, находим искомую величину т.
Напомним, что в действительности измеряется не вели-
величина At, а пространственная длина Д/ яркой части трека
люминесценции, связанная с At соотношением At = 2Д//у.
Полная и неполная синхронизация мод и проблема вре-
меннйх измерений. Рассмотренные выше косвенные мето-
методы измерения длительности сверхкоротких световых им-
импульсов имеют, однако, одно существенное ограничение,
13в*

392
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Рис. 3.58
Рис. 3.59
осознанное далеко не сразу*'. Они пригодны лишь в том
случае, если на периоде резонатора, равном 2Llv, генери-
генерируется одиночный импульс. Такая ситуация характерна для
случаев активной синхронизации мод. При пассивной син-
синхронизации на периоде резонатора может сформироваться
не один, а группа (и притом нерегулярная) из нескольких
импульсов, что связано с флуктуационной природой про-
процесса самосинхронизации мод. На рис. 3.58 показаны ха-
характерные случаи, которые могут реализоваться в процес-
процессе самосинхронизации мод. В связи с этим вводят понятия
полной и неполной (частичной) синхронизации мод. Рис.
3.58, а соответствует полной синхронизации (на периоде
резонатора генерируется одиночный сверхкороткий свето-
световой импульс). Рис. 3.58, б и рис. 3.58, в соответствует
Неполной синхронизации, причем на рис. 3.58, б степень
синхронизации выше. При неполной синхронизации мод
сверхкороткий импульс может?] реализоваться на фоне не-
*) В течение сравнительно долгого времени возможиости'двух-
фотонной методики не совсем правильно оценивались в литературе.
На основе данных этой методики делались подчас неоправданные
заключения о длительности сверхкоротких световых импульсов.

ЗЛО. Измерение длительности световых импульсов 393
синхронизованного излучения, мощность которого слабо
меняется во времени. Чем выше мощность несинхронизо-
ванного фона, тем меньше степень синхронизации мод и тем
меньше, кстати говоря, контраст сверхкоротких импуль-
импульсов.
Существенно, что методы косвенных измерений дли-
длительности сверхкоротких импульсов (и в частности, двух-
фотонная методика) не могут, вообще говоря, различать
полную и неполную синхронизацию мод*>. Именно в этом
и заключается ограниченность указанных методов при их
применении в исследованиях по синхронизации мод. Доста-
Достаточно сопоставить результаты вычисления функции ?(Д^)
по формуле C.10.6) для случаев, показанных на рис. 3.58, а
и рис. 3.58, в. Эти результаты представлены на рис. 3.59
(кривые / и 2 соответственно) [111]. Видно, что различие тре-
треков люминесценции, показанных на рис. 3.59, состоит лишь
в том, что во втбром случае (в случае неполной синхрони-
синхронизации) появляются дополнительные слабые максимумы, ко-
которые трудно отличить от шумов регистрирующей аппара-
аппаратуры.
Подчеркнем, что косвенные методы измерений позво-
позволяют судить лишь о характерном интервале времени, за
который изменяется интенсивность излучения, но не позво-
позволяют установить, состоит ли излучение на периоде резона-
резонатора из одного или многих коротких импульсов. Они не
позволяют определить отношение пиковой мощности
сверхкороткого импульса к мощности несинхронизован-
ного фона (при наличии последнего). Поэтому практически
важно развивать прямые методы временных измерений,
использующие сверхскоростные фоторегистраторы с элект-
электронно-оптическими преобразователями.
Методика, основанная на измерении структуры спект-
спектра сигнала. Чтобы различить случаи, когда за период ре-
резонатора генерируется одиночный короткий импульс или
несколько импульсов, можно воспользоваться методикой,
основанной на измерении структуры соответствующих час-
частотных спектров [124]. Предположим, что за период резо-
резонатора формируются несколько импульсов. В этом
*) Обстоятельный критический анализ^ возможностей косвен-
косвенных методов временных измерений в исследованиях по синхрониза-
синхронизации мод дан в [111].

Гл. з. Динамика процессов в лазере
Форма импульса Спектр
в) Рис. 3.60
случае фурье-образ поля излучения (спектр) будет содер-
содержать осцилляции, определяемые временными интервалами
между импульсами. Чем меньше указанные интервалы, тем
выше частота осцилляции спектра. Если же на периоде ре-
резонатора формируется одиночный импульс, то спектр бу-
будет описываться гладкой функцией (без осцилляции).
На рис. 3.60 сравнивается структура спектров для слу-
случаев полной (рис. 3.60, а) и неполной (рис. 3.60, б, в) син-
синхронизации мод [124]. Легко видеть, что структура спектра
сигнала на рис. 3.60, б, в заметно отличается от структуры
спектра на рис. 3.60, а.
3.11. Рассмотрение самосинхронизации
продольных мод в лазере с просветляющимся фильтром
на основе флуктуационных представлений
Флуктуационные представления при рассмотрении са.
мосинхронизации продольных мод развивались в [13, 14
39, 111, 115].
Качественное описание физической картины. В общей
физической картине самосинхронизации мод при наличии
в резонаторе просветляющегося фильтра следует вьщелить
два принципиальных момента. Первый заключается в том,

\
3.11.\ Самосинхронизация продольных мод 395
что на этапе, предшествующем просветлению фильтра*),
формируется профиль поля излучения, содержащий мно-
многочисленные флуктуации интенсивности с разной ампли-
амплитудой и характеризующийся наличием периодической кор-
корреляции в моменты t и t + Т, где Т — период резонатора.
Этот профиль поля будем называть исходным. Процесс
его формирования из шума обсудим позднее. Второй
момент заключается в том, что в процессе просветления (на
этапе нелинейного развития генерации) фильтр сужает и
подчеркивает (выделяет) отдельные наиболее мощные
флуктуации исходного профиля и в то же время подавляет
остальные, более слабые флуктуации. В результате профиль
поля существенно меняется; в конечном профиле сохраня-
сохраняются на периоде резонатора всего несколько (или даже
один) коротких интенсивных выбросов. На рис. 3.61 со-
сопоставляются некоторый исходный профиль /исх (t) и ха-
характерный конечный профиль /к (f), рассматриваемые на
протяжении одного периода резонатора Т. На рисунке хо-
хорошо виден характер изменения профиля в результате взаи-
взаимодействия излучения с фильтром в процессе просветления
последнего.
Рассмотрим подробнее отмеченное выше селективное дей-
действие просветляющегося фильтра на исходный профиль
поля. Перепишем условие самовозбуждения генерации в
лазере с фильтром C.7.37) в следующем виде:
(«О—'Пил —Ллин)>/П2- C.11.1)
Здесь х0 — начальный коэффициент усиления; т]нл =
= (IJlfyoa — умноженный на отношение IJI коэффициент
резонансного поглощения непросветленного фильтра или,
иначе говоря, коэффициент нелинейных потерь; т)лин =
= *h + (Ijb^ia — коэффициент вредных потерь в актив-
активном элементе и фильтре или, иначе, коэффициент линейных
потерь; тJ — коэффициент полезных потерь.
Будем полагать, что при данной мощности накачки ус-
условие C.11.1) не выполняется, и предположим, что к фильт-
фильтру движется содержащийся в исходном профиле поля до-
достаточно интенсивный импульс. Если этот импульс просвет-
просветлит фильтр, то неравенство C.11.1) сменится неравенством
(*0-*1лин)>*12, C.11.2)
*) Этот этап состоит, в свою очередь, из этапа накачки и этапа
линейного развития генерации.

396
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
I I ИС
и
т
Рис. 3.61
которое вполне может быть удовлетворено при данной мощ-
мощности накачки. Это означает, что для указанного интен-
интенсивного импульса условие самовозбуждения генерации
будет выполнено.
Принципиально важно, чтобы условие самовозбуж-
самовозбуждения выполнялось лишь для интенсивного импульса.
Для этого необходимо, чтобы фильтр достаточно быстро
релаксировал или, иначе говоря, достаточно быстро «за-
«захлопывался» за прошедшим сквозь него интенсивным им-
импульсом. Тогда следующий за интенсивным импульсом бо-
более слабый импульс уже не сможет пройти сквозь фильтр
(а следовательно, не сможет усилиться)*).
Теперь становится ясен смысл условия C.9.15). Для
выполнения селективной функции (подчеркивания интен-
интенсивных и подавления слабых начальных импульсов) фильтр
должен быть малоинерционным — он должен достаточно
быстро возвращаться из просветленного состояния в не-
просветленное; Задержка фильтра в просветленном состоя-
состоянии приведет к тому, что вслед за интенсивным импульсом
сквозь фильтр пройдут также более слабые импульсы и в
результате все они подвергнутся усилению при очередном
проходе активного элемента.
*) Предполагается, что мощность указанного слабого импульса
недостаточна для просветления фильтра.

3.11. Самосинхронизация продольных моД
397
Рис. 3.62
При наличии малоинер-
малоинерционного фильтра может
реализоваться картина «гу-
«гуляющего» от зеркала к
зеркалу (в резонаторе)
одиночного светового им-
импульса, амплитуда кото-
которого вначале нарастает, а
затем (по мере того, как
исчерпывается переданная
активному элементу энер-
энергия импульса накачки)
постепенно убывает. Ре-
Регулярно, через промежуток
времени 2L/i>, равный вре-
времени двойного прохода
резонатора, этот импульс
приближается к выходно-
выходному зеркалу резонатора и
частично высвечивается. В
результате выходное излу-
излучение лазера будет иметь
характер последовательности световых импульсов, следую-
следующих друг за другом через промежуток времени Т — ILh
(рис. 3.62, а).
В реальных условиях описанная идеальная картина
может не иметь места. Во-первых, реальный фильтр инер-
инерционен; он может не успеть «захлопнуться» перед близко
следующим более слабым импульсом. Тогда будет наблю-
наблюдаться последовательность световых импульсов, показан-
показанная на рис. 3.62, б. Во-вторых, флуктуационная природа
исходного профиля поля может привести к возникновению
двух или более практически одинаковых интенсивных на-
начальных импульсов, которые в равной мере будут подчер-
подчеркиваться фильтром. В результате на периоде резонатора
сформируется не один, а два или более интенсивных корот-
коротких импульса (рис. 3.62, в). Заметим, что рис. 3.62, а со-
соответствует полной, а рис. 3.62, б, в — неполной синхро-
синхронизации мод.
О спектральном и временном описании синхронизации
мод. Изложенное выше описание явления генерации сверх-
сверхкоротких световых импульсов в лазере с просветляющим-

398 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
ся фильтром может быть названо временным описанием. При
таком описании процесс формирования последовательности
сверхкоротких импульсов рассматривается как процесс
регулярного (повторяющегося через промежуток времени
Т = 2L/v) высвечивания части энергии мощного флуктуа-
цйонного выброса в профиле поля, выделенного и подчерк-
подчеркнутого просветляющимся фильтром. Картина «гуляющего»
внутри резонатора мощного импульса может использовать-
использоваться и в случае активной синхронизации мод. Напомним, что
потери, вносимые синхронизатором в резонатор, промоду-
лированы управляющим сигналом; они периодически ме-
меняются с частотой \1Т. «Гуляющий» внутри резонатора
импульс будет, очевидно, проходить через синхронизатор
всякий раз в момент времени, отвечающий наименьшим
потерям*).
Наряду с указанным способом описания используется
спектральное описание явления генерации сверхкоротких
световых импульсов, когда процесс формирования после-
последовательности импульсов рассматривается как результат
интерференции большого числа эквидистантных по часто-
частоте мод со связанными фазами (см. § 3.9, а также § 3.1). Пер-
Первые эксперименты по генерации сверхкоротких импульсов
объяснялись на основе именно спектрального подхода, что и
привело к возникновению термина «синхронизация мод»,
или, иначе, «сцепление мод» («mode locking»). Под этим
термином понимается фазировка спектральных компонентов.
Временной подход, использующий представление о «гуляю-
«гуляющем» внутри резонатора мощном импульсе, который выде-
выделяется из шума либо случайно (при пассивной синхрониза-
синхронизации), либо синхронизатором (при активной синхрониза-
синхронизации), стал развиваться несколько позднее.
Характеризующая исходный профиль поля периоди-
периодическая корреляция в моменты времени t и t + Т соответ-
соответствует на спектральном языке формированию набора дис-
дискретных мод с эквидистантными частотами coft = соо ±
± 2nk/T. Предположим, что фазы мод занимают час-
частотный интервал Дсо, отвечающий ширине линии усиления.
Нетрудно убедиться, что если фазы мод линейно зависят от
номера моды (q>ft = ф0 ± 2nkt/T), т. е. если моды синхро-
*) Временное описание активной синхронизации продольных
мод дается в § 3.12.

3.11. Самосинхронизация продольных мод 399
низованы по фазе, то на периоде резонатора Т формируется
одиночный световой импульс длительностью
т«1/Дсо. C.11.3а)
Это означает, что спектральный подход равнозначен вре-
временному подходу в случае, когда на периоде резонатора
формируется одиночный световой импульс, т. е. при пол-
полной синхронизации мод.
В случае же неполной синхронизации мод спектральный
подход становится менее пригодным. Дело в том, что при
неполной синхронизации в формировании сверхкоротких
импульсов участвует не весь спектр (как это имеет место
при полной синхронизации), а лишь часть спектра. Вмес-
Вместо C.11.3а) имеем в этом случае иное соотношение:
т > 1/Дсо или, иначе, х » 1/Дсосинх, где Досинх < Дсо.
C.11.36)
Спектральный подход непригоден для выяснения вопро-
вопроса о том, выделится ли из начальной флуктуационной кар-
картины единственный (на периоде резонатора) интенсивный
импульс. Таким образом, более полным и последовательным
надо признать временной подход. Он позволяет проанализи-
проанализировать физическую картину явлений на различных эта-
этапах взаимодействия излучения с фильтром (как перед про-
просветлением фильтра, так и в процессе просветления). При
этом удается рассмотреть условия полной синхронизации,
т. е. условия, при которых генерация единичного на пе-
периоде резонатора мощного светового импульса происходит
с достаточно высокой вероятностью.
Исходный профиль поля излучения. Исходный профиль
поля формируется в результате спонтанных процессов.
Вследствие флуктуационной природы процессов интенсив-
интенсивность излучения будет флуктуировать, причем минималь-
минимальная длительность флуктуации к моменту начала генерации
может быть оценена как тфлукт « 1/Дсо, где Дсо — ширина
линии усиления активного элемента.
Существенно, что в указанной флуктуационной карти-
картине проявляются определенные элементы упорядоченности.
Дело в том, что некоторая доля спонтанно испущенных
фотонов будет возвращаться зеркалами резонатора обрат-
обратно в активную среду, что будет приводить к частичному ре-
регенеративному усилению шумов. По мере приближения

400 Гл. 3. Динамика процессов е лазере
плотности инверсной заселенности к пороговому значению
доля таких возвращенных фотонов будет увеличиваться—
в результате вклад усиленных шумов начнет превышать
вклад прямого спонтанного излучения и появится периоди-
периодическая корреляция поля в моменты времени, разделенные
промежутком, равным времени двойного прохода излуче-
излучения через резонатор (иначе говоря, равным периоду резо-
резонатора Т). Таким образом, еще до достижения лазером
порога формируется структура дискретных продольных
мод, отстоящих друг от друга на частоту Q — 2л/Т и за-
заполняющих частотный интервал Дсо, соответствующий ши-
ширине линии усиления. На этапе линейного развития гене-
генерации происходит естественная селекция продольных
мод (см. § 3.8), приводящая к сужению спектра; к началу
просветления фильтра формируется спектр шириной Дсоо»
много меньшей начальной ширины Дсо.
Предположим, что исходный профиль поля образован
т продольными эквидистантными модами (т = Дсо0/0).
Существенно, что фазы мод на данном этапе независимы и
распределены случайным образом. Поэтому поле в резона-
резонаторе представляет собой гауссов шум; его интенсивность /
флуктуирует около некоторого среднего значения </>,
причем вероятность реализации значения / описывается
формулой
w (/) = ехр (—//</>)/</>, C.11.4)
которая следует из гауссова распределения для амплитуды
поля, если учесть, что интенсивность пропорциональна
квадрату амплитуды*).
Обозначим через wv вероятность флуктуационного вы-
выброса, имеющего интенсивность, превышающую среднюю
интенсивность более чем в v раз. Эту вероятность можно
найти, воспользовавшись соотношением
оо
wv= J w(l)dl. C.11.5)
Подставляя C.11.4) в C.11.5), находим
wv — exp (—v). C.11.6)
*) Применение распределения Гаусса для описания флуктуа-
ционных процессов подробно обсуждается, например, в [1331.

3.11. Самосинхронизация продольных мод 401
Поскольку частота следования флуктуации с произвольной
интенсивностью равна по порядку величины Дсоо/2я, то
флуктуационный выброс интенсивности / ^ v </> дол-
должен возникать в среднем за интервал времени xv, опреде-
определяемый соотношением
tv » 2jt/A{uot<yv. C.11.7)
Подставляя C.11.6) в C.11.7), получаем
tv » Bя/Дсоо) exp (v) C.11.8)
или с учетом C.9.12)
tv » (Т/т) exp (v). C.11.9)
Принимая во внимание периодичность исходного про-
профиля поля, заключаем, что для реализации выброса интен-
интенсивности / ^ v </> необходимо, чтобы промежуток вре-
времени tv не превышал периода резонатора Т:
rv<T. C.11.10)
Максимальное значение v может быть оценено из условия
Tv « Т или с учетом C.11.9) из условия m та exp (v). Та-
Таким образом,
v^ln/n. C.11.11)
Если исходный профиль поля включает m « 103 про-
продольных мод, то согласно C.11.11) возможны флуктуаци-
онные выбросы, интенсивность-которых почти на порядок
превышает среднюю интенсивность излучения.
Отметим, что согласно C.11.9) с ростом числа мод m
уменьшается промежуток времени tv и, следовательно, уве-
увеличивается вероятность возникновения таких выбросов. Су-
Существенно, что при этом должна увеличиваться вероятно-
вероятность двух и более таких выбросов за период резонатора. Это
означает, что в увеличении числа продольных мод имеется
не только положительная, но и отрицательная сторона;
последняя связана с уменьшением вероятности полной са-
самосинхронизации мод.
Разумеется, возникновение мощных коротких импуль-
импульсов в исходном профиле излучения еще нельзя интерпрети-
интерпретировать как эффект самосинхронизации мод. Ведь основная
энергия излучения сосредоточена не в выбросах с макси-
максимальной интенсивностью, а в фоне средних выбросов. В
процессе самосинхронизации мод (совершающемся на

402 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
этапе просветления фильтра) происходит существенное из-
изменение профиля поля, связанное с перераспределением
энергии излучения: слабые выбросы подавляются, интен-
интенсивные импульсы дополнительно возрастают (а также су-
сужаются)— см. рис. 3.61.
Показатель нелинейности. Степень изменения профиля
поля в процессе взаимодействия излучения с фильтром на
этапе просветления зависит от величины так называемого
показателя нелинейности р, определяемого следующим со-
соотношением:
= Wl* — (Чнп + ЧлинI
C.11.12)
Из C.11.12) следует, что эффект изменения профиля поля
может быть усилен, во-первых, за счет увеличения коэф-
коэффициента нелинейных потерь г]нл и, во-вторых, за счет
уменьшения разности коэффициента усиления и коэффи-
коэффициента суммарных потерь [х — (т]нл + т)лин)]. Оба случая
имеют простое физическое объяснение. В первом случае
усиливается действие фильтра за один проход излучения
через резонатор; это может быть достигнуто за счет увели-
увеличения плотности поглощающих центров в фильтре и сече-
сечения резонансного поглощения. Во втором случае возрас-
возрастает число проходов, сопровождающихся изменением профи-
профиля поля (иначе говоря, проходов, сопровождающихся про-
просветлением фильтра; будем называть их полезными про-
проходами). Вполне очевидно, что число таких проходов бу-
будет тем меньше, чем сильнее превышение коэффициента
усиления v. над суммой коэффициентов потерь г]нл + т]лин;
при достаточно сильном превышении возможно просветле-
просветление фильтра всего за один проход. Следовательно, чтобы
число полезных проходов было достаточно большим, необ-
необходимо выполнение условия
"^(Чм+Члин)- C.11.13)
Это условие означает, что лазер должен работать в режиме,
близком к пороговому.
Для рубиновых и неодимовых лазеров параметр р при-
принимает значения в пределах примерно от 20 до 100 [111].
Преобразование профиля поля при взаимодействии из-
излучения с фильтром на этапе просветления. Можно пока-
показать (см. [111]), что конечный профиль поля IK (f), устанав-

3.11. Самосинхронизация продольных мод 403
ливающийся после полного просветления фильтра, связан
с исходным профилем] /исх (i) следующим соотношением:
/к = const (/исх)р. C.11.14)
Если р = 1, то профиль поля не меняется; для изменения
профиля необходимо р > 1. Выше отмечалось, что увели-
увеличение разности (р — 1) должно усиливать эффект изменения
профиля поля излучения.
Согласно C.11.14) изменение исходного профиля поля
при взаимодействии излучения с фильтром на этапе про-
просветления происходит в двух направлениях. Во-первых,
каждый выброс интенсивности исходного профиля сокра-
сокращается по длительности (сужается) приблизительно в ]/р
раз. Это можно продемонстрировать, рассмотрев выброс
гауссовой формы:
/исх @ = const exp [—(t—Штисх] C.11.15)
(тисх — начальная длительность выброса). Подставляя
C.11.15) в C.11.14), получаем
/к (t) = const exp i—p (t—tof/r^cx] = const exp [— (t— toJ/r%\.
C.11.16)
Отсюда видно, что конечная длительность выброса тк ока-
оказывается в Ур раз меньше начальной длительности:
тк = тисх/Кр. C.11.17)
Отметим, что на спектральном языке эффект сужения им-
импульсов означает появление новых спектральных компонен-
компонентов*). Иными словами, отмеченное выше сокращение дли-
длительности выбросов интенсивности излучения означает
некоторое увеличение ширины спектра частот. Это расшире-
расширение спектра компенсирует происходившее на линейном эта-
этапе развития генерации сужение спектра за счет естествен-
естественной селекции продольных мод.
Во-вторых, если в исходном профиле поля два каких-
либо выброса интенсивности характеризуются отношением
*) Это замечание справедливо лишь в том случае, если выпол-
выполняется соотношение C.11.3а), т. е. если имеет место полная син-
кронизация мод. Если же длительность импульса существенно боль-
больше обратной величины ширины спектра частот, то в этом случае
сужение импульса не приводит к появлению новых спектральных
компонентов.

404 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
/исх/7исх» то в конечном профиле указанное отношение
примет вид (/исх//исх)р. Таким образом,
/;//к = (/«х//исх)Р. C.11.18)
Результат C.11.18) вытекает из C.11.14). Он означает,
что различие интенсивностей выбросов в исходном профиле
поля существенно усиливается (при р > 1) в процессе про-
просветления фильтра. Иначе говоря, фильтр действительно
подчеркивает наиболее интенсивные исходные выбросы.
Отметим, что из двух указанных эффектов (эффекта су-
сужения выбросов и эффекта подчеркивания более интенсив-
интенсивных выбросов) только второй эффект может ;быть одно-
однозначно связан с фазировкой продольных мод. Возможна
модель лазера, в которой самосинхронизация мод не сопро-
сопровождается уширением спектра [111]. Напомним в связи с
этим сделанное выше замечание о том, что при неполной
синхронизации сужение импульса может не приводить к
появлению новых спектральных компонентов.
О возможности синхронизации мод в случае генерации 'второй
гармоники. В принципе самосинхронизация мод может наблюдать-
наблюдаться в любой системе, реализующей нелинейное преобразование поля
излучения. В частности, можно использовать преобразование ос-
основной гармоники излучения во вторую гармонику. В этом слу-
случае соотношение C.11.14) принимает вид
'„.sco^onst^^. C.11.19)
В данном случае р =¦ 2. Экспериментально доказано, что излуче-
излучение второй гармоники от несинхронизованного излучения накач-
накачки действительно является частично синхронизованным.
Для синхронизации излучения основной частоты может быть
использована внутрирезонаторная генерация второй гармоники
[134]. Этот метод синхронизации основан на существовании двух
одновременно протекающих в резонаторе процессов: удвоении час-
частоты основной гармоники и генерации разностной частоты (часто-
(частоты, являющейся разностью частот второй и основной гармоник).
В данном случае имеем
/к = const(/исхK. C.11.20)
В отличие от C.11.19) показатель нелинейности оказывается здесь
более высоким: р = 3. Заметим также, что как /исх, так и /„ от-
относятся в данном случае к основной гармонике излучения.
Наиболее высокие значения параметра р (порядка 10— 100)
удается получать лишь с помощью просветляющихся фильтров.
Поэтому наиболее эффективный способ реализации самосинхрони-
самосинхронизации мод основан на использовании явления просветления среды
в лазерах с просветляющимся фильтром.

3.11. Самосинхронизация продольных мод
405
10
ю
Рис. 3.63
Рис. 3.64
Условия полной самосинхронизации мод. Сформулируем
условия, при которых с достаточно высокой вероятностью
формируется только один интенсивный выброс на периоде
резонатора в конечном профиле поля. Качественно эти
условия следуют из предыдущего рассмотрения,.
Первое условие состоит в том, что фильтр должен быть
малоинерционным, т. е. должен достаточно быстро «захло-
«захлопываться» за прошедшим сквозь него интенсивным выбро-
выбросом.
Второе условие требует достаточно большой величины
показателя нелинейности р. Для этого, напоминаем, надо
увеличивать коэффициент нелинейных потерь и обеспечи-
обеспечивать генерацию лазера в режиме, близком к пороговому.
Чем больше величина параметра р, тем выше селективные
свойства фильтра (подчеркивание интенсивных и подавле-
подавление слабых выбросов) и тем, очевидно, вероятнее ситуация,
когда в конечном профиле будет реализован только один
мощный выброс за период резонатора.
Третье условие состоит в том, что число мод в излуче-
излучении, взаимодействующем с фильтром, должно быть не слиш-
слишком высоким, так как в противном случае будет заметно
возрастать вероятность появления на одном периоде резо-
резонатора нескольких сравнимых интенсивных выбросов.
Наряду с основными условиями имеются дополнитель-
дополнительные. Так, например, следует исключить влияние эффектов
затягивания частот и самофокусировки излучения.
Количественный анализ условий полной самосинхрони-
самосинхронизации продольных мод проведен в [14]. Результаты этого
анализа иллюстрирует рис. 3.63. На плоскости (т, р), где
р — показатель нелинейности, am — число продольных
мод, подлежащих синхронизации, проведена расчетная
кривая, являющаяся границей между областями полной

406 . Гл. 3. Динамика процессов в лазере
(область /) и неполной (область 2) синхронизации. Из ри-
рисунка видно, что более критичным является условие роста
параметра р, нежели условие относительной малости т.
3.12. Временное описание активной синхронизации
продольных мод в лазере с однородно уширенной
линией усиления *>
Постановка задачи; основные предположения. Активную
синхронизацию продольных мод в непрерывно накачивае-
накачиваемых лазерах обычно реализуют при помощи акустоопти-
акустооптического модулятора**). Полагая, что линия усиления ак-
активного элемента уширена однородно, проведем рассмот-
рассмотрение такого режима генерации на основе временного под-
подхода Ш2, 113, 135, 136].
Будем рассматривать движение гауссова сверхкорот-
сверхкороткого светового импульса внутри резонатора, содержащего
акустооптический модулятор; см. рис. 3.64 (/ — активный
элемент, 2 — акустооптический модулятор, 3 — зеркала
резонатора). Световой импульс движется от исходной опор-
опорной плоскости Р, как показано на рисунке стрелками. Ис-
Используя определенные предположения (см. ниже), можно
вычислить параметры импульса после прохождения им
активного элемента и модулятора (с учетом потерь). Под
параметрами импульса понимаются его длительность, сред-
средняя мощность, сдвиг по времени относительно момента,
отвечающего нулевым потерям в модуляторе. Определив
разность значений того или иного параметра для конечного
(после двойного прохода резонатора) и исходного импуль-
импульсов и поделив эту разность на время двойного прохода, на-
находят производную по времени для данного параметра
[1351. В результате можно получить систему дифференци-
дифференциальных уравнений, описывающих процесс установления
режима синхронизации мод. Анализ этой системы позво-
позволяет определить области неустойчивости рассматриваемо-
рассматриваемого режима [136].
*) Данный параграф написан при участии В.К. Новокрещенова4
**) Под модулятором здесь понимается синхронизатор мод. Он
отличается от модулятора добротности (акустооптического затвора),
рассматривавшегося^ § 3.5; см. ниже.

3.12. Активная синхронизация продольных мод
407
Рис. 3.65
Рис. 3.66
На рис. 3.65 показано изменение во времени потерь,
вносимых в резонатор акустооптическим модулятором (кри-
(кривая а ({)), и развернутая во времени последовательность
генерируемых сверхкоротких световых импульсов (кри-
(кривая Е (t)). Напомним: выходное излучение лазера в виде
последовательности импульсов формируется в результате
того, что энергия «гуляющего» внутри резонатора мощного
светового импульса частично высвечивается всякий раз,
как импульс отражается от выходного зеркала. Поясним
обозначения на рисунке: Т — период следования импуль-
импульсов или, иначе говоря, период резонатора (время двойного
прохода резонатора); 2/м — частота модуляции потерь;
fM — частота напряжения, подаваемого на модулятор (час-
(частота управляющего сигнала); Дт — временной сдвиг им-
импульса относительно момента нулевых потерь. В устано-
установившемся режиме синхронизации мод 1/2/м — Т; оптималь-
оптимальные условия генерации реализуются при Дт = 0.
Основные предположения: А) спектральная ширина;им-
пульса много меньше ширины линии усиления (см. рис. 3.66,
где g (о) — контур линии усиления, Ех (о) — огибающая
спектра импульса на входе в активный элемент, Е2 (©) —
то же после прохождения активного элемента), Б) дли-
длительность импульса много меньше периода следования им-
импульсов, В) параметры импульса слабо меняются за время
двойного прохода резонатора. Предположение (А) важно
при рассмотрении преобразования импульса в активном
элементе, а предположение (Б) — при преобразовании им-
импульса в модуляторе. В отсутствие этих предположений га-
гауссова форма импульса, «гуляющего» внутри резонатора,

408 Гл. 3. Динамика процессов в лазере
не сохранялась бы*). Предположение (В) необходимо для
того, чтобы отношение разности значений параметра ко-
конечного и исходного импульсов ко времени двойного про-
прохода резонатора достаточно точно равнялось бы производ-
производной параметра по времени.
Изменение светового импульса при его прохождении
через активный элемент и модулятор. Следуя [112], пред-
представим исходный световой импульс в виде
?i @ *= (EJ2) ехр (—о?) exp (mpf), C.12.1)
где мр — центральная частота спектра импульса, а пара-
параметр а определяет длительность импульса ти и ширину его
спектра AfB:
ти = У 2 1п 2/а; Д/и = |/2а1п2/я. C.12.2)
Преобразование импульса при его прохождении через
активный элемент удобно рассматривать в пространстве
частот, перейдя предварительно от функции Et (f) к ее
фурье-образу:
= (?0/2) УШЬ. ехр [ — (и—ирJ/4а] C.12.3)
(оператор F выполняет преобразование Фурье). Импульс
света после двойного прохода активного элемента (обозна-
(обозначим этот импульс как Е2 (f)) определяется соотношением
ЕЛ*)^?-1 {g(<*)FlEim, C.12.4)
где g (on) есть коэффициент усиления по амплитуде для
двойного прохода активного элемента**); он имеет вид
C.12.5)
(©о — центральная частота контура усиления, Аи — ши-
ширина контура усиления на половине высоты).
*) Эти предположения позволяют при разложении в ряд функций
g (со) и a (t) ограничиться членами не выше второго порядка, что и
обеспечивает сохранение гауссовой формы импульса.
**) Подчеркнем отличие коэффициента усиления g (со) от коэф-
коэффициента усиления х (со), использовавшегося в предыдущих параг-
параграфах. Последний описывал усиление не по амплитуде, а по интен-
интенсивности и, кроме того, относился к единице длины активного эле-
элемента.

3.12. Активная синхронизация продольных мод 409
Световой импульс после двойного прохода модулятора
(импульс Е3 (t)) может быть представлен в виде
Ea(t)=E2(f)a(t-B), C.12.6)
где В = 2g/Aco — время задержки в активном элементе,
а функция a (t), описывающая зависимость от времени по-
потерь, вносимых модулятором, имеет в предположении (Б)
гауссов вид:
a(f) = ехр [— B6О + 2Sl(oMf + 2б2и^2)]. C.12.7)
Здесь (ом = 2nfM, а параметры 63, filf б2 выражаются че-
через дифракционную эффективность модулятора на один
проход р (называемую также глубиной модуляции потерь)
следующим образом:
б0 = р sin2 ф; 6\ = р sin 2ф; ба = р cos 2ф, C.12.8)
где ф = яАт/Т. Заметим, что соотношения C.12.8) спра-
справедливы при условии малости Р (Р <С 1)-
Далее учтем запаздывание импульса при распростране-
распространении в свободном пространстве, а также полезные и вредные
потери энергии за время двойного прохода резонатора. По-
Потери можно учесть, подбирая эффективный коэффициент
отражения R выходного зеркала. В результате получим
?4 @ -= A/2) In (\/R)Ea (t — 2L/c), C.12.9)
где L — оптическая длина резонатора.
Подстановка C.12.1) в C.12.4), затем C.12.4) в C.12.6)
и наконец C.12.6) в C.12.9) позволяет определить форму
импульса и его положение во времени после полного обхода
резонатора. Поделив разность соответствующих парамет-
параметров конечного импульса C.12.9) и исходного импульса
C.12.1) на время обхода резонатора, находят производную
данного параметра по времени.
Система дифференциальных уравнений, описывающая процесс
установления режима синхронизации мод. Выполняя указанную
выше процедуру и используя при этом уравнение баланса для ко-
коэффициента усиления, можно получить следующую систему диф-
дифференциальных уравнений [136]*):
*) Отметим попытку получения подобной системы уравнений в
[135]. Однако использованное в [135] предположение о постоянстве
во времени усиления в активном элементе является некорректным;
поэтому полученная в [135] система уравнений не позволяет, в от-
личие|от системы C.12.10), адекватно описать области неустойчи-
неустойчивости режима.
14 Зак. 1785

410
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
—2 In (\/R) —860);
C.12.10)
Здесь т = </M; /C = B In 2/я2) GУтиJ; g0 и g — начальное и насы-
насыщенное усиление; / = P/Ps, Р и Ps — средняя мощность в режи-
режиме синхронизации мод и параметр насыщения активной среды (пос-
(последний есть мощность, при которой усиление уменьшается вдвое);
(г = 4/м/Д/, Д/ = Дсо/2я", | = 1/тв/м, 1/тц — вероятность ре-
релаксации верхнего рабочего уровня; Д = 2я [ DLfM/c) — 1] —
относительная расстройка частоты модулирующего сигнала. Упо-
Упомянутое выше уравнение баланса для коэффициента усиления есть
четвертое уравнение в системе C.12.10) (ср. со вторым уравнением
в системе C.2.53)).
Приравнивая нулю производные в C.12.10), получаем систе-
систему уравнений для стационарного режима синхронизации мод. Для
иллюстрации на рис. 3.67 приведены стационарные параметры ти-
типичного лазера ИАГ : Nd$+ с синхронизацией мод. Параметры
рассматриваются в зависимости от величины расстройки частоты
модулирующего сигнала х. определяемой соотношением
г%=(/м—/м опт)/(с/41—/м опт),
где
/м опт = [D?/с) + 1п Ц/Ъ/яЬП-1-
Индекс «опт» относится к оптимальному режиму синхронизации
мод, при котором импульс проходит модулятор в момент нулевых
потерь.
Система C.12.10) позволяет определить области неустойчиво-
неустойчивости режима синхронизации мод по отношению к малым возмуще-
возмущениям путем исследования на устойчивость стационарного реше-
решения системы*). Характеристическое уравнение системы C.12.10)
имеет вид
_462//e—p ~46X —j
0
0
0 _
818!
4/
— р
=0. C.12.11)
Для выявления областей неустойчивости рассматриваемого режима
надо определить области, где положительна вещественная часть
хотя бы одного из корн ей уравнения C.12.11). Эти корни могут быть
представлены в виде р1р2 = xt ± iyu р3^ = х2 ± %• Зависимо-
Зависимости
на рис.
дставлены в виде р1р2 = хг ± Ч/i, Ps,t ~ *ъ ± %• Зависимо-
*i (X). *г (X). У\ (Х)> *а (X) Для лазера ИАГ : Nds+ представлены
рис. 3.68. Области значений х, соответствующие заштрихованным
*) Напомним в связи с этим аналогичное исследование, прово-
проводившееся в § 3.7.

3.12. Активная синхронизация продольных мод
411
Рис. 3.67
площадям под графиками х (у),
являются областями неустойчи-
неустойчивости режима синхронизации
мод. Из рисунка видно, что
допустимые значения расстройки
% (при которых режим синхро-
синхронизации мод устойчив к возму-
возмущениям) весьма малы. Поэтому
на практике необходимо доволь-
довольно жестко стабилизировать часто-
частоту модулирующего сигнала и
оптическую ?длину резонатора
либо использовать системы авто-
автоподстройки.
Приведем качественные со-
соображения, объясняющие появ-
появление областей неустойчивости
режима' синхронизации мод. До-
Допустим, что /м > /м опт- Тогда
увеличение /м будет приводить
к росту потерь из-за того, что
импульсы будут проходить моду-
модулятор в моменты времени, все
далее отстоящие от момента
нулевых потерь (будет расти
ф). Это приведет к уменьшению
/м опт и к дальнейшему возра-
возрастанию расстройки и сдвига по фазе ф. В результате с увели-
увеличением /м уменьшается /м Опт (частота /м Опт как бы «убегает» вниз, а
не остается на месте), что эффективно увеличивает расстройку.
Этот эффект соответствует внутренней положительной обратной
связи, которая и приводит к потере устойчивости режима синхрони-
синхронизации мод. Генерация имеет в этом случае вид хаотических пич-
ков.
Тот же механизм при /м < /м опт соответствует отрицательной
обратной связи. Казалось бы, он должен был стабилизировать рабо-
работу лазера. Однако, как известно (см. [68]), существует сдвиг фазы
между малыми колебаниями потерь и усиления в активном элемен-
элементе, зависящий от частоты колебаний и изменяющийся вблизи ре-
резонансной частоты на величину, близкую к 180°. В результате отри-
отрицательная обратная связь на частотах вблизи резонансных частот
становится положительной и приводит к неустойчивости режима
синхронизации мод.
Замечания о фазовых (электрооптических) и амплитуд-
амплитудных (акустооптических) синхронизаторах мод. Историчес-
Исторически первыми появились фазовые синхронизаторы мод на ос-
основе электрооптических кристаллов. В этих синхрони-
синхронизаторах переменное высокочастотное поле (с частотой,
близкой к частоте межмодовых биений) вызывало моду-
модуляцию задержки сверхкороткого светового импульса при
14*

412
Гл. 3. Динамика процессов в лазере
Рис. 3.68
-2-
его прохождении через синхронизатор, что соответствова-
соответствовало модуляции фазы последовательности импульсов. В нас-
настоящее время фазовые синхронизаторы практически вы-
вытеснены акустооптжескими синхронизаторами мод, ко-
которые осуществляют амплитудную модуляцию потерь
резонатора на частоте, близкой к частоте межмодовых бие-
биений [137].
Амплитудные синхронизаторы мод имеют следующие преиму-
преимущества по сравнению с фазовыми: более низкие потери за счет при-
применения оптически прозрачных материалов; вдвое более низкую
частоту питающего напряжения (за счет использования стоячей
ультразвуковой волны); удобство согласования в ВЧ-тракте и
малое питающее напряжение (управляющие напряжения составля-
составляют около 10 В в амплитудных синхронизаторах мод и около 100 В
в фазовых); незначительный нагрев; отсутствие фазовой неопреде-
неопределенности у последовательности импульсов. В связи с последним
замечанием отметим, что при фазовой синхронизации мод даже
незначительные возмущения могут привести к изменению фазы
последовательности импульсов относительно модулирующего сиг-
сигнала на 180° [112].
Известно, что при дифракции света на бегущей ультра-
ультразвуковой волне при постоянной подводимой УЗ-мощности
амплитудная модуляция проходящего светового потока не
происходит. Поэтому в акустооптических синхронизато-
синхронизаторах мод, в отличие от акустооптических модуляторов доб-
добротности, используется не бегущая, а стоячая ультразву-
ультразвуковая волна. При дифракции света на такой волне проис-
происходит амплитудная модуляция светового потока с частотой,
равной удвоенной частоте модулирующего сигнала.

3.12. Активная синхронизация продольных мод
413
Рис. 3.69
Как и в акустооптических модуляторах добротности,
в акустооптических синхронизаторах мод используется
дифракция Брэгга. Отношение интенсивности прошедше-
прошедшего через синхронизатор света 1Х к интенсивности падаю-
падающего света /0 имеет вид
M2
C.12.12)
Это соотношение похоже на соотношение C.5.8). Различие
между ними объясняется тем, что в данном случае исполь-
используется не бегущая, а стоячая ультразвуковая волна.
Общий вид акустооптического синхронизатора мод схе-
схематически показан на рис. 3.69. Здесь 1 — пьезопреобра-
зователь, 2 — призма из плавленого кварца, 3 — направ-
направление движения световых импульсов. Грани а и б квар-
кварцевой призмы параллельны друг другу (для обеспечения
режима стоячей волны), а грани в и г образуют друг с дру-
другом небольшой угол (для устранения селекции продольных
мод). Акустооптический синхронизатор мод является оп-
оптическим элементом, помещаемым внутрь резонатора не-
непрерывно накачиваемого лазера ИАГ : Nd3+. Ввиду ма-
малого усиления в таком лазере, предельно допустимые опти-
оптические потери в синхронизаторе с учетом просветляющих
покрытий не должны превышать 0,5—1%.
Список литературы
1. Микаэлян А. Л., Тер-Микаэлян М. Л., Турков Ю. Г. Оптические
генераторы на твердом теле.— М.: Сов. радио, 1967.— 384 с.
2. Методы расчета оптических квантовых генераторов в 2-х т./
Ф. К- Рутковский, В. П. Грибковский, А. М. Самсон и др.;.
Под ред. Б. И. Степанова.—Минск: Наука и техника, 1968.
Т.2.—656 с.

414 Список литературы
3. Машкевич В. С. Кинетическая теория лазеров.— М.: Наука,
1971.
4. Ханин Я. И. Динамика квантовых генераторов. (Квантовая ра-
радиофизика. Т.2).—М.: Сов. радио, 1975.—496 с.
5. Ривлин Л. А. Динамика излучения полупроводниковых кван-
квантовых генераторов.— М.: Сов. радио, 1976.
6. Пилнповнч В. А., Киселев А. А. Оптические квантовые генера-
генераторы с просветляющимися фильтрами. — Минск: Наука и тех-
лика, 1975.—216. с.
7. Морозов В. Н., Ораевский А. Н. Режимы работы квантовых ге-
генераторов с добротностью резонаторов, зависящей от интен-
интенсивности поля излучения.— Ж- техн. физики, 1967, т. 37, № 5,
с. 947—952.
8. Воропаев Н. Д., Ораевский А. Н. Режимы в квантовом генера-
генераторе при наличии поглощающей примеси.— Изв. вузов СССР.
Радиофизика, 1965, т. 8, № 2, с. 409—411.
9. О пичковой структуре излучения твердотельных лазеров/
Г. Н. Винокуров, Н. М. Галактионова, В. Ф. Егорова, А. А.
Мак, Б. М. Седов, Я. И. Ханин. — ЖЭТФ, 1971, т. 60, № 2,
с. 489.
10. Лившиц Б. Л. К теории вынужденного излучения движущихся
тел (явление кинематической модуляции). — ЖЭТФ, 1970,
т.59,№ 2 (8), с. 156.
11. Кирсанов Б. П., Леонтовнч А. М., Можаровскнй А. М. О пуль-
пульсациях излучения в многомодовых твердотельных оптических
квантовых генераторах.— Квантовая электроника, 1974, т. 1.
№ 10, с. 2211—2229.
12. Tang С, Statz H., De Mars С. Spectra^ output and spiking beha
viour of solid-state lasers.—J. Appl. Phys., 1963, v. 34, № 8,
p. 2289.
13. Летохов В. С. Флуктуационные ультракороткие импульсы све-
света в лазере.—ЖЭТФ, 1968, т. 55, № 5A1), с. 1943—1946.
14. Кузнецова Т. И. К статистике возникновения сверхкоротких
световых импульсов в лазере с просветляющимся фильтром.—
ЖЭТФ, 1969, т. 57, № 11, с. 1673—1683.
15. Coherence, narrowing, directionality and relaxation oscillations
in the light emission from ruby/R. Collins, D. Nelson, A. Schawlow,
W. Bond, С G. B. Garrett, W. Kaiser.— Phys. Rev. Letts,
1960, v. 5, № 7, p. 303—304.
16. Дементьев В. А., Зубарев Т. Н., Ораевский А. Н. Режимы пуль-
пульсаций интенсивности излучения в квантовых генераторах.—
Труды ФИАН, 1977, т. 91, с. 3—74.
17. Беленов Э. М., Морозов В. Н., Ораевский А. Н. Вопросы дина-
динамики квантовых генераторов. — Труды ФИАН, 1970, т. 52,
с. 237—336.
18. Голяев Ю. Д. Динамика колебаний квазинепрерывных лазеров
на алюмо-иттриевом гранате с неодимом.— Канд. дис. М.: МГУ,
1973.
19. Леонтович А. М., Чуркин В. Л. Возбуждение мод, пространст-
пространственная когерентность и кинетика свободной генерации в руби-
рубиновом ОКГ.— ЖЭТФ, 1970, т. 59, № 1 G), с. 7.

Список литературы 415
20. Ахманов С. А., Голяев Ю. Д., Дмитриев В. Г. Спектральные ха-
характеристики и динамика колебаний в квазинепрерывных лазе-
лазерах на алюмо-иттриевом гранате с неодимом.— ЖЭТФ, 1972,
т. 62, № 1, с. 13—138.
21. Голяев Ю. Д., Лантратов С. В. Пичковые режимы генерации в
лазерах на гранате с неодимом. — Квантовая электроника,
1974, т. 1, № 10, с. 2197—2210.
22. Me Clung F., Hellwarth R. Giant optical pulsations from ruby.—
J. Appl. Phys., 1962, v. 33, № 3, p. 828.
23. Hellwarth R. Q-modulation, of lasers. — In: Lasers. Ed. by
A. Levine, v. 1. — New York: Inc., 1966, p. 253.
24. Дмитриев В. Г., Ицхокн'И. Я., Швом Е. М. К теории генера-
генерации твердотельного лазера с немгновенным включением доброт-
добротности резонатора.— Электронная техника, сер. 10: Квантовая
электроника, 1975, вып. 1. с. 30—34.
25. Мустель Е. Р., Парыгии В. Н. Методы модуляции и сканирова-
сканирования света.— М.: Наука, 1970.— 295 с.
26. Белостоцкий Б. Р., Любавский Ю. В., Овчинников В. М. Основы
лазерной техники.— М.: Сов. радио, 1972.— 408 с.
27. Лисица М. П. Электрооптическая модуляция добротности резо-
резонаторов твердотельных ОКГ.— Квантовая электроника/Йист.
полупроводников АН УССР.— Киев: Наукова думка, 1972,
вып. 6, с. 3 — 30.
28. Магднч Л. Н., Молчанов В. Я. Акустооптические устройства и
их применение.— М.: Сов. радио, 1978.—112 с. (Массовая б-ка
инженера «Электроника»).
29. Летохов В. С, Сучков А. Ф. Динамика оптического квантового
генератора с мгновенным включением добротности.— Труды
ФИАН, 1968, т. 43, с. 169—186.
30. Микаэлян А. Л., Турков Ю. Г. К теории оптического генератора,
работающего ri режиме накопления. — Радиотехника и элект-
электроника, 1964, т. 9, № 4, с. 743.
31. Ривлин Л. А. Отрицательное резонансное поглощение света в
устойчивой среде. — ЖЭТФ, 1964, т. 47, № 8, с. 624.
32. Bret С, Gires F. Giant — pulse laser and light amplifier variab-
variable transmission coefficient glasses as light switches. — Appl.'
Phys. Letts, 1964, v. 4, № Ю, p. 173.
33. Hargrove L., Fork R., Pollack M. Locking of He — Ne laser
modes indused by synchronous intracavity modulation. —
Appl. Phys. Letts, 1965, v. 5, № 1, p. 4.
34. De Maria A., Stetser D., Heunau H. Self mode-locking of lasers
wiht saturable absorbers. — Appl. Phys. Letts, 1966, v. 8,
№ 7, p. 174.
35. Малышев В. И., Маркин А. С, Сычев А. А. Самосинхронизация
мод в гигантском импульсе ОКГ на рубине с широким спект-
спектров. — Письма в ЖЭТФ, 1967, т. 6, № 2, с. 503—505.
36. Weber H. Generation and measurement of ultrashort light pul-
pulses. — J. Appl. Phys., 1968, v. 39, № 13, p. 6041.
37. Характеристики ОКГ, работающего в режиме с синхронизацией
мод/С.Д. Кайтм,азов, И. К- Красюк, П. П. Пашинин, А. М. Про-
Прохоров.— ДАН СССР, 1968, т. 180, № 6, с. 1331.

416 Список литературы
38. Picosecond laser pulses /A. De Maria, W. Glenn, M. Brienza,
M. Mack.— Proc. IEEE, 1969, v. 57, № 1, p. 2.
39. Зельдович Б. Я., Кузнецова Т. И. Генерация сверхкоротких им-
импульсов света с помощью лазеров.— УФН, 1972, т. 106, вып. 1,
с. 47 — 84.
40. Маркин А. С. Дискриминация типов колебаний и явление само-
самосинхронизации в ОКГ на твердом теле с просветляющимся
фильтром.— Труды ФИАН, 1971, т. 56, с. 3—65.
41. Гуревич Г. Л., Ингель Л. X. О синхронизации мод ОКГ при ре*
зонансной модуляции параметров резонатора.— Изв. вузов
СССР. Радиофизика, 1974, т. 17, № 2, с. 219—226.
42. Морозов В. Н., Никитин В. В., Шеронов А. А. Самосинхрониза-
Самосинхронизация типов колебаний в инжекционных ПКГ.— Письма в ЖЭТФ,
1968, т. 7, № 9, с. 327—329.
43. Lyon D., George E., Haus H. Observation of spontaneous mode
locking in a high-pressure CO2 laser. — Appl. Phys. Letts,
1970, v. 17, № 11, p. 474.
44. Самосинхронизация мод в ОКГ на рубине в режиме свободной
генерации /А. Н. Бондаренко, Г. В. Кривощеков, В. М. Семи-
баламут, В. А. Смирнов, М. Ф. Ступак. — Изв. вузов СССР.
Радиофизика, 1971, т.14, № 10, с. 1615—1616.
45. Ханин Я. И. Роль нелинейности активной среды при синхрони-
синхронизации мод твердотельного лазера.— Квантовая электроника,
1978, т. 5, № 3, с. 590—596.
46. Auston D. H. Transverse mode locking.— IEEE J., 1968, QE-4,
№ 6, p. 420—424.
47. ^ignore R. Possibilite d'obtention du verrouillage des modes
transwerses d'un laser.—Revue de Physique Appliquee, 1973,
tome 8, p. 33—48.
48. Smith P. Simultaneous phase-locking of longitudinal and trans-
transverse laser modes. — Appl. Phys. Letts, 1968, v. 13, № 7, p.
235-237.
49. Аракелян В. С, Карлов Н. В., Прохоров А. М., Самосинхрониза-
Самосинхронизация поперечных мод СОг-лазера.— Письма в ЖЭТФ, 1969,
т. 10, №6, с. 279 —280.
50. Michon M., Ernest J., Auffer R. Passive transverse mode locking
in a confocal Nd3+ glass laser. — IEEE J., 1969, QE-5, № 2, p. 125
51. Духовный А. М., Мак А. А., Фромзель В. А. Самосинхронизация
поперечных мод в твердотельном ОКГ.— ЖЭТФ, 1970, т. 59,
№ 10, с. 1165—1176.
52. Дмитриев В. Г., Шалаев Е. А., Швом Е. М. Пространственно-
временные и спектральные характеристики излучения лазера
на алюмо-иттриевом гранате с неодимом в режиме модуляции
добротности. — Квантовая электроника, 1975, т. 2, № 8,
с. 1834— 1837.
52. Maydan D. Fast modulator for extraction of internal laser
power. — J. Appl. Phys., 1970, v. 41, № 4, p. 1552—1559.
54. Chester R. В., Maydan D. Calculation of Nd:YAlG cavity du-
dumping.—J. Appl. Phys., 1971, v. 42, № 3, p. 1028—1030.
55. Maydan D., Chester R. B. Q-switching and cavity dumping of
Nd: YAIG lasers.— J. Appl. Phys., 1971, v. 42, № 3, p. 1031 —
1034.

Список литературы 417
56. Moran J. M. Calculation of the minimum repetition rate of
a cavity-dumped four-level laser.— IEEE J., 1976, QE-12, № Ю
p. 639—644.
57. Непрерывно накачиваемый твердотельный ОКГ с удвоением час-
частоты в режиме глубокой модуляции полезных потерь/П.Г. Кон-
висар, С. Р. Рустамов, О. О. Силичев, А. А. Фомичев.— Тезисы
докладов VIII Всесоюз. конф. по когерентной и нелинейной оп-
оптике.— Тбилиси: Мецниерба, 1976, с. 177.
58. Morton R. С, Mack M. E., Itzkan I. Efficient cavity dumped
dye laser. — Appl. Optics, 1978, v. 17, № 20, p. 3268 — 3275.
59. Chester R. В., Karr M. A., Ceusic J. E. An experimental and theo-
theoretical study of high repetition rate Q-switched Nd:YAlG lasers.—
Proc. IEEE, 1970, v. 58, p. 1899—1914.
60. Geusic U. E., Hensel M. L., Smith R. G. A repetitively Q-switched,
continuously pumped YAG-Nd laser.— Appl. Phys. Letts, 1965,
v. 6, p. 175—177.
61. Koecher W. Multihundred Watt Nd:YAG continuous laser.—
Rev. Scient. Instr., 1970, v. 41, № 12, p. 1699—1706.
62. Baldwin G. D. Output power calculations for a continuously
pumped Q-switched YAG:Nd3+ laser.— IEEE J., 1971, QE-7,
№ 6, p. 220—224.
63. Конвисар П. Г., Фомичев А. А. Оптимальная нагрузка оптиче-
оптического излучателя при непрерывной накачке.— Труды МФТИ,
сер. Радиотехника и электроника, 1972, ч. 1, с. 83—89.
64. Конвнсар П. Г., Рустамов С. Р., Фомнчев А. А. Влияние терми-
термически индуцированного двулучепреломления активного эле-
элемента на внутрирезонаторную генерацию гармоники при не-
непрерывной накачке.— Квантовая электроника, 1974, т. 1, № 3,
с. 667—671
65. Арсеньев В. А., Матвеев И. Н. Устинов Н. Д. Генерация им-
импульсов нано- 'и микросекундной длительности в твердотель-
твердотельных лазерах (обзор). — Квантовая электроника, 1977, т. 4,
№ 11, с. 2309—2329.
66. Marschall F. R., Roberts О. L. Use of electro-optical shutters
to stabilize ruby laser operation.— Proc. IRE, 1962, v. 50,
№ 10, p. 2108—2112.
67. Грязное Ю. М., Частое А. А. Получение беспичкового режима
генерации рубинового лазера с помощью затемняющихся раст-
растворов.—Ж. прикл. спектр., 1972, т. 16, № 4, с. 658—661.
68. Дмитриев В. Г., Новокрещенов В. К. Амплитудо- и фазочастот-
ные характеристики лазера на АИГ:Ш3+ с внутрирезонаторной
генерацией второй гармоники. — Квантовая электроника,
1977, т. 4, № 7, с. 1582 — 1586.
69. Statz H., De Mars G. Transients and oscillation pulses in masers.—
In: Quantum Electronics. Ed. by С. Н. Townes. — New York:
Columbia Univ. Press., 1960, p. 530—538.
70. Тарасов Л. В. Физические основы квантовой электроники (оп-
(оптический диапазон..— М.: Сов. радио, 1976.— 368 с.
71. Menne T. Analysis of the uniform rate equation model of laser
dynamics.— IEEE J., 1966, QE-2, № 2, p. 38.
72. Морозов В. Н. К теории многомодовой генерации в полупровод-
полупроводниковых лазерах.— Квантовая электроника, 1974, т. 1, № 3.

418 Список литературы
73. Генкин В. Н., Ханнн Я- И., Лазеры (обзор.) — Изв. вузов
СССР. Радиофизика, 1962, т! 5, № 3, с. 423—458.
74. Tang С. On maser rate equations and transient oscillations.—
J. Appl. Phys., 1963, v. 34, № 10, p. 2935.
^5. Лэмб У. Теория оптических мазеров.— В кн.: Квантовая оп-
оптика и квантовая радиофизика; Пер. с англ. и франц./ Под ред.
О. В. Богданкевича н О. Н. Крохина. — М.: Мир, 1966, с.
281—376.
76. Островский Л. А. Взаимодействие колебательных мод в кван-
квантовом оптическом генераторе. — ЖЭТФ, 1965, т. 48, № 4, с.
1087—1096.
77. Островский Л. А. Автомодуляция излучения оптического кван-
квантового генератора с двухмодовым резонатором. — ЖЭТФ, 1965,
т. 49, № 5, A1), с. 1535 — 1543.
78. Основы теории колебаний/В. В. Мигулин, В. И. Медведев,
Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгин; Под ред. В. В. Мигулина.— М.:
Наука, 1978.—392 с. -
*79. Мэйтлэнд А., Дани М. Введение в физику лазеров: Пер. с англ.
Под ред. С. И. Анисимова.— М.: Наука, 1978. —407 с.
80. Ландау Л. Д., Лифшнц Е. М. Квантовая механика (нерелятивист-
(нерелятивистская теория).— М.: Наука, 1974. — 752 с.
81. Makhov G. On the problem of pulsed oscillations in ruby masers.—
J. Appl. Phys., 1962, v. 33 , № l, p. 202.
82. Sinnet D. An analysis of the maser oscillator equations. — J.
Appl. Phys., 1962, v. 33, № 4, p. 1578.
83. Коробкин В. В., Успенский А. В. К теории пульсаций излуче-
излучения оптического квантового генератора на рубине. — ЖЭТФ,
1963, т. 45, № 4, A0), с. 1003.
84. Успенский А. В. Возможный механизм пульсаций излучения
квантовых генераторов.— Радиотехника и электроника, 1964,
т. 9, № 4, с. 747.
85. Ораевскнй А. Н., Успенский А. В. Режим пульсаций мощности
излучения квантовых генераторов. — Труды ФИАН, 1965,
т. 31, с. 96.
86. Беспалов В. И., Гапонов А. В. Статистические характеристики
автомодуляции излучения лазера на твердом теле. — Изв. ву-
вузов СССР. Радиофизика, 1965, т. 8, № 1, с. 70.
87. Андронов А. А., Витт, А. А., Хайкин С. Э. Теория колеба-
. ннй. — М.: Физматгиз, 1959.
88. Statz H.,^Tang С. Multimode oscillations in solid-state masers.—
J. Appl. Phys., 1964, v. 35, № 5, p. 1377.
89.*Морозов В. Н., Ораевский А. Н. О синхронизации пичкового
""режима квантовых генераторов.— Изв. вузов СССР. Радиофизи-
Радиофизика, 1966, т. 9, № 4, с. 710—714.
90. Цикунов В. Н. Резонансные явления при вынужденных коле-
колебаниях интенсивности излучения лазеров.— ЖЭТФ, 1970, т. 58,
№ 5, с. 1646.
91. Винокуров Г. Н. К теории синхронизации пичков лазера перио-
периодическим воздействием.— Оптика и спектроскопия, 1971, т. 31,
№ 3, с. 472—475.
92. De Maria A., Gagosz R. Ultrasonic feedback modulation of an
optical maser oscillator.—Proc. IRE, 1962, № 56, № 6, p. 1522.

Список литературы 419
93. Козлова В. К., Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. О пороге синхро-
синхронизации пичков рубинового лазера.— Радиотехника и электро-
электроника, 1969, т. 14, № 5, с. 875.
94. Никогосян Д. Н. Кристаллы для нелинейной оптики (справоч-
(справочный обзор). — Квантовая электроника, 1977, т. 4, № 1, с. 5—26.
95. Maydan D. Acoustooptical pulse modulators.— IEEE J
1970, QE-6, № 1, p. 15—24.
96. Прохоров А. М. Генерация квантового оптического генератора
при мгновенном включении добротности.— Радиотехника и
электроника, 1963, т. 8, № 6, с. 1073.
97. Wagner W., Lengyel В. Evolution of the giant pulse in a laser.—
J. Appl. Phys., 1963, v. 34, №7, p. 2040.
98. Menat M. Giant pulses from a laser: optimum conditions. —
— J. Appl. Phys., 1965, v. 36, № 1, p. 73.
99. Нестационарные процессы в моноимпульсных лазерах с неус-
неустойчивыми резонаторами/Н. С. Голубева, Л. Ф. Криницына,
Л. С. Орбачевскнй В. И. Рождествин. — Квантовая электро-
электроника, 1977, т. 4, № 1, с. 49—57.
100. Ruby laser Q-switching elements using phtalocyanine
molecules in solution/ P. Sorokin, J. Luzzi, J. Lankard, G. Pet-
tit.— IBM J. Res. Dev., 1964, v. 8, № 2, p. 182.
101. Armstrong J. Saturable optical absorption in phtalocyanine
dyes.— J. Appl. Phys., 1965, v. 36, №2, p. 471.
102. Ермаков Б. А., Лукин А. В. Механизм просветления органи-
органических фототропных затворов для рубиновых ОКГ.— Ж- прикл.
спектр., 1966, т. 4, № 5, с. 410—415.
103. Gross L., Cheng M. Generation of giant pulses from a neodymi-
um laser with an organic-dye saturable filter. — J. Appl. Phys.
1967, v. 38, № 5, p. 2290.
104. Рощин Р. В. К динамике оптического квантового генератора
с управляемой добротностью резонатора. —Изв. вузов. СССР.
Радиофизика, 973, т. 16, №7, с. 1006—1019.
105. Беспалов В. И., Якубович Е. И. О периодической автомодуля-
автомодуляции излучения и возможности генерации гигантских импульсов
в трехуровневом ОКГ с неоднородно подсвеченным рабочим ве-
веществом.— Изв. вузов СССР. Радиофизика, 1965, т. 8, № 5, с.
909.
106. Сущик М. М., Фрейдман Г. И. О ширине углового и частотного
спектра излучения ОКГ с нелинейным поглотителем.— Изв.
вузов СССР. Радиофизика, 1966, т. 9, № 5, с. 919.
107. Erickson L., Szabo A. Effect of saturable absorber lifetime,
on the performance of giant-pulse lasers.— J. Appl. Phys.
1966, v. 37, № 13, p. 4953.
108. Szabo A., Stein R. Theory of laser giant pulsing by a saturable
absorber.— J. Appl. Phys., 1965, v. 36, № 5, p. 1562.
109. Борович Б. Л., Зуев В. С, Щеглов В. А. Оптический кванто-
квантовый генератор с насыщенным фильтром.— ЖЭТФ, 1965, т. 49,
№4A0), с. 1031.
110. SooyW. The natural selection of modes in a passive Q-switched
laser. — Appl. Phys. Letts, 1965, v. 7, № 2, p. 36.
111. Кузнецова Т. И. Исследование временных характеристик ла-
лазерных импульсов.— Труды ФИАН, 1975, т. 84, с. 62—164.

420 Список литературы
112. Kuizenga D. J., Siegman A. E. FM and AM mode-locking of
the homogeneous laser.— IEEE J., 1970, QE-6, № 11, p. 694—708.
113. Siegman A. E., Kuizenga D. J. Active mode-coupling pheno-
phenomena in pulsed and continuous lasers.— Opto-electronics, 1974,
v. 6, № 1, p. 43—66.
114. Osterink L., Foster J. A mode-locked Nd: YAG laser.—J. Appl.
Phys., 1968, v. 39, № 9, p. 4136.
115. Von Gutfeld R. Picosecond dye laser using nitrogen laser pum-
pumping.— Allp. Phys. Letts, 1971, v. 18, № Ц, p. 481.
116. Летохов В. С. Генерация ультракоротких импульсов света ь
лазере с нелинейным поглотителем.— ЖЭТФ, 1968, т. 55,
№ (9), с. 1077—1088.
117. Ларионцев Е. Г., Серкин В. Н. Влияние длины резонатора на
динамику генерации ультракоротких импульсов света. —
Квантовая электроника, 1974, т. 1, № 10, с. 2166—2171.
118. Кузнецова Т. И., Малышев В. И., Маркин А. С. Самосинхро-
Самосинхронизация аксиальных мод в лазере с просветляющимся фильт-
фильтром. — ЖЭТФ, 1967, т. 52, № 2, с. 438—446.
119. Кривощеков Г. В., Никулин Н. Г., Смирнов В. А. Генерация
ультракоротких импульсов в лазере с двухкомпонентной средой
при вынужденной синхронизации мод. — Квантовая электро-
электроника, 1975, т. 2, № 9, с. 2019—2025.
120. Исследование генератора с пассивной синхронизацией мод с
определенным моментом появления генерации/С. К. Вартапе-
тов, В. И. Вовченко, И. К- Красюк, П. П. Пашинин. —Кванто-
—Квантовая электроника, 1976, т. 3, № 11, с. 2450 — 2451.
121. Альтшулер Г. Б., Карасев В. Б., Шарлай С. Ф. Самосинхрони-
Самосинхронизация мод в лазере с комбинированной модуляцией добротности.
Квантовая электроника, 1977, т. 4, № 4, с. 878 — 880.
122. Теренин А. Н. Фотоника красителей—Л.: Наука, 1967.
123. Зависимость времени просветления пассивного затвора от при-
природы растворителя в ОКГ на неодимовом стекле /В. А. Ба-
бенко, В. Д. Ковин, В. И. Малышев, А. А. Сычев.—¦ Квантовая
электроника, 1974, т. 1, № 5, с. 1228—1232.
124. Сычев А. А. Исследование спектрального состава излучения
твердотельных ОКГ.—Труды ФИАН, 1975, т. 84, с. 3—61.
125. Сверхлюминесценция растворов полиметиновых красителей
при возбуждении излучением неодимового ОКГ/В. А. Бабеико,
В.. И. Малышев, А. А. Сычев, А. Н. Шибанов.— Квантовая
электроника, 1975, т.2, № 9, с. 1923—1929.
126. Получение пикосекундных импульсов в условиях вынужден-
вынужденного сокращения времени релаксации насыщающегося погло-
поглотителя Г. А. Абакумов, А. И. Антипов, А. П. Симонов, А. Б.
Синицын, В. В. Фадеев.— Квантовая электроника, 1977,
т.4, № 11, с. 2442—2447.
127. О происхождении временной структуры ультракоротких лазер-
лазерных импульсов/А. Н. Жерихин, П. Г. Крюков, Ю. А. Матвеец,
С. В. Чекалин.— Квантовая электроника, 1974, т. 1, № 4, с.
956—958.
128. Власов С. Н., Веревкин Ю. К. Особенности ограничения мощ-
мощности генерации ОКГ с синхронизацией мод самофокусиров-

Список литературы 421
кой в активном элементе— Квантовая электроника, 1976, т. 3,
№5, с. 991—997.
129. Жерихин А. Н., Матвеец Ю. А., Чекалин С. В. Ограничение
яркости вследствие самофокусировки при усилении ультра-
ультракороткого импульса в неодимовом стекле и в иттрий-алюмини-
иттрий-алюминиевом гранате.— Квантовая электроника, 1976, т. 3, № 7,
с. 1585—1590.
130. Ларионцев Е. Г., Серкин В. Н. О возможности использования
самофокусировки для увеличения контраста и сужения ультра-
ультракоротких импульсов света.— Квантовая электроника, 1975,
т. 2, № 7, с. 1481—1488.
131. Armstrong J. Measurement of picosecond laser pulse widths.
— Appl. Phys. Letts, 1967, v. 10, № 1, p. 16.
132. Two-photon excitation of fluorescence by picosecond light pulses
/J. Giordmaine, P. Rentzepis, S. Shapiro, K. Wecht.— Appl.
Phys. Letts, 1967, v.l 1, № 7, p. 216.
133. Ландау Л. Д., Лнфшнц Е. М. Статистическая физика.— М.:
Наука, 1964.— 568 с.
134. Дмитриев В. Г., Денисов А. Н. Шалаев Е. А. Влияние квадра-
квадратичной нелинейности на необходимые условия спонтанной син-
синхронизации мод лазера на YAG:Nd3+.— Квантовая электро-
электроника, 1978, т. 5, № 11, с. 2479—2482.
135. Barnes N. R. Mode-locking dynamics of homogeneously broa-
broadened lasers.— J. Appl. Phys., 1974, 45, № 3, p. 1291—1297.
136. Новокрещенов В. К-, Рустамов С. Р. Об устойчивости режима
синхронизации мод непрерывно накачиваемого лазера на
ИАГ: Nd с удвоением частоты. — Тезисы докладов I Всесоюз.
конф. «Проблемы управления параметрами лазерного излу-
излучения».— Ташкент: ТГУ, 1978, часть I, с. 238.
137. Rice R. R., Burkhart G. H., Teague J. R. Barium-sodium mo-
bate acousto-optic mode-locked/frequency-doubler (AOML/
/FD) for YAG:Nd.—"J. Appl. Phys., 1976, v. 47, № 7, 3045—
3053.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА
Дифференциальная форма полиномов Эрмита. Разложим функ-
функцию Я (х, t) = exp Bxt — t2) в степенной ряд в окрестности точки
/= 0:
ехр Bх/-/«) =
,п
(ПЛЛ>
п=0
Коэффициенты Я„ (лг) этого разложения суть полиномы Эрмита:
(П. 1.2)
. a"
Нп(х) = H(x, t)
dt"
Функцию Н (х, t) называют производящей функцией для полиномов
Эрмита. Запишем эту функцию в виде
Н (х, t) •= ехр Bxt — Р) ¦= ехр (ж2) ехр [— (х — tf\ •= ехр (л:2) X
Хехр [—(х+ иJ] и затем подставим в (П. 1.2.) Получим
д"
Я (ж, /)
dtn
= exp(*2)(-l)"
= exp (*«)( —1)"
Таким образом,
дп
=(-1)" Н(х, и)
ди"
а"
[
ди"
а"
«=о
ехр [-(ж+в)]
«=0
(П. 1.3)
Выпишем несколько первых полиномов:
Н0(х) = 1; Н1(х)=2х; Н2(х) =
Яа (д;)=8x3—12*; Я4 (лг) == 16д;4—
Заметим, что Яп (—х) = (—1)" Я„ (д:).
Рекуррентные формулы. Из (П. 1.1) следует
¦s-»"-o-S^
/1 = 0

V
Приложение 1. Полиномы Эрмита
423
С другой стороны,
at at
Таким образом,
:. t).
rt=0 rt—0
Приравняв коэффициенты при tn, получаем иэ (П. 1.4)
п\
д
~ (
п\
или
Далее продифференцируем Н (х, t) по х:
д и, «
2
/1 = 0
С другой стороны,
а д
Н = ехрB*< — l*) = 2tH(x, t)
дх дх
Следовательно,
oo ' oo
2 T'-l
n=0
n=0
dHn tn
dx n\
Приравняв коэффициенты при tn, находим
Wn-il(n-\)\ = (l/n!) dHnldx
или
(П. 1.5)
(П.1.6)
Дифференциальное уравнение для полиномов Эрмита. Про-
Продифференцируем (П. 1.5):
(П. 1.8)
dx dx dx
Продифференцируем (П. 1,6):
2ndHn-t/dx=d2Hn/dx*.

424 Приложение 1. Полиномы Эрмита
Учтем также, что согласно (П. 1.6)
Подставляя (П. 1.8) и (П. 1.9) в (П. 1.7), получаем
dHn
Hn=2Hn+2x-
dx
dx2
(П. 1.9)
(П.1.10)
Таким образом, дифференциальное уравнение для у = Нп (х) име-
имеет вид
(П.1.11)
Ортоиормированность полиномов Эрмита. Полиномы Эрмита
ортонормированы на промежутке —оо < х < со. Докажем, что
(П.1.12)
. = 1 при п = т; 6nm = 0 при п ф т). Для этого рассмотрим
со
dxr
= (-1)пНт(х)
+ (-!)"-
d"-1
dx
" ¦
dH
dx.
dx dxn-\
OO
Выполняя взятие интеграла по частям т раз, находим
оо
ЛП — Ш
п
J
dx
ехр(-х»)<!х. (П.1.13)
Производную dmHmfdxm нетрудно найти:
dx

риложение 1. Полиномы Эрмита
425
d*
*=2?m(m-l)(m-2) Я
dx™
¦=2mm(m~l)(m—2). ..2-1-Яо = 5
Подставляя (П. 1.14) в (П. 1.13), получаем
оо
N = (~lf+m2mm\ f — ex
J dxn~m
(П. 1.14)
(П.1.15)
При п > т интеграл в правой части равенства (П. 1.15) обращает-
обращается в нуль. При п = т этот интеграл превращается в интеграл Пуас-
со
сона: f ехр (—хг)йх=~)/п. Таким образом, равенство (П. 1.12)
— оо
доказано.
Видоизмененные полиномы Эрмита (полиномы Эрмита—Га-
Эрмита—Гаусса). Указанные полиномы определяются следующим образом:
п (х) = B" п! Уй) • '2 Нп (х) ехр (-*¦ /2)
Используя (П. 1.12), нетрудно показать, что
(П.1.16)
(П.1.17)
Выполнив дважды дифференцирование соотношения (П. 1.16),
получим
dx*
Г
X
I dx* dx
Используя (П. 1.10), находим отсюда
•^%-=B"niyJ0"
ехр ^_
2_, _2п) Яп
или

426 Приложение 2. Гауссов пучок в свободном пространстве
Таким образом, дифференциальное уравнение для у = if>n (*) име-
имеет вид
dx*
(П.1.18)
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ГАУССОВ ПУЧОК В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Полагая, что апертурные эффекты отсутствуют, представим
см. B.7.7)) и (х, y,z) = v (x, z)v (у, г), где
v(х, г)=*Ув~(г)~ J exp[-(i/poJ+((ji/a,2)(*-i)V?, (П.2.1)
— оо
В (z) = —j (А/Кг) ехр (йлг/Я).
Перепишем (П.2.1) в виде
оо
v(x, г)=УВ(г) J exp[-(ci+6)a+c]d|, (П.2.2)
—оо
где, как нетрудно убедиться,
а (г)=У1_«(пр2Аг)/Ро;
Вводя в (П.2.2) переменную интегрирования г = а|+ Ь, получаем
v (х, г) =-1VfiTif/a (г)] ехр [с (х, г)] J e-1' dx =
=ехр [с (х, г)] УпВ(г)/а(г).
Таким образом,
и (х, у, г) = ехр [с (*, г) + с (у, г)]яВ (г)/а* (г).
Подставляя сюда записанные выше выражения для В (г), а (г),
с (*, г) (выражение для с (у, г) такое же как для с (х, г) с заменой
х нд j/(, приьодим к результату B.7.8).

Приложение 3. Волны в неустойчивом резонаторе 427
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
УСТОЙЧИВАЯ И НЕУСТОЙЧИВАЯ СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
В НЕУСТОЙЧИВОМ РЕЗОНАТОРЕ
Пусть R — решение уравнения B.10.20а). Это уравнение име-
имеет вид
Я = (Л/? + B)l (CR + Р). (П.3.1)
Добавим к R малое возмущение Д#. В результате двойного про-
прохода излучения по резонатору исходное возмущение А/? превра-
превратится в возмущение 6R, определяемое соотношением
3.2)
C(R+bR) + D
Если | 8R | < | ДЯ |, то это означает, что возмущение затухает по
мере того, как излучение проходит по резонатору; следовательно,
решение R уравнения (П.3.1)—устойчивое. При |б?|>|Д#|
возмущение, напротив, нарастает, что указывает на неустойчиво-
неустойчивость решения.
Преобразуем (П.3.2):
CbR
+
Используя (П.3.1) и учитывая, что C&R < (CR + D), находим от-
отсюда
Таким образом,
6Я/ДЯ = (А — CR)I (CR + D). (П.3.3)
Как известно, уравнение (П.3.1) имеет два решения:
Я=-^Г U-D ± У(Л+Я)а-4 ]. (П.3.4)
Верхний знак относится к решению B.10.22а), а нижний — к
B.10.226). Используя (П.3.4), преобразуем правую часть соотноше-
соотношения (П.3.3):
A-CR _
CR+D (A + D)±y(A+D)*—4
Если (А + D) > 2, то
(А+Р)+У(А+Р)*-4 (А+Р)-У(А+Р)*-4

428 Приложение 4. Матрицы Джонса
Следовательно, при (А + D) > 2 решение B.10.22а) является ус-
устойчивым, а решение B.10.226) — неустойчивым.
При (Л -f- D) < — 2 имеет место противоположная ситуация.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
МАТРИЦЫ ДЖОНСА
Состояние поляризации поляризованной световой волиы опи-
[Ех\
сывают двухкомпонентным вектором Джонса: I I , где Ехи Еу —
\Еу!
составляющие электрического вектора волны. Вводя амплитуду
и фазу волны, перепишем вектор Джонса в виде I х . I. Для ли-
\Ayevv/
нейно-поляризованного света: фж=Фг/-
Предположим, что некий оптический элемент (поляризатор,
двулучепреломляющая пластинка и т. п.) изменяет поляризацию
(\
световой волны. Пусть новый вектор Джонса имеет вид I I. Он
может быть выражен через исходный вектор Джонса следующим
(Е'х\ [аххаху\(Ех\ (аххаху\
образом: , = I I, где " I—описывающая рас-
\Еу/ \ayxayyl \ty J \аухауу1
\у
сматриваемый оптический элемент матрица Доконса.
Если световая волна проходит последовательно через несколь-
несколько оптических элементов, то результирующая матрица Джонса мо-
может быть найдена как произведение соответствующих матриц, за-
записанных в порядке, обратном порядку прохождения элементов.
Для линейного поляризатора, плоскость пропускания которо-
которого проходит через оси гид; (ось г — направление распространения
/10\
волны), матрица Джонса имеет вид Mt = II , а для поляризато-
.. /00\
ра с плоскостью пропускания уг М2 — ( I.
Чтобы получить матрицу Джонса для поляризатора, плоскость
поляризации которого образует угол а с плоскостью xz, найдем
предварительно, как преобразуется вектор Джонса при переходе
от системы осей х и у к системе х' и у', повернутый на угол а отно-
относительно исходной системы. Для простоты рассмотрим линейно-по-
линейно-поляризованный свет. На рис. П4.1, а показаны проекции вектора Е
на оси х и у, а также на оси х' я у' Из рисунка видно, что
Ех' =?»; cos a-\-Ey sin a; Ey- = —Ex sin a-\-Ey cos a.
Таким образом,
(Ex' \_( cos a sin a\ (Ex\
Ev' I \—sina cos a) \Ey)

\
Приложение 4. Матрицы Джонса
429
'X.
Рис. П.4.1
Матрица
cos a sin а\
-sin a cosa/
есть матрица приведения вектора Джонса к системе осей, повер-
повернутой на угол а по отношению к исходной системе.
Если плоскость пропускания поляризатора составляет угол
а с плоскостью xz, то его матрица Джонса имеет вид
/ со;
(«)= .
\—sir
(cos« —sin
sin a cos а.
in а\ /1 0\ / cos а sin а\ / cosa а
os а) \0 0/ \—sin а cosa/ \cosa"si
cos a sin a\
cos a'sin a sin2 a /
Здесь сначала вектор Джонса приводится к осям поляризатора, за-
затем учитывается действие поляризатора и, наконец, происходит
возвращение к исходным осям.
Предположим, что световая волна проходит через двулучепре-
ломляющую пластинку толщиной d, причем ось х совпадает с опти-
оптической осью пластинки (рис. П.4.1, б). Обозначим через п0 показа-
показатель преломления обыкновенной, а через пе — необыкновенной вол-
волны. Необыкновенная волна поляризована по оси х, а обыкновен-
обыкновенная — по оси у. В результате прохождения пластинки фаза х-
составляющеи вектора Джонса (фаза необыкновенной волны) по-
получает приращение «ре = v>ned/c, а фаза ^-составляющей (фаза
обыкновенной волны) — приращение <р0 = a>nod/c. Следовательно,
Матрица
exp (iqfe) О
О ехр (нр0)
/ехр(»фе) О
\. О ехр (/ф0)

430 Приложение 5. Особые точки динамической системы
есть матрица Джонса для двулучепреломляющей пластинки, ориен-
ориентированной так, чтобы ее оптическая ось совпадала с осью х.
Если оптическая ось пластинки составляет угол а с осью к, то
надо привести вектор Джонса к системе осей, повернутой на угол
а относительно исходной, а после прохождения пластинки вернуть
его к прежним осям. Матрица Джонса в данном случае есть произ-
произведение матриц: М (—а)М (ф)М (а).
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ДВУМЕРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Предположим, что динамическая система описывается некото-
некоторой нелинейной системой уравнений:
dm/dr=F(m, ny, )
dnjdx=<b(m, и), J
где т (т) и (т) — функции от времени т, являющиеся динами-
динамическими параметрами систем.
Пусть т = тА и п = пА — координаты одной из особых точек
системы. Рассматривая окрестность этой особой точки, представим
т (т) = тА + |х (т); п (т) = пА + v (т), (П.5.2)
где (г и v — величины первого порядка малости. Подставляя (П.5.2)
в (П. 5.1) и отбрасывая члены второго и более высоких порядков
малости, получаем вместо (П.5.1) линейную систему уравнений:
1
J
Решение |х (т) (и аналогично v (т)) этой системы ищем в виде
V (т) = ci exp (Pit) + С2 ехр (р2х),
где рх и р2 — корни характеристического уравнения
р2 + р (а + d) + {ad — be) = 0. (П.5.4)
Возможны шесть качественно разных ситуаций, соответствую-
соответствующих шести разным типам особых точек. На рис. П.5.1 приводится
вид фазовых портретов в окрестности этих точек:
— рис. П.5.1, а соответствует особой точке типа устойчивый
узел (в этом случае корни рг и р2 вещественные и отрицательные);
— рис. П.5.1, б соответствует особой точке типа неустойчивый
узел (корни рг и рг вещественные и положительные);
— рис. П.5.1, в соответствует особой точке типа седло (корни
р, и р2 вещественные и имеют разные знаки);
— рис. П.5.1, г соответствует особой точке типа устойчивый
фокус (корни р! и р2 комплексные, причем их вещественные части
отрицательны);

Приложение 5. Особые точки динамической системы
431
— рис. П.5.1, д соответствует особой точке типа неустойчивый
фокус (корни р1 и р2 комплексные, причем их вещественные части
положительны);
— рис. П.5.1, е соответствует особой точке типа центр (корни
рх и р2 мнимые).
На рис. П.5.1, а, г состояние системы , изображаемое особой
точкой, является устойчивым: любое произвольное «сталкивание»
системы из этого состояния приведет к попаданию на фазовую тра-
траекторию, неизменно возвращающую систему в исходное состояние.
На рис. П.5.1, б, в, д, напротив, состояние системы, изображаемое
точкой, является неустойчивым: произвольное малое возмущение
выводит систему на траекторию, которая уведет ее еще дальше от
исходного состояния. На рис. П.5.1, е можно говорить об устойчи-
устойчивости изображаемого особой точкой состояния в том смысле, что при
достаточно малых возмущениях система оказывается на одной из
фазовых траекторий вблизи исходного состояния.

Предметный указатель
Дифракционные потери 113,
116—120
Добротность резонатора 100,
112—116
Закон ABCD 175—177, 190,
203
Затворы акустооптические 271,
330—335
— оптико-механические
271, 325, 326
— фототропиые 273 (см.
просветляющиеся фильтры)
— электрооптические 271,
326—330, 333—335
Инверсия активной среды 7, 11
Квантовый выход лазера 9
Коэффициент резонансного по-
поглощения 352
— поперечного расширения
пучка 200, 201
— потерь вредных 92
полезных 92, 97, 98
— усиления 8, 90
начальный 90—97
Модуляция добротности актив-
активная 270—273, 282, 325—349
комбинированная
372—374
пассивная 273—275,
353—375
— полезных потерь 279—
281, 283, 335
Накачка в газовом разряде
44—57
— оптическая 12, 21
широкополосная 41—
44
¦ узкополосная 33, 34
— рекомбииациониая 13,
75
— тепловая 13, 62—67
— химическая 13, 68—73
— электроионизациоиная •
12, 58, 59
Нелинейности параметр 91
— показатель 402
Период резонатора 377
Просветляющиеся фильтры
273, 350—353
Разлетные молекулы 20, 21, 85
Распределенная обратная связь
255—259
Резонансные частоты 99, 100,
189, 190—192
Резонаторы анизотропные 219—
221
— волноводиые 108, 238—
243
— конфокальные 128, 149,
150, 155, 192
— неселективиые 380
— нестационарные 317—
325
— неустойчивые 127—129,
197
— связанные 217—219
— селективные 39, 40, 215
— устойчивые 127—129,
182
— эквивалентные 154, 155
Самоограниченные переходы 18,
19, 52
Синхронизация мод активная
380, 381, 406
комбинированная 383
— — пассивная 381—383,
394
полная (частичная)
391, 392, 399, 405
— продольных мод 275—277,
375
— поперечных мод 278,279
Скорость накачки 24, 25, 94, 95

Предметный указатель 433
Столкновительные лазеры 18 — затягивания частот 108,
ОО7 230
Уширение неоднородное 222- _ насыщещш усиления 90;
1Л7
— однородное 222—230
„ л ,,с 1Г>„ — Поккельса 326—329
Число Френеля 116—120 _ просветлекия среды 350
эквивалентное 210 -тепловой линзы 108,
Эффект «выгорания дыр» 107, 230—238, 242
224—226 — фотоупругий 330

Оглавление
Предисловие
Глава I
СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ ИНВЕРТИРОВАННЫХ АКТИВНЫХ СРЕД
1.1 Некоторые общие вопросы
Инверсия активной среды как необходимое условие генерации лазера
G). Квантовый выход и КПД лазера (8). Условие инверсии для четы-
четырехуровневой модели A0). Общие принципы создания инверсии A1).
Механизмы заселения уровней A2). Механизмы очищения уровней A3).
Классификация лазеров с учетом методов иакачки A5). Некоторые
проблемы, возникающие при непрерывной генерации; столкновительные
лазеры A5). Преимущества импульсной иакачки; генерация на само-
самоограниченных переходах A8). Лазеры иа разлетных молекулах B0).
1.2 Оптическая накачка. Твердотельные лазеры ... 21
Специфические свойства оптической накачки B1). Условия реализации
стационарной инверсии при оптической иакачке B3). Твердотельные
лазеры; вопросы практической реализации оптической иакачки, рабочие
схемы лазеров B6). Лазер на рубине B8). Лазер на иттрий-алюмини-
иттрий-алюминиевом гранате с неодимом C0). Оптическая иакачка полупроводниковым
лазером или светодиодом C3).
1.3 Лазеры на органических красителях 34
Органические красители C4). Оптическая иакачка лазеров на красите-
красителях C6). Схема уровней и основные переходы C7). Перестройка длины
волны генерации; селективные резонаторы C8). Проблема расширения
диапазона перестройки длины волны генерации D0).
1.4 Газовые лазеры с широкополосной оптической накачкой 41
Проблема оптической накачки газовых активных сред D1). Фотодиссо-
цнонные лазеры D2). Фотодиссоционный йодный лазер D3). Проблема
прямого преобразования солнечной энергии в лазерное излучение D4).
1.5. Накачка с использованием самостоятельного электри-
электрического разряда в разреженных газах .... 44
Типы газоразрядных лазеров D4). Электрические разряды, применяе-
применяемые в газоразрядных лазерах D6). Аргоновый лазер D7). Механизм
возникновения инверсии в аргоновом лазере D8). Лазер на гелий-неоне
E1). Лазер иа парах меди E2). Молекулярный лазер на двуокиси угле-
углерода E3). Механизм возникновения инверсии в СО2-лазере E4).
1.6 Электроионизационные лазеры 57
Проблема повышения давления в газовом лазере E7). Электроиониза-
циониый метод накачкн E8). Электроионнзациониый СО2-лазер F0).
Использование различных активных сред F0). Способы ионизации F1).
1.7 Газодинамические лазеры (тепловая накачка) . . 62
Тепловые методы создания инверсии F2). Газодинамический СО2-лазер
F4). Механизм возникновения инверсии в газодинамическом СО2-ла-
зере F4). Пути повышения КПД газодинамических лазеров F7).

Оглавление 435
1.8 Химические лазеры 68
Химические реакции; инициирование и ускорение реакций F8). Хими-
Химическая и лазерная длина цепи G0). Лазеры с прямым и непрямым
образованием инверсии G2). Химический лазер на фтор-водородиой
Смеси G3). Химические лазеры иа сероуглероде G4). Химические лазе-
лазеры па электронных переходах молекул G5).
1.9 Плазменные лазеры (рекомбинационная накачка) . 75
Рекомбинирующая плазма как активная среда лазера G5). Принци-
Принципиальные вопросы создания лазера на рекомбинирующей плазме G7).
«Открытая» двухуровневая модель плазменного лазера G8). Проблема
очищения нижнего рабочего уровня G9). Импульсные плазменные лазе-
лазеры (81). Плазменные лазеры с использованием жестких ионизаторов;
реактор-лазер (82). Плазмодинамические лазеры (83). Плазмохимнче-
ские лазеры (84).
Список литературы .85
Глава 2
ФОРМИРОВАНИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В РЕЗОНАТОРЕ ЛАЗЕРА
2.1 Условие обеспечения генерации 90
Необходимость превышения начального коэффициента усиления над
коэффициентом потерь (90). Начальный коэффициент усиления для
оптически разрешенных и запрещенных переходов (93). Зависимость
начального коэффициента усиления от скорости иакачки (94). Зависи-
Зависимость от частоты (96).
2.2 Оптический резонатор и лазерное излучение ... 97
Оптимальный коэффициент полезных потерь (97). Резонансные частоты
(99). Моды оптического резонатора A01). Роль оптического резонатора
в лазере A03). Пассивные и активные резонаторы A06).
2.3 Общие замечания об открытых резонаторах . . . 109
Невозможность использования объемных резонаторов в оптическом диа-
диапазоне A09). Открытый резонатор A11). Добротность резонатора A12).
Добротность, обусловленная пропусканием выходного зеркала A14).
Добротность и моды открытого резонатора A16). Дифракционные по-
потери; число Френеля A16). Основные параметры пассивного резонато-
резонатора, образованного двумя зеркалами A19). Геометрическое приближение
A20).
2.4 Линзовые волноводы и открытые резонаторы (прибли-
(приближение геометрической оптики) 123
Линзовый волновод и открытый резонатор A23). Условие устойчивости
для линзового волновода A25). Устойчивые и неустойчивые открытые
резонаторы; диаграмма устойчивости A27). Матрица передачи светового
луча A30). Матрица передачи луча для двойного прохода резона-
резонатора A35).
2.5 Расстройка открытого резонатора 137
Разъюстировка оптического элемента A37). Резонатор с разъюстироваи-
ным оптическим элементом A39).
2.6 Рассмотрение открытых резонаторов на основе итера-
итерационного метода Фокса —Ли. Эквивалентные резона-
резонаторы 141
Дифракционный интеграл Кирхгофа—Гюйгенса A41). Интегральное урав-
уравнение Фокса —Ли A43). Поперечные моды открытого резонатора A44).

436 Оглавление
Резонатор, образованный двумя сферическими зеркалами tH5). Конфо- „
кальный резонатор A49). Учет величины апертуры зеркал резонатора
A51). Эквивалентные резонаторы A54). Резонатор, эквивалентный-резо-
эквивалентный-резонатору с внутренней линзой A55). Резонатор с диафрагмой A59).
2.7 Гауссовы пучки 162
Пространственная форма гауссова пучка A62). Распространение гаус-
гауссова пучка в свободном пространстве A64). Радиус кривизны поверх-
поверхности постоянной фазы A66). Основные соотношения A68). Комплекс-
Комплексные параметры гауссова пучка A68). Гауссов пучок как решение пара-
параболического уравнения A69). Обобщение на моды высоких порядков
A70).
2.8 Преобразование и согласование гауссовых пучков . .171
Преобразование гауссова пучка в свободном пространстве A72). Лин-
Линза как фазовый корректор A72). Преобразование гауссова пучка в лин-
линзе A73). Преобразование в линзовой системе A75). Закон ABCD A75).
Преобразование гауссова пучка в квадратичной среде A78). Согласова-
Согласование гауссовых пучков A80).
2.9 Гауссовы пучки в устойчивых резонаторах . . . 182
Самовоспроизведение гауссова пучка при отражении от сферического
зеркала A82). Гауссов пучок в резонаторе (большие апертуры зеркал)
A83). Замечания, связанные с учетом апертуры зеркал A86). Фазовый
сдвиг для гауссова пучка и спектр резонансных частот A89). Приме-
Применение закона ABCD к рассмотрению поля в резонаторе A90). Неопре-
Неопределенность каустики конфокального резонатора с неограниченными
апертурами зеркал A92). Конфокальный резонатор с конечными апер-
апертурами зеркал A94). Конфокальный резонатор с диафрагмой A95).
2.10 Неустойчивые резонаторы 197
Гомоцентричность пучка, выводимого из неустойчивого резонатора
A97). Потерн в неустойчивом резонаторе по геометрооптической теории
A99). Применение закона ABCD к неустойчивым резонаторам B03). Ла-
Лазер с неустойчивым резонатором телескопического типа B06). Учет-
дифракции на крае зеркала B08). Преимущества неустойчивых резо-
резонаторов B10).
2.11 Принципы частотной селекции 212
Различные типы частотной селекции B13). Применение широкополос-
широкополосных поглощающих фильтров и дисперсионных элементов B14). Общие
замечания о селекции продольных мод B16). Интерференционные ме-
методы селекции B17). Резонаторы с анизотропными элементами B19).
Нелинейно-оптический метод частотной селекции B21).
2.12 Эффекты «выгорания дыр» и затягивания частот . 222
Однородное и неоднородное ушнрение спектральных линий B22). На-
Насыщение усиления при однородном и неоднородном уширенин линий;
эффект «выгорания дыр» B24). Специфика рассмотрения насыщения
усиления при неоднородном уширении линии перехода B26). Эффект
затягивания частот B27). Эффект затягивания частот для случаев одно-
однородного и неоднородного уширения B28).
2.13 Тепловая линза 230
Эффект тепловой линзы B30). Термоупругие напряжения; термические
искажения резонатора B32). Фокусное расстояние и главные плоскости
тепловой линзы B34). Учет тепловой линзы в лазерных системах B36).
2.14 Волноводные резонаторы 238
Волноводный резонатор; волноводные моды B38). Число волноводных
мод в резонаторе B40). Волноводный резонатор половинного типа B41).
Преимущества волноводных резонаторов B42).

Оглавление 437
2.15 Оптическое излучение в тонкопленочном волноводе.
Распределенная обратная связь 244
Волноводные моды в тонкой пленке B45). Число волноводных мод
в пленке B49). Распределение поля в волноводных модах B49). Мето-
Методы ввода и вывода излучения для тонкопленочного волновода B52).
Принцип действия элемента связи призма — пленка B54). Распределен-
Распределенная обратная связь B55). Пленочные РОС-лазеры B57). Пленочные ла-
лазеры с периодической структурой в качестве зеркала резонатора B59).
Список литературы . . . 259
Глава 3
ДИНАМИКА ПРОЦЕССОВ В ЛАЗЕРЕ
3.1 Общие сведения о режимах работы лазеров . . . 266
Причины нестационарности лазерной генерации B66). Режим" свободной
генерации B68). Режим генерации гигантских импульсов при активной
модуляции добротности резонатора B70). Режим генерации гигантских
импульсов при пассивной модуляции добротности резонатора B73).
Режим синхронизации продольных мод B75). Режим синхронизации
поперечных мод B77). Режим разгрузки резонатора B79). Генерация
последовательности импульсов в лазерах с непрерывной накачкой B81).
Использование отрицательной обратной связи для получения импульсов
мнкросекундной длительности B83).
3.2 Приближенные уравнения для описания динамики
процессов в лазерах (балансные уравнения) . . . 286
Дифференциальное уравнение для плотности светового потока B86).
Дифференциальные уравнения для плотности инверсной заселенности
B87). Полная система балансных уравнений в частных производных
B90). Усредненные балансные уравнения (скоростные уравнения) B91).
Уравнения Статца — Де Марса B93). Сопоставление уравнений Стат-
ца — Де Марса н системы усредненных балансных уравнений B95).
Пороговая плотность инверсной заселенности и условие генерации
B97). Безразмерная форма записи уравнений Статца — Де Марса B98).
Учет вклада спонтанного излучения в интенсивность поля B99). Общие
замечания о методе балансных уравнений C00). Лазер как распреде-
распределенная автоколебательная система C02).
3.3 Режим свободной генерации. Регулярные затухающие
пульсации мощности излучения 304
Предгенерацнонный этап C04). Переходные процессы, сопровождающие
возникновение генерации C06). Фазовый портрет свободно генерирую-
генерирующего твердотельного лазера C10). Выявление структуры фазового порт-
портрета лазера C13). Анализ картины пульсаций на основе балансных
уравнений C14). Замечания о свободной генерации в многомодрвом
лазере C16).
3.4 Лазер с нестационарным резонатором. Незатухающие
пульсации мощности излучения 317
Балансные уравнения для лазера с периодически изменяющейся доб- .
ротностыо резонатора C17). Пульсации малой амплитуды C19). Заме-
Замечания о возможности реализации незатухающих пульсаций большой
амплитуды C21). Периодическая модуляция добротности при равномер-
равномерном движении отражающей плоскости C22). Периодическая модуля-
модуляция добротности при нагреве активного элемента C23). Природа неза-
незатухающих пульсаций в режиме свободной генерации C24).
3.5 Активная модуляция добротности резонатора . . . 325
Оптико-механическая модуляция добротности C25). Электрооптнческая
модуляция добротности C26). Акустооптическая модуляция добротности

438 Оглавление
C30). Акустооптическая и электрооптическая модуляция добротности
(сопоставление) C33). Модуляция полезных потерь C35).
3.6 Режим генерации гигантских импульсов при активной
модуляции добротности резонатора ..... 335
Основные временные этапы C35). Балансные уравнения; мгновенное
включение добротности C38). Фазовый портрет лазера при мгновенном
включении добротности C39). Анализ этапа линейного развития гене-
генерации C42). Энергетические характеристики гигантского импульса
C43). Длительность и форма гигантского импульса C45). Режим гене-
генерации гигантских импульсов при различных временах включения до-
добротности C46). Замечания о развитии импульса в поперечном к оси
резонатора направлении C49).
3.7 Лазеры с просветляющимся фильтром .... 350
Просветляющийся, фильтр C50). Дифференциальное уравнение для
усредненной плотности светового потока C53). Полная система' баланс-
балансных уравнений для лазера с просветляющимся фильтром C55). Ста-
Стационарные решения системы балансных уравнений C57). Неустойчи-
Неустойчивость исходного стационарного состояния и условие самовозбуждения
генерации в лазере с просветляющимся фильтром C59). Мягкое н жест-
жесткое возбуждение генерации C60). Устойчивость (неустойчивость) ста-
стационарных состояний в случае мягкого возбуждения генерации C62).
Режимы генерации лазера с просветляющимся фильтром C54).
3.8 Режим генерации гигантских импульсов при пассивной
модуляции добротности резонатора 365
Условия обеспечения режима генерации гигантских импульсов в лазере
с просветляющимся фильтром C65). Развитие гигантского импульса
C67). Балансные уравнения; аналогия со случаем мгновенного включе-
включения добротности C69). Сопоставление режимов комбинированная мо-
модуляция добротности C71). Естественная селекция продольных мод
при пассивной модуляции добротности C74).
3.9 Синхронизация продольных мод (генерация сверх-
сверхкоротких световых импульсов) 375
Сущность идеи синхронизации продольных мод C76). Неселективиый
резонатор C78). Активная синхронизация мод C80). Пассивная синхро-
синхронизация мод (самосинхронизация мод) C81). Комбинированный метод
синхронизации мод C83). Способы уменьшения времени релаксации
просветляющихся фильтров C84). Влияние эффекта самофокусировки
света C85).
3.10 Измерение длительности сверхкоротких импульсов . 387
Основные направления в развитии методов исследования структуры
импульсов C87). Метод, использующий генерацию второй гармоники
C88). Двухфотоииая методика C89). Полная и неполная синхронизация
мод и проблема временных измерений C91). Методика, основанная на
измерении структуры спектра сигнала C93).
3.11 Рассмотрение самосинхронизации продольных мод
в лазере с просветляющимся фильтром на основе
флуктуационных представлений 394
Качественное описание физической картины C94). О спектральном и
временном описании синхронизации мод C97). Исходный профиль поля
излучения C99). Показатель нелинейности D02). Преобразование про-
профиля поля прн взаимодействии излучения с фильтром на этапе просвет-
просветления D02). О возможности синхронизации мод в случае генерации
второй гармоники D04). Условия полной самосинхронизации мод D05).

Оглавление 439
3.12 Временное описание активной синхронизации про-
продольных мод в лазере с однородно уширенной линией
усиления . 406
Постановка задачи; основные предположения D06). Изменение свето-
светового импульса при его прохождении через активный элемент и моду-
модулятор D08). Система дифференциальных уравнений, описывающая про-
процесс установления режима синхронизации мод D09). Замечания
о фазовых (электрооптических) и амплитудных (акустооптических)
синхронизаторах мод D11).
Список литературы 413
Приложение I. Полиномы Эрмита 422
Приложение 2. Гауссов пучок в свободном пространстве ... 426
Приложение 3. Устойчивая и неустойчивая сферические волны в не-
неустойчивом резонаторе 427
Приложение 4. Матрицы Джонса 428
Приложение 5. Особые точки двумерной динамической системы . . 430
Предметный указатель 432

Тарасов Л. В.
Т19 Физика процессов в генераторах когерентного
оптического излучения.— М.: Радио и связь, 1981.—
440 с, ил.
В пер.: 2 р. 40 к.
Книга посвящена физике процессов в лазерах. Рассмотрены три
группы вопросов: способы получения интертированных активных сред,
формирование поля излучения в резонаторе, динамика процессов
в лазерах. Отражены новейшие направления в развитии лазеров: ла-
лазеры на красителях, яа сжатых газах, иа рекомбинирующей плазме;
неустойчивые резонаторы; синхронизация продольных и поперечных
мод и др.
Предназначается для научных работников и инженеров, работаю-
работающих в области лазерной техники, а также преподавателей и студен-
студентов вузов.
3-61 2403000000
Лев Васильевич Тарасов
ФИЗИКА ПРОЦЕССОВ В ГЕНЕРАТОРАХ
КОГЕРЕНТНОГО ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Редактор М. Лисина
Художественный редактор Н. А. Игнатьев
Художник Л. Г. Прохоров
Технический .редактор А. А. Белоус
Корректор О. И. Галанова
ИБ № 260
Сдано в набор 11.04.80 Подписано к печати 12.08.80
Т-14812 Формат 84XlO8'/sz Бумага типографская № 1.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем усл.
печ л. 23,1 уч.-изд. л. 23.37 Тираж 4000 экз.
Зак. тип. 1785 Цена 3 р. 40 к.
Издательство «Радио и связь», Москва Главпочтамт
а/я 693
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
129041. Москва, Б. Переяславская ул.. д. 46