/
Текст
Л.А.ПВГВ0Ш11СК1Ш
КУРС ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
SB! ‘Sl£ I’Kis.ii.- gucim.'VH — ni'ifnuyA.’iy
»8>’ (jasavda .uiaif»?e
005 (yiiaojodun) iKiiiTVOAeumCiJ-Teai: —
ID’. !J~iiiijai!4i‘-in iiur;W;
я 4i.-ii3.rnatodi4diiC
S’JS ‘8',’3 ившлЛгек t£>iaiti>ii>!i8
iV‘.‘ уначеап-тмиц —
VC! jpirieziae JH»KUil»uaaC
BHIlJJMdiTtJ
f.r.<: 'is? ‘17;? чэк 't«
вг; 'г:; 'йй Ъя ’9is чи ’ci кяе
7ГЛ »hW»i‘ МПЛ1П
r’£ рпнчсекЛоп-------
1SK 4*t цшиипявик— —
111 ijiJi-a» —
UK h lllt
}*<; iii„.uut..d:i.>ui: .IVIII
iili<i.».ui*I:i MilCibiilvii n,,
£•;;; nauduKC xi'Iiih'mi.i .ijjii.i »«!,
BKMUIM. 4H.l«l-,-<|i
l<;i iiK-»do->i vajimt'jai.
i>n; unuiUxasdcx ivHn.-ndi —
yt> ввшсиявФчл; -
u;:; rvuzodaaaU «.iozjbi,
тг «иГииЛФ си’цвэчвох
!; vdAxiiua ojozAioirtvC’d-------
IP} |гпкин><------
«7 iniiiSiiaiiuiMj-’i--
|)yg BWH-i-jdaxit — —
и1- (ХЫР BVhn.inzo.iteau----------
‘evi ь»и*ди|> —
GOT (ХФК) UCilJdSillXQB'SUJOL'--------
OS виналспвй-окад --
VI’ 'Sill (XVL’) вваэанчкфиавхос • —
IT' (КЬ V) BBKAOI ?1ЙЬ-ОИ1ГЛ1-И1’ПКВ —
OS пза5ьт:1;-1М11Глхи1.вке BKiiXDa-.k>-i!iBdex
gy<j aonuMlxiiua —
* aodi.jriij —
jyj ИИ11ПНЛФ
VOiiiidiiuuL-MliSaa oniiHaoaeiJijD.Mi!-a4d.<<|>
in))nTii.<i'lLii\d>j‘i| -
• ijl l*/.rlrifldJJLI «<[ ndl4t»«l>-
HV<J ’V? hvi*Vi>x.h1:hi --
#*,9 lll1tr.»!.nri.->i»ll.ilJ • -
.jh |П1НИк*11С}.и>< — —
U И CiH KVUx/HHX----------
M1.CLIIIHI U.inXAH.-lKf'UlHl — —
XHsMirnr AKiMAimrtQKUd o«------------------
XilAXiUDr Д.1\илЛ1ШК¥В Oil ------
»«;g inriiuililbliw---------
t'VC иекА-'^яэиК------------
пи liUHdnxBiMn'i —
i: j i it «mu v СФ-<« 1пгвиш1И wan----
-СфЧ.-Н'Н'иКГ.ЫЬЧ Ei>rihnXF^,>ClaU
qi.’aivsYH.t игтнлллк’ми
0(1» ММохоиэ Wiorb WOUpHiriftr — —
£%• Hftlir.OrtMjllK------------------------
КЗ ВШШЗДКО!! — —
fl;j vd.<<xno:i
о.па Линкса HUKiixxOtnir iiviiboi.vLuduu —
ii>r HUKhii.iitth.'iiiiji —
V и •.ju; H’lniiXiifrif —
g» j hhUhu.'hI KnpiuiiiiHoiiiM.aA — —
J* J 1<11ШП.1Н11111'.>|1<Р?!1 —
5 ;;
-jitfjiiiwx шйшпЛф) iduiU.43 .iji.nih>:iiin;;> —
9П- 11ЙГЯЛ11Г1Ц —
gj ”VOXcl1j[-VUXaO НИКТГ1ТППРГ|Пй.н111 - —
h‘;T UL'Hl’KlUHW — •
g₽<S вкиоягликн вышиак шйпснХф
Ж mihoji ттАкЛоф
iG5 J/VinwiraKodrio —
|?g №111.111
-П1ХЗЛ 0л1н«к1?кгп.1[1лффиИ DBndoxKdi::o —
££,<; HVlU vdt b'tt:-! икйоф
И 5 1Р!Ттклл<3«к'.кмр —
6G ЯКнхолнзьоз:?.]!!! 5Hii<Tiri>.>i.'ii —
КОЙ «нел-сн — «donna —
tS'J ‘653 ‘1ЙЙ Uioii'cvyr — и-хичя —
00 j цппхпиунояапн------------------------
Ш ‘65 oxdoffdcuLuj <lciriici>
n$j Оохвлнг.ф
835 W'XliJ-M «кАвдЕчс-зф
9« l ихзонлогп «ои-ктичаиэ —
loY nir.lWHduJHL'O
П '|M Mil) 0ОТ1ИМЛН11Р011.Я1 —
CZ.i •JMlilOlAdjiJt n.ld*-ir|i<jilU; —
W116 *lvv> uanudqiHri — —
KI IV K«>
O' MUMUITUIK1Г OU 11*1 L4U* If .HI J« fl л I Illi. Jtj od 1 » Д
-x.jyovnoir ivtiniiiiinii я (qiiiHiiKiiun mi
niii; Tj>;
С<Я Uus кпииисэА rrrui'iirvhi’n ип —
kve ‘оу хгохп им —
НС к окоп
n юпшолзоэ ихину<»кппвиЛ luijiiai-Xn —
HOHOriii'I.Il.lIllS —
19й кшг;йг я — • -
J ng HKJK4hHJ.Q£LiKK311 —
4J0- HnilX'lirilJQC -------
Iflfi *07 чхоппимГихэл
535 1и.^ончив.1(1ля;ллх!л —
су ittiiifidAj — y.xti?rf —
91 ft Bd.XlifVj. — «ЕЗД —
5>5 илзоехдэ?кэп iiaiuunfsnxmov влаоилх
£5 ElWl.'hGJCHK (МОязаШ1ЛО15ЙЛЛ2:11(1еХ — —
НОб эпкиЕихдоан--------------
80S
эопъсшгхэои ДОПЛ0Н.ЧК1ДО ИХЛПЯВН!,иил —
£5 НИПЯНХф
ис'мьохвглплп ихяпка.Лешге^й yo.icd.i.j —
0££ HftouHHUhHrtir -•
£Л* IV *0J Л<1<Пяээ HirHisnt'.’dinfffmiilii —
й1)!-* ‘£«0'.“ Шпикяи]/ -
£« С№:п.11>хэ» difuom.t
fiZ |вш1Л.*иоп1ехокл<1.1И4ге —
£?.?. угицрм.н! —
5ь1 *99 *<Ж *13 «тятинi.d.iii4i —
И UW И.Г-.1ИЦШПК —
£5 *5й цмпяпгаЕи —
Wf4iiiiUHl:fil«inii —
0г г1и:.н.иь’И-1,^
O'itfXjf оксГоФ u fiiпан 1«к1\
‘КОЙ ^oni.rirB'’w — —
вОЬ* эонзлън vilp».iifii iixinsKirj —
ЗОЙ ‘бег ’zsi; >id.<rr —
- ИЗ
53т/ ПИ1;ЯЯСФП<1\Б<1.1(1ЛН 0.1 №I33Iiи Кении —•
GJZ cjhbltvq (мояаэышокдт
flpy (1!ПП<В — ЫНИЧРИК
-WJ — ВИГ.1Ч.“ГЭ‘Д) BiirKVhMfX ;1г.и<нш1-11<
565 iniQWirj —
С1Й М1\эд:ла.1 цо«t.4Lr.Ht)f wi.'lf iiuiiiroir —-
r.'j;' *1 лис»i\ .hi 1 'ii nil11 x
ft lUtlMMVLijO If К rill
= 1К-|11!!.11Г4’. 111'И ИкилэикиJlXu.IXMUfl.lIfl) --
1.1; и-»и.i
>lUfQltX.lf llU'LXihH.rni'OMg 11 UUJrj.JhllKEX --
G HKV-UI^J.IJO niMtM.l-UiHUX-l.forilXt --
4KI? 1.»ППЧГ.‘11Н
-r.r.iin ишюжиудтЛт) dijiritruKiixurifA.) —
•,« *'jI лишни (itl — ------------
b’U ‘98 IFHH^iUAira игчекяэ ynn.ivflQO 0 .
ST? b>hij. n.rniiy.H'.xl -•
5L9 *ия<; ‘iw; ‘3133 ‘ 'Я
rr o*i xjBKEiamXftTuu M4H|,uiiAc;) ndzr —
vrvduiiuv
U.injrOOhHR’jQil QJOHE!l!X!lR.lrt K'O-’.fiL'iJU —
КВНП.11Ю OU —
PS шинЛплхэдя oi: —
0»c (K.uirjdJ н дснчи^к
-ПХП0) AtVX4L’-<B3d ЛКОССа«ГЯ!ЕО OU-- —
ОИ; AiPiwAfj
-SKI AiwHnesaduj.iivdni ин аохчиекилио —
/д CK.Hiil*iXudwjiny:toH —
‘ V и g^fr
нкЕхлютдп nKfinnridJdii.in □апэтгАики --
SIS
030(1113 WVHHaiMtOdllAilU l!(Ill KOJL-UVe —
V «
(J aOJ.M.IM.ijn XnHO.lLHIfKXJK кзипззкшпг • -
£|1«; 0KB!li.»d №)1ШИЧ1'(>11П в —
HrPjidiH: QJOHJ
-atiiift'riiR'iiUatt !i.L.>mixd 1110л мокФзф •
O'JS колм’.-ч.^и Kii:ni.H.iji<iiii::lT —
lb <; Ku.i>fftai0i.i
ini!l.).l]iMAVJ.:) Mintliuilpru .If! 11.»l.'IlVlllIX
ESI tfHJtj.H.imiw.lW5:.i du¥x
.Ю\ЯЭ qkii.hJj,
fitiS HiuKMi K аипушпЛикинзк^ь
*65 ни н rue dun Дли! ялоонаи,!,
НУ’ 4O33VN WQiiuyK^d.?u □ BHFiOx
ССу 1111НЧ1Ж
-огон KouiiWise а азпт(|ос1п)сп iiiriKiii'oftikij;
ду; 1ГВИ.ШЗ-Л0ЛХ
?Л vdcuuKdax
*a и nf.j H»nyaiiiiL’»H —
ддд тптпзгзяз siKHiiOEBdin '^xd.nji\ —
-И И пд£ УИ1»У1*1Х'ДЕПЯ HHdrtftQ
5<ip вамвхэь —
;cj i?iKinii4ij3h —
Sr КГЕЛЕПГ-’Т.-Оф —
08S ?on?nFW3Vii — eaoiioxnj. —
£55 7СЙ *ЮЙ i:un3L’3L'fKil —
3fl№iV.<n —
ftSS
ИЯПЭП0 ииНЖШЛСМ.ПКЯОК! 9КЭ1Л11.1 о--------------
fig йма<1за.з n —
Qrg a«nl.<L" xHCfiftUmixlA xumoi»ui.xked о —
iVV ao-twimwr хинтл1кисп oroj.ift о —
Sjn: u4iiM3:ittti.*Qifdir Акощрнн!.'* on
ux;xiqiibMui.iX ya odinmr.Qi — L*aoii.\irrfTf - •
eq,-*. :ггн1].<£!1.\<1л.1 гпфкген —
t*US ‘ГХ lurcji — irifoi'Mrifwiy —
Z*;l Г41.1НИЦ rw.i<oj.|,
gj dux*ii.iri.>jQXV,L
OS ’Au и«1и1Ллэг.СгТхз ^«3x3
tf и rs иеншгм.ъ-----------
Cl Hwnai-uvdaA пямли ьМ&ш&иэ
СУ илион;п-5;о1з.< ии<1эл«Фг fi,**QVvA:>
исиьвнояэ.тд млеомньцоллА япдоздо
ЧЕЗХУСУЯЛ UmiXaNElrfir
Л. А. ПЕРВОЗВЛНСКИЙ
I [i г 1
КУРС ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИИ
До я доен о jtfi/шл стерег оом
еысадгго и среднего еяс?1?|СЛъ?с.-»го обрн.тоодхия СССР
в клчссгее рч-!/»чоэо лособкл
для eryrtertroe высших uysZhiwk доведений
МОСКВА *:НЛУКЛ»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФЮИКО-МАТЕИЛТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986
ВПК 32.81
П 26
УДК 62-50
И с р и « л в и н г к я й Л. А. Курс теории автоматичсского управления:
Учеб, циеоб — М,- Паука Гл. ред. фи.,.-лят. лит., 1U8G— iilfi с.
Рассматриваются ословпыг разделы классической и синремспиой теории
Автоматического упрап.'Цпли: онсраторпс-чаеютпый подход, метод и ростра не.твл
состояний. оптимизации программ и инкотюв управления с обратном связью,
идентификация и адаптации. Теоретические постановки представлены в теслой
связи с пряктпческими проблемами. Наложение ведется концентрически, с n«i-
стояппым возрастанием уровня сложности. что обеспечивает его посту и несть
для читателей с различным уровнем подготовки. Включение ряда орсеипадь-
пых результатов делает книгу интересной и длн специалистов.
Для студентов втузов и специалисток в области теории автоматического .
управлении
Табл. 12. Ил. 130. Ппблвогр- 121 паза.
Р с ц е и з е п т ы:
академик A A Ht>in>nb6,
кпфгдра аптомшнкп и процессов управлении Jli-tiunrpa;v кого алектроп-х-
нпчсскоги инсттутз
1502вбПС<Ш - 17Я
03:1(02)86 15'iS0
И jjiaTC,’i».-C7i'n *Млу|и ь
J'jJellUUlM Ilft-C-ll’IlHJl
фИ~*МНО-М.*«ТСМ<1ТЧЧС1 »Й
литерзту!1ы. *1‘80
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................................................... S
Список обоими leiniii............................................................. В
Глани 1. Оскоппые понятия....................................................... 9
£ 1- Цели и принципы управления.............................................. 9
$ 2. Снедепкя > lexnn цтких. е.ргдптивх ........ 11
$ о. Примеры систем ;а»тнмятичсскою упрячлеиял .... 15
$ 4. Проектирдкя-.ые и теории................................................17
Глава 2. Операторный метод анализа линейных систем................................19
$ 1. Oniie.niне элементов..................................... 19
$ 2. Описание систем....................................................... !7
§ 3. Устонччвсн'.гь..................................................... . ill
§ 4. Ус.тл|«1В11Пи:нлсл реакция и чае nh.i.ui хариктсрисг икд . . 17
5 Ji. Ana.inj Tin-iiii.ix i:iруктур . ................... 53
Гл.чк.Ч 3. Построение s.tkimiiiii управлении......................................79
£ 1. Программа, nijp.iin.ui ciui.ii.. rr.iun iiiaaiinn .... 79
' 2. OgiKiiiifi.it .ins.iiii.i управления. I1iuiii[iiuiiini'4"ii.............82
J 3. Mr од дюлпмпчсскоп i«iMiii'iicanun ....................9i<
§ 4. Выбор желаемой переча точной функции по типовым ппа.цгпсг-
B'lllJI.....................................................................<14
? 5. Логарифмические 'iiicT'jTtriJC харлктсрпс>| i п.....................I'lJi
J fi. Реализация покоил управления..........................................121
§ 7. Синтез обратных гнилей в злектрэмеханптеской следящей систе-
ме .........................................................................126
Глава 4. Управление при случайных воздействиях..............................14(1
§ 1. Случайные дозлейс.твия и реаышя из них.................................140
§ 2. Оптимальный выбор ц|>.р<'дит1>'шых функций.............................152
§ 3. Грубость и киаффппиепты чувствительности показателей кдче-
................................................................................
§ 4. Уаранлепие пеуст'шчинынн и неминимально ф.ыокымя объекти-
ми..........................................................................176
5 5. l’cry.Tii|i:iiiuinie условий скпростп ияДя гидраилпяег.коц турйипы 181
Гл яви 5. Введение и нелинейную тсприю . ................<о6
S 1 II соц ходимость iii'.'iHiiriiiTiHi теории и ее полм i>i;iiri,-.iu . 19G
<i 2. P.ntiioKeciii.ie cocihhiiiiii п ycToff'iuiiftr.Ti. ................2<>5
$ 3. AaHiKo.ieii.niiiif. Гармон и 'цчкий Ga.i.iih: п ............ лапеП-
1П1ЛЦИ.1................................................................217
6 4. Рсакгщя пелииейиой системы на ппспншс низдейетвпи . 2.4п
§ 5. О выборе aaiKiiuiH уираплеппн с учетом нелинейных ((ыктщюо 244
Глава 6. Метод нрогтрапстпя состояний и линейной теории .... 2?0
£ 1. Оиисаииг^н нпрма.'и.пой форме..................................... . 250
§ 2. Аиадиз системы ........................................................256
1*
4
ОГЛ л плешив
§ 3. Управляемость п наблюдаемость . . . . .
§ 4. Рпвмеищпне собственных чисел и «'г.тбилпвацин
§ 5. Огпими.н.цпи стпДилизирукицей ибрат.н.н синап .
§ (>. Упряилсипе при наличии случайных возмущений .
§ 7. УирлиленПс при iieuu.iiK.iX и исичпых илмсренкях
j 8. Сиси-мы с нср* мсипыми парам) . . . .
ZOO
274
2.ч4
292
29 !>
304
Г Л л » а 7. Линейные дискретные системы и импульсное, управлении 3[.‘>
5 1. Снийстпа дискретных систем ................................411»
§ 2. Управление с обрлгпон связью................................32ч
5 3. Импульсное управление кеирерыш.ымв объектами .... 328
§ 4. Операторный метод...........................................342
Глава 8. Анализ нелинейных систем..................................-350
§ 1. Описание системы. Равновесные состоян-ая....................359
ij 2. Ностриенпс функций Ляпунова и критерии устойчинести . . 3!>6
s 3. Элементы теории возмущений и зависимость пт малого парамет-
' ра....................:.......................................37.5
§ 4. Периодические решения. Автоколебания и вынужденные коле-
бапид......................................................Й8£>
Глава 0. Оптимизация программ управления..............................407
5 1. Формулировка задачи..........................................407
jj 2. Условия 011тима;п.11псти. Иринкин максимума .... 411
§ 3. Задачи оптимизации со снибодиым правым концам траектории 424
§ 4. Линейно квадрат патле задачи........................4.к>
§ Г». Ошимиаация ио бысгрпдейет.нпо......................445
5 <>. Дискретные системы.................................437
S 7. Понятие о численных методах ..п-томиллцнп...........461
§ 8. Численная оптимизации непрерывных систем............471
Глава 10. Синтез оптпяильпих обратных .-нкзей..................481
S 1. Дпплмичсские просраммпропаиис..........................481
§ 2. Субоптнмялкныс обратные сними..........................490
§ 3. Управлении при недетерншшровапиих внешняя возмущениях 509
§ 4. Управление с обратной связью ио неточным измерениям . . 517
Глава 11. Методы идентификации и адаптивное управление . > . 532
5 1. Идептифпкация объектив управлении..............532
§ 2. Адаптивное управление статическим объектом ..... 549
§ 3. Адаптивное управление динамическими объектами. Самопа-
стройкя................................................... 5б9
§ 4. Заключение........................................... 581
Прпложеипе 1. Сведения о ирсобрззонтгпях Лаплас:. .... 583
Приложение 2. Сведения из теории матриц................587
Список литературы......................................С1У*
Прсдме.ный укизатсль...................................610
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга является учебным пособием по курсу теории автоматиче-
ского управления. Этот курс включен и учебные планы различных
инженерных специальностей и в настоящее время является одним
из важнейших элементов общетехпичоского образования. С другой
стороны, для некоторых специальностей он является профилирую-
щим, определяющим квалификацию инженера. Курс входит и в си-
стему университетского образования на механико-математических
и иногда — на экономических факультетах.
Разнообразие интересов слушателей и их подготовки делает
особо сложной проблему создания приемлемого учебного пособия.
Поэтому п книге принята концентрическая система изложения.
Первый кппгщптр (главы 1 5) посвящен опйсашпп основных
задач -автоматического управлении и использованию для их реше
нпя классических оператприо частотных методов. Изложение во
детей детально и сопровождается большим количеством примеров.
Oetuioe внимание уделяется постановке технических задач и про-
блеме реализации законов управления. Математической базой гж>п 2
и 3 является алгебра многочленов и теория линейных дифферен-
циальных уравнений с постои иными коэффициентами, по псе необ-
ходимые снедения приводятся по ходу изложения, а кроме того,
в Приложении 1 дана краткая сводка формул операционного ис-
числения. Для понимания главы 4 дополнительно требуется нали-
чие минимальных сведений ил теории вероятностей. Глава 5 по-
священа анализу основных явлений, связанных с наличием нели-
нейных элементов.
В целом первый концентр ориентирован на программы курсов
общетехнпческшо назначения, хотя порядок представления мате-
риала несколько отличается от традиционного. При необходимости
он может быть сокращен за счет изъятия гл. 4 (и частично гл. 5),
где исиользуиися вероятностные представления. Однако включе-
ние в любой курс начальной чисти гл. 5 представляется обязатель-
ным. Текст, данный петитом, пришли в лишь в качестве < i район-
ной информации.
Второй концентр (главы 6 и 7) содержит методику диализа и
синтеза линейных систем, основанную па первичном описании
в пространстве состояний. Стиль изложения становится более сжа-
тым. Предполагается умение пользоваться аппаратом теории мат-
риц, Хотя сводка всех используемых результатов этой теории дана
G
придислопш:
в Приложении 2, опыт преподаваний показывает, что активное вла-
дение матричным аппаратом требует получении предварительных
папы кон
В настоящее время принято, что материал перши и и пторгмо
тюнцситррв должен включаться н общие курсы, читаемые) студен-
там технических вузов, для которых теории автоматического управ-
ления является профилирующим предметом.
Наконец, третий концентр (главы 8—11) включает ряд спе-
циальных курсов (анализ нелинейных систем в пространстве, со-
стояппй, оптимизация программы управления на основе принципа
максимума и вычислительных методов, синтез оптимальных и при-
ближенно овтнма.тьных законов управления (обратной связи), вве-
дение в методы идентификации и адаптивного управления). В рам-
ках третьего концентра предполагается наличие более высокой об-
щей математической культуры, хотя прикладные аспекты остаются
в центре внимания, В основном третий концентр ориентировав па
подготовку инженеров математиков и инженеров-физиков, по мо-
жет быть в сокращенном виде использован и для чисто техниче-
ских специальностей. Материал спсцкурсоп может быть также по-
лезен для подготовки к экзаменам кандидатского минимума по
специальностям «теории автоматического управления» и етехпиче
скис, системы управления». I! нем, в частинети, содержатся доказа-
тельства ряда математических утверждении, нри1мщсппы.к в общем
курсе.
Однако взаимосвязь между всеми частями курс* проявляется по
только и не столько в этом.
Боз освоения технического аспекта и>учсппо теории лптоматп
ческого управления недопустимо и может привести лини, к полной
беспомощности в постановке и решении практических проблем да-
же при хороших формально математических знаниях. Поэтому со-
держательная постановочная сторона дела подчеркивается в тече-
ние всего курса. Хоти изложение ведется ио возможности строго
в математическом смысле этого слова, акцент делается па соот-
ветствии формальных моделей практической реальности. Формули-
ровки и доказательства необходимых математических фактов дают-
ся экономно, без претензий па наибольшую общность.
Предлагаемый курс, конечно, не является курсом лекций. Ис-
пользуя его для формирования лекционного материала, каждый
преподаватель должен сделать выЛорку, сонткетсгвукнцую конкрет-
ной задаче и возможностям общего плана обучения. Цель автора
состояла лишь и том, чтобы вргцос пинит, достаточный материал
для такой выборки. При эТАм учитывалога что .ничн иьш.ная часы,
прс.подан.тп'лой (а они также рассма rpnnaiorcn н качестве предпо-
лагаемых читателей!) получила подготовку и гот период, когда
современная теория управления сшо нс сформировалась. Поэтому
в книге псущсствляется «плавный переход» от классического ча-
стотного подхода к более новым подходам.
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
Определенная часть содержания книги оригинальна не только
п методическом отношении. Поэтому можно надеяться, что знаком-
ство с. ней пред* танит интерес и для специалистов. Вместе с тем
книг* отнюдь не претендует на псссгориппий охват проблема!ини
теории автоматического управления, да :ш> и пепоаморкпо при сов-
ременном масштабе Hccjie.iiotuniini.
Книга базируется на соистцеиной педагогическом в иселедона -
дольском опыте автора, по преа;д<: всего отражает традиции, сло-
жившиеся пл физико-механическом факультете Ленинградскою по-
литехнического института. Опп были заложены такими замечатель-
ными учеными, как А. И. Лурье и А. М. Кип, светлой памяти ко-
торых автор посвящает Эту книгу. Традиции Л. И. Лурье и
А. М. Каца продолжались н лекциях К). В. Долголенко, Р. А. По-
луэктова, И. А. Чслпанова. В. Я. Катковникя. Содержание лекций
менялось вместе с развитием теории, однако неизменной остава-
лась общая тенденция — сочетание инженерной направленности
с обновляющимся математическим аппаратом.
Написание этой книги было выполнением долга автора перед
учителями п перед пипе работающими товарищами и учениками,
которым автор неизменно признателен за поддержку и советы.
Особо следует упомянуть А. А. Воронова, который многие годы
оказывал влияние на автора и как руководитель первых научных
исследований, и как создатель прекрасных книг ни теории управ-
ления. и, наконец, как благожелательный п требовательный ргцен
зепт этою курса. Замечания А. А. Воронина имеете г. замечаниями
коллектива кафедры «Литнматика и процессы управления» Ленин-
градскою .i.ieKrpoTi'xniviec.Koro института, возглавляемой В. Б. Яков-
левым. были исключительно полезными и способствовали суще-
ственному улучшению окончи тельного варианта рукописи.
.Автор глубоко благодарен всем пспосредствоипо помогавшим
в работе пад рукописью: Г. В. Взря.ччснко, Е. Ю. Коломиец,
Н. В. Солониной. И. Л. Дорогу, М. Г. Захарову, О. ТО. Кульчицко-
му, В. К. Подгайскому, Б. Л. Розиту и, прежде всего, Т. ГТ. Пер-
Ейзнапской и Ал, А. Периозвапскому. Весьма полезным было и вни-
мательное прочтепие рукописи А. С. Позняком.
Следует все же заранее признаться, что несмотря на длитель-
ную и напряженную работу данный курс отнюдь по совершенен.
В тексте наверняка имеются незамеченные неточности и дажи
ошибки. Автор заранее признателен всем читателям, которые но
сочтут за труд прислать свои поправки в издательгтво или нопо-
срёдспи'пно в Ленинградский политехнический институт.
список обозначен» tn
Обозначения величин и функций снхраияютОя только в преде-
лах каждой главы. При ссылках приняты сокращенные обозааяс-
iiiijr; II.— пример, Т.— теорема. Нумерация формул, теорем и при-
?.гер<ш двойная (сначала номер параграфа в данной глине, затем
номер внутри параграфа), самостоятельная в каждой главе. При
ссылках на другую главу укалывается ее помер.
Б —конец доказательства теоремы или ее формулировки (если
доказательство не приводится)
П — конец примера
Л '> £>' — из А следует Л
Л •<=«- В — А екни Валентин В (тогда и только тогда, когда)
А’В — А при условны, что верно В
Л — ришт ни определению
I)—оператор дифференцирования D'OJA»,., ’(O^J
и — оператор един г;» ла такт (£-г(л'1 А х[А' -|- Ч)
_2?{ ) — оператор преобра:х)ван1:ц .Иан.члса (см. прпчоисепис I)'
Л^(-) — оператор ^-преобразования (см. приложение 1)
h(t} — весовая функция
//(D) — передаточная функция
1 (I) —функция Хевисайда
6(f) —6-функция Дирака
р — ипдекс разомкнутого контура
в — ипдекс замкнутого контура
/—индекс обратной связи
Р{Л) — вероятность события А
М{.г) — символ математического ожидании случайной ве-
личины х
Dlr) — символ дисперсии случайной величины х
, о (и! /-Д
о(н)— величина меньшего порядка, чем pl 11,11 ~—“VI
______________________________________________ /
О(р) —пелнчина порядка р/0 < lini | О (р),р |<Г liai | О (р)/п |<°о)
\ ц >0 Н-<1 /
V — градиент
<log а(р)—степень полинома а(р)
Обозначения, относящиеся к матрицам, описаны в Приложе-
нии II.
гл л вл t
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. Цели и принципы управлении
Управление состоит ч том. чтобы, окапывай на какой-либо объект
воздействие, изменять притекающие в нем процессы для достиже-
ния определенной цели. У правление является автоматическим, если
опо осуществляется бел вмешательства человека с помощью спе-
циальных технических устройств, Разработка общих принципов
создания этих устройств и является основной задачей теории авто-
матически! о управления. Теория должна давать единую базу для
tn и задач управления объектами различной физической, хими
ческой и.in ипо.ии ическоп природы. Перечислим некоторые типич-
ные классы технических задач.
а. .Г'п//пб.(гчшс гщижелие.ч .чехнкичсеких объгккш. Управляемы-
ми являются прощтсы изменения пекигорых координат п скоростей,
а управляющими врадейс.твпями являются лишними силы*). Цель
управления обычно формулируется через задание желаемых зкачс
мий координат и скоростей в определенные моменты времени или
па определенных участках траектории.
б. J правление электротехническими. (или электронными) объек-
тами, где управляемыми являются процессы изменения напряже-
ний, токов, .мощностей, а управляющими воздействиями являются
внешние электродвижущие силы (ЭДС) или токи от внешних ис-
точников, пли сопротивления, емкости, индуктивности элементов
с варьируемыми характеристиками. Целью управления может быть,
например, обеспечение постоянства напряжения между различивши
узлами системы пли достижение максимальной мощности, выделяе-
мой па определенном элементе.
в. Управление теплотехппчегки.ии объектами. Управляемыми ян
лнюгСя процессы изменения тех пер.тгур в различных точках об ъек-
та, а полдг.-йс свис осуществляется путем подвода тепловой анергии.
Цель управления может состоять и желании поддерживать пекою-
рое распределении температур или не допускать превышения тем-
пера гурон некоторою предслыкпи уровня.
*) Коорчиипты, скорости >: силы могут нсниматт.ся и обобщенном смысле
тс > р гя и чсч: Ki > и мс.\ а 1111 к .1.
10
ГЛ. I. ОСИОВ111.П' ПОНЯТИЯ
г. Управление химической или биологической технологией.
Здесь управляем нм является кик изменение температур, так и из
меление концептраций различных всщеслр. Управляющими полден-
ствия.мп являют и изменения подхода анергии (топлива, оелпчцеции)
или вещества, а целью— обеспечение желаемого подичее тип выход
ноги продукта (ж<лаемой продуктивности) или (и) поотшшетпа
<ч’о качественных физики химических характеристик.
Эти проблемы зачастую переплетаются, поскольку объекты сов-
ременной техники, как. например, системы эпергообег.печения, валя-
ются сложными системами, в которых пзаи.мо.юнсглуют и механи-
ческие, и алектроматнтпые, и термодинамические, и химические
процессы. Однако, несмотря на ра.зиообра :ие технических проблем,
существуют общие подходы, общие
принципы создания систем управ-
ления.
В соответствии с ними любая си-
стема управления строится па осно-
ве трех функциональных блоков
(рис. 1.1). Первый блок состоит пз
Гис. и устройств, позволяющих получать
информацию о текущих' значениях
управляемых процессов (или других процессов в объекте., связан
иых с управляемыми). Этот блок называют измерительным
пли блоком датчиков информации ( 111)*). В ходе функцио-
пнрппипнд атчго блока выдаются информационные сигналы. Зги
сигналы поступают ВО 2-п блок, блок преобразования и хранения
информации (ПН), где на их основе, а также па основе заранее
заложенных снедений (априорной информации) вырабатываются
сигналы управления. Правило (алгоритм) преобразования инфор-
мационных сигналов в сигналы управления называется законом
управления. Сигнал управления показывает, каким должно быть
управляющее воздействие в текущий момент времени. Чтобы вы-
работать ото воздействие, превратить сигнал в механическое уси
дне пли ноток тепла, или поток вещества, требуется еще одип
би ж иснолнит<ыы1ие устройство (ПУ).
Как видно из рис. 1.1, совокупность перечисленных блоков об-
разует замкнутый контур, охватывающий объект управления. По-
этому систему, где присутствуют все эти блоки, часто называют
замкнутой системой, пли системой управления с обратной свилью
пт управляемых процессов к управляющим воздействиям. Иногда,
однако, используются и более простые разомкнутые. системы, где
отсутствуют датчики информации, а функции преобразователи пн
формации сводятся лишь к храпению и выдачи выработанной про-
*} Ншя-ди употребляются и другие термины: блок чунс.гвителын.пс ялсмсп-
зов, блок сенсоров.
£ 2. СВЕДЕНИЯ О ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВАХ
11
граммы управления с требуемыми и каждый момент времени зна-
чениями сигнала управлении.
Таким образом, и смс емс управлении можно выделить инфор-
мационную часть, осуществляющую получение, хранение, обработку
и выдачу информации, и гиергегическую (силовую) часть, служа-
щую для преобразования информации (сигнала управления) и уп-
равляющее iHiiMiciicTjnie па объект.
§ 2. Сведения о технических средствах
Описанные функциональные блоки реализуются с помощью раз-
личных технических средств автоматики. Детальное изучение их
конструкций служит предметом специального курса. Однако пони-
мание задач общей теории автоматического упран.тення невозможно
бед четкого представления об основных особенностях этих средств,
тем более что в настоящее время намечается тенденция к их уни-
фикации. В пих н качестве информации выступают электрический
сигналы, причем информация с-одвржитсп либо в текущих значе-
ниях напряжении (сигналы аналогового типа), либо в виде копи-
рованных 111)<;.1Г;1овате.11>постеп импульсов (сигналы цифрового или
кодированного типа).
В соответствии с этим датчики информации являются пуйобра-
:н)1!Лге.|яхщ значений различных физических процессов И электри-
ческие сигналы, преобразование и хранение информации осущес.тп-
лястс.я с помощью a ii'ici ропны х вычпелмтерн.ных устройств анало-
гового или цифрового тына, т ио ши тельные устройства управляют
<п опять таки <; помощью электрических сигналов, поступающих из
блока НИ.
Приведем некоторые примеры датчиков [1.1].
и. Датчик относительного перемещения (иамерителъный потен-
цц/.'Мстр) (рис. 1.2, л). Напряжение н. еппмяемоо движком потен-
циометра, пропорционально перемещению движка относи гелыш
< рСДпсн точки. Вели снизать движок с одним из тел, Л корпус
< другим, то получим датчик их отпнеитслыкн'о поступательного
перемещения. С помощью кругового потенциометра аналогичным
образом можно получить электрический сигнал, пропорциональный
относительному углу поворота.
12
ГЛ. !. ОСПОННЫК ПОНЯТИЯ
б, Датчик угловой скорости (тахогенератор) (рис. 1.2,6). Э. д. с.,
вырабатываемая г< ператорим постоянного тока с. поза виси «им воз-
бужденном или постоянными магнитным, пропорциональна угловой
скорости вращения ротора. Если ротор генератора связан с враща-
ющимся телом, то генератор является датчиком угловой скоро-
сти тела.
и. Датчик давления (u.vti’ригельная мембрана). Прогиб мембра-
ны (рис. 1.2, а) пропорционален давлению газа, действующему па
ее поверхность. Таким образом, мембрана является прообразов:!те-
лом «цавлепие-перемещенне». Однако перемещение, как уже ука-
зывалось, можно преобразовать и напряжение электрического
сигнала.
г. Датчик температуры (термопара). Действие этого датчика
основано на свойстве разнородных проводников или полупроводни-
ков образовывать в парс (спае) электродвижущую силу, зависящую
от температуры спая.
Перечень датчиков можпо было бы продолжать практически не-
ограниченно, поскольку разработаны и непрерывно разрабатывают-
ся устройства для измерения различного рода процессов, основан-
ные в свою очередь па различных физических принципах и имею-
щие разную сложность, стоимость, габариты. При этом в зависи-
мости от диапазона возможного изменения одной и той же
физической величины могут применяться совершенно несходные
устройства, например, для измерения перемещений порядка lil~s м —
ужо упомянутые, пшеицпомегры, а при порядке более КН м — ра-
диолпкациоппые дальномеры, используемые, в частности, в систе-
мах управления пологом.
В дальнейшем будем называть датчик идеальным, если выраба-
тываемый нм сигнал пропорционален измериомой величине. Суще-
ственно, что все реальный датчики являются в той пли иной степе-
ни неидеальпыми. В частности, всегда возможны малые ошибки,
проявляющиеся в виде добавочных, «паразитных», сигналов. Более
того, пропорциональность заведомо сохраняется только в опреде-
ленном диапазоне изменения, зависящнем от конструкции датчика
(это очевидно даже из представленной выше схемы измерительного
потенциометра). Наконец пропорциональность может нарушаться
при быстрых пзменшшях измеряемого процесса — в силу инерцион-
ности датчика. Например, спай термопары обычно защищается по-
крытием (чехлом). Это покрытие не может прогреться (или ох-
ладиться) мгновенно при резком изменения измеряемой температу-
ры газовой среды, так что тепловая инерция покрытия искажает
показания датчика. Л дальнейшем будет продемипстрпровано, на-
сколько неизбежная неидеальш1Сть датчиков информации влияет
па эффективность систем управлении.
Кратко остановимся на средствах прообразовапия и хранения
информации, т. е. технической реализации блока ПИ. Пиибпиео
мощным средством являются управляющие цифровые электронные
§ 2. СВЕДЕНИЯ О ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВАХ
13
вычислительные машины (ЭВМ). Общие принципы действия ЭВМ
хорошо известны (ем,, например, J 1.7]). Подчеркнем лишь, что ис-
пользование ЭВМ в качестив блика системы автоматического управ-
ления влечет за собой (шределенные особенности ввода и пыпода
ппфирмацпи. В отличие от пелктнмагических (человеко-машинных)
систем информация не должна предел аплит т.ся в пилу аль нои фор
мс *), например, и вида распечатки ил бумажной ленте млн ера
фик« па грлфоиоелроиi'c;ic. Как правило, ввод текущей шторма
цнп, поступающей иг ДМ, осуществляется следующим ооразом:
аналоговые электрические сигналы масштабируются с помощью
усилителей к требуемому диапазону, далее, преобразуются е, по-
мощью устройств «аналог—цифра» (АЦП) в кодированную после-
довательность импульсов, вводимую в память ЭВМ. Результат пе-
реработки информации по заложенным в ЭВМ программам в виде
цифрового кода поступает на преобразователь «цифра—аналог»
(ЦА11), па выходе которого возникает аналоговый сигнал соответ-
ствующего напряжения.
Для дальпединего существенно, что цифровая ЭВМ фактически
оперпруег ке с непрерывно поступающей информацией, а с верно
днческон выборкой, иначе, говоря, с цослед<шате.1ьностямп намеряе-
мых величин. Отметим также, что при преобразованиях в АЦП
возможны дополнительпыо оишокн, связанные е округлепием, хотя
они, как правило, малы но сравнению с ошибками датчиков.
В и.'1Стоя1Ц1*с время псполь.ювйппе цифровых ЭВМ ограничено
достаточно сложными и дорогостоящими системами управлении,
л частное ! я. системами управлении крупными судами и дета толк
пыми аппаратами, хотя общая тенденции технического разни тин
спидетельс.!иуег о возможности их пси большего распространении.
Широко применяются апа.-штпвыо вычислительные устройства,
представляющие собой схемы, включающие электронные усилители
и ПС-депи. Основная идея построения таких схем проста. С по-
мощью делителей или усилителей возможно осуществить операцию
умножения входного напряжения па постоянный коэффициент,
с помощью емкостных элементов возможно осуществлять операцию
интегрировании данных, поскольку напряжение на емкости пропор-
ционально интегралу от протекающего тока. Сочетание таких эле-
MisiiTOB позволяет создавать устройства, практически мгновенно
производящие алгебраически о и интегральные ирс.образовапия по-
ступающих сигналов,.Эти устройства иногда полностью разрабаты-
ваются специально для реализации требуемого закона управления,
а иногда строятся на базе стандартных так называемых операцион-
ных усилителей, входящих и состав аналоговых вычислительных
машин (ЛВМ)* **) Аналоговые вычислители проще и пока дешовло
•} Нго. конечно, ни нгклю'н-’io и, болео того, д.тэко необходимо о ходе на-
ладки системы.
•*) Принципы фушщпо11П|>п||>|11)тп ЛВМ тесно связаны с теорией управле-
ния и кратко излагаются пилю (гл. 2).
14
гл. i. основный понятия
цифровых. Хотя иозможности преобразования и и особенности хра-
нения информации в них ограничены, их, как правило, достаточно
для реализации наиболее часто используемых законов упраллспия.
Кратки иЩаноиимсв па срсдетнах реализации блока исполни-
тельных устройств. Из 1114 и него поступает сигнал управ iriiuu.
Эти заекrpii'ieciciiii сигнал с низким уровнем мощности. Поэтому НУ
должно реализовать дне функции; ни первых, повысить уронит,
мощности, быть усилителем мощности. а ио вторых, npeoGpawcrtro
электрический ток в управляющее воздействие требуемою типа,
например, механическое усилие или расход вещества.
Наиболее распространенным НУ являются электрические дви-
гатели (см., например. |1.«]), на которые управляющий сигнал по-
дается через усилители мощности (УМ) (электронные, магнитные,
электромашипиые). Простейший йлцктродвигатель — ялентромаг-
нит, якорь которого перемещается в поле, создаваемом током в об-
мотке (рис. 1.3). Во вращающихся электродвигателях момент, дей-
ствующий па ротор двигателя, создастся за счет взаимодействия
токов в обмотках, уложенных на роторе и статоре. В частности.
в двигателе постоянного тока с независимым возбуждением, ис-
пользуемом во многих системах управления, ток в роторную (якор
пую) обмотку подастся от усилителя мощности, а ток в обмотку
статора подается от внешнего источника постоянного напряжения
(рис. 1.4). Всякий электродвигатель является, по существу, преоб
разователем «электрический ток — механическое усилие* я поэтому
может быть непосредственно использован а качестве НУ в систе-
мах управления движением механических объектов. Вместе с тем
он может быть применен и в других системах. Если, например,
кинематически связать двигатель с заслопкой (вентилем), измене-
ние положения которого меняет расход вещества, поступающем о
к объекту (fine. 1-3), то соэдиетх-и ИУ для управления расходом
с. помощью электрического cm нала. Таким же спос.обпм может уп
равняться подача тепловой оперши, ел ш вентиль дозирует подачу
топлива.
Наряду е электродвигателями в системах управления пснользу-
ютсн и иные, в особенности i идрзвличсскис в пневматические. Для
fi 3. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
15
ник входных* управляющим сигналом является перемещение ва-
елкмгкн, открывающем млн закрывающей доступ рябпчего тела (сжа-
той жидкости или газа) к движущемуся поршню*). Управляющий
сигнал такого рода может поступать либо непосредственно от дат-
чика (см. выше, пример нзмерпгельнон мембраны), либо быть ре
аулI.гитом преобраловання электричег.ьо! о сигнала с помощью дви-
гателя, перемещающего ааслонку. Для дал внешнего теоретического
изложения нажин понимать, что несмотря на разнообразно воамож
вых технических реализации любые НУ обладают следующими
нриицинпальн ы м и особеппостя м и:
1) они используют энергию от внешних источников (блоки пи-
тании здоктрпчеекпх усилителей, напорные установки гидравличе-
ских двигателей н т. д.);
2) возможный уровень управляющего воздействия ограничен
колет рук кие й 11У.
Таким образом, мы кратко обрисовали типовую техническую
базу реализацпп основных функциональных блоков систем автома-
тического управления (САУ).
§ 3. Примеры систем автоматического управления
Дадим схематическое описание двух типичных (_ЛУ.
Пример 1. .'Лгел’тргм.'сзтг/гкчст'клл следмщая система (ЯСС) |1.2,
1.6]. Объектом управления является прлщэкпцийел вал (рис. 1.6),
нагруженный внепншм моментом. Целью управления является обес-
печение поворота вала ii.i угол, близкий к углу поворота задающей
оси. который может меняться за-
ранее пенредвн.теппым образом.
При этом не допускает* и, чтобы
мп возможность попорота задаю-
щей осн существенно влияло на-
личие момента, противодействую-
щего повороту нала (в противном
случае можно было бы просто
связать задающую ось с валом ки-
пематвческой связью).
Для решения задачи управле-
ния строится автоматическая си-
стема с обратной связью. Элект-
1'ис. 1.5
родвигатель передает и;г вал через редуктор управляющее
воздействие — вращающий момент. Угод поворота вала изме-
ряется с немощью датчика, вырабатывающего пропорциональное
ему па |рижспцс. Другой датчик**) вырабатывает напряжении,
*) Несколько б<1,-1>ч' подробное описании iкдрлплвческого двигателя (сср-
BiiMriTcipa) дано » гл. 4 § 5.
*♦) Эв’кктувг используется то.чькп один датчик, пеилерсдстпепмо лыраба-
тывзюпшп ня пряжение. цроворциоиальвоо разности углов попорота вала и
задающей оси (опюсптелык1му углу поворота).
113
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ понятия
пропорциональное углу поворота задающей оси. Разность между
втими напряжениями характеризует ошибку управления, т. е.
несоответствие между углами поворота пала и падающей оси.
Она усиливается ио уровню и подлетел через усилитель
мощности па исполнительный лиши уел в. «Рункцпоцвропаипе систе-
мы построено на простом принципе управления с обратной е«л.ч.к>
по ошибке: если ошибка положительна (yrifji поворота оси больше
угла поворота пала), то к палу прикладывается момент, ускоряю-
щий его крашение в необходимую сторону, н вал начинает «дого-
нять» задающую ось; если ошибка отрицательна, то к валу при-
кладывается момент противоположного знака, и вал тормозится.
В описанной простейшей схеме функции вычислительного уст-
ройства сводятся к вычитанию сигналов двух датчиков и умноже-
нию разности па постоянный коэффициент — коаффициеит усиле-
ния усилителя напряжения. Кате мы убедимся в .дальнейшем (гл. 3,
§ 7), для обеспечения высокого качества управления (малости
ошибки) приходится усложнять эти функции, однако, как правило,
закон управления остается таким,
что оп легко реализуется с помощью
простых аналоговых ВУ. П
Пример 2. У правление движени-
ем иролин тленного работа |1.2, 1.5|.
Промышленный робот можно рас-
сматривать как систему, состоящую
из манипуляционного механизма и
блоков управления. Манипуляцион-
ный механизм представляет собой
конструкцию, предназначенную для
Рве. 1.U перемощения и ориентации схвата
или инструмента в любую точку
рабочей зоны. На рис. 1.6 схематически представлена одна из
возможных компоновок механизма, обеспечивающая перемещение
внутри цилиндрической рабочей зоны, С помощью ивигатвлеп
.можно поворачивать вертикальную колонку, поднимать пли опускать
каретку с балкой—«рукой робота», выдвигать или вдвигать «руку»,
осуществлять поворот схвата.
В отличие от предшествующего примера здесь мы сталкиваемся
с задачей управления сложным пространственным движением, при-
чем это движение должно онределитьси перемещением (поступатель-
ным или вращательным) звепьав механизма относительно друг
друга и неподвижно)о основания. Отсюда вытекает необходимость
и целесообразность бо.чео сложной (и в припциппалышм, в в тех-
ническом от ношении) системы управления, иснильзуинней в каче-
стве блока НИ управляющую цифровую ЭВМ. Общую схему функ-
ционирования системы можно описать следующим образом. От оп-
тических датчиков (снетемы «технического прения робота») посту-
пает информация о координатах и ориентации детали, которая
g 4. ПРОЕКТИРОВАНИЕ П ТЕОГПЯ
17
должна быть взята охватом робота В памяти ЭВМ хранится ин-
формация об исходной пространственной ориентации звеньев мани-
пуляционного мехапи uia, а также ею динамических свойствах и
расположении возможных препятствий внутри рабочей зоны. С уче-
том этой информации ио специальной программе в ЭВМ вычисля-
ются требуемые перемещения и углы попорота по различным сте-
пеням подиижпости механизма. Результаты вычислений с помощью
ЦЛ11 преобразуются в аналоговые электрические сигналы, переда-
ваемые в блоки управления звеньями. Каждый из утих блоков мо-
жет работать по той же схеме, что и описанная выше электромеха-
ническая следящая система. Различие заключается лишь в том, что
сигнал на требуемое изменение положения поступает пе от датчика
положения задающей оси, а от управляющей ЭВМ*).
Описанная общая схема разнообразным образом варьируется
при создании реальных промышленных роботов н может служить
прототипом любых достаточно сложных САУ, где центральное вы-
числительное. устройство осуществляет «командные» функции по
отношению к более простым, локальным системам. □
§ Проектирование и теории
Наметим основные задачи, возникающие при проектировании
систем нптомятичсекого управлении.
в. Формулировка техническою задания, в котором должно быть
указано, какими процессами требуется управлять, каковы цели уи
равнения и в каких условиях должно осуществляться управление.
б. Выяснение возможностей воздействия ня управляемые щи>-
цессы и прогноз внешних возмущений.
в. Оценка требуемой мощности исполпитсльпых устройств, вы-
бор типа МУ и источников витания.
г. Оценка возможностей получения текущей информации и вы-
бор датчиков.
л. Построение законов управления (правил преобразования ин-
формации) .
с. Выбор типа цр< образователя информации.
ж. Программирование или схемная реализация блока ИИ, реа-
лизующего законы управления»
з. Компоновка системы в целом.
Подчеркнем, что в настоящее время проектирование самих тех-
нических средств все реже входит в непосредственный круг обя-
занностей инженера проектировщика САУ. Обычно он ориоптпру-
(ic.ii па серийно выпускаемые промышленностью блоки. Главная же
его работа состоит в обеспечении взлимос-вялн технических средств
и и подчинении системы общим целям.
•) УСС, OCymiTTB-IBHHHlie yiiparijjciiuc iiw-.yiinrc.-п..по движущимися звень-
ями. ОТЛИЧяСТСЯ ЛИШЬ кинем* гВЧССКПМВ С1ШЗНМ11.
% Л. л. Цепьиэьавсвив
IS
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ понятия
Ирп атом совершенно особую роль играет задача построения
законов упривлепил, которая и является основной проблемой общей
теории автоматического управления, изучаемой в данном курсе.
Причина такого особого внимания заключается пи только в важ-
ности ладами, по и и существовании общего пути ее решения. Уют
муть заключается в исно.'1ьлг>ю1пии математического ошк .чиня, мате-
матической модели как самого объекта, так и функциональных бло-
ков системы управления, позволяющих прогнозировать поведение
объекта, возможность достижения поставленных целей при различ-
ных внешних условиях. Колее того, поскольку самые разнообразные
реальные процессы могут быть описаны в рамках одних и тех жо
математических структур (алгебраических, дифференциальных, ин-
тегральных уравнений), общая теория может оперировать не с конк-
ретными техническими описаниями, а с классами математических
моделей. Это обстоятельство придает теории внешний облик мате-
матической дисциплины. Однако по своему содержанию и направ-
ленности теория автоматического управления — техническая наука.
Техническое содержание проявляется при выборе типа изучае-
мых общих математических моделей, но главным образом — при
приложении и трактовке математических результатов.
Во-первых, при построении системы управления конкретным
объектом необходимо исходить именно из е о модели, которая хотя
и выбирается как частный вприант общий модели, ио, как правило,
обладает слнщифцчис-кимб особенностями.
Бо-вторых, любая модадь лишь приближенно отражает свойств;»
реа.льи11гп объекта, полволисг лишь приближенно нрогнозирошгп.
его реакцию па воздействии. Следовательно, важно проверить лю-
бые законы управления, формально получаемые с помощью модели,
па то, пе приведут ли такие даже; малые неточности к существен-
ному изменению управляемых процессов.
В-третьпх, чисто мат ма гическое исследование может привести
к результату, что пе существует никакого закона управления, при
котором удовлетворяются заданные технические условия. Инженер
должен, одпако, помнить, что этот вывод относителен: ведь расчет
проводился при уже выбранном комплексе датчиков и ectio.iнитёль
пых устройств. Изменение этого комплекса (использование новых
датчиков и НУ) может привести и к изменению полученных
выводов.
Короче говоря, при технических приложениях исходными явля-
ются не уравнении, н реальный объект м радльно используемые тех-
нические ергдггва. Эго обстоятельство неоднократно будет подчер-
киваться и предстоящем курсе. Изучающий ого должен обращать
внимание но только на матемагичсгкис утверждения, но и па ого
брппоок их конкретного приложения. Примеры таких приложений
по менее важны, чем теоремы!
Г .4 Л В .Л 2
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Описание элементов
1.1. Уравнения элементов. Объекты и системы управления со-
стоят па элементов, имеющих различную природу. Описание каж-
дого элемента обычно дается на языке соответствующей научной
дисциплины {механики, электротехники, химической кинетики и
т. д.). Для анализа их взаимодействия удобно перейти к единооб-
разному, стандартному описанию. Б инженерной практике наиболь-
шее распространение получил следующий способ:
а) каждый реальный элемент рассматриваете»! как устройство,
звена системы, в котором осу пц-епишется преобразование, одного
процесса, называемого eninm.v ва;«1еиствмем, в другой, называемый
«Ы.1 m’lH/ii ренкунеп, или npiicrri npet>6pa.l(>t,<tHtie o«3’ail tlt/л-
б) нзаи.модепстпне между апеш.ями задается нутом <н|иг,;ин1я
связей между их входами и выходами, определяющих сгрупы/рц
сис гемы.
Проступим п изучению свойств отельных эгеш.св.
Универсальным языком топ| сгнчегкпго естествознания, служа-
щим для математического моделирования взаимосвязей процессов
в природе и технике, является язык уравнений— алгебраических и,
в особенности. дифференциальных. Введем напоение. предположе-
ние-. для описания преобразосапия «вход-выход», осуществляемого
любым звеном, может быть использовано линейное дифференциаль-
ное у ншиепне с нсстонкнь ,:и коэффициентами:
<!">/ rf"’1» а Г.'™« г)™-!»
а» ч‘ а,,_’ Т?777 + ‘ ‘ ~ = + ^,п-‘ Л”‘—*' + ’ ’ ’ ’’ Р°г!’
(1.1)
еде а„, .... а„: £и, ..(3™— постоянные величины, параметры звена,
п и tn— целые числа, п щ (), а для обозначения вхожа и вы-
хи [а (пс.члпш'кмо от их npnptrii-i) нрнмепгпы Символы 1;«=н(Л) и
у {/(/). х1ис.п> п п«зЫ| агтся порячка.» уравнения (1.1) (порядком
звеня) *).
*1 Нацист. (1.1) н| с дно латает ст HccTm.iviuHii' iTi<i-ftr.'T<-Ttiyir>iiujx производ-
ных функции i'(r), ij(l) л обычном или обобщенном (см. ниже) смыслу.
2*
20
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ЛПЛЛИЗЛ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Уравнение (1.1) удобно записывать в сокращенной, оператор-
ной форме [2.5].
Введем оператор дифференцпротштп-.я О, обладающий том спой-
ством, что умножение пл I) аквпвйлентпо дифференцированию по
времени, т. о. для любой функции /(<):
Повторное умножение эквивалентно повторному дифференци-
рованию
D(D/)A1)‘/A А.
<и~
и вообще для любого целого
»*/*&.
•” rfift
С использованием операторных обозначений уравнение (1.1) запи-
сывается в ВИДО
ajry+an-jr-1.'/+ • =P„,l>mv4-... +[V (1.2)
пли, onto короче.
a(D).V •" (1(1>) и.
(1.3)
где ивцдопы многочлены от оператора дифференцирования
a(l>)£aItD'* -I- a,1_)l)r‘“1 -|- ... + й,„
(1/0
₽(24)Л₽.вПл* + Р,л-1Вт-1+ ... +Г>
Рассмотрим ряд простых примеров приведения описания раз-
личных физических элементов к стандартному.
Пример 1.1. -Напряжение па входе усилителя (рис. 2.1) обыч-
но обозначают uIX(£), напряжение на выходе — ^П1.-т(/), а связь
Рис. 2.1
между пи ми задают в впде
Ипьгт(^) АчХхх(£), (1.Э)
В стандартных обозначениях полагаем
о (0 (i), ij (I.) л rzhUX (i),
так чш
.7(0 '/<>’(!)•
(1.6)
Это частный случай уравнения (1.1) при т = п = 0, 1,
р» ™ к. О
6 1. ОПИСАНИИ элкмвнтов
21
Пример 1.2. Уравнение вращающегося вала обычно записывают
и виде
(1.7)
ГЛ1' (o(t) —угловая скорость, rn(t)—момент действующих сил, J —
момент инерции. Зто уравнение определяет связь входного воздей-
ствии in (1} с выходом <•»(<).
1 конная
r(/)Am(t). 7=а,,
можем переписан. (1-7) в виде
aiDy(t) = u(t)\ (1.8)
что соответствует (1.1) при п=1, т = 0, я : => О, ^0=1.
Если считать входным воздействием движущий момепт тя(/),
а момепт сопротивления считать пропорциональным ю(£), то
уравнение
J ^ + Ьы(1) = тл(1) (1.9)
опишет связь «вход-выход» в форме (1.1) при и(/)= тпл(£), » = 1,
от = 0, а, — J, аи = b, р4 = 1. □
Пример 1.3. Рассмотрим традиционную модель теории колеба-
ний: труп массы от связан г. основанием с помопщю пружины жест-
кости с п демпфера, создающего вязкой трипио и характеризуемого
коэффициентом b (рис. 2.2). Пусть входным воздействием является
сила /’(/), приложенная к грузу, а вы ходом будем cut гать его
перемещение у{1) относительно положении, в котором пружина
не деформирована. Тогда уравнение движения, записываемое и
традиционной форме, имеет вид
+ + = m (ЮЛ)
а стандартная запись вида (1.2)
(c^D’ + aJWa.)^)*»’^) (111)
получится, если положить
г(/) —/’(/), а.5 = с, <x, = b, ai^m,
причем п = 2. т = 0, рп = 1.
В рамках топ ж<; модели можно описать и другую ситуацию:
пусть сила отсутствует, а входным воздействием является кпнема-
тическое перемещение основания, которой сразу обозначил! и(Г),
Тогда уравнение движения
от ^4 + Ь (г/ — о) + с {у — и) — 0 (1.12)
dl“ <•'
22
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
переписываете» в операторном виде (1.1)
(aJ>E-1 а,1) + а. )г/(/) - (,5,В+р„)г(/), (1.13)
где кроме ранее введенных обозначений параметрон введены также
Ри “ с, р, = b. LJ
1.2. Передаточные функции. Ил ряду с. операторной записью диф-
ференциального ура вне и ни (1.1) в лице (1.3) будем широко ис-
пользовать еще более компактную:
’V<7)==a\S''’(/)'” (М'О
где II(D) называете!! операторной перешгточной функцией (п. ф.)
или оператором звена. Формально И (1>) можно рассматривать как
дробпо-раццопальную функцию от оператора D, отношение двух
многочленов от D:
которые условимся выписывать, не производя возможных сокраще-
ний. Запись (1.14) ив 1яется лишь символической и не дает реши
пия дифференциального уравнения (1.3) относительно выходной
переменной y(i), поскольку по определено, какой смысл имеет де-
ление на операторный многочлен о.(11).
Выяснить этот смысл помогают прав! ш операционного исчис-
ления, основаinKirn па исио.ць.р^паннн преопразоеапия .Чан.мн-п *).
Напомним, что преобразованием по Лапласу функции /(.() (е.о
^-образом) называется функция I‘(p) комилекснай переменной р,
вычисляемая как интеграл
(?) = J /(<)с >”di д £' {/(/)}. (1. 16)
о
По заданной (р) может быть однозначно восстановлена функция
/(#), называемая в этом случае оригиналом /(/;) (прообразом),
если f (Z) = 0 при i < 0.
Использование преобразования Лапласа для изучения диффе-
ренциальных уравнений основывается ня простом утверждении:
£?(D/(/)} = p$P{I(t}} = рГ(р), (1.17)
если /(()) — 0. Из него сразу следует, что
SW'l(i)} = p^{j{t)} - рк1-(р), к 0, (1.1К)
se{А (D) I(I)} = /1 (Р) (t) }= А (Р) 1‘ (р) (1.19)
для любого Операторного многочлена степени /г. (сии равны пулю
яначення /(() и ее производных пилить до (к -1) й**).
•) Даже HpcHiioJiai.irTcii. что чиглтюи. иплком <. опсрациовикш игч|ц-.>е-
вием. И противном случае можно гпиучит). всля'.\одим>.о1 минимум eiiom?ний из
Приложении 1.
♦•) Соотнегетиуницис формулы для иеиулевых впачеикй более громоздки
и доны в Приложении 1.
g 1. ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
23
Применяя правило (1.19) к уравнению (1.3), получим
a{pU4pW(/0 »'(/'), (1-20)
Г(р)-ЯЧ1Ф)>, V(I>)
при этом нр<’ 1НО.1.Ч1 аегся, что раины нулю г/(0), п(0) и нпча.тьныо
значения производных //(/), ['(О полоть до (»—l)-ii и (гл.—1) й
соответственно. Подчеркнем, что а(р), |)(/>)—обычные, а не опе-
раторные. многочлены, функции комплексной переменной р. Полю
му операция деления на а(р) имеет обычный смысл, так что
’W-jS1'»- О-2"
Учитывая определение (1.15), приходим к основной формуле
1'(р) = Я(р)И(р). (1.22)
Вывод: ^-образы входа и выхода при нулевых канальных
условиях связаны. между собой коэффициентом. зависящим от пе-
ременной р. Этот коэффициент называется комнлвксной переда-
точной Функцией {п.ф.) преобразования «вход-выходц и нахо-
uUTCii заменой, оператора дифференцировании I) а операторной
п.ф. //(D) на комплексную переменную р.
1.3. Ве<оны<* функции. Вторым Замечательным сипнством преоб-
разовании
О свертке)
,1.шлага явлнОТСя следующее утверждение
(теорема
П (/0 1'(Р) = ^
| h (т) v(t — т)с/т
(1.23)
где функция h(i}, t>0, является оригиналом в. ф. //(/')• Если h(l)
вычислена, ю из (1.22), (1.23) и однозначности восстановления
оригинала у(1) но ее .S’-образу У(р) следует
4
у (Г) = J" /г (т) и (t — т) (lx, (1.2'1)
О
Фх'пкпия Л(0 называется весовой функцией преобразования «вход-
выход», поскольку с ее помощью взвешиваготся значения входной
переменной в «прошлом», в моменты t— т, для того чтобы, сумми-
руясь, сформировать значение выхода в текущий момент /. Фор
мула (1.2-1) дает явное выражение связи входного воздействия
с выходной реакцией, которая формально записывалась в ппце
?/(0 -//(D)H(t).
Иначе говоря, (1.2'>) расшифровывает смысл умшекспил функции
ц(1) па дробно [>лцципплы(ую функцию //(D) от оператора дпф-
форС11цыро1шния D (при принятии выше сотлапнчиш о нулевых,
начальных значениях!). С помощью (1.24) нвеложпо рассчитать
реакцию па любой заданное входное воздействие.
24
ГЛ. 2. ©НЕГАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Особо выделим случай, когда
дальнего значения скачком па 1:
«ход наменяете;! от пулевого на-
I о,
(1.25)
Такую разрывную функцию принято казынать
ноги скачка (функцией Хевисайда) л обозначал.
функцией С'Ъитч,-
1(0.
Т л б л и .1 н 1.1
ИлИХЙНГ'ПЯППР ypai'Hi'liMr; 1(гр<.,Д<17'Уи«1Я Руцкими
1 Мдсолышй усилитель y(t) А-1-ft) с
9 Интегратор I
3 А1 гер и г»;(пчегкое звено (7Т>+ 11у(О= г(Й, 1 > 0
’д-г!
4 Колеватааыюе звено | 2^/ D -J- И гк?) =- 1
!’ ” V V о о' л
ЦгГоПЛЯ фу]Ц(1!ПЛ
Л(О» J>||
I icpi'X'i'uiuii Функции
л(11. Г- н
Jlh|j«l:i I’liHSL •UX'.O-l.W'Ci}J||*
Реакция звена на нолдсйствпе (1.25) называется его переходной
функцией л(7). В силу (1.24) она является интегралом от весовой
функция
I
n(Q- j/4T)dT, (1.26)
о
s 1. ОПИСАНИИ ЭЛЕМЕНТОВ
25
ТЕК ЧТО
(1.27)
н
iK/OAS’Ptfz)}» --!!(/>). (1.2$)
llu пидам П70.Ш: звено, онпсывасмоо дифференцм^льным уран
пением
а(»).у(П = Р(’>)^(0.
может быть также описано путем задания одной из четырех ха-
рактеристик:
7/(1)) = —’^— операторная переда точная функция (и. ф.),
II [р) — комплексная и. ф. *),
щр!
h 't) —весовая функция,
л(/.) — переходная функция,
любая из которых полностью характеризует функционирование
звена как преобразования «вход-выход» при пулевых начальных
условиях.
1.4. Типовые звенья. В табл. 1.1 приведены характеристики для
ряда авеньеп, которые принято считать типовыми и для которых
имеются специальные, традиционные 1
илпмсноваиия. Происхождение, нанме-
попаипй ясно ил вида весовой функции
и jiimio'o iH.ipir.KeiniH связи «вход-вы-
ход.». зап1кап1Ю1п couiacuo (1.24) (сло-
во «апериодическое» икнивалентно сло-
ву < иеколебательпое»). Нуждается в
комментарии лишь описание простей-
шего звена — идеально го ^усилителя.
По первых, этот термин используется о Т ’7"
при любых к, а нс обязательно при Ряс. 2.3
к > 1. как следовало бы по прямому
смыслу слова «усилитель». Во-вторых. соответствующая весовая
функция нс является обычной, опа именуется Целъта-фупкиисй Ди-
рака, пли короче, 6-функцией и относится к классу так называемых
обобщенных функций. Строгая теория таких функций сложна, по
упрощенно можно продетаплять бфупкцию как предел при Д -*• О
прямоугольного импульса (рпс. 2.3) шириной Л н высотой 1/Л. По-
этому ее часто называют еще и идеальным импульсом.
Согласно общей формуле (1.24) для идеального усилителя при
k 1 имеем
I
,у(0- [б(т)п(7-v)rfr, f>0. (1.29)
_______________ о
•) Зачастую апплеты «операторная» язв «коивлокспал» к длльш’.йшеы бу-
дут опускаться, ccjji из вида формулы ясно, и какой о. ф. идет речь.
26
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С другой стороны, такой «усилитель» просто осуществляет тожде-
ственное преобразование входа в выход
//(/)=« w(Z).
Следовательно, верна формула
t
r(Z) - | б(/) у (f(f.30).
о
которую молено рассматривать пак строгое определение б-фуикини..
Можно запомнить, что б-функция есть весовая функция тожде-
ственного преобразования *).
Вычисление остальных весовых и передаточных функции с по-
мощью таблицы, данной в Приложении 1, является itojic.niым уп-
ражнением. Типичные графики даны па рис. 2.4, а, б, в.
*) Математически цостршим лн.шетен мотрспип исходного урлипсьии
(1.1) бее xoiioJiXHTcaiaii.ix отоиирок. ec.nt г{Т) ви япллстс.л m p.ia дифференци-
руемой Функцией. Формильных |<|'1>рилтп<№тей мощно n:if>iчип п.. если считать,
что фшурируняцне в (1.1) про 1.1 волныо должны пониматься как оГкк'пиенпыо
л смысле теории <и'н.|бщелиь)х Функций (цстллыюе оСн.-уждсцис этих проблем
применительно к 1>ассм<иринаемыл1 задачам дано в [H-l]).
§ 2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ
27
§ 2. Описание систем
2.1. Структура п структурная схема ilepi-ндом к описанию си-
стем, состоящих н.т влапмосня.'ыппых впепьев. Для единообразия
вход каждого tin .таена будем oiinnitana гь /•,((), выход г/<(() и счи
тать, что для пел) за (апо описание п виде дифференциального
уравнении
r/.,(D)rA(O (2.1)
или в в'и до формального операторного спи гпошення
у.(/) = //.-(1))г.(О. (2.2)
где
Р- (Di
Взаимодействие между звеньями будем характеризовать соответ-
ствием между их входами и выходами. Вход одного звепа может
совпадать с выходом другого, например
(/) = ?/. (О.
и in являться суммой (разностью) выходов нескольких других
звеньев, а также внешних для системы в целом входных воздей-
ствий. напри.игр
<’*(0 '.Vi (О “'/Л') 1 !/Л‘) 1 МО»
где г, (/) обиантчает внешнее воздействие, приложенное к 4-му
введу. В общем случае для t-го лиспа
t’i(t) = Zv..i/Д') + »"i (0> (2.3)
• де —числа, равные 0. если связь входа /-го звена с выходом
/-го отсутствует, равные 1, ес.чн связь положительна, и —1, если она
отрицательна.
Уравнения звеньев (2.1) и уравнения связей (2.3) дают полпое.
описание системы.
Если «плотность» связей не слишком велика (мало число нену-
левых *',), то удобно использовать наглядное описание с помощью
структурных схем*). 11а схеме каждое звено изображается прямо-
угольником, входное воздействие — стрелкой, на ipaiutciiiiciii в него,
выходное. — стрелкой, направленной от пего (рис. 2.5, д). Внутри
11|1ямп\голышка ставят либо помер звени (если хотят отобразить
только структуру соыёй), либо соотвстствупнцую ему п. ф. (если
желательно дать полное описание). Операция суммирования изобрл
жигтг.я кружком, причем при н питательной связи около стрелки,
изображающей вычитаемое. ставится знак минус (рис. 2.5,6).
*) 11II:и 1 <-.)и. .пьткомые с теорией графой, легко узнают в структурных схе-
мах парна»i стандартного языка этой теории.
28
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Если одно и то же воздействие прилагается к разным звеньям,
то изображающая его стрелка может разветвляться (рис. 2.5, а).
Следует отчетливо сознавать, что любая структурная схема, как
бы напутана она пи была, отражает простейшие алгебраический
слизи типа (2.3).
Рис. 2.0
Пример 2.1. Структурная схема, нредст; пленная па рис. 2.6,
эннипалентна следующим уравнениям структурных связен:
Щ 1‘У» +«?.. ° (2.4)
Пример 2.2. Дадим формализованное структурное описание си-
столы, состоящей из усилителя, двигателя постоянного тока с не-
зависимым возбуждением и вала нагрузки, связанного с ротором
двигателя через редуктор. В традиционном дли электромеханики
виде система изображена на рис. 2.7. Ес можно рассматривать как
Рис. 2.7
состоящую из шин физических элементов, один из которых имеет
«влектрическую» природу (усилнт<уц.), дна—«механическую» (ре-
дуктор и вал пигруокп), а один — смешанную «электромеханиче-
скую» (двигатель). Впрочем, в нем также можно выделить элект-
рическую часть (цепь питания, включающая обмотку ротора и на-
зываемая также цепью якоря) и механическую (ротор как враща-
ющееся тело).
s 2. Описание систем
2?
Между элементами имеются взаимосвязи:
а) выходное напряжение усилителя является паиряжеппем пи-
тании двигателя ня(0. ft выходное сопротивление усилителя вклю-
чено последовательно с сопротивлением обмотки ротора;
б) ток цепи якоря <„{«) пыаыилст движущий момент тл(1)
электромагнитных сил. приложенных к ротору;
в) при вращении ротора и магнитном ноле в его обмотке наво-
дится электродвижущая сила <?c(t) (нротиво-ЭДС);
г) через редуктор передастся момент ти„ лп вал нагрузки и
обратно — момент противодействия гпиа.
Запишем первоначально уравнения отдельных элементов, ис-
пользуя традиционные физические обозначения и обычную идеа-
лизацию.
Уравнение усилителя, связывающее входное и выходное па-
пряжсиие:
Wpiji== AyUel, (2.*))
Уравнение цели якоря (с учетом индуктивности цепи п ироти-
во .ЭДС):
Л Jh„ I- /?„?„ = ип — et, (2.6)
при этом и /?„ включено выходное сопротивление усилителя.
Уравнение движения ротора (без учета механического сопро-
тивлении) :
/„1)<|>я — /»„ — 1П„„, Л)д ™ 1):рД1 (2.7)
где фд — угол поворота ротора двигателя, гяои— момент проти-
водействия.
Уравнение вала нагрузки:
Л, Da> = т „ „ — m„ Dq> = со (2.8)
(гр— угол поворота вала, о- его угловая скорость, та„ — движущий
момент на валу).
Уравнение редуктора запишем в двух вариантах:
а) для абсолютна жесткого редуктора
ф = Ч'д, =J гмП!ц (2.9)
где г—коэффициент редукции;
и) для редуктора, обладающего конечной жесткостью с*),
Щдн — с М- Ф., — 1р), н*пи = — '“.и,. (2.10)
Крохн; того, с учетом указанных физических влаимодейстиим имеем
Ид U>.ux, (2.1 1)
Середо,, (2.12)
(2.13)
') Жесткоегь приведена к выходной ciyucuu.
зо
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛШ1КЙ1Ц.1Х СИСТЕМ
где ес, с„— константы (при постоянном токе в обмотке возбужде-
ния, создающей магнитное ноле).
Структурная схема, соответствующая соотношениям (2.5) — (2.8)
и (2.10) — (2.13), ирсд<ла1И1‘на на рис. 2.8, г*.
Если ясе принято описание редуктора как абсолютно жесткого,
т. в. исиольаукпея соотношении (2.9) вместо (2J0), то невозможно
поп ос ряде тис п ное Составление структурной схемы. 11 pciнарнтРльпо
ил уравнений (2.7) — (2.9) следует исключить неизвестные w,,„, гиа„,
записан уравнение движении ротора, редуктора и нала как одного
физического элемента—механической системы с одной стпненыо
свободы
4
JnpDo = rw-t — иг», Dtp = di, tp = — фА> (2.1'0
где Jnp = г7д -J J„— приведенный момент киорцпп. Структурная
схема, соответствующая (2.5), (2.п), (2.11) —(2.14), показана па
рис. 2.8, б. п
Существенно отмстить, что представленные па структурной схе-
ме звенья пс обязательно сопоставляются с каким-либо одним фи-
зическим элементом: один элемент может быть представлен многи-
ми звеньями, а часть звеньев отражает физические взаимодействия
.между элементами, отличающиеся от структурных связей между
звеньями.
Структурная — это отражение >-tai сматучесг.ого о»мсання
системы, личи, частично сохраняющее «слы/ы» усхаНио.-о рч.а)сле-
пня Htt tjM-Шческчс. fM’.veiii w.
Описание и структурная схема могут быть различными дли од-
ной и той же системы.
2.2. Соотношения евхоц-выход». При изучении систем зачастую
представляет интерес только знание связи между внешними входа-
ми н выходами звеньев. Эти синаи проще всего устанавливаются,
g 2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ
31
если от исходных уравнений (2.1), (2.3) перейти к алгебраическим
ураппсниям, связывающим S’-образы переменных. При пулевых
начальных условиях получаем:
а, (р) К(р) = Р. (Р) К(l>}, (2-М
l'i(p)- 2нЛД/') I- i7'//')
j
Это система линейных алгебраических ур.ник или, с помощью ко
торой можно любую неизвестную 1'<(р) выразить через if-образы
внешних входов V'j(p).
Продемонстрируем сначала процедуру исключения на примере.
Пример 2.3. Вернемся к системе, описанной в П.2.2, и попыта-
емся найти явную зависимость угла поворота вала <р(г) от внешних
входов w„(Z). mE(i). Перепишем уравнения в S’-образах (исполь-
зуя для них соответствующие «большие» буквы и для простоты
опуская аргумент р); Получаем из (2.(5), (2.12), (2.7)
(Лп? 4- Н„) 7„ = kvUa - с,рФм (2.17)
а из (2.7), (2.8), (2.13)
- са/я - -1- ^-1- Фя - Ф), (2.18)
Л/иФ = J4 Ф« - ф) - (2.151)
Исключая сначала /„ е помощью (2.17), приходим к cucicmc двух
уравнений огпогитсуп но Фя, Ф:
Л/>=фл “ , Ля IMA.X - Сгрфд! - 4- с fj- фд - ф\ (2.20)
У,.р=ф = с (4- Фл “ ф J - jW>h
откуда находим окепчательноо выражение в виде
Ф = /Л.(д)^х ’Г /7-..(Р)Л/.., (2.21)
где введены п. ф. Нич{р). П,.*(р) от внешних входов м,£, тй к вы-
ходу (р. Пропуская выкладки, приведем для них формулы в виде
адТ^1) । । 0 - ЛУ i7’] '
(2.22)
-Л.„ 1(7^г- + 1)(Гг I Т)-»- _________
М,,[Р I 1)-гГк;д(7> 1- 1) |-7>2-г I]*
(2.23)
32
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
где введены обозначения
W..
Т4
Если пренебречь не жест костью кинематической передачи (с — «,
7'о -* 0), то придем к упрощенным выражениям:
7/^ = | J)+1J ‘ Ц'^ (р) = Р[5>(7'эр -I- 1)-И] ’
(2.24)’
где 7'« == Т„, + Гк’.
Если, более того, пренебречь самоиндукцией якорной цени
(£„-»• 0), то получим передаточную функцию совсем простого вида
- трдй-ij • <'> “ - WJ+!)• <’ *>
Отмстим также, что формуле (2.21) соответствует простая струк-
турная схема, представленная на рис. 2.9. О
В примере мы пе переходим от
общее число звеньев равно
лучим систему Лг уравнений
«естественных» обозначений входов и
выходов к единообразным. Для более
сложных систем ото следует сделать,
а дли исключения неизвестных исполь-
зовать стандартные формулы, вытека-
ющие из правила' Крамера для реше-
ния систем алгебраических уравнений.
Запишем их в общем виде. Пусть
Л;. Подставив V; из (2.16) в (2.15), по-
а;(р)Г£ =Pt(p) f-1, (2.2G)
j-i
млн
*-1.......^-2?)
где введены обозначения
(р) — Р; (/’) Ytu
— Р< (р)
(2.28)
Ьи(р)*-^
§ 3. ОПИСАНИЕ систем
S3
?/|(0
Применил к (2.27) правило Крамера, находим:
•V
У (?) (?) 1', (Л»
г, (?) = ~ 1------д-^j---------м (2.2!))
где Д(?) —определите.’!!» системы *),
p>t(?)« /''ia(p).............................
A(p) = de(................................., (2.30)
VI (?), Д V2 (?),..-, ?'!fN (P) '
а Л7ч(р)—алгебраическое дополнение /-го элемента j-ro столбца.
Пусть
Яу (?) д му (?) ft (?); {2.31)
тогда (2.29) запишется в виде
У<(?)=’ У /Л,(?)^(?). (2.32)
}—I
Функции /70(р) естественно мл.тынать п. ф. от /-го uno.iiiiiftro входа
к / му выходу. От (2.32) с iic.iiijmi»:k>iuiihii*m теоремы о свертке мож-
но перейти к явному соотношению
* Г
~ ) >4, (?) J’, {* — О Л, (2.33)
о
где Аъ(т)—весовые функции, соответствующие /А;(р). Формула
(2.33) выражает принцип суперпозиции (наложения): реакция ли-
нейной системы по любому выходу является суммой реакций па
каждое из внешних воздействий по отдельности. В П.2.3 мы убеди-
лись, в частности, что изменение угла поворота пала является сум-
мой изменений (реакции), вызванных двумя внешними воздействия-
ми— входным напряжением и моментом нагрузки**). Все п. ф.
Яо(р) являются дробно-рациональными функциями, отношениями
двух многочленов, причем многочлен в знаменателе Д(р)—один и
тот жо для всех H.:f(p). Его принято называть характеристическим
MHOio't-AcnoM системы. Подчеркнем, что знаменатели являются оди-
наковыми и совпадают с А(?), только если при пычислспнп всех
7ft (?) нс ЯронзводвлоС!. сокращение общих сомножителей в числи-
теле и знаменателе..
В рнте практических случаен нрвдставляст ишореп только один
на выходов пли какая-либп одни комбпниция выходов (сумма, раз-
ипегь). рлссмн-1 рнвш*мля как внешний выход системы р{1). Оче-
*) Всюду далее предполагается, что А(р) не рапсп тождественно нулю.
**) В качестве упражнения полезно калуцггь формулу (2.21) об|цнм мето-
дом.
А. А. Первозимке НИ Ct
34
r.’l. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЗИНКИНЫХ СИСТЕМ
ведно, что для 5?-обра:й общего выход» можно записать соотноше-
ние вида
f(p)-£ Я,(р)’Р.(А (2.34)
г 1
где Н)(р) — и. ф. преобразование от каждого инеипцто входа
к внешнему выходу. 1акже очевидно, что все. //(р) имеют одина-
ковым знаменатель, сои падающий с характеристическим многочле-
ном, если не произошло сокращение.
Обозначим через РДр) числители II Ар). Тогда (2.3-1) перепи-
шется и виде:
д (р) Пр) = z fh (р) Ъ (р). (2.35)
/
От этого соотношения, связывающего S’-образы, естественно перей-
ти к дифференциальному уравнению в операторной форме *)
A (D) 7/ (Z) = У pj (D) W. (2.36)
i-’IZJ-n.fC-
П 1
1_
1) 1
»« 1
Припадем простой, по поучительный пример, демонстрирующий осо-
бенности такого перехода от
«сходного описания к одно-
му дифференциальному урав-
нении'.
Пример ‘1А. Пусть име-
ется система (рис. 2.10),
состоящая из двух авеньеа, описываемых уравнениями
(I)41)yl(t) = (D-l)p1(i), (D l)MO’=M0' (-<37)
Гис. 2.JO
в. связь между ними задана условием
М0=у»(0-
(2.38)
Будем считать щ(И внешним входом, системы, г, = ^. а уг(1) — у—
внешним выходом. Переходя к S’-образам и последовательно исклю-
чая «внутренние» переменные, получим
у (р) = у, (р) = (р) - у. (р) > —-15^гпг
тпк что
ТОО
гг.-₽|"’-
Казалось бы, что
уравпенпо
можно теперь ««писать и дифференциально'}
(I) I- 1)у(Г) г(0.
(2'.39)
•) Обосиовпкве дано в |2.5|.
§ 2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ
35
однако это неверно! В ходе выкладок было произведено сокраще-
ние сомпояттеля (р — 1), и зпамвнатсль п. ф. «внешний вход —
внешний выход» по совпадает с характеристическим мвотчлоиом,
который равен
А(р) (д-1)(р+1).
Правильное уравнение, составленное согласно общему правилу
(2.36), имен г вид
(l>*-1)0(f)=-(l>-l)i?(Z). (2.40)
(Joo 2-го, а нс l-i'o порядка, и, как мы далее убедимся, его реше-
ние при ненулевых падальных условиях резко отличается от реше-
ния уравнения (2.39). О
2.3. Структурные представления. Для системы с одним внешним
входом и одним внешним выходом описанная выше процедура мо-
жет быть птттерпрстпропагп! как способ «свертывания» сложной си-
стемы в одно звено с эквивалентными свойствами. Интересна и
обратная процедура — переход от описания одного звена в виде
К(1))!/(0“₽(О)р(П, (2.41)
где cc(D), (1(D) — произвольные многочлены степени п и т соот-
ветственно, к эквивалентной системе, ссстотцей только из простых
типовых звеньев.
Теорема 2.1. Если выполнено условие ст/юлон. реиянлусмести
п *” ш, (2.42)
то таено, описываемое уравнением. (2.41), оквиваленгно системе^
состоящей только из звеньев типа идеальных усилителей и интегра-
торов и имеющей внешний вход v и внешний выход у.
Д <; ь’й я л тол ьстпо. Перепишем (2.41) в виде
ftг.П”у + an-iD»-’!/ 4- ... + сад = ра1)"е + + ... ₽.д-, (2.43)
где 8д = 0 при k = л — m -[-1..п, если m < п. Без ограпичепия общности
можно весела считать ct„ 1 (и прпгиняпм случае на атот коэффициент пож-
ни предварительно разделить обе части уравнения).
Рассмотрим теперь систему п уравнений
1)Х| и X, -|- Z»|O,
bj.j = Ха + lw>,
................................................. (244)
br„_| х„ 4- J'ii-i»’,
1>х» “ —aox, — а(.г, — ... — — a„_ix„ 4- bnv
ч покажем. ЧТО СМИ х(....ли.тшотсл решспилми ЙГ<1Й системы, то
{, = X) 4-»„» (2.45)
«отчищает с решением з'раанепия (2.43), при соотиегстиунндем иидбо|>е коэффи-
3*
86
ГП. 2. ОПКРАГОРПЫЛ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
циеитОв Ъ,, Ъп и начальных ус.чонсй. Из (2.44) имеем последовательно:
г, — у — Р„р,
a-s = 1).г, — ?J>o •« !>,-/ — (4>|1' + рг,Г>>'}, 0 , .
(Z/ib}
.г^ «а J)jra — 62w «= IPy — (Ziap -| -|-
х„ - Пгп_, - — ... « П—'у- (Ь„_,р -|- /ijr-’ч -|-
Подставив яти значения и иос-юдпес уравнение спгтсм1.( (2.46). получим
илу — (ft„_|D-|- ... +i|I)"-1-|-pnI)n)c? —a»»/ —cijDjr— ...— ая_1И»7,(/-|-
4- a,>3„v -4- <Xi (tj + f..«) t’d- ... +«n-i(i’n-i+ >* + '->rI)'l-a +
Очевидно, что оно совпадает с выражением (2.43), если коэффиппспты I'.......... Ьп
Рис. 2.П
удовлетворяют системе урпвнсиии
Ъ ( рч —I ““ Wn —)рч,
в,;—4“ ^2 Ж рл— 3 ССл- 2рп, (2.47)
a,6i 4- 4-
4' bn — Pv — CCnPn,
6 2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ
37
им которой все опп легко вычисляются 1нн:ледовате.'1ыто. Если начальные ввл-
пения ц, v и их ироизнодных нулевые, то в силу (2.4ft) и начил1.пыо виачс.ппя
иериыеииых z>, ..., тл такжн ггулшыв. В противном случай они могут быть
вычислены по явным формулам (2.4i>). Таким образом, доказана коз мши постi.
рассматривать umittu исчодного онпс.апнл am int нкинналотпое ему описании
(Л/г<), (2.45). Однако последнее мнжнт быть придетпилено и индо
”'л — Г*, к си. 1........л, (2.W)
где новый переменные г» подчиняются условиям
В’Л = З'А |.| 4- б.С, к = 1, л — 1,
В’п —«п®: — ... — an_tf„ б„и, (2/9)
р = zi 4- fl4v.
Теперь уравнение (2.43) можно трактовать как уравнения и одинаковых иде-
альных интсхрнрукннях звеньев с входами в* л выходами л*, о (2.49) — как
уравнения связей, частично осуществляемых черев идеальные усилители. Та-
ким образом, лекалателье.тно завершено. Структурная схема системы представ-
лена на рис. 2.11,0, где использованы коэффициенты 6;, ,,,, ЬП7 вычисляемые
по уравениям (2/7).
Подчеркнем также, что это представление не единственно воз-
можное. В плотности, па рис. 2.11, б представлена структурная схе-
ма, состоящая только из интеграторов и усилителей, которая также
эквивалентна исходному описанию (2.41). Проверка этого утверж-
дении может 6f.ni> полез-
ным упражнением но ме-
тоду исключения.
2.4. Электронная модель
(ана лотовый интегратор).
Рассмотрим блок, состоя-
щий из электронного уси-
лители, резисторов и кон-
денсаторов, электрическая
схема которого представ-
лена па рис. 2.12. Выяс-
ним связь между напря-
жениями к., «2, ..., м„ и напряжением и„ на выходе усилителя.
Для этого составим уравнения испей в силу законен Кирхгофа —
Ома, В операторной записи они имеют лид:
1 , . .
}г (»4 — щ.) =
(уг-+ 6’оП) (“ — "•) в: *<н г““
\х о /
к «а 1, „ в., ?г,
1 (2-50)
Io -I- G -1- ... -I i„ и,,,
гдо через И, обозначено входное сопротивление усилителя. Кромо
того, примем, что
« = —(2.51)
где к7 — коэффициент усиления усилителя, кг > О,
S3 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНКИНЫХ СИСТЕМ
После исключения «внутренних» переменных i„....... В, м„ по-
Прсднпложим далее, что коэффициент очень ислик и можно
пренебречь*) слагаемыми порядка А у Тогда (2.5'2) переписывает-
ся в простом виде:
>1
(7Г + Со1))м = -2/Г^- <2-^
\ <• > А- 1 “
Таким образом, данный электронный блок может быть рассмотуцщ
как система, преобразующая входы и,, и., ..., «п в выход и согласно
уравнению (2.53). Выделим частные случаи этого преобразования.
Рис. 2.13
а. Пусть д = 1 (один вход), G> = 0, = (рис. 2.13, а) . Тогда
и = —ил
(операция инвертирования, изменения знака).
б. Пусть С4-0. ЛА = Л», /с«1.....п (рис. 2.13,6). Тогда
п = — V tfh
h 1
(суммирование с инвертированном).
л. Пусть в-1, G“ О, Л, ч* /А (рис. 2.13, в) Тогда
н<=—Л-jUp А-,
(умножение на постоянный коэффициглт и инвертирование).
•) Обоснование такого пренебрежения дается ппжс (§ 5 и гл 3).
§ 2. ОКИСЛИ лк СИСТЕМ
39
г. Пусть п - 1, /V1 = 0 (рис. 2.13. г). Тогда
и = — Т = CvRt> О
(операция интегрирования с умножением и инвертированием).
Таким образом, rc.iii имеюг< и усилители с очень большим Коэф-
фициентом усиления, лазывйемые операционными, то можно соз
дать блоки, производящие ряд простых типовых операций*).
Вспомнив теперь Т.2.1, приходим к важному практическому ныво-
дгр. любому лиспу со строго реализуемой п. ф. можно сопоставить
устройство, состоящее из онис.аппых выше блоков, у которого вход-
ное напряжение связано с выходным так же. как связаны между
собой вход и выход звена. Это устройство называют электронной,
моделью или электронным аналоговым интегратором**). Суще-
ственно. что структурным схемам, предстают-ппым на рис. 2.11, я, б,
можно непосредственно сопоставить схему электрических соедине-
ний блоков. В частности, блок-схема электронной модели, соответ-
ствующая структурной схеме (рис. 2.11, б), представлена на
рис. 2.14. При этом принято п = 3 и предполагается, что а„, ah а2.
о—
I?
0
Гис. 2.14
Рь Pi положительны, f>3 = 0, а величины Л,., Си (в соответствующих
единицах измерения) равны единице. В модели используется всего
п "I 2 = 5 усилителей, причем три входит в блоки, выполняющие
одновременно функции сумматоров и интеграторов, а два — в бло-
ки ишк рторы.
•) ()и< puniHiHHi.ie уч-илик'ли с kr = 10'' — ТО' выпускаются промышленно
СТЫН coilийно.
•*) Электронная мидель является пезюипой частью (процессором) аналого-
вых 111.1Числлтслы1ых машин (АРМ). Более детальные сведении об электрон-
ном моделировании даны, например, в [2.2],
40,
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛППКЙНЫХ СИСТЕМ
В заключение сделаем два замечания.
Замечание 1. Электронные модели могут использоваться для
исследовательских целен, в частное-! и, дли анализа процессов, про
всходящих и системах автоматического управления. При этом (а)
собирается из стандартных блоков схема, соответствующая имею-
щемуся математическому описанию С.ЛУ *), (б) or внешних источ-
ников (генераторов) вводятся электрические сигналы, пропорцио-
нальные 1ИЦШ1НИМ воздействиям, (в) производится запись (осцилио-
графпровэиие) выходных напряжений, пропорциональных изучае-
мым процессам. С другой стороны, электронные модели можно
при менять л в качество блоков преобразования информации в са-
мих САУ. При этом на входы подаются сигналы от датчиков ин-
формации, а с выходов снимаются управляющие сигналы. Тем
самым имеется способ технической реализации любых законов уп-
равления, для которых связь информационных и управляющих
сигналов определена с помощью линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами. Это будет учитываться
в следующей главе, где мы изучим возможности законов управле-
ния этого типа.
Заме ч а нпо 2. П соответствии с Т.2.1 класс звеньев, которые
могут моделироваться с помощью описанных выше устройств, огра-
ничен формальным условием строгой реализуемости (степень чис-
лителя и. ф. по превосходит степени знаменателя), Это обстоятель-
ство оправдывает введенный термин.
§ 3. Устойчивость
3.1, Устойчивость звена ио входу. Наличие описания свойств
звеньев и спетом с помощью дифференциальных уравнений позво-
ляет сделать ряд качественных выводов об псобенпостях их по-
ведения.
Наиболее важной характеристикой является свойство устой-
чивости.
Определение 1, Звено называется устойчивым по входу
(осуществляющим устойчивое преобразование «вход-выход»), если
при любом ограниченном входном воздействии u(i) и нулевых на-
чальных условиях выходная реакция у(1) является ограниченной
при любом конечном /.^Ои при t и называется неустойчивым
но входу в противном случав.
Об устойЧПВОСТИ НО ВХОДУ МОЖНО Судить ПО Свойствам НОСОВОЙ
функции h(t).
Теорема 3.1. Для того чтобы явено, описываемое уравнение*
(3.1)'
*) При моделкропаппп сложных систем можно в ал манаты-, я исходным
описаппем (2.1). (2.3), обьсдипяд модели звеньев с помощью блоков, соответ-
ствующих ураппепилм связей.
В 3. УСТОЙЧИВОСТЬ
4t
было устойчивым по входу, необходимо II доСТПТОЧНО выполнении
условия
j |/1 (г) | f/r < со. (3.2)
(I
Д О К а и A Т С Л L СТ Л и. ( ЛГЛЯГНО формуДО (L2i) имеем
1
V <0 ~ j 1‘ (Т) V (I — т) dx, 1 0. (3.3)
о
Пусть т(1) —вроязвольпал ограпичеппая функция, т. е. такал, что
I «’(01 <«»<«•. «>0, (3.4)
где сс — иекоторая констан та. Тогда
' *
I? tt К fl* (0 II К1 — т) Нт< сг j I h (т) I fix<
О о
< % f|(т) | dx, г > 0. (3.5)
V
Отсюда следует достаточность условия (3.2) дл.н <и раниченвостп выгода
Для докяя!ио.'1ы:тна иепбхоиимостн покажем, «по urnW'irji такал игряиичеп-
нал функция к(/), что при нарушении (3.2) |i/(<)| может сиш. сколь угодно
большим числом. Примем <;(>) такой, чю
I U. I ;> Г.
х> J | rpsigi»A(T), к у, 0 е)
где Т— беш.типе ткии.скигсльпоо число, а символ sign, читаемый «злак», лпо
дои дл.н <i<jvaim4entui функции, удовлетворяющей тождеству х sign х = |.г|.
При 11оэдсиствп|| (3.6) .имеем
1'ИП1 =ев
Г
J h ( г) sign Л (т) с/т
о
J'
-= Cv i I Л \Т) I ОТ.
а
(3-7)
Если условие (3.2) нарушено, то нракая часть (3.7), а следсиатсльпо я |у(Г)|,
при достаточно большем Т может оказаться больше любого наперед заданно-
го числа.
Если пользоваться Т.3.1 непосредственно, то для проверки ус-
тойчивости придется вычислить носовую функцию, а затем прово-
рить выполнение условия (3.2).
Окалывнегся, что иместси прекрасная возможность обойти обо
оти операции.
Теорема 3.2. /7ял выполнения условия (3.2)' необходимо и до-
стаючпи, чтобы ш-усдаточная функция
Р (ь)
«(/')
была ограничена по модулю при любых впадениях комплексной пе-
ременной р с неигрицигсльной вещественной частью.
42
ГЛ. 2. Ollt'-VATOPJJl.frt МЕТОЛ АНАЛИЗА ДИИЕППЫХ СИСТЕМ
До казн тс льет о о. Необходимость вытекает пл определения весовой
функции кик оригинала для Щр), т.
/А(Р) -• [h^c-v'dl, (З.Я)
О
И О1ЩН1СИ
со с-> 00
I И (р) I [ [ с~^11 h W i dt = [ е-1<рИ I h (<) I dt < j I h (0 I dt. (3.9)
о о e
При атом исиользовапо свойство анспопедциальпои функции
|е-Я| « |e-iitep+< ня р><| — е-Р* р< 5^; 1, Rcp^O, i 0, (ЗЛО)
при стандартных обозначениях: вещественной (Кер) и мпимой (Imp) части
комилексаего числа.
Доказательство достаточности требует более детального анализа свойств
1Цг>) как дробно-рациональной функции п вынспсаия общего вида функции
Л (Г). Обозначим X». v = 1, ..., и, корни многочлена а(р). Для простоты пред-
положим. что нее опи различны. Тогда хорошо известно (си., например, [2.71),
что функция II (р) представим* в вида
п
II (р) ” ’Т' I’ (?) -|- 'V -Ц-, cv const, (3.11)
« G j I' ~ >-v
ГДО |)(/') e=0, если n > t№, 11 нротиином случяп p(p) —мнпочлеи столспи m — n
(частное нт деления р(р) па а(/И).
Ограниченность II(i>) при уккипалентнн требзвинию, чтобы
ff(p) const, т. с. степень ?(р) была во выше стспспа а(р);
б) ВеХ, <0.
Но тогда (см. таблицу iT-oGpaaoB в Прплощепки 1)
k (J) - (JS (О -|- V fk/v‘ (3.12)
V--1
н
t t) I
I I h (Т ) | rfT <| ji I I 6 (1) «т 4- У [ Cv I j Л ’'vrt/T =
о 0 V 1 0
=-1 I + V IM (Be xv)-1 G™"’' - 0.
V 1
тпк что
[р.(Т)|<(1-._ IM | V |B>‘Xv|-‘ [%|<eo. (3.13)
В случае, когда имеются кратные полюсы, результат сохраняет силу, хотя
выкладки и более громоздки. Й
§ 3. УСТОПЧИПОСП»
43
Как следствие 'Г.3.2 можно сформулирован. простой окончатель-
ный результат.
Критерии у<т«йчии<к:ти пи входу. Устойчивость по входу
«ла ег .место, если мадмлгиы два условия;
a) степени многочлснл а(р) в .<н.имс нагеле п. ф, 11 (р) Не.
меныие степени лиш,ч1член<1 р(р) л сс числителе (условие строгой
pca.iu.tyeMociu ni реди/очнои функции) ;
б) многочлен а(р) (хауакгерисгаческий многочлен десна) не
имеет других корней, кроме корней с о>рицатслъными веществен-
ными частями (условие устойчивости характеристического
многочлена).
В качество приложения посмотрим, являются ли устойчивыми
типовые звенья, описанные в табл. 1.1. Условие строгой реализуе-
мости выполнено во всех случаях. Остается проверить корни сь(р).
1. Идеальный усилитель: а(р) = 1, и корней пет.
2. Интегратор: а(р)^=р, и один вещественный корень ?ч = 0.
3. Апериодическое звено, а(р)= Тр~ 1, и один вещественный
корень = —7’"* < 0 при Т > 0.
4, Колебательное звено: а.(р) - Т'р~ + 2^'Гр + 1, и имеются два
комплексно сопрпжеплых корпя ?м. s ‘=* Т 1 (—£ ± И 1 — £s), причем
вещественная часть отрицании.па (!>£>(), ГХ)).
Таким образом, псе эти звенья япляюгс.я устийчнными но вхо-
ду да исключением иитегра гора.
Последнее ясно и из вида его переходной функции, которая
псограиичепио растсг, хотя является реакцией на оерпппчепнпн
воздействие 1 (Z).
3.2. Алгебраические критерии устойчивости. Акцентируем теперь
то обстоятельство, что проверка условия устойчивости характери-
стического многочлена не требует вычисления всех его корней,
а лишь выяснения того, расположены ли они только в левой полу-
плоскости комплексной переметши р.
Нельзя ли установить о тот факт, пе паходя корпи?
Ответ па этот вопрос положительный: еще с прошлого века из-
вестно много эффективных методов проверки устойчивости много-
членов *).
Прежде всего установим простое необходимое условие:
Теорема 3.3 (критерий Стоболы). Если многочлен а(р) с ctr. >0
устойчив, то все его коофтфнииенты положительны.
Д о к а в а т е л т ио Используем рлаложенир многочлена сс(р) пл про-
Стопною bcbuttbuiiikh двучлены и трехчлены. Каждому нсщестноиному кор-
ню Xv cninm-n-myr г двучлен р— Av, каждой плрп комплек.сиосопржкевпих
Kopucii 6, lUf’ — тргхч.п-и (г» — Ту• Если т о Л»-< 0, <\ -< 0, то ио-
*) Ллы-Гц.'яичсснли проблема проверки услотш устойчивости многочленов
была впервые поставлена .Максвеллом и нриплскил внимание многих крупных
математиков. Детавьисо п проггпе плложенпо этой проблемы содержится и
книге {2 6].
44
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНКИНЫХ. СИСТКМ
вффицнспты во вс ах дпучиапах п трехчленах положительны, а следовательно,
ноло;кн1КТЫ1ы и коэффициенты а многочлене а{Р), ивяпюще.мс.я их нрзизвО-
дспсом.
Пример 3.1. Многочлен
а(р)‘ р‘ I 2р’4 р-Ц
впиодомо неустойчив, поскольку коэффициент аг при /»’ равен
нулю. °
Выполнение условия Стодолы, к сожалению, по гарантирует
устойчивости многочлена мри любом п. хотя нетрудно проверить,
что оно достаточно при п• 1 п п = 2. При больтних п приходится
использовать более сложные процедуры. По-видимому, наиболее
удобен для применения вычислительной техники рокуррентпыц ал-
горитм Рауса. Приведем его описи пне в готовой форме (доказатель-
ство см., например, в [2.1, 2.6]) *). Процесс сводится к последова-
тельному пересчету коэффициентов многочлена, и для его описа-
ния удобно пользоваться символом алгола «:=», означающим «по-
ложить равным».
Алгоритм Рауса. Пусть заданы положительные коэффициенты
ап, а,. ..., ап-!, ая.
Тогда, начиная с f 1 до / = n — 1 **),
1) pj: — \
2) Если р, < 0, гп многочлен неустойчив.
3) Если р»>0, то мерей гм к следующему шагу и,
С /с » 1,
a;4x/-t ссин <-< - рДглн, at :«-О, I > n.
Если все pj>0, f-• ir .... «—1, то многочлен устойчив.
Пример 3.2. Пусть исследуемый многочлен имеет вид
а(р) = /Р + яр' 4- Эр’ 4- 10р! 4- 6р -1- 2.
Тогда таблица вычислений по итерациям имеет влд***)
(3.14)
начиная
(3.15):
1 " 1 1 я
«0 2 2 2 2
«1 а с fi 6
Ctg 10 7 7 7
аи 9 9 Г, 5
«г 5 14;3 14/3 49/15
«г, 1 1 1 1
1/3 СД7 7/5 4!1/15
Следовательно, многочлен устойчив. О
♦) В [2.1, 2.1>| принята пиритная нумерация коаффпциептоп многочлена
(коэффициент при старшей степени пГимтлчаегся ал) и • д.
*'*) Здесь / — номер шага алгоритма.
••♦) В начальном столоцн выаисаим исходные значения коэффициентов,
в дая1лцёй1исм — значения, вычпелеииыо согласно (-3.1-5),
§ .4. УСТОЙЧИВОСТЬ
45
Дли мпогочяепов 3-н и 4-й (‘.тошии! алгоритм Рауса нетрудно
реализовать и и «буквенной форме».
Пл приводимых таблиц для п=3
''-о
«I
«S
«3
и для п —
ccjCa.^-a^) 1
«о
«г
«»
«а
«4
а0
«С
«а-илЧ
«»
«1
(«1КЙ “ VS) 1
вытекает, что кроме положительности коэффициентов для устойчи-
вости .многочленов требуется выполнение условий:
П = 3: а.1а.г &0&,, (3.16)
п = 4: (Х|Я20!3 > ав«з — а[а4. (3.17)
Условия (3.16), (3.17) являются частными случаями ограниче-
нии, налагаемых па коэффициенты характеристического мпогочлена
для обеспечения его устойчивости, которые обычно именуют усло-
виями Рауса — 1'урвица (общин вид условий приведен в Прило-
жении 2, н. 6).
.3 3. Устннчнвоеть по начальным условиям. Основная формула
(3.3) была пыподона и § 1 п результате решения дифференциаль-
ного уравнения при нулевых начальных условиях.
При произвольных начальных условиях вид решения изменяется.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что его можно
46
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОЛ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
написать как сумму решения »/<(/) однородного уравнении
«(•)'?/ = О (3.18)
и любого частного решения неодпородниго уравнения
а(В)у-р(»>)’>• (3 19>
Решение J/U(f) представимо в виде*):
(3.20)
Xfc-1
где Xv — корпи характеристического многочлена а(р), а С-,— либо
константы (если все корни различны), либо многочлены от i, име-
ющие степень ниже кратности корпя. Если в качестве частного ре-
шения взять решение, соответствующее пулевым начальным усло-
виям, т. е. решение (3.3), то общее решение (3.19) приобретает вид
Г
У (0 = Уо (О + J h ft) ft — т) их. (3.21)
II
Таким образом, наличие ненулевых начальных условий приво-
дит к появлении» фактора, искажающего характер связи (3.3) меж-
ду входом и выходом.
О в р о д е л с п и е 2. Звено наэыааегся угюичныля по началь-
ным условиям **), если вызываемый ими аффект у„(() исчезает при
На формулы (3.20) сразу вытекает следующий результат.
Критерии устойчивости но начальным условиям: ус тойчцлосп1ь
тш начальным условиям имеет место, если характеристический,
многочлен не имеет других корней, кроме корней с отрицатель-
ной вещественной частью, т. е. а(р) является устойчивым.
Действительно, в этом случае любое слагаемое в (3.20) убывает
со временем, поскольку убывающий экспоненциальный множитель
«подавляет» возможный рост любого многочлена от t.
Приведенный критерий устойчивости по начальным условиям
совпадает с условием (б) устойчивости по входу, так что при выпол-
нения обоих условий (а) и (б) можно употреблять более краткий
термин— устойчивое звено. Соогвегствующую и. ф. II(р) также на-
зывают устойчивой п. </>
3/1. ScToioiBBocTi. системы. В соответствии с принципом супер-
позиции (§ 2) реакция по любому выходу системы равна сумме
реакций на каждое из шнчиипх воздействий. В соответствии с этим
естественно считать, что еппгма осуществляет устойчивое прсобра-
*) С ВЫВОДОМ МОЖНО ПЫШЛПОМИТЬСЯ 11 ио Приложению 1.
О свяви этого определения с более общим понятием асимптотической
устойчивости равливесиого состояния ио Ляпунову см. в гл. 8.
§ 4, УСТАНОВИВШАЯСЯ РЕАКЦИЯ И ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА 47
вовапие «вход выход», если устойчивы преобразования от каждого
внешнего входа к каждому внешнему выходу. И » Т.2.2 и принципа
сунсрноинцпп сразу следует, что :ыи свонс-тнп нмрйт место, если
а) строго реализуемы ш-.<: соотвотствуиицис и. ф.,
6) харакгерпетический многочлен системы Л (/г) устойчив.
JIпрейдем к анализу плиягшя начальных условий. Но аналогии
со случаем одного звена следует считан. систему устойчивой по
начальным условиям, если при ппбы.х па дальних условиях и от-
сутствии внешних воздействий процессы уЛ(1) па всех выходах
стремятся к пулю при i — w. Однако при отсутствии воздействий
для всех выходов енранед шум одинаковые однородные уравнения
А(Г>).<Д(П = О.
Отсюда сразу следует, что система устойчива по начальным уело-
киям, если устойчив ее характеристический многочлен. 13 салу ска-
занного при кыполмепни указанных выше условий (а), (б) система
устойчива в смысле, обоих определений.
§ 4. Устапопшииаися реакция и частотная характеристика
4.1. Вычисление выходной реакции. Если входное воздействие
*-’(£) илляется известной функцией времгиш, то выходная реакция
звена, определяем.г я уравнением
лмомо, (4.1)
при пулевых начальных условиях может быть вычислена любым
из следующих способов:
а) путем численного интегрировании уравнения fro известным
алгоритмам вычислительной математики с использованием циф-
ровой ЭВМ;
б) с использованием АТШ (интегратора);
в) с помощью операционного исчисления, когда первоначально
находится 5?-образ входа Е(р), а затем вычисляется оригинал
^-образа выхода У(р), равного
У(р) = Щр)1'(л), (4.2)
где
у/(р)=.-Ц4; (4.3)
v ' а (р) 1 '
г) с использованием того исс операционного исчисления, по по
формуле.
У W =• л (т) и{1 — т) с/т, (4.4)
и
причем предварительно находится весовая функция /;.(/) как ори-
4fi
ГЛ. 2, ОПЕРАТОГПЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНКИНЫХ СИСТЕМ
гт>ал и. ф. Н{р], поскольку
//(/0 = (4.5)
п
Все аги способы достаточно трудоемки, причем численное пнте-
грирцияпие малоаффек-i шпю при больших / из-за накоплении
ошибок *).
Однако для некоторых видок воздействий, т. е. некоторых функ-
ций v(t), удается указать очень простые способы вычислений вы-
ходной реакции именно при больших I.
Опред е -л « и и е. Назовем установившейся реакцией на задан-
ное воздействие v(t), 1'^0, такую функцию //»(/), что
Inn 1^(0 —У (01 •= 0, (4.6)
J-M4?
где у (Г) — решение (4.1) при пулевых начальных условиях для
любого t > 0.
4.2. Установившаяся реакция па гармоническое воздействие.
Пусть воздействие является гармонической функцией времени, т. с.
г (/) — а„ cos cot, t > 0, (4.7)
где а„— амплитуда, м— частота воздействия.
Теорема 4.1. Л’слм звено является. устойчивым, то установив-
шаяся реакция на гармоническое воздействие является гармоничен
екой функцией той же частоты с амплитудой
а,= 1//(ёсо) !«г (4-8);
и относительным сдвигом фазы
i|? = argl/(io)). ‘ (4.9)’
Доказательство. Найдем сватала реакцию па комнлексяояпачпую
функцию
с (с) = Ci-e1"', l > 0, (4.10)
называемую комнлеис.пой гармоникой. Согласно (4.3) имеем
t t
р (С) =вг | 7z (Т) «?<ЬИ‘,-'1)иТ; J Й (Tj е-|(,'Тг?Т.
'll и
Если иыполпспо условие устойчивоеП1
I 1 й (I) | (!Х < оо,
♦) Аналоговым вптсчряторам также скойстпсппо пахоплепие ошибок из-за
ток пазываемого дрейфа нуля усилителей (подробнее сы., например и [2.2J).
§ 4. УСТАНОВИВШАЯСЯ РЕАКЦИЯ И ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
49
то существует предел
* ЛО
lim Л (т) e“iurdT = [ h (?) »-11ВТг1т =/7 рш), (4.11)
<"*со и о
причем последнее следует и:< (4.4). Теперь очевидно, что функции
р«.(0 «. //(Ци)«св-<»' — //('<.>)<•(() (4.12)
удовлетворяет условию (4.5) и нвлкотся устпигнпи-.шсйся реакцией на комп-
лексную гармонику (4.10).
Выделим в р(г) и у„(г) всшсствспиу» и мнимую части:
и(:) = ос cos wi + io® sin «г,
p-(0 «и |H((co) |at. cos (o>: -|- if) + i}/7(icj) [«„ sin (cot -f- i|).
В силу лвцсйпостп преобразования (4.3) рсакппя па вешестнепиуто часть
воздействия, аР cos cot, и мппмую. «„sinwt, является суммой реакций па каж-
дую из ппх в отдельности. Отсюда вытекает результат, даваемый формулами
(4.7) — (4.9), а также его «дубль»; устаиовнншавец реакция па воздействие
i'(i) = sin ш: (4-13)
равна
P~(t) = |Я(!со) |л„ sin (cot -f- if), (4.14)
и вообще, если
v(t) = с„cos (ой -f- гр), (4.15)
где ф — ирпизнолт.пая фаза гармонического воздействия, то
J/w(0 •= |//(!4')|noci>s (<|'А-г<р-Ьф), (4.1(>)
Для демоне грации эффективное ги приема, содержащегося
я Т.4.1, приводом млл тетра тинный пример.
Пример 4.1. Пусть
a i?(/)'= 3cos2t.
Условия устойчивости выполнены (проверьте с помощью нера-
венства Гурвица!), поэтому можно применять формулы (4.7)— (4.9).
Имеем «е = 3, а> = 2, а следовательно,
у-(0 = 3cos(2г hч) = Ту cos(2t +
1ДВ 1-1-41 22
ф = arg—1-7.7 = :t + arctg□
Из теоремы 4.1 ясна особая роль комплекс полна иной фупкцнп
Я(йо), называемой комплскепий циститной характеристикой. Значе-
нии этой функции находятся при любом вещественном ю как зна-
чения и. ф. // (р) при чисто мнимом р = /о):
/7(йй) //(р)!„..(и. (4.17)
Зга функция вводится но только для устойчивых и. ф., но и для
любых, причем, если виамеянтель П(р) имеет Корин па мнимой оси
У,- = ф«, то /2(<®) может обращаться в бесконечность при значе-
ниях w “= ^v.
4 А. Л, Шрвсгвввсчпв
50
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНКИНЫХ СИСТЕМ
При фиксированном © функции П (<ш) является комплексным
числом, изображаемым точкой па комплексной плоскости. Кривую,
являющуюся геометрическим местом этих точек, соответствующих
значениям ю от 0 до <», называют годографим частотной характери-
стики- (или амплитудой -фазовый хиранге рис гикой). Поскольку вся-
кое комплексное число можно задать двумя вещественными (моду-
лем и аргументом пли всщсстиепной и мнимой частью), то комп-
лексной частотной характеристики можно сопоставить либо пару
функций
А (©) — |Я(йо) I, ф(ш) = агц//(йо), 0=5 (»<<», (4.18)
называемых амплитудпо частотной характеристикой (АЧХ) и фазо-
частотной характеристикой (ФЧХ), либо пару функций
/?(©) = Re Я (йо), /(<!))=—Im//(/«), (4.10)
называемых вещественной и мнимой частотными характеристиками
(ВЧХ и МЧХ).
Если известны АЧХ и ФЧХ, то согласно Т.4.1 дли определения
амплитуды п фазы установившийся реакции на гармоническое воз-
действие можно воспользоваться следующим приемом.
Правило 1. Амплитуда реакции равна амплитуде воздействия,
умноженной па значения АЧХ на чистоте воздействия. Сдвиг но
фазе. реакции огиоепгелпно воздействия равви значению ФЧХ на
частоте, ввздсйс твик.
Другие возможности нспользиванил частотных характеристик
раскроются в Дальнейшем. Здесь ?ко будет рассмотрена еще одна
задача об оценке устапо1ши|нейся реакции.
4.3. Установившаяся реакция на полиномиальное воздействие.
Назовем полиномиальным воздействие, представимое при t>0
в виде многочлена (полинома) от t:
у (/.) = ди + nj/ + .,. + ayl'v, t > 0. (4.20)
Теорема 4.2. Установившаяся реакция устойчивого звена на по-
ли помпа льнов воздействие (4.20) также является полиномиальной
(функцией (многочленом), представимой в виде
ум (/) = сор(() + c,Dp(Z)+ ... -! е,у!)"г>(/:), (4.21)
где
1 dh//(p}
Са = *1 р .„
/с-0. 1, .... Лг.
(4.22)
До к и :< » т ал ь ст и о «нелогично Д1и<г>з.иеиьстку Т.4 I.
Соглпгпо (4.3) иолучясм
! • ,V Ji N h
V(t) ( h (г) v(l -T) dt - ( h (i) V dt V Ilfc (0(-=~-l»'‘p(0.
n Al ЛI
O 6 h-° K ”
(4.23)
§ 4, УСТАНОВИВШАЯСЯ РЕАКЦИЯ И Ч'ЛСТОТНЛИ -ХАРАКТЕРИСТИКА 5f
где
i
МО Д.|хлЛ(1)«Х (4-24)
>
причем иепольиппапи рплложопио функции п((—1) » ряд Тейлора по степе-
нны t п уч1ено, чп> этот ряд um' ui конечное число i’.iih.icuux, поскольку v(X) —
ы щпочлеи.
С помощью (3.12) можно убедиться в существовании для устойчивой пи
соной функции пределов
)ih — lim д;. (i) = t'h (т) <;т, (4.25)
обычпо газыиаемых лоличггпли вссивий функции. Отсюда сразу следует, что
л . .
w - 2 “» Чг-,:г)- {42е>
А—а
Это вырйжедпе совпадает с (4.21), (4.22). поскольку
f. °! “
<! И |.г) =- I Л (т) JL (?-> '} | Л = (- 1>J1 I Л (т) ? dt - (- 1? р,. а
с/>ь .,=0 J ,/,/ ''' v J
fl и
Выделим слобо дни простых частных случаи Т.4.2.
Прппило 2. Нслк ttMueucrmic лчл.чегсм пьсгОхнны.ц при />()*),
»(()«„ О о, (А.27)
то ycrtiiioetunmtxc't реакция устойчивого звена также постоянна и
равна
^(?) = /7(0)иЛ1. (4.28)
Она совпадает с воздействием, если
7/{0)=1. (4.29)
Правило 3. Если воздействие изменяется с постоянней скоростью
v (I) = йи + «,/, I > 0, (4.30)
то установившаяся реакция устойчивого звена также меняется
с постоянной скириетыо
У*. (0 = 7/ (р) |,.=и (а0 + ах1) + (4.31)
Если «ыполпсно условие (4.29), то (() —v(/)=-? coo.si.
Принесем имюсчратинный дриие.р.
) Поскольку г<-е прся1пег.тяу1о>11ие ре-иу.н.тэты получены и кредпо.тижгнни
пулевых ua’iii.'ii.in.is □ печен и If, то (4.27) ранвчаст, что п(1) --скачок на вели-
чину и*.
4*
52
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИЛЕЙНЫХ СИСТЕМ
Пример 4.2. Пусть 1Цр) такая же, как в п. 4.1, a p(«) = 4 + 2f.
Товда, учитывая, что
/7(0) —1, ^1 - 1,
' <ip 1,-—о
получаем
р» (0 “ (> + 2t — + 2. О
Простота правил вычисления установившейся реакции на типо-
вые (гармонические и полиномиальные) воздействия определяет их
широкое использование при исследовании систем управления, и чем
мы также убедимся в дальнейшем.
4.4. Реакция системы на внешние воздействия. Все сказаппос
относилось к изучению реакции одиночного звена на его входное
воздействие. Однако, в силу принципа суперпозштди, реакция лю-
бого выхода yn(t) па совокупность любых внешних входных воз-
действий г\(£) является суммой реакций па каждое из них. По-
этому все приведенные выше правила применимы и к анализу си-
стемы. Следует лить сначала использовать в них п. ф. Я.п(р) от
каждою входа к изучаемому выходу для изучения реакции на каж-
дый вход по отдельноегн, а затем просуммировать результаты. Если
же система имеют только одип внешний вход и только один внеш-
ний выход, то ней правила применимы ншшг.редствепно.
§ 5. Анализ типовых структур
Среди возможных структур связи между звеньями особо часто
возникают некоторые простые структуры, которые будем называть
типовыми. Все системы с типовой структурой имеют один внешний
вход v и один внешних выход у, так что преобразование «вход вы-
ход» может быть охарактеризовано одной п. ф. 1Цр), Для каждой
структуры дадим ответ на следующие три вопроса; (а) как найти
и. ф. системы Н(р), (б) как паГгги частотную характеристику си-
стемы 7/(i<o), (в) как построить характеристический многочлен
системы а(р) и как можно судить об устойчивости системы по
свойствам н. ф. илп частотных характеристик звеньев.
Для простоты записи ограничимся системами, состоящими из
двух звеньев, описываемых уравнениями
аД1))£А(0~М»)МП,
аД1>).у;(£)=М«>)М0,
хотя результаты легки обобящются па случай большего числа звень-
ев. После преобразовании по Лапласу (при нулевых начальных ус-
ловиях) уравнения (5.1) даюг
«Др)Л.(р)-= Мт»)К(р), * = 1, 2,
(5.2)
§ 5. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР
53
или
У/. (Р) = П, (р) Г,( (р), II к (р) “ А- - 1. 2,
где Ик(}>) — и. ф. звеньев.
11<> определению (см. § 4), формулы
4„(<») • . Ч\(<.»)“ аги П,(/<»),
/?,{(,>} .Re/Л(!0>), Д(®)-Iin //*(й.>), /<=!, 2,
дают выражения для АЧХ, ФЧХ, JJ4X, МЧХ каждого из звеньев.
5.1. Последовательное и параллельное соединения звеньев.
Структурная схема системы, называемой последовательным соеди-
нением звеньев, приведена
2.15. В силу связи имеем
на рис.
Ik." У
Рис. 2.15
так что уравнения (5.2) переписываются в виде
«I (/’)У.(р)=|51(р)У.(р).
-МР) У (Р) + яЕ(р)Уг(р)^0.
Характеристический многочлен системы равен
f «j <Р) 11 1
Л (р) « dot р ,,т) f {j/} j - а, (р) а2 (р).
(5-3)
Для нахождении и. ф. системы выразим У’(р) через F(p). Имеем
У{р) = у (Л) - НА?) У Ар) = И Ар) у, (р) = lh (р) II, (р) V, (р) =
= /Л(₽}/Л(р)Г(р),
так что
В, f/'l (/Л
//(л) = А7Лр)А/г(р)^Ь--^-г. (5.4)
Свойства частотной характеристики следуют пз формул
Я (Ей) Д А (Сй) еРГ(й>) = IIг (ни) (га) = /1Х (со) e;’;ri!442 (ю) ~
откуда
А (со) = -4. ((rt)A2(co), Д' (со) « ЧГ, (ы) -I- 'Г2((:>). (5-5)
Привьдеппые. формулы позволяют сделать следующий общий вывод.
Вывод 1. Для ноелсдователыю.-п гоединепи.ч (л) п. ф. сис.те-
лп.х равна npfiu.teeiteiutJO н. <ф. янеш-ев, (о) ЛЧХ системы равна
npouMftlfKHio АЧХ л«егглег?. (г?) 07Л системы равна гцммв
ФЧХ цвели,св, ( чединепие устойчиво, сели усгайчивы see.tu.ti.
Допустимо также, чтаСнл и. ф. одного из звеньев не была строго
реализуемой, лини, бы строго реализумой была п. ф. соеди-
нения. Ь противном случае система неустойчива.
.'14
ГЛ. 2. ОЯВРАТОГШЛЯ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СПСТ1-М
Последнее утверждение прямо следует из условий устойчивости
(§ 3) и того простою факта, что корпи а(р) являются корнями
либо а, (/.'), либо сс2(р).
Рассмотрим далее систему, паиыпае.мую параллельным соедине-
нием aneni.en, структурна» схема которой дана на рис. 2.1(1. Со-
гласно схеме, имеем:
Рис. 2.10
₽ = У, — и,у у = I/, + Г/;.
Уравнения звеньев переписываются в индо
ai(?)^i(?)=?.(?)^(?)>
«2 (?) 1'1 (?) =* ?z (?) V (?),
откуда
А (?) = а.(?) а-, (р).
Поскольку У (р) = У, (р) т У?(р) = [22, (р) -I- Н.(р) JI' (?). го
2/ (р) = 2/, (?) 4- 22., (у?) -=
Кроме тою.
«.2 (?) Р, './-} -1- (/) (?)
&, (?) «4 (?)
(5.fi)
2/ ((<•>)= /Л (/«») +• 2/j(<<>) = /(.(<!>)+ )2, ((к)т /7.(ы) + if-. (<>) =
‘ [/(,((!>)+ /»!(<>») I + /] /. (fll ) -F /. (<!)) ],
так что
//(<?) /(‘,(<>1)1 7(d)) /| ((>)+/;(<>>) ('’-')
Можно зафиксировать итоги анализа.
Вывод 2. Для параллельного соединения (a) п. t/i. равна сум-
1ме п. ф. звеньев, (б) ГЗЧХ (и МЧХ) равны суммам 13ЧХ
(и МЧХ) звеньев. Саединспне устойчиво, если и только если
устойчивы звенья.
Приведенные результаты элементарны, ио полезны прн изуче-
нии сложных систем, поскольку позво-тяют «свернуть» группу по-
следовательно или параллельно связанных звеньев в одно с легко
определяемыми характеристиками. При псиользованип этих резуль-
татов возможны, однако, грубые нншбкп.
И р с д у и р е ж д е и и е I. Термины «последовательное» и «па-
раллельное» соединения, а также операторное описание характе-
ристик элементов широко используются в теории электрических н
механических цепей. Однако там они имеют другой смысл*).
Контрпример. Рассмотрим электрическую цепь из трех иосле-
доилтелыш (в смысле, теории цепей) еоедппеппых элементов —
актшнюго, пндуктивиоги и см к пел шип. (лш:н. входною воздействия
*) С точки арспил обшей icopun rpaijioH различно ааключастся в том. что
теория цепей использует неориентированные графы, а теории управ.нч(ИЯ —
од нентири вал пью.
§ Г>. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР
65
(напряжония) с выходом (током) дается уравнением
и (/) «- fit (t) + L -р -1- f t di
л)
или, в операторной заплел,
?ф)-(л + /,!) Ь-.^ф).
II. ф. соединения, называема)! операторным сопротивлением цепи,
равна
V (D) ~ К |- LD +
и является по произведением, н суммой операторных сопротив-
лений
последовательно соединеппых элементов. LI
Здесь нет противоречии с Правилом 1, поскольку в пом термин
«последовательное соединение» использован в другом смысле.
Рассмотрим также систему, блок-схем.! i второй дана па рис. 2.7.
С физической точки зрения опа представляет собой последователь-
ное следи и ни u*j усилителя, двигателя, редуктора я вала. Однако
составленные согласно правилам теории >правления структурные
схемы (рис. 2.S) отнюдь не являются схемами нпелс'Диваre.'ii.iinro
соединения, Рассматривая физичоскую «'нпелпдовлтслыгугп» схему,
всегда следует ношпы. о возможном обратном врлденствии одного
элемента па. поиденствне от другого, что по. предусмотрено ф:>р-
мяльным определением пос.тсловлтельпой связи между звеньями,
характеризуемыми однонаправленным. преобразованием. «вход-
ам ход».
Предупреждение 2. При вычислении п. ф. системы по
формулам (5.4), (5.6) возможно сокращение общих множителей
в числителе и знаменателе. После такого сокращения знаменатель
п. ф. уже пе будет совпадать с характеристическим многочленом,
□то, в частности, было видно из П.2.4, где фактически рассматри-
валось носледопательпое соединение двух звеньев. Знаменатель п ф.
соединения был равен />4-1 и устойчив, а характеристический мпо-
о4лен ривон (р + 1) (р — 1), а следовательно, неустойчив.
Таким образом, при суждении об устойчивости по знаменателю
п.ф. следует проверить, пе произошло ли сокращения сомножи-
телей.
В дополнение укажем, что в некоторых случаях пилелпой явля-
ется процедура, обратная «свертыванию» последовательных н па-
раллельных 1дяь’1>1вципп. Пусть звено ладат) и. ф. II (р) Тогда лю-
бое. прой’.тавлс'ипс этой и. ф. в виде суммы IIЛр)Л- Нг{р) пли про-
изведения /У, (р) Пг(р) может быть интерпретировано как разбиении
лиспа на два, параллельно пли нослсдова гсльно соединеппых. В ча-
ее
ГЛ, а, ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ДИАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
етностп, представление (З.П) свидетельствует о возможности пред-
ставления знспл в виде параллельного соединения звеньев. Если
// (р)—строго реализуема, а лпамепатель не имеет кратных кор-
нем, то разложении на простейшие дроби дает
w (?) • • Ро + У Ро “ «*“«*•
V . ' Лх
(5.S)
Такую ?ко и.ф. имеет система с и звеньями, описываемыми уравне-
ниями 1-го порядка
(D — ?.„)yv = CvVv, v — 1, ,,п, (5.9)
и одним усилительным звеном
= Д-А, (5.9')
если эти звенья соединены параллельно, т. е.
= к, v = Ot 1, ,.., п,
У = S Уу + »/<,< (5.Ю)
•V 1
где F — внешний вход, а г/ — внешний выход.
Величины вообще говоря, комплексные числа, гак что
переменные //»(/) —комклекспозиичныб функция времени. Полому
pa.iniic.iinr на звенья 1-го порядка удобно лишь и случае, когда все
cv вещественны. Волес того, если все Av < О, то
«w-1'. + lz^n- п—т;>0' "•—v <51|>
Отсюда сразу следует возможность представления такого звена
структурной схемой, показанной па рис. 2.17, которая включает
Гис. 2.17
только идеальные усилители и
апериодические звенья. Нетрудно
убедиться (и это будет полезным
упражнением!), что такой схеме
Гис. 2.18
можно сопоставить алектроппую модель, включающую ио более,
чем « + 2 операционных усилителя.
5.2. Соединение с отрицательней обратной связью. Структурная
схема представлена па рис. 2.18. Звено I именуется стоящим в
g 5. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР
57
прямой цепи, звено 2 — стоящим в обратной связи. Согласно схеме
имеем:
у, — ₽ — уг, vt =• у «» ?/t.
Тогда
Нр) ^(р)«//,(р)17(р}~/Л(р)|7(р} — }'s(p)l
= ">(!>) V(P)- //.(/>)„.(/>) К,(р) = /Л(р)Н/0-
откуда следует формула для п. ф. соединения
11 1 + II х (д) II* (р) ’ <У’12)
Введем обозначение
2Л(р)=/Л(р)Я;(р).
П. ф. Л? (р) обычно называют п. ф. разомкнутого контура, и соот-
ветственно — частотной характеристикой разомкнутого кон-
тура. Из формулы
И , (й.й II ( («}
Л = t + 77 j VCJ) II, {1(3} = 1 + II р (iffi)'
сразу следует простой качественный результат.
Вывод 3. Частотная характеристики соединения. с отрицатель-
ной обратной cujt.ihio принимает значения, близкие
(Л) к частотной характеристике У/, (гм) звена е прямой цепи.,
если r-j таково, что 1/УР(гю)1 < 1.
(б) к обратной частотной характеристике 11% 1 (w})i если
l7/,(i«)l >1.
Точный расчет //(ко), Р/Г(ко) но 77j(f<o), Iln(im)' требует не-
сложных операций с комплексными числами, однако ирпнедениый
результат полезен том. что при расчете И (tat) на сетке значений
о) он позволяет правильно выбрать шаг сетки и диапазон частот,
где этот расчет необходим*).
Напомнпм, что вычисление 7/(йе) важно при нахождении уста-
повившейся реакции системы на гармонический вход (см. § 4).
Перейдем к изучению проблемы устойчивости системы. Из урав-
нений звеньев элементов и связей получаем:
Ki (/’) *’1 (Л)+ Р. (Р) (Р) = Р. (Р) ? (Р),
~Ps(/') (р} + «, (р) 5\(р) = 0.
Хгграггтерпггнчоскип многочлен
[«! (А) 1\ (Р)]
А (/г) = det ]>,г (rf (/1) j = а, (р) (/>) 4- р, (р) [7 (/>). (5.13)
*) См. также гл. 3, § 5,
58
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ MI-ГГОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Из вида этого многочлена непосредственно полено, следует ли из
устойчивости соединенных звеньев устойчивость системы и, на-
против, из неустойчивости хотя бы одного эпона — пеусюйчшюегь
системы в целом. Требуется более тонкий лпа.чпл, которому в ос-
новном и нре.кищеп данный параграф. Прежде всею установим сле-
дующий важный факт.
Теорема 5.1. Пусть соединенные рвенья устойчивы. Пусть и.ф.
их иослсдователыюсо соединения
называемая также п. ф. раыомкпутое.0 контура, является правиль-
ной дробью, а свответствуюи/ая частотная характеристика //„(ко)
ни при каких о», 0 < со < °*, не является вещественным числом,
меныаим либо равным —1. Тогда характеристический многочлен,
Д (р) yCTMlHUG.
Д о к а в н т с л ь с-т в О. Обозивчим
<?р (.<••) А а, (Й а„ if), -Z’,, (f) Д ₽, О’) РЙ(?Х (5 Ф
тогда, согласно (5.13), характеристический многочлен системы
А(г) = 'Л(.*)+Л>(?).
причем ио услспнпо Qv(р)—устойчив о*)
<ieg()r(f) > dctfZ’,.(/>).
I'.ведем вспомогательный многочлен
Л (г, А) Л ц, (дЛ /./’рО),
а.твиопциК от нирпметра А’. Очевидно, что
А(/>, 1) Л(р), А(р, 0) Qc(p}-
Кяк известно*’'), корки
, IsiavCA)
А-•'О
ficz-zpA-)
Pu, . 2.1'J
Пместе с тем (5. Hi)
Av(4) многочлена Д(р, А) иепрерыппо занлшт от
веществен ней-о параметра А. При А = О они ле-
жат в левой полуплоскости. При увеличении А
корпи /-.(А). перемещаются ио непрерывным
кривым (корневым годографам) и но могут вый-
ти из левой полуплоскости иначе, чем через
мнимую ось (рис. 2.19). Прохождение через мни-
мую ось какого-нибудь кприя озиачнет, что
?.,. = iw, где о> — вещественно и при этом
Л («о, А)=0. (5.16)
Таким
при каких
плетей, то
= АО'. И
ЭКИИВЯ.И'КГПО
обравсм, если ни при каких со и ни
А-, О.-.т; f: sg j, уелопне (5.1<i) пе вьшол-
кории остаются слева, тлк что Д(/'):»=
я в. । л < 1 е л устойчив им.
Vi (/'o) -|- А7’,,(>«>) ~ О
ил и
1
— — — //р (йа) = Не ZZ), (ito) ] Um ZZ|( (но). * •*)
’) Символ deg означает «степень».
•*) См. также § 3 гл. 4.
g 5. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР
59
откуда
Ini //(| (бы) 0, Не Я() (ап) = — -С — 1,
что нрошпорсчит условию теоремы*)
Аналогичным образом рассматривается и следующий интерес-
ный случай.
Теорема 5.1'. Если
QAp)" pQ ,{/>},
где Qt(p) —устойчивый многочлен, выполнены условия Т.5.1 при
всех ы > (), а кроме того,
pPfp (р) |р -о = Д. кр 2> О,
In1. Лу(Л')
А-О
то характеристический многочлен Д(р) устойчив.
Доказательство можно пронести анл.гогпчпо доказятниьссау Т.5.1,
заметив лишь лродпарптсяын». что при малых А > 0 вынц.нюнпо условия
> 0 обеспечивает переход нулевого корпя
= 0 многочлена А{/>. 0) •=" <?о(р} в левую
полуплоскость (рис. 2.20), Действительно, при
малых Л miioixj4.iC:ii
I- АРв(р) = 0
имеет корень Я( порядка величины А-, а следо
ватсльно, выполнено услониа
?. ['А(О) I С?(М1 Ч- А-[/-„(0) I (ДА)| =0,
Л-0
КСЯр (А)
1\, (0>
А’ ~ — + о (А) = — А-А- 4- е (А),
Q р I”)
•Л-о
Рис. 2.20
т. с. /л становится отрицательным при налом увеличении k от 0. Далее, при
росте I: ИИЛОТЬ ДЭ ! 1. Л;(А), рнвнО КАК П ОСТЯЛЬНЫС КОрПИ, уже ПО НОЖВТ
BLiir: । из ,-»евок нолуплоскск.тн .1 силу «окаааншн-о в Т.5.1, й
Результатам Т.5.1, Т.5.1' обычно дается следующая геометриче-
ская интерпретации.
Правило 1. Если годограф частотной характеристики.
не пересекает вещественной, полуоси (— «=; — 11, а кроме того,
при о> «>, (5.17)
то характерисч ичсский многочлен системы., об/шловтиюй еосдинс-
нием устойчивы г. авеныгв с отрнцагелиипй обратной сетью, устой-
чив. То же верно, если знаменатель п. <fi. одного ив звеньев имеет
*) Функции По Яр(;ю) янлистея четной функцией о>, поэтому в услоппя
. Т.5.1 указаны только неотрицательные со.
60
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИПЕЛПЫХ СИСТЕМ
нулевой корень, а остальные устойчивы, и, кроме того, при малых ю
Яр *р>0. (5-18)
(.РЬимше (5.17) эквивалентно требованию того, что Нс,(у) —
правильная дроби».)
Примеры требуемого ио иравплу 1 поведения годографе» пока-
паны на рис, 2.21 и, б.
Прнве.дсм также конкретную за, ачу.
Пример 5.1. Рнгсмочрим вощин; об устопчипости электромеха-
нической следящей системы (ЗСС). Качсспичтоо <n>ncaiino сис те-
мы было дано и гл. 1 (ряс 1.5). Напомним, что простейшая ЭСС
состоит иа следующих физических элементов: (а) задающей оси,
угол поворота которой обозначим фЧО; (б) вала нагрузки, угол
поворота которого обозначим ср(0; (в) датчика рассогласования,
вырабатывающего электрический сигнал п,(<), который будем опи-
сывать уравнением
i\(t) = /се (/), к. > 0, (5.19)
где е(г)=> </(/) — ф(<) — рассогласование между углами поворота
падающей осп и вала; (г) усилителя, вырабатывающего электриче-
ский сигнал управления, который будем описывать соотношением
u(t) = knc(t), fc>0, (5.20)
и, наконец, (д) исполнительного устройства, включающего усили-
тель мощности, двигатель и редуктор, через который движущий
момент передается на пал. Входное напряжение усилителя мощ-
ности и является сигналом управления
(-V2I)
Кроме того, напомним, что в II.2.2 и II.2.3 было приведено иссле-
дование блока, состоящего из элементов «усилитель мощности»,
«двигатель», «редуктор», «вал». Его математические описание и
целом дается формулой (2.21), которую можно написать в
{< 5. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР
операторном виде:
)»„(/) + (5.22)’
где mn(f)—момент внешней нагрузки на нал. Совокупность со-
отношений (5.19)—(5,22) может быть представлена структурной
схемой (рис. 2.22), где, ио учтено лишь икеншее возмущение /ип(/),
пи играющее роли при исследовании устойчивости.
Рис. 2.22
Связь между внешним входом <prt(#)' и общим выходом д(0
представлена соединением злепьел, которое можно привести к стан-
дартной структуре с отрицательной обратной связью, если по-
Ht{p'j=* ПЛрУ** 1.
Примем первоначально упрощенную формулу (2.24)' для п. ф.
силового блока
Тогда
//е(р) - "г(/’) = -----рр Ар 4/Л >0.
О'" 1 Г^'~1)
В данном случае
Qp(P) = Р$» (/’). Q? (?><= ^нТ..рг + TV.P + 1, (/>)’= к0
и можно использовать Т.5.1'.
Условие Л\ > 0 выполнено, — устойчив. Остается прове-
рить поведение частотой характеристики 7/p(io).
Имеем
~ но (1 — ТмГ.лЛ-Р <7мо>) ~
” —вГ77-----Т~^-—+ i (1 — 2VX-))r
откуда следует, что годограф пересекает вещественную ось толь-
ко при
ы = (У7’мГ,}-,1
€2
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
причем в точке пересечения (рис. 2.23)
Re Нр (йо) = —keTa.
Тем самым доказано, что характеристический многочлен системы
устойчив, если/г,, < Z'„Подчеркнем, что для данной песлолшой
системы тог же результат проще получить, неиосрсдствеппо за-
писан этот многочлен в виде
Мр)-<Ыр)'-рЛ;>}~
= TvT,.p' + Ткрг + р 4- /гр
и использован неравенство
(3.1D), которое здесь имеет виц
Т >Т Т1;
Гурвица
Отметим, что если положить Г, = 0, т. е.
использовать еще более простое описание
(2.25) п. ф. силового блока
(р) =•
полученное в пренебрежении самоиндукцией якорной цепи двига-
теля, тп был бы сделан неверный вывод: ЭСС устойчива при любом
значении коэффициента /г(1. Иначе говори, пренебрежение малыми
пистамшыми времени, опасно при шжлсОомииш устойчивости. Од-
нако, используя первый вариант описания, т. о. формулу (2.24),
мы также упростили задачу по сравнению с более, полным описа-
нием, даваемым формулой (2.23). Анализ вопроса о том, когда эго
упрощение допустимо, отложим до следующей главы. О
Теоремы 5.1, 5.Г дают достаточные условии устойчивости систе-
мы с отрицательной обратной связью, если, согласно исходному
определению, выполнено еще и условие строгой реализуемости п. ф.
соединения
Я. W _____ и»
1 — W К.. (/'> «, IP) «г (Р) + ₽! (И (р) ’
Поскольку в теоремах уже требовалось, чтобы
deg {а,а.) > deg {p.Si-J,
то строгая реализуемость имеет место, если
deg а, > deg р„
т. с. .чноио, стоящее и прямой цени, сгрпго реалпауомо, а это зара-
нее предполагалось.
5.3. Обобщенный критерий Найквиста Возникает вопрос, явля-
ются ли условия теорем 5.1. 5.Г и необходимыми, т. с. обязательно
ли при их нарушении система окажется неустойчивой?
g 5. ЛНДЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР
€3
Г! частности, особо существенно, может лп система быть устой-
чивой, если характеристические многочлены звеньев имеют корни
в праной полуплоскости и заведомо неустойчивы?
Оказывается, что зто возможно.
Теорема 5.2 (обоби^едмый критерий Найквиста)*). Пусть вы
полнены- условия:
и) //р(р) —правильная.'
б) многочлены I!v(p), Qr(p) не имеют сав падающих корней в
правой полуплоскости (несовпадающие корни назовем нулями. и.
полюсами Пг, (р));
в) число полюсов ПР(р) в правой полуплоскости ведано и рав-
но д' > О.
Тогда для устойчивости системы звеньев, соединенных отрица-
тельной обратной связью, необходимо и достаточно, чтобы при из-
менении <о от 0 до <*• точка hf(ia) на комплексной плоскости со-
вершала ровно q~ полуоборотов вокруг критической, точки с коор-
динатами (—1. 0), или, что ю же самое, годограф Hf(ia>) ровно
q~/2 раз охватывал критическую гичку.
Не приводи пока достаточно громоздкого доказательства, дадим
пояснения и примерь!.
Случай 1. —устойчив (оба звена устойчивы).
В атом случае критерий Найквиста сводятся к требованию:
годограф Н,,(}м) не должен охваты пат ъ критическую точку.
При этом возможны две. ситуации (рис. 2.24, Д, б).
1а. Годограф не пересекает вещественную ось или пересекает
ее правее критической точки.
16. Годограф столько же раз пересекает вещсствсппую полуось
(„оо, —1) снизу вверх, сколько и сверху вниз **).
Ситуация 1а соопн тстпует условиям Т.5.1, однако устойчивость
имеет место и в ситуации 16.
Случай 2. Н,..(р) не имеет полюсов пи мнимой осп, по ость
ц~ > О полюсов справа. В этим случае годограф должен охватывать
критическую точку, делан у полуоборотов. Например, при д~ !
•) Критерии был сфлрмулиропли и 1932 г. Найквистом пряда-янгелше к
ундинам pajuioivMiuKii лля частного случал г,- »= 0.
”) pre лил граммы построены л ирсдооложеняз //л.(0) > 0 или Лг{0) > О
(ври наличии нулевого корил).
€4
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОЛ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
диаграммы па рис. 2.2-4, а, б соответствуют неустойчивой системе,
а диаграмма па рис. 2.25 — устойчивой.
Случай 3. 77р(р) имеет одни нулевой полюс, а остальные кор-
ни — слепа.
В этом случае годограф рассчитывается с исключенном точки
ы «= О, и ситуации За, 36, представленные па рис. 2.26, а, б, соот-
нетствушг устойчивой системе. Первая из пнх рассматривалась в
Т.5. Г,
Случай 4, имеет qs пулевых полюсов, 2<уч. чисто мнимых
полюсов кратности каждый и q~ полюсов справа.
Рис. 2.27 •
В атом общем случае следует учесть отсутствие непрерывности
годографа ZZr(ift>) при о> = 0, о — <av п применить следующую фор-
мальную процедуру его построения:
а) построит!, годограф вне точек разрыва с ветвями, уходящими
в <» при приближении к этим точкам;
б) дополнит!, годограф до непрерывной кривой частями окруж-
ности большого радиуса (мною больше 1), связывающими ветви.
При этом начальная точка обязательно располагается на веще-
стпеннон осп, разрыв при в> = 0 заполняют дугой с поворотом на
— Чо разрыв при Wv заполняют дугой с поворотом на —
§ Ь. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР
С5
Привило 2 (геометрическая интерпретация обобщенного крите-
рия Найквиста) Если годограф IIv(un) (с учетом укн.таиной про-
цедуры диполиеппя) пересекает вещественную нолуш-t, левее кри-
тической точки, ио так, что ралкоегк мсхсйу числом пересечений,
сверху впил и спилу ввер.с равна г/”/2. то eurra.ua устойчива*).
Л1 противном случае, устойчивость отсутствует.
Пример динграммi.i, пл которой следует устойчивость системы,
дан па рис, 2.27. и. 11а диаграммы па рис. 2.27,6 следует неустой-
чивость.
Дадим теперь показатель ст ни 'Г.5 2. Локяяатсльство оспопыпастся па
применении теория функций комплексной перемени..и, учннрждаюздей епрапсд-
ливопть так навиваемого принципа аргумента**):
бг А”й Ф(.*) = 2л(«г — nr), (5.23)
где Л г Arg обозначен!» изменении аргумента функции Ф(р).прп плмспеппп р по
замкнутому контуру. Ф(р) предполагается дребно-рацпанальзий. а «г, pi—
числа нулей и ho.ihicob Ф(р). лежащих внутри Г. Примем Ф(») в виде
Ф ip) _ t + Н3. (р) = i + <?».
(5.21)
Настроим контур Г. покатанный на рис. 2.2S Он
•стн Г.олыиаго радиуса II, огрнакив на мнимой оси и
радиуса р, oxnari.innntiiiiix гнрявн ua'i.i.Hi кпорднуат
и точки ±.‘0jV1 счптиетстауимцно (io.iioiuim lEip) на
MiiiiMi.il осн
...............• ..........а Ф(р) н.т I' pasmo суммп
ti.-iMeuruuii .............. указанных частях. причем
па iiojyiiKpviKHHi । и К (при доеппочпо болынпх Н)
Ф(р) ~ 1 0 силу у.-ЛОПИЯ (А) IlWpCJlbl. ••К ЧТ-1 U11-
lyinsiiT ранен нулю, как н еш изменение, л на ini.iy-
<>i;pyiKii<ici»x мл.няо радиуса изменение аргумента
равно ГЛО 7,. K|uinni;:.rb io.ihh h -Hoi,. (;i —io»,),
если cov-^O, н равно л</(,. если пулевой поянд: имеет
кратность pf.
С Яругой СТОРОНЫ ИДИ УСЛОВИЯХ (б). (В) llpilll-
ц)Н1 аргумента усл'анав.ппыет яккиналептпость тро-
Ловапия устойчвнастн характеристического ?.:пого-
члена
А = <?р(р) + Лс.(р)
>1 рЙКёШПКЯ
6 Г ЛГ£ ф(р) - - —2л7-, (3.25)
состоит из пплуокрул;п1>-
шьтуокружпостей малого
iHie.KiurKKy нг = 0, pr = г;~, если при дое.тнточно малых р, /?'’ контур охпатм-
ннет нею ер.чнунг iKi.'iyii.iOCKocrt..
С уч.'п.м данных оценок (5.25) TKnnrsa.ieniit.i iie-peiiit:'i>in<iercM в вндб
Л Лrg<(i {foil I Д7(> — - :i'fv •= — ~:ui ,
<5.2i'.)
причем <*i Arg о iii.i.iner iinMi4tenue .ipi'y.MeiiTn нрп u.imoiibiiiiii i-i нт П дц —/?,
iii.i'iriOM мал,ix y'lariitoii pn.iMepa Zp, где //,. f.'n>) ирптерпенлег разрывы.
*) Er.ni Ilin p.'nji начинается пл ['—тс. — 1), то иго стпгаетгп за 1/2 пересе-
чения
См. например, [2.3. с. 2РН].
S Л а. Пегьоопамсклв
€6
ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНОЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕПИЫХ СИСТЕМ
Изменяя паиряняеиио прохождения на противоположное (от —II к 7?) и
учтивая, что
Лг"Ф((<1>) •- —Ai g Ф(—<ы), to =£<!., (5.27)
приходим к ргау.нллту
Аб'Лгкр |-Яр{Г1.>)) —у 90 —“ |7“< (5.28)
1дс символ 6'Arg означает изменение яр>уыента при прпбтппии <о caueiTiic от
нуля (р) до «почти» бсхконйчпости (Л), * ости льны о слага» мыи отражают вклад
изменений па разрывах.
Выражение слева совпадает с числом полуоборотов годографа функции
I — i/p(;w) вокруг начала координат, или, что то яке самое, годографа //Р(го)
вокруг критической точки (—1. 0) (с учетом указанных выше дополнений па
разрывах). Тея самым (5.2&) доказывает, что условия теоремы гарантируют
устойчивость многочлена Л(в). Строгая реализуемость в. ф. соединения следует
из условия (и) и предположения о строгой реализуемости и. ф. звеньев.
’Замечание. Утверждение Т.5.2 сохраняет силу и в том случае, когда
условие (а) заменено более слабым условием строгой реализуемое а II-.(/').
Для обоснования достаточно рассмотреть ситуацию, где deg 1\. (г-1) =
dcg<?P(p) ’ = ». При этом возмнжпы дна случая:
(а) (Рр 4- <2,.} = п.
(б) deg (Рр -г (>,} < ».
В случае (н) на полуокружности (оетаточио болг.тою радиуса функция
<1>(р) ведет себя как константа, а следовательно, iunu-неинс ее аргумента рав-
но пулю, что поннп.чпет перенести пл этот случнй раюч? прн веденное Доказа-
тельство. Случай (б) ЯП.ТД1'1ТЯ |:1.1|КГЖДГ11НЫИ (при сложг.ини многочленпв
пааимко увичпокаются сгпршпп гнчнчт). Очевидно, чг<> при <гтм из.М1.ч1епп«
аргумента происходит, и формула (.'>28} но верна, Д с.|сдовател|.н<|, нажегся
неверным утверждение крнтерпя Иайюпк'.-ы. Однако ути нс. так: нетрудно убе-
ди гьсн, что при уединяй (б) и. ф. г.илсмы с ii^pnTiiQii связью не яклн'ТСЯ Отро-
га реализуемой, а слидпнлтслыю, согласно «вредслению, скстемя неустойчива,
v чем и будет свидетельствовать невыполнение [uinciiciua (5.28).
5.4. Приближенно дифференцирующие устройства. В качестве
полезного примера изучении структур с обратной связью проведем
анализ некоторых устройств, построенных на базе операционных
усилителей и приближенно осуществляющих операцию .чнффероя-
ипровацпя. Пусть «,(/) — напряжение на входе устройства. «(/) —
на выходе. Идеальное дифференцирование имеет место, если
Пщ(г). (5.29)
Подчеркнем, что и. ф. дифференцирующего преобразователя по яв-
лиетси строго реализуемой. Поэтому ранее нредполагаюппегп схе-
мы (см. § 2) но приюдпы для создания идеально диффергнцпру-
ющнх устройств. Рассмотрим вновь блок, состоящий из операцион-
ного усилителя л /(Л'цсш-й (рис, 2.29, и), где Г^Ь)—оке[1ат(|рп.>я
проводимость прямой цепи, )’„(!>) —онера горняя при-чоллмость
ценя н опрятной связи (операторная проводимость обратна in:ep.»-
торному сонротнв 1С|П1ю), У,.(О) —входная проводимосп. усилите-
ля. Тогда уравнения ценен аапщнутся и виде,
У, (D) (к, - и?)+ y0(D) (» - н?)= У„н=.
(5.30)
g ». АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР
С7
Учтем далее, что усилитель не является идеальным, а обладает
инерционностью, и примем для неги описание в виде
*У
«у I»)
(5.31)
где a, (D) —многочлен
Y,
такой, что а>(0) 1. (.Bniicuia реальных
операционных усилителей можно хорошо
1 и;с и ропзвести, считал
а,(1)) = (т1)-е 1)г.
При атом амилнтудпо-частотпая характе-
ристика усилителя равна
Лу(ю) = -^_ (5.32)
1 (- т со
и быстро убывает при ю>т~1 (диапазон
и п
частот от <о = 0 до <•> т-* часто называют полосой пропускания
усилителя). Для реальных усилителей к7 имеет порядок 10“ 4-10’.
т-'—порядок 1O'J 1/с. Исключая промежуточную ио.ромепнуАу
лани шея
и = - II
где
, у. <D’ 1
АУ И)! ау i»i 77, (Di Я( (D;
JI , k i = 1 i-Л, (D) //., (D) = 1 -/7р (Dp (°-13)
r J5's(Di ay(Dj
K£(l>) Д Kft(D) t- У, (») I- Y„. II, Л IIг A
-xy 1 i
Передаточигн! функции //(D) можно сониетаипгь структурную схе-
му согднпения е oApuTHoii cini.ii.iri (рпс. 2.30), ог.у|цес.Г11Ллкпцу10
то и>и самое upeoopa.-ioitaicie «пнвертприпаппый пхпд —ц, — пы.
•Хцд «>. Кии* род подчеркнем, что структурная схема соединении
с пора той связью нс отра;кает ......неродственно свойств але.мепто»
ацентрическою с<1сдинеппя с цепью обратной связи: п. ф. //. звена
в обратной связи структурной схемы зависит и от проводимости
5*
ГЛ. 2. ОНЕГлТОРНЫИ МЕТОД АП ЧЛИЗЛ .ТППЕЕПЫХ СИСТЕМ
1'л ЦСПП в обратно!! СВЯЗИ усилителя И ОГ проводимости ПрЯМОИ
цени.
Напомним теперь ранее полученный вывод 3. Из него сразу
следует, что частотная характеристика еогдипения II (ин) блинка
к обратной частотной харавтернг.тпке звена и обратной связи
II (iv) s; /7а 1 (по) - у~~) O-34)
на всех частотах, где
1«.М-»>|т£й^|>'- P.3S>
В частности, если У, — i/Рч, У<, = 1/А*0 (в прямой и обратной цепи
усилителя стоят резисторы с сопротивления мп 7?s, 77,,), то
Если я;н У, = 1//7,, У» о-СВ (вместо резистора в обратной, цени
стоит конденсатор емкости б'ц), то
Иначе говоря, эти устройства имеют частотные характеристики
идеального усилителя п 1нгпчратнра, однако такие свойства имеют
место только а диапазоне частот, ограниченном условном
Даже при очень большом налично убывающего множителя
lcty(tCiT) I-' ограничит диапазон частот входных сигналов, для ко-
торых верны ранее полученные результаты (§ 2) о свойствах схем
с операционными усилителями.
Рассмотрим далее другой важный частный случай, когда в
прямой цепи стоит конденсатор емкости <?., а в обратной — рези-
стор сопротивления Ил (рис. 2.29,6). При атом
f.(D) = f,D, У,= 1/ЛГ1
it
II CtR.ltn,
т. е. частотная характеристика близка к характеристике идеального
дифференцирующего эвена
//(!))-= С,7?.1>
л диапазоне частот, ограниченном условием
/. _____________' о____________ 1 1
ly 1.% I > 0 | uy i.4u.i|
Казалось, бы, с увеличением /с.
дифференцирования с помощью
мсидацпн зачастую фигурирует
можно добиться хорошего кэчоегва-
такой простой схемы, и ага реко-
да;ке в учебниках. Однако па си-
5 !i. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР
69
мом деле она но верна. Дело в том, что при больших А\ схема
те.рист устойчивость! Имеем
(1)) _ д.,г - ,
н характеристический миги пилен системы имеет вид
Л(р) (тр 1 1):(1 + 7/>)4- ,:1 = 1!^'р’+ т(2Г -I- т)рг 4- (Г 4- 2л) р
где принято обозначение Т 1{„С и для упрощения записи счи-
тается, что l\/?n 1 (входная проводимость мала) и к~ > 1, Из
критерии Гурвица (§ 3) сразу следует, что система устойчива,
только если
(Z 4- 2т) (2 Г — п
тГ
т. е. при неограниченном упсличсппи устойчивость заведомо те-
ряется. В силу этого обстоятельства описанная простая схема прак-
тически не используется. Вместо нее применяют несколько моди-
фицированную схему (ряс. 2.29, л). При этом
y,(D) _Ц_. У„(П)=4 I CuD«J-(f4-W
/.’,4-,—; 11
1\ = И /, 7’» •» ЛЛ'»,
п в силу (5.34)
~ Гй>(| , а ТЬ
мри Тм < 1, 2",<п < I н выполнении общего условия (5.35). Таким
образом, схема вновь имеет частотную характеристику, близкую
к характеристике идеального дифференцирующего звена. Вместо с
тем нетрудно убедиться, что постоянные Тй, Tt всегда можно вы-
брать так, чтобы сохранялась устойчивость и при неограниченно
больших А\. Действите;.о, примем Т, = Та т, /? У„ < 1; тогда
1 4 Т D 1 <
2/р (1>) = Лу---------И---- 1 — = /. у--------L-----.
' + V. + V+<,D • < + >u>- ™
Хардштористическш) .многочлен системы равен
Л(/») — (г/' I-1)-[т7'г4 (2<4-7)р I ГК-.]
и заведомо устойчив при любых к.;. Докажите то лес самое с по-
мощью Т.5.1, построив годограф 7/р(й.)). Докажите также устой-
чивгюы. схем, пспользовавиых для реализации операции идеального
усиления и интегрирования.
ГЛАВА 3
ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
§ 1. Программа. обратная связь, стабилизация
1.1. Цель управления. Идеальные программы. Качественный
смысл любой задачи теории управления всегда одни и гот же —
необходимо так выбрать управляющее воздействие, чтобы объект
«вел себя» желательным образом. Однако для осуществления кон-
кретпого выбора из множества возможностей такого расплывчатого
определения цели недостаточно.
Попытаемся его конкретизировать. Пусть //(<) означает процесс
изменения управляемого выхода объекта. Тогда можно сформулиро-
ван. две основные задачи:
1) обеспечить близость выхода ;/(/.) к желаемому постоянному
значению IJ'1 (задача регуларопания);
2) обеспечить близость выхода y(t) к желаемому процессу у‘(1)
(задача слежения).
Очевидно, что задача регулирования является частным случаем
задачи слежения, и в дальнейшем будем ориентироваться на болео
общую ситуацию.
Обозначим
с(О=>^(Ц-?/Ц). (М)
Близость у(1) и г/"(0 равносильна малости величины ошибки сле-
жения е(Ц*). Поставленная задача будет решена идеально, если
управление удается выбрать так, чтобы
в (/)-0 (1.2)
в любой момент t > 0 работы объекта.
Систему управлении, обладающую таким свойством, часто на-
зывают инЖгрчангпий.
Приступим к изучении) возможностей достижения агой цеди,
считая, что oui.ei.r унранлеипи описан с немощью Jiiiiiciiuoro диф-
феревцнп.'п.ного уравнения
a (D)!/(0 “ (Ц 1>) ) »- Рк (1>)(0, (1-3)
•) Иногда будут использоваться и чаегяый термин — ошибка ре гул в ре на-
ция и более общин — ошибка управления.
S t. ПРОГРАММА. ОБРАТНАЯ связь, стабилизация
71
где w(t) — управляющее воздействие, «?((.) — возмущение, а а(В),
Р(В), —многочлены от оператора дифференцировании J) с
постоянными колффипнеи га м и.
Запишем (1.3) н виде
«(|>)!/(0-с(01« Р(1>)”(0+
а(1>)с(0= -р(О)«(0Фа(1))1Г(0- ?u(I>)«’(0- (1Q.
Примем предначо'.кепня:
а) начальные значения е. (1) и ее нроизводпых вплоть до
(п — 1)-н равны пулю (п — степень а);
б) многочлены cc(D), >(D), ра(О) известны точно, равно как
и значения функций ir(Z), у'‘((), f^O.
При этих предположениях управляющее воздействие u(t), обес-
печивающее инвариантность, находим несложным образом. Дей-
ствительно, вычислим «(<) как решение уравнения
Р(D)м(0 = a(D)г/(<)- рв(D)и,(I). (1.5)
Тогда при использовании такого u(t) в качество заданной про-
граммы управления ошибка окажется совпадающей с решением
однородного уравнения
a(D)f (/)«() (1-6)
при нулевых начальных условиях, а следовательно, c(Z) ’О, I > 0.
Особенно прост случай, когда p(D) “ const. Здесь программа,
ииесиечишнищая инвариаитиость, дается явной формулой;
и(П = IV1 (а (В) (0 - 1М») M0J. (1.7)
Пример 1.1. Объект задан уравнением
(2D +!)</(/) = »(/), i/(0)=0
и требуется осуществить безошибочное слежение ирц t>0 вы-
хода за процессом
p<!(Q = C-.tl(t), (7i = const, t^Q.
Тогда по формуле (1.7) имеем
u(t)^(TD-\- 1)/(/) = С’1(Г + 1)1((); ОО. □
В случае p(D)’Aconst для решении уравнения (1.5) удобно вос,-
।io.ii,;шш1Тьси преобразованием Лапласа. Предположим дополиигель*
ио, что начальные значения w(l) п производных соотнег-
етг.ующею порядка раины нулю, хотя возможно их сначкообра:<ш.10
мзмспепне при X 40. Тогда из (1.5) следует, что
и (р) = Н5 г"</?) “ тит,г {рк
72
ГЛ. 3. n<)i:iTGi:illlE ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
где использованы большие буквы для обозначения S'-обрэзов функ-
ция. Вычисление HporjiasiMu. обеспечивающей инвариантности, сво-
дится к нахождению оригинала ио заданному Й'-образу. D
Пример 1.2. Требуется обеспечить сохранение, начального рйп-
повесня г/(0)“»0, 1>у(11)«*0 для объекта, oiiHc.biBiiCMniti уравнение»
|Г1Н+ 2^П> + 1|£/(0 = (1) + 1)«(7)!- «’(<).
несмотря на наличие возмущения «;(/)= 1(f). Поскольку требова-
ние эквивалентно }<(0 = Ц 10
и (р) — тгЧ «7 (/>) - - ГГ;’ г! /
откуда
1(7).
Если же требуется обеспечить переход к новому значению выхода,
j/(t)= 1(7), то согласно (1.8)
так что
р(/)-ПЛ(/) + (2^'-‘-1)е '!(«)].
Таким образом, дли скнчкообразпнго изменения выхода потре-
бовалось импульсное неограниченное унрлнлиюн i-о воздействие.
Это ясно и из фпанческнх соображении: невозможно мгновенно
пзмеинть выход инерционного объекта с помощью ограниченной
СП.ЧЫ. С)
Сделаем общее заключение.
Вывод 1. IJpu принятых предположениях возможно построить
программу управления, обеепечпеоииауиг выполнение условия ин-
вариантности (1.2), однако нельзя гарантировать, что это управ-
ление окажется ограниченным.
Как правило, импульсное управляющее воздействие неосуще-
ствимо. Если функция w(L) таковы, что их г?-образы Р(р),
И'(р) являются дробпо-рациональными функциями, нетрудно уста-
новить условие, при котором пппаряаптность достижима без ис-
пользовании импульсов. Действительно, в этом случае f-’(p), вы-
числяемая по формуле (1.8). также окажется дробни-рацноналыюн.
Если степень се знаменателя превосходит стоиень числителя, то
оригинал u(t) не содержит импульсных функций*).
В нротиипом случае приходится отказаться or инвариантности
либо, что почти то же. самое, отказаться от исходного задания же-
лаемого процесса </|Г(1). заменив его более «гладким».
Пример 1.3. Рассмотрим тот же объект, что и в II.1.1. Нетруд-
но видеть, что при i/’(7)- С’Д (7) для обеспечении ли «арил и гное г и
) См. аналогичным результат в § 3, гл. 2.
5 1. ПРОГРАММА. ОБРАТИЛИ СНИЗЬ. СТАБИЛИЗАЦИИ
'3
требуется импульсное управление,
(рис. 3.1), что
/а (II,>1(1).
Смягчим задание, принимая
/>С-
(1.9)
Тогда, согласно формуле (1.6), можно вычислитi. управление
М.(0 = (П> ч-1)^(0 =
<лЛ(7’ I- очо»
1
(1.10)
При I- > 0 управление оказывается глраничснпой функцией. «Уже-
сточение» задания путем уменьшения приводит к росту необхо-
димого управлении, причем при {. -► 0 управление стремится к опи-
санному выше импульсному. Поскольку найденное при tt > 0 уп-
равление (1.10) обеспечивает идсаль-
пое следование «смягченному» зада-
нию (1.9), ТО ОКО Же ПО ОТНОПТСПИШ к
исходному скачкообразному заданию
приводит к ошибке
(1.11)
исчезающей только при I & I,.
Отмстим, что если заранее задана граница ц иоаможпого уровня
управлении
|ц(01<«, <>0.
то и управление (1.10) может оказаться неприемлемым. Очевидно,
что для его допустимости должно быть выполнено условно
Можно попытаться «смягчить» задание, все более увеличивая i,,
по при |С„| > и желаемый процесс вида (1-9) окажется вообще
неосуществимым *). □
12. Влияние неточности математической модели. Важно попять,
что даже следование идеалыш рассчитанной программе может ле
дать эффективного решении реальных задач упраилепия. Дело в
тон, чти при расчете мы опираемся па математическую модель
оГи.екта. пр<‘д|ниипля точно папестпытш передаточные функции,
возмущения и желаемый процесс изменения выхода. В действо
*) Общин методы поел роения ириграмм упрлиления при ла.тиши ограни
пений н;<.1Я1аю«Д1 и 1л. У.
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
тельяости же все эти факторы известны неточно. При расчете мы
вынуждены опираться лишь па их оценки. Любая же погрешность,
шниютиетстпне оценки н реальных значений могут привести к не-
приятным последствиям.
Пример 1.4. Пусть объект описывается уравненном
(1>- 1)у -.«(£) + (1.(2)'
Пусть требуется сохранить начальное состояние, г/(0)е=0, а воз-
мущении равно w(/)“C'l(t)- Пида, очевидно, следует принять
u(i)=—w(f) с обеспечением инвариантности. Однако, если вместо
константы С известна лишь ее неточная оценка С, то и расчет
можно провести только па базе этой оценки, приняв
и(П=° — CI (/).
По при этом выход начнет изменяться согласно уравнению
(D-l)i/(i) = (-C4-C)l(0,
откуда
&(O = (C-C)[cf-1]1(0- (1-13)
Даже при малой погрешности С — С отклонение от желаемого
состояния становится с ростом t сколь угодно большим. О
Особенность приведенного примера состояла в том, что объект
ие являлся устойчивым.
Почти очевидным является следующее заключен па.
Вывод 2. Программное управление непосредственно не прн-
I мспимо к неустойчивым объектам, сели время работы длительно.
Действительно, пусть начальные условия хотя бы незначитель-
но отличаются от расчетных, принятых за нулевые, тогда, в силу
неустойчивости, ошибка с течением времени сколь угодно отой-
дет от желаемого пулевого значения. Если же начальные условия
заданы точно, по неточно известно возмущение, то рассчитанная
по его оценке программа не полностью компенсирует реальное воз-
мущение, а даже малый остаток может сколь угодно «раскачать»
неустойчивый объект.
1.3. Стабилизация с помощью обратной связи. Учтем теперь,
что для формирования управляющего воздействия возможно ис-
пользовать по только априорную информацию, заключающуюся и
математической модели, по и текущую, получаемую в ходе работы
управляемого объекта от измерительных устройств. Как ужо ука-
аывалось в гл. 1, использовании текущей информации может по-
зволить преодолеть неприятности, связанный с неточностью апри-
орной.
Продемонстрируем прежде всею, что па основе измерений вы-
хода объекта у((), как правило, можно пыработать такое управляю-
щее воздействие (обратную снязь по выходу), чтобы замкнутая
§ 1. ПРОГРАММА. ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ. СТАБИЛИЗАЦИЯ
75
ртой обратной сиянью система оказались устойчивой, даа;е если
сам объект неустойчив.
Начнем с наглндного случая, когда уравнение объекта имеет
вид
cz(I))r/(/) ₽„«(/)+(О, С114)'
Т. <*. {)(!)) {k const. Выберем И (О Я ЛИДС
ы(г)=«,(П+«,(О. (11-г>)’
Первая компонента u,(t) есть сгмщнл обратной слялм*), выра-
батываемый на основе текущих измерении. выхода //(/), а вторая
задастся любым другим образом, но не зависит от у(1).
Пусть
м/(0 = -л(Е))у(0<
где A-(D) есть многочлен or оператора дифференцирования
А:(D) = kt -г 7;Д> +.. .4- АДУ, (1.171
т. е. подразумевается, что гри выработке управления либо, кроме
//(/). измеряются и производные выхода вплоть до r-й, либо Диф-
ференцирование //(/) производится
н вычислительном устройстве (рис.
3.2).
Подставив (1.15), (1.1G) в урав-
нение объекта (1.14), получим
Риг.. 3.2
[u(l>) I |М<(1)) ],/(«)
=-₽<МО+М1>)"‘(0- (>•'«)
Вывод 3. Введете обратной сеяна ио выходу и его произ*
водным позволяет цлмспя.гь характеристический многочлен си-
стемы-. вместо исходного а{р) получаем
А(Р)ла(р) + роЛ-(л). (1.19)
Пусть Лл(р) — произвольный устойчивый многочлен. Тогда при
выборе
/c(O) = ~|&"(D)-a(D)l (1.20)
Hl
система, замкнутая обратной связью, окажется устойчивой. Болео
того, в принципе возможна не только стабилизация, но и произ-
вольный выбор характеристического многочлена замкнутой систе-
мы, а следовательно, и произвольнее расположение его корней, т. о.
обеспеченно произвольной степени устойчивости.
Пример 1.5. Ilye.ii, объект описывается уравнением
(ПН 1- ))•’) // -=п, 7 >О.
•) Индекс / соответствует всрпс-й букве uiiu>tii;.<:i<i>n> слона feedback, озиа-
чаюицли «<н>ратцая связь».
гл. s. построений вакопов управления
Объект по является устойчивым Его характеристический много-
член
а(р) « Тр3 -I- /Г
имеет корим р, •«=—1/7’, р* — р, 0. Введем обратную связь
о к„у — 7г. 1ft А Л //.
Тогда выход Суде1' изменяться согласно у ран нению
|71) + (1 + ft)l>3+/r1D + ftJi/ = 0.
Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
Тр3 + (1 + к-.)рг + ftp + А„ г- 0.
Выберем коэффициенты усиления А\,, А',, 7гг так, чтобы все ею
корпи были одинаковы и равны
Pi = ft ft--------1 > °-
т. с, чтобы характеристическое уравнение имело вид
Оча.ипдпо, это достигается, если принять
Изменяя величину г, можно добиваться различной скорости зату-
хания эффекта от ненулевых начальных условий, □
Отмстим теперь следующие важные обстоятельства:
а) всегда можно считать, что а(р) имеет вид
<х(р) = 1>’‘ + «я if"-1 + <7-”
т, е. считать, что я.,. = 1 (в Противном случае можно предваритель-
но разделить обе части уравнения (1.14) па коэффициент при стар-
шей производном).
Пусть желаемый устойчивый многочлен А:,(р) имеет вид
А" (?) = Рп I- Д«-1/'1'-' + • • + Ао-
Выбором п коэффициентов Д». ---.An-i можно задать любое рас-
положение н корней. Тогда, согласно (1.20), 1>'(р) является много-
членом (л 1) й егсиеин
I 1<:
А (р) А\,1-А,р-1 . . . I ft ,}>' *, (1.21)
= i- 0. I........« -1. (.1-22)
£ 1. ПРОГРАММА. ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ, СТАБИЛИЗАЦИЯ
77
Вывод 4. /7-?я обеспечения проиякильнозо расположения п
корней характеристическом уравнения замкнутой системы до-
статочно вводить обратную связь по выходу и его производ-
им вплоть до (и — 1)-й (именно так было сделано » Приме-
ре 1.5).
б) Попытаемся иотребонать, чтобы я оласмый многочлен ;V(/')
имел с.тгне.иь ниже и, т. е. ни.не порядка дифференциальною урав-
нении объекта. Формально ато нозможло, хотя пл (1.30) ясно,
чк1 для итого как раз потребуется обратная связь по и н произ-
водной, с коэффициентом А„ - 1/рР. Пусть, однако, величина fk
известна нс совсем точно, т. е. при расчете мы располагаем се
оценкой
ро = Рэ Т б,5.5
со сколь yiодно малой ногреитпгк-тыо. Тогда, выбрав kn = — l/pfl,
получ; ем. что депствителытып характеристическим многочлен за-
мкнутой системы
Д (р) = а (р) ~ (%?.- (р) = ( 1 -10-) »“ + ...
\ Г'и!
имеет все-такк степень п. Волге то о, л зависимости от знака по-
rpeir.iuir.TH (который неизвестен!) коэффициент при р" может ме-
нян знак, и система » действ nr.ii,ногти может ока.щтьея неустой-
чивой (см. критерии (’лпдолы, § 3 гл. 2).
I Вывод 5. Недопустимо требовать, чтобы замыкание обря-т-
I ной связи приводило к уменьшению порядки системы.
Подчеркнем также., что собственно для решения задачи стабп
дп.чнции ист необходимости во введении всех производных, вплоть
до (п — 1) -й.
В частности, в 11.1.5 можно взять и - — k„y — A.Dy, выбрав /г„,
/г, .ткнбым образом, лишь бы было выполнено условие Рауса — Гур-
ийца А-, > А .,7'. А,1>0, 1с. X), обеспечивающее устойчивость системы,
замкнутой этой обратной связью.
l/i. Общин алгоритм стабилизации. Перейдем к рассмотрелпяо
общей ситуации, когда 3(D) является произвольным многочленом
степени пе выше п (п.ф. «управление — выход» строго реализуема).
При этом и закон управлении примем в более общей, чем (1.1В),
форме: предположим, что сигнал обратной связи с* роится, как ре-
шение длфференциа । пио уравнения
/(D).4.(l) -А(П)у(/.), (1.23)
где /(D) — ирои.июлыгын мшиочлен, отличный от пули.
1’ящ.е рассмотренный :ьп он управления но выходу и его лрона-
лодиым является частным случаем (1-3) при /(!))=!. Вподспнв
многочлена /(D) создает новые нозможиистя. Примером закона бо-
78
J T. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
лес общего вида, чем (1.16), является так называемый пропорцио-
нально-ингсг[/а^г.п&-(>ифференциалъный закон управления или, ко-
ротко. ППД-лакоч, когда
(/) _ _ A-1V (/) _ g. _ [ у <Ц,
поскольку эго соотношение. эквивалентно дифференциальному урав-
нению
1)м (О = - (А* + *,D * * ДУ) f/(f), (1.24)
записываемому в виде (1.23) npn/(D)=D.
Уравнение объекта (1.3) и ypainiciiitu обратной связи образуют
систему
a(B)j/(Z)= p(D)fu,(i)+ m„U)] I- (i..-(D)«;(/),
Z(j))u,(Z)--fc(D)uiZ). 1 ZO'
Исключив из нее й;(?), получим уравнение
[a(D)Z(D)+pfD)A-(D)]j/(Z)=Z(D)[p(D)r/n(O+PK(l>)«'’(O]- (1-26)
Таким образом, характеристический многочлен замкнутой системы
принял вид
А(р) = а(р)2(//) I р(р)/.-(Г). (1.27)
Теорема 1.1. Пусть многочлены, а(/>), Р(р) являются ллпимио
простыми. Тогда многочлены к(р), 1(р), онредслякнуис вид обрат-
ной е.иялн (1.2.3), mohjt бы ть выбраны так, чтобы japiiKi срнсгиче-
екни многочлен, ммкнутм/. системы \ (/>) н.исл нроцлвольныс. на-
перед ладанные ко.-н/мрнкнекты, т. с. процлвальнае раепыо.ягение
корней.
Доказательство плсмсптарМо следует из известного алгебраического
факта [.3.5|: во ладанным взаимно простым <зц», р(р) .можно найти многочле-
ны k(p). Цр) такие, что
а(р)’(р) + ?(₽/«(₽) = 1. (1.27')
Пусть Arf(p)—желаемый характерщ-п чес.кяй .мпогочлоп замкнутой систе-
мы. Умножив ({.27') на .V(p), получим
«(?)Z(^)V(P) + ДО>)А(Г =Аг(/0-
(.’ледоватслвио, можно добиться результат
A <pi £ а (р) I {p'i -j- f <р) А- (/>) "ч А1'1 (р), И .287
положив
Z(P) = Z(P)A-'{F). А‘(/') ^(phVfp).
Практически нет необходимости в промежуточном нычнеленни Мр), !(р). До-
статочно просто яядл-г1. <(р) и виде muohi'iuCiiok с нсоиргделеииыми коэф-
фициентами нодоорлп их затем нт тождегиы (1.28).
Munro4.icr:i.i £(/), >'(/') можно шипи п с помощью luiixipimia Евклида,
обычно используемою д и /loiin.Taiciii.cTini указанного нюгбраичоского угвери;-
Д1-.11НЯ.
Пусть я.тя определенное н deg st 23 cleg р. Галделпм а(р) на р(р) с остат-
ком й|(р), т. с. представим
«(/) =" P(/j ’i(?) + « (Г).
§ 1. ПРОГРАММА. ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ, СТЛКПЛИЗЛЦПЛ
79
где а:(р) имеет степень ниже, чем а(р) м fi{p). Тогда
«(/>)'(/>) 4-?(р)Чр) = «>(Z’)i(») +Р(?)л’|(р).
где (pi А Л- (р) -|- (р) I (р). Далее разделом ?(/>) па ai(p), прсдстапип
Р(р) •=» аМуЛр) + Рг(?),
где Pi(f) имеет степень ниже, чем Р(р) и а, (р). Тогда
а(/Ф(/') -I- АО'Н’(р) •= «i(/J)Mp) + М»)Мр).
гдо !, (р) = 1(р) Ч- |/1(р)^’| (.'’) Послсмощпелыю лроианодя яту процедуру, при-
дем к тому, что либо а,[р), либо ?,(/>) сгниет константой. Пусть для определен-
ности а,(/') “ а.» =» const и получено, что
a(j>)l(j>) ! ЙР}1'(Р) = «.’«О’) -}-р. О») *,(«).
Тпгда. положив
i, = Л“ \Р}> *‘Л (р) S3 О,
fts
можно «обратным ходом* найти 1{р), Л(р).
Пример 1.6. Пусть
а(р)-р2т2, £>(р)=р.
Потребуем, чтобы
«(Р) I (р) + Г (р)к (Р)— (Р + 1)г А (Р)' (1.2S')
Поггожпм /i (p)== /и-I- А-,р и выберем козффициенты Ц,
А, так, чтобы удонлелпоря шеь тождество
(/? I- 2)/(1 -I- />(к, -I- /.-,р) - р' + 2Р -I 1.
1 1
Отсюда 1Ч + kt = 1, А\, 2, 2f„ = 1 или Afl =»2, kL — -у, /0 = Тем
самым закон управления приобретает вид
Ам(0 = -2ч/(0-4г^№-
т. е. является ПД-зпкозюм.
Получим решение с помощью алгоритма Евклида. Имеем
«(Р) Р~ -г 2 = р • р -I- 2 = 3 (р) - р + 2,
и тождество (1.28') эквивалентно преобразуется к виду
2/(р)+р(р)И-(р) + р/(р)] = (р+1)\
Спо удовлетворяется, еелп
I (?) = 4-А (/о - 4- -ь -р о- р (/0 - - рнр)-
Тем самым
7/,(D) =«
»• • 20 I- 1 D
D4 21) Ч- 1 ’
80
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗаКОПОП УНРЛ1!-ГЕНИЯ
и мы находим другой закон управления *)
(i)M-2D-i- ))«(/)=- (1У-|- 2D+
oGcciic'iiiiU'iKimuii то же самое расположение корней характеристи-
ческого многочлена замкнутой системы. С
На 'Г.1.1 ныгекает следующее утшгржденпс.
C.'ic./lcTiHie. Пусть многочлены сс(/'), р(р) являются «лацмио
простыми или имеют и качестве чаибптлыиего общего Целители
устойчивый многочлен. Tofda молено выбрать обратную связь вида-
(1.23), обеспечившую устойчивость замкнутой системы при не-
устойчивом объекте. Л противнем случае стабилизация певозмолчна.
Доказательство. Предстнипм &(/). 3(г) в гшдн
я(р) — а*(р)а(р). ₽(?).= «о (.о)З(р),
где ап(/>)—наибольший общий далитнль, так что и{р), р(р) взаимно просты.
Тогда характеристический многочлен замкнутой системы имеет вид
Л(р) = Мр) [«(₽)-'(/') + ?'(,-')*(/'}]
Выражение в княдратлых скобках, сиглягио Т.1.1, может быть сделиио лю-
бым, а следонательпо, устойчивый ми<пт>ч. геном т е.
Л(?) = а:,{у):Х!(р).
Если я,-.(л) угтоПчив, го и Afp) ycTitii-iuH li.i i<eycTou4iiini<-i u о., ip) i.u-ivcr ria-
ycr<iiviiu«K'Ti. причем ui.xirip A (.•). очеиплшл не мшкег rfjMciinn. это-
го фак I л И
Сделаем некоторые замечания к ко гученному теоретическому
результату.
При иэаимнон простоте а(р) л Р(р) теоретически можно до-
биться того, чтобы Д(р) Л'(р). где Д’(р) имеет произвольную
степень, в частности, равную нулю (согласно (1.27')).
Однако из ннда тождества (1.2) ясно, что это. вообще говоря,
возможно только за счет точкою обращения в пуль коэффициен-
тов при старших степенях р. Вместе с тем, как уже показывалось
в более простой ситуации, любая неточность в задании параметром
объекта при расчете коэффициентов обратной связи может прине-
сти к неточному обращению в нуль старших коэффициентов харак-
теристического мпогочлепа замкнутой системы, а с-тсдопателыто^
чревато потерей устойчивости. Не 0СТ-анавЛ1!паяс|. па доказа гельетш!,
укажем, что Сокращения старших Koa(lii|itiiuieiiT<iu не произойдет,
если Припять de» А'(р) и т tn — 1, г.че и — степень а(р), а >п —
Слепень р(р)- При этим многочлены 1(р) и А‘(р) моя.но разыскн-
и;>Т1. к.-н: многочлены степени m — I н п — I соотистстиспни.
('.формулируем в кашчт1'.г итога алгоритмы стабилизацни объ-
екта, задаппшо уравнением (1.3).
*) Сокращение числителя к лкамеиате.тд И; идегь недопустимо. Оно при-
ведет к системе с другим харакгерпетическим чиоиег.-ения.
§ 1. ПРОГРАММА. ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ. СТАБИЛИЗАЦИЯ
1. Найти наибольший общий делитель а„(р) многочленов а(р)
и р(р). Если таковой неустойчив, то стабилизации невозможна. Ес-
ли «„(/?) устойчив, то выделить взаимно простые многочлены
а (г) «. JiM. ]i (р) „ М
Пусть
(1ер(а) dcg(p) =./и, а (р) = //+...
2. Выбрать п + frt — 1 чисел А,, • с отрицательными
Естественными частл.ми и составить многочлен
Д" (р) = (Р - М (Р - М •.. (р - Ь^-т) =
= рч+ш-т _ Д-+-_,р”->-’"-4 + >t> + ди_
3. Из тождества
а(р)Цр) + ${р}к(р)^= У’(Р)
найти п I- т линейных уравнений относительно п + гй неизвестных
коэффициентов многочленов
к(>>) h 1/чР I ... I к-1Р"
7 (р) = \ + G/’ + ...•+ 7-. .
4. Найти решение этих уравнений.
5. Записать многочлены
А (р)= С'..,(р)А ((7). 1(р)~ ct,.(p)i (р).
6. Записать < тлбмлпзцрующий закон управления в виде диф-
ферг.'ицпа.тынно уравнения
Следует, конечно, понимать, что последнее уравнение однознач-
но определяет закон намснопнн «(/), только если заданы началь-
ные условия, т. с. in — 1 начальных значений w(t) и его произ-
водных. Однако задание этих значений не влияет на сам факт
обеспечения устойчивости замкнутой системы. Подчеркнем также,
что все описанные и, данном параграфе законы управления не яи-
лиютея строго реализуемыми, если т < /г, поскольку и. ф. преобра-
зования —у (/) -* и (0 имеет вид
"'<D> = w
ti многочлены иыбира.нк-ь нз условия
det? fl ~ I- “,п ~ Е
Пстру.ию. однако, убедиться, чю если иоиыспть' cic.iiciii. желае-
мого харакгерпетического многочлена Д° 2м—1, ту тех ;ко
A. A.
«2
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
результатов можно добиться, выбирая 1(р) многочленом степени
п — 1 с заведомым обеспечением реализуемости *).
Пример 1.7. Пусть, как и и примере 1.5,
а(р)^рг + 2, р(р)“Р,
т. е. п = 2, т = 1. Положим
Д‘‘ (р) -» Р? + alp2 -I- Д'1'р 4- Д„,
выбрав коэффициенты проп.чпольным образом, лишь бы этот мно-
гочлен был устойчив, т. с. Д1'Д2>-Дп. Найдем далее коэффициенты
многочленов
к{р} = tt, + к.р, I (р) == 13 Ч- 1,р
степени п — 1 = 1, так чтобы
а{р)1{р)+ ₽(р)ВД = &Чр),
W -1- 2) (Д, + l,p) -I- р (к„ + к,р) == Д-’(р)л
Для этого достаточно взять
= 4“ Д'. /1 = 1 - Д'/ - 2, /.-I = д» - 4 А?- □
В заключение отметим, чп> если объект представим в виде по-
следовательного соединения однонаправленных звеньев, то с но-
мо1цыо обратной свяли может быть стабилизировано любое экспо,
сели, конечно, возможно намеренно его выхода и допустимо вве-
дение управляющего воздействия на ело вход.
§ 2. Основные законы управлении. Инвариантность
2.1. Комбинирование управления по программе и обратной свя-
зи по выходу. Из предшествующего ясно, что использование обрат-
ной связи по выходу снимает основное препятствие к применению
программного управления. Действительно, пусть объект опмсыва-
ргся уравнением
Ci(T>) у (0 = P(B)«G)+ МП)^.(О- (2-11
Выберем упранленпо u(t) н виде суммы
н (О=мо+ МО, (2.2)-
где К/(0 строится как обратная снизь, согласно уравнению
/(И)нДО--/.(!));/(/), (2.2)
a w.?(f) задастся согласно uetsoropoii программе во времени.
*) Другой подход к решению проблемы реализуемости будет оиясап в § 7.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ. ИНВАРИАНТНОСТЬ S3
Исключая переменную ut(t}, получим
A(D)//(O=Z(D)p(D)|Mb(Z)+^(D)fa(Ol, (2.4)
гдо
A(D)-a(D)/(D)+p(l))/l-(l)). (2.5)
Таким образом, после замыкания обратной связью объем «пре-
обрахился», изменил сноп динамические свойства. Формально .чти
изменения экниналент.. замене операторных многочленов: a(D)
на А(П), f(I>) на Z(L>)p(D), |}U(D) па I(D)pu(D). К «преобразо-
ванному» объекту программное управление уже применимо, если
обратная связь выбрана так, чтобы он был устойчив. П частности,
если функции к’(0> известны точно, то программа «>(/),
рассчитанная из уравпеппя
Д(1>)/(*)- ^D)Uc(0+W)|k.(DW). (2.6)
гарантирует инвариантность е(/) = 0, Z > 0, если начальные усло-
вия были пулевыми. Более того, программа, найденная но данным,
мало отличающимся от истинных, приведет к малым ошибкам v(l).
Пример 2.1. Вернемся к простейшей задаче, описанной п П.1.4.
Пусть вновь объект задай уравнением
(D- 1)у(0и«(0’1'ю(0,
а величина С скачка возмущения w(<) = ("1(Z) известна неточно.
Как было показано в 11 1.4, использование программы, рассчитанной
по оценке С, приводит к сколь угодно большому уходу от желае-
мого значения ffd(Qe0. Введем теперь управление в виде (2.2),
иоложии и, (/) «= — 2 г/ (I). Тогда выход будет мспигься согласно урав-
нению
(l> + l)r/(f)“ Me(t) l
Орлен тируясь на опенку возмущения, примем н0(/) = —С1(<).
Легко видеть, что после этою ♦
?(П = (С-С)(1-е-').
т. с. от клопе и и с от желаемого значения окажется малым при малой
погрешности опенки. О
2.2. Управление по возмущению. Зачастую вид пойму тающих
воздействии заранее навес ген очень плохо и ли даже совсем не-
известен, однако имеется возможность их непосредственного изме-
рения в ходе работы системы управления. Такие измерения обычно
удается зффекгпвпо использоваль. Обратимся вновь к (2.1) и по-
пытлемс.и строить управление п(() ио заранее, а как выход звена,
описываемого уравнением
р(1))н(0=-р..(1>)и’(0- (2.7)
Если deg р J? deg /К- то аго возможно, например. с помощью ана-
логовою вычислителя (рис. 3.3). Так пос грог иное \ правление осу-
С*
81
ГЯ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
ществляет текущую компенсацию действия возмущений па объект.
Если желательно сохранить пулевое начальное состояние j/d(/)=^(),
то, очевидно, введение управлении но возмущению согласно (2.7)
позволяет этого добиты я.
Имеются, однако, две пснриятностн. Первая ил них уже зна-
кома: если объект неустойчив, то малейшая неточность компенса-
ции может со впемепем исогвпнн-
w(tj
чеши» далеко увести выход от же-
лаемою значения. Способ преодоле-
ния этой неприятности также изве-
стен. Если дополнительно ввести
стабилизирующую обратную связь,
то выход объекта ‘подчинится уран-
у(£.)
Объект
. 3. 3
ди ВУ
Гис
пению (2.4). При выборе u„(t) как решения уравнения (2.7) с
ограниченной погрешностью он останется ограниченным. Вторая
неприятность менее заметна. Если многочлен $(р) имеет «плохие»
корпи, то при начальных значениях t/(i) (или соответствующих
производных), пс равных пулю, решение уравнения (2.7) содержит
неограниченно возрастающую компоненту. Эта аиаразнтная» ком-
понента удовлетворяет однородному уравнению p(D)u(t)=0. а по-
тому не. влияет на выход у(1). Однако неограниченный рост самого
управляющего воздействия сам по себе, как правило, недопустим.
Вывод. Украинские no вимущепит не применимо, если чис-
литель переОагочкои tfiijrutqtui объекта II „ь н.иесг корни в при-
пои полуплоскости *).
Если многочлен [} устойчив, то управление ио возмущению (при
необходимости — в сочетании со сгаби.тнэлрующсн обратной
•связью) является эффективным и часто используется па практике.
2.3. Управление е обратной связью по ошибке. Наиболее важ-
ным законом управления является управление с обратной связью
по ошибке. Пусть от измерительного устройства поступает сигнал,
равный или пропорциональный ошибке
e(t)^r(«)-j;(i). (2-8)
С использованием вычислительного устройства его можно преоб-
разовать в сигнал управления, подчиняющийся уравнению
/(Г)).7(0=А(Г))е(0 (2.9)
или
М.(И=/Л(П)е,(/). (2.1(1)
Очевидно, что этот сигнал можно рассматривать как суперпозицию
двух компонент:
г/: (0 -7/г(1))/(0 (2.11)
” к-. (/)--//.(!»?/(()- (2.12)
*) Случай корней ла минной осп требует снецлалыкл а рассмотрении.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ. ИНВАРИАНТНОСТЬ
85
Вторая компопепта является уже изученным сигналом обратной
связи ни выходу объекта и может быть использована для стабили-
зации. Первая же компонента содержит информацию о желаемом
изменении выхода .7" (О- Если таковое заранее неизвестно, то ата
информация совершенно необходима дли обеспечения малости
(ШИШКИ.
Выясним, как веде г себя (ишшьа е(() при вс-пол1.ловапш1 за-
кона (2.9). Из (2.1), (2.8), (2.(1) следует, что »(/) подчиняется
vpauiiCHiito
Д (О) е (О = /(!>) a (D)/(.') -I (В) М») «•(()', (2.13)
ji.hi, в краткой записи.
8(£) = [I-/A(D)]s(0, (2.14)
где введены обозначения
П /Di д 1 1 fU| ® ?D) Р П)) к ‘-1); (2.15)
(») -д- ZHDJ Ц^Г “ (D'‘ Ц(‘(D)’ (2.16)
s (7) л У'' (7) — f»)«'(И, (2.17)
, p„. IT|
11 «(.»• (2.IS)
с'ти обозначения являются стандартными. Функции» flv(T)) при-
нято называть н. ф. передачи но разомкнутому контуру (р,и. ф_).
функцию //,(!>) —и. ф. передачи по
замкнутому контуру (з. п.ф.). Проис-
хождение названий ясно из структур-
кои схемы (рис. 3.4) и соответствуют
описанию соединений с обратной
c-мчью в гд. 2.
Функцию s(i') обычно именуют
приведенным сигналом или трибагы-
1'ис. -3-4
вас.чым пояЛейсгвием.
Запись в виде (2-14) будет постоянно
И1:Гш!СМ.
использоваться в даль-
Проиллюстрируем введенные термины па знакомом примере.
Пример 2.2. Рассмотрим лликтромехиническую следящую систе-
му. формальное описание простейшего варианта которой было дано
в 11.5.1 гл. 2. Заменим теперь соотношения (5.19), (5.2(1) из гл. 2,
О11вг1.1ваюп(пе работу датчика и усилители, на одно, более общее
"(<} //.. (1>)г (/),
где //(!>} некоторая п.ф.. определяющая вид закона управло-
лпя, а е(1) — ошибка управления, равная в данном случае разно-
сти угла поворота задающей оси ф''(0 и угла поворота вала ф(«).
86
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
Структурная схема такой системы продета плена на рис. 3.5.
Выходной здесь является переменная <р(/), так что, согласно (2.5),
н. ф. разомкнутого контура
//,,(!))“>//ь<(1>) 77, (D),
и. ф. замкнутого контура, согласно (2.17),
7Л(В) =
<’>)", (»)
i + <1V
а сигнал определяется формулой
s(t) = (p'(t)— Як»(В)7Пи(0- °
Из (2.14) в частности следует, что с помощью закона управления
(2.9) невозможно добиться инвариантности, т. е. выполнении ус-
ловия e(t) = O, t > 0, для любого сигнала
s(<).
Действительно, для этого требуется,
чтобы
1-Z/3(D)=O, (2.19)
по в силу (2.15) такое, условие эквива-
лентно
Гис. .15 а(1»)/(П)=0,
что не может иметь места, так как многочлены а, I отличны от
пули.
В дальнейшем мы детально изучим, насколько возможно при-
близиться к идеалу с использованием управления (2.9), но предва-
рительно рассмотрим более общий класс законов управления.
2.4. Управление с внутренней обратной связью. Допустим, что
имеется возможность измерять ио только ошибку 6(f). по и не-
посредственно отслеживаемый процесс Поскольку c(Z) =
= y'(t)— ?/(/), это предположение эквивалентно предположению о
иозможности независимого измерения любой пары y(t) и у“(1) или
е(<) и г/(/). Тогда возникает и возможность строить законы уп-
равления в виде, например,
н (/)= — И, (D) </(/) + //„(D) /(/). (2.20)
Сравним его с (2.10). Видно, что (2.10) —это частный случай
(2.20), когда Нл{1)) //,(!)). Таким образом, получение новых на-
мерений позволяет oo'Tiн-чип» большую свободу выбора законов
управления. На практике чаще всего используется комбинации на-
мерений ошибки и выхода
и(0=/Л(О)е(0 //ДВ)И/), (2-21)
s 2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ. ИНВАРИАНТНОСТЬ
87
эквивалентная (2.20), если
Л,(Г>) = /Л (D)+ /;,(!)), //d(D)s//.(D).
Соответствующая (2.21) структурная схема дана па рис. 3 6.
Она содержит <myi ренина контур обратно!! связи, охватывающий
объект.
Для того чтобы проще попять смысл введения этого контура.
положим «?(!)= 0, Тогда различие
ленными на рис. З/i и 3.6, све-
дется только к одному: но отно-
шению к компоненте управляю-
щего воздействия, пропорциональ-
ной ошибке, и. ф. объекта #„,.(!))
заменяется на и. ф. соединения с
обргиной связью
Il+//1.(D)771lb(D)]-7fu;.(D)-. (2.22)
между структурами, предстяи-
Б частности, введение внутренней рие
обратной связи позволяет нрец-
марительно стабилизировать объект, а затем ужо использовать уп-
равление с обратной свилью но ошибке для того, чтобы приближать
иго выход к желаемому y“(t}.
2..i . Комбиппроняшкк* управление и инвариантность. Наиболее
общая си гуацни возникает, когда имеется возможность измерять
независимо и выход //(/). и отслеживаемый процесс j/''(0, 11 воз-
мущение «’(/), а следова-
тельно, возможность постро-
ения управления в виде
«(<) = WJ0 + + ««(0=
= -/Л(1.))у(<) +
+ ZL(D)/(/)+ZZJD)u-(i),
(2.23)
причем допустим независи-
мый выбор всех и. ф,
Если вместо г/ измеряет-
ся ошибка, то, как уже
говорилось, остаются те жо
возможности. Структурная схема, соответствующая их ис-
пользованию, дана на рис. 3.7. В пей но сравнению с рис. 3.6,
кроме внутренней обратной сияли, присутствует еще звено с п. ф.
7/„.(В), обрабатывающее результаты намерения возмущений. С по-
мощью aiой дополнительной операции можно в принципе полностью
паи частично компенсировать действие возмущений, о чем ужо
говорилось в § 1.
Вылепим предельные возможности комбинированного управле-
ния.
88 ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
Подставляя (2.23) в уравнение объекта (2.6), нетрудно полу-
чить следующее выражение для ошибки
, (п и„ т I я„>(1))п„(Р)
М}~ 1-1- w„{i>) 1 .п „(>>
(2.2‘П
Теперь оказыпается осущсстпииой простая идея достижения ин-
вариантности:
а) выбрать //\(D) так, чтобы обеспечить устойчивость замкну-
той системы;
б) выбрать //tf(D) так, чтобы обратить и пуль 1-е слагаемое;
тогда
7/d(D) =//,-(D) +/7“‘(D); (2.23)
в) выбрать 7Л1Г(Ы) так, чтобы полностью компенсировать воз-
мущение, т. е. принять
77,„(D) = - П~£ (D) (В). (2.26)
Действительно, полученная система окажется устойчивой п ин-
вариантной, а потому слабо чуветви тельной к неточности задания
начальных условий и параметров.
Пример 2.2. Пусть объект окисываетел уравнением
гдо а. Ь— положительные константы. Пусть требуется, чтобы уп-
равляемый процесс у(1) принял значение у'{1) 1(1). Обьекг не-
устойчив. Введем стабилизирующую обратную связь, обеспечивая
желаемый вид характеристического многочлена: ,
A(D) — A:(D)=D + «.
Из условия (2.3), где следует принять
a(D)=D —«, 3(D) = b,
находим
A:(D)= ((D)=-(.
«Идеальный» закон управления (2.23). (2.25) приобретает вид
н(/)= Л»-* (1> + «)е(Г)+ (>_,(D - <з )!/(()
Подставляя его в уравнение объекта, получаем (D-|-«)c(Z}= О,
т. г. при пулевом начальном условии действительно имеем е(1) О
при I > 0, причем малые отличии г (0) от нули приводят лишь
к патч хающим отклонениям. Управление, конечно, содержит им-
пульсную компоненту: ведь пиши. трсбуотсм мгновенно изменить
выход инерционною объекта (см. § 1).
В дополнение предположим, что в расчете вместо истинного
ипачепия коэффициента b использована его оценка 6-=(1 I н)б.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ УЛHAtVtnHПН. ИНВАРИАНТНОСТЬ
89
где lj.il <£ 1, так что делается попытка применить закон уиравлепии
u(Z)=/>_J(D с) е {I) -I- Ь~' (D — a) y(t}. Подстановка в уравнение
объекта дает
|I> I- а + р (1) — «)]«'(()« р{!) — о)//"(/).
Нетрудно теперь подсчитай,, что
p(f) = - 1 + t > О,
т. е. отклонение от пуля имеет порядок неточности в задании па-
раметров п ограничено при любых t.
Конечно, паяпю понимать, что инвариантность *) является лишь
идеалом: любые неточности в знании параметров обч.екта приво-
дят к отклонению от псе.
Особо чувствительными являются инвариантные законы управ-
ления к ошибкам измерительных устройств, называемыми также
nO.UCZfl.4U НЛП Ull/MflMU.
Учтем теперь этот фактор, считая, что в законе управления
(2.23) могут использоваться лишь приближенные значения у (О,
(/’(/), гг(/), отличающиеся от истинных значений
ИО- И'Н -4(0, = ?/(/) !- ЗД,
Яф) = НО+ *•('), (2.27)
г !.< ,V„(f), ,¥.(/), A\(i) — помехи в coiHBerrmyioninx измерительных
\ стропетвах.
Подставляя выражгнпе упрАнлсппя, кс.к.икоиного помехами,
н(0- -II, (О) if (O+'MWU) + //,(!>) и>(1) (2.28)
в уравтпмгие объекта и производя необходимые выкладки, найдем,
что наряду со с-чагаемымн. указанными в Формуле (2.24), ошибка
управления будет содержать добавочную компоненту, порожденную
наличием помех:
(О - - г^ТГТй) I-W;V* + Z/rf (Г>)iV"(г) н- W л’*
(2.29)
Опа пи в коей мере по исчезает, если применяется ипварпантнып
закон с. п. Ф., задаваемыми (2.2й), (2.26). Более того, в этом случае
нетрудно подсчитать, что
(IH //„„(In ,, .
t -|- ип 11 ^.<(0 I j a (2-30)
т. с. наличие обратили связи не отрял.аегся па уровне помех А'.(0-
“) Ил'/я iiHK,i.j>imii r<nri u была пыияиауга а 1ПЛЧ г. Г Г,. Щпи.шппым. по
upiiMCiBne.ibHi» к уирлвлепшо с обратной синлью по •шипке, гди п дейстшпелг—
лист» они не осуществима Тем не менео дальнейшие исследоппнвя нолиолили
ai.iaairjb и вен рациоиалыюс верно.
90
гл. з. построении законов управления
Если помехи велики, то «иивариантноеъ управление оказывается
практически неприемлемым. Вместо с тем это отнюдь по. компро-
метирует саму идею комбинированного управления, которое опять-
таки широко используется, по с выбором определяющих ее п.ф.,
вообще говори, отличным от «идеальных» (2.25), (2.26).
§ 3 Метод динамичен кой компенсации
Поставим перед собой задачу выбора (синтеза) закона управ-
ления с обратной связью, опирающегося па измерение ошибки уп
равнения.
3.1. Влияние помех. Заранее учтем, что измерения производятся
с помехами, т. с. управление может строиться только в виде
w{f)=/Zj(D)e(z), (3.1)
где
е(/)-£(г)^Л;(/) = /(^-!/(П-Л\(«)', (3.2)
a A\(z)—заранее неизвестная функция, отралапощая зависимость
помех от времени.
Равным образом заранее неизвестна и функция f/d(/), описы-
вающая отслелшваемын процесс.
Используя уравнение, объекта
у(1)~Ипи(\))и(1)+И^(1))и;(1), (3.3)
в которое также входит неизвестная функции «’(/), описывающая
возмущения, запишем зависимость ошибки е(() от всех указанных
пени постны х обт »е ктов.
Стандартные: выкладки приводят ц формуле
с (0 = [ 1 - 7/. (D)].s(t:) + Яа (D) Д',(0, (3.1)
где использованы ранее введенные обозначения для п.ф. замкнуто-
го коптура /Л(1>) и сигнала s(7):
tfx(D)=[l + tfr.(D)]-%,(D), ВД1))= 77ll„(D)77/(D), (3,5)
s(0=/(7)-/A^(D)^(O- (3G)
Формула (3.4) отличается от (2.14) лишь учетом влияния помех.
Выбор п.ф. обратной связи Hf{D) определяет только вид з. п. ф.
//„(D), в то же время ошибка зависит и от неизвестных (функций
х(7), A'.(f) (сигнала и помехи). Поэтому затруднительно сформу-
лировать задачу выбора 77,(В), исходи только пз требования ма-
лости ошибки.
3.2. Динамическая компенсация. Простейший подход к выбору
обратной связи заключается в том, чтобы предъявить требования
к самой //_,(!>), например, потребовать, чтобы
/Z»(D)-//'(!>), (3.7)
где //а(Ь) — некоторая «образцовая» п. ф.
g з. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ
91
Если это удастся сделать путем выбора 77/(В), то замкнутая
система будет реагировать на любые сигналы так же, как образ-
цена».
Оставим пока п стороне вопрос о том, каким должен быть об-
разец. Заранее ясно лишь одно — он должен быть устойчивым, т. с.
если
(’•8>
то многочлен aJ(D) должен иметь корпи только в левой полупло-
скости. и «‘(D)^ р!(1>).
Из (3.5) следует, что для выполнения тождества (3.7) требу-
ется выбрать н. ф. обратной связи в виде
Hf (D) = (D) д П~? (D) . (3.9)
1 — Яд (П)
Такой способ синтеза обычно называют .иеттЪ.и динамической
компенсации, поскольку в /7,(1)) входит сомножитель в виде
функции, обратной п. ф. преобразования «управление — выход объ-
екта*. Тем самым формально осуществляется компенсация дина-
мических характеристик объекта.
Пример 3.1. Пусть объект описывается уравнением
(Г!) I 1)у(/)- Ли (О,
так что
Л>(Л 7>0.
Пусть «образцовая® п.фь задана к виде
^) = ьЪ’ Л>0-
Согласно (3.9), следует выбрать
Закон управления имеет вид ПН-закона:
г.(/) = ±7’[к(/)+^е(/)]. □
3.3. Ограничения на применимость. Па внешней простотой ме
то ta компенсации скрываются довольно топкие проблемы.
Продемонстрируем их сначала на простейшем примере.
Пример 3.2. Пусть условия те же, что и в П.3.1, аа исключе-
нном того, что 7’ заменено на —Т, т. с. объект неустойчив. Фор-
мула закона управления (с точностью до знака) остается той же
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИИ
62
самой, и его использование, казалось бы, стабилизирует систему.
Однако ато не так.
Запишем уравнения системы н целом:
(_'/!> I/41 (z), (0 “ 4 г,) ь о ['НО-.'/(Г)!-
Отсюда, исключая и(0> получим
1)(—7’1>-1- 1)?/(0 А-(- П)1- f)|y'(O-'/(Ol
ил" (-7D -i- 1 }(1>-Ь А)?/(0“ + 1).'/'(0-
Характеристический многочлен замкнутой системы оказался
равным
A(D) = (-7"D I- 1)(D + /.)
и неустойчив при 7>0, хотя знаменатель образцовой п. ф. являл-
ся устойчивым. °
В примере выявилось, что при псполыцташш метода компен-
сации характеристический многочлен замкнутой системы не сов-
падает со знаменателем /Z!J (р}. В этом нетрудно убедиться и в
общем случае.
Действительно, и силу (3.9)
,г»ч « :>) .го
a,J {!>• — (*/' (*>) ’
если через ft(O), 0(D) по-прежнему обознача т, зпамспан'.п. и
чпе.што.ц. //„„(!>).
В соответствии с обозначениями, принятыми в § 1,
"/ (’»=W’ (31|)
так что метод компенсации сводится к специальному выбору чис-
лителя и знаменателя и. ф. обратной связи
А(Г))=а(Г))^(Е>), Z(D}= р(Г>)[с<'(£>)-рй(Г>)]. (3.12)
Ранее было найдено общее выражение (1.27), для характери-
стического многочлена системы, замкнутой обратной связью с п. ф.
(3.11),
Д (/')«• -х(р)/(р)+ p(/;)A (f). (3.13)
Подставляя в него (3.12), убеждаемся. что
Д(р) = а (р)р(р) [«"(/')- P4(Z’)1 + P(P)«(P)P?(/)),°
= сс(/>)0О’)а<1(р)- (3-1-*)
Вывод 1 \арактернсгк иикий млягочлен системы с обратной
связью, найденной ш> juertuh/ компенсации, содержит кроме знч-
менатс.гя образцовой и. tfi. euit: и сомножители, совпаданпцие с
числителем и аиамснагелем объекта. Но.тгому метод компенса-
ции непосредственно применим только при устойчивости orttx
многочленов. В противном слуае замкнутая система неустой-
чива.
S 3. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ
S3
3/1. Использование внутренней обратной связи. Область при-
менения метода компенсации можно расширить, если дополнитель-
но к намерениям ошибки г (7) мы располагаем измерениями са-
мою выхода //(/ ) или отгложи пасмою процесса //'(/).
Дейс.т1иггглы1О, п атом елучно можно предварительно стабилн-
зпроиать неустойчивый объект 0 помощью внутренний обратной
связи (см. рис. 3.G), а затем ужо примешен, метод компенсации.
Пример 3.3. Вновь обратимся к задаче управления простейшим
исустончипым объевтом
(-7D + 1) у(7) = и(7), 7'>0.
Представим управление в виде
»(7)=ь'1.(7)+.ъ(7)>
где первое елатаемое используем пли стабилизации.
Очевидно, что достаточно, панрп.мер, выбрать us(t}= 2y(t}. Тог-
да с учетом утоп обратной связи
молучпм
(-71)+ !)//(<) = 2у (0-1- »е(О .
млн
(71) + !)//(/)= -».(/)
Если жс.нн мая н. i[i. 7/ (П) име-
ет вид
то можно применить метод компенсации для выбора обратной син-
ей по ошибке. Аналогично 11.3.1 получаем
и* (О =’ — ~ Л>е Wj’
Общая структурная схема представлена на рис. 3.8. 3
Процедура построения закона управ шпин неустойчивым объ-
ектом ясна из примера, однако и в пен есть «подводные камни»,
которые необходимо выявить в ходе общего апалпза.-
Пусть
н(<) = Hv(l,)+»t(0, (3.15)
прочем
/. (*»
МО * Н„ (1>) у (I) • - !/(/). (3.1В)
Подставив (3.15), (3.1G) в уравнение объекта (3.3), найдем, что
h(D)UD)+ 0(1»мад(*) ^.(D)|,3(D)M0+ MDM0L
Таким образом, введение внутренней обратиол синаи оказалось
•94
ГЛ. 3. ПООТРС I ИЦ:! ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
аквпвалеитпым изменению динамических характеристик объекта,
замене
a(D) на afDJMW + pfbJM1’).
М1>) па /v(D)p(D),
М1>) па /JD)рЛ1>).
Как было показано л § 1, всегда (при предполагаемой несо-
кратимости а и 0) возможно так выбрать Z„, кц, чтобы многочлен
«(/>)/>(/')+ ЗОИч'С/') (3-17)
оказался устойчивым. Именно такая процедура была проделана
в 11.3.3.
Заметим, однако, что она пе может «вылечить» неустойчивый
числитель, поскольку числитель lv(D) р (D) м. ф. объекта, замкну-
того внутренним контуром, содержит множитель [3(D), Болос того,
вообще говоря, при произвольной процедуре стабилизации много-
члена '(3.17) не гарантировано, что lv(p) не окажется неустопгчи-
.вым многочленом. Иначе говоря, «излечивая» от неустойчивости
знаменатель, можно создать неустойчивость числителя, п вновь
метод компенсации окажется неприменимым.
Во'избежание подобной неприятности рассмотрим специальную
процедуру стабилизации, при которой числитель и. ф. остается не-
и янеипым.
Пусть, н от 1ИЧЛГ от (3.15), принято
«(/) — //0(1>)|«.(О-ь «г(01. (3.1Х)
ГДС МО -//..(!)) к (/.)., (3.19)'
Ото соответствует структурной схеме, представленной ня рис. 3.9,
гдо внутренний обратная свиль охватывает
не только ооъект, по и
посте; loisartM ь i io в кл ю-
чсниое с ним звено
с. п.ф. //.-.(D).
В качестве «полого
объекта», преобразо-
ванною с помощью
этой обратной связи,
будем рассм атрнпять
весь блок с входами
W;(/), i/’(t) и выходом
y{t} (на рис. 3.9 —
выделен пунктиром).
Рис. .ТВ
Подставляй (3.18) в уравнение объема (3.3) и исключая не-
известную tli(l), получим
!/ {I) • /1^ (I» «3 (О -I- (D) u-W, (З.ЗО)
где
"С1 (V) if,,,, г!»
(и> = 1 ' Я|,у - 1 W!l0 (»/ ‘
§ з. МЕТОД динамической компенсации
9.7-
Представим введенные п. ф. в виде отвошенин соответствующих
многочленов
f°) Л. (>)
//.(0) = -^. (3-21)
Тогда
.Л, [Л») / (I)} I, (>',
= ._________- ' 2 * *> 1__________ /,1 ?>!
’ « (Т>) /0 |Д)} (Ъ; + |1 (D) Х-о (h; А-, (Df '
Потребуем, чтобы
/,(!))= A-.,(D), (3.23)
a(D)/l.(D)+ •g(D)/i!I(D) = 7т, (D) a2(D)’, (3.21)
причем кл, a.2 — произвольные устойчивые многочлены. В силу Т.1.1
при взаимно простых <х. ₽ всегда могут быть найдены 7.,, к, такие,
что тождество (3.24) будет выполнено. По при выполнении усло-
вий (3.23), (3.24) и. ф. (В) приобретает вид
'<(0)"^-- <V'y’
Таким образом. удастся так преобразовать объект, что числи-
тельио повой и. ф. совпадет с исходным, а знаменатель станет
устойчивым многочленом *).
3..1. Общий алгоритм. Подипди итоги, сформулируем елго/щлу
cuure.ni. закона у правления npoii.iBOJii.in.iM обьекгем с и. ф. 7/и..(1>)
* = (1>)/сс (D), где |J— устойчивый многочлен.
1. Задать образцовую устнйчову» н. ф. замкнутого контура
Я-(П) =
|y(D)
a'J (I>)'
2. Если а— устойчивый многочлен, то принять закон управле-
ния в виде
»(0 =
a (D) pfJ ,
|}(D)[a4’(D) -р« (D)] ’’
(3.2G).
3. Если сс неустойчив, то принять
A- (D) а, (D) р" (I)} t А-(П)
W - 'с, fSiDila'-’— \Д1>7 У J ’
(3.27)
где /г.., а; — ироизво.1П.ные устойчпвыг' многочлены, a klt Zo удог ier-
норяют тождеству**) a!v + |V.‘, = А’.,а2. 11 в том и в другом случае
*) \['i:i(no ii|i<i>iepi[ib, чп> <4'>:piijiim'Mi.io н MiBiro-i.ieitM A-ц, h aoii’tyr
c<iuno-.ioiii'.'i,)Mii в xapaiirepiicTsi'iei кин Mii<ir<i4.ii'ii замкнутей системы. Однако
в силу их ycToH'iBtuii i n, Н1я;ак1>х непрпмкюстсй нс нрецыиндет (см. также
гл О. $ ч).
**) Ви нябг'я;апнс (.-(шрашеннн стяршпх c.ii’iiiwii, иызывзилжто пегруиоегь
япкона управления, требуется согласовать степень произвольного многочлена
A’oaj со степенями «, [} (см. § 1).
96
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
введение управления обеспечивает выполнение тождества
7/л(1))=/^(О), (3.2.8) л
хотя характеристические многочлены замкнутой системы различны: р
и первом случае имеем (
Д (/') = «(/>) Р (/') а'(/>), (3.29)
•а во в тором случае
Д (р) = (Р)ай (р)Р {р}г/ (р). (3.30)
Если р(р)—неустойчивый .многочлен, то алгоритм неприменим.
Несколько изменим задачу. Представим р(р) и виде произве-
дения
?W = Mp)Mp). (3-31)
где в Р+(р) соберем лес простейшие сомножители вида р —?.v, огне- .
мающие корням ?,ч. с отрицательной вещественной частью.
Молено доказать, что класс образцовых п. ф. для ко-
торых возможно добиться выполнения тождества (3.28) при обес-
печении устойчивости системы в целом, огра ничей и. ф. вида
7/^D) = [i.(D) 7/(1)), (3.32)
где 77(D)— iipon.u4vibi>;iH н. ф. с устойчивыми числителем и знаме-
нателем. Н законах управления (3.211), (3.27) следует при атом ria-
.м.'пнн, (3(D) на 3+(1)}- Подробнее :лнт вопрос изучается и гл..1,§4.
§ 4. Выбор желаемой передаточной функции
по типовым воздействии»!
4.1, Типовые воздействия и точность. Л юаня разумная форму-
лировка проблемы выбора желаемой образцовой п. ф. связана с вве-
дением гипотез о возможных сигналах и помехах в требуемой точ-
ности.
В инженерной практике чаще всего исходят из следующих пред-
положений и требований: •
а) замкнутая система должна быть устойчивой;
б) если сигнал имеет вид
s(f) = л,, + fi,t (4.1)
и
IwJ-'?,, (4.2)
in ус.г;1НО1ипии«яс.н ошибка ею отработки ел.(7) должна удонлегно-
рнгь условию
lew(Z) I c.jt (1.3)
где щ, c-п—заданные KouciairiM (предельная спорость изменении
сигнала, предельная допустимая ошибка отработки сигнала);
g i. ВЫБОР ЖЕЛАЕМОЙ ЛНРЦДАТОЧНОП ФУНКЦИИ {17
в) если отрабатываемое волдсйствие имеет вид
s (Z) = о, со.ч Mt (4.4)
” я, <«. (4.3)
при любых <о из данной области £?., то установившаяся ошибка ело
отработки должна быть ограничена
kJ (4.G)
гдев, — заданная предельная амплитуда воздействия, £2, — область
возможных значений частоты воздействия, а е, — заданная предель-
ная допустимая ошибка;
г) если помеха имеет вид
А'с (i) «х cos со/, «Л. ss йд-, (4.7)
при любых со из заданной области ЙУ. то вызванная со наличием
установившаяся ошибка должна быть ограничена
kJ н.у, cog-Qx, ’ (4.8)
где «.v — предельная амплитуда помехи, со—ее возможная частота
hi области £2,v, a e.v — заданная величина.
Совокупность условий (б) — (г) обычно называют требованчялт
к качеству системы.
Напомним, что в силу (3.4) преобразование «сигнал — ошибка»
определяется и. ф. 1 —//„(!)). a преобразование «помеха — ошиб-
ка» и. ф. И ДБ). Обе эти п. ф. но требованию (а) должны быть ус-
тойчивыми, а потому к ним применимы простые формулы § 4 гл. 2
по расчету установившемся реакции любого устойчивого звена на
гармоническое и полиномиальное воздействие.
Рассмотрим первоначально требование (б). С учетом правила 3
(§ 4 гл. 2) имеем, что установившаяся ошибка, вызванная воздей-
ствием (4.1), равна
^: = [1-/Л(0)Ж +й,/) + -Ял(р)1| alt (4.9)
Ошибка может быть ограниченной при «,=/=0, только если выполне-
но условие астатизма
Я.(0)=1. (4.10)
//,-//„(1-1- //„)“',
так что для выполнения (4.10) должно быть
Яр1 (0) = (),
но эти возможно, только если р. п. tfi. имеет нулевой полюс. Если он
7 Л. Л Псвпчзлаигсий
ss
гл. з. построение законов управления
простой, то можно записать представлении
//„(?) = t /> -const.
(4.11)
При этом
1I -//..(/')!О = ;t~ [/7777/7 = к>>'
II
е,„ = fljAp1 = const.
Таким образец, для выполнения требования б) можно принять же
лаемую р. и. ф. в виде (4.11), при юм коэффициент кт должен удов-
летворять условию
е„
(4.12>
(величину 6^’ часто называют бобротностыо системы).
Обратимся теперь к требовании! в), которое огратшчпняег допу-
стимую ошибку при отработке гармопичсскшт! ноздойствия. В силу
Правила 1 (§ 4 гл. 2) имеем, что установившаяся ошибка также ив
.тяс.тея гармонической функцией с амплитудой «, »=11 —// (/ю)|гг,.
Слсданате.п.ни. для удоллетворения треб папин а) желаемая н. ф.
замкнутого контура должна подчиниться ограничению
11 - //., (п.>) । < 77г1 л б, (1.131
при всех со с О., которое эквивалентно ограничению на р. и. ф., за-
писываемому в виде
11 — Я„(гс») |_> йГ*, ©С U. (4-14)-
Требованне г) также легко трансформируется в ограничение на
. выбор //а(р).
По формуле (3.4) прсобразованпо «помеха—ошибка управлепня>
определяется самой п. ф. //Др). Таким образом, имеем
|J/s(i<a)|<~A6v (4.13).
«.V
при всех со 9.V, или
|1 -| //|1(/<!>)|'--6.v‘, BieQy. (4 НО
4.2. Принцип фнльтрнцнк. Учитывая, что при достаточно пысо
ких требованиях к точности, типичных при npecKinponannu реалк
пых систем, величины 6Л1 бл- являются малыми, условия (4.14),
й 4. ВЫБОР ;кил 4ГЧОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
99
можно заменить на более простые ограничении *)
|//,, (ни) | б,"', w=12„ (z‘-17)
|//Р(н.>)1 6Л, 6»cQx. (4.18)
Ограничении (4.17), (4.18) отражают прг/гиаоре шиыг тенденции,
если области допустимых значении частот ограбатыцаемогп нпздей
•сгнил и помехи, 42, и 42х, нерскрынаются: г. силу (4.17) амллигудно-
частотная характеристика ра-
.|Г1\п;путой системы должна
принимать большие значения, “------ —।
а » сиду (4.18)— малые.
Наиболее часто в инженер- I
ной области Г2,. 12х задаются
следующим образом: Йл включа- ----------? ” .— t~
ет низкие чистоты, удовлетво- Q v
ряющие ограничению О о> -= рпс 3щ
оъ. а область Г2,х включает вы-
сокие частоты а> причем границы дпапазопов удовлетворяют
требонапню <i>.v > at,, обеспечивающему ненерекрывапие Q, и <’2Х
(рис. 3.10). Если потрсбпнат!.. чтобы г, = 0; ек — 0, то условия
(4.13), (4.13) приведут к ш-обхолнмостп выбирать
//..(пи) 1, 0 •' ы <па, (4.HI)
//,(/<<)) 0, о) '<jv, (4.20)
иначе говори, замкнутая система долита идеально пропускать гар-
моники ничьих частот (до п>,) и идеально подавлять гармоники вы-
соких частот (выше о-.). При малых, по отличных от пуля в,, ех,
допускаются отклонения от этой идеальной характеристики. Очевид-
но, что по существует дробно-рациональной функции Яа(р), облада-
ющей свойствами идеального фильтра (вещественная и мнимая час-
ти //a{iio) могут принимать постояннее значение только в конечном
'теле точек). Тем не менее полезно понимать, что «жо/юшия» замк-
нутая система должна быть, как при сило, близка ко своим свойствам
к идеальному низкочастотному фильтру.
Теперь необходимо выяснить, как построить устойчивую дробно-
рацианяльпую функцию /У, (д), удовлетворяющую предъявляемым
трсбопаппям.
•) ОчспЯДПч, ЧП1
|":|3>б ’ 2|//р е/М: ( ( | 1
«ц.ш Л1иГч.1х б, и i|' Если “-f .'\'[;UUI, то |ин'.|од|||,е персинсыпяг'гея в виде;
- (1 ! | Яр I cos Ф)= : р/,, I1 si,rq: = | 1 -I- //„ .Vs 11 - 6„)s.
Таким обрезом. n.r (1.17) следует выполнение (4.1-1) с точностью до малой вс
личкиы 6е. Аиа.то;лчи|1, as (4.18) следует выиплзеияе (4. tli) с точностью ди бл-.
100
ГЛ. S. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИИ
На практике пспользуются два способа.
Первый из них основан на выборе //->(/') из семейства функции,
обеспечивающих частотную характеристику типа низкочастотного
фильтра.
4 3. Фильтры Баттерворта. Опишем подробней? способ ппстроенпл
и испольаоваиия иилкочастпгиых (фильтров Ijarreptiopia. Примем
1 --
0.21)
гг=1, 2, ...; — положительная константа.
Очевидно, что при лмнлитудно-чаетотная характеристика
1/7а(гы)[ стремится к идеальной низкочастотной
fl, w <>,),
( 0, <н > <1.1ц.
т. с. величина о„. обычно пазыааомая характерной частотой фильтре,
при n-еоо определяет границу ио.чогы пропускании.
При конечных п характеристика фильтра отклоняется <>г
идеала, однако эти отклонсиин невелики, что видно нз рис. 3.11,
6 4. Б1.1Г.0Р ЖЕЛАЕМО!! ИКРКДАТОЧПОЙ ФУНКЦИИ
tot
где в логарифмическом масштабе предела клоны графики
Ф^ен/ю,,) при п = 1, 2, 3, 4.
Построим далее устойчивую ff-(p) такую, чтобы для нес вы-
Ш1,1нялг1С1. условие (4.21).
Предварительно угтанпнпм одно пилеаиое плсебрапчесшн! по-
ложение.
Лемма (о фикторн типи). Пусть многочлен ^„{р} Степени
2п содержит только четные степени п:
Al, </•') = /»"“ + «=п-2/Гч“г Ч-... + а„.
Тогда он представим в виде
Дг.-.(/?}*=Дп(р)А„( р). (4.22)
Если &*гА.р) не имеет корней иа мнимой оси, то с\..(р) может
быть единственным образом выбушю в виде устойчивого мно-
гочлена,
Д о к а в а т е л ь с г в п, Пусть Xv — некоторый корень Д;я(р). Тогда п —
являемся его корнем, поскольку
Д2п(р) = Д:...(—р).
Запишем разложение Л«., (р) па npociuinuau двучлены
зп
м = и (р- м=П (* - ч IT (/•+ч>
V- 1 V V
гдо cpoii.iBr.'tciio ра.-|бпгч1>1г диучлсион на rjiyiiiii.i, ('ojteptiiainHc но п сомпоа.'К-
тсяен и гоп । |11*гсп1ух>шнс корням, (хглпчлкицпмс» ко знаку.
Опозкачлн
д„ (р) = (-п"лЛ >-/.v),
убеждаемся и спрннидлниости представления
ди (р) д„ id = (- i)’! JI' (р - /.v) П (~ ? ~ Ч -
V V
=П' (₽ - ч П' се ч -- д*« °0-
"К V ’
Разбиение па группы непдннстнеппо. Однако, если корней па мнп.мой осп пот,
то каждому корню лежащему в левой ьгыуцлоскости. соответствует корень
—л», лежащий справа от мнимой пен. Собрав в первую гру'пиу только двучле-
ны, соответствующие «хорошим> корням, получаем устойчивый Дэт(р). S
Теперь можпо приступить к выполнению основной задачи. За-
пишем тождество:
и найдем корт: .тпамопатсля, т. г. кнрпп ..., Аг„ уравнения
Л..„ (!>) = С -1- (- 1)" = 0. (4.24)
w;
Очевидно, что все корни располагаются па окружности радиуса о.3
102
ГЛ. 3. IIOCTPOEIIIIK ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИИ
па ранных расстояниях друг от друга и имеют аргументы
2V -I- 1
—у— и при п четном,
-i- я при п нечетном, где v-0, 1, ...,2п— 1
(см. рис. 3.12).
Согласно лемме о факторизации можно записать представлении
Рис. 3 12
(4.22), причем для рле.сматринае-MoiTi .многочлена V...(р) устончипый
многочлен А., (р) имеет вид
П
Д.. (]>) = • (- 1/ П
V--J
=(_1)^zJz.j. ri.2s)
Многочлены Хп($) назыиаются лиюгочленами Натгсряорта В силу
симметрии корней они нещестненны и табулированы для малых п
[3.3] (см. табл. 4.1).
Т в fi л и ц а 4.1
л — 1
? + I 41s 4-1
s'1 2s- -|- 2.1-i- 1
>J -I- 2,01? -I- 3,41 s- I 2.61s J- 1
s6 3 2W + 5,24? | 3,2'..? 4- 3.24s I 1
Нетрудно п.н'ии н общее кырл/кенае для iai.nJn[inniH-nT;t при 1 й
степени s и мшпичлепе с побым и: ч,1 (н) . ... ;.
2411 (Д’* "И
Таким обралом, мы шпили се.мейегво ycnni'iuiiijx не р ед а точных
функций вида
"М“мкг |ад")1-ф<).
£ 4. ВЫКОР ЖЕЛАЕМОЙ ПЕРЕМ 4ТОЧПОП ФУНКЦИИ
103
имеющих амилптулпо-частотиуто характеристику, близкую к иде-
альней низкочастотной (и быстро стремящуюся к ней при ?i-<-oo),
причем граница, вплоть до которой .АЧХ близка к единице, почти
совпадает с пелпчнпон <п„. 1» сожалению, с ростом п растут фазовый
искажения (рис. 3.11), и па частоте. «(, аргумент т|\, частотной ха-
рактеристикн может существенно отличаться от нуля. В то же вре-
мя близость к идеальному выполнению условия (4.1!)) требует н
малости изменений аргумента вплоть до заданной частоты <>,. По-
этому необходимо подбирать параметры п. «„ так, чтобы удовлетво-
рить конкретным трсвоиаппям.
4.4. Выполнение требований к точности. Отмстим, что условие
астатизма (4,1(1) выполняется при любых параметрах, поскольку
Хг. (U)=l. Jсловие (4.12) сводится к ограипчевию
так как
= /ц1 - 1 = 7... | А) _ 1 => = и, („) <0,7*.
Уи.юзне (4 l.i) можно 3ai:iic:'ici. и пщо
| К(><и) <7 UI.Y,
или, и силу (4.21), (4.2G),
-------'---— 6 У, ю о> v.
1 • ('•>% Гл
Учитывая малость fi,v, заменим последнее условие на более про-
стое
i_
tty --^7 i>.t ю.у- (4.28)
Несколько сложнее удовлетворить ограничению (4.13). Запишем
его в виде
НЛП
Напомнил, пт
Z- (л‘) — 1 = -I-... + к, (и)I,
104
ГЛ. 3. ПОСТРОЕН НЕ ЗАКОНОВ УПГАПЛ кния
перепишем ото неравенство в виде
m <|>л-
Если (ог (о,, то его мошну нагрубить, записав
т. с.
/ <11_ V ..
I — I «1 (") < *>"•
W
ст0> — а, («)
(£29)
Объединяя полученные условия, приходим к следующему пра-
вилу.
Правило 1. Для выбора желаемой передаточной фракции замк-
нутой системы Н‘л (р) из семейства фильтров Наттерворга (4.2G)
следует выбрать параметры <»„ п так, чтобы выполнялись условия
где величины а,, (о„ «... <о.т, аЛ- характеризуют допустимые ио тех-
ническим условиям воздействия, а параметры е.э, в, определяют тре-
буемую точность.
В целях упрощения реализации рекомендуется выбирать наи-
меньшие ш.1, п, удовлетворяющие (4.30). Ввиду приближенного ха-
рактера опепок рекомендуется также проверить выполнение исход-
ных условий для выбранного фильтра.
Пример 4.1. Пусть предельные скоростиизменеипя отрабатывае-
мых воздействий равны а, = 5 1/с, саха, а„ а требуемые точности
отработки е0 = с, >•= 0,05. Тогда необходимо выбрать значение
юв > 100/ят(л/2л). _ _
Пусть i',v«=0.05; ыл=300 f/c; »y = 0,t. При этом требуется, что-
бы (во < 3()0(1/2"У. Очевидно, что условия у до нл отпер я юте я при
п = 1, Т. С. МОЖНО Припять
н\ (О) «> —4— а,, о*) — —•
11у1-) 1 (DJOU) ' |>
Вылепим, какова предельная амплитуда помехи, при которой вооб-
ще возможно удовлетворить ограипчсппим и подобрать подходя-
щий фпльгр.
§ 4. ВЫБОР ЖЕЛАЕМОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
1U3
Примем наименьшее возможное значение = 100/sin (я/2я).
Тогда
Значении величины <!* указаны н табл. 4.2.
Меньшее ft.? обеспе.чнваотся при «=“«„ =2 (при «>3 величины
заведомо возрастают).
При этом условие еЛ еч = 0.05 обеспечивается, если
«у O.v = —— >= 0,22э.
Рекомендуемая п. ф. имеет пил
я; (*>)’-•--------------•=-----------1—-------•
i-.-Ero-pAfr' —10-'Ds
% Ч>
Невозможность удовлетворить ограничениям при произвольном
уровне йл-—характерное следствие противоречивости требований к
отработке воздействия и подавлению помехи. □
4.5. Учет требований к переходной функции. Наряду с описан-
ными выше исходными условиями, на практике могут выдвигаться
и иные требования к желательному поведению замкнутой системы.
В частности, зачастую вводятся требования к характеру переходной
функции, т. е. реакции замкнутой системы па единичное скачкооб-
разное воздействие .«(/) = 1(f). Поскольку выполнено требование
астатиама, то в установившемся режиме ошибка отработки такого
воздействия стремится к пулю, т. е. y(f)-^l. Однако практически
существенными могут быть «рй.ад f„ практического приближения
(с точностью 0,05) к установившемуся значению и величина
5,„ >maxy(l)—I, обычно называемая перерегулированием. Пере-
Г
ходныс. функщш фильтров Папервцрта для в™1, 2, 3, 4 показаны
на рис. 3.13. Приближенные вначеннн величины t. (п) -• ю;./п (п),
6,»(и) лапы и табл. 4.3.
Уровень перерегулирования нисколько растет с ростом п. но, как
правило, явлиетсм практически удовлетворительным вплоть до
ice
ГЛ. 3. ПОСТРОЕН in ЛЛКОПОВ УПРЛПЛНППЯ
н = 5, а более сложные фильтры обычно использовать нецелесооб-
разно.
Время переходного процесса наименьшее при к = 2
0.31)
1'хлн в дополнительных
ное допустимое время /и>
технических условиях указано предель-
то возникает допел ннтелыкю ограниче-
ние на выбор параметров
(4.32)
Это неравенство следует ввести в Пра-
вило 1.
Пример 4.2. Пусть в допонншие
к трсбовапппм, указанным в 11.4.1,сле-
дует обеспечить, чтобы время установ-
ления ио превосходило 0,05 с. Тогда
юе?= 20 г(л).
Очевидно, что ранее принятые зна-
чения ГО.}“-1()0, II 1 удовлм UilpillOT
этому условии), т. о. новое ограниче-
ние. оказывается несущее। пенным. □
4.U. Астатические системы с большим коэффициентом усилении. Выше бы-
ла укамяя Шинин ti.io алюрнтмниироияипая методика построения «образцоиой»
н. ф. ил класса фильтров lornepiKipia. Одшнш подавление помех, конечно, мож-
но улучшить, если расширить класс «образцов*.
Очевидно, что среди в. ф. вида
(4.33)
где fi(s), k(s)—устойчивые многочлены степени т и л, в. ф фильтра Баттер-
ворта яи.тяен.н лишь частным случаем, к котором
P(s) = I. a(s) =± х«(О-
(1*0
Пользуясь теми же приемами, что и выше, можно дать iip.iKU.ii> кыбора ца-
рпмгнрок л для ц. ф. общего вида (4 33).
Приведем ею бе» детального ш.:|кща. приине обб-шачсиии
«(>') :/ч-а„_-|- ...-I- 1,
(г .'I.'»)
? (•’) iT..'” -г ь " >"•
причем сразу учтена необходимость выиизискпя условия aciniлвма, т. е.
И г М = I-
£ 4. ВЫПОР ЖЕЛАЕМОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
107
Правило 4.2. а) Условие (4.11) обеепечиеается, если
% 1
К1 Pi
('«.ЗВ)
б) Для дог-тягач но точной отр о бил к и сигнала требуется, чтобы
(4.37)
в) З'с.1«вие пииай.текия помех требует, чтобы
Условия (4.37). (4.38) получипы как моделпзе довольно грубых оценок,
которые могут служить только для ориентирован н«мо выбора параметров
{«V U После такого выбора следует проверить выполнение условии (4.17),
(4.18), т. е, условий
Подчеркнем еще раз, чти эти условии могут быть леслимсс.тпмы при гжииг
ком жестких требованиях (малых б«. бу или близких со,. со.-,-). Поэтому, как
уже указывалось в примерах, можно считать лек«норыс условии нефиксирован-
ными, например, считать, что не аадапо б-.- (или со.т), а раяыскпвастсл мини
мальлое 6х (или ы.х), при котором условия (4.36), (4.3!)), (4.40) остекпея сов-
местными.
Мы еще будем возвращаться к рассмотрению этой проблемы, одпако зара-
нее укажем, что она сложна е вычислительной точки врения*). Поэтому по-
лучение простых рекомендаций по выбору желаемых к. ф. является сущест-
венным делом. Далее, в § 5, будет иаложеп другой эффективный прием вы
бора. Однако предварительно укажем на общую особенность п. ф. вида (4.33).
Пусть п. ф. объекта /^{Ь) имеет устойчивые числитель и вна.мппатсль
Тогда после выбора /7^ (D) метод компенсации позволяет сразу получить вы-
ражение н. ф. Я/(Г>) вакинп управления в виде
"Лр> о» ™ ni <°> - ^(В)--^)' (
*) 11)111 фиксироняиимх степенях mhoihtuhiou условия (4 311), (4.40) янлн-
|<1тея №|Miieiicrii;iMii 2-й степени относя гелию нежяи.-стных киаффи дней гни. ко-
торые должны выполняться при нссх допустимых ЯППЧСШПи н-чрамвтрл <•>
С точки аронии пьгчисли7е.'|1,но«’| матсмаглкн от —задача нелинейного пари-
мотр1141тко|п npoi)>nM4i:piH<aittt>i (см. гл. У, § 7). При иефпкеирпнанпых стоии-
пях ага задача носит переборный характер.
10S
гл. .ч. построение законов упрлвланин
Если ай (В) = а О
согласно (4.35), то
где многочлены к, р определены
где
(4.4'Л
(4-43)
Характерной особсппостыо (4.42) является наличие интегрирующего множи-
теля 1/D, а также наличие большого кйэффициеити e>o(tX|—Д|)—’• нвеко.тяку я
силу (4.36) эта величина должна быть не меньше где 6Я мало.
Таким образом, желаемая п. ф. разомкнутого контуре должна включать
интегратор (в силу требования астатизма!) и усилитель с большим коэффици-
счгтом усиления. Ото не означает, конечно, что п. ф. закона упраплсипя должна
обладать теми ;ко спонстнамп.
Если, например, справедливо продета плои ин
тг"и.,<п>- (°) - 1- (4.44)
т о. и. ф. об|.екги пг.нчт пулевой пилюс, то
"/(”) = Г1
о
(4.45)
г не включает интегратор, iiihvjcm статический коэффициент усиления f;,
еси А",- л Ht (О) - /А .Его величина алвпеит не только от требований к точ-
ности. по п от свойств самого объекта.
Выбор .д, В может сшределяться не только требовапкямп качества, ио и ус-
ловиями реализации закона у, рацленпя, о чем также будет детально сказано
пнже, в § 6.
§ 5. Логарифмические частотные характеристики
Опишем широко испилвлуемую на практике схему носгрпепич
желаемых переда точных функций, поцапанную на шпильзоиании
лги арпфмнчсских частптиых хлракгерметик.
5.1. (jtoMCTiin ЛАХ и .1ФХ.
О п р о меле п и п. Лпгоиифмччсгкои <> мп.1ит^с)ц<>-част<>еи<.>1 з:ч-
ракгеристикой (ЛАХ), соогветстиуншпв иерелаточшш функции
Н{р), пааыпаотся функция
Z,(0)-201giW(i(.>)|, (5.1)
§ 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
109
определенная при любых ветпсстшшных значениях 0“=lgm. Накло-
ним ЛАХ именуется функция (LLidft. Принято измерять значения
ЛАХ п децибелах (дБ), а значения наклона ЛАХ — в децибелах на
дек г/ д у (д Г >/де к).
Лога ритмической фазочастат-
ной характеристикой (ЛФХ)
IIМ (ЧI ус; Т ГЛ фу IIКЦН Я
Arg Я(Йо), (5.2)
опрсдсленнан как функция 6 =
= 1g 03.
Графики 2,(0), ф(0), с точ-
ностью до выбора масштабов соп-
палаюпше с графиками обычных
АЧХ и ФЧХ, принято именовать
диаграммами Биде. ф\гикцпп
Пример 5.1. Пусть 1Цр) крл,
л = 0, ±1, d;2. ... Тогда //(йз) =
= А-(йн)п = квх'с -п, так что
201g [//(гы)! = 201g А-20nlg<..,
A,(0)-2(.HgA -l-20/г0; (5.3)
4' = ф(0) - 4 «• (5-/‘)
Uv л
Диаграммы Боде для функ-
ций вида А'/'” представлены на рис,
торых равен 20» дБ/дек, a i|:(0) —прямые, параллельные осп абс-
цисс. □
Теорема 5.1 (теорема. Боде}. Пусть Н(р) дробно-рациональная
функции. не имеющая нулей и полюсов в привой полуплоскости.
Тогда гначеиия /ДО) и ф(6) связаны между собой формулой
t (°) =- i J S (“ - 0) du = £ S + 2^ J (Й “ *l (w “ e) d!i'
где ('Г>;>)
p(s) » -jj In clh^j, M Ige.
'1>цккцил з|-(0) опрсде.гсна ч непрерывна при любых веществен-
ных и га иеклиюепмем точек вида 1g <пй, где ±'<о* — нули (илы по-
лки-ы} II (р) на .vnu.vuti оси.
•) Приняв использовать десятичны* логарифмы При разметке ог.п абс-
цисс принято указывать значение ы, а не 0.
ио
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
Доказательство [3.2] осг ил папай тел яа теореме Konin [2.3] t
i| / (/.) </р= о, (5.6)
если iiiiyrpit контура интегрироппни» /•'(/,)—tuia.iiiTiinccKaii функции. Пусть
Ф1р1- Ф Ф (pl - ф
>' W------7^— - (1’. ’-
тле
Ф(л)—ироияоолг.ння функции. лпл.|>11 плескам внутри праной нолуилоскн-
и на мнимой осп лм исключением огопнкннстел в точках ± нк, щд =Д o>i,
к = 2, 3, ..., причем выполнены условия
.. Ф<» ,
hm ——- = 0, lim (р 4- f®.) Ф (р) == О
IPI—|Р = w
1
Рис. .3.15
Используем коптур пптегриронания. состоящей пз полу-
круга бесконечно большого раднусн в правой полуплоско-
сти и мнимой оси (с обходом указанных точек по малым
полуокружностям G) (рис. 3.13). Ilci пльзуя (5.6), имеем
л-
h
1__
-'Ч
-—гтг ‘ rfw I-
P-I-KO 1 1
tip — (i.
где нггрпх пал iniTL'i|KWM outunacr, *ни участки миккой осн nfi. иии iiricic
H-hui Hi'H.liO'lVin.l
ПрСДСТЛОПЛ! Ф(д) В КНДС рядл |< (il.’pCCTHDCVH TI/’ГКЦ
Ф(?) = *1Ч?Ю|) -г « (р — iWi) + с?(р). р -- [/; — ;ю, |. в) =const
или
(1’ (р) — Во Ф [г(о!) i Im Ф (ген j)
7 пб; ; - /. - (<о1' + “т -I- ° ’Ч
так что
ГФЫ-Ф.
I -----------— tip >= - Я Im Ф (;w .) — а, лр |- ро (р)------>- — л 1ш ф (;м V
J р — гс->1 v и 1 Рхо х 11
У' 1
То же нрелельное значение будет иметь пптсграл
гели дополните i.ho предио.11 жить, что Hc<b(.'u>)—чотлал. а Iш Ф(foi) —nciri
«ан функции, Очснидш) также, что
ср (/;) _ ф .• ф (,>) ф
L tip — | L пр — V,
р-|-<0)----------------------р— гч>
с; с_! 1
J 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Ц 1
аюско.тьку интегрируемые функция аналитичны в окрестностях точек —tai
и .•ц>| соответственно.
Остается < i.c шть интегралы вида
Г <!>(>') -Ч- . . . . ..
I rip, /. I- + J, ...
сЛ J
!5 силу предположения (5.7) о характере особенностей и точках deta.^ I; »
2, .... эго интегралы пропорциональны .члннам вялуокружнпсгой и стре-
мятся к нулю имеете о их радиусами. О учетом всех построенных оценок из
(5.8) следует
“ Ф (iw) — Кн (!) (i’w.) , , . ,,
w j г”______________-А—LL rieo — Im Ф (ta
Г .
для любого /со . не сонпадаюшего с полюсами Ф(р). В силу четкости ПсФ и
нечетности ЬпФ эго соотношение можно переписать и ни до
ш2 — сот
, Sta, Г" Не Ф (taj — Re Ф (iw.) ._ _
Im Ф (taj = —1 I ------:—--------^-1—IA. riw. (5-Я)
о
По uiHiHM далее
Ф(Р) = In H{f) r> ti>(ta) = ln//(ta) =*-
> Вс Ф(ta) In 7/(ги)'. 1п)Ф(/{1|) Arg ?/(i<u)
Если 11(f) - перс дпточн.тя функция, то с и, Hi'TCTiivioinan rpaao-'iai Т0ТИ.1Н х.т-
P'lKiepiici niGi । предо tneioi через Mil iiny tin чат n .тую:
2 C' lu I II (ta) | — In I И (ta .) I /До ,
A i H \ —!------------------!---1 '/ 1 <o. 1 > i)
i} ta.ta.V-l <*!
о \ 1 /
Интегрируя по частям, получаем
Arg Я (taj^)
f' Г, I Я (ta) | ] 1 , ц-ц>1 ,
) riTo lU ^(^1) J wiaW
Теперь остается перейт и к персмоппоп пптегрнроваиця и = Jg со, положив
также 0= Igi-h. дл i тоги -nofiu получить желаемую формулу (ii.S).
Пес|Г|.ходиМ1> однако проверить, что принятые в ус онпях теоремы предпо-
ложения о сзойсгнах 11(F) соответствуют гипеппан.м о сгтйствах фупкцип
Ф(р) = In пспользооаппым в х >да дика зачли i-слиа.
Согласно теореме П(р) представима н виде
П(р-^)
Я (р) ГВ ?< - ,
«Де л.,., /.у — корил чис.пиР.1Я и аиамепателл. Тогда
Ф {р} 1л А- -г У (р — //v) — V lu (р - - Av).
"Т V
(12
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
Выполнение первого ил yc.niniiii (5 7) очевидно. Если Xv, лежат в левой
ito.’ijFu;KieK<.>CTH, то соответствующие слвгйемые аналитичны into со. Если X»
(или Xv) летят ив мнимой оси, то Ф(р) имеет к атой жо точке особенности,
но иозявигимо от кратности Xv (или л,.) ус ливня (5 7) в пой i<i.ino;iin-iii.i. Тим
самым пев триГнншкипн-сл при док.тллтслы-тш! снойстил Ф(р) RHicrtiiiw.Ti.iio
имеют мест.
Формулировка (а том болсо доназательстио) теоремы Боде до-
статочно громоздка. Однако из нес молено сделать важные и про-
стые ныноды.
Вывод 1. Для передаточных функций, удовлетворяющих ус-
ловиям теоремы, по графику Л АХ можно восстановить график
фазочастотпой характеристики. Таким образом, такие п. ф. од-
нозначно восстанавливаются по графику Л АХ.
Вывод 2. Значение ЛФХ в произвольной точке 0, не являю-
щейся точкой разрыва, в основном определяется значением на-
клона .74-Y в той же точке, и эту основную часть дает слагаемое
Вывод 2 следует из того, что функции д(х), фигурирующая по
втором, интегральном, слащеном в (3.5), близка но сиойствам к б-
. функции — ина почти целиком сосро-
доточена в окрестности нуля
JI (рис. 3.1G). Поэтому влияние вначе-
I з мин наклона в соседних точках
1 (и пределах одной декады) суще-
"у- огненно только при резких идменепн-
\ их наклона.
1 X. 1 Пусть функция
“~(Л------Н(р) = Ь-(р)П(р), (5.11)
Vj I J IJ IUJIaJ*
Рис. 3.10 ’Лс ^(р) удовлетворяет условиям
теоремы, а многочлен Ь_(р') имеет
все корпи в правой полуплоскости. Рассмотрим наряду с пей
функцию
//1(р) = й1(-р)/7(р), (5.12)
не имеющую нулей и полюсов справа. Очевидно, что
|Я(Й.))| = !//,(/(.>) I,
а
Ъ (М
Arg 11 (но) Arg 11, (йо) 4- Arg ь _ .w).
При одинаковых АЧХ функции Н{р) и If Др) имеют различные
ФЧХ. Нетрудно убедиться (используя разложение Ь-(р) на
5 5- логарифмические частотные ХАРАКТЕРИСТИКИ
113
простейшие дпучлспы), что при м>0
b._ (io)
fc_ (— 101J
< 0 =& Arg 11 (1<й) <Z Arg II, («а).
(5.13)
Теперь пожни сформулировать результат
Вывод 3 Передаточные функции, не имеющие нулей if по
люсов в правой полуплоскости, определяют меньшее отставший
по фазе по сравнению с любой п. ф., имеющей ту же АЧХ, нс*
часть нулей справа.
Наличие этого свойства привело к появлению следующего тер-
мина.
Определение. Передаточная функция называется минималъ-
но-фазоеой (МФ), если она не имеет нулей и полюсов в правой по-
луплоскости, и неминимально-фазовой (НМФ)— в противном случае.
Заметим, что термин несколько неудачен, поскольку график
ФЧХ ми ни.мал I. пофазовой н. ф. лежит выше графика ФЧХ соответ-
ствующей (имеющей ту же АЧХ) неминимально фазовой.
Пример 5.2. Пусть
//,(/<) = 7'р+1. 7’>0.
Тогда _____
1//|(йн) | — F7 <и 'I' 1, Arg/7|(5i)) Arctg«)7’.
Если
11 (р) = _ Тр +1 = ". (?).
то
|/7(ш)| = Arg 77(Й1>) = — AiTlgw'Z'=
= Arg //,(гы) — 2Arctg ыТ.
Графики ЛЛХ и ЛФХ для П,(р) представлены на рис. 3.17. При-
ближенный график ЛФХ, вычисленный только по 1-му слагаемому
в (3.5), также представлен на рис. 3.17 и действительно близок к
истинному. Важно отметить, что вдали от точки «> 1/Г (0 = )g 1/7')
ЛАХ асимптотически близка к прямым. Низкочастотная асимптота:
имеет нулевой наклон, а высокочастотная — наклон +20 дБ/дек.
Соответственно и ЛФХ слепа стремится к 0, а справа — к +л/2. -Т
5.2. Построение асимптотических ЛЛХ и ЛФХ. Рассмотрим про-
извольную мнинмальночразовую п. ф. с вещественными нулями и
полюсами. Она представлена в иидо
П(О ’)
Н (р) - 1с р- --------, (5.1.7)
I](Fv/. J) * '
V
где Tv> Tv — положи голыше постоянные времени.
8 а. А. |1срвоаваис;;и1
J 14
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
Для определенности будем считать также 7с > О
Тогда ссютветстиующне ЛАХ и .Т1ФХ даются формулами
Л(0) 20 1g к. I 20д0 + 20 1g | 1 + (ю7\.)- |,/г -
V
-^201?|1 -| (ы7\.)- Г 'в. (5.15)
V
Ф(0) - н- + Arctg«7\— Arclg(ij7’v, 0 = Igo»,
вытекающими из результатов, полученных в 11.3.1 п 11.5.2.
Явные завпсимистп 7^(0), *ф(6) достаточно сложны. Поэтому це-
лесообразно использовать свойство, отмеченное в П.3.2, а имеппо,
близость кривой
L(0) = ±201g 11+ (соГ)211,г (5.17)
к ломапоп, составленной пз низкочастотной и высокочастотной
асимптот, пересекающихся в точке <п = 1/7', называемой сопрягаю-
щей частотой. Введем теперь новое понятие.
О и р с д е л они о. Асимптотической .ПАХ, соответствующей
7/(р) вида (5.14), называется кусочно линейная функция, получи-
1ГПЦПЩЯ из (5.15) нутом замены выражении тина 7(0) на асимнто
тическис ломаные ипда
О,
i 20 lg wTx
(5.18)
£ 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
115
Асимптотическая ЛФХ есть кусочно постоянная
лучаемаи заменой в (5.16)
О,
функция, по-
Замечательным снопе том асимптотических ЛАХ и ЛФХ миля
стоя ho:imojkiiocti. их построения по заданной передаточной функ-
ции вида (5.14) бел каких-либо лычнелений.
Правило 1. //л.ч того чтобы построить асимптоты teeny ю .7/1 А’,
следует сделать следующее.
1. Построить низкочастотную асимптоту
Lm(Q) = 201gk + 20nB. (5.20)
2. Упорядочить все постоянные времени по возрастанию.
3. Положить
£А"(0) = ЛПЧ(6)
вплоть до наименьшей сопрягающей частоты, соответствующей на-
ибольшей постоянной времени.
\. Если указанная постоянная вида 7\. входит в числитель п. ф.,
то, начиная с сопрягающей ч<ип'ли, провести прямую с наклоном
на 20 дБ/дек больше, Ht и у ранее нос грСн иной чисти i'paif»it.a /.“'(б),
если же сопрягающая частота определяется постоянной времени,
вида 7'„ (входящей а знаменатель), то нрошегц прямую с никло
ном на 20 дБ/дск меньше.
5. Положить //,:(()) еовпа lai пней с noct роенной прямой на от
резне. вплоть до следующей по величине сопрягающей частоты, со
отаетствующ й меньшей постоянной- времена, после, чего повторить
процедуру в п. 4.5 вплоть с?о исчерпания списка всех постоянных
времени.
Для построения асимптотической ДФХ достаточно использовать
Формулу
„..ас /«. л 1
V .0) =- -Q 21| *i0 (.>—!>
и учесть, что каждый излом- //“ДО) дает разрыв в ф'г(0).
Пример 5.3. Пусть
И {Г‘} = (7’|'- ;’)(<• I 1)’ Т' > Т* > Л > 7’4’ k > °'
Следуя правилу, строим (рие. 3.18) пи.псочаг.тптнут амплитуду
с наклоном —20 дБ/дск пилота дп частоты f/7',, далее (iicii]ii-pi.iii
not) прпд>1л;каем ос под пиклипом 4Q дБЛдек (постои и пал 7', -
н ana.Men.TTr.ir!) вплоть до час.туты Долог' проиодпм участок
под наклоном —4<) I 20 = - 20 (7‘= в чистителе!) до частоты 1/7',.
а затем участки с пак.типо.м —40 дБ/дск н —ВО дБ/дск (7'3 и 7\—
в знаменателе).
8’
116
Г.ч. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
После построения 7?с(0) асимптотическая ЛФХ строится немед-
ленно: каждому участку L',e(t)) с наклоном п 20 дБ/дек соответ-
стиуст участок ЛФХ с уровнем п—.
Для сравнения па том же графике даны точные. ЛАХ и ЛФХ. О
При наличии современной вычислительной техники преимуще-
ства асимптотических ЛАХ п ЛФХ кажутся несущественными; не-
сложная программа выдает с
ЭВМ графики ЛАХ и ЛФХ,
построенные с точностью, пре-
вышающей практические тре-
бовании. Однако этот упрошен-
ный способ построения частот-
ных характерцетпк продолжа-
ет успешно использоваться на
практике не только в си.ту
склонностп инженерного мыш-
ления к установившимся тради-
циям, но и благодаря тем до-
стоинствам, которые имеют
асимптотические ЛАХ n реше-
нии следующим важной задачи;
dan s(»i(I'»ik амплитуомо частот-
ной. глрнктсри-сгчкн. требуется
иайгч лцп>имал1-п(>-фагов!/1п псрейаточиую функцию, АЧ.\ которой
б.ги.о.а к хапанной.
Действительно, достаточно аппроксимировать заданную кривую
(построенную в логарифмическом масштабе!) ломаной, участки ко-
торой имеют па клоп, кратный 20 дБ/цек и по сопрягающим часто-
там восстановить вид и параметры 1Цр). От числа участков линей-
ности аппроксимирующей ломаной зависит и сложность получае-
мой И (/>) и точность приближения ее частотной характеристики
к исходной, заданной, причем следует отметить, что инженерная
практика отлает предпочтение простоте, а не высокой точности.
5.3. Построение желаемых и. ф. но заданным требованиям к ус-
тойчивости при типовых воздействиях. Преобразуем требования,
сформулированные в начало § 4, в ограничения на свойства ЛАХ
разомкнутого контура. Условия (4.10), (411) на отработку линей-
но растущего воздействия сводятся к ограничению на поведение
//«(ко) при низких частотах, близких ы 0:
//,. (/<.,) ~ -> Л„ (0) - 20 1g А-.. - 200. (5.22)
Мначо говоря, низкочастотная асимптота ЛР(0) должна иметь на-
клон —20 дБ/дек, причем в силу (1.12) со уровень определяется
условием
201gA:?^-201g5o.
(5.23)
6 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МЕРЕДлТОЧПЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
П7
Условия (4.17), (4.18) принимают вид
(ы) > - 201g 6„ <> С
/•ч, (to) *201g бу, «л
Первое из них задает ограничение на поведение и области низ-
ких частот, июроо — н иысокочастотной области.
Оказывается, что поведение //„(<.») и промежуточной зоне
ю si toy не может быть произвольным, а определяется требовани-
ем устойчивости замкнутой системы! Для ycaaiion.ieiiini итого фак-
та придется обратиться к критерию Найквиста, причем использо-
вать геометрическую интерпретацию этого критерия в виде Прави-
ла 2 (§ 5 гл. 2), предварительно переписав его па языке ЛАХ.
Правило 2', ,.-7ля проверки устойчивости Л-(р) следует построить
•7.1 .¥ и ЛФХ разомкнутого контура /.„(О), фР(0)- Если в области,
гое /,,,(©) 5*0, разность между числом пересечений ЛФХ уровней
- л(1 -I- 2А ), А“= 0,1,2,.. ., снизу вверх и сверху вниз равно полови-
не числа полюсов Нг(р} в правой полуплоскости, то 17>(/>) устойчива.
Доказательство аквнннлептпости Лраппл 2 (§ 5. гл. 2) п 2' сводит-
ся к наблюдению, чш и точках пересечении .туча (— I, —оп) гп.тпрнфпм
^М!М (см. Правил» 2) должно быть ]//, <-'Со}| £= 1, Arg//г,(нч) • —л{1 -|- 2Л),
а кроме тога, пересечение гадсм рнфоч итога луча снизу ннурх происходит при
ум<Ч11.||Ц>н||и (ipi умснта. я С.тцшппr.n.mi, при Дииженни пи ЛФХ сверху lillii.i
(см. рис. 3.19, л н 6, соответствующие одной и Гий и;е 1Н'рсдп'1оЧ1н»п функции).
Предположим далее, что //□(/') является минпмалыш фааопой.
Тогда, в силу теоремы Подо, наклон ..ЧАХ полностью (ш)>еде.1яет вид
.Ч(1*Х. Kr.'iii, более того, наклеп .ЧАХ мепнсгся мало, то, как было но-
кааапо иыше, вначеппо ..ЧФХ и какой-лкГц» чпчкс определяется на-
клоном ЛА'Х в той ;ке точке тр(О) -у jjp а следопательпо, усло-
вия устойчивости //at/?) определяются наклоном ЛАХ разомкнутого
И8
ГЛ. .4. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
контура п зоне, где L„(<о) 0 (и возможно, в ее небольшой окрест-
ности) .
Предположим, что эта зона есть область частот таких, что О ъ~.
i <0 ' <aC(J, /<г,О, где со,.,, обычно называют чпетогой греза.
Тогда можно (формулировки» простое, хотя и иоскпаско нестрогое
утверждение: если ilr(p) минимальпо-фазова, то для устойчивости
л. ф. замкнутого контура //„(р) диета точно пыполпения услоний
— 40 дВ/дек при <0-^0 (0—• ос), (5.26)
-^-> — 40 дБ,/Дек н окрестности w = <псР. (5.27)
Действительно, в этом случае ЛФХ выше уровня —л. при малых
частотах и вблизи частоты
среза и число пересечений крптнческих
уроцней сверху вниз и спилу вверх рав-
но (рис. 3.20), так что разность чисел
переходов двух типов равна нулю. В то
же время, по определению, равно пулю
и число полюсов в правой полуплоско-
сти для минимально фазовой //„ (р).
Напомним, что при выборе iKe.'iae
мой передаточной функции услопш-
(5.26) выполнено, ег ш выполнено ус-
ловие астатилма (5.22).
Ограничение же (5.27) дает новую
информацию о требуемом поведении
час го гной характеристики разомкнутой
системы.
Действительно, при малых Л.. бк, т. е. достаточно высоких тре-
бованиях к точности, до 1жио быть
Ар (со) > 0 при 0 tn С c»d,
Ар (<») < 0 ЕРИ ° 5s ®л >
так что о, < о1р < toy, и условие (5.27) определяет допустимый на-
клон ЛЛХ при переходе от низкочастотной воны, где для обеспече-
пия высокой точности отработки необходим большой коэффициент
усиления, к выскочастотной, где для подавления помех необходим
мал ы и коэффи ।{нс.।it.
Итак, все требования, которые были гфпрмулпрнвапы в начале
§ 4, сведены к шраиичепиям на допустимое поведение .'1ЛХ разомк
иутого контура (см. диаграмму нд рис. 2.21 где заштрихованы гра-
ницы зон, в которые не. может заходить J1AX).
Остается подобрать передаiочную функцию lf\, (р) разомкнуто-
го контура, для которой эти ограничения выполнены. Для этого п
полезны асимптотические .'IAXI
8 5. доглвифмичискиг. члстотпьцс характеристики
.119
Выбор, очевпдно, неоднозначен и не всегда возможен. Однако
при его осуществимости целесообразно стремиться к большей про-
стоте, т. в. меньшему коэффициенту усиления it мопыипм степеням
числителя и лпамсиателя. В лависпмосли от соотношении панаме г-
рив можно НСПОЛьзоиап. ралли
чпые. <т1111[юкспмирую1Ц|1е лома-
ные с наклоном участков, крат-
ным 20 дБ/Дек, стремясь приво-
дить их ис выше границ «за-
претной зоны». Существенно
лишь, что вблизи частоты среза
недопустимо использовать уча-
сток с наклоном -40 дБ/дек,
т. е. по самой границе, посколь-
ку эго нарушит условие (5.27).
Поэтому в окрестности частоты
Ряс. .3.21
среза допустимо проведение участка аппроксимирующей асимпто-
тической ЛАХ только с пакленом —20 дБ/дск, причем длительность
этого участка должна быть не менее декады*}.
5.-4. Типовые допустимые п. ф. Приведем в готовом виде сводку
допустимых передаточных функции разомкнутого контура (провер-
ил их пригодности по схеме, оппв.чппфн ниже, является пиленным
упражнением).
I. Пусть
f Л.
; - =С f'o й ~ -
ih.Wy <1JK
тогда и. ф.
П>> (°) = <* 5-28>
удовлетворяет всем ограничениям. При тех ;т;е
ми, но ipeuyeT меньших усилений па частотах
условиях допустп-
о со, и обеспечи-
вает лучшее подавление помех и. ф. вида
ГД) — 1
Ф) = -р pjj Ij ’ 0х29)
где
1 \ 1Аб
Л--Г’ 7’2 = -L=--! 7'з^0,П\. (5.30}
л п1и/ <«.,
а параметр у, характеризующий расположение частоты среза,
у_у , может выбираться в пределах 2 '4.
•) Это условие прежде iu’cim i'iih.ihiio с. п-м. 41061.1 влтавис соседних уча-
CTKTlIl, вокможии, С болывпм 11.ТКЛО1И1М ПС прпнело бы К умтип.1нен1!1о фазы пи
же критического уровня — л иля цц;ке требуемого запаса по фпае (см. такаю
5 6).
120
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЯ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
2. Пусть
е 1
причем о0 —=
Л..<1»
(5.31)
Тогда допустима и. ф. вида (5.29), если исходные требования удов-
летворяют добавочному условии»
б.т>-=4,
(5.32>
т. с. требования по подавлению помехи пе являются слишком жест-
кими. В противном случае, но при условии
«л > % , б.у > -у (5,33)
8 7.
молено использовать функцию
/. У D -г 1
//р (D) = -у p j) _|_ jj(TJd.-p ,1) (У4Й ± 1)
с теми же параметрами, но при
7й--’7’3. (5.35)
Вс»» aaimcaiiiii.K выше формулы прямо вытекают на вида аппрок-
симирующих ЛАХ, представленных па рис. 3 22. 1’ассмогриц не-
сколько детальнее си туацию, предстаплцнную па рис. 3.22, н.
На каждом участке линейности ЛД0) совпадает с одной из пря-
мых (относительно церемонной O-=lg®!J вида 2С)£Ь причем
7>„ =« 1g т , Г;, м Ig -4;. Tjj = Jg —- 7-3 = 1g —
° ° 6ftco ’ 1 2 . w " (,/’
где константы с» и границы участков о»(=1/7‘г, 1=1, 2, 3, ..., оп-
ределяются на следующих условий:
а) условия непрерывности
-7.fi (®i) — Lt (to,), Z.j (w2) = (fflj), Г-2 (ыз) 7,э (<в$),
б) условия на длительность участка вблизи частоты среза ы.-р:
7- (<ntp) = О, <о,-г =- уы», <os = 10<|)5,
в) условия НО ТОЧНОСТИ
7ц (»«) “ lg q f-u («х) 1g ‘V
Посло итого получении (5.30), (5.31) связано с простыми алгебра
ичс< ними выкладками.
Не болев сложны и ситуации, когда б.. >б„/и>., где располоясс-
иие «запретных зон» такое, как показано на рис. 3.21.
§ 6. РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ
121
Очевидно, что все результаты носят лишь приближенный харак-
тер — в той мере, в какой это свойственно методу ЛАХ,— однако
опв просты и практически эффективны.
Подчеркнем вместе, с тем, что вео указанные типовые Н\, (В)
отпосятсн к классу и. ф., описываемому формулами (4.42), (4.43),
(4.35). Нетрудно нрос.толпть н связь между рекомендациями по
выбору их параметров и условиями (4.36) 4-(4.38) Отметим также,
что (5.28) coon i‘TeiBver фильтру Баттерворта при п=1,
- 6’,'.
§ 6. Реализации закона управлении
6.1. Формула и реализации. Предшествующее изложение, и дан-
ной । lane было, ио существу, посвящено одной проблеме: как вы-
бр.т закон управлении в виде линейного динамического преобра-
зования, задаваемого передаточной функцией //.(D).
122
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
Пусть для определеяности речь идет о законе управления с об-
ратной связью вида
«(/) = Л, (!)).'(/}, (15.1)
где г.(/)— ошибка управления, а //,(!))— Дробно paiuiuiia.iiJiaH и. ф.
mi la
же указывалось, что для фактического получения функции ti(Z)
(сигнал управления) требуется решать дифференциальное ураз-
иен не
Z(D)ii(t) = /.-(D)e('), (6.3)
причем значения правой части не известны заранее, а поступают от
измерителя (датчика ошибки) в ходе работы системы.
Реализация закона управлении состоит в построении вычисли-
тельного устройства (ВУ), осуществляющего такую операцию пре-
образования постопсппо поступающих данных.
Принципы построения я налоговых вычислительных устройств
(ВУ) типа электронных моделей, с пимипр.ю которых возможна реа
лилацпя .чакона управления вида (6.3), были описаны в гл. 2, § 2.
Вместо с тем задача прпеьгироиаппя, а тем более создания необхоли
мого В\ нг» исчерни пастей этими принципами, а и пл метел спецпаль
„ой технической проблемой, которой посвящены многие руководства.
Здесь целесообразно •становиться только па одном нринцн.чиаль-
|ц> важном ос аспекте.
Давая конструктору задание на разработку ВУ для системы уп-
равления. нпжепер-расчетчик облаян выдать не только желаемый за-
кон управлении — уравнения типа (6.3), по и требуемую точиосп
его воспроизведения, допуск на возможные погрешности, отличия в
свойствах преобразования сигналов в реальном ВУ от требуемого
закона.
Дело в том, что ни одно реальное устройство пе может быть точ-
ным аналогом, поскольку реальная физическая система не может
быть точно описала какой либо конкретной математической моделью.
Мы были вынуждены считаться с этим фактом при описании объек-
та управлении. В пб меньшей степени он важен и при реализации
закона управления. В конечном счете нас всегда интересует, как
будет вести себя реальный объект под действием реалнзпиаиногр
устройства управлении. При этом в рапной мере следует учитывать
возможные отличия идеальных расчетных закономерностей от реаль-
ности в обеих частях системы.
Поскольку пока нам известны лишь нскоюрые методы линейной
теории, то и при сравнении медали с pi альпрстью мы вынуждены
ограничиться только такой гипотезой: реальная система также может
S- С РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ
123
быть описана лилейными уравнениями вида
ar (D) р (/) = Г (D) /(/) ч- рга; (D) мт («),
1Г (1>) г/. (/) - // (1>) а (Г), е (/) = / (/) - у (t),
по сп сионсгвами, отличающимися от принятых при расчете. В дсй-
с.твнтелыинит яти различия .ткнут быть велики или малы, но пеон
ходимым условием является требование tpytiocru: при малых отли-
чиях характеристик рса.тынш системы от принятых при расчете се
поведение не должно существенно измениться*).
С понятием грубости мы уже сталкивались п § 1. Более того,
без качественного представления о необходимости обеспечения гру-
бости вообще невозможно давать какие либо разумные рекомендации
по построению законов управления.
6.2. Уточнение рекомендаций. Качество управления и точность
модели. Напомним. что требования к повелению системы, определя-
ющий выбор закона управления согласно § 4, сводились к следую-
щему.
1. Система должна быть устойчивой, а частотная характеристи-
ка и. ф. замкнутого контура должна удовлетворять ограничениям
И(6.5)
1//., (ал) I б.?, «и <* i2,V( (6-6)
а кроме тою, ио1мпжпо, условиям
/Л(0) = 1,
Все указанные условия учитывались при расчете, и иыбирался такой
закон управлении, чтобы они удовлетворились. Иначе говоря, нахо-
дились такие 1{р), что
1) мппгочлеп
Л (р) = ct(p)Z (w) Ч- р (р) Л; {/?) (6.8)
являлся устой чпзым;
2) п. ф.
lij= a ip) i iR} -|- р ip) kip)
удовлетворяла условиям (6.6), (6.7).
Вопрос лишь и том, окажутся ли :.пл пенными те ;ко трепета
пня, если заменить многочлены <%, р, А\ I на их реальные значения
Наглядный ответ па. атот iioiipnr, легко может быть получен с ио
мощью метода JI \ Х.
На критерия Найквиста следует, что любые изменения ЛР(с>>) и
т-’р(о), такие, ггп остается выполненным условие фг(ы)> —я при
) Болес строгое он редел свис дано в г.т. zj, § 3, см. также 13.CJ.
124
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
всех со, где Лг. (ы)>0, т. с. са<юср, не приводят к нарушению ус-
тойчивости замкнутой системы.
Вывод 1. Если отличия расчетной модели от реальности сво-
дятся к малым изменениям коэф/фн/циенти усиления или постоян-
ных времени таких, что
у; < <>.-!„ (6.10)
то условии устойчивости нс нарушаются. Более того, устойчи-
вость НС нарушается, если эти различия просидят к появлению
малых постоянных времени таких, что
у7>о>сР. (6.11)
Чем больше введенный при расчете запас устойчивости, тем
большие погрешности допустимы.
В рамках метода ЛАХ в качестве меры запаса устойчивости ис-
пользуют либо запас устойчивости по фазе (аргументу), т. е. ве-
личину Дф А л + фр либо запас устойчивости по амплитуде
(модулю), г. о. величину Д/. =
•=—/>!,(<>), где Ю таково, что ф(б>)™
«-я (рис. 3.23). Смысл введения
экн.х величин ясен из критерия Il.iii-
Kltlll'Ttl.
В качестве меры запаса устойчи-
вости мешено принять и сгепеш, ус-
тойчивости замкнутой системы, ука-
зывающую, па скол.ко должны из-
меняться корни характеристическо-
го уравнения, чтобы хоть один и.»
них. перешел в правую полуплос-
кость. Такая мера особенно важна
и ситуациях, характерных для применения динамической компен-
сации. когда п. ф. //у(р) не полностью определяет вид характери-
стического многочлена.
Далее учтем, что для минимально-фазовых систем Ьр(<п) пол-
ностью определяет 11 „(/»), а следовательно, н 11,(р}.
Вывод 2. ;1/е.<ыс изменения в коэффициенте усиления или по-
стоянных времени типа (6.10) могут привести лишь к малым па-
ру/пениям ограничений (6.5), (6.7). Появление, малых ностоянныг.
времени тина (6.11) заве.дозю не i/лменяст выполнения условий
(6.5), (6.7), определяемых видом (о>) в низкочастотной обла-
ет//. н может лишь улучши/ь условия (6.8) подавления высокочас-
тотных помех.
£ 6. РКАЛНЗАПНЯ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ
125
Принципиально важным является следующее положение.
Вывод 3. Чем более жесткими. являются требования (6.5),
(6.7) по качеству отработки сигнала, тем более точным должно
быть соответствие расчетной модели и реальности.
Нод увеличением «жесткости требовании» понимается как умспь
теине «допуска» б,, так и расширение области £2,, т. о. увеличение
предельной частоты о», допустимых сигналов. Оба эти фактора при
водят к увеличению требуемой частоты среза <i»vv„ a Vcm самым —
к расширению множества существенных постоянных времени, удов-
летворяющих (6.10), н вадаппп которых допустимы лишь малые не-
точности.
Полученному выводу можно придать п негативную форму.
Вывод 4. В теории систем управления с обратной связью не-
допустимо утверждать, что та или иная модель точно или при-
ближенно описывает реальную систему, не указывая при этом*
для. какой цели используется модель, каково требуемое качество
управления.
Позитивные практические следствия также очевидны: при реа-
лизации рассчитанных законов управления можно по заботиться
и точности воспроизведения частотных характеристик далеко за
частотой Среза. В частности, вместо любого желаемого закона уп-
равлении ///(Dj можно ш-но.тьаовагь закон вида
Н «О 4-1)
//!’ (I>) 111 (D) -2-------,
11 + О
i
если постоянные Т{.Т, являются малыми в смысле (6.11). Эго
обстоятельство существенно облегчает создание аналоговых ВУ,
обеспечивающих формирование законов управления.
Действительно, вводя добавочные малые постоянные времени,
можно преобразовать желаемую и. ф. закона управления в строго
реализуемую*). Вместе с тем, как было доказано в § 2 гл. 2, стро-
го реализуемой и. ф. можно сопоставить структурную схему, со-
держащую только звенья типа идеальных усилителей и интеграто-
ров, а таковые с желаемой точностью могут быть реализованы с по-
мощью стандартных элементов — операционных усилителей.
Напомним, что с помощью тех же блоков может быть воспроиз-
ведена (с точностью до малой постоянной времени) и операция
дифференцирования, во являющаяся «строго реализуемой» в фор-
мальном смысле. Однако при наличии высокочастотных помех це-
лесообразно набегап> испосредствсншло использования дифферен-
цирующих устройств: при дифференцировании амплитуда увел.ччи-
г) Пример дай в § 7.
126
ГЛ. ». ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОМ УПРАВЛЕНИЯ
мается пропорционально частоте, п сигнал, искаженный помехой,
может выйти за пре юлы попы линей нести последующего преобра-
зования, полностью искажая его предполагаемые при расчете свой-
ства. Подробнее о неприятностях, связанных с этим эффектом, бу-
дет сказано н гл. 5, поскольку проблема ио может быть освещена и
рамках линей пой теории,
6.3. Об использовании цифровых ВУ. Кратко остановимся так-
же на проблеме реализации законов управлении г. помощью дис-
кретных, цифровых БУ. Выработка сигнала управления согласно
(6.3) требует решения дифференциального уравнения, по, как из-
вестно. существуют стандартные методы вычислительной матема-
тики, позволяющие производить численное интегрирование диффе-
ренциальных уравнений с высокой точностью.
Более того, существуют и соответствующие стандартные про-
граммы для цифровых ЭВМ. Если в качество и системе управ-
ления используется такая ЭВМ, то в принципе возможно применять
и почти любую стандартную программу для выработки сигнала уп-
равления, лишь бы она удовлетворяла следующим условиям.
1. Ввод данных о правой части, т. е. процессе с (О, должен про-
изводиться во мере поступления информации от измерительных
устройств, вводимой в ЭВМ через гнсцщ>лг.пыб устройства ввода.
2. Выдача данных о значении решении и(() должна нргш:шо
дпться лишь с .милым запаздыванием относительно панда информа-
ции о значении ошибки г(/) в тот же момент времени, причем дан
пые должны преобразовываться и сигнал (с помощью спецналглюго
устройства вывода), подлежащий дальнейшему усилению но мощ-
ности.
Необходимость этих условий почти очевидна, хотя на самом до-
ле проблема по столь проста. Ес Специфика будет систематически
продемонстрирована в гл. 7. Здесь лишь стоит заранее заметит!.,
Что требования к точности численного интегрирования и быстроте
его осуществления (величина запаздывания в выдаче данных)
опять-таки нс носят абсолютного характера, а определяются тем,
насколько отклонения от желаемого закона мешают выполнению за-
данных требований по устойчивости и качеству системы в целом.
§ 7. Спптсз обратных связен
в электромеханической следящей системе
7.1. Описание и технические условия. В качестве разверну того
примера к материалу, изложенному в § 4- 6, рассмотрим задачу
о выборе законов управления в элсктроисханичеекой следящей си-
стеме (ЭСС). Принцип действии ЭСС был изложен в гл. 1, § 3:
в гл. 2, § 2 приведены различные формы .математического описания
солоно!о блока системы, включающего усилитель мощности двига
tc.ii., редуктор и собственно объект управления — выходной инер-
ционный вал, угод поворота которого <(•(() должен отслеживать угол
§ 7. Э.7ЕКТГ0МЕХАИНЧЕСКЛ11 СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА
127
поворота ф"'(0 задающей осп. Наконец, в дайной главе (П.2.1) бы-
ла прпиедспя общая структурная схема ЭСС при лронапольном ли-
нейном законе у правлении г. обратной связью по результату пзме
роняя оптики к(/) = <р" (/) — tf: (/),
зада пасмом у и. ф. //;(!)). Здесь
?ке будет рассмотрена задача рацио-
нального выбора //>(1)) при допол-
пптсльи ом у ел сгтп 11 я юще м нредпол о -
женин что результат измерения
ошибки искажен наличием помехи
Л'(0- Структурная схема ЭСС, дан-
ная на ряс. 3-24, учитывает этот
фактор.
Передаточные функции 7fw(D), jf/>nt(D) могут быть записаны в
пидс (см. формулы (2.22), (2.23) и гл. 2)
А-
»«.<») — И.1>
где
с„(1)) = rvlD(rj) + 1)(7^D- + 1) + 7\.Л)(Г,1) + 1) + г;-;в2 -I- 1,
|\, (D) = (7-,:МГ- -| 1) (Г.,I> + I) 1- 7’Хы l>, (7.1'J
или, и пренебрежении иежесткостью кинематической передачи (при
Л ('),
со,(1>) Г,1)(Г.1)+1)1 1,?.(1)) = Г.1) + 1, Ти Лн-Ь7’„=. (71")
Смысл копстант был указан в § 2 гл. 2. Подчеркнем лишь, что, но
определеншо, <z,,(0) 1, fJ.,(())=l, и многочлен я;. устойчив.
Опишем сначала типичные, технические условия, которыми оп
ределяется выбор п. ф. обратной связи 77,-(D), т. е. п. ф. прсобразо-
папия результата измерения в (7)-г .¥(7) я управляющее пимряжс-
пис u(t):
а) предельный постоянный момент нагрузки равен й, (нм);
б) продельная угловая скорость задающей осп (или вала нагруз-
ки) равна (1/с); _
в) иродсльпоо угловое ускорение равпо 0 (1/с.~), а также зада-
на предельная допустимая ошибка отработки г.
Предположим также. чти ладана нижнял граница полосы час
тот гармонических помех ы.г Амплитуда такопых ш-и шестик, и>
;кела н'лык» пусть r»Tii«n-uri*.Ti.iiyn» шынчипу ycT:iii(iiiniiii:eiic,H ошиб-
ки бу» яу'сд,.. вызнанной наличием помех (гм. § 4), возможно
более малой при л обых « > ых.
7.2. Выбор желаемой и. ф. Первая фаза расчета cucniiir В ОН-
редё.тспин желаемой п. ф. ио типовым иоад<щствням. В тсхннче-
128
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
ских условиях воздействия описаны не полностью. Поэтому введем
дополнительное предположение о том, что расчет должен произво-
диться для двух режимов:
1) установившийся режим отработки пращсния задающей оси
с постоянной скоростью с преодолением постоянного момента на-
грузки;
2) установившийся режим отработки колебаний угли поворота
задающей оси с постои иной амплитудой и частотой.
Выясним, каково поведение приведенного сигнала
s(?)=- ф"(?) - Hmv(D) ш.„ (I) (7.2)
в расчетных режимах.
В режиме 1)
фл(?) = ©л ты(?)=- тя,
где со.г, нтп — постоянны. Поэтому при достаточно больших t
s (?) = о>0? Ч- A:MmH? = ал(, Д ша- Ч- к-„ти,
что следует из вида п. ф. /7^,, указа иного выше. Такпм образом,
приведенный сигнал в этом режиме меняется с постоянной ско-
ростью, не превышающей
«, = со.? Ч- /гкигя > <щ. (7.3)
В режиме 2)
«(?) ф"'(?)“«лС05 <0?,
где a,t, в) — постоянны, но пепзнесгпы. Задано только, чш
по отсюда следует, что
fid© a>j, «<дог =£ p, (7.4)
ii том самым определяется ограничение на предельную частоту пз-
Р
меневия сигнала о>4 = -=-, а также ограничения па амплитуду спг-
«>„
нала, которые (в отличпе ст описанного в § 4) зависят от частоты.
- _
Замелим их более простым ^=~ при всех частотах ш =5 п>,*),
-
для того чтобы непосредственно воспользоваться рекомендациями,
данными в § 4, 5. Потребуем также, чтобы в обоих режимах пре-
дельная допустимая ошибка не превосходила ладанной величины е,
т. е. примем
с, — е, с, — е, (7.5)
где сп, в.— введенные п § 4 обозначения для предельных ошибок
при отработке линейно растущего и гармонического сигналов. Вы
•) Нетрудно убедиться, что это упрощение нс обязательно. Вес результаты
сохрани! свою силу и при ограничениях (7.4).
§ 7. ЭЛЧРТРОМНХЛППЧЕСКАЯ СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА
129
берем первоначальна I/'-. (I)) ил семейства фильтров Баттерворта
(4.2Ь), используя условие (4.30), которому должны удовлетворить
значения параметрон. С учеши (7.3), (7.5) оно приводите!! к виду
I
!' 411) 1 «1 4,\l "С О'лбд , (7.6)
где п— порядок, а <оп— характерная частота фильтра, значение
не задано. Оно окажется наименьшим, если выбрать порядок и так,
чтобы минимизировать величину
а со.;, принять равной
(7.8)
V й1
I
где п,—порядок н, при котором минимальна (/./),
Перейдем далее к другому способу выбора желаемой и, ф. —
методу ЛАХ. При этом также воспользуемся готовыми рекоменда-
циями, данными в § 5.
Простейшая п. <{>. вида (5.28)
(7.9)
пригодна, если выполнено условие
которое заведомо верно в данном случае, вели е = с0 =» в.. Однако
предельный относительный уровень подавления помех 6» при этом
огра и и чея вел и ч и ной
Для уменьшения этого уровня попытаемся использовать и. ф, более
сложного вица (5.29) с параметрами (5.30):
(7.11)
5 Л. А. Ii.-рги х:<1нт:;-.й
(7.12)
<30
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
Таким образом, выбор коэффициента усиления Ар определяется
заданной предельной угловой скоростью, а отношение TJkv онредо
ляется предельным угловым ускорением.
Обеспечиваемое при таком выборе подавление помех оцени кает-
ся но формуле (5.32)
ч £ 1п< юр
6.v — 6,v =« —— -= —г. ('•!')
ew?v
Сравнение различных вариантов Яр(р) возможно только при
задании конкретных числовых данных.
Пример 7.1- Примем w-i = 4 1/с; fcAn?n = 1 1/с; р = 20 1/с’;
е = 0,05; ©у = 300 1/‘с. Тогда а, = 5 1/с. и можно воспользовать-
ся результатами расчетов фильтра Баттерворта из П.4.1, где были
указаны те же значения а:, е, В этом примере было установле-
но, что По = 2, ©с, = V2 100, так что желаемая п. ф. замкнутого кон-
тура рекомендуется в виде
Hu (В) =
1
£> 1 (J) V ’
1 2 (loBj
и следовательно,
ь таггт-
При этом бк = 2/9 а 0,22. В то же время фильтр 1-го порядка дзет
худшую величину 0,33, так что простейшая рекомендация метода
ЛАХ мспес эффективна (уже указывалось, что формула (5.25) при-
водит к фильтру с л=1, ©о = 1/б(1). С другой стороны, более слож-
ная п. ф., рассчитанная по формуле (7.11) (при у.2 = 10),
- Ш) нХОЯр-г!)___________
П(' 'р> р (О,25р-|-1) (0,009р.-г 1) ‘
обеспечивает лучшее подавление помех, чем лучший фильтр Бат-
терворта! Деиствптсльпо, ври данных параметрах
<0-2в -= Д ~ 0,04.
11,05-(Зии)4 (JO
Па рис. 3.25 приведены асимптотические. ЛАХ, соответствующие
двум рассматрпвашпимсн вариантам На пего видно, что
вариант (7.11) обеспечивает меньший коэффнциопт усиления за
пределами заданной полосы пропускания ы < w.. С
Даже без числовых прикидок ясно, что вариант, предлагаемый
но методу ЛАХ, более гибок, так как имеет больше параметров
для подбора аппроксимирующей функции, чем фильтр Баттерворта.
6.V
S 7. ЭЛЕИТРОЗгЕХЛНПЧЕСКЛЯ СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА
131
Дополнительно укажем, что исходные требонапия к качеству
следящей системы могут задаваться и в иной, отличной от приве-
денной выше, форме.
7.3. Дополнительные условия н формулировки. Часто задают до-
полнительный требования к переходной функции. Их анализ при
ментr.ii.iio к фильтрам Баттерворта был дав и § 4. Для метода
. 1Л.Х ситуация несколько сложнее.
Лналмтпческал структура связи между характеристиками типа
«время затухания» и «перерегулирование» с параметрами жела-
емой и. ф. //р (р). например вида (7.11), достаточно громоздка,
хотя оценка этих характеристик ну гем прямого счета при заданных
числовых значениях параметров производится несложно.
Анализ численных расчетов *) показывает, что при рекомендуе-
мом соотношении параметров Т, = = % % е [2, 4], пере-
1 2
рсгулпроваплс не превышает 30%, а время затухания ограничено
волпчиней
<714>
Правило. При наличии дополнительных требований на время за-
тухания вида t„ С надлежит провести анализ исходного задания.
Если
7|.Z(7.15)
то дополнительное требование несущественно. В противном случае
можно применить ранее рекомендованную схему расчета, заменив
исходное задание fi по допустимому ускорению на большую вели-
чину 50c/tu.
[ Ч Детальное описание результатов расчета можно найти, например,
«•
132
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
Стоит также отмстить, что популярность метода ЛАХ в инже-
нерных кручах настолько велика, что зачастую исходное задание
формулируется неносрсдеттмпю в янде ограничении па поведение
ЛАХ, например:
а) наклон низкочастотной асимптоты равен —20 дБ/дск,
б) добротность ис ниже /г,
в) частота среза равна ы.„.
г) запас но фазе па частоте среза не ниже Aip,
д) уровень за частотой о>? вс выше 201g<5,v.
Ясно, что ио Ji им требованиям также легко устанавливаются
параметры желаемой п. ф. вида (7.11).
Напомним, что из теоремы Боде следует: при достаточной дли-
тельности участка асимптотической ЛАХ с наклоном — 20 дБ/цек
в окрестности частоты среза фаг(ыСР) = — л/2, а следовательно, запас,
но фазе близок к л/2. что, кик правило, считается практически удов-
летворительным (обычно допускается снижение запаса до л/4).
Таким образом, этап синтеза обратной связи, па котором по за-
данным техническим условиям ныбпрается желаемая передаточная
функция, рассмотрен с достаточной полнотой.
7. 4. Выбор п. ф. обратной связи. Второй этап состоит в постро-
ении п. ф. обратной связи //ДБ). Общая схема была дана в § 4, б.
Здесь важно выявить лишь некоторые специфические детали.
Поскольку но всех вариантах (1)) представима в виде
//₽(1)) = 4^7Г- ftf(0)-1, (7.16)
а п. ф. объекта //„,(!)) дается формулой (7.1), то для обеспечения
тождества Ля(П)Я,(О) = (Гр(В) (7.17)
следует принять cUl))₽f(L» к Пд^^к.-^-Ь , (7.18) а; lJ)) «
Такая п. ф. строго реализуема, если
deg pl' + deg <za deg a,1.
(7.19}
В противном случае придется воспользоваться приемом регуляриза-
ции, описанным в § б, т. е. введением малых постоянных времени,
не искажающих поведения частотной характеристики и полосе су
шественных частот, определяемой частотой среза <п.Р. Вновь обра-
тим внимание на тп, что само попятно «малости» лависит от требо-
ваний к качеству системы, нискольку именно они определяют часто-
ту среза.
Для дальнейшего удобно иметь явное представление .для корней
многочлена а0(р), определяющего динамическое описание объекта.
§ 7. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА
133
Согласно (7.1') этот многочлен имеет 4-ю степень, и корни можно
оценить лишь приближен по. Используем практически приемлемую
гипотезу, что
7’п ’С Л-, !‘в Д 7’м 1 -
Тогдп можно jбедигьея прямым перемножением, что справедливо
представление
«О (/0 = (Тр 4- 1) (и/О* 4- 1) [ц,/г(А7'2 [ Р 4 —тД—-Г 4- 11, (7.20)
{ L 74 и IИ1 J
где Т = Т„ 4-(7(р„), д = 7’07’л1, откуда явно вычисляются корпи
с точностью до величины п.;.
Будем ориентироваться па условия, приводящие к целесообраз-
ности выбора 77p(D) в виде (7.11). Тогда следует считать малыми
все постоянные времени, существенiro меньшие постоянной такой,
что Tsl лежит за частотой среза в копне участка асимптотической
ЛАХ, имеющей наклон —20 дБ/дек (рис. 3.22, б).
Если и,.7« Тг, то можно приняты а„(р)= 7’кр 4-1 (физически это
означает пре небрежение индуктивностью икорной цепи и межсст-
костыо кинематики), и
D+ I\ Г Г.Т> - П
(7-2,)
Если р.7’ не удовлетворяет уелнинш малости, но
«6н.,7'« 7',, (7.22)
то можно принять
а.1(р) = (7’» 4- 1) (р„7> I 1)
(это равносильно првпеброжспию нежесткое тыо). Тогда
п (D} '• |-1)
М J -f (Г,г> : J)(T3D-rl)(r4D-i-l) *
(7.23)
(7,24)
где малая постоянная 7; с Л введена для обеспечения реализуе-
мости.
Если же оба указанных фактора существенны, то приходится
принимать //.(D) в виде
a fin (Г Г) ж 1)
//.I'D) к,_________________1,._,1_2__2_______________ /7 251
Л ) Л'(Г11>+1)(7ЧО ।
где обеспеченно реализуемости достигается введением еще двух
малых постоянных /',. 7'„, noej;o.'ii.ny <ieif<zs= 4.
Пример 7.2. Примем ii»“d.l; «--0,5; ^ = 0,5; к„ 0,1 1/(В с);
7 м " 0,-5 с. Tin ла
av(/y) к КД^Зйр)2 | 1] (0,05р 4- 1) 4- -у р(0.05р 4-1)4-
4- (О/ВД8 4- 1
134
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
или, в соответствии с приближенным разложением (7.20),
«..(/>) =-(0.5р + 1) (0,05р + I)[0,02.7(р + 1 f )г + 1].
По данным 11.7.1
.,</,.» 4<Х1 0.ПЦ1) 4- 1__
"-I'l1 ) “ I, (0,1.46 j 1) (0,0’ii* 4- и ’
причем желаемая частота среза равна ~ 35 1/с~6 Гц.
Требования к качеству являются достаточно жосткимп, условно
(7.23) не выполняется. Поэтому требуется использование обрат-
ной связи, построенной по полной формуле (7.25).
Предположим далее, что путем улучшении конструкции редук-
тора удастся существенно повысить жесткость кинематической свя-
зи, так что 7-. = 0,001 с (это соответствует частоте свободных коле-
баний вала пагруакп относительно ротора, равной 1000 1/с или
160 Гц). Предположим также, что с помощью других приемов (о ко-
торых будет сказано чуть ниже!) удается уменьшить механическую
7М и электрическую 7Г, постоянные времени до уровня 7М = 0,5 Тм <=
= 0,95с; Т'я = 0,05 Тл = 0,0025с. Тогда п. ф. закона управления п
обратной связи может быть построена в виде
/7/(11)=» 10 J(li25f).;. 1) I) ' O.DU'll)1' ' “ '
Реализация такого закона управления существенно проще. □
7. 5. Внутренние обратные свази. Упомянутые приемы уменьше-
ния постоянных времени в сущности ужо известны — эту введение
внутренней обратной связи.
Действительно, если есть возможность измерения выхода или
какой-либо другой переменной, с ним связанной, то внутренняя об-
ратная связь позволяет изменить динамические характеристики ох-
ватываемого ею блока.
Опииюм конкретный способ построения такой связи, считая для
упрощения, что нсжесткостью кинематической связи можно сразу
пренебречь.
Пусть с помощью тахогенератора измеряется угловая скорость
двигателя, отличающаяся от угловой скорости вала нагрузки коэф-
фициентом редукции г, т. о. вырабатывается электрическое напря-
жение
м-г(«) = А-ггЫдц(/)= А'Г1гы(?)= A‘«rDt|;(Z) (7.27)
II. ф. преобразования «управляющее напряжение ы„-* угловая
скорость вала <п» в силу (7.1) при 7’0—0 равна
fc„ fr.
l/urJB) «* ( 2 )
Примем o-,l(Z)= И/(1)+ u„(f), где «,(<)—сигнал обратной сняли
по ошибке, а пи(А) формируется па основе измерений угловой
§ 7. ЭЛЕКТГОКЕХАНИЧНСКЛЯ СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА
135
скорости согласно уравнению
Л.(О)щ(0 =
Подберем н. ф. внутренней обратной сияли
il»i
{7.29)
так, чтобы и. ф. блока, замкнутого этой снятью (рис. 3-26,6), т. о.
“с’ (В) = n-//uil>i7/““b)’ <1 -30)
совпадала с желаемой
fc
(7.31)
(7-32)
добиться
7'л. Хоти
7/.!;г.> (В) т,, d (. , о __
Очевидно, что это возможно, если принять
!:' (Л.В I- ШГ г» — П
(D) = —^ -р--4-Д-1-------------------------0 < 1; < 1.
(7»Li н)(г> I- i)-V
Тем самым впадением реализуемой обратной связи удастся
желаемого изменения постоянных времени 7'м, 7’„ на 7'„,
при этом изменяется н коэффициент усилении Лу), это изме-
нение легко компенсируется ла счет коэффициент-;! усилении и //ДО).
Пример /.3. Для данных 11,7.2 построим обратную связь ио ско-
рости в соответсгини с формулой (7.32). ПримемАс = А-с=0,1. Тогда
„ ртт_ (0,51> + 1) (Н.051Ц-П
' ' (0,25b | f) (0.U025JJ-г 11 — и,1 *
а
77и (D) =- -. (0 25|) _ ,у,002-0 _ц .
При этом ранее найденная формула (7.26) для Я,-(О) сохраняет
силу. О
Еще более эффективно введение двух внутренних обратных свя-
зей — и но угловой скорости, и но току якоря.
Построим унрапляющео напряжение п виде
«»х (0 = «/ (Z) + Чи (Z) + гг, (/), (7.33)
где формируется, как и ранее, па основе измерений угловой
скорое,hi <rt(f), а н,(()—на основе намерений тока <(/). Оказывает-
ся, что теперь желаемая и. ф. блока, охваченного этими двумя об-
ратными связями, может быть приведена к форме (7.31), если
принять
Пн{г)= -/Со,ы(/), «,(<) = —A'ji(l) (7.3'4
430
ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
и соответствующим образам подобрать постоянные коэффнцпелты
/о, /•«. Для такого выбора придется «влезть внутрь» объекта, вспо-
миная приведенные п § 2 гл. 2 уравнение (2.6) якорной цени и со-
отнощсния связей (2.5). (2.9), (2.11), (2.12). С их помощью мож-
но записать, что
(LJ) -г Ви) i„ + c,.ro> = 7csu„. (7.35)
При наличии обратных связей (7.33), (7.34) получим
(L,,D + Л,. + А'А) б. + ™ (7.36)
Структура уравнений (7.35), (7.36) совпадает, изменились лини,
коэффициенты
У?х-у П„ |- А,А-У, с,- с, -1--^- (7.37)
(жесткая обратная связь по току эквивалентна иоиьпиешно сопро-
тивления якорной цени, жесткая обратная связь по.скорости — по-
вышению притпво-ЭДС).
§ 7. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА
137
Следовательно, структура пор
дает с Uuj(p) и отсутствии внуч
фшциспт усиления и постоянные
обозначения к формуле (2.22) гл.
сдаточной функции /7и,(С совпп-
р-нннх обратных связей, а коэф-
времени, зависящие от /?„, Сг (см.
2), изменятся:
Т^ТЯ~
"я -1- а-а *
Пример 7.4. Вновь вернемся к даппым, использовавшимся в
предшествующих примерах. В отличие от П.7.3 введем внутреннюю
обратную связь по скорости и току якоря согласно (7.33), (7.34),
Примем
= -^ = 19;
г г 1 z । г Л 1 * 1
тогда, согласно (7.38), имеем /’м = — Ти, TB=-^-TBr к\-. = ~^~ке,.
Тем самым достигается желаемое, согласно 11.7.2, уменьшение пос-
тоянных времени до несущее rue иного уровня, и и. ф. обратной свя-
зи по ошибке может быть взята в простом индо
II,- (!)) — 2 -103 l)J',,L'_LL
(различие, с (7.27) состоит только в коэффициенте усиления, и оно
необходимо для компенсации снижения А\.).
Суммируем результаты, полученные во всех промерах.
При одних п тех же исходных данных и требованиях к качеству
построены три варианта динамических структур следящей системы
.(рис. 3.26).
Соответствующие п. ф. равны*)
W(|) ,Tv, (O.OyD + ГГ(и.;-,Г> л- 1) Hj.OSD + 1)
’ (0 250.^ г, (ijjk.1)-^ и (0,00051) +,lj ’
n(’>inx 1Пя +1 и <m (I'l.SD'-i-1: iO,O5D [ f]
П; (D) « 10- (МящГ> d » lie. (D) =
2.10-”ffa',')+1,,
7.6. Синтез и ii|ioeitTiijioiniiiiie ЭСС. У;кс n гл. 1 Гилло указано, что проблема
Hpii<'.KTnp<iiiaiui>i систем ангом tun четкого управлении шире н мпогоибрнаиее,
чем прпблемл нмопри, синими знксшоп yiijiaivieiinu. Здесь ва upiiucjii- <)СС по-
пытаемся уяснить 1 1Г111МОСПЯТ1. риыпчных испек ion общей проблемы.
•) Во всех варпаитах считалось, что /'о С Г,, поэтому {D) опреде-
лено согласно (7.2'1).
138
гл. л. построение законов управления
Рп *аЛ1Ец»Л
Прежде всего отметим, что ирг. синтезе предполагалнсь уже известными
характеристики датчика ржтш'ЛйСюиация и силового блоке. В деистнитйлыю-
сти при проси (пронации ОСС необходимо начинать с выбора этих элементов
и определения их характеристик. Однако сам этот выбор должен подчинит м п
тем ясе коночным целям, что и выбор закона управления. Любой реюп.иыи
Линг.!real, к состоянии отдавать .цинь ограниченную мощность, но требуемпи
мощность ллвнеит от режима движении пиля и внешней птрулкп на неп>.
Обычно нрп Н{юектиро1<аиии УСС (1.3, 1.6J первоначально исходят на двух
Простых гиинтиа:
а) в дальнейшем будет обсспе?ин:л высокая точность слежения, о следо-
вательно, движение вала будет повторять движение задающей оси;
б) ссподнэя часть мощности затрачивается па преодоление ипешпего на-
грузочного момента из валу, •
В силу этого потребная мощность должна удовлетворять условию
(7.3Э)
где — предельный момент нагрузки, <ол — предельная угловая скорость за-
дающей оси, а следователь но (в силу гипотезы а)) н вала. Коэффициент Ла —
коэффициент запаса по мощности, введение которого должно обеспечить не-
который избыток мощности, необходимый для преодоления других компонент
нагрузки. Главными из них являются инерцпопныо нагрузки п механическое
соирптнилсппс (треице) и кппсматической передаче пт двигатели к налу (п ре-
дукторе). Однако до выбора двигателя нельзя единить ни тот, пн другой фак-
тор, поскольку, во-перпых, инерционность сплопшо блока а целом яякпепт и от
инерционности самого двигателя и редуцторп, а во-вторых, необходимый ко;н(г-
фицчеит редукции энвиенг от Hiiaiuuoioi угловых скоростей двигателя. При
прочих ранных условиях ип мппжес-тп» доступных двигателей естщячнмии! пы-
брлть тог, который, удоилстг.орян но мопшостп неравенству (7.39). имеет наи-
больший допустимый Д||11Жун1пй момент, минимальный момент инерции, хотя
iMo.ir.ia решающую роль нтриют такие фнкгоры, как нес, гноарнты, стоимость
я при годность к работе в <п;ружаюн1гн среде.
Если двигатель пыбрип, то для него (по техническим данным) стпиоиятся
известными йав— допустимый движущий момент, /„ — момент инерции рото-
ра. ищ — допустимая угловая скорость. Последнее позволяет рассчитать требу-
емый коэффициент кинематической передачи (коэффициент редукции)
Ч1В
г = — —
(Oj
причем, как правило, г 1. Величины г и —нсходпьте данные для выбора
пли проектирования кнпсматпчесжой передачи, что составляет специальную
техническую проблему. В силу формул из П.2.3 (гл. 2) жесткость передачи оп-
ределяет постоянную времени Тц. Если передача недостаточна жестка, то Тл
сравнима с иостпяпнымп 7\,ь T„t, Т,„ п описанная о примерах схема выбора
закола управления неприемлема. Если условие Z'e s О выполнено, го от коэф
фнпиента редукции вавиенг вклад инерции ротора дннгнто.ы n прицеленный
момент инерция всего механизма «ротор — редуктор — вал», а тем самым—и
мсханичиекую постоянную примени Гм.
Согласно (211), имеем*)
Именно величина Jnp определяет пимент инерционной нагрузки па пилу, ко-
торый для предельною допустимою режима равен Д7цр. г;ю J—предельное ус-
♦) Па самом дело требуется учесть и инерционность самого редуктора, что
при предварительных оценках делают, увелпчипая на коэффициент поряд-
ка 1,2-5 [1.6J.
fi 7. Э®КТГОМНХЛНИЧН<:КАЯ СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА
139
корение. Таким образом, только поело предварительного выбора двигателя и
редуктора можно проверить, достаточен ли развиваемый jinuiani.U'M момент,
т. о. выполнено ;:п условие
.- о,,, ] /Вл *4“7,[р|), (7.40)
где «'с — момент сил еопрптинлепнн п передаче, прицеленный к идлу. ),з:.чи
»то ус-ишис не выполнено, прпходигсн пергсм<прсгь кегь расчет, выбирая дни-
гитс.'п. болыш-п мощности ji.hi меныпой пиерцшпинн'.тп. Подчеркнем' что от-
нюдь не при любом соотношении р и <«, вообще возможен такой выбор, хоти
конструкторы двигателей прилагают постоянные усилил к снижению их инер-
ционности*). Напомним, что отношение p'eij определяет и продельную частоту
изменения сигнн.тй, диапазон рабочих частот ЭСС. Но останавливаясь иа проб-
леме выбора усилителя мощности, отметим лишь, что к. п. д. исполнительных
двигателей онычпо является низким и выходная мощность усилителя должна
быть существеыю выше полезной мощности двигателя. Зачастую существенной
является и пс учитывавшаяся выше инерционность усилители.
Перейдем к проблема выбора датчика рассогласования. Основные требо-
вания здесь связаны с уровнем помех и дианаялнпм работы. Выше уже указы-
валось. что помехи (погрешности датчиков] в значительной мере определяют
допустимую точность ЭСС, одпако все рассмотрение велось в предположении
высокочастотного характера помех Вместе с тем из основной формулы (3.4)
следует, что при наличии помех и рабочем диапазоне частот, где /70(ico) a? f,
в ошибку управлении иепасрсдствспио входит слагаемое, величина которого
блинка к самой помехе, т. с. система не может подавлять низкочастотные по-
мехи, в том числе постоянные (цтитичепкие) или медленно меняющиеся (дрей-
фы) Поэтому при in.ii'npi* датчика прежде исего ориентируются иа уровень
статической помехи (iiorpciuiioCTii), яадаиалсь сшттпстстпукиции допуском**).
Таким обргыои, io элементы ЭСС. которые считались ужи выбранными ди
наняла работы по синтезу .закона управления, иа самом дело к апачи тельной
море ужо предопределяют возможности системы Полей того и роаультато син-
теза (см. 7.6) был построен ряд илриаипш апкипин управлении, являющихся
формально равносильными. Одипкп их реализация может трсбоипт!. различных
технических средств. ’Сяк. например, для варианта 1 необходимо реализовать
преобразование, мдпиасмое достаточно громоздкой и. ф.(D). Для этой це-
ли можно использовать устройство ня базе операционных усилителей типа
предстэвлепного иа рис. 2 14.
Последний вариант требует простой и. ф. преобразования сигнала ошибки
Jl'f1 (1>1, зато необходимо ввести в систему датчики тока н угловой скорости,
которые, вообще говоря, также обладают погрешностями. Выбор того или ино-
го варианта при ппоектвропаппи должен вестись с учетом этих и многих дру-
гих факторов, определяемых только конкретными возможностями схемотохип-
ческих решении.
Все вышесказанное может послужить лппп. и качестве пнодеипя в пробле-
му проектирования ЭСС, которую, конечно, необходимо изучать по специаль-
ным руководствам (см., папрпмер. (1.6]), и в данном курсе преследует един-
ственную цель: пн конкретней примере ироднмпне.трировать ту роль, которую
играет теория управления в этой общей проблеме.
*) В курса ня соображений технической простоты рнимаиио уделллогь
тальки дпигатг.’шм iiocTiniuiKini токи пин в иыепкоточных ЭСС fin ii.mr-o при
мешен по нашли мепсо инерционные днухфпзпые асинхронный двигатели с по-
лым роторам |1.Я|.
**) Роль второго фактора—ограниченности диапазона датчика рассогласо-
вания— не может быть объяснена и рамках линейной теории, и мы дернемся
к нему и гл. 5.
Г ЛАВ А '!
УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
§ 1. Случайные воздействия и реакция на них
1.1. Природа случайных воздействий и их характеристики. Пра-
вила выбора законов управления, изложенные в гл. 3. базировались
на основной гипотезе: сигналы и помехи являются гармоппческимп
или полиномиальными функциями времени (ем. § 4). Во многих
реальных ситуациях эта гипотеза заведомо неприемлема.
Например, при движении самолета в атмосфере возникают аэ-
родинамические силы, запкс.ящие от скоростей воздушных потоков,
а эти скорости изменяются не по гармоническому закону, а случай-
но, хаотически
Хаотическими являются и помехи, вози и кающие я электронных
измерительных устройствах и усилителях. Такой характер процес-
сов определяется их внутренней физической природой, и пс учи
тывать эту природу при расчете систем управления столь же не-
рационально, сколь нерационально но учитывать динамические
свойства объекта.
Задачи анализа п синтеза систем управления при наличии слу-
чайных воздействий имеют спою специфику как с точки зрении
применяемого математического аппарата, так и с точки зрения ин-
терпретации формальных результатов нрн их применении. Предва-
рительно приведем необходимый минимум сведений из теории слу-
чайных процессов*).
Случайный процесс x(t) есть семейство случайных величин, за-
висящих от времени t как от параметра. Если зафиксировать одно
из возможных значений (реализацию) каждой из случайных вели-
чии, то получим некоторую неслучайную, детерминированную фупк
цию времени, реализацию случайного процесса. Таким образом,
.r(t) можно рассматривать и как множество (ансамбль реалилаций),
для которого определены общие вероятностные характеристики.
Простейшими из них яв.тяиптя мптсмагическиа ожидание >nx(t),
дисперсия dx(l) и корреляционная функция H,(t. т).
•) Предполагается, что читатель гпвком с основными понятиями теория
вероятностей (ворон гпость. случнйння величина, функция paciipi-.'ie-'ieuua, ма-
тематическое ожидание и т. п) хотя бы в элемек-глрпом изложении.
£ 1. СЛУЧАЙНЫЕ воздействия и реакция на НИХ 141
Математическое ожидание случайного процесса при каждом t
совпадает с математическим ожиданием соответствующей случай-
ной величины;
{.«:(/)}. (1.1)
Дисперсия случайною процесса определяется аналогично:
(/д<)лм {[с(«)-'«I2}- (12)
Если >«,({) = О, то процесс называется центрированным, и
dx(Z)^M(x-=(t)). (1.3)
Корреляционная функция при любых t и т совпадает с взаим-
ной корреляцией двух случайных величин x(t) и г(г + т), так что
Лх(1,т)ДМ — m.r(t)]k(« +т) — mx(t 4- т)]}. (1.4)
Если п?з, т) = А\(т), т. с. не зависят от t, то процесс
называется стационарным в широком смысле.
Очевидно, что для такого процесса
г4(0 = ^ = Лж(0). (1.5)
Если
i 1 ^х(т) |rfr< оэ, (1(>)
то существует фурьс-преобразовлпие коррплпцноппцп функции
Ь\ («) Д J (т) e~‘w,jT. (1.7)
— ис
Функция &(<о) называется спектральной плотностью процесса ж (О-
Если ома известна, то, в силу свойств фурье-прсобразоваппя, можно
вычислить /?г(т) по формуле
7?х (?) = -^ )’ S’x (®) ciwTa’<->- d-8)
— ОС
Из (1.5), (1-8) следует, что
f S'(wJd<°- (L9)
Можно также убедиться, что
7(.(r)-/^(-i)Crf„ \(ы)“-^( <а)-0. (1.10)
Если -для случайного процесса .?(/) заданы только его маге магиче-
ское ожидание и корреляционная функция, то говорят, что он опи-
сан в смысле корреляционной теории.
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
1.2. Линейные прсобразопаппи случайных процессов. Процесс
р(/) = Л(0г(0+Ло(/), (1.11)
гдо Л(1), — детерминированные функции, является случайным
процессом, если процесс ь'(1) случаен. Согласно определению имеем
h(t)tn.„(/) + //„((),
Hv{(. т)-h(t)h(l + т)77,.((, т). , 'l U)
Более интересным видом линейного преобразования случайного про-
цесса является интегральное преобразование *)
г
y(t) = \k (x)r(f — т)с?т. (1.13)
i
При этом, если c(i) — стационарный процесс, то
t i
ти (() = J h (т) М (r(f — т)} dr = f)tv [ Л (т) dr;
и о
(1 14>
7i’i/(Gt) ДМ
— т1)г/т| — Hty(i) X
) А (ч)г’ (t + т — г.) rfi2 — Шу (L
. о
I- г)
I Мт
-= [ ) 7j(rj/t(т,,) М {(r;(i —т,) —w?r] [r(f I т — т2) — wJdTIrfr2 =
О о
Чт
= j J h (Tj)7i(t2) 7?г(т t- Tf —Ts)(/T1dTa. (1-15)
о 0
Таким образом, если рассматривать t:(i) как ансамбль возмож-
ных реализаций входа линейного звена с весовой функцией 7г(г),
то формулы (1.14), (1.15) позволяют дать описание процесса y(t}
в смысле корреляционной теории по такому же описанию входа.
При стационарном п(() выход у(7), вообще говоря, нестациона-
рен. Однако справедливо следующее утверждение, играющее в даль-
нейшем основную роль.
♦) Если подинптрюп.нос иырпжгшк» интегрируемо (в смысле I’nw.iua}
пп любой реллнлацп;!, то интеграл от случайного процесс.» ноппмлстся щи;
лноамбль iniTOi-рплин от реялазацпн. Оцвако может быть дано и болен общее
определение внтогрплн or случайного процесса (см., например, [-i-SJ). прием-
лемое и при псинтсчдаруемых реализациях. Известно, чго для сущестпонанни
интеграла (1.13), поиимасмого как предел и средискиадретичпом рпмаиовых
сумм, необходимо и достаточно существовании (в смысле Глыапа) иптегралов
в правых частях (1.14), (1.15).
£ 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ И РЕАКЦИЯ НА НИХ
143
Теорема 1.1. Пусть v(l) является стационарным случайным
процессом и
I I II (т) [ (1т С < ОО. (1.16)
|>
Тогда процесс. y(t), определяемый преобралосапнем (1.13), таков,
что существует предел
liin/?у(г, т) = ЛДт), (110
1 -»Л'
называемый корреляционной функцией установившейся реакции.
Спектральная плотность, соответствующая /т’„(т) в силу (1.7), даст-
ся формулой
St.(<o) = |Я(»о>)г5г(о>), (1.18)
£дв 6'г(<|))—спектральная плотность г(<), а П (г<а)—частотная ха-
рактеристика прсобрал о в а ни я
II (нй) Д Г ft. (т) e-ii1TJT.
о
Д о к а з я г е.ч т. лт ни. Используя (1.10), (1.14), убеждаемся, что Z?L(/, т)
<л раничеиз при лнн>ыч I, t;
; *V
I'V’ Ч1| < J J P'(Tf)|l'1(Ti)H/,.:(t |-Xt-,2)|rfTl*r2<
(I и
г r-?-t
J |Чх2)1^<^3-
и о
Сл^инятолыю,
CXI СО
о о
откуда вытекает сущеетпопаппс предела (1.17):
lill> /^(^1)= ; (й (Т1)ЧГ!)Я0(Х + Т1 — T2)f/ri'Jr2 — RV (Т)‘
i -МО *’ v
<1 II
Сп[жв«илпность (1.18) следует из непосредственных выкладок:
* Ой- оо «х»
-М») = f /fj, (т) *-iuJt <ir = j ат j dTj Р'т,е-‘иг X
— N —CO U H
Хл(т,)л(т;) “Л1 + \ -т?) “
= 11 — (:w) Н (iw) (ш) - | Л {Н»} |" (со).
144
ГЛ. i. УПРАВЛЕНИЕ при случайных воздействиях
Формула (1.18) исключительно проста. Она н внешне и по су-
ществу*) сходна с формулой связи между амплитудами входного
гармонического виздсйстпкя и ус.ташиипипсПся реакции ла него:
| // (г%)р«7,
где ti»o — частота воздействия.
Учтем также, чти в силу (1.9)
со со
^ = Л,(0)-4; J |
— сю — сс
(1.19)
Пример 1.1. Рассмотрим случайный процесс ь'((), построенный
следующим образом: он является кусочно постоянным, причем зна-
чения Л| на каждом t-м интервале постоянства являются случай-
ными, взаимно независимыми величинами, имеющими одинаковую
плотность распределения рл(о), Altl.l—O. Длительность 6( интер-
валов постоянства — также случайные, независимые между собой
—«- .--------—• — • —1 ] -• ~
t С • V I I - Г , £ I------------------• с
"То -----------------------
Р.П’., 1.1
и независимые от всех /1, неотрицательные величины, распределен-
ные одинаково с плотностью
ре (ж) ~ ле~>х, д’^0. (1.20)
Реализации v(L) имеют вид, показанный на рис. 4.1. «Прыжки о
совершаются через случайные интервалы п имеют случайную вели-
чину, что объясняет зачастую используемое название для v(t) —
процесс типа «кенгуру*. Можно установить, что рассматриваемый
процесс является стационарным, причем
/?l.(T) = rfZ-’-"1, (1.21)
где
J (122)
— 00
*) Диказапо (см , например, {4.8]), чго стационарный случайный ирацссо
представим в виде суперпозиции гармонических процессов.
§ 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ И РЕАКЦИЯ ПА НИХ
145
Д?щ:гвигольнз, пусть Г,иг-гт — два произвольных рл.ч.'1ичных момента вре-
мени. Возможны ciiry<iitiiii: (1) оба момента принадлежат одному п тому
же интервалу постояпстоа (для определенности— 1-му); (2) они относятся к
ризничным и втер валам (рис. 4.1).
Пусть pi — вероятное ь 1-н ситуации, а 1—р,—вероятность 2 Й. Тогда
М (/) г (f |- т)} = М [,Г] ,?1 | М {.4Д} (1 - Г[) М (Л}| s>t - </лЛг (1.23)
поскольку значения /о z1j. относящиеся к любым различным нигерналам, пс-
>«ippe.<i>ipuvniiM. Осгяётсл оценить pi, иначе говоря, условную вероятность того,
что если Ц 55 ( < /( fj(, где t(—иичало i-ro интервала постоянства, a th—
его длительность, то u г< 55 t т <5 f, -)• 0«. Но определению условной вероят-
ности имеем
Рт ~ р {'1 <' + т < VI’ °Л <1 < *1+ °1} =
Р |_T<f. + o., t. < t < г. _|_
где в числителе указана вероятность одновременного выполнения обоих не-
равенств. Пусть т 5s 0. Тогда
СО
р {tJi>f.pT_fj}
г‘" Ч°1>£-Ч 7 "-с
] Аз ,jrrfx
‘-'I
Aitaani-trino при т 0 получим, что pi <А'. Объединяя об» ревульНггя, ла-
пищей, что нрн любых ч
р| •= е-’н|. (1.24)
ПоДстаноньа (1.24) в (1.2-1) доказывает (1.21).
Вычисляя ио формуле (1.7), паппем выражение спектральной
плотности
W / W? Г1 '
S„ (со) = ch, е~>“тс _>-iT|f?T' = f е !ft т е~,л&т + ( е— i-jlc’1-ro'r I =
—-ТУ \ {1 — СО }
rl / 1 _Ь 1 _ ~f- 1
/- ' <.>г-ЬА£ ”
Отмстим, что в силу (1.20)
Г9С-
М (0J = -4-.
4'
Таким образом, снекгральпая плопюг-ть определяется только диспер-
сией значении уровней /1, н математическим ожиданием длитель-
ности интервалов погтиянсгва (),.
Пусть г(0 янляетсл входным воздействием па систему с опера-
тором II (7?) = yvjiji 'i- Тогда с помощью (1.18) можно найти
1U А. А. Пергозпанскнй
146
ГЛ. 4 УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
спектральную плотность установившейся реакции
As 2/Д
= г* а , , "г ~2t
Т в> |- 1 о> I- !.
а далее вычислить дисперсию
1 I*
Jb.-Т-. ----°
J 7 w -f 1 w |- X
—оо
1.3. Вычисление дисперсий при дробно-рациональных спектраль-
ных плотностях. В приведенном примере спектральная плотность
оказывалась .чробпо-рацяональпой функцией <>’. Если ограничиться
только классом входных воздействий r(f). имеющих дробно-рацио-
нальную (но о1) спектральную плотность*), т. с.
Р„ (®3)
•'о = ‘S'v («“) — — 7“sji
<2r (w }
где Р», — многочлены. то можно существенно упростить решение
задач анализа и синтеза линейных систем.
Лсм.ма (о факгорилацин спектральной плотности). Если S„—
Яройно-рациональна и то аолмбжно представление:
ei'/c 71 ,.(/>)—устойчивый многочлен, a Ег(р) кроме, корчей а левой
полуплоскости, может иметь только корни по мнимой оси.
Д о к а а, я тс л ьс т я о сводится к применению леммы о факторизации мпп-
твчлеиов (§ 4 гл. 3) к многочленам /<(—рг), <2и(—//')- Отметим лишь, что из
ограниченности дисперсии р(Г),
□л ioo
j М“2)'л,> j М- /,2)^ (126)
X- -
следует, что St(—/>2) не имеет полвгсоп па мнимой оси, так что (?г(—рг) нс сме-
ет корпев на мнимой осп. в
Пример 1.2. Пусть
4в* (ы5)
1 ( ) ш *-)-.Ян2 4-4 V,. (<>*)
Тогда I’. (-!>'} ’ /i/r”(2f') (-2р) >/>,.(/>) = 2р, и
Р'-.'УЬ4 (р:- 1) (Pi-/O-(P t- !)(/' + 2) ( р+ 1) (- р + 2)*-
=>А,(р) (Р । 1Ц/И-2). □
*) Практически лто прециплоигевпе по лвляптся огриничптельнмм. Обычно
выражение спиктрилыюй плотности является результатом аппроксимации оце-
iioi;, получаемых но экспериментальным данным (см., например, [4.8, 4.10]) па
31 им классе функций.
6 1- СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ И РЕАКЦИЯ ПА НИХ
147
Б сил}' (1.18) спектральная плотность установившейся реакции
раина
(<.?)=п {Р) н (- р) sv (с?)=| .,
/1 .Ц---- fl) jp—.|U>
ГДО
/?(/>) «с p , A (p) — a(p)/1,.(/,), причем учтено, что
Л (/J)£ Винду устойчивости системы, a (p) — устойчивый мио
томлен, так чю /1(р) также устойчив. Таким образом, справедливо
представление
Г»?
= 23Г J (щ!) “ 2Н7 j dP =
—•<№ — ioc-
1 I
2ni
5(p)B(—д)
л to Л И р)^- <’-2'>
Ото представление позволяет указать простой способ вычисления г/„.
Предполагая, что А (р) не имеет кратных корней, можно записать
dv
(1.28)
где pv—корни /(р), л суммирование ведется ио псом корпим.
Д о к я :< и г е л I. с т и о формулы (USB) основы ваетсн ил теории функций
комплексной псрсмсппой. Отменим luipiKiita-iji.jbiiu, что deg Л (/»)>-deg Л(р),
поскольку deg а(р) 3* deg ()(/>) в силу уетойчиногггп системы, п deg?!,(/;) >
> degв силу ограниченности илтегра.то (126). Таким образом, на по-
луокружности бос: ко ио чип большого радиуса- ох ваты паю щей левую полуплос-
кость. подынтегральное выражение убывает пс медленнее, чем |р|-г, а следо-
вательно (см., папрпмер, (2.3J),
_L V В(У)Д(-Р)
2ni J A (?) -1 (— ?) Лр 2лi J -4 (j)} Д (— P)
— i:»
где интегрирование ведется Ito контуру, охватывающему' .левую полуплоскость
Значение такого интеграла равно сумме вычетов подынтегрального выражения
во всех полюсах, лежащих ипутрп aioio контура, что н прпиоднт к (1.28). *
Пример 1.3. Пусть II (р) = fa4) = —, 2 । ,t • Тогда
а(р)~р + 3. Р(р) р, И,.(р)“(/^1-1) (рТ2), />u(/j)“2/’.
/1(р) (р 1-3) (//+ 1)(гН- 2), П{}>) .2/)=,
Pl « -.1, }>2 - - 1, р3 = — 2, с/р = - I----». -.. D
Для малых степеней п мпогочлепоц А{р) интегралы пнда (1.27) та-
булиринапы н пидо функций лспосредствевыо сиг коэффициентов
10*
148
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЛ ПЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
А(р), В(р). Приведем формулы, удобные при расчете простых при-
мерен.
Пусть
А (/>) = a„p" + rtn-,/*’'"1 -I’... + «и.
В(р} -• bn-tpn~' + Ь„-,рп-г + ...+ ba.
Тогда значения интегралов вида (1.27) таковы:
/?.,(2йоа1)-’ при п = 1,
(^а0 + &*сг) (гЛцйхЯ»)-1 при п = 2, (1.29)
(^-2у;)у3-ь^у1-|-^у3 =3г
2ао“ з(Л1в® — ао“я)
Указанные формулы прямо вытекают из (1.28)*).
Пример 1.4. Вычислим в явной форме дисперсию установившей-
ся реакции, интегральное представление для которой дано в 11.1.1:
лу 1 ? rfp
2Л-- Д („ 7-у I 1} („ ,? т ^у
Здесь
А (р) • (Тр -1- 1) (р + Z) Тр- I ( Гл -I-1) р -I- А,
//(р)=1.
Имеем п => 2, аг — Г, а, =* Гл + 1, «4 = X, Ь, — 0, (>„ = 1, так что
rfv 1 л
2)Л*3 2Vi J ТЛ । r
□
13 дополнение рассмотрим ситуацию, когда выход является сум-
мой реакции па взаимно некоррелированные случайные воздейст-
вия, т. е.
у (0 2.v(Ji (0 - 2 f (t)(i -т) (i.3O)
I 7.
где М(у(,) (0р(!,> (^ *“ т)^ “ 0, при любых t, т. Из взаимной не-
коррелированности воздействий вытекает взаимная некцррелнровяи-
ность величин у!!> (i) при любых t, а тогда
ИД/, т)-^//‘п(/, t), (1.31)
I
•) При п > 3 дли вычисления интегралов типа (1.27) можно использовать
wKyppciiTiivJO процедуру тина алгоритма Риуса, он в санную, панричер, в
[4.5, с. 152].
§ 1 случайные воздействия п реакция па пих
149
а дли установившейся реакции имеем
(о>) = 1 (й) = S | Нт (to) |а («),
(1.321
РО '
—оо
1.4. Распределение вероятностей. Нормальные процессы. Корре
ляциоппое описание случайного процесса является весьма бедным.
Одну и ту же корреляционную функцию могут иметь процессы с
совершенно различными реализациями.
Пример 1.5. Рассмотрим случайный процесс,, задаваемый форму-
лой
я(£) с* л cos(Q$-I* Ф), (1.33)
где а — детерминированная величина. a Q и Ф — случайны. Каждая
реализация х{1) является гармонической функцией с некоторым
фиксированным значением Q и Ф из .множества возможных реали-
заций этих величин.
Вычислим некоторые характеристики х(1), предполагая, что £2 н
<Г> независимы и плотности их распределения равны Pu(v), р.г,(<р),
причем
Рф (<f) *" Л77 ’ 0 < Ф < 2л. (1.34)
В каждый момент I значение ./(/) является функцией случайных
величин Й и *1’, так что ио определению
л«х (Г) —
CQ 2Л
= М'дф {a cos (QZ -|- Ф)} = l Jv | a cos (vi -1- <р) (v) рФ (<p) dtp =
—w о
□С
= 7~ j Pq (*) i ct)s (''# *?) = 0.
—'* Iz V
Таким образом. x(t)—центрированный процесс. Найдем далее кор-
реляционную функцию
А\. (/, т) А М {т («) г it + т)} =»
= М..,.!. (ч cos(£>Z -|- Ф)дс<« (Q(( -1- т) | '!•)) =
IKV „ Л
‘“ZF \ 1- q)eoHv(t-rT) 4-<pWq> -
— *• (I
— \ pu (v) cos vu/v А /?л. (c'. (1.35)
— до
150
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Следовательно, x(t) стационарен (в широком смысле) Вид его кор-
реляционной функции зависит от распределения частоты £2. Пусть,
например,
1 1а
Тогда подстановка {1,3(1) и (1.35) дает
2 2
Кх С0 = Тг ад — “ V* (1 -37;
Убеждаемся, что корреляционная функция имеет точно такой же
вид, как и для процесса типа «кенгуру», описанного в 11.1.1, хотя
форма их реализаций не имеет ничего общего, □
Поскольку случайный процесс есть семейство случайных вели-
чин, то для более полного описания процесса можно использовать
совместное распределение значений процесса, относящихся к раз-
ным моментам времени.
К сожалению, даже если задано такое многомерное распределе-
ние для входного процесса v(l). подвергающегося линейному преоб-
разовали» (1-13), то вычисление соответствующего распределения
выхода y(t) затруднительно.
Единственным исключением является ситуация, когда входной
процесс—нормальный, т. е. совокунноель его значений И(Л),______
..., i>(M в любые моменты времени .......t„ совместно распреде-
лена по нормальному (гауссову) закону. Можно доказать (см., на-
пример, |4.8]), что и выходной процесс у{1) также оказывается
нормальным.
В пределах данной главы мы будем интересоваться только одно-
мерными распределениями выходных процессов, т. е. распределения-
ми величин р(() для любого t. Если //(!) —нормальный процесс, то
плотность одномерного нормального распределения дается формулой
7М0 (?/) = ехР (- [У “(4)П’ '38>
у 2лра (/) [ -% V-1 J
Таким образом, вычислив математическое ожидание и дисперсию
выхода, мы устанавливаем и одномерный закон распределения*).
В частности, если mb(0 = 0, db(l} = (L, то
и также ио зависит от времени I.
Тем самым можно ответить на ochobikih вопрос анализа систем
управлении: какова вероятность тоге, что в любой момент времен:!
работы системы в установившемся режиме ныходпой процесс не
•) Для иадииия любого копечиомерною распределения нормального про-
цесса достаточно иметь его корреляционное описание H-SJ,
§ 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ И РЕАКЦИЯ ПА НИХ
151
выйдет за пределы допустимого диапазона, например, за пределы
отрезка [~б, 6|. Обозначим ее рй. Тогда, если известно, что входной
процесс о(<) является нормальным и центрированным с. заданной
спектральной нлоттгоетт ю Л',., то устаповивтанс» реакция также пор
,мил1 на и центрирована с дисперсией вычисляемой согласно
(1.19), а тем самым
О Л
Рой | р,(о(У)с&=* I lZ4^ е-Ч> !- 27рУ Ф(тг)’ <ЬЗУ)
где п„. Л и использовано обозначение для интеграла вероят-
ностей
___ X
Ф (х) Л j/ j (1.40)
о
Если б — Зп„, то
рл = Ф(3)>0,99, 1-р4<0,01. (1.41)
Конечно, Ито справедливо только JI.Hi нормального процесса. Если
жо распределение инне пли вообще неизвестно, то мы можем лини,
дать оценку вероятности выхода ил допуска по известным математи-
ческому ожиданию и диспсрснк. Эта оценка следует пт к.тасхшческой
теоремы Чебышева:
Р{|у(О-'ФЛ>й}<-£- -(4/. (1.42)
Г! частности, при б « Зос и т„=-=0 имеем
1 - Ро А Р {IУ (I)| > 6} < 4* (t•«)
<?
Оценку (1-42) можно уточнить. Если, например, известно, что кри-
вая плотности распределения симметрична и еодпогорба», то [4.4,
с. 207]
(1.«)
Тогда при б = Зпу имеем:
1 —Ра <0,05. (1-45)
П.т практике лачяслую отождестваиют величину —утроенное
среднеквадратичное отклонение — с всличипой иотможпого «размаха
колебаний» процесса*), хоти, конечно, ото не вполне верно: зная
математическое оягпда! не н дисперсию, мы хюяссм дать лишь вероят-
ностную оценку возможного «размаха» и невыхода его из допуска.
) Такой видход иногда называют правилом Зо.
152
ГЛ. 1. УПРАВЛЕНИИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
§ 2. Оптимальный выбор передаточных функций
2.1. Мннпмнзацпя дисперсии ошибки. Рассмотрим систему с об-
ратной связью но ошибке управления, измеряемой с помехами.
Согласно формул» (3.4) из гл. 3 имеем, что ошибка является ра
эультатом .тннсаишго преобразования сшнала s(Z) и помехи A’6(Z),
задаваемого операторным соотношением
в(Х) = [1 - //i(D)]s(Z)+//,(D)At.(Z), (2.1)
или в яшюй форме, прп нулевых начальных услщшях,
t 1
е (/) = 1 kse (т) s (i — т) cfc + J Лдс (т) Л’е (I — т) dxt (2.2)
О о
где йвг> h:li— весовые функции, соответствующие п.ф.
н}1 (р)£Л — По (р)I Hxt (р) А Н3 (р).
Предположим, что епгпал п помеха являются стаппопарпымп
центрированными взаимно пеззвнеимыми случайными процессами со
спектральными плотностями <S\(«), 6’ft(w) и ограниченными дис-
персиями.
Если система является устойчивой, то в устлпппвпшомся режиме
ошибка e(Z) является стационарным процессом и ее дисперсия d,
дастся формулой типа (1.32):
1
1X5
& = i J {11 -//а (,’w) I3 +1Яз <1®> Is fto- (2-3>
Дисперсию ошибки можно считать хорошей мерой точности системы
управления, работающей при случайных воздействиях. В частности,
чем меньше дисперсия, тем меньше и гарантированный допуск, из
которого не может выйти ошибка с требуемой малой вероятностью.
Поэтому естественно попытаться выбрать н.ф. замкнутого кон-
тура так, чтобы дисперсия ошибки была минимальной. Оказывается,
что эта задача имеет эффективное решение, если спектральные
плотности сигнала п помехи являются дробно-рациональными функ-
циями в»2, а следовательно, допускающими факторизацию:
яв {/>] Я, (- /)
Ду (pl V (— р)
Яд- (/л) Яд. ( />)
В силу (2 3) дисперсия ошибки </, завпелт от задания п.ф. Н ,(})).
Представим эту завпсимосп. символически в виде:
(2.5)
§ 2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫБОР ЦКРКДЛТОЧН1ЛХ ФУНКЦИЙ
153
Теорема 2.1 *). Пусть многочлен
Д (р) =* Ь’. (/>) (~р) Л« (Р) Л-v (-Р) ~ (Р)(~Р)-4.(Р)Д. (~р)' (2.6)
не имеет корней на мнимой оси. Гогда, каковы бы ни были усгойчи
вые 11г(р), имеет моею неравенство
(2-7)
где И Л(р) вычисляется согласно алгоритму:
1) произвести факторизацию многочлена Д(р), представив его в
виде
Д(р)-ЛЛр)Д+(-р), (2.8)
где. Д+(р) является устойчивым-,
2) произвести сепарацию функции
в, (р) вг {- рУ А- (- р) 9П
ZWA-------АЫЧ1-Й (2'9)
представив ее а виде.
2(p) = ZJp) + ^-(p), (2.10)
где. Z,. (р) имев с полюсы только в левой полуплоскости-, а 7.-{р) не
имеет токовых-,
3) закисать НЛ (р) в виде
Я*<р) "* Z+^)- (2-11)
Д о к а я я т с л ьс т1. о biidhi. базируется на теории функции |2.-3]. Пред-
ставим произвольную ?/а(р) и виде
7/j (/?) + Ч (р>, (2.12>
где г)(р) также обязана быть устойчивой. Рассмотрим подыптсгральпос выра-
жение а обозначив его <?(//,(/?}}. так что
jse
I <7 {/Л, W) с?р. (2.13)
— fOD
*} Автором теоремы 2.1 и со.тержтцегося в пей алгоритмя построения оп-
тпилльпой п. ф. яилнется Н. Винер, которому приняд.тежпт заслуга введения
веролтпоепк’хо подхода п теории) управления. Докяиятольгтпо. даянии II. Ви-
кером. <1с.1Юн1.1пастся им построении innei [>алып)го уравнения Пинерп — Хоифп
отиоситёлт.но иеспной функции. Принедоииоо докааатс.чыпч«1 болеа просто, од-
нако сам алгоритм hiU'.i.mii громоздок. Существует много ciii>c<>i*i(>n его уирлше-
п>|>|. В часглости, и |4 2) прсдлагпстся иейольаоппп. дли получении решении
лишь тот факт, что лес полюсы И* (д) coiiiin.'inioT г. «хорошими» кприимн Д(р)
При aiiiiiriiit атих корпий остается няйти лини» >;<1и[1фицнеиты числители
/7* f/Л. от которых чиипмияирусмал дисперсия зависит как ква/ip»гичная
функция.
154
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Нопосрсдствеппые выкладки дают:
G {//., (/>)} = G р; (р) I + С, {») (/>)} + n (р) п ( - р) Н- Т] (- р) Я (р), (2.14)
•де
6’i М А ’• М ’•р) I s'» (“ 1 5л ,,SN‘
, Д i. ОО Л ,. (— р) Л. (р) Я, (— р)
л<р) Л Яв (р) Л(р) ^v(p) Лд_р) Лд. (_р) - л, (р> Л1-/0 '
С учетом (2.5) —(2.11) получаем:
Г я Л+(Р)
" (р) 31 А (-Р)^ <-7О р W Я, (р) <v (7" ~ /(z,) =
(- р)
= " A(-p).4v(-p)7-<^'
Следовательно, Я(р) не имеет полюсов в левой полуплоскости. Поэтому
ф т] (р) Я (— р) с/р — 0, ф »] (— р) /I (р) с?р — О, (2.15)
если в перлом случае пптегрнровпипп ведется па контуру. охватывающему
лрпную HOjiyn.KjcKocTi., а но втором по контуру, охватывающему левую полу-
плоскость. Нетрудно njioiiCpiiTb, что Я(р), а гледоин n‘jit.ii<i >|(—р)Я(р), уАывяе.т
па иолуокрушнастн большого радиуса р по moa iciiiioo, чем р~г, и из (2 15) сле-
дует. что
J Ч (Р) Я Р) = 0, [ д (-р) Я (р) <1р = 0. (2.10)
-<»
Тогда в силу (2.13), (2.14), (2.16) имеем
J{ns W} = -4/ya ^'’1 +Л<1»-
4<тп
\ ci 'п) “2^ I ’1<л)п;-г) [А (-р®) l Av (-/)] яр,
— ice —i»
(2.17)
и, поскольку Л {I]} 5? 0, устанавливаем (2.7).
Приводом иристейшпй пример приложения Г.2.1.
Пример 2.1. Пусть
27. 2Л *•
Л', (<п3) = —;—^—5 (I., Л' ч (<ог) = —-— (1у.
и>" I )., W Ад.
Тогда
2/.J/, /2М, /27.Л
ft 2 ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫБОР ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
155
так что В.(р) =» T2?»,d., Л,(р) = р + Х., и, аналогично,
Вк(р) =“ }'2ХКНк, А .V (/>) = р "1' ХК.
Составим согласно (2.6)
А (/,) - 2ХЛ. (— ;? + ?Л) + 2Ы» (- р» 4- X.7)
™ —2(XArf, 4* Хд-djv) р3 4- 2Х,Хд (Хус/, Ktdy).
Тогда в результате факторизации получаем
Д+(Р) = а(р + Х), а>0, Х>0.
где 2 (Ъ^ 4- X.yd.v), Х2а2 £ 2XeX,y (kyd, 4- Mdy). Сепарации подле-
жит функция
2ХА(~р + ?.л.)
(-р 4-Z} *
Разлагая ее на простые дроби, получим
> .у " X 1
лл 4- X — р I- л
Но определению 1-о слагаемое есть Z_(p), 2-е — Z_(p). Таким обра-
зом, можно за писать согласно (2Л), что
n't \ (/'+X,) (р4-?.л,) 2Z.rf, Л, 4- Хъ; 1 , р4 - >.,у
а ““ и {р 4- л> и ;.л -|-р 4- Z, р х '
,.Л 2ХЛ Z,4-XV
Вычислим минимальное значение дисперсии установившейся ошибки:
= Ж*(р)! =
j Г f | (I — М р4-— W..Y|a ^Xy-iy
-т— • ----------------------t-idf 4---------------т
ЛI ।(ju+Л} +i 1 ('j+Z) 1
Это стандартный интеграл типа (1.27).
Используя формулы (1-29). находим, что
. (1-/>)‘-ZZ,4-(Z-M,y)2 /АЛ.
*----------ЦГГД)----------d- °
2.2, Оптимальный закон управления, lic-чп числи гель и знамена-
тель н. ф. объекта япляюгс.я ус.тцйчип1.1мп. то метод динамической
компенсации диет простои способ нестроения и. ф. закона упрлв-
лення.
(2-18)
по заданной 1ке.тасмой и. ф. замкнутого контура. Естественно было
15G
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
бы Припять
//«'(D) = Я3* (П), (2.19)
где Я., (1))— п ф., обеспечивающая мпннм.члыюе аначепПс диспер-
сии уст»повившейся ошибки.
Однако 'адегь возможны неприятности, связанные с нпиедеппсм
управляющего воздействия.
Из уравнений
е = [1-ялп)Ш + ад>).¥(0,
и-Я,(Б)[к(?) + .¥(?)| ( }
следует, что
и (?) = Я, (D) [1 - Я8 (D)] [з (?) ^ .V (?)] .-= 11^ (D) ЯЙ(Б) (з (?) + Л (/)],
(2.21)
где учтены стандартные обозначения
Я3 (D) д Яр (1)) (1 + Яр (D)] 1, ЯР (D) д 17,,, (D) II, (D).
Б силу (2.21) дисперсии управления и установившемся режиме
равна
— 1 | Я, (<11>) р | Я„р (/«)) -’16\ («) •] .$,ч (<..))! rZ«. (2.22)
Для того чтобы дисперсия управления была ограниченной. не-
обходимо убывание подынтегрального выражении при от -► «о. а ато
не гарантировано при выборе Я. (1>) согласно (2.19).
Пример 2.2. Пусть сигнал и помеха имеют характеристики, ука-
занные в П.2.1. Там же была найдена соответствующая оптималь-
ная п. ф. Я3 (D)
» И ' Av
Пусть объект задан простейшим уравпецпем:
(ZD + l)p (/) = «(?).
Согласно (2.18), (2.19) получаем
ЯДБ)
I, <7Г> ' П(1) ' >.ч)
__ !
'> + —Р--/ДЛ')
Эта п.ф. нс является строю рсалнзуемнп, н. что более сушсгтведши,
дисперсия «(?) оказывается неограниченной, поскольку порядок
числителя п знаменателя в (2.22) оказывается в ;пом случае оди-
наковым. □
§ 2. ОПТИМАЛЬНЫЙ 1ИЯВОР ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
157
Вывод: воз.иозгны ситуации, когда использование оптималь-
ной п.ф. Нк (D) оказывается неприемлемым, поскольку оно при-
водит к неограниченной дисперсии управлении.
Во избежание итого следует изменить постановку пядачи выбора
Л. ф. Потребуем, чтобы желаемая досгавллла минимум
установившейся дисперсии ошибки
оо
de = A- J {11 - Я. («о) |2 S, (<о) + I Яа (to) I2 («.»>} (2.23)
— W
при дополнительном условии, что дисперсии управления не превы-
шает заданного уровня
^<6;. (2.24)
1 —
«Правило За» позволяет утверждать, что при 6,х =-у и выполнение
условия (2.24) гарантирует невыход управляющего воздействия на
пределы допуска :Ьй с вероятностью выше 0,99 в любой момент ра-
боты в установившемся режиме, если сигнал п помеха распре делены
нормально.
Для решения задачи па условный минимум используем извест-
ный из анализа метод множителей Лагранжа, но и несколько изме-
ненной форме.
Составим выражение
Sf(O) (1 -0)rf.-l-UrfM, (2.25)
где 0 — неотрицательный множитель, О-.'О <-1. О1.......«дно, что
lj'(O) = dc. J?(l)=rA,, а при любом промежуточном значении 0 вы-
ражение (2.25) является «взвешенной» суммой d, и <7„.
Справедливо следующее утверждение*).
Лемма. Существует такое 0*, что решение задачи минимизации
величины S?(0*) путем выбора Н., эквивалентно решению задачи
минимизации d* при ограничении (2.24) на величину </.2. При этом
0* удовлетворяет условиям:
лш5о0* = 0, £<6“ {2 20)
либо 6* >- 0 и rfu = (V.,
еде du есть значение. (1„ при Н3=* Н3.
Выпишем подробнее выражение, 5^(0) с учетом (2.22), (2.23):
Г (0) - ~ | {| I - П, («и) |2 S’. (<о=) I- | П, (йо) ]’ А’л- («г)} <]<.>, (2.27)
•) /1<пс».ш1ельст|>е можно июни, например, n f-i.7, е. 540). Если О =А 1, то
величину р 5= (1(1 - (I)-1 можно ряссматривить как обычный мноэчпель Лаг-
ранжа (см. также гя. 9. § 1).
158
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
где
5, (<оа) А (1 - 6) S, (нЛ),
X (2.28)
S.y (<?) А (1 - 0) А\ Р) + о | нuv (iW) |-» [S. (<.?) н- SA (»«)|.
Таким образом, формально (_£ (0) связано с выбираемым //, точно
таким же образом, что и dr, с той лини, разницей, что выражении
5, (от’), 5н(<о’) заменены на 5*,(га1), ^(ог).
Поэтому для оптимального выбора Н, можно применить алгоритм,
описанный в Т.21, если в нем заменить многочлены А„ /l,v. В„ В#
на соответствующие многочлены Лк, Д,, Bv, получаемые п ре-
зультате факторизации Sw*). При этом значение параметра 0
не фиксируется, т. е. выбор производится для произвольного 6, ко-
торый затем определяется из условия (2.28).
в ходе
Изложим модифицированный алгоритм непосредственно
решения простейшего иллюстративного примера.
Пример 2.3. Пусть
(®а) = -^-7 Sy (<02) О
ы* Ч-
н
1
riuV(p)
Тр -I 11
т. е. сохранены услопия 11.2.2, по помеха отсутствует. Решим
минимизации с/, при сиранпчгпии (2.2zi) на Согласно
имеем
задачу
(2.28)
/2(1—0) ?,лг /2 (t — It)
(«р) ---—77----------—3-----
j>2'
Г т *, — Г -Г p-lw
<$.у (со2) = 01II uv (гео) | г (о>2)
iTp 1) гр-Н)
“ Р -I- л, -Р-Н.,
так что . . ____________
В. (р) = Г 2 (1 - 0) Ме, X (р) = р +
Лк(р)=Т20Ы.(Тр + 1), JK(p) = p Н„ = Л(р),
Составим по аналогии с (2.6) многочлен
Д (р) •= II.(р)27,(-р) .T.v(p)2.v(-р) •- Лл-(р) Л,-. (-р)Л,(р) Л. (-р),
(2.29)
•) Имеются некоторые трудности и обосновании применимости алгоритма,
Москольпу йог гарантии убыплипл Яу(и>) па бег.кпиочнистп. Уто спойсгво по
сгулиропалось для З’х(<>>) и косисчню iicuo.-ii.yuuu.iiici, при док.тзагсльсгво Т.2.1
при исслсдовапип поведения П{р). Олкппо доказательство можно изменил.,
учитывая, что иа самом деле необходимо лишь гарантировать подходящее по-
ведение на бесконечности произведеиця ц(—
§ 2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫБОР ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
fW
принимающий в данном случал кпд
Д (р) = (р + >-.) (-/» + ?.,) 2Х.А[(1 - 0) + 0(-ГУ +1)];
произведем его факторизацию:
л(р)-лЛр)АЛ-р),
где
Л<(/') - >'2М. (р + ?..) ( П Up + 1).
По аналогии с (2.9) определим
я 3, (р) (— л) Л -
Z р) ----------=----------,
А (р) Л., (- л)
так что в данном случае
(1 - 6) V Тг.г.
1 (р) = ------------------7.
(p-l-A)(-ryaP-i-i)
В результате сепарации получаем:
~ ft — ft) УгЦГ. 1
'+ ° (г |/о А -p 1) Р I- А’
откуда находим пыращеппо
, ч А (р) ?1Д. (р) >,
//л /’)----;
А I- (Р)
или
туг, ч t-e______________________________1
J т /о a-I-i г yop-i-Г
(2.30)
Дли определения 0 по условию (2.2G) необходимо предварительно
вычислить значение дисперсии управления du, соответствующее,
согласно формуле (2.22), И, {р} = Йя (р).
Имеем для данной задачи
оп
, П 1 Г I 7>-Н |а J
где
С Л и-РГ____
2АА “ ’ oust.
Ишеграл имеет слипдартнын пид (2.13) при п =2. Воснользоиав-
шнсь соответствующим выражением, найдем
(t - (|)!(7К+ Уо)
du = Ат (0). ч> (0) •
4G0
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧ ХППЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Теперь предстоит определить 0=6* из (2.26). Очевидно, что
1-й вариант невозможен, поскольку при 6 = 0* = 0 имеем ~
"»<2,Ф(0) = оо, что било выяснено еще в П.2.4. Во 2-м варианте 0*
находится как положительный корень уравнения ф<р(6)«- fit- Найти
ого точно даже в данной простей шей задаче ня удается. Ориенти-
ровочный вид функции ф(В) показан на
рис. 4.2. Штриховая кривая асимптотиче-
ски близка к <р(0) при малых 0. Ясно,
что при достаточно больших впадениях
необходимый корень В* мал и
близок к величине, соответствующей абс-
циссе точки пересечения асимптоты с за-
данным уровнем:
в*а(^ЗД3<1.
Подставляя его в (р), получим приближенное выражение
для оигимальпой п.ф.:
^W-FWTTT-
Ото п.ф. типа фильтра Баттерворта 1-го порядка с ы„ "(7,} 0*)г|,
т. с. с большой полосой пропускания. Последнее понятно из кпчсст-
яеипых соображений, поскольку помехи не учитывались, а ограни-
чения па уровень управления принимались «слабыми» (допускалось
большое fi„).
Ниже будет показано, что при аналогичных условиях пф. типа
фильтров Баттерворта всегда дают результат, близкий к оптималь-
ному, независимо от поведения спектральной плотности сигнала.
§ 3. Грубость и коэффициенты чувствительности
показателей качества
3.1. Основные попятил. Чувствительность корней. Еще раз вер-
немся к проблеме, поставленной в § 6 гл. 3: если свойства системы
окажутся отличающимися от тех, которые предполагались в ходе
расчета, то как будет вести себя реальная замкнутая система?
Здесь мы произволом систематический анализ этой проблемы,
считая отклонения этих свойств малыми. Ясно, что возиикповепне
существенных отлпчий в гюведепни даже при сколь угодно малых
изменениях свойств делают метод расчета практически непригодным.
Поведении системы оценивалось различными величинами, пака-
.готеляии качества, и целесообразно изменение поводоипл характе-
ризовать именно черев изменения этих величии. Любые малые изме-
нения свойств системы сведем для простоты к появлению отличий
в ее описании, пропорциональных малому числовому параметру
р.>0.
$ 3. ГРУБОСТЬ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ l£il
В связи с этим введем следующие формальные понятия.
Определение. Показатель J пнлыивстсл грубым ио парамет-
ру н, если он непрерывно зависит от р в точке р 0, т. е.
lim./{p)=J(0). (3.1)
|1 -.1
Если ялнпснмш-.гь 7(ц) дифференцируема при р=0, то показа-
тель J груб uo |i. а величии^
/(0)д4<-| (3.2)
- ар Ь>-(> ' >
называется его кол/yfw ({центом чувствительности.
Если 7'(0) = 0, то показатель называется нечувствительным, ин-
вариантным «в д-пло,ио.
Разъясним эти понятия для рила важных показателей.
Предварительно приведем без доказательства один классический
результат из анализа.
Лемма 3.1. Пусть Л(р, р) — многочлен от р. коэффициенты ко-
торого являются аналитическими*) функциями р. я окрестности
<1=0. Тогда, если ?.».— простой корень многочлена Л(р. 0), то су-
ществует корень Д(р) многочлена. Л(р, р), аналитический по р
и такой, чти ?.»(0) - = л„ м
*^£1 __(Мйн8)-«Яыа1-.. о..()
</р In-V \ "Р ! "II 1н-ч
Если лес X. — корень кратности г, то существует г корней (п)
многочлена ;\(р, р). вообще говоря, рвлличных, но таких, что Х»(0) =
Функции ?.,(р) не нна.1чтичны пл р, по любая ил них анали-
тична по параметру н, ДJp1 ,n|. т<7.
Пусть многочлен Л(р, р) является характеристическим много-
членом системы. Значения его корней являются важными показа-
телям:! качества. Из леммы следует, что если
de?A(/>, |i) = <lcgA(p, 0), (3.4)
т. е. число корней этих многочленов совпадает, то все корни Х..(и)
мпогйч.пч1:1 Л(р, ц) грубы но р, по коэффициенты чувствительности
могут быть определепы только для простых impiteii и даются фор-
мулой (3.3).
Пример 3.!. Пусть Д(р, р) — рг + 2рр — 1. Мпогочлеп Д(р, 0)
имеет два простых корпя, К,»”!, ?« = —!. Их коэффициенты чувст-
Jiiiri'.Ti.iioCTii, в силу (3.3), равны
г- —(2/1 4- 2|i)~*2pL-1 — — 1, /.г— — 1.
. In-wi
*) Здесь в далее в атом ппрагрпфе аналитичность означает сусиестоовяппо
раялоа.опля в jura Teii.Miji:t. (.knoiniaii результат леммы—пспог.ре.дсгвениое
следе iHiic теоремы о веянной функции.
И А. Л, Периоиаивсгий
1G2
ГЛ 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ Н03ДЕЯС.ТВИЯХ
Если же Д(р. р)«= р~ -I- ц, то Л(р, 0) имеет двукратный кореш, /., =
= 0, которому, очевидно, соответствуют два различных Корин
Л (/?, р):
X,(p) — tVp, AJp) -il'ji,
причем оба пелнффереицпрусмы по |i при Ц 0, так ............ кпэффп-
циенты чувствительности ио определены. О
3.2. Сннгулнрпыи случаи и системы с большим коэффициентом
усиления. Дли приложений особо интересен случай, в дальней!нем
называемый еггя/г/ллдяылг, когда условие (3.4) не выполнено, г. с.
при ц = 0 обращаются в нуль г>0 старших коэффициентов много-
члена Д(р. ц). 13 этом случае нет даже гарантии ц>убоств всех
корней ?.v(ii).
Пример 3.2. Если Д(р, р)= рр* + (1 4-р,)р4-1, то Х; = —р“‘,
2.2(11)=—1, в первый из корней пе имеет предела при ц -»• 0. с
Важную информацию о сингулярном случае даст следующее ут-
верждение-
Лемма 3.2. Пусть
Д(/А Ц)= Рл(Я ',’^(/0. (3-'>)
гЛе
/1 (р) Л а„р>' -I- а„-^Р'‘ ’ 4- ... + «...
Н(р) Л Ьлр- -} //,„ .р'»-1 |... I Ло, гЛи — ш>0.
Тогда при (>»сгогочип милых ji>0. in корней /\(р, ji) Р>.1члки 1: tn
корням 11 остальные г корней имеют осимнтотическос ирсд-
стичлспие ччда
XvOO-prH.'v + OOh)!, (3.6)
где р, Л |iv'>0, a Sv—корни уравнения
ansr + bm = 0. (3.7)
Доказательство. Первая часть утверждения прямо следует из лем-
мы 3.1. Для доказательства второй введем замену переменных е— p]" в. Тог-
да нетрудно’получить оредстанлслие:
Л1 »*1) 1‘1,д (/'» Р> = "п1'” + Bi0»-/'"’
... -I I I I- - I-РГЧ- (;з.S)
Многочлен A)(s, |i() апплитнчеп по щ. причем
A,(s, 0) s,A(«„.v' 4- Ли).
•гак что Ai(.', 0) имеет г корней (’.огласив лемме 3.1, мшиочлеп Ai(s, Pi) при
достаточно малых р> им«шт г близких корней
Sv(jll) — S»4-«(|!|). v «= 1, .... Г.
Теперь иэ (38) сразу следует, что при достаточно малых ц>0 (р> > 0) мно-
гочлен Л(р, р) имеет г корней вида (3 6).
s s. грубость и коэффициенты ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ Юз
Прямым следствием лемм является следующий результат.
Теорема 3.1. Пусть xapaKrepiicnuwcKitu многочлен \(р, ц) ана-
литически зависит от пирометра р п окрестности ц = () и устойчив
при и • (). Тогда, если в лгчй окрестности выполнено условие (3.4),
То \ {р, р.) также является устойчивым при малых р>0.
Пусть б(р) —степень устойчивости \(р, р), г.
й(р) Д min { — Ис Xv(р)}; (3.9)
тогда при, выполнении указанных условий- степень устойчивости- —
арубый показатель свойств системы. Если, болев того, существует
единственный корень 7., многочлена. Е(р, 0) такой, что Re Xt
=—6(0), то может быть определен коэффициент чувствительности
ото г о показателя;
36 ф)
dp
= Rft 7?д ц)
др
(3.10)
я-ч
Если же условие (3.4) не выполнено, но А(р, р) удовлмворяет ус-
ловиям леммы 3.2, то сохранение устойчивости при малых отклоне-
ниях от нуля гарантировано только при- r==> 1, aj>m' > О, а при г>2
многочлен ;\(р, р.) неустойчив.
Д и к a ;i а т с л I, с т в о. CirpancHJimviCTl. (3 10) следует определении (3 !))
и формулы (3.5). Пнслсднсе угиержденно iii.iick.-ict ii.t леицпгопг1<тк1>1о пред-
СТП11ЛО1П1Л (3.6).
Мсл.ло считать. что >0 (к >1||.?гиош1М слут; неустойчивость следует
в.т критерии Сгодолы). П силу (З.С) имеются хирпк вица;
'-V (И)
V = 1........г, (3.11)
ранноиер-до расположенные па окружности большого радиусе иорлдка |р-1/г|.
lip*.! г »= 1 имеется только один такой корень, расположенный к левой полупло-
скости. При г = 2 два корни близки к ыпимой оси, и требуется лополпптель-
Г1ыи апа.тиз ан.чкн величии мсиыпего порядка милости, для того чтобы выле-
пить, пе являются ли они «плохими^. При г > 2 явкедочо имеется хотя бы
один «плохой» корсит, с большой положительной пещеелвеяной частью.
Практически существенным нвллотся вывод: .мялыо сингулярные
возмущения, вызывающий изменение степени характеристического
мпогочлепи более, чем на 1, могут вызвать катастрофические по-
следстяпя: n:i устойчивой система превратится в неустойчивую с
очень быстрым уходом от состояния р.типоиесил.
В качсстне важного приложения рассмотрим систему с обратной
Связью, описываемую уравнениями
?(Х>)'', /(В)н = -Х(1>)у, (3.12)
И Примем, что
/.(D) = -1-MD), М0) = 1,
(3.13)
11*
1114 1Л. i. УПРАВЛЕНИИ ПГП СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕПСТВППХ
т. е. будем считать сигнал обратной свизп пропорциональным боль-
шому коэффициенту усиления р'1. Характеристический многочлен
замкнутой системы имеет вид
А (Р, !1) — «(р) / (р) -1- — f> (р) kv (р).
При его корни совпадают с корнями многочлена типа (3.5),
И<х(р)/(р) + ₽(р)/^ (р).
Если
deg {а (р) Ир)}- deg {3 (Р) (Р)} = г > О,
то при увеличении коэффициенту усиления (уменьшении ц) часть
корней приблизится к корням Р(р), к<,(р), т. е. к корням знамена-
теля и. ф. но остальные г корней будут стремиться по моду-
лю к бесконечности, и при ?‘>2 система заведомо потеряет устой-
чивость.
Не следует, одвакй, думать, что любые сингулярные возмущения
приводят к катастрофе. Это ясно, например, из следующего почти
очевидного утверждения.
Лемма 3.3. Т!уе.тъ справедливо представление
А(р, р) = А0(р, р)р(рр), (3.14)
где р(.ч) —многочлен такой. что р(0)“ 1, а Л.,(р. ц) —многочлен ог
р, аналитический по ц, и при любых достаточных .малых р
deg Au (р, 11) = deg Л„ (р, 0).
Тогда при р,0 часть корней Д(р, р) приближается к корням
А®(Р. 0), а остальные — к кор.чя.ч вида. p._’s„ где S,— корни, о (л).
Если- Д0(р, 0), p(s)—устойчивые многочлены, то при- достаточно
малых и >• 0 многочлен Л(р, у) устойчив, й)
Рассмотрим вновь систему с обратной связью типа (-3-9). Пусть
а(р). р(р) —устойчивые многочлены, а для выбора обратной связи
применен метод компенсации, и силу которого
А-(д) _ а '.Е> fl4 <r\ J-,
I (/) — Р (Р.) а'1 (р) — р'' (/,) ’
где aJ(p), fr‘(p)—заданные многочлены, причем с?(р) устойчив
Примем р''(р)ет1. ct“(p) = p(!‘p)1 где p(s)—многочлен, оппсаи-
цын н условиях леммы 3.3. Запишем также р(*)А 1 •4-л,р1)С<). Тогда
1—. (3.1G)
I (Й и 1Нг) Й>0НЧ-}
Таким образом, при малых р. вшнп. предлагается „ведение обратной
связи с большим коэффициентом усиления. Однако в этом случае
характеристический многочлен замкнутой системы равен
А(р, ц)“а(р)Р(Р)р(1’Р), (3-<7)
g 3. ГРУБОСТЬ И кОЭФЧиЩИЕНГЫ ЧУВСТIIHTF.il(.ПОСТИ
165
и устойчив при сколь угодно малых р, г. е. при сколь угодно боль-
ших коэффициентах усиления.
Напомним, что именно такал схема предлагалась и гл. 3, § -1.
где было рекомеидопапо выбирать п.ф. лнмкпутого контура и вице
где X»(•*?)—устойчивые многочлены Баттерворт;!, я ni„ — «большая»
величина, он редел л юта я полосу пропускании фильтра.
3.3. Чувствительность частотных характеристик и интегральных
показателей. Очевидно, что если
<*•«»
где Р, Q— многочлены от р, аиалптпчпые (при фиксированном р)
по р. вблизи и = 0. причем <?(р, 0)^0, то и 11 (р, р) при этом лпа-
ЧС.ПИП р аналитична по ц. Коэффициент чувстпитсльностп находится
прямым дифференцированием но параметру:
/с (р) д | q _ £2 />1 ()-•• I
' • ер ||1-П [0/1 4 Z-/JI ] 4 Ь«—!>
=> 1Цр, [111//(р, н)]| . (3.20)
<'Jl III - (I
Отсюда почти сразу следует простое утверждение.
Теорема 3.2. Пусть // (р, ц) — передаточная функция устойчивого
при. всех р, (Хр<ц, преобралавлкия. Тогда при любом о> опреде-
лен коэффициент чувствительности частотной характеристики
/г (iu>) = Я(по, 0)^[1и Н (йо, 1')1|ц^о . (3.21)
Если П7(р, р)—п. ф. разомкнутого контура, то коэффициент чувст-
вительности частотной характеристики замкнутого контура
8Н.. (ito. р) I „ я т |
ф L--------------"bl|7'.' (“ .“>1L <3-22)
и определен при любых а, если Пъ(р, ц) устойчива в некоторой
окрестности и 0,
Д о к а а • т е л ь с т н о злемсп гарпч:
сф
|1Я (1
п а —|1п Я ,| -1111
С’,( 1 ц I
1н о
1
1 + 1
” -- "л ------------- 1
1-1 //„' 1
Персии тем (3.22) в видо
ОН, (<ы) I । v (По)
|ц=« С1 + (ЙО)) (4=0 и=0
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗД КЙСТВИЯК
ПФ
Выпод. На всех частотах, где |АЛ,(ц,>)| >1, частот пая характе-
ристика. жамкнутого контура слабо зависит от изменения пара-
метров в разомкнутом контуре.
Перейдем да iee к исследованию влияния парцметров ин ипгог-
ptun.iibie нока-чатсли качества, нс.нольаовавшиеся в § 2.
Лемма 3.4. Пусть <р(р, р) — дробно-рациональная Функция р,
коэффициенты числителя и гнамеио.гелл которой вишлитнчсскп за-
висят от параметра р. Пусть <р(р, р) устойчива и строго реазыыусма
при всех ц и-з малой окрестности р = 0. Тогда показатель /()«),
представимый в виде
/(p) = 2^J Ф(Р, Р)Ф(—7'. Р24)
— рс
является грубым по ц и существует его коэффициент чувстви-
тельности..
Если при всех достаточно малых ц>0 существует интеграл
ix>
kj (и) д J-. j [ф (/>. р.) ф (— р. 1'-) 1 др, (3.25)
то коэффициент чувствительности равен k,(U).
Д а к а а я г О л J. ст и <j опираете» на вот монет к: гъ ирг (гтлвлопни J(p) и
виде отношении noji;t>«iMtinj|i.tii.ix <J>ytn<itnii о> коэффи цнениш числителя п анн-
miumtwui ц:(/\ р) (см. •§ 1. л также j4..j|). откуда следует, чю/{р) - птводниеип
двух лиалитпчиских по ц функций. Боасе того, знаменатель нс обращается и
нуль прн ji О. Поэтому Др) дифференцируем по р, при р = и. Втрое уг-
перждепде трикиально.
Получим ряд полезных следствий и:» леммы 3.4.
3.4. Требование астэтизма и синтез желаемой передаточной функ-
ции. В § 2 не предполагалось, что в допустимое множество сигна-
лов входят полиномиальные, п частности, изменяющиеся как липей-
пые функции времени. А если такие сигналы возможны? Из гл. 3
известно, что в этом случае для обеспечения ограниченности ошиб-
ки необходимо наложить па желаемую п.ф. замкнутого контура
(Р) требоаинпе нстатизмл. Волен того, следует добиваться того,
чтобы соответствующан //г, (?•’) не. только содержала нулевой полюс,
но и имела достаточно большой коэффициент усиления (см. гл. 3).
В то же время //'й(/0, получаемая при синтезе но нигггральным
пог:.1латеая»1, не оГшаятельно удовлетпорнет этим требпнапням. Мо '
жет быть, принятые постанопки -тадачи синтеза пади радикально
намолить, чтобы учесть требовании на их отработку уже при син-
тезе?
Ответ на поставленный вопрос отрпна годен. Докажем это, ис-
пользуя следующую схему.
е 3. ГРУГ.ССТЬ В КОПФФПВИЕ1ГП.З ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
167
Пусть на основе какой-либо из постановок аадач синтеза по
интегральным показателям построена желаемая п.ф. замкнутого
контура Н (р) п соответстнующал ей п.ф. разомкнутого контура
И^.р}- Пусть
//р (0) Л />•„ •< 'х>, (3.26)
т. е. условие астатилмя не выполнено.
Тогда л.ти обеспечения желаемого поведения попытаемся пспо.ть-
ВОВать иную п.ф. вида
Ш (л И) - ~ in«> (3.27)
I \р + р )d %
где а = ар — малый положительный параметр. Очевидно,
Г И
что при р=^0 построенная и. ф. ведет себя необходимым образом;
при малых р
Лг(р,Н)~у.
Вместе с том
и\\ (р. и) = //;! (Р).
Таким образом, остается проверить грубость показа гелей качества
по параметру ii.
Поскольку все показатели имели одинаковую структуру вида
СО
J J {Пз W} = J [1 — п3 WИ1 — I1) 1 *Pj M T1 (— p) «co (3.28)
—« p=i<o
либо вида
J2 {П a = J 11 j W f!я & ’Pa O) <P2 <?<0’ (3.29)
где ijiQOi фа{р) устойчивы, то достаточно исслс-доиать (фикции
J, W A J, I< (Л Р)}, Р. (с) л./2 prj (Р. р) ],
применив лемму 3.4. Однако преднпрительпо следует пылспитг., не нарушается
ли при н #= 0 устойчииосгь прсобрп.юидпия.
Пусть Qplf)—МНО10ЧЛС4И.1 в чпелптсло и анаме.пакие игходпоп
п ф. //’ (р). Тогда пиамеппге.и, П'* [р, р) предстапим и индо
ЛЛг. jt) - Qp(p)p(p -I р3) 4- 1>„(р} (р + д«)3
= /'ЧСе(Р) + + «5f’p(f))J.
Многочлен Л(р, 0) пс является устойчивым (имеется двукратпый нулевой
корень). Поэтому теорема 3.1 также веиосрсдствевво неприменима.
4С8 ГЛ. 4. УПРЛ1М1КПИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Однако, используя лоыыу 3.1, можно доказать, что пулевому корню Д“(р, 0)
соогвёгствуют дна корни А'Чр, р) к левой полушки-кости, имеющие вид
(3 30)
гдо Pi. Р.> уд|Ц1.п'.'Ч1орлн>1' квадратному уракненкк)
(i -I- W + 2«м + о
п при А> > 0 имеют (прицлтсльчыа псщсственныо части. 'Гем самым устойчи-
вость при доетцточио палых р. > О доказана.
Эвристически этот результат ясен с самого начала, поскольку
при малых р введение корректирующего сомножителя существенно
искажает ЛЛХ разомкнутой системы только на малых частотах (по-
рядка н) и слабо влияет па поведение, ЛЛХ вблизи частоты среза,
определяющее условие устойчивости по критерию Найквиста.
Можно теперь формально доказать грубость показателей тина
(3.2S), (3.29) ио отношению к нпакочастотпым искажениям и, бо-
лее того, установить, что коэффициент чувствительности, вычисля-
емый согласно формулам типа (3.25), равен пулю.
Вывод: при синтезе желаемой п.ф. по интегральным показа-
телям качества ложно нс учитыаать требования, связанные с ус-
тановившейся точностью при отработке линейно растущих воз-
действий, поскольку после синтеза эти требования могут быть
учтены путем введения коррекции, сколь угодно мило искажаю-
щей значения нптеграяьиы.г показателей.
3.5. Влияние точности задания закона управления на дисперсию
ошибки. Проведенный в 3,4 анализ ойоспоиал возможность измене-
ния п. ф. разомкнутого контура. если такнпое вл и йот па поведение
частотной характеристики только па очень низких частотах, порядка
р. В гл. 3 с помощью -ПАХ было качественно исследовано влиннкс
высокочастотных искажений на поведение замкнутой системы. Те-
перь возможно провести строгий асимптотический анализ чувстви-
тельности показателей качества к такого рода возмущениям. —
Пусть 11Р(р, р.) зависит от малого параметра ц>0 следующим
образом:
Яр(Р, 10 = ^1 (Р-0)^ (3.31)
где р (())=•= 1.
1 La частотах наличие многочлена p(jxp) «почти» по ме-
плот частотную характеристику, поэтому р(д.Д) можно трактовать
как модель высокочастотных искажении.
Формальное исследовании может быть осуществлено по той жо
схеме, чти и в 3.4.
Во-первых, несколько модифицируя лемму 3.3, устящтливасм,
что соответствующая (3.31) ц.ф. замкнутого контура Н->(р. [<) ус-
тойчива при всех достаточно малых р, если p(s) — устойчивый мио-
§ .4, ГРУБОСТЬ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ЧУПСТНИТ1С1Ы1ОСТИ 1CS
гоч.теп, а //s(p, (Г) —устойчивая и. ф., представимая п «идо правиль-
ной дроби. Более того, останутся в силе утверждения леммы 3,3 о
иопедепни корней, если иод Д,-.(Д 0) подразумевать впамепптель
ПАР, 0). Во-вторых, если ограничены аначеппя показателей (3.2В),
(3.29) при Н,{р) II Ар, 0), ™ клк слсдет вис леммы 3.4 устанавли-
ваем грубость ftntx показателей.
Вывод. Если закон- управления с обратной, связью обеспечи
ваег выполнение условии устойчивости замкнутой системы и тре-
бований к значениям паками елей качества, то искажения в п.ф.
закона управления, равносильные искажениям в п. ф. разомкну-
того контура типа (3.31). не могут привести при милых ц к на-
рушению устойчивости или существенным- изменениям показате-
лей качества. При этом важно лишь выполнить добавочное усло-
вие-. П-Ар, 0) должно быть правильной дробью, п
3.6. Асимптотическая форма оптимального закона управления.
При рассмотрении 11.2.3 скипалось. что при слабых ограничениях на
дисперсию управляющего воздействия и отсутствии помех опти-
мальная п.ф. замкнутого контура приобретает простои вид. Этот
факт перон в общем случае.
Теорема 3.3. Пусть
(3.32)
причем А Ар) —устойчивый многочлен-
deg .4, (р) — deg //, (р) Д г, > О. (3.33)
Пусть установившаяся .дисперсия управляющего воздействия
ограничени-
ем < б®, (3.34)
причем б« — большая, но конечная величина.
Пусть п.ф. объекта П„ъ(.р) задана в форме
Ли„(Р) =
Р(р)
а{р) ’
где устойчивые многочлены а(р), (5(р) имеют вид
а(р>) =• р‘ + 1 4- .. - I аи,
Р(р) = М'Л I Pm-!/’01"1 d- ..--l-Po,
r Л = п — ш > О, г <Z гл
Тогда ucmjaoMieaniic закона управления с п.ф.*)
и I \ 1 "
“ Хг (Р/<)~Пй 1
(3.35)
(3.36)
) Здесь и лии;с хг(г) — мпогочлепы Баттерворта (см. гл. 3, § 4).
170
ГЛ. 4 УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
обеспечи вающ его
11= w <3'37>
вместо оптимального яакопа, определяемого Т.2.1, приводит к повы-
шению дисперсии ошибки иа величину, стремящуюся к нулю при
6и — <>^> (способ оценки параметра соо укалывается в ходе докали-
телъегва) *).
Доказательство достаточна сложив. Ванетим лишь его основные
етапы:
п) состаилнегсн многочлен Л(р) и виде (2.39);
б) в предположен! и и, что величина 0 мала, оцениваются корна Л(р) с ис-
пользованием леммы 3.2;
в) иримякаднчтн факторизация Л(р) с учетом того, что «хорошие» его кор-,
ни совпадают при малых и с корнями многочлена Баттерворта х»(р/шз) <*ри
«0 — pJJrO 2Г также с корнями многом ленов Л,(д), Л(р). Б'(р): таким пу-
тем устанавливается асимптотические (при малых 0} чрндстииление
Д+(р) » i<(p).l.(p)-z,(p'co.)|3(p);
г) сепарация функции 2(р), задаваемой в виде (2.40), производится с той
ЖО точностью, с учетом тоги, что
/>’,(?)
'' (Р) ** (/') А, /'/.»„) 1
К ('ЛОДОВЛГГ'ЛЫЮ, ПОСКОЛЬКУ /,(()) ” 1,
it. О')
Z+ W ~ А^Г
д) с пспольловаиием полученных асимптотических представлений согласно
(2.41) находится
{р} ~ Z. (рА%) '
с) формула (3.36) следует из метода динамической комиенееиии, если в ка-
честве желаемой и. ф. замкнутого контура принято приближенное выражение
ж) величина ч>о находится нз условия
(<'„) -= 6;. (3.38)
1ДО
ГЛ
а) д.тетеп опенка Ис и anniiC’iiMOcin от б„ к покалывпетец, что <дп-» оо при
б„-» <», л слс.тоинзелi.iio 0 -► 0, поели чою проn.iподпил оценки допущенных
ио1 [M'liiHocieii.
•) При S, = аа|//а1,|г можно пайти, что <в0 = Srsiiix^- 2.
§ 3. ГРУБОСТЬ И КОЭФФИЦИЕНТЫ пувстиитгуц.иости
171
3.7. Белый шум и высокочастотные искажения. Пусть спектраль-
ная платность стационарного случайного процесса i-’(l) дробно-рацио-
нальна. Тогда, и <-нлу леммы о факторизации (§ 1), ее можно пред-
стапигь в виде
, /?, (р) W, (— г) I I
(<»') « -д , —- - | Я„ (мо) |-, (3.39)
Л» W -‘и 1'1 ||> Jr.>
где
Л,. <1»)
'Мр)а-^~-. (3.W)
Функцию можно интерпретировать как и. ф. устойчивого ли-
нейного звена, списываемого уравнением
/„(/)) ₽(/)- Я, (D) тгс.(/)'. (3.41)'
При атом из формального сопоставления (3.39) и общей формулы
линейного преобразования
^(юв) = |Яе(г(о)|Х0(юг) (3.42)
следует, что процесс n\,(t) должен иметь спектральную плотность
<3-43)
О и р (• д о л е п и е. Случайный процесс, имеющий поетонпную
спектральную п.четность на нсек частотах, называется йс.илл iuy~
долг*). Постоянное значение спектральной плотности именуют ин
i ciu:ii(iH(>c>hit) белого шуми. Лилейное звено, устапоитннаися реак-
ция которого па белый шум единичной интеисиипоетн нмгчт ладан-
ную сиен тральную плотность, называется формирующим филъгром.
Понятие белого шума кажется очень простым и широко исноль-
вуется и прикладной теории случайных процессов, однако с нпм
связан ряд принципиальных трудностей. Прежде всего из формулы
СЮ IX.'
<4 = эг .1 J d<0
следует, что дисперсия белого глума неограниченна. Вместе с тем
соотношение (3.42) было выведено в § 1, исходя из предположения
ограниченности дисне.ремп входного воздействии.
Корреляционная функция белого шума, формально вычисляемая
но формуле (1-3):
eft со
J 'W1*01,1м “ 5^ .[
•) Но аналогии «• белым гнетом, спектр иетроги имеет рагномсриую ин-
TcucBiiiwiTi, на всех частотах на видимою диаиазпиа.
172
ГЛ 4. УПРАШНО1И1С ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИИ К
не Определена в обычном смысле и являете» обобщенной б-фупк-
цпеп ([4.3|, с. 425), ааданипй на (—°0, °°). Обращение с таким слож-
ным математическим объектом тргбуе.т осторожности.
Для болев четкого понимания попытаемся прийти к попятит бе-
лого шума иным путем. Рассмотрим случайный процесс ??(/) с ко-
нечной дисперсией п дробно-раци1Н1.тл1.поп спектралсноп плотностью
(^) “ !• Соносгаиим ему процесс
"uCOA-^^f/./p), (3.45)
отличающийся от «7(f) масштабным преобразованием, задаваемым
малым параметром |х>0. Сляжем его корреляционную функцию
77и.ц(*) 11 спектральную плотность Л',.^ (о2) с корреляционной
функцией Д»(т) и Спектральной плотностью 5—(<ог) исходного
процесса:
»> , .. f 1 f f 'l (f — t'i! 1 г, / т \
А„- (т) = М — «' I — I гл ------- г = — R— — i,
сь се>
'5а.ц(“2) = J ,) у(у-) “
—* — 1Ю
СЧ>
. J /.’-.(TI)c-“1,,‘T-rfT1-^-(.iW)’
— СО
Переходя к пределу, получим
)ini 5'а («»’) ’= lim S-(|.iV) = 5- (Q) — 1.
Л Ч»
Таким образом, белый шум wt(l) можно рассматривать как фор-
мальный предел процесса а>л(<) при ц -- 0. Очевидно, что
4 (0) =. -t оо, (3.4б)
r |V->0
а вместе с тем*)
lim/i’ (т) = 0 при тт^О, (^-^7)
|1->Д г
иначе говоря, взаимная корреляции между зпаченпями белого шума
в любые различные моменты времени отсутствует. Наглядное пред-
ставя с uni) и характере предельного перехода можно получить из
модели, описанной в 11.1.1 (процесс о(/) типа «кенгуру»). Его спект-
рл.п.чая плошость равна
2к 1 *^v
5',,(io ) • dv L/i-i.,yj х. '
со л 1 ' г \Л (О/ л
*). Ппеледисс следует ил того, чтя ^„.(т), соответстиукппая дробии-рацпо-
палыюй 5u(w!), убыиаст при |т| -»-<» нс мсдлсппсо, чем экспонента.
§ 3. ГРУВОСТЬ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ЧУИСТИИТЕЛЫЮС'ГИ
173
Если положить ?. = ц“* и приближать и к пулю, по так, чтобы
2ritp = 1, то \(<,?) приближается к единице, т. с, р(<) приближа-
ете» по свойствам к белому шуму. Напомним вместе с тем, wo t>(/)
является кусочно постоянным процессом с ожидаемой длительностью
интервалов постоянства, равной р и дисперсией d„ = I
Таким образом, приближенно р к нулю означает приближение к
нулю нигррпилоп постоянства и возрастание дисперсии «нрыжюнн».
В дальнейшем рассмотрении понятие «белый шум* будет ис-
пользоватьси только в связи с получением таких результатов, кото-
рые справедливы дли воздействия тина допредельного процесса
и?„(7), селя предельный переход корректно осуществить уже в самом
результате. 13 частности, формула
справедлива для установившейся реакции лилейного звена, на вход
которого действует допредельный процесс к\.(7). Переходя уже в
ней к пределу прп р.-> 0, строго получим (3.42). Аналогично выве-
дем формулу для взаимной корреляции между входом и выходом
линейного звена, □ерпопичалык» считая, что входным воздействием
является допредельный процесс
(О Д М {;/(«) Н’ц(О) = М
У
J А(ФМ*~ ф/т.гД/) -
г
• • | Л (1) 'Ц, (1) rfv J 1ь (т) ~ Я- (у] d г =
О
1
— i h (in-!) 7?-(rf)drf.
О
Переходя к пределу при u 0, получим
=*-- ЕЮ =
гм/1
= lim ( h (нт,) 7?- (t|) dr, = h (0) | At-(tJ dr। => h (0) -|-r (3.48)
‘l*n о ~ о
поскольку
DO c*'
— I» 0
п было принято, что 5— (О) ™ 1.
Реальный процесс не может иметь леограпичепной дисперсии.
В приложениях 11ре.тстаг.;п‘т1ие о внешнем воздействии как белом
шуме нснолылустея в тех случаях, когда я денстииюльностп сиекг-
ральная плотность входа бл.изка к постоянной лишь в ограниченном,
174
ГЛ. 4. УИРЛКЛЕПМЕ ПГИ СЛУЧАЙНЫХ В03ДКПС1 ВИЯХ
по достаточно большом диапазоне частот. Возникает вопрос о том,
какова погрешность такой замены при пычислспип дисперсии выхо-
да? (2 этой целью следует провести анализ зависимости
re INI
J ('l)"° sr .1 111 F'4(<”3)llt0 " I 11(PV) </..1 (3X1!J)
— is? • №
с учетом того, что 7(ц) дает значение дисперсии при воздействии,
спектральная плот ноет i. которого сущее гпеипо отличается от 1 при
частотах порядка ц_|.
Лемма 3.4 указывает, что У(ц) непрерывна по ц в окрестности
пуля, если
ос
i | П (iw) ‘Ec?ci> < оо.
— эо
Пусть г —разпость степеней зпьмсп.чтсля и числителя П(р). Тогда
можно покачать, что при г =1
J(p)™J(0)+(9(p), (3.50)
а при г
J(H) = 7(O) । <7(р’).
(3.51)
причем н этом случае
141®
4 1>1“»
( | 11 (но) l2»!)1 Фо.
1
гдо
J.V
Пример 3.3. Пусть 1Цр) = — , а
с /..a.. S'. 1 1
1
1 4- pW
1 f-pp l-t’/’l.v.-io
тогда непосредственное вычисление дает:
J'(H)
Таким образом, (1тп<>сител1.пйя псгрсшпост ь пронорциопалыта отпо-
Hieiinto tiocTiMiiiiioii времени р формирующего фильтра к нос годи поп
iipeMCiiit Т ацена. Если ?ке 11 (р) ----------------ь- то
(Г/' I 1)
.2 / 2 \ { 2 \
R 3. ГРУКОСТЬ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
173
т. е. при более крутим фронте паления частотной характеристики
эвена порядок погрешности убывает, но зависит от соотношения тех
нее величин. О
Аналогичные рассуждении позволяют ответить и па другой прак-
тически важный вопрос: гели в высикочаслптний области допущена
неточность п описании спектральной плотности воздействия, какова
окажется погрешность в оценке дисперсии? Действительно, если
учитываемую при расчете спектральную плотность обозначить
.*>г.(<1Г'|, то истинную, отличающуюся от нее на частотах порядка ji_|,
можно представить в виде
xS (<и!) — 5; ((ll’j-^ (|1!ы = ),
где 5,{0) = 1. Очевидно, что оценка погрешности сводится к анализу
зависимости
= j |Я(/й)р5|((вР)51(!Аоа)б/<о
— :>4»
и проводится по той же схеме, что и выше, с заменой |//(t®)Js па
В технический литературе часто нгтречаотсн утверждение о воз-
можности и.[менять представлении спектральной плогиосги воздей-
ствий и высокочастотной области о целью упрощения процедуры
синтеза желаемой и. ф. <)гэ рекомендация .чепствнтелыю полезна, но
надо иметь в виду, что «высокочлстотносгь» — понятие относитель-
ное: искажения могут носить высокочастотный характер относитель-
но полисы пропускания обьскта, но оказаться низкочастотными от-
носительно системы, замкнутой обратной связью с большим коэф-
фициентом усилении. Следовательно, требуемая детальность описа-
ния спектра при синтезе, вообще говоря, зависит от свойств синте-
зированной системы, что является своеобразным парадоксом.
Вывод: после построения оптимальной п. ф>. целесообразно
проверить адекватность исходного описания внешних воздей-
ствий.
3,8. Заключение. Подчеркнем, что установление свойства грубо-
сти какого-либо показателя или даже обнаружение того, что равен
нулю коэффициент чувствительности этого показателя, совершенно
недостаточно для того, чтобы говорить о'милости его изменений при
нлмгнениих параметра па конечную величину.
Например, если
/(!<)=/(0)1/,
то показатель груб, его коэффициент чувствительности равен нулю,
а с ростом р он быстро изменяется.
176
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Вывод: формальное исследование. чувствительности. не может
заменить конкретного анализа влияния конечных изменений
свойств системы, который может быть провейсн Юлько цугом
прямой проверки условий устойчивости и вычисления еаиты-т-
етвующих и змеи опий показателей кпчесгва. С другой стороны,
анализ чувс1вительпос.ги необходим, поскольку позволяет отбро-
сить некоторые непригодные. варианты законов управления.
§ 4. Управление неустойчивыми
и 11смп|нгмал1.по-фазоиыми объектами
4.1. Допустимые п.ф. замкнутого контура. Метод динамической
компенсации позволяет выбрать закон управления с обратной
связью, осповаппой па намерении ошибки, таким, что п.ф. замкну-
того контура //„(D) принимает произвольный желаемый вид ТГ\ (^)-
Одняко, как было показано и § 3 гл. 3. такой выбор гараптпрует
устойчивость замкнутой системы, to.ti.ko если объект является ус-
тойчивым и минимально фазовым, т. е. в п.ф. объекта
//,.,(»))-
( (»>)
а {!>}
(4.1)
многочлены а(D), (J(D) являются устойчивыми. Поэтому приходится
налагать ограничения на класс возможных //(!>). Для того чтобы
выяснить, как мохутпонлнять эти ограничения на качество системы
управления, напомним прежде нссгп основные формулы
e(t) = И - //3(D)].f (0 + Wa(D)A'(i),
и (/) = Я"1 (D) //j(D) [a («J + Л’ (01,
(4.2)
(4.3)
определяющие характер связи внешних ноздепствнй (сигнала и по-
мехи) с ошибкой и управляющим воздействием.
Поскольку все рассматривавшиеся показатели качества опреде-
лялись через свойства процессов с(/) и и{1), то любые ограничении
на вид //a(D) могут повлиять па значения атнх показателей только
через трп п. ф.:
7/1Г (1>) л 1 - //»(!)), //Де (D) Л //,(!)), //„.(D) Л //'' (Г>) П, (D). (4.4)
Выразим их непосредственно через многочлены 7c(D), 7(D), оп-
ределяющие п.ф. закона упраплспия
"HD) = W
(4.6)
g i. пкустопчицык и пкминмма.чено-флзоеые объекты
п многочлены a(D), p(L>), входящие в п.ф, объекта (4.1)
//„, II, Г1>) |i!D)fr|Di
= //.(D) = т^дпт^ •
//,(!>)- 1 -//ДО) - 2
Яш (I)) ~ (I.)) НЛ l>) =
A(p)A-z(p)//j) + p^)/c(p)
177
Имеем
(4.6)
(-1.7)
(4.И)
(4.9)
— характерпстичейкий многочлен системы.
Отметим также, что три указанные и.ф. линейно выражаются
через две дробно-рациональные функции*)
"ИП)Д^; (4.10)
а именно, имеем
//3(D)=//ft.t{D) = p(D)//1(I)), //M(D) = K(D)//i(D),
//lu(D) = a(l))//l(D). (blJ)
Поскольку мпогочлеш.! a(D), (J(D) заданы, то тем самым все
показатели ьпчост i;.i могут быть выражены только чере.1 дне выби-
раемые функции Ht, Hs. Очевидно, ччи их нельзя выбирать незави-
симо, так как в силу (4.9), (4.10) они должны удовлетворять тож-
деству
a(»)//:(D)+p(D)//l(D) = 1. (4.11)
Если же //({D), //.(D) выбраны, то п. ф. закона управления нахо-
ди гея немедленно:
II, ап
Д7^- 0-12)
Оказывается, что дело всегда можно свести к выбору только од-
ной определяющей функции. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.1. Выбор функций //.(D), 7/a(D)\ удовлетворяющих
тождеству (4.11) и. определяющих в силу (4.12) стабилизирующую
обратную свиль, ограничен функциями., представимыми в виде
JI, (D) = /Л' (D) - a (D) Ч' (D); //., (D) - //2 (D) + |) (D) Ч- (D1, (4.13)
где V (D)—произвольно выбираемая дрсбио-рауиопальпол с устой-
чивым snaMciutrc.tc.u, а Н\ (1>), //!*(!))—любая фиксированная
пара усгойчивыс n.i/>., также удовлетворяющих (4.11).
Д о к а а а т е л 1. с т н<>. 1нччдя мваспо .ынпезгь, что
б//р Н., - Н" + Ы12, 0.14)
*) Этот прием иллпжеи в соитие>спшн с [4 11).
1^ А. А. Пср11ишг.:зс1зш
178
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
где 6Я|, бП3 произвольны •). Однако для выполнения тождества (4,11) необходи-
мо ограничить щюилвол уалонисм <1Ы1? 4" {>£>Н\ *-* О, т. с.
Ого условие пыполпяетсн, только если
6//, »= рт, б//, -» —а'Г, (4.15)
Гд0 \jr—к;исан-,тибо дробш»-рнци<Н1алы1ая функция. Запишем се. и виде Ч'»»
= PjQ. Остается показать, что для формирования стабилизирующей обратной
связи необходима устойчивость многочлена (А
*.v /°
Пусть Л'I = ^7Г, где по условию многочлены А'3. Р, Д° должны
быть связаны тождествам
Д” = рг» 4- alp,
прячем Д’ устойчив. Тогда, согласно (4.12), (414), (4.15), имеем
я, + 6/Л /f0/A° - л к
Hf== л ЦП _|_ — 40;Д0 _ |;/>.^ (О.л, ррдО = I
Подсгапляя пайдеппые k, I в формулу (4,9), убеждаемся, что
Д = a(f>() 4- ррд") 4- ₽(*“<? - аРД’) = aPQ 4- ₽*%> = Дг,<?.
a следовательна, дли устойчивости Д ннобходимя устойчивость Q.
Слсдстипс. 1. Если многичлеп- а устойчив, то, не уменьшая общ-
ности, выбор II, можно оараннчигь мм/аннсм
‘И, (4.16)
где р- — совокупность <:-плотих>-> сомножителей, в р. 2. Если же
устойчив многочлен Р, то выбор молено ограничить условием
(4.17)
где а- — совокупность вплохих» сомножителей в а. В обоих случаях.
V—произвольная функция с устойчивым внаменителе-н.
Доказательство. Б случае 1 можно удовлетворить (4.11), положив
1
HZ-—,
Тогда общий вид функций //,, И-. таков:
Я1=~В¥, II2 = 4 (1 4- afi'l').
Соответственно
//, = -аР'И, 1 -//„=. 1 4- а^К.
Положив *1' •« —o.Pi 'K, получаем
//„ « Р-Ч', 1 - Я» 1 — Р _Ч'.
Поскольку X, р+ УСТОЙЧИВЫ, TO V 1'Л'>11’ЮТВ1'Р>1ПТ тем я;о условиям, что и ис-
ходная ’Г, л следопаюльио, можно опустпи. аник о~».
Аналогично расс-мнтринвеюя случай 2.
) Аргументы функций здесь п далее для грнгкисги опущены.
£ 4. НЕУСТОЙЧИВЫЕ И ПЕМИЛИМАЛЬНОФАЗОВЫЕ ОВЧ.ККГЫ
179
4.2. Оптимизация па множестве допустимых п. ф. Рассмотрим
далее задачу оптимального выбора закона управления: минимизиро-
вать дисперсию ошибки
|Х'
Je - ~ f {| //«г (»>) |2 А’., (со2) -I | //.Ve («►) |25Л- (Ш3)} (?(»
— 14»
при игрлиичгнни
vc
Ju = Г| /Ли (по) |а (5. (со3) Ч- Sy (<.?)] Jo< б2.
— со
Учитывая (4.10'), (4.13), мояспо выразить показатели через выби-
раемую функцию Т:
| а |4 |Д\ (со2) + 5Л- (со2)] Jco.
Согласно лемме 2.1 пером,чем к задаче безусловной минимизации
величины
<?"(()) (1-())J, I 0Ju
с выбором спг.1ас.уи)|це>т) параметра 0 = 0* ПО условию (2.2В). 2?(1))
представима в виде
j’{
•—оо
л" 2
y + 4J З.«о2)-]-
Я11 2 1
5..< (<о2)| Л»,
(-М8)
где введены очевидные обозначения. Задача минимизации ^(0) в
основном аналогична рассмотренной в теореме 2.1 и может быть ре-
шена с помощью сходного алгоритма, использующего операции
факторизации и сепарации.
Дли экономии места приведем алгоритм без обоснования (оно
аналогично Т.2,1*)) и только для случая, когда объект является
устойчивым (случай 1 в следствии),
1. Построить функции
S, (со2) (1 — 0) St (св2) А
5 (ко)
Л (<•>)
,УЛ- {«’) - (1 - 0)5Л- (со2) + 01 р [5. (со2) 4- 5,-v (со2)] Л
(4.19)
Ну (/со)
Яд. («и)
•) Нрп обосновании возникает ивродс.чспиыс и вопрос i ые проблемы, если
Функции S,. Sk не убывают ври ы3
<2*
180
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
2. С помощью факторизации получить представление
А (р) А (- л) Av </’) Ах ₽>"
Произнести сепарацию функции
'" !’_ {/') д4 (- Г)Х (f.)
- (Р) + (/А
(4.21)
выделяя в 7,+ (р) все простые дроби с «хорошими» полюсами.
4. Приняв
77* (р)
(г) А О’7) л a- (л)
Г’_(-р) л+(,4
(А20)
(4.22)
%+ (р)г
доопределить входящий в это выражение параметр 6 согласно усло-
вию (2.26).
Если явные ограничения на управление отсутствуют (6и
то можно положить 6—0.
Пример 4.1. Примем спектральную плотность епгпала в виде
5, (<о2) =
________W" + 1 zvi
(о?_____4) (ш® | 9)
Сл — const.
Про диол о леям также, что помехи отсутствуют, ^Л=0 п пет ограни-
чений па дисперсию управления. Объект является исмипима.'п.по-
фалопым, пи устойчивым:
__ п _1_ 1
Т~Г’
/ 1-3/' I i
так что р-(р) -= — /' + 1-
Пудем действовать согласно правилу, причин 0 = 0:
1. Л\,(-рг) =£.(-/), /?с(р) --С\(р +1), Л,(р)-(р + 2) (р + 3),
5>- (-Г) = S,- (~р') => 0, Вг; (р) - О, Ах (р) = 1.
2. А_(р) = С.(р + 1) = 5,(р).
4P}=i ( P + D (/' + 2j IP 3)
2/3p+l
(р-2) (p-J) '
/ //*/щ (-Р4-1Х2.-А- ! 1)
4. 7Л(р)= (р t f,s
Вычислим соответствующее этой п. ф. зпачепне дисперсии отибки
1
Р-1
с*«
f 11
— сч>
а.,5., (or) —
г« Г| 1/З.А Г./Зг4-2 I1 ,
2Л J I (р+ i) (р + 2) (р+3) Ь-к/®'
+«>
й Ь. РЕГУЛИРОВАНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ВАЛА ТУРБИНЫ 1S1
Это стандартный пптеграл типа (1.27) при /2 = 3. Используя е.т
ныражсппо черед коэффициенты многочленов, получаем D* —
•w 0.076С». □
Ясно вместе с тем, что ато значение практически недостижимо,
М1><-1.'<1лы;у при найденной If,. (/>) дисперсия управления оказывается
венграstii'iciiit'iii. Пример 4.1 приведен лишь для пли, чтобы про-
демонстрировать общин вывод.
Вывод; даже при отсутствии ограничений на управление и
идеальной точности измерения ошибки неминималыю-фа^Ьеосгь
объекта не позволяет достичь инвариантности,.
Болес содержательпый пример дан в следующем § 5.
Здесь же кратко остановимся па возможностях, возникающих в
том случае, когда наряду с измерениями ошибки имеются измерения
выхода y{t). С помощью внутренней обратной связи по ?/(/) не-
устойчивый объект может быть стабилизирован, хотя иемпинмальио-
фазовость неустранима. Поэтому при р(р) устойчивом, а.(р) неус-
тойчивом допустима следующая процедура.
1. Выбрать произвольную стабилизирующую внутреннюю обрат-
ную связь.
2. Найтп в соответствии с правилами § 2 оптимальную п.ф.
//j (I)) но учитывая каких-либо ограничении на со структуру.
3. Применить метод компенсации для формирования внешней
обратной свяли (обратной связи по ошибке.).
licjm oi раппчепия па управление отсутствуют или заранее фйк
сироваио значение согласующего параметра 0 в минимизируемом
выражении то минимальный уровень У70 пе зависит от пыборл
внутренней обратной связи (см., например. [4.11]).
Если же явно задано ограничение с фиксированным б.„..
то проблема существенно осложняется, поскольку корень уравнения
7.Z, =• б-, может зависеть от вида внутренней связи, а следовательно,
от нее может зависеть и достижимая точность.
§ 5. Регулирование угловой скорости вала
гидравлической ту ровны
Задача регулирования гидравлическом турбины была одной па
первых технических проблем, исследованных с помощью методов
теории автоматического управления многими авторами, пачипая с
А Сгпдплы, п до сих пор представляет интерес, как с теоретической.
Так и с прикладной точек зрения. Па е<: примере Продемонстрируем
ряд особенноегей применении общих методни к конкретным проб-
лемам.
6.1. Описание системы. Линеаризации. Принцип действия нпьеп-
та управления можно понять из схематического рис. 4.3. Плотина
3 создаст перепад уровня воды между верхним i и нижним 2 бьо-
182
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
фами. Поток воды подводите» к турбине по закрытому капа.ту (во-
доводу) 4 и через спиральную камеру. Набегая на лопасти рабочею
колеса 5, поток создаст движущий момент, приложенный к враща-
ющемуся валу 8. Вал турбины жестко связан с ротором синхрон-
ного гидрогенератора 7, вырабатывающего электроэнергию, о гд.тпас-
му io н алсктроэпсрюснстсму. Управ-
ление потоком осуществляется с по-
мощью направляющего аппарата 6*.
выполняющего как функции заслон-
ки, вептиля, так и чисто гидродина-
мические задачи изменения поля
скоростей потоки. .Понатки направ-
ляющего аппарата могут поворачи-
ваться, в большей или меньшей мерс
открывая доступ воды тс турбине,
причем поворот осуществляется гид-
ра или веским двигателем (сервомо-
тором ).
Опишем динамические свойства гидротурбины как объекта управ-
ления. В качестве управляющего воздействия будем рассматривать
поворот лопаток паир;1п.1янпцего аппарата или его открытие <х(1),
а управляемым процессом считать угловую скорость вала <<)(/).
Урзкпопис! движения пала турбины (имеете с. ротором генерато-
ра) можно записать в виде
где J—момент инерции, т„— движущий момент, лг,.— момент со-
противления. Движущий момент определяется соотношением
ти (О — '•'И (.j
где Рд(0 —мощность потока воды, затрачиваемая на вращение тур-
бины. а кп — коэффициент полезного действия. В свою очередь, в си-
лу законов гидравлики
/>д (0 = h (/.) <2 (Z), тл = А-„ (5.2)
где h(l)—перепад давления па турбине, a Q{1) —расход воды че-
рез турбину, снизанный с 7/(0 и открытием направляющего аппара-
та следующим образом:
Q (I) = Са (/) Т7< (/), С сои «t. (5 -3)
Для оценки перепада давления введем гипотезу несжимаемости жид-
кости*) и воспользуемся уравнением Ньютона для столба жидкости,
•) Ио поводу учета сжимаемости см., например. [4.1 т 2, с. 18J. Соотно-
шение (3.3) иногда наменяют более точной экспериментальной характеристи-
кой турбины.
fi 5. РЕГУЛИРОВАНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ВАЛЛ ТУРПИНЫ
1S3
заключенного в водоводе. Пусть V — масса столба, n(i)—скорость
потока. Тогда, не принимал ио внимание сил сопротивления, можно
записать
A(.Vo(/))-./-(p-z,,(o). М
где /*’— площадь сечения, р— постои иное длплсш'.о на верхнем конце
водовода, а p<(t) —давление перед направляющим аппаратом. Пусть
р— плотность воды, Л —длина водовода; тогда
A/ = FLp, Q{t) = Fv (f).
Кроме того, учтем, что по определению
fe(t) = Pl(t)-р, <5-5).
где р—постояппое давление за турбипой. С учетом введенных обоз-
начений исходное уравнение перепишется в виде
Система соотношений (5.2), (5.3), (5.6) определяет связь движу-
щего момента /мл с открытием а и угловой скоростью ы. Момент
conpuiTin.ieiHHi мг, Coa.T.-iercn как за счет механического сопритинло-
пн>|, пн: и, главным образом, за счет электромагнитных сел, иро-
Tfmo.'ieiicrnyioii(itx вращению р<нори. Лги силы зависит от электриче-
ской нагрузки Р„ п.ч сеп. и частоты тока в сети, пропорциональной
угловой скорости ротора. Будем с’нпнгь, что известна зависимость
те = т.- (Р„, а}, (5.7)
вообще говоря, пели пап па я. Полинвйпы и ирниедовныс выше соот-
ношения для дпклсущего момента.
Для того чтобы применить линейную творит, выдвинем гипоте-
зу: все процессы в объекте происходят н малой окрестности неко-
торого ршшпнгч-.пого режима, в котором все введенные выше вели-
чины принимают постоянные значения
о>(0 ы.5, <>(/) = (?.., = т.ц(/)--т10,
т. (/)== о, Р,.(/) = /’„ о,
Причем выполнены условия
- Л (>,
'«л» — т-с; — О, 1> — р — li„ - О, К1А1, —
1% (;>-8).
<?„ = сТ Zij a.-, rri,. о ' ws (^i. о, «»),
а о,, соответствует желаемому значению угловой скорости,
184
ГЛ. i. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Введем также относительные переменные
В силу приннтой гипотезы все относительные переменные при-
нимают малые (по сравпеппю с 1) значения, а лх квадраты, нрсш.ч-
ведения и более высокие степени являются еще меньшими вели-
чинами. Поэтому представляется возможной линеаризация всех ра-
нее приведенных нелинейных функций. Для линеаризации, по пер-
вых, выразим все исходные переменные через соответствующие от-
носительные, во-вторых, разложим все нелинейные функции в ряд
Тейлора, удерживая только слагаемые 1-го порядка. Из (5.2) пплу-
чаем линеаризованное соотношение путем следующих преобразо-
ваний:
Л (I -I- 1р О {I I «) л о
тд£, (1 -|-=к„ -*; ,\у; - ьк ((+ т,+q - у),
(I ' 1 "' й
пли, с учетом (5.8)*),
J4 ~-I-У - .V. (5.9)
Аналогично иа (5.3) имеем
<?о (< + е) = Ссс»(1 -I- «) /ло (1 + ц) Cav /k„ ( 1 + — 1) + ,
так что, вновь учитывая (5.8),
1 ,- ,-н
г/ = — 1] + и. С>.1'.))
Наконец линеаризуем (5.7):
>ис (Р„, ®) = тс (Р.,п (1 + ю), со,-, (1 + у)] а*
откуда
JI, = /<.^ы+ Л..,,!/, (5.11)
где
, ЛНЛ , /Л"<Л 6>fl
V/y\./o"'co
♦) Далее злак iipJi6.in>K(!Hi«iro рапснстпа псюду замсляем на То’игио, при-
иимая за основу лимеаригинопиыс уравнения.
g 5. РЕГУЛИРОВАНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ВАЛА ТУРКИНЫ
185
Лилейные дифференциальные уравпепия (5.1), (5.6) также вы-
разим через от поем тельные переменный
т ... dt ' л
(5.12)
V dt *1
Полетал.! я я (5.9), (5.11) в (5.12) п вводя обозначения*):
г = "Ч_______ /. „ * / __j-_ т
I W “ « + V 1,'~i + V u‘~ V*
получим систему уравнений объекта в виде
(TD-j- 1) /= + ?) — — Ч, ? = -у П I- и* С5-1*)
где использовал оператор дифференцирования Т>.
После исключения промежуточных неизвестных g, i] можно за-
писать одно уравнении в стандартной операторной форме
i/(/)~. (D)zt(t) + tfKlf(D)u;(/.), (5.15)
где введены п.ф. объекта по управлению
1 — Т 1>
lluu (D) - ------г (5.16)
11 । । Л,;1’)
и по возмущению
//вд(1-)) = -~Ъ- <517J
Очевидно, что объект является неминимально-фазовым.
5.2. Синтез закона управления. Поставим теперь задачу синтеза
закона управлении, предполагая первоначально, что
а) доступен сигнал у(1}, т, с. датчик дает неискаженную поме-
хами информацию о текущих значениях угловой скорости ы(£) или
ее отклонений от равновесного значения <an;
б) возможно формирование любой лилейной обратной связи вида
«(/)-—//,(!)).v(/);
в) возмущенно w(£) (изменение нагрузки) является сгацпопар-
пым случайным процессом с заданной спектральной плотностью
5,. (<<).
Поясним смысл наследного предположения. Элсктрпческая на-
грузка на агршат яилиется суммой нагру.пж, создаваемых многими
по!р<’бнгелями iMicKrpir.iiiepriin. Некопрдиппрусмыи между собой
включения или отключения различных потребит ел ей определяют
♦) Величины Т, Tv обычно называют постоянными времени турбины и
л<|Д1я;ида.
186
ГЛ. 4, УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
хаотический характер изменения суммарной нагрузки. Возможность
ее рассмотрения как случайного процесса подтверждена многими
специальными исслсдоплпиями ♦) (см., например, (4.6]). Естествен-
но также внесли дополнительное, предположение, что процесс изме-
нения нагрузки является процессом типа «кенгуру», описанным и
§ 1, где каждый скачок соответсгиует подключению пли отключе-
нию какого-либо потребителя, л длительности интграалов между
скачками взаимно независимы. Поэтому примем, что
5„,(ы«) = -а^_б7м., (5.(8>
“ 'Sc
тде ?^ёх А^имсст смысл математического ожидания временя между
скачками нагрузки.
Поскольку желаемым значением управляемой переменной у(1)
является pd = 0 (папомпим, что желательно поддерживать исходное
рапповесное значение угловой скорости вала несмотря па палили©
возмущений), то из общей формулы (см. § 2 гл, 3)
s(0 ”— 77b„(D) и?(0= —ю (0 (5.19)
и правила линейного преобразования стационарных случайных про-
цессов следует выражение спектральной плотности сигнала
Л’.(i.)’)==« |//„1,(;ы) iJ.S\(6r). (5.20)’
Кроме, того, но предположению
.5’Л(ыг) = 0- (5.2 f)
Папомпим также, что объект является цемпинмальир-фазовым. По-
этому следует применить методику, описанную в § 4. Если ограни-
чения па управление отсутствуют, то в основном правиле можно
положить 6 = 0. Опуская стандартные выкладки, приведем ляни»
окончательный результат — вид оптимальной п. ф. замкнутого кон-
тура:
♦ 1 — У...Р
^*(Р) = Гг^-(?1Р + Тв)» (5.22>
где
тГ Г-с-^л Г-Г.Я
'1’1 т-Г | т-гГ,,.. 14-rw]»
т'Г Г т-7и Т-Т,„
Vo - — 7(_Г(г-|-Г„.) г(Г-Р FU,)J*
•) Па самом дело проблема значительно сложнее, поскольку и реальных:
влектроэворгосмстсмах действует большое количество шречатоп, в алгруина
перераспределяется между ними. Сам процесс илмевсиин uaipyaKB помимо
случайной составляющий имеет и прыновируемую (суточные и сезовпыо
циклы).
fi 5. РЕГУЛИРОВАНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ВАЛА ТУРБИНЫ
187
Соотпотстпующее выражение для п.ф. закона управления
записать в форме
(1 | Гр)(ц-4-Л^)(У,Р I TJ
7/, (р) - —--5— -----=-----------------v
'•« I v,r,y т (Г„л - V. i '/„) я -I-1 - Уо]
можно
(3.23)
Произведем анализ этого результата. Отмстим сначала, что »рп
т/Г -» <», т/7\, — оо получаем
277\„
Т1 —j. _| у ». <0 К *4
так что
7У* Гт- ЛеР ^f,P + Е
Таким образом, желаемая п.ф. при очень редких переключениях
нагрузки близка к астатической, что естественно, поскольку аста-
тпзм — средство борьбы с постоянными возмущениями. Нетрудно
найти асимптотическое выражение
Таким образом, при
кл Юлениях оптимальная
ленпя успевает xopoi
каждый скачок нагрузи
время система работает
вон ошибкой (рис. 4.4). Тем не мепсо
полученное решение неприемлемо ни с Р"с- 4-4
теоретической, пн с практической точ-
ки зрения. Во-первых, //*(р), даваемая (5.22)', по является строго
реализуемой, а потому неустойчива с точки зрения основного опре-
делеггпя. Во-вторых, что более существенно, ее реализация требует
неограниченных управляющих воздействий. Действительно, по стан-
дартной формуле имеем
я (/.) = Я-' (!)) /7я(1)).х(!) =. - (D) //a(0)//w(0) и- (Г). (5.25)
Если принять = II* (D), то
оО) (-’l> h (Г>-2,!)
Таким образом, п.ф. преобразования Ч’(1) г/ (!) также не явля-
ется строго реализуемой, и при скачках нагруакп в управлении воз-
никает импульсная компонента. Установившаяся дисперсия ы(0„
188
ГД. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРП СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
оказывается псогранпчеииой. Как было укапано в § .3, можно изба-
виться от этой неприятности, введя в п.ф. закона управления (5.26)
«регулярпзующнй» множитель вида р_,(11Р)> где р — малая положи-
тельная величина (см. (3.31)), т. е. добавить малые постоянный вре-
мени, делающие п.ф. строго реализуемой. При атом дисперсия ошиб-
ки изменится мало, а дисперсия .управления станет ограниченной.
Однако опа имеет порядок it ', т. е. является хотя н конечной, но
большой. Большой окажется и скорость иамспеинл управления.
5.3. Синтез <: учетом ограничений. Вели чине» управляющего воз-
действия— открытия направляющего аппарата—не превосходит
единицы. Более того, скорость поворота лопастей паправ.иношего
аппарата не может быть большой как в силу сложности создания
соответствующего двигателя*), так и в силу физических особенно-
стей самого объекта. Интуитивно ясно, что попытка резко «задви-
нуть заслонку» па пути набегающего потока жидкости вызовет его
торможение, а следовательно, повышение давления перед «заслоп-
кой». Это повышение, обычно называемое гидравлическим ударим,
может быть настолько большим, чти вызовет поломку либо самой
«заслонки», т. е. направляющего аппарата, либо стенок камеры, из
которой к ному подходит вода.
Таким образом, грамотная постановка задачи выбора оптималь-
ного закона управления должна включать ограничения n.-i и(1),
й(/) = 1)и(/) п изменение давления ц(/).
Ил (5.1л) моясцо паптп, что
?1 (0 “------(0, (5.27)
1 f-т^
т. е. изменение давления связано со скоростью управления «(f)
инерционным звеном. Ограничив «(/), мы заведомо ограничим и бо-
лее «плавный» процесс ц(?). Поэтому для упрощения задачи учтем
только ограничения на
Ввиду случайного характера измешзпия возмущения (нагрузки),
выход объекта меняется случайным образом, а следовательно, слу-
чайно и изменение управляющего воздействия, постросппого па ос-
нове измерений выхода. Поэтому прп принятой гипотезе о харак-
тере изменения нагрузки возможно дать лишь вероятностные гаран-
тии того, что
lii(/)l«SF, (5.28)
где v — заданный допуск. Поспользоиапшигь правилом «Зо», это
ограниченно можно снести к ограничению на дисперсию
*) Для закрытия направляющего аппарата за олпу секунду в больших со-
временных гидротурбинах потребовалась бы мощность порядка 1000 кБг,
§ 5. РЕГУЛИРОВАНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ВАЛА ТУРБИНЫ
189
Запишем выражение d- через п.ф. замкнутого контура /7а(р) в ви-
де. стандартного интеграла
d. - 1‘ I /л, (но) pi//. (/to) I-*5; (1.>3) dv, (5.30)
U t.1 I uu I
*~I4I
где введена // (/>) —н.ф. преобразования й (J.)-*'J(t), которую мож-
но представит!, н виде
Нщ,7 U + W +
Согласно общей методике, составим «компромиссное» выражение
5Р0 = (1 - 0) с?е + ей и
где 0, 0<0«£1, выберем в дальнейшем так, чтобы выполнялось
(5.29). Это выражении можно переписать а виде
«I
« A j {11 — //., (/to) i3 (in3) + I lij (Йо) j3 (to2): ЙЫ, (5.32)
— CO
1Д0
S, (<,>2) — (1 — 0) 5., (or), .S’.v (<42) — 0 // w (но) 15,(to2).
При минимизации
сом функции вида
следует учесть, что выбор //„(р)
ограничен клас-
//,(₽)= MfH'G’).
те 3 (р) — «плохой» сомножитель в п.ф. объекта. В данной задач©
р' (/)=1-7-Р-
Вновь, не повторяя выкладок, проводимых согласно основному
правилу из § 4, приведем результат:
71 ~2’ч:.р) (?!'’ +’’'о)
'(Ла'+1)(Л^+’)(/7 ')д
П* (/>) =
(5.33)
где 7’,, Т., Tt — положительные постоянные, определяемые из факто-
рна а цн (итого т ожд с ст и а
I - т д. * - JJ^-T <1 - г’"’> (1 - т т’" j -
н (7',.» ь 1) (Г..и -I- I){Г.р + 1) (- 7',л I 1) (- 7'.// I- 1)( т:,р 1),
a f,, -ft находятся в ходе процедуры сепара «ни и
- я. л,
Тт -Ь -4;i -ув = — -1- -у д
199
где
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
4 _ 1 - Т»!Т______________
(1 4- Г./У) (1 -|- Тг!Т, (1 4- Г ,/Г) (± _
, 1 "V
/12 * ' ' ' . •
(i -l-rl/T)(i4-rE/T)(| I rq/T)(A._±j
Дам вычисления согласующей константы 0 = 0* следует решить
уравнение *)
(5.34)
U
причем левая часть является функцией 0, заданной нелепо с по-
мощью {5.30), (5.31), (5 33) и формул, определяющих связь пара-
метрон 77* (р) с 0. Такое уравнение разрешимо численными мето-
дами мри конкретно заданных значениях исходных параметров объ-
екта, спектральной плотпости нагрузки и допуска у. Однако для по-
нимания смысла результата полезно получить хотя бы приближен-
ное решение., по в явной форме.
Предположим заранее, что
?//'<!, ГЛ,<£1, (5.35)
Тогда можно дать пр и блина: иные опенки констант, входящих в
г, «4-, т^т, тл^^.
Г. >-»
Дополнительно предположим, что
(5.36)
т. с. ожидаемое время между с.качклми нагрузки является очень
большим но сравнению с постоянной времепи объекта. Тогда 1,
При таких предполо/Кеиинх
//: (/>) ------(5-37)
(1 4- i./X/i) 1 4- -тг р
•) В силу нрлпилл (2 26) (юзмопшн и C-iy'i.-ift, когда 0 = 0, d <6^, по и
и
дпипой аадаче эти два соитиошелил заведомо несовместны: из 0 = 0 следует
J; -^ov.
£ Б. РЕГУЛИРОВАШ11С УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ВАЛА ТУРБИНЫ
191
Нмеппо выражение в правой части и примем за желаемую п. ф.
замкнутого контура //«(/;) при соответствующем подборе едпн-
ствеппого оставшегося по определенным параметра X.
Подстановка в (5.30) функции
//4(ю»-//1м
приводит после вычисления стандартного интеграла к явной записи
уравнения (5,34);
хчл _. 2
(i + 1Т) А*
или. при учете (5.36),
Отметим, что гипотеза (5.36) означает
а-;. 6:
Хт = 4-г*а>1.
Иначе, говоря, предшеелпукнцно упрощения верпы только и том
< «учат, когда
(5.39)
т. с. при сравнительно малой питенемвнести колебаний нагрузки иди
широком допуске на предельную скорость изменения управляюще-
го воздействия.
Теперь желаемая п. ф. замкнутого контура полностью определе-
на, а тем самым по методу компенсации можно найти и п. ф. за-
кона управления
If,- (D)
4 и* (У)
Нщ, М 1 - а* {!>)
(5.40)
1 - у» ?.
ь
где при вычислениях вновь использовало упрощающее предположе-
ние, Ч ТО ХЛ-. 1.
5.4. Техническая реализация. При построении закона управле-
ния в виде (5.40) мы исходили из предположения, что доступен
сигнал у(1), безошибочно отражающий текущее значение угловой
скорости, и возможно изменение открытия пниранлшощего аппара-
та и соответствии с требуемым законом. Техническая реализация
должна быть такой, чтобы эти предположении выполнялись хотя
бы приближенно.
192
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПУН СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДКНСТВИЯХ
Для еоздаиия высокоточного датчика пзмепеппя угловой скоро-
сти возможно, например, применение следующей идеи*). С валом
турбипы непосредственно' связывается ротор специального измери-
тельного синхронного генератора с постоянными магнитами. Часто-
та напряжения, вырабатываемого этим генера тором, сипгветстпует
угловой скорости ритора. Это напряжение подается на резонансным
контур, выполненный из ныеокостабпль-
jri.iv элементов, причем настройка контура
пронаподится так, что желаемой частоте
(желаемой скорости вращения со,,) соот-
ветствует точка па склоне резонансного
пика частотной характеристики (рис. 4.5).
Дайте малые изменения частоты приводят
-____________________к существенным изменениям амплитуды
^9 ' <*> тока в контуре. После выпрямлетшя л
рис 45 сглаживали» получается электрический
сигнал к«. с достаточно высокой точ-
ностью пропорциональный отилоненяю угловой скорости от желае-
мой, пип, что то же самое, пропорциональной относительной перо.'
ценной у. Примем, чго
= —к,у. (5.41)
Сигнал н., подпергигтсн преибра ninairinn и аналоговом вычислитель-
ном устройстве (ВУ). На выходе НУ получим вновь маломощный
сигнал с. напряжением »„(/}. Однако требуется с помошыо этого
сигнала управлять открытием нанравлиющего аппарата, преодоле-
вай очень больнии' усилия. Практически необходимой усилении
мощности обсеве чикается ла счет гидравлического двпгагеля. кото-
рый сам по себе является системой с обратной связью. Кратко
опишем его действие, поскольку такие системы широко применяют-
ся и и других областях техники, например, при управлении еамо-
лстамп. судами, манипуляторами.
Собственно гидромотор представляет собой цилиндр с движу-
щимся в нем поршнем (рис- 4.6.о). Если жидкость под высоким
давлением рг. подведена в одну полость, а другая связала со слив-
ным баком (давление р.-, < р,;), то к поршню прикладывается сила
(рп —/т0) (/'\т—площадь поршня). Для изменения направлении
движущей силы производится переключение подвода с помощью
золотникового распределителя (рнс. 4.6,6). При смещении пглы
золотника относительно его корпуса открываю гея окна, через кото-
рые полости цилиндра связываются либо с магистралью высокого
давления, лпбп со сливом. Расход жидкости прппорципиалои откры-
тию этих окпн о. 11ш-кальку рабочая жидкость (масло) практически
•) Здесь и да.пч> описавпс технической реализации п ьсиавном следует
ирпппппам пистросния элект{ич,ад|1авлпческл1О регулятора скорости турбин
Леви bi радското металлического закола. Л •юлмокаиао цифровых датчиков
я млкро-ЭиМ открывает и иные возможности.
i 5. РЕГУЛИРОВАН ИР. УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ВАЛА ТУРБИНЫ
193
несжимаема, то опа должна освободить себе место, сдвинув поршень
как раз настолько, чтобы увеличить объем полости па объем вте-
кающей жидкости. Таким образом, скорость смещения поршня нро-
iiopiiitona.Ti.na расходу масла, а следовательно, открытию окон.
Шток сервомотора связан С .toii.-icihmii iianpanaMioiiivro аппарата
жесткой киш-мат ti ческой передачей. Поэтому можно считать, что
Рис. -10
относительное' Смещении штока совпадает с. от нгв-.итольпы.м откры-
тием направляющего аппарата, и записать формулу
<7Г = Ът, (.>.42)
где — коэффициент, определяемый конструкцией (прежде всего
перепадом давления р„ — р«)*).
Если (рис. 4.6} корпус золотника связан со штоком гидромотора
рычажной передачей, то
о = Пг - гу, (5/13)
где ot — абсолютное перемощение иглы, отсчитываемое от неподвиж-
ного основания, а г—отношение плеч рычага. Подставляя (5.43)
ь (5.42) и переходя к операторной записи, получим
г. - Л- (5.44)
“ ” r3D -|- 1 °с’
Па перемещение иглы золотника необходимо затрачивать лишь
малые усилия. Поэтому перемещение может быть осуществлено с
помощью от поептельпо маломощной и почти бсзынорционпой Систе-
мы. состоящей пл электронного усилителя мощности с. коэффици
сигом усиления но напряжению /г,м и ;i.tpkiроялтига, причем па
вход усилителя можно непосредственно подать сигнал "„(/) от ВУ,
•) Па самим деле зависит и ar циннией uni ручки, « и>м числе пщ*рцп-
оппой, но при больших силах, создаваемых перепадом, можно считать к„ =
•= const.
13 A. A. IlepucijuauuiaiA
«И
ГЛ. 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
считая ое =/с„н<.. Остается вылепить лини, вид преобразования. ко-
торое должно осущестцля iь НУ.
Передаточная функция прсобраэпияпня измеряемого процесса
--//(/) 11 управляющее возле iter вне «(О, т. е. п.ф. тракта датчик —
ВУ— исполнительное устройство, имеет кпд:
л 1/г
/ч^е.у (») r lt _|. р
где Wp,y(D) — п. ф. ВУ.
Вместе с тем п.ф. всего преобразования, как было установлено
лише. является оптимальной, если она дается формулой (5.id).
Для обеспечения оптимальности достаточно выбрать //Аф) равным.
ЯЕу(1>) - ^H'AD-r (5.45)
ЛК*В .Ту
ИЛИ
Яц У (D) = кои Р /Г/ Он I- А-/ -1-м, (">.4в>
где
А\,-=(Г.-1-7 )^, А:п = ЛГАц fc, = ri.(UM •_
Построение аналогового ВУ, реализующего гггот стандартный НПД-
иэкок управления, но вызывает практических затруднений.
5.5. Выводы. Оцепим значение дисперсии ошибки регулировании,
днС1 пгагмое при исполкаопанин згою закона.
Вновь вычисляя стандартный интеграл
1JC
d* =*= ^ | Н — А/’ (йо) |% (fir) rfw,
— <Х>
находим (при предположениях (5.3G)), что
Таким образом, достижимая точность регулирования определяется
а) ожидаемой интенсивностью изменений нагрузки i'(h,
б) ожидаемой частотой Ь'т скачков нагрузки,
в) статическими хара к герметикам и объекта А',., к.,
г) допуском па возможную скорость управления.
Остановимся подробнее па поело,тне.м факторе.
Как уже указывалось, скорость управления ограничена в силу
двух обстояюльств: по-перпых, конструктивно, а во вторых, из за
возможности гидра плпческого удара. Согласно (.>.'i'2) предельна и
скорость потока сервомотора раина А-.,о, где о—полное открыип)
окоп золотника, а ка яавненг от многих обстоятельств и в частно-
сти—от перепада давления масла, создаваемого напорной установ-
кой. Поэтому, в конечном счете, конструктивные ограничения па
з 5. РЕГУЛИРОВАНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ВАЛА ТУРГ.ИПЫ
195
скорость управления определяются мощпостыо напорной установки,
а значит, предельным расходом масла черев окна, умноженным па
перепад давления («напор»),
(Вывод 1. Достижимая точность регулирования яавнеит от
энгргг тнч ескнх ла рак т epuct и к и сполна , ельног.о устройства.
РпССМОГрЛМ TCIICpi. Kl'npoc чбСТПП ГС.ТЫ’П'.П.
При упрощающих предположениях (5/:б) нетрудно оценить, что
Vd^TvVd~. (5.48)
где </-, — дисперсия от впептельпых колебаний давления.
Если требованиями к прочности конструкции направляющего ап-
парата и камеры ограничена предельная величина т) колебаний,
то соответственно ограничена и d... а следовательно, задан и допуск
б, па среднеквадратичное нзмепенне скорости управлении
^=Л4 м
I) Ml
(если, конечно, использовано справило Зо»). Если этот допуск
жестче, чем конструктивный, т. о.
j—(5 ПО)
В* «'
то именно пи .должен приниматься во внимание при расчете и вхо-
дить к формулу для достижимой точности.
(Вывод 2. Даегчжимня точность регулирования может лавасетъ
от прочностных теракт е росту к конструкции. самого объекта.
С заключение отмстим, что описанная в данном параграфе ме-
тодика типична дли Технических приложений теории управления.
.Характерной является процедура постепенного уточнения постанов-
ки задачи оптимизации закона управления с выявлением новых
существенных факторов. Она отражает и обычный диалог между
снепналнс.том, более «сведущим» в формально-мзтематн веских во-
просах, и специалистом, лучше понимающим технические аспекты,
по способным воспринимать только конечные результаты расчетов.
В то же время конкретный полученный результат—закон управле-
ния (5.45),— конечно, не следует рассматривать как окончательную
рекомендацию к проектированию регулитории гидротурбин, именно
потому, что многие, очень Важные особенности технической реалп.ча-
1Ц1П при ею погтроепип не были учтены.
13
Г .11 Л F Л 5
ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
§ I. Необходимость нелинейной теории „ ее возможности
1.1. Нелинейные эффекты. Проведя аккуратный анализ поведе-
ния объекта управления н рассчитав необходимые законы у пран.те-
ния на основе линейной теории, инженер может столкнуться с не-
ожиданными неприятностями при реализации системы на основе
проведенных расчетов. Свойства «собранной» системы пли ев экс-
периментального макета, построенною на реальных элементах, мо-
гут качественно существенно отличаться от расчетных.
Предполагалось, чш система является устойчивой, я па самом
деле наблюдаются пелат) хающие, колебания. Предполагалось, что
система будет с малой ошибкой оп лежнваiь задающее воздействие,
а па самом деле ошибка оказывав гея значительно большей или ддя.о
неограниченно возрастает (обьскг слежения «теряется ил виду»).
Предполагалось, что переходный процесс, занимает короткое время,
а в дейстимтельности он окалывается существенно более затянутым.
Система проектировалась как астатическая, а в пей наблюдается
установившаяся ошибка. Причина всех этих неприятностей песо-
огнетствио свойств pca.ii.ni.ix плеыеитов нх линейной модели, при-
нятой при расчете. Приведем примеры.
1. Псе «линейные» усилители на самом деле имеют ограничен-
пую зону, где зависимость между входным, усиливаемым воздей-
ствием и выходом сходна с линейной. За пределами этой золы па-
g 1. НЕОВХОДИМОСТЬ ПКЛПППППОЙ ТЕОРИИ
197
блюдаевся насыщение: выход »<{/) остается ограниченным, несмотря
на роет входа u,(J). Типичная зависимость предстаилсиа на
рис. 5.1,Л пли, в iiaca.iitaiipoitaiiiKiM виде, на рис. 5.1,6. Хотя огра-
ниченное п. управляющих воздействий и пирс «• iriinoii море учиты-
валась и при линейном расчете, по это касалось лишь установив-
шихся режимов, а при отработке начального рассогласовання не-
линейность типа насыщения может играть е\шественную роль.
Рис. 3.3
Рис. 5.2
Пример 1.1. Слс-дящак система рассчитана по линейной теории
с заданной добротностью к-.. Элен-тричедкш! и механические по-
стоянные малы пли достаточно .хорошо компенсированы корректи-
рующими цепями. Таким образом, ирнцполагасмое поведение долж-
но описываться моделью, представленной на рис, 5.2. Однако в
действительности усилитель имеет ограниченную зону .nuieiiiinrui.
Для того чтобы просто разобраться и ннследстимях, представим
характеристику усилителя идеализированно в виде кусочно .-ищей-
ной Зависимости (рис. 5.1.6).
Пусть начальное рассогласовании равно г . Согласно линейной
— Ji tf
модели к (/) = ri.c 1 1 однако с учетом нелинейности (см. рис. 5.3,
где выделен нелинейный усилитель ПУ) результат будет другим.
Пусть /гДс-Во > й. Тогда начальное
напряжение па выходе усилителя
будет равно не к,А\£,„ а «. Угол
отработки под действием постоян-
ного напряжения начнет расти по
линейному закону (f(t) = A%wt, и
так будет продолжаться, пока
рассогласование не уменьшится
настолько, что усилитель войдет в
линейную зону (рис. 5.4), т. е.
вплоть до момента когда
А(А,(е{1 — k}ult) = й. Только затем
все пойдет согласно линейной теории и ошибка начнет уменьшаться
но ;исспоиепт(! р(0 “ е где Л',, — расчетная добрей иметь,
ранная произведению коэффициентов усн.теипя зиеиьси к,кгк..
Иа рис. 5.4 видно, что время практического затухания (вхож-
дения в 5%-зопу) из-за насыщения резко выросло и абсолютно по
соответствует «линейному прогнозу» 3//г, при достаточно большом
начальном рассогласовании. □
198
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИИ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
2. Почти вес «линейные» датчики рассогласования па самом дело
имеют зону псчулс.тинте,'п.пости, т. е, при малых намеряемых ошиб-
ках ft выходной сигнал просто отсутствует (рис. 5.5. и). Поэтому
установившаяся ошибка может быть любой и пределах зоны lei >
*. Л, а отр.тбнпи' при этом происходить не будет, поскольку от
сутстиует сигнал ошибки. Колее того, датчики имеют и oipautiueii-
пую зону линейности (например. потенциометрические преобразо-
ватели «угол — напряжение* имеют характеристику, близкую к по-
казанной на рис. 5.5,6). Для индукционных элстромеханических
преобразователей (вращающиеся трансформаторы, сельсины) ха-
рактерна зависимость м, -Asina, лишь при малых с близкая к
линейной (рис. 5.5, в). При этом ошибка может быть равна любому
числу полуоборотов, а сигнал — отсутствовать; ошибка может паря-
стать, а сигнал—убывать. Для многих оптических датчиков харак-
терно исчезновение выходного напряжения при больших ошибках
(рис. 5.5, г). И без детального анализа ясно, что такие снопегви
Датчиков могут приводить либо к визичкнппеняю больших уетано-
впп1пнхсп ошибок (пз-за «ложных» пулей сигнала), либо вообще
к потере возможности слежения.
3. На работу почти любых кинематических передач оказывает
влияние сухое трение (при малых усилиях — пет перемещений),
н также пеидеальяость соединений (uriupi.i, люфты). 1и-дущая ось
поворачивается, а ведома;| — пег, пока зазор в передаче не будет
выбран. Ясно, чго между их углами поворота пет линейной зависи-
мости. В дальнейшем мы убедимся, что эта нелинейность может
оказаться «ответственной» за возникнопепие неушеакицих колела-
иим в системе, которая согласно линейному расчету должна была
S I. НЕОБХОДИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
199
Лить устойчивой. Таким пбрпэом, реальные элементы, характеристи-
ки которых считались при расчете линейными, п действительности
обладают существенно пслинопнымн сиойстоами. Их влиянием мож-
но объяснить многие иепрпятнпсти в системе, «правильно рассчи-
танной» ио л и пенной теории.
1. 2. Релейные системы и доетонпетна нелинейных законов. В ав-
томатике. надавив примениюпя персключательнын (пороговые) эле-
менты. Их функциональное назначение—наменять скачком выход-
ную величину и .момент, когда входная перехо-
дит (убывал или возрастая) некоторый уровень,
ворог. Характеристика связи «вход — выход»,
готпстствующая этому назначению, представ-
лена иа рис. 5.6 (М|П.— пороговое значение -
входа. м2, н2 — различные постоянные значения
выхода). Реально переключатели выполняются
как электромеханические (электромагнит пые
реле), электронные или пневматические устрой-
ства, характеристики которых могут иеекол.ко
отличаться От идеальной функции переключения.
Рис. 5.&
В электромагнитном реле, например, переключения связаны с
движением механического элемента (якоря реле) иод действием сил,
создаваемы\ током в обмотке управления (рис. 5.7). Перемещаясь,
якорь замыкает выходную цепь либо на источник с напряжением
на, либо па источник с. напряжением >ь... Очевидно, что переключе-
ние происходит нс мгновенно при 110-
4р. реходс входного воздействия и, через
порог м,"»0. Время переключения за-
висит от инерционности элементов п
создаваемых сил. Однако конструкцию
можно выполнять так, что это время
пе превосходят сотых долей секунды,
-о я следовательно, управляемые от роле
dZ более инерционные звенья практически
не изменят своего состояния за время
переключения. Те.м более предположе-
ние о мгновенном. скачкообразном из-
менении оказывается справедливым для электронных, в частности,
полупроводниковых переключателей, в которых в{юмя переключе-
ния может быть на несколько порядков меньше.
Релейные элементы просты и вместе с тем могут быть эффектив-
но использованы в системах управления.
Пример 1.2. Введем в следящую систему вместо усилителя с
Jiuiic.iiiiOH зоной релейный усилитель РУ с. симметричной характери-
стикой (рис. 5.8,а). В пренебрежении инерционностью динамика
процесса может быть описана с помощью структурной схемы
(рис. 5.8,6). При начальной ошибке рассогласования е*>0, какова
бы ина им была ио уровню, реле обеспечивает подачу на двигатель
200
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИИ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
постоянного напряжения м, а прп р„ < 0—напряжении —м. При
этом процесс отработки начального рассогласования идет по линей-
ному закону (рис. 5.8, е) с (t) = ert — и заканчивается .та ко-
• %
ночное время tt, • •—=—. Это время меньше, чем при использовании
*8"»
усилителя с зоной линейности, ограниченной величинами ^-'Мг. П
Па примера ясно, что с помощью релейных элементов можно
формировать .чаконы управлении в некотором смысле даже
более эффективные, чем «линейные» с ограниченной попой дей-
ствия. Это обстоятельство плюс техническая простота йбеспн-
чипают широкую распространенность релейных гнетем управления.
Имеете < тем псреклшча п'льпаи функциональная з.тииспмогть
(pm-. 5.6) ис только nt! является липей-
ной, по даже не непрерывна. Для линей-
_J " noii теории просто ист липой (.топы нрнмс-
— намости», если проектант системы орпептн-
руск-л на использование реле. Напомним
г-* также, что любые преобразователи «аналог —
_ Г _ код», служащие для ввода информации в
s управляющую ЭВМ. имеют характеристи-
ка_________________ку типа композиции переключательных
(рис. 5.9), где «ступенька* равна «цепе»
раС низшего разряда. При грубой дискретизации
(малой разрядности ЭВМ) это обстоятель-
ство может оказаться существенным, тем более что оно проявляется
и в процессе «ппутримашинного» преобразования информации. По-
тери точности при округлении и тем более переполнение разрядной
сетки — типично нелинейные эффекты.
1.3. Необходимость нелинейной теории. Недостаточность линей-
ной теории теперь очевидна: подучаемые с ее помощью законы
управления не могут быть точно реализованы, в заранее не ясно,
нс являются ли другие, существенно iii'.Tiineiiiibie законы oo.iec
эффективными. Кроме того, важно и ТО. что .тпш-йпые модели сами
го <i6t.ckt;i управления приемлемо отражают его нпвеДенис лини,
в малой зоне изменения переменных. Опп сими, как правило, стро-
ятся па основе приближенной лиясвримщии физических законов
(см. § 5 гл. 4). В рамках линейной теории неоднократно обрати-
S i. необходимость нелинейной теории
201
лоеь внимание на важность учета даже малых отличий модели от
реальности. Вместе, с тем изучалось лишь илияпио таких отличий,
мри котором описание поведения оставались линейным. Ответом па
нопрнс о влиянии нелпнейлы-г аолмущений мы пока не распо-
лагаем.
Итак, приведены существенные Доводы в Пользу нелинейной
теории. К сожалению, возможности ее заведомо гыр/мгнчсны, Дей-
ствительно. если линейная теория опирается на модели в виде ли-
нейных дифференциальных уравнений, из которых легко находится
явное представление управляемого процесса в зависимости от прп-
извольных входных воздействий, то нелинейная теория должна опи-
раться па нелинейные уравнения. А для таковых, как правило, но
существует способов получения подобных явных представлений.
Прп анализе поведения для конкретных начальных условий и за-
данных воздействий можно воспользоваться эффективными процеду-
рами численного интегрирования нелинейных дифференциальных
уравнепнй {см., например. |52J), Однако, и это уже неоднократно
подчеркивалось, при решении задач управления, как правило, не-
обходимо считаться с неполнотой исходных сведений об указанных
факторах.
Следовательно, основное внимание важно уделить таким подхо-
дам. при которых можно получить хотя бы качественное ирецегэв-
лепне о новгдеипн Систем, описываемых пё.чкш-ины.мн соотноше-
ниями, при широком диапазоне начальных условий и возможных
ВоЗЦеЙСТВНЙ.
Общая нелинейная теории управления достаточно сложна. Ко-
лее полюс знакомство с нею мы отложим до гл. 8—11. Здесь же
ограничимся описанием основных' подходов и полезных для практи-
ческого исноль-яжания результатов в рамках простейших нелиней-
ных моделей. Наша первая и основная задача — понять причины
вознпкновеппя различных не линейных эффектов, о которых- гово-
рилось в начало параграфа, и выяснить, нельзя ли устранить Не-
приятности. возникающие в силу нелинейных свойств элементов,
при формировании самих законов управлеш-.я.
1.4. Системы с одним нелинейным элементом. Обратим внима-
ние на то, что рассмотренные выше элементы систем управления
(усилители, датчики) имели характеристику связи «вход-выход» в
виде безынерционного, статического нелинейною преобразования.
Если обобщеппо обозначить вход через с(1}, а выход — через p(Z),
то значение выхода определялось значением входа в тот же момент
времени
ИП-Л<Ф)1, (1-1)'
где i'|o]—та иля иная функция (характеристики элемента). Огра-
ничимся песледоиаппем систем, где имеется только один нелиней-
ный безынерционный элемент, а псе остальные звенья системы мо-
гут быть описаны линейными, возможно, динамическими соотпошо-
202
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИЕ Н НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
пнями. Это позволит выявить основные нелинейные аффекты, за
которые «несет ответственность» ni.iac.ioiiiibiu элемент.
Формальное описание, систем г одним нелинейным элементом
удобно цать с помощью структурной схемы, нредстапленной па
рис. 5.10,а, где z(f)—внешнее no.i.iriicTinie, y(t)—выход системы.
Рис. 5.10
77. (D), //,(!))—передаточные функции, характерпзуготняо
линейные звенья системы. Структурной схеме соответствуют урав-
нения в операторной форме
{/(i)-//,(I))o(/.) + 7/.,(D)z(/), o(t) = z(/)-/4(D)H(f), (12)
n(/)==/|o(Z)|. (1.3)
Если обозначить
/*,(!)) /’.(>) ’> <П)
//,(»>) (I/O
где /1|(1>), 77,(D), Л/!)), 77S(D)—многочлены or оператора
дифференцирования, то том ?ке соотпошепинхг (1.2) можно придать
форму линейных дифференциальных уравнений
Л,(П>г/(Л) /А(Г))р(М = /Л(П)з(/.),
Л2 (D) a (J) + /Л (D) у (!) = .4, (D) з (t) (1.5}
относительно неизвестных функций y(l), a(t), ь*(0. доисишптель-
пая нелинейная связь между которыми дается с помощью (1.3).
С другой стороны, исключив £/(/} из уравнений (1.5). придем к
соотношению
Al (В) п (f) + BL (D) Р (0 = 7?. (D) 2(f), (1.6)
Л, (1)}Д Л. (1>) Лг(П). Л’,. (D) =/?1 (D) Л’.,(!>),
71,(1))-(ЛЛР).!,.(!>)- /Л(D)/>’,(!>) 1. f17)
Такое 111к;почепие pnniHHii.tbiio iipctiGpicioiiaiinui исходной структур
пой схемы к новому, иногда более удобному виду, представленному
на рис. 11.10,6, где введены обозначения
Л г (1>) W, (I»
04
$ 1. НЕОБХОДИМОСТЬ ШЛИГШППОП TIXiPMH
203
Приведем пример приведения описания системы с обратной
связью к стандартной форме.
Пример 1.3. В § Г» 11. 4 подробно pactматривалась задача сип-
тепа закона стабилизации углоной скорости гидравлической турбины.
Общая структурная схема построенной системы воспроизведена на
рис. 5.11, где и. ф Ни-,-, lhv характеризуют eiitiiicnia обч.скта,
н //.(/>)—свойства обратной сняли.
Обратную связь предлагалось построить как пос.тсдопятелг.пое
совдннсигп: чувствительного элемента, описываемого уравнением
н, (С)«» к,.е. [t}= (1.0)
ППД-прсобразовагеля с урав-
нением
(/) = p;n -г + ?»•,- — (?)
(1.10)
и гидравлического сервомеханизма, движение штока которого.опре-
деляет управляющее воздействие (открытие панранлпкицего аппа-
рата). Сервомеханизм также описывался линейным уравнением
(ЛВ -|- (111)
г/н п, (смещение иглы .чолотнпка) равно
пг = /с,н„. (1.12)
Во всем описании поставим под сомнение только уравнение серво-
механизма (1.11). ПаицмлКМ, что подача жидкости в цилиндр xie-
линизма осуществляется с помощью золотникового распределителя:
1‘ис. 5.11
своими поясками игла аплотппкп открывает или закрывает окна в
сто корпусе (рис. 5.12, о), черен i((jrQjn.ie пропускается жидкость.
При выводе уравненкп (1.11) нреднош!алоеь, что открытие окон,
которое здесь обозначим и, пропорционально относительному сме-
шению п шли и корпуса. Однако ;гп> неточно отражает существо
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
дела: при малых смещениях окно, размер которого меньше ширины
пояска, остается закрытым, а при больших смешениях окне» откры-
вается полностью, и увеличение смещения перестает влиять на
скорость подичи жидкости и цилиндр. Зависимость открытии окоп
от относительного смещения можот быть описана nejiiiiieiiiiui! функ-
цией, график к'пторнп дан на рис. 5.12.6. С учетом этого обспиисль-
CTiia следует птказаться or урлпиевня (1.11). заменив с.о соотно-
шениями
I)w = .^p (1.13)
(пропорциональность скорости движении штока открытию окон),
о = ос — ги (1.14)
(относительное смещение! иглы о определяется абсолютным а£ за
вычетом перемещении корпуса золотника, связанного со штоком ки-
нематической передачей с коэффициентом г), н, наконец, нелиней-
ным уравнением
₽ = /(а). (113)
Выпишем iicis лилейные соотношения, сразу изъян часть промежу-
точных испзкестпых. Сшласпг! структурной схеме имеем
у-//„у(1))н4 (1>)Щ. (1.Ш)
Далее из (I.1)), (1.10), (1.12) следует, ч о
сц- = - Z-b/,-£ (а-х1 + АЪТ> Ч- /о ±)у, (1.17)
а кроме того,
O = <Je —ГЦ, (1-18)
Окончательно исключая о£, н, подучим полное описание линейной
части системы
У= /Лф(О)4 *(') -I- я^(Т))НО, (1.19)
О<0 = — р-Л: ^А‘л -I- М) + f'l jyj -I- + ГЯ^7Й7И’^). (1.20)
которое и переходит в (1.2) после очевидных переобозначений:
z (1) = r /T^Tvj(0. ff । (n) = w (1)) 7?’> i (D) ~ +
§ 2. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ II УСТОЙЧИВОСТЬ
205
§ 2. Равновесные состояния и устойчивость
2.1. PauiionocHi.ie состояния. Первоначальная проблема, которая
тнпересуп пас при исследовании спечем управления с обратной
СГН.И1О, это пробасил устойчипЯстн. Любая систена рогули рапа ими
должна быть организована так, чтобы при спитии возмущений ев
выход стремился к желаемому з и я четно, а при ограниченных воз-
мущениях— оставался в nrpaiin'ieiiiinii зоне h6.tii.hi него. В спслемах:
ел с; не п и я эти требования остаются в силе, хотя вместо ш посред-
ственного выхода объекта они предъявляются к ошибки слежения.
Запишем уравнении системы, ориентируясь па структурную схему
рис. 5.10,6:
а(0 I //,.(!>)г(2-1)
v(') = .W)J. (2.2)
г/ (/) = 77, (D) y(f) + ТТ3 (D)s(f). (2.3)
, KuTopvni обычно называют п.ф. ли-
I h 1 •
и ciiiiiii'Ti'.aMH функции f (a), ж«/мг.термсгмк«
Прежде всего выясним, какие iimoiotcb но-
•<i==cons1, <•(/) с const. Вудсм говорить,
они существуют, определяют систуяння рав-
Последяие уравнение является линейным и отделяется от взаимо-
связанных уравнений (2.1), (2.2), исследованию решений которых
мы и уделим основное внимание..
Первоначально предположим. что внешнее воздействие отсут-
ствует. Тогда поведение решений полностью определяется свойства-
а . ni fl)' *)
мп и. ф. 7?;. (11) А-----
fteiiitoii чпегн системы,
не.;пНейГ'о.'о ,*лс’ леяг«.
стоящи,:!'» решения п(М
что эти pcinr.iiiin, если
поаеепя системы
Adlha(.l) l-!.!,.(/))г(L) О, г(«) = /[а(П].
Величины о. г, должны удовлетворять соотношениям
/1ь(0)о + Л7г.(0)р 0, и = /(а).
Если фхнкцяя /(о) липенна.
/(o)=Zm, (2.6)
то (2.5) имеет единственное решение
о = 0, о т 0. (2.7)
Нелинейное >ке описание может допускать и другие постоянные
решении, что сразу видно ил графической схемы, представленной
на рис. 5.13, где решениям соотвстствуки точки нересочспия харак-
теристики нелинейного элемента и примой
/1; (“:
<’ = — 57-;.;; <’
•) Мноптчлсиы zlL(W), ^(..{С) далее считаем «заимпо простыми.
2f.K5
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИЙ В „Г’ЛИПЕПИУЮ ТЕОРИЮ
Этот результат очень важен практически. Дейс.твнтельпо, если
функция /(о) является гладкий и имеет отчетливо выраженную
«линейную at,ну» (рис. 5.1-1), к, кажется г.<1.т>т;кпым килепить /(о)
линеаризованным онигапнем
<='S>
т. е. принять формулу (2.6) с/,= •/] . На птой гипотезе, и сущ-
w*-1
нести, строится вся линейная теории управления: система обычно
СТРОИТСЯ так, Ч10бы CAI'.l'CTIiCiniOe СОСНиИШе раннопгти!, COOT lie ГСТВО-
нало пулевой ошибке yiipiiiuieiniii. г. е. были бы я ез.темым состоя-
нием
Вывод: иелмнсммость хп/мктс/шетн^и flo.we е-Оного. элемента
смсте-ны д'.о.кс?' привести к ло.'п.чг,и(><,/'нши в m-i'i равнлвес-НыХ
состояний, не совпадающих с желке.ем.ч i-.го ..'х нулей»').
Пусть, однако, ота ненрки шесть огсугствует, т. с. статический
Рис. 5.1-'i
коаффпцкспт усиления линейной части системы
/<г (Ч
'Н НО
выбран так. что систем.i (2.5) имеет r.iini-
eiHCiiiiuc ptriiiciuie. Дли OHjif.ie.ie’iiitic: с о\.,ля
t читать, что /(О}=0. a cje.ioiH:lejH.iin. »;о ре-
iiieitr.c— т.чене.е (2.7)
2.2. Уетпнч:11и.стi>. I, риrepnii lltiiioiia. Пред
положим теперь, что н.ria.и.пне cocioMinii* си-
стемы не сопилдает с нулевым, [.аниикеспым.
Спрашивается, придет ш система к нему
будет ли она усгойчивой но нччи.юпы.ч
с. течением времени, г. е.
yc.toeicc-i.' ♦) Олнть-таки
'] Стригал формулировка сиватиа ycruJisBiJUCfu дана в гл. 8.
§ 2. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
2Г>7
кажется возможным для «гладкой» иедпзейпостн (рис. 5.1-4) при
малых начальных отклонениях. в пределах лилейной зоны .считать
п дальнейшие поисдеипе близким к новедвнию линейной, а следо-
ntneji.iio. использовать известные критерии. Однако ото иаключе-
пиг. вообще ювиря, иеиерно: устойчивое и, иг гарантирует моно-
тонности процесса 0(1), iia'iiiiiainiHc.rdc.H и «лнпсипий» :шне, в ходе
агого п|ищрсса можно «вылететь» изогон аппы, и свойства системы
перестанут отвечать продин южепию (2.8). Более того, как мы ужо
видел» па примерах, линейная зона может иообщи отсутствовать,
н указанный проста it шип подход теряет смысл. К счастью, теория
ледниейных дифференциальных уравнений располагает следующим
замечательным результатом 1-5.19].
Теорема 2.1 (критерий П М. Попона). Пусть все полюсы п.ф.
линейной части системы И,.(р) лежат в левой полуплоскости. Пусть
характеристики нелинейного элемента удовлетворяет условиям
/(()} = 0, 0<^<Л<оо. а^О.
(2.9)
Пусть можно найти такое вещественное число у, что при всех и,
О <> < ск>, выполнено частотное неравенство
Бе [ 1 + уйвП,. (bi)] + 4- > 0. (2.1G)
Тогда при любых ограниченных начальных отклонениях or нуле-
вого равновесный евстолння функция. о(/) пегичегся ограниченной
при I >0 и
tj(t) ►() при t — м. (2.11)
Говорят, что при атом имеет место
устойчивость нулевого равновесного со-
стояния в целом *) -
Доказательство енрапедливости кри-
терия отложим до гл. 8. Здесь же огра-
ничимся лишь пояснением смысла ус-
ловий н конкретных способов их. про-
верки. Условия (2.9) геометрически
означают, (рис. 5.15). что график функ-
ции /(о) должен лежать в секторе,
ограниченном осью абсцисс и прямой
Та. Его часто называют условием принадлежности сектору [О, I].
Подчеркнем, что условии (2.9) никак по. ограничивает конкретного
мпда функции /(о).
•) Уппцлкдспии Т.2, f п иислвлх'ияцих п атом iiajini-pni|M> отиоситгл го.н.ко
К yCTOltoioioriu системы, 1и1]1ОД1'алсмпй уранптшпми (2.4) Прп «пом и» учи гы<
ИЛ.101 I. ГлЮТВ'ШП'НИО (2.3), СПЛ:1ЫПМК)|Ц1Ч> выход сиглиии г(0 с ныхидом пили-
Meibioc.iH iff.'). Очеппдщ». одппк», чю ил устийчшюс.тп в целом (2.4) слсдуов
устойчивость веса системы (2.1) —(2.3), ег-’и — устойчивая и. ф.
208
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
Частотному условию (2.10) также можно дать простую геомет-
рическую интерпретацию. Обозначим
/?, {(>)“ По//, («о), Л.(о>) = Im
Тогда (2.10) преобразуется к виду
В L (<>) — L («>) + 4 > 0.
к
(2.12)
Введем также обозначения
Л(<») Д <п//.(ю)м //(.(ко) Д 7?£ (ю) + i/L((.)). (2,13)
Функцию /Л,(йо) называют модифицированной чпстотиой характе-
ристикой, линейной части системы. С уче-
том этих обозначений (2.12) можно запи-
сать так:
По /I,. (<0>) -|- у > q Im HL («о). (2.14)
А это верапспство геометрически означа-
ет, что годограф /Л (1о>) лежит правее
прямой
/ I ,л
проходящей через точку —-,Uj и имеющей коэффициент пакле-
на 1/q (рис. 5.16).
Правило. Для того чтобы проверить выполнение критерия
В. Л/. Попова, следует
а) построить годограф модифицированной частотной характери-
стики Яь(йо);
б) попытаться провести прямую, проходящую через точку
------у-, 0j и лежащую слева от годографа.
Если ято удается, то критерий удовлетворяется, а следовательно,
положение равновесия устойчиво в целом.
Применение критерии В. М. Пинона по сложнее применения
критерия Найквиста, с которым он имеет много общею. Оцнако
следует подчеркнуть, что критерий В. М. Попова лишь достаточное
условие устойчивости: он можем не 111.1110лпяп.е.я, н тем не менее
устойчивость в целом имеет место.
При интерпретации критерия возможны два подхода:
а) предполагается, что исследуется система с явно заданной
характеристикой /(о) нелинейного звена, которую можно иаключшъ
в сектор [0, EJ, подобрав значение Л.
В 2. РАЕПОЕЕСПЫЕ СОСТОЯНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
209
б) 11рсдпо.чагас1Ся, что изучается сразу целый класс систем, раз-
личающихся по виду нелинейное in, по так, что псе они удовлетво-
ряют одному и тому же условию, например, условию принадлеж-
ности заданному сектору.
В последнем случае говорит, что критерий определяет абсолют-
ную устойчивость укаапнжпо класса.
Рассмотрение с позиций абсолютной устойчивой ги соотпстстиует
тому, что пелит йпость считается возмущающим фактором, заранее
не вполне известным, но все-такн лежащим и пределах, задаваемых
условиями (2.9). Подчеркнем теперь, что к классу систем, удовлет-
воряющих (2.9), относятся и линейные системы, для которых
/(о)=А-о, (2.16)
если
Q^k-^Tc. (2-17)’
Поэтом у простым необходимым условием абсолютной устойчивости.
является требование.устойчивости всех лпнейпьтх систем вида (2.1).
(2.2), (2.16), т. е. расположение в левой полуплоскости всех корней
уравнения
Л ..(/>)+ 7,,В ,.(//) = 0
при любых 0 < 7с < й. II частности, при к = 0 эго уравнение
принимав! вид
.1, (/))“<),
т. е. ого корпи совпадают с корнями знаменатели 77, (р). Далее по
критерию Найквиста следует, что годогрцф В, (йо) не должен пере-
секать луча (—э°.---------- I на вещественной оси (см. § 5 гл. 2).
\ « ]
Иными словами,
В,. («) = Re IIг. (Йо) > - 4- (2.18)
А*
при всех fi>, для которых
Л.(ы) — Im /7t('ci)) = 0. (2.19)
После шее условие эквиваЛепгпо
7t(rn)--o>7i.(ni) = 0, (2.20)
если ы 0, Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.2. Необходимым условием *) абсолютной устойчивости
систем, в которых линейная часть характеризуется п. ф>. II,.(/)),
« нелинейный л емгнг— функцией /(о), такой, что
о /(<>)“ 0,
*) В истории пзун'ппп проблемы зпачи rcxi.nyio роль ,-ыгралп предполо-
жение (тик пл-зывлемлм гипотеза Лпзермапл) о том- что указанное необходимое
условие является в достаточным. Однако Ch.i.i>i найдены опровергающие при-
меры.
14 А. Л. ПсрпозсаяскпА
210
ГЛ. Ь. ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
является устойчивость а также требование, чтобы годограф
И, (1ы) не пересекал луча (—<х>,—-=- на вещественной оси, или
же требование, чтобы годограф модифицированной частотной тх/рак-
герметики Ih.(i(e) нс пересекал тоги же луча .ад исключение.и, воз-
можна, значения <о “ О.
Рис. 5.17
Таким обралом, построив годограф мы можем столкнуть-
ся с тремя ситуациями:
а) годограф /7(.(?<i>) пересекает луч —(х>,—yj (рис. 5.17,а);
б) годограф /7/ (то») не пересекает луча, и молено пронести через
точку (—у, О) прямую, лежащую левее годографа (рис. 5.17,6);
в) пересечепия луча нет, по провести указанную прямую не-
возможно (рис. 5.17, в).
В случае а) абсолютной устойчивости заведомо пет, п случае
б) она заведомо имеет место, в случае в) мы не можем сделать
никакого заключения.
К сожалению, для систем высокого порядка последняя ситуация
является скорее правилом, чем исключением. В теория нелинейных
систем ие может до настоящего времени построить условия, которые
были бы. и необходимыми, и достаточными дли обеспечения абсо-
лютной устойчивости в классе спетом с произвольными нелинейно-
стями из сектора |0. А]. Тем более отсутствуют условия, выполне-
ние которых гарантировало бы устойчивость в целом для велиней-
пчетн определенного вида, а нарушение— свидетельствовало о нв-
угтончниоети.
Поскольку обычно о нелинейности доступна Полип бвгнглн ин-
формации. чем принадлежность ос. сектору, то имеется возможность
сузить класс допустимых нелинейных возмущений, по умопыпить
разрыв между необходимыми п достаточными условиями. Наиболее
§ 2. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ П УСТОИЧМВОСТЬ
211
интересным для приложений является следующий результат этого
нинл [.г>.14|.
Теорема 2.3 (критерий Ч о-Н аре.ндры}. Пусти нелинейная харак-
теристика является монотонной, точнее, выполнены условия
/(а,)—На\ -
/(()) —О, 0<—-——-——к при ирвилвольных <т1><т2. (2.21)
Тогда устойчивость в целом положения равновесия гарантирована,
если найдется прямая, проходящая через точку 11 лезка“
щам левее годографа
Таким образом, критерий Чо-Паренлры рекомендует то же по-
строение. что и критерий В. XI. Попова, но относительно обычной
(а не модифицированной!) частотной характеристики, Это и проще,
м налагает менее жесткие требования на свойства линейной части
системы (и «обмен» па более жесткое требование к свойствам не-
линейности!).
2,3. Дополнения. Прежде чем переходить к примерам, сделаем
несколько практически полезных дополнений.
А. Пусть вместо условий (2.9) пли (2.21) нелинейная функция
удов.П‘1 впряст неравенствам
Или
Oj > <lj.
Тогда сохраняют силу утверждения Т.2.1 н Т.2.3, в которых, одва-
ко, следует заменить к на кг - /с,, а //х (/л) па
//ь, (Т))= /Л(Г>)[1 + /-,//, (В) J-'. (2.24)
Ссравеллтшость дополнения следует из того, что из i-слнвейпостп
](л) можно выделить линейную часть, представпв
у (о) =/, (о)—/;,о.
Тогда условия (2.22), (2.23) записываются относительно новой не-
линейности /, (о) в виде
ОСА*,
’ |> 4 “ 1 ~
М.1П
о<
П _ ЛГ "
т. с. приобретают пнд, указанный в теоремах, но при этим н:ьмепя
степ и линейная часть. То, что ее п.ф. дается (2.24), проверяется
простыми выкладками.
14»
212
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
Б. Результат Т.2.1 верен по только для непрерывных /(о), но
и для нелинейных функций с конечными разрывами (рве. 5.18, и).
График функции должен быть дополнен вертикальными отрезками,
дополняющими разрывы. Разрыв может приходиться и на точку
о “= 0 (рос. 5.18,6), как эго имеет место для идеального реле. Тогда
в условии (2.10) следует положить £ = <» (одним из лучей, ограни-
чивающих сектор, ста поится ось ординат); биЛед существенно, что
в этом случае нот «нлст<-ЯЩв1о» равноиесного состояния: ведь при
п -0 выход реле не опргдело’1. Формальный анализ указывает ив
сущестпивамие равновесного еко.юллще/и режима, при котором про-
исходит бесконечно частое переключение реле с- одного выгода на
другой. Если же учесть малую реальную инерционность реле, то
такие переключения псигуществпмы, и па деле имеются ныспко-
чагтпгные колебания вблизи полол,сияя равновесия. Однако при
достаточно инерционной линейной части, описываемой о ф. //,(!>)
(см. рис. 5.10), эти колебания не проявляются па выходе системы,
я равновесный скользящий режим не отличим по выходу от «на-
С'оншего» (несколько подробнее об эТом — ниже, в § 3, а также
в гл. 8). х
В. По условию Т.2.1 линейная часть должна быть устойчивой,
если нелинейная характеристика «зажата» в ссхторс [0, /]. Если
lit. (р) имеет корни знаменателя, лежащие справа, то абсолютной
устойчивости заведомо нет. Если же все корни слепа, за исключе-
нием одного нулевого, то критерии Попова сохраняет силу при
воболыний модификации. Перед тем как формулировать результат,
обратим внимание па то. что при наличии пулевого полюса условия
равновесия (2.5) принимают вид
ь'~0, п “/(п),
т. с. положенпими равновесия являются любые точки, в котпрык
характеристика проходит через ось абсцисс- В частности, мижег
быть целый отрезок, состоящий из равновесных точек (рис. 5.19).
Теорема 2.4 (критерий Гелига |5.4]). Пусть все корка лнамепа-
тсля Пь(р) лежит слева, за исключением одного, равного нулю.
5 2. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
213
причем
Jhjci ъ
liin pH h (р) >• 0.
е-*п
/(о) 0 при л, sG п п1(
(2.25)
(2.28)
« вне згого отрезка лежит внутри секторов, заштрихованлиис на
рис. 5.19, г. е.
0</(а)СЛ-(о-ог). о>о., , ,?7
/. (о — Oi) < /(и) < 0, о < ch,
причем
ПО О
J [йо - <р(ст)] tto = оо, [ Iср(п) —/гп] rfcr оо, (2.28)
и —к.
Тогда если найдется q > 0 такое, что —q~' не является полюсом
JIz(p), и выполнено условие
Re {(( + qi(n) + 4- JsO, 0<>« <Z <»« (2.29)
то при любых ограниченных начальных условиях процессы в си-
стеме останутся ограниченными., и с (У) при t — x> стремится к од-
ной КЗ Точек отрезка, никоя
а. С и а,
(аыноллен.ы. условия пото-
чечной устойчивости отрез-
ка) И
Частотное условие (2.29)
совпадает с условном (2.10)
основной теоремы 2.1 и име-
ет ту же геометрическую ин-
терпретацию с точностью до
того, что допускается прове-
дение прямой, проходящей
через [— о) и касаю"
щейся годографа HL(ioi).
Однако наклон прямой нс должен быть отрицательным. ('(роме
того, условия (2.27) не допускают, чтобы /(п) касалась оси абсцисс
инс отрезка покоя, а (2.28) равносильно требованию «неплотного
прилегания» /(о) к лучам.
2,4, Примеры, Случай пулевого полюса является практически
наиболее интересным. Приведем два примера.
Пример 2.1. Пусть оГгьект является телом (т «"1), движущимся
в сре.то с низким трением (b = 1) идбль оси у под действием сиды
«(0. Тогда
D’y + Dy = и.
(2-30)
214
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
Управляющее воздействие и осуществлено в виде обратной сил.in
ио положению и скорости, однако датчик, измеряющий комбинацию
(2.31)
о «= — у — aDy, а > О,
лающий сигнал датчики ue, имеет ограниченную зону линейности.
Харяктеристикй датчика и усилителя представлены па рис. 5.20, а
и б. На них следует, что преобразование о — и можно описать од-
ной пел и ней иоц ааг-мг.нмостьго
(рис. 5.2.11. я).
Из структурной схемы (рис.
5.21) уелаиавлппаем, что
t -I- «р
/ </' F 1) ’
рис. 5.21
Поскольку 11>. имеет нулспой
полюс, следует применять T.2/i. Проверяем условия теоремы. Не-
линейная характеристпна подчиняйте)! углойиях! (2.27), (2:28) при
к = кг.
Пропорем частотное усиоинс (2.29), Имеем
1 — х j _ I -г «W3
1 — w“ «и И -j- <о3)
Запишем частотное условие в виде
К,. — qmlL + (1 —rx) 'I" 4(1 + + 4(1 -г ю2)>0.
к
Слепа в нерапепстпе стоит диуч.к'п от нА Поэтому оно справедливо
при всех <п > U, если и только если ш<првцат ельны оба коаффнци-
tiria двучлена, т. е.
-- (1 — а) 1 <? 1- ~ > 0 -> ?>( 1 — а) — 4-,
1 ., 1
оа -г — > 0 =; «у — •
g 2. РАВНОВЕСНЫМ СОСТОЯНИЯ И устойчивость
215
Величину q S* 0, удовлетворяющую этим условиям, можно подобрать
при любых А, > О, а > 0. Тем самым выполнены все условия Т.2.4,
и птрелок [—л,, oj является поточечно устойчивым в целом, т. е.
при любых нлч.-ип.пых отклонениях установится режим, в котором
<т(1) - о„, 1о„| о,. В силу (2.31) и р (I) -* ул ~ — о». Иначе гово-
ря, управляющее возденет вне обеспечивает стабилизации) в окрест-
могтн точки у » 0 с точностью до lerj. За погрешность «несет ог-
1и-| ст ценность* зона лечу ветвит ел i.noe-ти датчика. Мы обошлись без
построения годен рифа П, (ио), использовав простые выкладки. Тот
же результат, конечно, можно получить и
геометрически. Годогриф
7/, (кп) = rl + wL= -(1~al 1
1 — ш
тюником лежит в третьем квадранте
(рис. .>.22), и легко провести прямую, остав-
ляющую ого справа. Дополнительно отметим,
что если усилитель является релейным, суж-
дение об ускп'гшвоетн не изменится (доста-
точно положить — «>). LJ
Пример 2.2. Исследуем поведение слепящей системы, в которой
дат'.ш; рш'согл.теъианнл имеет нелинейную характеристику, ц ок-
тильные элементы можно опшыиап. линейными соотношениями.
При предварительном расчете ио лопойпон теории введение) коррок-
тир\|<||||,нх цепей ойеенечило приведение и. ф. разомкнутого контура
I. РИДУ
я,.(р) =
Мту-И)___
1 1 О’
7’, > Z2> Г3>0, А-р>0,
Рве 5.23
с известными (§ 5 гл. 3) хпрогапми свойствами. Выясним, по на-
рушаются ли эти свойства нелинейностью датчика. Представим
структурную схему в виде, -показан
пом на рис. 5,23, где о — сигнал
oniiioKH. а м = /(о)—выход датчика.
Для определенности будем предно-
лагать,' что характеристика та же,
что и на рис. 5.20, в, по Асу = 1. Га-
лим образом, при О1=0, ii--м (отсутствие зоны нечувствитвлыкь
ст и насыщения) мы возвращаемся к линейной модели.
Проверим условия устойчивости согласно Т.2.4. Имеем
/Л. (р)-".-(/’); J-1.
чаи что частотное условно (2.1!)) можно записать в виде
7?l(o) — вадЛ.(ю) + 1 5s 0, <в > О,
216
ГЛ. й. НННДКНМЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ теорию
млн
Д /,(<.>)+ 7«1(<->) Ь 0, <0>0, (2.32)
где /?„ /, — вещественная и мнимая части функции
7\>г.» | 1
7/. (по) А 7=-..----П.
7 =-(/jiw I 1) р3«0 -г 1)
Проведем необходимые выкладки. Имеем
о <+«>8(Уг 1 ¥8-¥э).
1 (1>г+1)(2>й+1) ’
1/ (Г.-ь^-Т1;») I ^2Т,Т2Тя
ы 1 (7>г+ 1)(Т>2 + 1)
Условие Т.2.4 сводится к выбору q 0, обеспечивающего пеотрн-
цатсльпасть квадратного трехчлена
1П2 ;у- + 11(77 + Г;) - у\тгта + q(TJ\ 4- 7-/А- 7\7’3)Ъ +
*в Ге J
-I q — (Г, -|- Т3 ~ Г2) | г-^5 О, z A of 5=0.
лр
Ято вс ггда возможш), сели выполнено условие
a kv— любое, поскольку при достаточно больших <? коэффициенты
трехчлена будут положительны, а следовательно, трехчлен не мо-
жет быть отрицательным при z 0. Таким
образом, и нелинейная теория подтверждает,
что большие начальные рассогласования
будут уменьшаться, однако гарантируется
не стремление ошибки к пулю, а лишь до-
стижение погрешности, не превышающем
размеров ионы нечувствительности датчика
рассогласования.
Стоит подчеркнуть, что вывод О возмож-
ности неограниченно увеличивать коэффи
цнепт обратной связи верен только для при-
пиши модели линейной части системы. До-
слагочпо учесть малую постоя иную времени 7\ < 7’э, и возникнут
ограничения па If,. Интересно, что ус.тонмю (2.32) можно дать сне
Moa.'ibiiyio гсоме.грпчсскую питерсмретацию. Если внести условную
частотную характерш тшеу
= + ,7iiM
a 3. АВТОКОЛЕБАНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИ И БАЛАНС
217
в построить со годогрнф, то (2.32) означает возможность пронести
прямую с неположительным кпаффициентом ( <?) через точку
( —0) так, чтобы годограф не заходил яснее ее (рис, Г>,2">).
В качестве самоетоигсльного упражнении предлагается исполь-
зовать агу и invpu ротацию дли ш-следовашщ системы с Дополни
'ie.Tt.noii малой постоянной времени L)
§ 3. Автоколебания. Гармонический баланс
н гармоническая линеаризация
3.1. Автоколебания. Линейная система, при отсутствии нпеппглх
воздействий описываемая уравнением
A(D)y = (), (3.1)
где Л (D) —многочлен от оператора дифференцирования D. может
иметь коаебателыгое решение типа
у (t) = a cos (<i„Z (3.2)
только г. том случае, если йас является корнем характеристического
уравнения, т. с.
Л(к>»„) =•(). (3.3)
')то решении we tpyCxy. стон г пеМ1иин изменить параметры, п чисто
мнимый корень приобретает вещественную часть, гак что решения
(3.2) превратится либо в затухающее колебание, либо и расходи
щееся.
В нелинейных системах возможна и друган ситуация: в них мо-
гут существовать грубые колебательные решения даже при отсут-
ствии внешних пол.дспсгвин.
Реальные процессы, соответствующие зтим решениям, принято
Мссн.ншть узтоколебапиямп, поскольку они определяются внутрен-
ними. собственными свойствами системы.
Если система управления организуется так. что нулевое значе-
ние ошибки управления совпадает с положением ра»понссия. го
наличие- автоколебаний должно рассматриваться как нежелатель-
ное, паразитное явление. Однако если размах колебании, т. е. паи
большее отклонение ощипки иг положения равновесия, невелико,
лежит л пределах допуска, то автоколебательный режим столь же
приемлем, как и равновесный.
Отсюда вытекает практическая пажппСть научения возможности
itoai'iiKiioBcmni пвюколебапнй и оценки их размаха 11).
Подчеркнем сразу, чго выполнение условии усгойчпппети в це
ЛпМ, конечно, гарантирует отсутствие автоколебаний, по при про-
<i;i пронации системы управления на базе реальных племен гоп <ши
иг всегда удовлетворяются. Нынолпеппс же условий уегончтинти
*) Другой ч<|цч:т проблемы полезное п. пптокадефшпй для ряда, целей
управления—обсуждается в гл. 10, § 2.
218
ГЛ 5. ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
♦в малом», полученных на основе модели, лнпсари.човапной в окре-
стности положении равновесии,— недостаточная гарантии отсутствии
автоколебаний. Напротив, в системах, устойчивых «в малом», может
наблюдаться особо неприятный режим так называемого «жесгкшо
возбуждения», когда система некоторое время работает стабильно,
и затем под влиянием одиночного внешнего импульса почти внс-
шшпо переходит и режим больших колебдннй, са.мопозбуждаегся.
3.2. Гармоническая линеаризация Проблема существования ав-
токолеоапий и опенки их размаха является кранио сложной и по
имеющей математически строгою решения в общем случае.
Мы ограничимся здесь лишь описанием простейшего подхода,
метода гармонического баланса (гармонической линеаризации!*'),
не претендующего ла строгость, но обычно дающего разумные при-
ближенные результаты * **).
Рассмотрим вновь описание системы с одним нелинейным эле-
ментом в виде
o(Z) + 7A.(l))v(Z) = 0, (3.4)
ь-(О = Ла(/)]- (3.5)
ь
Будем искать колебательное решения в индо гармана ческой
функции
o(Z) » a cos mJ (3,6)
и попытаемся подобрать величины а (амплитуду) и ы (частоту)
так, чтобы уравнения (3.4), (3 5) удовлетворились тождественно.
Имеем
o(Z) “= / Io(Z)J *" /[«cosioZ] «= X c.<is (3.7)
fc- -I
где Щ — коэффициенты ряда Фурье, вычисленные по известным
формулам
Т Т 2.1
Vo — у ( v (Z) dt = у- j / (a cos coZ) dt = Д- f / (я cos чр) chj-f
т Ь' \. Я " (3.8)
2 Г ’ Г
vh = у- | г (Z) cos Лю/ dt = у j / (ft cos o>Z) cos Atuf dt =
о u
- j / (a cos 4 ) cos Аф (b|-., A > 1, T = =2.
II
♦) Для простейших систем 2 то порядки метод был вреджг.нсп п 20 с годы
вив Д1'р Полем. Кто обобщение дано и работах II М Ь'рылопп, II II. Боголю-
бови )58]. В кч>]1ии управления метод введен Л. Г. Гольдфарбом |-г»..г>], который
придал ему современную «|К,РМУ (» зарубежной jiHicpnivpo гармипичсскан як-
мсарпзання назыинотся методом <i>:№*.mimiioiiiiix фуииикп).
•*) Дополнительное освсгцевис проблемы автоколебаний дано и »л. 8.
§ 3. АВТОКОЛЕБАНИЯ. ГЛГМОНПЧЕСКИВ БАЛАНС
219
Подчеркнем, что коэффициенты к* зависят только от вида нелиней-
ной функции /(о) н амплитуды a. Учтем только одно слагаемое и
разложении (3.7), принимай
/,’(/)₽-• р( соя б>1. (3.9)
Tin да линейное уравиеппе (3.1) удовлетворится, если выбрать а
н w так, что
к,л.(с») = о. (3.10)
а + i'7?x.(o’) " 0. (3.11)
Действительно. подставляя (3.6) и (3.9) в уравнение (3.1), получим
а соз tof + vjf, (D)cos 0)f = л cos wf -!- r1f/i'r.(©)cos <of — It, (oi)sin wt]
в сплу известных правил линейной теории, но (3.4) тождественно
раьно нулю, если выполнены условия (3.10), (3.11). Эти условия
можно закисать в виде одного комплексного соотношения
1 4- 9, (a)//f. (io) = 0, (3.12)
где
JiWA^W. (3.13)
(jiOTHoniciine (3.12) пляшем основным уравнением горлюнича-
еке.-о 6(1.ч1цел, а функцию 7,(й)—коэффициентом гармонической,
лип/орнлицнч. Смысл этих иа.шапип прост. Прппяп о (I)»» ti cos <ol,
v(t) cos (of, мы удовлетворили соотношению tf“*/(o). отбросив
все слагаемые рила Фурьо кроме, одного, а с.тед|>патс.ты1о, прирав-
няли. гнилачгириволи только гармоники пила соя <nf слепа и справа.
С'другоп стороны, эон же прием эквяпалептоп предположению, что
г(0 - -^«coswf =- -^o(f) = (71<«)о(/)г (3.14)
т. е. выход и вход нелинейного элемента связаны коэффициентом
$<(«). Замена нелинейного элемента лпнейпым, коэффициент уси-
ления которого зависит от амплитуды входа, естественным образом
именуется гармонической линеаризацией нелинейности. Прием гар-
монического баланса эквивалентен гармонической линеаризации,
если .нот коэффициент принят согласно (3.13), т. о.
7-4
71 (я) =“ 77 j / (« cos Ф) <•<»* 'Г (3.15)
<1
11олст:111Л1ы и 7i(rt)° 1! Hcxoiiroc уравнение (3.4), получаем
|1 +7. (о) (/,.(!>) H(f)-O. (3.16)
Тогда основное соотношение гармонического баланса (3.12) мижет
HinepiipcnipimaTi.cB ьак условг-с тина (3.3) наличия чисто мнимого
kdjhim у \арлпервстн'теского уравнения гармонически .4iiiicupH.ui-
ванвой системы.
220
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
Вновь подчеркнем, что коэффициент гармонической лмпиприза-
цни зависит гл- амплитуды и, которая заранее неизвестна, и и этом
принципиальное отличие (3.16) от обычного линейного уравнения.
Приведем шцв одну интересную трактовку гармони ческой линеа-
ризации. Обычная линеаризация гладких функций (линеаризация
ио Тейлору) может дать хорошее приближении к функции в окрест-
ности точки равновесия (см. рис. 5.14). Если же научаются колеба-
ния, то естественно найти липейипц приближение /(о)»/го, выби-
рая к h:j условия наплучшего приближения в среднем по всем зна-
чениям, пробегаемым o(Z) в процессе колебаний. Минимизируем
среднекнадраточное отклонение
т
[{/[а (01 — ки(f)}2 dt
о
путем гыборя к. Поскольку
Т Т У
j = у j /21<т (t}\dl - Y j 1(01 «7(0 dt + £ j O* (Z) dt,
U " ~ 0 IT
rf.z ,
то из условия экстремума »v следует, что паплучтее значе-
ние /с равно
г
Л* = У—1-----J /la(Z)|o(Z)<//. (3.17)
[ о2 (0 <н о
J,
Если колебания совершаются по пц ионическому закону, то
т
к* = —I / [a cos coZ 1 a cos at dt = (д).
'1в «•
и
Таким образом, замена нелинейной функции па гармонически ли-
неаризованную дает наплу инее приближение в среднем.
Для того чтобы найти <?.(а) в явной форме, необходимо вычис-
лить интеграл (3.15). Это проделано для многих нелинейных функ-
ций /(о), используемых при описании релльпых элементов. Некото-
рые результаты даны и табл. 3.1. Отметим также, что если
/(”) с,/1*’(о)4- с./1?) (л), c„Cs« const,
то 7i («) >= с,«/|О(«) + с2г/|Л(и), >Де '//’(я),'/?’(«)“ коэффициенты, со-
ответствующие У11’(п), /и)(о).
При известной функции г/Ди) пахожлелие величии д, w. удов-
летворяющих условиям (3.W), (3.11) или экви валентному условию
§ 3, ЛПТОКОЛЕБАПЦЯ. ГАРМОН I tOECKHH БАЛ-MIC
221
Таблиц а 3.1
/(п) =
1 (п)
/(<т) и»
(а ± 6, | <т | > б
(о, | о К б
Vi (")
11, ст > б
/(o)n' li, | о ) < А
1—1, о<—>5
(3.12), удобно произнести с помощью той или иной iрафоапали>и
леской схемы.
Пар и ант 1.
а) Построить график Л.(ю) и найти <о = <о* > О, при котором
этот график проходит через ось абсцисс (рис. 5.25. а). Значение (»*
/ .... 2л )
задает частоту |и период т =^* J искомого решения.
б) Построить график (рис. 5.25,6) и iraiini точку нерссе-
чоппи этого графика с прямой, проиедешшй параллельно оси абс-
цисс па уровне —'(<’*). Значение а* задает амплитуду искомо-
го решения, а следовательно, решение в целом о(<) -a*coscij*f.
222
ГЛ, 5. ТШИДЕПЛК В ПЮТЛПЕАПУЮ ТЕОРИЮ
Вариант 2 (диаграмма Гольдфарба).
а) Построить годограф /Л. (гы), разметан точки па кривой соот-
ветствующими значениями ы.
б) Па пещсстпспноп осп расположить годограф функции — 177' О7)»
т. е. вычислигь значении этой
Рис. 5.26
Все указанные чарпаиты
условий в эквивалентных формах
функции дли различных а. изменяя
а от 0 до <», и сопоставить кяж
дому значению соогветстихющ\ ю
точку на прямой (рис. 5.26).
в) Значение параметров обоих
годографов в точке пересечения
даст искомые значения ы*. а*.
Вариант 3 (диаграмма
Айзермана).
а) Построить годограф (®)-
б) Построить годограф» — q, (а),
в) Найти значение параметров
в точке пересечения (рис. 5.27).
являются следствиями представления
1L (®) •“ 0, qt (а) =“ — Н1.1 (ы) II{, (<(!>) =
= — </7‘ («) <=> 117х (&») = — q, («). (3.18)
Конечно, можно избежать графических построений, применив
любой аналитический или численный способ. Подчеркнем лишь, чго
значений (а)*, д*), удовлетворяющих (3.18). может быть не Одно,
а несколько, каждому из которых могут соответствовать различный
периодические решения исходного уравнения (см. диаграмму Гольд-
фарба на рис, 5,28, где выделяются три точки пересеченпя 10.40-
графов). Равным образом может указагься. чти пгт ни одного Я1Ы-
жчшя а и <•>, уд<м1летипрл1о1цсго (3.12), а следовательно, метод но
позволяет выделить ни одного периодического решения.
Однако если пересечение (а по касание!) действительно имеется
ири каких-либо заданных параметрах системы, то оно будет иметь
§ 3. АВТОКОЛЕБАНИЯ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ БАЛАНС
223
место и при малых их изменениях, т. е. факт наличия колеба-
тельного режима действительно является «грубым».
3.3. Примеры. Приведем примеры использования мсгода.
Пример 3.1. Рассмотрим следящую систему, где линейная часть
вадаегся и. <]>.
!<
я, *,.>0,
а нелинейный элемент (усилитель)
него реле
имеет характеристику мдсаль-
Коэффициент гармонической линеаризации для такой нелинейности
’ (см. табл. 3.1) <?, (а) = —. Условие (ко) — q, («) принимает
адось аид
± (ыЧЛ -I- Л) - ко (1 - Т, 7>г)1 = - ^
н удовлетворяется при
1
io ™ <0
л
2
таи что метод дает периодическое решение вида
к, i
COS —>--
О (О
Тот же самый результат можно получить и из геометрического по-
строения в виде диаграммы Гольд-
фарба (рис. 5.29). Подчеркнём, что
годограф функция — (а) = — у «
при занимает всю отри-
цательную веществе ину го полуось.
Вместе с тем из диаграммы следует
и общин вынос): если в системе име-
ется релейный усилитель, то метод
укажет лЛ наличие периодических
решении во всех случаях, когда го-
дограф частотной характеристики
линейной части пересекает эту полу-
ось хотя бы один рая. Нетрудно убедиться, что в этих случаях
нарушен критерий В. М. Попова устойчивости равновесною ско.ть-
вящего режима о = = 0. □
224
ГЛ. 5- ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
Пример 3.2. Рассмотрим вновь релейную следящую систему, но
будем считать, что
7/т(1>) - ТГ(7р) |- |-1) (Г, О -|- I)"
Т,>ГЛ>Г.Л>7\,
1йш указывалось и 11.2.1, при 7\ «= 0 система устой чип а. Однако
при малом годограф 111.(ги>) пересекает отрицательную ве-
щественную полуось. Несложные выкладки показывают, что в этом
случае возможны автоколебания с частотой
п амплитудой
А _____L_q —
* И
Однако автоколебания вы
Гис. 5.30
г-окочастптпы и имеют малую амплитуду,
ччо делает систему практически работо-
способной при малых 7\.
Заменим теперь идеальный релейный
элемент па релейный элемент с зоной пс-
чупсгшТгелыюстп (в lafiii. 3.1 его харак-
теристика указана под номером 5). По-
>
скольку О g, (fi)< , то । одограф
— ФГ1 (я) располагается лишь па части
Л *1
отрицательной полуоси, левее точки----у'
Поэтому пересечение- годографом
тогда
отрицательной полуоси в любой точке сто
нс свидетельствует о наличии периодиче-
ских решении. Пусть Л,(о>*) = О, по
уравнение (3,18) не имеет рерюний
(рис. 5.30). Отсюда можно Сделать практический
Вывод: введение зоны нечувствительности позволяет избежать
волникиивення автоколебаний в системах е релейпыми уенли-
телами.
Введем теперь имеете реле элемент с oipanirieuiioii зоной линей-
ности (помор 4 и табл. 3.1). Поскольку 0 < у, (а) -г-. 1, то тс ,ко
построения (рис. 5.31) приводят пае к выводу: периодическое
решение возникает, если годограф 77ь(г’ы) пересекает части отрица-
$ 3. А1ПОКОЛКГ.ЛИИЯ. ГАРМОНИЧЕСКИ Я ПЛЛЛПС
225
тельной полуоси, левее точки. ( —1, 0), т. е. нарушено достаточное
условие устойчивости в целом положения равновесия П“0.
Подчеркнем, что возможна ситуация, пре.дс.тавлшпая на
рис. 3.32, когда расчет по линейной теории указывает иа устойчи-
вость системы (годограф ио охшггыпает точку ( — 1, ())), а и деи-
ст bhtc.-h.iioctii— возможны автоколебания. Здесь мы как рал стал-
киваемся с «коварной» ситуацией «жесткого возбуждения* авто-
колебаний. упомянутой в начало параграфа. □
Пример 3.3. Используем более точную модель следящей систе-
мы, учитывающую иежссткость кпн<км Атнческой передачи (ре-
дуктора) и наличие люфта. Описании линейной модели было
дано в § 2 гл. 2. Сохраним н силе основные соотношения
(2.5)—(2.14), за исключением описания момента взаимодействия
между валом двигатели и валом нагрузки через редуктор. В § 2
гл. 2 принималась гипотеза о линейной упругой связи. Тогда па
нагрузку действует момент И1Я1|Д 1ра— V I, а реакция нагрузки
равна —-МдН1 где с — жесткость редуктора, г — коэффициент пе-
редачи.
Обозначим через о относительный угол, о — фд — Ф- При от-
сутствии зазора (люфта) п?ля пропорционально о: угол о совпадает
с углом скручивании и эквивалент ной «пружппы». При наличии
зазора 26 (приведенного к выходному звену редуктора) писем не-
линейную сия я.
о — 6,
О,
о -I 6,
Г - / (а) «
о > б,
I« К б,
<т <Г— б.
Способ построения згой свяли ясен 11Г уелпппгпо чертежа ид
рис. 5.33, а (вид «сбоку*) и .’>,3-1.6 (вид к направлении осп Вра
щсния). (Реально обычно леппльлуется ио «вильчатая», а зубчатая
!’ А. Л. IR-piiuuiiaiiccnfi
226
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОГПО
передала, и существен зазор между пепдеальпо -жесткими зуоьями
ведущего и ведомого колес выходной ступени редуктора ]1.5].)
Нелинейная связь onстандартной функцией utna «зо-
ны нечувствительности»*). Используя гармоническую липеарп а-
Рнс. 5.33
мулу (2.22)’ гл. 2, можно aanncai
^пЧ(Р. fli) =
цию, приходим к выражению
"4л=г7| = ('/)(у Фл1>~т),
где </,(«) находится из табл. 3.1
(номер 2). Формально урапис-
нпя гармонически линеаризо-
ванной системы совпадают с
у раппениямг: линейной модели,
построенной без учета люфта, с
точностью до замены постоян-
ной жесткости с иа жесткость
cijj'fl), паписящую от амплиту-
ды. Используя этот факт и фор-
, и. ф. силового блока в целом:
Г-' 2
• vj (">
которая теперь также зависит от «. Пусть датчик рассогласования,
И Цени последапат<-Ti.miii коррекции описаны линейно
Р Im
Л </') ‘
целом показана па
Отметим, что мы
и заданы и.ф. =
Схема в
рис. 5.3Z
не произвели стандартной про-
цедуры выделения п. ф. липец-
кой части системы. Для оценки
частоты (>* и амплитуды а* возможных автоколебаний используем
тот факт, что при а=а* характеристическое уравнение гармониче-
ски линеаризованной системы должно иметь корень £ы*.
Запишем характеристическое уравнение в виде
Ac# (/>) + -1 {P) |P [ ? Л1 P( ^ :<P + •) + 11 +
у.? J-1
4--А|Лм,р('Л.р4 1)4- 1]
9i W
i ЛГ “ J Ml 4- 7 ,М2«
*) Иногда для описания люфта nciio.ii,ayioT модель «iHCTeponnmoro» типа
[5.5], но при этом способе приходится сталкиваться со сложным понятием не-
однозначной нелинейной функции.
§ 3. АВТОКОЛЕБАНИЯ, ГАРМОНИЧЕСКИЙ ВАЛ А НО
227
Исключив («). получаем представление
где
*,11 (/>>
(р)- 7p7/v>+i)-Hi
— П.ф. разомкну того контура, найденная в предположении
пости кинематической свяли (при отсутствии податливости
идеал V-
и люф-
f X л Т- " jVr (^Г.В •! П + 1
ф (р) Д Т.р-
Искомая частота
<п* должна удовлетворять условию
1,П = 0.
-г 1
Предполагая, что
1
7л?
получаем
Гм
так что условие для определения частоты можно записать в виде
Ini //|1Ж= 0.
Вывод: наличие люфта может при водить к аознчкновениго
автоколебаний*). но эти колебания высокочастотны, и. их частота
близка к частоте, где ФЧХ разомкнутого контура, рассчитанная
без учета нсидсалыюсти кинематической передачи, проходит че-
рез уровень —л.
Амплитуда колебаний пала нагрузки относительно вала двига-
теля легко вычисляется с помощью соотношения
(«) = ?>>* ~7-- \ ==-^с*
как абсцисса, па которой гармонический коэффициент линеариза-
ции достигает уровня с*. □
3.4. Дополнения. Л Метод гармонического балппся и :>kihii;.t-
ле.птный ему прием гармупичвекой липеарпаацнн является доста-
точно грубо приближенным методом. В ого оправданно обычно вы-
*} Выше не учитывался иос-толппый момент пагрузкп, Который может кои-
лепс.ировать люфт,
13*
228
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИИ В ПЕЛИНЕПНУЮ ТЕОРИЮ
двигается тезис [5.1] о там, что учет высших гармонии и разложе-
нии (3.7) но даст существенных йамашмшй в форме решения п(!),
пели липейпан часть системы обладает спопгтнами фильтра ипзкнх
частот, т. е.
1 //, (/Ат,.*) 1 < I//,_(/<.>*) I, к > 1, (3.1!)>
Зта гипотеза действиiejii.no разумна, по нуждается и проверке после
вы числе ни» частоты ni* п<> схеме lapMoini'iecKoro баланса. Стоит
отмстить, чю процесс 1’{С на выходе нелинейности заведома не
гармонический и его форму можно уточнить, используя например,
несколько слагаемых ряда. (3.7), подставил в пего о. =«*, ы = со*
(гак называемая процедура «улу нпеипого I го приближения»),
Б. При переходе от разложения (3.7) к гармоническому прибли-
жению (3.9) отбрасывались не только высшие гармоники, по и пу-
ленос слагаемое ряда
у | / (<? cos cot) dt. (3.20)
О
Это разумно только в тех случаях, когда /(л) является нечетной-
функцией (тогда г'„ 0) либо когда
|//,.(0)|«://,.<(ы*)1.
Поскольку последнее условие редко соблюдается. io при п.члк'ппг
пс.тинейвон характеристики, не обладающей сконстнчм нечетности,
основной вариант метода гармошгплского баланса молпю замени и.
пл улучшенный, учитывающий при поиске решения но bkskiij ш ш
симметрию колебаний. При этом решение ищется в нвде.
и (») = Ии I « cos <i>f, (3.21)
где <тс.— постоянное смещение, а в разложении в ряд Фурье
функции
Ь'(/ ) |{(7„ + <7 COS «,/]
учитывается дна слагаемых-, т. е. принимается
b’(i) » t’u + I’; COS «/., (3.22)
гие
T
IV т= у \ Г (/) л - I / 1°<I + (} cos 1| ] (/!)', (3.23)
I) It 1
v, — “ | r(Z)cosий </t 1,т<, -I- «cos i| ]cos 4 4'|>- (3.2'i)
о 0
Коэффициенты i'n и являются функцииун ат параметр''»
On, а и могут быть вычислены в явной форме для типовых iie.wiien-
иых характеристик (см,, например, |5.Г1]).
fi 3. АВТОКО.ЧЕПЛНМЯ. ГЛРМОНПЧ1СК1Ш БАЛАНС
223
Подстановка (3.21), (3.22) н уравнение линейной части (3.4)
показывает, что оно тожде< пшено удовлетворяется, если выполне-
ны условия
о0 -1- IIк (0) t>„ (а, о„) = О, (3.2.3)
14 7,(rf, a.,)//i.(errt) О. (3.26)
I’ciiH-iiiit' уравнений (3.25), (3.26) дает значения щ'и.як-сгпых пара-
метрон и,,, а*, г.»*, характеризующих (в принятом приближении)
возможный пернодичеекип режим.
В. Колебательное решении разыскивалось лыше как некоторое
частное решение дифференциальных уравнений. Такое решение
будет соответствовать установившемуся автоколебательному режиму
только в том случае, вели оно является устойчивым. Интуитивный
смысл этого понятен, а строгое определение мы отложим до гл. 8,
тем более что нс существует строгих критериев устойчивости пе-
риодических решений. приближенно находимых по методу гармо-
нического баланса. Приведем липп. правдоподобные рассуждении,
дающие iipncioii критерии, выполнение которого, как правило, не-
обходимо. Папомним, что прп а а* характеристическое уравнение
гармони чес кв линеаризованной системы
/1,1» !-/?,.(/,)//,(»)• -0 (3.27)
имеет чисто МНИМЫЙ корень /(О* (гиДОГриф /Л-.(Йп) при 6> <•)*
проходит через точку на вещественной осп < координатой — 7i *(«*)).
Увеличим амплитуду, д— п* + бп, бд > П. ели при этом все. корни
станут «хорошими» (лежат в левой полуплоскости), то это свиде-
тельствует о том. что движение с увеличенной амплитудой начнет
затухать. Примем /г = я*4-6я. бе < 0. Если при этом хоти бы одни
корень станет «плохим», то движение с уменьшенной амплитудой
будет раскачиваться, пока амплитуда не приблизится к а*. Отсюда
можно сделать следующий вывод.
Критерий устойчивости в методе гармонического баланса. Если
зависимость </,(«) в окрестности решения ат^а* такова, что при
росте а корпи уравнения (3.27) оказываются в левой полуплос-
кости, а при уменьшении а. чисто мнимые корни I ты* приобре-
тают пололеительную вещественную часть, то а* задает амплиту-
ду устойчивого периодического решения.
Этому критерию можно придать нрштую геометрическую ин-
Тсрнрс । a цпш с помощью диаграммы I icib'i'fiapHa. если вспомнить
еще и п,омсгриче<’|;ую inircpiipeiiuiHio критерии Пайкниега.
Правило. Сдвинемся по гидогреиру функции.—щ {а) по веще-
ственной оси, увеличивая о. от течения а = и*. Если новая точка
не будет пхвптыва>вся годографом 11^{1ю), го а* соответствует
устойчивому решению, а в противном случае — неустойчивому.
230
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
Применение правила можно проследить па всех приведенных
выше диаграммах, где устойчивые режимы выделены кружком, а
псусгойчииые — крестом.
§ 4. Реакции нелинейной системы
па внешние воздействии
4.1. Постановка задачи. Обратимся к ураппеннии
Ль(П)о(/) + 2У1.(1>)у(г)=»2?.(П)г(О, (4.1)
(4.2)
описывающим изменение процессов на входе, o(Z), и выходе. р(«).
нелинейного элемента под действием возмущения с(О-
Из теории и&лннейных дифференциальных уравнений [5.7, гл. 5]
известно, что им пол пенив критериев устойчивости в целом (по на-
чальным условиям) обеспечивает устойчивость по отношению к
внешний возмущениям, точнее, из ограниченности 5(1), где
2(«)Д A’.-(D)3(«), (4.3)
следует ограниченность о(1) п ?’(/). Солсе того, доказано, что, если
5(1) является периодической функцией, тн уравнении (4.1), (4.2)
имеют- единственное устойчивое периодическое решение того Же
периода [5.12], а сели z(()—ограниченная реализация ет.чцшшар
пню случайного процесса, то ей соответствует единственное реше-
ние, также являющееся реализацией стационарного случайного про
месса [5.3]. Иначе говори, и по отношению к внешним воздействиям
устойчивые в целом нелинейные системы обладают свойствами,
в основном сходными со свойствами устойчивых линейных систем.
Конечно, это сходство неполное. В частности, гармопнвескому
внешнему воздействию необязательно соответствует гармоническая
установившаяся реакция, поскольку нелинейность порождает выс-
14пе гармоники. Тем не менее, если линейная часть их хорошо по-
давляет, то можно с успехом использовать при расчете установив-
шейся реакции метод гармонической лияеаризяпии.
4.2. Гармоническая линеаризация. Заменим нелинейную связь
(4.2) на гармонически линеаризованную
'-'(0 = 7.(f')<’(/). (4.4)
где <1 — пока нем.ннттпая амплитуда колебаний па входе нелинейно-
го элемента, и подставим эти соотношение в (4.1), Имеем
[Лг(П)-г («)/Л.(D)[о(/) = /Л-(»)г(П. (4.5)
или
?,)£(<)> (4.6),
§ 4. реакция системы на внешние воздействия 23'
где.
Гт, (1Ъ
Я (В, 1(J| и—цГ
— оператор, вапислшип от параметра 7,.
1ймш
-.(/) = a, cos ruf, (4.7)'
то уравнение (4.6) имеет частное решение
о (I) = a cos (to J + £), (4.8)
где
« = I// ( ми, $.) 'J = Arg II {iai.cj,). (4.9)
процедура вычислении рошс*
Формулы (4.9) то .же, что и линейной теории, однако' имеется
принципиальное различие: поскольку
параметр 4’i .ciiM зависит от ампли-
туды а. То (4.9) не дает решения
в явпой форме, а лини, дает дравие-
пне для определения неизвестной
амплитуды, которое должно быть ре-
шено том или другим способом. Под-
черкнем, что в отличие от расчета
ивтколебаний здесь к» — заданная
велпчи па, частота воадепс.гния.
Классическая графоаналитическая
пня iipe.icraii.Ti'ita па рисунке 5.35.
Первоначально строится график функции
Ф(?|)А1 77 («’• <71)1 "z
(«о и о,— ладанные параметры воздействия!). Затем ось ординат
рассматривается как ось, п.ч которой откладываются возможные
значения а, п строится график ?:(«). соответствующий заданной
нелинейной характеристике /(<т). Ордината точки пересечения дает
желаемое значение. амплитуды колебаний на входе нелинейности.
Приведем иллюстративный пример.
Пример 4.1. Пусть
/1,.(D)=7’D+1, b’,.(D)=l, Z?.(D)=1,
/(о) = sign о, z(/)= «zcos tot.
Тогда уравнение (4.9) приобретает вид
J
U I J- I , | «; f
11 ио ф- 1 т I?, |
причем
<li = <h («) =“
Графоаналитическая процедура показана на рис. 5.36, однако п
232
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИПВППУЮ ТЕОРИЮ
давно:.! случае можно получить и решение it явной форме:
« «* ----т—тг 11 + J /~t + (1 + '«>2) 17 у I « — 1Р.
л(||/ LI4/ JI
Они определено при условии, что
. Г=(.г
—I/ ------ ..—т-
«И 1 + 7 Ч.Г
В протпппом случае метол не дает шчисстисипого решения для
амплитуды (на диаграмме отсутствует нерессчсппс кривых). Эго не
означает, конечно, что колебания отс-ут-
ствуют—недостаточно эффективен лишь
С; \ \ у (й , сам метод, ввиду недостаточной фильтра-
Vi>77</\\1 ' ппк высших гармоник линейной частью,
£',xv. имеющей медленно падающую нмплптуд-
но-частотпую характеристику *).
Процедура решения может быть обоб-
щена на тот случай, когда з(/) (или £(/))
содержит постоянную составляющую:
Рис. 5.3ё z<0 -1 г- +rt- f0S о/- ('• 11 ’1
При атом пре и1о.ч.тг.тетсл. что**)
о(/)мп, I япь(<.1/ I t[), (4.И)
v(t) i!e'l о, cnsiiuf -i i[) г.. + 711.0(О я<]. (4-12)
где <7, = причем г,, и </> являютсн функциями от параметрон
ос> а.
Подставляя (4.10) и линейное уратюлие (4.1), получаем
/1L(D)о(«) + /Л. (D) {у, + г/:[о (/) - (Т„1) = /Л (D) |з0 h й. cos й>«].
Отсюда находим частное решепие вида (4.И), где о.,, о, ф должны
удовлетворять условия м
Л,.(0)0., + (0) г., = /?,(0)2,, (4.13)
a (4.14)
i|- = Агк//(no, с/,). (4 1л)
Уравнения (4.13). (4.14) плаимш ия 01:11.1, поскольку
г!,|(о,л); </, 7i('b.«).
•) Он реле. icKaMO i7i|ininuti ii'KiIickibhbocth mi-t>>i;i m»:kiiii дли., если
tk'g 4r.(p) —degjtfi.C/1) |5.l| (cm. tJiita.i' 1л. 8. 11. < .’>).
**) To ;i;c ii]ie;iiio.’toHiOi<nc цслссообразни апсели для утп-пюиия мешда, со
лк характеристика ис.чищчцюст кс лвлцстся иечствой функцией.
£ 4. ГКЛКЦН.Ч СИСТЕМЫ ПЛ ППКШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
233
Например, для идеального реле, где
имеем
(4.17)
Пример -4.2. Рассмотрим систему, структурная схема которой
продетаплена па рис. 3.37. Ее можно трактовать как модель следя-
щей системы, служащей для отработки воздействия 2,(7), при
п;:.1ячип дополни тс явного возмущения s.(f). Пусть 2,(1) —ct, гг(1) =
= «2 cos <М- Запишем уравнения системы
»<0 - щу, 1) I- МО+>-(01.
0(0-----Ы>9(1)+Л,(г,(1)-!1(0]. о(1)-/[о(<)1.
После исключения у(1) можно переписать их в стандартной форме
/1,.(1))0(/) 1-7Л.(1))п(0 = иО, (418)
где
/,.(!)) 1>(Г,1> I- 1) (7'..D I- 1), /?,.(!)) = Л,(Л, I-А'э1>),
7(/) А-,/1 г.(!>)’,(/) I
Заметим, 'em :{1) ужо ш* содержит липеппо растущего слагаемого,
иозтому прием гармонической линеаризации непосредственно при-
меним.
234
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУ Ю ТЕОРИЮ
Уравнения (4.13), (4.14) принимают форму:
/г1/.-м;й = ktc^ г„ -= — с,
I ,'1 <'(1>)
[Л, (/<») . (Ш>) Я"
(4.19)
('1.20)
Предположим далее, что нелинейность является идеальным реле.
Тогда. используя вид функции о.,, цапаемый (4.17), и предполагая,
что ’ а,. I < а, получим
«т0 = asin(-~\ (4.21)
\ z h-tl
Отметим также, что постоянная составляющая п ошибке е4 связала
с о<, и va соотношением
ео = — 1°п+ A-jAjt’ol = + А-Зс] (4-22)
и также зависит от амплитуды гармонической компоненты. Формула
(4.17) для </, с учетом (4.21) принимает влд
4 /яс'.а ,,
(h ” ;гт«*(-2^)£ v (* 23)
Подстявлня (4 23) в (4.20) и производя простые преобразования,
получаем явную формулу:
+„;|/А, । I/ !__±ZL., (/, 24)
* «;1яеГ
где введены обозначения
/7, (.-61)
II,. = Jh. (Йо) = , Ле = Be HL (ты),
ЦЫ/
Ji = Im Hi. (йа),
. 4
ct = — cos
При большой частоте <и можно получить приближенное выражение:
а = о- (Д, — «)' (4.25)
Поекшинаи составляющая ошибки после птого легко паходитсл по
формулам (4.21), (4.22), а амплитуда ошибки а, рассчитывается
НО формуло
— 1 J_____________и_______
\ (Г1,Ш >' 1)(Г2,И + 0
(4.26)
§ i. РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ UA HIUHIIHНЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
235
Ясно, насколько наличие нелинейности «перемешивает» влияние
двух внешних иоаденствий па компопеппл ошибки. О
4.3. Метод медленно меняющихся амплитуд. Метод гармопнчо-
<шон линеаризации позволяет составить качественное представление
о характере реакции на гармонические возмущение и дли систем,
не являющихся устойчивыми л целом. Однако поведение решений
здесь милеет быть очень сложным. Некоторые нажине ситуации
можно исследовать, кпедм гииителу о том, что решение представимо
в виде
о(0 = оЛ(/)-1- л(0соз [оМ + 4(0J» (4.27)
где пм «, ф-—уже нс постоянный, а медленно изменяющиеся вели-
чины. притом настолько медленно, что их изменением ы период
2л/о>(, можно пренебречь. При таком предположении можно сохра-
нить представление дли переменной р(0 на выходе нелинейного
элемента в виде (4.12), но г.), <ь окажутся функциями от медленно
меняющихся сЦО,
Подставлял эти свял! в уравнение (4.1), описылающее линей-
ную часть системы, получим
Hi (D) (щ (04- а (0соя (to«Z I- ф)} 4-
-1-/>’,.(!)) U’u I ^в(0соч((1>./.| 4)} = /?,(])) (з_. (?) 4-0,00? ы,./) (4.28)-
(считаем jioiiiuiiiirreJH.fio, что 2«(0 также является но постоя иной,
по заданным образом .медленно мгияющепен функцией). Для того
чтобы добиться гожде< тленною удовлотпортшия уравнения, прирав-
няем сначала медленные слагаемые:
^I,(D)0u(O4-/^{D)i’(1[oo(/), a(OW<(D)sn(0. (4.29)
Дли остальных слагаемых должно быть:
-4/.(D)(«(Z)cos(co;/ I- 4(0)) + b>i.(D){f/,[o0(f),«(Z)jX
X a (t) соз (сМ + ф (/))} = /?, (D) (о, (0 cos ы Д.
Далее учтем медленность изменения а(0, си(0 и связанного с ни-
ми ф:[Оо(0, л(0]-
Поскольку
D{«(0cos(ыи/ 4- 4 (0)} = д cos (<)(,£ 4- ф)—
— и si и (<М I- 4 ) ф — oyi sin (<B,-,t 4- 4),
то в силу малости отношений
пренебрежем при вы-
числении 11рои:н1С1Дных вгеми слагаемыми, кроме пос.чеди<,1 о. Кнл'ш
roBiipM, дифференцирование будем производны, сак, пни будто мед-
ленно .мспиинциеся неремепикц: являиггск постояипыми. Такое до-
пущении немедленно приводит к результату типа (4.9):
«(0= 111 (сот, <;,(/)) |«„ </,(0 = д.[о<(0,а(0], (4.30)..
23С
ГЛ. 1. нвкдепис В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
с той разницей, что теперь аги соотношении связывают для любого
t медленно изменяющиеся мербмгпиыс a(t) и о,(0-
Ec.ih и» (4.30) выразить «(/) через п„(/) и поде гл нить результат
в (4.29), то получим уравнение, содержащей только неизвестную
функцию а0(1):
И,. (I>) л»(/) I- Н, (I» / |Оо (/) ] - (!>);„(/), (4.3 1)
где /[о,], обычно называемая функцией смещения I6.1l]. сериикп
н результате подстановки в ое(о.-., «) найденной из (4.30) зависи-
мости а"’Я*(п<1). Уравнение (4.31) пыеег точно такую лее струк-
туру, как исходные Соотношения (4.1), (4.2), с той разницей, что
функция /(о) заменилась па новую (также, вообще говоря, нели-
нейную) функцию 5(о:,). Из прямой части изъято колебатольшю
слагаемое, но его амплитуда и частота входят как параметры в
описание ^(о,). Осиоппоп особенностью функции является ее глад-
кость. Даже для разрывной в пуле нелинейности /(о) соответствую-
щая функция имеет ограниченную производную в нуле. Покажем
это на примере идеального реле. Имеем в общем случае
Лч*
Согласно (4.17) для реле.
'Ч _ _2
Л,о <,- ч. nV
так что
5(a)
(4.32)
п шр.тпичгша при а¥=0. Нетрудно убедиться, что для любой по-
четной и почти всюду дифференцируемой /(о) имеет место равен-
ство
г«
0г:. 4 I** (f/ 4
S 2л I [й суз tl «ЭД = ?i («) “г о. (4.33)
° по-о 1,
что делает попятным обычное наименование величины 5(<?) как
средней крутизны характеристики нелинейного элемента.
Линеаризовав (4.31) но Тейлору, приходим к уравнению
[.4,.(D)-I- 5(о)/>7(Г))]|т1.(/) = /?1(1))г..(0; (4.31)
оказывается, что этп уравнение дает хорошее описание для многих
И1гтгрес.11ых пел иней пых проблем.
Пример 4.3 (ваб/кн/ноппый усилитель). Во многих системах
управлении к. в частности, в алектромеханических следнщи.х си-
стемах (1-3] релейный усилитель пспользуегси в так паяыв;н-м >м
вибрационном режиме. Рассмотрим структурную схему (рис, 5.33),
соответствующую такому способу.
fi 4. РЕАКЦИИ СИСТЕМЫ ПЛ ВНЕШПИЕ поадкиствия
237
Воздействие zt(t), вводимое на пхпд усилители, является гармо-
рпчесним:
2, (/) = О. СОЯ M,t,
4i 2,(0 медленно илмеплстси но сравнению с *:(£). Отработка
медленного воздействия приближенно опись: пается лилейным соот-
ношением
.$• I» Я, (!>} /7,(1);
$'(li = Т7 5 и) (D) 7/,;!)} г*
причем наличием и {/(<) гармонической компоненты можно пре-
небречь, если //;(!)) такова, что коэффициент усиления на частоте
о»,, мал. При этим ус.тпнии гармоническое воздействие почти не при-
ходит ио обратной связи, так что амплитуда и па входе реле совпа-
дает с амплитудой «,. При фиксированном а, качество работы систе-
мы близко к качеству работы при ueiiiiJii.aoiiaiiiiii линейного усили-
теля с коэффициентом усилении ? « —- Вместо с тем имегтси
возможность и перестройки этого коэффициента путей изменения
амплитуды внешнего воздействия. CJ
4.4. Медленная потеря устойчивости. Нетрудно убедиться, что.
гели исходная система удовлетворяет условиям Т.2.3, то линейная
система (4.3т) для медленно меняющихся составляющих также
устойчива. В противном случае это не гарантировано, и может
тюзнгтпгуть опасное явление, называемое медленной потерей устой-
чивости под действием скрытых колебаний [5.111. Для его описания
предположим, что /(о) является ограниченной функцией с достаточ-
но больший «почти линейной» зоной и невозристающей производной
{рис. 3.14).
Из формулы (4.33) тогда следует, что
Предположим, что первоначальный расчет выполнен по линей-
ной теории, и параметры системы выбраны так, что уравнение
Л.(р)ФА7/,.(р) = 0 (4.3GJ
имеет только «хорошие» корпи.
238
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
Пусть на вход элемента с характеристикой /(о) проникают вы-
сокочастотные внешние возмущения (помехи) z2(t) (вновь .можно
обратиться к структурной схеме на рис. 5.38, хотя здесь рассмат-
ривается иная ситуация). Если оставаться и рамках линейного рас-
чета, то влиянием таких возмущений па выход .можно пренебречь
при достаточной инерционности объекта, представленного н. ф.
Однако наличие нелинейности приводит к необходимости учесть
влияние высокочастотных помех на отработку медленного воздей-
ствия. При использовании приближенного уравнения (4.34) пулу-
чаем, что эта отработка устойчива, только если «хорошими» явля-
ются корни ypaiMiCunn *)
A,Ap) + S(a,}BL(p) = 0, (4.37)
по .$(&„-) убывает с ростом я,.
Вывод: есм передаточная функция линейной части системы
имеет по.им: в правой полуплоскости. существенно меньший по
модули. чем час.тоги внешнего возмущенна, то лто возмущение
при достаточно (юлыйой амплитуде может вызвать медленную
I потерю устойчивое? и.
Па 'техническом жаргоне иногда говорят, что помехи «забнпяют»
капал унракле.пня с- ограниченной зоной Лиипмнрдон, а снижении
среднего коэффициента усиления не позволяет обратной связи сгабн-
лпзировап. соби-i пенно неустойчивый объект, л Коварство» агою яв-
ления состоит именно н п)м, что га выходе объекта Сама высоко-
частотная компонент л почти незаметна. lit устойчивость «в милом»
по медленной составляющей .может проявиться и как неограничен-
ный рост <?(.{£). и как переход в режим .медленных автоколебаний
(для опенки последних можно киот. применить прием гармониче-
ской линеаризация, но примепптелыю к уравнению (4.31) при
г., = const). Прочесе изменения оП) и целом будет в этом случае
представлен суперпозицией колебаний с частотой воздействия п
низкочастотных ко.трбаппй, частота которых зависит от внутренних
свинств системы. Амплитуда колебаний с частотой иоздействпя так-
же медленно изменяется.
Практически весьма пнтсроспо, что сходные явлеппя могут воз-
никать к при птсутетвин каких-либо внешних воздействии.
Рассмотрим систему (4.1) при z(Z)^O
AJB)cj(O + ^u(1))/H(/)J = O. (4.38)
В § 3 колеблтслыше решение этой системы разыскивалось в форме
г 1р.монпчсс.кнх колебаний. Однако возможны аиачнie.ii.no более
•) По смыслу деля следует иптсрссовлться только кирпичи {4717), сущс-
rriH'iuio меньшими но модулю, чем частота возш’.йстпня ю<., ибо л противном
случае нарушается предположение о медленнее im соответствующей неустойчи-
вой моды.
§ I. РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ ИЛ ИНЕШИНЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
с.чожпые колебательные режимы, не являющиеся даже периодиче-
скими. В частности, можно попытаться разыскивать решение и индо
('1.27) и применят!, описанную выше обобщенную схему гармониче-
ского баланса. Не повторяя всех рассуждений, сформулируем про-
цедуру в окончательном виде
а) Найти чистоту еь как иакболыинй корень уравнения
Im//,, (ни) 0. го > О. (4.39)
<•) Пай in слизь «*(<!.,) между амплитудой л(/) и смещенном
<М0 в силу уравнении
1 +?<[o.i(/), а(/)]Пе//г.(М|)Л) = 0 (4.40)
«) Найти функцию смещения
7' (ст^ = t?e(о0. a] (4.41)
О (’оставить ураппеияв для смещения
Я(D) о., (/) + J:L (D) T’fo, (/) ] = 0. (4.42)
д) Найти 6>w как наименьший корень уравнения (4.39). Если
«,>м <•>,. то продолжить процедуру.
с) Представить п„(/) в «иди
«„(/)=« «., с.<1.ч||>м/ (4.43)
п найти функцию
гк
ш.-.i («м) Л 1«м *М С4»-4 Ф (4-44)
(I
ж) Вычислить ам как корепь урапнония
1 -I- ?im (я.™) Вс //г. (гю„) = 0. (4.45)
з) Представить окончательный результат в виде
о(/) = ttM COS (dilt + «*[«.« COS 0).v(] cos <noi. (4.46)
He приводя конкретного примера применения этой процедуры,
укажем лишь, что она, л частности, может быть эффективной, если
//. (р) имеет комплексные полосы с малой вещественной частью, что
характерно для задач управления механическими системами, вклю-
чающими Слабодемнфировнииыо колебн тельные звенья.
4.5. ('.татнстнчсскш! линеаризация. Обобщением метода гармони-
ческой лпноири.1Яции, используемым при исследовании реакции не-
линейной системы па внешнее волднистине г((), представляющей
собой реализацию стационарного случайного процесса, является ме-
тод стаI истической линеаризации [5.6], [5.9], [3.13].
240
ГЛ. 5. ЕНЁДНПИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
Решение системы (4.1), coinветствующее такому г(У), ральтски-
настоя также в виде реализации стационарных случайных процес-
сии о(7), v(t), а нелинейная связь (4.2) ла меняется се линейным
приближением, паилучшим в смысле. .минимума среднеквадратичною
уклонения. Иначе говоря, принимается
о(/)"»т/1и-Ьо*(1), (4.47)
f(/)« нт.4-у"(()»= тл„4- А,о''(/), (4.48)
где отс, т„ — постоянные величины, о"(0. ^(^ — центрированные
составляющие, причем т„ и Л, выбираются так, чтобы была ышш-
малытн величина
М{ (/ рп0 '!• о’(7) J — [ni, -б /1,0° (/) ])!}.
Это достигается, если
и. - М {/ р»л 4- ос <£)]} = J 7Р»и 4- Е] р0 (£) (4.49)
А1 = м{(%* (оП~ М {/ I.+ <>° (/)! о0 (0) ~ J I/ Р»о 4- Е] А, (Е)
— 00
(4.50)
где /»•(£) — ii.’iotHociI. распределения процесса ог(/), а </, —его дис-
персия.
Таким образом, величины лт, и Л, оказываются зависимыми or
иаралсе неизвестных параметров яд,, </с, а. также, вообще говоря, иг
неизвестной формы закона распределения.
Простейший вариант метода статистической линеаризации свя-
зан с введением [5.13J донолнпте.тьнон гипотезы о но^кпльноаи
процесса a;(Z), т. е. с введением предположения, что
__Г
Ро (s) = 171— « Л'°. (4.51)
V 2я,1о
После вычпе.тепия интегралов (4.49), (4.50) для любой конкретной
«рункцди /(о) межНо найти соогнстстпующпе зависимости (табли-
цы можно найти в [5.6], |5.9| и др.) /»,“/«,(/?!„, </с), Л, — h,{т„, <).
И частности, для идеального реле’) имеем
') Здесь, как и ранее в и. 4, Ф(£) — интырал вероятное!ей.
fi 4. ГЕЛНЦНЛ СИСТЕМЫ НА ЕИИШПИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
241
я для элемент;! с ограниченной зоной линейности
Отмстим, что гипотеза (4.51) пе единственно возможная, хотя и
естественная, если воздействие s(t) является нормальным. Если же
распределение z(t) отлично от нормального, то может оказаться
целесообразный использовать иные предположения. Рассмотрим,
в частности, с 1учцй, когда
2° (<) = cos (mt 4- q.), (4.54)
где а„ « — детермиппропаппые величии!.!, а <р— случайная копстан-
ia, равномерно распределенная в интервале [0, 2л]. Каждая реали-
зация такого процесса является детерминированной гармонической
функцией. Поэтому разумно предположить, что и реализации o"(t)
близки к гармол:1че1л;им с одной и той же. амплитудой л и частотой
<•», отличаясь лини. случайным сдвигом но фале. Нетрудно показать,
что плотность вероятности значения </(/) н любой момент £ раина
, * 2
причем «<; = — о .
Подставив (4.55) и (4.49), (4.50). получим
О Л .'2
"г'=УГ { ~ т)(й2 —ъгГ|:-<.^ = j Цто f- «С05ф)т2^.
—u —я/a
«а Л/2
&! =• I &.'Ио 4-»)(«* —ь2)-,/,т7^ = ^- ( /(//!„ 4- ncosip)cos»f- т?ф.
л«“ J л<г >
—а —я/2
Сравнивал значения нитегрллоп в правых частях с выражениями
Для среднею значения и коэффитн шов гармоинчос.кой линеариза-
ции, полученными в § 3, убеягдасмся и их юждеегвениом соппяд!*-
кпи (с точностью до замены обозначения /я* ид о,,). Таким образом,
гармоническую линеаризацию можно тракгннать как частный слу-
чаи статистической при гипотезе (4.55). Качественнын характер по-
ведения функций we(w,., с/,-), Л,(/гц., </..) слабо зависит от гипотезы о
А Л, lIc{»iv6»iiueKufl
о <9
ГЛ. 5. 1ШЁДКНИЕ П 11К.ИИПЕЙПУЮ ТКОРИЮ
расиредслсппп. В частности, для любой ограниченной функции с пс-
возрастающеи производной имеет место свойство, аналогичное (4.35) j
О»*
£|. .>s£|.J ^/’ЛЕ)Дл5()/г)-.О. 0.5G)
— 00
Основная процедур* метода елнтистпческой лппопри.юцип тлкясо
близка к процедуре метода гармонической линеаризации и заключа-
ется в следующем.
я) Составить уравнение для средних составляющих
At(0)nia + 7?/,(0)та — й,(0);п,. (4-57)
б) Составить линеаризованное уравнение для центрированных
составляющих
[/1l(T>) + Л, J.?)Z?,.(D)]or' = 5.(102*. (4.58)
л) Предполагай известной спектральную плотность 5,(ю) внеш-
него воздействия г”, вычислить rf3:
рассматривая при :>гом Л, как параметр.
г) Найти решение системы уравнений
— ЯГ(П) та
W?v(z7iy> Jv) = ? *
Jo [ft-j (me, rfo)J = da.
Пример 4.4. Рассмотрим простейшее уравнение
(ГГ) + 1) о(0 + /л;(0 = /*з (?), v(0 = sign о (0.
Тогда для средних составляющих имеем
щ, + АчЯр “ кт„
а для центрированных
о' (0 “ ту, j, j 2“ (О*
Предполагая, что .$'.(«)“ 1, по цчаси
(4.59)
(4.СО)
(4.61)
5 4. РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ па ЕПЕШНЦК ПОЗДЕПСТПИП
243
Используя формулы (4.52), приходим к системе уравнений
Результаты решения этих трансцендентных уравнений при т, ««1,5,
Л •» 1 для различных значений параметра 1/(27) представлены
на рис. 5.39. О
При воздействии стационарного случайного процесса г.а систе-
мы, пс обладающие устойчивостью в целом, возможны весьма слож-
ные режимы, теория которых недостаточ-
но разработана. Формальное применение
метода статистической линеаризации мо-
жет, например, выявить несколько реше-
ний с различными значениями дисчер-
сия «/„. Прямые вычисления
решений свидетельствует <>
торых представлен па рис.
I'uc. 5.4(J
на ЗИМ показывают, что иплшчси! таких
игыиожностн реализаций, характер кп-
5.40 (средняя «мощность» колебаний
остается па отрезках случайной длительности близкой к одному из
найденных значений дисперсии), одпако даже правдоподобного до-
казательства справедливости этого предположения в общем слу-
чае пет.
Случайные возмущения, основная «мощность» которых сосредо-
точена в области высоких частот, могут вызывать точно такие же
явления, что и гармонические высокочастотные возмущения, в част-
ности, медленную потерю устойчивости. С детальным описанием
различных модификаций метода статистической линеаризации, по-
зволяющих анализировать подобные процессы, можно познакомить-
ся по книге [5.9].
В заключение принеденного краткого обзора методов нрпн.тпжоп-
иото исследования колебательных процгегпв в нелинейных системах
подчеркнем, что их главным достоинством является возможноель
получения наглядных качественных представлений.
При расчете режимов и конкретных системах с полностью задан-
ным описанием в настоящее время эффективнее: использовать про-
цедуры численного интегрирования на JB.M. Однако и в такой сц-
1G*
244
ГЛ. 5. ВВЕДЕНИИ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
туации ориентировочные предстявлепия о характере решении, дава-
емые методами типа гармонической или статистической линеариза-
ции, исключительно важны, поскольку без них трудно приинльно
выбран, шаг сетки по времени и даже сам метод численного инте-
I pllpOlllllIHlI.
§ 5. О выборе законов управления
с учетом нелинейных факторов
5.1. Постановка задачи. В предшествующем изложении мы явно
или неявно считали, что закон управления с обратной связью вы-
бран па основе линейной теории, и изучали .тишь те «неприятно-
сти», которые могут возникнуть в силу нелинейности алемеитов,
с помощью которых реализуются «линейные рекомендации». Конеч-
но, естественнее было бы подходить иначе; предварительно выявить
возможные пслипейпостц и выбирать закон управления с их учетом
так, чтобы цель управления обеспечивалась паилучшим образом.
Четкая постановка этой очень трудной задачи дана ниже, в гл. !)
и 10, причем изранен можно сказать, что j пиперса.тьпых рецептов
ее решения не существует.
Здесь же мы ограничимся несколькими замечаниями и при-
мера мн.
Предположим, что целью управления является обеспечение мало-
сти ошибки 6(f) (рис. 5.41). Заранее известно, что нелинейными яв-
ляются либо характеристика датчика рассогласования (и,), либо ха-
рактеристика /а(о?.) усилителя «силовом блоке, оказывающем управ-
ляющее воздействие на объект. В первом случае невозможно исполь-
зовать для формирования закона управления непосредственно сигнал
ошибки — доступен лишь выход датчика i-'(f). Во втором — невозмож-
но произвольно задавать сигнал управления, поскольку формируется
лишь вход <ь(/) нелинейного усилителя. Выбору подлежат преобра-
зующие свойства у — л. блока И. Поскольку известны способы фор-
мирования эффективных апконяв управления при отсутствии псли-
iiriinoCTeii, то естгетпенпа первая п практически огповпйя тенден-
ция— нрн выборе нреобра.шпателей уСч-с.не.чнгь йлибОСТЪ поае.Леиия
сиг.гемы к лиисшюй- с желаемыми свойствами, определяемыми п. ф.
//,! (/>) от ошибки c(f) к выходу ц{1)- Обеспечить точное совпадение
поведений jiiineiiuoii и пелнпейиои системы, как правило, невозмож-
в 5. О ВЫБОРЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
245
но: однако цель выбора состоят в том, чтобы сделать различии воз
можно меиве существенными. При атом можно использовать не-
сколько простых приемок.
5.2. Последовательная линейная компенсация. Закон преобразо-
вания и блоке II в ыб и рас тс и /iiniciiiii.iM, з и даваемым и. ф.
Структурные схемы с ыг;пм блоком, при различных возможных
расположениях пнлппейпого алемоита (мы пока умеем ни ал ил про
иагь только сие гемы с, одной нслппенностыо!) представлены па
I At(CJ
ff(t)
pre. 5.42, а, б. ГЗ обоих случаях уравнения системы представимы в
стандартной форме, причем
(5.1)
Пусть пелппелпгая характеристика удовлетворяет требованиям, сфор-
мулированным и одной из теорем 2.1, 2.3 либо 2.4. Тогда //>(/>)
дюжст быть выбрано так, чтобы удовлетворяло соответствую-
щему частотному условию, если //(/?) удовлетворяет условиям при-
менимости метода компенсации (гл. 3, § 3). При атом по крайней
мере сараи i-пру стел yriuibntcocTi. в целом нелинейной системы. Рас-
смотрим также прием (о.!), § 2.5], сняла иный с методом статистиче-
ской линеаризации. Пусть s(f), Л'(/)ч-вгк(фр(у|ир|>ваи|1ыо случан-
1П.Ю процессы с д|юо|Ц)-рац1|Г111а;п>пымп спектральными плогпгцтями
6',(<о2), 5’,.(<.»’). Используя метод, описанный в § 2 гл. 4, можно
найти 11. ф. //,(/)) такую, что .постnr.ieгея минимум дисперсии
•ошибки в линейной системе, представленной па рис. 5.42, в, при
246
ГЛ. 5. ВВЕДГЛИК В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
ограпичС! ии на дисперсию управления
du<C u(/)-77*1(D)p(«).
Попытаемся приблизить поведение. нелинейной системы, нредстап-
JKUiiioii па рис. 5.42,6, i этой оптимальной линейной. Фу индию /(п)
будем считать лечегной. В пределах точности метода статистической
лнпсарпаацин пслипс.нпвп система будет имен, ту жо дисперсию
ошибки, что и оптимальная линейная, если
77, (о) й, (Jo)7/ (д) = 77*,(р) [1-77; (г)]-\ (5.2)
где й,(б?л)—коэффициент статистической линеаризации пеллшш-
пости /(о), a de — дисперсия процесса на ее входе. В том ;ке при-
ближении
с/l ₽= A, [da) d-a, (о.З)
Если ограничение достигается, т. е. ф, е 6*, то для определения ф,
имеем уравнение
ГЩй,(т/0) = 6„. (5.4)
Пусть его решение ф> существует, тогда //. (р) определяется фор-
мулой компенсации:
//,</') -//:GoliI ‘hi(<.;")//(/')]
Однако решение мотет не < \ гцествовлть, если нелинейная функции
отраппчепя, 1/(о)|Сй. Действительно, в этом случае при любом
входном процессе o(t), </„<;«’, и назначение 6„ > й .заведомо недо-
пустимо. Более того, можно доказать справедливость оценки А,
si откуда следует, что недопустимо 6US> I — и,.
I «Фт 1 - - ’ - » л
Поэтому ограниченность иезкпейпостн, т. е. возможного уровня
управляющего воздействия, приводят к сужению класса линейных
систем, приближение к которым возможно. Дли гарантии разреши-
мости при не слишком больших dQ обычно принимают
ба=г0,7и<]/^-и, (5.6)
В случае пели пей пости типа iijica.ii.iioiO реле днснерсия упрапле’.ши
(выхода реле) фиксирована, ф, “ 1, что я следует учесть при реше-
нии лннгйпой вкдачя. Передаточная фупшцш 7/i(p) определивreir
формулой
7/, (Р) - //’я (/') [ 1 - 7/t (р)|-1 7/ 1 (/-) (5.7)
с точностью до постоянного сомножителя, от которого заниент лишь
дисперсия сигнала о(1) на «ходе реле, ко вс дисперсия ошибки.
g 5. О ВЫПОРЕ ЗАКОНОВ УПРЧВЛЕПИЦ
247
Пример 5.1. Пусть нелинейная система имеет вид, представлен-
ный па рис. 5.42, б, причем задано, что
£«(<•>’-)- .~Л. ^(ю*) О, //(,,)_—!—,
о г л, 1 Р । 1
а нелинейность /(о)—идеальное реле. Найдем оптимильиую и. ф.
замкнутого контура но критерию минимум» дисперсии ошибки о
ограничением па дисперсию управления, <7„=1. Восно.тьюваипгись
результатами гл. 4 (II.2.3), имеем
л * л •
Т у О -Г 1 г 1' 0 р + 1
г ic согласующий параметр 0 находится из условия
_ (1-018(7л^УГ) _
Уо (Г V'O Xs-M)s ‘
Если d,}..7'1, то } tl » dj.,T, и можно Припять; что
//: (р) = -т—1-----=> //, (Р) = Z2L+1 ku
T~k,dj>-] 1 /’
где /г. нронзиолыгп. LI
а.З. Нелинейная компенсации. Итог npnrinii прием сводите,i к
следувнцему, Пусть характеристика нелинейного момента /(ст) та-
кова, что /(U) = U, и монотонно иолрагтаст при al =5о. Тогда, вводя
поелсдователt.iio с этим алемглтом другой, ташке пялииейнш, по
имеющий ипритную характеристику, мы добиваемся линейности пре-
образования в целом па этом отрезке.
Пример 5.2. Тусть датчик имеет характеристику, аппроксими-
руемую нрл о, I + о, функцией Д (Gi) = ku\. Тогда можно преобра-
зовать выходной сигнал н(<) датчика с помощью нелинейною ком-
пенсатора, задаваемого уравнением
Pi = ф(г) = ь’1'3.
Очевидно, что н. = А'^тт,. т. е. нелинейность компенсирована. Есте-
ственно, что последовательная компенсация невозможна на участках,
где функция постоянна иди начинает падать. Лучшее, чего можно
Добиться зтнм способом,— ото расширить зону .чинен пнетн н преде-
лах монотонного изменения. Нельзя избавиться таким способом пи
от зоны нечуисгвнтг.тынити. ни от пгранп' еннй.
5.4. Вибрационное «сг;1ая;ик;»1нн-.>> зоны iic<iyBcriiiire.TMiocTii. Дли
ли к вида цп и аффгктоп, связанных с наличием юны нечупстнитель по-
сти в датчике рассогласоиаппя, можно применить ирном, близкий к
уже описанному в II.4.3. Введем па вход датчика (рис. 5.43) довод-
248
ГЛ. 5. ВВЕДЕН НЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ
пн гельвый высокочастотный {по сравнению с отрабатываемым воз-
действием) сигнал. Выходной сигнал датчика пропустим через
фильтр, не искажающий частотную характеристику в рабочей поло-
се частит, ио подавляиицнй высокочастотны» компоненты. Тогда по
ОiiKjiiieiiHio к медленному отрара-
п.пыемому сигналу преобразую
щне свойства датчика xapaKiepii-
зуются функцией i\|e(/), «], ио
скольку <:(/) совпадает с медлен-
I и CCISW4
nfty
Рис. 5.43
ной компонентой п <т(0- Если амплитуда а больше полуширины Лио-
ны нечувствительности, то щ как функция с(/) ив имеет такой зоньк
В частности, если
(0. |о|<Д,
то
Ь'о О'о, й) = V [й sill 4’1 -I- (е — Л) — a sin ф2 + (к + Д) (л — фа)|
(5.8)
a cos фч = Л — е, a cos фа ==> - (Л + t), |Л —в!<л, |Д + е1<«,
и
Лг, I •> _, 2 т
— . - — arecos Л« аИ — Д« .
Л п я л
('.r.iaa.eiiiian характеристика Ь'(,(с, а) монгиоппа но г. и к пей может
Гц.нь применена процедура нос.тедцвателыюй нелинейной компен-
сации.
5.5. Нелинейные обратные связи. Все описанные приемы служи-
ли одной пели — по возможности уменьшить влияние нелинейных
факторов на поведение системы в целом. Однако этот путь не явля-
ется единственно целесообразным. 13 ряде ситуаций следует сисцн-
альпо вводить нелинейные элементы в систему дли того, чтобы при-
дать ей свойства, которых никакая линейная не имеет.
В § 1 приводился пример, свидетельствующий о том, что релей-
ное управление может иметь преимущество с точки зрения быстро-
действия. В гл. 9 будет доказано, что этот пример иллюстрирует об-
щее правило, в силу которого оптимальные по быстродействию за-
коны управления имеют релейный характер.
Здесь же мы на элементарном примере осветим другое достоин-
ство некоторых нелинейных систем — возможность обссне твить
управление с, малыми ошибками при оч< ш. плохой информации о
параметрах цб-ьскта.
Пример 5.3. Пусть объект линеен и описывается уравнением 1-го
порядка
(О-Л)у = и. (5.9)
Объект-неустойчив (Л>0), по значение h неизвестно. Если выбра-
на линейная обратная связь и = —Ач/, то система будет устойчивой,
J О ВЫБОРЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
249
только если k>h. Создать липойпуго обратную слизь с неограни-
ченно большим коэффициентом усиления невозможно; поэтому най-
дется Л, при котором замкнутая система окажется неустойчивой.
Попытаемся использован, нелинейную спя п. н г/’, к > 0.
Замкнутая система описыпастси нелинейным уравнением
1>(/ =» hy — ку1
t. 1 / h _ т
и, очевидно, имеет три положении равновесия О, ± р Положе-
пне рапппкеоия jyo=°0 неустойчиво в малом, однако два других—
устойчивы. Действительно, наедем переменную V = j/2. Тогда, ум-
ножая (5.9) на у, получим
yVy = / (Л - ку2)
или
^DV^V(h-kV)f
так что
1Н'<0 при т. с. |j/|> ]/
DT>0 при ¥<.-£, т. е. |у[< J^y*
Таким образом, при любых отклонениях от пули и любых k выход
системы сг|М!мигсл к одному н.ч положений равновесии d:]ih'k. При
.мер ПЛЛЮС1 рируег ту идею, что с ломгнцып нелинейных обратных
связей можно добиться стабилизации системы, хотя, как правило,
без гарантии, что ycTaiioBiininiiiicH режим точно совпадает с же-
лаемым. □
Более полное освещение проблемы использования пслипеппых
законов упрцплепня в условиях большой неопределенности дано в
Т,1. 10, 11.
Г Л Л В X G
МЕТОД ПРОСТРАНСТВА. СОСТОЯНИЮ
В ЛННЕННОП ТЕОРИИ
§ 1. Описание в нормальной форме
1.1. Основная модель. В данной главе мы возвращаемся к линей'
пой теории, одпайо за основу возьмем другой подход, открывающий
принципиально новые возможности анализа систем и синтеза зако-
нов управления.
В гл. 2 была выдвинута гипотеза о том, что описание системы
может быть д;Пю путем задания дифференциальных уравнений
звеньев и алгебраических соотношений, выражающих свяли между
звеньями. Описанные в дальнейшем методы (гл. 2—4) можно на-
звать операторко ст/п/к? э/римли, нги-кольку лервичноо описаний Да-
валось на языке операторов звеньев н структуры гивзсй. Здесь же
в качество первичной математической модели примем систему урав-
нений следующего вида:
(i п 7,1
=- Z a^j ' 2 Ьл’л, 1-1»...,»»
j 1 л 1 (< j)
«—1
называемую описанием в нормальной форме или описанием в про-
странстве. состояний.
Последнее название связано с том, что при г.\ —О достаточно за-
дать начальное значение переменных Т{{1) дли того, чтобы опреде-
лить их значения, а следовательно, и значении выхода в любой ио-
следующий момент, т. е. задание .?<(/<.), 1 = 1, .. н, полностью
определяет состояние системы .г,(/), ! > /„.
В модели (1.1) имеется п взаимосвязанных дифференциальных
\равнений 1-1 о порядка, в правую часть которых входят m различ-
ных внешних воздействий щ, а также s алгебраических соотноше-
ний, связывающих s выходных (управляемых) процессов у> с пере-
менными состояния х,, число которых (л) совпадает с числом
уравнений. Коэффициенты «„ сн называются параметрами мо-
дели.
g 1, ОПИСЛ11МК В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМВ
251
У равнении (1.1) удобно представить в матричной форме*):
jp = Их -I Л’п, У = С.с, (1.2)
где .r = (r,, jt. ...» .т„)— вектор (матрица-столбец) переменных со-
стояния, Р“(Н|, th, ..., г,.,) — вектор входных воздействий, у
•“(//„ !/> • • •• .V.) - вектор иыходцв,
/1 {«,„ i=1, 2..и; /==1, 2, ...,
/>’ = {!’,*, t " 1, 2, ..п; А-“ 1, 2,..., т),
С = U n, I = 1, 2, ..s; i 1, 2, ,.п)
— матрицы параметров. Веи информация о свойствах объекта со-
держится теперь в числовых таблицах-матрицах параметров. При
анализе объектов и синтезе законов управления можно будет оки-
ратьси на стандартны!.1 правила преобразования этих таблиц.
Сопоставим (1.1), (1.2) с операторным описанием звеньев я си-
стем. введенным в гл. 2.
1.2. Описание звСпа в ..........>й форме. В гл. 2 было при-
мято, что любое звено системы может быть задано <: помощью одно
п> дифференциального уравнении, которое в операторной записи
имеет вид
гл(1))7(/) = р, (!))>(/), (1.3)
ТдС
<x(l))«“I>" I о.,, J)" 1 + ...-I a,.:
{1(D) ₽„ir + ₽M-,lF 1 I-... + P..
Это уравнение полностью определяет измепенне выхода у(1), если
задано входное воздействие r(f), а также начальные значения г/(<)
и его производных вплоть до (?? — 1)-и.
Теорема 1.1. /•>.?« т < л, то решение у{1) уравнения (1.3) сов-
падает с решением уравнения « нор.ча.-тыюй форме (1.2), если при-
нять **)
едг еелнчииы 1>„ б., .... 1>„ находятся иислсдо<ч1гел1,но ил сис.темм
*) ('.падка вГимвлчевий и вечоходямык сшеечти из гепрви матриц давав
11рв.та.и>«л11 2
»') Если матрица Л имеет вид (1Л). то говорит, что она авДАва и форм»
Фробениуса.
252
ГЛ. «. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
уравнений
— Р«->,
ОС» - 4" рп-х>
........................................................ (1.5)’
а,bt 4 ajij 4 ... + a„-,b„-, Ь Ь„ » |)с,
а начальные условия согласованы следующим образом;
х»(0) = у(0), x!(0) = J).v(())-*1p(0)..Т„(О) =
= 1г-> (0) - fcjr-MO) -... - (0). (1.6)
Доказательство фактически содержится в доказательстве Т.2.1,
гл. 2. Дсйствительн», там было показано (формула (2.44)), что уравнение (1.3)
акьпва.тентио системе
Dxl = г1+| -)- I «= 1, .. „ п — 1,
2>Jn = —яол,— ... — fc„r,
причем при т < п у = .г:.
Раскрывал матричную завись (12) н предположении, что матрицы .4, П,
С имени вид (1.4), приходим именно к (1.7). Формулы (!.<>) также были уста-
иоилсиы в 1.1. 2 (см. (2.46)).
Пример 1.1. Рассмотрим и.к'ктричегкую нснь как звено, с.кязы-
ц;п<нц|'<! вход (напряжение) r(t)=u{l) с выходом (током) (/(()•«
• <(/) с помощью уратх'ция
(1)2 1 4 ° 1 (ts)
%
Примепип ирапн.то, зяк-лючиющесся и Т.1.1, дадим описаний д кор-
мальмов форме. Здесь и 2, т. 1,
С' = Т’ ^=?7> ^ = °- f’‘ = r
и, согласно (1.5),
или, в виде елгсгемы скалярных уравнений,
</Г| , 1 </j’ I Я /(
-гй‘ ” *’ Т - - -г* - и (1 -f)
Вывод 1. Ос операторно.’о описания звена можно перейти к
описанию в нормальной форме., используя стандартную процеду-
ру, если п. ф. звена является правильной дробью.
§ ?. ОПИСАНИЕ В НОРМАЛЬНОЙ ФОГМК
263
□тот переход во существу содержится в описания авепа с по-
мощью структуры, содержащей to.-ii.ko усилители и интеграторы,
причем в качестве переменных состояния могут быть ванна выходы
интеграторов. Структуры аюю типа, как Пило показано и § 2 га. 2,
пссдипсл ценны. CociTBCK'tbciiho с »тим нееднпственпо и описание в
нормальной форме, которое может Gi.it i. аквивалентпо урвпис-
1.1110 (1.3).
В качестве примера другого описания приведем уравнения, сле-
дующие из структурной схемы на рис. 2.11,6 (при п>т):
П.Г| = — 'z. z„-|- p„i’,
Г).гг .с( — a,z„ + pit;,
...................... ’ ' (МО)
= хга — а.,х„ +
D.c„ = — а„_1.т„, у = х„.
Подчеркнем, что переменные имеют здесь другой смысл, чем в
системе (1.7). Тем по менее п (1.7) и (1.10) акиивалентны (1.3)
в то.м смысле, что они определяют один п тот же выходной процесс
,/(/), если, конечно, npn.iaraeic.H одно н то же входное воздействие
и подоприпы подходящие, начальные уелпния.
1.3. Описание системы aiiein.eii. Покажем далее, как привести к
нормальной ([iiip.Mi описание системы, состоящей из множества звень-
ев, падинных операторными уравнениями
<х.(1>)ы. Р.(П)о„ (1.11)
где г—индекс (номер) звена, р,--еп» вход, //, — выход, г/,(П),
Pi(D) — операторные многочлены такие, что
.leg ос( > deg
Связи между звеньями зададим, как и в § 2 гл. 2, структурными
соотношениями
щ - Zlul/i ч (112)
3
где г,-—внешние входы, а у., — величины, рапные пулю или J 1.
1)т каждою ич ура в по в aii (1.11) по ппнсаппоп в 'Г. I 1 процедуре
МО,кии перейти !. зкинналеПТНОЙ записи в нормальной фирме
== Z^V’i, l/i - c,1’.r<<\ (1.13)
гдо пне,теп индекс i для лекторов переменных состояния каждого
гиена и соогвегствующих матриц.
254
ГЛ. в. МЕТОД пространства состоянии
Используя структурные связи, молото исключить все виутреипие
входы:
(t.H)
/
Для объСДНИСНИОГО Лектора СОСТОЯНИЯ всей СЛСТСМЫ X •
•- (г1П, х(,\ ...), рассматриваемого кок матрица-столбец, состоящая
из блоков-столбцов х"1, система (1.14) перепнсыиается в стандарт-
ном виде
—- = Лх + у = Cxr (1.15)
где v = (й,. »2, . ?/=(j/i, 1/2, ...), Z? = diag{7?:,)), С = diag (С""},
А = diag Ч- Я ГС.
При этом использованы обозначения для блочно-диагональных
матриц (см. Приложение 2, и. 36), а также введена матрица Г =
обычно называемая матрицей инциденций («соседства»)
звеньев.
Если управляемыми являются ко псе выходы звеньев, а лишь
некоторые из них или линейные комбинации выходов, то вводится
вектор питиинх выходов у, связанный с г/ алгебраическим соотно-
шением у где Л/ — матрица с постоянными элементами — ко-
эффнцнонтами влияния каждого Звени на каждый общий выход;
тогда
у . МСх - ('х, С A .W С, (IJ G)
Вывод 2. Структурно-операторному описанию ели-темы может
быть сопоставлено эквивалентное описание в нормальной форме.
1-4. Естественный характер описания в нормальной форме. Вы-
вод 2 лажей в теоретическом отношении (мы ничего не теряем, ис-
пользуя описание в нормальной форме, по сравнению с ранее изу-
ченным), однако ио многих случаях в описанных процедурах пре-
образования нет необходимости, поскольку нормальная форма явля-
ется естественной для первичного описания реальных объектов
управления.
Пример 1.2. Вновь рассмотрим электрическую цепь, состоящую
пз последовательных соединений элементов К, L, С. Запишем урав-
нение цепи сразу в переменных состояния, взяв в качестве таковых
напряжение па емкости
•г, «°ас (1.17)
п поток через индуктивность (потокосцепление)
а:х-Ч'. (1.18)
Тогда из уравнений теории цепей
^F=F‘> S'+ Л/+ Т = Лг (,Л9>
§ 1, ОПИСАНИЕ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ
255
следует нормальное описание у = г)
1 '‘,ж’ А 1 ,, олч
ИГ”Тсх" 7Г““Д''-Т^ + ^ -V = T^- <L2°)
Оно не совпадает с (1.9), где переменные) были выбрани в силу
форм.-ьтышн процедуры Т.1.1, ио, очснкдпо, приводит к чей же опе-
раторной синап «вход выход» (1-8). °
Пример 1.3. Электромеханическая система (уел штейн — днига-
Ti-.ui. — редуктор — нал нагрузки) была описана в § 2 гл. 2 (11.2.2),
причем первичным было описание именно с помощью дифференци-
альных уравнении 1-го порядка и алгебраических связей. Рекомен-
дуется проверить самостоятельно, что при введении переменных
х -(х„ ,,,, xs), Ь’ = (щ, ь'3). где яд =-= is, х2 — <f-, Хзвпю3, ал = ср, х3 =
= CO, L’; WU1 v2 —тк. эти уравнения могут быть записаны в виде
(1.2), причем
7? С
— 0 — _1 0 0
^Я 0 0 10 0 1 0
А = С’.| Г с . . , 1 1 » «I ч I I 1 ) Ц = 0 0 о 0
1 л у U V r-JA r/K 0 0 •
о о о о i k -VJ,,
е С
0 -Г- 0 — -f- (1 г-/..
к * н
В качестве выходом системы могут рассматриваться либо только
у, = х, = <|, либо также ijt = x<. = <>>, — — (при построении
«внутренних» обратных связей по угловой скорости и току, как в
§ 7, гл. 3), либо их комбинация //4 = .т4 — — х2 = <р—--<рЛ( имею-
щая смысл упругой деформации выходной ступени редуктора, также
«внутренней» обратной
системы. Таким образом.
представляющей интерес при построении
связи, улучшающей динамическое свойство
можно записать в матричном
виде
у = Сх,
где
о
11
о
о
о
I
о
1
С =
о
□
1
о
о
о
Напомним теперь, что в аналтнческоп механике (гм., напри-
мер, [>)!]) доказана возможность iipcjiciau.iviiiiH описания механи-
ческой системы с помощью системы дифференциальных уравнений,
включающей только 1-е производные фазовых переменных (обоб-
щевкых координат и обобщенных скоростей, пли обобщенных коор-
256
ГЛ. 6. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА сосголнии
дннат и импульсов). В линейном случае этим уравнениям можно
придать вид (1.2), считая фазовые переменные переменными состоя-
ния системы z(<)*). Диалогичным образом в «естественных» пере-
менных типа «токи черен индуктивные элсммпы и заряды на ем-
костях» или «потокосцеплении и напряжения на емкостях» сразу
строиюя описание элекгрнчиских цепей в нормальной форме, как
это было сделано выше в простейшем примере. 'Го ;ко касается и
смешанных электромеханических систем, где в основу могут быть
положены уравнения Лагранжа — Максвелла, элементарно приво-
димые к стандартном}’ виду. Наконец, уравнения хнмп iccKoii кине-
тики (в том числе и кинетические уравнения теоретической блохи-
мии и биофизики (см., например, [6.8])) обычно естественно имеют
вид связей скоростей изменения концентраций (производных ос
фазовых переменных) с их текущими значениями (самими фазовы-
ми переменными). При линеаризации этих связей вновь можно по-
дучить уравнения (1.1) или (1.2). Мы не будем описывать конкрет-
ных процедур «стандартизации» описания различных реальных про-
цессов, поскольку они проще осуществимы в каждом конкретном
случае. Отметим лишь, что уравнение (1.2) меккпо обобщить, запи-
сывай
р = (?л-1 с.», (1.21)
где С„— постоянная матрица.
□то эквнвалс.п 1 но предположению, что входные воздействия мо-
гут оказывать возденет вне па выход беаниерцнонно, чйр«п статиче-
ское преобразование, коэффициентами которою н являются i.tcmch-
ты ми грицы С,..
Доказательство тлю. что в таком виде представимо описание си-
стемы, состоящей из любых строго реализуемых звеньев, ио сущест-
ву содержится в доказательстве Т.2.1 гл. 2.
§ 2. Анализ систем
Изучение свойств линейных систем, описываемых уравнениями
Da-(0 = .-1x(#)+/k’(Z), г(0)-=.г;Л), ;/(/) = Cx(f), !>0, (2.1)
где Л, /?, С — постоянные матрицы, можно вести различными спо-
собами.
2.1. Применение операционного исчисления. Введем обоз |Яченпя
Х(/>) -5'{.г(0>, Г(р) -2?{p(f)), У(р) = 2?({/(/)} (2.2)
для образов соответствующих матриц. Учтем при этом, что У' об-
раз матрицы есть матрица, составленная из ^'-образов се ска-
лярных компонент. Поэтому для матриц спра иедлп вы ’и- жв
формулы операционного исчислении, что и дли скалнрных величин.
♦) Терпин «вектор фазовых иеречевных» часто гкпшп.аувгси вримсвитсль-
по к вектору я-(Х) в (1.2) независимо от природы переменных.
g 2. АП ДЛИЛ СИСТЕМ
257
В частности, имеем
^{Г>.г(/)) =р.Х'(р)-.т(0), (2.3)
Тогда ил (2.1) получаем алгебраические уравнения
РХ (р) - г<" - .1 .V (/,) Т /? Г (р); }{/>) - СХ (/,), (2.4)
откуда
Х(/г)~Ф(р)х‘” + (л), }•(//) = СФ(/,).1”’ -1-О1>(/;)/?1'(р),
(2.5)
где *) Ф(р) &.(/>!п— Я) *• При .7.'|О|=0 получаем -
•V (р) - (/>) Т (р), Y(р) = Htv(р) Г (р), (2.6)
причем введены обозначения для матричных и. ф,
1Вх(р} = Ф(р)В, Пп(р)~СФ(р)В. (2.7)
Очевидно, что формулы типа (2.6), (2.7) можно получить непосред-
стпеино из (2.1), если рассматривать оператор D как число. Тогда
#(/)= [D/n — Л] l£fv(Z)^z(Z) = //„(D)n(Z),
У (О = 611)/,, - Л]-‘Лр (/)-//(/)- п.у(») v(t),
где //,(!)), //.L(B) — оперитрлыс soiручные n. г/5., отличающиеся
or MM'.iniiiHX Hi.iiiiC комплексных лини аргументом.
I|| цо.т1>зук1тсл и матричные структурные, схемы с оцоищепным
изображением святей и матричными и, ф.
Так, непосредственно по уравнению (2.1) составляется структур-
ная схема, представленная па рис. 6.4, а. Та же система мо-
жет быть представлена и в виде, показанном па рис. 6.1,6 или
6.1, в. Схема на рис. 6.1, а содержит п интеграторов (и блоке с п. ф.
JL / ) и удобна д- я иостроепия аналоговых 13У, позволяющих вы-
и "
числить т(/), у(/) но заданным »'(/). Опа является матричным обоб-
щением схем на рис. 2.11, которые были пригодны только, для
звена со стсалярнымн входом н выходом.
Уравнение (2.6') дают лишь формальное ныраженио x(Z), ?/(Z)
через вход н(/). В них ио видно влияние начальных условий. Явное
*) Здесь н далее. /„ — едпшгтая матрица размерности л X и, где п — раз-
мерность х. нозыиасмая также размерностью системы (2.2),
17 а. а. Первозвиискцй
258
ГЛ. 6. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
представление можно получить, применяя к (2.5) теорему о сверт-
ке. Имеем;
г
х (0 — ф {I) *(<l’ + J Л₽* (т) a (I — т) dxf
° ! (2-К)
у (0 = Сф (0 a;W> + J kvv (г) г; (Z — т) dr,
О
где Л.ДО, — матричные. весовые функции, являющиеся
оригиналами /fri{p), Лп(р) соответственно, <р(0—оригинал Ф(р).
Вычисление оригиналов дли матриц сводится к вычислению ори-
гиналов для каждой компоненты в отдельности.
Обратим внимание на то, что все компоненты Ф(р). а еледона-
тольио, Я^(р), ИгАР) являются дробно-рациональными функция-
ми р. Действительно,
Ф (Р) = (рТ„ ~ ЯГ1 = - Я)п, (2.9)
где через а(р) обозначал определитель матрицы р1„ — Л, а индекс
«11» использован для обозначения присоединен пой матрицы. Опре-
делитель р1„ — .4 является многочленом степени н, а присоединен-
ная матрица имеет синими компонентами алгебраические дпполш
инн элементов той же матрицы, которые также являются многочле-
нами степени ниже. п. Позтому все компоненты Ф(/>) являются пра-
вильными дробями с одинаковым знаменателем а(р), называемым
характеристическим многочленом матрицы А, или характеристиче-
ским миоеочлекам системы (2.1),
При «“1 имеем
»и-^.
так что
<р(О=ел'. (2.10)
Это же обозначение сохранится при произвольном п > 1, хотя <р(1)
оказывается уже матрицей и называется матричной экспонентой.
Из указанных выше свойств компонент Фо(р) матрицы Ф(р)
следует, что любая компонента ее оригинала
Я
<Г« (0-2^4 (2.11)
V I
где ?v — корни а(р) (многочлена, стоящего в знаменателе), а е,>—
константы, вычисляемые при разложении Ф,,(р) на простейшие
дроби. При наличии кратных корней eljv могут был. многочленами
от I степени, пе выше кратности корня.
Напомним, что корни к, характеристического многочлена а(р)
иазываются собственными числами (с. ч ) матрицы Л.
S АНАЛИЗ СИСТЕМ
259
Представление (2.11) показывает, что матричная экспонента яв-
ляется матрицей, каждая компонента которой — линейная комбина-
ция скалярных экспонент e,v(, v“ l, 2, .,п. Па (2.7), (2.10)
следует, что
А,„(/)-Ссл7?; (2.12)
ценному весовые матрицы вновь имеют своими компонентами ли-
ленные комоинацли тех же С
С использованием матричной яксиоиопгы перепишем (2.8) в виде
г
х (t) = eAlx° 4- | еЛх?Зо(i — т) drt
° ‘ <213>
p (0 »= CeAtx° — ( CeAxBv (t — t) а’Тг
о
Па свойств компонент ([;,;(/) матричной экспоненты следует, что
<р,ч (/)—() прп t — о=, если все с. ч. л, имеют отрицательные веще-
ственные части. При том же условии устанавливается, что любая
компонента весовых функций h,r(t), h„v(t} абсолютно интегрируема
н существуют их моменты, причем доказательство сводится к при-
менению рассуждений, данных в гл. 2, § 3, к каждой из компонент.
Поэтому при условии
Ко?.,<<>, v-1, .... п (2.11)
справедливы следующие свойства:
1. Система устойчива по начальным условиям, т. е при п(0=з()
и конечном х’¥"0 имеет место
ж(0 —0, {/(0—0 при (2.15)
2. Система устойчива ко входу, т. е. из О1ранпчетхости воздей-
ствий следует ограниченность всех фазовых переменных и всех ком-
понент выхода.
3. Если
v(l)^a...eiat, i>0, (2.1G)
то установившаяся реакция y^(t) дается формулой
?/.,(/) = Я.., (тй)ще”"'. (2.17)
4. Если
.V
,.(/)_ Х«/‘. (2.18)
Л v
ТО
.V
1М0= (2-ГЗ)
k <1
17*
260
!VI_ С. МЕТОД ПРОСТРАПСТПЛ СОСТОЯНИЯ
где
*• d/'
Мы убеждаемся и достоинствах матричных обозначении: асе
формулы, полученные и гл. 2, сохраняют слон вш-пншп вид, соли
и них использован. соответствующие магричпыо и. ф. и матричные
частотные характеристики.
Неприятность лаклнпаетс.я лишь в том, что построение матрич-
ных в. ф. по формулам (2.7), (2.9) требует громоздких аналитиче-
ских выкладок с полиномиальными матрицами. Поэтому в теории
и практике иычислсппй широко применяется другой подход.
2.2. Изменение базиса. Введем в уравнениях (2.1) замену пере-
менных
х(0=$£(0, (2.21)
где 5 — пеособая постоянная (л X /г)-матрица. Тогда уравнения
(2.1) примут вид:
Dx(0=^x(0 + 5r(Z), t>0, .т(О)-х(0’, y(Z)-»(l), (2.22)
где введены обозначении
Л C~CS, (2.23)
£<•>_ S-^'. (2.24)
Переход от исходных уравнений (2.1) к (2.22) принято назы-
вать изменением базиса внутреннего описания, а матрицу 5 — мат-
рицей перехода к новому оазису.
Подчеркнем, что преобразованные уравнения эквивалентны ис-
ходным.
Знал x(t), легко найти х{1). Более того, матрица Z имеет тот
же характеристический многочлен я(р), что и матрица Л.
Очевидно и то, что связь «вход-выход» никак не может зависеть
от изменения базиса: в (2.22) входят те же функции п(<), у(0. что
и в (2.1).
Можно и формально проверить тождество *)
7U (Р) А С (pJfl - А)-1 2? = С (р/„ - И)"1 В л HVII (р\ (2.25)
т. е. п. ф. «вход-выход» не изменяется.
*) Проверки сводится к цепочке ппкд'Жти:
C(pl„ — A)-4i а, С>л-'(/./. - HJ-'W-1// а »
С|5-'(р/„ -=» С(р/„ - 5“1/1S)-'P= С {pin - Л)-'Пг
де используются лишь свойства операция обрашеиия
(Ws)-> -
£ 2. АПАЛИ.З СИСТЕМ
261
Вместе <• тем новые переменные, т е, новым базис, можно вы-
брать так, чтобы уравнении (2.22) имели более простую структуру.
Предположим, что все с. ч. матрицы ?1 (и следовательно, и Л)
являются простыми. Из алгебры >t:iiici:n:n (ем. Приложение 2), что
то гд*
71. Л”'/15 Л A ilia? (Л,, 7...................(2.26)
если столицами матрицы Л’ нплнютсн собственные векторы, соотпог-
ствующпс с. ч. матрицы .1. Переход к такому базису будем назы-
вать диагонализацией. а соответствующие переменные .т\(() основ-
ными формами (модами).
Уравнения (2.22) в новых переменных приобретают вид:
IXi\ (t) = AvXv(t) Ч- 2>\ф- (Z), .tv (0) = Jv", v - 1, ... j nt (2.27)
11
J/(i) = S^v(O, (2-28)
V—1
где /?,— строки матрицы 5, a Cv — столбцы матрицы Г.
Каждая мода определяется своим ураиненном 1-го порядка, ко-
торое легко интегрируется:
i
xv (/) = eXl,,j"v (0) -I- I/',( _l’/<\i’(i)rfr, Z^O, v»>l, ...,».
о
(2.29)
(Справедливость (2.29) проверяется прямой подегановкон в уравне-
ние.) Перепишем это peineiiifC и .матричной форме
i
£(Z) = diag {e?’v'| х(0) -j- j diag [e,‘v((-rj] 7?к(т) Jt,
o
п, используя обозначения (2.21), (2.23), вернемся к исходным пере-
менным
i
z(Z) = S diag (с4'] д5,-1.т(0) — | 5 diag {e>'vl| S~'Bu (t — г) с/т.
If
Сравнивая с (2,13) и учитывая единственность решения уравнения
(2.1), убсясдяС-мся в том, что
f u = 5 d i ag | c^'} 5 "1. (2.30)
Ото спектральное представление *) матричной аксионов гы будет ши-
роко использоваться в да.тынч'ниом.
2.3. Структурные снойства. Вернемся к описанию системы в фор-
ме (2.27), (2.28) и изучим ее внутреннюю структуру.
*) О матричной экспоненте и способах пычкслсния сс экпчеппй гм тпкжо
Приложение 2, п. 36, где даны а примеры.
262
ГЛ. С. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
Сначала рассмотрим простейший случай, когда вход и выход ска-
лярии, т. е. система эквивалентна одному звену в смысле § 1 гл. 2.
При этом скалярии и величины /?,, С„, так что система может
быть описана с помощью простой структурной схемы (рис. 6.2).
Рис. 6.2
Определение. Назовем скалярный вход v(Z) полным, если
все величины /)„ пе равны пулю, т. е. v{t) оказывает воздействие па
все моды. Пазовом скалярпый выход) y(t) полным, если все С<#=0,
т. о. в выходе проявляются т\е моды.
Если хоть одна из величин В„ равна пулю, то будем говорить,
что система содержит «висячие» звенья. В противном случае, назо-
вем систему невырожденной.
Теорема 2.1. Скалярный вход является полным, если и только
если *)
del(Z? ЛВ...А"~'Ц} ^0. (2.31)
Скалярный выход является. полным, если и. только если
det «7 /ГС'... (/Г) -'С’} 0. (2.32)
Система с одним входом и одним выходом невырожденна, если одно-
временно выполнены (2.31), (2.32). Это условие эквивалентно вза-
имной простоте числителя р(р) и знаменателя а{р) скалярной п. ф.
п.-Лр)-
Доказательство. Перепишем (2.31) с учетом (2.23) в виде
del {.$‘D .V.T.S-'Si? ... (5’Л5’-,)"-|5Я} = det S X del {В ЛЯ ... Л"-'#},
причем использовано, что определитель ираизподеипн ранен произведен ню оп-
ределившей и
(5.lS~’),,_I = .yJ.S'-1 •... SA?-1 = Л J ...
и— J |ui:t n — I |»»3
♦) Матрицы и (2.31), (2.32) кпп.тратпыл и :ып пеаны в блочном виде но
столбцам (п скалпрвом случае Р. С'—столбны, равно как и их проя»в<я опин
на А или /Г). Индекс от» означает трлпсноппрндлнпс. Условия (2.31), (2.32)
являются частными случаями условий невырожденности икр матриц Д, а ><
Д’, Ст (см. Приложение 2).
£ 2. АНАЛИЗ СИСТЕМ
2ОД
Если S— ДП.Ч1(1(1НЛИЗЧруЮ'.ЦНЯ МЯТрНПЯ, ТО
Л =. А =» rtiag (М
I!
del (7? 717? ... Л" 'll}
del
77; . del
Х.-лГ’
1.1
Поскольку псе kv различны, то последний определитель, нйзыиаадын опреде-
лителем Вандермонда, не ранен нулю. Поскольку 5 нсосоиа, то del 5 у-0. Таким
образом, (2..Ч1) якнпаплсптпо требованию Z>v =#= б. v= 1..л, т с требова-
нию полноты входа. Аналогично доказывается эквивалентность (2.32) и требо-
вании полноты выхода.
Запишем согласно рис. 6.2 скалярную п. ф. в сиде
'-Р>
Невырожденность системы пкоизалсптпа отличию от пуля всех коэффицпентон
в разложении »а простейшие дроби. С другой стороны, если предста-
вить
то наличие пулевых коаффнднентоп нозилжно то лжи, (ч ц> и имеют
общин корни.
Проведем такой ясс структурный анализ мпогосвязиой системы,
когда г(/), 1/(1)—векторы (матрицы-столбцы).
Определение. Назовем вход р(£) полным, село па каждую
моду воздействует хотя бы одна компонента входа. Назовем выход
j/(t) полным, если каждая моли проявляется хоть в одной компонен-
те выхода. Система ттевырождепнэ, если ее вход и выход полны.
В противном случае будем говорить о наличии в системе «висячих»
звеньев.
Теорема 2.2. Вход является полным, если пора матриц Л, В яв-
ляется невырожденной, т, г?,*)
rank {В АВ... Л n~lBJ = п, (2.33)
Выход является полным, если пара Лт, С является невырожден-
ной, ?. е.
rank {<?’ ,17?г...(Л’) П-'Г) = н. (2.3-1)
Ил невырожденности обеих пар Л, В и Лт, (А следует пе.вырож-
денное г ь си о гем ы.
Док а 3 а те льстлп можно upon.ibcciii по аналогии с Т.2.1.
*) В (2.33), (2.34) вновь используется блочная аяппг.ь, но блоки, вообще го-
норн. уже не ян-илотся столбцами. О понятии ранга матрицы см. Приложи-
»1ПС 2, П. Зв.
2£А
ГЛ. 6. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОИПЙЙ
Можно также указать и требования к матричной п. ф. H,v(p),
обеспечивающие •т-вырождепписть системы |6.9].
Наиболее полное представление о структуре миогоСнязпой систе-
мы дает следукпцег утиерждешп:.
'Георгия 2.3 (структурная теорема Колмана). Существует неосо-
бая замена координат х такал, что система (2.1) эквивалентно
преобразуема к виду
J)g, 4- Ч- а,,Ь + «ngt + р>г.\
Щг= ймСл + ра'Л ,noPV
•v (2.35)
Г*ь1 -- ”Г Яз,3х,
Dgi “ и44$:»
у = Gsg. — Cig;,
причем I,, g., g3, |4 — подвекторы g такие, что *)
dini(g„ gsJ^V;, dim(g2. g.) = v2,
где
v, = га nk Л vs «= rank' Л
/1|: д (Z? Л/»’... Л’1-1/;], Л, л (С” /ГС1 ... (.Г)" 1 С1}. (2.36)
Нары матриц о.., р2 и а*~, о1 являются невырожденными, и
H,:il (/') А С {д1» — -О ‘ Л’ “ <’а (l)f и, — «at) ' Pt-
(2.37)
Доказательство доцолыю грвмол.чко. п мы кротко опишем лишь его
основную идею. Ио свойству (2.3G) и матрице Лг можно выделить Vi .'iiinaiino
независимых столбцов (векторов). Обозначим их 5,, .... 5V - Добавим к
ним еще какие-либо и — V| лекторов
.... 6’„ так, чтобы матрица
оказалась исособой. Используем S для преобразования базиса. Тогда можно ус-
тановить. что преобразование согласно (2.23) матрицы Л, li имеют специаль-
ную структуру: первые v> столбцов Л и нее столоны й имеют равпымп нулю
последшю »— V, компонент. Для этого спача-ia покажем, что любой вектор
вида ИЗ», k = 1. .... Vi, miitejino зависим от .S’j. .... <SV -
Дсйстаитсльно. jiKiGnii S*, k = 1.v., япллется по определеинто столбцом
.4,,, а следовательно, имеет вид A>Pi, гдо /?(—какой цибуль столбец £‘, а сте-
пень ) может быть любой от 0 до н — 1. Тогда
/5* •= -4^'Л/.
Если I <Z » — 1. то Л5г, также мвлнетсл одним из столбцов Л» и но предположе-
нию линейно аакш иг or X|t , . Если же / “ л — 1, то Л>$* /1ПЛ; и ио
лн.ик'тсп глолбцом Лг. Однпко по теореме Гамн.н.пт.т— К.ч.ти **)
Д" = —а,,-!.-!"-' — ... — «0/, (2 38)
•) Символ dim читается как «размерность вектора».
*♦) См Приложение II, п. Зд.
fi 2. АНАЛИЗ СИСТЕМ
265
где а;, < = 0, .... п— 1,— коэффициенты характеристическою многочлена
матрицы Л. Поэтому
Л<?6 = Л-fl, = Ч<,- ... — а«Л<,
т. е. представим в ни,ц- .тиненной комппилцип столбики Л... Таким обратим,
UlKKHU .Id II IlCa II., ‘I I О
V
ИЛ\ 21‘wvi- k (2.39)
I
где l««f — скалярные пе.гкчциы. Из определения единичной млтрпиы следует,
что
5-'5{ - б, (2 40)
где (; — I ii елши’шьш столбец:
it A jD....0. I. 0, .... Oj.
Из (2.39). (2.40) вытекает желаемое свойство первых v( столбцов Л* матрицы Л,
нискольку
“ 2 = 2
1—1 .'—I
Аналогична устанавливается свойство 2J, поскольку столбцы В совпадают
с первыш: столбцами _4t. Тим самым донизано, что up:i v: < п можно так вы-
брать базие, что
ГДР tH-IIY.1l'HMM|t могут быть ТОЛЬКО компоненты б.ТОКОп й||, ЙГ|«. /?.
Далее установим н«1о.1риждеп!юстт> пары «и, /?,, т. с. выполнение условия
rank {ь\ 7,,^ Z’J - vr (2.41)
Поскольку рант матрицы не меняется при исособом преобразован ни, имеем
rack {£ ЛВ ... А*~В} = v„
или, с учетом структуры .4, В,
откуда _ _
rank [ 7?х «пЛ1 ... ] --= vr {2.42)
Применив теорему Гамильтона — Iia.ni к (V| X М|)-матрицс «и, легко усто-
пазливаем. что столбцы, входящие я последние п—тч блоков в (2.42), липой-
йо зависят от столбцов, пхпдищпх п предшествующие, a wm самым их изъятие
по меняет ранги. Таким образом, условие {2.41) обосновано, н устанонлсии, что
при v, < п имеется возможность bi.iojkiii. баяне, тин, чю и повых координатах
5 (£i, л..), где 1| имеет раамариоить vJt исходили система приобретает вид
IKi-fluf, 1-й13с»
Di, === <wJt У = г,7| ч- гл, 1
т. е. выделены часть размерности v(, по отношению к которой вход г.’{,') явля-
ется полным, и «аисячая» часть, иа которую ол заведомо пс действует.
266
гл. 6. лктОД нространстил состояний
Точно так же можно установить, что при Vj < п найдется такой способ вы-
бора базиса, что в попых координатах х = (xj, х2), где размерность х> равна
v*, система приводится к виду
1)х, •- йцх, 4- TJic,
I) Су га 4“ 5г;Л J 4" ^2|,1 Р ClX|, (2 4ч)
причем пара и^р с(' пилятся невырожденной. Тем самым иыдезеггы часть
размерности v7, ио «iritohicniiio к которой выход ;/(/) являете л полным, п *пн-
сячгою чисть, по проявляющаяся в выходе.
Оспоипос утверждение теоремы усгяпяилпкается путем последовательного
проведения описанных ныиго нреобразовапий базиса и соответствующей сорти-
ровки блоков.
Формула (2.37) сразу следует из обобщенной структурной схемы, пред
стаилелпой па рис. 6.3, а.
Если начальные условия пулевые, то связь «вход-выход» отража-
ется упрощенной структурной схемой рис. 6,3, б. В скалярном изо-
бражении она включает число интеграторов, равное порядку невы-
рожденной части системы.
Рис., 6.3
Из структурной теоремы, в частности, следует: (а) нарушение
условий полноты входа и (или) выхода приводит к появлению «<ш-
сячих» частей системы, наличие которых не оказывает влияния на
свойства преобразования «вход-выход»; (б) изменение переменных
9 2. АНАЛИЗ СИСТЕМ
267
£а, li (пли любых «естественных» фазовых переменных, являющихся
их линейными комбинациями) определяется только начальными ус-
ловиями и не зависит от входных воздействий, инвариантно по отно-
шению к ним; (в) изменение переменных £:, f3 не может быть обна-
ружено но наблюдениям выхода; (г) пснырождедшаи чисть системы
при v, < п (v2<n) имеет порядок п~, ниже порядка системы в це-
лом, и свойство (2.37) может иметь место только при сокращении
числителя и знаменателя п. ф. H,v(p).
Приведем простейшие примеры.
Пример 2.1. Пусть система описана скалярными соотношениями
Иг, = х2, 1)х, = xt -I щ у = х,— хг.
Здесь
л“{< о!’
Устанавливаем, что
(О п
det Лц Д det {Z? .42?} = det ю OJ^O»
Следовательно, выход янлиетея
det .'19 •»» det^
неполным. Составляя
л\чаем
7Щ- А
т. е. происходит сокращенно числи гели и знамени геля. Вычитая из
1-го уравнения 2-е, получаем rn tn
D (Xt — xj = — (х, - xs) - v.
Таким образом, замена переменных х^х,—
— х-, х. = X:, приводит к уравнениям
Dx1 = —Xi — i?, Dx2 = x3 — Xj, у = x<. Рис. 6.4
Теперь явно видно, что второе уравнении определяет «висячую»
часть: переменная хг не влияет на выход. □
Пример 2.2. Рассмотрим механическую систему с двумя степеня-
ми свободы, модель которой представлена на рис. 6.4 (гантель в не-
весомой жесткой ручкой на двух симметрично установленных упру-
гих опорах, сила !' приложена в центре инерции). Если ваять из
обобщенные координаты неремещеипя мисс q._, q:i то кинетическая
и потенциальная анергии примут вид
„, I -г,»'; т, 1 2,1 2
7 . — l)H[t \- Н = — CQt I yd/г,
где m — масса, с — жесткость, а уравнения движения окажутся
2(58
ГЛ. G. МКТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОННИП
симметричными:
". 1 г “ . 1 г
ту, + с</, = — , ni’li -I f'-ii «•» — /'.
Вводя С1;п1дЛ]1гпыс обозначения
3’j •= у,, z.j ‘ q2, и» q.,, cm 1 to,, p «” m
перепишем их и виде
= x.i} D.rs = ,r„
D.rs = — ojfcj - 7 r, D.r, = — ©Jx3 ф -1 v.
За выход примем перемещения центра
1/ = 7 (?i + $з) = 4 +
Представляем читателю формальную проверку выполпеппя услиппп
(2.31), (2.32) нрп п = 4. Здесь те «в лоб» убедимся п их нару-
шении.
Введение новых переменных
> L = ’ (*I 'И -Гз). *2 = 7 (л I’ -Г|)>
Ъ ~ у — “ 7 (х« — 3’1)
позволяет записать уравнение системы и виде
D.jj = .г.., Г).гп =
Dj-jj = — -г у ь’> D',;i = — <”o^3i = Xi-
Очевидно, что 2-я группа \равиенш! соответствует «висячей»
части, нс возбуипаемой воздействием и нс проявляющейся в выходе.
Физический смысл ясен: сида, прплолтеппая в центре, не вызывает
ионорога гаптели, и па перемещение центра этот поворот пе
влияет, с
§ 3. Управляемость наблюдаемость
Пусть онпсанке объекта задано и нормальной форме*):
х =/1х-1-//<’, х(0) = з:и, у ™Сх, (3.1)
причем внешнее воздене-твии ;(/) лплнется управляющим, p(Z)
ый(<), а неуправляемые возмущении tircvrcTiiyior, i/'(1)‘ 0.
•) Начиная с этого параграфа и до конца главы опера горные onnaiiaMcrnin
для производных почти це исиилюуются. Для coi<paiueHH.n‘i записи стаоится
точка над псрслсппип.
§ 3. УПРАВЛЯЕМОСТЬ II НАБЛЮДАЕМОСТЬ
269
В этой идеалпзпронаиной постановке удается решить ряд прин-
ципиально важных проблем, в которых проявляются основные осо-
бенности систем <: многими управляемыми процессами [<5.2].
3.1. Проблема унрпплнсмостн (ликвидация начального рассогла-
сования). 'Гребуетгн выбрать программу управлении «(() так, чтобы
в момент Т > 0 выполнялось условие
- х(Г) = (). (3.2)
Сложность проблемы состоит именно в том, что число управле-
ний (размерность m вектора и), как правило, меньше числа управ-
ляемых процессов (размерности п вектора я).
О и р с д с л е п и с. Если проблема управляемости разрешима (при
произвольном ограниченном х") путем выбора ограниченных управ-
ляющих воздействий, то система (3.1) называется вполне управ-
ляемой.
Теорема 3.1. Система (3.1) вполне управляема, если и только
если пара матриц Я, В левырож&енна, т. е.
rank Яи = п, Яи А {В АВ ... ,1й"1 ZM. (3.3)
Д о к в л а т е л ь е т в о. Пернопячалыю установим достаточность условия
{3.3). непосредствен но найдя желаемое управление.
Согласно (2.13) имеем
t
x{t) ел!хп -J- сл,,~х}Ни (г) dr,
О
так что
г
X (Г) = о ;-> f e“'u/7« IT) dr = - - А (3.4)
II
Примем
и (I) = [ е~л:Л ] 7 -= Вте'/|Т,Е (3-г')
где г пока пс определенный, но постоянный п вектор. Покажем, что его можно
выбран, так. чтобы уравнение (ЗЯ) удовлетворялось тождеетнеипо. Псжтн пол-
ка (3.5) в (3.4) дает
7
f е~ЛхВВ'е ~лТхйт1 - — х°.
(I
Таким ибразом, а&ш возможно рспннь уравнение
г
1.1 /. A f eAlPBTe-ATxdr (З.Й)
I»
при npounnoai.iuiM ап, п> неходкая знцпчл peine»» Для pa/.jieiiiUMOcnt грсбуог-
<тм. •ионы del 4-"АО. Докажем, что аш ггь\ vt ирогиншпо. Если del L » 0, го
существует к / 0 такое, что
- 0 lTvf.!u = 0 ~ J (Г) <f0 (с) dt =- О, (3.7)
I?
270
ГЛ. В. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
где <Р0 (т) £ lie Ат#- Условие (3.7) выполняется, только если <|С,(т)г= 0. О ^т гЗ
Т, Тождественно равны нулю и прслмнодные <[<,(т), так что
/’.А-4т/г=±=о, k-a, i, ....
н, и чястиости, при т 0 имеем
l^'V 0, Л 0, 1. ...
или
Z’ {/? АН ... = 0 при 70 ¥= 0, (3.8)
что противоречит условию (3.3), рапносплыюму линейной пезаоясимости строк
матрицы
Перейдем к доказательству необходимости (3.3). Предположим, что это
условие пс выполнено, т. е.
rank/К = vu < п.
Тогда найдется !' =/= 0 такое, что
VAU = 0 =ь ГН = О, ГАВ = 0......7'Л"-ЧГ = 0. (30)
Одпако по теореме Гамильтона — Кэли
1'АаВ = —а^'В — ... — яп_)7'Л ”-'В = 0. (3.10)
Получая из той же теоремы тождество
Д'-+!й »» —й(ЛЙ — ... — а,.-;?!"//,
устапаплнвисм РЛ""*1// == 0 и да.лч- по индукции для любиго А- > к также име-
ем ГЛ*// “О. По тогда
Гс~лхл = г V л\вsо (3.U)
Al '
fc-0
и из соотношения (3.4) следует, что для достижения цели необходимо выпол-
нение условия Гха = 0, которое заведомо по выиолцмется при произвиль-
иом xQ.
Замечание 1. Если все с. ч. матрицы А различны, то условие
(3.3) обеспечивает полноту входною воздействия iz(t) в смысле § 2,
т. с. с помощью управления можно воздействовать иа каждую моду.
Однако определение полной управляемости не связано с возмож-
ностью модального представления (возможностью диагонализации Л )
и теоретически более удобно. Необходимость условия (3.3) сразу
следует и из структурной теоремы, ибо при его невыполнении в си-
стеме имеется «висячая часть», состояние которой нельзя изменить
приложением управляющего воздействия.
Замечание 2. Если
rank /)-г>1,
то условие: полной управляемости (3.3) можно заменить на условие;
rank {В АВ... Л" ’В] = п. (3.12)
В частности, при г=п (3.12) эквивалентно условию dct/J^O,
справедливость которого очевидна: например, задав желаемый
g 3. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
процесс изменения состояния
находим управление
«(О --у л"’1/ + (Г-1)А]х*.
обеспечивающее ;пот процесс (ср. со скалярным примером в § 1
гл. 3). Доказательство справедливости (3.12) в общем случае предо-
ставляем питателю.
Пример 3.1. Рассмотрим задачу о программном управлении мате-
риальной точкой, движущейся вдоль оси д иод действием силы /(f).
Требуется выбрать /(f) так, чтобы точка, занимающая и начальный
момент положение д° и имеющая скорость $°, через время Т остано-
вилась в заданном положении, которое можно принять за начало
отсчета.
.Математическая формулировка такова: найти функцию /(/),
i е [0, 7]' такую, что удовлетворяется система условий
mq = f, $(0) = <7°, 9(0) = ф:', q(T)^O, д(Т)=0.
Применим теперь способ построения программного управления,
ие.ппльзовапный при доказательстве теоремы 3.1. Предварительно
запишем условия к стандартной форме. Обозначим .т, gr =
п — — I'. Гогда
и
.г, х-, Xi(0) г/", Х2(0) д",
•fj = «, х•, {Г) -- 0. хг ('/') = 0.
В матричной записи имеем .г = (.?.„ .га)-, х = Ах -I- Вп, где
Условие полной управляемости здесь выполнено:
Л.я.{В,ЛВ)-(“ *},
det Аа = — 1 э=0.
Можно искать «(f), подставляя заданные значения матриц .4, В
в формулы (3.5), (3.6). Однако для понимания сути дела лучше
просто повторить для данного частного случаи саму схему построе-
нии. Интегрируя уравнения движения, получаем
х., (/) — r2(0) 1- j «(г) с/т,
и
I
•г, (0 = Х1 (0) ф f.r„ (0) + ((f — т) W (т) с/т.
V
272
ГЛ. в. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА состоянии
Условия г1(7')=0, ж;(7’) = 0 требуют, чтобы
т
и (1) til = - .Г., (0) «Я — (J°t
о
т (3.13)
j (7’ — г)и (т)dr — — .с, (0) — 7’.г, (0) — — ер — Тtf.
о
Разыскиваем и (/) в индо
u(Z)=^l/„ (3.14)
(Читатель может проследить, что это соответствует формуле (3.5),
поскольку в данном случае е~‘иП = |1 }•) Подстановка (3.14) в
(3.13) дает систему двух уравнений для определения I., 12;
/1С + М' = -^ ^^+^С = -(?°-7пЛ
откуда
/ = 1LL.0 । I ________________!l I L/iJLtA □
4 ? s 7 2 j' * y2 ' 7 з * )• D
Отметим далее, что проблема управ шемостн может быть сфор-
мулирована и в более общем виде. Пусть внешние воидс.йе.Типп явля-
ются как управляющими и{!), так и возмущающими w(Z):
!>(/)-("('.), ”Ф))-
Тогда уравнения (3.1) запишутся в виде
.т = А.т + />„£< 4- Ь’и?г,
где 7?„, 7?и. — соответствующие блоки матрицы Z?. Пусть требуется из
произвольного начального состояния х1> заставить систему в момент
Т перейти в произвольное новое состояние я4. Нетрудно проверить,
что при невырожденности пары матриц Л, задача разрешима,
поскольку она сводится к необходимости решить относительно и.{1)
уравнение х(Т) = х1
г'-' = елг.го + | e-’iT-Dj £>kU (т) _|_ 2)и.и;(т)]с/т «=>
и
Т Т
-е=> j с~ЛхВ,л (т) dr = с~АГха — .т° — [ «’ (т) т/т, (3.15)
и <i
которое имеет ту ;ко структуру, что и (3.4). При этом (как ис.сгда
при построении программного управления) подрааумеваеген, что
возмущающие .воздействия точно известны, так что. правая часть
(3.15) является заданным вектором.
S 3. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
273
Подчеркнем все же, что задача выпора программного управления,
обеспечивающего изменение состояния по произвольному заданному
вакопу xJ(Z), вообще говоря, неразрешима даже при выполнении
условии полной управляемости. Очини дна лишь ситуации, когда
rank /А, = н, и легко найти решение u(Z) системы х* = .4.е,( + /Д,и. -г
т /А-ге при ладанных л'(0>
Программное управление' обладает ужо известным недостатком —
существ о п н о п зависимостью результата ein применения от точности
знания модели. Для изучения вопроса о иизможиостях построения
системы с обратной спязыо во измерениям выхода объекта прин-
ципиальную роль играет следующая проблема.
3.2. Проблема наблюдаемости.
Определение. Если разрешима задача вычисления x(Z) по
точным намерениям выхода y(Z), входа f(Z) п их производных, то
система (3.1) называется вполне наблюдаемой.
Теорема 3.2. Система (3.1) является, вполне наблюдаемой, если,
и только если пара /Г, С1 певырожденни, т. е.
rank Л„ « п, Ль А {С7 Л7? .,. (3.16)
Д <1 к а и в г с л ьс т в о достаточности (3.1С) сводится к составлению по
(3.1) сис.шмы уравнения
у (г, = С* (0, 1’г/ (Г) — СЯх (I) -г с Ее (г), . - - I 1)11-1 ц W =-
. C.-f— lx(/) |-V г.1 W1-'-211> (Z) (3.17)
и попет а тяпни се разрешимости тннепгельпо х(1).
11<чл*|хидамис1 ь /иiK/i.i>,inacгеи гак же, как и 1.3.1. И
Замела н и с 1. Если возможна диагонализация (3.1), то условно
полной наблюдаемости эквивалентно условию полноты выхода p(Z),
и необходимость (3.16) очевидна из структурного представления.
Замечание 2. Если ранг С больше 1, то условие невырожден-
ности может быть упрошено. В частности, если ранг С равен н, то
х(/.) = С-‘р(?) (3.18)
и определенно состояния не требует вычисления производных выхо-
да. Если же ранг равен г, Кг<н, то z(Z) находятся пз системы
типа (3.17), содержащей тол -ко п — г производных выхода.
3 а м 1‘Чйпио 3. Условие полной наблюдаемости является одно-
временно требованием к еиомедпам системы (3.1), при которых но
заданным начальным значениям выхода //(f) и гно производных
вплоть до (м—1)-й можно ycraiioiiinь ini’i.i.'ibiioe состояние (шито-
му иногда употребляется термин <1|юаегашно1ипаемость сяспчы»,
аквппалвитпый термину «полная наблюдаемость»). Это свойство
сущестиении, если сама система (3.1) Строится но исходиому
онисэпию в виде уравнения «вход-выход» типа (1.3).
13 л, Л, ПерволваисгпЛ
ГЛ. 6. SIT-ТОЛ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
Читатель может проверить самостоятельно, что конструкция,
описанная в Т.1.1, всегда удовлетворяет условии» полной наблюдае-
мости (3,16),
§ 4. Размещение собственных чисел и стабилизация
4.1. Проблема размещения. Рассмотрим Первоначально чисто ал-
гебраическую задачу, называемую проблемой. размещения собствен-
ных чисел: заданы (и X и)-матрица /1 и (w X/н)-матрица В; требу-
ется найти (n?. X п)-матрицу Л' такую, что (пХ «)-матрица
Л~Л-ВК (41)
имела бы произвольно заданный набор собственных чисел ?ч, ?-, ...
Теорема 4.1. и достаточным условием разрешимо-
сти проблемы размещения собственных чисел является невырожден-
ность пары матриц Л, В, т. с. выполнение условия
rank (7? ЛВ. .Л“-’В} = Я. (42)
Доказательство. Необходимость следует из Т.2.3. Псиолтлугм млт-
рицу 4 фигурирующую в формулировки Т.2.3. Тогда
гяо нулевые блоки обязательно воаипкпют при нарушении условия (I 2). Ис-
пользуя приви.ю iicpcMiBoKciiini блочных матриц, получаем
- s~lM> - .v-’дя.т Г* ’ ,,,21 - Р‘1 [Я £„| -
I” "22! I О J
_ А1 Й12|_РЛ ^1^1=Ри-^Л ei2-gAl
0 °и I о о I 0 a2S Г
г.Тй Я'А [А' Д' ] Л Л'5. Поскольку собственные числа матрицы Д’ не меняются
при пеособом преобразоваиии, а матрица 5“’Л$ оказалась блочпо-треугольпой,
то собственные числа Л совпадут с собственными числами матриц
>1 Ни последние иге выбор Я ие влияет, а следовательно, они не .могут иметь
произпольпо заданные значения.
Доказательство достаточности условия (4.2) более сложно, и мы полностью
проведем ого только дли случая m = 1, т. с. случаи, когда Ь* является столо-
ном (п X 1), я Я' — строкой (I X Оно опирается на вспомогательное утверж-
дение.
Лемма 4.1 (о преобразовании к форме Фробениуса — Каллана}.
Если выполнено условие невырожденности, когорие при m “ 1 сво-
дится к требованию
del IB Л В... Л”~'В} V-O, (43)
то (n X п) -матрица S со столбцами S,, 5It ..., 5„, строящимися
J 4. ГАЗМЦЩКННЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СТАБИЛИЗАЦИЯ
275
рекуррентно по формулам
S., = Н,
S.,-, - AS’., + = Л /1 + а„_ Ji,
...................................
Л\., - Л л; -I- ал_,// - Л ’•- *''// + а-, Л*—*// -I-... I щ. Ji,
S, Л 53 + a, Li — A "~4i + а^.<А "~’/i -I-... + a Ji,
где а„_„ ..., cti—коэффициенты характеристического многочлена
матрицы А,
а(р) ™ ря -I- ftn-ip'1-* + ... + atp + <х0,
является неособой и такой, что
Л л S-1 Л5 = {— aoi7l — ajn + ix ... — o^-Jn Ч- (4.5)
j5 «= S~‘B = i,„ (4.6)
где через ift) /с=1, ..., n, обозначены единичные векюры (столбцы
единичной матрицы).
Доказательство леммы. Матрица 5 получается из матрицы управ-
ляемости Ли путем перостононкп столбцов
{,Г—'/? /1—"Л ... АЛЛ]
(тяпан операции может изменить только зилк определится»), и набавления к
каждому из столбцов предни-еч нукпцих, умноженных па числа «л (такие one
рации не меняют определители) Поэтому. если del .1,, >/" О, то и rlel.S'ч*0, т. '.
матрица 8 является псосибой. Пи определении» обратной матрицы ноиучнем
Д-W = $-'$« = 1„.
Вычислим иоследоватслыго столбцы матрицы S’MS с помощью рекурреитиых
формул;
i'-'ASu = S-’fSn-i —otn-tjP) S~'Sn-i — Кг— = |л-| —an_|(n.
5,“3,-Kl'\ = S’-1 (Ss-i — cift-iZ?) = k-j —
Последнее верно вплоть до /с — 2. Для tt >= I попользуем развернутую форму
иредстанлсиил 5,; имеем:
S-blS, = 5-1.4 (Лп"‘£ 4- a«-t^»-=!7? + ... + а(/?) =
= 5-'(.4" 4- a„-HK-s -I- ... 4- Я|.4)В = -S-'а.Б -aoiPt
иоско.пжу во теореме Гамильтона —Кхти
А" I- а,—1-Г—1 -|- ... + «;.4 = —а,/.
Тем самым лемма доказана.
Вернемся к дошшагс.н.стиу теоремы.
Используя матрицу -S’, построенную в лемме, получяем
5->Л5 = ,$-Ы5 — S-'WK.S « Л — ЛК.
Папомапм, что в рпссматрипасмом случае Л' — строхо. п следовательно, и /Г—
строка, элементы коюрон обозначим Е|, ..., й,.. В силу свойств А, Л и пренил
18*
27$
ГЛ. G. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИИ
умножения матриц получаем
Д AS = | 4“ б» • • •» СХл—Зп 4” ^п— l} ^'n{^l‘‘2 . • ’ Jin} —
— {—(«o4'Xt)<»; (*i + foHn + 6; — (a„_i -f-A„) + ‘n-il
=> {-«A; — aj„4- <t; ...; —a„_t -|- <„ ?.
Таким tifipAeoM. матрица 5_,ЛЛ имеет тог же. пид, что и 5"~М5, ял том iick.'ikimi-
нпем, что K<>.»|>i(iiii(i>oit i bi характеристическою многочлена а*, к =* 0, ..., п — 1,
заменились па новые а.л — «л + ^лк. к = 0, 1, .... п — 1, которые могут при-
нять произвольные ладанные значения при соответствующем выборе элементов
к* строки А. Последние же, в свою очередь, однозначно определяют искомую
строку Л’.
Приведенное доказательство достаточности условия (4.2) кон-
структивно, т. е. позволяет указать алгоритм решения проблемы раз-
мещения собствелпых чисел при т= 1.
Алгоритм 1, Пусть заданы (пХ п)-матрица И и (?г X 1)-столскщ
В. Пусть известны коэффициенты <xt, к~0, 1.............и — 1, характе-
ристического многочлена .4 и требуемые собственные числа д7 (v =
= 1, 2, ..., п) матрицы А = А — ВК. Тогда для нахождения К сле-
дует выполнить следующие операции.
1. Вычислить требуемые коэффициенты характеристического мно-
гочлена Л, расположив по степеням X произведение
II (X - Xv) - ?Л + a,, tX”-1 } .. -I- а„.
V 1
2. Вычислить величины
7с».ч = аА — а*. к -= 0, 1, .,n — f,
и составить из них строку R = {Жн ..Тс..}.
3. Построить но формулам (4.4) матрицу S.
4. Вычислить К, решив уравнение
А'5 j?.
Пример 4.1. Пусть, как и в
f - BiL
-4=
Здесь п = 2 и требуется найти
K={lc, IcA такое, что матрица
Л = Л — В К
имеет собстпеипые числа л, иа—I, Характеристический мно-
гочлен матрицы .4 ранен
de I !>• г L ?, (л + в-к) + => ГЛ = А,
1-1/С л LC L
а° —
§ 4. РАЗМЕЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ П СТАБИЛИЗАЦИЯ
277
П
1~ •
pf/Al (<•]
I. О j l.J/Cj
кг = 3 - /?/L
Тогда, действуя по алгоритму, получаем:
1. (А — At) (А— /.•) = А1 + ЗА + 2 => czi = 3, а4
2. 7rt = а„ — ал = 2 — As — а, — а, = 3
3. 5- (.9,
-л»+«,»-{;"«)
4. KS~R<^ {A-. W(S> 5J - {JEt JFa) <=>
_L / - 9 L
C ' " l.C
kt = 3 — R-B ki = 2C —j-, □
Осталось теперь неясным, как решать проблему, когда т>А.
Естественно, что процедура здесь усложняется и в общем случае
имеет достаточно громоздкий характер (см. различные варианты п
16.9]).
Опишем лишь простейшую идею, которая, впрочем, пригодна в
болi.iiusнстве. практически воэпи кающих ситуаций. Будем разыски-
вать желаемую (га X и)-матрицу А' в виде
где г/- (m X 1)-столбец, а Л* —(1 X л)-строка. Тогда
А = Л - В К = Л - ПК,
где JJ = Bq — (n X 1)-столбец. Зададимся каким-либо q^O, для ко-
торого вы полнено условие
dettp ЛЯ...Лг-‘27}*0.
(4.8)
Тогда, используя алгоритм 1 для матриц А, В найдем строку 7?, обес-
печивающую любое заданное расположение собствсппых чисел, по-
сле чего желаемая матрица К вычисляется по формуле (4.7). Един-
ственное осложнение в этой процедуре заключается в том, как подо-
брать q, обеспечивающее условие (4.8) невырожденности пары /1, В.
Можно, однако, доказать |6.9, § 7.1], что, пн крайней мере в случае,
когда матрица Л имеет простые сонстиенные числа, такое q суще-
ствует н, более того, при почти любом наугад взятом q условие
(4.8) окажется аы полненным, сели, конечно, выполнено исходное
предположение (4.2).
Пример 4.2. Пусть
11 О г
А = О 2 4
(О О 4
1 2
278
ГЛ. 6. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
Здесь п = 3, т = 2, и
I 1 8
rank Л,, •« rank П 2 2 8
(о 10 4
1 32 1
4 32 -3,
Н 1« j
поскольку
det 1
1 /= 0.
Примем д =
i 1
j j; тогда
В = Bq =
и нетрудно проверить, что
(3 9 33 1
det {В АВ Л2/?} = det \3 10 36 [=/=0. п
И 4 16 J
4.2. Стабилизация. После столь длительных алгебраических
упражнении нора показать их полезность для решения задач управ-
ления
Теорема 4.2. Пусть объект описывается основной моделью
х — Ах. + Ви, х((J) ™ х'\
причем пара Л, В нсвырождеппа. Пусть в любой момент времени
t Ss> 0 доступен для измерения вектор состояния x(t), Тогда мозге г
быть построена обратная связь
ч = — Кх (4.9)
такая, что замкнутая система устойчива.
Доказательство элементарно: замкнутая система описывается урав-
нением
а: — .4jr, .4 Л А — ВК,
я матрица коэффициентов усиления В может быть выбрана так, чтобы все соб-
ственные числа А оказались в веной полуплоскости.
Следствие. Если система вырождена, но матрица неуправляемой
части, выделяемая в силу Т.2.3, является устойчивой, то стабилизи-
рующая систему в целом обратная связь (4.9) также может быть
построена.
Пример 4.3. Рассмотрим систему, описываемую уравнениями
зп — .г, Т Gz, Ч-щ + Зн;.
“ 2.гг 4- 4z3 + о! -f- 2нг,
Jt'j *™ 4 Г» Т Иг,
ii— — 2.Ti -I- а--,,
Xi — — z6.
§ 4. РАЗМЕЩЕН IE СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СТАБИЛИЗАЦИЯ
279
Подсистема, характеризуемая координатами xt и .т}, неуправляема,
однако она устойчива. Остальная часть системы задастся матрицами
1
О
О
которые, как Гнало показано в II.4.2, образуют невырожденную пару.
Подчеркнем, что если принять и, = 0, то не удастся стабилизи-
ровать координаты г,, хг, а если принять п.2==0, то нестабильным
окажется изменение х3. Совместным же действием двух комжшент
управменил, как было доказано в 11.4.2, систему можно стабилизиро-
вать. Рекомендованный в 11.4.2 способ зквивалептеп тому, чтобы
ввести скалярное управление а такое, что щ “ ддг, щ = г;гн, или
(при qt = 1, </i = l) положить обе компоненты управления одина-
ковыми, В результате управляемая часть системы приобретает вид
^[ = + 6з:3 + Зга,
= 2гм "I- 4.тэ 'I* За,
#з = 4.г3 + гг.
После этого можно назначить любое желаемое расположение соб-
ственных чисел замкнутой системы в левой полуплоскости, напри-
мер, ?.<•== Х2 ~ л, =— 1 п применить алгоритм 1. Предлагаем проде-
лать ато в качество упражнения. Вместе с им из структуры рас-
сматриваемой системы >к на возможность и более экономного спосо
ба. Действительно, поведение координаты .г3 зависит только от
управлении и». Прямом нг“-.гга3. Тогда система, замкнутая такой
обратной связью, приобретает вид
ад = х, — 4:сэ +
х3 = 2х2 — 6.г3«I,
= *SEj.
В вей выделилась устойчивая неуправляемая часть, задаваемая ко-
ординатой х,. Остается стабилизировать ллшь управляемую часть
с помощью выбора и,. Это возможно, поскольку характеризующая
ее пара матриц
/1 ft] ,, f i ]
я*‘-(о Л| [ 1 j
певырожде.няа:
del {М,, Hjib‘|} det (j . j
Применим алгоритм I к этой задаче, залавтись /ч = —1. Про-
пуская промежуточные выкладки, запишем результат:
А = {А„ АД = 1-4; 9),
280
ГЛ. 6. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
т. с. и.| = 4х, — 9;Cj. Поскольку к.| и», то мы заведомо получили ре-
шение, отличное от того, которое находится но осиянной рекомен-
дации.
Таким образом, в случае двух управлений можно добиться одно-
го и того же размещения собственных чисел, используя pa.im.it' за-
коны управления. CJ
4.3. Оценка состоянии. Перейдем теперь к болас сложной поста-
новке проблемы стабилизации, от казавшись от пре дположения о воз-
можности иолноги измерения всех переменных состояния. Заменим
его гипотезой о возможности точного измерения выхода у (f) = C.c(Z)
в любой момент Z > 0. Уже было показано, что при невырожденно-
сти пары Лт, С1 по измерениям выхода возможно восстановить
«внутреннее» состояние, гак что, казалось бы, новая постановка сво-
дится к уже изученной. Однако налом ним, что излагавшийся в § 3
способ требовал использования «чистых» производных выхода, т. е.
операций, не являющихся строго реализуемыми. Более того, реаль-
ная точность вычисления x.(i) явпо определялась точностью знания
матриц Л и С (процедура имела типично «программный» характер!).
Укажем тш ерь способ определения х(1), основанный па идее обрат-
ной связи и лишенный указанных недостатков.
Теорема 4.3 (о системе асимптотической оценки). Пусть вектор
состояния x{t) объекта онре.делжтся как решение уравнения
х — .4.?; + Ви{1), а (0) з;°. (4.10)
Тогда. может быть ноет ровно устройство. называемое системой асимп-
тотической оценки, использующее в качестве входных eusdeiir.reuii
измеряемый выход объекта
у — Сх(1) (4.11)
и его вход v(l) и вырабатывающее оценку х{1) как решение урав-
нения
х =• Xie + Ви (I) 4- L (у — Сх (Z)),- х (0) =з.°. ’ (4.12)
При, невырожденности пары Л', С* матрица L может быть выбрана
так, что ошибки оценивания
e(t) = x(t)~x{l) (4.13)
стремится к нулю при £-»-<» при любой ограниченной начальной
ошибке е(0).
Доказательство. Вычитан (4.12) из (4.10), получим уравнение, опре-
деляющее itiiMt'iteinic ошибки ацепннпипя
г. — (.4 - Г.С) е. (4.14)
Дли того чтобы ошибка стром иляед. к нулю, достаточно выбрать L тан, чтобы
матрица (Л — LC) имела cxi>|»nituoo соГм'тиеииые числа. По они совпадают с
с. ч. траисиоппровашюй матрицы А7 — C'L\ Очевидно, что задача выбора Ь
§ А. РАЗМЕЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ П СТАБИЛИЗАЦИЯ
251
{пли LT) отличается от уже решенной задачи размещения с. ч. матрицы
А—ПК лишь оБозиаченплми. заменой .4—ь.4г, В-»-Сг, К — i,T, и разрешима г
noMdtiii.Ki ужо а и пса и пых алгоритмом при иепырождспностп пары .4Т, С. Если
пара А1, С1 лыро>1>дсвпа, ио пепяб.иодасмая подсистгмн устончннн, то результат
теоремы 4.3 сохраняет силу. При атом иногда говорит, что система янллетсл
обнаруживаемой (догекгнрусмой).
Поясним неформально полученный результат.
При построении системы оценки нснользуютси те же матрицы
А, В, С, чю и в описании объекта, и вводится то же самое внешнее
воздействие о(t}. Поэтому, если начальные условия и х° сонпадд-
тот, то совпадают и дальнейшие траектории, x(t) = x(t), t>0, г. е.
система оценки работает как модель объекта.
Главное же достоинство системы оценки в том, что опа щишоля-
ст оценивать изменение состояния объекта п тогда, когда его иа-
чальное состояние
сдеднее слагаемое, вводящее в
связи, пропорциональный раз-
ности между истинным, непо-
средственно измеряемым выхо-
дом t/(t) и его прогнозом 7(f) =
-( г'П).
Подчеркнем также, что со-
отношение (4.12) дейстишельпо
определяет crpyi туру строго ре-
нсизвестно. Именно для этой пели служит по-
систему оценки сигнал обратной
алпзуемого (с немощью стан-
дартных интеграторов и усили-
телей) устройства (см. струк-
турную схему иа рис. G.5).
4.4. Стабилизирующая обратная
использованием системы асимптотической
Рис. 0.5
связь ио наблюдениям выхода.
сценки можно
пол-
ностью решить задачу построения строго реализуемой стабилизирую-
щей обратной связи по кайлю цшиям выхода
Теорема 4.4. Пусть объект, описываемый уравнениями
у = С.т, х = Л.г + Ви, х (0) = .г".
(4.15)
замкнут обратной сяя.гыо вида
и = - К.с,
(4.1G)
где х находится с помогуыо системы асимптотический оценки
J = /1.т I- Ви + В {у — Сх), .г (0) =
(4.17)
по измерениям выхода у. Тогда при- невырожденности. пар матриц
Л. В и Л1. С', возможен. выбор Koarfitfitiyucnroa усиления К и L та-
ких, чти замкнутая система является устойчивой.
282
ГЛ. С. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИИ
Доказательство. Исключи» версмсппые uni/, влипшем уравнения
замкнутой системы в виде
х = Лх — ПКх,
х Лх - НКх -|-/.С (х — х).
(4.18)
(4.19)
Диплмнкл системы характеризуете» двумя векторными переменными х и х,
имеющими одинаковую размерищ-.ть. П<рейдсм от этих переменных к перемен-
ным
е = —х, е = х — х.
характеризующим ошибку упран.тенля (отклонение х(Г) от желаемого состоя-
ния х(г) = 0) и ошибку оценивания. Такое преобразование координат являет-
ся пеособыи п нс меняет характеристическое уравнение системы. Имеем теперь
е — Ле — ПК (х — х) -|- НКх е . (.4 — ВК} в — ПКц
_ (4.20)
е = Ле — L('f. е = (Л —Т.С] S,
плп. в сокращенной записи.
Матрица
хлрлктериаукнцая свойства замкнутой системы, имеет блочпо rpcyi<i.'ti,nyio
структуру. Г.е собственные числа совпадают с собственными числами блоков,
стоящих на диагонали, т. с. матриц Л—ПК и Л —ПС. Имеете с тем было до-
казано, что при выполпсвшг условий невырожденности К и Z- могут быть вы-
браны так. чтобы произвольно разместить собственные числа ятчх матриц. 'Гем
самым доказана возможность (и указан алгоритм!) слабплпзацпи замкнутой
системы в делом.
Следствие. Если условие невырожденности ле выполнено, но
«висячие» части модели объекта, выделяемые в силу структурной
теоремы, являются устойчивыми, то возможность стабилизации с по-
мощью обратной связи по выходу сохраняется.
Доказательство следствия сводится к предварительному преобразо-
ванию координат, обеспечивающему явное выделение структуры, и построению
обратной связи только по оценкам координат невырожденной части.
Структура замкнутой системы, описанной в Т.4.4, наглядно пред-
ставлена па рис. 6.6. Система асимптотической оценки входит как
часть и конструкцию обратной связи от измерений выхода ?/(/)
к управлению к (/), причем обратная связь является динамической,
задаваемой по алгебраическим соотношением. л системой дифферен-
циальных уравнений, имеющей тот же порядок, что и порядок урап-
меннй, описывающих объект (если пет вырождения).
Построенная обратная связь может использоваться и п тех слу-
чаях, когда требуется стабилизировать по систему в целом, а лишь
§ 4. РАЗМЕЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СТАБИЛИЗАЦИЯ
2КЗ
какую-либо ее часть, подсистему. Построение такой «нпутрсппсй»
обратной связи отличается лишь том, что управляющее воздействие
«(/) раздел нетей на две части (ср. § 3 гл, 3):
и(0“ ЫДО+ ».(0. (/,'22)
где му(/) служит для стабилизации, а «„(У)—для воздействия через
уже ci абияизнрованпую подсистему на остальные части системы.
Не вводя лишних индексов, сохраним для подсистемы описании со
стандартными обозначениями
z “ Я.г + Ви, у = Сх
и будем считать нары /1, В
и Л\ Ст невырожденными.
Тогда обратная связт* строит-
ся согласно уравнениям
и0 = — Кх, х = Ах -I- Ви +
+ L (у - Сх) (4.23)
и является стабилизирующей
при соответствующая выбо-
ре А’ и А.
Нез обратной связи пре-
образование «управление -
выход» определялось и. ф.
вида
7/(Р) = ф/-Я] 'В.
Ряс. 6-0
Выясним, какой окажется п. ф. после введения обратной связи. Для
этого удобно вновь преобразован, уравнения, введя переменную
е=х — х. Тогда имеем
у = Сх, х = (Я — В К) х ВКе. + But,
- (4 241
в=з(Л — LC')4. v '
Отсюда сразу видно, что
(р) = с [р! - (.4 - ВК^Б. (4.25)
Она не зависит от свойств системы оценки (эта система оказывается
неуправляемой но отношению к п«!) н имеет точно такой же вид,
как в в случав, когда возможна организации обратной связи но пв-
иосрсдс.гвеппым и «мереппям состояния x(i), т. с. при иу — Кх. <)то
замечательное свойство описанной конструкции oojjarnoii связи но
выходу и позволяет независимо ис.полизпиать выбор коэф|рицпентов
К для формирования и. ф. ог впешпфо хпрап.тепия i выходу, а вы-
бор кпэффнцвеитов А—для уменьшения влияния ошибок оцени-
вания.
284
ГЛ. 6. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
Если ?/(/), u(t) скалярны, то дли формировании стабилизирую-
щей обратной связи можно попользовать и простую методику, изло-
женную и гл. 3, § 1, 3. Предоставляем читателю самое гоя сельпо рас-
смотреть связь между двумя подходами. Обратите внимание на то,
что обратная связь, не меняющая числители и. ф., также приводит
it ныриждеппю — возникает сокращаемый устойчивый многочлен
^(р)~ Если е.ю степень принята равной к, то построе-
ние в § 3 гл. 3 акпипалеитно построению обратной свяли но форму-
лам (4.23) при стабилизирующем выборе В, причем б(р) совпадает
с характеристическим многочленом матрицы А — ВС.
§ 5. Оптимизация стабилизирующей обратной связи
5.1. Качество стабилизации и размещение с. я. Вернемся к основ-
ной постановке задачи стабилизации; дан обт>ект, описываемый мат-
ричным уравненном
х = Лж-1-В«, х(0) = ж'>; (5.1)
требуется выбрать обратную связь и = -Кх так, чтобы обеспечить
устойчивость замкнутой системы
х *•= (Л — ВК)х, (5.2)
Решение згой задачи было дано и предшествующем параграфе, по-
скольку был укапан алгоритм, позволяющий (при лсвырождслпостп
нары .-1, В) выбрать колффпцнеиты обратной связи К так, чтобы
собственные числа матрицы
Л*=Л — В К (5.3)
размещались в левой полуплоскости. Однако па самом деле было
установлено и большее: собственные числа можно размещать где
угодно, а следовательно, неограниченно увеличивать и степень устой-
чивости.
Тем самым выбор обратной связи может обеспечивать по только
устойчивость, но и качество процесса стабилизации—процесса пе-
рехода из начального состояния х1' в окрестность устойчивого поло-
жения равновесия (х = 0) замкнутой системы (5.2). В соответствии
с формулами (2.8), (2.11) имеем*)
х (i) « ел,х° = У, ел v< Cv-T0, (5 4)
V 1
где X, — собственные числа матрицы Л, a — матрицы, состоящие
из постоянных элементов, если все ?.v различны.
*) Ипыс внешние воздействия, кроме унрввлеппя, использованного для
стабплпзации, вока по учитываются.
§ 5. ОПТИМИЗАЦИЯ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕЙ обратной связи
2.43
Теорема 5.1, 77.? вояможпости произвольного выбора X» следует,
что для любого Т>0 и н >0 можно обеспечить выполнение условия
1.т(/)1^е, t^T. (5.5)
Д о кйнл т с- л I. с т и о. Выберем X» “ —ха», i де а» > 6 > О, их — большая
положи н'льилл иелпчипл. Ио способу BWpBviii-ri, осиоляинаму пл разно
женин плененг<ш матрицы [pl—Я]-1 ил npocieii»rue дроби, мео ялежчпы Cv
(ШЛЯЮТСЯ Лробио-рпциоияльпымп функциями X И при I'lMH.IIIUN к яплшотол НС
личинами, рястущпмп по быстрее, чем к'1-1. Ппптому спраисдлипа оценка
|х(<) | сх"-'е
где е > 0 — констан гя, по зависящая от х. Отсюда сразу следует, что путем
\ исличсиия у. можно добиться желаемого девульш п>. нискольку ai;caoneimua;n.-
пыв сомножитель с ростом у. убывает быстрее, чем растет стсиеииои х”-1.
Таким образом, смещая собственные числа достаточно далеко .
«вглубь» левой полуплоскости, можно обеспечить сколь угодно бы-
строе достижение равновесии с любой требуемой точностью. Этет
формальный оптимистический результат скрывает, однако, некото-
рые существенные детали, которые стоит пояснить па простейшем
примере.
Пример 5.1. Пусть объект списывается двумя скалярными урав-
нениями
л', Т2, J'., =и, ZCj (0) ““ т?, .т2 (())= .т2.
Во.ч управления он неустойчив. Введем обратную с.вяаь
U « —/i|X, — /i-Х».
Выберем коэффициенты /г,, /с2 так, чтобы обеспечить устойчивость
замкнутой системы:
£ «> xf., i-t = — ktX. — к2хг (5.6)
п, более того, обеспечить быстрое приближение к состоянию т) = 0,
а:г = 0. Характеристическое уравнение замкнутой системы таково:
гл т 7сД + к, =0.
Потребуем, чтобы его корпи были равны ?ч=—х, Х2 = —2х, что
при больших х > 0 должно давать желаемый результат. При атом
надо выбрать fc,t = 2х2, ks “ Зх, иначе говоря, коэффициенты обрат-
ной связи должны быть также большими.
Оценим процесс приближения к желаемому состоянию, найдя
ай(7), ^j(Z) и и(1). Применяя преобразование Лапласа к системе
(5.6), получим';
( 'I (Л “ (jj _|_ Kj Jp _|_ 2х) ‘4 (р -г И) (7 I-
„ 2
{^2 (0} = - (jc.-|-x)(p-r2xj Xl + (д + хн^-l 2х) Х*'
ГЛ. С. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
286
откуда
гг, (I) . [2е-«‘ — е-*к,к?,+ 4- 1е~л‘ — e~iKt] x°tf
зг2 (0 = 2х [ — е + е ] zt — | с — 2.с ] х>.
При больших к и х/ главные слагаемые имеют вид
.7,(0 » 2<Гк,л’, ,т. (0 « - 2хс-и,.т|1>.
Пусть я£ =» 1. Потребуем, чтобы при I S* Т 0,01
|я,(/)| С 0,1, 1хг(0 1^0,1
или
2e-D-n‘" =С 0.1, 2xe-l, cl:t^0, L
Этого можно добиться, приняв и = 10’, поскольку 2 X 10s X с-л' =
= 0,09. Однако нетрудно оценить, что, прежде чем войти в .малый
допуск, координата xt(t) отклоняется от своего начального значения
в 250 раз (в момент, равпыц 0,07Т), а отклонения от нуля процес-
са и(1) достигают величины порядка х1 = 10е. О
Из приведенного примера можно сделать два вывода:
Вывод 1.Тенденция к большом// смешению а левую полуплос-
кость собственных чисел замкнутой системы. может приводить к
большим «забросам» значений некоторых переменных, прежде
чем они входят в желаемый дот/ск. Качество таково процесса
стабилизации пелшн считать приемлемым.
Вывод 2. Обеспечение произвольном/ расположения собствен-
ных чисел может потребовать очень большого уровин управляю-
щих воздействий.
13 силу первого вывода нельзя считать время практического за-
тухания приемлемой .мерой качества нроцосса стабилизации — важ-
но, чтобы п течение всего процесса отклонения от желаемого состоя-
ния были невелики. В силу второго выхода важно учесть ограниче-
ния на допустимый уровень управляю них воздействий.
5.2. Интегральным показатель качества и его минимизация. Обе
указанный тенденции можно формализовать, введя интегральный
(энергетический) показатель качества процесса стабилизации d виде
J = J x\(t)dl -|- rA J ul(t) tit, (5.7)
i 1 3 /«='1 о
где ^,'"0, гл>0 — заданные ko;ii}iiJihhhi4iti.i. С.лагасмыо вида .г; ill
и
характеризуйте «aiieprinoi» i-ii кояншн н гы кскгора сое. гоя ни н (норму
ее отклонения от нуля), слагаемые н*Л характеризую г vjuep-
v
S 5. ОПТИМИЗАЦИИ СТАЫКШЗИПЮЩЕП ОБГЛТПОП сняли
287
гию» А--й компоненты вектора уиран.теипя. Коэффициенты с/, задают
ошосительлую важность отклонений ио каждой координат» {неко-
торые из них .могут быть несущественны и тогда </< = ()), коэффи
цис.нты г* определяют важпог.т!. «эш-ргстячгскнх затрат» по рАилич
пым х прапляющим воздействиям.
Останин пока в стороне вопрос о том как н конкретных задачах
назначать коэффициенты сои.тмсреиня, и попытаемся установить,
при какой стабилизирующей обратной связи достигается минималь-
ное значение энергетическою показателя. Перепишем его в матрич-
ной форме;
J = | xrQxdl + | uTIiudi, (5.8)
fl о
где @ = diag{gt, i = 1. ..га}, 7? =“ diag {гй, 7г = 1,..m). Поскольку
дальнейшее лишь несущественно усложняется, если считать Q про-
извольней неотрицательно определенной матрицей, а 7? произволь-
ной позожительпс определенной, то анализ будет проводиться имен-
но в таких предположениях. Сформулированную проблему принято
именовать задачей'! оптимальной стабилизации, или линейно-квадра-
тичной (.'Hi) проблемой- оптимальном) управления.
Замечательной особенностью задачи оптимальной стабилизации
является ю, что в ней удается указать вп i поратини связи, дающей
ваилучшпн результат при любых нач; iuii.ix услуинях.
Теорема 5.2. Пусть существует положительно определенная мат-
рица Р*, являющаяся решением матричною квцдрагноги уровне
ния*)
АР 4- РА - PBR-ЧРР I- Q = О, (5.9}
и матрица К*, связанная с Р* соотношением
А* = 7^-'7?Т*. (5.10)
Тогда прч любых начальных условиях хп оптимальная стабилизация
обеспечивается у пр авл ен ием
и — - К*х, (5.11)
причем минимальное значение показателя качества равно
JJlt = (yyP*x°. (5.12)
Д о н а и а т С л I. с т п о. Гассмотрвм, как наменяете,i квадратичная форма
|'(<) -Л'(<)Г*.г(О, (5ЛЗ)
*) Il riTC'u-CiiH-iiiKiii литературе i рипито называть нто cwthijiiicjibc урап
нелвем Лурье, поскольку оно пперпые был'., шаучсна в исс.тсдоию ни
Л И Лурье (1951 г.) по теории устой ч пнист и (см. г.ч 8), в зарубежной это же
ciioTiiouieiino обычна именуется алгебрэпческсм уравнением Риккяти (ирцчвпы
1Ю31ШКП0ВСШ1Л такого названия см. в § 8).
288
ГЛ. G. метод ПРОСТРАПСТПЛ состояния
если x(t') изменяется в силу ураппспип (5.1), a u(t) — нроизпольпо. Имеем
/IV
— as s'Р*х -f- х' Р*Х (Лх + /iu)rP* г -}- х Р* (Лх -(- Пи}.
Интегрируя пто слотпошеиио, получаем
Г
( dr = V {/) — V (0) = rT (t)P*x (0 - (x0)’ P‘x° =
J di
V
f
~ f [хтЦтР» i- P*a) I. \-2хтР*Би] dt.
n
При любой стабилизирующей обратной связи
я(;)->-0 прп
так что
f far (Л^Р* 4- Р*А) х -’г 'ix’P^Lin | dt = — (x°)TZ'*xft,
О
или, с учетом (5.9), (5.10),
J - х\)х + гт (A*)7Wx -I- Zcr {K*yn<:] dt ~ - (жв)т/”хп.
(»
Добавляя п кычптая слагаемый мтЛ*и получаем
- [ kTO + ЛГи1 (И -Ь [ I игПи -1- лт (Л’*) 'ЛА*х 2хт (Л *)г« ]dJ - - (х'>УР*хп.
П / <1
Танпм образом, зависимость интсгралкино показателя (5.8) от цронанольпого
стабилизирующего управления и представима в виде
j = f (и. Ч- (и -|- Л'*х) dt 4- (xft)TP*/°, (5.14)
о .
откуда сразу следует, что мипима.тьпое знячоппс достигается при
к = — К”х, (5.15)
поскольку /? — положнтельпо определенная ма грина.
Доказатп.тьстпо почти завершено. Остались лишь убедиться в том, что об-
ратппл связь вида (5.11) сима нпллетеп стабилизирующий. Доказательство сир«-
1!Сдлввос.'ги этого утверждения, равно как и доказательство следующей теоре-
мы сущсстпоиаипя. мы о сложим до более полного зппкомглва с теорией ус-
тойчипости *).
•) Доказательство устойчшюстн (г.ч. 8) осноппип на том. что Р* > 0. До-
казательство же следующей Т.5.3, приведенное в Приложении 2. не только ус-
танавливает атт факт, щ> п даст Способ решенпн урнкнеипп (5.0), использую-
щий ихеюфакторизации. Там же приведено описание итеративной процедуры
решения (5.9).
§ 5. ОПТИМИЗАЦИЯ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕЙ ОПРЛТПОЙ связи
289
Теорема 5.3. /(ля Однргство/шйня единственного полом-игсльио
определенного решения, матричного квадратного уравнения (5.9) до-
статочно, чтобы пара >1, /> была невырожденной, 7? > 0 м, кроме
того, выполнено одно из дву.г условий: либо д) () положительно
определена, либо и) (7 • () u представима в виде Q ™ С'С, причем
так, что пены рождении наро матриц .4 , ('т.
Описанная теория сводит задачу оптимальной стабилизации к
чисто алгебраической задаче поиска решения матричного квядрат-
вою уравнения Лурье. Отметим, что если размерность вектора со-
стояния х равна п. то размер искомой матрицы Р* равен п X и.
В силу симметрии Р* число неизвестных элементов равно п(м + 4)/2,
для определения которых имеем систему такого же числа скалярных
квадратных уравнений. Ясно, что решение этой системы само по
себе является сложной вычислительной задачей (см. Приложении 2).
Лишь при п = 2 ее можно попытаться решать «в лоб».
Пример 5.2. Пусть для системы, описываемой скалярными
уравнепиями
.т, = .т2, т£ = и,
требуется найти стабилизирующую обратную связь
и = —!;лх, — А-..г:,
причем такую, что на траекториях замкнутой системы при любых
начал!.пых условиях достигается минимум шпогралыипо пока-
зателя
J = J ( т? + р.ч';) dt,
6
где р—положите н.ный параметр. Задачу можно записать в стан
даргпон матричной форме (3.1), (5.8), если обозначить
, 1° 11 п / ° I г, 11 01 о
Л = 10 4’ "={(}’ <J = lu <>) 77 ”<’•
Затем предстоит рстппть уравнение Лурье (5.9), которое в этом
случае имеет вид
где введены естоств1Ч11п.ге unztii.-i^miirx для шк'.ментоп искомой сим-
метричной матрицы Перемножив матрицы и левой части урав-
нения, ислучпм:
А. А. 11г>-г.лзгл!1г'.а|3
290
ГЛ. 6. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
или
1 5 , . ___L
р ^’12 * 1 ^11 р ^l>^22 Q
У'п-Т^'-Лг ^'12 “-7^»
Из равенства нулю всех элементов матрицы получаем:
Р« = rL- /2рр1г, Рп =у р1г/'2г, />12 = ± /р-
Искомое решение должно быть положительно определенным, при-
чем заведомо р,- > 0, что дает правило выбора знаков:
Р*г = P*i = 2l’ip-'i'-’, Pii - 21'Jp1-'3.
Оптимальные коэффициенты усиления находятся по формуле
(5.10):
/<* = и-: /Л| =. 4- {о, 1} р'у М=4* '.ръ /^} = |р_,'4> 2i;vvi}.
р [р14 <>
Замкнутой системе, описываемой соотношениями
-Г. - хг, .т; * - р-,/гх, - 2’"р-’'Ч,
соответствует характеристическое уравнение
7с + + р-М! “ О
с корнями 7.| 2 — p_,/‘2-vs(—-1 -Ь /), расположенными в левой по-
луплоскости. Более того, оно соответствует известному расположе-
нию Баттерворта*). С уменьшением параметра р корни удаляются
«вглубь» левой полуплоскости, причем с повышением степени
устойчивости одновременно растут коэффициенты усиления и. как
нетрудно подсчитать, энергия, затрачпвасмав па управление. С
5.3. Построение критерии. Задание степени устойчивости. Вид
оптимальной обратной связи зависит от выбора коэффициентов мат-
риц Q п /?, входящих в показатель качества (5.8) и определяющих
характер «соизмерения» энергии различных компонент векторов
состояния п управления. Проблема снедения различных требования,,
предъявляемых к системе, в единый показатель качества, имеющий
к тому же специальную форму (5.8), не допускает однозначного
решения.
Па практике обычно используют прием приведения к относи-
тельным величинам. Пусть известны величины xi, fi,, нрепышеинс
которых соотнстствующимп компонентами векторов состояния и
у правления нежелательно. Тогда рекомендуется составлять критерий
*) Общее исследование связи между многочленями Баттерворта п опти-
мальными характеристическими мпогсч.теяпмл дано и (3.3),
£ 1. ОПТИМИЗАЦИЯ СТЛЯИДПЗИРУЮЩЕП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
291
качества в виде
т. с. примимап.
Q = ‘bag I =Ц, К = dia<? 14г].
Такой подход, по крапиоп мере, гарантирует соизмеримость
всех компонент, хотя, конечно, нельзя утверждать, что оптимальная
стабилизация по указанному критерию действительно гарантирует
невыход за ограничения .f„ й(. Отметим также, что распределение
собственных чисел матрицы оптимальной замкнутой системы также
существенно зависит от выбора Q и А (см. гл. 9. § 4). Поэтому,
стремясь гарантировать, чтобы распределение было не слишком
плохим, зачастую вводят дополнительное требование при поиске
оптимальной стабилизирующей обратной связи: опа должна обеспе-
чит!. степень устойчивости замкнутой системы не ппже заданной
величины 6.
Добиться удовлетворения этот требования несложно. Дейстни-
•iT.il.ио. решим задачу иичималг.ппп Стабилизации, иенпльзовав и
расчечах вмести .матрицы Л матрицу Л.- — Л+6/. Тогда в резуль-
тате решения уравнении Лурье подучим матрицу н коэффициен-
ты усиления А'л /{ 'В'РЪ такие, что матрица
Л = /1 ,-ВК>
заведомо устойчива, т. с. все ее собственные числа лежат гевее
мнимой осп. Но тогда .матрица
Л = А — ВА\ = Л4 — АЛ\ — б/ -- Л — 5/
заведомо имеет все с. ч. левее прямой, сдвинутой относительно мнп-
ыон осп па 6. поскольку
dnl.pj—Л] = det р./ -Дв + 6/1 det [(?v •? 6)7 — ЛЛ].
Таким образом, мы доказа н! справедливость следующего пра-
вила .
Правило, //ля пост/иичч/л оптимальной с7//бмлн.я//и/«ш{сй обрат-
ной евл.ш, обеспечивающей хапанную степень устойчивости б
Замкнутой системы, оосгаточнп найти положительно определенное
решение /’« уравнения
(.! 51) 'Р + Р{ Л г 6/) - РВН-'В'Р Ч- <7 = 0 (5.18)
<1 принять
и --к.,?-, К.-В-'В^Р,. (5.19)
!!)•
292
ГЛ. С. МЕТОД ПРОСТРАIHJTНА СОСТОЯНИИ
§ 6. Управление при наличии случайных возмущений
6.1. Постановка задачи. До сих пор н рамках метода простран-
ства состоя»ип делался акцепт только на решение задачи ликвида-
ции пача.тынпи рассшласоиаипя, различия между начальным сп-
стиянпсм п желаемым. Впадение обратной сняли позволяет нреира-
71! гь а го желаемое состояние и устойчивое) положение равновесия.
Если нет никаких внешних возмущении, то стабилизированная си-
стема сколь угодие близко подойдет к цели. То же самое будет
иметь место, если возмущения со временем сами по себе затухают.
Однако, как уже указывалось ранее, типичной является Снтуацпя-
когда объект управления постоянно находится под действием внеш-
них возмущений.
Наиболее важно изучить влияние заранее непрогнозируемых
возмущений, которые можно рассматривать как реализации случай-
ного процесса w(Z). При этом и измепшше состояния x(i) ока-
жется случайным процессом, отклонение которого от желаемого со-
стояния £“ = 0 можно оценивать только вероятностными харак-
теристиками.
Исследование одпоенпзпых систем при наличии стационарных
случайных ноля ущелий было проведено п гл. 4 с помощью метода
леред.тгочных функций. Зодсл. же мы продемонстрируем воампж
поели подходи, основанного па неноередсгпенвом пенользоианвп
дифференциальных уравнений.
Примем первоначально следующие предположения.
а) Изменений состояния системы определяется уравнением
r = /1.r + 7?u + (нг(0-=Лх + б'1п(0, х((1) = л°, (6.1)
где .4 =.4 — Ь>К при использовании обратней связи
и — —Кх, (6.2)
а (н X 1)-матрица G состоит пз элементов, отражающих степень
влияния возмущения па скорость изменения каждой координаты
Состояния.
б) Внешнее воздействие w(i) является белым шумом с единич-
ной интенсивностью, т. с.
н (/)“»!!’«(/), М {«'„(/)) =0,
М {»•„(/)«•„(/4-т)) Л/?.,.>(т) = б(т), —оо<т<ео. (6.3)
в) Начальное состояние .г° — (У<. I • I— центрирован-
ный случайный вектор, некоррелированный с возмущением, причем
издана (н X н)-матрица Z>’С элементами
S в. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
293
Замечание. Решение уравнении (6.1) поикиается как линейное преоб-
разование процесса ir(f) н инчалышго состояния х* н процесс аДг);
з (О - Ю xfl | | 4WX (т) «• (t - х) <1х, (С.5)
О
1710
\ --?'и, Л,от{0 = /л'б\ fJ>0. (6.6)
Если w(£)— белый шум, то операция иптори роив инн ле может иипвмпться н
классическим смысле (-i.S]. Однако пег* дальнейшие стишшц-ния сплаапы то;п.
ко с корреляционным описанием х(<) и допускают строгое обяспонапие путем
перехода от допредельного процесса «-„(.') с интегрируемыми реализациями к
белому шуму и-в{«) но .схеме, описанной в гл. 4, § 3.
6.2. Вычисление матрицы ковариаций. Первая задача — заучить-
ся вычислять моментные характеристики процесса х(4). Очевидно,
что М(.г (t)} = 0 в силу центрирован пости u; (£), х“. Введем (» X п)-мат-
рпцу /?,(£) с элементами
rfiAOAM {х; (/) .tj (t)}, i, j «=. 1, n. ((5,7)
Диагональные элементы J„(/) равны дисперсиям каждой координа-
ты -Г({() вектора состояния, а в пс диагональные равны взаимным
корреляциям (ковариациям) различных координат. Матрицу />х(1}
обычно налипают матрицей ковариаций векторного случайного про-
цесса .т(().
Поскольку значение />,(()) J)" нреднплагасгсв заданным, то
Следует указать способ вычисления />,.(() для пропанолиного t > I).
Теорема 6.1 //г/г-?,. выполнены преопалоягения а) — в) Тогда
справедливо явное выражение
t
Dx (/) = еА ,Г)')еА4 4- G j ел г₽лТ' dr Gr, (G .8)
n
соепидшспцее с решением матричного дифференциального уравнения
Z)x - AD^ ~ DXAT 'I- GG\ Dx(0) = L)\ (6.9)
Если Л —- устойчивая матрица, то существует предел Dx = const,
Dx = 1 ini l)x (1) = g{ eA\Tex dx C\ (6.10)
u
матрица, ковариаций установившегося процесса, удовлетворякицая
матричному алгебраическому у ранне ни ю
Ж-1-7Мт (-6Т;’-(). (ЦП)
Д о к а л а г е л т> с т п о. По определению
Djp) М{х(/}х’(г)1
Подставляя и правую часть иредставлсиие (6.3) а учитывая сгюйства х0 п «•'(<),
294
гл с. метод пространства состояния
докааынпсм (68):
Z\(O = \(0M Р (0 *от (<) } I'
i t
Ч [ J (Ъ) (T=)м (•* (' - L) " (' - Si) </тЕ "
О «>
f J
-= % (о л; со + [ (\) (т2) л (tx -12) =
V
Г
- f-u (о Z;4r w + У (Ti) А,Тх (Ti) =
о
_ f —
г- еА^0ЛТ' С [ ЛГС^Г dTG\
о
То, что (6.8) даст решений (6.9), дпкя-швается прямой подстановкой. Сущест-
вопшше предела (6.9) следует из спектрального представлении матричной вкс-
гонеиты и отрицате-тыюсти вещнетвешпых частей с. ч. матрицы Л. Поскольку
Ьк «= const и удоилстаоряет дифференциал!.ному уравнению (6.9), то /Л удои-
летворяст н (6.11).
Теорема G.1 указывает удобную процедуру вычисления />,(() и
п особенности матрицы ковариаций /), установившейся реакции.
Матричное ураписпне (6.11). и силу симметрии IK. зкиикялеитцо
«(/гч-1)72 лииенпы.к а.тгебрапчсскпх уравнении от носи гол ьно тако-
го >ко коли’ич’.тва неизвестных ллемеитоп </<„ т, / “ I........ ri отоп
матрицы.
Пример 6.1. Пусть имеется устопчиная система
.т’| == .гг, х- — —х, — T‘2.tl I ir.?(t).
тюзмущаемая сдишпвым белым шумом Г» матричной записи
Уравнение (6.11) принимает вид
( о 1 Hf/It rflS frfii ''1Ц{0 -1 Р СП (9 0)
I- 1 - V2 J V'12 rf2.J + l-'12 ''J Ь - 1° ’J I» <>Г
или
rfr. = 0, rf.j-rf,,-Г2г/,г = о, 2(-гц:-Д/*.)-М =0,
откуда f/Hr cLj " 1/(2 T‘2).
Напомним, что в гл- 't Для вычисления дисперсий установив
шсйся реакции указывается ну-ri., связанный с построением и. ф. и
вычнелеимем интегралов. В частности, здесь можно былп бы найти
я’лИ-
S e. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
295
и вычислить dtl по формуле
ЛЭ
'>11 = 2~ J | (Й'>)рФ-\
что дш т тот же результат. О
6.3. Оптимизации обратной спали. Выбор любой линейной ста-
билизирующей обратной сняли вида (6.2) гарантирует ограничен-
ность дисперсий отклонений координат системы от желаемого пуле-
вого значения. Вонникает естественный ион рос: как выбрать обрат-
ную связь намлучшим образом?
Примем за показатель качества величину
г
J = 1 im 4т I М (I) Q.r (t) + yJ (t) Pu (t}} dt, (6.12)
Г-+1Ж- •'
0
где Q и В. — заданные матрицы весовых коэффициент on, осуще-
ствляющих-, как* и в дстермпнироваппои задаче оптимальной стаби-
лизации, соизмерение различных компонент векторов состояния и
управления. Прежде всего покажем, что показатель J имеет смысл,
т. г. предел существует и явно выражается через установившуюся
ковариационную матрицу ?\={г?„}. Действ н-гельно,
m{.V(/HA(/)} ,м >}У^(г.).г,(?)] ^2^(0,
U / J I J
т. с.
Г
J i in I М {.?;J (f) (Zr (J!)} at =
v
т
=2 2 и ,п т Icw>dt = 22 a I* mJ.
i ; o' , ;
где справа использовано обозначение, читаемое «след матрицы
н означающее суммирование всех диагональных элементов матри-
цы Ql)x.
Аналогично имеем, и силу (6.2), что
г
lim-1- М {uT(Q Pu(l)} (U =
Т—х. 1
<»
T
lim -t | M l' " (0 A’vA'A' r (0) (A'T/?/</\ ,
1 <,eo 1 •>
V
Таким обратен, показатель J представим в виде
J= tr{(Q-l- A'’7?A')7?J. (6.13)
296
ГЛ. 6. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
Напомним, что матрица D, также зависит ог К в силу уравнения
(6.11), которое можно записать в виде
(Л — ВК)П.+ /А(Л — /М')’ I 677 = 0. (6.14)
Таким образом, мпиимпаацин J путем i ыборэ А’ эквивалентна мн
пнми.кщнн явно заданной функции ((>.!'») при oipaiiii'iciiimx (6.14).
Для решения утоп задачи используем косвенный путь, аналогич-
ный тому, который был принят при решении детерминированной
вада.чи оптимальной стабилизации и § 5.
Теорема 6.2. Пусть выполнены предположении а) — к) и В > 0.
Тогда оптимальное. значение К* коэффициентов усиления « стябм-
лизирутуей обратной связи (6.2) бается формулой
К* = К~ЧГР*. (6.15)
еде Г*— положительно определенное решение квадратного урав-
нения
Л7’ + Р.4 - РВВ' 'В'/1 + () --= 0, (6.16)
s
если таковое существует.
При атом минимальное значение J* показателя качества (6.12)
может быть представлено н виде.
J*^G'P*G. (6.17)
Прежде чем доказывать теорему, подчеркнем замена тельный харак-
тер результата: вид оптимальной ли пенной обратной свилп окалллси
тем жо самым, чю и в детерминированной задаче оптимальной ста-
билизации (Т. 5.1) s ).
Д о к а з а 1 е л ь с 1 в о. В силу (6.1)
“ М (хт (() Р*х (.')} = М [(Лх I 6'и’0)7'*.т} -г М [я-’Р* (.1л + Сбг0)],
так что
М {хт (т) Р*х (т)} — М {т0ТР4,х0} —
= ) М {7 (АР* + Р*.4) :г) dt + 2(?ТР* [ М (.рх) Л. (6.18)
п о
Учитывая устойчивость -J, имеем
liu> 4гМ{/г(т) lim -у »г {/•» [Z\. (т)-/Л. (о)]} = ().
7->х. * Т
(6.19)
Используем также формулу (3.-1Н) ил гл. 4 для 1ианяж1Й корреляции выхода и
•) Имеете», том не менее, существенное отличие п постаионклх этих задач.
В § !> разыскивалась наклучшац обратная связь среди любых стаип.тп.-трую-
щих обратных связей, адес-Ь жо — только средн лши-йных, n;i;i« (6.2). В г.ч. 10
для аналогично!! задачи пикаяппо, что при рвсщныс-чеипн возмущения, отлич-
ном от нормального, оцтимальпая обратная связь пежет оказаться пе.ншойиой.
g а. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ПЛЛИЧИИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИИ
2&7
бслошумного входа:
М {z (Г) (/)} - 4 Цх (°) - Т G' (G-2H)
где учтено oiipc*iic.n*iiHO Таким обрпл^м. из (CJ8) —(G 20) устлплалипагм
ТО«КДЦС.Г1|0
г
Um [ М {_гг(Я’/ч -j- j) ,lt |-б"/>П, П,
I - J
о
справедливее при любой устойчивой матрице А Л 1—АЛ'. Добавив тождсст-
ис1шый иуль к выражению показателя (6.12), приведем его к виду
г
J - lim 4- ( М U1 [Л7Р> — К1ВТР* + /'*-! —
7-»« 1 J
<1
- Р*ВК -[- Q - лт/?а] .«} dt -F СТ/'*С.
Поскольку Р* и А'* в r.u.iy (6.15), (б.Hi) связаны соотношением
Д 'Р* + />*.-! Ч- V = л1 г/?лл
то д«.>ы1вй|11ш! выкладки позполлют получить представление
г
j lim 4 м —А'»)тд (V — А'»).г}/'/ j с'р*(;.
<1
Погиольку при Л' / Л* перине сллшсмос ncuioa.ii (ельпл, cr.’iii Р > 0, и обраща-
ется в нуль при А' А*, то А* досгаилиег минимум J, ptiuiu.iii J* «= (PP*G.
Пример 6.2. Пусть объект задан е.1са.-1лрпым урапнеипем
ас == и 4- ic„ (t),
1. е. л = 1. Л-^0. В = i, (? = 1. Примем <?=!,/? рг. То1Да урав-
нение (6.16) ивляется скалярным и имеет рюшеиме
Р'-: = р /* = р. К* — р-1.
Чем меньше р, тем лучше достижимое значение показателя каче-
ства, но и тем выше требуемый коэффициент усиления. Замкну-
тая система такова:
х = —р-1х I
так что
х(/>) * ’ —
С уменьшением (> растет колоса пропускания системы, а следоиа-
тел। по, 11(1| р< iiihocti. от замены рга.чыкно елабокоррсугпровапного
|1озмущсч11.1я на пределi.in.iii белый шум (ср., гл. А, § 3). □
(5.4. Синтез при возмущениях, отличных от белого шума. Пс
смотря на замечательную простоту рглу.чыатон Г.6.1. Т.6.2, их
практическая значимость кажется сомпнтельпой, поскольку опи
293
ГЛ. С. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОНПИП
осповывалпсь па гипотезе б) о «белотпумпом!» характере возмуще-
нии. Однако при илучсипи ycTaiiniiiiiiiiicixcn режимов и линейной
системе эта гипотеза не является особо обременительной. Действи-
тельно, корреляционные свойства процесс'"’ .r(/), u(Z) определяются
только видом коррсллЦ11>>1пи>11 функции (или спектральной плотно-
сти) возмущения т((). Имеете с тем, как было показано и гл. 4,
§ 3, с точки зрения этих харякгеристш; .побей стационарный цент-
риронаппый случайный процесс ч'(1) с дробно рациональной н.ют-
постыо
} v/’^и- и |Р _iw
эквивалентен установившейся реакции формирующего фильтра, за-
даваемого операторным уравнением
A:(D)«,’(/.) « Z?,,(D) u\. (f), (С.21)
на внешнее белошумпос воздействие иъ(/). Согласию Т.1 1 урав-
нению (6.21) можно сопоставить запись в виде
а’» «= И ,ди -Ь Б,,w, (0, ip =
где матрица Л„ имеет форму Фробениуса и задается коэффицнон-
гамм многочлена /1М(1)), столбец //„, определяется коэффициентами
многочлена /?„.(!>), а (\ “«(1 .,()}. Начальные апячешмя .г1Р(0) мо-
гут быть взяты ирои,нюл1.пым||. поскольку по определению, ЯР (1))
устойчивый многочлен, н мы интересуемся только установившимся
режимом.
Вывод: если исходное описание объекта дано в виде.
х=Лх. + Ви-г Gu-,
где и:- (t)— коррелирован шли процесс с дробно-рациональной спект-
ральной плотностью, то указанное. описание может быть заменено
эквивалентным (с точки зрения решения задачи управления по
критерию (6.12)):
,т = Л.г -I- G’CjpT.p + Ви,
хш = Я „..г,, + Б.лрй,
гое —процесс типа единичного ^белого шума».
Введя блочные матрицы
приходим к стандартной записи вида (6.2):
х = Ar ф Tin + Gw0.
§ 7. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ НЕПОЛНЫХ И НЕТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ
290
Перепишем также показатель (6.10) в зкеивалептной форме
т
J = lim -у- j М [х’Ох + мт/1"м] c/f, (6.22)
? о
Теперь оптимальпаи обратная сшпн. дается в силу Т.6.2 в виде
м = - А’* *.г, К* = К-'ПР, (6.23);
где Is*— положительно определенное решение*) расширенного уран-
пения Лурье
Л 'Р + РА - РПН-'ГЗ'Р + (7 - 0. (6.24)
Стоит подчеркнут)., что (6.23) предполагает акание координат лск(С
формирующего фильтра для определения текущего значения управ-
ляющего воздействия «(/).
В действительности в реальной ситуации иди доступно для из-
мерения само возмущение «(.'), пли мшище имеются намерения
только координат системы х(/}, или даже только одного. пли не-
скольких выходив ее. Координаты же хв недоступны, поскольку
формирующий фильтр представляет собой лишь математическую
конструкцию, введенную для npciiGpa:iORaniiii условий .задачи к
стандартному виду. Нун. преодолении .пой неприятности будет
указан в следующем параграфе.
§ 7. Управление при неполных и неточных измерениях
7.1 . Оценка при неполных измерениях. В предшествующем пара-
графе было дано описи кие наилучшего (в смысле квадратичного
показателя качества) выбора коэффициентов усиления К обратной
связи
u{t)=-Kx{t), (7.1)
построенной па основе знания в каждый момент времени полного
вектора состояния х{1).
Как уже указывалось, гипотеза о возможности прямого и точного
измерения #(/) практически мало приемлема. Примем теперь, как
и и § 4, более естественное предположение, что измерительные
устройства доставляют информацию о значениях только пскпгорых
координат или их лпоспных комбинаций, т. с. что в каждый мо-
мент t известен вектор измерении
!/ (t) ~ C.r{ I), (7.2)
*) Можно доказать, ’по для существовапви птогг» решения достаточно
невырожденности пар Л, В и /Г, С, если Q — СС,
300
ГЛ, 6. МКТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЯ
гдо С — заданная матрица. Напомним, что для объекта, работающе-
го без возмущений, но измерениям //(/) можно ппсстаповигь значе-
ние х(1) с помощью (истомы асимптотической оценки:
J — /1.т -р />’н | /-(^ — Сл), (7.3)
причем при нсиырождсииостп мары Лт, ('r кнзффицпситы Л можно
выбрать так, чтобы обеспечить быстрое убыиаппс ошибки ицепииа-
пня е= я—х. Естественно попытаться применить ту же систему
дли оценки координат объекта, изменяющихся под действием слу-
чайных возмущений согласно уравнению
а' — Лх + Би 4- Сw-.j (/). (7.4)
где iPj(J) — белый шум единичной интенсивности, а управление, как
н в задаче стабилизации (см. § 4), строить па осиоие оценок,
принимая
и =-/<-£ (7.5)
Выясним сначала точность оценок. Вычитая (7.3) из (7.4), по-
лучаем
е _{Я-/Х-)с + <7о-|(. (7.6)
Введем в рассмотрение матрицу i)(l) с элементами
м (ef(z) (>.=(/)},
которую будем именовать матрицей utuui/xiatruu ошибок оценивания.
Если L выбрано, гак что матрица
/Г = /1 — LC
является устойчивой, то, применяя к (7.3) T.G.f. получим:
Z)(f) - Ь,
где D удовлетворяет уравнению
ДТП Р.Г + ССЛ --0. (7.7)
Таким образом, п отличие от детермпппроваиной задачи, ошибки
оценивания с течением времени но исчезают. 'Гем более эго имеет
место, если сами результаты искажены случайными помехами.
Рассмотрим детальнее именно эту практически важную ситуацию
и покажем, как выбрать коэффициенты Л, чтобы миикми-шрскать
дисперсии ошибок.
7.2 Оценка к управление при наличии помех. Примем вместо
(7.2), что
(7.о)
$г(0 = Сх(/)1-Л'(0,
§ 7. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ НЕПОЛНЫХ П НЕТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ
301
где .¥(/)— вектор случайных помех в измерительных устройствах.
<л!раведлппо следующее \ твердщепне.
Теорема 7.1. Пусть компоненты «(/) вектора помех Л’(/) явля-
ются белыми шумами, тик что
— т)> п.-л6(т), (7.9)
примем матрица I (r,J является положигелмтч определенной.
ПуСГЪ воЗМу/ЦСНИс «(/) также Я«ЛМСТСЯ вСКТ орны.и белым шумом,
некоррелированным t: Т(/),
М {к.-7 (/) и?7 (t + т)} Л 15'6 (т), (7.10)
.причем И7—заданная неотрицательная постоянно я матрица. Пусть
пары матриц zl. G и /Г, (7Т невырождемны.
Тогда при любых значениях коэффициентов L в системе оценки
/7.3) дисперсии о., установившихся ошибок опеки вопия щ удовлег-
вопяют неравенствам
(7.И)
* "3 * »%
где предельные значения дц являются очагомпльными элементами
матрицы Г)*, которая представляет собой единственное положитель-
но определенное решение уравнения
И П + ПА ’ - DC F- 'СП + G WG* = 0. (7.12)
.’}наче.пие /^и//11 доен/гостея при
С-/*'- Г)ЧЛ' >. н (7.13)
Доиазатсльство ЛтЛ’О у ibcjw.iihhih принидить нс будем. Отметим
лини., что для нахождении оптимальных коаффццпепгои усиления
н чстроиствеtоценивания требуется решить матричное, кнадратноа
уравнение (7.12), являющееся уравнением тина Лурье.
Вместе с тем пеполможносп» безошибочного оценивания состоя-
ния по измерениям, искаженным помехами, заставляет усомниться
в том, что сам способ управления но оценкам (7.5) является эф-
фективным. даже, если оцелкм оптимальны. К счастью, ото пе так,
и С1|]яп5едлив следующий замечательный результат, обычно назы-
ваемый теоремой разделения.
Теорема 7.2. Пусть для формирования линейного закона управ-
ления с обратной связью для объекта, оппсывас.иого уравнением
х Яд: 1-/Й1-1 ^гД/),
доступны только измерения вида
у •Сх + У> (1),
где u't.(l), Л' (/) взаимно иекоррглпротшииые стационарные случай-
ные процессы типа белых шумов такие, что
М [?с0 (/)«-J(/ + т)1 - П'б (г), М [Л- (Z)Л’7 (i I- т)1 - V6 (т).
302
ГЛ. в. -МЕТОД ПРОСТРАНСТВА состоянии
Пусть пары матриц .-1, В и Л', С\ невыролгдснны, а матрица F —
п о лежите л о н о on рсделегнн ал.
Тогда закон управления
и ш — Л *.г, х =. --G 4- Ни |- Л* | у — ('.> | (7.14)
доста вляст минимум пикамтелю
т
J lim-L Г М (,гт (/) Q.c (Z) -|- mt(Z) Ru(l)}dl. (7.15)
Т-+<ю J ’/
V
Матрица коэффициентов усиления в обратной связи К* находится
в силу формул (5.9), (5.11) {при соответствующих условиях на
матрицы В), а матрица Л* коэффициентов в устройстве оцени-
вания— в силу формул (7.12), (7.13), так что оптимальный закоп-
управления представляет собой соединение оптимального устройства
оценивании*) и оптимальной обратной связи по оценкам состоя-
ния. в
Висли, опустим доказательство* **). ТТоклжеи вместе с тем, что
сфера приложения конструктивно!о результата теоремы разделеппя
может быть сущсстис иио расширена.
7.3. Задача оптимального слежения. Мы уже убедились, что тре-
бование о «белошумном» характере возмущения «'(f) может быть
снято, если lucre in пскучхтпсппую конструкцию «формирующего
фильтра* и рлсширшт. вектор состояний, дополнив его компонентами
лектора состоянии фильтра. Та ;не идея позволяет применигь теоре-
му ращелепия к следующей более, общей задаче, обычно называе-
мой .тндачей оптимального слежения.
Пусть требуется обеспечить близость каких-либо координат
объекта пли пх линейных комбинаций Чх{1), 7 = const, к случайно
изменяющемуся вектору sd(Z), определенному через решения х"{1)
системы
х‘! =□ А''г'! 4- аа1щ, (f.), г<* (i) = у"!эА, (7.16)
где 4d. Gd, 7d—задаппые постоянные матрицы, а ю„(/)—процесс
тина «белою шума» с единичной интенсивностью.
♦) Такое устройство часто налипают фильтром Р.ипепс— Калмапа. Если
часть измерений осущегтиляитсп без помех, то структура фильтра может быть
уири1цена (см., например, [3 3]).
•*) Стригои доказательстио достаточно сложно |C/i, гл. G], обычно же ври-
поднммо и клчсг.т|ц? докали 1т,л1.стм<1 oTiioi'ine.'u.iio простые расгужденпн iicikip-
рекгны. Однако и дл.тынчкне.м (гл. 10) мы устппоким диплог теоремы разделе-
ния для несколько более простого v математическим отношении пппсании объ-
екта п, более того, покажем, что при нормально расирсдслснпых пламушеиплх
п помехах закон управления типа (7.11) является панлучшкм среди любых
(даже нелинейных) законов.
£ 7. УПРАВЛЕНИИ ПРИ НЕПОЛНЫХ II НЕТОЧНЫХ ИЗМКГНННЯХ
ЗПЗ
Систему (7.1(>) можно трактовать либо как описание другого
объекта, к выходу которого должен приближаться выход управляе-
мого объекта, либо как формальную конструкцию — формирующий
фильтр,— с, Н0МО1Ц1.1О которой описывается процесс з'(С), первона-
чально заданный своей дробно-рациональной спектральной плот
ПОСТ 1,10.
(’ учетом целесообразности «сдерживании» затрат на управление
показатель качества можно сформировать в виде
т
J = lini -1 ( м l(2 - ;')’(/ U - 21’) + w‘^1 dt, (7.17)
7 о
где нервов слагаемое характеризует близость z(/) н *d(£), а вто-
рое - за граты па управление.
Введем обозначения для блочных матриц
•-С Ч5г аЧл > ь-й‘ ч«
Но -?}• ('-7W
Тогда уравнения (7.1'i), (7.16) объединяются в одно;
.г — Л.г -|- 7>.ч. | (ио (7.18)
л внкалатсль (7.17) злппсыплсгея в стандартной форма
г
J = Irin \ М |хт^хЧ-ыт7Ти) dt. (7 19)
V
Предположим, что мы располагаем измерениями
?/(«) = Сх(()- Л'(П, /(?) =» t-’V(i) 1 :V(t), (7.20)
где A’(t), A’J(f) —помехи, являющиеся взаимно некоррелированными
«белыми шумами» с заданными положительно определенными мат-
рицами интенсивностей И, T J.
Вновь вводи обозначения
Т
О
В
«1
приходим н сгандартнон форме уравнения
4(|бъсд в ш-япого»
изме-
рителя
!/(/)-СЕ (/)+,?(/).
Теиср! ясно, что цли решения задачи оптимального сложения пол
ноегыо пригодна схема, указанная в тсч>ргме разделения, хотя ато
достигается при увеличении размгрпости всех фигурирующих и ней
матриц.
ГЛ. В. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА состояипп
304
Кратко остановимся на сопоставлюнпп методов, описанных в
данном параграфе и в гл. 4, где рассматривалась близкая но смыс-
лу задача для односпязной системы. Пусть з{0, z"(/), «(/) —скаляр-
ии, Q* «= 1, К — р; тогда (7.17) эквивд.теитпо
J-D (г (/))-!-pD {«(!)>.
где с (/) д 2rf (/) — z(t)—ошибка слежения. Такой же «составной»
показатель рассмотри налей и § 2 гл. 4.
Однако походные предположения об описании объекта, возмуще-
ний, помех и отслеживаемого процесса были другими. Приведение
этого описания к форме, .использованной теперь, в принципе воз-
можно, однако важно проконтролировать выполнение формальных
условий теоремы 7.2 прежде., чем применять методику синтеза.
Наряду с этим следует иметь в виду, что для многосвязных си-
стем применяются и операторные методы, являющиеся неяоерсд-
с.тневным матричным обобщением процедур гл. 4 ([4.2, 6.5]), хотя
необходимость аналитических выкладок с полиномиальными матри-
цами делает пх приемлемыми лишь для систем малой размерности.
§ 8. Системы с переменными параметрами
8.1. Описание и анализ. Методы анализа и синтеза, освоил иные
на использовании представления и пространстве Сосгшпши, имеют
несом пешню пргимч щг'спю перед операторными методами и том,
что они сраипигельпо легко распространяются па значительно более
широкий класс объектов, а именно, на Jiniiciiиые системы с нерв-
мевными по времени параметрами. Основная модель принимается
В ВИДО
х = Л (/) X -I’ В (/) и + G (1) и?, (8.1)
где г, и, у? — пе-прежиему ле.ктор-функцви состояния, управления и
возмущения, а /1, В, G — матрицы соответствующих размерностей,
элементы-которых, однако, могут изменяться во времени. Эти изме-
нения являются или внутренним свойством системы, пли следствием
внешних возмущений •).
Далее мы будем считать законы изменения элементов Л, В G
заданными функциями на весь отрезок времени работы системы ог
начального t = tv до копанного t = t,.
Используя (8.1), можно построить явное, выражение для состоя-
нии х(() в произвольный момент t > 1а через начальное состояние
x(L) и функции «(<), м (0-
Теоремп 8.1. Решение системы
Х.Ш.Д (/)ж + f(t) (8.2)
♦) Основным источником позппкпопг.ивя уравнений тшга (8.1) при иг.гло-
дованпи реальных систем является лпнеарилацпа игднпейных моделей я ок ро-
ст пости нестационарных режимов.
g 8. СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
3CS
представимо в виде
,х{1) = Т (0 х (tv) + f Ч' (/) Ч'~* (т) / (т) dx. (8.3)
'о
fide матричная /функция ’1Г(/), называемая фумдаме.пгалъпай мат-
рицей, по определению удовлетворят г уравнению
±xV{l} = A{t)V(l}t (8.4)
а обратная ей удовлетворяет уравнению
£ [ Ч'"1 (*)]” = - -Г(/) [т-1 (Of, у-1 (U = л (8.5)
называемому сопряженным к (8.4).
Доказательство справедливости формулы (S.3) можно проверить
прямой подстановкой (8.3) в (8.2). Дсйстните.чьпо, с учетом (8.4) имеем
я = V (i)
г ('о) I ’г'1 <т> / <т>f?T "г 'F W v 1 W iO ~
<*- л to r (0
(Q + j ,,'~1 N / М '/т +/(') = '1 « *(/)+/ (Г).
Пнчллi.ii"<< yr.iDBiio очевидно увоплсгк|ЦМ<еТ1,я.
Уравнение (8.Л) следует пч то/кдсстиа
ЧЧОЧ-ЧО = f,
дифференцируя i«iT<>poe, получаем
4 If (') т-1 (f)l - 0 4 [ЧЧЩТ"1 (?) |- Ч' (0
fit/ Ul Cl I
o,
или с учетом (8,4)
а (I) т (у ч'"1 {г, - ч (п -^г Ч'_| (о = о=> т-1 ;/) .4 {ту -- jp ч,_1 (;)
что аквинялентно (8.5).
Формула (8.3); обычно называемая формулой Ц<?гии, сводит рс~
теине неоднородного урлиисппя (8.2) к вычислению фундаменталь-
ной матрицы Ч'((), т. в. it pcnieiniio матричного однородного урав-
нения (8.4) с единичным начальным усланном. При переменной
А (/) ф\ пдамеита.п.иую матрицу лишь н редких случаях удается
нырязнть аналитически череп элемепгарные ллл ciieuiia.ni.iii.ie табу-
лированные функции с хорошо изученными свонсгиямп.
Как правило, дли определения 'И (/) по заданной матрице /1 (t)
и заданному начальному моменту приходится исиольаовагь только
процедуры численного пцтогрированпя, что затрудняет качествен-
ное исследование решений и, в частости, изучоипо проблемы устой-
20 л. л, Нервозиансилп
ЗОЙ ГЛ. с. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИИ
чивостп. Поскольку фундаментальная матрица зависит от начально-
го момента t0, то зачастую удобно ввести и обозначение второй аргу-
мент, зап осыпан ео в виде ЧИ (/. id).
Вспомнили определение матричной экспоненты, можно убедиться,
что при /1 (<)А =»const фундаментальная матрица имеет лид
Т (*,*<,)-ел<'~4 (8.6)
т. о- зависит только от разности t — tn.
Анализ поиеденпя объекта, описываемого уравнением (8.1) при
произвольных управляющих и возмущающих воздействиях. опирает-
ся ла формулу (8.3). Принимал в пен
получаем
г *
х (0 ₽= Ч' (t) г (!й) -4- f h „ (£, т) и (т) dr [ Ла; (t, т) '£•’ (т) dr, (8.7)
‘о *о
где обозначено
hu (t, г) & Ч' (/) 'I'-’ (т) 7? (г), Л,„ (/, г) А V (/) Г* (т) G (т). (8.8)
‘Формула (8.7) определяет 1~>^, как линейное ираобраяо-
наипс совокупности 7(^), м(т), я’(г), т<=[',1, /]. Матричный функ-
ции Л,.(<, т), т) обычно именуют штпвыли (пли переходными)
матрицами преобразования от управления и возмущения к состоя-
нию системы, описываемой уравнением (8.1).
В случае постоянных параметров
М?, т) = ел(‘-<)/?, К.(1, т) = сд('-’,С, (8.9)
т. е. имеется зависимость только от разности t — г*).
В этой главе мы ограничимся исследованием систем с перемен-
ными параметрами только па конечном отрезке времени t.].
Тогда при любых ограниченных воздействиях x(t) ограничено, если
абсолютно интегрируемы па |tM, 7J соответствующие весовые функ-
ции, для чего достаточно [В.З] ограниченности элементов матриц
Я, /?. G. что п будет предполагаться п дальпеншем.
8.2. Оптимизация закона управления. Введем обобщенный еэпер-
гетпческино показатель качества работы системы (8.1) при дотср-
ыиппрованпых «.’(/):
о
/(«} ~ (0аг(0 | u’ U) Gh (l}]dt 1-.^{/7)<2..г(0). (8.10)
•) Читатель может заметить тсрмчиилоспчсское иссоогнстстпие.: п § 1 пе-
совыо функции цла епстсми с постоянными впрамстрамп 1нЦ1сдслплпсь иначе
(а (8.9) ладо заманить £ — т иа £), однако это иесоотвстствпо почти общеирв-
иято в литературе.
fi 8. СИСТЕМЫ С ПКР1'МЕН11Ы?.1П ПАРАМЕТРАМИ
Его интерпретация та же, что для показателя (5.8), введенного ра-
нее для оценки эффективности управления системой с постоянными
параметрами при неограниченном премепн работы. Особенностью яв-
ляется лишь наличие ипеиитсгральшно слагаемого, подчеркищшпце-
1о важность уменьшении отклонении от желаемого состояния х ==»()
в момент aaiiepiiieinin процесса управления.
Георема 8.2. Ице к, матрица И является положит е.н.ио опреде-
ленной, а ш (/)=(). Тогда управление »*(/), при. котором достигает-
ся минимум показателя (8.10), представимо в виде линейной об-
ратной свяли
и* (t)=-К* (()* (!) (8.1!)
по измерениям состояния х(1) в тот э.те момент времени. Матрица
оптимальных коэффициентов обратной связи K*{t) определяется
формулой
К*(Г)= П-'ВЧРьРЧ!), (8.12)
еде Р* (/) — симметричная матрица, являннцался решением матрич-
ного дифференциального уравнения
+ /Г {/) Р + РА (/) - РВ (/.) /Г1/?1 (0 Р + Q 0, (8.13)
у <!ов я е те о ря н> nt а я у с л о бт но
/’(') = (Л- (8.14)
Минимальное значение иоказагеля (8.10) равно
J{a*}=x4Q/’*(U'(Q- (8.15)
Доказательство аналогично пропсдсшыму в § 5.
Введем функцию
Г (ж, -.tTP*(i)x, (8-16)
где P*(i) уловлетворлет (S.13). (б.!-!). Днффс-рскпйруя (£.1т), в силу уравпе-
икя (8.1) (при w = O) ис.тучаем
/IV г -
— = jcP^x -|- .гг/”> т I х —
= [Л (;) х ! 7? (г) + лт/>* [Л (.') х |- В (Г) и} -J- РР*х
пли, с учетом (8.13),
-тр хтРЧ1 Н-ЧРР*^ — .РОх I- 2итЛ’ (f) /’".г,
откуда
И (•'/) - Г (U Л (б) /” ('.) ('/) - (•'<,) ('„) - ('„)
. pH/'*/;(п/г1//1 j; р* — <2)хч-з «тят(0л.
20*
308
ГЛ. €. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИИ:
Используя определение показателя качества (8.10) п условие (8.11), можно те-
перь записать
7tu)= *’('«)'"('и)*('оН-
Гу
4- { xrP4i (I) /{~'пт (D 4- ti'ihi 4- 2«’/;т (п ,п,
U.I И
7
J («) - z’ (Q Р* (/Й) х (/„) - I- j [и 4- А* (7) .с]тЛ [И К* (0 х> at, (8.17)
(о
где &.’•(/) = Я_:/Д(7)Р*(7). Из (8.17) сразу следует, что управление (8.12) явля-
ется мппичяазрующпм среди любых возможных управлений, причем ве ра а
формула (8.15) для оптимального значения показателя.
Существенным отличием от ранее полученного результата яв-
ляется несгационарностъ оптимальной обратной связи, зависимость
коэффициентов усиления от времени, что несколько усложняет со
и раки I чес кую реализацию.
Более сложным является п вычисление самих коэффициентов
усиления, поскольку оно требует 1П1Т0Г]шрпнаш!я матричного диф-
ференциального уравнении (8.13), известного под названием маг-
рачпим> уравнения Рцккнги.
Оно нелинейно и инициален тип системе п(а+1)/2 нелинейных
скалярных уравнения относительно соответствующего числа неиз-
вестных элементов матрицы P(t) (как обычно, н— размерность век-
тора Состояния х). При больших н задачи может по «поместиться*
в стандартные программы численного пптегрпрешяния. Отмстим так-
же. что для использования стандартных программ условие (8.14)
следует преобразовать в начальное условие путем простой замены
времени 0“(/— t. При этом (8.13). (8.14) приобретают вид
- ат («. - е) р (0) + р (о) л - о) -
'&(!._&) Р (())+ Q, Р|0_=о=(>,, (8.18)
где явно подчеркнута зависимость параметров от «обращенного»
времени. Если зги параметры постоянны, то можно попытаться
разыскивать чистине, решение (8.18) в виде Р — Р* •“ const. Если
<iiio существует, то должно удпвлпворять матричному квадратному
уравнеплю
АТР I УМ -РГ>Р ЧРРА () 0, (8.1 В)
которое уже фшурпровало и § 5 п пмепоиалос-ь уравнением Лурье.
Теперь становится ясным происхождение п другого его наименова-
§ 8 СИСТЕМЫ-С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
309
пня — алгебраическое уравнение Гпккатп, которое более распрост-
ранено в литературе *).
Приведем без доказатольстна следующий результат [б.З].
Теорема 8.3. Пусть существует положительно определенное ре-
шение /’* уравнении (8.1!)); тогда при любой неотрицательно опре-
делен itoif матрице (),. задающей начальное условие, решение Л* (г)
уравнения (8.18) гтрсмитея к Р* при. т ->• <х> не медленнее, чем
и ксп в цен у нал оно.
Подчеркнем, что я для системы с постоянными параметрами ко-
эффициенты усиления и О1пим.ч.ты1ой обратной ciui:in являются че-
ремеппыми, если качество управления оценивается показателем
(8.1(1) при ограниченном th Липп, для моментов времени, доста-
точно удаленных от конечного, онгима.тьиымн оказываются постоян-
ные коэффициенты. определяемые, как п в § 5, с помощью по-
стоянной матрицы Р* решения уравнения (8.19).
Реальные системы всегда работают ограниченное время, и этот
результат, казалось бы. ставит под сомнение эффективность всей
подробно разработанпой в предшествующих параграфах методики,
.основанной на гипотезе, что Т = I. —
На самом деле этп сомнения необоснованны. Справедлив следу-
ющий результат **) [6.7].
Теорема 8 4. /‘.ели вместо оптимального, вадит ящего от времени
коэффициента усн гении А'* (7) использовать постоянный, получен-
ный с помощью решения аллсбраичеекпго уравнения (8.1!1), то лф
фекшвшегь управления, определяемая пока.и>телсм (8.10), уз уд
ШНТСЯ не более, чем гш величину
Д7 = С[е--^' + с» у- с~'лТ + () (-у), ($ 20)
где Ci, с, не зависят от Т = t, - 1(., в у. — величина, сколь угодно
близкая к степени, устойчивости замкнутой системы.
Ия опенки (8.20) ясно, чго погрешность, связанная с пополь-
зованном обратной СВЯЗИ С ПОСТОЯННЫМ ЕПлффзПрщПТОМ усиления,
быстро убывает с ростом времени действия управления, и притом
тем быстрое, чем выше степень устойчивости замкнутой системы.
8.3. Метод «замороженных» параметров. Вернемся вновь к си-
стемам с переменными параметрами, однако предположим, что их
изменение происходит достаточно медленно, хотя за длительное
время работы может оказаться существенным Пеки,цопаться обрат
пой связью С постоянным коэффициентом усиления, как правило,
не ц>пуетимо. Но здравому смыслу ясно, что если настроить регу-
•) Я. Ф. Гпшыги (Щ7Г.~ 17:Vi) известен ист лсд» вл имен iir.TiniriinoHi диф-
<)iopcrimi.T.-i-..>nr r> ypniKiTiiiiiH I то порядил с KiKuip;mi'iii'iii in'.-iiinciiHWTiao. обоб-
щением Koropi.iiit яиляетси (В.18).
**) Д|>ко.мс|’ельст1и> Т.3.4 и Т.8.5 днт> и 1Л 7. § 3 Оцспкп (8.20) енрнведлиш!
в aciiutiTOTii'iecKOK смысле, т. е. сущоствуст такое 7'. что (3.20) nepin.i при всех
конечных Т Т,
310
Г.1. е. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
лягор, ориентируясь па начальные значения параметров, то со вре-
менем они могут настолько «уползти», что настроила окажется
не только пе оптимальной, по далее по будет обеспечивать устойчи-
вость. Возникает простая идея: в каждый момент времени выбирать
обратную связь заново, ириептирумъ на текущее значение парамет-
ров, ио использовать дли выбора те же приемы, что и для систем
с постоянными параметрами. Втот подход принято паамв.-пт. мето-
дом «замороженных» плраметров. Разрешается пользоваться любыми
разумными приемами синтеза управления, в частности, частотными
методами гл. 3. Однако наиболее ясную форму метод заморожен-
ных коэффициентов приобретает, если в каждый момент времени t
настраивать регулятор, исходя из требования минимизации инте-
грального показателя
7.,:, {«} = j [хт<?Д’ + uT7?u] dl ( [xT<?.z — uT/iu] dt, (8.21)
i a
и при этом условно считать, что параметры A(Z), Б(1) останутся
неизменными, «заморожепппыми», на все время от текущего t до
бесконечности. Тогда коэффициенты регулятора окажутся равными
/7(/) = A'-7?r(l)Pi/), (8.22)
где P(t) —решение алгебра и чес шит» уравнения:
А'(1)В +7М (/)-/'/?(/)Н о 0. (8.23)
Спрашивается, какова :>ффскги1111<х-.ть этого простого подхода,
насколько ухудшится значение исходного показателя качества
(8.10), если вмести оптимального коэффициента усиления /<*(/),
рассчитываемого с помошыо дифференциального уравнении Риккати
(8.18), использовать коэффициент Я’(/), рассчитанный п каждый
момент t с помощью алгебраического уравнения (8.23)?
Асимптотическую оценку погрешности дает следующее утверж-
дение. аналогичное Т.8.4.
Теорема 8.5 [6.7]. Пусть элементы матриц А, В медленно изме-
няются во времени, т. с.
Z=.4(pt)} 5 = 2?(р/), (8.24)
еде ц > 0 — лш.гп.ч величина. Пусть длительность работы системы.
'£ = 1) — iv достаточно велика, Т = -^~ Т6> так что за время Т мат-
рицы А, В изменяются существенно. Пусть для любого /<=[/,„ (.]
существует положительно определенное решение. ?J(f) уравнения
(8.23). То*да существует такое ц. > 0, чю при любых р, 0 < и
не пол ь.нша ние обратной свяли
»(/)=--А’(О.т(/) (8.25)
при
A’(/-) = A-7f(/)P(0 (8.2G)
§ 8 СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Stl
ухудшает значение показателя качества (8.10) не более, чем на
величину
+ cspc"xT + O(fr), (8.27)
еде Ci, са не зависят or р и г. — минимальная из величин х„, 2х.„
причем Х,„ X/ сколь угодно близки. к степеням усгойчивости замкну-
той системы с параметрами, «.шморолсеннымн» при I' »/с и t = tt
соответственно.
Теорема 8.5 показывает, что метод (замороженных’» параметров
действительно «почти оптимален», если время работы системы су-
щественно больше времени затухания переходных процессов в
замкнутой системе, а скорость пзмопсппя параметров настолько ма-
ла, что за время затухания они меняются незначительно.
Пример 8.1. Рассмотрим одномерный объект
х = ах— Ъи, г(0)=1, t <= [0, Г],
параметры которого линейно изменяются во времени, так что
л= — г-(f), b = r(f), I’ (') = 1 + у-1,
п приведем анализ влиянии скорости у изменения параметров объ-
екта на эффективность управления, строящегося по методу сзамо-
]»а;кнваи1!я*>. В качестве показателя нрлмгм
г
J - У(Х2 |- u^dt.
I»
Тогда, согласно (8-22), имеем
k(t)^bp(t).
где р(1) — положительное решение квадратного уравнения
2а р - 1>-р~ -I 1 = 0, — trp- — 2ср + 1=0,
так что k(l) = И = ]'2 — 1, т. о. метод замороженных параметров в
данном случае приводит к постоянному коэффициенту усиления в
обратной связи. Оптимальный же коэффициент переменен и нахо-
дится путем решения уравнения Рпккатн
-р « 2«Г - Ь V + 1. Р(Л = О, ** (0 = Ьр* (I}.
Зависимость А*(/)/£. полученная путем численного интегрирования
при различных представлена па рис. 6.7. Ясно, что A*(Z) близок
к постоянному к н течение почти всего периода времени лини, при
весьма малых т и больших 7'.
Вместо с гем сравиеппо значений показателя качества J, полу-
чаемого при исно.’и.зоваппп А" и показывает, что проигрыш нпч-
то/ксп v широком диапазоне у, 1. Величина (J — но пре-
312
ГЛ. в. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯЛИ!!
вышаст 1 % при 2" > 2, —0,3 С 1, а также прп 7' =1, ОС*-<!*).
’но дает хорошую иллюстрацию к оцепив (3.27). Заодно можно
убедиться, что при у — 0 (постоянных параметрах объекта) иеполь-
вование постоянного S дает относительную погрешность, меньшую
«почти» он I'UM.i.Ti.iiom коэффициента
0,2ехр(—2.87') (ср. с оцен-
кой в теореме 8 4). □
1 locrpocHiie регулятора
во методу «замороженных»
параметрон имеет сущест-
венные преимущества с точ-
ки зрении технический реа-
лизации. Действительно, из
уравнении (8.13) видно, что
для вычисления значения
а следовательно, опти-
мального коэффициента уси-
ления К* ft), необходимо
звать, как меняются пара-
метры Я, Б в будущем, пос-
ле данного момента / (инте-
грированно ведется «вспять»,
от заданного конечного зна-
чения). Для вычисления
А (/) требует си зим it. только
винчении парлметрои н чот ;ке самый .момент иремепи Но и ому,
если информация о будущих изменениях отсутствует или неточна,
оптимальная процедура по проходит, а метод «намороженных» па-
раметрон остаегея работоспособным.
На этом факте основывается простейший способ построении «поч-
ти» оптимальных регуляторов <: автоматической настройкой коэффи-
циентов усиления. Принципиальная схема его показана па рис. 6.8.
Гиг. G.H
В систему, кроме измерителя текущею состояния, вио щтся измери-
тель текущих значений параметров объекта. Результаты намерении'
параметров обрабатываются вычислительным устройством, которое
') Вычисления приведены М. Цпру.тьишювым,
§ 8. СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
313
либо оперативно, с высоким быстродействием, решает уравнение
(8.23). либо использует гиговые формулы преобразования значений
параметрон в значения коэффициентов усиления обратной связи
Л (/). Н fleiic.TiiuTc.'ii.uocTu нее измерения являются не вполне точ-
ными и неполными, дают лишь оценки измеряемых процессов
jc(f), H(i). Поэтому детальное плучгиио еиойслв систем с на-
стройкой параметров является ияжинй специальной проблемой тео-
рии автоматического упрли.те.нин (см. гл. И). 'Гем по менее рпс. 6.8
отражает основную идею антиматической настройки (с«.«оил-
строикк).
8.4. Управление при случайных возмущениях. Кратко остановим-
ся па проблеме управления системами с переменными параметрами
при наличии возмущении (и?Й) 0).
Если закон изменения возмущения в течение всего времени ра-
боты системы [fa, /,] известен, то решение проблемы выбора управ-
ления. минимизирующего показатель (8.10), мало отличается от
случая гр (?) — ().
Теорема 8.6. Оптимальное по критерию (8.10) управление систе-
мой (8.1) бается формулой
u*(:r, f)=-A'*(/).r(/)-H“’(f), (8.28)
еде первое слаяаемое (управление с обратной связью) сгр/штся в
соответствии. с Т.8.2, а второе (компенсирующее управление) нахо-
дится после, вычисления решения л*(<) вепологателино'О векторного
уравнения
:’(+(..1-77А*)’л + /'*6’.!г(0 О, я(/.) = 0 (8.29)
по (формуле
uf"(/)= А—/?тл*(7). (8.30)
Д о к а з л т е л ь с т в о вполне яипяогпчио доказательству Т.8.2 за тем ис-
ключением, что функция К(г. х) берется в расширением виде:
Г х) = (0 х | 2 |я* (01’х. (8.31)
Стоит отметить, что наличие полной информации о возмущениях
па нее будущее время, предполагаемое в Т.8.6, обычно сопровож-
дается и наличном сведений о начальном состоянии. В этом случае
допустимо (ио крайней мере при устойчивом объекте) пользоваться
чисто программным управлением, которое вычисляется по схеме:
а) проинтегрировать уравнение (8.1) при заданных начальных
условиях иенле штдетаповкн в него K = n*(.r, f), тем самым найдя
оптимальную rpa<’i.-ropHio .т*(/);
б) вычистить программу как и*(.г*(<), /].
Если же п дейепштелыпитп нот информации н будущих значе-
ниях возмущении, а имеется лишь вонмпжность намерении текущих
значений, то вновь удобно использовать плою «замороженных# па-
раметров. При этом вместо (8.29) используется алгебраическое
811
ГЛ. 6. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОППИП
СООТИОШСППО
(Л (Z) —B(Z)/i’(Z) )тл + Р(/)С(/) ю(1)= О, (8.32)
откуда находится приближенное выражение для компенсирующего
слагаемою
=-Гм,(1)иф). (8.33)
Принципиальная схема, ранее указанная на рис. 6.8. в этом случаи
дополняется каналом управления ио возмущениям (рис. 6.9), опи-
рающимся па данные измерителя, дающего оценку rc(Z).
Гис. G.9
8.5. > правление по оценкам. Перейдем теперь к краткому изло-
жению задачи управления объектом с изреченными параметрами
при наличии случайных возмущении и?(?) «белошумпого» характера
и такого же рода помех Лг(£), искажающих результаты измерения.
Как и в § 6, предположим, что с измерителя непосредственно посту-
пает сигнал
p(Z) = Cx(Z)+A’(f), (8.34)
где С— заданная (возможно, зависящая от t матрица). В этом слу-
чае необходима предварительная обработка сигнала с помощью
фильтра (системы оценки)
Bnoui. без доказательства приведем утверждение, аналогичное
Т.7.2.
Теорема 8.7. Пусть 9ля построения закона управления системой
(8.1) доступны только измерения (8.34), причем известно, что
М («’(Z)wr(Z -I- т)) » J4'(Z)S(x),
М1Л(/)Я< + т))"1;(/)б(г), ' ' }
е<7с Т(0 — положится оно он ре Осле и а при всех I а [/,., zj. Пусть на
чалъное состояние объекта случайно н. иявастно, что
Mb; (Zо)} = nG, M([.r (Z„) — mcJ [х(/(,) — щ’]т) = Z?". (8.36)
§ S. СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМ И
315
Тогда закон управления
м=>—(8.37)
х Лх -j- Ни ь Л*{Г) | у — Ci |( (8 38)
£(/„)» М {.«(/„)} (8-3!»)
доставляет минимум показателю
7
J {«} = ( М {.I '(2 с + итНи} dt + М {.r’ (Z;) QjX {t,)}, (8.40)
fu
если K*(t) определяется так же, как в Т.8.2, а
= (8.41)
где D*(l) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению
Г) — ADA- Г)А' - D&V-'CD т GIFG’ (8.42)
с начальным условием.
ПМ=Пе (8.43)
Обобщения ня случай корродированных воамущепий и задачу
оптимального слежении могут быть проделаны путем расширения
прпглраиетна состояний так же, как в § 7.
Обратим внимании па тп. что урлипепяе. (8.42), олределшощео
коэффициенты усиления и фи п.тре (8.38), вновь является
уравнением типа Риккятн, однако оно интегрируется от /. «впереди,
а ио «вспять», ог О, как (8.13). Поэтому для получении текущего
апачепня Ь*(0- п следовательно, п текущей «щенки эф) состояния
объекта нет необходимости знать изменения Г1араме>[ц1в на будущее.
Таким обратом, прп наличии косвенных и неточных измерений
сохраняет силу пдея построения системы управления, выражаемая
рис. 6.9, однако сама оценка получается не пепосрсдстнсппо с измв-
рптеля. а после обработки его выхода y(t) в вычислительном устрой-
стве. Теперь па него приходится возлагать и вычпеленпе Л*(#) по
уравнениям (8.41), (8.42), и вычисление оценки x(Z) ио уравне-
нию (8.38).
Впрочем, при наличии полной информации о будущих значениях
параметров коэффициенты /.*(/) можно подсчитать предварительно
и сохранять в памяти вычислителя.
) ,’J A C \ 7
ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
И ИМПУЛЬСНОЕ управление;
§ 1. Свойства дискретных систем
Ы.Основная математическая модель. В течение почти всего кур-
са использовалось сланное продиолоа^еиие: управление строится па
османе математическом' модели, позволяющей с той пли иной точ-
ностью предсказывать состояние объекта (или какую-либо интере-
сующую пас выходную характеристику) в любой момент времени
его работы.
Однако но многих практических ситуациях, в особенности при
yii|iau;ieiiitir сложными объектами, ото предположение но оправдано.
Заменим его болен слабым: при новтроолим управления возмож-
но использовать только предсказание состояния объекта или е:о
выходы « некоторые моменты времени i = Гл, k = 0, 1,2, .. ., обра.н/
ннцне- Нигкрегную последовательность. Состояние объекта и любые
промежуточные .моменты времени не определено. При этом любая
текущая информация, поступающая н течение работы объекта, так-
же может характеризовать его состояние только и те же моменты
времени.
Приведем два примера.
Пример 1.1. Имеется склад, с которого удовлетворяется спрос па
различные продукты. Для пополнения запаса на складе организуют-
ся поставки, объем которых управляем.
Особенность задачи заключается в том, что точное время поступ-
ления заказанных поставок неизвестно, можно указать лишь опреде-
ленный интервал времени (например, декаду, месяц), когда сит
придут. Равным образом непрогнозируемо распределение во време-
ни спроса, т. е. момент времени, когда появится заявка па сохраняе-
мый продукт, и обз.цм заявки, однако суммарное количество ла те же
интервалы времени достаточно хороню h.-uicetiki.
Пусть з'(А|—количество продуктов па складе в начале А*-го ин-
тервала *), к11/>] — объем ciTpvca па них в точение этого и пн-риала,
п я|/с] — объем заказа па тот же интервал.
*) При отрицательных значениях з[А] значение ЩЕЦ пнгериретпрустся
как дефицит, долг [4.7J,
§ 1. свойства дискретных систем
.317
Тогда соотношение
х [/.- + 1J = X [А] + и [А] - [Л] (1.1)
определяет памснеипо состояния склада кап объекта управлении
только на дискретном множестве. моментов времени А: « 1, 2......
если задано начальное количество продуктов = л". При этом со-
стояние объекта и любые промежуточные моменты по определено. U
Пример 1.2. Рассмотрим задачу диспетчерского управления про-
изводством. состоящим из нескольких участков (цехов). Диспетчеру
неизвестен ход производства внутри каждого участка в любой мо-
мент времени, и он не может управлять -самим производством. Его
цель заключается в том, чтобы выдавать задания на выпуск конеч-
ной п промежуточной продукции и течение определенного интервала
времена (смены) и контролировать их выполнение, зная количе-
ство продукции, поступающей на склады после смены. При этом
известно, что каждое задание должно быть обеспечено сырьем, ком-
плвктующвми изделиями и промежуточными продуктами и опреде-
ленных количествах, задаваемых нормативами затрат, Зги количе-
ства изымаются со складов в течение смены, равно как со склада
конечной продукции изымаются продукты, направляемые внешним
потребителям.
Ясно, что задача диспетчерского управления в такой формули-
ровке представляв г собой обобщение задачи, описанной в 11.1. Ее
особенноегь заключается в том, что необходимо учесть взаимосвязь
а.чдапил па поставку (выпуск) с.о спросом па продукты (сырье),
используемые при этом выпуске.
Для прогноза результатов управления можно иснол.лопать следу-
ющую матричную модель [4.7]:
х [A -I-1] = х. [А] + и [А] — ли [А] — ю [А). (1.2)
где ж [А] = (х< [А])вектор наличия продуктов п сырья равных ви-
дов па складах в моменты «[А]—поступление за счет производ-
ства и поставок извне; к— матрица с элементами a<j, равными нор-
мативам затрат продукта (вида сырья, полуфабриката) с номером г
на производство продукта с номером j; ir[A]— вектор поставок ко-
нечной продукции вовне, удовлетворяющих внешний спрос (часть
его компонент заведомо равна нулю).
Управляемым выходим системы может быть как скалярная вели-
чина. лаиример, суммарная стоимость выпускаемой продукции пли
стоимость продукции па складах, так и векторная величина (сово-
купность показа гелей). Важно лишь то, что любой из таких показа-
телен определяется наличием продуктов и управляемых факто-
ров*). О
•) Бо.тео детальное ц ренетам с и по о различных миделях управления щю-
нзво.челюы можно получить ио кише [4.7J,
318
1Л. ". ЛИЛЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
Приведенные примеры позволяют сформулировать общую диск-
ретную линейную модель н виде:
х [А- +1] = Лх |А] + [A’l,
х [0| «=> х°,
А--0, 1....
(1.3)'
где х|А] — вектор фазовых переменных (переменных состоянии);
и[А-]—вектор входных воздействии; у [/г] — вектор выходных управ-
лял мых процессов; *4, Н, С. С\.— матрицы параметров.
Если матрицы постоянны, го будем говорить, о стационарных мо-
делях (однородных по времени) и пока ограничимся только ими.
1.2. Анализ дискретной модели. Уравнения (1.3) сходны с диф-
ференциальными уравнениями, рассматривавшимися в гл. 6. но ана-
лиз их значительно проще. Действительно, с помощью (1.3) можно
последовательно (рекуррентно) подсчитать состояние и связанный
с нп.м выход л любой момент:
х[1] = Лх° /?ы[0],
х [2] - Лгхс + ЛВг[0] -|- 2?г; [ 1),
I
х[А] = + У
1 I»
у [А ] -С4'^ + X
i i>
причем вес операции <no;uiicn к простому перемножению матриц.
Какие-либо .математические изыскания требуются только дли ис-
следования асимптотического поведения при больших к.
Определение. Дискретная система называется устойчивой по
начальным условиям, если
х [А-| -* 0 при к «>, (f .G)
когда v [/с] = 0. Система, в которой из условия
|ti[A*]l=£ c = const. (1-7)'
следует ограниченность 1х[А-]|, называется устойчивой к внешним
возмущениям. При наличии обоих указанных свойств система, опи-
сываемая (1.3), называется устойчивой,
Теорема 1.1. Дискретная система является устойчивой, сеян все
собственные числа 2.» матрицы Л лежат внутри единичного круга
|2.J<1. . (1.8)
Д в к а 8 а т с л ь СТ и о пргжедем Л.тп случаи когда над собсии-пные числа
рлалпчиы. Введем замену x[AJ = SJIA], где 5 — нсоспбая матрица, столбцами
когорт лилию гсл собстиспные векторы Л, причем S*1,1,V = diag {>.,}. Из (1.3}
<лсдусг
♦ 5 {.t . 1] - 3-*.45| И| i 7 (AJ, 7 [fr] & б-'Лс (А-|,
s 1. СВОЙСТВА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
31&-
n.'in в скалярной форме
и*Ч-1] -м-МЦ+М*]. (1.9)
Мри г[£] = 0 имеем S»|A') «= 0 и
ЬР1 - (AJ*J.V|O1, (1.10)-
так ’по при условии (1.8) |£v[fc] | (I при /с->- оо, л слсдоватоуп.но, ,'zfA] | -► О.
С друн’ё стороны, па ограниченности r[tj следует ограниченность всех «»(*},.
]»v[A-] | с„ = consl,
1ьр-+1П < iMiU'di i- Rv[aj।i/.vI:maji +c„
откуда
IM*]I < 1М*1Ы<1]| +ЧН- IM +... + IM*-']-
Из сходимости геометрической прогрессии вытекает ограниченность ||v[4']}K
а сле.ювятслыю, |4с[А-] ]
1.3. Структурные свойства. Все структурные свойства, выявлен-
ные в § 2 гл. 6 для линейной системы, описываемой дифференци-
альными уравнениями л нормальной форме, справедливы для
дискретных систем, описываемых рекуррентными соотношения-
ми (1.3).
Ведь все эти свойства (полнота входа, полнота выхода, невырож-
денность или вырожденность системы, выделение «висячих» ч.титвй
системы) определялись свойствами матриц Л, В. С и устанаилпва.-
лись с помощью перехода к подходящему базису (неособой замены
нёрс.мепиых). Точно такие же процедуры можно проделать (остан
днем :>и> и кячеелпг' упражнения) и для уравнений (1.3)*).
(’.iioiiciBii полной управляемое.!и и наблюдаемости дли дискретных
систем имеют место при тех же требованиях н матрицам Л, В, С,
что и в непрерывном случае, причем докагагслытпо их достаточно-
сти проще.
Теорема 1.2. Система, описываемая уравнениями
й-[/; + !] = Аг (/г]+7?» И.
^10]=^°, = й-0,1, ..., (1.11)-
где. и[Ц 1. .... — последывателыюсть управляющих во-здей-
сгвий. вполне управляема, если и только если невырожденнп. пара:
А Б, и вполне наблюдаема, если и только если иг вырожденно. пара
А', С\
Д ок п за те л ьство. Но определению, система вполне управляема. если
существует такое отрав именное управление. что о некоторый момент А Д- 0 под.
с-in аейстниим ’(осипаетг.н я:слпемие спг.толнпс .т|А-| =0 при произвольном
ы paiiioieniKiM х”. Примем А- = «. Тогда и соотпегетпии С (1.4)
х[л] « Л”х° -|- Wu(n - I] .p/iMupi -й] 4- ...+ (1 1?.)
Это cooriiouniiiHo можно eaniH-iiTi. в ппде .тнпОйпого урлипеиил отиоситгльпо
пспiBCr.nii.ix «[и -1|, и|п — 2], ..., а|0|
//и(л —1] 4-Я/Д,[« -2| 4- ... -H-P-'Wirpi] т[«] -Л"дЛ
♦) Так >|'е кпк п п гл. G. эта споисгца определены для с.тучоя С„ = О,
т. с. для отсутствия мгновенного воздействия входа да выход.
320
Г.Т 7. ЛППКПНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
которое разрешимо при любой правой части, если выполнено условие невырож-
денности пары /1, В, т. й.
rank {Л лп ... лп.
Тем самым уетапанликпстся достаточность этого .условия.
Рассмотрим теперь систему линейных ypaiiiietinii
с** — Г/Ц>1,
слх»= y[i]-с/;«[о], (из)
ел «“'я* = ;/[п — 1 ] — СЛ —’/?«[0J — ... — СЛ«[в — 2];
находим, что невырожденность пары Л\ С достаточна для решения со относи-
тельно иеилвестногп х'-' при ирона вольной правой части, т. е. известных значе-
ниях входа п выхода. Вместе с тем знание начального состояния позволяет
по рекуррентному соотношению (1.11) определить состояние x[fc] в любой по-
следующий момент, что и решает задачу наблюдения.
Необходимость условий невырожденности вытекает из структурной тео-
ремы.
Остановимся па некотором отличии решения задач управляемости
и наблюдаемости ; ih дискретных систем от непрерывных. Здесь
не гарантируется возможность мгновенного (пли почти мгновенно-
го — для любого 7‘ > 0) достижения пели: требуется некоторое фик- j
спроваппое число тактов *), чтобы принести систему и заданное со-
стояние или оценить состояние ио наблюдениям (измерениям) вхо-
да и выхода.
Формольный же процедуры решения основных задач теории
управления для дискретных систем аналогичны соответствующим
процедурам гл. 6.
§ 2. Управление с обратной связью
2.1. Стабилизация и влияние постоянных возмущении. Будем ис-
ходить из основной модели
х(Л-Ы] = Ях[й} + Би[7с]-гС;и?[/с]! /с = 0,1...я[0] = х°, (2.1)
где внешние воздействия являются управлениями и |7е) и возмуще-
ниями и>(А*]. При управлении, задаваемом ко программе, система
устойчива, если матрица Л имеет с. ч. внутри единичного круга.
В противном случае для стабилизации можно использовать обрат-
ную связь
«И—МН (2-2)
так что
х[/с+ 1| ».Т.г[/.| + 6’гг[Н (2.3)
д&А — НК. (2.1)
Пл результатов § 4 гл. б сразу следует вывод.
') Оно может быть н меньше я, если ранг В (или С’) бб.тЫио 1.
§ 2. УПРАВЛЕНИЕ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
321
Теорема 2.1. Если пара матриц Л, В является невырожденной,
то может быть выбрана матрица К коэффициентов обратной связи
(2.2) так, чтобы замкнутая система (2.3) была устойчивой.
Д«*йетв1пглы1<», при условии iiei'bipow/iririinc'rii по известному ал-
горитму можно ni.iop.ni. К, так чтобы с. ч. матрицы Л располагались
прпиапплык). и частности, uiiyipu ели пн много i руга.
Следствие I. Пусть ir (AJ = O. Возможен выбор К так, чтобы про-
цесс перегиба в состояние г — 0 звкакчичался не более, чем яа п
тактов, если г» — размерность вектора z (говорят, что при тиком вы-
боре в системе обеспечена бесконечная степень устойчивости).
Доказательство. Выберем К так, чтобы матрица А имела все с. ч.
пулевыми. При этом характеристическое уря,-шейпе имеет вид Л” = 0. Тогда
по теореме Гамильтона — Калл Я12 = 0. ко к силу (2.3) при .rffcj =0 имеем
ж[п] = =>- г[я) — 0.
Следствие 2. Пусть на систему действует постоянное, возмущение
н’[А:] = rw = const. Тогда при выборе обратной связи, обеспечивающей
бесконечную степень устойчивости, в системе
x[k+t]^Ax[k]-\Bu[k]+Gw, U[k] = -Kx[k], (2.5)
не более. чем :ш п тактов устанавливается постоянное, значение век-
тора COClOJlHUM
л.ч. «[/ - ДГ’б’/г. (2G)
Д о к а а а т с л ь с т и о. Имеем in> |i<*Kyppciinini
j|'.j = ЛЪ*-ь [/ |- А Р ... +Л*'‘)(7о;,
так что при А > п
X(AJ •» |/~ Л|_Ч7ю = я\„.
поскольку
Д’- = Ou Р —я)-‘ = /-(-Л -|-... + Л"-> + Л" 4-... = I I- Л 4-... + А"->.
Темп ;ке способами, что п в гл. 6. исследуется ситуация, когда
управление может базироваться только на неполных измерениях
состояния, представимых в виде
//[А-] = СЯН (2.7)
Теорема 2.2. Пусть пары матриц .4, В и. Лт, С иевырожденкы.
Тогда система
т [A- -J- Ц = Л.г [AJ + Ви [А] + С.ю [А]
стабилизируется е. помощью обратной связи, задаваемой соотноше-
ниями.
п[/г] >«а — Л‘.?-|А’|,
•т[А 4- 1]«Лг[А-| 4-/?»[/.]+ 6;lr[A-| + /J//lA]-C.(?[A-|}t к - (), 1, ...;
£|0] = Л (2.8)
в которой r:o:)<fi[liUiiu(iuTLi К и L выбираются так, чтобы матрицы
21 л. л. Нсрси^внпи-хП
322
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫ!: СИСТЕМЫ
Л — В К и .4 — LC имели собственные числа внутри единичного
круга.
Пусть ip [А] О, А- “ 0. 1,...
P'cmi все с. ч. укамнн>ы.т матриц нулевые, то
х|А| О, «(А) Ат1А-| — т|А] О при к^2п. (2.9}
Пусть 7с|А| «• = const, тогда для устаповпащееося значения
.т[А] справедлива формула (2.6), причем при нулевых с. ч. и х“ = О
оно достигается не более, чем яа п тактов.
Доказательство производится плалогичво § •; гл. б путем перехода к
леремопяым е[А] =—*['• ! я в [А], после чигн сразу следует, что характеристи-
ческий мпогочлеп системы а целим явллшея пропзнсдсшгеч многочленов мат-
рпп А В К. п А —f£. При ныборе нулевых с. ч. он равен ??”, откуда, как и
и следствии Т.2.1, вытекает (2.'.'}. Последнее утверадашю така» легко доказы-
вается.
Подчеркнем, что соотношения (2.8) представляют собой рекур-
рентный алгоритм, который но произвольному зг[О] п поступающей
информации о значениях выхода и рапсе принятых управлениях
позволяет подсчитать новое управление. В отличие от простого пра-
вила (2.2) соотношения (2.8) требуют для формирования управле-
нии знания результатов измерении но и тит же самый момент,
и только и нред.п-'стнующпе.
Необходимо также понимать, что если возмущения м*[/г) подо
ступим для прямого !1зморспня то алгоритм управления (2.8) не
осуществим. Кто можно упростить, icn.in: па (2.8) сьнасмне G’irlAJ.
Очевидно, что замкнутая система останется устойчивой. но ее реак-
ция на роздейстпие изменится. В частности. при rr [А'] = io = consl
установившееся значение вектора состояния будет также постоян-
ным. по примет другое значение. Лействптслыи>, предполагая в
уравнениях замкнутой системы я [/,] = .r„, .r|AJ^ х„, и [А]
получим
х» = Лх„ -I- Bii^ + Gie. и..Л = —Кх^,
«« = -4.iL -г Ви„ -г G [Cz,., — СхЛ
исключая из которых и*., .т«, найдем:
а:ы « р - Л1-:<?га + [/ - Л]':/?А'[7 - Л -I- ЛС] ’(?ш. (2.10)
Второе слагаемое (ср. с (2.6)) иояпляечеп именно в силу того, что
при оцепк!1 состояния мы нс располагаем знанием возмущения.
2.2. Оптимизация обратной связи при полных измерениях и от-
сутствии возму|ц<ч!н>1. Примем ва показатель качества работы си-
стемы пелпчипу
J = v (гт 1/).] [А.} 4. иг [,.] J{u (2. J f)
7i -U
g 2. унрл::.п:ппе с Окрлтпой связью
52}
где Q и Л —ладанные матрицы, которые. как и в пнтегра.тьпом по-
казателе (5.10) в гл. G. иолноляют соизмерить отклонения различ-
ных компонент состояния от /келаемого значения .т|/г] 0 и «загра-
Т1.1» па yiijiait.'ieniio.
Теорема 2.3. Пусть
-т |А- I 11 = Л г [А | 4- Пн |/, .т |Oj = .г”. (2.(2)
Пусть 7?>0 и ryuiecifti/CT единственное положителъно онределсн-
Ние реии'.нчг. Р А Z?„pr уравнения
В _ л РА + /1' РГЩ-'В'РЛ — Q = U, 7? A В + В'РВ. (2.13)
Тогда при любыт, х" показатель (2.11) достигает минимального зна-
чения. равного (£°),7,,i;i3'nf если
и [A J = [fr] 7Gnt.T ГН (2-10
еде
K^R-W^A. (2.15)'
Доказательство*). Введем послндовательпостъ Г [А] такую, что
1'(Л] ~ а:*|А;Рор,хр], А = 0, 1, ... (2.1П)
При 11>1<т.чви.п.11ом стаеалн.шртющом управлении г.[А| имеем
z[Z'l — о => I [/.•) -- и ирн А- ► л>. (2.17)
Bi.i'iiir.'tiiM i:p'tp.iit:ciiin-. Г[А| «а один такт ирп изменении гр. | в силу
<2.12). Имеем
»|А + 1J — Ир.| {.-U|A-]-| А,.-4А])'Р„1.1(.1.г(Л) | Ъ'ч|.А!}-
— атр]Л.1Р1.гр.|, A- (I, I. .
Суммируя п<> всем зпачтсиям !; с учетом (2.17), получаем, что при .tjch5om ста-
Филпзирукпцек yupaiiaoiiiiit
V [Г [Ь... п _ г |А.]] _ _ г(0) _ £ |.г Р1 . р.р1], |Д.) _ь
А---О '.=0
-! 2«Т|А| (А-| +« |А] Ь'7Л,р1Ла |А-]].
откуда, в силу определения V[0], Рог1: получим
V {.C-'[A-li2x[A-|-bMT|A]Zf!t(A]} =
л- Л
ПЧ>
= 2 [«(/.] |-Л-'ьлл111Г-1т|А]|г7А {,..|А| I 77-17?,/\1|„Л1-р|)-г(^)тЛ.1.р°-
Л- о
Поекпльку левая часть c<iniKi:tacT с J. а иренал достигает минимума ирп
«(/.], вычисляемом в силу (2,14), та pcsy.ii.iur .'unntj.Tii.
1'еореяа 2.3 сио.чпт поиск оптимального уирдвлешш к решению
матричного >раишлшл (2.13) и вычислению но формуле (2.15).
•) Сравните с § о, гл. 6. .'i.'iei-.b вновь опушено Доказательство того, что
упра идеи in- нпди (2.14) явллегся стабялизаруюшим.
12*
324
ГЛ. 7. ЛИНЕП11ЫВ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
Уравнение (2.13) отлично in- уравнения типа Лурье, однако для
нахождении его решения применимы аналогичные процедуры.
Без доказательства приведем следующее утверждение.
Теорема 2Л. Поглейоваггльности Р1", К". I 1, 2, ..., строя-
щиеся ио рекуррсиции
Р<-> _уГ/.:г *>;;(//< '»)-7Г/л1-"Л-Ь(2. /,1<" ’ °-
(2.1S)
А'"’ = (1{1‘')~'П'Р'А. Г(<‘> - П + [ГР 'ЧЗ, 1 = 1,2.
сходятся к Z’,],,. А„,|, если пара Л. Н новы рожденна. Н положитель-
но определена, а Q либо положительно определена, либо Q = C1.C„
причем пари Л’, С1 невырозкдеинй ♦). ®
Отметим. ЧТО условия СХОДИМОСТИ ЯВЛЯЮТСЯ И условиями CVHli!-
ствованвя решения (2.13).
2.3. Случайные возмущения. Предельной альтернативен гипотезе
о постоянстве возмущений является предположение о том. что воз-
мущения на каждом такте изменяются, и притом пенредвпдпмым
образом.
Формализуем ото предположение более аач'тко, считая, что
а) лпачспия И’[А] Для каждого к заранее неизвестны, по явля-
ются реализациями случайной величины (скалярной пли вектор-
ной) ;
6) дли Л111П<но к
№ (и' |А|) (I
(в противном случае можно было бы выделить ненулевую постоян-
ную составляющую);
г) для любых к н I, к -А I
N\ ffr] нА [ф = О
(в противном случае имеется корреляционная связь между значе-
ниями в разные моменты, и знапне предшествующих значений
позволяло бы лучше прогнозировать будущие):
г) известия и постоянна дисперсия г/’{А] пли (в векторном
случае) ковариационная матрица
М {tn (А] иР [А]} Д АХ,..
О п род о л О в и е. Последовательность ю[А‘]. обладающая свой-
ствами а)—г), называется стационарной последовательностью т—
коррелированных величин, или дискретным «белым шумомо.
В отлично от белого шума, рассматрннавтегосл и теории непре-
рывных систем, дискретный белый шум — простое и естественпоо
понятие, не требующее для своею определения никаких вредель-
•) Указанные условия не являются необходимыми. В частности, по меша-
ет вырождекиость, но при устойчивости «висячих частейо.
§ 2. УПРАВЛЕНИИ с обратной связно
325
пых переходов. Поэтому и изучение поведения днсгфстпых систем,
возмущаемых таким белым шумом, является более, простой про-
блемой.
Теорема 2.5. Пусть послеопнателыюсть х)А] связана с последо-
аагслъиоегью >с\к} соотношением
а-[А- -I- 1| = /1x(fr] I- Сю [А|, х|0]- .г’, (2.19)
причем <г |/.]—дискретный «белый шум», и'коррелированный с .т°.
Тогда .г [А] является случайной ппслеИоватслыюсгью, ковариацион-
ная матрица которой /?J( Л М {х |/г] л г [Д-1) может Снять вычислена
рекуррентцо:
Dlt+,=A[)iA1+CDKG\ А: = О, 1, ..., (2.20)
при заданной матрице D,,.
Если система (2.19) устойчива, то существует постоянный
предел
Dx= lira/),, (2.21)
удовлетворяющий линейному уравнению
/)«Л/ЛГ-1-67Л,Ст, (2.22)
До к л за те a i. <• т и о. В силу определении п (2 19) имеем:
/?ш ' М(х[Р 1]д-т[Л -I- 1|) — /1М(х(А|х1[А))/1т-|-
+ ЛМ{/[А] (,M{f<.-|A jj.'|A|}/lr6-M{v(AJio’[A])<;’ “
= И«*Л’ + G/VJc-Ь,lM{z(Ajre’(A)}C'r -I- СМ(«.'[А-].с1(Л])Л'.
Для докалатсльс.тия (2.20) остается лишь устапонвгь иекеррелпрпиаппость
ж[А] п и>[к]. Имеем:
Л—1
х [А] Л"х° 4- Ah~l~'Ge- U1 =>-М {х [A] шт [А]} =
/=•«
а-i
- Д''М (ЛЛ (А-1) -I- 2 ^'1~г*1б.‘Л {и, [;] а,-т (А)} = О
г-о
в силу npe.'urcijiaiaBinencn пекиррелкропаппосагп i»)/;). Доказательство сходимо-
сти ||<)елсдопате.н>п<ксти к ностолниому пределу ирпнедом, предполагая, что
собственные числа Л равличцы. В силу рекуррсииин
1\ «ж. Л*£»С.(.4Т)» -f- -Ь... GD„G\ k = 1, 2, .,. (2 23)
Но и рол ио.чожошпо нмсотсл неособлл мптрпца У такал, чн»
А — Л’Аб’-1, (2.2 i)
где А - diag (Аг) и |Х,| < i, v •= 1, 2, .... п. Подскнктил (2.24) и (2.23), по-
лучим
S.Vg^VS’ + SlA’-’iA’-1 -I- ... -I- <71-$г, (2.25)
326
ГЛ. 7. ЛТПИ ЙЛЫЕ ДПСЬ'РКТНЫЗ СИСТЕМЫ
гдо введем постоянные «пмметркчныо матрицы
<? Л S-'G/V^r)-' - {<? J (2.2(5)
(tee элементы перш»о слагаемого стремятся к пуло при £->-оо, а любой элемент
(i, /) матрицы, столщой и iiimapuriii.ix скобках, можно иродеганите и виде
что зйирршаст д<1каэМтльстБ0 п вместе с тем даст явную формулу для устаио-
гшвинчеся решения
«.-s|r^-}s’. «»>
которой можно воспользоваться при вычислеиппых собстпоппых числах и соб-
ственных векторах А *).
Кратко остановимся па задаче оптимальной стабилизации при
случайных возмущениях. Как и в непрерывном случае, можно до-
казать, что управление, минимизирующее показатель
W
J = Jim -J- V м {? [A] <Zi |A] |- ну [А-] Пи [/.-!}, (2.28)
Л'-’"' ’ h l>
па решениях системы, описываемой уривиешшмп
Л- |А- Г 1 ] Лх |/,-] -I- Ь’.7 [A-J -I- С„е|/с], к « О, 1,2,.., а: [0] - Л (2.29)
но зависит пи от начальных условии, ни от ннтепсивпостей шумов,
т. е. матрицы ZZ., а определяется темп же формулами (2.13)—
(2.15), что и в соответствующей деторм и пирование в проблеме.
Приведем без доказательства и формулу для оптимального зна-
чения показателя качества:
41In = lrLPflI>tC£KG'}, (2.30)
где Pc.pt —решение (2.13).
В качестве упражнения можно вынести элементарный вариант
этой формулы для случая Z? = 0 и пеособой матрицы В **):
= u- (<Х;дд-}_
Этот результат достигается при (А) --3—7?-1Л.г[/,:]. т. с. па каж-
дом такте управление компенсирует влияние случайных возмуще-
нии, пытаясь привести систему в состгиппто равновесии, от которо-
го она вновь отходит под пейстпием последующих возмущений (за-
ранее непрогнозируемых, п потому и пеко.мпепспрусмых), так что
в замкнутой системе 1] О'и’|А|, / 0, 1, ...
•) Из сушестпояэппя предела (2.21) сле.туег, что он у.тпп.тетиоряет ур«и-
пспию (2.22). которое может пеиосрсдствеиио пслользовигься для иычме.те-
лпя f?m.
**) См. также Пршиокснвс 2, п. 2ж.
fi 2. УЛРЛВ.1КШ1Е С ОБРАТНОЙ СЬЯЗЫО 327
2.4. Управление при неполных и неточных наблюдениях. При-
ведем без доказательства основной результат *).
Теорема 2.6 (теорема разделения). Пусть у правление up], I *=>
в О, I.......«ожег строиться пыц"» кик npe.oGpa.weamu' результатов
измерений, свя.шнны.г с состомиасм .г [А] гнетелы (2.19) формулой
.'/(']-C'rPd-bi'Vp.], /с-Q, 1, .... 1-1. (2.31)
еде- последовательность (Л'[А;])— нормальным белый шум с задан-
ной матрицей ковариацией Г)^-. некоррелированный с возмущением-
{гг[А-]), также являющимся нормальным белым шумом. Тогда ми-
нимум показателя (2.28) достигается на управлении
и [А] = и„1:., ]А-] = — K..f.tr. [А:], (2.32)
4-1] = Ji [А-] + Ви [A:] I- L.rt {у [Л] - <7з?[А:]}, (2.33)
где
= (Я 4- В'Р^В) -'Л’Лр,-'1, - .1 Др1Ст -I- (2.34)
а Р,Гт, Htvl являются положительно определенными решениями
уравнений
Р — Л’Л1 4- /1 'Г>В'(Н -I- !РРП}-ЧРРА — Q = 0, (2 35)
1) — Л ПЛ' + ЛПС(1)Х -I СПС')-'СЧ)Л' — Ci)„.(P = О (2.36)
существование н едннсг ш-ииосп, которых предполагается.
Подчеркнем, что оптимальный закон управления имеет crpyi;
туру стабилизирующей обратной силан (2.8), где, конечно, отсут-
ствует «-[A], таковое не намеряется.
Матрицы i\ и L имеют фпкеированнпе значение, зависящее от
параметров показателя качества, параметров системы п ннтеисив-
постеп шумов (впамущеппп и помех в измерениях). Соотношение
(2.33) дает оптимальную оценку состояния по неполным и неточ-
ным пзмеренвим. Оно обычно называется уравнением фильтра
Бьтлси — Калмана и аналогична уравнению фильтра Випера —Кал-
мапа е теории не.ирорывпых систем (см. гл, 6, § 7).
Ур.чппсппс (2.36) совпадает по структуре с (2.35) п может быть
решено, нап[П1мер, с помощью итеративной процедуры, описанной
выше.
Таким образом, мы убедились, что для ргшеппя задач, рассмот-
ренных п Tcojjuii непрерывных систем, можно составить аналоги п
теории днекрегных систем н получитi. аналогичные схемы решения.
Процедуры решения Других проблем, в частности, проблемы оити-
малыюго сложения, описанной н § 7 гл. 6, также можно ностронть
по аналогии
*) В гл 10 дап<? двказагсльство nnnyi<n-ii4ir«'ir<.i утверждения для конечннго
нремг-ни работы системы (см. также J4.5]) в прсаположепив, что при вычисле-
нии управления может пспользопатьсл и результат измерения, иолучеипый п
тот же момент времени.
.'128
гл. 7. jiuHEnribii: дискретные системы
§ 3. Импульсное, управление непрерывными объектами
3.1. Описание импульсных систем. Основным достоинством гако-
нов управления, построенных на псионе дискретного описании объ-
ектов, является простота их реализации с помощью средств вычис-
лительной техники. Дсйепшгсльио. дли выработки управлении
и[/с 4- 11 па очередном такте /г + 1 согласно, например, формулам
(2.32), (2.33) требуется
а) хранить в памяти вычислительного устройства значение опен-
ки состояния .т[А-], найденное ранее, н значение управления и[/»'},
принятого ранее, на предшествующем таксе;
б) ввести в намять результат измерения ;/ И). отражающего со-
стояние в момент (й;
в) обработать эти данные по программе, включающей только
операции умножения и сложения;
г) выдать результат обработки как требуемое значение нового
управления.
Очевидно, что эта процедура прекрасно приспособлена к воз-
можностям универсальпой цифровой вычпелительпой техники.
В то же время законы управления, пос троенные рапсе па ослопе
непрерывного описания (в виде дифферепппальных уравнений) са-
ми задавались дифференциальными уравнениями н требовали для
своей точной реализации использования средств аналоговой вычис-
лительной техники, в частности, погрпешщ снециа.тизпрпванпых
схем ни основе операционных усилителен.
Описание с помощью дифференциальных уравнении, как неод-
нократно подчеркивалось. является естественным следствием ис-
пользования известных законов природы при математическом моде-
лировании объектов управления. С другой стороны, современная
практика создания систем управления характеризуется тешишцпеп
перехода к универсальным процедурам хранения и обработки ин-
формации с помощью ЦВМ.
Спрашивается, как найти выход из этой противоречивой ситуа-
ции? Можно пойти двумя путями (и оба они практически нслоль-
зуются):
а) вести обработку с помощью дискретной техники, используя
вместо пайдоппых непрерывных яакопов их дискретную аппрокси-
мацию но той или иной схеме численного интегрировании:
б) выработать дискретные законы управлении, заменив исходное
пен порыв нос описание дискретным.
В обоих случаях возникает вопрос о выборе способа аппрокси-
мации. Мы в основном займемся псслсдонаппем возможностей вто-
рого пути но топ причине, что он является с нпствелшым при на-
личии еще двух осложняющих обстоятельств, также типичных для
многих практических ситуаций:
а) на объект можно оказывать воздействие только в течение не-
которых интервалов вромеип его работы;
g з. импульсное управление непрерывными объектами 329
б) измерении могут нропзподитьси только и фиксированные мо-
менты премвип.
Очевидно, что при таких (|бстоптс.п.ств.тх описанные ранее не-
прерывные аэкопы унранлопия вообще ш> применимы.
Примем теперь рпд более четких r.irpaioiai-iniii на класс зако-
нов управления, удоалстворккицпх писганланиым техническим тре-
бованиям.
1) N праюпнонкч' полден ст к не не.тппслыо лире целястся заданием
последовательности величии {скалярных или векторных) и|А|, Л =
0. 1. . . .
2) На объект (или промежуточный усилитель мощности) ио-
лжпел воздействие a(Z), сфсрм к резанное на основе этой «ослсдо-
вател шести так, что
w(z) = и (Z), Z*^Z</,+1. СМ)
। ле р-Л1) — зодпквыс функппн. характеризуй щие каждый к й унра?
лятощ'лн импульс и удивлетяарлклнщ? условиям
/>„(/) 0 (3.2)
при t < th и Z >/л I Ал, Л-. > 0.
Эти формальные условия требуют пояснений.
Во-первых, реальный технический объект, работающий в реаль-
ном непрерывном времени. изменяет свое, состояние только под дей-
ствием реального ;ы: фактора (силы, электрического напряжения
и т.п.), изменение Которого надо определить и любой момент про-
явим. Следовательно, величинам w|fr] пало сопоставить какую-либо
функцию непрерывного времени. Техническое устройство, осуще-
ствляющее такое сопоставление, называют модулятором (пли преоб-
разователем «код — аналог», если величины ч (А] даны в виде чис-
ловых кодов).
Во-вторых, если на объект нельзя действовать вис заданных ин-
тервалов, то эти интервалы можно совместить с отрезками
f«\. Zft +Д-]. ине которых согласно (3.1), (3.2) управление равно нулю.
В дальнейшем ограничимся только системами, где управляющие
импульсы одинаковы по форме, отличаясь только началом прило-
жении
pA^^P{t~i„} (3.3)
Функция p(Z) называется формирующей. Будем Ъчитать, что ро-
меиты Z* образуют периодическую последовательность
ZA11 и Z* Ь т41 к = 0, 1, ../с 0,
Ал — Л» < i,i.
Величина тв навивается шагом диспрсгносги. или периодом пваип-
вопия по времени, или периодом черяаовиним импульсов. Величи -,,
А((т0 1 называется ск«ал(кос/вю импульса.
(Vi
330
гл..'шнелмые дискретные системы
Наиболее прост случай, когда
р(А)=1, 0^/<т,,. (3.5)'
Построение функции п(/) по последовательпости {«[А-]) сводится
при этом (см. рис. 7.1, я) к фиксации
значения и (I) при кт,> t <
<(AH’1)Tri пл уровне п|А].
Техническое устройство, вы-
полняющее dt.v операцию,
называется фиксатором Дру-
гой вариант задания формы
импульса показан па рпс.
7.1, б.
Введем еще два условия.
3) Измерения (прямые
пли косвенные) состояния
объекта производятся только
в фиксированные моменты
времени, причем для упро-
щения примем, что они сои-
пвд.чют с- указанными выше
моментами приложения им-
пульсов
4) Выполнено
причинности: при
очередного апаче,и пн
ляющей последовательности
............ будущие измерения //[/], I > к.
следует ужесточить, учитывая, что обработка
условие
выбери
j/[A-J пе могут быть
Иногда это условие
наблюдений требует времени, я следовательно, н и|7с] можно учесть
лишь наблюдения, поступившие до момента tk = kx:., т. о. значения
Определен и с- Системы, где используются законы управле-
ния, удовлетворяющие условиям 1)— 4), называются линейными,
импульсными, если выработка управляющей последоватсльпостп и [Аг]
базируется только па линей..... преобразованиях результатов изме-
рений. а сам объект является линейным.
3.2. Дискретные модели непрерывного объекта. Исходным для
исследования ямпчльспы< систем является следующее свойство.
Теорема 3.1. Пусть па систему, описываемую урианепием
» Лл (/) -|- Пи (Г) -р (г'щ (Z), л:(0) =• xJ>, (3.7)
(I t
вкатывается управляницее во-здействие вида (3.1). ТогАа лпачепия
вектора состояния .г{1) о моменты 1 = ^ = ктЙ. к=1, 2, ..............носуг
быть л'.ччис.и'иы. рекуррсктио по формуле
X [А- + 1 ] = .1 *Х [А] + Ь’*П [А-] + Щ* [А], (3.8)
§ 3. ИМПУЛЬСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
331
ейе х[А-]
Л* = ел,“, /> « I (т) б/тк
(з.Ю)
аалаво г(ц) — состояппс системы в немев г
значение х(1) ь моменты / h дается фор-
I
иЛ||'. )= j <?д<го '-'Gio (г Ч- A i„) di.
<1
При найденных х [А] состояние в проме-vryточные моменты времени
Лт0 + (), ОС 6 < тс вычисляется по формуле
о о
я(£г0 Ч- 0) == ел0х[/с] + | еА(0-<7?(т)с/т/?гг[А] + J еА^~1'>С(о (г + А'тл)йт.
о
Доказательство. Пусть
Ъ> Тогда при любом управлении
мулой (см. гл. С):
х (/) «= х (/,.) + сл(,-т) । ри (Т) л. G|.> (т)] clx.
U,
Р. частности, имеем
»r< i ।
х (i„ ,,) - । ‘“Чс -I- f /'<'*4.1-0 |/й1 (l)(;IC (I)| jr.
in
Подставляя значение u(x) из (3.1), получим
ти
x [A T 11 — |-Ч + J еЛ'С° T' Hf! (т) Jtk [AJ + i сЛ'Т{| T^<7.’C (t l-A-T^rrt,
» о
что эквлвалептпо (3.8), (3.9).
Соотношение (3-8) обычно назыиаетсн точной дискретной моделью-
непрерывного объекта (3.7) при управлении (3.1). Эпптст «точ-
ная» вводится для того, чтобы отличить (3.8) от прпблшкопных
шшоапий, получаемых применеипем к дифферепцнальпому уравне-
нию обт.скта тех пли иных формул численного интегрировании.
Например, считая т,> малой величиной, а функции u{i), w(t)
мало мгняющимпся па интервале д.тптельпоегыо тъ можно принять
г/г , *(1 1%)-*(0 (ч f|
«7 ~
И
< + ’° ' ' /’
j «(ф/с, 1Н0:Учр \ гг(т)«т. (3.12,
II 1 (Iе
332
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
Тогда вместо (3.7) имеем приближенное. соотношение.
х(1 + т0) ~ .т (г) + т0Лх(<) -I- В J U (т) с/т + ('. | w (т) г/т,
i i
откуда при f“/.'T0 получим
’о 1 р
-г[/с 4- 1J~ [/ 4- Т(,Л|х|А] -I- p(i)dut [A*] | C J cp(t + kx^dx.
о 0
(3.13)
Соотношение
x[A' 4- 1] и Лпрх (AJ 4- AJn(/z fA] •{ IA_], ,(3.14)
где
T,p ’o
Д1р = /4-т0.4, Z?*p = В j p (t) dx, и’пР[А‘] = G J ip(t + kxjdx,
о о
естественно называть приближенной дискретной моделью. Оно также
позволяет рокуррептпо рассчитать, начиная с заданного ,г[0] = х’,
апачеиие лектора состояния в любой момент А’т.,, однако лишь
приближенно. На каждом шаге рскуррепцпи погрешность имеет по-
рядок о(т,1) и мала, если т(, мало, ио за большее количество шагов
эти малые погрешности накапливаются п могут cyinocriuniiio иска-
зить представление о ходе процесса.
Дпстоинсгпом приближенной модели является то, что для вы
числения со параметров пет необходимости вычислить матричную
экспоненту еЛ‘. С другой стороны, очевидно, что Лцр получается
пз Л* заменой а'1*11 на / 4-т„Л, a BUl„ гг*Р— заменой ел' па /,
при О^тСТо. Используя большее, (по конечное!) число слагаемых
в разложении матричной экспоненты (см. Приложение 2)
ел«^/ + Л/+^4- .... (3.15)
можно получать п цругпо приближенные модели, более точно отра-
жающие ход непрерывного процесса.
Пример 3.1. 1‘ассмотрнм поведение, объекта, описываемого про-
степшим скалярным уравнением:
x = ?t.r, х(0)=х°,
без внешних воздействий. Имеем х(1) = еВх° н
x(At0) А х [А] ™ cWlt«x° — (i?'1®/' л°.
Те же самые значения получаем рекуррептпо па соотношения
.t[A-4-1) = .4*x(A:]1 x[O]™.rn,
где по формуле (3.9) Л = с?'и. .
g 3. ИМПУЛЬСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ ОБ1.Е1СГЛМЛ
333
Заменим теперь уравнение jt«=Xz приближенным соотпогпсш.см
типа (3.13)
4* -I- 1] = [1 + тЛМА‘1.
(н к уда
,т|А-] [1 Ь т*?-Г.гп.
liven. ?.<(); тогда .r(f) — O при t -* оо. Равным пираном .г
при /г->• <», если j |/г] вычислено но точной модели. С другой сторо-
ны, считая но приближенной модели, мы получим тот же вывод,
если Тп таково, что
11 + T0Z. | < 1, т. с. т(|
по при т..>2/(—X) Приближенная .модель дает качественно невер-
ный результат! Таким образом, представление о шалости» т., зави-
сит от свойств непрерывного объект. Приближенная модель иска-
жает представление о быстрых нропессах установления. 61
3.3. Стабилизация импульсной обратной связью. Главный смысл
Т.3.1, конечно, не в симой возможности рассчитывать состояние и
выход системы в дискретные моменты времени по рекуррентным
соотношениям — их можно рассчитать и пепосредствеппым интегри-
рованием исходной системы (3.7),— по в том, что возникает воз-
можность использовать все дискретные алгоритмы управления, опи-
санные в § 21
Изменения и формулах скажутся лишь в том, что вместо Л. />,
<г [А| надо подставить cnriTBCTCi-nyioiiiite матрицы Л*, И*,
найденные при построении точной дискретной модели.
Прежде чем касаться некоторых теоретических проблем, кото-
рые могут возникнуть при такой замене, рассмотрим простейший
пример.
Пример 3.2. Пусть требуется обеспечить стабилизацию объекта,
описываемого скалярным уравнением
х- /..г + «(/), Х>0. ж(0) = х°,
используя импульсное управление. Пусть задан период т0 и для
формирования импульсов может быть использовал фиксатор. Точ-
ная дискретная модель согласно (3.8), (3.9) имеет вид
а’ [к + 1 ] = е,л“х | А] -г Ъ*и [/с], х [0] «=
где
ь' = _;_[?л0_1].
л
Примем и [А] -=•—Л'.г. JArJ. Тогда
,г[/.- |- 1) - (/’> — А*А ) -у (А-1.
Слсдопательпо, для того чтобы д[А]--О, достаточно выбрать К из
условия
| е,л° — Ь*К | <21.
33-i
ГЛ. 7. ЛИНЕППЫИ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
Если же принять
Ь* 1 ..< 'Л’
то при любом з° имеем установление. з.ч один такт! Но
x[/.J =0, A: >0«^u(A-| О, /с > (J •> х( г„) = 0, m(Z)=O,
тогда в силу исходного уравнении z(Z) 0. t т<,. Таким образом,
импульсное управление. состоящее на одного рабочего импульса»
привело ci (тему в желаемое состоя пив з- = 0.
Результат ле зависит от т,. Так что па первый взгляд цели
можно добиться сколь угодно быстро. Однако при малых т0 имеем
* Д
\ 'а /
т. е. увеличение быстродействия тр'ебует и в импульсной системе
роста коэффициента усиления. □
Напомним теперь общие положения, касающиеся возможности
стабилизан.пп для непрерывных п дискретных систем, и сам смысл
и тих понятии.
Непрерывная еш гема считается устойчивой, oc.ni
з(() - > О, t — О",
когда щ(?) (), и .г(/) ограничено, когда ic(t} ограничено.
Стабилизация па бале использовании непрерывных измерений
ж(А) заведомо возможна, ei.ui пара Я. 1} певырож.'геншт, а при пс-
пользовании неполных измерений i/ (I) » С'х (I) требуется еще непы-
рождеш1псть пары Яг, С'*-).
С другой стороны, вводя импульсную обратную связь и обесгс-
чииая стабильность дискретной системы, мы гарантируем, что
ж (.'ьт„) = л {/с] -»• Q при А: -»
когда ь-;*[А-] *= 0, п ж[А\| ограничено. когда гд*[/г] ограничено. Таким
образом, стабильность понимается в несколько разных смыслах. Во-
лее того, возможность введении стабилизирующей импульсной об-
ратной связи еле, хет из невырожденности пар Я*, В* и .(Я*)1, С\
где Я*, /?* связаны с Я, Н формулами (3.9). Неясно, следует лп пз
новы рожден пости пары Я, В не вырожденность Я*, />’*, иными сло-
вами, не теряется ли возможность стабилизации при пснольицвапии
вместо непрерывной обратной Свали лишь импульспг>п?
Все аги сомнения почти под юегью рагсеинаин-сл и силу след’,'
внцпх у।верждеппй.
*) УК11.<л11||1.н: V.ion in iiiiiii. диг-.:iki'ihi.ic. шч.ко.тг.ку В Ирг! 1 1.1Р1ЖДГН1 <i-
ств in.i::Mo:i;)ia ийпыл сгаГпьтплацпл сие и-мы, если сипслчпе.; ее 'шет-а саяп во
себе уст план вы (см. § •», гл. 6).
й з. импульсное упрлплнник непрерывными оеьнктлмп 335
Теорема 3.2. Пусть объект, описываемый уравнениями
d^Ar+ nu(t}~Gie(t}, a(O)=ie, y{t) = Cx(l), 1^0, (3.1С)
вамкпуг импульсной обратной связью, мк)нииой coontoutcкиями
u(J) — ч [A]p(t — Ar,,). Атс -.2I < (А- + 1)т.,. А-«=0, 1, .... (2.17)
н|А>]--Л>|Н (3.18)
J [А- 4- Ц = А *.Р[А] + В*и [Л ] + I, {у [А| - Сх- [Ар. (3.19)'
где ?/[/> ] = у (Ат.) и .1*. В* вычислены по (3.9).
а) Пусть 1\ и- L выбраны так, что матрицы .4*— П*К и Л* — LC
имеют собственные числа внутри, единичного круги.
Тогда- замкнутая система устойчива в том. смысле, что
иН1) = 0 =*- .r(f) при I-*- «>
и
I ю (t) I г;,. < -- I.г (/) I «Л с\ < «> при любых t.
б) Указанный выбор возможен, если возможно построение непре-
рывной стабилизирующей обратной свяли и выполнены дополнитель-
ные условия на величину т0. При различных с. ч. матрицы .1, рав-
ных Av, V = 1......«, условия имеют вид
/д 7 0, то'?6 2я/.<(?.„ —л„)-1. А = U, ±1, ±2, ..., г=*р, (3.20)
м!с.
7<!
р, = j '\')(т)гй, v -j f, .. ., n. (3.21)
о
До rcas я теа ьстпо. Указанный нмоор Д' п I, траптнручп'. что ш>с.'КЛ'1-
«агеаыюсгп *[A‘J- »[fr] ограничены при ограниченности we[A| (пытскакчвдй ня
<,1рапичонт)<ти u-(0} н сходятся к нулю при «•*['•] =0. Поскольку x{.Q| •
= xffcre), остается усганоппть. как ведет себя функцзнг .г(Г) п цромежупипые
моменты вромедл < 7j Ате. Имеем
i
Я il) -= /:'_"тв?я (1-Т(>) -- f [Вк (т) Gx [Ti] dT -
ftr
If
I- ел<'~г’р(.- -T)/Mra [M4-
nTn
• ( гл'-‘ е(т) dt при tT() < /< {It -|- f j r0. (3.22)
GiCjlon.iie.iKHo. yiiK'ioniiH .r.(f) в укл.1лщ|ом mn-opna.ic npc.icihii.ihkit гобой ли-
нейную комиипацию <iipaiiiriioiiiMX iie.iniiin г. >л paini'icinibiMii Kii.xfijHiitiiein.TMn,
т. c Ji.'i ' .p.iiiii iena. При »'(.'} —li имеем
[-’ ()' с и 14'-] I - ^14*11. ' < (* -I I)'*
336
ГЛ. 7. ЛЛНГ.1ШЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
где С|, с3 — положительные консташы, откуда и следует, что х(-')-» 0 при
* —г оо.
На устойчивость «висячих* члегей обч.ннта наличие обритой связи (как
непрерывной, тик и нм ly.n.ciioii) u.iiuitina ни окяаынаиг. Поэтому можно огра-
ничиться рассмотрением inio.'iui- управляемых н нлилк1д»|'мых обвекгои, дли
которых условием cr;i6u.Tii.'iitpy<>M<ir.iu г. помощью iciipupi.ii.iioii обратной сня-
4И1 является-11<'вы]н>;ндеи<югТ1> пар .1, Н и /Г, < •. (’.гл йилп.111руг»пс’1ь то с по-
мощью импульсной связи требует iii'iu.ipo.b.'U'iiiiociii Н* it (Я*)*, (?.
Исследуем условия, при конлрых
rank [Я ЛЬ ... «=> rank |//« A'/i* ... (Л*)-"1/;*] = ,<.
где п — размерность х и
т?
Д*^=/\ В*- Т)Ь>(т)0’т.
О
Пусть Я *= S;\S~', Л = diag {Xv}. Тогда пепосрсдстнгниые вычисления дают;
Я* - 5 diag |ЛЧ<| 5’1, Zi* - .9 diag {pv} t, 7 —
где определены формулой (3.21).
Поскольку .S' неособа, то досппочно проверить, что
rank {J ЛК ... Л’,_|{|) = л =>- rank (Pt, ... (1\Г}"~Ч>Ь} - я,
где Л* Л diag |/’v 7’Л diag {/\}. При выполнении 1-ю условия су-
itieeriiycT столбец q такой, что столбец А./ имеет псе ненулевые алсмситы (см.
§ 4 гл. 1>). Но тогда HiaiHuiiiriiu п 2с, ипг.кольку
dcl{e<; лТу ... (л*)'1 ЦОТД/ч. del {/ А*, ... <Л*)'-’} /-и,
V -1
если все и все я.тРмеиты Л* различны, т. с. пыпнлигио (3.20).
Аиялш ii'iito проверяется и то, что пепырожденцость нары Лт, (? влечет не-
вырожденность (А*)1, С'-'при иыцоапейпи (3.20). S
Слодстние. При выборе К и L такими, что матрицы /1* — 13*К,
А* — LC имеют только пулевые с ч., объект, замкнутый импульс-
ной обраткой связью (3.16) — (3.18), остана-влиеаетс.ч через времн.
не большее 2пти, в состонпиц. г = 0. если w(l\= 0.
При этом говорят, что импульсная система обладает бесконечной
степенью устойчивости. (Для доказательстиа этого следствия доста-
точно нспомпи 11. сдедстрие к Т.3.2.)
1сорема утверждает, что импульсная обратим связь является
oifiiJii-ifTiiiiiii.i.M средством стабнлнйацяи, не применимым только при
неудачном пыноре периода т.>
Пример 3.3. Рассмотрим влдачу о приведении и рапповеспе маят-
ника с помощью импульсной обратной связи. Уравнения движения
имеют лид
•с,= ^2, -т2 = — 0>Х и,
§ 3, ИМПУЛЬСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
337
так что
cos соо(
- ('V
Пусть используются прямоугольные импульсы со
' с
Тогда
««‘Vo 7Г“Пй).Л
Д = ° /,
-w^siuw^ '^%T0
cos <i>of
скважностью Дп,
4-f eA^-T)B(lr =
4
lb tC0£ % (To - Ло) - ««Vol
1
— -j---[•“" e>. (t. — A.) — sill w t 1
AgW^j i o \ о и.1 о
2л
Предположим первоначально, что т0 = —, г. о. управляющие нм-
‘%
пулы i.i сдвинуты па период свободных колебании; тогда А* = I,
п пара Л*, />’* вЫ/10йКЙС?гй, поскольку
del {//* /[*/;♦} - del. ГЛ* л*) - о.
Таким образом, при таком периодо чередования импульсов невоз-
можна стабилизация. причем этот вывод ие зависит от фирмы им-
пульса, что можно было бы выявить сразу по нарушению усло-
вий (3.2(1).
Примем теперь ‘° = 2ё>"' 1°гда
Кроме, того, будем для простоты считать импульсы очень узкими к
высокими, т. е. Д^тл <£ 1. В этом случае
s (Т.ЧАЛ
Б* еА'»П = А В = ’() “}
и
dell/»* -.1«{7«_П,} --^^0.
Приведение, в равновесие осущссгвляется из любых начальных ус-
ловий за 2 такта, если принять (при очень хшло.м Л.!)
п(()=^-м[Л-|, Лт„ < / < A‘Trj + ДЛ, А^С, f,
и [А] = — хг(А-ти).
33S
ГЛ. 7. ЛНПЕЯПЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
Формальную проверку этого результата предоставляем читателю.
Поясним лини, его физический смысл. Управление сводится к двум
тормозящим импульсам.
Первый, начальный, импульс затормаживает маятник в началь-
ном но.чожеппи Х,(0)‘/"(1. После этого и до окончания первого такта
5ираплеп п' не прилагается, так что маятник п свободном движении
доходяг до положения рявповесня. что займет 1/4 периода его коле-
баний. 1> этот момент 2-п импульс снимает накопившуюся скорость.
Па рис. 7.2 показана траектория дни
женпя на фазовой плоскости. Весь
процесс занимает время т.; 4- А„. □
Таким образом, импульсное уп-
равление обладает тем прспмущсст-
иом, что теоретически позволяет вы-
водить спетому точно в равновесное
состояние яа конечное время. Ко-
пе то. это лингв теоретический вы-
цуд: ведь для вычисления коэффи-
циентов импульсной обратной СВЯЗИ.
обеспечивающих бесконечную стслпяп. устойчивости, требуется точ-
но знать параметры обьеьта, л эго невозможно. В действительности
собственные числа окажутся отличными от пуля, по при малых не-
точностях модели этот сдвиг тдкжц должен быть мал, а следователь-
но. время вхождении в достаточно малую окрестность состояния
,г (.) останется небольшим.
Поэтому требование выбирать обратную связь из условия оигеив-
чг.нпя (с точностью расчета!) бесконечной степени устойчивости яв-
ляется и па практике популярным. Однако, во-первых, и мшнцсвяз-
поп системе это требование неоднозначно определяет выбор коэф-
фициентов обратной связи, а, во-вторых. неясно, насколько оно хо-
рошо с точки зрении интегральных показателей качества. Здесь воз-
никают и некоторые принципиальный трудности.
3.4. Оптимизация по квадратичному критерию. Рассмотрим пока-
затель
т
J iini \ М {г7 (/) С'.г (0 -+- и‘ (f) 7?» (t)} (it.
1 -Ou 0
(3.23)
Напомним (см. гл. 6). что минимальное значение этого показателя
достигалось на непрерывной обратной связи типа
н.1д(0=- Л%,.т(7) (3.24)
(при полных и (меиенпях) пли типа
Аща-НО
(3.25)
(при неполных и нс точных измерениях). Поэтому лучшей с точки
зрения показателя (3 23) импульсной обратной связью окажется
g 3, ИМПУЛЬСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ непрерывными объектами
339
такая, которая лучшим образом аппроксимирует законы типа (3.24),
(3.2;>), а это может быть достигнуто путем уменьшения шага дис-
кретности т4. Если же шаг дискретности ограничен снизу (в силу
невозможное тн чаще производись измерения или чаще поданат<»
управляющие импульсы), со это ограничение заведомо может лишь
ухудшить значение показателя, достижимее, па непрерывном
} при влезши.
Для того чтобы найти оптимальную импульсную обратную связь
при фиксированном тс, следует, во-первых, преобразовать выраже-
ние показателя / так, чтобы оно содержало только величины
tjA'], а во-вторых, решить возникающую задачу оптимизации дис-
кретной системы. Эта процедура в принципе осуществима, по-
скольку
a(/cTt.) = х[&], и(кт^) = (0),
а значения я(7), и(2) в промежуточные моменты времени даются
формулами (3.20), (3.24).
Тем но менее преобразования являются очень громоздкими,
м мы проведем их только для простей пи-го примера, из которого,
впрочем, будут ясны и общая формальная схема, и определенные,
качественные особенност и.
Пример 3.4. Пусть объект описывается скалярным уравнением
7\,х h(Z)I- ii-’(/), .?(())= z4.
Примем сначала U'(Z) О, a показагель cancel на—в индо
J = ( Ц3 +
Пусть требуется построить оптимальное управление w(f) по изме-
рениям з'[А'| = д1 (/сто), /т = 0, 1, . . ., ограничиваясь условием
u(Z) = «[H кт..^1 <(£ + 1)т0, fe = 0, 1, ..., (3.26)
т. е. используя импульсное управленце с фиксатором. Таким обра-
зом, выбирать можно только величины
Представим показатель в виде
/=£ { [^/)-м?(/)]т?Г.
* 1 Ч,
Пениг родстве иным ипгегрироваппен н а ходим
... ,1 а
х (А г, -I- 0) - -г (Ат,,) - ‘ и(/) </г =- | н | А I, 0 < 0 < т0,
1 |? /*| и
22*
340
ГЛ, 7. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
что, конечно, следует и и:« общей формулы (3.10). Отсюда
(* ! Vго а
| (z* (/) + и2 (О) dt = тор Ц1 + bx [А] и [А:] + (1 + -у)!<а 1*1)-
Ч>
где b lu/Z’o — безразмерный параметр, и
J = То V Ь* 1*1 + Ъх [А*] и [А] + (1 + -у) и? [А')],
л=(1 L
причем ,т[/ь + 1] = ,т[А] + &zz.[/c], х[0] = х„.
Тем самым задача сведена к чисто дискретной. В отлптяе от
задачи оптимизации обратной связи, решенной в общем виде (см.
§ 2), показатель J содержит слагаемые вада х[А-]и[А-]. Однако от
них можно избавиться простым преобразованием. Введем новое уп-
равление й[А-] так. что о[А-] — Д[А]— fjz[A-] и подберем 3 из условия
обращения л нуль коэффициентов при слагаемых афА]ггр]. Имеем
.т°- [А) + bx (Al £ [А] - р.г [А]} + (1 + -£) {«1*1 - fWlF =
= 7г^[*1 +T-“a 1*1,
о о
сел и
Теперь получаем стандартную задачу: найти п[А], к = 0, 1, .. ., мн-
пимпзпрующио показатель
j = S] + ™а 1*1}
fc-=0
при условии
z[A + 1] — <мг[/р] + А>«[А:], к = 0, 1, ..., ж(0] = х°,
где a = 1 — 6р. Применяя Т.2 3 и учитывая одномерность (скаляр-
ность) изучаемой системы, получаем, что при импульсном управ-
лении
Jорт = AJopr (x°)S, W-Орт 1*1 == Л-орт х[А ], Я’орт = 2 ,
г । " ‘ ирт
(3.27)
где А’иР( — положительное решение, квадратного уравнения
(I — fl~) I' -1- —:.-(J о.
С учетом зависимостей q, г, о от b можно показать, что
g 3. ИМПУЛЬСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
34!
В то ял? время нетрудно убедиться, что при непрерывном управ-
лении
4',‘г = — X (0, Л.рт — 'J'o (УУ-
Тем самым оказывается, что с ростом шага дискретности Тп Оп-
тимальное значение показателя растет (т. ц. у худшие гея’), хотя и
очень медленно:
(Ь) / 1 < т.
^-.pi + A^-l + jl.^ + cn ъ-±
Рассмотрим теперь более сложную ситуацию, когда возмущение
«’(/) отлично or нуля и является случайным процессом типа белого
шума с единичной интенсивностью. Показатель качества примем
и виде
т
в вновь будем разыскивать оптимально!? импульсное управление
с фиксатором.
Используем представление процесса .г(') в промежуточные мо-
менты времени:
х(Ап„0) л |А| I ~и(А] -I- я’^(0), 0<()<то,
J о
ГДС
п
Ы’,*(0) Д ~ I гр(Ат0 4- Т)г7т.
%
Тогда, действуя почти так же, как в детерминированной задаче,
можно получить, что
J = 4- Jim 4- 2 М+ ™г I*0 + (3-28)
о Л’-f» * ,1=0 - о
причем
х[А" + 1] = л.е{А‘) т btzfA'] + А- = 0, 1, ..х[0] =
где ip* |А| = Wft (т0), А “ 0, 1, .... дискрстпый «белый шум» с дис-
персией Ъ/Та. При таком преобразовании учитываются со-
отношения
Mk,;(())zlA]b 0, М[|ш’(тп)]2( -4-- у-.
‘ <’| о
о ‘1 о
342
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
для доказательства которых требуется аккуратное использование1
свойств белого шума ш(() как щюцесса с предельно малой корре-
ляцией (см. § 3 гл. 4).
Параметры «, б, г, q имеют тот >ко смысл, что н в детерминиро-
ванной задаче. Поэтому оптимальные значения м(/с| даются той же
формулой (3.27). (/HjnicTCTByiotn.ee такой обратной синаи значение
показатели вычисляется но формуле
J — J (1А ^и|'Г — 4- Р — ^Ч- — Т 1/1 4- _1_ьч
J OUT — орт \У) — у т- 2Т * ‘ о₽т — 7> — -'ey J ‘ ’
‘о л о 1 о v '
(3.20)
вытекающей из общего соотпошопия (2.30) для оптимального зна-
чения дискретного квадратичного показателя с учетом дополнитель-
ного постоянного слагаемого в (3.28).
При непрерывном управлении может достигаться значение того
же показателя, равное Лр;(0)— Раскрывая выражение (3.29)»
обнаруживаем, что при наличии случайных возмущений импульс-
ное управление при большом шаге дискретности оказывается суще-
ственно менее эффективным, чем непрерывное:
•^прт W . f ", . а . 1 >. . /)//.21 »,
<,,(Ч - ]/ 1 + 12 - - 1 + ' Ь * - ту °
Выявленные особенности на самом Дело справедливы и в общем
случае: мллульенщ? г/л/и?«лс«.чс щрфскгнвно дли обеспечении сгп-
билыюсти системы, ио оно хуже справляется с быстро изменяю-
щимися случайными возмущениями. Этому можно дать простое
объяснение. Действительно, в интервале между измерениями
обратная связь отключается, а управление ведется по програм-
ме, определяемой формой импульса. Вместе с тем программное1 уп-
равление неэффективно при наличии непрогнозируемых возмуще-
ний н, в особенности, при собственной неустойчивости объекта.
Если же шаг дискретности мал, то реакция системы па эти возму-
щения не успевает развиться.
§ 4. Операторный метод
4.1. Операторное описание. В теории дискретных it импульсных
систем широко используется и операторный подход, близкий по
смыслу к операторному подходу и теории непрерывных снегам*).
Введем оператор С сдвига на такт вперед, т. е. для любой поеле-
дов«1 ель пости {/|Л]} имеем
р/|/г|л/[А--|- 1J, А-0, 1, ... (4.1)
*) Основные рслулт.тлпл здесь принадлежат Я. 3. Цыпкину п подробно
в июжепы и [7.3. 7.4]. Прпппгал в цапнем параграфе схема пгеке.п.ки н-т.-шчает-
ся or методики Я. 3. Цыпкина и опирается па уерннчпаё окигихие н враетран-
сгве cociuaiiiia.
§ 4. ОПЕГАТОГПЫЯ МЕТОД
347
которую обычно пазыпа ют дискретной спектральной плотностью.
Опа. очевидно, 2п-периодпчпа но 0. Тот же термин употребляют и
по отношению к функции
5'г(з)Д S г’Ч.НЬ 0.2-г>')
J--м
которая определена только при значениях z па единичном круге,
т. е. при г •=< е"*, в как функция 0 совпадает с 5Г(0).
Для устойчивой системы справедлива формула
£у(2)= !Я1Ч,(2) PS,,(2) при z — е,(|, (4.2Г>)
(с’°) Л S* {0)— спектральная плотность установившейся реак-
ции. Доказательство аналогично приведенному в § 1 гл. 4 для не-
прерывной системы.
Поскольку 5Л<(0) и корреляционная последовательность .h'Jy]
установившейся реакции по определению связаны соотношением
5,;(в) = 51?(е|й)= S адЛ (4-27)
?--м
то
2:1
j ,$“(<)) rZO -» 2лЛ'.,|О|,
<i
откуда находим выражение дисперсии установившейся реакция
2л
Д, Д М {!Г (/<=)} = IО J = 27 j (0) (4.2«)
<1
Пример 4.3. Пусть — дискретный «белый шум», т. е.
Л[О] = Р.Ч /?$! = <>> ^0. (4.29)
Тогда по формуле (4.25) получаем
5* (0) = DKt (4.30)
т. с. спектральная плотность дискретного «белого шума» постоянна.
Дисперсия установившейся реакции па ито воздействие дается
формулой
2 Л 2 Л
Пи “ dr ,1 1И' |;s’« <0) (М ~ ZF j 1 z/-' lL> rflL (
u "
Для вычисления таких интегралов иевпльзуют либо численные мс
годы, либо епсццал1>пыг приемы теории функций комплексной иерс-
мсгпюй. Если вернуться к переменной з = с’", то (4.31) превратит-
ся в контурный интеграл (обход против часовой стрелки единичной
348
ГЛ. 7. ЛППСНПЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
окружности в комплексной ПЛОСКОСТИ с)
(*) Пги (-’) (4.32)
и, согласно теорем» Коши, дело сводится к суммированию нычепи!
в полюсах иодышегрдльпого выражения, ложащих внутри контура.
Для скалярного уравнения
р[/с + 1] — 0,5r/[/cJ = г[Л ]
имеем
^^(г) = г_0>5<
м из (4.32) следует, что
“ 2НГ Ф (г-0,5} («-‘-0,6) = D'" °
4.5. Решение задачи стабилизации. Пусть объект описан опера*
торным уравнением
a(£)y[*l~P№IM * = 0,1,..., ’ (4.33)
возможно пзмсроппо выходной нос 1одоватс.т1люстп //[А] и требуете,!
построить стабилизирующую обратную снизь, определяемую урав-
нением
/(С)к|/.-1=о-/с(Ру|А1, (4.34)
где Z(t), А’(ь)—многочлены от ц. Замкнутая система оклжеп'Д
устойчивой, если характеристический многочлен
A(z)=a(3)Z(z)-l-g(s)A(£) (4.35)
будет иметь все корпи внутри единичного круга. Как было показано
в § 1 гл. 3, при взаимно простых a(z), p(z) всегда можно выбирать
Z(s), Zc(z) так. чтобы корни размещались щюизвольным образом.
Подчеркнем однако, что для дискретных систем особо существенно
требование строгой реализуемости обратной связи
п,- A cleg I (z) > deg к (з) Д m(4.36)
поскольку оно совпадает с требованием неупреждающего характера
обратной связи.
Действительно, запишем (4.34) подробнее:
« [/с + mJ + Ztl/_iu [/; + п, — 1| + ... + 1ич [/г| =
— — A-rB/f/iZ.: -|- 1>1 ;1—... —/.(,у[A-J, к = 0,1, ...
Очевидно, что при невыполнении условия (4.36) для вычнеле
ппя значения управления в момент «/ погребуется знание выхода
11 будущем, в момент mf > П/, что невозможно.
Вместе с тем из § 3 известно, что при певырождеппостн объек-
та, эквивалентной несократимости a(z), ₽(i), существует реализу-
6 4. 01ТЕГАТОРПЫЯ МЕТОД
34»
смая обратная связь, обеспечивающая произвольное расположеяве
корней характеристического многочлена, если его степень равна 2гг.
При этом из условия
deg a(z)>dcg p(z)
(только такой случай и рассматривался в § 3'), следует, что п«л-
можен выбор обрапюй связи, при котором выполнено (4.36). Ко-
атому использование простых алгоритмов из § 1 гл. 3 также возмож-
но. если разумно задана степень г\(д)*).
Пример 4.4. Ураннвнпе объекта дано в виде
гД/с 4- 2] + 2у[/с + 1] 4- Зг/[А] = 3«[/i + 1J,
так что a(z) = z2 4-2z + 3, ^(;)=3z, п = 2, п?.= 1. Потребуем, что-
бы A(z)=za" = z4, непосредственно подбирая коэффициенты много-
членов Z(z), /c(z), определяющих вил обраткой связи. Из тождества
(z2 -I- 2z 4- 3) (г + Z.z + /.,) + 3z(A\s 4- A>) z4
получаем k = 0, Zt = — 2. A-„ = 2, A\ = 1/3, так что обратная связь
задается уравнением
(^-2£)HA-)--(4-£ + 2)*lAl>
п.тп
гг [А- -|- 2| - 2м| -|- 11 - ± г/ [ А -|- 11 - 2г/ |А].
Попробуем обеспечить Л(:)>-’г’. Это удается при ((;)- z, А’(з)"
2'
-------^-2 — 1, Т. С. ССЛИ
V
(J [ft I- 1J =у у [А + 11 +j/[A). □
4.6. Отработка сигнала п особенности метода
Пусть дискретный объект (4.14) уп-
равлястси обратной связью --
гг[А] =77/(0 (d*l + iVJA-J), (4.37) .
основы вяющсйся па пзме)>ениях
ошибки е(А'] слежения за желаемым
процессом //"[А].
компенсацгиы
г[А1 = г/'[А'3—(4.38) Гпс. 7.3
причем 11змс[и'пия искажены помехами ЛГ,|А’]. Структурная схема
замкнутой системы дана па рис. 7.3.
Тогда -|<1чио так же, как в гл. 3 (§ 3) можно получить формулу
с|/г| = (1 - If..{ t;) МА-1 -//,(;) v.L Н (4.3ч)
•) Нетрудно убеднты-и, что она молгет Сыть я меньше 2л (см. ввже, в при-
мере), если допустить использоиииие текущих измерении.
ГЛ. 7. ЛИПЕЙПЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
«50
где
Яа (£) - л<> ® ®11 >
•ЧА-1Д ?/'|/.'l-//v.F(i;)n’IA|.
Н ф. замкнутого контура //,(£) определяет обе компоненты ошиб-
ки — ошибку отработки сигнала х|/J и ошибку, вызнанную нали-
чием помехи Л\[/с].
Если задана желаемая п. ф. 7/з(ь), то по методу компенсации
формально может быть найдена п. ф. обратной связи, обеспечива-
ющая тождество
//а(£)^77!?(£).
Из него получаем полный аналог формулы (3 7) гл. 3
Н':
Hf (£) - Пй£ (£) \ . (4.40)
1 - it)
Поморян анализ, проведе.пиый в § 3 г.7. 3, приходим к аналогии
имя заключениям п пределах применимости (4.40).
Если ютребовагь, чтобы
(4.4!)
где а" (ь) — многочлен, имеющий корни кнутри единичного круга,
то выбор обратной связи согласно (4.40) еще не гарантирует устой-
чивости замкну топ системы, поскольку характеристический много-
член имеет вид (ср. с формулой (3.12) гл. 3)
A(z)=a(z)3(z)atf(s). (4.42)
Следовательно, метод компенсации непосредственно пе приме-
ним, если либо числа тел к P(z), либо знаменатель a(z). и. ф. объекта
имеют корпи, не лежащие внутри единичного круга, т. с. имеют
место те же неприятности, связанные с неминпяалы1о-фазозостыо *)
л неустойчивостью объекта, что и в непрерывном случае.
Дополнительные осложнения связаны с требованием строгой ре
алпзусмостн обратной связи. Перепишем (4.40) в виде отношения
двух многочленов
П (О it
"'Ы-Т(О «-в»-₽<«>•
Если обозначить
г “ йен а (ь) — deg 0 (£}, —deg а? (£.)’— (I‘‘-g£ (s).
•) Этот тернии it дискретном случае ври меняется, если числитель п. ф.
имеет не все корпи внутри единичного круга (н непрерывных задачах — не всо
корни в левой полуплоскости!),
« 4. ОПЕРАТОГПЫ ft МЕТОД
351
то для реализуемости необходимо иметь
Н —г^О. (4.44)
Услонпо (4 44) является дополнительным ограничением па выбор
желаемой и. ф. замкнутого контура. Его выполнение можно оГнч'нг-
чнть, приняв
lid (£)
"'<«> = ЙФ- (ii5>
где <z'(O, ₽’’(£) имеют од1 накоиые степени, причем а’1 (-) имеет
корпи только внутри единичного круга. Выбор п. ф. п виде (4.45)
означает, что выход заики; той системы должен обязательно запаз-
дывать относительно обрабатываемого сигнала на г тактов*}.
4.7. Выбор оптимальной п. ф. замкнутого контура по условию
минимума дисперсии ошибки. Введем предположение о том, что
сигнал s(A‘] и помеха? A’JA] являются стадиопарнымм ценгрирова i-
нымп случайными после юватсльпоотями, некоррелированными
между собой. Тогда, используя формулы (4.2G). (4.ЗУ), можно най-
ти спектральную плотность установившейся ошибки. Имеем при
s = е'", что
,$.(-)= И- Я.. (з)1 =.<?,( ) I |Я:,(с)1=Яд(-), (4.4h)
г.’Ю Л’,(::), снектрал! ныв нлотиостя л{А'| и А,[А] соотаег
спя’нно. Ягно, что для умсньик-нпн норного с.чаг.н-мого желательно
им. и //.,(<") ~ I, 0 () О 2л, а для \мгныпения второго — имен.
//J(e”‘)«0, О О =S 2.'(. Чтобы разрешить ото иротвиречле, мож-
но попытаться выбрать /Л, такой, чтобы минимизировать дпе-игдимно
установившейся ошибки, порожденной обоими факторами.
Поскольку
2.-<
D* = X J [11 - 1Ц (з) Г\ (г) л- | 1Ц (z) |г5., (з)) L=fiG <ЖТ (4.47)
э
то приходим к проблеме, аналогичной той, которая рассматривалась
в гл. 4. § 2—5. Переходя к переменкой интегрирования з = с'е, пе-
репишем (4.47) в виде
/),. = А-ф{(1 - Я3(2)1|1 -
(4.48)
Лва.тптичг.ское р. nirinir проблемы унпимизапви (4.48) можно по-
лучить в । рединложенви. что Л'.(з), Л’,., {г} — дробно рациональные
* Нсобхчд||'1<>с1т. ННСДС1И1Я такого апппздь-.наним моппю обосновать, рас-
смотрев, как в § -i гл. 4. мио;к№тко всех доаугглчык в. ф.
гл. 7, линейные дискретные системы
функции, представимые в ферме
,V (2) =
1() лянл4(г-Ч '
•?*(:)
ДЛ. (г) Ду (г"1)
<г> Ах (*”*)*
(4-49)
где 7А(з), И.(г), />»(г), /1/.(г) — многочлены, причем -4.(з), A„(z)
имеют корпи только лнутрп единичного круга.
Принс,тем результат в виде следующего правила *) построении
оптимальной и. ф., где учтена необходимость ограничить класс н.ф.
такими, при которых удовлетворяете» условие (4.45), а следователь-
но, метод компенсации приведет к реализуемой обратной синаи.
Правило.
1. Произвести факторизацию числителя выражения $’„(£) + *S-.-(z),
п олучи е пред ста ел етше
A(z)A(z'i) = .4,(2)zM2-*)^(=)/?.v(z-,)4-
+ /1.у(з)ЛЛ.(г-1)2?.(г)2?Д3-1), (4.50)
где А (с) илгейт только «хорошие.» корни, т. е. лежащие внутри еди-
ничного круга.
2. Произвести сепарацию дробно-раииональмой функции
Чг(з)Дзг
tt fc"1) AyG"1)
л (=~м) Л I-.}
(4.51)
г. е. выделить из нее дроби, отвечающие «хорошим» полюсам, и обо-
значить их сумму ’F+ (z).
3. Записать решение в виде
№(з) = С-
А, (?) Ид- (;)
Ч'4. (z).
(4.52)
Если- помехи отсутствуют (5.v(z)=0), то
А (с) = В( (z), Т (3) = г Я" (2) = Z- Ч'+ (3). (4.53)
Пример 4.5. Требуется найти управление прг], обеспечивающее
минимальное значение дисперсии установившепся реакции i/[/cj
одноме.рного объекта
г/рн- 11 = Яу[/>:] + н[Л-0)+ 4Н 0^0,
на возмущение njA] типа дискретного белого шума, ^„.(з)
«•const. При определении к|/с 1 считается возможным использовать
точные измерении значении ;/|/|, I С А\ пли, что то же самое, строить
*) Доказательство справедливости правила может быть произведено по
схеме, аналогичной доказательству Т.2.1 гл. 4.
§ 4. ОПИГЛТОРПЫЛ МЕТОД
353
связь в виде
4'd е[Ц
где r[/.]«=—(/[*], If—строги реализуемый оператор
В данном случив
причем
И*1“0. 4AJ -- /ММЧ л\|л-|«о,
так что
й = (2) Пк,ч (з-1) 5..; (г) --S V (г) = 0.
(z - '/) (г — u)
Поскольку помеха отсутствует, можно воспользоваться простыми
формулами (4.53). Имеем
^(3)=/^., Ч'(г)Фт(г) а^-, Я-*(2)=(—Y,
Найдем ». ф. обратной связи но методу комнопсацпи, т. е. по фор-
муле (4.40):
/Л(з)-<2 -«)?''-А-
— U
^бсясддемси, чго, прпияи г “ 0 •( I, обеспечим строгую реализуемость,
причем
Теперь можно окончательно записать уравнение обратной связи
в операторной форме
W] = -*(t№]
пли
a-au[fc I- 01 4- «-(e-‘’4/c -I- 6 - 1] -I- ... + w[/fJ = -«гф/г ± 0].
Сдвинем нумерацию, заменяя А + 0 па /г. Тогда
о.| /.] + ш(7с — 1 ] + ... + й/'г/[А — ()J =э — r/J+
или
----_ V
i ।
Эта форма записи ос >бо удобна при реллплацип закона управления,
поскольку текущее значение н[А1 вычисляется на оспоио получен-
ного измерения урс] и сохраняемых п памяти апачений управления
в прошлом (па 0 тактов назад).
^3 А. А. 1Ыр.1ОЗп,и«1.1>Л
354
ГЛ. 7. ЛИ111 ЛП1.1Е ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
Использование такого управления обеспечивает, что c[AJ =
= |1 -W)W
Согласно принятым выше обозначениям, получаем
= 'io|A],
<>1 куля
1ЛЛ’1=(1 + «Г’ +
j/lfr 41] = Н:[А.] + «ю[А - 11 -I-... + «”«-|А - (»|.
При 0 =» О имеем простейшие формулы
<4 А] = —«у1М {/Н + 1] = «‘[Н
которые можно сразу установить по исходному уравнению
р[А 4- J] = ш/[А] + »[А] "1‘ frf/с].
Поскольку ы[А'], — Н и-'[А —0] взаимно некоррелнрованы и
имеют одинаковую дисперсию £)а. то
... < „ лДе+i)
Du = Dm + а°Г)^ + ...+ а-"/)и. = • , £>wr
1 — а
где под I)v подразумеваете» дисперсия t/fA] в установившемся ре-
жиме, причем этот режим заведомо устанавливается при А > 0. L1
Приведенный пример показывает, что при отгу-п тннн помех
(точные измерения) и //’|А|и 0 легко найти управление, обггнечн-
иаппцое минимальную дисперсию в установившемся режиме.
В некоторых случаях можно указать cine более простые рецепты
построения закона управления. Пусть, например, описание объекта
приведено к виду
«(£)//[*] = РШФ1 + МСМЧ, (4.54}
причем
dega(?)«--deg 3K(u)= n, degp(£) = п — I, а„ = рип = 1,
многочлены [J, устойчивы, а — белый шум. Тогда, выбрав
закон управления в реализуемом виде
р С) «[fcl = [а(£) - р...(£) МА]. (4.55)
приходим к системе, где выход у определяется уравнением
Ру(5) (—.'/[А] + hJA])-=• (). (4.56)
П силу устоим И1ИИТИ р„. при /с — 00 приходим К yCiaiHHIinillti'Mye.H
режиму, где па любой реализации
- !/| А] + в | А| = 0 > (4.57)
Очевидно, что что значение минимально, причем устойчивость
гарантирует ограниченность дисперсии управления.
fi 4. ОПЕРАТОРНЫЙ 'МГТОД
355
4.8. Построение точной дискретной модели по заданному опера-
торному oiuuaiuiio непрерывной системы. Рассмотрим следующую
вспомогательную задачу.
1уе.ть снизь между управляемым нкодо.м п(/) п выходом //(/)
объекта задана с помощью и. ф. //„..(!)}:
,V(O =//.J !>)»('). (4.58)
Пусть п(0 ор гл чн зона но как импульсное управление, т. о.
и(/) = и[/ф(г —Ач.,), Лто 1 <(к I 1)т.,. (4.59)
где Tn — заданный период чередовании импульсов, p(t)—заданная
форма импульса. Требуется найти оператор /Л.у(ь) такой, что
If [ А‘ I = H'v (С)« [ А1, у [Л] л у (/ст0), (4.60)
т. е. ня яти п. ф. точкой дискретной модели объекта.
Принципиальная схема решения :>той задачи известна:
а) перейти от операторного описания (4.58) к нормальной фор-
ме согласно правилам § 1 гл. 6;
б) построить точную дискретную модель в нормальной форме
согласно правилнм § 3 данной главы;
и) naihu п. ф. дискретной модели по формуле (4.6), подставим
в пег вместо матриц /1, /> матрицы /1*, /?*, вычисленные в п. б).
Однако :иу громоздкую процедуру обычно можно заменить вы-
числением но следующей прпгтпн формуле.
Приняло, Пусть //„„.(I))— строго ргнли.п/счая п. ф., пр<:9сгавн-
лая в виде *)
п
//w;,(L>) <г-> с„ 4- __3___, Сщ. cv— константы. (4.61)
C“i ° - <v
Тогда п. ф. точной дискретной модели дается формулой
(S) = «=<!» (°) + У Cv---—, (4.62)
V=| {. — е о
где
гп
pv = J <?>’Л'(Г“-Г)р (т) Jt.
i>
Д о к а в а г й л т> ст и о сираведлпвостп (4.62) стищтгл t: проведению они-
enHunii процедуры в иГицсм вице. Согласно (l.lil) мошки вычти itepcKeinii.ic сг»
тояпия .г», vsn I, ,.п п. тонне, что
l>M0 — AvMO V — •... п. (4.<Я)
1/(0 - i] «vMO -I-«„«(') (4.(И)
v->
*) Если полюсы — кратные, то (4.61) иссираосдлпво. В ятем случае по-
обходпмый реау.в.твт можно получить предельным переходом о (402), вводя
предварительно малое расхождение между полюсами.
23*
356
ГЛ. 1. МИНЕИПЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
Тем самим произведено преобразование it нормальной форме с матрицами
А !=• diag {Av, v => 1, .... н) и П (I, 1, ..1).
Согласи» Т.3.1 имеем:
\
*v I* I- <i '••4'4jv 1*1 I I <>MV 1> <x> " I'l • ' ''v 1*1 -I- 'V I7>’
<1
или, в опери тир ном иплс.
х\ 1*1 •---ГТ” “ I*!' 0
fc — е V "
Поскольку
’J HI L у (**<>) - ii Vv (*‘a) + V (*%) = X H'l H- W “ I*!-
T'-l v-l
то подстановка в ато выражение (4.65) доканыиаст (4.62). В
Пример 4.6. Если связь «управление — выход* ляпа уравнением
0(7,0 I- 1)(Л1) + 1)у(0=«(0
и используетгп импульсное унран.'нненцее т.олдг истине с фиксато-
ром, т. е. р(1) =1, 0 < / < т„, го формул;! (4.62) позволяет найти
уравнение, <Л!|.н‘ДсляиТ|Ц1!е связь значений н|А‘| со значениями иых<1
Да J/И I llyc/Uj To" 1 Гогда:
л)^-.р(П)' Ч)(Г)|> -| 1)(Г,Т»-|-1}’ В - Л, 1 и Л2 1 и А3’
j ~ Т 1 т„
где ?.!=(), с, |, ?ч, = — —, с3 —-у-, 1-.Л = — —, с3 - ?.| ,г‘>.
6) р, = 1, = 7, (1 - е >), р, = 7„(1- с-'"’т0;
pgca+P,;-.-pn
г’ + 'У® + «,£ + «0 ’
где коэффициенты а,. 0, легко подсчпты-
ва ются;
г) у[А- -I- 3] т си»/|А* + 2] + а,//[А ’1‘ 1] ’I" ctMp|A j =
= 0ih[/c + 2| + 0,ир ‘I' 1] 'I- О
4.9. Решение задачи слежения с ноакнцып импульсной обрат-
ной сняли. Пусть требуется, чтобы выход объекта ij(l) с малой
ошибкой с(() отслеживлл желаемый процесс {/''(<)
Допускается носгроеино импульсной обратной сияли, оспонлнной
па измерениях ошибки «(/) и моменты времени = Лт<, искажен-
ных помехами Л?(0- (Обозначим с (А) д v (ЛтГ|), Л[А'| Л 1Ат„) и
попытаемся разыскивать дискретную и. ф. /Л(ь), определяющую
§ i. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
357
выпулы'ноо управление с обратной связью по ошибке но формуле
чададнсш+ад),
(4.66)
причем само управляющее поядойстшп и(1) формируется но и |А|
согласно (4.59).
Структурная схема такой 1пбри;щой системы. включиющей п
прерывную и дискретную части, представлена па рис. 7.4, где ппе-
де.п символ «ключа», Периодически намывающегося Дли инода ре
зультата измерения в дискретный преобразователь, а также блок
Л7 описывающий операцию модуля
нии. т. е. сопоставлении последова-
тельности {<ф/с]} процесса и(1) по
формуле (4.59).
По определению
£ (Z) сю t/3 (t) — 1/(1) =
= / (t)- /А.:У (D) w (7) - HuV (В) X
X «(nAsfO-j-W- 64.67)
где s(Z)—отрабатываемый сигнал,
объекта па управлиющео лоздейстнпс.
к [Л ] л tifAiJ = .q/rrj — у.. (Ат0) л Л[А
Рис. 7.4
а Ни •= 11ы„(D) и (!) — реакция
Имеем также, что
— Ни |А'] —
* 1Л | —/Л*,„ (£)« |*h (4.68)
причем и. ф. точной дискретной модели П,.|; (ъ) может быть лап-
дона по Z/„P(D) с помощью формулы (4.62). Объединяя (4.66),
(4.68), приходим к стандартной формуле типа (4.39)
ф-j п-ад) нм-ад) ад
inc JHi (£) — lit, (£) [!+//„ (L,) ]_|. но п. ф. разомкнутого контура
определяется через п. ф. точной дискретной .модели объекта:
ад>=-«:,,(□ ад>-
Тем самым задача импульсного управления непрерывным объ-
ектом формально сведена к задаче управления дискретной системой
и далее можно обратлтьсп к алгоритмам, описанным выше
в пн. 4—6.
Однако следует иметь в виду обстоятельство, уже отмечаишсесп
в § 3: формальное сведение является неполным, винду различия
целен управления непрерывными п дискретными объектами. Деи
СТ1П1ПУ1ЫЮ, во втором случае достаточно офюнечпть малость ошиб-
ки только в дискретные моменты Атв, а в первом — требуется
обеспечить малость ошибки в любой .момент /I
В дополнение к уже высказанным и конце § 3 качественным со-
ображениям отметим лишь следующий простой факт: если s(i) =
^=й. siiicof, то .фЛ'] = о,sin qtg/c, так что в периодической (с перко-
358
ГЛ. 7. ЛИНКПНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
дом т%1) выборке и<- проявляются гармоники с частотой, кратпой
<()(1/2, где <>« - 2л/тп. Следовательно, импульсная обратная связь
но реагирует п.-i их наличие, и ошибка может оказаться т.коль
угодно большой, если сколь угодно велики их амплитуды.
Вывод: если сигнал нредсглалмт собой гармонический про
цесс, час сота которого или заест uaji .««лес? принимать любое зна-
чение <0, nj диапазона О -Z (|) < <„я то период чередования им-
нульсос должен быть меньше, чем я/о),*).
Отметим в заключение, что иа основе гипотезы о гармоническом
характере сигналов и помех может быть развит сиетематический
подход к синтезу импульсной обратной связи, аналогичный методу
ЛЛХ в теории непрерывных систем (см.. например, [3.1]}.
*) При более сложной гипотезе о характере процесса $(<) (гипотезе огра-
ниченпиг.ти фурьеч'иоктра) аналогичный «ыноз следует из класелчсской тео-
ремы Котельникова — ШеицОпа п теории синаи {7/iJ.
ГЛ Л ВЛ 8
АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 1 Описание системы. Равновесные состоянии
1.1. Описание в пространстве состояний. Основная цель данной
главы — ана.тла особенностей поведения системы управления, вы-
зываемых нелинейным характером связей между переменными,
определяющими coctoiiihio как самого объекта, так и управляющих
устройств,
Еуде-м предполагать, что выбраны координаты а:=(х,, ..ж„),
значении которых и каждый момент времени t по.ч шк'тью опреде-
ляют скорости их изменения ,г и юг же момент времени
*-/М- (1-1)
Это позволяет тан же, ка.к в i । li, пазцЛть доктор j.(Z) иектпром со-
стояния «лс-тсмы II момент t. Однако в -отличие от гл. 6 допускаем,
что воктор-фуикция /(.с, I.) может нелинейно завлсцгь or состоя
ния х, л будем интересоваться именно качественными особен нос ги-
мн процессов изменения состояния, снизанными С нелинейностью.
GooTHOUiciiHi) (11) в скалярной записи
А = I,(х<, • ч 0 /^=1.
имеет форму системы я дифференциальных уравнений 1-го поряд-
ка. Если фиксированы начальные условия
x(f) =--(», (Г), .А(Г''))-зЛ (1.2)
то можно пытаться прогнозировать дальнейшее (при Z > Г’) изме-
нение состояния, интегрируя эту систему. Однако каких либо об-
щих методов точного интегрирования нелинейных систем по суще-
ствует Численное интегрирование на ЭВМ осунцч-гинмо только
дли каждою коня рог ноги задания начальных условий. ЕплеП тоги,
не исключено накопление ошибок, связанных с пароходом от (1.1)
к ко11еч11орал11остп«|й схеме. исщмн.зуемнн п любом методе числен
пою интегрировании. Поэтому для задач анализа систем управле-
ния с обратной связью, когда задано лини. множество (обычно бес-
конечное) возможных начальных условий, особую роль играют ме-
тоды теории дифференциальных уравнений, с помощью которых
3450
ГЛ. S. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
характеризуются качественные особенности решений, соответствую-
щих всем возможным начальным ус.кпшям. а иногда л полым клас-
сам функций /(х, 0, если нс полностью определен и характер этих
функции.
1.2, Равнопссные состояния и их устойчивость. 'Ган же, как
в гл. S, начнем с выявления равновесных состояний *).
Определение. Любое частное решение х(0 = ж = const на-
мывается рнсновссчмм состоянием системы (1.1).
Разыскание равновесного состояния сводится к нахождению по-
стоянного вектора х, удовлетворяющего при всех I уравнению
/(х, 0 = 0. (1.3)’
В системе может не существовать пи одного равновесного состоя-
ния, сущестж>вать только одно иди множество таковых. Это ясно
на примере линейной системы:
х .4 (0х-г г(0. (1.4)
Уравнение (1.3) является в этом случае линейным алгебраическим
уравнением
~/l(/.)r=r(Z). (1.5)-
Оно, как правило, не имеет ни одного постоянного решения. Одна-
ко, если rfZj^O, тц имеется решение .г • 0. Если /1, г постоянны
и /1 —неособая матрица, то имеет с.и единственное решение .с • •
== --Л_1г. Если /1 особая матрица, а г = 0, то имеется множество
решенип, соответствующих множеству равновесных состояний.
В общем случае задача вычисления всех равновесных состояний
или даже проверки того, существует ли хоть одно гаковос. нетри-
виальна, и для ее решения нет общих конструктивных приемов.
Численные методы позволяют с высокой точностью выявить одно
или лекоторыг равновесные состояния, если они, конечно, су-
ществуют.
Предположим, однако, что эта задача решена и найдено какое-
либо равновесное состояние. Возникает вопрос об его устойчивости.
Для лилейных систем (гл. 2, 6) вводились специальные определе-
ния этого понятия, для простейших нелинейных спетом (гл. 5) мы
ограничивались полу интуитивными представлениями.
Теперь можно дать строгие определения понятии устойчивости,
следуя схеме, впервые введенной А. М. Ляпуновым в 1892 г.**).
*} пят. между задачами, рлссматрикасмшп! к данной нипю в гл. 5,
111>.'1|>||(>|||> онпгщвинсл и § 2.
Н nnrn>nii:ci: время имеется oijiii.Mirrui литература, носг-шцеинля мате-
матический теории устойчивости. Далее icvi.uaiorcn -чини. отдельные фр.пменты
агой теории, особо важиып дли решения задач уирлпяснпн. 'Углубленnee ту-
•icuire требует знакомства со ст.тнл.чьпымп курсами (см., например. (8.3, 8.7]).
Наиболее «фииичиос» оппсякяя проблем устойчивости и вообще низ лита нели-
нейных снесем дано в классической книге [8.1].
§ I. ОПНСЛПИ1' СЯС7КМЫ. рдвно»1кены:< состояния
Mil
При этом удобно принять исследуемое равновесное сое гончие :ia
начало отсчета, но.ю.к'.ш .г 0.
Речи ине урлгян-нпя (1.1) при условии (1.2) обозначим
т(/, I", .с1)*).
Определение 1. Решение .г “ 0 пдзыиаетси устойчивым (но
начальным условиям), если для любфги е > 0 можно указан.
Й(к, Г)> 0 такие, чго
1х(/. i\ z")i <£, (1.6)
при всех х®, удовлетворяющих условию
1л.л1 <б(е, Г). (1.7)
В противном случае х неустойчиво.
0 и р о д в л е и и с 2. Решение ж = 0 называется асимптотически
устойчивым, если оно устойчиво, а кроме того, для любого i' суще-
ствует такое 6(2), что
lira | X (t, tn, Xй) [ = 0 при | a;ft |-<б(/-}. (1.8)
г-**.
Определение 3. Решение х 0 асимптотически устойчиво
по отношению к мноясег-1 ву .V11 начальных условии, называемому
областью нритян.е шя .нош pi тепля, сели при любых конечных /"
и /а,\ч решение .<•(/. 1", а.-") ограничило н bi.iih.uiihhio (1.8). Если
область притяжения совпадает со всем проггране твои состояний,
то решение х = 0 палываетск асимитогически устойчивый в целом
(глобально устойчивым).
Проиллюстрируем эти определения применительно к решению
х •=> 0 линейной системы
а: = Л.т, (1.9)
где Л const. Тогда
х (1Л Л х°) ~ еЖ~^х'>, (1.10)
Из спектрального представления матричной экспоненты следует,
что решение х = О
а) йси.мптютлческн устойчиво в целом, если все с. ч. ширины Я
лежат в левой полунлоекостн;
б) иеустопчиво. гели хотя бы одно с. ч. лежит справа от хищ-
ной осп.
В случаях, когда все с. ч. слепа, кромп некоторых, лежшцих на
мнимой оси (критические случаи), волможнл как устойчивость, так
н неустойчивоегь, по при огсутстпнп кратных с. ч. устойчивость
(по аспмт1тотнчгскан1) гарантирована.
) Здесь и днлос предполагается единственное гь решения.
ЗЙ2
ГЛ. 8. АНАЛИЗ HliJlllHCOlll.lX СИСТ1-1М
Пример 1.1. Пусть имеется одно (скалярное) уравнение
х, = 0.
При >том матрица Л имеет пулевое с. ч. Тогда Xj(f, t", х°)=х*.
Очевидно, что решение х 0 устойчиво, ио не зеимнтоттчеч-ки
(в определении (1.6), (1.7) можно принять б " г).
Пусть теперь имеется система
х, = О, Л = 0.
При этом матрица А имеет двукратное пулевое с ч. Вновь ясно,
что устойчивость имеет место Однако если система имеет виц
х( = хЕ, х, = 0,
то, хотя матраца Л имеет тс ;ке с. ч., равновесие неустойчиво:
х, (t, t°, х») = (z - /’) х? xj, х, (t, хй) = &
и при любом .Тоу-0 тйдется такое I, что x(j, t9, х") «уйдет» от
решения х = 0 больше, чем на любое заданное постоянное в, ука-
занное в определении. О
Таким образом, введённое ранее и гл. О определенно устойчиво-
сти лнш-йнон системы (19) но начальным условиям соответствует
попятит .'Н'импго!И'к'ёкон jетопчинпсin п целом он одипстпопного
равновесного соегшишя х 0 Обобщай, можно эаниелп,:
Определение 4. Система (1-1) называется устойчивой (по
начальным условиям). если она имеет единственное равновесное
состояний и это состояние асимптотически устойчиво в целом.
Предположим далее, что описание системы дано В виде
х = /(х, f)+ r(t), (I-И)
причем г(£) интерпретируется как внешнее воздействие (возмуще-
ние), приложенное к исходной системе, описываемой уравнени-
ем (1.1)
Определение 3. Система (1.1) называется устойчивой по
отношению к внешним войЬ'йствиям, если опа имеет единственное
равновесное состояние х - 0 и при любых ограниченных г(1) и пу-
левом начальном условии решение возмущенной системы (111)
остается ограниченным lipu t > t".
Очевидно, что для линейных систем это определенно совпадает
с приведенным ранее..
Как ужо указывалось, устойчивость по отщннспию к начальным
условиям и устойчивость по огшнненмю к внешним 11пзденстши1М
обычно являются ?кг-1атс.1ьиымп свойствами систем управлении
Однако, осли первое из них не удается гарантировать, можно
выдвигать п бнлсо слабые требования.
6 I. ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ. РАВНОВЕСНЫ В СОСТОЯНИЯ
363
(1.12)
сходящейся, полезен
pailHOIlOCIIих состоя-
О и р е д с л с и и с (>. Система (1 • 1) называется сходящейся *)
в окрестность X равновесия, .с = 0 X, если при любых конечных
(°, хс выполняется условие
.!?(/, хл)<а У, I
причем, если л" А. то I* = tn.
Иначе roluipH, любая траектория изменении состоянии не позже
чем к моменту I* попадет в А, а единожды нонан, не выйдет из псе
(рис- 8.1).
Конечно, тот факт, что система является
практически, только если его можно устано-
вить по отношению к множеству X доста-
точно малого «объема».
Неединственность состоянии равновесия
типична для многих нелинейных систем,
причем в ряде ситуаций практически без-
различно, к какому равновесному состоянию
придут процессы в системе. (Это, в частно-
сти. имеет место при достаточно малой зоне
нечувствительности датчиков- см. § 2 гл. 5.)
Поэтому полезное развитие
тойчнвости дает в следующее
Определение 7. Пусть А
пин системы (11). Тогда А называе.тен поточечно аеимпгчгнческн
усеойччным в цеяом, если при любых конечных tv, xv решение
x(t, t", я’) является ограниченным и
lini x(f, tl?, ,тв)
1К111ПТКЯ ус-
опредслспие.
множество
(1.13)
где х— какая-либо точка из А" (вообще говоря, различная для раз-
личных начальных условий (рис. 8-2)).
Еще раз подчерняем, что все данные определения устойчивости
содержат слова «при любых», а поэтому провер-
ка выполнения их условий невозможна путем
численного интегрирования.
1.3. Метод функций Ляпунова. Принципиаль-
ный путь проверки выполнении условий устойчи-
вости был указан А. М. Ляпуновым я известен
как агорой метой Ляпунова или метод функций
Ляпунова.
Приведем исиовиой результат и наиболее простой форме**).
•) tin многих работах здесь используется термин «дисснплтиипан г-истомл»
(К 6. 871
*•) тепремл 1.1 обычно называв н'л торой теоремой Ляпунова ' до в о.ч и сия-
ем Парблшпнл— Красовского, каеихицимся уг топчи пости в везом. Под дУ/дх
пдось и далее понимается вектор (матрица-столбец) С элементами (Tl'/wrj,
j •— 1, ,.., п.
364
ГЛ. 8. АНАЛИЗ HlUrilHI-.HIIblX СИСТЕМ
Теорема 1.1. Пусть существует (шффе.рс.пцирувжя скалярная
функция И (.г) переменных с.истчяиия системы вида (1.1) с.
f(x, () = /(«), обладающая при |.'с| =£ А -= const следующими свой-
ствами:
!'(())-0. !'(./:)> 0 при х*(), (1.14)
rfF (х) /«H'Vdx (ill'V1 . . . ... ,
—“fez щ* U) (км
Тогда состояние равновесия x —О лчлястся устойчивым (ио началь-
ным условиям). ,
Если условие (1.15) ммкпить на более жесткое.:
^^<0, х^О, |х|<А, . (1.16)
то имеет место асимптотическая устойчивость.
Если условия (1.14), (l.lti) выполнены при любых х, а кроме
того,
Т7(.т) ос при !.т| -> (1.17)
то х = 0 асимптотически устойчиво в целом.
Д о к л з а т и л ь с т в о. Рассмотрим г <]»*ру | Н = с sC It (гм. двумерную ил-
люстрацию ла рис. 8.3). Но теорсми rWn*piii грасса исиргрыпн.т функция Р(т)
диет л глет минимума F(**) = й и iiCKnio|i<iii точки х* пл сфере. причем и силу
(1.1-4) а > 0 С учетом непрерывности 1(х)
.7.4 и (1.14} устной влипаем, что слчцсс гиусг 6 <
<г такое, что
'^'Х О ^ •'(*) < « ори |х| <Д
/ Рассмотрим ириизполыюо решение сиетт>
/ /VeX f м,л "ячниаинцсесл из точки х(т’).
I ( \ ' ' \ / I |г(С’)| < б. и докнжем, что |х(;)| <е при
~-------Н v—j-/ Н—г- г^гп-
\ \ / ““'1 Предположил, что ято то? так. nt1 — пер-
\ / кый момент выхода решения на сферу:
\ / И?:)1= е-
Изучим поводопие функции У [г] па атом ре-
шении, т. с. функцию «.'(l' Д lz (х (<)|. Г1 силу
(1.15) эта фуикцпл зспозрастаюшал, а с.тедо-
1'ис. 8.3 ‘ кнтельни.
а > 1'[ж(^)1 > V[.r(?')J >а.
!1р'1Т111:орочне доказ1,!кн1*.т, что решение пс может ныйти и» сферы |х| т.о.
имеет место уе.тпйчношпч..
При условии (1.10) функции )•(•') мопототго убывает и, будучи <) Граниной-
пай ciiiiay, стремится к пределу с,„ ' • 0. Почт очевидно, что •= 0. Дейстни
толкни, предположим проги иное:
о
ем>0 =>| *(/)|>₽> й, »>*"•>-р <-у. т>0.
Интегрируй иоследнеа соотиои.-ение, получаем
i'[-Y(01 1 L-r(f) J — }’( < > f:,(
§ I. ОПИСАНИЕ системы, равновесные состояния 355
что прогииорёчпт положительности функции V. Таким образом,
lim )•' | z (?) | -> О,
Г .-О
<мкудп гра.чу следует лепмнпни'нч-клн у1!т<1Йчн«и>ст(>
lim .г ((.)-(). (1.18)
г -«•
Д>>||<1.<1111 гглъпое условия (1.17) iih.iiumhct устлионнть, что, накопи бы ни
было z{.‘") = х", ШОЩСТСЯ 1НК<Н< /I, ЧТО
1'(х) > F(j") = f'o при |х| > К.
В силу (1.16)
I'k'-'J *>=► 1*0)1 С «.
т. е. лее решннин ограничены
После этою установление (1.13) производится тик жо, как и выше.
Аналогично можно указать, какими свойствами должна обладать
функция Ляпунова, ДЛЯ ТОГО чтобы выполнились условия других
определений. Приведем, например, следующий результат.
Теорема 1.2. Пусть равновесное множество X системы (11)
ограничено. Пусть на X и в его ^окрестности определена диффе-
ренцируемая функция И (.г), облачающих свойствами-.
Р(.г)>() при х ил h окрестности .¥,
I ’(.г) 3 <> при х из А,
ЯГ IX) ... ,, „ , . л а,
—у;—- I) на jUoutiM решении з((. I , х), пика его .течения зажат
в окрестности. X.
Тогда множества X устойчиво (по начальным уг.шьимм). При
замене последнего условия на строгое кера вене геи имеет мести
асимптотическая устойчивость. При pat-rtpuciранении условий на все
пространство гарантируется устойчивость в целом *).
Вообще любому осмысленному определению устойчивости мож-
но сопоставить соогветстзуюшую теорему лянуновского типа, при-
чем докаэатс.тьет1и> таких теорем настолько стапдартизоващ), что
осуществимо даже с помощью логических программ ЭВМ. На са-
мом деле нсно, что само значение функции Ляпунова язляется не-
которым обобщенным расстоянием до множества, устойчннесть ко-
торого научается, и обеспечение не убывания служит гарантией
приближения к атому множеству, и папротнп. возможность возрас-
тания хотя бы по некоторой «щели», примыкающей к атому мт>-
жнетпу. свиделсяьствует о неустойчивости **).
Дс'й<-||щгелы1о сложные проблемы воапвкают, когда приходится
морсходнть к ши л |х>гпп1О функций Ляпунова С трмтуемымп
глин ст в я ми.
") В |3.б, с. Т.1.2 длин и более гибкой, но и болен сложной формули-
ропке.
♦*) Строгая формулировка состкотстпующего факта ни сыплется 'юорсмой
Чегасна [S.7, с. 246].
ГЛ. 8. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
860
§ 2, Построение функций Ляпунова
и критерии устопчпиоети
2.1. Квадратичная функция Линч нона. Наиболее простым обоб-
гцепием веян чипы отклонения от iiy.ieuoit) состояния является поло-
жительно определенная кпадратпчнал форма от переменных со-
стояния.
Такая мера отклонения от нуля неоднократно исполь.-юиз.ыеь
в гл. 5. Поэтому естественно попытаться использован. при иссле-
довании устойчивости состояния равновесия функцию Ляпунова
вида
F(x)=x’Rr, (2.1)
где Р—положительно определенная матрица. Вычислим ее произ-
водную в cu.iv уравнений
i = (2.2)
Имеем
= 2хР} (х).
В силу теоремы 1.1 и определения 4 в § 1, система (2.2) является
устойчивой (ио начальным условиям), если х = 0 — сии ветвенное
решение ураинсиня
/(.г)-0
и для всех х / 0 выполнено ус цлиц*
2.<7>/(х)<0 (2.3)
Отнюдь не при любых /(х) удается выбрать параметры функции
Ляпунова, т. о. элементы положительно определенной матрицы Р
так, чтобы (2.3) выполнилось прп любых х.
Выясним первоначально, возможно ли это по крайней мере для
линейных систем, гдо
/о(х) = Лх (2.4)
и /1 — постоянная пеособая матрица, так что х = 0 — единственное
равновесное состояние.
Условие (2.3) записывается так:
2xTR4x = /[ J'Р + РА ]х < О, х* 0.
Оно выполняется, если
А'Р I РА = -G, (2.5)
где G — любая положительно определенная матрица. Таким обра-
зом, задашпись какой либо матрицей G, например
С. и/. с/. > 0,
найдя из линейного уравнения (2.5) матрицу Р и установив ее по-
ложительную определенность (/’>0), мы докажем устойчпиосгь
8 2. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
307
сое гоя пил равновесия х ~ 0 системы
Итог путь дока.1этпи>еrun устойчивости известен под названием
матричного критерия .1 япушнт. Но ведь нам известен другой кри-
терий: для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все с. ч.
матрацы Л лежали и левой полу н.т<я-кости. Оказывается, что эти
дна критерия формально экяивл.-пчпны.
•Лемма 2.1 (лсжлгд Ляпунова}. Уравнение (2.5) имеет (при
G > 0) положительно определеакип решение тогда и только тогда,
когда все с. ч. матрицы Л лежит в левой полуплоскости.
Доказательство. Если .4 смеет «хорошие* с. ч., то существует мат-
рица
J -- еА11СеЛ1 .-П
(I
(все алемопты подынтегрального выражения экспоненциально убывают),
Нм«еи
№ оо
,1TJ - [ .к - [ ?’'СЛл,
г> и
ЛЧ = -С -JA,
т. е. 1 лннястся реп ил нем (2.5). Имеем т*с;ко
С. > 0 => J > 0,
поскольку
(x'J)T = [ (х°У е^'С^'х0 dl = j’ |y(f)lrG{< (0 dt >0,
о о
р(0 Д сА;х°,
так как
х-о 0 => у (I) #= О => уЦ1}Су (<} > О
при любых i J?. 0.
С. другой стороны, существование положительно onpexi-.ieuiioro решения
ураиивиин (25), как ужо было показано, досиночно для обеспочения уепшчк-
ВОСТИ и целом, но таковая имеет мости, тплт.ко если все г., ч. матрицы .-1 «хо-
рчшие».
Непосредственно матричный критерий используется редко, но
его связь с возможпоегыо построения функции /Ьтупопа внжна,
поскольку он может быть iiciio.ibuonan как промежуточный резуль-
тат при установления условий устойчивости нелинейных систем.
Теорема 2.1 (теорема Ляпунова — Пуанкаре об устойчивости по
линейному приближению). Пусть х = 0 — равновесное состояние
ГЛ. 8. АНАЛИЗ MEJlIlIJI'iTIIblX СИСТЕМ
3F.B
системы (2.2) и правая часть представима в виде
/(.r) = Az + /,(x), (2.6)
причем
,i"‘T7f“° (2.7)
hl -v 1 х 1
и А — имеет только «хорошись с. ч. Тогда х = О — асимптотически
устойчивое состояние равновесия.
Доказательство. Построим
У(г) = z’/'.r,
причем в силу леммы можно взять такие Р 0, что
г; = —ргР + /'л) >о.
Вычислим нрпизводпуго V па решениях системы
i = .-lz + /i(z).
Имеем
И = 2x?P[Az -f- />(»•)] = a:’[.--1,P-f-P/l}«-|-2r’71/i(x} = —, x'Gx -]- 2х'A'jif-c).
В силу (2.7) найдется такое й >• о, чи>
—г’б'т < О => —t-G.r -f- 2.г',/'/| (.с) С 0 цри |х| Л.
Т. с. ПМНОЛНСНЫ УСЛОВИЯ 'Г.1.1, ООеСНСЧ111ШЮЩШ) ЫИМИГОГН’Н'СКугО устийч!!
ВОСГЬ.
Теорема 2.1 влчлетую трактуйся как фулдлменталы’.оо обосно-
вание приема линеаризации (ио Тей-юру) «гладких» нелинейно-
стей и тем самым — и качестве «оправдания» использования ли-
нейных моделей для при ближе иного описания реальных систем.
Очевидно вместе с тем. что это далеко не достаточно» обосновании:
«грубым» по отношению к гладким нелинейным возмущениям ока-
зывается лишь «локальное» свойство асимптотической устойчиво-
сти. Более сильные результаты можно получить только для нели-
нейных систем специального тина.
2.2. Системы с безынерционными нелинейностями. В рамках тео-
рии управления, как уже указывалось в гл. 5, значительный инте-
рес представляет описание систем в вице структур, включающих
линейные динамические звенья и нелинейные статические (безынер-
ционные) звенья. 11а языке пространства состояний такие структу-
ры могут быть описаны с помощью уравнений, наеденных А. И. Лу-
рье в книге |8.К)|, сыгравшей ссно1юполагкюшаю роль в развитии
теории устойчивости систем управления.
Уранисопя л форме Лурье uucior вид:
x-A*+Hv, (2.8)
О •= Сх. (2.!))
v = /(«), (2.10)
g 2. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
359
где Л, В, С — постоянные матрицы, а /{о) —вектор-функция с ком-
понентами j — 1, ..., in, причем Oj — j-я — компонента пек
тора о. Предполагается, что
/(0)=0, (2.11)
а слсд«,|нлтс..т1.но1 х — 0, с-0, о — 0 — состояние равновесия систе-
мы (2.8)—(2.9).
Первые два уравнения (28), (2.9) описывают линейную часть
системы, а (2.10) описывают характеристики т нелинейных эле-
ментов (ПЭ), входом каждого из которых является скалярная пе-
ременная о>(/), а выходом—скалярная же. переменная ь‘.;(/)>
Рис Ь.-'i
Уравнениям (2.8) (2.10) можно сопоставить структурную схему,
нредстанлснпую на рис. 8.4. Эту схему можно «свернуть» (рис. 8.5),
вводя и рассмотрение операторную матричную п. ф. линейной ча-
сти системы
//..(D) л — (7[D7 — Л)-17? (2.12)
(от входа v к выходу — о) Введение п. ф. эквивалентно исключе-
нию «внутренних* переменных линейной части из
(2.9) и записи результата в операторной форме
o4-//,.(D)p = 0. (2.13)
уравнений (2.8),
Уравнения (2.13), (2.10) являются матричным
обобщением операторных уравнений (2.4) из гл. 5,
где рассматривалась система с одним (т = 1)
нелинейным элементом.
Рип. 8.5
Операторная запись компактна и удобна. Однако надо имен.
в виду, что ил-аа возможного сокращения элементов числители и
анамеиателл н. ф. в ней может быть потеряно описание «висячих»
звеньев линейной части системы.
Отметим, что уравнения (2.8). (2.9) с точностью до обозначе-
ния переменных совпадают с уравнениями многосвязиий линейной
2* А. А. ПсрБилчмкипй
| —^£)
370
ГЛ. S. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ. СИСТЙМ
управляемой системы (и— вход, —о — выход). Это формальное
сходство по.ниьтнет сразу указать, используя результаты гл. (>, что
несократимость Н, (1>) гарантирована, если пары матриц А, П и
j4\ С1 являются невырожденными. Можно было бы ограничиться
нсследапаннем только таких ситуаций. Вмести с тем очевидно, что
наличие линейных «иненчих» звеньев, выделяемых с помощью
структурной кчтре.мы (§ 2, гл. (>), почти но усложняет исследопапик
устойчивости системы как целого. Действительно, если хотя бы одно
такое звено неустойчиво, то неустойчива и система, если же все
«они устойчивы, то результат определяется поведением вполне свя-
занной части, задаваемой операторным уравнением (2.13) и нели-
нейным уравнением (2.10). Поэтому в дальнейшем не будет особо
оговариваться, что все приводимые результаты об устойчивости си-
стемы в форме Лурье справедливы, только если устойчивы все «ви-
сячие» звенья или их новее нет.
2.3. Условия устойчивости и оценки процесса установления Пе-
рейдем к выяснению условии устойчивости системы (2.8) — (2.10).
Теорема 2.2 (о раярешшЬщих уравнениях Лурье). Пусть фуик
ции /.(о,) удовлетворяют условиям принадлежности к секторам
[О, A'jj. k, > 0, г. в.
f-fa.X —
Л(0)«(), сг^о, /-1, (2.14)
Пусть пун. каких-либо О > 0, T™diajj(ij, j 1, • •, m) > 0 н у •
• di*g {r/i, / = 1, ..., ?«.)>() найдутся симметричная (нХ п) матри-
ца Р > 0 и (m X /() матрица ft, удовлетворяющие системе урав-
нений
А'Р + РА + h'h +<2 = 0. (2.15)
7Tft = /}тр + 4 -I- т(7], (2. Hi)
еде
ут-( — тЛ'-1 — qCB > 0, = dwg (/с,), С = {£',}. (2.17)
7’огда система (2.8) — (2.10) устойчива (по начальным условиям).
Доказательство. Нмьтжсм, что функция Ляпунова вида
™ °.?
V (х) - аг1>х + У, q J / (и) Jo., 0] = С «, (2.1В)
J-i <i
удовлетворяет условиям Т.1 1, ибеепечннапиним устойчивость в целом равно-
весного COCTU1HIHH х ™ <). Поскольку /*>!>. <1 > О, /j(Oj) >0 при О>>0, ТО
Г(х) > 0 при х /. 0. Очевидно также, что 1'(л) - ► <х» пря |/| - <к>. Остзегсл !Ю
<1
кнлать 1>трмц«Т1Ы<ынн:тЬ V {.с {<}). Имеем
7п m
=, 2РР (Их + nV) -I- У q(v;) -- (Их + Ifv) I У ЧрцС^х + Не),
i-l
g 2. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
371
Прибавляя в вычитая слагаемые
приведем это выражение к виду
TII
= 2хЧ> (Их -I- Hvl -I- С (X, (•) - V Т,Р;
i1
где пболплчеио
71. ж /
. v I \ 1
6’ {х, ь) £ > 4- I- V? I “ «•;
,=i L \
= игдС (Лх |- iJej — ртг (Сх — Л'"1!;). (2-20)
Б силу свойств (2.14) нелинейных функций, слагаемые (2.19) пеотрица-
тсльиы для всех к4, удовлетворяющих {2.10). Таким образом, если
IF (х, с) Л 2гтР (-4.Г -j- Л'р) -j- G (х, г) < и, (2.21)
то и
— Ci при любых х. I' =/= 0. (2.22)
ill "
С другой стороны, п силу (2.15) и (2.2(1) имеем
И'(х, е) =- —x'Qx — х'Л'Лх 4- t-’fo/?’/’ + 4СЛ -|- xL'Jx -J- eT[i?C/J — т№!|
откуда с пснолышвалиси (2.10), (2.17), убеждаемся и спраш-длииостп нродстап-
ления * ___
И'(.г, v) ™ — xl(Jx — |Лх — 'p-р, (2.2J)
что н докаи»п:йст (2.22).
Дополнение к Т.2.2. Пусть матуицп Л является гурьин.еаой-, тог-
да утверждение Т.2.2 сохраняет силу, даже если найдется вектор q
с компонентами произаольного знака.
Доказательство. Требование о >• 0 использовалось при доказатель-
стве Т.2.2 только к связи с обоснованием условия Т(х) > 0 при х 0. Пока-
жем, что опо сохраняет силу и г.ри о.казс от этого требования.
Неравенство V < 0 было устаповдепо для любых функции /н'о,). удовлет-
воряющих условиям (2.14), В частности, оно верно для линейных функции
/> = A-;OJf (2.24)
Докажем, что
/= 1......«<}
/1 (Я) Д А | Г<К(\ К — ding (Xj,
Гурвицев*, если Л гурвинеиа.
Для линейных /j(o;) имеем
V = х’/'х I 1. V «а-o’
F _ (2SI' + V
(3.25)
24*
572
ГЛ. 8. АНАЛИЗ ичлипианых СИСТЕМ
Если Л (А) имеет с. ч. па мпямой оси, то лппсйпая система
х = Лх -f- НКс «= Л(А)х
имеет периодические решения, ш> тогда невозможно, чтобы У < () ни таком pe-
nicillin, л сл1'до|>ат(‘Л1.г10, Л (А') при любых А", О <: К ё^К, ш* может иметь таких
ч. Вместе с тем Л(0) д имеет с. ч только к липой полунлостнгги. Винду не-
прерывной ин ни си мог. гн с. ч. Я (А') от А' они ио могут иорнйги нанрапо, ио пере-
ходя перса мнимую ось, что и докилыппет lyjiiiiuirnoc'i ь Я (А').
Обоаппчим
Р (А') - Р |- 4 7
1
В силу (2.25) имеем
Р(К)АЦК) + Л (A')P(ff) < О.
•Согласно лемме Ляпунова Р(К) > О, поскольку' Л (А') гурвицева. В частности,
имеем
у/-) Ар (2.26)
j
где суммирование распространено только па тс индексы, еде //у < 0. Теперь
легко убедиться, что
V (т) = хчРх \ У, 4j \ f) («;) л’;
> о
л,(- v («j =
Z } '
О
(о; \ «>
1 ftjuj - j f} (ст) do> I I V' ' ’ q-j /. (<r.} d<Tj > 0,
r> / ’ v
(2.27)
тде н последнем слагаемом суммируются только члены, где qj > 0.
Подчсркпсм, что из гурвицёзостн Л вытекает, что любая симметричпан
.матрица /’, удоалетноряющая (2.15)—(2-17), окажется положительно оиредслсн-
мой._Если .1 имеет некоторое число с. ч. справа, то это же число имеет матри-
ца Л (Я) при любых К, удовлетворяющих (2.2^).
Теорема 2.2 сводит проблему абсям-лтной устойчивости к чисто
алгебраической задаче о разрешимости матричного квадратичного
ураппении Лурье. Зпапие самого решении матрицы Р позволяет но
лучить И оценки скорости 11рнГ>ЛН)К1'.11ИЯ К рлвнонег.ному СОС 1'051111110.
Нрнкодсм один полгдный результат.
Теорема 2.3. Пусть найдена матрица Р. угЪ/влс.тиоряищая еистс.
мс (2.15)—(2.17) при О »™ ц/. р, > 0. Пусть — нанмсныасе с. ч.
матрицы Р i = Р + ' <ijk^C',Cj, я vF. — иаибольич’.е с. ч. маг-
J
рнцы Р'¥> = Р + tljkjCrCj. Тогда для решений системы (2.8) —
§ 2 ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЯ ЛП11УНО11Л
373
(2.10)
где
справедлива опенка
|х(г)|’<с;,
(2.28)
й - . (2.29)
Д > к я л л тс л ьс т п о. Имеем
°)
V (х) - epr -|-5?+) 9j j /; (";) AT; I У 9- f f} (<т;) dap (2.30)
о 1 о
Очеепдпо, что сиранедливо перавсистзо
. X1':-' • *» ч т„ . V<+> k> i.
xVx-l <j-} -1 aj < I (zj < я Px -r 2j ?;4°p
i j
откуда
Whg V (x) x’P<+ 'x, >
H.1I1
v.;x|4 I'M (2.31)
С другой стороны. Ti ходе докапатмьстии T 2.2 Гнило yc.T.4in.>i<.,iein>, что пЛ реше-
ниях х = х(<) системы (2.К) —(2.10)
глк чго при 0 |iI имеем:
< И' <х, v'l < - - хтПх,
ill ~Л ч -*
С уп him исранош'тки (2.31) получаем
dV и г/Г и i ni
г? < - г; ’’ - т Л r I* w <11"1 с
С учетом левого перавспства (2.31) прпходпм к окончательному результату
1 « (0 |2 < ~ г [:С (01 < — е '+ v [ J0I =
Да him jipoCTPiiiunii npiniop [8.4, с. 58J т'ио.пдюваттия получан-
noii оценки.
Пример 2.1. Ригсмотрк.м систему 2-го порядка
j. = —X, — 2.Г; — Р, .Г; (0) = О,
a « .г,, О i/а А 1, a /'0:
Ollii .1.11111сыв<н*тся и матричном ИИД1 при
Г I) 11 (О')
л = [„1 -2J- Й=1-и’ с‘ {I 0)1 " = 2i
374
ГЛ. ». АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Уравнение. (2.15), (2.16) запишем, считая <7 = 0, т = 1, 7 s = l/Zc “ 1,
<" м-(° -’С d+^(i °>-
Выпишем положительно определен нос решение при р = 1:
/л। “ 1,586, Ри = 0,5, /<22 = 0,586.
В данном случае (д = 0) имеем Р = Р1+> = Р<~\ так что достаточ-
но вычислить меньшее v, и большее v2 с. ч. матрицы Р:
v_ — v, = 0,377, V,. — v. — 1,79.
Оценна (2.28) принимает вид
27(f) -г ;с.7(0<4,2е_';,,'7а.1
Для сравнения заметим, что для линейных систем f = А.‘п, 0 'С k г-7_ 1,
имеет место оценка того же тина, по и показателе пкенопенты сто-
ит 1 вместо 1/1,79. 6J
2.4. Частотный критерий. Несмотря на желательность непосред-
ственного вычислении матрицы Р для построения оценок, наиболее
лажной проблемой «стае«и установление самого факта устойчиво
сти, а для а гою, как утверждается в 'Г.2.2, достаточно показать
лини, разрешимость уравнения Лурье., а нс находить само решение.
Оказывается, что иго можно проделать схЧцестисппо более про
стым способом, с помощью частотного условия В. М. Попова, вари-
ант которого (для случая одного нелинейного элемента, т = 1) ужв
приводился без доказательства в гл. 5-
Теорема 2.4 (частотный критерий В. М. Попова). Пусть матри-
ца А гурвицсва, пара А, В нсвырожденна, а функции />(о;), / =
= 1, ..., т, удовлетворяют условиям (2.14) принадлежности к сек-
торам [0, A’J. Тогда:
1) состояние равновесия х = 0, о = 0 системы (2.8) — (2.10)
асимптотически устойчиво в целом, если- существуют такие матри-
цы T = diag{ij}>0 и q = diag {дД, что при всех о>, —“ =< <•> < м,
выполнено неравенство *)
л (<о) Д iK-1 + Не [(т + in>g) Hl (гы)] > 0, (2.32)
где
П^р)^- С[р1 — Л] 'В, Н-1 = diag {1//г}.
•) Если 7. — матрица, то Но Z ~\7 Z1*'), где («) обозвзчеи ре.тультат
OI сраппи трл11сп<Л1ирп1ыппя в anxiem.i псех элементов на памплшег.во I'uupjian.'ti-
ные. При га 1, можно полоапт, х — 1, и (2.32) переходит и иерахевстко
(2.10) гл. 5.
g 2. ПОСТРОК! I III-: ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
575
2) При некотором Q > 0 и упомянутых т, у существует положи-
тельно определенное решение уравнений Лурье (2.15), (2.16).
Доказательство. Попытаемся найти такие /*, "J, что при заданных
т >- (J Q 0 для нсек х, v '/'О выполнено ттг.достио
IV (х, е) x'Qx -j- |hx — 7г p — (I, (2.33)
>;ie H’(j, г) определено соотношениями (2.20), (2.21), т. с.
П’(х, Г) = 2.еР{.4х -(-/?;•} г р'1»С(Лс4 «е) +т(Сх —К-'г;)],
U году ранее пред, шли гнзось, что х, о являются всгцесгисппымн. Усилим (2.33),
потребовав, чтобы Для ягсх комплексных х и t; выполнялось тождество
2Rc x!*’P(.lz + Dr) + J? (x, о) -J- | kx — ft' |! = 0, (2.3i)
где _
3' (x, о) Д Re (p(*> [qC (Лх I Bp) + т (Cx — K~y r;)] -p x<*4)x]. (2.35)
Лемма Якубовича — Налмана (Приложение 2) указывает, что для выполнения
иккдсстна (2.3ч) необходимо и достаточно выполнение частотного услош .
3[(:<в7 — Я)-о] О, —<» от оо. (2.36)
С учетом оиреде. енни £?(х, с) и матричного тождества
-!(/>/ — Л)_| -| I =» р(р/ — .-I)-’
условно (2.36) преобразуется к виду
Нс г '*,{тА'~| -г | (т + (.'си)]}|.' —
— Ho{e,*>[(iW — .1) 7т|•'(/[(W —/1)-»|ь) >0.
Очевидно, что оно заведомо выполняется *), если выполнено частотное перапен-
Cino 11>ч1<чн1 I2.-12) Тим самым гарянтнряняно еу 1Ц1Ч.1конаиПп h, v таких, чго
iiMcet MccKi (2.33). Одив1«1 штрудно убедиться, что иво зкнп1ы.'|гч| i по ураипе-
>|Ц»м Jypi.c (2.1.1) (2.17) (при докп:<л1с. ветке Т.2.2 устанавливалось оор.тпюе:
в предполо/кепми сучпссгвоваяля решения уравнений Лурье строилось тождест-
во (2.33)). Таким образом, доказало, что неравенство Полона гарантирует раз-
решимость ypaoiiemiii Лурье, т. с. п. 2 теоремы, а тогда и. 1 является црямым
следствием Т 2.2.
Доказательство всех остальных утверяхдеппй, приведенных в § 2
гл. 5, и их обобщений па случаи гп > 1 в;ол;ст быть построено по
близким схемам (см. [8-6]).
При :тгом ключевыми являются два момента: '
а) использование условия типа
пли
п>
( v, d<Jj 0
п
(лока.п.иых или интегральных связей), вы сдающих ил и родиол а га
смык свойств нелинейностей;
*) Нзяи (у = р/, при достаточно милом )i получим, что второе сл.чгаемоо
меньше первого, которое ио услонию Попова иоложительно и отделено от нуля.
37 С
ГЛ. 8, АНАЛИЗ ШСЛИПЕЙНЫХ СИСТЕМ
б)' преобразование требовании к квадратичным формам в частот-
ные условия с помощью леммы Якубовича — Калмани.
К сожалению, доказаттшьство самой леммы крайне громоздко,
и в Приложении 2 оно приведено только для случал т = 1.
§ 3. Элементы теории нозмущеппй
и зависимость от малого параметра
3.1. Ограниченные возмущения. Проблема «грубости» результа-
тов исследования по отношению к точности модального описания,
естественно, важна и для нелинейных систем. Результаты теорем
§ 2 гл. 5, дающих условие устойчивости для класса систем (успе-
ния абсолютной устойчивости) могут трактоваться и как гарантии
грубости факта установления, устойчивости ио отношению к нели-
нейным возмущениям определенного вида, т. е. к изменениям пра-
вых частей уравнений системы.
Вместе с тем возмущения пе обязательно укладываются в узкие
рамки условий тина «принадлежности к сектору», а следовательно,
ио обязательно гараитпруетсн, что возмущения ие приведут к по-
явлению отклонений от равновесного состояния в установившемся
режиме или даже к iiiroi'paiiivnniiioMy уходу от равновесия.
Приведем лишь следующий h|m>c.ivh результат 1')-
Теорема 3.1. Пусть для системы
т = /1 х -I- /?/(о), о = Сх. (3.1)
выполнен критерий В- Л/. Попова. Тогда система
х = Ах -I- Во -I- г(х, /), и — Цо), а = Сх, (3.2)
где r(x, t) ограничено по модулю при всех х, t, является сходящей-
ся в некоторое ограниченное множество X (является диссипа-
тивной) .
Доказательство. Согласно доказательству, яря веденному в § 2, ори
выполпеппп критерии Попова существует функция
И (.-с) — л'Рх -}- «у [ / (о) <?и (3.3)
о
тпкля, что се пропптюдпая в силу пснохмунюиюн системы (3.1) Г',;) удоплевпо-
рист условию
<"<>. С И'(*. е),
где И'(.г, г)—от]П1ц.1П'-'г1,1к) опрсделенннл квадратичная форма переменных
с, е. Изедпв;иел1.Н1>,
И’(-т, г) С —е(х! — г.д3, С|, еа > 0.
*) Более топкие утнераоюлпл об стоячппогтп по лолмущенмим имеются
в книге |5.7].
§ 3. О.ЧКМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЗ.МУЩЕНИЙ
377
Найдем теперь производную 1-'(дг) и силу уравнений (3.2). Имеем
Г(„. =.[^y[,lz+fir.J+^yr(.t, Г) - Й(|1 -| [2Pr + flt=C’]rr(x, f)<
<— — f.,№ + [ Д/'л 4- tfi'C’T г (*, I).
Вп-рля грунт слагаемых, и силу огр.шичеипосги г к того, чтп |е|- ]Л'о|
«= |лС.г,, pacin' нс Oi.icipee, чем линейно но х. Полому яайдон'н такое К, чти
<цк! |а-| Н
Йгг. < —СС < 0. (3.4)
Поскольку V (х) - ► оо при |х( -* <м, то существует ограиичснпос си > 0 та-
кое. что из условия
F(x) -> со (3.5)
следует !х| Н. В силу (3.4) любви траектория системы входит в мложестно
А. все точки которого удовлетворяют условию
И(г) с.> (З.б)
Ото множество ограничено. О
Подчеркнем, что в силу данных в § I определений дисеппатив-
погт). системы (3.2) влечет за собой устойчивость системы (3.1) но
внешним воздействиям *).
3.2. Аси митотический метод. Устапинлснпе только факта устой-
ЧИВОС1И и том более сходимости в множество с трудно оцениваемы-
ми «размерами» обычно не нилпогтын удон.нч норяют исс.чодовагеля.
li;Gl<liO НОЛНС1 изучить HQ-IMO/KIIiii' ВЛПИНИе КО1Н,рё,Т1Н.1Х возяу
Hieniiii oHiic.iHini системы, конечно, предполагая их в том или ином
смысле милыми. Для aiciii цели аффективным оказывает г-н исимпго
ГиЧССНий -ЧСГЦг) (МСТШ1 АЧТЛОс'Р норя.м<’.//«)
Пусть исходная (порождающая) система описывается уран
пением
х(х, t), (3.7)
а влияние возмучнекий характерпдуется малым параметром р (р >
>0), так что возмущенная система задастся уравкопием
х = /u(,t, t, р.), (3.8)
где
/„(х, f, 0) = Л(.л 7). (3.9)
Возникает вопрос, насколько близки решения .т„(7) и x(t, р) урав-
нений (3.7), (3.S) при одних п тех же начальных условиях
Х(Г, р) -х".
В учебниках ио теории дифференциальных уравнении, как приви-
ло, приводится следующее, утверждение.
Теорема 3.2 (теорема 11 у ника ре) Если </>>fitK4nt< t, ji) нс-
прерьюпо дифференцируемы тш веем своим г1р.,умекгв.и1 г<> при <?о-
•) Класс ниачутсняй здесь puciitiipen в-т ерлюк-наю с определении^ 5
«5 1, где г(г, 0 = гр) и рассмшривалесь как вгч.чниес 1юздействи11.
378
ГЛ. S. ЛПАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
/ (/)= i‘l
-V{r)=.vtl<-'),11-O ’ 4 ' глl I
H(f) =
статочпо малом ц
x(Z, ]i) = x<.(/) + jjx, (/) + /?(/, р), (3.10)
где R{t, р) -► 0 при ц — 0 как величина меньшего порядка, чем ц,
равномерно по t, решение (3.10) определено по крайней лере, на
конечном стрелке |/„. /с I 7', |.
Если функция /,,(х, Z, |i) акали гимна по всем аргументам, то
при достаточно .налом Ji решение системы (3.8) можно представить
в виде ряда
5 А* (О, (3-11)
л-м
равномерно сходящегося на конечном отрезке [Zt,, 1„ 4- 71,,].
Подстипонка представления (3.10) в уравнение (3.8) показыва-
ет; что функция x<(Z), называемая функцией чувствительности ре-
шений по параметру ц, удовлетворяет линейному уравнению
xl = A(t)xi + fl(t}, *>(0)=0, (3.12)
где
.v(O—.v0(O.ji- й*
а ?;.(/)—решение уравнении (3.7), удовлетворяющее заданному
начальному условию.
Следует четко представлять, что, вообще говоря, близость выра-
жения .r,,(f)-I-р.г.(Z) к решению возмущенной системы даже при
малых р гарат пропана лишь пд конечном интервале времени
Для исследования плплннл параметров на бесконечном интерва-
ле приходится применить метод Ликунова.
Справедлив, в частности, следующий результат [З.П, с. 85]*).
Теорема 3.3 (условие параметрической устойчивости «« малом»).
Пусть (функция /,,(.г, Z, р) непрерывно дифференцируема по у, ц
при всех Пусть функции, A(l), /,(Z) е (3.12) ограничены,
матрица Ф(£, т) фундаментальных решений уравнения (3-12) удов-
летворяет условию
|Ф(г, т) I < v > 0, с > 0, C<t---=Z,
а
| /ц (х, t, р) - /„ (х,, (У), I, 0) — [ Л (Z) * + цЛ (Z) ] | < С11 Г'’1 + с2р1' ''J’
где £ (1)Д .г— xfl(Z), v, > 0, с., е. > 0.
Тогда для любого б > 0 можно пойти такое р, что
l.r(Z) —з-ч(/)—|ы, (Z) | < Лр, t 7*/ц. И
Отмстим, в частности, что если исходное yiiaiiiieiiiie лпиейпо:
х — (А п + р .4,) х,
♦) П книге [З.С| имеется много других ihi.4c3hi.ix рспультат1»в о чувстви-
тельности ври регулярном вхождении параметрон (см. также [8.14]).
§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
379
где Лс, Л , = const, то для обеспечения параметрическом устойчиво-
сти и малом достаточно устойчивости матрицы /!<,*).
То ;кс порви для слабо нелинейной системы
а:«(Л.,+ ц.1,)х+ц/,(х),
где Л (х)—гладкая нелпнейнаи функция, удовлетворяющая усло-
вию Лпннпщи.
3.3. Сингулярные возмущении. Существенным условием приме-
нимости 'Г.3.2, Т.3.3 является также днфференцирусмос-т!. правых
частей по параметру, но крайней мере, в окрестности р = 0.
Однако это условие нарушается в ситуации, представляющей
фундаментальный интерес для теории управления.
Определенно. Назовем, следуя (8.5J. систему (3.8) сингу-
лярно возмущенной, если при ц -»• 0 хотя бы одпа из компонент
вектора /„ не ограничена.
Наиболее изучены сингулярно возмущенные системы, предста-
вимы с в виде
г. т), Й=^Л(/Д s,t); (3.13)
.7(0)=/, 2(0)= A
где вектор состояния разбит нл два подвекгора у, ", причем при
ц -• 0 скорость изменении переменных г(1) не ограничена (пере-
менные я(т.) называются мыггры.чм) Функции /„, /, при этом пред-
полагаются регулярно (в частности, аналитически) за висящим и от
п. Конечно, в уравнениях (3.13) при р, >0 можно сделать замену
.. , т
незаипепмон переменной, положив г = —, и принта к регулярно
возмущенной системе
§ = р/е (V. 2> 1’0, J = А (?/. S. ,»«),.
к которой применима Т.3.2. Однако приближенное решение, полу-
чаемое я виде разложения по степеням р. окажется пригодным
шшь на конечном отрезке изменения переменной t, а следователь
но, па малом (порядка ц) отрезке изменения переменной т, чти
неудовлетворительна. Поэтому следует использовать другие приемы
Вернемся к исходной записи (3-13). Уравнение для быстрых пере-
менных можно щ-реппсагь и в виде
KjTrs> *)-
Тогда, полагая р и 0, получим
1'(у, г, г) = 0. (3.15)
*) Это свойство как свойство грубости устойчивых линейных систем ужо
описывалось в гл. •», § 4.
3J0
ГЛ 8. АНАЛИЗ ННЛППКЙНЫХ СИСТЕМ
Построенная таким путем порождающая система имеет меньший
порядок, чем возмущенная при р. 0. Это явление называется вы-
рождением *), а система
g -/Л.'Л г,-г). Л(«/,г,1)-0, !/(0)-.V° (3.1G)
пазы вартся вырожденкой.
Напомним, что с явлением вырождения мы ужо сталкивались
в линейной теории: пренебрежение малыми постоянными времени
приводило к понижению порядка дифференциального уравнении.
Дальнейшее изложение посвящено обобщению представлений,
данных и § 3 гл. 4.
Основные качественные представления просты: при определен-
ных условиях малость и обеспечивает быстрое затухание переход-
ных процессов по переменным з, «быстрая» подсистема приходит
в «tnia3npaBiioiiCcnoe состояние», которое медленно меняется при
изменении переменных у и явно входящего в (3.15) времени т.
Если выразить с помощью (3.15) z черен у и т, 2^<р(у, т). и под-
ставить в первое уравнение (3.16), то получим систему пониженно-
го порядка
/.« 1'А Ф (V. т), т]. (3.17)
Спрашивается, когда такал процедура даег разумное приближение
к поведению исходной системы? Общин анализ этой проблемы дан
и цинге |8.5|. Здесь мы приведем лишь основной результат в не-
сколько огрубленной форме.
Теорема 3.4 {теорема Тихонова— Васильевой). Пусть при т ез
е[0, Г]
а) функции /Л,, h дважды непрерывно дифференцируемы по веем
переменных',,
б) уравнение (3.15), рассматриваемое как уравнение относи-
тельно быстрых переменных z при у и т, входящих как параметры,
имеет изолированный корень з = <р (.’Л т) при всех т г= [0, Г] ц у из
некоторой замкнутой ограниченной области, причем <р(у, т) не-
прерывна;
н) все собственные числа матрицы
df
л-(г) = 7~, GMS)
где проилеодпия вычислена на решгинп (/"(т), ia (1) “ q (уп (г), т)
вырожденкой системы (3.16), лежат к левой полуплоскости при
всех i;
*) Здесь термин «вырождение» имеет, очевидно, другой смысл. чем в теорию
лилейных систем (гл. (i, 7), хотя эти понятия взаимосвязаны ([С.б]).
s 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
381
г) решение z(t), I = ~ уравнения
= /,(,/, 2, 0), £^0, z(0)=»z° (3.19)
ограничено и стремится при I -* » к <[ (у", 0).
Тогда сущссгвусг такое ц, что при 0 < н < р справедливы
оценки
I г/ (Ь Н) — £А-( О । < GJ'» (3.20)
13 (Т, I») — Zfl (г) — л0 Q-j | С с,р, (3.21)
где Сх, c.j — константы, не зависящие от р, « /функция яв(1)— реше-
ние уравнения краевого эффекта {пограничного слоя):
л 1Л 2° (0) + Л, О], п (0) = ? (0). В (3.22)
Поясним смысл условий п результаты теоремы. Условие и) га-
рантирует аснигп’отичесную устойчивость «в малом» положения
ран понеси и 2 = ф(г/, т) уравнения для быстрых переменных, если
в нем у, т рассмотри каются как «ла мороженные о параметры. Усло-
вие г) требует уст«йчим>стм «в большом* по z, по при параметрах,
:1афикси|Ю11.1ипых па их начальных значениях. Том самым обесне-
чииастсн приближение решений цп;|.мущс11в<ш системы к поверхно-
сти, задаваемой уравнением
z • <| (//, t)^/.(z, у. i)- 0. (3.23)
Это приближение ие является «мгновенным», а происходит лишь
после затухании краевого эффекта. Доказано (8.5, с. 57]. что
|л(г) I (3-24)
где С), х — константы, причем к сколь угодно близко к степени
устойчивости матрицы ,4-(С1)- Поэтому
и затухание практически происходит через время порядка р, что и
оправдывает название «iqiaesuii эффект*
Отметим также, что при повышении гребованлй к гладкости
функции lv, /, могуг быть пострисны асиынтит.пчсскнс прб.итапле-
лия, даипцио сколь угодно большую точность (при досrarri’nio ма-
лых р)
* (Ъ р) == 2 I'* [W + л" (4) 1- i3-25)
I. о L 1
382
ГЛ. 8. АНАЛИЗ ПЕЛППЕ2НЫХ СИСТЕМ
Палпчнс затухающих функций л„ отличает раз.то и: с пне (3.25)'
от регулярного разложения (3.11).
3-4. Системы с медленно меняющимися параметрами. Простей-
шей сферон приложения т<ч>рни сингулярных ну змущепий являют-
ся задачи, во.тннкающпо при исследовании систем с медленно ме-
няющимися парлмсграяв. Рассмотрим систему, описываемую урав-
нениями
S = -U^(J/). J = г), У(0)^/. 2(0) = Д (3.26)
где ц > 0 — малый параметр
Нас интересует поведение системы на большом, но конечном
, Г л т 1
интервале времени I е и, —j.
Параметр р входит регулярно, и, как уже говорилось, можпо
было бы применить классическую процедуру поиска решения в ви-
де разложения по степеням р. При атом в пулевом приближении
получим
у = !/« =3 const, /. (/', 2).
Однако это приближение непригодно пл большом интервале, но
скольку переменные у, изменяющийся с милон скоростью ~р, sa
время Т/и могут «пойти от своих начальных значений на коночную,
но малую величину
Поэтому целесообразно ihmicth новую переменную: «медленное
иремя», т pi. и тогда уравнения (3.26) приобретут вид
Й = 14; = Л('/.’). .7(0) =/А г(0) = 2%. (3.27)
являющийся частным случаем (3.13).
Упрощающей дело особенностью является то, что «меллеппые»
переменные у могут быть вычислены независимо. Обозначим это
решеппе г/(т). Тогда для г имеем уравнение с медленно изменяю-
щимися параметрами
1‘^“= Л1?(т), zj = Л 1.7 (.»«}, г], z(O) = z°. (3.28)
В соответствии с Т.3.4 можно вычислить приближение к точному
решению г(т, р) п виде
z(t, p)Ai"o(T) -l-no[l), (3.29)
и. если выполнены условия теоремы, это приближение, окажется
отличающимся от точного решения по более, чем па малую величи-
ну порядка р на всем отрезке времени т е |0, ?'], т. e.tezl 0,-^1.
£ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ЗКЗ
Предположим, что функции Д, /, достаточно гладкие и, более того,
А (у, ?•) Д А2 (у) Z 4- 1г!1 (у). (3.30)
Нетрудно убедиться, что в :нч>м случае все утопии я теоремы выпол-
нены, если матрица Л,(у) имеет нее с. ч. и левой полуплоской и
при зиачепипх у па траектории у(«), г. е. линейная система
£ - Д (Т) z + А (т), (3.31)
где Лг(т)Д/1Ду(т)1, 7,(т)ДЛИ<7(т)|, устойчива при любых «на-
мороженных» коэффициентах /1,(т). «Вырожденная» часть прпб.ти-
жспного решении (3.29) дается формулой
МЙ^-ЛГ^тШт),
а часть типа «краевого эффекта» получается как решение уравне-
ния (3.22), которое в данном случае имеет простейший вид:
g --= А, (у«) [? (0) 4- л] + Др (>/") = Аг (0) л,
л (()) 2о _ (0), f=l,
т е. является линейным уравнением г. постоянными коэффициен-
тами. Можно выписать теперь явную формулу для приближенного
решения (3.29)
z (т, ;<)» - л" (т)7,- (г) + Ло,> 4- (О) /((0)J,
г е |О, 7 ]. (3.32)
Поскольку 71,(0) имеет только «хорошие» с. ч„ то краевой эффект
быстро затухает и па большей части рассматриваемо™ интервала
приемлемо вырожденное, квалистэтическос приближение, при
котором
г(т)~71г[<,’(т)]-74у(т)].
Обратимся теперь к проблеме синтеза управления с обратной
связью для системы с медленно изменяющим ней параметрами, ко-
торая рассматривалась в гл. 6, § 8 и записывалась и виде
== /1(цг) х 4- х(<Л) = л;°. (3.33)
Сравнивались два вида управления с обратной связью.
Минимальное .шачеппс показателя
ч
J {о} - ] I r.'Qx + м7б/1 (П. + .тт(t<)Q;X (Z.) (3.3/|)
обеспечивало управление с обратной связью
и и* = —А *а’, (3.35)
334
ГЛ. 8. АНАЛИЗ НКЛПНКЙПЫХ СИСТЕМ
где
к* = Н'ЧЗГР*, (3.36)
а Р* являлись решением уравнения Рпккагп
- ~ Л'Р 4- РЛ - РШГ'Н'Р -I- Qf P(t/) - Qf. (3.37)
Как оффектившш прнблнначни» расема грииалогч. управленце
и — й = —кх, (3.38)
где
к. !<~'ВЧ>, (3.3!))'
а Р улоняетпоряло в каждый момент t уравнению
ЛТР + РА — PBR-'IFP + Q - 0. (3.40)
Обозначим через г*(£, ц) решение уравнении
J = /l*.r, = А И*ДЯ-2?А^ (3.41)
а через .г (2, р)— решение аналогичного уравнения
= Ах, х{«0) = .г0, Я Д Я — В к. (S.42)
Яги уравнения шшсываюг Сингг тетвеино систему, замкну ।уш пнти-
M.t.Ti.iaitt (3.33) пли «замороженной» (3.38) обратными chii.iii.mii.
Срлипснпо требует оценки проигрыша н значении показателя
(3.34), вызван шяч) псппльзойаипем пени i п.мального управления,
т. о. различном между £* и х, и* н й. Ята оценка рыла сформули-
рована в виде Т.6.5 (гл. 6). Теперь возможно дать ее доказатель-
ство, опираясь па теорию сингулярных Втмущеннй.
Доказательство теоремы 3.5 (га. fi). Введем в уравнение 1’изжати
(3.37) переменную т = р(</— t). Тогда получаем сшнуллрва возмущенное
ypaiH№iino
ttP
ii^- — Л1> РА — Р£1П~1В-Р |- <?, Р |.^п — <Л, (3.43)
где парамокры япляются функциями медленной переменной т. Замечательно,
что ураппеппо (3.40) оказываетея вырояъдеиным но otiioiiiciihio к (3.43) п его
рептепке Р зависит только от т, Р = /’(*)• Ноашму сравнение Р* и Р может
йазц|.юваться на оценке, даиннмой Т.3.4*). Пеобх^щнмо iiepKoneHHUKiiu прова-
рить выполнение ее условии. Углошт л) о ли|[|фир141цнруем<"сли, очевидно,
г.ыно.чнлотея. Условие б) о па.чичии изолп|1:1ва1гпиг<1 корни н»> ibijihmotc.h, если
нпра матриц Я, В певырояедечшп при любых г и () > 0, поскгин.ку н асом слу-
чае урлипсиио (3.40) имеет cainicrnviiiioe пндожигсльно опргделеппча pciiicicii-.
Условие в) ukiiiiiki.-ii'iitho требованию устийчшюг.ти днирицы Л(т), что с.тпдуес
*) Дл.чсп пс.по.'н.лу тся Т.3 4 нримошнс.! .но неносре.чспнчшо к матрично-
му уравнению, хотя р саульта гы c.ciinpMy.iiipoiiniii.i и как торном случаи. По, оче-
лидяо, они сохраняют силу, поскольку любое матричное уранпопно можно p.ic
нпенть ио столбцам. Выражение 1|/’1 следует понимать как норму лектора, со-
ставлен nolo на столбцов
g 3 ЭЛЕМЕНТ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЯ з&;
»1Й стж'пл ИЛН]1у|6Ни‘ч 11 ХЯрнКГОр.Ч обратной связи (3.33). Наконец. условие г)
выполняется 11 силу теоремы Калмлнн (ТК.З, гл. (>) о сходимости решений урпи-
пепия 1’нккати из произвольной положип-л1.на определенной начальной точен.
Он.'i.-iriro 1.3.4 решение Р* уравнения (3.4.)) иредс галима к виде
/” I Л(т, b|0.7J, Jl7;,t/_,o. (З.Г.)
т
где I (<:},*] “ , дается уравнением краевого аффекта типа (.'22), а Л(т. р)—
по:реишость приблнаашнн
В дапной задаче уравнение крапин о эффек>а принимает вид
_ Ат(Т> (0) -|- П) -|- |? (П) 4- 1Г] Л —
- [Г (0) I- И] [;Ц-1ПХ [г (0) I Щ + (). П | = (Л - Р (П),
где матрицы .4. В представлены с нон мн значениям;! при t = 0. г. в. при t = tf.
С учетом (3.4ii) йтО уравнение кринимнет яид
dll
— =Л'П 4-11.4-llfi/f-'/J’H, [| |, _t< Of —/>{0), (3.55)
где .-( определено п силу (3.42) при г = t,.
В Т.3.4 дана оценка
Па(т. р)П <; с|(1, (3.16)
где г — конгт.тнгл, не зависящая от ц.
Криме тиг1» ныло указано па < iip.i№*-rnn<'i<-rh :н« нонанцил.н.ной оценки пи
да (3 24) для скорости затухания краевого и||фок>и. чин чк>
l,VS)ll=£V“V'-
еде "р может быте взято сколь угодие близким к степени устойчивости л;шса-
|ШД| । на иного ураянения краевого аффекта (ЗЛй).
tl данном случае липсари.зопапнос уравнение подучается путем отбрасы-
вания в (3.45) квадратичных слагаемых. Можно доказать, что степень устойчм-
«юс1и такого матричного уравнения равна удвоенной степени устойчивости век-
торного уравнения
где матрица Д зафиксирована при f = ft.
Таким образом, мы доказали, что при достаточно ма.тых р > 0
[Р* (т, р) — В (т) ПСсос '“t-CjH, 0 (3.48)
Поскольку (3.42) также можно записать в сингуинрион форма, введя
т> = д(г — Дт) = ?'о —т,
р ,4z, х (0) = г0, Т] > 0, (3 49)
где Л зависит только от медленной переменной г,, то и для его решения
з (Т|, и) можно ааиисагь аналс» нчную оценку
_v 11
l;(Ti’ll)|CV U,lW- °<Ti^7’o-
25 л. А. ПсрнсыиаисьнП
sse гл. 8. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
где Ио, rf|, — константы, причем т<, можно взять сколь угодно близко к степе-
ни устойчивости матрицы Л, но при значении т, = (j. т. о. t -= Ч.
Теперь для оценки upouipuuia п япвчеяпк показа геля вспольвусм ого пред-
ставление (8.17) > J. В, ил которого елцдусг, что
Ч
J (И) _ } {и») 4- [ |« I Я *л|т Н |и ] Я »z| dt, (3.5!>
*о
каково бы ПИ было упряклеило и (/) л определяемое им пзмспепис состояния
x(t). Б частности, для управления (3.38) получаем
Д7 л j {й} — / {«♦} = [ хт IX* — Я ]' Н |К* - Л ] z dl ч
*о
7
с- ( [Р* — Я‘| [Р* — />] х dt. (3.32>
%
Теперь остается произвести оценку правой части (3.52) с учетом неравенств
(3.48), (3.50):
7о
Д-/ < р"1 | U (т, р) |’ | Р* (т, р) — Р (т) f || 7) it) 7?-’Рт (т) 1 <7т <
и
< я«“* I (v Тв(Га’ )I1 I rf(p) (v T,q“ -I-Si1) iJ'T-
О
тДе я A max Г p (т) I3r (т) Ц. Лелосрслствсииос. интегрировлиие вправок
= ГС|П.Гг.|’
части (3 53) приводит теперь к оценке, ук.чхлшюй в Т.8.5.
Доказательство 'Г.8.4 окажется упрощенным вариантом доказательства,,
оимейппого выше, если принять Т = 2«'|i-
Проведенный в ходе доказательства анализ поведения рпшеншт
уравнения Рипкати интересен и сам по себе как пример приложе-
нии теории сингулярно возмущенных уравнений к нелинейпы?.г
задачам (см. также [6,6] и [8.13]).
§ 4. Периодические решения.
Аптоколсбапни и вынужденные колебания
Рассмотрим первоначально системы, описываемые уравнения-
ми вида
S-/U), 0-1>
где в правую часть время I не входит. Как ужо, указывалось в
гл. 5, уравнения (4.1) могут иметь как постоянные частные реше-
ния, так и частные решения колебательного характера, в частности
6 4. ПЕРИОДИЧКСКИК РКЩКПИН. АВТОКОЛЕБАНИЯ
347
периодические решении, удовлетворяющие. условию
х(«+7’)-х(7) (4.2)
при некотором 7‘ > 0.
Если периодической решение нс иечс.тяет при Miiji.iv htmimio-
пнях характеристик системы (лклжтгя «грубым») и, более тоги,
устойчиво по отношению к милым изменениям начальных условий,
то в реальной системе, описываемой ми гем,н няшкой моделью (4.1),
домнз.’но позпикновепио авгиКолебпннй.
Для разыскания нирнндических решений используются два
принципиально различных подхода.
4.1. Методы типа Пуанкаре. В методах этого типа осуществля-
ется поиск начальных условий х(0) = д таких, чтобы соответствую-
щее этим начальным условиям решение x(t, g) уравнения (4.1)
удовлетзоряло требованию периодичности (4.2).
Иначе говоря, разыскивается п+1 параметр (g, Т), удовлетво-
ряющий уравнению
a(U)-G- (4.3)
Как правило, найти в линий форме зависимость х(<, £)' невозможно
Численное интегрирование позволяет это сделать с достаточно вы-
сокой точностью, ио лини, при конкретном задании начальных ус-
ловий £. В таких ситуациях говорят, что функции задана алгормт-
мичсски.
Процедуры поиска решений уравнений при алгоритмическом за-
дании входящих л ногу функций изучаются к вычислительной маге
матине*). Здесь нее. мы ограничимся анализом .тишь частных клас-
сов систем, где уравнение (4.3) может быть представлено в более
явной форме.
а. Линейные системы. Пусть
Цх) = Ах, ' (4,4)
где Л. — постоянная матрица. Тогда
х(1Л) = сл,с.. (4.5)
.-и уравнение (4.3) приобретает ниц
еАтВ “ б- (4-6)
Это уравнение однородно по q. Для того чтобы опо имело пе.три-
ипа.тыюе решение £/(), необходимо выполнении условий
<icl(Z —сч,1 «0 (4.7)
при некотором 7’>0.
•) Некоторое представление об этих методах длин ниже, в гл. !), § 7, гда
пр введены л ссылки на соответствующую литературу,
25*
388
ГЛ. 8. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Предположим для простоты, что матрица Л приподимл к дна-
гопал ыюй форме. Тогда (4.7) аквиналентпо
JI(1-^VT)“O. 0-8)
V
где X» — с. ч. матрицы А. Очевидно, что (4 К) выполняется, если
одцо из А» лцжиг па мнимой оси, Av — мп». При атом период равен*)
1 = 7’v “* ~ > *•*« =/- 0. (4.6)
13 качестве искомого начального уел о пин может фигурировать
любой вектор удовлетворяющий однородному уравнению
[7-сЛ74} £ = 0. (4.10)
Вывод: линейные системы допускают периодические решения,
отличные от постоянных, если матрица имеет чисто мнимые с. ч.
Эти решения не являются изолированными. по начальным усло-
виям (если £* =А О удовлетворяет (4.6), то и ас* при любом а.
удовлетворяет (4.6)).
Свойство периодичппгти «негрубо» по отношению к изменению
параметров, поскольку малые изменения могут принести к смеще-
нию с. ч. <•_ мнимой оси. Автоколебания итсу тствуют.
б. Непрерывные кусочно линейные снегсмы. В к\сочно линей -
пых системах построении зависимоеreii х(/, £) мп,нет быть осущв-
Рис. 8.6
по примем, что
CTH.iriio путем непрерывного «сшивания» реше-
ний, описывающих изменение се состояния в пре-
делах каждой зоны линейности.
Для демонстрации згой процедуры рассмот-
рим уравнение системы с одним нелинейным зле-
ментом
~ = Лх-]• Z?u, г= /(о), о = С.г, (4.11)
где Л. Э, С — наслоенные матрицы (7? — столбец,
С — строка). Функцию /(о) предполагаем ку-
сочно лппсйиой, причем /(0) = 0. Псрвопячаль-
имеется только один «излом» (рис. 8.6)
( A’.iO, <t5sO,
«<о. <u=>
Пространство состояний разбивается па два подпространства
(см. двумерную иллюстрацию па рис. 8.7), в црщшлах каждого из
•) IJ случае нулеппго корил (4.Я) удонлетнпрпстся при лю<км Т, т. о. пе-
риодическое решение является постоянным. Огл ситуация уже рассматрива-
лась в { 1.
* 4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЮШ-ПИЯ. АВТОКОЛЕБАНИЯ
3S9
которых изменение состоянии описывается линейным уравнением
= И tr, ^ i- zl + к । ВС. при С.с^ О,
(4 13)
"» .4_.г, А . А А -| к-ВС при ( cs^O.
Попытаемся искать /'-периодические частное решение т(/, £),
для которого
Я(О, £) = £, о(0Д) = б£^0, о(/Д)>0, t
a (ft, Ю = Сх (?1, с,) = о, o(f, exo, /]</<: г.
Иначе говоря (см. рис. 8.7), движение начинается с точки, лежа-
щей на разделяющей гиперплоскости*),
С х = О,
и внутри периода (в момент fi) происходит одпп переход через
лее из (+)-подпространства в (—)-
подпространство.
Состояние системы в miimi пт пере-
хода дается формулой
и условно псриодичшц'ти требчт, чтобы
х(7')= /-(r-fi)A(fl+) = £.
Таким образом, периодические, решение описаппого типа может су-
ществовать, если найдутся такие константы Е, ii, Т, что
£А_(т-?1)елн<^ = г. „ о, Сел+г'е = 0. (4.15)
Мы вновь пришли к однородной по £ системе. Поэтому либо най-
дется пеединственный вектор па чал i.пых условий, которому соот-
ветствует периодическое решение**), либо решения нет (см. При-
ложение 2. п. 46).
Ясно, что общие свойства периодических решений системы (4.13)
те же, что и общие сйонства периодических решении линейных
систем: они не «грубы» и не изолированы. Иначе говоря, нм не
могут соответствовать реально наб-нодаемые автоколебательные
режимы.
Рассмотрим. наконец. случай, когда нелинейность имеет два из-
лома (рис. 8.8), причем дли 1)>1>гн>гы выкладок ограничимся
•) При п = 2 ато престо прямая.
**) Требуется после нахождения решения (415) доис-.11]|1тг.1Ы1о иринерцть
кыполпеиие гипотезы об одном трсходс о(<) через пуль аа период.
390
ГЛ. R. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ систем
симметричным случаем:
/(о)-
а - А, гт Л,
О, |о|<Д,
о -Ь Л, о — Л
(4.16)
пслиисГнщстг. тина «зоны нечувствительности»). В фазовом прост-
ранстве имеются три области ли-
нейности (рис. 8.9), разделяемые
ги । iep плоскости м и С’х = Л. С.с =
~-Д.
1*ис. 3.8
В силу симметрии системы можно попытаться искать симмет-
ричные периодические решения такие, что
®(« + у) = -х(/), х(/+7) = x(t). (4.17)
Выберем начальный момент так, чтобы (рис. 8.9)
ж(0, S) =§,
о((), В) = б$^Д,
причем предположим, что
<ФЛ)>Д.
а
о(«*Л)-л,
т. о. I*— момент выхода в «зопу нечувствительности», и |о(/, |)| <
Т (Т \
< Л, I* < t <Z —j о a r-^-, £ | «= — Л. ){ силу принятых предположе-
ния можно нано выписать зависимость решения от начальных ус-
ловии £ и параметров I*, Т. При 0 < t =5 I* имеем
х- = At + ЛС'.г — 7/Л;
я(0) =» £ => х(«, ;) = e V? + Hf1 (7 - сА') /7Д, Д Л + IJC\
I 4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ. АВТОКОЛЕБАНИЯ
391
а при используем другое линейное описание:
хго-Лл-, « x(t*, 3)-> .т(1) =
Для нахождения £, /*, 7' получаем систему уравнений:
Сс = Л, Се” |‘Ч = - С71 Г1 (/ - <А'*) ЯД + А,
/Сг-'’V’i^ + с = - 1 (I - г>;*) /?д.
Из последнего уравнения можно найти вектор Подстановка
результата в первые два скалярных уравнения дает два трансцен-
дентных уравнении, из которых можно найти неизвестные пара-
метры I*, Т. Хотя доведение выкладок до конца в явном виде пе-
ноаможно, ясно основное: при фиксироваппых <*, Т вектор опре-
деляется единственным поразим, корпи трансцендентных уравне-
ний, как правило, изолированы и непрерывно ывисят от парамет-
ров системы. Следовательно, здесь возможны автоколебания.
в. Системы с разрывными кцсочио-линейнымн нелинейностями.
Вновь рассмотрим систему вила (4.11), однако допустим, что функ-
ция /(о) не является непрерывной, но каждому участку непре-
рывности /(ст) вновь corn нс тс гнус г линейное описание системы
в целом, и можно вновь пытаться строи ть зависимость ,т(<, £) пу-
тем «сшива ниил peinennii из условия непрерывности.
Опишем го<л ветстнующую процедуру для идеальной релейной
характеристики
fl. о >- 0.
'«‘И-t ц<о. (1J8)
При о = 0 значение /(о) не определено. Однако, если off)'
обращается в пуль лишь конечное число раз за период, то эта не-
определенность несущественна.
Опять-таки пространство состояний разбито па два подпростран-
ства (рис-. 8.7). в каждом из которых справедливо линейное опи-
сание:
х + если п “ Сх > 0,
х = /1.г — В, если о = Сх < 0. (*19)’
Попытаемся искать симметричное периодическое решение. При-
мем начальное сосгояние (j таким, что
о(0) = Се = 0 и о = Г.г = С(Л+ /?)>0. (4.20)
Тогда имеется отрезок времени, к течение которого о(<)>0 п
справедливо первое из уравнений (4.19}. Потребуем, чтобы в конце
392
ГЛ. 8. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
этого отрезка, при I = 772, лыполнялось условие
Интегрируя Периш: уравнение (4.19), прпип.тим (4.21) к виду
х (-'Q = с*г-'г* - л-’ (/ _ е* r/l) В = - (4.22)
откуда *)
£. /Г1 (/ + Л/ Г1 [7 — ,VJ />’. .V Д елт'\ (4.23)
Условие (4.20) лает уравнение для определения Т (уравнение пе-
риодов)
СЛ-1 [/ 4- ЛД -1)/ - Л7] В = 0. (4.24)
Если матрица Л приводима к диагональной, то это уравнение не-
трудно преобразовать к виду |8.10|:
где А «= <Как OJ .S'-’Л.S\ 4 •• (>..) GS, р - {pj = S~'B.
Опять таки существенно, что уравнение периодов, как правило,
МАЖег иметь только конечное число основных **) корней 7’., не-
прерывно алвисящих от параметров Каждому такому корню и ей
лу (4.23) однозначно сопоставляю।си начальные условия g*, а по
1И1.хидиг1н соответствующее периодическое решен ид
х(() «/V - Л-*(7 -/') В, (4.25)
причем п силу симметрии
х' (t + — j «= — х* (7). (4.26)
Вывод: для ряда нелинейных систем основное уравнение
(4.3)
х(Т, й) = £
может иметь единственное решение или конечный набор реше-
ний (£', 71,), каждому u.t которых соответствует периодическое
решение негодной системы (41) с начальИ1,1ми условиями
г(())-^‘ и периодом Т„ причем ати решения сохраняются при
малых илмснспиях параметров системы.
•) Знел’ь в далып'йппк выкладках псиильзуегся пгрегтаиопгпкость фушс
кий от одной и той жи матрицы Д. Предполагается также исосибенаостг. иГцш-
птсмых матриц.
*•) Кореш, типа NT., где -V—целое число, Л' > 1, онрелелнег то же pento-
вг.е, что и корень 7'..
в 4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ. АВТОКОЛЕБАНИЯ
ЗЙЗ
4.2. Устойчивость. Наличие периодических решений с.иидетель-
ствует о по. южное.ти нозпикновепия автоколебаний, сели эти ре-
шении устойчивы. В общем случае вопрос об устойчивости сводит-
ся к изучению поведения решений, для которых начальные условия
отличи ют см пт вычисленного
Обозначим
-*•('). (4.27)
Тогда для £(/) получаем уравнение
§ = + (4-28)
Устойчивость решении .?'(£) исходной системы (4.1) экпппа-
лептна устойчивости состояния равновесия с = 0 системы (4.28).
Однако применение общих методов теории устойчивости затрудни-
тельно, в особенности при наличии разрывных правых частей.
Поэтому, следуя [8.10, с. 170]*), опишем только сравнительно
простую процедуру исследования устойчивости «в малом» периоди-
ческих режимов в системах (4.11) с релейной нелинейностью
(4.18).
Рассмотрим некоторое периодическое решение задаваемое
формулами (4.25), (4.26), где Т, — корень уравнения (4.24), а
вычисляется но формуле (4.23) (для простоты в дальнейшем ин-
декс. решения опустим).
Наряду с ним рассмотрим другое, по обязательно периолнчгекче
решение х(/) системы (4.11), (4.18) и изучим нгиледоиагсльн(1ст|.
.т(Л) — [А’], !с 0, 1, ..., его значений в моменты не)>екл1очен11>1 1Л,
к = 0, 1, ..., т. с. it моменты, когда
п(?.,)-С’.т(/6)-0. (4.2U)
Пусть нумерация выбрана так, что
о(2)>0 при £<=(f=A, *и+1),
о(/)<0 при te(faH, ^*+г), А = 0, 1, ...
В пределах каждого из интервалов состояние системы изменяется
в соответствии с линейными уравнениями, и можно записать
z(/) = - (~ l)h Л-1 (7 - Bt (4.30)
так что
.т[А- 1- 1|-cA"sl.r[Aj-( (4.31)
к 0, 1, ....
•) Белеи л<1д|1<|Гтыо г.иедспил об особен когтях пестрое пни периодически»
режимов в к\сочно линейных системах и исглсдоиаиии их устойчивости даны
в [8.11].
394
гл. в. лпллиэ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
где г|Л|А/л+1 — /А. с другой стороны, из условий (4.29) имеем
Сх[/.] = О, А —0, 1, ... (4.32)
что даст дополнительные соотношения для определения моментов G,
и, следовательно, длительностей т |AJ интервалов между переклю
челнямм.
Уравнении (4.31), (4.32) являются нелинейными рекуррентны-
ми спот ношениями, позволяющими по заданным начальным усло-
виям вычислить последовательность {.т[А], т(А]}. По предположе-
нию при (о=О, z[0]“5 эти уравнения имеют решение
т[/с| = т, г[А-) = (-1)Ч- (4.33)
Введем н рассмотрение последовательность отклонений от этого
решения
е(/ь]д(-1/(гй-4). :р-1 = ^1^-(-1)Ч (4.34)
и запишем для нее рекуррентные соотношения, линеаризуя (4.31),
(4.32) в окрестности периодического решения (4.33).
В ривультате линеаризации (4.31) получаем
lA-+lj = «-ir/at[/.] +eAr/JM& + Z?]О(Н А- = 0, 1. (4.35)
причем из (4.32) следует, что
C’UA|-9, А—О, 1, ....
а следовательно.
CeAr/:S[A-]4-CeAT/2Mt + 5J0[/c]r=0, к = О, 1, ..(4.36)
и можно исключить 0 [/с] из (4.35), (4.36), получая линейное ре-
куррентное соотношение с постоянными коэффициентами для по-
следовательности {£ [/с]} в виде
£[А+ 1) = й£[А-], к = 0, 1, .../ (4.37)
где
С учетом (4 23) аго выражение можно переписать в виде
[. (/ mi-1 мнем
I---------------:-- .
c.U(i
(4.38)
Ио аналогии С теоремой Ляпунова—Пуанкаре для непрерыв-
ных систем (§ 2) можно доказать, что асимптотическая устойчи
носи, линеаризованной системы (4.37), т. е. расположение всех с. ч.
матрицы « внутри единичною круга, влечет за собой асимптотике
скую устойчивость («в малом»!) нелинейных рекуррентных соот
ношеный, так что t, И1 "* 0 при к «>,
в 4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ АВТОКОЛЕБАНИЯ
393
В свою очередь почти очевидно, что это свойство влечет за со-
бой асимптотическое приближение траектории, описываемой в про-
странстве состояний процессом х(Д), к замкнутой траектории (цик-
лу), описываемому исследуемым периодическим решением. Н атом
случае говорят об itrii.'itnrotiivt’CKtm орбитальной усгойчнноспс цик
jt/i, а сям цикл ппзыиают устойчивым предельным циклан |8.7,
с. 295]*). Только решение, соотиогстиукншч» асимптотически фрон-
тально ус гой чи ном у предельному циклу, и может реализоваться как
наблюдаемый автоколебательный режим.
4.3. Методы типа Галеркнпа. Перейдем теперь к рассмотрению
второго подхода к разысканию периодических решений. В методах
типа Галеркина частное периодическое решение разыскивается в
виде линейной комбинации заданных функций времени. Коэффи-
циенты в этой комбинации подбираются так, чтобы наиболее точно
удовлетворялось исходное уравнение (4.1).
Рассмотрим подробнее особенности метола применительно к си-
стемам с одним нелинейным элементом, описываемым уравнениями
(4.11).
Зададим <д(/) приближенно в веде
о(0~а(Л)(0-= S (4.39)
А — \
ще пл—пока неизвестные (вообще говоря, комплексные) коэффи
циепты. Неи.пичтиь м ннляегся и параметр го. П рецепт влепив (4.39)
, -j, 2и ¥
задает o(Z) как периодическую с периодом > " —- функцию, и ;<»-
аффицпенты сц можно (хотя и не обязательно!) рассматривать как
приближенные коэффициенты отрезка ряда Фурье искомой функ-
ции о (i)'
Функцию v (I) также будем разыскивать в виде линейной ком-
бинации
v(t) ьЛ (/) ~ j* (4.40)
А=-Х
Выберем коэффициенты н*. ГЦ так, чтобы минимизировать сред-
неквадратичную (за период Т) погрешность в удовлетворении
уравнения
ц(1) = /(о(/)),
если п него подставлены нредстап.п-ппи (4.39), (4.40).
♦) ЛсимптотВчесдспя орбигалыьпг устойчивость на означает ион мп готиче-
ский усгоичишн ти самый огриояп'нч i,iu п решения: траектории могут сб;;н-
ЗКПТ1.С», по между репн 11Ш1М11 может илб.'подагы’л едкие но npiMcini («набег
фазы?). Изпестно*. г>дшп«> [к I. В.7], что aen»ii готическая орблпльпап устои-
чипостъ обесиечинпсг устойчивость но Ляпунову самого решения («набег фа-
вы? ограничен).
390
ГЛ. В. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Нетрудно убедиться, что минимум
т
I*
достигается, «ели
г
=ж 1 j /[а" (/)] е-^’Уи, к = о, ± I, ...,, ± Д', (4.11)
О
т. е. являются коэффициентами ряда Фурье ^-периодической
функции /[orv(0j.
При заданной в виде (4.40) периодической функции t’(<) ли-
нейная часть системы также будет иметь периодическое решение,
сели, конечно, величины Псы, к = 0, ..., А", не являются с. ч. мат-
рицы А (отсутствует резонанс). Каждая гармоника проходит че-
рез линейную часть независимо, и можно сразу записать, что
/с = 0, :11...±Л?, (4.42)
где Ifi (йа) = —с [/(>/ — Л} — частотная характеристика линейной
части.
При заданной не i и ценной характеристике /(о) можно вычис-
лить по формулам (1.41) зависимости
iA=*i4,(aM, ох,...aift), (4.43)’
подстановка которых в (4.42) даст систему уравнений для опреде-
ления неизвестных щ. Кроме т<н<», в силу независимости от време-
ни характеристик системы (4.11) начало отсчета может быть вы-
брано произвольно. Если взять
o* = a*4-ipi,, А’>0, <тк = - г',3*. к < 0,
где <хЛ, р* вещественны, то одна из величин а* пли (5Л может быть
принята равной пулю ла счет указанного произвола. Таким обра-
зом. имеется 2ЛГ вещественных неизвестных вида о\, р*, а также
неизвестная ы, для определения которых есть 2Л' 4- 1 уравнении
(4.42), (4.43), Доказать, что решение этой нелинейной системы
существует, .затруднительно. Вычислительная процедура также пн
может быть простой. Панги и явном виде, зависимости (4.43) уда
егся лишь it редких случаях (например, для полиноминальных
пслипсйпостен), так что обычно их приходится считать алгоритма
чески заданными (при каждом конкретном численном значении
набора о», [>» определенные интегралы (4.41), конечно, могут быть
вычислены).
6 4. ПЕРИОДИЧЕС.КНК РЕШЕНИЯ. АВТОКОЛЕБАНИЯ
397
Таким образом, в вычислительном отношении задача поиска ре-
шения с помощью описанного метода типа Галеркина относится
к тому же. «классу сложности», что и задачи, возникающие при
применении методов тина Пуанкаре.
Разница заключается лишь в том, что в первом случае число не-
известных определяется принятым числом слагаемых и представ-
лении (4.39), а пн втором -жестко злдаеген размерностью систе-
мы. Если аппроксимация (4.39) при небольшом А' (существенно
мешлнем размерноеin) является удачной, го методы типа I алерки-
па могут иметь практически! преимущество. Очевидно. что метод
гармонического баланса является частным вариантом (при А'=1)
«писанной процедуры, и ее естественно назвать обобм<сялы.и мето-
дом гармонического баланса.
Напомним (гл. й), что обычный (А'=>1) метоп гармоническою
баланса был применим нс только для разыскания автоколебаний,
но и для приближенной оценки установившемся реакции на внеш-
ние периодические по-зл систем я, т. е. оценки вынужденных колеба-
ний. Не приводя соответствующих выкладок, укажем, что оба опи-
санных выше подхода полностью применимы и к решению этой
проблемы. Все различие заключается лини. в том, что период 7’
«кажется заданным, что существенно облегчает задачу, по возни-
кает новая неизвестная—сдиш ио фазе между воздействием и
решением. Иначе говоря, в методах «r.iitiinaiiitHi», применяемых К
кусочпо-лппгп 1ыч задачам, нельзя нрпнлвояьно выбора п, момент
перехода из одной области линейности в другую это Дойавочння
метшеегнал, я в обобщенном методе гармонического баланса нельзя
произвольно выбирать о дну из констан г ал. рч. В остальном жв
процедуры остаются сходными.
4.4. Метод интегральных уравнений [8.11]. В заключение кратки
«становимся на важном как в теоретическом, так и в прикладном
отношении подходе к разысканию периодических решений, как бы
синтезирующем оба ранее описаппых.
Рассмотрим вновь систему в форме Лурье:
х = 1.Г + Ви -г Gm, о = /(<т), о = Сх. (4.44)
Если рассматривается задача о вынужденных колебаниях, то ш = *
= ш(1)—заданная Т периодическая функция. Если рассматривает-
ся задача об автоколебаниях, то можно положить i№ 0 и считать
период Т дополнительной неизвестной. Размерность m векторов м
и о будем пока считать произвольной (система имеет m нелиней-
ных элементов).
Разыскивается 7‘ периодическое решении
т(1 I Г)“.г(/), o(t-W) о(/), V(t. I Г) n(t). (4.45J
Построим ипте) ралыюе уравнение, которому должна удовлетворять
функция 0(0-
398
ГЛ. в. АНАЛИЗ нелинейных систем
В силу уравнений лилейной части системы имеем
Г
x(t) — ел1х'(О) + j сл',-ч) |Яр(г) + Gw(t)| dx. (4.40)
О
По услонмю периодичное гн
т
*(Т)- елтх(0) + [ е4(Г-1)|/А'(|) •! 6V(i)h74
о
откуда
г
х (0) = [/ - t ^]"1 j е4(Т“” (Л’г (т) + Сш (Т)] dT, (4.47)
о
а следовательно,
т
х(7) = ел‘1/ - ЕЛТ]-‘ \ еЛ<т-,)|Яр(т) + Си,(т)]dx I-
\|
I
-Г j еЛ<*“'} [Z?v(t) Н^р(т)]<7т, 7е[0±Т]. (4.48)
о
Поскольку ь’(т) • /(л(т))= /(Сг(1)), то (4.48) предстапляет собой
нелинейной интегральное уравнение относительно неизвестной T~iw.~
риодической вектор функции x(t). Его можно записать и в более-
компактной форме:
т
а(7) - f - Т) /|О(т)|г/т + Г4!д(0. t е [0, Г), (4.49)
о
где Ж,(0)—матричная T-n<ii>i4i>ii4i:tKu;i ее.аоеая функция, имею-
щая НМД
^„(6) = ^-° [7 — г?--]-’Л\ 0^0 <2’, (4.50.)
а смысл обозначения w\(f) очевиден. Действительно, из (4.48) сле-
дует, что ядро преобразования примет вид
(eAt [/ — Г1 + ела-ч^ 0 < т < 7.
^rx (t - т) = , 1
И«17_€лгр1сА(Т-Г)7?д
или
ел<|-т)[/_€лГ|-1 в 0<г<7.
откуда п вытекает возможность нрсдсганле.ния (4.49), (4.50)’,
Из (4.49) срезу следует и ypuniieiiiie, содержащее только про-
цесс о (7);
г
о (7) - J Ж (7 - 1) / [О (1)1 л + г, (7Д (4.51)
й 1. П1СРИ0ДИЧ1ц:цик pi'fiit'Hiifl. автоколебания
39»
где
*’/>. О^0<7’, (4.52)
н,л(/) = С,н'»(£),
О I С
В задачах об аптоколебаниях (Cw(1)—О ’и'«(1)в0) песовля
<|)ункцмя 7^(0) содержит ik;hi необходимую информацию о спой
CTiiax линейной части системы*). Опа является периодической но
О, причем может иметь разрывы непрерывности на ь-ешцлх периода.
Интегральное уравнение (4.51) в некоторых случаях дает воз-
можность сразу решить задачу.
Пример 4.1. Пусть система включает только один нелинейный
•элемент, характеристика которого /(о) имеет вид (4.18). Пусть
разыскивается симметричный автоколебательный режим с одним
переключением на периоде. Тогда
7(о(т)| ~
1, 0<т<4,
Wj[t)s0
-1, v<T<2\
7/4 Т
о («)=• j 3lu(t — x)dx— J <Ж(«—х)б/т.
и Т/4
При t <== р>, — j используем (4.52), причем учтем периодичность.
4(0):
( r/з г
<г (/)=,[ - т)с/т + f W(T + t — tjdr — | 7С{Т + t — т)й-
a t 172
« C | j
.fl i
T
с-ЦГ+<—X)JT—. | СЛ(Т-Н—TlJt
fi2
eATj-l U =
= С.4"1 [дат_ I +2eAf— 2/(2 ')] [f _ еАГ]-! В.
Поскольку o(0)=0, имеем
t\4-' [7 - 2c4,71 + cAr| [/ - eAT] ~lB = 0,
или
CA~111 - ,W| [ 1 + Ml"1 В « О, -V Д г 4Г/\
что совпадает с уравнением nrpinjAoii (4.24), полученным выше.
Если же грл(<)г/ () и яиляетсн заданной / периодической функ
( т\
цисй I t I “I —w',i(i)iTo решение находится слоль жо просто.
•) V эта функции влипли» имнупьсно-ч:ч-т<»1иий ХйраКтерцстикпй
<МЧХ). поскольку она МПЖСГ быть НЛЛДСИЭ как уС1-.1И1<ИИП|11Й>1СЯ J>enl(HUH лм-
иейвчи части иа Г-нсриодическую иоследоаатыи.цость б импульсов.
-400
ГЛ. 8. ЛПЛЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СВСТЕМ
Возьмем за начало отсчета неизвестных момент <р, когда с(/)=0,
п(/)>0. Тогда, разыскивая симметрич.......ii резким с одним пере-
ключение м внутри периода в момент 772, пн(учим
77» Т
о (О"" j (7 — i)dt— I УС (7 — т) с/т 4- u',j {I 4 <р),
» 7/2
млн
гф) = СЛ-'И - л/ц/ + /Vj-'z; 4- wo{i + (у),
причем <р определится из условия
0 = СЛ-1 \1 - Л] [7 I- V] ~'В 4- ™с(<р). □
4.5. Оценки точности. В общем случае интегральное уравнение
(4.51) может служить как исходный объект для применения спе-
циальных итеративных вычислительных пропедур [8.9], а также для
получения оценок точности приближенны. получаемых по методам
галсркипского типа, п прежде всего, для качественного понимания
их возможностей.
При этом особую рол. играет следу отек замечиic.-ii.iioo cnofi-
cniri периодической шч'овон функции: возможность ее выражения
через частотную характеристику л niii-iinnii части смстфпа и пн де-
У< [0) - J. i 7/(.(Мп>)г С<0<7\ ’я. (',..,3)
А—:—«
Для доказательства справедливости разложения (4.53) достаточно
представить <%(()) в виде ряда Фурье
2£(0) = Z Лле,А“°, 0<0<Г,
h— х
Тогда
т т
h, = у j Ж (0) е-'^сй = ± С \ e^e-^dQ 1 / - t '7 ] 1 В =
о «
-= гС-[Л — ikwir1 — /] [7 _ е.АТ]-* В =
= у С |i/м/ — АГ1 В .--------1 7/,
Из (4.51), (4.53) очевидно, что пысншс гармоники п r’(f) =
”/(<’(0), преобразуясь в o(Z), ослабляются пропорционально зна-
чениям частотной характеристики па частотах /сы, Д’> 1, а зто даст
качественное обоснование метода гармонического баланса.
8 4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ. АВТОКОЛЕБАНИЯ
401
Hurorpa.Ti.noo уравнение (4.51)’, (4.53) позволяет получить и
строгие оценки эффективности приближений.
Кратко опишем основную идею применительно к задаче о вынужденных
колебаниях.
Г нериоднчтч кос решение системы (4.44), если оно существует, предста-
вимо >< виде
0(0 = V ^'л1.
Л=—те
Обозначим
ол'(п= £
И
До(0 - о(0 -о*(0.
Нетрудно убедиться, что уравнение (4.51), (4.53) эквивалентно системе двух
уравнений
г
<А U) = [ (t — т) / Ь»А (0 4- Л<т (Tjl -г “:с (0> (4.52")
О
т
До (4) = ЛЖ !4 — т) / [о 4' (т) + л<т (т)] Jt -|- Л..^ it), (1.53'}
и
,v.
(01 А У Я/, с W>,
Л У
Д7<Г{0) ~ Ж(0) -Ж*(0),
(0 также содержит лишь первые 2.V 4- 1 слагаемых ряда Фурье функции
w0(4), а Д.то{.') — пысшие гармоники. Дейслнительно, структура функции й?х(9)
такова, что в результате вычисления интеграла к правой части (4.52) все выс-
шие гармоники {с номерами больше Л’) и функции /[оЛ’(т) -j-До(т)] исчезают.
Из тех же соображений очевидно, что приближенное решение o-v(4), находимое
по онисампой выше схеме метода типа Галеркппа, точпо удовлетворяет урав-
нению
т
o,v (I) = [ (l-Vi [o ’* (т)] ‘Ii + {0.
«
(4.54)
Отличие этого решении от точного ретпеппл л(4) исходной задачи можно запи-
сать и индо
А (0 А О (0 - о Л' (С “• А*<> {0 I- Лот (О,
1дс пернос слагаемое воздшшет и силу псточиисти ni.i4nc.ieini>i амплитуд пер-
вых А' гармонии и смешения, е второе — в силу наличия кысших гармоник,
тюбпю не прилимяншихся во внимание при построении решения но методу
типа Галеркмла.
д. а. пщжпавзшлша
402
ГЛ, в, АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Ия предшествующего следует, что
г
ave (0 = j <»v (t — V) {/ [?•'’ (т) 4- a (t)J — / [a* (c) 1} dr, (4.55)
V
T
A<j (/) - AX(f-X) (f [о* (r) -f- A (t)J - /[£" (I)]} dr 4.
0
T
-I- Л» (t— T) До* (t)J (rt+ Att>a (t). (4.56)
о
Если функция /(о) скалярпа п удовлетворяет условию Липшица
|/(о1”) — До'г1)| C^Iau’-at!)|. L = const,
то можно получить следующую оценку иогрешпостп
где
а»)
с (7') гя
плах Д (i)
оЩо.Т]
у = max
TGIo.T)
1 - Lc (Г) Т‘
T
AX (t — X) fla^ (t) I dr-|-Au?o(f)
т Г г __________________
f I X (T) I dr < у 7' j X* (T) <7T = l/V | Ht (M-GT) |\
о « *
(4.57)
(4.58)
(4 59)
К сожалению, оценка (4.5.Ч) пригодна, только если 1 > Т.г(Т), т. с., грубо гово-
ря. в том случае, когда коэффициент уе.н.таяня разомкнуто! о коп гура па чпст<ю
те возденетиин мал, Болес сильные (но и более трудоемкие) оценки для кон-
кретных пелипсЛноегей u А' = 1 (метод гармонического баланса) даны в
[8.11, гл. 5J
Исслсдонание интегральных уравнений позволяет получить и
условия сугцестиоиапия периодических решений. Как правило, они
являются следствием анализа сходимости итера тип ши процедур
решения, представляющих самостоятельный интерес.
Приведем в несколько упрощен поп форме следующий резуль-
тат [8.111.
Теорема 4.1. Пусть ьыполп.сио условие Lc<l, где константы
L, с определены в (4.57), (4.59). Тогда существует решение урав-
нения (4.51), являющееся пределом последовательности по-
лучаемой, начиная с произвольного начальною приближения о(“: (Z)
по схеме
т
а(г|о(/) -j^(«-T)/[o"'(T)]rfT -|- «>„(/), (4.1Ю)
/ = 0. 1, .... o«st=sr.
•) Далее используется неравенство Коши • Бунвкоеского п ранопстио
Иарсеваля для козффшцаеитов ряда Фурье.
9 4. ПЕРИОДИЧЕСКИГ РЕШЕНИЯ. ЛЪТОКОЛЕБАПИЯ
Д окавател ьстпо. Имеем
г
о0*1’ (О - о<0 (0 =(’»(< - т) {/Io10 (т)] - / (т))} Jr, (1 Ci)
О
I “ 1, 2, ....
ли
Д1'-1 A max I о(П ” (г) — о(,) (/) I <
X
т
< f шах | X (/ — т) | L | о<г) (т) — cr(,-D (т) | <Гт < ГеАн-*\ (4.62}
i! '
Используя признак равномерной сходимости Бсйсрштрасса, убеждаемся,
что при Lc <. 1 равномерно сходится ряд
а0(Х) + ^ [о(,,1> (0 — о'° (О],
i-o
или, что то же самое, равянмерно сходится последовител1>нлг.ть (<т!,,(0}- Пре-
дел о*(<), очевидно, удон.челноряет интегральному уравнению (4.51) и являет-
ся искомым периодическим решением.
Результат Т.4.1 без особых затруднений перепшптся на случай
системы с многими нелинейностями вида (2.S)— (2 10).
Предполагая, что функции /.(а,), /ь,1, .,т, удовлетворяют
условию Липшица
0.вз)
и производя в (4.61) пйкомнопеитную оценку, получим
m
А"Ч£^(Г)Л<-'Л (4-64)
где
т ________
cg= (Т) - [ ] (т) | йт < |/“£ I (гАхо) |% со = (4.65)
о >'
и череп Жи обозначены элемепты матричной частотпой характери-
стики HL, а
ДУ’А max |о-'+П(()-
Сг-[о. Т J
Вводя в рассмотрцпне матрицу П (Т) A {L;cg} {'i)} и вектор
Д{ ’« (а/’), можно написать (4.61) в виде Л11’< Я(7 )Л’
Если нее с. ч. матрицы 11{Т) ложа г внутри единичного круга,
то гарантируется равномерная сходимость погледонап-.и.ных при-
ближении к пределу, япляюшемуся решением интеграль-
ного урапиенни. Этот результат с помошыо болео топких
методов теории оиерлтирных уравнений был усилен л [8.8].
20*
404
ГЛ В. АНАЛИЗ НЕЛНИКЙНЫХ СИСТИМ
Теорема 4.2. Пусть
1/,(щ)1 «6,1(1,1. (4.66)'
cei(T)» шах <о-~. (4.67)
* n 11 7
Тогда решение уравнения (4.31) существует, если все с.ч. матрицы
Л (7’) =(/>/„(7’)} (4.68)
лсагат внутри единичного круга.
Интересно, что условия Т.4.2 гарантируют как существование
решении уравнений (4.42), (4.43) обобщенного метода гармониче-
ского баланса при любом Аг, так и сходимость (по равномерной
норме) приближенных решений. получаемых по атому7 методу,
к точному решению по мере увеличении числа Ат слагаемых в пред-
ставлении (4.39).
4-6. Обобщенные автоколебания. С практической точки зрения
яачастую безразлично, существует ли в системе периодический ан-
токолебательный режим или же имеются колебания, но являющие-
ся периодическими.
В работе [8.12] было введено пбабщеииое представление об авто-
колебательнык режима \.
Определение. Решение я (f), о(0, v(t) системы (4.11) при
»’(Z) = 0t гп -1 называется обобщенно автоколебательным ((—ос, (5) -
автоколебательным но л), если выполнены следующие условия
a) l.r(t) I < const ;
б) число изменении «пака функции о(/) бесконечно на t е=
& [0, оо);
в) число/выходов о(/) за предс.па заданного интервала [—а, р|,
а > 0, р>0. бесконечно na [0, <»).
Интуитивно. ясно* что если система неустойчива в мялом, по
диссипативна, в пей должны возникать обобщенно автоколебатель-
ные режимы.
На самом деле справедлив следующий строгий результат [8.12],
вновь даваемый в упрощенной форме.
Теорема 4.3. Пусть Л не имеет с. ч. на мнимой оси, функция
/(о) удовлетворяет условию Липшица и дифференцируема в нуле.
Пусть существует единственное равновесное состояние х = 0. о == 0,
v **« 0. Тогда решение системы (4.11) при почти любых начальных
условиях*} является (—а, ^-автоколебательным, если выполнены
следующие у< лолт/л:
1) при |о|'-о график /(о) лежит в секторе, абсолютной устой'
чивисти-,
2) при —а-'о " 4 график /(о) лежит в сскюрс абсолютной не-
устойчивости-.
•) За исключением ыишксства пулевой меры.
в t. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ АВТОКОЛКГ.ЛНИЯ
Поясним используемые в теореме термины.
Пусть на некотором отрезке jo., о.]
оУ=0. /(0)-()г 0</ч<А"в<оо. (4.09)
Тогда говорят, что функция /(о) лежит и секторе |Ar„ A'.J.
Пусть при некотором A:c[/i1t Ay) линейная система (4.11)
< /(о)"“А’О является устойчивой, а кроме того, цы полнено частотной
неравенство Попова, которое, для сектора, не обязательно примы-
кающего к оси абсцисс, имеет вид
-4— + Ro [(1 4- /ту) } > °’ 61 е <£>• (4 70>
Тогда говорят, что на отрезке [б<, <ь] функция /(о) лежит о сек-
горе абсолютной устойчивости. Если яге условие Попова выпол-
нено, ио при некотором k<~ [А\. ArJ система с /(<т)=*Ап неустойчива,
то говорят о том, что па этом отрезке /(о) лежит в секторе абсо-
лютной неустойчивости.
Заметим также, что условие (1) теоремы гарантирует диссипа
тивноегь системы и может быть заменено любым другим условием
дттипатмппости.
В качестве приложении рассмотрим следун’Щую проблему.
11у< гь линейный неустойчивый обч.ект с дробно рациональной
строго реализуемой п.ф И ,(.!>) na.Miiiyr безынерционной нелипей
iiriii «принательной обратной скизыо, имеющей характеристику типа
зон ы печувствителышс ги
/(о) =--
с.» — А,
о,
о 4- А,
п> А,
о <Z. — А.
(4.71)
Пусть замкнутая система была рассчитала как устойчивая по
линейной теории (без учета зоны нечувствительности). Покажем,
что тем пе менее в такой системе обязательно возникают автоко
лебаяия (по крайней мере в указанном выше обобщенном смысле).
Запишем уравнение системы и операторной форме
о + /7Д1))/(о)-0. (4.72)
Его можно переписать и в виде
где
о -I II, (В)о -Дс(1»)А (о) О,
А,
/1 (о) •= — / (о) 4- о =
<6
-А,
(4.73)
(4.74)
(Т^: А,
l«|<A,
а< —Д„
406
•гл. 8.'АНАЛИЗ ПЕЛКМКИ12ЫХ ЙИСТЕМ
или в виде
О + Яп (»>) /, (о) - 0, II,,(!>) = - (4.75)
Поскольку /i(o)«»»0 при А “••О, то //л(1)) соответствует п. ф. замк-
нутой системы, рассчитанной при А — 0, и по предположению
устойчива. Поскольку Л (о) отрампчена, то нелинейная система
(4 73) (и якнип*лс.11'г11ая ей (4.72)) диссипативна: ограниченное
воздействие нс может вы нести устойчивую линейную систему из
ограниченной области.
С другой стороны, при lol < А функция /(л) ваведомо лежит
в секторе_абсолютной неустойчивости.
При использовании Т.4.3 можно дать простую оценку размаха
колебаний о(£). В силу (4.74)., (4.75) при достаточно больших £
сс
|<т(£)|<Д j |7tu(T)|dt,
о
где hLl (т) — носовая функция, соотпетстаующал II,л (р) . Согласно
теореме размах колебаний превышает А. Последнюю оценку можно
уточнит!., давая лучшую оценку границы отрезка, и пределах ко-
торого /(о) лежит и секторе абсолютной неустойчивости. На при-
мер. положив в (4.70) А , (I, г/=0, можно записан, условия По-
пова II ВИДО
min Re И, (Йо) >----—.
<0
Тогда п качество границы сектора (см. рис. 8.9), а следовательно,
оценки снизу величины размаха можно принять <Х“ А/(1 — А'-).
Напомним лишь, что Т.4.3 применима только в том случае, когда
в системе нет равновесных состояний, отличных от о = 0, т. о. урав-
нен нс
<т-1-7/ь(0)/(о) = 0
имеет единственное решение, иначе говоря,
__________________________________1— j
Г Л А и Л 9
ОПТИМИЗАЦИЯ 111’01 ТАММ УПРАВЛЕНИЯ
§ 1. Формулировка задачи
1.1. Общая задача. В Этой главе будет систематически рассмат-
риваться проблема оптимизации управления, т. о. задача выбора
такого закона управления, который, удовлетворяй четко задаяной
системе ограничений, обеспечивает при своей реализации наилуч-
1псс (оптимальное) значение того или иного показатели качества
работы унраплнемой системы.
При исследовании линейных систем уже рассматривалась одна
из возможных постановок проблемы оптимизации. Были изучены
возможности построении законов управления системой, описываемой
уравнениями
.т^>/1х1 На, 3 (1.) *•* Xй, (1.1)
обеспечивающих достижение минимального значения никаза толя
Качества
О
J {«} = j (хг^»х + х'Пн.\([1 (1.2)
'и
который интернретировался как мера отклонения от заданного со-
стояния Lo^t^lt, с учетом «энергетических затрат» на
управление.
Предложенная процедура позволила (при определенных пред-
положениях о параметрах задачи) построить как программу управ-
лопин w»pi(t), дающую решение при каких-либо заданных началь-
ных условиях
*(М = Л (1.3)
так п закон управления с обратной связью по измерениям лектора
Состоянии
«..а (.г, 0— - А'(0 > (0, (14)
обеспечивающий тот же результат при любых начальных условиях.
Более того, и рамках линейной теории были даны обобщения за-
дачи для ситуации неполных и неточных наблюдений и наличии
случайных возмущений.
408
ГЛ. Ё. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
В давний главе будут изучаться только детерминированные за-
дачи построении оптимальных программ управления. Однако мы
попытаемся описать подходы к решению проблемы оптимизации
для значительно более широкого (но сравнению с гл. (>. 7) класса
моделей систем, различных показателей качества и существенных
ограничений
Итак, пусть
1) система оинсыиаен л уравненном
х — ut Z), (1.5)
гцо х—л-иектор переменных состояний, п — т вектор управляю-
щих воздействий, /—п-вектор-функция, предполагаемая непрерыв-
ной и непрерывно дифференцируемой ио всем переменным:
2) требуется обеспечить экстремум (максимум или минимум)
показателя качества, называемого также критериальным функцио-
налом
if
j {«} = | fc'o (-Л «1 0 dt I' Go [a: (f0), (1.6)
'о
значение которого определяется как непосредстпеппо видом выби-
раемого управлении «(/), так и изменением состояния .?(/) п си-
лу уравнений (]. ) при начальном значении ,г(/с);
3} при выборе управления требуется -глюко соблюсти выполне-
ние у слои ий
'< , П • Г
I* I — '-у =э Ь • • * i h fl Т\
«)Л I-(!/)]( i==Zj + j (L'>
*o
скалярные функции g,-, Gt, i = 0, ..., г, фигурирующие в (1.6)t
(1 7), предполагаются непрерывными и непрерывно дифференци-
руемыми;
4) управление может быть произвольной кусочно-непрерывной
функцией I, однако его значения в любой момент ZJ но
должны выходить за пределы области U, множества в т мерном
пространстве, которое, как правило, также задается набором урав-
нений пли неравенств;
5) моменты начала 10 и конца t, оптимизируемого процесса
могут быть заранее- фиксированными либо также; подлежать выбо-
ру с целью улучшении значения функционала (1.6).
Сформулированную проблему принято называть общей задачей
мшемагической теории оптимального управления. Фактически же
ее решение, сели сю удается построить, определяет только програм-
му управлении в условиях полной информации. Лишь в некоторых
ситуациях окапыпаслся возможным и осуществление оптимального
синтеза управлении с обратной связью но переменным состояния
(точный смысл этого поннгия будет указан ниже).
£ i. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
409
Очевидно, что оиисаппаи проблема включает в себя, как част-
ный случай, лииейио-кнадрятичнуhi задачу оптимизнции (11) —
(1.3). Желательность обобщения с прикладной точки зрения оче
видна. Ними уже обсуждалась важность учета нелшн-йных :>ффек-
т<п| в описании объекта управления и в особенности ограничений
ла выбор управления—ограничений как по «полной анергии», так
и но «уровню» в любой момент времени работы.
1.2. Приведение частных задач к общему «иду. Остановимся па
одном плиссе задач оптимального управлении, который принято
называть .зж?ачп.ми об оптимальном быстродействии..
Пусть зафиксированы начальный момент и состояние в этот
момент, т. о. условно
х (/.>) = < (1.8)
где х’—заданный числовой вектор. Требуется выбрать управление
так. чтобы прообразовать состояние в заданное, т. е. выполнить
условие
x(t.) = xf. (1.9)
Г)та проблема изучалась в линейной теории (§ 3 гл. б), причем
было показано, что при невырожденности пары матриц Л, /> такое
управление может быть найдено и, более того, цель может дости
гаться за сколь угодно короткий отрезок времени Однако с у.мепь
шепнем 8 tj или с. увеличением |.г’ —.т'| уронен'- требуемого VII
рвв.тяЮ1цегл воздействии возрастал. Осталось нелепым, как выбрит!.
Какое либо управление. приводящее к пели и удовдегворяпнцге ва
данным ограничениям по уровню, и кик добиться цели при ограни
челном управлении за минимально короткий отрезок времени.
13 этом и заключается задача оптимального быстродействия. Зани
тем ев формально: найти u(t) такое, что для системы (1.5) в за-
данный момент tx, и прои тельный L в......олнены условия (1.8),
(1.9), причем
u(t)«=17, (1.10)
a t}— t0 достигает минимального значения.
Покажем что задача оптималынпо быстродействия является
частным случаем общей проблемы. Действительно, примем в (!.(>)
£;. == 1, G, = 0. Тогда
J{u} = \dl — (1.11)
'о
Условия (18), (1.9) дают 2« уравнений
*Д1,)-*М, /-’..............«. (,Ei>
жДМ/ = 1___________________(1-1.3)
являющихся частными случаями условии тина (1.7) (г^2л), при
отсутствии интегральных слагаемых.
410
ГЛ. 9 ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
Задача оптимального быстродействия попускает различные, так-
же имеющие прик.тадиос .шнченпе модификации Например, доста-
точно достичь желаемого состояния z*1 с некоторой точностью, аа-
даппсмой условием
к(Ь) “ *1 ’<2.1 к (6) - -И < Ъ, (1 14)
где (А)—неотрицательно определенная матрица коэффициентов со-
измерения отклонений но различным координатам, а 6—заданное
число, или же независимыми условиями но каким-либо (пе обяза-
тельно всем) координатам тина
(1.15)
Очевидно, что это тоже частные случаи условий типа (1.7), но в
лиде неравенств.
Зачастую наряду с ограничениями на «текущий уровень» уп-
равления тина (1 1(1) или вместо них целесообразно ограничить
«анергию» управления условием
О
j и Ли dl < Ju> (J.16)
^0
где Л—«соизмеряющая» матрица, или, покомпонентно, условиями
типа
О
(1.17)
fo
Вновь имеем дело с частными вариантами условий (1.7), во с ин-
тегральными ела гаем ыми.
Как мы убедимся в дальнейшем, задачи о преобразовании из
исходного состояния в желаемое (даже с заданной погрешностью)
могут не иметь решения. Поэтому их зачастую заменяют близкими
по содержательному смыслу, но формально существенно другими
постановками типа достижения пели с минимальной погрешностью
за фиксированное время, являющееся практически приемлемым.
При этом tt., lt заданы, равно как ММ» минимизируемый функ-
ционал берется, например, в виде
J -= [Х( t,) - .Н ’<?» k (/..) - *1, ( 1.18)
а явных ограничений на значения r(t;) ц<. налагается. Такие за-
дачи пцаып лютея ялг/ячял!?. оигимимции со свободным правым КОН-
ЦОМ траектории и в определенном смысле являются наиболее про-
стыми.
Во всех предшествующих классах задач начальные условии при
выборе про1раммы считались фиксированными. Однако это не обя-
пательно. В ряде ситуаций начальные условия по некоторым коор-
динатам могут быть предварительно, к моменту начала работы, вы-
g г. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ. ПРИНЦИП МАКСИМУМА
4ft
браны, «выставлены» желаемым образом. Иногда возможность вы-
бора определяется тем, что на самом деле некоторые координаты
пиоднтся яслсусстнснно, при уже знакомых нам процедурах фор-
мального расширении пространства гог-тониий.
Для понимании существа дела вижп.ч следующий ситуация. На-
помним, что и рамках сформулированной проблемы управлении вы-
бираются среди кусочно непрерывных функций, поэтому в опти-
мальном управлении допустимы разрывы непрерывности, скачки.
Вместе с тем в приложениях могут возникать ситуации, когда ско-
рость изменения управляющего воздействии должна быть ограни-
чена и управления сю скачками окажутся недопустимыми.
Для того .чтобы «вложить» требования ограничен пости скорости
в описанную общую схему, и используется идея расширения про-
странства. Пусть для определенности ограничена но модулю ско-
рость изменения компоненты u,(t) управляющего воздействия
(119)
Тогда само управление объявляется повой переменной состояния
*»> .(0**«1(0,
а вместо »,(/) выбирается программа изменения скорости
r(Z)~«,(Z),
связанная с переменной x„,,(f) очевидным уравнением
ЛчДО-НО. to (1-20)
Это уравнение может быть добавлено к исходным, образуя вместо
с ними систему тина (1.5). но опщси сельпо расширснпнно вектора.
Существенно, что начальное условие но переменкой xn+I(t),
т. е. начальное значение исходного управлении «<(<), может быть
выбрано произвольно.
Таким образом, мы убедились, что общая постановка проблемы
оптимального управления включает в себя, как частные случаи,
многие практически интересные классы задач, конкретные приме-
ры которых будут приведены ниже. К сожалению, не существует
каких-либо работоспособных алгоритмов получении точного реше-
ния общей проблемы оптимального управлении. Одпако описанная
постановка полезна тем, что в ее рамках можно установить опре-
деленный свойства, которыми должно обладать решение,— условия
оптимальности.
§ 2. Условия оптимальности. Принцип максимума
2.1. Задачи с конечным числом иси.шестных. Для того чтобы
выяснить свойства решений обшей проблемы, описываемой н $ 1,
предварительно напомним ряд простых <[>:h.iob, относящихся к ана-
лизу функций конечного числа переменных, которые в опрсде-icii-
иой мере уже использозались в предшествующем изложении.
412
ГЛ. В. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ управления
Определение. Функция F,(y)’ достигает максимума в до-
пустимой области Уо изменения переменной у, если существует
такое аначенио агой переменной у* <= У., что
л (i/)^/;(</•) (2.п
для всех у* У». (лнл iicictiiciiiiq, функция /'’„(у) достигает миниму-
ма и У., если существует такое у*, что
>/%(</*) (2.2)
для всех у е У<,.
Теорема 2.1. Пусть у* — внутренняя точка области Уг и функ-
ция Т\(у) векторной переменной у «= (у „ у„) дифференцируе-
ма в точке у* (У1, ..-, уп). Тогда для того, чтобы у* доставляла-
экстремум (максимум или минимум) функции F0(y) в области 1%,
необходимо выполнение условия
М'„
= ° при у - у*, (3.3)
или, в скалярной форме,
при у, — у,, у„ — у*.
Напомним, что дока.та тсльство теоремы ochobiтается на том
факте, что при малом изменении какого-либо аргумента, например,
придании у, значения У| -I с, не выводящем па пределы Уо> пове-
дение функции Fv(y) описывается соотношением
{У) = Fo (у*) -I- с+ о (е). (2.4)
Выбирая & достаточно малым и придавая ему произвольный лпак,
всегда можно добиться того, чтобы условия (2,1) или (2.2) были
нарушены, если не выполнено (2.3).
Указанное в теореме свойство «у* — внутренняя точка Ус», т. е.
«существует малая окрестность у*, целиком лежащая л Уо», весьма
важно. Если у* лежит на границе Уг„ то (2.3) не является необхо-
димым условием. Например, пусть допустимыми являются только
значения уХ), л точка у* гаконэ, что каная-лпбо компонента, на-
пример, Тогда в ней может достигаться максимум, длжо
если
0Ря
(2-5)
что также прямо следует из (2.4), поскольку в этой формуле мож-
но выбирать только с X) (значении Ут + е =« недопустимо
g 2. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ. ПРИНЦИП МАКСИМУМА
413
при е<0)’. Как правило, допустимая область У* явно задается с
помощью системы условий, уравнений или неравенств, которым
должны удовле.тпорять винчения у. Кратко записывают так*):
Уо — (у//'<(р) — О, I “ 1, .... л, Е,(у)< 0, i = г, I-1, .... г). (2.В)
Для установлении условий оптимальности при этом обычно ис-
пользуют метод .множителей Лагранжа. Напомним соотистссную-
щий результат для случая, когда в число условий имеются только
уравнения.
Теорема 2.2. Составим лагранжиан
S’o (у, А) - №\(у) + А/, (</)+...-!- А,/ г(у), (2.7)
где Ao, .А,— некоторые скалярные величины. Для того чтобы в
допустимой точке у* достигался экстремум (максимум или мини-
мум) функции f0(y) в области
У»-=(у/Л(у) = 0, г = 1, г\ (2.8)'
необходимо, чтобы существовали?^, i = 0, —, г, ?.о^0,не равные
одновременно нулю и такие, чтобы они совместно с ?/♦ удовлетво-
ряли системе уравнений
<iSen
—г та 0, /=!,..., nt
°у' (2.9)
/'<(?/•)-(), .....г.
При этом предполагается, что функции l‘\(u), i = О .... г, дчфлфе-
репцирусмы в точке у*. Если, кроме того, выполнено условие. регу-
лярности
(8F.
rankfe ' = j 1. . .., п| = Г (2.1.0)
прг/. у = то заведомо существуют такие А*, причем А,, =Д0.
Лы нс будем приводить доказательство. Отметим лишь, что
обычно предполагается выполнение условия регулярности (2.10).
коатому сразу принимают Ас —1 (условия (2.9) однородны по А и
фактически определяют лишь отношение компонент вектора А •
= (А;) к какой-либо одной, пе равной нулю). Лагранжиан при
етом принимает вид
Й’С'/, А) = Л’0(у)-|. (2.11)
I I
Первая группа уравнений (2.9) обычно трактуется как треЬовапио
безус.'ипшого экстремума лагранжиана но переменным у при эна-
•) Символ «/» здесь и далее читается так: «удоилетворяютплх условиям»
май «при выполнении условий».
414
ГЛ. fi. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
чеппях ?v как свободных параметрах, а вторая — как добавочные
уравнении, с помощью которых разыскиваются подходящие значе-
ния этих параметров.
Приведенная теорема дает строгое описание необходимых усло-
вий оптимальности, получаемых при ислоЛьаовАПИИ вспомогатель-
ной функции — лагранжиана.
Однако зачастую метод .Лагранжа применяют в более «воль-
ной» форма, восходящей к гипотезе, выдвинутой еше самим Лаг-
ранжом в 1797 г.: «Можно высказать следующий общий принцип.
Если ищется макепмхи или минимум некоторой функции многих
переменных при условии, что между этими переменными имеется
связь, .задаваемая одним или несколькими уравнениями, нхжпо
прибавить к исходной функции те, которые должны обращаться в
нуль, умноженные на неопределенные множители, а затем искать
максимум или минимум построенной суммы, как если бы перемен-
ные были независимыми; полученные уравнения будут служить
совместно с уравнениями связи для определения всех неизвест-
ных»*).
Гипотеза Лагранжа нерпа ио всегда, в чем убеждает следующий
простой пример.
Контрпример. Дана задача
min У| /.V® + У*
Единственной допустимой точкой является р* -'(О, О), следователь'-
но, в ши и достигается минимум. Вместе с тем, составляя лагран-
жиан согласно гипотезе, имеем
% = .'/! + ?! (?/£ + I/,).
Условия минимума дают
^ = 1+ 2X^ = 0, ^ = 2М2 = 0,
однако первое условие песовместпо с уравнением связи.
Очевидно, что в точке (0, 0) парушепо условие регулярности
(2.10) и справедлива лини, более общая схема построения необхо-
димых условий, указанная н Т.2.2. Составим
= ^-о.У1 + М ('/? + Уг).
Тогда условия
?.<, 1- 2Х,»/, 0, 2?чуг - 0, у, »/’ - О
совместны при у1=0г уг О, Ао == 0 и произвольном О
*) Ц11Т. во кише [9.1].
е 2. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ. ПРИНЦИП МАКСИМУМА
415
Гипотеза Лагранжа, дополненная впадением неотрицательного
мпожитс.’1Я 2-о при минимизируемой функции, обычно приводит к
правильным результатам или по крайней мере нпзиоляет «угадать»
правильный подход к задачам на условный экстремум, хотя, конеч-
но, не заменяет строгих формул про note и доказательств.
Покажем сначала, как использовать агу гипотезу для составле-
ния необходимых условий при наличии ограничений в форме не-
равенств, для определенности в задач!
niiи (?'„(у)//'’<(}/) = 0, i“1, ..., И, /?<(р)<0, | = г}. (2.12)
Превратим первоначально неравенства в уравнения впадением но-
вых неизвестных t?(, i = г, -I- 1, ..г. Очевидно, что условия
i7, (.V) + Hi — 0, i = ?'j -|- 1, ..r„ (2.13)
пквивалептпы исходным неравенствам. Составим расширенный лаг-
ранжиан
= V. (р) + 2 W > (?/) + S М(.'/) + =
i—I 1—Гд I 1
- S Vi (//) + S V2a^.,+ 2
t V <-> i4 1 1-r, I 1
ГДО
- 2 V< (y).
I-II
Минимум по ?/ достигается при условиях
а минимизация по п,- требует, чтобы
-V-= 0=>-?.;Ьд = Oj. i — г, + 1, • . > г; (2-15)
при этом минимум достигается только, если
л(г=0, г = 6+1, ..., г. (2.16)
Условия (2.15) означают, что и точке минимума либо ?ч —0, либо
т. е. в силу (2.13|
М'\(;/)-0. (2.17)
Яти условия обычно называют уся<и<илмн. пслсестко-
сти (если какое-либо перавадство выполняется и точно минимума
Р* нежестко, т, о. точка у* по лежит иа поверхности, определен-
416
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
ной условием (2.13), то соответствующий множитель должен быть
жестко равен пулю и наоборот).
Строгий результат может быть сформулировав в следующем
виде•).
Теорема 2.3. Для того чтобы а допустимой точке у* достигался
минимум функции /'о (у) в области Y», ялЛаваемой соотношением
(2.6), необходимо, чтобы существовали величины ?.(=»А(, i — 0, ...
....г, Хв^>0, не равные одновременно нулю и такие, чтобы они
совместно с у—у* удовлетворяли системе условий
(2.18)’
1,^0, ХЛ(у) = 0, / = п + 1, ...» г,
где
^=2 ?-Л(у)«
i—0
а функции Ft(yj, t = 0, .... г, предполагаются, непрерывно диффе-
ренцируемыми в у*. Если, кроме того, в точке, у* выполнено усло-
вие регулярности типа (2.10), где учит ываются индексы 1=1, г,
кроме та кил, для которых
W}< 0,
то указанный набор множителей X, существует, причем
А,, / 0, так что лаграижнип может записываться с • 1.
Отмстим, что для одного, довольно широкого класса задач усло-
вия теоремы 2.3 окааыипютсн ни только необходимыми, по и доста-
точными.
Напомним известные из анализа попятил.
Определение. Функция /-’(у) называется выпуклой, если для
любых двух значений ее ар гумен га уа\ у‘*> выполнено условие
2'1(1 - е) у"’ + 6у<=’К(1 - 0)F(y(,’) + 6F(y<*>),
где 0 — скалярный параметр, принимающий произвольные значе-
ния на отрезке (0, 1].
Если выпуклая функция дифференцируема в точке у11’, то
Если она дпижды дифференцируема, то матрица вторых произпод-
пых —=- является неотрицательно определеппои.
<гУ
Снопстко выпуклости и случае скалярного у хороню иллюстри-
руется (рис. 9.1): трафик выпуклой функции лежит не выше хор-
') 0 тот результат обычно именуется условиями Купа — Танкера.
§ i. УСЛОВИЯ ОНТПМЛЛЬПОСТН. ПРИНЦИП МАКСИМУМА
417
ды, стягивающей любые две точки, и не. ниже касательной, прове-
денной через любую точку. Очевидно, чти линейная и неотрица-
тельно определенная квадратичная формы являются выпуклыми
функциями.
Определение. Множество V ипляпсл (Ш^'зи.т, если оно
содержит отрезок, соедиииющий любые две свои точки, или фор-
мально: если у‘" «= У, j/li! s V, то (1 — .
- U)r/f,) + О//11’с У. 0е.|О. 1]. ' /
С помощыо этих определений нетрудно 1
показать, что выпукло множество, точки 7
которого удовлетворяют условию /•'{?/)О, 'Ч у
если /’(?/)—выпуклая функция, или же
набору условий F,(y) 0. i=l, ..., если
все А (у) — выпуклые функции.
Выпукло п множество (гпперп.тос- ----------;---------------
кость), определяемое уравнениями /гг(у) = р„е. дд
= 0. если Л (.у) линейные, функции.
Теперь можно сформулировать Интересующий нас факт.
Дополнение к теореме 2.3. Если л задаче (2,12) функция /•'*(#)
явлиегся выпуклой, равно как и функции Л (у), i = г- 1-1...... г,
а функции Л(»/), I—1 1, ..., г., являются линейными *}, тп условии
теоремы 2.3 оказываются достаточными для Tino, чтобы к точке у*
Доспи алея минимум.
Достоинство лагранжева нодхчда к решению задач па условный
экстремум ослбенио ярко проявляются в случае, когда функции,
вхудящив в формулировку задачи, оказываются сснарабе юными,
т. с.
/<(*/) = X /»(</.), ' = 0,1,
; 1
(каждое слагаемое зависит только от «своего» аргумента). В этом
случае лаграп/кпап также оказывается сепарабельной функцией
= X ?.Л ('/) = X X X
i-=fl i=j ;*1 5=1
где
= i ?ч/|. (?;)
i-л
При фиксированных минжптелях минимизация С/'л по векторному
аргументу и распадается (декомпозируется) на н независимых за-
дач минимизации функций 17} по скалярному аргументу Ц/. Такая
особеннки. окажется чрезвычайно эффективной и при исследова-
нии общей задачи оптимального управления, сформулирован-
ной в § 1.
*) При ук«1аввых С1Н.ЙНТГШХ задача (2.12) называется ..«Лгчсй лип^к.гого
Программ vpoouHict.
2.' А. А. 1крпсьзавгк:1П
418
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРЛП.ЧКННЯ
2.2. Принцип максимума как необходимое условие оптимально-
сти. Для определен пости мы будем иметь в виду поиск управления,
обёснрчпп:<101цего минимум критериального функционала (1.6).
Значение ммннми.эируемшн выражения зависит от вида функ-
ций »(/), r(t) па всем отрезке 1„ < t' т. е. и отличие от ранел»
рассмотренных ситуации определяется нс конечным набором чисел
(вектором), а бесконечным числом апичевпн функции в различных
точках отрезка. Зги значения связаны рядом условий.
Первую группу условии образуют уравнении объекта (1.5), ко-
торые должны быть выполнены в любой момент времени, /е
т. е. фактически здесь имеется бесконечное число ограничений. Вто-
рую группу образует конечное число соотношении (1.7) и, нако-
нец, третью группу — ограничении (1.10) на выбор значений u(i)
в каждый момент времени и условие, чю «(/) должна быть-ку-
сочно- непрерывной функцией.
Таким образом, здесь вновь возникает задача на условный экс-
тремум, по относительно бесконечного числа переменных с беско-
нечным числом ограничений. Тем не менее попытаемся применить
для получения необходимых условий оптимальности тот же общий
принцип Лагранжа, что и к конечномерном случае.
Построим лагранжиан
'I
\ п, ". 0^-' + 6’i l*(U. -ч «01
А
+ fV(z)(i-/(x, п, он/.
(2.19>
Здесь г условий (1.7) учтены с постоянными скалярными множи-
телями 7м, i = 1. .... г, а уравнения объекта, задающие условия
для всех 1 = [/е, 1;1, учтены с помощью функциональных множите-
лей — непрерывной вектор-функции A-(f)- При этом конечная сум-
ма добавляемых слагаемых превратилась в интегральную, Ограни-
чения па значения «(/) типа (1.10) в лагранжиан не введены,
и поэтому eio минимизация должна вестись в пределах, допускае-
мых этими ограничениями.
Минимум разыскивается по переменным x(l), u(t), й также по
tb it th если таковые моменты по фиксированы. При этом на зна-
чения х(7), k, 1/ ограничении пет.
Прообразуем предварительно последнее слагаемое в (2.19). Что-
бы избавиться от явно входящею j, проишел рнруги но частям:
б Ч
[ ?7 z dl - V (М х (/,) - Г (Q х (/.) - f kT.c dl.
4
§ 2. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ. 11РИПЩШ МАКСИМУМА
419
С учетом итого лагранжиан переписывается в виде
2? «» j | —- // (х, м, а, 1} — ??х] dl |-
'о ’
+ 2S *(<)] + V(;.).r(i.) -AT(t13).r(fll)1 (2.20)
i и
где введено обозначение функции
II{j:, и, t)A?.’ и{1), /)- У к(0. Л, (2.21)
1—0
обычно называемой гамильтонианом.
Используем далее следующее почти очевидное, хотя и не строго
«формулируемое утверждение: если функция у*(0 доставляет ми-
нимум функционалу
9
j Ы = ( Ф [.'/(О, Л dl + Ф [у (Q, .V (#()lt (2.22)
'о
то ее значения почти п каждый момент t [/„, Z.,] доставляют мини-
мум подынтегральному ни ряжению, а краевые, значении //*(/>),
доставляют минимум iMiriiHTcrpa.'ii.noMy слагаемому.
Выражение (2.2U) имист такую же структуру, что и (2.22), если
под ?/(Z) понимал, совокупность x(t), «(Q- Пусть и (I), :с*(/),
4i. ft достаилтот минимум i?. Поскольку на значения x(Z) огра-
ничений пет, то
4- [я ч- - 0
f)r. 1 J
прп X = X*(t), U = U*(t}, НЛП
; 'jfi I
A =------—
(2-23)
почти n каждый момент Ze[f„, i/|. Условие (2.23) можно рас-
сматривать как дкфферепцпалълое уравнение для определении
функционал инь! х множителей /.(/).
Из уедниия минимума iiiicitiirerpa.TLiibix слагаемых имеем
(2.21)
(2-2.-.)
если x(Ze) = х* (f^), х(/*) = .г* (h). Соотношения (2-24), (2.25)
27*
420
ГЛ. 0. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
можно рассматривать как граничные (краевые) условия к уравне-
нию (2.23).
Ог значений м(/) явно зависит только подынтегральное пора-
жение, а и нем — только гамильтониан. Поэтому должно попол-
ни гься условие
— П [л* (Г), к* (0, А* (01 "’in {- п I -f* (О. ". A (Z), 1)}.
v<=O
или, чп) то же самое,
П [х*(П, м*(/), НО- t] *= max 1Цх*(1), ", Л (О, (J (2.2Й>
!<<="
почти в каждый момент i <= |Ai, t- ].
Наконец, если Zs, tt — свободные (выбираемые) псличппы, то
для оптимальности их значений it необходимо
^ = 0, F = 0 (2.27)
Л,
при значения «* (О. -г* Оо). "* (^). (**)• Условия (2.27) мож-
но преобразовать к более удобной форме
/7(<),"*(/;), ?;(<:,), /?] = о.
п [.г* (б о.
Дсйст1'.птелы1о. in предстаи.тспия (2.20) следует, что
= //|.т (/<.). »(/„). a(ZC1), /J + ?(/oi-c(Q 4-
- 11 k(Zn), "(tj, /,({„). /в|,
причем использовано условие (2.24), справедливое на оптимальной
траектории. Диалогично доказывается, что на оптимуме
-/7 [X (<;)," (*,), A (i,),#..].
Проведенные рассуждения п аналогия с Т.2.3 делают правдо-
подобным следующий результат.
Теорема 2.4 (принцип максимума Понтрягина}*) Для тоеп
чтобы Допустимые и*{1), л'*(0, б). 1> соетаклялч решение <>Спцей
ми/ачи интим ильного управления, необходимо, чтобы eyufccrenea.ui.
мпомш re.ui Дягранлта
г=ог...,г о;>о), а*(о,
♦) Принцип максимума был вредложсл п J05<i г. Л. С. Поигряшиым и его
сот рудниками В. Г. Полти пеним в Р. В. Гляпрелпдае (иериеиачальио юлько
для задачи об оигнмааыюм быстродействии) [з.;:].
§ 2. УСЛОВИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ. ПРИНЦИП МАКСИМУМА
<21
не равные одновременно нулю и такие, что при
А =Л[, г = 0, ?.(/) = Х*(/), г(/} = л*0), «(/) — «*(/),
" ^<l> С “ 0
вынглгнсны условия;
1) X »(2.29)
(2.30)
при почти вСеХ /<=[/.:, Z..J;
2} Jgffo", t)dt I $ = ^1‘ Г/?.’., г; <2-3f)
*0
г
3) 1«.)-г?Г)2»Ак(О.»И1, (2.32)
- и' I—(I
Ш)“ аГ^Г) ?,г(^’ -г^1; <2 3;i>
•') II [<((), «(0. МО, Л “0 (2.3'0
при L — tf u 1 = Ip,
5)
причем
6)
•I
U J a i (x, U, 0 dl + Ci [ .r (/,,) x (0) ]
/0
= 0,
r. (2.35)
a, 2s 0, i = t\ + 1, ..., r;
//[.t (z); m(O, ?-(0i 0 = max/У [x(i)s u, /]
ut=6r
(2.36)'
(2.37)
i = 1, ..
для почти всех ij, причем, если u(t)= u*(t) на некотором,
отрезке времени принимает значения во внутренних точках U, то
на зтом отрезке
1'П
ди
я 0.
(2.3-8)
Если (с и (или) I, фиксированы, /и соогвегегвуннуее условие
(2.31) о спадае т.
Есми х(1ч) фиксировано, то отпадает условие (2.32), а если
(фиксировано х{1.), то отпадает (2.33).
Псе формулировки н теореме являются прямым следствием ги-
потезы Л;п раи;кс1. Бозмоя>ло, иуждается в пояснении запись урав-
нения (2.29).
422
ГЛ. fl. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
В депствптаяьпостл оно совпадает с исходным уравнением
объекта
х = /(х, и, /),
но записано с учетом тождества
ТГЙ - та Iх’<'>/('• "• "I - /и». <1, (2.ЭД
что позволило придать системе уравнений (2.29) симметричную,
так называемую гамильтонову форму, аналогичную уравнепиим
аналитической механики.
В качестве дополнительного комментария укажем, что если
Gc = 0, то условия (2.32), (2.33) называются условиями трансвер-
сальности и геометрически выражают тот факт, что краевые зна-
чения вектор-функнви /„(I) являются линейными комбинациями
векторов нормалей к поверхностям G\ = 0, i = 1, ..., г, в начальной
и конечной точках траектории.
Строгое доказательство общего принципа максимума основыва-
ется па использовании понятий функционального анализа я топо-
логии (см., например, (9.1]) и приводиться нс будет. Вместе с тем
для понимания самого «механизма» построения необходимых усло-
вий оптпмальпис-тн существенно знакомство с. доказательством, при-
водимым в следующем параграфе для задач, где отсутствую! огра-
ничения типа (2.31).
2.3. Достаточность принципа максимума и выпуклых задачах.
Здесь же мы покажем, что пелп.и.зоваппо свинства выпуклости так
?ке, как в конечномерном случае, позволяет доказать достаточность
гипотезы Лагранжа* и вытекающего из нес принципа максимума
как условия оптимальности*).
Теорема 2.5 (6.3]. Если ч*(1) является управлением, удовл£гво-
ряющим условиям принципа максимума (оХс=1) в задаче мини-
мизации функционала
Ч
J {и} = 1 [gA.o (з*) + gu0 (u)l dt )- (?л [z (/.)] (2.40)
'о
при условии
x = A(t)x +f„(u,t), x(Q = x“, н(/.)еС/, (2.41)
еде функции g„, С, являются выпуклыми, tu, (, фиксированы, то
u*(i} оптимально.
Доказательство. Пнсдсм ix-jiuMoi.Tie.ii.iiyio пиремсипуи» тц(0 такую,
что
i'u “ £'ro(x) “I" r«io(°)> ^«(‘о) = 0. {2.42)
Тоща
2{11) = Xc(if) 4* G'jfzff;}].
*} Свойство выпуклости играет важную роль и при строгом доказательство
общего ерцццииа максимума.
§ 2. УС.ЧОЕПЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ. ПР1ШШШ МАКСИМУМА
423-
Пус.ть г* (I) = з-*)—pemcnuo ураннешш (2.41). (2.42), с.оотпатс1вую1цеи
управлению («*(;), а Jr(l) = (-ги. т) —решение, соатиотстиуютес произвольному
допустимому у 111inнленн io.
Докажем иераопачпльно перлигпгтвп
“-*('/) I '•('/) >- Л. (',) I-
где V(<>) — Mito;i;itiCJii, фигурируют...... условиях iiprtHiiiin:i максимума. При
КТПН iicii<i.-ii.aycM гот же прием, чш и при iieuocpejlcrBciiituM решения aunciiiio-
квадря>нчной задачи (§ 8 г.ч 6). Введем функцию
»•(;) = -Zefl) + VT(.') а(0
и вычислим сс производную в силу уравнений (2.41). (2.42). Имеем
й' = 1- = -?.то — с%л + л*’(Л.с -|- /„} + АЛ’-г,
откуда
lV {1/) - IF («J = f [- Sxo - -ь ; »r (.4z /„) -I- ;.‘тх] dt. (2.44)
'о
Используем далее усвонпя принципа максимума. В данной аадаче опреде-
ление гамильтониана (2.21) нрлнн.мяпг ннд
И «= -[*»(*) + + V(l) [Л (.-)х + /„(и, !)],
на условия (2 37) илкеммумв 11 по и следует, что
-Сш.{«*(.')) I >-*’(0/« («*('), О -.<««(•') + 7.,r(0A.(«, /) (245)
дл» .1юГ>о<<| и с: U и почти tircx :< |/и, //(. Множители >.•(<) удоплст1юрн1ог
ypiiuiieiiiiio
С нслользокяинсм аипо уравнения получаем нл (2.44) тождество
А
= J {(“5Г) L=x* * - 5x0 fx) ~ “и,> <н) >?Т/и <м'г)} <2 /,С)
;0
Записывая это тождество для и = ч*, х = х* и вычптая из результата само
(2.46), находим, что
+ I ^г(МЧ'/)| J
ч
= j ll~ ₽!«.("•) I-(«*• <! 1 -1 ~ ₽•..,("> ’ ?’ '.<(" о] :-
'и
•I ю -<-•> I- (!£)’ |х л. (..• - ]; м > >.
поскольку под интегралом первая группа слагаемых >|С1чр1-цагсльпэ в силу
(2.45) дли почти всех I, а вторая всотрнцатслька в силу выпуклости j'JU(x)
424
ГЛ. Э. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
(см. оирсдслеппе в и. 2.1). Тем самым псранинство (2.4.1) доказано. Теперь ос-
тается использован. граничное условие длн множителей
rtf?, I
X* (! ) - -Л (2.47)
' ” 01 р«*(</)
И, (24.3), (2.47) оолуы.'м
I <;г,Р* ('/)!<%('/) । 6о1ЧМ1 <-
VI
{ <'<!*’ (QJ-Г L(q)1 (M“Z(,')I-
Однако послолппл группа слагаемых неотрицательна п силу выпуклости
Gc(x), так что окончательно получаем
J («*) А ('/) + со К (Ml < % (',) + со Iх (г/)1 AJ <«ь
что п доказывает оптимальность к*. Я
Точно так те доказывается достаточность принципа максимума
для задач, в которых отсутствует слагаемое AJx((/)] в функцио-
нале, однако требуется, чтобы в конечный момент выполнялись
условия
( = 0, ? = 1....rlt ’
^)Ц<0. *-г|+|....................г,
где (>„ г™!, ..., г.,—линейные функции, а С,, .....г,—
пшнуклые, т. е. множество, и которое должна в конечный момент
пенни траектория, является выпуклым (см. п. 2.1).
Неравенство (2.43) остается в силе, а при установлении окон-
чательного результата придется вместо (2.47) испо.тьзопать гранич-
ные условия (2.33) и условия дополняющей нсжссткости (2.3л),
(2.36).
§ 3. Задачи оптимизации
со свободный! правым концом траектории
Рассмотрим класс задач оптимального управления, формулируе-
мых в виде: пантн кусочно-непрерывную функцию и (0- миними-
зирующую функционал
JUb---(?„ [,г ((,.)] (3.1)
при условинх, что
.i f(:r, nJ), Zf., a-(L) = .r’ (3.2)
и
!f(()c-t’, (3.3)
Здесь начальный н конечный моменты tt), lt иаданы, фиксированы
начальные условия, а значения x(lt) па правом конце могут сво-
бодно выбираться.
§ 3. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СО СПОКОЙНЫМ ПРАВЫМ КОППОМ
425
3.1. Линейные задачи. Начнем рассмотрение с простейшего
примера.
Пример 3.1. Пусть об-ыкт описывается скалярным уравпенпем
.«• т+и, x(0) = Z,
и требуется выбрать управляю шее но.тдеистине »(/) так, чтобы
достигалось минимальное значение координаты х(/,) н заданный
момент 1/>0, причем
1н(/)1^1,
Решим задачу «и лоб», выразив явно минимизируемую координату
через управление
J А;?.(/,) = е!;х" + । (т)dr.
о
Управление в каждый момент должно доставлять минимум подын-
тегральному выражению, но
?/"’ > О, 0 т .< 1„
следопатолыю, оптимальным ишнп-гсл постоянное управление
»(/) = -!, 0<i th
что, впрочем, очевидно и но здравому смыслу. Г-1
'Гоч ло «лобовой» подход позволяет получать решение и в белее
общем случае.
Теорема 3.1. Значения управления «*(/), минимизирующего
функционал
J = СуХ (t) (3.4)
при условиям *)
x(t} = A(l)x(l)-i-B(t)u(t}JrW(t), (3.5)
г(Г0)--х°, u(t)cUt (3.6)
почти в любой момент t обеспечивают максимум линейной функции
л’(/)и*(/)= max {.4r(Z)u/iiE U), (3.7)
гое век гор функни-ч я(1) определяется формулой
м{() = П'{1)Х{1) (3.8)
черта решение, уравнения
(3.9)
с граничным условие.^
X(G)=-C. ’(ЗЛО)
) Обозиачеиия соответствуют § 8 гл. 6.
426
ГЛ. £1. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
Д о к а а а т с л ь с т н о. Используем формулу для общего решения пектор-
исяо уравнении (3.5), полученную и § В г.1. 6:
, t
аг (/) - ’Г (г) / I Ч' (/) Т 1 (х> |/> (1) и (т) -|- И' (г)] г/т, (3.11)
'о
>де Чг (/)—фундаментально я матрица споим и (3.5), п —обретал к
ней, он редел пмыс ураппгиплмп
^-Ч^ЯТ. Ч'(/а) = Д (3.12)
^-[Т-*]Т=-ЛТ(Ч'-'Г. У-'(/„)=/. (3.13)
В силу (3.11) имеем
f7
С«т (f/) = j С/)4f-1 fT) В W и (т' “т +
'о
+ (еллгаелче, не зависящие or управления). (3.14)
Докажем икпнпалсптпость формул
этт (0 = — C’^F (/,) Ч'-1 (?) й {/)
и
лт(0 - V(')"(0.
т с. дакажсы тождество
?.(<) «=• —[’(' 1 (г)ГЧг’(//)Сп. (3 15)
Умножал (3 13) справа на постоянный вектор —Ч,Г(1;)СО, получаем
А н [чг-1рГ(М (.j _ _ А-; (_ lT-i]n|fr(f/) (31С)
а с.'1едоват<А11>но. /.(/), оирсх4.'1яем<№ формулой (3.15), удовлетворяет дифферен-
циальному урноменню (3.9). Очевидно, удовлетнорлетсл и грапичпос ус.тоипо
>«•) = -(У’ =('/)fVT(«/)Co - -Си.
Мияммизпруе.иос нмражеинс в (3.14) прсзпмаст впд
I, (— я1 {/)) « (0 df,
*о
откуда следует требование мпппмпялнпи полинтетральпого ныражйнии почти
в каждый момент времени, экжвалептиое желаемому результату, м
Подчеркнем теперь, чи) Т..Ч.1 iiiciiiin.-i.'ti'ti гид утигрждешно в фор
МО принципа максимума.
Теорема 3.2. Для того чтобы п*(7) яв.’ялось реиигнчгм яадачи
(3.4) — (3.5), необходимо и- достаточно, чтобы его значения почти,
а каждый .чолн'кт / се [/„, / удовлетаоряли прч.Ш{ип.у миксамумч
ZZ[J*(/)I «*((), )*(/), /| = шах П Iz*(0, н. ?/ (/), /’. (3.17)
•eCU
5 S. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СО СВОБОДНЫМ ПРАВЫМ КОНЦОМ 427
где
л «г*,(ПМ(ОИО+£(0и(О+ ИФ)1
(3.18)-
aX(Z)=,X*(Z) удовлечворяег условиям
>-(/,) = -Со- ' (3.19)
Действительно, условия (3.19) экниналсигпы (3.9), (3-10), а сла-
гаемое н гамильтониане. (3.18), явно зависящее от «, совпадает с
выражением. максимизируемым н (3.7).
3.2. Свойства оптимальной программы. Теорема 3.1 указывает
четкое правило hoctjxm-'iihh оптимальной программы управлении.
Для эпно следует:
1) проинтегрировать-систему (3.9) с условием (3.10);
2) вычислить функпию и (1) по формуле (3.8):
3) решить для каждого момента L задачу конечномерной макси-
мизации (3.7).
Норная фаза может быть проделана либо аналитически (при
А “= const), либо с помощью программ численного интегрирования
(интегрирование должно постись в обращенном времени т —/у — £!).
Третья фаза, к сожалению, по проста. К проблеме вычисления
решения конечномерных задач на условный экстремум мы еще
обратимся ниже (§ 7). Здесь ясс интересно нроаиа.|изнроплть про-
стейший случай, когда MiMiHCecTim // допустимых значений управ-
ления задаете»! покомпонентными ограничениями
щ к = 1............ т, (3.20)
где нд. и.»— заданные числа — нкжпис п верхние границы.
Перекипим (3.7) с учетом этого явного задания
шах | лл(0«'./«/. ^ик^.иа, к =» 1, ..(3.21)
где и,.(1)— компоненты вектора л(<). Задача (3.21) распадается
па т независимых
шах (л*(1)пЛ./«* «л 'Z nJ, к = 1, тп, (3.22)’
решение которых очевидно:
«а (0 =
ик при тех /, где Hfc(S)2>0K
НА при тех t, где JTh (Z)< 0,
произвольно в пределах допуска, если (1) 0.
(3.23)
Следствие к 'Г.3.2. Управление линейной системой (3.5), опти-
мальное по линейному критерию (3.4) при ограничениях (3.20).
может быть построено как кусочно настоянная функция. Кижди.ч
компонента такого управления принимает только одно ия двух
гра нич н ы х ап а ч ен п й.
428
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УЦРЧВЛЕПИЯ
Если функции яД/), называемые йСг/илч/мл-ии переключения,
обращаются и пуль только в конечном числе точек, то »тп точки и
являются моментами переключения. Подобное. управление часто
налипают управлением релейного типа. Для запоминания програм-
мы управления релейного типа достаточно хранить юлы.'о гранич-
ные) значения и моменты переключения. Пример такой программы
приводился еще и § 1 гл. 3.
В дополнение остановимся пл частном случае, когда матрицы
/, В в (3.5) постоянны. В атом случае можно записать явное вы-
ражение для функции переключения
л (/.) = В'\ (I) = - Вt0 < / < (3.24)
Вводя обращенное время т — t. — I, получаем
пт(т) = — С^е-ЛтВ, I; — fv.
Продолжив функцию лг(т) на всю полуось г 0 и применив к ней
преобразование Лапласа, найдем, что
{_ дт (т)) = | р/ _ л j-1 Z?I (3.25)
т. (ч получаем передаточную функцию (векторную) от управления
и{1) к выходу !f{t)Дб'с,.т(/).
Очевидно, что любая компонента Jii<(/) обращается в пуль на
конечном отрезки только в конечном числе точек, на исключением
Tpiiiiiin.TMtoii ситуации когда она тождественно равна нулю при
тождественном обращении в нуль с-оответствующен компоненты
н. ф. (3.25).
Интересную оценку числа переключений и оптимальной програм-
ме управления стационарным объектом дает следующая
Теорема 3.3 (теорема Фслъб'баума). Пусть (пХ п} матриц/! Л
имеет только вещественные собственные, числа. Тогда число пере-
ключений любой компоненты оптимальной программы не превосхо-
дит п — j.
Доказательство ирояедеч .’i-тя случал некратных корней. Функция
переключения, соответствующая любей компоненте управления, представима
в индо
я‘"> (1) = у
V —1
где — во.гцсствсппыо компоненты. При п •= 1 out, очгчш.чп'), по меняет зппка
при .'ifoCuiM I Далее можно дслс.тн<1пагь но индукции. Пусть утверждению спра-
иедлпио при п «=» I, т. е. фупьцкл
;tU) {0 „ V
обраищется в пуль но более (’ — 1) раз, Коковы бы ни были вещественные нон-
ет к а: ы в\ а Л».
§ J. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СО СВОВОДНЫМ ПРАВЫМ КОНЦОМ 429
Составим фупкцпю прз к = / -г I;
V I
Умножим л1-''’*(/) ня < '*11 "> i\ ч'ю по мепн<*г ерсдпплппс се знаков, п про-
диффсрсицпрусм нроилисдслне
v«=l
Это нырлжсппс вновь яи.чистся .1 mi efl иол комбинацией I экспонент с нстпсст-
венпымн показателями и ио индуктивному предположению обращается в нуль
мн более чем (1—1) рал. Однако из и ia.Tn.ia известно, что кули функции п се
приилводной чередуются, и поэтому функция я(Г4_1’<г пмеет не более I
пулен. То же справедливо н для п(;"1>(<), что и докалывает результат.в
3.3. Оценка приращения функционала. Задача оигимпзацпп ли-
лейной системы ио линейному критерию типа (3.4) (3.6) весьма
редяо возникают в приложениях непосредственно. Однако опи игра-
ют раненую роль как нсномогательпыо при решении более сложных
задач.
Вернемся к исследованию иетнноппой проблемы (3.1) (3.3) и
докажем сначала полезное неиимогате.п.лоо утверждение, оспоаан-
|пи‘ на хороню ii.tdcctikim нам приеме линеаризации.
1еяма 3.1 (лглмм /’о.гоно.трп о приращении <fiynKJiuonaja) [9.19).
JJyc.ru и(1)—какое-либо допустгип' управление, а — любое
другое допустимое унривл-сиие, мало огличающеесл иг него с том
смысле, что
Л.ч (1)=->ил(1)-П (/)
кодч и н сп у огр а кич сн ;/ ю
Г/
(/,-и ' [Л«Р^<Е2, (3.26)
Г
О
S()(; f — заданная малая eejsiHWta. Пусть х [t)~ уемепц?. уравнения
(3.2) при u{t)= u(i}, а лд(/)— при u(t) = Ub(L). Тогда
L J {•>} -/[”)£ Oit |.u (?,)] - Go lx (/.)] -
4
-.- j{//[xW.WAtoJ.fc, t] -/7[х(/),^(/),л(/). г][Л + 6(а2).
*0
еде /.(/) вычисляется путем решелил урпалои/я
;. = -/’(f)Z, /.«,)--С,
Л (0 = j7 | v=.7.u._.-> ( 0 = 7П~(й
(3.27)
(3.28)
(3.29)
430
ГЛ. 0. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
а Н (х, и, t) А к' (?)f(xt и, I). При атом предполагается, что
1(х, и, /), G0(x) дважды дифференцируемы по своим аргументам.
Доказательство. Обозначим Лх(/) = гл(0 — Jt(t). Тогда
М /(5 + Дх, й + Ди, I) - 1(х, й, <). Дх(/С) = 0, (3.30)
пли, в интегральной форме,
»
Лх {t) = 1/ (х + Дх, « + Au. 1) — / (х, и, х)| г/т.
'о
Запшпсм условие Липшица
|/(5 + Дт, ц + Ди, т) — /(х. >7, т) | S7 /, |Лх| 4- /2|Д« |,
где li> h — пскоторые копстапты. Далее имеем
I д* W I < j I Ах (т) I г/т + /„ f I А“ (Т) I г/г.
го
Используя лемму Гропуолла — Веллмана*). получаем
! 7
| Ах (г) К А- | I Ли (т) | /?т гС А | [ Ла (т) I л’т, Л- -. const.
'о '.п
Учтем перавспстпо
/'.г '/
[ I Л« I Л I < (Г/ - t(1) f | Л« |агП л в* (3.31)
'*0 ' 'о
(при огрянн'гг'нпн (3.26)). Имеем теперь
|Дх(.<)| =-/.t:, lc[te, (/J. (3.32)
Введем далее процесс бх((), подчппяющпйся лилейному ypaiuieni ю и ва-
риациях
6х = Л(1) 6r + Z?(r) Ди, Sx(/,-}=0, (3.33)
где Д(') дано формулой (3.2С-), а
*(r)^U,u U р-34>
Скопим давность
U0 = Дх(.-)-Сх(г). (3.3а)
Разлагал правую часть (3.30) но формуле Тейлоро с остаточным членом,
получим
Дх •= л (о дх + г(/) ли + г[Ат(о, д«(0, /), (З.:яй)
*) Если u(i-), г(0 Ss 0, с > 0, то 18 31
г / ‘
и (1) •(- | во с/т, 1 > 0 U {/) < С CXJJ I i У dt
о \о
0.
£ 3. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СО СВОБОДНЫМ ПРАВЫ?.! концом
431
где функция г зависит только от компонент хектороп Да, Ди во 2-й степени л
их произведений. Вычитая из (3.30) уравнении в вариациях, иауидн.ч
।
б(0 j" Ч'(1} Т (г) г(Да (т), Дм (Г/, т] г/г,
где ’Г(.')—фундаментально» матрица, вычисляемаи согласно (3 12) при
А = И(«). Теперь с всполитовлпием оценок (.3.31), (3.33) нетрудно убедиться,
что
I - ('} I -?» ср.2, г?(с г — cuDst.
Таким образом, линейное ypanwitnc (3.33) с точностью до (7(е2) даиг правиль-
ное описание изменения состояния, вызванное изменением управления на
Au(!j;
Дх(.') = Sa(')-?Off:2). (3.37)
Разложим теперь в ряд Тейлора и критериальную функцию
С» Ра (*/)] = Сс I* ('..•)] -! S'|^/) (У I-
! (I Ах (/.)!’) CQ р (f,)] + ?> (f/) о (?).
Тем самым доказано, то
AJ- QVfZJ-l-flte3), (3.38)
где парияццл траектории на правом книце определяй <г.и линейным ураиисни-
ем (3.33).
Д.Т.НЧ'., повторял начальную часть доказнтельстпа Т.3.1, устанавливаем, что
9
C’Sr (!,) - JI - АГ (?) а (?) А|* (!) ] <и.
<а
С яругой стороны, имеем
9 _ / ...
~ { {лт (I) Ь' (!) Ди 'f; -J- rH (Au)| dl -I | Б (<) Да (?) а'4 -f- О (с2?,
4 * ‘“а
поскольку осгато’П'ый ч.'.Ч'П r,f(Au) содержит только слагаемые 2-ю порядка
относительно Ли. Подеюловка получеинь'х соотношений и (3.38) илнершает до-
казитг-льство леммы М
3.4. Доказательство припципп максимума. Формула (3.27), даю-
щая идейку мамемсния функципиал при малых по пор.мо измене-
ниях управления, iiinpuKo иснчльауочся при построении методов
jipiin.Tii/Kciiiioii оптимизации, о чем — пнжт*.
Имеет с тем с ее помощью легко получить прямое доказатель-
ство принципа максимума для задач типа (3.1) — (3-3), in1 нсполь-
аующец гипотезу Лагранжа.
432
1ТГ. 9. ОНТИЛГИЗЛЦИЯ ПРО1ТАЗТМ УПГАВЛЕПИЯ
Теорема 3.4. При условиях леммы (3.1) для оптимальности уп-
равлении и*(1) и определяемого им в силу (3.2) процесса х'-(1)
необходимо, чтобы существовала функция удовлетворяющая
уравнению
(3.3»
U- U*
при краевом условии
, всм
?.(«/) = -(.; =------, (З.Ю)
х('/)=х* ((,) ' '
причем
Н fx* (i), и* (/), /.* (/), /.] .= max II [х* («), их К* («)„ /] (3.41)
Utz I-'
при почти всех t е Ji,,. t,J.
Доказательство. Согласно лемме 3.1 имеем;
J {«д} - j U**J - - ( ЛЯ А + о (е2), (3.42)
где
дя д н 1г* ('). «Л и, А’ ш.'] - я Р'* (о, tn, «. н.
причем иредно.т.тгастся, чти
Ли(<) - ил(/) — и^Г)
подчомется условию (3.2G) или iii.i 1с«лкиисму на пою условию (3.31):
tf
j | Ди | «7 < г. (3.43)
Управление «*(/) оптимально, если
/{«.,} 7(и*), (3.44)
какоио бы ни было допустимое Кд(^. В частности, неопхойимо, чтобы (3.42)
выполнялось для любых малых в смысле (3.43) отклонений ый(0 от к*(г). Но
тогда из (3.42) яспа псобходимость условия
!?
J ДУ/ dt < 0, (3.45)
ибо в протиппем случае при достаточно ма.и. х е
Л“л) — ^{м*} < О,
что прон1во|>е<[[[г онред|'.1с|||1Ю i>imitia.'ii.i>ui;Tii (3.44).
Вассмогрпм теперь специальный класс <л клонен iiii. u.iai.iii.H'Mi.tx иггимгл г ги-
мн или и.чп;/.4ъсиы.ен «лрикнил.чн.
Пусть
U,
и* (?;,
«Л Ю
Г Е[Т. t |- ej,
[Т, T-rcJ,
(3.46)
§ з. Задачи оптимизации со сноиодным правым концом
.',33-
где и — произвол).нал (векторная) константа с ограш чепнымн компонсигзмп
такнл, чти и g U, т — про ил мольный мо.миит t е= pc, t; — е?], а е®— малая поло-
уштсльнап величина. Вид игольчатой иариацпи лссп па рис. 9.2, где представ-
лена одна па 1<<>А111»н«<11 г унринаоиин и* Ц), ппдозревпитки v па оптимальность.
Обозначим Ли (Г) Л нл (О — и* (Г).
Tin Да н силу oipauirieiinucTii и получаем
[|A«(O|dt = f |Aw(O|rfT<
'о ’
где е<, — некоторая константа. Приняв вс ==
г- е/сс убеждаемся в выполнении условия
(3.43) для игольчатой вариации.
Для такой вариации необходимое условие
(3.4й) записывается в виде-
f {// (х*, и, /.*, I) — 11 (х*, < 0-
(3.47)
Отсюда следует, что
/ф», и, ?,*, г] /ф*, и*, /.*, <) (3.48)
при ihhiiti лнч)г!м 'q (ц,, г,.). Дслсг[111ге.н.[|(>, с/'ли ато i:e тли, т. о.
/ф-, н, 7.‘, г| - //(а’, А», 0 > 0 (3.4!1)
и некоторый момент I, яиликнцийся точкой непрерывности и*р). то эта точка
мои;ст быть iHi.Mumi'tia и интервал (г. тч-ег|. и» котором всюду будет вынол-
ueiio (3 49!, а с. ч-дп|!я тс оно, (3.47) Щ'иозмо.кио.
Г1мег.ц» с. тем услиопс (3.48) Эовиаилентло .показываемому принципу мнкеи-
мумя (3.41) ввиду произвольности выбора и из (>.
ПрИЕСЛОппос доказательстЕО по существу охватывает и пссколь-
ко более общнп класс задач, когда вместо критернальной функции
(3.1) требуется минимизировать
J {«} = J (.г, и, t) <lt + Go [,s («,. )1. (3.50)
и
Используем прпем расширения пространства состопкпя. введя
иивую переменную .То(0 такую, что
Ло и, I), z,.((.,)=0 (3.51)
(iiepeMemiVKi j'u(/) можно интерпретировать как значение никои
лепных uii.'irriT. до мп.моига i текущих натра г, нп.тиое значение ко
торых (3.50) требуется MtiiiiiMiini[Hiiian,).
(.Juo.niaMHM .г(Z) = (.rc((), -'.(Z)). Тогда
J {«) ' -Ч {(j + k (М1 А << к- Ж (3.52)
28 а. л. ilepjiuupaiicKnfl
434
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
я уравпепие (3.51)' вместе с исходным описанием (3.2) дает
^/(Л'М).
(3.53)
где f (gc, /), х° (0, z°). С точностью до обозначений задача те
мерь соответствует условиям Т.3.4. Для нее справедливо условие
типа (3.41)
11 |х*, и*, /.*, t] = max II [ ?;*, н, ?.*, (], (3-51)
> к Л-О
7/-г7=>/.о(О^(л «, 0+Ат(0/(х, и, г),
.а а* а(/,*, X )— решение уравнения типа (<3.39)
Записанные условия, однако, молено упростить, вернувшись к
исходному описанию. Действительно, из (3.56) следует
/ Gff Л л ...
Ло ” = 0 = С01Ы*
о
(3.55)
(3.56)
110
го значения Хо(/) можно записать
“» — 1. С учетом
иайдепио-
<юп
Л“-^(х, u, Z) I-XT(i)/(x, и, t),
>.—£1
f/Х |x--x*,u—U*
(3.57)
(3.58)
причем зпак «'-» над 11 можно теперь опустить.
Очевидно, что формулировка принципа максимума для задач с
функционалом (3.50) совпадает с формулировкой, даваемой Т.3.4
в исходных обозначениях, за исключением замены выражения га-
мильтониана па (3.57)*).
Попытаемся теперь осознать, что дает необходимое условие
в форме принципа максимума для непосредственной практической
цели — построения оптимальной программы.
Обычно рекомендуется следующая процедура:
1. Записать уравнения системы, ограничения и критериальной
функции и стандартной форме (3.2), (3.3), (3.50).
2. ('оставить выражение гамильтониана
//•=—A'ufx, и, /)Ч Х’/(.Г, ы, I).
(3.59)
*) Можно получить тот ролуяътат и па общего нрикнина максимума,
вз.тиженноге п § 2, как частный случай, дополнительно высказав гипотеву. что
константа фигурирующая в общей фириулириако, нс раина нулю.
§ 4. ЛИНЕЙНО-КВЛДРЛТИЧ11ЫЕ ЗАДАЧИ
435.
3. Найти для каждого t, ж п X. рассматриваемых как векторные’
параметры, величину
и (.г, ?.,/),
при которой достигается максимум II по явно входящему и и пре-
делах допустимой области U.
4. (Доставить уравнение
й//
Л =я —. —
</х
положив в его правой частя
к - «(ж, t).
5. Решить краевую задачу относительно переменных ж(£), '&(!')>
дли системы
X = / (.г, и.,
с условиями
-('»)-Л =
(>. Если т*(/), /.*(/)—решение краевой задачи, то программ;»
и* (г)-«>*(<). Л’(0- О,
очевидно, удовлетворяет необходимым услопнпм оптимален сто.
Описанная процедура не является аакоиченпым алгоритмом по-
строения,оптимальной программы управления. Вс» первых, решение
па утапс 5 может быть по едипстиеивым. а следовательно, возможно
множество управлений, удовлетворяющих необходимым условиям,
но не обязательно оптимальных. Во-вторых, что практически наибо-
лее сушествеппо. решение задач, позппкакицпх па атапах 3 и 5. яв-
ляется с вычислительной точки зрения крайне сложным. Тем.
нс менее для некоторых лидов задач процедура осуществима.
§ 4. Линейно-квадратпчпыс задачи
4.J. Условия оптимальности. Гм-рпемси вновь к задаче оптимиза-
ции линейной системы
х = Яж + Bti, t,. I't., ж(0) =те (4.1J
но критерию минимума квадратичного <Ь> нкцпоп.1л.»
Ч
J {«} = j -1 [ + и-Чи. ] dl I- 4 *т ('/) С/-Г «/)- (-'*-2)
24*
436
ГЛ. 3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
Эта задача била ранее детально изучена с помощью специальных
приемов. Вместе с тем опа является частным случаем задач опти-
мального упрпнлсиил со свободным правым концом траектории н,
более того, частным случаем линейно-выпуклых задач, для которых
принцип максимума является необходимым и достаточным условием
чштимальности. Выясним, что здесь диет процедура. основанная па
меиолt.aonaiitiii принципа максимума. Критерии имеет стандартную
форму (3.50), где
£(,(*'. «, 0 «f^lr <;UI ЧМ) = J-' ('•-’’)
Запишем гамильтониан согласно (3.59)
II = —1-I- нт7?ц] -I- V J /I.t -|- 7?wJ. (4.4)
Если R— положительно определенная матрица, то II достигает мак-
симума по явно входящему w в сдипстисппой экстремальной точке,
удовлетворяющей условшо
— (j _ J-},, + //г?. о. (4.5)
ии г '
(Папомппм, что явных ограничений па значения w(Z) не поставлено,
и задача максимизации гамильтониана здесь является задачей на
бе условный экстремум.) Из (1.5) получаем
и (г, A, Z) - /Г 7Г?.. (4.G)
OrianiiM теперь уравнение для множителей 7.(0:
?. = -g = <2.r_/14. (4.7)
Граничное условие дает
SG
мы-------йт—С/МЫ- <“>
I
Таким образом, и отличие от задач оптимизации по .чппеппому кри-
терию. уравнение для множителей пе может быть проинтегрировано
независимо.
Требуется решать краевую задачу
х /г -J- Пн |„. .? -4.г -{- д =-. (Аг— Л1?. (1-9)
с условпями
.г(Г))=ж.т", Z(G)--(A.r(A). (1.10)'
Хотя зга задачл лиигб.ш, стаидяртиые процедуры численного инте-
грировании, ориентированные па решение дифференциальных уран
neiniii с заданными шпальными условиями, здесь по проходят. Одна
из принципиальных возможное гоп зак.ночается в следующем.
S l. ЛППЕЙПО-КВЛДРЛТПЧПЫК ЗАДАЧИ «537
1®;дем 2«-иоктор л = (.г, /.) и (2л X 2л)-матрицу tf-.
, (д /ягн?) ,, 1П
_Л’С • 0
Тогда система (4.9) сокращснио запишется н виде
£«л/з. (4.12)
Пре iihi jo/ким, ’.го построена фундаментальная матрица 0(/, <о),
а. е. решение матричного уравнения
(4.13)
Тогда гп)з(#о),
или ar(0 = o!l(t МММ. (4.14)
МС W (f. -е^(/. Ш(М. (4.15)
где П.,.; /. . /с = 1. 2,-- (л X ///-блоки матрицы 0 (Z, f„):
PM. f...!
о‘;|-
11з крас. п.гх условии следует, что
U-;(M <,.)/.(!„) =-(МО.. (0. Mr°10it(M
откуда
Ж) -М„ /..)-! (МММ Ml *(0 .(/., /,) + (ММ(М л.) 1 С1*6)
Тем самым находя гея неизвестные начальные значения мношптелеп,
а следователыш, п определяются и силу (4.1'.), (4.15) искомые
функции x*(t), /,*(f), являющиеся решениями краевой задачи.
Осш.пная трудность на атом нуги связана с вычислением (2/1X2//)-
матртшы 6(/, /.,), что требует 2»-кратпого решения системы уравне-
нии порядка 2п с заданными (в виде единичных вектор.):.) началь-
ными значениями. Хотя известны и другие способы непосредствен-
ного вычисления решении краевой задачи (4.9), (4.10), остановим-
ся па косвенном подходе.
4.2. Уравнение Риккати. Попытаемся удовлетворить (4.9), (4.10)
с помощью подсгаповкп
7.(0 = -P(f).r(O, (4.17)
где /’(О—некоторая симметричная (и X //./-матрица. Подстановка
дает
Л~ЧГРх,
- /’.г /\г - (Лг - А Т.,, i>( I,) -г (.')-(<-'(<) -
Исключая х, получаем
- РАх- + РВК-'В Рх - Рх = Qx + Л тАг.
438
ГЛ. Э. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
Это уравнение удовлетворяется тождественно, еслп выполнено
соотношение
-Р = .ГР т РЛ - РВП-ЧРР -I- О, (4.18)
причем из граничного условия следует, что
/’Ю-Сь (4.19)
Если пандела матрица Р, удовлетворяющая (4.18), (4.19), то
u(.r, X, П'ЧГРх, (4.20)'
т. с. найдена зависимость оптимального управления от переменных
состояния, удовлетворяющая принципу максимума. Это прекрасным
результат, но... он уже был получен ранее в § 8 гл. 6 прямым пу-
тем: уравнение (418) является известным уравнением Рпккати,
а формула (4.20) дает известное, представление оптимального управ-
ления в виде обратной связи по переменным состояния.
Таким образом, мы вышли па апакомый путь, хотя теперь нам
предоставляется возможность выбирать между двумя подходами:
либо решать линейную задачу относи сельпо 2н неизвестных, либо
решать задачи с начальными условиями для нелинейной системы
п {п -|- П ,,
с. пей.«постными элементами матрицы /'(/). Хотя вычисли-
тельный опыт здесь недостаточен, представляется, что во многих
случаях « гинейныв» путь проще. Особенно если параметры ио
стоянии, и можно использовать аналитические представлении для
фундаментальной матрицы.
Подчеркнем также, что формула (4.16) пригодна для произволь-
ного начального момента Zc, а следовательно, она определяет ту жо
связь между переменными состояния .r(f) и множителями ?.(/), что
и формула (4.17). Отсюда устанавливается представление решения
уравнения Рпккати через фундаментальную матрицу
P(#)»[O=s(t., г) + <МДГн 0 + СДШ, *)], (4.21)
а следовательно, и возможность вычисления оптимальных коэффи-
циентов усиления
/<(«) = К~'ТГ (<)Р (!) (4.22)’
путем интегрирования линейной системы.
Дискуссия о срапнйтельных достояиствах различных способен
вычисления матрицы P(t), конечно, может относиться только к за-
дачам большой ра. мерности. Однако дли иллюстрации стоит рас-
смотреть простейший скалярный (н “ 1) пример.
Пример 4.1. Пусть объект оиисыпаеггя скалярным уравнением
7\»г + х = к,и, х («и). = ж", А’и > 0, 7'и > О,
§ 4. ЛИНЕППО-КГАДРАТИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
439
а критерий оптимальности задан в впдо
ч
-1- j (.с5 + ги~) dt |- </j • ({,)-> min, г>0, 5>0.
<0
Задачу можно интерпретировать как задачу выбора .такты h.imcho-
пия дшскутсго момента с целью, изменения угловой скорости от на-
чальной .г" к конечной, принятой ва начало отсчета, с мипимилп-
цпсй «штрафа» па отклонение вдоль всей траектории и особенно
в конце ее, а также «.энергетических затрат» на управление.
Уравнения (4.9) здесь имеют вид
а? = — х 4—j- X, а = х 4- -zr- )-i
а граничные условия
г{«.,,) = Л ?,(/.,)«-g.r(f,).
Фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению
где в данном случае ф,, — скалярные функции, удовлетворяющие
начальным условиям
О,, W = 02г (<<,) = 1, 612 (Q = Ом (Zo) = 0.
Интегрируя уравнения для элементов
011 “ 0л 4- т^-9-л,
'о гог
получаем
i
On'Л
«
0„ЮЬ>-4-1 ’"-У-e-’t'-'J I.
где
1-го столона
= y-0si.j
и
1
Т ~г~у~
440
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИИ
Аналогично находим *) ч
~?<7У
1 1
022('Л) -I-
- f
Выражение оптимального коэффициента усиления находится теперь
по формулам (4.21), (4.22), которые в данном случае приобрета-
ют вид
>.m _ _L V он<*'’ O + Aif'p О
' т.
Выпишем это выражение подробнее для случая д = 0:
К»- *>
‘Ч'Н
Очевидно, что с точностью до «красного эффекта» коэффициент
близок к постоянному
Существенные различия имеют место только вблизи конца траекто-
рии при временах порядка I,-—
4.3. Учет дополнительных ограничений. Применение принципа
максимума особо эффективно, когда в задаче (4.1), (4.2) требуется
учесть дополнительные ограничения.
Пусть, в частности, требуется, чтобы в конечный момент состоя-
ние совпадало с заданным, а/. Тогда уравнения (4.9) сохранят свою
силу, но условия на конечные значения множителей отсутствуют,
и вместо (4.10) имеем
= — (4.23)
Вновь требуется решать краевую задачу. Не приводя общей форму-
лы, остановимся па содержательном примере.
Пример 4.2. Управлепие^мметим космического аппарата с реак-
тивным двигателем [9.7). Содержательный смысл задачи таков; тре-
буется доставить с помощью космического аппарата в заданную
точку прог।раяства наибольший полезный груа. Масса аппарата
•) Наличие в элементах фундаментальней матрицы растущих (неустойчи-
вых) елнгиимы.х является главным осложнением при их иестреспип путем чпе-
.тенщии интегрировав ля.
3 i. ЛЛНЕПНО-КВАДРАТИТПЫЕ ЗАДАЧИ
?ft(i) переменна:
th— — q, m{l.,) = mD
и определяется пнтеисивпостыо расхода q через двигатель, создаю-
щий реактивную тягу (забором вещества па itticiiiitcii среды ире-
neopi-i нем). Величина I" реактивной тяги связана с ин гене и внос л.ю
расхода и мощностью реактивной струп A cooiлсипеингм
= l'2^V. (4.25)
Пусть г(f) — радиус-вектор центра масс аппарата и иперциаль-
jioi: системе коордппат, F— вектор тяги, F,— вектор внешних
сил*). Запишем уравнение движения центра масс
znr = F + Ff,
или
г = а + ас, (i.2G)
где а—реактивное ускорение. а а,, — ускорение, создаваемое внеш-
ними силами. Если таковые определяются только гравитационным
нолем, то ае не зависит от массы /.ч, что мы п предположим в даль-
нейшем.
Прообразуем уравнение (4.24). В силу соотношения (4.25)
Интегрируя, получаем
--------7~т = f <it. (4.28)
w('») J **
ru
.Alacca аппарата есть сумма масс носителя, топлива и полезного гру-
да. Если в конечный момент /( допускается использовать все топливо
(или вплоть до некоторого заданного запаса), то масса полезного
груза, который можно доставить к моменту J., определнется конеч-
ной массой аппарата за вычетом фиксированной величины.
Поэтому' максимизация массы доставляемого полезного груза :жв»-
ла.тгтяа максимизации »’(/,), а последняя в силу (4.28) эквива-
лентна минимизации функционала
h
./{а. А’} (>-2П)
'о
*) Здесь ис1ноп.зун>1сн векторы
оиимычеиы жирным шрифтом.
в смысле техфетнчегкой мехапвкп; они
442
1’Л. S. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
Будем считать, что задали положение г' конечной точки и скорость
vz аппарата в конечный момент. Кроме того, заданы начальные
значения г(/и), v(/0). Текущие значения радпуса-исктора центра
масс и его скорости подчиняю ген ура и нс пням
г v, v —abar, Z.J. ('1.30}
Предполагается возможность управления путем нзмепснии реактив-
ного ускорения a(f) п мощности реактивной струи ;V(/), причем на
значения a(f) явных ограничений не налагается, a N(t) ограниче-
но сверху:
A’(/)<iV. (4.31)
Из вида функционала (4.29) ясно, что независимо от программы
изменения ускорения оптимальным является поддержание мощности
Л'(1) па предельном уровне Л'. Поэтому далее можно интересоваться
только программой изменения ускорения а, минимизирующей
Ч
= (4.32)
'о
Г! целях упрощения предположим, что я, постоянно (по величине
н iianpmi.uriuiuj). Введем в рассмотрение произвольно паправленныи
ортогональные, координатные осн .г, г/, з и снабдим гоотнетстпующи-
ыи индексами проекции всех нектаров на ати оси. Тогда функционал
примет лид
/ = “5“ ( (ff.T Т Пр + <Zj)
'о
а уравнения движения запишутся в координатной форме
гх = L--, i\ = у„, = г;,
г\ = -г яи — av + a,,v, vz = а- + a..z,
причем фиксированы начальные и конечные значения всех перемен-
ных состояния та, ь’х, r.j, vv, г„ р„ Поскольку функционал сепарабе-
лен, т. е. является суммой функционалов от каждой компоненты
ускорения но отдельности, а условия также покомпонентно незави-
симы, то оптимизацию можно вести для каждого координатного
направления независимо. Опуская индекс координаты, запишем
J {«} -< «.* dt
§ 4. ЛПОКПНО-КВАДРЛТИЧПЫЕ ЗАДЛЧП
443
при условиях
r = v, v^a+ae, r(f„) = r°, v(tu)=irB, r(Zj = r', у(/7)=у',
где заданы констанам г®, г', и®, v'.
Мы пришли : двумерной линейно-квадратичной задаче с фикси-
рованными краевыми значениям». Применим принцип максимума.
Гамильтониан имеет вид
U = - -L (I) + лг (Z) у (/) + (I) (а (I) + «„).
Требование безусловного максимума но управлению дает для опти-
мального управления выражение
a* (t) = а = XT(Z).
Множители А, (г), (О удовлетворяют системе уравнений
Л'/ г>п .
Аг --------— — v. Z.q — — т— — —- Аг,-
or - v tin 11
так что
)., = Cr, /... = — c,l -I- ct,
где c„ c„ — константы, u a*(l}=^—c.ri + c,. Константы определяются
no ладанным краевым условиям но переменным состояния.
Де1’(стп>пел1.нн, при а <-= «* имеем
г t>, у “ — с,1 4* с, 4- о,-,
«откуда
у (/) м у» + (с„ -I- вг) (I - Q - -у (< -
С„ + Ст-
г (0 = г° -1- гУ (t - и ч- - fo) - - - Q31
и констапты сг, сс находятся ну системы двух линейных уравнений
си1 — = Ау — a.J\
с» — 4- Cr — = «’тг — в — ас —»
где Дг = г' —г°, До = оу —у®, Т =- lf — — заданные величины.
Приведем конечный результат для случая
Де-0, Ду=0, У®‘ О, t, = 0.
Здесь
* , .. <’АГ / , > < I , г *> о (-'п
« (0 “ V — 2 Ту > 7 {" ) “ —~
Таким образом, устанавливаем, что оптимальный вакон измене-
ния уиравлоиин является линейным но времени, причем коэффн-
тци.'нты линейно зависят от требуемых изменении положения и ско-
ГЛ. 0. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ S ПРАВЛЕНИЯ
ростп. Решение поста плен пой задачи за вершено, однако стоит вер-
нуться к со содержательному смыслу и уточнить постановку.
Значение конечной массы при онгимальиом управлении равно
•/{«*} + »>-' («..)]1
л ио может быть сделано больше ;ний иелпчиша ни црп каком дру-
гом управлении. Однако по смыслу задачи
(4.33)'
где т— суммарная масса носителя и резерва топлива. Масса достав-
ляемого полезного груза равна /?t(£,) — т и пс может быть отрица-
тельной. Поскольку ] а*} н конечном счете зависит только от исход-
ных параметров требуемого маневра Дг, Av, 7’, то получаем неявное
ограничение
на параметры возможпогп маневра.
13 случае и, 0, J,-, = 0, — 0, Др = 0 .что ограничение определя-
ет тиар, радиус, которого увеличивается со временем как Т3,~.
Если конечной значение скорости не фиксировано, то достижи-
мая область пространства рагп1пряег<'л. Згу можно показан., пере-
смотрев решение краевой задачи. В силу условий храисиерСальности
должно быть ?.,(/<) = О. Исполытуя ото условие пиесго
можно найти другие зпачеппн констант с,, с,, и подсчитать новое
значение /{a*}. LJ
Интересно рассмотреть, как влияет па характер решения задачи
явное ограничение па возможные значения управления. Примем их
в простейшей форме ограничений снизу и сверху па каждую компо-
ненту управления. Кроме того, предположим, что в функциона-
ле (4.2)
Л = diag (гк, к = 1, .... ;»), гй > 0.
Задача максимизации гамильтониана (4.4)
шах
-}- лМх -1- ктВи
G-<>>
при условиях
., Ill,
распадается па ш одномерных задач
max |— гАмА 4- лАу„ / ик itj, s£ uf.|,
где ;ti, — компоненты вектора
л •-* В'?..
(4.36)
§ 5 ОПТИМИЗАЦИЯ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ
Решение любой из таких задач имеет вид
w* (Z) — <п, (лА) ec,ii) ш, •.
*-'/< - -л
Л,
| Mh, если ™ <?q.
—
('• 37>
Таким образом, решение является кусочно шлейной функцией от
л»(О. а следовательно, множителей Лагранжа Х(0.
Для вычисления ?.(/) в соответствии с основной процедурой сле-
дует теперь решить нелинейную краевую задачу
;с = Ax q У, Z/1£<j4, (.Дц), (1.38)-
к=>
?. = (Хг — .-Г?., л = (л0 = Лт?.
с соответствующими граничными условиями. Явною выражения дли
решения дать невозможно *). Отметим, что при r*-*-U иелпценно-
сти типа «насыщения* стремятся к релейным, причем при г* = 0,
л(, /• 0 кпмпопситы оптимального управлении принимают только
грвппчные значении, как я в задачах (§ 2) шыимпзацип по линей-
ному критерию.
§ 5 Оптимизация по быстродействию
5.1. Формулировка принципа максимума. Задача об оптимальном,
быстродействии была сформулирована в § I как вариант общей
проблемы оптимального управления требуется выбрать кусочно-
непрерывное управление и{1) со значениями в заданием U так.
чтобы система
a: = /(.r, и. t), (5.1)
за минимальное время перешла из заданною состояния х(1„) —х0*
я заданное же гостинице х(15,)= а/. Момент f„ фиксирован, мо-
мент естествс-йпо. свободен.
Сформулируем принцип максимума в задаче о быстродействии
как частный случай теоремы 2.4.
Теорема 5.1. Для тово чтобы доииетимые м*(0, .r*(Z),// достав-
ляли решение :iatf<i4ti о быстрт/гйггвин, ue<>6:r/it}ti.ut> существование
множаттлей Днврнижа 7.4(Z), не равных (н)повре.иенно нцл/о и. та-
ких, что при ?.(/) — V(0, u(Z) Ц*(/), .f'l') I* (0, выпол-
няю i с я цел ов и я:
) О тюзмолшостях првблпжешкли ревюпая см. гл. 10, § 2.
•446
ГЛ. О. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
1. При почти всех (,)
= Л *(0) = х', (5.2)
2. »('). МО, «|лх^к(о; ?-(0. И- (5.4)
и~1!
3- X[х((.,), и((,).?.((,), /,]> 0, (5.3)
.где
Жл/Л (()/[.?((), и(1), ?]. (5.6)
Доказательство. По сравнению с общей задачей здесь следует по-
-ложить
Goта 0, Еч — 1, Ki =0, i = 1, .. „ г, (5.7)
•поскольку фуикциоза.т представим в виде
•/{«) — | (И, (5.8)
'и
а umfiральныв oipaiiiPir-HiiH отсутствуют. Записывая гами.'И.топиап по форму-
ле (2.21), имеем
И =. Х'(0/р(0. «(-'). <| -U (5.9)
И.1И, С у-ЮТОИ 0Ch>3HU'II‘I11IB ($.(»),
Я Ш. - к„.
Пос-Кильку ?.о = ixui9t, то условие (5.4) экипвллсп'ннл условию (2.37) максимиза-
ции II, а в силу ?.о 5s 0 граничное условие (2.34)
и |f=I,... о
переходит в неравенство (5.5).
Условии трамсиерсалы1остп (2.32). (2.33) опущены ввиду фиксмризаипо-
-сти обоих концов траекторий. Для функции определяемой (5.5), сохраним
лак.мсповаияе «гамильтониан», ifl
Если пытаться применять принцип максимума как базу для коп-
струиронапия оптимальных пли но крайней мере подозрительных
на оптимальность управлений, то вновь основные трудности иоз-
пикаюг на дпух атаках:
1) найти функции к (.г, (), достапляющпе максимум
и, I) по явно «ходящему и при т, I, рассматриваемых
как параметры;
2) решить красную задачу для системы
.( /[.г, и(:г, л, (), /], .г(/,;)=- .(Д (5.10)
у-| - X, ,г((,)м.г. (5-11)
Преодолеть аги трудности в общем случае невозможно, однако
.удается построить ряд содержательных примеров непосредственного
_g 5. ОПТИМИЗАЦИЯ НО Г.ЫСТГОДЕПСТПНЮ 447
использования описанной процедуры. Кроме того, принцип макси-
мума может быть использован и по своему «исходному назначению»
как необходимое условие оптимальности, с помощью которого можно-
проверить решения, находимые каким-либо крутим путем.
Опишем сначала решение задачи о быегродсйслвин для одно-
мерной (скалярной) системы, поясняющее смысл конструкции прин-
ципа максимума.
Эго решение тривиально. Действительно. для того чтобы пре-
дельно уменьшить креня перехода в новое состояние. требуется пре-
дельно увеличить (по модулю) в каждый момент времени скорость
перехода (/(я, «)) в желаемое состояние ,г(/<) = 0. Если начальное
значение < 0, то требуется обеспечить шах {/(ж, н)/н ГУ); если
же гс>0, то шах {—i(z, и)/и.s U}, Принцип максимума рекомен-
дует находить управление путем решения задачи
шах (л/(.т, u)/ii<= U>. (5.12)
Очевидно, что обе рекомендации эквивалентны, если принять
. _ | 1, х°<0,
Л~1-Е а°>0,
Ясен и смысл принципа максимума в многомерном случае.
Опять-таки требуется .максимизировать скорость перехода. Однако
скиристп по разным компонентам вектора состояния зависят от
управления ио-разному, ноятпму требуется и качестве общего крите-
рия соизмерить различные компоненты вектора скорости /<(.г, »).
Гамильтониан (5.6) представляет собой такую «средневзвешенную»
скорость, причем «весами» служат множители Лагранжа.
Основная рекомендация принципа максимума п споднтся к мак-
симизации «средневзвешенной» скорости движения к цели, причем,
что весьма существенно, указывается связь между «весами:», зада-
ваемая уравнениями для множителей. К сожалению, снизь задана
неявно, поскольку эти уравнения пе могут быть проинтегрированы
независимо.
5.2. Линейные системы. Опишем более подробно особеппос-та
многомерных задач для стационарных линейных систем, задаваемых
уравнением
х = .4х -I- Ви, (5.13)
где приняты стандартные обозначения. Гамильтониан принимает-
форму
<58? = /Д(/1х +• Ви), (5.11)
а система (5.3)
Л-——H’Z. (5.15)
Задача (5.4) эквивалентна
шах {.чг(/)»'« <= (/}, (5.1С)
где г. (Z) = /?’/<(/).
<448 З Л. ». ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ упрлвлития
Таким образом, управления выражаются через множители >.(/)'
точно так же, как и задаче оптимизации по линейному критерию
(ср. (5.16) и (3.7)). Болес того, совпадают и уравнении дли множи-
телей, которые не содержат ин x(Z), 1|1( <г(0- Поэтому нерпы общие
утверждения о свойствах оптимального уираи/нщни, выскалянные
в § 3 (релейиый характер управлении, теорема и числе переключе-
ний). Однако имеется и фундаментальное различие: моменты пере-
ключении нельзя найти столь простым образом. Денегпип-.1ыш,
в задаче о быстродействии отсутствует информации о граничных
значениях ?.(Z). Можно выписать решение (5.15) в виде
Л(О = С-^Т'><(/„), (5.17)
по значение X (/.-.) неизвестно, а тем самым неизвестны и /,(#),
п функция переключения л (т). и сами моменты переключения. Ре-
шение задачи (5.1G) определяет управление, претендующее па опти-
мальность, с точностью до л параметров, компонент лектора л(/,;) =
= С. Обозначим его u(C,t). Чтобы найти С, требуется подставить
это решение л (5.13);
х = Ля + Яп(С, Z) " (5.18)
и мр<ш:гтсгрир<н<ап. (5.18) при айда иных начальных условиях
т(0)‘ У. IViiiihiiio опять таки определено с точностью до С: ,r(Z)«»
I). Условие
.г* (С, Z')«z' (5.19)
дает требуемую систему »• уравнений для илхпл.депия п неизвест-
ных С и неизвестного времени I, (пяипминм? что фактически суиш-
CTuciina п—1 неизвестная компонента С). К сожалению, выписать
уравнения (5.19) в пиной форме, как правило, загрудшпелыю.
Более того, как уже указывалось, ист гарантии разрешимости этих
уравнений, поскольку, вообще говоря, пет гараптпп существования
какого-либо управления, удоилетворяютдого ограничениям п обес-
печивающего требуемый переход.
Нетрудно доказать лишь следующий простой факт.
Теорема 5.2. Пусть матрицы И, В постоянны, Л устойчива, пара
Л, В иевырождена. Тогда существует управление, пе-рвводящве си-
стему (5-13) и-з произвольного печального состояния в нулевое и
удовлетворяющее ограничению если пулевое /то-
чение управления, допустимо и принадлежит внутренности U.
Док а затеиьстаи алемштарпо п oriiotii.iiiuCicn ин двух и.-шетпых
фактах:
а) гтлп положить
а(0 е= 0,
тп но любому б >• 0 imiiaert’H г;пюй момент <ь что
Р(5)1
4К'(,во.:ы<у объект устойчив;
S а. ОПТИМИЗАЦИЯ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ
4'>9
6} пз любого состояния т(Г|) кишите управляемая системе может быть ис-
рмедйпн в нуль с помгнцмо управления й(0> Л =£ t 1Г, не облзатольио до-
пустимого, но такого, что
|«(0l С сЛ, с = сонМ,
Это следует из установленной в § 3 гл. 6 .тшн'йнай заинек мости npoipffJt-
иы управлении от начальных условий.
Теперь очевидно, что можно ладить закон 6, что 8(1) при любых J е= f.'i. Х/|
по будет выходить из
Таким образом, если палильное состояние палено от положения равноии-
«ня, я = 0. то достаточно па некоторое время предоставить устойчивую ciictc-
му «самой себе», и лтк.тнпииис уменьшится настолько, что из пего можно перей-
ти точно в равновесно за заданное конечное время t, х( с помощью ограни-
ченного управления. Конечно, такая иоелсдовательпость действий но является
оптимальной (напомним, что оптимальное управление сразу выходит на грани-
цу допустимой области!), однако важна сама гяраптпя ппзможиости цсстрожь
допустимое, а следовательно, и оптимальное управление *). Я
Подчеркнем также, что доказанное утверждение верно to.ti.ko
применительно к переходу устойчивой системы и состояние равно-
носил, по не в любое другое состояние х* (замена — пере-
водит желаемое состояние п начало координат, но одновременно
возникает постоянное слагаемое /1л^ и уравнении абч.скта).
5.3. Управление движением. Перейдем к рассмотрению примеров,
связанных с управлением движением механических объектен.
Пример 5.1. Достижение хайашюй скорости. Рассмотрим матори-
а.н.иую точку, движущуюся ио прямой под действием управляемой
силы /(/). Скорость v(t) намсияетеи в силу уравнения
'’W = /(<), r(O)-v°. (5.20)
Требуется обеспечить достижение заданной скорости и > у0 за ми-
нимальное время при условии, что сила ограничена;
1/(() iC/, t>Q. (5.21)
Решение очевидно: сила должна вес время принимать наибольшее
значение /, причем развивается ускорение т"1}.
Усложним задачу, считая, что масса является переменной, и бу-
дем интерпретировать дальнейшее как поиск оптимальной програм-
мы управления реактивным ускорением для летательного аппарата,
движимого реактивной тягой (см. пример 4.2). Пусть мощность
двигателя N поддерживается постоянной, движение осуществляется
но прямой; тогда ураипеппе иямепения массы
Й1-— q (5.22)
может быть преобразовано к виду
“} Дпкпзательстпо того, что из существования допустимого управления
следует суЩ1ч-.твоваиио оптимального, иеслоалю (см., например, [6.3]),
-^0 А. Л. ДериоаяздсввД
450
ГЛ. 0. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ У11РЛНЛКНИЯ
Введем теперь обозначения
32,(0= = (5.24}
тогда уравнения изменения оттвшши приобретут особо простую
форму |9.13]
.Т| а, лдв« (.>./.>)
с краевыми условиями
Х|(0) = »’, х„(0)=^,
. 0-26>
г-2«<) = ^т.
Используя принцип максимума, составим гамильтониан
= 7.,й. + }.га~.
Из уравнений для множителей
i Z. —S»-0
’ «, ’ 2 Ох,
следует, что
?.,(/)=С| =С|>Ч.ч(. Х2(0 сг = const.
Выразим управление через константы Ci, (’г- Гребуется выбрать fl(t)
так, чтобы и любой момент достигался
шах {c,fl + с;«г/]д| й). (5.27}
Результат зависит от знака коэффициента е2. определяющего знак
второй производной максимизируемой функции.
Из необходимого условия безусловного экстремума имеем
дЧ= (/.) = — А = const.
но это значение доставляет максимум только прп с;<0. Полое того,
оно может лежать вне допустимой области, так что при е2<0 ре-
шение задач» имеет вид
§ 5. ОПТИМИЗАЦИЯ ПО БЫСТРОДЕЙ<Л ВК»
451
В случае с2 = 0 минимизируемая функции линейна и
[ «.
«* (П = -
I —
О>0,
<’> < о.
В случае с2 > О inioi:i. пгт точки овлуслииичгп максимума и решении
достигается голый; на границах:
"*(0
«,
^>0.
— а.
<1
Во всех описанных ситуациях а* = const и |о.*| -== н-.
13 силу у pai и ген mi {5.25)
dx.
—- а* => xs (t) = a*.?! (i) -f- c*,
i
где c* — константа интегрирования. Эту константу, а также кон-
станту а* надлежит определит!, из красных условии. Имеем
х'з = a*xi 4- с*Л
(„,/) и л
(5.28)
Казалось бы. задача решена: так же, как при управлении точкой
с постоииной массив следует псе время Дпшаты-и с иосл пциным
ускорением. Ираида, здесь оно, вообще говоря, ио является предель-
но иоамояспым, «* 7 л, а зависит от заданных начальных и конеч-
ных значений скорости н массы: требование сохранять достаточно
большую массу по позволяет увеличивать ускорение до предела. Од-
нако решение является неполным: если я. > а, то
значение «* является недопустимым. Но ведь
только с помощью этого значения удалось удов-
летворить граничным условиям! Мы пришли к
противоречию: при некоторых соотношениях гра-
ничных условий пет управлений, удовлетворяю-
щих принципу максимума и вместе с тем позво-
ляющих достичь зада иного состоянии. Па самом Рис. 9.3
деле это противоречие только кажущееся;: при
разборе вариантов различных возможных значений лагранженых
множителей был пропущен существенный случай е. > 0, е, 0.
Максимизируемая функция является симметричной параболой
(рис. 9.3), и принцип максимума выделяет ка^ое-либо из решений
г?*(/) ii пли <;*(!)—-«.
Оба нариапга удовлетворяют необходимым услолплм. Ясно лишь,
что в этом случае оптимальное > правление удпнлетиоряет услопию
!«*(/) 1=5 = const, (3.29)
452
ГЛ. S. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
по возможны переключения знака управлении. С помощью таких
переключений и удается удовлетворить граничным условиям, когда
вто невозможно при использовании постоянного ускорения. Остается
выяснить, каким должен быть закон переключения, по оклзыиастся,
что он н определенной степени безразличен. Действительно, при
la* (Z) I — & имеем
- - Н — г?
г2 » и‘=>х, — аЧ, г=> tf =
о“
так что время перехода определяется лишь квадратом управления
п не зависит от сто знака. Минимальное значение времени достига-
ется при любых законах переключении, обеспечивающих переход
в заданное состояние-
Теперь можпо подвести итог: если
что а =£ й, то о„р1(£) «= а = const; если
заданное состояние таково,
же а > а, то оптимальное
управление не единствен-
но п ограничивается усло-
вием 1и„|д(01 •=“ и требо-
ванием перехода в задан-
ное состояние. Все ситуа-
ции хорошо п.члюстриру-
ютг.н на фазовой плоско-
сти (рис. 9.4). Поскольку
масса может только убы-
вать, а связанная с ней
перс-моппаи — только
возрастать, то представ-
ляют интерес только на-
чальные точки, располо-
женные киясе конечных.
Из точек, лежащих вне сектора, ограниченного прямыми
± с.
(5.30)
оптимальный переход осуществляется с постоянным ускорением,
а пз точек внутри сектора —с ускорением, меняющимся но знаку,
но сохраняющим предельное по модулю значение. Все траектории
этого типа эквивалентны. Время перехода пз точек, имеющих одну
и ту жо ордппату (одинаковую начальную массу), одинаково, если
щп1 лежат внутри сектора. В противном случае оно тем больше, чем
больше заданное различие в исходной и конечной скоростях. U
Пример 5.2. Управление скоростью («шиш/агрш/ши-я лаоачп Цср~
меме). Пусть точка движется в среде, имеющей аа.дэ Шую нершнх:-
liyto скорость v„. Имеется возможность управления собсгасиинп (от-
носительной) скоростью II. модуль которой ограничен. Г|кч'»уется
найти программу управления и, обеспечивающую минимальное про-
§ 5. ОПТИМИЗАЦИЯ НО Г.ЫСТРОДЕвСТВИЮ
453
ми перехода из одной точки в другую. Для простоты рассмотрим
движение в плоскости, где введена исн(|дпижпая система координат
(х„ х2) (рис. 9.5).
Будем считать также, что вектор скорости v„ имеет постоянное
направлении, совпадающее с направлением осп и, более того, по-
стоянен но величине, которую можно
принять вя единицу. Тогда нзмсиенпо
во времени координат движущейся
точки («пловца, переплывающего ре-
ку») определяется уравнениями
ж, = 1 + « cos ср, хг = и sin ср, (5.31)
1>яс. 9.5
где через и ооозначсна величина ско-
рости, а через ср — угол, составляе-
мый сю с осью .г,. Поскольку зара-
нее очевидно, что величина скорости
можиоп, w = «, г- ---------- —
Действуем но стандартной схеме:
Ж = л, (1 *1- и cos <р) + л.й sin <р.
должна быть предельно воз-
то остается едипствснпое управление — угол cp(f}-
л> •= О, Л.2 = О X, = const, ?.1 = епнл1.
Учитывая, tTci на управление ни наложено явных <л рлпи'И'апй,
ваиинюм необходимое условие максимума Ж ио <р:
—оаО^- ---- Л| sill ((.* + 2,„ СО.Ч ф* = О,
т. е.
tg(p* 2 = const.
Л1
Таким образом, скорость должна быть постоянной по направлению,
а движение—происходить но прямой, соединяющей начальную и
конечную точки. Однако следует учесть одно обстоятельство: в си-
лу уравпепий изменения состояния наклон прямой ограничен,
если й < 1:
__ и sin Ф’ I <. и
1 + u cos qi* I "" ]/ 1 _ и2*
т. е. если собственная скорость «пловца» меньше по величине ско-
рости «течения», то он может переплыть только в точку па «другом
берегу», лежащую к пределах (см. рис. 9.5) запирнхонанпап зоны
достижимости
(река «сносит пловца»).
454
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
Предположим теперь, что координата xj нс задана (требуется
только «переплыть реку», попав в любую точку «противоположного
берега»). Тогда в силу принципа максимума
(/,) 0 -> X, (0 - О
и
tg гр» - со с- гр* — у, (5.32)
т. с. «пловец» должен направляться прямо в цель, поперек течения.
Конечно, полученные результаты почти очевидны. Билсе заслу-
живает названия «навигационная задача» следующая постановка:
пусть направление переносной скорости по-прежнему постоянно, ио
се величина зависит от координаты хй, и задан профиль скорости
Уравнения движения приобретают вид
х, ть, (х2) + й cos ф, х. = й sin ф, (5.33)
а из принципа максимума следует, как и ранее, что
tgq..* = ^=, Xj =» const, (5.34)
/ri
но множитель ?Ь1 уже не постоянен, а подчиняется уравнению
Если значение х{ не фиксировано, то вновь получаем тривиальное
решение
- 0=> ф* =>
при котором точка придет к пели с несложно вычисляемым значе-
нием х2. Если же х] заранее задано и х] =/=х/. то /ч¥=0. и можно
сразу положить /и = f, X?. = X, поскольку управление определяется
только отногпеппем множителей.
Исключим время t из уравнений, записав
dx % ( dx t (x,) + « № ф
^2 usiHCf usilllf
Первое из этих уравнений эквива.чептпо
— ммПфг/Х <h>i,
а п.; условия экстремума (5.34) следует
£ 5. ОПТИМИЗАЦИЯ НО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ
455
так что
LIL. (h[>* =. 4- di?0.
Интегрируя это соотношение, получаем явную зависимость
Na.Ti.noro управлении от координаты ,т;:
опти-
— СО.Ч
14
где константа г* определится по граничным условиям. □
Пример 5.3. Управление силой для скорейшего торможении в за-
данном положении. Вернемся к задаче, рассмотренной в начале
примера 5.1, о движении точки постоянной массы под действием
ограниченной управляющей силы, однако введем дополнигелыюо
условно: торможение должно быть осуществлено в заданной точно
х1 = 0. Задача при этом существенно усложняется. Для ее исследо-
вания используем принцип максимума. Запишем уравнения в стан-
дартной форма.
Обозначим .г, = х, х* = v. Тогда
i, =• .rE, mi. = и. (5.37J
Гамильтониан имеет вид
Ж = Х..г„ + — Х.д,
1 * гн *
д о, х,
J f}.T.. v
а изменение множителей a, (Z), ?<(<) задается уряипснинмп
с?.гг- л>-
Из условия максимума гамильтониана получаем
и?
— и!
(5.38)
и п* принимает произвольное допустимое значение при 2,г — 0.
Дтя нахождения программы управления требуется найти закон
изменения ZE(Z).
Система Для множителей дает
?ч = с-, = — ctl Т <ь,
где с2—1И?онрлделенпыс константы.
Поскольку Аг(<)—линейная функция, то опа может наменять
знак не более одного рала (частный случай теоремы Фельдбаума из
§ 3, при п "2).
Таком образом, с помощью принципа максимума уста по плены
дна факта: во-первых, оптимальное управление может принимав
только значения in, а во вторых, переключение с одного значения
на другое возможно только один раз, каковы бы ни были начальное
450
ГЛ. 0. ОПТИМИЗ АЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
положение л и начальная скорость х?. Остается выяснить, каким
должен быть начальный знак управляющем силы н момент пере-
ключения.
Для того чтобы получить решение при произвольных начальных
условиях, используем ака.тпл траекторий на фазовой плоскости х„ г,
(рис. IHi). Траектории подчиниют-
л'г сн уравнению
dr
(1Х
м 1
"<rt
(5.39)
Рис. 9.6
п
т
точнее, поскольку заранее знак не-
известен, можно сказать только,
что любая траектория должна быть
«сшита» по более чем на двух ча-
стей, каждая пз которых является
участком параболы вида (5.39) с
тем пли иным знаком. Константа
с* заносит от начальных усло-
вий. Однако имеются только две траектории, Две полу параболы
1 ? И - л
— х3 -------------х,, х„ >0,
1 2 К (\
Тг о®1 Л-i, Л у V,
<5.40)
по которым точка может подойти к желаемому состоянию — началу
координат. В сил}' правила о числе переключений любая оптималь-
ная траектория либо представляет собой одну пз этих полупарабол,
т. с. движение осуществляется без переключений, япбэ включает
одну пз нпх е качестве второго участка траектории, который дол-
жен быть непрерывно ептит с какой-либо другой траекторией вида
(5.40). соответствующей управлению другого знака и проходящей
через заданную начальную точку с. координатами з;х, х2. Естествен-
но, что оптимальное движение без переключения возможно только,
если величины .г',1, х, удовлетворяют одному пз условии (5.40).
Оптимальные траектории, типичные для любого другого начального
состоянии, состоят из двух участков парабол (см. рис. 9.6).
Проведенный анализ фактически позволил установит!., каким
должно быть управлении при любом состоянии, любых значениях
ииложепия и скорости: для всех гостояннй, изображаем ых па фазо-
вой плоскости точками, лежащими левее финальных траектории,
управление равно п, а для состояния, изображаемых точками спра-
ва, равпо —и. Переключение происходит только при выходе па фи-
нальные траектории (5.40).
§ С. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
457
Можно дать н аналитическое выражение оптимального закона
управления как функции состояния
и = — н sign I эц -> —_ j’ sign х>L
(5.41)
справедливое всюду, кроме финальных
В исходных обозначениях имени
— I Л|
и = — и sign X + —
траектории.
о2 sign г L
(5.42)
т. о. оптимальное ио быстродействию управление является нелиней-
ной функцией от положении и скорости и может быть реализовано
в виде обратной связи при наличии таких измерений. □
§ б. Дискретные системы
6.1. Формулировка задачи оптимизации. Управляемый объект на-
зывается дискретным (по времени), если его описание дано рекур-
рентным соотношением
т(А+1]=/?(.г[А), ц[А), А), т(0]-хп, 4 = 0,1, ..., (ОЛУ
где х [А] — пек гор состояния п момент А, гг[А|—вектор управлений,
а /'(•)—вообще говори, нелинейная вектор функция своих аргумен-
тов. Уравнение (6.1) можно ассоциировать с дифференциальным
уравнением
х = /(л, и, I), ZX), (6.2)
если ввести последовательность моментов времени /*, А- 0, 1, ...,
определить
х (*]== х (/й), и [А] = и (fK)
и считать моменты lh настолько близкими, что допустима прибли-
женная замена
дх j(6i + i) —*(6.) ... о.
<“ “ Ь > - ‘й ’ ( '
Тогда пз (6.2) следует
х(1м,)“х(/*)-1-(/щ —и(1л), /Л],
что приводит К (6.1) При
Л (х (ЛЬ и [А), А) Л х [А] + (1Л ,, - /й) / (л (A J, и [А], 1Л). (6.4)
Впрочем, как уже. указывалось п гл. 7, дискретное описание мо-
жет быть и исходным, содержательно естественным.
ГЛ. Я. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
Соотношеппе (6.1) позволяет по заданному начальному условии»
х[0] и последовательности управляющих воздействий {«[А]} опреде-
лит!. гост шише в любой последующий момент.
Поставим задачу нахождения такой нпитсдовательпости (п*[А|,
А™ О, .... kt — 1|, которая доставляет минимум функции
*Ч— I
-Ч><} = X 4Г0(х[А],«|А], Aj + W/)) ((’>.5)
ft-!)
при условии, что
к = 0......A,-l, (6.6)
где Uk — заданные множества допустимых значений управления
в каждый момент к, а также при условиях связи между перемен-
ными, задаваемых соотношениями (6.1).
Критерий (6.5) также является очевидным дискретным аналогом
интегрального критерия (1.6). Имеете с тем подчеркнем, что постав-
ленная задача оптимизации ивляегся задачей минимизации функции
(6.5) конечного числя' переменных при ограничениях (6.1), (6.6),
т. е. относится к классу задач, рассмотренных в п. 2.1. Введем
х риссмотреппе вектор у, включающий все неизвестные;: у — (и [А],
к = (), 1, ..., к,— 1, а: [А], к = 1, ..., к,). Можно обозначить
>4- I
(!/) Л £ д0 (X!АI, и I А], /с) + б’о (.с [ Л-/ j), (6.7)
к-о
f'\ (у) Д л [А + 1J - ^(з[А], « ИЬ A), i = l,2....А/ — 1. (6.«)
Зададим также и явной форме ограничения (6.6) с помощью систе-
мы неравенств (вообще говоря, векторных)
ФЛ{У)ДФ(«1А], А)^0, А = 0, 1, А/—1. (6.9)
Тогда исходная задача перепишется в виде
min {ki(y)/FI,(y) = 0, к — 1, .А; — 1, фА(у)С0, к = 0, 1, к: - 11,
(6.10)
что по существу совпадает с (2.12).
Составим лагранжиан задачи
к1~ । tif—L
Я» =- >-Л (У) + 2 г IА] Ffc (у) + |Г | А] ЧЧ ({/),
г, I ь -о
где для удобства через ц|А] обозначены л игра и жены множители,
соответствующие ограничениям (6.9), Далее нс пользу ем необходи-
мые условия оптимальности, фигурирующие и Т.2.3. С учетом
различия и обозначениях эти условия формулируются так: необхо-
димо, чтобы существовали множители Л-о, X[AJ, ц[А], пе равный
S 0. ДИСКРНТПЫ К смгтгкмы
459
одпопрсмсинн пулю п такие, что
й ср
щй-о. .................(»•'<)
PJ-
ТТЛ “°. А"°..............А-,-1, (8-12)
Лг |к| ' ’ ' ’ ' '
Хо^о, в,И1фл(!/) = о1 (fi.13)
если '/“(и|Ат], л]А-|) удовлстиорясг ограничениям задачи (G.10).
Специфика задачи проявляется в структуре связей. Перепилим
лагранжиан в виде
^0 = № 1) + 2 {Af,g0 (.г [А]. и [AJ, /с) +
h=l>
+ 7,т[А]х[А: + i| — »[£], к) -у p.T[A-] tp(u]fc], A-)] =
kj -1
=КСй (.T [A.,]) h 2 Url*l * [A- +1] -
h—<1
- //1)ft(x[A:|, « |A|, л[А‘|, A, >.„) + и‘|А) ср(м [A-|, A).!,
где
/и. Д ?vT|A ]/'(z[A I, u[A|, A-) - MU-HA-l. t> [A], A-). (6.14)
Тогда (в.И) принимает вид
M*-n-«пч"-.
Очевидна аналогия этих условии о системой, определяющей лагран-
жевы множители в принципе максимума.
Условия (6.12), (6.13) дают
{Hcli - |Г [А-] Ч; (и [А], А-)] = 0, (6.16)
р(/?.]>О, ir[fc]tp(u|H /с) = 0. (6.17)
Таким образом, можно сформулировать следующий результат.
Теорема 6.1. Нугтъ фуик>ши / (х, и, к). <р(.т\ w, к). g.;(a:, и, k}
непрерывно дифференцируемы по :t. и. а непрерывно диффе-
ренцируемо по х. Для того чтобы, на допустимой условиями. (6.9)
поелеоотыеАниоети управлений (к* [А], А- О, ..., А\. — 1) и. соогпет-
creyioiyeii ей п силу (15.1) траектории (.г*|А], /с = 1, к,) ииетимл-
ся минимум ф/ункции (В.й), ue<H'i.cothiMjO, чтобы, существопали вели-
чины ?. [А] “Х*[А|, А'I к, — и с равные ииновремвцно
пулю и такие, чсобы они удовлетворяли уравнениям (6.15). Кроме
того, необходимо, чтобы су/цсегеоввли. величины р.[/г] =* ц* |А ],
А- 0, 1, ..., А:<—1, такие, чтобы они. сивмсстпг, с и [А] и* (А] уов-
лствир.ч.ш при каждом k условиям (6.16). (6.17).
400
ГЛ. Й. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
G.2. Дискретный принцип максимума. Приведенная Т.6.1 являет-
ся аналогом принципа максимума в теории непрерывных систем,
однако аналогии нс полна. Действительно, выражение
//w-|H*k(«l*l. А)
можно рассматривать как юк.чхсгпческнп» лагранжиан в задаче
max (//„,/« |/c]e УД, (6.18)
если множество С/, задано условиями (6.9). Однако возможность ис-
пользования такого лагранжиана (без множителя перед функциона-
лом) не обоснована, поскольку требуется дополнительная проверка
условий регулярности типа (2.10). Полому и акниналептность усло-
вий (6.16), (6.17) выбору и* f/c] из решения задач на максимум
гамильтониана //.,*, вообще говоря, не имеет места.
Утверждение, вполне аналогичное «непрерывному» принципу
максимума, удается сформулировать только для более частных клас-
сов задач.
Теорема 6.2 (дискретный принцип максимума). Пусть
gb(x, и, Aj~O, С г, (л) непрерывно дифференцируема по х, Е(х, и, к)
непрерывно дифференцируема по г при любом икП и лллейна
по и. То яда дли того, чтобы последовательности {u*J/i]), (r*|/i|), до-
пустимые в силу (6.1), (6.6), доставляли минимум С0(х[А,]), не-
обходимо, чтобы су1Це.сгаоиали такие А |/с| а* |/г], к 0, .... А/—1,
что при и |/с] и* |/г], z|A‘j “ л* ]А:] удовлетворяются уравнения
НИ. ОС
М*"^, А=1.......................*7-2. (6.19)
гос
Нь А Г[А-| Е(х [А"), и [А], А). (6.20)
При этом
Hh (л* pc], и* [А], ?,* [А], А:) = шах Hh (х* [A], и, А* [А], А). (6.21)
Если же F(x, и) нелинейна по и, но дифференцируема, a Uk—вы-
пуклые множества, то вместо (6.21) можно записать, что на и* [А]
достигается
fail, V
max М- (i* [А], и, >* [Лг])У и. В (6.22)
Доказательство Т.6.2 в некоторых со обобщений можно лапти
в [9.2], [9.5]. Возможные приложении аналогичны приложениям
обычного принципа максимума, хотя указанные условия несколько
сужают их круг.
Подчеркнем в заключение, что и.» дополнения к Т.2.3 следует:
для задач, где целевая функция (6.6) выпукла по х|А’], и [Л], урав-
нения (6.2) линейны, а множества Uh выпуклы, дискретный прин-
цип максимума является и необходимым, и достаточным условием
оптимальности.
§ 7. ПОНЯТИЕ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ ОПТИМИЗАЦИИ
4С1
§ 7. Понятие о численных методах оптимизации
7.1. Конечномерная параметризация. Построение точных реше-
ний в задачах управления возможно лишь в немногих ситуациях.
Основным подходом к решению реальных задач является прибли-
женная численная оптимизация.
Проблеме органнаацни вычислительных методов посвящена
огромная литература, и достаточно полное знакомство с ними тре-
бует изучения самостоятельных курсов*).
Здесь мы ограничимся лишь некоторыми общими понятиями и
основными конкретными рекомендациями. Прежде всего подчерк-
нем, что любая проблема оптимизация есть проблема выбора из до-
пустимого множества вариантов того, для которого оптимизируемый
показатель достигает наилучшего значения. Если допустимое множе-
ство конечно, то в принципе возможна оптимизация путем полного
перебора по схеме:
а) перенумеровать все варианты {«'}, .? = !, ...,
б) последовательно для каждого а, начиная с s “ 1, вычис-
лить Ли');
в) сравнить ато значение с лучшим из предшествующих («ре-
кордом») ;
г) отбросить вариант, если он даст значение хуже «рекорда»,
а в противном случае запомним, его как новый «рекордный», поело
него перейти к следующему.
Полный перебор требует времени, рапного произведению числа
вариантов ла время вычисления показателя. Напомним, что в задаче,
оптимизации программы управления вычисление одного значения
показателя Ли,} требует интегрирования системы дифференциаль-
ных уравнений, что само по себе связано с большими затратами.
Более того, лишь в немногих задачах мы сталкиваемся с конечным
множеством вариантов. Как правило, в исходной постановке выбор
осуществляется на бссконечпохг множестве функций.
Основной выход заключается в использовании тех или иных
представлений о непрерывности, т. е. того свойства, что мало от-
личающимся между собой вариантах» управлений соответствуют
мало отличающиеся значения показателя. Возможен простейший
подход: отрезок работы [i,,, !,] (если таковой фиксирован и конечен!)
разделяется на конечное число к, отрезков (шагов сетки), па каж-
дом шаге допускается коночное число 1 вариантов значений. Далее
предполагается, что значение па любой из допустимых функций
мало отличается от значения пп какой-либо из описанного конечно-
го набора кусочно постоянных функций. Общее число S таковых
в наборе, очевидно, равно I 1. Показательный рост числа вариантов
•) В качестве пособии можно рекомендовать, например, пиши [9.15]. [9.21],
Начальные сведения можно почерпнуть из [9.J7J.
4С2
ГД. 9. ОПТПХИЗЛЦИИ ПРОГРАММ УП1’ЛВ.П:ПИЯ
<•. ростом числа шагов делаот простейшую процедуру полного пере-
бора, как правили, неприемлемой.
Второй, npaKTii'ieci.ii би.чее используемый подход заключается
в конечномерной илраметрнзннни mhiukhctiia допустимых управле-
ний. В пСпоиной форме, он Сводится к замене поиска па множестве
всех допустимых* функций поиском па множестве кусочно постоял
лых функций. рилличаинцихся их значениями н[А'], /с “= О..А’, —1,
па каждом шаге сегкн. Показатель качества при этом становится
функцией конечною числа А\ переменных (cc.ih w(t) скалярии).
Существенно, однако, что ина задана нс л липой аналитической фор-
ме, а лишь алгоритмически (можно рассчитать значение показателя
при любом конкретном значении набора {«[А])). Наряду с указан-
ной основной формой используется также параметризация путем
сужения до множества функций вида
МО =2 ад* (О, (7Л>
Л«1
где — заранее заданные функции, например, многочлены, а вы-
бору подлежат значения коэффициент он <\ в представлении (7.1),
т. е. опять-таки показатель окалывается функцией конечного числа
пснзиестпых еА. Исходные «граничения типа
|ф)е(/, <е|0> М (7.2)
переходят п ограничения на кисленные неилвссгные. При этом ос-
новной способ параметризации имеет ю преимущество, что ограни-
чения типа (7-2) естественно переходит в cirpannueiiiin
h|A]<=(a /с = 0.........................(7.3)
па каждую переменную в отдельности.
7.2. Локальные методы поиска безусловного экстремума. Пусть,
параметризация какпм-то образом проведена. Спрашивается теперь,
как решать возникшую задачу поиска экстремума функции многих
переменных? Обозначим нх для унификации как вектор ;/ размер-
ности .V. а зависимость от них показателя—через А'п(у). Ясно, что-
«школьный» способ: найти экстремум, решая систему ;V уравнений
сЛ
1-‘.......А’. <’<)
дано не проходит. поскольку а) неизвестна аналитическая эапиги-
мость для прпиаиодных б) решать численно систему большого
числа нелинейных уравнений почти Tint ж<: сложно, как решать за-
дачу оптимизации; в) даже если решении найдепи, остается пси.т-
пестпым. обеспечивает ли »По именно минимум, л не другую экстре-
мальную точку, и если минимум, то обнзятельно ли глобальный, па
всем множестве возможных значений у. Наконец, остаются трудно-
§ 7. ПОНЯТИЙ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ ОПТИМИЗАЦИИ 4CS
сти, связанные с наличием ограничений: искать переменные »/.
удовлетворяющие системе необходимых условий, указанных в Т.2.2,
еще сложнее, чем решать уравнения (7.4), соответствующие задаче
на безусловный экстремум.
11и;>тиму основными способами решения задач минимизации (или
максимизации) функций многих переменных являются игеративные
(шл’.к’Дова п-льиыс) процедуры лпкн.и.цой опгилииации. У гл про-
цедуры основываются на следующей схеме:
а) задать начальное приближение у"";
б) вычислить Г(.у")»
в) оценить поведение Г (у) в малой окрестности уп;
г) выбрать у"' как лучшее из значения в этой окрестности и
перейти к б), если /'’('/') лучше 7 ({/'), или остановить поиск в про-
тивном случае.
Схема локального пенена напоминает схему перебора, однако
в пей, во-первых, заранее не фиксировано множество вариантов,
а во-вторых, остановка происходит при достижении локального
экстремума. Естественно, что эффективность локального поиска рез-
ко зависит пт выбора удачного начального приближения как
в смысле требуемою числа шагов, так и в том, что различный вы-
бор может принести к различным локальным экстремумам, не каж-
дый нз которых, вообще творя, является глобальным.
Существует множество способов реализации пн. в) и г) общей
схемы.
В иапбо.'пч) распространенных способах оценка локального по-
ведения осутцестнлястея путем построения линейной аппроксима-
ции: считается, что
1'<Уп) + (спУ(у-^), (7.5)
где с° — вектор коэффициентов, который можно принять равным
градиенту з-| , если таковой вычислим пн посредственно. В про-
'и=)г
тинном случае обычно используется оценка типа разностной
о 5д1 Р($, -.-«? + A- (
1 Щ L=j/° Д
при достаточно малых А.
После этого лучшей считается точка т/(”, в которой достигается
максимум (минимум) линейной аппроксимации в пределах окрест-
ности у0. Если эта окрестность — шар радиуса В71с“1, то, очевидно,
г/(1> — г/<0> “ y-.trV’,
где «+» соответствует максимуму, в <>—» — минимуму.
Если с" совпадает с градиентом (пли его оценкой), то
,7J)
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВДНПИЯ
Формулой (7.7), повторяемой на каждом шаге, характеризуются
методы градиентного типа. Очевидно, что последовательная про-
цедура останавливается только п той точке, где точно или прибли-
женно удовлетворяются требования безусловного экстремума. Число-
потребных для итого итераций, вообще Говоря, не ограничено*).
Поэтому, как правило, вместо условия остановки, указанного в ос-
пенной схеме, используется условие (при минпмилацни!)
В (,/•’) (7.8)
где е,Р—заданная точность ио критериальному’ показателю.
Болес аффективными могут быть методы, основанные па кдэд-
ратичпой локальной аппроксимации (ньютоновского типа). Не оста-
навливаясь на пих детально, укажем, что вместо (7.7) они приводят
•к формуле
1,7-.?
(7.0>
где В° даст ту или иную оценку матрицы, обратной к матрице вто-
рых производных в точке у”.
7.3. Задачи математического программирования. При наличии
ограничений процедуры (7.7) пли (7.9) непосредственно но годятся.
Остановимся на основных их модификациях, учитывающих ограни
нения. Пусть задача придславлепа в виде общей задачи нелинейного
программ и роли Пня (1111)
min {/'0(у)//'‘<(у)—0, t-»1, .... г,, (у)<0. / =" г, + 1, ..., г). (7.10)
Логически наиболее просгон процедурой решения является схем.»
проектирования градиента. Пусть y'v> е У. где У — допустимое мно-
жество. Тогда (7.7) модифицируется следующим образом;
fif' 1
1 (7-ю
= Пу {
где оператор Пу определяет проектирование па У, т. е.
гт г » Р’ если у G У’
ПгМ = [г* сслн y^Yx
(7.12)
где х* — решение вспомогательной задачп
min {lh/— aJI/z<£ У), (7.13)
т. е. т*— ближайшая к заданному у точка в множестве У.
Ввиду сложности вспомогательной задачи процедура проектиро-
вания градиента имеет пропмущсм^твенпо теоретическое значение,
на исключением простейшего случая, когда огранпчеипя и (7.10)
) Условия сходимости приведены в гл. 11, 5 2.
fi 7. ПОНЯТИЕ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ ОПТИМИЗАЦИИ
465
являются покомпонентными
У = {{//{/, < у, < yh j ~ 1, ..., Л'}. (7,14>
Проектирование на такой параллелепипед производится элементар-
но: значение компоненты, вышедшей за пределы допуска, заменя-
ется па ближайшее допустимое, тан что (7.11) имеет вид
где
(7.15)
Б других случаях часто используют различные варианты метода
штрафных коэффициентов: например, задача (7.10) заменяется па
задачу безусловной минимизации функции
ri ‘
Ги(У) + 2 №№ + £ + (7.16)
1-1 1=1,т|
где kt—«штрафные» коэффициенты, а —вспомогательные нере-
ыенпые, служащие для преобразовании перапопств в равенства.
Очевидно, что при достаточно больших к{ решения (7.10) и
(7.16) должны быть близки.
Второй общий подход связав с линеаризацией зависимостей, вхо-
дящих в (7.10). Дело л том, что в случае, когда функции
i *= 0, ..., г, являются линейными
t'i (У) = Z а^у, — 1ц (7.17)
>=•
с явпо заданными числовыми коэффициентами де, Ьг, задача (7.10)
является задачей линейного программирования (ЛИ), для которой
разработаны специальные алгоритмы и программы, входящие в ма-
тематическое обеспеченпе всех ВЦ. Здесь нет необходимости описы-
вать какие-либо пз этих алгоритмов, которым посвящены многие
учебные пособия (см., например, [9.7], |9.9], [9.14], [9.18]).
Подчеркнем лишь, что высокая эффективность Стандартных про-
Урам.м делает возможным пспольяовЯть решение задач ЛП и качество
промежуточных процедур в итеративных схемах решения нелиней-
ных вадач.
Пусть ут— начальное приближение. Пусть в окрестности ylt>
произведена линеаризация всех функция !\(у):
<>F, »
(у) F, (у») + (у - ?/'), t - 0, ..., rf
30 А. Л. Иериоэпапснпй
466
ГЛ. 0. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
так что можно приближенно записать
Л1
(у) •=> 2 «ij.'/j — *4.
?-1
(7-18)
где
fc?--W)4-^T X
*9 у—V
о
— величины, подсчитываемые при заданном у". С точностью до при-
ближения (7.18) задача (7.10) становится задачей ЛП. В пес, одна-
ко, следует пвести дополнительные ограничения, обеспечивающие
невыход за пределы окрестности yv, в пределах которой приемлемо
линейное приближение (7.18).
Окрестность можно задать липейпыми же ограничениями
-AjC^-^A?, 7 — 1.....Аг (7.19)
(размер окрестности может меняться от шага к шагу).
Таким образом, следующее приближение у11) может быть найде-
но как решение задачи ЛИ вида
(N > N N
S «о;.'// 2 «o'/j “ })'ti ri, 2л <&!/) <
t - Г, |- 1, ,.., r; - Л, < У; - £ A„ iVj. (7.20)
Отметим, что тннопыо пакеты программ ЛИ имеют модификации,
специально ориентированные па наличие двусторонних ограничений
типа (7.19).
7,4. Оптимизация дискретных систем. Вернемся теперь к основ-
ной проблематике — оптимизации программ управления.
Начнем с рассмотрения дискретных по времени систем. Пусть,
как и в § 6, требуется найти последовательность {«[А], А: = 0, ...
,.., kf — 1), доставляющую минимум функции *)
J(u) бг(х[7с;|) (7.21)
при условиях, что
а:[Л + 1] = ^(г[А-], и[*], к), к = 0, к,-1, х[0] = г° (7.22)
и
(7.23)
Здесь х[/с] — п-пектор, и[/г] — т-исктпр. Ясно, что задача (7.21) —
(7.23) является задачей па условный экстремум типа (7.10), по
имеющей специальную структуру ограничений. Общее число вы-
бираемых церемонных равно /С/(н4 т} н дли любой реальной пада-
•) Сумму, фигурирующую в функционале ((>.!>), можно учесть и и зги шеи
(7.21), (7.22), если расширить прею граве jво сос пиний.
§ 7, ПОНЯТИЕ О ЧИСЛЕННЫХ MHTOj \\ ОПТИМИЗАЦИИ
467
чи очень велико. Поэтому пспосродстпеяпо применять к такой задаче
общие процедуры НИ малоэффективно, Остановимся па возможно-
стях использования особенностей структуры ограничений в рамках
схемы ти:ледовйт(-лыюй линеаризации, где. на каждом этапе цри-
хонгн'я решать задачу ,111, данные дли которой находятся путем
линеаризации и окрепши тн очередного приближении. Для простоты
будем считать, что множества заданы линейными соотношениями.
Пусть принято некоторое начальное приближение для управле-
ния (тг [А]1. Соптистсгиующео начальное приближение йг'ФФ для
изменения состояния находится путем рскурртчщии по формуле-
(7.22). Тем самым определяется и начальное значение критериаль-
ной функции
М = G(x’(A..)J. (7.24)
Да. ее произведем линеаризацию уравнений (7.22)’ в окрестности
(в0 [А], а:0{А)}. Тогда
[А*] А 2 f/r| — а?° [а?], би (А] Д « [А*] — вв [Л:]
будут связапы уравнением в вариациях
б-с [А -I-1] =- Ли [А] б-г [А] + ZJ® [А] бл [А]. б.г [0] = 0, (7.25 >
Линеаризуя также, критериальную функцию, имеем
Ли) * G [Z (А-,] ] + (с® [А-]) чЪ [A-,], (7.2G)
<>Т- |
Тем самым задача поиска лучшего следующего приближения в ма-
лой окрестности тина (7.20) приобретает здесь следующий вид:
найти и!° [А] = u'J [А] — бк- [А], доставляющее минимум линейной
функции
6J»^(?-)7fi2-[/r,.J (7.27)
при условиях (7.25), а также требованиях, что
i?[A]-r6w[A]c6\, А-0...........А,-1, (7.28)
и покомпонентно ограничены вариации управления
Л" С бн [Л] С Л”, А-- 0, ..., А-;- 1, (7.29)
гдо А11, Л'—векторы, аядапяцпо размер отклонений, допустимых
дли обеспечения точности ллвез] пзацпп. Но обшей логике следовало
бы добавить я ограничения па размах б.г[А|, пи нетрудно убедиться,
что диапазон изменений переменных состоянии остается ограничен-
ным (при конечном А,), если игранпчевы би [AJ. и выбором Д'\ А®
30*
<468
ГЛ. S. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПГ ДЕЛЕНИЯ
можно добитая достаточной точности аппроксимации, даваемой
уравнением в вариациях
Задача (7.27), (7.25), (7.28), (7.29) является вадачей ЛП, число
церемонных в которой совпадает с числом переменных и исходной
нелинейной задаче. Однако се можно упростит!., исключив перемеп-
лыо б.г[7с] и явно выразив (7.27) только через вариации управлений.
Несложно показать, что
Л/-1
6J-----(X* [/с])т В° [А] Ъи [А], (7.30)
Л«-0 ,
тде X* [Л] определяются рекуррепцией «вспять»:
X* [Л — 1] = (4° [А]) ТХ* [7с], X* [А, - 1] = -с’. (7.31)’
Действительно, итерируя уравнения в вариациях, получаем
[AJ = Вс [*, - 1] би [й, - 1] + 4* [7с, - 1] В* [к, - 2] би [7с, - 2] + . „
... + 4е [7с, - 1]... 4° [0] В6 [0] би [0]. (7.32)
€ другой стороны, иа (7.31) следует
Х*[*/-1]“-с°, Х*[?с, — 2] “ — (4’[&, — 1])тс°,
X* [0] = - (4 е [7с, - 1]... 4 е [0])’Л (7'33)
Очевидно, что подстановка (7.32) в (7.27) и (7.33) в (7.30)’ даст
едина ков ыо л ы раже пня.
Поскольку (7.30) даст представление, функции (7.27) в виде ли-
нейной комбинации вариаций управления п каждый момент к, то
мы приходим к замечательно простому результату: исходная задача
ЛП большой размерности распадается на ряд независимых задач
оценки намлучшего изменения управления для каждого к:
max[(n°[7c])T6u[7c]/uc[fc] + 6u[A](s U, Д° би [Zc] Д’], (7.34)
где
я’Рс] д(В0[7с1)тХ*[Л]. (7.35)
Если множество 77* также определяется покомпонентными огра-
ничениями или и [7с]— скаляр, то (7.34) решается в явном виде.
Конечно/очевидна связь между проведенным построением и резуль-
татами § 3, касающимися оптимизации линейных непрерывных си-
стем по линейному показателю, а также очевидно, что (7.34) ло-
кально выражает дискретный принцип максимума.
Подводя итоги, сформулируем алгоритм последовательной линеа-
ризации применительно к рассмотренной задаче оптимального
управления дискретной системой:
а) выбрать начальное допустимое приближение для управления
<и’[Ц ........
б) вычислить начальную траекторию с помощью (7.22) при
и[/с] = и’[А-]; •
g 7. ПОНЯТИЕ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ ОПТИМИЗАЦИИ
469
s) вычислить матрицы
ж
dr
x-x®(Aj'
U—
Д°[Л] -
‘ t)u
x-~xB[A)
u “«"(»)
4
dx
к“х*|ч
г) найти последовательности ?Л [7c], ri* |A-] согласно (7.31), (7.35);
д) решить для каждого к задачи ЛИ (7.34), найдя би* [7с];
е) если
2(л°[А])тби0[А]<е,
А
(7.36)
тде е — заданная точность, то принять и* [Л] в качество приближенно
«оптимального управления; в противном случае повторить процедуру,
приняв
и1 [7с] = и’ [А*] + 6иГ| [А-].
Правило остановки может быть изменено: при выполнении (7.36)
можно повторить процедуру, приняв уменьшенные значения разме-
ров золы Л°, А* и уменьшив е.
7.5. Задачи с ограничениями па траекторию. Рассмотрим теперь
более широкий класс задач, где па траекторию наложены огра-
ничения
|~0, t - 1.......г.,
ЗДА,]) Ь-о , , л _ (7.37)
Вновь примем схему последовательной линеаризации, однако теперь
придется провести оценку приращений всех функции G',. В точности
повторяя выкладки, проведенные применительно к (70(.зс), получим
Л,-1
(?,№]) - S (л?1А])7би[А:]< (7.38)
ft—I)
тде
л?[А]Д(/?°[А]7л*[А]5 (7.39)
л векторы А* [А] определяются рекуррептпо:
л4*[7с-1] = (Лв[7с])7А*[7с], A*[Az-1| = -4 (7.40)
т. о. согласно уравнению (7.31), по при других граничных условиях
. (7-41)
“ М*/]
Задача 311 для вычисления лучшего допустимого приращения
с учетом дополнительных ограничений принимает вид: цанги fiu’jA’],
Доставляющее максимум
AZ-1
X (nfl[A])' 6u[/cJ (7.42)
А—0
470
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
при ограничениях
hf-i
X (^[A])76u[A]
Л «О
» -1.........
' = ' < -I- Л -.
и'' [А-] Ч би [А] < Лл С бн [А | < д’, к 0............................................к. — 1.
(7.43>
(7-44)
Видим, что наличие ограничений па правом конце траектории суше-
гтпеино усложняет задачу: здесь уже невозможна декомпозиция на
независимые задачи определения каждого из Ли0 [А].
Поскольку сложность решения задачи «1Щ определяется главным
образом числом связывающих ограничений (7.43), то можно ис-
пользовать различные приемы, позволмкнцис уменьшить ото число
пли вовсе избавиться от них. Наиболее известной является процеду-
ра Данцига—Вулфа (см., например, [9.81, [9.14]), основанная на
введении (7.43) в критерий с помощью множителей Лагранжа и
специальной методике последовательного вычислении этих множите-
лей. Широко используется также введение ограничений непосред-
ственно в исходную критериальную функцию со штрафными коэф-
фициентами.
Наряду с общими методами понижения размерности, рекомвп iye-
мыми теорией ,.'111, можно учитывать следующее, обстоятельство:
если для какого либо i, 1 = г,+ 1, ..., г, имеет место
(;((.гЧА-..|)<и,
•и> почти наверняка ограничение с этим индексом и (7.43) можно
отбросить, поскольку малые измене,пин его не нарушат. Проверку
этого можно провести после решения (7.42) +• (7.44) пли по пред-
варительной оценке: если просто подсчитать для каждого к
1’г [А] *= min {(л, [А-])тби[А] /u* [fc] 1- бм [А-] <= U, Д’ < би [А-] =< Л"}, (7.45)
то ограничение можно отбросить при условии, что
t]<0. (7 46)
h
Современные пакеты программ ЛИ позволяют решать в разум-
ное время задачи с десятками тысяч церемонных н тысячами огра-
ничений, так что реальные проблемы связаны в основном с органи-
зацией ввода и вывода данных, поскольку процедура требует много-
кратного решения сходных но структуре задач ЛП.
Необходимо, одпнко, иметь в виду одно существенное обстоя-
тельство: мето i последовательной линеаризации в описанной форме
начинает работу только с такого приближения ии|А|, при котором
правый конец соответствующей траектории .г"[/с.-] удовлетворяет
ограничениям (7.37). Ио крайней мере, требуется такая точность
их выполнения, чтобы погрешность не превышала возможностей
§ 8. ЧИСЛКППЛЛ ОПТИМИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
471
достижения границ на допустимом множестве вариаций, определяе-
мом условиями (7.44). В противном случае и качестве предвари-
тельной фаны следует решить задачу минимизации суммы штрафов
за нарушение ограничений (7.37) и, только добившись точного пли
приближенного их выполнения, переходить к основной фазе.
§ 8. Численная оптимизация непрерывных систем
8.1. Особен пости процедуры последовательной линеаризации.
Если поставлена задача поиска оптимальной программы-управления
непрерывной (по времени) системой, то естественным представля-
ется простейший путь: перейти к дискретной задаче, как это дела-
лось в начало § В, а затем использовать метод оптимизации дискрет-
ных систем, описанный в § 7. Однако существенные преимущества
имеет использование процедуры последовательной линеаризации
к процессе поиска непосредственно в исходном множестве кусочпо-
пс 11 [ >ерывньтх фу н кци й.
Запишем решаемую задачу в общей форме § 1, по без интеграль-
ных слагаемых в функционале и ограничениях, которые всегда нож-
по учцеть предварительным расширением пространства состоянии,
м фиксируя для простоты начальные условия.
Итак, требуется найти u(t), доставляющее минимум
при условиях
/(«)- 6 [.г(М1 (8.1)
x = j(x, и, 1}, л‘(/9) = х°, (8.2)
u(Z)<=77, Ze:[Z.„ Zj, [ =« 0, с = 1 г., (8.3)
(WILo. г. (8.4)
ЭДоменты Zo, t.< считаем пока фиксированными.
Предположим, что известны управление w*(Z) и соответствую-
щий ему процесс изменения состояний при которых выполне-
ны все условия
Построим схему локального улучшения начального приближения.
Запишем уравнение п вариациях
6.ё = А (Z) 6х I- В (Z) 6ц, 6.r (Zo) = О,
(8.5)
Л{1)
of
лг
и определим приращения функций
6<АЧ^ГМ</)> i = (\
Г1
ел-
(8.6)
472
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
Как и при доказательстве Т.3.1, можно получить представления
Ч
= - [(л“(/))т6п(/)<
‘о
1-0,,.., г, лУ(0-(/7«(0)т?.:(/), (8.7)
где ?v|(0 удовлетворяют одному и тому же уравнению
< = -pi°(Z)]’A, (8.8)
но при различных граничных условиях
(8.9>
Для оценки улучшающей поправки би°(/) получаем задачу
Ч
гаах J (nJ (Z))r6u(f) dt (8.10)
Jo
при условиях
j(n?(i)r&.(/)^{ fZr/+<8Л1>
u"(Z) + $«(/)<=(/, Л°С6гг(г)< Д°, (8.12)
где
t.-Qr'(ML
Если ограничений (8.11) ист, то задача сводится к простейшей
задаче управления лииениоп системой по линейному критерию
(§ 3): опа распадается на решение независимых задач максимиза-
ции (л»(*))г при ограничениях (8.12) для каждого момента I,
причем часто можно найти решение в явной форме.
В противном случае мы имеем дело с бесконечномерной задачей
ЛП, для которой пет прямой схемы решения. Поэтому приходится
использовать ее конечномерную параметризацию, считая 6u(i) ку-
сочно постоянной функцией, принимающей значения «.[Jt] па каж-
дом А-м участке постоянства:
ба (<)«=«*, А- = 0, ... (8.13)
Поело этого мы получаем задачу ЛП типа (7.42) 4-(7.44). Каза-
лось бы, мы пришли к нерпопачальпой идее замены непрерывной
задачи на дискретную. Однако это пе совсем так.
Во-псриых, изменился способ вычисления коэффициентов rij(A-|.
Теперь они должны находиться по формулам
fA-t 1
»Ч(А-]= |
'А
§ b. ЧИСЛЕППЛЯ ОПТГДГИЗАЦПЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
<73
Во-вторых, что значительно более существенно, новое приближение
для траектории вычисляется не с помощью рекуррентного
соотношения (6.1), (6.4), а с помощью исходного дифференциаль-
ного уравнения (8.2). Подставляя . в нею построенную функцию
u(l) Аы<0)(Х) -I- &?"’(*)- «e=[l„J/|, (8-14)
получаем точное значение критериальной функции, достигаемое
мри управлении H(”(i). Может, конечно, возникнуть естественное
возражение: ведь ни уравнение (8.2), пи уравнение (8.8) для мно-
жителей в общем случае нельзя проинтегрировать точно, приме-
нимы только схемы численного интегрирования, в которых вновь
используется дискретизация по времени! Такое возражерие разум-
но, однако оно в основном снимается тем, что численное интегри-
рование уравнений (8.2) и в особенности (8.8) можно вести с дру-
гим, существенно более малым шагом, чем тот, который был при-
нят при параметризации управлении. Действительно, выбор тнагд
лри оценке б«(/) лимитировался возможностями решения задачи'
ЛП (уменьшение его увеличивает число переменных). В то же
время численное интегрированно таких жестких условий не с га-
лит, а кроме того, можно иснользопать и ряд специальных схем
’численного интегрирования, отличных от простейшей процедуры
перехода к рекуррентным соотношением (6.1), (6.4).
Если же чнслоппое интегрирование, вести с тем же шагом
Л,ц —<*, что и в (8.18), го, конечно, новая процедура еовпадасг г.
простейшей. Вычислительный опыт (см., например, [9.211) нозволи
ст peiiiaTc.-’ibiio высказаться прогни простейшей схемы,
Наконец, стоит отметить, что «происхождение» конечномерной
задачи ДП (7.42)->(7.44) от непрерывной (8.10)->(8.11) вносит
и нее существенную особенность чем меньше шаг сетки
тем ближе становятся векторы л;[/ь] для соседних значений ин-
декса /г.
Поскольку наиболее распространенный алгоритм решения задач
ЛП (симплекс-метод) включает в себя операцию обращения мат-
риц, составленных пз векторов М||лЬ то эти матрицы могут ока-
заться близки к особым, что приводит к накоплению ошибок. По-
этому может оказаться необходимым использовать либо специали-
зированные алгоритмы типа двойственного елмплекс-мйтода
(9.22, с. 4-97], либо вносить изменении в сам стандартный симплекс-
метод |6 6, е. 65].
8.2. Другие постановки задач оптимального управлении. Кратко
петапог.пу.ея па модификациях метода последовательпой .тнпея-
рпзацип при некоторых отличиях постановки от основной (8.1),
(8.4).
А. 11(1 iii'tuc упрасл.чсмых парамегроа. Пусть наряду с управле-
ниями »(•'), для которых возможно изменение за время работы
системы (в пределах допусков), имеется еще возможность выбора
474
ГЛ. Э. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
некоторых параметров, постоянных величии, а = const (также в
пределах некоторого допуска Схема последовательной ли-
неаризации в принципе работоспособна и здесь, но при вычислении
нлрпацип функционалов 6Ц-г(//)], вызванных вариациями парамет-
рон Ла, в них добавлнютсл слагаемые (д'1)' Ла, где коэффициенты
называемые кол'/и/тцме игами чусствигслъносгн. (/1ункцщтам></
по пл/шмеграм, могут быть вычислены различным образом.
Например, можно считать, что Ля—частный случай иярнацпи
Лм(/) при 6«(t)= const., и воспользоваться правилом, аналогичным.
(8.7) ~ (8.9). Тогда
О
п?= Г(Р(0)тА?(0Л. (8.15>
%
где ?.?(f) вычисляются, как в ранее, в силу (8.8), (8.9), а
Pfl(t)
г 4 ' = сю.
х=5с°(О
а—а0
."(П
Г». Нефиксированное время окончания.
(8.16)
Поскольку 1, здесь явля-
ется управляемым параметром, то ая.чача н принципе! относится к
тому же классу, что н предшествующие. Это особенно ясно, гс.ш
< - /|>
предварительно произвести замену времени, нис.дя т « -— . 1ог-
Ч~ ч
да (8.2) переодет в уравнение
'o + (0-QtJ. 0<T<1, (8.17)
а условия окажутся заданными на концах фиксированного отрезка
[О/ 1]:
^k-ti — (хk=t) О, г = 1. (8.18)
В. Ограничения на переменнее состояния. В основной поста лов-
ко ограничения вводились только па конце траектории, Одако во
многих практических задачах требуется ограничить возможные из-
менения состояния в промежуточные моменты времени.
Если этих моментов конечное число, то в основную процедуру
вводятся лишь незначительны!1 изменения. Действительно, пусть,
вместо (8.4) фигурируют ограничения
t г, рп
где моменты Л не обязательно совпадают с t,. В
улучшающей поправки Лн"(О войдут ограничения
вариации функций G([^(G)]} которые заткнутся в
пад.ччу оценки
па возможные
том жо ВИДО
£ R. ЧПСЛЕШМЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕПРЕГЫВПЫХ СИСТЕМ
475
(8.11) с заменой t/. на tt и с учетом того, что при яычпслелпп мно-
□кителей граничные условна (8.9) устанавливаются при Z = Z(.
Сложнее ситуации, когда ограничения на переменные состояния
требуется выполни гь па отрезке fj или па некотором его интер-
вале. При этом, как правило, приходится идти простейшим путем:
расставить ил интервале конечное число точек Zi и перейти к пада-
нию о!paiinnciiiiii в виде (8.19), Можно учесть, что при наличии
ограничений л форме неравенств вместо фиксированной па все ите-
рации сечен точек 1< стоит расставлять аги точки только на тех
интервалах, где текущее приближение выходит на ограничение,
л в небольшой их окрестности, где возможен такой выход при ма-
лом варьировании управления.
Г. Минимаксный критерий. В предшествующем рассмотрении
неявно предполагалось, что все фигурирующие в формулах произ-
водные действительно существуют. Это предноложеппе существен-
но для того, чтобы можно было построить яинейпыс зависимости
вариэцин показателей от малых изменений управлений.
Однако для ряда популярных способов одепкп качества такое по-
строение невозможно. Начнем с простейшего случая. Пусть требу-
ется минимизировать показатель вида
1-г:(М] = И> I ММЬ / = Л «Ь (8.20>
>
т. с. обеспечить минимум наибольшего из накоордппатпых откло-
нений (с учетом весов </ X)) от пуля. Функция б7г,(х) недиффе-
репцпруема. Ее приращение и силу малых изменений управления
нельзя записать в пиле (8.7).
Вместе, с гем почти очевидна эквивалентность задач
min Ынах [ft | .г, (Z/) |, 7 = Е - • »IJ
и
join [zi q-x, (Z,) — 0, j — 1,
- q;.x, (Z,) - z < 0, 7 = 1..n}, («.2-t)
где z — новая скалярная переменная. Теперь показатель линеен но
z, но появились новые ограничения стандартного типа.
Попытаемся применить тог же прием при решении задач, где
критерий не имеет стандартной формы, а представим в виде
/{н}= шах <р0(;г, t), (8.22)
«ли
J (,/} «= шах ф[з:(7,, а)], (8.23)
где параметр а входит и в онпс-апие объекта.
I» задачам типа (8.22) относятся задачи выбора управления с.
целью обеспечить наименьшие отклонение некоторого скалярного
476
ГЛ. 8. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
выхода системы у (Z) ™ 4(^(0] от заданной функции yd(0 в течение
всего времени работы системы. Тогда
Фо(х, <)= 1ф1*(0)-1/,'(01- (fi-2z>)
Это так называемый аадачи о наименьшем уклонении, весьма важ-
ные для приложений.
Используем эквивалентность
niinmax <p0(x, Z) <=> min (з/ q>0(x, t) — z^.0, fe|f0! t,|) (8.25)
к r u
пли в случае (8-24), когда сама функция <ри(х, I) педифференцпруе-
ма, перейдем к задаче
min{з/ if [х(г)] — у11 (t) — з<0, — ф [х(t)I + у!(Z) — г <0} (8.26}
14
с «гладкими» ограничениями (если ф дифференцируема) на пере-
менные состояния. Далее можно применить приемы, описанные в
и. В.
Пример 8.1. Рассмотрим простейшую линейную систему, описы-
ваемую скалярным уравнением
jr = -/(i) + u.(/), у(0)-0, j/(0) = 0. (8.27)'
Требуется выбрать управляющее воздействие «(/) так, чтобы мн-
ппмпзпронахь
J {«} — шах 1($.28}
।
кричом н(1) ограничено: ln(i)ICl, а /(/)—заданная функции
времени. Подобная задача впервые возникла в связи с проблемой
оптимизации защиты механического агрегата от ударных нолдеп-
стюяй [9.10J. В такой интерпретации /(<) имеет смысл заданного
ускорения основания, у{1)—перемещение агрегата относительно ос-
нования, a u(t} пропорционально усилию, передаваемому на аг-
регат защитным устройством, помещенным между ним и основани-
ем. Оптимизация обеспечивает минимальные габариты («свободный
ход») защитного устройства.
Если
1/(01^1,
то существует тривиальное решение
«*(0 = /(0> У(0ш0. Ли*} =• 0,
т о. управление полностью компенсирует возмущен по..
Нетрудно показать, что при
0.
g В. ЧИСЛЕННАЯ ОПТПМНЗЛПИЛ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
477
оптимальным является управление простого вида *)' (рис. 9.7)
и*«)
1,
О,
/ fotlt
При более сложных лпакоиеромоппых иовдойствиях дать точное
решение затруднительно. Вместе с тем применима общая методика,
описанная выше, н к тому же в простейшей форме, а силу линей-
ности объекта [9.10].
Запишем задачу в пидо?
шiп L' у (0 < гд — у (0 < г, у (f) ₽ ( (£ — т) и (т) dr — у,(t),
u I b
[M(0id, i^lO.T]},. (8.29)
где уравнелие движения яепо проинтегрировано и обозначено
t
и< (0 = j («— i) / (т)
о
частой сетке с
Зт.-t задача сама по себе является задачей ЛП, и нет необходимости
и последовательной линеаризации, а
пых ограничений па изменение уп-
ри пленим, обеспечипающих эффектив-
ность линейного приближения. Ко-
лее того, итсгрироваипс уравшчшй
произведено точно. Далее можно ш
рейти к сеточной аппроксимации.
Управление разыскивается как ку-
сочно-постоянная функция, определя-
емая значениями w„ 7=1. .... ft".
Выполнение первой группы нера-
венств для всех I с [0. 7] заменяет-
ся требованием пх выполнения на более
узлов LN, L>- 1. Тем самым приходим к конечномерной
ЛП вида
также впадении дополпитсль-
числом
задаче.
| N N
min s/ з — У| fljjWj bit з + У! «уи, i === 1, .. - г Lftt
“ I ' Г-1 >=1
/ = 1, (8.30)
где коэффициенты alf, Ъс очевидным образом вычисляются. Задачи
вида (8.29) успешно решались таким нутом с помощью стандарт-
ной программы 111111 ЛП АСУ при посьма сложных вовдойстнпях
*) Но самим деле здесь оптимальное упрлолепно по елшгстлспио up а.
/оч-
/.78
ГЛ. 3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
/(/), представляющих собой суперпозицию слабо затухающих гар-
моник с резко различными частотами. Основные вычислительные
проблемы сказаны с выбором шага дискрет ниацин. Практически ре-
комендуется постепенное увеличение шага с контролем изменения
соответствующего значения размаха отклонений max </(f) [*). Если
г
;пн значения перестают существенно меняться, то дробление таги
прекращается.
Друган возможность формирования правила остановки, указан-
ная в [9.16], .заключается в использовании теории двойственно-
сти задач ЛП, позволяющей дать оценку снизу для оптималь-
ного зпачепая функционала. Достаточное* сближение этой оцен-
ки с величиной найденною размаха отклонений и является сигна-
лом остановки счета., о
Задачи с критерием типа (8.23) также формально могут быть
сведены к задачам вида
min {г/ <р [х(/.г, а)] —zsJO для всех а «=,$#}.
u(O
.Здесь вновь имеется континуум ограничений. Если а —скаляр, а
множество .гЛ является отрезком, то ситуация по отличается от
только что рассмотренной: можно использован, фиксированную или
меняющуюся сетку значений а. па отрезке, требуя выполнения ог-
раничений только п точках сетки. Для векторного параметра этот
прием также реализуем, но необходимое число точек на сетке мо-
жет оказаться слишком обременительным.
If классу минимаксных относятся и задачи [9.12], в которых
требуется выбрать управление, минимизирующее наибольшее зна-
мение G'.;[r(Zy)j, достигаемое па множестве всех допустимых функ-
ций «.’(/), входящих в описание объекта:
х =/[г, и, М?(г)].
Здесь м»(£) обычно интерпретируется как возмущенно, действующее
ца объект, о котором известно только то, что оно является кусоч-
но-непрерывным и принимает значения пз некоторой ограниченной
области IF. Задачи такого рода являются наиболее сложными в вы-
числительном отношении. Конечно, п здесь возможно сужение до-
пустимого множества до конечного множества вариантов Н'„, а тем
самым переход к задаче
mtn {г/ tp(.r[G, м'(01) —
h(0
т. о. задаче с конечным числом oi рапнчепнп, по требования к до-
*) Расчет .мой величины ведется параллельно по весна-леи ному па каждом
ярпйшжешш виду закона управлении с помощью to'iu'ih формулы.
§ 8. ЧИСЛЕНПЛЛ ОПТИМИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
статично «плотной» аппроксимации исходного множества приводят
к большому разрастанию их числа*).
8.3. Выводы. Подведем итоги проведенного краткого и далеко
не полного обзора численных методов.
Л. Имеются достаточно эффективные методы, в частности, метод
послсдивагельной линеаризации (пополняемый иногда методом
штрафных функций для получения почти допустимого рвпвчшя),
которые позволяют последовательно улучшат!, «угаданные» началь-
ные приближения в очень широком классе задач.
Б. Основные методы носят локальный характер, используют ло-
кальную аппроксимацию критериальных функций и уравнений из-
менения состояния, поэтому л лучшем случае с пх помощью можно
получать локально оптимальные решения, которые лучите «сосед-
них» в пределах допустимых малых вариаций. Вопрос о сходимо-
сти последовательных итераций недостаточно хорошо изучен, хотя
практические вычисления, как правило, дают разумные результаты.
В. До применения локального метода рекомендуется провести
предварительную оптимизацию путем полного перебора хотя бы на
очень грубой сетке вариантов управлений (описанная в начале па-
раграфа схема). Локальные улучшении стоит начинать только с ото-
бранного варианта. После остановки последовательных приближе-
ний (отсутствует плл мало изменение функционала на множество
малых .допустимых вариаций) целесообразно провести «зондирова-
ние» С номошью почти «игольчатых» вариаций, раепростраинемых
па всю область I .допустимых значений, ни имеинппх дпетогочно
милую ширину для сохранения линейной занценности приращений
функционала от их уровня.
Эффективным является и повторение процедуры последователь
пои» улучшения, если имеется вариант управления, сильно отли-
чающийся от принятого за начальный в первом «запуске» процеду-
ры, по даюшин не слишком плохое значение функционала.
Самое главное заключается в том, что реальное применение чис-
ленных методов требует четкого понимания существа задачи и осо-
бенностей вычислительных процедур. Успех определяется: а) пра-
вильным выбором набора исходных вариантов: б) разумным выбо-
ром сеток для удовлетворения ограничений и в особенности про-
цедур численного интегрирования; в) правильным назначением па-
раметров Д. А. задающих зону линейности. Эта «разумность и пра-
вильность» достигается пе автоматически, а путем накопления опы-
та решепия реальных задач.
Все описанные, методы относились к так называемым 'прямым
методам численной опгнмизпипп. нс использующим непосредствен-
но аналитического аппарата принципа мпкенмумз. Однако суще-
ствует п больпию число Ч1п',11'П11ых схем, где за основу берется по
*) Математические асогкгы ем. в [l_l.il].
480
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
решение исходной задачи, а поиск набора «*(/), я* (О, ?.*(/), удов-
летворяющего совокупности необходимых условий оптимальности.
Вычислительная практика показывает, что эти схемы приемле-
мы только тогда, когда удается аналитически найти выражение
н[х(/), А(£)]. доставляющее максимум гамильтониана при прол
вольных х(/). Z.(t). После этого требуется «лишь» решить красную
задачу для системы
;-si _
|w= li VX |«хя V
с соответствующими граничными условиями. Фактически здесь
вновь возникают топкие вычислительные проблемы. Удовлетвори-
тельное их решение имеется для случаев, когда правые части урав-
нений являются достаточно «гладкими» функциями х, Возможно,
наиболее эффективная схема изложена в работе [9.20].
В заключение следует подчеркнуть, что весь проведенный обзор
касался только методов оптимизации программы управления. Про-
блема синтеза оптимального управлении с обратной связью на поря-
док сложнее, и ей посвящена следующая глава.
Г .11 А В Л 10
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
§ 1. Динамическое программирование
1,1. Формулировка задачи. Хотя ряд задач построения оптималь-
ных обратных связей уже был рассмотрен выше (оптимизация ли-
нейной системы по квадратичному критерию в гл. С, оптимизация
по быстродействию в н. 5.3 гл. 9), но общая формулировка пробле-
мы дани по была. Попытаемся дать ее, начиная с наиболее про-
стой постановки.
Пусть управляемый объект описывается рекуррентным соотно-
шением
/. = 0, 1, ..., iif— 1, х|0] (1.1)
где, как и ранее, x|Aj—вектор состояния и момент /г, h.[/i|—век-
тор управлении, а / '( )—известили вектор-функция синих аргу-
ментов.
Требуется, как ив § 6 гл. 9. выбрать последовательность
{«*[/>]. А- = 0, 1, .... k/— 1}, которая доставляет минимум целевой
функции
J Н = 2 go (.т W, U RL А) + 6’0 (х [А\|),. (1.2)
ft—п
причем минимизация производится на множество значении м[Л],
подчиненных ограничениям uJAcj е С\, и значений х[А’], связанных
с lljAJ соотношением (1.1).
Последовательность <ы*[Л]} была названа оптимальной по кри-
терию (1.2) программой управления объектом (1.1). Очевидно, что
оптимальная программа может быть построена только, если дано
полное описание объекта. В частности, требуется знание начально-
го состояния, вектора т°.
Гипотеза 1. Пусть в момент 11[юектнропанпя системы управле-
ния неизвестно состояние, начинай с которого будет работать уп-
равляемый объект, однако в любой момент работы возможно полу-
чение текущей информации о состоянии и виде наблюдений;
г/И = Ф(х|А'1, А:), /с = 0, 1, ... (1.3)
31
А. Л, ПсрБогвпнсЕшЯ
482
ГЛ. 10. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗКИ
Соотношения (1.3) формально описывают работу датчиков инфор-
мации (ДИ). Обозначим r/!xj нею совокупность данных, получен-
ных от ДИ к моменту т > 0:
//”=(.-/10], у[1]. r/M). (1'«)
Определение. Если существуют функции
H*(jf**\ т), тв«0, 1, .... к,— 1, (1.5)
такие, что значение функционала (1.2), вычисленное ва траекто-
риях системы (1.1) после подстановки
u*(y:ft), &). А = 0, ...» к,— 1,
совпадает с его значением Ли*) -при оптимальной программе уп-
равления для любых то функции (1.5) определяют оптимальный
закон управления с обратной связью. Построение таких функций
называется синтезом оптимальной обратной связи. Вектор у1'1 часто
называют вектором полной текущей информации, так что в резуль-
тате синтеза управление строится как функция от подпой текущей
информации.
Существование оптимальной обратной связи в смысле нриведеп-
пого определении отнюдь не гарантировано. Первоначально мы ука-
жем принципиальную процедуру построения оптимальной обратной
связи при дополнительном упрощающем предлоложении.
Гипотеза 2. По сигналу i/|A'J однозначно определяется состоя-
ние обьекта х[А] в тог же момент к.
Очевидно, что п рамках гипотезы 2 наличие наблюдений ?/*” эк-
вивалентно знанию состояния объекта во все моменты времени.
к^т. Однако вектор состояния .г[т] потому так и называется (см.
гл. 6), что его значение полностью определяет псе будущее (при
А>т) поведение объекта при любых заданных воздействиях, т. с.
для знания будущего поведения достаточно задать а:[т], а инфор-
мация о всех предшествующих значениях вектора состояния з:|/г|,
7с < т, оказывается излишней*). Поэтому при выполнении гипоте-
зы 2 без ограничения общности можно разыскивать оптимальную
обратную связь как функцию текущего состояния
ы[Лг] = гг*(г[Л], к). (1.6)
1.2. Уравнения динамического программирования. Для поиска
оптимальной обратной связи вместо исходной задачи (1.1), (1.2)
рассмотрим последовательность задач
[ ЛС1 1
mil» | S йъСзД/Д. м[А ], к) + <?<,Д$(ц т), (1.7}
*) Ото свойство иногда называют марковским, по имени великого матема-
тика Л. Л. Маркова (1836—1922). Обобщенная вероятностная формулировка
марковости дается ния;о.
g 1. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
483
где минимизация производится при условиях, что
х(к 4-1 ] = F (х[А-], пре], А), д:[т] = х, к 5- т. (1.8)
При этом х—произвольный, фиксированный как параметр вектор,
и при т > 0 выбору подлежит липп. часть управляющей последо-
iiair.Ti.iKicrJi
"|А]«£\, хък^к,- 1. (1.9)
‘Пункции $(х, т) можно интерпретировать как минимальные
затраты на работу системы, если опа начинается в произвольный
момент т из произвольного состояния х. По определению
Sl(x, к/) = С0(х), (1.Ю)
а ио смыслу исходной задачи
Ла*}=^(жч, 0), (1.11)
если ?х* — оптимальное управление. Таким образом, и последова-
тельности &(х, т), т«=>0, ..., к., известна последняя функция
^(с, 7г(), а требуется найти значение начальной функции 0)
при х = х°.
Нетрудно установить рекуррентное соотношение, связывающее
между собой функции 3>(х, т). Запишем согласно определению
(1-7). (1.8).
${xt 1.) • ntiii h?0(.r, п ft], т) |-
Hftl- Щ, {
к I, । I
Л,-1 |
+ А'о U(A|, и [А], к) |- G'0(.r[A-/]) .
Будем осуществлять минимизацию в два приема: сначала мини-
мизируем по всем значениям управления в «будущем», при /г>т +
+ 1, зафиксировал значение и[т] = н, а затем результат минимизи-
руем по и. Учтем при этом, что первое слагаемое зависит только
от м:
&(х, т) = min |г0(л:, », т) +
«=' г Г
' >ч
+ min 2 goUlA], u|/.-], А) + Gtl(T[/f/])
trf fc |t=Lr^ |_Л-~T-rl
Л—Г+1....Л/-]
(1-12)
Обратим теперь ннкм.-шпе, что 2-е слагаемое в фигурной скобке со-
отнетстпует определению (1.7), но с индексом т+1 и, что особен-
но важно, с измененным значением 1-го аргумента, поскольку
x[r-|- 1] ио прои.тво.чып), а в силу (1.8)
а[т+ l] = F(.r, I/, т), (1.13)’'
т. е. зависит от значения управления
31*
484
ГЛ. 10. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОКРЛТНЫХ СВЯЗЕН
В результате получаем искомое рекуррентное соотношение
& (z, т) = min (.г, и, т) -I- /Z? |/’(.г, и, т), т -j- 1 J}, (1.14)
u_.r\
0<т£/г. 1.
Соотношение (1.11) принят палыпять уравнением Аипамнче-
ckwo п/н/граммнрананин *). В принципе шш позволяет, начиная с
заданной л силу (1.10) функции .7?(з\ /»•<), рассчитать нею после-
довательность функций ,'Л(х. т) вплоть до 0), дающей опти-
мальное значение критерия (1.2) при произвольном начальном ус-
ловии .г[0] z. Более того, очевидно, что если функция w*(z. т) до-
ставляет минимум выражении)
^(z. и, т)~ 5₽lZ-"(.c. и, т), г + 1].
(1.15)
где х рассматривается как параметр, то она может интерпретиро-
ваться как оптимальный закон управления с обратной с.вязып но
измерениям текущего (в момент к = т) состоянии объекта, по-
скольку характеризует оптимальный выбор управления при произ-
вольном текущем состоянии.
Таким образом, Дппл-мнческов программ крова пи?. кажется иде-
альным математическим аппаратом для прямой) решения проблемы
синтеза законов управления с обратной связью.
Однако при реальном применении динамического программири
вапия во.пшкщот гущсс-твоиные трудности. Это, во первых, иычпе-
литсльпыи проблемы (10.2|—Для реализации схемы необходимо вы-
числять и хранить в памяти функции -%’(.г. т), где размерность век-
тора х совпадает с. порядком дифференциального уравнении объек-
та. а во-вторых, имеются и припципна нише проблемы, связанные
с тем, что не при любых значениях .т может существовать минимум
(1.15). Отметим, что логика, приводящая к рекуррентному соотио
шению (1-14), сохраняет силу и в том случае, когда наложены лю-
бые ограничения как ва коночные, так и на промежуточные значе-
ния переменных состояния x(t) или совместные ограничения на
значения управления и состоя пин тина
.......
*) В ряде случаен исходный функционал можно представить в виде, ни-
сколько отличающимся нг (1-2):
1
?(u)«v f (Z]A--|-t], np.-l./.). (!.:{>
i< у
Тогда уравнение динамическою программnjxinaпня милою u<i<'Tp<iiiri. по пячпх
такой же логической схеме, во оно Г>уд>ч- имен, фирму
Й? (z, т) — min U [Г (z, «, ij, к, т] [/•' (.с, «, т), т + I]). )
Utz С
§ I. ДИПЛМГ.ЧПСКОЕ ПРОГРАМЛИТРОПАППЕ
485
При этим кажется необходимым лишь плести добавочные огра-
ничения па область возможных значений параметра .г и (1.14) и об-
ласть поиска оптимизирующих значений 4А]. Па самим деле
требуется диполпятельпи вводить ограничения, гарантирующие
существо па и ио решений по вСгх задачах минимизации выражений
(1.15). Не касаясь Детально этих тонких проблем, рассмотрим эле-
ментарный
Пример 1.1. Рассмотрим в весьма пдеаапацровапном виде сле-
дующую практическую задачу. Имеется стадо, на содержание ко-
торого приходится нести определенные затраты. ё)ги затраты ком-
пенсируются за счет продажи части поголовья. Требуется найти
правило управления поголовьем, при котором суммарные затраты
(за вычетом получаемого дохода) были бы минимальными.
Пусть 44— количество голов скота на начало года к, к = 0, 1,
.... к>, 44—количество продаваемых голов скота в году к. к =>
= 0, 1. ..., к> — 1. ТТя эти величины наложено естественное ограни-
чение *) О =S 44 =-:.- 44, к = 0. ..., к, — 1.
Поголовье меняется от года к году в соответствии е еоотпоиш-
лисм 4^'Т 1] = ?(44 ~44), к = 0. .. ., /.'у, где ₽ > 1 интерпрети-
руется как коэффициент естественного прироста за год поголовья,
оставшегося после очередной продажи, совершаемой, по условию,
сразу после, оче.редшио учета. Требуется мнплмнзпрокять
Л/ *
J - {М-44- И/.])-гк I/.-]}.
к >
где h— затраты па содержание одного животного и течение года,
ас — цена его при продаже п начале года, с > А. > 0.
Рекуррентное соотношение (1-14) принимает здесь вид
.71 (.г, т) = iiiin (A.j;—(с + A) iz-I-[р (д: — u), т + ) |}.
0 и £ х
т = 0...к, - 1,
причем .^(.г, А';) = 0. Попытаемся строить послсдог.втс.чыю функции
Й(х, т). Имеем
ffl (;с, к, — 1) == inin {А.т — (с |- к) о) = — сх,
причем и* (.г, kj—i) = xt иначе говоря, на последний год сохранять
поголовье иецелоеообразио, поскольку от него уже нельзя получить
доход (после щян продажа возможна только в самом начале года!).
Далрц, при т *-j к, — 2 имеем
./7 (.г, к, — 2) “ они (к.г — (с + А)м - е|»(.с — г/)},
<i . и >:х
') Цслоч1>сл1чию1.тыо jui'.TUxmt а: (/г), «(/.-) здесь п лалсс пренебрегаем.
488
гл. io. ciifiTiczt оптимальных обратных связей
причем учтен вид Й?(х, к) — 1). Теперь результат минимизации за-
висит от знака при и:
и « 0, если > 1 +
и х, если р< 1 +
Иначе говори, целесообразно сохранить все поголовье, если коэффи-
циент прироста достаточно велик, а в противном случае избавить-
ся от пего заранее.
Предположим, что параметры соотвс ютвуют первому варианту
(например, [5= 1,2, А=0, 1 с). Тогда
' j#(x, /с, — 1 ) = — (сЗ — h)x.
т. е. мы имеем линейную функцию с отрицательным коэффициен-
том (затраты пе превышают дохода).
Очевидно, что рассмотрение дальнейших этапов дает тот ясе ре-
зультат:
и* (т, т) — 0, т к/ — 2,
т. е. при заданном соотношении между параметрами оптимально
сохранение поголовья вплоть до последнего года. При этом оно на-
растает по показательному закону
.г[А-] - ..../ч- 1,
растут и совокупные затраты па содержании
л, -1
h % fArlOJ,
л=о
по они с избытком покрываются за счет дохода, получаемого от
продажи перед последним годом:
cP'^xjO],
Всюду ранее неявно предполагалось, что все (функции т) оп-
ределены только при х 0. Чтобы подчеркнуть важность этого об-
стоятельства, немного измелим формулировку задачи, добавив ус-
ловие, что в конечный момент к = к, необходимо сохранить пого-
ловье па уровне не ниже заданного х.
В этом случае условие
Й>(х,
задано только при х?£х, а при х<х (функция к,) не опреде-
лила. Далее ясно, что допустимы по произвольные начальные ус-
ловия па каждом этапе, а лишь такие, при которых возможно вы-
полнение конечного ограничения: в момент kt—-1 z[£f—lj должно
быть не менее чем р~'х, при нроизвольиом т х[т] — ио менее чем
S I. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
487
рт Лг, ибо is протнппом случае даже при отсутствии продаж пого-
ловье пе вырастает до заданного уровня. Эти ограничения необхо-
димо учитывать при минимизации.
В частности, в момент А/— 1 должно быть
и* (.г. /г, — 1) — х — у,
Вид функций <%(х, т) показан па рис. 10.1. О
1.3. Непрерывные системы. Основная идея динамического про-
граммировании перенос,птг.и и па непрерывные ио времени систе-
мы. Рассмотрим задачу мпшумпляцип функционала
J{"} “ i| dl -I- G,J.,-(;,)] (1.17)
па траекториях системы
x = f[x, и, i], ^=> z", ц(7)еС\
которая уже изучалась в
Введем функцию
$1(х, т) ** min
§ 3 гл. 9 с помощью принципа максимума.
•и 1
Ь'О [*(«),. “(а -I-GjzO ,
.i J
(L1K)
t, т Э* /0,
где минимизация производится при условиях
х =/[£(/), «(<), /], *>т, х(т) = л u(t)eU. (1.19)’
По определению имеем
й?(.т, /7)-G'o (.?:),
(1.20):
т. е. значения функции 5J(.r, т) при т = /г заданы.
Попытаемся построн-гь уравнение, которое определяло бы зна-
чения 5?(г, т) в прсдпюствующпе моменты времени, имея в виду,
485
ГЛ. 10. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СБЯ'И’Л
что оптимальное значение критерия равно
Ли*} л,).
(1.21J
Рассмотрим дна момента времени, т и т + А, А > 0. Тогда, в точ-
ности повторял выкладки, проведенные в дискретном случае, полу-
чаем
^(.г,т)=> in in
«(ОС К
AJ
gfl [?(<), u(t), Г|Л +
min
?{* 13Г1'
[г(9» м (£)• И dt - (MP
min
+ 4
j go[y(O. "(M W* +
I /[#(/). «(/), f-ldZ, т + A . (122)
3;(0ci. niioiib используется возможность сначала провести выбор уп-
равления, начиная с, момента г -I- Д, до конца, а затем осуществить
минимизацию ио значениям управления в пределах отрезка
[т, т I- А).
Предполагая, как- обычно, что а.) /[.т, и. ?] и g,.|.r. «• И нспрсрьир
пы по всем своим аргументам, б) допустимые траектории з?(() не-
прерывны по t, в) допустимые управления и(1) кусочно-непрерыв-
ны по /, причем отрезок [т, т + А] не включает точек разрыва, мож-
но записать, что
х !.д
A.r(r) л f /[^(Z), u(i), = /[^(т), «(т), т) А + о(А) (1.23)
и
т -!-Д
J (•? (0, и («К *1 dt = hr (т), и (т), т] А + о(А). (1.2'1)
причем х(т) = х. Предположим диполнптельпо, что функция т)
дифференцируема, п используем форма.!i.iioe разложении
[.г I- Аз- (I), т -к А] .91 (.г, л) ~ 7) А +
5 I. ДИНЛМИЧКСКОК ПРОГРАММИРОВАНИЕ
4«9
Подставив (1.23), (1.24), (1.25) в (1.22), получим
—= mi» bjx, и(т), т] -I- т> Г/|х, и (т), т) + 21^11.
,п u<4<-V l к <Лг J Д J
l#-|T,-i + AJ
Теперь перейдем к пределу при Л — 0 и установим справ; (.чи-
пость при почти любых 1 уравнении
~'^Г=3 UilA «(*)> TJ + (—)'/К “ (т), т]), (1.26)
определи тощего с учетом граничного условии (1.20) функцию
^(.г, т),
Уравнение (1.26) принято называть уравнением Бегл.мав-а пли
уравнением- Беллманл— Гамильтона— Якоби (и силу аналогии со
сходным уравнением Гамильтона — Якоби в аналитической меха-
нике [6.1]).
Так же, кат; и п дискретном случае, важно понимать, что функ-
ция и*{Х; t), минимизирующая выражение
g(l (.г, u, Z) + / (х, и, Z) (1.27)
(1.28)
пара-
мини-
(1.29)
по явно входящему и в пределах допустимой области Г/ при фпк-
е.ироиаппых и /, определяет оптимальный закон управлении с об-
ратной связью по измерениям текущего состоя пня .т™т(/).
Однако дли нахождения u*(x, 1} требуется акать функцию
Z) пли по крайней мере сг градиент —.
Введем обозначение
j, { - ?.7? ) . . (л :Р\1 .
11 h - м-г)= _ £<п (г’ "• - •* (-с’гл °-
Тогда, рассматривая компоненты — как дополнительные
г * ( t)
метры, можно шипи функциюм 'юстапляютцую
мум выражению (1.27) иди, что то же самое,
max И (?, — и, t).
«си '• '
По существу, это же условно фигурировало в принципе макс.п-
.. Фй
му.ма, с тон разинцеп, что вместо — — в гамильтониан 11 входил
лектор лагранжевых множителей X. Динамические программирова-
ние не дает п(’.11осредс.тпспио условий для нахождения значений
этого вектора па оптимальной траектории. Для его нахождении, а
следовательпо. вычислении оптимального управления приходится
решать нелинейное дифферелцпальпос уравнение в частных про-
490
ГЛ. 10. С1ШТНЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗКИ
изводвых, получаемое после подстановки в (1.26) функции и*:
— =//
<п
(1.30)
Липп, и исключительных случаях удастся найти решение (1.30)
в аналитической форме. В частности, можно угадать, что линей-
но-квадратичной задаче функция ${х, t) совпадает с функцией
И (г, 1), использованной при доказательство '1.8.2 из гл. 6 (провер-
ку этого факта предоставляем читателю), однако мы уже и так
располагаем двумя подходами к решению згой проблемы.
Численное интсгрпровавпе уралпштя (1.30) также сталкиваегсл с трудно
цродниенасмыми । репятстипямл даже при » =» 2, где п — рпим .рног.ть г. Име-
югся и теоретические осложнения [10.2J: дело в том, что почти но всех зада-
чах оптимизации, где оптимальное управление принимает значение па границе
области U. функция I) ие является всюду дифференцируемой по я, а это
предположение было сделано грн выводе уравнения (1.26). К счастью, более
тонкие исследовании 19.4] лойнпляют частично преодолеть указанную непри-
ятность; па самом деле оказывается достаточным, чтобы уравнение (1.28) или
(1.30) было определено при почти всех значениях х, где 3?(£, I) дифференци-
руема. за исключением кусочно-гладких многообразий размерности, меньшей,
чем », например, многообразий, задаваемых одним или несколькими уравнени-
ями
ф. (г) 0,
где 'I’i(j) —непрерывно дифференцируемые функции.
Выполнение урлнпении (1.211) почти истцу может служит!. пСнбходпмым
в дос гат!чпым углов и и <1птнмол1.>ц>стн, если, конечно, удпегся угадать функ-
цию :В(х, .')
§ 2. Субсптимальныс обратные связи
2.1. Субоптимальиость и теория возмущений. Метод динамиче-
ского программирования указывает лишь принципиальный путь ре-
шения проблемы синтеза, как правило, алгоритмически нереали-
зуемым.
В данном параграфе будут кратко описаны некоторые идеи
практического построения заколов управления с обратной связью,
использование которых, вообще говори, не гарантирует тачного до-
стижения оптимального значения целевой функции, но обеспечива-
ет близкое значение. Такие законы обычно именуют приближенно
оптимальными пли субоптимальными. Прежде чем переходить к их
построению, укажем на еще один, теоретически возможный способ
осуществления оптимальной обратной связи.
Определение. Назовем обратную связь заданной алгоритми-
чески, если указано правило, алгоритм, с помощью которого по лю-
бой заданной текущей информации у' можно вычислил, апачеино
управления гц задаваемое в любой момент т.
Если выполнена гипотеза 2 из § 1, т. о. прямо или косвенно
можно получил, полную и точную информацию о состоянии объек-
та в момент т, то алгоритмическое задание оптимальной обратной
£ 2. СУПОПТПМЛЛЬПМЕ ОВРЛТПЫЕ СВЯЗИ
491
связи состоит в указании правила решения задачи (1.7)-г (1.9) (для
дискретной системы) пли (1.18), (1.19) (для непрерывной систе-
мы). Решение должно производиться при именно том значении .г,
которое к этому моменту получено от датчиков. В этом состоит
главное отличие от динамически! о программирования, где х задава-
лось произвольным (осуществлялся поиск оптимального уираиле
ипя для любых возможных состояний!). «Плата» за такой подход
очевидна: если в методе динамического программирования все ны-
’ihcjichjih можно было произвести заранее, при проектировании си-
стемы, и «заложить» в пес уже готовые функции и.*(х, т), то здесь
требуется решать задачи оптимизации л ходе работы системы, по
мере поступления текущей информации *). Причем необходимо
осуществлять решение быстро, поскольку иначе требумое оптималь-
ное решение станет известным позже того момента, когда его
следует использовать. Поэтому идея алгоритмического задания прак-
тически неприменима для осуществления оптимальной обратной
связи. Однако она может быть с успехом использована для суб-
оптимизации. Ос товпой прием заключается в том, чтобы упростить
задачи, которые требуется репьиь в ходе работы системы, до
такой степени, чтобы вычислительное устройство могло успеть
вовремя рассчитать значение сигма. ia управления.
Конечно, разумное упрощение пс всегда возможно. Как прави-
ло, пип оказывается успешным, если itcxi^iian задача обладает та-
кими (.ш'.цифпчеекнми особенностями, что упрощенная задача
имеет близко к пей описание. Как мы уже убеждались (гл. <5. 8).
математической б.пи и для оцго|;п иузм! жпос i и у прошения задач
является теории возмущений. В рамках этой теории близость меж-
ду исходной {возмущенной,) задачей и упрощенней (тщролссЛпочргй)
формально отражается введением малого числового параметра ц
таким, образом, что при р =» О описание возмущенной задачи совпа-
дает с описанном порождающей.
С помощью теории возмущений в ряде случаев удается постро-
ить оценки эффективности субоптпмальпых управлений, т. с. опре-
делить потерю в зпачепли целевого функционала, если вместо оп-
тимального управления используется субоптимальпос **).
2.2. Слабодмнамичные дискретные объекты и оптимизация на ко-
ротком интервале. Предположим, что управляемый объект облада-
ет следующим свойством: его состояние в момент А"+1 слабо зави-
сит от состояния в пред пествующпй момент к, а в основном опре-
деляется значением управляющего воздействии м[Л |. При этом
влияние управления и.|А] быстро «забывается» системой. Гипотеза
слабой динамичности достаточно хорошо отражает особенности
импульсных спотом уираплеп гя устойч! пыми непрерывными объ-
•) Зачастую применяют английский термин oon lim'.n—оптимизация.
♦*) Систематическое пзлгыение мг.толн н<мму|цеиий в эяднчях oiiti мпэл-
цни дано и ГО Ч. Гам же можно ннйтп нсимптотичсскне оценки эффективное и
ряда суоонтнмалы ых управления, описанных далее в этом параграфе,
492
ГЛ. Ю. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СШКЖП
ектами, если интервалы мел» iy импульсами настолько вс.тпки, что за
время от /„ до <*+| переходные процессы почти затухают. Если гп-
потеза выполняется, то можно сделать естественный вывод: при
выборе управления г/[т] в каждый текущий момент т допустимо учи-
тывать ei'o влпяпне только па короткий отрезок времени и будущем,
примыкающий к этому моменту. В самом простом варианте допу-
стимо учитывать влияние только па одни таит вперед.
Следовательно, при алгоритмичсеш м задании обратной свяли па
каждом такте вместо задач (1.7) — (1-0) придется решать лини,
«укороченные» задачи вида
{X— ?—1
2S g0 (* 1*1 " 1*1 *),'* [Л - J ] = /' (х [ A-j, и [/.’J, /г),
ft— т
.г (т) = х, к [ Аг] С2= ], (2.1)
>
где Z—«глубина» учитываемой памяти. Существенно, что хотя в
(2.1) минимизация ведется по всем переменным н[т], u[t + 1], ...
..., u[t + Z— 1], использовать в текущий момент т требуется только
первую компоненту решения п*|т]. После приложения соответству-
ющего управляющего воз.дбпртвпя к объекту от датчиков информа-
ции поступит значение состояния в следующий момент т+1, и ре-
шение повои «укороченной» задачи можно будет повторить па
сдвинутом интервале *).
Приведем пример ncno.Tb.ToBiiiinji этой идеи в Задаче, где име-
ются в ограничения па переменные состоянии.
Пример 2.1 [В.б| Рассмотрим .чиненный диск решим объект с
одним (скалярным) управляющим воздействием, описыпа -мый
ура имением
+ 1] = Л x[/cj 4- А = О, (2.2)
скалярные же возмущения «-'[/с] заданы. Матрица .4 размерности
п X п мала по норме, что соответствует гипотезе слабой динамично-
сти. Требуется построить закон управления с обратной связью по
измерениям состояния, минимизирующий целевую функцию
ft.—>
У (стх[А' + 1] + du [A-]), с = const, d = const, (2.3)
A- л
причем необходимо обеспечить выполнение ограничений
4А-+lj СТ, А-— О, I.........к, — I. (2.4)
Такая постановка приемлема Для приближенного описания задач
оптимального управления некоторыми технологическими процесса-
♦) Очевидно, что если т + I то к (2 1) надо учитывать и «концевое»
слагаемое С0(г[А'/]) целевой функции.
§ 2. СУГ,О11ТПМЛ.’1ЬНЫЕ ОБРАТНЫЕ СВЯЗИ
493
лш [6.6]; при этом условие (2 4) интерпретируется как необходи-
мость невыхода состояния объекта за «опасную» границу х.
Дли алгоритмического падания оптимальной обратной связи тре-
буется в каждый .момент т решить задачу вида
Л,-|
min (с'х|/г | 1] (2,5)
к г
при условиях (2.2). (2.4) с учетом того, что известна величина
-г[т]. полученная от ДИ.
Все эти задачи являются задачами линейного программирования
и в принципе разрешимы с помощью стандартных программ. Одпя-
но время вычислений сушесгвелно зависит от числа переменных и
ограничений, а при больших кг оно заведомо велико.
Для упущения учтем предполшкенне о слабой .динамичности
и будем принимать во внимание влияние управления н[т] только
ла состпянпе х[г + 1] в ближайший момент. Тогда вместо (2.й)} (2.2),
(2.4) можно иметь дело с задачами мадоп размерности:
mi rife* (Д к[т] -I бн[т] Т (?н:{т]) 4- г?н[т|) (2.6)
с ограничением
Лх[г] -г Ло[т] 4- G’u'[t] < х. (2.7)
Г>ол<?е того, решение можно выписан, и явном виде. Примем для
он редело и пости, что
b '((/,}> U, c'b + d<0. (2.8)
Тогда оптимальное значение управлении' м* л] должно быть паи
большим пз таких н[г], при которых выполняются все ограничения
б,а[т] sS х, - «;-с[т| — g.-нЯт], (2.9)
где а, — t-я строка матрицы /1, gi—f-ii элемент столбца G. Таким
образом.
и* М ==-- min [у- (х, — й{х[т| — giU’[T|) l, (2.10)
i I f J
где ^считываются только индексы i. для которых й,->0.
Формула (2-Ю) и Янном виде выражает нелинейный закон уп-
равления с обратной связью.
Дополнительно заметим, что при построении закона нетрудно
формально учесть явные ограничения на управление, однако при
наличии ntрапичеипй снизу, например, вида
oItIS’-I (2 11)
может оказаться, «по решения не существуют: пграпичення (2.7)
и (2.11) окажутся песогласуемыми. Ипцчо говоря, управление не
сможет справиться с большими возмущениями. п возможен выход
за «опасную» границу, однако это естественное свойство задачи.
494
ГЛ. 10. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СИПЛЕЙ
Теоретический анализ зффектнвпостп закона (2.10) проведен
и [6.6, § 2.9], причем установлено, что при достаточно слабой дина-
мичности (2.10) в действительности позволяет достичь строго оп-
тимального значения функции цели. Этот результат является след-
ствием особенностей задач 2111. В общем случае применение гипоте-
зы слабой динамичности, конечно, приводит лишь к субоптнмаль-
ным обратным связям, причем оценка .тффектннщд-ти обычно за-
труднительна. Том по менее прак гцчсскп значимость вытекающего
из гипотезы приема «укорачивания» задач очевщнш.
Действие закона управления у «опасной» границы иллюстриру-
ется графиками на рис. 10.2, где использована следующая числовая
модель:
[А + 1] = 0,1 (zj/т] + 2xe[A-J) + »г [А], z JO] = 0,
z±[/c + 1] - - O.OoxJA] + w[fr] + (-!)*, хДО] =« О,
5^ = 1, х4=1.
При этом
и[А] = mint 1 — 0,1.т J/c] — О,2хг[А'], 1 + 0,05zJA’] — (- 1) *}. (2.12)
Видно, что управление заставляет переменные «прижиматься»
то к одной, то к другой «опасной», по выгодней по критерию гра-
нице, с которой они «сбиваются»
периодическим возмущением. В
системе быстро усганавливаегсл
периодический режим. П
2.3. Гипотеза слабой упранляе-
мостн Эту’ гипотезу можно форма-
малпзовить и непосредственно ла
языке непрерывных спетом. Она
соответствует описанию к виде
V = /о(х, f)+p/i(^, Ч, 4).
/ерп, /;], (2.13)
где р —- вновь малый параметр,
так что возможно лишь малое
влияние управления на скорость
изменения состояния системы
[6.6], [10.8].
Такая постановка разумна в
задачах управления движением
механических объектов, когда уп-
равляющие. силы существенно слабее естественных, например, при
управлении спуском космического аппарата в верхних слоях атмиг
ферм.
Порождающая система неуправляема, ее движение £(£) опре-
делено соотношениями
х==/<,(х, Z), x(t,)-ix°. (2.14)
§ 2. СУКОНТИМАЛЬПЫЕ ОБРАТНЫЕ СВЯЗИ
495
Истппное движение в силу исходного уравнения должно быть
близко к нему. Попытаемся воспользоваться этим отличном для то-
го, чтобы обеспечить минимизацию показателя С[х(6)] с помощью
выбора управления n(/)ct', /,], где 17— заданное ограничен-
ное множество.
Нроие.дем несколько нестрогие рассуждения. Поскольку функция
ЦО Аи/>1 •<(') «(О- и
мала при любом выборе управления, то ее влияние па изменение
траектории также мало и может быть оценено с помощью уравне-
нии в вариациях
<М |
6^Л(06.г+А 'Ф) = ^|л-
Мало и вызнанное сю изменение показателя:
6G„ г (t/)I - (Со ({)Ж (ПК G -= аГ Lu/
Используя известную схему (см. § 3 гл. 9), можно явно выразить
лто изменение через ?(/):
f >Л(ОЦОЛ,
где ?,(.-) удовлетворяет уравнению
Х = -ЛЦ/)Х, (2.15)
Теперь вновь вернемся к исходным обозначениям
66; - и I /.т (О л i х (о, «(О-11 dt.
S>
Таким образом, мы подучаем возможность найти оптимальное уп-
равление для каждого момента времени, решая задачу
rnaxOv’fO/ilxfZ), «(Z), f]/«(0e^}- (2.16)
Рассмотрим в дополнение задачу с фиксированным на правом
конце условием
<?№)] = О (2.17)
и свободным выбором момента th Предположим, что па порождаю-
щей траектории ото условие выполняется, т. в. <7Д£(г,)] =- 0, так что
может быть найдено 1;. Поскольку время lt но фиксировало, то у,—
поправка в скоростях приводит к р—поправке во времени, так что
можно принять
Г, = Г, + уб + о(р).
496
ГЛ. 10. С1ПТТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
В силу этого можно оценить памепенае состояния п конечный мо-
мент через
6x(^)sfi.r(?f)+/»(«(*>), ?.-)рЛ
и оценить изменении функцпоияла
TriG VI - ~. —
- (a?) L Л(О)&С(Ъ) ~ С''{бх (//) Ь 1Х (tl)' *'* I'1 >’ <2'
Ifpowe тою, имеем
66\ & |V=~O (t,} С] {fix (Г,) + A, [I (Г/), %] ptj - 0я (2.19)
поскольку ограничение (2.17) должно быть выполнено. Исключая
из (2.19) I, н подставляя в (2.18), получаем формулу для прира-
щения показателя
В(?о As C'<fix (6),
где
ci> /« Л ftj [*(^/)i J/1 нрп
или, окончательно,
!'
66’и А* — | ?> (/) с («) (И,
'о
где К{1) удовлетворяет условиям
?. = -/Г(/)л, (2.20)
Тем самым выбор управления спелся к необходимости в каждый
момент времени решать задачу
шах {??(()/,!•?:(«), «(Of i]/«(i)s^’\ (2.21)
которая отличается от (2.16) только изменением множителей.
Конечно, все сказанное представляет собой лишь соображения
«на пальцах/». Строгая оценка близости получаемого решения к оп-
тимальному достаточно сложна. Вместе е тем нетрудно заметить, что
нся описанная процедура почти «копирует» 1-ю итерацию в мето-
де последовательной линеаризации.
Пример 2.2. Задача о полете на максимальную дальность [10.7].
Рассматривается движение1! центра масс летательного аппарата в
плоскости .г, у.
х “ Д’, у У - *,
где x(t)—горизонтальная, п у(1) — вертикальная координата цент-
ра,'X', >’ — компоненты ускорения, создаваемого аэродинамическими
силами, g — ускорение силы уЯ/kccih.
§ 2. СУВОПТНМЛЛЫ1ЫЕ ОБРАТНЫЕ СВЯЗИ
497
Предположим, что движение совершается в сильно разреженной
атмосфере при небольших скоростях, так что аэродинамические си-
лы во время всего полета малы по сравнению с силой тяжести. От-
брасывая их, легко найдем порождающее движение. — движение точ-
ки и подо силы тяжести:
х {!) «— х (0), х (Z) >— х (0) I 4- х(О),
У (0 = У (0) — gZ, J/(0 = .'/(0)+'/(O)Z —
Требуется теперь выяснить закон изменения аэродинамических
сил, обеспечивающий наибольшее приращение дальности полета до
точки с заданной высотой, т. е. максимизировать x(t,) при ограни-
чении y(ti) = y' и свободном выборе I/.
Чтобы подробнее проиллюстрировать общую методику и выде-
лить характерный малый параметр, запишем уравнения движения
в стандартной форме, и притом в безразмерных величинах. Имеем
dx “ dx ~
dr,
^7 = — ИРУ’ («) *з + («) «J. (2.22)
Лг
—5 и _ 1 |ipu- [С(, (Н) хя — Сх (к) ,r,J,
где введены обозначения
г . х у 1 '
*! = —£’ *2 = 2 i'* = 7“ *Г’
О l-‘rj . О
( • - о >
Т’1 — — Уу V* = 2’з -|- XJ,
О
— начальная скорость, р — плотность атмосферы (заданная функ-
ция высоты, т. е. xs), отнесенная к начальной рс, са(и), сь-(и)—ко-
эффициенты сопротивления и подъемной силы, которые являются
заданными ограниченными функциями упраилеппя— угла атаки и.
Безразмерная величина
предполагается существенно меньшей единицы (S—характерная
площадь аппарат, по отншиенню к которой заданы аэродинамиче-
ские коэффициенты е„ <%).
Поскольку диапазон изменения всех переменных х<(г), i“ 1, ...
..., 4, и основном определен порождающим движением, то при ма-
лом р нетрудно убедиться в малости возмущении как функций вре-
мени при всех т.
3- А. А. ПериизшшскиД
498
ГЛ. 10. СИН1ЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
Примем .для простоты
г, (0)=га(0)= О, #а(0) - cos 0о, а\(0) = sin 0о,
где Оо — натальным угол наклона траектории (угол между вектором
скорости и горизонтальней осью). На конце траектории потребуем,
чтобы -rj(T/)«“0, <t Xi(t/) было максимальным или, что то же са-
мое, 6\J.r(Tj)] -= — х,(т,) было минимальным. Порождающее движе-
ние н безразмерных координатах описывается следующим образом:
5ч “ т cos Оо, .т2 = т sin 0„ — т!/2,
д, = cos 0-., 5ч = sin 0„ — т;
отсюда т; — 2 sin 0о.
Подчеркнем, что удовлетворение граничного условия заведомо
возможно только при 0„ > 0, а поскольку метод возмущении пред-
полагает малость изменения времени процесса, имеющего порядок
р, по сравнению с невозмущенным значением, то, вообще говоря,
2 sin 0О > ц.
Для оценки влияния возмущения вычислим множители Xi(Z)',
/=1, ..., 4, в силу уравнении (2.20), которые принимают вид
£,=0, Х2-о, 1, = -^
С граничными условиями
~ ~ ... ~ cos ()„ ~ ~
. К (Т/) -1, А, (Т/) - х3 (т,) » о, (т,) - 0.
При вычислении граничных условии учтено, что
fSGAI
0),
/у ’ (#ц #41 0» 1) |х=адту} (COS0o, COS0OI 0х 1).
/3(7,Л I ftc I .
\a7) |*=*(T/) “ aT |«-ii(v) = 0’ 0)*
После интегрирования имеем
Х,(т)==1, >-i(r)a etg 0tl,
Ха(т)= —(т — т,), Zt(т) — — etg 0„(т — ту).
Теперь в соответствии с (2.21), (2.22) следует искать прибли-
женно оптимальное управление, максимизируя выраженпе
—Ла[сж(и)#з 1 c„(w)#J + Мси(к)ж, — сх(ы)х4] «=
-=(т — Т/) {[Мц)#4G>(«)#J - etg04Ci,(u)#j — Сж(«)д4]>
§ 2. СУБОПТИМАЛ1.ПЫЕ ОБРАТНЫЕ СВЯЗИ
49<>
или, поскольку т < Т/, минимизируя
G ( «) [-Г1 + Ctg ейх,] — cv (и) [ctg боЖ, — л\].
Последнее эквивалентно мнницизации функции
С (") Д с* (и) — cig (0 + OJ Cv (и),
где введено обозначение
(2.23)
(2.21}
(2.25}
так что 0 — угол наклона траектории в текущий момент времени.
Физический смысл (2-24) ясен: для увеличения дальности по-
лета требуется иметь и мевыпий коэффициент сопротивления, и
большую подъемную силу, а компромисс между этими противоречи-
выми требованиями достигается при минимизации c(w).
Если задаться какой-либо аналитической аппроксимацией аэро-
динамических характеристик, то оптимальное значение угла атаки
и* можно выразить явной формулой. Пусть, например [10.7],
сх(я)«=1 — cos 2н(1 cos 2w, ^(.7)= Zrsin 2«;.sin 2w, (2.26)
ццс к— константы. Тогда нетрудно убедиться, что
< к 10 2м
<2-27*
л _ . я
если -у. 00<-р
Подчеркпем, ч то оптимальное управление найдено как функ-
ция угла наклона траектории, который может быть измерен в
каждый момент времени с помощью соответствующего датчика,
причем для вычисления и*(т) следует знать как текущее значении
0(т). так и начальное 6,,.
Приведенные в (10-7J результаты расчетов показывают, что
закон управления, найденным с помощью теории возмущений, поч-
тя точно совпадает с оптимальным до р = 0,1 и отличается пе более
чех! па 10% при р 0,5. 12
2.4. Гипотеза слабой нелинейности. Одна из самых популярных'
гипотез, упрощающих построение управления, состоит в предполо-
жении о том, что описание объекта близко к линейному
х• — Л.г + Ли 4- р/(.с, гг, Z), г(б5)“х", I < ‘ [/„, Г]. (2.28)
Если оптимизация ведется по лилейному пли квадратичному пока-
зателю, то при малых р могут быть получены простые результаты,
32’
500
гл. in синтез оптимальных овратпых связей
Остановимся подробнее па случае*), когда
‘г
J = f [z’Cr + di I »т (М Q.^ ((/) (2.29)
%
При р »0 имеем дело со стандартной линейно квадратичной
задачей с известным решением
S({)-«- H - K(t}x{l),
где S(t) удовлетворяет порождающему уравнению
.с Лх 4- Ви, ха = х",
а Р{1)—решение уравнения Риккати
-р = РА 4- Д-Р - PBR ЧРР + Q, P(tf) Q.
Естественно искать следующее приближение, минимизируя функ-
ционал на траекториях линейной системы
х = у1х + Лн4- z(i), (2.30)
где
;(/)=ц/1х(/), « {<). И
— известная функция времени.
Решении такой задачи также известно (см. § В гл. 6). Напомним
его структуру. Согласии) формулам (8.28) (8.30) п.< гл. б имеем
p.*(x(l>, I)--/<*(*)я"'(/)-»“’(*). (2.31)
где х,1)(()—решение системы (2.30), A'*(t) определяется только
свонсгпамп ««возмущенной системы, т. с. Л*(/) = A(t), а n,n(Z) да-
ется формулой
rz(i:(O = /?-'/?’.ч(,!(0, (2.32)
причем для вычисления я<1)(?) требуется решить дифференциаль-
ное уравнение
лт-(-4-2?^)тл-гРг(^)=0> л(Л)-0. (2.33)
Поправка к нулевому приближению имеет порядок р и, как можно
при онредслепньтх дополнительных условиях строго доказать I6.fi],
обеспечивает приближение к оптимальной траектории и оптималь-
ному значению функционала с точностью до <9(р2) на конечном
отрезке К, </]. Однако при введении поправки закон управления
(2.31) уже но имеет формы закона управления с обратной связью.
Сама поправка u<1J(£) и текущий момент t определяется (в силу
(2.32), (2.33)) значениями возмущения, вычисленного па порожда-
ющей траектории для будущих моментов на /;]
*) I’я риши опгимпзанни по линейному функционалу хорошо ил.ткгриру-
отсн 112.2, где объект был во только слабо управляем, по и слабо нелииеси.
§ 2. СУБОПТЛМЛЛЫШЕ ОБРАТНЫЕ СВЯЗИ
50!
Иначе говоря, вычислить поправку можно только при наличии
полной информации о начальных условиях и возможных изменени-
ях параметрон.
Применим теперь ото один полуэприотический прием
Предположим, что матрицы параметров Я, И постоянны или ма-
ло меняются, а I, — t„ достаточно велико (н смысле § 8 гл. 6); тпг
да применима схема «замороженных» параметрон, в силу которой
/>(() п л*(!) находятся из алгебраических уравнений
РА + дц> - РШГЧГР +(? = 0, (Л - ПК) л + Pi = 0. (2.34)
Дополнительная гипотеза приводит к формуле
к = -«-'77’р',ж'1'-|{Л-^)т]->Рр/(ж‘>)г _£х(0>, !)]• (2-35)
Остается сделать еще один шаг в направлении упрощения и учесть,
что отклонения истинной траектории от ж'0> имеют порядок р, а от-
клонения от .т:о — порядок рЛ Поэтому с точностью до р2 можно
перейти от (2.35) к закону управления
и = — j\x + (х, — А'.т, f), (2.36)
где
/О» Д/?-•/?* {(.4 _ Ь7СН-1Л (2.37)
Закон (2.36) уже имеет форму нелинейного закона управления с
обратней спя.тыо ин текущим измерениям переменных состояния.
Строгий асимптотический анализ его пффективпостя при больших
пс проведен, однако ясно но крайней мере, что при постоян-
ных /1, /! устойчивость в «малом» положения равновесия авгоном
пой системы, управляемой но закону (2.36), гарантирована.
Пример 2.3. Пусть материал ьпал точка движется в среде со сла-
бым нелинейным сопротивлением. Ее скорость р меняется в соот-
ветствия с уравнением
v = — цщ sign i? + и, v (0) = к’,
где и — управляемая часть ускорения.
Требуется выбрать закон управления, обеспечивающий процесс
торможения на отрезке i<=[0, Г], оптимальный по критерию
г
I (cfv~ + u2) clt rnin.
<1
Составим приближен пос решение согласно (2.36). В данном слу-
чае Р скаляр, удовлетворяющий уравнению Риккати при .4=0,
/у = 1 /1‘= 1, так что Р = q, К = Р = г;, = —1, и окончательно
имеем
и - — qi> + pi'1 sign р.
При использовании такого управления изменение, скорости подчи-
няется линейному уравнению
v + qv = U.
502
ГЛ. 10. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
Таким образом, субоптимальпоо управление эквивалентно вве-
дению линейного сопротивления и компенсации нелинейного.
В таблице показана зависимость относительной потери по функ-
ционалу
*^пр A'pt
j >
•'opt
свя.танпой с применением такого управления но сравнению с опти-
мальным*)
1‘ од 0,3 0,5 1.0
«г 4-10-е 4-10-* 3,3.10-s и — 1, Т — 10. 5,6-10 3
Ясно, что точность приближенного закона вполне приемлема
вплоть до отнюдь пе малого р.«»1, U
2.5. Гипотеза о малости отклонений от программы. Эта гипотеза
близка по смыслу к гипотезе слабой пслинейпости, по ей может
быть придана более универсальная форма.
Пусть объект описывается уравнением
ж “/(*, », i) (2.38)
с «гладкой# нелинейностью.
Пусть известно, что начальные условия могут выбираться толь-
ко из малой окрестности покогорой точки
Тогда возможна следующая схема:
а) рассчитать оптимальную программную траекторию, исходя-
щую из точки .т’;
б) постулировать, что малость начальных отклонении гаранти-
рует малость отклонений при всех tj;
б) линеаризовать в окрестности программной траектории урав-
нения объекта и преобразовать функционал с сохранением слагае-
мых 2-го порядна малости относительно 6x(Z), fiu(i).
Если исходный функционал был квадратичным, а на уиравле,-
нис не налагалось явных ограничений, то соответствующая задача
окажется стандартной линейно-квадратичной задачей относительно
пеплвестлых 6z(t), бн(/}, для которой можно пайтп решение в
впдо
6н(/)=-А(/)бж(/). (2.39)
Ury формулу можно рассматривать как выражение обратной связи
•) Расчет здесь и и 11.2.4 проводился Л. А. Сухановым, причем для поисля
оптямя.тынло управлении использовался метод решения краевой задачи прин-
ципа максимума, описанный им в [9.20],
§ 2. СУЕОПТПМАЛЬПЫЕ ОБРАТНЫЕ СВЯЗИ
503
по отклонениям от программы. Поскольку сама программа зависит
от начального условия Xй, то и A-’(t) также зависит от х°.
Несмотря на самое широкое распространение, описанная схема
не имеет строгого обоснования даже в асимптотическом смысле.
Можно лишь подозревать, что если управление (2.39) имеет стаби-
лизирующий характер, т. с. обеспечивает сближение возмущенной
и порождающей траекторий, то метол применим. Напомним, что в
;иом и состоит эвристическое существо применения липейно-квад-
ратвчиого подхода к решению реально нелинейных задач. Глад-
кость нелинейностей и отсутствие явных ограничении па управле-
ние или фазовые координаты являются здесь обязательным усло-
вием.
Вместе с тем представляет большой практический пптсрсс сле-
дующий частный случай. Пусть система линейна, функционал
квадратичен, но на управление (для простоты, скалярное) наложе-
но ограничение.
Требуется решить задачу
•= Ах + х (0)=| и (<) |
Как было указало в § 3 гл. 9, явного выражения оптимального уп-
равления получить не удастся. Пусть, однако, допустимы лишь ма-
лые начал....... отклонения от желаемого состояния .т(0)=0. Обо
значим их р.г* и лнодс.м повыв переменные, ио.таглн х(/) •“ р.с (/),
п(() •рн(<), считая чем самым, что малы и отклонения от нуля но
всей траектории В новых переменных 1адача принимает почти та-
кой :ке вид
г 7:> _ _
min ш2 j -f- ua] dt!, х =» As 4- Ли, х (0) == л”, | н (0 К
* Г|
Очевидно вместе с тем, что при малых р ограниченностью управ-
ления можно пренебречь и решать стандартную ЛК-задачу, полу-
чая при р. = 0 н (i) ==• — Айр(х (t). Иначе говоря, показано, что линей-
ное прпб.чнж’енпе является решением порождающей задачи. Следу-
ющее приближенно позволит учесть огранпчеппе
[ u'1^ A'cpt^(t)>u'1H(),
й(1> (0 = — А„1Нх (Z), | A'optx(Z) 1 < р~‘«о,
I — ii-1nui A'OptX (t) < и~Ч-
Возвращаясь к исходный переменным, получаем закон управления
в виде усеченного линейного закона
и (f) •=
— Aopix(/)
| (/) | rrn>
7xvpix (Z)
504
ГЛ. 1(1, СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
который можно рассматривать как разумное приближенно к опти-
мальному закону управления. Хотя опять-таки асимптотические
оценки отсутствуют, эффективность приближения несомненна,
о чем, в частности, свидетельствует следующий пример.
Пример 2.4. Рассмотрим влдачу
min
г
-|- Wa) Л/Х, - Z2, 3’2 “ M, .1-! (0)«- xj, xa (0) = o. |« (0 | '^
о
Для этой задачи было найдено оптимальное значение функционал;*
численным методом с высокой точностью и значение, соответствую-
щее приближенному закону управления. Относительная погреш-
ность 6j указана в таблице (расчет велся при Т = 15,55)
г?'Ч 1 10 15 20 30 50 100 1000
6J 0 7.10-я 4-Ю-2 9.10'3 0,17 9-Ю-2 2-Ю"1 0
Результаты демонстрируют поразительную эффективность, и
притом пс только при малых отклонениях — почти во всем .диапазо-
не начальных условий погрешность практически несущественна. О
2.6. Гипотеза о разных скоростях измене инн переменных состоя-
ния. Эта гипотеза формализуется в виде следующего описания объ-
екта (см. § 3 гл. 8):
х = Л (z)z + B(z)и + р/г(г, z, u), x(0) = x°, .
z*=f*/»(2, и), z(0) = z\ (2.40)
где р — малый параметр. Ирл р = 0 имеем порождающее решение
z (I) - - z°= const, х =- А (г°) ж -Р В (г1') и, з: (0) = х°,
Решив задачу оптимизации, например, по квадратичному кри-
терию для линейной порождающей системы, получаем для пее уп-
равление в виде обратной связи
u(l) = -K(t, 2-)x{t).
После этого в качестве управления для исходной системы кажется
приемлемым паять закон
«(?) = -/ф, z(Z)k(O. (2.41)
гдо вместо иосгояного параметра t° введен наблюдаемый медленно
меняющийся процесс z(t), а имеете решения порождающий систе-
мы .r(t)—наблюдаемое состояние.
Конечно. этот результат относится к числу наиболее рискован-
ных эвристик. Для того чтобы продемонстрировать возникающие
6 2. CyilQI ITIlMA.’JbHbTE ОБРАТНЫЕ СВЯТИ
505
здесь опасности, приведем результаты строгого асимптотического
анализа для более частного класса задач.
2.7. Гипотеза квазпстатичиостп для непрерывных систем. Рас-
смотрим задачу управления системой
х-/(Л'О. x(fc)-x". (2.42)
«Де управление выбирается с целью минимизация показателя
j (о} —j-— | g0 (х, и) <11. (2.43)
Если интерпретировать g„(x, в) как интенсивность текущих затрат,
то показатель (2.43) определяет среднее значеппо затрат за время
работы системы.
(’начала проведем «правдоподобные» рассуждения.
Предположим, что при любом постоянном управлении в(()’«
= и = const с допустимыми значениями в объекте устанавливается
стационарный режим .с = const., удовлетворяющий статической связи
/(X, и) = 0. (2.44)
Будем также считать, что время практического установления f мно-
го меньше времени, на котором оценивается работа системы, т. о.
Перейдем в (2.42), (2.43) к безразмерному времени
7 и
Тпгда получим
I
И *0, J } = j [ж (т)’ и (т)](2.45)
Г! качестве разумного приближения можно принять ц = 0, т. е.
решать задачу минимизации
1,
J {“} = I* 'Ъ<н
о
при статической связи (2/i4). что эквивалентно решению задачи
min {g„ (.г, н)//0(.г, н) 0). (2.40)
l*sb*
Если ff(x) есть ЗПЛЧ0НИ0 U. .ЧССГЙВЛЯЮНЦ'С 11 (2.40) минимум при
S', рлссм.41 рпваемом как параметр, то, оппть-таки предполагая бли-
зость цстицной траектории .с(() к х в течение почти всего времени
50G
ГЛ. 10. СППТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
работы системы, можно принять и = й (х) в качестве закопа управ-
ления, претендующего па близость к оптимальному.
Эти типичные для предшествующего изложения «правдоподоб-
ные» рассуждения можно в некоторых ситуациях строго обосно-
вать *).
Теорема 2.1 {10.3). Пусть ц^х. н) выпукла по х и и удовлетво-
ряет условию Липшица па любых ограниченных множествах. Пусть
система описывается линейным уравнением
х = Ах +• Ли + (2-47)'
еде А, В, постоянны, причем А гурвицева. Пусть и, х — решение
статической задачи
min {gr,(х, и)/Ах + Ви + /<, = 0, не L'}. (2.48)
Тогда на любом кусочно-непрерывном управлении u(t) со значе-
ниями из выпуклого ограниченного множества U, удовлетворяющем
условию
«/
f-4r (2.49)
1 °:;
и, в частности, на постоянном, управлении u(t) = u значение, функ-
ционала (2.43) отличается от оптимального не более чем.
на <7(jx).
Теорема показывает, что для лнпоппо-пыпук.тых задач переход
к ста гике даот управление, обеспечивающее почти оптнма.чьпоо зна-
чение показателя «средних затрат» на большом отрезке времени.
Казалось бы, имеется прочное обоснование для описанной об-
щей эвристики. Одпако, вообще говоря, недопустимо переносить ио
аналогии частные результаты на общую ситуацию. Убедимся в
этом на простом контрпримере.
Контрпример. Пусть объект описывается скалярным управле-
нием
X — — X 4- U, X (0) =а X3,
и требуется минимизировать
т
j=4-J x*dt
Cl
при ?’>1. Допустимыми являются управления, принимающие
только одно на двух значений ±1,
Если исходить из статического приближения, то управление
дол ж но обеспечивать
inin{x7—хЧ- и = 0, и = ± 1}.
’) Дяльиейицс теоремы 2.1—2.3 установлены В. Г. Гаицгори.
g 2. СУБОПТНМЛЛЬНЫЕ ОБРАТНЫЕ СВЯЗИ
507
Очевидно, что оба допустимых значения равносильны и дают
прп больших Т одно и то жо значение функционала
Лт“1
Однако замшим, что одно ия условий Т.2.1 ио выполнено: мно-
жество V допустимых значений управления по является выпуклым.
Попробуем использовать другое управление u(l) (—l)', Л’Л
( ч.: (4+1) А. к *=* 0, 1, .... т. е. кусочно-постояппоо управление,
периодически переключаемое с одного допустимого значения на
другое.
При применении такого управления н системе быстро устанав-
ливается периодический режим. Ясно, что с уменьшением Л раз-
— мах колебаний #(/) уменьшается (инерционный объект слабо реа-
гирует па высокочастотное воздействие).
Нетрудно подсчитать, что Ли} ~ А и Ли) -* 0 при А 0.
Таким образом, оптимальным является новее не постоянное уп-
равление, а управление в скользящем режиме при сколь угодно час-
тых перек-почепиих с одного допустимого значения на другое. □
Ситуацию, списанную в контрпримере, обобщает следующее ут-
верждение.
Теорема 2.2. Пусть еыпплнепы условия Т.2.1, за исключением
того, что множество U состоит па конечного числа допустимых то-
чек и,, и;, ..., нл-. Пусть conv|Hlt ..., u.vJ — выпуклая оболочка U,
т. е. множество, состоящее из любых точек, представимых в виде
N
и = Х.щ, (2.50)
t-г
гое 7_{—произвольные неотрицательные числа такие, что
Л1
М /ч - 1. (2.51)
i 1
Пусть и — решение задачи
minlgo (.т, к)/Ах -I- Ви + f0 = Q, » — codv [щ, ..., ид}}, (2.52)
Тогда асимптотически (при I,— tc-»-<») оптимальным в задаче
(2.43), (2.47) является скользящий режим управления. при котОг
ром для любого конечного А > 0 обеспечивается условие
л
-L j u(l)dt ~и. в
о
Неныиуклость задачи часто приводит к тому, что оптимальным
установившимся режимом является по режим л— const, u —const,
а периодический пли даже более сложные режимы.
Теорема 2.3. Пусть разыскивается управление н(/) со значения-
ми в ограниченном U, минимизирующее показатель (2.43) на
ч
508
ГЛ. 10. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
траекториях системы
x — Ax + f(u)t ^(0)“=^’.
Пусть р<.(х, и) удовлетворяет условиям Липшица на ограничен-
ных множествах. Тогда асимптотически, оптимальным (с. тачпосгыо
(,f> j но значению показателя) является периодическое
управление
м(?)=ц(г + Г,.}, ii(t) — ti(t), Ze[(», 7’„], (2.53)
если и только если 7\, и м (t) являются решением задачи периоди-
ческой оптом и ;<а ц ни
min
т
л
— go «) = 4- / (и). и (0 С U, х (0) =х (Т)
о
Я
(2.51)
Отметим, что в задаче периодической оптимизации начальное
значение х(0 ле фиксировано. а выбирается из условия периодич-
ности.
Конечно, частными случаями решения задачи (2.54) являются
и постоянный и скодыинцин режимы, ио возможно и отнюдь не
редко, что оптимальным является непостоянное периодические u(t)
с конечным периодом.
Пример 2.5. Пусть минимизируемый показатель качества имеет
11 ид
ti
J (ц.) = — | [а — у-у~ + мг| Jr,
a y(t) задается уравнением
(2.55)
У + 2поу + о>“у = и,
«о<Цъ
т. е. у(1) является выходом осциллятора с малым демпфированием.
При статическом управлении минимум функционала достигается,
если принять н = 0, у = 0 (предполагаем, что q < <a„). При ;ггом
Лц} = а. Вместе с тем ясно из вида подынтегрального выражеиии
н Ли}, что функционал будет улучшаться, если будет увеличиваться
средняя мощность управляемого процесса.
Если использовать управление вида
!?(/} = « cos
т. е. аастаннть обч.ект работать в резонансном режиме, то можно
добиться больших колебании па выходе < амплитудой > < — п сред-
ней мощностью опа чеши.» функционал* (при t; -—) легко
§ 3. УПРАВЛЕНИЕ ПГИ ПКДЕТЕРМИНПГОВАППЫХ НОЗМУЩЕПИЯХ 509
вычисляется:
При милов демпфирован!!)! получаем улучшение по ершиошив»
со матпчргкнм управлением. причем ул_> ннеиие шрэпичепо толпы»
допустимым диапазоном уприпленил. LI
Несмотря на упрощенный характер исходной постановки в при
мере 2.5, она отражает важную особенность управлении многими
технологическими процессами. где текущие затраты невынуклым
образом зависят от выходной неремеппоп, а частотная характери-
стика преобразования «управление — выход» пемоно гонка, имеет
резонансный характер.
В таких случаях выгодно не стабилизировать объект, а заста-
вить его работать в резонансном режиме. Этого можно добиться и
периодическим программным управлением и с иомощыо обратной
связи, переводящей объект в режим автоколебаний (е П.2.5 можно.
например, взять и = ку'г)^ к>0).
В заключение подчеркнем, что к правильному результату в при
мере мы вновь пришли на «прачдоиодобпых» эвристических сообра-
жений, однако эта эвристика основывалась на более четком пони-
мании особенностей задачи (с формальным рассмотрением проблемы
оптимальных периодических управ iijouii можно познакомиться, на-
пример, ио работе 110 10|, хотя результаты можно получить и са-
мостояте.илю, пснолыуи общую методику принципа максимума).
§ 3. Управление при иедстермипиронанных
внешних возмущениях
3.1 Оптимизация по ожидаемому и гарантированному результа-
ту. Сохранив в основном постановку задачи управления дискретной
системой, принятую в § 1, внесем в нее один новый элемент. Будем
считать, что описание объекта дано в виде*)
4Л+1] = ед/с], гф-]), fc = 0, 1, .... (3.1)
где {ы?[А:Р — априори неизвестная последовательность, которую
можно трактовать как внешнее возмущение. Иначе говоря, в опи-
сание. вносится элемент неопределенности. Даже если фиксированы
начальные условия, мы не можем точно предсказать, какой окажет-
ся реакция об'ьекта на управляющее воздействие 1гг[А.-]1. Пусть по-
казатель качества принят в виде
'‘Г1
J - /М-г|А- 4 1|."И1)- (3.2)
Л=1»
♦) V оглвчве от § 1, явная зависимость от времени Л- функций многих ар-
гументов здесь для удобства отображается индексом.
510
ГЛ. 10. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
Очевидно, что нельзя предсказать точно и каким окажется показа-
тель качества, если принято то или иное управление: его значение
зависит и от неуправляемого воздействия. Символически запишем
J Ли, re), (3.3)
где иод м, К’ подразумеваются совокупности всех значении w|A*J,
п'[А| соответственно. Постановка задачи оптимального выбора управ-
ления из усл<..я минимума (или максимума) показателя J, вообще
говоря бессмысленна: управление, паилучшее при одном возмуще-
нип. может быть плохим при другом. Фактически мы сталкиваемся
с наличием множества показателей качества управления, различных
при различных «?. Дли четкой постановки задачи оптимизации сле-
дует па базе этого множества построить один, сводный показатель.
Наиболее часто используются два. варианта построения. В первом
варианте предполагается заданным множество И7, которому могут
принадлежать возмущения да. Пусть, для - определенности, жела-
тельно прп любых ю выбрать и так, чтобы Л?г, и?) принимал наи-
меньшее значение. Тогда при фиксированном и значение показате-
ля не может быть хуже, чем
Js {и} д яир (.Т {и, да)/и> е II']. (3.4)
Иначе говоря, /Ди) показывает, каково гарантированное значение
исходного показателя при заданном и н любых возможных to. По-
этому, если в качестве сводного показателя при пистиповке задачи
оптимального выбора управления принимается деловая функция
/4(м), то говорят об onniMti.tatfuti гарантированного результата.
Во втором варианте дополнительно предполагается, что на ч>
задана вероятностная мера, или, что то же самое, предполагается,
что да является совокупностью случайных величии да|/»] с реализа-
циями нз И', и известно их совместное распределение вероятно-
стей 5s».
Тогда в качестве сводного показателя можно использовать
функцию
/Дц) = Mj/{u, да)], (3.5)
где /А,., означает операцию вычисления математического ожидания.
Управление и, доставляющее паилучшее (минимальное) значение
J«{u), называют оптимальным по ожидаемому результату, или оп-
тимальным в среднем.
Подчеркнем, что нельзя указать никаких формальных принял
отбора того или иного сводного показателя *) в конкретной зада-
че— это дело интуиции постановщика задачи. Вместе с теу очевид-
но, что невозможно использовать показатель (3.5), если отсутствует
априорная информация о вероятностных характеристиках возму-
щений.
•) Существует к ряд других способов формирования сводного показателя
(см, аапрпыср, [4.7, гл. 3J).
§ 3. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ПГДЕТНРМИШ1ГОВА1ШЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ 5Ц
Дальнейшее рассмотрение проведем в рамках дополнительной
гипотезы о нспрпгнпяируемосги значеиий ш|А] в различные момен-
ты /г. Если и’[/г] — случайные величины, то свойство пепрогпозируе-
мости совпадает со свойством пезанисимостп этих случайных вели-
чин и совокупности*). Обозначим функцию распределения
п'[А‘]; тогда
7>Пл. (3.6>
Если для ж[',] задана функция распределения то будем исполь-
зовать краткое обозначение гг[А] е- SP*. Если ю[А) не случайны, то
непрогнозируемое™ означает, что знание конкретных значений, ко-
торые приняли возмущения к < т. по дает никакой дополнительной
информации о возможных значениях н?|7с1 яри Пусть И'\—
множество возможных значений н’|&]- Тогда множество И7 возмож-
ных значений всей совокупности {wf/cj} есть произведение IFi,.
Примем, как и в § 2, предположение, что в любой момент т
от датчиков информации поступает значение вектора ж[т]. Строго
говоря, этот вектор может быть назвал вектором состояния объекта,
только если выполнена гипотеза о непрогнозируе.мостп возмущений.
В противном случае знание предшествующих значений х[А], к < т,
могло бы улучшить прогноз будушпх значений возмущении, а сле-
довательно, и поведения обт.екта. Час го говорят, что из пепрогио-
аируемисти следует мпрковост), оипсаипи объекта (см. § 1).
Таким образом, класс возможных законов управления с обрат-
ной связью может быть ограничен функциями г/ч(х[А|) со значе-
ниями из заданных множеств (У*. Оптимальным законом управлении
пазовом такую функцию «»<(х|А|), для шпорой соответствующий
С1к»дный показатель достигает наилучшего (минимального) значения
при любых начальных состояниях ,г[0]. Подчеркнем, что это значе-
ние, вообще говоря, лучше, чем достижимое при любой возможной
программе управления, т. с. заранее (бел использования текущей
информация) построенной последовательности {w|A‘J}, даже если
известно г[0], Это достоинство обратной связи прп управлении в
условиях неполной определенности подчеркивалось и течение всего
курса.
3.2 . Уравнения динамического программирования. Для построе-
ния оптимальных законов управления с обратной связью в принци-
пе возможно использовать метод динамического программирования,
детерминистским вариант которого был описан в § 1.
По аналогии введем и рассмотрение функции двух типов:
А. Жг(х)Апйп (<pj.(.r, Ц|А]. Аг>т)/м |А] « L’k, А^т|« (3.7)
II
Б. 5?с(т)Д min [<jv(.r, н(А], T)/u|/f| <= А:^т], (3.8)
К
') Часто используется также термин «дискретный белый шум».
512
ГЛ 10. СИНТЕ;? ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕН
где
*/-» 1
<pj = stip V, ^А(х(Л:+1|, u[A ])/r<’(A]eHzA, Аг>тк (3.9)
UI А^-Х
[А/-‘ ]
Ч> - м!р V gri (х(/с + 1 ], ц I A]).W1 <= -Л (w), Аг>т . (3.10)
I*-* j
В обоих вариантах предполагаем, что величины т|А] вычислены
в силу (3.1), начиная с rfr] х, где х—ироизпольнын параметр.
В точности повторяя рассуждения из § 1, можно прийти к ре-
ку р реп Ti 1 ы м сооти о шеи ия м:
A. ^T(z) = min sup {gT Ит(*, и, «•), «] + (я, и, и?)]},
(3.11)
Б. $г(х) = min и, и>\ к] -t- $т+1 [^(z, ut u>)j}.
и=-\
(-3.12)
Оба уравнения одинаковы но структуре и отличаются лишь заме-
ной операции вычисления верхней грани по множеству возможных
впадений возмущения (в текущий момент т) па операцию усред-
нения но атому множеству с учетом заданной функции распреде-
ления.
В обоих вариантах можно принять одинаковое граничное усло-
вно
$,7(х) = и, (3.13)
отталкиваясь от которого, производится рекуррентный пересчет.
Находимое на каждом шаге рекунрепции оптимизирующее уп-
равление «с зависит от произвольно заданного на уровне х состоя
иля в момент т. а следовательно, решение может рассматриваться
как оптимальный закон управления с обратной связью по состоя-
нию, которое, как предполагалось, точно измеряется:
ч* = at (х) = и* (х [т]). (3.14)
Задачи, в которых рекуррентная процедура осуществима в анали-
тической форме, можно пересчитать но пальцам. Приведем класси-
ческий содержательный
Пример 3 1. Управление запасом при неопределенном спросе*).
Пусть скалярная величина ж[А‘| обозначает .запас продукта на сила
де в начало такта к, tr[A]— объем спроса, н[А] — убьем поставок
на такте А:. Тогда
z|A--I-1]-t[A]-1-h[AJ-HA], к 0. 1, ... (3.15)
•) С углубленным анализом згой проблемы можно познакомиться, напри-
мер, по книге [4.6, гл. 4J,
6 3. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ НЕДЕТЕРМИНИТОБАППЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ 513
Предполагаем, что спрос является неотрицательной случайной ве-
личиной с известным распределением вероятностей, а объем поста-
вок — управляющее воздействие, причем по смыслу i/fft] 0.
При случайном спросе, вообще говоря, нельзя гарантировать,
что л|А]>(). Условимся, что при л|А]>0 величина г|А] имеет смысл
количества продукта па складе, а при г|А‘|<0 величина -л|А]
имеет смысл долга, который со временем следуот погасить. Затра-
ты, связанные с работой склада, определяются оплатой поставок,
затратами на хранение и штрафами за задержку в удовлетворении
спроса. Примем, что затраты аа один такт равны
е*(х|А-4- 1].НМ) = Ь«Ш -Ь
hx [А 1],
— vx[k + 1]г
а?[А: 4- 1] ^0,
я [A + 1] ^0,
(3.16)
где ?., Л. v — заданные положительные коэффициенты, имеющие
очевидный СМЫСЛ,
Требуется минимизировать суммарные (за время [0, Л.,]) ожи-
даемые затраты путем выбора закона управления е. обратной связью
по измерениям запаса.
Принятые предположения позволяют записать для данной зада-
чи соотношении (3.12) в виде
1 (*) - «»'» {Ам -1- J, (I/) -|- Mul(t].^r, J (у — и? [Т1)}<
где у Л .г 4- rz,
Jt (у) л мк,1и {к max (л(т 4- 1 ], 0) 4- v max (— а- |т 4- 1 ], 0)} =
=> Mw[i) {А шах (у — ш [ г]. 0) 4- v шах (— у 4- ю 1т], 0)} =-
= л j (.7 — «0 ЛТ’сди (“') 1 ({/) + V | (м? — у) («)-
0 У
Нетрудно проверять, что /,[//] являются выпуклыми функциями.
Для последнего такта имеем
Я, - j (я) — пив )лм -|- J,, ,_j
1 1<>е 1 z
Су) ] — min р.у-|- (у)] — кх.
(3.17)
Минимизируемое выражение является выпуклой функцией п достигает мини-
мума либо па границе (у = ж), либо впугри допустимой области а точке
Рл;-1, y,’iOH.iei поряющеи условию
J'hr, (v^
где пп рахом обозначена операция ;и|ф|]1орг||ци[ХЛ1аипи *).
•) Если функция распределения является .тиффереицпруемой, то У, (у)
также дифференцируемы.
33 а. А. Псриозваискнй
51 i
ГЛ. to. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ OEPATHf.IX СВЯЗЕЙ
Таким образом, оптимальное управление на последнем такте дается фор-
мулой
°- п
и* [А, — 1 ] « ф *
_ х [fc/„ t ] 4- !fhi_v z [А/ - 1 ] <
причем
[ 4,-1 W’ v
(х) = । , ,
1 ( — ?•*+"1* %-! (^fty-l)» x^!,hl-r
(3.18>
(3.1о>
Функция j (*) непрерывна и выпукла на всей оси х.
По индукции можно показать, что все функции ^,(х), т к/ — 1, обла-
дают теми же свойствами.
Дспствптсльпо, обозначим
оо
GT(rf — /т(у) +Ma[TjAn __Ц7 М) =Л to) — f ^т+1 Су—
О
(3.20>
Функция Gt(p) является выпуклой, как сумма (интегральная) выпуклых:
функций.
Поскольку
Ят (х) = — Хх + min р.у -г Gt
то, повторяя проосдеппыо при т = к/—1 рассуждения, приходим к установ-
лению выпуклости 3?,(1') НО X, ЧТО ДОКПЛЫПЛОТ СОрапеДЛИТин'Т!. индуктивного
предположи кия.
При згой выявляется и структура оптимального управлении па
любом такте:
и* [т] =-
О,
—а[т]Ч-//*,
(3.21)
где у* — корень уравнения
Полученный результат содержательно интерпретируется следую-
щим образом: для каждого момепта г существует фиксированным
уровень Ухл зависящий только от априорных данных X, A, v,
такой, что если запас на складе выше j/T, то продукт поставляться
пе должен; в противном случае поставка должна быть таком, чтобы
дополнить имеющийся запас до уровня !/(. □
Вместо с тем закон управления (3.21) является законом тина
отрицательной обратной свяли по состоянию, представимым кусоч-
но линейной функцией (рис. 10.3)
w*[tJ —-/(a:[tj)
(обратная связь линейна в пределах допустимой области н|т]>
^0). О
§ 3. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ 515
3.3. Линсипо-квадратпчпам задача. Рассмотрим далее проблему
оптимального управления линейной дискретной системой общего
вида
а[А- 4- 1] = ЛДА] + /Мр] щ[Л], xfOj = х’, (3.22)
где х|А]—вектор состояния, н|А]— нсктрр упраплспнп, гг[А-]—век-
тор возмущений, /1, Л — заданные матрицы
(возможно, зависящие от к). Пусть показа- /
тель качества издан в виде (3.2), где /
Ы4* + 1], н[М) - хДА + 1 |C>x[ft -I- 1] +
+ itT[fc]/?H.pc], (3.23) / !
—------Г----------- %--
причем (?Э=0, Н > 0 — заданные матрицы, ‘г рпс ^03
также, возможно, зависящие от к.
Предполагаем, что на выбор н|й] явных ограничений по наложе-
но, а гс|А:] является последовательностью взаимно независимых
центрированных случайных векторов с известными дисперсионными
матрицами /Хпщ.
Уравнение (3.12) может быть записано в виде
(.г) = min ((/lx 4- 7?м)г(? (-'4х + Яи) I и'Ии 4-
4- М^Ит^И) l-M„.|tl{$t+1 (Я/ | Ни -|- »;(!])}]. (3.24)
Используем магрнчнос iipe/iCT.-HMicinii)
|T|<?fo|T]} ’ 1г{А>«,|г/?} Д Рг
« учтем, что это слагаемое по зависит от х, и.
Для последнего такта имеем
^k,-i (х) •= ,Joiri [(-'Iх Ь #и.)т()(/1х + #«) 4- uT7?w] 4- jisri.
u
У1ппиуум достигается при
и = u*[fr. — 1] — —— 1].т.
где
7С*|А-/ - 1] = (Ь,т(?7? 4- 7?)-7ГС-1,
так что
^А,-1 (х) = хТ^ [ А:/ — 1 ] .г 4- !~if
где
Р[£, - 1 ] = (Л *[к, - 1 ])’()/1 *| к, - 1 ] 4- (А'*р, - 11) 7?Л'*[А, - 1].
zl*[A-r— 1| Л /1 — />'Л *|А-, — 1].
По аналогии можно предположит)., что для .'побито к
SCh(х) - г7'[А-].с -I- л|7.]( (3.25),
33’
516
ГЛ. 10. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
где матрицы Рр] и скаляры л[А| должны быть соответствующим
образом подобраны. Это предположение легко проверить с пи-
мощью (3.24). Если опо верно дли А‘ = т + 1, то
Л?.(-/) = min{(/1x4-Z?u)r(<2+ Ит t- 1 J)(z1.r l- Ни) -t- и'Пи} +
u
I щ + tr{/Ahi'J It t- 11} + Л 1-v I- 1 j, (3.2G>
так что минимум достигается при
и = и*[т] — —/<*[' [].Г, (3.27}
где
Я’*[т] = [Ь,т ((? + Р[т + 1])7? + /ф'/Г ((? + Р[т ф 1]) А, (3.28}
и, как и предполагалось, верно (3.25) при к = т, причем
Р[т] = (Л*[т])т(<2 I- Р[т + 1])Л*[т] + (Л*[т])7№[т],
Л* (т) д А — ПК* [т], (3.29)
л[т] =» л[т-г 1] + tr {Z)u[tJ (Q + Р[т I])). (3.30)
Таким образом, устцпоилспо. что
а) оптимальным является линейный запои управления (3.27)
г обратной связью но измерениям текущего состоянии з- 'л(т);
б) коэффициенты усиления Л'*|11 могут бып, вычпел..... щ>
.......... данным с помощью рекуррентных соотношений (3.28),
(3.29), п которых можно принять /,|Л:г] = О. 0;
в) значения ZJ[t]r Л'*[с] не зависит от характеристик иолмтще-
ния;
г) налично случайных, непрогнозируемых возмущений прояв-
ляется лишь в ухудшении оптимального значения функционала на
величину л[0]. определяемую только дисперсионными матрицами,
независимо от формы закона распределения.
Это практически важные выводы. Стоит отметить, что они могут
быть получены и более простым путем, как это делалось в гл. 7
для стационарной дискретной задачи или в гл. 6, § 8, для непре-
рывного аналога нестационарной.
Вместе с тем следует подчеркнуть их эвристическую ценность.
Поскольку закон управления (3.27) оказался том ;ке самым, что
и в соответствующей детермппировашюп ЛК-задачс, то можно по-
пытаться строить субонтнмальпые управления и для вероятностных
аадмч Другого типа (не, являпнцикся линейно квадратичными!), при
нимая :i;i основу закон уiipaii.’ieiiiui с обра пой связью, найденный
ОПЯТ1 таки и дсгермипиропаипоп задаче. Дли ряда проб.'н м (см.,
например, [G.G]) итог прием оказывается исклю'(псльпо удачным,
по кранпеп мере, если случайные возмущения ограничены н имеют
малую дисперсию.
§ 4. УПРАВЛЕНИЕ ПО МЕТОЧНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ
517
§ 4. Упраилепие с обратной екизыо
по неточным намерениям
4.1. Оценка состояния. Откажемся от спирте,:н. о том, что в
каждый момент может быть получена точная информация о со-
стояпнп обкркга, и будем далее считать, что результаты измерения
искажены случайными помехами. Пусть описание объекта дано
рекуррентными cuiirnoHieniiHMii
х [Л: -I- 11 - (х- Г А1. u RD + RL « [О J = .г", (4.1)
где R'R]) — пцс.лс.'юватсяьиость взаимно независимых случайных
(векторных) пелнчнп, дискретный белый шум, /\(-) известные
функции*). Пусть результаты измерения слизаны с состоянием
объекта уравнениями
?/[Ч-фд4/ь])+ад, (4.2)
где ФЛ( )—твестные функции, а {Лг[/,ф— последовательность слу
чайных величин, независимых в совокупности и не зависящих от
возмущений wRl-
Дниоль’италг.по предполагается, что заданы функции распределе-
ния возмущений помех .УЛ(М и начального елс,тшпп1я
(начальное cuciiDiHiio считается случайным и независимым от
{гр] A]), {.V |А]}).
Выбор упряи.ичгин н| 1 ] в любой момент г может строиться iohi.-
ко па основе априорной информации и результатов пзмсреппп, по-
лученных к эглму моменту:
1/'° = {{/(О]. )/[!].г/[т]>,
так что любой закон управления с обратной связью должен пред-
ставлять собой уравнение вида
ф] т = 0, 1................ (4.3)
где Ht(’)—некоторые функции.
Оставив пока в стороне вопрос о том, как выбрать эти функции
наилучпшм образом, займемся вспомогательной проблемой наллуч-
uieii оценки состоянии системы (4.1), замкнутой обратной связью
типа (4.3), по результатам измерений (4.2).
С этой целью попытаемся найти выражения для условных рас-
пределений вектора состояв in з(т] после получения набора ре-
аульгатнн измерений г/4*’, -^ч (->7г/<‘)) или соответствующих ус-
лоппых плотностей /^|,,(j7</!”). Для сокращении ваиис.и примем
•) Оихсликс объекта несколько ущичцепо по сраппепию с . 3. В болсо
полном и общем вило материал, излагаемый « атом параграфа, можно найти
в книг"
з* ' А. А. Цсркозпхискип
518
ГЛ. 10. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОЕГАТПЫХ СВЯЗЕЙ
обозначения *)
ZM1) (^' °) Д Р {X •>) A Л, рхМ (.г) л р {г 10]). (4.4)
Теорема 4.1. Условные плотности вероятности состояния системы
(4.1)—(4.3) подчиняипся рекуррентному соотношению
[ /’/' к 1’1 * I 1 1-11) <!х I Г)
/Ья “= 7~р— ----------------------------------, т — 0, 1, (4.5)
] J (г [<|, Я- |« I f I) <11 hl dx [т Ч- 1|
гРе
МФ], Ф + Л)^Рмч(Ф + Ц-^(Ф], Ф]))Х
X />.',« I п (ф -I-1] - Ф1+, (ф + 1])), (4.G)
а
ркюп ₽д-.с](ио| Ф^кр») _
Ро — ~7- — • (ч. I)
) р к (01) pjV[g1 (у10] — ф0 (я |C]j) dx [C'i
Доказательство. Навомннм некоторые формулы теории вероятностей,
необходимые для пперщтянндл с условными плотностями (см., палрцмер,
[4.8]). Пусть а, 0, с — три взаимосвязанных случайных величины. Обозначим
плотность их сонмеел пою распределения р(п, Ь, с), распределен мн и к Ь ири
фиксированном е через р{«, b/с), распределения и при фиксиреоаппых 1> и с
черт а д(<г/?д с) и т. д.
Тогда нам иопадоблгея три формулы:
}>{<>, W<) f (М)д(й'?| с) f/Ls)
(формула следует ил определении ус юкнои нсриатпости),
Р («/< ) = lW‘) 1> <11-' (4.9)
(формула получаскя путем лнтсгрпропапия (4.8) но всем возможным зна-
чениям 6),
. «.к.)
1 р (и) f> (bia)da
Формула (4.10) пазмзастся формчхой Байеса и вытекает из тождестда
р(а,1Ъ)р(Ъ) = f>(biu)p(a) p(fl, &). (4.11)
Очевидным обобщением (4.10) является следующая формула;
. ., , ij (а/c'i р fb/a, с) , .
I р (л/с) р (b/а, с) /!а
С помощью при неценных форму.-) шлтроим рекуррентное соопюшепне для
НЛГГ11К1СДСЙ p(j(l |/9<1>).
Пусть издана р (.г|т|/у(т))- Из уравнения объекта (4.1) следует, что
р(х|т | 1]/х[т|, и|т]) «» р11.|,1(и[х | 1] — /',(зг[г|, и|х])), (4.1.1)
•) При нсиолы1ованип coKpiuneinibix обозначений пп следует еанынпть, что
л [т] как иргумеит плотности распределения ужи не является случаиноп iiu.ia-
чипой.
g 4. УПРАВЛЕНИЕ ПО НЕТОЧНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ
519
поскольку при Фиксированных г[т]. п(т) поличина а-[т-г1] отличается от
афт] только фиксированным смещением, что приводит к сдвигу Аргумента
плотности рас.прадр.чснпн кн пиллчспу этого смшцилия. В силу аналогичного
соображения получаем из уравнения (42), что
р{.'/|т4-1]/ж[т + 1]) = р«(т| ,)('/[*-! I И)). 0.14)
Положим и формуле. (4S)
я л'В I 1|, >• =ч y|r I Ч. < = у'-”.
Тогда
дСф I Л. ?/(* I Ч-'у'”) “ д(?1« I + 1|'У°")- 015)
Ahii.toiично имеем
д(х[т1, х[т + 1], гДгЧ- «(T[i|,'y'Tl) X
Х/'(-т[т-г Р:п)г(&[т4- 1].;.«[т1. г[т+ 1]. у'"). (416)
Учтем далее, что в[т] предполагается функцией от намерений у'-'1, и из фик-
сации у’-ч следует фиксация и[т]. Поэтому с использованием 0.13) найдем
р(.г[т—1],'л[т], Р;')) = Ри.<,)(х[т-I- 1J —F,(x[t], гг[т]}).
Равным образом отмечаем, что « силу (4 14)
/'(/h + Ш*[т]. х[т — 1], гр») = д(г/[т-г 11 /jcГт г 11) =
г- МвшМ + 11 — 0\+1(х[г-1-1])).
Тем Самым орания часть 0 16) задана. Интегрируя пи пгремеппои х[т], па-
.ходим
/'(* [т-i- П. »|Т I ll.',7(l’)= { /'(х|т], г|т |- 1|. ,у[т | 1[,'.г/г)) ,Ь. [т|, (4 17)
о с Другой 1'iopiKil.l, В CH.IV 0 1 |)
Рц.1 А 7’(-г|тЧ- Ц.'У(1М’)
_ я*1 т t- U. _ рСг fт I- П. у|г -; н/д<т)> ,
г'(у[Т | 1р/°) | р(х | ( -J- 1], у |T-t- rfx (Т | 1|
Подставлял в (418) выражения (417), (4.16), приходим к основной рекуррент-
ной формуле. Начальная н.тотяость /ь. = р(х[0|/у[0|) также находится с по
мощью формулы Байеса с учетом заданной априорной шогиости р(х(()]).
В качестве паплучшей оценки состояггпя х[т] по результатам
намерений г/1'’ сстсствеппо принять наиболее вероятное значение
х(т], т. е. величину, дастапляющую максимум по х условной плот-
ности pt при фиксированном t/<n. К сожалению, вычисление такой
оценкп в обшем случае сталкиваетси с практически непреодолимы-
ми трудностями, ибо в ходе рекуррентного нересчега />< требуется
проводить интегрирование но ‘in мерной области, причем сохраняя
свободными kfiu параметров (п — размерность х, т — размер
несть ;/).
4.2. Фильтр 1>ыоеи — Кплмипа. В предположепни, что система
является я и пей ной, а псе случайные факторы имеют нормальное
(гауссово) распределение, процедуру построения наилучшнх оценок
состояния удается существенно упростить.
34
520
ГЛ. «I. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОЬРАТПЫХ СВЯЗЕН
Рассмотрим систему
±:|к + 1 ] = И [ Аф|А-] I Л’[А]ы[А: | I- «’[А], я[0] = т°, (4 19)
у|А-] Г|А-ИА-] + Л1А], 7с = 0, 1, ..., (4.20)
где /|А-|, //[A'j, С[А:| — заданные матрицы. вектуры хп, м-|А], Л’|/г],
k* 0, 1. ..., случайны и взаимно независимы, а их нлптпостп рас-
пределении в силу гипотезы нормальности имеют вид
Г 1 j I
рх» (.tj = cn exp I-?2~ (.г — ТПО)Г/Л (•' ~ '««))«
/Мы («) с,,охр [— — u?TZV“’j,
Рлдл] (V) = сл- ехр < — — А'1 Г)у' Л7}.
Матрицы Dq, Z\, L>k являются матрицами ковариаций соответ-
ствующих векторов, причем «ф], A'fZcJ для простоты предполагают-
ся центрированными, а ти имеет математическое ожидание
Коистапты efl, си, с„ известным образом выражаются через ZA, Z)w,
Г)К в силу условий тюрмнроики.
Теорема 4.2. РиспреИеленив вектора саг.толмим Л’[т] линейной
системы (4.19) при условии, чти фиксированы результаты- наблю-
дений у1’1 = (у[0£ .... у|1|), является нормальным, если нормально
априорное паснредсленис начальны.!. условии х", а после.ковигс.-ю-
носги <w[A-|), (Л'|А-|) нвлхются нирма.и-ными в.шимио нвлависимымн.
белыми шумимн.
Наилучшая оценка д[. | вектора состояния, соепаданнца.ч с его
условным, математическим оясидинием, мом:ет быть вычислена ре-
кцрреитнч, по мере получения наблюдении, согласно формуле
фильтра Въюси — Нолмчпи.
ф + 1 [ = А [ф[т] + Л[ ip[r] Ч-
+ аду[т-Ь1]-С’1т^1](.ЛЬЙг1-|-2фНт])}, т-0, 1, .... (4.21)
где
ИО) = D-11Щ(П-гн1с + С' [0] Z)^1//f0|), f
. Z|t] = Z)[t-|-+ ll^1, т = 0, 1,...,
д /ф], т=0, 1, ...,— ковариоционнля матрица оншбок оцени винил
с|т), е|т) л ,г[т|—z[t|, может быть вычислена по априорным
длкнылс с помощью рекуррентных coot исниснии
j) ’[т 4-1] •« (/111]/)|т] Лт|т] I /Л.)-1 I Г'|г-I- 1]Цх‘С’[т 1),
t = (), 1, ...» (4.23)
Z)-1 )0] - D^1 + C'l0] Рл‘С|0].
§ 4. УПРАВЛЕНИЕ ПО НЕТОЧНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ
521
Д а к я л л т с. л l ст п (>. Виодом c<nt|>aiiie»iii-ie обо.чнпчония для условных
влотпостсй
Рт А И-г [t|/.v,u), Pf 1/г Л р{г. |т I- il/i/’O
м докажем, что они нвляшгея нормальными.
Докл:<дтгам*тни пропадем по индукции. Нуги. />, лормальпо. Тогда сира-
недли п<1 предо а вл си «с
/\ < hl мл । ~ h hl — »1 hi)T/>hl (<• hl hl) j. (4.24)
Т.ПС hl. f>hl имеют СМЫСЛ условных' МЯТГМЛТиЧСЛИОГО ПЖИДПППЯ II коляри-
анионной матрицы вектора х[т], a eft]—п«рми)н.ц1очная константа, «aiutwi-
щня только or £Дт]-
Тогда гт|т + 1] в силу (6.1*1} является лииайпой комбипаипгй порипльпо
раси редел е иных векторов и также нормален, а следов ателию, сира пекли по
иродстя плнппе
Pt+ljrt = ch< 1/TJ cxp h h + U — m [T *" 1-'T’)Tp-1 h+ *hl x
X h |T |-11 — м h + ih]?} । (4.25)
где mh+i/т], Л[т+*.'т1 имеют смысл условных математического ожидании
и ковнрийциоипой матрицы вектора ,т[т + 11 при фиксации у|т)
Поскольку, как и ранен, предполагается, что управление. к hl фиксиро-
вало при заданной посаодоватсльпости няб.тюденип y(t), то
ю h I- 1/г) = Л hl ш Iг] + /?hlhl, (4-2G)
а для копарпационпых матриц имю-т мести епп.-ч,
P|i -|- i/rl - Л[1р|т|'1‘ М 1 «и, (VJ)
yc.Tiiiiaii.iniiaoM.iii точно г.-н( лее, кпк йго jiiMa.icci, я гл. 7, § 2, длл копари.'щпй
fieriусловных рагнре.делений
Вычислим далее />ь.д с помощью формулы ljafte.cn (4.12):
-Pt-цА h i- •L'j' h-i-1|. f/'1*)
pU|T |- P G h + H/Ji h + 11. P<T)) ,gj
f PG|T+ n//,))pGh + i]/.Th I ii, y<l>)rfxh-i-i| ’
Согласно (4.20), имеем
Ph + U - <7[т-|-1]х[т+П +Л'[т-Ц,
так что прп фикенронаппом xh+Ч вектор i/[t+11 распределеп пормальпо
с ма томат и ч неким ожижншем С(т -г f]z[i I 1] и ковариацпеи, веншадающен
с ковариацией помехи т. е.
Р (У [т-|- Н/т |т+ 1])
= сл. елр [- 4- (У hН 11 ~ С |т -1- 1J х |т+ *DT/V (У h I-11 -<• [т +1 hh-1-l 1)]-
I ~ )
Учигыпля (4.25), (4.28), можем ariinica~ii
/?141 сежр^—,_L|h h I Я—'«h I- 1Л!>1/> 1 h I 1/‘l X
xhh+il — "i h I ihli + Gh l П —
-ci-i + il^hi i])Tz+/(yh i и -ch + ijzh +i])ij, (Ou)
ГЛ. 10. СИНТИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВНЗЕЙ
где в с отнесены псе сомпотитс.ти, заведомо не ляиисящис от x[r+ 1] (о том
число, зпамгшатсяь представления (4.28))
Выражение и киадрааиых скобках равно
ят|т+11(/>-11т |-1/г] + Ст[т+<|А^'<;11Г-Ь11)г1г । 1|_
-2x’|i 1 «](/?-’|г-|-f/T|/nh I В'Ч l<”[’ I' «IVHt HJ) (4.30)
с точностью до слагаемых. не «ншснщих or ’Iе I 1|, а следоин.тельно, с г<>ч-
постыо до слигавмых того нее типа представимо и виде
(4г + 1J - m|T + 1] )’Р-’(1 1] (х[т 4- 11 - О|[т + 1]), (4.31)
если выбрать oi[t-|-1], У[т4-1] пз условий тождесгвеппого совпадения сла-
гаемых 1-го и 2-го порядка ио z[v+ Ц н (4.30) н (4.31), т. е. принять
D-i [j-]- 1] m [т-Ь 1] Л"1 [г-j 1/т] rn [т+ 1.'т]-г Ст|т-Ь 1] I П,
(4.32)
D-i[T.|-1]=.ZJ-i[t.|.l/T]-|-fT[T-|-ll/VC(r | 1|, (4.33)
Тем самым доклляпо, что из пормальпости рг следует нормачг.пость р-4при-
чем няйдоиы выражении дли т|т4-1|, Д[х-[-1], имеющих смысл условных
математического ожидания и конарпации вектора .'г[т-г1] при фиксирован-
ных наблюдениях ,i/‘ Для запернн-нкя индукции остается доказать нор-
мильпость р0 А р (-с [<H/.V [0|).
Поскольку
Р (г КН) /> (ч [»|/-т К11)
Z'|> /' \У КН)
« с КН ««Р [- 4- КН - '"пУЧ?1 (г к11 - '%) I-
I <6
-I - f.’j 10] - с [0] f кН)тг>й' (У ]0] - с 1<Ч * 10])),
то можно повторить те же преобразования, что и в (4.29), установив и фант
нормальности, и формулы:
В~г [0| m [01 - Ч- Ст [0] Л-Jy [О|, (4.34)
D~l [0] Г)~1 + С г [0] [0[, (4.35)
падающие условные математическое ожидание и коп риацию начального сос-
тояния поело получения исходного наолюдспия р[0]. Отметим, что (4.3'i),
(4.35) можно рнсх'мачрипатг. как частный случай (4.32), (4.33) при х= —1, ес-
л-.1 |[юрмал1.по положить
т[0/— I] = тл Щ0/-1] = 1>о-
Таким образом, и нуктпкноо нридположепне допа дано, причем получены
ргкурронтпыо corn ношения для нсресчгтн уепшшых ыатнмач ичес.кчх ожида
itiiii и коширилции.
Поскольку плотность и<>]>малы1О1Х» paciipcjicaeiHiH р, достигает максимума
и точно т[т], доктор т[т[ лвлистси наиболее вероятным значением пектора
состояния х[г| „осле получения наблюдений р<1>, т. с. m[т] является иаилуч-
1дсй оценкой х[т] вектора г[т] в смысле данного выше определения.
S 4. I'll FA ИЛ HIM It no НЕТОЧНЫМ КЗМКРКПИНМ
523
Осгпптся вывести соотношении 0.21)—0.23)
Ошибка оценивания i| с] - з- М — "»hl яилннтс» цептриропатми vf случай-
ным неккцюм с матрицей [юшфпацпй Л>|тг]. Из (4.27), (4J13) к л ходим, что
» ' (I I 1| = (--1|<|/>|т)Итт I «,„) 1 -1-О,т|с I 1Н>л.'С[г I п,
П ОТО С<><1ГНО111<11111' .’ОННЛДш’Т с (<2.Ч).
С другой стороны, из 032), 0.33) гдедует
m|i | 1| =
-/2[т + 1||(Р 1|т 1| - Ст |т + 1) [t + lj),n |т | |/т|
+ О'1 [т-L 1| | г-|- 1] [ = м |т -|- 1/т] р1) |т+ 11 С1 [т | 1| 0 0 Н- !| —
— m [т4- 1/т]},
что приводит к 0.21), (4.22) л учетом (4.20) и гн|реле.1етшя л-[т] = л«М.
Замечание 1. Условное математическое ожидание т[т] явля-
ется и ннилу'ппем оценкой вектора з’|т] в смысле метода наимспь-
тих квадратен (МПК). Точнее, если Q — произвольная положи-
тельно определенная матрица, то вектор t = с*, доставляющий ми-
нимум функции
Л а) Л м {(.г |т| - (.г |т] -
с.пнпадает c w|i|. Дсшиштелыю, функция Л(£) нмее-г един. iiieii-
in-rii минимум при £ £*, удо11.|<-гвиря1О1цгм услоншо :»кггрему.ми
ЧАШk-1’ - У-><?м {(/11|- о >
-> = М (л.- (11/.0’’} Л IH [ 1].
Замечание 2. Если опенка нектпра д|т] должна ci роиться
по совокупности 11]И!Ц11И.'.ствующнх наблюдений то или lynmcik
(в обоих указанных выше смыслах) является оценка x[tJ, совпа-
дающая с условным математическим ожиданием /и |т/т — 1 ]. Из
(4.26), (4.27). (4.32), (4.33) следует рекуррентное соотношении
типа фильтра Быоси — Калмапа, но имеющее несколько другой вид:
л{т -г 1] = Л[т].?[т] +/?[т]д[т] + £|т](7/[т] — С[т].1:|т]), (4.36)'
где
L |т) = .4 1т] /)|т] Сг[т] D7\ .?]()] = та.
Если матрицы Л. С постоянны и существует единственное но.по-
жятельно определенное решешн ураппспия
Л- = (,4П/1Т |- + СТГ)7'С\ (4.37)
равное l)„f то |3.3|
£>[11->/А, А|1| - А, ./\.Г7)Л-', А [1]-Л - /1/A..6'7a‘.
Отсюда можно пнвестн формулы для стационарного фильтра Вью-
сл — Налмана, иршн денные в гл. 7. § 2. Отметим лишь, что мат-
рица ковариаций оценки £[т] есть /Дт + 1/т] и ее установившееся
524
ГЛ. 10. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕН
винчение связано с соотвошеппями
/).„ л 1 i... /> I г + 1/т] Л/Л..ЛТ + Dw «= I О"1 + (4.38)
Х'«"»
Если И*. удовлетворяет (4.37), то hn, удшиктворнег уравнению
I) А (Л 1 -ь C7j,v,C) '/Г Ч Л„:, (4.39)
которое преобразуете. к виду (2.3G), указанному в гл. 7, сели вос-
пользоваться несложно проверяемым матричным тождеством
(/>"’ + CrDylC)~l = Ь - Ьст(DK + C/i)C)-'CD. (4.40)
4.3. Оптимальные обратные связи. Вернемся к основной пробле-
ме— построению оптимального управления с обратной связью, т. е.
к выбору паилучших функций ит(у(’*)-
Пусть исходный показатель качества задан в виде
/Гу—1
j = X ы*и + и, «[*])-=
Ь—о
'•7-1
= 2 й I/<. (H/d. « I А |) |- Ю [fc]. « Pdl- (4.41)
Ожидаемый результат ври применении любого управления п[/с|*“
мДу’*’) можно оценить величиной
a V М {ДО.1/Ч (Г(А |, и |A-J) + ю|А-|. к ИП/JZ™}
I. л
Л/-1
= 2 f U'ftK'^IA-]. H/d) । к’1*1, «1*1]Рх1Л1(ад/^)х
Л=О J J
X pnw(i>.')djcdiv. (4.42)
Подчеркнем, что оценка ведется с учетом полученных к каждому
моменту наблюдений и используются плотности и математические
ожидания.
В соответствии с общей логикой динамического программирова-
ния введем функции J$c(y(r)), определяемые как минимальные зна-
чения ожидаемого результата, нолучеппого па интервале [г, АД с
учетом того, что к началу этого интервала уже известен набор ре-
зультатов измерений. Действуя но той же схеме, что и в §§ 2, 3,
нетрудно построить рекуррентное, соотвошоппе
.^х('/(1>) — ‘»io М " 1т]) I ю[х], н|т]] |-
-I Ж. (1 (.v(l 11 1 - 0, •. - 1, (4.43)
С вычислительной точки зрения зго соотношение практически бес-
полезно, ибо требует вычисления и храпения функций аргумент
fi 4. УПРАВЛЕНИЕ но неточным ИЗМЕРЕНИЯМ
525
которых достигает размерности mA-.. Однако дли линейно-гауссовых
(ЛГ) проблем с его помощью легко получить важный качостненпый
вывод.
Теорема 4.3. В предположениях 'Г.4.2 (функции Л?,, а слсЛоед-
телыю, и оптимальные управления п*[ г | зависят иг у<1> лишь кос-
венно, черел оценки х|т]*), т. а.
& (?/’”) -адФ,
(4.44)
Л о к а з л г е л ъ с т н о очопмдпо, ноекольку входят в (А-АЯ) только че-
рез условные распределения su)). по таковые, по Т.4.2, являются нор
мильными п ионностью задаются своими средними га[г] = ,с[т] и дисперсион-
ными матрицами Z)(tJ, Последние же ня завися* от результатов измерений п
определяются но априорным данным.
Общая структура оптимальном системы управления представлс-
па па рис. 10.4. Она состоит из линейной части, включающей объ-
ект, измеритель и фильтр Бьюся— Налмана, а также безынерцион-
ного нелинейного преобразователя, вырабатывающего сигнал управ-
ления на основе оценок м|т].
Рис. 10.4
4.4. Теорема разделения. 13 общем случае (при произвольном
показателе качества) характеристика безымерциойиого преобразова-
теля зависит от характеристик случайных факторов. Однако стоит
выделить важную ситуацию, когда эта зависимость отсутствует.
* Теорема 4.4 (теорема разделения). Пусть показатель качества
(4.31) является квадратичным
g„ № + 1 ], u| А*]) = И к + ОДА- + И + “(4.45)
где Q, В — заданные симметричные матрицы Q > 0, В > 0, а явные
ограничения на гг|А] отсутствуют.
Пусть описание объекта и измерителя удовлетворяет условиям
'Г.4.2**). Тогда оптимальное преобразование оценок м[т] в сигнал
управления п[т1 не зависит от характеристик измерителя и совпа-
♦) Величины с такими еннйстпахш принят» нллыинть востатачпыми cut-
гист»нами.
»*) Задачу оитимлльпог» управления. уд«н1лст1н>рню|цую условппм Т.4.4,
Припяти называть лппсждо-кющратнчио-гауссоъой задачей или, сокращенно,
ЛКГ-задачей.
52fi
ГЛ. !П, СПГГТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОПГАТПЫХ СПИЛКИ
дает с оптимальным преОиралоаалисм вектора состояния л"[т] в wfTl.
получаемым при. наличии непосредственных точных данных о со-
стоянии.
Д о к я и а т е. л ь с т по. При выпилнении условий Т.4 2 соот1К>П1ш:н' (4,43)
можно записать н нидн
Л t (ShJ) min I z|tj) | х{т])I. (4.46)
« 1
ГД«
f. = МХц|(МИ1)с,(/1х|г) 4- flu + w(t), »ф|)'хИ). (4.47)
- М,и)МЖ11|{МИ1|Я,+|(41 4- (4.48)
прочем в силу (4.19)4-0.21) *)
к[т т 1] = И-rfi] + Пи +
4-Л[т]с[.4(.г[т1 - -4- 4-£{т[Л'Гг-|-1]. (4.4ft)
Выпишем подробнее. выражение £, с учетом (4,35):
ffr = Mx|t){(.4x[r] + П«)ТС6МТ1 + Я«)£М} + Мвгп(^Чт|<?адГт1} I и^Ни. =-
= (ДзГМ 4- Л«)т(?(л£|т| 4- я«) 4- «ЛЛи -I tr{O[r].4r{M 4- /?»(?}. (4.50)
Сопоставим ото шара же и не с кходшцим п (3.24) пыряжанием ожидаемых «за-
трат» па такт т при точных илмергнннт «г[г|:
?.(«. Й]) =
= миИ1{{4х||| I /;,7 4- и--Гт1)т('(-4 ' hl 4 4- НИ) | «’/г.ч) ~
(Лл|«| 4-/>«)'('(->-Ф1 4 Ни) I «!/,•„ р и{/л„(>}. (4.5!)
Они (:<inita;jpnoT с точпосп.т до ллмены а |1| на его иценку т111 и iniHnaeinlii
дополнительного c.'iaiTH.'Morv, определяемо!о дт норецоциой матрицей />|т|.
Поэтому по anaaoHin с (3.25) будем pexhic-KitiiaTt. функцию 3}Л(Л:|/. [) у вцдо
^л№-1) -2ЧЛ|Р|*Рт 4-л|4-1, (4.52)
причем
0, л[/.7]=0.
Если (4.52) верно при 1с т 4-1. то
(?!’]) - min [i\ 4-м {*г [т + 1П' Гг I П * |т 4- 1|/х Н}1 -J- гё (г -j- 1 ].
U л
(4.53)
С учетом (4,49) имеем
МЙ[Т 4- Ц/'Гт4- Ikk 4- П/х(г |} =
» (.4ф] I- Л-нГ/’И -I- 1К-4-Ф1 4- Г1и) 4 п (^|т]р[т 4-1|), (4.54)
где /Л[т] —дисиерсионнан матрица вектора ошибки яд«.-н«,1^
е 01 Л1 1т + Л — М?|т] -|- Ни)
= Л01СЛ(х[1]-?0|) I /, [т|СН'0]-I /,|Т|..У[Т4 11,
•) Здесь я далее зависимость матриц Л, В, С от т для краткости опущена.
S i. УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЕТОЧНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ
527
состоящего из трех центрированных взаимно пезиьисимых слагаемых, тан что
Мр[т]) — С\
= £[тК(ЛП[^ЛГ.ь^1<?тЛт[т1 .(.AThW.vAM, (/..55)
Иодстяпоикп и (4.53) пр.-дставлсиий (4.50), (4.54) диет
(?|т)) ™ min I (/Ь 1 Ч I Л"}’ (9 I >' (с 4• Н) (-4т [ i| Н“) -I итЯ»]-J-ж |»J,
« (4.55)
гдо
я[т) = я[т + 1| -1-М/Л.С) 4-tr{/A[tR>Ix+ 11). (4.57)
Поскольку (4.50) совпадает с (3.26) с точностью до замены arpi) па ж(т], то
устанавливаем спрапсддивчсть индуктивного предположения, а вместо с ним
и справедливость формулы
и*[т] = —Л'*1т]2[г].
где К*{т] дастся (3.27), (3.28).
Оспсвион утверждение теоремы доказано. Кроме того, (4.37) показывает,
что наличие ошибок измерения приводит к дсишшитслыюму ухудшению
функционала на величину У lr (Z>e (т] Р [т + 1]).
т
Таким образом, мы, наконец, строго установили справедливость
оскшного утверждения линейной теории, которое без доказательства
приводилось и гл. (> и 7.
Ираида, доказательстио дано лишь для дискретных систем ко
избежание формальных сложностей, связанных с. понятием белшо
шума *).
4.5. Эвристика. При решении пелшкчшы.х задач приходится при-
бегать к энрнстическим приемам пост роения обратных связей, п луч-
шем случае претендующих лишь па субоптимальность. Основная
идея проста и содержит два этапа: (и) нахождение субоитимальпых
оценок состояния, (б) использование субонтимальпых алгоритмов
управления, описанных в § 2, 3, где вместо точных значений пере-
менных состояния вводятся полученные на этапе (а) оценки.
Иначе говоря, оешмшаи идея состоит в перенесении факта, до-
казанного в теореме разделения для ЛКГ-запач, на общую ситуа-
цию. Важно, однако, понимать, что теорема разделения в общем
случае неверна. Даже если оба этапа выполнены оптимально, то
полученная в результате их композиции обратная связь, как прави-
ло. неонтимальпа. Поэтому, вообще говоря, ист и смысла в борьбе
ва оптимальность оценивании, если эта оценка используется в коп-
туре обратной связи.
Опишем одпу из практически полезных эвристических процедур,
ориентируясь на непрерывное описание объекта
я“/(т, в, (4.58)
м измерителя
р«=Ф(^)+Л’(()'. (4.5!))
•) Строгое доказательство для систем, ояисмнасмых стохастическими диф-
ференциальиымн уравнениями, можно найти в jli.4].
528
ГЛ. 10. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕН
Возмущение u>(t) будем считать состоящим пз двух компонент:
w(«) = u.’M(Z)+w>.(/), (4.60)
/
причем гщ.(<)— медленно меняющаяся компонент, которая ста ио*
iirticn и вее.гпон в каждый момент примени с помощью моволпп юль-
ноге датчика, а н>п(/) - пснперсдсгпеппо не ппблюдне.мяя 6ысг/и>
меняющаяся компансига. Пусть исходный показатель качества за-
дан В ВИДО
г
j = j ki (г) + gz («)] dl. (4.61)
<1
Управление строится как обратная снизь но измерениям у и toM.
Выделим в управлении также медленную. wKG)» и быструю, u6(t),
компоненты:
м (/) = нк (i) -I- мл (/). (4.62)
причем наложим на выбор ме.члеппой ограничение
Дм, №«) = (), (4.63)
где х« — медленная компонента в таком же представлении со-
стоя имя:
.r(f) ’J-N(/)-l-a-h(Z), [Д,1 <К I.&I. (4.64)
Р> силу уравнений объекта имеет моего связь
Л. +л® =/(А. +пи I н.в, + »’л).
При выборе управления заменим ее на линеаризованную. С учетом
(4.63), (4.64), получим
®п = И „Тл 4- (4.65)
(здесь и далее все производные вычислены при а: = .гИ1 н » н,„
у} = к’„ и использовали упрощенные обозначения для матриц про-
изводных). Произведем также упрощенно показателя (4.61). раз-
лагал функции g<{x), gt{x) в ряд 'Гейлора в окрестности л- .км,
и к-*иы с удержанием слагаемых 2 го порядка:
т г
Ife'i (-г-м) + St («»)] dl j .г„ -I- r/6| dt |
и о
• т
+ 7 j ЬоСм.^и + '*б^с<с4 dl, (4.GG)
О
s 4. управление по неточным ИЗМЕРЕН и ям
529
где
Z?M =
Подчиним in.i6op Г„, трсвов.тншо минимума норного слагаемого
с учетом ограничения (4.63). Эго экиииалеигно ныбору •/«(<) из
решения в каждый момент I задачи
inin {/'([.?«) I -rK1 н«, w„(Z)] 01. (4.67)
Тем самым т„(/), м„(/) могут быть найдены в каждый момент I.
а иместе-ж ними вычислены матрицы .4,,. /?„, G«, Q„, Н„ и матрицы
Ф(хи), См в линеаризованном описании измерителя
У а: Ф (хк) + Си.г0 A'(f), См = (4.68)
Предположим далее, что «’«(Z). —центрированные случайные
процессы с .заданными спектральными спойствами. Тогда возникает
ВОЗМОЖНОСТЬ построить ли-
иейпую обратную снизь,
обеспечивающую минимум
матом а т пче с. кого ож и да н ни
3-го слагаемого л (4.66), при-
чем математическое ожида-
ние 2 го слагаемого обратит
ся в нуль в силу центриро-
ванное’! и тл, Ии. Во изпежа-
нне необходимости исно.чьзо-
рать значении указанных
матриц в будущем придстсн
сиднишчиться приближением,
даваемым методом заморо-
женных параметров. (гл. 6. §
шумами, то линейная обратная
Рис. 10.5
). Если считать гь’е(/), Лг(0 белыми
связь примет вид
мб = — /х¥т0,
— ^я-Tij ’I" 7>’S1U6 + I'll (.711 —
Уб = У-'Ф(-Гя).
(4.69)
где матрицы А’н, строятся с помощью ршиепия матричных квад-
ратных ypainii'iniii типа Лурье — 1’иккаги по известным в каждый
момент матрицам /1М, />и, ... 1,’сли жо пъ>(£) имеет дрооио рацпо-
иальнун.! спектр*лы!уИ1 плотность, то та жо с.хе.ма требует исипль-
ипванпл формирующего фильтра. Описанная аористическая проце-
дура в разных мод'ифпкаципх широко исиользуетс-п па практике.
Ес структурная схема в обобщенной форме представлена на
рис. 10.3.
530
m. to. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
Схема включает дна уровня управления: «быстрый уровень»,
обеспечивающий стабилизацию объекта и борьбу с быстрыми воз-
мущениями и помехами, и «медленный уровень», обеспечивающий
оптимизацию режима, относительно которого ведется стабили-
зация *).
Сделаем три дополнительных «замечания, клсающиеся практиче-
ской реализации схемы
(а) В силу предполагаемой медленности изменения *щ(0 ре-
шение аадячи (4.57) может производиться только в те моменты,
когда обнаружилось существенное изменение по сравиешно
с его значением, принятым в предшествующем решения. При этом
зачастую можно упростить пересчет «уставок» .?«, им, используя
приемы теории возмущении для статических задач оптимизации
[6.6. гл. 1. 2|* **). В соответствии с этим лишь в отдельные момепты
времени должен вестись пересчет параметров бпД|ЛХ, Км, L.J
в законе управления с обратной связью по «быстрым переменным».
(б) При технической реализации расчет устапод п параметров
но достаточно сложным алгоритмам обычно ведется с помощью
управляющей ЭВМ, а выработанные ею сигналы передаются па
микро-ЭВМ или аналоговые вычислители, вырабатывающие сигналы
управления шшрерыппо.
При использований аналоговых пы числителей прпхозится пре-
дусмотреть наличие усилителен с управляемыми от ЭВМ верхнего
уровня коэффициентами. Такт*. пычиглителп обычно нлзыпают ре-
гуляторам» с автоматической настройкой (сю«олосг/;щ1кой) пара-
метрон ***).
Зачастую оказываются работоспособными и более простые си-
стемы, где параметры регулятора выбираются фиксированными но
априорным данным и не меняются в ходе работы системы, хотя
изменение самих «уставок» ведется. Следует учесть, что если по-
мехи в измерениях еще более высоко частотны, чем «быстрая» ком-
понента возмущений, приведенная к выходу объекта (отрабаты-
ваемый сигнал), то целесообразно применение простых схем рас-
чета. описанных в гл. 3. Иначе говоря, для подавления помех пс-
иользуютсп произвольные фильтры с малыми постояппымп приме-
ни, лишь бы они затрагивали только диапазон частот, .характерный
для помех.
(в) В описанной процедуре не учитывались явные ограничения
па допустимый уровень управляющих воздействий типа и(1)с(/,
где (7 — задаиши) множество. При наличии таких ограничений при-
ходится принимать решение о разделении допустимой области на
«зоны действия» быстрой и медленной компонент управления.
•} Медленные коыпошзгггм им, .тм л технической литературе части изви-
вают уставками для «быстрого» регулятора.
••) См. также ниже, гл. 11, 5 2.
♦“♦) См., также гл. If, § 3.
§ 4. УПРАВЛЕНИЕ ПО НЕТОЧНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ
531
Вместо условия
МО+МОе^
ставится условно
щ, («) а/7 <=U, (/,.70)
где I- свнисыиаетсио и U так, чтобы даже при выходе. пи(<) пл
границу f> при решении задач (4.67) с добавленным ограпичсппег,
(4.70) суммарное управление не выходило из (•'. Поскольку иначе,
ДНО Н.;(Г) случайно, ГО МОЖНО Требовать Л11Ш1. малиц HCpOII ГПОСТН
выхода. Однако заранее неизвестны даже вероятностные характери-
стики »Л0- Поэтому задаются лпнн. априорными оценками диспер-
сии компонент «,-,({) и сужают исходную допустимую область, поль-
зуясь правилом «Зя»*).
Подчеркнем, что описанная выше процедура построении закона
управления является чисто эвристической. Какпе-либо оценки эф-
фективности такого закона ио сравнению с оптимальным отсутству-
ют, так что было бы неправильным именовать его .даже приближен-
но оптимальным. Вместе с тем эта и подобные эвристические про-
цедуры широко используются. Зачастую, например. можно считать
известными начальное состояние и некоторую компоненту возму-
щения. Тогда первоначально строится программа управления и со-
ответствующая программная трасктприя из условия минимума
(4.61) при ограничении (4.58), где в <&(t) учитывается только из-
постная компонента. После, этого прои.тподнтсл .тииеарпзания Вадачи
в окрестности программной траектории (в функционал» учитыва-
ются слагаемые 2 го порядка) и решается задача синтеза дополни
тельной обратной свяли но оценкам отклонений пт программы. При
наличии явных шранпчепип на управление вновь возникают опи-
санные выше проблемы сужения допустимой области при нострао-
лпи программы.
•) Несколько более полные рекомендации можно дать лишь для конкрет-
ных задач (см., например, в (4.7] описание сходпой процедуры для задач уп-
равления запасами).
ГЛ Л 11 Л И
МЕГО Д Ы И ДЕ I IT 11Ф11 клцIIII
И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
§ 1. Идентификация объектов управления
1.1. Существо проблемы. Исходным пунктом при построении
заколов управления всегда является математическая модель объек-
та, позволяющая с roil или мной полнотой предсказывать изменение
состояния объекта при приложении к „ему управляющих воздей-
ствий. Выше предполагалось, что такая моде п- заранее построена
на основе теоретического исследовании объекта с нсно.'п.зопанием
известных физических закономерностей. Однако зачастую, присту-
пая н расчету системы, инженер нсслсдонатель вынужден считаться
с тем ибстсштпльством, что указа иные закономерное г и отсутствуют
пли но крайней мере в них входят заранее неизвестные параметры
(маны, ?1Н'сткогти. шкиффицнепты теплообмена и т. и.). Вместо
с том сам обьект, подлежащий управлению. ужо создан в (функцио-
нирует, Причем возможны получение информации о протекающих'
в нем процессах и иногда даже организация специальных воздей-
ствии па обьект с целью изменения этих процессов.
Таким образом, имеются наблюдения (экспери.чешальные дан-
ные}. Требуется на ит. основе построить или. уточнить математиче-
скую модель объекта—такова общая постановка проблемы иден-
тификации.
В столь общем виде Задача, как правило, во имеет эффективно-
го решения, и ее целесообразно рассматривать в более простой
форме: на основе априорных сведений о природе объекта задана
ого математическая модель, однако в модель входит набор парамет-
ров, значения которых еарапее пеи.зввегны и подлежат оценке.
Г> такой суженной формулировке проблема идентификации сводится
к проблеме оценивания параметрон по экспериментальным цаппым,
сщтематически изучавшейся в естествознании и математике со вре-
мен К. Ф. Гаусса, задолго до появления тицнш автоматического
управления. При этом наиболее важные результаты были идлучепи
н рамках математической статистики (см., пяиример. [4.3, 11.10J),
где учитывалось, что результаты наблюдения искажаются случай-
ными погрешностями. Развитие теории управления дало новый
стимул исследован ням, расширив круг моделей, представляющих
й I. ИДКИТИФНКАЦЕЯ ОБЪЕКТОВ УПГАБЛ1ПИЯ 533
практический интерес. В настоящее время имеется огромная ли-
тература, специально посвялплпая проблеме идентификации (об-
зоры см., например в [11.12, 11.19, 11.20]). В рамках данного кур-
са мы Ограничимся лишь кратким описанием ocitomn.ix подходов
и некоторыми примерами.
1.2. Идентификация статических объектов. Начнем с простой
rnnoteai.i: пусть варанес известии, что cocioainie объекта х [/с] опре-
деляется линейным уравнением
д|/с+1] = /?«[*]-!-Gц^й], /с = 0, 1......... (1.1)
где Н/ДАр — внешнее возмущение, a (u[Zr[) — управляющее воздей-
ствие.
Предположим, что матрица G задала, по матрица В известна
по полностью, а задала с точностью до линейно входящих парамет-
ров 0, т, с. заданы лишь Bv. Bt такие, что
В =* В, + В,е. (1.2)
Равным образом будем считать, что и![й] = const, но известны лишь
величины i/’t, iat такие, что
jpf/cJ = ц-о "I* Ц'Д (1-3)
Требуется найти .чпйчвино 0 параметров, попользуй данные о
наблюдениях выхода
y[A]-Cr|A], А--1, 2, ... (1Л)
Матрицу С также считаем заданной. В силу исходных снедений
наблюдения должны быть евлзапы сиитпошсннямц
J/IM м(,.[А-| + <ДШ (1.5)
где
ф1.[А:1 = СЛои[/С-1НССК?г,
’ ср[Й] = С7Ли[А: - 1] Т CGw,. ’ D)
Предположим сначала, что мы не используем управляющих воз-
действий, (такой эксперимент назовем пассивным). Тогда
<рДА‘] = <р-л, <р[А‘] = ф и все наблюдения окажутся одинаковыми,
j/[Aj = y. Для определения параметров 0 имеется только одно урав-
нение
ф0=«/- ф„. (1.7)
Ото линейное. алгебраическое уравнение имеет единственное реше-
ние 0 0, только если
rank <р “ п,1, (1.8)
где Пп — размерность вектора неизвестных параметров 0. В прошв-
ном случае произвольно взятое решение уравнения (1.7) можег
оказаться нс совпадающим с встг.ппым значением параметров, онре-
35 А. Л. ni'Iji.Ci3f.1U'.4:nfl
534
ГЛ. 11. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДДИТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
доляющих поведение объекта. В частности, если у — скаляр, а 0 —
двумерный вектор, то из одного скалярного уравнения (1.7) невоз-
можно однозначно определить два неизвестных параметра.
Введение управляющих воздействий (организация активного
зксперименга) создает новые возможности. Получаемый наблюде-
ния окажутся различными, и для оценки можно использовать ре-
шение системы
<р[*|0 = р[Л1 - <р,[А-], к - 1, 2, ... (1.9)
Если при каком-либо числе наблюдений t окажется, что
г (4'Uh
гапкФЩ = по, Ф [{]»{- • - . (1-Ю)
I <Р 1*1 1
то решение найдется однозначно и эксперимент окажется коррект-
но поставленным. Из сказанного ясна особенность активного экспе-
римента: в new возможно «раскачать» объект так, чтобы в измере-
ниях независимо проявлялось влияние всех параметров.
Впрочем, ил формул (1.6) видно, что тот же результат может
-быть достигнут и в пассивном эксперименте, если возмущение пе-
ременно п его компонента мд[А*] такова, что условие (1.10) выпол-
нено. В этом случае говорят, что возмущение достаточно разно-
образно для достижения цели идентификационного эксперимента.
Пример 1.1. Пусть -
у[А: I 1] =z|/c-l 1 ] —/>М/cj l-6'га, (1 11)
где и\ (• постоянны и известны. Га .«мерность векторов и, у совпа-
дает, так что В— {п X п) квадратная матрица. Предположим, что
все ее элементы но зад;...i. Очевидно, что пассивный эксперимент
бесполезен. Однако активный эксперимент легко организовать по
следующему плану. -Зададим w[OJ = flt = ...» и\п — 1] =» t'„, где
i}, 7=°1, . •., п,— единичные векторы. Иначе говоря, па каждом так-
'тс будем использовать только одну из компонент управляющего
воздействия. Тогда
Gu?=--Bi,=>B,, ..., ф?] - Gw = 7?„, (1-12)
где В( — столбцы матрицы В. Тем самым по наблюдениям га п так-
тов находится все элементы матрицы В. Если 6f, w неизвестны, то
одного пассивного эксперимента достаточно для того, чтобы пред-
варительно найти вектор Gio, после чего перейти к определению
матрицы В. Однако очевидно, что найти но отдельности элементы
(г и № иснолмоЖио. D
Заметим теперь, что простота описанных выше результатов спи-
вала lit» с гипотезой о линейности самого объекта (линейности сли-
зи между воздействиями и состоянием, в также выходом), а о ги-
потезой о линейной зависимости выхода от оцениваемых парамет-
ров, явно выражаемой уравнением (1.5).
S 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБ'ЬЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
535
Предположим, нанрпмер, что объект нелинеен:
х[ к -I- 11 = F (u[/г J, ифА], 0), (1.1 3)
по параметры 0 входит в правую часть линейно:
/ (п[А-|, НН 0) — /''г.('4Н и-|А-]) + /-’,(п|А1, ИМ)0- (14)
Если измеритель линеен и подчиняется (1.-4) с известным С, то для
оценки параметров вновь располагаем линейными соотношепиими
(1.5), С той линп. разницей, что
(Рср]-С?;(г4/т- j], НА - Л).
= ифА-1]), * = *, (1-1-5)
и все предшествующие результаты сохраняют силу.
Более сложна ситуация, когда связь выхода с неизвестными па-
раметрами велииепна:
4A'] = <f.(0), к ы 0. 1, (1.16)
где <рл — иниестпые функции от искомого аргумента. Такое, в частно-
сти,. будет иметь место и для линейного объекта (1.1), если элемен-
ты матрицы /? нелинейно зависят от 6. Теперь мы выпуждслы дли
получения опенки 0 решать систему уравнений (1.16), а ото, как
правило, возможно только численными методами, причем не суще-
ствует простых способов установления едпистнеиностп решения и.
болео win, гарантии нахождения пе.гх решений и случае нссдп i
стнеиностп. Поэтому в дальнейшем будем в основном рассматривать
только модели с. ллпгйпой гаквспмос.тыо выхода от параметре»: и
ограничимся лишь иллюстративным примером решения нелиней-
ной задачи.
Пример 1.2. Пусть объект залай скалярным уравненном
i.4/c + ij = M*] -i-M“|fr],
где коэффициенты blt Ь, завесят от одного неизвестного парамет-
ра 6:
г>: = 1-ег, ь,=о.
Использовав воздействие u[0] = 1 и получив наблюдение у[1] = 1,
приходим к условию
1-1 0: + б,
откуда возникают два варианта оценок:
п<‘>, о, 0|3’ = 1.
Примем ытотезу. что 0 = 0. Тогда модель полностью де терминиру-
ется и при любых А' должно быть
14* * Л «4 А].
35*
5аС> ГЛ. ti. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Для проверки гипотезы проведем еще одип, контрольный экспери-
мент, приняв н[1] = 2. В результате измерения получим j/(2J=4,
что не согласуется с гипотезой 0 = 0, по согласуется с альтерна-
тивным вариантом который л даст правильную оценку. О
Из примера можно cawian. два простых вывода: а) при нали-
чии конечного множества решений уравнений (1.1G) можно про-
вести испытания различных гипотез об оценках на контрольных
экспериментах; б) увеличение числа наблюдений, т. с. числа урав-
нений (1.16), принимаемых ио внимание при расчете оценок, мо
жет исключить неоднозначность, хотя это и по является правилом.
1.3. Роль факторов неопределенности. Выше мы исходили из
гипотезы, что модель, связывающая наблюдения с неизвестными
параметрами, детерминирована (см. (1.5) пли (1.16)), т. е. из пред-
положении, что как только пайяепы значения параметров, резуль-
таты всех дальнейших наблюдений точно предсказуемы. Однако
для построения законов управления могут быть эффективно исполь-
зованы и псдетермипиров.чниые модели. Следовательно, целесооб-
разно расширить класс математических моделей до соотношений
типа
?/Р1 =<|ч(0, v[/.-J), (1.17)’
где {vf/.])— педетермячированиан последовательность. Соотноше-
ния (1.17) отражают дна типа факторов: во-первых, на объект мо-
гут дсйсгиовап. ii(>iipi>iTin;iHpy(‘Mbio внешние возмущения (ч.’|/г|},
л во-вторых, результаты наблюдений могут быть искажены непро-
гнозируемыми помехами.
Дейсгвптельно, рассмотрим монель статического объекга, зада-
ваемую соотношениями (1-1), (1-3), (1.4), однако предположим, что
не постоянно, а является непрогнозируемой последовательностью
{iCef/tJ}. Тогда (1.5) перепишется н виде
!/[*] q>pc]9 + <jpn[fc] + v[A:],
где т|7,] = C’GirJJfc].
Напротив, если мы сохраним гипотезу (1.3) о поведении воз-
мущений-, по вместо (1.4) примем
где А'Р’Н интерпретируется как непрогнозируемые помехи в изме-
рениях, та
;/И] = (|[А-]0 + ЯАН-х|А|. vf/H--=AUl. (1.18)
В обеих описанных ситуациях приходим к однотипным линейным
недетерминированный за в пси и остям выхода от параметров (>, под
лежащих оценке. Поэтому в дальнейшем будем именовать после-
довательности (v|7r|) полмг/г.ш/ нгливисимо иг их происхождении.
В отличие от (1.5), наличие связей (1.18), вообще говоря, пе
Даст возможности точно определить истинные величины 0. Если
S i. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИИ
537
тгет никакой априорной информации о помехах, то наблюдения пе
дадут никакой информации о значении параметров. Наиболее часто
используется гипотеза о том, что помехи случайны, точнее, явля-
ются дискретным белым шумом с ограниченной постояннон матри-
цей ковариации
Теорема 1.1 (о методе наименьших кнадрамю). Нусль оценка
0[/[ ралыскииае.тся но наблюдениям (y|A‘J, А' 1, ...» 1) как вначс.пнс
О, уданлелворяющее условию метода наименьших квадратов (МИК),
г. с. доставляющее минимум функции
j (0) = i 1 ф । *j +Фо и । - ?/ w г. (i-w
А—1
еде фИ, фДА]. </|7/| заданы.
Пусть выполнено условие (1Л0). Тогда,
0[tj = ^-ifJn (1.20)
где обозначено
= Х = й( = (Ф[П)тУи]. ,19П
Гр] (!/И1-фр1. А- 1,2............О-
Нели к[/.Р является центрированной случайной- последователь-
ностью, го оценка 0|/| несмещенно. т. е.
Л/{0|(|-0>=0. (1.22)
Если {v[frp—дискретный белый шум с аграиичениой. матрицей ко-
вариаций /.К- и существует положительно определенный предел
Kill 4 = Кт 4 X <рТ Ф 1*1 Л (1-23)
f-m> Г 1~>ОЭ С
то оценка 0[7] состоятельна, т. е.
Л>|fj iD {Вi[tj — 0}-* 0 при (1-24)
Доказательство. ?.!атрица .5?( симметрична. Составим кна.чратпчпую
форму
. с= tT; = jо.
где г —ирам .мюльный шч.-тор, а £ = Ф|.’]з. Ква.трнтич пая форма об|шщнится
1< иу.п, только пр» £ ’ Й, но и силу (t.t(i) это Н.1ГЧГГ па «>Ги1п г = 0. Gnegooa
nun.ио, матрица < лгион-п'и no.io>ninc.'ii.nit orrpiyii’.'ienunft, а/< > 0. Функции J
нредстякима и нидч
У — ]Фр](Г- ?|И1‘- ЙтлМ)-2(У1']рФ|?]и + ПЧЛГ
п достигает минимума tijut выно-чнеппи уг.чокпя
,-/,0 = (Ф1?1)Г1Ф1,
откуда непосредственно следует (1.20).
538 ГЛ. it. МЕТОДЫ ПДСПТПФИКАЦИП П АДАЛТИ 1НОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Перепишем (1.18) в векторном виде-
У[1] = Ф[1]0 -f- vp],
где vp] = (vpr], k = 1, .... О-
При 0 = 0 иго соотношение удовлетворяется то;кд< сгнопно, так что
|Фр1е-УН1-1-уР11г-о,
откуда
И
[£1 £И[<1 -0 = J^r1 (ф1Фт ур].
Несмещенное ть оцепил очевидна.
Bbi’itic шм конариационпую матрицу ошибок олеливаппл
Р [г] Дм [<?0 [г] [/]} => &-1 (Ф р])т’ Dv |t] ф [t| j/-1.
Далее, для простоты ограничимся случаем скалярных v[£|, л D{v[S.-]} = л.. =
= const. Тогда
2Mt] - <ур],
где /р] —единичная матрица, размерность которой равна числу наблюдений,
а следовательно,
Г) р] - г^.яг/1 (Ji р]}т Ф р] Л*-' u= (1.23)
Игреходи к пределу и уравнении
1 1
7.</?Р1 - —rfv/ [х],
убеждаемся, что при выполнении услоппя (1.23) имеет место
1>ш Рр] —0. И
Если априорная информация о помехах более полная и вклю-
чает сведения о функции распределения помех, то целесообразно
воспользоваться оценками метода максимального правдоподобия
(ММ11). Если помехи независимы и распределены по нормальному
закону с заданной матрицей Dv, то оценки МАШ близки но струк-
туре к оценкам МШ{ (см., например, [11.10])
ои] = ,5г1^ (1.26)
где t
л/г= 2<ГТ[*|ДЛ' AL (?/[/.-]-(Ги (А-1),
Ji l h- I
т. о. ра.члччпе прояв.'икич'л в множитело/Л'» Можно доказать, что
оценки ()р| песмстценны и cocronrr.’ibiiij.
Если матрица Г)ч заранее неизвестна, то метод максимальною
правдоподобия позволяет получи i ь как ее оценку так и оценку
S 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
539
с 1мпх параметров из системы уравттеппй
г
Dfv ~ у 5] (у [/с) —.Фи [/с] — <р 1 /с)У [ (]) (у R1 — ф0 [*1 — <р [А] 01 /])’,
Л—I
(1-27)
01Л» [s Фт1*](/3у)~’<р[Л]) 2 ФТ|Л](/54)“Ж— ч»о|Л|).
1'4 = 1 J А=1
Полепим с-мьтгл оцеинпнвид но ММП в рамках общей нелинейной задачи.
Обозначим для краткости р(,) полный вектор всех полученных наблюдений,
Л.'О — вектор помех в этих наблюдениях и предположим, что
у«> = ф: <)((!) - v"), (1.28)
где Ф;!)— заданная вектор функция опсппвасмых параметров. Естественно в
качестве опенки ваять наиболее вероятнрн^зняченэе параметров, пайдсппос при
выполнении (1.28), т. с. как значение б, доставляющее максимум условной
плотности вероятности p(B/jB,,)! по
р(0Д'“’)=——- . ' н - (1.29)
Р (/'')
Если д<|(11) но задано (пет аирно[июй информации о возможных зпаче.гшях па-
раметров), то ||[>нх<1Д1111'н ограничиться миксими.ыцией функция нракдипо-
JKKUIH
p(y°W -pj;/'». ф:О(())],
где я4‘1 —-задачияя 11Л41ТППСГ1. П1'р.'И1-4IHTI1 III |,ТО|)« В 11[>ёДИОЛ<Оь'1-|1|1И
11<|,1ма.ц>н1н th v;(> ото пкпппалептпо выбору оценок из условии максимума
охр {- 4- |у«>- .1-(П (б)Г />-*;) [/•> - Ф<” ( 6)|1
иди. что то же ciiMiie, минимума функции
J («] =|/;>-Ф(О(0)],'£'“;})1/О-Ф‘°(0)] -
i
~ s 1*1 - с.'4 Г I -V 1*1 - ® b (i-30)
it—t
тк учт4чы независимость помех в иос.чедовате.чьпых наблюдениях. Если мо-
дель линейна,
Ф|,(1))
то минимизирующее значение находится и попом виде и дается формулой
(1.26). ('истома (1.27) с.оответстиунт хнобхо.чимы.м уСЛщшям макшму.ма функ-
ции пра1’..1щц|д|»бии, ih'.'iii /Д. raicHe рассматрпвастея как се аргумент. Для на-
Jtuncii>i»i'i мидели получение оценок ММП hhbmomgui лиигь чиелеппыми метода-
ми. При ЭТОМ следует учесть. Ч1О, как нравило, IH-KQTOJHin априорная Hl)l(l<ip
мацпн О возможных лиаченвих инрамстроп имеется. В чиетное.гн, мпжио ука-
зать множество Wn. и Шпором заведомо доли:п1>1 находтьея значения tiapn-
метрон. Тогда иочек мпним.умп J следует производить в пределах 14и. Оценки
ММП совпадут при »юм с наиболее вероятными лначе.пиямн ид раме, [Юн, ес-
ли их априорное распределение равномерно па Ос-
540
ГЛ. И. МЕТОДЫ ИДЕПТИФНКЛЦПП И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Дополним сказанное замечанием, что зачастую гипотеза о нор-
мальности помех* *) пли даже гипотеза о их случайном характере
неприемлема, и лее, что мы можем предположить, сводится к ука-
занию ограниченной области Л', и которой могут находиться зна-
чения помех. Тогда в качестве оценки одинаково пригодны любые
значения 0, удо)1лст11ор>11о1цие условиям
/ДА'] — Ф„(0)-1-v|A|, v|A]<=Af, к-И, .... /; О<=0П. (1.31)
Если модель линейна, а множества Л’, ft, заданы лппсплымп не-
равенствами, то для нахождения допустимого значения 0 можно
воспользоваться эффективными методами линейного программиро-
вания.
Приведем численный пример, иллюстрирующий онисаппые спо-
собы идентификации.
Пример 1.3. Модель системы, результаты наблюдении одного
выхода которой j/[A‘| зависят от неизвестных значений двух пара-
метров 0,, 02, дала в лиде
г/[Л] = ср,,[А'10, 4- <pi3[A:]tls + уЩ к = 1, 2.
где v[/c] — непрогнозируемая последовательность, трактуемая как помехи п измерителе.
Результаты измерений в и таблице данные о коэффициентах <р1: , фп даны
h 'i'l 1 Ч 1» V
1 1,0 0,3 1,70
2 2 0 0,5 2,95
3 1,0 0,8 3.11
4 0.5 1,3 3,12
3 1.2 0.4 1.92
В паспортных дапвых измерительного устройства указана его
погрешность ± 0,15. Обычно ошибки предполагаются случайными,
нормально распределенным:!, и погрешность рассматривается в
смысле правила «Зол, т. с. размах погрешности предполагается
равным Зе,-, так что здесь и,. = 0,05.
Применим МИК для оцепппапня (в скалярном случае опенки
МНК п ММ11 совпадают).
Построим матрицы
V j 47,1*1 'Ри IM <F1?RI| (WH ЗЛИ)
lAIVI2H 'Pi's IM J“13,C3 2,83
у l,('n 1Л| !'lA'h HG.120'1
Ь‘ “ (<P, , IA J >j J A] | “ I 9,297 J’
*) построением оценок при иных гипотезах о функции распределения
можно позиакомиться, например, в [В.17, 11.19),
g 1. ИДШТГИФЦКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ 541
откуда согласно (1.20) получаем
О, = 0,982, & = 2,026.
Подсчитаем дисперсии ошибок оценивания, используя (1.25):
D [и, — (>’) - о-.-0,23.3, D [64 _ у*) - о’-0,738.
Применяя вновь правило «Зо», приходим к оценкам .чи.ппииятоп,
и которых могут находиться истинные значения пара ме тров *):
0,91 1,05, 1,90 < <= 2,15.
Откажемся далее от гипотезы о случайном характере ошибок
измерений. считая просто, что они могут принимать любые значе-
ния в диапазоне ^0,15. Тогда в соответствии й (1.31) в качество
опенок можно Припять любые значения В,, 02, удовлетворяющие
системе неравенств
-0.15 р[/>] - <ри[Л]0< - Ф«№ < 0,15. к = 1, 2, ..5.
Каждое ил таких неравенств выделяет полосу па плоскости (В(, О,)’.
Пересечение всех полос, и
является допустимой обла- ei
с.тыо. Па рис. 11.1 :гга про- 2,5
ЦСДУра наглядно представ-
лена (границы полис пере-
нумерованы. а область вы-
делена жирной линией).
Диапазоны возможного из-
менения параметров отши-
ваются неравенствами 2'°
0.86 С 0,-<1.08,
1,87 =< 6, 2,18,
причем для их получения
достаточно было бы распо-
лагать только измерениями
к = 2, к = 4. Конечно, такая
наглядность достижима толь-
ко в случае двух оценивае-
мых параметрон, причем при работе с ЭВМ удобно использовать
графический дисплеи. D
Подчеркнем важность условия (1.10). Оно определяло возмож-
ность пдептификанпи как при детерминированной, так н при сто-
хастической пос i.’inoBKC. Колее того, на точность оценивания вл и но г
•) Болев тонкие мстядм itocipociiiin доверительных интервалов дли irnjxa-
метрон .дакпен в учгГнпшах математический оипк-тикв (см., например,
III 10, гл. 7]).
542
ГЛ. 11. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
обусловленность матрицы Известно [11.10], что
[det^l1-5Х
t
где б» — определители всех миноров Ф(О размера п»Хп». Поэтому,
даже, если условно (1.10) выполнено, т. е. найдете» б.?>0, по
величины б* малы, ошибки оценивания окажутся большими. От-
сюда вытекает, что цвлыо планирования активною эксперимента
должно быть прежде всею обеспечение возможно большей ортого-
нальности вектороп-строк матрицы ф‘°*).
При выделения области допустимости также очевидна важность
ортогональности полос, выделяемых при каждом измерении.
С другой стороны, ясно, что 'чем больше абсолютная величина
элементов Ф'°, тем выше уровень сигнала относительно уровня
помех, а следовательно, меньше погрешность оценивания. Поэтому
основным ограничителем точности практически является допусти-
мый уровень активных воздействий на объект, возможный по усло-
виям его эксплуатации.
1.4. Идентификация динамических объектов. Рассмотрим снача-
ла общую динамическую нелинейную .модель
а[А+l]*=Z\(.r[A], «[/.-], «.'[/,[, 0), /г = 0, 1, .... л.[<1] = лс1'. (1.32)
Если предположить возможность полного и точного наблюдения как
с.остошшя з;(А|, так и нолмущеонн ш[А|, то проблема идентификации
динамического o6i.pkt.-i окажется ничем но отличающейся от ранен
рассмотренной. Дейстпнтслыю, положив -с[А] “ f/| А|, q-.,(Q) =
•=»/'*_, (х[/с — 1J, u[A—1], u'|fc—1], 0), А 1, 2, ..., приходим к со-
отношениям вила (1.16).
Если же возмущения {гг[А]) содержат непрогнозируемую ком-
поненту {v[A]}, то получаем модель вида (1.17).
Новые проблемы возникают только в связи с отсутствием пол-
ных и точных измерений.
Остановимся подробнее па задаче идентификации линейной си-
стемы. Пусть справедлива гипотеза, что объект описывается урав-
нениями
г[/г + 1] = Лх[А] + ММ 4- (?ш[А], А = 0, 1, ..., а:[0] = а*
(1.33)
у[А] - С.т[А] + ад,
где матрицы Л, В, С, G постоянны, но могут зависеть от неизвест-
ных параметров 0. Неопределенность может содержаться и н .г1’.
Воздействие Ь1[А]) будем предполагать управляемым или по край-
ней мере известным. Возмущение (ш[А|) и ошибки измерений LV[A-|)
считаем наэаипепмымн «белыми шумами». Требуется дать оценку
параметров па основе наблюдений.
') См., наирпмер. [11.15, 11.25],
§ 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Б43
Прежде всего отметим некоторые почти очевидные факты, вы-
текающие на структурной теоремы (гл. 6):
а) певозможпа оценка тех параметров, которые не входит в опи-
сание наблюдаемой части системы;
б) если л" “ 0, то невозможна оценка параметров, который вхо-
дит в ♦висячие» част системы.
Для простоты будем считать, что м|/т], J/|A‘| скалярпы, a {w|fc|) =-•
о 0. Из гл. 7 известно, что в предположении полной управляемости
и наблюдаемости можно свести описание связи «вход-выход» к опе-
раторному уравнению
//Ш=^М*] + ВД, (1-34)
где 77(ь) = QtZ — л4]-1/? — скалярный оператор преобразования, яв-
лятощмйсд дробно-рационалыюй функцией от оператора « сдвига
па такт,
яку-рю/аю.
Любая наблюдаемая последовательность {//[/с]} песет в себе инфор-
мацию только о коэффициентах (а„ f,. 1=0. 1, ..., п — 1) много-
членов а(£), Р(£), и значения неизвестных параметров можно пы-
таться извлечь только из ятих коэффицпев Г(И‘- Поэтому обычно про-
цедуру идентификации разделяют на два атапа: во-первых, иолу
чают оценки <Х|, р, коэффициентов а., р„ а затем находят 0 клк
решение уравнений
а.(0) •<£, р.(0) [1,
хотя такая процедура и по всегда рациональна, если число «0 по-
изиссткых параметров мало.
Для построения оценок %, & удобно переписать уравнение
(1.34) и виде ятц|й зависимости каждого очередного измерения от
предшествующих измерений и воздействий.
Имеем
сс (£) = -|- 1 + ... + <хи =
= г* [1 + «й-тГ1 -I- . •. + «»ГТ'] Дьг‘[1 «(г1)],
р (») - Р»-^"’ +... + Р» ₽ t [₽,-£-* + • • + - ИНГ1),
откуда
/ДА-] = -«(Г'Ы*] ‘I’ Р(Г‘)»И] + И + «ОГ’ИМН (1-35)
пли. в явной форме,
;;|А] =/с - 1] —... —a.,J/|/c-'<] 1-р.,-1м|/с-
... -I- р.,м|к - н | + Л|А-] I «„-.A'l/i- - 11 + ... I аЛ| />’ - «1- (1 -36)
Формально соотношения
гичиом (1.18),
(1.36) можно переписать
виде,
р[/с]-Фрс]У 1-vfAj.
апало-
(1.37)
В
544
ГЛ, 11. МЕТОДЫ ИДЕНТИФПКАЦКН И АДАПТИВНОЕ УПРЛВ.’ПЖИЕ
если ввести вектор 6 неизвестных параметров
()=(«„_,, а,,; р„_„ .... 0й)' (1.3Й)
и обозначить
<1'1*1 = < — 1], .... —у|* —н], 1], ..., м|/с —«]}, (1.39)
а также
т[А ] -= Л'| к ] -I- а„_,Л | А- - 1 ] -1-... -I- о;.Л'[к - п |. (1/0)
Матрица-строка <f[A’] состоит пз известных (измеряемых) величин,
a v[Ac| представляет собой эквивалентную помеху.
После этого можно примени n, МНК для получения оценок па-
раметров G. Однако имеется существенное отличив от ранее рас-
сматривавшейся задачи; во-первых, последовательные значения v[7c]
взаимно корродированы, во-вторых, их взаимная корреляция зави-
сит от неизвестных параметров oto, в-третьих, с([А-] корро-
дирована с v[/c].
Формальное применение МНЕ может привести к плохим
оценкам.
Поясним смысл возникающих неприятностей. Предположим, что
воздействие {u[A-j} является стационарной случайной последователь-
ностью, а объект устойчив. Пусть наблюдения производятся в уста-
новившемся режиме, когда П/|А]) также можно считать стационар-
ной последов,1ге.1ц.иоеп.н>. Получаемые в результате применения
МИК оценки удпв.н‘Те.оря1от условию минимума ио 0 величины
S 11/1*1 — <1’1*10 !*• (ЬИ)
Л_|
Можно предполагать эргодичность, т. е. что сроднее (по времени)
значение квадрата ошибки, найденное ио одной реализации, совпа-
дает с его математическим ожиданием *):
<
нН т 2 I у W - 4'1*1 е Iй = м {] у Iа-] - т Ш е I2}- (1
Пусть 0* — оценки МП К. получаемые по неограниченно возрастаю-
щей стационарной после.ишательвостн наблюдений. Тогда они долж-
ны удовлетворять условию
ИЛИ
М( (//[А] - <(|*К)*)ч4*Р - 0. (I/.3)'
Поскольку получаемые наблюдения р[А] порождены фупкцпонпро-
*) Правая часть (1.42) не зависит от 1с в силу предполагапшейс.и стацио-
нарности последовательностей {</(/>]}, (ы[А-]}, а слёдовагелыш, (<г[А]}.
§ 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ 545
цапнем объекта при некотором неизвестном. по фиксированном 0, то
«/|/.J = gW-i-v[Aj.
Подставляя это соотпопшлпе в (1.43), получаем
М{<||А'|(0 — 0*)ф‘[/;]} I [} »*0 (14-4)
и убеждаемся, что оно не удовлетворяется при (1* 0, если имеется
корреляция между т|/с] я 01 меченная выше. Таким образом,
«лобовое» применение МИК не может привести к совпадению оцен-
ки с истинным значением параметрон, даже если число учитывае-
мых наблюдений неограниченно возрастает. Кроме того, условно
(1.4.3) дает единственное решение, соответствующее минимуму»
только если выполнено условие идентифицируемости
М{<|?[/с]г/[А]} > 0.
которое трудно проверить заранее, посколт.ку (f[A] зависит от неиз-
вестных параметрон.
Для преодоления неприятностей используются различные при-
емы. Один из них состоит в применении ММП с оценкой матрицы
ковариаций всей последователь пости К'р]. А=1, .... ы, т. е. по
существу с оценкой корреляционной функции эквивалентной поме-
хи. Функпнопал ММП при этим окажется пекиадратичноп Функ
цией параметров, к вычислительная процедура еш минимизации
резко усложняется *).
Остановимся подробнее лини, па болех? крое том приеме, обычно-
именуемом коррсл.чцоонныл «/щ.?»ло.ч и в различных варианта\
используемом па практике. Примем вновь гипотезу о случапппс.ти
и стационарности нис.тедова тельпости (ofА'], </|/*]} и вычислим па
основе измерений {u[A], J/f/f]) величины
г
(Ъ 2) =- Я* - Л «рс - тк
,!;т (1.45).
/4. (т, I) - 2и1* - ziи 1* - Т1
для различных значений т=1. 2, ..., 2z? и 2 = 0, 1, ..., п. Если
умножить (1.3(5) па гД/с —т] и произвести усреднение результатов,
то получим соотношения
A'v« (7, О) - — а„ (т, 1) - ... - аХ„(т, п) —^„-.^„(т, 1)+ ...
... 4- (VC (7. «) + /«’х,, (т, 0) -|- ... -|- а„/2.хи (т, /г), (1.4н>
j Детальное лсслецевапие даяо в [11.21].
5-16
ГЛ 11. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИППОЕ УПРАВЛЕНИЕ
где дополнительно обозначено
Л'(А‘
/] II. (А — т).
При больших t воспользуемся гипотезой эргодичности. Тогда
(г, I) ж Кл.„ |т — /]. (1.47)
где справа стоит соответствующая корреляционная функция Но
{ЭД} и <ЭД} шшоррелировапы, и Zi\„ = 0, так что
Я.хДт, /)«0.
Следовательно, мы приходим к системе 2п линейных уряппепий
(t, 0) = <14 (т) а + Ф<. (Т) [3,. г = 1, ... „ 2п, (1.48)
где
ф« (г) = {— Z?J.U (г, 1)( ..., — (г, л)}, а = (an_j, .«., а0}
Ф/Дт)» |/?’и(т, 1), Z?L(r. л.)], р = {{V,........pj
Система (1-48) может служить для пычисления оценок пеносрод-
сгвеппо или же к ной может быть применен МНК, если увеличить
число значений т и формально считать, что величины
Лл» (т, 0) -г .. - + «„Zi’xu (г. и)
ле равны точно пулю, но слабо закис.имы при различных т*).
1.5. Оценка нг.еоиых функций и частотных характеристик. Если
входное ноздейстиме {н|Л|} ла линейный динамический обьект мо-
жет быть выбираемо, т. е. осуществим активный эксперимент, то
зачастую используют воздействия типа одиночного импульса, или
скачка на постоянную величину, или гармонических функций с раз-
личными частотами. Иначе гнпоря, ставят эксперименты по опре-
делению бесовой (импульсной) функции преобразования «вход-вы-
ход», или его переходной функции, или его частотной характера^
стики. Знание любой из этих характеристик полностью определяет
оператор Я(а), т. е. детерминированную часть модели (1.34).
Предположим сначала, что помехи отсутствуют,
?/(*]= (1.49)
а начальные условия — пулевые. Положим о[0]=1, г/[А’1 = О, А>1
(воздействие типа единичного импульса). З’огда
ЭД = ЭД, Л=1, 2.......................... (1.50)
*) Здесь также П'>4м»п:иы вычислительные
<>буСЛОПЛС111К1СТ1>Ю обрлпицшых матриц. О. К».
трудности, спя алии ыц с плохой
Кульчицким показано, что ме-
тод работает только ира условии Be //(«'") > 0, w
P(Q
аЮ’
> 0. Z/ © Л
й I. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ 547
где {Л[/с]}— весовая функция (для дискретной системы — носледо-
иател1.пость). Формально по величинам А[А] (п притом используя по
более 2н таких величин) можно восстановить значения коэффици-
ентов многочленов а(£), P(t) в операторе //(£)• Однако поведение
вегхжон функции в основном определяется модами, гоотигтстихю
приди наибольшим но модулю собственным числам, Если система
устойчива (в противном случае трудно исключить эффект малых
отклонений начальных условий от нуля), то {A|AJ} определяется
наиболее медленно затухающими модами, а быстро затухающие
оказываются почти незаметными па фоне неизбежных помех. По-
этому практически идентификация путем определения весовой
функции используется только для простых объектов 1-го или 2-го
порядка при заведомо низком уровне помех. 'Го же относится и к
определению переходной функции, которая совпадает с выходом,
еСЛИ »pf] = 1, к = 0; 1. ...
П наибольшей степени на практике распространен способ актив-
ной идентификации линейных динамических обч.ентов, основанный
из оценке частотных характеристик. Нрп атом активное воздействие
выбирается в виде гармонической (пли полигармопической) функ-
ции времени. Если объект устойчив*), то значения его выхода при-
ближаются с течением hpcmiiih к гармонической (пли поллгармопп-
ческой) функции, вообще говоря, искаженной помехами. Определе-
ние амплитуд н фаз гармоник в выходном процессе аквпвалептпо
определению значений комплексной частотной характеристики (ЧХ)
об'ьскта па частотах ЭТИХ гармоник. Очевидно, что по п значениям
ЧХ в принципе восстановимы значения параметров гх,. 0(, а (’ледова
ТСЛ1Л1П. в. ф. в целом. Если же обьект является я минимально
фазовым, то достаточно знать только значения амплитуд гармоник,
поскольку в этом случае АЧХ полностью определяет и. ф. (по, как
минимум, потребуется 2п амплитуд).
Описанная идея осуществима к множестве конкретных вариан-
тов. Приведем краткое описание процедуры параллельного экспе-
римента с предварительной обработкой по методу синхронного де
тестирования.
Активное воздействие (тост сигнал) берется в виде
I.
в И’1 У, (Л1 cos I sin *6,), к = О, 1, ..., (1.51/
1=1
где L -т л, а а/. Ь.. 01—заданные величины. Измерения дадут значения (ем.
S 4 гл. 7)
Г.
у 1*1 = v ц(. hf (Л') {1J1 _ rcf) -I e I*) I Л- (t|,
l 1 '
•) Если объект пеустомчim. но гч-н можно i т.и'.илп.ицкн'зть <’ помощью об-
ратной связи с и.нитгныяа нярпметрамп. то принципhm.ii.ihi подход но меня-
ется, аа тем исключением, чгн ио частотной характеристике замкнутей системы
приходится строим, частотную харяк.трастмку объекта.
54S
ГЛ. If. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИК«ЩИ И АДАПТИВНОЕ УПРАН-ПСПИЕ
где ер]—отлпчпо реакции объекта от устазовиишейся, так что c[AJ-»-0 при
к -* оо. ОЯопначим Kj — Re II(е" *), 11 = Im II (e*0'). Тогда
1.
ИМ - У, р|СОЯ/.0(4-л1з)пЛ0(|-|’й|А-] н-.vpj, л- = 1.........f, (f .52)
1 1
£ /{lUl + 1t'JV Х1- 11 /’г !^Г (1. !>Й)
Теперь требустси найти н-лилигуды гнрмоиш: с,-, имея их смесь. искажен-
ную наличием побочных Процессов В.(А| И А'|Л], T. с. затухающего переход-
ного процесса и помех п намерениях. Эм классическая нробле.мн вычисли-
тельной математики •>. Простейший ешц-об ее решения iai.-ок: при достаточно
большом числе t измерений оценка C|[<], sji] укапанных амплитуд даются
формулами
сг (?] = У, ’/ М] cos AQp s, [t] — — У у [A] sin /.().. (1.54)
fe-=f
Такое построение принято именовать обобщенным Фурче-пре&бразявпим/>мК а
н технике — методом синхронного детектирования. По оценкам <s, s; далее
строятся оцепкп
= К + л = (яНь?)_1(^- *»
значений вещественной и мнимой ЧХ па «частотах» 0(.
СогласпЬ определению И (£) hmozim
или
р (Л1) » (fl, -I- <7, I V,) а (Л'). ! = 1................(1V>)
где V;—ошибки н оценке niwioiiiiii ЧХ пп соответствующих частотах. Если бы
ошибки отсутстпонн.чи, то, вляп !. = », мы бы 1И1лучн.чп систему 2н осщосг-
Иеииых ЛПНСЙПЫХ урПШШНиЛ ОТНОСИ Н'ЛЬНО 1Жм]|фИЦ;1Г:НТОН (dr, (J,-) многочле-
нов а(2;), Р(£). В иростсйшим случае иожпо применить МПК, находя оцгткп
параметров из услоннн минимума
J-i
Делить какие-либо строгие суждения об эффектнипостц шшеаппой процедуры
затруднительно, йоскольку паже при A‘[.t] типа сбелого шума» ошибки v; за-
висимы, а кроме rOi'O, нходят в урапнепня (1.55) пеапдитинно. Ясно, однако,
что как влияние помех, так и сложность вычислений сильно вавнеят от вы-
бора «частот» 0; воздействий.
Поскольку П{е.'ь} 2л-оериодпчпа по 0, то 0 < 0; сХ 2л. Если отсутствует
апрпориая информации о свойствах ЧХ, то реко.меи.чуетсп выбирать логариф-
мически равномерную шкалу пробных частот**)
—!^:Гя, 1=1,
•) Обзор оспоиных iipiii'MHB со до ржи ген в [4.10]. Очистим тнкжо, in.' оде-
ннпянно но формулам (1.54) тесно спнзаио с применением МП!» к счете-
мо (1.52).
**) В честности, такой выбор позволяет шц-.трппть экономный рскурркнт-
пый алгоритм вычисления оценок (1.54), нщпянаемый «быстры.ц преобразова-
ние,ч Фурье (ЕИФ)» (5.2, гл. 4]
6 2. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ
540
Если я:е задался подозревается наличке резких изменений ’Т.Х п некоторых
чжтозмых диапазонах, то естественно «уилитиитьф в них сетку частот.
Метод частотных характеристик очевидным образом переносим п на иден-
тификацию непрерывных объектив, описываемых линейными дифференциаль-
ными уравнениями. Можно ганжо показать [11.25]. что исио.тьзопание гармп-
ннческих Tecf-curiifUMin в определенном смысли панболо» выгодно, ис.тм игрйпи-
н-нл анергнл иозденстнин.
§ 2. Адаптивное управление статическим объектом
2.1. Рекуррентные процедуры оптимизации и экстремальное ре-
гулирование. Перейдем к рассмотрению адаптивных алгоритмов
управления, отличающихся тем. что априорная неопределенность
описания объекта преодолевается б ходе работы системы. Напомним
первоначально уже знакомую (гл. 1), § 7) задачу численного ани-
лина: задана функция /(и) вектора и. требуется вычислить значе-
ние и*, доставляющее ее минимум. Простейшая вычислительная
схема (градиентный метод) заключается в построении последова-
тельиостп {u(!!}, t = 0. 1, .... такой, что н(0! берется произвольно, а
u<'-i’ = uc> —7rv‘J>, t — 0,1,... (2.1)'
В качестве лекторов v(t> выбирается либо градиент функции J(tz)
в точке »<0, 7/(н‘"), либо какой-либо близкий вектор, рассматри-
ваемый как оценка градиента. Скалярная пнехчеденм юльность *, вы-
бирается гак, чтобы обеспечить гхо.цымоегь «(|' к it* при t "* *).
Далее рассмотрим проблему управления статическим обьсктпм:
пусть состояние объекта .г [А' I 1] и момент Л: -I I определяется па-
данием управления к|А]:
х[А- + 1Н/(и[А]), А- = 0, 1, ... (2.2)
Требуется выбрать {и [А-]) так, чтобы обеспечить минимум либо н«>-
казателя
Jx =1Гп'я(.г[/г -|- 1]. гг|А:]) (2,3)
I1-.K
[(оптимальность в уста.чоеи«ше.:,ея. режиме.), либо показателя
7-1
7 «(if/.: + !],«[/.•]) (2/1)
(оптимальность в среднем по времени).
Построим функцию
далее считая ео дифференцируемой. Очеплдпо, что сели н* достав-
ляет минимум J(u), io, приняв управление постоянным и рапным
u.[A]«u* А^-0, 1, - (2.6)
•) Точные рекияандацнп даны вааю.
550 ГЛ. И. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
мы обеспечим минимизацию как (2.3), так и (2.4). Болес* того,
если последовательность управлений любая, во
и [А] > к* при А- >- по,
то опа псе раппо является оптимальной в смысле. (2.3) и (2.4)'.
Oicuiyia erii e гвенно возникает основная идея так называемого акст~
ремальппго регулировании *): представить градиентную проце.дуру
)1iiniiiMti:i,aii:',i (2.1) как процесс, разворачивающийся в рояльном
времени, т. е. вычислить в каждый новый момент А 4 1 управля-
ющее воздействие по формуле
п.[/с-|- 1]= w|*J — /с=-0, 1, ... (2.7)
Этот подход практически бесполезен, если вид функции J (и) изве-
стен заранее, а следовательно. заранее может быть вычислено зна-
чение и* и использована простевшая оптимальная программа (2.6).
•Одпако оп обладает замечательным достоинством: .таком у/р-вления
(2.7) можно использовать и. тогда, когда вид функции J(u) в це.тп.т
.заранее неизвестен. Действительно, для его применения достаточно
только иметь в каждый момент времени оценку градиента при те-
кущем значении управляющего воздействия, а ее можно получить
по измерениям (наблюдениям) ла объектом в ходе его работы.
2.2. Оценки град тента и основные алгоритмы управлення. Выде-
лим некоторые возможные ситуации, начиная с прог с пней,
а) Значения векюро граиисНта наблюдаются неносредсчвспио
и каждый момент А, /г “ (1. 1, ... Реализуема точная трлдиепттыя
процедура
и [А + 1] = к [А] - [А], у IA] =» [А]). (2.8)
б) Непосредственно наблюдается текут е значение показателя,
у [А] = J(u[А]). Реализуема процедура с оценкой компонент гра-
диента. Если размерность «=(«,) равна т. то для оценки m част-
яых производных в точке rx = wu) можно взлгь простейшие разност-
ные аппроксимации **):
л ££
и=гД()
J (u(;' — — J («!())
б~
7 = 1, (2.9)
тде 7,— / й единичный вектор, а б—малая скалярная величина (ве-
личина пробного шага). Одпако дли вычисления (2.9) необходимо,
кроме яиачеппя /(и"’), иметь m илблюдонип значения показателя
н соседних точках м*” 4-б/,. Поэтому процесс экстремального регу-
лирования строится как циклический, в котором рабочие таги чв-
♦) Н.Т1Ч1 лкстрсмллыюго регулировании была предложена почти однокро-
менио И П. Казакевичем п СССР и Ч С. ДроГнюром п СЛИЛ для одномерных
-задач и nOuGiKeua Л. Л. Фельдй.чумом иа миоюмсрвые. Обзор различных прик-
гичегких Hapudiiroi; ее ре.нл1ы,|цн1| дан, например, и [й.9, 11.13].
**} Общая схема нсстроеиил оценок градиента дана и ]Н.5].
S 2. АДАПТИВНОЕ У11РЛНЛЕППЕ СТАТИСТИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ 5jt
радуются с пробпымп, тостовыми. Его можно описать формулами
м[/-|=и(0, к = {in (-1)1, / = 0.1..............
и [А] = им -г 6Л, к = (ni + 1) t + ), ] —
utl l> -utO — y(V('’, l -0,1,-.., (2.1()>
J-f........m),
\;G 6“l(’/|/.-]-</|f|), '/И-Л» I * J). * = 0» + 1)/ + ].
Подчеркнем, что такой прочего представляет собой сочетание управ-
ления с обратной связью по измерениям и плана эксперимента, где
результаты измерении пснольз\ отан только для идентификации .зна-
чений градиентов. Поскольку оценка градиента равносильна по-
строению линейной аппроксимации функции J(u} в малой окрест-
ности текущей рабочей iuhich и'11, то и план (программа) иденти-
фикационного эксперимента строится так же, как при идентифика-
ции линейного объекта .(ср. Н.1.1).
Чем меньше б, тем теоретически б.тпже оценка тина (2 .)) к
точному значению, однако гем более начинают сказываться погреш-
ности вычисления разности блипких величин.
в) Значения вектора градиента наблюдаются с погрешностями:
у[к] ?J(l{[k\)+N[k]. (2.11)
Если iioi peiHiiocrn Л'[А] случайны, то кажется целесообразным ис-
пользовать осреднение но нескольким измерениям и вновь пострнн п.
процесс управления циклически, ост,hi ши на каждом цикло (дли-
тельностью I шагов) управление постоянным:
н[А-] =ц:п, А = il, t = U, 1.
=и<’_ уЛ<Пг (2-12)
V<° = 4 X W« h А-] = VJ (V! J +1 V jV (f + k).
k— rj ft -ft
Если L.V[A:]}—белый шум, то e уве.тпчеппем Z и силу закона боль-
ших чисел влияние погрешностей уменьшается. Одпако замедляется
н процесс управления, причем неясно, на сколько тактов следует
«застревать.» па месте для улучшения идентификации. Очевидно
лишь, что вдали от экстремума, где величина градиента велика,
роль погрешностей не слишком существенна (уровень сигнала .чна-
’штельпо выше ........я помехи). Поэтому в начале процесса можно
брать I малым, а затем увеличивать. По сеть и более интересная
идея: производны, усреднение в ходе мшио рабочего движения,
iiocTciiciiiiti замедляя его ла счет уменьшения коэффициента 7,. Ока-
зывается, что пос.тодовлгелы1осг1> и [/г], посцхюниая » силу простей-
шего алгоритма:
и [к + 1] = и [А-] — [А]. у [А] = VJ (к [/,-]) -J- Д’ [А:], (2.1
552
ГЛ- 11. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТЕЕПОЕ УПРАВЛЕНИЕ
несмотря на возможно большие ошибки в оценке градиента па каж-
дом шаге, может сходиться к значению и*, сели -f* сличать посте-
пенно убывающим и стремящимся к нулю при А-•-<»♦). При этом
процедуру (2.13) обычно называют алгоритмом Роббинса— Монро
111.28].
।) Наблюдаются текущие значения показателя с погрешностями:
у И = J(u [А]) /(«[*]) + Л’[А-]. (2.14)
Задача оценки градиента равносильна построению линейной аппрок-
симации /(и) в малой окрестности текущей рабочей точки но за-
шумленным наблюдениям. Здесь вновь можно построить план иден-
тифпкацпопщпю эксперимента, используя малые пробные шаги и
производя оценку m необходимых величии частных производных по
результатам наблюдений, па пример, с помощью МНК, если число
наблюдений (и пробных шагов) существенно больше числа оцени-
ваемых величин. Можно и попытаться использовать минимальное
количество наблюдений, боря грубые оценки по приращениям и
строя алгоритм по схеме (2.10). во с постепенным уменьшением
величины шага *f, как и в алгоритме Роббинса — Монро. Это, одна-
ко, не вполне аффективно из-за наличия очевидной зависимости
случайных ошибок в оценках компонент градиента. Поэтому идут
ла удвоение длительности цикла пробных иннов и построение оце-
нок типа
^,<0 _ £/ I 7(ц(,).} б,ь) — J («(<) — <\-j)
У ” ои, |и-к<0 ” 2^i
= (26.)’1 (у [Л + m ] - у [А1), (2.1л)
так что алгоритм управления принимает вид
w [с] = и'1) + 61 п, k =* (2m + 1) t + i, / = 1 m,
u[k] = u(t>— Siij, к = (2m. + 1 )t + m + ?, j = 1, ,.m, (2.16)
w<<+i> — u<o _
В этой процедуре, называемой алгоритмом Кифера — Волъфовица
[11.26], величины б| также иногда берутся постепенно убывающими,
хотя и медленнее v(.
д) Рассмотрим, наконец, ситуацию, когда измеряется состояние
объекта
у]А-]-^[А], з. [А-+ !] = /(« [А]),
л иид функции р(.г, и), определяющей значение показателя в аа-
iiiictiMOcrtf от состояния и управления, нявсстеи. Естественно, что
•) Нискольку сама оосле.товаге.н.носгь г/[А] является случайной, то и схо-
димость должна иоишштъея и вероятностном смысли (точная формулировка
шоке, п 'Г.2.1).
£ 2. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ 553
можно использовать уже описанную схему, поскольку
J(a[fc]) —#(а?[А-+1], u[A]) = g(г/[А-+ 1), я И]),
и по измерениям непосредственно вычисляется текущее значение
показателя качества, но которому далее можно строи п, оценку гра-
диента. Однако иногда эффективнее использоияи, имеющуюся ни
формацию. Де.йсч ннтслыю,
'V(H) = VMg.|.vrf.vu/, (2.17)
Поэтому для оценки V/(U[A-]) достаточно оцепить матрицу vu/(«[/r]),
называемую матрицей коэффициентов чувствительности выхода к
изменениям управления. Если выход скалярен, то эта матрица ока-
зывается столбцом и се оценка осуществима по m пробным изме-
нениям входа так же, как это делалось выше при непосредственных
измерениях функционала. Очевидно. что преимущества этого подхо-
да будут особенно явными, если объект линеен, а следовательно,
коэффициенты чувствительности не зависят от управлений, и оцен-
ка градиента показателя сводится к оценке конечного числа неиз-
вестных параметров (см. пинге, н. 2.11),
2.3. Условии применимости экстремального регулирования. При-
ведем сначала сводку теоретических результатов, касающихся влил
пня погрешностей в оценке градиента на процесс поиска экстре-
мума. Обозначим
г<'»-» VJ {»<”) - V<o
и опишем, ipiK полет себя последовательность {«"’), строящаяся в
силу (2.1), при различных свойствах функции J(u) и погрешно-
сти г °.
Теорема 2.1. Пусть ф)уккцчя Ци) непрерывно дифференцируема,
и, кроме того, для любых и. v выполнены условия:
1) /(« + »’)</(«) + W(«)b- + -^ |rpt Z>0 (2.18)
(условие сильной выпуклости с константой I);
2) |vj(u-pI;).-VZ(u)|^L[l;ft L>0 (2.19)
(условие Липшица с константой L для VJ).
Пусть минимум J(u) достигается при и=и*. Тогда
а) если 7, = 7, то найдется •* > О такое, чю
|и‘” - г1*|Ср(с) + 9!|и(0) - я*| (2.20)
при 0 < 7 < 7, причем
р(е)“(А(к);
Ъ) если г“» — случайные взаимно независимые величины.
*>6 Л. л. Перпозпапсний
554
ГЛ. И. МЕТОДЫ ИДЕПТЯЧп:КАЦИИ II АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
то найдется у > 0 такое, что
М{/(м(,>)-/(«*)) (2.21)
при 0 < т{ 1 V < 7, прцчсл
О- q< 1, p(Y)-O(Y);
с) если выполнены условия (Ь), по 7, переменны и
Т; —> О, Хтй““°0 nlrd
л- •;>
то
N\\ldt} — U*l=-^0 при f-^-oo;
если при этом
У 7,^.1
,7 •= Т: < > 2р
ТО
MJ (u<O)-J(!?;Xr0-J- + o(4)..
1 л ZDTa
<\>й 2(2Гу - ~Ь~;
d) если полети, произвольны, по
|г<’>Р С4 \7(п"’)!г,
то при а< 1 существует у >0 такое, что
lu.°’~ «*1^7’ —п* , <] < 1
— I
при 0<y<y;
<•) если г” случайны и уелаоиенмы, но
Mir”.'3 С ah/(u<n) Р,
то при любом а существует 7 > О такое, что
М1и"} — и* Р =£ су1, у < 1, с — const
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
при 0 < y < 7. О
Доказательство. Т.2.1 приводится в [9.18, с. 97—99]. По-
ясним лишь смысл результатов:
а) при произвольных- ограниченных погрешностях (в частности,
постоянных) процедура приводит в ограниченную зопу воли ш ми-
нимума «размером» порядка величины погрешности;
Ь) при наличии случайных погрешностей выбор постоянного у
также ле позволяет точно прийти к минимуму;
с) при убывающих у, и случайных шмр<чпплетях имеется схо-
димость к < ре.чпем, причем ожидаемое ihiA’IChho минимизируемой
функции убывает пе медленнее, чем (2(1//) *);
*) ; 1.н-М1Ч1Т«ри»н обьяспеиие смы<"1л тпепопаеий к 'fr .’Иво и [9.171. Боль-
шое ноличестно примеров приведено и Там И<и были получены результа-
ты типа Т.2.1 для квадратичных /(«).
6 2. АДАПТИВНОЕ У!.?Лft.HiUIlE СТАТИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ
555
<1) при ограниченных пска;хепнн.х направления градиента сохра-
няется сходимость к минимуму при 'у,= const;
с) относительные случайные погрешности к оценке Градиента
не ухудшают условий сходимости. в
Вернемся вновь к описанным выше авкопам :нлтрсма.чынно ре
ту.тнровпнпя, предполагая выполненными условия (2.18), (2.111).
В илгорнтме (2.1(1) градиент вычисляется с система nrieeioiii по-
грешностью порядка (\ случайные погрешности отсутствуют. Поэте»
мт . прннп.мян у, = * соннЦ например, у Л-1, обе< иечим сходи
моги. носледоипте.-п.постя ы’” и окрестность порядка б. Более того,
л любые возникающие при пробных шагах, будут при доста-
точно больших к отличаться от w* па величины порядка 6. Если
модифицировать (2.10). считая 6 зависящим от I и убывающим, то
прп отсутствии ошибок вычислений и наблюдении закон управле-
ний окажется оптимальным, т. е. u[/r]-> и*.
Процедура Роббинса — Монро (2.1а) действует при наличии слу-
чайных ошибок я оценке градиента. Если коэффициенты д. убывают,
подчиняясь условиям (2.22). то обегпечепа сходимость в средне
квадратичном, но асимптотическая скорость приближения очень
.медленная. Стоит, однако, подчеркнуть, что она определяется осо-
бенностями алкина больших чисел, обеспО' явающего здесь «полное
осреднение» в inntinn погрешностей. Алгоритмы типа (2.12) с цик-
лическим осреднением не могут иметь лучшего лспмитогичесшпо
поведения [.г>.!1|. хотя, как пранмло, более :>ффо.ктн1Н1Ы па начальных
1 гагах. Отметим гаь.ке, что на практике предпочтительно повысить
•скпроеть сходимости. не гппжоя "(< ниже инределеивпеп порога,
хотя при этом гарантируется лишь сходимость в окрестность.
Наконец, иста нов и моя иа процедуре Кифера — Вольфоннца.
Здесь возникают и гнетем,этические погрешности. п случайные. Убы-
вание %, согласно (2.22) обеспечивает осреднение случайных по-
грсннгостеп. а убывание 6;— систематических. Поскольку в силу
(2.15) случайная компонента погрешности равна
26-” (.V [А* — ???.] — А' |AJ),
то ее дисперсия имеет порядок 6- Е и неограниченно возрастает
прп У — 0. Поэтому Т.2.1 здесь непосредственно неприменима.
Донслпительнып анализ показывает [9.18], что. беря, например,
6, = </। у,-J —* 1 ’ при /-*-ai, можно обеспс шть сходимость в
срёДпекпадратичиом. Практически принимают 6, малым, ио отлич-
ным от пуля, смиряясь с нпте[1ямп из-за пробных шагов.
Подведем итоги апалпаа.
Вывод. Законы экстремального рем/лиро/шнмя полируются на
(>(ицнх npuH’iiuifi.T построения гостем е обратной евмлып по на-
б.ШИИ'НИЯ.Ч. Опи прнвпоят К опт Vlt.il,пым п.ги с1/6оптималы<ым
решеиия^к, йалге если априорная чги/юрмаии.ч о гпойстоп.г объекта
и процесса наблюдения очень ограничена {необходима лишь ин-
36*
555
ГЛ. 11. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛКПИК
формация о выполнении условий типа указанных в Т.2.1). При-
нято говорить, что применение этих законов обеспечивает боль-
шую адаптивность системы, г. с. сохранение хорошего качества
при плохой априорной информированности. Имеете с. тем выводы
об оптимальности или суботималъноети экстремального регули-
рования верны лишь для показа гелей, характеризующих устано-
вившиеся режимы или поведение в среднем ла длительный отре-
зок времени, требующийся для установления процесса. Обеспече-
ние эфхфектиеной работы при наличии помех в измерениях воз-
можно лишь за счет еще большего замедления переходных про-
цессов. Поскольку сама модель (2.2) дискретного статического
объекта практически приемлема для описания устойчивых объ-
ектов, действующих в реальном времени (гл. 10, § 2), а длитель-
ность такта (интервала, между моментами изменения управления)
должна быть достаточной, для установления реакции, то ясна ос-
новная область практического приложения экстремального регу-
лирования — это устойчивые объекты, функционирующие в тече-
ние длительного времени в одних и тех же условиях.
О других возможностях— ниже, в § 3.
2.4. Управление с использованием оценок параметров. Разовьем
идею, намеченную н конце н. 2.2. Предположим, «по неопределен-
ность в описании обт.екта своди гея к заданию конечного числа па-
раметров, вектора 0, т. е.
.г IA-+1]-/(»[/.-), 0), (2.28)
причем вид функции / известен, равно как известен и вид функ-
ции g(x. и). определяющей показатели качества (2.3) или (2.4).
Естественным представляется идентификационный подход: па
основе наблюдений найти оценки параметров, а с по.чощъю оценок
вычислять управление, оптимизирующее показатель качества. Этот
подход в принципе допускает три варианта реализации.
1. Затратить начальные Т„ тактов для вычисления оценок, вы-
бирая при атом управляющее воздействие только как тест-сигнал,
обеспечивающий условия плснтифпппрувмости. Полученную оценку О
использовать для вычисления минимума оценочного показателя
/(») = £(/(«. Ф. «)•
Если оценка 0 совпадет с истияпым значением 0*, то минимизиру-
ющее значение и совпадает с оптимальным и* н при k > Т1 может
быть пспольаолаиа простейшая постоя и на я программа (2.G).
2. Исходя ил произвольного начального управления и.(()] н ап
риориой оценки 0(0], осуществлять на каждом такте уточнение
агон оценки с помощью поступающих наблюдений, причем, если
оценка па такте А- равна 0 (/], то
п (/,] = argmin J^(u), А(«)~ 0[А']), и). (2.29)
S 2. АДАПТИВНОЕ управление СТАТИЧЕСКИЙ ОП’ЬЕКТОМ -
657
Если оценка окажется точной хотя бы аенмнкггнчески, О[А]-*-й
при А*то такая управляющая nutXi слова тел ьпость будет опти-
мальной в Смысле (2.3). (2.-т).
3. Учесть, что v?*(h) является (щелкой градиента J(п), и иС-
пользшшть один из алгоритмов зкетремальпого регулирования
и[/с -I- (| = ы[А] - 7„ V (2.30)
с тем нлц иным выбором у*. При атом по правилу дифференци-
рования слоишой функции имеем
уД (к[А-)) = vug л- V.gVjfu, о}*]) 1И_И|М. (2.31)
Алгоритм (2.30) ложет сходиться к и*. даже если оценки О [А]
не сходится к 0. Существенно лишь, чтобы функция Ци) а по-
грешности
ГЛ) » («И) - (ФО (2.32)
удовлетворяли условиям Т.2.1,
Реализация подхода 1 наиболее очевидна и сводится к раздель-
ному применению процедур идентификации, описанных в § 1, и
решению обычной задачи на минимум функции конечного числа
переменных. Однако ясно и то, что область применения подхода 1
ограничена ситуацией, когда ннблюдоппя пи зашумлены или помехи
очень слабы. При реализации подхода 2 возникают дне практиче-
ские трудности: требуется каждый раз пересчитывать оценку после
поступления новых данных (пянрпмгр. повторять процедуру МИК
с увеличивающимся числом наблюдений), а кроме того, каждый раз
заново решать оптимизационную задачу. Подход 3 сталкивается о
тем же первым препятствием, но избегает второго, хотя сходимость
экстремального регулирования может быть медленной. Достоинством
алгоритмов типа (2.30) является отсутствие явных требований к
выполнению условий идентифицируемости. .Алгоритмы же типа
(2.29), как правило, пе реализуются в чистом виде: к «рабочему»
воздействию, вычисляемому согласно (2.29), ириходптся добавлять
тест-сигнал для обеспечения идентифицируемости. Вместе с тем
предпочтение той или пней схемы практически определяется как
возможностями вычислительной техники, так и допустимым откло-
нением от оптимальности.
2.5. Рекуррентное оценивание параметров. В двух наиболее
важных пз описанных схем возникает проблема пересчета оценок
параметров при появлении новых наблюдений. Упрощению про-
цедуры переоценки посвящено множество исследований (см., на-
пример. [11.9, 11.25]). Осветим лишь некоторые основные факты,
ограничиваясь ситуацией, когда каждое наблюдение- скаляр у [А],
линейно связанный с оцениваемыми иарлмезрамп:
УIАI Т [A J О -I- <Ро [А] -г v [/г]. А- — 1.2. (2.33)
причем {v [А]} — дискретный белый шум.
558 Г.Ч. 11. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ II АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИИ
Назовем рекуррентной процедуру оценивания, п<: ш она пред-
ставима в виде
б [А- + 1 ] = О (А) + /,А (у 1А I- 1 ] - у [А: + 1 ]), (2.3\)
где г/[/;]—наблюдение па так i a (/И)- прогнил его значения
на основе ранее полученной оценки, так что
у [Л I 1| = ((1А- I- 1]0[А'| + т.,[А- I 11. (2.35)
Соотношение (2.34) выражает прикипи обратной связи по ошибке
прогноза. Вектор Z^,—вектор коэффициентов усиления.
С другой стороны, процедуры типа (2.3-4) отражают идею акст-
рема.тьного регулирования. Действительно, введем вспомогательный,
идентификаi(ионный показатель
t
JW (б) = йш Л- 2 4 '• 1 *1 - 1 k 16 - t|J» I -1 - v [Л1 р ’ <2-36)
имеющий н силу (2.33) минимум, равный нулю, при 0 = 0*)
Разворачивая ко времени процедуру минимизации, получим
(J[А- + 1 ] = (ГА] - /, v j,,(fj|А]). (2.37)
Возьмем в качестве оценки градиента вектор
vtA)'=*^4^|Z'1 ,1-ф[/- + 1|б-«ь1Л- + 1||>. 111Ч-
= <|i7[A’-|- 1JCVIA+ 1I-.VIA’! 1)). (2.38)
Очевидно, что (2.37) совпадает с (2.34). если
Д = -"?*ФТ(4 (2.39)
Вопрос о точности оценки (2.38). а следовательпо. о выборе у~- обеспсти-
паютнм. сходимость процедуры. проще всего обсудить в рамках Т.2.2. предпо-
лагая. что каждая пз 1:0С.п:доБате.'1Ы1ОСТ<-н (<pri|). {qv{т(А]} является эр-
годической последокнтелыюстыо няяавлепмых цеитрироваппых случайных пе-
лпчнп, распределенных но одинаковому, хотя н пеизвсстнпму яакопу с ограни-
ченными ковариациями **), причем (vf.'.]} независима от (фРА)}, {фв[А'1). Тогда
(9 = М [41 р I* 4-11 - ¥ И + 1J 0 - % И + <1 - И- -I- ill2) Р *')
*) При случайных v[A] значений (2.3С), im.o^ihc lonopii. случайно, по зли
jiiuuoh рсл.тиздцип минимум дьс-1 игастся при одном и том асе .3>i.T4eiiini 0, мт-
ипдаютем с истинным иппчоиием n.-ipaui-ipon.
**) При такой 1пютапо1и;с задачу принято лисп. пип. яг.-гМчсй его.тпстичг-
С»;г>й ллпрслссшчлиии На самом Д',лс пет необходимости считать икодпыо (пл-
б.тшдаемие) номдействия r..iy'i/iiun.iMii. 3aci:i- ото сделано лшпь для удпбетпл
псполваинниия общих рпаулктатоп Т.2.1. <)гкалп*шись от гипотезы случпйлостп.
можно провести докмиатсльство пепосрсдстведио и несколько ослабить требо-
вании к после 1ОНПТСЛЫЮСТП {'( [AJ}.
§2. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СТАТИЧНО. КИМ ОБЪЕКТОМ
659
Л
Vfl л,| = м !'<’ 1лН-11 ('' р-г 1] - <1 !-'• -Г 11 б - <р(| [.' + 1| — V |А-4-1|)| =
=, _ m{q.t [A-j- tHp |А- i 1|}.;о—0).
П то же прсмл
- ~.<ртр. _|. + |] ((||Л] _ 0) |(Л р. |]v[jt .] );
Поэтому noipi- нность в оценке градиента рпннн
r^^VAatOfA-]) Vf (тт[А -|. !]<!•(/; 4-Ц .
—/Л.кт[А-4- 1J<( 1Л--t- JU<b[A-J - - 0) — Фт[* I 1Л ГА.Ч 1]. (231)
Если помехи в пэмсрспиях отсутствуют, то имеется лишь относи-
тельная случайная погрешность и в силу Т.2.1 может быть оПесиечсиа схо-
димость it истинному значению 0 при ’;а у О.
ICe.Tit же помехи есть, то для обеспечепия сходимнстц рекуррентной нро-
псдуры нриход-.'.гсл замедлять процесс, требуя, чтобы -у* убывали, удовлетво-
рял условиям (2.22).
Подчеркнем, что утверждения Т.2.1 енрнведлппы только при ныполэннии
(2.141), что к данной задаче эквивалентно требованию
t
л Jim J_ V qr |4 J-1] q. [Jt 4- ц =м {г/ [А- 1] ф [А- 4- ц} > О, (2.42)
1
совпадающему с условиям (1.23) сходимости МИИ.
Кратко остановимся па более конкретных рекомендациях по вы-
бору ‘(л ” (2.37). Если помехи отсутствуют, то выбирается .•iih'ih
1’4 = V = у + (, (2.13)
где константы ?, Л удовлетворяют условиям — U 0. — Li < Q,
либо
[р+к^ + 1]1Г1. н>0. (2.44}
Последнее приводит к классическому методу /('л-дд'джй, перво-
начально разработанному для решения конечных систем лпненных
уравнении, но столь же сстествепно приспособленному м для реше-
ния бескпксчпок системы
И*] = ф[*1б + <М*]: к *=1, 2, ..., (2.4а)'
1чхп1 опа, как и в данной выдаче, имеет единственное решение
0- б.
Если помехи ограничены пеличипоп е, то гнопь можно принять
(2,43) г.о сходимостью Со сдСпростып геометрический прпгрессни и
об.част!» порядка если lv Rt]I < г [9.18]. <)<М>сн;тпвпы также
различные модификации метода Качм.чж.-i с ниеденнем зоны ис.чуп-
CTiiHre.TiiiiQCTH [4.11], например,
f -1- ]«р[А: 4- 1||2], если |г/[А- - 1] -у[А-+ I] >г,
г/i = I п (3.4П}
I 0 в про г и иной случае,
5во ГЛ. f I. методы ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТПВПОЕ ЭТН’ЛВЛкПШИ
что может интерпретироваться как процедура поиска точки (J,
удоплс/иорнющеи бесконечной системе верааепсти
1.7 [A] - Ф [А-] О - <r« [А]I <р. (2.47)
Папомним, что истинное значение 0 заведомо является такой точ-
кой, причем размер зоны не,определенности. ч. е. расстояние or Одо
произвольной точки, удовлетворяющей (2.47). вновь определяется
показателем обусловленности 1Л~1. Одинаковый характер имеют и
оценки скорости сходимости в зону.
Наконец, рассмотрим ситуацию, когда помехи случайны и имеют
ограниченную дисперсию dv. В погрешности г!Л> прп этом имеется
как несущественная случайная относительная компонента, так и
существенная, абсолютная
Дг<*’.= 1рт[/с-1]т=[А+1],
причем
М1Лг(й>Р<^. (2.48)
Здесь вновь можно использовать рекомендации (2.43), (2.44) для
обеспечения сходимости в эону, размер которой случаен, по имеет
среднеквадратичное значение уже указанного порядка. С другой
стороны, для обеспечения сходимости к 0 (п среднеквадратичном)
приходится осуществлять замед-ннше поиска, требуя .для *» вы-
полнения условий (2.22). Это можно вновь делать различными
способами:
а) по программе
’S = Fn + A]-'Y, и>0, 7>0; (2.49)
б) с нормаросной тина Качмажа
Ъ = 1(1 + 1ф[А + р>0, (2.50)
причем удовлетпоряет (2.22);
и) с нормировкой типа Гудвина [11.25]
i’lcpl/lfjv, Р>0, у>0; (2.51)
г) с локально оптимальным выбором ‘(к, где выполняется
(2.50), по
“ 1 + «Ц<р{А- <- ЛЭДНЛ- + И) & > 0, (2.52)
матрица 25JAJ вычисляется рекуррентпо:
Т> I Л-1 - |Л I Ф |Л|) T)V< —11(7 — Vh_lTT [А] ф (/.-]) 1
+ УА-Лф7[А-|ф|.Ч, (2.53)
начиная с некоторого Т)а > 0.
g 2. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ 561
Во всех вариантах р. вводится только во избежание. деления на
пуль. Остановимся псско.н.ко подробнее на способе (г). Его на-
звание связано с тем, что такой выбор 1. доставляет минимум
М{ 10.(1)-01=}, (2.5-1)
где
0„ (у) А 0 j А] (. -| |А| (у (А- Ч- 11 — /7[ А Ч- 1|), (2.5J)
иначе говоря, осущсгтпляегея выбор па условия щшскорсйшего
спуска (в среднеквадратичном) к 0 по выбранному направлению.
Если известна дисперсия помехи сД. то принимается d, — cl,.
Если задана ковариационная матрица О г априорной опенки 6[0] и
принято 2)[0] = Р<>, то Z>[AJ является матрицей ковариаций текущих
оценок. Вместе с тем при г/,. 0 алгоритм (г) автоматически пере-
ходит в классический алгоритм Качмажа, в котором у* выбирается
из условия
IM'f) — в Iе (2.56)'
Его преимущества особо проявляются при сравнительно низком
уровне помех. Алгоритм достаточно быстро криво пт в малую
окрестность (), поело чего происходит медленное уточнение оцен-
ки*). Асимптотическое же поведение прп любом из приведенных
способов имеет в силу Т.2.1 одни и тог же порядок Впрочем,
ту же скорость сходимости (см. Т.1.1) имеют н оценки, получае-
мые нерекуррентпо, с номоии.ю МИК пли ММ11.
1’агсмпгрпм еще одну ho:iM(>;kiioc.ti.. Примем и (2.217), (2.38) вме-
сти скалярного коэффициента ф4 матричный Г._, т. с. используем
процедуру
б [А- I 1] = 6 [Л-1 Ч- Го|:т [/с + 1](г/ [А: Ч- f J — f [А + 1]). (2.57)
Выберем Г. и.ч условия минимума
М {!&.(!’)-61=), (2.58)
где Оц(') определено, как п в (2.55).
Можно убедиться в том. что
Г,, = (if |А ч- 1] D [А] ср1' [А ч- И + &)"1# [А] Л р„ Л [А], (2.5!))
а /)[/<] имеет смысл матрицы ковариаций текущих оценок и мо-
жет быть вычислена рокуррентно:
/)[/.-] = Л[А -1] - р.,_,/) [А - 1 ] г/ [А] гр [A] D [А - 1 ]. (2.60)
Замечание. Придадим исходной задаче несколько иную фор
му. ВиСД< м дискретную динамическую систему тривиального вида
0[А I- (1[А|, (1[0| = 0, (2.61)
) Детальный анализ был проведен М. Г. Захаровым,
562
ГЛ. И. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ и лдлп-тпвпоя УПРАВЛЕНИЕ
состояние которой OJAJ пайлюдаетсл с. получением текущих- пэмо-
рений
?/IM = 4[/.-16[/.] + v[4 (2.62)
Очевидно, что исходили зиллча оценки параметров (I эквивалентпа
задаче оценивания текущею спскншнп системы (2.61) по иаблю
денпям (2.62), сели принять r/|AJ /;[/. | — <p,,|/.j. Вместе с тем и
гл. 10 § 4, было получщи» oirniM.t.Ti.iioi решение .поп задачи в виде
фильтра Еыосн— Налмана. Сравнивая результаты, нетрудно убе-
диться л полном (с точностью до обозначении) совпадении только
что построенной процедуры с рекуррентным уравнением итого фильт-
ра. С другой стороны, выход фильтра социалист с оценкой MMII
(при нормальности помех), т. е. фильтр дает рекуррентную про-
цедуру построения таких оценок*).
Асимптотическое поведение оценок во всех алгоритмах, как уже
укапывалось, имеет одни и тот же порядок t"', определяемый осо-
бенностями закона больших чисел. Вместе с тем при том же поряд-
ке величин асимптотическую точность можно улучшить, если име
стся априорная информация о законе распределения помех [11.19].
В частности, если помехи представляют собой смесь нормаль-
ных процессов с резко разными дисперсиями, причем доля помехи
с ин.тыиой дпенорспей мала, то целесообразно использовать так на-
зываемые fHfiiacT/ibt.c o.vopor.ww, отличающиссп тем что
Yv 0, если । 1| —l|i > V.
Введение пирога v но.тво.тяет отсенпать редкие, но сильные выбро-
сы, отклонения наблюдений in прогноза, почти заведомо порождае-
мые большими помехами**). Если принять у — |ф[/с-I- 1]|, ю (пен-
ятся наблюден ня с низким уровнем сигнала, что, как показывает
практика вычислений, почти всегда необходимо.
Важно также отчетливо представлять, что псе методы гра.дпект-
ною типа (со скалярным 7Й) малоэффективны при плохой обуслов-
ленности матрицы ,>г/ (малом Z6-1). Преимущество в этом отноше-
нии имеет алгоритм (2.57), по крайней мере при малых дпсперсияу
елучайных погрешностей и грубых априорных оценках. В равной
мере использование рекуррентных форм симплекс-метода щюдпоч-
тительпее (2.46) при малых е. Практически па выбор метода гишя-
ют, конечно, н сведения о поимож постих вы числитель пых устройств.
С другой стороны, обусловив пность улучшаема на счет n.iaiinpo-
ванпя идентификационного эксларимцнта, ио, как мы уцедимся ниже,
это может вступить в противоречие с основной целью управления.
*) ly.viu iiiipiiopiuaii ciuetemni о хн fne ре и и помех н щит].. ii.via,Ti.ii<iii
•цепки ете.утсткуют. ru ценольауюг МИК в «емчией i(i<i|>mi* для обработки не
котярой пач.тлыщй серия пмблюлспи», и :<пн-м ирпм1ч<я1<гс рекуррсицню
(2.57) — (2.G0) для обработки осгальиых наблюдений.
♦•) Tl i |К1Ы1ду теории робастных оценок наиболее полные снедения даюия
л 111.17) (см. также обзор )11.19д|).
S 2- АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ
563
2.6. Объект, линейный ио управлению и по параметрам. Оци-
П1С.М. несколько подробнее особен ногти различных' варпаптоп экстре-
мального )H-ryjiiip(iBaiiiiii применительно к задаче управления ли-
нейным статпческпм o6t.i4.tom, описываемым coo('ношением
т|/г т I) = /hi [Л] I- 6’w |AJ, /г О, I..
где .т — п вектор состояния, и— /(„-лектор управлении, tr—«„.-век-
тор возмущения.
Цсун управления состоит н приближении выхода
г/(.'] = О-[А] (2.63)
к желаемому у'[4‘], т. е. л уменьшении ошибки упраптения
e[fr] = [И (2.64)
Сопоставим с этой hc.ti.io показатели вида
J-x = lim 4-1£ [&I г (2.63)
к.ш
7 е=П^42 41 4*1 р. (2G6)
Если последовпте.тьпость {?<'[/.]} выбрана так, что значении по-
казателя (2.63) равно нули», то гарантируется рано нет пи пулю
ошибки в усгаповщяпемс.я режиме. Равенство же нулю инка за геля
(2.66), вообще говоря, может иметь моего п при на шипи редких
отклонений or нуля*). Пусть i" [A’J = гл = const, п г/" ]А‘] = >/,f -count.
Заменяя исходную цель задачей минимизации (2.65) пли (2.61),
приходим к постапопкв, описанной и и. 2.1 при
J (и) =. _L | у' — Cj: Р =• 1 ?/* —СВи— CGtc- р. (2.67)
Оптимизационная постановка конкретизирует задачу выбора
управления и для ситуаций, когда объект не является полностью
управляемым, т. с. не существует такого п (£] = «*, чтобы еь4’] = 0
при любом г/, иначе говоря, не имеет решения система
pu = s, «Дг/ —<?6w, рДСТ?, (2.(58)
а следовательно, показатели (2.65), (2.66) не могут достигать ну-
левого значения.
Рассмотрим последовательно ряд возможных ситуаций, считая
выполненным условие
rank [1 и»/«, гп Л dim и. (2.6!))
•) Плги пстюо (2.<56) пулю к nmi.in.ie пкенуен л схедпмостью miriu<;i»i>.arc»ir-
KOCin {ер-’|} и нулю в смысле ’h'-ia|.ni и, B'Kiamc говоря, не в.Ц'чгг ял собой
стремления к нулю элслспгон последовательности.
564
1Л. 11. МЕТОДЫ ИДКПТПФПКАЦНИ И АДДИТИВНОЕ УПРЛВЛЕППЕ
а) Известны 8, а. Тогда, полагая
«1А-] = и*=(УР)"‘?Ч А- = 0, 1............ (2.70)'
сразу достигаем минимума J(u), при котором
Р[А-]_ГЛ= (/_p(pj3)-,pjs. (2.7J)
В случае полпой управляемости г* О, и при dim ц щ
и [А] = и* »• р-1.?. (2.72)'
б) Известно [), „о неизвестно л. Тогда, полагая и [0] пропзноль-
ным и измеряя ошибку e[lj находим, что закон управления с
обратной связью по ошибке
и [А- + 1] = и |/с] + К [А] с [А 4-1], с [А* 4 1] = s — pu [/г] (2.73)
приводит к минимуму за один такт, если выбрать
7ir[A-] = (pT3)'1pT = const. (2.74)
в) Неизвестны ни s, mt р. Пусть имеет место полпая управляе-
мость. Тогда при использовании закона (2.73) получим процесс,
сходящийся к и*, если матрица коэффициентов усиления удовлет-
воряет условию
ЛМ!< * (2.75)
Действительно,
и. Ik Т 1] — к* “ и (/г) и* + К(.«— |А|) —
(/ - Л’З) (и. |А| - м*) - Л (.х - ₽«♦), (2.76)
так что при условиях (2.72), (2.75)
’,и [А: 4-1]— w*l<ft|u [А-] — и*|
и имеется экспоненпиальная сходимость:
I и [А] — w*< of I п [0] — и * Г. (2.77)
Для того чтобы удовлетворить (2.75), необходимо иметь некоторую
информацию о 3. Более того, при отсутствии полной управляемости
последнее слагаемое я (2.76) пе равпо пулю, и даже выполнение
(2.75) пе обеспечивает сходимость ы[А] к м*
Обратимся к алгоритмам экстремального регулирования. Отме-
тим прежде всего, что
?/(«) = (Г (х-ри). (2.78)
Ректор 0 неизвестных параметров, входящих в выражение градиеп-
та, состоит из столбцов [4 матрицы [4 и вектора у. Пцпы гаемси
применить алгоритм (2.16) с оценкой компонент градиента по фор-
муле (2.15). Однако, в отличие от (2.14), иренполписпм, что изме-
ряется, и иритом точно, ошибка управлении. Тогда, поскольку
§ 2. АДАПТИВНО!? УПРАВЛЕНИЕ статическим объектом
565
J(tl И) = Ег [A], HMi'CM
V>” «(26,)"' 11 e It (2m + 1) + jl p -1£ [t (2m + 1) + m + /] |a], (2.79)
ИЛИ
Vj° - (2B.)-1|(5 -0" U (3m I-1) -|-/lr - (s - ₽u |t(2m + »)+ m |- /])«] -
- (26()-’ |(x - pr/° - P6(xjj - (x - |5h(0 1- |WV>)2| -
= (2.80)
Убеждаемся, что Vjf> точно совпадает c /-» компонентен! i радиан-
та, даваемой формулой (2.78) при ы = н<о. при любом 6, X).
Поэтому алгоритм (2.16) прп у, = 7 "«const, 0 < у < 2Л-1. где Т>—
наибольшее с. ч. матрицы р’З, обеспечит сходимость к минимуму
последовательности {и*0}. Если же принять 6, -* 0. то и[/г] и*
для любых к (исчезают потери на пробных шагах). Однако можно
посту нить и проше. обеспечивая сходимость точно -за тЛ-2 такта,
Действительно, в силу алгоритма имеют место равенства
е [1] — s — ри [0], е [А-] = .<? — '5 {и [0] —t\,r) = е [1] — 60р1„
j = k- 1 = 1, 2, ...
Отсюда
(НИ —Н А:)),/=»“*—1 = 1, s-e[l] 4-(МО].
(2.81)
Таким образом, по («г 4-1) му наблюдению вычислим все т столб-
цом д, матрицы [J I! вектор s. После ИТОГО можно нп всех дальней-
ших тактах использовать управление и [А"] == и*, вычисленное со
гласно (2.70).
Фактически оказался использованным простейший идентифика-
ционным подход с получением точной опенки всех параметров за
конечное число начальных тактов.
Несколько иная идея применена в [11.4д]: пробные шаги совме-
щаются с рабочими, а параметры определяются н результат» обра-
ботки по МНЕ текущих наблюдений. Пусть и [&]. fc = 0, ..., т,—
какие-либо произвольные векторы рабочих шагов. Тогда наблюдение
дает линейные связи
с [А- + 2] - S (А- -г 1] = р (и [/г + 1] - и [Аф, к = 0, 1 ... (2.82)
Находя на каждом такте А- оценки р [/.-] пз условия мпннмума
V p![/ + 2]-«[(4-l]-0(«U + l]-Mp])la, А- -0,1,..., (2.83)
I к
приходим за т 8 1 такт к истинным значениям, если выио.тнепы
очевидные условии иевырождепностн. Можно доказать, что они пы-
нолняюгся при почти любом н [0], осин далее и |А] строятся соглас-
но (2.73) при
/<И = [0ЧА-]Ж],1ИН (2.84)
56В
ГЛ. £1. МЕТОДЫ НДКИТИФ2КЛЦПИ II АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИИ
Поскольку р (ш -I-11 = ,=}*, то и {m + 1] = и* п н (гл -I- 2] = е*. Пере-
счет МИК оценок разумно m-ети и рекуррентной форме?
|5 [А- + 11 = р |/.| + |Л | 2 (Л£„ - В ГА-1 Ло.;) Ан,;
Ли.. л, и |Л 1J — н [/г], Дг„ л г [Л 2) — е|А- + 1|.
2.7. Управление при случайных помехах*). Пусть наблюдаются
пел и чины
НА] = с[А] + ЛЧА). (2.86)
где {.¥[/>]) — «белый шум». Очевидно, применим алгоритм Кифе-
ра— Вольфоинца (2.15), (2.16) при /(».) = вг. Сходимость управле-
ний обеспечивается ла счет убывания 7., 6f. Практически более ин-
тересен идентпфпкацпоныый подход. Простейший вариант состоит
в циклической процедуре, где в каждом цикле т + 1 такт затрачи-
вается на пробные шаги, a (т + 2)-п— иа рабочий шаг. В цикле t
из уравнений типа (2.81), где ej/т] заменено па е [А-J. находятся
векторы s('\ J?'1', отличиалцисся от а*. {)* в силу случайных ошибок.
Если в качестве текущей оценки брать результат усреднения
этих векторов по всем предшествующим циклам, то оценки сойдутся
(н среднеквадратичном) к х*, |3*. При вы числе и ин рабочих шагов
согласно (2.7(1) < заменой х, ,7 па s’", р" последовательность г/.'"
также сойдется к и*.
Очевидно, что усреднение можно проводить рекуррентпо:
7-.., _ (2S))
Для упропц-ння вычислений обратим внимание ни то, что с ростом (.
оценки и сг1<1тветстную1Ц1ш нм управления сближаются. Поэтому
мри достаточно больших t и Формуле
„о io = J(i3<"")7'‘+-.’]--(р'-")^'+о
можпо учесть малость изменения матриц л попытаться выразить
цЦ+п Через предшествующее значение «<г). Если в ходе выкладок
формально отбрасывать слагаемые порядка меньшего, чем то
получим рекуррентную процедуру
Р<‘ « = г> ц_ ± [}”>, s<^> = + ± ?'>,
П('+” <= Ц<’> -I- -\-Р1П I Р">7° + Р(П е(0]. е<!> = (V'V’ -(2.88)
р-о _ Д |(|V,')rbu> -i- (r/°)'P(n 1//о.
где />>~[(^>)
•) Иместен рнд ннгсррсных псслеaoimuiih'i [1.11, 11.3, 11.11] ио алгорит-
м.чм, у'нпываютим ограниченные помехи, по результаты применимы только
при иодной управляемости.
S3. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИМ OliufiKTOM
567
Процедура (2.88) может интерпретироваться как реализации
двух контуров обратной силан: основной контур реализует обрат
иую спяль но наблюдаемin'i ошибке управления в"* с поправкой по
прогнозу этой ошибки г'°, а в дополнительном контуре осуществ-
ляется идентификация парамо,ров и ncper.'ier матриц коэффициен-
тов усиления t Снеобходимых для работы основ-
ного контура. Вместе с тем влгорптм имеет псе особенноеги и.тго-
рптма экстремального регулирования с введением убывающего ко-
эффициента 7г ~ I 1 для усреднения случайных помех.
Очевидно, что аналогичному прсобр.ыоиакпю может быть под-
вергнут и алгоритм (2.73), (2.84), (2.85), где идентификация произ-
водится без пробных шагов. При его цикли ческой реализации в кон-
це каждого цикла находится текущие величины Д:°, которые дался
подлежат усреднен,,ю.
Возможно, что более аффективной б вычислительном отношении
является пени кл плеская реализация, т. с. алгоритм с основной об-
ратной связью вида и [А; + 11 ~ u f/rj + А [.'<] с [/<• 4-1] п А[А‘]. рассчи-
тываемым согласно (2.84). где Д 1А| — текущие МПК оценки. Однако
условия сходимости здесь нс изучены.
2.8. Переменные внешние воздействия. Кратко рассмотрим си-
туацию. когда i:iienti!Me воздействии изменяются ин времени, т. е.
i'1/.-l л у' | А ] — СО.е |/. — 11 = consl.
При агон наиболее важны три иирпапта.
з) Поя/еИствче илнссгпп згг/ммгс с гичностмп fit) константы $,
Тогда применимы пиисаипыг алгоритмы с очевидной модификацией;
пл обрабатываемых наблюдений .....штается известная часть, а оцен-
ке подлежит лишь константа и матрица [1.
б) Волдсйсгеие .тарпнее пеищесгно, ко его о агкел.ие гиртщчсп.о.
Тогда применимы те же алгоритмы, по вносится дополнительная
ошибка в салу отличия получаемой постоянной оценки от действи-
тельного меняющего воздействия.
is) Нозяейстеие заранее неизвестно, но непосредственно наблю-
дается- и, более того, является полиномиальным степени г.
Тогда оно представимо как решение одпоиодного уравнения
а'* [А] «= О,
где К —оператор сдвига па такт прп пеызвсстпых начальных усло-
виях. а следователь!ю, за г тактов может быть восстановлено по
наблюдениям, если таковые точны, или восстановлено асимптотиче-
ски точно, если нлблюд|-ш1я зашумлены.
<hincaiiin.it> алгоритмы сохраняют силу, если оценка позденгтвпя
ведется не.таппс.пмо (по его наб;ц||де>1нлм), в при оценивании мат-
рицы р ин |(>орму.там тина (2.81) учитьпюется изменение воздействия
но его оцпикэм *).
Диталып-и — в
508
ГЛ. It. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Сделаем также важное замечание, относящееся к постановке за-
дачи. Неопределенность в описании объекта .тишь в редких ситуа-
циях можно задать с помощью набора постоянных параметров.
Обычно при постановке задачи управления неявно понралумсплется,
что параметры, формально принятые постоянными, ла самом деле
медленно изменяются, дрейфуют. Припедепиыо алгоритмы иденти-
фикационного тина работоспособны лишь. если они обеспечивают
сходимость за время, когда, дрейфом параметрон мнжпо пренебречь.
Л норптмы с '*< — 0 в их теоретической форме пспрп.тожамы, по-
скольку приводят к асимптотическому обнулению коэффициентов
усиления. Обычно прибегают к их циклическому применению, через
определенный период восстанавливая у, до исходного значения.
В заключение припадем пример, иллюстрирующий скорее поста-
новку задачи, чем методы се решения.
Пример 2.1. Адаптивное управление формой поверхности астро-
номического зеркала. Поверхность фокусирующего астрономиче-
ского зеркала должна представлять собой сферический сегмент.
Традиционная оптическая технология добивается этого путем
тщательной обработки поверхности и большом жесткости его конст-
рукции, Однако повышение требований к точности (л особенности
в больших телескопах) приводит к тому, что недопустимыми оказы-
ваются и малые деформации, вызванные различными некомнепенруе-
мыми внешними механическими и тепловыми воддействним и. Зти
воздействия приводит к искажению идеальной формы, даже если
таковая получена при нСрионачалыюй ибрабшке. За последние годы
выдвинут (см., например. [11.11) новый принцип: искажения по
перхпости должны компенсироваться в ходе работы оптического
инструмента путем приложения управляемых усилий к зеркалу.
Пусть п[А‘]—вектор, компоненты которого раины управляющим,
силам, приложенным в момент /с к разным точкам конструкции,
а (/[А] — вектор наблюдаемых смещений поверхности зеркала отно-
сительно идеальной в различных контрольных точках, число которых
может быть существенно большим числа усилий. Тогда
— Р«[/’] + -г 1]. где р — матрица коэффициентов влияния (по-
датливостей). а {/г[& — 1] — смещение, вызванное внешними факто-
рами. Ирк этом учитывается, что ввиду' естественной диссипации
за такт между очередными изменениями воздействий реакция уста-
навливается и определяется лишь упругими свойствами конструк-
ции. Требуется выбрать и[/г] так. чтобы смещении отсутствовали,
т. о. + 1] = 0, 4А] “ — //„[А']. Ввиду отсутствия полной управ-
ляемости (число входов меньше числа выходов) удовлетворимся
показателем типа |e[A-JI2 н.чи 1?/[А]1г, т. е. суммой квадратов откло-
нения по веем контрольным точкам. За такт J/-P1'] меняется носу
щсстисипо, п его можно считать постоянным, .хотя н пикзиосгным.
Если матрица податливостей 3 предварительно рассчитана. то при-
меним простейший закон с обратной связью (2.73). (2.74), приво-
дящий за один такт к оптимальному заданию управляющих сил.
6 3. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОЕЪЕКТЛМИ
5К<Р
Однако точный расчет р ввиду сложности конструкции невозмо-
жен, поэтому мы располагаем лишь априорной оценкой р°. Можно
попытаться сохранить закон (2.73), введя в пего Я = [(З'ГРТ’(£')'
Тогда, если выполнено (2.73), т. о. точность оценки [1° велика, то
процедура сойдется, причем чем лучше точность, тем быстрее.
Быстродейслше существенно, нискольку процесс должен с.нй itici.
быстрее», чем существенно изменится рЛА). Дополни гельпые труд-
ности связаны с плохой обусловленностью матрицы (fJ’)T[5nt что по-
вышает уровень установившихся ошибок, как видно ил (2.76).
Оспонпон практический прием состоит в том, чтобы улучшить обус-
ловленность за счет выбора точек приложения управляющих сил,
хотя трудности и сохраняются. При высокой точности измерений
предпочтительнее подход экстремального регулнропанпя с оценкой
р, s по пробным воздействиям. При низкой точности, даже если
погрешности измерений случайны, действие системы пеэффективио
из-за слишком малого быстродействия (хотя асимптотически имеет
место сходимость, но за длительное время изменятся оцениваемые
возмущения). 6J
§ 3. Адаптивное управление динамическими объектами.
Самонастройка
3.1. Основные принципы. Динамичность объекта сущестнеппо
усложняет проблему управления в условиях малой априорной ин-
формации. Идея непосредственного поиска tckvihiio упр.тяля|О1ц<'1 <>
воздействия по оценке вызываемого им изменения показан- in ка-
чества здесь сталкивается с большими трудностями, поскольку :»ф
факт от управления, прилагаемого в данный момент, сильно иска-
жается влиянием ранее прплбжеппых к объекту воздействий в на-
чальных условий. Поэтому наибольший ни серее представляет не-
сколько иной подход, называемый принципом автоматической на-
стройки (самонастройки) параметров закона управления. Предпо-
ложим, что задай закон управления с обратной связью по сово-
купности наблюдений р'л> в виде
ti[Ar]==<2Z(.V;H, CL), (3.1)
где функция ?Z( , •, ) известна, по заранее не определен конечно-
мерный вектор параметров 0„. Таким образом, задача выбора теку-
щего управляющего воздействия заменяется задачей выбора (на-
стройки) параметров ()и.
Определение. Закон управления называется cit.voruicrputi-
аающчлея по отношению к (3.1), если он имеет лид
м [/] = 7/ (ifw, w.1*-1’, 0„ |/г]), (3.2)
где OujA-J изменяется (пастраипавтсл) в зависимости от получен-
ных наблюдении и, возможно, ранее принятых управлений.
Л. А. Псрьизи&шгрлй
5*0
ГЛ. 11. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ II АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Соотношения типа
(3-3)
11 a з ы паю го я ял г о ритм ал 11 с. пл опа стр ой к и.
Конечно, если подставить (3-3) в (3.2), то пиши, подучим неко-
торую зависимость и[/| только от ?/|Г’, м<|_". г. о. некоторый общий
закон управления с обратной
Рис. 11.2
связью. Однако выделение двух кон-
турен (рис. 11.2), основного кон-
тура обратной связи, задаваемого
(3.2), и контура самонастройки,
задаваемого (3.3), стимулирует
эвристические соображения, спо-
собствующие изобретению новых
способов борьбы с неопределен-
ностью (ср. § 4 гл. 10).
Выделим два основных пути
построения самонастраивающихся
законов, которые условно назо-
вем прямым it косвенным (иден-
тификационным) .
Пусть задан какой либо пока-
затель качества работы системы,
замкнутой обратной гпя-и то (3.1). Если свойства объекта полностью
известны, то показатель мн,кип вычислить при каждом ша leiiini
параметров 0„, и он окажется нцкотороп функцией /(()„) яспх па
раметрпн. Колее того, и Принципе можно найти энач.... 0,„ qiitii
мизнрующео этот показатель (минимизирующее /(О,.)).
Предположим далее, что ни /(0«), нп тем более 0„ неизвестны,
однако по наблюдениям п априорной информации в любой мо-
мент к можно построить оценку viA> градиента функции /((h) в
точке С„[/с]. Тогда, начиная с некоторого 6и [0], последовательность
0и [/с) вычисляется по формуле градиентного типа
(3.4)
задающей гот плп пеон алгоритм самонастройки. При подходящем
выборе носледонптельность 6„[А‘] сходится к 0и- Одпако даже
в атом случае нельзя, вообще говоря, утверждать, что соотношения
(3.2), (3.4) доставляют показателю качества значение J (0><), но
скольку в ходе процесс i настройки система функционировала при
неоитимальны.х значениях параметров. Как и в задачах упргн1ле,иия
статическим объектом, можно рассчитывать па ДпСтпжцШп! оиги
мильного или субоптпм;|.ты1ого результати, только если показатель
качества имеет вид (2.3) или (2.4), т. с. характеризует установив
шипев режим или повеление системы в среднем ла длительное
время.
Очевидно н сходство алгоритма (3.4) с процедурой (2.7) экстре-
мальною регулирования статического объекта. Действительно, ал-
§ 3. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОКЪКЬ'ТЛМИ
571
горптм (3.4) также задает управляющие воздействия 8„ [Аф по это
управления верхнего уровни. влияющие на объект косвенно, через
оспоьпую обратную спяаь.
Теперь должен быть ясен и второй, идентификационный путь.
Если >ic(Hi|ii*,u*.Teii>KiCTb и описании объекта может быть сведена к
незнанию конечною числа параметрон. пектора 0, то iiri.iiiin;.-ii6r
все алгоритмические ноаможностн, описанные в и. 2.4, ио применен-
ные к поиску управлении верхнего уровня (i)„ AJ) при фиксирован
пой структуре (3.2) основной обратной связи. Конечно, исследова
ние их эффективности иначитплыю сложнее, поскольку, кроме ди
на.мики процесса настройки, приходится учитывать динамику ос-
новного контура *).
Контур самонастройки, как правило, выполняется медленно дей-
ствующим: скорость изменения параметров делается малой по-
сравнению со скоростью процессов л основном контуре. Поэтому
обычно применим простой прием «замораживания параметров»
(ем. гл. 6, § 6). в силу которого динамика основного контура мо-
жет исс.тслознться так, как будто закон управления сохраняет те
кущне значения настраиваемых параметров до полного установле-
ния переходных процессов. Одпако в некоторых простых ситуацн
их возможно построение самонастройки, скорость которой немала
пли уменьшается ноете и ей ио. Примеры этого цнитси ниже.
3 2, Стабилизация линейного об-ьекта. Рассмитркм объект, опи-
сываемый уранпеняем
«Ith44 [44'44 (3-4
где у, и — скалярные выход и управление, a(t), |)(t) мнпгпч.-u.—
пы от оператора сдвига па такт,
Я (и.) ь"'I-,v-’ +...+ ЧЦ, ' + ... 4-
Будем предполагать, что хоти параметры я,, р, пепапсстны, ио
р„. ,=#=(]. многочлен p(t) устойчив (имеет корни внутр» единичною
круга) и многочлены a(z). Р(~) нс имеют общих корпел. Построе-
ние стабилизирующей обратной связи ври известных параметрах—
элементарная задача, но существу рассмотренная еще в гл. 3.
Достаточно ваять закон управления в виде
44 '44 = -/44?/ [А]. (з.б)
причем подобрать многочлены ?(’.), 44 так, чтобы было выполне-
но тождество
а(=)/(з)-|-р(2)А-(с)=У(4.
где А,г(з) — желаемый устипчнвыГт многочлен, который и окажется
Характерно iTi'leriuiM многочленом замкнутой гнетены. В частно-
сти, если
________________ А'1 (4 = z" ? (;:), (3.7 }
•) Общин индход. базирующийся на развитии метода функций jtiinyii<i>i>i.
положен в 111.7J.
37*
ГЛ. И. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
то можно удовлетворить тождеству, приняв
/(5)=₽(Z), /;(S)=2’-a(2) = -[a._1z’-‘ + ... + a0]. (3.8)’
При принятых предположениях замкнутая система окажете»
устойчивой, а закон управления реализуемым.
В явной форме ею .можно ланпоать так:
и 1А1 в н^~ (a«-«.V IM + - • • 4- ад |A — n +- 1 ] —
l’«-i
- P4-s« I A- - 1 ] - ... - Рои I к - n - 1 J). (3.9)
Если же ввести матрицы cpn[/c] (строка) и (Ju (столбец) по фор-
мулам
Г А'] = lj/ R:], у [А* — п ~ 1], и |7с — 1]. ..., и |7т — п + 1]},
Он = Рян-1 (®n—И • . •: Рп—а. • • ч Po)t (3.10)
то запись принимает вид
г4А:] = Ф«1/с]0„. (3.9')
Если пстиппыо значения параметров объекта пепзпестпы, то попы-
таемся согласно общей схеме заменить (3.9') на закон управления
с самонастройкой:
н{/с] = <Р.1[А-]011[А-], (3.11)
где (O.JAJ) — последовательность настраиваемых копффнииентов.
Заметим предварительно, что ураппепио объекта (3.5) можно
также нерспнсать в рекуррентной форме
УI к + 11 — [ А:] — (а,,-!?/ [ А] + .., -]- ад (Л — га -I- 1 ] —
— ри_гм- [Л — 1 ] — ... — р^н. [А: — п + 1 ]) = Pn-pz | А-) — фа [ A’J ei(t
где указаны истинные, значении параметров. Таким образом, прп
любом управлении пмеет место соотношение
У [А’ 4- 1 ] = Р„-!/х [Л] - <р„ [7с] е!Л, (3.12)
я на управлении вида (3.11) получаем
г/[А+ 1] = Рп-1Тп[А1(9к1А-]-е)< (3.13)
причем ото верно только прп А*>«, поскольку само управление
(3.11) может быть использовано лини, поело получения измерений
па начальных п тактах.
Остается главное—предложить эффективный алгоритм сами.
Hac.rpoiiKii. На первый тннляд алгоритмы типа (3.1) неприменимы,
поскольку в них фпсурируел' оценка градиента минимизируемого
локала rcui качества, а задача стабилизации пс носит оптимизаци-
онного характера. Однако можно искусственно построить показа-
5 3. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
573
толь, например, вида
J =Гйп4*НН (3.1 4)
&-» Ж1 **
Пусть удается найти управление, и силу которого J принимает ми-
нимальное лпачеино, рапное нулю, тогда iарантируется асимптоти-
ческая устойчивость, если па любом такте r/|Ar|. oj/ij ограничены.
В качестве текущей оценки V(M градиента J можно взять вектор
<1 ( 1 \ d
<ДЦА| \ 2" + ^7 5=3 11 «0JA] У I* + 1J =
= J/ + 1] [in-i<Pu [A‘l- (3.15)
В эту оценку входит литпь одпн неизвестный параметр [м-ь но
поскольку важно лишь направление вектора, то достаточно знать
.знак Рп-1. Считая 2> О, запишем стандартную процедуру
(3.4) в ви ю
+ Я = 6иИ — 4- l]<p,1[fc]. (3.1 G)
Теорема 3.1 *). Пусть р(с)—устойчивый .многочлен-, тогда при
выборе.
Та = ТII1 + IФ 1/с + Л Г1 л н>0,- 0<;рп_|"р2, (.1.17)
имеет место огрпнпчениосп {//{&]), (н|А’Р и у|/.]->-0 при к ->- сю. в
Отмстим, что для построении эффективного алгоритма необхо
дима некоторая априорная информация о коэффициенте P«-i> ^то-
го недостатка лишены идентификационные алгоритмы.
Введем и рассмотрение вектор параметров U:
О = («,.-..... а,, М (3.18)
п перепишем тот же .чакон управления (3.9) в виде
фИ6=о, (3.19)
г-*е ,
-fZc] = {_f/[/l.]i .... „и....... «[/;-« + !]}. (3.20)
Тогда в соответствин с общей Схемой при неизвестном 0 можно
применигь закон управлении
Фр]б17г] = 0, (3.21)
где оценки параметров 0[/г] строятся согласло некоторому ичентн-
фиклцпопному алгорн 1му.
*) Доказательство Т.3.1, а также Т.3.2 можно ikihtji в [IJ.22J. Выбор у* со
отнстствует алгоритму Качыпжл (см. текли) {11.3]),
574
ГЛ. И. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Закон управления (3.21) задан в неявной форме. Явно он пе-
реписывается в ни {О
= „._po[A-i«p_,l+ 1|) (3.22)
Рп —1
и почти аналогичен построенному рапсе (3.11). Нискольку Пеобхд
дпмо де инь па |Jn-, [А], то в идентификационные алгоритмы с.те
дует внести небольшое изменение, проп1в<»денствун>|цее появлению
п ходе его работы нулевых оценок и он, (?г1 1) п ком попей гы
вектора О [AJ.
Теорема 3.2. Пусть р (г) устойчив, используется .чакон управ-
лении, (3-21) и алгоритм идентификации вида
е [А -ь 1] = е (Аг] + Гй</[А -ь 1] (I/ (А -Г 1] - ср [Л + 1] О И)'. (3.23)
ТогЗа {</[&]}, {cz[Aj} ограничены и
у [Л] -> 0 при к -> <»,
если используется одно и-ч следующих правил выпора 1\:
л.!) [А- — 1)
а) 1\ т--------------------=----в (3.24)
1-г-«ЬФ(Л-1 (Л- - 1J С|.'(Л-) *
где
Z)fA-J |/ (l l^m/r 1Й/1)-' X
Х7>|А--1]ИА]ф|А-]р[А-_ 1], (3.25)
I) [0] > 0;
б) l\_f = 7*-,Z. 7л-1 Mji + qH*]’,' H>0, (3.26)
причем tt** 1. если б1;+1[/с+1] = б. В противном случае 0<а4<1. К
Оба правила совпадают с описанными в § 2 с точностью до
коэффициента tn, роль которого ясна из сказанного выше. Под-
черкнем, что сходимость оценок 0[/с] к 0 не гарантируется, поскольку
нельзя гарантировать выполнение условия идентифицируемости для
последовательности ср [А]. Приведенные результаты почти без изме-
нений распространяются па случай, когда система имеет несколько
выходов, но число управлений равно числу выходов [11.22].
3.3. Управление при наличии случайных возмущений. Рассмот-
рим объект, задаваемый операторным уравнением
у [А] - (’;)П [А-1 -1- //,./;) и [А-1, (3.27)
гдо
а, р, мшмочлеиы ог оператора
§ 3. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
575
Будем считать, что (ш1А'])— белый шум (если г/.фг]—последо-
вательность с дробно-рациональной спектральной и iothocti.to, то
также можно использовать ааписг, (3.27) поело предварительною
HuCi осипл i|in|)Mиру 101Ц1Ч и фильтра).
В качестве показатели попользуем
h
j =т^4
При известных параметрах объекта задача построения оптимальной
обратной связи может быть решена многими способами (ij. 7).
Ограничимся особо простым случаем, когда
<lcg а (з) == dog J(з)+ 1 - deg p,..(z) « м, а, = р„, „ - 1, (3.29)
а многочлены Зм устойчивы. Тогда, как показано в гл. 4, форму-
ла (4.55), оптимальный лпнейпып закон управления имеет вид (3.6)
при '(г) -'р(з), А_(г) = р15(-)—«(г), а следовательно, может быть
записан в векторной форме
ф|*]0а = 0, (3.30)
где ф[/г]—строка, определяемая согласно (3.20). а 0и — столбец ко-
аффпппептол, которые пычис пиптся непосредственно, гели и .всетпы
НСТНПНЫе значения 1ыраМ(-1'рив объектов. IJ ПрОТИВИОМ Случае МОЖНО
iiptinri путь к <‘.BMniiacT]i.»i"(Ke.
Вновь используем т<п факт, что при условия\ (3.29) Спр.)веД.1ПВ()
рекуррентное представление
у k + 1J = —(А) — .. - —a..)!/ М’ — п Ь 11 б
+ 3„-,п [/rj т-... Ч-фп [л — • п -I IJ+vp. k~>n, (3.31)
где т[/с]Д £_:к_1р,..(£)w-fA‘1 и является случайным непосредственно
пвняблюдасмы м ироцессом.
При обозначениях (3.18). (3.20) имеем
у [/с + 1] = ф [А’} В + v И- (З.ЗГ)
Располагая и момент к оценкой параметрон 0[А‘], выберем управ-
ление н.ч условия обращения в нуль прогноза
Ф [А + 11 = ф [/.-] 0 [А-| -= 0. (3.32)
а переоценку параметров пропзведгм нропорциональпо ошибке про-
1 ио.;а
0[Л- I 1] — й[Л-| Га<р’[А-1(У^-1-Ц -г/[А'-1-11), (3.33)
где 1\ выберем счи.тагно одной из п шihtiiijx г\гч § 2.
Опять-таки важно понимать, что .-пойпп выбор может таран гиро-
гать сходпмосГ!, оценок только при выполнении условия идептнфицп-
рмемоств, a rai оная не обеспечена, поскольку носледователывить
576
ГЛ. и. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
<р [А*] выбирается и ходе алгоритма. 'Гем не менее при определен-
ных дополнительных условиях описанная процедура теоретически
эффективна.
Теорема 3.3*). Пусть многочлены P(s), Pu(z) устойчивы, а
(ч \-1 -
Р 4- Ч’[/| U| 1 , Р> о, т>0. (3.34)
I—о /
Тогда. при любых начальных условиях применение алгоритма (3.33),
(3.34) обеспечивает то зке значение функционала (3.28), что и
оптимальное управление, построенное на. основе известных значе-
ний параметров, если выполнено дополнительное условие
Re[z->ip1.(z)|i_^}>^-. (3.35)
Коэффициент дй выбирается гаи иге, как в Т.3.2. И
Хотя формально н условиях Т.3.3 отсутствует требование
устойчивости объекта, по вычислительный эксперимент демонстри-
рует практическую непригодность метода при большом удалении
корней а (г) от единичного круга (пли при высоком уровне помех):
система в процессе настройки успевает столь раскачаться, что за-
ведомо выходит из области, где справедлива линейная модель.
3.4. Задача слежения. Эталонные модели. В рассматривавшихся
выше задачах предполагалось, что желательным состоянием систе-
мы является состояние у(А|“О. Очевидно, что псе рассуждения
останутся псп.чмоннымн, если требуется обеспечить близость выхо-
да к любому аарапсе ладанному состоянии) у'1 “const или ограни-
ченному процессу г/'1 [А]. Несколько сложнее ситуация, когда —
заранее неизвестный, но наблюдаемый процесс.
Будем считать, что ненаблюдаемые возмущения и помехи от-
сутствуют. Даже если параметры известны, то идеальный закон
управления, вытекающий из тождества
У3 И = У [*] = —а(ь"‘) У И т"₽ (ь"‘)и И, (3.36)
вереализусм, ибо оп эквивалентен соотношению
и [А- - 1] = р-1, [/ (А) + ап_1У [А-1] + ... |, (3.37)
где управление выражается через будущее (предполагаем, что вы-
полнено условно (3.29)). Поэтому при отсутствии дополнительной
информации об )/[А] лучшее, чего можно добиться, это обеспечить
у (А) = / [А - /[А] -(,/ [А] - У’ [А - 1]), (3.38)
заранее соглашаясь на погрешность, равную приращению желаемо-
го процесса за один такт. При атом закон управления принимает
♦) Доказательство дано в [11.23], л и [11.24] привелся анализ той же про-
цедуры, но при выборе Г* но несколько модифицированной схеме АШК.
6 3. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ 577
ВИД
« [А-_ ] « ’{?/' (А - II +а,^у [k-i)+ .. .}. (3.30)
Рп-1
Обобщая эту идею, потребуем, чтобы
.'/(A)- //'(О ^1*1, //«'(J;)-^, (3.40)
где ал. 3'!—многочлены, причем а'1 устойчив.
Разделив па старшее слагамое в а4, запишем
Тогда желаемая связь примет вид
у [А-] = «-')у (*] -ь РЙ(Г‘) / [Ц (3.41 >'
а обеспечивающий ее закон управления дается уравнением
6 (&-*)«[А-1 - & (ъ-1) - (Г *)) У [А-] + р° (Г1) у' [А-]. (3.42)
Он реализуем, еелп — правильная дробь.
Попытаемся обеспечить тот же результат в условиях неопреде-
ленности, хотя бы в установившемся режиме.
Пусть
clA-]AtflA]-//"(^)f/rf|AJ, (3.43)
тан что
[I 1-а“(Г1)]И*1 = 11 + a,(r')]-/[A-|-F(r1)^|A| Ай*. (3.44)
Ввиду устойчивости ав пз — 0 следует, что е [А-] -- 0. Таким об-
разом, для того чтобы (3.41) выполнялось в установившемся ре-
жиме, достаточно добиться
lhn<5i; = 0. (3.45)
Эта задача аналогична рассмотренной в п. 3.2 и может быть ре-
шена с помощью почти тех же алгоритмов, если у [А-], [А'] наблю-
даются бел помех.
В частности, справедливо утверждение.
Теорема 3,4. Пусть многочлены ,5(z), с/(г) устойчины и ис-
пользуется закон управления
м[/г]-фИ1«..|А]. (3.46)
где
<7ja] -
= (рЧъ ‘)!/ЧА-], ИЦ .... !/[/>-«]. «IA--1J, ..., и рс - п -ь 1]},
578
ГЯ. и. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ II АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
a коэффициенты закона управления пересчитываются по формуле
(к [А- 4- 1] = 0. [А-] - ЪЧ, И 6 [fc + 1] (3.47)
с
Тл - т к- -1-1 т (А-] П f > и, о<р..,-,у<; 2.
Тогда ил огроиичеиности {г/"1А'Р слю/уег Ограниченноетъ {,-ЯА-]),
{у [Аг]? о б[А-] О, к [А:] — О при к-'- оо *).
Отметим, что оппг-анпому алгоритму можно дать структурную»
интерпретацию (рис. 11.3), 1де явно выделено устройство с пере-
даточной функцией Л"(ь), называемое эталонной моделью. Основ-
ной контур управления организуется по наблюдениям выхода
(с кспольисшаппем ранее принятых управлений) и наблюдениям от-
слеживаемого воздействия. Внешний (нижний) контур обеспечи-
вает самонастройку закона управления**). Естественяо, та» при
реализации алгоритма с помощью управляющей ЭВМ в таком
структурном выделении пет необходимости.
Рис. 11.3
Идея эталонной модели широко используется па практике, хотя
обычно в более простом варианте, с иеппльзовпппем тестовых
(пробных) воздействий в контуре самонастройки (рис. 11.4). (’тро-
ится основная обратная связь, задаваемая с точностью до настраи-
ваемых параметров 0„. Приращение значений 0„ ведется пропор
цп1»паЛ1.по оценке градиента квадрата ошибки слсже.ппя ла выходом
эталонной модели. Для вычпе.’к'иия (щепок используются, например,
приращения еД вызванные пробными сдвигами по компонентам 0„.
Другой парнант, идентификационный, связан с подачей тесто
пых ноздейс.твий в оенпнной контур (рис. 11.5). И.-цштнфнкации
•) Д'чмлпn-.-n.riво в [1.11. 11.3[. Ряд новых млтсмлппн-с-ких приемов ие-
« лгдовлпия свск-м с 0T,i.i<.iiiiii>i'i мпделыо дан в [11.27].
*•) На рве. 11.3, 11.-'1 использовавы ооопви-ппьн- обозначения (3.2), (3.3)
правил управ.п.-1н:я.
g 3. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТ АМН
579
параметров 0 ведетси по измерениям входя п выхода объекта.
Но текущим оценкам нерестрапиается закоп управления в оспой
пой обратной связи. Структура зависимости //,(0, £) определяется
заранее так, чтобы при 0 “ 0 достигалась цель управления. В ка-
честве алгоритмов идентификации паиболео части используются
нрос.гейшпг типы корреляционного анализа иля оценки но частот-
ной характеристике. если те-
стовые ПО-ЗДСШ 1'ВИЯ являют-
ся гормон и ческами и по.ти-
1 армонпческимп [1L-SJ.
Процесс перестройки, кик
правило, осуществляется до-
статочно медленно для того,
чтобы не искажать идентн-»
ф и к а им < > и 11 у io и ро । году РУ.
Чем выше ypovenii тест-спт-
налов. тем эффективнее
идентификация, во они же
ухудшают качество, обост-
рив. 11/.
чикаемое основным конту-
ром управления. В этом проявляется общее свойство систем с иден-
тификацией, названное А. А. Фельдбаумом [11.16] свойством
дуа.п.нпстп: управление вынуждено подчиняться двум, не обнза-
1С.1Ы10 соглаечканпым целям: основной цели управления к нспо-
могак'.'н ной (научению свинств u6i.ri;ia).
3.5. Об определении понятии «адаптниноегь» и «адаптивное
управление». В ходе изложения использовалось несколько нечеткое
понятие «адангивпый закон
управлении». Попытаемся его
уточнить. В житейском
смысле адаптивность означа-
ет приспособляемость, спо-
собность системы достигать
основной цели независимо
от того, в каких условиях
она работает. Если эффек-
тивность достижения целей
характеризовать покаан те
.тем качества, то идеально
адаптивной окажется систе-
ди
yt*1,
О- .i\c
11.5
Рас.
ма, у которой значение показателя не зависит от усло-
вий, инвариантно к ипм, хотя бы при пзмешшпн ус,- ра-
боты в пределах некоторой заданной области. Если это не-
достижимо, то можно указать допустимый диапазон изменении
показателя я считать систему адаптивной, если показатель не выхо-
дит из этого диапазона (пынодигиы целевые неравенства [4.11])
при всех возможных условиях работы дз заданной области.
580
ГЛ. it. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Закон управления естественно считать адаптивным, если адап-
тивна система, где он используется.
С другой стороны, определению такого рода соответствуют лю-
бые из описанных в предшествующих* главах оптимальных или
субоптимальных законов управления. Что ясе является специфиче-
ской особенностью методов, изучавшихся именно в этой главе и
представляющих собственно теорию ацаитявного упрвлепия? Спе-
цифика заключается в том. что они позволяют строить законы,
обеспечивающие адаптивность (и иногда даже идеальную), исполь-
зуя существенно меньший объем априорной информации, чем это
требуется при применении других методов. При этом успех дости-
гается за счет введения в алгоритм управления тех пли иных про-
цедур обучения, уточнения иервопачальной модели объекта. Поэто-
му многие специалисты считают возможным называть адаптивными
только такие законы управления, которые наряду с обеспечением
адаптивности приводят и к сужению области неопределенности.
0;шако важна не терминология, а существо дела. Следует пони-
мать, что применять обучение отнюдь пе всегда цолесообразпо.
Предположим, что неопределенность конкретизируется заданием не
слишком широкого множества 80, которому могут принадлежать
параметры объекта 0 в аавпспмостп от заранее неизвестных усло-
вий работы. При этом чаще всего используется более простой под-
ход: алгоритмы управления выбираются, походи пз гипотезы о том,
что, папрнмер, заданы какие либо априорные оценки 0 параметров
объекта, в действительности ле совпадающие С истинными 0. Одна-
ко алгоритм, построенный с заменой 0 па (), оказывается адаптив-
ным (в смысле, исходного определения) без каково либо дополни-
тельного обучения. Эта ситуация особенно часто ио.шикает, если
показатель качества имеет асимптотический характер, и но суще-
ству требуется лишь обеспечить устойчивость замкнутой системы.
Отметим, что инвариантность таких покязитслеп по отношению к
весьма широкой области G„ может достигаться и с помощью алго-
ритмов управления с обратной связью, не исиользуютцпх обучение
(см., например, [11.4], [11.14]. где строится спепиальные нелинейные
алгоритмы на основе идеи большого коэффициента усиления).
Па практике априорная неопределенность обычно заключается
в том, что поведение определено с точностью не до постоянных
параметров, а до медленно меняющихся в ходе работы, и притом
в широком диапазоне. Даже если начальные значения заданы, то
рассчитанные, по ним алгоритмы приходится перестраивать па оспо
вс текущей информации. Таковая может включать даже текущие
значения параметров, тем нс менее настройка алгоритмов оказы-
вается целесообразной (см. гл. (>, § 8, и гл. 10, 5 4).
Остановимся еще пз одном формальном аспекте. Всегда можно
расширить пространство состояний, включив в исто неопредслсн
пые параметры (ем. § 1). Вспомогательная задача обучения, иден-
тификация параметров сводится при этом к оценке состояния по
§ 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
58f
наблюдениям, а задача оптимального управления в условиях пс-
оиределеппости сводится к задаче синтеза закона управлении в
расширенной системе. Если эта задача решена, а оптимальное зна-
чение функционала не зависит от пнчальпого состояния, то полу
чнм идеально адантшшую систему. К сожалению, как подчеркива-
лось в гл. ЯК общие эффективные а.порптмы отсутствуют, особен
но дли нелинейных' систем. Вместе с тем, даже если объект описан
линейными соотношениями в исходном пространстве состояний, то
в расширенном он окажется нелинейным, если лвопрсделенныо па-
раметры (как это было и рассмотренных в данном параграфе зада-
чах) входят как сомножители. Поэтому имеется тесная связь между
эвристическими приемами решения нелинейных задач оптимального
управления при неполных измерениях (гл. 10, § 4) и методами
адаптивного управления, изложенными в паппом параграфе.
В частности, идентификационные алгоритмы могут интерпрети-
роваться как алгоритмы оценки состояния типа фильтров Бьюси —
Калмапа со специальным способом выбора коэффициентов уси-
ления.
§ 4. Заключение
В этом, последнем параграфе последней главы целесообразно
принести некоторые суждения, относящиеся но только к ней, по и
к курсу в петом. Денет нитсльио, проблема борьбы с априорной не-
определенностью и nciiruib3<>inutiio с этой целью управления, осип-
ванного па текущей информации,— общая тема курса.
Мы убелялись, 'но построение оптимальною синтеза сталкива-
ется с принципиальными трудностями. Все известные, строго уста-
новленные результаты касаются лишь узкого класса объектов (в ос-
новном статические или линейные динамические) при специально
выбранных показателях качества. В то же время инженерная прак-
тика «поставляет» проблемы, не соответствующие ни одной из стро-
гих формулировок.
В отличие от математика, инженер не имеет нрава отказаться
от решения задачи управления на том основании, что для нее от-
сутствуют теоретические «заготовки» пли она не поддастся строго
обоснованному решению: он обязап «выдать» конкретную рекомен-
дацию, При этом инженер должен четко сознавать, что любое ма-
тематическое описание объекта в определенной мере условно. Ею
прогнозирующая сила зависит от тон ситуации, в которой будет
работать объект, а она заведомо пе л полной мерс известна. Все
«теорсмиыв» утверждения начинаются слонами—«пусть выполне-
ны условия», однако инженер-разработчик системы пе может быть
уверен, что и стоящей перед ним конкретной задаче эти условия
пыполввны. Как правило, приходится полагаться лишь на интуи-
цию, вбирающую в себя опыт работы со сходными но своей приро-
де объектами.
ГЛ. И. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ П АДДИТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Напомним также выводы частотного метода: необходимая пол-
нота математического описания объекта зависит от используемого
закона управления. Чем быстрее изменяется управление, том более
подробным должно быть динамическое. описание, тем иышс должен
быть порядок уравнений, оппсыи'аннцых объект.
Точно так же и нелинейный анализ показывает: чем более ши-
рок диапазон ypuatte.il управляю/цих «о.и/смсгвим, гем {/стильнее
должно быть математические описание, Элементы системы. для ко-
торых приемлема линейная модель при малых уровнях воздействии,
должны описываться нсаине.йнымн соотношениями при высоких
уровнях.
Неоднократно указывалось и то, что критерии оптимальности,
как правило, носят услоппый характер: инженер должен приду-
мать тот пли иной сводный показатель качества работы системы,
ориентируясь как на интуитивное представление о том, «что такое
хорошо, и что такое плохо», так и па известный ему набор образ-
цов типичных формулировок. При атом весьма распространенной
является Ситуация, когда прсвалпруинцим оказывается второй ас-
пект; выбирается не тот показатель, который наиболее соответству-
ет смыслу дела, а тот, который входит в условия строго доказанных
математических утверждений, например, стандартный интеграль-
ный квадратичный показатель.
ЗачЯс.туи! забывают п об указанной выше «обратной свяли»:
паи/енпое « ре ipи,тате, «строгой оптимизации» управле ние может
(казаться таким, что для него теряет слился исходное .читемагиче-
скос описание объекта, включенное в условие оптнмн.ии/иоиной за-
дачи-
Сказанное ни и коей мери нс означает, что оптимизационный
подход не имеет практической ценности: каждое полученное и фор-
мально обоснованное решение дает определенные образцы, рекомен-
дации, которые .можно испытать при создании систем управления
конкретными объектами. Однако при этом, во-первых, не следует
считать, что закон управления, построенный на базе того или ино
го «строго доказанного» результата, действительно будет хорошо ра-
ботать на практике, а с другой стороны, не следует считать, что
закон управления, для которого нет «строгого обоснования», не дол-
жен практически применяться.
Сама теория управления. как- техническая паука, по должна
исключать из рассмотрения тс рекомендации «изобретательского»
характера, которые не. обоснованы как «оптимальные» по какому-
либо четко сформулированному единому критерию. Окинчательпыс
оценки инженерной работы по созданию систем управлении мДжпо
iHii'taiHiгь только на осиованпи .достаточно длительной эксплуата-
ции системы в реальных условиях. Такая опенка редко дается но
какому-либо одному сводному критерию: она включает множество
показателей, каждый из которых ио-своему характеризует систему.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
СВЕДЕНИЯ О ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ЛАПЛАСА*)
1. Определение и свойства ЙГ-прсобразованпя. Любой кусочно
непрерывной функции /(<), возрастающей при t^-oo пе быстрее,
чем в1’, с = const, может быте поставлено в соответствие се преоб-
разование Лапласа (*?-образ):
2? {/ (*)} £ У е“р,7 (0 dt = Р (р).
о
S образ является функцией комплексной переменной р, определен-
ной при любых р тйнпх, что Нср>е. Если /({) = () при t < 0, то
опа однозначно определяема (с точностью до значений в точках
разрыва) ио синему „Т’-образу:
/7) У-Ч/Чр)).
Явные способы вычислении оригинала но 2? образу указаны в и. а.
Основные свойства, легко проверяемые по олредетспию:
a) -образ линейной комбинации функций /(,)= cJifO + cJJ/).
с,, <;—константы, равен линейной комбинации 2'-обрнзов:
(t)) + с^{/г (0);
б) ,2-образ 1-й производной Df(Z) равен
24 l>T«)}=?^{/(t)}-/(()).
^-обряа г-й производной D7(0. r S: 1. равен
241)7(0 > = 1 - /Л-7(0)- r*4)/(0) -... - Dr-7(0);
в) 2>-образ интеграла ранен
2’l'i/(i)(hl •= р |2'{/(4)}:
Л )
*) Д|,ьц.>«г^л1,сгва и паяные гаилнды см., например, в 1113, II.-?].
584
ПРИЛОЖЕН ПК i
г) S’-oopaa свертки двух функций рансп произведению ^-обра-
зов этих функций:
S’ j /i(t) /•>(« — x)dr
(|>
-=^{/, (/)} 2? {/,(/)}.
2. Таблица типовых функций и их ^-образов (нее функции пред-
полагаются JKIIIIII.IMI! нули) при t < 0)
1
2
3
4
5
(i
7
8
9
6{?)
1
tn
sin 61/
COS Ml
etJ sin co/
ел( cos oi
1
nl/j/1'
1
co
p’ I - wa
If
l'~ I- w®
_______to_________
(l> — A)1 I- to!
_____p — A
(p — a)® -|- w2
3. Нахождение оригиналов по ^-образам (обратное прсобразова-
тше). Общая формула обращения имеет вид
c-riw
= J F(p)
c.— jM
где муть интегрирования в комплексной плоскости р пыбпрастся
правее всех особых точек (в частности, полюсов) £?-обраэа /’(/’).
1’>лп А(р) является дробпо-рациопллыюй функцией, то опа пред-
ставима в шще
Г f’V
/' (Р) ” X i 1 (р -
V НЖ=1
где Av —полюс /•'(/') кратности А',, г —разность степеней числители
СВКДЕПИЯ О ПГЕОЬРАЗОВЛППЯУ ЛАПЛАСА
5S5
и знаменателя, см — константы. Тогда
!•—Л i И—I 4
где б"(*)—обобщенная проияиодная р ю порядка б-функцпн.
4. Применение ^’-преойразовяпня для решения линейных диффе-
ренциальных jpainicHiiii с постоянными коэффициентами. Решение
ypiotnciiuii
«(») У (t) =? Г>"У (О I- «„-(D”-’!/ (/) т ... + а„у (0 /(.')
при начальных условиях
Jf\O) = !/'”, Цу(0) = jr(U, Г)'-,|/(О)=у<,,-п
дается в виде
к-'1 Г
y(t) = L + i ф„-1 a —
. j=°
где
рП 1—* I “ -4- -р ct-
?к,(0) Л Ф,(/,) = 1+!»
/ =.0,
rat» что <Р)(0 определяются нутом ribpaniciiiHi дробно рацпонллг.пык
фупкцнн с одяпокопым знаменателем. Функции уданлетворяют
услонпям
a(D)ip,(z)3 Л,», А-= 0, 1, ..., га — 1,
где б.* — символ Кронекера,
о. Опрсделепне и снойства ^-преобразования. Любой последова-
тельности {/рс]. k = 0, 1. ...}, возрастакпцей при k <» не быстрее,
чем cft, с = const, con оста вп мо ее ^-преобразование:
5: {/[/;]}= X з-71'-1
>•-<1
Собрал является функцией комплекс поп перемошюй г, определен-
ной при любых z таких, что Izl >с1). Кслп ввисти замену г «= ср’",
•) В -jvupit» HejHinTiuic.Teii пспозьзустсл прочной<цл.ч функции пог.тедпва-
телыюстя (тзюко пцедешкщ Лапласом), отличающаяся от ^-прсоСразовяипя
лишь аамсией ; на z~l.
3S л- A. Hepausnauejaiij
Г 80
ПРИЛОЖЕНИЕ I
где Тй>0, то 2>образ становится функцией переменной р:
Z {/1/. |) - 1 с-*"1"/ ]/.] Д /•'* (л)-
Jl“ II
Функцию именуют также дискретным преобраяосанигм
Лапласа. Если пиело Апюпелкностп {/]/ } соноста вит к функцию
/(О = /IWU ~ А'т«1- л'т, </<(/»•+!) ъ,
ТО
5? {/(*)} A j "= х c“ft''T,7[A | =- /-'*(/>)
' о h~ "
Основные свойства ^-преобразования:
а) Если /[.<] -= с./ДА:] + с^МН «* = const, то
адл-р = +с2зя.да.
б) -I 1]} = 4-2Ж1} - Д0|],
^{f[li + га]} = 2ий:{/[/.:]} - з"‘/[0] - ... - п/[га - 1], т > 1.
в) 2'{/[A-M]} = -’^(W.
г) {X /, IП /JA: - /][ « | А]} {/JAI}.
б. Таблица -образов тппокых пос.тедовате.чыюетсй
flftl /р-1 згерр
г
6Й а з — Д
1 С" к £
7^1 (s - IIs
(вес элементы последовательностей при А;<0 равны пулю).
7. Нахождение оригиналов по .ЙГ-образам. Оощая формула обра-
щения имеет ипд
/1М=^фг(г)2^,
где интегрирование ведется по контуру и плоское кг охватываю-
щему все особенности /'(£)•
Если /'(г)—дробно рацнона.Ч1.пая функции такая, что
\Д 1
z- Ч-' (2) У Cv г- , G- = const,
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
ДО
/[А:|
8. Применение .S' ....Прилипании для вычисления рекуррсптпо
заданных последовательностей. Если задано, чт»
a(f) "|А|Л,у[/г 4- «] 4- «—1] 4- ... 4- «О,
причем известны г/[0]. . .., у[п- — 1], то
П—1
у[*1 = TjlA-J ?/[/],
где
=2----------
7 = 0, ..., п — 1,
т;1ь- что <7'.[А | могут быть найдены по формуле обращения дробно-ра-
циональных функции. Применение? преобразования для неодно-
родных соотношений при
нулевых ПЯЧЙЛЫГЫХ УСЛОВИЯХ О!111::ЛПО в
приложения 2
СВЕДЕНИЯ 113 ТЕОРИИ МАТРИЦ*)
Е Определи иве и ооозпаче.ния. Матрицей называется прямоуголь-
ная таблица, э-чомситамн которой являются числа или функции, па-
дфнмер,
Р * -п р н
b ° 1? 1о г2!'
Размер матрицы характеризуется числом строк и числом столб-
цов таблицы. Краткая запись «Л—{/л X п)-матрнца» означает, что
Л имеет т строк и л столбцов. Если т — и, то матрица называется
квадратой. Если я» —м = 1, т. е. матрица имеет только один эле-
мент, то опа называется скаляром Если матрица состоит только из
одной строки (или столбца), то она называется матрнз.'пи-сгрокой
(или магриаей-столйцим). Матрицу-столбец будем татки называв.
вектором.
Каждый элемент матрицы характеризуется своим местом в таб-
лице, т. е. номером строки i, I, ..., m. и номером С1",к>цз /,
1, ..., и. н обозначается днойным индексом (I, j).
*) Дока.чателы-.тна «сух (рлктнп, приводимых в нп. 1—в, можно пайти в
литом учебнике ии теории матриц, иаиримср, ЦП, II.2J,
ЗУ
588
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Как правило, матрицы обозначаются большими буквами, а эле-
менты— соответствующими малыми. Обозначение
А = {л,_., । 1............. т, ) = 1, ..п)
читается: матрица Я состоит из элементов л0 и имеет »» строк и ft
столбцов. Если размер несуществен, то пишут сокращенно
Л {a, 1.
Матрица-строка может быть обозначена так:
е = {<?!, Си, -.., с„} (с,, 7 = 1, ..ц),
а для матрицы-столбца может быть использована и запись в строку,
во. в круглых скобках:
Если дана матрица Л общего вида, то опа может рассматриваться
как совокупность своих строк и„ »«=!, ..in, или столбцов Л,. / =
= 1, ..п, и занио.ыиатьсн н виде
/1 ==(«,, i — 1, . . Г«) = {Я;, j = 1, ../Л.
Квадратная матрица Л. у которой нее элементы равны пулю, кроме
алсмситан, стоящих па диагонали, называется диагональной, и Для
псе используются обо значения
A“diag{?.1, ?.„} : diag (?ч, »*1, .... п),
например,
Л =
1 0 01
О 2 о = diag {1, 2, 3}.
,0 0 31
Диагональная матрица, на диагонали которой стоят только еди-
ницы, называется единичной и имеет специальное обозначение
1 = diag (1, 1...О.
Если хотят указать, что размерность единичной матрицы равна и,
то ее обозначают /к. Единичную матрицу можно рассматривать как
совокупность единичных векторов (столбцов)
где
Л. “ ?2, -
ъ-
... 1„) = {/;, 7=1, - »>,
......°)-
Матрицу, состоящую только нз нулей, обозначают просто 0.
2. Сложение, умножение, возведение в степень, трапсвопнрона-
ние^ след. Матрицы можно преобразовывать но определенным
правилам.
СВЕДЕНИЯ ПС ТЕОРИИ МАТРИЦ
5S9
а) Если Л п В — матрицы одинакового размера, то их сумма
есть матрица, алеменгы которой являются суммами элементов сла-
гаемых', стоящих па тех ;ке мостах:
С Л В = <л0 4
например,
р '*) cP :1UP !Ji
13 j/ h lO 2J I'J 3j'
Г) Если X—скаляр (число, cpyiiKiinii), -in
АЛ =
например,
[2 41 Hi 12}
d'll 6j-13 18/
в) Если С — строка, а В— столбец с тем же числом элементов
л, то произведение СВ является скаляром (скалярным произведем
пнем):
СВ = с,6( + Cjt>2 +... + спЪп.
г) Если С— (zn, X «./матрица, а В— (ni,X «^-матрица и
л, «=>та (число столбцов С совпадает с числом строк В), то может
fii.iTi. найдено произведение этих матриц:
I) * СВ (d;ili l-я I, zzz,, /, 1, «J,
причем
Т11
(1/1, — t >Blt -ч ^Zj/ZjZ,,
J=l
Х'де G — l-я строка C, a Z?* — k-ii столбец В, например,
[2 4 1’2’1 Г2-2-|-4-(П [281
(3 1Дб) = 3-2-Н-б)’= (l2
ИЛИ
{<
4 0 8
1 о| 1'1 гг
Если п, z/Zj, то умножение невозможно. .
Вообще гоннря,
ВС СВ.
Если жо имеет место равенство, то м;ирицы В и С пазываютси пе-
pcciuHoeo'tnt>t.iiti. Перестановочными мщут быть только коадратш.ю
матрицы. Приведем также важные частные случаи общего правила
умножения.
г 1) Если Л — диагональная матрица, а В — квадратная гшо же
размера, то
500
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
где bi — строки матрицы В, например,
|2 0'1 [5 (5| Г2-5 2-С|
[О й/(7 fij’“|3-7 3-8J*
уХпа.кн'И’цпо,
/;л- ад),
где В,— столбцы В, например,
/5 «1(2 01 рг> 3-61
|7 8J 10 з]“Ь-7 3-8Г
г 2) Умножение матрицы па единичную сохраняет ее неизмен-
ной:
IB = BJ = B
г 3) Умножение строки на матрицу дает ь результате строку:
СВ = {СВ._, СВг.....................СЬ’Д
если С — строка, a Bj — столбцы В-,
умлнГжопле матрицы на столбец дает столбец:
/16 =(к|6....агЪ),
если Ь— столбец, а «.— строки /1. В частности, если ij— j-й еди-
ничный вектор, то
/111 • ’(«<Ч.<Ch.....«Ъ) ("я, • • •» «л. • • •. «ы) “ -'b.
г. e. выделяется /и столбец матрицы.
д) Операции сложения и умножения матриц, как и скалярных
величин, обладают (очегателъпым и р<ч-пр< Целительным свойством,
т. е.
(АВ)С = А (ВС), (Л + В)С = AC -I ВС, Л (В -I- С) = AB -I- ИС'.
13 силу этого для квадратных матриц определена операция возведе-
ния в целую положительную степень
А'1 = А-А....-А
п раз
и любому скалярному многочлену
/ (г) — з? +’cill_1.rA-1 I-... Ч• а0, k > О,
может быть сопостаилен многочлен or матрицы
f(A) - ЛЛ + а)г ,/!*- + ... + а. !.
Дна многочлена от одной и топ жо матрицы норм шигнючны:
Л(Л)6'(Л) g(A)h(A).
с) Для любой матрицы определена операция транспонирования,
заключающаяся к перестановке элементов таким образом, что эле-
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
591
менты i-ro столбца исходной матрицы становится элементами i-й
строки транспонированной, г. е. если Л = {<?,.}, то транспонирован-
ная, обозначаемая Лг, такова:
Лт “ {«ц1.
Если Л /', то А называется симметричной (птпосптгльпо диаго-
нали), и чист пости, диагональная матрица симметрична.
Справедливо правило траиг.понн ровиння проилиейення
{АВу • В'АТ,
распространяемое на любое число с< мпо;китолсй: при траиспоипро-
иаппп и рои аноде п ия сомножители переставляются в обратном по-
рядке, после чего каждый ил них транспонируется, папримср,
(АВСу = СГГЛ\
ж) Следом квадратной (п X тг)-матрпцы Л называется сумма
ее диагональных элементов. Используется обозначение
tl-Л > У
i- 1
Если С — (wt X п)’-матрица, В — (н X тм)-матрица, то
И- {СВ} •= (г {ВС}.
3, Обращение. Блочные матрицы. Pain-. Собственные числа и век-
торы. а) Для каждой квадратной матрицы А может быть вычис-
лено щ> известным правилам число, иилываемоо определителем, ко-
торое будет обозначаться del Л. Если бе!Л -/-О, то матрица назы-
вается неособой и сущесыквт матрица Л"1, называемая обратной
к Л п удовлетворяющая тпждестну Л *Л - ЛЛ-1 • I.
Обратная матрица может быть вычислена по формуле
где Ли, Л£= — квадратные, называется блочно-треугольной. Для нее
которой («-И являются алгебраические дополнения а юмептон и,и
в определителе Л, например,
’i-„ d -к, d I—„
4 f °™ ~ “id
Л-1 •=--------------
<'11в»2-‘,1г"21 1“"12 “111
(’прпподлпво тождество {АВС)'1 = С'_|/Л!Л“|, рисацюсграпяемое на
любое число сомножшелей, если каждый из них является исособой
матрицей.
) Леи '.тьзустсл также обозначение adj Л.
592
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
б) Любая матрица может быть произвольным образом разбита
па прямоугольные блоки, каждый пз которых является матрицей,
называемой также подматрицей относи гель ио исходной. Например,
где
А.-£ J}. '’..-К). Л,-(2 0.
Матрица, в которой выделены квадратные блоки А, расположен-
ные по диагонали, а все остальные элементы равны нулю, назы-
вается блочно-диагональной и обозначается diagLA, А, ..И А
Например,
Матрица, обратная к блочно-диагональной, сама блочпо-диаго-
пальиа, причем
d еI. d iаg (Л......................, А,) •= de t Л, •... dot. /1 ft,
I diag {.-1......A) I 1 = tl iag | A \ . .., Л,,11.
Блочная матрица вида
где -du, Л 22—квадратные, ц-i илвается блочно треугольной. Для нее
верно, что
det/ = del Ли det-A^.
Справедливо также правило (л<?лгл.'.а Шура)'.
dot Ц = det. Ai det (А, - ApV-A,) = .
Иг i Azl
r= del ЛС- det (At — Л^Л^»
Матрицы могут перемножаться поблочно, причем, если
С=(С1}), £ = (/>’.,},
то
/) «= с/> {/)J?|} Г У сt-i>
т. е. применяется то же правило, что и при поэлементном перемно-
жении (с соблюцсиием ограничений по размерам перемножаемых
блоков!).
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
593
в) Рангом матрицы Л называется число, равное наибольшему из
порядков отличных от пуля миноров, или, что то же самое, на-
яболыиему числу строк (столбцов) пеособой квадратной подматри-
цы, Koiopyio можно выделить в Л. Принято обозначение, rank А.
г) Характеристическим миигочж пом квадратной (я X л.) -матри-
цы .4 называется многочлен степени н, ранный
АЛ(А)« del (А/-Л).
Его корни lv, v = 1, ..., и, называются характеристическими или
собственными числами (с. ч.) матрицы.
д) Теорема Гимилътона — Л'з.пл рели А(/,)— характеристический
многочлен матрицы Л, то
Д(Л)-=0.
е) Решение однородного уравнения
Л.т = 7,-.х (XJ — А = О,
где х — столбец с пеиавсстпыми элементами, называется собствен-
ным вектором Л, соитаететвутпщим с. ч. Av, и обозначается Соб-
ственный вектор определен с точностью до постоянного множители.
Если все с. ч. различны, то матрица 8, составленная из столб-
цов Д\, v — 1, ,,., п, является кеособой. Опа удовлетворяет тожде-
ству
Л.S’ Л’Л о Л’ M.S’ Д <=>л «.S’A.S-1,
где \ <li:Ц<{?-.Л.
Пример. Пусть
1-5 2)
и=и -J-
Тогда
(}. |-5 —2)
A(?.)-det 9 =.-?? +?д. + б. ,
I — 2 Л + 2)
Собственные числа равны /.< = —1, 7.2 = — 6. Собственные векторы
раины Л\ = (1, 2), Лг = (—2, 1), так что
Выполнено тождество
р-5 2Н1 —21 ft —21f—t 01 |-1 121
( 2 — •.»] (2 1J = Ь 1 J I 0 — М = I— 2 — 6J" П
4. Линейные алгебраические, уравнения, а) Г’сли Л — поосибая
матрица, а Ь, х— векторы, то уравнонио
Л
Ах « Ь < > У, ацХ} i = 1, ..
j-i
594
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
имеет решение
х -=,Я_1Ь.
Ре пение матричного уравнения
Л Л'-/?,
где В — заданная матрица, а Л'—неизвестная матрица того л;о раз-
мера, представима в виде
А’ «= А ~'В.
б) Если Л — прямоугольная (гл X п)-матрица, то однородное
у явление
Л.г = 0 <=> У, AjXj = О
3=1
отП0СПТСЛЫ1О- вектора я=(.г1, ..., имеет решение rrs^O, если
н > т. Если n<m, то решение а:=/‘О существует, если и только
если равны пулю определители всех квадратных (ггХ п)-блоков Я.
Если столбцы -4j матрицы Л рассматриваются как ш-гекторы,
то те же утверждения трактуются так: при п т столбцы заведо-
мо линейно зависимы; при столбцы Я, линейно иапиенмы, ес-
ли rank .4 < ».
Jleothtuptxhuic. у равней по
А х ™ б
имеет решение оншснтсльпо н-всктора ir: при произвольном ги-вск-
гере 6^0, если п только если
rank Л = т.
в) Уравнение относительно матрицы А' вида
ЯХ + АВ = С,
гте Я. В — квадратные матрицы, имеет решение при любой квад-
ратной матрице С, если п только если
А, + щ О,
где А( — с. ч. Я, а р, — с. ч. В.
Если В = Я’, то с. ч. В совпадают с с. ч. Я и указанное условие
заведомо выполняется, когда все они лежат и одной полуплоскости.
5. Дифференцирование, интегрирование, лнпойпые. дифференци-
альные уравнении, матричная экспонента. а) Если элементы мат-
рицы зависит от скалярного аргумента f, то
йлйЙг}> рЛ&О’оол)-
Матричное дифференциальное ураинсшю
± Ф « ЯФ,
dt 1
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
595
где Л = {л01 — заданная квадратная матрица, а Ф = — иском; т
эквивалентно системе уравнений относительно столбцов Фп матри-
цы Ф;
фл = jd., = 2Я;?Рл.
j
б) Если / •—const, то решение уравнения с пача.п.пым услови-
ем Ф(0)“/ оирсде.тяст iicocofiy о матрицу сл', называемую матрич-
ной ап с попе нтой. Укайсем ряд способов вычисления матричной экс-
поненты.
61} Вычисление по определению. Элементы /с-то столбца мат-
рицы ел‘, обозначаемые фпЛО, удовлетворяют системе уравнений с
начальными условиями <140)= 1, ср,л(О) = 0, 1Фк. Эта система ре-
шается произвольным образом, например, снедением к одному урав-
нению.
Пример. Пусть
ЧЛ о}-
Тогда
Фи(°)-=1» Фа=>> Ф1г(0)“’0,
<.г<рн, фг1(0), ~~ - — <-Г'р12, ф?г(0)- 1,
о гкуда
pPl|W Ф12 0)1 Г cos ы? <о 1 sin cot)
^А* им г / — < гп
[ф.. х (0 q>2., (0J (—со sin «Я cos col )
62) Вычисление с пнмощыо ^-преобразования. Имеем
ел’ = S’-Ч(р/
Пример. Пусть / та же, что в 61. Тогда
;г=чч> :}
Используя таблицу S’-образов элементов (приложение 1), имеем
Й1"1 f 3 tcs w/’ ^-1 -= si 11
Ip T w j Ip -f- co j 1
откуда вновь следует результат примера из 61. О
oil) Вычисление с помощыо днагоннли.чарующего прсобрилова-
ния. Г’.сли ч. ?.» различны и найдвны <у><ииетстнующие им собст-
венные векторы 5,, го еЛ1 вычислима по формуле
600
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Пример. Рассмотрим матрицу Л т примера в и. 3. Имеем
f — 5 21 И — 21 < f 1 21
Л гея j ,, .J, Х, га -- 1, Х2 “я — 6, .S' геп|ф> !, Л’ 1 | '> 1 *
Тогда
1 fl • 21 (<-' 0 )f 1 21 ! (е~‘-|4е-*‘ 2с-‘- 2е-й'|
•> 12 1 М 0 е-<|')1-2 0 •> l2r-,-2e"w —c"0'
61) Вычисление с помощью степенного ряда. Матричная экс-
понента представима в виде ряда
eAt e= I + Лг + . , , _|_ 1. Л'7'1 + t<,
А-1
При вычислении ее значения для конкретного t с помощью ЭВМ
можно ракомепдовс1ть алгоритм, вытекающий из следующего тож-
дества:
/ /И т,.У
c-v = ^jVf ,
где jV — произвольное целое число. Оно всегда может быть взято
настолько большим, что приближение
(при фиксированном А’>1) окажется удов.тв'гнорптцльпым'.
Вычислении сводятся к простому алгоритму. Прп к ~ 1 имеем:
1. Вычислить Ф(0) “ 7 + Лг/2\
2. /Для 7“1, .... /V вычислить последовательно Ф(7) = Ф‘(7 —1),
3. Положить сл' = Ф (Л1).
Пример. Пусть
Тогда
( О 1| л
М-i о}’ ' = ?.’ jV=W-
Ф(0) =
1
— 7.GC9-10-4
Значение, получаемое пз
7.&Й9-10—4] ,,,. [0,707 3 0,7073]
J ’ * ’ J) = (0,7073 о,7073J'
примера в 61 прп от = 1, i = л/4, таково:
|O.7O7t
10.7071
0,7071
0.7071
и совпадает с Ф( 10) с точностью до 4-го знака. О
Имеются формулы, пилволякнцно указать величины к. Л', обес-
печивающиа иычиелг.шн! с наперед заданной точностью и притом
с плнмеиыппм числом операций.
Общие рекомендации-, при пслюлыюванпи выкладок «нручпуюо
удобен способ 62; при получении с помощью ЭВМ зависимое! ей в
СВЕДЕНИЯ ПЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
597
«.формульном» гиде удобен способ 63; прп оргаппзацпп вычислений
на ЭВМ для конкретной сетки значений t удобнее способ 64.
Замечание. Способ 64 может быть положен в основу числен-
пего интегрирования нё.типеГгяых уравнений
л =/(т), ., (0) х".
Выбирается шаг т но времени и последовательно определяются
Л [А + !] = .»•[/,] + А,;1 - J') ;hl
тде Л« Д (^.Ц1М, Л А / (-0 к=мм-
Матричная экспонента e.h при этом вычисляется по спосо-
бу 64 *).
6. Квадратичные н эрмитовы формы. Положительно определен-
ные матрицы. Устойчивые (гурвицевы) матрицы, а) Если Q — сим-
метричная матрица с шмцественпымп элементами, то Сг(з') — z'<?.r
называется квадратичной tpup.uou относительно вектора х.
Если (?(х)>0 при .г А(). то форма (и матрица Q) называется
положительно определению!.. Если С’(.т)^0, то форма (п матри-
ца Q) называется неотрицательно определенной. ('ootbcti тт-нио ис-
пользуют краткие обозначения () > 0 и Ц > 0. Но критерию Силь-
вестра (n X п) матрица (> > 0, гели и только гели положительны
ясе Ш1рсдел1г1 с.’Л1 диагональных бликов
Ал' del i I, j =* lt ..., }.}, k = f, 2, ..., n.
б) Матрица Л называется устойчивой (су рениевой), если все
с. ч. лежат в левой полуплоскости.
Если известны коэффициенты характеристического многочлена
я (2.) — Лл -I- а,,-,?."-1 -I-... + «...
то по критерию Гурвица устойчивость Л эквквалслтпа полон»итсль-
еостп главных миноров (ц X п)-матрицы 1Г.
[ a(t_, ап 0 0 0]
«,, _3 «п_я a.-.-t ап 0
ЯД.......................................
— 23—1 2fi С«,.;—3.V ! 1 0|
где
etj Л 0, i < 0, а,, Д [,
в) Если {)— ми грнца с комилекснымп элементами и Q = (>'*', сто
(*) означает одновременное выполнение операций транспонирова-
ния и замены элементов на комплскспо сопряженные, то она назы-
') Подробности можно найти в 1П.С].
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
гается эрмитовой. Соответственно, для любого комплексного векто-
ра z вводится эрмитова форма G(z) = z'*’(7z, если Q эрмитова.
Если Q вещественна и z=*x-*~iy, где г, у вещественны, то
G(z) = G(r)+С (у).
Если (?>0, то G(z)>0 при |z| =#-(). Если z— вектор, состоящий и.»
.. |<>н <Ц
иодвек ropon z>, z2, и v i а,,м,,10ВЛ’ T0
(s)Zi,2i (\isi + - E*’ 2i ^?цг2 4- 2з 'Сгг2^-
7. Лемма Якубовича — Ка.тмапа. Пусть пара Л, В нв.вырождена,
<!)(/>) А{р7 — Л] Пусть G(x, v) — эрмитова форма от вектора-
(.с, и). Если
С[Ф(йо)Вщ rJCO (1)’
для всех v и со, то существуют *) Р — Р!*\ h, *( такие, что справед-
ливо тождество
2 Re х1*’Р(Лх -I- Bv) !• G{x, г) = - |Лж - -pl=, (2)’
причем, если А, В и коэффициенты фирмы G вещественны, то Р, h
и y можно выбрать вещественными и Р = Р\
Если выполнено строгое частотное условие
. (?[Ф(и.))/>Ч г]<0 (Г)
для всех м с: [—о, »>] ц. и ч*' 0, то существует Р “ /*'*’ такое, что
2 Re (Лх -I- Bn) I G (х, и) < 0 (2')
для- всех х, и, лишь бы |.г| 4- |р| =^0.
Если С (0, о) = vl*'r/a2r < 0 при всех скалярных v •/'- 0, то
det. {!,i _ ц - В К)} = (- g (р), К & (- ?42)-1/2 Л,
й(7е g(p) может быть сделан устойчивым многочленом за счет вы-
бора k.
Д о к а а а т е л ь ст н о лается для случаи гурвнцевой Л и ска.тярпого е, т. е.
В = 1> — столбец. По определению G(0, v) = fejoi2- У-a ii. Qn — скеллриня кон-
станта. Из (1) следует, что '/;i э;: 0. Положа» •; = (—7и)1/г. удоплетворим (2)
при х = О и любых t>. Выберем А как puirmitnc уравнения
6[Ф(У(о}Ьг. и] =• —ЦФ(ни)Ь — (3)
Далее будет показ«то, чк> такое ft существует. Гели ато так, (2) удовлетно-
ряется при х = Ф(г<|1)(?е II любых V. При кнксстпим Л ОПриДеЛим Р ив урап-
нспая
РА АА'ЧР ш. — (7ц — ft<»Jft, (1)
когорое имют jicmoiiito п силу lypiiiiiicuocTii Л (п/ik). При таком выборе- Р
*) 1'.елц i> г= К,л. гас гн 2> 1, то дополнительно к (I) достаточно потребо-
вать, чтобы С‘{0, г) < 0, с /-0,
СВЕДЕНИЯ 113 ТЕОРИИ МАТРИЦ
5MI
ннкдсс.тво (2) выполняется lijhi и = О и любых х, нискольку (i) экнини-
Ле1гглГ>
2Re
Остается доказать, что сделанный выбор й. Р позволяет удовлетворить (2)
iipu любых других j, р. Установим два вспомогательных ииложеинл.
Лемма А. Пуг.гь о(/>) д />” 4- 1 4- ... 4- «„ где н,— комп-
лексные числа. Пугrt, it,— числа, им сопряженные, и оболцачеио
-I... Ч- й,-
Тогда
1. Корни av(p) расположены симметрично относительно мнимой
оси с корнями а(р).
2. ат(й|>) = а(ц:>).
3. Если а(гсо) = а(ко), то аг(р) — а(р).
4. Если X (/>) =* -——где Ь. а. — многочлены, и Rex(i(u) = 0, то
и U7
7. (?) = — -т?—•
«
5. Если a(p) — av(p) и Г<е а (/со) I), то справедливо представле-
ние (обоищсклцм факгорнмирея)
«(/О - «(/>)«' (/.»),
где а (р) — многочлен
Доказательство .чс.ч.чи Л, за iiii:.t>ipu-iiiium пт.н (него результата,
элементлрио и требует лини- учет того. что если многочлены совпадают ни
MitiUKu'i осп, п> они euiiiiajcaiHi' н на неси комк.тек» вон >i.4<i<'.ki»c*ii.
Докинсом последи»!н результат. 13 силу л(р) "<'(.") нее корни <>(р) с
точностью до KpantucrH ршчиыч.ьт- мы спим- грнчпо относи тел ыю мнимой игл.
Поэтому все корни, но лежащие i:a мнимой оси, мо.ьпо разбить на две сим
Mcipii'iiir.ic группы. Если же у a иг.ть чисто Мнимый корень ;ы.-, то он должен
снять чеглок критностя. так как в противном случае <г(;н) = «v(ic-i) = ci(’co)
= Pe/iiri i) менял бы знак при переходе через iwr. Таким образом, чисто мни-
мые корпи тоже разб|н:а5отся на дзе евмиетрнчныя группы. Исли efiar)
= Rea(ivi) > 0 Vo> е= (—от, + да), то чисто мипмых корней пет п многочле-
ны £(?)• ®т(и) также не имеет чисто мнимых корпел. В
Лемма Б. Пусть Е(г, г)—ормитоеп форма такая, что Е(х, О)53
fc= (J. pJ — 0 при всех ы. Тогда. Г{.с, ;)— 0.
Д оказатедьство к-ммы Б. Учтем, что Ф(;о>)->О нрп о> - ► со. 'Гог-
да /’(», <?) = 0, т. е. спрапед.-лшо представление
Г(А о) - Вп г ^/*д
где f—пскоторый вектор. Пал-кким
X (/'} А г»*’/'-**!1 (р)
гдо .> — Tipoii:iii(ini.)io<* фикеирокиннии числи, lhir-i-м, но уся-млио,
Но X G«) Hr i;,’’/1*-4!' ('«} 6i>M /•' (’l' (ио) i-ч; ,r>ft) • j(i-
Hy -icmmij А следует, что полюсы -/ (p) до.тл.пы быть p:n'ini.Tu;i<ri<i-i ciimmit-
ричпн Г|7сосите.ты1о мнимой осн. Однако, по еиреуи'-тешпо, х (р)—дробно райпо-
иалысая функция, полюсами которой могут быть только с. ч. устойчивой мат-
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
600
jiiiuli Л. Следоваталыго. у(р) вообще пс пхнет поносов, т. е. является много-
членом. Но '/,(!>)->-Ь ПРИ что возможно только, если у(р)=О, т. е.
/ *’Ф(!>)!> = 0<=а /‘•’f/J-AJ-'i О,
что п иредположенпм'пеиырождепностп Л, b эквивалентно / = 0, а тогда и
Г(г. |.') = п.
Па леммы lj следует, что тождество (2) удовлетворяется при любых аг
v, поскольку оно экшны.н-нтно
/• (г, г) A G (г, с) -|- 2 Пс ?*>/» (Лж -|- 0 -|- | 1,Л — ур |2 Q.
Ост метел донизать. что нозмоэ.т'п выбор It согласно (3).
Пусть «(р)— характеристический многочлен А. Умножим (3) па —|a(to>) |г.
Тогда
— г.'] = -I- (a(ta)|!|A(to/-Z)-|6 —у|г|4<|’. (5)
Сократив на fr|!, получпм слева многочлен от ft» с заданными коэффици-
ентами, который можно обозначить Pflm). Его можно однозначна расвростра-
пнть на комплексную плоскость п. Очевидно, что Р(р) = Pv(p)t поскольку
Г(;со) веществен при всех <» и P(to) TteP(Ito) = P(to), а следовательно,
применим результат 3 леммы А. Далее, пл результата 5 леммы А следует воз-
можность факторизации: Р(р) «= g(p).?T(p) с устойчивым g(p). Теперь очевид-
но, что (5) удовлетворится, если выбрать !г так, чтобы
ё(р} = — — И)—1* — Yla(/>)- (6)
Это тождество можно переписать в hu.ih
Л(р/-Э)“Ьл I. (С,-1-G) -g(p)+уа(р). (Г>
Многочлен ci’paini имеет степень не выпит п — I. Дебстнптсльпо,
/’(/>) «-—£С(р)а1-(р)ч’.ч-I- (многочлен степени 2«— 2) г>
•* к(/>) •=’ П'" + ...•> — .<,’(>) + 1«(р) «n-iPn“J-I-...-|-"о.
Коэффициенты .......п„_| известны, и тождество ((>') удовлетворится, если
впйгн k из решен ид системы
hC< = я>, I = О, 1, . п— 1.
Пцкторы Ci линейно независимы, если пара А, Ъ ннкырождепа, так что си-
стема разрешима и тем енмым доказательство того, чти (1) => (2), завершено.
Докажем, что dul(^7 —А — (—= (—52i)"I/5S(p)» т. с, что
det(p/ — А — у-'-ЬЬ) = у-'^(р).
Действительно, используя (fij и лемму Шура (п. 36). получим
det(//7 — А — = t!el(p/ —А)(1 —у-'я(р/ —<=
= ¥”'я(р) (7 — " )"'л) = y-’s(р).
Таким образом, доказано, что (1) > (2).
Очевидно, сирапедливо и обратное (2)=^(1).
Для доказательстпл того, что (Г)=^(2'), нерепншем (!') в вида
(г‘]Ф(/ю)bv, к] = — у!*'П(Н1>)р,
где II(/ы) непрерывна и II («(»)> 0, так что
11 (гм) 11«>0, Ни const.
Введем также
(7i(z, v)—C{x, у)+e(!z|a + 1р|:), е > 0. (7)
СИГДЕПИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
GOT
Тогда
/?,(Ф(/сй)£ш, г] — р!*'Пси + е (с+ 1) |v|; О,
где с— попетаита такал, что при всех ы
1Ф (/«)& I1 <S с.
В силу докэ.т.т иного ньнпе существует /’из/’'*', удовлствордкниая
при нсгх х, v iiejianQiiciiiy
2Нег<*’Р(Лх+Ь1’) + С,(х, г) «г О,
которое согласно (7) влечет за собой (2').
Следствие *). Уравнения
А'Р + РЛ - K'tRK + Q = 0, ВК = !ГР (8)
имеют единственное положительно определенное решение Р и со-
ответствующее ему К такое, что Л — ВК — устойчивая матрица, ес-
ли В > 0, пара А, В невырождена и выполнено одно из двух усло-
вий: <?>0, либо Q = C'C, причем пара А\ С’ невы рождена.
Доказательство. Существование ецммотрачигщ /’ п А', удовлетворя-
ющих (8), эквввллеитло существованию Р = Р’ и А, для которых вы иоднепо
тождество
2Пе *'♦>(—/’) (Ля + Ле) — - —(в -| КлУ*>П(» -|- А>)
дли любых комплексных х, в, По лемме ЯнуГнпшча— Калмина для этого до
ста точки, чтобы
С, |Ф (/ы) Hr. v| < О, С (х, р) А — — e(,)Ki-}.
Нескольку Н 0, ТО вто условие лаведомо ВЫ1К.1ЛИсиО. lio.'li'l' того, выпол-
нено и строгое условие (Г), причем G(0, р) ——v*Hr < 0. так что па леммы
также следует, что имеется единственное решение Р Р\ А, для которого
Л = Л — Л'А' устойчива.
Поскольку система (8) эквивалентна
лтр-р ра =- — а’/?а — «4 — V, к--* л WP, (У)
то при Q > 0 имеем Q > 0, it положительная определенность решения 1‘ с-чс-
дует иа леммы Ляпунова (гл. 8. $ 2). Несколько коднфицнрул показа!гльстио
этой леммы, можно убедиться, что р > о |( мрц условии невырожденности па-
ры Л", С1.
8. Алгоритм факторизации для решения матричного квадратно-
го уравнения (8). Пусть В == b —- столбец, В - р > 0 — скаляр и (8)
ааписывается в виде
/1 'Р + РЛ - рК'К + Q - 0, к = р-'В'Р. (10)
Пусть существует решение Рч, Ке. Обозначим
11 в (7?) ф (/>) А IР1 —1 yl 1
•) Следствие эккнвалситио Т.5.2 из гл. 6 и в ри и у щс п но му при доказатель-
стве Т.5.1 утверждению,
ЗС А. А. ГГсрчо лшпгэгпй
<02
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Тогда для произвольного р верно тождество
Го (А - pl) + (Л + р!)'Ри - рЛ'Х + <2 = 0
. >- 7',/!»-1 (р) - [Ф-1 (- р)Г Рп - рЛ'.Уч + Q - 0 >
_ /ГФ’(- р) рон - ВЧ^Ъ (Р) Л -
- р/ГФт(- р) 7ч/<0Ф (р) 13 + /ГФТ(- р)<2<1>(р) В О <->
[1 -I- яр(-р)Ш + яр(р)] = Л(р),
где
£ (Р)£ 1 + Р 1В'<33'{— р)(АЬ(р) В.
Производя факторизацию А(р), запишем
L (р) = (11)
к (Г) »{—й)
где 2(р)—устойчивый многочлен. Если представление (11) возмож-
но, то
///1(p) = Lfc^Ll
ч- ‘ «(/>}
л вектор Л'„ находится из тождества
1Цр/ — /1 ]_1^а (р) = I (р) — а{р), (12)
после чего матрица /’>0 определится па решения .nmeiinoro уран-
Алгоритм обоснован в услопннх следствия (и. 7). OooOhu'iisio
ла случай произвольного 13 дано в [4.11].
Пример. Пусть
я " (о oh в ~ uh _ м
Тогда
г , \ (- Р 0 U1 fp г‘ (°) - 4 1 РР* + 1
J (Р) = 1 + ) 1 —PRO 0,11О рД1 ’ рр1 РР*
Имеем а(р)-=рг, 2(р)=Р-!,*7.й(РР!/‘), где ъ(s) — многочлен Г.атгер-
ворта, Хг(.«)= s’+ T2s + 1. Тождество (12) принимает вид
от куда
А-.-ор-1'1, А-, - 1'2 р-,/4,
что совпадает с решением, полученный «н лоб» в Н.5.2 гл. В. □
9. Итеративный алгоритм для решения матричного квадратного
уравнения (8). Уравнение (8) эквивалентно системе (9).
СВЕДЕНИЯ ПЗ ТЕОРИИ МЛТТ’ЗЩ
Зададимся каким-либо А(0) таким, что Л:й> л А — 7?/С("' тур.
впцева. Тогда последовательные приближения строятся по правилу:
_= _ [K-opM'Uj _
Л'<'+’> = 7?-7ГР,,>, Л(,+,’-Л-?/А'(н", t • О, 1, 2.
причем на каждой итерации решается линейное матричное уравне-
ние.
Сходимость алгоритма обеспечена и условиях следствия из п. 7Т
причем
/мп >0>
и вес матрицы Л(<) устойчивы. Доказательство см., например, в
[II. 7, П. 8J.
Начальное приближение (стабилизирующие коэффициенты уси-
ления) может быть найдено либо по алгоритмам. указанным в гл. 6»
либо с помощью следующего приема.
Пусть 3>0 таково, что р Re 7.v. где — с. ч. И: тогда
— (/1 + р/)т устойчива и матрица Р, удовлетворяющая уравнению
- (Л + $1)Г> - Р(Л + р7)т + 2Ь7?-*7Г = О,
является положительно определенной* Найдя Г. примем /с1*’ =
П~'1>'Р~'. Устойчивость A9 = A—БK^, следует из леммы Ляпуно-
ва, поскольку мри таком выборе /<" справедливо чпждеспя)
Д>‘Ф+Л(,Т<’>/-|-2р* = 0.
39
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ *)
К ГЛАВЕ 1
1.1. Автоматизация производства и промышленная электроиика/Под ред.
А, И. Берга, В. А. Трапезишюва. 'Г. I.— М.: Советская энциклопедии, 1М2.—
424 с.
1.2, Балянип В. И. Нромыптлсппыс роботы.— М.! Магшпостроснве, 1957.—•
1.3. Г> е с е к е р с к и й В. А., Орлов В. ГТ., II о л опека я Л. В., Федо-
рой С. М. Проектирование следящих систем малой мощности. Л.; Суд-
иромгпз, 1958.— 5IJS с.
1.4. Бруокип Д. Э., Зорок о впч А. Е., Хвостов В. С. Электрические
машины и мнкрочашипы.— М.: Высшая школа, 1971.— 432 с.
•1.В. Бурдаков С. <)>., II с рв о а в а п е. it и й А. Л. Дипампчс-ский расчет элект-
ромеханических следящих приводов промышленных роиогон. — Л.: ЛПИ,
1982,— 72 с.
1.6. Основы проектирования следящих систем,'Под род. II, А. Дакоты.— М.:
MniuiiilocTpoeiiiie, 1978.— 391 с.
1.7. С т р о г а и о » 1‘. 11. Управляющие Мишины и их примел.к .— М.; Р,ме-
шан школа, 1978. 21)4 с.
К ГЛАВЕ 2
2.1. Воронов Л. Л. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость.— М.: Па-
ука, 1979, — 336 с.
2.2. Коган Б. Я. Электронные моделирующие устройства и их применение
для исследования систем автоматического управления.— М.: Флз.матгпа,
1963.—510 с.
2.3. Маркуше вич А. И. Краткий курс теории аналитических функций —
Ивд. 4-е.— М.: Наука, 1978. 415 с.
2.4. Палю де Ла Барьер Г. Курс теории автоматическою управления. -
М.: Машиностроение, 1973.— 397 г..
2.5. Понтряевп Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— Изд.
5-е,— М.: Наука. 1982.- 331 с,
2.6. Пости и ко и М. М. Устойчивые мао-очлепы.— М.: Наука, 1981.—175 с.
.2.7. Смирнов В. М. Курс высшей математики. Т. I.— Изд, 15-е.— М.: Госте.х-
надат, 1954.— 472 с.
К ГЛАВЕ 3
8.1. Б осе коре, к и й В. А., Понов Е. П. Теория систем автоматического
регулирования.— М.: Пауки, ИНН». 992.
8.2. Заде Л., Дезое р Ч. Те.ярпи линейных систем.— М.: Пахкп, 1970.—
703 с.
♦) Принед|.1»нь1Й список яолпетел списком использованных исто’инпгоп,
а на рекомендуемой литературы, и том более но претендует на полное отраже-
ние даже основных работ по затронутым темам.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
605
3.3. К вакерна а к X., Сиван Р. Линейные оптпмальпые системы управ-
лепив.— №.; Мир, 1977,—Й60 с.
3.4. .1 о й ц п п с к и и Л. Г.. Лурье Л. И. Курс теороч ичс-ской механики.
Т. II,—Изд. 5-о.— М.: Гос шхн.тдат, 1955,— 595 с.
3.5. Ок у пс: в Л. 11. Высший алгебра.— М.: Учпедгиз, 1953.— 335 с.
3.6. 1'0 з е и в а с с г р Е. II., Юсупов Р. М. Чу ветвит c;:i,hoc.ti. систем управ-
ления.— М.: Ппука, 1981.— 464 с.
К ГЛАЙЕ 4
4.1. Воронов Л. Л. Опюшл теории автоматическою управления. Т. 2.— М.;
Л.: Энергия, I960. -371 с.
4.2. Катковпп:; В. Я., Полуэктов Р. Л. Многомерные дискретные спе-
шны управления.— №.: Наука, 1966.— 416 е.
4.3. Но лм о г о рои А. Н.. Фомин С. В. Олт-менты теории функции л функ-
ционального анализа.— №.: Наука, 1968.— 496 с.
4.4. Крамер Г. Математические методы статистики.— М.: Л.,’1. 1948.-- 631 с.
4.5. Острей К. Введение в стохастическую теорию х-правления.— №.: Мир,
1373,—321 с.
4.(1 . 11 с р в о я в а пс к и й Л. Л. О качество рсгуллроваппя частоты в энерго-
системах.— Известия АН СССР, О'ГН. 1957. Лт 1..
4.7. П е р в о в в а н с к и й А. А, Математические модели в управлении про-
из поде гном. .Мл Наука. 1975. 617 с-.
4.8. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ен применение к за (ачам
автоматическою управления.- Мл Физматгнз, 1962,—359 с.
4.9. Спо in пн ко в Л. Л. Прикладные методы теории случайных функций.—
Изд. 2 е.— Мл Науки, 1968.
4.10. Се р о б ро и и и к о н М. Г., И с р в о я п а и с к и й Л. Л. Выявлеияе сиры
ты.х периодичностей.— Мл Физматгнз. 19lifi.
4.11. Фомин В. II., Фрадкон А. .11., Якубович В. Л. Адаптивной уп-
pai епн<> динамическими объектами.— Мл Наука. 1981.— 448 с.
4.12. Ч а н г HI. С. JI. Ciuii'.'u oiiruMiuii.iii.ix си1-т> м «niii.v (>iH4cei;oi<i управле-
нии,— Мл MaiiiinHH'.Tpneiiiic, 1964.
К ГЛАВЕ 5
5.1. Л нпермап М. Л., С i и pit он И. М. О применении методов малого па-
раметра для исследовании нерподпч!сонх режимов к системах. щ> содер-
жащих мя.'пво параметра.— В кил Памяти Л. Л. Андропова.— ?-1л Изд во
АН СССР, 1935, с. 77—92.
5.2. Б а х в а л о в JJ. С- Чпслсппые методы.— Мл Наука, 1975.— 632 с.
Ь.-З. Бра норм ап Э. №.. Пятницкий Г. С. ПрохижДЕйие случайного
сигнала череп абсолютно устойчивые системы,— Автоматика и телемеха-
ника, 1971, т. 32, Л" 2.
.5.4. Гел и е А- X. 05 устойчивости двпиртпия систем с пее:;ниствеп:1ым поло-
жением равновесия.— ДАН СССР. 1962. т. 147, .V 3, с. 525—528.
-5.5. Го л в .т фа р б /1. С. О шкоюрых пслппсйпостях п системах регулиро-
1.1н<|ия. Автоматика и телемеханика, 1917, т. 8, Air 5, с. 347- 383
5.6. К а з а к о в И. Е., Д о ст у и <> в Б. Г. Стацгстп- еская динамика нелинейных
автоматических снегом. М; фиямяттпз, 1962. 332 с.
5.7. Красопский II. 11. - Некоторые задачи теории устойчивости движе-
нии.— Мл Физматгн.1, 1939. -212 с.
5.8. Крылов П. №.. 1> о г о л 10 б о и II. II. Внеденио п нелинейную механи-
ку.- Кпон: АН УССР, 1937. 363 г.
5.9. П с р н о :i и а и с к и й А. Л. Случайные процессы и нелинейных аптомл
тических системах.— М_: Фнпматгиэ, 1'162. 352 С.
5.10. II <ш on В. М. Об пбеолютпой устойчивости нелинейных < истем автома-
тического регулирования.— Автоматика ц телемеханика, 1961, т. 22, .М 8,
с. 9G1-979.
605
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
5.11. Попов Е. II., II альт on И. П. Приближенные методы иссдедовапия
нелинейных автоматических спелей.— М.: Фгшаина, 1960.— 792 с.
5.12. Я к у б о п и ч В. А. Периодические и почти периодические продол кино
режимы регулируемых систем,— В мп.: Труды III Международного кон-
гресса ИФАК.— М.: Наука, 1971.
5.1.4 . Bool он В. С. Jr. Nonlinear control syMcms with random inputs.— IBE
l i nns.. 1954, CM, p. 9 -17.
5.14. Cho Y.-.S., Narendra K. S. An off-axi.’* circle criterion for the slnbili
tv of feedback systems with n monoionic non-liuenrity.— IEEE Tr. on AC,
1968, Aug., p. 413-416-
К ГЛАВЕ 6
6.1. Айзерман M Л. Классическая механика.—И.: Пауке, 1974.— 367 с.
6.2. Калм ни Р., Фал б 11., Арб и б М. Очерки по математической теория
систем.—М.: Мир. 1971.— 40) с.
6.3. Ли Э.. Маркус Л. Основы теории оптимального управления.—М.: На-
ука, 1972.— 576 с.
6.4. Липцер I’. И!.. Ширяев A. IJ. Статистика случайных процессов.— М.:
Неука. 1974.— 698 с.
6.5. Л а р и и В. М., П а у и с и к о К. И.. С у н це в В. П. Спектральные методы
Синтеза липенпых спетом с обратной связью.— Киев: Паукова думка,
1971.— 137 с.
6.6. П с р в о з в а п с к и й А. А., Гайд гор и В. Г. Декомпоппцпя, агрегирова-
ние и приближенная оптимизация.— М.: Паука. 1979.—342 с.
6.7. II а р п о а п а н с к и й А. А. О метоле замороженных коуффнциептоп при
синтезе линейных регуляторов.— ДАН СССР, 1983, т. 268, Лё 5, с. 1075—
1078.
6.8. 1’ом л и о и с к и й ТО М„ С то и а и о и а II. В., Ч о р и а п е к и й Д. С_ Мп-
ii-siai и веское моделирование и биофизике.—.М : Науки. 1975.-344 е..
6.9. К л i I а 1 h 'Г. linear systems.--New York: Prentice Hull, 1980. — 682 p.
Cm. tukikc [3.2, 3.3, 4.2, 4.5, 4.11].
К Г Л А В В 7
7.1. В о р о in к и и А. Е., Катко пи и к В. Я. Лилейные цифровые фильтры п
их реализация.— М.: Сов. рацио, 1973.— 152 с.
7.2. Меди ч Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.—
М.: Bnrpinfl. 1973.—440 с.
7.3. Цыпкпв Я. 3. Теория импульсных опелем.—М.: Фпзматтз, 1958.—724 с.
7.4. Цыпкин Я. 3. Основы Ti-upiiir автоматических систем.— М.: Наука. 1977.
7.5. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами,—
Л.: Пал ЛГУ, 1985.- 336 с.
См. также [3.3, 4.2, 4.5, 4.11, 4.12],
К ГЛАВЕ 8
8.1. Андропов А. А., Витт А. А., Хамкин С. Э. Теория колебаний.-
М.: Фкзматгиз, 1959.— 915 с.
8.2. Б арб a in и и Е. А. Функции Ллпуиопл.— М.: Паука, 1970.— 240 с.
8.3. Белл м а п 1*. Теория устойчивости решений jtiH[»pepeiiiviani.iii.ix уранке-
пи и.— М.: ИЛ, 1954.— 216 с.
8.4. Барки it A. II. Оценки качестве нелинейных систем р-тулероваиия—
М.: Паука, 1982.—256 с.
8.5. Васильева А. Б., Бутувоп В. <5. Асимптотические ризложгиши ре-
шений сингулярно 11озму1ц|-н|||.1х уравнений.—М.: Внука, 1973.—272 с.
8.6. 1 ел и г А- X., Л С <> н v и Г. А., Якубович В. А. Устойчииц^ть пелни'-п-
цых систем с песдвистиекиых состоянием равновесия,— М,: Внука, 1978.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
607
8.7. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. -
М.: Наука, 1967.— 472 с.
8.8. Красносельский А. М. Частотные признаки и задаче о вынужден-
ных периодических колебаниях и мегоде гармонического бнлннса.—
В пн,: VJII IJccc. coueinJuiHo по проблемам уяроилеипя: Тезисы докладов.
Кн. 1 — 51.: НПУ, 1981), с. 21-211.
8.9. И р а иное е л I. г. it и й М. А., В а й и и к к о Г. М., 3 а С р с й it о 11. II. 11 рн-
ближеииос решение vurpaгорних уptiHirciiиii.— М.: Науки. I'-.'liH.
8.10. Лурье Л II. Jleioiiopi.io не.лниелпыс заднчи ie<>pi:n лнгомагпчсскиго ри-
гулироппиия.— М.; Л.: Гос-техпадат, 1951.— 211! с,
8.11. 1’оаен нассср Е. 11. Колебания иелпиенпых систем: метод интеграль-
ных ypamiuniin.—М.: Паука. 196'.).—576 с.
6.12. Яку о в л ч D. А. Частотные условия ашоколебнппп и нелинейных сис-
темах с одной стаиионариой ноэипойвостью.— Спи. мат. журнал. 1973,
т. XIV. Л? 5. с. 1100-11211.
8.13. Saksona V. I!.. О’Да Iley J., К о kotovic Р. Singular perturbations
and tiuie-scale methods in control theory: survey 1971:—1983. Automatic*,
v. 20, A= 3, 1984, p. 273—293.
8.14. Siljak D. Nonlinear systems.— New York: J. Willey, 1969.—618 p.
См. также литературу к гл. 5.
К ГЛАВЕ 9
9.1. Л л с к с с с к В. М., Тихомиров В. М., фомпп С. D. Оипшнльпое уп-
равление.— М : Наука, 1979.— 430 с.
9.2. Ар кип В. И., Ев ст и г п со и II .В. Вероятностные модели управления
и OKntiuMiriecKciH длпампкп.— М.: Наука, 1079.— 176 с.
11.3. )> о л т н и С к п й В. Г., Г а м к р о л и д е 1'. В., П аитрпгп п Л. С. К то-
|>||и.и оптимальных* нрицоссон.--ДАН СССР. 19511, т. 1KJ. Л7 1, и. 7--10.
9 1. Болтянский В. Г. Мл1гматс1ЧёГ|.11г методы от пмалыкии унрми.и:
пил.—М : Наука, 1966,—308 с.
9.5. Болтянский В Г. 0нтт1мл.и.1|оп ynp.Th.iei:но дискретными ciie.-ioua
мп,— 51.: Паска, 1973.
0.6. Га б а с о и I- <J>., Кириллов л Ф. М. Оптимизации линейных систем.—
Минск: БГУ, 1973,—248 с.
9.7. Гродаовскпй Г. Л., Ннанон 10. П., Токарни В. D. Механика кос-
мического полета с малой тягой.— М.: Паука, 1956.— G89 с.
9.8. Данциг Дж- Лппсплос программирование, его обобщения п иркмспс
пил. М.: Прогресс, 1966.— 600 с.
9.9. Демьянов В. Ф-, Малове нов В. II. Введение в минимакс.— М.:
Паука, 1972.- 368 с.
11.10. К о'л о в с к п и М. 3. Автоматическое управление впЯропащитнымп сис-
темами.— М.; Паука. 1976.— 320 с,
9.11. К рй со в с к и и Н. II. Теория управления дзижеппем. - М.: Паука, 1968.
9.12. К у р я; а и с-к и й А. Б. Управление и наблюдение- в условиях пеопродо-
лелпос-ти. М.: Паука, 1977.— 392 с,
9.13. Лей гм ап Д. Введение и торию оптимального управления.— М.: Пау-
ка, 19118.— 192 с.
9.14. Лэсдоп Л. Оптимизация больших систем.— М.: Наука. 1975,—432 с,
9.15. Моисеев Н .II. Чнслсгшыс методы в теории онтпяальпы* систем.— М.:
Наука. 1971.—424 с.
9.16. II и II и оя П и и с к и й А. Л. О минимуме млксималыкмо отклонения управ-
ляемой линейной системы.— llaureniii АП СССР, Механика, 1965, Л» 2.
9.17. I] к р и о а и а и с к и it Л. А. Попел. -М.: Наука, 1971). >2М с-
9.18. Нолл к 1>. Т. Вне денно н oiitumiu»iih»>.— 51.: Науки. 1983.— 384
9.19. р о а и и о » р JI. 11. Принцип максимума JI .С. Понтрягина и теории ihitji-
мяльиык спетом.—AiiTiiMiniiita и телемеханика, 19511, т. 5'0, Л’ Ц)—12.
9 20 Суханов А. А. Метод решения Ш'-ШПсйпых двухточечных краевых за-
дач.— 7KDM и МФ, 1983, Ni 1, с. 228-231.
cos
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
9-21, Фвдорспко Г. П. Приближенное решение задач оптимального уп-
равления.— М.: Паука, 1978.— 488 С.
См. также [3.3, 6.3]’.
К ГЛ A BE 10
10.1. Локи М. Огн и милиции стохастических систем.— М.: Паука, 1971.
10.2. Веллман 1’., Дрейфус с'.. Прикладные лидами динамического про-
граммировании.—М.: Наука, 1964.— 457 с.
10.3. 1 апцгори II. Г., И о р н <>e в а и с к и и А. Л. Лснмиютическис сиийст-
на управлений, оптимальных и среднем.—В кн.: Математические методы
<лгтияал1.н<но управления и обработки данных,—Рязань: I'P’JH. 1983.
10.4. Кол осо в Г. Е. Guinea оптимальных оин>м атнческнх систем при слу-
чайных возмущениях.— М.: Наука, 11184.— 256 с.
10.5. Рей У. Методы управления технологическими процессами.— М: Мип.
1983.— 368 с.
10.6. Флеминг У„ Ришсл Р. Оптимальное управление детерминирован-
ными и стохастическими системами,—М.: Мир. 1978.— 323 г.
10.7. Чсрлоусько Ф. Л. Некоторые задачи оптимального управления с
малым параметром.—Прикладная математика и механика, 1968, т. 32»
кып. 1, с. 15—26.
10.8. Черноусько Ф. Л., А куле п ко Л. Д., Соколов Б. 11. Управле-
ние колебаниями.— М.: Наука, 1980.— 384 с.
10.9. Черноусько Ф. Л., Колмановский В. Б. Оптимальное управле-
ние при случайных возмущениях. -М.: Наука, 1978.— 352 с.
10.Ю. Gilbert Е. Optimal periodic control.—SIAM J. on .Control and Opt, 1977.
a'. 15, 5.
См. также [3.3, 6.6, 7.2, 9.2, 9.12, 9.18J.
К ГЛАВ E 11
11.1. Адаптивная оптика/Инд род. I). Л. Всгричснко.— М.: Мир. 1980,—456 с.
11.2. Веллман Г. Процессы регулирования с адаптацией.—М.: Паука,
пил.- - ;й.й с.
11.3. Дсрсвнцкий Д. И., Фрадков A. Л. Прнкладп.ти теория дискрет-
ных тггшшых систем у крапления.- М.: Наука. 11181,— 216 <_
11.4. Емельянов С. В. Системы автоматического управления с перемен-
ной структурой.— М.: Наука, 1967.— 336 с.
1!.4д . Захаров М. Г., К у л ь ч u ц к и и О. Ю.. И я р в о з в а и с-к и й А. А.
Экономный алгоритм адаптивного управления многомерным статическим
объектом.—Автоматика и юлемехаиика. Ла II, 1982. с. 70—76.
11.5. Катковпик В. Я. Линейные оценки и стохастические задачи опти-
мизации.— М.: Наука, 1976.— 488 с.
11.6, Кптковпнк В. Я., Хейсин В. Е. Динамическая стохастическая ап-
проксимация цолииомпалъпых дрейфив.— Автоматика н телемеханика,
11179, Дё 5, с. 89—93.
11.7. Кульч'пцкпй О. 10. Алгоритмы типа стохастической аппроксимации
и контуре адаптации дпкере гной ciохаете чеокон лппейноц динамической
модели.— Автоматика и телемеханика, 1983, .V. 9 {ч. 1); 1984, Л» 3 (ч. II).
11.8. Ку х то п ко В. И. Динамика самонастраивающихся спетом со стабили-
зацией частотных характеристик. - М.: MatnunocTpoi-iiue, 197(1.— 232 с.
11.9. Л и Г. Оптимальные, оценки, определение характеристик и управление,—
М.: Пиукя, 19156. — 176 с.
11.1(1 . .11 и и и и к 10. В. Метод наименьших квадратов и оспины теории шблш-
денпй.— .М.: Фн.тмптгпэ, 1962.—352 с.
11.11. Л io б л п и с к н (1 Ь. (2, Фрадков А. .1. Аддитивное управление нели-
нейными ciiiTiriccKHMit объектами г неявно ладанной характеристикой.—
Автоматика и телемеханика, 1983. .V 4, с. 126 136.
11.12. Гайбмап И. С_, Ча де ев В. М. Посгросппс моделей процессов про-
изводства,—М.: Энергия, 1975.—376 с.
список литературы
€>09
11.13. Растрпгпп Л. Л. Системы экстремального управления.— М.: Паука,
11.14. У т к и к В. М. Сиольэящио режимы в «адачах оптимизации и упрап-
лепнл.— М.: Наука, 1981.— 368 с.
11.15. Федорин П. Л. Теории оптимального эксперимента.— М.: Паука, 1971.—
312 с.
II. 16. Фельдбаум А. Л. Творил дуялытго унраилкипн, I IV.— Дитомати-
ки и телсмгхпнпка, 191(11, т. 21. 9. 11; 191(1, т. 22. -V 1, 3.
11.17. Хубер Д- В- I'oftarriMiCTi. и стагтяпю:.— М.: Мир, 1984.— 3ii'i с.
11.18. Ц ы и к и и Я. 3. Алаитлцил п обучение в аит'>м1и и>и-скпх системах—М.:
Наука. 1968.-39’1 с.
11.19. Циннии И. 3. Основы информационной теории идентификации.— М.:
Наука, 1’184.-323 с.
11.19л . Цыпкин Я. 3„ П олп як А. С. Рекуррентные алгоритмы оптими-
зации к условиях неопределенности.— В пп.: Итоги науки п техники, сер.
«Техническая кибернетика».— М.: ВИНИТИ, 1983, т. 1(1, с. 3—71).
i 1.20. Эккхофф П. Основы идентификации систем управления.-— М.: Мир,
1975.—652 с.
11.21. Astrdin К. J.. Sdderslrnm Т. Uniqueness of the Maximum Likeli-
hood Estimates of the. Parameters oi an ARMA Mode],— IEEE Trans., 1974,
v. AC-19. No. 6. p. 763—773.
15.22. Goodwin G. C., Ram ad go P. J., Caines P. E. Discrete-Time Mul-
tivariable Adaptive Control.— IEEE Trans, 19S0, v. AC-25. No, 3, p. 449—
456.
11.2-3 . Goodwin G. C., Sin К. S„ Saluja К. K. Stochastic Adaptive Cont-
rol nnd Prediction.— The general delay-colournd noise case.— IEEE Trans,
on AC, 1980, v. AC 25, No: 5, p. 946 950.
11.21. Goodwin G. C., Sin K. S. Stochastic Adaptive Control using modified
li-iist. squares algorithm.— Automatic». 1982, v. 18. No. .4, p. .413—321.
1( 25. Goodwin G. C.. Pnync. В 1,. Dynamic system idi-nlificutiim i-vjuirl
nH’iii dixsign .nid data analysis.— Kewrnstle: I niv. of Newcastle, 1977.
1I.2G. К; i- f г r .1., Wolfowitz .1. Sioefinslic estimation of the maximum of n
regression f-.Hiriion.- Ann. Math. Slat., 1952. v. 23, No- 3. p. 4K2—4ttt.
1127. L.а и da u I.. I). A survey of timde.l reference adaptive techniques.— ’J hco
ry and Applications.— Aiitoninlicn. 1974. v. It), p. 353—379.
It.28. Bobbins II-, Monro 8. A stochastic approximation method.— Ann.
Math. Stat-. B‘51, v. 22. No. 3, p. 400—407.
-11.29. Ljung I... Soder s trii tn T. Theory and practice of recursive identifi-
cation.— Cambr.. Mess-: MIT Press. 1933.— 529 p.
11.30. Adaptive control.— IEEE Proc, on A. C-, 1976. v. 64. No. 8, p. 3—142.
См. также [4.3, 4.5, 5.9, 7.2, 9.17, 9.18].
К П P II Л О Ж E HIIЮ
Ц.1. Веллман Р. Введение в теорию матриц.—М2 Паука, 19119.--3(57 с.
11.2. Г и я т м а х е р Ф. Р. Теория матриц.— М.: Госгехплдат, 1953.— 492 с.
11.3. Дит к и и В. А., Прудников А. 11. Справочник но операционному ис-
чпелннпго.— М.: Высшая школа. 1966.— 403 с.
11.4. Meгоды исследования нелинейных систем автоматического управления/
Поя ред. Р. А. 11ел1чшне.— М. Паука, 1975,— 448 с.
11.5. Л урке А. II. Операцпоппоо исчисление и i-.ro приложения к задачам ме-
ханики.— М.; ГМ ТТЛ, 1951.— 432 с.
ПА Рпик тс кий IO. В., У гт и и on С. М.. Ч е р и о ру п к и й И. Г. Числен-
ные методы pi-iiierinn жестких гисп-м.— М ; Паука, 1979.— 2П8
П.7. Klei и hi л и 1). 1_ Он ин itonitivi.i tecliniqiio fur Bic<'«ti equation cimipu-
Uljon.— IEEE Trans on AC, 1968, v. 13, No. 1, p. 114 -115.
11.8. Man Г. T., Smith П. W. Design of linear regulators Optimal f<jr time
multiplied perlorinancc indices.— IEEE Trans on AC, 1969, v, 14, No. 5.
ПРЕДМЕТНЫ Н У К АЗЛ ТЕЛЬ
АВМ 13. 122. 192. 328. 531
Лвтоколсбаинн 217 п д., 387
— обобщенные 494
ЛДацТКВИОСТЬ 550. 579
Aiiaeyoianu гипотеза 209
— диаграмма 222. 223
Алгоритм in. 95
— алацгцваый 549
— Еэнлида 78
— Кифера — Нольфоьлда 552
— Гауса 44
— ГОбиииеа—Монро 552
— самонастройки 570
— синтеза закона упраилеикя 95
— Стабилиазпни 77 и д.. 80
Амплитуда реакции 4ft
Анализ корреляционный 545
Ансамбль реализаций 140
Аппроксимация стохастическая 55S
Астатнам 97. lC.fi
АНН 13
Баяио |111>"Г|Н|1Н|1'го otiiKMiitiiH 2*0
KajrnilC Гармоничссвий 210
Баттерворта .многочлен 11>2. IflJ, 2U0
Ее.глмагга уравнение 4Я9
Блок iij.MciuiTc.ibiiMii (датчиков инфор-
мации. ди) :п
— преоГ'ра.юппиин и -ранении информа-
ции ()1П> 19. 12. 14
Боде диаграмма IV 9
Быстродействие оптимальное 409
Бью си— Подмани фильтр 327. 519. 502
Вамлеряопла определитель 2t,3
Газация игольчатая (п.мптлки;а:1> 433
Вектор полной текущей информатпп 482
— собственный 593
В'-.тичиия случайная 140
Кинера теорема 153
Воздействие входное 19
—. нямаипющееея е постоянной ско-
ростью 51
— отрабатываемое. .45
— полниомиальние 50
— ппг.тоиниое 51
-- случайной 140 и л.
iicia.M^iHeiiui- достаточно
— ii<'-iuiir3!iii.ie 201
рщиосбризпоо
- сши упорное ;I7#
• - случиПннс 292 и х
Посети ин пли пне мост 1.273
Вход полный некторный ЖЗ
— — скалярный t’ll’l
Вырождение 380
Выход внешний 33
>14X0,1 полный не*.торный JT.3
-----с:;.тля]ли.1« 2G2
Вычислитель аналоговый см. АВМ
Гампльгииа— Ka.ni теорема 2-jl 593
Гамильтониан 419
Ге.гига критерий 213
Гидротурбина 1£1 и д.
Гипотеза Айзермана 2119
— нвааисгатмчнлегп д;:я непрерывных
систем 505
•— ctacpanHta 414
— малости отклонений от программы 503
— слабой лпидмпчпостп 49t
-----нелинейно'.'га 4Р',1
------- уираплен-лпи'-ги 494
Годограф “.iltiitiiiIii xiiiuiKi-epiiCTiiiiu 5i)
•-------MOaiiUiiiiiHpiinaiiiioil 2lil
Гольдфарба дп.иц.1мма 222, 2'>3 2 е у
Г]»1|1 37
— п KpiV'HTiipiiiiiiHiii-о 54
— oiiHcHi-iipui aiiiiijii .i4
Грубое гь Г.1.1
Гурвица 1григе1>::й 5и7
— itciHiRi-iiCTKO 45. 92
I'ypuiKlciiu и.ирцци 371. 597
Датчик Ю
-- даилсиин 12
— идеальный 12
— иепдеяльпый 13
— 0ТП0СИГС.ТЫ1ОГО перемещения 11
— рассогласование 139
— температуры 12
•— угловой скорлети 12
Двигатель Гииринличсский 14
— пневматический 14
Дельта функкпл 25
Детектирование спчурониос 517. 548
Децибел 109
ДнагоналитаДил 2С1
Диаграмма Лизермлна 222
— Биде Юн
-- Го.илфкрбп 222. 229
Динамичность 509
— сл.чйая 491
Дискретизации грубая 200
Д||С|ц-|н'|:н 141
— |1ПИ|бки Н1Б. 11)4
Доб|ютип1-Г1. «иггемы ЧЕ
Д<и Tii)i«4i:ic зид.шкой скнрпсти. онi ими.
лоция 449
Дуальность 579
Евклида а.1го;?и-ч 78
ПРЕДМЕТПЬШ УКАЗАТЕЛЬ
611
Задача выпуклого программировав ил
417
— линейного программирования 465
— лмигАиО-ввадратичесная >15
— лпнеГ.ко-киядрлтичпо-г.чуссоив 525
—г MHn-MiiTu'HM-janv пршринмироияивл
464
- о наичгиi.ineii У1.-Ж111ГИПН 476
— о поле и- па миксама.п.ау» ;ui.Ti.rin<'Ti,
4'.ni
. - н?, нпгимэ.ткннч 6ы( |-[>нд*11стг.1111 469
— обтай м:1тсмлтичсг1Д>и теории овги-
r.i.i.ii.iiiii'u ynii.iu.K'i'uii 4Г'8
— uimi-.Ri.ibiu'io c.i*:i<eiiiin 3l>-
— ЧП1ПЧЯ.И..11О11 rruoivin.M'inn 287
— оитимгаяцки co c«''.Лолиым правым
кондом траектории 4in. 424 и л.
— регулирован ил 7'J
— Слешечии *711
— стохастической a<t;:pOi:>'iiM»i:uu 558
— Цсрмало навигационная 453
Загир ем. Люфт
Запои распределения нормальныП (гаус-
сов 1 1;.i.'
— управления 1р
-----ь.-активный 579
-----pin кмилыгый 155
— пропорцисиилыю-ДПфференцяаль-
К1.1Й 78
-----ii]'inii<'pU№na.Tb!iu-miTi-rpuai.iio-nH4>-
ференкня.тьный (ШЩ-эанои) 78
-----, рсалиэг.цна 121 н .1.
-----са.-.10ласлра::п.'|Х>Я№1к:п 569
-----. спите! п :н:<: 1.37
Запас устийчивистя по амплитуде (мо-
ду лк..) 121
-----ни (иртушшту) 121
Зиеко п iH-puain-iiH-Kuc 21. 25. 43
>'|-а1.1|к:рциилп'>с ;Ы8
- «ши л и . < 26 .'. 267. :;i’..f
— Ku.ifoaTi..n.niH. 43
uoeioH'inmin но вход) 4ч
- - 'ihiiimioo 24. 25
— устой ie:ioi- цп иноду 46
-----о . ночллъпы.м условном 4ft
Золотник m2. 201
Зона 11счувс71шге.'11.постп 1Й8. 226
Ппентиоппзиаа обычагоп управления,
532. 571
-----— динамических 512
--------- линейных 542
— - — статических 542
11aace:tci:iie базиса ш. утреннего описа-
ние :’ЭД
Измерение неиилпос и неточное 211'3, 517
И д.
Импульс 35
— пднипчпый 546
ИнваракитциСгь 87 !<»
Инерционность датчика 12
Питере .тр 21, За, 13
Интегрирование и смысле Риман» 142
— чие.кпиос 359
Ilnrciiciiiiiiili'Ti. белого шума 171
Кялмлиа 1ТГЦИ-М.! rrpytirypinui 264
iia'iecino '.«7
— iifii.'i-.'.cc.i cTaftii.iii.cuuiii 284
Каниа:ка метод 55ft
Кифтрл — Uo.ibijiiiiiinta алгоритм 552
Ковариация U'Jll
I'.oMiK-iita.unn динамическая Э! и д.
Компенсаг.ил липейпал последовательная
2ii>
— и:..1ииейпяя 217
Контур внугргняш! ббраткоп ГНЛ.'.П 87
Коши формула :яИ
Ко.' 1'1 4'inc.Ti i армии лчесдОП .пип'кризд-
1-ич 24.»
— уси.тенип ба.'Л.шоЛ !«S
—• — СТиГИЧССКИЙ 11)6
— 'tyiH'I Illi Il'.ll.liriC 1 И 111НЛ1.1Я1 сля ICl'ICCr-
1Г1 111'.
— — l|iyni:ltiv.>lia.l.1 ЦГ1 nnfMM'-rpV ill
l.p'.iirpiiCl oirriixia.n,поста Kiia.tiidrivoiiJll
.138
-----минимаксный 47.1
- ycTo.'lniBticrn rap.wiui'jeciiern баланса
2SV
- — Гарига 213
— Гурвица 407
-----Ляпунова матричный 367
-----Пайеткстя обобщеииый ЭД, 65. 124.
— по входу 43
-----ко начальным условиям 40
-----Поновя В. М. 2U7, 370
- ------, здстатОчиССгь 21)8
• - — Стодолы 43
-----Ии-Нарендры 211
Крутизна средняя характеристики иели-
HiMiKoro элемента 236
Куна—Тиккера условия 416
.larpHiniHi гпдотезй 414
— или жители 41.1
7[аг|инн.'11ан 413
.'i.-iu.iai ii и|к-оЛриВСВ'ч1Пе 22, 5S3
------дне 1.|н-гное 311, 58v
. . — <,|,рати.н' 584
,1-ммл .Jimi лова 367
- о i|4iin'i|iiiaaiiu-.i 10!
— - rrii'JtrtHl.ll.lirill И.11.1ТП Ji.'lH l ift
. ,, i:pi-i.n'i|ia<iii'aH-.i:t к фииМС Фрпбсияу-
e-i — Кя.1мдн,| 274
— Рнзопиира о niinpanteujtn фупкциопа-
.Ю 42'1
— Шура 533
— Hi:'.!?'"...а — Ка.тмана 37'3. 5J3
Лпасиригавин 183. 2-.1Л. 368. 471
— гпрмочическон 231'
- статистическая 23Q. r.i>
Лиаийио''-. ь кусинка!! •
,Зхрг..Г“ vрззиспяс “НТ. 299. 308_ У70
ЛФХ V-'a
— Л СI IM IГГПТ ИПС L-.35л:•( 1 I »
Люфт 225
Ляпунова лг;.'йя 3»л
•.||’уц|.'1ГЛ!1 ;-:в4 п л.
Ляпгцпйя — 11%-анкярС '/сорома, он устий-
ЧИЛОСТИ 11Q ПЙРЛОМУ ППаЮЛИИСЙНМЮ 3U3
M .pKilFnC'TI. и|1-.!|'ПН1СЛ OhTCIITU 4S2, 511
Мд |«‘\|.1У11'<.хч:^|- с.жлдпн»^ !40
Ь’.пг 11 и п-l « I । inn a*j2
—• й.1ИЧ11П-.| |1.'1Г»М1.‘-1Ы1£1П 5'«2
- VHII-I И»*Т]К*У1'11.Л.|1Л11 З'С
-• и ijiijixir «T’liiK'ii-Hiv.r.-i 251
*— 111*1 limit iiK-p-X" :нлл) и*:;
— ryptjiliiricii 1'у'.*1«Й<И111.иН -м1. 5П7
;ui-i.ro»i.i чмгл.ч -*>ЬХ
ИIГГЦ СУПНИЦ L.jirin.rjl 25i
1:пялр:глп>л 5S7
— ii..i.-f,i in RCbTui-inoio случайного
Hponi4?i;a "’i.<
------ошибок ouvKiiuaiBCfi 300
С12
ПРЕДМЕТНЫЙ указатель
Матрица неособзя 591. 593
— 1J СОТРИ ЦагеЛЬНЙ-0ПреЖ-1^11 НАЛ 597
- - обрнтшш 591
— полиЯ(М7ДОЫ!ПЧШПгЛ<*Л1*|1(11ш 597
— ирксоедкнсчшлл (<:о Ifta нац; 591
— гиммсгричннл 5(4
— трэнснгиицюмл 1111911 Г'Л
— ipyHjHixK'Hrn.ii.Haii ЗП5
— :>(>мптиш1 59N
Мм (»нца-С|ЛдПгц 587
Ммпмци*с*7Г>т<,| Зк*
M'iHijii’u Lu*iiii.*;;i:7u.ir.!mn дня лопни я с.м.
ЛИМ
----цифропап гм. У ВИ
Маи ГИМН, 1фИВ*ДСЦПе Н p.lRKQRCCHC 3-J0
Мембрана измерительная 12
Метол аеимтотнчсскяй милого ииримгт-
рз 377
— Гилерккда 395
— гармонического Фнаавса 397
— градиентный 464
— динамического программирования -58-1
— Л ннам в ческой комяйнеяцпи 91
— <'Вг\1орг*;№И11ЫХ» параметров 309. 571
— интегральных урадиеннй 3»7
— Качмажа л59
>-• номкенсадни 3&1>
— Ляп у пооа второй (метод функций Лл-
ПУЛОВй) ЗМ
— максимума прапдоподобал (ММП) Г.38.
5*5. 562
— медленно меняющихся амплитуд 235
— множителей Лагранжа 157. 413
— наименьших квадратов (Mi (К) 523,
5.17, 54i. 562
— ньютоновский 4G4
-- онсри ropin'*-стр у кг урны Ji 25ft
— i'nirfjdi-ир.чый л т»-н[1пи дискиггимт а
импульс ПЫХ систем :i4£ ri д.
— М>иСТр.Т1П:Т|И> СОСТОЯНИИ В ЛПИСЙНОЙ
'miiHiii 250
— llyniiiuipi* 387
— г.гатнг-ицссноЛ илиелрвглацги 233
— штрафных !:о1>фФ|Ц1Мслт(Ж 4СФ
Миогич.тш! 1»итт1'|н<1'1рij Ю2. 165. 2"7н1
•— характеристический 33, 258. 593
-----устойчивый 47
Множество вынунлос 417
— состояний равнонесия. поточечно
асимптотически устойчивое в нелом
3«1
Мниляттели Лагранжа -113
Мода 201
Модель дискретлял линейная 3IG
-----прцйлмженнвя 332
-----точная непрерывного обт.е?гга 231
— мйтсматипеикая 14, 532 и д.
— недеглрмяинроЕвннап 536
— электронная 39
— эталонная 578
Модулятор 3241
Набег Фазы 395
11абл‘одасмиеj ь 273
>1яй»:ввста критерий 125. 2.241
-----uCioCiiKCjiiihiri 113, (15, IZk 229
J Га клип Л AX НП)
)1ЯС7|1(>П1« «лто.мптическпп 3GV
НглинсНксм'ги I1* и д.
11<ц*ш111:ЙН(>сгь 6г:и.1нгр(|.нпиг|ац 201. 308
— pOBjiHiniiui кусичло липеНвдл 3„1
— слабая VJ9
Неравенств» Гурвкпэ 45, (12
Нес гаи поил рп ость оптимальной обрагиий
СЕЛЭИ ЗУ8
Нормкровкя типа Гудвина 5G9
— — Кичмажа 5 СО
Обллс/гг. нритингеиип решения ЗС1
Обучение 58(1
Объект ДиеК|и*гниЛ 4Л7
-----l'.4ii6n;uiH.TMiriubiB 491
— линейный ио у прл пленяю и но ллвы-
мггр4м 363
— л£у1:гпйчиныА и и скин и малыш - Ф л з о-
ныл 17<1 и д.
Oi р.т ни «|»ч1 иметь у вря плен и п 72
Оператор диФФсрсидировзивл 2*3
»— эш.'яя 1'2
Описание в Н1)ршЛформе 250, 251.
254
Определитель Нандсрмппдя 2G.3
ОптималЕйЮсть п среднем .*10, 54Э
Оит ими jb ни я 4?] 7 и д„ 4S2
— л ока. 1ышя 4«3
-----rjiajHi-JuiiOi Ci типа 4rii
-----ньютоновского типа 4i>i
— по Oi-ст роле йети*.: io -145
— so гаронткриванному результату 550
— ио каадра j цчпиму критерию 338
— приближеннап численная 4г:*
— гтабнлилгрующей обраткой rti.uju 281
— «исленнал ивпрернииых систем 471
и д.
Оде ми ияи не л 32
Оценка
5*7
панлучшац
состояния Системы
Ошибка слежг-ннд 70
Параметры <>пам<|рии(«нньи>1» Лп\ 571
— мо дел к п методе крне ipnj’c гяй «остол-
иии Лф<1
ИД яапон 79
)1с(Н*мси»Ы1« «быстрые» 379
— <|>к*М.1Свныеи ?(й!
— спсгонния 250
— Фяяпвы^ 256
11«рсрсгу.т;гроял кис 103
Период пшштиванин ио времен: {черо-
доваинр импульсов) 329
ППД лянпп 73. 194
Плотность спекгралышн 141
— дискретная 347
-----дробпО-раннональпяя Ив
Погрешности датчиков 139
Подматрица Г»92
показатель качества 1й(|
-----грубь’й 1G1
-----интегральный (энергетпческцй)
-----нечувствительный, нниаршштный
лв малом-) Гй1
— — СРОдныЙ 510
Помехи 89, 90. 139. ПО и д., 536
— в и:1мгркт>*лы1ых устройстиах 3й1
ПОигршина пряннин максимума *20
llniH’jia В. М. мрИ'1-e.psiii 207. 21‘?Ь
llopojtfti; у при илекнн япепа <3
Имг.тгдоваггл ин ость дш-дпетнал 317
Пигтч.>яп1П1Я примени 113. IK5
Потепциимстр иимгрнг^льный II
Потеря устойчнииги! медлешии! 237
। г ранило J<i 151
Прмцсталлелие <:ih*iirpnj:bin.io матричной
‘dKcuotii'itTK 2Г»!
Лррпбрллпиание ♦пход-лытод* 19
— Длила га 22. 71. 383. 536
— — дискретное 344
----- ойрогнис 5£«
— случайных процессор лике Пипе 141
ПИ-ДОЕТНЫЙ УКАЗЛТК-JL
613-
Преобразование Фурье 141
— —• быстрое й4й
-----синхронное Б48
ПрсОбраастятсдь ^аналог — иод-» 2d О
— «а нилот— цифра* <лЦ11)
— днф|1|ергКЦЩ1уи.1|ЦИЙ Г»С
— «инФра—цлидпго 13
Лрнпцав ннтомяти !<•<? i;ott илстроЛки 51.9
— SlhlK'UMy.MR Л11ГХ.-|1С71НЛЙ 1’1'1
-----, днегиточнФ'т h >i выпуклых 3a.-i.i-
ЧДК
-----ш Hi nr>MM11WM:rb 413
-----J] интриг J1JI41 42(1
суперпозиции 3.1
) ipnuacMH линейло-кпалрит ичная оити-
У.<1,'Н.НЙГП yillklALIfillUsI 2ftT
— оценивания 532
размещения гпбетисиных чисел 274
Приводимость операторная йб
-----н кепи обратной связи IX.!
Программы управления IG—И, 71
Программ пром л не выпуклое 417
— динамические 4*1. 511
— дине л ное 4>35
— математическое 401
Простри нгги а сссмояний 251
При цел ура см. Алгоритм
- - o:re::iiB;iuuji рекуррентная 553
Процесс случайный 1»б
-----нормальный 1&П. 2W
«— — стакконарный 141, 2ЗУ
----- типи «кенгуру* 144
Пуанкаре теорема 377
PiiiiiiiiiiiTHH ?А'Г>
1'я;ч’.|1к:ц1!1П:е пчОгтприных чиее.т 274
Ганг матрицы 5‘«гЛ
Рлгпрсл'^л-ние ш-ромпкнтеЛ 1-1!)
— га у 1*1*3 hi и 150
Гну ел алгоритм 64
Ргпкпиц уигнл 29. 48. 53
— светим к 231. У5‘|1. 341
— — устаиоиивишлсл 23-Я. 34G
Реализация случайной келлчлны 14(1
Реализуемость строгая мередзточиоП
функции 43. -14В
Per у яхри ла •• не 7 0
— углипой и-шростя вала турбины 1Е1
— экстремальное 550, 55»
Режим сксльияшлП 212. 507
Геле ИШ. 212
Pur: кати уравнение алгебраическое *&7.
уиу
----устричное 80S. 33'4, 433
Гниение неустойчивое но начальным ус-
ловиям Нй!
— обобщение* автоколебательное V4
— цг.рис'днчйснос ЗЕ6 и .1.
— устойчивое асимптотически 3G1
—------я целом .sin
----— по начальным условиям 3G1
Рпбпинсц - - MOHI.-IJ алгоритм 552
Ропот промышленный 111
Pl).юно Ц«а .h-ММД о Лриратгняп фушщи-
uii.'i w 4'll
Ряд Фурм ^93
Сямоилстрибкэ 531, 800
Свергыпшм»’ спстсмы и одно гиичю 35
CuuiicTw структурным дискретной ли-
кейплВ сиг темы 319
Снизь обраткая И
Связь пйратияя в дискретной системе 320
-----Eiiyipi.-HH.uit хк, 93
------- — я эяектримашиннпй с;идяШ*И>
системе 1.11
-----, задалиап ялгопигмлчески 491
— — влшулы-нни ::>:!
-----!iv.2ni:riiiiiui 24Ч
-----и и । ямальмап 4М
-----in [1ицятеЛ1.и.л:1 57
— — но иыхплу 82
------------и его пгюнпподным 75
-----но ошибке yii]xni.iei!u:i 153
4<Сгянжи1ди1мс» спин нсчувсгэитгльКО-
сти вкбиицппннпе 247
Слинг по фазе реакции итиоситгльио D0»-
AvftCTlHlH -il>
Орвпмехяинзм 153, 2А.1
Сигни.*] информяцпшжлый Ю
— ирнпеленныК 85
— управлении id
CiSMJkK*кс-метод 473
Сингулярность 162. H7fi
Синтез закона упряплскил V5. 137 ц д.
— омтнмаль-»ый обратной свя?.л 482
Система а в тематического управления-
(САУ) 15
— адаптивная 579
— асимптотической сшсшш 28-3
— иСтагическая Р7. 1GG
— — с большим нозффидпеатслс усиле-
ний li/ii
— вполне наблюдя< мкл 273, 319
-----унрап-кяемян 2G9
— ниргш'деяпля 380
— грубяп |23
-- дискретная 31 б и д.
-----. он гимняцции 457 К Д.
— —, ' yrnui’liujj»!] It rilll‘UlllH.4 II ОВД у ЩС- •
ни им Л1Л
--------пи начальным yc.’ioiiMii.'.i
— ацчкнутАя (с ofipaTiiurt сшыцМ) 10*
(См. также Синяк обратитеj
— импулылтн 32к
—• — лицгинап 2.И1
— и и 1».ц| на irrunu 76
— л и пей на к 19 и Л-, Я37
— многоивiijua н 2<1Я
— inviiiiнчйгяп 1Р6 и .ч., ЗГ'Ч и п
— и?нрерывяяя HyCfi’fito лки1.л<зп 35?
— разомкнутая П>
г- релейная 2<Ю
— с медленно меняющимися нцря.хс*1 ра-
зни :%ом, 382
— с переменным» параметра ми
. - с тииоьпИ структурой 52 1! л.
— Скнгудярно возмущенная 379
— сходящаяся в окрестность у.илнэзесия
(д к г* с гл jат г.в ня я) .40.1
— уСгПЙЧПЕБЯ по отношению к внешним
г.пздсйствинм 3G2
— — ни начальным условиям 47. -Б2
— wгектромеханичесияя 28. 255
-----следящая (ЗСС) 15, б'-Ч 55»
п д.„ 137
Скаляр 587
Скиажность импульса 329
(kir-rtceiiiie 70
— о XT iiM'i явное 4г»5!
Соединение ввеньпп napn.’j.jc.TinOft 54’
-----1К>'.ЯГЛП|1Д7С.ТЫН1<! 53
Corrpririiвагине цени окгр(1торн*:я' -’•ч *И>
Сое .-’ЯНГА- ji ни поле си и '/<15. Л*.Н
Cpeaciun Впгпматикп тгхи’.гп-гниг 11
Сгябалпаяцня 71 и д зяч
— имнулы.'пой обратной ииляыо
— лпкгйногп об*м;ктл 571
— оп г п ма льна л 287
С-тагнстикя диета точив я 625
Степень усгоНчивисти 1СЗ. 2&1