/
Текст
ГОССТРОЙ СССР
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ИНСТИТУТ
БЕТОНА И ЖЕЛЕЗОБЕТОНА
НИИЖБ
ВОЗДЕЙСТВИЕ
СТАТИЧЕСКИХ, ДИНАМИЧЕСКИХ
И МНОГОКРАТНО
ПОВТОРЯЮЩИХСЯ НАГРУЗОК
НА БЕТОН И ЭЛЕМЕНТЫ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
Москва
1972
ГОССТРОЙ СССР
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ
БЕТОНА И ЖЕЛЕЗОБЕТОНА
НИИЖБ
ВОЗДЕЙСТВИЕ
СТАТИЧЕСКИХ,
ДИНАМИЧЕСКИХ
И МНОГОКРАТНО
ПОВТОРЯЮЩИХСЯ НАГРУЗОК
НА БЕТОН И ЭЛЕМЕНТЫ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
Под редакцией
заслуженного деятеля науки и техники РСФСР
д-ра техн, наук проф. А. А. Гвоздева
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ
Москва 1972
УДК 624.012.35.042.(06)
В книге освещены результаты исследований, касающихся
расчета статически определимых и статически неопределимых
железобетонных конструкций.
Приведены экспериментально-теоретические исследования
воздействия многократно повторяющихся нагрузок на бетон,
а также статических и динамических нагрузок на железобе-
тонные элементы; изложены способы расчета крупнопанельных
зданий на подрабатываемых грунтах с учетом неупругих
свойств железобетона; приведен метод расчета конструкций
по стадии эксплуатации; изложен статический принцип мето-
да предельного равновесия и деформативность конструкций в
момент наступления предельного равновесия; рассмотрены ре-
зультаты исследований способов расчета деформаций, ширины
раскрытия трещин железобетонных пластин и оболочек при
сложном армировании после появления в них трещин; осве-
щены данные о прочности и деформациях тяжелого бетона
при сжатии в условиях постоянной скорости нарастания на-
грузки; указаны особенности трещинообразования в балках с
различной высотой защитного слоя; изложены результаты ис-
следований предварительно напряженных переармированных
элементов прямоугольного сечения при изгибе с кручением;
приведен анализ работы неразрезных плит от момента обра-
зования трещин до разрушения.
Книга предназначена для инженерно-технических работни-
ков проектных, строительно-производственных организаций, а
также для научных работников и студентов вузов.
91—71
П РЕДИСЛОВИЕ
Для правильного и полного представления о надежности и ш>
ведении железобетонных конструкций -необходимо учитывать их
особенности в процессе упругих и неупругих деформаций, а также
изменения жесткостных характеристик при трещинообразовании..
Эти особенности проявляются по-разному при действии статиче-
ских, динамических и многократно повторяющихся нагрузок.
В статьях сборника сообщаются данные об исследованиях де-
формаций и структурных изменениях бетонных образцов, подвер-
женных многократно повторяющимся и постоянным напряжени-
ям, а также нагружаемых с постоянной скоростью возрастания
напряжений. Из результатов этих исследований можно видеть, как
велико влияние режима нагружения на изменение свойств бетона
и на его деформации.
В сборнике приведены данные о влиянии предварительного на-
пряжения на динамическую прочность изгибаемых балок и па ста-
тическую прочность балок при изгибе с кручением. Данные новых
экспериментов сопоставляются с ранее опубликованными сведени-
ями об аналогичных исследованиях образцов без предварительно-
го напряжения.
Уделено внимание также вопросу о влиянии толщины защитно-
го слоя бетона на образование и раскрытие трещин в обычных и
предварительно напряженных железобетонных элементах.
Наконец, в ряде работ, вошедших в сборник, рассмотрено влия-
ние трещин и неупругих деформаций на работу статически неоп-
ределимых конструкций на эксплуатационные свойства стержне-
вых систем и на их несущую способность.
Результаты проведенных исследований учитываются при разра-
ботке нормативных документов, руководств и пособий по проекти-
рованию.
Дирекция НИИ бетона и железобетона
А. А. ГВОЗДЕВ, д-р техн, наук проф.,
Ю. Н. КАРДОВСКИЙ, канд. техн, наук,
И. К. БЕЛОБРОВ, канд. техн, наук
О ДЕФОРМАЦИЯХ БЕТОНА ПРИ ДЕЙСТВИИ
МНОГОКРАТНО ПОВТОРЯЮЩИХСЯ НАГРУЗОК
В настоящее время наиболее полно изучена ползучесть бетона
при действии длительно приложенных постоянных нагрузок. Мно-
го внимания уделяется влиянию переменных режимов нагружения
при небольшом числе возрастаний и убываний напряжений.
Ползучесть бетона при действии многократно повторяющихся
нагрузок исследована в значительно меньшей степени. Это объяс-
няется как техническими, так и методическими трудностями, воз-
никающими при проведении экспериментов.
Развитие во времени виброползучести бетона зависит от много-
численных, пока еще мало изученных факторов, связанных с соста-
вом, исходными свойствами и термовлажностным состоянием бето-
на, условиями внешней среды, изменением режимов нагружения
и др.
Рассмотрим результаты сопоставительного экспериментально-
теоретического изучения деформирования бетона при действии
многократно повторяющихся и постоянных во времени сжимаю-
щих нагрузок. Цель исследований состояла в том, чтобы в старом
невысыхающем бетоне выявить деформации виброползучести и де-
формации последействия при пульсирующих и постоянных нагру-
жениях разных режимов, а также определить изменение физико-
механических свойств бетона, обусловленное указанными воздей-
ствиями. На основе полученных данных сделана попытка соста-
вить аналитическое выражение, которое позволяло бы описывать
развитие деформаций виброползучести и обратной ползучести как
при стационарном, так и нестационарном режиме нагружения в
условиях проведенных опытов.
Характеристика опытных образцов и методика экспериментов.
Экспериментальное (исследование упругих деформаций, деформа-
ций виброползучести и статической ползучести проводили на .приз-
мах размером 10X10X40 см. Состав бетона 1 :2,25 : 3,75 при В/Д =
= 0,6. Для изготовления опытных образцов использовали следую-
щие материалы: цемент марки 300 Подольского завода, щебень
мелкодробленый известняковый, песок речной (средней крупно-
сти), воду водопроводную.
Призмы бетонировали в горизонтальном положении в стальных
4
формах, вмещающих 40 призм. Одновременно изготавливали кубы
размерами 20X20X20 и 10X1 ОХЮ см.
Распалубку образцов производили в четырехсуточном «возрасте.
Сразу же после распалубливания вое призмы прозвучивали ульт-
развуком в продольном направлении. Образцы, отличавшиеся по
скорости прохождения ультразвука более чем на ±2% от средне-
го значения, отбраковывали. Призмы, отобранные для испытаний
пульсационной и статической нагрузками, изолировали от внешней
среды одним слоем парафина, двумя слоями технического вазели-
на и двумя слоями полиэтиленовой пленки.
Для контроля роста прочности бетона во времени и назначе-
ния в зависимости от этого режима многократно повторяющихся и
постоянных во времени нагрузок
проводили кратковременные испы-
тания образцов.
Кривые нарастания во времени
кубиковой, призменной прочностей
и модуля упругости (по средним
значениям) показанына рис. 1, а, б.
Кубиковая прочность .в 28-дневном
возрасте составляла 7? = 250 кГ^м1*.
Развитие деформаций вибропол-
зучести исследовали на двух пульси-
рующих установках, оборудован-
ных тремя домкратами каждая1. В
одной установке частота пульсиру-
ющей нагрузки была равна со =
= 300 цикл/мин. во второй — о)
=340 цикл!мин. Деформации ста-
тической ползучести изучали на об-
разцах-близнецах, загруженных в
пружинных установках в то же
время, когда проводили испытания
ти испытания
Рис. 1. Изменение прочностных и
дефор-матнвных характеристик Же-
тона во времени
а — кубиковой (/) и призменной проч-
ности (2); б —.модуля упругости
на пульсаторах.
Центрировку призм осуществляли по физическому центру путем
пробных статических загружений при напряжениях в бетоне, не
превышавших 0,1—0,15 /?Пр.
Упругие деформации, деформации виброползучести и статиче-
ской ползучести измеряли переносным индикатором часового типа
(деформометром) с ценой деления 0,001 мм. Для этой цели на
каждой грани призмы приклеивали специальные уголковые упо-
ры, в которые были ввинчены болты с шариками на концах. База
измерений составляла 250 мм.
Влияние температурных и усадочных деформаций исключали
путем контроля базы измерения на ненагруженных образцах-близ-
нецах.
1 Испытания на установках выполнялись при участии канд. техн. наук
Т. С. Каранфилова.
5
По указанной методике при действии пульсирующей нагрузки
было испытано три серии призм. В серии I (Од-1) испытания вели
при постоянном среднем напряжении цикла оСр=0,3 7?np=const и
трех различных характеристиках амплитуды цикла Pi =0,332, р2 =
=0,604, р3 =0,888.
Серию II (Од-2) испытывали при постоянном уровне напряже-
ний Омаке = 0,375 7?Пр и двух характеристиках амплитуды цикла
р=0,4, р2=0,8.
Серия III (Од-3) была посвящена исследованию поведения бе-
тона при практически одном значении р =0,6 и двух уровнях на-
пряжения цикла омакс =0,375 7?пр, о"<акс =0,3 /?пр.
Описанные режимы многократно повторяющихся нагрузок и
примерные продолжительности их действия показаны на рис. 2.
Рис. 2. Схема режимов испытаний серий призм многократно повторяющейся
нагрузкой
Помимо изучения упругих деформаций и деформаций ползуче-
сти от действия циклической (серия I) и постоянной нагрузок во
время испытаний определяли структурные изменения в бетоне по
результатам измерения скорости ультразвука в мксек. Для этого
был использован ультразвуковой прибор УЗП-62М. Прозвучива-
ние производили по диагонали призменных образцов. Кроме того,
после приложения многократно повторяющейся и постоянной на-
грузок с образцов удаляли изоляцию и испытывали их на раска-
лывание при статическом действии усилия. Как известно [7], та-
ким методом рекомендуется определять прочность бетона на рас-
тяжение не только стандартных кубов, но и образцов другой
формы.
Раскалывание призм производили при помощи специального
ножевого приспособления вначале по плоскости, перпендикуляр-
ной ранее действовавшим усилиям. Затем оставшиеся части
призм были расколоты по плоскости, параллельной действию на-
грузки.
Такими косвенными методами устанавливали преимуществен-
ное направление микроразрушений в бетоне, возникших под дейст-
вием пульсирующих и постоянных сжимающих напряжений.
Результаты изучения виброползучести и ползучести бетона.
Влияние уровня напряжений при практически постоянной харак-
теристике амплитуды цикла изучали при двух режимах [рис. 2,
серия III (Од-3)].
В настоящих опытах развитие деформаций ползучести рассмат-
ривали во времени, а не в зависимости от числа циклов много-
кратно повторяющейся нагрузки N. Введение временного масшта-
ба было удобно по той причине, что виброползучесть бетона изу-
чалась при двух близких.по значению частотах приложения на-
грузки: со = 300 цикл/мин (серии I и III) и со=340 цикл!мин (се-
рия II).
Длительность действия пульсационной нагрузки для ряда
призм колебалась в пределах от 18 до 20 суток. Затем призмы
разгружали и при этом наблюдали за деформациями последейст-
вия в течение 14—28 суток. После этого часть образцов вновь за-
гружали длительной многократно повторяющейся нагрузкой.
Хотя по результатам работ [4, 5], а также в экспериментах, ос-
вещаемых в настоящей статье, необратимые деформации 1-го рода
(деформации, обусловленные начальными структурными измене-
ниями и не связанные с процессом его старения) нелинейно зави-
сят от напряжений, обратимые неупругие деформации пропорцио-
нальны средним напряжениям цикла. Это позволило для выделе-
ния необратимой виброползучести 1-го рода воспользоваться вели-
чинами удельных относительных деформаций (мер), определяе-
мых по среднему напряжению цикла:
С\ (t-ч) = « -Т1) , (1)
°ср
где еОст (t—Ti)—остаточная деформация исследуемого образца
во время t—Ti в разгруженном состоянии;
_ ^макс “Ь °мин
*СР---------2---- •
Одновременно с изучением деформаций виброползучести иссле-
довали развитие деформаций ползучести при постоянных во вре-
мени нагрузках (серия 0-2).
7
Температура воздуха в процессе пульсационных нагружений
составляла 18,5±2,5°С, влажность воздуха 75+10%, а в процессе
статических испытаний -соответственно 9°±5°С и 70 ±15%.
Результаты испытаний серий II и III (0-2 и ОД-3) приведены в
табл. 1. Удельные относительные деформации статической ползу-
чести в диапазоне изменения уровней напряжений 0,3—0,375 /?Пр
оказались линейны.
Таблица I
Результаты испытания бетонных призм. Серии II и III
Характерис- тика ампли- туды цикла Возраст к моменту загружения в сутках Максимальное напря- жение цикла в к Г/см2 Среднее напряжение цикла в кГ/см2 Относительное мак- симальное напряже- ние цикла Длительность загру* жени я в ч Число повторений 6 нагрузки ЛМО Деформации ползуче- сти еп‘Ю’ Мера ползучести 107 Gcp Модуль упру- го-мгновенных деформаций Е-10“ 5
начальный £ нач после ЛМ0~6 циклов
Первое загружение
о = 0,615 430 1 467,45 8,417 1565 14,933 2,68 2,4
430 1 1 Q1 104,8 0,375 467,45 8,417 1560 14,885 2,70 2,5
430 ( 1 о 1 139,2 2,576 975 9,303 2,97 2,47
437) 299,4 5,408 1365 13,025 2,93 2,66
р2=0,607 450 ) 449,1 8,000 639 7,607 3,21 2,83
450 ’ 104,8 84 о,з 449,1 8,000 579 6,798 3,33 2,77
456 1 39 0,702 275 3,274 3,02 —
131 — 0,375 484,1 — 704 5,374 3,58
Р=1 131 — 0 375 484,1 — 644 4,9)6 3,29 —
(статическая 452 131 — 0,375 484,1 — 821 6,267 3,24 —
нагрузка) 105 — 0,3 484,1 — 626 5,962 3,26 —
105 -- - 0,3 484,1 — 511 4,867 3,54 —
Второе загружение
Pi=0,615 469 131 104,8 0,375 203,4 3,665 < 570 680 .502 5,439 6,489 4,79 2,78 2,82 2,85 2,37 2,55 2,67
р2=0,607 482 104,8 84 о,з 357,15 6,42 464 530 5,524 6,310 2,91 2,87 2,91 2,93
р=1 487 131 — 0,375 413,45 - - [480 570 3,664 4,351 3,29 3,21. —
Развитие во времени удельных относительных деформаций
ползучести бетона в образцах этих серий при действии многократ-
но повторяющихся и постоянной (о= 0,375/?Пр) нагрузок показано
на рис. 3 сплошными линиями. Как видно, прирост деформаций
8
со
Рис. 3. Экспериментальные (сплошные линии) и теоретические кривые (пунктир ные линии) ползучести бе-
тона при пульсирующей (Л 2) и статической нагрузках (5)
/ —при р =0,615 иа =0,375 /? ; 2 —при р = 0,607 и <Т =0,3 Я: 3 — при (Т =0,375 /?
макс пр макс пр пр
ползучести от действия пульсационных нагрузок особенно велик в
первые часы после загружения. С течением времени скорости раз-
вития деформаций виброползучести в значительной степени умень-
шаются. Обращает на себя внимание значительная нелинейность
деформаций виброползучести. При втором длительном загружении
наблюдается уменьшение приращений остаточных деформаций по
сравнению с первым.
Для нахождения величины и скорости проявления необратимых
деформаций 1-го рода был использован прием, изложенный в рабо-
тах [1. 2] и основанный на сравнении деформаций ползучести и
упругого последействия для каждого времени разгрузки в от-
дельности.
Для случая старого бетона указанное сравнение можно пред-
ставить в виде:
•S* (tj ^2 т1) --------------
Т2 Т1) + Сз (f Х2) Х1)> (2)
где С2(/, т2—Ti) —остаточные удельные относительные деформа-
ции образца, разгруженного в возрасте т2;
С3(/—т2)—удельные относительные деформации ползуче-
сти образца, загруженного в возрасте т2;
Ci(Z—ti)—удельные относительные деформации ползуче-
сти образца, загруженного в возрасте ть
Для случая старого бетона удельные относительные деформа-
ции ползучести С3(/—т2) и Ci(t—ti) можно получить из одной
экспериментальной кривой.
На основе полученных кривых деформаций виброползучести и
упругого последействия (рис. 4) были построены кривые 3*д(/,
Ъ—Т1)^(РИС- 5)- Кривая 5*д(/, т4—Ti) и часть кривых 5*д(/, т3—
[ на основе экстраполяции кривой
—Ti), 5*д(/, т2—Ti) построены
C(t—ti).
Для каждого режима испытаний в отдельности, как показал
анализ развития во времени величин 5*д(/, т<—Ti), функцию
Рис. 4. Деформации виброползучести
(/) и упругого последействия (2, 3,
4) в -бетоне образцов серии III при
Р =0,615
Рис. 5., Кривые 5*д(/, —Ti) для
образцов серии III при р =0,615
10
удельных относительных необратимых деформаций виброползуче-
сти можно представить в виде двух слагаемых:
С5(^ — т1) = Л1[1 _ 4-Л2[1 —(3)
где Ai+A2 — предельная величина удельных относительных необ-
ратимых деформаций виброползучести;
cci, «2—параметры, определяющие скорость проявления
указанных деформаций.
Легко видеть, что выражение для 5*д(/, т2—Ti) при условии
(3) примет вид:
(4)
Рис. 6. Развитие во времени общих
деформаций виброползучести (/) и
статической ползучести (5) и их не-
обратимых частей (соответственно 2
и 4) для -серии II и III
Зависимость (4) отличается от выражения (3) множителями,
стремящимися при больших значениях Т2—Ti к единице.
При помощи экспериментальных кривых 5*д(/, щ—Ti) (см.
рис. 5) были подобраны числовые значения параметров, входящих
в выражение (3). По аналогии
найдены величины указанных
параметров для режима
р 2=0,607.
Таким же образом находи-
ли предельные величины и
скорость проявления удельных
необратимых деформаций ста-
тической ползучести.
На рис. 6 показано разви-
тие во времени общих дефор-
маций виброползучести (pi =
=0,615), статической ползу-
чести (о=0,375 /?пр) и их необ-
ратимых частей. Заштрихован-
ные части этих рисунков пред-
ставляют собой обратимые
деформации виброползучести
и статической ползучести.
Развитие обратимых деформаций виброползучести и статиче-
ской ползучести во времени достаточно удовлетворительно описы-
вает аналитическое выражение
Со6р(*-0 = В1[1 +В2 [1
(5)
Теоретические кривые, приведенные на рис. 3 штрих-пунктиром,
подобраны с учетом разделения общих деформаций ползучести на
обратимую и необратимую части при параметрах, указанных в
табл. 2. При помощи указанного разделения деформаций достиг-
нуто удовлетворительное совпадение экспериментальных и теоре-
11
тических кривых удельных относительных деформаций вибропол-
зучести, статической ползучести и упругого последействия.
Таблица 2
Параметры удельных относительных обратимых и необратимых деформаций
ползучести
Серии Характеристика амплитуды цикла Обратимые деформа- ции Необратимые дефор- мации
Вг107 В2Ю7 Лг107 Л2107
I Pi = 0,332 1 Рг = 0,604 > Рз = 0,888 J р = 1, (У = 0,304 /?пр 2,625 1,75 4,2 2,8 9 2,5 0,8 1 68 20 7,13 4,66 2,62
II Pi = 0,4 р2 = 0,8 Р = 1, а = 0,300 7?пр 2,625 2,185 1,75 4,2 3,5 2,8 2 0,95 0,6 4,87 2,91 1,14
III Pi = 0,615 1 р2 = 0,607 J 2,185 3,5 4 0,2 7,6 3,23
ai = 31 = 0,12 ч 1 ; а2 = 32 = 0,0036 ч 1 .
Предельные величины удельных относительных необратимых
деформаций виброползучести, подсчитанные как по оСр, так и
0макс, в зависимости от уровня напряжений существенно нелиней-
ны (рис. 7). Линии 1 и 2 соединяют две имеющиеся точки. В дей-
Рис. 7. Предельные величины относительных необратимых деформаций вибро
ползучести
а, б — в зависимости от р ; в — в зависимости от уровня напряжения
12
ствительности же зависимость необратимых деформаций от сгСр и
Пмакс описывается, по-видимому, кривыми типа 1' и 2'. Прямой 3
нанесена величина необратимых деформаций статической ползу-
чести (о=0,375/?Пр).
Таблица 3
Результаты испытаний бетонных призм. Серия II
Характери- стика ампли- туды цикла Возраст к моменту загружения в сутках Среднее напряже- ние цикла в кГ/см2 Длительность загружения в ч Число повторе- ний нагрузки М.10“6 Деформа- ции пол- зучести гпЮ’ Мера ползу- чести с —!_ ю? Gcp
Первое загружение
Р1 = 430 475,4 9,7 1282 13,88
430 475,4 9,7 1126 12,279
430 91,7 475,4 9,7 1037 11,309
469 i 206,25 4,2 874 9,531
р2 = 0,8 450 449 9,16 731 6,143
450 > 1 1 о 449 9,16 1001 8,412
450 11У 449 9,16 855 7,185
482 354,1 7,22 1019 8,563
Второе загружение
pi = 0,4 469 91,7 204,1 4,16 490 5,344
469 91,7 204,1 4,16 550 5,998
рг = 0,8 482 119 354,1 7,22 660 5,546
482 119 354,1 7,22 782 6,571
П р и м е ч а н и е. Максимальное напряжение цикла 131 кГ!см2, относительное макси-
мяльное напряжение цикла 0,375 ^пр*
Влияние характеристики амплитуды цикла при постоянном
уровне напряжений, равном Омакс=0,375/?пр, изучалось при двух
режимах (рис. 2, серия II).
Температура воздуха в процессе пульсационных испытаний бы-
ла 9±5°С, влажность воздуха 70±15%.
Развитие удельных относительных деформаций виброползуче-
сти и статической ползучести (серия II) показано сплошными ли-
ниями на рис. 8. Заметно, что деформации виброползучести уве-
личиваются с уменьшением характеристики амплитуды цикла
(табл. 3).
Скорости проявления обратимых и необратимых деформаций
виброползучести были приняты такими же, *как в серии III, а пре-
дельные величины этих деформаций подбирали тем же путем, как
в указанной серии.
Теоретические кривые, полученные с учетом разделения обра-
тимых и необратимых деформаций при значениях параметров по
13
Рис. 8. Экспериментальные (оплошные линии) и теоретические кривые (пунктирные линии) ползучести бетона
при пульсирующей (/, 2) и статической нагрузках (5)
/ —о =0,4; 2 — 0=0,8; 3 — при (У =0,375 R
’ ’ 1 пр
данным табл. 2, изображены на рис. 8 штрих-пунктирными ли-
ниями.
Изменение предельных величин удельных относительных необ-
ратимых деформаций виброползучести (см. рис. 7,6) в зависимо-
сти от р показывает, что доля необратимых деформаций в общих
деформациях виброползучести возрастает с уменьшением харак-
теристики амплитуды цикла.
Влияние характеристики амплитуды цикла при оСр= const ис-
следовалось на трех режимах (рис. 2, серия Од-1).
Температура воздуха в процессе испытаний пульсационной и
постоянной во времени нагрузкой составляла 18±4°С, влажность
воздуха 70+15%.
Результаты испытаний многократно повторяющейся и статиче-
ской нагрузкой приведены в табл. 4. Как видно из этой таблицы, де-
формации статической ползучести при напряжении о=0,447/?Пр
становятся нелинейными.
Развитие во времени удельных относительных деформаций
виброползучести и статической ползучести (серия 04, о=
=0,304/?Пр) показано на рис. 9 сплошными линиями.
При условии о’Ср=const деформации виброползучести возрас-
тают с уменьшением характеристики амплитуды цикла.
Предельные величины удельных относительных обратимых и
необратимых деформаций виброползуче-сти были получены по од-
ной графической зависимости S*(/, т2—п) (за исключением ре-
жима pi=0,332). Теоретические кривые, найденные с учетом раз-
деления деформаций и принятия параметров по табл. 2, показаны
на рис. 9 штрих-пунктирными линиями.
Наибольшее отклонение (—14,4%) теоретических и экспери-
ментальных кривых наблюдается для режима р]=0,332 прк вто-
ром загружении. Это можно объяснить как высоким уровнем при-
кладываемых напряжений, так и большим перепадом напряжений
(Тмин—Омаке. При втором загружении также испытывались две на-
иболее деформируемые призмы.
Предельные величины удельных относительных необратимых
деформаций ползучести (см. рис. 7,а), как и для серии Од-2, су-
щественно возрастают с уменьшением характеристики цикла р.
Таким образом, на основании полученных экспериментальных
данных при анализе развития деформаций виброползучести была
подтверждена целесообразность разделения полных деформаций
на два вида — деформации последействия и необратимую дефор-
мацию первого рода, как это было установлено в работах [1, 2].
Анализ опытных данных позволил подобрать выражение для оп-
ределения меры необратимой деформации, и, как показало сопо-
ставление (см. рис. 3, 8 и 9), результаты получаются вполне удов-
летворительными. Однако ограниченность опытных данных и ус-
ловности, принятые при их обработке, не дают возможности до-
статочно четко установить зависимость параметров деформаций
эиброползучести (Аь А2, Bi и В2) от характеристик цикла нагру-
15
жения. Можно только полагать, что параметры В удельных де-
формаций последействия при виброползучести не завися! от сред-
него напряжения (в пределах, в которых его величина менялась в
описанных опытах) и слабо зависят от величины р, когда она за-
метно отличается от единицы, но быстро уменьшаются, когда р
приближается к единице и становится равным ей. Что 'касается па-
Таблица 4
Результаты испытания бетонных призм. Серия I (О Д-1,0-1)
Характери- стика ампли- туды Возраст к моменту загружения в сутках Максимальное нап- ряжение цикла в кГ/см* Среднее напряжение цикла в кГ[смг Относительное мак- симальное напряже- ние цикла * Длительность загру- жения в ч Число повторений ., , Л—6 нагрузки ЛМО Деформации ползу- чести еп-107 Мера ползучести —107 аср Модуль упру- го-мгновен- ных деформа- ций Е-иГ"5
начальный Е нач после ЦИКЛОВ
Первое загружение
Pi = 0,332 120 0,444 444 8.1 2740 32,262 2,91 2,36
120 ► 123,8 84,93 0,444 444 8,1 2845 33,498 2,74 2,14
120 0,444 444 8,1 2320 27,317 2,86 2,25
160 J 0,417 219,5 3,95 2793 32,886 2,84 2,26
р2 = 0,604 141 0,367 41 0,738 572 6,735 з,н ! —
141 104,18 84,93 0,367 41 0,738 555 6,535 3,1 —
141 - 0,367 41 0,738 492 5,793 3,18 —
171 0,347 186 3,36 974 11,5 3,03 2,68
Рз = 0,888 182 ] 992 11,422 2,94 2,92
182 94,55 86,85 0,305 448,5 8,08 878 10,109 3,25 3,05
182 , 964 П,1 3,01 2,99
Р = 1 123 581 6,843 3,15 ——
(статисти- 123 84,93 — 0,304 523,5 — 650 7,655 3,36 —
ческая на- 123 635 7,479 3,16 —
грузка) р = 1 135] 1429 11,42 3,18
135 125 —— 0,447 549 - — 1292 10,33 3,14 .
135, 1211 9,71 3,44 —
р = 1 175 723 6,886 2,89 -
175 105 —- 0,339 530 — 695 6,619 3
175 ! 738 7,219 3,07 —
Второе загружение
pi = 0,332 160] 160 ] 123,8 84,93 0,417 219,5 3,95 1037 1195 12,21 14,07 2,57 2,38 2 ,48 2,244
Рг = 0,604 224 104,18 84,93 0,332 99 1,8 414 4,875 2,85 2,79
Рз = 0,888 224] 224 j 94,55 86,85 0,302 99 1,76 431 398 4,965 4,583 2,89 2,86 2 ,81 2,79
р =1 168] 168 J 84,93 0,283 192 — 376 276 4,43 3,25 3,07 3,32
16
Рис. 9. Экспериментальные (сплошные линии) и теоретические кривые (пунктирные линии) ползучести при
пульсирующей нагрузке (/, 2, 3) и статической нагрузке (4)
1 —р=0,332; 2—? =0,604; 3— р =0,888 ; 4 — цри (1=0,304 7?пр
раметров необратимой деформации первого рода, то они сущест-
венно (в силу нелинейности этих деформаций) растут с ростом на-
пряжений (средних или максимальных) и резко возрастают с
уменьшением характеристики цикла р.
Изменение физико-механических свойств бетона при действии
многократно повторяющихся и постоянных длительных нагруже-
ний. Результаты опытов подтвердили известный из литературных
данных факт, что многократно повторяющиеся нагрузки изменяю!
упругие свойства бетона. Это изменение выражается в увеличении
упругих деформаций бетона и искривлении диаграммы о—е вы-
пуклостью в сторону оси деформаций. Модуль упруго-мгновенных
деформаций становится переменным. Он имеет меньшие значения
при достаточно низких напряжениях и увеличивается с повышени-
ем напряжений.
На рис. 10, а, б показано изменение упругих деформаций бето-
на в зависимости от числа циклов пульсационной нагрузки N и ха-
рактеристики амплитуды цикла при постоянном среднем напряже-
Рис. 10. Изменение диаграммы сжатия бетона после действия циклов повторяю-
щейся нагрузки
а — три Р =0,332; б — при р =0,888
нии (серия I). Начало кривых изменения упругих свойств бетона
на рисунках условно совмещено с началом координат. Анализ
этих кривых показывает, что увеличение упругих деформаций свя-
зано с характеристикой амплитуды цикла. С уменьшением р уп-
ругие деформации возрастают в большей степени. При р=const
увеличение упругих деформаций происходит в течение небольшого
количества циклов и в дальнейшем стабилизируется. Аналогичное
изменение упругих свойств бетона характерно и для других ре-
жимов испытания.
Изменяющиеся значения модуля упругости испытываемых об-
разцов первой и третьей серий, наблюдаемые в процессе испыта-
ний, приведены в табл. 1 и 4.
18
Модуль упругости определяли при уровне напряжений, равном
0,27?Пр для статически нагруженных призм, а при действии много-
кратно повторных нагрузок—равном среднему напряжению цикла.
Изменение модуля упругости в процессе длительных статиче-
ских нагружений практически не наблюдается. В настоящих опы-
тах было обнаружено, что после действия повторяющихся нагрузок
более жестких режимов и затем три испытании после длительного
отдыха модуль упруго-мгновенных деформаций постепенно повы-
шается.
Искривление диаграммы сжатия связано со структурными из-
менениями в бетоне, но не является признаком усталости, так как
при самом неблагоприятном р максимальное напряжение цикла
оМакс=0,444 ;7?пр не превышало величины [6].
Многократно повторяющиеся нагрузки способствуют образова-
нию и развитию микротрещин. Причем для случая малых р равно-
весные микротрещины могут образовываться и при напряжениях,
значительно меньших R°.
т
На рис. 11,а—в (показано изменение времени прохождения
ультразвука (в мксек) в зависи-
мости от числа циклов пульсиру-
ющей нагрузки N, уровня на-
пряжения сжатия и различного
значения характеристики ампли-
туды цикла. Среднее напряжение
цикла было одинаковым.
а,
0,75
0,6
123,8 кГ/см2\
8Ч,93кГ/см2
0,8
0,8
1,35
2,8
Из приведенных данных мож-
но видеть, что наибольшее раз-
уплотнение получилось в бетоне
после действия пульсирующей
нагрузки с характеристикой
р = 0,332 (время прохождения
ультразвука было наибольшим).
Для режима испытания при
р =0,604 было замечено, что после
непродолжительного числа пов-
торений нагрузки сначала про-
исходило увеличение скорости
прохождения ультразвука, что
указывало на уплотнение бетона,
затем при продолжении испыта-
ний эта скорость снижается, что
свидетельствовало о начавшемся
процессе образования микрораз-
рушений. Повторяющиеся нагру-
жения с характеристикой р =
= 0,888 вызывали увеличение ско-
рости прохождения ультразвука
35,2ЦкГ/см'г
0,25
2,8
0,09510* N=2,77-10^
Рис. 11. Изменение времени прохож-
дения ультразвука в бетоне (мксек)
в зависимости от числа циклов N,
уровня напряжения сжатия и харак-
теристики р
а — р =0,332; б — р =0,604; в — р =0,888
19
Таблица 5
Режим нагружения № призм Число повто- рений нагруз- ки лмо”6 Прочность бетона на раскалывание по плос- кости I—I, II—11 в кГ/см2
Яр1 V1 flCp I р /?ОСР II р
Серия I
Ранее не нагруженные призмы 1 2 37,8 38,2 36,9 42,2 38 39,5
Статическая нагрузка а = 1 — 39,6 35,3 40,15 35,22
= 0,45 7?Пр 2 — 40,7 35,15
Статическая нагрузка а = 1 — 31,85 35 33,42 34,15
=0,3 Япр 2 — 35 33,3
Циклическая нагрузка рх = 1 12,05 39,8 27,65 38,25 28,3
= 0,332 2 12,05 36,7 28,9
3 8,1 39,8 31,5 39,8 31,5
4 8,95 37,9 32,2 37,9 32,2
Циклическая нагрузка р2 = 1 11,01 39,7 31,9 38,9 31,5
= 0,604 2 11,01 38,1 31,1
3 7,65 40,6 34,8 40,6 34,8
4 5,1 41,3 33,3 41,3 33,3
Циклическая нагрузка р3 = 1 8,08 38,9 36,4 38,9 36,4
= 0,888 2 9,84 43,2 34,9
3 9,84 36 35,9 39,6 35,3
Серия II
Ран^е ненагруженные приз- 1 - 38,47 34,05 38,41 35,01
мы 2 — 39,39 34,78
3 — 37,37 36,2
Статическая нагрузка а = 1 — 39,37 38,08 39,37 38,03
= 0,375 7?пр 2 — 44,27 36,5
3 — 42,43 33,83 43,35 35,16
Статическая нагрузка а = 1 — 40,27 37,67
= 0,3 7?пр 2 — 35,7 35,48 37,99 36,57
Циклическая нагрузка рх = 1 9,7 34,83 32,7 34,83 32,7
= 0,4 2 13,86 41,65 30,58 41,74 32,54
3 13,86 41,83 34,5
4 4,2 41,13 33,75 41,13 33,75
Циклическая нагрузка р2 = 1 9,16 40,47 29,1 40,47 29,1
= 0,8 2 16,38 32,03 25,45 33,31 28,55
3 16,38 34,6 31,65
4 7,22 36,83 32,55 36,83 32,55
Серия III
Циклическая нагрузка рх = 1 8,417 37 34,48 37 34,48
= 0,615 2 12,082 37,9 33,5 37,9 33,5
3 6,241 43,65 34 48,65 34
4 9,073 43,87 27,85 43,87 27,85
Циклическая нагрузка р2 = 1 14,42 40,93 37,2 40,93 37,2
= 0,607 2 8 40,13 36,35 40,13 36,35
3 7,122 41,4 36,25 41,4 36,25
20
до значения 2V—2,9-106 циклов. Это дает основание предполагать,
что при более «мягких» режимах пульсирующих нагружений про-
исходило заметное уплотнение бетона в образцах.
Относительно этих результатов следует подчеркнуть, что про-
звучивание по диагонали образцов (когда датчики располагались
на противоположных гранях призм на разных уровнях) давало
нам общее представление о происходящих структурных изменени-
ях в бетоне, но не позволяло судить о преимущественном направ-
лении развивавшихся микротрещин в зависимости от числа циклов.
В связи с этим, как указывалось выше, после воздействия пульси-
рующей нагрузки разных режимов был применен метод раскалы-
вания образцов по плоскостям, параллельным и перпендикуляр-
ным направлению действия сжимающих усилий.
Результаты испытаний на раскалывание представлены в табл. 5.
Из ее данных видно, что прочность бетона изменяется в зави-
симости от направления плоскостей раскалывания по отношению к
действующим пульсационным на-
грузкам, числа приложения мно-
гократно повторяющихся нагру-
зок, уровня напряжений и ха-
рактеристики амплитуды цикла.
Для серии I, испытываемой в
возрасте бетона т^>120 суток,
прочность бетона по плоскостям
раскалывания /?р в направлении
II — II уменьшается в зависимо-
сти от числа циклов N и их ха-
рактеристики р. Наиболее зна-
чительное уменьшение /?р наблю-
дается в образцах после испыта-
ний при более жестком режиме.
На рис. 12 показано изменение
раскалывающих напряжений по
плоскости II — II в зависимости
от .V и р.
Сравнение прочности на рас-
калывание образцов, подвергав-
шихся действию многократно по-
вторной нагрузки, с прочностью
ранее под статической нагрузкой,
Необходимо подчеркнуть, что для
использованы
длительно загруженных образцов.
Число повторений нагрузки N
Рис. 12. Изменение -прочности бетона
при -раскалывании приз-м по плоско-
сти //—II в зависимости ют N и р
/ — р =0,332; 2 — р =0,604; 3 — о =0,888
образцов-близнецов, стоявших
показано на рис. 13 (серия I).
построения этого графика были
наиболее
данные, полученные при раскалывании
Для серий II и III, испытывавшихся в возрасте бетона
^>430 суток, было также замечено существенное уменьшение 7?р
для случая раскалывания по плоскости II—II. С ростом числа по-
вторений нагрузки прочность бетона на раскалывание в указанной
21
плоскости для всех серий испытаний имеет тенденцию к непрерыв-
ному снижению. Найти какую-то закономерность в изменении
прочности бетона по плоскости /—/ не удалось.
Изменение прочности на раскалывание по плоскостям I—I и
//—II подтверждает предположение, что микротрещины ориенти-
Лшнтеристина амплитуды иикла jo
Рис. 13. Сопоставление прочности
бетона .при раскалывании призм по
плоскости /—I (линия 1) и плоско-
сти II—II (линия 2) в зависимости
•от величины р
рованы преимущественно в
направлении, параллельном
действию ранее приложенных
нагрузок.
Выводы
1. При многократно пов-
торяющихся сжимающих на-
грузках деформации вибро-
ползучести нелинейны. Нели-
нейность вызывается необра-
тимыми деформациями 1-го
рода. Необратимые деформа-
ции при прочих равных усло-
виях возрастают с увеличени-
ем уровня напряжений и
уменьшением хар актер истики
амплитуды цикла.
2. Разделяя деформации ползучести на обратимую и необрати-
мую части, можно добиться удовлетворительного совпадения экс-
периментальных и теоретических кривых нарастания во времени
деформаций ползучести и виброползучести.
3. Воздействие многократно повторяющихся нагрузок вызывает
уменьшение модуля упругости и приводит к искривлению диаграм-
мы о—е. Упругие деформации при прочих равных условиях воз-
растают с уменьшением характеристики амплитуды цикла и уве-
личением относительного уровня напряжений. Уменьшение модуля
упругости происходит в течение небольшого количества циклов и
в дальнейшем стабилизируется.
4. В настоящей работе для жестких режимов было обнаружено
некоторое восстановление упругих свойств бетона в процессе дли-
тельного отдыха.
5. Многократно повторяющиеся нагрузки вызывают в бетоне
структурные изменения. Скорость прохождения ультразвука с уве-
личением количества циклов пульсационной нагрузки изменяется.
Наличие структурных изменений в бетоне подтверждается - также
анизотропией прочности бетона на раскалывание.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гвоздев А. А., Яшин А. В., Галустов К. 3. >0 некоторых отступ-
лениях от принципа наложения в теории ползучести бетона. «Бетон и железо-
бетон», 1967, № 8.
2. Г в о з д е в А. А., Галустов К. 3., ЯшинА. В. Об уточнении теории
линейной ползучести бетона. «Механика твердого тела», 1967, № 6.
22
3. Александровский С. В. Расчет бетонных и железобетонных кон
струкций на температурные и влажностные воздействия (с учетом ползучести).
М., Стройиздат, 1966.
4. Александровский С. В., Попкова О. М. О нелинейности дефор-
маций ползучести бетона при низких напряжениях. ЦНИИС Госстроя СССР,
НТИ, вып. 4. 1967.
5. Александровский С. В., Попкова О. М. Исследование нелиней-
ных деформаций ползучести бетона молодого возраста при ступенчато изменя-
ющихся напряжениях сжатия. «Ползучесть и усадка бетона». Материалы со-
вещания, подготовленные НИИЖБ Госстроя СССР. М., 1969.
6. Берг О. Я-, П и с а н к о Г. Н., Хромец Ю. Н. Исследование физичес-
кого процесса разрушения бетона под действием статической и . многократно
повторяющейся нагрузки. «Исследование прочности и долговечности бетона
транспортных сооружений». ЦНИИС, вып. 60. М., Трансжелдориздат, 1966.
7. Якубовский Б. В., Ермолаев Н. Н., Акридин Д. В. Испытание
железобетонных конструкций и сооружений. М., «Высшая школа», 1965.
А. В. ЯШИН, канд. техн, наук
ПРОЧНОСТЬ И ДЕФОРМАЦИИ БЕТОНА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ
СКОРОСТЯХ ЗАГРУЖЕНИЯ
Длительность испытаний до разрушения составляет, как пра-
вило, от 20 мин до 8 ч и несколько более; кубы испытывают в со-
ответствии с ГОСТ 10180—67 («Бетон тяжелый. Методы опреде-
ления прочности») со скоростью от 4 до 6 кГ1см2 в секунду. Влия-
ние медленных скоростей нагружения на прочность бетонов изу-
чено еще недостаточно; еще в меньшей степени изучено их влия-
ние на деформации [1—7].
С увеличением длительности приложения нагрузки в бетоне
развиваются деформации ползучести, которые приводят к ощути-
мому увеличению общих деформаций. С другой стороны, как и в
случае постоянной длительно действующей максимальной нагруз-
ки, замедление скорости нагружения должно приводить к некото-
рому снижению прочности бетона.
При испытании трудно обеспечить условия постоянной скоро-
сти нагружения на обычных прессах, в особенности в стадии,
близкой к разрушению. К концу разрушения образца обычно на-
блюдается увеличение его деформаций 'при некотором спаде на-
грузки. На диаграмме «нагрузка—деформация», так же как и
при загружении с постоянной скоростью деформирования, полу-
чается ниспадающий участок.
Для обеспечения постоянной скорости при нагружении ЭКБ
ЦНИИСК с участием НИИЖБ была разработана специальная
рычажная установка на сжатие. Цель опытов — получить для
обычного бетона зависимости между напряжениями, деформация-
ми (продольными, поперечными, объемными), скоростями этих де-
формаций и временем их наблюдения три достаточно медленных
23
скоростях загружения по сравнению с динамическими [8]. Эти за-
висимости должны охватывать и область, близкую к разрушению.
Наблюдения за развитием продольных и поперечных деформа-
ций, в особенности в стадии, близкой к разрушению, показывают
определенное влияние степени их развития на конечную про нбсть
бетона. Полученные данные предусматривается использовать при
оценке поведения конструкций с учетом неупругих свойств бетона,
проявляющихся за сравнительно небольшие сроки (в пределах
одного и нескольких часов), в течение которых преобладает так
называемая кратковременная ползучесть. Эти данные позволят
объяснить наблюдаемую при испытании конструкций неупругость
и оценить ее влияние на поведение этих конструкций.
Методика исследования. Уже изучались зависимости между
продольными деформациями и напряжениями, их вызвавшими,
при постоянных и достаточно медленных скоростях нагружения
(в условиях сжатия и растяжения) [1—6]. Однако некоторые из
этих данных противоречивы. Так, по опытам М. С. Боришанского,
Е. А. Троицкого и К. К. Шкербелиса, с уменьшением скорости
нагружения величина деформации бетона существенно возрастала
(в 2 раза и более, причем в большей степени при высоких уровнях
нагрузки), а на прочность бетона изменение скорости нагружения
практически не сказалось. В этих опытах постоянная скорость -на-
гружения обеспечивалась путем непрерывной регулировки подачи
масла под плунжер пресса. В опытах М. С. Боришанского общая
длительность испытания составляла 45 мин и примерно 13 ч соот-
ветственно скорость нагружения равнялась 2 и 0,112 кГ!см2 в
1 мин. В опытах Е. А. Троицкого скорость нагружения принята
1,6 и 0,1 кГ1см2 в 1 мин, в опытах К. К. Шкербелиса — 20, 2 и
0,5 кГ1см2 в 1 мин. Призменная прочность /?Пр в последних опытах
равнялась от 102 до 318 кГ/см2, в первых двух — примерно
85 кГ/см2. Поскольку опыты проводились на обычных прессах,
по-видимому, трудно было обеспечить в них условия постоянной
скорости нагружения, в особенности при большой длительности ис-
пытания и в стадии, близкой к разрушению.
Опыты О. П. Квирикадзе производились на разрывной машине;
постоянная скорость нагружения задавалась с помощью редукто-
ров. Результаты этих опытов на сжатие -обычного бетона при ско-
ростях нагружения 0,15 и 2,85 кГ/см2 в 1 мин показали следующее:
при увеличении скорости нагружения наблюдалось небольшое воз-
растание прочности бетона (с 95 до 102,3 кГ1см?), и при одних и
тех же уровнях напряжения величины относительных деформаций
оказались близки между собой. В этих опытах при разных скоро-
стях нагружения наблюдалась одна и та же зависимость между
деформациями и величинами сг//?пр, на которую скорость нагруже-
ния не оказывала влияния. Поскольку в опытах М. С. Боришан-
ского, Е. А. Троицкого и К. К. Шкербелиса изменение скорости
нагружения практически не оказалось на прочности бетона, такая
зависимость по их опытам не наблюдается.
24
В опытах А. Е. Шейнина и В. Л. Николаева изменение скоро-
сти загружения в пределах 0,016—2,6 кГ/см2 в 1 мин очень мало
повлияло на величину полной деформации бетона при растяжении.
Авторы объясняют это тем, что в их опытах заметные деформации
ползучести не проявлялись. В этих опытах наблюдалось снижение
прочности бетона при уменьшении скорости нагружения, достиг-
шее примерно 10%. Нагружение с постоянной скоростью произво-
дилось на рычажной установке с помощью загрузочного бака и
бака-распределителя: при нагружении вода поступала в первый
бак из второго, в котором поддерживался определенный ее уро-
вень.
Необходимо было провести исследование по более широкой
программе с измерением в процессе нагружения образцов не толь-
ко продольных, по и поперечных деформаций. Эти исследования
выполнены в НИИЖБ «под руководством проф. А. А. Гвоздева.
Разработанная специальная рычажная установка обеспечивает по-
стоянную скорость загружения и разгрузки образцов с помощью
системы автоматического регулирования уровня при заполнении
загрузочного бака водой и его опорожнении. Постоянная скорость
нагружения на этой установке может варьироваться в широких
пределах (с продолжительностью испытания от нескольких минут
до нескольких дней и даже месяцев) и обеспечивается с доста-
точно высокой степенью точности. Были испытаны две серии об-
разцов из обычного бетона. Скорости нагружения в первой серии
опытов были: 14; 2,43; 1,18; 0,69; 0,051 кГ/см2 в 1 мин, во второй
31; 14,3; 9,3; ~ 3,65; 2,55; ~ 1,1; —0,5 кГ]см2 в 1 мин.
Образцы сечением 10x10 см, высотой 40 см готовили из обыч-
ного тяжелого бетона (серия I: ВЩ= 0,72; 1 : 2,75 : 4,31; ОК=4 си;
серия II: В/Д=0,91; 1 : 2,75; 4,31; ОК=7 см). Для приготовления
бетонов применяли портландцементы Белгородского завода ак-
тивностью 560 кГ/см2—серия! и Ново-Здолбуновского завода ак-
тивностью 583 кГ/см2—серия II. Для приготовления бетонной сме-
си применяли пески с модулем крупности 1,9—1,95, дробленый
щебень крупностью до 10 мм: гранитный — для серии I, известня-
ковый— для серии II, с пустотностью 45—48%. Образцы изготов-
ляли горизонтально, по 36 шт. в одной стальной форме. Бетонную
смесь уплотняли с применением высокочастотных вибраторов (се-
рия I) и на виброплощадке (серия II). Примерно начиная с 7 су-
ток после бетонирования образцы находились в воздушно-сухих
условиях при температуре 18—20°С и влажности воздуха 50—60%.
Образцы испытывали в возрасте одного года (серия Г) и в воз-
расте 28—37 суток (серия II). Перед испытанием образцы цент-
рировали пробными нагрузками, не превышающими 0,05—0,1 раз-
рушающей, таким образом, чтобы деформации по всем четырем
граням образца были одинаковые. После этого нагрузку снимали
и образцы загружали непрерывно с постоянной скоростью.
Деформации измеряли индикаторами часового типа (с ценой
деления 0,01) на базе 250 мм, устанавливаемыми по всем четырем
25
граням призматического образца, а также с помощью тензорези-
сторов с базой 50 мм, наклеиваемых перед испытанием на подго-
товленную поверхность образца (вдоль и поперек осевого сжатия,
в середине высоты образца, по четыре тензорезистора на каждой
грани).
Принятая методика измерения деформаций образцов позволя-
ла контролировать правильность показаний тензорезисторов и
иметь данные о развитии не только продольных деформаций, но и
поперечных, наиболее существенно развивающихся, как это будет
видно из дальнейшего, в стадии, близкой к разрушению. По при-
борам отсчеты снимали через равные промежутки времени, отсчи-
тываемые с помощью секундомера. Отсчеты снимали, как прави-
ло, до конца разрушения образца. Величины деформаций, опреде-
ленные по показаниям тензорезисторов и индикаторов, как прави-
ло, были близки между собой.
Прочность бетона при нагружении с разными скоростями. Все
испытанные образцы нагружались непрерывно с постоянной ско-
ростью нарастания нагрузки и доводились до разрушения. В таб-
лице и на рис. 1 представлены результаты испытания двух серий
Рж. 1. Завжимость прочности бетона от скорости нагружения
------по данным других авторов [И];---------сто предлагаемой зависимости (1)
образцов. На том же рисунке помещены данные других исследова-
телей. Сплошная кривая на рисунке в области высоких скоростей,
включая динамические, заимствована из [9]. Пунктирной .линией
нанесена эмпирическая кривая, построенная по предлагаемой фор-
муле:
(1)
26
где а=0,1; 6=0,5; c=10“6;d=2; Vi=60 кГ/см2 в 1 мин\ V2—ско-
рость .в кГ/см2 в 1 мин.
Величина скорости Vi в этой формуле является отправной, ко-
торой соответствует прочность скорость V2—искомая, ей от-
вечает прочность /?2- Как видно из рисунка, получилось удовлетво-
рительное совпадение указанной кривой с опытом.
Из формулы (1) следует, что прочность бетона в зависимости
от скорости нагружения может
от 0,76 при очень медленной
скорости, приближаясь в этом
случае к значению длительно-
го сопротивления бетона [7],
до 1,71 при очень высокой
скорости, равной 109 кГ/см2 в
1 мин. Из этой зависимости
можно получить величину сни-
жения прочности бетона за
определенный срок испытания.
Представляет, однако, ин-
терес и прямая зависимость
между прочностью бетона и
длительностью испытания до
разрушения при нагружении с
разными скоростями. Как уже
отмечалось ранее, длитель-
ность обычных испытаний мо-
жет колебаться от 20 мин до
8 ч и более. Какова при таких
продолжительностях испыта-
ния эта зависимость? Ответ да-
ет рис. 2, построенный на осно-
вании данных нагружения двух
серий образцов с постоянной
скоростью. Хотя имеется не-
большое число наблюдений,
была сделана попытка найти
изменяться в большом диапазоне:
Влияние скорости нагружения
на прочность бетона
(результаты испытаний)
1 л р
со со « Л О я .Т S
Ef СП •° S й S С оС fl.
к S си со си \о о о О Ч’С. я >• 3 3 О 1С »-г« 5* ю о П „ fli 5 * _
<3 Й ж о. О и « со? ^СО СП
2 14 285 0,967 19
3 2,43 253 0,861 96
I 4 1,18 254 0,863 198
5 0,69 251 0,853 334
6 0,051 245 0,833 4287
1 31 243 0,934 8
2 31 257 0,988 8
4 31 272 1,046 9
7 14,3 243 0,935 17
8 9,3 231 0,888 26
13 3,73 249 0,957 68
II 9 3,57 225 0,865 65
10 2,55 229 0,88 91
15 1,14 242 0,93 220
11 1,07 236 0,907 225
16 0,535 220 0,847 418
12 0,455 224 0,862 467
Примечание. Для серии I R\ —
=294 кГ/см2, возраст бетона 1 год: для серии
II flt =260 кГ!см\ возраст бетона 28—37 суток
коррелЯ'ционную связь между
прочностью бетона и длительностью опыта. В результате статисти-
ческой обработки экспериментальных данных была получена, сле-
дующая корреляционная зависимость:
= 1,042 — 0,07 lg t (t — в мин),
R1
(2)
изображенная на рис. 2 сплошной линией. Коэффициент корреля-
ции равняется 0,772 при его отношении к средней ошибке 7,64,
что показывает достаточную степень достоверности его значения.
Из найденной зависимости вытекает, что при нагружении с
разными скоростями при продолжительности испытания 20 мин,
27
1 ч и 8 ч прочность бетона в среднем снижается на 5; 8 и 14,5%
соответственно, если сравнивать их со значением прочности, вы-
численным при времени наблюдения 4 мин. Рис. 1 показывает, что
примерно то же снижение прочности бетона получается, если при
вычислении исходить из зависимости (1).
Рис. 2. Корреляцион-
ная зависимость -меж-
ду прочностью бето-
на и .временем наблю-
дения -при разруше-
нии в условиях по-
стоянных скоростей
нагружения
эксперименталь-
ные точки; -------- по
предлагаемой зависимо-
сти (2)
Обнаруженное в опыте снижение прочности бетона при умень-
шении скорости нагружения (или удлинении сроков испытания)
объясняется прежде всего развитием в нем под нагрузкой микро-
трещин и других дефектов, связанных с неднородностью структу-
ры бетона.
Полученные данные следует учитывать при оценке результатов
испытаний. Например, при длительном нагружении постоянной на-
грузкой снижение примерно на 8% отвечает длительности загру-
жепия 1 сутки [7], причем за исходную была принята Прочность,
получаемая при кратковременных испытаниях ступенями нагрузки
с продолжительностью 1 ч и несколько более. Как показывают
описанные здесь опыты, если за исходную принять прочность, по-
лученную за меньшие сроки испытания, то снижение было бы
больше, что согласуется с результатами опытов Рюша [11].
Зависимости продольных, поперечных и объемных деформаций
бетона от времени наблюдения при разных скоростях нагружения.
В поставленных опытах по влиянию скорости нагружения на де-
формации бетона при одноосном сжатии одновременно измеря-
лись продольные и поперечные деформации, что позволило судить
об объемной деформации 0=(1—2v)e, определяющей относитель-
ное изменение плотности бетона при уменьшении его объема. По-
лученные для целого ряда образцов серии II зависимости продоль-
ных, поперечных и объемных деформаций бетона от времени наб-
людения при разных скоростях нагружения (от 31 до 0,455 кГ[см?
в 1 мин) изображены на рис. 3.
Видно, что все кривые полных относительных деформаций
имеют характерный участок, предшествующий разрушению образ-
цов (момент разрушения помечен на рисунке пунктирной линией).
На этом участке наблюдается заметное убыстрение в нарастании
деформаций, в особенности поперечных. На изображенных графи-
28
ках начало этого участка может быть отмечено точкой, в которой
скорость объемной деформации равна нулю:
— = 0.
dt
Нарастание продольных и поперечных деформаций бетона во
времени в условиях постоянной скорости нагружения при сжатии
Длительность нагружений
Рис. 3. Графики зависимости продольных е, поперечных 81 и объемных* 0 де-
формаций бетона от времени наблюдения при нагружении образцов второй серии
с 'Постоянными скоростями нарастания нагрузки
а — короткие сроки испытания; б — более длительные сроки испытания
29
характеризуется постоянно возрастающей скоростью
жительных ее значениях)
— > о, — > о,
dt dt
(при ПОЛО-
11 почти с самого начала нагружения рост этих деформации обго-
няет рост нагрузки, что указывает на проявление некоторой нели-
нейности уже с небольших значений напряжений. В процессе уп-
лотнения бетона при осевом сжатии скорость уменьшения объема
образца вначале несколько возрастает, затем с начавшимся раз-
уплотнением структуры бетона очень скоро уменьшается до нуля,
после этого знак скорости меняется на обратный в связи с про-
грессирующим разуплотнением бетона. Таким образом, скорость
объемной деформации бетона при нагружении с постоянной ско-
ростью принимает последовательно значения:
£0
d t
> О,
по которым можно в известной степени судить о состоянии струк-
туры бетона'под нагрузкой. Поскольку в условиях постоянной ско-
рости нагружения daldt=const, то в отношении производной
db/dc можно сказать то же самое. Это будет видно дальше из
графиков.
На рис. 3 пунктиром показаны для трех образцов (№ 4, 8 и 12)
линии упругих деформаций и отвечающие им линии объемных
деформаций, вычисленных на основании начального модуля упру-
гости испытанного бетона, составившего 312-103 кГ1см2, и коэф-
фициентов поперечных деформаций, равных 0,18 и 0,2. Наглядно
видно, что относительное изменение плотности при осевом сжатии
в значительно большей степени выражено в бетоне, чем в упругом
теле. В бетоне особо следует выделять стадию, близкую к разру-
шению. Как показывает опыт, работа бетона под нагрузкой в этой
стадии сопровождается значительными объемными изменениями,
разуплотнением, развитием микро- и макротрещин и других де-
фектов его структуры, ориентирующихся преимущественно вдоль
сжимающего усилия, на что обращено внимание в работах
О. Я. Берга и его школы [10].
Появление отдельных трещин отмечалось незадолго до разру-
шения в процессе нагружения бетонных образцов. В проведенных
опытах максимальные поперечные относительные деформации, ко-
торые замерялись почти до конца разрушения образцов (за не-
сколько секунд до него), составили от 0,5 до 1,06°/оо, в то время как
максимальное относительное удлинение при одноосном растяже-
нии составляет порядка О,15%о. Таким образом, удлинение поперек
сжатия в условиях постоянной скорости нагружения до 7 раз
превышает удлинение при одноосном растяжении. Еще больший
разрыв в величинах этих деформаций наблюдается при сжатии
длительной нагрузкой [7].
30
Рис. 4. Графики зависимо-
сти между (продольной е,
поперечной ei деформацией
бетона и напряжением о
при постоянных скоростях
нарастания нагрузки
а — продольные деформации
для серии I образцов; б — про-
дольные и поперечные дефор-
мации для серии II образцов
Цифры на кривых обозначают
номера образцов
31
Столь большую разницу в деформациях можно объяснить, по-
видимому, разным характером разрушения. При одноосном растя-
жении появление первых трещин быстро приводит к ослаблению
сечения и разрушению образца. В условиях сжатия значительные
поперечные удлинения, сопровождающиеся появлением отдельных
небольших трещин в наиболее уязвимых местах, еще не приводят
к разрушению целиком всего образца. Нужно еще время или при-
рост нагрузки, чтобы микро- и макротрещины, дефекты развились
и образовали целую систему сквозных неустойчивых трещин, толь-
ко после этого наступает окончательное разрушение образца.
Максимальные продольные относительные деформации в про-
веденных опытах были в 2,2—3 раза больше, чем поперечные де-
формации, и в среднем изменялись от 1,5 до 2,31°/оо. Наблюдалось
увеличение максимальных продольных и поперечных деформаций
серии II образцов с замедлением скорости нагружения. В серии I
образцов, в которой измерялись лишь продольные деформации, эта
закономерность -проявилась более четко. Ниже это будет пока-
зано.
В величинах максимальных деформаций наблюдается доволь-
но большой разброс. Он связан в значительной степени с измен-
чивостью самих величин деформаций. Понятно, сказалось при
этом и влияние наблюдающейся неоднородности бетона.
Зависимости между продольной, поперечной и объемной дефор-
мациями бетона и напряжениями при различных скоростях нагру-
жения. Обсуждаемые здесь зависимости нужны для описания про-
цессов деформирования бетона при рассмотрении задач о поведе-
нии конструкций под нагрузкой. Неупругое поведение под нагруз-
кой и явление ползучести характерны для бетона. Очень важно
знать, в какой степени изменение скорости нагружения влияет на
зависимости между напряжениями и деформациями.
На рис. 4 показана зависимость между напряжениями и заме-
ренными деформациями в процессе нагружения с различной ско-
ростью -приложения нагрузки: продольными и поперечными для
серии II образцов, только продольными для серии I образцов.
Видно влияние скорости нагружения на деформации в конце на-
гружения, в частности на предельные деформации, особенно чет-
кое влияние обнаружено в серии I образцов (рис. 4,а); при более
низких ступенях нагрузки влияние скорости нагружения на дефор-
мации прослеживается менее четко в основном начиная с уров-
ня напряжений 0,5/?Пр. Имеются, однако, отдельные отклонения от
общих закономерностей; так, образцы 5 и 6 серии I, загруженные
с разной скоростью, на большом протяжении показали одинако-
вую деформацию; образцы И и 8 серии II показали примерно ту
же деформацию, что и образцы 4 и 7, нагруженные более быстро,
и несколько меньшую предельную продольную деформацию.
Как уже упоминалось, в опытах О. П. Квирикадзе [3, 4] на-
блюдалась зависимость между продольными деформациями и ве-
личиной сг//?пр, характеризующей относительный уровень напря-
32
&25
0,5
O“4
• -6
0,25
0,5
0,15
Опр
бетона и вс-
отношения
постоянных
нарастания
Рис. 5. Графики зависи-
мости между продоль-
ной е, поперечной ei де*
формацией
личиной
о//?пр при
скоростях
нагрузки
а — продольные деформа-
ции для серии I образцов;
б — продольные я попереч-
ные деформации для серям
II образцов
Цифры на кривых обозпа
чают номера образцов
О
3 S
33
жения. Представляло интерес построить аналогичные зависимости
для описываемых опытов. Эти зависимости по двум сериям опы-
тов представлены на рис. 5. Кривые расположились друг относи-
тельно друга без строгой последовательности; если не считать
сильно отклонившейся кривой 4 на рис. 5,6, образовался пучок
кривых не очень кучный, в особенности к концу нагружения. Учи-
тывая влияние скорости нагружения на предельную деформацию
(см. рис. 5), можно заключить, что зависимость между деформа-
циями и величиной отношения сг//?Пр весьма приближенная и вы-
является при напряжениях не более 0,8/?Пр- При больших значе-
ниях напряжения погрешности значительно возрастают.
Наблюдающиеся на первый взгляд расхождения в результатах
испытания, полученных разными авторами при изучении влияния
скорости нагружения на деформации бетона, вызваны, по-видимо-
му, тем, что применялись бетоны с различными свойствами (ме-
рой) ползучести. Для бетона, обладающего большей ползучестью,
ощутимее будет влияние скорости нагружения на его деформации.
В этой связи способ нагружения ступенями (долями) нагрузки не
всегда будет эквивалентен непрерывному способу нагружения при
одной и той же длительности нагружения.
Рассмотрим графики зависимости объемной деформации 0, оп-
ределяющей относительное изменение плотности бетона, от вели-
чины сг//?пр (рис. 6). Из этих графиков видно, что с ростом на-
грузки бетон при одноосном сжатии в значительно большей степе-
ни уплотняется, чем следовало бы в предположении только упру-
гих деформаций (пунктирная кривая на рис. 6 для образцов № 8
и 12). Максимальное уплотнение соответствует точкам с максиму-
мом значения 0. С дальнейшим ростом нагрузки наблюдается раз-
уплотнение бетона. Эти же процессы характерны для стадии, близ-
кой к разрушению, которая, как это видно из опыта, сравнительно
коротка по времени. Процессы разуплотнения протекают со значи-
тельно большей скоростью по сравнению со скоростью уплотнения
бетона. Действительно, кривые на рис. 6 от точки с максимумом
0 круто загибаются к оси напряжений, до этого они изменялись
значительно более полого.
Представляет интерес зависимость между объемной деформа-
цией и соответствующими ей продольной и поперечной деформа-
циями при осевом сжатии. На рис. 7 по оси ординат отложена
объемная деформация бетона (вверх—при уменьшении его объе-
ма), а по оси абсцисс — две другие деформации, полученные на
основании испытания серии II призм. Видна определенная зако-
номерность изменения объемной деформации бетона при умень-
шении его объема с изменением его продольной и поперечной де-
формации. С начала нагружения и до некоторого своего макси-
мального значения объемная деформация при уплотнении бетона
при осевом сжатии растет с увеличением продольной и поперечной
деформаций, при дальнейшем росте последних наблюдается
уменьшение объемной деформации, что является признаком начав-
34
Рис.. 6. Графики зависимости между объемной деформацией бетона 0 и вели-
чиной отношения e/Rnp при постоянных скоростях нарастания нагрузки. Цифры
на кривых обозначают номера образцов
Относительная продольная и поперечная деформации
бетонов в %~
°ис. 7. Графики зависимости между объемной деформацией бетона 0 и его
продольной е и поперечной ei деформациями при постоянных скоростях на-
растания нагрузки. Цифры на кривых обозначают номера образцов
35
шегося разуплотнения бетона, развития в нем прогрессирующих
микротрещин и дефектов структуры. Соответствующие количест-
венные изменения объемной деформации при осевом сжатии в пред-
положении упругого изменения продольных и поперечных дефор-
маций изображены на рисунке пунктирными линиями. Мак-
симуму объемной деформации бетона, величина которого изменя-
ется в широких пределах (от 0,87 до 0,45%), соответствует до-
вольно широкий диапазон его продольных и поперечных деформа-
ций (см. рис 7).
Скорость нарастания объемной деформации бетона в указан-
ных координатах принимает последовательно значения:
d0 n dQ n dQ . A
--- > 0, = 0 и < 0
de-d& [de
или, относительно поперечных деформаций,—
d0 . n d0 n d0 . n
--- > 0, = 0 и < 0.
d d Ci d
Кривые на рис. 7, соответствующие различным скоростям на-
гружения, расположились друг относительно друга без строгой по-
следовательности. Однако видно, что на этапе разуплотнения струк-
туры бетона при осевом сжатии (после достижения объемной
деформацией своего максимального значения) большей продол-
жительности нагружения соответствует, как правило, и большее
развитие продольных и поперечных деформаций. На этом этапе по
сравнению с предшествующим (этапом уплотнения структуры бе-
тона) в значительно большей степени развиваются поперечные
деформации бетона, чем продольные: при относительно медленных
скоростях нагружения прирост поперечных деформаций при изме-
нении на одну величину 0 превышает в два раза и более, чего
нельзя сказать в отношении продольных деформаций (см. рис. 7).
Зависимость между коэффициентом поперечной деформации и
напряжением при различных скоростях нагружения. При осевом
сжатии бетона отношение между поперечной и продольной дефор-
мацией не постоянно
v(a) = -^-.
8
Величина v(cr), характеризующая -поперечное расширение при
осевом сжатии бетона, называется коэффициентом поперечной де-
формации. На рис. 8 видно, что к концу нагружения коэффициент
поперечной деформации существенно возрастает (примерно в 1,5—
2 раза) и приближается при медленных скоростях нагружения к
одной второй: получается, что эффект разуплотнения, приводящий
к росту поперечных деформаций и росту v(cr), сказывается в боль-
шей степени, чем эффект уплотнения бетона. Вначале значение
коэффициента поперечной деформации бетона близко к одной пя-
той. Это соответствует примерно его значениям, вычисленным по
36
упругим деформациям. При одном и том же значении отношения
о/Лпр с уменьшением скорости нагружения величина коэффициен-
та v к концу нагружения, как правило, увеличивается, что связано
со значительно большими изменениями поперечных и объемных
деформаций у этих образцов (№ 12, 16, 9) по сравнению с образ-
цами, загружаемыми более быстро (№ 4, 7, 8).
Рис. 8. Графики зависимости между коэффициентом поперечной деформации
бетона v = ei/e, v/1—v и величиной отношения c^J?Iip при постоянных скоро-
ростях нарастания нагрузки Цифры на кривых обозначают номера образцов
Приведенные зависимости между коэффициентом поперечной
деформации бетона и напряжениями при различных скоростях на-
гружения нужно учитывать при рассмотрении задач со сложным
напряженным состоянием. Обычно при рассмотрении этих задач
принимается постоянный коэффициент поперечной деформации,
который берется одинаковым для упругой и неупругой частей де-
формации бетона. Из приведенных зависимостей видно, что при
оценке поведения конструкций в те небольшие сроки их нагруже-
ния, которые в данной работе принимались, можно брать значение
коэффициента v постоянным (порядка 0,2) до напряжений в бето-
37
не, не превышающих 60—70% их призменной прочности. При бо-
лее высоких напряжениях в бетоне значение коэффициента v су-
щественно увеличивается. В особенности это нужно иметь в виду
при пользовании всякого рода производными величинами, к при-
меру (v/1—v) (см. рис. 8). Эта величина может входить в зависи-
мости между напряжениями и деформациями при расчете оболо-
чек и др. и изменяется в значительно большей степени, чем коэф-
фициент v (см. рис. 8). На рис. 8 справа более четко видна грани-
ца, с которой начинается заметное изменение коэффициента v, при-
мерно так же, как это видно из графиков зависимости между ве-
личиной (v=Aei/Ae) и напряжением а [10].
Выводы
Выявлена степень влияния скорости нагружения на прочность
бетона, продольные, поперечные и объемные деформации его при
обычных длительностях испытания на сжатие, составляющих ми-
нуты, десятки минут и несколько часов.
Из предложенной корреляционной зависимости (2) между
прочностью бетона при одноосном сжатии и временем наблюдения
до разрушения следует, что при нагружении с разными скоростя-
ми, но с постоянной скоростью нарастания нагрузки, при продол-
жительности испытания от 4 мин до 8 ч прочность бетона в сред-
нем снижается на 14,5%, причем при продолжительности испыта-
ния от 4 до 20 мин наблюдается снижение уже на 5%. Получен-
ные данные следует учитывать при оценке результатов испытаний.
На основании экспериментальных данных, полученных автором
и другими исследователями, предложена зависимость (1), из ко-
торой видно, что прочность бетона при сжатии в зависимости от
скорости нагружения может изменяться в большом диапазоне: от
1,71/?1 при очень высокой скорости, равной 109 кГ1см2 в 1 мин, до
0,76 7?i при очень малой скорости, приближаясь в этом последнем
случае к значению длительного сопротивления бетона, т. е. такая
скорость будет равносильна длительному загружению.
В проведенных опытах наблюдалось влияние скорости нагру-
жения на деформации бетона в конце нагружения, в частности на
его предельные деформации; при более низких напряжениях влия-
ние скорости нагружения на деформации бетона прослеживается
менее четко; с уровня напряжений 0,5 /?Пр и выше влияние заметное.
О связи между величиной отношения сг//?Пр и деформациями бето-
на, полученными в условиях постоянной скорости нагружения, о
которой упоминается в других исследованиях, можно говорить на
основании проведенных экспериментов лишь как о весьма прибли-
женной, распространяемой, во всяком случае не выше напряже-
ния, равного 0,8/?Пр.
Наблюдающиеся на первый взгляд расхождения в результатах
испытания с постоянной скоростью нагружения, полученных раз-
ными авторами, вызваны, по-видимому, тем, что применялись бе-
38
тоны с различной мерой ползучести. Для бетона, обладающего
большой ползучестью, ощутимее будет влияние скорости нагруже-
ния на его деформации.
Анализ данных по продольным, поперечным и объемным де-
формациям бетона при осевом сжатии, полученных в условиях по-
стоянной скорости нагружения, показал, что наблюдались опреде-
ленные закономерности их изменения в процессе нагружения. Раз-
рушению образцов предшествовали, как правило, большие объем-
ные изменения бетона, развитие значительных поперечных дефор-
маций и связанных с ним микро- и макротрещин и дефектов
структуры бетона, ориентирующихся в основном по направлению
осевого сжатия. Эту стадию, близкую к разрушению в бетоне,
нужно выделять, она может характеризоваться рядом признаков.
Полученные экспериментальные данные представляют собой
исходный материал при оценке наблюдаемых при испытании кон-
струкций явлений неупругости, кратковременной ползучести (вклю-
чая стадию, близкую к разрушению) и их влияния на поведение
этих конструкций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Боришанский М, С. Исследование работы внецентренно сжатых эле-
ментов. «Проект и стандарт», 1936, № 6.
2. Троицки й Е. А. Влияние скорости нагружения на деформации бетона.
Труды Казанского института инж. коммунального строительства, т. V, 1938.
3. К ® и р и к а д з е О. П. Влияние скорости нагружения на прочность и де-
формации бетонов. Тбилиси, 1958.
4. К в и р и к а д з е О. П. Влияние скорости нагружения на прочность и де-
формации бетона при растяжении. «Бетон и железобетон», 1962, № 1.
5. Шейнин А. Е., Николаев В. Л. Об упруго-пластических свойствах
бетона при растяжении. «Бетон и железобетон», 1959, № 9.
6. Ш к е р б е л и с К. К. О связи между деформациями бетона и скоростью
нагружения. «Исследования по бетону и железобетону». АН Латв. ССР. Сб. ста-
тей III. Изд. АН Латв. ССР, Рига, 1958.
7. Яшин А. В. Деформации бетона под длительным воздействием высоких
напряжений и его длительное -сопротивление при сжатии. В сб.: «Особенности
деформаций бетона и железобетона и использование ЭВМ для оценки их вли-
яния на поведение конструкций». М., Стройиздат, 1969 (НИИЖБ).
8. Баженов Ю. М. Влияние влажности на прочность бетона при различ-
ных скоростях нагружения. «Бетон и железобетон», 1966, № 12.
„ 9* П о нов Н. И., Расторгуев Б. С. Расчет железобетонных конструк-
ций на действие кратковременных динамических нагрузок. М., Стройиздат, 1964.
10. .Берг О. Я. Физические основы теории прочности бетона и железобето-
на. М., Госстройиздат, 1961.
11. Riisch Н. et Grasser et Reo. Bulletin d’information, N36, Paris, 1962.
1962.
39
И. К. БЕЛОБРОВ, В. А. РАХМАНОВ
кандидаты техн, наук
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЧНОСТИ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ БАЛОК
ПРИ ДЕЙСТВИИ ОДНОКРАТНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
В отношении возможности применения предварительно напря-
женных конструкций при интенсивных динамических воздействиях
в литературе высказываются противоречивые мнения, которые не
в полной мере подтверждены экспериментально [1—6].
Чтобы выявить особенности работы предварительно напряжен-
ных изгибаемых железобетонных элементов при быстрых нагруже-
ниях в зависимости от вида используемой арматурной стали, про-
цента армирования, величины предварительного напряжения, в
Центральной лаборатории теории железобетона НИИЖБ в 1967—
1969 гг. были проведены сопоставительные исследования обычных и
предварительно напряженных балок при кратковременных нагру-
жениях, по динамичности приближающихся к сейсмическим. Эти
исследования явились продолжением работ, ранее выполнявших-
ся в НИИЖБ и опубликованных в трудах [7].
Характеристики опытных балок и методика проведения испы-
таний. Для проведения экспериментов было изготовлено две серии
балок прямоугольного сечения размерами 20X18 см, пролетом
210 см. Серия I (12 шт.) состояла из двух групп, содержавших по
два обычных и четыре предварительно напряженных образца. Се-
рия II (24 шт.) состояла из трех групп, содержавших по три обыч-
ных и пять предварительно напряженных образцов. Из .каждой
группы балок по одному обычному и предварительно напряженно-
му образцу испытывали статической нагрузкой, остальные ис-
пытывали динамической нагрузкой.
Балки серии I армировали стержневой арматурой марки 35ГС,
упрочненной вытяжкой до напряжения 5500 кГ)см2 (35ГСВ). Верх-
няя и нижняя арматура соответственно состояла: из 2 0 10 35ГСВ
и 2 0 14 35ГСВ (группа БГС14); 2 0 14 35ГСВ и 2 0 20 35ГСВ
(группа БГС20).
Балки серии II армировали: стержневой арматурой марки
35ГС, упрочненной вытяжкой до напряжений 5500 кГ/см2 (35ГСВ);
80С; Ст.5, упрочненной вытяжкой до напряжения 4500 кГ/см2
(Ст-5В), и высокопрочной проволокой ВрП по ГОСТ 8480—57.
Верхняя и нижняя арматура соответственно состояла: из 2 0 10
Ст.5В и 2 0 16 35ГСВ (группа БГС1-6); из 2 0 10 Ст.5В и 2 0 16
80С (группа БС16); из 2 0 5 Bp 11 и 7 0 5 Вр 11 (группа БП5).
Образцы обеих серий с предварительным напряжением имели
40
в обозначении дополнительную букву Н (БНГС14, БНГС16 и т. д.),
а обычные балки — букву О (БОГС14, БОГС16 и т. д.).
Поперечное армирование всех опытных балок было одинако-
вым и исключало возможность разрушения по косой трещине. Кон-
струкция арматурных каркасов представлена на рис. 1.
-500-
Л6А-1
фБА-1
•—зоо —Imowioomi zooJ. zoo
1------------------2200
Ж1 «Ш»
оо^оШооШтГ-зоо
^200
Динамометрические гильзы Зля балок групп Б ГС 16. БС16
Знаь ~ЗБмм; Рвн =19мм; L = 100 мм
Рис. 1. Конструкция арматурных каркасов опытных балок
Предварительное напряжение в арматуре балок серии I состав-
ляло величину 0,85 для балок серии II со стержнями — 0,7/?а
и для образцов с проволочной арматурой — 0,69
При одинаковых размерах поперечного сечения и незначитель-
ном различии в прочности бетона первая и вторая группа балок се-
рии I различались статической прочностью образцов, величиной
обжатия бетона и, следовательно, моментом образования трещин.
Балочные образцы серии II были запроектированы и изготовлены
таким образом, чтобы их прочность и деформативность после появ-
ления трещин были примерно одинаковыми, что достигалось варь-
ированием расположения стержней и проволок по высоте сечений
элементов.
Стержневую арматуру предварительно напряженных балок на-
тягивали на лабораторном стенде. Натяжение верхней и нижней
арматуры для балок групп БП5 выполняли при помощи двух вин-
товых тяг, на оголовниках которых посредством цанговых захва-
тов закрепляли отдельные проволоки. Для снижения потерь от ре-
лаксации напряжений производили неоднократную перетяжку
стержней и проволок выше контролируемого напряжения.
Усилия в стержнях и общее усилие в проволочной арматуре
контролировали при натяжении по показаниям манометра насосной
станции, а также по результатам измерения деформаций металла
тензорезисторами, наклеенными на стержневой арматуре, проволо-
ках и тягах.
Тензорезисторами измеряли деформации арматуры в процессе
спуска натяжения, во время выдержки балок после передачи уси-
лия от напрягаемой арматуры на бетон, а также при статических
и динамических испытаниях балок изгибающей нагрузкой.
В балках серии II для измерения усилий в рабочей арматуре
как в процессе изготовления элементов на стенде и выдержке их
41
после обжатия, так и при испытании поперечной нагрузкой были
применены специальные стальные динамометрические гильзы дли-
ной 100 мм. Эти гильзы опрессовывали на стержни в средней ча-
сти пролета балок с помощью специальных штампов. На закреп-
ленные таким образом гильзы после их соответствующей обработ-
ки карборундовым диском на наружной поверхности наклеивали
симметрично тензорезисторы, которые затем вместе с выводами
гидроизолировали эпоксидным составом. Тензорезисторы на гиль-
зе в количестве четырех штук были соединены между собой по по-
следовательно-параллельной схеме, вследствие чего при испытании
регистрировались средние результаты измерения деформаций.
Для приготовления бетона балок серий I и II применяли порт-
ландцемент Новороссийского завода активностью 600 кГ/см2. В ка-
честве заполнителей использовали речной песок средней крупности,
объемным весом 1500 кГ1м3 и известняковый щебень с размерами
частиц до 10 мм, объемным весом 1350 кГ/м3. Бетон для балок был
приготовлен следующего состава по весу: для серии!—1 : 1,85:3,34;
для серии II— 1 : 2,11 : 3,33 при В/Д = 0,5.
Спуск натяжения арматуры в балках серий I и II производили
через 16 суток после их бетонирования, при этом прочность бетона
к моменту его обжатия (/?0) составляла соответственно 337 и
300 кГ/см2. Результаты измерений и расчеты показали, что при
спуске натяжения арматуры эпюра деформаций по высоте сечения
во всех балках имела трапециевидное очертание при расположении
равнодействующей сил обжатия около нижней ядровой точки. На-
пряжения в бетоне на уровне центра тяжести нижней арматуры
для различных балок находились в пределах 0,24—0,49 Rq.
До момента испытания балок изгибающей нагрузкой в течение
232 и 209 суток (соответственно для образцов серий I и И) изме-
ряли потери предварительно-
го напряжения от усадки и
ползучести бетона, изменение
выгиба балок во времени, а
также определяли изменение
распределения деформаций
бетона по высоте сечения об-
разцов. Указанные измерения
показали, что деформации в
арматуре от совместного про-
явления усадки и ползучести
наиболее интенсивно развива-
лись в первые 50 суток
(рис. 2), после чего нарастание деформаций замедлялось и практи-
чески прекращалось через 5—6 месяцев.
Для всех групп балок расчет вторых потерь (от усадки и ползу-
чести бетона) на уровне центра тяжести нижней арматуры по ме-
тодике СНиП П-В.1-62 дал завышенные результаты по сравнению
с опытными значениями, выявленными по результатам измерения
250 25 50 75 100 125 >75 100 ((сутки)
Рис. 2 Деформации нижней (/) и верх-
ней (2) напряженной арматуры балки
БНГС20-Зд от усадки и ползучести бе-
тона, а также изменение эпюры дефор-
маций обжатия бетона .во времени
42
деформаций арматуры. Как видно из данных, представленных в
табл. 1, для различных групп балок величина этого превышения в
среднем составляла 20%. На уровне центра тяжести верхней арма-
туры наблюдалась обратная картина — опытные вторые потери
(см. табл. 1) превышали соответствующие расчетные значения в
Таблица 1
Опытные и теоретические потери предварительного напряжения в арматуре
балок от усадки и ползучести бетона
Балки Напряже- ние в ар- матуре о01 в кГ/см2 Возраст бетона в сутках Кубиковая прочность бетона в кГ/см* Опытные потери предвари- тельного напряже- ния о°п п в кГ1см2 Расчет потерь по методике СНиП арасч п в .кГ1см2 арасч п аоп п
серия группа после бетони- рования после спуска натяже- ния
I БНГС14 Г 4290 4675 248 232 337 820 900 740 1060 0,9 1,18
БНГС20 4015 248 232 337 992 922 0,93
4678 1390 1701 1,22
II БНГС16 3060 227 209 300 701 640 0,91
3850 1110 1330 1,2
БНС16 3060 227 209 300 685 655 0,96
4200 1160 1364 1,18
БНП5 11 100 227 209 300 670 599 0,89
10 350 1080 1320 1,22
п р и м е ч а н и е. Значения в числителе — ; хля верхней арматуры, в знаменателе — для
нижней.
среднем на 9%. При этом также было установлено, что вследствие
неодинакового проявления неупругих деформаций бетона по высо-
те сечения во время выдержки балок на стеллажах наблюдалось
некоторое перемещение равнодействующей усилий обжатия в сто-
рону менее обжатой зоны сечения образца.
Полученные данные были использованы при анализе напряжен-
но-деформированного состояния нормального сечения опытных ба-
лок при статических и динамических испытаниях. Балочные образ-
цы испытывали в специальной гидродинамической установке по
однопролетной -схеме опирания, при загружении сосредоточенными
силами в третях пролета.
Динамическое нагружение балок осуществляли за счет энергии
сжатого масла в гидроаккумуляторной батарее. Варьирование за-
пасом потенциальной энергии системы позволяло получить для
различных образцов длительность нагружения до разрушения в
пределах 0,085—0,135 сек. При статических испытаниях давление
масла подавалось насосом в гидродомкрат, минуя аккумуляторную
43
батарею. Длительность таких испытаний изменялась в пределах
3—6 мин.
Усилие на балку передавалось двутавровой динамометрической
траверсой. Для учета фактических значений инерционных сил, дей-
ствующих в процессе динамического деформирования образца, ис-
пользовались специальные динамометрические опоры.
Прогибы балок в процессе динамических и статических испыта-
ний регистрировали электрическими реохордными прогибомерами,
расположенными в середине пролета, под местом передачи нагру-
зки от траверсы и на расстоянии 7б/ от опоры. Деформации арма-
туры и бетона балок измеряли проволочными тензорезисторами с
базами измерений 50 и 100 мм.
Регистрируемые параметры записывали посредством трех элек-
тронно-тензометрических усилителей 8АНЧ-7М и двух четырнад-
цатишлейфовых осциллографов Н-700. Перед началом испытаний
каждой группы образцов с помощью специального устройства
проводилась тарировка регистрирующей аппаратуры, а данные та-
рировочных коэффициентов затем использовали для расшифровки
осциллограмм.
Общий вид испытаний опытных балок с измерительной аппара-
турой, а также схема загружения образцов и расположения основ-
ных приборов показаны на рис. 3, 4.
Результаты испытаний и особенности динамического деформи-
рования опытных балок. В процессе динамических и статических
нагружений опытных балок исследуемые параметры регистрирова-
Рис. 3. Общий вид испытаний балок на изгиб
лись на осциллограммах в виде кривых, развернутых во времени.
На рис. 5 показаны характерные осциллограммы динамического
испытания балки БНГС20-4д, полученные посредством двух осцил-
лографов Н-700. Основные обозначения кривых соответствуют обо-
значениям тензорезисторов, расположенных по сечению образца.
Кривые с индексами Пр1, Пр2, ПрЗ характеризуют развитие про-
гибов,- регистрируемых в различных сечениях по пролету балки, а
кривые, обозначенные «нагрузка», «опора», представляют деформа-
ции динамометрической траверсы и стоек динамометрических опор.
Рис. 4. Схема испытаний балок
/ — гидродомкрат; 2 — трубопровод; 3 — кран-задвижка; 4 — гидроаккум ул яторная батарея;
5 — маслонасос; 6—упорная балка рамы; 7 — динамометрическая траверса; 8 — опытная
железобетонная балка; 9 —* динамометрические опоры; 10 — прогибомеры; 11—тензорезисторы
Результаты расшифровки осциллограмм согласно данным та-
рировки позволили судить о влиянии вида арматурной стали, про-
цента армирования сечения, предварительного напряжения на ра-
боту балок в процессе динамического деформирования. Например,
для различных групп балок опытных серий анализ диаграмм ди-
намического сопротивления образцов (см. рис. 6) показал следу-
ющее.
Время достижения условной текучести в арматуре находи-
лось в пределах 0,05—0,1 сек. тогда как время начала разрушения
бетона на сжатой грани /б достигало 0,09—0,135 сек.
Относительно периода собственных колебаний опытного образ-
ца эти данные показывают, что в нашем случае наблюдалась отно-
сительно невысокая динамичность нагружения, которая классифи-
цируется как динамическое воздействие средней и большой про-
должительности [8].
Для всех кривых P—f (/) вполне четко различаются две стадии
работы балок в течение динамического деформирования: первая —
условно упругая стадия, когда происходит непрерывный рост на-
грузки до момента достижения неупругих деформаций в арматуре,
45
и вторая — пластическая стадия, когда нагрузка до момента раз-
рушения бетона сжатой зоны поддерживается почти постоянной-
Видно, что на первой стадии деформирования для предваритель-
но напряженных балок по сравнению с обычными образцами ско-
рость возрастания сопротивления более высокая. По-видимому, это
объясняется влиянием предварительного напряжения в растянутой
«арматуре и, следовательно, более поздним развитием трещин в бе-
тоне.
Рис. 5. Осциллограмма динамического испытания балки БНГС20-4д (скорость
регистрации 64 см!сек)
46
На сопротивление образцов в стадии неупругого деформирова-
ния арматуры растянутй зоны оказывает влияние характер диаг-
раммы растяжения используемой арматурной стали. В пластиче-
ской области сопротивление балок, армированных сталью марки
80С, продолжало возрастать до момента разрушения бетона сжа-
той зоны £б, тогда как элементы со сталью марки 35ГСВ воспри-
Рис. 6. Динамическое сопротивление опытных балок, различающихся ви-
дом, содержанием арматуры в сечении и степенью предварительного на-
пряжения арматуры
t и — соответственно (время до наступления предела текучести (условной) в рас-
тянутой арматуре и разрушения бетона сжатой грани
47
нимали практически постоянную нагрузку после начала текучести
(условной) арматуры fa-
После разрушения бетона сжатой зоны процесс динамического
деформирования опытных балок, армированных стержневой ар-
матурой марок 35ГСВ и 80С, сопровождался постепенным сниже-
нием их несущей способности, тогда как в случае балок с прово-
лочной арматурой, спустя небольшой промежуток времени, про-
изошло хрупкое обрушение образцов. Сопоставляя величины пре-
дельных нагрузок для балок-близнецов, можно заметить, что ди-
намическая несущая способность обычных образцов несколько вы-
ше, чем предварительно напряженных. Очевидно, эта особенность
вызвана влиянием предварительного напряжения.
Анализ изменения инерционных сил в процессе динамического
деформирования опытных балок выявил, что величина сил инерции
для отдельных образцов находилась в пределах 6% от разрушаю-
щего усилия и их влияние практически погашалось в упругой об-
ласти работы элемента.
Проведенное исследование изменения характера динамического
сопротивления опытных балок во времени позволило выявить лишь
общие закономерности поведения образцов при кратковременном
нагружении.
Наибольший интерес представляет сопоставление в течение ис-
пытания развития сопротивления балок изгибу совместно с измене-
нием деформаций арматуры и бетона в поперечном сечении образ-
ца. Такое сопоставление проведено на рис. 7, 8 для обычных и
предварительно напряженных балок групп БГО14 и БГС20, зна-
чительно различавшихся процентом армирования и величиной
предварительного напряжения.
Из приведенных графиков можно установить следующие осо-
бенности работы балок при динамическом нагружении:
в обычных балках на начальных этапах деформирования ско-
рость возрастания нагрузки была примерно одинаковой, тогда как
в предварительно напряженных образцах на этих же этапах она
существенно различались, причем в балке с наибольшим процентом
армирования (при большем усилии предварительного напряжения)
эта скорость больше, чем в элементе, армированном слабее;
деформации сжатой арматуры в обычных балках развивались
примерно одинаково. В верхней арматуре предварительно напря-
женного образца группы БГС20 происходило быстрое погашение
предварительного напряжения, причем уже на стадии неупругого
деформирования элемента эта арматура существенно помогала ра-
боте сжатой зоны. В слабее армированном предварительно напря-
женном образце группы БГС14 верхняя арматура в процессе всего
испытания дополнительно нагружала сжатую зону бетона и только
после момента разрушения бетона со стороны сжатой грани начи-
нала воспринимать усилие сжатия;
развитие деформаций бетона на сжатой грани предварительно
напряженных балок происходило во времени примерно одинаково.
48
Для обычного образца группы БГС14 деформации бетона разви-
вались быстрее, чем в балке группы БГС20, хотя в обоих случаях
предельные значения деформаций на верхней грани были доста-
точно близкими;
Рис. 7. Сопоставление процессов динамического деформирования обычных
(а — БОГС14-1д и БОГС20-1д) и предварительно напряженных (б — БНГС14-2д
и БНГС20-2д) балок, различающихся содержанием арматуры
Л1—.изгибающий момент; 1, 2 — деформации нижней и верхней а|рматуры; 3— деформа-
ции бетона сжатой грани
скорость деформирования растянутой арматуры в слабоарми-
рованных элементах была несколько выше, чем в образцах с наи-
большим содержанием арматуры в сечении, поэтому для балок
группы БГС14 характерно более быстрое достижение арматурой
динамического предела текучести.
Если сопоставить развитие соответствующих кривых для балок
с одинаковым армированием, но различающихся только предвари-
тельным напряжением, то можно заметить, что в слабоармирован-
ных образцах БНГС14 и БОГС14 (см. рис. 8,а) нарастание со-
противления изгибу, развитие деформаций бетона сжатой зоны и
развитие деформаций растянутой арматуры после достижения
предела текучести происходило во времени почти с одинаковой ско-
ростью.
49
Видно, что развитие деформаций сжатой арматуры по форме
кривых подобно, только кривые оказываются несколько сдвинуты
на величину деформаций, соответствующих установившемуся пред-
варительному напряжению.
Такое же сопоставление для балок с наибольшим процентом
армирования (БНГС20, БОГС20) показывает, что в предваритель-
но напряженных образцах скорости развития сопротивления изги-
бу, а также деформаций арматуры и бетона несколько выше, чем
Рис. 8. Сопоставление процессов динамического деформирования обычных
и предварительно напряженных балок, различающихся исходным напря-
женным состоянием с минимальным (а — БНГС14-2д и БОГС14-1д) и
максимальным (б — БНГС20-2д и БОГС20-1д) содержанием арматуры
ЛТ — изгибающий момент; 1, 2 — деформации нижней и верхней арматуры, 3 —
деформации бетона сжатой грани
в обычных образцах (см. рис. 8,6). Принимая во внимание, что
размеры сечения всех элементов этой серии и прочность бетона
были примерно одинаковы, предварительное напряжение оказало
влияние на характер деформирования металла и бетона в сечении
и в общем незначительно снизило прочность опытных образцов по
нормальному сечению.
Рассмотренные особенности динамического деформирования
балок аналогичны также и для испытаний других образцов. Одна-
ко помимо предварительного напряжения и содержания арматуры
в сечении элемента на характер динамического деформирования
балки определенное влияние оказывают пластические свойства
50
растянутой арматуры. Особенно это заметно при сопоставлении
осциллограмм испытаний балок, армированных упрочненной
сталью 35ГС и сталью марки 80С при одинаковом примерно про-
центе армирования.
При изучении динамической прочности изгибаемых элементов
интересно проследить за изменением напряженно-деформирован-
ного состояния среднего сечения в процессе нагружения образца.
Данные о распределении деформаций по высоте сечения опытной
балки и об изменении их в процессе испытания необходимы для
установления величин внутренних усилий и для последующего со-
ставления предпосылок для расчета прочности элементов при бы-
стрых нагружениях.
На рис. 9 показано изменение деформаций арматуры и бетона
по высоте сечений предварительно напряженных балок БНГС14-2д
и БНГС20-2д при динамическом изгибе. В данном случае рассмат-
риваются результаты испытаний образцов, в которых в течение
всего опыта удалось зарегистрировать распределение деформаций
по нормальному сечению с трещиной. В верхней части рис. 9 по-
казаны осциллограммы изменения деформаций арматуры, бето-
на и сопротивления балок во время нагружения, а в нижней ча-
сти показано распределение этих деформаций по высоте сечения
на отдельных характерных этапах деформирования элемента.
В нижней части рис. 9 можно проследить за изменением поло-
жения нулевой оси в процессе динамического нагружения образ-
цов. Каждому рассматриваемому этапу нагружения соответствуют
время в секундах от начала испытания и уровень нагрузки отно-
сительно ее разрушающего значения, соответствующего моменту
раздробления верхней грани бетона сжатой зоны образца. По-
скольку до начала испытаний имелось предварительное напряже-
ние арматуры и бетона, фактическая эпюра деформаций по высо-
те сечения элемента на каждом этапе нагружения определялась
как алгебраическая сумма двух эпюр — эпюры установившегося
обжатия бетона к моменту испытания и эпюры деформаций, полу-
ченной непосредственно из опыта для соответствующего этапа на-
гружения. Из построенного указанным образом графика можно
отчетливо проследить все стадии работы предварительно напря-
женного элемента.
На начальных этапах динамического нагружения из-за дейст-
вия инерционных сил, обратно приложенных по отношению к дей-
ствующему усилию, сопротивление балки возрастает незначитель-
но. Предварительно напряженный элемент работает в начале с
постоянной жесткостью, вследствие чего деформации арматуры и
бетона развиваются практически одинаково и при этом происходит
заметное сокращение высоты сжатой зоны.
Сопоставляя графики, можно заметить, что в образце
БНГС14-2д при нагрузке 0,25Л4р, а в балке БНГС20-2д при 0,38Л4р
предварительное обжатие бетона на нижней грани погашалось.
51
Рис. 9. Изменение напряженно-деформированного состояния среднего сечения
динамического
Анализируя работы тензорезистора Д5, наклеенного на уровне
растянутой арматуры, можно зафиксировать процесс появления и
раскрытия трещины. В момент времени, когда кривая Дъ пересек-
ла ось абсцисс, на этом уровне произошло погашение напряже-
ний в бетоне растянутой зоны.
В балке БНГС14-2д при нагрузке, составляющей 0,46 Л1Р, а
в балке БНГС20-2д при Л4=0,49 Л4Р на растянутой грани, в бе-
тоне возникли трещины, о чем свидетельствует резкий перелОхМ в
развитии кривой деформаций, зарегистрированных датчиком Дз-
Данный этап работы предварительно напряженных элементов со-
52
-5
предварительно напряженных балок БНГС14-2д и
БНГС20-2д в процессе
нагружения
ответствует началу заметного снижения их жесткости. Можно так-
же заметить, что в балке с большим содержанием арматуры после
рассматриваемого этапа работы под нагрузкой интенсивность на-
растания деформаций в нижних стержнях меньше, чем в слабее
армированном образце.
Дальнейший процесс нагружения сопровождался интенсивным
появлением и развитием трещин в зоне чистого изгиба балок. При
уровне нагрузки, соответствующем для БНГС14-2д примерно
0,9Л4р, а для БНГС20-2д— 0,95Л1р, начинается погашение предвари-
тельного напряжения элемента вследствие проявления неупрутих
53
деформаций в арматуре растянутой зоны. В предельной стадии
работы образцов высота сжатой зоны изменялась по-разному в за-
висимости от процента армирования. Так, в отличие от малоарми-
рованных балок для образцов с большим содержанием арматуры
наблюдалось некоторое возрастание сжатой зоны. Отмеченное яв-
ление, встречающееся также при статическом нагружении, — ре-
зультат перераспределения напряжений по высоте сжатой зоны
(см. характер .изменения показаний датчиков Д9, Дю, Ди). Однако
вследствие кратковременного действия нагрузки процесс перерас-
пределения напряжений проявился в меньшей степени, чем при
статическом нагружении.
Рассмотренные выше особенности развития деформаций по се-
чению образцов и изменения сопротивления их при изгибе прояви-
лись и в характере разрушения балок. В малоармированных бал-
ках со стержневой арматурой раздробление бетона сжатой зоны
происходило на протяжении всего участка зоны чистого изгиба,
тогда как образцы с максимальным процентом армирования раз-
рушались концентрированно на небольшом участке.
Необходимо отметить характер разрушения балок, армиро-
ванных высокопрочной проволокой (группа БП-5). Обычные и
предварительно напряженные образцы данной группы, как пра-
вило, разрушались хрупко с разрывом проволок растянутой зоны
в одной из трещин. Для обычных и предварительно напряженных
балок этой группы раздробление бетона сжатой зоны происходило
лишь на том участке, где возникал перелом образца.
Полученные результаты свидетельствуют о том, что в элемен-
тах, предназначаемых для восприятия кратковременных динами-
ческих нагрузок, применение высокопрочной проволоки для арми-
рования не может рекомендоваться.
Чтобы можно было судить о влиянии предварительного напря-
жения на прочность изгибаемых элементов по нормальному сече-
нию, по результатам всех наших опытов построена гистограмма
(рис. 10). За эталонную прочность каждой рассматриваемой груп-
пы балок принята статическая прочность образцов без предвари-
тельного напряжения. Из гистограммы можно видеть, что стати-
ческая прочность образцов первой серии с предварительным на-
пряжением незначительно меньше прочности обычных образцов.
Динамическая прочность предварительно напряженных балок этой
же серии оказалась также несколько меньше динамической прочно-
сти обычных образцов, но выше статической прочности предвари-
тельно напряженных балок-близнецов.
При испытании балок серии II, если не принимать во внимание
небольшое повышение статической прочности предварительно на-
пряженных балок по сравнению с прочностью обычных образцов,
наблюдается в целом такая же картина влияния предварительного
напряжения на динамическую прочность балок. Можно видеть, что
в балках, армированных сталью 35ГСВ и высокопрочной прово-
локой, динамическая прочность предварительно напряженных
54
элементов, будучи выше статической прочности, оказывается в сред-
нем почти одинаковой с динамической прочностью обычных балок.
Величина динамической прочности предварительно напряжен-
ных элементов со сталью 80С, как и для* образцов серии I, несколь-
ко ниже, чем для обычных балок-близнецов.
I серия
Рис, 10. Гистограмма результатов динамических и статических испытаний
Можно предполагать, что в предварительно напряженных бал-
ках при быстром нагружении плечо внутренней пары сил не успе-
вало возрасти после достижения предела текучести в арматуре до
предельного значения, из-за чего происходило более раннее по
сравнению с обычными балками разрушение сжатой зоны. Кроме
того, видимо, определенную роль в этом играли начальные дефор-
мации бетона на сжатой грани балок, вызванные обжатием на-
прягаемой арматурой.
Приведенные результаты сравнения экспериментальных данных
показывают, что динамическая прочность изгибаемых предвари-
тельно напряженных элементов в целом выше их статической проч-
ности. При испытании до разрушения в течение 0,085—0,135 сек
55
динамическая прочность предварительно напряженных балок, ар-
мированных сталью 35ГСВ, была выше статической в среднем на
11%, в образцах со сталью 80С — на 14% и в балках, содержав-
ших высокопрочную проволоку, на 9%. Из этого можно заключить,
что применение таких элементов в практике 'вполне 'возможно.
Однако использование высокопрочной проволочной арматуры для
элементов, предназначенных для восприятия кратковременных ди-
намических нагрузок, требует известной осторожности, так как
работа элементов с таким армированием сопряжена с опасностью
хрупкого разрушения.
Расчет прочности нормальных Сечений изгибаемых железобе-
тонных элементов при действии однократных динамических нагру-
зок. Цель расчета динамической прочности конструкций состоит в
том, чтобы определить, какую кратковременную нагрузку они мо-
гут выдержать без обрушения.
Из практических методов определения предельной прочности
изгибаемых элементов при динамическом нагружении, известных
в технической литературе, можно отметить два основных подхо-
да. В одном из них, используемом при проектировании специаль-
ных сооружений, расчет прочности нормальных сечений рекомен-
дуется производить исходя из прямоугольной эпюры напряжений
в сжатой зоне и учета динамических прочностных характеристик
материалов. Последние получаются умножением нормативных ста-
тических величин предела текучести стали и предела прочности
бетона на коэффициенты ka и определяющие превышение ди-
намических характеристик над статическими в зависимости от ско-
рости нагружения.
Исследования, выполненные в НИИЖБ в 1965—1967 гг. [7],
показали, что при расчете динамической прочности нормальных
сечений изгибаемых элементов следует использовать треугольную
эпюру напряжений в сжатой зоне, однако при этом необходимо
принимать более высокие значения динамической прочности бето-
на, чем это получается при динамических испытаниях центрально
сжатых призм и введении в расчет обычного переходного коэффи-
циента от призменной прочности к прочности бетона на сжатие при
изгибе. В частности, по результатам этой работы было принято,
что динамическая прочность бетона на сжатие при изгибе равна
удвоенной динамической призменной прочности бетона, определя-
емой при центральном сжатии.
Эти данные косвенно указывали на то, что динамическое упроч-
нение бетона при неоднородном напряженном состоянии (наблю-
даемом в сжатой зоне изгибаемых элементов) должно быть вы-
ше, чем при однородном (центральном) сжатии, но прямых экспе-
риментальных данных, подтверждающих такое явление, не было.
Чтобы выявить пределы изменения динамической прочности бе-
тона при внецентренном сжатии, а также уточнить форму эпюры
напряжений при таком нагружении, в наших исследованиях бы-
ли проведены опыты по сопоставительному изучению сопротивле-
56
нил бетонных призм при динамическом и статическом нагружении
и различных эксцентрицитетах прикладываемого усилия.
Динамические и статические испытания 'бетонных призм прово-
дили на специальной гидравлической установке, позволявшей из-
менять эксцентрицитет приложения нагрузки и подбирать скорость
нагружения образцов в соответствии с длительностью деформиро-
вания сжатой зоны бетона опытных балок.
Было испытано 36 призм размерами 10ХЮХ40 см из бетона
такого же состава, который был использован при изготовлении ба-
лочных образцов. Для различных групп призм значения эксцентри-
цитета прикладываемого усилия, выраженные относительно сторо-
ны поперечного сечения а, были следующими: е=0; е=—\ е= —
12 6
а
Результаты статических и динамических испытаний призм при
различных эксцентрицитетах прикладываемого усилия приведены
Рис. 11. Изменение напряжений в бетоне при динамическом и статическом нагру-
жении в зависимости от эксцентрицитета сжимающего усилия
в табл. 2Ж а также показаны на рис. 11. На этом рисунке по оси ор-
динат даны отношения напряжений при динамическом внецентрен-
ном и статическом центральном нагружении образцов (линия /),
затем отношения напряжений при динамическом внецентренном и
центральном нагружении (линия 2) и то же самое при статическом
нагружении (линия 3)- По горизонтальной оси на этом графике от-
ложены значения относительных эксцентрицитетов.
Описываемые опыты показали, что динамическое упрочнение бе-
тона при внецентренном приложении нагрузки выше, чем при
центральном сжатии. В изученной области значений эксцентриците-
та максимальное динамическое упрочнение бетона наблюдается
при е=а/6, а при большем эксцентрицитете это упрочнение начи-
57
нает снижаться. Для определения динамических напряжений в бе-
тоне по наиболее нагруженной грани внецентренно сжатых призм
а® (при эксцентрицитетах е а/6) в зависимости от статических
напряжений при центральном сжатии а®т и времени нагружения
t предложено следующее выражение:
Стд= Ост (1 +2,652 е/а) (1,08 —0,0215 In 0- (1)
Когда равнодействующая сжимающих усилий находится на
границе ядра сечения, это выражение принимает вид:
Таблица 2
Результаты испытания бетонных призм
Группа Обозначение призм Заданный экс- центрицитет е Нагрузка в Т Скорость нагру- жения в кГ]см*х Хсек Предельные де- формации бетона е.1(Г5
2с 32,12 2,17 197
Юс 30,5 2,23 184
11с 34,02 2,34 186
I 13с 0 31,47 2,65 178
14с 32,96 2,25 191
15с 29,74 2,87 202
18с 32,94 1,92 215
4д 34,64 3370 196
9д 37,65 3290 183
II 20д 0 34,21 6586 215
16д 33,24 5741 181
32д 38,46 5554 212
7д 36,88 2997 199
III 19с а/12 26,45 2,08 192
21с 26,91 2,26 180
28д 30,56 492,7 286
31д 30,06 4514 254
IV 23д а/12 32,21 5780 330
1д 33,5 3800 319
25д 31,78 4851 264
22с 21,96 2,25 314
36с а/6 20,88 2,14 284
V 39с 22,4 2,66 332
24д 27,11 4703 280
26д 27,96 4319 299
ЗЗд 27,08 4359 301
34д а/6 27,64 4164 260
35д 28,03 5251 357
17д 24,6 4262 325
ЗОд 27,2 3843 342
27д 26,32 4122 325
Зд 26,05 4289 316
12д 6,95 3254 293
8д е>а/6 7,2 2838 301
40д 6,01 3018 285
Од = 1,44 Ост (1,08 —
—0,0215 In t) = 1,44 k6 о°„. (2)
В последнем выражении fee
представляет коэффициент
увеличения напряжений в бе-
тоне при центральном сжатии
в зависимости от длительнос-
ти нагружения образцов.
При внецентренном дина-
мическом нагружении наблю-
дается некоторое перераспре-
деление напряжений в бетоне
к моменту разрушения образ-
ца. Когда динамическая наг-
рузка приложена на границе
ядра сечения, фактическая
эпюра напряжений, как по-
казывают тензометрические
измерения и расчеты, отлича-
ется от треугольной и в пре-
дельной стадии деформирова-
ния бетона может быть приня-
та трапециевидного очертания
при средних значениях напря-
жений по наиболее нагружен-
ной грани призмы /?бд=
= 1,45/?б/?пр.
Полученные результаты по
внецентренному испытанию
призм были использованы в
дальнейшем при определении
динамической прочности опыт-
ных балок. Проверка выпол-
нялась следующим методом: по
данным измерения деформа-
ций в опытных балках были
найдены значения предельной
высоты сжатой зоны бетона-
58
После этого, зная величину внешнего изгибающего момента,
усилие, воспринимаемое сжатой арматурой, опытную высоту сжа-
той зоны и соответственно положение равнодействующей сжима-
ющих сил, задавались различными формами эпюры напряжений в
бетоне и определяли краевые напряжения на сжатой грани балок.
Указанным способом были проверены эпюры прямоугольного,
треугольного и трапециевидного очертания.
Затем, в зависимости от скорости деформирования арматуры
для разных марок сталей были найдены величины динамических
усилий в стержнях к началу неупругой стадии работы балок. Ко-
эффициенты повышения предела текучести стали определяли ме-
тодом, изложенным в работе [7].
Расчет балок, подвергавшихся статическим испытаниям, выпол-
няли по методике СНиП и по методике проекта СНиП с учетом
фактической прочности арматуры .и опытных значений прочности
бетона. Основные результаты расчетов по всем опытным балкам
приведены в табл. 3 и 4. Эти результаты показали, что прочность
нормальных сечений обычных и предварительно напряженных из-
гибаемых элементов, предназначенных для восприятия кратковре-
менных динамических нагрузок, целесообразно рассчитывать при
использовании трапециевидной эпюры напряжений в сжатой зоне
и учете соответствующих коэффициентов динамического упрочнения
бетона и арматуры.
Выражение для определения динамического изгибающего мо-
мента Л4д, воспринимаемого предварительно напряженным элемен-
том прямоугольного сечения размером ЬУУг, содержащего растя-
нутую Fn и сжатую арматуру F ' , имеет следующий вид:
Л1Д = 0,6 Rt Ь х (1 — 0,35х) + ос Fn (hQ — ан), (3)
при этом положение нейтральной оси определяется из условия:
Ка Рп — <*с F'h = 0,6 Rt Ь X, (4)
где Rt — краевые напряжения в бетоне сжатой зоны элемента при
динамическом действии нагрузки, подсчитываемые по
следующей эмпирической формуле в зависимости от вре-
мени действия нагрузки t и призменной статической проч-
ности оетопа /?пр-
Rt = 1,45 (1,08 — 0,0215 In t) (5)
о'с — напряжение в верхней предварительно напряженной армату-
ре F'w к моменту наступления предельного состояния изгибаемого
элемента определяется с учетом трапециевидной эпюры напряже-
ний в сжатой зоне и фактического положения верхней арматуры в
сечении. В нашем случае, когда 0,2 х<^а'<х, это напряжение под-
считывалось по следующему выражению:
о'с = 4200 f 1,25 -0,75 °' \ — стог, (6)
\ ka Rh Fh — 2000 /
59
Таблица 3
Данные для расчета динамической прочности опытных балок
Серия Обозначения балок Геометрические характеристики сечения в см Нормативные характеристики бетона в кГ/см2 Время деформи- рования бетона в сек Ч Коэффи- циент упрочнения бетона k6 Прочность арматуры в кГ/см2 Скорость деформи- рования стали 10ь/сек е Коэффи- циент упрочнения арматуры
b Л о а' «б *пр
I БОГС14-1Д 19 16,3 2,2 0,1 1,129 8045 1,041
БНГС14-2Д 19 15,9 1,9 ► 450 395 315 336 0,09 1,124 5880 9652 1,041
БНГС14-ЗД 18,7 15,8 1,8 0,09 1,124 9671 1,041
БНГС14-4Д 19,5 15,9 2 / 0,28 '1,107 6035 1,039
БОГС20-1Д 19,7 15,6 2,6 1 0,135 1,123 4730 1,052
БНГС20-2д 19,3 15,2 2,5 > 0,095 1,127 5875 1,053
БНГС20-Зд 19,6 15,3 2,8 490 431 343 356 0,085 1,133 5657 7230 1,055
БНГС20-4Д 19,3 15,5 2,6 0,1 1,129 6741 1,054
11 БОГС16-2д 19,6 15,5 2,5 1 0,1 1,129 6857 1,044
БОГС16-ЗД 19,8 15 2,3 0,135 1,123 7346 1,045
БНГС16-1Д 19,6 15,2 2,6 0,12 1,125 6832 1,044
БНГС16-2д 15,2 490 431 343 356 5902
19,6 2,4 0,1 1,129 7315 1,045
БНГС16-ЗД 19,6 15,2 2,3 0,1 1,129 6402 1,044
БНГС16-4Д 19,9 15 2,4 J 0,115 1,125 5989 1,044
Продолжение табл. 3
Серия Обозначения балок Геометрические характеристики сечения в см Нормативные характеристики бетона в кГ^см* Время деформи- рования бетона в сек Коэффи- циент упрочнения бетона Лб Прочность арматуры в кГ/см* Скорость деформи- рования стали 106/сел е Коэффи- циент упрочнения арматуры ^а
b h0 а’ *и ^пр
БОС16-2Д 19,6 15,5 3 0,115 1,12 6058 1,037
БОС16-ЗД 19,7 15,4 2,8 0,1 1,129 8583 1,038
БНС16-1Д 19,6 14,4 2,3 450 395 315 336 0,11 1,126 6629 6437 1,037
БНС16-2Д 19,6 14,4 2,3 0,13 1,124 6058 1,037
БНС16-Зд 19,6 14,5 2,4 0,135 1,122 6082 1,037
БНС16-4Д 19,8 14,6 2,5 . 0,13 1,124 6437 1,037
БОП5-2Д 18,5 15 2,7 0,15 1,12
БОП5-ЗД 19 15 2,6 0,11 1,126
БНП5-1Д 19,8 15 2,2 470 413 329 343 0,1 1,129 15920 1
БНП5-2д 19,6 15 2,4 0,125 1,125
БНП5-Зд 19,8 15,1 2,4 0,105 1,127 —
БНП5-4Д 19,9 15,2 2,5 . 0,085 1,133 —
*
Примечание. ЯПр“ призменная прочность бетона по новой редакции СНиП.
Результаты расчета динамической прочности опытных балок
Таблица 4
Серия Обозначения балок Опытный разру- шающий момент Л1оп. кГ-м Опытная высота сжатой зоны в см хоп Расчет прочности опытных балок
треугольная эпюра напряжений t О 'пр трапециевидная эпюра напряже- ний Rt = 1,45 k- z о пр прямоугольная эпюра напряже- ний R. = 1,2 k. R* t о пр
кГ 1см? Хр, см Мр, кГ-м Л;р ^оп «Г кГ/см* X ЛР’ см Afp, кГ-м МР Моп кГ[см2 Хр, см м?, кГ-м Л?р ^оп
I БОГС14-1Д 3003 2,9 711,5 2,55 2901,7 0,966 515,6 2,91 2871,6 0,956 455,8 1,99 2875,2 0,957
БНГС14-2д 2966 708,5 3,12 2780,9 0,937 513,4 3,59 2737,8 0,923 453,7 2,43 2746,2 0,925
БНГС14-Зд 2768 3,4 708,5 3,23 2852,7 1,03 513,4 3,71 2806,3 1,014 453,7 2,52 2814,8 1,016
БНГС14-4Д 2913 3,5 697,7 3,18 2857,6 0,981 505,6 3,66 2816,4 0,967 446,9 2,48 2825,1 0,969
БОГС20-1Д 5604 5,0 770,7 4,08 5385,9 0,961 558,5 4,66 5277,3 0,942 479,3 3,26 5277,3 0,942
БНГС20-2д 5112 5,3 773,5 5,12 5171,9 1,02 560,5 5,89 5038,7 0,985 481,1 4,11 5042,5 0,986
БНГС20-ЗД 4665 — 777,6 5,01 5171,6 1,11 563,5 5,76 5040,3 1,080 483,6 3,98 5040,3 1,08
БНГС20-4Д 5142 5,6 774,8 5,01 5297,8 1,03 561,5 5,76 5171,5 1,005 481,9 4,03 5171,5 1,005
II БОГС16-2Д 3385 — 775 2,85 3549,1 0,925 561,6 3,28 3510,7 0,920 431,9 2,29 3510,7 0,920
БОГС16-Зд 3574 3,65 770 2,95 3499 0,979 558,5 3,39 3449,6 0,965 479,3 2,37 3449,6 0,965
БНГС16-1Д 3621 3,6 772,1. 3,4 3561,9 0,983 559,5 3,91 3503,6 0,967 480,1 2,74 3495,6 0,967
БНГС16-2Д 3469 775 3,38 3567,9 1,028 561,6 3,89 3569 1,012 481,9 2,72 3509 1,012
БНГС16-ЗД 3505 3,8 775 3,33 3565,4 1,017 561,6 3,83 3509,2 1,000 481,9 2,68 3509,2 1,000
БНГС16-4Д 3444 — 772,1 3,37 3668,3 1 065 559,5 3,87 3608,1 1,047 480,1 2,71 3608,1 1,047
БОС16-2д 4248 4,8 699,7 3,75 3960,7 0,932 507 4,32 3899,3 0,918 452 2,9 3913,8 0,921
БОС16-Зд 4114 —— 711,7 3,64 3953,1 0,961 515,7 4,19 3891,9 0,946 455,8 2,84 3904,7 0,948
БНС16-1Д 3712 — 709,7 3,91 3675,2 0,99 514,3 4,5 3602,3 0,97 454,6 3,05 3615,9 0,973
БНС16-2д 3741 ' — 708,5 3,8 3672,6 0,981 513,4 4,37 3607,9 0,964 453,7 2,97 3261,1 0,967
БНС16-Зд 3820 4,5 707,2 3,95 3698,2 0,966 512,5 4,54 3624,9 0,946 452,8 3,08 3638,6 0,95
БНС16-4Д 4031 4,8 708,5 3,89 3730,3 0,925 513,4 4,47 3661,4 0,909 453,7 3,04 3672,3 0,911
БОП5-2д 2972 — 737,3 3,13 3040,4 1,023 534,3 3,6 2994 1,007 460,8 2.5 2994 1,007
БОП5-Зд 3012 3,3 741,3 2,89 3058,5 1,015 537,2 3,48 3029 0,997 463,3 2,42 3002,9 0,997
БНП5-1Д 2961 ' 743,3 3,34 3059,4 1,033 538,6 3,84 3007,4 1,015 464,5 2,67 3074,2 1,015
БНП5-2д 3088 — 740,6 3,43 3068,8 0,993 536,7 3,94 3005,8 0,973 462,8 2,74 3005,8 0,973
БНП5-Зд 2878 3,6 740,6 3,35 3087,9 1,073 537,6 3,85 3032,4 1,053 463,7 2,68 3032,4 1,053
БНП5-4д 3099 3,5 745,9 3,31 3120 1,037 540,5 3,8 3061,1 1,017 466,2 2,64 3061,1 1,017
Примечание. Опытная высота сжатой зоны найдена в тех балках, где трещина пересекла датчики.
где о'02 — установившееся предварительное напряжение в армату-
ре после всех потерь к .моменту испытания образца ди-
намической нагрузкой; ka — коэффициент повышения
динамического предела текучести (условной) стали в
зависимости от скорости деформирования арматуры е,
определяемый из выражения
Аа = 1 + k In s,
где k — постоянная материала, значения которой для данных ма-
рок арматурной стали были ранее получены в НИИЖБ [7].
Коэффициент динамического упрочнения арматуры (&а), распо-
ложенной в верхней зоне, принимался равным 1, поскольку по дан-
ным опытов к моменту достижения предельного состояния образца
эта арматура работала в упругой стадии.
Результаты расчетов по указанным выражениям удовлетвори-
тельно согласуются с данными опыта. Проверочные расчеты также
показали, что для практических целей динамическую прочность
изгибаемых железобетонных элементов можно определять, прини-
мая эквивалентную фактической (трапециевидной) условную пря-
моугольную эпюру напряжений, но при этом высота сжатой зоны
получается заметно меньше опытной.
Выводы
1. Динамическая прочность обычных и предварительно напря-
женных балок, испытанных в течение 0,085—0,135 сек, повышается
по сравнению со статической прочностью в среднем для образцов,
армированных сталью 35ГСВ, на 11%', для образцов со сталью
80С — на 14% и для балок, армированных высокопрочной прово-
локой ВрП,— на 9%. Величина упрочнения зависит от чувстви-
тельности растянутой арматуры к скорости деформирования, ди-
намических свойств бетона сжатой зоны, а также от напряженно-
го состояния арматуры к моменту разрушения образца.
2. Предварительное напряжение железобетонных балок при
указанных процентах армирования и исходном напряженном со-
стоянии не оказало существенного влияния на прочность изгибае-
мых элементов при динамическом нагружении.
3. Для элементов, предназначенных для работы в условиях од-
нократных динамических воздействий, можно рекомендовать при-
менение горячекатаной стержневой арматуры классов А-Шв и
A-IV. Использование высокопрочной проволоки требует известной
осторожности, поскольку работа таких конструкций сопряжена с
опасностью хрупкого обрушения.
63
4. В условиях динамического изгиба характер развития процес-
сов деформирования как обычных, так и предварительно напряжен-
ных балок подобен статическому. С увеличением скорости дефор-
мирования снижается способность к перераспределению напряже-
ний по высоте сжатой зоны изгибаемого элемента, бетон и арма-
тура работают при более высоких динамических напряжениях, что
в конечном итоге предопределяет повышение несущей способности
образца.
5. Испытания бетонных призм внецентренно приложенной ди-
намической нагрузкой выявили способность материала к некоторо-
му перераспределению напряжений по высоте сжатой зоны образ-
ца, при этом величина динамического упрочнения внецентренно на-
груженного бетона оказывается больше, чем при центральном
сжатии.
6. Прочность нормальных сечений обычных и предварительно
напряженных железобетонных элементов, изгибаемых однократной
динамической нагрузкой, целесообразно рассчитывать при исполь-
зовании трапециевидной эпюры напряжений в сжатой зоне и с уче-
том соответствующих коэффициентов динамического упрочнения
материала.-Для практических целей можно также использовать
эквивалентную фактической условную прямоугольную эпюру на-
пряжений в сжатой зоне изгибаемого элемента.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ж у нус о в Т. Ж. Действие кратковременных динамических нагрузок на
железобетонные изгибаемые элементы. «Бетон и железобетон», 1966, № 5.
2. Ж у н у с о в Т. Ж. Сейсмостойкость предварительно напряженных железо-
бетонных конструкций. «Бетон и железобетон», 1968, № 8.
3. К о р ч и н с к и й И. Л., Ржевский В. А. Исследование прочности желе-
зобетонных конструкций на действие нагрузок типа сейсмических. «Бетон и же-
лезобетон», 1966, № 1.
4. 3 а в р и е в К. С. Сейсмостойкость предварительно напряженного железо-
бетона. «Бетон и железобетон», 1966, № 5.
5. Bate S. С. С. The effect of impact loading on prestressed and ordinary
reinforced concrete beams. Research paper N 35 National building studies Her
Majesty’s Stationary office, London, 1961.
6. M a g n e 1 G. Le beton precontract 3-rd edition Ghent Editions Fecheyr,
1953, pp. 289—321.
7. Белобров И. К., Щербина В. И. Влияние быстрых загружений на
прочность железобетонных балок. В Сб.: «Влияние скорости нагружения, гиб-
кости и крутящих моментов на прочность железобетонных конструкций». Стрэй-
издат, 1970 (НИИЖБ).
8. Show W. A., Algood I. R. Blast resistance of reinforced beams influen:
ced by grade of steel. Journal of the American Concrete Institute, Vol.'30, N 9,
March, 1959.
111. Л. ХАКИМОВ, канд. техн, нау^
ОСОБЕННОСТИ ТРЕЩИНООБРАЗОВАНИЯ В БАЛКАХ
С РАЗЛИЧНОЙ ТОЛЩИНОЙ ЗАЩИТНОГО СЛОЯ БЕТОНА
По действующим Нормам проектирования СНиП П-В. 1-62 ши-
рина раскрытия трещин зависит от деформации арматуры в сече-
нии с трещиной, расстояния между трещинами и коэффициента
Чга. Значение коэффициента Та с увеличением нагрузки изменяется
от 0,3 до 1. Величина напряжения <в арматуре оа ’В сечении с тре-
щиной и расстояние между трещинами также являются весьма
изменчивыми параметрами.
Исследованию и методам расчета ширины раскрытия трещин
посвящено весьма большое количество работ. Большинство авто-
ров пришло к выводу, что ширина раскрытия трещин находится в
почти линейной зависимости от напряжения «.в арматуре. Однако
установлено, что ширина раскрытия трещин зависит и от других
факторов. Многие формулы носят эмпирический характер и получе-
ны на основании большого числа опытов.
Формулы СНиП П-В. 1-62 для расчета максимальной ширины
раскрытия трещин выведены по результатам исследований в основ-
ном изгибаемых железобетонных элементов с нормальным (15—
25 мм) защитным слоем при относительно небольших процентах
армирования, в частности, такой фактор, как толщина защитного
слоя бетона и (влияние ее на раскрытие трещин, не учитывался
из-за отсутствия достаточного количества опытов. Имеются ис-
следования (Г. Т. Мощевитин) железобетонных элементов (балки,
кольца, трубы) с различной относительной величиной защитного
слоя (6==с/йо). Опыты проводились на изгибаемых элементах с
малыми высотами поперечного сечения (до 10 см), в которых 5
изменялась в пределах от 0,1 до 0,5.
К формулам норм по расчету ширины раскрытия трещин были
получены поправочные коэффициенты, учитывающие различную
толщину защитного слоя.
В НИИЖБ под руководством проф. А. А. Гвоздева в 1966—
1969 гг. были испытаны обычные и предварительно напряженные
железобетонные балки с различным расположением арматуры по
высоте сечения с целью изучения их действительной работы на всех
стадиях загружения1. Наряду с изучением прочности, развития де-
формаций, трещиностойкости предусматривалось установить зави-
симость средней и максимальной ширины раскрытия трещин как
на уровне растянутой арматуры, так и на нижней грани элементов
от величины напряжений в арматуре с учетом влияния различной
высоты защитного слоя бетона.
1 Исследование выполняли д-р техн, наук проф. С. А. Дмитриев-,- инж.
Ш. А. Хакимов.
' 65
Сведения об опытных образцах
Таблица 1
Номер балки Сечение балок Размеры сечения в см ^н’ смг р-. % кГ [см1 JVoi. Т N, Т Л1°, Тм т Л1°, Тм р
b h йо с
1 2 5 2' 3' 5' 6' 3 4 6 7 Т 15 22 11 11 6,29 3,84 323 327 586 50 38,3 37,8 40,6 1,85 1,83 2,3 2,416 2,49 3,945
-Л 1— 7,59 4,62 310 310 530 530 38 17,1 16,9 21,5 21,5 1,02 1,05 1,365 1,43 1,84 1,84 2,96 3,11
4 4
4 4
CJ 6,29 3,84 362 362 650 668 0 0 0,35 0,325 0,341 0,43 1,94 1,94 3,22 3
'—ъ —
3,98 2,42 300 0 0 0,255 1,69
12 13 16 17 14 15 18 19 15 22 14 8 6,29 2,9 329 331 593 593 49 33,2 33,8 39 39 2,27 2,18 3,32 3,3 3,8 3,508 6,06 6,248
.С» 20 20
AT-V
Со J 362 362 656 656 0 ~~ 0,262 0,28 0,314 0,396 3 3,03 5,03 4,74
it—’
Продолжение табл. 1
Номер балки Сечение балок Размеры сечения в см V см2 ’Л» % R, кГ/см2 Non Т No 2 > Т М°, Тм т MQ, Тм Р
b h h0 с
20
21
24
25
22
23
26
27
15 22 19 3 2,92 1,03 315 320 576 580 46,4 36,5 36,9 38,9 38,7 1,82 1,98 2,46 2,34 4,38 4,38 5,33 5,11
362 362 642 647 0 0 0,5 0,5 0,523 0,56 5,18 4,96 5,84 5,58
8
9
10
И
362
362
670
670
0,19
0,22
0,19
0,18
1,98
2,09
3,18
3,18
29
30
31
32
20 40 38 2 6,5 0,85 283 — —
20 40 35,5 4,5 6,9 0,96 212 - 1 п —1 —>
20 40 31,7 8,8 7,7 1,22 253 — и ——
20 40 27,7 12,3 8,8 0,16 253 1 — —
Примечание. В образцах 29—32 (Е. Хогнестеда, США) прочность бетона получена испытанием цилиндрических образцов,
момент образования трещин, полученный из опыта; М? — разрушающий момент.
т Р
Испытанию был-и подвергнуты балки прямоугольного сечения,
включая 15 предварительно напряженных и 17 -с ненапрягаемой
арматурой (табл. 1). Проектные размеры образце®: -ширина 15 см,
высота 22 и 14 см\ расчетный пролет 280 см. Образцы отличались
прочностью бетона, величиной предварительного обжатия, процен-
том армирования, толщиной защитного слоя бетона. Отношение
толщины защитного слоя «с» к полезной высоте балок изменялось
от 0,11 до 1. Под «с» здесь и ниже понимается расстояние от ниж-
ней грани элемента до центра тяжести растянутой продольной ар-
матуры.
Опытные балки можно подразделить на три группы: централь-
но обжатые с одиночной арматурой, центрально обжатые с сим-
метричной двойной арматурой и внецентренно обжатые усилием
одиночной предварительно напряженной арматуры, расположен-
ной на грани ядра сечения элемента. Все образцы были ттереарми-
рованны1ми, за исключением балок с двойной арматурой.
В качестве основной рабочей арматуры применялась термически
упрочненная арматура периодического профиля класса Ат-V диа-
метром 14; 16; 20 и 22 мм. Стержневая арматура имела условный
предел текучести 9810—12 350 кГ[см2, временное сопротивление
разрыву 10 995—14 480 кГ/см2, относительное удлинение 6ю после
разрыва составляло 4—6,4%.
Начальное обжатие бетона на уровне растянутой арматуры из-
менялось в пределах от 0 до 0,71 7?0. При этом величина предвари-
тельного напряжения в арматуре колебалась от 0 до 8000 кГ/см2.
Марка бетона варьировалась от 300 до 670. Состав бетона мар-
ки 300— 1 : 3,3: 5,15 при В/Д=0,8, а бетона марки 500—670 —
1 : 1,55 : 2,88 при B/Z(=0,46. Прочность бетона на всех стадиях изу-
чения элементов проверялась по результатам испытания на сжатие
кубов с ребрами 10 и 20 см.
Монтажная арматура и хомуты из арматуры диаметром 5 мм
-(сталь класса A-I) устанавливалась на участке между опорой и
грузом. В зоне чистого изгиба на длине 100 см хомутов не было.
Фактические размеры балок и другие основные данные приведены
в табл. 1.
Образцы изготовляли на лабораторном стенде- Усилия предва-
рительного напряжения арматуры, создаваемые гидравлическим
домкратом, контролировали по показаниям тензодатчиков, накле-
енных на арматуру, по динамометрам, включенным в линию натя-
гиваемой арматуры и показаниям манометра насосной станции.
Бетон уплотняли вибрированием. В процессе твердения образцы
находились под ©лажными опилками.
Передача усилия натяжения арматуры на бетон производилась
для всех балок на 14-е сутки при прочности бетона равной 186;
220; 366 и 410 кГ/см2. Все предварительно напряженные образцы
•на торцовых участках вдоль арматуры'получили трещины, появив-
шиеся при передаче усилий от стержневой напрягаемой арматуры
68
.на бетон. Эти трещины не оказали какого-либо влияния на работу
элементов под нагрузкой. Других трещин на поверхности как обыч-
ных, так и предварительно напряженных балок визуально обна-
ружено не было.
После обжатия балки устанавливали на стеллажи, где измеря-
ли деформации бетона и арматуры в течение 60—220 суток. Об-
разцы хранили в естественных условиях в помещении при темпе-
ратуре 16—19°С и относительной влажности воздуха 48—60%. По
результатам проведенного измерения деформации бетона и ар-
матуры во времени определялось напряженно-деформированное со-
стояние балок. Затем балки были загружены и испытаны до разру-
шения с помощью рычагов и подвесных платформ при передаче на-
грузки в виде двух сосредоточенных сил в третях пролета. В про-
цессе испытания внешней нагрузкой производили необходимые из-
мерения.
Опытный момент образования трещин в балках устанавливали
путем визуального наблюдения, а также по графикам «нагрузка —
удлинение» крайних растянутых волокон бетона. Ширину раскры-
тия трещин измеряли, в основном, по каждой появившейся тре-
щине в зоне постоянного момента в двух точках: по оси растяну-
той арматуры и кромке нижней растянутой грани. В отдельных
образцах трещины замеряли в нескольких местах по их высоте. Для
измерений использовался переносной микроскоп МПБ-2 с 24-крат-
ным увеличением и ценой деления шкалы 0,05 мм.
Образование трещин в балках зависело от напряженного со-
стояния образцов и расположения арматуры по высоте сечения. В
предварительно напряженных балках с нормальным защитным
слоем (под нормальным защитным слоем здесь и далее имеется в
виду толщина защитного слоя бетона в пределах 20—23 мм при
с = 30 мм) трещины с их появлением проходят до растянутой ар-
матуры. В образцах со значительным защитным слоем образовав-
шаяся трещина, как правило, не достигает растянутой арматуры,
и развитие трещины зависит в основном от уровня обжатия бетона.
В балках /,2 с большим начальным уровнем обжатия бетона тре-
щины лишь при нагрузке, близкой к разрушающей, достигали
уровня растянутой арматуры.
На развитие трещин в балках без предварительного напряже-
ния оказывает влияние толщина защитного слоя бетона. В отли-
чие от элементов с нормальным защитным слоем образование пер-
вой трещины в балках при с=8-?11 см происходит более внезап-
но, сопровождается звуковым эффектом (треском бетона)- Трещи-
на, как правило, образуется в середине пролета балки и проходит
до арматуры. Следующие две трещины образовывались ближе к
местам приложения нагрузок. Количество трещин в образцах с за-
щитным слоем с=8-т- 11 см при напряжениях в арматуре
500 кГ1см2 практически стабилизируется. Однако с увеличением
нагрузки новые трещины появились не на растянутой грани бето-
на балок, а на боковой поверхности на уровне растянутой армату-
69
Рис. 1. Развитие трещин в зоне постоянного момента изгибаемых балок с различ-
ной толщиной защитного слоя бетона
БО-4-11-мзс — балка 9; БО-2-Ш — балка 27; БО-2-1 — балка 19; БО-U-II — балка 6
ры, развиваясь от центра тяжести арматуры вверх, вниз и вдоль
нее. При этом ширина их раскрытия оставалась незначительной, в
то время как ширина основной трещины увеличивалась. Наблюда-
лось разветвление основных трещин, идущих от нижней грани ба-
лок, начиная от центра тяжести арматуры вверх.
В образцах с нормальным защитным слоем трещины возника-
ли в нескольких случайных местах зоны постоянного момента. Ко-
личество трещин, идущих вдоль растянутой арматуры, было незна-
чительно. Стабилизация образования трещин наступала значитель-
но позже при напряжениях в арматуре примерно 1500—2000 кГ/см2
для обычных и при приращении напряжений ~ 2500 кГ)см2 для
предварительно напряженных балок. На рис. 1 показаны некото-
рые типичные образцы балок с трещинами в зоне постоянного мо-
мента.
Среднее расстояние между трещинами при их стабилизации для
групп образцов при с=3; 8; 11 см соответственно составляло 8;
24; 34 см.
Опытная средняя ширина раскрытия трещин ат.ср на уровне
растянутой арматуры, а также средняя ширина трещин на нижней
грани а'т ср определялись как среднее арифметическое из всех ос-
новных трещин в зоне чистого изгиба.
По результатам измерений построены графики ширины рас-
крытия трещин в зависимости от напряжения в растянутой арма-
туре, вычисленного по СНиП П-В.1-62 (рис. 2, 3). Из их анализа
следует, что ширина раскрытия трещин изменяется почти линейно
с увеличением напряжения; при данном напряжении в арматуре,
поперечном сечении и диаметре арматуры изменение прочности бе-
тона от 300 до 670 кГ]см2 не оказало заметного влияния на шири-
ну раскрытия трещин. При одинаковом напряжении в арматуре и
различном проценте армирования (р,=3,84 %—образцы 8—11 и
ц=1,03%—образцы 20—27) ширина раскрытия трещин была
практически одинаковой.
Для анализа результатов и сравнения ширины раскрытия
трещин в обычных и предварительно напряженных образцах был
построен общий для всех балок график (рис. 4) зависимости ат.ср
от напряжения в арматуре иа (для предварительно напряженных
балок имеется в виду приращение напряжений арматуры, опреде-
ляемое, начиная от стадии нулевых напряжений в бетоне). Здесь
каждая кривая представляет среднюю ширину раскрытия трещин
для групп образцов с одинаковым расположением арматуры по се-
чению элементов.
Как видно из графиков, при одинаковом напряжении в арматуре
опытные величины раскрытия трещин в сравниваемых обычных и
предварительно напряженных балках близки между собой; ппи
прочих равных условиях изменение толщины защитного слоя за-
метно сказалось на ширине раскрытия трещин. С увеличением
толщины защитного слоя ширина трещин растет- Столь существен-
ная разница в ширине раскрытия трещин, видимо, обусловлена ко-
71
личеством трещин. Так, в балках при с=3; 8; 11 см количество тре-
щин после их стабилизации составляло соответственно в среднем
~ 14, 6, 4 шг.
Очевидно, при данном напряжении оа арматура в зоне посто-
янного момента получает определенное общее удлинение, вклю-
чающее и ширину трещин, которое распределяется примерно про-
порционально между всеми трещинами. Чем меньше количество
трещин, тем больше доля от суммарной ширины трещин, приходя-
Среоняя ширина трещин аТс^ б мм JCS) >f=3 55, ,c*> .со —к См -о th Oi Со со * ««•о о
€
• О
• ▲ ф □
о _ш U
А ° А® ф m D
О ф Ф (D D □
<5Ь Ш m D е 0 0 0 ♦ 4 $ $ а
(^0 о е Ш№ <9 °+* » о >4 ♦ * е
Л °
L > 1000 2000 3000 W '00 5000 6000 7000 8000 9000
Нс пряжение 6 арматуре 6а 6 к Г/см*
Рис. 2. Изменение средней ширины раскрытия трещин в зависимости от
жеиий в арматуре
а
т.ср
опытная средняя ширина раскрытия трещин: (Та-- напряжение в арматуре
чении с трещиной, вычисленное по формуле (187) СНиП П-В.1-62
наяря-
Л в се
№ балок 3 4 6 7 7' 14 15 18 19 8 9 10 11 22 23 26 27
Условные
обозначения
ф ▲ □ и ш+еэофффф
Защитный слой
бетона с в см
щаяся на одну трещину. Неодинаковое количество трещин в бал-
ках с различными значениями с, видимо, обусловлено сцеплением
бетона с арматурой, способностью арматуры вовлекать в работу
бетон растянутой зоны и другими факторами.
Для анализа работы растянутого бетона между трещинами для
различных балок были построены эпюры деформаций по высоте,
сечения на различных этапах их загружения. Для простоты чер-
72
тежа, а также поскольку рассматривался участок по высоте сече-
ния, расположенный ниже нейтральной оси на рис. 5, деформации
-сжатой зоны бетона показаны не полностью. На рис. 5 нулевая по-
зиция для предварительно напряженных балок соответствует мо-
менту, предшествующему загружению их внешней нагрузкой;
первая позиция для всех элементов — момент, предшествующий
образованию трещин. Выбранные датчики расположены примерно
Рис. 3. Изменение ширины раскрытия трещин в зависимости от приращения на-
пряжений в арматуре
Пт ср опытная средняя ширина раскрытия трещин; —приращение напряжения в напрягаемой арматуре Л , подсчитанное по формуле (190) СНиП П-В. 1-62
№ балок 1 2 5 2' 3' 5' 6' 12 13 16 17 20 21 24 25
Условные
обозначения
Защитный слой бетона с в см 11 8 3
но середине между соседними трещинами. Рассмотрим (на примере
балок 9, 27, 19, 6) деформированное состояние бетона защитного
слоя образцов, выполненных без предварительного напряжения.
Как видно из графиков, до образования трещин деформации по
высоте сечения протекают равномерно и соблюдается соответствие
между удлинениями сжатой и растянутой зон. С появлением тре-
щин равномерный характер распределения деформаций нарушает-
ся. Деформации растяжения на участке между трещинами начина-
ют уменьшаться, а с ростом нагрузки и высоты трещин даже меняют
знак. Укорочение бетона защитного слоя между трещинами, воз-
можно, обусловлено исчезновением усадочных напряжений. Вооб-
ще бетон между трещинами находится в сложном напряженном
состоянии: на нижней грани бетон испытывает деформации сжатия;
на уровне арматуры за счет сил сцепления — растяжения выше оси
.растянутой арматуры деформации могут несколько раз менять свой
.знак. Такое распределение деформаций видимо связано г депла-
гнацией сечения, при которой расчлененные участки бетона испы-
тывают различные силовые воздействия.
73
Деформации сжатия на нижней грани элементов с нормальным
защитным слоем незначительны и занимают небольшой участок,
примыкающий к трещине. В середине участка между трещинами
Рис. 4. Изменение ширины раскрытия трещин в зависимости от напряжения в ар-
матуре
а
— средняя ширина раскрытия трещин на уровне арматуры по группе
т.ср
образцов без предварительного напряжения;----------— то же, для предварительно на-
пряженных образцов; 1—балки 3, 4, 6, 7; 2 — балки 14, 15, 18, 19; 3 — балки 8, 9,
10, Ы; 4— балки 22, 23,26, 27; 5 — балки 1, 2, 5, 2', 3', 5', 6'; 6 — блаки 12, 13, 16. 17;
7 — балки 20, 21, 24, 25
бетон совместно с арматурой продолжает удлиняться до образова-
ния новой трещины.
Что касается элементов с повышенным защитным слоем, то
деформации сжатия значительны, занимают весь участок между
трещинами и неравномерно распределены по толщине и длине
защитного слоя. -Максимальные деформации сжатия наблюда-
ются на нижней грани и лишь на расстоянии, близком к оси про-
дольной арматуры, бетон совместно с арматурой работает на рас-
тяжение. Последнее способствует образованию второстепенных
трещин около продольной арматуры, которые, однако, не достигают
растянутой грани. При образовании продольных трещин нарушает-
ся сцепление арматуры с бетоном и в дальнейшем бетон растяну-
той зоны практически не участвует в работе элемента. При та-
ком деформированном состоянии бетона между трещинами в бал-
ках с повышенным защитным слоем образование новых трещин
на растянутой грани затруднительно.
В предварительно напряженных элементах (рис. 5, балки 24, 17.
5) также наблюдается постепенное укорочение бетона растянутой
74
грани, при этом деформации растяжения остаются меньшими по
сравнению с деформациями вблизи растянутой арматуры. Дефор-
мации сжатия незначительны или вообще отсутствуют и в каж-
дом случае зависят от уровня предварительного обжатия. В целом
по толщине защитного слоя бетона в предварительно напряженных
балках по сравнению с обычными они протекают более равномерно
без значительных скачков. Такая особенность напряженно дефор-
мированного состояния бетона защитного слоя в отличие от обыч-
ных элементов объясняется, видимо, действием усилия предвари-
Сеченис Боковое
Рис. 5. Распределение деформаций бетона между трещинами в балках на различ-
ных этапах их натружения
9, 27, 19, 6, 24, 17, 5,—номера балок; цифры на эпюрах — относительная деформация
бетона е =/.10 ; цифры на боковой поверхности образцов — номера тензодатчиков
П р и м е ч а и и е. Деформации по высоте сечения указаны не полностью.
75
тельного напряжения: меньшим прогибом, перераспределением^
усилий по сечению балок, незначительными трещинами вдоль ар-
матуры и т. д.
Для оценки влияния толщины защитного слоя бетона на сред-
нюю ширину раскрытия трещин на уровне растянутой арматуры;
Рис. 6. Изменение ширины раскрытия трещин на уровне арматуры в зависимости'
от относительной толщины защитного слоя бетона
Р — I, 2, 3 соответственна, отношение средней ш-ирины раскрытия трещин на уровне
растянутой арматуры *в изгибаемых элементах при значениях с/^. = 0,27; 0,57 >и 1 к средней-
ширине трещин при с/Ло =0,155; О — то же, для предварительно напряженных балок
был построен график зависимости отношения средних ширин рас-
крытия трещин от толщины защитного слоя бетона в интервале на-
пряжений в арматуре 500—6000 кГ/см2 кля обычных и 500—
3500 кГ!см2— напряженных балок. За единицу была принята ши-
рина раскрытия трещин при г=3 см. Это отношение для обычных
балок при с=8 см изменялось от 1,7 до 2,94 и в среднем равня-
лось 2,31, а для предварительно напряженных составляло от 2 до*
2,64, в среднем 2,32; при с=<11 см указанное отношение для обыч-
ных балок составляло 3,34—5,65, в среднем 4,63, а для предвари-
тельно напряженных 3—6,4, в среднем 4,65. Следует отметить, что
в опытах Е. Хогнестеда [2] на балках с различной толщиной за-
щитного слоя (от 2 до 12 см) также наблюдалось увеличение ши-
рины раскрытия трещин при больших значениях с. Однако ка-
кой-либо зависимости им не было установлено.
При этих условиях изменение ширины раскрытия трещин мож-
но рассматривать в зависимости от относительной толщины защит-
76
кого слоя, например через параметр б, выражающий отношение
толщины защитного слоя к полезной высоте балки. На рис. 6 пред-
ставлено изменение ширины раскрытия трещин в зависимости от
6. За единицу принята ширина трещины в балках при отношении
с/Ло = О,155. На основании данных этого графика принята ступен-
чатая зависимость, по которой можно примерно оценивать ширину
раскрытия трещин для различных значений отношения с/й0- при
0,25 /гс = 1, при 0,25 < Л •< 1 Ас = 4б. На этих же образцах изу-
чалось соотношение между средней и максимальной шириной рас-
крытия трещин на уровне растянутой арматуры. Для всех балок
были подсчитаны отношения «т максМт.ср для различных этапов за-
гружения- В табл. 2 для каждой балки представлены минималь-
ные, максимальные и средние значения отношения ат.макс/лт-ср,
а также величина его при нагрузке, равной 60% от разрушающей.
Отношение Ят.макс/Дтср Для всех балок изменялось от 1,23 до 1,6 со
средним значением 1,38. В исследованиях [2, 3, 4] это отношение из-
менялось соответственно в пределах (1,08—2,64), (1,18—2,77),
(1,03—2,1) со средними значениями 1,63; 1,64; 1,5. Незначительное
расхождение по сравнению с данными в наших опытах (8—18%),
видимо, объясняется тем, что принятая в их опытах арматура была
с -низким пределом текучести — около 3500 кГ/см2.
С целью установления возможной величины превышения мак-
симальной ширины раскрытия трещин над средней была произведе-
на статистическая обработка результатов опыта. Так как значе-
ния отношения «т.макс/^т-ср по отдельным образцам были близки к
средней арифметической, полученной для всех балок, то это по-
зволило свести все значения ат-макс/ят.ср к одной совокупности.
В табл. 2 приведены статистические характеристики, полученные для
30 балок, а также построена кривая распределения для изучаемой
характеристики и соответствующая
ей кривая нормального распределе-
ния (рис. 7). В нашем случае с ве-
роятностью, близкой к полной
достоверности, можно считать рас-
хождение между фактическим и тео-
ретическим распределением изучае-
мой характеристики несуществен-
ным, так как X [1], равной ~0,31,
соответствует вероятность Р (X),
весьма -близкая к 1. Задаваясь веро-
ятностью Р = 0,9 с верхней границей
в пределах (Л4+1,5о), можно уста-
новить значение превышения макси-
мальной ширины раскрытия трещин
над средней. В нашем случае коэф-
фициент превышения для всех
образцов при 714=1,38 и о=0,147
(относительная единица) выразится
Рис. 7. Кривые распределения ве-
личин отношения максимальной
ширины раскрытия трещин на
уровне арматуры к средним в про-
центах
1 — эмпирическая кривая; 2— нормаль-
ная кривая распределения
77
Таблица 2
Результаты статистической обработки опытных данных отношения
максимальной ширины раскрытия трещин (ат.макс) к средней (ат.ср)
№ балок а /а -100% т.макс т.ср № балок a fa 100% т.макс т.ср
минималь- ное зна- чение макси- мальное значение среднее значение о о, 3 со о минималь- ное зна- чение макси- мальное значение 1 среднее значение । о о. со о
Образцы 4 6 7 14 15 18 19 8 9 10 11 7' 22 23 26 27 без пр< (апряж ПО 143 121 118 160 111 139 131 122 134 114 109 130 121 145 116 довари*] ения 150 162 127 143 200 140 175 145 138 140 136 136 175 160 163 162 гельног 133 156 124 128 174 126 151 135 127 136 120 124 156 137 154 127 0 138 158 123 128 182 125 148 131 129 135 115 134 157 134 150 123 Пр ед в; 2 5 2' 3' 5' 6' 12 13 16 17 20 21 24 25 зритель обра 115 140 127 107 127 132 120 121 120 113 106 125 143 125 «о нап зцы 120 230 143 170 150 146 143 200 153 137 143 163 220 169 ряженн 115 131 136 139 136 139 131 163 146 121 118 137 164 156 [ые 136 146 120 120 143 163 169 157
Среднее зна- чение 123 160 138 139
Статистические характеристики
Общее число балок Sn=30;
среднее арифметическое для всех образцов
М = Дт,МаКС 100 % = 138%;
ат.ср
среднее квадратическое отклонение 0=14,7%;
коэффициент изменчивости У=40,67 %;
средняя ошибка среднего арифметического т=2,73%;
показатель точности Р=1,98%;
показатель асимметрии А=0,336;
показатель эксцесса Е=—0,1;
ошибка показателей асимметрии и эксцесса тА =±0,447 и тЕ = ±0,895;
А 0,336 о
отношение —— = q 447 = 0,752 < 3;
0,1
0,895
= — 0,112 < 3;
критерий соответствия Х«3,1;
вероятность Р(Х)«1.
78
величиной, равной ~ 1,6. Значение максимальной ширины-раскры-
тия трещин в изгибаемых элементах может определяться умноже-
нием ят.ср на 1,6.
С целью установления зависимости между шириной раскрытия
трещин на уровне арматуры и нижней растянутой грани балок бы-
ли обработаны результаты измерений трещин в 32 балках, в том
числе четыре образца, испытанных Е. Хогнестедом [2]. Результа-
ты приведены в табл. 3 и на рис. 8. Отношение c/h0 изменялось в
пределах от 0,053 до 1. Выяснилось, что величина отношения сред-
ней ширины раскрытия трещин на нижней грани а’т ср к средней
ширине трещин ат.ср на уровне центра тяжести растянутой армату-
ры нестабильна при различных этапах нагружения и в основном
свое максимальное значение имеет при малых нагрузках после
образования трещин. С увеличением нагрузки значение л*ср/лт-ср
уменьшается и практически стабилизируется при нагрузках 60—
70% разрушающей. Уменьшение величины отношения а^ср /ат.сР
при повышенных нагрузках можно объяснить неупругими дефор-
мациями бетона сжатой зоны, частичным нарушением сцепления
между бетоном и арматурой и, как следствие, деплапацией сече-
ния. Последнее особенно резко проявляется в балках при 6=1.
Анализ рис. 8 показывает, что отношение a' la-v-cv в балках
при 6=0,11 практически равно 1. Для балок с величиной б в пре-
делах от 0,11 до 0,575 между исследуемыми параметрами может
быть принята практически линейная зависимость. При 6=1 про-
порциональность нарушается. В необходимых случаях ширину рас-
крытия трещин а' ср на нижней грани балок можно определять ум-
ножением средней ширины трещины ат.ср на поправочный коэффи-
циент &н.г, учитывающий влияние толщины защитного слоя с: при
с/Л0 - 0,1 Ан.г=1; при 0,1 <c/ft0<0,5 Лн.г=1ОХс/Ло и когда 0,5<
1 — ограничить величиной йн.г=5.
Рис. 8. Изменение отноше-
ния ат.ср/лг.ср в зависимо-
сти от относительной толщи
ны защитного слоя бетона
• С —отношение а [а —
т.ср т.ср
среднее! из его значений три
различных этапах нагружения
балки; + — то же, для пред-
варительно на пряженных ба -
лок; ф — опыты Е. Хогнестеда
(США); ат,ср и о,, ср— средняя
ширина раскры тия трещин,
соответственно, на -уровне арма-
гуры и на ниж ней грани эле
мента
Примечание. Настоящий
график следует рассматривать
совместно с данными табл. 3
7»
Таблица 3
Отношение ширины раскрытия на нижней грани образца ат ср к ширине
раскрытия трещин на уровне арматуры ат ср
№ балок с Ло Отношение а 1а при нагрузке, соответствующей т.ср т.ср Среднее отношение а 1а т.ср т.ср а' 1а “т.ср т.ср среднее по группам балок
0,2М° Р 0,4М° Р 0,5ЛГ° Р 0,6М° Р 0.7Л10 Р 0,8Л1° Р 1М° Р
Образцы без предварительного напряжения
8 0,273 3,25 2,55 2,43 2,35 2,3 2,27 2,25 2,77
9 0,262 2,6 2,35 2,30 2,27 2,27 2,27 2,27 2,33
10 0,294 2,22 1,95 1,88 1,85 1,8 1,8 1,8 1,9 2,18
11 0,279 2,15 1,8 1,7 1,65 1,6 1,6 1,6 1,73
3 0,99 5,7 5,15 4,9 4,65 4,5 4,35 4,05 4,76
4 0,99 9,5 8,25 7,35 6,4 5,55 4,8 3,7 6,5
6 1,0 8,5 4,5 4,2 4,1 4,05 4 4 4,76 5,26
7 0,975 5,15 5 5 5 5 5 5 5,02
0,78 3 3,54 3,44 2,75 2,9 3,13 3,62 3,2
7' 0,261 2 2,14 2,05 2 1,87 1,5 1,97 1,93
0,113 1 1 1,33 1,23 1,37 1,17 1 1,16
14 0,575 7,25 5,9 5,5 5,1 4,8 4,55 4,36 5,35
15 0,562 7,25 6 5,45 5 4,6 4,25 4 5,29 д Я 1
18 0,57 , 5,15 4,35 4,05 3,8 3,65 3,55 3,5 4 Ч , о 1
19 0,592 6 5,06 4,7 4,4 4,2 4 3,95 4,61
22 0,155 2,2 1,88 2,17 1,91 1,77 1,93 1,97 1,98
23 0,151 2,32 2,2 1,81 1,75 1,72 1,75 2,08 1,95 9
26 0,17 2,06 2,38 2,56 2,43 1,95 1,72 1,52 2,09
27 0,156 2 2 1,96 1,97 2,11 1,95 1,85 1,97
29 0,053 1 1 1 1 1 1 1 1
30 0,127 1 1,1 1,4 1,07 1,25 1,18 1,22 1,18
31 0,262 2,5 1,72 2,05 2,6 2,74 2,82 2,81 2,46
32 0,445 3,33 3,67 4,93 3,69 3,6 4,25 4,5 4
Предварительно напряженные образцы
1 2 1 0,99 Трещины и а уровне арматуры АЛ от- сутствовали То же 1 1 1 1
5 1,01 — — — — . 10 7,5 8,75 8,75
80
Продолжение табл. 3
№ балок с h0 / Отношение а т.с /а р т.ср при нагрузке, соответствующей Среднее отношение а !а т.ср т.ср “т.ср т.ср среднее но группам балок
0,2Af° Р 0,4Л/° Р 0.5.М0 Р 0.6Л40 Р 0,7М° Р 0,8М° Р 1Л4° Р
12 0,563 — -- - —. — -- 6,7 8,35
13 0,56 — — — — — 10 10 10 7 1
16 0,575 — — — 6 5,5 4,7 5 5,3
17 0,563 — — — 6 4,7 4,3 4 4,8
20 0,174 - - - 2,15 2 1,75 1,5 1,9
21 0,162 — — — 3 2,75 2,4 1,8 2,5 9 18
24 0,16 — — — 4 2 2 1,8 2,4 4,10
25 0,167 — — — 2,4 1,7 1,8 1,8 1,9
— разрушающий момент, полученный из опыта.
Опытная средняя величина ширины раскрытия трещин была со-
поставлена с расчетной шириной, вычисленной в соответствии с ре-
комендациями СНиП П-В. 1-62.
На рис. 9 приведены данные о средней ширине раскрытия тре-
щин во всех балках при нагрузке, составляющей 60% от разру-
шающей. Дополнительно для предварительно напряженных балок
даны значения ат.сР при нагрузке, составляющей 80%' от разруша-
ющей (при меньшей величине нагрузки ширина трещины была не-
значительной или трещина вообще отсутствовала).
Приведенные данные показывают, что опытная величина шири-
ны раскрытия трещин для переармированных обычных балок зна-
чительно больше теоретической, подсчитанной по СНиП П-В. 1-62.
Это, видимо, объясняется влиянием величины защитного слоя бе-
тона, а также переоценкой относительно большого процента арми-
рования. Что касается непереармированных обычных балок, то
средняя величина ширины раскрытия трещин значительно ниже те-
оретической и дает хорошее совпадение с расчетом при сравнении
максимальной ширины раскрытия трещин.
Средняя ширина раскрытия трещин в предварительно напря-
женных балках при нагрузке, составляющей 60% от разрушающей,
для балок, в которых на уровне растянутой арматуры имелись тре-
щины, результаты расчета близки к опытным данным. Однако при
нагрузке, составляющей 80% от разрушающей, наблюдаются значи-
тельные расхождения между опытом и расчетом, при этом опытные
величины а-г.ср, как правило, больше.
В большинстве напряженных балок трещины на уровне растя-
нутой арматуры образовывались при нагрузках, близких к разру-
шающей. При таких нагрузках могли развиваться неупругие де-
формации бетона сжатой зоны, а в непереармированных элементах
81
аг, мм
0,32 1
0,28-
0,24-
0,20 -
0,16-
0,12-
0,08-
0,04-
от с у тствовали отсутствовали
№ образца
6
14
15
18
19
8
9
10
11
22
25
26
27
Балки без предварительного напряжения
1,03
С, см
б/ Ro
362 '
11
3,84_____
650 668
2,42
300
11
352 j 656
8
0
3,84
362 670
362 642 647
7
50000
3,84
323 527 586
2'1 3'|5
38000
4,68
12 13 16 17
20 21 24 25
310 510 550 530
11
0,63 Iff 35
11
0,52 0,28
49000
2,9
32Р|зз7|553|5^3
8
0,1 0,4
46000
1,03
375|3a?|57S|5S0
0,59 0,32
Рис. 9. Сопоставление результатов расчета ширины раскрытия трещин с опытными данными при нагрузке,
равной
д — 60%; 6 — 80% от разрушающей; в — при нагрузке, соответствующей минимальному расхождению между расчетом и опытом :
-------------------------аТ по СНиП П-В.1-62;-------------а — средняя величина по опыту
* Ж • ср
и неупругие деформации арматуры. Это обстоятельство могло
оказать влияние на фактическую величину раскрытия трещин.
На рис. 9,в даны значения средней ширины раскрытия трещин в
предварительно напряженных балках при их минимальном рас-
хождении с величиной трещины, подсчитанной по нормам. Данные
показывают, что для большинства образцов удовлетворительное
совпадение опыта и расчета соответствует примерно эксплуатаци-
онной нагрузке.
Для того чтобы проверить изменение ширины раскрытия тре-
щин, на различных стадиях нагружения были сопоставлены дан-
ные расчета и опыта в зависимости от напряжения в арматуре
(рис. 10). Данные показывают, что в предварительно напряжен-
ных балках при приращении напряжения Аоа ~ 500 Ч-1000 кГ1см2
расчет переоценивает опытные значения ат.ср. С увеличением Аоа
опытные значения ширины раскрытия трещин возрастают.
Что касается образцов без предварительного напряжения для
всех переармированных балок на всем рассматриваемом диапазо-
не напряжений оа, опытные значения ширины раскрытия трещин
оказались больше расчетных. При этом разница увеличивается с
ростом напряжения оа.
В обычных непереармированных образцах с двойной арматурой
при напряжениях оа~1500 кГ/см2 расчетные значения ат были
меньше опытной. С увеличением напряжений опытные величины
Ят-ср превышали расчетные. В целом для непереармированных из-
гибаемых элементов расчетные формулы СНиП П-В. 1-62 хорошо
оценивают максимальную величину раскрытия трещин.
Подводя итоги, можно сказать, что как средняя, так и макси-
мальная ширина раскрытия трещин пропорциональна напряжению
в арматуре- Изменение прочности бетона в пределах от 300 до
670 кГ!см2 не оказало какого-либо влияния на ширину раскрытия
трещин. Из анализа опытных данных для образцов с различным
процентом армирования и диаметром арматуры (балки 8—11 при
ц=3,84% и d=^=20 мм и балки 20—27 при p,=il,O3°/o и d=14 мм)
было установлено незначительное влияние этих параметров на ши-
рину раскрытия трещин. При этом увеличение ц и d несколько по-
высило ширину раскрытия трещин. Шаг трещин в основном зави-
сит от толщины защитного слоя бетона с; с возрастанием с рас-
стояние между трещинами увеличивается и почти не зависит от ц
и диаметра рабочей арматуры.
Для оценки влияния бетона на участках между трещинами учи-
тывались показания датчиков на арматуре. Из их рассмотрения вы-
текает, что влияние бетона между трещинами при упругой работе
стали несущественно и значение коэффициента Та практически
близко к 1. Это, видимо, объясняется влиянием значительных уса-
дочных напряжений при высоких процентах армирования.
Исходя из сказанного за основу при выводе формулы для оцен-
ки ширины раскрытия трещин были приняты во внимание резуль-
таты опыта, полученные на образцах балках при с=3 см и 6 =
83
Рис. 10. Отношение расчетных значений ширины раскрытия трещин к
средним опытным
а — предварительно напряженные балки; б—образцы без предварительного
напряжения; а?
и а
т.ср
— расчетная и опытная ширина раскрытия трещин;
в (Atf ) — напряжения ;в арматуре, вычисленные по СНиП П-В.1-62; 1, 2
а а
3, 4 — среднее расхождение по группе балок; а: / — балки /, 2, 5, 2', 3',
5', 6'; 2 —то же, 1?, 13, 16, 17; 3 — то же, 20, 21, 24, 25; б: /—балки
3, 4, 6, 7; 2 — то же, 14, 15, 18, 19; 3 — то же, 20, 23, 26, 27; 4 —то же,
8, 9, 10, 11
84
=0,155- Для установленной из опыта функциональной зависимости,
(см. рис. 4) aT.cp=f(tfa) была подобрана эмпирическая формула
для определения средней ширины раскрытия трещин.
При кратковременном действии нагрузки в изгибаемых обыч-
ных и предварительно напряженных элементах, армированных
сталью периодического профиля, среднюю ширину раскрытия тре-
щин можно определять по формуле
fl-г. ср = — (50 + j/d ) kc (мм), (1)
где оа— напряжение в растянутой арматуре в кГ/см2, прини-
маемое при расчете ширины раскрытия трещин по
СНиП П-В.1-62;
£а— 'модуль упругости арматуры в кГ1см2\
d — число миллиметров диаметра рабочей арматуры;
kc — коэффициент, учитывающий влияния толщины защит-
ного слоя бетона и принимаемый при 6 0,25 Ас=1; при
0,25<6s 1 £с=46.
Среднюю ширину раскрытия трещин на нижней (растянутой)
грани элемента, в случае необходимости, можно определять:
при 0,1 по формуле (1);
при 0,11 <6 1 по формуле (1) с умножением полученной ве-
личины на коэффициент kllT= 10 6 5.
Выводы
1. Опытная ширина раскрытия трещин для персармированных
изгибаемых элементов отличается от теоретической, определяемой
по СНиП П-В.1-62. Формулы СНиП П-В.1-62 не позволяют описы-
вать ширину раскрытия трещин для всей стадии работы элемента-
Для непереармированных элементов при нагрузке, равной 60% от
разрушающей, расчетная ширина раскрытия трещин хорошо со-
гласуется с опытной максимальной шириной раскрытия трещин.
Для переарммрованных предварительно напряженных балок фор-
мулы норм проектирования дают удовлетворительные результаты,
ио при различных уровнях нагружения.
2. Средняя и максимальная ширина раскрытия трещин на уров-
не центра тяжести арматуры нормальных к продольной оси эле-
мента в изгибаемых образцах помимо величины напряжений в ар-
матуре зависит от других факторов, в частности от толщины за-
щитного слоя бетона. Влияние толщины защитного слоя бетона на
среднюю ширину раскрытия трещин на уровне оси продольной ар-
матуры можно учитывать коэффициентом kc.
3. Превышение максимального раскрытия трещин над средним
подчиняется закону распределения, близкому к нормальному. Зна-
чение максимальной ширины раскрытия трещин в изгибаемых эле-
ментах может определяться умножением ат.ср на коэффициент /гм,
учитывающий статистический характер этой величины.
85-
4. При кратковременном действии нагрузки в изгибаемых (как
предварительно напряженных, так и выполненных без предвари-
тельного напряжения) элементах, на уровне центра тяжести растя-
нутой арматуры среднюю ширину раскрытия трещин аТ Ср, нормаль-
ных к продольной оси элемента, можно определять по формуле
(1).
5- Ширину раскрытия трещин на нижней (растянутой) грани
элемента, в случае необходимости, можно определять по формуле
(1) с умножением полученной величины на коэффициент kHT
ЛИТЕРАТУРА
1. Щиголев В. М. Математическая обработка наблюдений. «Наука», 1969.
2. Hog nest ad Е. High Strength Bars as Concrete Reinforcement, Part 2,
Control of Flexural Cracking. Journal of the P. C. A. Vol. 4, nl, January,. 1962.
3. C h i M. and К i r s t e i n A. Flexural Cracks in Reinforced Concrete
Beams. ACJ Journal, April, 1958.
4. С 1 а г k, A r t h u r P. Cracking in Reinforced Concrete Flexural Members,
ACJ Journal, Apr. 1956, Proc. V. 52, pp. 851—862.
H. H. ЛЕССИГ , Л. К. РУЛЛЭ, кандидаты техн, наук, Д. X. КАСАЕВ, инж.
ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОТЫ НА ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ,
РАЗРУШАЮЩИХСЯ ПО СЖАТОМУ БЕТОНУ
Имеющиеся в СНиП П-В.1-62 рекомендации по расчету желе-
зобетонных элементов на прочность при изгибе с кручением рас-
пространяются только на элементы прямоугольного сечения, не
имеющие напрягаемой арматуры. В дальнейшем проводились ис-
следования работы на изгиб с кручением элементов других сече-
ний с ненапрягаемой арматурой [1]—,[4], а также предварительно
напряженных элементов прямоугольного [5]—<[7] и кольцевого
[8] сечения. Этими работами показана полная возможность рас-
пространения принципа расчета из условий предельного равнове-
сия на элементы любых сечений, в том числе предварительно на-
пряженные, если они не переармированы. Требуется лишь ввести в
расчетные формулы члены, учитывающие влияние напрягаемой
арматуры, а также отнестись более осторожно к определению высо-
ты сжатой зоны расчетного пространственного сечения в предель-
ном по прочности состоянии элемента.
86
В упомянутых работах не был достаточно исследован вопрос о
предельной несущей способности элемента для тех случаев, когда
его армирование является относительно сильным и разрушение бе-
тона в наиболее напряженной зоне наступает ранее, чем дефор-
мации всей растянутой арматуры в этой зоне становятся настолько
большими, что образуется пространственный пластический шарнир
[9]. Такое разрушение может наступить либо до того, как напряже-
ния хотя бы в одном стержне арматуры достигнут предела теку-
чести (физического или условного), либо после того, как в некото-
рых стержнях арматуры предел текучести будет достигнут, но пла-
стический шарнир еще полностью не образуется.
Для исследования различных случаев разрушения по бетону
предварительно напряженных элементов прямоугольного сечения в
НИИЖБ в 1968—1969 гг. под руководством проф. А. А. Гвоздева
были проведены специальные эксперименты.
Об определении высоты сжатой зоны пластического шарнира.
При исчерпании несущей способности элемента из-за наступления
текучести растянутой арматуры после образования пластического
шарнира при дальнейшем повышении нагрузки происходит его
раскрытие,, сопровождающееся перемещением нейтральной оси.
Несущая способность элемента исчерпывается в момент разруше-
ния сжатой зоны; высота ее х, соответствующая этому моменту,
определяется из условия равенства нулю суммы проекций дейст-
вующих в пространственном сечении внешних и внутренних усилий
на нормаль к плоскости сжатой зоны.
Все эти положения справедливы как для общего случая при
пространственном пластическом шарнире, так и для частного, ког-
да крутящий момент отсутствует и пластический шарнир плоский;
в последнем случае предельное сжимающее усилие в бетоне сжатой
зоны определяется при напряжениях в нем, равных прочности бе-
тона на сжатие (7?и или /?Пр). При наличии кручения плоскость
сжатой зоны направлена не перпендикулярно плоскости действия
изгибающих усилий, в ней действуют не только нормальные на-
пряжения о, но еще и касательные напряжения т, т. е. бетон сжа-
той зоны в этом случае находится в сложном напряженном состо-
янии. Он должен воспринять продольное сжимающее усилие Аь
равное равнодействующей усилий во всей продольной арматуре
растянутой и сжатой зон, а также усилие А, направленное поперек
балки и равное разности равнодействующих усилий в поперечных
стержнях, пересекающих соответственно растянутую и сжатую зо-
ны в пределах рассматриваемого пространственного сечения. При
одинаковом поперечном армировании противоположных граней се-
чения эта разность будет невелика, а потому усилие То вряд ли
может оказать существенное влияние на высоту сжатой зоны. Ес-
ли для приближенного определения высоты сжатой зоны прене-
бречь влиянием усилия TQ и принять, что в ней действует только
усилие Do, параллельное продольной оси элемента, т. е. что бетон
сжатой зоны находится в одноосном напряженном состоянии
87
(рис. 1,а), то нормальные напряжения, действующие по плоскости
сжатой зоны:
а = a0cos2a,
где о© — нормальные напряжения в поперечном сечении элемента
от действия силы Do (при отсутствии в этом сечении ка-
сательных напряжений они являются главными);
d
COS Я =----,
где I — длина нейтральной оси;
d — ее проекция на поперечное сечение элемента.
В момент исчерпания несущей способности элемента oo = Rn и
° = Rm
(1)
В формулах (129) и (133) СНиП П-В.1-62 значение о принято
равным Rw. Это допущение было сделано из тех соображений, что
Рис 1. Схема распределения усилий в пространственном .расчетном сечении же-
лезобетонного элемента, работающего на изгиб с кручением, принимаемая
при определении высоты сжатой зоны
в ненапрягаемых элементах высота сжатой зоны, как правило, не-
велика, а потому неточности при ее определении мало влияют на
теоретическую несущую способность элемента; получаемое при
этом преувеличение плеча внутренней пары в какой-то мере ком-
пенсируется тем, что в пространственном сплошном сечении более
ощутимое влияние, чем в плоском, оказывает бетон растянутой зо-
ны, неучет которого всегда дает известный запас.
При распространении данного метода на предварительно на-
пряженные элементы необходимо определять высоту сжатой зоны
88
с большей степенью приближения, поскольку напрягаемая арма.
тура, расположенная в сжатой зоне пространственного сечения,
может существенно увеличить ее относительную высоту.
Ниже предлагаются расчетные формулы для определения высо-
ты сжатой зоны пространственного сечения, которые следует рас-
пространить и на элементы, не имеющие напрягаемой арматуры, в
целях повышения их надежности, а также упрощения и обобщения
метода расчета.
Если пренебречь влиянием на высоту сжатой зоны поперечной
арматуры и поперечного усилия в бетоне сжатой зоны (т. е. соста-
вить уравнение суммы проекций сил исходя из рис. 1, б) и принять
зависимость между о и 7?и по формуле (1), получим:
для первой расчетной схемы (x=x2i d=b\ FA=F^\F
Ли ” Л.с Л1
(2)
Для предварительно напряженных элементов, для которых
остаются в силе все соображения об определении величины папря*
жений о, эта формула имеет вид:
Fa Ли Ч Л» Ли Л. с Л, Пс Л| 1
(3)
где ос определяется согласно указаниям п. 7.6 СНиП П-В. 1-62;
Ли и f'j — площади сечения напрягаемой продольной арматуры
соответственно растянутой и сжатой от изгиба зон;
для второй расчетной схемы (x=x2f d=h\ при Ла=Л = Л12) вы-,
сота сжатой зоны будет определяться по тем же формулам с заме-
ной в них b на h, Ли и Fа1 на
сечения напрягаемой про-
дольной арматуры каждой
из боковых граней.
Таким образом, можно
предложить определять вы-
соту сжатой зоны расчетно-
го пространственного сече-
ния по той же формуле, что
и для плоского сечения, нор-
мального к продольной оси
элемента.
Имеющиеся данные из-
мерения высоты сжатой зо-
ны при испытании железо-
бетонных элементов на из-
гиб с кручением показыва-
ют, что ее значения оказы-
Рис. 2. Общий вид разрушения
сжатой зоны железобетонного эле-
мента после образования в нем
пространственного пластического
шарнира
ваются .примерно того же порядка, что и значения высоты сжатой
зоны при простом изгибе; это подтверждает возможность пользо-
вания предлагаемыми формулами при практических расчетах.
Конечно, предлагаемый способ определения предельных нор-
мальных напряжений в бетоне сжатой зоны пространственного пла-
стического шарнира и ее расчетной высоты х приближенный. Преж-
де всего условна принятая идеализированная схема плоской сжа-
той зоны. Проведенные испытания железобетонных элеметов со-
вместным действием изгиба и кручения или одним крутящим мо-
ментом показывают, что в таких элементах разрушение сжатой
зоны имеет другой характер, чем при простом изгибе. На участке
разрушения со стороны сжатой зоны образуется S-образная тре-
щина и происходит раздавливание бетона вблизи концов этой тре-
щины, а также взаимный сдвиг и поворот разделенных пространст-
венным пластическим шарниром частей элемента (рис. 2). Это ука-
зывает на то, что в сжатой зоне при ее разрушении происходят зна-
чительно более сложные явления, чем простое раздавливание бето-
на от сжатия; окончательное разрушение сжатой зоны сопровож-
дается выкалыванием бетона по некоторой сложной криволинейной
поверхности.
Однако такое полное разрушение, по-видимому, можно считать
вторичным явлением, возникающим непосредственно после того,
как главные сжимающие напряжения достигнут своих предельных
значений, что и принято выше за начало разрушения сжатой зоны.
После появления первых признаков разрушения бетона от сжатия
вблизи концов раскрывающейся спиральной трещины дальнейшее
разрушение сжатой зоны (образование S-образной трещины на
сжатой грани элемента, взаимный сдвиг и поворот его частей, раз-
деляемых пространственной трещиной) происходит, как правило,
без повышения нагрузки. В соответствии с высказанными сообра-
жениями представляется вполне приемлемым принять для опреде-
ления расчетной высоты сжатой зоны пространственного пластиче-
ского шарнира ту же схему, что и для плоского сечения, учитывая,
что изменение величины х в довольно значительных пределах не
оказывает существенного влияния на теоретическую несущую спо-
собность элемента.
Соответствующие изменения в формулах для определения рас-
четной высоты сжатой зоны внесены во второе издание
СНиП П-В.1-62*.
Характеристика опытных образцов и методика испытаний. Для
изучения случаев разрушения по бетону при изгибе с кручением
предварительно напряженных балок прямоугольного сечения были
проведены две серии опытов.
Первая серия включала испытания трех групп балок (БН-1;
БН-2; БН-3), отличавшихся степенью обжатия бетона Об//?; об-
жатие проектировалось равномерным по сечению и равным 0,15;
0,25 и 0,4 прочности бетона на сжатие. Варьирование величины Oq/R
осуществлялось изменением как прочности бетона, так и величины
90
натяжения продольной арматуры. Образцы проектировались пере-
армированными продольной арматурой с таким расчетом, чтобы
разрушение их происходило по сжатому бетону.
Каждая группа образцов состояла из четырех предварительно
напряженных балок, различавшихся между собой величиной от-
ношения крутящего момента к изгибающему х=0,1; 0,3; 0,5 и
и одной балки тех же размеров и армирования, но без предвари-
тельного напряжения.
Балки имели одинаковые размеры поперечного сечения 15Х
Х22 см и длину 300 см. Все образцы армировались четырьмя про-
дольными стержнями диаметром 18 мм, расположенными по уг-
лам сечения и подвергавшимися предварительному напряжению.
Поперечная арматура выполнялась в виде замкнутых хомутов ди-
аметром 8 мм с шагом 10 см. В качестве продольной арматуры ис-
пользовалась термически упрочненная арматурная сталь класса
Ат-V, поперечной — круглая сталь класса А-1, которая в процессе
вытяжки из бухт получила упрочнение. Средние значения условно-
го предела текучести сгт (соответствующие остаточному удлине-
нию 0,2%), определенные испытанием образцов, отобранных при
изготовлении каркасов, а также величины контролируемого напря-
жения в продольной арматуре оо даны в табл. 1.
Коэффициент, характеризующий соотношение между попереч-
ным и продольным армированием
ат.хЛ Ь
У=------— •
(У'Р л*и и
для всех балок данной серии был одинаковым и составлял 0,045.
Здесь Отх fx — усилие, воспринимаемое одним срезом хомута;
От Fn — равнодействующая предельных усилий в про-
дольной (напряженной) арматуре растянутой
зоны;
и — шаг хомутов на исследуемом участке.
Во второй серии образцов основным переменным параметром
было соотношение между продольным и поперечным армировани-
ем, коэффициент у для трех групп образцов данной серии (БН-4;
БН-5 и БН-6) изменялся от 0,02 до 0,285.
Размеры опытных образцов были такими же, как и в серии I. Об-
разцы армировались четырьмя одинаковыми продольными стерж-
нями, диаметр которых для различных групп образцов составлял
18; 16 и 14 мм. Поперечная арматура выполнялась в виде замкну-
тых хомутов из упрочненной вытяжкой катанки диаметром 8 и
6 мм (после вытяжки 5,5 мм); при этом в образцах с наиболее
сильным поперечным армированием хомуты выполнялись спарен-
ными из двух стоящих вплотную стержней диаметром 8 мм.
В качестве арматурной стали для продольных стержней образ-
цов типа БН-4 и БН-5 использовалась та же сталь класса At-V,
что и в -серии I. Арматура образцов типа БН-6 выполнялась из го-
91
Характеристика опытных образцов
Таблица 1
Индекс балки Размеры сечения в см Прочность бетона в кГ/см2 Характеристика арматуры СЧ ' о о II О to СЧ 't>° II СЧ О to Обжатие бетона (Jg, кГ[см2
b h ho R «и *р продольной поперечной
количество и диаметр стержней < и II С 5 от, кГ/см2 диаметр стержней в мм fx, СМ2 а , кГ[см2 т.х и, см
БН-1-0,1 15 22,6 19,2 535 468 28,6 3000 90
БН-1-0,3 15 22,1 19,1 535 468 28,6 3160 94
БН-1-0,5 14,8 22,3 19,3 535 468 28,6 4018 5,3 10 030 8 0,502 3100 10 4550 3180 94,5
БН-1-К 15 22,1 19,1 460 404 27 3000 90
Б-1-05 14,8 22 19 460 404 27 — —
БН-2-0,2 15,1 22,1 19,1 548 478 29,7 4280 125,5
БН-2-0,3 14,8 22,4 19,4 548 478 29,7 4350 122,7
БН-2-0,5 15 22,3 19,3 548 478 29,7 4018 5,3 10 030 8 0,502 3100 10 5790 4220 124
БН-2-К 14,9 22,3 19,3 460 404 27 4280 125,5
Б-2-0,3 15 22,3 19,3 460 404 27 — ——
БН-3-0,1 14,9 22,3 19,3 292 253 21 3930 121
БН-3-0,3 14,8 22,3 19,3 292 253 21 4180 123
БН-3-0,5 15 22,5 19,5 292 253 21 4018 5,3 10 030 8 0,502 3100 10 5850 4180 126
БН-З-К 14,9 22,2 19,2 292 253 21 4150 123
Б-3-0,3 14,9 22,3 19,3 307 266 21 —
Индекс балки Размеры сечения в см Прочность бетона в кГ[см*
b h Ло R
БН-4-0,1 15 22 19 300 260 21,7
БН-4-0,3 14,8 22,2 19,2 300 260 21,7
БН-4-0,5 14,8 22,2 19,2 300 260 21,7
БН-4-И 14,9 22,1 19,1 300 260 21,7
БН-5-0,1 15 22 19 303 262 21,8
БН-5-0,3 14,9 22,1 19,1 303 262 21,8
БН-5-0,5 15 22 19 303 262 21,8
БН-5-К 15 22 19 303 262 21,8
Б-5-0,1 14,9 22,2 19,2 303 262 21,8
БН-6-0,5-1 15 22 19 316 274 22,3
БН-6-0,5-2 15 22 19 316 274 22,3
БН-6-К-1 14,8 22,3 19,3 316 274 22,3
БН-6-К-2 14,9 22,1 19,1 316 274 22,3
Б-6-0,5 15 22 19 316 274 22,3
Продолжение табл. 1
Характеристика арматуры «V еч д ю О СО
продольной поперечной
S еч СЧ 5 С1 о
о О (-> « и * 5 Л CJ U, «с еч * о н 0)
о О. {У (У Е- ® ЕГ <у ¥ SSft 5 S f « tf о и," •> Q диамет[ стержн в мм /х. см* •С X * и, см О II о to II еч о О н со * О «
3400 115
4080 120
4018 5,3 10 030 5,5 0,23 3050 10 5950 3910 122.
3700 117'
3470 84,5.
3240 89,0»
4? 16 3,94 11 000 2 0 8 1,004 3100 10 7470 3290 88
3080 92
5260 5,5 0,23 3050 1 2250 50
5280 8 0,502 3100 2410 47 4
4Z14 3,08 5200 2 08 1,004 3100 > 10 5200 2320 50,3
5200 8 0,502 3100 2410 47,2
6090 8 0,502 3100
рячекатаной стали класса А-Шв, упрочненной вытяжкой на гори-
зонтальной машине. Чтобы учесть влияние старения металла после
его холодной обработки, условный предел текучести этой арматуры
определялся по результатам испытания образцов арматуры, выре-
занных из разрушившихся балок (см. табл. 1).
Предварительное обжатие бетона, проектировавшееся равно-
мерным по сечению, так же как в серии I составляло в среднем
0,15; 0,25 и 0,4 кубиковой прочности бетона; один из образцов каж-
дого типа не имел предварительного напряжения.
Предварительно напряженные балки изготовляли на специаль-
ном стенде длиной 14,7 м (две линии по четыре балки в каждой).
Натяжение всех стержней продольной арматуры производилось
одновременно гидравлическим домкратом ДС-60. Контролируемое
напряжение при натяжении арматуры определялось по показаниям
датчиков, наклеенных на продольную арматуру в трех сечениях по
длине стержня, а также по показаниям манометра.
Бетонировали образцы в деревянной опалубке, обшитой кро-
вельным железом. Одновременно бетонировали четыре предвари-
тельно напряженные балки одной линии, а также 16 стандартных
бетонных кубиков размером 20X20X20 см и пять балочек 15X
X 15X60 см, используемых для определения прочности бетона на
растяжение. Бетон при укладке вибрировался глубинными вибра-
торами.
Для приготовления бетонной смеси использовали цемент По-
дольского завода марки 300, гранитный или известковый щебень
крупностью 5—20 мм, кварцевый песок. Состав бетона по весу для
балок типа БН-1 и БН-2 принят Ц: П : Щ=\ : 2: 2,75, а для балок
типа БН-3 — БН-6 Ц : П : Щ=А : 2,28 : 3,8; в обоих случаях ВЩ=
= 0,5.
Отпуск натяжения арматуры осуществлялся на 28—35-е сутки
после бетонирования, так как при более раннем отпуске большие
потери напряжения вследствие ползучести бетона не позволили бы
получить необходимую величину обжатия бетона- Натяжение спус-
калось в 8—9 этапов одновременно на обеих линиях стенда.
Испытывали балки на специальной установке для испытания на
изгиб с кручением. Образцы загружались одним сосредоточенным
грузом, создаваемым 25-тонным домкратом в середине пролета,
равного 2 м. Крутящий момент, постоянный по длине пролета, со-
здавался поворотом одного конца балки при закрепленном другом
конце.
Загружение производили этапами, составлявшими примерно
7ю от разрушающей нагрузки; перед ожидаемым моментом появле-
ния трещин и разрушением величина этапа уменьшалась вдвое.
Во время испытания замеряли: 1) деформации бетона (про-
дольные и под углом 45°) — тензорезисторами с базой 50 мм\ 2) де-
формации продольной арматуры — тензорезисторами с базой 20 мм
и тензометрами на базе 100 мм\ 3) деформации поперечной армату-
ры— тензорезисторами с базой 20 мм\ 4) прогибы балок — проги-
94
бомерами системы Аистова с ценой деления 0,01 мм\ 5) углы за-
кручивания — клинометрами Стоппани с точностью до 2".
С появлением трещин после полного этапа нагружения давалась
выдержка, во время которой обнаруживали трещины и измеряли
ширину их раскрытия при помощи измерительной оптической тру-
бы с ценой деления 0,05 мм.
Конструкции опытных балок и схема расположения измеритель-
ных приборов даны на рис. 3 и 4, основные характеристики образ-
цов приведены в табл. 1.
Анализ результатов испытаний. Для переармированных про-
дольной арматурой образцов представляются возможными следу-
ющие четыре случая исчерпания прочности элемента (ранее обра-
зования полного Пластического шарнира):
1) раздавливание бетона у грани, сжатой от изгиба, до того как
напряжения в арматуре достигнут предела текучести;
2) то же у грани, параллельной плоскости действия изгиба-
ющих усилий;
3) разрушение бетона от сжатия со скалыванием в зоне, сжатой
от изгиба, под влиянием внецентренно приложенной поперечной
силы, после того как напряжения в вертикальных поперечных
стержнях достигнут предела текучести;
4) раздавливание бетона у одной из граней элемента в процессе
перераспределения усилий между продольной и поперечной ар-
матурой, после того как напряжения в той или другой арматуре
достигнут предела текучести.
Первый случай разрушения наиболее вероятен при относительно
больших изгибающих моментах и излишне сильной продольной
арматуре, второй — при относительно больших крутящих момен-
тах и при сильной как продольной, так и поперечной арматуре
третий — при относительно больших поперечных силах и при силь-
ном продольном и слабом поперечном армировании. Четвертый
случай разрушения может наступить при избыточном (не соответ-
ствующем действующим в сечении усилиям) содержании продоль-
ной или поперечной арматуры, т. е. когда напряжения в арматуре
одного направления достигают предела текучести при незначи-
тельных напряжениях в арматуре другого направления. При от-
сутствии изгиба возможны только второй или четвертый из пере-
численных случаев разрушения.
Практически не всегда каждый из описанных выше случаев
разрушения оказывается явно выраженным. При относительно
слабом поперечном армировании, после того как напряжения в
поперечных стержнях достигли предела текучести, при дальнейшем
повышении нагрузки (за счет перераспределения усилий между
продольной и поперечной арматурой) может произойти любой из
двух последних случаев разрушения бетона в зависимости от того,
какой из них будет соответствовать меньшему значению предельной
нагрузки.
95
Сетки.
018 Лт7
0018 8Г7
25\
WOMO
\150 c:
75^ ^=7Ш25 ЦЗР ||jg
<5Mtf)0f ^75
150
150
6-6 0Ф108Ш6
100*20 = 2000 -----------------
--------- 3000 ----------------
<г>8ЯГ,6Н-б-0,5-2;БН-6к-2;Б-6-0,5 °Н'6 Ф1ЧЛШ6
0881- для серий 1,2J
Ф5,581-для серии О
ОФ 15 Л V
2Ф8Л1
6Н-1,2,3, О
0881- для серий 1,2,3
05,581- для серии О
wdfirV
2Ф881
100*20 = 2000
---- 3000 -
015 8, V
,:4^6
05,5/11
150
100*20=2000 —
----------j000
M*WOO Л 75
20881 > БН-бк-1
150
Сетки 0Ф168Т V
Сетки
uni
25\\30^30
150
ОФ108Ш5
20881
$О*М!Ю 75
25
150
*$Г
0108185
Сетки
75^ fOtMOOAl
100*20 = 2000 --
----------- 3000
Рис. 3. Армирование опытных балок
БН-1,2,3,4
Рис. 4. Схема рас-
положения прибо-
ров для измерения
деформаций арма-
туры и бетона
БН-5,6
на образцах серий
БН-1, 2, 3. 4: Т-1—
Т-8 — тензометры на
продольной арматуре;
1—14 — тензорезисто-
ры на хомутах; 15—
30 — то же, на про-
дольной арматуре:
1-1—1-16- 2-1—2'16,
3-1—3-16 — то же, на
бетоне; на образцах
серий БН-5, 6: Т-1—
Т-4 — тензометры на
продольной армату-
ре; Т-5—Т-6 — то же,
на хомутах; 1—11 —
тензорезисторы на
хомутах; 12—27 — то
же, на продольной
арматуре; 1-1—1-16,
2-1—2-16, 3-1—3-6 —
то же, на бетоне
Для установления причины разрушения опытного образца во
время испытаний тщательно замеряли деформации бетона и арма-
туры. Прежде всего устанавливали максимальные деформации про-
дольной и поперечной арматуры в момент разрушения образца.
Для напрягаемой арматуры измеренные при испытаниях дефор-
мации складывали с дефор-
мациями от предварительно-
го напряжения (с учетом
потерь) и полученные сум-
Таблица
Значения предельных усилий
для опытных образцов
Индекс балки Разрушающие нагрузки м° к 2Л4° х= Qo b
Тм м°, Тм т
БН-1-0,1 0,78 8 8 0,0975 1,3
БН-1-0,3 1,25 3,75 3,75 0,333 4,44
БН-1-0,5 1,325 2,8 2,8 0,473 6,38
БН-1 -К 1,45 —— — оо оо
Б -1-0,5 0,97 2 2 0,485 6,57
БН-2-0,2 1,2 5,5 5,5 0,218 2,9
БН-2-0,3 1,25 3,75 3,75 0,333 4,51
БН-2-0,5 1,25 2,5 2,5 0,5 6,67
БН-2-К 1,65 — — оо оо
Б -2-0,3 0,8 2,4 2,4 0,333 4,45
БН-3-0,1 0,75 7,5 7,5 0,1 1,33
БН-3-0,3 1,08 з,з 3,3 0,327 4,42
БН-3-0,5 1,3 2,6 2,6 0,5 6,67
БН-З-К 1,25 оо оо
Б -3-0,3 0,75 2,25 2,25 0,334 4,47
БН-4-0,1 0,6 6 6 0,1 1,33
БН-4-0,3 0,95 3,3 з,з 0,288 3,89
БН-4-0,5 1 2 2 0,5 6,75
БН-4-И — 9 9 0 0
марные деформации сравни-
вали с деформациями, соот-
ветствующими условному
пределу текучести согласно
диаграммам испытаний
контрольных образцов арма-
турных стержней.
Деформации продольной
арматуры замеряли в зоне
максимальных внешних на-
грузок; на поперечную ар-
матуру измерительные при-
боры устанавливали в зонах
предполагаемого развития
трещин. В отдельных случа-
ях, когда трещина разру-
шения пересекала хомут не
в том месте, где был уста-
новлен
р актер деформаций
речной
ливали
тия трещин.
тензорезистор, ха-
попе-
арматуры устанав-
по ширине раскры-
Величины предельных нагрузок для всех испытанных балок при-
ведены в табл. 2.
Случай раздавливания бетона у грани, сжатой от изгиба. На
основании опытов над переармированными элементами с нена-
прягаемой арматурой, работающими на изгиб с кручением [10],
были выведены эмпирические зависимости и приняты расчетные
условия (136) и (137) п. 7.59 главы СНиП П-В.1-62, обеспечива-
ющие достаточную прочность бетона у грани, сжатой от изгиба.
Сопоставление результатов расчета по этим формулам с требо-
ванием, обеспечивающим достаточную прочность бетона сжатой зо-
ны изгибаемых элементов, выраженных условием (46) п. 7.19 Норм,
показывает, что последнее условие будет всегда более жестким.
Следовательно, предельное армирование элемента продольной
арматурой для случая изгиба с кручением может определяться
расчетом на изгиб без учета крутящего момента, который требует-
ся производить во всех случаях. Поскольку принятая «граница пе-
98
реармирования» изгибаемых элементов относится в равной степени,
и к предварительно напряженным элементам, очевидно требование
соблюдения этого условия и для предварительно напряженных
элементов, подвергающихся изгибу с кручением, обеспечит доста-
точную прочность бетона у грани, сжатой от изгиба-
Основываясь на вышеизложенном, для всех образцов, испытан-
ных при относительно большом влиянии изгибающего момента, а
именно при соотношении Л1К/Л1 < 0,33, была подсчитана их несущая
способность по бетону сжатой от изгиба грани без учета крутя-
щего момента по формуле
М=1 1-
b h2 RH + и'с F'H (hv — a'),
(4)
где величина £=х/Л0 определялась из условия (46) СНиП.
В табл. 3 даны отношения опытного изгибающего момента Л4°
к величине теоретического момента, подсчитанного по формуле
(4) и приведенного также в табл. 3. Это отношение, как и следова-
ло ожидать, оказалось большим единицы только в тех образцах,
которые разрушились по бетону у грани, сжатой от изгиба
(БН-3-0,1; БН-4-01; БН-5-0,1); отношение крутящего момента к
максимальному изгибающему в этих образцах составляло не более
0,1. На основании этого можно констатировать, что достаточная
прочность бетона у грани, сжатой от изгиба, будет обеспечена при
соблюдении условия (46), которому соответствует условие (136) но-
вого издания Норм (СНиП П-В. 1-62*).
Случай раздавливания бетона у боковой грани. Достаточная
прочность бетона у боковых граней элемента обеспечивается в том
случае, если главные сжимающие напряжения у этих граней не
превышают предельного сопротивления бетона сжатию. Однако
представляется затруднительным записать соответствующее рас-
четное условие для находящегося в сложном напряженном со-
стоянии железобетонного элемента, тело которого разрезано про-
странственными трещинами-
Ввиду этого для элементов, работающих на изгиб с кручением
и не имеющих предварительного напряжения, на основании прове-
денных в НИИЖБ в 1956—1957 гг. исследований [10] было пред-
ложено записанное в СНиП П-В.1-62 эмпирическое условие (125),
обеспечивающее достаточную прочность бетона на боковых гранях:
0,07/?и 62 А. (5)
Указанными опытами было установлено, что при разрушении
балки вследствие раздавливания бетона на ее боковых гранях ве-
личина M^!R^b2h колеблется в одних и тех же пределах при любом
отношении Х =------—, т. е. что влияния поперечной силы на ОТНО-
СИ
сительную несущую способность элементов в данном случае прак-
тически не ощущается. Это позволило принять очень простое рас-
четное условие.
99
Таблица 3
Сравнение опытных и расчетных усилий для балок, разрушившихся ранее
наступления текучести продольной арматуры
Индекс
образца
Теоретические пре- дельные нагрузки, вычисленные по фор- мулам Отношение опытных усилий к расчетным
(4) (5) (Ю) ЛТ° М М° к Q°
М, Тм "к- Тм Q, Т
Мк Q
Причина разрушения
БН-1-01 9,6 1,64 6,31 0,83 0,475 1,27
БН-1-03 9,4 1,63 2,43 0,39 0,765 1,54
БН-1-05 1,6 1,76 — 0,82 1,59
Б-1-05 1,6 1,57 — 0 61 1,27
БН-2-02 8,51 1,67 3,52 0,68 0,72 1,55
БН-2-03 8,64 1,64 2,43 0,43 0,76 1,54
БН-2-05 —- 1,67 1,71 — 0,75 1,46
Б-2-03 12,62 1,41 2,23 0,19 0,57 1,12
БН-3-01 5,22 . 0,87 4,29 1,43 0,85 1,75
БН-3-03 4,98 0,86 1,75 0,66 1,24 1,89
БН-3-05 — 0,9 1,17 — 1,45 2,22
Б-3-03 9,48 0,87 1,73 0,24 0,86 1,3
БН-4-01 5,84 0,9 2,86 1,03 0,66 2,1
БН-4-03 5,19 0,88 1,29 0,63 1,08 2,56 -
БН-4-05 — 0,88 0,8 — 1,13 2,5
БН-4-И 5,55 — 8,86 1,64 —— 1,02 1
БН-5-01 5,76 0,91 6,65 1,04 0,66 0,9 /
БН-5-03 5,93 0,9 2,6 0,455 0,99 1,04 1
БН-5-05 — 0,88 1,82 — 1,2 1,15 |
Б-5-01 8,1 0,9 6,7 0,74 0,66 0,9 1
Б-6-05 0,95 1,43 — 0,64 0,91 ।
Текучесть вертикальных
ветвей хомутов, раздавлива-
ние бетона у боковых гра-
ней
Раздавливание бетона у
грани, сжатой от изгиба
Раздавливание бетона у
боковых граней без текучес-
ти арматуры
Текучесть вертикальных
ветвей хомутов и раздавли-
вание бетона у боковых гра-
ней
Разрушение хрупкое после
образования трещин на бо-
ковых гранях
Раздавливание бетона у
грани, сжатой от изгиба
Раздавливание бетона у
боковых граней без текучес-
ти арматуры
Текучесть вертикальных
ветвей хомутов и раздавли-
вание бетона на боковых
гранях
В наших опытах этот случай разрушения наблюдался при испы-
тании 10 предварительно напряженных балок, из которых четыре
были испытаны на чистое кручение, а шесть — на изгиб с круче-
нием.
В качестве дополнительных опытных данных были использова-
ны результаты испытаний, проведенных X. М. Наджафовым [7] в
НИИЖБе в 1963—1965 гг. Им было испытано на кручение 18 пред-
варительно напряженных балок квадратного сечения, отличавших-
ся количеством предварительно напряженной продольной армату-
ры и ее распределением по сечению. Как показали результаты про-
веденных исследований, разрушение всех предварительно напря-
женных образцов происходило ранее достижения текучести как
100
продольной, так и поперечной арматурой- Напряжения в продоль-
ных стержнях составляли около 70% от условного предела теку-
чести, в поперечных — 25—60%. Разрушение образцов происходи-
ло хрупко вследствие раздавливания сжатого бетона в направле-
нии главных сжимающих напряжений.
Методика обработки результатов опытов была аналогична при-
нятой при исследовании переармированных элементов с ненапря-
гаемой арматурой [3], с той лишь разницей, что значения эмпири-
ческого числового коэффициента k определялись в зависимости от
прочности бетона на растяжение /?р, а не от прочности бетона на
сжатие при изгибе /?и, т. е. вычислялись значения k =--— Это
было вызвано теми соображениями, что в данных опытах применя-
лись бетоны более высоких марок, чем в упомянутых выше опытах
Значения коэффициента
Таблица 4
, к
л = ьth для испытанных балок
Индекс балки Прочность бетона на растяже- ние , Р кГ/смг Размеры сече- ния в см Степень обжатия бетона Об /Я Разрушаю- щий кру- тящий мо- мент М° , Тм к к Вид нагру- жения Приме- чание
b h b*h
БН-2-К 27 14,9 22,3 0,273 1,65 1 ,23] Кру-
БН-З-К 21 14,9 22,2 0,423 1,25 1 1,2 чение
БН-5-К 21,8 15 22 0,303 1 0,93
БН-6-К-1 22,3 14,8 22,3 0,16 0,93 0,85' Опыты
БН-3-0,3 21 14,8 22,3 0,422 1,08 1 1,05] Изгиб авто-
БН-3-0,5 21 15 22,5 0,432 1,3 1,22 ров
БН-4-0,3 21,7 14,8 22,2 0,40 0,95 0,9 с кру-
БН-4-0,5 21,7 14,8 22,2 0,406 1 0,95 чени-
БН-5-0,3 21,8 14,9 22,1 0,294 0,89 0,83 ем
БН-5-0,5 21,8 15 22 0,29 1,05 0,97 J
К-0.4-4-1А 18 20 20,5 0,433 1,3 0,88] Опыты
К-0,4-4-1 18 20,5 20 0,477 1,28 0,87
К-0.4-4-ЗА 18 20 20 0,454 1,24 0,86 Кру- Х.М.
К-0,4-4-3 16,5 19,5 19,5 0,475 1,2 0,98 чение Над-
К-0.4-4-2А 15 19,5 19,5 0,53 1,3 1,19 жафо-
К-0,4-4-2 21 20 20 0,36 1,55 0,92 ва
К-0, 3-4-1А 18 20 20,5 0,33 1,15 0,78,
к-0, 3-4-1 18 20 22,5 0,342 1,3 0,80
К-0, 3-4-3A 19 20 20 0,317 1,25 0,82
к-0, 3-4-3 19 20 20 0,317 1,2 0,79
К-0, 3-4-2А 15 20 20 0,333 1,15 0,96
к-0, 3-4-2 19,5 20 20 0,302 1,35 0,86 Опыты
К-0, 5-4-1 16,5 19 20 0,507 1,1 0,92 ►
К-0, 5-4-3 17 19 20,5 0,5 1,25 0.99 Кру- X. М.
К-0, 5-4-2 21,6 19,5 19,5 0,38 L8 1.19 чение Над-
К-0, 3-2-1 17,2 19,5 20,5 0,326 0,98 0,77 жафо-
К-0, 3-2-3 19,3 20 20 0,28 1,2 0.78 ва
К-0, 3-2-2 20 19,5 20 0,246 1,5 1,04 J
101
с элементами без напрягаемой арматуры; как известно, с повыше-
нием марки бетона увеличивается его хрупкость и соответственно
уменьшается отношение 7?р/7?и. В табл. 4 приведены полученные
значения коэффициента k.
Естественно было предположить, что на предельную несущую
способность предварительно напряженных элементов, определя-
емую сжатым бетоном, должны влиять не только сочетание внеш-
них усилий, но и степень предварительного обжатия бетона. Поэто-
г ч
му на рис. 5 были нанесены опытные точки с координатами
и Однако, как видно из этого графика, какого-либо влия-
ть
ния степени обжатия бетона на несущую способность элемента не
обнаруживается.
Для сравнения на тот же график нанесены опытные точки, по-
лученные для элементов с ненапрягаемой арматурой [10]. Диапа-
зон разброса опытных точек для предварительно напряженных
балок и для балок с ненапрягаемой арматурой оказался одинако-
вым. Этот разброс, по-видимому, обусловлен неизбежной разницей
между фактической прочностью бетона в месте разрушения эле-
мента и прочностью контрольных бетонных образцов, а также на-
личием в балке к моменту разрушения трещин, имеющих различную
степень раскрытия и находящихся на разных расстояниях друг от
друга. Так как учет этих факторов в настоящее время не представ-
ляется возможным, величина коэффициента k может быть принята
постоянной, равной меньшему из его значений, полученных в ре-
зультате опытов, т. е. 0,75.
Таким образом, гарантией от разрушения по рассматриваемому
случаю может служить выполнение условия
Рис. 5. Зависимость между коэффициен-
ту
том k= -----— и относительным обжати-
Rpb2h
ем бетона пб /7?
1 — опыты авторов; 2 — опыты X. М. Над-
жафова; 3 — образцы с ненапрягаемой арма-
I у рой
Мк 0,75 b2 h, (8)
которое справедливо для эле-
ментов прямоугольного сече-
ния независимо от величины
предварительного обжатия.
Случай разрушения эле-
мента от действия поперечной
силы при наличии кручения.
Элементы, работающие на
изгиб с кручением, по анало-
гии с изгибаемыми могут раз-
рушаться вследствие того, что
поперечные силы достигают
предельной величины, которая
может быть воспринята вер-
тикальными ветвями хомутов
и бетоном сжатой зоны.
102
Ранее проведенные опыты [10] над балками с ненапрягаемой
арматурой, работающими на изгиб с кручением, показали, что
увеличение эксцентриситета поперечной силы ведет к снижению
величины предельной поперечной силы, воспринимаемой элемен-
там, причем зависимость ее от коэффициента Х=^-кносит гипер-
болический характер и выражается формулой (1-39) СНиП
И-В.1-62
1 + 1,5Г
(9)
где Qx-б определяется по формуле (65) той же главы СНиП.
Для всех опытных образцов, испытанных на изгиб с кручением,
были определены по формуле (9) теоретические значения предель-
ной поперечной силы. Отношения опытных значений к теоретиче-
ским, которые приведены в табл- 3, оказались в большинстве слу-
чаев выше единицы, что указывает на возможность разрушения
этих опытных образцов по поперечной силе.
На рис. 6 нанесены значения отношений величины предельной
поперечной силы, полученной из опыта, к величине Qx-6'» как и для
элементов с ненапрягаемой арматурой, это отношение снижается с
увеличением X. На этом же графике дана кривая зависимости меж-
ду отношением Q/Qx.6 и коэффи-
циентом %, построенная по фор-
муле (9). Почти все опытные точ-
ки оказались выше этой кривой,
на основании чего можно заклю-
чить, что формулу для .расчета
по поперечной силе элементов с
ненапрягаемой арматурой следу-
ет распространить и на предва-
рительно напряженные элементы.
Имеющиеся отклонения в сторо-
ну запаса можно объяснить сле-
дующими причинами: во-первых,
эти балки имели сильную про-
дольную арматуру, которая ока-
зывает определенное влияние в
сторону увеличения несущей спо-
собности по поперечной силе;
во-вторых, предварительное на-
пряжение ведет к увеличению
площади сечения сжатого бетона,
воспринимающего часть попереч-
ной силы, в то время как в эле-
ментах без предварительного
Рис. 6. График зависимости между
отношением Q°/Qx.6 и коэффициентом
%= -----—
<Э°Ь
1 — преднапряженные образцы; 2—обыч-
ные образцы
103
напряжения при тех же нагрузках трещины проникают оолее
глубоко в тело бетона и площадь его сжатой зоны уменьшается.
Подтверждением этого положения может служить характер
разрушения балок четвертой группы типа БН-4. Как ранее отме-
чалось, эти балки разрушались хрупко, сразу же после появления
наклонных трещин на боковых гранях. С появлением зтих трещин
площадь сечения сжатого бетона резко уменьшалась, а слабая по-
перечная арматура не могла воспринять ту часть поперечной силы,
которая до появления трещин воспринималась бетоном. Таким же
образом разрушилась балка БН-6-05-1: при изгибающем моменте
М=4,3 Тм крутящий момент доводился до величины 0,65 Тм, при
которой на боковых гранях появились наклонные трещины, после
чего крутящий момент уменьшился до 0,58 Тм\ дальнейшее закру-
чивание балки не привело к его увеличению.
Случай разрушения элемента при неправильном выборе соот-
ношения между продольным и поперечным армированием. Такое
разрушение возможно при слишком слабом поперечном армирова-
нии по сравнению с продольным или, напротив, при слишком сла-
бом продольном армировании по сравнению с поперечным. При оп-
тимальном соотношении между продольной и поперечной армату-
рой предел текучести достигается одновременно в стержнях обоих
направлений, а «в общем случае — вначале в стержнях одного на-
правления, после чего происходят неупругие деформации арма-
туры и бетона; при этом дополнительные усилия воспринимаются
стержнями другого направления, вплоть до образования пластиче-
ского шарнира. Если арматура какого-либо одного направления
поставлена с большим избытком, то эти деформации могут оказать-
ся так велики, что произойдет разрушение прежде, чем образуется
пластический шарнир. Кроме того, еще ранее, чем разрушится бе-
тон, могут возникать недопустимые общие деформации элемента
или чрезмерное раскрытие в нем трещин при эксплуатационной на-
грузке.
Для исключения такого вида разрушений требуется соблюдение
условий (134) и (135) главы СНиП П-В.1-62.
Существует точка зрения, что обжатый бетон при кручении мо-
жет выполнять функцию поперечных стержней и что в предельном
состоянии предварительно напряженные элементы по сравнению с
ненапряженными имеют меньшие деформации и меньшее раскры-
тие трещин. По этим причинам возможно, что условия (134) и
(135) применительно к предварительно напряженным элементам
слишком жестки. Однако до накопления достаточно опытных дан-
ных по этому вопросу следует принять для предварительно напря-
женных балок, в которых допускается появление трещин, те же гра-
ницы соотношения между продольным и поперечным армировани-
ем, которые рекомендуются Нормами для элементов с ненапряга-
емой арматурой. Эти требования могут быть облегчены без специ-
альных экспериментальных исследований лишь для элементов,
104
в которых появление трещин при расчетных нагрузках не допуска-
ется, т. е. когда пластический шарнир может образова гься только
непосредственно перед самым разрушением элемента и, следова-
тельно, в процессе его работы исключается вероятное! > возникно-
вения чрезмерных деформаций из-за перераспределенья усилий в
арматуре.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ягодин В. К. Исследование железобетонных элементов кольцевого се-
чения при совместном действии изгиба и кручения. Труды Горьковского инже-
нерно-строительного института им. В. П. Чкалова, вып. 42, 1962.
2. Л е с с и г Н. Н. Определение теоретической несущей способности желе-
зобетонных элементов кольцевого сечения, работающих на изгиб с кручением. Б
сб.: «Влияние поперечных сил, крутящих моментов, гибкости и скорости загру-
жения на прочность железобетонных конструкций». М., Стройиздат, 1969
(НИИЖБ).
3. Р у л л э Л. К- Исследование работы железобетонных балок двутаврового
сечения при изгибе с кручением. В сб.: «Влияние поперечных сил, крутящих мо-
ментов, гибкости и скорости загружения на прочность железобетонных конст-
рукций». М., Стройиздат, 1969 (НИИЖБ).
4. Чистова Т. П. Элементы таврового сечения под действием изгиба и
кручения. В сб.: «Влияние поперечных сил, крутящих моментов, гибкости и
скорости загружения на прочность железобетонных конструкций». М., Строй-
издат, 1969 (НИИЖБ).
5. Тимофеев Н. И. Исследование предварительно напряженных бетонных
и керамзитобетонных балок, работающих на кручение, изгиб, поперечную силу.
Известия вузов. «Строительство и архитектура» № 6, Новосибирск, 1964.
6. Мурашкин Г. В. Влияние предварительного напряжения на прочность
и трещиностойкость железобетонных балок, работающих на кручение с изгибом.
«Бетон и железобетон», 1965, № 10.
7. Н а д ж а ф о в X. М. Трещиностойкость и прочность предварительно на-
пряженных элементов квадратного сечения при чистом кручении. Тезисы докла-
дов XVII научной конференции АзПИ, Баку, 1966.
8. Елагин Э. Г. Исследование работы железобетонных элементов кольце-
вого сечения с напрягаемой и ненапрягаемой арматурой при совместном действии
изгибающего и крутящего моментов. В сб.: «Влияние поперечных сил, крутящих
моментов, гибкости и скорости нагружения на прочность железобетонных кон-
струкций». М., Стройиздат, 1969 (НИИЖБ).
9. Лессиг Н. Н. Определение несущей способности железобетонных эле-
ментов прямоугольного сечения, работающих на изгиб с кручением. В сб.: «Ис-
следование прочности элементов железобетонных конструкций». М., Госстрой-
издат, >1959 (НИИЖБ).
10. Лессиг Н. Н. Исследование случаев разрушения по бетону железобе-
тонных элементов прямоугольного сечения, работающих на изгиб с кручением.
В сб.: «Расчет железобетонных конструкций. Экспериментально-теоретические ис-
следования по усовершенствованию расчета». М., Госстройиздат, 1961 (НИИЖБ).
11. Humpreus R. Torsional Properties of Prestressed Concrete. The Stru-
ctural Eng. Vol. XXXV, No. 6, June, 1957.
Л. Н. ЗАЙЦЕВ, канд, техн, наук
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕЩИНООБРАЗОВАНИЯ,
ДЕФОРМАЦИЙ И НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
НЕРАЗРЕЗНЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ
В статье излагаются результаты экспериментального и теорети-
ческого исследования работы неразрезных в двух направлениях
квадратных железобетонных плит при кратковременнс м и равно-
мерном нагружении панелей.
Для испытания неразрезных железобетонных плит кратковре-
менной равномерно распределенной нагрузкой в НИИЖБе была
создана специальная установка (рис. 1), которая включала ниж-
ний железобетонный ростверк, 16 кирпичных столбов и верхний
ростверк из достаточно жестких сборных железобетонных балок.
На шаровые опоры, смонтированные па верхнем ростверке, укла-
дывали неразрезное железобетонное полотно размером 610X610 см
(рис. 2). Толщина полотна колебалась в пределах 5—6 см. Линии
Рис 1. Общий вид установки для испытания неразрезных железобетонных плит
опорных шаровых устройств разделяли неразрезную железобетон-
ную плиту на девять квадратных полей (размером 200X200 см)
трех видов, различающихся между собой условиями на контуре:
1) угловые поля; 2) боковые поля; 3) центральное поле.
Нагрузка на каждое поле передавалась в шестнадцати точках
через систему распределительных устройств, тяжей и рычагов.
Было запроектировано и испытано два образца неразрезных
плит. Первый был испытан для отработки методики исследования,
106
а второй был предназначен для основного испытания. Бетон к мо-
менту испытания второго образца имел кубиковую прочность
= 500 кГ/см2. Такой прочности бетона соответствует =
= 28 кГ1см2, 7?н=440 кГ1см2, £б = 380 000 кГ1см2- Опытные образ-
цы армировали сварными сетками из арматуры диаметром 6 мм с
<тт = 4000 кГ!см2 так, чтобы расчетные предельные нагрузки в от-
дельности на каждое угловое, боковое и центральное поле незначи-
P1IC.- 2. Детали опирания и армирование неразрезной железобетонной пл!иты
а — нижняя арматура; б — надопорная (верхняя) арматура
тельно отличались друг от друга. Среднее значение расстояния от
ближайшей поверхности плиты до центра арматуры в пролете
а = 0,8 см, а на опоре ai = l,l см.
Количество арматуры на 1 пог. м было принято на опоре f°n
и в ‘пролете F*p следующее:
а) в угловом поле F™ =1,55 см2 и F"?= 1,85 см2-,
б) в боковом поле F°n = F"p =1,55 см2;
в) в центральном поле F°n =1,55 см2 и J7"1’. ==1>27 см2.
ГО7
Нагружение второго образца велось по двум схемам с одной
разгрузкой. При первом загружении (до разгрузки) нагрузка пе-
редавалась на всю неразрезную плиту одновременно и имела оди-
наковую интенсивность (первая схема). Такое нагружение равно-
мерно распределенной нагрузкой велось этапами, равными внача-
ле 7ю расчетной нагрузки, соответствующей появлению первых
трещин в местах защемления, а затем 715 нагрузки, определенной
по методу предельного равновесия. После образования первых тре-
щин в пролете угловых и боковых полей нагрузка была постепенно
снята и были замерены остаточные прогибы и деформации армату-
ры и бетона.
При втором загружении неразрезная плита нагружалась внача-
ле равномерно распределенной нагрузкой по первой схеме этапами,
равными 715 нагрузки, соответствующей расчетной предельной на-
грузке полей, определенной по методу предельного равновесия.
Такое нагружение плиты продолжалось до начала разрушения
угловых полей, после чего нагружались только боковые поля и
центральное поле до предполагаемой предельной нагрузки, подсчи-
танной по методу предельного равновесия. В момент достижения
предполагаемой предельной нагрузки в центральном поле не на-
блюдалось признаков близкого разрушения (по развитию и рас-
крытию трещин, по показаниям тензометров, тензорезисторов и
прогибомеров)- Поэтому дальнейшее нагружение равномерно рас-
пределенной нагрузкой осуществлялось только на центральное по-
ле до разрушения.
Вертикальные перемещения неразрезной плиты в процессе на-
гружения замеряли прикрепленными к деревянной раме прогибо-
мерами и мессу рами в центре полей, в середине опертой стороны и
в углах каждого поля. Горизонтальные перемещения на уровне се-
редины высоты плит замеряли мессурами с трех сторон опытного
образца неразрезной плиты. Для каждого поля на графиках «про-
гиб— нагрузка» (рис. 3) можно выделить три характерных этапа
работы:
1) первый этап — работа плиты без трещин, который достаточ-
но точно оценивается упругим расчетом;
2) второй этап — работа плиты с момента появления первых
трещин над промежуточными опорами до образования трещин в
пролете;
3) третьему этапу соответствует работа плит с трещинами над
опорами и в пролете вплоть до исчерпания несущей способности.
В дальнейшем рассмотрены более подробно усилия и прогибы
в плитах с момента появления первых трещин и до исчерпания не-
сущей способности.
Деформации арматуры замеряли глубинными тензометрами,
расположенными сверху по линии опирания плиты на шаровые опо-
ры и снизу в пролете плиты.
108
—1—l—l—i-L-i —L < I « _Г [ -Lt
1000 300 ?00 1000 300 tOO 1000 300 too
i) РкГ/мг П-б(Ь^всн)Р1,г/"г n-<t(hn‘5,3CM) WW П-г(ьп=Ыш)М'*2n-8(h„=5,^)
Рис. 3. Экспериментальные зависимо-
сти прогиба в центре полей при за-
гружении неразрезной плиты равно-
мерно распределенной нагрузкой оди-
наковой интенсивности
а — в угловых полях; б — в боковых по*
лях; в — в центральном поле; 1 — появле-
ние трещин в пролете; 2 — появление и
развитие трещин на опорах; 3 — потеря
несущей способности;-----------теорети-
ческий прогиб, как в однородной упругой
плите
109
Деформации бетона замеряли с помощью тензорезисторов на
базе 50 мм, расположенных таким образом, чтобы замерять де-
формации укорочения бетона центрального и бокового поля по
внутренним линиям опирания плиты на шаровые опоры.
Рассмотрим отдельно работу углового, бокового и центрально-
го поля при загружении всего полотна неразрезной плиты равно-
мерно распределенной нагрузкой.
Деформации железобетонных плит с момента появления тре-
щин над внутренними опорами и до образования первых трещин в
пролете. Распределение усилий, а тдкже деформации плит до появ-
ления первых трещин достаточно хорошо оцениваются расчетом
упругих плит методами теории упругости. При равномерном нагру-
жении всего полотна неразрезной плиты будем рассматривать ра-
боту каждого поля изолированно:
а) углового поля как плиты, защемленной по двум смежным
сторонам и шарнирно опертой по двум другим;
б) бокового поля как плиты с тремя защемленными сторонами
при одной шарнирно опертой стороне;
в) центрального поля как плиты, защемленной по четырем сто-
ронам.
К моменту появления трещин в растянутой зоне бетона прояв-
ляются неупругие деформации, которые отдаляют появление тре-
щин и могут быть учтены (по предложению проф. Б. Г. Скрамтае-
ва) введением пластического момента сопротивления сечения в вы-
ражение для определения момента Л4Т, соответствующего появле-
нию трещин.
По расчету упругой плиты максимальный отрицательный мо-
мент действует в середине защемленной стороны.
Нагрузку р°п и прогиб /°п в момент образования трещин в
местах защемления в плитах можно определить по формуле упру-
гой плиты [10] с подстановкой вместо М величины Л4°п . Так, для
угловой плиты:
2И0П
М = 0,067pl2 или р°п =--------, (1)
г т 0,067/2 v 7
где =
3,5
Прогиб в центре угловой плиты при нагрузке р°п равен [10]:
/°п = 0,0021 р°п—-
где D — цилиндрическая жесткость плиты.
В боковой и центральной плите нагрузка и прогиб при образо-
вании первых трещин в местах защемления могут быть определе-
ны подобно тому, как это сделано в угловых плитах. Результаты
ПО
сравнения теоретических и опытных значений прогибов и нагрузок
в момент образования первых трещин в местах защемления для
всех рассматриваемых плит приведены в табл. 1. В графе, где при-
Таблица 1
Сравнение опытных и теоретических значений нагрузок и прогибов
при образовании трещин над внутренними опорами
Поля образца h, см моп, т кГ/см Теорети- ческие значения роп, т кГ/м2 Опытные значения роп т ’ кГ/м2 Теорети- ческие значения f011, см т Опытные значения см т Отклонение теоретичес- кого про- гиба от опытного в %
П-1 5,4 234 875 885 1035 0,04 0,05 —20
П-3 5,4 234 875 885 1035 0,04 0,048 —16,5
П-5 5,8 258 1000 1035 1200 0,039 0,042 —7
П-7 5,6 250 935 885 1200 0,037 0,038 —5,5
П-2 5,4 234 975 1035 1360 0,0346 0,04 —13,5
П-4 5,3 225 940 885 1200 0,0348 0,043 —19
П-6 6 288 1200 1200 1500 0,034 0,038 —10,5
П-8 5,4 234 975 885 1200 0,0346 0,038 —9
П-9 5,8 268 1315 1035 1500 0,0341 0,031 +9
ведены опытные значения р°п, даются
два значения
нагрузок.
Первому значению (наименьшему) соответствует нагрузка, при
которой появились первые трещины в одной из защемленных сто-
рон, а второму значению (наибольшему) соответствует нагрузка,
при которой было отмечено появление трещин во всех местах за-
щемления. Теоретические значения нагрузок, подсчитанных для
каждого поля, как для изолированной плиты с полным защемлени-
ем по линиям сопряжения с соседними полями, близки к опытным,
соответствующим моменту появления первых трещин над одной из
внутренних опор. Соответствующий теоретической нагрузке трещи-
нообразования прогиб имеет более значительные отклонения от
опытного. Так, в угловых плитах такое отклонение составило в
среднем 12,5%, а в боковых плитах 13%. В центральной плите тео-
ретический прогиб превысил на 9%! опытный. Различие в отклоне-
ниях теоретических и опытных прогибов, хотя и незначительное, ука-
зывает на то, что поля неразрезной плиты не работают изолирован-
но. Если учесть сложность явления изменения жесткостей над внут-
ренними опорами в момент трещинообразования, то можно с опре-
Н1.
деленной точностью (±10%) при равномерном нагружении нераз-
резной плиты принять расчетную схему разделения неразрезной
плиты на плиты, работающие изолированно как угловая, боковая
и центральная плита.
С момента появления трещин в местах защемления и до появ-
ления трещин в пролете железобетонную плиту можно рассматри-
вать как упругую с меняющейся в процессе нагружения жестко-
стью заделки защемленных сторон.
Расчетная схема в этом случае может быть представлена в виде
шарнирно опертой плиты, нагруженной заданной нагрузкой и неиз-
вестными моментами вдоль защемленных сторон- Для определения
неизвестных моментов при жестком защемлении сумма углов по-
ворота опорного сечения в местах заделки от действия внешней на-
грузки и от действия неизвестных моментов приравнивается нулю.
При упругом защемлении вышеуказанная сумма углов поворота
приравнивается величине, определяемой из условий, используемых
в теории железобетона при расчете ширины раскрытия трещин.
При решении поставленной задачи будем использовать готовые
решения по изгибу шарнирно опертых плит под действием задан-
ной нагрузки и под действием распределенных вдоль защемленной
стороны неизвестных моментов [1, 10, 12].
Опорные моменты /иь m2, т3, m4 на кромках при х=0, х=Ь и
t/=0, у=а (начало координат .принято в углу плиты) можно было
бы представить в виде тригонометрического ряда по синусам. Так,
например, для сторон плиты, параллельных оси х:
S. Л п X /п\
YnSm_^. (2)
и
Практически (в первом приближении) учитывается только первый
член ряда, а углы поворота определяются для середин сторон пли-
ты. Обозначим: фг&.— угол поворота середины стороны i от момен-
тов, изменяющихся по закону синуса вдоль стороны k\ фгР— тот
же угол от нагрузки, а с — угол наклона, вызванный раскрытием
трещины единичного момента. Канонические уравнения метода
сил с неизвестными моментами пи можно записать следующим об-
разом:
а) для угловых плит, где mi = m2 и m3=m4=0
(Фп + Ф12) + mi с = ф1р;
(3)
б) для боковых плит т\=т3 и zn4 = 0, а потому
mi (Фп 4- Ф1з) + ф12 + т± с = ф1р;
mi 2ф214- т* ф22 4- пг2 с = ф2р,
(4)
112
в) для центральных плит при т1 = т2=тз=т4
«1 (ф11 + 2ф12 + Ф1з) + с = Ф1р,
где углы поворота от действия единичных моментов можно опреде-
лить по табл. 13, 14, приведенным в [10]:
Фп = ф22 = 0,4901
Я D
Ф12 = Ф21= 0,1435 ——;
7С U
Ф13 = 0.0932 Ц-; <р1р = <р2р = 1,3024
«JX х—< Л» х-
Коэффициент пропорциональности, определяющий угол поворота в
сечении с трещиной:
где /т — расстояние между трещинами на опоре, определяемое по
СНиП П-В.1-62 [11];
Вср — средняя жесткость сечения в середине защемленной сто-
роны.
Принимая в выражении (6) ——, тем самым предполагаем, что
2Вср
после образования трещин над внутренними опорами углы поворо-
та в сторону смежных полей, имеющих общее защемление, будут
равны друг другу.
При испытании плит наблюдалось, что ширина раскрытия тре-
щин в середине защемленных сторон была наибольшей, умень-
шаясь к углам плит- Поэтому можно принять, что изменение угла
поворота вдоль защемленной стороны будет прямо пропорциональ-
но изменению изгибающего момента вплоть до появления текучести
в арматуре. Такое неравномерное -распределение угла поворота
вдоль защемленной стороны можно с известным приближением
свести к соответствующему рассмотрению распределения жесткости
заделки. Среднее значение жесткости заделки Вср в середине за-
щемленной стороны (х= Z/2| определяется как среднее значение
между минимальной величиной жесткости Вмин в месте действия
максимального момента и максимальной величиной ВмаКс в углах
плит:
(7)
113
Наибольшее значение жесткости сечений в углах плит перед появ-
лением трещин
(8)
Значение ВМИц определяется по величине действующего в середине
защемленной стороны неизвестного изгибающего момента по фор-
мулам СНиП П-В.1-62 [11] с учетом образовавшихся трещин.
Можно принять величину жесткости в середине защемленной
стороны ВМин=Вт и соответствующую этому состоянию кривизну
Хт при Оа = О'т, фа=1, фб = 0,9, V6 = 0,5 И М = втР^о(1—0,5gT).
Для изгибаемого железобетонного элемента прямоугольного сече-
ния получим:
Safari-0.5 £т)
1.8 ц п
(9)
1,8 ц п
gT
(Ю)
При рассмотрении изгибаемых обычных железобетонных элемен-
тов прямоугольного сечения со слабым и средним армированием
относительную высоту сжатого бетона gT можно определить по фор-
муле
|т = 0,11 +0,5|
(Н)
где
Для сравнения опытных и теоретических значений кривизн были
обработаны слабо- и среднеармированные балки (19 балок), ис-
пытанные С. А. Дмитриевым, Н. М. Мулиным, В. П. Артемьевым,
Ю. П. Гущей и J. С. Maidague. В принятых для сравнения балках
марка бетона изменялась от 200 до 500 кГ/см2, а предел текучести
арматуры от 2500 до 10 000 кГ)см2, последний в случае отсутствия
явно выраженной площадки текучести принимался равным оо,2.
Результаты сравнения показаны на рис. 4. Опытные значения
кривизны определялись как сумма абсолютных величин относитель-
ных деформаций растянутой арматуры и сжатого бетона при изги-
бе, отнесенной к полезной высоте сечения. Теоретические значения
кривизн подсчитывались по формуле (10) с (подстановкой значений
gT, определенных по формуле (11).
В случае применения формулы (11) для определения кривизн
максимальные отклонения теоретических значений от опытных
составили 19 и —9,3% (среднее арифметическое значение отклоне-
ний будет +5,6%).
114
Проведенное сравнение показало незначительное расхождение
между теоретическими и опытными значениями кривизн. Следует
отметить, что в известных пределах (до £р=0,25) формула (И) да-
ет правильное физическое
представление об изменени-
ях высоты сжатой зоны, со-
ответствующей началу по-
явления текучести в армату-
ре. Так, при анализе много-
численных опытов было от-
мечено, что в слабоармиро-
ван.ных элементах »|р, а
в среднеармированных эле-
ментах Таким обра-
зом, для определения неиз-
вестных моментов в канони-
ческих уравнениях (3), (4),
(5) значение средней жест-
кости в выражении (6) мож-
но определять по формуле
(7). При необходимости оп-
Рис 4. Сравнение опытных и теоретически
определенных кривизн в девятнадцати же-
лезобетонных статически определимых бал-
ках (опыты С. А. Дмитриева, Н. М. Мули-
ца, В. П. Артемьева, Ю П. Гущи, И. Маль-
дага) при относительной высоте сжатой
зоны бетона
L =0,11+0,5 а
т р
ределения нагрузки и прогиба в момент образования трещин в
пролете значение ВМИП = ВТ [формула (9)], где определяется по
формуле (И).
Проверкой правильности принятых для расчета предпосылок
может послужить сравнение опытных и теоретических значений на-
грузок и прогибов, соответствующих появлению первых трещин в
пролете. Такое сравнение приведено в табл. 2. Значение цилиндри-
ческой жесткости D было снижено на 15% по аналогии с балочны-
ми конструкциями. Это снижение должно было бы учесть влияние
неупругих деформаций растянутого бетона перед появлением тре-
щин в пролете плит на деформативность и распределение усилий в
неразрезных плитах, но оказалось недостаточным, как это будет
показано ниже. Опытные значения нагрузок, соответствующие по-
явлению первых трещин в пролете, определялись по визуальным
наблюдениям за появлением трещин. Картина развития трещин в
неразрезной плите показана на рис. 5, а и б.
Как видно из табл. 2, к моменту появления трещин в пролете
плиты моменты в местах защемления снизились по сравнению с
расчетом как упругой системы в среднем на 41% в угловых пли-
тах, 37%' в боковых плитах и 36% в центральной плите. При новых
значениях опорных моментов были найдены значения пролетных
моментов и значения прогибов, используя решения для упругих
плит [10, 12]. Теоретические значения нагрузок, соответствующие
моменту появления первых трещин в пролете, хорошо совпали с
опытными значениями. Теоретические значения прогибов недооце-
нивают опытные значения в среднем на 20%, несмотря на то что
при расчете значение цилиндрической жесткости было уменьшено
115
на 15%. Такое более или менее одинаковое отклонение теоретиче-
ских значений прогибов от опытных показывает, что влияние неуп-
ругих деформаций растянутого бетона перед появлением трещин
на деформативность плит будет более значительно, чем в балочных
конструкциях. Величина снижения цилиндрической жесткости пе-
ред появлением трещин должна быть установлена в результате
специальных исследований на шарнирно опертых плитах.
Таблица 2
Сравнение опытных и теоретических значений нагрузок и прогибов
при образовании первых трещин в пролете плиты
с
Поля h, см AfnP, кГсм т D/104, кГсм* •4 * * о "'о. о cq о <s CL, s 1 Б ^УНР м 3? t* • CL Е И Ql Отклонение в °/( /пр«, см 1 _ Отклонение в °/<
П-1 5.4 234 509 172 42 1875 1880 0 0,25 0,191 —23
П-3 5.4 234 509 172 42 1875 1880 0 0,24 0,191 —20
П-5 5,8 268 632 225 40 2200 2180 —0,9 0,25 0,177 —29
П-7 5,6 250 570 203 41 1995 2020 +1,3 0,25 0,183 —27
П-2 5,4 234 509 172 39 1995 1920 —4 0,21 0,171 —18,5
П-4 5,3 225 485 170 38 1875 1850 -1,3 0,21 0,173 —18
П-6 6 288 690 316 30 2535 2600 +2,5 0,20 0,154 —23
П-8 5,4 234 509 172 39 1995 1920 —4 0,20 0,171 —14,5
П-9 5,8 268 632 225 36 2320 2480 +7 0,25 0,16 —36
0,19* 0,15** —21*
* В числителе — опытные значения; в знаменателе — теоретические.
** Значение прогибов в плите П-9 при нагрузке 2320 кГ/ж2.
Деформации железобетонных плит, имеющих защемление, пос-
ле появления первых трещин в пролете и до исчерпания несущей
способности. После появления трещин в пролете плит интенсив-
ность роста деформаций и усилий изменяется и с определенного
момента зависимость «нагрузка — деформация» приобретает вновь
линейный характер (см. рис. 3).
116
Рис. 5. Развитие трещин
в неразрезной плите
а — в пролете; б — над опо-
рами
117
Нагрузка рл, после которой наступает линейный характер из-
менения прогиба, несколько превышает нагрузку, определенную
при появлении первых трещин в пролете р"р.
В среднем превышение нагрузки рл пал нагрузкой р^Р в угло-
вых плитах составило 14% и в боковых плитах — 20,1%.
Для приближения опытных значений прогибов и теоретических
прогибов, определяемых по линейной интерполяции, можно повы-
сить характерную точку, соответствующую появлению первых тре-
щин в пролете путем умножения нагрузки р"р на коэффициент,
который для боковых плит будет равен 1,2, а для угловых 1,14. По-
лученная таким образом нагрузка будет близка к нагрузке рл, на-
чиная с которой прогиб изменяется в зависимости от нагрузки
почти по линейному закону вплоть до разрушения.
После появления трещин в плитах возникает во всех направле-
ниях удлинение на уровне срединной плоскости и при наличии внеш-
них связей, препятствующих этому удлинению, возникает усилие
распора, которое как бы упрочняет железобетонную плиту, повы-
шая несущую способность и снижая деформативность плит (5).
При равномерном нагружении неразрезного полотна, разделенного
шаровыми опорами на отдельные плиты, удлинение на уровне сре-
динной плоскости центрального поля по данным опыта не встрети-
ло значительного сопротивления со стороны контура.
При передаче равномерно распределенной нагрузки только на
центральное поле (по окончании загружения контура) интенсив-
ность роста деформаций в ней снизилась, что явно противоречит
представлениям о работе неразрезной плиты как упругой системы.
Такое снижение интенсивности роста прогиба (упрочнение пли-
ты) произошло в результате сопротивления, которое стал создавать
контур удлинению во всех направлениях срединной плоскости цент-
рального поля. Сильно деформированный контур оказался способ-
ным сопротивляться удлинению на уровне срединной плоскости
центрального поля.
Изменение в интенсивности роста деформаций центрального по-
ля после окончания загружения контура также было отмечено по
показаниям тензорезисторов, наклеенных на верхней поверхности, и
по показаниям глубинных тензометров на арматуре. Так, тензоре-
зисторы, наклеенные вдоль диагонали, показали после окончания
загружения контура (3 т!м2) уменьшение интенсивности роста
деформаций (рис. 6)-
Проведенный анализ деформаций позволил установить наличие
распорных усилий в центральном поле, способствующих отдалению
момента его разрушения.
Определение предельных нагрузок и предельных прогибов в
плитах без учета влияния распора. Применяя экстремальные теоре-
мы метода предельного равновесия, впервые сформулированные
проф. А. А. Гвоздевым [3], можно определить расположение линей-
ных пластических шарниров в плите, соответствующее наименьшей
118
Рис. 6. Деформации бетона и арматуры в плите П-9, замерен-
ные
а — тензорезисторами на верхней поверхности; б — глубинными тензо-
метрами на нижней поверхности
нагрузке при кинематическом методе предельного равновесия. Как
показали многочисленные сравнения, проведенные в СССР и за ру-
бежом, метод предельного равновесия достаточно хорошо оценива-
ет несущую способность железобетонных плит. Для практического
решения целого ряда задач (ограничение прогибов и расчеты по
деформированной схеме) необходимо знать не только предельную
нагрузку плит, но и прогиб, соответствующий наступлению текуче-
сти в арматуре по всем линиям излома. Исследованиями, проведен-
ными А. Н. Королевым и С. М. Крыловым [8], был обоснован спо-
соб определения прогибов в свободно опертых плитах. Предпола-
гается, что прогиб плиты происходит в основном за счет деформа-
ций зон с трещинами на некоторой ширине Д. С другой стороны,
поверхность плиты предполагается геометрически подобной поверх-
ности расчетной модели, применяемой при кинематическом методе
предельного равновесия, а в месте возникновения последнего пла-
стического шарнира значение угла поворота определяется началом
проявления в арматуре и бетоне пластических деформаций.
Рассмотрим плиту, состоящую из п дисков. Угол поворота меж-
ду дисками п и т в месте последнего пластического шарнира будет
равен q>nm =&пт Обозначив угловую скорость взаимного пово-
рота дисков пит при единичной скорости прогиба через q'nm, най-
дем прогиб:
д ~<пт
^пт __ пт т (12)
Флт пт
Величина кривизны хт определяется по формуле (10) с приня-
тым упрощением для определения £т [формула (11)]- Проверка на
ряде испытанных плит показала, что при новом выражении кривиз-
ны можно сохранить рекомендации инструкции [7] по определению
ширины деформируемой зоны Д для шарнирно опертых плит. Это
сравнение также показало, что в слабоармированных плитах (£р<
<0,1) теоретически определенные предельные прогибы дают луч-
шее совпадение с опытными при Д=0,35/. В плитах, имеющих за-
щемление, предельный прогиб может быть определен из следую-
щих условий.
Если угол поворота диска в месте последнего пластического
шарнира (в месте защемления) будет фпт, а угол поворота между
дисками i и k (в пролете), соответствующий наименьшей угловой
скорости дисков в пролете при единичной скорости перемещения
точки пересечения пролетных линейных шарниров, будет ф^, то
из геометрического подобия поверхностей плиты и расчетной мо-
дели, применяемой при кинематическом методе предельного равно-
весия, можно записать пропорцию:
--------или <р„т = (13)
Флт 4ik Ф/А
120
При фпот = Дпт У-”"1 И ф/л = Д,ч
ширина деформируемой зоны
л ^ik х Ф/пп
и предельный прогиб из выражения (12) равен:
Т . W'*
(14)
Приняв Hik = ^k9 можно сделать вывод о том, что на предель-
ный прогиб плиты защемление сторон влияет через изменение ши-
рины деформируемой зоны в пролете. Сохраняя общую методику
расчета предельных прогибов [7], будем определять величину де-
формируемой зоны Д между дисками в пролете как часть (0,4—
0,35 при равномерно распределенной нагрузке) расстояния между
нулевыми точками /0 в эпюре моментов. Так, в плите, защемленной
по четырем сторонам, расстояние между моментными нулевыми
точками при равных моментах в местах защемлений примем рав-
ным:
/о = /
(15)
где /С=Л40п/Л1пр—отношение предельного момента в месте защем-
ления (на опоре) к пролетному, определяемое
из условия армирования как М/ =F' cft zz- .
Предельный прогиб в такой плите, загруженной равномерно
распределенной нагрузкой, при кинематической схеме излома «кон-
верт» и Д=0,4 /0 будет равен:
0,141/2х?р.
(16)
Предельный прогиб шарнирно опертой плиты при той же схеме
излома равен:
/== 0,141 /2хтпр.
(17)
Влияние на прогиб защемления вдоль одной стороны, при со-
хранении одной и той же схемы излома, определяется как 1/4 раз-
ности прогибов, определенных по формулам (17) и (16).
В плитах, имеющих защемление по одной, двум и трем сторо-
нам, предельный прогиб в центре плиты определяется разностью
прогиба как в шарнирно опертой плите и прогиба от влияния за-
щемленных сторон. В табл. 3 приведены плиты с различными вида-
ми защемлений по контуру и соответствующие выражения для оп-
ределения предельных прогибов. Предельные прогибы в прямо-
121
Таблица 3
Предельные прогибы в центре плит, имеющих различные условия на контуре,
при А = 0,4 /о (равномерно распределенная нагрузка)
Схема плиты
Формулы для определения предельного прогиба в центре
плиты
Ц =0,141/»х"Р
1 +0.75К
1 +К
0,141/2-л"р, где К =
МПР
Ли —
0,141 /2 v "р
, т
ftv = * 1 t 0,141 /2 лт"₽
1 -f- Л
1 + 0,25 к
1 + «
0,141 /2
^vi = TZ^0’141z2%?P
1 т Л
122
угольных плитах, имеющих защемления и отношение сторон не бо-
лее 2, могут быть также определены по формулам, приведенным в
табл. 3, с подстановкой Z=Zi, где 1\ — короткая сторона.
Рассмотрим на примере испытанной неразрезной плиты опреде-
ление предельных прогибов без учета распора в центре угловых
(П-1, П-3, П-5, П-7) и боковых (П-2, П-4, П-6, П-8) полей при рав-
номерном нагружении неразрезной плиты равномерно распределен-
ной нагрузкой.
Влияние защемления сказывается .на положении точки пересе-
чения линейных пластических шарниров в пролете. Например, на
рис. 7 показана кинематическая схема излома углового поля. Ко-
ординаты точки А (1хи I у) определяются из условия минимума
предельной нагрузки в уравнении работ внешних и внутренних сил
Рис. 7. Кинематическая схема излома угловой плиты
при равномерной нагрузке
а — схема излома; б — диаграмма угловых скоростей жестких дисков
при единичной скорости перемещения точки А. Для рассматривае-
мого случая (см. рис. 7) было ранее найдено [4] значение х и у при
М1=Л42=Мпр, Mi=Mii=Mon и МопЖр = К
(18)
В испытанных плитах будем учитывать влияние на прогиб в
центре поДя смещения точки А относительно Ао, так как прогиб за-
мерялся в центре полей. Тогда прогиб в центре поля f0 при сохра-
нении значений предельных прогибов f в точке А и Ло (влиянием
смещения точки А на несущую способность пренебрегаем) будет
равен:
123
f0=r^=f
X
0,5
(19)
где предельный прогиб f определяется
с. 1 / __/1 “Ь 0,5 X
так как gp<0,l, а/0= *
1 + Л
Окончательно получим
по табл. 3 при Д=0,35 /о,
где xj.2 — кривизна между дисками 1 и 2, определенная по форму-
лам (10) и (11).
Аналогично можно получить теоретические значения прогибов
в центре боковых полей. При обычных расчетах предельных про-
гибов нет необходимости учитывать влияние на прогиб смещения
точки А относительно Ао, так как проверка деформативности плит
производится по максимальным значениям прогибов.
Сравнивались опытные значения прогибов в центре угловых и
боковых полей и теоретически определенные при А=О,35/о
(табл- 4). Из анализа исключены поля П-6 и П-9, так как в П-6 не
была достигнута теоретическая нагрузка р при равномерном нагру-
жении нераэрезной плиты, а в П-9 распорные усилия изменили за-
висимость «прогиб — нагрузка». На приведенных примерах можно
было убедиться в том, что предлагаемое выражение кривизны и
учет влияния защемления позволяют с достаточной точностью оце-
нить величину предельного прогиба в плите без учета влияния рас-
пора.
Определение предельных нагрузок и предельных прогибов плит
с учетом влияния распора. На основе проведенных ранее исследо-
ваний в балках и плитах [3, 5, 9, 13, 14] можно сделать вывод
о том, что для расчета несущей способности железобетонных кон-
струкций с учетом распора можно исходить из метода предельного
равновесия, определяя внутренние предельные усилия (моменты) с
учетом действия продольного сжимающего усилия (распора). При
этом, однако, необходимо принимать во внимание прогиб плиты.
При расчете предельной нагрузки с учетом распора возможно
также применение методов, упрощающих расчет, как, например,
определение дополнительного момента от действия распора [6, 9,
14]. Возникая при первом появлении трещин (при малых проги-
бах), распор является реактивным усилием и влияет на величины
предельных моментов и на жесткость плит, обычно не изменяя ки-
нематической схемы излома конструкции, определенной по методу
предельного равновесия.
124
Таблица 4
Прогибы в центре полей испытанных плит при Д=О,35/о
(ат=4000 кГ/см»; R” =440 кПсм*)
Поля h, см р.оп на 1 пог. м р.пр на 1 пог. м р, кГ/м2 Мрп ^пр т хпР-104, т 1 см см Откло- нение в %
П-1 5,4 0,0036 0,004 2780 0,78 0,0365 5,4. 1,76 1,65 +6,7
П-3 5,4 0,0036 0,004 2780 0,78 0,0365 5,4 1,76 1,7 +3,5
П-5 5,8 0,0033 0,0037 2940 0,78 0,0336 4,9 1,6 1,47 +8,8
П-7 5,6 0,00345 0,00386 2850 0,785 0,035 5,15 1,68 1,49 +12,7
П-2 5,4 0,0036 0,0034 2850 0,935 0,031 5,25 1,37 1,28 +7
П-4 5,3 0,0037 0,0035 2770 0,935 0,032 5,38 1,43 1,45 -1,3
П-8 5,4 0,0036 0,0034 2850 0,935 0,031 5,25 1,37 1,25 +9,6
В числителе — теоретические значения;
в знаменателе — опытные.
Предельные прогибы в плитах с распором будем определять из
выражений, приведенных в табл. 3. Так, для плиты (центральной),
защемленной по четырем сторонам, предельный прогиб
f = —— 0,141 Z2x"p,
1+К т
где
- (21)
Мпр
При максимальном действии распора деформации в арматуре и
бетоне будут выравниваться, поэтому при определении предельного
прогиба f в плите с практически несмещающимся контуром значе-
ние кривизны х£р в формуле (10) можно принять при 8а т~еб т,
тогда
То = ——о, 141 2. (22)
' 1+K h0Ea
Окружающие конструкции по-разному воспринимают гори-
зонтальные усилия распора вследствие различной собственной же-
сткости. Если обозначить горизонтальное смещение внешнего кон-
тура от действия усилия распора через т, а горизонтальное удли-
125
нение рассматриваемой конструкции при отсутствии связей, препят-
ствующих такому удлинению, через д, то коэффициент, характери-
зующий способность контура .воспринимать распорные усилия, Х =
= т/Ъ. В случае, когда усилия распора передаются на абсолютно
жесткий контур (т=0), то Х=0, а при отсутствии контура (т = б)
%=1. Таким образом, предельный прогиб конструкции при макси-
мальном действии распора (Хо = О) будет f0, а предельный прогиб
при отсутствии усилий распора (Х=1) будет f\. Примем, что пре-
дельный прогиб конструкции при коэффициенте податливости кон-
тура X равен
f = (А - /о) + /о. (23)
На основе ранее проведенных исследований [6, 14] дополни-
тельная высота сжатой зоны бетона от действия распора между
двумя дисками может быть определена по формуле
хц = 0,5 (А6 - 0,5 Г) (1 - -^Y (24)
\ ° /
где Лб = Ло — х°п — хпр — А;
%оп, хпр — высоты сжатых зон, определяемых армированием;
А— прогиб до появления трещин;
0,25 (fr6 — 0,5 /) /?и/ 6.
Ек
А (^-0,5 Л) .
0,5/
EkFk — жесткость контура на растяжение от распорных усилий.
Снизим возможности конструкции к восприятию распорных уси-
лий на 15%, исключив учет деформативности до появления трещин
А, тогда
— 0,85 /г0 -^оп ^пр* (25)
При определении величины податливости контура т примем,
что усилие распора наибольшее, т. е. f=fo', тогда коэффициент по-
датливости контура X будет равен:
} = в (^-О,5Го)^и/2-О,125 . (26)
71(^6-0,57!)^^
Усилие распора H=xnRttb, а величина дополнительного момен-
та от распора
Л М = хп /?и I (йб - хп - 7). (27)
При рассмотрении конструкций с распором возможны два кри-
терия оценки несущей способности: первый определяется достиже-
нием дополнительным моментом максимального значения [6, 9,
14], а второй — достижением напряжений в арматуре и бетоне пре-
дельных значений [5]. Как было показано ранее [6], первый кри-
126
терий, определяемый из геометрически-статических условий, ана-
логичен критерию потери устойчивости и не всегда совпадает с кри-
терием определения предельной несущей способности железобе-
тонных элементов. Второй критерий оценки повышения несущей
способности за счет распора совпадает с основными условиями при-
менения метода предельного равновесия при определении несущей
способности, т. е. в системе предполагается достижение усилиями
(моментами) предельных значений, определяемых не только арми-
рованием, но и величиной продольного реактивного усилия (рас-
пора).
Здесь принят второй критерий, как соответствующий состоянию
конструкции, при котором определяется как предельный прогиб,
так и несущая способность конструкции.
Для квадратных плит, защемленных по четырем сторонам, пре-
дельная несущая способность будет при сохранении схемы излома
плиты и при постоянной величине распора вдоль защемленных сто-
рон
_ 24(7ЙОП + М пр + Д М)
Р =---------р--------• (28)
Пример. Определим предельные прогибы и предельную несущую способность
с учетом влияния распора. Центральное поле П-9 в испытанной неразрезной
плите.
Основные данные: /=200 см\ /г =6,8 см\ ЛдП =4,7 см; =5 см; р,оп =
<=0,0033; |лпр =0,00254; от =4000 кГ1см2-, Еп=2,\-\& кГ/см2-, Я” =440 кГ!см\
Eq =0,38-106 кГ1см2-, хоп =0,14 см\ хпр =0,12 см; Л4оП =575 кГ-м; Л4пр =
=500 кГ м. Несущая ‘способность плиты, определенная по методу предель-
ного равновесия без учета распора,
Р = 24 (5-5<Ь 50°) = 3220 кГ/м2.
Разрушение сжатой зоны бетона (шелушение бетона в опорных сечениях)
происходило начиная с нагрузки 5035 кГ1м2 и кончая нагрузкой 5480 кГ1м2.
Прогибы, соответствующие этим нагрузкам, равны 2,25 и 2,72 см.
Избыток несущей способности, определенной как разность между нагруз-
кой, соответствующей началу разрушения сжатой зоны бетона по линии опира-
ния центрального поля (р=5035 кГ1м2 и f=2,25 см), и нагрузкой, подсчитанной
по методу предельного равновесия (р=3220 ка/ж2), будет равен Др=
= 1815 кГ/м2. Тогда дополнительный момент из выражения (28) равен ДЛ4 =
=60 500 кГ*см. Минимальное значение высоты сжатой зоны бетона от дейст-
вия распора при йдр =4,85 см; f=2,25 см; #”=440 кГ]см2', /=200 см будет из
выражения (27) равно хн=0,3 см, а величина распора H=xnR^ I = 0,3-440Х
Х200 =26 400 кГ=26,4 Т. Наибольшее растягивающее усилие в контуре будет
вдоль диагонали угловых полей. Величина этого усилия будет равна Ядиаг=
26,4
— =18,7 Т. В угловых и боковых полях сохранялась поперечная нагрузка.
Суммарная величина усилия сжатия бетона вдоль диагонали углового поля при
Мпр =675 кГ*м и z=4,52 см будет равна:
127
67 500
4,52
-1/2 = 21 200 кГ = 21,2 Г.
Растягивающее усилие в контуре //ДИаг, возникающее от распорных усилии
в центральном поле, не погашает деформаций сжатия бетона Мб (21,2> 18,7)
вдоль диагонали угловых полей, но снижает жесткость сечений контурных по-
лей.
Рис. 8. Зависимость «прогиб —на-
грузка» в центре углового поля
(П-3) и бокового (П-2) при загруже-
нии равномерно распределенной на-
грузкой всего неразрезного полотна
и при загружении сверх 3 т/л*2 толь-
ко центрального поля
Как показали замеры прогибов в контурных плитах, при загруз-
ке только центрального поля возникает дополнительный прогиб
(рис. 8). При отсутствии растягивающих усилий в контуре прогибы
в контурных пригруженных плитах должны были бы уменьшаться
после дополнительного нагружения центрального поля вплоть до
образования пластических шарниров по внутренним линиям опира-
ния неразрезной плиты. В работе контура необходимо также отме-
тить наличие изгибающих из плоскости плиты усилий. Результатом
действия этих усилий явилось образование трещин на верхней по-
верхности боковых плит при нагрузках свыше 4 т/м2 (см. рис. 5,6).
Рис. 9. Зависимость «про-
гиб — нагрузка» в цен-
тральном <поле (П-9) при
загружении равномерно
распределенной нагруз-
кой всего неразрезного
полотна и при загруже-
нии сверх 3 т/м2 только
центрального поля
------ опытная; — . —тео-
ретическая
128
Таким образом, оказалось, что деформированный и пригружен-
ный контур способен воспринимать значительные распорные уси-
лия, возникающие в центральном поле.
Оценить теоретически жесткость на растяжение пригруженного
контура с развитыми трещинами весьма сложно. Если в первом,
приближении принять погонную жесткость (Ь = 1 см) контура на
растяжение без учета образовавшихся трещин EKFK=2hEб=2Х
Х5,8-0,38-106=4,4-106 кГ на 1 см, то при h6= 4 см [формула (25)1 1Г
fi = 2,08 см, f0=l,99 см [формулы (21) и (22)] относительный ко-
эффициент по формуле (26) Х=0,243.. Тогда предельный прогиб из.
выражения (23) равен 2,012 см и соответствующая предельная на-
грузка, определенная по вышеизложенной методике, р = 5800 кГ/м\.
Такого превышения теоретически определенной нагрузки над опыт-
ной следовало ожидать, так как контур деформирован и пригру-
жен. Увеличив коэффициент податливости до Х=0,6, получим [=
= 2,06 см и р = 4900 кГ!м2, что практически совпадает с опытом
(рис. 9).
Были также определены с учетом распора предельный прогиби
несущая способность в плите, окаймленной с четырех сторон бал-
ками [9]. Теоретически определенные прогибы и предельная несу-
щая способность по предлагаемой методике достаточно удовлетво-
рительно совпали с опытными значениями.
При необходимости оценки прогибов плит с трещинами в про-
лете можно воспользоваться линейной интерполяцией между точ-
ками на графике «прогиб — нагрузка» (см. рис. 9), которым соот-
ветствуют состояния в момент появления первых трещин в пролете
и предельное состояние по несущей способности [7].
Выводы
1. Образование трещин над внутренними линиями опирания же-
лезобетонной неразрезной плиты изменяет распределение усилий и
интенсивность роста деформаций по сравнению с расчетом как в
упругой плите, что приводит к более раннему образованию трещин
в пролете плиты и увеличению интенсивности роста прогибов.
До момента появления трещин в пролете плиту можно рассматри-
вать как упругую, но с измененной жесткостью защемления вдоль
линий опирания, величину которой можно определить по предлага-
емой методике.
2. После образования трещин в пролете плиты изменяется на-
пряженно-деформированное состояние, которое приводит к увели-
чению интенсивности роста деформаций по сравнению с предшест-
вующей стадией. На стадии работы плиты с трещинами в пролете
вплоть до образования линейных пластических шарниров в местах
защемления на деформат-ивность плиты оказывает влияние эффект
защемления. При определении предельного прогиба плиты необхо-
димо учитывать влияние защемления и различные условия на кон-
туре-
129
3. В результате образования трещин в плите возникает во всех
направлениях удлинение на уровне срединной плоскости и при на-
личии контура, препятствующего этому удлинению, возникает уси-
лие распора, которое повышает несущую способность и снижает де-
‘формативность плиты. Наличие реактивных продольных усилий из-
меняет качественную особенность работы неразрезной плиты по
сравнению с представлением о работе неразрезной плиты как уп-
ругой системы. В проведенных исследованиях деформированные и
:пригруженные контурные плиты с трещинами оказались способны-
ми воспринять значительные растягивающие усилия, возникающие
1в результате действия распорных усилий при дополнительном на-
гружении центрального поля.
С помощью предлагаемой в статье методики расчета несущей
способности и предельных прогибов плит возможен учет влияния
распора при различных условиях восприятия распорных усилий
окружающими конструкциями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г а лерки н-Б. Г. Упругие тонкие плиты. М., Стройиздат, 1933.
2. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу
предельного равновесия. М., Стройиздат, 1949.
3. Гвоздев А. А. Обоснование § 33 Норм проектирования железобетон-
ных конструкций. «Строительная промышленность, 1939, № 3.
4. Зайцев Л. Н. Расчет прогибов железобетонных плит, заделанных по
двум смежным сторонам и свободно опертых по двум другим. «Бетон и же-
лезобетон», 1964, № 7.
5. 3 а й ц е в Л. Н. Влияние распора на распределение усилий, несущую
(способность и деформативность статически неопределимых железобетонных
(балок. В сб.: «Трещиностойкость и деформативность обычных и предварительно
^напряженных железобетонных конструкций». М., Стройиздат, 1965 (НИИЖБ).
6. Зайцев Л. II. Влияние распора па несущую способность железобетон-
ных конструкций. Новое в технологии и конструировании бетонных и железобе-
тонных конструкций. Труды конференции молодых специалистов. Под ред.
д-ра техн, паук Г. И. Бердичевского. М., Стройиздат, 1966.
7. Инструкция по расчету статически неопределимых железобетонных кон-
струкций с учетом перераспределения усилий. М., Госстройиздат, 1960.
8. Королев А. Н., Крылов С. М. Способ расчета прогибов железобе-
тонных плит, опертых по контуру, и безбалочных перекрытий при действии
кратковременной нагрузки. В сб.: «Исследование прочности, жесткости и тре-
щи нестойкости железобетонных конструкций». М., Госстройиздат, 1962 (НИИЖБ) ’
9. Крылов С. М. Экспериментальное исследование работы железобетон-
ных перекрытий каркасных зданий. В сб.: «Исследование свойств бетона и
железобетонных конструкций». М., Госстройиздат, 1959 (НИИЖБ).
10. Справочник проектировщика, том расчетно-теоретический. М., Госстрой-
издат, 1962.
11. Строительные нормы и правила, часть II, раздел В, глава 1. «Бетонные
и железобетонные конструкции». М., Госстройиздат 1962.
12. Шиманский Ю. А. Изгиб пластин. ОНТИ, 1934.
13. Gvozdev A. A., Krylov S. М., Saitzev L. N. Etude de 1’arc-
boutement et son importance pour le calcul des dalles, Bulletin d’information,
№ 58, Comite Europeen du Beton, Paris, 19!66.
14. Christiansen К- P. The effect of membrane stresses on the ultimate
strength of the interior panel in a reinforced concrete slab. The Structural Engineer,
№ 8, 1963.
15. C. Bach und Graf. Versuche mit allseitig aufliegenden, quadratischen
und rechteckigen Eisenbetonplatten. Berlin, 1915.
130
Н. И. КАРПЕНКО, канд. техн, наук
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
С ТРЕЩИНАМИ ПРИ СЛОЖНОМ АРМИРОВАНИИ
Для менее сложного ортотропного армирования элементов эта
теория, предложенная автором [2] на базе исследований [1], по-
лучила развитие в работах [3, 4], в трм числе с учетом различных
схем трещин и совместного действия моментов и нормальных сил
[4]. Расчет пластин па ЭЦВМ, основанный на данной модели,
представлен в [5]. Алгоритм позволяет производить расчет с уче-
том развития трещин, т. е. учитывать наличие зон с трещинами и
без трещин и изменения их размеров и характеристик в процессе
нагружения.
Однако в практике проектирования конструкций, особенно обо-
лочек, может оказаться более рациональным трехосное армирова-
ние, которое и рассматривается в статье. Будем придерживаться-
следующей схемы представления материала- Первоначально рас-
сматриваются пластины, а в конце статьи (и в некоторых случаях
по ходу изложения) указывается на особенности применения выве-
денных зависимостей к расчету пологих оболочек с трещинами/
Некоторые понятия и основные предпосылки модели расчета
пластин. Тонкостенные конструкции обычно армируют нескольки-
ми слоями арматуры, параллельными ее серединной поверхности
(слои непараллельные серединной поверхности в статье не рас-
сматриваются). Слой арматуры i будет характеризоваться часто
расположенными стержнями одного (/-го) направления. Например;
прямоугольная арматурная сетка представляет собой два слоя ар-
матуры, плотно прилегающих один к другому. Как правило, слои
располагают вблизи нижней и верхней поверхностей пластины под
защитным слоем бетона.
Рассмотрим пластину толщиной h, армированную шестью слоя-
ми, три из которых (/=1, 2, 3) расположены близ нижней ее по-
верхности и три (г=1, 2, 3) близ верхней. В плоскости хОу слой i
будет характеризоваться -следующими величинами: углом рг- на-
клона стержней i и оси х и коэффициентом армирования fi. Пусть
Fi — площадь стержня, a Si— шаг стержней в слое, тогда
fi=Fi/S[. (1)
Аналогичные характеристики для верхних слоев армирования
будем обозначать штрихами ( f\, F., s\ ). Расстояние от середины
нижнего слоя i до верхней поверхности пластины обозначим через
hi, а расстояние от середины слоя i' до нижней поверхности — чет
рез Л'..
Предположим, что два слоя в верхней зоне (например, Г=1, 2)
и два слоя в нижней зоне (/= 1, 2) представляют собой ортого-
13Г
нальные сетки, направление стержней в которых совпадает с на-
правлением осей координат х и у (т. е. ₽i=PJ=O; р2= Р2 =90°)-
Третьи слои будут характеризоваться рядом стержней, установлен-
ных под некоторыми произвольными углами р3 и Р' к плоскости
xOz. В дальнейших расчетах еще и каждую тройку слоев будем сов-
мещать в один обобщенный слой. Серединная поверхность нижне-
го (верхнего) обобщенного слоя будет отстоять от верхней (ниж-
ней) поверхности пластины на расстоянии hQ(h'o ), где:
fi + ^2 /2 + ^3 h
fi + f2+f3
(2)
Коэффициенты армирования обобщенных слоев обозначим че-
рез fai и /а/ (t= 1, 2, 3). Чтобы несколько компенсировать неточ-
ность, связанную с совмещением слоев армирования на один уро-
вень, примем:
fai fi Ы /h0', f'ai fi hi/ hQ. (3)
Смысл этого уточнения будет ясен из дальнейшего анализа на-
пряжений в арматуре.
В дальнейшем в обозначениях /az, f'^9 pz и р'. (/=1, 2, 3)
индекс 1 будем заменять на х, индекс 2 на у, индекс 3 на j (т. е.
fal = fax, Рз = Р/ И Т. Д.).
Рассматриваемые схемы трещин. Как показано в работе [4], ха-
рактер деформирования железобетонной пластины в областях с
трещинами будет зависеть не только от наличия, но и от схемы
трещин, т. е. ориентации трещин относительно лучей армирования,
взаимного пересечения трещин, расположения трещин па одной
или обеих поверхностях пластины и характера прохождения тре-
щин по толщине плиты (сквозные или несквозные трещины). Сквоз-
ные трещины (пронизывающие толщину пластинки насквозь)
встречаются в основном при безмоментном напряженном состоянии
или при небольших значениях моментов.
Будем различать по характеру работы с трещинами пять обла-
стей плиты (пять схем трещин): 1) области с системой непересека-
ющихся трещин (I схема трещин, рис. 1,а), расположенных на од-
ной из поверхностей плиты; 2) области с системой сквозных непе-
ресекающихся трещин (II схема, в плане она подобна первой схе-
ме); 3) области с системами непересекающихся трещин, одна из ко-
торых расположена на нижней, а другая на верхней поверхности
элемента (III схема, рис. 1, в); 4) области плиты с системой пересе-
кающихся трещин нескольких направлений, расположенных на од-
ной из поверхностей плиты (IV схема, рис. 1,6); 5) области плиты
с системой пересекающихся сквозных трещин (V схема, в плане
она подобна IV).
В статье [4] применена несколько иная нумерация схем тре-
щин. Кроме того, в плите будут области без трещин.
132
Все схемы трещин могут быть разделены на две крупные груп-
пы: группа Н — непересекающихся трещин, куда относятся схемы
I, II, III (или условно схема одной трещины) и группа П — пере-
секающихся трещин со схемами IV и V (или условно схема двух
трещин).
Рис. 1. Фрагменты поверхности плиты
а — с непересекающимися трещинами; б—с пересекающимися трещинами;
в — с ортогональными трещинами, расположенными ib разных зонах пли гы
(верхней и нижней); 1 — трещины на нижней поверхности; 2 — трещины на
верхней поверхности
Для схем с пересекающимися трещинами характерным является
не трехосное, а ортотропное армирование. Последняя задача под-
робно рассматривалась в [4], поэтому в данной работе будут ана-
лизироваться в основном лишь схемы трещин группы Н.
Некоторые общие особенности деформирования элементов с
трещинами и принципы их моделирования- Эти особенности сфор-
мулируем на основании анализа деформаций при первой схеме тре-
щин. Затем укажем на некоторые различия в характере деформа-
ций при других схемах, а также на одно принципиальное различие
в подходе к изучению деформаций схем групп Н и П. Специфиче-
ские особенности деформирования, присущие различным схемам,
будут подробно проанализированы и учтены при выводе расчетных
формул.
Для I схемы трещин (для примера предположим, что трещины
имеются на нижней поверхности) укажем на следующие характе-
ристики, положенные в основу расчетной модели. Трещины будут
разделять плиту по толщине на две зоны: верхнюю над трещинами
и нижнюю с трещинами. Понятие о недеформированной середин-
ной поверхности, даже при чистомоментном напряженном состоя-
нии, теряет свой смысл. Основные несущие функции будут выпол-
нять еще свободные от трещин слои бетона и обобщенный слой ар-
мирования. Для удобства решения задачи действие напряжений по
вертикальным сечениям системы заменяется действием обобщен-
ных величин: моментов и нормальных сил, приложенных на уровне
серединной поверхности. Выражения для моментов и нормальных
сил находятся путями отличными, чем в теории упругих пластин.
таз-
Закон парности крутящих моментов может быть принят лишь с не-
которыми приближениями [4].
В верхней зоне над трещинами работает слой бетона. В нижней
зоне с трещинами бетон будет выключаться из работы только в ме-
стах трещин, где все усилия передаются через арматуру.
Необходимо подчеркнуть, что железобетон является двухкомпо-
нентной системой и появление трещин приводит к нарушению
сплошности одного компонента (бетона) и то в данном случае
лишь в одном направлении — перпендикулярно трещинам. Вдоль
трещин полосы бетона (например, заштрихованная полоса на
рис. 1,а) будут самостоятельно воспринимать усилия и определять
деформативность элементов в этом направлении. Наличие сил сцеп-
ления между арматурой и полосами бетона обеспечивает их сов-
местную работу. Напряжения и деформации в растянутой армату-
ре и верхнем сжатом бетоне на участке между трещинами будут
распределяться неравномерно. Вблизи трещин они будут увеличи-
ваться. Однако расстояние между трещинами обычно мало по
сравнению с размерами плит в плане, что позволяет усреднить де-
формации арматуры и бетона на участках между трещинами по
аналогии, с тем, как это сделано для балок в теории В. И. Мура-
шова [7, 8]. Коэффициенты усреднения не содержат определенных
размеров элемента, что особенно важно, а выражаются соответст-
венно в функции от максимальных напряжений арматуры в трещи-
нах и бетона над трещинами, а последние связываются с компонен-
тами тензора моментов и нормальных сил. Связь между средними
деформациями и обобщенными силами для точек поля плиты уста-
навливается из анализа деформаций некоторого характерного эле-
мента конечных размеров, выделяемого в окрестности данной точ-
ки. Толщина элемента равна толщине плиты, а размеры в плане та-
ковы, что этот элемент пересекает минимум одна характерная тре-
щина, т- е. его размеры соизмеримы с расстоянием между трещи-
нами и шагом стержней (это требование вытекает из принципа за-
дания арматуры в виде коэффициентов// ). Вместе с тем предпо-
лагается, что при установлении физических зависимостей можно
пренебречь изменениями компонентов тензора моментов и нормаль-
ных сил в пределах этого элемента. Большей конкретизации раз-
меров характерного элемента не требуется. Указанные характери-
стики элемента определяют границы применимости данной моде-
ли. Физические зависимости, установленные для такого элемента,
присваиваются при решении задачи точке поля плиты, находящей-
ся по середине указанного элемента.
Относительные средние деформации в пределах характерного
элемента могут быть определены на двух поверхностях, параллель-
ных серединной поверхности на верхней сплошной поверхности бе-
тона (е*, е', 1/гУху ) и на уровне серединной поверхности обобщен-
ного слоя армирования (гх , гу , 1/2уХу ). Средние относительные де-
формации будут тензорными величинами (экспериментальное
подтверждение этого тезиса широко представлено в [3]) и, естест-
134
венно, для них будут справедливы известные преобразования
составляющих тензора при повороте осей координат. Пусть, на-
пример, а — угол наклона трещины к оси х, а и — ось, нормаль-
ная к трещине, тогда
гп = гх sin2 а + £у cos2 а + а cos а-
Для средних деформаций характерного элемента принимает-
ся справедливой гипотеза прямых нормалей. В результате, де-
формированное состояние в каждой точке поля пластины будет
характеризоваться тремя компонентами тензора средних кривизн
(kx, ky и kxy) и тремя компонентами тензора средних деформаций
(е(о)х, £(о)?/, — Т(о)х?/) на уровне серединной поверхности, причем:
(5)
Выражения для изгибных кривизн kx и ky известны из расчета
железобетонных балок с трещинами [8], что касается формулы
для кривизны кручения kxy, то ее вывод весьма прост- Можно оп-
ределить изгибную кривизну по некоторому третьему направле-
нию, например kn, где
_ (е.г — 8j sin2 а + (е v — s'z) cos2 а+ (уху — yXf) sin а cos а
/Iq ^0
а с другой стороны, использовать преобразования компонент тен-
зора кривизн при повороте осей координат:
kn = kx sin2 а 4- ky cos2 а + 2kXy sin a cos а. (6)
Сравнивая оба выражения для кривизн kn, приходим к треть-
ей формуле (5). В отличие от пластин в оболочках величины kx,
ky и kxy будут представлять приращения кривизн.
II и III схемы трещин отличаются от первой тем, что здесь нет
сплошной поверхности бетона. Для этих схем характерно активное
участие в работе арматуры и сплошных полосок бетона между
трещинами в верхней и нижней зоне плиты.
Группа схем трещин П отличается от группы Н принципиаль-
но тем, что полосы бетона в зонах с трещинами для группы /7,
ввиду нарушения сплошности бетона по двум и более направле-
ниям, уже не смогут самостоятельно воспринимать усилия и оп-
ределять деформации элемента в каком-либо направлении (бетон
будет играть второстепенную роль, оказывая лишь влияние на
коэффициенты усреднения деформаций арматуры).
Как и в теории упругих плит и оболочек, принимаем статиче-
скую гипотезу, согласно которой влияние напряжений на пло-
щадках, параллельных серединной поверхности, можно не учи-
тывать.
135
Безмоментное напряженное состояние элемента с трещинами.
Прежде чем перейти к анализу деформаций элементов с трещина-
ми при совместном действии моментов и нормальных сил, рас-
смотрим безмоментное напряженное состояние некоторого эле-
мента. Выделим из элемента плиты некоторую тонкую пластину
толщиной h(h<z<zh), однако это может быть некоторая само-
стоятельная пластина (при этом fm=Fi/Si), у которой обобщен-
ный слой армирования располагается на ее серединной поверх-
ности. Представим, что эта пластина находится в условиях пло-
ского однородного по ее толщине напряженного состояния, т. е. на-
гружена силами Nx, Ny и Nxy,° приложенными на уровне ее сере-
динной поверхности (рис. 2, а). Решение аналогичной задачи для
произвольного армирования дано в [9].
Рис 2. к определению напряжений в арматуре в трещинах пластинки при трех-
осном армировании
а — малый элемент; б—{расчетная схема; / — арматурные стержни; 2 трещины
Определим напряжения в арматуре при схеме непересека-
ющихся трещин (см. рис. 2, а). Трещины предполагаются сквоз-
ными, в результате все усилия через трещину могут передавать-
ся только по арматуре. Обозначим через Qai(i=x, У, j) нормаль-
ные, а Таг касательные напряжения в арматуре в трещинах.
Проектируя все силы, приложенные к граням треугольной
призмы (рис. 2,6), выделенной из малого элемента, на оси х и у
получим:
Nx sin а 4- Nyx cos а = uaX fax sin а aa/ faJ sin (a 4- 0/) cos 0/ 4-
+ ~ay fay COS а — Ta/ fa/ Sin (a + 0/ ) sin 0/ J
Nv cos а + Nxy sin а = oay fay cos а 4 <Ta/ fa/ sin (a + 0/) sin 0/ +
4- fax sin a + ta/ fa/ sin (a 4- 0/ ) COS 0/ ,
(7)
где a — угол наклона трещины к оси х-
136
В (7) входят шесть неизвестных напряжений в арматуре, для
определения которых необходимы дополнительные уравнения. В
связи с этим рассмотрим некоторые деформационные зависи-
мости.
На рис. 3, а показана схема перемещений в бетоне абсолютно
гибкого 1 и абсолютно жесткого 2 на изгиб стержня при раскры-
тии трещин (где /т — расстояние между осями трещин; ат — ши-
рина раскрытия трещин). Реальная арматура занимает промежу-
точное положение (<3 на рис. 3,6), однако ее осевая линия также
Рис. 3. К выводу условий совместности деформаций арматуры в трещинах
<а, б — фрагменты поверхности с трещинами; в—расчетная схема; / — абсолютно жесткий
на изгиб стержень; 2—абсолютно гибкий стержень; 3 — реальный стержень; 4 — края тре
щины; 5—полосы бетона между трещинами
проходит через точки Оь О, О2. Из рис. 3, а следует, что раскры-
тие трещин связано не только с осевыми (uai) перемещениями
стержней в бетоне, но также и с некоторыми тангенциальными
В результате последних в стержне возникают касательные
напряжения и стержень изгибается (можно сказать, работает как
некоторая балка на упруго-пластическом основании). Точка пе-
региба стержней находится на пересечении их с осями трещины (в
этих точках изгибающие моменты в стержнях равны нулю). На
осевой линии трещины будет соблюдаться совместность переме-
щений всех стержней, пересекающих отрезок трещины AZ=1- Это
нетрудно установить на рис. 3, а, где перемещение точки О J
произвольного стержня в положение Ох можно выразить одно-
значно в функции только двух величин: 0,5 ат и 0,5Д (А — воз-
можный сдвиг берегов трещины). Указанный анализ позволяет
определение усилий в стержнях свести к решению задачи, пред-
137
ставленной на рис.. 3, в, где стержни трех направлений выдерги-
ваются из толщи бетона силами:
Л\ = Nx sin a +NyX COS a; TV2 = Ny cos а
I- Nxy sin a.
(8)
Причем, чтобы не затемнять рисунок, все стержни однотипного
направления совмещены в одном луче (и в дальнейшем изложении
будем прибегать к этой схеме, сосредоточивая арматуру на сере-
дине элемента). Длина луча Ц и площадь Fai арматуры в луче
будут:
/z = 0,5 ZT/sin (a -i- pz ); Fat- : < “fai sin (a + pz ) (i = x, y, j). (9)
В (9) представлена краткая запись шести выражений, кото-
рые можно получить заменяя индекс i поочередно на х, у и /.
В точке О имеется шарнирное соединение стержней, а в точ-
ках пересечения линии cd с линиями стержней перемещения сы
равны нулю и возможен лишь их жесткий поворот. Однако, как
показывают эксперименты, перемещения реальных стержней
затухают уже в некоторой зоне Ц (рис. 3,6, в), примерно крат-
ной 0,5 /т, но меньшей чем 0,5 /т.
Условия совместности деформаций в точке О приводят к четы-
рем недостающим уравнениям:
илХ = иау - иалuai cos р7 — vai sin р7 = yav;
ual sin p7 | vai cos p7 = v, 1Л-.
Представим uai и vm в виде:
__ f °aZ
^aZ — ^aZ •'i — ZTZ' ' “ »
2Ea/ sin (a -I- pz )
(10)
(И)
vai = nt
2Eai sin (a + Р/ ) ’
(12)
(i = X, y, /),
где еаг — средние относительные деформации стержня;
£аг — модули упругости арматуры;
Таг — коэффициенты усреднения деформаций арматуры, по-
добные коэффициенту Т В. И. Мурашова;
rii — некоторые параметры, учитывающие податливость бе-
тонного основания у трещины тангенциальным пере-
мещениям стержня.
На основании (10) и (12) можно исключить значения ra* из
(7) и получить следующую систему уравнений:
138
1
1
а;
AG-sin а + Nyx COS а =
Пах fax Sin ОС -у"
+ Х/ аа/ fa/ sin (« + ₽/) COS Р/ ;
sin а =-----
Ху
+ Ч Ъй hisin (а + ₽/) sin Р/ ;
sin (а + р;. ) cos ру
sin (а + Ру ) sin Ру _ п
. "ах „< Пау — П,
Е rsina Е^,, cos a
a-v ау
где
1 _ } _} £ау /ау COS2 a , Eaj faj sin2 (a + Р/ ) .
X-v «у fax Eax sin2 a nj fax E'ax sin2 a
1 , , Eax fax sin2 a , Eaj fa/ sin2(« + ₽/ )
- --- 1 "T" ~ ~ ’
/vy nx fay EaiJ cos2 a rty fa v E3ty cos2 7
ky = (1 — l//2/).
(И)
Третье уравнение (13) является условием совместности сред-
них деформаций арматуры. На основании экспериментов удалось
упростить выражения (14), положив
cr .
Это упрощение стало возможным в связи с тем, что касатель-
ные напряжения таг во многих случаях играют второстепенную
роль по сравнению с оаг-, поэтому даже приближенная оценка таг
сказывается не столь существенно на точности определения основ-
ных величин оа[. В процессе накопления экспериментальных дан-
ных выражения (14) можно будет при необходимости уточнить.
Из уравнений (13) находим значения напряжений в арматуре:
(Nx + Nух ctg a) cla (Ny+Nxy tg a) C2a
Tax E'ax* ’ fay Eay *
(Nx + ctg _________(^-+ A^yx ctg a) Xj
fax f2ax Eax ®
(A^y ^xy tg a)
fay fax ^ay ®
(15)
£la ^2я / а/ ^х^
139
где
(Ny + Nxy tg a)
^3y f
(Ny 4" Nxy tg a) c2'j!'j
f2 e' Ф
'ay ay
(A^.v + Nyx ctg q) XA. Xy cla c2a fa/ x7
fax fa v ^ax Ф
/ 1 । faj Cla^x^j fa/ C2oAy Ъ*
\ ^aj ^ax f&yEay
cla = cos2 p; -J- ctg a sin Р/ cos 0/;
c2t = sin2 P7 4- tg a sin 07 cos 07 .
! (16>
।
)
Согласно (11)—(12) средние деформации арматуры будут
равны:
£ах == ^ix.jE'axt &ау == &ау/Еау> ^aj — Gaj/Eaj* (17)
Из предыдущего анализа следует, что величины еаг непосред-
ственно связаны с раскрытием трещин и поэтому вдоль трещин
(вдоль ОСИ t) 8а/=0.
Покажем, что величины еаг — тензорные величины. Для этого
достаточно показать, что третье уравнение (13) является некото-
рым тензорным преобразованием, т. е. к (13) можно прийти на
основании известных преобразований компонент тензора при по-
вороте осей координат. Запишем:
£а/ = 0 = £ах cos2 а + say sin2 а — Yaxy sin а cos а; ]
еа/ = eajr COS2 Р/ 4- %, sin2 р/ 4- Yaxy sin р/ cos ру, j '
где yaxy — сдвиговая компонента тензора средних деформаций
слоя арматуры в осях х, у (тензор будет характеризоваться тре-
мя Компонентами 8ах, &ау и Таху).
Исключая значение уахУ из уравнений (18), придем к условию*
(13).
Определим ширину раскрытия трещин. Деформации вап эле-
мента от раскрытия трещин перпендикулярно линии трещин
(вдоль оси п) можно выразить так (используя значение первого
инварианта тензора деформаций):
£ал 4“ еа/ — еа-г "Г £ау»
Ширина раскрытия трещин
или (при sa/
ап ~ат
(19)
6ZT — £а« Аг — (£ах 4” £ау) Аг> (20)
где /т — расстояние между трещинами.
При определении расстояния между трещинами будем исхо-
дить из следующих предпосылок:
а) расстояние /т невелико и можно пренебречь изменениями
напряженного состояния на этом отрезке;
140
б) можно пренебречь изменениями угла наклона смежной тре-
щины по отношению к первой трещине.
Рассмотрим поведение арматурных стержней произвольного
i-ro направления в момент трещинообразования (рис. 4). Напря-
Рнс. 4. Фрагмент поверхности плас-
тины с трещиной. К определению рас-
стояний между трещинами
/ — арматурный стержень; 2— эпюры из-
менения растягивающих напряжений в ар-
матурных стержнях; ob — первая трещина;
<cd—линия образования смежной тпепы
НЫ
жения у первой трещины ab в момент образования смежной тре-
щины cd обозначим через а напряжения в арматуре в мо-
мент, предшествующий трещинообразованию, — через a°z. По
аналогии с теорией В. И. Мурашова [7] для одноосного напря-
женного состояния примем, что смежная трещина возникает на
таком расстоянии /т, при котором напряжения в арматуре, ввиду
действия сил сцепления между арматурой и бетоном, уменьшают-
ся с величин ojz соответственно до величин оА , а усилия в бето*
не на площадках, параллельных трещине, возрастут от нуля у
трещины до значений, вызывающих образование новой трещины.
Исходя из указанных предпосылок, можно записать:
О'а/ /а/ === П’а/ /а/ = О)/ Тсц S[ (f = X, Z/, /), (21)
где о), — коэффициенты полноты эпюры касательных напряжений;
— максимальные касательные напряжения сцепления
стержней с бетоном;
Si — периметры площадей арматуры /а/.
•Согласно рис. 4 расстояние между трещинами
/т = 1т£ sin (а + pz) (i = х, у, j). (22)
Полагая в (22) /=х, у, jt получим три значения /т. Действи-
тельное расстояние между трещинами будет равно максимально-
му из указанных трех значений /т, так как максимальное указы-
вает на линию, где полностью восстановлено сцепление всех трех
направлений арматуры с бетоном- В момент после трещинообра-
зования ojz можно представить в виде:
(Та/ = Па/ + OaZ, ТОГДЗ (Та/ /а/ = <«/ ^сц 5/ /т/, (23)
где n^z— дополнительные напряжения в арматуре, вызванные пе-
рераспределением усилий с бетона на арматуру по линии трещи-
ны. Если предположить, что трещины образуются по площадкам
141
главных растягивающих напряжений, тогда в момент перед тре-
щинообразованием (см. рис. 4, б).
Nx Н * Nyx ctg а = Ny + Nxy tg а = Rph,
(24)
где /?р— прочность бетона на растяжение.
В дальнейшем поступаем так: подставляя (24) в (15) и при-
нимая Е'~Е' ~Е' находим значения а*. так же, как аал
Затем на основании (23) и (29) находим три значения /т:
С2а fa/ Ч С1а С2а fa/ Ъ’ |~
------ ------- иCOS а;
fay Фо far Фо /
(25)
Uj vj7 sin (а + ру ),
где
(I = х,
sz
^/> /)>
di — диаметры стержней
В расчет вводится максимальное из трех значений /т. В пер-
вом приближении можно принимать коэффициент rji равным ко-
эффициенту т] из СНиП П-В. 1-62- Зависимости (25) обладают оп-
ределенными недостатками, так как не учитывают изменения рас-
стояния между трещинами в процессе нагружения [6]. Этот во-
прос требует дальнейших исследований.
Деформирование пластин и оболочек с трещинами. Общий вид
физических уравнений. Как будет показано ниже, расчет плит и
оболочек с трещинами будет сводиться к расчету некоторой не-
линейной анизотропной системы. Основная задача исследования
заключается в анализе напряженного и деформированного состо-
яния элементов при разных схемах трещин и установлении физи-
ческих уравнений для этой системы. Геометрические уравнения и
уравнения равновесия по сравнению с теорией упругих пластин и
оболочек изменений не претерпевают. В общем виде физические
уравнения (вывод их дан ниже) для всех схем трещин могут
быть представлены в виде:
142
kx = Mx + + B13 Myx B\\Nx + B12 Ny 4~ B13 ^y**»
ky = B12MX 4" B22 My 4“ S23MXy 4“ В12 Nx 4- B22 Nу + B23 Nxy,
2kxy = B13 Mx 4- B23 My 4- Взз MXy 4- В1з Mx 4- B23 Ny 4- В^Ху,
£(0)x = Cn ^ 4-^2 A^v + C13A^y V 4-Си Mx 4- Ci2/Wy4- С13Мул;
(26)
£(0)z/ = C12 Nx 4"u^22^y 4~ C23JVXy 4" Ci2Mx 4" £22 My 4" Сгз^^у’
Y(O)xz/ = C13NX + C23Ny 4-rC33 AGry44~ C13 Mx 4- СгзМу 4“ Сзз^^у» j
где kx, ky, kxy — кривизны (для оболочек — при-
ращения кривизн);
Е(о)х, 6(0)2/, У(о)х2/ — относительные деформации сере-
динной поверхности;
Мх, Му, Мху — моменты;
Nx, Ny, Nxy — нормальные силы (приложенные
на уровне серединной поверх-
ности) ;
Bih, B*k Cik, C*ik (i, k = \, 2, 3) — жесткостные коэффициенты (их
значения будут зависеть от схемы
трещин и схемы армирования).
Приведем первоначально вывод физических уравнений для пла-
стин, а затем укажем на особенности их применения к расчету обо-
лочек.
I схема трещин. Выделим из соответствующего участка плиты
малый элемент (рис. 5), который не
терная трещина, расположенная в
нижней зоне и проходящая под
произвольным углом а к оси х (ни-
же будет также рассмотрен случай,
когда трещина расположена в вер-
хней зоне). Рассмотрим работу
элемента в трещинах ;и вдоль тре
щин, где она представляется наи-
более ясной (будем раздельно оп-
ределять средние деформации эле-
мента от усилий, действующих по
сечению трещины и сечению, нор-
мальному к трещине).
Примем для пластин декартову
систему /координат, представлен-
ную на рис. 5, *и традиционное пра-
вило знаков для моментов и
нормальных сил [10]. На всех схемах будут представлены поло-
жительные значения моментов, нормальных сил и напряжений.
а) Напряжения и деформации элементов от
действия усилий, приложенных по сечению тре-
щины. Рассмотрим первоначально случай (вариант 1а первой
зсекает минимум одна харак-
Рис. 5. Элемент плиты с трещиной
в нижней зоне
1—контуры трещины; 2 — зона бето-
на над трещиной; НСА — нижний об-
общенный слой Э|рми|рования
143
пряжении в бетоне над трещинами
sinoi
Рис. 6. К определению расчетных напряже-
ний в арматуре и бетоне на площадке ниж-
ней наклонной трещины
а — схемы усилий в трещине; б — схемы усилий,
приложенных к боковым граням призмы
схемы), когда трещина расположена в нижней зоне. Выделим из
элемента треугольную призму, отсеченную по нижней трещине
(рис. 6). В трещинах усилия будут передаваться через арматуру,
которая может воспринимать продольные и касательные к направ-
лениям стержней усилия. Эти усилия прилагаются непосредствен-
но в местах трещин, на чертежах они схематически вынесены за
пределы трещины. Если характер работы арматуры в трещинах
ясен из предыдущего анализа, то работа бетона над трещинами
требует пояснения.
Обозначим высоту бетона над трещинами через хт. Эпюры на-
т криволинейными, кроме
этого (в начальной ста-
дии работы элемента с
трещинами), возможны
еще некоторые растяги-
вающие напряжения ь
бетоне над трещиной. Од-
нако учет действительных
криволинейных эпюр на-
пряжений в бетоне над
трещинами встречает по-
ка еще целый ряд непре-
одолимых трудностей да-
же для балок. Поэто-
му, следуя теории расчета
железобетонных балок с
трещинами [8], поступа-
ем следующим образом.
Влиянием растянутого
бетона над трещинами
пренебрегаем (этот фак-
тор приближенно можно
учесть корректировкой
жесткостных коэффици-
ентов в начальный мо-
мент после трещинообра-
зования). В расчет вво-
дятся прямоугольные
эпюры сжимающих на-
пряжений бетона над
трещинами. Естественно, при такой схематизации, чтобы получить
величины напряжений в бетоне в крайних фибрах, близкие к ре-
альным, необходимо вместо действительной высоты хт ввести ус-
ловную высоту сжатой зоны. В отличие от балок, для пластин (в
общем виде) необходимо вводить две условные высоты. Будем при-
нимать для проекции напряжений атх в бетоне над трещиной на
ось х условную высоту хтх, а для проекции напряжений от?/ — хту,
(см. рис. 6).
144
Необходимость в такой схематизации поясним на примере. Мож-
но представить случай, когда одна из эпюр сгтх, оту будет прибли-
жаться к прямоугольной, а вторая— к треугольной. В этом случае
замена обеих эпюр на прямоугольные с одной высотой хт может
привести к погрешности в вычислениях напряжений. Однако этот
вопрос еще требует проведения дальнейших исследований. Выпол-
ненные уже исследования показывают, что в целом ряде частных
случаев можно принять xTX=xTy==xT. Например, когда площадка
трещины будет главной площадкой или когда бетон над трещина-
ми будет деформироваться в упругой стадии. Схема прямоуголь-
ных эпюр напряжений в бетоне с одной высотой хт принималась в
работах [2—4].
Как и в теории балок, при анализе деформаций бетона прене-
брегаем влиянием слоя арматуры, расположенного в сжатой зоне.
Предполагаем, что после появления трещин можно также пре-
небречь коэффициентом поперечной деформации бетона как в сжа-
той, так и в растянутой зоне-
Составляем два уравнения равновесия моментов относительно
осей I и II:
(Мх + N.v Z6x) sin а -'г (МуХ + NyX z6x )cos а = [ааЛ. Д1Л. sin а -|-
+ аа/ faj sin (а + p7 ) cos py -1- T,,y f.Ay cos а —
— 7a/ faj sin (a + Pz) sin p; ] z,;
(7WV + Ny z6y) cos a 4- (MXy + NXy z6y) sin a - [<y.ty fay cos a +
+ aa/ faj sin (a 4- py ) sin pz + таА- fax sin a -|-
+ faj Sin (a -I- pz )cos pz 1 zy.
(27)
Значения z^x, z^ zx и zy показаны на рис- 6. Обозначая в (27):
Nx - (Мх -|- Nx z^lz/, Ny - (My + Ny %)/zyt
Nyx (Л1уА- NyX z6x)/zx; Nxy = (^4ry -f- NXy 2^^lzyy
(28)
можно установить полную аналогию между (7) и (27). В резуль-
тате решения (27) придем к формулам (15) и (16) для напряже-
ний Оаь Пах» Оау в арматуре, где лишь необходимо Nx, Nyx, Ny и
Nxy заменить их значениями из (28). Деформации арматуры е.н
будут определяться по формулам (17).
При определении величин ааг- (из 29) необходимо знать моду-
ли E'ai . Задача решается методом последовательных приближений.
В первом приближении можно принять £'х =Е 'ау =Еа£ • При
/а;=0 знание модулей Е'ах и Еау при определении оах и аау не тре-
буется.
Составляя два уравнения равновесия моментов относительно
нижнего обобщенного слоя армирования, получим значения проек-
ций напряжений в бетоне над трещинами на оси х и у (оТх и от?/):
145
(Мх — Nx za) sin а + (Myx — Nyx za) cos а
атЛ-
2д- Хтд-
(Л4У — za) cos а + (Мг у — Л/д-у za) sin а
ТТ —-------------'--------------------------2--------------------
'-'ту
Zy X'ly
Нормальные аТп и касательные тТп/ напряжения в бетоне над
трещиной.
оТл = атХ sin а оту COS а; тт nt = — <7TV cos а 4- аТу sin а.
Предполагаем, что бетон над трещинами будет деформировать-
ся как некоторый ортотропный материал, оси ортотропии которо-
го проходят вдоль и перпендикулярно линиям трещин-
Принимая по аналогии с балками [7, 8] модуль деформации
бетона на верхней поверхности пластины перпендикулярно лини-
ям трещин в виде Е 'б, где
Е>б Е& \')/Фб>
определяем средние деформации элемента на верхней поверхности
от действия оТп и ТТп^
£бп ат/г/^б» nt Тт л//^б’ £б/ ~ 0» (30)
где 8gZ —деформация элемента вдоль трещин от действия отп и
Ттп Г
Используя формулы преобразования типа (4) и выражения (30),
получим значения средних деформаций бетона вдоль осей х и у:
6бх = sin я/£б; г6у = стту cos а/Е'б. (31)
Кривизны k' k' и k' и относительные деформации элемен-
та на уровне серединной поверхности е'0)х, s'0)f/, y\Q}xy от дей-
ствия напряжений, приложенных по сечению трещины, будут
равны:
k'x = (е« * — e6xW Ь'у = (еау - е^)/й0; k't = 0.
2/г^ = k'x ctg а + k' tg а — k'f/sin a cos а = k'x ctg а + tg а;
(32)
e(0)x = °’5 (еа>-Л/Ло +еоебх); e0 = 2 — h/h0;
e(0)i/ = °’5 (®ауЛ//го + «оеб,Л e(0)/ (вдоль трещин) = 0; (33)
Y(0)w = e(0)xctga + e;0)//tga.
При выводе жесткостных параметров (с целью упрощения рас-
чета) можно принять е0~1.
146
Используя зависимости (15), (28) и (39), легко выразить зна-
чения относительных деформаций и значения кривизн в функции
от Mx, Mxyt NXl Ny, Nxy.
Рассмотрим некоторые особенности расчетных формул для
случая, когда непересекающиеся трещины будут проходить в верх-
ней зоне элемента (вариант 16 первой схемы трещин). Схема 16
будет аналогична схеме 1а, поэтому остановимся на ней весьма
кратко.
Чтобы отличить параметры схемы 16 от аналогичных парамет-
ров схемы 1а, будем присваивать первым верхние штрихи. Напри-
мер, угол наклона трещин а будет обозначаться как а' и т. д.
Рис. 7. Расчетная схема усилий и напряжений на площадке верхней
трещины
ВСА — верхний обобщенный слой армирования
Рассматривая равновесие треугольной призмы, отсеченной
верхней трещиной (рис. 7), найдем напряжения в верхней армату-
ре (У сг'^ и о'. и проекции напряжений в бетоне над трещина-
ми<хи
, (Мх + Nx z') sin а' + (Myr + Nyx z ) cosa'
O' ----------------------------1—_-------•
tx , , >
zx
. _ (My + Wy z') cos a' + (Mxy + Nxy z'a) sin a'
XT 7 Zy
Напряжения в арматуре о 'aj, а'*, будут определяться по
формулам (15) и (16), где необходимо принять:
147
•5Vx — ( Nx z$x)IZx\ Nу — ( My Nу z6y)lzyi
N yx == ( Myx N yx Zfa)/Zx\ Nxy = ( MXy + Nxy Z6y)!zy.
а всем остальным величинам присвоить верхние штрихи.
Средние относительные деформации e*z верхней арматуры и
бетона на нижней поверхности ъ"бх и вдоль осей х и у от дейст-
вия усилий, приложенных по сечению верхней трещины, будут
равны:
ъ'/ = <з'-1Е”. (i = x, у, е" = ст' sina'/f";
at at' ai ' ’ -J ’ J n ox tx ' 6’
e" g' cosa'/fl,
бу ту 1 б’
(36)
где Е".— секущие модули деформаций верхней арматуры, анало-
гичные
Я С
Е^ — то же, что и Е'б> только для нижней поверхности бетона-
Кривизны и относительные деформации элемента на уровне се-
рединной поверхности для схемы 16 будут определяться из выраже-
ний (32) и (33), где необходимо заменить:
kx, ky на — kXi —ky\
» £!,. на е . в : на , в- :
*1Л» а у ах’ ay’ бх’ бу бх’ бу’
Аона Йо-
(37)
б) Определим напряжения и деформации пли-
ты от действия усилий, приложенных по сечению,
нормальному к направлению трещины. Для этого вы-
делим из характерного элемента треугольную призму (рис. 8), на-
клонная грань которой пройдет перпендикулярно линиям трещим.
На основании рис. 8 определим суммарные нормальные и каса-
тельные напряжения в верхнем oz и т zп и нижнем Gt и xin во-
локнах бетона:
6Л4,
h2 Mi
^Mtfl
h2
6Л4, , Nt .
h2 w2 h
SMtn . Nfn
h2 co2 h
Значения коэффициентов oi и a>2 указаны в [3] .
Полагая в общем виде, что полоски бетона на верхней поверх-
ности деформируются с некоторым секущим модулем бетона Ев,
148
а в нижней с модулем EHi по
аналогии с (30) можно опреде-
лить деформации полосок бетона
на обеих поверхностях пластины.
Выражения для относительных
деформаций элемента вдоль осей
х и у на верхней 8ВХ, еву и ниж-
ней 8нх, ену поверхности элемента
устанавливаются по аналогии с
(31), так:
6 (Мх cos2a —7И
sin a cos a)
h2 Z?u
Nx cos2 a — Nyx sin a cos a
а)
tn
Ж™-,
6)
NJh
/e
t
N„ sind
An
MQX Sind
J
.yX sind
ri cos d
у
6 (My sin2 a — Mxy sin a cos a)
h2 <o1
Ny sin2 a — Nxy sin a cos a
Е» h
6) 5
MQsind
N
m
N cosd
лу
cos d
Ntn
Рис 8. К определению напряжений на
площадке, нормальной к площадке
трещины
а —эпюры напряжений в сечениях бето
.на, нормальных к направлениям трещин
от 1моментов; б —то же, от действия нор
мальных сил; в — схема моментов и нор-
мальных сил, 'приложенных к граням тре-
угольной призмы ЕМ Д Е'М'Д'
Заменяя в этих выражениях
перед первым слагаемым знак-
минус на знак плюс, oh на
Ев на Ен, из первого выражения
получим значение еих, а из вто-
рого 8цу.
Приращения кривизн элемента k"x, /г" и k"xy и деформаций
на уровне серединной поверхности e'('0)v, s^0)/y H*Y(0)xr/> вызванные
усилиями, приложенными к полосам бетона между трещинами,
будут равны:
k"x = (е»л — en.v)/A; k"y = (е„у — е11у)/А; k"n = 0;
2^= — ^tga— /г/tga;
®(0)x = 0,5 (^nx 4~ ®вл)> ®(0)y = 0’5 (6пу "Ь ®ву)>
6(0)n = 0’ = е(0)л: a E(0)y a‘
(39)
(40)
Общие кривизны элемента пластины (для оболочек прираще-
ния кривизн) будут равны сумме величин (32) или (37), в зависи-
мости от того, на какой поверхности располагаются трещины, и
(39):
kx = k' +k"- k=k’ +k’; krv = k', + k"
л x 1 x1 У у 1 у9 ЛУ ху 1 ху
(41)
По аналогии с кривизнами полные относительные деформации
на уровне серединной поверхности:
149
8(О)Л- 8(0)л- ! е(0)х’ £(0), е(0)у 8(0)//’
Y(O)xf/ Y(O)xy : ^(О)ху'
(42)
Подставляя в (41) и (42) значения составляющих k'x, k’, k"x,
8(о)х и т- д-’ выраженные через моменты на основании приведен-
ных выше формул, придем к уравнениям (26).
Вторая схема трещин (схема непересекающихся сквозных тре-
щин). Пусть элемент на рис. 5 пронизывает сквозная трещина. Вы-
делим из этого элемента треугольную призму (рис. 9), наклонная
грань которой пройдет по сквозной трещине. Составляя по два
уравнения равновесия моментов относительно нижнего и верхнего’
обобщенных слоев армирования и решая эти уравнения так же,
как (27), придем к выражениям для сгаг и аа/, Еаг- и еа/, анало-
гичным (15), (28), (35), (17) и (36). В (15), (28) и (35) примени-
тельно к сквозной трещине необходимо внести лишь следующие
изменения: при определении оах, оау и aaj принимать z^x = z^y= s';
zx=zy=z\ при определении <у'л, и о С принимать = г.л\
zx y=z: Величины za, г'и z определяются на основании рис. 9.
Приращения кривизн элемента и деформаций серединной по-
верхности от действия усилий, приложенных по сечению сквозной
трещины, определяются из выражений (32) и (33), где необходи-
мо заменить s^x , на е'х , е'ау; /г0 на z; 0,5 Л/Ло на z’ /z; 0,5ео
на za/z.
При выводе жесткостных коэффициентов будем принимать
z'a/z^za/z~0,5.
Работа элемента вдоль трещин будет проходить по схеме рис. 8.
Суммарные приращения кривизн и деформаций серединной по-
верхности определяются по аналогии с (41) и (42). Вторая схема
трещин является переход-
ной от моментного к безмо-
ментному напряженному
состоянию.
Третья схема трещин
(рис. 10) —характерный
элемент пересекают две
трещины, из которых одна
расположена в нижней зоне,
вторая — в верхней (слу-
чай двух трещин разных
зон). Можно представить
себе случай, когда трещины
в обеих зонах будут распо-
ложены под произвольными
не зависящими друг от
друга углами. Будем рас-
Рис. 9. Схема усилий в арматуре в сквоз-
ной трещине
150
сматривать лишь наиболее распространенную схему, когда
плоскости, проведенные через нижнюю и верхнюю трещи-
ны, взаимно ортогональны (а'~90°+а). Анализ работы элемента
с ортогональными трещинами разных зон сводится к рассмотрению
двух призм, одна из которых отсечена нижней трещиной (см.
рис. 6), а вторая — верхней (см. рис. 7). Для определения напря-
жений арматуры и бетона будут справедливы формулы (27) — (37)-
Рис. 10. Прямоуголь-
ный элемент пли гы,
имеющий одновре-
менно трещины в
верхней и нижней зо-
не
а — общая схема тре-
щины; б — частная схе-
ма двух ортогональных
трещин разных зон
(плоскости, проведенные
через трещины нижней
и верхней зоны, будут
взаимно ортогональны);
ПСА — нижний обобщен-
ный слой армирования:
ВСА — верхний обобщен-
ный слой армирования
Суммируя приращения кривизн и деформаций серединной поверх-
ности, полученные из рассмотреия указанных призм, придем к
уравнениям (26) и определенным значениям жесткостных коэф-
фициентов.
Обобщенные выражения жесткостных коэффициентов для раз-
личных схем трещинообразования. При анализе жесткостных коэф-
фициентов, выведенных для рассмотренных выше конкретных схем
трещинообразования, можно установить, что, несмотря на разли-
чие, все они имеют много общих, но повторяющихся в различных
комбинациях параметров. Это дает возможность формально, с
целью более компактной записи и удобства в использовании при
расчете элементов на ЭЦВМ, составить на основании конкретных
жесткостных коэффициентов их обобщенные выражения так, что-
бы из последних можно было получить жесткости для любой схе-
мы трещины. Обобщенные значения жесткостей можно записать в
таком виде:
— #i + ах + а% -|- #3 bi 4- 4" (Ь3 4“ cos2 а»
В22 = а2 4" Ч- ^4 + ^4 + ^2 Ч~ ^2 (^з Ч- sin2 а’
^зз = (Я1 + th 4- а3 4- а3) ctg2 а 4- (а' 4- b'2) tg2 а'4-
4- («2 + Ь2 4- а4 -1- <) tg2 а 4-- 4- b\) ctg2 а'4-
+ 4“ ^4 — 2 (а6Ч-аб + щ 4 я7);
В12 = — (а6 4" я7 Ч- aQ + a7)f
(43)
151
Bis = («i + а3 + а' + th) ctg а + (а; — b'J ctg а' —
— 0з + Ьл) sin а cos а — (н6 + а7 4- а7) tg а — tg а';
В23 = («2 + а4 + а' + b2) tg а + (а' + ft') tga' —
— (b3 + bt) sin а cos а — (ав + а7 4- а') ctg а — а' ctg а';
В’] = т1 — т\ + т3,
~ т’2 + т*>
В*3 = (тх + /и3) ctg2 а 4- (т2 Ц- т4) tg2 а — т\ ctg2 а' —
— т2 tg2 а' —2 (2бс ав + z* а7 — Zgc а3— za а7);
5]2 = (z^ ов 4" za c7 z6c а6 za а7),
В*13 = (т1 + тз) ctg а — т\ ctg а'4- z'c а' tg а' —
— (z6c ав + z' а7 — а7 za) tg а;
В’з = (т2 4- m4) tg а — т2 tg а' 4- z'6c a'6 ctg а.'—
— (z6c «в + а7 za — а7 гл) ctg а;
Си = 0,5 (Ло пг 4- h'o п[ 4- z п3) 4- 0,08 (b3 w2-|-ft4 °>i) h2 cos2 а;
С22 = 0,5 (Ло п2 4- h'o п2 + z п4) 4- 0,08 (bs ш2 + А4 wi) h2 sin2 а;
С33 = 0,5 (Йо 4- zn3) ctg2 а 4- 0,5 (й0 п.г 4- г п4) tg2 а 4-
4- 0,5 й' п\ ctg2 а' 4- 0,5 h'o п2 tg2 а' 0,08 й2 (Ь3 «>2 4 64 o>j) —
^0 ^"бс Zqq CIq Hq z (za tZ7 4- Za Пу),
C12 = — 0,5 (fto z6c a3 4- Zgc а' A') — 0,5 z (z' a7 4- za a');
C13 = 0,5 (Ao /?! 4- z n3) ctg a 4- 0,5 A' n' ctg a' —
—0,5 (z6c Ao ae 4- z z' a7 4- z za o') tg а — 0,5 z^. A' a& tg a' —
— 0,08 A2 (A3 <o2 4- ft4 coy) sin a cos a;
C23 = 0,5 (й0 Пг 4- z n4) tg a 4- 0,5 A' n2 tg a' —
— 0,5 (z6c Ao ae 4- z z' n7 4- z za a7) ctg a — 0,5 z'c A' a' ctg a' —
— 0,08 A2 (b3 w2 4- b4 toy) sin a cos a;
CJj = 0,5 Ao (<?! — 6X) — 0,5 A' (a' — b{) 4- m3-
C*2 = 0,5 ho (a2 — ft2) — 0,5 A' (o' — ft') 4- m4,
C33 = l°»5 /го (°1 ~ ^1) + ^s] ctg2 a — 0,5 A' {a\ — ft') ctg2 a! f
4- [0,5 Ao (a2 — ft2) 4- mt] tg2 a — 0,5 A' (a2 — ft') tg2 a' —
(44)
(45)
(46)
152
— hna^ + h^a^ — z (a7 — a');
C’2 = - 0,5 (h0 ae — a'6h'0)~ 0,5 z (a7 — a7);
c;3 == [0,5 h0 («! — bt) + m3] ctg a — 0,5 [ho ae + z a7 — z a7] C*3 = [0,5 ho (a2 — ft2) + tg a — 0,5 [ho a6 [- za7 — z a') ci где 4 / «1 = — 1 “ Eqx fах гх ^o k'x 1 ai = ~~ I 1 ~ Eax f ax zx ^0 \ ^y /1 a2 = , 1 Eay fay zy “® \ ^2 • z / / 1 Eay fay Zy ^0 \ a3 = 1 - Eax fax Z2 \ Ч Л 6ZQ = 1 - 0 // / 1 Eax fax* \ ^У ( 1 a4 = — 1 - Eay fay %2 \ a. = I I - E f z2 \ ay lay* \ cla c2a faj ^У Ъ ab = ;—H; a Eax Eayfaxfay Ф — 0,5 h'Q (a\ — b\) ctg a'— tg a + 0,5 ft'a'tg a'; -0,5ft;(a'-ft;)tga'- tg a-)-0,5 ft'a'ctg </, ^j^x^lafaj \ Eax fax® / _ 4\c (cla)2^a/\ Eax fax®' J Eay fay® J ^)Kl(C^f'ai\. „ , 1 > E f Ф' / ^ay lay^ J Ki^xc<\afaj \ Eax fax^ ) _ f j ^x (cla)2 /аЛ . Eax fax®' J’ 1 j ^y c2a faj \. Eayfay^ / _ ^y (C2a)2/aA. E f Ф' / ay f ay / > c\g C2a faj^x^y ^J 5 n " z z E E f f Ф' ^ax ay 1 ax f ay
a(. == ao/zc ho', a6 = zc = 0,5 (zx + zy); z'c z' oc 1 sin2 a bi= , ; Еб хтх гх bo = a5/z'c h'Q; a7 = a^z2; a' = ctyz2; = 0,5 (z + z'); z6c = 0,5 (z6x + z6v); = 0,5 (гбх 4- z6p, ,, sin2 a' - 6 = ; &3 = ; E^Mh’ En.2h2
15a-
i cos2 a
b2 = —--------------; b2 =
Еб хту 2y bo
cos2 a' ,
-7—,—bi =
Еб XTU z,j h0
6
EB o)i h3
Щ = ar z6x + fei za; n\ = a\ z'6x + b\ z'; n2 = a2 zby + b2z^
n2 =-а2 zt>y + b2 za’ n3 = ^3 < + a3 za; n4 = a4 z; + a\ z.Ai
mi = ar z6x — 6i za; m\ = a\ z6x — b\ z'; m2 = a2 z6y — b2 zA\
m2 = a2z6y ~~ b2z'^ fn3 = a3z'3—d3z.A\ m^ = a^z^—a\zA.
Полагая в обобщенных выражениях жесткостей определенные
коэффициенты аг-, 6л, di9 b'k равными нулю, можно получить жест-
кости для всех схем трещин.
Так, для варианта 1а первой схемы трещин (трещина в нижней
зоне элемента):
= а'7 = 0.
(48)
Для варианта 16 первой схемы трещин (трещина в верхней зо-
не элемента)
ау = а3 = а'3 = 6Г = а4 = а'4 == 62 = а2 = ав = а? = а'7 = 0. (49)
Кроме этого, в тригонометрических функциях, стоящих при
63 и 64, следует заменить угол а на а'-
Для II схемы трещин (схема сквозной трещины):
a1 = b1 = a2 = b2 = a\ = Ь[ = а'2 = Ь'2— а6 = а'6 = 0. (50)
Для III схемы трещин (трещина в верхней и нижней зоне):
а3 — а3 = = а4 = Ь3 = Ь^ = а1 = а'7 = §. (51)
Отметим еще одну особенность жесткостных коэффициентов.
Коэффициенты В*А и C*ik весьма близки по своим значениям. С
целью упрощения расчетов можно будет принять B*ik&C'ik.
Необходимо отметить, что при выводе жесткостных коэффици-
ентов (42) — (47), -с целью их большей унификации и упрощения,
некоторые второстепенные члены были отброшены, а некоторые
усреднены. Точный вывод жесткостных коэффициентов для орто-
тропного армирования приведен в [4].
К определению схем трещин, углов наклона трещин и ширины
их раскрытия. Теоретические условия, характеризующие возникно-
вение той или иной схемы трещин и определяющие углы их на-
клона а, подробно рассматривались в работе [4]. Определение ши-
рины раскрытия трещин в {4] дано лишь для ортотропного арми-
рования. Что касается трехосного армирования, то особенности
вывода формул будут аналогичны тем, которые приведены в п. 2.
Ширина раскрытия трещин будет определяться по формуле (20),
154
а расстояние между трещинами — по формулам (25), где необхо-
димо h заменить на ^б.т/^с, где 1^б.т = ^2/3,5, a zc=O,5(zx + z2/) для
момента после трещинообразования-
Особенности вывода физических уравнений (26) для оболочек.
Примем в качестве координатных линий аир линии главных кри-
визн недеформированной поверхности оболочки. Оси х и у будем
направлять соответственно по касательным к а и р в рассматри-
ваемой точке 0 серединной поверхности, а ось z—нормально к
ней. В отличие от пластин в оболочках, оси хну образуют под-
вижную систему координат. Вырежем у рассматриваемой точки ма-
лый элемент двумя парами смежных плоскостей, нормальных к
серединной поверхности и содержащих линии главных кривизн
(рис. 11), так, чтобы этот элемент пересекала еще минимум одна
Рис 11. К выводу физических уравнений для оболочек
а, б — малые элементы оболочки; в, г — элементы армирования оболочки; / — тре-
щины; 2—сжатая зона бетона над трещиной; 3—слой армирования вдоль ; 4~
слой армирования вдоль ₽; НС А —нижний обобщенный слой армирования
трещина. Пусть, к примеру, это будет нижняя трещина. Главные
радиусы кривизн срединной поверхности обозначим через Rx и
Ry, а толщину оболочки — через h. Тогда радиусы кривизн верхней
и нижней поверхности будут равны:
Rx = Rx + 0,5 й; R* = Ry + 0,5 й; R” = Rx - 0,5 h\
R” = — 0,5 h.
155
Считаем, что толщина оболочки h
усами и Ry и что можно принять:
мала по сравнению с ради-
£>В
т. е. отождествляем геометрию верхней и нижней поверхности рас-
сматриваемого элемента оболочки с геометрией его серединной по-
верхности. В результате вместо элемента с трапецеидальными бо-
ковыми гранями будем рассматривать элемент оболочки с пря-
моугольными боковыми гранями (рис. 11,6).
Рассматриваемый элемент оболочки принимается настолько
пологим по отношению к координатной плоскости хОу, что геомет-
рию его поверхности можно отождествлять с геометрией ее проек-
ции на плоскость хОу у рассматриваемой точки 0. В результате,
например, криволинейный прямоугольный треугольник АВС будет
обладать всеми свойствами плоского прямоугольного треугольника.
Будем пользоваться теми же правилами знаков для усилий и
деформаций и теми же обозначениями усилий и деформаций, кото-
рые принимались выше для пластин. Эти предпосылки дают воз-
можность полностью свести вывод физических уравнений (26) для
•оболочек к приведенному выше выводу для пластин.
Укажем еще на некоторые особенности определения парамет-
ров армирования. Слои армирования предполагаются параллель-
ными серединной поверхности оболочек. По аналогии с пластина-
ми арматуру в двух слоях армирования будем располагать вдоль
линий а и р, а арматуру третьего направления по линиям j неко-
торых нормальных сечений оболочки. Опустим координатный трех-
гранник по оси z на уровень поверхности слоя армирования /, тог-
да угол Рг будет равен углу между касательной к j и осью х
(рис. 11, в)- Шаг стержней Si в каждом слое будет равен кратчай-
шему расстоянию по дуге слоя армирования оболочки между двумя
параллельными линиями стержней. На рис. 11, г показано расстоя-
ние sx между стержнями с площадью Fx. Можно также отождест-
влять для малого элемента геометрию слоев армирования с гео-
метрией их проекций на подвижную координатную плоскость хОу
у рассматриваемой точки 0 и определять параметры армирования
так же, как для элемента пластины. Определение параметров ft и
приведение трехслойного армирования к некоторому обобщенному
слою с параметрами 1м(1=х, у, j) будет производиться по форму-
лам (1)и(3).
На рис. 12, а показаны принимаемые в статье положительные
значения моментов, нормальных и перерезывающих сил, а также
положительные значения радиусов кривизн пластин и оболочек.
В теории оболочек получило распространение правило знаков,
представленное на рис. 12,6. Оба правила оказываются идентичны-
ми, если определять понятие верхнего и нижнего армирования ис-
ходя из направления оси г- Нижнее армирование будет распола-
156
гаться у поверхности z=+0,5/z, а верхнее — у поверхности 2=
=—0,5 h. Например, если исходить из схемы на рис. 12, б, тогда
на рис. 11 (при условии, что ось z будет направлена вверх) будет
представлен элемент с трещинами в верхней зоне.
Таким образом, расчет оболочек с трещинами будет сводиться
Рис. 12. К определению знаков усилий и кривизн
а — правило знаков, принятое в статье; б—распространенное правило знаков для оболочек
к расчету анизотропных оболочек. Теория анизотропных оболочек
представлена в [11]. В [11] также указано на применимость тех-
нической теории анизотропных оболочек с физическими зависи-
мостями типа (26), где предполагается парность крутящих мо-
ментов и касательных сил. В оболочках эта парность может на-
рушаться, однако этим можно пренебречь. Специфика железобето-
на с трещинами учитывается в жесткостных параметрах системы
(26). Задача является физически нелинейной.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гвоздев А. А., Карпенко Н. И. Работа железобетона с трещинами
при плоском напряженном состоянии. «Строительная механика и расчет соору-
жений», 1965, № 2.
2. К а р п е н к о Н. И. О работе железобетонных плит с трещинами. Труды
VI Всесоюзной конференции по бетону и железобетону. Сб. НТО Стройиндуст-
рии, № 1. М., Стройиздат, 1966.
3. Гвоздев А. А., Карпенко Н. И., Крылов С. М. Теоретическое и
экспериментальное исследование работы железобетона с трещинами при плос-
ком однородном и неоднородном напряженном состоянии. В сб.: «Совершенство-
вание расчета статически неопределимых железобетонных конструкций». М.,
Стройиздат, 1967 (НИИЖБ).
4. Карпенко Н. И. Теоретическое исследование перемещений, условий
трещинообразования, ширины раскрытия трещин и условий прочности элементов
с трещинами железобетонных плит и оболочек. В сб.: «Исследования конст-
рукций зданий и сооружений для сельского строительства». М., Стройиздат,
1968 (ЦНИИЭПСельстрой).
5. Карпенко Н. И., Ярин Л. И. Исследование работы железобетонных
плит на ЭЦВМ с учетом образования трещин. В сб.: «Исследование конструк-
ций зданий и сооружений для сельского строительства». М., Стройиздат, 1968
(ЦНИИЭПСельстрой).
6. Н е м и р о в с к и й Я. М. Пересмотр некоторых положений теории рас-
крытия трещин в железобетоне. «Бетон и железобетон», 1970, №3.
7. М у р а ш о в В. И. Трещиноустойчивость, жесткость и прочность железо-
бетона. М., Машстройиздат, 1950.
157
8. Гвоздев А. А., Дмитриев С. А., Немировский Л. М. О расчете
перемещений (прогибов) железобетонных конструкций по проекту новых норм
(СНиП П-В.1-62). «Бетон и железобетон», 1962, № 2.
9. Карпенко Н. И. К расчету железобетонных пластин и оболочек с
учетом трещин. «Строительная механика и расчет сооружений, 1971, № 1.
10. Тимошенко С. П., В о й п о в с к и п - К р и г е р С. Пластинки и обо-
лочки. М., Физматгиз, 1963.
11. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М., Физматгиз,
1961.
С. М. КРЫЛОВ, д-р техн, наук, Аа. И. КОЗАЧЕВСКИИ, канд. техн, наук,
А. Л. ЛЕКАРСКИЙ, инж.
ВЛИЯНИЕ НЕУПРУГИХ СВОЙСТВ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА
НА ВЕЛИЧИНУ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
В КРУПНОПАНЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
НА ПОДРАБАТЫВАЕМЫХ ТЕРРИТОРИЯХ
Многочисленные экспериментальные данные и имеющийся опыт
подработки крупнопанельных зданий свидетельствуют о том, что
применяемые методы расчета, основанные на линейной зави-
симости между напряжениями и деформациями, значительно завы-
шают величины дополнительных усилий, вызванных деформация-
ми основания. Существенного снижения величин этих усилий
можно достигнуть при учете действительных свойств материалов
конструкций.
Методика расчета крупнопанельных систем. Сопоставление из-
вестных моделей крупнопанельных зданий показало, что наиболее
точную картину распределения усилий в системе можно полу-
чить при использовании расчетной схемы в виде системы пластин,
соединенных между собой податливыми дискретными связями
[5].
Расчет этой системы выполняется методом перемещений, урав-
нения которого составляются из условия отсутствия усилий в до-
полнительно наложенных фиктивных связях.
Для линеаризации системы нелинейных алгебраических уравне-
ний, к которым сводится задача при учете нелинейной зависимости
между напряжениями и перемещениями в материале конструкций,
использован метод многоступенчатого нагружения [3];.
Этот метод, являющийся одной из разновидностей шаговых ме-
тодов, удобен при выполнении исследований, так как моделирует
процесс нагружения и позволяет при проведении одного расчета
проследить за распределением усилий между конструктивными эле-
ментами при разных уровнях нагрузки. Математическая суть этого
метода состоит в замене исходной нелинейной системы алгебраиче-
ских уравнений рекуррентной последовательностью линейных си-
стем, коэффициенты которых на каждом последующем этапе рас-
чета зависят от величин перемещений, найденных на предыдущем.
158
На каждом шаге нагружения элементы основной системы ме-
тода перемещений рассчитываются с учетом неупругих свойств же-
лезобетона. Таким элементом является плоская панель,
представляющая собой пластинку с проемом или без него.
В качестве расчетной модели пластинки принята шарнирно-
стержневая система [1]. Возможность использования такой модели
получила подтверждение при экспериментальных исследованиях,
выполненных в НИИЖБ И. А. Гороховой и Л. Н. Зайцевым. При
расчете отдельного стержня модели использованы диаграммы ра-
боты материала, полученные В. И. Мурашовым для растянутого
и Л. И. Онищиком для сжатого стержней.
Жесткостные характеристики связей принимались по рекомен-
дациям [6], а основания — по гипотезе Винклера.
Решение задачи на действие кратковременной нагрузки заклю-
чается в многоэтапном расчете конструкций с добавлением малых
порций нагрузки и с заданием для последующего этапа расчета же-
сткостных характеристик, полученных на предыдущем этапе [8].
Учет длительного действия процессов, протекающих при под-
работке здания, связан с необходимостью совместного рассмотре-
ния нарастающих во времени деформационных воздействий и про-
являющейся одновременно с ними релаксации составляющих уси-
лий, вызванных этими воздействиями. Оценка явления с помощью
решения интегральных уравнений теории ползучести весьма трудо-
емка и в настоящее время вряд ли возможна. Поэтому для реше-
ния рассматриваемой задачи использован приближенный метод,
который позволяет корректировать результаты расчета при мгно-
венном введении в систему вынужденных деформаций.
Будем считать, что распределение усилий от силовых воздейст-
вий с течением времени изменяется незначительно и этим измене-
нием можно пренебречь. Что же касается дополнительных усилий
Фд, вызванных мгновенным деформационным воздействием (на-
пример, вынужденной осадкой опор), то они с течением времени
уменьшаются, релаксируют [4], а величина их оставшейся части
Фд через t суток после их возникновения может быть определена
из выражения
фд = Фд
1 +<Р/
где (р/ — характеристика ползучести, которая в соответствии с [7]
может быть вычислена по формуле
<Р/ = <Роо(1 — e~btY
фоо— предельная характеристика ползучести;
Р — опытный параметр.
При этом снижение усилий ДФ * может быть вычислено как
159
Особенность рассматриваемой задачи заключается в том, что
вынужденные оседания основания здания происходят не мгновен-
но, а развиваются на протяжении длительного периода, продолжи-
тельность которого Т за-
висит от глубины ведения
подземных горных работ
и практически составляет
от 3 месяцев до 3 лет и
более.
В этот период одно-
временно протекают два
противоположных по
своему действию процес-
са — увеличение напря-
конструкциях
непрерывного
вынужденных
Рис. 1. Возрастание усилий в системе в про-
цессе развития вынужденных оседаний ос-
нозания
1—без учета релаксации; 2—с учетом релакса-
ции; 3 — релаксация усилия
жении в
вследствие
нарастания
деформаций здания при
подработке и их релакса-
ции под влиянием линей-
ной ползучести бетона.
Графически это представ-
лено на рис. 1, из кото-
рого видно, что расчет-
ные величины усилий в
мгновенной деформации си-
таком случае всегда меньше, чем при
стемы.
Если допустить, что приращение усилий на k-й ступени дефор-
мации 6Ф* , введенной через th суток после первой ступени, релак-
сирует по тому же закону, что и все усилие при его мгновенном
приложении, то через промежуток времени после начала воз-
действия оставшаяся часть этого приращения [6Ф може^т быть
вычислена как
[6 Ф'ч* =
6ФД
д
Следует учесть, что вынужденные оседания земной поверхности
нарастают непрерывно на протяжении t суток, а приращение уси-
лий за время dt бесконечно малое.
Тогда, используя принцип наложения воздействий, выражения
для определения оставшейся и релаксировавшей частей усилия
фд1 и ДФд1 через промежуток времени tx после начала деформации
запишем в виде:
(U-,
(1)
1 +
160
G ф' (A
A (Di* = Фд (G) - f-------aU... n. dt, (2)
oJ 1 + Фоо[1-е-6('*-°]
где Фд(0 —функция, описывающая нарастание усилий во време-
ни /(Л> />0) в предположении отсутствия ползу-
чести бетона.
Функцию Фд(0 представим в виде:
фд (t) = фд А (Фр В (/), (3)
где Фд— максимальная величина усилия при мгновенной деформа-
ции конструкции на заданную величину, которая вычис-
ляется по начальной жесткости системы;
А (Фд ) — функция, учитывающая уменьшение величины Фд вслед-
ствие падения жесткости конструкций под влиянием
усилий, вызванных кратковременным деформационным
воздействием: А(Фд X 1;
B{i)—функция, описывающая развитие деформационного воз-
действия во времени 0 B(t) 1.
Уравнения (1) и (2) с учетом выражения (3) принимают вид:
о
[а (ф;> в (or
1 +<POo[l-e-6('*-')
(4)
^=фдт<;
tit [А (ф') В (/)]' ]
АФд = А (Ф^В^)- ............(->d .A2L dt фд =
I о Ь1 4-Фоо [1 - е-6 <'*-')] j
= Фд[Л(ФрВ(/1) —у,],
(5)
где yt — поправочный коэффициент к значениям расчетных усилий
при кратковременном деформационном воздействии рас-
четной величины.
Значения функции B(t), учитывающей специфику конкретного
деформационного воздействия, могут быть получены при пред-
ставлении процесса оседания точки земной поверхности в виде:
^макс ^2*
где т]* — оседание точки через t времени после начала процесса
сдвижения;
Лмакс — максимально возможное оседание точки;
Stz — эмпирический коэффициент, характеризующий оседа-
ние земной поверхности [2].
Аппроксимируя значения stz непрерывной функцией, получаем,
чтп при Т^>
fit = •'Ukc (у — 0.15 sin (6)
Предполагая, как это обычно принято при расчете строитель-
ных конструкций на подрабатываемых территориях, что земная по-
161
верхность по длине здания 2/ деформируется по дуге окружности,
можно записать:
/2
Д ^макс ор ’ (^7
^^мин
\ 1 1 /
где /?Мин и R(— минимальный и текущий во времени t радиусы
кривизны земной поверхности;
Аймаке и Дтр — максимальная и текущая разности оседаний
точек земной поверхности по длине здания.
Поскольку усилие от деформационного воздействия [Фд], вы-
числяемое без учета уменьшения жесткости конструкций и релак-
сации напряжений, обратно пропорционально радиусу кривизны по-
верхности, то
[Фд] = (9)
Kt
где Ф — усилие от воздействия единичного радиуса кривизны по-
верхности.
С другой стороны, выражение для вычисления величины [Фд]
может быть записано в виде:
[фд]=^-В(0- (Ю)
''МИН
Сопоставляя формулы (9) и (10), находим, что
в (/) = *!««-. (11)
Rt
Подставляя в (11) значения 7?Мип и Rt, определенные из выра-
жений (7) и (8), окончательно получаем, что в интервале Т
B(t) == 1 — о, 15 sin
(12)
Таким образом, при расчете зданий на неравномерные
кальные оседания подрабатываемой земной поверхности
t
верти-
Л(ф')
— 0,15 sin
2к /\"
— dt.
(13)
9 J
о
Входящая в выражение (13) функция Д(Ф^) < 1 в общем слу-
чае может быть вычислена в процессе расчета системы на кратко-
временное деформационное воздействие, который выполняется ме-
тодом многоступенчатого нагружения и для каждой решаемой за-
дачи охватывает весь диапазон ожидаемых деформаций земной
поверхности.
162
Таким образом, расчет на длительно нарастающее деформаци-
онное воздействие сводится к расчету на кратковременное воздей-
ствие, результаты которого корректируются с помощью коэффици-
ента учитывающего релаксацию усилий вследствие линейной
ползучести бетона, а также продолжительность и характер разви-
тия процесса сдвижения земной поверхности под влиянием подзем-
ных горных работ.
Для реализации описанной методики расчета была составлена
программа для ЭЦВМ, с помощью которой были проведены чис-
ленные эксперименты, позволившие исследовать влияние неупру-
гих свойств железобетона на работу крупнопанельных систем на
подрабатываемых территориях.
Жесткостные характеристики крупнопанельных систем до под-
работки. До начала подработки, которая может производиться
лишь после полного завершения строительно-монтажных работ,
здание находится в обычных условиях и загружено только соот-
ветствующими им нагрузками. Их действие вызывает некоторое
изменение жесткостных характеристик конструкций. Поскольку
при деформационных воздействиях, к которым относится подработ-
ка, величины усилий в системе непосредственно зависят от ее жест-
кости, то исследование необходимо начинать именно с анализа из-
менений, происходящих в конструкциях в период, предшеству-
ющий подработке.
Для выявления этих изменений использовалась обобщенная
жесткостная характеристика системы В, связанная с ее прогибами
обратно пропорциональной зависимостью.
Выбор этой характеристики обусловливается необходимостью
интегральной оценки жесткости системы, которая в различных эле-
ментах может изменяться по-разному.
Для определения сопоставимых прогибов уг и уь при расчете
системы с действительными граничными условиями определялись
матрицы характеристик элементов, соответствующих их фактиче-
скому напряженному состоянию при разных уровнях нагрузки pi
и ph (рис. 2,а). При наличии этих данных прогибы yi и yh могуг
быть найдены из расчетов любой статически определимой относи-
тельно опорных закреплений расчетной схемы, загруженной неко-
торой нагрузкой р и составленной из элементов, характеристики
которых соответствуют i-му и й-му напряженным состояниям.
В данном случае использовалась консольная схема с заделкой по
оси симметрии здания (рис. 2, б), как наиболее соответствующая
характеру деформации здания при его подработке. Изменение
жесткостной характеристики В определялось из соотношения (при
Р=const): у; __ Bk
Ук
Описанная методика расчета применима при различных моде-
лях здания, в том числе и рекомендованной нормативным доку-
ментом [6]. Эта схема была использована при проведении иссле-
163
дований, которые выполнялись на примере крупнопанельных зда-
ний с продольными несущими стенами серии I-480A. Выбор обус-
ловлен широким распространением зданий такого типа в районах
горных выработок.
Кроме того, в соответствии с [6], стены зданий такого типа рас-
считываются независимо друг от друга, что значительно упрощает
выполнение численных экспериментов.
Поскольку усилия в конструкциях зданий, подрабатываемых
подземными горными работами, являются функцией их длины, ис-
следовались системы раз-
личной протяженности, ох-
ватывающей весь возмож-
ный диапазон изменения
этого параметра. Прило-
женные нагрузки и харак-
теристики конструкций и
основания приняты по уни-
фицированному проекту се-
рии I-480A, предназначен-
ному для строительства в
обычных условиях и на
подрабатываемых террито-
риях. Расчетные схемы зда-
ний представлены на
рис. 3.
Рк
Illi! 1111111! I! П 11IIHIII111ГГТ
«.TSTVTV.T
р
IIIIIIIIIHUI!!!!!!!
Рис 2 Определение сопоставимых проги-
бов системы
Л-fl для схемы П ।
П 1 1П 1 jri~i I
— 1920 ---------1 т
I Л-Л для схемы Щ
! ГГ~ТПГГ~ПГТ~ПГГ~ПГ I I I
-I------- 4200 -----------
Л-fl для схемы I
Рис. 3. Расчетная схема здания
164
Стена загружена поэтажной вертикальной нагрузкой 1,75 Т/л,
вес одной панели составляет 3 т. Погонная жесткость основания
принята 2000 Т1м2. Стеновые панели изготовлены из бетона марки
75 с расчетным (начальным) модулем упругости £о=95 000 кГ1см2,
цокольный пояс — из бетона марки 150 с £о=15О ООО кГ1см2. По-
датливость горизонтальных связей в вертикальных швах Х = 2,ЗХ
ХЮ-5 см!кГ.
Изменение жесткостных характеристик в процессе нагружения.
Дополнительные усилия, действующие на конструкции крупнопа-
нельных зданий при их работе совместно с деформирующимся ос-
нованием, являются функцией их обобщенных жесткостных харак-
теристик. Поэтому определение величин этих характеристик и вы-
явление диапазона их изменения в зависимости от уровня нагруз-
ки представляет практический интерес.
Предварительными расчетами было установлено, что жест-
кость здания изменяется по всей его длина равномерно, поэтому
для анализа может быть ис-
пользовано изменение проги-
бов в произвольной точке, в
том числе и в точке 1 (см.
рис. 2). Результаты расчетов
приведены на рис. 4. При оп-
ределении жесткостных ха-
рактеристик за 100% была
принята жесткость системы,
соответствующая ее началь-
ному прогибу #о = 3,649 см.
В процессе нагружения
происходит существенное
Рис. 4. Графики прогибов и относитель-
ных жесткостных характеристик системы
при жесткостях элементов, соответству-
ющих -разным уровням вертикальной
нагрузки
уменьшение жесткостных ха-
рактеристик здания. При на-
гружении здания полной рас-
четной вертикальной нагруз-
кой его жесткость составляет
75% начальной. При работе
конструкции в стадии, близкой
меньше начальной,
системы.
к разрушению, жесткость системы в 2,7 раза
определенной по результатам расчета упругой
При анализе результатов расчетов обращает на себя внимание
тот факт, что зависимость между действующей нагрузкой и соот-
ветствующими ей обобщенными жесткостными характеристиками
на всем реально возможном диапазоне нагружения близка к ли-
нейной. Это обстоятельство дает возможность легко корректировать
расчетную жесткость конструкций при изменении нагрузки.
Таким образом, полученные при исследовании данные показы-
вают, что жесткость конструкций под нагрузкой изменяется в ши-
роких пределах, а расчет крупнопанельных систем без учета ре-
165
альных свойств железобетона приводит к значительному завы-
шению их обобщенных жесткостных характеристик.
Влияние основных расчетных параметров материала. Рассмот-
рим, как изменяются жесткостные характеристики крупнопанель-
ных систем при изменении начальных модулей упругости и проч-
ности (марки) бетона и армирования перемычек и простенков. Ис-
следования проводились при расчетном уровне нагрузки- Их ре-
зультаты приведены на рис. 5. За 100% приняты характеристики,
соответствующие начальному
модулю упругости материала
Eq=95 000 кГ/см2, марке бето-
Рис. 5. Зависимость «прогибов и относи-
тельных жесткостных характеристик си-
стемы от расчетных параметров матери-
ала
/ — для упругой системы; 2 — для системы с
учетом уменьшения ее жесткости под дейст-
вием расчетной вертикальной нагрузки
на 75 и расчетному проценту
армирования конструкций.
При сопоставлении резуль-
татов расчетов, выполненных
при различных значениях на-
чального модуля упругости
бетона (см. рис. 5,а), устано-
влено, что его величина су-
щественно влияет на жесткость
здания (индеек «пр» — некото-
рая проектная величина). Так,
при уменьшении модуля упру-
гости стеновых панелей в 2,1
раза жесткость здания падает
в 2,7 раза. Независимо от ве-
личины начального модуля
упругости отношение жестко-
сти здания, соответствующей
действию расчетной нагрузки,
к ее величине, определенной
по результатам расчета упру-
гой системы, является величи-
ной практически постоянной и
равной примерно 0,75.
Это дает возможность при
вычислении жесткостных ха-
рактеристик крупнопанельных
зданий предварительно полу-
чить аналогичные поправочные
коэффициенты к результатам
упругого расчета,которые мо-
гут быть использованы при
выполнении массовых расче-
тов.
Жесткость сечения железобетонного элемента и, следовательно,
всего здания в целом является функцией его армирования. При
расчете же крупнопанельных конструкций как систем упругих из-
166
менение коэффициента армирования сечений не влечет за собой
сколько-нибудь существенного изменения жесткости здания. Объ-
ясняется это тем, что для таких слабоармированных конструкций,
какими являются стеновые панели, площадь приведенного сечения
практически не отличается от фактической.
Анализ результатов расчетов крупнопанельных систем, выпол-
ненных с учетом неупругих свойств железобетона, показал, что и
в этом случае степень армирования конструкций при изменении се
в реально возможных пределах мало влияет на жесткость здания.
Так, при увеличении или уменьшении процента армирования про-
стенков Fa в два раза по сравнению с принятыми в типовых про-
ектах жесткость здания изменяется на десятые доли процента,
а варьирование армированием перемычек в этих же пределах (см.
рис. 5,6) влечет за собой изменение жесткости системы на ±9%‘.
В тех случаях когда принятое при определении жесткости зда-
ния сечение арматуры оказалось недостаточным, некоторое уве-
личение армирования можно проводить без корректировки жест-
кости системы и без повторного статического расчета конструкций.
Фактором, оказывающим значительное влияние на жесткость
крупнопанельного здания и неучитываемым при его расчете как
системы упругой (где учитывается модуль упругости) является
марка бетона, использованного при изготовлении стеновых конст-
рукций (см. рис. 5, в). При уменьшении марки бетона однослойных
стеновых панелей с /?пр = 75, обычно -принимаемой в проектах до
35, жесткость здания снижается па 35%, я при увеличении ее до
150 повышается на 20 % •
Распределение усилий при кратковременном деформационном
воздействии. Величина дополнительных усилий зависит от продол-
жительности процесса подработки здания и возрастает с уменьше-
нием промежутка времени, в течение которого деформации земной
поверхности достигают своей расчетной величины. Поэтому преж-
де всего представлялось целесообразным проследить за распреде-
лением усилий при представлении процесса сдвижения земной по-
верхности в виде кратковременного деформационного воздействия,
наиболее опасного для конструкций здания.
Расчеты крупнопанельных систем производились при разных ус-
ловиях подработки, изменяющихся от легких (7?=25 км) до тяже-
лых (/?=5 км). Применение столь широкого диапазона изменения
величины воздействия объясняется необходимостью исследовать
поведение конструкций за пределами обычно принятого уровня их
нагружения-
Конструкции с проектными параметрами. В табл. 1 приведены
значения максимальных обобщенных дополнительных усилий, со-
ответствующих наибольшей расчетной кривизне основания 7? =
= 5 км. Анализируя полученные данные, можно отметить, что эф-
фект от учета действительных свойств материала конструкций воз-
растает по мере увеличения длины здания.
167
Таблица 1
Дополнительные (максимальные) обобщенные усилия*при дли-
не системы I в м ~
Расчетная модель 12,8 19,2 25,6 32
м Q М Q м Q М Q
Упругая пластинчатая си- стема 19 4,81 65,16 11,04 122,25 16,25 174,79 28,28
100 100 100 100 100 100 100 100
Пластинчатая система с ха- рактеристиками элемен- тов, соответствующими действию расчетной вер- тикальной нагрузки . . 16,92 4,2 55,54 9,2 99,48 13 138,61 14,38
89,2 87,4 85,4 83,4 81,1 80,1 79,4 78,8
Пластинчатая система с ха- рактеристиками элемен- тов, соответствующими совместному действию расчетной нагрузки и кривизны /?=5 км .. . 16,92 4,2 52,77 8,75 91,42 11,96 126,27 13,09
89,2 87,4 81 79,3 74,7 76,6 72,4 71,7
Система, рассчитанная реко- мендуемыми нормами ме- тодом при кратковремен- ной нагрузке (как балка с двумя жесткостными характеристиками) . . . 21,54 5,17 74,38 11,95 144,25 117,8 17,57 208,47 1Т975" 20,9
113,4 107,5 114 108,1 108,1 114,2
Примечание. В числителе — значения в Т-лс, в Т\ в знаменателе — в %.
М <1К С MdkC
Для наиболее короткого здания величина расчетных усилий
снижается примерно на 11%, Для здания длиной 32 м— на 29%.
Основное уменьшение величины усилий происходит вследствие
уменьшения жесткости системы под действием нагрузки, соответ-
ствующей обычным условиям строительства. Уменьшение усилий
в процессе подработки во всех рассмотренных примерах не превы-
шает одной трети от их падения, из-за уменьшения жесткости зда-
ния в период, предшествующий подработке. Одной и той же вели-
чине расчетных усилий при учете неупругих свойств материала со-
ответствует большая длина здания, чем при его расчете в линейной
постановке. Увеличение длины отсеков имеет большое практическое
значение, так как позволяет сократить количество межотсечных
поперечных стен и в результате этого снизить стоимость здания.
168
Сопоставление ординат эпюр М и Q, вычисленных различными
методами, показывает, что качественных различий в характере
эпюр не наблюдается. Это дает возможность вывести поправочные
коэффициенты к результатам расчета при использовании рекомен-
дуемого [6] приближенного метода, которые учитывали бы влияние
неупругих свойств железобетона.
Изложенные выше результаты получены при максимальном де-
формационном воздействии, соответствующем радиусу кривизны
^ = 5 км. Проследим на примере здания наибольшей длины, где
неупругие свойства железобетона проявляются наиболее интенсив-
но, за изменением усилий при промежуточных значениях верти-
кальных перемещений земной поверхности.
Из рис. 6 видно, что учет изменения жесткостей элементов в
процессе подработки приводит к незначительному уменьшению рас-
четных усилий в системе (сравнение кривых 2 и 3).
Рис. 6. Зависимость максимальных обобщенных усилий от величины радиуса
кривизны основания
/—для упругой системы: 2 — для системы с учетом изменения ее жесткости под действи-
ем расчетной вертикальной нагрузки; 3 — то же, с учетом добавочного уменьшения жест-
кости конструкции нири кратковременном деформационном .воздействии
Полученные результаты дают возможность рекомендовать
при расчете крупнопанельных систем на вынужденные верти-
кальные оседания основания использовать жесткостные харак-
теристики зданий, соответствующие действию расчетных нагрузок
в период, предшествующий подработке.
Влияние основных расчетных параметров материала. Ранее бы-
ли приведены данные, характеризующие влияние основных расчет-
ных параметров материала (начального модуля упругости и мар-
ки бетона, степени армирования конструкций) на жесткостные ха-
рактеристики крупнопанельных систем в период, предшествующий
их подработке. Рассмотрим теперь, как эти параметры влияют на
величину максимальных обобщенных дополнительных усилий при
подработке крупнопанельных конструкций подземными горными
работами. Полученные данные приведены в табл. 2-
169
Таблица 2
Характеристика конструкций Дополнительные (максимальные) обобщенные усилия при дли- не системы 1 в м
12,8 19,2 25,6 32
М Q м Q М Q м Q
Все параметры соответст- вуют проектным .... 16,92 4,2 55,54 9,2 99,48 13 138,61 14,38
100 100 100 100 100 100 100 100
Начальный модуль упруго- сти 68,4% проектного 14,37 4 46,5 8,52 81,89 Н,7 109,83 12,8
86 95,1 83,6 93,4 82,3 90,9 79,1 89,1
То же, 47,3% проектного 12,63 3,36 36,3 6,68 59,53 8,45 78 9,04
74,8 80,3 65,3 72,6 59,7 65 56,2 62,8
Армирование поясов 50% проектного 16,45 4,07 52,51 8,84 92,98 12,44 128 13,72 95,5
97,3 97,2 94,6 96 93,5 95,9 92,4
То же, 200% проектного . 17,08 4,23 57,06 9,45 104,26 13,69 149,31 15,44 107,6
100,8 100,6 102,9 102,7 105,1 105,3 107,8
Марка бетона 35 (при про- ектной 75) 13,9 3,5 42,89 6,84 67,61 9,15 89,42 9,52 65,3
82,1 83,3 77,3 74,4 68,1 70,4 64,4
То же, 150 18,01 4,37 61,11 9,9 114,42 14,27 164,22 16,31 113,4
106,4 104,1 109,9 107,4 114,7 109,9 118,3
Примечание. В числителе — значения М в Т-м, Q в Т; в знаменателе—в %.
1 макс 71 макс
Как видно из таблицы, величины дополнительных усилий в зда-
ниях при расчетном уровне нагружения конструкций существенно
зависят от начального модуля упругости и марки бетона и зна-
чительно меньше от процента армирования стеновых панелей.
Влияние этих характеристик материала на величины обобщенных
усилий возрастает по мере увеличения длины здания.
Снижение начального модуля упругости бетона во всех рас-
смотренных случаях привело к положительному эффекту. В ре-
зультате использования бетонов с меньшим модулем упругости до-
полнительные обобщенные усилия могут быть снижены на 20—
40%. Это обстоятельство дает возможность применять при строи-
тельстве зданий на подрабатываемых территориях стеновые пане-
ли с минимально возможным при принятой марке бетона началь-
но
ным модулем упругости, уменьшая его, например, благодаря ис-
пользованию заполнителей с меньшим объемным весом.
Увеличение марки бетона конструкции стены приводит к зна-
чительному повышению обобщенных дополнительных усилий. Так,,
при повышении марки бетона стеновых панелей с 35 до 150 при про-
чих равных условиях расчетные усилия в здании длиной 32 м воз-
растают в 1,85 раза, что влечет за собой необходимость и допол-
нительного расхода стали на усиление стыковых соединений. По-
этому в тех случаях, когда принятая при расчете здания на под-
рабатываемых территориях несущая способность конструкций ока-
залась недостаточной, нецелесообразно увеличивать ее, повышая
марки бетона стеновых панелей.
Изменение армирования конструкций в реально возможных пре-
делах мало влияет на величину дополнительных усилий. Во всех
рассмотренных случаях увеличение или уменьшение сечения рабо-
чей арматуры в два раза, по сравнению с принятым в типовых кон-
струкциях, не вызвало изменения усилий более чем на ±8% их
проектной величины. Это позволяет в случае необходимости изме-
нять сечение арматуры без повторного статического расчета зда-
ния.
Влияние уровня вертикальной нагрузки. Сравним величины
максимальных дополнительных усилий, полученных при расчете
рассматриваемых систем с жесткостными характеристиками эле-
ментов, соответствующих трем уровням вертикальной нагрузки—
нулевой, расчетной и близкой к разрушающей.
Таблица 3
Дополнительные (максимальные) обобщенные усилия при дли-
не системы I в м
Уровень вертикальной нагрузки 12,8 19,2 25,6 32
М Q М Q М Q М Q
Система с начальными ха- рактеристиками элемен- тов 19 4,81 65,16 11,04 122,25 16,25 174,79 18,28
100 100 100 100 100 100 100 100
Система с характеристиками элементов, соответствую- щими расчетной верти- кальной нагрузке . . . 16,92 4,2 55,54 9,2 83,4 99,48 81,1 13 138,6 14,38
89,2 87,4 85,4 80,1 79,4 78,8
То же, соответствующими действию вертикальной нагрузки, близкой к разрушающей .... Примечание. В числит» 12,42 3,37 35,58 6,63 58,27 8,67 76,11 9,03
65,5 гле — зн 70 ачения 54,6 М Е макс 59,8 Т‘М> < 47,6 > в Г; 1 53,4 з знамеь 43,5 отеле — 49,5 в %-
При анализе полученных результатов (табл. 3) за 100% приня-
ты усилия, соответствующие расчету конструкций при нулевой на-
грузке по их начальным характеристикам.
171
Сопоставляя приведенные данные, видим, что с возрастанием
уровня вертикальной нагрузки дополнительные усилия от задан-
ных деформаций земной поверхности (7?=5 км) значительно
уменьшаются. Особенно заметно это проявляется в системах до-
статочно большой длины. Например, в здании длиной 32 м усилия,
вычисленные при характеристиках элементов, соответствующих
нагрузке, близкой к разрушающей, примерно в два раза меньше,
чем определенные по начальным жесткостям сечений. Полученные
данные позволяют считать, что уровень вертикальной нагрузки
является существенным параметром при расчете крупнопанельных
зданий над горными выработками.
Зависимость между величиной расчетных, усилий и длитель-
ностью процесса подработки. Ранее было показано, что расчет
крупнопанельной системы на неравномерные вертикальные оседа-
ния основания, которые являются длительно нарастающим дефор-
мационным воздействием, может быть сведен к расчету на крат-
ковременное воздействие, результат которого корректируется с по-
мощью поправочного коэффициента yt. Выявим необходимые для
его вычисления значения функции А (Ф£ ), учитывающей специфи-
ку конкретного здания при разных уровнях деформационного воз-
действия.
Принятый при выполнении численных экспериментов радиус
кривизны земной поверхности /?=5 км для рассматриваемых ти-
повых конструкций является расчетным при длине здания /=
= 12,8 м. Как видно из табл. 1, в этом случае уменьшения усилий,
вследствие снижения жесткости конструкций, не происходит, т. е.
Д (Фд ) = 1 на всем интервале от 0 до t!T=\.
Найдем вид этой функции при деформациях поверхности, зна-
чительно превышающих расчетные. Сделаем это на примере зда-
ния длиной 32 м, для которого осадки основания при радиусе кри-
визны поверхности /?=5 км в четыре раза превышают принятые
при его проектировании. При вычислении значений Д(Ф^ ), кото-
рые приведены в табл. 4, учитывалось, что деформации основа-
ния развиваются по закону В (t) = -----0,15 sin -у--, а вели-
чины обобщенных усилий (см. рис. 6) получены при последователь-
ном увеличении собственных осадок основания на 0,2 их расчет-
ной величины.
Таблица 4
В (/) 0—0,2 0,2—0,4 0,4—0,6 0,6—0,8 0,8—1
t т 0—0,31 0,31—0,44 0,44—0,53 0,53—0,63 0,63—1
А (ф( 'j X д / 1 0,97 0,92 0,87 0,8
172
Используем полученные значения функции Д (Ф£ ) при вычисле-
нии поправочных коэффициентов. Для практических целей пред-
ставляют интерес максимальные величины у^акс, в соответствии
с которыми определяются расчетные значения усилий Ф“акс ПрИ
разной продолжительности процесса подработки. Коэффициенты
у^акс, подсчитанные по формуле (13) для зданий длиной 12,8 и
32 м, приведены в табл. 5. Входящие в эту формулу параметры
были приняты для средних условий работы рассматриваемых кон-
струкций по рекомендациям работы [7]: В=0,04; ср^ =2; т]1 = 1;
т]2 = 0,85; т]з=0,6 и, следовательно, фоо —<р т]1Т]2'Пз= 1.
Значения коэффициентов у ^акс при В=0,04 и ср =1 для ре-
альных зданий могут находиться лишь между приведенными в
табл. 5, которые соответствуют двум предельным случаям. Дейст-
вительно, при расчете системы длиной 12,8 м функция Д(Ф^) по-
стоянно имела наибольшую возможную величину на всем интер-
вале ее изменения и, следовательно, величины у ^акс были макси-
мальными.
С другой стороны, известно, что влияние изменения жесткости конструкций на величину Таблица 5 пополнительных vcKnnn н _ ..... _
здании при его подработке общая подземными горными ра- ЛХи- ботами увеличивается по и™ь- мере возрастания длины про- цесса системы, а протяженность сдви. системы 32 м практически является максимально воз- сяцах „макс YT при / = 12,8 м „макс YT при /=32л/ Общая про- должи- тсль- пость про- цесса сдви- жения Т в ме- сяцах „ макс Тт при /=12,8 м „ макс VT при /=32 м
можной в этих условиях. Поэтому коэффициенты 0,01 утмакс, вычисленные для си- стемы длиной 32 м при де- 2 формационном воздействии, з уровень которого в четыре 6 раза превышает обычно принятый, близки к мини- мальным. 1 0,833 0,714 0,648 0,603 0,542 0,52 0,511 0,91 0,756 0,647 0,583 0,533 0,494 0,453 0,441 15 18 21 24 27 30 33 36 0,507 0,506 0,503 0,503 0,502 0,502 0,501 0,5 0,437 0,435 0,434 0,433 0,433 0,432 0,432 0,431
Сопоставляя приведенные в табл. 5 величины коэффициентов
умакс , Можно отметить, что учет уменьшения величины функции
Д(Фд), даже при ее минимально возможных значениях, не при-
водит к их существенному уточнению. Поскольку построение
этой функции связано с выполнением громоздких вычислений, то
для практических целей можно принимать ее значения равными
единице и расчет выполнять по формуле
173
Значения понижающего коэффициента yt, вычисленные по этой
формуле при различных значениях t и Т, приведены на рис. 7.
В настоящее время в большинстве каменноугольных бассейнов,
разрабатываются пласты на глубинах, превышающих 300—400 м,
и процесс сдвижения земной поверхности протекает более года.
Значение коэффициента yt к этому времени практически стабили-
зируется. В таком случае его приближенная величина может быть
вычислена аналогично [4] по формуле
ч---тТфГ <|5>
Проведенные до настоящего времени исследования не позво-
ляют определить дифференцированные значения предельной ха-
рактеристики ползучести. Пока же можно приближенно принимать,
что фоо =1 [4] и, следовательно, у ™акс = 0,5. Это значение харак-
теристики ползучести соответствует и обычно применяемому при
определении жесткости крупнопанельных зданий расчетному моду-
лю упругости Ер, равному половине его начальной величины
Ео [6].
Приближенный метод, который в настоящее время обычно ис-
пользуется при расчете зданий над горными выработками, не учи-
тывает особенностей развития воздействия во времени. Норматив-
ные документы рекомендуют снижать расчетную жесткость круп
нопанельных зданий путем уменьшения начального модуля упру-
гости бетона на постоянную величину и использования значений
коэффициента Wa, учитывающих длительное действие нагрузки. Од-
174
нако такое снижение жесткости конструкций неэквивалентно уче-
ту явления релаксации, так как зависимость между жесткостью
здания и возникающими в нем усилиями нелинейна. Особенно к
большим погрешностям это приводит при расчете коротких отсе-
ков, которые обычно строятся на подрабатываемых территориях.
Ранее отмечалось, что качественный характер распределения по
длине здания обобщенных значений дополнительных усилий, вы-
численных при расчете здания как пластинчатой системы по изло-
женной методике и как балки с двумя жесткостными характери-
стиками по [6], практически подобен. Это обстоятельство дает
возможность к результатам расчета здания, рекомендованного
нормами, вводить поправочные коэффициенты, учитывающие ре-
лаксацию напряжений в конструкциях на подрабатываемых тер-
риториях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Городецкий А. С. К расчету тонкостенных железобетонных конст-
рукций в неупругой стадии. В сб.: «Строительные конструкции», вып. 3. Киев,
«Буд1вельник», 1965.
2. И о ф и с М. А Сдвижение земной поверхности и охрана сооружений во
Львовско-Волынском бассейне. «Уголь Украины», 1962, № 2.
3. Корниши и М. С., М у ш т а р и X. М. Об одном алгоритме решения
нелинейных задач теории пологих оболочек. ПММ, т. XXIII, № 1, 1959.
4. М а к а р е и к о Л. П., Крылов С. М.. Гвоздев А. А. Исследование
влияния ползучести бетона на естественное и искусственное распределение уси-
лий в статически неопределимых железобетонных конструкциях. В сб.: «Экспе-
риментально-теоретические исследования железобетонных конструкций». М., Гос-
стройпздат, 1963.
5. М и л е й к о в с к и й И. Е. Применение уравнений составных ортотропных
плит и пространственных систем к расчету каркасно-панельных и бескаркасных
зданий. В сб.: «Вопросы расчета конструкций жилых и общественных зданий со
сборными элементами». М., Госстройиздат., 1958.
6. Указания по проектированию конструкций крупнопанельных жилых домов
(СН 321-65). М., 1966.
7. Улицкий И. И. Определение величин деформаций ползучести и усадки
бетонов. Киев, Госстройиздат УССР, 1963.
8. Пекарский А. Л. О расчете крупнопанельных зданий над горными
выработками с учетом влияния неупругих свойств железобетонных конструкций.
В сб.: «Строительство и архитектура», вын. VII. Киев, «Буд1вельник», 1969.
И. А. БОРОДАЧ ЕВ, инж., С. М. КРЫЛОВ, д-р техн, наук
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕВЫХ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПО СТАДИИ ЭКСПЛУАТАЦИИ
Применение бетона и арматуры повышенной прочности позво-
ляет уменьшить размеры сечений железобетонных конструкций.
Но уменьшение поперечных размеров сечений при одновременном
увеличении рабочих напряжений снижает их жесткость. В таких
175
условиях часто не несущая способность, а деформативность и тре-
щиностойкость могут стать определяющими факторами при назна-
чении размеров и армировании сечений статически неопредели-
мых конструкций.
Статья посвящена разработке новых методов расчета и про-
ектирования статически неопределимых железобетонных конст-
струкций по стадии эксплуатации.
В отличие от принятой в инженерной практике последователь-
ности проектирования железобетонных конструкций, предлагается
первым этапом расчета определять геометрические размеры сече-
ний, марку бетона, арматуры и ее количество из условий удовле-
творения заданным ограничениям деформативности и трещино-
стойкости при воздействии эксплуатационных (нормативных) на-
грузок. Иными словами в первую очередь обеспечивается 2-е и 3-е
предельные состояния, которые и определяют конструирование
элементов конструкции.
Обеспечение 1-го предельного состояния (несущей способности)
осуществляется проверочными расчетами по методу предельного
равновесия [6].
В качестве критериев рациональности получения геометриче-
ских размеров и армирования сечений могут быть приняты раз-
личные факторы: уменьшение веса конструкции, снижение расхода
стали, показатели стоимости. Путем введения упрощающих допу-
щений решение поставленных задач сводится к задачам линейного
программирования, методы решения которых на ЭВМ хорошо раз-
работаны.
Поскольку расчет и проектирование стержневых железобетон-
ных конструкций выполняется по стадии эксплуатации, то необхо-
димо иметь прямые зависимости между величинами усилий, про-
гибами и характеристиками трещиностойкости. Поэтому в качест-
ве основных условий, описывающих напряженно-деформированное
состояние конструкций, принимаются уравнения смешанного мето-
да расчета [1], в которые введены дополнительные члены, учиты-
вающие неупругие свойства железобетона.
Применение смешанного метода для оценки работы конструк-
ций в стадии эксплуатации. Считаем заданными геометрические
размеры конструкции, размеры сечений, армирование, характери-
стики материалов, нормативную нагрузку, а также ограничения де-
формативности и трещиностойкости.
Рассмотрим два случая расчета:
определение действительных усилий и деформаций конструк-
ций от заданной нормативной нагрузки (случай А);
определение максимальной нормативной нагрузки, при воздей-
ствии которой удовлетворяются заданные условия деформативности
и трещиностойкости конструкции (случай Б).
Решение поставленных задач покажем на простейших приме-
рах расчета железобетонных балок.
176
Рис. 1. Расчетная схема железобетонной неразрезной балки
177
Случай А. Пусть требуется для заданной расчетной схемы
железобетонной экспериментальной балки Б-3 [2] определить дей-
ствительные значения моментов и прогибов под сосредоточенными
силами (рис. 1,а). Выбираем основную систему смешанного мето-
да расчета, располагая шарниры в местах максимальных изгиба-
ющих моментов и соответственно вводя дополнительные связи под
силами (рис. 1,6), в результате чего будем иметь три неизвестных
усилия Xi, Х2) Х3 и два перемещения Z4, Z$.
Запишем канонические уравнения смешанного метода:
6ц Xi 4- 612 Х2 -f 61з Хз°4- 6I4 Z4 4- 615 Z5-j- Air —0;
621 Xi 622 Х2 $23 ^3 "I" ^24 ^4 "I" ^25
(1)
631 Х± 4- 632 Х2 4- 633 Х3 4 634 Z4 4 635Z5 4 Дзр — 0;
Г41 4" Г42 Х2 + Г43 Х3 4- Г 4Z44- r45Z5 -tR4P
Здесь через биг, как обычно, обозначены перемещения, вы-
званные единичными силами, и реакции, вызванные единичными
перемещениями; через б' и г' — перемещения, вызванные единич-
ными перемещениями, и реакции, вызванные единичными силами.
Первые три уравнения системы (1) показывают, что суммарные пе-
ремещения по направлению неизвестных усилий Х2 и Х3 равны
нулю. Четвертое и пятое уравнения представляют собой запись то-
го условия, что реакции в введенных связях 4 и 5 равны нулю.
Вычисление коэффициентов уравнений (1), не имеющих верх-
него значка не требует особых пояснений, остальные же связаны
следующей зависимостью:
д'.. = — г'..,
чем значительно облегчается их вычисление.
Из эпюр единичных воздействий на основную систему
(рис. 1, в—з) можно получить числовые значения коэффициентов
системы (1), а решением ее являются значения усилий и дефор-
маций (прогибов) для случая работы балки без трещин.
В стадии эксплуатации в местах максимальных моментов обра-
зуются зоны с трещинами, но напряжения в арматуре еще не до-
стигают предела текучести. В результате этого действительные уси-
лия и деформации в статически неопределимых железобетонных
конструкциях будут отличны от значений, полученных расчетом
упругой системы.
Для получения действительных усилий и деформаций балки
Б-3 с трещинами запишем уравнения (1) в следующем виде:
6ц Xi 4" 612 Х2 4" 613 Х3 4- 614 Z4 4 - 6j5 Z5 4" Aip —- — 610;
621 Xi 4- 622 X2 4- 623 X3 + 624 Z4 4- 625 Z5 4~ A2P = — 620;
(2)
178
где dio — дополнительные перемещения (углы надлома) в соот-
ветствующих сечениях, возникающие за счет неупругих свойств
железобетона.
Как будет показано ниже, для стержней с ненапряженной арма-
турой с достаточной точностью можно принять линейную зависи-
мость между величинами 6г0 и Xi в виде:
б/о = к, (Xz - Ml),
(3)
где величины Ki, М} находятся в зависимости от степени армиро-
вания сечения и формы эпюры моментов.
Очевидно, что формула (3) справедлива только при значениях
Xi > М} , где Mi — усилия в момент образования трещин.
После подстановки значения дг-о в (2) получим новую систему
линейных алгебраических уравнений (4), решением которой будут
действительные значения усилий и прогибов:
(6ц 4~ Ку) Ху 4- 612 Х2 + 613 Х3 + 6ц Z4 4- 615 Z5 + К\р
-КхМ; - 0;
— =
631 Ху + 632 Х2 ! (633 + Лз) Х3 4- 634 Z4 635 Z5 t Лзр —
-К3Л£ = 0;
r4i Ху -г г49 Х2 -j-- г4з Х3 + Г44 Z4 + г45 Z5 + Rap 0;
r5i Ху 4 r52 X2 4- Г53 X3 4- r54 Z4 4~ r55 25 4- R$p = 0.
(4)
В табл. 1 приведены результаты расчета балки Б-3 и сравнение
их с экспериментальными данными.
•Случай Б. Обычно проверки деформаций и трещиностой-
кости конструкции выполняются отдельно по результатам стати-
ческого расчета конструкции.
В отличие от принятых способов расчета конструкций по 2-му
и 3-му предельным состояниям возможна следующая постановка
задачи: для заданной схемы загружения найти максимальную
нормативную нагрузку, при которой удовлетворяются условия де-
формативности и трещиностойкости конструкции.
179
Таблица 1
Результаты испытаний и расчета балки Б-3
На- грузка P в кГ Опорный момент Пролетные моменты Прогиб
м°, кГ-м Л/Р Л/°, 1 кГ-м му 1 Л/Р 1 м°, 2 кГ-м му 2 Л1р 2 .о 4- ММ 1р,
4500 1195 994,5 -20,9 1156,8 1210 1376,8 1235,6 -126,3 40,2 -100 2,34 1,95 -16,6
-3,2
13,7 2,1 -131,8 -20
7500 1895 1604,1 1905,5 2081 2274-8 2074,4 -146,3 47,1 -153,3 4,86 4,23
-15,3 0,56 9,3 -0,34 -132,2 4,8 -12,9
М —опытные значения моментов под грузами и на опоре;
—опытные значения прогибов под грузом ЗР;
jtfY — значения моментов по расчету упругой системы;
д^р — расчетные значения моментов по предлагаемой методике.
Примечание. В знаменателе—величины отклонения моментов и прогиба в %.
Пусть задана S раз статически неопределимая система. Преоб-
разуем ее в основную систему смешанного метода путем отбрасы-
вания некоторого числа п и введением новых т связей и запишем
систему уравнений по типу (2):
п п т
2 X/ + 2 Zi 4 =—k ; 1 *2........../г:
'=' /=„+1 (5>
п п -J- т
^rkiXi + У rkiZi Rt;p = 0; k п+1, п + 2, ...,п+т.
1 = 1 Z--/2-|-l
Принимая за дополнительное неизвестное параметр нагруз-
ки (входящий в значения грузовых членов Дьр и и заменяя
значение по формуле (3), получим систему уравнений -с ft+1
неизвестными, имеющую множество решений. Поэтому для решения
поставленной задачи необходимо ввести дополнительные ограниче-
ния. Такими ограничениями для неизвестных усилий Xi являются
моменты Л4г[ат] , при которых могут образоваться трещины не бо-
лее допустимых. Для перемещений Zi ограничениями являются ве-
личины допускаемых прогибов. Следовательно, для решения задачи
необходимо найти макс при условиях:
п п -\~ т
-Р б/j/Z/+ ДЛр ~—Kk(Xk— М^у,
Z = 1 Z n-p
k = 1, 2, ..n;
2 rkiXi + 2 rkiZi + k = n 4- 1, n+2, n-\ tn.
Z=1 Z=Z2-|-1
(6)
180
Xi < Mi [aT]; Zi [fi ].
(7)
Это—прямая задача линейного программирования и при Xi:>>0
и Zt>0 без дополнительных преобразований может быть решена
максимального значения X k - 1 можно вычис-
максимальной нормативной нагрузки, а превраще-
неравенств (7) в строгие равенства
симплекс-методом.
После определения
лить значение
ние одного или нескольких
будет указывать на те ме-
ста, в которых достигается
одно из предельных состоя-
ний работы конструкции в
стадии эксплуатации.
8. Способы определения
углов надлома. Для разра-
ботки практических спосо-
бов определения зависимо-
сти между углами надлома
в сечениях с трещинами и
соответствующими усилия-
ми потребовалось выпол-
нить некоторые исследова-
ния на простейших приме-
рах расчета стержневых
систем.
Так, на примере расчета
однопролетной железобе-
тонной балки (рис. 2,а),
рассмотрим вывод формул
для определения углов над-
Рис. 2. Расчетная модель железобетонной
однопролетной балки
лома.
Выбираем основную систему (рис. 2,6, в) и запишем уравнения
смешанного метода:
Прогиб балки в заданном сечении С (рис. 2, г) представим в ви-
де суммы
z2=z2y ( -ZL
(9)
где Zy—упругая составляющая прогиба (прогиб балки без тре-
щин);
Z2 — дополнительный прогиб балки от трещин и неупругих
свойств бетона.
Первое уравнение системы (8) с учетом (9) можно записать:
Х± S12 (Z2 + Z2) Aip = — Slo.
(Ю)
181
Но поскольку бцХ1+б 12 Z2 +Д1Р=0, то из уравнения (10) по-
лучим формулу для определения угла надлома в простой балке:
6io=-s;2zi (п)
По формуле (11) для любого воздействия на стержень можно
найти величину угла надлома, определяя Z2 = Z2 Z2 , где Z2 —
полный прогиб стержня, который может быть вычислен по методи-
ке СНиП П-В.1-62, a Z2—упругий прогиб армированного стерж-
ня, вычисляемый обычными методами строительной механики при
жесткости В = 0,85 EcJn. Значение коэффициента б 12 определяется
из простых геометрических соотношений:
6- ('У +-^j. (12)
\ Хг I —Хг
Прогиб ZT можно выразить непосредственно через величины
трещин (рис. 3). Для этого достаточно «загрузить» эпюру моментов
от Xi = l как линию влияния прогиба сосредоточенными «сила-
ми»— углами надлома в сечениях с трещинами [ 1J.
Рис.
балки
Тогда получим:
п
3 Модель
с трещи-
нами
(13)
Пользуясь формулой (11), всегда можно построить зависимость
между углами надлома и соответствующими усилиями. Характер
такой зависимости показан на рис. 4. Для отдельных интервалов
изменения момента зависимость между последним и углами надло-
ма с приемлемым приближением может быть аппроксимирована
Рис. 4. Зависимость между углами
надлома и усилиями
182
прямой линией и аналитически может быть выражена формулой
(3), где величины Кг и М} в общем случае для любого заданного
интервала изменения момента ( М'.— М". ) можно определять по
формулам:
Ki = ; Л41 = М--^. (14)
М,- — М, Ki
В формулах (14) г;0 и о''0—углы надлома, определяемые по
формуле (12) для соответствующих значений М'. и Л4''.
В табл. 2 приведено сравнение величин прогибов ZT в однопро-
Таблица 2
Результаты испытаний и расчета однопролетных балок
(балки с обычной ненапряженной арматурой)
Балка ^куб’ кГ /см2 р-> % М°П М = —— , 1,6 кГ-м Прогибы в мм ZT on zT on
с II с Ь О 1 N । С S X О II 1 Z| по форму- ле (13)
Б-1 238 0,91 3307 9,97 9,38 9,52 0,935 0,948
Б-1а 238 0,864 3307 11,36 10,35 10,65 0,912 0,938
Б-2 463 0,8 3747 10,43 10,3 10,65 0,987 1,02
Б-2а 463 0,82 3817 10,15 10,28 10,53 1,012 1,038
Б-1 в 171 0,895 3127 11,16 10,27 11,87 0,921 0,94
Б-Зв 347 0,865 3380 10,08 10,54 10,9 1,046 1,081
Б-4в 534 0,89 3627 11,31 11,27 11,58 0,987 1,022
Б-5в 487 0,885 3687 11,76 11,7 12,29 0,995 1,045
Б-1 Ба 163 0,883 3000 9,32 9,35 9,7 1,002 1,041
Б-ЗБа 312 0,924 3847 11,36 10,67 11,05 0,939 0,973
Б-4Ба 480 0,9 3947 11,78 11,55 11,92 0,981 1,012
Б-5Ба 400 0,88 3828 10,71 11,12 11,49 1,038 1,073
Б-1Б 157 0,909 3187 10,41 10,29 10,98 0,989 1,055
Б-ЗБ 317 0,869 3817 11,14 11,36 11,82 1,028 1,06
Б-4Б 520 0,9 3877 12,33 11,87 12,32 0,962 1,00
Б-5Б 371 0,898 3817 12,38 11,56 11,96 0,934 0,967
летных экспериментальных балках [3], определяемых различными
способами для стадии эксплуатации. Хорошее совпадение вычислен-
ных значений ZT с результатами экспериментов свидетельству-
ет о возможности практического применения предлагаемой мето-
дики определения прогибов ZT и соответственно углов надлома.
В статически неопределимых железобетонных балках и рамах
величины Кг и М] могут также вычисляться по формулам (14) с
использованием результатов первоначального расчета конструкции
как упругой системы. Пусть для стержня статически неопределимой
183
системы известна эпюра моментов М$ и величина нормальной си-
лы из первоначального расчета и требуется найти для г-го сечения
величины Ki и М} (рис. 5).
Поскольку неизвестно, будет ли действительное значение мо-
мента Mi больше или меньше М? , то для определения зависимости
между углом надлома бг-о и неизвестным моментом Xi будем «опу-
скать» и «поднимать» эпюру моментов первоначального расчета на
величину шИ/ (где а можно принять равным 0,10—0,15)- По полу-
ченным значениям М< = М? — аМ], М\ = М} + а М} и соответст-
вующим величинам пролетов /'. й по формуле (12) вычислим
значения углов надлома 3'0 и о"0 , а затем по формулам (14) опре-
делим величины Ki и М К
Таким способом определялись зависимости между величинами
б,о и Xi при расчете экспериментальных рам Р-ША, Р-IVA, испы-
Рис. 5. Расчетная схема стержня в ста-
тически неопределимой системе для оп-
ределения Кi и Ме-
танных Т. А. Красовской [4],
и Р-ЗВ, Р-4В, испытанных
И. А. Воробцовым [5].
Результаты расчетов и
N сравнение их с эксперимен-
тальными данными приведены
в табл. 3. Хорошее совпадение
действительных усилий, а
также прогибов, вычисленных
по изложенной методике, с эк-
спериментальными данными
свидетельствует о том, что
принимаемые в расчетах за-
висимости между усилиями и
деформациями могут приме-
няться для оценки работы ста-
тически неопределимых балок и рам в стадии эксплуатации.
Проектирование железобетонных балок и рам по стадии эксплу-
атации. При решении задачи проектирования будем считать задан-
ными всегда геометрические размеры конструкции ( в осях стерж-
ней), нормативную нагрузку, характеристики материалов, а также
ограничения деформативности и трещиностойкости.
Рассмотрим следующие два варианта постановки и пути реше-
ния задач для случая загружения конструкции кратковременной
нагрузкой.
Определение армирования при заданных размерах сечений кон-
струкции. Пусть задана S раз статически неопределимая расчетная
схема железобетонной балки или рамы. Преобразуем ее в основ-
ную систему смешанного метода путем отбрасывания некоторого
числа п и введением новых пг связей. Основная система должна
быть выбрана так, чтобы в число отбрасываемых связей вошли все
сечения, в которых могут образоваться углы надлома, а в число
184
вводимых связей — все сечения с ограниченными прогибами. Места
указанных сечений и знаки неизвестных смешанного метода (для
удовлетворения условий Хг>0 и 7г>0) можно получить из пер-
воначального расчета конструкции как упругой системы.
Результаты испытаний и расчета рам
Таблица 3
Тип рамы На- груз- ка Р в кг Опорный момент Пролетный момент Прогиб
М°, кГ 'М Л/у. кГ-м мр, кГ-м М°, кГ -м м?, кГ-м мр, кГ-м мм fp, мм
1800 264 238,06 278,9 412 436,94 396,1 1,14
—9,83 5,64 6,05 —3,86 —
2000 294 264,51 310,92 456 485,49 439,08 1,43 1,31
Р-ША —10,03 5,75 6,47 —3,71 —8,41
2500 396,5 330,64 391,55 543,5 606,86 545,95 1,74
— 16,61 —1,25 11,66 0,45 —
3000 457 396,76 474,61 668 728,23 650,39 2,46 2,23
—13,18 3,85 9,02 —2,64 —9,26
1000 159 135,94 155,24 215,5 239,06 219,76 0,75 0,53
— 14,5 —2,36 10,93 1,98 —28,66
P-IVA 1500 238 203,92 237,37 323 358,58 325,13 1,37 1,05
— 14,32 —0,26 11,02 0,66 —23,29
2000 318 271,89 321,34 431 478,11 428,66 2,19 1,64
— 14,5 1,05 10,93 —0,54 —25,41
2000 186 206,7 196,75 414 393,3 403,25 2 1,71
11,13 5,78 —5 —2,6 — 14,51
Р-ЗВ 3000 274 310,05 282,11 626 589,95 617,89 3,2 3,31
13,16 2,96 —5,76 —1,29 3,31
1000 138 145,85 138,24 412 404,15 411,76 2,2 1,91
Р-4В 5,69 0,18 — 1,91 —0,06 —13,14
1500 196 218,78 194,83 629 606,22 630,17 3,3 3,11
11,62 —0,6 —3,62 0,19 —5,83
/°, л/° — опытные значения прогибов и моментов;
Лр — значения моментов по расчету упругой системы;
/Р, Л/Р ~ расчетные значения прогибов и моментов по предлагаемой методике.
П р и м е ч а н и е. В знаменателе — величины отклонений моментов и прогиба в %.
185
Запишем уравнения по типу (5) в следующем виде:
п п •}- т
^6*zXz-'r V ^kiZi + 6*0 = — k= 1. 2, .. /?;
i=l i=n-\-\
п п-\- tn
У rkiXi -h V rkiZi -=— RkP; k — n + 1, n+2, . .
z = l i=n\ 1
(15)
Поскольку геометрические размеры сечений заданы, то величи-
ны 6гь(^г ), rhi (г к)» Льр и Rhpa могут быть вычислены как для
упругой системы.
Примем в (15) за дополнительные неизвестные величины бЛо,
тогда получим систему n-j-m уравнений с 2п-\-т неизвестными, ко-
торая может иметь множество решений. Очевидно, что максималь-
ному значению углов надлома бьо будет соответствовать минималь-
ное количество рабочей арматуры, поэтому для нахождения реше-
ния системы (15) функцию цели можно взять в виде:
п
^0 Ik ,
/г-1
где Ik — длина участка армирования, определяемого эпюрой мо-
ментов.
Кроме того, для решения системы (15) необходимо ввести до-
полнительные ограничения для усилий и прогибов. Ограничения
для усилий могут носить конструктивный характер.
Например, величина неизвестного усилия не должна быть бо-
лее его предельного значения, определяемого размерами бетонно-
го сечения.
Таким образом, первым этапом расчета будем находить:
n
макс
/г-1
при ограничениях:
n n 1 tn
ki i
k0
kp*
i=\
n
ki i
i=n i-l
n -|- tn
Гki Z[ Rkp\
(16)
k =- n 1, A2-;-2, . . n-
i= 1
Zi [fi ].
Из условий (16) следует, что поставленная задача является за-
дачей линейного программирования и при Хг- 0, Zf>0 без допол-
нительных преобразований может быть решена симплекс-методом.
186
После решения системы (16) по полученным усилиям и углам
надлома можно определить для каждого сечения количества арма-
туры, которые должны удовлетворять в первую очередь значениям
углов надлома. Иными словами вычисляются такие проценты ар-
мирования, при которых определенные по формуле (12) углы над-
лома не превышают заданных. Затем количество арматуры и диа-
метры отдельных стержней уточняются для удовлетворения усло-
вий трещиностойкости.
На этом этапе расчета по величине напряжений в арматуре вы-
бирается и марка арматурной стали по прочности.
После определения количества арматуры необходимо выпол-
нить проверку соответствия ее заданной эксплуатационной нагрузке
путем определения максимального значения нормативной нагруз-
ки, как было описано выше (п. 1, случай Б). Если полученное зна-
чение максимальной нормативной нагрузки окажется не менее за-
данной, то можно выполнить второй этап расчета — проверку несу-
щей способности конструкции методом предельного равновесия [6].
Максимальная нормативная нагрузка может оказаться меньше за-
данной, если при определении армирования для некоторых сечений
по конструктивным соображениям нерационально обеспечивать вы-
полнение условия требуемым углам надлома. В таких случаях не-
обходимо изменить армирование отдельных сечений.
Геометрические размеры сечений определяются конструктивны-
ми или экономическими ограничениями. В этом случае из системы
(15) первоначально будем рассматривать пг уравнений равновесия,
коэффициенты которых не зависят от геометрических размеров се-
чений и определяются только заданными длинами стержней и на-
грузкой.
Поскольку коэффициенты г/<г=0 и соответственно rhiZi = Q,
i=n-\A
система уравнений равновесия может быть записана в более про-
стом виде:
п
2 rkt = RkP; k = n+ l, п -i- 2, ., п + m. (17)
Z=1
Число уравнений (17) всегда будет меньше числа неизвестных
на величину степени статической неопределимости системы. Для
решения уравнений (17) возьмем функцию цели в виде (где
li — длина участка стержня, сечение которого и армирование будет
определяться по усилию Хг), и зададим дополнительные ограниче-
ния для неизвестных усилий Mi .Например, такими ограничениями
могут являться предельные значения усилий, которые могут быть
восприняты существующими конструкциями или фундаментами.
Минимизируя функцию цели при удовлетворении уравнений
равновесия (17) и условий Xi^Mi, получим значения неизвестных
усилий Mi, при которых конструкция стремится к теоретическому
минимальному объему (весу) [7].
187
После этого, принимая значения неизвестных в уравнениях (15)
Хг=Мь первые п уравнений можно представить в следующем
виде:
р п т
"VdkjYj 4- У b'k.Zi + 6ft0 = 0; k= 1, 2, . . n, (18)
j=l Z=n+1
где p — количество различных типов сечений;
г / ----обратная величина жесткости стержня;
akj —коэффициенты, определяемые эпюрами единич-
ных воздействий.
Неизвестными в системе уравнений (18) являются величины У;/-,
Zi и ftko, количество которых будет всегда больше числа уравне-
ний.
Для решения системы (18) необходимо задавать дополнитель-
ные условия. Выбор функции цели будет зависеть от следующих
трех возможных вариантов решения задачи.
1. Конструкция должна иметь минимальный объем (вес).
В этом случае функция цели может быть приближенно принята в
р
виде ^У^<7 (где lj — длины соответствующих стержней), которую
/=1
необходимо максимизировать при удовлетворении уравнении (18)
и дополнительных условий Zi <[fd> 6&о<Д6ао]. Особо отметим до-
полнительные условия для Yh которые должны иметь вил:
< j мин > Т j I j макс,
где У?Мип и У?макс — граничные значения неизвестных, определяе-
мые по значениям Mi и Ni при заданных процентах армирования.
Поэтому в решении задачи не будет У;=0, при котором долж-
но быть E&Jj= 00 •
Окончательно условия задачи можно записать так: найти
р
макс ^Yjli при условиях:
/1
р п -f- tn
У aki Yj 4- У 6;.Z. -i- бА0 = 0; k = 1, 2, . . /г;
(19)
Yi 4- [h 11 ^>ko < [6ftol; Yj <. Yj Yj
мин макс
Решая (19) методами линейного программирования, получим
значения неизвестных У; и соответственно величины геометрических
размеров сечений,.
2. Конструкция должна иметь минимальное содержание арма-
туры. В этом случае следует искать максимальное значение функ-
п
ции цели в виде при условиях (19).
Л=1
3. Конструкция должна быть экономичной по стоимости. Для
188
решения этой задачи находится максимум функции [при условиях
(19)]:
р п
где а и р — коэффициенты, определяемые в зависимости от стои-
мости бетона и арматуры;
lj — длины стержней;
Ik — длины участков армирования, определяемые эпюрой
моментов.
После определения значений Yj и соответствующих им значений
геометрических размеров сечений следует вычислить армирование
ее по методике, изложенной в п. За. По изложенной методике был
выполнен пример решения задачи проектирования неразрезной
балки.
Для показанной на рис. 6, а расчетной схемы балки требовалось
определить геометрические размеры сечений и армирование при
удовлетворении условия минимального веса.
Согласно выбранной основной системе смешанного метода
(рис. 6,6) запишем в общем виде систему канонических уравнений:
~ -- 5, 6.
дь;
kpy
k=\, 2, 3, 4;
(20)
Поскольку геометрические размеры сечений не заданы, то пер-
воначально будем решать только уравнения равновесия. На рис. 6,в
показана эпюра моментов получения решений уравнений равнове-
4
сия путем нахождения мин SXi/г.
z 1
По полученным значениям усилий были определены значения
У^макс и Vjmhh, соответствующие граничным размерам сечений
Лмпн=45 см и ЛМакс = 70 см при заданных ширине балки 6 = 20 см
и процентах армирования рМш1=0,5 и рмакс=1,5.
Подставляя значения усилий в качестве известных величин в
первые четыре уравнения системы (20) и выполняя алгебраические
преобразования с подстановкой значений У,— —!—г получим сле-
Еб J j
дующую систему четырех уравнений:
5,25 У, — 0,3333 Z5 + 610 = 0;
9,00 — 0,6666 z5 + 620 = 0; /91 \
5,25 Ух Н н 23,6251 К2 — 0,3333 z5 — 0,2222 Ze + 630 = 0;
30,3751 •2 0,4444 Ze 4" 640 = 0.
189
Для решения системы (21) необходимо взять функцию цели
в виде:
2
2 У/ h - 6Г! + 9У2 (22)
/=1
и дополнительные ограничения на неизвестные.
В данном примере такими ограничениями являются:
KiMiiii» У.7'макс в соответствии с приближенно вычисленными высо-
тами сечений;
Рис. 6. Расчетная схема и нагрузка двухп-ролетной балки
О 90
[Д] — допустимые величины прогибов в каждом пролете;
[бьо] — предельные допустимые значения углов надлома,
определяемые требованиями трещиностойкости.
В результате решения задачи максимальному значению функ-
ционала (22) соответствуют значения У1 = У2=1макс или размеры
сечения балки &ХЙ=2ОХ45 см.
По полученным значениям геометрических размеров сечений
вычислим кэффициенты при неизвестных в уравнениях (20). При-
нимая в (20) за неизвестные Xi, Zi и получим систему уравне-
4
ний, для оешения которой будем находить макс26ь06г при обычных
л i
ограничениях на величины Zi и 6/щ.
По полученным в результате решения системы (20) значениям
моментов и углов надлома (рис. 6, г) определялось армирование
балки (рис. 6,д), после чего была выполнена проверка его. Как по-
казано на рис. 6, е, при проверке по 2-му и 3-му предельным со-
стояниям величина максимальной нормативной нагрузки оказа-
лась близкой к заданной, а предельное состояние конструкции оп-
ределилось равенством расчетного прогиба в точке Е его допусти-
мому значению.
При проектировании конструкции на различные виды загруже-
ний может быть принята следующая методика расчета. Сначала
выполняется конструирование заданной стержневой системы на
какой-либо основной вид загружения, а затем ведется проверка на
остальные загружения уже как при заданном армировании с его-
возможной корректировкой.
Изложенные методы позволяют-создавать оптимальную по рас-
ходу арматуры конструкцию, которая удовлетворяет трем предель-
ным состояниям одновременно.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Гвоздев А. А. Общий метод расчета статически неопределимых сис-
тем. М., 1927.
2. Крылов С. М., Зайцев Ю. В. Исследование перераспределения уси
лий в неразрезных железобетонных балках. В сб.: «Расчет железобетонных конст-
рукций». М., Госстройиздат, 1961 (НИИЖБ).
3. Дмитриеве. А., Мулин Н. М., А.ртемьев В. П. Исследование
прочности трещиностойкости и жесткости балок с арматурой из стали 30ХГ2С.
В сб.: «Исследования по теории железобетона», вып. 17. М., Госстройиздат, 1960
(НИИЖБ).
4. Кр а с о в с к а я Т. А. Исследование работы двух шарнирных железобетон-
ных рам. М., Трансжелдориздат, 1963 (МИИТ, вып. 174).
5. Воробцов И. А. К вопросу о перераспределении усилий в двухшар-
нирных рамах при кратковременном загружении. В сб.г «Инженерные конструк-
ции и строительное производство». М. — Л., «Транспорт», 1966 (ЛИИЖТ).
6. Проценко А. М., Власов В. В. Применение линейного программи-
рования к расчетам железобетонных статически неопределимых конструкций.
«Бетон и железобетон», 1969, № 5.
7. Чир а с А. А. Методы линейного программирования при расчете упруго-
пластических систем. М. — Л., Стройиздат, 1969.
191
A. M. ПРОЦЕНКО, В. В. ВЛАСОВ, кандидаты техн, наук
СТАТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В СТАДИИ ИСЧЕРПАНИЯ ИХ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
Определение несущей способности железобетонных конструкций
•сталкивается с особыми физико-механическими свойствами железо-
бетона, способного к существенному перераспределению усилий.
Для расчета .несущей способности таких конструкций более трид-
цати лет применяется теория предельного равновесия [1]. Истори-
чески сложилось так, что традиционным методом предельного рав-
новесия является кинематический, когда для решения задачи зара-
нее задается схема пластического механизма. Сложность задачи
во многом определяется трудностями в выборе такого механизма.
Статический метод предельного равновесия практически не на-
шел применения при обычных, неавтоматизированных методах
расчета.
В последнее время появились работы [7, 8, 14], в которых пред-
лагаются методы, существенно отличные от традиционных и до-
статочно сложные для их реализации вручную, но наиболее перс-
пективные при использовании вычислительной техники. Расчет же-
лезобетонных конструкций статическим способом сдерживается от-
сутствием надлежащих условий прочности. По этому вопросу име-
ется ряд предложений i[4, 5], которые все же требуют дальнейшей
доработки. Обычный путь решения задачи предельного равновесия
в статической постановке заключается в максимизации параметра
нагрузки, при котором поле усилий нигде не нарушает условий
прочности. Выражая линейное или нелинейное, но линеаризован-
ное условие прочности через внутренние силы, можно задачу рас-
чета статически неопределимых железобетонных конструкций све-
сти к задаче линейного программирования. При этом уравнения
равновесия и условия прочности играют роль ограничений. Функ-
цией цели является параметр внешней нагрузки. Поэтому основ-
ными проблемами, которые возникают при применении методов ли-
нейного программирования для решения задач предельного равно-
весия, являются: во-первых, проблема формализации алгоритмов
формирования уравнений равновесия; во-вторых, проблема форми-
рования условий прочности; сюда входят как вопросы создания та-
ких условий для сложных напряженных состояний, так и их фор-
мализация, приспособленная для ЭВМ.
Уравнения равновесия для плоских стержневых систем. При ре-
шении задачи в статической постановке для составления уравне-
ний равновесия обычно используют способ, предложенный в рабо-
те [2]. Однако он приводит к излишне большому числу перемен-
192
ных, так как необходимо записывать уравнения равновесия в ко-
нечноразностной форме. Более удобным представляется метод
А. Чарнса [6], но он учитывает только изгибающие моменты. По-
этому ниже предлагается видоизмененный метод А. Чарнса, обос-
нование которого можно найти в .[7].
Конструкция раесматривается как деформируемая система, об-
ладающая конечным числом степеней свободы статического дефор-
мирования. В ней выделяется ряд сечений, «подозреваемых» на об-
разование в них пластических шарниров. Количество и расположе-
ние выделяемых сечений может быть в общем случае . произволь-
ным однако с условием, чтобы в их число входили те сечения, где
могут образоваться действительные пластические шарниры. В даль-
нейшем система рассматривается как механизм или кинематиче-
ская цепь, разделенная этими шарнирами на диски.
Каждое выделенное сечение может иметь до трех перемеще-
ний — два линейных и одного перемещение вращения. Деформации и
перемещения считаются малыми, и, следовательно, деформации от
обобщенного перемещения можно рассматривать как сумму дефор-
маций от определяющих его перемещений. Обобщенные перемеще-
ния всей конструкции задаются в виде n-мерного вектора x'=(xit
..., хп). При этом п есть число степеней свободы, а всех/
есть независимые перемещения выделенных сечений. В системе вы-
деляется mZ> n обобщенных внутренних сил, представляемых в ви-
де m-мерного вектора т'=.(ть ..., mm). Соответствующие этим си-
лам обобщенные деформации можно представить в виде m-мерно-
го вектора 0'=i(0i,..., 0™). В силу малости перемещений, т. е. при
расчете по недеформируемой схеме m-мерный вектор 0 связан с х
соотношением
О - Н х.
Здесь Н — некоторая матрица, названная кинематической, разме-
ром т строк и п столбцов. Ее элементы обозначаются h^i.
Уравнения равновесия системы получаются приравниванием ну-
лю уравнения вариации полной энергии системы, т. е.
= Ш — оА = 0, (2)
где 6U—вариация внутренней энергии системы;
6Д —вариация энергии внешних сил.
Принимая во внимание (1), вариация внутренней энергии си-
стемы в матричных обозначениях будет иметь вид:
о(/ = ш' о О
т' Н ох.
(3)
Такая запись соответствует следующей:
п т
i=\ k=\
mk hki 8 Xi .
(4)
193
Обратимся к внешним силам. Пусть на систему действует неко-
торая совокупность внешних сил Р\ Р2У Ps, которые могут изме-
няться пропорционально одному параметру Р, но без изменения
своей ориентации. Такой подход соответствует основным положе-
ниям теории предельного равновесия, когда нагрузка рассматрива-
ется как монотонно возрастающая, а ее интенсивность пропорцио-
нальна одному параметру. Тогда все s сил можно представить в
виде набора из векторов Pk\ Pk2, ..., Pk3. В общем случае fey есть
трехмерные векторы интенсивности с независящими от х компонен-
тами kv, kv, kv.
Перемещение любой точки приложения силы Py ^обозначенное
через иу есть также трехмерный вектор с компонентами uYi,
Uyz- В силу малости деформаций вариация работы внешних сил
записывается:
6 А Р V ky 0 Uy = Р rt Xi = ? т' х>
Y=1 Z=1
(5)
где г'= (Г1,..., г7г), а бх'= (б%1,..., dxn)—вариации обобщенных
перемещений.
Вектор г можно рассматривать как вектор интенсивности внеш-
ней нагрузки по направлениям обобщенных перемещений, а вектор
Рг— как вектор обобщенных внешних сил.
Следует отметить, что в формуле (3) матрица Н зависит только
от исходной геометрии системы. В то же время вектор г в формуле
(5) зависит от направления внешних сил и геометрической формы
системы. При этом Н и г не зависят от обобщенных перемещений.
Имея выражения (4) и (5), уравнения равновесия системы в
матричной форме можно записать:
Н'm - Р г = 0.
В развернутой форме они примут вид:
Лц ^21 • • • ^trii / W1 \
(6)
Лц ^21 • • • ^trii
Й12 ^22 • • • hm2
= 0.
(7)
h\n hln • • • hm.n
Таким образом, для произвольной t раз статически неопредели-
мой системы записывается п уравнений равновесия относительно т
внутренних усилий. В работе [8] показано, что m =
Уравнение равновесия (6) составлено с учетом действия только
временной нагрузки. Однако нагрузка на конструкцию обычно со-
стоит из заданной по величине и расположению постоянной нагруз-
ки и временной нагрузки, определяемой одним или несколькими
параметрами. Наибольшее практическое значение имеют задачи, в
которых временная нагрузка задана по расположению, а ее ин-
тенсивность зависит от одного параметра. Именно это и учитывает-
194
ся в (6). Для учета постоянной нагрузки предположим ее задан-
ной в виде системы сил Gb Gg. Поскольку перемещения под
каждой точкой приложения силы G^, являются линейными функ-
циями обобщенных перемещений и=с'х, где х—«вектор перемеще-
ний, а с — вектор коэффициентов, то потенциал постоянной нагруз-
ки А запишется в виде:
Ag -- V Gi Ui = 2? gi Xi .
i—1
(8)
Здесь gi — коэффициенты, являющиеся проекциями всей посто-
янной нагрузки на оси пространства обобщенных перемещений.
Они вычисляются аналогично коэффициентам п. Проводя заново
рассуждения, аналогичные тем, что были использованы при состав-
лении уравнений равновесия (6), можно получить следующую си-
стему уравнений:
H'm —Pr —g-0,
(9)
где g' = (gi,..., gn)—известный постоянный вектор, являющийся
вектором свободных членов.
Выражением (9) учитывается воздействие постоянной нагрузки
на систему.
Из рассмотрения уравнений (6) и (9) .вполне очевидно, что фор-
мально формирование уравнений равновесия сведено к построению
матрицы Н. После вычисления ее элементов формирование урав-
нений равновесия не представляет затруднений.
Кинематическая матрица Н устанавливает связь между дефор-
мациями (вектором 0) и перемещениями (вектором х). Выраже-
ние (1), соответствующее этой связи, можно записать в разверну-
том виде:
(х) =
п
i=\
(10}
Построение матрицы Н может быть осуществлено простым и
наглядным способом. Пусть в системе принимаются равными нулю
все 1перемещения х, кроме одного какого-либо произвольного хг*.
Тогда, давая системе перемещение х^, можно вычислить деформа-
ции Оь(хг) для всех k= 1,2, ..., m, которые обозначим 0/п-. В резуль-
тате реализации перемещения хг- получим
®ki — h-ki •
(И>
Затем принимаем равным нулю перемещение х, и сообщим си-
стеме перемещение хг-+ь Снова запишем деформации системы, со-
ответствующие этому перемещению. Перебрав таким образом все
перемещения х можно получить все элементы матрицы Н.
Закономерности построения зависимости (10) для каждого ви-
да рассматриваемых конструкций обсуждаются ниже. Здесь оста-
195
новимся лишь на общих правилах, необходимых для успешного и
корректного составления матрицы Н. Для любой конструкции не-
обходимо соблюдать следующее.
1. Обобщенные перемещения — направления перемещений наи-
более характерных точек конструкции. Эти точки и направления
должны быть назначены так, чтобы перемещения всех остальных
точек системы с достаточной точностью являлись функциями пере-
мещений характерных точек.
2. В конструкции должна быть наиболее полно выбрана систе-
ма обобщенных деформаций. Необходимо, чтобы этот выбор преж-
де всего отвечал наиболее характерной модели деформирования
конструкции. Этого вполне можно добиться, если в конструкции
выделить конечную совокупность внутренних сил ...у mm, кото-
рые по тем или иным соображениям могут вызвать разрушение
конструкции, и назначить соответствующие им деформации.
3. Порядок матрицы Н должен быть равным тХи, где т — ко-
личество обобщенных усилий (число строк), а п— число степеней
свободы (количество столбцов), ранг матрицы Н должен быть мак-
симальным (равным п).
4. Для одномерных систем порядок матрицы Н должен указы-
вать степень статической неопределимости 1, = т—п.
Условия прочности. В зависимости от типа конструкций, вида
армирования и напряженного состояния условия прочности могут
существенно изменяться.
Такое положение усугубля-
ется и тем, что в настоящее
время еще нет достаточно
общей и строгой теории
прочности железобетона.
Но для отдельных типов
конструкций имеется необ-
ходимое количество экс-
периментальных и теорети-
ческих исследоватий, позво-
ляющих вполне надежно
учитывать прочность элемен-
тов системы.
Прочность железобетон-
ных прямоугольных сечений при внецентренном действии сил. Эле-
менты стержневых систем при действии изгиба или внецентренного
сжатия (растяжения) исследованы достаточно полно (СНиП
П-В. 1-62). Область прочности для таких элементов предложена в
работе А. А. Гвоздева [1]. На рис. 1 показана аналогичная область
прочности Q произвольного несимметрично армированного сече-
ния, построенная в осях М и N [7]. Здесь М и N— .изгибающий
момент и нормальная сила, действующие относительно геометриче-
ского центра сечения. Область Q полностью отвечает требованиям
СНиП.
196
Прямые DMn и ОМИ характеризуют прочность сечения при вне-
центренном растяжении для положительного и отрицательного зна-
чения момента. Точка D — центральное растяжение. Отрезки Миа
и Мн а' ограничивают прочность сечения -по первому случаю вне-
центренного сжатия при высоте сжатой зоны х <2а', а кривые аА
и а'А' — при высоте сжатой зоны х^2а'. Точки а и А соответству-
ют граничным значениям: а—прих=2а'; А — граница между пер-
вым и вторым случаем внецентренного сжатия. Прямые AD' и
A'D' отвечают прочности сечения по второму случаю внецентренно-
го сжатия. Точка D'— центральное сжатие сечения. Из-за несим-
метричности армирования она смещается с оси N влево. Коорди-
наты характерных точек легко вычисляются по соответствующим
формулам СНиП.
Заменяя криволинейные участки аА и а'А' прямыми, получим
выпуклую линейно ограниченную область прочности, которую в
общем случае можно описать шестью линейными неравенствами
вида:
а7ММ + atuN + а, > 0. (/=!,...,6). (12)
Условия прочности (12) точные, за исключением участков аА.
Как показывают расчеты, погрешность при замене этих криволи-
нейных участков прямыми не превышает 5%. Построение нера-
венств (12) после вычисления характерных точек не представляет
затруднений. Этими условиями можно пользоваться при расчете
рам и арок.
Предельное равновесие рамных конструкций. Рассматрива-
ются железобетонные рамные системы произвольной конфигура-
ции, в том числе и нерегулярные. Поперечные сечения ригелей и
стоек рам имеют ось симметрии. Нагрузка — произвольная стати-
ческая. В случае равномерно распределенной нагрузки она заменя-
ется системой сил, приложенных в местах опасных сечений.
Рассмотрим способы построения кинематической матрицы для
рамных систем на примере двухпролетной одноэтажной рамы
(рис. 2). При этом будем придерживаться общих правил построе-
ния, сформулированных выше. Стойки и ригели рамы разбиты на
минимальное число участков. Заметим, что увеличение их числа
никак не скажется на структуре матрицы Н, кроме увеличения ее
объема.
На рис. 2 рама представлена как система с 12 степенями свобо-
ды. Положительные направления перемещений х показаны стрелка-
ми с соответствующим номером. Здесь Xi (1=^7)—линейные пере-
мещения сечений, а х7—вращение среднего узла. Выбранная си-
стема обобщенных внутренних сил показана на рис. 2. Всего обоб-
щенных сил 15, из них m8, т9, т^, — нормальные силы, осталь-
ные— изгибающие моменты. Этим обобщенным внутренним силам
соответствует 15 деформаций 01—615. Их положительные направ-
ления должны отвечать показанным на рисунке направлениям
действия сил.
197
Зависимость, характеризующая связь между деформациями и
перемещениями, представлена в табличной форме (табл. 1). Эле-
менты табл. 1 получены в результате вычислений по (11). Рассмот-
рим три, следующие друг за другом по номерам, перемещения, на-
пример х5, %6 и х7 (см. рис. 2 и 3).
Рис. 2
Рис. 3
98
Задавая перемещение х$ при закрепленных остальных переме-
щениях, будем иметь деформации:
Здесь первый индекс при 0 означает номер усилия, а второй —
номер перемещения. Геометрические размеры I и h показаны на
рис. 3. Приравняв х$ единице, получим элементы графы 5 табл. 1.
От перемещения х6, при всех остальных закрепленных, получим
деформации:
^5,6 === ~ Xq, ^6,6 ~ Xg, ^9,6 Xfi, ^14,(i Xq.
h2 h2
Эти элементы образуют графу 6 табл. 1. От вращения узла х7
получаются деформации:
Положив х7=1, получаем элементы графы 7, табл. 1. Переме-
щения поворота никаких продольных деформаций не вызывают.
Аналогично получены все элементы табл. 1. Она представляет со-
бой кинематическую матрицу Н для данной рамы. Из этой табли-
цы можно получить полностью i-ю функцию 0г(х) умножением
каждого элемента f-й строки на Xi^-X|2.
Например,
Здесь размер матрицы Н (15X12) дает степень статической не-
определимости 3=15—12.
В [7] приведен пример использования этой методики для рас-
чета рамы, испытанной до разрушения [10]. Расчет дал хорошее
совпадение с экспериментальной предельной нагрузкой.
В другом примере решалась задача предельного равновесия
Г-образной один раз статически неопределимой рамы, испытанной
до разрушения [И]. Эта рама характерна тем, что ее стойка рабо-
тает по второму случаю виецентренного сжатия вследствие прило-
жения по ее оси постоянной нагрузки G = 38,9 Т. Расчетная схема
рамы показана на рис. 4, там же показаны схемы для определения
0г/г. Уравнения равновесия для рамы записывались согласно (9), а
прочностные ограничения — согласно (12). В результате решения
задачи на ЭВМ было получено значение предельной нагрузки Р* =
=4,14 Т и соответствующее распределение внутренних усилий. Вы-
яснилось, что в стойке образовался пластический шарнир по «бе-
199
о
Таблица 1
х х 9 \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 и 12
1 2 3 4 5 6 7 8 1 ( 1 Л2 "И Лз 1 “ ДЗ 1 Л3 1 /г3 1 Zi 1 1 Л. 1 1 /1 /2 1 ” /2 1 /2 1 z2 1 /l2 1 Л2 Ai /2 Д3 1 —- 1 /i2 A3 h2 1 hi ' 1 /l2 1 “ h2 1 hi
9 1 1 —1
10 1
11 12 13 14 15 1 Z3 1 z3 1 1 + 5-| > 1 z3 1 1 ТГ + ТГ 1 1 /i3 1 1 hi ”1" h$
гону», т. е. по второму случаю внецентренного сжатия, а в риге-
ле— пластический шарнир по «арматуре», т. е. по первому случаю.
Здесь была получена полная аналогия с экспериментом. Величина
теоретической разрушающей нагрузки также хорошо совпадает с
ее экспериментальным значением (РЭксп=4,3 Т). Величины момен-
а? |^т |р
Рис. 4.
тов, полученные из опыта автором эксперимента, незначительно от-
личаются от полученных расчетом. В целом весь результат расче-
та хорошо согласуется с опытом. Более детальное описание этого
расчета есть в [17].
В заключение данного раздела отметим, что расчет рам метода-
ми линейного программирования разрабатывался и ранее. Напри-
мер, в [3] излагается двойственная формулировка задачи, объеди-
няющая статический и кинематический анализ предельного состоя-
201
ния. Метод разработан для идеального упруго-пластического ма-
териала, а расчет ведется с учетом только изгибающих моментов.
Однако, как показано в разделе о прочности, нормальная сила во
внецентренно сжатых элементах оказывает значительное влияние
яа прочность железобетонного сечения. В большинстве других ра-
15от, посвященных расчету рам по предельному равновесию как при
шомощи линейного программирования, так и без него, также не
учитывается влияние нормальной силы.
Предлагаемая в данной работе методика расчета выгодно от-
личается от известных ранее возможностью учета совместного дей-
ствия двух видов усилий — изгибающего момента и нормальной
'СИЛЫ.
Арочные конструкции. Рассматривается предельное равновесие
статически неопределимых железобетонных арок прямоугольного
сечения, размеры которого могут меняться по длине арки. В число
рассматриваемых конструкций входят бесшарнирпые арки, арки с
затяжкой и двухшарнирные арки. Нагрузка произвольная статиче-
ская, заданная как временная по всему пролету или на части его,
а также как сочетание временной и постоянной нагрузок. В случае
равномерно распределенной нагрузки она заменяется системой со-
средоточенных сил, приложенных в местах выделенных сечений.
Для арок с криволинейной осью участки оси между расчетными се-
чениями заменяются прямыми отрезками, тем самым арка приво-
дится к полигональной системе. В пределах каждого участка раз-
меры поперечных сечений принимаются постоянными.
Предполагается, что арка не разрушится от действия попереч-
ных сил и от потери устойчивости.
Рассмотрим способы построения матрицы Н для арочных кон-
струкций. На рис. 5, а показан участок криволинейного стержня с
назначенными на его оси сечениями i—1, if z‘+l. Будем считать, что
каждая выделенная точка может смещаться по вертикали на вели-
чину Xi и по горизонтали на величину yif т. е. каждая точка может
смещаться в любом 1направлении в плоскости чертежа. Предпола-
гается, что в отмеченных точках возникают изгибающие моменты
.тг-__ь mi, тг+ь а моменты между этими точками определяются по
линейной интерполяции. Кроме того, принимаем, что продольные
усилия действуют в каждой панели, что обозначим пг- и n^i. Всем
выделенным силам соответствуют деформации б£_ь О?1, 0^+1 —
угловые деформации в точках i—1, i, Н-1 и О", —линейные
деформации отрезков Si и Si+ь
Пусть точка i получила смещение на величину Xi (рис: 5, б) и
переместилась в точку I'. Спроектировав Xi на нормали Si и Si+i,
вычислим отрезки i'a и i'b\
i' а = Xi cos az-
i' b = Xi cos az-+1.
(13)
Отсюда легко вычислить углы 6/Li и
202
cos a
X/ . (14)
Знак деформаций здесь отрицательный, поскольку они обратны
положительному действию усилий mt-i и тг+ь
Рис. 5
В узле i угол фг = аг—аг+1 исказится на величину деформаций в
этом узле Из простых соображений о внешнем угле треуголь-
ника получаем:
ьт
cos ai
cos a
(15)
i
203
Итак, можно записать следующую зависимость:
(16)
где 6™ = (бГ,-..., G/Г); k — число точек, в которых действуют мо-
менты
х= (xlt..., хп) — перемещения по вертикали;
Н"2—матрица kХп, элементы которой опре-
деляются по вышеприведенным фор-
мулам.
Усилиям Пг и /Тг-ы соответствует перемещение точки i вдоль от-
резков Si и Si+i- Это и будут деформации б? и . Их величина
определяется как проекция перемещения Xi на отрезки Si и Si+i:
i b — Xi sin я/ i.b
(17)
Здесь деформация 6/ совпадает по направлению с усилием пг-,
значит, ее знак положительный. Деформация б/ i i обратна по зна-
ку силе Пг+i, следовательно, ее знак отрицательный. По аналогии
с (16) можно записать: б" = Н“х.
В итоге от вертикальных перемещений зависимость между де-
формациями и перемещениями записывается в виде:
= Нг х; Hv =
(18)
Полученная в данном случае матрица Нх — симметричная в
верхней части и треугольная в нижней. Ее структуру можно пред-
ставить в следующем виде:
(19)
Если теперь рассмотреть перемещения по горизонтали yif ...,уп
(ри-с. 5, в), то все приведенные выше рассуждения полностью по-
вторяются. При этом придется проектировать на нормали к осям и
на сами оси стержня горизонтальные направления у.
Здесь будут следующие зависимости:
204
sin a,- sin а,-, ,
—1 о Ус > yt ,
0? = cos ax; 0?+i = — cos az+1.
Матрица по структуре будет аналогична Hx (18) и (19) с за-
менной в верхней части cos на sin и переменной знака- Матрицу Н
можно представить в следующем блочном виде:
В общем случае можно по различному выбирать ориентацию
перемещений. Одним из наиболее удобных способов задания пере-
мещений служит так называемый ортогональный способ, особенно
выгодный для регулярно расположенных точек.
На рис. 5 показана такая система обобщенных перемещений, в
которой х направлены но радиусу кривизны, а у. по касательной
к оси стержня. Перемещение xt вызывает угловые деформации.
В целях упрощения здесь принято Sz- = Sl+i.
Тогда для угловых деформаций
еГ_1 = 0?+J = —L cos 4- 6Г= -- cos ъ, (22)
А 2 А 2
а для деформаций укорочения
6” = 0"+i - Xzsin-|- • (23)
Следовательно, для кругового стержня матрицы Нх и Н2
можно представить так:
Аналогично от перемещения по касательной на
f
величину yt бу-
.дет;
«Г-, = ^е?н=Х51п49;;
ZA
(25)
205
при этом из равенства 6Г = — (^л-1 + &/+i) получим б/г =0.
Для продольных деформаций будем иметь выражение
о" = — б"+1 = COS -|- = у\. (26)
Следовательно, матрицы Н™ и Н" для кругового стержня бу-
дут представлены в виде:
0 —1
В общем случае для произвольного стержня необходимо будет
учитывать различную величину угла g и тогда вышеприведенные
выражения несколько усложнятся.
В качестве примера приведем решение для железобетонной бес-
шарнирной арки кругового очертания, испытанной до разрушения
[12]. Конструкция арки, схема загружения, а также места образо-
вания пластических шарниров по данным [12] показаны на рис. 6
и 7. Арка изготовлена из бетона марки 240 и армирована стерж-
нями диа-метром 10 мм с пределом текучести 2500 кГ/см2.
Для расчета была выбрана кинематическая схема (рис. 8) с
одиннадцатью расчетными сечениями. Криволинейная ось арки в
пределах между выделенными сечениями заменялась прямыми от-
Рис. 6
206
резками. На этом рисунке показана также принятая система внут-
ренних сил, направление которых считается положительным. Всего
назначено 11 моментов —тп и 10 нормальных сил mi2—m2i. Со-
ответствующие им угловые и линейные деформации подсчитыва-
лись по формулам (14), (15) и (20) и затем формировалась кине-
матическая матрица Н.
Рис. 8
Проектируя внешнюю нагрузку на возможные перемещения оси
арки, можно сформировать вектор г, r3= 1, Гг=0, i^3—сосредо-
точенная сила Р совершает работу только на вертикальном пере-
мещении х3. В результате получается всего 18 уравнений равнове-
сия типа (10).
Прочностные ограничения (12) для всех сечений арки будут
одинаковыми, так как арка постоянного сечения по длине. На каж-
дое расчетное сечение в данном случае накладывалось по шесть
ограничений неравенств.
Окончательно сформированная симплекс-таблица после перехо-
да к положительным переменным имела размер 85 строк на
207
34 столбца. Она решалась по мультипликативной программе симп-
лексного алгоритма на ЭВМ «Минск-22». Время решения задачи
составило 20 мин. В результате получено значение Р*=9,2 Т
Т) и предельное распределение усилий (см. рис. 7).
Из распределения усилий были получены места образования пла-
стических шарниров — сечения 2, 4, 8 и 11, где разрушение про-
изошло по арматуре (первый случай). Здесь также расчетные дан-
ные находятся в полном соответствии с результатами экспери-
мента.
Были произведены расчеты для двухшарнир-ной арки с затяж-
кой, нагруженной сосредоточенной силой в замке, и для бесшар-
нирной пологой арки переменного сечения, работающей по второ-
му случаю внецентренного сжатия под действием постоянной по
всему пролету и временной на полупролете нагрузки. Здесь так-
же было получено хорошее совпадение с результатами экспери-
мента.
Купол вращения. Исследуется предельное равновесие железо-
бетонных куполов вращения, в которых возникает осесимметрич-
ное напряженное состояние.
Будем считать, что в предельном состоянии железобетонный ку-
пол имеет симметричную схему разрушения, когда звенья, на кото-
рые членится конструкция при образовании пластических зон, со-
вершают перемещения, вызывающие как удлинение, так и укороче-
ние их кольцевых периметров. Это несколько расширяет схемы раз-
рушения купольных конструкций, подробно рассмотренных
А. М. Овечкиным [9].
Примем, что вращение дисков, разделенных пластическими
шарнирами текучести, происходит вокруг геометрической оси, каса-
тельной к серединной поверхности. Принимается также, что поте-
ри несущей способности от хрупкого разрушения, а также от поте-
ри устойчивости не произойдет.
Рассмотрим полусферический шаровой купол, загруженный со-
средоточенной силой в вершине (рис. 9,а). Нагрузку от собствен-
ного веса купола не учитываем. Толщина стенки купола по мери-
диану в общем случае предполагается переменной. Для упрощения
будем рассматривать шарнирное подвижное опирание края.
При осесимметричном загружении в куполе возникает осесим-
метричное напряженное состояние, которое в каждой точке купола
характеризуется внутренними усилиями М, N, Т и S.
Разобьем купол на ряд кольцевых сечений, считая, что в пре-
дельном состоянии в них могут образоваться кольцевые пластиче
ские шарниры текучести. В случае переменной толщины стенки за-
меним ее постоянной в пределах каждого участка купола между
кольцевыми шарнирами. Схему деформирования назначим, как по-
казано на рис. 9, а. Здесь п сечений могут перемещаться по верти-
кали х и по горизонтали у. Отметим, что так’же как и для криво-
линейного стержня, можно выбрать направление х' по главному
радиусу кривизны, а направление у' по касательной вдоль мери-
208
диана. В любом случае предполагается, что каждая точка f-ro се-
чения может перемещаться по направлениям Хг и уг- Проведя заме-
ну криволинейных поверхностей коническими между двумя сосед-
ними сечениями, будем полагать, что в такой конструкции дейст-
вуют внутренние силы, как показано на рис. 9,6.
Рис. 9
Здесь внутренние силы рассматриваются как компоненты векто-
ров /и, и, t и s, которые соответствуют силам М, N, Т и S. Силы
N, Т и 5 принимаются постоянными внутри каждой выделенной
конической панели, а М фиксируется в каждом сечении парал-
лелью.
Этим группам усилий соответствуют деформации 0m, 0n, 6s,
О'. Построения для данных деформаций производятся способом, не-
сколько отличным от предыдущих чисто геометрических. Здесь рас-
смотрим частные вариации работы внутренних сил. Возьмем г-е
сечение (см. рис. 9,6) и сообщим ему вертикальное перемещение
6хг-. Очевидно, что все показанные внутренние силы совершат ра-
боту §XiU, которую можно подсчитать следующим образом.
209
Работа сил Л4 и N определяется так же, как и для
бруса:
кривого»
m cos а,
д/П I
Vi—1 =--------------
A,
cos а,-
о Xi U (т) = {nii—\ 0£Li 2л /?/_! rrii 67 2л -}-
+ mz+i 07m 2 л /?ж) о х£ = 2 л (mz_i, mit m£+i) X
(28)
Здесь вариация работы подсчитывается для целой окружности
длиной 2л/?;. Затем сделан переход к матричной записи, где:
COS а,- m COS а... 1
hT-r.i =------—— Ri-й hT+i.i =----------л-^'- Ri 11;
л/ Д/+1
, х (29)
m / cos а, cos а,-, , \ v 7
л” = —X- + -X1- X •
\ д/ д/+1 )
Введем вектор Лр в виде:
Л7 = (О, .... о, Л7_М) л", M"+lrZ) о, .... 0).
:---------/--------- (зо)
п
Тогда (28) можно переписать как
ьх. U (fn) = т' /г”1 о х£.
Здесь множитель 2л опущен.
Совершая построение п векторов (30) и производя суммирова-
ние, получим:
8xt/(m) = 2m'h7dxz = т'Н”ох, (31)
Z = 1
где
Нт itnx I тх II
х = Щ 11Л И .
Это квадратная матрица размером n%nt у которой столбцы
/=2, 3,..., п—1 определяются по (29) и (30), а столбцы АГ и Ал*
следующие:
1 тх_[ cosQt . cos а2 \ D
210
hmx
/СП,П
= _ cosa^ R*. = 0; t- _д j, 2;
д2
11пгх ___ COS D
”п—1,1 — . t\n—1»
= (+ COpL+J_^ R . = 0; i =
\ Д« Дл4-1 /
Введя понятие псевдодеформации 0 = Нх из условия, что эта
деформация определяет работу по формуле 6t7=mzHSx, получим,
tn, определенной для кривого
= Hm. С обычной матрицей Но,
связана соотношением
ЧТО Нт
стержня, матрица Н'п
(32)
Далее рассмотрим вариацию работы нормальных сил N. Дефор-
мации 0п будут:
6/ — sin я/ о 0?4-1 = — sin az-1 j 6 Xi.
Вариация работы этих сил записывается так:
sin —
(33)
Введем столбец
== 0, О,
*/-i
2 1 —1
. -----------
п
sin az ,
Z
п
(34)
п
Тогда аналогично (31) можно записать:
т
х; Н"= || ЬГ, h"x||. (35)
матрица Н*имеет размер (п+1)п, а ее
Здесь, в отличие от Н
элементы определяются по (34).
211
Если ввести матрицу размером (п+1)Х (^+1)
то матрица псевдодеформаций может быть записана как
(36>
где Н2 —матрица для криволинейного стержня.
Работу моментов S можно подсчитать следующим образом.
В недеформированном состоянии средняя кривизна конической по-
верхности будет (см. рис. 9, в):
+ R< ).
(37)
В деформированном состоянии угол сч изменится и будет опре-
деляться величиной а'£ = сц— g, где угол деформации g=
=6Xi cos аг7Лг. Тогда новая кривизна конической поверхности за-
пишется в виде:
sin (az — g) sin az cos £ — cos az- sin £ sin az- — cos 6
Rf Ri R.
(38)
Изменение кривизны составит величину
А - h -
COS2 а. о Xj
(39)
Следовательно, работу сил Si можно определить выражением
6Х U (S) = [Sz А/ Rt (/z - Л) - Sz+i Az+i 2к R^ X
Введем столбец
sx
X (Л+1 — fz+1)] 6 Xi .
COS2 af COS2 a.|_.
o —-t-Ri,--------Ri-1-ъ
О, О
(40)
(41)
и запишем сразу
II h
U (S) = S' Ш 8х; Hs =
sx « sx
1 > • • •, П„
(42)
212
Осталось рассмотреть только работу сил Т. На перемещениях
бх не происходит изменения длины окружности в каждом сечении.
Следовательно, на этих перемещениях силы /г- работу не произ-
водят:
б.г U (t) - Г [0] о х,
(43)
где [0] — нулевая матрица.
На перемещениях б?/ силы Ц производят работу, так как каж-
дая коническая шанель удлиняется, в среднем сечении на величину
2 тг — ох/ (см. рис. 9, в). Это значит, что
(44)
Обращаясь к горизонтальным перемещениям бу, аналогично
предыдущим случаям можно записать выражения для усилий М,
N и S:
8у U (m) m' Hi; о у; 8V U (п) - n' Н" о у;
£vL’(s) = S' Н*бу.
(45)
Здесь матрицы Н^и Н^ отличаются от соответствующих мат-
риц Н™ и Н" тем, что в первой cos заменяется на sin, а во второй
sin на cos. В матрице Н/у вместо cos2ai будет стоять sin2aj. Это
определяется таким же образом, как было сделано выше.
В итоге для всей системы можно составить полную матрицу в
блочном виде:
НГ н”
ТТН ттП
Н = ¥ п,/ . (46)
[0] Н'
HS TjS
х Л4/
Эта матрица имеет размер [п4-3(п+1]2п или (4п+3)2п. В це-
лом структура подматриц (46) следующая:
213
11 1.
-V (//)
п
Проиллюстрируем такую методику расчетом конкретной конст-
рукции. Рассматривается железобетонная конструкция — модель-
ный купол, испытанный до разрушения [9]. Вначале была приня-
та кинематическая схема с шестью опасными сечениями (рис. 10).
На этом рисунке показана выбранная система обобщенных пере-
мещений и система обобщенных сил, направления которых приня-
ты за положительные. Здесь всего 13 перемещений и 20 усилий.
Среди них: Xi—%б — вертикальные перемещения сечений; х7— *1з—
горизонтальные перемещения; —т& — изгибающие моменты по
меридиану; т7—— меридиональные нормальные силы; —
^2о—кольцевые растягивающие усилия. В данном случае, соглас-
но [9], кольцевыми изгибающими моментами S можно пренебречь.
Выбранной системе обобщенных сил будут соответствовать де-
формации— углы перелома, а также линейные деформации в на-
правлении меридиана и параллели.
Внешняя нагрузка проектируется только на перемещение х6.
Отсюда Гб=1, ^г=0, i 7 6. В итоге можно сформировать всего 13
уравнений равновесия, т. е. ровно столько, сколько назначено пе-
ремещений в системе.
Прочностные ограничения, накладываемые на усилия в выде-
ленных сечениях купола, записывались как линейные неравенства,
описывающие область прочности в виде призмы прочности (рис. 11).
Она построена на основании условий (1.2), а за третью ось приня-
та сила растяжения по кольцу купола Т. Ее можно описать нера-
венствами (12) и одним неравенством вида Т < 7Уц°рЬЦа . При этом
не учитывается разрушение по кольцу от силы сжатия. Предпола-
214
гается, что значения М, N и Г, превращающие для какого-либо
сечения купола хотя бы одно из этих ограничений в строгое равен-
ство, говорят о наличии в данном сечении меридионального или
Рис. 10
кольцевого пластического шарнира. Эти условия могут быть ис-
пользованы при расчете опертых и подвешенных куполов.
После формирования исходной симплекс-таблицы задача ре-
шалась на ЭВМ «Минск-22» по стандартной программе симплекс-
метода. Значение максимальной предельной нагрузки составило
Р* = Ю,9. Было получено распределение усилий в куполе в момент
разрушения и схема разрушения. Всего образовалось два кольце-
215
вых пластических шарнира с углами а=6° и ai=37° и ряд мери-
диональных пластических шарниров по всей поверхности купола,
за исключением верхнего центрального участка, а также опорного
кольца. Такая схема разрушения соответствует куполам с избы-
точными опорными кольцами.
Во время, испытаний [9] купол разрушился при величине на-
грузки PaKcn^lS Т по меридионально-кольцевой схеме с образова-
нием двух кольцевых пластических шарниров и ряда меридиональ-
ных шарниров, равномерно распределенных по периметру купола
(см. рис. 10). При этом, как следует из рисунка, опорное кольцо,
армированное проволокой из твердой стали, осталось неразру-
шенным. Верхний кольцевой пластический шарнир образовался
при угле ai=6°. Нижняя кольцевая трещина проходила па участке
от а=33° до а=53° при среднем угле а=43°.
Анализируя наше решение, видим, что схема разрушения, по-
лученная теоретическим путем, подобна реальной схеме разруше-
ния, причем верхний кольцевой пластический шарнир совпал с экс-
периментальными, а положение нижнего кольцевого шарнира не-
обходимо было уточнить. Для этого было дополнительно назначено
несколько расчетных сечений между сечениями 3 и 4 примерно
через 3°, затем снова решалась аналогичная задача по отысканию
максимума предельной нагрузки. В результате повторного реше-
ния было получено значение Р* = 11,6 Т с образованием нижнего
кольцевого пластического шарнира при угле а=46°. В отношении
меридиональных шарниров и верхнего кольцевого шарнира реше-
ние не изменилось. Внутренние усилия практически также не из-
менили своих значений.
В целом это решение следует считать как удовлетворительно
соответствующее эксперименту, так как в эксперименте при на-
грузке 11,9 Т произошли уже заметные деформации.
Определение перемещений железобетонных конструкций в ста-
дии разрушения. На примере полигонального свода рассматрива-
ется алгоритм определения перемещений статически неопредели-
мых железобетонных конструкций в момент образования послед-
216
него пластического шарнира, т. е. непосредственно перед разруше-
нием.
Подобная задача имеет интерес как самостоятельная, чисто кон-
структивная задача, в результате решения которой можно указать
деформированное состояние системы, находящейся в предельном
состоянии. С другой стороны, зная деформированное состояние си-
стемы, можно оценить влияние этого состояния на предельное рав-
новесие конструкции. Оба эти случая в нашей постановке сводятся
к задаче линейного программирования.
Рассмотрим полигональный свод, загруженный распределенной
несимметричной нагрузкой (рис. 12,а). В качестве расчетной схе-
мы такого свода принимается однажды статически неопределимая
Рис. 12
двухшарнирная полигональная арка г податливой затяжкой, вос-
принимающей горизонтальный распор (рис. 12,6). ’Прочностной
расчет такой арки выполнялся по методике, изложенной в разделе
об арках. Первоначально была принята расчетная схема, показан-
ная на рис. 12,6. В результате расчета по этой схеме величина раз-
рушающей нагрузки превысила на 16,5% величину эксперимен-
тальной нагрузки [13]. Схема разрушения и распределение усилий
в предельном состоянии были близки к экспериментальным дан-
ным. Повторный расчет по прочности, сделанный при удвоенном
числе расчетных сечений, дал уточнение по величине предельной
нагрузки +2,5%. Схема разрушения и распределение усилий из-
менились также незначительно.
Величина расчетной предельной нагрузки, полуденная в резуль-
тате обоих решений, значительно превышает величину опытной
предельной нагрузки. Столь существенное расхождение в значе-
ниях расчетно-теоретической и экспериментальной предельной на-
грузок можно объяснить, по-видимому, влиянием общей деформа-
тивности пологой полигональной системы. Другой причиной несов-
падения расчетных и экспериментальных величин следует считать
217
упругую податливость металлической затяжки. Как известно, уси-
лие в затяжке под действием возрастающей нагрузки на полиго-
нальную арку увеличивается. Затяжка удлиняется, что приводит к
смещению шарнирно подвижной опоры арки и, следовательно, к
повышению общей деформативности конструкции, которую необхо-
димо учитывать при расчете. Пример превышения расчетных пре-
дельных нагрузок по сравнению с экспериментальными при под-
вижке опорного узла приведен в [12].
Для оценки степени влияния деформативности системы на ве-
личину ее несущей способности необходимо определить деформа-
ции арки перед разрушением, т. е. в момент образования послед-
него пластического шарнира. В [1*3] предложен способ определения
перемещений для арок, хорошо согласующийся с опытными данны-
ми. К сожалению, он громоздок в вычислениях и труднораспростра-
ним на другие конструкции. В [14] приводится метод нахождения
перемещений одномерных систем из идеального упруго-пластиче-
ского материала, использующий методы линейного программиро-
вания, но при этом влиянием продольных усилий на деформации
систем пренебрегают. Применить этот метод не представляется
возможным, так как для железобетонных конструкций было бы не-
правильным пренебречь влиянием продольной силы па деформа-
ции системы в предельном состоянии.
В нашем случае применим общую теорию предельного равнове-
сия для деформируемой системы [15], следуя изложенному там ли-
нейному алгоритму. Из прочностного расчета известно, что усилия
М и N в сечениях 3 и 8 достигли своего предельного значения.
Обозначим их как пг[, а=3, 14, 8, 9. Можно также утверждать,
что соответствующие им деформации 0а по абсолютной величине
больше некоторой физической величины 0* , которую условно на-
зовем деформацией начала текучести. Эта величина может быть
функцией всех или части усилий та , т. е. 0* — о* (ту
В нашей конкретной задаче представим ее простой зависимо-
стью
(47)
Здесь Ва —некоторая жесткость типа секущего модуля. Запи-
шем (47) в виде:
0а (х) > 01
при та > 0;
(48)
0а (х) < - 01 =
при /?га < 0; а =: 3, 14, 8, 9.
218
Это равносильно следующей записи
sign (тта) 6а (х) > —
(49)
Раскрывая 0а по (14), (15) и (20) для криволинейного бруса,
(49) можно записать:
sign (mJ) I V hai xt
w+i
Для упругих сил mk
3, 14,8,9)
или
i—1
(50)
(51)
(52)
Деформированное состояние арки должно удовлетворять усло-
виям (50) и (51). Оно находится из условия минимума работы
внешних сил на перемещениях возможного пластического меха-
низма.
Обозначим единичный потенциал внешних сил через р(х).
Окончательно задачу можно сформулировать так: найти
(п
f) (х) = V Г/ Xi
i—l
(53)
при одновременном соблюдении условии (50) и (52). Это задача
линейного программирования. Левые части выражений (50) и (52)
есть элементы матрицы Н, а в функцию цели входит вектор г. При
определении правых частей жесткость В? для угловых деформа-
ций вычислялась по формуле
Она выведена из соображения, что прогиб произвольного эле-
мента полигональной арки в момент образования пластического
шарнира должен быть величиной конечной и равной прогибу того
же элемента под действием приложенной к нему сосредоточенной
силы. В действительности это не совсем правильно, однако в дан-
ное время нет каких-либо общепринятых данных о предельной уг-
ловой жесткости пластических шарниров железобетонных внецент-
ренно натруженных элементов. Учитывая, что наша методика яв-
ляется численной, такое допущение вполне можно сделать.
Для линейных деформаций
Ва = Е F/1. (55)
219
Величины жесткостей ВШ=Е1 и Bnp=EF вычислялись согласна
СНиП П-В.1-62 для внецентренно сжатых сечений с учетом обра-
зования трещин. Из рассмотрения формулы (173) СНиП П-В.1-62,,
определяющей кривизну внецентренно сжатого сечения с трещина-
ми, можно записать [13]:
(56)
Здесь обозначения всех величин приняты согласно СНиП, за ис-
ключением е — эксцентриситета продольной силы относительна
центра тяжести растянутой арматуры и во — эксцентриситета про-
дольной силы относительно центральной оси элемента.
Определение величин параметров, входящих в формулу (56) г
даны в СНиП для эксплуатационных нагрузок. В нашем случае,,
когда расчет ведется для предельных нагрузок, было бы лучше
при определении величины Вш использовать результаты исследо-
ваний, проведенные в НИИЖБ О. А. Коковиным [16] для стадий,,
близких к разрушению элемента. Однако эти исследования были
выполнены фактически для элементов с твердой арматурой, кото-
рая не имела явно выраженной площадки текучести. В нашем слу-
чае армирование выполнено из мягкой стали. Поэтому применить
результаты работы [16] здесь не представляется возможным. Учи-
тывая также приближенность нашей методики расчета и стремясь
к упрощению, будем следовать СНиП П-В. 1-62.
Таким образом, задача о нахождении перемещений арки непо-
средственно перед разрушением решалась как задача линейного
программирования с определением исходной информации по выше-
приведенным правилам. В результате ее решения была определена
деформированная схема арки. На рис. 13 она показана штрихпунк-
тирной линией, а штриховой линией показаны данные эксперимен-
та [13].
Рис. 13
Для определения влияния деформативности системы на вели-
чину ее несущей способности был повторен расчет арки по проч-
ности. При этом уравнения равновесия арки записывались для ее
деформированной оси с учетом полученных по расчету величин пе-
220
ремещений, а условия прочности не изменялись. После повторного*
решения величина предельной нагрузки составила Р*—3,03 и по-
лучено новое распределение внутренних усилий арки в предельном
состоянии.
По величине предельной нагрузки новое решение отличается от
действительной разрушающей нагрузки всего на 5%. Таким обра-
зом, подобные системы необходимо рассчитывать с учетом их де-
формативности. Для этого предлагается следующий алгоритм. Сна-
чала решается прочностная задача. Затем определяется деформи-
рованная схема конструкции. Снова решается прочностная задача,
но уже с учетом вычисленных деформаций, и полученный резуль-
тат сравнивается с предыдущими. Если сходимость удовлетвори-
тельная (критерием сходимости может быть принят результат
сравнения величин предельной нагрузки), то расчет прекращается.
В противном случае процесс повторяется со второго шага.
* * *
Проведенные исследования показали, что формулировка зада-
чи предельного равновесия в статической постановке в ряде случа-
ев весьма рациональна, она поддается строгой формализации, но
в то же время не лишена наглядности. Эта формулировка задачи
весьма гибкая и с успехом может быть реализована с помощью
ЭВМ.
Весьма обнадеживающие результаты получены для задачи оп-
ределения деформированного состояния в предельном равновесии.
Это существенно дополняет прочностной расчет, применение кото-
рого в ряде случаев должно быть связано с исследованием дефор-
маций.
Л И Т Е Р А Т УРА
1. Гвоздев А. А Расчет несущей способности конструкций по методу
предельного равновесия. М., Госстройиздат, 1949.
2. Купман Д., Ланс Р. О линейном программировании и предельном
равновесии. В сб.: «Механика», № 2. М., ИЛ, 1966.
3. Ч и р а с А. А. Методы линейного программирования при расчете упруго-
пластических систем. М. — Л., Стройиздат, 1969.
4. Карпенко Н. И. О работе железобетонных плит с трещинами. Труды
VI Всесоюзной конференции по бетону и железобетону. Рига, 1966 (секция I).
5. В a t е S. С. С. The effect of impact loading on prestressed and ordinary
reinforced ooncret beams. Research paper N 35 National building studies Her
Majesty’s Stationary office, London, 1964.
<6. Magnel G. Le beton precontract 3-rd edition Ghent Editions Fecheyr,
1953, pp. 289—32)1.
7. Проценко A. M., Власов В. В. Применение линейного программи-
рования к расчетам статически неопределимых железобетонных конструкций в
стадии предельного равновесия. «Бетон и железобетон», 1969, № 6.
8. Проценко А. хМ. Статический метод предельного равновесия и связан-
ные с ним задачи оптимального проектирования. В сб.: «Особенности деформа-
ций бетона и железобетона». М., Стройиздат, 1969 (НИИЖБ).
221
9. Овечкин А. М. Расчет железобетонных осесимметричных конструк-
ций. М., Госстройиздат, 1961.
10. Красовская Г. А. Исследование работы двухшарнирных железобе-
тонных рам. В сб.: «Строительная механика». М., Трансжелдориздат, 1963
(МИИТ, вып. 174).
11. Кузьмичев А. Е. Исследование влияния пластических деформаций
сжатого бетона на перераспределение усилий в железобетонных рамах. Труды
НИИЖБ, вып. 17. М., Госстройиздат, 1960.
12. Саркисов 10. С. Экспериментально-теоретическое исследование круго-
вых бесшарнирных железобетонных арок с учетом пластических деформаций.
Научное сообщение № 14 Тбилисского института инженеров ж.-д. транспорта.
1957.
13. Кучер Б. В. Исследование перераспределения усилий в железобетон-
ной сжато-изогнутой полигональной арке. Васб.: «Совершенствование расчета
статически неопределимых железобетонных конструкций». М., Стройиздат, 1968
(НИИЖБ).
14. Бароиас Р. П., Чир ас А. А. Двойственные задачи определения
деформаций упруго-пластических одномерных систем. «Литовский механический
сборник» № 1 .Минтис, Вильнюс, 1967.
15. П р о ц е н к о А. М. Предельное равновесие систем с конечным числом
степеней свободы при больших деформациях. «Инженерный журнал», МТТ.
1968, № 5.
16. Коков и н О. А. Деформации изгибаемых и внецентренно сжатых эле-
ментов при кратковременно действующей нагрузке в стадиях, близких к раз-
рушению. В сб.: «Прочность и жесткость железобетонных конструкций», М.,
Стройиздат, 1968 (НИИЖБ).
17. Власов В. В. Предельное равновесие железобетонных деформаций,
работающих по второму случаю внецентренного сжатия. «Строительная механи-
ка и расчет сооружений», 1969, № 3.
СОДЕРЖАНИЕ’
Предисловие............................................................ 3
А. А. Гвоздев, Ю. Н. Кардовский, И. К Белобров. О деформациях бе-
тона при действии многократно повторяющихся нагрузок................... 4
А. В. Яшин. Прочность и деформации бетона при различных скоростях
загружения...................................................... , , 23
И. К. Белобров, В. А. Рахманов. Исследование прочности предвари-
тельно напряженных железобетонных балок при действии однократных
динамических нагрузок................................................. 40
Ш. А. Хакимов. Особенности трещинообразования в балках с различ-
ной толщиной защитного слоя бетона.........................., , , 65
|/7. И. Лессиг\, Л. К. Руллэ, Д. X. Касаев. Исследование работы на из-
гиб с кручением предварительно напряженных железобетонных элементов
прямоугольного сечения, разрушающихся по сжатому бетону............... 86
Л. И. Зайцев. Исследование трещинообразования, деформаций и не-
сущей способности неразрезных железобетонных плит.................... 106
И. И. Карпенко. Теоретическое исследование деформаций железобе-
тонных пластин и оболочек с трещинами при сложном армировании . . 131
С. М. Крылов, А. И. Козачевский, А. Л. Пекарский. Влияние неупру-
гих свойств железобетона на величину и распределение усилий в крупно-
панельных системах на подрабатываемых территориях.................... 158
Н. А. Бородачев, С. М. Крылов. Расчет *и проектирование стержневых
статически неопределимых железобетонных конструкций по стадии эксплу-
атации ..................................................... ,,,,,, 175
А. М. Проценко, В. В. Власов. Статический принцип предельного рав-
новесия и определение деформированного состояния статически неопреде-
лимых железобетонных конструкций в стадии исчерпания их несущей спо-
собности ........................................................... 192
НИИЖБ
Воздействие статических, динамических и многократно
повторяющихся нагрузок на бетон и элементы
железобетонных конструкций
♦ * *
Стройиздат
Москва, К-31 Кузнецкий мост, д. 9
* ♦ *
Редактор издательства М. С. Зубкова
Технический редактор В. М. Родионова
Корректор Г. Г. Морозовская
Сдано в набор 26/VII 1971 г. Подписано к печати 30/1II 1972 г.
Т-04941 Бумага бОХЭО’/и, = 7 25 бум. л.
14,5 печ. л. (уч.-изд. 15,6 л.)
Тираж 5.000 экз. Изд. № И1Х—2530 Зак. № 339 Цена 1 р. 35 к.
Подольская типография Глаилполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
г. Подольск, ул. Кирова д. 26