ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие .......................................................3

Глава 1. Общие положения и вводные замечания.......................4

1.	Основные свойства жидкостей	и	газов............................5

2.	Основные законы механики, используемые для описания поведения
жидкостей и газов ................................................ 9

Г лава 2. Основные уравнения гидродинамики.........................12

1.	Динамика идеальной жидкости....................................12

2.	Динамика вязкой жидкости ......................................20

3.	Пограничный слой .............................................27

Глава 3. Гидравлические сопротивления ........................... 29

1.	Определение коэффициента гидравлического трения по длине канала
при течении ньютоновских жидкостей................................30

2.	Определение перепада давления и коэффициента гидравлического
трения при течении неньютоновских жидкостей.......................33

3.	Определение коэфффициента местных потерь энергии при течении
вязких и аномальновязких жидкостей................................48

Глава 4. Движение жидкости в трубах и каналах.....................48

1.	Общие сведения о движении жидкости в трубах....................49

2.	Ламинарное течение вязкой жидкости.............................51

3.	Истечение вязких жидкостей через насадки......................64

4.	Ламинарное течение вязкой жидкости в канале с учетом условий
теплообмена........................................................70

5.	Турбулентное течение в трубах и каналах....................... 76

Глава 5. Неньютоновские жидкости...................................79

1.	Реологические уравнения состояния неньютоновских жидкостей . . 81

2.	Механические модели для описания неньютоновских жидкостей	85

3.	Ламинарное течение неньютоновских жидкостей...................87

4.	Турбулентное течение неньютоновских жидкостей..................95

5.	Методы определения вязкости...................................99

6.	Особенности теплообмена в неньютоновских потоках...............102

Г лава 6. Течение в тонких жидкостных пленках.....................ПО

1.	Основные закономерности формирования жидкостной пленки . . .111

2.	Ламинарное пленочное течение по вертикальной поверхности . . .115

3.	Ламинарное пленочное течение по профилированной вертикальной по-
верхности .......................................................116

4.	Пленочное течение по плоскости, извлекаемой из неподвижной жид-
кости ...........................................................117

5.	Волны на поверхности жидкостных пленок.......................119

6.	Многослойные пленочные течения...............................120

Г лава 7. Моделирование гидромеханических явлений................121

1.	Виды гидравлического моделирования............................122

2.	Метод размерностей...........................................125

3.	Метод подобия. Приведение математического описания процесса к без-
размерному виду..................................................129
4.	Приближенное подобие гидравлических явлений..................131

5.	Нахождение условий приближенного подобия с использованием теории
размерностей ...................................................134

Глава 8. Кавитационные явления в местных гидравлических сопротив-
лениях, насосах и двигателях внутреннего сгорания .......	134

1.	Кавитационные явления в местных гидравлических сопротивлениях 135

2.	Кавитационные явления в центробежных насосах................137

3.	Кавитационные явления в осевых насосах.......................141

4.	Кавитационные явления в двигателях внутреннего сгорания . . . 144

Глава 9. Двухфазные потоки......................................144

1.	Движение частицы в жидкости..................................145

2.	Движение газа со взвешенными в нем твердыми частицами .... 151

3.	Газожидкостные смеси.........................................152

4.	Смеси жидкость — твердые частицы ............................154

5.	Двух- и многослойные течения жидкостей.......................158

Список литературы...............................................165
ПРЕДИСЛОВИЕ

Основными направлениями эконо-
мического и социального развития СССР на 1986—1990 годы и на пе-
риод до 2000 года предусмотрено осуществить коренное повышение
технического уровня выпускаемой продукции.

Важные показатели технического уровня машин и аппаратов —
габариты, интенсивность и надежность работы, качество продук-
ции в металлургической, энергетической, нафтеперерабатывающей
и других отраслях промышленности, связанных с получением изде-
лий из полимерных материалов, гидроэкструзией металлов, нане-
сением покрытий на различные поверхности, в значительной сте-
пени определяются гидродинамическими процессами. Значительно
улучшить перечисленные показатели позволяет научно обоснован-
ный гидродинамический расчет.

Необходимо отметить, что непосредственное использование в ин-
женерной практике многих научных достижений гидромеханики
затруднено. Это объясняется тем, что имеющаяся научная инфор-
мация носит специализированный характер, базируется на различ-
ных подходах. Решенные на высоком уровне отдельные научные
задачи трудновоспринимаемы читателями с различным уровнем
знаний в области гидромеханики и имеющими неодинаковую мате-
матическую подготовку. Разрозненность материала не позволяет
быстро ориентироваться при решении практических задач. Назре-
ла необходимость в создании книги, в которой были бы обобщены
научные достижения в области гидромеханики в удобной для прак-
тического использования форме.

В предлагаемой книге систематизированы основные положения
механики реальной жидкости, необходимые для инженерных рас-
четов. Рассмотрены практические задачи, решаемые в различных
областях техники с помощью основных законов гидромеханики.
Большое внимание уделено еще не ставшим классическими вопро-
сам гидромеханики, связанным с течением неньютоновских жидко-
стей, кавитацией, движением жидкости в тонких пленках и много-
слойных потоках.

Весь расчетный материал основан на едином подходе. Авторы
стремились к тому, чтобы результаты теоретических и эксперимен-
тальных исследований могли быть использованы инженером, не
имеющим специальной подготовки в области гидромеханики.

Отзывы и пожелания просим направлять по адресу: 252601,
Киев, 1, Крещатик, 5, издательство «Техшкаъ.
Глава 1

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Механика жидкости и газа представляет собой науку о равнове-
сии и движении жидкостей при действии на них внешних сил. Объ-
ект исследований обычно рассматривается как непрерывный кон-
тинуум, а течение — как деформация непрерывно и беспредельно
увеличивающаяся под действием сколь угодно малых усилий.

Жидкости — это материал, обладающий свойством текучести,
т. е. сплошная легкодеформируемая среда, обладающая свойством
течь.

Данный подход позволяет проводить аналитический и экспери-
ментальный анализы поведения жидкости в различных условиях
применительно к самым разнообразным случаям. Анализ этих
случаев, их обобщение представляет разделы машиностроительной
гидромеханики. Существенное влияние на такой анализ оказывают
свойства рассматриваемых материалов (жидкостей, газов), их рео-
логические особенности и физико-механические характеристики.

Как известно, жидкости делят на сжимаемые (газы) и несжимае-
мые. По реологическим свойствам их делят на ньютоновские,
неньютоновские и идеальные.

Аналитическое описание рассматриваемых материалов, анализ
гидромеханических явлений, отражающих определенные физиче-
ские законы, возможны при наличии ряда уравнений. Обычно
они записываются в несколько групп.

К первой группе относятся уравнения, отражающие физические
закономерности поведения изучаемых жидкостей и обладающие
универсальностью, так как пригодны для любых жидкостей (урав-
нения баланса энергии, массы, импульса, момента импульса). Их
легко получить на основании известных законов механики.

Во вторую группу входят уравнения, конкретизирующие опре-
деленные (только для данного типа жидкостей) свойства. Вид таких
уравнений во многом определяется особенностями жидкости, ее
физико-химическими свойствами. Это уравнения термодинамическо-
го состояния жидкости или газа, связующие между собой такие
физические величины, как плотность, давление и температура;
уравнение реологического состояния — внутренние напряжения
и кинематические параметры; уравнения теплового потока — рас-
пределение температуры и тепловой поток; наконец, уравнение,
определяющее зависимость внутренней энергии от параметров, яв-
ляющихся компонентами энергетического уравнения состояния.

Таким образом, гидромеханические процессы в общем случае
описываются системой восьми уравнений. Причем уравнения балан-
са обычно записываются в дифференциальной форме, чаще всего в
частных производных. Закон сохранения массы для рассматриваемой
системы описывается равенством чистого притока массы в объеме
жидкости (газа) и приращения массы данного объема.

Уравнение, описывающее этот закон в аналитическом виде,
включает такие величины, как плотность жидкости (газа) и скорость
движения частиц жидкости (газа) рассматриваемого объема и яв-
ляется скалярным.

В векторном виде может быть записано уравнение, полученное
на основе принципа сохранения импульса: сумма притока импульса
в рассматриваемую систему, всех поверхностных и массовых сил,
действующих на нее, равна скорости возрастания импульса си-
стемы.

В данное уравнение входят физические величины: плотность,
скорость, давление, напряжение. Незамкнутые системы уравнений
первой группы могут быть дополнены уравнениями второй группы.

Изучение и анализ данных систем дифференциальных уравне-
ний позволяет получить представления об основных закономерно-
стях в гидромеханике и газовой динамике.

Гидромеханика выделилась в самостоятельную дисциплину
вследствие ее особенностей и важного практического значения, по-
добно учению об упругости и сопротивлению материалов, теорети-
ческой и технической механике. Одновременно задачей изучения
равновесия и движения жидкостей занимается гидравлика, часто
называемая инженерной гидромеханикой и являющаяся практиче-
ским приложением, а иногда и дополнением гидромеханики. Такая
двойственность научного подхода к одним и тем же физическим
явлениям объясняется тем, что в гидромеханике объект рассматри-
вается чисто теоретически, исходя из абстрактного представления
о жидкости и газе. Гидравлике при этом отводится только при-
кладное значение — инженерное выражение гидродинамики для
практической работы в области действительных явлений реальной
жидкости.

В настоящее время трудно назвать области приложения инженер-
ной мысли, которые бы не нуждались в гидромеханических расче-
тах. Металлургия, химическое машиностроение, теплоэнергетика,
космонавтика, авиация — это далеко не полный перечень отраслей
знаний, нуждающихся в серьезных гидродинамических разработках.
Перед гидромеханикой постоянно возникают новые задачи, и в ней
есть немало еще недостаточно исследованных и важных вопросов.

1.	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

К основным параметрам, характеризующим свойства жидкостей
и газов, принадлежат: плотность р, кг/м3; динамический коэффи-
циент вязкости р, Н • с/м2; кинематический коэффициент вязкости
v, м2/с, коэффициент сжатия рр, м2//7, и др.

Плотность жидкости (газа) определяется отношением массы
к объему, т. е. р = M/W при однородной среде и р =^Пш^Д/И/Д1Г
при неоднородной среде.
Между плотностью й объемным весом у существует зависимость
Р = т/g-

В табл.- 1 приведены значения плотности некоторых жидкостей,
используемых в машиностроении.

1. Плотности некоторых жидкостей, используемых

в машиностроении

Жидкость	Темпера- тура, °C	Плотность, кг/м8	Жидкость	Темпера- тура, °C	Плотность, кг/м8
Водопроводная вода  Машинное масло Бензин	4  15—20	1000  890—920  700—750	Нефть  Этиловый спирт Глицерин	15—20  15—20 0	860—930  794  1260

Зависимость плотности газа от температуры и давления опреде-
ляется законом Клапейрона, согласно которому р/у = RT или
р/р = gRT, где R — газовая постоянная, равная 273 Дж/кг  К;
Т — температура, R, р — давление.

Если давление и плотность воздуха или другого газа при тем-
пературе, например 15 °C, обозначить соответственно как р0 и р0,
то будет справедливой формула

Р = рорТо/(роТ).

В этом случае р0 = 1,225 кг/м3.

Сжимаемостью жидкости (газа) можно назвать способность
к изменению первоначального объема вследствие действия сил
давления. Сжимаемость характеризуется коэффициентом рр, м2/Н,
который определяется из зависимости Рр = (—dW/dp) (1/W7).

Учитывая эту зависимость, можно произвести расчет коэффи-
циента сжатия газа (жидкости) для любой степени сжатия среды
при изменении давления на величину Др: рр = (—1/Др) &W/W.
Тогда = W (1 — ррДр), где W и — соответственно началь-
ный и конечный объем жидкости. Анализ настоящих зависимостей
позволяет привести и другую формулу для определения коэф-
фициента рр. Так как W = М/р и dW = —(7W/p2) dp, то Рр —
= dp/p (1/dp), а 1/рр = pdp/dp = Ео, где Ео — модуль сжатия жид-
кости (газа); М — масса. Для воды коэффициент Рр = 4,65 X
X 10~*2 м2/Н; для ртути — 0,4 • 10~10м2/Н.

Изменение объема жидкости или газа может происходить также
й при изменении их температуры. Коэффициент, характеризующий
такое изменение объема, определяется из уравнения р( =
= (l/dt) (dW/W). По аналогии с ранее приведенными зависимо-
стями = W (1 + pzД/), где W и — значение объема соответ-
ственно при t и 4 = t + ДА

На основании закона сохранения массы рассматриваемого объ-
ема жидкости (газа) по величине коэффициента р( можно опреде-
лить и плотность газа при заданной температуре, т. е. рх = р (1 4-
+ рл).
Вязкость жидкости (газа) характеризуется двумя коэффициен-
тами р и v, называемыми динамическим и кинематическим коэффи-
циентами вязкости. Для определения вязкости рассматривают час-
тицу жидкости в форме параллелепипеда с неизменяющим положе-
ние центром тяжести. В этом случае под действием какого-либо уси-
лия все изменения объема будут сведены к изменению формы (пред-
полагается, что вращение отсутствует). В то же время изменение
формы частицы приводит к возникновению напряжений, пропор-
циональных скорости деформации. В соответствии с законом Нью-
тона отношение сопротивления трения к единице площади равно
скорости деформации; T/F — ру, где Т — усилие, действующее на
поверхности F; у — скорость деформации, у = du/dn.

В соответствии с приведенной за-
висимостью динамический коэффи-
циент вязкости

[j, = %(dnldu).

(1)

Кинематический коэффициент вяз-
кости определяется по формуле v =
= И/Р-

Оба коэффициента р и v зависят
от изменения температуры (табл. 2).
Зависимость коэффициента вязкости от
температуры можно определить по сле-
дующим соотношениям: для воды
р = р0/( 1 + 0,0337/ 4- 0.00022/2), для
воздуха р = р0 (1 + 1/273)0-76, гдер0—
динамический коэффициент вязкости,
соответствующий температуре То.

В машиностроении довольно часто

2. Зависимость коэффициента
кинематической вязкости от
' температуры среды

Темпе- ратура t, °C	Коэффициент кинемати- ческой вязкости V, м2/с	
	воды	воз- духа
0	0,000 001 789'	0,137
10	0,000 001 306	0,147
30	0,000 000 804 8	0,166
40	0,000 000 556 1	0,176
60	0,000 000 477 9	0,196
80	0,000 000 3658	0,217
100	0,000 000 294 2	0,238

приходится встречаться

с жидкими средами, для которых как динамический, так и кинема,
тический коэффициенты вязкости зависят не только от температуры,
ио также и от условий их течения, например, от величины градиен-
та скорости. Эти жидкости не подчиняются закону Ньютона [1].
Такие жидкости обычно называют неньютоновскими или проявля-
ющими аномалию вязкости [161, 167].

Аномально-вязкие жидкости представляют собой класс жидко-
стей с чрезвычайно широким диапазоном и разнообразием реологи-
ческих и физико-механических свойств. Примером таких жидкостей
могут служить расплавы и растворы полимеров, резин, нефтепро-
дукты, консистентные смазки, теплоносители, строительные раство-
ры, технические и минеральные масла.

По классификации Д. Доджа в зависимости от характера течения
и вида функциональной связи скорости деформации и скорости
сдвига неньютоновские жидкости делятся на три основные катего-
рии: вязкие среды, у которых скорость сдвига зависит от приложен-
ных сдвиговых напряжений; среды, реологические характеристики
которых зависят от времени (в этих жидкостях скорость сдвига
определяется не только величиной касательного напряжения, но
и продолжительностьвд его действия); вязко-упругие жидкости, об-
ладающие свойствами как жидкостей, так и твердого тела и частично
проявляющие упругое восстановление формы после снятия напря-
жений.

Для первого типа вязких жидкостей можно представить типич-
ные реологические кривые зависимости касательного напряжения
т от градиента скорости у (рис. 1).

Для ньютоновской жидкости такая зависимость на графике вы-
разится прямой линией 5 с углом наклона а. Причем arctg а =
= arctg (т/у) = р есть постоянная величина, т. е. р = const. Наи-
более типичные неньютоновские жидкости представлены кривыми
1, 2, 3, 4 и 6. Кривая 2 характерна для так называемых вязкопла-
стичных жидкостей (бингамовских пласти-
ков). Она подобна линии 5, но смещена от-
носительно последней по вертикальной оси
на величину т0, называемую пределом те-
кучести.

Зависимость между тиф для этих жид-
костей устанавливается законом Шведова —
Бингама

т = т0 + рбу,	(2)

из которого следует, что динамический коэф-
фициент вязкости равен

= /(?)•	рб = (т — т0)/у.	(3)

Рис. 1. Реологические
кригые зависимости т =

При т < т0 бингамовский пластик ведет себя как твердое тело,
для него будет справедливо следующее соотношение: j £| /| а| =
= т/е = 2, где j Е | — модуль упругости; j о | — модуль сдвига;
т — коэффициент сдвига; е — коэффициент растяжения.

Кривые 4 и 6 на данном графике характеризуют соответственно
псевдопластические и дилатантные жидкости. Они описываются за-
коном Освальда де Виля:

т = К(фГ,

(4)

где К — постоянная величина; п — индекс течения. При п < 1
получают кривую 4\ при и = 1 — кривую 5, соответствующую за--'
кону Ньютона, при п > 1 — кривую 6, соответствующую реоло-
гическим характеристикам дилатантных сред. Динамический коэф-
фициент вязкости для рассмотренного типа жидкостей определяет-
ся по формуле р= (у)"-1. Кривые 1 и 3 также характеризуют
поведение некоторых вязкопластичных жидкостей. Одной из воз-
можных формул для определения коэффициента вязкости в этом
случае может быть зависимость т = т0 + ра (ф)т, где т = const
—показатель степени.

К неньютоновским жидкостям можно отнести также различного
рода суспензии, эмульсии, латексы. Их иногда называют псевдо-
неныотоновскими средами.
2.	ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ДЛЯ ОПИСАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

Понятие силы неразрывно связано с представлением о движении.
Движение или изменение движения системы материальных точек
твердого тела характеризует действующие на них силы. Различают
силы массовые и поверхностные, внешние и внутренние.

Массовыми называются силы, пропорциональные массе мате-
риальной среды. Например, силы тяжести, центробежные силы
и силы инерции. Массовые силы приложены к каждой точке массы
среды. Вектор массовых сил F в декартовой системе координат (х,
у, г) имеет своими проекциями Fx, Fy, Fz. Если орты обозначить
соответственно i, j, k, то F — iFx + jFy + kF,.

Вектор массовых сил, отнесенный к единице массы среды, обо-
значается о, а его проекции на оси координат — ау; ах\ az. Если
плотность среды обозначить р, а элементарный объем — dW, то
массовая (объемная) сила dF — pdWa.

Поверхностные или внешние силы действуют на поверхности
среды. Поверхностными силами в жидкости являются силы давле-
ния, т. е. силы, действующие на единицу поверхности по нормали
к ней. Нормальная составляющая поверхностных сил Р может
быть сжимающей (для жидкостей и твердых тел) или растягивающей
(только для твердых тел). Давление в жидкости 'является всегда
только сжимающим усилием.

Касательная составляющая характеризует силы трения, возни-
кающие только в процессе движения рассматриваемого объема.

Внутренние силы характеризуют взаимодействие между час-
тицами рассматриваемого объема, например силы Ван-дер-Вааль-
са. Как и в абсолютно твердом теле, в деформируемой среде внут-
ренние силы можно определить методом сечений, сущность которо-
го заключается в следующем. Некоторый объем W, находящийся
в равновесии, разделим на две части и W2 поверхностью раздела.
В число внешних сил, действующих на материальную среду в объ-
еме F1( необходимо теперь включить реакции среды (противодей-
ствующую силу) в объеме. Если отбросить объем W2, то реакции
будут теми силами, которые сохранят объем Fi в равновесии.
Но теперь эти силы будут внешними и их можно определить. Дан-
ный пример показывает, что деление сил на внешние и внутренние
является весьма относительным.

Основные законы классической механики — первый, второй
и третий законы Ньютона — положены в основу всех расчетов,
связанных сдвижением материальной среды [13, 16, 34, 48].

Второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси имеет вид

Fx = pF [(dvjdt) + vx (dvx/dx) + vy (dvjdy) + vz (dvx/dz)];

Fy = pF {(dvy/dt) + vx (dvy/dx) + vy (dvy/dy) + vz (dvy/dz)]-,
Fz = pF [(dvz/dt) -I- vx {dvz/dx) + vy (dvzfdy) + vz (dvz/dz)\.
Принцип Германа — Эйлера — Даламбера эквивалентен вто-
рому закону Ньютона. Согласно этому принципу в каждый момент
движения любой материальной системы сумма всех сил, действую-
щих на систему, уравновешивается силами инерции.

Если рассматривается некоторый объем деформируемой среды
J dW с массой j р<ДГ, а массовые и поверхностные силы опреде-

ляются как F и Р, то применяя принцип Германа — Эйлера — Да-
ламбера, согласно которому в любой момент времени t для любой
частицы жидкости все силы, приложенные к ней, включая и силы
инерции, взаимно уравновешиваются, можно записать [95], что:
F + Р — j padW, где правая часть уравнения определяет главный
w

вектор сил инерции.

Для деформируемой среды, например жидкости, рассматривае-
мый принцип можно записать

р [ц — (dv/dt)] dW 4- У P„dS — 0,	(5)

w	s

где а — ускорение массовых сил; dvfdt — ускорение сил инерции;
S — площадь поверхности рассматриваемого объема; Рп — поверх-
ностная сила, действующая на единицу поверхности объема нор-
мально к ней.

Вектор Рп можно представить в следующем виде: Рп = Рх X
X cos(n, х) + Pycos(n, у) + P2cos(n, 2), где (п, х), (м, у), (n, г)—
углы между нормалью к поверхности в данной точке и соответст-
вующими осями координат. Согласно формуле Гаусса § PndS^
s

= § [Рх cos (n, х) + Ру cos (п, у) + Рг cos (n, z)] dS = j (дРх[дх 4-
S	W

4- дРУ1ду 4- dPzfdz) dW.

Уравнение (5), характеризующее принцип Германа — Эйлера —
Даламбера, можно записать так:

J (Р [а - №№ 4- [(dPxfdx) 4- (dPyldy) 4- (дР^дг)}} dW ~ 0. (6)
re

Соотношение (6) положено в основу основных уравнений меха-
ники сплошной среды [50, 53].

При движении различных физических систем — твердого тела,
сплошной деформируемой среды (вязкой жидкости) — часть энер-
гии упорядоченного процесса переходит в энергию неупорядочен-
ного процесса, например тепловую. Такой переход называется дис-
сипацией энергии. Диссипация энергии в механических системах
является результатом действия сил трения. При течении вязких
жидкостей за счет сил трения между слоями жидкости и между
жидкостью и твердыми поверхностями часть механической энергии,
например, кинетической, переходит в теплоту, которая в свою оче-
редь может привести к изменению вязкости, плотности и внутрен-
ней энергии жидкости.

Таким образом, в процессе диссипации кинетическая энергия
переходит во внутреннюю энергию среды. Согласно теореме об
изменении кинетической энергии, любое приращение кинетической
энергии (увеличение или уменьшение) системы материальных час-
тиц в каком-то временном интервале равно сумме работ, совершен-
ных всеми внешними и внутренними силами, действующими в рас-
сматриваемый промежуток времени на систему: (т^12) — (т/йгу2) =
«= Aj (Flj) + A, (Fj), где m — масса; v — скорость; A, (F/) — работа
внутренних сил; Л/ (F/) — работа внешних сил.

Данную теорему можно применять для определения по изме-
нению кинетической энергии величины соответствующей ей работы
сил трения, т. е. диссипации энергии. При трехмерном течении
вязких жидкостей величина диссипации энергии

Едпс = Ф/(рСрМ),	(7)

где Ф — функция рассеивания, определяющая переход механиче-
ской энергии в тепловую в процессе движения; р, ср — плотность
и теплоемкость среды; М — тепловой эквивалент механической
работы.

Функция рассеивания определяется из зависимости

Ф == 2р [(dvx/dx)2 + (dvy/dy)2 + (duz/dz)2 + (dvyjdx +

+ dvxfdy)2 + (dvzfdy + dvyfdz)2 + (dvzjdx + dvx/dz)2] = p/2,

где /2— квадратичный инвариант тензора скоростей деформации.

Следовательно, диссипация энергии при движении сплошной
среды, например, вязкой жидкости, определяется квадратичным
инвариантом тензора скоростей деформации. В связи с тем что
квадратичный инвариант /2 — величина положительная, Ф тоже
всегда положительна.

Анализируя уравнение (7), можно заключить, что только при
так называемом квазитвердом движении вязкой жидкости диссипа-
ции энергии нет. Минимум диссипации энергии определяется
принципом Гамильтона, имеющим следующий смысл. При течении
вязкой среды с независящими от времени характеристиками дисси-
пируемая в некотором объеме механическая энергия ПДИСо меньше,
чем при аналогичном произвольном движении несжимаемой жид-
кости с тем же распределением скоростей на поверхности, ограни-
чивающей этот объем, т. е. £7дис.Пр — НДИСо > 0.

Следует отметить, что диссипация механической энергии в вяз-
кой жидкости является процессом необратимым. Он продолжается
до тех пор, пока жидкость не придет в состояние покоя.
Глава 2

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ

Уравнения гидродинамики составлены на основании принципов
и законов, разработанных такими исследователями, как Ньютон,
Даламбер, Эйлер, Лагранж и другие. Так, основная идея этого
принципа формулируется Даламбером следующим образом: «Для
того чтобы найти движение нескольких тел, действующих друг на
друга, нужно разложить полученные телами движения, т. е. движе-
ния, с которыми тела стремятся двигаться, на два других движе-
ния. Эти составляющие движения должны быть подобраны таким
образом, что у каждого тела одно из этих составляющих движений
должно уничтожаться, а другое должно быть таким и так направ-
ленным, чтобы действие окружающих тел не могло ничего в нем
изменить. Отсюда легко видеть, что все законы движения тел мо-
гут быть сведены к законам равновесия. В самом деле, для решения
любой задачи динамики нужно только разложить движение каж-
дого тела на два движения. Зная одно из этих составляющих дви-
жений, мы сможем найти другое. Указанные условия всегда дадут
все уравнения. Нет такой задачи динамики, которую нельзя было
бы решить таким приемом» [39].

1. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Идеальной является жидкость, в которой отсутствуют силы вяз-
кого трения, т. е. в которой не может возникнуть никакое сколь
угодно малое касательное напряжение. Модель идеальной жидко-
сти является простейшей моделью, которая и до настоящего вре-
мени не потеряла своего практического значения, особенно при ре-
шении задач, связанных с проектированием гидромашин, компрес-
соров задач, газодинамики и т. п.

После соответствующих преобразований соотношение (5) прини-
мает следующий вид:

——>

р [а — (du/dt)\ — gradp = 0.

Данная векторная форма записи уравнения движения может
быть представлена как в декартовой, так и в любой другой системе
координат в зависимости от задач, которые необходимо решить
с применением этих уравнений. Например, в декартовой (слева)
и цилиндрической (справа) системах координат уравнения движе-
ния Эйлера выглядят следующим образом [12]:



диг , 1 диг , диг . диг

z—Ur + — 7— Urn Ч—— Uz Н—--------------

дг 1 г дер 9 дг 2 1 dt

1	2 _

а —1^-
г р дг *


. J_ и duV л- и биУ —
1х^7 + иу~эу -^и2~д1 =

1 др
у р ду'

диг , диг , диг > duz
+ их~ 4- «„ -т-= 4- uz —-
dt 1 х дх 1 у ду дг

= а —~д^

г р дг'

1	дит 1 5и_

— Hr«„ + -Д-? Ur J-- Ila +

r 1 dr * г дф ф 1

! IS U I = a________L^P.

dz 2 dt ф rtp dtp ’
duz , 1 duz . диг .
"d7Ur^7dy Ыф+ ~d7Uz +

+ ^==Сг_1^_

1 dt 2 p дг

Данные дифференциальные уравнения позволяют описать те-
чение идеальной жидкости в двух простейших случаях: безвихре-
вого и вихревого движений. В форме Ламбо они примут вид

^ + ^(0.5^)-[U,(rot«)x-
— иг (rot ц),] = ах — 1 g;

+ Д (°>5“2) — (rot “
— MroUjj — ау — 1g;

+ J~ (0,5tz2) — [ux (rotl^ —

— uy(rotu)x] = az —

[* C/Z

dur , d (u2\ .	/ x

dt	dr \T /	froi ^)<p Мф X

X (rot и}г = ar — 1 ~;

Tp + 1 1	+ Ur (rot U)z-

dt ‘ r dtp \2J '	' ,z

— uz (rot й)г = a9~ lg;
диг , д /и2] ,	.

dt 1 дг \ 2 J 1 и® (Г0^ u^r
— ur (го1и\ ^az~^d^,

где (rotu)x, (rot «),„ (rot u)z — проекции rot и на оси координат.

На практике часто приходится проводить анализ как абсолют-
ного движения жидкости, так и переносного. Если относительное
ускорение cor = dur/dt, а переносное сое = dueldt, то абсолютное
ускорение частицы ©а = duzldt определяется по формуле ®а= сог-{-
4- <»е + <вк, где сок = 2 (со х иг) — ускорение Кориолиса.

С учетом этого уравнения Эйлера примут вид

d*ua/dt + grad (ua/2 — uzUe) — (ua — ue) x rot ua = a — 1/p gradp.
Здесь d*uzldt означает дифференцирование в подвижной системе
координат.

Результаты интегрирования уравнений движения в простейших
случаях позволяют получить известные интегралы Бернулли и Ко-
ши. Они могут быть использованы для установившегося и безви-
хревого движения. При условии, что массовые силы имеют потен-
циал, интеграл Бернулли записывается так:

P/P + 0,5h2 + ph = const,

(8)

где h — высота рассматриваемой точки жидкости над фиксирован-
ной горизонтальной плоскостью, называемой плоскостью сравнения.

Из равенства (8) следует, что при установившемся движении
идеальной жидкости интеграл Бернулли имеет постоянное значение
в каждой точке одной и той же линии тока, т. е. линии, касательная
в каждой точке которой совпадает с направлением вектора скоро-
сти. Если же движение неустановившееся, то из уравнений Эйлера
может быть получено выражение, известное в гидромеханике как
интеграл Коши [46, 70]. dtp/dt + 0,5w2 + рй + р/р = F (t), где
<р (х, у, z, t) — функция, позволяющая определить проекции вектора
•' >

скорости и {их, иу, uz\ из выражений их — —ду/дх, uv = —д<$/ду,
uz ——дц>/дг\ F (t)— некоторая функция, которую можно опреде-
лить, если известна зависимость давления от времени.

В случае вихревого движения жидкости на основании уравне-
ния Л амба получают'соотношение

dx

d(u — р/р — u2/2) =• 2

(rot и)х

их

dy
(rot и)у

Uy

dz

(rot u)z >
uz

(9)

которое в случае равенства нулю определителя, стоящего в правой
части, преобразуется в интеграл Бернулли.

Аналогичные результаты из уравнений движения идеальной
жидкости можно получить и для газов, т. е. сжимаемых жидкостей.
Так, интеграл Бернулли для случая адиабатического расширения
газа, когда р — нрк при условии h fv 0 примет вид А/(К — 1) X
X р/р + 0,5ц2 = [А/(К — 1)] (ро/ро), гДе Ро> Ро — параметры давле-
ния и плотности торможения.

В соответствии со вторым законом Ньютона, скорость изменения
количества движения материальной частицы равна по величине
—>
и напр авлению силе F, действующей на эту частицу: F — та =
—pWa. В проекциях на оси координат последняя формула может
быть представлена:

Г* TV7 / ^их [ dux <иг ,
Fx = р№ Нг +	+ Uy-^ +

‘	\ dt ' dx ' Уду

 ди Л

-4- иг ;

1 дг J

р _ ПП7 (^У I ,, I ,, &иУ I
py~Pw [dt + Ux + uy~d/j +
, duy\

+ Uz ;

1 dz ) ’

F r,W7 (, duz duz ,

Fr = pW

1 du

‘ r dtp v
/du„

d u2

dur \

dz ’

1

У Ui-Uy

. du9„  1 du4>„ , dU9 v

"a— Ur — a—	"д- tlz I 9

‘ dr 1 г ф dz ZJ 9

p = p w -4^ ur -4-4-

r \ dr 1 r dq ф

, диг . duz\

+ ^+-dtV

Явление переноса количества движения имеет чрезвычайно важ-
ное значение в механике жидкости и газа, так как оно объясняет
целый ряд гидромеханических явлений, в частности природу гид-
равлических сопротивлений в вязкой жидкости! Перенос может
осуществляться конвекцией, диффузией. Причем диффузия явля-
ется таким процессом переноса тепла или количества движения,
который осуществляется в направлении уменьшения величины им-
пульса.

В соответствии с [48, 701 обобщенная зависимость, характери-
зующая явление переноса, может быть записана в виде (dK/dt)/S =
— wd (A/W) Idn, где dKUdt — интенсивность переноса сквозь пло-
щадку S; AIW — концентрация А в объеме W‘, х — коэффициент
диффузии.

Причем в качестве А может быть как количество движения, так
и масса, тепло и т. п.

В соответствии с теоремой Эйлера о количестве движения ре-
зультирующее давление на жидкость, ограниченную некоторой по-
верхностью, равно сумме результирующей массовой силы, действую-

Рис. 2. Обтекание ци-
линдра идеальной жид-
костью.

Рис. 3. График для оп-
ределения ртах.

щей на жидкость; частной производной по времени от количества
движения, потока количества движения жидкости за единицу вре-
мени через поверхность S. Данное положение имеет аналитический
вид: J npdS = —J padW -|- d/di (J pzzdl^j— ^(nu)pudS. Эта за-
s	s

пись и является обобщенной формой теоремы о количестве дви-

жения.

Примером, позволяющим проиллюстрировать применение приве-
денных выше законов, может быть обтекание потоком жидкости
какого-либо тела, например цилиндра радиуса г (рис. 2). Если ско-
рость идеальной жидкости на достаточно большом расстоянии от
цилиндра равна tio, то вблизи его и — —2и0 sin а. Использовав
закон Бернулли, определяют давление вблизи цилиндра р = р0 +
4- (pw^/2) (1 — 4sin2 а), где ре — давление на достаточно большом
расстоянии от цилиндра. В точке А давление рл определяется по
формуле- рА = рй + 0,5рц2, при (а = л).

 Аналогичный результат получают и для точки В. При угле а —
= 5/6л р — р0. В точке С при а = л/2 рс — Ро — Зр«|/2.

Таким образом, при постоянной скорости и0 наличие цилиндра
в идеальной жидкости не изменяет динамических условий, а это
значит, что сопротивление тела равно нулю. Данный вывод и опре-
деляет парадокс Даламбера в гидромеханике.
При описании течения газа часто используется уравнение Бер-
нулли, учитывающее изменение не только механической, но и внут-
ренней энергии Еви = (dQ/A) (CVT2 — CJW В соответствии с пер-
вым началом термодинамики справедлива зависимость

<2*М + Pi/(f>g) — Ps/(PS) = z + h2 — hi + (“2 — «Ъ/2 +
+ {CvT2-CvT^A,	(10)

где Z — техническая работа единицы веса газа; Q* — тепло, под-
водимое к единице веса газа.

Уравнение (10) записано для двух сечений, так называемой эле-
ментарной струйки газа. Элементарная струйка обладает двумя
особенностями: скорость газа по ее сечению не меняется, боковая
поверхность струйки непроницаема.

При введении энтальпии (или теплосодержания) i = СРТ в фор-
мулу (10) получают соотношение Q*apM — Z=h2—h1-\-u2/2—
— иг/2 + (i2 — iJ/A.

Приведенное выражение представляет собой так называемую
тепловую форму уравнения баланса энергии, используя которую
можно решить ряд задач газовой динамики, связанных с опреде-
лением зависимостей между температурой, давлением и скоростью
при обтекании газовым потоком различных тел в до- и сверхзвуко-
вой области движения газа, его истечении из различных геометри-
ческих сопл и т. п.

Уравнение баланса механической энергии получило широкое
применение при экспериментальном определении локальных скоро-
стей движущейся жидкости. Оно положено в основу (формулы 8
и 10) принципа работы ряда гидравлических приборов, таких как
трубка полного напора, трубка Пито — Прандтля и т. п.

На рис. 3 показан поток жидкости, в котором находится не-
который предмет. Допускают, что на достаточно большом удале-
нии от предмета скорость жидкости и давление соответственно рав-
ны и0 и р0. В точке А происходит торможение жидкости, скорость
ид = 0; рА — Ртах- Согласно уравнению Бернулли для данного
случая справедливо равенство p0/(pg) + u*/(2g) = pmax/(pg), откуда
следует, ЧТО Pmax = Po+PUo/2> Ртах—Po=pWo/2, а м0=У 2(ртах—р0)р.
Величину (ртах — p0)/pg = Н можно измерить с помощью диффе-
ренциального манометра, если его подключить, как показано на
рис. 4, к специальной трубке, называемой трубкой полного напо-
ра (трубка Пито). Входное отверстие для жидкости должно быть
расположено в точке А (рис. 3), где скорость равна и0. С пере-
мещением отверстия из точки А вдоль трубки Пито происходит
изменение давления р, так как изменяется величина скорости и.
Распределение давления по поверхности трубки Пито согласно
уравнению Бернулли графически показано на рис. 5. Как видно
из графика, за критической точкой А давление резко падает и в
некотором сечении п — п становится равным гидростатическому
давлению р0. Затем давление опять повышается вследствие изги-
ба в трубке. Если в точке А выполнить отверстие для определе-
ния полного напора p0/(pg) + w®/(2g) = pmiaJ(pg), а в точке, соот-
ветствующей сечению п — п, сделать отверстия для измерения
гидростатического давления pjpg и подсоединить эти отверстия
к дифференциальному манометру, то его показания позволят не-
посредственно замерять величину гф/(2н). Такой прибор называет-
ся трубкой Пито—Прандтля (рис. 6).

Если величину ргф/2 обозначить через q, то скорость потока
несжимаемой жидкости с помощью трубки Пито—Прандтля можно
определить по формуле

u = V2qlp,	(П)

-----	Рис. 4. Трубка Пито.

р^р^

Рис. 5. Распределение давле-
ния вдоль поверхности труб-
ки Пито.

а для сжимаемой жидкости (р =/= const)

и = К (2/р) (ргаах — р0)/(1 + 8Р),

(12)

где Ер — коэффициент, учитывающий влияние сжимаемости возду-
ха (газа). Для практического применения формула (12) неточна по
следующим причинам. Через отверстие 1 в манометр попадает
жидкость не под давлением ртах, которое соответствует только
критической точке Аг а под некоторым средним давлением перед
передним отверстием насадка, так как отверстие 1, как бы мало оно
ни было, практически занимает некоторую конечную площадь
и не является точкой.

Также неточно измеряется с помощью насадка и статическое
давление р0. Может оказаться, что даже в свободном потоке стати-
ческое давление в двух точках, расстояние между которыми равно
расстоянию между отверстиями насадка (в сечении п — п выполне-
но несколько отверстий, равнорасположенных по периметру насад-
ка для отбора давления р0), неодинаково.

Следовательно, разность давлений ртах и р0, которую фактиче-
ски фиксирует микроманометр, зависит от формы и размеров на-
садка и не равно разности между полным статическим давлением
потока в одной и той же точке. Чтобы учесть эту неточность в фор-
мулу (11) или (12) вводится коэффициент Р, называемый коэффи-
циентом насадка, после чего формула принимает вид: и =
max Ро)Р/(1 + Е»)- При ер = 0 жидкость несжимаема.

Трубка Пито — Прандтля имеет большое практическое приме-
нение. Существует несколько ее модификаций. Иногда, особенно
при измерениях скорости в воде, пользуются схемой измерения,
представленной на рис. 7, в которой фактически использована труб-

Рис. 6. Трубка
Пито—Прандтля.



ка полного напора (трубка Пито). Статическое давле-
ние измеряется на стенках канала (трубы). Рабо-
чей формулой в этом случае, если в дифференци-
альном манометре ртуть, служит следующая:
«о = V2g(pmax — р0)/ (pI%og) = /2gh [(Рн,/Рн,о)—
= K2g/i[( 13600/1000)— 1] = V2gh • 1,6.

Наиболее широко применяемыми на практике для измерения ко-
личества жидкости, протекающей через какое-либо сечение канала,

являются такие устройства, как трубка
шайба.

Вентури и расходомерная

Устройство трубки Вентури показа-
но на рис. .8, она состоит из конфузо-
ра (участок между сечениями 0—0 и
1—1) и диффузора (участок за сечением
/-/).

Уравнение Бернулли для сечений
0—0 и 1—1 записывается так: Wg/(2g) +
+ Pol(Pg) = «?/(2g) + Pi/(pg).

Если площадь поперечного сечения
канала в сечении 0—0 обозначить через
Ео, а в сечении 1—1 — F\, то зависи-
мость между ы0 и иг примет вид: К =
= FJF0.

Воспользовавшись двумя последними
зависимостями, для скорости получают

Рис. 7. Определение профи-
ля скорости с помощью
трубки полного напора.

соотношение u0=V[2g (1 /(1 — К2))] (р0 — pj)/(pg), для расхода
жидкости Q =	= Fi (1/К1 — №) V2gMi, кН = (р0— pj/(pg).

Таким образом, для определения расхода с помощью трубки Вен-
тури достаточно произвести измерение величины А// между сече-
ниями 0—0 и Н (рис. 8).

На аналогичном принципе основана работа расходомерной шай-
бы сопла или диафрагмы (рис. 9). Следует отметить, что как трубка
Пито, так и трубка Пито — Прандтля могут быть использованы
также для измерения расхода жидкости в канале (трубе). Действие
тельно, измерив скорость жидкости в различных точках сечения

Рис. 8. Трубка Вентури.

а

Рис. 9. Расходомерное сопло:
д схематическое; б — конструктивное изоб-
ражение.

трубы, можно определить закон изменения скорости и в зависимо-
сти от поперечной координаты потока. Затем воспользовавшись
определением расхода Q как функции координаты S, найти Q =
= J u(S)dS.'
2. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

При движении реальной жидкости в трубах и каналах возни-
кают силы внутреннего трения, или силы вязкости, которыми пре-
небрегают в случае идеальной жидкости. Действие этих сил сказы-
вается, например, на изменении давления Др вдоль потока с посто-
янным «живым» сечением при движении какого-либо предмета по
свободной поверхности жидкости и т. п.

Действие сил вязкости показано на примере течения Куэтта—
течения жидкости (рис. 10), заключенной между двумя параллель-
ными плоскостями, при этом верхняя движется с постоянной ско-
ростью и0, а скорость нижней иу — 0. На каждую из пластин со
стороны жидкости действует сила F, которую можно измерить. Для

	

Рис. 10. Распределе-
ние скоростей при те-
чении Куэтта:

1 — др/дх = 0; 2— др/йхф
+ 0.

данного случая сила оказывается прямо про-
порциональна скорости верхней пластинки и
площади ее поверхности и обратно пропор-
циональна расстоянию h. За счет проявления
сил вязкости скорости иу по сечению h распре-
деляются так, как показано на рис. 10.

По данным исследований [70, 78]

F = pSuJh = pS dUyfdZ,	(13)

где ujh та duy/dZ — градиент скорости. Сила,
действующая на единицу площади, т. е. на-

пряжение трения т = F/S. Из формулы (13) следует, что т = pduy/dZ.
Эта формула определяет закон Ньютона для вязкой жидкости.
Течение Куэтта является простейшим видом течения. В случае
более сложного трехмерного течения жидкости закон Ньютона за-
писывается в обобщенном виде в декартовой системе координат [81]:

ххх = —р + 2р,дих1дх + (2/3) р (dujdx + duyfdy dujdz)\
тзд = р (dujdy + dujdx) = т^;

Ъу = — Р + fydujdy -ь (2/3) Р (dujdx + dujdy + dujdz)-,
xXz = Р- (dujdz -ь dujdx) = xzx, xyZ = p (dujdz + dujdy) = xzy\
tZ2 = — p + 2pdujdz + (2/3) p.(dujdx + dujdy + dujdz). (14)

В случае несжимаемой жидкости (р = const) члены, стоящие
при множителе (2/3) р, в силу условия неразрывности среды рав-
ны нулю.

Выражения (14) использовали для получения уравнений движе-
ния вязкой жидкости (уравнение Навье — Стокса), которые имеют
следующий вид:

dux ________др у(д2их ,

dt ~°х 'р дх + рД дх2

 д2их ।	. 1 р д fdux

ду2‘ dz2 / ' 3 р дх [ дх '

, диу , ди21 .
~t'~dy~t"dzj’

dur  _________1_ др р / д2иг ,

~dt ~ а'~ р дг + р \дг2

1 д2иг , д2иг , 1 диг	2

+ г2 dtp2 dz2	г дг	г2 дг'

Ир

г2

+ 4- — т- (div и);
1 3 р дг'	’
, d*uv

I- dy2

1 dp p (d2Uy ,
p dy "r p \ dx2

d2WjA 1 p d Г dux
dz2 ) ”** 3 p d z/L dx -r

duz _ ~	1 dp , p (d2uz ,

dt г p dz p \dx2 +"
d2uz , d2zzz\ 1 p d [dux

"r dy2 dz2 /^3 p dz [ dx ~*~

_ 1 d/’ 4. E l
dt	pr dtp p \ dr2 "t"

1^4 , £4,,

"г r2 dtp2 "i" dz2 r dr '

+ 4^_^+*E^(divt/);
“ r2 dtp r2 / ' 3 p Зф' ’
duz____dp , p (d2uz

~dt ~ p dz + p \ dr2

(15)

(16)

SzzJ
dz]

, 1 d2uz . d2uz J du4
+ r2 (3(р2 "+ Qz2 “Г r Qr j '

+ 4“ 7Г (divu).

1 3 p dz' '

duv _
~dF v

Данная система уравнений обычно записывается совместно е
уравнением сплошности или неразрывности среды, характеризую-
щими закон сохранения массы жидкости. Данное уравнение имеет
вид в декартовой системе координат (1/р) (dpjdt) + (dujdx) -ф
+ {duyjdy) 4- (dujdz) =0; в цилиндрической системе координат
(1/р) (dpfdt) -ф (diir/dr) -ф (1 /г) (dtiqldtp) -ф (dujdz) -ф ujr = 0.

На практике применяются различные формы записи уравнений
Навье — Стокса. Так, например, векторная форма записи системы
уравнений (15) или (16) имеет вид:

(d u/dt) = а-— -- grad р -ф (р/р) А и при div и = 0.

Так как А и — grad div и — rot rot и, то

(duidi) -ф grad (w2/2) -ф (rot и) x и = a — j grad p — v rot rot u.

Граничные условия для задач о движении вязкой жидкости не-
разрывно связаны с особенностями ее течения, условиями, которые
имеют место на границе контакта жидкости с твердой поверхностью
(неподвижной или движущейся), на границе в случае струйного дви-
жения. Обычно принято считать, что в точках, где жидкость примы-
кает к твердой поверхности, ее скорость равна нулю. Исключение
представляют некоторые разновидности так называемых ньюто-
новских жидкостей, для которых в пристенной области могут на-
блюдаться как явления проскальзывания, так и скольжения.

Интегрирование уравнений движения вязкой жидкости можно
осуществить аналогично интегрированию уравнений Эйлера для
идеальной жидкости. Интеграл Бернулли для элементарной струй-
ки вязкой жидкости при р — const имеет вид

w!/(2g) + PiKpg) + К = «|/(2g) + p2/(pg) + hz -ф S h^, (17)
где S ^1-2 — величина, характеризующая гидравлические потери
энергии, отнесенные к единице веса жидкости, на участке между
какими-либо сечениями 1—1 и 2—2 элементарной струйки.
Данные потери энергии могут служить мерой перехода части
механической энергии в тепловую, т. е. диссипации энергии; Если
провести анализ всех сил, прикладываемых к элементам некоторого
фиксированного объема, законом Ньютона при р = const и уело-
вием несжимаемости среды (divw = 0), то получают полное выра-
жение диссипативной функции [78]: Е=р {2 (дих/дх)2-\-2 (диу/ду)2+
+ 2 (диг/дх)2 4- (dujdz + dujdy)3 -j- (dujdx + dujdz)2 + (dujdy -j-
-j- duy/dx)z}, которая показывает, что диссипация энергии равна
нулю лишь при таких условиях, когда все составляющие тензора
скоростей деформации равны нулю, т. е. если движения жидкости

совокупность

Рис. 11. Распреде-
ление скоростей в
потоке вязкой жид-
кости при ламинар-
ном течении.

и твердого тела идентичны.

Применительно к потоку вязкой жидкости, представляющему
элементарных струек, а следовательно, имею-
щего различную локальную скорость, урав-
нение (17) корректируется.

На рис. 11 приведен пример распределения
скоростей по сечению потока. Скорость в лю-
бой точке сечения потока и = iicP ± Ей, а рас-
ход протекающей жидкости Q — J udS —
s

— UcpS — (t/cp 4-^w) dS ~ ucpS § (4-Awl X

X dS. Следовательно, Ей обладает тем свой-
ством, что J (±Aw)dS = 0.

s

Кинетическую энергию в потоке вязкой жидкости определяют
по формуле Ек = j (pguxdSlp) (uz/2) dS=(g/2) J u*dS=(g/2) J (t/cP+

S	'S	s

+3«срА«2 ± ЗАщ^р ± Aw8) dS—pgUcpSl^g) р 4- 3 j EusdS/(St4p)
s

= apgt£pS/(2g), где a — коэффициент кинетической энергии или
коэффициент Кориолиса, a = р + 3 J Eu3dS/(Sulp)j. Коэффициент
s

Кориолиса представляет собой отношение действительного значе-
ния кинетической энергии в потоке к кинетической энергии, ус-
ловно вычисленной в предположении, что скорости во всех точках
«живого» сечения равны средней скорости «сР. Коэффициент Ко-
риолиса в потоке всегда больше единицы, а удельная кинетичес-
кая энергия для потока равна au?p/(2g).

Таким образом, после преобразований уравнение (17) примет вид
aiw?nl/(2g') + pi/tpg) + Zx — a2wcp2/(2g) + pz/(pg) + ^2 + S ^i-2-

Величина удельной потенциальной энергии [p/(pg) + Z] для
потока и элементарной струйки определяется идентично.

Отношение удельных потерь энергии У, /гг_2 к длине / канала,
на которой они определены, называется гидравлическим уклоном,
1 = —Лг_2// = —{[|ZX + Pi/(pg) +ai^P1/(2g)l — [Z2 + p2l(pg) +.
+ а2ЫсРг/(2g)]) 11’ •

При неравномерных по длине потерях энергии используют гид-
равлический уклон в рассматриваемом сечении потока

/ = —dh/dl = —d[Z + p/(pg) + ai£Pl(2g)\ldl. (18)

Уравнение (18) можно рассматривать как дифференциальное урав-
нение установившегося движения.

На основании ряда опытов,, проведенных Осборном Рейнольд-
сом, было установлено существование двух режимов течения вяз-
кой жидкости: ламинарного и турбулентного. Для определения ре-
жима течения используется критерий, известный в гидравлике как
критерий Рейнольдса Re = uevllv.

При значении критерия Рейнольдса, меньшем некоторого кри-
тического ReKp, режим течения жидкости (газа) ламинарный, в про-
тивном случае — турбулентный. Возникающие в потоке возмущения
при сравнительно низких числах Рейнольдса гасятся силами вяз-
кости, смещаясь вниз по течению. С ростом числа Рейнольдса,
в момент достижения значения ReKp под воздействием возмущений
течение скачкообразно становится турбулентным [91, 131. Вместе
с тем показано, что значение ReKp, соответствующее переходу от
ламинарного режима течения к турбулентному, тем меньше, чем
больше интенсивность возмущений.

Для течения в цилиндрической трубе при устойчивом ламинар-
ном режиме ReKp «г 2320 Бариесу и Кокеру удалось задержать
появление турбулентности до значения числа Re примерно 20000,
а Экману — до 50000. В последнем случае наблюдавшийся ламинар-
ный режим является неустойчивым. Характерной особенностью
ламинарного режима течения является его упорядоченность. Такое
течение возможно в тех случаях, когда касательные напряжения,
связанные с молекулярным обменом количества движения меж-
ду слоями жидкости, оказывают доминирующее влияние на ее
движение. Для турбулентного режима течения характерна неупо-
рядоченность движения жидкости, наличие в потоке пульсаций
скорости, давления и т. п. При таком режиме движения силы вяз-
кого трения уже не являются преобладающими, основное воздей-
ствие на поток оказывают силы инерции.

При описании турбулентного течения целесообразно характе-
ризующие его физические величины представлять состоящими из
двух компонентов: осредненные по времени и пульсационные со-
ставляющие (обычно обозначаются со штрихом). Например,_проек-
ции вектора скорости их — их 4- и'х; Иу = йу + иу, uz*= uz-\- uz,
t+т
осредненные за какой-либо период времени Т, йх = (1/У) J uxdt\
t

t+т	t+т

uy~(l/T) j uydt-, йг = (1/Т) j uzdt. Вместе с тем ux =
f+T

t+т

f+T

= (1/7) у uxdt = (l/T) у uxdt + (l/T) у u'xdt. Степень турбу-

t

t

t

лентности в потоке может быть определена из формулы е =фл(й')2/н.

Чрезвычайно важным параметром в этом выражении является
среднеквадратичное значение флуктуации, который часто называют
t+T

интенсивностью турбулентности: ^(w')2 = {1/^ У (н')2<й}°’5.

о

Средняя кинетическая энергия турбулентности, отнесенная к
единице массы жидкости Етурб = 0,5 [(w')2 4- (иу)2 4- (и?)2].

Основными уравнениями, описывающими турбулентное течение,
являются уравнения О. Рейнольдса [94], которые можно предста-
вить в следующей форме для декартовой системы координат:

рах — d'pjdx = р \duxjdt 4- их (дих/дх) 4- иу(дих1ду) 4-

4- «г (dux/dz)] 4- д (ххх — pux)fdx 4- д (ъху — рихиу)1ду 4-

+ dfcxz — pUxilz)/dz;

рау— d~pjdy — р [diiyldt 4- йх (дйу/дх) 4- иу (дйу]ду) 4-

4- uz (dilz/dz)] 4- д (тух — рйхйу)/дх 4- д (тда — р~иу)1ду 4-

4- d(xlJZ — pti‘yilz')ldz-,

paz — ffp/dz = p\dtlz!dt 4- ux (duz/dx) 4- Ey (duzldy) 4-

4- uz (duz/d2)]+ d(xzx — puxilz)/dx 4- d (xzy — pu'yliz)/dy 4-
+ d (tzz — pTiz2)/dz.

При сопоставлении данных уравнений с уравнениями Навье —
Стокса легко обнаружить их различия. Дополнительные шесть чле-
-12	,  /	—;—г	,

нов, входящие в эти уравнения, —рих , —рихиу, —puxuz, —puyuz,
—рйу2, —puz2—определяют напряжение Рейнольдса. Полное урав-
нение баланса турбулентной энергии [94] получено из уравнений
Рейнольдса для тензора напряжений. В общем виде записывается
так:

dEtldt 4- д (Еула 4- pup«pu„/2 4- р'и'а —	=

= риаОа — рё® — puaU(i (dup/dx^),	(19)

где Et — средняя плотность кинетической энергии пульсационного
движения, Et = 0,5ры^; рё® — удельная диссипация энергии пуль-
сирующего движения под действием вязкости, рё? = (pv/2) S [(dui /
/dxj) 4- (du'j /dxt)]2-, [Е{йа 4- 0,5рнрНрНа 4- p’ui 4- Upa„p] — плотность
потока турбулентной энергии, определяемая переносом ее за счет
осредненного течения жидкости пульсациями давления, молекуляр-
ной и турбулентной вязкостью; puau^(du^/dxa)—преобразование
энергии осредненного и пульсирующего движений.

Из приведенного уравнения (19) следует, что изменение плотно-
сти турбулентной энергии в какой-либо точке потока связано с пере-
носом этой энергии от других частей жидкости, работы пульсаций
внешних сил, диссипативных процессов, связанных с проявлением
сил вязкого трения, преобразованием части энергии усредненного
движения в турбулентную энергию или наоборот.

Перенос и смешение вещества в турбулентном потоке, осуществ-
ляемые за счет проявления турбулентной диффузии, являются не-
сравненно более интенсивными, чем при диффузии молекулярной.
В кинетической теории газов соотношения для диффузии молекул
выводятся на основании понятия о хаотическом движении моле-
кул. Важнейшим параметром при этом является коэффициент диф-
фузии. Для молекулярной диффузии он зависит от температуры
и концентрации раствора и, как следует из кинетической теории
газов, определяется как величина, пропорциональная длине сво-
бодного пробега молекул и средней скорости теплового движе-
ния молекул щ, т. е. D«Xowz. По аналогии можно записать
формулу для определения коэффициента турбулентной диффузии
Дтурб « ul « I2 (duldl), где I — масштаб турбулентности.

Коэффициент турбулентной диффузии [13, 911 является анало-
гом коэффициента турбулентной вязкости. Диффузионный поток
характеризуется величиной, пропорциональной характерной ско-
рости турбулентных пульсаций и обратно пропорциональной числу
Прандтля Рг.

При аналитическом описании турбулентной диффузии в качестве
исходных данных следует использовать то положение, что в любой
реализации турбулентного течения закон распределения концент-
рации с в области, не содержащей источников примеси, соответ-
ствует уравнению молекулярной диффузии, т. е.

(dcfdt) ф- (w grad) с = D Ac + Ло,	(20)

где величина Ло характеризует мощность источника. При Ло = 0
в безразмерном виде уравнение (20) имеет вид

йх • (дс]дх) + и.у (дс/ду) + иг (дс/дг) = [(д2с/дх2) +

+ ((Рс/ду2) + (Ж/дг^/Рс,

где с = с/с0, йх = их/их0, йу = uyjuyo, йг = t/2/t/2o, Pc = uozjD —
безразмерные величины.

Идеалистической моделью турбулентности является модель
изотропной турбулентности, т. е. такая, при которой все гидроди-
намические характеристики являются однородными. В реальных
условиях однородных случайных характеристик не наблюдается.
Аналитическое описание данной модели служит первым этапом
в создании модели анизотропной турбулентности. Моделирование
изотропной турбулентности можно осуществить в аэродинамиче-
ской трубе на участке за решеткой, обтекаемой потоком газа (под-
робно описано в главе 10). Изотропная турбулентность описывается
с помощью корреляций между пульсациями давления и пульсаци-
ями скорости в каких-либо фиксированных двух точках (А, В) по-
тока. С этой целью вводятся корреляционные тензоры соответ-
ственно первого, второго и третьего рангов: (Kt, р)а, в = (щ)аРв-
(Qi, i)A, в; (Si, i)a, В= (Ui)a («/)л («к)л-

Для изотропной турбулентности составлены соответствующие
выражения, определяющие компоненты корреляционных тензо-
ров, дифференциальные уравнения динамики, описан простран-
ственный энергетический спектр, решен ряд задач, имеющих прак-
тическое значение. Так, на рис. 12 представлен график распределе-
ния функции Е = 2nk2Ei.j, где Etj — спектральный тензор кине-
тической энергии турбулентности; k — 2лп/й — волновое число.
Как видно из рисунка, весь диапазон величины/г состоит из несколь-
ких областей: малых волновых чисел k, где турбулентность зависит
в основном от коэффициента вихревой вязкости и так называемого

интеграла Лойцянского

Рис. 12. График распреде-
ления функции Е = f (k).

переноса в турбулентных

(параметра, определяющего диапазон са-
мых низких волновых чисел) [781; сред-
них волновых чисел, зависящих от коэф-
фициента вихревой вязкости, диссипации
и энергии, отнесенной к единице массы
жидкости; высоких волновых чисел, оп-
ределяемых тремя величинами — диссипа-
цией энергии под действием турбулент-
ности, молекулярной вязкостью и вре-
менем (данная область называется уни-
версальной равновесной).

Полуэмпирические теории турбулент-
ности, в основном, посвящены явлениям
потоках. Среди теорий, посвященных дан-

ной проблеме, наиболее плодотворными являются: теория переноса
количества движения Прандтля, теория переноса завихренностей
Тэйлора, так как они весьма близко к реальному описывают меха-
низм турбулентности и позволяют получить конкретные и удобные
для практического применения результаты.

Вводя понятие «путь смешения», Л. Прандтль по аналогии с
кинетической теорией газов сделал предположения о зависимости
коэффициента турбулентной вязкости от произведения пути сме-
шения на величину dujdy, если рассматривать течение в плоскости
XOY, т. е.

Р-турб = p/z| dujdy],
Ттурб = р/2 I dujdy | (dujdy),

(21)

(22)

где I — длина пути смещения, пропорциональная ширине зоны тур-
булентного смешения, т. е. зависящая только от осевой координаты.

Формулы (21, 22) известны как формулы Прандтля для опреде-
ления касательных напряжений и турбулентной вязкости. Эти фор-
мулы дают существенные расхождения е экспериментом в тех слу-
чаях, когда dujdy = 0. В таких точках коэффициент вихревой
диффузии для импульса равен нулю, хотя в действительности он
отличен от нуля и имеет конечное значение. В связи с этим Прандтль
откорректировал зависимость (21): рТуРб = pl2 {(dujdy)2 + r2(d2tix/
/dy2)2]0,5- Введение еще одного параметра Г значительно услож-
няет анализ. Другой существенный недостаток теории Прандтля
заключается в том, что в ней не учитывается влияние пульсаций
давления на перенос импульса.

Исходя из теоремы о сохранении завихренности Тейлор ввел
пульсацию завихренности ®' и предложил следующую зависимость
для определения градиента давления:

dpjdx = —р I и*! I (da'/dy) = р | и’х 11 (d2ux/dy2).	(23)

Прандтль для переноса количества движения получил зависи-
мость

dpjdx = dx/dy — p{d [I2 (dux/dy)2]/dy.	(24)

Уравнения (23) и (24) дают одинаковый результат только в слу-
чае, когда величина I не является функцией у и \их \ = l(dux/dy).
В общем же случае теории Прандтля и Тейлора дают разные ре-
зультаты.

Карманом было выдвинуто предложение относительно пути
смешения, согласно которому величина I зависит от местных усло-
вий течения жидкости. Предполагалось, что молекулярная вязкость
не влияет на течение и локальные модели потоков в окрестности
каждой точки статистически подобны и отличаются только масшта-
бом времени и длины. На основании этого Карман нашел, что
I — х| (dux]dy) \/\(d2ux/dy2)\, где к—универсальная постоянная,
обычно равная 0,4. Из последней формулы следует, что касатель-
ные напряжения т — х2р (diixldy)^ (d2uxjdy2y2.

Как показал анализ, данная формула Кармана не имеет суще-
ственных преимуществ перед более простой формулой Прандтля.

В заключение следует отметить, что рассмотренные теории пути
смешения основаны на применении рассуждений, аналогичных тем,
которые применяются в кинетической теории газов, в сочетании
с предположением о вихревом переносе жидких частиц и на гипо-
тезе, в соответствии с которой путь смешения зависит от условий
течения. Результаты этих теорий послужили основой для дальней-
шего развития представлений о механизмах турбулентности и при-
меняются при решении задач о тепломассообмене, интенсификации
технологических процессов в химических реакторах и т. п.

3. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

При течении вязкой жидкости вдоль твердой поверхности и от-
сутствии скольжения на ней скорость в непосредственной близости
от поверхности равна нулю. В связи с этим значения градиента ско-
рости и касательных напряжений увеличиваются по мере прибли-
жения к поверхности и убывают при удалении от нее. Это обстоя-
тельство позволяет сделать заключение о том, что в пристенной об-
ласти существует зона течения, где влияние сил вязкости на поток
соизмеримо с влиянием сил инерции. Л. Прандтль показал, что
течение у твердой поверхности можно разделить на две области»
область весьма тонкого пристенного слоя — пограничный слой и об-
ласть за пределами этого слоя, где силами трения можно прене-
бречь. Введение таким образом понятия пограничного слоя позво-
ляет существенно упростить уравнения гидродинамики.

Оценка членов в уравнениях Навье — Стокса для области по-
граничного слоя позволила Л. Прандтлю [48, 158] получить следую-
щую более простую систему уравнений (двухмерный поток):

(dujdz) + их (dux/dx) + uy(duxfdy) = — (1/р) (dp/dx) +
+ (Р-/Р) i&ujdy*) (дих1дх) + (dtiy/dy) = 0,	(25)

которые удовлетворяют пограничным условиям у — 0, их = иу = О
и у — со, их — их.

Данное упрощение уравнений движения весьма значительно:
сократилось число неизвестных, давление уже не является величи-
ной неизвестной, так как оно может быть определено из уравнения
баланса механической энергии (уравнения Д. Бернулли).

На основании уравнений (25) может быть сделана оценка тол-
щины б ламинарного пограничного слоя: б » Z/l^Re = Кр7(РисА
Помимо величины б — геометрической характеристики пограничного
слоя, на практике часто используются кинематическая б* и дина-
мическая б** характеристики.

Кинематическая характеристика пограничного слоя б* — толщи-
на вытеснения — показывает насколько количество вязкой жид-
кости, протекающей через рассматриваемое сечение пограничного
слоя, отличается от количества идеальной жидкости, протекающей
через то же сечение. Величину кинематической характеристики
определяют по формуле б* = j (1 —uju^dy, где w0 — скорость
о

жидкости за пределами пограничного слоя.

Динамическая характеристика б** — толщина потери импульса —
определяется при выяснении динамического влияния вязкости на
е

обтекание тела, б** = j (wx/w0) (1 — их!и0) dy.
о

Следует отметить, что толщина потери импульса тесно связана
с величиной сопротивления обтекаемого тела F = ры^б**. В то же
время б** весьма важна при расчете изменения давления вдоль
пограничного слоя.

Интегрирование уравнений Прандтля по толщине пограничного
слоя с последующими преобразованиями и использованием выра-
жений для определения б* и б** позволяет получить следующую
зависимость:

т0/р = & (w20b**)/dx 4- и0 (ди0/дх) б* + д (u08*)/dx,	(26)

где т0 — касательное напряжение на твердой поверхности.

Уравнение (26) часто представляют интегральным уравнением
импульсов Кармана [158,1081. Оно используется как при ламинар-
ном течении, так и при турбулентном. Это возможно в тех преде-
лах, когда количество движения потока, обусловленное турбулент-
ностью, мало по сравнению с количеством движения потока, обус-
ловленным скоростями усредненного течения. Вместе с тем, тур-
булентный пограничный слой обладает и своими особенностями,
учесть которые можно в уравнениях, аналогичных уравнению (25),
используя вместо вязкости р, турбулентную вязкость р-г.

Проследить особенности течения в турбулентном пограничном
слое можно на примере обтекания пластины. Вблизи поверхности
пластины имеется небольшая зона, в которой скорость быстро изме-
няется от нуля до величины, близко?! к скорости внешнего пото-
ка и0. В данном пограничном слое вблизи передней кромки пластины
течение ламинарное (рис. 13), а вдали от нее, вниз по потоку — тур-
булентное. Между областью ламинарного и полностью развитого

Рис. 13. Формирова-
ние турбулентного по-
граничного слоя:

/ — ламинарный; 2— пе-
реходный; 3 — турбу-
лентный участки.

турбулентного течения имеется переходная зона, положение кото-
рой зависит от Re, степени турбулизации свободного потока и ше-
роховатости поверхности.

В то же время, согласно предложению Кармана, в самом турбу-
лентном пограничном слое (по его толщине) можно выделить сле-
дующие три основные подслоя. Подслой ламинарного течения —
у самой поверхности; переходный подслой и турбулентный погра-
ничный слой. В ламинарном подслое изменение скорости потока
в зависимости от расстояния от поверхности происходит по пара-
болическому закону; в турбулентном слое — по логарифмическо-
му. Довольно часто для турбулентного пограничного слоя исполь-
зуется закон одной седьмой, т. е. их!ип = (г//б)1/7.

Глава 3

ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Гидравлические сопротивления движению жидкости в различ-
ного рода каналах связаны в основном с проявлением сил вязкости
и изменением кинетической (потенциальной) энергии потока. В боль-
шинстве случаев они вычисляются по уравнениям движения или
энергии потока. Например, при движении жидкости вдоль оси х
падение давления на каком-либо участке канала, имеющем сечение
и периметр с, в соответствии с первым уравнением системы (15)
можно представить в виде

—d (p/p)/dx — 1/S (d У w2d$/ds) — р/р$ § (da/dn) de; (27)
s	c

§ A2udS = § (ди/дп) de;
s	c

или

Лр/(0,5рПср) = Xx/(4D) 4- k (x),	(28)

где k (x) — поправочный коэффициент, равный сумме двух слагае-
мых, первое из которых характеризуется изменением количества
движения между сечениями рассматриваемого участка канала,
а второе равно проинтегрированной по длине и периметру разности
между величинами поверхностного трения развивающегося и пол-
ностью развитого течений [78, 92]. При k (х) = 0 зависимость (28)
преобразовывается в известную формулу Дарси — Вейсбаха, харак-
теризующую потери энергии по его длине в потоке вязкой жидкости.

Другой вид механических потерь энергии — местные потери —
связан с наличием в канале различного рода препятствий движе-
нию жидкости. Подобными препятствиями могут быть изменения
конфигурации канала, элементы гидроарматуры и т. п.

В соответствии с уравнением Бернулли, потери энергии в ка-
нале длиной Дрх_2 между сечениями 1 и 2 определяются по фор-
муле S Дрх_2 = pg (Zx — Z2) + рх — р2 + (ахых — а2ы2) р/2.

Величина 2Дрх_2 характеризует оба вида потерь энергии: пу-
тевые потери энергий на прямых участках каналов и местные, имею-
щие двоякую природу, т. е. связанные с изменением вектора скоро-
сти как по величине, так и по направлению [1, 2, 14, 16, 34, 68,
150].

1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ТРЕНИЯ ПО ДЛИНЕ КАНАЛА
При течении ньютоновских жидкостей

Важнейшей задачей при определении гидравлических потерь
энергии является расчет коэффициента X, входящего в зависи-
мость (28). Существует достаточно много рекомендаций по его рас-
чету [1, 14, 18, 32]. В общем случае коэффициент А является функ-
цией как Re, так и шероховатости внутренней поверхности труб.
На рис. 14 представлен график Никурадзе, иллюстрирующий эту
зависимость. На рис. 15 — аналогичный график, предложенный
Колебруном и Уайтом. Оба эти графика указывают на высокую
степень достоверности данных, получаемых из зависимости • А —
— 64/Re для ламинарного режима течения. В случае турбулент-
ного режима течения, когда трубы можно считать гидравлически
гладкими, используются следующие зависимости (линия 2 на гра-
фике Никурадзе):
Re

1

2,3 X Ю3< Re< 3 X Ю6 . . . .

10? <Re< 3,24 X 1O«.........

Re < 2 x 10е................

5 X 10s c Re < 3,5 X 10е . . . .

. _ 0,3164

Re0’25

X = 0,0032 4- 0,221 Re'0-237

X = 0,054 + 0,396 Re-0’3

X= 0,0042+ -^f

Re0-25

2,6 Ц) 3,0 3,2 3,4 3,6 3,2 4fi 4,2 4,4 4,6 4$ 5,0 5,2 5,4 5,6 SfitgRe

Рис. 14. График для определения коэффициента X (график
Никурадзе):

1 — ламинарный режим; 2—для гидравлически гладкой трубы; 3 —
для гидравлически шероховатой трубы.

Несколько сложнее определение коэффициента Л для шерохова-
тых труб, когда относительная шероховатость б = 2AID сущест-

венно влияет на величину
коэффициента трения.

Кривые <3 (рис. 14) при
би^/v = 5...70 описываются

Рис. 15. График для определе-
ния коэффициента Cf = X /4, по-
лученный Колебруном и Уай-
том для ламинарного режима
(кривая /), турбулентного ре-
жима с различными степенями
шероховатости п' (остальные).

уравнением X = X (Re б), а при (6«*/v) >70 — уравнением, X —
= А • Ст, где А, С и т — некоторые константы, а ы* — Vт0/р.
В табл. 3 приведены значения X = f (6) для труб различного диа-
метра при различных значениях 6 [188].
3. Зависимость значений X от величины б для труб различного диаметра
с различной высотой выступов шероховатости А

D (мм)	△ a= 0,07 ММ		Д — 0,10 мм		Д = 0,12 мм		Д = 0,15 мм	
	С 10е	X Юз	6 10=	X 102	0 10=	X 102	0 10“	X 102
25,4	5512	2,554	7874	2,827	9450	2,985	11812	3,196
50,8	2756	1,124	3937	2,332	4725	2,449	5906	2,604
76,2	1837	1,923	2624	2,099	3150	2,200	3937	2,335
101,6	1378	1,796	1969	1,956	2362	2,045	2953	2,164
127,0	1101	1,706	1575	1,853	1890	1,936	2362	2,044
152,4	921	1,638	1312	1,775	1575	1,854	1969	1,956
177,8	787	1,584	1125	1,714	1351	1,788	1686	1,884
203,2	689	1,537	984	1,663	1181	1,734	1476	1,825
254,0	551	1,467	787	1,584	945	1,699	1181	1,734
304,8	459	1,411	656	1,522	787	1,583	983	1,663
381,0	367	1,350	525	1,451	630	1,509	787	1,583
508,0	276	1,274	394	1,368	473	1,421	591	1,488

Согласно исследованиям Валдена для 0,0001 < е < 0,001 мож-
но использовать зависимость X = 0,0587е0>1858, где е — заданный
параметр, характеризующий величину шероховатости.

Для других пределов изменения е используют зависимости:



е

0,001 С е < 0,004
0,04 <е< 0,02 .

0,0008 <	0,007

X = 0,0873е°'24

X = 0,11е0,29

X = 0,0933е°-25

Практический интерес вызывает
в изогнутых трубах, которые часто

определение коэффициента X
используются, например для

передачи тепла от одной среды к другой. Особенностью определе-
ния X в этих случаях является необходимость учета потерь энергии
на образование и поддержание вторичных течений. Используя для
расчета Др формулу Дарси — Вейсбаха при определении X вводит-
ся коррекция, связанная с радиусом кривизны оси трубы 7?ос,
или отношение RTp/ROc- На основании опытных данных получена
следующая зависимость: 0,25Х (Roc/Rip)0,5 = 0,029 + 0,304 [Re (RTp/
/Roc)l_1/4- Приведенное соотношение справедливо при Re(RTp/ROc)>
> 0,034; в случае, когда данное выражение меньше этой величины,
расчет можно вести так же, как и для прямых труб.

При Re (RtP/Roc)s > 6 для изогнутых труб рекомендуется зави-
симость X (Roc/^TP)0'5 =------—-------гт..

v ' р; [Re (?гтр/лг0С)«Г^
2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЯ
И КОЭФФИЦИЕНТА ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ТРЕНИЯ
ПРИ ТЕЧЕНИИ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

Реологические особенности неньютоновских жидкостей и их
специфические свойства [12, 115, 138, 159, 1621 не позволяют дать
единые расчетные зависимости для определения коэффициента I
как функции Re и б. Вместе с тем существует единый подход к ре-
шению проблемы, обоснованный на рекомендациях по определению
зависимости между перепадом давления Ар и расходом Q, на осно-
вании которой могут быть получены формулы для расчета X. Эти
формулы относятся к

 ламинарному режиму
течения.

Рис. 16. Графики зависи-
„ I 1	,	1 Г1

мостеи I —--1- —— I =

\ufrp ^/тс/

= f(Re) (2, 3), М- +
X^frc

+	1 =Z(Re) (4, 5),

ь/ск/

/ 1 IV1

С----Ьтг—) = f (Re)

\bfip '-fCKj

(6. 7), Cf=f(Re) (/) для
течения расплава неплас-
тифицированного поли-
винилхлорида при t ~
— 170 “С в каналах с диа-
метрами 2,43 см (/, 2, 4,
6) и 0,8 см (/, 3, 6, 7).

Если реологическое поведение жидкости описывается выраже-
нием у — f (t), то для цилиндрической трубы радиуса R будет спра-
ведливо следующее соотношение [16]: Q/(4n3) == п(тд)/7? 4- 1/т/? х

с

X J т2/ (I) dr, где и (тк) — скорость скольжения по стенке канала,
о

В зависимости от явного вида реологического закона это соотно-
шение соответствующим образом изменяется. В табл. 4 [8] приве-
дены выражения Q — f (Др) для некоторых типов неньютонов
ских жидкостей при и (Тд) = 0.

При наличии скольжения жидкости у стенки канала определение
коэффициента X может быть для ряда жидкостей осуществлено на
основании графиков (рис. 16).

Выражение для определения коэффициента трения при течении
неныотоновской жидкости со скольжением вдоль стенки может быть
4. Зависимость перепада давлений Др от расхода Q для прямого участка цилиндрической трубы
применительно к некоторым типам неньютоновских жидкостей

Реологический закон	1	Локальная скорость иг		Расход Q	Жидкость
Ньютона  du X=^dr	4ц1 v		л/?4 Др 8ц1	Вода, глицерин, смазки
Освальда де Виля  X==K\dr)	( Ьр\1/П п у \21KJ п + 1 л  Г	1~Ьга~  X [/? “ — Г п		,	. 1+Зя  ™	/ Ар ) ~п~  Зп+ 1 \21К)к	Кабельная заливочная масса, силикаты, медно- аммониевые прядильные растворы, смазки
Прандтля—Эйринга  - (Ir т — arcsin 1 I/C1	2£>i£[OT»(w  Др 1	\2Лд/?  -COSA(^)]	1 —	2лС,/?2 Г 1	. „	1 ,  	J— — cos haR — 5~б X  а [2	2aR  X sin haR -i	(cos haR — 1) 1  241Z	Расплавы полиэтилена, стекла
Бингама   dw X=^ + ^dr	1 Г₽2	г2  it4r-*p~x°(R Ре L	-r)j	nRt Др [	4 2т0/  8Zp6 [	3 R^p^  ! /2т„г  + з 1/?Др) 1	Зубные пасты, строи- тельные растворы, пиг- ментированные лакокра- сочные продукты
Балкли—Ге ршеля
, / du\n

21

X

Н6+АР "

»+1

X

т0

лЧ-1

о

Кассона

к.-,.,-

du
^Kdr

+ т,; (7? —/)]

Вильямсона

du . Но Н«о

“dr+14-r/rCT х

du

*dr



(p.	aw>,

Apr ,

И» -5Г + HoTCT

X ln bpR

Heo 2^ "• Ho^CT
4л1п (R2 f&pR
РвДр(п+1)[2Д 2/ T°j

l+2n

2ln [ /ApR \ n

Др (l + 2n)P \~2T ~X°)

l+3n

2/n	/ R Др \ n ]

“ Др (1 +3n) \“2Г ~ T°; J

Растворы каучука, яаки,
шламы

jr /A P_R4 _ Д -]/ Дрто пз у
8/	7 V -2ГК У

, 1 т пз

+ 3	21 Дрз

Лаковые краски, лаки

Смазочные материалы,
нефтепродукты

О

X [4 ^Чт- — я7?21ст\- +
[3 ст И.» ст ДР
Реологический закон	Локальная скорость ur
Рейнера и Филиппова du ,  Ро — Poo du  ' 1 + 21  T2 CT	&P /02	2\ 1	(1	V  «P.|R r, + AW.l С-)Х  4/f Hw’T) . / г2 &рг	\7  ln ^Poo 4Z2 +Po^TJj
Рейнера du , T=^dr +  , Po~ Poo +	т/с T  Poe 1	p‘;. '•>+  (p0 — l-l J Р», АРМе  Г	Др«  xk^(^+.)_ _*££/.	\i
Продолжение табл. 4	
Расход Q	Жидкость
я/?4 Др , Л /. fi<A v ’ 8/мто 1 2	nJ Х  хГ^£т^_2_2^£3х  [ ДРИ»	р.2„ Др3  Xln(fxTO 4/2 + Мо\2т) +  Р8Мо^т  + ТТ^,П Др3Кто	Каучук, цемент

л/?4 Др	4 л/с2  ь/Мо К Др Х		Растворы и полимеров	расплавы
/, Но  X (‘-Й7	\ L- -2/f fДр^3 ,  1 L	\ 4/с 1		
+ -| Я2+	6Rlc I2lsc2\ _ l±p	&р2 /		
	12Z2c2l  Др2 J		
Рабиновича	^1(^2_Г2) +
du	,	„  =а1т+а2т2	+т££(*4-'4)
Шелли	Решение методом степенных рядов
dw . T=fX~d,+	£ an(Ru-rn} n=l

+(no-^)z-°4“

И = Р» + (Но — Р~) х
X ехр (—ст)

Максвелла

du dx u
^dr-dt G

Для ^ = 0
at

см. закон Ньютона

du ,
для -т- = const
ат/?4 1
~81

„ , с2Др2/?2
«1 + —6Р~

Раствор цемента в ди-
аксане, фурол, ацетон

	
2 у пд„Р»+2  2(п + 2)  П=1	Раствор карбокси мети л- целлюлозы
Для = 0 at  см. закон Гагена—Паузейля.  Для ~ * о dt  du ,	.  и — =/= const  dr  нет точного математического реше- ния	Прядильные растворы, искусственные шелка
Реологический закон		Локальная скорость zz		r
Олдройда du р0 di ^'dr^N di +  + ?ЧВо ^2	Xj Др 1 2|i0Z  1  + 2Xj		для 1 = 0  (er^i _  (R2 _ r8) + (R _	*)4-
Вайссенберга du /	т \-1  T = g0 — COS —7=  <4 gVv	G/2 Bo  X cos  4	fpsin_^_ L&X  I	2 /2 1g	Ap  ApR	. Apr  2Г21В '"‘"sl/tlg  △P	2/2 Igj		
Эллиса du X-*odr*  1  X 	zrT  1 + (T/Ti/2)	Ap 2/Bo	IF  X	, / Ap \ 2	{2lij/2J  /Ra+1	r«+n  \ a J- 1	]	a—1  X
Продолжение табл. 4

Расход Q	Жидкость
Др (л Г я/л, /#2 Ме U +	Эмульсии
+ Х1/?-Л?)+^] +	
+ —+^3| + 8Х,	6 1	
2 J/btg Г/Я3 3 • 23Pg3/?\ Ио |Дз 1 Др3 )Х  Xsin ДР R	Расплавы, обладающие эластичными свойства- ми, сырье для получения технического углерода
2p2gZ	\	АР	
, 3 • 24/2Z3g3\	Др _ ,  ДР3 /	2 v 2gl	
, 3 • 24 J/'S/Sg3	
1	Др3	
^3[т^+  +	1 X	Материалы, близкие по свойствам к «жидкостям Эллиса»
ц0т,/2“  /Др\“ R“ 1	
А к 21) а + з]	
Метцнера

du
T = go^X

_____________Ho

1 + (Vtct)“+I

Водный раствор золя,
натрия, гидраксилцел-
люлозы высокой вяз-
кости

Примечание. В приведенной таблице приняты следующие обозначении: Ct — постоянная Прандтля—Эйринга; С — постоянная Рейнера;
X «— постоянная закона Олдройда; а — постоянная Шелли; ~~ напряжение сдвига при ц = 0,5цо; тсТ — напряжение сдвига при ц = 0.5 (|х0 4-
+ мте>-
представлено в следующем виде:

.	(тд) R2 (4п') [/ (тд)]2 и (Тд) R (4п')2 [/ (Тд)]

А ~ 4 (	32тд (Зп’ + I)2	+ 16тд (Зп' + I)2 Х

(29)

где п' — тангенс угла наклона логарифмической кривой зависи-
мости т = f (diddr) при г = R; f (тд) — истинный градиент скоро-
сти на стенке канала; Ф — тангенс угла наклона логарифмической
кривой зависимости скорости скольжения на стенке канала от эф-
фективного градиента скорости; S — площадь поперечного сечения
канала.

Q , CfCK — коэффициенты соответственно трения, скольжения,
Q = Юб(1/сЛтр+ 1/сЛск)-ь

Исследования коэффициента X, проведенные Хедстремом и
Вильгельмом применительно к конкретным реологическим сре-
дам, дали возможность получить более полную картину об измене-
нии коэффициента трения в потоке. Анализ показал, что для
жидкостей типа бингамовских пластиков этот коэффициент в общем
случае зависит от критериев Рейнольдса, Эйлера и Хедстрема
(Не = ртст£>2/рб2).

Из выражения (29) следует, что 1/Re = 7/64— He/(6Re2) +
+ Не4/[3(0,25 X)3 Re8].

В соответствии с исследованиями Вельтмана при ламинарном
режиме для бингамовского пластика из последнего уравнения полу-
64 Р

чают, что = j^e де1 где — коэффициент пластичности; С — от-
ношение предела текучести к касательному напряжению на поверх-
ности стенки.

Для псевдопластичных жидкостей используют в ламинарной
области течения зависимость

_ 64 /Зя+ 1\

Re \ 4п /

На рис. 17 показаны зависимости коэффициента трения Cf ==
= 0,257 от числа Рейнольдса для пластмасс (а), цементных су-
спензий (б) при различных значениях критерия Хедстрема, а так-
же зависимость S = / (Re). Следует отметить, что в зоне турбулент-
ного течения точки для Q располагаются для неньютоновских
жидкостей примерно там же, где и для ньютоновских. Кроме того,
турбулентность устанавливается тогда, когда кривые Не = const
и ньютоновские кривые С/ — Re пересекаются. Поэтому критиче-
ское число Рейнольдса для вязкопластических сред является функ-
цией только параметра So = [тС(/рб«ср)1 • ReKp-> оо (рис. 18). Сле-
довательно, перепад давления при течении рассматриваемых ано-
мальных сред следует определять в такой последовательности: вы-
числяются величины Re и So по графику (рис. 18) для выяснения
режима течения, а затем находится коэффициент А.

„ В случае течения псевдопластичных (диллатантных) жидкос-
тей, подчиняющихся закону Освальда де Виля, коэффициент А =
= f(ReM, п').

Рис. 17. График зависимости c^ = /(Re) (результаты опытов Хедстрема и
Вильгельма) для различных значений скорости и (пунктирные линии) и па-
раметра 5 = т£>/(р6иср) (сплошные линии).

Долдж и Метцнер определили явный вид функции f (Re„, n'),
распространив на неньютоновские жидкости логарифмический закон
Кармана:

1//ОД5А = Ct 1g [ReM (0.25Л.)1—+ c2,	(30)

5. Зависимость
параметров а и b
от индекса течения

Индекс п'	а	Ь
0,2	' 0,0646	0,349
0.3	0,0685	0 325
0,4	0,0712	0,307
0,6	0,0740	0,281
0,8	0,0761	0,261
1,0	0,0779	0,250
1,4	0,0804	0,231

Рис. 18. График зависимос-
ти ReKp от параметра So:

1 — ламинарная область; 2 — тур*
булеитная.

где С] и С2 — параметры, зависящие от индекса течения п', Сг =
—0,4/(/г')0-75, С2 = —ОЛДп')1-2.

Таким образом, формула (30) может быть представлена в сле-
дующем окончательном виде: 1/V О,252с — X4.0/(rtz)0-75) 1g [Кем X
X (O^SAJ^'/zq — O^/^')1-2.
в. Значения коэффициентов g для различных видов гидроарматуры,
создающей местные сопротивления потоку вязкой жидкости

Вид гидроарматуры	R/d	6 стенок					
		гладких					шерохо- ватых > ©0°
		15°	22,5°	45°	60°	90°	
Поворотное колено	1	0,03	0,045	0,14	0,19	0,21	0,51
	2	0 03	0 045	0 09	0 12	0 14	030
\ /	4	0,03	0,045	0,08	0,10	0,11	0,23
	6	0,03	0,045	0,075	0,09	0,09	0,18
	10	0,03	0,045	0,07	0,07	0,11	0,20

При 6 =/ 90°

При в = 90° по даииым Вейсбаха £ = [0,0131 -f- 0,163 (R/d) 3’5] 6/90°

R/d	0,5	0,75	1.0	1,25	1,5
51	1,978	0,577	0,294	0,205	0,170
"Х. а	30	35	40	45	Б0	60
1.1	0,16	0,18	0,19	0,20	0,21	0,23
1,2	0,25	0,29	0,31	0,33	0,35	0,37
1,4	0,36	0,41	0,44	0,47	0,50	0,53
1.6	0,42	0,47	0,51	0,54	0,57	0,61
1,8	0,44	0,50	0,54j	0,58	0,61	0,65
2,0	0,46	0,52	0,56	0,60	0,63	0,68
2,5	0,48	0,54	0,58	0,62	0,65	0,70
3,0	0,48	0,55	0,59	0,63	0,66	0,71
3,0	0,49	0,56	0,60	0,64	0,67	0,72

а/2	2,5°	5°	7,5°	10°	15°	20°
k	0,13	0,17	0,26	0,51	0,71	0,90

а/2	25°	30°	35»	40°	45°	60°
k	1,03	1,12	1,13	1,10	1,07	1,05

Конфузор

= М01№г) [1 4* di/d2+
+ (di/rf2)2 + №/rf2)sJ

а	4	6	8	20
1,2	9,3	6,2	4,6	1,8
1,4	6,7	4,5	3,3	1,3
1,8	4,1	2,7	2,01	0,8
2,0	3,4	2,3	1,7	0.7

Входной участок

х. ь/d  S/d	0,00	0,002	0,005	0.0075	0,010	0,015	0,02	0,030
0	0,50	0,57	0,63	0,66	0,68	0,71	0,73	0,77
0 008	0,50	0,53	0,55	0,57	0,58	0,60	0,62	0,64
0016	0,50	0,51	0,52	0,53	0,53	0,54	0,55	0,56
0 024	0,50	0,50	0,50	0,51	0,52	0,52	0,53	0,53
0 032	0,50	0,50	0,50	0,51	0,51	0,51	0,52	0,52
0 040	0,50	0,50	0,50	0,50	0,50	0,51	0,51	0,51
0^048	0,50	0,50	0,50	0,50	0,50	0,50	0,50	0,50
Ч. b/d  S/d \	0,05	0.075	0.10	0,15	0,20	0.30	0,40	>0,50
0	0,81	0,84	0,80	0,90	0,93	0,96	0,98	1,00
0,008	0,68	0,72	0,74	0,78	0,81	0,84	0,86	0,89
0,016	0,58	0,63	0,64	0,68	0,70	0,73	0,75	0,77
0,024	0,54	0,57	0,58	0,60	0,62	0,64	0,66	0,67
0,032	0,52	0,53	0,54	0,55	0,56	0,57	0.58	0,59
0,040	0,52	0,52	0,52	0,52	0,53	0,53	0,53	0,54
0,048	0,51	0,51	0,51	0,51	0,51	0,51	0,51	0,51

g = 0,25

g = 0,005-..0,2 при R ф 0,Id g>0,l

Тройник симметричный
(изменение направления
потока на угол а)

се	10°	30°	45°	60°	90°
Е	0.1	0,4	0,7	1,0	1,4

Тройники разделительные

Тройники раойетелтые

Е= 1,3

Е = 0,73

Тройники сферические

Сферические тройники

Е = 4,87
, g = 0,5 4- 0,3 cos fi + 0,22 cos2 6

Задвижка

x/d	1/8	1/4	3/8	1/2	5/8	3/4	7/8
£	0,07	0,026	0,81	2,06	5,52	17,00	97,80



Плоская задвижка

x/d	0	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,75
I	0,15	0,30	0,80	1,50	2,80	5,30	12,0	22,0	30,0

Задвижка

d/D	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
I	0,35	0,5	0,75	1,15	1,55	2,2	2,95	3,8	4,75

Задвижка

6	10°	20°	30°	40°	50°	60°	65°
5	0,29	1,56	5,47	17,3	52,6	206	486

Задвижка

tfrj,	80	100	150	200	250	300	350
g	4,0	4,1	4,4	4,7	5,1	5.4	5,5

Сужение			m	0,1	0,15	0,20	0,25	0,30	0,40	0,50
Й	1									
			l	249	105	53	31	19	9	4
	- +	Ш)								

т — d/d% = F/Ft
т	0,1	0,15	0,20	0,25.	0,30	0,40	0,50
1	17	7	3	2	1	0,5	о,3  i

т — d2/d% = F/F1

Водомер ротационный Для d= 15-.-50 мм

5 = 8-..10

Примечание. Коэффициент £ при повороте потока на 30°, 45°, 60° и ©0° соответ-
ственно равен 0,12; 0,17; 0,20; 0,26. При двойном повороте значение коэффициента £ близко
к 2. В случае перехода от одного поперечного сечення канала к другому коэффициент £
изменяется от 2 до 4.

7- Определение перепада давления в области внезапного сужения
потока неньютоиовской жидкости в цилиндрической трубе

Вид жидкости, число Re, коэффициент |3	Рекомендации по определению величины Др и коэффициента £				
Псевдопластик, Re < 50, Р = 2: 1	Др/(0,5рИзр) = 64/Re (Лс+  Ac=ll(0,§d), Кс—const				
Неньютоновские и псевдо- пластические жидкости, Re < 500,  Р = 2:1	Re	^2,5	^2,5/Re	5	
	0,01  0,10  1,00  30,00  100,00  200,00  500,00  5 = 642	0,318 0,319 0,428 1,49 5,07  11,03 27,77  WRe; ?	31,8  3,19 0,066 0,050 0,051 0,055 0,056  к — (Др2,5	562,8  57,2 -2,22  1,40  1,20  1,25  1,23  + ДРцг)/	1,28 1,28  1,40  1,44  1,37  1,36  1,35  4,6
Водные растворы глицерина . концентрацией 55,7 и 41,7 %, Re <2000, р = 0,1616	Др = (/?дЧ- KK/Re) Ptz«p/2, Кк = 755, Лд=5,48				
Водные растворы глицерина концентрацией от 30 до 96,5 %, Re < 2000, р = 0,0156	Др=(Яд+К'Д?е)р«су2,  /<; = 2,4,  7^ = 295				
Вид жидкости, число Re.
коэффициент р '

Эластичная жидкость ЕТ = 597
(п = 0,403- • -0,875) и карбо-
нол (л = 0,79---0,89),
Re <300, 0 = 0,1616

Рекомендации по определению величины Др
и коэффициента 5

2Др/(рр2р) = f

(Re, реологические качества)

J00 Re

Вязкоупругая жидкость
(п = 0,4 - - -0,54),

Re = 50-.-1740, 0 = 0,5

(Ра — Р^/(Р"ср/2) = ^Xj/d/Re + с’,
с' = (Рс-РА)/(Р^р/2) +

+ 3 (Зп 1)2/[(2«+ 1) (5n -р 3)]

Растворы карбоксиметил-
целлюлозы (7), полиокс (3),
сепаран (2), Re = 6 - • -2000,
0 = 0,00718
Вид жидкости, число Re, коэффициент 0	Рекомендации по определению величины Др и коэффициента $
Вязкоупругая жидкость М4, Re = 20-.. 1942, ₽ = 2,0	(Pc-Pa)/P^p/2=/(Re. ₽5Р)

Примечание. Метод расчета внезапных сужений потока воды, масла АМГ-10,
бензина Б-70, керосина Т-1 при Re < 20000, [3 = 0,2 разработан Б. Н. Сиовым [125].

Для приближенного определения 1 при 2320 < Re < 10е можно
использовать формулу Блазиуса, для неньютоновских жидкостей
X — 4а (ReM)-b, где а и b—параметры, зависящие только от индекса
течения, значения которого приведены в табл. 5.

3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
МЕСТНЫХ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ ПРИ ТЕЧЕНИИ
ВЯЗКИХ И АНОМАЛЬНОВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ

Коэффициент местных сопротивлений Е, для ньютоновских
жидкостей может определяться по следующим формулам; £ =
= const/Re при малых числах Re (Re < 10), В = const/Re" при
больших числах Re < ReKp.

Обобщенная формула имеет вид g = Л/Re + £к, где £к — ко-
эффициент местных потерь энергии в квадратичной зоне течения.

В табл. 6 приведены некоторые значения коэффициента £ для
ряда местных сопротивлений [2, 16, 32, 69, 113], применительно
к ньютоновским жидкостям.

Определение коэффициента В для неньютоновских потоков
является более сложной задачей. Имеются неполные данные лишь
о таких видах местных сопротивлений, как внезапное сужение или
расширение, поворотное колено.

В табл. 7 в качестве примера представлены некоторые данные
о методах определения перепада давления Ар в области внезапного
сужения (расширения) потока неньютоновской жидкости с задан-
ными коэффициентом сжатия р — при ламинарном режиме
течения.

Глава 4

ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ И КАНАЛАХ

Во многих машинах и аппаратах рабочим элементом является
жидкость, движение которой осуществляется по трубам и каналам.
Гидравлический расчет характера этого движения определяет вы-
бор рационального режима работы этих машин и аппаратов. Все
усилия, возникающие в их рабочих узлах, являются следствием
давления рабочей среды в каналах 145, 59]. Так как гидравлический
расчет позволяет определить давление (или перепад давления) для
любого участка канала, то он используется и для прочностных рас-
четов. Выбор режима течения рабочей жидкости в каналах часто
определяет конструкцию данного типа оборудования, ее материа-
лоемкость, а также обеспечиваемый ею технологический процесс.

Для описания такого течения в качестве исходных используют-
ся уравнения Навье — Стокса. Анализ данных уравнений приме-
нительно к конкретным условиям течения позволяет дать описание
гидродинамических параметров потока для каналов, имеющих те
или иные геометрические особенности.

1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

Трубы, применяемые для транспортировки жидкости, имеют
следующие геометрические параметры: длину I, внутренний диа-
метр d или радиус г0 и площадь «живого» сечения Q = л/2. Дви-
жение жидкости в трубах характеризуется секундным расходом Q,
среднерасходной скоростью иср, определяемой из отношения QQ-1—
= иср, и необратимой потерей давления (напора) Др — рг — р%,
расходуемого на преодоление трения на длине I движения жид-
кости в трубопроводе 1113].

Жидкость, движущаяся в трубопроводе, находится под дейст-
вием силы F — 0,5Qpt/2pj где 0,5ры2 — гидродинамическое давле-
ние: р — плотность жидкости.

Также на жидкость действует реактивная сила гидравлического
трения, направленная против течения жидкости со .стороны внутрен-
ней тормозящей поверхности трубопровода Т — QApld~\ где l/d —
безразмерная длина трубопровода.

Отношение силы трения Т к силе F характеризуется коэффи-
циентом гидравлического трения X — TF~X.

С учетом последних уравнений получено основное уравнение
механики движения жидкости в трубах, которое используется для
расчета необратимо теряемого давления, расходуемого на преодо-
ление трения в трубопроводах W-1 = 5. где g.— коэффициент
гидравлического сопротивления. Тогда Др = 0,5£ры2р. Зависимость
коэфициента X от среднерасходной скорости потока носит харак-
тер, аналогичный представленному ранее (гл. 3).

Значение локальной скорости потока в любой точке сечения
трубы определяют по формуле ы = Дргр (4р/)-1 [ 1—г2 Оо)-1], где г—
текущее значение радиуса. Локальная скорость изменяется по «жи-
вому» сечению потока в соответствии с параболическим законом.

Секундный расход жидкости равен объему параболоида враще-
ния, т. е. <2 = 0,5лг2ым, где им — максимальная скорость движения
жидкости на оси потока, иы = 2ыСр- Тогда Q = лгомср. Коэффициент
Г<1

Буссинеска сс0 = 2 J u2r dr (ГоИ2р)-1 = 1,330. Коэффициент Кориолиса
. о

а = 2лрД/ j urdr (лг2) риСрА0-1 ~ 2 А
о
Уравнение, описывающее закон изменения потери давления при
ламинарном движении, имеет вид Др = Md-1p • 0,5«^ или в метрах
высоты столба жидкости —h = kld^p • 0,5 u^g"1, где к— коэффи-
циент гидравлического трения, Х = 4то(О,5ры2р)-1. Градиент ско-
рости duldr = 0 = рр-1. Главный момент количества движения потока
/И = рщ,г0. Критерий Рейнольдса для ламинарного течения Re =
— рнмгор-1 = Коэффициент гидравлического трения при ла-
минарном движении X = 64 Re-1.

При ламинарном движении динамический критерий Рейнольдса
строго соответствует его среднепоточному значению.

Уравнение распределения скорости в турбулизирующемся по-
токе при переходном движении ньютоновской жидкости в трубе
имеет вид и = и,л (1 — гЧг§ ф0 кДг0 — '‘В"; «м = и (2фого)-1, где
Фо — минимальное значение функции отклонения безразмерной ско-
рости переходного движения f = ««м-1 от безразмерной скорости
ламинарного движения; п — показатель степени, определяемый
числом Рейнольдса.

Изменение ф0 и п в зависимости от числа Рейнольдса характери-
зуется экспериментальными данными, приведенными в табл. 8.

8. Определение максимальной скорости потока в канале
в зависимости от ip0 и /г

Re	Фо	Л	2»	и-1 =  = (2^©20)~1	Re	Фо	п	2О	и~г =  =	—1
2410	0,979	0,110	0,277	1,844	2718	0,910	0,460	0,403	1,370
2460	0,965	0,180	0,297	1,740	2803	0,891	0,470	0,407	1,380
2541	0,949	0,260	0,323	1,630	2841	0,885	0,480	0,411	1,377
2618	0,932	0,320	0,354	1,517					

Минимум функции отклонения может быть установлен из урав-
нения ф0 = 0,850 4* 0,150ехр [—1,680 (lg2 Re — lg2 ReJ], а показатель
степени n = {0,5 4- 13,30 exp [—8,650 (lg2 Re — lg2 ReJ]}, где Re, =
= 2148.

Элементарный расход жидкости Q = 2л/2ым  2ф?0, где z0 =
= 2/(2 — п) — 3/(3 — ri) + 1/(4 — ri). Максимальное значение ско-
рости потока по рассматриваемому сечению трубы им = пср (2ф0г0)_1.
Коэффициент Буссинеска а0 = l/(2z2) 14/(3 — 2п) — 8/(4 — 2п) 4*
+ 5/(5 — 2п)—1/(6 — 2п)]. Для переходного режима сс0 изменяется
от 1,33 до 1,1.

Коэффициент Кориолиса а = 1 /(4z®) [(8/(4 — Зп) — 20/(5 — Зп) 4-
4* 18/(6 — Зп)— 7/(7—Зп) 4- 1/(8 — Зп). Для переходного режима
течения а изменяется от 2,0 до 1,22.

Главный момент количества движения при переходном движе-
нии жидкости в трубе определяется по формуле /Ип = PlW/o- Кри-
терий Рейнольдса для переходного режима определяется из выра-
жения Ren = Re4r0. При достижении жидкостью, движущейся
в трубе, второй критической среднерасходной скорости а2 переход-
ное движение преобразуется в равномерное турбулентное.

Среднепоточное критическое значение числа Рейнольдса, опре-
деляющее завершение переходного режима движения жидкости
и начало турбулентного, определяется из уравнения Ren2 = Re2 X
X (Уго)-1, где Re2— второе среднепоточное число Рейнольдса.

Уравнение распределения скорости при турбулентном движении
имеет вид и = им[1 — xlnr0/(r0— г)], где х = хмехр[—0,0205 X
X (1g2 Re—lg2 Re2)]. Здесь хм = 0,1580 exp (—0,025 lg2x0), x0= /od-1.

r 0

Расход жидкости Q = 2л j urdr — лг2«м(1 — l,5x).
о

Максимальное значение локальных скоростей по сечению трубы
ам = «ср (1 — 1,5х). Коэффициент Буссинеска а0=( 1—Зх+3,5х)/(1—
— 1,5х)2. Коэффициент Кориолиса а = (1—4,5х + 10,5х2 —
— 11,25х3)/(1 — 1,5х)3. Коэффициент гидравлического трения при
турбулентном движении Хт = 64mT Re-1, где параметр mT = т2ехрх
X [a, (1g2 Re — 1g2 Re2)]. Здесь параметр m2 = 2,42 exp (0,1241g x0),
xo = где k = 1 M-

2.	ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Решение уравнений Навье-Стокса, описывающих ламинарное
течение вязкой жидкости, в общем виде чрезвычайно затруднено.
Однако существует ряд частных случаев, когда эти уравнения весь-
ма существенно упрощаются и их решение возможно [16, 44, 46,
91, 113, 156, 1931.

Течение жидкости, расположенной между двумя пластинами,
вызванное поступательным движением одной из них, называют те-
чением Куэтта. Например, жидкость находится между двумя па-
раллельными пластинами айв, отстоящими друг от друга на рас-
стоянии h. Движение жидкости вдоль оси х осуществляется за счет
поступательного движения верхней пластины. Составляющие век-
тора скорости вдоль осей у и г равны нулю, а их— их (у). В случае
стабилизированного (dujdx = 0), стационарного (dujdt — 0), без-
напорного (др/дх = 0) течений вязкой жидкости при пренебреже-
нии действием массовых сил (х = у = г = 0) уравнения движения
примут вид 0 = vdhiyjdy2 или их = Су + Съ где С и G —посто-
янные интегрирования, определяемые из граничных условий при
у — 0 их — 0, при у = h их = «о- Тогда С = 0, a (?!= u0/h. Сле-
довательно, при течении Куэтта распределение скоростей по коор-
динате у будет описываться уравнением, которое соответствует пря-
мой линии.

Несколько более сложный характер носит эпюра скоростей
в случае напорного (др/дх =£= 0) течения вязкой жидкости между
пластинами, одна из которых движется со скоростью а0 (рис. 19).
В этом случае уравнение движения принимает вид 0 =
= _ (]/р) (др/дх) + v (d2uxldif). Решение его дает следующий ре-
зультат: их = (а0/й) у — йу/(2р) (dpldx) X (1 —- ylh).
Эпюра скоростей, описываемая этим выражением, представлена
на рис. 19. Как видно из этого рисунка, в рассматриваемом случае
закон распределения скоростей определяется наложением на тече-
ние Куэтта течения вязкой жидкости под действием давления. Дей-
ствительно, при н0 = 0 распределение скоростей в случае dpldx =?= О
между неподвижными пластинами описывается уравнением —
= —(hyl(2p) (dpldx) [1 — (ylh)]. Знак минус указывает на то, что
градиент давления dpldx, определяющий потери энергии за счет
действия сил вязкого трения, является величиной отрицательной.

Уравнения распределения скоростей и (г) при стабилизирован-
ном течении в цилиндрической трубе записывается так: и = timax X
X И - (/-Ло)2]- ,

Расход Q — лг2ыср, где иср — средняя скорость потока, некото-
рая условная величина, не изменяющаяся по сечению потока, при

Рис. 19. Течение Куэтта для вязкоплас-
тичной (/, 2, 3) и неньютоновской (4, 5)
жидкостей:

/ — без ядра; 2 — с ядром внутри потока; 3 —
при отрицательном градиенте давления; 4 —•
безнапорное (dv/dx = 0) течение; 5 — напорное
(др/дх Ф 0) течение; 6 — напорное течение при
= 0.

которой расход вязкой жидкости такой же, как и при действи-
тельном распределении скоростей. Из последнего выражения можно
установить зависимость между итах и «ср» т. е. и/ип.ах = [1 —
(г/г0)2]; Ucp/Umax = [1	(гср/г0)2] =0,5.

Решая это уравнение относительно среднего значения радиуса,
легко определить, что гср = R/V2 = 0,707 • г0. Следовательно,
точка потока, в которой скорость жидкости равна пСр, находится
на расстоянии 0,707 радиуса трубы от оси, т. е. на расстоянии
0,707 г0 от стенки трубы г0 — О,7О7го = О,293го. Кроме того, на ос-
новании приведенных формул можно записать, что ucp= PgIdfi/(32 р).

Из последней формулы следует, что для ламинарного режима
течения гидравлический уклон / = 32p/(pgd2)«Cp = 128p,Q/pgiid2.
Данная формула и определяет закон Гагена-Пуазейля.

Если поперечное сечение канала отлично от круга, то для опре-
деления эпюры скоростей можно воспользоваться методом Бусси-
неска при решении соответствующих дифференциальных урав-
нений.

Уравнения Навье-Стокса для этого случая примут вид 0 =
= — dpl(pdx) + p/p(d2ux/dz2 + d2ux)dy2).

Решение этого уравнения, согласно Буссинеску, следует искать
в форме ux — cf(x, у), где с — некоторая, пока неизвестная, кон-
станта, a f (х, у) — функция, подобранная таким образом, что во
всех точках, расположенных на стенке эллиптической трубы, равна
нулю, а внутри трубы — отлична от нуля.

Такая формула имеет вид (у2/а2) + (z2/b2) = 1, где а и Ь— его
полуоси. В качестве функции f(x, у) в приведенном уравнении
может быть взята функция f(x, у) = 1—(г/2/а2)— (г2/Ь2). Анало-
гично можно получить функцию f (х, у) и для канала, поперечным
сечением которого является равнобедренный треугольник: f (х, у) =
,= z2 — а УЗ г2 — Згу2 + (3/4) a2z, где а — сторона треугольника.

Решая уравнение движения, получают основные параметры по-

тока, представленные в табл. 9.

На основании решения соответствующих
уравнений движения [136] для распределе-
ния скоростей в потоке можно получить
следующую зависимость:

1 5/Л [ s /cos 26

4|Л дх) (	\ cos 2а

Рис. 20. Канал с попе-
речным сечением в фор-
ме треугольника.

(2п—1)л

+ У | A„r 2а cos

п=1

— 1) этб
2а

, (31)

где Ап — некоторая постоянная величина, значение которой можно

определить на основании граничных условий для стенки канала,
т. е. при их — 0. Величины гиб находятся из зависимости г =

Рис. 22. Функциональная зависимость их = f
Р = 40°:

= /(6) или г =/г/cos О (см. рис.
20).

Рис. 21. Функциональная зависимость их^= f (г/R) для канала при
3 = 40°:

/ — 6=0°, 2 — 6= 6°, 3 — 6= 12°.

для канала при

г— 6 = 16°: 2—6 = 18°.

Так. как при их = 0 справедливо соотношение

(cos б)"2 (1 — cos 26/cos 2а) « £ Сп	’	(32)

п=1

то определив Сп, можно найти Ап.

На рис. 21, 22 в качестве примера показана зависимость их =
= f (r/п) при течении ньютоновской жидкости в канале, сечение
которого представляет собой треугольник с углом при вершине
[3 = 40°.
9. Интегральные характеристики		потока, полученные методом, предложенным Буссинеском		
Гидравлические характе- ристики потока	Круг радиуса Л	Эллипс с полуосями а, b	Равносторонний треугольник со стороной а	Щель шириной Ь
Функция f(y, г)	1 — у2 — Z2	1 — (z2/a2) — (у2/Ь2)	у2 — а ХЗу2 — Зуг2 +	Ь2 — у2
			Q	
Константа в уравнении движения  Со = ux/f (у, Z)	R2/(4p) (др/дх)	а2Ь2/[2р (а2 + 62)] х X (др /дх)	1 /(2p.cz Уг3) (др/дх)	Ь2 др/дх
Средняя скорость и, м/с	R*/(8y) (др/дх)	а2Ь2/[4р (а2 + Ь2)] х X (др/дх)	а2/(80р) (др/дх)	Ь2/(Зр) (др/дх)
Гидравлический радиус Rr. м	D/4	nab 1^4аЕ	,	а/(4 УЗ)	—
		где Е = У 1 — b2/a2		
Критерий Рейнольдса  Re	(4«cpRrP)/p.	(4иср/?гр)/р	(1//3) [исрар]/р,	(4«ср6р)/р
Расход, м3/е	я/'Чр	па2Ь2/[{а2 + Ъ2) р х	(а4 /3/320р) (др/дх)	(263/3р) (dp/dx)
		X (др/дх)		
Потери напора, н/м2 (формула Пуазейля)	32zpucp/D2	4Qp,z/(pnaig) X х/(Э	320zQ/(pga4) (р/ГЗ)	4 (Qfg) (pz/ь3)
Формула Дарси—Вейс- баха	(Az/D) («2рр/2)	/® = (2-2Е + + g2)/(l-g)3	(Az/а) (и2рр 1^3/2)	(Az/26) (и§рр/2)
Отношение кгпах/иср	2  16	2	2,26 12,5—13,33	2,096  24,0
/•Re  Коэффициент формы	1	—	0,834	1.47
Используя соотношения (31, 32), можно рассчитать касательные
напряжения в рассматриваемом потоке, а затем определить потери
энергии. Установлено, что для подобного типа каналов связь между
расходом Q и перепадом давления Ар описывается уравнением

®______Л..( ApUtana/ 1 Л ,	Г(2п—’)эт „Г1

(0,5аг cos 6)	гД 3 \cos 2а */ +Д/С"['—2а	2]

п=1

с°4(2и-1)лД Jn

[cos 6] -"2^- эт + 2 J

в между 7 и Re—

2 tan а sin2 а
(1 + sin а)2 Re

4Щ2

0,5р Re cos 6ft8

Следует отметить, что для равностороннего треугольника произве-
дение Л • Re в зависимости от величины угла а изменяется в пре-
делах 48,0 < Re • % < 53,3.

Если сечение канала не треугольник, а сектор круга, то значе-
ния Z, будут несколько больше. При малых углах раскрытия 2а
величина произведения к • Re примерно одинакова для обоих ти-
пов каналов. Различия возрастают с ростом а. Как показали иссле-
дования 1169, 171] для канала с сечением в виде сектора круга
• Re в зависимости от величины а меняется в пределах от 48 до 62.

Для каналов с некруглым поперечным сечением, и особенно для
каналов неправильной геометрической формы, зависимость др/дг =
= f (Q) определить теоретически не представляется возможным.
Имеющиеся экспериментальные данные относятся только к отдель-
ным видам сечений каналов и не могут быть обобщены. В связи
с этим можно воспользоваться методом определения рабочей ха-

рактеристики канала произвольного поперечного сечения, основан-
ной на аналогии между кручением призмы и ламинарным течением
вязкой ньютоновской жидкости через призму. На основании дан-
ной аналогии получают зависимость расхода от периода давления
в виде Q = |S4/(16Op/o)] (dp/dz), где р— коэффициент динамиче-
ской вязкости среды; /0 — полярный момент инерции поперечного
сечения, определяемый из зависимости 10 § (х2 ф- у2) dS', S — пло-
s

щадь поперечного сечения каналов.

Из этого уравнения перепад давления dpldz — 160 pQZJS4.

Таким образом, задача гидравлического расчета каналов различ-
ной формы сводится к определению площади и полярного момента
инерции сечения, расчет которых не представляет труда, тем более
что каждое сечение состоит из правильных геометрических фигур,
характеристики которых обычно приводятся в справочниках.
В табл. 10 приведены некоторые результаты, полученные с помо-
щью данного метода.
10. Интегральные характеристики потока в канале, полученные с помощью метода аналогии

Форма поперечного сечения канала

Q!Q„

Равнобедренный треугольник, высота
которого значительно превышает дли-
ну основания (Л 2> а)

Равнобедренная трапеция, высота ко-
торой значительно превышает длину
основания

Равнобедренный треугольник

hW Igct ,. _ Л4 др _ /4 tga др

6,6 р 1	’ дх ~ 106р. дх

ft2/2tga //V l/h

2,2 (h + /)Ц h ) 2,2 [1 + (Z/A)JS

/;4/3 (1 — tg2 a) (m + 2) dp
13,325p (h + /)s (m — 2) Si

(l/h)

4Л2/2 (1—tg2 a) (m2) _

17,7(Л + /)3 (m — 2) “

/2(1 —tg2a) (m-f-2)

/ I \3

4,42/i 11 + I (m — 2)

Равнобедренная трапеция

Примечание. В таблице приняты
лельными станками.

обозначения: Q — расход в рассматриваемом канале, Qo — расход в плоскощелевом канале с парел-
Течение во вращающихся вокруг своей оси трубах

Течение вязкой жидкости во вращающейся трубе представляет
собой результирующее движение, получаемое при наложении за-
крутки потока на течение Пуазейля (при ламинарном режиме).

Исследования показали, что вращение трубы может привести
к значительному (до 40 %) снижению гидравлических потерь энер-
гии: обеспечить более качественное смешение жидкостей, интенси-
фицировать процесс теплообмена, уменьшить интенсивность тур-
булентности, обеспечить стабилизацию течения.

При вращении трубы на жидкость действуют центробежные си-

лы, которые в свою очередь способствуют появлению поперечного

по сечению градиента давления. В то же время поведение частиц
жидкости полностью характеризуется действием сил, связанных

с динамическим и фрикционным
сопротивлениями. Если момент
количества движения рассматри-
ваемого объема увеличивается с
увеличением радиуса, то течение
стремится стать стабилизирован-
ным. Частицы жидкости под дей-

ствием центробежных сил дви-
жутся к внешнему слою. Однако
подобное движение может тор-

Рис. 23. Эпюра скоростей течения во
вращающейся трубе.

мозиться в центральной части, так как центробежная сила, дейст-
вующая на частицу в ядре, меньше этой же силы на периферии.

Следовательно, радиальные движения, турбулентного течения

подавляются центростремительными массовыми силами.

Обратная картина наблюдается тогда, когда момент количества
движения уменьшается в радиальном направлении от оси: силы,
действующие на частицу, которая отклоняется от своего положе-
ния равновесия, будут стремиться двигать ее еще дальше В этом
случае центростремительные массовые силы оказывают дестабили-
зирующее влияние и могут привести к образованию вихревых до-
рожек Тейлора.

Если ось трубы совпадает с осью г (рис. 23), то уравнения дви-
жения для рассматриваемого случая можно записать в виде

их (дих/дг) + иг (дих/дг) — (иу/г) = — (dpldf) + (1 /Re) X

X [V2« — (ux/r2)];

ux (диУ1дг) + uz (duyldz) + {uxuylr} = (1/Re) [V% — («Л (33)
ux (dujdr) + uz (dujdz) = — (др/dz) + (1/Re) V2«z; Re = ucpR/v.

Из анализа данной системы уравнений и их линеаризации можно
получить так называемое уравнение закрутки: uz(duzldz) = (1/Re)x

DO

X [V^y — (Uy/r)], которое имеет решение типа иу == S biJi (IV-)

Решение системы уравнений (33) относительно осевой скорости
показало, насколько существенны возмущения, вносимые в поток
вращением тру ы. На рис. 3 представлена картина распределения
локальных скоростей иг для случаев вращающейся (кривая 2) и не-
подвижной (кривая 7) труб. Как видно из рисунка, при вращении
трубы эпюра скоростей вытягивается и имеет тенденцию прибли-
жаться к параболоиду вращения.

Для определения перепада давления во вращающейся трубе
использовались экспериментальные данные и их обработка на ос-
новании теории подобия. В соответствии с теорией Букингема, для
перепада давления Дрвр

Apjrr4/(8Q/p) = Eu [R2ucp/(8vl)] = F (Re; ///?; R2cop/p), (34)

Рис. 24. Зависимость К = f (Re) для различных чисел оборотов п.

где Ей = Др/р«2р— критерий Эйлера; Re — число Рейнольдса, оп-
ределенное при (пг)ср; R2cop/p — так называемое центробежное число
Рейнольдса.

Из уравнения (34) следует, что коэффициент гидравлического
трения Z, является функцией не только шероховатости стенок, но
и числа Рейнольдса Re и выражения (R2<op/p), т. е. 7. — f (Re,
R2top/p, 6), где б — относительная шероховатость стенок. На рис.
24 [61, 62, 64] представлена графическая зависимость X = [ (Re)
для различных труб при различных числах оборотов п, т. е. раз-
личном комплексе R2wp/p.

Вращение канала способствует стабилизации движения жидко-
сти или ограничивает беспорядочное движение частиц. Для скоро-
стей потока, при которых Re > 10s, динамические силы преодоле-
вают влияние сил вращения и падение давления приближается
к значению, соответствующему неподвижной трубе. Для скоростей
потока, при которых Re < 3 • 104, центробежные силы являются
больше, чем требуется для стабилизации течения, и скорость дви-
жения замедляется. Кроме того значительное уменьшение Др во
вращающейся трубе наблюдается только при турбулентном режи-
ме течения, в то же время при ламинарном режиме потери давления
возрастают.

В экспериментальных исследованиях наблюдается эффект уве-
личения расхода протекающей жидкости в трубах больших диа-
метров. Возможно существование скорости вращения трубы <л,
при которой этот эффект максимален, т. е. наблюдается максималь-
ное увеличение расхода [AQ]max. Последний зависит также и от
величины начального расхода Qn==o, т. е. расхода в неподвижной
трубе. Соотношения, полученные опытным путем, позволяют утвер-
ждать, что между Qmax и Q,1=o существует примерно такое соотно-
шение. lQmax)/i=nonT — 2Q0.

Таким образом, при постоянно действующем перепаде давления
Др в случае Qmax при увеличении скорости вращения со трубы ве-
личина расхода превышает значение Qo примерно в два раза.

Данный эффект можно объяснить следующим образом. Потери
энергии при течении в трубе единичной массы жидкости со средней
скоростью ыср (длина трубы L) с гидравлическим диаметром Ог
Ай == A, (L/Dr) lw2p/(2g)L Если X, L, D — величины постоянные, то
Ай и ц2р изменяются с изменением частоты вращения трубы. На те-
чение жидкости в трубе преобладающее влияние оказывает при-
стенный слой. При увеличении скорости вращения трубы пристен-
ный слой постепенно разрушается, в результате чего уменьшается
сопротивление трения. При достижении определенной скорости вра-
щения (мср)тах пристенный слой полностью разрушается, эпюра
скоростей однородна по сечению, а расход максимален. Если и даль-
ше увеличивать скорость со в пристенной области начинают действо-
вать дополнительные касательные напряжения тк, приводящие
к дополнительным потерям давления.

Цилиндрические каналы
со спиральным завихрителем

С целью интенсификации теплообмена в цилиндрических кана-
лах устанавливаются завихрители, представляющие собой скру-
ченную в виде винта металлическую ленту. Подобного рода турбу-
лизаторы оказывают существенное влияние на поток, приводя
к изменениям распределения скоростей, давлений и напряжений,
действующих в жидкости. В этом случае структура потока вязкой
жидкости может быть представлена двумя зонами: спиральным
ядром с видоизмененным эффектом вторичной циркуляции и за-
крученным течением в пограничном слое.

Предполагая, что поток несжимаем |р —const I, коэффициент
гидравлического трения можно определить по формуле: Cf =
= (Ар/р)т gDr/(2Lu2o с), где (Др/р)т = (Ар/р)а + (Ар/р)р + (Ap/p)v,
Dr — гидравлический диаметр, мо. с — средняя осевая скорость, мо. с=
= 1/S f udS. Составляющие потерь давления в диапазоне чисел
Рейнольдса 5 • 103 с Re < 106 могут быть определены из следую-
щих соотношений:

(Др/р)а = 0,046 Re-0.2 [2L„2 с/{1)гЁ)] ,	-	(35)

(Др/р)₽ = Я2 /2/15 VC, (Dr/tf)2 [LuL c/(gDF)],	(36)

.(Др/р)? = 4L«1 cDrSf/(15g/7D Re Se) [ 1125 In (Re/Cf) — 3170], (37)
где H — ход винтовой линии, определяемый при повороте скручен'
ной ленты на 360°, Sj. = лЕ>2/4.

Приведенные в формулах (35), (36), (37) выражения имеют сле-
дующие смысловые значения: (Др/р)а — осевая составляющая по-
терь энергии; (Др/р)р — тангенциальная составляющая, определя-

Рис. 25. Графики зависимости коэффициента 7. от Re при /7/0 = 3,62 ••• оо.

Рис. 26. Графики зависимости коэффициента Z. от Re при ///0 = 5,0 ••• оо.

емая диссипацией энергии на единицу массы при преодолении каса-
тельных напряжений на стене канала; (Др/р)т — потери энергии,
связанные с вихревым смещением и определяемые в предположении,
что обладающая высокой скоростью жидкость из осевого погранич-
ного слоя вносится в центр, вызывая торможение ядра потока.

Коэффициент гидравлического трения рассчитывается по формуле

& = 0,116 yc~f (D/H)2 + 0,0124/Re [DSf/(HS)] х
x[11251n(ReKCf)—3170] +0,0115 Re-0-2	(38)

или в несколько упрощенном виде —

X = [0,0115 + 0,5 (HfD — 0,5)~1,2] Re-”,	(39)

где га = 0,2[1 + 1,7(Я/D) 2].

Расхождения между значениями рассчитанными по формулам
(38) и (39), составляют примерно 11 %.

На рис. 25 и 26 представлены графические зависимости коэф-
фициента к от Re для цилиндрических труб, в которых установлены
спиральные завихрители с различной степенью закрутки (HID,
где Н — шаг винта, D — диаметр трубы) применительно к пото-
кам воздуха и воды. На графиках изображены расчетные кривые,
построенные по формуле (39) и экспериментальные точки — темные
для воздуха, светлые для воды.

Гидродинамический начальный участок
в цилиндрической трубе

Гидродинамический начальный участок [4, 105, 166, 168, 174,
191] представляет собой область, расположенную во входной части
канала, где происходит преобразование первоначальной эпюры
скорости, характерной для входного сечения канала, в эпюру, со-
ответствующую стабилизированному течению.

Предполагают, что при входе в канал жидкость имеет эпюру
скорости, близкую к прямоугольной. При дальнейшем течении
развитие профиля скорости можно представить следующим образом.
В результате проявления сил вязкого трения в пристенной обла-
сти образуется слой жидкости, течение в котором более замедлен-
ное, чем в ядре. Толщина этого слоя непрерывно возрастает по дли-
не канала. Ядро потока с постоянной по сечению скоростью и уско-
ренным движением уменьшается. Следовательно, в центральной
часта трубы скорость все время возрастает, а у стенок — убывает.
Этот процесс происходит до тех пор, пока толщина пристенного за-
торможенного слоя не станет равной радиусу трубы или половине
ширины канала. Когда же это произойдет, скорость на оси потока
для ньютоновской жидкости станет равной удвоенной средней ско-
рости и движение становится подобным движению, описанному
Пуазейлем.

На основе представления о гидродинамическом начальном уча-
стке были получены зависимости, характеризующие распределение
скоростей, напряжений и давлений как по длине, так и по сечению
канала [134]. Поле скоростей для цилиндрических труб рассчитыва-
ется по формуле их — zzcp [2(1 — p2/R2) + <£>(%, r/R)], где а>(х, г/R)—
функция, характеризующая приращение скорости.

При х = 0 со = 2r2/R2 — 1, при х — оо, со = 0, при r2/R2 = 1,
х>0, <о = 0 она имеет следующую форму записи: <о(х, r/R) =
= —8,2 ехр [—16/(7? Re) х] [0,16 - r/R + 2 (r/R)2 — 2.222 (г/R)3 +
+ 1,778 (r/R)4 — 1,102 (r/R)5 + •••].

Математическое выражение для расчета потерь напора имеет вид

1	s

Др/(0,5рн2 ) == 1 + 2 f [(zzx/zzcp)3 — 11 ydy + 2 J ч>* (у) d~S, (40)
р	о	О

где у—параметр.

Для определения величины Др на основании зависимости 40 мо-
жет быть использована табл. 11.

О1

Если ввести обозначение j <р* (у) do = k, 2k + 2 — 16oj = m, то
уравнение (40) переписывается так: Др = 8р«срх/R2 + 0,5mpzz2p.
11. Потери напора на начальном участке

р-	Площадь се- чения канала  S	1  & =»  я	’ч  й	г-н  7	0 ар (Л) *<ь у о	СМ о  ю о  el  <1		Площадь се- чения канала  3	«Р Я 11 - 0 - s(d:>n/*n)] j 1	0 op (Л) *<ь j о	Л  <м о я  О  <
20,0	0,00082	0,0677	0,0384	1,2122	2,5	0,0715	0,3867	0,7082	3,1898
11,0	0,00332	1,1112	0,0821	1,3866	2,0	0,0947	0,4210	0,8967	3,6354
8,0	0,00722	0,1540	0,1326	1,5732	1,4	0,1365	0,4588	1,2332	4,3840
6,0	0,0143	0,2055	0,2095	1,830	1,0	0,1795	0,4796	1,5777	5,1146
5,0	0,0214	0,2433	0,2788	2,0442	0,6	0,2479	0,4912	2,1251	5,2326
4,0	0,0335 .	0,2923	0,3884	2,3614	0,4	0,304	0,50	2,5739	7,1478
3,0	0,0549	0,3531	0,5706	2,8474					

Рис. 27. График зависимости
Р = / (х)=

/ — гидродинамический	начальный

участок; 2 — участок со стабилизи-
рованным течением.

Данное уравнение является основным для расчета Др. Измене-
ние давления по длине гидродинамического начального участка со-
ответствует кривым, представленным на рис. 27. Длина начально-
го участка £н.у пропорциональна числу Re и радиусу трубы R
(см. табл. 11).

Следует отметить, что на параметры потока в области началь-
ного участка может оказывать влияние целый ряд факторов, в част-
ности, магнитное поле электропровод-
ной жидкости [7, 154], тепловой по-
ток, геометрические особенности ка-
нала ит. п. В случае наличия попе-
речного магнитного поля величина
£н.у должна определяться как функ-
ция не только Re и /?, но и как неко-
торого электромагнитного параметра
[7, 154], учитывающего силу электро-
магнитного давления в потоке. В ка-
честве такого параметра может быть
обобщенное число Гартмана На, кото-
рое равно отношению магнитной силы
к силе вязкости, т. е.

На = Во	^VRe.Rn. Rea,

где Oj — электропроводность жидкости; Rn — число магнитного
давления, равное отношению магнитного давления к динамическо-
му; Re0 — магнитное число Рейнольдса, рассчитывающееся по та-
кой же формуле, как и обычное число Re, только вместо кинемати-
ческой вязкости v в него входит магнитная вязкость vn.

При сравнительно малых значениях числа На деформация про-
филя скорости на начальном участке трубы определяется, в основ-
ном, только вязкими силами; длину начального участка следует
рассчитывать, как это представлено в табл. 12. В случае же боль-
ших значений числа Гартмана величина (£„. у)м определяется по
формуле (£н. у)м == £н. у/На да RRe/Ha или (Д. у)м да R (Re)0-5 х
X (Rn Rea)°>5.
12. Основные характеристики гидродинамического начального участка
в трубах при ламинарном режиме течения вязкой жидкости

Длина начального участка ^н. у	Распределение скоростей «X	Потери энергии на начальном участке  Др
0,115 Re/?	Деформированная парабола	«—
0,24 Re/?	«л = «ср[2(1-г2Д?2)-  —8,2 exp 16/(ReR) <рг (r//?)s	—
0,122 Re/?	Аналогично зависимостям, представленным С. М. Тар- гом [134]	2Ap/p««p = 64LH y/DRe-J- + 1,33
0,16 Re/?	^ = 2«cp[l-2/f4x X [1 - 1/(LO (PJ)] X X exp (—₽fz/(Re/?)}	Дс//ри2р = 8/Re х  X z//?+ 1/3 —  ~	Ри»  -’Si'-  Г=1
0,125 Re/?	Деформированная парабола	2Ар/р«|р = = 64Z./(DRe) + 1,32
0,0575 ReD	То же	Л	3	2 1  J Р«срХ
Длина опреде- ляется графически L = / (Re)	»	2Др/(рм£р) = 64L/(PRe) -f- + 1,274
0,0575 ReP	»	2Ap/pi^p) = 64L/(DRe) + + 1,28

Уменьшение длины начального участка и рост градиента давле-
ния на последнем объясняются действием лоренцовых сил. Нали-
чие поперечного магнитного поля приводит к появлению так назы-
ваемого эффекта магнитной пластичности. В этом случае может
быть справедлива модель вязкопластичной жидкости [4,12, 54, 80],
для которой т = т0 4- k* {(du/dr) exp [&E/(RT)]}n, где т0 и k* —
функции характеристик поперечного магнитного поля.

Изменение температуры потока на гидродинамическом началь-
ном участке может привести к существенным изменениям вязкости,
деформации картины течения и появлению так называемого терми-
ческого начального участка [5].

Экспериментальные исследования показали, что основными па-
раметрами, характеризующими поток вязкой жидкости на началь-
ном участке при наличии теплообмена, помимо критерия Рейнольд-
са, являются критерии Нуссельта Nu = g2R/(W-t)', Греца Gr =
= 4<2Ср/(лЛЛ); Рэлея Ra = g (2R)6 ^рд2Ср/(К<[тэф£); Прандтля Рг=
= СppAf, где 0 — перепад температур; \ — теплопроводность
жидкости: 0 — расход; Р — коэффициент термического расшире-
ния жидкости.

Решение задачи о термическом начальном участке достаточно
полно представлено Петуховым Б. С. [1051.

8. ИСТЕЧЕНИЕ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ ЧЕРЕЗ НАСАДКИ

Как известно, установка наладка в отверстие в резервуаре спо-
собствует существенному увеличению расхода вытекающей жидко-
сти [18, 30, 31, 125, 1491, связанному с наличием зоны разрежения
в насадке. Струя жидкости при входе в насадок благодаря острой
входной кромке подвергается сжатию, затем, пройдя наиболее

Рис. 28. Схема истечения жидкости из
внешнего цилиндрического насадка.

сжатое сечение, расширяется и,
достигнув стенок насадка, пол-
ностью заполняет все сечение
(рис. 28). Между стенкой и ак-
тивной струей образуется кольцо
жидкости, которое не принимает
участия в общем движении, его
движение имеет самостоятельный
вихревой характер. По исследо-
ваниям Вентури разрежение со-
ответствует 0,74 высоты столба

жидкости перед входом в наса-
док, т. е. hv = 0,747/, по иссле-
дованиям Ф. Е. Максименко —

hv — 0,80 И, а по исследованиям Б. А. Бахметьева — hv =

При истечении жидкости из внешнего цилиндрического насадка
расход обычно определяется по формуле

Q = p<o)/2gH,

(41)

где р = <рв — коэффициент расхода; <р — коэффициент скорости
на выходе из насадка; в — коэффициент сжатия (на выходе из на-
садка 8= 1); со — площадь поперечного сечения; g—ускорение
силы тяжести.

Скорость истечения v = ср У2g/i.

Гидравлические сопротивления при истечении с образованием
вакуума состоят из следующих трех составляющих: сопротивления
на входе в насадок, сопротивления при внезапном расширении
струи, сопротивления на гидравлическое трение на участке кон-
такта струи и насадка.

Выражая каждое из сопротивлений через соответствующие ко-
эффициенты, определяются коэффициенты скорости и расхода по
формуле

q> = и = 1/Vа + Ввх + Ввн.р+^(Ь/Ф,	(42)

где а — коэффициент неравномерности распределения скоростей;
Ввх — коэффициент сопротивления при входе жидкости в насадок;
Ввн.р — коэффициент сопротивления, обусловленный внезапным
расширением струи; Л — коэффициент гидравлического сопротив-
ления трения по длине насадка; L—длина насадка; d — его
диаметр.

Таким образом, коэффициент расхода можно определить как
опытным путем, используя формулу (41). где расход и напор долж-
ны быть заданы, так и теоретическим по формуле (42) при возмож-
ности определения всех коэффициентов, входящих в нее. Эти два
пути и нашли свое отражение в работах, посвященных исследова-
нию истечения жидкостей из внешних цилиндрических насадков.
Впервые Вейсбахом получены значения коэффициентов расхода
от 0,810 до 0,843 для насадков с L/D от 2,5 до 3. Среднее из этих зна-
чений обычно и приводится в литера-
туре.

Однако дальнейшее исследование это-
го вопроса показало, что на коэффициент
расхода в значительной степени влияет
вязкость жидкости, величина L/D и дру-
гие факторы (температура, давление,
фотиводавление и т. п.). По эксперимен-
тальным данным С. А. Абдурашитова при
истечении вязких жидкостей из внешне-
го цилиндрического насадка коэффици-
ент расхода значительно уменьшается
по сравнению с истечением из него воды.
Так, при истечении тяжелой нефти вяз-
костью v = 4 • 10-4 м2/сек из внешнего

диаметром D = 15 мм значение коэффициента расхода р = 0,35.

При исследовании истечения масел различной вязкости из
внешних цилиндрических насадков (D = 2 — 5 мм и L/D = 6)
Ю. И. Мамедзаде было установлено, что коэффициент расхода через
насадок р значительно меньше, чем через отверстие р0-

Впервые была предпринята попытка критериального обоб-
щения результатов опытов и предложено выражение для ко-
эффициента расхода Н. И. Гельпериными и С. А. Вильнипом:
р = 0,172 Re0>182r|—о-1, где т]0 — относительная вязкость жидкости
по отношению к воде. Предел применимости этой формулы 102 <
С Re с 104. Расчетная формула для определения коэффициента
расхода вязких жидкостей в широком диапазоне температур и от-
ношений LID при Re < 100, полученная Н. 3. Френкелем, имеет
вид: р = 0,42 1g (0,05Re). Срывные характеристики насадков для
различных Re и L/D для воды при температуре 15—16 °C приведе-
ны в табл. 13.

Определение предельного напора целесообразно производить
по следующей формуле:

нпр = [8вх/(1 - 8ХВ)1 [(рат - PnapWTb	(43)

где рат — атмосферное давление; рпар — упругость паров при дан-
ной температуре.

13. Срывные характеристики
насадков

L/D	D, 10* м	Re.  102 м	н
1,66	9,978	98490	14,65
3,33	9,983	99290	15,50
5,00	9,388	97870	15,10
8,33	9,973	99140	15,10
10,00	9,976	98140	16,00
13,30	9,979	95990	16,50

насадка
Однако срыв вакуума в коротких насадках происходит при зна-
чительно меньших напорах, чем это следует из формулы (43), так
как окружающему воздуху удается прорваться . внутрь насадка
в область вакуума и сорвать его.

Коэффициент расхода при истечении вязких жидкостей из внеш-
них цилиндрических насадков для 4,5 < Re <• 103 определяется
по формуле р = Re/203, для чисел Re < 7,5 и Re >7,5 — р =
= —0,42 + 0,38 1g Re.

Пределом применимости последней формулы является Re = 13.

Установлено, что критериальное уравнение для коэффициента
расхода имеет вид

p = f(Re, Fr, We, L/D),

(44)

где Re, Fr, We — соответствен-
но критерии Рейнольдса, Фруда

Рис. 29. Зависимость коэффициен-
та расхода р от Re для отверстий
(пунктирная линия) и насадков
(сплошная) с отношением LID,
равным:

1 — 1,0; 2—1,5; 3 — 2; 4 — 2,5; Б — 3;

6 — 4; 7 — 5; 8—10; 9 — 20; /0 — 30;
11 — 40; 12 — 50.

и Вебера, опрёделяемые по формулам Re = V2gH D/v, Fr = 2HjD,
We = 2gHD(jjG. Здесь о — коэффициент поверхностного натяжения.
Если пренебречь далее влиянием поверхностных и гравитационных
сил на коэффициент расхода (Fr> 10 и We >200), критериальное
уравнение (44) упростится до вида

р = fi (Re, LID).

(45)

На рис. 29 изображены кривые зависимости коэффициента рас-
хода р от Re, а в табл. 14 приведены формулы, по которым можно
определить р для различных насадков.

Исследования влияний гравитационных и поверхностных сил
показали, что при увеличении чисел Fr и We при Rem = const коэф-
фициент расхода уменьшается (рис. 30). При малых значениях чисел
Рейнольдса р0Ср, а при больших — р0 > р. При этом критическое
значение Re, при котором р0 = р, определяется из зависимостей
ReBp = 211 (LID) + 97 для насадков с LID = 1...20 и 1g RckP =
= 0,25 (LID) + 3,21 — для насадков с L/D — 20...50.

Для насадков диаметром 4, 6 и 8 мм (LID = 1...5) в диапазоне
чисел RecpblB = 740 ... 292000 при L/D — 2 ... 5, RecpbIB = 6 х
X Ю4 и We >200 срывной напор при истечении воды определяется
по формуле

#сРыв — 1.55 (рат рпар/у).
14. Коэффициент расхода при различных насадках

LID	Re	
2—5	3 < Re < 30	Re 25,2 + 64L/D
2—5	30 < Re < 50	1  (73,6/Re) (L/D) + 5 (L/D)~s
1—1,5	16 < Re < 100		1	  1,44+ (72/Re) (B/D)
1—1,5	IO2 < Re < 103		1	  1,29 + (64/Re) (L/D)
4	8. 103 =.Re c 5 • 103	1
		/l,5+[l/(l,81gRe- 1,5)2J (L/D —4)

При истечении жидкости из насадков в среды с противодавле-
нием [125] по графической зависимости р — f (Re) (рис. 31) можно
выделить три зоны. Первая зона I соответствует области чисел Рей-

б

Рис. 30. Зависимость р от числа Вебера (с) и числа
Фруда (б).

нольдса, где коэффициент расхода линейно возрастает с увеличе-
нием Re и не зависит от противодавления. Во второй зоне (I, пере-
ходной области) коэффициент расхода р — f (Re, рп), а в третьей
зоне (II, квадратичного сопротивления) р = f (рп)-

При истечении жидкости их внешнего цилиндрического насадка
при образовании вакуума в кольцевой изолированной полости
[125] или со срывом вакуума расходные характеристики насадков
зависят от закономерностей возникновения, существования и раз-
рушения полости. Согласно гипотезе о существовании кольцевой
изолированной полости, она возникает при истечении жидкости
через насадок с небольшим перепадом давления Др, близким к ну-
лю, или при р2/р, близким к единице, где р2 — давление на выхо-
де; р — давление перед насадком. Эта полость сохраняется в даль-
нейшем благодаря равновесию противоположных сил, действующих

Рис. 31. Зависимость р.
от Re при истечении мас-
ла ЛМГ-10 (а) и кероси-
на Т-1 (б) через дрос-
сельную шайбу D =
— 0,981 мм, г/D = 1,5
для различных противо-
давлений:

7—Др = 0; 2—5; 3 — 15;
4 —40.

на находящиеся на границе полости в расширяющейся части пото-
ка частицы жидкости, от скоростной составляющей силы Р потока
и от разницы давлений р2 — рс на выходе из насадка и внутри по-

лости, где рс — давление в полости.

Силы, действующие в направлении потока, стремятся распре-
делить поток, растянуть полость по длине насадка. Силы от раз-
ницы давлений р2 — рс, действуя на те же частицы жидкости, на-
оборот, стремятся втянуть эти частицы в полость, расширить поток,

сократить его длину. При
определенных условиях
в процессе возрастания
перепада давления дав-
ление в полости, достиг-
нув минимальной вели-

4

Рис. 32. Схема замера ва-
куума (а) и эксперименталь-
ная характеристика зависи-
мости разрежения от пере-
пада давления (б) в цилинд-
рическом насадке.



34

23

j

. 07

t



а

чины, в дальнейшем остается постоянным, а скорость потока про-
должает возрастать. При дальнейшем росте скорости увеличи-
ваются размеры кольцевой изолированной зоны. Когда ее дли-
на становится равной длине насадка, наступает срыв вакуума.

На основании подобных рассуждений получено уравнение рав-
новесия жидкости в виде [133] р21р = 2Ф<рр.(ос/<оДр + (pmin /р) (1 —
— 2Ффрсос/содр), где Ф — коэффициент, учитывающий уменьшение
скорости у стенки по сравнению со средней; «др— площадь потока,
где выбрана площадка; сос — площадь сжатого сечения.

Условия разрушения кольцевой изолированной полости описыва-
ются уравнением (р8/р)срыв<2Ффр<0с/®л/?+	2Ф(ррхос/<одР),
Рис. 33. Изменение коэффициента расхода р в зависимости от ве-
личины отношения длины к диаметру L/D для насадков с закруг-
ленными кромками у входа с радиусом закругления, мм (а) и
эллиптическими кромками с размерами полуоси эллипсов закруг-
ления, мм X мм (б):

1 — 1,52; 2 — 7.9; 3 — 4,8; 4 — 3,2; 5 — 1,6; 6 — 15,9x7,9; 7 — 9,5х 14,3; 8 —
6,4X9.5; Р—3,2x4,8.

Рис. 34. Изменение коэффици-
циентов расхода на адков в за-
висимости от отношения их
длины к диаметру (L/D) для
насадков с закругленными кром-
ками входа радиусом закругле-
ния 16 мм (7) и эллиптическими
закруглениями, ммХмм:

2 — 3.2x4,8; 3— 64x9,5; 4 — 9,5Х
X 14,3; 5—12,7x19; 6 — 15,9x7,9,

16

Рис. 35. Конструкции
насадков:

а — цилиндрический; б —
цилиндрический с кони-
ческим входом; в — ко-
нический расходящийся;

й — конический сходящийся—расходящийся; <7 — консондально-конический; е — цилинд-
рический с коническим выходом; ж — конический сходящийся-—расходящийся с промежу-
точной цилиндрической частью; s—* консоидально-конический с промежуточной цилинд-
рической частью.
или в упрощенном виде (р2/Р)срыв < 2Ф<рр<ос/а>д/;., т. е. критерий
срыва определяется двумя коэффициентами: сжатия е и расширения
<ос/сод/,. Режим до срыва вакуума характеризуется неравенством
(Ра/Р) > 2Ф<ррсос/сйдг.

Эти результаты подтверждаются экспериментальными данными
(рис. 32, 33, 34). Рис. 32 подтверждает гипотезу о том, что разруше-
ние кольцевой изолированной полости происходит не вследствие
кавитации, а из-за нарушения равновесия сил, действующих на
жидкость..

Характерные типы применяемых на практике насадков показа-
ны на рис. 35 (в скобках даны геометрические параметры).

4. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ
С УЧЕТОМ УСЛОВИЙ ТЕПЛООБМЕНА

Описание течения вязкой жидкости в потоках считается доста-
точно полным, если известны поля скоростей и (х, у, z, l), давления
р (х, у, z, t) и температуры Т (х, у, z, t), где х, у, г — координаты
рассматриваемой точки; t — время.

Для определения пяти неизвестных (трех проекций вектора ско-
рости их, иг, давления и температуры) необходимо иметь пять
уравнений. Эти уравнения обычно получают на основании основ-
ных законов физики — закона сохранения массы, закона о коли-
честве движения, закона о моменте количества движения и закона
о балансе механической энергии [17, 6, 109].

На основании закона сохранения массы получено уравнение
сплошности или неразрывности среды для сжимаемой жидкости,
которое в декартовой системе координат имеет вид

dp/dt -ф д (рих)/дх Ц- д (pUy)/dy Ц- д (puz)/dz = 0,	(46)

а уравнение движения —

(47)
где d/dt = d/dt + ux (d/дх) + и,, (d/dy) + uz (d/dz); div u=(dux/dx)+

(duy/ду) + (diiz/dz)-, p—-плотность жидкости; a(ax; au\ az) —
ускорение массовых сил.

Уравнение энергии для однофазной химически однородной жид-
кости с произвольной зависимостью физических свойств жидкости
от температуры и давления, но при отсутствии в потоке переноса
тепла излучением, принимает форму

pCpdT/dt = div (2. grad Т) + gv — Т/р (dp/дТ) dp/(pdf) 4- Ф, (48)

где Ср — теплоемкость при постоянном давлении; gv — мощность
внутренних источников тепла; Ф — диссипативная функция; X —
коэффициент теплопроводности.

Для капельной жидкости, у которой величина 17р (dp'/dT^ — Р
очень мала, X = const и отсутствуют внутренние источники тепла,
данное уравнение можно переписать следующим образом;

dT/dt + их (dT/dx) + иу (дТ/ду) + иг (dT/dz) =

= X/Cppg (d2T/dx2 + d2T/dy2 + d2T/dz2) 4- Ф/(рСД (49)

где диссипативная функция

Ф = р [2 [/dux/dx)2 4- (du.z/dy)2 4- (duz/dz)2] 4-

4- {dux/dy 4- duy/dx)2 4- (du Jdz 4- duzdx)2 4-

4- (dUy/dz 4- duz/dy)2 — (dux/dx 4- duv/dy 4- duz/dz^ . (50)

Комплекс M(pCp) = а называют коэффициентом температуро-
проводности.

Таким образом, для описания теплообмена в потоке жидкости
могут- быть использованы все приведенные уравнения, а также
должны быть заданы функциональные зависимости р = р (7);
Ср = ср (Л; X = 7 (Л; р = р (Л-

15. Зависимость различных параметров трансформаторного масла
от температуры

т, к.	р.  9,8 . 10-3  Н  м8	р, 1/град	Ср. кДж	К Вт	а • 108, м2/с	р, . Ю4, Н • с/м2	К- ‘р X
			кг • г • град	м • град			
273	892,5	6,8	1,55	0,112	8,14	630	866
293	880,3	6,90	1,67	0,11	7,56	198	•298
313	868,2	7,00	1,79	1,109	7,03	89	146
333	856,0	7,10	1.91	0,107	6,58	49,5	87,8
353	843,9	7,20	2,03	0,106	6,17	30,8	59,3
373	831,8	7,30	2,14	0,104	5,83	21,3	43,9
Конкретный вид таких зависимостей определяется родом ис-
следуемой жидкости [93, 149, 1751.

В качестве примера в табл. 15 представлены значения рассмат-
риваемых физических величин для трансформаторного масла.

Основные критерии, применяемые
при описании теплообмена в потоке

Воспользовавшись данными критериями можно описать течение
и теплообмен в потоке вязкой жидкости применительно к различ-
ным условиям.

Так, например, установлено, что в случае вязкостно-инерцион-
но-гравитационного течения, т. е. течения, при котором движение
описывается уравнением Навье — Стокса (с учетом сил инерции,
сил вязкости, сил тяжести) справедлива функциональная зависи-
мость Nu = Nu (Fo, X, ср, Ре, Re, Gr), где X — безразмерная ха-
рактеристика рассматриваемого потока (в случае течения в трубе
вдоль оси х X = x/d); ip — параметр, характеризующий поверх-
ность канала

При моделировании и описании теплообмена в потоке вязкой
жидкости в тепловых реакторах, теплообменниках, машинах и ап-
паратах химической технологии и т. д. (145, 148, 200) применяется
ряд критериев, которые могут быть получены на основании трех
важнейших теорем теории подобия.

Согласно первой теореме подобные явления могут быть описаны,
безразмерными сочетаниями физических величин, которые имеют
одинаковые значения для натурных и макетных явлений. Такие
сочетания называются критериями подобия.

Вторая теорема известна как л-теорема Букингема. Она утверж-
дает, что каждое уравнение, описывающее какой-либо физический
процесс и состоящее из N физических величин, из которых X вели-
чин являются независимыми, может быть преобразовано в безраз-
мерное уравнение, состоящее из /V — X безразмерных параметров,
полученных из N физических величин. Так, пусть известна неко-
торая физическая величина Qo, являющаяся функцией ряда других
физических величин, т. е. Q = f(Q1, Q2, Q3, ... Q„). Допустим,
что независимыми физическими величинами в этом уравнении будут
Qi> Q2, • • • > Qi, они удовлетворяют условию 2Г'0“20з3 • •  Q“; =₽*>
где р* и а1; а2.......а, — некоторые безразмерные параметры.

Причем, при аг = а2 = а3 = • • • = а, — 0 имеем Р* = 1.

На основании этого можно показать, что все остальные вели-
чины, входящие в данное уравнение, могут быть выражены в виде
Qo = ₽oQT'Q22Q3s   • Q/“' (₽0 = const).

Левую и правую части данного уравнения можно представить
еще и так: kQ0 = f k2Q2, k3Q3, ...,knQn), где k, k2...kn —
специальным образом подобранные множители, являющиеся мас-
штабами подобия рассматриваемых процессов.

Выражая Qo, Qi+i, Qi+i, .... Qn через основные величины QP
Q2, Qi, получаем систему уравнений, аналогичных вышеприведенным
с соответствующими значениями [50, pz+1, . .. , 0Л:

I

Q„ = Р.Д"' ‘Q?’2 ..Q?.

Воспользовавшись этой системой, можно найти зависимость
между коэффициентами k, kz, k2, k3, . . . , kn. Если Qo' = k0Q0, . ..
.. . , Qn = knQn и справедливы выражения kx — 1/Qlt то k2= i/Q2;
k3 = 1/QS‘. • • • ; ki= l/Qi, Qi' = WjQ, = 1; Q2 = m2Q2 = 1.

Отсюда находятся следующие соотношения:

m, _ „£« ‘m? ‘ ...m?'.. (1/Q? 'HUQ?' !) ... (1/Q?'),

/»„ = m°"- 4“”‘ ’ .. • m?' - (l/Q?- ‘)(l/Q°"-‘) . . . (4Q“"'

Из последних уравнений можно получить выражение для ве-
личин Qo, q;+), Q,',.

« = »л - слеГ"- 3	= я»

q,:+,=т,„«, = <>, <'+,<г:'+,'2е?+'-3	<г?'+м).

Подставляя полученные безразмерные величины в уравнение,
устанавливающее зависимость между kQ0 и kjQ} и т. д., получают
Л2, JTg, . . . , JTn_Z).

Следовательно, согласно л-теореме показано, чт) это уравнение
можно выразить как функциональную зависимость м?жду (п + /)—I
безразмерными параметрами.

Третья теорема устанавливает, что два процесса можно считать
только тогда подобными, когда пропорциональны все схожие пара-
метры, описывающие эти процессы т. е. параметры т{ в рассмот-
ренных выше уравнениях.

Применительно к механике жидкости, согласно третьей теореме,
подобными должны быть геометрические размеры рассматривае-
мых потоков, их кинематические и динамические характеристики.

Воспользовавшись данными положениями теории подобия для
данного случая можно получить следующие основные две группы
критериев подобия процессов переноса импульса и тепла.

К первой группе относятся критерии: Рейнольдса Re = нсрЕр/р=
= WcpL/v; Фруда Fr = u2cp/(gl); Эйлера Ей = Ap/(prFp); Жуковского
Zh = Ньютона Ne = F/(p«cP/2)-

Ко второй группе относятся: критерий подобия конвектив-
но-теплопроводного переноса тепла в текущих средах или критерий
Пекле Ре = tzcpZ/d; критерий подобия нестационарной теплопро-
водности тела Fo — at/l2 (критерий подобия переноса тепла на
границе тела со средой) или критерий Био Bi = aZ/Z*, где X— коэф-
фициент теплопроводности тела, а — коэффициент теплоотдачи;
критерий Нуссельта Nu = al/7.*; критерий Грасгофа Gr =
= gl3/.v3 (Tf — T.jT^'y, критерий Прандтля Pr = Pe/Re = vid.

Течение вязкой жидкости в плоском канале
при наличии теплообмена

Расчет теплообмена при ламинарном течении вязкой жидкости
рассматривается на примере течения ее в плоском канале. Предпо-
лагают, что высота канала равна 2h, движение происходит в плос-
кости хоу вдоль оси х, вязкость жидкости является функцией этой
координаты.

Течение считают установившимся, так как силами инерции из-за
их малости можно пренебречь. Ширину канала В полагают настоль-
ко большой, что справедливо равенство 2h/B С 1, а это означает,
что боковые стенки не оказывают существенного влияния на те-
чение.

При данных ограничениях иг = иу = 0 и их = щ уравнение
неразрывности упрощается: dujdx = 0. Левые части уравнений
представляют собой проекции на оси координат ускорения жидкой
частицы и, следовательно, для установившегося течения равны
нулю.

Действием массовых сил пренебрегают, т. е. ах = ау — аг = 0.

В уравнении энергии (49) при установившемся течении dTldt =
= 0. Кроме того считают dT/dz = 0 (предполагают отсутствие ка-
ких-либо изменений Т по ширине канала).

С учетом всех приведенных условий в системе уравнений (47),
(49), после некоторых преобразований получают

(dp/dx)/p = (dv/dy) (du/dy) + v (d2u/dy2);	(51)

(dp/dy)/p = (dv/dx) (du/dy);

и (dT/dx) = a [(d2T/dx2) + (d2T/dy2)] + v/(p2Cp) (du/dy)2.

На основании данной системы уравнений должны быть опреде-
лены функции и, Т, р для рассматриваемого случая ламинарного
течения вязкой жидкости с изменяющимися реологическими пара-
метрами v — v (Т).

Считая, что в каждом сечении температура Т = Тер и она из-
меняется только вдоль оси х, а также v — v (х), после преобразо-
ваний систему уравнений (51) можно привести к виду

v (d3u/dy3) 4- 2 (dv/dy) (d2u/dy2) -}- (d2v/dy2 — d2v/dx^) X

X (du/dy) = 0.	(52)

Если не учитывать изменения вязкости жидкости (v = const),
то из уравнения (52) следует, что v (сРи/ду3) = 0 или d3u/dy3 — 0.
Интегрируя последнее уравнение по у, получают, что и± = сг +
+ С?У + с3у2. Постоянные интегрирования сг, с2, с3 определяются
из граничных условий на оси канала при у — 0, и = и^* или
«шах — Ci + c20 4- c80; на стенках канала при у = +h, и — 0 или
О = Cj + с2/г + cah2, О = Cj — c2h — c3h2. Таким образом, сг — пшах;
с2 = 0; с3 — —«max №. На основании этих значений получают
уравнение параболы: и — umsyL (1 — y2lh2).

Рассмотрим теперь решение уравнения (52) при условии, что
dvjdy — 0. Тогда система уравнений упростится и примет вид
— (dsw/dz/3)/(dw/dz/) = (1/v) (d2-vjdx2) — const. Основываясь на методе

разделения переменных, получают, что v = схе h + с2е h .

Изменение температуры вдоль оси канала отображается следу-
ющим соотношением

г _5s	511

v = vope ₽ + (i—Л)6₽|,

(53)

где v0 — коэффициент вязкости жидкости при Т = Т0", А, в, В —
параметры.

Для дальнейшего расчета необходимо иметь экспериментальную
зависимость вязкости ц от температуры Т для исследуемой жидко-
сти, или аналитическое выражение этой зависимости. В табл. 16

приведены значения вязкости в зависимости
воды.

Следует отметить, что влияние темпера-
туры на ньютоновскую вязкость ряда жид-
костей можно определить по формуле
vp = A*eE/RT, где Л* = const; Е — энергия
активации вязкого течения, R — газовая
постоянная.

Согласно кинетической теории вязкость
газов не должна зависеть от давления, из-
меняется пропорционально квадратному кор-
ню из абсолютной температуры. Для изме-
нения v в зависимости от абсолютной тем-
пературы Т часто применяется формула
р = kT*'2 (Т 4 С), где С — постоянная
Сезерленда; k = const.

Таким образом, на основании данных о
v или аналитической зависимости v (Т) мо-
жет быть построен график для функции

Wv0 = f (6).

от температуры для

16. Зависимость
визкости воды от
температуры

Температура 	•.		Вязкость  Ц, сП 		Плотность кг/м3
273	1,7865	0,99987
283	1,3037	
293	1,0019	0,99823
303	0,7982	
313	0,6540	0,94225
323	0,5477	
333	0,4674	0,9832

(54)

Затем строят график по уравнению (53), подбирая значение по-
стоянных А и В до тех пор, пока эти графики не совпадут. Так
определяются величины А и В. В дальнейшем их будем считать
известными.

Решение уравнения (dsu/dys)— (В|//г2) (ди/ду) = 0 позволяет по-
лучить следующие результаты:

/	в Е -вД\

_ '	e£4eg<+e~g<-e 1/г -е h>.	(55)
fl

и (у) Bdy

Ucp 2ЙВ 2hB ’	(56)

9	[5 (eB' ~ e'B1) “(eB' ~	(57)

Мер = umsxe^/Bi (eB< — 1) [Bi (eB' + e~B-) — (eB* — ггА)]. (58)

Таким образом, устанавливается зависимость между umax и wcp.

Определяя из последней зависимости umax. подставляя это зна-
чение в формулу (55), получают

/ Bty	1

и(у) = исрВА(ев> + е~в^ — [е h +е h ) j ев^(В1—\) +
+ е~в> (В. + 1).

Интегрирование уравнения (54) позволяет определить давление

р == J и (д2и/ду2) dx.

X

После соответствующих преобразований, учитывающих зависимость
для и и v (53)

(А> — Pi)/L = (2v0ucpp//i) {Вг (ев> — е~в>)/[ев« (В± — 1) +
+	+ 1)]}|д(^-1) + И-е)(е_^-1)].

(59)

5. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ И КАНАЛАХ

По определению И. О. Хинца турбулентное движение жидкости
предполагает наличие неупорядоченности течения, в котором раз-
личные величины претерпевают хаотическое изменение во времени,
пространственных координатах и при этом могут быть выделены
точные их осредненные значения. При постоянном количестве жид-
кости, протекающей через данное сечение канала, скорость в лю-
бой точке потока определяется как функция времени. Распределе-
ние скоростей по сечению турбулентного потока носит более слож-
ный характер, чем при ламинарном режиме течения. В непосред-
ственной близости к стенке канала сразу же за слоем прилипания
существует в потоке ламинарный подслой. За этим подслоем нахо-
дится переходная область, где наблюдается переход от ламинар-
ного режима течения к турбулентному. Далее — ближе к цент-
ру — расположена область турбулентного движения жидкости.

Эпюра скоростей, характеризующая турбулентное течение в трубе,
носит логарифмический характер и описывается выражением йх —
= (w*/x) In у + с, где с = const; их — осредненная во времени ло-
кальная скорость потока; и* = Ут0/р — динамическая скорость; х—
постоянная Кармана х = 0,41; т0 — напряжения турбулентного
трения.
Экспериментальные измерения скорости в различных сечениях
трубы позволили получить еще одну формулу, а именно:

их = 5,75 и* In (u*yfv) + 5,5 и*.

(60)

Значительная погрешность скорости наблюдается у стенки тру-
бы, т. е. в области ламинарного подслоя.

Для турбулентного потока («n,ax —	= 5,75 In (RI у), где

величина (нтах — и*) — дефицит скорости.

Интересной особенностью турбулентного режима течения вяз-

кой жидкости в трубе является зависимость величины (йср/йп,ах) от
числа Рейнольдса.

Следует отметить, что про-
филь эпюры скорости в трубе
может быть определен из выра-
т

ЖенИЯ (Wx/Wmax) = (У/R)2~m =

= (у/R)11, где т, п — соответ-
ствующие показатели степеней,
зависящие от числа Re.

На основании этой зависи-
мости («ср/Итах) = 2/12/((« +
+ 1)(2п+1)].

Рис. 36. Схема вторичных течений в ка-
налах с треугольной формой поперечною
сечения.

Турбулентное течение жидкости в каналах с некруглым попе-

речным сечением характеризуется рядом особенностей. Как пока-
зал эксперимент, в прямых трубах с сечением в виде прямоуголь-

ника или треугольника возможно появление вторичных потоков,
тип которых представлен на рис. 36.

Нестабилизированное турбулентное течение

Гидродинамический начальный участок в турбулентном потоке
имеет ряд характерных особенностей. Существует несколько ме-
тодов анализа данного течения. Основной результат исследований
сводится к определению поля осредненных скоростей и длины на-
чального участка LH.y. В ряде случаев принято считать, что длина
Гн.у для турбулентного потока в круглой цилиндрической трубе
составляет примерно 21 диаметр (для ламинарного течения — 40).

В исследованиях Ж- Адольфи [175] представлен один из ориги-
нальных методов подхода к решению задачи о турбулентном тече-
нии, проведен анализ физической картины рассматриваемого про-
цесса и установлены причины дестабилизации течения.

"ср/“max

2320...........................0,5

2700 .......................... . 0,75

10е ..........................0,86

Ю8 . -........................0,90

Считается, что слои жидкости скользят друг по другу и их
взаимное влияние определяется величиной ux(dux/dr), а сила тре-
ния пропорциональна dH2x/dr. Такое предположение аналогично
представлению Буссинеска о том, что коэффициент турбулентной
вязкости Ртурб пропорционален скорости их. Тогда получают, что
Т — const (dtxjdr). Величина рйх/2 является кинетической энергией
движущегося объема жидкости, а величина d (рй^/2) /dr — разницей
скоростей переноса импульсов двух соседних струй. Если сила тре-
ния определяется по формуле Т = const d (рйх/2) /dr, то это озна-
чает, что импульсный обмен пропорционален разности в скорости
переноса импульсов обменивающихся слоев. Такое предположение
в общем противоречит представлениям Л. Прандтля о том, что пе-
ренесенное между слоями количество вещества пропорционально
величине (dux/dr), поэтому, очевидно, импульсный обмен пропорци-
онален величине (dux/dr)2.

При подходе, использованном Адольфи, выражение для опреде-
ления профиля скоростей стабилизированного течения примет вид

— (3/2) ЦСрК 1 — г2/R2.

Анализируя уравнение движения, соответствующее нестабилизи-
рованному течению в трубе, установлено, что перепад давления на
начальном участке dp/dx объясняется тремя факторами [175]: по-
терями энергии на преодоление сил вязкого трения р (d2ilx/dr2 +
+ (\/r)(dux/dr)’, инерцией частиц, втекающих радиально в выделен-
ный слой pur (diix/dr); инерцией аксиально движущихся частиц
pwx (dujdx).

Таким образом, для начального участка

dp/dx = Rlp/dx)„ + (dp/dx)№u.

(61)

Здесь величина (dp/dx)ncu отражает дополнительные по сравнению
со стабилизированным течением потери давления, связанные с дей-
ствием сил ускорения. Эти силы идентичны величине pur (dux/dr),
так как они характеризуют дополнительные затраты энергии на
частицы, которые вносятся радиально в слой. Следовательно, с уче-
том приведенных допущений уравнение движения для турбулент-
ного начального участка после ряда преобразований упрощается:

d (uj/dx — J./d) иср = К [d2 (йх) /dr2 + (\/г) (d (их)/dr)], (62)
где К — постоянная, пропорциональная длина свободного пробега
молекул.

Из решения уравнения (62) можно записать

«х = /«2с₽( 1 +	11 - е2До	(63)

где /0— функция Бесселя; Cf и g— параметры, cf —

1
lB(igra)'

Предполагая, что в соответствии с Данными Германа и Бурба-
ха величина X определяется по формуле X = 0,0054 • 0,4 Re-0-3,
выражение (63) можно преобразовать и найти зависимость между
максимальной и средней скоростями потока для любого сечения.
Таким образом, гидравлический расчет течения но турбулент-
ному начальному участку можно осуществить по следующей схе-
ме [175]. Если известны, например, средняя скорость потока, щр =
= 0,5 м, отношение L)D = 30, диаметр канала D = 0,025 м и ки-
нематический коэффициент вязкости v = 1 • 106 м2/с, то Re = пср х
X D/v~ 1,25 • 104. Тогда Re/ReKp = 1,25 • 104/2320 = 5,39. Из
уравнения нср/ V^Wcp [ 1 + (KL/D)] = f (Re/ReKp, 1/D) получают

WcP^l +	= 0,685 (£) — 2ra). Затем вычисляют величину gra

,	' ЫСР

на основании формулы------—ЕЕ.

,	21/, (igra)

— 1------------г-т-.- г; для дан-

grale (igra) *

ного случая gra = 3,65; /0(/х
X 3,65)=8,375, cf=~=0,1195.

т №а)

Следовательно скорость на оси
потока иос =	(1 + х

X [1 — c2fI0 (igr) ]VB = 0,6425. И,
наконец, по формуле [63] по-
лучаем значения скорости для
остальных сечений канала
(табл. 17).

17. Значения скоростей для
различных сечений канала

г1га	ЁГ	/о iigr)	I " С[ 10	и
о,1	0,365	1,0336	0,8764	0,641
0,3	1,094	1,3226	0,842	0,628
0,5	1,825	2,023	0,758	0,596
0,7	2,555	3,432	0,59	0,526
0,9	3,282	6,15	0,265	0,353

Глава 5

НЕНЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ

Известно, что множество применяемых в технике реальных сред
при своем течении проявляют аномалию вязкости, пластичность,
сдвиговую упругость, высокую эластичность и другие свойства,
которые не наблюдаются в ньютоновских жидкостях. Такие жид-
кости обладают чрезвычайно различными реологическими свойст-
вами. Поведение аномально вязких сред тщательно изучается уже
в течение нескольких десятилетий.

Необходимость исследований течения этих жидкостей связана
с тем, что в машиностроении, особенно химическом [143], [201],
возрастает число машин и оборудования, работа которых полно-
стью определяется гидравлическими и реологическими свойствами
неньютоновских жидкостей. В них осуществляется течение полиме-
ров, металлов, нефтепродуктов, смазок, строительных растворов
и т. п. Довольно часто возникает необходимость расчета потока
неньютоновской жидкости в трубах и каналах многих машин
и аппаратов. В частности, с подобными задачами приходится встре-
чаться при расчетах экструзионного оборудования, систем смазки,
и
Рис. 37. Примеры конструк
ний оборудования, где осу
ществдяется течение не-
ньютоновских жидкостей:

а — литьевая машина для термоплас-
тов; б — угловая кабельная голов
ка; вг г, д, е, ж, зт и — преалласти
каторы [31] соответственно плуи-
I жерный с подачей массы в период
выстоя главного плунжера; то же с
подачей массы в период обратного
1хода; соосный: трехплунжерный;
Iодчочервячный наклонный; двух-
червячный верхний; одночервячный
полый соосный; к — четырехклапан-
I ный трех позиционный распредели-
тель [69]; л — двух каскадный экст
РУДер.

охлаждения, нефтеперерабатывающих и металлургических машин
(см. рис. 37).

Сложность реологических исследований заключается в том,
что реальные неньютоновские жидкости не подчиняются описанию
единой универсальной зависимостью, подобной закону Ньютона
В настоящее время известно множество разнообразных уравнений
состояния (моделей), каждое из которых содержит некоторое число
параметров, определяемых эмпирически в зависимости от физи-
ческих и термодинамических свойств деформируемого состояния
жидкости.

1.	РЕОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
СОСТОЯНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

Реологические уравнения состояния для реальных жидкостей,
составлены на основании моделей и являются в определенной сте-
пени идеализацией действительного поведения жидкости [173, 43,
113, 137, 147, 1191. В табл. 4 записаны некоторые из основных
уравнений подобного рода.

Вместе с тем реологические модели жидкостей могут быть класси-
фицированы по присущим им свойствам, что позволяет произво-
дить определенные обобщения. Наиболее простую классификацию
предложил Д. Додж. В зависимости от характера кривой течения,
т. е. вида уравнения т = f (у), неныотоновскце среды делят на
3 группы: вязкие среды, у которых скорость сдвига зависит только
от приложенных сдвиговых напряжений; среды, реологические
характеристики которых зависят от времени (здесь скорость сдви-
га определяется не только величиной касательного напряжения,
но и продолжительностью его действия); эластичные среды, обла-
дающие свойствами как жидкости, так и твердого тела и частично
проявляющие упругое восстановление формы после снятия напря-
жения.

Вязкие жидкости

Рис. 38. График зависимости т = /(у)
для резиновых смесей типа ШБМ-40А
(сплошные прямые) — 1, 2, Зи типа
ТСШ (пунктирные) — 4, 5, 6 при тем-
пературе:

1 — 60°; 2 — 80°; 3 — 120°.

К этой группе относятся ньютоновские, вязко пластичные и
аномально вязкие жидкости.

Ньютоновские жидкости имеют линейную кривую течения, т. е.
график зависимости между напряжением и скоростью сдвига пред-
ставляет собой прямую линию
(рис. 38). Ее наклон, т. е. вели-
чина arctg т/у = р есть постоян-
ная для всех значений скорос-
тей сдвига. К ньютоновским от-
носятся жидкости, в которых
вязкая диссипация энергии обус-
ловлена столкновением неболь-
ших молекул. Все газы, жид-
кости и растворы с небольшой
молекулярной массой попадают
в эту группу.

Вязкопластичные жидкости
подобно ньютоновским проявляют
линейную зависимость между на-
пряжением сдвига и его ско-
ростью. Реологическое уравне-
ние идеальной вязко-пластичной
жидкости имеет вид т = т0 = реу,

а кривая течения таких жидкостей (рис. 38) проходит не через на-
чало координат, а отсекает на оси напряжений некоторый отрезок
т0 — предел текучести, характеризующий пластические свойства
жидкости. Течение возможно лишь тогда, когда приложенные к
телу касательные напряжения превосходят т0- Вязкие свойства
бингамовского тела представляет другая константа, так называе-
мый коэффициент жесткости при сдвиге ре = (т — т0)/у.

Величина ре как и р не зависит от напряжения сдвига и скоро-
сти сдвига.
Поведение вязко-пластичных материалов объясняется тем7 что
они в состоянии покоя имеют пространственную структуру доста-
точно жесткую, чтобы сопротивляться любому напряжению, не пре-
восходящему по величине т0. Превышение предела текучести при-
водит к полному разрушению структуры, и система ведет себя как
обычная ньютоновская жидкость при напряжениях сдвига т — т0.
Структура снова восстанавливается, когда действующие в жидко-
сти напряжения сдвига становятся меньше т0.

Многие реальные среды близки к идеальному вязко-плас-
тичному телу. К ним относятся глинистые и цементные рас-
творы, масляные краски, пасты, кремы, пульпы, торфяные мас-
сы, а также водные суспензии ядерного топлива (окислы урана
и тория).

Аномально вязкие жидкости имеют нелинейную кривую тече-
ния, проходящую через начало координат. В зависимости от вида
кривой течения относительно осей т и у возможны два типа
аномально вязких жидкостей: псевдопластичные, для которых
д2т/д-у2 < 0, и дилатантные, для которых д2т/ду2 > 0. Удобной ха-
рактеристикой поведения таких жидкостей иногда служит так на-
зываемая кажущаяся вязкость ра= т/у. Величина ра постепенно
уменьшается у псевдопластичных и возрастает у дилатантных
жидкостей с ростом скорости сдвига. При небольших скоростях сдви-
га материал ведет себя как ньютоновская жидкость и характери-
зуется кажущейся вязкостью при нулевом сдвиге.

Другой линейный участок на кривой течения обычно имеет
место при очень больших величинах скоростей сдвига. Предельный
угол наклона графика характеризует вязкости при бесконечно боль-
шом сдвиге | р„ |. Для обоих предельных участков величины р0
и являются вязкостными характеристиками неньютоновских
жидкостей.

Псевдопластичностыо обладают суспензии с ассиметричными
частицами, а также растворы и расплавы высокополимеров, подоб-
ные производным целлюлозы и термопластичным материалам (по-
лиэтилен, полиамиды, полиакрилаты, полистирол, виниловые и дру-
гие полимеры).

Дилатантные жидкости сходны с псевдопластиками тем, что
в них также отсутствует предел текучести, однако их кажущаяся
вязкость повышается с возрастанием скорости сдвига, т. е. они
проявляют реологические свойства, противоположные свойствам
псевдопластиков. Дилатансия обычно объясняется процессом струк-
турообразования, который и является причиной быстрого нараста-
ния кажущейся вязкости при увеличении скорости сдвига. В про-
мышленной технологии псевдопластичные жидкости встречаются
чаще, чем дилатантные. Примером таких жидкостей может служить
густая водная суспензия крахмала.

Для описания аномально вязких жидкостей наибольшее рас-
пространение получил степенной реологический закон Оствальда
де Виля т — Куп, где К — мера консистенции жидкости (чем мень-
ше ее текучесть, тем больше К). Эту характеристику принято на-
зывать показателем (индексом) консистенции. Индекс течения п
характеризует степень неньютоновского поведения материала, при
п = 1 уравнение принимает вид закона Ньютона.

Неньютоновские среды
с нестационарными реологическими характеристиками

Для сред этой категории кажущаяся вязкость определяется
не только скоростью сдвига, но и его продолжительностью. В зави-
симости от того, убывают или возрастают со временем напряжения
сдвига при у = const, эти среды подразделяют на два класса: тиксо-
тропные и реопиктические.

К тиксотропным относятся материалы, консистенция которых
зависит от продолжительности сдвига и величины его скорости.
Это интерпретируется как результат механического разрушения
структуры (деструкции). Параллельно со все возрастающей скоро-
стью происходит восстановление структуры из-за увеличения чис-
ла образовавшихся новых свободных связей под действием' сил
Ван-дер-Ваальса. В определенный момент времени достигается
равенство темпа деструкции и скорости структурообразования.
Тогда наступает состояние динамического равновесия, которое
зависит от скорости сдвига. При последовательном снятии кривой
течения сначала для воз-
растающих, а затем для
убывающих скоростей
сдвига тиксотропные ма-
териалы обнаруживают
на графике т = т (у) так
называемый механичес-
кий гистерезис в виде
петли, присущий как
псевдопластичным, так и
вязко-пластичным сре-
дам (рис. 39, 40). Как
правило, тиксотропные
превращения хорошо вос-
с одним и тем же материа-

лом неограниченное число раз.

Тиксотропия наблюдается в относительной узкой области кон-
центрации таких растворов, как суспензии каолина, бентонита,
в золях гидратов окиси железа, алюминия, хрома, пятиокиси ва-
надия, в слабых растворах желатина, вискозы и т. п. Тиксотропией
обладают системы с весьма ассиметричными частицами удлиненной
стержневой или пластинчатой формы.

Реопектическим материалам свойственно постепенное структу-
рообразование при сдвиге. Эти среды встречаются довольно редко.
К ним относятся суспензии гипса, разбавленные водные растворы
пятиокиси ванадия, бентонита, слеата аммония и полиметакрило-
вой кислоты. По физическим свойствам реопексия сходна с дила-

Рис. 40. Гистере-
зисная петля вяз-
копластичной жид-
кости.

быть повторены

Рис. 39. Гистерезисная
петля тиксотропной вяз-
копластичной жидкости.

производимы и могут
тантными веществами. Отличаются они лишь тем, что для восста-
новления равновесного динамического состояния реопектического
материала требуется конечное время.

Вязко-упругие среды

В случае вязкой жидкости вся подведенная к ней извне механи-
ческая энергия полностью превращается в тепло. Идеально упру-
гие среды при деформировании способны накапливать подведен-
ную к ним энергию и снова возвращать ее при снятии напряжений.

Вязкоупругий материал одновременно может проявлять свой-
ства упругой и вязкой среды. Наиболее простая математическая
модель вязкоупругой среды т = t0 (dx/dt) = ру, где t0 — период
релаксации, t0 = t)/G; G — модуль сдвига.

При весьма быстрых механических воздействиях вязко-упру-
гое вещество ведет себя как идеально-упругое тело. В последую-
щем, когда t <С to, развивающееся течение перекрывает упругую
деформацию и материал можно рассматривать как простую ньюто-
новскую жидкость. Лишь когда значение t будет того же порядка, что
и величина t0, налагаются эффекты упругости и вязкости. Тогда
и проявляется сложная природа деформации.

Вязкоупругие жидкости отличаются от вязких не только налн
чием релаксационных эффектов, вызванных сдвиговой упругостью
При чисто сдвиговом деформировании в этих материалах проявля-
ются и другие эффекты: эластической турбулентности при неустой-
чивом истечении через отверстия и насадки со скоростями выше
некоторых критических, что приводит к разрушению или нерегу-
лярностям струи; эффект Барруса, при увеличении размеров струи
по сравнению с размерами поперечного сечения канала; Вейссен-
берга, состоящий в возникновении напряжений, перпендикулярных
к плоскости сдвига.

Примером вязкоупругих жидкостей могут служить растворы
и расплавы высокомолекулярных соединений.

2.	МЕХАНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ДЛЯ ОПИСАНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

Реологическое уравнение, описывающее поведение эластичной
жидкости, имеет общий вид А (т) = В (у), где А и В — линейные
дифференциальные операторы. Решение его для реальных случаев
течения весьма сложно. Однако качественную картину подобного
течения можно получить на основании механических или каких-
либо других моделей (аналогий), которые более или менее близко
воспроизводят реологические свойства жидкости. Изучение таких
моделей позволяет разработать метод описания жидкости с помо-
щью одного параметра. На рис. 41 приведены примеры подобных ме-
ханических моделей. Модели представляют собой механические си-
стемы, состоящие из пружин, моделирующих упругие свойства
объектов и трущихся элементов (например, поршня в цилиндре),
Рис. 41. Механические модели жидкостей:

а Ньютона; б — Бингама; е « Максвел ла; г— Шведова; д Кельвина; с— Максвелла
для властичныя жидкостей.
символизирующих вязкое трение. Систематизация моделей по
М. Рейнеру [83] представлена на рис. 42. Здесь в качестве основных
элементов принят закон вязкого трения Ньютона, закон «сухого»
трения Сен-Венана и закон Гука для упругих тел. Ниже представ-
лены математические выражения, описывающие реологические мо-

дели, приведенные на схеме.

Для вязкого течения жидкости применимы законы Ньютона,

Максвелла, Летераша,
Джефриса —

Ti = RTi.

у4 = t4/£j + xJn!,
Т7 = Т(Р1+Рв)/(Р1Р-в) —
—£/роехр(—(£/р4)/)Х

х [ув (]/Рк) х
t

X У техр((£в/це)/)с!/],
О

Т8 = W1 + еХР (—

—£/р) t [т4 +
t

+ Е jyexp (£/p)dfl;
о

пластической деформа-
ции — законы Сен-Вена-
на, Прандтля, Бингама —

Рис. 42. Схема возможных реологических моде-
лей по Рейнеру.

т2 — т0,

т6 = Еуъ (т < То), тБ --- Тв,

Ts = (т~ ^o)/b (х> то)> Т® = Х1Е (т—то);

деформации твердого тела — законы Гука, Кельвина, Пойтинга и
Томсона —

Т3 — £уд>

Те = Ееуе + РеТв
t

Т10 — EV + ехР C^o/Pl) * Гт4 + Е У V ехР ((^/И1) 0
о

3.	ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

В каналах, используемых, для практических целей (плоскощеле-
вой канал, цилиндрическая труба, зазор между коаксиальными
цилиндрами [4, 145, 86, 146, 69, 1231) ламинарное течение в боль-
шинстве случаев является одномерным.
Простейшим видом такого течения является течение между па-
раллельными пластинами бесконечных размеров. Для этого слу-
чая, если движение осуществляется вдоль оси ох и ох оу), уравнение
движения примет вид dxxx/dx + dx>:!,/dy — 0.

Так как течение стабилизированное (щ.=#0, иу = 0, dp/dx =
= const и ххх = —р), величина ххУ определяется реологическим
законом жидкости.

Жидкость между пластинами может двигаться за счет перепада
давления вдоль оси ох {др/дх 0), при движении одной (течение
Куэтта) или двух пластин {др/дх — 0), а также когда др/дх ^=0
и пластины движутся.

Предположим, что касательные напряжения на пластинах рав-
ны тст. Тогда для любого слоя жидкости будет справедливо выра-
жение хху = тст dy/(0,5/i), где h — расстояние между пластинами.

Из реологического уравнения определяется градиент скорости
dujdy как функция хху, т. е. dujdy = —f (хху).

Последние два выражения являются основными для расчета
эпюры скоростей. На их основании можно записать, что

0,5h

и = J f [тст, у) (0,5/i)1 dy.	(64)

у

Уравнение (64) является общим для всех неньютоновских
жидкостей. На основании этого уравнения можно получить фор-
мулу для расхода

Q — 2A[uxy — ^ydu^h.	(65)

В связи с тем что на поверхности пластин предполагается выпол-
нение условия «прилипания» жидкости {их = 0 при у = О,57г),

тст

0 = Г ъхУ } {хху) аххУ,	(66)

о

где А = dQ/{uxdy) — ширина канала.

Приведенные выражения можно использовать для определения
конкретных зависимостей между Q и dp/dx при различных реоло-
гических законах.

Например, для жидкостей, подчиняющихся закону Освальда
де Виля

1 п-М	n-fl

__ п / 1 б/рХТГ Г/Й\“л”	п

U* ~ 7Г+~\ \KL dx) 2 /	~~У

Если же одна из пластин движется со скоростью м0, то
Аналогичные результаты можно получить и для жидкостей,
подчиняющихся закону Шведова-Бингама:

Если принять, что	, то при условии, что 0 < h <

_ т0Др

<—£”•> распределение скоростей по сечению канала с достаточ-
ной степенью точности можно вычислить по формуле

и — Ар 174 тоДр12

х 2ИбЦ2^ L |-

При течении в цилиндрических трубах заданного радиуса R
псевдо пластичных и дилатантных жидкостей

сред, подчиняющихся закону

Аналогично для вязкопластичных
Бингама:

Q

„ dP [ J __ ( А VI । Г j
4|Л6 dx [	\ V/ J ‘ L

R2 dp j______ / 2т0 \2|	/?т0

4p6 dx I р dp I рб

\ dx )

nR* dp Г j___ 8 т0 . 16 7 т0 \Д

8р,б dx 3 pdp 3 I pdp I

dx \ dxj

nD^ dp

128p,fi dx

4 (dp/dx)^

3 (dpjdx)

1 (dp/dx)*l
+ 3" (dp/dx)^

(71)

(72)

(73)

где u0 — скорость в ядре потока.
Уравнение (73) называют обычно уравнением Букингема. Су-
ществует упрощенная форма записи этого уравнения:

лО4 dp оГ j	(dp/dx)(,l 2

128рб dx [	(dp/dx)J

(74)

Однако это уравнение даёт значительную погрешность, например
при r0/R = 0,8 до 13 %.

Есть другая форма записи зависимости Q = f (dp/dx), погреш-
ность которой не превышает 6 %;



(75)

Следует- отметить, что приведенные уравнения справедливы
только для случая прилипания жидкости к стенке канала. Вместе
с тем, для ряда видов неньютоновских жидкостей характерно яв-
ление скольжения жидкости у стенки (проскальзывания). В экст-

рузионных процессах возможны три вида течения: с прилипанием,
со скольжением, с проскальзыванием (явление «strick — slip»).

Толщина пристенного слоя, в котором наблюдается проскаль-

зывание, может быть рассчитана по формуле [58] 6СЛ =

В
(du/dr)a

+	где $—толщина слоя; Т — температура, °C; А, В, С,

а, Р — константы (табл. 18).

18. Значения констант А, В, С, а, р для некоторых расплавов

Материал	А X 102	В X 10-2	с х io-2	а	₽
Полиэтилен низкой плот-	1,3	0,7	0,75	0,25	0,5
КОСТИ  Полиэтилен 'высокой плот-	1,7	0,5	1,0	0,2	0,45
ности  Полипропилен	2,0	1,0	20	2,2	0,5

Наличие указанных аномальных явлений приводит к существен-
ной деформации поля скоростей и перераспределению напряжений
в потоке. Простейшим методом учета скольжения жидкости по
стенке канала является метод, согласно которому вместо исполь-
зования граничных условий скольжения в дополнение к действи-
тельной поверхности канала вводится фиктивная цилиндрическая
поверхность с радиусом вдоль которой реологическая среда
движется без скольжения. Скорость же жидкости на действительной
поверхности /?дейс < 7?ф соответствует скорости скольжения мск.

Для полимерных материалов величина иск зависит от типа поли-
мера, температуры стенки tCJSi и ее смачиваемости.
Для фиктивной трубы с радиусом /?$ закон распределения ско-
ростей по сечению в случае установившегося течения описывается
приведенными ранее зависимостями. Пользуясь этими формула-
ми, например для жидкости, подчиняющейся реологическому за-
кону Освальда де Виля, получают

Аналогичный результат можно получить и для других жид-
костей.

Течение в каналах
с некруглой формой поперечного сечения

Каналы с поперечным сечением некруглой формы (эллипс,
квадрат, треугольник) все чаще и чаще встречаются в последнее
время в технике [32, 166, 126, 17]. Особо сложный характер течения
в подобных каналах у неньютоновских жидкостей. Многие неньк>
тоновские жидкости обладают эластичными свойствами при де-
формациях. Это может не влиять на эпюру скоростей при движении
в трубах кругового поперечного сечения, но сказываться на харак-
тере течения в рассматриваемых типах труб. Обычно считают, что
нормальные напряжения, создаваемые в вязкоупругих жидкостях,
способствуют появлению вторичных течений даже при ламинарном
режиме движения. При таких течениях, например в призматиче-
ском канале с прямоугольным сечением, траектории частиц могут
быть спиральными, если вторичный поток направлен внутрь диаго-
налей, соединяющих противоположные углы, а наружный вдоль
центральных линий, перпендикулярных к поверхностям. Наблю-
дать визуально такие потоки весьма сложно, чем и объясняется от-
сутствие полного физического представления о них.

Возможны и другие методы учета влияния скольжения на ха-
рактер течения жидкости в трубе. Так, при движении неньютонов-
ской жидкости со скольжением на стенке канала скорость потока
в точке круглого цилиндрического канала с координатой г выра-
н

жается уравнением иг — — § f (т) dr — S (тЛ), где f (т) — функ-
Г

ция, зависящая от напряжения сдвига; т — напряжение сдвига;
«ск = S (тЛ) — скорость скольжения на стенке канала.

1 Г dQ п 1	1 ( ДО ।

Для данного случая f (тд) = ^5	^+3<?j “ li f* птд +

+ 3S
Используя понятие логарифмической производной и вводя обо-
значения d In Г/d In = \/n', din (S (TR)]/d In tr = i/k', получают
f (Tj?) = Г f3”' + Wn' ~ (Тд)/Я] (3^' + DM'- гДе f (т7 — истин-
ный градиент скорости сдвига на стенке канала; п' — тангенс угла
наклона логарифмической кривой зависимости напряжения сдвига
на стенке канала от эффективного градиента скорости; k' — тан-
генс угла наклона логарифмической кривой зависимости напряжения
на стенке канала от скорости скольжения на стенке канала,
k' = n'd In Г/d In [S i.

Эффективный градиент скорости

Г = [4n7(3n' 4-1)] [f (tr) 4- (S (tr)/Z?) (3 4- Ф/л')1.	(76)

где Ф — тангенс угла наклона логарифмической кривой зависимо-
сти скорости скольжения на стенке канала от эффективного гра-
диента скорости Ф = d In [S (TR)]/d In Г.

Если скольжение неныотоновской жидкости по стенке канала
отсутствует IS (тд)! = О и выполняется условие смачиваемости
твердой поверхности, то уравнение (76) преобразуется в известное
уравнение, устанавливающее зависимость между эффективным и ис-
тинным градиентом скорости при течении неньютоновской жидко-
сти, подчиняющейся степенному реологическому уравнению Ос-
вальда де Виля, т. е.

Г=[4п7(3л' 4-1)]/(тЛ).	(77)

Если вязкое трение пренебрежимо мало по сравнению с трением
скольжения, то эффективный градиент скорости может быть опре-
делен по уравнению

Г « [4л7(3л' 4- 1)] Г«(^)/7?] (3 4- Ф/п').	(78)

Коэффициент трения при течении неньютоновской жидкости
со скольжением по стенке круглого канала

S/?2 (4я')2 [f (tr)]2	S/? (4”,)2 S (TR) (з 4- ® j]

32тд (3nz 4- I)2	16тд (3nz 4- I)2

p (4n')2 [S (tr)]2 (3 _|_ Ф)2
32т(3nz 4- 1)	'

(80)

Исследования течения вязкоупругой жидкости, описываемой
трехпараметрической моделью Олдройда, показали, что нормаль-
ные напряжения направлены перпендикулярно к течению и равны
между собой. В этом случае вторичные течения не отсутствуют.
Для тех неньютоновских жидкосте , в которых вторичные по7
токи отсутствуют или не влияют существенно на распределение
скоростей, используются следующие зависимости, позволяющие
определить продольную скорость в каналах с кольцевым, эллипти-
ческим и прямоугольным сечениями:

для псевдопластичной (дилатантной) жидкости —

и - М п I f т° Уг
ср 2 [а + bn] \т )	’

д

_ Г П 1 Дер) п

Umax - 2 [д(у+я)]^/ ;

(81)

для бингамовского пластика —

(82,

а

, _ 'ттср 1_______1 /Тр\ а /То\^+

СР 2р6 [о + 6	+	+ \тср/

для жидкости Эллиса —

и	М I С1(Тср)5

ср 2 (а Д- Ь) \ ц0/ 5й + b ’

ЯгтсР , СИДрГ

Wmax“ Ш, +(3+1)Л,’

для жидкости Рабиновича —

Р [ С	(т )2 "

и = — СР -к К СР
Ср 2р0[й + & 1 ЛЗй + £>]’

Umax = . I ТСр 4 — (Тср)3 >
L z

(83)

(84)

где тср — среднее по периметру напряжение у стенки канала; а, Ъ,
S, С — параметры, зависящие от формы поперечного сечения кана-
ла; RT — гидравлический радиус; р0 — параметр реологического
закона Эллиса; R, р0 — параметры реологического закона Рабино-
вича.

Для каналов произвольной формы справедливо уравнение

Q = — (ф/4) (др/дх) 1(дих/ду)2 + (dux/dz)2] dydz, (85)
s

ОО

где ср — текучесть среды, ф = У1, А и т2п; п, Ап — параметры, п =
п=0

= 0, 1, 2 ...

Решением этого уравнения служит зависимость Q = —X

X (Л,1ЛГ2(п+2'/22(п+1))^+1> г^е /п+1 — некоторая функция, значения
которой определяются показателем степени в реологическом урав-
нении состояния.
19. Основные зависимости, характеризующие течение на начальном участке				
Реологический закон	Длина	Потери напора	Вид эпюры скоростей	Автор
Закон Освальда де Виля	£„ у = 0,122 Re D	Др/(0,5рн2р) = [2«+г х  X (1 + 3ri)/n)n]/Re X  X (L/D) 4- 1,33	—	М. Коллинз  В. Шоваль- тер
Закон Освальда де Виля	LH y = 0,101 Re D	Др/(0,5ри§) = (2n+2 х  X [(1 + 3n)/n]n/Re) X  X (L/D) + 1,22	Парабола в зоне торможения	Томита
Закон Шведова—Бингама	LH у = 0,025 II Re	△P/T = 2g —	Парабола в пристенной об- ласти	Л, С. Лей- бензон
Реологический закон fr/J = Pi [?£/] + .«2 X х М2+Рз[Т/;]3+ •••  Примечания: 1. В таб.  Щ = (Ki/K) (3ttxcp/n)m; vn н 7 (п  2. По исследованиям А. Б.	LHy = AHRe, A = const, A = f (pj,	Из)  яйце приняты следующие обо  S) — функции п и S (табл. 2( РЛетцнера и И. Л. Вайта для	An - 3 (»n~2V , - 2 \ a2 / +  +	-A(2-L)  значения: w— критерий Вайссенбе  ))•  ластичных жидкостей справедлива	“ = 2“ср [’	—	pi +	X  J<"l	2	х('  ln + 2AV R*J  i	Г	/	\2W+2l)  "  . X	I 1	(	D )	Н  n+1	L	\ R/	JJ  .рга, учитывающий эластичные сво£ зависимость L/Д = v («) Re + v (n. S	Капур, Гупта  ства жидкости »в>.
Гидродинамический начальный участок

Течение неньютоновских жидкостей в области входа в канал
имеет ряд своих особенностей. В общем случае для эластичной жид-
кости картина течения может быть представлена как показано на
рис. 43.

В непосредственной близости от входа существует зона квази-
твердого течения 1Ъ за ней — участок развивающегося течения
/2, который состоит из ядра и зоны приторможения течения, далее—
участок стабилизированного течения.

Важнейшими параметрами потока на начальном участке обычно
являются его длина LH.y, величина перепада давления и закон рас-
пределения скоростей.

20. Значения функций
Тп и Уп. S

п	S	у (п)	V (n, S)
0,5	0,5	0,122	0,288
0,5	1,0	0,122	0,062
1,0	1,0	0,133	0,108
1,0	1,5	0,138	—0,193
1.0	2,0	0,138	—

Рис. 43. Схема течения на гидродинамиче-
ском начальном участке.

В табл. 19 приведены некоторые сведения о гидродинамичес-
ком начальном участке, полученные для жидкостей, подчиняющихся
различным реологическим законам.

Анализ нестабилизированного течения на гидродинамическом
начальном участке позволяет отметить следующие характерные
для него особенности; поле скоростей на этом участке деформи-
руется по длине, а характер деформаций определяется реологи-
ческими свойствами жидкости; потери давления Арн.у превышают
аналогичные для стабилизированного течения Арст> причем величина
такого превышения существенно зависит от условий входа потока
в канал.

4.	ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

Режим течения жидкости существенно зависит от реологичес-
ких свойств. Как известно, справедлива зависимость Re = ПсР//(т/у),
где / — характерный размер канала.

Для цилиндрической трубы диаметром D касательное напряже-
ние на стенке тст = RAp/(2L). Если жидкость подчиняется реоло-
гическому закону Освальда де Виля, то — К[(3и+ 1)/(4п)]« X
X (8ucp/Dy, р = тстО/(8иср) = К [(Зи + 1)/(4«)Г (Sucp/D)"-1. Тогда
Re = Su^D^IlK (вп + 2/п)п].

Используя аналогичные рассуждения, получают выражение для
Re применительно к бингамовскому пластику и другим неньютонов-
ским жидкостям (табл. 21).
21. Формулы определения критерия Рейнольдса применительно
к некоторым типам неньютоновских жидкостей

Реологический закон	Форму Jia ал я расчета Re
t = f (у)  (общий вид)	
т = то + РбТ (закон Бингама)	pucpB'  Р6 [1 + (1оО)/(В6«ер)1
т = Куп  (закон Освальда де Виля)	8u^~nDnp /[ К (еП + 2) I
^ = К'Уп' (закон Метцнера)	pu2~n'D'/(8n’~lK') up

Ио—

11	1 + (.ъху/(тху)в)а~'

(закон для параметрической
модели)

В таблице приняты следующие обозначения: р0 и Р~ — наиболь-
шая и наименьшая вязкости для неньютоновской жидкости; (тХЙ)0 —
напряжение, при котором р. — (р0 + р„)/2; а—константа; F—
сила инерции, FTp — сила вязкого трения.

Следует отметить, что для определения режима течения вязко-
пластичной жидкости помимо представленного в таблице критерия
Рейнольдса, можно использовать также и критерий Хедстрема
Не = xxypD2/^.

Турбулентное течение неньютоновских жидкостей и условия
перехода от одного режима к другому изучены несколько хуже, чем
ньютоновских. Как правило, анализ в этом случае сводится к опре-
делению гидравлических потерь энергии (перепада давления Др
вдоль потока). Исходным методом также служит метод размерно-
стей. Ниже рассматриваются несколько случаев турбулентного
течения некоторых типов неньютоновских жидкостей.

Установлено, что величина Ар для цилиндрических труб дли-
ной / и диаметром D является функцией вязкости рб, напряжения
пластического трения тст, плотности р, средней скорости иСр и
шероховатости поверхности: Ар = F (I, D, р, нср).
Согласно теореме Букингема получают следующие безразмерные
критерии: Eu = А/?/(р^р); Re = pucvD/p6; Т* = рЫсР/тст; 1/D. При-
чем, величина Т имеет свойства критерия Эйлера.

Как и для неньютоновских жидкостей, в этом случае можно
записать = ф (Re, Т*), и §виду того что Re = ucpDp/p6 =

Р“ср

(tZcpHp/рб) (1/срТст/(«срТст)) '— (р^сР/Тст) (*^стП/(Рб^ср)) —	(S =

= тБ>/(рбйСр) — безразмерный параметр), получим (Ар/7) (£>/(р«сР)) =
— f (Т*, S). Здесь функция f (Т*, S) определяет коэффициент трения.
В этом случае параметр Хедстрема Не — ReS' = (Б>р/рб) иср [(тст£>/
/Рб) (1/Мср)] = РТстЛ/Рб2.

Функция f (Т*, S) зависит от значений S и Не. С увеличением
числа Рейнольдса она приближается к известной кривой стр =
= f (Re) для неньютоновских жидкостей. Если скорость цср стре-
мится к бесконечности

lim f(T*, S)TyP6 == const.

s->0
Re-* co

В табл. 22 показано, как можно определить коэффициент трения
при турбулентном течении неньютоновских и ньютоновских жидко-
стей при ламинарном потоке в цилиндрических трубах с круговым
поперечным сечением.

22.	Соотношения для расчета основных параметров течения жидкости

Режим	Ньютоновская	Вязкопластичная

Ламинарный	ДдЕ>2/(/р«ср) = 32,	ДдЕ>2/(/риср) = <р (S);

Турбулентный

Cf = 16/Re

2Cf = <р (S) Re-1;
lim <р (S) = 32;

2Cf = f (Re, S);

2^ =/'(Re, T*)

Следует отметить также, что критическое число Рейнольдса для
вязкопластичных жидкостей является функцией параметра S.

В общем же случае, например для жидкостей, подчиняющихся
закону Освальда де Виля Ар — F (L, d, иср, р, К., п), т. е.

Ар = (4Z/D) (pwcp/2) ф [{Dnu^np!K), п].

Так как D"ulp пр/К — Re, то коэффициент трения Стр = ф(Ре, п).
Существуют разные зависимости для определения функции Стр.
Например,

= 1/[4,0lg (Rej/C^) - 0,4], i/VC^ = Cr 1g (ReC^) + C2,

где Сг = 4,0/(n)°'7S; C2 = (1//Стр) — [4,0/(n)°-78] lg ^e C*p 2) .

Учитывая эти соотношения, коэффициент трения можно пред-
______________________________________________ / 1-—\
ставить в следующей форме: (1 /]/Стр) = [4,0/(и)°-75] lg ^ReCTp 2 J —

— (0,4/(n)i-2].

- Данная формула, по существу, является обобщением закона
Кармана.

23.	Параметры а и b в диапазоне чисел Рейнольдса 2320

для неньютоновских
жидкостей

в зависимости от п

п	а	ь
0,2	0,0646	0.6349
0,3	0,0685	0,325
0,4	0,0712	0,3307
0,6	0,0740	0,281
0,8	0,0761	0,261
1,0	0,0779	0,250
1,4	0,0804	0,231
2,0	0,0826	0,213

< Re < 105 для расчета в первом прибли-
жении пригодна формула Стр = 0,079Re-0’25.

Для неньютоновских жидкостей в виде
двухпараметрической зависимости эта форму-
ла имеет вид Стр = a (Re) ~6, где а и b — па-
раметры, зависящие от п. Их значения мож-
но определить из табл. 23.

Подход к анализу турбулентного течения
неньютоновских жидкостей, связанный с ис-
пользованием теории размерностей можно ис-
пользовать и при определении поля осред-
ненных скоростей. Предполагая, что турбу-
лентный поток может быть представлен тремя
зонами (ламинарный подслой у стенки трубы,

переходная область и развитый турбулентный
поток), можно осредненную скорость представить в виде следующей
функции: ux = F (Re, р, тСТ) у, k, п).

Если динамическая скорость и* = ]/ , то uxfu* — F2 {[R4p X
X (u*)2~n/k], n, g).

Для пристенной области uxlu* — F2 {[R4p (u*)2-"], n, g'1}, а дефи-
цит скорости Umax — ux =	(g, n), где Flt F2, F3— функции,

определяемые, в основном, экспериментально.

Следует отметить, что вид этих функций различен для гидрав-
лически гладких и_шероховатых труб. Так, если труба гидравли-
чески гладкая, то йх/и* = С3 4- С4 1g [г/н*р/р], где С3 и С4— кон-
станты, С3 = 5,66/(дг)0-75, С4 = —0,40/п1-2 + 2,458/п-0-75 [1,960 —
— l,255n — l,628nlg (з+ -Ц |.

\ п / 1

Для гидравлически шероховатых труб йх/и* — А + В In (у/А),
где А и В — константы, определяемые экспериментально (для нью-
тоновских жидкостей они соответственно равны 8>5 и 5,75).
5.	МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ

До настоящего времени нет достаточно полной и единой не толь-
.ко молекулярно-статистической, но и термодинамической теории
жидкостей, которая бы полностью раскрыла сущность вязкости.
Особенно это касается того класса жидкостей, который не подчиня-
ется закону Ньютона. Существуют полуэмпирические теории жид-
костей, которые с той или иной степенью точности выводят форму-
лы для вязкости жидкости, имеющей различную природу. Существует
формула Пуазейля, довольно точно определяющая р,ф для воды, фор-
мула Роландса, Флюгтера и Ваттермана для смазочных масел, формула
Освальда де Виля для некоторых неньютоновских жидкостей и т. д.

Используя представление о вязкости, как свойстве вещества,
наиболее целесообразно определять величину рэф исходя из струк-
туры потока и молекулярных процессов, происходящих в нем. При
этом необходимо считаться с тем промежуточным положением не-
ньютоновских жидкостей, которые они занимают между твердыми
телами и ньютоновскими жидкостями. Как и твердые тела, неныо-
тоновские жидкости обладают свойством передачи напряжения во
всех направлениях — на это указывает существование не только
продольной, но поперечной (эффект Вайсберга) и объемной вязко-
сти. Как и жидкости, подчиняющиеся закону Ньютона, неньютонов-
ские жидкости имеют различную по величине силу вязкости при
различных температуре и давлении, а также при различных скоро-’
стях течения.

Большинство полуэмпирических формул для коэффициента
вязкости р,ф получено при анализе зависимости между тензором
напряжения и тензором скоростей деформации данного вида жид-
кости при различных температуре и давлении. К наиболее распро-
страненной и широко применяемой при расчетах эмпирической за-
висимости такого рода относится формула р = [(1/2) /2](п~1)/2 X
X [ехр£'/(7?Т)]'1.

Реологический закон, описываемый этой формулой, получил
большое распространение ввиду своей простоты. Одним из основ-
ных его недостатков является узость диапазона его применения.
В связи с этим для целого ряда неньютоновских жидкостей целе-
сообразно применение других выражений для определения рэф.

Так, учитывая близость свойств неньютоновских жидкостей
к твердым телами и исследуя зависимость рэф от положения молекул
и расстояния между ними, был предложен следующий закон для
(р+—) ь
определения коэффициента вязкости: р = Ди~1/Зе''	> т.

Этот закон получен теоретическим путем; он подтверждается
экспериментальными исследованиями.

Эйринг предложил соотношение вида

j 1	1. Л

е _ ,090 . 10-4^	, (86)

VhkEKcnN3	у 3 ЕЕКСП
где 7? — газовая постоянная;; т = const; М. — молекулярный вес
данной среды; Т — температура; АЕИСп — энергия испарения; V —
молекулярный объем ; b = const = 2; Д' — константа скоростей
диффузии; fi — постоянная величина для данной формы молекул.
(Для молекул шарового типа h — 3, для вытянутых молекул h = 4).

__ з _____ / ±	\

Для более точных расчетов рЭф = у ю2/А01р3/М5/6у X
2Х° (	— 2Х°\

X VTe^T V — e^RT), где No — число молекул в одной грамм-
молекуле; со — собственный объем молекулы, 1° — внутренняя скры-
тая теплота испарения.

Ввиду того что отрезки молекулярной цепи взаимосвязаны еди-
ничными валентными связями и перепутаны между собой, их дви-
жение можно считать зависимым. Вязкость таких жидкостей может
быть определена как функция двух величин: частоты перехода от-
дельных молекул из одного равновесного состояния в другое /
и функции, характеризующей длину молекулярной цепи F (z), т. е.
р = F (г)Н.

При значениях z, меньших некоторой, так называемой критиче-
ской длины молекулярной цепи, функция F (z) изменяется. Средняя
длина цепи может быть определена из соотношения: z=Sa)zzz,
где од — весовая доля компоненты к, имеющей длину цепи zx, рав-
ную числу атомов в цепи. Величина же, характеризующая частоту
переходов отрезков молекулярной цепи, I зависит непосредственно
от температуры жидкости и от локального взаимного расположения
частей молекул в их строения. В результате ряда допущений отно-
сительно того потенциального барьера, который существует между
двумя равновесными положениями молекулы, получена зависимость
/ = K(K.TIh)er-hEKRT'i, где ияз 1 —коэффициент трансмиссии; К и
h — постоянные соответственно Больцмана и Планка; Т — темпера-
тура жидкой среды.

На основании последней формулы можно записать р = KN X
у e-^s/Re-^E/(RTyyt где д/— число Авагардо; V — молекулярный
объем; AS — энтропия активации.

Так как (ДА/V) е~^S/R — const, то р = const • е-ля/(ЛП.

Применение данной формулы несколько ограничено из-за слож-
ности определения величины энергии активации АД, которая опре-
деляет ориентацию молекул по потоку. С помощью ее чрезвычайно
просто объяснить эффект уменьшения вязкости при больших ско-
ростях движения.

Существует следующее выражение, довольно удобное для ин-
женерных расчетов коэффициента эффективной вязкости: ;дф =

= 5,7- lOWTV3, где М — молекулярный вес. Отклонения ре-
зультатов расчета по этой зависимости от вискозиметрических из-
мерений для многих жидкостей незначительны. Большие погреш-
ности наблюдаются при определении рзф полимеров со сложным
молекулярным строением.
Если предположить, что изменение давления жидкости в неко-
тором диапазоне несущественно, то представляется возможность
полуэмпиричёски определить коэффициент эффективной вязкости.

Многочисленные исследования показали, что вязкость ненью-
тоновских жидкостей при температуре Т можно успешно опреде-
лить путем пересчёта полученной экспериментально величины р0
для температуры То.

Одной из таких формул пересчета является следующая: 1g (р/
/р0) = В (1/Тк+1 — l/P*-1) g-₽/z, где а, 0, В — константы для дан-
ной жидкости.

Очень удобно, если То равна температуре стеклования. Как
известно, для каждого полимера подобная величина является впол-
не определенным параметром. Если имеет место два состояния жид-
кости с параметрами Ts, ps, p.s и ?, р, ц, то б определении коэф-
фициента вязкости важную роль играет отношение T|7\.ps/(i-|s7’p) =
= ат.

Было отмечено, что зависимость от разности (Т — Ts) для
случая (Т — Ts) < 50° выражается одной кривой для широкого
класса полимеров. А это означает, что а7 является универсальной
функцией в данном интервале температур. Расчеты показали, что
очень удобной для практического применения является формула
, п 8,86 (Г-7\)
'%	(101,6+ Т- Tsy

Согласно исследованиям, между параметрами, входящими в фор-
мулу Освальда де Виля, при течении неньютоновской жидкости
в трубе зависимость между перепадом давления и расходом описы-
вается уравнением

In {gAp/[4 (l/d)]} = In Кп + nIn [10,2 Q/rf3].	(87)

Величина Ku — К [(3n + l)/n], где К — консистентная постоян-
ная закона Освальда де Виля.

Индекс течения возрастает с увеличением перепада давления
в трубе: п = d [In g тт/ид\\/d in (10,2Q/d3). Величина n учитывает
динамические характеристики движущегося потока.

Окончательная формула для определения коэффициента вязко-
сти неньютоновской жидкости, движущейся в трубе, имеет вид

Иэф = {зррГ/2/[Е^Л4зг0(К - «)]	X

,, /л Ain\8i^\lldln(W'2Q/din~l

X (dll/dz) 1 L	.	(S«)

Принимая, что vr зависит только от переменного радиуса г и
durldr — dvr/dr и п — const, можно записать формулу: р.Эф= Ku£vf(r),
где fr — величина, зависящая только от геометрии трубы.

Последняя формула дает возможность произвести расчет коэф-
фициента вязкости, зная как молекулярное строение вещества,
так и его динамические характеристики. Причем, величина К вы-
числяется по формулам, учитывающим структуру молекул.

Разработке различного типа вискозиметров для определения
вязкости посвящен целый ряд специальных исследований [122,
70], где достаточно полно представлены конструкции и принцип
действия подобных приборов. По нашему мнению весьма удачной
является классификация подобных приборов, предложенная в рео-
логии Ф. Эйрихом (табл. 24).

6.	ОСОБЕННОСТИ ТЕПЛООБМЕНА
В НЕНЬЮТОНОВСКИХ ПОТОКАХ

Большинство неньютоновских жидкостей по своим физико-ме-
ханическим свойствам весьма чувствительны к колебаниям темпе-
ратуры в потоке. Особенно это касается тех сред, которые находят
применение в качестве сырья при различных типах переработки,
например полимеры. Существует ряд зависимостей вязкости от
температуры: р = AexpE/(RT)-, 1g рэф = 3,41g(p/pnp) + Сг (Т — 7С)/
/(С2 + Т — Тс) + F (т) + 1g р0 тах, рэф = Л'/'г/(ртахТ) exp [ERriRT)],
где Кип — реологические константы; Е — энергия активации вяз-
кого течения; А — const; Тс— температура стеклования; pmax —
наибольшая неньютоновская вязкость, F (т) — температурно-инвари-
антная функция |.1эф/р0 аномальной вязкости; Сг и С2 — общие для
всех линейных полимеров константы. Поэтому при течении боль-
шинства неньютоновских жидкостей возникает необходимость учета
условий теплообмена в них. Как правило, подобные задачи весьма
сложны [155], так как связаны с решением весьма громоздких
систем дифференциальных уравнений.

В качестве примера ниже рассматривается наиболее простой
случай теплообмена при ламинарном течении в канале. Темпера-
тура жидкости на входе в канал принимается равной То, а у стен-
ки — ТСт = const. Если форма поперечного сечения канала —
круг, то уравнение теплопроводности можно записать в виде
(Цх/1) дТ/dl = (Х/рсР) (W) [д2Т/ду2 + (1/t/) дТ/ду] +

+ Ра/(Рср/?2) (дих/ду)2 + (их/1) (Гср/рср) др/д1, (89)
где у = r/R, I = x/R-, (Т — То) /(Тср — То) — безразмерные ве-
личины координат, температуры и скорости. Левая часть уравнения
указывает на изменение температуры жидкости вдоль трубы; пер-
вый член в правой части — распределение температуры по сечению
трубы; второй и третий — локальное тепловое напряжение. Вели-
чины др/дх и их определяются из уравнений движения.

Это уравнение является основным при решении рассматривае-
мой задачи, для которой должны соблюдаться следующие гранич-
ные условия: (Т — То) /(Т„ — То) = 0 при г = R и х > 0;
(Т — Т0)/(Тст — То) — 1 при г < R и х = 0.

Так как решение уравнения (89) зависит от вида функции их,
то возможны следующие четыре случая: их — const (стержневое
течение жидкости); ах ~ г (г2/R2) (ньютоновская модель жидкости);
24. Классификация различных типов вискозиметров

Тип прибора	Тип движения жидкости в приборе	Реологическая среда	Наблюдаемый эффект
Вискозиметр: капиллярный	Прямолинейное	Ньютоновские, не-	Концевой эффект
ротационный	течение  Вращение	ньютоновские, ли- нейные вязкоупру- гие  Ньютоновские, не-	Стабилизированное течение  Стабилизированное
осевой цилиндри- ческий  качающийся осе-	Вынужденные ко-	ньютоновские, ли- нейные вязкоупру- гие  Линейные вязко-	и нестабилизиро- ванное течения  Нестабилизирован-
вой цилиндриче-	лебания	упругие	ное течение
ский  качающийся осе-	Свободное коле-	Линейные вязко-	Стабилизирован-
вой цилиндриче-	бание	упругие, неньюто-	ные течения
ский ротационный	Вращение	невские  Ньютоновские	Краевой эффект,
дисковый  качающийся	Свободное коле-	Ньютоновские	концевой эффект, эффект стенки  Краевой эффект,
дисковый  ротационный	бание  Вращение	Ньютоновские	концевой эффект, эффект стенки  Эффект стенки '
коаксиальный цилиндрический качающийся	Вынужденное ко-	Прямолинейные	» »
коаксиальный  качающийся ко-	лебание  Свободное коле-	вязкоупругие, не- ныотоновские Прямолинейные	» »
аксиальный сфе- рический конический дис-	бание  Вращение	вязкоупругие нью- тоновские  Ньютоновские, не-	Не краевой эффект
ковый  типа конус—ко-	Вращение	ньютоновские, ли- нейные вязкоупру- гие  Ньютоновские, ли-	То же
нус  типа конус—ци-	Вращение	нейные вязкоупру- гие  Ньютоновские, не-	Не краевой эф-
линдр  качающийся дис-	Вынужденное	ньютоновские, ли- нейные вязкоупру- гие  Ньютоновские, ли-	фект, не угловой  Краевой эффект,
ковый	вращение	нейные вязкоупру-	эффект стенки
типа падающего	Прямолинейное	гие  Ньютоновские	Эффект стенки,
шарика	движение		концевой эффект
Вискозиметр	Прямолинейное	Ньютоновские, ли-	Не концевой эф-
Качающийся	движение  Примолинейное движение  Осевое колеба-	нейные вязкоупру- гие  Ньютоновские  Линейные визко-	фект  То же  »
	ние	упругие, ньютонов- ские	
Продолжение табл. 24

Тип прибора	Тип движения жидкости в приборе	Реологическая среда	Наблюдаемый эффект
Параллельно-плос- кий эластомер	Сжатие	Ньютоновские, не- ньютоновские, ли- нейные вязкоупру- гие	Не краевой эф- фект

Г ! г \'2+I/"l

их = (3/2 + l)/(n + 1) «ср 1 — I) (псевдопластичная или ди-
латантная жидкость); ux=7?2/(4(ie) (др/дх) [1—(г/7?)2+(7?т0/р6)] [1—
— (г/^)1 (бингамовский пластик).

Для простейшего случая, когда диссипативным членом в урав-
нении (89) пренебрегают, профиль скоростей соответствует квази-
твердому течению:

(Тс.- Т)/(ТС.~ То) = X 2/1Й,/,- («,)] 10 (aty) ехр [-я?(л/Gr)], (90)
1=1

где я, i-й корень функции Бесселя Z0(flf); Gr — критерий Грэтца;

Gr = QmCp/[Xxl); Qm — массовый расход.

На основании соотношения (90) получена зависимость между
Gr и коэффициентом теплопередачи: аО/Х=(2/л) Gr (1—4<pn/Gr)/(l -f-
+ 4cpn/Gr), где функция

то

ф = I/O? ёХр I—Й2л/Сг].
1=1

(91)

Величина, стоящая в левой части уравнения (91) является крите-
рием Нуссельта. Таким образом, для степенных неньютоновских
жидкостей [155]

Nu = 1,75 [(Зп + l)/(4n)]0-5Gr°-5.

(92)

Это уравнение справедливо в том случае, когда изменениями тем-
пературы и вязкости можно пренебречь.

Распределение температур в потоке неньютоновских жидкостей
со степенным законом Освальда де Виля определяется из уравне-
ния теплопроводности

Если обозначить безразмерную температуру через Q = (Т —
— Т0)/(Тс. — то), a Q = <р (у) ф (Z), получим следующую систему
уравнений:

I dV _ Z	ps

V dZ “ pCp «cp(3n+!)/(«+!)'

(94)

d2cp 1

dy2 "T” у

dtp
dy

Если n — 0, то течение соответствует стержневому движению жид-
кости, если п = 1 — ньютоновскому.

Теплообмен на начальном участке
цилиндрической трубы

При наличии теплообмена между жидкостью и стенками канала
в области гидродинамического начального участка течение можно
разделить на три зоны. В первой происходит развитие гидродина-
мического начального участка (гидродинамический пограничный
слой), во второй — развитие термического начального участка (теп-
ловой пограничный слой). Третья зона простирается за пределы
LH.y и Тт.п- Так как развитие теплового пограничного слоя в большин-
стве случаев происходит не одновременно с динамическим, то воз-
никает необходимость выделения зоны, простирающейся от 0 до
/.„.у. Ранее уже отмечалось, что для развитого установившегося по-
тока профиль скорости может быть определен по формуле их =
= (zzjcp (Зи + 1)/(«+1)[1 — (г/Д)'!+1/п]. Для любого сечения началь-
ного участка трубы данная формула перепишется в следующем виде:
«х = («Дер (3„ + !)/(« + 1) [1 - (//₽Г+1/«] (1 -

Затем, на основании теоремы о количестве движения, получают
выражения для определения ЬГК№.

Таким образом для гидродинамического пограничного слоя
в начальном участке трубы определяют все основные характери-
стики течения.

Несколько более сложным является нахождение характеристик
теплового пограничного слоя. Как показали исследования, для
первых двух зон профиль температур при г <	(6Z — толщина

теплового слоя) определяют по формуле

/ —/0_ 3 г. Vi /дУ

btq ~~ 4 б/ 2 (б J + Ui /	4 \6f j ’

(95)

где Zo — температура жидкости на входе в трубу; q — тепловой по-
ток через стенку трубы.

Данное выражение (95) удовлетворяет лишь частным условиям,
например граничным условиям метода Польгаузена. В этом случае
выбранная эпюра изменения температуры (91) плавно стыкуется
с эпюрой в области (Lg < х < Lt). В других случаях можно было
бы выбрать кубический, паралогический профили, но тогда следует
иметь в виду, что расчетное число Нуссельта не дает действитель-
ного его асимптотического приближения. Приближенно, предпола-
гая, что кинетическая энергия между двумя сечениями начально-
«ого участка не изменяется, уравнение баланса тепловой энергии
представляется в виде

(w2)cp (R

Rq _ £ С Stq (Зп+ 1)
ср dz J п + 1

о

(96)

Это уравнение справедливо при п ~ 1. После приведения к линей-
ному виду можно записать

где Рг =	, g = 6*/6*. Качественная оценка уравнения (97) уста-

навливает зависимость между толщиной динамического 6* и теп-
лового 6* пограничных слоев на начальном участке; допускается
возможность использования его для неньютоновских жидкостей.
Применяя уравнение (95) и (97) для области Ld < Z < Lt, получаем
следующее соотношение при п, близких к 1:

л 9г Г 33	^5 х 13	«.5 \ . 3	е.3 ,"1 /ос\

W - 2 [ззео & -	- 140	~	+ 20	- М • <98)

Для области Z > Lt отношение

t — to_ 3____г____1/ г \	। (г _____/_£ \	/nq,

Rq ~ 4 R~ 2\R)	\R)	4 \ R~ j ' k '

Последнее уравнение дает представление о распределении тем-
пературы в области за пределами гидродинамического и теплового
пограничных слоев.

Как известно, локальное число Нуссельта

№-(4)в?-(2ЖЯ)-	<'°о>

где 6* = (6/7?) £— для первой области, Re — обобщенное число
Рейнольдса.

Для области развивающегося пограничного слоя локальное
число Нуссельта рассчитывают с помощью уравнений, определяю-
щих длину гидродинамического начального участка, а значение %
находят по уравнению (97) или аналогичному ему посредством раз-
Рис. 44. Г рафи-

ки зависимости

Nu = f(Cr):

а —* п = 1;	б —

0.5: в — 0.2; г

0.1.
25. Основные расчетные зависимости для неизотермического потока в трубе

Индекс тече>. ния в степен- ном законе Освальда де Виля	Закон распределения скоростей по сечению трубы	Закон распределения температур ио сечению трубы	Критерий Нуссельта в точке потока
0	Ux = «СП = const ’“Р	(7 — 7СТ)/(7ВХ — 7СТ) = <pfe X  . \ А  Х \RJe  при я = 3 £,= —0,5783, S2 = —30,718  S3 = —113,494, <рх = 1,601 — 2,301 X  X (-£) + 0,818 (“У — 0,109 X  \ KJ	\ К J  [ r V  X D- , <p2 =—1,016 + 6,810 X  \ i\ /  t Г V	I r V	I r V  x W -9’794 W +4’°Ы	Г	94 Q4 у  5,783 1 —	~ 4- 1,426 exp X  Nil = 	Ь	-	—		;		  /	24 93 х X  1 + 0,203 exp 1 —	~ 1 + 0,159 exp X  v (	107,7 х \  Х\ PeR) /	107,7 х \  Х \	Ре R /
3

Тот же закон для

Т —Т
вх 'ст

при и =2 S1 = —3,435, S2 = —37,321,

+ 0,822

q>2 = —0,552 3,79 X

= 1.408 — 2,230

1/3

p,494 —2,212	+

4,179 x \
Pe R ) +

35,037 x \

Pe RJ

—0,699 + 4,094

Примечание. Pe — критерий Пекле.
1+0,,7вр(-^л)

о й. Г, I ч чсо	(	30,858 х

3,84 1 + 3,358 exp I---р^~

1 л юс ( 30-858 х 1
1-0,196 ехр -----
южения в степенной ряд относительно б*. На рис. 44 показан ха-
эактер изменения числа Нуссельта для рассматриваемых случаев
123], а в табл. 25— основные расчетные зависимости.

Глава 6

ТЕЧЕНИЕ В ТОНКИХ ЖИДКОСТНЫХ ПЛЕНКАХ

Разновидностью течений вязкой жидкости, где важную роль иг-

рают силы поверхностного натяжения, являются пленочные тече-

ния, реализуемые на плоских и цилиндрических поверхностях

в поле действия грави-
тационных сил. С такими
течениями особенно час-
то приходится встре-
чаться в химической про-
мышленности [5, 150, 38,
65, 49, 121, 31] (процес-
сы абсорбции, десорбции,
ректификации, очистки,
охлаждения, увлажне-
ния, осушки). На рис. 45
представлены конструк-
ции аппаратов, в кото-
рых реализуются пленоч-
ные течения: выпарной
аппарат для получения
целлофана (а); экструзи-
онные наносящие устрой-
ства для получения кино-
фотоматериалов (б, в);
формующий инструмент
для получения двухслой-
ных полимерных пленок
(г); угловая кольцевая
пленочная головка (д).

8
Существуют различные пленочные течения, которые могут на-
блюдаться на плоских, цилиндрических, конических, спираль-
ных и других типах гладких и шероховатых поверхностей, установ-
ленных как вертикально, так и под углом к горизонту. Пленоч-
ные течения могут быть однофазными и многофазными [38, 65];.
однослойными (рис. 46) и многослойными (рис. 47) [651; нисходя-
щими и восходящими [168].

Важнейшими параметрами пленочного потока являются: сред-
няя толщина пленки 6, которая связана с толщиной пленки по-
2

Нуссельту зависимостью /V = 6 (q/v2)3 для вертикальных орошае-
мых поверхностей, средняя скорость потока в пленке иср, каса-
тельное напряжение у стенки тср, волновые характеристики пле-
ночного потока, такие как амплитуда, частота, длина волн и фазовая
скорость.

1.	ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
ФОРМИРОВАНИЯ ЖИДКОСТНОЙ ПЛЕНКИ

Формирование пленочного те-
чения во многом обусловлено
движением жидкости в распре-
делительном устройстве, обеспе-
чивающем переход от напорного
движения к безнапорному. В за-
висимости от условий, необходи-

Рис. 45. Примеры конструкций аппа-
ратов, где реализуются пленочные
течения жидкости.
26. Параметры потока в распределительном устройстве

Вид распределительного устройства

Гидродинамические параметры

Щелевые распределительные устройства

Щель между параллельными пласти-
нами (ширина Ь, длина L, высота Н)

Коническая симметричная щель (рас-
ширяющаяся или сужающаяся)

. 12hQL • 6а

= ^ьн*

Др=_^_/±_±\;
еь tg р \нъ Hsj

6Q

V—---

ЬН*
ср

др=_^-/±_±\;

eb tg Р [hi hi)

.Щель между коаксиальными цилинд-
рами радиусов и /?2

6Q

7 =-----

1

. ___8[iQ0L \RJ___________

Р ~ Ji/?* L (/?0//?1)4 .

R

R1

или

Щель между цилиндрами, имеющими
эксцентриситет

Др = ^^(7?1-7?2)3

Qo = f

8 у

4 (Я2-'1)а

W-rl +----7—Г

где Q3 и Qo — расход при наличии
эксцентриситета и без него; I—дли-
на канала
	П родолжение табл. 26
8ид распределительного устройства	Гидродинамические параметры
Щелевой зазор между двумя кониче- скими поверхностями (сужающийся канал) радиусов RB, R±	А	6QU.LM  Др = , n х D - т-r, где (л/?062А?1о1)  м	/?062  - (Яо62- RA)2 ЯЛ  6Л (ЯО62 — ЯЛ) 26262  1 *

Переливные распределительные устройства

Прямоугольной формы высотой Н (по-	Q	£Я3/2
рог Я1)	~ н + нг Н + Я, ’ g — т У2g при Н < Б — 7 см  /. , ««2ВЫХ\3/2  -(0'405+о»)[|+0-65 (»+%.]
С формой сечения в виде трапеции	н	н  Q = j Ио* K2gz dz — § pofe X 0	0  Н  X У2gz dz + J 2p0// tg 0 2gz dz — 0  H  — (j 2pioz tg 0 У 2gz dz, 0  или упрощенную  Q = m (b 4- 0,8/7 tg 0) F2g№/2
С направляющим аппаратом, обеспе- чивающим отсутствие вакуума	Q = m У2gbH3/2, rue коэффициент расхода m определяется с учетом ко- эффициента формы и полноты на- пора

мых при пленочном течении [53, 79, 138, 153], распределительные
устройства можно разделить на несколько типов. Наиболее типич-
ными из них являются щелевые, переливные, струйные, разбрыз-
гивающие и капиллярные [38, 138]. В табл. 26 в качестве примера
представлены основные характеристики ньютоновского потока в рас-
пределительных устройствах (щелевых и переливных).

В зависимости от типа распределительного устройства и гидро-
динамических параметров движущейся в нем жидкости формирует-
ся поток в пленке. Наиболее типичные пленочные потоки показаны
на рис. 46.

Как показал эксперимент [82], возможно существование трех
основных режимов пленочного течения: первый соответствует чис-

Рис. 46. Некоторые типы пленочных течений (/ — область распределитель-
ного устройства; Н—гидродинамический начальный участок; III— область
стабилизированного течения:

а—на плоской вертикальной поверхности; б — наклонной поверхности; б — на плоской
поверхности, извлекаемой из жидкости; е — на плоской поверхности при формирова-
нии двух- или многослойного потока; д—на наклонной поверхности при плавлении
твердого тела (теория Гриффина); е — на профилированной или шероховатой поверх-
ности.

лам Рейнольдса Rt — ttcp6p''p < 30; он характерен постоянством
толщины пленки 6; второй наблюдается при Re > 50, характерен
появлением волнообразований; третий имеет место при Re » 1500,

отличается ярко выраженным
турбулентным режимом дви-
жения жидкости.

Рис. 47. Схема двухслойного тече-
ния жидкости:

1 граница контакта слоев.
2.	ЛАМИНАРНОЕ ПЛЕНОЧНОЕ ТЕЧЕНИЕ
ПО ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Уравнения движения жидкостной пленки, медленно стекающей
по вертикальной плоской поверхности вдоль оси х, в общем случае
имеют вид

_ £ с'36 I р (д2"> I д*иЛ , п . лпп
dt ~^Ux дх U,j ду р dx3 + р \ дх2 + ду2 / + °*'

I &Ub __ Q
дх ' ду '
где о — поверхностное натяжение в жидкости.

Установлена зависимость между величиной их и толщиной сте-
кающей жидкостной пленки [82]:	[ uxdyj •

При 'стабилизированном течении жидкости, когда толщина б
постоянна, распределение скоростей в пленке осуществляется по
закону

ux^gy/V@ — У/2).	(102)

При этом предполагается, что силы поверхностного натяжения
практически отсутствуют.

При тех же условиях для гидродинамического начального уча-
стка справедливо соотношение [79]

их = \СоУ — ах (У2/2)\ + (X + е)-1 Cty + (х + е)~2 [(o^q/40) у-' —
- (С,А/12) р4 + С2у\ + (х + е)-3 [(ахС2/%У).у’ -

- (С| + 2COCS) (р4/12) + Csy\ + (X + 8)-< [(3a,q/40) y:' -

- (COC3 + qq/4) /] + (x + e)-61- (Cl + 2qc3/6) y*\ +

+ (x + e)-e((C2q/12)y4l,	(103.)

где ej, q, C2, Cs — постоянные, определяемые из граничных услг
вий. Для случая, когда Re = 465 ширина щели в распределитель-
ном устройстве составляет 2  10-3, Со = 14,885; q = —0,1193:
q да 0,078; q да 0,061.

Сведения о распределении локальных скоростей в пленке позво-
ляют определить плотность орошения поверхности Г и толщину б.
что чрезвычайно важно при решении задач, связанных с тепломас-
сообменом.

Следует отметить, что результаты, представленные зависимо-
стями [102] и [103], справедливы лишь для случая, когда распреде-
лительное устройство представляет собой щель со строго параллель-
ными стенками. В случае же нарушения параллельности осуществ-
ляются соответствующие деформации в эпюре скоростей и проис-
ходит перераспределение напряжений в пленочном потоке [29, 138].

При пленочном стабилизированном течении жидкости по наруж-
ной цилиндрической поверхности радиуса R 11051 используется
следующее выражение для распределения скоростей [1051:

- (fe + iff) <R+6>*(i) •	<|04>
которое позволяет рассчитать плотность орошения поверхности по
формуле

q =	|п	+W(R+8)> _ к»] _

g63 Г. , 6 , з { 6 V . 1 ( 6 V , 1 { 6 V ,	1 ,1п1-.

° 4? L1 + R + 20 \ R ) + 40 \ R ) + 140 \ R ) + ' ''] ‘ ^105^

При увеличении радиуса R до бесконечности выражение (105)
будет справедливым для жидкостных пленок, стекающих по плос-
ким поверхностям.

На основании приведенных зависимостей получены данные о сред-
ней толщине пленки, стекающей по вертикальной поверхности (спра-
ведливо условие тху = 0 при у = 6), которые приведены в табл. 27.

27. Рекомендации к расчету толщины жидкостной пленки,
стекающей по вертикальной поверхности [26]

Формула для определения величины 6Ср	Значения критерия Нуссельта
(3p/4pg)0'33Re0,33  0,93 (3p2/4p2g)°’33Re0,33 0,0473 (3p.2/4p2g)0’33Re0-66 0,2287 (3p2/4p2g)°’33Re0’66 0,2929 (3p2/4p2g)0,33Re0,5 0,1552 (3p2/4p2g)°’33Re°’58 0,8832 (3p2/p2g)°'33Re0-337 0,145 (3p2/4p2g)0,33Re0’6	0,9084Re°-33  O,8448Re0,33  0,0430Re°’66  0,2077Re°-53 (Re> 1600)  O,2661Re0,5 (Re> 1600)  O,141ORe0,58 (Re >4000)  O,8O2Re0,337 120 < Re < 1200 0,1317Re°’6 (Re > 1600)

3. ЛАМИНАРНОЕ ПЛЕНОЧНОЕ ТЕЧЕНИЕ
ПО ПРОФИЛИРОВАННОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В случае течения по профилированной поверхности необходимо

учитывать силы поверхностного натяжения на свободной поверхно-
сти пленки. Обычно в этом случае принимаются следующие допу-
щения [79, 6].! отсутствуют проскальзывания жидкости у стенки;
на свободной поверхности пленки у = б (х, t), следовательно,
я= = 0; выполняется условие, характеризующее зоны изме-
нения давления, р = р0 — {оф +	ZJ, где По-

давление газа, граничащего с жидкостной пленкой; а (х, t) =
— f (х) + б (х, t), f (х) — граница, задающая профиль поверхности,
по которой стекает жидкость.

Если для рассматриваемого типа ламинарного течения выпол-
няются соотношения иу[их == д[ (х)/дх и при Y = f (х) + б (х, t)
имеем иу/их — (df (х)/дх) -f- (д8(х, t)/dx), то толщина пленки в об-
щем случае определяется из зависимости

6	= о J { J [f	+ ау — ё “ 7- |рг) dx\ dx] dx—

—/(х) + С0 + Cix + C2 — g ~	J dx^ dxj dx, (106)

где Co, Clt C2 — некоторые постоянные величины.

При стабилизированном пленочном течении

=v [?	+d [б (х) {у+f (х)) ~ °’5 (у+f (х))2];

= V (? т + *0 {/' w d (У + f W) - 0-5 d£ (у + f (х))2 +

+ v i [4 (у+f w)3 - °’56 (у + f w)2]} • (107)
Толщину жидкостной пленки вычисляют по формуле

б — ( 3y2Re \1/3

-|4Г££Мх)	1!

\ [р dxs +gJ7

Если же течение не стабилизированное, т. е. происходит на гид-
родинамическом начальном участке, то зависимости [107] для дан-
ного случая примут вид

_ 1 [ ’ й, W + 6 (х)1 + g) И Lt+fW _ te+ *<>» +

х 7 (р дхъ 1/4,1	4	1	[15	6 (х)	2	'

Q/ + 6(x))6(x)l	/ (у + fMY3 , 3 (f/ + /W)2\.

4	5 J + Т Ке	+ S’ 63 (X) ) ’ (108)

Что касается величины 6 (х), то она может быть найдена из
соотношения

4 U ~ [/ (х) + 6 (х)] + й б3 (х) + 0,38857 у2 Re2 х- Зу2 Re=0.
У t/Л	J	С/Л

Z	(109)

4.	ПЛЕНОЧНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПО ПЛОСКОСТИ,
ИЗВЛЕКАЕМОЙ из НЕПОДВИЖНОЙ жидкости

Пленочное течение по плоскости, извлекаемой из неподвижной
жидкости, имеет ряд особенностей [168, 82]. В соответствии с рис.
46, в жидкость приходит в движение вслед за пластиной, движу-
щейся со скоростью и0. Причины этого движения связаны с ^переда-
чей части количества движения в вязкую жидкость и действием
сил тяжести и капиллярного давления, приводящих к образованию
мениска возле пластины. Подобное течение можно представить
в виде трех зон [1681: I — с постоянной толщиной пленки и почти
не проявляющимися силами поверхностного натяжения; II —
с переменной толщиной 6 (л) и существенным влиянием на течение
сил поверхностного натяжения; III — с подавляющим влиянием
на поток сил поверхностного натяжения. Для зон II и III существен-
на зависимость 6 от скорости движения пластины tzc, вязкости жид-
кости р (ее реологических свойств), величины pg и величины о.
Для зон I и II справедливыми являются соответственно уравнения
движения

+ Pg = О, дтху1ду + pg + od36 (x)ldx? = 0,	(110)

решения которых для ньютоновской модели жидкости приведены
ранее. Для зоны III, где формируется статический мениск, можно
использовать зависимость вида [821

д26(х)/дх2 = (pgx/cr [1 + (do/dx/dx)2]3/2. (Ill)

Интегрирование данного уравнения позволяет установить, что

(x)!dx 0 при х -> [/2 [о/(pg)]0'5,

т. е. что d26(x)/cfx2->-[/2 (pg/o)0-5. Данные соотношения являются
условиями для функции 6(х) на границе области мениска.

На основании условия неразрывности среды можно записать Q(=
б(х)

= Qu = Qhi = У uxdy. Важное практическое значение имеет за-
о

дача о предельной величине толщины пленки, получающейся при
извлечении пластины из вязкой жидкости. Такое значение 6 = 60
возможно при х -> оо. Для общего случая установлено, что 60 =
= (pwo/(pg))0,5/ (рп/о), где и0 = Q/60, а функция f (ptz/о) « 0,93 X
X (рц/о)0’5 при рп0/сг<С 1 и f(yu/a)x 10 при ptz0/o^> 1.

Пленочное течение неньютоновской жидкости Эллиса описы-
вается реологической моделью типа

—duxldy = la + ba] |	1а-'т:Х!/,	(112)

где a, b и a—реологические константы [1681. Решение соответст-
вующих уравнений движения позволяет определить расход жидко-
сти в зоне I (6 = const) и II (область динамического мениска);

$0

_ Q, = J uxdy =	- fapg630/3] - [(&pg)“60a+7(« + 2)]: (113)

о

б

Qn = У uxdy = tzn6 — (am63/3) + [(btn)a8a+2/(a + 2)], (114)
0

где m=(>g — ^(F8(x)/dx3. На основании этих выражений можно
судить о толщине жидкостной пленки 6 (х) и 60. В общем же слу-
чае [168]

60 = 0,944

(а + 2) А0А, (!-//„- НУ

(а + 2) Д, + ЗаА0Н — *

2/3

(115)

Здесь Ао = u0/Qt;; А, = (6“ 'w0/fcT)l/2; Но = 60 (dpg/«o)0,5;	=

= $о	-

5.	ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТНЫХ ПЛЕНОК [138, 82]

Наличие волн на поверхности гравитационно стекающей жид-
костной пленки наблюдается обычно при числах Рейнольдса, пре-
вышающих 20—30.

Существенным отличием волнового течения от ранее рассматри-
ваемого является то, что для последнего чрезвычайно важную роль
играют капиллярные силы, возникающие в процессе волнообра-
зований на свободной поверхности пленки. Для характеристики
волнового потока используется волновой критерий Рейнольдса
Renp. в, соответствующий появлению первых волнообразований.
Получены разные соотношения: Renp. в = 2,431 Re4 Fr/We3 j1/11, где
We = 4&црр/т; Fr = (l/36)g63/?2; Renp. B = 1,21 Re4 Fr/We310-1;
Renp.B = 1,164 j Re4 Fr/We3 i'/8. Разнообразие предложенных формул
указывает на широкий круг факторов, которые могут способство-
вать волнообразованию, учесть которые не всегда представляется
возможным.

Для аналитического описания подобного течения могут быть
использованы уравнения Навье—Стокса, в частности ~ + их —

I f Sux , \ дих т rfy6 д2их 66 (х) д (С , \	„

— I ~dyhr- = - -г-з + И= — a \ \uxdy]- Если
\J дх а / ду р ах3 1 г ду3	dt дх \ J J /

длина волн А.* велика по сравнению с толщиной пленки 6 и урав-
нение поверхности описывается выражением у = 6<р'/(ф/ + 1) (ф' —
функция, характеризующая волновые колебания), то средняя ско-
рость нср = ц0 + (с — и0) ср — (с — п(|) ф2, где ы0 — скорость в среднем
сечении потока толщиной 6, и0 — Q/\,\ с — фазовая скорость волн.
Для определения ср используют уравнение т60/р (cPtp/dx3) — (с — и0) X
X (9ц0/10 — с) dq>/dx — Зу/62 (с — 3«0) ф — ЗуПд/62 = 0. Из этого
уравнения следует, что <р = а sin (kx— at), где k — волновое число
р, i у g	j у 2

), <o = c^ = 3Hof^) [10]. Волны на поверхности
пленки существенно отличаются от обычных. Они имеют незату-
хающий характер, непрерывно поддерживаемый за счет действия
на жидкость сил тяжести.

Незатухающий волновой режим связан с тем, что диссипируе-
мая энергия волн полностью компенсируется работой, совершаемой
силами тяжести, Дс.т = PgQ = РёДЛ- Диссипируемая же энергия
с

при пленочном течении — dE]dt — р (дих[ду)2 dy = ЗрНсР/6. Таким
о

х*

образом, имеем pgQ — Зр (Q2/60) (1/А*) I (1 + — ф) / (1 + <p)3dx.

J \ uo / /

О

X*

Для расхода Q средняя толщина пленки 6сР = 3nQ/(pg)(i/^)f [(1 +

0 L

+ — ф) / (1 + <р)3 рх. Это же выражение является условием, по-
зволяющим вычислить амплитуду незатухающих волн А*, которая
в рассматриваемом случае меньше 146О.

Продольная составляющая вектора скорости [82]

их = Зы0 [1 + 0,6sin (Ах — со/) — 0,3 sin2 (Ах — со/)] [(г//6) — (г/2/262)],

(Н6)

поперечная —

иу= l,8«0Acos(Ax— со/) [1 — sin(Ax— со/)] [(г/2/26)— (г/3/(662))]. (117)

Следует отметить, что относительное увеличение поверхности пленки
за счет волнообразования, связанное с наличием А*, в соответствии
с исследованиями [26], определяют на основании зависимости AS =
= (6ла*/А*)2{1 + ра*рА3/(16л36т)]2}, где а* — волновая амплитуда.

6.	МНОГОСЛОЙНЫЕ ПЛЕНОЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ [5, 98]

Одной из разновидностей пленочных течений, находящей все
большее и большее практическое применение в промышленности,
является многослойное течение. Такое течение чаще всего реали-
зуется на наклонных поверхностях и имеет вид, представленный
на рис. 46, г. Подобные течения [5, 98] находят применение во мно-
гих областях техники ,(см. рис. 52). .

Как видно из рис. 46, г жидкость, выходящая из двух распреде-
лительных устройств, попадает на наклонную поверхность, где
и формируется многослойное пленочное течение. Обычно, в связи
с тем что расстояние между щелями сравнительно невелико, та-
кое течение является нестабилизированным. Важное значение
имеет здесь условие на границе контакта слоев жидкости, которое
задается скоростью контактной ик или его напряжением контакт-
ным тк (рис. 47).

На основании условия неразрывности потока для рассматривае-
мого случая справедливы следующие соотношения [5]:

Qnl = «к1Ак1 = «к2^к2 — Wkj/IksJ

Qn2 ~	~	(118)

Qnn =	—2)^n(n—2) — ... uScni

X Qn = и X (6cl + 6c2 + ... + Sen),
где Qni, Qie, ... , Qnn — количество жидкости, проходящей через
первое, второе, п-ое распределительные устройства; tzK1, н;(2,... , ик„ —
скорость течения жидкости соответственно в первом, втором, и-ном
распределительном устройстве; 6ci, ёс2, ... , ёсп— соответствующие
толщины слоев жидкости в пленке.

Описание течения жидкости в каждом из слоев можно осуществ-
лять отдельно с дальнейшей стыковкой гидродинамических пара-
метров на границе контакта [5, 174].

Идеализированная модель многослойного пленочного течения
имеет вид, показанный на рис. 48. Для стабилизированного течения
при постоянстве толщин слоев и ё2 получены выражения, харак-
теризующие расход жидкости, протекающей в слоях ' пленки. Эти
выражения, являющиеся дополнением к системе уравнений (118),
имеют следующий вид:

Qic — pg sin a/(2pj х
х (2^/3 + fi2eb;

C?2c = pg sin a/p2 (ёД —

-ё21/2)(ё2-ё1) + (119)
+ pg sin a/p2 (ё®/3 +
+ Зё!/4-ё1ё2).

Данные соотношения нуждаются в корректировке, связанной
с деформацией поверхности пленки в зонах выхода каждого после-
дующего слоя из соответствующего распределительного устройства.

Весьма важным моментом в рассматриваемом течении являют-
ся условия, обеспечивающие отсутствие перемешивания жидкости
в слоях. Смешивание, например, при нанесении фотоэмульсии на
пленку, обусловлено седиментацией и диффузией. Анализ показал,
что преобладающее значение имеет седиментация, так как толщина
слоев ёъ ё2, ..., ё„ мала [5].

Глава 7

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

В гидромеханике велика роль эксперимента [76]. Возможны
два его типа: с натурными объектами и их моделями. Исследование
натурных объектов представляет значительный интерес, их резуль-
таты наиболее ценны и такие исследования в настоящее время ши-
роко проводятся. Однако испытание натурных объектов связано
с большими трудностями. При таких испытаниях в большинстве
случаев отсутствует возможность детального исследования- отдель-
ных факторов, что не позволяет глубоко разобраться в сложной
картине явлений, которая может затемняться рядом побочных
процессов.

Модельные испытания основываются на рассмотрении физиче-
ски подобных явлений, когда имеется прямая возможность резуль-
тэты распространить на натурные условия [9, 11, 22, 33, 41, 66, 76,
81, 891. В модельных испытаниях во многих случаях могут быть
сохранены основные особенности явления и вместе с тем создается
возможность проведения достаточно точных измерений. Изучение
гидромеханических явлений на моделях в большинстве случаев
оказывается проще, удобнее, экономнее и быстрее, чем на натурных
объектах.

1. ВИДЫ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Чтобы осуществить экспериментальное исследование какого-
либо процесса, необходимо. по крайней мере знать, от каких вели-
чин зависит искомая величина, т. е. необходимо знать перечень
параметров, определяющих данный процесс.

Если имеется возможность составить физическую модель про-
цесса и сформулировать его математическое описание в виде замк-
нутой системы- уравнений, начальных и граничных условий, то
перечень определяющих параметров известен. При отсутствии такой
возможности перечень параметров может быть определен из физи-
ческих соображений, предварительных наблюдений и эксперимен-
тов качественного характера. В последнем случае перечень сущест-
венных для описания рассматриваемого процесса величин может
оказаться недостаточно полным.

Чем больше предварительных сведений об изучаемом процессе,
тем достовернее перечень определяющих этот процесс параметров,
чем сложнее изучаемый процесс, тем, как правило, больше парамет-
ров входит в перечень, а по мере увеличения их числа многократно
возрастают трудности в проведении эксперимента, представлении
его результатов, их интерпретации и обобщении.

Поэтому при экспериментальных исследованиях в области гид-
родинамики возникает необходимость изыскания такого способа
подготовки эксперимента и представления его результатов, чтобы
при минимальном объеме измерений получить максимум информа-
ции. Эта цель может быть достигнута вследствие качественного ана-
лиза перечня существенных величин либо с помощью метода размер-
ностей или метода подобия (математического описания процесса).
Указанные два метода являются методами теории подобия. Их ис-
пользуют с целью научного обоснования гидравлических моделей,
предназначенных для изучения гидродинамических процессов в ла-
бораторных условиях.

Применение методов теории подобия позволяет сформулировать
требования, предъявляемые к лабораторным моделям [22, 33, 76,
81], провести научно обоснованные экспериментальные исследова-
ния и определить способы обработки и обобщения эксперименталь-
ных данных. С помощью этих методов можно также предсказать
структуру физических закономерностей, внутренние связи между
переменными параметрами, а иногда и общий вид аналитической
зависимости. Весьма важной стороной методов теории подобия яв-
ляются аналогии, при которых физические явления различной при-
роды, но описываемые одинаковыми по структуре дифференци-
альными уравнениями, могут быть взаимозаменяемыми с целью
познания закономерностей одного явления через изучение законо-
мерности другого.

Если сопоставить метод подобия и метод размерностей между
собой, то можно прийти к следующим выводам.

Оба метода, примененные к одной и той же задаче, дают одина-
ковые результаты, но отличаются эффективностью, которая зави-
сит от характера изучаемой задачи. Использование метода подобия
предполагает наличие математического описания изучаемого про
цесса. При использовании метода размерностей наличие математи-
ческого описания не обязательно. Достаточно иметь перечень ве-
личин, существенных для изучаемого процесса. С помощью метода
подобия можно более полно, наглядно и просто проанализировать
процесс, дать более подробное его описание, выявить влияние от-
дельных эффектов, рассмотреть предельные случаи.

Предыдущее изложение касалось традиционного метода инже-
нерной гидромеханики — гидравлического моделирования, в ос-
нове которого лежит физическая модель гидравлического яв-
ления.

Наряду с гидравлическим моделированием возможно численное
моделирование, базируемое на вычислительном процессе, осуществ-
ляемом с помощью ЭВМ [11J. В основе численного моделирования
лежит математическая модель явления, отражающая наиболее су-
щественные его стороны, хотя само явление неизбежно схематизи-
руется. Однако если гидравлическим моделированием можно вос-
пользоваться даже тогда, когда математическая модель сформи-
рована не полностью, то численное моделирование в этом случае
применить нельзя.

Другим преимуществом гидравлических моделей является отно-
сительная простота задания сложных условий однозначности реше-
ния. Это позволяет более эффективно его использовать при реше-
нии локальных пространственных задач и задач, относящихся к срав-
нительно слабо изученным гидравлическим явлениям, а также в
случае недоказуемости сходности решений, получаемых при чис-
ленном моделировании.

В настоящее время численное моделирование целесообразно
применять главным образом для решения одномерных и двухмерных
задач при относительно простых граничных условиях и большой
протяженности изучаемых объектов.

Наиболее эффективен комбинированный подход. В этом случае
в пределах изучаемого явления можно выделить разные области,
для исследования которых целесообразно применять разные спосо-
бы моделирования. Такое моделирование получило название гиб-
ридного.

Сочетание гидравлического и численного моделирования можно
использовать, например, для уточнения формулировки математиче-
ской модели, лежащей в основе численного моделирования, при
проверке его результатов и оценке сходимости. В последнем случае
решение задачи на гидравлической модели рассм атривается как
частное точное решение задачи численного моделирования.

Как указывалось ранее, моделирование основано на рассмотре-
нии физически подобных явлений. Процессы будут подобны в та-
ких случаях: 1) если описывающие их уравнения одинаковы; 2)
если их начальные и граничные условия совпадают с точностью до
постоянных; 3) если их одноименные критерии подобия численно
равны.

Получение критериев подобия путем приведения системы урав-
нений и условий однозначности к безразмерному виду практически
может быть надежным, если известно, что этих уравнений и усло-
вий достаточно для существования однозначного и устойчивого
решения.

Первые два условия требуют соблюдения полного подобия:
геометрического, кинематического и динамического. Геометриче-
ское подобие рассматриваемых систем выдерживается тогда, когда
отношение между всеми соответствующими размерами одинаково,
а сходственные углы равны. Кинематическое подобие двух систем
имеет место, если отношение скоростей всех соответствующих час-
тиц жидкости равны между собой, а траектории движения обеих
систем геометрически подобны. Две геометрически и кинематиче-
ски подобные системы будут считаться динамически подобными,
если равны отношения между соответствующими силами, которые
влияют на движение соответствующих частиц жидкости.

Указанные условия подобия являются правилами моделиро-
вания, т. е. требованиями, которые необходимо выполнить при
преобразовании пространства прототипа в пространство модели
для того, чтобы получить линейное соответствие между величинами
в этих пространствах.

Основные этапы моделирования сводятся к следующему [42, 861.

1.	Постановка задачи и идентификация наиболее существенных
для анализируемого процесса факторов (величин).

2.	Формулирование математической модели.

3.	Определение условий подобия.*

4.	Формулирование условий однозначности.

5.	Создание модели объекта.**

6.	Апробирование модели.

7.	Проведение модельных испытаний (в том числе при широком
и независимом изменении каждого из определяющих факторов),
варьирование воспроизводимых величин и т. д.***

8.	Проверка некоторых результатов исследований по результа-
там, полученным на натурных объектах, с целью уточнения как
принятых практических решений, так и методики моделирования.

* В тех случаях, когда математическую модель сформулировать полностью
не удается, условия гидравлического подобия определяются на базе теории
размерностей.

** Составление программы расчета в случае численного моделирования.

*** Расчет на ЭВМ при численном моделировании.
Сопоставление результатов с соответствующими результатами, из-
вестными из литературных источников, полученными при исполь-
зовании идентичных либо других способов.

2. МЕТОД РАЗМЕРНОСТЕЙ

Физическая величина, определяющая какое-либо свойство тела,
например длину, объем, скорость, температуру, массу, характери-
зуется еще некоторой количественной мерой, позволяющей сравни-
вать одинаковые величины между собой. Кроме того, различные
физические величины связаны между собой определенными соотно-
шениями. Поэтому для установления количественных связей между
физическими величинами некоторые из них приняты за основные,
а значения остальных выражаются через единицы измерения первых.

Все физические величины, численное значение которых зависит
от принятой системы единиц измерения, принято называть размер-
ными.

Соотношение между основными единицами измерения, по которо-
му можно установить размерность производной физической величины,
является формулой размерности. Ее можно представить в виде про-
изведения основных единиц измерения в. некоторых степенях.

Если в какой-либо системе единиц основные величины аъ а2,
ak, то для любой размерной физической величины, являющейся,
функцией alt а2.... ak можно записать:

[6] = [О1]т, [д2]т» ... \ak\mk,	(120)

где т.ц т2, ..., W — некоторые действительные числа.

Отношение численных значений двух однородных вторичных
физических величин не зависит от масштабов, выбранных для ос-
новных единиц измерения.

Число аргументов в формуле размерности определяется числом
величин, принятых в качестве первичных, а значения показателей
степени зависят от того, какие именно величины являются пер-
вичными.

Выбор дополнительных основных единиц требует одновремен-
ного введения новых размерных постоянных. Чтобы уменьшить
число основных единиц на одну, две или более, необходимо соответ-
ствующее число размерных постоянных превратить в безразмерные.
Поступая таким образом, число основных единиц можно сократить
до нуля. В такой системе все величины будут безразмерными.

Число безразмерных величин, которые могут быть образованы
из заданного набора размерных величин, существенных для изу-
чаемой задачи, конкретный вид (структуры) этих безразмерных ве-
личин можно установить с помощью пи-теоремы.

Пи-теорема формулируется следующим образом: всякое урав-
нение, связывающее между собой т физических величин, среди
которых п величин обладают независимыми размерностями, может
быть преобразовано к уравнению, связывающему т — п безразмер-
ных комплексов, составленных из этих величин.
Физическое уравнение

f (аг; а2- ..

• > Яп-М» • • • t &>п) - О,	(121)

представляющее функцию размерных постоянных и переменных
величин а,, а2, ат, из которых первые и величин имеют независи-
мые размерности, т. е. размерности, которые не могут быть пред-
ставлены в виде степенного комплекса, составленного из размер-
ностей остальных величин, может быть представлено в виде
/(л„+1, Лп+2, ... , этт) = О, где лп+г, л„+2; ... ;	— безразмер-

ные комплексы, определяемые из следующих зависимостей:

2 • • •

aP’afa . . . а?п

I £	п

... а^п

;

ит

a[an+i] = [аа'] [а^г] ... [«“"];
ап+2 = ia1?'] [ah ...

[ат] = [4*]	. Ю-

Полученные величины в комплексах являются безразмерными,
а значит, как уже отмечалось, имеют одинаковые значения для усло-
вий натуры и модели. Сокращается число переменных величин, под-
лежащих изучению, так как число комплексов меньше, чем число
исходных физических величин. Комплексы позволяют более удоб-
но проводить графическую и математическую обработку резуль-
татов.

Получение пи-членов с помощью анализа размерностей ограни-
чен следующими двумя положениями: во-первых, считается, что
заранее известно, какие постоянные и переменные величины опре-
деляют рассматриваемую физическую связь; во-вторых, между все-
ми существенными для данного процесса физическими величинами
имеет место степенная функциональная связь.

Метод анализа размерности не дает указания по выбору перечня
физических величин для рассматриваемого процесса. Вся ответст-
венность за составление такого перечня лежит на исследователе.
При этом, если одна или несколько из существенных для исследуе-
мого явления величин будут опущены, то настоящий метод может
привести к неверным результатам.

Рассмотрим применение пи-теоремы на примере движения вяз-
кой жидкости внутри круглой трубы.

Установим вначале переменные, которые могут оказать влияние
на движение жидкости. Прежде всего это ряд линейных размеров —
длина трубы /, ее диаметр d, шероховатость стенок Л, затем кине-
матические и динамические параметры потока — средняя скорость
потока v, разность давлений Др и, наконец, физические свойства
жидкости — плотность р, ускорение силы тяжести g, динамическая
вязкость р, коэффициент поверхностного натяжения о, модуль
упругости Е.

Таким образом, физическое уравнение задачи можно предста-
вить в виде

f (I; d; Д; v, &р-, р: g-, р; ст; Е) = 0.	(122)

Здесь каждый из приведенных десяти физических параметров
выражается в соответствии е формулой размерности через три ос-
новные единицы измерения: длину, массу, время.

Следовательно, в результате анализа размерности должно по-
лучиться 10 — 3 = 7 безразмерных пи-членов, которые будут свя-
заны функцией f (rtf, rt2; л7) = 0.

Каждый из пи-членов состоит из четырех переменных. Три из
них являются независимыми по размерности, а четвертая опреде-
ляется через размерности первых трех.

Выбор независимых по размерности переменных выполняется
произвольно. В данном случае целесообразно принять диаметр тру-
бы (размерность L), среднюю скорость потока (размерность UT),
плотность жидкости (ТИ/L3).

В соответствии с зависимостями (121) все семь пи-членов можно
записать в виде

лл = dx'vyipz'l~x\

л .= йХгц^'рг»Д“1;

л3 = ^щ^р^Д/Г1;

л. = dXtv‘Jip!'tg~1',

л3 =

л„ = dx«v''ep?ii(y~1\
л7 = dxwy^p7,,E~l.

Для определения показателей степени в каждом из пи-членов
следует помнить, что здесь имеются безразмерные комбинации вхо-
дящих физических величин. Поскольку в каждом пи-члене содер-
жится три неизвестных показателя степени, то необходимо составить
систему из трех уравнений, в результате решения которых можно
установить неизвестные показатели степени.

Такими уравнениями служат суммы показателей степени при
величинах, имеющих размерности длины, времени и массы, которые
для сокращения размерности должны быть равны нулю.

Так, первый пи-член, выраженный через размерности, имеет
вид

зт, = М-	(123)

Это позволяет составить следующие линейные уравнения:

для размерности длины х3 + уг — Згг — 1 = 0;

для размерности времени —= 0;

для размерности массы z3 = 0.
Решая полученную систему уравнений, нетрудно найти, что
xt = 1; ух = 0; Zj — 0, а первый пи-член примет вид = dll.

Аналогично находится вид второго пи-члена: л2 = d/Д.

Следующий пи-член, выраженный через размерности, эт3 ==
= (LIT)(M/L3)Za (M/fLT12))-1. Система линейных уравнений для
него такова:

для размерности длины x3 + ys — 3z3 + 1 = 0;

для размерности времени — у3 + 2 = 0;

для размерности массы z3 — 1=0.

Отсюда х8 = 0;. у3 = 2; z3 = 1.

Следовательно, эт3 = рп2/ Др = Ей.

Проведя такой же анализ для всех остальных пи-членов, мож-
но получить их общий вид: л4 = v2/(gl) = Fr; лБ = pvd/ц = Re;
л6 = p&dltr, эт7 = ри2IE — Al-

 Последние пять безразмерных комплексов — это критерии
Эйлера, Фруда, Рейнольдса, Вебера и Маха.

Теперь общее выражение функциональной связи рассматри-
ваемых физических величин (122) можно представить в виде функ-
циональной связи безразмерных комплексов:

f (d/l-, d/&; Eu; Fr; Re; We; M) = 0.	(124)

Применяя принципы анализа размерности к условиям модели-
рования, следует предварительно установить, какая из возможных
сил будет главной, и соответственно этому строить модель, опреде-
лять последовательность проведения опытов и их обработку.

Рассмотрим условия применения функциональной связи урав-
нения (124), когда из всех действующих сил главной является сила-
внутреннего трения. В этом случае наблюдаемое явление должно
зависеть от критериев Фруда, Вебера, Маха. Таким образом, мо-
дель должна быть выбрана на основе критерия Рейнольдса, т. е.
Re = idem.

Основной целью опытов должно быть установление зависимости
Др или hc от остальных параметров для рассматриваемого диапа-
зона их изменения. Использование предположения Вейсбаха
о пропорциональности потерь напора скоростному напору he —
= l\pl(pg) — Kvz/(2g) позволяет избавиться от критерия Эйлера
и функциональную связь (124) представить в виде

fte = 2q>(//d; Д/d; Re)[i>2/(2g)J;	(125)

. he = 2<р' (Д/d; Re) (Z/d) [w2/(2^)J.	(126)

Обозначая X=2<p'(A/d; Re), получаем he = L(l/d)[v2/(2g)],
т. e. определяем основной параметр X, подлежащий эксперимен-
тальному определению.

Этот безразмерный параметр необходимо изучить в функцио-
нальной зависимости от отношения Д/d и числа Рейнольдса.
3. МЕТОД ПОДОБИЯ. ПРИВЕДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОПИСАНИЯ ПРОЦЕССА К БЕЗРАЗМЕРНОМУ ВИДУ

Приведение математического описания процесса к безразмер-
ному виду сводится к выполнению следующих простых операций:

1.	Все величины, входящие в математическое описание процес-
са, подразделяют на группы однородных величин, т. е. величин,
имеющих одинаковый физический смысл и одинаковую размер-
ность.	ч

2.	Для каждой группы величин, в составе которой имеются по-
стоянные, отличные от нуля и бесконечности, одну из постоянных
выбирают в качестве масштаба. Для остальных групп величин мас-
штабы не выбираются.

3.	' Делением величин данной группы на их масштабы приводят
эти величины к безразмерному виду. Величины, для которых мас-
штабы не выбраны, пока остаются размерными.

4.	В математическое описание вместо размерных величин, для
которых выбраны масштабы, подставляют произведения из безраз-
мерных величин на их масштабы.

5.	Оставшиеся в математическом описании размерные величины
и появившиеся в нем масштабы группируют в безразмерные комп-
лексы так, чтобы эти комплексы можно было рассматривать как
новые безразмерные переменные и постоянные.

Рассмотрим два подобных потока, условия движения которых
определяются дифференциальными уравнениями движения вязкой
жидкости Навье—Стокса.

Для простоты выкладок используем лишь по одному уравнению
в условиях плоской задачи, преобразование остальных аналогич-
ных уравнений должно привести к таким же результатам.

Уравнение движения в проекции на ось ОХ для одного потока

1 др, ди . ди	duXi (&uXi д*их\

1 р dxj dtr 1	** д%! 1 ду-i	0x1 gy‘ J

и для другого —



। „	du^.\ v(d2Ux° । giM

p dx2 dt2 + Ux* dx2 + U4* dy2	dyl )'

(127)

(128)

С целью выяснения условий, при которых приведенные уравне-
ния движения будут тождественно одинаковыми, а рассматривае-
мые потоки — подобными, преобразуем уравнения (127) и (128)
к безразмерному виду. В качестве масштабов выберем одинаковые
для одной и другой систем параметры.

Так, в качестве масштаба длины примем /01 для одного потока
и /02 — для другого, причем, в обоих потоках это должны быть
подобные величины, например диаметр трубы, гидравлический
радиус ит. п., а в качестве масштабов времени скоростей, давлений
и других параметров примем величины, их определяющие, в одном
и другом потоках. В этом случае безразмерные координаты в одной
системе x1 = Xi//01; ~у = yj /01, а в другой х2 = х2//02; у2 = УгНьч-
Так как для сравнения принят одинаковый сходственный пара-
метр, то безразмерная длина в одной и другой системе будет оди-
наковой, т. е. х — х1 — х2 = х1 Т01 — х211й2, У ~ У1~ У2 ~ У it ^01 =
~ У2,1102'

Аналогичные соотношения можно составить и для остальных

параметров,	определяющих рассматриваемый процесс:  X = xilSoi — ^2/^02» Р = Pi/Poi P2/P02I  Р = P1/P01 = PdPov “х_= ^Jv01 = uxJv02;  Чу — UyJVQ\ ~ 4yJV02, t = G/^OT ~ ^2/^02’  У = Vl/v0} = o2/y02.

Введем безразмерные величины в уравнения (127) и (128). Для
этого вместо конкретных значений величин подставим произведе-
ния безразмерной величины на характерный параметр, т. е. х, = х/ ;
х2 = xl02 и т. д.

В соответствии с этим для одного потока уравнения примут вид

	—	—	2  -	Pol	1	dp _	Vol dux	l'oi  ёо1	Po/oi	P	dx	dl	^01  / du..	dur\ 71 ,v , !d2uY d2u \  X ux^ + hu-^\-v-^v[-^ + ~],	(129)  l dx	y dy)	/„i	\ dx2	dy2)

а для другого

_ p,J2 1 др _ о0? дих ^02

	ax — f 03	t 1 _ x/  Po2^02 P dx ^02 dt t0., ( du	du\ ..	fd2u	d2u \  x{ux-4 + u,,-^]-^v-^ + ^\.	(130)  \ dx r v dy )	z„2	\ dx2 ду21

2	9

Разделив уравнение (129) на voi//ol, а уравнение (130) на оба//02

получим	goi^oi - __ Poi 1_	_ ^01 dUx 1  Vol	Poi'!6i P dx	t0iV01 dt  du	du	v	(d2u	d2u\_  +	+	+	(131)  dx	J dy	у<До1 \ 5x2	dy2)  Po>Jo2 —	 Pot 1 dp __ ^0?. dux  V02	P02V02 p d~x zo2y<>2 dt  dur	dur	v (d2u	d2u \_  + ux-^ + ux-^x + -^-{^ + -^]v.	(132)  dx	dy	\ dx2	Qy2)

Сравнивая полученные уравнения, можно отметить, что они от-
личаются лишь коэффициентами при членах уравнений. Безраз-
мерной является не только форма уравнений, но коэффициенты при
их членах.
Уравнения (131) и (132) становятся тождественно одинаковыми,
если указанные безразмерные коэффициенты при соответствующих
членах равны между собой, т. е.

___ ^02	.	  go2^Q2	.

г’01Ф1	гоДо2	Iq!	t'o2

__	Pns	.	£>0J	 ^02

Poit'oi	Po2^)2	’	0,11 /o1

Анализ безразмерных комплексов, составленных из характерных
для каждого потока величин, показывает, что они являются кри-
териями подобия. Первый из них — критерий Струхаля (Sh =
второй — Сруда (Fr = gl:v2), третий — Эйлера (Еи = р,(ри2)), четвер-
тый — Рейнольдса (Re = vl/v).

Следовательно, приведение дифференциальных уравнений к без-
размерному виду позволяет установить основные критерии подо-
бия, определяющие процесс, описанный этими уравнениями (табл.
28). С другой стороны, критерии подобия могут быть получены
как отношения сил, действующих в жидкости (табл. 29).

28. Основные гидродинамические критерии подобия

Название критерия	Форма записи	Отношение сил, характеризующих критерии
Архимеда  Буссинеска  Галилея	АГ==ер1п£?  Vs Р] в_ ч (2g Rr)°’E Ga=< у*	Архимедовой силы .к силе инерции  Сил инерции к силам тяжести при волновых явлениях в жидкости  Сил молекулярного трения к силам тяжести в потоке при действии толь- ко массовых сил
Капицы	ррз /_ d?\ Ka	' dl '	Сил поверхностного натяжения к мас- совым силам и силам вязкости при волновом течении жидкостных пленок
	p	
Кирхгофа	Ki=^ И	Сил давления к силам молекулярного трения при течении жидкости в кана- лах
Лагранжа  Ньютона	La=^2 t'p.  Ne = F pu4z	Сил давления к силам вязкости  Движущей силы к силе инерции в по- токе

4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПОДОБИЕ

ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

Обеспечить одновременно идентичность всех или даже части
критериев подобия оказывается практически невозможно. Это
объясняется тем, что для выполнения условий подобия к масшта-
29. Соотношение основных сил, действующих в жидкости

Основные силы	Fs	fe	Fo	Fp	
Fi	Ft = Fi/Fe = v^Kgl) (Критерий Фруда)	CB = FJFp = pvz/E (Критерий Коши)	We = F^F^ = pt'2Z/o (Критерий Вебера)	Eu = Fp/F = Ep!(pv*) (Критерий Эйлера)	Re = Fi/F^ = poZ/pi (Критерий Рейнольдса)
	Mo = FgrFv. = PPg/W) (Критерий Мошени)	fe/Fv = EJ	FJF^ = G/(M	gt = Fp/F^ = Epl/(pv) (Критерий Стокса)	—
F*	Fg/Fp = pJg/(A₽)	FE!Fp = E/(Ep)	FalFp=	'	——	—
Fo	F g/Fc = pl^g/o	Fe/Fc = Elio	—	—	—
fe	Fя!^E ~		—		—

Примечание. В таблице приняты следующие обозначения сил: — [р] Гу]2 [Z]z — сила инерции: Fg == [g] [Z]s [р] —сила тяжести; FG =
[°] UJ — сила поверхностного натяжения: Fp — [р] [Z]2 — сила давления; F & с=[р,] [a] [Z] —* сила вязкости.
бам одних и тех же величин, входящих в разные критерии, должны
быть предъявлены разные требования. В реальных условиях эти
требования часто оказываются одновременно невыполнимыми (кри-
терии не совместимы).

Несовместимость критериев подобия определяет необходимость
отступать от строгого подобия явлений при реальном моделирова-
нии, но так, чтобы не утратить в результатах исследования наибо-
лее существенного, не получить больших искажений искомых ве-
личин.

В то же время в решениях практических задач допускаются от-
клонения от истинных значений искомых функций. Эти отклонения
определяются заданной степенью точности решения. Можно пред-
положить, что при отступлении от выполнения некоторых условий
подобия обеспечивается приемлемая точность результатов модели-
рования.

Приближенным является такое моделирование, которое обеспе-
чивает определение прогнозируемых функций с заданной сте-
пенью точности при нарушении некоторых условий подобия. При-
ближенное моделирование осуществляется на искаженной модели.
К нему приходится прибегать, если необходимо сократить число
критериев и симплексов подобия для того, чтобы получить реаль-
ную возможность моделировать явления. Сокращение числа кри-
териев подобия (и тем самым искажение модели) допустимо лишь
при должной оценке его последствий. Многочисленные ошибки
в результатах моделирования вызваны пренебрежением этим обстоя-
тельством.

Существенное отличие порядка одного из членов уравнения от
порядка других членов свидетельствует только о потенциальной
возможности отбросить этот член и исключить из системы критериев
соответствующий ему комплекс. Пренебречь теми или иными кри-
териями (теми или иными членами уравнений) можно в определен-
ных областях изменения переменных.

Если уравнения, описывающие рассматриваемый процесс, не
содержат определяющих критериев, то говорят, что решение этих
уравнений автомодельно, а области изменения, для которых ха-
рактерна такая ситуация, называют автомодельными. Часто авто-
модельную область определяют как область независимости иско-
мой функции от данного критерия. Такое определение представля-
ется несколько неточным, так как в большинстве случаев в автомо-
дельных областях все же имеется слабая зависимость функции
от аргумента, но ею практически можно пренебречь.

Границы автомодельных областей зависят от задач исследо-
вания. Общих рекомендаций о границах автомодельной области по
данному критерию дать нельзя. Эти границы зависят от того, какие
характеристики изучаются, а также от граничных условий и задан-
ной точности исследования.
5. НАХОЖДЕНИЕ УСЛОВИЙ ПРИБЛИЖЕННОГО ПОДОБИЯ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Теория размерностей не дает основания для выделения автомо-
дельных зон по тому или иному критерию. Однако использование
этой теории невозможно без учета автомодельности.

На самом деле, выбирая величины, существенные в изучаемом
явлении, тем самым предполагают явление автомодельным по кри-
териям, в которые входят величины, не принятые в рассмотрение,
т. е. использование теории размерностей предполагает определен-
ную схематизацию явления, построение некоторой его математиче-
ской модели..

В ряде работ по теории размерностей одним из путей уменьше-
ния числа безразмерных комплексов предлагается увеличение чис-
ла независимых размерностей за счет придания разных размерно-
стей величинам, одноименным в обычном понимании, но имеющим
определенное отличие.

Как известно из теории размерностей, число безразмерных ком-
плексов тем меньше, чем больше можно выбрать основных единиц
измерения. Таким образом, придавая независимые размерности
величинам, которые обычно полагаются одноименными, казалось
бы можно сократить число критериев подобия. Получающиеся при
этом критерии являются комбинацией безразмерных комплексов,
соответствующих анализу, не предусматривающему введение раз-
ной размерности одноименных величин.

Если одноименные величины, которым придается разная размер-
ность, связаны между собой через размерные физические постоян-
ные, то при введении дополнительных физических размерностей
эти постоянные необходимо ввести в связь, так чтобы число безраз-
мерных параметров при этом не изменилось. Увеличение числа ос-
новных единиц приводит к сокращению числа критериев.

Уменьшение числа безразмерных параметров может быть также
достигнуто, если привлечь дополнительные сведения о зависимо-
стях между величинами, содержащимися в условиях задачи.

Глава 8

КАВИТАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В МЕСТНЫХ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЯХ,
НАСОСАХ И ДВИГАТЕЛЯХ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ

Возрастание скорости течения капельной жидкости в сжатом
сечении, понижение давления при обтекании профилей или образо-
ванных ими решеток, а также тех или иных поверхностей, вибра-
ции последних, нестационарные явления, возникающие в потоке,
изменение режимов работы оборудования и другие причины могут
привести к появлению зон пониженного давления, вызывающего
разрывы сплошности жидкости, а следовательно, и возникновение
кавитации. Этот процесс зависит также и от объемной прочности
жидкости, характеризуемой ее сопротивлением растягивающим
напряжениям, содержания в жидкости растворимого газа, загряз-
нения ее, степени растворимости примесей, физических и термоди-'
намических свойств жидкости, ее температуры, качества обтекае
мой поверхности, времени прохождения жидкости через зону пони-
женного давления и других причин [51, 59, 91, 120].

1.	КАВИТАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ

В МЕСТНЫХ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЯХ

Критическое число кавитации окр в простейшем местном сопро-
тивлении можно представить в виде

оКр = [<0?/(®И - 1] + S ^_з,	(133)

где — площадь входного сечения трубопровода; со2 — площадь
проходного сечения трубопровода; о>3 — минимальная площадь
сжатого сечения потока; со4 — площадь сечения потока на выходе
из трубопровода; 3 — сумма коэффициентов сопротивления
движению потока от сечения coj до сечения ю3; е = ю2/<о3 — степень
сжатия потока, вызванного наличием местных сопротивлений в тру-
бопроводе.

Из этой формулы следует, что определение окр практически
сводится к нахождению е и S ^i—з- Для расчета У, ^_3 использу-
ются общепринятые подходы [1—3].

Степень сжатия е зависит от гидродинамических условий в по-
токе, которые в свою очередь зависят от геометрических размеров
и характера ограждающих поверхностей, а также режима движе-
ния жидкостей. Такое большое количество влияющих факторов,
а также сложность учета их воздействий делает невозможным
получение чисто теоретических зависимостей для оценки критиче-
ских параметров кавитации в общем случае. Однако для некоторых
характерных типов местных сопротивлений такие зависимости вы-
вести можно.

Из формулы (133) следует, что уменьшение критического числа
окр, т. е. расширение пределов бескавитационной работы, достига-
ется увеличением е, т. е. снижением сжатия потока и гидравличе
ского сопротивления на участке от Oj до со3.

При истечении жидкости при больших числах Рейнольдса че-
рез отверстия с острыми входными кромками [51]

е = лДл + 2^),	(134)

где 6 определяется из выражения tg в [1 + (2/л) (26/tg 26)] = п, а
П ~ COg/COp

Расчет по формуле (134) можно заменить вычислениями по при-
ближенным зависимостям

8 = 0,57+ 0,043/(1,1—п);	(135)

8 = 0,611+0,148п2.	(136)
Результаты расчетов по формуле (134) и зависимостям (135) и (136)
хорошо согласуются.

В случае истечения жидкости через отверстия с плавным вхо-
дом е может быть определено из выражений

или

е=1/[1+1//г(1-ы2М

е = 1/[1 + \Гk (1 — (Oa/Wi)] ,

где h— коэффициент смягчения входа, который определяется в за-
висимости от отношения радиуса закругления проходного отвер-
стия к его диаметру (г/О); k — (здесь т = 16г).

При течении жидкости в конически сходящихся насадках или
конфузорных переходах трубопровода [96, 97] е = 0,64 -f-
+ 0,212 cos3 а + 0,106 cos4 а, где а — угол конусности.

При движении жидкости в отводах и коленах трубопровода
е — 1 — S/b2, где S/b2 определяется в зависимости от угла пово-
рота [3].

Теоретические значения коэффициента сжатия струи ех и е2 соот-
ветственно для верхней и нижней половины заслонки в зависимо-
сти от угла открытия заслонки а приведены в табл. 30.

30. Значение коэффициента сжатия струи при течении жидкости
в заслоночном регулировочном органе

а	е.	еР	а	е1	es	а	Е;	е8
10	0 904	0,578	45	0,750	0,572	70	0,670	0,587
20	0,851	0,571	50	0,734	0,574	80	0,640	0,597
30  40	0,808 0,768	0,569 0,570	60	0,701	0,580	90	0,611	0,611

В случае конфузорных переходов е может быть рассчитано
по формуле (134).

С учетом перечисленных методов расчета е и известных формул
для расчета коэффициента сопротивления, учитывающего потери
на трение при движении жидкости в различных видах местных со-
противлений, критические значения чисел кавитации для конфу-
зорных переходов можно представить в виде

ст	1	1 |	* *

Р (0,64 -|- 0,112 cos3 а 0,106 cos4 а)2 о>^р $ s'n а
для колен (отводов) трубопроводов —
для заслоночного регулирующего органа —

__ 1 — е2 (1 — cos а)2

°г'р е2(1—cos а)2

Для односедельных регулирующих клапанов при направлении
потока на плунжер

при направлении потока под плунжер

где A1 = 0,4/e>ni; k2 = 0,4/е'"2;	= 16^/сопр; m2 = г2/]/сопр; 1\ и

г2 — радиусы закругления входных кромок седел.

В случае двухседельных клапанов критическое число кавитации
для дроссельного прохода в верхнем седле

в нижнем —

Начало кавитации определяется большим из двух вычисленных
значений.

2.	КАВИТАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАСОСАХ

Условие отсутствия кавитации в насосах выполняется при Д/г >
Д/г min, где Д/г — кавитационный запас насоса, характеризую-
щий превышение удельной энергии потока над энергией, соответ-
ствующей давлению насыщенного пара перекачиваемой жидкости;
△frmin — минимальное значение кавитационного запаса, присущее
каждому насосу; при уменьшении кавитационного запаса ниже
этого значения начинается кавитация насоса.

Таким образом, расчет сводится к определению значений Д/г
и Д/гт,п и их соотношений.

В случае, если /зЕХ> /л>т> то

п	2

М = ^ + Явх--7+^.	(137)

При /гБХ < рат

+	(138)
При оптимальном диаметре рабочего колеса условием отсутст-
вия кавитации в насосе будет неравенство

Д/г > S I(Qn2)2/3]/2g,	(139)

глеф— подача насоса; п — частота вращения насоса; S—'Коэффи-
циент 5=	4-Х).

Коэффициент X может быть использован как критерий количе-
ственной оценки кавитации.

Решая уравнение (139) относительно п, можно определить мак-
симально допустимую с точки зрения возникновения кавитации
частоту вращения вала насоса при заданной подаче и кавитационном
запасе Д/г:

nmax = (2g/S)3/4 (Д/г/]/О)3/4-

Оптимальное значение приведенного диаметра

Поопт = 3,25 ]/1 4- Х/Х уЛфМ,

где Do = ]/ Di — dp-г; DA — диаметр рабочего колеса; сфт — диаметр
втулки рабочего колеса насоса.

Таким образом, коэффициент X характеризует требуемый кави-
тационный запас насоса и изменяется с изменением режима его
работы.

Вследствие большого многообразия определяющих факторов
и сложностей, возникающих при описании их воздействия, теоре-
тически вычислить коэффициент X весьма трудно. В связи с этим
решающее значение при определении коэффициента X играют
экспериментально полученные результаты. С учетом последних
ВНИИГидромашем на основании таких результатов рекомендована
следующая эмпирическая формула:

Х= 1,2	4-(0,07 4-0,42 u1/u1)(S/S0 —0,615),

где Oj и Uj — составляющие скорости потока в зоне рабочего колеса;
S^nyQ/yh^y.

Важным с точки зрения кавитационных качеств насоса является
правильный выбор межлопаточного канала и диаметра втулки
колеса.

Для наиболее распространенных насосов (коэффициент быстро-
ходности насоса ns — 40... 100) ширину межлопаточного канала

можно определить из соотношения DxbjD^ < 0,7...0,75.

Уменьшение диаметра втулки рабочего колеса, увеличение Dx
или приводят к увеличению действительной площади входа в меж-
лопастные каналы рабочего колеса. В результате кавитационные
качества насоса должны улучшаться. С этой целью при определе-
нии диаметра втулки рекомендуется соотношение d^-JD^ — 0,39...

Большое влияние на кавитационные характеристики насосов
оказывает форма втулки рабочего колеса. Запас кавитации Д/г
возрастает с увеличением радиуса скругления втулки и ступицы
заднего диска рабочего колеса.

Увеличение диаметра проходного вала при постоянном режиме
ведет к значительному' увеличению кавитации, т. е. к существенному
ухудшению кавитационных качеств насоса.

Для выбора оптимального значения О0, а следовательно, окруж-
ной скорости п, к, Ыг, можно воспользоваться следующими экспе-
риментально установленными соотношениями:

для рабочих колес низких кавитационных качеств — Q/(nD%) —
— 0,028....0,023 при S > 0,05;

для рабочих колес повышенных кавитационных качеств —
Q/(nD$ = 0,0125...0,01 при 0,015 > S >0,0125;

для рабочих колес высоких кавитационных качеств — Q/(nDfy =
= 0,007...0,0055 при 0,0125 > S 0.0075. где S — коэффициент,
соответствующий второму критическому режиму, при котором имеет
место срыв характеристик насоса

Решающее влияние на энергетические и кавитационные харак-
теристики центробежного насоса оказывает рабочее колесо, в част-
ности, такие его конструктивные параметры, как число и форма лопа-
стей, размеры и конфигурация их входной кромки, угол установки.

Проведенные систематические экспериментальные исследования
показали, что оптимальное с точки зрения КПД число лопастей ра-
бочих колес центробежных насосов низкой и средней быстроходности
является предпочтительным и по кавитационным качествам на-
соса.

Увеличение числа лопастей сверх оптимального ведет к умень-
шению КПД и ухудшению кавитационных характеристик. Умень-
шение числа лопастей ниже оптимального — как к уменьшению
КПД, так и к неустойчивой работе насоса, особенно на режимах
с частичной подачей.

Существенно лучшие кавитационные характеристики имеют на-
сосы, профили скорости которых характеризуются ненагружен-
ными входными участками.

В том случае, когда возникновение кавитации связано со срыв-
ным обтеканием лопастей, одним из способов улучшения кавита-
ционных характеристик является уменьшение длины канала и уве-
личение его ширины.

Кавитационные качества насоса резко ухудшаются при отрица-
тельных углах атаки и мало меняются с изменением угла установ-
ки лопасти.

На основе многочисленных экспериментальных исследований
и теоретического анализа полученных результатов во ВНИИГидро-
маше разработана схема расчета на кавитацию центробежных на
сосов с n.s = 40...100, позволяющая проектировать входные эле-
менты рабочего колеса исходя из условий, которые обеспечивают
заданные высокие качества насоса при высоком КПД. Исходными
для проектирования насоса являются следующие величины: Q, Н,
п. На основании этих данных могут быть определены кави-
рационные качества и коэффициент быстроходности насоса ns “=
= 3,65n VQ/H3^.

Схема кавитационного расчета насоса заключается в следующем.

1.	На основании зависимости (139) определяется параметр Д/г
иля второго критического режима, соответствующего срыву харак-
теристик насоса Su = A/i/[(Qn2)2/3/2g]. ,В зависимости от параметра
Sn находится значение QlnD^ и определяется О0.

2.	Выбираются коэффициент быстроходности геометрии про-
точной части, эскиз конструкции насоса и рассчитывается диаметр
его вала dB.	_______

3.	Определяется диаметр D± = УDo— а^изусловия Арат=8... 15°,
выбирается число лопастей и угол выхода.

4.	В первом приближении находится ширина канала рабочего
колеса из условия ^D^D3 с 0,7...0,75.

5.	По известным данным проектируется рабочее колесо и вы-
бирается отношение S/Sc.

6.	Вычисляются окружная скорость ut, скорость входа потока
v и режим

7.	Определяется параметр X и кавитационный запас Д/г. По-
следний сопоставляется с Д/гт1п. Допустимое значение Д/гдоп =
= Д/г—Д/imin получается в результате увеличения на 5...30 %
Д/г в зависимости от условий эксплуатации и требований надежности
работы.

Приведенная методика касается определения кавитационного
запаса для насосов, перекачивающих холодную воду. Если же на-
сос в производственных условиях перекачивает воду, нагретую до
высокой температуры, то этой методикой воспользоваться нельзя.
В этом случае необходимо учитывать влияние температуры.

Предотвратить или ослабить кавитацию центробежных насосов
можно путем уменьшения допустимой высоты всасывания, увеличе-
ния подпора по сравнению с рассчитанным, уменьшения темпера-
туры перекачиваемой жидкости, подачи насоса и частоты его вра-
щения, повышением давления в области потока перед входом в ра-
бочее колесо, в том числе путем впуска во всасывающий трубопро-
вод струй воды из напорного трубопровода.

Сопутствующий кавитации шум и вибрации насоса, а также
кавитационная эрозия могут быть практически полностью устра-
нены в результате впуска определенного количества воздуха во вса-
сывающий патрубок насоса. Однако при этом необходима осторож-
ность, так как по данным многочисленных опытов [20, 37, 51, 59]
наличие нерастворимого воздуха в межлопастных каналах рабочего
колеса отрицательно сказывается на его характеристиках.

Использование энергии струи воды для повышения всасываю-
щей способности центробежных насосов возможно также путем
установки эжектора в начале всасывающего трубопровода.

Улучшению кавитационных характеристик насоса способствует
закрутка потока в направлении вращения рабочего колеса, повы-
шающая скорость ©ц. Предварительная закрутка может быть ис-
пользована для повышения требуемого кавитационного запаса лишь
в том случае, если опа осуществляется не за счет собственной энер-
гии потока, поступающего в колесо, а за счет внешних для рас-
сматриваемой системы сил [59]. Такая закрутка может быть полу-
чена смешиванием основного потока с некоторым вторичным, имею-
щим вращательное движение.

Существенно улучшить кавитационные характеристики центро-
бежных насосов можно конструктивными изменениями отдельных
элементов рабочей части: увеличением ширины лопастей рабочего
колеса, выполнением лопастей наклонными к оси и заостренными,
укорачиванием части лопастей со стороны входа и скруглением их
кромок (применительно к насосам низкой быстроходности), под-
водом жидкости при помощи прямого сходящегося конического
патрубка, изменением формы и геометрических параметров всасы-
вающих патрубков, установлением во всасывающем патрубке осе-
вого рабочего колеса или шнека, а также диафрагмы, несколько
поджимающей поток, выходящий из шнека.

Следует иметь в виду, что некачественное исполнение отдельных
элементов проточной части насоса и в особенности рабочего колеса
вызывает резкое ухудшение кавитационных характеристик. Этому
способствуют дефекты литья, высокая шероховатость поверхно-
стей, наличие загрязнений и другие причины.

3. КАВИТАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОСЕВЫХ НАСОСАХ

Особенностью осевых насосов являются значительные изменения
режимов их работы. Это затрудняет выбор расчетного режима,
вследствие чего осевые насосы значительную часть времени рабо-
тают в условиях более или менее развившейся кавитации. Возник-
новение и развитие кавитации в осевых насосах помимо ухудшения
энергетических показателей сопровождается повышением уровня
шума и вибрации.

Наиболее благоприятные условия для кавитации создаются при
обтекании лопастей рабочего колеса.

В отличие от центробежных в осевых насосах создаваемый на-
пор находится в прямой зависимости от условий на входе в рабочее
колесо. Поэтому при определении кавитационных режимов в на-
сосах данного вида наряду с кавитационным запасом Д/i исполь-
зуется и коэффициент кавитации о.

Коэффициент кавитации опр осевого насоса можно представить
в виде ОкР = опр + До, где опр — предельный коэффициент кави-
тации, зависящий от параметров потока перед входом на лопасти
рабочего колеса; До — дополнительное значение коэффициента,
определяемое эксплуатационным режимом лопастного колеса.

Предельный коэффициент кавитации

16KQ 1

СТпр--я(1_^)2 2^н ’

где ^Q = Q/(«Dк) — коэффициент подачи; Ки =“ #7(«2£>к)—коэффи-
циент напора; d = dailDK — относительный размер втулки рабочего
колеса насоса; d т dnep/dKop (здесь dnep— толщина лопасти в пери-
ферическом сечении; dKop — толщина лопасти в корневом сечении).

Дополнительное значение

Ас =	---------- -ф л2] (т2 — 1) —

2®ЛИ Цл2(1 —d2)2
em2/4 (. ' ека
Т)г V 4л2т]г / J *

где m = (1 + Р)[1 + (4/л)(йтах//)]; 0 — угол между касательной
к лопасти в ее конце и хордой; dm^ — максимальная толщина
профиля; т)г — гидравлический КПД насоса.

Для определения теоретических зависимостей коэффициента о
от расчетных гидравлических и геометрических параметров рабо-
чего колеса различными авторами предлагается достаточно большое
количество формул. В качестве примера можно привести формулу
окр = 0,2- КГ3 (ns)4/3.

Для расчета AhmIn может быть использована зависимость

(140)

С помощью нижеприведенной зависимости можно определить
оптимальное с точки зрения кавитации значение диаметра колеса
Ок.опт осевого насоса

Г, , 1 + X /'?rfK0PV] ^2	1 + Х 115200	----

L + х \nDK / J “ X (1 - d2)2 U / У ~

= 1 +Х 240 Q_ z

4 л3(1 — d2) п D ’
где г — число лопастей.

Для определения X могут быть предложены следующие урав-
нения:

(Q \ 1,557

1 7J----I , Q < Сопт>

<*опт/

X = Xmin -|- (Z2 /р ‘	1V , Q Qonr>

где Xmin = 9(ф— 16,5)2/10000 + 0,133; <р — угол установки лопастей
рабочего колеса; аг, а2 — коэффициенты, значения которых выби-
раются по экспериментальным кривым.

Результаты опытов показали, что расчеты, выполненные по при-
веденным зависимостям, справедливы для всего рабочего диапа-
зона изменения параметров Q/QonT. В результате сопоставления
значений A/imill, рассчитанных по этим уравнениям, с эксперимен-
тальными данными выявлено, что ошибка при расчетах не превы-
шает 3,5 %. Анализ расчетов показал, что оптимальное значение
диаметра рабочего колеса осевого насоса для данного расчетного
режима увеличивается с возрастанием втулочного отношения d
и несколько уменьшается с увеличением коэффициента X. Кавита-
ционные качества осевых насосов существенно ухудшаются при
увеличении втулочного отношения. Наряду с этим увеличение вту-
лочного отношения нецелесообразно и по другим причинам, так как
ухудшает основные характеристики насосов, например приводит
к резкому уменьшению их подачи.

Одним из возможных путей уменьшения втулочного отношения d
является разработка лопастной системы, характеризующейся мини-
мально возможными гидродинамическими усилиями и моментами на
лопастях в широком диапазоне изменения режимов. Это позволяет
уменьшить размеры втулки. Значительные возможности в этом
отношении имеются у диагональных гидравлических машин.

С ростом густоты решетки колеса уменьшается быстроходность
насоса, но существенно улучшаются его кавитационные качества.
Густоту решетки рабочего колеса следует повышать увеличением
угла охвата лопастей до значений, не превышающих 80°, либо пу-
тем увеличения числа лопастей, но с таким расчетом, чтобы их
число не превышало шести.

Рациональное проектирование рабочего колеса с позиции его
кавитационных качеств требует толщину лопастей назначить ми-
нимально возможной и профили проектировать таким образом, что-
бы их максимальная толщина находилась на расстоянии 1/3—2/3
длины профиля от входной кромки.

Пределы целесообразного смещения точки максимальной во-
гнутости относительно входной кромки и связанного с ним уменьше-
ния общей вогнутости профиля в каждом случае могут быть уста-
новлены путем построения на профиле эпюры давления.

С целью ослабления или предотвращения кавитации в осевых
насосах обязательным является определение допустимой высоты
всасывания с учетом высотного расположения насоса и температуры
перекачиваемой жидкости.

Улучшению кавитационных характеристик осевых насосов
в значительной степени способствуют уменьшение гидравлических
потерь во всасывающем трубопроводе, уменьшение зазора между
торцовыми кромками лопастей и стенкой камеры рабочего колеса.
При этом важное значение имеет геометрия самой щели и форма
торцовой кромки лопасти.

Исследованиями установлено, что наиболее благоприятными
в кавитационном отношении являются щели с отношением L/h =
= 3...4, где L — длина щели, a h—высота ее. Улучшения кави-
тационных характеристик за счет уменьшения щелевой кавитации
можно добиться скруглением торцовой кромки лопасти с лицевой
стороны. Однако это необходимо делать с осторожностью, так как
указанное скругление торцовой кромки хотя и приводит к гаранти-
рованному возрастанию КПД насоса, но может отрицательно ска-
заться на ухудшении его кавитационных качеств в целом.

Способом, позволяющим значительно ослабить и даже исклю-
чить щелевую кавитацию без ухудшения кавитационных качеств
всего насоса, является использование рабочего колеса с лопастями,
имеющими закрылки, спроектированные с таким расчетом, чтобы
закрылок перекрывал зону кавитации, движущуюся по камере ра-
бочего колеса за каждой лопастью.

Улучшению кавитационных характеристик способствует каче-
ственное изготовление и монтаж элементов насосной установки,
в первую очередь элементов рабочей части, идентичность установки
лопастей рабочего колеса, а также применение суперкавитацион-
ных профилей.

4. КАВИТАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В ДВИГАТЕЛЯХ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ

Объектом кавитационного разрушения в двигателях внутрен-
него сгорания являются цилиндровые втулки со стропы зарубашеч-
ного пространства, т. е. кавитации подвергаются поверхности ци-
линдровых втулок, омываемые водой.

Приведенные исследования по определению скорости движения
охлаждающей воды показывают, что она, как правило, меньше 1 м/с
и лишь в местах подвода в отдельных случаях составляет 2—8 м/с,
г. е. не достигает критических значений, необходимых для разви-
тия кавитации и кавитационных разрушений.

Кавитационную эрозию цилиндровых втулок связывают с их
высокочастотной вибрацией [51].

Анализ разрушений от кавитации дизелей различных типов,
эксплуатирующихся в различных климатических поясах и на различ-
ных установках, показал, что наиболее быстро подвергаются раз-
рушению и выходу из строя дизели, цилиндровые втулки которых
при работе подвергаются повышенным уровням вибрации. При этом
важное значение имеет режим работы. - Наихудшими условиями
являются работа на холостых оборотах, с низкой температурой ох-
лаждения, а также частые смены нагрузок.

Экспериментально установлено, что до ускорений колебатель-
ного движения втулок в (18—20) g процессы эрозионного разру-
шения вдут медленно и не вызывают опасений, так как срок эрозион-
ного разрушения более длителен, чем износ цилиндров. В том слу-
чае, если ускорения колебаний втулки превышают эти значения,
процессы идут более интенсивно. При ускорениях в (35—40) g
заметное разрушение наступает уже через 300—400 ч.работы, а че-
рез 2000—2500 ч втулка подлежит замене из-за эрозионного разру-
шения, достигшего предельно допустимых размеров. Таким обра-
зом, при прочих равных условиях критическим ускорением вибра-
ции является ускорение в 20g.

Глава 9

ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ

Двухфазные потоки представляют собой неоднородные среды,
в которых имеются поверхности раздела двух фаз. К таким средам
относятся дисперсии, эмульсии, суспензии, а также газожидкост*
ные смеси, системы пар — жидкость, газ — твердое тело, ж и fl-
кость — твердое тело и т. п. Размеры частиц и объемов одной фазы,
например, дисперсной, в другой дисперсионной или несущей могут
быть различными (от нескольких микрон до нескольких сантимет-
ров).

Наличие нескольких фаз в среде обычно вносит существенные
коррективы в ее движение: существенно может измениться струк-
тура потока, возрастает роль условий взаимодействия фаз, сил
межфазного поверхностного натяжения.

Чаще всего двухфазные потоки используются с целью переноса
вещества с помощью движущейся жидкости. В этом случае важ-
ную роль играют концентрация вещества, плотность фаз, поверх-
ностное натяжение. Перенос частиц может осуществляться путем
конвективной диффузии вещества в жидкости (для мелких частиц)
или гидротранспортирования (частицы достаточно больших раз-
меров). В соответствии с механизмом переноса составляются и урав-
нения движения.

В табл. 31 в качестве примера приведено сопоставление урав-
нений движения, характеризующих различные по свойствам среды.
Как видно из данных таблицы, при описании течения двухфазных
сред обычно пользуются системой уравнений, раздельно описы-
вающих поведение одной и другой фаз (например, жидкой и газо-
образной).

1. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ

При движении частицы произвольной формы в жидкости или
газе на нее действуют подъемная сила и сила лобового сопротивле-
ния Как известно, отношение между силой, действующей на час-
тицу F, и величиной 0,5рц20£, характеризующей гидродинамическое
давление, определяется коэффициентом сопротивления частицы
Cf = F/(0,5ptAS), где S — площадь сечения частицы.

На основании теории размерностей для частиц фиксированной
формы С; = f (Re), при сверхзвуковых случаях обтекания Cf —
= f (Re, Л4). Причем Cf существенно возрастает при уменьшении
Re. Так, для сферических частиц [20] коэффициент Cf « 0,44 при
1 < Re < 500, а при Re <0,2 из выражения

Q = 24/Re	(141)

он составляет 120.

Следует отметить, что соотношение (141), известное как закон
Стокса, позволяет произвести и расчет силы аналитически из зави-
симости

F = 3n;pdizfl,	(142)

где d — диаметр частицы.

Из формулы (142) следует, что в случае неподвижной жидкости
скорость осаждения твердых частиц сферической формы (седимен-
тация) при Re < 1 пропорциональна квадрату диаметра частицы,
31. Уравнения, описывающие течения некоторых жидких сред

Вид жидкости и ее состояние	Уравнение неразрывности	Уравнение движения	Уравнение состояния	Переменные
Идеальная:  несжимаемая  сжимаемая  Вязкая:  несжимаемая  сжимаемая  (общий случай — не- баротропная)  Аномально вязкая  несжимаемая	—Э“~ div и = 0  || + div (pjj = 0  div = 0  + div (pu) = 0  —  div и = 0	с.	+	+	f >	1  a	°-	!« S	1	1  .	&	S a	2 -d	a “  -la.	& t =	W) 2	-|a>  1	~ :	-, a‘	M	W>	I  W +	।	1i	T	->*• Д  Ъ	к.	+ t-	+	+	n  ,	II	II	13	A	* а  +	,1	A I-k.	T.S ra ‘3  -e ‘	а	p = const  изотропное — = const px  изотермическое  — = RT = const  P  p = const  = RT + уравнение  энергии  p = const	Pt Ux, Uy, Uz или p, и  P, P, Ux, Uy, Uz или P, pu  P, Ux, Uy, uz или p, и  P, P, T, Ux, Uy, иг или p, p, T, и  p, Ux, Uy, Uz, Xi или p, u, xt
для жидкости —

д(р

Рж-^+P«W;KX

X «ж = рж V Кж

для газа —

дф	->

Рр-^-+ PrWr«r =

= —РГ №<,
- 7 G* + rot x

X roU — X
pxf

X grad Xj
для жидкости —

То же

д — д

PjK Qf ФЖИЖ Рж да X

X Ли + рж [V Фжмж1 х

х «ж = РжФжб —

— Рж^ж — Фж^ +

для газа —

д -> , д	,

Рг да Фг«с + Ргда	+

»

+ Рг (А<РГ«Г) «г = Рг*Рг X
х-?- 9>NTr~

— <рг\7^7 — Ё

(7Ж, Тг — осредненные тен-
зоры добавочных напряже-
ний. вызванных перемешива-
нием частиц жидкости и газа;
П — осредненный тензор мо-
лекулярных напряжений;

Е — осреднеиный вектор, ха-
рактеризующий силы взаимо-
действия между частнцамн
жидкости и газа; <рж =
«==	*₽г =
разности плотностей твердого материала и жидкости, коэффициен-
ту ускорения Со, а также обратно пропорциональна динамической
вязкости:

“о = (Ттв — уж)/( 18р)] Со.

Вместе с тем скорость седиментации суспензий с частицами, ко-
торые по форме отличны от сферы, зависит от так называемого ко-
эффициента формы, т. е. uTB = и0 ccF, где cF — коэффициент формы.

Уравнение седиментации в модифицированном виде для частиц
произвольной формы можно, в соответствии с исследованиями
Штейнера, записать также в виде

«то = [I^z(Ytb — yx)l{cpVDn р)] const,

где Wz — объем частицы; cf— коэффициент формы, среднее значение
которого для сферы равно Зя; Dn — поверхность частицы.

Более точной, чем зависимости (141) и (142), является формула
бзеена Cf — 24/Re 11 + (3Re/16)], которая лучше согласуется с
экспериментом при более высоких числах Рейнольдса.

На практике степень несферичности частиц часто определяют
по формуле

/6W,\2/3
оч = я I j /S4,

где И7Ч и Хч — соответственно объем и площадь поверхности час-
тицы. С помощью этого параметра иногда корректируется формула
Стокса.

Функциональная зависимость Cf = f (Re) даже для сфериче-
ской поверхности в различном диапазоне чисел Re носит различный
характер (табл. 32), для частиц несферической формы разнообра-
зие зависимостей Cf — f (Re) еще более существенно (табл. 33).

Приведенные в табл. 33 зависимости для определения Cf спра-
ведливы лишь в том случае, когда выполняется условие (LCB,np/d) <С
< 1, где /.св.пр — средняя длина свободного пробега молекул газа
(если речь идет об обтекании частицы газовым потоком). Если обо-
значить скорость молекул газа щ,Ол, то Бсв.пР = 4,031и/рнмол-

При Бсв.пр ~d частицы перемещаются со скоростью, больше
той, которая рассчитывается по формуле Стокса. В этом случае
вводится следующая поправка для и:

^кор “ Wct(1 Ф 2/4Z.CB np/<Z),

где А — 1,26 ... 0,45 ехр (—0,54d/Бсв.пр)-

При решении практических задач в машиностроении важное зна-
чение имеет вопрос о движении частиц не только в поле действия
сил тяжести (или условии набегающего прямолинейного потока),
но и при действии на частицу, например, вместе с силами тяжести
центробежных сил. Особенно это важно для решения проблем раз-
деления твердой и жидкой фаз с помощью центрифуг.
32. Зависимость коэффициента Cf от числа Рейнольдса для сферических частиц [8, 19, 88, 164]								
Формула для определения коэффициента Cf			Численные значения		Формула для определения коэффициента Cf		Численные значения	
			Re	cf			Re	cf
Cz = ^d +°,158Re2/3)  Cf Re 1 Rei/2 1 °’4			0,05  0,1  0,2	480  240  120	Cz = ^4(l+0,15Re°-887)		3  400	9,1  0,62
					24  Cf = Re <’ + + O,196Re0,63 + + 0,0026Re1,33)		0,15  650	380  0,92
Cf = 0’63+^2 c - 24  4  f Re 1 Re1/3			10  200  500  ффици  (автс	4,1  0,77  0,55  ента С) модель				
					с/“Й(’+ТёЕ  4- 19 Re2 4- 71	.е +  -Re3j  МЫ Ч?	1  4,5  1СТИЦ	1,7  12,3
33. Значения коэ					1 1280	1 20 48C  для различной фор пая область)			
Форма частицы			cf			Площадь сечения		
Полусфера  и	——			0,34			nd2		
		-				4		
Полусфера  и°			1,33			rtd2  Т		
								
Круглая	пластина		1,11			nd2 ~Г		
Продолжение табл. 33

Форма частицы	cf	Площадь сечения
Призма	0,91 при а]Ь ~ 4  О  1,53 при а/b = 1/оо	aV%b
Кольца  d		ят.

Пластина				1,10 при ajb — 1  1,15 при а/b — 2  1,19 при а/Ь — 4  1,29 при а/Ь = 10  1,40 при а/b = 18  2,01 при а/Ь = 24	ab
ив		Q  tj			
Uo	Цилиндр  1 ?  Ь-4		Jr	0,91	при	1 / d	=	1  0,85	при	/ /d	=	2  0,87	при	l/d	=	4  0,99	при	l/d	=	7	Id

Если сила тяжести частицы р = 4 nrZg (Рт — Р). сила сопротив-
О

ления движению F = 6яр/га0, а центробежная и подъемная силы
4	и2	ti2

•соответственно R = v nr2 (рт — р) -g- , Fn==Cs \ (Cs — коэффи-
циент подъема силы, равной для сферы 0,6), то абсолютная скорость-
движения частицы

Таким образом, скорость осаждения твердых частиц (гидравли-
ческая крупность) уменьшается, если на них помимо гравитацион-
ных сил действуют еще и центробежные.

2.	ДВИЖЕНИЕ ГАЗА

СО ВЗВЕШЕННЫМИ В НЕМ ТВЕРДЫМИ ЧАСТИЦАМИ

При описании течения смеси газ — твердые частицы могут быть
использованы, помимо уравнений движения, уравнения . неразрыв-
ности, количества движения и энергии. Если обозначить физические
величины, характеризующие газообразную фазу индексом «г»,
а твердую «т», то можно получить следующие зависимости:

уравнение неразрывности —

dQt (1 - Wa) pr + Д (1 - Fa) рг иг.к = 0,
dt + дхк ~ °’

где Wa— объемная доля твердых частиц взвеси; уравнения сохра-
нения количества движения (например, в i-м направлении) [72,73]—

(1 — Fa) рг UT,t 4- Д (1 — Fa) Рг игЛ иг.к =.

= -(1-^)в4!-(1-«)ргг§ +

[ (ди™л , д“т '^1	£ JL _ р

+	+ dxi Ц 3 dxi дхк )

где Ri — сила сопротивления частиц, приходящаяся на единицу
объема жидкости, действующая в r-м направлении,

(FaPTWT,i) + (FaPTWT.iT/т.к) =	'

{dll- ;	dur f\

- к, -	\-к - тО + R‘-

где В — коэффициент присоединенной массы ускоряемой жидкости.

Наличие твердых частиц в газе приводит к существенному из-
менению гидравлического сопротивления. Так, в общем случае,
на каком-либо участке трубы перепад давления в газовом потоке
при наличии в нем твердых частиц Apt — Дро6щ—Ар2 —&ps—
— Л.р4—&.рк, где Др2 и Ард характеризуют скоростной'напор
соответственно для твердых частиц и газа; Дро51Ц — перепад, обус-
ловленный силами трения; Ар± — измеряемый перепад; Др3 — пере-
пад, обусловленный наличием гидростатического давления газа,

При определении данных величин и величины
количественная их оценка.

L

~ f J / dx.
о

Лробщ необходима

Весьма существенной наблюдается зависимость коэффициента

........................о,	\

НГ 5 10°	5 101	5 10г	F/-

трения fT для твердой фазы от
/ и?

числа Фруда (Fr =	, А — ха-

рактерный размер). На рис. 49
представлен характер такой за-
висимости для двух значений
fT (/о — однородной жидкости и
(£г)тв — твердых частиц) при те-
чении смеси в трубах с диамет-
ром 0,8 и 4 см.

Весьма сложный характер но-
сит зависимость коэффициента

„	„	. .	трения и для смеси твердых час-

Рис. 49. Зависимость коэффициента 1	„	ri

треиия твердой фазы от числа Фруда.	тиц с капельной жидкостью. На-

пример, для турбулетного режи-

ма течения [112] водной суспензии глины предложена зависимость

0,5 lg2 Re + (о,5 lg - 1,1 б) lg Re + 27 +
+ 4,85 lg/%-/-1=0.

°	гтр

3.	ГАЗОЖИДКОСТНЫЕ СМЕСИ

Течение газожидкостных смесей в горизонтальных и вертикаль-
ных потоках может быть чрезвычайно многообразным: пузырько-
вым, газодисперсным, газопоршневым, жидкостно-дисперсным, пе-
нистым, волновым, пробковым, турбулентным, расслоенным, коль-
цевым и т. п. Для описания таких режимов течения применяются
соответствующие карты (или диаграммы) течения. В качестве основ-
ных (нормирующих параметров) в них обычно используются коэф-
фициенты и фв, определяемые из соотношений

/ °вод Г Рж / Рвод V1
\ ° *-Рвод \ Рг ' J
где рг, Рж, Рв — соответственно плотности газа, жидкости и воздуха;
о —• поверхностное натяжение.

В зависимости от типа течения соответствующим образом запи-
сываются и уравнения движения, энергии и т. п. Если газожидко-
стную смесь можно рассматривать как однородную, то уравнение
количества движения принимает вид

dp П ,	9 d I 1 \	„

~ dz = S То + « dz (pj +	1,П 6’

где z — ось, вдоль которой рассматривается движение; П/S — от-
ношение параметра канала к площади сечения, для каналов круго-
вого поперечного сечения П/S = 4/d. Скорость течения и расход

связаны соотношением и, =
= g/pr-

Для таких смесей весь-
ма сложно определить коэф-
фициент трения Д =f (ReCM),
так как это связано с рас-
четом вязкости смеси. Су-
ществует несколько зависи-
мостей для расчета piM:

по Исбипу — рсм =

= Гд j о -

Рг И» ] ’
по Цичитти — рсм =

Рис. 50. Зависимость коэффициента трения
от числа Рейнольдса для различных значе-
ний <р.

= арг + (1 — а) рж;

по Доплеру — Нем = (1 — «) гГ Еж + « ~ Иг,

Нж	Нг

где а — процентное содержание газа в жидкости.

В соответствии с этими зависимостями определяется критерий
Рейнольдса и, обычно экспериментально, коэффициент трения Д.

Существенно отличие в поведении единичного пузырька газа от
поведения твердой частицы в потоке. В пузырьках происходит
циркуляция газа при одновременной деформации формы пузырька
в процессе движения. Это в свою очередь оказывает соответствую-
щее воздействие на скорость перемещения пузырька. Эксперимен-
тально установлено, что коэффициент формы газового пузырька
может быть определен по формуле Qf = -? = 0,81 + 0,206 th {2[0,8—

f

— Ig(ReMo0'23)]}, где da — эквивалентный диаметр пузырька, соот-
ветствующий равномерной по объему сфере; df—фронтальный
диаметр пузырька; Re = wd3p/p; Mo = gp4/(p<J3).

Если d> = 1 и Re < 2, то скорость движения пузырька рассчи-
тывают по приведенной ранее формуле Стокса; в интервале 2 <
< Re <350 для Cf справедливо выражение С/ = 21,2Re-0-82.

В результате исследования сопротивления пузырьков различ-
ной формы была построена номограмма, позволяющая уста но-
вить зависимость между Cf и Re для различных значений <р
(рис. 50).

При определении потерь энергии в области местных сопротив-
лений было установлено, что в случае внезапного расширения по-
тока в цилиндрическом канале перепад давления в однородной
смеси может быть определен по формуле

/ ^\Га’Ш2ж (1—a)3W2l

Si \	S2/ L “2	0 — к)2 J

Др = Др! + Др2 =	2 [I — a) Wr+ aWJ

(1 — a)2W,
(1 —“)

РзШ»< o-Q)3Wr

\	S2/ [а2	'	(1 — а)

2 [(1 —а) Wr + aWJ

где Др! и Др2—перепад давления соответственно при необратимых
и обратимых потерях энергии; а = арг/рж.

Впервые данное выражение было получено Роме. Оно справед-
ливо только для гомогенных моделей течения, что и не всегда соот-
ветствует действительности, особенно для зон вторичных течений.

Записав соответствующим образом уравнение количества дви-
жения, можно получить следующую зависимость для случая вне-
запного сужения:

где cK=SCJK/S2 имеет следующие численные значения:

S2/S1	Ск

0.........................................0,617

0.2.......................................0,632

0,4.......................................0,658

0,6.......................................0,712

0,8.......................................0,813

1,0......................................1,0

Данная зависимость позволяет получить точные результаты
в диапазоне изменения давления пароводной среды в пределах
1,4—3,5 НПа.

4.	СМЕСИ ЖИДКОСТЬ —ТВЕРДЫЕ ЧАСТИЦЫ

Изучение поведения такого рода смесей необходимо при реше-
нии проблем транспортирования твердой фазы по трубопроводу
и других технологических процессов.

Для описания подобных потоков используются обычно зависи-
мости, характеризующие поведение отдельно как жидкой, так
и твердой фаз, хотя не исключены случаи рассмотрения смесей,
как псевдооднородных.

Для турбулентного взвесенесущего потока, наиболее часто
встречающегося на практике, справедливо следующее уравнение
[72, 73, 164] (плоская стационарная задача):

„	! дих	~<д(и'и'и) ,	<Э<оп —— да>п ,

ржииС + Рж (1 с) -------------------F ртв сих -----<вос ртв +

,	- сДо/и, ,	_ ди‘гс' ,--------дс .	—;—• ,

+ РтвС	Ь Рта® о	b PtbWqHj;	-]- Ртв®оЫ*

I 0 -г,	, о т7777 — _ _др , f(e\^ 1 т(1)^(с)

Н- РтвЫх ду + РтвСО0«0«х ду — дх + I (С) ду + Т*1/	,

где их, Uy — составляющие вектора скорости жидкой фазы, а со0 —
твердой.

Первый и четвертый члены левой части этого уравнения харак-
теризуют переход энергии осредненного движения взвесенесущего
потока в пульсационную вследствие пульсаций в вертикальной со-
ставляющей скорости, гидравлической крупности частиц и концен-
трации. Второй член левой части представляет собой величину тур-
булентного трения жидкой компоненты взвесенесущего потока.
Третий характеризует изменение сил инерции потока за счет при-

сутствия в нем твердых частиц и измене-
ния их гидравлической крупности по вер-
тикали. Пятый Определяет величину тур-
булентного трения взвесенесущего потока
вследствие пульсаций гидравлической круп-
ности. Шестой и десятый члены уравнения
характеризуют инерционное влияние твер-
дой компоненты на турбулентные харак-

Рис. 51. Зависимость концентрации С от коор-
динаты сечения т) при dcp = 0,0004 м и ие =
= 0,0384 м/с:

1—8 — wCp соответственно 2,5: 4,17 и 6,2 м/с.

теристики взвесенесущего потока. Седьмой определяет инер-
ционное влияние твердой компоненты на осредненные характе-
ристики взвесенесущего потока, восьмой — инерционное влияние
твердой компоненты на пульсационные характеристики взвесенесу-
щего потока, девятый — влияние пульсаций твердой компоненты на
осредненные характеристики потока.

Первый член правой части уравнения определяет перепад дав-
ления в потоке, второй и третий — диссипацию энергии за. счет сил
вязкости взвесенесущего потока.

На основании анализа уравнений подобного типа можно сделать
вывод о том, что основными критериями подобия для данных пото-
ков являются: критерий Эйлера, Рейнольдса для твердой фазьц
число турбулентности N — [u'xUy/UcP] (1 + с). 
34. Значения критической скорости икр для двухфазных сред

Расчетная зависимость (автор)	D *= 150 м			D «= 300 MM		
	При			Тем		
	0,01	0 11	1,3	1.01	1.17	1.4
32 VD з п	  Ыкр	»,	р (?СМ — 1») U X  • СМ	0,7	1,82	2,42	1.47	2,92	3,58
Г dcp Т/5  X/ 1 _	Il						
" [d™ + 0,5) d8BJ						
(Г. Н. Роер)						
икр = 9,8	SиЛо х	1,13	1,15	1,19	1,36	1,59	2,02
X (Тем-°-4)						
(А. П. Юфи н)						
н	i/gp“ (Усм ~ У)  к₽	*	Хру	~	0,48	1,22	1,62	1,49	3,31	4,59
= 14.9s У (Тсм-1) «О;						
(А. Е. Иванов)						
	0,72	1,88	2,46	1,62	3,65	5,05
якр = 32 У у/ (Тсм — 1) иа						
а - Г d"-8«	Г’2						
[ (0,5dcp + 0,8) dcp J						
A. M. Царевский)						

Примечание. В таблице приняты следующие обозначения: а — параметр, зави
сящий от размера частиц: Л.— коэффициент Дарси; До — коэффициент разнородности: D —
диаметр трубопровода: Дср и — диаметр фракции средней величины и соответствую-
щей 95% по кривой зернового состава.

35. Расчетные зависимости для описания течения двухфазного
потока типа жидкость—твердые частицы

Вид твердой фазы (автор исследований)	Расчетная формула
Зернистый грунт в среде (А. П. Юфин)	Д?СМ = ДРо + (ДРоди - ДРо) До’22 якр. см = ыкр. ОДИ Д0  Д	L . X — А . A d90  д°“6о ’ е°- 3  6 do  (дРОдн зависит от диаметра частиц и раз- меров трубопровода)
Вид твердой фазы (автор исследований)	Расчетная формула
Дисперсная глина  (К- А. Царевич, А. П. Малы- шева)	С = со2-6 L-^®-216)0’54 \	д L) ]  (Q — расход; р — перепад давления на 1000 м длины; 6 — статическое напряже- ние; D — диаметр трубы; с « 0,02)
То же  (А. П. Юфин, Н, Г. Белова, С, Г. Нечаева)	64  При структурном режиме К = —- • Re* = Re*  l . _ . 1 о V1  =V/p“D+6^ ’  При переходном режиме К = 0,0097 +  + 2,34b + Jg.^-53^)10S   1 Re* (2,309 — 97,2в) ’  При турбулентном режиме К = 0,0097 + 4-2,34в (для Re* « 3000...5000)
Ил  (С. В. Яковлев)	п	,64  При ламинарном режиме л = — ; Re  При переходном режиме X = 0,006 + 0,003	0,7 .  ' в0-17 ' Re0,5 ’  При турбулентном режиме Х = 0,006-}- 0,03  1 „0,17 о
Частицы древесины (МИСИ им. В. В. Куйбышева)	При и >2 м/с Арсм = ApopcMg;  При 0,2 <—1-С 1,5  gZ?  р;  А = 0,1; т — 4,5;  Рем - Ро . р 		 	,  Ртв ~~ Ро  и2 при турбулентном режиме при — > 1,5  ^см zo +	где k = 0,07
	Продолжение табл. 35
Вид твердой фазы (автор исследований)	Расчетная формула
Песчано-глинистые смеси (А. П. Юфин)	л	л 1 А^песч &Рг  кРц.г ДРг +	100  « = 9,8 Yk / А- -  кр	Т	Кем Ро 1  (х — процентное соотношение песка)
Зола и шлак (В. С. Уколов)	дРсм — ДРо$см+ pu0,38 ^смУК, цкр=1,76Р°-48{ЛСт  (Ст — весовая концентрация)

Решение данных уравнений совместно с уравнениями нераз-
рывности позволяет получить закон распределения скоростей и кон-
центраций с по сечению потока. Неоднородность распределения
твердых частиц по сечению рекомендуется учитывать с помощью
коэффициента ен = f(df/dj), который обычно определяется экспе-
риментально.

На рис. 51 в качестве примера представлена зависимость, харак-
теризующая распределение концентрации твердых частиц по сече-
нию цилиндрической трубы диаметром D, полученная расчетным
путем [71]. Исследовалась гидросмесь с частицами dcp = 0,0004 м.

Важным параметром для двухфазных потоков является крити-
ческая скорость цкр (при скорости движения двухфазного потока
меньше критической частицы на дне останавливаются и нормальное
движение взвеси прекращается — трубопровод «заиливается»). Зна-
чение пкр зависит от размеров и плотности частиц (табл. 34).

Критическая скорость твердых частиц играет важную роль при
выборе необходимого режима их тоанспортировки потоком жидко-
сти, расчета удельных потерь напора, коэффициента трения, за-
висимости между расходом и перепадом давления в двухфазном
потоке (табл. 35) [8, 19, 21, 33, 55, 152, 164].

5.	ДВУХ- И МНОГОСЛОЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ

Многослойные течения жидких сред представляют собой свое-
образный пример двухфазных потоков и потоков с большим количе-
ством фаз. У них также существуют общие поверхности контакта,
отличающиеся между собой как реологическими свойствами, так
и плотностными. В связи с интенсификацией процессов теплообме-
на, раздела фаз, экструзии интерес к данным течениям непрерывно
возрастает [6, 140, 146, 177].
Установившийся подход к описанию таких течений связан с по-
лучением гидродинамических параметров потока в каждом из слоев
с последующим их согласованием на границе контакта. Например,
для описания двухслойного установившегося течения в плоском
канале можно применять систему уравнений

дх

др1
дх

Эр11
дх

+

ду

дт” дт” п

. хк J___У* I

дх + ду +Р ёх’

Здесь индексами I и II помечены символы физических величин,
относящихся соответственно к первому и второму слоям. Анало-

гичный вид имеют уравнения для
трех- и четырехслойных течений.

Для границы контакта слоев
обычно задаются условиями, при
которых реализуется равенство ка-
сательных напряжений (скоростей)
в потоке. Если жидкость неньюто-
новская и подчиняется закону Ос-
вальда де Виля, то распределение
скоростей в слоях с разной вяз-
костью можно представить в виде

Рис. 52. Схема формирования на-
чального участка в двухслойном
потоке.

г	”.+1i

Г — ( др \п*

(п + 1) (др/дх)

(»i + 1)Я1/П* (др/дх)

10 < у < SM |;

|	< у < fii |;

2£±1 Г до 1 "• 1
"фст? ~ [Тст8 ~ (So- А/) ] j

(n2 + 1) KxJn‘ (др/дх)

(ИЗ)

(144)

(145)

На основании данных соотношений могут быть получены сле-
дующие выражения, характеризующие зависимости между расхо-
дами Qi и Q2 жидкости и толщинами слоев б1( S2:

6м	6«

Qr = В f uKdy + В ( ti^dy = Bnt (П1 + I)’1 (g)"’ /С-*/"* X
о	ом

{ ГС1+1	Г 2п*+*	frh+l	11

X - 2^+i [б“"’ + (6 “ 6м) П1 sign (61 ~ 5м)л:
36. Основные геометрические параметры начального участка
для двухслойного потока при течении расплава полиэтилена
низкой плотности

Интегральные характеристики потока	LXi км3	6t*,- км
£<? = 6,1; // = 0,008 м; 6^/6,, = 0,26; LH у = = 0,012 м; 62 = 0,0007 м; C2/Qi = 9,3; Re = 8 X X IO"6	2  5  8  10  12	1  1,7  2,1  2,3  2,3
£<2=18,4; // = 0,008 м; ^/^ = 0,33; LK у = = 0,015 м; а = 0,0005 м; (Х/ф, — 5,5; Re == 1,62 х X Ю-5	2  4  6  8  10  12  14  16  18  20	0,9  1,2  1,4  1.6  1,7  1,8  2,0  2,0  2,9  2,0
£<2=10,8; // = 0,004 м; бх/62 = 0,29; L„ у = = 0,01 м; а = 0,0004 м; <22/<?х = 5,9; Re = 3,34 х X Ю“6	2  4  6  8  10	0,6 0,9 1,0 1,1  1,1
£<2=11,2;	//=0,016;	= 0,65; LH =  = 0,016 м; а = 0,0008 м; Qs/<?i = 1.87; Re = 2 4 х X ю~6	2  5  10  15  17	1,2  2  3  3,5  3,7
Qa = В j uX2dy = Вп2(п2 + I)-1 (g)"’ К 0  х /Л л 1	”2 ил /> 1 «г	/а	1	ПгЧ-1  “'Н(б0-бм) "2 X  2ng+l  бы)"2 sign(6i — бм)]},	
wo	2n3 +1	°м'	'01		
1_ 2_2	1~Пг 1  6М	Q2 п' (2п2 + 1) " <	_1  ;(n1+i)/r>	(И6)
2п2-М— п,	/	п2\	(«2 + о	

При пг = n2 = 1 данные формулы справедливы и для ньютонов-
ских жидкостей.
В соответствии с соотношениями (143) — (146) может быть по-
лучена зависимость, определяющая скорость на границе контакта
слоев:

j-1	и 14-1

2Qi[60"- -(So-SSj "> ]

Ык I п1+!	2/11—1	2n,+l i "

В 2V + [(«о-гво -в0"’ ]

I	2пх + 1	J

Толщины слоев характеризуются величинами Qx и Q2:

$1 = QiHcp26()/(Q2^cpl Qi^cp2)>
62	^2^сР^^о/(^1^ср2 "Ь Qa^cpl),

60 — $1 + ^2-

При соотношениях 6х/62 < Ю на границе контакта можно наблю-
дать нерегулярности, связанные с колебаниями этой границы [1161.

Формирование условий течения в многослойных потоках во
многом зависит от особенностей течения жидкости на начальном
участке (рис. 52). Результаты эксперимента показали, что при
ламинарном режиме течения толщина слоя 6сл~а£&, где 0 с Lx<
с LH.y; а — const, зависящая от реологических свойств жидкостей;
b = lg [(О,56о ± в) b2] — lg а}/\g LH.y.

В табл. 36 приведены значения Lx и 6г-, полученные эксперимен-
тально для случаев течения полимерных материалов, отличающих-
ся вязкостью (полиэтилен низкой плотности).

Нестабилизированное двухслойное течение в рассматриваемом
случае состоит из двух зон: Д — зоны с изменяющейся и £2 —
неизменяющейся по длине площадью поперечного сечения. Во
второй зоне продолжается изменение по длине кинематических
и динамических параметров потока. Причиной появления зоны £h
является различие объемных и реологических характеристик спут-
ных потоков. При этом определяющую роль на размеры такого
участка оказывают величина и соотношение расходов Qx и Q2
жидкости в слоях, условия их встречи, геометрические особенности
поверхности, вдоль которой движется жидкость и т. п. В случае
Q] = Q2 перераспределение толщин слоев на начальном участке
является следствием встречи потоков и их физико-механических
свойств. Длина участка очень чувствительна к изменению угла
встречи потоков а. При достаточно низких значениях чисел Рей-
нольдса (Re < 1200) в зоне области встречи потоков можно
наблюдать вторичные течения уже при углах «> 19°. С увеличением
а и величины Q2 размеры области вторичных течений возрас-
тают; при «> 120°, Re >3,1 • 106 можно наблюдать на этом
участке явление кавитации.

Анализ картины формирования потока на участке показал,
что пограничная линия движущихся слоев представляет собой (при
ReL Ф Re2) кривую, которая может быть описана показательной
функцией типа х = аух1т, где т — параметр, который вычисляют
по формуле

т = —	+	.	(147)

, Гп сх Ф1ц2срвр 1
gL ’ ° Q2«icp + Qi«2CP]

С* — константа; а — размерный параметр, зависящий от реоло-
гических свойств жидкостей.

Как правило, длина участка Lx существенно отлична от длины
L2- На перестройку поля скоростей в зоне двухмерного течения
(Lj + £2) влияет интенсивность изменения скорости на линии кон-
такта слоев ик от нулевого значения в точке встречи потоков до
некоторой постоянной величины в зоне стабилизированного течения.
Скорость по линии контакта слоев

и	2Qi [6g — (ё0 — 2.51Г]	(148)

В + 4 [(60 - 26J3 -

В табл. 37 приведены основные характеристики двухслойного
потока для рассматриваемых участков течения. В качестве примера

37. Основные параметры двухслойного потока прн течении расплава
полиэтилена в плоскощелевом канале

<2г, п3/с	<2,/<2г	с,/6о		«к, м/с-102	р, (Н/м2) ю-е	Ь2/6о
	0,28	0,3	0,46	0,9	19,0	1,8
	0,4	0,33	0,57	1,0	19,6	1,83
3,6 • 10-6	0,54	0,44	0,69	1,1	20,6	2,05
	1,08	0,56	0,86	1,5	23,8	2,75
	1,65	0,65	1,04	1,9	27,0	3,14
	2,45	0,7	1,17	2,60	30,2	2,93
	0,3	0,03	0,5	1,0	20,6	2,07
	0,70	0,50	0,80	1,5	23,6	2,32
4,3 • 10-6	1,36	0,61	0,98	2,0	27,8	3,0
	1,92	0,69	1,14	2,6	31,0	3,18
	2,50	0,72	1,16	3,3	33,8	4,06

Примечание. Высота каиала 4 • 10~» м, п, = 0,41, п, = 0,54, К, = 0.86-10* н-с/м*
К2 = 0,28 - 10* н • с/м2.

они представлены для случая течения полиэтилена низкой плот-
ности применительно к процессам получения двухслойных поли-
мерных пленок.

Для определения потерь энергии в рассматриваемых зонах Lr
и L2 необходимо знать их размеры. Простейшим метод ом является
метод, при котором учитывают распределение скоростей во входном
сечении канала [26]. Экспериментальные исследования, проведенные
сотрудниками Укрниипластмаш, показали, что в общем случае
справедливо соотношение вида
Ln. у —Li + L2 — 74 Res’ 60,	(149)

где Res — суммарное число Рейнольдса для двухслойного потока.
Данная зависимость подвергается некоторой корректировке для
определения длины гидродинамического начального участка в ка-
нале, когда одна из его поверхностей является профилированной
с формой профиля, описываемой заданной функцией f(x). Для ряда
неньютоновских жидкостей, например расплавов полиэтиленов, при
углах встречи потока, изменяющихся в пределах 10° < а < 30°,
справедливы следующие зависимости:
при

LH. у = 0,18 • б0 (ReL + Re2)*-2 (] 4. g^m^/c,),	(150)

при (б2)ср < 6,

LH.y = 0,27 • 60 (Rex + ReJ1-2 (1 + g^-mt^/co, (151)
где 6* = [f (x)]max/(0,5 • 60); /С0 = 2,6. Различия в формулах (150)
и (151) связаны с условиями течения жидкости на поверхности
контакта слоев.

В случае течения между парраллельными стенками канала на
границе раздела при достаточно низких числах Рейнольдса (мень-
ше критического) форма границы раздела может характеризоваться
слабой извилистостью, регулярного и нерегулярного характера.
В зависимости от величины 6(х) на эту извилистость могут на-
кладываться возмущения, возникающие в слое и связанные с на-
личием профилированной или шероховатой поверхностей.

Таким образом, анализ существующих исследований двух- и
многослойных течений позволил установить следующее.

Общей закономерностью двух-, трехслойного течения является
параболический характер распределения скоростей в пределах каж-
дого слоя. При этом выполняются условие полного прилипания
жидкости к ограничивающим канал стенкам и равенства скоростей
отдельных слоев на границах контакта.

При одинаковой среднемассовой температуре слоев различных
по своим реологическим свойствам жидкостей максимум эпюры
скоростей всегда смещен в сторону среды, которая в конкретных
условиях обладает меньшим значением напряжения сдвига на стен-
ке. В связи с этим направление смещения максимальной скорости
потока можно определить предварительно по кривым течения ис-
ходных материалов путем сравнения напряжений сдвига на стенке
в рабочем диапазоне скоростей сдвига. Чем больше эта разница,
тем большего смещения координаты положения максимума и раз-
личий в средних скоростях следует ожидать.

Физическая сущность явления смещения положения максималь-
ной скорости от центра канала объясняется различной реакцией,
отличающейся по реофизическим свойствам слоев, на действие
одинакового для них градиента гидродинамического давления.

В условиях трехслойного течения жидкостей, когда наружные
слои одинаковы, эпюра распределения скорости является осесим-
метрикой; скорости на линии раздела смежных слоев одина-
ковы.

На основании результатов изучения физической картины течения
для аналитического решения уравнений движений и с целью опре-
деления параметров двух-, трехслойных потоков вязких жидкостей
используются следующие граничные условия:

у — 0, их\ — 0, тХу — tcti;

«	1	и

У — О1> ^х\ —	— Щ<1, ^ху — ^ху — T/<lj

с	,11	Ill

У — Og, Ux2 — Ux3 — ^ху — ^ху — ТК2»

У ~ 60, Мх3 = 0, ХХу = ТСт2-

Если в качестве уравнения состояния используется закон
Освальда де Виля, то применительно к трехслойному потоку
можно записать следующие зависимости:

_ I dn\nt	___ < ;kl

<?1 = Ви, (gj (и, + 1)-^ ". |бм". 6Х-

Г 2nt-H	2^+1

-^-*1) lb
i

— f до\Пг	_l-	2"g+1

Q2 = Bn2 (g j (2n2 + IpK, ". [(6M- 6J ". +

(152)

2Пг4~1

+ ($2 — 5м) "2 1 + В [Uki (6m — 6!)	u^2 (62 — 6M)];

- I dn V/n>	— f -*—

Qs = Bn3 (g j (n3 + l)-1^". |(60- 6M) ". (60 - 6a) -

г	2na-f-l	2пз+1-]\

-	[(«0 - 5M) "• - (62 - бм) "• J J •

В представленном виде система уравнений соответствует слу-
чаю, когда максимальная скорость стратифицированного потока
находится в среднем слое.

Данные результаты иногда используют как основу для аппро-
ксимации полученных решений на случай n-слойного плоско-
параллельного течения (см. рис. 48). При этом зависимость для
определения расходов жидкостей в пристенных слоях и слое
с экстремальным значением скорости принимает вид, аналогичный
зависимостям (152). А расход жидкости в любом промежуточном
слое, характеризующийся однозначным полем касательных напря-
жений, определяется уравнением

(, \—	f	—'

gj " (Я + I)-1 ((6М - 6„) " (6в - 6н) +
ti Г	2n-pl	2rz-|-l -|i

+ 7ГТГ|(6м — 6b) " ~<6m —6«) n j) +	(68 — 6H), (153)

где индексы «в» и «н» обозначают соответственно верхнюю и ниж-
нюю границы слоя.

Определение путевых потерь при многослойном течении жидко-
стей можно выполнить на основе расчетных зависимостей объем-
ных характеристик любого из слоев. Общей для этих случаев
может служить формула

2	2	2

(-Idx==Jp«x^+j(t) +

1 1 1

2

<154>

1

Для двухслойного потока в частном случае, когда скорость
на границе контакта слоев является максимальной, критериальное
представление этой зависимости имеет вид

гпвх — OBXRe

(155)

где Свх, т — параметры, зависящие от свойств жидкости и усло-
вий формирования двухслойного потока.

Таким образом, величина перепада давления Др при постоянном
расходе в смежных слоях носит экспериментальный характер.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Альтшуль А. Д. Местные гидравлические сопротивления при движении
вязких жидкостей.— М.: Гостоптехиздат, 1962.— 116 с.

2.	Альтшуль А. Д., Калицун В. И. Гидравлическое сопротивление трубо-
проводов.— М.: Стройиздат, 1964.— 170 с.

3.	Арзуманов Э. С. Кавитация в местных гидравлических сопротив-
лениях.— М.: Энергия, 1978.— 303 с.

4.	Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских
жидкостей.— М.: Мир, 1978.— 309 с.

5.	Бабчин А. И., Леви С. М. О течении нескольких слоев вязкой жидкости
по наклонной плоскости экструдера поливной машины И Журн. прикл.
и науч, фотографии и кинематографии.— 1973.— Т. 17, № 5.— С.
18—29

6.	Бабчии А. И., Леви С. М. О течении нескольких слоев пластично-вязкой
жидкости по наклонной плоскости экструдера поливной^ машины//
Журн. прикл. и науч, фотографии и кинематографии.— 1973.— Т. 17,
№ 5.— С. 108—111.

7.	Бай Ши-И. Магнитная гидродинамика и динамика плазмы.— М.: Мир,
1964.— 160 с.

8.	t ареиблатт Г. И. О движении взвешенных частиц в турбулентном по-
токе // Прикл. математика и механика.— 1953.— Т. 17, вып. 3.

С. 118—171.

9.	Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимп-
тотика Теория и приложения к геогр. гидродинамике. Л.. Гидро-
метеоиздат, 1978.— 211 с.
10.	Белоцерковский С. М., Гиневский А. С., Полонский Я. Е. Аэродинамиче-
ские силы, действующие на решетку профилей при нестационарном
обтекании //Пром, аэродинамика.— 1961.— Вып. 20.— С. 137—167.

11.	Белоцерковский С. М. Прямое численное моделирование переходных
течений газа и задач турбулентности // Механика турбулентных пото-
ков.—М.: Наука, 1980.—С. 27—34.

12.	Бернхардт Э. Переработка термопластичных материалов.— М.: Гос-
химиздат, 1962.— 747 с.

13.	Биркгоф Г. Гидродинамика.— М.: Изд-во иностр, лит., 1963.— 244 с.

14.	Богомолов А. И., Михайлов К. А. Гидравлика.— М.: Стройиздат, 1972.—
648 с.

15.	Болгарский Б. В. Очерки по истории математики.— Минск: Вышейш.
шк., 1974.:— 288 с.

16.	Большаков В. А. Гидравлический справочник.— К.: Вища шк., 1979.—
319 с.

17.	Бортников В. Г., Кузнецов Е. В., Тябин Н. В. Разбухание полиэтилено-
вых профилей при формировании их через короткие каналы / Тр.^Ка-
зан. химико-техн, ин-та.— 1965.— Вып. 35.— С. 71—79.

18.	Ботук Б. О. Гидравлика.— М.: Высш, шк., 1962.— 450 с.

19.	Бусройд Р. Течение газа со взвешенными частицами.— М.: Мир,1975.—
378 с.

20.	Вахрушев И. А., Ефремов Г. И. Интерполяционная формула для расчета
скорости движения одиночных пузырьков газа в жидкостях // Химия
и технология топлива и масел.— 1970.— № 5.— С. 46—49.

21.	Великанов М. А. Русловой процесс.— М.: Физматгиз, 1958.— 395 с.

22.	Веников В. А. Теория подобия и моделирования.— М.: Высш, ши ,
1976.— 479 с.

23.	Волков А. А. Влияние формы поверхности канала на характеристики те-
чения при малых числах Рейнольдса // Инж.-физ. журн.— 1978. —
Т. 34, № 3.— С. 540.

24.	Воронцов Е. Г., Тананайко Ю. М. Теплообмен в жидкостных пленках.—
К.: Техн1ка, 1972.— 196 с.

25.	Воронцов Е. Г., Яхно О. М. Аналитический расчет средней толщины плен-
ки на шероховатой поверхности // Гидромеханика.— 1979.— № 39.—
С. 67—69.

26.	Воронцов Е. Г., Яхно О. М. Локальная толщина орошающей пленки
иа входном участке // Журн. прикл. механики и техн, физики.— 1974.—
№ 4,— С. 64—69.

27.	Воронцов Е. Г., Яхно О. М. Особенности гравитационного течения не-
равномерно распределенных тонких жидкостных слоев // Инж.-физ.
журн.— 1974.— Т 26. № 2.— С. 272—279.

28.	Вощин А. И., Савин И. Ф. Гидравлические и пневматические устройства
иа строительных и дорожных машинах.— М.: Машиностроение, 1965.—
204 с.

29.	Гельперии Н. И., Айнштейн В. Г., Кваша В. Б. Основы техники псевдо-
сжижения.— М.: Химия, 1967.— 172 с.

30.	Гельперин Н. И., Вильниц С. А. Истечение жидкостей из насадков и от-
верстий малых диаметров 7/ Тр. Моск, ин-та тонкой хим. технологии.—
1955.— Вып. 5.— С. 12—19.

31.	Гельперин Н. И., Крохин Н. Г. Истечение вязких жидкостей из малых
 отверстий (фильер) // Хим. волокна.— 1961.— № 2.— С. 40—46.

32.	Гидравлика, гидромашины и гидроприводы / Т. М. Башта, С. С. Руд-
нев, Б. Б. Некрасов и др.— М.: Машиностроение.— 423 с.

33.	Гиляров Н. П. Моделирование речных потоков.— Л.: Гидрометеоиздат,
1973.— 164 с.

34.	Гинзбург И. Г). Теория сопротивления и теплопередачи.— Л.: Изд-во
Ленингр. ун-та, 1)70.— 374 с.

35.	Головачевский Ю. А. Оросители и форсунки скрубберов химической
промышленности.— М.: Машиностроение, 1974.— 271 с.

36.	Гидротранспорт / Н. А. Силин, В. М. Карасик, Ю. К. Витошкин,
В. Ф. Очеретько.— К.: Наук, думка, 1971.— 157 с.
37.	Горелов Д.'Н., Курзин В. Б., Сарен В. Э. Аэродинамика решеток в неста-.
ционарном потоке.— Новосибирск: Наука, 1971.— 272 с.

38	Гостинцев Ю. А., Зайцев В. М. О кинематическом подобии турбулентно-
го закрученного потока в трубе // Инж.-физ. журн.— 1971.— Т. 20,
№ 3.— С. 434—438.

39.	Григорьян А. Т. Механика от античности до наших дней.— М.: Наука,
1974,— 479 с.

40.	Гуль В. Е., Кузмиев В. Н. Структура и механические свойства полиме-
ров.— М.: Высш, шк., 1966.— 312 с.

41.	Гухман А. А. Введение в теорию подобия.— М.: Высш, шк., 1963.—
254 с.

42.	Гухман А. А. Применение теории подобия к исследованию процессов теп-
ло- и массообмена. —М.: Высш, шк., 1974.— 328 с.

43.	Дементьев М. А. О гидравлическом расчете прямолинейных и равномер-
ных взвесенесущих потоков в ядре течения // Тр. Всесоюз. науч.-исслед.
ин-та гидромелиорации.— 1964.— Вып. 75.— С. 33—58.

44.	Дж. Лейли, Д. Харлеман. Механика жидкости.— М.: Энергия, 1971.—
480 с.

45.	Домашев А. Д. Конструирование, и расчет химических аппаратов.—•
М.: Машгиз, 1961.— 624 с.

46.	Емцев Б. Т. Техническая гидромеханика.— М.: Машиностроение, 1978.—
464 с.

47.	Ершин Ш. А., Кудусов Ж- К. Гидродинамика и теплообмен при ламинар-
ном движении смазочных масел между вращающимися цилиндрами //
Пробл. теплоэнергетики и прикл. теплофизики.— 1969.— Вып. 5.—
С. 128—141.

48.	Жермен Г). Курс механики сплошных сред.— М.: Высш, шк., 1983.—399 с.

49.	Живайкин Л. Н. О толщине пленки жидкости в аппаратах пленочного
типа // Хим. машиностроение.— 1961.— № 6.— С. 25—29.

50.	Зубков В. Е. К решению задачи о движении частиц в криволинейном
потоке / Пробл. теплоэнергетики и прикл. теплофизики.— 1969.—
Вып. 5.— С. 57—63.

51.	Иванченко Н. Н., Скуридин А. А., Никитин М. Д. Кавитационные раз-
рушения в дизелях.— Л.: Машиностроение, 1970.— 152 с.

52.	Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям.—М.:
Госэнергоиздат, 1960.— 464 с.

53.	Ильюшин А. А. Механика сплошной среды.— М.: Изд-во МГУ, 1971.—
247 с.

54.	Канавец Н. Ф., Клаз С. И. Метод определения реологических свойств
полимерных материалов // Пласт, массы. — 1963. — № 8. — С.
27—33.

55.	Исследование гидротранспорта вспененного полистирола для целей су-
доподъема / Ю. К- Витошкин, В. М. Карасик, В. И. Кондаков, С. К. Тон-
кин // Гидромеханика.— 1979.— № 39.— С. 89—96.

56.	Исследование турбулентных течений двухфазных сред / В. Е. Накоря-
ков, А. П. Бурдаков, Б. Г. Покусаев и др. // Новосибирск: Ин-т тепло-
физики. 1973.— 315 с.

57.	Каплун Б. Я., Левин А. П. Учет упругого последействия при конструи-
ровании оформляющего инструмента для экструзии термопластов //
Пласт, массы. — 1965.— № 2.— С. 46—51.

58.	Карев В. И. Потери напора при внезапном расширении трубопровода //
Нефт. хоз.-во.— 1952.— № 11.— С. 32—41; № 12.— С. 18—24.

59.	Карелин В. Я. Кавитационные явления в центробежных и осевых насо-
сах.-— М.: Машиностроение, 1975.— 336 с.

60.	Каргин В. А., Слонимский Г. Л. Краткие очерки по физико-химии по-
лимеров.— М.: Химия, 1967.— 230 с.

61.	Касьянов В. М. О влиянии центробежных сил на турбулентность //
Тр. Моск. нефт. ин-та им. акад. Губкина.— 1953.— Вып. 13. С.
29-36.	X II u ж™

62.	Касьянов В. М. Потери напора во вращающихся трубах // Нефт.
хоз-во.— 1950.— № 5.— С. 12—17.
63.	Кафаров В. В. Основы массопередачи.— М.: Высш, шк., 1972.—
494 с.

64.	Квитковский ГО. В. Влияние вращения криволинейного канала на гид-
равлическое сопротивление // Тр. Моск, ин-та инж. трансп.— 1967.—
Вып. 242.—С. 83—101.

65.	Квитковский В. С. Диагональные гидротурбины.— М.: Машинострое-
ние, 1971.— 208 с.

66.	Клайд С. Дж. Подобие и приближенные методы: Пер. с англ.— М.:
Мир, 1968.— 302 с.

67.	Клаз С. И., Канавец И. Ф. Пристенные эффекты при экструзии термо-
пластов // Пласт, массы.— 1966.— № 3.— С. 47—50.

68.	Козулин Н. А., Шапиро А. Н., Гавурина Р. К. Оборудование для произ-
водства и переработки пластических масс.— М.: Госкомиздат, 1963. —
183 с.

69.	Копырин М. А. Гидравлика и гидравлические машины.— М.: Высш,
шк., 1961.— 300 с.

70.	Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика.—
М., 1963.—Т. 1.— 583 с.

71.	Криль С. И., Берман В. П. Распределение концентрации твердых частиц
по глубине высококонцентрированного взвесенесущего потока // Гидро-
механика, 1976.-— Вып. 34.— С. 66—71.

72.	Криль С. И. Уравнение энергии взвесенесущего потока высокой кон-
центрации Ц Гидромеханика.— 1973.— Вып. 23.— С. 71—77.

73.	Криль С. М. Энергобаланс взвесенесущего потока и его следствия //
Гидромеханика.— 1976.— Вып. 34.— С. 72—78.

74.	Кутепов А. М., Стерман Л. С;, Стюшин Н. Г. Гидродинамика и теплооб-
мен при парообразовании.— М.: Высш, шк., 1977.— 352 с.

75.	Кутателадзе С. С. Анализ подобия в теплофизике.— Новосибирск: Нау-
ка, 1982.— 280 с.

76.	Леви И. И. Моделирование гидравлических явлений.— Л.: Энергия,
1967.— 235 с.

77.	Леви С. М., Цветков Г. М., Бабчии А. И. Физические основы экструзион-
ного способа полива фотографических эмульсий // Успехи науч, фото-
графии,—1966.— Т. 11,—С. 74—84.

78.	Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Наука, 1978.—
736 с.

79	Левич В. Г. Физико-химическая гидродинамика.— М.: Физматгиз,
1959.— 699 с.

80.	Литвинов В. Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости.— М.: Наука,
1982.— 373 с.

81.	Ляхтер В. М., Прудовский А. М. Гидравлическое моделирование.—
М.: Энергоатомиздат, 1984.— 392 с.

82.	Маккавеев В. М. Отеория-Х движения турбулентных потоков, содержащих
взвешенные насосы.— М.: Изд-во АН СССР, 1952.— С. 1260—1271.

83.	Мак-Келви Д. М. Переработка полимеров.— М.: Химия, 1965.—
442 с.

84.	Макморди Р. К-, Эмери А. Ф. Численное решение задачи о теплообмене
при ламинарном течении жидкости в круглых трубах в условиях влия-
ния осевой теплопроводности и развивающихся полей температуры
и скорости II Теплопередача. Сер. С.— 1967.— № 1.— С. 48—54.

85.	Маковозов М. И. Гидравлика и гидравлические машины.— М.: Маш-
гиз, 1962.— 427 с.

86.	Методические рекомендации по гидротермическому моделированию /
Всесоюз. науч.-исслед. ин-т гидромелиорации.— Л.:Энергия, 1972.—78 с.

87.	Мизес М. Математическая теория течений сжимаемой жидкости.— М.:
Изд-во иностр, лит., 1961.— 588 с.

88.	Минц Д. М., Шуберт С. А. Гидравлика зернистых материалов.— М.:
Минкомхоз РСФСР, 1955.— 112 с.

89.	Милитеев А. Н. Гидротермическое моделирование водоемов-охладите-
лей // Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и трансп.— 1982.— № 1.—
С. 101—103.
90	Мирзоев Р. Г., Кутушев И. Д., Брагинский В. А. Основы конструиро-
вания и расчета деталей из пластмасс и технической оснастки для их
изготовления.— М.: Машиностроение, 1972.— 416 с.

91	Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика.— М.: Наука,
1965.— Ч. I,— 639 с.

92	Мхитарян А. М. Аэрогидромеханика.— М.: Машиностроение, 1984.—
412 с.

93	Назаров Г. С. К расчету параметров кавитационных течений в гидрав-
лических системах // Инж.-физ. журн — 1969.— Т. 17, № 3.—
С. 397—406.

94	Назаров Г. С. Экспериментальное исследование кавитационных харак-
теристик сужающихся насадков // Инж.-физ. журн.— 1968.— Т. 14,
№ 3.— С. 423—429.

95	Начинкин О. И. О критических скоростях истечения вязких жидкостей
из отверстий малых диаметров // Хим. волокна.— 1965.— № 6.—
С. 65—77.

96	Новиков И. И., Боришанский А. М. Теория подобия в термодинамике
и теплопередаче.— М.: Атомиздат, 1979.— 184 с.

97	Огибалов П. М., Мирзаджанзаде А. X. Механика физических процессов.—
М.: Изд-во Моск, ун-та, 1976.— 367 с.

98.	Огибалов П. М., Мирзаджанзаде А. X. Нестационарные движения вязко-
пластичных сред.— М.: Изд-во Моск, ун-та, 1970-— 415 с

99.	Олевский В. М., Ругинский В. Р. Ректификация термически неустойчи-
вых продуктов.— М.: Химия, 1972.— 200 с.

100.	Ольштейн Л. Е., Трахтенбройт М. А. Обтекание решетки пластин не-
равномерным вихревым потоком сжимаемого газа // Изв. АН СССР.
Сер. Механика жидкости и газа,— 1972.— № 1.— С. 92—100.

101.	О форме струи, вытекающей из плоского капилляра на наклонную
плоскость экструдера поливной машины / Н. Н. Сомов, С. М. Леви,
К- Д- Вачагин, Р. Ш. Аюпов // Журн. науч, и прикл. фотографии и кине-
матографии'— 1972.— Т. 15, № 6.— С. 412—416.

102.	Паллабазер Р. Эффект магнитной пластичности в неньютоновских жидко-
стях // Ракет, техника и космонавтика.— 1966.— № 11.— С. 118—131.

103	Панир А. Н. О предельных кавитационных качествах осевых насосов //
Энергомашиностроение.— 1968.— № 12.— С. 21—23.

104.	Перельман Р. Г., Поликовский В. И. Гидравлическое сопротивление
прямолинейных каналов в поле центробежных сил// Изв. АН СССР.
ОТИ.— 1958 — № 10.— С. 15—26.

105.	Петухов Б. С. Ламинарное течение и теплообмен в трубах.— К.: Тех-
Н1ка, 1968.— 364 с.

106.	Пищенко И. А. Дифференциальное уравнение движения турбулент-
ного потока, несущего твердые частицы // Вести. Киев, политехи, ин-та.
Сер. Хим. машиностроение.— 1968.— № 5.— С. 66—71.

107.	Плендерер К. Лопастные машины для жидкостей и 1азов.— М.: Маш-
гиз, I960.— 506 с.

108.	Повх И. Л., Болонов Н. И., Эйдельман А. Е. Профиль осредненной
скорости и потери трения в турбулентном потоке водной суспензии
глины // Гидромеханика.— 1976.— № 34.— С. 61—65.

109.	Поэжина П. Основные вопросы вязкопластичности.— М.: Мир, 1968.—
176 с.

НО. Предводителев Л. С. Механика движения.— Минск: Изд-во Бел. ун-та,
1975.— 246 с

111.	Просгура Г. Ф. Гидродинамика турбомашин.— М.: Машгиз, 1954.—423 с.

112.	Прудовский А. М. Гидравлическое моделирование сегодня // Гидравли-
ческое стр-во.— 1982.— № 9 — С. 45—48.

113.	Пустовойт Б. В. Механика движения жидкостей в трубах.— Л.: Нед-
ра.— 159 с.

114.	Рабинович Е. 3. Гидравлика.— М.: Недра, 1980.— 278 с.

115.	Розенберг Б. А. Кинетика и механизм отверждения эпоксидных оли-
гомеров И Композиционные полимерные материалы.— К., 1975.
С. 39—60.
116.	Розовский И. Л., Шабрин А. Н., Марков С. Б. Формы поверхности при
плотностном течении в прямоугольном канале // Гидромеханика.—
1974.— Вып. 27.— С. 77—82.

117.	Романков П. Г., Носков А. А. Сборник расчетных диаграмм по курсу
процессов и аппаратов химической технологии.— Л.: Химия, 1966.—52 с.

118.	Рой Д. Н. Ламинарный теплообмен в начальном участке равномерно на-
греваемой трубы//Теплопередача.— 1965.— № 3.— С. 180—184.

119.	Самойлович Г. С. Нестационарное обтекание и аэроупругие колебания
решеток турбомашин.— М.: Наука, 1969.— 444 с.

120.	Сарикас Т. Гидродинамический момент и кавитационные характеристики
дроссельных клапанов // Тр. Амер, об-ва инж.-механиков.— 1961.—
Т. 38, № 4.— С. 36—44.

121.	Сахно Ю. А., Таугер М. В. Гидравлические делители и сумматоры по-
токов.— М.: Машиностроение, 1972.— 105 с.

122.	Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике.— М.: Наука,
1967.— 428 с.

123.	Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.—М.:
Наука, 1966.— 443 с.

124.	Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями.—
М.: Наука, 1964.— 278 с.

125.	Сиов Б. Н. Истечение жидкости через насадки в среды с противодавле-
нием.— М.: Машиностроение, 1968.— 140 с.

126.	Слиниберг Е., Лэндис Ф. Трение и характеристики теплообмена при
вынужденной конвекции в трубах с завихрителями из скрученной лен-
ты // Теплопередача.— 1964.— № И.— С. 52—65.

127.	Снеговский Ф. Н. Опоры скольжения тяжелых машин.— М.: Машино-
строение, 1969.— 224 с.

128.	Седов Л. И., Степанова Г. Ю. Неустановившиеся течения воды с боль-
шими скоростями.— М.: Наука', 1973.— 164 с.

129.	Смольский Б. М., Шульман 3. П., Гориславец В. М. Геодинамика и теп-
лообмен нелинейно вязкопластичных материалов.— Минск: Наука и тех-
ника, 1970.— 448 с.

130.	Солоненко В. М. Приближенные модели динамики вязкой жидкости:
(Обоснование и методы расчета).— К.: В ища шк., 1980.— 238 с.

131.	Спэрроу Е. М., Хаджи-Шейх А. Теплоотдача и падение давления при
ламинарном течении в каналах с поперечным сечением в виде равнобед-
ренного треугольника, прямоугольного треугольника и сектора круга //
Теплопередача.— 1965.— № 3.— С. 31—35.

132.	Тагер А. А. Физико-химия полимеров.— М.: Госхимиздат, 1963.—
528 с.

133.	Тананайко Ю. М., Воронцов Е. Г. Методы расчета и исследования пле-
ночных процессов.— К.: Техн1ка, 1975.— 312 с.

134.	Тарг С. М. Основные задачи теории, ламинарных течений.— М.; Л.:
Гостехиздат, 1961.— 420 с.

135.	Темкин А. Г., Савельев Г). А. Многокоординатное описание турбулент-
ного течения в винтообразном профилированном канале // Изв. АН Лат.
ССР. Сер. Физ. и техн. наук.— 1971.— № 1.— С. 76—81.

136.	Тенанс Л. А. Скорость течения частиц в спокойной жидкости.— Тал-
лин: Тал. политехи, ин-т, 1958.— 92 с.

137.	Терещенко А. М. Устойчивость вращательно-поступательного движения
жидкости // Механика жидкости и газа.— 1971.— № 3.— С. 191—195.

138.	Торнер Р. В. Основные процессы переработки полимеров (теория и ме-
тоды расчета).— М.: Химия, 1972.— 452 с.

139.	Тябин Н. В. О подобии потоков вязко-пластичной жидкости // Коллоид,
журнал.— 1952.— Т. 14, вып. 4.— С. 270—273.

140.	Тябин Н. В. О течении двух несмешивающихся слоев вязко-пластиче-
ских жидкостей в круглой трубе // Коллоид, журн.— 1956.— Т. 18,
№ 3.— С. 379—381.

141.	Тябин Н. В., Пудовский М. А. Течение вязко-пластической дисперсной
системы в коническом диффузоре // Докл. АН СССР.— 1953.— Т. 42,
№1.—С. 53—56.
142.	Тябин Н. В. Теория аномальной вязкости дисперсных систем // Журн.
техн, физики.— 1955.— Т. 25, вып. 2.— С. 339—349.

143.	Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости.— М.: Мир, 1964.— 235 с.

144.	Федоткин И. М. Интенсификация технологических процессов.— К.:
Вища шк., 1979.— 344 с.

145.	Федоткин И. М., Линеман В. С. Интенсификация теплообмена в аппа-
ратах химического производства.— К.: Техн1ка, 1971,—215 с.

146.	Фридман М. Л., Малкин А. Я., Власов В. И. Двухслойное течение рас-
плавов полимеров в кольцевых головках экструдеров // Пласт, массы.—
1975,— № 3,— С. 29—33.

147.	Хайкин С. Э. Физические основы механики.— М.: Физматгиз, 1962.—
772 с.

148.	Харин В. Ф. Гидродинамические закономерности и массообмен при
пленочном течении жидкости по шероховатой поверхности: Автореф.
дис. ... канд. техн, наук,— Казань, 1972 — 27 с.

149.	Химицкий Е Я- О формулах коэффициента сжатия струи // Электр,
станции.— 1961.— № 7.— С. 70—74.

150.	Хиице О. И. Турбулентность.— М.: Физматгиз, 1963.— 680 с.

151.	Хорлок Д. Ж. Нестационарная подъемная сила аэродинамического про-
филя при наличии пульсаций скорости потока в поперечном и продоль-
ном направлениях // Теорет. основы ииж. расчетов.— 1968.— К» 4.—
С. 64—72.

152.	Хьюитт Дж., Холл-Тейлор Н. Кольцевые двухфазные течения: Пер.
с англ.— М.: Энергия, 1974.— 407.с.

153.	Цой П. В. Методы расчета отдельных задач тепломассопереноса.—
М.: Энергия, 1971.— 367 с.

154.	Шерклиф Дж. Теория электромагнитного измерения расхода.— М.:
Мир, 1965,— 268 с.

155.	Шищенко В. И., Есьман Б. И., Кондратенко П. И. Гидравлика промы-
вочных жидкостей.— М.: Недра, 1976.— 294 с.

156.	Шищеико В. И., Есьман Б. И. Практическая гидравлика в бурении.—
М.: Недра, 1966.— 88 с.

157.	Шкоропад Д. Е. Центрифуги непрерывного действия за рубежом.*—
М.: Машиностроение, 1969.— 318 с.

158.	Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.— М.: Наука, 1974.— 711 с.

159.	Шульман 3. П., Байков В. И., Зальцгендлер В. И. Тепло- и массообмен
при свободной конвекции в неньютоновских жидкостях.— Минск: Нау-
ка и техника, 1975.— 136 с.

160	Шульман 3. П., Берковский Б. М. Пограничный слой неньютоновских
жидкостей.— Минск: Наука и техника, 1966.— 238 с.

161.	Шульман 3. П. Конвективный тепломассоперенос реологически слож-
ных жидкостей.— М.: Энергия, 1975.— 352 с.

162.	Эйрих Ф. Реология, теория и приложения.— М.: Изд-во иностр, лит.,
1962,— 824 с.

163.	Юфин А. П. Гидравлика, гидродинамические машины и гидропривод.—
М.: Высш, шк., 1965.— 427 с.

164.	Юфин А. П. Гидромеханизация.— М.: Стройиздат, 1965.— 496 с.

165.	Яхно О. М., Воронцов Е. Г. Интегральные характеристики пленки, не-
равномерно орошающей внешнюю поверхность трубы // Хим. техноло-
гия.— 1975.— Xs 4.— С. 43—45.

166.	Яхно О. М., Дубовицкий В. Ф. Основы реологии полимеров.— К.:
Вища шк., 1976.— 186 с.

167.	Яхно О. М., Шевченко А. В., Носко С. В. Основные принципы регулиро-
вания капиллярных щелей экструзионных головок для производства
фотоматериалов // Вести. Киев, политехи, ин-та. Сер. Машинострое-
ние,— 1981,— № 18,— С. 44—51.

168.	Abolphi G. Die Geschwindigreitsverteilung in der turbulenten Rohrst-
comung // Chemistry Technik, — № 6.— 1955.— P. 324—333.

169.	Astarita Gianni and Gnido Greco. Express pressuredrop in laminar flow
trough sudden contaction // ISEC Fundumentuls.— 1968.— Vol. 7,
N 1.— P. 27—31.
170.	Bender E. Druckverlust bei laminarer Stromung in Robreinlant Chern //
Jng Techn.— 1969.— Vol. 4, N 11.— P. 682—686.

171.	Bengt O. A. Hedstrom, Flow of Plastics materials in pipes // Indu-
strialand engineering chemistry.— 1965.— Vol. 44, N 3.— P. 651 —
654.

172.	Bogen N. S., Ramamurthy A. V. Experimental measurrements of Joss
Coefficients in the Entrance Region of a Pipe for Viscons Powor Low
and Viscoelastic Fluids // AJGHS Journal.— 1970.— Vol. 16, N6.—
P. 1088—1091.

173.	Ghigier N. A., Ghervinsky A. Experimental Investigation of Swirling
Voltex Motion in Jets, Journal of Applied Meihaniis//June.— 1967.—
Vol. 34, N 2,— P. 443—450.

174.	Ghristianser E. B., Yesley S. J. and Garter T. K. Laminar Lute Flow thro-
ugh and Abrubt Contraction // AJCHE Journal.— 1972.— Vol. 18, N2.—
P. 372—380.

175.	Coen A. Protaspatarop. Aspettc Fisical del processe di coextrunione dei
piasticl П Haterie Plastiche ed Elastomeri.— 1971.— Vol. 37, N 5.—
P. 27—33.

176.	Ernst — Otto Rener, Doehman Haroske, Klaus Kohler. Stromunger
niht // Newtonscher Flussig Ku ten Chemische Feihick.— 1962.— N 3.—
P. 137—143.

177.	Flomas C. Jn., Han C. Stratified Fixo — Phase Flow of Molter // Polymers
Journal of Appliced Polymer Science.— 1973.— Vol. 17.— P. 1203—
1225.

178.	Geiger G. F., Rohrer W. M. Suddrn contoction losses in two phase flow,
Journal Heat Transfer.— 1966, Februaru.— 1. p.

179.	Henryk Wolden, Jerzy Stasiak. Mechanika cieczy i gazow w inzynierii
seniturney.— Warswawa: Arkady, 1971.— 554 p.

180.	Henry L., Langhoar H. L. Flow in the Transition Jyngth of a straigt
Tube // Journal of Applied Maihaniies.— 1942.— Vol. 9. N 2.— P.
318—330.

181.	Hydraulic modeling Kobus H. (EL). Hambury Verlag Paul Parey;
Boston, Pitman.— 1980.— 418 p.

182.	Jones John Walters Trevor S. A. Note on the Motion of a Viscons Liguid
in a Rotating Straight Pip // Zangen Math and Phys.— 1967.— Vol. 18,
N 16,— P. 788.

183.	Nikuradze J. Stromungegesetze in ranhen Rohren — VDI — Forsehungsh,
1933.— 136 p.

184.	Ramamurthy A. V., Boger О. V. Dereloping Velocity Profiles on the
Pownstream of a Coustraetion For Jnelastic For Jnelastic Polymer Salu-
tions//Frans of the Society of Reologgy.— 1971.— Vol. 15, N 4.—
P. 709—730.

185.	Reher Erust, Otto Mylins Ekkehard. Eine Obersicht liber rinige methoden
rur. Berechmung des Geuck verlustes beim Trans//Chemistry Technolo-
gy.— 1967,— Vol. 19, N 10.— P. 304—312.

186.	Richard Hanks. On the Theoretical Calculation of Frietion Factor for
Jaminar Fransilional and Turbulent Flow of Newto nian Fluids in Pipes
and Between Pamallel Plane walls // A. J. Ch. E. Journal.— 1968.—
T. 5.— P. 303—316.

187.	Ronald M. C. SO. Entry Flow in lurved channels// Journal of Flaids Engi-
neering. June, 1976.— P. 305—310.

188.	Schmidt F. W., Wimmer !<• Laminar Flows in Jube With Step Changes
in Grass Sections // AJCHE Journal.— 1971.— Vol. 17, N 5.—
P. 1248—1250.

189.	Sohrenk W. J., Ghisholm D. S., Aefrey T. Mixing of viscons flowing throngh
a rotating tube // Modern Plastics.— 1969.— T. 1.— P. 152—158. _

190.	Silvester N. D., Rozen S. L. Laminar Flow in the Entrance Region of
a Cilindvical Tube // AJCHE Journal.— 1970.— Vol. 16, N 6.— P.
964—972.

191.	Sporrow E. M. Laminar Flow in Jsoseeles Fraingular Duets // AJCH. E.
Journal.— 1962.— Vol. 8, N 5,— P. 96—107.
192.	Wejzer J. J., Jankow W. Izothermes Flieden einer viskosen Fliissigkrit in
den Kanalen Koniacher Schnecken // Plaste and Kantsihuk. Johrganh
Hift.— 1976,— N 6.— P. 326—328.

193.	White A. Flow of a Fluid in an axially rotating pipe// The Journal of
Mechanical Engineering Sciences.— 1964.— Vol. 6, N 1.— P. 47—52.

194.	Whitehead D. S. Force and mament coefficients for yibrating aerotoils
in cascade // ARC R. S. M.— 1960, 3254.— P. 37.
30.123

К18

УДК 62—82

Каминер А. А., Яхно О. М.

К18 Гидромеханика в инженерной практике.— К.:- Технь
ка, 1987.— 175 с.: ил.— (Б-ка инженера).— Библиогр.:
с. 165—173.

В пер.: 1 р. 10 к. 5000 экз.

В книге изложены основные положения механики реальной жидкости, исполь-
зуемые при инженерных расчетах. Приведены практические задачи, иллюстрирую-
щие применение основных законов гидромеханики в различных областях техники.
Теоретические результаты и расчетные формулы представлены в виде простых
зависимостей, которыми могут пользоваться инженеры, ие имеющие специальной
подготовки в области гидромеханики.

Рассчитана на инженерно-технических работников различных отраслей про-
мышленности, может быть полезна студентам вузов соответствующих специаль-
ностей.

_2105000000-101_	30л23

М202(04)-87

Рецензенты д-ра техн, наук Ю. С. Воробьев, А. М. Мхитарян.

Редакция литературы по машиностроению и транспорту
Зав.'редакцией П. Ф. Боброва

(С) Издательство «Техшка», 1987