В. М. Лятхер, Α. Μ. Прудовский
ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
МОСКВА-ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ-1984

ББК 30.123
Л97
УДК 532.5.072.12
Рецензент И. А. Шеренков
Лятхер В. М., Прудовский А. М.
Л97 Гидравлическое моделирование. — М.: Энсрго-
атомиздат, 1984. — 392 е., ил.
В пер.: 1 р. 60 к. 3600 экз.
Излагаются теории подобия и размерностей применительно к
моделированию гидравлических явлений. Особое внимание уделяется
приближенному подобию. Рассматривается широкий круг задач
гидравлического моделирования явлений и объектов, характерных для
энергетики: напорных и открытых потоков, деформаций естественных
и искусственных русл, многофазных течений, переноса теплоты и т. д.
Предназначается для инженеров-гидравликов, работающих в
различных областях энергетики и водного хозяйства, а также научных
работников, преподавателей, аспирантов и студентов вузов.
2105000000-077 ББК 30.123
Л051(01)-84 23"84 605
@ Энергсатомиздат, 1984

*# ценю и умение строить анй»
йогии, которые, если они смелы и
разумны, выводя! нас за пределы
того, что пожелала нам открыть
природа, позволяя предвидеть
факты еще до того, как мы их
увидим».
Ж. Л. Д'Аламбер, «Энциклопедия»
ПРЕДИСЛОВИЕ
Гидравлические задачи, выдвигаемые энергетикой,
весьма сложны, разнообразны и многочисленны. Это
объясняется широтой комплекса технических проблем энергетики,
а также наличием гидравлических явлений в большом
круге процессов, характерных для этой отрасли народного
хозяйства.
Инженерная гидравлика является основой не только
гидроэнергетики — науки, для которой движение воды —
основной предмет изучения. И для тепловой, и для
атомной энергетики гидравлические задачи, связанные с
преобразованием энергии, не менее важны, чем задачи
термодинамики и ядерной физики.
Древнейшая ветвь энергетики — ветроэнергетика,
переживающая сейчас новое рождение, оперирует с законами
аэродинамики при скоростях воздуха, много меньших
скорости звука, когда эти законы неотличимы от законов
гидравлики.
Масштабы современной энергетики таковы, что ее
взаимодействие с окружающей средой имеет не только
локальный, но и глобальный характер. При оценке воздействия
энергетики па природу, отыскании мер ограничения
отрицательных последствий этого воздействия, а также для
получения положительных эффектов необходим прогноз
различных гидравлических явлений. Сложность
гидравлических задач энергетики определяется и тем, что эти задачи
лежат на границах со многими другими науками:
динамикой конструкций, термодинамикой, механикой грунтов,
метеорологией, экологией и т. д.
Гидравлика переживает в настоящее время особый
период ее длительной истории, связанный с широким
внедрением вычислительных методов на базе использования
современных ЭВМ. Применение ЭВМ значительно расши-

4
Иредисло&ив
рило круг гидравлических задач, которые могут быть
решены расчетом без постановки лабораторных исследова*
ний, это дало возможность решать такие сложные задачи
(особенно лежащие на границах с другими науками),
которые до" недавнего времени были за пределами технических
возможностей гидравлики. Однако возросшее
использование численных методов (численного моделирования) не
привело к снижению значимости лабораторных
исследований (физического моделирования). Такая ситуация
связана с неполнотой математических моделей гидравлических
явлений во многих практически важных случаях. Имеется
и ряд технических причин, по которым для решения
конкретных задач физическое моделирование имеет
преимущества перед численным. Оптимальным путем
гидравлических исследований является сочетание численного и
физического моделирования. Гидравлическое (физическое)
моделирование, широкое использование которого началось
многие десятилетия назад, продолжает
совершенствоваться, что связано и с развитием численного моделирования.
ЭВМ в составе физического эксперимента используются
для усовершенствования техники лабораторных
исследований, для управления ими.
Усложнение гидравлических задач приводит к
необходимости решения недостаточно разработанных
принципиальных вопросов моделирования. К таким вопросам
относится приближенное гидравлическое подобие. Идеи
подобия явлений природы, на которых основывается, в
частности, физическое моделирование, восходят ко временам
Леонардо да Винчи. В их формирование существенный
вклад внесли Галилей, Ньютон, Фурье. Однако в
современном виде учение о подобии сложилось во второй половине
XIX и начале XX вв. Среди ученых, чьи работы легли
в основу теории подобия и теории размерностей (Бертран,
Букингем, Федерман) значительное место занимают наши
соотечественники Т. А. Афанасьева-Эренфест и В. Л. Кир-
пичев.
Ряд общих вопросов теории подобия разработан
советскими учеными М. В. Кирпичевым [63], Л. И. Седовым
[138], А. А. Гухманом [45] и др.
Первые книги по гидравлическому и связанному с ним
термодинамическому моделированию в отечественной
литературе появились в 30-е годы нашего века. Наряду с
переводными работами (например, книгой Ф. Эйснера «Экспе-

Предисловие
5
риментальная гидравлика сооружений и открытых русел»,
переведенной с дополнениями С. А. Егоровым и Б. А. Фвд-
маном) вышли оригинальные книги советских авторов
(С. В. Избаша [55], А. П. Зегжды [52], Л. Г. Лойцянско-
го, М. А. Михеева, П. К. Конакова [66] и др.).
Не снижающийся интерес к гидравлическому
моделированию определяет появление и в наше время большого
числа работ в данной сфере [162, 177, 179, 182, 216, 226,
227]. Так, в 1981—1982 гг. практически одновременно
в Западной Европе вышли три книги по гидравлическому
моделированию и технике лабораторных гидравлических
исследований [181, 204, 218]. Вместе с тем, несмотря на
большое количество журнальных публикаций в
отечественной научно-технической литературе, со времен выпуска
второго издания книги И. И. Леви [76] не появилось ни
одной монографии, достаточно полно отражающей
состояние данной области знания. В 1971 г. авторы выпустили
книгу [91], в которой изложены результаты, относящиеся
к общим вопросам гидравлического моделирования.
Однако их практическое приложение было связано главным
образом с частным видом гидравлических моделей
(напорными моделями открытых потоков), являвшихся предметом
указанной книги.
Предлагаемая читателю книга содержит попытку
восполнить имеющийся пробел в отечественной литературе по
гидравлическому моделированию применительно к задачам
энергетики. Наряду с общими вопросами теории
физического моделирования, изложенными в гл. 1, наиболее
пристальное внимание во всей книге уделяется приближенному
подобию, что соответствует тенденциям, наблюдающимся
в современной гидродинамике [10, 28, 64, 91, 193, 205].
Методы приближенного подобия применительно к
физическому моделированию находятся в настоящее время в
процессе становления. Поэтому в книге предлагаются
основные понятия и подходы в данной области. Показано, что
условия приближенного подобия существенно связаны
с принятым математическим описанием моделируемого
явления, что заставляет обращаться к математическим моделям
течений жидкости. Математические модели, относящиеся
к общим случаям течений, и соответствующие им условия
подобия являются предметом гл. 2, предваряющей
изложение вопросов теории приближенного подобия (гл. 3).
Главы 4—8 содержат предложения по гидравлическому моде-

6
Предавшие
лированшо при решении конкретных задач, характерных,
прежде всего для Энергетики, таких как определение
параметров течений в естественных и искусственных руслах,
исследования водосбросов плотин, оценка деформаций
русл, определение условий перемещения водой твердых ма-
риалов в гидротехнических отстойниках, системах
гидротранспорта и шлакоудаления тепловых электростанций,
отыскание гидравлических параметров, необходимых для
конструирования контуров циркуляции ядерных
энергетических реакторов, оценка эффективности теплообменников
и водохранилищ-охладителей тепловых и атомных
электростанций, выявление последствий сброса теплых вод в
естественные водоемы и водотоки, прогнозирование кавитации
и многие другие.
Наряду с практическими рекомендациями по
моделированию напорных, открытых, многофазных потоков, потоков
в деформируемых руслах, процессов массо- и теплоперено-
са в этих главах содержатся иллюстрации общих методов
и приемов приближенного подобия и определенное их
углубление.
Среди объектов гидравлического моделирования авторы
выбрали те из них, в моделировании которых они имеют
наибольший опыт.
В книгу не вошли важные для энергетики задачи
определения на моделях энергетических характеристик
оборудования, моделирования ветровых воль и фильтрации в
пористой среде, а также гидродинамических нагрузок,
вибраций, динамической устойчивости и прочности конструкций
при гидродинамических воздействиях. При решении этих
задач целесообразно воспользоваться общими подходами,
изложенными в книге. При этом полезные материалы
могут быть почерпнуты из работ, приведенных в списке
литературы, в том числе из работ авторов.
Основная часть использованных в книге материалов
накоплена за многие годы работы авторов в
Научно-исследовательском секторе Гидропроекта имени С. Я. Жука.
В ней обобщены также данные советских и зарубежных
публикаций последних лет.
При составлении всех глав книги их содержание
подготавливалось и обсуждалось обоими авторами.
Непосредственно написание материала книги распределено между
ними следующим образом: В. М. Лятхер — гл. 2, 4, § 5.4,
§ 6.1 и 6.2; § 8.2 и 8.3; А. М. Прудовский — гл. 1, 3,

Предисловие
7
§ 6.3 и 6.4, гл. 7, § 8.1, 8.4, 8.5; гл. 5, кроме § 5.4, написаны
авторами совместно.
Авторы приносят благодарность сотрудникам
руководимых ими коллективов, вместе с которыми получены
материалы, использованные в данной книге, и чьи имена
указаны в соответствующих библиографических ссылках,
а также многим своим помощникам, участвовавшим в раз*
нее время в проведении опытов и расчетов, обработке и
оформлении результатов. <
Особую благодарность авторы выражают проф.,
доктору техн. наук И. А. Шеренкову за ряд ценных замечаний,
а также канд. техн. наук М. Я. Гильденблату, взявшему на
себя труд по редактированию книги.
Замечания и пожелания по содержанию книги
авторы просят направлять по адресу: 113114, Москва, М-114,
Шлюзовая наб., 10, Энергоатомиздат.
Авторы

Глава 1
ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
1.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОД
ПОЗНАНИЯ
Моделирование является одним из важнейших путей
познания. При использовании такого пути познание
объекта (оригинала, натуры, прототипа) ведется через изучение
его заменителя, который называется моделью. Если
натура N характеризуется рядом величин ΧΗ^Ν, то при
моделировании строится такой объект Λί, признаки которого
Хм^М находятся в определенном соответствии с
величинами натуры:
Понятие «модель» в теории познания весьма
многозначно, что затрудняет классификацию моделей. Для
наших целей важно подразделить модели на предметные
и знаковые. Первые из них являются материальными
объектами, характеристики которых так или иначе
соответствуют характеристикам натуры. Вторые — представляют
собой знаковые образования (схемы, графики, чертежи,
формулы, слова и т. д.). Важнейшим видов знаковых
моделей являются математические
(логико-математические) модели, осуществляемые средствами языка
математики и логики.
В математические модели течений жидкости входят уравнения
неразрывности, сохранения количества движения, сохранения энергии
и уравнения состояния в том или ином виде. Для многофазных
жидкостей уравнения записываются для каждой фазы с включением
слагаемых, характеризующих взаимодействие фаз. Уравнения содержат
некоторую схематизацию гидравлического явления. От того, насколько
удачна схематизация, зависят качества математической модели: одни
модели могут быть лучше, другие хуже, но все они обладают
некоторой степенью неопределенности и неточности, так как в их основе
лежит какая-либо гипотез·. Оценкой качества математической модели
(правомерности заложенных в нее гипотез) является сравнение
величин, соответствующих использованной гипотезе, с измеренными харак-

§ l.i]
Моделирование как метод познания
9
теристиками реального явления, к которому они относятся. При этом,
конечно, появляются новые трудности, связанные с оценкой точности
результатов измерения, которую обычно нельзя сделать, не используя
некоторой модели явления. Таким образом, проблема оценки модели
в принципе весьма сложна.
Формулировка математической модели не исчерпывает
процесса моделирования. Для предсказания явления
необходимо установить соответствие между величинами Х"п,
характеризующими условия задачи, и величинами Х\,
составляющими ее решение. Такое соответствие
устанавливает некоторый оператор О:
χ<η=0{Χ%). (1.1)
Операция О производится с помощью различных
вычислительных средств. Способ реализации оператора
является основным признаком, по которому можно
классифицировать моделирование в технике. По этому признаку
можно выделить прежде всего два больших класса.
Моделирование первого класса объединяет
случаи, при которых оператор О представляется в виде
некоторой функции вспомогательных операторов:
0=Ф(Оь 02, ..., On). (1.2)
Решение задачи получается в результате
последовательного воздействия операторов из множества {О;} на
исходные величины и промежуточные результаты по плану,
составленному в соответствии с видом функции Ф. В этом
случае говорят о вычислительном процессе. Порядок
выполнения операций, обеспечивающий отображение
исходных данных в решение задачи, называется алгоритмом ее
решения. Моделирование, в котором применяется
вычислительный процесс, можно назвать численным.
Основное место среди вычислительных устройств,
используемых в моделировании и относящихся к данному
классу, занимают цифровые электронные вычислительные
машины (ЭВМ). Нетрудно заметить, что операции,
которые выполняет вычислитель при «ручном» решении
физической задачи, составляют часть процесса численного
моделирования.
Моделирование второго класса использует
методы и средства, предполагающие непосредственное,
осуществляемое в один прием отображение величин,
входящих в условия задачи, в ее решение. К этим средствам

10
Основы моделирования
[Гл. 1
относятся аналоговые устройства, каждое из которых
представляет собой предметную модель конкретного класса
математических задач. Такая модель позволяет производить
непосредственное измерение интересующих нас
характеристик, соответствующих тем или иным исходным величинам.
Моделирование с использованием аналоговых средств
называется аналоговым.
Процесс аналогового моделирования явления сводится
к следующей схеме:
явление (натура)-^математическйя модель (система
математических уравнений) -> предметная^
модель (аналоговое средство) -+■ натура
Предметную модель, входящую в эту схему, обычно
называют моделью явления. Понятно, что такая модель
явления соответствует изучаемому явлению настолько,
насколько точна его математическая модель.
Таким образом, при аналоговом моделировании предметная модель
и натура связаны через формально одинаковую для них
математическую модель. При этом явления в натуре и на предметной модели
могут иметь в общем случае разную физическую природу. То
обстоятельство, что разнородные явления имеют одинаковое математическое
описание, связано отнюдь не со случайной формальной аналогичностью
математического аппарата. Оно связано с единством закономерностей
процессов различных видов движения материи. В. И. Ленин писал:
«Единство природы обнаруживается в «поразительной аналогичности»
дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям
явления» ].
Особый вид аналоговых средств — модели,
представляющие собой явление того же рода, что и явление, харак*
теристики которого требуется предсказать. Условимся
в дальнейшем именно такие аналоговые устройства назьь
вать физическими моделями в отличие от аналогов
в тех случаях, когда натура и модель представляют собой
разнородные явления. Основным различием физической
модели и аналога является то, что на физической модели
характеристикам натуры соответствуют однородные
(одноименные) характеристики (скорости — скорость,
давлению— давление и т. д.), а на аналоге — части из них (или
всем) могут соответствовать неоднородные характеристики,
1 Ленин В. И. Поли, собр. соч., т. 18, с. 306.

§ 1.21 Гидравлическое и численное моделирование И
В этом смысле поток жидкости может быть и физической
моделью (обычное гидравлическое или аэродинамическое
моделирование), и аналогом (газогидравлическая,
гравитационно-упругая аналогии) другого потока жидкости.
Физическая модель гидравлического явления обычно
называется гидравлической моделью, а
моделирование с использованием таких
моделей—гидравлическим моделированием. Это определение неточно,
поскольку любое моделирование гидравлических явлений
относится к гидравлике и может быть названо
гидравлическим. Однако здесь решено не нарушать сложившейся
традиции и, более того, этот термин вынесен в название
книги.
1.2. ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
Сопоставим теперь гидравлическое и численное
моделирование гидравлических явлений. Если гидравлическое
моделирование представляет собой традиционный метод
инженерной гидравлики, плодотворно применяемый в
течение последнего столетия, то численное моделирование
с использованием ЭВМ — достижение последнего времени.
Круг задач, решаемых с помощью численного
моделирования, постоянно расширяется. Оно открывает новые
перспективы в решении сложных гидравлических задач.
Оптимальным для развития прикладной гидромеханики является
использование преимуществ гидравлического и численного
моделирования, их сочетание.
Между гидравлическим и численным моделированием
имеется большая общность, заключающаяся в том, что, во-
первых, в их основе лежит математическая модель
явления, отражающая наиболее существенные стороны
изучаемого объекта, и, во-вторых, при моделировании этот
объект существенно схематизирован.
Различия гидравлического и численного моделирования
вызваны следующими обстоятельствами. Гидравлическая
модель — это узкоспециализированное средство, в то
время как ЭВМ могут давать решение самых разнообразных
задач. Единственное условие возможности получения
решения с их помощью — алгоритмическая разрешимость
задачи на выбранном множестве операторов {Οΐ). Современные
ЭВМ обладают удачным с этой точки зрения набором
элементарных операторов.

12
Основы моделирования
[Гл. 1
Основное преимущество гидравлических моделей
заключается в том, что с их помощью возможно решение задач
даже в тех случаях, когда математическая модель явления
сформулирована не полностью и воспользоваться
численным моделированием невозможно. Как известно, до сих пор
не существует замкнутой системы уравнений, описывающей
осредненное поле скоростей и давлений турбулентного
потока. Однако если допустить, что эти уравнения имеют
одинаковый вид для натуры и модели, то удается определить
условия пересчета результатов измерений на модели в
натуру (см. § 1.3).
Другим преимуществом гидравлических моделей
является относительная простота задания сложных условий
однозначности решения. Особенно сложны условия
однозначности (в первую очередь геометрическая форма
границ) для естественных потоков. Чтобы задать форму русла
на вычислительной машине, нужно заложить в нее массу
цифр, характеризующих хотя бы изменение уровня дна по
ширине и длине потока. Кроме того, нужно ввести опера<
цию «сглаживания» этих данных. На гидравлической
модели форма русла сравнительно просто задается при
постройке модели.
Общность и различия гидравлического и численного
моделирования проявляются в содержании этапов гидравлического исследования.
Как в том, так и в другом случае на первом этапе производится
постановка задачи и идентификация наиболее существенных факторов
(в том числе сил разной природы). На втором этапе формулируется
математическая модель явления и при гидравлическом моделировании
определяются условия подобия. В тех случаях, когда математическую
модель сформулировать полностью не удается, условия
гидравлического подобия определяются на базе теории размерностей. На третьем
этапе как в том, так и в другом случае формулируются условия
однозначности. На четвертом этапе создается модель объекта
(изготовляется гидравлическая модель объекта или составляется программа расчета
на ЭВМ). При наличии необходимых данных об объекте исследования
на пятом этапе производится выверка (калибровка) модели,
заключающаяся в уточнении приемлемости принятых схематизации: подбор
шероховатости, состава наносов, формы гидрографа и т. д. на
гидравлической модели, уточнение значений эмпирических
коэффициентов, густоты сетки и т. п. при численном моделировании. На шестом
этапе осуществляется решение гидравлической задачи путем измерений
на гидравлической модели или расчета на ЭВМ. Следующим, седьмым,
этапом исследования может быть оптимизация практического решения,

§ 1.2] Гидравлическое и численное моделирование 13
принятого на основании результатов исследования. Для этого на
гидравлической модели выполняется вариация воспроизведенных величин
(размеры и очертания сооружений и конструкций, распределение
потоков, свойства сред и т. д.), а при численном моделировании —
вариация вводимых данных. Наконец, на последнем этапе осуществляется
реализация решений, принятых в результате исследования. При этом
ввиду приближенности любого вида моделирования целесообразна
проверка результатов исследования по натурным данным с целью
уточнения как принятых практических решений, так и методики
моделирования для ее использования в других исследованиях. Конкретное
исследование может включать только часть указанных этапов.
Выбор способа моделирования в каждом конкретном
случае определяется многими обстоятельствами, среди
которых первостепенны принципиальные ограничения воз^
можности его использования. Для гидравлического
моделирования основным из таких ограничений является несовме^
стимость определяющих критериев подобия (см. § 3.1),
а для численного моделирования — незамкнутость системы
уравнений, составляющих математическую модель явления.
Наряду с принципиальными ограничениями существуют и
практические. К их числу в случае гидравлического моде^
лирования относятся ограниченные возможности
лаборатории (размеры экспериментальных площадок, подача
наносов, наличие материалов и т. п.), не позволяющие
обеспечить выполнение условий подобия, а в случае численного
моделирования — характеристики, вычислительной техники
(объем памяти, быстродействие), не соответствующие
поставленной задаче. Наряду с указанными обстоятельствами
необходимо учесть и такие требования, как заданная
точность исследования, простота его выполнения, потребное
время и стоимость, наглядность представления результат
тов, возможность уточнения методики по натурным
данным и т. д.
Учет названных обстоятельств дает возможность
выделить области преимущественного использования способов
моделирования, что сделано, например, в [181]. На долю
численного моделирования в настоящее время
целесообразно относить главным образом решение одномерных и
двумерных задач при относительно простых граничных
условиях и большой протяженности изучаемых объектов, а
также задач фильтрации в пористом материале. Преимущест
венными областями использования гидравлического
моделирования являются локальные пространственные задачи и

14
Основы моделирования
[Гл. I
задачи, относящиеся к относительно слабо* изученным
гидравлическим явлениям.
Но в пределах изучаемого объекта можно выделите
разные области, для исследования которых целесообразно'
применить разные способы моделирования. В некоторые
случаях сложное реальное явление Можно расчленить на
более простые явления, моделирование которых
целесообразно осуществить раздельно, подходящим способом. Таким
образом, при решении части задач численное и
гидравлическое моделирование целесообразно применять
одновременно, что используется в идее « г и б ρ и д н ы х» моде·'
лей.
По существу к гибридному моделированию относятся
все случаи применения в одном исследовании разных
способов моделирования. Однако реализовано оно может быть
по-разному. Обычным в практике последних лет ста."о
расчленение больших областей течений на протяженные
участки, пригодные для одномерной или двумерной
схематизации, и относительно небольшие участки сложных
пространственных течений (районы размещения сооружений,
сбросов воды и т. п.). Первые из них изучаются с
помощью численного моделирования, вторые — на
гидравлической модели. Связь моделей осуществляется через
условия па границах участков. Исследование ведется в масш-
табе времени гидравлической модели, а ЭВМ обеспечивает
также управление гидравлической моделью (задание
условий на ее границах), сбор и обработку экспериментальных
данных. На рис. 1.1 представлена в качестве примера
схема исследования распространения тепловых загрязнений
от АЭС на участке побережья при наличии приливных и
ветровых течений [195], в котором использован описанный
прием.
Возможно я раздельное использование гидравлического
и численного моделирования, при котором весь процесс
исследования следует отнести к «гибридному»
моделированию. Такой случай имеет место, когда с помощью
численной модели определяются граничные условия, которые
затем воспроизводятся на гидравлической модели
стационарного течения. Неодновременное использование
численного и гидравлического моделирования имеет место, когда
за счет численного моделирования вносятся коррективы
в результаты гидравлического моделирования, в котором
не воспроизведены те или иные эффекты (например, корио-

§ 1.2]
Гидравлическое и численное моделирование
15
лисовы силы). В практике гидравлических исследований
имеются и другие случаи распределения между
гидравлическим и численным моделированием частей изучаемого
явления. Например, в [184] сообщается об исследовании
нагрузки на судно, находящееся в камере шлюза, в
котором составляющие этой нагрузки определяются разными
Гидравлическая
модель
Регуляторы
расхода
Насосы
=Л
Измерители
уробня "~
Данные
измерений
расходод
и ировней
Емкость
ш
-]>г~—j
Элементы
упрадления
цас пенная
модель
условия
однозначности
Сравнение и
коррекция
Расчеты
Регистрация
и обработка
результатов
Рис. 1.1. Схема «гибридного» моделирования распространения
тепловых загрязнений от АЭС в прибрежном районе
способами, а затем производится их суперпозиция.
Сопоставление результатов использования такого приема с
данными традиционных исследований свидетельствует о
приемлемости предложенного приема (рис. 1.2). На рис. 1.2
F/s=Fs/(pgbslseo)i где Fs — компонента нагрузки, bs и /s —
средняя ширина и длина судна, е0 — осадка судна в
покоящейся воде.
Сочетание гидравлического и'численного
моделирования целесообразно не только при «гибридном»
моделировании. Во многих практически важных случаях численного
моделирования недоказуема сходимость получаемых
решений. Если в распоряжении исследователя нет необходимых
натурных данных, то оценка сходимости может быть
произведена по результатам решения задачи на гидравлической
модели, которые рассматриваются как частное точное
решение задачи численного моделирования. Гидравлическая
модель может использоваться не только для проверки
сходимости, но и для уточнения формулировки
математической модели, лежащей в основе численного
моделирования.
При использовании гидравлической модели для
проверки результатов численного моделирования гидравлическая
модель употребляется в начале исследования, а основная

16
Основы моделирования
[Гл. 1
его часть производится с использованием численного
моделирования как более оперативного и менее трудоемкого
средства. Гидравлическая модель после проведения
необходимых сопоставлений может быть оставлена для
проверки наиболее ответственных решений.
Рис. 1.2. Сопоставление результатов
определения нагрузок на судно в
?,мик камере шлюза путем обычного и
«гибридного» моделирования:
, / — нагрузки, вызываемые волнами, про-
' дольным изменением скоростей, трением в
равномерном потоке, сопротивлением
формы; 2 — нагрузки, вызываемые
воздействием струй и местными изменениями
уровней; 3 — суммарная нагрузка,
оцененная при «гибридном» моделировании; 4 —
то же при гидравлическом моделировании
f;MUH
С другой стороны, численное моделирование может
применяться для получения «базисных» решений, необходимых
для оценки условий гидравлического подобия (см. § 1.3).
Из сказанного следует, что постоянно расширяющееся
использование в гидравлике численного моделирования не
снижает значимости гидравлического моделирования.
1.3. УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ
Изучение объекта (явления) при моделировании
возможно в том случае, когда существует соответствие между
характеристиками натуры и ее модели, так что, зная
характеристики модели и форму этого соответствия, можно
найти характеристики натуры. Формы соответствия могут
быть разными [28]. Однако при физическом
моделировании главным образом используется линейное соответствие
между моделью и натурой: ХЫ=МХХН. Коэффициент
пропорциональности Мх именуется масштабом
величины X. Такое соответствие мы и будем называть
подобием.
Качественно одинаковые явления, характеризующиеся
указанным соответствием, называются однородно
подобными (или просто подобными), качественно
различные—разнородно подобными (или
аналогичными).
Рассмотрим, какие требования необходимо предъявить
к натуре и модели, чтобы между их характеристиками су-

§ 1.3}
Условия подобия
17
ществовало указанное соответствие, т. е. установим
условия подобия. Для этого изучим математическую модель,
которая относится к обоим сопоставляемым объектам.
Предположим, что математическая модель
рассматриваемого явления составлена, т. е. записаны система
уравнений и условия однозначности *, обеспечивающие
единственность решения. При этом полагаем, что основные
уравнения и условия однозначности полны и корректны.
Термин «полный» означает, что имеется достаточное
число независимых уравнений для определения зависимых
величин2 и, кроме того, что математическая модель
соответствует физической задаче с достаточной точностью в
исследуемом диапазоне изменения влияющих переменных.
Термин «корректность» характеризует постановку
математической задачи. Он, в частности, относится к условиям
однозначности. Известно, что для получения единственного
решения определенных типов уравнений требуются
условия однозначности определенного вида. Задача поставлена
корректно, если существует единственное решение
уравнения с системой условий однозначности, от которых оно
зависит непрерывно: небольшие изменения условий
однозначности вызывают и небольшие изменения в решении.
Может, однако, получиться и так, что уравнение не имеет
решения в указанном смысле, тем не менее оно описывает реальную
ситуацию. Например, уравнения Навье — Стокса описывают индивидуальные
движения объемов жидкости в турбулентном потоке. Но совершенно
безнадежно пытаться сравнивать эти индивидуальные движения в
натуре и на модели даже в тех Случаях, когда граничные и начальные
условия одинаковы. Это объясняется неединственностью решений
уравнений Навье — Стокса, для которых при больших числах Рейнольдса
нельзя сформулировать условия однозначности в обычном смысле.
Здесь необходима постановка задачи в терминах теории случайных
функций. Соответствующая математическая задача очень сложна,
а простая физическая модель часто дает практические результаты и
в этом случае.
Возможна и обратная ситуация, когда уравнения при заданных
граничных условиях имеют единственное решение, которое, однако,
' Для турбулентных течений, для которых сами поставленные
условия могут носить вероятностный характер, имеется в виду однозначность
некоторых статистических характеристик»
2 При нахождении правил моделирования, основанных на теории
подобия, система уравнений должна быть замкнутой, ибо в
противном случае не будет получено полной системы условий подобия.

18
Основы моделирований,
[Гл. 1
физически не реализуется, например, вследствие его неустойчивости.
Ясно, что, расширив эти уравнения, т. е. изменив постановку задачи,
можно получить указанную неустойчивость и в результате расчета.
Необходимость такого расширения задачи не всегда может быть
очевидной. Физический эксперимент в этом отношении быстро поправил
бы дело.
Отмеченные обстоятельства поясняют ошибочность указания
[28] на «принципиальную неправильность подхода к аналоговым и
тем более физическим моделям как к расчетным установкам». По
мнению автора этого указания, «их следует рассмотреть как определенное,
так или иначе отражающее стохастическую природу воспроизведение
натуры...». На самом деле принципиального различия между
аналоговым устройством и любым другим вычислительным средством не
имеется, если математическая постановка задачи выполнена
одинаково.
Итак, предположим, что математическая модель
явления соответствует поставленным условиям. В качестве
примера рассмотрим модель течения вязкой жидкости,
описываемого уравнениями в форме Навье — Стокса. Произведем
нормирование основных уравнений движения и условий
однозначности.
Процедура нормирования сводится к преобразованию
всех величин и членов уравнений в безразмерный вид при
выборе соответствующих масштабов. Это можно сделать,
так как каждое уравнение, описывающее физические
явления, содержит члены, имеющие одинаковую размерность.
Уравнения движения записываются в виде
dUi , rr dVt ι л dUt ,n dV, 1 dP , ΚΤΊ
/=1, 2, 3, (1.3)
где Ui — компонента скорости в направлении оси Oxry t —
время; gi — проекция ускорения объемных сил на ось ОхгУ
ρ — плотность жидкости; Ρ — давление в рассматриваемой
точке; ν — кинематическая вязкость; Δ — оператор
Лапласа.
Уравнение неразрывности несжимаемой жидкости
имеет вид:
з

§ 1.3]
Условия подобия
19
Условия однозначности могут быть не только
кинематическими, например, такими, как начальные условия для
поля скорости:
£ΛΟΐ, Х2, *з, *нач)=1/шач(*1, *2, *з) (1.5)
или условия непроницаемости неподвижной стенки:
где tHa4 — время, соответствующее начальному моменту;
φετ=φ(χι, Χ2, Хз)—уравнение поверхности стенки. Эти
условия могут включать также и динамические
характеристики. Например, на свободной поверхности, координаты
точек которой ηπ(ηπι, ηΠ2, Цт) зависят от времени, может
быть задано распределение давления, в частности,
равномерное:
Ρπ(ηπ)-const. (1.7)
Отнесем все переменные величины Ху входящие в
уравнения Навье — Стокса, к фиксированным (формально
произвольным), характерным для данного явления значениям
XG этих величин. В результате такой операции получим
безразмерные переменные величины Х+:
χ+χ = ΧίΙχη\ /+=//*>; Р+ = Р/АР0; U+^Ut'Uo (1.8)
и подставим их в уравнение движения
+ {U'U')T{xfxJ^gi-T^4x^+vb'HXJx^{U' U'}-
Вынося постоянные дг0, U0, ΔΡ0, /о за знак
дифференциала и деля все члены уравнений на U20/x0, получаем
нормированное уравнение
v. dUt . ... dUf „dUt , .,,_ W?
tVo Ы+ ' . djc+ ~r \ь+ ' 3 Λχ· +
ί^__ί£ϊ.!^α-_1_ л//* (1.9)

20
Основы моделирования
[Гл. 1
Нормирование уравнения неразрывности дает
-iis- V—— =0
*о U dxf
i—l
или, поскольку Uo/χοΦΟ,
1=1
Нормированные кинематические условия однозначности
(1.5) и (1.6) в данном примере не изменяют своего вида,
хотя при нормировании в составе этих условий появляется
ряд симплексов (отношений двух величин),
характеризующих форму границ области и распределение скоростей на
границах в любой момент времени и во всей области в
начальный момент.
Здесь предполагается, что условия однозначности действительно
выделяют единственное и устойчивое решение рассматриваемых
уравнений. Фактически с уравнениями Навье — Стокса дело обстоит сложнее,
так как их решение во многих практически интересных случаях
оказывается неединственным (при заданных начальных и граничных
условиях) или неустойчивым. Этот вопрос обсуждается в § 2.2.
Нормированные уравнения содержат безразмерные
величины (в рассмотренном случае χ+ι, ί+, U+i, Ρ+) и
безразмерные комплексы:
πι=*ο/(ί/ο*ο); n2 = giXo/U20-y π3 = ΔΡ0/(ρ£/2ο);
π4=ν/(ί/ο*ο).
Нетрудно заметить, что две системы нормированных
уравнений и условий их однозначности дают одинаковые
решения относительно зависимых безразмерных
переменных Х+ (например, Р+ и i/+i), если в обеих системах
уравнения имеют одинаковую структуру, а безразмерные
комплексы, входящие в нормированные уравнения, и
безразмерные величины (симплексы) в условиях однозначности
соответственно равны π, = idem.
Если одна из систем описывает явление натуры, а
другая относится к модели, то при выполнении этих
требований имеют место следующие соотношения:
Χ+Η=*+ι

§ 1.3]
Условия подобия
21
или
Xh/Xqk =Xu/Xqm
И
Хм=ХоиХ*/Хок=МхХщ (1.10)
т. е. в данном случае существует подобие модели и натуры.
Безразмерные комплексы щ называются критериями
подобия. Численное значение комплекса щ называют
ч и с л ом щ.
Условие
*i = Xm»Xm>iXm>i...Xm«l = id?m,
* 01 02 03 Otl
где Xoi — величины, из которых составлен критерий, можно
представить следующим образом:
(Хт"хт^хт><... хт«\ = (Xm»xm*'xm>i ...хт»%
V 01 02 03 On /Н V 01 02 03 On /М
или
Woim^oih) " (^огм'-^огн) ^ (^озм^озн) " · · · (^одгм/^о/ш) "' = 1 ι
т. е.
Μ%Μχ2ίΜχ" ...Μΐη*=1. (1.11)
Λοι Ло2 Лоз Λοη ν '
Выражение, стоящее в левой части равенства (1.11),
называется индикатором подобия. Таким образом,
также можно сказать, что условием подобия является
равенство индикаторов подобия единице.
Критерии подобия, полученные при нормировании
уравнений Навье — Стокса, как известно, носят следующие
названия:
l/itj = Sh — критерий Струхаля (или критерий]
гомохронности);
l/rc2 = Fr—критерий Фруда; I
ттз = Ей — критерий Эйлера (или коэффициент |
давления);
1/π4 = Re — критерий Рейнольдса. ]
Уравнения, относящиеся к потоку в целом (без условий
однозначности), не дают полной системы критериев.
Например, уравнения движения жидкости дают четыре
критерия: числа Струхаля, Фруда, Эйлера и Рейнольдса.
Уравнения динамической возможности движения,
получающиеся применением операции ротора к уравнениям движения,

22
Основы моделирования
[Гл. 1
дают два критерия — числа Струхаля и Рейнольдса. Все
остальные появляются при записи условий однозначности
(см. §5.1).
Если условия однозначности заданы в виде уравнений,
связывающих искомые функции, то для достижения
подобия явлений необходима идентичность критериев подобия,
образующихся при нормировании также и этих уравнений.
Получение критериев подобия путем приведения системы
уравнений и условий однозначности к безразмерному виду
практически может быть надежным, если известно, что этих
уравнений и условий достаточно для существования
однозначного и устойчивого решения. Критерии, которые
состоят только из величин, входящих в условия
однозначности, называются определяющими. Идентичность
именно этих критериев и является достаточным условием
подобия. Среди рассматриваемых комплексов π,·,
получающихся при нормировании уравнений, могут иметься и
такие, которые содержат величины, не входящие в условия
однозначности. Идентичность таких комплексов является
не условием, а следствием подобия, т. е. задание числовых
значений определяющих критериев полностью определяет
числовые значения критериев неопределяющих.
Подобие граничных условий необходимо обеспечить на
всей границе области, где эти условия могут быть заданы,
а подобие начальных условий — во всей области в
начальный момент времени. Способ задания условий
однозначности зависит от особенностей решаемой задачи. Так,
при решении пространственной задачи подобие граничных
условий обеспечивается идентичностью симплексов
Х(х\у Х2у Хз)г/Хо на границе области, а начальных условий
(при исследовании нестационарных течений) —симплексов
Х(хи *2, Хзу t0)i/Xo в изучаемой области. При решении
плановой задачи требуется обеспечить на границах и внутри
области идентичность симплексов, в которые входят осред-
ненные по глубине величины, а при решении одномерной
задачи — симплексов, содержащих величины, осредненные
по поперечным сечениям.
Таким образом, условия подобия заключаются:
1) в описании явлений одной и той же системой
нормированных уравнений;
2) в подобии условий однозначности;
3) в равенстве критериев, составленных из величин,
входящих в условия однозначности.

§1.41
Размерность беличий
23
Эш составляет содержание теоремы, которую называют
третьей теоремой подобия [76].
Указанные условия подобия являются правилами
моделирования, т. е. требованиями, которые необходимо
выполнить при преобразовании пространства прототипа в
пространство модели для того, чтобы получить линейные
соответствия между величинами в этих пространствах.
Выше рассмотрен случай отыскания критериев подобия
при нормировании уравнений, содержащих однородные
функции, когда постоянные множители можно вынести за
знаки функций. Если в уравнениях содержатся
неоднородные функции (трансцендентные, сложные и т. д.), то этого
сделать нельзя. В таких случаях в качестве критериев
в [28] предлагается принимать аргумент функции.
Очевидно, можно поступить по-другому: взять величины из
уравнений и составить из них критерии, исходя из выводов
теории размерностей, о которой речь идет в § 1.4.
1.4. РАЗМЕРНОСТЬ ВЕЛИЧИН
Физическую модель можно представить как аналоговое
устройство, позволяющее решить уравнения, которые
описывают рассматриваемое явление. Казалось бы, для того
чтобы решить уравнение, требуется прежде всего знать его
вид. Действительно, вид уравнений связи, описывающих
явление, должен быть известен для выбора явления,
воспроизводимого на модели; исходя из уравнения связи
устанавливаются правила моделирования (отыскиваются
критерии подобия).
Учет специфики явления дает основание отнести его по
возможности к более узкому классу, что облегчает
моделирование. Например, переход от широкого класса
«механическое движение» к «движению сплошной среды»,
далее — к «течению жидкости», «течению капельной
жидкости», «напорному турбулентному течению капельной
жидкости» и т. д. позволяет уменьшить число величин,
входящих в уравнения, которые описывают явление.
Однако вследствие сложности явления природы, его
недостаточной изученности или отсутствия подходящих
математических методов его описание может быть неполным.
Дает ли в этом случае моделирование возможность решить
задачу, т. е. возможно ли, не имея замкнутой системы
уравнений, решить ее? На этот на первый взгляд парадок-

24
Основы моделирований
[Гл. 1
сальный вопрос иногда можно ответить утвердительно.
Такая возможность ограничивается пока теми случаями,
когда на модели имеется то же явление, что и в натуре (и на
модели и в натуре — однородные явления). В этих
условиях можно полагать, что и на модели и в натуре явления
описываются одними и теми же уравнениями. Тогда
правила моделирования, обеспечивающие достижение на модели
подобия натуре, можно устанавливать, исходя из выводов
теории размерностей.
Возможность решения задачи при отсутствии полностью
сформулированной математической модели может заставить усомниться
в общности схемы физического моделирования, представленной выше,
в соответствии с которой физическая модель и натура связаны через
их математическую модель. Реально исключений здесь нет. Этот
вопрос рассмотрен, например, в [66], где показано, «что анализ
размерностей является по существу анализом уравнений, описывающих
изучаемое явление в самом общем виде». Чем меньше эта общность, чем
полнее математическая модель явления, тем реальнее осуществление
моделирования за счет возможности произвести оценки последствий
необходимых упрощений условий подобия. Успех применения теории
размерностей к моделированию зависит прежде всего от правильности
выбора величин, характеризующих явление. Понятие о размерности
этих величин лежит в основе теории размерностей.
Величины, численные значения которых зависят от
системы единиц, называются размерными, или
именованными. Если такой зависимости нет, то величины
называются безразмерными, или отвлеченными.
Физические величины связаны между собой. Поэтому если
некоторые из них принять в качестве «основных» и
установить для них единицы, то единицы всех остальных величин
будут определенным образом выражаться через единицы
основных величин. Единицы основных величин называются
основными, или первичными, а всех остальных —
производными, или вторичными. Практически
в механических задачах достаточно установить единицы
для трех величин, чтобы выразить через них единицы всех
остальных. ι
Если установлены три основные единицы, то единицы
других механических величин получаются из их
определения. Выражение производной единицы через основные
единицы называется размерностью. Зависимость единицы
производной величины от единиц основных величин может
быть представлена в виде формулы, называемой форму-

§ 1.4]
Размерность величин
25
лой размерности. В эту формулу основные единицы
размерности входят в виде символов [X]. О размерности
можно говорить только применительно к определенной
системе единиц. При использовании системы СИ — это
символы единиц длины [/], времени [/] и массы [т].
Формулы размерности физических величин имеют вид степенного
одночлена. В системе единиц СИ формулу размерности
любой механической величины X можно представить как
[X] = [l]mi[m]mi[t}m\
Число основных единиц не обязательно должно
равняться трем. Можно брать и большее число основных единиц.
Например, если установить независимо друг от друга
единицы четырех величин: времени, длины, массы и силы, то
уравнение Ньютона примет вид:
F—Cima,
где с\ — постоянная, имеющая размерность [^ι] = [/7] И2Х
хм-1 м-1·
Можно выбирать независимо друг от друга К основных
единиц (/С^З). Однако при этом понадобится ввести
(К—3) дополнительных размерных констант.
Число основных единиц можно взять и меньше трех.
В этом случае необходимо ввести (3—К) размерных
постоянных и рассматривать их как абсолютные постоянные.
При конкретном изучении отдельных классов явлений
целесообразно использовать в качестве основных единицы
тех величин, которые либо задаются, либо являются
наиболее характерными. Основные единицы могут быть разными
в разных частных задачах.
Размерности величин могут быть зависимыми и
независимыми. Размерности К величин называют
независимыми, если каждая из них не может быть
представлена в виде комбинации остальных. Например, размерности
энергии [т] [/]2[^]~2, длины [/] и скорости [/][^]-1
следует считать независимыми, так как ни одна из них не
может быть получена комбинацией размерностей двух
других величин.
Уравнение связи, отражающее объективный физический
закон, который не зависит от выбора системы единиц,
может быть в общем случае записано так: .
φ (Χι, ..., Xjv)=0.
(1.13)

26
Основы моделирования
{Гл. 1
Связь между N размерными величинами, К из которых
имеют независимые размерности, не изменяющаяся с
изменением системы единиц, может быть заменена связью
между N—К безразмерными величинами:
<р(1,1, ..., 1, яь ..., jin-k)=0 (1.14)
или
1 Φι(яь ..., jtN-K)=0. (1.15)
Этот вывод теории размерностей носит название
Пи-теоремы. Практическое значение Пи-теоремы заключается
прежде всего в том, что с ее помощью можно существенно
уменьшить число рассматриваемых величин. Тем самым
упрощается выполнение исследования. В частности, если
все величины, входящие в связь, кроме одной, имеют
независимые размерности, то с помощью Пи-теоремы эта
зависимость полностью определяется с точностью до
постоянного множителя. Действительно, если N=K-\-l, то
ъ( ^ WO (1.16)
или
Ч ^2 -'^К
где С\ — безразмерная постоянная, являющаяся корнем
уравнения (1.16), а показатели степени тц, тп, ..., т\к
легко определяются из условия
=\χχγ\χχ...\χκ\*. (1.17)
χΚ+ι
Xf^X™1* ...X™]K
Постоянную С\ можно определить либо опытом, либо
теоретически, решая соответствующую математическую задачу.
Теория размерностей существенно облегчает физический
эксперимент: уменьшение числа величин, входящих в связь, даже на одну
в несколько раз уменьшает число экспериментов, необходимых для
установления связи. Однако очевидно, что с помощью одной только
теории размерностей нельзя определить функциональные соотношения
между безразмерными величинами. Для одной и той же системы
определяющих параметров, от которой единственно зависят выводы теории
размерностей, могут быть различные уравнения связи (в частности,
уравнения движения). Вместе с тем именно уравнения связи содержат
в себе'потенциальную возможность отыскания решения
математическим путем.

§ 1.4)
PamepHocfb величин 2?
Если для полного аналитического решения задачи
использования выводов теории размерности недостаточно, то
при моделировании на этих выводах может базироваться
установление условий подобия. Формулировка Пи-теоремы
Букингемом отражает именно эту перспективу
использования теории размерности: условие подобия группы
однотипных явлений, определяемых рядом величин общим
числом Ny заключается в тождественности значений N—3
безразмерных комбинаций щ. Здесь следует обратить
внимание на то, что речь идет об однотипных явлениях, так как
то обстоятельство, что сопоставляемые явления
определяются одними и теми же величинами, еще не дает
основания для отнесения их к подобным. Однотипность явлений
подразумевает, что они описываются уравнениями связи,
имеющими одинаковый вид, т. е. первое условие третьей
теоремы подобия автоматически выполняется.
Тождественность π-членов соответствует третьему условию подобия
(заключающемуся в тождественности критериев подобия),
так как они представляют собой безразмерные комбинации
всех размерных величин, тем или иным способом влияющих
на искомые решения.
Тождественность части π-членов обеспечивает
выполнение второго условия подобия явления: требования подобия
условий однозначности решения, так как система величин,
характеризующих явление, должна содержать и величины,
используемые для задания условий однозначности.
Если выбрать среди величин, входящих в связь (1.13),
в качестве имеющих независимые размерности другие
величины, например Хк+и - · ·> Х2к, то будут получены
безразмерные комплексы, отличные от тех, которые получены
при использовании имеющих независимые размерности
величин Х\у ..., Χκ, и иной вид связи между безразмерными
комплексами:
φ2(π/ι, ..., π'к, 1, ..., 1, я'2*г+1, · · ·> π',γ-κ).
Связь
<Ρι(πι, ..., ηΝ-κ)=0 (1-18)
может быть заменена связью
Ϋ/Κ*! *2 ···%-* )ΐ"··
,a(N-K) la(M-K) 2 *(Ν-Κ) (Ν-Κ) ι __ η /ι 1Π\

Ш Основы моделировании [Гл. I
При такой замене переменных число безразмерных
комплексов, входящих в связь, должно остаться без
изменения, а каждая из исходных величин должна содержаться
хотя бы в одном из новых комплексов.
Докажем справедливость этой замены с позиций подобия явлений.
Система условий подобия
πχ = idem;
"Ν—Κ~
■ idem
эквивалентна системе
Мы
"(Ν—Κ) Ν
μ7ν~Κ) ι MmY{N-Κ)2.. .λ*>-*) κ
= 1,
1Χι
χκ
(1.20)
(1.21)
AL = 1;
Μ.
πΝ—Κ
1.
(1.22)
Если масштабы МгфО, то систему (1.22) можно заменить, возведя
обе части равенств в степени и умножив их друг на друга, системой
(Μα{Ν~Κ) ιΜα{Ν~κϊ 2Μα{Ν~Κ) №-«)) = 1 Ι
V π1 π2 πΝ—Κ ' )
(1.23)
Если при преобразовании равенств (1.21) в системе уравнений
будут удержаны масштабы всех величин, то при задании масштабов
величин Χι,..., ΧΝ решением системы (1.23) будут те же масштабы
Μχ , что ив решении системы (1.21), т. е. систему (1.19) можно
заменить системой
lW-K)\
Kll«2"-.-%^A))t=idemi
{n*W-K) ιη*(*-Κ) 2...„«<^-*> <"-*>) = idem.
(1.24)

§ 1.4]
Размерность величин
δδ
Так как безразмерные комплексы в зависимостях (1.19) имеют
смысл критериев подобия, то запись (1Л9) соответствует связи (1.18),
что и требовалось доказать.
Таким образом, теория размерностей может дать результаты,
в известном смысле более богатые, чем конкретная механическая
модель явления, в результате рассмотрения которой получается меньшее
число параметров, чем то, которое может быть учтено при
«инспекционном анализе» [218].
Если масштабы одноименных величин равны между
собой, то, казалось бы, при составлении критериев подобия
безразлично, какую из величин данной размерности,
входящую в условия однозначности, ввести в критерий.
Однако реально при моделировании приходится производить
оценку влияния того или иного критерия. Поэтому в
критерий необходимо вводить величины, соответствующие
физической сущности критерия. Например, проектируя
геометрически неискаженную модель открытого потока,
получаем одинаковый масштаб скорости независимо от того,
какой линейный размер введен в критерий Фруда:
глубина или ширина потока. Однако критерием Фруда сила
тяжести (энергия положения) сопоставляется с силой
инерции (кинетической энергией), и критерий Фруда,
составленный по ширине потока, ничего не даст для анализа
связи характеристик потока с таким комплексом, так как
ширина потока в данном случае не имеет отношения к силе
тяжести. Понятно, что произвольный выбор величин
невозможен при использовании искаженных моделей (см.
§ 3.2), масштабы одноименных величин которых могут быть
разными.
Поясним использование выводов теории размерностей на примере.
Для этого рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости в
предположении, что силы поверхностного натяжения не влияют на явление.
Полагаем, что явление характеризуется следующими параметрами:
1) линейными размерами, определяющими границы рассматриваемой
области: хи х2,..., хп] 2) кинематическими и динамическими
величинами: скоростью U (вместо U можно было бы задать расход
жидкости), временем t, перепадом давления ΔΡ и ускорением объемных сил
g; 3) свойствами жидкости: плотностью f>, динамической вязкостью μ.
Тогда уравнение связи величин, характеризующих рассматриваемое
явление, в общем виде можно представить так:
φ(*ι, *2, ···, Хп, U, t, ΔΡ, g, ρ, ιμ)=0. (1.25)

30 Основы моделирования [Гл. I
Выберем из рассматриваемых величин три> имеющие независимые
размерности. Такими величинами, в частности, являются х^Щх,]**
*=![/]), U([t/]=(/]m~i) и p(lpl = [m] [/]-*). В соответствии с
Пи-теоремой (1.25) можно представить как
Л. *2 . j >п .
* i ' /'"Mf;^12pm18 . ...» ^(я-1) 1[;«»(И_1)2 «(я-1)3 ' '
Immu,nni9mm ' /Min+i) i^infi) 2ρ^η-Ηι) з
£
> m . ν tm ν f?i , Ι ·
/m(«+2) 1^,Π(η+2) 2pm(n+2;3 ' ' /ОТ(я+1>1 (/т(п+в)г р'7г(п-Нз)з
Таким образом, связь между rc-f6 размерными величинами
заменена связью лг—(—3 безразмерных комплексов. Установим их вид. В
первые η—1 л-члена входят величины, имеющие одинаковую размерность,
и поэтому они имеют одинаковую структуру:
[«,] = [„,] = ... [„„_ ,] = {l]l-^-nlt + 3n,3 щт» [„,-»,,
Показатели степеней величин, входящих в π-члены, могут быть
получены из того условия, что л-члены имеют нулевую размерность:
[л <]=»[/] 0[/]°[т]°.
Тогда
Приравняв показатели степеней при соответствующих
размерностях, находим тц=1, mi2=0, mi3=0 и πι=*2/*ι·,..., Jtn-i = *n/*i.
Аналогично для πη
Immumn2pmn*
[I] »*([l]/[t)) «*('т]/[1]>
откуда mnl=l, тП2=—1, тпз=0 и nn=Ut/L Тем же путем легко
получить, что Лп + 1—ΔΡ/ρί/2; Jin+2=gllU2', πη+3=μ/(ρί/0· Нетрудно
заметить, что rcn = Sh; лп+1 = Еи; лп+2=1/Рг; л п+ 3=1/Re, т. е.,
используя теорию размерностей, приходим к тем же выводам, что и при
нормировании уравнений Навье — Стокса.
В использовании метода размерностей особенно важна
инженерная интуиция, умение видеть главное в задаче.
Может оказаться, что удобнее взять из уравнений, описы-

§ 1.5]
О законе подобия Ньютона
31
вающих явление в рамках определенной модели, только
переменные, а критерии подобия составлять по принципу
размерности, учитывая особенности конкретной задачи [138].
1.5. О ЗАКОНЕ ПОДОБИЯ НЬЮТОНА
Выше рассмотрены два пути установления условий
подобия явлений. Первый из них основывается на анализе
уравнений, описывающих явление, и условий их
однозначности, второй — на анализе размерностей величин,
характеризующих явление. В качестве третьего пути отыскания
условий подобия механических систем иногда
рассматривается метод, исходящий из того, что подобие достигается
за счет геометрического и кинематического подобия, что
соответствует подобию условий однозначности, и
динамического подобия, которое обеспечивается идентичностью
критериев подобия.
Требование динамического подобия составляет
специфику метода, основанного на законе подобия Ньютона о
соотношении сил в подобных системах. Использование этого
метода состоит из двух операций: 1) составляется список
сил, наиболее существенных в данной задаче; каждая из
них выражается через величины, характеризующие
явление, с помощью физических представлений или с помощью
принципа размерности; 2) критерии подобия
представляются в виде отношения этих сил. Число безразмерных
комплексов щу представляющих собой отношения сил, равно
числу независимых сил.
В классическом виде закон подобия Ньютона основан
на втором законе механики и в соответствии с ним силы
разной природы соотносятся с силой инерции. Однако име
ются частные случаи, когда действующие силы
уравновешены (или их равнодействующая мала), так что силами
инерции можно пренебречь. В этих случаях в качестве
критериев подобия принимается отношение действующих
сил между собой. Примеры явлений, для которых
существенны силы разной природы, уравновешенные настолько,
что силами инерции можно пренебречь, приводятся
в [185]. Среди этих явлений — равномерное всплытие или
падение тела в вязкой жидкости (существенными являются
силы вязкости и тяжести), которому соответствует число
Стокса или его модификации, например, в виде
Ps — Ρ J^_

32
Основы моделирования
[Гл. 1
где /0 — характерный размер тела; ps и ρ — плотность тела
и жидкости; взаимодействие вязкой земной коры и вязкой
мантии, для которого также существенны силы вязкости и
тяжести, вовлечение воздуха в высокоскоростные потоки,
определяемые, по мнению М. Кенна [185], главным
образом силами вязкости и поверхностного натяжения,
которому соответствует определяющий критерий в виде
ο/(μΠ) или ρσ/ο/μ2, '
где σ — коэффициент поверхностного натяжения.
На существование таких случаев указывается и в [168],
где к ним относят, в частности, безнапорную фильтрацию
в пористой среде, для которой существенны силы вязкости
и тяжести и определяющим является критерий Мошени
(табл. 1.1).
Между списками сил, действующих в данной
механической системе, и величин, из которых составлены
выражения этих сил, разница невелика, а следовательно, нет
принципиального различия между рассматриваемым методом и
методом размерностей. Так же, как и при использовании
Пи-теоремы, данный метод применим в тех случаях, когда
сопоставляемые явления с физической точки зрения
принадлежат к одному и тому же классу, при этом
допускается, что уравнения, описывающие эти явления, имеют
одинаковую форму.
Вместе с тем метод, основанный на законе Ньютона,
косвенно допускает существование системы уравнений,
связывающих действующие силы, т. е. имеет общие черты и
с методом, использующим анализ уравнений связи. С этой
точки зрения здесь имеются некоторые преимущества
перед методом теории размерностей, заключающиеся в
возможности сравнения значений членов уравнений.
С. Клайн [64] приводит удобную таблицу, в которой
дано определение шести весьма общих в механике
жидкости сил, приведена их размерность и 15 независимых
отношений между силами. Эта таблица воспроизводится здесь
с некоторым изменением обозначений (табл. 1.1).
Заметим, что ряд соотношений в табл. 1.1 имеет тот же
вид, что и критерии, полученные при анализе уравнений
Навье—Стокса. Однако совпадение вида этих критериев и
отношений сил не означает, что для данной задачи эти
комплексы согласуются. Если отношение двух сил мало, то
соответствующий критерий, составленный из произвольно

§1-5] О законе подобия Ньютона
я Ь
1 н —
§ -г
8 I
§ «.*
I я *—
О
Сила давления Fρ
1 ^
1 о
X К ^
sS »
Ι со со '—■
ς х
1 Я
О
1 s «
1 н _
II
со '—■
^5
я Д- 1
ί- -■* 1
о — 1
и ,— 1
L·
1 *"*■* ι
о 5 И
Ι я о ^ К
ΓΙ υ
1 °*
^ <j Is.
§ У
5 И
1 s я
1 у ω
СО О о
о *> К
5 II
1 * £
1 и
о ^
1 и
о- сЗ
S « 1-й
о ^ к
1 it
= С Ι' £г
СО ^ г—,
^ it |
СО 1
υ и
g к, к
£ II
со
II
и
^ к 1
s Ъс к
<V Q- 1
1 ii
s ^k*
s «
s о
3-
1
II *
42*
II
^ к
ьо к
4,
£3 Iе
II
*?k ,
CL. 1
II
^k
о
^
сад! сц
Ok

34
Основы моделирования
[Гл. 1
выбранных величин, отнюдь не всегда будет иметь очень
малое или большое значение. Для того чтобы тот или иной
критерий действительно представлял собой соотношение
сопоставляемых сил, в каждом конкретном случае должны
быть внимательно выбраны величины, из которых он
составляется.
С. Клайн [64] предложил обобщение рассматриваемого
метода. Оно состоит в использовании для анализа условий
подобия системы общих феноменологических уравнений
или уравнений «черного ящика». Предложение Клайна
позволяет, в частности, устранить один из недостатков
метода, основанного на законе Ньютона, так как во многих
физических процессах имеются величины, не зависящие от
сил (например, потоки теплоты или электричества).
Рассматривая дополнительно баланс энергии или другие
принципы, существенные в данной задаче, можно получить
дополнительные критерии, которые учитывают эффекты,
упускаемые при анализе одних лишь сил.
Критерии подобия могут быть получены за счет
предварительной группировки величин в комплексы, имеющие
любую одинаковую размерность, и отнесения этих
комплексов друг к другу.
Предварительная- группировка величин, составляющих
условия задачи, в комплексы, имеющие ту или иную
размерность, рассматривается некоторыми авторами как
процедура, дающая возможность выбрать наиболее подходящую
структуру безразмерных параметров. Эта процедура
входит в состав так называемого «метода синтеза». Например,
Д. Барр [218] предложил группировать исходные
величины в комплексы, имеющие размерность длины.
Группировка ведется простым перебором величин.
Однако ее можно вести так же, как при получении безразмерных
π-членов с использованием теории размерностей. Если величины
группируются в комплексы, имеющие одинаковую размерность [Х[]г то
связь
(хи..., xN)=0
между N величинами, из которых К имеют независимые размерности,
может быть заменена связью между N—(К—1) величинами
(*,, 1,..., 1, Пь..., Ib_iJf-,))=0, (1.26)

§2.1]
Предварительные замечания
35
где XL — комплексы, имеющие размерность [х\]. Вид этих комплексов
легко установить, исходя из равенств вида
= [*»]" 4*.]° ··· 1**Л (1.27)
Метод синтеза (без употребления, правда, этого
термина) использован в [71] при составлении так
называемых «внутренних чисел подобия» газожидкостных потоков
из размерных величин, являющихся комбинацией главным
образом величин, характеризующих свойства фаз.
Глава 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ
жидкости
2.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
При анализе условий подобия обычно используются модель
несжимаемой вязкой жидкости и соответствующая система уравнений
Навье — Стокса. При этом возникают два принципиальных вопроса.
1. В условиях турбулентного течения приходится допускать
неединственность решений уравнений Навье — Стокса —
детерминированным исходным данным соответствуют случайные результаты.
Например, при подаче в лоток определенной формы фиксированного расхода
воды при турбулентном режиме течения в фиксированной точке
наблюдаются изменения (флюктуации) скоростей и давлений. Уменьшая
информацию и рассматривая осредненные (по вероятности) значения
скоростей и давлений, теряем возможность практического
использования уравнений Навье — Стокса, так как их осредненный аналог —
уравнения Рейнольдса — оказываются незамкнутыми. Система
критериев подобия, получаемая из незамкнутых уравнений, очевидно, может
оказаться неполной. Но по какому пути целесообразно искать способы
замыкания уравнений: уменьшая масштаб рассмотрения и увеличивая
детальность описания путем перехода на молекулярный уровень
с уравнениями Больцмана или, напротив, укрупняя масштаб
рассмотрения путем пространственного осреднения явлений и уменьшения
числа измерений, существенных в задаче?
2. Для потоков в реальных границах не вполне ясен вопрос
о краевых условиях для уравнений Навье — Стокса при турбулентном
течении. Что такое граница потока в русле с естественно неравномер-

36 Математические модели движения Жидкости [Гл. 2
ной шероховатостью или в реке, ложе которой сложено
водопроницаемым, размываемым материалом? Даже в стеклянной трубе с идеально
ровными стенками при турбулентном режиме следует ли принимать
«прилипание» на стенке или нужно допустить скольжение жидкости?
Эти вопросы существенны для детальных исследований
турбулентных потоков. Большое число практических задач можно решить
с помощью физического эксперимента, основанного на более грубых
математических моделях течения жидкости.
Рассмотрим последовательно следующие модели реальных
нестационарных течений:
1) невязкой жидкости;
2) вязкой жидкости в предположении полноты системы (строго
говоря, при малых числах Рейнольдса);
3) турбулентной жидкости, принимая гипотезу замыкания Бусси-
неска при различных моделях турбулентной вязкости, записываемых
через первые статистические моменты гидродинамических полей;
4) то же, что и в п. 3, но с привлечением уравнений баланса
энергии турбулентности и дополнительных гипотез на уровне вторых
статистических моментов гидродинамических полей;
5) то же, что и в пп. 3 и 4, но с привлечением дополнительной
фундаментальной гипотезы о максимальной устойчивости
вероятностных характеристик турбулентных течений.
Кроме указанных моделей, детально рассмотрим уравнения
турбулентных течений, осредненные по специально выбранным объемам
(двумерные, одномерные, нуль-мерные уравнения). Покажем, что при
этом степень незамкнутости уравнений существенно уменьшается.
Первая модель течения может быть реализована лишь при
условии скольжения жидкости по непроницаемой границе. Напротив, все
остальные модели допускают постановку задачи как со скольжением,
так и с условием «прилипания» жидкости к жесткой границе.
Моделирование русловых потоков отличается также и
необходимостью учитывать деформации русла, процессы переноса частиц
грунта. В связи с этим система уравнений жидкости должна быть
дополнена условиями начала (и прекращения) деформаций русла и
транспорта наносов и уравнениями, определяющими процесс размыва,
взвешивания и осаждения частиц. Здесь также возможно и целесообразно
последовательное усложнение моделей, начиная с модели
квазиоднофазной среды (дисперсоида), в которой наличие наносов учитывается
лишь через плотность условно однофазной среды (вода-[-частйцы
грунта), и кончая сложными моделями динамики двухфазной среды, в
которых турбулентное движение каждой фазы описывается отдельно
с учетом взаимодействия фаз.

§ 2.2] Условия сохранения массы и импульса 37
2.2. УСЛОВИЯ СОХРАНЕНИЯ МАССЫ
И ИМПУЛЬСА
Условие сохранения массы для многофазной среды
можно записать в интегральном виде
-ж\^Ш-°> (2.1)
wi
где интеграл берется по объему Wi> изменяющему форму
(и размеры), но состоящему из одних и тех же частиц i-й
среды, имеющей плотность р,·. Это условие можно записать
и в дифференциальной дивергентной форме
-|L+div(PiU/) = 0, (2.2)
где U/ — истинная скорость рассматриваемой фазы.
Уравнения сохранения массы имеют почти одинаковый
вид для всех моделей движения. Точно так же одинаковый
вид имеют и уравнения сохранения импульса, записанные
в напряжениях для конечного объема (или массы) и
выражающие не что иное, как второй закон Ньютона:
-^ j PiVidW = J" 9lF,dW + § οηάΩ; (2.3)
ν, ν, β/
t+dt ρ t+dt
d\9^dW=l 5 ?l?idWdt + ) l oadQdt. (2.4)
W. W. t Qi t
Здесь Wi, так же как и в (2.1), — объем, занятый
одними и теми же частицами /-й среды; Ω;— поверхность,
ограничивающая этот объем; F; — сила, действующая на
единицу массы; ап — вектор напряжения на площадке άΩ с
нормалью η; ση={σ&/}η, где {σ&/} —тензор напряжений.
Обычно нелегко следить за объемом, занятым одними и
теми же частицами. Проще зафиксировать неподвижный
объем Wio, ограниченный поверхностью Ω/ο· В этом случае
уравнение сохранения импульса принимает вид:
-A j PlU£dtt7+ j рД· (U,n)dQ = J andQ, (2.5)
где η — внешняя нормаль к поверхности Ω/ο.
Дифференциального аналога уравнения (2.3) в дивергентной
форме не существует. Перейти от поверхностного интеграла в правой ча-

33 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
сти (2.3) к объемному можно лишь при условии дифференцируемости
поля напряжений ап-
P^ = pF + div{aA/}, (2.G)
где div^ ν—векторный дифференциальный оператор
d^j ds2j ds3j
Тензор напряжений в жидкости представим в виде суммы
шарового тензора {σ} и девиатора {о'щ}:
{σ*ί)={σ}+{σ'Λ;}. (2-8)
σΐ1 + σ22 + σ33 „ « ,
где σ = — первый инвариант тензора напряжении
(среднее нормальное напряжение); при сжатии σ<0.
Величину Р=—<j обычно называют давлением. Обратим
внимание на то, что это давление не обязательно совпадает с давлением
Р, определенным в термодинамике и характеризующим состояние
среды.
В скалярной форме уравнение (2.6) имеет вид:
dU, dU: 1 да'м 1
—L· _±_u —L^ft ^L gradP. (2.9)
at ' Л d*k J Ρ 0xk Ρ
По повторяющимся индексам выполняется суммирование.
Различие в математических моделях начинается с
раскрытия связей между тензором напряжений в жидкости
{okj} и кинематическими характеристиками движения
жидкости — полем скоростей U (х).
Закон сохранения энергии при рассмотрении только
одного вида энергии — механической — не вносит никакой
дополнительной информации, так как он сразу получается из
второго закона Ньютона. Иначе обстоит дело при учете всех
форм энергии, в частности внутренней энергии жидкости.
В этом случае уравнение баланса энергии (во всех формах)
оказывается необходимым.
Применяя преобразование подобия к (2.2), убеждаемся
в том, что оно приводит к появлению обобщенного критерия
Струхаля
_^Л__|о_ (2 Ю)
и критерия, включающего масштабы плотности,
%=Δρο/ρο. (2.11)

§ 2.3]
Невязкая жидкость
39
Здесь t0y U0jy l0j — характерные значения времени,
скорости, длины (в направлении /); ро, Δρο — характерные
значения плотности среды и ее изменения. При получении (2.10),
(2.11) принято, что масштаб изменения скорости должен
быть равен масштабу скорости. Напротив, для перепада
плотностей и значения плотности это требование не
обязательно, хотя и возможно.
Такое же преобразование уравнения (2.9) приводит к
появлению следующих критериев:
Sh/ = Uojtolloj',
ni=(Uoi/lo})(lolUo);
nF=F()to/U2o;
Eu = APo/(pot/2o);
πσ=σ'0/(ρο£/2ο);
_r _ σ·/ h
' ~~ /./ Po^2o '
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Выражение (2.14) есть критерий внешних сил; в поле
сил тяжести он переходит в критерий Фруда; (2.15)
—критерий Эйлера; соотношение (2.16) — критерий внутренних
девиаторных напряжений, для вязкой жидкости
преобразующийся в критерий Рейнольдса. Символ ΔΡο
подчеркивает, что если σ=—Ρ, то давление в (2.9) определяется
лишь с точностью до константы.
2.3. НЕВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
Модель невязкой жидкости, обычно неудачно
называемая «идеальной»1, дает прекрасные результаты в
условиях, когда диссипация энергии (переход механической
энергии в теплоту) несущественна, а главные явления
связаны с инерционными силами и силами давления.
В невязкой жидкости вектор напряжений ап коллинеа-
рен с вектором п, нормальным к поверхности Ω, на
участках, где этот вектор существует, т. е. за пределами
сингулярных точек. Это означает, что на любой площадке, в
любой точке, кроме сингулярных, мгновенное значени-е
касательного напряжения всегда равно нулю, а значение
1 Неудачность термина «идеальный» в том, что любая
математическая модель жидкости в некотором смысле является «идеальной».

40 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
нормального напряжения не зависит от ориентации
площадки. Тензор напряжений является шаровым.
Полагая все недиагональные компоненты тензора {ouj}
равными нулю, получаем вместо (2.6) и (2.9):
-^+(Uv)U=--i-grad/> + F. (2.18)
Если ввести ротор (вихрь) скорости rotU=VXU, то
левая часть (2.18) может быть преобразована с
выделением слагаемого, явно зависящего от завихренности
течения:
-g!-+grad-^--UXrotU = F--J-gradP. (2.19)
Применение операции вычисления ротора к (2.19) повышает его
порядок, т. е. усложняет постановку краевых задач, но позволяет
более ясно показать свойства ротора скорости:
d rot U 1
dt — (rot U v) U + div U rot U = rot F + ~г grad ρ X grad P.
(2.20)
В случае баротропной жидкости, когда ее плотность зависит
только от давления:
Р = Р(Р). (2.21)
векторы grad ρ и grad P коллинеарны, поэтому последнее слагаемое
в правой части (2.20) обращается в нуль.
Если массовые силы имеют потенциал f:
F=grad f, (2.22)
как, например, сила тяжести, для которой
/=-№, (2.23)
где х2 — вертикальная координата (положительная вверх), то (2.19)
удобно записать в форме Лэмба:
^- + rotUXU= -grad Я; (2.24)
H=U2/2-\-Plp—f.
Если, кроме того, поле скоростей в какой-то области течения
имеет потенциал φ, τ. е.
U=grad<p, (2.25)
ТО в этой области
rot U=0 (2.26)

§ 2.3]
Невязкая жидкость
41
и решение уравнения (2.24) может быть записано сразу в форме
интеграла Коши — Лагранжа:
^t+-T\sradtf + T~f==A(th (2'27)
где функция A (t) определяется из краевых условий. В стационарном
случае из (2.24) получаем известное уравнение Бернулли,
справедливое не только для потенциального потока:
£/2/2+/э/р—/=const. (2.28)
Капельные жидкости обычно не бывают баротропными —
изменение их плотности связано с изменением температуры или содержания
примеси (например, солености). Для этого случая удобно
использовать представление (2.19), которое с учетом условий (2.22), (2.23) и
тождества
Ρ grad /=grad p(/+/o)-(/+/o) grad p (2.29)
принимает следующий вид:
dl) l 1
η£ + (Uу) U =. — — grad Ρ — — grad pg (χ, + Xu) +
ι gc (*i + *i») A /0 Qm
+ grad p. (2.30)
Это уравнение должно быть дополнено уравнением переноса
теплоты или примеси, аналогичным (2.2), но с дополнительным
слагаемым, учитывающим молекулярный перенос субстанций:
дс дс
-зг+^жг^· (2·31)
Здесь vc — коэффициент, характеризующий молекулярный перенос
теплоты, если с обозначает температуру Т, или перенос вещества, если с
обозначает концентрацию этого вещества: vc—a (a —
температуропроводность), или vc=D (D — коэффициент диффузии).
Применяя преобразование подобия к уравнению (2.18)
с условиями (2.22), (2.23), найдем следующие критерии,
дополняющие систему (2.12) —(2.17):
*0/ U О
число Фруда
Fr = i/W(firfto)f (2.33)
плотностное число Фруда
FrA = ,*f* . (2.34)

42 Математические модели движения жидкости {Гл. 2
Здесь h0 — характерная глубина. Если в качестве
базисной величины принять не скорость, а характерный
градиент скорости (-^-) , то вместо (2.34), получим
градиентное число Ричардсона
»= 4IS- ■ <^>
Применяя преобразование подобия к уравнению
переноса (сохранения) субстанции (2.31), получаем новый
критерий
JIo--Vc/( Wo), (2.36)
учитывающий процессы молекулярного переноса
рассматриваемой субстанции.
2.4. ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
Простейшей моделью диссипативного течения,
сопровождающегося потерей механической энергии жидкости,
является модель ньютоновской вязкой жидкости. В этом
случае тензор напряжений {аг·/} принимается линейной
функцией от тензора скоростей деформаций {Uj}\
{σ/;.}=(_Ρ-μ1(ϋνυ){/}+2μ{/Ι/}. (2.37)
Здесь {/}—тензорная единица; μ — динамическая
вязкость; μι — некоторый параметр с размерностью вязкости.
Раскрыв обозначение скоростей деформаций,
перепишем (2.37) в следующем виде:
,>„,= -/>- μ, divll + 2|>^-;
(2.38)
Из (2.38) видно, что в вязкой сжимаемой жидкости
среднее значение нормальных напряжений и давление не
совпадают:

§ 2.4]
Вязкая жидкость
43
Этого совпадения можно достигнуть, положив
μ, =-f'1· (2·40)
В общем случае более логично ввести еще один
параметр модели — вторую вязкость, равную либо величине μι,
либо μι—-у μ. В задачах гидравлики этот вопрос не
возникает, поскольку почти всегда воду можно считать
несжимаемой, т. е. принимать
divlb=0. (2.41)
Использование гипотез (2.38), (2.40) при μ^ΰοι^
приводит к уравнениям Навье — Стокса:
^+(UV)U-F™-i-gradP + v(vv)U + -fgraddivU,
(2.42)
где ν = μ/ρ — кинематическая вязкость.
Для вязкой жидкости целесообразно рассмотреть
уравнение баланса энергии. Умножив скалярно векторы
внешних сил, действующих на частицы в выделенном объеме,
и векторы напряжений, действующих на поверхности,
фиксирующей выделенный объем, на скорость жидкости в
соответствующих точках, получим из уравнения
сохранения импульсов уравнение изменения механической энергии:
t+dt * t + dt
Г ^FUdWdt + f Г — anUdQdt =
V w 't h
t+at
= ^d(^AdW+ Γ tedWdt, (2.43)
w Ί ψ
где
β==ΣΣ —σ,,ξ^- (2.44)
Очевидно, ε имеет смысл скорости диссипации (ухода)
механической энергии из выделенного индивидуального
объема. В непрерывном потоке невязкой жидкости
ε=0. (2.45)
В потоке вязкой несжимаемой жидкости

44 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
Применение преобразования подобия к уравнениям
Навье — Стокса (2.42) даег один дополнительный
критерий подобия — число Рейнольдса:
Re=i/0/o/v. (2.47)
Разумеется, форма записи этого критерия зависит от
выбора базисных величин. Если, например, в качестве
базисной величины принять скорость диссипации энергии ε0
и скорость £/о или ε0 и длину /0, то число Рейнольдса
примет соответственно следующие модифицированные формы:
Яеги^и\/У^; (2.48)
Re,jZ==/\J/T0/v3/2. (2.49)
Записи (2.47), (2.48) связаны с выбором системы
координат, а запись (2.49) предполагает наличие характерного
линейного масштаба, т. е. тоже связана с конкретной
краевой задачей. Если в качестве базисных принять
градиентные характеристики поля скорости, то можно
сконструировать новое число, не связанное непосредственно с
параметрами краевой задачи:
5/2
Re = ^—— или Rerot и = |rotlJ|3 . (2.50)
|grade|%v3/2 rotu I rot rot U |2 ν V ;
В практике часто приходится иметь дело с «неньютоновскими»
жидкостями (песок, зерно, жидкий бетон, шлак, уголь, различные
концентрированные гидросмеси), для которых соотношение (2.37) не
выполняется или выполняется при некоторых дополнительных
ограничениях. Важнейшим физическим ограничением является возникновение
состояния текучести («запредельного состояния» [47]). Для указанных
сред характерны три качественно различных состояния:
допредельное, когда под действием внешней системы сил
деформации среды близки к упругим;
предельное, когда в среде возникают пластические, необратимые
деформации, но скорость деформаций при фиксированном воздействии
считается равной нулю;
запредельное, когда деформации не стабилизируются и возникает
течение.
В простейшей модели подобных сред условие возникновения
предельного состояния связывается с критическим значение*! касательно-

§2.4]
Вязкая жидкость
45
го напряжения τ=τκρ на фиксированной площадке (Φ. Η. Шведов,
1889 г.; Бингэм, 1916 г.):
dU
"ЗГ =0 при τ^τκρί
dU l
"5Γ=7~(τ~Хкр) при τ>τκρ· (2·51)
Опытные данные показывают, однако, что для многих материалов
значение τΚρ не является параметром среды, а существенно зависит
от нормального напряжения, действующего по площадке. В общем
случае условие предельного состояния является сложной функцией
тензора напряжений и параметров, характеризующих состояние среды.
Наиболее простым условием, хорошо согласующимся с опытными
данными для зернистых сред в условиях плоской деформации, является
условие предельного состояния в форме закона Мора — Кулона:
Ткр=С—On tg<p, (2.52)
где τΚρ — критическое напряжение по некоторой площадке; ап —
нормальное напряжение на этой площадке (положительное при
растяжении); С — сцепление материала; φ — его угол внутреннего трения.
В развитие модели Шведова — Бингэма в [37] предложено
рассматривать полный тензор напряжений {<зц} в среде как сумму двух
тензоров:
{«*/>-{·}/} + {·«/}· (2.53)
Компоненты первого тензора {о1ц} удовлетворяют условию
предельного состояния, например (2.52). Компоненты второго тензора
принимаются линейно связанными с тензором скоростей деформаций
зависимостью (2.37)
При анализе системы уравнений, соответствующих этой модели,
полученной для двумерного случая с использованием некоторых
добавочных гипотез, дополнительные критерии подобия в случае выбора
в качестве базисных величин U0 и /0 принимают следующий вид:
Лс=С/0/(ιμΣ/ο); (2.54)
% = tg?. - (2.55)
Неньютоновские свойства жидкости могут проявляться и
учитываться в самых различных моделях. Здесь укажем лишь два
простейших реологических соотношения, учитывающих упругие свойства
жидкости и запаздывание локальной реакции среды на локальное действие
нагрузки [6, 37]:
модель Фойхта
{Λ·/} = θ{γ} + !*-^-{γ}; (2.56)

46 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
модель Максвелла
Здесь {a'ij} — девиатор напряжений; {γ} — девиатор
относительных деформаций; μ и G — параметры среды. Хотя модели (2.56) и
(2.57) качественно различны — первая близка к вязкоупругому
«твердому» телу, вторая — к вязкоупругой жидкости, обе они задаются
одним дополнительным параметром — некоторым временем релаксации
to С использованием этого параметра можно составить два критерия
цодобия, включающие характерный размер в направлении изменения
скорости h0 или в направлении течения /0 [6]:
критерий Вейссенберга
Wef=/oW/i0; (2.58)
критерий Деборы
De=f0t/o//o. (2.59)
Неньютоновские свойства жидкости и критерии (2.58), (2.59)
существенны при изучении течений в пограничных слоях при наличии
полимерных добавок.
Уравнения Навье — Стокса, обычно используемые для
получения критериев подобия, при v->0 переходят в
известные уравнения «идеальной» жидкости, решение которых,
естественно, не зависит от критерия Рейнольдса. Различие
решений этих двух систем уравнений, описывающих
движение вязкой и невязкой («идеальной») жидкостей,
связано не столько с различием уравнений, сколько с различием
постановки задачи. Отсутствие скольжения по твердой
границе не удается получить без введения вязкости.
Напротив, для вязкой жидкости возможна постановка задачи
без задания продольной скорости на контуре (см. § 2.5).
На этой основе считают, что с ростом числа
Рейнольдса решения уравнений Навье — Стокса должны все меньше
и меньше зависеть от него. И действительно, в тех случаях,
когда решение этих уравнений существует (в обычном
детерминированном смысле) и устойчиво, это фактически
имеет место [70].
Например, распределение радиальных скоростей в
плоском конфузоре со стоком в вершине угла 2φ0 при
относительно больших числах Рейнольдса (q>oRe=q)o<7/v>30,
а — удельный расход, постоянный по длине конфузора) с
ростом числа Рейнольдса становится все более равномер-

§2.4]
Вязкая жидкость
47
^макс
\/ЛГ\
Кщ=32
XI f4
ίΓΠ
■
2(f
г
-φ
\Щ
0,8
0,6
0,4
0,2
О 0^ 0,4 0,6 1-(x2/h)
l/LQ
4
2
1
\
-igOmpb/dj
ΓΤΊ
2 |
50 100 150 Re(pQ
Рис. 2.1. Распределение скоро- Рис. 2.2. Относительная длина без-
стей в плоском конфузоре со отрывного течения в диффузорах при
стоком в вершине при
различных значениях числа Re
//01
равномерном распределении
скоростей в начальном сечении (Re==
= iVo/v) [ИЗ]:
/ — плоский диффузор; 2 — конический
диффузор
¥
С
о
1 о—
^■fe
0е
о
о
о
о
)
'
0,5
О ' 40 80 Re
Рис. 2.3. Протяженность водо
ным и стремится к
распределению, соответствующему
потенциальному течению
невязкой жидкости (рис. 2.1).
Уменьшение относительного
влияния числа Рейнольдса с
увеличением его значений
хорошо иллюстрируется графи-
воротной зоны за сферой при ком на риа 2.2, где показано
различных числах Рейнольдса г
Re=l/Z)/v изменение относительной
длины участка безотрывного
течения вязкой жидкости в
диффузоре при равномерном распределении скоростей в
начальном сечении [70]. Такой же вывод можно сделать
и по изменению длины зоны отрыва в схеме отрывного
обтекания сферы потоком вязкой жидкости [220]
(рис. 2.3).
Следует заметить, однако, что указанное ослабление
влияния числа Рейнольдса с ростом его значений для
детерминированных решений уравнений Навье —Стокса
имеет место отнюдь не всегда. Например, известно [70],
что чиста расходящееся течение в плоском диффузоре с
источником в его вершине возможно лишь при достаточно

48 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
малых значениях числа Рейнольдса:
Κε<(3π2/φο--12φο). (2.60)
При больших значениях числа Рейнольдса часть
сечения диффузора оказывается занятой возвратными токами.
В зависимости от Re обратные токи могут быть у одной, у
обеих стенок диффузора и в его средней части. Такие
«слоистые» течения с большими градиентами скоростей
особенно неустойчивы, поэтому их реализация на
практике вряд ли осуществима. Течение в диффузорах при
значениях числа Рейнольдса, больших правой части (2.60),
по-видимому, становится турбулентным. Важно
подчеркнуть, что в этом примере влияние числа Рейнольдса с его
ростом не убывает.
Автомодельность по критерию Рейнольдса для
детерминированных решений уравнений Навье —- Стокса
наблюдается и при очень малых Re. Например, при Re<l
распределение скоростей в конфузоре и диффузоре дается
одной формулой, не зависящей от числа Рейнольдса [70].
Распределение скоростей, отвечающее уравнениям
Навье — Стокса, в некоторых случаях формально может
быть полностью автомодельным по критерию Рейнольдса.
Гакое распределение, например, имеет место для течения
в цилиндрической трубе, плоском канале, в зазоре между
соосными вращающимися цилиндрами [70].
Автомодельное распределение скоростей в указанных случаях
реально наблюдается только до некоторых (критических)
значений числа Рейнольдса ReKP.
При больших значениях числа Рейнольдса наступает
нестационарное течение, распределение осредненных
скоростей в котором существенно отличается от указанных
«автомодельных» решений, что объясняют неустойчивостью
стационарных решений уравнений Навье —Стокса [108]
и возникновением турбулентности.
Неустойчивость стационарных решений уравнений
неньютоновской жидкости практически не исследована.
Можно полагать, однако, что явление турбулентности в
неньютоновских жидкостях возможно и достаточно широко
распространено.
2.5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Главными признаками турбулентности можно считать
наличие перемешивания, случайный характер изменений
скорости и давления в потоке, завихренность и высокую

§ 2.5]
Турбулентность
49
диссипативность турбулентных течений (быстрый переход
энергии течений в теплоту).
Практически наличие турбулентности означает, что при
многократном повторении движения при одних и тех же
начальных и граничных условиях мгновенные значения
скорости и давления в одни и те же моменты времени
будут различными. Можно отметить две возможные причины
такого поведения решений уравнений Навье — Стокса,
отражающих особенности турбулентного движения
жидкости:
1) неустойчивость стационарного решения;
2) неединственность нестационарного решения.
В первом случае, казалось бы, можно указать рецепт
детерминированного описания решения —для этого нужно
расширить число измерений исследуемого пространства,
т. е. ввести в уравнения время и начальные условия, и
результат потери устойчивости описан (?!). Действительно,
такой подход, предложенный Л. Д. Ландау (1944 г.),
помогает пониманию возникновения турбулентности. Однако
развитая турбулентность оказывается сложнее. Сложность
заключается прежде всего в том, что решение
стационарной задачи может быть неустойчивым к стационарным
возмущениям. Например, малое отклонение фактической
шероховатой поверхности от расчетного гладкого контура
может вызвать при больших значениях числа Рейнольдса
нарастание стационарных «колебаний» вдоль границы.
Можно показать, что сама по себе неустойчивость стационарных
решений не приводит к той сложной и неповторяющейся картине
мгновенных состояний, которая наблюдается в турбулентном потоке при
больших числах Рейнольдса. Эта «неповторяемость», придающая
турбулентному потоку специфику пространственно-временного случайного
поля, связана с неединственностью нестационарных решений уравнений
Навье—Стокса. В большинстве случаев механизм поддержания
турбулентности представляется таким: вследствие неустойчивости
стационарного решения случайные пространственные или
пространственно-временные возмущения растут в течение некоторого времени t^t0,
оставаясь однозначно и непрерывно зависимыми от начального
возмущения, а в момент ti>t0 начинает проявляться неединственность
решений. Исходное возмущение выбирает для дальнейшего развития ту
или иную ветвь решения, подчиняясь, вероятно, воле случая или
какому-нибудь вариационному принципу вроде принципа минимума (или
максимума?) диссипации энергии.

50 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
Такие принципы были предложены [10, 79], однако в самое
последнее время в связи с открытием и изучением «странных
аттракторов» как будто установлено, что динамические системы способны
порождать псевдослучайные функции от времени без введения
случайности в начальные данные или случайных внешних воздействий [109J.
Случайность этих функций проявляется в том, что корреляционные
функции параметров движения затухают на бесконечности.
Детерминизм решения сохраняется в том, что результат повторяется
независимо от номера расчета.
На выбранной линии решение подстерег.ает новая точка ветвления,
и т. д. Доказано, что первый интервал (0, /0) существования
единственного корректного решения нестационарной задачи уменьшается с ростом
числа Рейнольдса. Рассматривая каждую точку ветвления как
начальную, можно этот вывод распространить и на все другие интервалы
[*о, ^ι), [*ь t2) и т. д. Таким образом, при больших числах Рейнольдса
нестационарное течение, возникшее вследствие неустойчивости
стационарного режима, сравнительно быстро теряет связь с первоначальным
возмущением и, «натыкаясь» на точки ветвления, будет развиваться
по своим внутренним законам, формируя индивидуальную реализацию
случайного поля турбулентности. Поведение решения в этом случае
напоминает поведение молекулы газа, то и дело сталкивающейся с
соседними. Аналогом среднего интервала свободного пробега в данном
случае, вероятно, будет внутренний («тейлоровский») масштаб
турбулентности, характеризующий средний интервал времени, на
протяжении которого скорость изменяется примерно на среднеквадратичное
значение и' пульсационной составляющей и:
>.—/(%)'■ <»■·■>
Значение λ< убывает с ростом числа Рейнольдса.
С позиций моделирования важнейшим следствием
изложенного является то, что при турбулентном движении
уравнения Навье — Стокса и неразрывности в
традиционной форме нельзя использовать для оценки роли критерия
Рейнольдса, т. е. уравнений Навье — Стокса и
неразрывности недостаточно для описания турбулентного потока, хотя
любое пространственно-временное распределение
скоростей и давлений в потоке должно удовлетворять этим
уравнениям. При больших значениях числа Рейнольдса и
заданных начальных и краевых условиях уравнения
Навье —Стокса (вместе с уравнением неразрывности)
дают набор решений, отобрать из которых именно то,
которое реализуется в данный момент, не представляется

§ 2-5]
Турбулентность
51
возможным. Для практического использования важны
статистические характеристики этого набора решений —
характеристики турбулентного поля скорости. Для анализа
условий подобия важно получить замкнутую систему
уравнений, связывающих эти характеристики.
Принято считать, что единственным адекватным
способом описания турбулентного потока является введение в
рассмотрение статистических характеристик течения. При
этом поле течений исчерпывающим образом описывается
заданием многомерной (пространственно-временной)
плотности распределения вероятностей значений компонент
скорости и давления [108]. Во многих практических
случаях достаточны и более простые статистические
характеристики турбулентного потока.
Стремление построить замкнутую систему для
статистических характеристик течения является традиционным для
современной гидродинамики. Возможен, однако, и другой
подход, развиваемый независимо О. М. Белоцерковским с
сотрудниками [13] и в НИС Гидропроекта [89]. Этот
подход состоит в построении замкнутой системы „уравнений (и
численного алгоритма)1 для параметров течений, осреднен-
ных по некоторому пространственно-временному объему,
т. е. характеризуемых некоторыми масштабами1. При
этом оказывается, что уравнения для явлений .разного
масштаба могут быть существенно различными. В
частности, многие практически важные задачи можно решать
на основе разностного аналога уравнений невязкой
жидкости. Результат решения задачи в такой постановке
получается в форме единичных реализаций, которые при
надлежащем выборе масштабов информативны уже сами по
себе. Статистическая обработка ансамбля реализаций
позволяет оценить и статистические характеристики течений
в заданном масштабе. Этот подход представляется в
практическом отношении наиболее перспективным, в том числе
для решения проблем моделирования. Тем не менее
рассмотрим сначала традиционные подходы.
Для установления связи между статистическими
характеристиками полей скорости и давления используем
уравнения Навье — Стокса и неразрывности, справедливые
для мгновенных полей этих величин. Применяя операцию
вычисления математического ожидания к уравнениям
Не следует смешивать с понятием «масштаб», введенным в гл. 1«

52 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
Навье — Стокса, получаем уравнения Рейнольдса,
связывающие первые моменты — средние значения скоростей и
давлений:
Р Чг=Щ Κσ</> - W - Ρ <"'"/>! ί 1 (2.б2)
ф-=0, /,/=1,2,3. I
Здесь Ui — осредненные (по вероятности) значения
скоростей; Ui — пульсационные компоненты; угловые скобки
означают осреднение по вероятности. Вследствие
нелинейности уравнений Навье — Стокса в представлении (2.62)
появились вторые моменты — турбулентные напряжения —
р<И/И/>.
Уравнения Навье — Стокса можно записать и в форме
Лэмба, выделив пульсационные и осредненные компоненты
движения. Применив к этим уравнениям операцию
осреднения (по вероятности), найдем уравнения,
конкретизирующие соотношения (2.62):
^L_uxrotu=—Lgrad(P+pt/72) +
+ νΔϋ- — grad (Ρα8/2) + (uXrotu). (2.63)
Это уравнение для осредненного поля скоростей
отличается от уравнения Навье — Стокса в форме ЛэлТба для
мгновенного поля наличием двух последних слагаемых в
правой части (2.63), характеризующих дополнительное
«нормальное давление» <ри2/2> и «касательное
напряжение» p<uXrotu> турбулентности.
Вместе с уравнением неразрывности, которое для осред-
ненных величин сохраняет тот же вид, что и для
мгновенных значений:
divU=0,
уравнения (2.63) так же, как и уравнения Рейнольдса,
образуют незамкнутую систему.
Проблема замыкания уравнений, описывающих
турбулентное движение жидкости, является одной из
центральных проблем современной науки.
Простейший подход к ее решению состоит в том, чтобы
постараться замкнуть систему уравнений для осредненных
скоростей и давлений без использования информации о
параметрах турбулентности течения. В случае одномерной

§ 2.5]
Турбулентность
53
задачи, например для равномерного течения в круглой
трубе или широком канале, это можно сделать, обобщив
гипотезу Ньютона введением турбулентной вязкости
Турбулентная вязкость ντ не должна зависеть от
кинематической вязкости ν, но может зависеть от параметров
поля осредненной скорости и координат. Выражение
(2.64), впервые опубликованное Ж. Буссинеском (1877 г.\
еще не замыкает системы уравнений даже в простейшем
случае равномерного течения в канале, так как
неопределенной остается функция ντ. Классическая схема
конкретизации функции ντ принадлежит Л. Прандтлю (1925 г.) и
Т. Карману (1930 г.). Она излагается во всех учебниках
по гидромеханике и гидравлике вместе с характерной
неточностью в рассуждениях, допущенной ее авторами.
Рассмотрим эти рассуждения, имеющие прямое отношение к
методу подобия. В модели Л. Прандтля амплитуда
продольной пульсационной скорости справедливо принимается
пропорциональной разности скоростей на длине пути
перемешивания /:
",-/^· (2.65)
Такое же (по модулю) значение (?!) принимается и
для поперечной пульсации скорости, знак которой
определяется из анализа уравнения неразрывности,
н,~ — αι^ — ι-&ζ·- (2·66)
Отсюда
_ /„ „ \ — /а
дх
dUx
дх2
ν =/2
dUx
дх2
(2.67)
(2.68)
Неточность в рассуждениях Прандтля состоит в том,
что при неравномерном распределении осредненных
скоростей пульсации скоростей не являются изотропными и
гипотеза (2.66) не соответствует действительности. В
частности, для течений в пограничном слое, в широких каналах

54 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
и трубах амплитуда поперечных (вертикальных)'
пульсаций скорости практически постоянна по глубине потока
(мало изменяется по радиусу трубы и по толщине
пограничного слоя на достаточном удалении от стенки). С
учетом этих обстоятельств соотношение (2.66) следует
переписать в ином виде:
и,
<l«il>
■ί/#, (2.69)
где U* — y\z \max[p — динамическая скорость; | τ \max —
максимальное значение осредненного по времени
касательного напряжения в зоне течения. С учетом (2.69), повторяя
рассуждения Прандтля, получаем:
_<ΜΑ) = ^#*ί (2.70)
vT=/£/*. (2.71?
Если рассчитывается пограничный слой, то из
соображений размерности принимается
1=κχ2. (2.72)
Подставив (2.72) в (2.68) или в (2.71), получаем
существенно разные выражения для ντ, причем выражение,
следующее из (2.71), при расчетах распределения
скоростей дает более простые и более точные результаты.
Неточность рассуждений Кармана о внутреннем
подобии турбулентных течений можно обнаружить, сравнив эти
рассуждения с теми, которые приведены в [108]. Именно,
в схеме Кармана из рассмотрения исключено характерное
значение касательного напряжения, т. е. исключен
параметр £/*. Поэтому единственная комбинация из величин
-5-г- и · * f определяющая по Карману профиль скорости
и турбулентного трения (при фиксированной плотности),
имеет вид:
-(«.».> -*. (&)'/№)'· <2·73»
Если включим в анализ С/*, то, повторяя рассуждения
Кармана, убедимся в том, что они теряют свою однознач-

§2.5]
Турбулентность
55
ность и одно из выражений для турбулентной вязкости
может быть
Vt=XtU1t
щ/\щ. ^
Любопытно, что для условий пограничного слоя с
постоянным напряжением турбулентного трения по толщине
введенные поправки никак не сказываются на
результатах. Различие начинает проявляться при переменном
значении касательного напряжения в потоке.
Скалярное соотношение (2.64) не может быть
непосредственно обобщено на соотношение тензоров турбулентных
напряжений и скоростей деформаций. Линейная связь
между этими тензорами, аналогичная соотношению (2.64)
со скалярным коэффициентом ντ, может быть
осуществлена лишь при выделении «изотропной» части из тензора
турбулентных напряжений. Поэтому в общие уравнения с
введением линейной связи между тензором турбулентных
напряжений и тензором скоростей деформаций все-таки
попадает характеристика турбулентности —- энергия
турбулентности е, для которой нужно вводить дополнительные
гипотезы:
* = Σ<ι/·,)/2;
dUi 1 д I п . 2 \ . v д , . ν / dUi . dUj \ .
(2.75)
2
(uluj) — — edij
VT= Tvl (2·76)
τ дЩ_+^1 }
dXj дХ[
Таким образом, только в частном случае, при de/dxi=0
указанным путем можно попытаться замкнуть систему без
привлечения информации о турбулентности.
Другой подход к замыканию уравнений турбулентного
потока состоит в составлении уравнений для старших
моментов пульсаций скорости [100].
Вариантом такого подхода является известная
гипотеза М. Д. Миллионщикова о квазинормальности
распределения пульсационных скоростей в потоке. Эта гипотеза
позволяет связать старшие (четные) и младшие корреля-

56 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
ционные моменты пульсаций скорости по формулам,
справедливым для многомерных нормальных распределений.
Конкретное использование такого подхода с гипотезой
М. Д. Миллионщикова или без нее сталкивается с
большими трудностями формулировки краевых условий для этих
старших моментов. Для изотропной турбулентности эта
гипотеза приводит к физически нереальным результатам.
Более простым вариантом построения замкнутой
системы уравнений по аналогичному принципу является
предложение А. Н. Колмогорова (1942 г.) о.привлечении
уравнения баланса энергии турбулентности:
тШ=-^'+"')(т+4)>+
~5-Ч£+£)>-=^М- <2·77>
Собственно, гипотезы А. Н. Колмогорова касаются
представления отдельных членов уравнений (2.77) и (2.62)
через энергию турбулентности, характерный масштаб
турбулентности L и параметры осредненного поля скорости:
vT = (x1LYe ;
(щр/р) + 4* £{u2jUi) = ~ a°L V7ik;
где αϊ, α2, аз — некоторые универсальные безразмерные
константы.
Преимущество введения новой переменной L, имеющей
смысл масштаба энергонесущей части турбулентности,
состоит в том, что эта величина в разных точках потока при
турбулентном течении должна зависеть от числа Рейнольд-
са меньше, чем любой другой параметр турбулентности.
Величина L должна определяться главным образом
очертанием границ потока, более всего влияющим на
низкочастотную часть спектра [84].
(2.78)

§ 2.5]
Турбулентность
b'l
Таким образом, система уравнений, описывающих
осредненное поле скоростей и давлений в турбулентном
потоке, может иметь такой вид:
dUj
dt
dU}
divU = 0;
de
dt
=JSaxLVe
%LVe
dUj_
dXj
— de
dU
9
dUt
OX;
d2e
„3/2
όχι
dx2
(2.79)
0
Эта система замыкается заданием функции L(x\y x2i *з>
или дополнительных уравнений для ее определения.
Использование уравнений для статистических
характеристик турбулентного потока в форме (2.79) или в более
сложном виде хотя и не позволяет полностью замкнуть
систему и оценить роль тех или иных критериев в данном
явлении, однако дает возможность на базе эксперимента
определить общие связи компонент турбулентности,
количественно сформулировать гипотезы и правила
моделирования для того, чтобы, проверив их в схематизированных
условиях, распространить на более сложные случаи,
качественно схожие с теми, которые были рассмотрены.
Экспериментальные исследования спектров пульсаций
скорости в пограничном слое и в трубах показывают, что
при больших значениях числа Рейнольдса на достаточно
больших волновых числах κι>κΊ в потоках проявляются
свойства локальной изотропии. Отсюда следует вывод, что
турбулентные напряжения, равные нулю в изотропном
потоке, в реальном течении будут определяться структурой
низкочастотных компонент пульсаций. Более того, если
эксперимент покажет, что в некотором диапазоне значений
числа Рейнольдса граничное волновое число κΊ
попадает в область инерционного равновесия вихрей, в
которой энергия просто передается по каскаду волновых чисел
и соответствующая спектральная плотность пульсаций
скорости изменяется пропорционально κι_5/3, то можно с
уверенностью утверждать, что распределение турбулентных
напряжений в таком потоке не зависит от числа
Рейнольдса. Например, как видно на рис. 2.4, для точек, отстоящщ

58 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
от стенки примерно на х2 = 0,5 Л, в прямой трубе
прямоугольного сечения с гладкими стенками условие изотропии
оказывается справедливым при κι>κΊ = 1,5-^-2 см-1. При
этих волновых числах приблизительно выполняется и
закон «минус пяти третей». Таким образом, в данном случае
при Re=(7/i/v = 57 000 спектр турбулентных напряжений
Sfa),CM=:
Рис. 2.4. Спектры поперечных
(/) и боковых (2) пульсаций
скорости в напорном канале в
сравнении с вычисленными (3)
по измерениям спектров
продольных пульсаций в
предположении изотропии
А/, См"
Рис. 2.5. Спектральная
плотность продольных пульсаций
скорости при различных
значениях числа Re. Вычислено по
результатам измерений
частотных спектров κι = ω/ί/ι в
напорном канале (л:2//г=0,45)
должен быть сосредоточен в основном на волновых числах,
меньших 1,5—2 см-1, так что относительное значение
турбулентного трения — (uiU2}/U2* не будет изменяться с
увеличением числа Рейнольдса. Это фактически и было
зафиксировано в опытах, причем не только для срединных
слоев потока, но и для слоев, относительно близких к
стенке (рис. 2.5). Независимость основной энергонесущей
части спектра касательного напряжения от числа
Рейнольдса даже в условиях гладкостенного течения подтверждает
приведенные выше соображения о масштабе L,
являющемся, таким образом, лишь дополнительным геометрическим
параметром.

§2.5]
Турбулентность
59
Выбор модели для замкнутого описания турбулентного потока
осложнен тем, что «константы», обязательно присутствующие в разных
моделях, на самом деле сложно зависят от условий конкретной
задачи, а сами модели эффективны лишь для достаточно узкого класса
задач. С позиций практики физического моделирования наибольшая
неопределенность в использовании этих моделей состоит в том, что
оказывается заранее неизвестной зависимость параметров («констант»)
математических моделей от критериев подобия и деталей задания
граничных условий, в частности шероховатости границ. Согласно обзору
[213] в различных задачах гидравлики могут быть успешно
использованы 38 моделей турбулентного течения. Часть этих моделей будет
использована ниже при анализе конкретных задач. Здесь же
ограничимся рассмотрением лишь самых общих моделей.
Модель турбулентной вязкости ντ, как уже было отмечено, не
может быть введена без расширения числа неизвестных функций —
необходимо ввести энергию турбулентности, а практически и еще одну
неизвестную функцию — масштаб турбулентности.
Для течений типа пограничного слоя используется эффективная
аппроксимация масштаба турбулентности [54, 100]
£//ι='βο+β2 (*2/Λ) 2+β4 (*2/Α)4, (2.80)
где
β0=0,37; β2=—0,24; β4=—0,13.
Если векторное уравнение Навье — Стокса умножить
скалярно отдельно на пульсационные компоненты вектора
скорости в двух разных точках, получающиеся скалярные
уравнения почленно сложить и осреднить по вероятности,
то получим уравнение, пригодное для анализа
корреляционных функций в потоке и, в частности, для анализа
интегрального масштаба, определяемого через
корреляционные функции. Преобразование этих уравнений с введением
дополнительных гипотез приводит к дифференциальному
уравнению для масштаба турбулентности и, таким образом,
к построению замкнутой системы для описания осредненно-
го турбулентного течения и энергии турбулентности [40].
Расчеты по полученным уравнениям, считающимся
лучшими в своем роде [100], дают умеренное согласие с
экспериментом [40]. Важно, что эта система не содержит новых
размерных констант, т. е. не приводит к появлению новых
критериев подобия. Однако из краевых условий для этой
системы появляются новые симплексы подобия,
характеризующие энергию е0 и масштаб L0 турбулентности потока
в начальном сечении:
Пе=ео/и*0; ль=ЦЦо. .(2.81)

60 Математические модели движения жидкости |Тл. 2
Если пренебречь влиянием турбулентного «давления» в
уравнениях сохранения импульса, то оказывается
возможным более простой подход — построение уравнения
непосредственно для коэффициента турбулентной вязкости
[100]. Концепция турбулентной вязкости в сложных
условиях течения оказывается весьма уязвимой — девиаторы
турбулентных напряжений и скоростей деформаций в
общем случае могут быть не соосны. Известно, что при
несимметричных течениях в каналах даже при наличии лишь
одного преимущественного направления сдвига точки, где
касательное напряжение и градиент скорости обращаются
в нуль, могут не совпадать.
Другим серьезным недостатком моделей турбулентной
вязкости, в которых ντ выражается через энергию
турбулентности, является способ редукции исходного уравнения
баланса энергии турбулентности. Здесь имеются два
наиболее сомнительных допущения:
1) выражение слагаемого, учитывающего перенос
энергии турбулентности за счет пульсации давления, через
локальные характеристики течения — второе равенство в
системе (2.78);
2) выражение скорости диссипации энергии
турбулентности через интегральный масштаб турбулентности —
третье равенство в (2.78).
Некорректность первой гипотезы известна. По этому
вопросу имеется множество предложений: А. С. Монин,
Б. И. Давыдов, А. Таунсенд, Дж. Ламли, Д. Наст, А. Ша-
вит и М. Вольфштейн и др. (см. ссылки в [100]), однако
приемлемая общая запись для сложных граничных
условий не найдена. Представление диффузии турбулентности,
вызванной пульсацией давления, через локальные
кинематические параметры вряд ли может быть найдено
вследствие особой роли пульсации давления, существеннейшим
образом зависящей от краевых кинематических и
динамических условий задачи.
Что касается второй гипотезы (2.78), в последние годы
широкое развитие получила так называемая двухпарамет-
рическая модель турбулентности, в которой для скорости
диссипации энергии выписывается отдельное уравнение,
получающееся из уравнения относительно ротора пульса-
ционной скорости (с введением, конечно, дополнительных
гипотез). Учитывая, что эта модель в современной
литературе наиболее популярна, выпишем ее в упрощенной фор-

§2.5)
Турбулентность
61
ме, учитывающей, однако, возможную плотностную
неоднородность течения:
де \Г1 де
dt · / dXj dxj
1 l dXj ~~ dxj \ at dXj J '
я
dt
+аи^-(Я + 0)(1+а3вК1)-а2в^-. (2.83)
Здесь
ντ=ανβ2/ε; (2.84)
ντ — по-прежнему турбулентная вязкость; Я —скорость
генерации энергии турбулентности за счет работы
турбулентных напряжений в поле градиентов осредненной
скорости; G — то же за счет сил плавучести, вызванных
разностью температур (с=Т) или концентраций (с=с)
взвеси, учитываемых коэффициентом β^; ε — скорость
диссипации энергии турбулентности; по повторяющимся индексам
проводится суммирование. Параметры а% — эмпирические
«универсальные» безразмерные константы.
Универсальность этих констант, конечно, условна. Их изучение в
разных условиях — главный предмет гидравлического
эксперимента. Фактически эти «константы» есть новые
критерии подобия, значения которых до опыта неизвестны.
Некоторые «константы» уже получили свои имена: ас — число
Прандтля, если с—-температура; ас —- число Шмидта, если
с —- концентрация примеси.
Хотя уравнения (2.82), (2.83) формально замыкают
систему уравнений Рейнольдса (2.63) с гипотезой Буссине-
ска (2.76), ценность такого замыкания должна была быть
выяснена из сравнения с опытами. В [213] указаны
ссылки на 15 экспериментальных работ с разными схемами
течений, подтвердивших целесообразность представлений
(2.82)-(2.84).
Обобщение данных опытов, относящихся в основном к
течениям в пограничных слоях и струях, дает [192]:
а =0,09; лв=1; α =1,3; α. =1,44-*-1,55; )
е и (2.85)
α = 0,8; a2i = 2 (1 - 0,3 exp - Re1.), j

62 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
где
Re*=e2/ve.
Обратим внимание на изменчивость «константы» ct2e в
зависимости от числа Рейнольдса.
Важное дополнение, касающееся значений константы
αν и ставящее иод сомнение общность уравнений (2.82) —
(2.84), было сделано В. Роди [213]. Им было подмечено,
что «константа» αν зависит от соотношения между
локальной продукцией и диссипацией энергии турбулентности.
Ксли это соотношение не равно единице, т. е. важны
процессы переноса энергии турбулентности, то при изменении
П/г от 2,5 до 0,25 значение αν может увеличиваться от
0,05 до 5. Это не является неожиданным. Можно
утверждать, что вследствие весьма схематичного учета диффузии
турбулентности и скорости ее диссипации, связанной с
пульсацией давления, представленная модель и ее
«универсальные койстанты» потребуют значительной
корректировки в условиях существенного изменения связей между
пульсацией давления и полем пульсаций скоростей. Эти
связи в реальных инженерных задачах могут быть весьма
разнообразными [84].
Дефекты модели турбулентной вязкости, связанные с
предположением о соосности девиаторов турбулентных
напряжений и скоростей деформаций поля осредненных
скоростей, устраняются в моделях П. Бредшоу и В. Роди,
записываемых непосредственно для турбулентных
напряжений [213].
Эти модели непосредственно связаны с уравнениями
Фридмана — Келлера. К формулировке критериев подобия
они добавляют только симплексы (числа турбулентности),
представляющие отношение турбулентных напряжений к
квадрату характерной скорости в начальном сечении (или
в начальный момент при расчете нестационарных потоков):
Щ=[<и>щууи\. (2.86)
При любом способе замыкания системы уравнений для
осредненных (по вероятности) полей скорости и давления
получающиеся системы, как правило, отвечают
требованиям существования, единственности и устойчивости
физически реализующихся решений. Например, турбулентная
вязкость ντ в модели Буссинеска оказывается настолько

§ 2.5]
Турбулентность
63
большой, что соответствующее число Рейнольдса
получается очень малым:
Τ?βτ='Ε/0Ιο/ντ«1, '(2.87)
гарантируя наличие устойчивого решения, описывающего
поле осредненных скоростей. Определяющие критерии
подобия, полученные из этих систем, образуют обычно
полную группу критериев. Исключением являются случаи,
когда течение в целом оказывается неустойчивым или
неединственным. Примером может служить течение на
быстротоке с образованием катящихся волн, сбойное течение в
в нижнем бьефе гидроузлов. Для таких случаев вопрос о
подобии должен быть рассмотрен специально. Если имеет
место просто неустойчивость установившегося течения
(существует мнение, что она реализуется, в частности, на
быстротоках с катящимися волнами), то условия подобия
нетрудно сформулировать, рассмотрев задачу как
нестационарную (потребовав подобия начальных возмущений)1.
Если, однако, окажется, что наблюдаемое явление связано
с неединственностью состояний потока, которая отражается
в неединственности решений соответствующих уравнений,
положение с моделированием качественно усложняется.
Впрочем, указанные явления в практике довольно редки.
В [47, 79] выдвинута гипотеза о том, что максимальная
устойчивость турбулентных течений проявляется не только в полях
осредненных скоростей и давлений, как это было показано М. А. Гольдштиком
[41], но и касается всей совокупности вероятностных характеристик,
задающих турбулентный поток. Выдвигается идея, что, в принципе,
сложные механические системы, особенно системы с континуальным
множеством степеней свободы, могут находиться в случайных
состояниях, не прогнозируемых детерминистически с использованием только
известных фундаментальных законов природы. Неединственность
решений уравнений, отражающих эти законы при математически полных
краевых условиях, делает необходимым (и возможным) введение
новых гипотез, обобщающих на вероятностной мере фундаментальные
законы механики. Таким обобщением предложен [79] следующий
принцип максимальной устойчивости: если система уравнений сохранения
вместе с краевыми и начальными условиями, математически полно
описывающими движение системы, допускает несколько реализаций, то
вероятностные характеристики ансамбля этих реализаций максимально
устойчивы.
С позиций построения системы определяющих критериев подобия
справедливость такого принципа приводит к следующему выводу: си-

64 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
стема критериев, получаемых из уравнений, имеющих неединственное
решение, является полной. Выполнение этих критериев обеспечивает
подобие движений, рассматриваемых с любой детальностью (конечно,
в рамках принятой физической и математической схемы).
Рассмотренные пути замыкания системы уравнений,
описывающих турбулентное течение, начиналось с
введения вероятностных характеристик течения — средних (по
вероятности) скоростей и давлений, средних значений
произведений компонент пульсаций скорости и их
линейных комбинаций (Uitij}, e= — Σ(ιι2ι)\ средних значений
произведений пространственных производных от компонент
осредненных и пульсационных скоростей
~±*№(щ+%У · »■
Имеется, однако, и другой путь, кратко очерченный в
§ 2.1. Теоретические основы этого пути еще находятся в
стадии формирования [89], хотя практические результаты
начинают накапливаться очень интенсивно. Идея подхода
тесно связана с методом подобия, широко применяемым в
гидродинамике, и состоит в введении различных
масштабов рассмотрения одной и той же реальной задачи.
Формализация этого подхода может достигаться разными
методами. Для изотропной однородной турбулентности, в
которой первые статистические моменты не задаются,
естественно введение спектрального представления в
пространстве частот и волновых векторов [108]. Здесь
известны выдающиеся наблюдения Л. Ричардсона и
теоретические результаты А. Н. Колмогорова — А. М. Обухова,
выделивших инерционный интервал и определивших главное
его свойство каскадной передачи энергии в другую
область—вязкий интервал, где происходит диссипация
энергии, переданной по инерционному интервалу.
Оказывается полезным в каждом турбулентном потоке
определить три системы характерных масштабов:
интегральные:
Ltk!(x)=$rtk(x. χ + β,ξ)Λ; t/.. (2.88)
где е/ — орт оси 0х\\ пн — коэффициент корреляции между
ьй и k-ц компонентами скорости в точках χ и х+е/|;

§ 2.5]
Турбулентность
65
внутренние тэйлоровские:
vw=»',/(^)'; (»'Д; <2·89)
внутренние колмогоровские:
η=ν3/48-1/4. ί/ε==ν1/4ε1/4β (2.90)
При больших числах Рейнольдса наблюдается четкое
расслоение систем вихрей, каждая из которых
описывается с помощью введения соответствующего масштаба.
Наиболее крупномасштабные анизотропные движения,
определяющие переход энергии от осредненного течения к
турбулентности и во многих случаях — главные черты
процесса переноса примесей, обобщаются введением масштабов
Likj (рис. 2.6). В частности, масштаб, введенный в элемен-
хМи!,)
Рис. 2.6. Спектральная плотность продольных пульсаций скорости на
разных расстояниях от гладкой стенки в напорном канале при
масштабе волновых чисел 1/Lb Li = Lni (радиус корреляции продольных
пульсаций)

66 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
тарной схеме Прандтля, можно идентифицировать с L112,
где оси 0х\ и 0х2 направлены вдоль и по нормали к
твердой границе соответственно.
Форму спектров в диапазоне вихрей (и волновых чисел
κ,·), дающих наибольший вклад в дисперсию
соответствующей компоненты, удобно обобщать с введением масштабов
Kik (рис. 2.7). Локально изотропные течения при
относительно низкой интенсивности турбулентности (при малых
флюктуациях скорости диссипации энергии
турбулентности ε'/ε<<1) в условиях, когда нет других влияющих
переменных (например, при большом начальном времени
вырождения турбулентности, когда начальное состояние
предположительно не влияет), обобщаются в масштабах
(2.90). Такие условия складываются только при очень
больших числах Рейнольдса Rex=u'K/v^ 1000 и
сравнительно малых градиентах осредненной скорости ~
dUt
dxk
<ι.
χβΛυ,Ίϊ
Рис, 2.7. Спектральная плотность продольных· пульсаций скорости на
разных расстояниях от гладкой стенки в напорном канале при масшта
бе волновых чисел 1/λ.

2.5]
Турбулентность
67
X^S/Kui/ "~—
Рис. 2.8. Спектральная плотность ,
продольных пульсаций скорости иЛ^"Ц
на разных расстояниях от глад- $5п
кой стенки в напорном канале
при масштабе волновых чисел l/η Ш
" 250
Рис. 2.9. Распределение масшта- ^Щ
бов турбулентности по. глубине ,^
потока при Re=120 000 7 '
100
.Например, в прямом ка
янале е гладкими стенками αιλ./ν
при Re*==<7/v = 120 000 ре- ' '
зультаты ^измерений
спектров плох® обобщаются с
использованием масштабов
(2.90) (рис. 2Д) даже при
.ReM=w'iXi/v = 300-^-400 (рис.
2.9).
0,8 xz/h
150
100
50
U
/μ-
Ч:
'и
/
1
L
, U/t
D
Π
U
ρ
-u—
έτί
η
^ 4tf
£tf
80хги/р

68 Математические модели движения жидкости (Тл. 2
Локальная изотропия и закон убывания спектра про-
—5/3 ~
порционально κ становятся отчетливыми лишь при Re =
= 230 000 в зонах потока, где RcM>500 (рис. 2.10 и 2.11).
Отметим здесь распространенную неточность,
состоящую в отождествлении условий локально-изотропного
течения с условиями справедливости «закона — 5/3» для
спектральных компонент пульсаций скорости. Этот закон
справедлив лишь для специфической формы течения — при
наличии инерционного интервала, в котором не
проявляются никакие другие параметры турбулентности, кроме
скорости диссипации энергии. Фактически класс
изотропных и локально-изотропных течений значительно шире.
Л. И. Седовым проведено исчерпывающее исследование
автомодельных движений изотропной турбулентности, т. е.
таких движений, вторые и третьи корреляционные
моменты которых могут рассматриваться как функции
переменной ξ/L, где L — линейный параметр, зависящий от
времени и постоянных параметров, определяющих изотропное
течение [138]. В частности, L может быть связан с
тейлоровским масштабом турбулентности · (2.89), а не
обязательно с колмогоровским (2.90).
С учетом результатов Л. И. Седова закономерности
«инерционного» интервала следует рассматривать как
важный, но частный случай закономерностей локально-
изотропного течения. Практическая важность этого случая
состоит в том, что при наличии инерционных интервалов в
спектрах реально изучаемых явлений имеется возможность
искажения влияния вязкости (изменения числа Рейнольд-
са) вплоть до того момента, когда этот интервал станет
минимальным. Так, на рис. 2.12, соответствующем зоне
течения в трубе с наибольшими локальными числами Рей-
нольдса (Rex=max), видно, что переход от Re = 230 000 к
Re = 57 000 практически сводит инерционный интервал
(где спектр параллелен линии κι~5/3) до нуля. Это
означает, что при Re<57 000 влияние критерия Рейнольдса
должно быть ощутимым и повсеместным. Это и было
отмечено в опытах. Любопытно, что инерционный интервал
наиболее ярко проявляется не на оси потока, где имеются
наилучшие условия для изотропии, а в точке „ν2//ι = 0,335,
где максимальное локальное число Рейнольдса Reu = 300
(рис. 2.13). Таким образом, влияние вязкости на оси
потока больше, чем вблизи стенки. Верхняя граница волновых

§2.5]
Турбулентность
№
lo5y—-—^~l·
10'
10'
10£h
Ю'У
ж
jQ~
Г й
ι
ρ
р
р
| I —Г ■ I I ГПТ
»
ϊ V
2 N
,. .. I, ,. I I I 1 1 II
.-„..... ^., „.—_^-,
^ 4
V'
%
\
\
j 1
1 I ,1 I 1 111!
10"
10a
ulh/v
101
x1 ,см~7
Рис. 2.10. Спектры продольных
(/), поперечных (2) и боковых
(3) пульсаций скорости в
напорном канале при Re = 230 000
(λ;2//ι = 0,45), £/0 = 42,8 м/с, Л =
= 0,09 м и расчет (2) и (3) по
(/) в предположении
изотропии (4)
Рис. 2.11. Распределение
масштабов турбулентности по глубине
потока при Re = 230 000
200
100
/и -
/
1
у'
α
ёу
Π -
20
40 60 80x2U/v

?0
Математические модели движения ясидкобЫ
1Гл. 2
Рис. 2.12. Спектры поперечных (/) и боковых (2) пульсаций скорости
при Re = 57 000 и расчет по спектру продольных пульсаций в
предположении изотропии (3)
чисел инерционного интервала определяется значением
колмогоровского масштаба:
κιη^0,05-^-0,08.
(2.91)
Нижняя граница определяется градиентами осреднен-
ных скоростей, а в том случае, если они малы,
интегральным масштабом турбулентности:
х^даб-г-З. (2.92)

§ 2.5]
Турбулентность
71
При наличии инерцион- .
ного интервала изменение и* *
(увеличение) масштаба η за -250
счет ν в пределах
. __0,05 — 0,08 г
'Ч \ У/пах 5 — 3 1'
(2.93)
очевидно, не должно
существенно влиять на структуру
Рис. 2.13. Распределение
масштабов турбулентности по глубине
потока при Re=57 000
200
150
100
50
"/
г
t
г
^
D
а
□
D
14
s>i
^Uvfcvt^^i*-A
1=2
<,
7*6
0
u'iXi/v
150
100
50
-
/
/
/
0,2
У
'
0,4
-S-r;
/=/
IzL
op
г
Л-,
-ν
0β x2/h
с
1=3
о
а
20
40
турбулентного потока, если не считать небольшого
уменьшения дисперсии пульсаций, определяемого по методике,
описанной в [84].
В связи с изложенным ясно, что исследование
низкочастотных анизотропных полей скоростей потоков,
обладающих инерционным интервалом в спектрах, можно вести,
оперируя параметрами течений, осредненными по
произвольным пространственно-временным масштабам L&,
отвечающим единственному условию
max у (2.94)
где Цтах определяется в области осреднения параметров
течения. Эта мысль является главной в подходе,
развиваемом в [81, 89].
Такой подход позволяет, в частности, конкретизировать
требования к подобию формы спектров пульсации на
модели и в натуре. Именно, необходимо обеспечить подобие
формы спектров при
K<l/Lk (2.95)
и условие сохранения каскадного процесса передачи
энергии турбулентности, контролируемое критерием
r^==:L,/r}/mn.>30~60.
(2.96)

72 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
Если в натуре πε больше этого числа, то необходимо,
чтобы πε на модели также было больше некоторого числа,
зависящего от условий течения и определяющего наличие
инерционного интервала в спектре пульсации.
2.6. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
Краевые условия для выписанных уравнений могут
быть весьма разнообразны и определяются физическими
особенностями рассматриваемой задачи. Пусть, например,
граница потока подвижна, но частицы жидкости ее не
пересекают (непроницаемая подвижная граница). Если
такое уравнение границы задано
то компонента скорости любой ее точки по нормали к ней
там, где эта нормаль существует (grad<D=7^0), имеет вид:
όΦ
dt
Un= ~~ |grad<£>|· (2·97)
Условие непроницаемости (отсутствие пересечений
границы частицами жидкости) означает, что
Таким образом, условие непроницаемости для поля
скоростей жидкости U имеет вид:
Urrad© + ^=0. (2.99)
В частности, если граница неподвижна, то -^—= и, и
вместо (2.99) имеем
В отношении касательной компоненты скорости
возможны различные постановки задач. Некоторые из
рассматриваемых уравнений (например, модель вязкой
жидкости) допускают постановку задачи с «прилипанием»
жидкости к границам, когда скорость границы потока и
жидкости считается одинаковой. Менее ограничительно
условие «скольжениям потока по границам. Это условие

§ 2.6]
Краевые условия
П
обычно принимается для невязкой жидкости. Однако оно
может быть применено и при более сложной реологии
среды. Например, для ньютоновской вязкой жидкости
условие скольжения принимают в форме
U*-{fe.}^T = 0· (2-Ю1)
где Us — проекция разности вектора скорости жидкости и
скорости некоторой точки гладкой границы на плоскость,
касательную к границе в этой точке; п — нормаль к
границе в той же точке; {k\} — размерная краевая константа.
Известны многочисленные предложения использовать
аналогичную запись для турбулентного потока, которые
можно свести к трем:
{*ι}=ΜΔ) при λτ2=Δ; (2.102)
{kt}= ,-v.T + v при х2^0 или χ2 = Δ; (2.ЮЗ)
\иs\ &ь
^=f (ί/.Δ/ν); U, || т0; U. = V^TP, (2.Ю4)
где Δ — высота выступа шероховатости.
Не останавливаясь на рассмотрении широко известных
предложений (2.102) (В. М. Маккавеев, А. В. Караушев)
и (2.103) (А. И. Фельзенбаум, Т. Симоне и др.), отметим,
что во многих случаях анизотропной шероховатости
параметры kb или km не могут считаться скалярными
функциями. Необходимо обобщение этих гипотез с введением
тензорных коэффициентов подобно тому, как это сделано
при анализе плана течений [95].
В соответствии с темой книги обратимся к
«соображениям подобия», лежащим в основе записей (2.104).
Простые рассуждения, лежащие в основе первой формулы
(2.104), встречаются в том или ином виде во всех
современных книгах по гидравлике. Утверждается, что
однородное по длине течение вблизи границы потока может
зависеть от «скорости трения» ί/*, кинематической вязко*
сти ν и высоты выступа шероховатости Δ. При этом
единственная форма записи краевого условия может иметь вид
первой формулы (2.104) [записи (2.102), (2.103)
приводятся к этой формуле]. Имеются даже предположения,
основанные на измерениях Нйкурадзе, что функций /(ί/*Λ/ν)

74 Математические модели овижения жидкости [Гл. 2
является универсальной, а при течениях с полным
проявлением шероховатости эта функция становится
константой:
US/U« = B. (2.105)
По [54] В = 8,5.
В действительности, однако, £/* и Δ не являются
исчерпывающими характеристиками течения у границы. Весьма
важным параметром течения является флюктуация
касательного напряжения у стенки [85]. Стандарт и
продольный спектр пульсаций касательного напряжения в
зависимости от пространственных характеристик шероховатости
стенки могут изменяться. В связи с этим даже в режиме
течения с полным проявлением шероховатости «константа»
в правой части (2.105) может быть существенно разной.
На рис. 2.14 показано распределение осредненных (по
времени и по длине) скоростей в непосредственной близо-
х2,ш
6,0
5,0
4,0
5,0
2,0
V /к/
^<Л
ш^'
L
/о
v\ S
1
|
1
/ |
1
/
1
1 ι
' /
2 J
/l
10
15 Uf/U# -0,5
—щ
4,0
J>°\
Γ~2'ί
γ
I
λ CL
NfeaJ
OJ
—π Αι
b j
0,5 ~ r(£)
Ю
Рис. 2 Л 4. Распределение осредненных скоростей (а) и корреляция про*
дольных пульсаций скоростей (б) в потоке воды над гладким (/),
песчаным (2), гравелистым (3) дном и над гребнями
шероховатости (4) [25]

§ 2.6]
Краевые условия
75
сти от границы потока. Измерения проведены
электрохимическим методом [25] с использованием электродов
диаметром 0,03 см в широком безнапорном потоке воды (v =
= 0,01 см2/с). В одной серии опытов дно лотка было
стеклянным (линия U ^о = 3,6 см; ί/0=Η,5 см/с; f/* = 0,8 см/с) и
нижняя кромка ближайшего к дну электрода отстояла от
дна на 0,02 см. В других сериях на дне был однородный
песок средней крупностью dcp=0,25 см (кривая 2, h=
= 4,0 см; ί/0=16,6 см/с; f/*=l,12 см/с) или гравий dcp =
= 3,0 см (кривая 3, А0 = 6,5 см; ί/0 = 25,6 см/с; ί/* =
=2,41 см/с). Отсчеты расстояний над шероховатым дном
показаны от середины верхнего ряда частиц грунта.
Измерения над гравием осреднены по 20 вертикалям отдельно
над гребнями и над впадинами шероховатости.
Анализ эпюры скоростей над гладким дном показывает,
что на границе турбулентного ядра течения и вязкого под-
y2/d ■
Рис. 2.15. Распределение
осредненных скоростей
(/) и стандартов
продольных пульсаций (2) q
на контакте между
потоком воды (f/* =
= 1,42 см/с, ν =
= 0,01 см2/с) и
песчаным основанием (dcv= -2
= 0,75 мм, крупность
отмытого поверхностного
слоя d=\ мм) [23]
-4
слоя (подробнее см. § 4.1), определяемого условием 6 =
— (10-=-ll,6)v/f/* = 0,125-=-0,145 см, имеет место
соотношение 17/ί/*= 12,2-4-13, которое не слишком сильно
отличается от значения 11,6, принятого в современной
гидравлике. Напротив, над шероховатой поверхностью
относительная скорость U/U* изменяется в достаточно широких
пределах. Между выступами шероховатостей на уровне
вершин выступов отношение (2.105) составляет около 7,
над гребнями шероховатостей — около 2. В среднем (по
площади) это соотношение близко к 5. Такой же
результат (t/s/i/*=5,6) получен в 1963 г. И. К. Никитиным [112]
методом фотосъемки. Еще раньше детальные сведения о
течении над шероховатым дном опубликованы Б. А. Фид-
маном [И7].
2
г
1
-с
Л
■ +°>0
2
I
Щ
=?,
Г.
и
1
J U
/и„и'/и«

76 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
Краевые условия на границе особенно усложняются,
когда граница водопроницаема (например, реальное дно
реки, сложенное подвижным материалом) (рис. 2.15), де-
формативна или может разрушаться потоком. В критерии
подобия здесь в общем случае должны включаться все
размерные параметры, характеризующие состояние
границы. При этом, однако, постановка краевых условий может
быть различной в зависимости от задачи исследования.
Например, описание течения в заросшем канале обычно
не включает характеристик жесткости растений, вся
сложная картина задается одним параметром шероховатости,
хотя детальное исследование явления [88] показывает
недостаточность такого подхода — шероховатость
оказывается зависящей от скорости течения.
Для неньютоновских жидкостей условие скольжения
(2.101) может быть обобщено, например, в таком виде:
где τ5=το—Ткр — «закритическая» компонента
касательного напряжения, действующего на поверхность границы со
стороны жидкости, Ts=|ts|; {β} — безразмерный скаляр
или тензор специального вида.
Значение rs определяется как разность между полным
вектором касательного напряжения на границе и
предельным вектором касательного напряжения, соответствующим
условию возникновения течения. Коэффициент β,
определенный обработкой опытов с песком и гравием на
специальных установках в лабораториях и в натуре, оказался
близким к 0,16—0,20. Детальное исследование явлений
течения неньютоновских жидкостей у границ раздела еще
только начинается.
Современные модели турбулентного течения
(например, модель е—г) требуют постановки краевых условий
не только для осредненной скорости течения, но и для
характеристик турбулентности. При этом следует опасаться
ошибок, связанных с тем, что реальная граница потока и
гипотетическая поверхность, на которой ставятся краевые
условия, не всегда совпадают — различие определяется
свойствами математических моделей. Например, поток
энергии турбулентности е через жесткую границу
действительно равен нулю;
^- = 0. (2.107)

§ 2.7] Осреднение по пространству и времени 77
Однако если «граница» проводится на уровне выступа
шероховатости или совпадает с границей вязкого подслоя,
до I
может оказаться максимальным (см. § 4.1).
то на ней
дп
На свободной границе потока обычно задается
давление или давление и касательное напряжение, вызванное,
например, действием ветра. Отыскание свободной
поверхности, как правило, входит в задачу исследования.
Формализация этой части задачи может быть существенно
разной в зависимости, в частности, от масштаба изучаемых
явлений. Как правило, влияние реологии жидкости у
свободной поверхности минимально. Поэтому для изучения
движений среднего масштаба в районе свободной
поверхности могут оказаться эффективными самые простые
модели. Наличие свободной поверхности приводит к
появлению критериев Фруда, Эйлера, Вебера (см. § 5.1).
2.7. ОСРЕДНЕНИЕ ПО ПРОСТРАНСТВУ
И ВРЕМЕНИ
Запись законов сохранения в интегральной форме
(§ 2.1) остается справедливой при любом выборе объема
в пространственно-временной системе координат.
Специальный выбор этого немалого объема может
существенно облегчить задачу моделирования, хотя и уменьшит
информативность результатов рассмотрения. Об этом уже
говорилось в связи с проблемой турбулентности и выбором
масштабов для сглаживания (или для описания)
турбулентных пульсаций (§ 2.4). Здесь этот вопрос
рассматривается шире:
осреднение по всему объему участка реки или водоема
позволяет перейти к '«нуль-мерным» задачам (обычный
объект гидрологии);
осреднение по «живому сечению» реки или канала дает
систему одномерных уравнений;
осреднение по глубине потока дает систему двумерных
уравнений («плановая задача»).
Фактически в последних двух случаях осреднение
проводится не по поверхности и не по линии, а по некоторым
объемам, размеры которых в направлениях, сохраняемых
для исследования, малы по сравнению с размерами в
других направлениях и выбираются в зависимости от конкрет-

78 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
ной задачи исследования с учетом соображений,
изложенных в § 2.4.
Естественно, что все три указанных случая
описываются уравнениями, осредненными на каком-то временном
интервале. Это сглаживание во времени выполняется уже
при переходе от молекулярного уровня описания к
терминам сплошной среды. В двумерных нестационарных
задачах сглаживание естественно вести по интервалу времени
порядка
Δί/,^ήο/ίΛ), (2.108)
где /г0, Uo — характерные глубина и скорость течения.
В одномерных нестационарных задачах при выборе Δ/ в
правой части (2.108) не обязательно должна стоять
глубина потока, при неравномерном распределении скоростей по
ширине потока эффективное использование одномерных
моделей можно ожидать при осреднении на интервалах
Δ*6>Ωο/<7ο, (2.109)
где Ωο и q0 -— характерное сечение реки и удельный расход.
При изучении задач в нуль-мерной постановке
нестационарность имеет смысл рассматривать в масштабах,
больших времени пребывания воды в водоеме, т. е.
целесообразно осреднение вести на интервалах
Mw>W0/Qo. (2.110)
Здесь уже W0, Qo — характерный объем элемента
системы и расход воды. При переходе от нестационарного
потока к «эквивалентному» стационарному течению осреднение
и оценки возможных ошибок естественно вести по
наибольшему из временных интервалов, определенному равен-
ством (2.110).
В нуль-мерных задачах не фигурируют пространственные
координаты. Рабочим инструментом этого подхода являются уравнения ба-'
ланса, применяемые к элементам системы в целом. По традиции в
гидрологии такой баланс пишут для годовых, сезонных или даже
месячных интервалов, не заботясь иногда о выполнении условия (2.110).
Соответствующие ошибки моделирования, выполняемого в настоящее
время в основном аналитическими или численными методами, могут
быть оценены лишь решением более детальных (одно- или двумерных)
задач.

§ 2.7] Осреднение ho пространству и времена 79
Эффективность одномерных задач зависит от искусства
правильного выбора схемы осреднения параметров течения. Например,
качественное расширение информации о режиме заиления водохранилищ
было получено при выделении в потоке воды зоны, занятой донным,
так называемым мутьевым (плотностным) потоком. Во многих
одномерных задачах оказывается полезным рассматривать отдельно
русловой и пойменный потоки и т. п. Одномерные задачи, составляющие
традиционную часть гидравлики, позволяют с минимальной
подробностью конкретизировать прогноз параметров течений и качества воды
в пространстве. Эти задачи очень часто решаются с помощью
физического моделирования..
Существенно более полная информация, достаточная в
большинстве практических задач, получается при осреднении истинной
картины по одной из пространственных координат. До самого недавнего
времени эти задачи решались главным образом на физических
моделях.
В отдельных случаях необходимо полное решение
гидродинамической задачи и определение пространственно-временной стохастической
картины течений, которое в настоящее время может быть произведено
только на физической модели или в натуре.
Одномерные уравнения для нестационарного
неравномерного потока были выведены А. Сен-Венаном; для
реальных рек с учетом неравномерности распределения
скоростей по сечению они были уточнены Ж. Буссинеском.
В последние годы одномерные или двумерные уравнения
гидравлики получают путем интегрирования по сечению
или по глубине реки уравнения Рейнольдса для осреднен-
ных (по вероятности) течений. В [61] указывается на
неоднозначность этой процедуры, зависящей от того, с какой
весовой функцией проводится осреднение. Получающуюся
систему уравнений принято называть уравнениями Сен-Ве-
нана, если давление по глубине принимается
гидростатическим, или уравнениями Буссинеска, если учитывается
кривизна струй в вертикальной плоскости. Имеются также
предложения по специальному учету кривизны струй в
плане,
В [89] для получения гидравлических — одномерных и
двумерных— уравнений применяется операция осреднения
по вероятности к гидродинамическим уравнениям,
записанным в мгновенных напряжениях (до введения
реологических гипотез о связи полей напряжений и скоростей) для
«конечного объема» W, определяемого условиями задачи.

80 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
До выполнения операции осреднения уравнения
сохранения для конечного объема W имеют следующий вид [89,
104]:
Г« 1% I
W t1 ti a
-l·
21
dt
I grad f |
dQ:
(-Pm + an.)dQ
-^FidWh
W '
и и
w
dt
?\Vn +
I grad f |
dQ)-=0.
\ (2.111)
Здесь Ui — мгновенная составляющая скорости
жидкости по оси Xi\ Uη — мгновенная составляющая скорости
жидкости по нормали к поверхности Ω; ρ — плотность
жидкости; —Р — шаровая часть тензора напряжений; оПт —
компоненты девиатора напряжений; pF,— проекция
массовой силы, приходящейся на единицу объема, на i-ю ось;
/■—время; щ — проекция единичного вектора нормали к
поверхности Ω на ί-ю ось (вектор нормали, как обычно,
считается направленным изнутри объема, ограниченного
поверхностью Ω).
Уравнения (2.111) отличаются от принятой записи
законов сохранения, так как в данном случае
рассматривается поверхность Ω, движущаяся произвольным образом, а
не связанная с частицами жидкости или неподвижная, как
это рассматривается обычно. Предполагается, что эту
поверхность можно выразить уравнением вида
f(xu *2, *з, 0=°·
Кроме того, все переменные под интегралами
предполагаются случайными функциями координат и времени.
Переход от уравнений (2.111) к двумерным уравнениям
нетрадиционного вида требует введения серии гипотез,
обычно выполняющихся в русловых потоках и неглубоких
водоемах. Детальное обсуждение этих гипотез, составляю*
щих сущность перехода от трехмерной к двумерной зада*
че, дано в [89], Здесь приведем лишь окончательный ёиД
уравнений в координатах, ориентированных вдоль (0х\) и

§ 2.7] Осреднение п° пространству и времена 81
поперек {Oxz) преимущественного направления течений
[89, 104]:
\<fhdx1dx3-\-<Yudxtdt + <fudxtdt + \ ^dx.dx^dt = 0, (2.112)
где
?л:
ф =
1 h
υχκ
U3h
0
; 9ut=
дх,
дх3
+
Uxh
V\h+-Ygh*
UxUsh
0
" °Д32 + σπ,2
•
; Τι/,=
ί/,Α
ί/ιί/,Α
^+4- «*2
1
> Ι
!
Ι
(2.113)
Система уравнений (2.112) получена из законов
сохранения импульса и массы без каких-либо предположений о
реологии жидкости. Для замыкания системы уравнений
достаточно задать связь между касательными
напряжениями на дне (ад21 и аАзг) и на свободной поверхности
(σπ2ΐ и σπ32) с остальными характеристиками потока.
Обычно считается, что на дне эта связь может быть
выражена соотношением
σ*2; = -ρλΑί//|υ|/2,
(2.114)
где Xz=2g/C2 = 2gn2/hl/s — скалярный коэффициент
гидравлического трения у дна; С—коэффициент Шези; η —
коэффициент групповой шероховатости в формуле Ман-
нинга; U — вектор скорости в плане; /=1, 3.
На поверхности потока выписывается аналогичное
соотношение с заменой Ui на (У,—£/*), где У* — компонента
скорости ветра, плотности воды ρ на плотность воздуха ро,
U на (V—U) и Яд на λπ.
Соотношение (2.114) не в полной мере отражает условия взаимо·
действия осредненного по глубине потока с дном или с атмосферой,
В общем случае вектор скорости, осредненной по глубине, не коллине^
арен векторам касательного напряжения на дне или свободной поверх*
Ности. Для установления соответствия Между этими векторами необ^
6—3209

#2 Математические модели движения otcudкости [Гл. 2
ходими введение тензорного коэффициента гидравлического
трения [95]:
1
:Д2/= _λ/Λ
^|U,
(2.115)
Такая Необходимость для трения у дна очевидна в двух случаях:
при наличии поперечной циркуляции в потоке (направления донных
струй и среднего течения не совпадают); при анизотропной
шероховатости дна.
Для свободной поверхности необходимость введения тензорного
коэффициента сопротивления встречается особенно часто. Это связано
с возможным различием направления распространения волн и
направления ветра в приводных слоях.
Таким образом, система уравнений (2.112) замкнута,
причем при ее выводе практически не затрагивалась
проблема турбулентности. Это является спецификой получения
уравнений Сен-Венана из законов сохранения, а не путем
интегрирования уравнений Навье — Стокса или Рейнольд-
са, как это обычно принято. Переход к двумерным
уравнениям Сен-Венана практически означает переход к новым
масштабам порядка глубины потока h, при этом
исключается влияние мелкомасштабной турбулентности.
В классе обобщенных функций системе интегральных
соотношений (2.112) эквивалентна система
дифференциальных уравнений в дивергентной форме
dqt . dbUJ
dt
OX:
ut\u\
dxt 2
qt=U,h
В классе непрерывных функций систему
dt "τ" αχ,-
(2.116)
((2.116) можно записать в виде
dt ' ul dxj~ g /**.. -
dhUL
όχι
2h
dt '
OX;
= 0.
уравнении
(2.117)
Система уравнений (2.117) — наиболее
распространенная в литературе форма записи двумерных уравнений Сен*
Венана [61, 74].
Принципиальное отличие здесь в том, чго величины ίΛ
и h пока остаются случайными функциями, не осреднен-

§ 27] Осреднение по пространству и времени 83v
ными по вероятности. В уравнениях (2.116) или (2.117)
формально нет членов, учитывающих касательное
напряжение между струями в плане. Фактически, однако, шв
уравнений исключены лишь боковые напряжения,
связанные с молекулярной вязкостью, не имеющие практического
значения в условиях автомодельное™ по критерию Рей.~
нольдса. Так называемые «турбулентные напряжения»^
полностью сохранены за счет наличия нелинейных
инерционных слагаемых. Эти напряжения появляются при
осреднении уравнений (2.116) по вероятности. Если такого»
осреднения не делать, то (2.116) можно рассматривать как.
замкнутую систему, порождающую (вместе с краевыми
условиями) полный комплект критериев подобия. В
дополнение к уже введенным критериям из (2.116) может быть
получено важное условие подобия течений в рамках епша.-
новой» задачи1:
jtb = Xb/h = idem. (2.118)'
Процессы переноса примеси описываются известным
законом сохранения ее массы. Записывая этот закон в
интегральном виде, получаем дивергентные уравнения
переноса примеси в плане:
ΊΤ+^7-Κ*/· А' <' 0- (2.119)
Здесь с — осредненная по глубине и по некоторому
элементу поверхности в плане концентрация примеси; / —
функция, характеризующая неконсервативность примеси.
При записи уравнения (2.119) использованы те же
гипотезы, что и при выводе системы (2.112), которые в
данном случае означают пренебрежение явлением, похожим
(но не совпадающим) на явление дисперсии, связанное с
неравномерностью распределения мгновенных^ скоростей и
концентраций по глубине потока. Приемлемость этого
допущения проверялась путем сопоставления расчетов по
(2.112) и (2.119) с результатами лабораторных и
натурных исследований. Определяющими критериями здесь,
очевидно, являются коэффициент гидравлического трения λ,
характеризующий неравномерность распределения скоро-
1 Условие (2.118) впервые было введено в практику моделирования
двумерных течений в работах авторов, опубликованных в 1956—1958 гг.
(см., например, [92]). До этих публикаций условие (2.118) выводилось
из одномерных уравнений и имело существенно иной смысл (см. § 5.3).

84 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
стей по глубине, и относительная ширина водоема b/h.
В реальном диапазоне изменения этих параметров для
крупных и средних рек, естественных озер и водоемов-
охладителей согласие расчетов по (2.119) с данными
лабораторных и натурных наблюдений оказывается весьма
хорошим (см. гл. 8 и [89, 90, 104]).
Если процессы переноса вызывают изменения
топографии водоема (размывы или отложения), то включаются
дополнительные условия, связывающие соответствующие
функции (/е, с, г|д, h). Понятно, что соотношения (2.112) и
(2.119)* вместе с дополнительными уравнениями,
раскрывающими f, могут использоваться и для прогноза
русловых деформаций.
Если длина водотока L вдоль направления
преимущественного течения много больше его характерного
поперечного размера, то целесообразно перейти к одномерным
уравнениям. Выбирая в (2.111) в качестве Ω поперечное
сечение потока, нормальное к средней линии дна, в
предположении постоянства отметки свободной поверхности и
продольной составляющей скорости в сечении, можно
получить следующие одномерные уравнения [47, 89]:
§ Qdx-\-(QU+'P)dt= ff {~-g&I^-\-gQi-\-J-+-F)dx4t\
(2.120)
§Qdx — Qdt=W q6dxxdt, (2.121)
ψ
XXt
где
P=\§ (η"2η*)2 dxt; Ω= j"K-^)d^;
Ω — площадь поперечного сечения потока; Q — расход воды
через все поперечное сечение потока; U — Q/Ω — средняя
по сечению скорость потока;
/?=Ω/χ; χ —длина смоченного периметра; / — средний
уклон дна реки; / — удельный импульс, подаваемый в
область вместе с расходом боковой приточности; qe — удель-

§ 2.7] Осреднение по пространству и времени 85
ный расход боковой приточности; F — сила реакции,
связанная с непризматичностью русла:
F=gl\ (■5:cosa~"^sina)^^; (2Л23)
χ \
£д — поперечная координата поверхности дна; a — угол
между касательной ко дну и осью 0х2 в плоскости х20хз,
нормальной к осредненной поверхности дна.
Формула (2.122) справедлива в отсутствие ветра. При
учете ветра соотношение (2.122) должно быть изменено.
В недивергентном виде уравнения (2.120) и (2.121)
примут вид:
*■£+£-*■ <2·ι25>
где bn — ширина потока на уровне свободной поверхности.
Области применимости уравнений (2.120) и (2.121)
обсуждаются в [89]. Оказывается, что в водотоках
сложной формы, например в руслах рек, локально практически
ни в одной точке не соблюдаются условия, поставленные
при выводе этих уравнений. Действительно, для таких
водотоков характерны следующие особенности: сильная
извилистость русла с характерным масштабом (длиной)
извилин LH; значительное колебание отметок дна
относительно среднего значения с характерной длиной волны La;
значительное колебание ширины русла относительно
среднего значения с соответствующей характерной длиной
волны Lb.
Все эти особенности приводят к образованию отрывных
течений, перекосу свободной поверхности и резкой
неравномерности потока. Кроме того, для достаточно длинных
участков рек практически невозможно собрать морфомет-
рический материал, подробно описывающий эти
особенности. Поэтому все величины в (2.120) следует
рассматривать как осредненные по участку
L>{ULA4Lb}, (2.126)
при этом все статистические моменты, возникающие в
результате осреднения, считаются включенными в (2.122).

86 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
Для величин Q, ί/, Ω, осредненных по достаточно
большим участкам, обычно соблюдаются условия вывода
уравнений (2.120) и (2.121) и соответствующие статистические
моменты допускают представление (2.122).
В уравнениях (2.120) и (2.121) (как и в связанных с ними·
уравнениях) осреднение по вероятности не предполагается. Поэтому,
строго говоря, соотношение (2.122) и другие не совпадают с
традиционными представлениями гидравлики. Однако вследствие того, что
ширина реки много больше характерных масштабов турбулентности,
пульсацией средней скорости (или расхода) обычно можно пренебречь.
При этом вся информация о турбулентности задается через
коэффициент λ. Решение уравнений (2.120), (2.121) при детерминистических
краевых условиях в достаточно широком классе функций обычно
оказывается также детерминистическим. Имеются, однако, случаи, когда
даже в таком крупном масштабе возникает неединственность решения,
которая может интерпретироваться как специфическая форма
турбулентности.
Из одномерных уравнений (2.120) следует
дополнительный критерий подобия, комплексно отражающий влияние
условий на дне и поверхности воды:
m = XllR. (2.127)
Разница между записями (2.118) и (2.127) в том, что
в последнее выражение входят характерная длина
водотока и гидравлический радиус. Таким образом, масштаб
ширины потока при исследовании одномерных течений
может назначаться отличным от масштаба длины. Напротив,
в исследованиях двумерных задач масштабы длины и
ширины должны быть одинаковыми. В обоих случаях
независимым является масштаб глубины потока (подробнее —
см. § 5.3).
Если действовать по традиционной схеме и выполнить
осреднение по вероятности до проведения осреднения по
глубине или по сечению потока и не пренебрегать
неравномерностью распределения скоростей по глубине, то
двумерные уравнения сохранения импульса для непрерывных
течений принимают следующий* вид [61, 91, 213]:
i~ ρ/ζ дхх . p/z dxl fh

§ 2.7] Осреднение по пространству и времени 87
+if^ri,p<B»-t/.>,rf*.+
+F^ri р(".-^)(«.-^,)^,; (2-128)
>__ Л ι
, 1 аАо18 , 1 OftQai , οπ32 — °Дз2 |
ι ρ/ζ dxt » ρ/ι dx4 1 ρ/ζ ~Γ
ηπ — __
В обеих формулах подчеркнутые слагаемые отражают
эффект дисперсии, появляющийся при переходе к
двумерным уравнениям за счет влияния неравномерности
распределения скоростей. Аналогичные очень важные
слагаемые появляются в двумерных и одномерных уравнениях
сохранения переносимой субстанции [213].
В уравнениях (2.128) в общем случае уже нельзя
отбрасывать члены, включающие σι3. Для замыкания
уравнений (2.128) нужны дополнительные гипотезы. Осреднен-
ные по глубине напряжения, можно выразить, например,
через производные от поля осредненных скоростей по
аналогии с гипотезой Буссинеска, при этом вводится средняя
по глубине турбулентная вязкость^ ντ, энергия
турбулентности ё и скорость ее диссипации ε [213]:
^=(v, + v)(f + f)-fa,, ,2Л9,
ντ —α,?/·; (2.130)

&8 Математические модели движения жидкости [Гл. 2
+".£+0.£~i-/'-i-a
OX8 dXj Ι αβ dx, i
+
+£(ΐ£)+β>·τ"»+"--β»τ· (2Л32)
где
^Hfi+^ti+dr+fy
(2.133)
есть продукция турбулентности; Пеи и Яеи — источники
турбулентности и ее диссипации, отражающие влияние
условий на дне или на свободной поверхности. В
частности, для дна предлагается [213]:
где
*/*=Vr-r(i/ii+£>\);
(2.134)
(2.135)
(2.136)
Я — коэффициент гидравлического трения; ае=|/г2/Я; ав =
= 3,6а28у^(2/Я)3/4.
Применяя к уравнениям (2.129) — (2.133)
преобразование подобия, найдем три дополнительных критерия
tl/ '
λ3ο/2^Α
1\игА .
teh2Q
(2.137)

§ 2.7] Осреднение по пространству и времени
89
Если пульсации скорости и осредненные скорости имеют
одинаковый масштаб, то запись критериев (2.137)
упрощается:
_' и о !
it- — =г—;
vr ε<Λ
Л. ι (2.138)
' h0 '
Сопоставление Wev и Π'ζν показывает, что критерий
hb/h не является единственным дополнительным
критерием плановой задачи в приведенной модели турбулентного
течения. Нетрудно заметить, что полученный вывод прямо
связан с гипотетическим соотношением (2.134). Если это
равенство переписать в виде
nev=,a'eUUKlK (2.134а)
то критерий Xbjh станет единственным дополнительным
критерием плановой задачи.
Критерии n'ev из (2.138) и пъ из (2.118) в общем
случае не эквивалентны, так] как различен смысл
коэффициента λ, связывающего в одном варианте случайные, я в
другом осредненные по вероятности величины. Фактически
при выводе (2.118) и (2.138) используется дополнительное
предположение о том, что параметры λ и b/h могут
рассматриваться как независимые. Если для осредненного (по
вероятности) поля это приемлемо (по крайней мере для
тех случаев, когда можно пренебрегать тензорной
структурой λ), то для случайного поля скоростей этот вопрос
менее ясен. Это замечание снижает ценность приема
вывода (2.118) и оставляет необходимость дополнительного
экспериментального изучения областей, в которых условия
(2.118) со скалярным детерминистическим значением λ
достаточно для подобия плана течений.
Из приведенного рассмотрения следует, что структура
критериев подобия существенно зависит от принятой
математической модели явления. Чем сильнее упрощается
модель явления, тем проще условия подобия,
соответствующие принятому описанию (см. § 3.4).

90 Приближенное подобие гидравлических явлений (Гл. 3
Глава 3
ПРИБЛИЖЕННОЕ ПОДОБИЕ
ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
3.1. НЕСОВМЕСТИМОСТЬ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ
Из рассмотрения уравнений Навье—Стокса
установлено, что критериями подобия потоков жидкости
являются критерии Рейнольдса, Фруда, Струхаля и Эйлера.
Обеспечить одновременно идентичность всех или даже
части этих критериев подобия оказывается практически
невозможно. Это объясняется тем, что для выполнения
условий подобия к масштабам одних и тех же величин,
входящих в разные критерии, должны быть предъявлены
разные требования. В реальных условиях, определяющих
возможности выбора величин на модели, эти требования
часто оказываются одновременно невыполнимыми
(критерии несовместимы).
Невозможность совместить наиболее существенные
условия гидравлического подобия при одинаковых
свойствах жидкости на модели и в натуре демонстрируется
рис. 3.1, где представлены зависимости показателя
степени \gM Mx при линейной размерности в формуле
размерности данной величины X от показателя степени lg^ Mt
при линейной размерности в формуле размерности
времени (или скорости). Аналогичные графики имеются в [168],
где предлагается для удовлетворения нескольких
условий подобия выбирать «компромиссный» масштаб
времени. Однако следование этой рекомендации без должной
оценки последствий такого «компромисса» может привести
к серьезным ошибкам.
Несовместимость критериев подобия определяет
необходимость для реального осуществления моделирования
отступать от строгого подобия явлений, но так, чтобы не
утратить в результатах исследования наиболее
существенное, не получить больших искажений искомых величин.
Из указанных четырех критериев подобия критерий
Эйлера в большинстве практических задач оказывается
неопределяющим (см. гл. 5), а критерий Струхаля
выпадает из системы критериев подобия при изучении поля
осредненных скоростей установившегося потока. Однако
каждый экспериментатор, занимающийся моделированием
крупных объектов, знает, какие трудности встречаются при

i ЗЛ] Несовместимость критериев подобия &1
Рис. 3.1. Зависимости показателя степени при линейной размерности
в формулах размерности механических величин от показателя степени
при линейной размерности в формуле размерности времени (или
скорости)
необходимости учесть одновременно даже два оставшихся
критерия подобия: Фруда и Рейнольдса.
Действительно, как в критерий Фруда, так и в критерий
Рейнольдса входят скорость и линейный размер. Однако форма связи между
масштабами этих величин, необходимая для обеспечения идентичности
одного из этих критериев, не соответствует структуре другого
критерия. Идентичность критерия Фруда обеспечивается при
Ми = М^2М\/2, (3.1)
а идентичность критерия Рейнольдса при
Μυ=ΜνΜγι. (3.2))
Следовательно, для того чтобы одновременно выполнить условия;
(3.1) и (3.2), масштаб линейных величин должен быть равен:
Af/ = Mj/3Af-1/3.
При моделировании крупных объектов, в том числе русловых,
потоков, всегда желательно, чтобы масштаб Μι был как можно меньше.
Этого, казалось бы, можно добиться за счет выбора соответствующих
значений Λίν и Mg. Однако в рамках физического моделирования
потоков жидкостей практически всегда Mg=\. Вариация же Afv ограниче-

92 Приближенное подобие гидравлических квЛений [fn. 3
на вариацией свойств жидкостей. Наименьшей кинематической
вязкостью обладают эфиры (v^0,0033 см2/с) или жидкие металлы (для
ртути ν^0,0014 см2/с). Таким образом, при моделировании водных
потоков (v~0,01 см2/с), Λίν>1:7, а минимальный масштаб линейных
величин при одновременном обеспечении идентичности критериев Фруда
и Рейнольдса Μι min^l ·" 4. Понятно, что воспроизвести в таком
масштабе сколь-либо крупный водоток с заменой воды на жидкость с
существенно меньшей вязкостью невозможно с экономической и
технической точек зрения.
Такая ситуация складывается при необходимости
выполнить лишь два условия подобия. Если требуется
обеспечить идентичность большего числа критериев подобия,
содержащих одинаковые величины, то может оказаться,
что для обеспечения подобия линейные размеры модели
не могут отличаться от размеров прототипа. Появление
каждого дополнительного критерия подобия резко
осложняет моделирование.
3.2. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПОДОБИЕ И ИСКАЖЕННАЯ
МОДЕЛЬ
Полнота условий подобия зависит от полноты системы
уравнений, описывающих явления. Так как всякое
математическое описание предполагает некоторую
схематизацию явления, то можно быть уверенным, что оно
отражает не все факторы. Это обстоятельство отмечено В. И.
Лениным \ приведшим слова Ф. Энгельса из
«Анти-Дюринга»: «Чтобы познавать отдельные стороны» (или
частности общей картины мировых явлений), «мы вынуждены
вырывать их из их естественной (natiirlich) или
исторической связи и исследовать каждую в отдельности по ее
свойствам, по ее особым причинам и следствиям» (слова
в скобках принадлежат В. И. Ленину).
В то же время в решениях практических задач
допускаются отклонения от истинных значений искомых
функций в прогнозируемом явлении. Эти отклонения
определяются заданной степенью точности решения. Во многих
случаях, особенно при изучении естественных водотоков,
к точности решения не приходится предъявлять слишком
высоких требований из-за относительно низкой точности
исходных данных (гидрологических, геологических).
Исходя из такой концепции некоторое искажение описания эф-
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 18, с. 160.

§ 3.2J Приближенное подобие и искаженная модель 93
фекта может и не привести к искажению решения,
превышающему допустимую ошибку. Следовательно, можно
предположить, что при отступлении от выполнения
некоторых условий подобия можно обеспечить приемлемую
точность результатов моделирования. В таких случаях
говорит о приближенном подобии.
Приближенным будем называть такое подобие,
которое обеспечивает определение прогнозируемых
функций с заданной степенью точности при нарушении
некоторых условий подобия.
Известно, что выполнение условий подобия реализуется
в равенстве масштабов одноименных величин. Например,
условие Re—-idem означает равенство масштабов сил
инерции и вязкости, а условие Fr=idcm свидетельствует
о равенстве масштабов сил тяжести и инерции и т. д.
Идентичность симплексов, обеспечивающая подобие
условий однозначности, эквивалентна равенству масштабов
различных геометрических и кинематических величин.
Таким образом, отступление от условия jtt = idem
приводит к тому, что одноименные величины имеют разные
масштабы (при Fr^idem Мр ФМР при Ijh Φ idem
M&Mh и т. д.).
Отношение масштабов одноименных величин
называется их искажением, а модель, которая имеет не
одинаковые масштабы одноименных величин, называется
искаженной. Этим определением расширяется обычное
определение искаженной модели, предусматривающее
лишь отличие линейных масштабов: М[фМъфМ^ где
Мъ — поперечный масштаб; Μι — продольный масштаб
(или при Mb = Mi — плановый масштаб); Mh —
вертикальный масштаб [76, 181]. Следовательно, приближенное
подобие осуществляется на искаженной модели. К
приближенному подобию приходится прибегать, если необходимо
сократить число критериев и симплексов подобия для
того, чтобы получить реальную возможность моделирования
явления. Сокращение числа критериев подобия (и тем
самым искажение модели) допустимо лишь при должной
оценке его последствий. Многочисленные ошибки в
результатах моделирования вызваны пренебрежением этим
обстоятельством. Уменьшение числа критериев подобия
принципиально не отличается от сокращения числа
безразмерных параметров в нормированных уравнениях,
обеспечивающего получение их аналитического решения.

^Приближенное подобие гидравлических явлений [Гл. 3
3.3. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
Ниже будет показано, что использование теории
размерностей в некоторых случаях позволяет сократить
число критериев подобия за счет их комбинации. Однако
сама по себе теория не дает возможности отбросить какой-
либо безразмерный комплекс. Использование закона
подобия Ньютона, более близкое к использованию
нормированных уравнений, имеет в этом смысле некоторые
преимущества. Конечный результат здесь может быть полу-
•чен, если силы связаны между собой алгебраическим
'.уравнением (см. § 3.4).
Рассмотрим, например, случай нестационарного паде-
1ния тела в несжимаемой неподвижной жидкости.
Уравнение динамического равновесия такого тела имеет вид:
Fg^Fj+Fc, (3.3)
ггде F^—-сила тяжести; Fr — сила инерции; Fc — сила
сопротивления. В общем случае сила сопротивления
определяется силой давления и силой трения:
Fc^Fp+F». (3.4)
Тогда уравнение (3.3) можно представить в следующем
виде:
FglFj^l+FdFj+Fp/Fj.
Обратив внимание на то, что F#=psgW, и полагая
силу давления связанной лишь с гидростатическим распреде-
. лением давления Fp=pgW, а силу трения целиком
связанной с действием вязкости, с учетом данных табл. 1.1
уравнение (3.3) можно записать так:
Eu = -^(l-p/Ps)—^-1. (3.5)
тгде φς и ρ — соответственно плотность тела (частицы) и
.жидшсти; № —объем тела.
Ив (3.5) можно установить, в каком диапазоне изме-
шения пкожно пренебречь влиянием того или иного
безразмерного .комплекса. В алгебраическом уравнении такое
сравнение величин очевидно, для дифференциального
уравнения атот вопрос более сложен.
Обычно ссаэдгается, что если какой-либо член
нормированного дифференциального уравнения на несколько
(например, три)1 щ>[>ядка меньше или больше других членов
•уравнения, то даиется автомодельность по критерию, вхо-

§ 3.3]
Авто моде льность
95
дящему сомножителем в данный член. Если явление
описывается дифференциальными уравнениями, то порядок
того или иного члена уравнений не может быть оценен
только порядком безразмерного комплекса при
соответствующем члене нормированного уравнения.
Существенное отличие порядка одного· из членов
уравнения от порядка других членов свидетельствует только
о потенциальной возможности отбросить этот член и
исключить из системы критериев соответствующий ему
комплекс. Представляет интерес решение задачи, т. е.
значение зависимой переменной, определяемое .членами
дифференциальных уравнений в некоторой области изменения
переменных. В этом случае для того, чтобы иметь
возможность отбросить какой-либо член уравнения,
необходимо, чтобы он был одинаково мал в пределах всей
рассматриваемой области. Если это не так хотя бы в одной
точке, то решение задачи может измениться в целом.
Даже если эффект, которому соответствует этот член
уравнения, мал, но проявляется в значительной части области
изменения переменных, то он также может изменить
решение. Таким образом, при обосновании возможности
отбросить тот или иной член дифференциального уравнения
и связанный с ним критерий подобия необходимо показать
не только то, что соответствующий эффект мал локально,
а и то, что он имеет слабое влияние на интегральную
характеристику, которая изучается. Для математически
строгого доказательства возможности пренебрежения одними
членами уравнений по сравнению с другими необходимо
найти связь между значениями членов дифференциальных
уравнений и значениями величин в решении этих
уравнений. Отыскание такой связи — достаточно сложная задача.
Однако существуют некоторые частные случаи, когда
элементарное рассмотрение уравнений приводит к важным
результатам, позволяющим сократить число* влияющих
величин, а следовательно, и число критериев подобия. Такие
случаи представляются, когда основные уравнения
однородны относительно какой-либо из переменных величин.
Поскольку при нормировании уравнений производится
подстановка Х+Хо (Хо — постоянная величина), то из
нормированных уравнений, однородных относительно Х+у
безразмерный комплекс π, содержащий Х0у выпадает. Однако
его можно не включать в свяаь только тогда, когда
величину Хо не содержат также # нормированные условие

96 Приближенное подобие гидравлических явлений [Гл. 3
однозначности. Исключение величины Х0 из условий
однозначности достигается обычно за счет соответствующего
выбора координат.
Возможность пренебречь теми или иными критериями
(теми или иными членами уравнений) может иметься в
определенных областях изменения переменных. Если
нормированные уравнения, описывающие явление в данной
области, и условия однозначности не содержат
определяющих критериев, то говорят, что решение этих уравнений
автомодельно, а области изменения, для которых
характерна такая ситуация, называют автомодельными.
Условия существования автомодельных решений
рассматриваются, например, Л. И. Седовым [138] и Г. И. Барен-
блаттом [10].
В гидравлике существуют два определения
автомодельной области. В соответствии с первым из них
автомодельная область определяется как такой диапазон изменения
критериев, в пределах которого для достижения подобия
явления достаточно подобия граничных условий [76], что
соответствует указанному содержанию термина «автомо-
дельность». В соответствии с другим, это область, в
которой можно пренебречь влиянием одного из определяющих
критериев. Первое из приведенных определений соответсТ'
вует, например, автомодельным областям по числу Re
(ламинарной и квадратичной) для напорного потока.
Однако для достижения подобия явлений, происходящих
в безнапорном потоке, при автомодельности по числу Re
(а ведь в гидравлике применяют термин «автомодель-
ность» и для неравномерного безнапорного потока), кроме
подобия граничных условий, в общем случае необходима
идентичность числа Фруда.
Часто автомодельную область определяют как область
независимости искомой функции от данного критерия.
Такое определение представляется несколько неточным.
В большинстве случаев в автомодельных областях не
имеется полной независимости рассматриваемой функции от
аргумента, а имеется слабая зависимость от него, т. е.
такая зависимость, которой практически можно
пренебречь.
Например, известно, что коэффициент гидравлического
трения λ приближается к постоянному значению
асимптотически при приближении числа Re к бесконечности.
Границы автомодельных областей на известных экеперимен·

§ 33]
Лето моделъность
97
тальных кривых И. Никурадзе и А. П. Зегжды
соответствуют значениям Re, при которых ошибка измерений в
опытах превышает изменение λ в рассматриваемом диапазоне
значений Re.
Целесообразно называть автомодельной такую область
значений аргумента (критерия), в пределах которой
изменение аргумента приводит к изменению рассматриваемой
функции не более чем на заданное значение. Границами
автомодельной области величины X по критерию щ
являются значения критерия πΓΡ, соответствующие
отклонениям изучаемой величины от ее значения ΧΉ (при я/ = ян),
равным допустимой ошибке АХДои·
Понятно, что выделить определенные таким образом
автомодельные области, пользуясь обычными приемами
теории приближений, затруднительно, так как в теории
приближений производится сравнение лишь порядка
членов уравнений. Для оценки последствий отклонения
критерия от заданного значения (возмущения критерия)
необходимо иметь решение уравнений. В гидравлических
исследованиях для установления автомодельных областей
можно использовать следующий прием. Так как при
сложных границах пока не получено аналитического или
достаточно общего эмпирического решения, та оно
отыскивается для потока, имеющего простые, схематизированные
границы. После этого анализируется влияние критерия на
такое решение, называемое нами «базисным».
Предполагается, что, хотя решение при реальных граничных
условиях и может отличаться от решения при
схематизированных границах, относительные ошибки за счет отклонения
значения критерия от заданной величины в этих двух
случаях будут близки.
Существуют различные пути отыскания базисных
решений. Первым из них является использование
имеющихся или специально получаемых аналитических
зависимостей, относящихся к простым условиям однозначности.
Второй путь — это численное моделирование с
использованием ЭВМ. Хорошие результаты с применением
численных методов можно получить при допустимости
двумерных схематизации. К услугам исследователей здесь
большой и развивающийся раздел современной
гидромеханики—вычислительная гидравлика [157]. Возможности
вычислительной гидравлики позволяют производить анализ
связей между характеристиками течения и рассматриваем
7 -3299

98 Приближенное подобие гидравлических явлений [Гл. 3
мым критерием подобия с возможно меньшей
схематизацией граничных условий изучаемого объекта. Такой
анализ может быть включен в общую схему исследования,
использующего одновременно и гидравлическое и
численное моделирование (§ 1.2).
Наконец, базисные решения (в первую очередь это
целесообразно использовать применительно к слабо в
теоретическом отношении изученным пространственным
явлениям) могут быть получены в результате систематических
экспериментов. Однако если при использовании
аналитических зависимостей и численных методов определение
границ автомодельных областей не встречает затруднений,
то на основании экспериментальных данных эту задачу
решить не просто: в изученный в экспериментах диапазон
критерия обычно не попадает его значение, относящееся
к натуре. Поэтому по экспериментальным данным в
большинстве случаев границы автомодельных областей
выделяются «на глаз», там где значение производной дХ/дп
интуитивно представляется исследователю небольшим.
Для преодоления отмеченной неопределенности можно
предложить использование математических зависимостей,
аппроксимирующих экспериментальные данные.
Например, в диапазонах больших значений критерия, где
X-*Xn=oo = \in\ X, обычло неплохие результаты дает ап-
π-νοο
проксимация экспериментальных данных степенными
зависимостями. (Все последующее относится и к
автомодельным областям, имеющим место при π->0.)
Среди этих зависимостей можно указать на следующие:
* = *«=„ +А'«"·; (3.6)
Зависимости (3.7) соответствует известная формула Альтшуля для
коэффициента гидравлического трения в переходной и квадратичной
зонах сопротивления [4]:
>л = 0,11 (АэЬ Я+ 68 РеD) 0,25 (3.8)
при л2 = 0,25, ^^ = (0,11^3!) £>)1/4. Λ2 = Ο,Μ*.68. Здесь *эф —
ффективная шероховатость.

§ 3.3]
/iQTOMOd^AbHOCTb
99
Имея η ниду. что "относительная ошибка определения А* на грани*
це автомодельной области доставляет
АХ,
:(Хт»1Хя-\),
(3.9)
несложно получить, что границам автомодельных областей при
справедливости зависимости (З.П) соответствуют значения критерия:
Л,
А
Δ^π
{Хк=ао+А*<1)
1/л,
а если удовлетворяется зависимость (3.7), то
Л,
,1/».
(1±**доп) ""·(*,!£> +Л.-../ -«=«
ι" Λπ=ο
(3.1С)
(3.11)
Если натура характеризуется столь большими значениями
критерия πΗ, что А1 г*"1 ^г 0 (или Л2/л:п^0), то зависимости (3.10) и (3.11)
могут быть записаны соответственно как
А
^доп-^оо
1/Λι
(1гр-
^Поо[(ЛАдоп+1),/л-
(3.12)
(3.13)
= 00 LV-^^on IV Ч
В частности, граница автомодельности коэффициента
гидравлического трения, определяемого (3.8), по критерию Рейнольдса при λΗ=
=λκβ = οο соответствует
Rerp =
68Ζ),ΔΞφ
(3.14)
(^доп+1)4-1
Результаты подсчетов по этой зависимости при нескольких
значениях ΔλΑΟπ (0,01, 0,03, 0,05) помещены на известный график
зависимости λΓ>=ίλ(Δοφ/Α Re), приведенный на рис. 3.2. Из рисунка
следует, что обычно назначаемая граница квадратичной зоны
сопротивления приблизительно соответствует ΔλΛΟΠ=0,04.
Решение, полученное на модели, которая построена с
учетом выделенных таким приемом автомодельных
областей, может быть затем проверено внесением в это
решение (используемое в качестве «.базисного») отклонений
данного критерия.
Обычно в гидравлике имеют в виду лишь автомодель-
ность по числу Re, Однако моделирование практически
возможно благодаря тому, что существуют автомодельные

100 Приближенное подобие гидравлических явлений [Гл. 3
области и по другим критериям. При исследовании
потоков в квадратичной зоне сопротивления предполагается
также существование автомодельной области по
критериям турбулентности Kai;·. При моделировании открытых
потоков, характерных для гидротехнической практики,
натура и модель находятся в автомодельной области по
критерию Вебера We, учитывающему поверхностное натяжение
жидкости, и т. д.
Рис. 3.2. Границы автомодельных (квадратичных) областей
коэффициента гидравлического трения по числу Re при равномерном движении
в границах с разнородной шероховатостью:
— обычно принимаемая граница автомодельной области
Исследование потоков с приемлемой степенью точности
может быть значительно легче при моделировании в
автомодельных областях и по таким критериям, идентичность
которых для модели и натуры обычно считается
необходимой. Ниже будет показано наличие автомодельных
областей по числу Фруда и некоторым другим критериям.
Предлагаемое определение автомодельной области
можно распространить и на такие диапазоны значений
аргумента, где функция существенно зависит от аргумента.
Разница между выделенной на рис. 3.3 автомодельной
областью, ограниченной значениями π'Γρΐ и π'Γρ2, и
областями, которые обычно рассматриваются в гидравлике (на-

Mi]
Автомодельнос?Ь
101
пример, ограниченной значением π"ΓΡ), .состоит лишь в
том, что заданной точности определения функции
соответствует меньший диапазон значений аргумента. X, Эйнштейн
и Н. Чен [172] рассматривают, не употребляя термин
«автомодельная область», возможность моделирования
потока в аллювиальном русле при отклонениях на модели
от значений в натуре девяти критериев подобия.
4p1<«p2<p <
Рис. 3.3. Области автомодельности
величины X по критерию π
Из приведенного выше определения следует, что
границы автомодельных областей зависят от задач
исследования. Общих рекомендаций о границах автомодельной
области по данному аргументу (критерию) дать нельзя.
Эти границы зависят от того, какие характеристики потока
изучаются, а также от граничных условий и заданной
точности исследования.
Успех в отыскании автомодельных областей иногда
может быть связан с удачным выбором величин, из
которых составляется критерий. При этом часто используются
так называемые «внутренние масштабы» — величины, не
входящие обычно в условия однозначности, такие как
характеристики пограничного слоя, динамическая скорость,
турбулентная вязкость. Для того чтобы воспользоваться
автомодельностью явления по таким критериям, нужно
иметь независимо полученные связи между «внутренними
масштабами» и величинами, входящими в условия
однозначности. Например, автомодельность по критериям
устойчивости частиц на дне, содержащая динамическую
скорость, используется благодаря наличию связи между
динамической скоростью и скоростью, средней по глубине,

102 Приближенное подобие гиОравлических явлений [Гл, 3
задаваемой в условиях задачи (см. § 7,4). Примеры
применения «внутренних масштабов» содержатся, в частности,
в [71].
3.4. НАХОЖДЕНИЕ УСЛОВИЙ ПРИБЛИЖЕННОГО
ПОДОБИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ
РАЗМЕРНОСТЕЙ
Теория размерностей не дает основания для выделения
автомодельных зон по тому или иному критерию. Однако
использование этой теории невозможно без учета автомо-
дельности. На самом деле, выбирая величины,
существенные в изучаемом явлении, тем самым предполагают явление
автомодельным по критериям, в которые входят
величины, не принятые в рассмотрение, т. е. использование
теории размерностей предполагает определенную
схематизацию явления и, как это уже было отмечено в § 1.2,
построение некоторой его математической модели.
При выборе существенных в данной задаче величин
(и отнесении явления к автомодельным областям по
критериям, не содержащим эти величины) следует обращать
внимание на то, чтобы они соответствовали принятой
схематизации явления. Характерным примером использования
теории размерностей при выборе величин,
соответствующих разному уровню схематизации явления (молекуляр-
но-кинетическому и термодинамическому), является
известный «парадокс Рябушинского».
В 1915 г. Релей использовал теорию размерностей
применительно к задаче установившейся отдачи теплоты
телом обтекающей его жидкости, заполняющей все
пространство вне тела. Жидкость полагалась невязкой и
несжимаемой. Релей принял, что количество теплоты,
отдаваемое телом в единицу времени, определяется
характерным размером тела /0, скоростью жидкости вдали от тела
ί/οο, разностью температуры тела (его стенки) и
жидкости вдали от него (Гст—7\х>), теплоемкостью жидкости ср
и ее теплопроводностью λτ:
Qi = <p(O, ί/οο, ГСТ Тосу Сру λΤ). (3.15)
При выборе в качестве основных единиц
['.] = № ["J = [']/№ F»-TJ = [T\;
[cP\ = [Q\'WFb W = [Q]/WmW·

§ 3.4] Нахождение условий подобия по теории размерностей 103
где [Т] и [Q] — размерности температуры и количества
теплоты, из теории размерности получается зависимость
*Ti.<rCT-7-e)=* НН' (ЗЛ6)
откуда следует, что расход теплоты пропорционален
разности температур Тст—Τ и имеет одно и то же значение
при разных Uoo и сРу но постоянном их произведении UooCp.
В связи с результатом, полученным Релеем, Рябушин-
ский сделал следующее замечание. Принимая, что в
соответствии с молекулярно-кинетической теорией количество
теплоты и температура имеют размерность энергии (в
кинетической теории газов температура определяется как
средняя кинетическая энергия молекул, находящихся в
хаотическом движении), основным единицам их приданы
следующие размерности:
К] = М; [fJ = M/[·'];
[Тег - τ J = м [ΐγιγγ-, \cp\ = ι/[/]'; μτ] = ι/[/] щ.
Тогда зависимость для количества теплоты имеет вид:
т. е. вместо одного определяющего критерия /οίΛχ>£ρ/λτ,
полученного в соответствии с анализом Релея, Рябушин-
ским получены два определяющих критерия: /οίΛ»£ρ/λτ и
сР13о.
Различие результатов Релея и Рябушинского
привлекло внимание многих ученых, однако объяснение ему долго
не давалось. Объяснение «парадоксу Рябушинского» было
дано Л. И. Седовым в 1944 г. [138]. Оно сводится к
следующему. В системе единиц, принятой в анализе Релея,
для энергии имеются три размерности:
,[m][l)4[t]2; [Τ] и[0].
Перевод количества теплоты и температуры в
механические единицы связан с использованием механического
эквивалента теплоты J([J] = \m\ [/]/\t]2[Q]) и
постоянной Больцмана k([k] = [m][l]2/[t]2[T]). При
независимых единицах для механической энергии, количества
теплоты и температуры эти постоянные необходимо
рассматривать как физические постоянные и в общем случае
ввести их в рассмотрение при анализе размерностей.

104 Приближенное подобие гидравлических явлений [Гл. 3
Из условия отсутствия сжимаемости и вязкости
жидкости, принятого в этой задаче, следует, что поле
кинематических величин не связано с полем температур (они
«расцеплены», как указано в § 8.1) и в изучаемом
явлении не происходит взаимопреобразования тепловой и
механической энергий. Значит, плотность жидкости
несущественна для тепловых величин, а значение механического
эквивалента теплоты может не учитываться ввиду
отсутствия перехода тепловой энергии в механическую. Если
принять, что плотность ρ и величина / не влияют на
изучаемый процесс, то исходя из теории размерности
величина постоянной Больцмана также несущественна, так как
размерность k содержит размерность массы, от которой
независимы размерности Qt и определяющих величин.
Таким образом, изучаемое явление автомодельно по
критериям, содержащим р, / и fe, как это получено в анализе
Релея.
Однако если принять, что явление не зависит ρ (Ря-
бушинским также принято это допущение), но для него
существенны / и k, то искомая зависимость имеет вид:
λτΜ^τ-τΌο) ~~φ· \ ъ ' * /' к }
Если явление автомодельно по Jcpl30/ky как это имеет
место в случае, рассмотренном Релеем, то (3.18)
переходит в (3.16).
Если пользоваться определением величин через
механические величины, как это сделано Рябушинским, то /
и к должны рассматриваться как безразмерные
универсальные постоянные, и (3.18) превращается в (3.17).
Вследствие того, что в анализе Рябушинского не учтены
дополнительные соображения о механизме явления, его
вывод получился более слабым: получена зависимость от
двух определяющих критериев, а не от одного, как в
анализе Релея.
В ряде работ по теории размерностей [64, 180] в
качестве пути уменьшения числа безразмерных комплексов
предлагается увеличение числа независимых размерностей
за счет придания разных размерностей величинам,
одноименным в обычном понимании, но имеющим
определенное отличие. При этом различают длины отрезков в
направлениях χι, χ2, Х'ь и каждой из них придают свою
размерность. Это же относится к составляющим любой зек-

§ 3.4J Нахождение условий подобия по теории размерностей 106
торной величины. В соответствии с таким подходом время
гидравлических процессов можно было бы отличать,
например, от времени деформаций русла и т. д. Такое
представление соответствует аффинному преобразованию
пространства при переходе от прототипа к модели.
Как известно из теории размерностей, число
безразмерных комплексов тем меньше, чем больше можно
выбрать основных единиц измерения. Таким образом,
придавая независимые размерности величинам, которые обычно
полагаются одноименными, казалось бы, можно сократить
число критериев подобия. Получающиеся при этом
критерии являются комбинацией безразмерных комплексов,
соответствующих анализу, не предусматривающему введение
разной размерности одноименных величин.
В некоторых публикациях [15, 64] не оговариваются условия
применимости этого подхода, он рассматривается как относительно
новое предложение, которое называют «дополнением Хантли» 1.180].
В предисловии к русскому переводу книги Клайна [64] указывается
на более ранние работы, содержащие аналогичные идеи, но в то же
время содержится утверждение, что они не получили развития в
отечественной литературе. Применительно к гидравлическому
моделированию последнее неточно, так как в ряде отечественных публикаций
предложены критерии, содержащие величины, одноименные в обычном
понимании [27, 52, 76].
Следует обратить внимание на то, что
рассматриваемый подход не обладает общностью. Л. И. Седовым
[138] показано, что если одноименные .величины, которым
придается разная размерность, связаны между собой
через размерные физические постоянные, то при введении
дополнительных размерностей эти постоянные
необходимо ввести в связь, так что число безразмерных параметров
(π-членов) при этом не изменяется. Увеличение числа
основных единиц приводит к сокращению числа критериев
(к комбинациям критериев), когда из дополнительных
физических соображений следует несущественность
физических постоянных, возникающих при введении новых
основных единиц, в данной конкретной задаче, что использовано
в приведенном объяснении «эффекта Рябушинского»,
Можно полагать, что э общем случае при введении разных
единиц одноименных величин следует дополнительно
рассмотреть связи между этими величинами (не только
пропорциональность с коэффициентами, представляющими
собой физические постфнпые) и ввести в анализ размерно»

106 Приближенное подобие гидравлических явлений [Гл. 3
стей величины, входящие в эти связи. Придание разной
размерности одноименным величинам оказывается
эффективным тогда, когда зависимости между одноименными
величинами в рассматриваемой задаче либо не существует,
либо величины, входящие в связи между ними, являются
комбинациями одноименных величин, соответствующими
принятой схематизации явления. Такие возможности
появляются при пространственно-временных осреднениях
течений.
Поясним это положение на примере использования Пи-теоремы для
установления зависимости для перепада давления в цилиндрической
трубе при ламинарном стационарном движении несжимаемой
жидкости. Явление характеризуется следующими величинами: длиной
участка трубы /, ее диаметром Д перепадом давления на данном участке
ΔΡ, средней по сечению скоростью жидкости U, ее плотностью ρ и
динамической вязкостью μ. Если величины I и D имеют одинаковую
размерность [/J, то, как известно {52, 76], теория размерностей дает
следующий результат:
ΔΡ/(ρί/2)=φ (//£>, Rei>).
Теперь учтем,4 что задачу можно рассматривать как одномерную
(масштаб осреднения L^D), и связь между характеристиками в
направлениях Χι и х2 (хз) не рассматривается. Поэтому придадим D и /
разные размерности: [D] и [/]. Тогда
[АРН[т][/]-2Ш1-2; Щ=иЮ'1· [р] = [тШ]-3;
[μΗ[/η][*]-Ή]-ι.
Нетрудно убедиться, что в этом случае с использованием теории
размерностей получается связь между двумя безразмерными
комплексами:
что соответствует известной зависимости
р(У2 Re^ D '
В данном примере использование разных размерностей
одноименных величин позволило получить два безразмерных комплекса
ΔΡ/(ρί/2) и ll{DReD) вместо трех Δρ/(ρί/)2| l/D и ReD без введения
дополнительных соображений, которые обычно учитываются при
отыскании изучаемой связи.
Другие примеры применения рассмотренного подхода (без
указания на условия его грименимостп) содержатся, в частности, в [15].
/

§ 3.4] Нахождение условий подобия по теории размерностей 107
Уменьшение числа безразмерных параметров может
быть также достигнуто, если привлечь дополнительные
сведения о зависимостях между величинами,
содержащимися в условиях задачи [52, 76, 218]. Тогда в
рассмотрение можно ввести известные комбинации заданных
величин. Такой подход к использованию теории размерностей
еще более сближает ее с теорией подобия, так как
вводимые комбинации величин следуют из принятой
схематизации явления. Выбор величин, соответствующих
используемой схематизации и являющихся комбинацией величин,
относящихся к более общему случаю, следует производить
чрезвычайно внимательно для того, чтобы, с одной
стороны, получить максимально возможное упрощение условий
подобия, обеспечивающееся схематизацией явления, и,
с другой — не упустить критерии подобия, следующие из
связей между заданными величинами и величинами,
соответствующими используемой схематизации.
Рассмотрим эффективность предварительной
комбинации величин на примере установления зависимости
критического касательного напряжения на плоском дне,
состоящем из несвязных твердых частиц. Имеется в виду
касательное напряжение в начале движения частиц при
равномерном течении. В условия задачи входят следующие
величины: линейный размер частиц dy ускорение свободного
падения g*, плотность жидкости р, плотность материала
частиц р5, динамическая вязкость μ и критическое
касательное напряжение тКр. Из этих шести величин три имеют
независимые размерности, и, следовательно, связь между
ними может быть заменена связью между тремя
безразмерными комплексами.
Величина тКр соответствует континуальному
представлению среды, и при ее введении следовало бы
использовать такие характеристики совокупности частиц, как угол
внутреннего трения ψ и коэффициент фильтрации k<$> [47].
В связи с тем, что в данном случае заданы величины,
характеризующие частицу, воспользуемся схематизацией на
дискретном уровне и будем полагать, что воздействие на
частицу определяется величиной, пропорциональной tKprf2,
а сопротивление частицы перемещению пропорционально
Sips—p)d3. Если положить, что величины d, τκρ, ρ? и g
входят в связь только в комбинациях Ткт,я?2 и g{ps—p)d3,
то, если иметь в виду, что среди этих комбинаций, а также
величин ρ и μ две величины имеют независимые размер-

108 Приближенное подобие гидравлических явлений [Гл. 3
ности, число безразмерных комплексов может быть
уменьшено до двух:
μ ν 1
ρ / V^gd ~~~ d V'p+gd ~~ %ed
И
ΐκρ/(ρρ+£<0,
где
P+=(p«—ρ)/p.
Тогда
tKp=pp+ff^(Red),
т. е. Ткр достаточно изучать в зависимости лишь от Re^.
При нахождении комбинаций величин, входящих в
условия задачи, часто оказывается плодотворным принять
в рассмотрение критические (стандартные) значения
некоторых величин, т. е. величин, относящихся к
характерным условиям изучаемого процесса. Среди этих величин
укажем на несдвигающую скорость, соответствующую
началу (прекращению) транспорта наносов, гидравлическую
крупность (скорость частиц, соответствующую
равномерному их падению или всплытию в жидкости), разность
давления на границе потока и давления насыщения,
соответствующего началу перехода жидкости в пар при
заданной температуре (возникновению кавитации), критические
термодинамические параметры (значения этих параметров
в критической точке). Использование критических величин,
являющихся комбинацией других величин, входящих в
связь, позволяет исключить некоторые из этих величин
из числа независимых параметров, а соответствующие им
критерии — из числа определяющих. В рассматриваемом
случае вводится критерий вида Х/Хк?, где X — величина,
входящая в условия однозначности, а Хкр— критическое
значение этой величины. В § 7.4 будет показано, как
благодаря использованию несдвигающей скорости
удается, введя критерий OlOKp, исключить критерии Red,
pxlP,d/h,Frd = U2/gd.

§ 3.5] Схематизация явлений и комбинация критериев 109
3.5. СХЕМАТИЗАЦИЯ ЯВЛЕНИЙ И КОМБИНАЦИЯ
КРИТЕРИЕВ
Выше было отмечено, что достигаемое в некоторых
случаях сокращение числа критериев подобия при
использовании теории размерностей за счет замены части критериев
их комбинациями связано с углублением схематизации
описания явления. В этих случаях подобие
схематизированного явления обеспечивается не за счет идентичности
каждого критерия в отдельности, а за счет идентичности
комбинации критериев, относящихся к более общему
случаю, т. е. зависимость φ (πι, π2, . .., πη) заменяется
зависимостью ψ! [Lx (πι, π2, ..., Jim), дтт+ь .. ·> πη].
Сокращение числа критериев подобия при
использовании теории размерностей при недостаточной квалификации
исследователя может привести к существенным ошибкам,
так как схематизация явления здесь не выступает явно.
Существенно более надежные результаты могут быть
получены, когда имеется сформулированная математическая
модель явления, схематизация которого отражена в
описывающих его уравнениях и условиях однозначности их
решений. Если математическая модель обладает
достаточно высоким качеством, то установление условий подобия
из анализа этих уравнений и условий однозначности дает
возможность надежно упростить условия подобия.
Для упрощения условий подобия существенно
отнесение математической модели к ограниченным областям
изменения величин и тому » или иному масштабу
рассмотрения явления. Отнесение математической модели к
ограниченным областям изменения величин соответствует
отысканию областей автомодельности по критериям,
содержащим эти величины. Именно наличие автомодельных
областей дает возможность построить соответствующие им
математические модели, не обладающие общностью, но
дающие возможность получить конечные результаты.
Критерии определяют относительное влияние величин,
характеризующих явление,, и по их значениям обычно явления
делятся на области, для которых выбирается подходящее
математическое описание. Например, модель невязкой
несжимаемой жидкости соответствует областям
автомодельности по критериям Рейнольдса, Коши, Маха. Оценка
значений критериев на границах этих областей и есть
выделение автомодельных зон, которое производится
сопоставлением с экспериментальными данными или с бо-

110 Приближенное подобие гидравлических явлений [Гл. 3
лее полным решением. Математическое' описание,
относящееся к автомодельной зоне, не дает дополнительных
возможностей для отыскания граничных значений критерия..
Но сопоставление теоретических решений с экспериментом
позволяет при удовлетворительном совпадении судить об*·
автомодельностп и по систематическому различию
результатов определить границы автомодельноеm
От того, в каком масштабе рассматривается' явление,
зависит вид критериев подобия, следующих из аналадз^
соответствующих уравнений. При укрупнении
пространственных и временных масштабов обычно система
критериев упрощается и появляются критерии, являющиеся ком-·
бинацией критериев, относящихся к более мелким
Масштабам (к более общим случаям) (см. § 2.7). В данной
работе изучаются главным образом механические и
термодинамические задачи, т. е. макроскопические величины
и процессы.
Можно обратить внимание па то, что эти величины^
являются функциями величин, характерных для
молекулярного уровня, т. е. комбипаииями последних. Поэтому'
критерии подобия, к которым мы обращаемся при
гидравлическом моделировании, являются комбинацией крите-
гнев подобия молекулярных явлений. Таким образом,
переходя от молекулярных масштабов к масштабу,
соответствующему размерам тел, получаем другую систему
критериев подобия. Применительно к термодинамическому
подобию этот вопрос более подробно рассмотрен в § 8.1,
а применительно к процессам переноса частиц в § 6.2.
На примерах макроскопических явлений, подобие
которых изучается в данной книге, рассмотрим, как
упрощаются условия подобия при углублении их схематизации.
Наиболее полно этот вопрос изучен применительно к
квазистационарному спокойному течению вязкой ^кидко-
сти в жестком русле. Наряду с условиями Re=idem (или
ReM>RerP, при ReH>RTP) и Fr = idem (или FrM^Frrp при
FrH^Frrp), в которые входят критерии, содержащие
макроразмеры потока, система условий подобия этого явления
должна содержать критерии подобия краевых условий,
связанных с характеристиками жестких границ потока.
Рассмотрение, проведенное в § 4.1, показывает, что
в общем случае для обеспечения подобия во всей области
течения наряду с идентичностью симплексов /)//о, · . ., ln/h,
где /, — макроразмеры, необходима идентичность симплек-

§ 3.5] Схематизация явлений и комбинация критериев 111
сов V\/U, . .., I'm,Ίο, где ΙΊ —- линейные величины,
характеризующие шероховатость русла.
Только в тех случаях, когда допустимо осреднение с
продольным масштабом L>Z'/max, возможно введение в
качестве единственной характеристики шероховатости
относительной высоты эффективного выступа шероховатости,
являющейся комбинацией симплексов ΙΊ/Ιο :ЛЭф//о =
= d(l'i/l0, . . ., I'm/lo). Вид функций АЭф//о зависит от
схематизации потока, принятой при решении данной задачи,
и связан с масштабами характерных для нее осреднений.
При введении симплекса Δ0φ//ο число условий подобия
сокращается на m—1, где m — количество линейных
размеров шероховатости в более общем случае. При
автомодельное™ явления по Re вместо Δ3ψ//ο можно
использовать коэффициент гидравлического трения λ.
Осреднение течения по времени с достаточно большим
масштабом дает возможность в условиях подобия осесим-
метричных течений заменить коэффициентом
гидравлического трения как симплексы /'?//о, так и число Re:
λ=λ(Γι//0, ..., I'm/lo, Re).
Действительно, например, по формуле Альтшуля (3.10)
распределение по сечению потока в цилиндрической трубе
осредненных по времени скоростей полностью
определяется Xd'-
U __j __ 2\g[D/2(D12-x2)]
Umax ~ 0,975 yiD + 1,35 '
где Х2 — расстояние от оси трубы. В данном случае
подобие может быть достигнуто на искаженной модели, на
которой Re^M^ReDH и (l/i/lo)u¥z (/'Д))н; важно лишь
выдержать соотношения между Ι'χΐΙο и ReD, обеспечивающие
выполнение условия XD = idem.
Осреднение течения по глубине с линейным масштабом
L>h0 (с масштабом осреднения по времени Ath^>ho[U0)
упрощает условия подобия еще более существенно (§ 2.7,
5.3). При таком осреднении определяющим оказывается
критерий λιΦο/Ιΐο, что дает возможность ввести для
поперечных и вертикальных макроразмеров потока разные
масштабы, связанные, однако, условием (2.118). В этом
случае условием подобия является идентичность
симплексов 1х2г/Ь0 и lX3ilh0, где lx2i и 1Х&— размеры потока в на-

112 Приближенное подобие гидравлических явлений [Гл. 3
правлении х2 и х3, и Мн = МхМь. Масштаб продольных
макроразмеров в плановой задаче должен быть равным
масштабу поперечных: комплексы, в которые входят
продольные размеры, имеют вид 1хц/Ьо.
Условием подобия одномерных течений, полученных
осреднением по поперечному сечению потока с линейным
масштабом L^>b0 (b — ширина русла) и временным
масштабом A/b = Qo/ Qo (см. § 2.7), является идентичность
комплекса XrIo/Rq (/0 — характерный продольный размер).
Этот комплекс связывает масштабы продольных,
поперечных и вертикальных размеров: масштабы поперечных и
вертикальных размеров вводятся через масштаб
гидравлического радиуса R. Таким образом, масштабы размеров
в разных направлениях для одномерных течений могут
быть назначены отличными друг от Друга, но так, чтобы
удовлетворялось соотношение (2.127). Для широких русл
(см. подробнее § 5.3) Mh=MR и поперечные размеры не
связаны с размерами потока в других направлениях. В
соответствии с отмеченным в § 5.3 масштаб поперечных
размеров в этом случае может быть назначен независимо,
однако так, чтобы и на модели русло оставалось широким.
Обратим внимание на использование критериев,
являющихся комбинацией безразмерных комплексов,
соответствующих более общим представлениям, в задачах о
формировании русла, сложенного несвязным материалом.
В общем случае система критериев здесь может состоять
из критериев подобия потока жидкости, симплексов, в
которые входят размеры и состав твердых частиц,,
симплекса p.s/p и комплекса Red=do'g9+do/v (do— характерный
размер частиц). Условия подобия упрощаются ,в задачах,
когда допустимо схематизировать грунт совокупностью
частиц, которую можно характеризовать приведенным
диаметром d.
В некоторых задачах, например при определении
местных размывов (см. § 7.2), удается вместо части
симплексов, входящих в указанную систему (18$/1о9 где /я;
—характерные размеры частиц; ps/p; Re^), ввести критерий
U/w [w = w(lSv/lso, ps/p, Red)—гидравлическая
крупность].
При решении плановой задачи деформаций русла
приближенное подобие обеспечивается идентичностью сим*
плекса ί//ί/κρ, где UKP = U(W/0, p8/p, Re^). Представление
грунта континуумом (§ 2.4) дает возможность использо^

§4.1]
Равномерное Течение
113
вать критерии, содержащие такие величины, как угол
внутреннего трения и коэффициент фильтрации, являющиеся
функциями размеров и состава частиц и числа Red.
Глава 4
НАПОРНЫЕ ПОТОКИ
4.1. РАВНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ
Центральными вопросами гидравлического
моделирования равномерных напорных потоков являются:
определение гидравлических сопротивлений, оценка
распределения скоростей в потоке, давлений и касательных
напряжений на границах.
В отсутствие фазовых переходов при изучении стационарных
течений простейшей ньютоновской несжимаемой вязкой жидкости
определяющими параметрами задачи являются: 1) форма границ и
условия на границах; 2) число Рейнольдса; 3) числа турбулентности.
Влияние формы границ потока очевидно, и выполнение требования
подобия, например, поперечных сечений потока в общем случае
кажется необходимым. При этом, однако, возникает вопрос о допустимых
возможных искажениях формы сечения, в частности о возможности
одномерного описания течения с введением нескольких интегральных
характеристик сечения: площади поперечного сечения Ω, смоченного
периметра χ, гидравлического радиуса #=Ω/χ.
Понятие «условия на границах» менее определенно. Обычно
имеется в виду шероховатость границы. В реальных каналах
шероховатость в общем случае можно считать случайной функцией координат,
параметры которой определяются материалом, конструкцией и
технологией изготовления стенок каналов. При формулировке условий
приближенного подобия важно уточнить необходимую меру полноты
описания (и задания) шероховатости для тех или иных целей, влияние
изменчивости параметров шероховатости по сечению и по длине
потока. Но общий анализ условий течения у стенки оказывается достаточно
простым и полным при использовании методов теории подобия.
Влияние условий на границе потока невозможно рассматривать независимо
от влияния числа Рейнольдса и параметров турбулентности потока —
все эти факторы тесно связаны. Эксперимент показывает, однако» что
£тн связи в пограничных слоях, где наблюдается максимальный сдвиг,
и в ядре потока, где малы касательные напряжения и течение близко
К изотропному, существенно различньь

114
Напорные потоки
[Гл. 4
Рассмотрим сначала течение у гладкой стенки.
Допустим, что задано среднее (по вероятности) касательное
напряжение на стенке to, плотность жидкости ρ и
кинематическая вязкость v. Требуется найти распределение осред-
ненных скоростей U(х2) в зависимости от расстояния от
стенки:
ί/(χ2)=ί/(το, ρ, ν, х2). (4.1)
При фиксированном х2 единственная комбинация
исходных параметров, дающая размерность скорости, — это
динамическая скорость, или скорость трения:
f. = V^/p. (4-2)
Единственная безразмерная комбинация параметров ί/*,
ν, х2 имеет вид:
χ+2 = χ2υ*/ν. (4.3)
и
20
10
—
**s
у
**
и
/'
у у
U^xU
/J
г
j
1 ЯL
Ψ/
У
k О Я
/
/
>4
/
У
j4
m
У
y>
У
' · А
И
У
!>
D а а-/
δ -2
•-4
— ~ύ
J^
У
У
•у
№г
Рис. 4.1. Распределение осредненных скоростей в пограничном слое
при стандартных условиях [50]:
1 — воздух; 2 — вода; 3 — трансформаторное масло; 4 — глицерин; 5 — границы
разброса данных, собранных в [72]

§ 4.1]
Равномерное течение
115
Таким образом, задача состоит в отыскании функции
С/+=С//С/* = /(х+2), (4.4)
которая в рассматриваемой постановке, казалось бы,,
должна быть универсальной. Действительно, имеется
немало примеров, подтверждающих универсальность
функции (4.4), в том числе для жидкостей с существенно
разной плотностью и вязкостью (рис. 4.1).
Детальный анализ условий экспериментов показывает,
однако, что они все проводились в условиях, когда
параметры флюктуации касательного напряжения изменялись
относительно мало. Если это дополнительное условие не
выполнено, то ожидать универсальности соотношения (4.4)
нет оснований.
На самом деле, как показано в [85], спектр
касательного напряжения определяет по существу все пульсацион-
ные процессы в вязком подслое у самой стенки. Если
учесть это обстоятельство и, кроме среднего касательного
напряжения, задать пространственно-временной спектр
пульсаций касательного напряжения 5τ (κ,, хз, ω), то к
рассматриваемым безразмерным соотношениям U+ и х+2
добавятся еще по крайней мере четыре параметра
τ/ο/<το>; (4.5)
xmv/U*\ xo3v/*t/*; ω0ν/£/2*, (4.6)
где τ7ο — стандарт пульсаций касательного напряжения;
κοι, иоз, ωό — характерные волновые числа и частота для
спектра касательного напряжения:
κ" -χ'β (агг) '·
\
К. =:
dt
(4.7)
Понятно, что только при идентичности параметров
(4.5), (4.6) можно ожидать универсальности функции
(4.4). Попытаемся найти вид этой функции, опираясь на
простейшую модель переноса турбулентности Прандтля,
модифицированную с учетом замечаний, изложенных в
§ 2.5.

116
Напорные потоки
[Гл. 4
Выделим вязкий подслой χ+2^όι, в котором
турбулентные напряжения много меньше ρί/2*. Известно [84, 85,
108, 142], что внутри вязкого подслоя относительное
значение продольных пульсаций скорости (в долях местной
осредненной скорости) остается постоянным:
Μ,ι/ί/ = τ,ο/<τ0> = 0,3. (4.8)
За пределами вязкого подслоя это значение убывает.
Аналогично изменяется поперечная компонента пульсаций
скорости, которая в вязком подслое примерно в 4 раза
меньше продольной. Напротив, относительное значение
нормальных к стенке пульсаций скорости в пределах
вязкого подслоя с удалением от стенки интенсивно нарастает.
Мгновенное значение толщины вязкого подслоя можно
определить, введя некоторый конечный временной
интервал осреднения, больший v/f/2*, но меньший, например,
1/ω0. В таком «квазиосредненном» течении флюктуации
толщины вязкого подслоя оказываются значительными.
По оценкам [158] δι изменяется в отдельные периоды от
2,3 до 18. По оценкам [142] период этих пульсаций имеет
порядок T=\8v/U2*. Флюктуации вязкого подслоя тесно
связаны с пульсациями касательного напряжения.
Прямые измерения спектров касательного напряжения
(рис. 4.2) показывают, что основные энергонесущие
возмущения заключены в интервале частот 0,1πΖ7//ι^ω^
^jtD/hy где h — половина высоты канала [140]. Эта
оценка согласуется с теоретическими результатами [85],
дополненными в [47], согласно которым максимум спектра
касательного напряжения на стенке в стандартных
условиях следует ожидать при ω+:=ων/ί/2* = 4· 10~2, что
соответствует периоду 150ν/ί/2*, заметно превышающему
период флюктуации толщины вязкого подслоя по
визуальным оценкам. Видимый (преобладающий) период
колебаний касательного напряжения, вычисляемый по спектру
Τ=2πλ/ Jsxdu> / fco2STdcD,
ό / 6
лучше согласуется с визуальными оценками
периодичности смены подслоя.
Асимптотическое поведение течения в вязком подслое
при х+2-^0 может быть изучено аналитически с введением
небольшого числа правдоподобных гипотез [58, 47, 108].

§ 4.1]
Равномерное течение
117
STU/(T'J22h
hcu/rtU
Рис. 4.2. Спектры касательного напряжения на гладкой стенке в
напорном канале при разных значениях числа Re [140]
Особенно наглядные и простые результаты получаются
для «плоской» турбулентности:
u\lU1,^aiX+2\ (4.9)
u'2lU^a2(x+2)2\ (4.10)
(U[u2)/Uh = — α4(χ+2)4. (4.11)
(4.10) справедливы при любых предпо-
результат (4.11) существенно связан с
введенными гипотезами, т. е. имеет место при κ3->0 [47].
Важнейшим результатом теории, развитой в [85]
и впоследствии усовершенствованной в [47],
является раскрытие связи между параметрами uj в формулах
(4.9) и (4.11) и спектром касательного напряжения на
границе:
Оценки (4.9),
ложениях [108];
ai=tV<To>;
(4.12)

118
Напорные потока
[Гл. 4
1
а9 = -
2 U
Ы%)'-· (4'31
Учет трехмерности пульсаций [47] качественно не
меняет соотношений (4.12), (4.13). Дополнительно
появляется возможность оценить поперечные пульсации
и'з/и*ъазХ+2, (4.15)
где
аз=(тоз)7<т0>; (4.16)
Тоз — мгновенная поперечная компонента касательного
напряжения на стенке.
Что касается изменений турбулентных напряжений, то
при плоской турбулентности коэффициент а4 оказывается
отрицательным [85]:
а, ™ -2,9- Ю-4 fj^y ^-3- ΙΟ-5, (4.17)
т. е. при хз-^0 у стенки поток энергии направлен от
турбулентных возмущений к осредненному течению. Учет про-
странственности [47] позволяет уточнить этот вывод.
Оказывается, за счет влияния больших волновых чисел κ,?
поток энергии в целом, как обычно, направлен от осред-
ненного течения к турбулентным возмущениям и в
выражении (4.11) появляется дополнительное слагаемое
<щи2)/иК = —а\ (*+2) 3-а4 (*+2)4. (4.18)
Коэффициент а'4>0 также определяется спектром
касательных напряжений. Вопреки утверждениям,
приведенным во многих публикациях, коэффициенты а}- не
являются универсальными константами, так как они могут
изменяться с изменением спектра касательного напряжения,
зависящего не только от локальных условий течения. По
опытным данным, коэффициенты а,- могут иметь
следующие значения (рис. 4.3) [58, 72, 84, 142]:
а1= 0,25-0,35; а2^(0,5-2)10 2; \
α'4 = (4---8)10-4; α3 = (3--7)10-2. J
Используя линеаризированные уравнения для пульса-
ционного движения в вязком подслое, можно построить
их точное решение, отвечающее заданному спектру
касательного напряжения, Получающиеся результаты громозд-

§4.1]
Равномерное течение
im
υ\Αΐ^3/ΰχ
110 xl
Рис. 4.3. Распределение стандартов пульсаций продольных (/),
поперечных (2) и боковых (3) компонент скорости:
а — в вязком пристенном подслое; б — вблизи гладкой стенки. Опытные точки
[142]: / — Б. А. Фидмана; //— Дж. Лауфера; III— Ь, В. Орлова; /1/ —
Ж. Конт-Белло; V — Дж. Лауфера; VI — Г. С. Таранова; VII — Ε. Μ. Хабахпа-
шевой; VIII — П. С. Клебанова

120
Напорные потоки
[Гл. 4
ки и могут быть справедливы лишь при x+2<C6i. Поэтому
остановимся здесь на более простом анализе,
развивающем известные идеи Прандтля.
Вследствие того, что корреляции между нормальными
и продольными пульсациями в вязком подслое очень
малы, можно полагать, что гипотеза Прандтля о линейном
увеличении длины пути смешения по мере удаления от
стенки будет справедливой, если начало отсчета выбрать
на границе вязкого подслоя:
/=κ(*2—διν/ί/.). (4·2°)
По данным С. С. Кутателадзе, такую запись впервые
предложил Б. Худимото в 1941 г. [72]. Используя
обычную (как отмечено в(§ 2.9, неточную) гипотезу Прандтля,
Худимото получает выражение для касательного
напряжения за пределами вязкого подслоя:
Решением уравнения (4.21) является довольно
громоздкая формула, которая, однако, удовлетворительно
описывает опытные данные [72], давая плавный переход
от линейного распределения скорости в вязком подслое
к логарифмическому — в толще турбулентного
пограничного слоя. Граница вязкого подслоя в модели Худимото
δι = δ<ι=6,8. (4.22)
Если по классической схеме начало отсчета принимать
на гладкой стенке, то, как известно, с использованием
гипотез Прандтля получается логарифмическое
распределение скоростей за пределами вязкого подслоя и линейное
распределение скоростей в вязком подслое. Точка
пересечения этих функций:
6ι = διο=11,6. (4.23)
При*+а<//,б
и+=х+2. (4.24)
При xf^Ufi
Несовершенство этой модели известно. Оно состоит в
разрыве производной при *+2 —бю и в изменчивости па*
раметров бю и κ.

§ 4.1]
Равномерное течение
121
Если вернуться к анизотропной модели переноса,
рассмотренной в § 2.5, и принять для пути смешения
выражение (4.20), то уравнение для поля осредненных скоростей
принимает вид:
V\ = v§- при .<<8,; (4.26)
и*=["{х*-ь>щ)+щ]^^ <>8·· (4·27>
Решение этих уравнений имеет вид (4.24) при х+2^
^δι и
^+ = -^1ηΝχ2+-Λ)+1]+δι при х^>Ь,. (4.28)
Выражение (4.28), замечательное по своей простоте,
хорошо соответствует опытным данным для напорных
каналов (рис. 4.4) и пограничных слоев при
Й1 = б12=8. (4.29)
Значение параметров, особенно значение δι, зависит от
условий течения — от безразмерных параметров
флюктуации касательного напряжения на стенке (4.5),. (4.6) и,
по-видимому, может изменяться в широких пределах.
Действительно, спектр касательных напряжений на стенке Sx
связан со спектром пульсации давления на стенке SP
соотношением [47]:
S>+, κ+) = 5 (ω+§ κ+) /J V 2+ 2Ϊ7 . (4·3°)
τ V / ' Ρ ' ' [ω2+ + (χ2+ + х2з+)2] (*1+ + x?+)a
Здесь x+/=Xjv/i/* — безразмерная компонента
волнового вектора (/=1,3); ω+ = ων/ί/2* — безразмерная
круговая частота. Так как спектр давления может изменяться
довольно сильно под действием причин, обычно не
контролируемых в гидравлических экспериментах, то не
удивительно, что параметры течений на разных установках
могут получаться заметно различными. Неоднократно
отмечалась изменчивость констант в (4.25). Если эту формулу
переписать в виде
U/U*=k\gx+2+Cy (4.31)
то параметр k даже при измерениях в качественно
сходных условиях может изменяться в диапазоне
5,9<£<6Д (4.32)

122
Напорные потоки
[Гл. 4
а параметр С (в соответствии со сделанным выше
замечанием) может варьировать еще сильнее. По данным [67]
3,8<С<7,1. (4.33)
На рис. 4.4 представлены результаты измерений осред-
ненных скоростей в безнапорном лотке шириной 10 см с
гладким дном и стенками при глубине воды /1 = 3,6 см,
динамической скорости £/# = 0,8 см/с, скорости на
поверхности воды ί/π= 14,5 см/с (Fr=(72n/g/i = 0,06). Измере-
Рис. 4.4. Распределение осредненных скоростей течения вблизи гладкой
стенки при различных условиях:
/ — напорный поток воды [72]; 2 — безнапорный поток в канале [25]; 3 —
аэродинамическая труба, Re = 2,3-105 [67]; 3' — то же, Re=l,2-105 [67]; 4 — обобщения
Кестина и Ричардсона для пограничного слоя [108]
ния выполнены с использованием электрохимического
метода и электродов диаметром 0,03 см [25]. Эти
измерения сопоставлены с данными, полученными в напорном
канале (2X4X200 см3) с гладкими стенками (металл и
оргстекло) [72], а также с весьма тщательными
измерениями, выполненными в канале длиной 12 м сечением
18X240 см2 на всасывающей линии вентилятора [67]. Эти
результаты показаны на фоне полосы опытных данных,
собранных Дж. Кестиным и П. Ричардсоном [108],
относящихся к измерениям в напорных потоках и пограничных
слоях. Обратим внимание на различие результатов, суще-

§4.1]
Равномерное течение
123
стсенно превышающее возможные ошибки
экспериментальных данных,
Хотя на рис, АЛ η 4.4 точки кажутся лежащими
близко, на самом деле различие величин С/+, например, при
х+2 = \0 в разных опытах достигает 25%, Учитывая
влияние спектра касательного напряжения [или спектра
давления— по (4.30)], можно ожидать определенных
различий в структуре пограничного слоя, например, в
напорном и безнапорном каналах, так как в этих условиях
низкочастотная часть спектров давления может быть разной
[47, 84]. Различие в спектрах давления на дно напорного
и безнапорного потока тем меньше, чем меньше число
Фруда для безнапорного потока. Это дает возможность
во многих случаях широко обобщать результаты измерений
в пристенном слое. Применимость этих обобщений,
однако, следует постоянно контролировать.
Простое соотношение (4.28) неоднократно
предлагалось разными авторами из совершенно различных
соображений, не совпадающих с предлагаемой здесь трактовкой
[100]. Параметры, предлагаемые разными авторами, дают
представление о возможном влиянии критериев (4.5),
(4.6), не учитывавшихся ранее. Сравнение удобно
провести, представив (4.28) в виде
i/+=£0lg(x+2--6o)+Co, (4.34)
где
*. = ¥; в.= -4- + 8,;С, = в,—i-in^-
Константа k0 меняется по данным, полученным в разных
условиях, в диапазоне от 5,5 до 6,0, б0— в диапазоне от
5 до 7.
Значение δι =8 соответствует качественным
изменениям в характеристиках пульсаций в пристенном слое,
полученных для некоторых стандартных условий. Именно при
*+2>6ι=8 функции ί//ί/*, u\/U*y u^/U^Vu'^U^
начинают отклоняться от прямых линий, соответствующих
асимптотическим решениям уравнений движения при а:+2~>*
->0 (рис. 4.3), начинает сказываться влияние числа Рей-
нольдса внешнего потока, резко уменьшается асимметрия
пульсаций скорости (рис. 4.5).
Уравнение (4.27) и его решение (4.28) справедливы в слое, где
касательное напряжение постоянно и масштаб турбулентности
увеличивается с удалением от стенки по (4.20).

124 Напорные nofoftu [Гл. 4
^ uVU,
nfew
о г: о,4 о,б оя £
М4
3,5
5,0
2,5
15
10
15
Мб
t ооо
So
^у^
X
]
п
0 ОМ
О 0,04
tpodr*?^
^j^L
Р-о
s^f
&
^л
~°7
0
^ 0,4 ЯД- 0,<3 £
Рис. 4.5. Зависимость статистических моментов U+, Ur/U* и μ_,
продольных пульсаций от расстояния до гладкой стенки ξ = 2*2/0 в
круглое трубе [17]:
Re=8-104; Re = 4-10<
Из рассуждений, положенных в основу модели (§ 2.5)
dll
<*!«»> = -a'*ldX2^-"*> dx2
dU
U J-г-ш
(4.35)
следует, что параметр 1(х2) должен быть тесно связан с интегральным
масштабом
h
(4.36)
о
где
/ (χ2) ^ L (х2) = jrw(x2, η)ί/η,
Ги(*г, ^- и', (;,)*', (η)
Простейшая модель, аппроксимирующая реальный график 1(х2)-
iL(x2), в плоском симметричном канале имеет вид:
/(х2
-^i77j пРи^т--<х2<х20; (4
37)
/ (χ2) — κχ2ο = const при Х2о^*2<^·

Η·ΐ]
Равномерное течение
12S
Замечая, что касательное напряжение в канале линейно убывает
с удалением от стенки, нетрудно получить распределение скоростей
в центральной зоне канала, где выполняется второе условие (4.37):
(>max-U V h
z{*[ h Re» ) rRe*
и в пристенном слое, где справедливо первое условие (4.37):
(4.38)
/ х2
-( h-i
(4.39)
"Re.
Здесь
Re*=i/*A/v. (4.40)
Интегрируя (4.38), (4.39) по глубине потока, можно найти
относительное значение максимальной скорости USrmaxz=V'max/U* и
относительное значение средней по глубине канала скорости U+=DIU*.
Поскольку получающиеся полные формулы громоздки, выпишем здесь
их асимптотические выражения, справедливые с точностью не ниже
2% при Re*>200 и не ниже 0,5% при Re*>500:
t/+max = 5,76 lg.l0Re* + 6i—8; (4.41)
0+=5J6 lg 3,55Re.-H5i—8. (4.42)
Соотношения (4.41), (4.42) получены при κ=0,4 и xx2o/h=0,07,
что достаточно хорошо отвечает результатам измерений в турбулентном
ядре потока. Формулы (4.41), (4.42) отчетливо показывают, насколько
чувствительны интегральные параметры течения к условиям на
границе — к значению относительной толщины вязкого подслоя δι.
Проведенный анализ показывает, что в широком
канале с гладким дном наиболее существенными критериями
подобия являются локальное число Рейнольдса Re* и
относительная толщина вязкого подслоя δι на границе потока.
Величина Re* непосредственно выражается через число
Рейнольдса Re = £/ft/v, обычно рассматриваемое в
гидравлике:
Re=Re*u/i/* = Re*(5,761g3,55Re*+6i-8). (4.43)

Ι2ϋ Напорные потоки [Гл.
Учитывая, что
U^ygR/ (4.44)
•а также полагая
получаем известное соотношение для широкого напорного
канала с высотой сечения 2h(R^hy λΛ = λ):
U^=Vxi2U. (4.46)
Таким образом,
Re*= Re |/λ/2. (4.47)
Соотношения (4.41) —(4.43), (4.47) связывают инте-
гральные_ характеристики течения в напорном канале
(f^+max, 0+) с коэффициентом гидравлического трения λ
и числом Рейнольдса Re. Эт21 соотношения раскрывают
вид функций X = X(Re) и Umax/D = f(Re):
5J61g]/^ + ]/'27I==:5,761g3,55Re + S1 ~-8; (4.48)
Umax __ 5,76 lg lORe + 5,76 \g VlJ2Jr ^ ~ 8 ^ 4Q
Таким образом, функции λ (Re) и Umax/U = f(Re) даже
в гладких каналах не являются однозначными — они
содержат как минимум один дополнительный параметр δι.
При δι = 8 и ReD<105 формула (4.48) дает
результаты, не отличающиеся от стандартной кривой Блазиуса:
kD=0,3l64/Re0D25 , где λ0=4λ; ReD=4Re.
Соотношения (4.48), (4.49) позволяют решать
практические вопросы о приближенной автомодельности течений
в каналах по критерию Рейнольдса. Дифференцируя
равенство (4.48), найдем приближенную оценку изменений
коэффициента гидравлического трения при изменениях
числа Рейнольдса
- Vlj2(\ Ιλ2 - 2,5)dX = 2,5d (InRe) + d (δ,). (4.50)
Нетрудно видеть, что чем больше значение числа
Рейнольдса, тем большее «искажение» значений числа
Рейнольдса может быть допущено при фиксированной
«допустимой» ошибке в определении λ. Аналогичное положение
наблюдается и в отношении распределения осредненных

§ 4.1]
Равномерное течение
127
продольных скоростей, интенсивности и макроструктуры
турбулентности: толщина зоны течения у стенки, где
линейным масштабом является величина ν/ί/*, с ростом
числа Рейнольдса монотонно уменьшается по сравнению
с глубиной потока или диаметром трубы.
Микроструктура турбулентности в гладких каналах в
пристенных слоях и в ядре потока зависит от вязкости
даже при очень больших числах Рейнольдса.
Справедливость соотношений локальной изотропии имеет место лишь
при очень больших «турбулентных числах Рейнольдса»
Re}i = u\Xjv>500,
где λι — тейлоровский масштаб продольных пульсаций
скорости.
Так как величина λΐι в трубе максимальна не на оси
трубы, то наименьшее влияние вязкости на спектральные
характеристики пульсаций оказывается в слоях,
расположенных в средней зоне (х2//^А 1-^-0,2) (см. § 2.5).
Функции распределения пульсаций скорости заметно
отличаются от нормального закона и у стенки и в ядре
потока. В пристенном слое выбор в качестве масштаба
длины величины v/t/* исключает влияние вязкости лишь
по отношению к осредненной скорости £7/ί/*, остальные
параметры функций распределения зависят от Re (рис. 4.5).
Влияние числа Рейнольдса становится менее
заметным, если рассматривать характеристики «сглаженных»
пульсаций, т. е. пульсаций, осредненных по некоторой
площадке или объему. Уже при линейном размере
площадки осреднения порядка 0,05/г функция распределения
пульсаций скорости оказывается близкой к нормальному
закону, а параметр распределения и*'/U* почти не
зависит от Re при Re=iV*/v>3· 104 (рис. 4.6).
Моделирование течений в каналах и трубах с
шероховатыми стенками осложняется необходимостью введения
дополнительных критериев, характеризующих форму
шероховатости. Кроме того, в этом случае требуют
уточнения понятия «граница потока», «скорость течения у
границы» (на расстояниях, меньших высоты выступа
шероховатости). Начиная с работ Л. Прандтля и И. Никурадзе,
во многих книгах по гидравлике и теоретической
гидромеханике границей потока называет поверхность,
огибающую неровности границы по наружному контуру (рис. 4.7).
Такое определение границы трудно использовать при
реальной неравномерной случайной поверхности каналов ц

128
Напорные потоки
[Гл. 4
2А
2,0
1,6
V
0,8
0
Л л
>>· Δ
0 е
Л
э
op о
I ^с
Δ · О-/ 0
г и ν
Э А
-J
<
Δ
О
О»
Δ
•
° А
I
<
Δ
• Δ
О
ι
1,6
1,2
ο,β
OA
ρ
ел
DD
•δ Δα
0α0δ 0<
▲
0
Δ ·
D 0
0
Ο Α
ο'
0
»Δ°Π
' w 0 Κβφ-Ό\
ο -1
-3
_ .....^ % jg
1 ·&Δ °
- ■- 0<
ο Ι
<μ
0.4
0,6
Ю

§ 4.1] Равномерное течение 129
труб, когда внешняя огибающая оказывается случайной
функцией. Во всех ситуациях более удобно использовать
понятие граничной поверхности, определенное с помощью
некоторого масштаба LA осреднения (сглаживания).
2
1
Рис. 4.7. Схема границы потока:
/ — огибающая по наружному контуру; 2 — огибающая по внутреннему контуру;
3 — средняя (граничная) поверхность
Пусть х2=у(хи Хг, t) —функция (не обязательно
однозначная), описывающая фактическую границу потока.
Назовем расчетной границей потока (или просто
«границей» потока) поверхность
^Δ, Хг LA, Χι
(4.51)
Здесь у=у— в областях однозначности у и y=sup у — в
остальных случаях.
Масштабы сглаживания в продольном LA χ и поперечном
LLt направлениях могут быть различными. Когда
шероховатость статистически однородна по всем направлениям,
естественно принять
^Δ,*3~ Δ,Χί~^Δ·
Определение (4.51) соответствует практике
гидравлического эксперимента, когда, например, внутренний диа-
ч .
Рис. 4.6. Относительное значение стандартов пульсаций продольных
(а), поперечных (б) и боковых (в) компонент скорости в трубах и
напорных каналах при числах Re от 3*104 до 23-104. Опытные
данные [142]:
/ — Ж. Конт-Белло; 2 — Дж. Лауфера; 3 — М. X. Ибрагимова, В. И. Субботина.
Г. С. Таранова

130 Напорные потоки [Гл. 4
метр трубы D вычисляют по результатам измерения
объема W воды, заполняющего трубу длиной /:
D^VWJh. (4.52)
Высотой выступа шероховатости обычно называют
величину
А = тах у—min у. (4.53)
Для песчаной шероховатости, наклеенной на гладкую
поверхность, эта величина равна диаметру частиц. В
общем случае она является случайной функцией размеров
и положения площадки, на которой определены max г/ и
mini/. При введении масштаба LA естественно величину Δ
определять на площадке с размерами LA XiX L^ .
Обеспечение подобия течения над шероховатой стенкой
в общем случае достигается сохранением безразмерных
характеристик случайных процессов, задающих
шероховатость на модели и в натуре, сохранением локального
числа Рейнольдса
Re*A=iAA/v = idem (4.54)
и формы спектра флюктуации касательного напряжения
[критерии (4.5), (4.6)]. Весьма актуален, однако,
вопрос— нельзя.ли уменьшить число контролируемых
параметров? Например, широко распространено мнение, что
при
Re*A<5-^6 (4.55)
форма и размеры выступов шероховатости вообще не
влияют — выступы шероховатости «погружены в вязкий
подслой» — распределение скоростей и коэффициенты
сопротивления такие же, как при гладкостенном течении.
Критическое значение локального числа Рейнольдса
соответствует условиям появления отрыва потока за сферой
диаметром dy который наблюдается при
ReKP = t/d/v^30. (4.56)
Если вместо U в (4.56) подставить величину,
определенную по (4,24): U2*d/vy то, полагая d^Ay получаем
(4.55) в качестве условия отсутствия отрыва потока от
сферических выступов шероховатости. Автомодельностьпо
критерию Re*A имеет место при
Re*A>60.
(4.57)

§ 4.1]
Равномерное течение
131
Приведенные рассуждения правдоподобны и во многих случаях
достаточно точны. Могут, однако, встретиться случаи, когда
выполнение условия (4.55) не обеспечит подобия даже при Re=idem. Такую
«аномалию» можно ожидать при большой относительной
шероховатости, когда даже в условиях ламинарного течения вследствие
искривления струй в пристенной области коэффициент гидравлического трения
не соответствует классическому решению
X=64/Re
[здесь и далее λ=8(£/*/£7)2=4λκ].
Более полный анализ, обычный для фильтрационных исследований,
приводит к необходимости записи вместо (4.57) соотношения
= 64£A/Re
или
h=Mk\lR*r\-k2.
Значения k. могут оцениваться по соотношению
k. = l+6(\/Dy->.
(4.58)
(4.59)
(4.С0)
0,5
тиилг-
^Ъо^
Кривая,
Блазиуса
у·*·
0=86ым
D'20Jmm
1
^*^а
==2Ц
3,5
lq(iOOA)
4,0
4,5
5,0
LgRe
а)
LgRe
Рис. 4.8. Зависимость коэффициента гидравлического трения в
полиэтиленовых (а) и винипластовых (б) трубах от числа Re [144]

132 Напорные потоки [Гл. 4
5,4 5,0 4,2 4,6 5ft 5,4 5# lgRef
Рис. 4.9. Коэффициент гидравлического трения в трубах с
/ — расчетная кривая для гладко! трубы; 2 — осредненная опытная
шероховатостью при Ζ5/2Δ, соответственно равном 607; 252; 126; 60; 30,6;

§4.1]
Равномерное течение
m
tgffOOA)
0,2
ig(fooA)
J,4 3fi 4,2 4,6 5,0 5Л 5,8 IgRe
искусственной шероховатостью:
кривая для гладких труб; 3—8 — опытные кривые для труб с песочной
16. Обозначения точек см. в табл. 4.1.

134
Напорные потоки
[Гл. 4
В различных опытах с естественной и искусственной
шероховатостью получены значения /гд от 1,05 до 6,2 (обзор данных и ссылки
имеются в [144]). Влияние, характеристик шероховатости при
условии (4.55) не должно проявляться при очень тесном или при очень
редком расположении выступов шероховатостей.
Во всех других случаях при условии (4.55) отличие от гладко-
стенного режима обтекания должно состоять в том, что скорость на
границе потока, определенной по (4.51), не равна нулю, а
распределение скоростей при х2—tji-+0 хотя и близко к линейному, но с
иными параметрами, чем на гладкой стенке:
U+=>UIU.=fL при х2—У1=0; (4.61)
£7+=β+βι(*2— ί/ι)ί/./ν при 6iv/U.>x2—z/i>0. (4.62)
Параметры β и β! зависят от статистических характеристик
шероховатости и сравнительно слабо — от Ке^д>
Если допустить, что за пределами вязкого подслоя справедливы
соотношения (4.37), то с учетом (4.62) вместо (4.42) получим
£/+=5,76 lg 3,55 Re.-f β+βιδΊ—8. (4.63)
Можно ожидать, что если вычисленное по (4.50) при Re=const
значение άλ>0, то
£ί(β+βΑ)«). (4.64)
Соотношения (4.62) — (4.64) свидетельствуют о том, что на
границе вязкого подслоя значение относительной скорости может быть
существенно иным, чем при течении над гладкой стенкой. Таким
образом, в зависимости от шероховатости гладкостенный режим если и
устанавливается, то в общем случае с иными (большими)
коэффициентами сопротивления, чем в трубах с гладкими стенками при тех же
числах Рейнольдса (рис. 4.8, 4.9). В частности, «гладкие» трубы
одного и того же диаметра в реальных условиях за счет влияния стыков
и технологических неровностей могут иметь разные сопротивления.
Увеличение сопротивления реальных труб по сравнению со
стандартной кривой Блазиуса означает, что относительная скорость на
границе вязкого подслоя с увеличением шероховатости уменьшается.
Если расстояние от основания выступа шероховатости
до поверхности максимума стандарта продольных
пульсаций бт принять в качестве характерного линейного
масштаба, то оказывается возможным с введением еще
одного мало меняющегося параметра описать распределение
скоростей и гидравлическое сопротивление каналов с
естественной и однородной (песочной) искусственной ше-

§ 4.1]
Равномерное течение
135
роховатостью [112]. Согласно этой модели влияние
критерия Рейнольдса проявляется только через относительную
толщину пристенного слоя (рис. 4.10)
6T/A = /(Re*A). (4.65)
Параметр шероховатости Δ в (4.65) связан (хотя и
не однозначно) с физической неровностью границы.
Например, если шероховатость границы образована
однородным песком крупностью d, плотно наклеенным на плоское
основание, то
A=l,4d. (4.66)
Если песок неоднороден (dmax=2dmin) y то при его
плотной укладке
Δ^/cp. (4.67)
Значения Δ, мм, для некоторых других поверхностей:
Новые стальные трубы без швов 0,13—0,20
Новые чугунные трубы без стыков 0,15—0,21
Бетонная штукатурка 0,35
Железненная бетонная поверхность,
тщательно отформованный пластипин 0,15—0,20
Распределение скоростей и коэффициент
гидравлического трения по рассматриваемой модели [112] не зависят
от числа Re во всех случаях при условии (4.57), а для
потоков в бетонных или стальных трубах уже при Re*A>20
(рис. 4.10).
Обобщения [112] оказываются недостаточными при
рассмотрении регулярной шероховатости. Имеются
опытные данные, показывающие, что, например, при регулярной
шероховатости трубы в форме винтовой линии постоянной
высоты автомодельность коэффициента трения λ по Re не
наблюдается вплоть до Re=2-105, в то время как при той
же максимальной высоте выступа неоднородной
шероховатости автомодельность наблюдается при существенно
меньших числах Рейнольдса [137, 142]. Роль
неоднородности шероховатости оказывается существенной не только
в количественном, но и в качественном отношении.
Понижение значений коэффициента гидравлического трения при
переходе от режима автомодельности по Re к режиму
гидравлически гладкого сопротивления может наблюдаться
только при однородной шероховатости, сформированной
частицами с острыми кромками (например, песком).
Известные опыты Никурадзе с наклеенным песком в последние

136
Напорные пртоки
[Гл. 4
№*Δ
Рис. 4.10. Изменения относительной толщины пристенного слоя ότ/Δ в
зависимости от локального числа Рейнольдса и условий в потоке [112]:
/ — неоднородная шероховатость, стальные трубы, бетон; 2 — чугунные трубы;
3 — зернистая шероховатость
годы были повторены с тщательной регистрацией профило-
граммы получаемой шероховатости [142] и определением
диаметра труб по (4.52). Результаты измерений в целом
подтвердили выводы Никурадзе (см. рис. 4.9) с той лишь
разницей, что коэффициенты гидравлического трения
в «гладкостенном» режиме больше, чем в гладких трубах
при тех же числах Рейнольдса. Регулярная шероховатость
другой формы может дать самые разнообразные связи
a,=^(Re). Условия опытов, результаты которых показаны
на рис. 4.9, приведены в табл. 4.1. Важно, что все различие
функций X=K(Re) является следствием особенностей
течения только в пристенном слое. Распределение скоростей
в ядре потока при выборе координат, не связанных с
положением границы потока и структурой пристенного слоя,
оказывается стабильным, практически не зависящим от
формы шероховатости границы (рис. 4.11). Это означает
наличие глубокой общности (автомодельности) всех
турбулентных течений за пределами зон, где происходит
интенсивная генерация и диссипация энергии турбулентности.
На гладкой стенке — это зона на границе вязкого подслоя,
на шероховатой стенке — это зона несколько выше макси-

§ 4.1]
Равномерное течение
137
Τ а б лиц а 4.1
Вид и номер
шероховатости
№0jm*Q,19
Однозаходная
треугольная резьда
Номер высоты выступа
-492
155
Δ=0,5
D/2A-59
Ы.О
Ш/2А*
«30
Δ-2,0
Ιί/2Δ*15
Δ
1-1
Однозаходная
прямоугольная рецщ
Δ
1-2
$-0f5
8-0,11
tf* 75°
А
1-3
S*1
6=0,05
оС=40°
S-2
б*о?!\
\<Х=60°
в-0,54
ОС-60·
в-
ш
Однозахооная
скругленная резьба
Z-5
S = 4 ν
6=1,7
Φ
3-5
S=4
Г2Ч,25
Многозаходная
перекрестная
Треугольная резьба
Ж
и,\Ί
о 4-3
+4-3-6
ОШ
80
40
40
Ь 4-5-1
О 4-5-4
^4~5-3\
$4-5-4
16
N1
20
44
22
11
Кольцевые
выточки
Q5-3-1\
30
29
■5-3-2
30
20
U5-3-3
30
10
Полусферические
выступы
11Ш
Φ Φι ЖФ,
© 6-5-1\а\
О 6-5-2
Φ 6-5-51
φ 6'5'4\
φ 6-5-51
• 6-5'6\5\
52
52
16
16
Μ?
11
11
22
22
44
Примечание. #ι — число заходов многозаходной резьбы; N2 —
число выступов на участке трубы длиной S, форма выступов
варианта ι_ι приближается к трапецеидальной со скругленными углами
<а=90°, 6»0,П).

138
Напорные потока
[Гл. 4
(vJx-иУи* Ч
10
о
-V?
*ъ
*3
♦%7
^
а
5^
14
;оф
Л»,
*а?л
sg
*&
Re=15000
FT
Μ
10
1-3,0
U -2,0
-2,5
-1,5
-2,0
-1,0
-1,5
-0,5
4,0
0
-Oj5
Yq(2xp/D)
Рис. 4.П. Распределение дефицита скорости в трубах с искусственной
шероховатостью [142].'Обозначения точек см. в табл. 4.1.

§ 4.1]
Равномерное течение
139
X2/h
1,0
0,5
0,1
0,05
Α^,,ΜΜ
JO J О
15,00
7,50
5,75
i
ύ
f Гладкая
подерхнО(
:ть ι
крышки лотке
Ось потока (отсчет от линии 2)
г
1
/
/
/
/ А
V ι
/
J
/
/ /
'/
/ /
' 1
ι
//
/ /
/
/ /
/ I
Ι j
J I
Τ I
I
' I i
/ '
Л
'/ I
( 1
/ h
/ //
, ι
in
/1
3-,
2^
/1
if
^.1
IN
V
ι
5
? A 4*2 **
3
k \~A ysr^
I
Гред~ень Выступа
шероховатости
I
I
1
/
'
10
Стекло,
—=д
!§■
- -S$
ί ~
ι
. 5
ks
Ο 10 20 SO 40 50 60 70 80 90 ί/, см/с
Ι Ι Ι Ι
Ο 1 2 δ 4 5 6 7 8 9 10 11 12
_L
U/U*
Рис. 4.12. Распределение скоростей над шероховатой поверхностью при
выборе начала отсчета на гребне (/), в средней части (2) и у
основания выступа шероховатости (3). Опытные данные Б. А. Фидмана Г147]
мальных выступов шероховатости. Темп затухания
корреляции между продольными пульсациями скорости в точках,
сдвинутых поперек потока, независимо от шероховатости
оказывается приблизительно одинаковым [142]. Сказанное
заставляет предполагать, что при разумном выборе начала
отсчета [расчетная граница, например, по (4.51)]
эффективность обобщения может быть существенно выше.
Обработка опытов [147] подтверждает указанное
предположение (рис. 4.12). При расположении начала отсчета на

но
Напорные потоки
[Гл. 4
половине выступа шероховатости (линия 2)
«универсальный» логарифмический закон (4.31) оказывается
справедливым почти до гребня выступа шероховатости. Напротив,
расположение начала отсчета у гребня (1) или у
основания выступов шероховатости (3) вызывает существенное
отклонение от логарифмики. Аналогичный результат был
получен при обработке опытов, выполненных разными
авторами в разных условиях [84]. Важность выбора начала
отсчета в расчетах скоростей у шероховатой стенки и ва-
риабильности локальной высоты выступов шероховатости
отмечена М. Д. Миллионщиковым в его модели
«катящихся» вихрей [105].
Результаты уникальных измерений в зоне
расположения выступов естественной шероховатости приведены
в [25]. Эти данные показывают, что на высоте выступов
шероховатости относительные скорости [/+ могут
значительно изменяться, однако за пределами пристенного слоя
при надлежащем выборе начала отсчета распределение
скоростей оказывается автомодельным по отношению к
изменениям в пристенном слое, но, естественно, зависящим
от внешних условий задачи: конфигурации канала, краевых
условий, параметров нестационарности. Устойчивость
характеристик течений за пределами пристенного слоя была
отмечена еще в [84] на основе сравнения параметров
турбулентности, осредненных по длине зоны отрыва, и на
границе пристенного слоя.
Все эти наблюдения можно обобщить, выдвинув модель, в
которой область шероховатой границы потока представляется занятой
двухфазной средой, статистические свойства которой заданы в
функции расстояния от поверхности (4.51). На некотором расстоянии бот
от этой поверхности наблюдаются максимум генерации и диссипации
энергии турбулентности, максимальные относительные продольные
пульсации скорости u'i/U*> максимальная флюктуация касательного
напряжения τ7/<τ>. За пределами этого слоя структура
турбулентного течения близка к автомодельной и зависит в основном от
внешних условий — от геометрии канала, градиента давления. Для течений
в ядре существенно значение на поверхности *2=бот относительной
осредненной скорости £/+, энергии турбулентности e/U2* и скорости ее
диссипации ε/ι/ί/3·.
Задание этих параметров позволяет, в частности, воспользоваться
моделью «е—ιε» и рассчитать распределение скоростей в ядре потока
[54]. Менее ясен пока вопрос о влиянии формы спектра флюктуации
касательного напряжения. В стандартных условиях это влияние, по-

§ 4.1]
Равномерное течение
141
видимому, можно не учитывать. Однако резкое изменение этих
условий (например, наложение акустических колебаний, упругость границ,
наличие свободных поверхностей в потоке) может вызвать изменение
в спектре касательного напряжения и соответствующие изменения
в ядре потока. В пристенном слое (*2<*бот) флюктуации касательного
напряжения могут иметь решающее значение. В этом слое течение
существенно зависит от деталей шероховатости границы и сравнительно
слабо от таких внешних факторов, как осредненный градиент
давления и параметры макронестационарности.
В ядре потока, примыкающем к пристенному слою, где мало
изменяется касательное напряжение, естественным образом вводится
гипотеза о локальном подобии течения [105, 108, 112], приводящая к
закону (4.28) или (4.34), где *+2 = *2/Δ отсчнтывается от поверхности
х2=гб0т. В ядре потока, примыкающем к его оси, более реальным
является предположение о локальной изотропии, приводящее к
соотношению, аналогичному (4.38); для всего потока в целом (при *2>δοτ)
возможно введение обобщенной гипотезы «частичной автомодельно-
сти», приводящей к степенному распределению скоростей [10].
Так как при автомодельном распределении скоростей
в ядре потока λ практически полностью определяется
значением относительной скорости на границе пристенного
подслоя, то очевидно, что условие равенства
коэффициентов λ на модели и в натуре
X=idem (4.68)
является необходимым условием подобия структуры
течения.
Состав системы достаточных критериев подобия
определяется требованиями рассматриваемой задачи,
исчерпывающая полнота практически невозможна, однако,
например, при необходимости обеспечения подобия только
первых двух статистических моментов пульсаций скорости
достаточно условие (4.68) дополнить требованиями
идентичности критериев (4.5), (4.6) и
от
ИЛИ
Re.A = £/»A/v = idem,
если
Re..<60.
(4.69)

142
Напорные потоки
[Гл. 4
Автомодельность по Re в пристенном слое наблюдается
при
Re*A>60.
Автомодельность распределения скорости и стандартов
пульсаций в ядре течения устанавливается при еще
меньших числах Рейнольдса. Таким образом, (4.57) дает оценку
условий полной автомодельности для каналов с
естественной или искусственной песочной шероховатостью.
На первый взгляд требование идентичности критериев (4.5), (4.6)
и (4.68) противоречит общему принципу формирования определяющих
критериев из параметров, задаваемых в эксперименте или расчете (из
параметров, определяющих условия однозначности). Однако смысл
введенных требований в том, что именно в этих критериях наиболее
четко и полно проявляются многие условия однозначности, часто
выпадающие из рассмотрения при обычных гидравлических подходах.
Например, первый и второй критерий системы (4.6) при шероховатой
границе характеризуют расположение выступов шероховатости по
длине потока и в плане. Известно, что в некоторых условиях расстояние
между выступами шероховатости лучше характеризует шероховатость,
чем размер выступа [203]. На шероховатой стенке вместо выполнения
критериев (4.5), (4.6) обычно достаточно обеспечить идентичность
нормированных функций распределения и пространственных спектральных
(или корреляционных) характеристик шероховатости. Следует
специально обращать внимание на возможный тензорный характер
шероховатости, когда скорости на границе пристенного слоя Ug (или даже
на границе потока) и местное касательное напряжение τ не колли-
неарны [95]. Подобие должно обеспечиваться для каждой компоненты
этого особого тензора, связывающего касательное напряжение и
рассматриваемую скорость.
При моделировании важно правильно задать
распределение касательного напряжения по границе потока. Такое
задание обеспечивается подобием макроформы границ
потока и распределения по поверхности границ
шероховатости. Возможность эффективного обобщения результатов
введением гидравлического радиуса R ограничена даже
для цилиндрических границ правильной формы с
постоянной шероховатостью. Например, коэффициент
гидравлического трения λ в гладких каналах прямоугольного
сечения с отношением сторон 1 : 1 или 20: 1 отличается
примерно в 1,5 раза (рис. 4.13). В каналах с сечениями сложной
формы даже качественные закономерности могут быть ины-

§4.1]
Равномерное течение
143
ми, чем в круглых трубах и широких каналах.
Геометрическое подобие формы сечений является здесь
необходимым.
В каналах с неравномерной шероховатостью по сечению
даже при равномерном течении возможно возникновение
JUAJ
^
ё**&й!
■^щ
^
S$g
^
0,5
0,251
3,0 5,25 5,5 5,75 4,0 4,25 4,5 4,75 5,0 ig Re
О
Рис. 4.13. Влияние формы поперечного сечения канала на его
гидравлическое сопротивление [144]
стационарных поперечных циркуляции, вызывающих в
некоторых случаях неожиданные искажения эпюр
продольных скоростей. Распределение скоростей в пдоских
каналах, у которых одна стенка шероховатая, а другая
гладкая, в последние годы детально исследовано многими
авторами применительно к задачам, решаемым на напорных
моделях открытых потоков [91]. В [121] изложена
методика элементарных расчетов таких каналов.
λ·10ζ
0,8
0,6
0,4
f
I a)
A2/h=0,05
0,01
0,005
0,001
Aj/A2f hj/hz
20 40 60 80δ2/δ1 0 20 40 60 80δ2/δ1
Рис. 4.14. Зависимости при квадратичном законе сопротивления:
а — λ=λ(Δ2/Δι; Δ2//ζ); б — λι/λ2, Λι/Λ2; Λι/Λ2; λι/λ2

144 Напорные потоки [Гл. 4
На рис. 4.14 представлены зависимости λ; hjh2; λι/Яг и
D\/D2 от Δ1/Δ2 и Аг/Л при квадратичном режиме
сопротивлений, полученные расчетом.
Для нескольких значений отношения эффективной
высоты выступов шероховатости параллельных поверхностей
Δ1/Δ2 зависимость между λ, 0^02у hjh2 и числом Re,
найденная расчетом, показана на рис. 4.15. Здесь λ — коэффи-
3,0 3,4 3,8 4,2 4,6 5,0 IgRe
Рис. 4.15. Характерные параметры течения в канале с разной
шероховатостью стенок в зависимости от числа Re:
Δ2/Δ, = 10; — Δ2/Δ,^20; Δ2/Δ,=δ7;
Δ2/Δ,= 1

§ 4.1]
Равномерное течение
145
циент гидравлического трения, подсчитанные по полной
высоте канала h и средней скорости в нем 0\ £71 и 0$ —
средние скорости в зонах потока, разделенных плоскостью,
проходящей через максимумы эпюр скоростей; Αι и h2 —
высота этих зон; Re=£7/i/v.
Если сопоставить зависимости X=X(Re) для канала со
смешанной шероховатостью с этими же зависимостями для
Рис. 4.16. Сопоставление расчетных и опытных данных:
Δ. D. φ — при Δ2/Λ = 0,075; соответственно Δ2/Δι = 3,5; 12; 100; О — ПРИ Δ2/Λ =
= 0,015 и Δ2/Δ, = 20; расчет
канала с однородной шероховатостью, то можно отметить,
что при одинаковых λ и Re в случае смешанной
шероховатости производная dX/dRe больше, чем при однородной
шероховатости, и границы автомодельной области по Re для
случая неоднородной шероховатости перемещаются в
сторону больших значений Re.
На рис. 4.16 приведено сравнение результатов расчета
с данными опытов [38, 177]. Хорошее совпадение
результатов расчетов и экспериментов указывает на
приемлемость использованной расчетной схемы. Приведенные
результаты являются вполне логичными — при различной
шероховатости противоположных стенок канала с
прямоугольным сечением максимум скорости ближе к гладкой стенке.
Напротив, измерения в трубах круглого сечения, половина
периметра которых имеет повышенную шероховатость,
дают обратную картину: максимум скорости располагается
ближе к шероховатой поверхности [144]. Положение
максимума и вся картина распределения скоростей заметно
изменяются в зависимости от числа Re=UD/v даже при
его значениях порядка (60—90) 103 (рис. 4.17). В указанных

146
Напорные потоки
[Гл. 4
Re=22100
Рис. 4.17. Изолинии скоростей в круглой
трубе с неоднородной шероховатостью стенки
[1441

§ 4.2]
Неравномерное течение
147
условиях автомодельные законы пристенного течения
(в частности, логарифмический закон) имеют место на
расстояниях от стенок, не превышающих 0,25Ζλ
4.2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ
Равномерный режим почти никогда не наблюдается на
модели. В большинстве случаев имеются причины,
вызывающие крупномасштабные возмущения в потоке, которые
способствуют турбулизации потока в целом. Поэтому на
участке расширения потока или при обтекании
препятствия граничные значения числа Re существенно меньше,
чем при равномерном движении. В таких условиях Rerp
коренным образом зависит от форм границ потока, и дать
0,25 ' 0,5 1,0 2,5 5 Re ·10~*
Рис. 4.18. Автомодельность ζ по числу Re в схеме внезапного
расширения в трубах:
О - £/,/^=32,2; φ - £/,/£/2= 11,4; Q - iW2-3,5
сколь-либо общие рекомендации о границах автомодельных
областей очень трудно. А. Г. Аверкиев [1] для схем
внезапного расширения поставил Rerp в зависимость от
«фактора формы русла» — отношения площади большего
сечения к меньшему. Представляется, что более широкое
обобщение может быть получено при постановке в первом
приближении Rerp в зависимость от коэффициента
сопротивления препятствия ζ. Такая зависимость для схемы
внезапного расширения построена на рис. 4.18. Из этого рисунка
следует, что введение в поток даже относительно
небольших местных сопротивлений резко снижает Rerp по
сравнению с равномерным движением.
Что касается влияния числа Рейнольдса на трение
у стенки, то это влияние несколько более слабое, чем в
равномерном потоке, за счет влияния возмущений, проникаю-

148
Напорные потоки
[Гл. 4
щих в пограничный слой из ядра течения. Следует
подчеркнуть большую консервативность пограничного слоя по
отношению к внешним возмущениям, слабо влияющим на
спектр касательного напряжения. Распределение скоростей
в слое в значительной мере определяется местным
касательным напряжением. На рис. 4.19 показано, например,
распределение продольных скоростей и стандартов их
пульсаций вблизи стенки напорной трубы прямоугольного сече-
шиш
i6
i2
I
U/Ue~x2U+/v
#*&ν·
VQtfV
rffr
20 40
60
80χ2υ«/ν Ο
Рис. 4.19. Осредненные скорости (а) и стандарты продольных
пульсаций скорости (б) вблизи стенки при Re = i/ft/v=l,2-105 на разных
расстояниях от входа в трубу x{/h
ния на различном расстоянии от входа в трубу (вход
в трубу был плавно очерчен и снабжен сотовым
устройством [67]). На рис. 4.20 показано распределение тех же
величин, но уже по всему сечению потока (от стенки до
динамической оси потока). Как видно, различие условий
течения в толще потока практически не повлияло на
условия в пограничном слое на расстояниях до *+2=10-М5.
В данном примере внешний поток обладал относительно
низким уровнем турбулентности, и консервативность
пограничного слоя может быть связана именно с этим
обстоятельством. Однако аналогичный результат получен,
например, и для диффузоров [97], где внешние возмущения
достаточно интенсивны. Это означает, что связь между
скоростью и касательным напряжением на внешней границе
пограничного слоя при отсутствии резких изменений
спектров касательного напряжения мало зависит от внешних
условий течения.

§ 4.2]
Неравномерное течение
149
Влияние числа Рейнольдса в условиях плоской задачи
изучено с различной степенью подробности как для
безотрывных течений, так и отрывных.
Для равномерного потока с заданной относительной
шероховатостью стенок распределение осредненных
скоростей с ошибкой, меньшей 5%, как известно [см. § 4.1],
задается одной линией в координатах U+ = U/U*y x+2 =
=t/*jt2/v на малых расстояниях от стенки и в координатах
и/и.
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
макс
.·
•I
*°г
о»
f.\.
t
*1
)Δ
3
Ο
)Δ
3
η
л
^ο
J
0^
τ
>0Α
*ы
u}/U*
^j ι |ί
Tr^rfcLI
Ihtft^yJ
II 1 ки^жз
МММ H-m
*) ·
if,-? ^ 0,0 0β xz/h
Q
0,2 0,4
0,6
0,8 xz/h
Рис. 4.20. Осредненные
скорости (а) и
стандарты продольных
пульсаций в ядре течения (б)
на разных расстояниях
от входа в трубу
(обозначения на рис. 4.19)
(Umax—U)IU*> ξ=*2/Α в ядре течения. Положение границы
между этими двумя зонами зависит от числа Рейнольдса и
относительной шероховатости стенок. Вторая зона
охватывает практически весь поток, и распределение скоростей
становится полностью автомодельным при тех же
значениях числа Рейнольдса, при которых наблюдается
независимость от Re коэффициента гидравлического трения λ.
Характеристики турбулентности сравнительно более
чувствительны к влиянию числа Рейнольдса. Стандарты
пульсаций, измеренные в долях скорости трения, в зоне
максимума генерации турбулентности (вблизи границы
пограничного слоя) с ростом числа Рейнольдса несколько
убывают.
Например, по данным Лауфера [191] при Re=
=Umaxhlv=l2y3-l03\ ЗЫ0а и 6Ы03 максимальное
значение стандарта продольных пульсаций (и'$и*)тах в прямо-

50
Напорные потоки
[Гл. 4
угольном напорном канале с гладкими стенками
составляет соответственно 2,6; 2,2; 1,98. Аналогичные изменения
отмечены и Ж. Конт-Белло [67], хотя значения (ί/Ί/ί/»)τηαχ
в этих измерениях получилось несколько иными: при Re=
= 57-103; 120-103; 230-103 (tt'i/£/.)ma*=2,8; 2,65; 2,5
соответственно. В ядре течения эти величины почти не
изменяются даже в условиях гладкостенного режима, когда
с изменением Re изменяется λ и распределение осреднен-
ных скоростей ^см. рИС# 4.6). Спектры и корреляции с
ростом числа Рейнольдса заметно изменяются главным
образом за счет расширения «инерционного» диапазона волно-
Xz/h
0,8
0,6 \
0А
оА
1 Re-1Q~S
о -5
L° -loo
•
I
-200
0Ω&Ω
^έ
1
6Ь
\L
8>
Π
•
О
)
x2/h
0,8
0,6
0,4
0,2
а)
О
С
ъ
•
о
о
•
-
ϊ^ο-
mu
О 0,25 0,5 0,75 U1/U1
0 0,25 0,5 0,75 и^/Ц
δ)
Рис. 4.21. Продольные осредненные скорости (а) и стандарты
продольных пульсаций скорости (б) в конфузоре,с гладким (железненным)
дном при различных значениях числа Re
x/h
0,8
0,4
w
^.z
ιΑ \
0,02
0,04
a)
x7/h
0,8
¥
1 V
V
3^
^^2
η
ν2
4/
ΊΑ (η1 /Π.)Ζ
δ)
Рис. 4.22. Дисперсии пульсации скорости в диффузорах при различных
значениях числа Re:
α —с гладким дном; б —с шероховатым дном, /i/A=17-f-28; J — Re=5-103; 2 —
Re=10-103; Re=20-108

§4.2]
Неравномерное течение
151
вых чисел, в котором справедливы условия локальной
изотропии и спектральная плотность пропорциональна кг5/3
(§ 2.5). Интегральный масштаб турбулентности изменяется
незначительно, а внутренний (тэйлоровский) уменьшается
пропорционально Yvj(U^h).
В неравномерном потоке влияние числа Рейнольдса
должно быть больше, если неравномерность движения
способствует ослаблению турбулентности (например, в кон-
фузоре), и, напротив, должно уменьшаться при наличии
источников дополнительных возмущений (например, в
диффузоре или в искривленных каналах). На рис. 4.21 и 4.22
показаны данные Э. В. Залуцкого [51], из которых следует,
что при сравнительно гладкой (железненной) поверхности
моделей распределение скоростей и амплитуд пульсаций
скорости на конфузорном участке почти не изменяется при
изменении числа Рейнольдса от 10 000 до 20 000. Для
течения в диффузоре это различие мало даже в сравнении
с опытом при Re=^/v=5000.
В условиях отрывного течения влияние числа
Рейнольдса относительно мало, если точка отрыва потока
фиксирована очертанием границы. На рис. 4.23 видно, что
распределения осредненных скоростей в потоке за уступом при
Κ6==ί/0Λο/·ν=2550 и 17 400 очень мало отличаются, хотя
длина водоворота изменяется заметно: от 6 высот уступов
при Re=2550 до 7,5—8 высот уступов при Re=17 400.
Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса (примерно до
Re==3-105) не вызывает сколько-нибудь заметных
изменений длины водоворота или распределения осредненных
скоростей на участке расширения [148].
4,5 -0,5 0 0,5 1,5 2,5 5,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 x^h
Рис. 4.23. Поле осредненных скоростей по опытам Б. А. Фидмана [148]

152
Напорные потоки
[Гл. 4
Отмеченное изменение длины водоворота при не очень
больших значениях числа Рейнольдса становится понятным
при сравнении данных о турбулентных напряжениях и
стандартах пульсаций скорости в тех же условиях (рис. 4.24,
4.25). При меньших числах Рейнольдса относительная
величина турбулентного трения и стандартов пульсации
больше. Физически это можно представить так: крупные вихри,
не «размытые» высокочастотными пульсациями,
подавленными вязкостью, переносят относительно больший импульс
и вызывают относительно более интенсивное торможение.
В том случае, если точка отрыва не фиксирована,
например при обтекании препятствия со скругленными
углами, возможно аномальное возрастание влияния критерия
Рейнольдса при значениях этого критерия, отвечающих
моменту турбулизации пограничного слоя, образующегося на
этих скруглениях (рис. 4.26, 4.27).
<Mi"2>=i
о»
о»
о*4
«о
0«
о·
о·
•о|
о
О
о
о о«
о·
σι
0>
ι о4
о·!
ю[
• о
то
о·
о<
о·
о·
0»
0-»н
0
_ί
С·
0(
о·
0»
•о
г ι
>
)
0
О·
0»
о·
•0
о·
0»
с·
•
о ·
α
о
о·
0·
0·
о
о с
α
t
ο·
0»
«0
о*·
•о
1
D
?_£...
•
О·
«0
0·
0§
сэ
•о
01
о
<
•
•
•
•
•
•
■
•
100ηΓΪ-*1
φ —
о
о
0
<:
'
с
Ю
О
ро
'
■р
СО
»-«-о
D
0 <
•о
»
•
■ О
•о
•о
•о
to
0»
•о
•о
•0
• 0
• 0
• 0
ь
«0
0·
•о
• 0
• о
•о
• 0
• о
• о
•о
о·
►о
• о
• о
• о
• о
•+о
I
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
4,5 -0,5 0 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6£ 7,5 8,5^/h
Рис 4.24. Корреляция двух составляющих скорости <щи2> (турбу-
лентное трение) и турбулентная вязкость vT= dU/dx2 При Р
ных числах Re:
O-Re=2550; φ — Re=17 400

§ 4.2]
Неравномерное течение
153
"л
W
о
о
о
о
•
«э
ю
•
ио
э
о
о
о
,
-с:
'
О
•о
ю
о
•0
•о
•
•
•о
0
φ
φ
φ
I
'
0»
«0
«0
0»
•о
•э
ю
ю
«о
«0
•о
•0
«о
<0
«о
•о
»
9
•
•о
«о
•0
•э
•о
•о
• 0
φ
«0
«0
а*
φ
φ
φ
•0
Φ
во
• о
• о
"•о
«0
во
во
• о
•о
•о
• о
во
0»
во
•
0»
во
во
во
во
а»
во
φ
во
во
во
«о
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Φ
«о
€0
ю
•о
ю
ю
«0
о
во
φ
φ
«0
во
• 0
•о
•
φ
at
α»
• о
•о
• о
во
во
во
во
во
во
•о
во
во
о
во
а»
ф
4>
во
а»
во
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
·*
•
•
•
•
•
4,5 -0J5 О 0,5 1,5 2,5 3,5 | 4,5 5,5 β,5 7,5 8,5xf/h
Рис. 4.25. Поле стандартов пульсаций скорости и/ и и2' при разных
числах Re:
O-Re = 2550; φ — Re=17 400
Диапазон аномально большого влияния критерия Рей-
нольдса интересен и в отношении генерации
турбулентности. Именно в этих условиях, когда наблюдается
флюктуация положения точек отрыва на гладком цилиндре,
отмечается максимальная амплитуда колебаний коэффициента
подъемной силы и коэффициента сопротивления. Все эти
эффекты существенно меньше на шероховатом цилиндре и
при повышенном уровне турбулентности набегающего
потока.
В целом можно отметить, что при наличии
фиксированных точек отрыва пограничных слоев течение автомодельно
С*
1,0
0,8
0,6 \
О/
0,2
U,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 IgRe
Рис. 4.26. Зависимость коэффициента Сх от числа Re для круглого
цилиндра D=155 мм при различной начальной турбулентности [46]:
/ — расстояние от турбулизатора до цилиндра 1880 мм; 2 — то же 1220 мм; 3—-
то же 903 мм; 4 — то же оо
2
1
<
**v
J
Vf
IN
4
/
.
[\

154
Напорные потоки
[Гл. 4
¥
1
0,8
0,6
0,J
r/b=o,o2i\ | α^οκρο-<
ι
I w^s=^sSg?
η-1j--— ,| I
0,JJJ
\boloJ245
ttTiS?' >i
[0167 —-y —I
1\L·**
IJvϋ^-Jv^-^-л-λ^|,,^,^ .-
|ArV"r^
4)
'*
J
i>
</
■"•"nS
(^•rf
tf
**
35
ΊΊ
| \γ/^=0,021
ФЮ'йВЯя
&#
otf
зэо<
о
u/л Τ"
__^э^1Т
^*
ю
°г
TpV^ST-
44о-о^сь<^
ОхрФ
:оо
**
Η
_н ^
D
в)
1
0,8
0,6
0,4-
0,1
π
D °
а*
№>М
^ШЩ^8о
r/b
1=0,250
Ι ί I
\\\ υ° I
111 и
10 Rq-10~5
г)
Рис. 4.27. Зависимость коэффициента Сх от числа Re для квадратных
(а) и прямоугольных цилиндров (б, в, г) с соотношением сторон
bx/b2 = 2 при различных радиусах скругления кромок rbx [46]:
О- D. φ — поперечные размеры, соответственно равные 300, 100, 25 мм
по критерию Рейнольдса уже при его значениях порядка
104. Если точки отрыва не фиксированы, то влияние
критерия Рейнольдса может быть существенным, по-видимому,
при сколь угодно больших его значениях — кризис
обтекания, наблюдаемый многими авторами при изучении
обтекания цилиндра, когда Re=U0DJv^(3^-4) · ΙΟ5 (ί/0
—скорость набегающего потока), возможно, не является
единственным.

§4.2]
Неравномерное течение
155
На рис. 4.28 показано изменение частоты и амплитуды
колебаний подъемной силы, действующей на цилиндры.
Резкое увеличение разброса точек наблюдается при Re^
^(2-^-5) · 105, а также при Re^(2-*-4) · 106. Расположение
точек при Re>105 не позволяет говорить об автомодельно-
сти обтекания гладкого цилиндра. Общая проблема влия-
Рис. 4.28. Изменение частоты (а) и стандарта вариации коэффициента
подъемной силы (б) при обтекании цилиндра (заштрихованы области
разброса экспериментальных данных)
ния критерия Рейнольдса остается актуальной, однако ее
частные аспекты применительно к обтеканию шероховатых
поверхностей и формированию зон отрыва при
фиксированных точках отрыва достаточно ясны: здесь можно ожидать
четкую автомодельность при числах Рейнольдса порядка
104, если только во всех зонах модели имеет место
турбулентное течение.
Моделирование напорных потоков, существенное само
по себе, в последние годы приобрело особое значение для
практики гидравлического моделирования в связи с
появлением и широким развитием метода исследования
открытых потоков на напорных моделях. Этому методу
посвящены § 5.5, 5.7, а также [38, 91, 177]. Здесь отметим лишь,
что многие задачи и вопросы моделирования напорных
потоков возникли в связи с развитием этого метода.
Например, при использовании напорных моделей с размываемым
дном было отмечено большое влияние на характер
размыва условий на входе в модель. В тех случаях, когда
специальные меры не применялись, интенсивность размыва на
начальных участках модели обычно была значительно
ниже, чем на основном участке модели с той же площадью
поперечного сечения потока, несмотря на то, что
имеющиеся измерения показывают возрастание касательного напря-

156
Напорные потоки
[Гл. 4
жения на дне на начальном участке, а распределение ос-
редненных скоростей в пограничном слое, как уже
отмечалось, в значительной мере определяется этим касательным
напряжением. Анализ результатов измерения
турбулентности показывает, что отмеченный эффект связан с
пониженной интенсивностью турбулентности на начальном участке.
Рис. 4.29. Влияние
градиента давления и
шероховатости обтекаемой поверхности
на положение точки
перехода в несжимаемой
жидкости по измерениям Файндта
(d — высота песчаного
зерна)
Для развития турбулентности в пределах пограничного
слоя при плавно очерченном входе в модель необходим
некоторый участок, длина которого зависит от
шероховатости стенки и градиента давления. На рис. 4.29 видно, что
повышение относительного давления вдоль потока
Л
способствует сокращению длины участка турбу-
лизации пограничного слоя. Аналогичный эффект
вызывает увеличение шероховатости дна модели.
На рис. 4.30 показано изменение стандартов пульсации
скоростей по длине канала, зафиксированное в опытах
Ж. Конт-Белло [67]. На начальном участке канала был
установлен конфузор с двумя сотовыми устройствами на
входе и на выходе из него. Дно и стенки канала на первых
20 см прямого участка были обклеены шероховатой
бумагой. Скорость трения, использованная при нормировке
результатов на рис. 4.30, взята для основного участка
течения. На рис. 4.30 отчетливо видно, что в зоне максимума
генерации турбулентности стандарты продольных
пульсаций на начальном участке заметно ниже, чем на основном
участке стабилизированного течения.
Хотя ближе к стенке различие меньше, можно полагать,
что низкочастотные пульсации касательного напряжения,

§ 4.2]
Неравномерное течение
157
влияющие на устойчивость частиц дна и связанные с йуль-
сацией продольной скорости в зоне максимума генерации
турбулентности [84], на начальном участке существенно-
ниже, чем на основном. Различие интенсивности
турбулентности особенно велико в ядре потока. Это различие
убывает примерно так же, как и различие в эпюрах осредненных
О 0,2 0,4 0,6 0,8 xz/h
Рис. 4.30. Изменения стандартов поперечных пульсаций скорости в
ядре потока на начальном участке трубы
скоростей. Длина участка стабилизации, на котором
прекращается изменение эпюры скорости, в рассматриваемых
опытах составляла не более 55—60 высот канала при
изменении Re от 57-103 до 230-103.
Длина участка стабилизации может быть уменьшена за
счет начальной турбулизации потока. Применительно к
открытым потокам этот вопрос рассмотрен в § 5.4.

158
Напорные потоки
[Гл. 4
Особенно важно обеспечить подобие турбулентной
структуры потока при изучении динамического воздействия
на обтекаемые тела. Влияние начальной турбулентности на
динамику обтекания шара и цилиндра широко известно
(одно время предлагалось даже использовать эмпирические
данные о коэффициенте сопротивления шара при заданном
числе Рейнольдса для оценки интенсивности
турбулентности в набегающем потоке). Полагают, что существенное
1,ΰ\
Ί "\
г\
0,6
0,4
ГТГ
12 3 4 5 Re-10~*
Рис. 4.31. Влияние
начальной турбулентности на
сопротивление цилиндра
диаметром D = 300 мм [156]
(Re=i70D/v):
1, 3 — гладкий цилиндр; 2, 4 —
цилиндр, покрытый рейками
15X30 мм на расстоянии 15 мм
одна от другой; /, 2 — UqIUq—
= 0,2%; 3, 4-щ'1и0=Ь%
иУи0
0,05
о
>v
/Ж Ч У
о*°*° //
Vo ^ν ν ν
0,5
xP/D
Рис. 4.32. Условия расширения
нормальной (1) и турбулизированной (2) струй
[196]
влияние величины u'llU-^YeHJ связано с тем, что при
обтекании шара или цилиндра точка отрыва пограничного
слоя не фиксирована, а ее положение, влияющее на
сопротивление, зависит от интенсивности и спектра начальной
турбулентности. Влияние начальной турбулентности в этих
случаях уменьшается с ростом числа Рейнольдса. Оно
оказывается относительно меньшим при обтекании
шероховатого цилиндра, чем при обтекании гладкого цилиндра (рис.
4.31). Если шероховатость достаточно велика, например
цилиндр диаметром D покрыт рейками высотой 1/20Z),
шириной 1/1QD с расстоянием между рейками 1/20D,
изменение уровня начальной турбулентности в 25 раз (μ'\\Ό =
=0,2-«-5%). не меняет результатов.

§ 4.2]
Неравномерное течение
159
Во всех случаях повышенный турбулентный фон
способствует выравниванию характеристик потока. Это отчетливо
видно по результатам исследований (на физических
моделях и в расчетах) истечения струи в спутный поток (рис.
4.32): повышенная турбулентность способствует более
быстрому расширению струи. Данные рис. 4.32 являются
также иллюстрацией возможностей численных моделей типа
е—ε отразить влияние начального уровня турбулентности.
Как видим, качественно результаты расчетов согласуются
с измерениями, однако меру количественного совпадения
следует признать относительно скромной.
0,5
-0,5\
-1,0
-1J
Гх
\
I \
! \
X.
ч /
*
>
δ
I/ ■
F
/
О
50° 60° SO0 120° 150° θ
Рис. 4.33. Распределение давления по боковым поверхностям
цилиндра (/) и конусов с конусностью 1 : 36 (2) и 1 : 18 (3) [174]
Из приведенных данных следует, что физическое
моделирование безотрывного обтекания и обтекания с
неопределенной точкой отрыва является достаточно сложной
задачей. Результаты моделирования (в той или иной части)
сильно зависят от числа Рейнольдса и от характеристик
турбулентности набегающего потока. В этих задачах
весьма важно и точное воспроизведение геометрической формы
обтекаемого тела. Сравнительно небольшое изменение
формы (переход от цилиндра к конусу с отношением
высоты к диаметру основания h/D = 36) существенно изменяет
распределение давления по боковым поверхностям этих тел
(рис. 4.33) [174]. Дальнейшее увеличение отклонения от
схемы плоского обтекания (переход к конусу с h/D=l8)

160 Напорные потоки [Гл. 4
мало изменяет распределение давления. Особенно сильно
изменение формы тела и возникающие пространственные
эффекты течений сказываются в характеристиках
турбулентности: интенсивность пульсаций скорости в следе за
конусом существенно меньше, чем за цилиндром,
интегральный масштаб пространственных корреляций пульсации
скорости за конусами в 2—3 раза меньше, чем за
цилиндром.
Точное соблюдение формы и пространственного распределения
кинематических величин при испытаниях моделей является обязательным
условием подобия. Формы обтекаемого тела сильно влияют на
характеристики турбулентности следа за телом. В [29] описаны измерения
в турбулентном следе за сферой и телом вращения с удлинением 8:1.
Миделевы сечения сравниваемых тел были одинаковые, практически не
отличались и их коэффициенты сопротивления. Что касается
характеристик турбулентности, то они оказались существенно разными.
Рис. 4.34. Значения коэффициента перемежаемости в следе за
цилиндрическим телом на разных расстояниях от него [29]
На рис. 4.34 показаны коэффициенты перемежаемости γ,
определяемые по относительному времени, в течение которого флюктуации
имели турбулентный характер. По осям абсцисс на рис. 4.34
отложены относительные радиальные координаты r+—r/b, r=0 на оси
симметрии следа и тела; Ъ — характерная ширина следа в разных
сечениях (1—6 на рис. 4.34):
c*~h7=^H ' (4·70)
где Cx — коэффициент сопротивления тела диаметром Z); хю — начало
автомодельного следа, совпадающее в данном случае с центром сферы

§ 4·2] Неравномерное течение 161
или концом тела вращения (осесимметричная задача). Пунктир на
рис. 4.34 показывает автомодельный профиль дефицита осредненной
скорости
^ί/,-ί/,' (4·71)
где £/«, — скорость потока при Χγ ^±оо; U0 — скорость на оси следа.
Можно видеть, что в отношении коэффициента перемежаемости
следы за изученными телами автомодельны: в диапазоне lOOs^/ZX
<250 ^
U=U(r+); γ = γ(Γ+). (4.72)
Однако вид функций у(г+) и 0(г+) для разных тел существенно
различен.
\i/D=6,0. 4>°\
м\ 1 1 1 J 1 J
О 0,1 0,2 0,5 0,4 0,5 D/h
Рис. 4.35. Преобладающая частота силового
воздействия на обтекаемое тело в канале
конечной ширины [212]
Несомненно, во многих отрывных течениях имеется
глубокая общность, однако конкретные детали структуры
потоков и количественные параметры течений зависят от
очертаний зон отрыва, от формы обтекаемых тел.
Имеет значение (особенно для докритических режимов
обтекания) и форма канала, в котором исследуется
отрывное обтекание. На рис. 4.35 [212] показано изменение
преобладающей частоты силового воздействия на цилиндры
в канале высотой h (по различным данным). Для плоской
пластины и для круглого цилиндра (при докритическом
обтекании) даже при Ζ)//ι^0,1 влияние этого параметра
практически не убывает. В закритическом режиме
обтекания [при Re« (2-М) · 105] ситуация качественно меняет-

162
Напорные потоки
[Гл. 4
ся — влияние параметра D/h на число Струхаля
заметно уменьшается (рис. 4.36). Особенно велики изменения
среднего значения коэффициента сопротивления Сх (рис.
4.37) и среднеквадратичных значений Сх и С'у.
Уменьшение флюктуации в режиме закритического обтекания
сопровождается резким расширением их спектра. Если при
ψ/ν
Рис. 4.36. Зависимость пре- Рис. 4.37. Коэффициент сопротивле-
обладающих частот от чис- ния цилиндра Сх в канале конечной
ла Re ширины [212]
докризисном обтекании 75% дисперсии подъемной силы
было сосредоточено в полосе частот /0±0,05/о> то ПРИ за*
кризисном обтекании это наблюдается в полосе частот f0±
±0,75/о. Амплитуда колебаний уменьшается, но
возможность резонансных раскачек повышается. Здесь /0 — часто*
та, соответствующая максимуму спектра.

§4.3]
Нестационарное течение
163
4.3. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ
Форма дополнительных критериев подобия,
появляющихся при изучении нестационарных движений
несжимаемой вязкой жидкости, естественно, зависит от постановки
задачи. Рассмотрим условия подобия двух задач —
внезапное ускоренное движение жидкости в жесткой трубе (или
жесткого тела в безграничной жидкости) и движение
жидкости с периодически изменяющимся расходом. Ускоренное
лР,г-т,Г\аг~и,
МПа| м/с
0,15
0,10
0,05
Г 0,50
0,20
0,10
0-L 0-L
1
2
—.—-«
#
J
Ι ΐκρ _J
0,1
0,2
ΰ,δ
0,4
tfi
Рис. 4.38. Изменение перепада давления (/), скорости течения (2)
и касательного напряжения на стенке (3) в круглой трубе при
разгонном течении
движение жидкости из состояния покоя при внезапно при-
дР
ложенном градиенте давления -ч—· характеризуется
следующими качественными особенностями [69]. Значительную
часть времени (до возникновения турбулентности)
происходит увеличение скорости течения практически с
постоянным ускорением (рис. 4.38)
6П ___ l дР 1 р£/2
dt ρ дхх D 2
(4.73)
Касательное напряжение на стенке в этот период
монотонно увеличивается почти пропорционально времени.
Движение при этом во всех зонах потока, включая пристенный
слой, ламинарно. Начиная с некоторого момента t
наблюдается турбулизация сначала пристенного слоя, а затем и
всего потока. На рис. 4.38 видно, как в момент /=/Кр
внезапно и остро возникают турбулентные флюктуации
касательного напряжения на стенке.

164
Напорные потоки
[Гл. 4
Все параметры течения в условиях ламинарного
режима могут быть найдены по известному решению И. С. Гро-
меки (1882 г.). Укажем здесь лишь выражение для
коэффициента гидравлического трения λ, связывающего
мгновенное касательное напряжение τ на стенке трубы круглого
сечения со скоростью Пу осредненной по сечению
^4-^ (4-74)
(ч^ж)
2561П 1_6ХР
λ = ^Σ ΎΓ^- (475>
Здесь Re=t7D/v; jn — корни функции Бесселя нулевого
порядка (/1=2,405; /2=5,520; /3=8,654). При турбулиза-
ции течения сопротивление резко возрастает, ускорение
жидкости уменьшается.
Имеется ряд публикаций, где условия возникновения
турбулентности записываются через локальные параметры, не содержащиеся
в краевых и начальных условиях задачи. Например, на основе
обобщения измерений касательных напряжений на стенке в некоторых
работах указывается, что турбулентность при ускоренном течении
появляется в момент /кр, отвечающий условию
νΓτίκρ/μ.= const» (4.76)
Запись (4.76) методически несовершенна, а практически
малополезна, так как не содержит условий, определяющих задачу. Конечно,
можно воспользоваться решением Громеки и найти из (4.76) значение /кр*
Не проводя этих вычислений, воспользуемся эмпирическими данными,
показанными на рис. 4.38, положив
■V-
1 \дР
Ρ 1 d*i
\дР
"С "^ ~Ъ—
масштаб ι
)дР_
1 d*i
D -
D
t
t
фемени;
- масштаб
" У
скорости. J
(4.77)
(4.78)
(4.79)
υ
где
Подставив оценки (4.77), (4.78) в (4.76), получим, что
критическое число Рейнольдса ReKp.n, при котором возникает турбулентность,

§ 4.3]
Ηестационарное течение
165
должно быть пропорционально параметру
ReD= ]/"■
D—· (4.80)
Систематические опыты [9] позволили найти
коэффициент пропорциональности между Иекр.л и ReP из условия
появления отклонений экспериментальных значений λ от
вычисленных по (4.75):
ReKp^=4ReP, (4.81)
если 4ReP>2320, ReKp.n=2320 в противном случае.
Как видно из (4.81), ускорение движения способствует
стабилизации потока и затягивает возникновение
турбулентности. Соотношение (4.81) позволяет найти значения
комплекса ReP, при котором влияние нестационарности
следует считать малым. Полагая 4ReP=2320, найдем
предположительное условие малого влияния нестационарности:
ReP<580. (4.82)
Если условие (4.82) не выполняется, то
нестационарность заведомо влияет на все характеристики течения. При
этом гипотеза «квазистационарности», состоящая в том, что
в каждый момент времени движение определяется
мгновенными характеристиками течения, обычно не дает
приемлемых результатов. Коэффициент гидравлического трения λ,
вычисленный из (4.73), существенно зависит от
параметров нестационарности (рис. 4.39).
По отношению к некоторым интегральным
характеристикам параметр ReP удается исключить из явных связей
без больших потерь в точности оценок. Такое
преобразование предложено в [9, 122] для обобщения опытных данных
о коэффициенте гидравлического трения в трубах с
естественной и искусственной шероховатостью (рис. 4.40):
^ j Re Re
t = * - Ь6 i + d-Re/R^)- "Ри Re >Re— (483)
Здесь λΎ—коэффициент гидравлического трения при
установившемся режиме, характеризующемся числом Рей-
нольдса, равным мгновенному значению Re при разгонном
движении.

166
Напорные потоки
[Гл. 4
Обобщения, подобные (4.83), возможны лишь в частных
случаях, в ограниченных диапазонах условий. В общем
случае распределение скоростей по сечению неоднозначно
определяется мгновенным значением числа Re: различие
полей скорости при одном и том же Re, как правило,
весьма велико.
Рис. 4.39. Изменение коэффициента гидравлического трения λ в
процессе разгона жидкости в прямой трубе при различных значениях Re™:
кривые — по расчету в предположении ламинарности течения; опытные точки
соответствуют нестационарному течению
Рис. 4.40. Изменение относительного коэффициента гидравлического
трения λ/λγ при разгоне жидкости:
1—8 — расчет для ламинарного режима при Re^: / — 1 -105; 2 — 4-Ю5; 3 — 6-105;
-8·105; 5 — 25-105; 5 — 8-10
1,5- ΙΟ7; 5 — 4·ΙΟ7

§ 4.3]
Нестационарное течение
167
|
018
Г и
^
*
^
ш-4
о-8
0 45
Ш-40
о-4 1
▼ -£
ν -15
• -40
0004
L "
*
ч
&
Ιί
^
■> β
<ъ
~ "^
Re-10"
of,
ν
♦ θ/Δ'
ίο'
AT
DOI
0
0,5
Re/Reoo

168
Напорные потоки
[Гл. 4
Представляются малоперспективными также попытки
обобщений, включающих только локальные (мгновенные)
параметры течений— _, ^ и т. п. (рис. 4.41). В общем
случае важна вся предыстория движения, хотя в отдельных
«стандартных» условиях такие обобщения могут быть
эффективными.
λ/Λ
1
0,8
Qfi
ОА
'ή ι ι ι ι ι ι ι
0 200 400 600 "οψϋν dO/dt
Рис. 4.41. Зависимость относительного коэффициента
гидравлического трения λ/λΎ от «параметра нестацио-
D2 дП
*У " '
D
Φ
О
С
ΠΔ
> D
*
О
А
А
О 9
О
А
D
С
▲
№
Δ
с
ι
D
©
Ί0~4
э-4
*-8
ι-22
ь-52
▲
Δ
Δ
нарности»
6/ν
Jf(^/D=0,Q004)
Оценка нестационарного состояния потока по критерию
Re неудобна, так как мгновенное значение скорости
течения обычно не входит в условия рассматриваемой задачи,
а является искомой величиной. Более логично вместе с
определяющим критерием (4.80) рассматривать критерий го-
мохронности
Sh =
D
^\ίτ\
дР
D.
(4.84)
С учетом (4.73) и (4.81) найдем оценку критического
числа Струхаля Sh, при котором начинается
турбулентность:
ShKp^4. (4.85)
Может показаться удивительным (и заслуживающим
дополнительной проверки) результат (4.85), означающий,

§ 4.3]
Нестационарное течение
169
что абсолютное время разгона жидкости tKp до
возникновения турбулентности не зависит от вязкости:
кр
У р. I дхг I у
D
dU
dt
(4.86)
*ΚΏ1 ^
0315 \/1/р \дР/дх\
Рис. 4.42. Зависимость длительности ламинарного режима t
kd на
стенке от начального давления в баке по опыту и расчету (4.86):
V — диаметр 34 мм; О — диаметр 61 мм
Расчет по (4.86) для условий опытов, показанных на
рис. 4.38 (D = 6,l см, dU/dt = 8,l м/с2), дает время
возникновения турбулентности ίκρ=0,35 с. Фактическое время
(£кр=0,4 с) мало отличается от расчетного.
Обработка данных систематических опытов У. Р. Лий*
ва, проведенных с трубами разного диаметра, подтвердила
результат (рис. 4.42) с несколько иным значением
критического числа Струхаля:
ShKp=4,5-4-5,5. (4.87);
Относительная длительность Shoo=tooU0/D разгона
жидкости в трубе до состояния, близкого к стационарному,
зависит от Rep и геометрических параметров системы 1/D,
Аэф/D:
Shoo=/(ReP, l/D, Аэф/Я). - (4.88)

170
Напорные потоки
[Гл. 4
Характеристики турбулентного течения в гладкой трубе
(АэфАО-Я)) при
ShKp<Sh<Shoo, (4.89)
зависящие лишь от двух критериев ReP и Sh, детально
изучены в серии работ У. Р. Лийва (см., например, [69]).
Нестационарный пограничный слой при импульсном
движении из состояния покоя с постоянной скоростью U
или постоянным ускорением а изучался теоретически и
экспериментально [221, 222]. Обнаружено [221], что
стационарное состояние пограничного слоя на плоской пластине,
параллельной потоку, устанавливается при
Sh=ii7/jci>5, (4.90)
если пластина движется с постоянной скоростью, и при
Sh=a/2/jc1>8, (4.91)
если пластина движется с постоянным ускорением. Здесь
χι — расстояние от передней кромки пластины. Обратим
внимание на то, что, как и в случае напорного потока,
характерное время процесса не зависит от вязкости.
Нестационарное обтекание плоской пластины,
перпендикулярной к потоку, цилиндра или шара, внезапно
приведенных в движение с постоянной скоростью U или
постоянным ускорением а, определяется двумя критериями —
числом Рейнольдса
Re==i/D/v, если £/= const, ]
или (4-92)
Rex = aD3/v2, если а = const, J
и критерием Струхаля
Sh = Ut/D, если f/= const, ]
или (4.93)
Shj = at*/D, еслу а = const. I
Примечательно, что при числах Струхаля, меньших
определенного значения Shi, важнейшая характеристика
обтекания— относительная длина водоворотной зоны за
телом— не зависит от числа Рейнольдса (рис. 4.43).
Значения Shi тем больше, чем больше число Рейнольдса. При
обтекании плоской пластины влияние вязкости не
проявляется и на последующих, квазистационарных этапах
(рис. 4.44).

§ 4.3]
Нестационарное течение
171
Все эти результаты понятны с позиции анализа соотношения сил —
на первых этапах движения силы инерции преобладают и влияние
вязкости не может проявиться. Движение здесь полностью автомодельно,
и единственным критерием, по которому должно проводиться
моделирование или обобщение результатов, является число Струхаля.
ι ι ι ι ι π я,
Рис. 4.43. Обтекание цилиндра резко нестационарным потоком с
постоянной скоростью (а) или постоянным ускорением (б)

172
Напорные потоки
[Гл. 4
IV " " ' ' " '
Г
_
Г"
1
с^ч
\&л
г L
-С >- |
г о* '
А
-J
, Τ ,1 I 1 t И
•α^
f
^
J I
*r\
\
1 MM!
ί
Re 1
о-18
A-41 J
*-95 !
n-727
J I ί Μ ί Π
10
Ut/D
ё°
о-4}15402
-α-6,52·102
♦ -1,0540s
Ο'ΰ,βδ-10^
v-7.70-104
о-1,554О5
®-2,4δ·105
-J I I I Ml
ν
10
at2/D
Рис 4.44. Обтекание плоской пластины нестационарным потоком с
постоянной* скоростью (а) или постоянным ускорением (б);
численный эксперимент без эмпирических констант.

§ 4.3]
Нестационарное течение
173
Рассмотрим вторую задачу о существенно
нестационарных периодических течениях. Типичные результаты в
данной области получены в исследованиях параметров
турбулентного течения в гладкой трубе круглого поперечного
сечения [18], когда расход изменяется по закону
Q=QQ(l+$sm(ut). (4.94)
Рис. 4.45. Относительная осредненная скорость в долях местной
скорости U0 при стационарном течении с расходом, равным мгновенному
расходу в соответствующей фазе φ при β = 0,5; ω+ = 2,74·104
О rr φ 2тс О Я φ 2тС
Рис. 4.46. Изменение касательного напряжения на стенке при частотах
ω+=2,74·108 (/) и 2,74· 104 (2)
Рис. 4.47. Изменение относительных касательных напряжений λ и
потерь энергии λ' в зависимости от фазы колебания при Reo = 3,2-l04;
β-0,5:
I, 3 — ω+=2,74·103; 2, 4 — ω+=2,74·104; 5 — расчет для квазистационарных условий

174
Напорные потоки
[Гл. 4
Параметр β в этих опытах и расчетах изменялся от 0,2
до 0,5, а число Рейнольдса (для расхода Qo) составляло
от 3,2· 104 до 6,4· 104. Относительная частота
ω+=ω/)2/ν
(4.95)
в опытах принимала два значения: 2,74-103 и 2,74-104.
Измерения показали, что все параметры
кинематического и динамического полей, осредненные по вероятности,
в различных фазах колебаний (при (p = cu^=var)
существенно отличаются от значений, соответствующих
«квазистационарным» оценкам (рис. 4.45, 4.46). Эти отклонения
уменьшаются с уменьшением β и ω+ и увеличиваются при
уменьшении Reo. На рис. 4.47 показаны два
асимптотических значения коэффициентов гидравлического трения λ=
=8т/р£72: при <о+-Ч) — соответствующие стационарному
течению (λ=0,024) и расчету по «квазистационарной» схеме
(λ=0,028).
На том же рис. 4.47 показано изменение коэффициента
λ', характеризующего относительные потери механической
энергии (на единицу длины трубы в единицу времени).
В стационарном течении λ=λ/. В условиях
нестационарного течения в фазе максимума потерь энергии (φ=1,4π) κο-
е/и,
-?__--
^t^H-r
0
0,5
п^о».
4—о-«
0,25
7^
~°ч
/
/
\ /
\
\{
г
' 0,125 |
И^
^v^_
*Чл
Μ
<?]
e/U;
/ /
/ 5
/ /
>/х
γ\ ^
\
\
NT~"
ч Ч
ч
■—
0,05
~"
6Y-
4
2τί 0
0,025
7
2τΐ
Рис. 4.48. Относительная энергия турбулентности e/U2* на разных
расстояниях от стенки трубы в зависимости от фазы колебания φ [18]

§5.1] Особенности открытых потоков. Критерии Φ руда и Эйлера 175
эффициент гидравлических потерь λ' может быть в 2—3
раза больше, чем в соответствующих стационарных
условиях. Примечательно, что в среднем за период колебаний
касательные напряжения и потери энергии практически не
отличаются от значений, вычисленных в
квазистационарном приближении даже при ω+=2,74·104. В значительной
мере это связано с тем, что в пристенном слое, где важны
нелинейные процессы, относительный уровень
турбулентности и скорость ее генерации сравнительно мало
отличаются от «квазистационарных» значений (рис. 4.48).
Пограничный слой проявляет свои «консервативные» свойства.
Приведенные данные позволяют выбрать диапазон
значений ω+ и β, в котором влиянием нестационарности можно
пренебрегать полностью или учитывать нестационарность
по квазистационарной схеме.
Глава 5
открытый поток в жестком русле
5.1. ОСОБЕННОСТИ ОТКРЫТЫХ ПОТОКОВ. РОЛЬ
КРИТЕРИЕВ ФРУДА И ЭЙЛЕРА
Открытыми потоками называются потоки с внешними
свободными поверхностями. Обычно в качестве свободных
поверхностей рассматриваются границы раздела между
капельной жидкостью и газом. Такие свободные
поверхности характеризуются тем, что давление в их пределах
постоянно (за исключением некоторых специальных случаев).
Наличие свободных поверхностей существенно
осложняет прогнозирование, в том числе моделирование,
характеристик открытых потоков по сравнению с напорными
потоками, рассмотренными в гл. 4, так как в критерии
подобия должны быть включены переменные, определяющие
свободную поверхность.
Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости
(2.19), записанные через ротор скорости, содержат
единственную неизвестную функцию — скорость жидкости — и
единственный свободный параметр — кинематическую
вязкость.
Из этих уравнений получаются только два критерия
подобия—числа Струхаля и Рейнольдса. Два других
критерия, следующих из анализа уравнений Навье — Стокса,

176 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
Фруда и Эйлера, связаны с постановкой граничных
условий для уравнений (2.19).
Данное обстоятельство иногда используетсй для дока-
зательства того, что критерий Эйлера не является
определяющим.
Ясно, что на том же основании можно было бы отнести
к неопределяющим и критерий Фруда. В действительности
критерий Эйлера и критерий Фруда в зависимости от
особенностей задачи могут быть как определяющими, так и
неопределяющими. Приведем несколько примеров.
Обычно давление на свободной поверхности открытого потока
постоянно и критерий Эйлера для таких потоков является
неопределяющим. Однако если представить себе открытый поток, давление на
свободной поверхности которого переменно по площади, то отнесение
критерия Ей к определяющим критериям для данного случая
становится очевидным. Практически это имеет место, например, в
гидротехнических безнапорных туннелях при больших скоростях течения
воды. В этом случае давление над свободной поверхностью непосред-*
ственно за затворной камерой туннеля ниже, чем у выхода из туннеля.
Другой пример: в область потока жидкости с давлением Pj
подается газ из области с давлением Р2>Рь так что в жидкости
образуется каверна. Понятно, что форма этой каверны и другие
характеристики течения здесь связаны с критерием Ей. (Давление Pi обычно
не задано, и в критерий Ей входит не перепад АР—Р2—Pi, а
разность давления Р2 и давления в точке границы потока, в которой оно
известно). Однако этот критерий выпадает из системы определяющих,
есочи изменить условия задачи: задать не перепад давления, а расход
газа.
Критерий Fr также далеко не всегда бывает определяющим.
Прежде всего это относится к рассмотренным выше напорным потокам
в жестких границах. Если границы потока деформативны, то выводы
могут быть другими.
Вообразим напорный поток, в котором на оси подвешен тяжелый
предмет (например, плоский затвор шлюза), отклоняемый потоком от
вертикального положения. В этом случае Fr — определяющий
критерий. Однако если положение предмета задано независимо, и на
модели он закреплен, то Fr не будет включен в систему определяющих
критериев.
Для открытых потоков критерий Fr не всегда определяющий. Так,
для подобия осредненных параметров спокойных открытых потоков
при равномерном движении достаточно идентичности критерия Re и
подобия геометрических характеристик границ, в том числе подобия
положения свободной поверхности, что может быть обеспечено выбо-

§5.1] Особенности открытых потоков. Критерии Φ руда и Эйлера 177
ром соответствующего уклона русла. При неравномерном движении
при малых значениях числа Fr характеристики потока практически не
зависят от него.
Имеющиеся на первый взгляд противоречия легко
устраняются исходя из общих положений теории подобия.
Действительно, любые критерии относятся к
определяющим, если все входящие в них величины задаются тем илв
иным путем в условиях задачи (например, на границе
области при решении краевой задачи). В том случае, когда
границы жидкости известны, для нахождения решения
уравнений (2.42) и неразрывности необходимо и
достаточно, чтобы граничные и начальные условия содержали
сведения лишь о значениях скоростей и их производных
в точках, принадлежащих к пространственно-временным
границам объекта исследования. Следовательно, при
известных границах жидкости ни критерий Фруда, ни критерий
Эйлера не могут войти в систему определяющих критериев.
При этом, конечно, решения гидравлической задачи будут
определены неоднозначно — давление будет определено
с точностью до некоторой аддитивной функции ро(х> t)9
удовлетворяющей уравнению
g=-^-grad/v (5.1)
Если на границе потока (на свободной поверхности)
перепад давления ΔΡ=0, то критерий Ей не влияет на
положение и форму этой границы и на решение задачи.
В противном случае он становится определяющим.
Во многих задачах форма границ может быть связана
с давлением более сложными условиями, чем на
свободной поверхности. В этих случаях появляются новые
критерии подобия, включающие параметры, характеризующие
свойства этих границ, например деформационные
характеристики в задачах гидроупругости.
Если от АР зависит форма газовой каверны (границ потока), то
критерий Ей следует отнести к определяющим. Если задачу поставить
иначе, исключив перепад давления из ее условий, то иным будет ре*
зультат анализа условий подобия.
Приведенными соображениями объясняется, в частности, тот факт,
что ни число Фруда, ни числя Эйлера не входят в систему
определяющих критериев для напорных потоков: границы жидкости для них
известны a priori. Однако, как только границы потока (положение
подвешенного тела) становятся зависимыми от сил тяжести, роль чис-
12—3299

178 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
ла Fr изменяется. На том же основании критерий Фруда tee является
определяющим для открытого потока, все границы которого (в том
числе и свободная поверхность) известны заранее. Последнее
обстоятельство используется в методе напорного моделирования открытых
потоков: на известном уровне, соответствующем уровню свободной
поверхности, на напорной модели устанавливается жесткая стенка [91].
•2 V/7/
Рис. 5.1. Характеристики гидравлического прыжка на безнапорной н
напорной установках:
О — уровни по давлению на криволинейной («свободной») поверхности
напорной модели; φ — то же по давлению на дне воздушной модели; Щ — то же в
гидравлическом лотке; q /U1h1 на напорной модели; го
же в гидравлическом лотке
X. Рауз и его сотрудники [214] изучали таким методом
характеристики гидравлического прыжка. Определив при различных числах
Фруда свободную поверхность на участке прыжка в гидравлическом
лотке, они воспроизвели эту поверхность жесткой стенкой на
воздушной установке. Как видно на рис. 5.1, осредненные характеристики
потоков на указанных установках (свободная поверхность по
результатам измерения давления на напорной модели определялась в
соответствии с § 5.5) подобны везде, кроме сравнительно тонкого слоя
у. верхней границы, где кинематические условия существенно
различны.
В НИС Гидропроекта [91] исследования истечения под уровень
выполнялись параллельно на воздушной напорной и гидравлической
моделях. На воздушной модели свободная поверхность за водосбросом
воспроизводилась плоской стенкой, расположенной на заданном
среднем уровне свободной поверхности. На рис. 5.2 сопоставлены
результаты определения коэффициента сопротивления водосброса на этих
моделях. Здесь отчетливо видно, что при высоких уровнях воды (при
большом затоплении струи), когда свободная поверхность близка

§5.1] Особенности открытых потоков. Критерии Фру да и Эйлера 179
к плоскости, результаты опытов на обеих моделях практически
совпадают. При снижении уровня нижнего бьефа, что влечет за собой
увеличение бурности потока и искривление свободной поверхности,
результаты опытов начинают существенно различаться.
В одном из опытов была приближенно воспроизведена форма
свободной поверхности, определенная на гидравлической модели.
Результаты этого опыта совпали с данными гидравлической модели.
Рис. 5.2. Коэффициент
сопротивления водосброса по данным
безнапорной и напорной моделей:
φ — безнапорная модель; О —
напорная модель с плоской «свободной»
поверхностью в нижнем бьефе; (^ —
напорная модель при воспроизведении
формы свободной поверхности;
ζ = ^771 /сГ/> ^ ~~ Разн°сть удель-
ных энергий в сечениях 1-1 и 2-2
0,20 2 gh/U^
Еще одним экспериментальным фактом, указывающим на роль
критерия Фруда, являются данные определения функции
распределения (см. § 8.2) примесей, содержащихся в воде, по времени пребывания
в пределах безнапорного водопроводного резервура [181]. Эта
функция была получена в натуре. При оценке ее на модели, на
которой обеспечивалось подобие по Фруду, получилось существенное
отличие от натуры (рис. 5.3). Было высказано предположение, что это
отличие объясняется низкими числами Рейнольдса на модели.
Увеличение числа Re за счет повышения скоростей по сравнению с
соответствующими условию Fr=idem не привело к подобию функции
распределения. Исследователи связали это обстоятельство с
искажением формы свободной поверхности при Fr^idem: над сливным
отверстием в центре дна цилиндрического резервуара на модели
образовывалась глубокая воронка, несущественная при значениях числа
Фруда, равных таковым в натуре. Эта воронка была ликвидирована
за счет размещения на поверхности воды в области образования
воронки плоской пластины. Такая мера наряду с повышением чисел Re
обеспечила подобие функции распределения на модели и в натуре.
Из приведенных примеров следует, что критерий Фруда
влияет на характеристики потока через изменение формы
границы потока. Если этот критерий на положение и форму
свободной поверхности не влияет, то он не влияет и на
другие характеристики течения. Это еще раз иллюстрирует
положение о том, что при границах жидкости, являющихся

180 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
предметом исследования и заданных уравнениями,
система критериев, полученных из анализа уравнений движения,
должна быть дополнена критериями, включающими новые
функции и параметры из уравнений границ.
Во .многих практических задачах перепады давления на
свободных поверхностях равны нулю, и критерий Ей не
является определяющим. Наоборот, в критерий Фруда вхо-
Рис. 5.3. Результаты определения функций распределения расхода
воды по времени пребывания в водопроводном резервуаре:
а — схема резервуара; б — функция распределения расхода по времени
пребывания; / — свободная поверхность в натуре и на модели при Fr=idem; 2 — то
же на модели при Re=idem; 3 — пластина на части свободной поверхности на
модели; О ~~ натура, φ — модель с пластиной на свободной поверхности при
Re = idem; □ — то же без пластины; §§ — модель при Fr=idem
дят величины, составляющие условия задачи для потоков
со свободными поверхностями, и формально только при
Fr=idem уравнения, описывающие поверхность жидкости,
инвариантны. С позиций моделирования количественная
оценка влияния числа Fr весьма важна, так как лишь при
наличии автомодельности по этому критерию указанное
формальное требование может быть нарушено.

§5.1] Особенности открытых потоков. Критерии Φ руда и Эйлера 181
Как было отмечено, роль критерия Фруда при наличии
свободных поверхностей не всегда существенна. В
приведенных примерах это относится к потокам,
характеризуемым малыми значениями чисел Fr. Из работ Л. И. Седова
(см., например, [138]) известно, что и при очень больших
числах Фруда'имеет место автомодельность по этому
критерию (аналогично автомодельности по числу Рейнольдса
в квадратичной области). Такая автомодельность
объясняется уменьшением роли сил тяжести по сравнению с
силами инерции или уменьшением соответствующих членов
в дифференциальных уравнениях. Автомодельность при
малых числах Фруда имеет иную природу.
В соответствии с изложенным можно полагать, что
число Фруда сказывается на характеристиках потока через
форму и положение свободной поверхности.
Наиболее важной из характеристик свободной
поверхности является отношение существенного в данной задаче
перепада ее уровней Δηπ к глубине потока /ζ. Связь Δηπ//ζ=
=ηι (Fr) в некоторых случаях можно получить
аналитически.
Примером этому служат содержащиеся в [120] решения,
относящиеся:
к внезапному расширению потока в прямоугольном русле с
горизонтальным дном (рис. 5.4):
Θ»(1-Δη„/Αι) "
где Q = b2/bl; ζ—коэффициент гидравлического сопротивления;

182
Открытый поток в жестком русле
[Гл. 5
к максимальному поперечному перепаду на повороте
прямоугольного русла (рис. 5.5):
Fr2 + 2
Г _Δηη//^ (7-1)*--(1-1/7)* 1 рг
[ ΙηΤ (Δηπ/Λ)Ιη27 J
+
(5.3)
где r=\—b/r{. Эти связи получены для Fr<l.
По рис. 5.4 и 5.5 Легко установить, что при малых числах Фруда
можно выделить широкие области автомодельности Δηπ//ι по Fr.
Μη
0,2
Ο,ί
0
/πη
—\
\5
\ \
|Ч
о,
\Г/
V
5
ЪЧ
',
l·— ?
0
\1
Г
ч:
.', -ОО
Щ4-г? I J I
i>
5
ч-ι/
w
Рис. 5.5. Зависимость
ΔΐΊπΛι от Fr- в схеме
поворота
Иногда удается аналитически отыскать и связи между
характеристиками потока и относительным перепадом
уровней свободной поверхности X=X\(Ar\n/h) (здесь X —
характеристика потока). Имея, с одной стороны,
зависимость A\]Jh=v)(Fr) и, с другой, Χ=Χι(Δηπ/Λ), легко найти
связь X=X2(Fr).
Приведенные в [120] оценки коэффициента планового сжатия
струи при стеснении спокойного потока и относительной длины
водоворота при внезапном расширении такого потока в прямоугольном
русле в зависимости от числа Fr представлены на рис. 5.6—5.8. Здесь
индекс Fr=0 соответствует пределу рассматриваемой величины при
Fr у0.
Автомодельность по критерию Фруда длины водоворота
в схеме одностороннего расширения видна на рис. 5.8 при
Fri=n2i/(gh)<0,00l. Слабое влияние критерия Фруда
наблюдается уже при Fri<0,l.
На рис. 5.9 дана экспериментальная зависимость от
числа Fr коэффициентов сопротивления Cd единичных неза-
топленных тел, а на рис. 5.10 —коэффициента гидравличе-

§5.1] Особенности открытых потоков. Критерии Φ руда и Эйлера 183
ΚΠ^Ν
ЫЙ^
0,5\
Jr
h
\\\i\w\\\ I
1 v,^" П 1
-^
_-1
\"т^\*\ЧЧ\\ч\\ч\\ |
Xb^hrOA
^1
^2^
iS
1,5 Iqd/Fr,).
0,5 1,0 1,5 ί^(1/¥η)
Рис. 5.6. Влияние бурности пото- Рис. 5.7. Влияние числа Fr на дли-
ка на коэффициент планового ну водоворота при внезапном
сжатия еь = Ьсж/Ьи θ = /?2/&ι расширении:
— Θ-1.5; 0=2,0
Рис. 5.8. Экспериментальные зависимости длины водоворота при
внезапном расширении (&2/6ι=1,25) от числа Fr, используемые в качестве
базисных решений
15
1,0
0,5
о
0,5
1,5
2,5 Fr
Рис. 5.9. Зависимость
коэффициента сопротивления не-
затопленного тела от
числа Fr
0,100
0,075
G,Q50\
>о^
Х^
0,1 0,5
1,0 Fr
Рис. 5.10. Зависимость
коэффициента
гидравлического трения при усиленной
шероховатости дна лотка
от числа Fr

184 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
ского трения XR в лотке с искусственной шероховатостью
дна [59].
С позиций гидравлического моделирования больший
интерес представляют автомодельные области при малых
значениях числа Fr. Благодаря наличию таких областей
гидравлическая модель может быть выполнена с
отступлением от правила Фруда. Моделирование в автомодельных
областях при малых значениях чисел Фруда соответствует
известному в лабораторной практике способу форсировки
расхода на модели против значений, определяемых
правилом Фруда.
Следует указать, что выше было рассмотрено влияние
числа Fr в локальных явлениях. Если изучаемый участок
безнапорного течения имеет большую протяженность, так
что потери на трение в его пределах сопоставимы с
глубиной потока, то искажение модели по Фруду может привести
к искажению подобия заполнения русла в разных сечениях,
что должно быть учтено при постановке исследования.
5.2. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ ОТКРЫТЫХ ПОТОКОВ
ПО КРИТЕРИЮ РЕЙНОЛЬДСА. ХАРАКТЕРИСТИКИ
ТУРБУЛЕНТНОСТИ
В гл. 4 подробно рассмотрены принципиальные
положения влияния вязкости жидкости и связанного с ней числа
Re на характеристики течений. Здесь остановимся только
на особенностях, характерных для открытых потоков и
объектов, в пределах которых имеются такие потоки.
При решении практических задач с использованием
гидравлического моделирования представляют интерес
оценки влияния вязкости как на осредненные по времени
характеристики потока, так и характеристики турбулентности
открытых потоков. Среди первых из них особое место
занимают коэффициенты гидравлического сопротивления
(или коэффициенты гидравлического трения), которые,
с одной стороны, сами по себе часто являются предметом
исследования, а, с другой стороны, в некоторых задачах
могут выступать в качестве параметра в связях между
характеристиками потока и числом Re. В этих случаях
коэффициенты сопротивления могут рассматриваться в
качестве своеобразных критериев подобия, представляющих
собой комбинацию числа Re и симплексов, в которые
входят геометрические характеристики границ потока. Поэто-

§ 5.2] Автомодельность открытых потоков по критерию Рейнолъдса 185
му прежде всего остановимся на зависимости
коэффициентов сопротивления от числа Re.
Связь между коэффициентом гидравлического трения
XR=2gR'ITl)/U2 и числом Re при равномерном безнапорном
течении в русле с равнозернистой шероховатостью
поверхностей определена, в частности, в классических опытах
А. П. Зегжды (рис. 5.11). Зависимость Xfi = X(Re, АЭф, R)>
где АЭф — эффективная шероховатость, для открытого пото-
IqtiOQOA)
LgRe
Рис. 5.11. Зависимость коэффициента гидравлического трения от числа
Re и относительной гладкости при безнапорном равномерном движении
в лотке с равномерной шероховатостью
ка качественно соответствует таковой, полученной в опытах
Никурадзе для напорных труб. При достаточно больших
числах Re=i7i/?/v имеется область автомодельности KR по
Re (квадратичная область). В квадратичной области
коэффициент XR может быть определен из следующей
зависимости:
-?7г = 41ехг + 4'25·
(5.4)
Границе автомодельной (квадратичной) области по
А. П. Зегжде соответствует выражение
63Я
Re
гр"
(5.5)
в котором Хд определяется по зависимости (5.4).
Некоторыми исследователями для определения границ
автомодельной области предлагается условие
ί/*ΓρΔ3φ/ν=Λί, (5.6)

186 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
где £/*гр — динамическая скорость, соответствующая
границе автомодельной области; Μ — постоянная величина.
Так как i/*rp= \/xrI2U, то из (5.6) следует:
_ ΜΫ2 R
К гр yTR АэФ'
т. е. (5.6) по структуре совпадает с зависимостью (5.5).
По данным разных исследователей постоянная Μ имеет
значения 100—70 [218].
При реальной зернистой шероховатости в натуре
гладкость русл ЩАэф, определяемая такой шероховатостью,
обычно имеет порядок, не меньший 102—103. В
соответствии с (5.5) порядок значений Re^ составляет 106—107.
Аналогичные оценки получаются и при использовании
формулы Муди:
Re^ 1^^/(42/?) = 200. (5.7)
Такие значения Rerp обычны для естественных и
искусственных открытых водотоков в натуре, но практически
недостижимы в лабораторных условиях.
Однако для наиболее крупных открытых водотоков,
являющихся объектами гидравлического моделирования, для
которых сложно обеспечить на моделях высокие значения
числа Re (реки, каналы), наряду с зернистой
шероховатостью характерно наличие крупных выступов на твердых
границах, являющихся дополнительными источниками
турбулизации и причиной уменьшения Rerp.
В руслах рек и в каналах, пройденных в аллювиальных
грунтах, имеются донные формы. При грядовом строении
дна квазиравномерное движение, по В. С. Кнорозу [76],
характеризуется в квадратичной области коэффициентом
гидравлического трения
V = 0* £($-)"·"+».('-">£)· <М)
где hT и /г — соответственно высота и длина гряды; KR —
коэффициент гидравлического трения, определяемый
зернистой шероховатостью.
Из (5.8) следует, что чем больше относительные (по
сравнению с глубиной потока) размеры донных форм, тем
меньше вклад зернистой шероховатости в гидравлические
сопротивления.

§ 5.2] Автомодельность открытых потоков по критерию Рейнольдса 187
В. С. Кнороз рекомендовал определять при грядовом
строении русла границу квадратичной области по той же
зависимости (5.3) при подстановке в нее Kr=Xrv и значения
ДЭф, найденного из зависимости (5.4) при λβ=λβΓ. Для
песчаных русл hr/R^Oy 1-^-0,2, /Γ//ιΓ^20-ί-30 и по зависимости
(5.5) ЯГр.г равно 104-4-105.
Оценка коэффициента Xrt при грядовой форме дна, строго говоря,
является условным приемом, так как течение в данном случае
существенно неравномерно. Для суждения о гидравлических
сопротивлениях можно было бы определить коэффициент местного сопротивления
в пределах каждой гряды, связанный с крупномасштабными
возмущениями, вносимыми грядами и способствующими турбулизации
потока в целом. Известно (см. § 4.2), что Rerp при неравномерном
движении можно поставить в первом приближении в зависимость именно
от коэффициента местного сопротивления.
Целесообразность использования коэффициента местного
сопротивления при оценке Rerp подтверждают результаты исследования
прямолинейного канала с регулярно чередующимися сужениями: канал
составлялся из пересекающихся между собой шаровых сегментов [91].
В исследованиях определялись гидравлические потери, отнесенные
к одному сегменту. Шероховатость поверхностей сегментов
варьировалась. Однако коэффициент местно- >
го сопротивления в пределах
сегмента оказался зависимым главным
образом от отношения площадей
максимального и минимального сечений
канала и от формы сопряжения
сегментов (острая кромка или торовая
поверхность). Вместе с тем
оказалось, что значение Rerp однозначно
определяется значением
коэффициента местного сопротивления ζ (рис.
5.12).
Изложенное
свидетельствует о том, что внесение в поток
даже небольших местных
сопротивлений существенно
снижает значения Rerp по сравне-
Рис. 5.12. Автомодельность коэсЬфи
циента местного сопротивления ζ по q
числу Re в канале, составленном из
шаровых сегментов
4 [дЩ

188 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
нию с равномерным движением. Поэтому можно полагать,
что при наличии в потоке искусственных сооружений
(гидроузлы, перемычки, регулирующие сооружения), когда
местное сопротивление определяется наиболее четко,
граничные числа Rerp на участках влияния этих сооружений
имеют порядок 103—104. В [76], например, рекомендуется
в таких случаях принимать Rerp=5-103.
Естественное речное русло схематизировать сложно.
Здесь местные расширения, сужения, повороты чередуются
и сочетаются, влияя друг на друга. Ввиду большого
разнообразия речных русл дать общие рекомендации о границах
автомодельных зон по Re практически невозможно. Однако
некоторые ориентировочные рекомендации по значениям
Re^ для рек в литературе имеются. Разные авторы
предлагают принимать Rrp в диапазоне 400—1000. Такие
значения Rerp представляются несколько заниженными.
Опыт исследований на русловых моделях
выявляет следующую отчетливую тенденцию: для моделей
участков более крупных рек характерны большие значения
Rerp, чем для моделей относительно небольших рек. Для
моделей таких рек, как Волга, Нил, Кама, Днепр, Евфрат
в среднем и нижнем течении, влияние вязкости на
гидравлическое сопротивление отмечалось при Re<l-104, а на
моделях Ишима, Туры, Даугавы и других средних рек Rerp
имели порядок 103. Различие значений Rerp для рек разной
величины, очевидно, связано с тем, что более крупные реки
характеризуются меньшими значениями Яд, большей
относительной шириной русла, меньшей извилистостью.
Рассмотренные выше зависимости для сопротивления
в открытых потоках не учитывают их бурности (состояния
свободной поверхности). Однако наличие свободной
поверхности в принципе может влиять на характеристики
турбулентности открытых потоков и на потери энергии
даже при не очень больших числах Fr.
В [2] на основании обобщения данных о каналах, дно
которых сложено мелкими заиленными песками, с
берегами из супеси или суглинка при среднем коэффициенте
групповой шероховатости я=0,02, гидравлическом радиусе R=
= 0,11 -4-2,61 м и уклоне дна £ = 2,1 · 10~6-f-2· 10~3 предложена
зависимость
Яд=0,004+0,045^/3/7?. (5.9)
Обработка натурных данных показывает, что эта
формула дает лучшее соответствие измерениям, чем зависимо-

§ 5.2] Автомодельность открытых потоков по критерию Рейнольдса 189
сти, в которые не входит уклон (среднеквадратичная
ошибка до 25% против 31—38%, в отдельных случаях до 46%).
Имея в виду, что при равномерном движении ¥r=2il^Ry
(5.9) можно было бы рассматривать как зависимость λβ
от Fr. Этот вывод, однако, не является однозначным, так
как возможно представление
;=M(Re)2
1 2gR* V У
и, в принципе, влияние уклона в (5.9) (при v^const)
можно было бы интерпретировать и как влияние числа
Рейнольдса. В данном случае, однако, был проведен
специальный анализ, показавший, что обе интерпретации не
подтверждаются. Скорее всего в натурных условиях,
обобщенных соотношением (5.9), имеют место специфические для
легкоразмываемых русл придонные процессы,
непосредственно связанные с касательным напряжением на дне %=
=pgRi. Для практического моделирования соотношения
с размерными переменными типа (5.9) полезны лишь в том
отношении, что позволяют с относительно меньшей
ошибкой определять λ для натурных условий, сходных с теми,
для которых выполнялось обобщение.
Сравнительный анализ скорости генерации энергии
турбулентности в напорном и открытом потоках,
определяющей переход энергии от осредненного течения через
турбулентные пульсации в теплоту, показывает, что различие
между ними может быть при любых числах Fr открытого
потока. В частности, вертикальные пульсации скорости при
Fr->0 вблизи свободной поверхности подавляются, а на оси-
соответствующего напорного потока они остаются
конечными. Несмотря на это различие, влияние свободной
поверхности количественно может быть малосущественным,
так как максимум скорости генерации турбулентности во
всех случаях расположен близко от дна, где влияние
свободной поверхности не может быть сильным.
Значительное влияние свободной поверхности на
сопротивление определенно проявляется при относительно
больших числах Fr, когда свободная поверхность при
равномерном в среднем движении существенно отличается от
плоскости (см. § 5.1).
Выполнение на модели условия ReM^Rerp при Fr=idem
приводит к необходимости назначать весьма крупные
геометрические масштабы (см. § 3.1). В связи с этим даже

190 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
в современной литературе по гидравлическому
моделированию [181] иногда содержатся рекомендации обеспечивать
выполнение условия X=idem за счет меньшей
относительной шероховатости модели при отказе от соблюдения
условия ReM^Rerp [т. е. отнесения модели к переходной или
даже гладкостенной области зависимости X=X(Re)].
Указанные рекомендации получают из описания равномерного
течения. Однако гидравлическое моделирование
равномерного течения в данной постановке не имеет смысла. Если
же течение отлично от равномерного, то невыполнение по
крайней мере условия ReM^Rerp (при ReH>Rerp) приведет
к отличию формы зависимости между характеристиками
течения в различных его областях и к нарушению подобия
явления.
До сих пор рассматривалось влияние числа Re на
характеристики стабилизировавшегося установившегося
течения. Обычно вопрос о стабилизации течения сводится
к оценке различия относительных характеристик потока
(в том числе потерь энергии), зависящих от
турбулентности (или самих характеристик турбулентности) в
неравномерном или нестационарном и в равномерном потоках.
Такое различие всегда имеет место. Количественно оно
связано с градиентами величин. В стационарных потоках оно
особенно сильно проявляется на участках перехода от
областей течения с низким уровнем турбулентности к
областям с существенно более высоким уровнем. С позиций
гидравлического моделирования открытых стационарных
потоков в данной области представляют практический
интерес по крайней мере две задачи.
Первая задача связана с оценкой длины начального
участка модели — участка, в пределах которого
характеристики турбулентности, не воспроизведенные на входе
в модель (Kai/ = wti///C/2o=7^=idem), приходят в соответствие
с осредненными характеристиками потока и
характеристиками его границ. Необходимо определить длину этого
участка, которая в общем случае зависит от ReM, с тем чтобы
учесть ее при проектировании модели, добавив начальный
участок к рабочему.
Вторая задача возникает при моделировании самих
резко выраженных участков стабилизации. В гидротехнике
к таким участкам относится вход в безнапорные
водосбросы из водохранилищ, переход от зоны гашения энергий
к «бытовому» руслу.

§ 5.2] Авто мод ельнорть открытых потоков по критерию Рейнольдса 191
При назначении длины начального участка обычно не
учитывается влияние числа Re. Так, по [76] для русловой
модели /Ha4=50ft, что примерно соответствует данным,
относящимся к напорным каналам [/Нач= (55-4-60)Л, где h —
высота канала, при изменении Re от 5,7-104 до 2,3-105].
Реально длина начального участка зависит не только от
числа Re, но и от начальной интенсивности
турбулентности. Согласно теоретическому анализу [177], если
обеспечить турбулизацию пограничного слоя, для открытого
потока
/Ha4//i=3,74Re°>25,
что при Re^l -103 приблизительно в 3 раза меньше
сделанных выше оценок.
Эти оценки относятся к случаям, когда по длине потока
турбулентность возрастает. Для сокращения длины начального участка
может оказаться целесообразным искусственно создать на входе в
модель повышенную турбулентность. В [84] показано, что затухание
энергосодержащих вихрей происходит тем быстрее, чем более
высокочастотен начальный спектр. Это означает, что на входе в модель
целесообразно возбуждать высокочастотную, мелкомасштабную
турбулентность, содержащую, впрочем, и на низких частотах энергию,
достаточную для формирования соответствующей части спектра
стабилизированного течения. В [91] этот вопрос рассмотрен подробно. Там
же сделана оценка длины начального участка при генерации
турбулентности на входе в модель с помощью донного порога. Показано,
что при таком способе генерации турбулентности
/ 1 /Ύ 2,771/Х, +
2,77|ЛЯ +1
' X
■R
2[1-«с«(1-Ав/А)К45л]
Xln ρ — , (5.10)
где \Kr — коэффициент гидравлического трения стабилизированного
потока; ha — высота порога; 8СЖ — коэффициент сжатия потока при
обтекании порога (0,61<еСж<1); β — коэффициент, который можно
принимать равным 0,05.
Связь осредненных характеристик потока с развитием
турбулентности на участках входа из водохранилищ в
безнапорные водосбросы при их гидравлическом
моделировании должна быть учтена прежде всего с точки зрения
оценки пропускной способности водосбросов. Экспериментально
этот вопрос наиболее полно исследован для водосливов.

192
Открытый поток в жестком русле
[Гл. 5
Выполненные исследования указывают на зависимость
коэффициента расхода водосливов от числа Re=g/v (где
q — удельный расход на гребне водослива).
На рис. 5.13, 5.14 представлены результаты опытов,
относящихся к переливу через стенку с острым ребром и
водослив практического профиля. Ка основании этих данных
Рис. 5.13. Зависимость
коэффициента расхода m водослива с
тонкой стенкой от числа Re
4,5 IqRe
в [52] сделано заключение, что для свободной струи,
переливающейся через стенку с острым ребром, коэффициент
расхода m слабо зависит от числа Re при Re^=Rerp=
= 3-103-=-5-103, а для прилипшей струи — при Re^RerP =
=1·104. Для водослива практического профиля принято,
что Rerp=5-103-M-104.
Рис. 5.14. Зависимость
коэффициента расхода m
водослива практического
профиля от числа Re
при разных отношениях
расчетного напора на
гребне водослива Яр к
действующему напору Η
0,5
ОЛ
0,3
°>ί
Уь
£Г&
н
^{**
р/Н=0,6
Л,8
1,4
'2,0 3,0 4,0 IgRe
Результаты исследований влияния числа Re на
коэффициент расхода m различных водосливов, выполненных
рядом авторов, приведены в [215] в виде зависимости от
числа Re, так называемой масштабной поправки
коэффициента расхода r\m=^iJ^u· Очевидно, здесь предполагается,
что mH = \imm. Там же приведены зависимости, аппрокси-
Re-*oo
мирующие связь r]m=i](Re) в виде
r\m=l+A/Ren.
(5.11)

§ 5.2] Авто мод ельиость открытых потоков по критерию Рейнольдса 193
Для водосливов различной формы А изменяется в
пределах 7,3—2011, а п — в пределах 0,58—1,145. Если ввести
в рассмотрение допустимую относительную ошибку
определения коэффициента расхода Атдоп и соответствующее ей
граничное число Рейнольдса Rerp, то зависимость (5.11)
может быть преобразована в следующую:
Яегр:=[Л(1/дтд0П— 1)]
1/п
(5.12)
0,08
0,06
0,04
0,02
О
10°
--
\
4
\\
А
·,
\ 4'
>
\
5 \
\
|
ч
<^р·
I
!
<L t
L»_*»j
Ν;
_±ι
10"
10°
Re=q/v
Рис. 5.15. Зависимость граничного значения числа Rerp от допустимо?!
ошибки определения коэффициента расхода водослива Am:
/ — вакуумный водослив с циркульным оголовком; 2 — водослив с профилем
Кригера — Офицерова; 3 — безнапорные трубы с нескругленными входными
оголовками; 4 — водослив плотины Норрис (модель и натура); 5 — безвакуумный
водослив
Из этой зависимости для разных водосливов,
представленной на рис. 5.15, следует, что отклонению, близкому
к Атдоп=0,05, соответствует Rerp^l-104. При
необходимости высокой точности определения пропускной способности,
например при исследовании мерного водослива с
точностью 1%, требуется, чтобы ReM>l-105. Для водосливов
практического профиля при АгаДОп—0,05 напор на гребне
модели должен быть #м^0,03 м, а при необходимости
точности, соответствующей Атдоп=0,01, —#м^0,15 м.
Обработка материалов, помещенных в [218],
подтверждает, что при ReM<104 ошибка в определении пропускной
способности водосливов и безнапорных водосбросов может
превысить 5—10%·
Слабая зависимость коэффициента расхода от числа Re
(и соответственно относительно низкое значение Rerp)

194 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
обусловлена тем, что потери энергии на входе в водосброс
(до сечения с критической глубиной) малы и не они
определяют пропускную способность. Иначе обстоит дело
с оценкой влияния Re на характеристики участка
стабилизации на входе в водосброс, непосредственно
связанные с турбулентностью. В [215] имеются сведения о
зависимости от Re масштабной поправки коэффициента
давления на оголовок водослива η =СР /Ср , где СР== (Рат—
СР *н м
—Por)/(pgHQ) (Рат — атмосферное давление; Р0Г=р-{~ртаХу
Ρ— осредненное давление на оголовок; ртах — половина
Рис. 5.16.
Зависимость граничного
значения числа Rerp от
допустимой ошибки
определения
коэффициента давления на
оголовок водослива
АСр
Ίθ3 1Q4 10s 106Ke=q/v
максимальной амплитуды пульсации давления). Для связи
т]с =r|(Re) предлагается следующая аппроксимирующая.
зависимость
цСр= 1 +222/(Re - 3000)0·71. (5.13)
Построенная по (5.13) зависимость между Rerp и
АСР изображена на рис. 5.16. Как и следовало ожидать,
ДОП
характеристика, непосредственно связанная с
турбулентностью, для участка стабилизации оказалась зависящей от
Re существенно больше*, чем коэффициент т. Поэтому
коэффициент СР может быть определен на моделях в
приемлемых масштабах сочень небольщой .точностью.
. В некоторых практических аадачах представляют
интерес характеристики пограничного слоя, развивающегося на
поверхности безнапорного потока: В частности, длина уда-
стка развития пограничного слоя определяет положение
сечения, где начинается его аэрация. Характеристики потока
на участке развития пограничного слоя существенно зааи

^ 5.2] AerOMoOoAbfioCTh открытых notoKOB no критерию Рейиольдса \%
сят от числа Re. С этим критерием связан коэффициент
гидравлического трения на данном участке течения.
По [187] коэффициент гидравлического трения на участке
развития пограничного слоя
Kiv7 = Kj(lgReA)-119,
где α = α(Δ0φ); Δοψ — эффективная шероховатость; Rex = UxB/v; Хв—
продольная координата по длине водосливной грани.
Отсюда следует, что подобие распределения Ап.с по длине
развивающегося пограничного слоя при Re^idem возможно лишь при
соответствующем подборе шероховатости дна, переменной на участке
развития пограничного слоя. Процедура такого подбора предлагается
в [187].
Ориентировочную оценку при выборе шероховатости
поверхности открытого водосброса, постоянной на всей его
длине и, естественно, не обеспечивающей подобия деталей
течения, можно получить по результатам исследования,
приведенным в [76]. На основании натурных исследований
было установлено, что потери в пределах водосливных
граней плотин Шастан и Сен-Этьен-Кантеле составляют до
20—30% перепада уровней бьефов. Длина участка
развития пограничного слоя на этих плотинах составляет (40—
60)Λ (h — высота переливающегося слоя). Модель плотины
Сен-Этьен-Кантеле была выполнена в геометрическом
масштабе 1 : 60, что соответствовало ReM=3· 104-ч—1 · 105.
Шероховатость водосливной поверхности на модели варЬ:
ировалась за счет покрытия ее лаком, железнения
цементной штукатурки и наклейки песка крупностью 2 мм.
В табл. 5.1 приведены данные о потерях энергии в
пределах водосливной грани в долях полной энергии в
верхнем бьефе относительно уровня схода с водослива АЭ/Эо.
Указанная в таблице эффективная высота выступов
шероховатости принята по справочным данным.
Таблица 5.1
Ус лови! опыта
Натура
Модель:
noiepxHocTb покрыта лаком
желе ?не иная поверхность
на поверхность наклеен песок с
d=2 мм
Δ,φ' ΜΜ
2,00
0,01
0,02
0,50
АЭ/50, %
35
29
33
52

196 Открытый поток в жестком русле * [Гл. 5
Из таблицы следует, что соответствие потерь на модели
и в натуре получено при железнении водосливной грани
модели водосброса. Относительная шероховатость при же-,
лезнении, очевидно, несколько меньше соответствующей
геометрическому масштабу модели (в 1,5—2 раза), что и
компенсировало влияние числа Re.
Из приведенного примера можно сделать вывод о том,
что при достаточно крупном масштабе модели имеется
возможность определения потерь энергии в пределах
водосброса. При исследовании других явлений ошибки могут быть
более значительными. Например, распад струи,
сбрасываемой в атмосферу, существенно зависит от турбулентности
в начале струи. Если развитие турбулентности на модели
в пределах водосброса будет происходить иначе, чем в
натуре, или если будет искажен спектр турбулентных
пульсаций на подходе к короткому водосбросу, то это скажется на
подобии характеристик струи.
5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАНА ТЕЧЕНИЙ РУСЛОВОГО
ПОТОКА
Русловой поток обычно отличают малая (по сравнению
с шириной) глубина и существенная изменчивость
очертания берегов. Относительная ширина потока b/h может
превышать 100, 200 и более. Такой поток является
подходящим объектом плановой схематизации.
Отыскание условий подобия распределения в плане
удельных расходов или скоростей, осредненных по
глубине, для руслового потока опирается на уравнения
плановой задачи (2.128), записываемые иногда в специальной
системе координат с учетом формы границ потока.
Изменение формы русла в плане вызывает поперечные
движения воды двух типов:
1) местный осредненный поперечный поток, связанный
с изменением распределения удельных расходов по ширине
русла;
2) поперечная циркуляция, непосредственно связанная
с кривизной струй и с неравномерностью распределения
скоростей по глубине потока.
Поперечные течения первого типа полностью
описываются уравнениями плановой задачи. Поэтому в тех
случаях, когда вопрос о структуре напряжений, действующих
между струями в плане (т. е. по существу вопрос
замыкания уравнений турбулентного потока) не существен, подо-

§ 5.3] Мооелирооаниё плана течений руслобого потока 19
оие поперечных течений, как и вообще подобие решений
уравнений плановой задачи, определяется условиями» еле-
дующими из анализа уравнений (2.117), в том числе уело*
вием (2.118).
Если учитывать, что практически всегда λΜ>λΗ, то
условие (2.118) означает необходимость укрупнения
вертикального масштаба модели по отношению к горизонтальному во
столько же раз, во сколько коэффициент гидравлического
трения на модели больше соответствующего коэффициента
в натуре: Μ^Μι=Μλ. При этом, конечно, необходимо
следить за выполнением подобия распределения коэффициента
λ по длине и ширине потока, что оказывается возможным
при достаточно больших значениях числа Рейнольдса на
гидравлической модели. Различие между условиями (2.118)
и (2.127) состоит в том, что при выводе условия (2.127)
из одномерных уравнений для широких русл остается
произвольным масштаб ширин потока. В плановой задаче
масштаб ширины равен масштабу длины. Заметим, что в
практике моделирования можно комбинировать двумерное и
одномерное описание потока на различных участках по его
длине. Например, если на каком-то промежуточном
участке реки не ожидается заметных переформирований потока
в плане, то длину этого участка на модели можно резко
уменьшить, сократив для этого участка продольный
масштаб модели с соответствующим увеличением
коэффициента гидравлического трения (за счет повышения
шероховатости границ модели). Масштабы ширины и глубины
сохраняются неизменными, соответственно неизменными
остаются масштабы скорости и расхода. Именно это и
позволяет практически осуществить два различных подхода
(двумерный и одномерный) в пределах одной модели.
Если в изучаемом явлении касательные напряжения на
поверхностях между струями жидкости сопоставимы с
напряжениями на дне (и поверхности) потока, то решение
вопроса, является ли условие (2.118) единственным
условием подобия плана течений в автомодельных областях по
критериям Re и Fr, зависит от представления о структуре
зависимости для касательных напряжений. Как показано
в § 2.7, при одних представлениях о структуре этих
напряжений анализ подобия свидетельствует о пригодности
условия (2.118) и в тех случаях, когда с касательными
напряжениями на вертикальных поверхностях следует считаться,
при других представлениях к указанному условию следует

1ук Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
добавить иные соотношения, так что условия A^idem и
boJh0=^idem выступают как независимые. Таким образом,
для оценки применимости условий подобия, следующих из
анализа уравнений плановой задачи, необходимо опреде-
лить влияние на план течений поперечной циркуляции
потока, а для оценки, в частности, справедливости условия
(2.118) выяснить, выполняется ли это условие в тех
случаях, когда касательные напряжения между струями
значительны.
Сшбор VI
U/U
U/U
Отбор VI \ А
гг/Ь = 1}5
^V.
"Ί 1—
Створ IX
^Ъ
к
щ
ч-
0,2 0,4 0,6 (r2-r)/b 0 0,2 0,4 0,6 (r2-r)/b
Рис. 5.17. Распределение скоростей на повороте при Г2/Ь=\,Б и
различных λ и b/h:
/ — опыты на напорной модели (b/h = \00, λ=0,045); 2 — опыты И. Л. Розовского
(&/Λ=13,3, λ-0.012) [132]; 3 — опыты А. Шукри (b/h=\,0, λ=0,0104) [219]
В соответствии с замечанием, приведенным в конце
§ 2.3, вопрос о достаточности условия (2.118) может быть
сформулирован и по-другому: можно ли считать коэффи-
циент λ, связывающий осредненные по глубине мгновенные
скорости с мгновенным касательным напряжением на дне,
таким же как в равномерном течении.
Интенсивная поперечная циркуляция возникает на кру-
тых поворотах русла. Для оценки характера влияния
относительной ширины потока и коэффициента
гидравлического трения на условия движения на повороте были
поставлены специальные опыты, результаты которых
приведены на рис. 5.17—5.21. Модель представляла собой лоток
прямоугольного сечения постоянной ширины с поворотом
на 180°. Средний радиус поворота гср был принят равным
ширине лотка (ri = 0,56), глубина модели и относительная
шероховатость дна лотка изменялись независимо.
В результате опытов было установлено, что с
возрастанием b/h и λ наблюдается выравнивание плановых эпюр
скоростей во всех створах.

§ 5.3] Моделирование плана течений руслового потока
199
На рис. 5.17 показано распределение скоростей в двух
характерных створах, полученное в опытах, существенно
отличающихся между собой значениями b/h и λ. Здесь
также нанесены результаты опытов А. Шукри [219] и
И. Л. Розовского [130], проведенных на безнапорных
моделях, которые имеют те же соотношения плановых
размеров, что и в опытах авторов на напорных моделях. На рис.
и/щ
1,4
¥
о,
0,6
'-~* А
[ |
Стдор VI
"%
b/h=1-/
W
ъ=зо
0 0,2 0,4 0,6 (r2-r)/b
U/U
1,4
1,0
0,8
0,6
\b/h
\ Τ
Стдор IX
ЬА
--30
=1
0 0,2 0,4 0fi(rz-r)/b
Рис. 5.18. Влияние b/h на распределение скоростей
(λ=0,024)
U/U
1,0
J - -
Стдор
[
Л=0,048
V=C
IV
,025
и/и
1,0
Створ
λ=0
_—
MS
VI
/Δ |
^X=0,02J
Ί\
о,б\—I 1 1—Ι—J огб .
0 0,2 0,4 0,6 (r2~r)/b 0 0,2 0,4 0,6(r2-r)/b
Рис. 5.19. Влияние λ на распределение скоростей
(6/Л = 30)
5.18 нанесены средние по глубине продольные скорости
в масштабе средней скорости по сечению (U/U).
На рис. 5.18 и 5.19 показано соответственно влияние
отношения b/h и λ на распределение скоростей.
Сопоставление этих результатов показывает, что увеличение как λ,
так и b/h приводит к однозначным изменениям в
распределении продольных скоростей. Это позволяет
предполагать, что главная роль в формировании распределения
скоростей в плане на повороте широкого русла принадлежит
поперечным течениям первого типа, влияние которых пол-

200 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
ностью учитывается уравнениями плановой задачи. В этом
случае при относительно малой роли поперечной
циркуляции и сил трения между струями в плане зависимость
плана течений от параметров λ и bjh должна проявляться
в виде зависимости от комплекса Xb/h. Действительно,
совпадение результатов опытов при разных λ и b/h> но при
Kb/h^idemy приведенное на рис. 5.20, подтверждает это
положение.
и/и
-io
0,6
6
I 1
Створ IV
6
ύ
&
а
и/и
1,0
0,6
Δ
- -J- T -
Створ VI
8
Δ
О
Δ
О
О
0 0,2 0,4 0,6(r2-r)/b ~'~0 0,2 0,4 0,6 (r2-r)/b
Рис. 5.20. Распределение скоростей при Xb/h = iaem:
д_Я=;0,048; b!h = 30; Ο-λ=0,024; £>/Λ=60
Малая роль поперечной циркуляции (поперечных
перемещений второго типа) в данных условиях
подтверждается сопоставлением плана течений напорного и
безнапорное
'0,8
- L
V
V
а
^
^~Cj*
пбор IV
^Л
\9
Л
χ
ъ
<
н
ιβορ
S^-л-
*ч
Л
VI
X
Л
\
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0,2 Ofi QB{r2-r)/b
U/U
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
η с
' 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0,2 0,4 0,6 (г2-г)/Ь
Рис. 5.21. Сопоставление результатов опытов на открытой и напорной
моделях (створы на рис. 5.17, b/h=\3,3):
а — распределение пьезометрических уровней по ширине потока; б
—распределение скоростей по ширине потока; Δ — напорная модель, λ = 0,009; О —
гидравлический лоток, λ=0,007
—
а
._
7700,
--
DIV
*Ъ.
i-
—
[а
_£
ή
Sn
тво
#
ρ VI
/
ϊ
-■=с
_С,
ηδοι
Ά
ι IX
,
\
\
-

§ 5.3] Моделирование плана течений руслового потока 201
ного потоков. Для сравнения были взяты опыты И. Л.
Розовского [130], выполненные в гидравлическом лотке при
Fr = 0,ll и fo//i=13,3, и опыты с напорными потоками, в
которых для возможно большего различия поперечных
циркуляции шероховатость дна и крышки модели была
сделана одинаковой. Опыты показали, что распределения
в плане средних по глубине скоростей и поперечных
уклонов на повороте соответствующих открытого и напорного
потоков почти совпадают (рис. 5.21). Небольшое
систематическое отклонение объясняется некоторым различием
коэффициентов гидравлического трения: для напорной
модели λ=0,009, для открытого потока λ=0,007.
Несколько завышенную конкретную оценку влияния
поперечной циркуляции на распределение скоростей в плане
можно получить, рассмотрев схематизированное движение
жидкости на «замкнутом» повороте, в котором нет
изменений по длине потока и отсутствуют поперечные
перемещения первого типа. Такая оценка выполнена в [91].
В результате проведенных построений получена
следующая формула для расчета распределения продольных
скоростей в плане:
1
Ό
Vr/b
1 + {Ar— l)exp
r2 — r\ Y\
- 2h\lb )\
1/2
— (ЩЬ)+1
(5.14)
.) VTJb[
1 + (Л--1)ехр
2h4rjb J
1/2 r
u/u
1,6
0,8
0,4
S^\
' 0 0,2 0,4 0,6 (rrr)/b
U/U
1,6
0,8
a) 0,4
5S^
^^
/
^y
0 0,2 0,4 0,6 (r2-r)/b
5)
Рис. 5.22. Влияние поперечной циркуляции на распределение по
ширине потока осредненных по глубине скоростей:
α—λ&/Λ=10; б —Μ/Λ=0,1; —3-— - λ-0,01; _— λ-0,001; -·-
асимптотическое распределение {]'{]=. (у гx-\-V r2 )/(2 V г )\ · · пово»
рот плоского потенциального потока U!U=[\n(r2/ri)]-lb/r

SO^ Открытый поток в жестком русле [Ι'Λ. 6
Здесь Ar— U2*(>ί)/£/2*ο — отношение реального
касательного напряжения на дне у выпуклого берега (г=г{)
к таковому в равномерном движении с тем же уклоном
и глубиной. Коэффициент аг/ъ зависит от λ [91].
На рис. 5.22 приведены результаты расчетов по (5.14)
для схемы поворота, изученной экспериментально при
r2/ri=3; r1/ft=0,5; 6/ft=10-*-100; λ=0,05-^0,005.
Изменение поперечной циркуляции вследствие влияния
λ незначительно влияет на распределение осредненных
скоростей. Влияние b/h более заметно, однако и оно
становится весьма слабым при b/h>20. В этом случае влияние
поперечной циркуляции становится пренебрежимо малым,
и распределение осредненных скоростей в плане
соответствует решению плановой задачи.
Чтобы выяснить, в какой мере комплекс ХЬ0/к0
определяет подобие плана течений при существенной роли
касательных напряжений между струями, в [120] рассмотрено
внезапное расширение открытого спокойного потока, в
пределах которого касательные напряжения между
транзитным потоком и водоворотами особенно велики. При этом
использована полуэмпирическая зависимость осредненной
длины водоворота при внезапном расширении
прямоугольного русла, в которой касательные напряжения между
транзитной струей и водоворотом оцениваются через
коэффициент гидравлического трения λι,3, постоянный по
поверхности раздела между струей и водоворотом. Крайние
оценки произведены в предположениях пренебрежимости
касательными напряжениями на этой поверхности (1ΒΪ) и
при значении λι,3 = 0,04,
полученном отработкой
экспериментальных данных (/в).
Зависимость (/Βι—/в)//в от
комплекса Kb\jh\ при
различных степенях расширения θ
представлена на рис. 5.23. Как
и следовало ожидать, при
достаточно больших значениях
Xbi/hi касательные
напряжения на вертикальных гранях
практически не влияют на
длину водоворота, и,
наоборот, при весьма малых
значениях этого комплекса длина
водоворота в основном опре-
Ab1/hi
Рис. 5.23. Влияние
напряжений на границе раздела на
длину водоворота при
различных значениях Xb\/hx и θ

§ 5.3] Моделирование плана течений руслового потока 203
деляется λι,3, причем влияние касательных напряжений тем
меньше, чем больше степень расширения.
В реальных условиях отрывные течения характерны для
потоков в прудах-охладителях, в районах выправительных
сооружений и строительных перемычек, в нижнем
бьефе гидроузлов. Для прудов-охладителей относительная
ширина потока на входе в них обычно составляет 30—100
при λ«0,01, т. е. λ&ι/ήι=0,3-*-1.
Для выправительных сооружений на средних и крупных
реках λ&ι//ΐι=0,2-^-3, а 0=1-М,3; для строительных
перемычек гидроузлов в тех же условиях λί?ι//ΐι=0,1-^-2 и Θ^
= 1,2-^-3. Из графиков на рис. 5.23 следует, что неучет
касательных напряжений при оценке водоворотных зон в этих
случаях не может привести к каким-либо серьезным
ошибкам.
Такой же вывод о достаточности условия X£?/ft=idem
для течения с отрывом получен и другим путем — на осно*
ве сравнения данных расчета длины водоворота по
двумерным уравнениям и экспериментальных данных.
Анализируя условия подобия плана течений в нижнем
бьефе гидроузлов, нужно отметить два характерных
случая. Во-первых, это наиболее интересный в отношении
общих размывов случай пропуска через гидроузел макси*
мальных расходов, когда сброс воды происходит по всем>
водосбросному фронту, и, во-вторых, это сброс расходов
на части фронта. Если в первом случае для гидроузлов на
крупных равнинных реках относительная ширина обычно
находится в пределах 50—100, a Xb\/h\ — в пределах
0,2—1, то во втором случае значение комплекса %b\/h\
может быть близко к значению λι,3 или даже меньше его.
Поэтому неучет касательных напряжений на вертикальных
гранях при сбросе расходов по всему фронту не должен
привести к ошибкам, превышающим 5—6%. При пропуске
расходов на части водосбросного фронта ошибка может
быть очень велика. Тем не менее и в этой ситуации
условие (2.118) является практически достаточным.
Из сказанного можно сделать вывод, что при решении
большого круга практических задач на модели, когда λφ
=^idem, для достижения подобия можно назначать
искажение геометрических масштабов так, чтобы Mh/Mi было
равно Μχ.
На рис. 5.7 была представлена зависимость
относительной длины водоворота /В/Ь3 от Xb\/h\ при малых значениях

204 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
числа Фруда. Из рассмотрения кривых на этом графике
можно заключить, что при малых значениях комплекса
λ&ι/Αι (когда в силах сопротивления преобладают силы
трения на боковых гранях транзитной струи) /в/&з мало
зависит от λ&ι/Αι и приближается к постоянному значению
при Kb\/h\-^0. В этих условиях, по-видимому, главную
роль играет перемешивание в плане, так что справедливым
становится представление (2.134а), и критерий %b\/h\ вновь
является определяющим, хотя влияние его здесь
малосущественно. (Это справедливо, если остается малой роль
поперечной циркуляции.) Следовательно, здесь можно
выделить автомодельные области по Xb\/h\ с небольшим
отклонением U/bz на границах от значений внутри областей.
По рис. 5.7 можно получить оценку границы автомодельной
области по λ&ι/Αι, соответствующей при 1=^9^5 10%-ной
точности наблюдений:
(λ£1/Α1)Γρ= (0,3-4-0,05)9.
Отмеченное обстоятельство указывает на то, что при
исследовании объектов, характеризующихся достаточно
малыми значениями комплекса %b\//hu назначение
масштабов величин λ, Ъ и А может быть произвольным
настолько, чтобы значение комплекса (λ&ι/Αι)Μ не превосходило
граничных значений этого комплекса:
(λ&ι/Αι)Μ*ζ(λδι/Αι)Γρ, если (λ^/Αι)^ (λ&ι/Αι)ΓΡ.
Таким образом, исходя из разных соображений, можно
констатировать, что соблюдение условия Xft/.A = idem
обеспечивает приближенное подобие плана отрывных течений
как при достаточно больших значениях комплекса λ&ι/Αι,
так и при достаточно малых его значениях.
Для проверки предположения об однозначности
зависимости длины водоворота от комплекса λ&ι/Αι были
поставлены специальные опыты в гидравлическом лотке ши-
Таблгца 5 Я
\
0,0061
0,0077
0,0077
0,С093
brlhy
42,0
33,4
84,0
70,0
ХЬ,/Л,
0,251
0,251
0,643
0,613
lBlb3
4,05
4,35
9,98
3, 22
4Ж*)
0,30/8,5
0,2*Ί4

§ 5.3] .Моделирование плана течений руслового потока 205
риной 4 м и длиной 12 м при Fr=U2i/ghl^0yl.
Рассматривалась схема внезапного расширения при 9=1,33. В опытах
сопоставлялась картина течений при разных значениях
bi/hi и λ, но постоянном в каждой паре опытов значении
\b\fh\. Результаты опытов приведены в табл. 5.2.
Из данных табл. 5.2 следует, что при меньшем Xb/h
относительное изменение длины водоворота с изменением
b/h больше. Это означает, вероятно, усиление влияния
поперечной циркуляции, так как отступление от
автомодельное™ турбулентного трения между струями в плане
следует ожидать с увеличением критерия Xb/h, а не с его
уменьшением. Из приведенных данных следует, что план
течений русловых потоков с достаточной точностью
определяется одним комплексом Xb/h, а не параметрами λ- и
b/h отдельно.
Если полагать, что комплекс Xb/h является
определяющим, то, казалось бы, подобие плана течений может быть
обеспечено в лк^бом случае (при любом превышении λΜ
над λΗ) за счет соответствующего выбора искажения
геометрических масштабов модели, т. е. подобие плана
течений можно обеспечить (если не принимать во внимание
влияния Re и Fr) при весьма малом плановом масштабе.
Однако искажение должно быть ограничено. К этому
побуждает ряд обстоятельств.
Во-первых, аффинно преобразованное поперечное
сечение русла приобретает на модели гидравлические
свойства, отличные от свойств соответствующего сечения в
натуре. В качестве одной из характеристик поперечного
сечения русла можно рассматривать симплекс h/R, где R—
гидравлический радиус. (В частности, при h/Rzzl русло
можно считать широким.)
Если МнфМи то /z/7?=£idem (МпфМн)У и на модели,
запроектированной исходя из условия Xl/h=idem>
окажутся искаженными потери по длине даже в условиях равно*
мерного течения (£дл=й=1с1ет).
Для оценки изменения симплекса h/R при искажении
геометрических масштабов выполнены подсчеты для русл,
имеющих прямоугольное или параболическое поперечное
сечение. При этом в качестве характерной принята
максимальная глубина. Для прямоугольного русла
hmax/R = l+2b/h max·
Если задаться допустимым значением отношения
(Мь/Мя)Доп, то можно получить допустимое искажение

206 Открытый поток д жестком русле [Гл. 5
геометрических масштабов (Mh/Mb)доп, соответствующее
этому значению при данной относительной ширине русла
в натуре (Ь/ктах)н'·
(МЛ/Л1ь)доп=( 1/2) (Ь/Атах)н[ (Мл/Мд) доп— 1] + (М/г/Мн)Доп.
(5.15)
При двух значениях {Mh/MR)Aony равных 1,05 и 1,1, эта
зависимость показана на рис. 5.24.
Для параболического русла
Аотах//?=(1/4) (b/kmax) [4(b/hmax)-l+lV!2-l.
lQ(1000<pr)
(Μ,/Щ
Рис. 5.24. Зависимость
допустимого искажения геометрических
масштабов от относительной
ширины русла в натуре
IqOOOtq?)
Рис. 5.25. Влияние крутизны
откоса tg у на потери энергии при
изменении глубины (?γ ==ζγ/ζγ^90*):
расширение потока:
сжатие потока
Полученная из этого соотношения зависимость
(Mh/Mb)ΑΟη=φ [(Ь/ктах)нУ (Мн/Мц)Лоп] при тех же
значениях (Mh/MR)AOn также приведена на рис. 5.24. Можно
отметить, что во избежание существенной разницы
масштабов глубины и гидравлического радиуса значительное
искажение геометрических масштабов недопустимо при
относительно узких руслах. Наоборот, при широких руслах это
условие практически не является препятствием для
искажения геометрических масштабов.
Другим (еще большим) ограничением является то, что
при существенном искажении масштабов может произойти
значительное изменение сопротивлений, связанных с измене-

§ 5.4] Нестационарные открытые потоки 207
нием глубины потока вследавие изменения крутизны
откосов русла в направлении течения.
На рис. 5.25 можно отметить, что относительно широкие
области автомодельности коэффициентов местных
сопротивлений по тангенсу угла откоса рельефа дна (т. е. по
симплексу h/l) могут иметь место либо при весьма малых
углах γ, либо при значениях этого угла, близких к 90°. Но
при малых значениях tg γ (малых значениях модуля
производной dh/dxi) местные сопротивления вследствие их
малости дают незначительный вклад в суммарное
сопротивление. Поэтому в тех случаях, когда глубина потока в
направлении течения меняется незначительно (dh/dxi&0)y
умеренное искажение масштабов не приводит к
существенному нарушению подобия. Если же значение модуля
производной dh/dxi велико, искажение геометрических
масштабов ведет к перераспределению сил сопротивления в плане
и к существенному искажению плана течений.
Искажение геометрических масштабов необходимо
назначать весьма осторожно. Практически можно
рекомендовать при исследовании крупных и средних рек
ограничивать искажение геометрических масштабов двух-трехкрат-
ным, прибегая к большему искажению в исключительных
случаях (например, при плоском рельефе дна и для очень
широких русл).
Заметим, что до последнего времени в литературе
встречаются предложения назначать искажение
геометрических масштабов либо из понятия некоторой
универсальной допустимой степени искажения, либо из анализа
некоторых частных сторон явления. Такие подходы могут
привести к серьезным ошибкам.
5.4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ОТКРЫТЫЕ ПОТОКИ
Нестационарные явления в реках обычно представляют
интерес на участках значительной протяженности, где
весьма эффективной может быть одномерная схематизация.
Это объясняется тем, что на коротких участках
(приблизительно равных глубине или ширине реки) скорость
изменения режимов течения даже в таких задачах, как
распространение волны прорыва, за исключением коротких
интервалов прохождения «лба» волны, изменяется сравнительно
медленно и во многих случаях может изучаться в
квазистационарном приближении. Одномерные уравнения могут
иметь различную форму записи (Сен-Венана, Буссинеска,

208 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
Дресслера и др.) в зависимости от содержания
предположений, касающихся распределения давления по сечению
потока (см. § 2.6).
Систематическая проверка применимости одномерных моделей для
описания нестационарных процессов в реальных реках стала
возможной с внедрением в гидравлические исследования ЭВМ. В СССР
алгоритмы и программы были созданы в Институте гидродинамики СО АН
СССР под руководством О. Ф. Васильева [19, 22] и в НИС
Гидропроекта [47, 56, 89, 104]. В проверке нуждались гипотезы,
использованные при выводе уравнений. В частности, необходимо было
уточнить вопрос о возможности принимать квазистационарные
соотношения для задания касательных напряжений на границах, а также
считать равными единице все коррективы, получающиеся при переходе
θτ интегралов к средним значениям подынтегральных функций. С
использованием разработанного алгоритма и программы были
проведены сопоставления результатов расчетов и натурных наблюдений
нестационарных режимов суточного регулирования в нижнем бьефе
гидроэлектростанции [44].
Во многих докладах на симпозиумах МАГИ (Ньюкастл, 1976—
Нестационарное течение в открытых каналах; Братислава,
1981—Численные методы в гидравлике) отмечается, что хорошее согласие
расчетов и опытов можно получить лишь при надлежащей «подгонке»
математической модели не только за счет коэффициента
шероховатости (принимавшегося во всех расчетах независимым от режима),
но и за счет формы и площади поперечных сечений на участках, где
эти сечения имеют сложную форму или резко меняются по длине. По
данным [160] удовлетворительного согласия расчета и наблюдений
в нестационарных условиях удалось достигнуть только при
изменениях коэффициента Шези на 10—20% по сравнению со значениями,
определенными для одного из стационарных режимов. Неточная
оценка сопротивления сильно сказывается на расходах (и скоростях)
течения, особенно в тех случаях, когда краевые условия задаются в
форме режима уровней. По натурным данным при колебании уровня до
2,3—3,3 м в канале, соединяющем озера Баркли и Кентакки, разница
между расчетным и наблюдаемым уровнями, не превышала 0,15 м,
в- то время как замеренный расход на спаде попуска оказался на 40%
меньше рассчитанного [167].
Применимость одномерных уравнений к расчетам резко
неравномерных течений — распространению волны
прорыва, накату длинных волн на берега —проанализирована на
основе сопоставлений с лабораторными данными [47].
Установлено, что расчеты дают удовлетворительную
точность, хотя вследствие влияния ондуляций и турбулентных

§ 5.4J
Нестационарные открытые потоки
2G9
крупномасштабных флюктуации, проявляющихся при
повторении опытов, мгновенные значения, например, глубин
могут отличаться от расчетных в среднем до 10%, а в
отдельных случаях до 20% расчетного максимального
изменения уровней в рассматриваемом сечении (рис. 5.26).
В расчетах по одномерным уравнениям коэффициент
гидравлического трения принимался по формуле Маннин-
га (X=2gn2o/hl/3) с постоянным коэффициентом шерохова-
Рис. 5.26. Сопоставление
результатов расчетов (сплошные линии)
и опытов (штриховые линии) по
распространению волны прорыва
в широком лотке прямоугольного
сечения #0=20 см, /гн.бо= 1 см:
/, 2, 3 — расстояние от плотины
соответственно 5; 25 и 50 м
0 120 240 С 360 480 t,c
тости /?о=0,013, соответствующим стационарному течению.
Опыты, результаты которых частично описаны в [111],
проведены в лотках прямоугольного и треугольного
сечений шириной 1 м и длиной 129 м с уклоном дна /0=1ЛХ
Х10~3. Установлено, что различия расчетов и опытов
относительно больше для малых начальных наполнений
русла, при которых возможно большее влияние
нестационарности течений на гидравлическое сопротивление у дна,
относительно велика неравномерность распределения
скоростей по глубине потока. Систематические исследования
изменений коэффициента гидравлического трения λ
открытого потока вследствие влияния нестационарности были
начаты в 50-е годы. На ином качественном уровне они были
продолжены И. Л. Розовским [131, 132]; О. Ф.
Васильевым и В. И. Квоном [21], в НИС Гидропроекта [47, 111].
В целом можно констатировать, что при надлежащем
выборе коэффициента шероховатости расчеты по
одномерным уравнениям и моделирование по соответствующим
критериям любых речений в реках с правильной формой
сечения (прямоугольное, треугольное, параболическое,
с малоизменяющейся шероховатостью по ширине сечения)
дают результаты, удовлетворительно согласующиеся с на*
блюдениями без специального учета изменений сопротив*

^10 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
пм
^ 1,6 2,0 2,4 (J 2,8 Вертикала 5-11
Рис. 5.27, Распределение средних скоростей по глубине на разных
вертикалях в русле р. Амура
лений вследствие нестационарности. Этот вывод относится
к параметрам, осредненным по участкам, существенно
превышающим местную глубину потока.
Менее определенно это наблюдается для течений в
руслах, имеющих сложную форму: с поворотами, развитыми
поймами, при наличии островов, многорукавности. Уже
в стационарных условиях наличие поймы в некоторых
случаях может проявляться в уменьшении пропускной
способности реки при увеличении глубины воды с выходом пото-
62
58
54
60
ί:6
7~
о
о
"О
О
&&**
<«f^
So
УЪ
' I
г*
-ϋ-°
ν*^
CXD
J
8
10
12 Μ
Рис. 5.28. Изменение коэффициента Шези С в русле р. Амура в
зависимости от глубины /ι. Пойма затапливается при глубине воды в русле
h «10,5 м

§ 5.4] Нестационарные открытые потоки 211
ка на пойму. Это явление, получившее название
«кинематического эффекта» поймы, детально описано в [49].-
На рис. 5.27 показана зависимость средних по
вертикали скоростей от глубины на 11 вертикалях в русле р.
Амура в паводок 1958 г. [11]. Первая вертикаль расположена
вблизи поймы, а девятая в 400 м от бровки поймы при
общей ширине русла 675 м. Отчетливое различие функции
Рис. 5.29. Изменение
коэффициента групповой
шероховатости η поймы, заросшей
кустарником, в зависимости от
глубины h по измерениям в
натуре и на модели (вертикальный 5 2
масштаб 1 :35) с искусствен- °~
ной шероховатостью в виде *|
полиэтиленовой стружки [261: <= j
1 — редкий кустарник; 2 —
кустарник средней густоты; 3 — густой
кустарник
0,05 0,1 η
0(h) связано с тормозящим влиянием пойменного потока,
которое в данном случае односторонней поймы было
заметно примерно на 60% ширины русла. Количественно
влияние этого эффекта проявляется в резком уменьшении
коэффициента Шези, рассчитываемого для руслового потока,,
при выходе воды на пойму (рис. 5.28). Это заставляет
с большим сомнением относиться к распространенным
рекомендациям учитывать пойму только в уравнении
баланса массы, а динамическое уравнение записывать лишь для
руслового потока. Влияние поймы может быть также
осложнено тем, что в пределах поймы, заросшей травой
или кустарником, коэффициент групповой шероховатости
зависит от глубины потока и в общем случае от скорости
течения. Моделирование этих явлений — сложная задача.
В [24, 26] описан технический прием, позволяющий приближенно
воспроизводить на гидравлических моделях сложные свойства
шероховатости поймы. Суть приема — в использовании полиэтиленовой
стружки определенного сечения (например, 1X3 мм2),
изготавливаемой обдиркой полиэтиленовых труб определенного диаметра. При
этом оказывается, что модельная шероховатость в форме стружки
обладает схожими свойствами с натурной шероховатостью (рис. 5.29)
и, кроме того, может уверенно прогнозироваться по плотности уклад-
V
V /
V V
/ °/
^Модель
V
/ щ
Д* *-*]§

212 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
ки, изменяясь в достаточно широких пределах. Коэффициент
шероховатости такой поверхности изменяется в зависимости от относительной
глубины модельного потока Λ/Δ (рис. 5.30) и плотности укладки
стружки (рис. 5.31). Наибольшая шероховатость наблюдается тогда,
когда глубина потока равна толщине слоя стружки Δ.
Весьма своеобразно проявляется влияние естественной непризма-
тичности долины реки. На рис. 5.32 показаны результаты расчетов,
выполненных для реальной речной долины с уклоном от 3,6-Ю-4
в створе плотины до 1,9· Ю-4 в нижнем течении, где река впадает
в более крупную реку. Рассчитывался случай внезапного разрушения
плотины, расположенной в 670 км от устья реки. Напор перед
плотиной составлял #о=90 м. Ширина водохранилища была принята
равной среднему значению (по длине водохранилища), коэффициент
шероховатости л=0,03.
Как видно из рис. 5.32, уровень воды между створами R\—/?4
после разрушения плотины резко повышается, что объясняется
расширением долины за стгюром Ri и сужением в створе /?4- Для проверки
этого объяснения было проведено исследование влияния
коэффициента шероховатости на динамику волны прорыва. Коэффициент
шероховатости η варьировался от 0,003 до 0,1. Оказалось, что такое сильное
изменение коэффициента шероховатости практически не повлияло на
характеристики волны. Это может быть связано с относительно
малым влиянием динамического уравнения и определяющей ролью
уравнения неразрывности вследствие большого объема участка между
плотиной и створом R^ в пределах которого скорости малы и ход уровней
определяется только уравнением неразрывности.
Другой важный результат заключается в том, что волна прорыва
за 50 ч переместилась только на 60 км. Это также можно объяснить
резким расширением долины на участке за створом Ri и
последующим сильным ее сужением перед створом R^ Попытка
прогнозировать режим уровней в данном случае по обобщенным рекомендациям
[57], рассчитанным и подтвержденным опытами для призматической
долины, оказалась совершенно неудовлетворительной.
Сопоставление с решением двумерной задачи и сопоставительный
анализ аналогичного случая, изученного на физической
(гидравлической) модели, показали, что решение в одномерной постановке без
всяких коррективов дает оценку, близкую к действительности. Этот
удивительный вывод является следствием малого влияния
динамического уравнения в тех зонах, где оно записывается с большими
ошибками, и хорошей точности этого уравнения на призматических, узких
участках долины с «правильным» сечением, где это уравнение
определяет явления. Понятно, что на участках, где динамическое
уравнение несущественно, допустимы любые искажения с сохранением лишь
подобия кривой объемов.

§ 5.4] Нестационарные открытые потоки 213
Ь/а
3,5
3,0
2,5
2fi
V
¥
С}5
020
1а
L
1Δ1Δ г
\·
δ\δ
\ с
ΔΛ
Δ
<
fr I
Ά
Α-5,3
χ-3,8
ν-2,9
• 4,13
ο-0}65
0-0,5
Ρ,Κγ/μ
0
ο
» Цо
• Λ
2
Δ =
=2mi
\ ι
\
\ι
Ιι/
9
//
γ
/
ί
/
10/
α =20 см
0;/5
0.У0
0 ^ 4 Ρ,κγΛλ"
Рис. 5.31. Зависимость наибольшего
коэффициента групповой
шероховатости Птах МОДеЛИ, ПОКрЫТОЙ ПОЛИ-
этиленовой стружкой, от толщины
слоя стружки Δ и плотности ее
укладки Ρ
Λ. μι
60
40
20
0,4 Ofi 0,8
η/η
max
Рис. 5.30. Относительные
изменения коэффициента
групповой шероховатости η модели
поймы, покрытой
полиэтиленовой стружкой, в зависимости
от относительной глубины
воды и плотности укладки
стружки Ρ [24, 26]
1
ι .
ΑΧ 50ч
С Рч
20 R4
40
Рис. 5.32. Расчетные профили
свободной поверхности в нижнем бьефе
гидроузла через разные моменты
времени после быстрого разрушения
его напорного фронта

214 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
Применение к системе уравнений Сен-Венана (2.124)
преобразования подобия приводит к появлению известной
системы критериев:
Фруда
ni=Fr=U20/(gh0)\
n2=Sh=U 0to/ k\
π3=(λ//0) (U2o/gho)\
n*=ho/(i0lo) \
n5=hol (ί&ο);
Яб=/о/Ьо.
(5.16)
(5.17)
' (5.18)
(5.19)
(5.20)
(5.21)
Здесь λο — значения λ при h=H0.
Необходимым условием подобия является идентичность
всех критериев (5.16) — (5.21) в сравниваемых объектах.
Достаточные условия подобия, как всегда, зависят от
конкретной краевой задачи и включают лишь те критерии или
их комбинации, которые содержат переменные,
используемые при записи краевых или начальных условий.
Например, в задаче о полном прорыве плотины с напором Н0
в сухое призматическое русло при выборе в качестве
масштаба глубин величины ft0=#0 единственным определяющим
критерием (при /о=т^О) является параметр
я/о=яз/я1 =λο/ίο = 2πο. (5.22)
Условие подобия записывается в виде
jto=idem. (5.23)
Масштабы величин, не влияющих на выполнение
условия подобия (5.23), могут выбираться произвольно.
Полагая Як=\ (&=й=0), найдем характерные значения скорости
ί/ο, длины /о, времени /о, которые удобно использовать для
обобщения результатов:
ί/.= ν^Γ(*,= 1). (5-24)
или
и» = УЖК К=1); (5.25)
/0=#оЛо (π4=1, если to^O); (5.26)
to=lo/UQ (3i2=l); (5.27)
ba=lo (πβ=1), ' (5.28)

§ 5.4J Нестационарные открытые потоки 2IS
Выбор характерных значений скорости и времени, как
видно из (5.24) и (5.25), неоднозначен. Удобно выбрать
такие характерные величины, чтобы безразмерные
результаты меньше зависели от определяющего критерия.
Оказывается, при малых расстояниях от плотины (л:^0,01#оДо)
лучше использовать представление (5.24); на больших
расстояниях от плотины (λ:Χ),02#οΛο)—соотношение (5.25).
Обратим внимание на то, что для неразветвленного русла выбор
масштаба ширины потока не сказывается на результатах; требование
(5.28) не возникает и (5.23) является единственным условием
подобия.
Для разветвленного русла выбор масштаба «дшрины потока имеет
значение. Если скорость и глубина боковых притоков моделируются
в том же масштабе, что и скорость и глубина основного русла, то
дополнительное условие подобия имеет вид:
n6=io/b0=idem, (5.29)
что означает, в частности, невозможность искажения масштаба
ширины по сравнению с масштабом длины моделей.
На рис. 5.33 и 5.34 показано изменение относительной
максимальной глубины h+max=hmax/lo и относительной
скорости течения U+max=Umax/Uo с масштабом Uо по
(5.25) в фиксированных створах нижнего бьефа при
изменении параметра πο.
При
πο>(π0)κρ»50 (5.30)
имеет место автомодельность по этому критерию.
Математически (и физически) это соответствует малому
влиянию инерционных сил.
Вблизи плотины (л:/о/#о<0,01) влияние инерционных
сил существенно. Напротив, влиянием уклона дна реки
(при ί0<0,001) можно пренебречь. Применяя
преобразование подобия к уравнениям (2.124) при ίο=0, получаем,
что решение задачи о прорыве плотины в сухое русло
прямоугольного сечения становится полностью автомодельным
при выборе масштаба длины, скорости и времени по
формулам
ί/ο-ΚΛ (5.31)

216
Открытый поток в жестком руСЛе
|Гл. 5
Если излив происходит в русло глубиной ftot то fto/^o
оказывается единственным параметром задачи.
В предыдущих рассуждениях, разумеется, предполагалось, что при
моделировании форма сечения потока сохраняется. Особенностью
рассмотрения задач в одномерной постановке является возможность
ослабить и это требование. Оказывается, если поперечное сечение русла
может быть представлено в форме
(blfyh^Amh™-2
(5.32)
(где Ь — ширина реки при максимальной глубине /ι; m, A — некоторые
константы), то существует преобразование подобия, обобщающее
результаты, полученные *в руслах с различным сечением (с различными
А и т) [47, 57].
Рис. 5.33. Изменение
максимальных глубин h+max и
скоростей U+max по длине
нижнего бьефа х+ при
/г0+ = 0,05
24 26 t+
Рис. 5,34. Изменение относительных скоростей U+^U/U0 в нижнем
бьефе при пп.бо/Н0 — 0,05 в зависимости от относительного времени
t+'=t/tQ при мгновенном разрушении плотины:
— Яо«=500; — — я0«б

§ 5.4]
Нестационарные открытые потоки
217
Попытки упростить уравнения Сен-Венана
предпринимались неоднократно. Эти упрощения, как видно из
приведенного примера с исключением влияния уклона дна, очень
важны для оценки областей автомодельное™ по отдельным
критериям. Можно выделить два подхода к упрощению
уравнений Сен-Венана: 1) линеаризация уравнений; 2)
отбрасывание тех или иных членов.
Первый подход был реализован еще М. Баше в 1934 г.
и Н. Т. Мелещенко в 1940 г. К нему неоднократно
возвращались многие авторы вплоть до последних лет [207].
Идея линеаризации фактически содержится в
использовании «функции влияния» и всех вариантов моделей,
представляющих систему рек «черным ящиком» со многими
входами и выходами. Эффективность этих моделей до
настоящего времени систематически не исследовалась, хотя во
многих публикациях, например в трудах 13 и 15 конгрессов
МАГИ, приводятся примеры удачного согласования
расчетов по линеаризованным уравнениям и наблюденных
данных.'
При втором подходе можно выделить члены, которые
сохраняются в динамическом уравнении (уравнение
неразрывности обычно не изменяется):
ιν ι
1 dU ι U dU , dh Л_/т . . - ^ г\ /соо\
7¥+7^+^+(/^+г^д==0· (5·33)
II
III
Простейшая модель «кинематической волны»
получается при сохранении только члена I. Эта модель применяется
редко.
Наибольшее распространение в практике нашел так
называемый метод «мгновенных режимов», когда
сохраняются члены II. Линеаризованные уравнения в этом случае
дают «диффузионную волну». Основные идеи этого метода
были сформулированы Н. М. Вернадским в 1932 г. и
впоследствии развиты в работах В. А. Архангельского,
Я. Д. Гильденблата, М. В. Потапова и др. Основное
допущение метода состоит в отбрасывании всех инерционных
членов в динамическом уравнении, т. е. в использовании
стационарных соотношений для определения связи глубин
и уклонов в каждый момент времени.

218 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
Приемлемость этого допущения проверялась сопоставлением
расчетных и наблюдаемых данных о пропуске паводков. Это
сопоставление для равнинных рек, например для Волги у г. Камышина [117],
давало в среднем удовлетворительные результаты, хотя отклонения
в расходах в отдельные периоды достигали 30%. Причины этих
отклонений объяснялись не влиянием инерционных членов, а ошибками
в оценках боковой приточности, например неправильным учетом
фильтрационных явлений в ненасыщенных грунтах поймы, сложным
взаимодействием руслового и пойменного объема и пр. Сопоставление
расчетов по этой методике с натурными и лабораторными данными
приведено во многих докладах 13-го Конгресса МАГИ.
В ряде работ утверждается, что различие между результатами
расчетов и наблюдений невелико, однако фактические сведения
показывают, что часто оно может составлять 15—20%.
U dU
Относительное влияние члена
g d*i
может быть
заметным. По [223] —-τ— -г— может достигать 0,3. Это
оправдывает рассмотрение „конвективной динамической
волны" — группа слагаемых III в уравнении (5.33). В [223]
приведены значения величины lg
JLdJL Ι
g dt J i
в функции
lg/0. По этим данным получается, что с уменьшением уклона
ι ди
относительная роль инерционного члена — -тг
увеличивается. При очень больших глубинах (обычно в устьевых
участках рек) может быть оправдано приближение
«гравитационной волны» без трения — IV в уравнении (5.33),
которую называют также «инерционной волной».
На основе обобщения результатов многих расчетов на
ЭВМ трансформации паводков в реальных реках можно
дать следующую оценку отдельных членов уравнения
(5.33) с точностью до 1/2 логарифмической единицы
(табл. 5.3) [223].
Таблица 5.3
\dh .1
-ig
- ί0
дх
2
4
5
ι Ι 1 dU\
-ig
8 ot 1
5—4
5
6-5
, I и dU\
-ig
S όχ\
4—3
5—4
5
-^τρ
3
4
5

§ 5.4] Нестационарные открытые потоки 21(1
Из приведенной таблицы видно, что различие порядков
отдельных членов динамического уравнения, как правило*
не превышает единицы, т. е. уверенное упрощение уравне»
ния (5.33) вряд ли возможно, кроме, может быть, случая,
соответствующего верхней строке табл. 5.3.
Как было показано выше, при ί^φΰ влияние уклона
в уравнениях движения проявляется только через значения
параметра πο (5.22). Если бы краевые и начальные условия
не зависели бы от яо (или ίο), то влияние ίο проявлялось бы
только через πο и при малых ί,0 '(больших π0) было бы
однозначным — с уменьшением ίο (с увеличением π0)
относительное влияние πο уменьшалось бы. Это отчетливо
видно по результатам систематических расчетов
трансформации волны прорыва [57]. В этом случае начальные условия
не зависят от ί0, поэтому с уменьшением ίο (с
увеличением ло) на относительных расстояниях от плотины, больших
0,05—0,1, параметры течения перестают зависеть от πο уже
при π0>50. Иначе обстоит дело при обычных паводках.
Здесь краевые условия, задаваемые в форме гидрографа,
зависят от уклона долины и, по-видимому, изменяются
так, что с уменьшением ίο относительная роль инерционных
членов не уменьшается. Не исключено также, что
наблюдаемое влияние ίο объясняется морфологическими
особенностями сечений речных долин, также связанными с
уклоном долины.
Выше была продемонстрирована возможность
эффективного уменьшения числа влияющих безразмерных
параметров путем введения специальных масштабов в
зависимости от постановки задачи. Представляет интерес, однако,
оценить значимость отдельных членов уравнения (5.33)
в наиболее общем виде. Это можно сделать, например,
сравнивая скорости с распространения в потоке малых
возмущений с периодом Τ [176]. Указанная скорость,
измеренная в долях скорости с0у соответствующей полному
уравнению (5.33), оказывается функцией двух
параметров— числа Фруда
Fr= QV (Ω2£/ζ0) = V\l (ghQ) (5.34)
и безразмерного периода волны Т+=Т/Т0у где
Γ. = (2/λ.)ΐ/ν£. (5-35)
При больших Г+ и Fr справедлива гипотеза
«кинематической волны» (рис. 5.35) — наиболее важны слагаемые

220 Открытый поток в жестком русле [Гл. §
I в (5.33); примерно в тех же условиях по Г+, но при
относительно меньших ограничениях по числам Jfr справедлива
и диффузионная модель (рис. 5.35).
Существенно меньшие оперативные возможности дает
инерционная модель (рис. 5.36), при которой в (5.33)
сохраняются только слагаемые IV. Наименее ограничитель-
с/с0
1,5
Ρ
0,5
0
{ \
Л \ Fr
ψ4\
Г /0,16
у
г /
1 ^
-0,01
/
Л,04
/
/
/
/
/
/
/Fr=0,01
1 ΜΙΠΙ
I 1
Cn/C
0,5
10f 2 4 10Z 2 4 103 2 4 104 Г*
о
^ч\Кг"
КгГ\/
-
0,01
0,04
0J6
0,64
0,16
0,04
Fr=0,01
10j
10Δ
10ύ
г
Рис. 5.35. Относительная скорость Рис. 5.36. Относительная скорость
распространения «диффузионных «инерционных волн» [176]
волн» ( ) и «кинематических
волн» ( ) [176]
ная диффузионная модель дает относительно более быстрое
затухание возмущения, чем решение полных уравнений.
В обоих случаях решение линеаризированных уравнений
дает высоту волны возмущения, пропорциональную
ехр(—х/1). Величина / для диффузионного* приближения
при малых числах Фруда на 10—20% меньше, чем для
полной системы.'
При больших числах Фруда равномерное течение может
оказаться неустойчивым — возникают катящиеся волны.
Принято считать, что удовлетворительное согласие
теоретического критерия устойчивости с опытами можно
получить лишь с учетом коррективов количества движения и
кегидростатичности распределения давления но глубине
[31]. Последнее обстоятельство приводит к динамическому
уравнению, более сложному, чем уравнение Сен-Венана,
а общий вывод о сильном влиянии деталей распределения
скоростей затрудняет моделирование.
В [35] на систематическом экспериментальном
материале показано большое влияние длины быстротока на

§ 5.4] Нестационарные открытые потоки 221
условия возникновения и параметры катящихся волн. В
частности, показано, что влиянием длины быстротока можно
во многих случаях объяснить несоответствие теоретического
прогноза неустойчивости опытным фактам.
Полагая изменения коэффициента гидравлического
трения с глубиной пропорциональными Иг^ и принимая
корректив неравномерности распределения скоростей а=1, для
широкого потока прямоугольного сечения можно получить
известное условие устойчивости потока:
U.<T^Vbg^b. (5·36)
где С/о, ho — начальная скорость и глубина потока:
ϋ0 = j/~2g/z0sin6a0. (5.37)
С использованием обоих этих равенств находим условие
устойчивости, выраженное через уклон дна:
tg e<2X0/(l+^)2. (5.38)
Так как параметр ψ и коэффициент гидравлического
трения λ связаны достаточно тесно, то условия
X0=idem (5.39)
и геометрического подобия формы быстротока достаточно
для обеспечения подобия катящихся волн.
Характерно, что параметры волн (длина /, глубина под
гребнем К) в [35] представлены в долях критической
глубины
Лкр = fW!W) = К f2ijK = h„ γϊ%, (5.40)
а масштаб длин принят АкрДо. С общих позиций теории
подобия выбор этих масштабов вполне естествен, так как
в экспериментах расход Q был единственной переменной,
реально изменявшейся в опытах (при фиксированном
уклоне дна лотка ί0). Результаты опытов оказались
существенно зависящими от критерия Фруда Fr0=C/2o/(g/io). В
данном случае, когда влияние сил сопротивления весьма
важно, более эффективно выбрать в качестве масштаба
глубины расчетную глубину равномерного потока Л0, а в
качестве масштаба длины Л0До. С использованием этих
координат получаем оценки, относительно мало зависящие от
определяющего критерия Fr0. В частности, длина
критического участка /'0, за пределами которого появляются «ви-

~~2 ОтКрЩтШ поток в жепком русле | Гл. В
димые» катящиеся волны, в принятых координатах
оказывается постоянной:
/'ολο/Αο^Μ. (5.41)
Длина начального участка /Ί, за пределами которого
система катящихся волн становится статистически
стационарной и продольно-однородной,
Ι\χ0/Η0=16. (5;42)
В рассмотренных случаях вся информация о турбулент-
"ности реального потока оказывается сосредоточенной
в коэффициенте гидравлического трения λ. Ясно, что
значения этого коэффициента будут зависеть от масштабов
^осреднения уравнений. Для уравнения (2.123) этот
коэффициент, определенный по (2.122), является случайной
(функцией времени, глубины, скорости потока и, возможно,
параметра нестационарности — -^- [связь Ω=Ω(/ζ) и
характеристики шероховатости предполагаются заданными].
Осреднение уравнений по вероятности меняет вид
функции λ, но не делает эту функцию более определенной.
Известны два приема практического определения функции
:λ(Ω, Q);
1) обобщение данных, полученных при стационарных
^режимах, дополняемое результатами систематического
исследования влияния нестационарности;
2) решение обратной задачи отыскания λ по данным
го Q(t), Ω(ί) для одной реки или группы однотипных рек.
Первое направление является для гидравлики тради-
щщэнным (см. § 5.2).
®уорое направление представляется особенно перспек-
тавщзщ. Его возможности существенно расширяются, если
наблюдшмя и численную интерпретацию вести не только
за паводкзши, но и за атмосферными течениями (ветрами)
з приземных слоях в периоды, когда они ориентированы
вдоль соответствующих речных структур.
Рассмотренные правила моделирования нестационарных
потоков в значительной мере опираются на уравнения Сен-
Вснана. Как отмечалось, эти уравнения недостаточны для
описания резконеравномерных непрерывных течений,
например коротких волн, В этом случае возможны
разнообразные усложнения двумерных и одномерных уравнений за
счет учета кривизны струй (уравнения Буссинеска,
Перегрина и др.) [161]. Все эти усложненные уравнения суще-

§ 5.4]
Нестационарные открытые потоки
223
ственно ограничивают возможности физического
моделирования, так как накладывают более жесткие требования на
соотношения масштабов моделей. Например, условие
сохранения относительной кривизны струй не допускает
искажения геометрических масштабов моделей. Это положение
делает особенно актуальным развитие численных и
комплексных методов моделирования, включающих испытания
«неискаженных» моделей.
Моделирование, основанное на критериях, выведенных
из осредненных (по пространству — времени) уравнений,
может уверенно применяться только для определения
параметров, осредненных по соответствующим интервалам.
Внутри этих не всегда четко определяемых интервалов
реальная картина может сильно отличаться от осредненной.
Например, реальное течение при прорыве плотины в
заполненный нижний бьеф на длине порядка десятков
первоначальных глубин отличается резко неоднородным
распределением скоростей по глубине (вода «скользит» по воде)
[48, 131]. Ясно, что изучение деталей картины течений на
моделях, построенных по условиям (5.23) и /i0/#o=idem,
не всегда даст достоверные результаты. Для такого
изучения нужны анализ и сохранение более полной системы
критериев подобия. Напротив, осредненные —
макроскопические— характеристики процесса воспроизводятся
достаточно точно. Правильное «загрубление» явлений позволяет
получать согласующиеся (в среднем) с натурой данные
даже в таких сложных задачах, как прогноз нестационарных
сгонно-нагонных режимов в устьях рек [16].
Нестационарные потоки со свободными поверхностями,
рассмотренные выше, представляют интерес для
гидротехники. Имеется, однако, много нестационарных
гидродинамических задач, относящихся к другим, самым разным
проблемам техники1.
Каждая из этих задач имеет свою специфику. Общими
в них являются два обстоятельства:
1) при наличии свободных поверхностей роль
сжимаемости и вязкости среды обычно невелика; многие задачи
1 Неполный обзор этих задач имеется в классической книге
М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата «Проблемы гидродинамики и их
математические модели» (М.: Наука, 1977). Многие задачи рассмотрены
в работах Л. И. Седова, Г. В. Логвиновича, Г. Биркгофа и др.
Дополнительные сведения можно найти в статьях Международного
симпозиума «Η еусха но вившиеся течения воды ч г большими екоростяэд*» (М/
На^ука, 1973) ^" " "

224 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
нестационарных движений капельной жидкости могут быть
решены в рамках модели идеальной невязкой,
несжимаемой невесомой жидкости;
2) при устранении источника нестационарности
картина течений достаточно быстро стремится к стационарному
(в статистическом смысле) состоянию. Эффекты
турбулентности и вязкости в нестационарных задачах обычно много
меньше, чем при стационарных течениях в сходных
условиях.
Р/
ч
2
Ί)4
Ρσαουο
-<
(VVj*
\\
\
\к\У'25
\
\
..?,~
Ρ=β
щи
>
l
Д ЮШа
^ о
О 0у2 ΰ/f 0,5 0.8 1,0 iac/r0
Рис. 5.37. Изменение во времени давления в центре струи при ударе
о жесткое основание (а) и распределение давления по поверхности
жесткого основания и поверхности прочного гранита (б)
Укажем несколько характерных примеров моделирования
нестационарных течений. Широко известное явление возникновения и
высокого пробивного действия кумулятивной струи в первом (весьма
эффективном) приближении может быть рассмотрено по М. А.
Лаврентьеву как стационарное взаимодействие струй несжимаемой
жидкости. Критерием подобия в этой задаче при определении глубины
пробивания является соотношение плотностей струи жидкости ρ и
разрушаемого материала рм. Глубина пробивания h пропорциональна
длине струи L:
h = VJ/HL.
Следующим (по значимости) эффектом является сжимаемость
жидкости и лишь после этого — нестационарность. Позже было
уточнено, что рассматриваемая простейшая модель дает разумные результаты,
если скоростной напор рассчитываемой струи не менее чем в 10 раз
выше прочности пробиваемого материала.

§ 5.5] Напорная модель открытого потока 225
Если это условие не выполняется, то преграда остается твердым
телом и задача существенно усложняется. Гидродинамическая картина
в дозвуковой струе жидкости при ударе имеет три фазы [77]. В
первой фазе в течение времени порядка г0/а0 давление на преграду мало
изменяется и пропорционально pU0a0 [oo — скорость звука в жидкости,
2г0—.диаметр (или толщина струи), U0 — скорость струи]. Во второй
фазе длительностью порядка r0/Uo развивается нестационарное
течение, которое можно хорошо прогнозировать решением соответствующей
задачи об ударе идеальной несжимаемой жидкости [197], далее
реализуется картина течений, близкая к стационарной. В первой фазе
заметно влияние сжимаемости преграды, даже если эта преграда —
гранит (рис. 5.37).
Аналогично развивается истечение струи из напорного бака при'
внезапном открытии отверстия. Для плоской струи установлено [170],
что во второй фазе отклонение от стационарного решения убывает
со временем ехр(—t/to), где наибольшее t0 равно
t0 ^г -/-—— — ^ 0,66 ту .
0 (π + 2) (2 — У 2 ) U0 ^о
Здесь 2г0 — ширина щели. Таким образом, и в данном случае
нестационарность перестает проявляться через время порядка г0/£Л>.
При отсутствии свободных поверхностей, например при обтекании
с образованием вихревого следа, влияние нестационарности более
заметно; при обтекании плоской пластины шириной 2г0 течение
устанавливается (в статистическом смысле) через (30—50)-2г0/£/о после
начала движения пластины с постоянной скоростью £/о,
перпендикулярной ее плоскости [221].
5.5. НАПОРНАЯ МОДЕЛЬ ОТКРЫТОГО ПОТОКА
Ограничения в выборе геометрических масштабов
моделей открытых потоков в жестком русле связаны прежде
всего с ограничениями в искажении геометрических
масштабов и необходимостью выполнить одновременно условия
ReM^Rerp и FrM^Frrp. Если бы от последнего условия
можно было отказаться, исключив число Fr из системы
определяющих критериев, то геометрические масштабы
можно было бы уменьшить. Такая возможность
представляется, когда свободную поверхность можно задать
независимо от числа Fr. Воспроизведя свободную поверхность
жесткой стенкой и тем самым заменив открытый поток
напорным, можно исключить число Fr из системы определяющих
критериев, а масштаб скоростей выбрать так, чтобы
удовлетворить условие ReM^Rerp.

226
Открытый поток в жестком русле
[Гл. 5
Первая попытка использования напорной модели для
исследования открытого руслового потока относится к 1941 г., когда под
руководством В. М. Маккавеева Ю. В. Клименчич исследовал на напорной
модели схемы выправительных сооружений. В 1950 г. к идее
исследования открытых потоков на напорных моделях пришел А. Г. Авер-
киев [1].
В начале 50-х годов напорные воздушные модели открытых
потоков начинают широко использоваться во многих гидравлических
лабораториях Советского Союза: ЛИИВТ (В. М. Маккавеев, Н. П. Ги-
ляров), МЭИ (С. В. Избаш, И. В. Лебедев, Б. Т. Емцев), ЛПИ
(И. И. Леви, В. С. Кнороз) (подробнее см. [91]).
Научно-исследовательский сектор Гидропроекта явился одной из
первых организаций, использовавших напорные модели для решения
конкретных задач лабораторного проектирования. Параллельно с
исследованием гидротехнических объектов здесь постоянно ведется
работа по обоснованию и расширению сферы использования метода.
Результаты этой работы обобщены в [91].
Напорные модели открытых потоков нашли применение и за
рубежами СССР. Ряд данных по напорному моделированию открытых
потоков опубликован в Румынии, Польше, Болгарии. Чехословакии,
Турции. В 70-е годы метод начал использоваться во Франции, ФРГ,
Португалии (см., например, [181]).
Напорная модель открытого потока представляет собой
напорный поток, геометрически подобный безнапорному
прототипу, за исключением шероховатости границ.
Нарушение подобия шероховатости на части границ потока,
соответствующих свободной поверхности в натуре,
приводит к искажению касательных напряжений на этой части
границ. В натуре касательные напряжения на свободной
поверхности могут быть различными в зависимости от
силы и направления ветра. Особенности напорной модели
в тех случаях, когда влияние ветра существенно, могут
дать определенные технические преимущества при
гидравлическом моделировании, например, прудов-охладителей1.
Для речных потоков, скорости которых сравнительно
велики, влиянием касательных напряжений на свободной
поверхности чаще всего можно пренебречь. В этих случаях
только при идеальной стенке, используемой в качестве
жесткой границы на напорной модели, можно было бы
обеспечить подобие граничных условий открытого потока. Та-
1 А. с. 135270 (СССР). Воздушно-напорная модель для
экспериментального исследования течения воды в открытых водоемах/ В. М. Лят-
хер, А. М. Прудовский. — Опубл. в Б. И., 1961, № 2.

§ 5.5] Напорная модель открытого потока 227
кой стенки, как известно, в природе не существует, и на
свободной поверхности модели всегда имеются
касательные напряжения.
При исследованиях открытых потоков, как правило,
задается среднее положение уровня свободной поверхности
(кривая связи уровней и расходов), а форма свободной
поверхности является предметом исследования. Обычно на
напорной модели жесткая стенка, соответствующая
свободной поверхности в натуре, представляет собой плоскость,
располагающуюся на известном среднем уровне свободной
поверхности. В открытом неравномерном потоке
свободная поверхность всегда отличается от плоскости. Это
отличие тем больше, чем больше бурность потока (чем
больше FrH).
К дополнительному искажению, вносимому жесткой
«свободной поверхностью», приводит отличие граничных
условий на этой поверхности на модели и в натуре для
пульсаций давления и скорости. Эти искажения тем
меньше, чем меньше число Fr открытого потока.
Итак, можно констатировать, что искажение граничных
условий на «свободной поверхности» при применении
напорной модели открытого потока заключается в
следующем:
1) на свободной поверхности модели имеются
касательные напряжения, которыми в натуре часто можно
пренебречь;
2) форма свободной поверхности модели отлична от
формы свободной поверхности в натуре;
3) на свободной поверхности модели отсутствуют
пульсации скорости и избыточное давление не равно нулю.
Таким образом, напорная модель открытого потока
является искаженной: масштаб сил трения на свободной
поверхности не равен масштабу сил инерции, масштаб
перепадов уровней не равен масштабу глубины и т. д. Как
всегда при изучении условий приближенного подобия, в
данном случае необходимо выделить подходящие задачи.
Рассмотрим, насколько пригодна напорная модель для
решения плановой задачи гидравлики, т. е. для оценки
распределения в плане средних по глубине скоростей и
перепадов уровней свободной поверхности открытого потока.
Для этого обратимся к уравнениям плановой задачи
гидравлики (2.128) в случае стационарного движения
(dUi/dt=0).
15*

228 Открытый поток в жестком русле [Гл. S
Уравнения (2.128) записаны для открытого потока,
когда dPn/dxi=0 (Pn — давление на свободной
поверхности). Аналогичные уравнения можно записать и для
напорного потока. Для напорных потоков, геометрически
подобных спокойным открытым потокам, свободная поверхность
которых близка к плоскости, обычно
«£<т&· (543)
Если пренебречь разницей распределения по глубине
кинематических характеристик в напорном и открытом
потоках, то уравнения плановой задачи для открытого и
напорного потоков будут иметь одинаковую форму, причем
члену g -57-в уравнениях для открытого потока будет со-
1 дРп
ответствовать член -т-г- в уравнениях для напорного
потока. Из анализа этих уравнений следует, что условием
подобия плана течений открытого и напорного потоков
является следующее:
(
*аи-'*ц Ъ \_idem.
(5.44)
р£72 h )
При выполнении этого условия
(£Δη0/ίΛ))Η= (ΔΡποΛ>Ζ72ο)μ (5.45)
(открытому потоку присвоен индекс «н», а
напорному — «м)».
Из записи условия (5.44) следует, что распределение
сил трения между верхней и нижней границами потока
несущественно. Важно суммарное значение этих сил и их
распределение в плане. В этом отношении сам факт
наличия касательных напряжений на «свободной» поверхности
напорной модели не является препятствием для достиже*
ния подобия картины течения в плане.
Вводя обозначение {οΏη — σΑ./)Μ==λΣ-!-~^, условие (5.44)
можно записать в следующем виде:
Xzb/h=idem. (5.46)
Здесь коэффициент λ^ отражает суммарный эффект
напряжений на дне и поверхности. Он зависит от
относительной шероховатости поверхностей и числа Re. Для рус-

§ 5.5] Напорная модель открытого потока 229
ловых потоков в натуре практически всегда характерна
автомодельность λΣ по Re. На первый взгляд на напорной
модели за счет задания высоких скоростей всегда можно
обеспечить выполнение условия ReM^Rerp. Однако для
удобства наблюдений свободная поверхность модели
изготовляется из стекла (гладкая стенка), и возможность до^
стижения автомодельности по Re не очевидна.
Приведенные условия подобия между открытым и
напорным потоками получены в предположении
несущественности влияния различия распределения кинематических
характеристик по глубине таких потоков. Это различие
может быть связано прежде всего с несоответствием формы
и интенсивности поперечной циркуляции в сопоставляемых
открытом и напорном потоках.
В связи с тем, что при использовании напорной модели
форма свободной поверхности должна быть задана,
условие (5.46) должно быть дополнено условиями,
содержащими величины, которые характеризуют эту форму. Такие
условия могут быть получены из уравнения неразрывности
для плановой задачи:
(&-&)т = '*»· ' = '·8· <5·47»
При воспроизведении свободной поверхности
плоскостью dr\n/dxi=0, из-за чего план течений может
оказаться искаженным.
Следовательно, для обоснования возможности
определения на напорной модели плана течений необходимо:
• 1) установить степень соответствия распределения
в плане сил трения на напорной модели и в натуре;
2) найти условия, в которых воспроизведение реальной
формы свободной поверхности плоскостью не приводит
к существенному искажению характеристик плана течений;
3) оценить влияние различия поперечной циркуляции
на напорной модели и в открытом потоке на точность
решения плановой задачи.
При решении первого из поставленных вопросов
авторами была изучена зависимость коэффициента
гидравлического трения от числа Re и относительной шероховатости
поверхностей при равномерном течении между двумя
плоскими поверхностями, имеющими разную шероховатость
(см. § 4.1). В результате построений, использующих, в
частности, зависимости (4.74) — (4.78), получены зависимости
между толщинами зон потока, на которые он делится пло-

230 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
скостью, проходящей через максимумы эпюры скоростей,
средними скоростями в этих зонах и коэффициентом
гидравлического трения, подсчитанным по полной глубине
канала и средней скорости в нем:
λ=Λ/τρ/(ρΕ72/2),
которые для разных шероховатостей поверхностей и чисел
Рейнольдса были представлены на рис. 4.15. Из
результатов этих построений следует, что при одинаковых
значениях XRe=oo влияние вязкости отмечается при значениях Re
тем больших, чем больше разница шероховатости
поверхностей. При шероховатости поверхностей, характерных для
напорных моделей с жестким дном (пластилин и стекло),
отношение эффективных высот выступов шероховатости
составляет примерно 20. В этом случае при обычных для
напорного потока глубинах около 20 мм границы
автомодельной области, соответствующие заданному отклонению
АДдоп — ^Re I^Re=oo ~~ * '
смещаются в сторону больших значений чисел Re примерно
на один порядок. Однако благодаря возможности
отступить от правила Фруда на напорных моделях можно
достичь значений числа Re, превышающих таковые на
соответствующих безнапорных моделях по крайней мере на
два-три порядка. С другой стороны, влияние
крупномасштабных возмущений, приводящих к существенному
уменьшению значений Rerp, проявляется на напорных моделях
так же, как и на безнапорных (§ 5.2). Таким образом,
реально достижение на напорной модели необходимого
значения числа Рейнольдса не составляет трудности.
Рассмотрим вопрос о влиянии бурности потока в
натуре на точность результатов опытов на напорной модели.
Если свободная поверхность на модели воспроизводится
плоскостью (Δηπ/Λ=0), то можно полагать, что напорный
поток на модели характеризуется числом Fr=0. Чтобы
оценить ошибку в данных, полученных на напорной модели
с плоской свободной поверхностью, можно сопоставить
характеристики потоков, для которых удовлетворяются
все условия подобия, за исключением условия Fr=idem
(для одного потока Fr=FrH, а для другого Fr=0).
В ряде случаев оценку ошибки можно сделать на
основании приведенных в § 5.1 сведений о связях

§ 5.5] Напорная модель открытого потока 231
характеристик потока с числом Fr [X=X(Fr)]:
При прочих равных условиях объект тем больше
пригоден для исследования на напорной модели с плоской
«свободной поверхностью», чем меньшими значениями числа
Фруда он характеризуется.
В первую очередь такими объектами являются отстойники и
пруды-охладители (Fr<;bl0-3), а также незаиленные водохранилища
(Fr<l-10-2). Практически всегда пригодны для исследования на на.
порных моделях свободные участки равнинных рек (Fr<5· 10~2). При
стеснении рек искусственными сооружениями (выправительные
сооружения, строительные перемычки) бурность потока в районах стеснения
может существенно повышаться. Однако на судоходных реках обычно
не допускаются скорости, большие 3 м/с, что соответствует Fr=
=0,1-*-0,3.
При исследовании строительных перемычек гидроузлов наиболее
важными характеристиками, подлежащими определению, являются
степень сжатия потока и размеры образующихся водоворотных зон. На
рис. 5.38 с использованием графиков, аналогичных приведенным на
рис. 5.6, построена связь между степенью стеснения потока θ и Fr на
подходе к стеснению, соответствующая относительному отклонению
степени сжатия потока АеСж от значения этой величины при Fr=0:
Δεοκ^ ερΓ (гят*=о—1=0,05. Сюда же нанесены данные по перемычкам
ряда гидроузлов на равнинных реках СССР. Из этого рисунка
следует, что воспроизведение свободной поверхности плоскостью при
решении задач такого типа не является препятствием для выполнения
прогноза с достаточной точностью.
Несколько сложнее исследовать план течений в нижних бьефах
гидроузлов. Непосредственно ниже водосбросных сооружений поток
может характеризоваться большими числами Фруда (близкими к
единице и большими ее). Однако водосбросные сооружения на реках
с аллювиальным руслом обычно проектируются так, что к концу
крепления поток становится спокойным. Если условия в створе конца
крепления известны, то этот створ может быть принять в качестве
верхней границы напорной модели. Для оценки влияния бурности
потока в граничном створе на план течений в нижнем бьефе в реальных
условиях равнинных гидроузлов на рис. 5.39 указана область
отклонения на 5% длины водоворота при внезапном расширении от ее
значения при Fr=0 и помещены сведения о некоторых гидроузлах
Советского Союза. Анализ этих данных показывает, что ошибка определен
ния длины водоворота лишь в единичных случаях достигает 8%.

232 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
Рис. 5.38. Границы влияния бурности
потока на плановое сжатие. Оценка
возможности исследования на
напорной модели с плоской свободной
поверхностью строительных перемычек
гидроузлов:
/ — Бухтарминского; 2 — Нижне-Свирско-
го; 3 — Чебоксарского; 4 — Камского; 5 —
Волжского имени XXII съезда КПСС;
6 — Кременчугского; 7 — Боткинского; 8 —
Новосибирского; 9 — Дубоссарского; 10 —
Саратовского; // — Нижнекамского; 12 —
Усть-Илимского
Xbi/hi
Рис. 5.39. Границы влияния бурности потока на длину водоворота при
внезапном расширении (в области, ограниченной поверхностью и
координатными плоскостями, отклонение от lFr=o больше 5%). Оценка
пригодности напорной модели с плоской свободной поверхностью для
исследования нижнего бьефа ГЭС:
/ — Саратовской; 2 — Нижнекамской; 3 — Боткинской; 4 — Волжской имени
XXII съезда КПСС; δ — Киевской; 6 — Каховской; 7 — Чебоксарской
При большом затоплении струй воды, сбрасываемой через
гидроузел, когда свободная поверхность близка к плоскости, верхняя
граница напорной модели может быть принята непосредственно на
выходе из сооружений. В этом случае необходимо обеспечить подобие
распределения расхода по граничному сечению. В первом приближении
объекты, пригодные для исследования на напорных моделях, могут
быть выделены исходя из оценки влияния затопления на перепад
уровней свободной поверхности вдали от сооружений и на выходе из них
[139].
Оценить ошибки в определении плана течений на
напорной модели, связанные с искажением поперечной
циркуляции вследствие влияния жесткой стенки на свободной
поверхности, можно на основании анализа, выполненного
в § 5.3. Очевидно, в такой оценке можно пренебречь
различием коэффициентов трения, относящихся ко всей
глубине потока, как это делается при определении условий
0,4 0,8 Θ-1

§ 5.5] Напорная модель открытого потока 233
подобия для плановой задачи, или к части глубины
модели— от дна до максимума продольных скоростей, как это
надо делать при оценке влияния поперечной циркуляции
на напорной модели. Главный источник ошибок состоит
в уменьшении относительной «эффективной» глубины
модели. Относительные значения наибольшего отклонения
в распределении осредненных скоростей ΑΠ=ΠΜ/ΠΗ—1,
щ°/ --
Рис. 5.40. Наибольшее относи- Ψ*
тельное отклонение AU
средних по глубине скоростей от Qfl8
асимптотического
распределения, не учитывающего влияния
поперечной циркуляции: 0,04
/ — λ=0,01; г,/6=0,5; 2 — λ=0,001;
/Ί/6-0,6; 3 — λ-0,01; r,/6=l,0
0
10 20 SO 40 50 7C( b/h
связанные с внесением такого искажения, были вычислены
с использованием формулы (5.14) для наиболее
неблагоприятного случая, когда относительная глубина на
напорной модели вдвое меньше, чем в соответствующем
открытом потоке.
Результаты вычислений, показанные на рис. 5.40,
позволяют оценить ошибку в определении плана течений за счет
искажения поперечной циркуляции в зависимости от
относительной ширины потока и коэффициента гидравлического
трения. Учитывая, что с уменьшением кривизны поворота
интенсивность циркуляции уменьшается, можно заключить,
что в русловом диапазоне условий (г\/Ь> 1-*-3 и b/h>
>30-^-40) эта ошибка незначительна. Сопоставленные на
рис. 5.21 результаты измерения распределения скоростей и
давлений (глубин) в соответствующих напорном и
открытом потоках подтверждают эти выводы.
Таким образом, на все вопросы, связанные с
пригодностью напорной модели для определения плана течений,
можно ответить положительно: особенности напорной
модели не приводят к существенным ошибкам в оценке
характеристик потока.
Геометрические масштабы напорных моделей
безнапорных потоков в жестких границах в большинстве случаев
определяются условиями
Я26/Л=1с1ет и ReM^Rerp.

234 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
Второе из этих условий может ограничить выбор
геометрических масштабов модели при заданных
характеристиках лабораторных насосов (или вентиляторов). Если до--
стижение достаточно высоких значений расхода воздуха
или воды (для водяных напорных моделей) имеющимся
насосным оборудованием не лимитировано, то
единственным условием, из которого должны быть выбраны
геометрические масштабы, является первое условие с учетом
ограничения искажения геометрических масштабов:
Mb/Mh^(Mb/Mh)Aon.
Обратим внимание на то, что для обеспечения
возможности сопоставления напорной модели и безнапорного
прототипа коэффициент гидравлического трения для напорной
модели подсчитывается по полной глубине. Выражая
коэффициент Шези C=yr2g/XL по Маннингу, условие
%ъЬ/1г=\ает в данном случае можно переписать в
следующем виде:
μ^ιμ'^μ,/μ»
Коэффициент шероховатости η в этой формуле
учитывает характеристики как дна, так и крышки напорной
модели. Если рельеф модели отформован по металлическим
поперечникам из пластилина, а крышка стеклянная, то
пы~0,013. При обычном для аллювиальных русл /гн=0,021
масштаб Мп=\ : 1,6. Тогда при предельном искажении
геометрических масштабов, равном 1 :3, минимальный
вертикальный геометрический масштаб напорной
пластилиновой модели составит {Mh)min=M6n(MilMh)3ii) = 1/475,
а плановый геометрический масштаб (Л1/)тт=='(Л4л)ттХ
χ 1/3=1/1430. Для изучения плана течений на участках
крупных и средних рек, примыкающих к гидротехническим
сооружениям, обычно используются напорные модели
с жестким руслом с плановым геометрическим масштабом
1 : 1000—1 : 1500 при двух-трехкратном искажении
вертикального масштаба по отношению к плановому. Таким
образом, минимальные геометрические масштабы напорных
моделей почти на порядок меньше, чем у соответствующих
безнапорных моделей, что позволяет разместить их на
небольших лабораторных площадках.
Переход на модели к напорному движению приносит
еще одно преимущество: на ней вместо капельной жидкости
можно использовать атмосферный воздух, что позволяет

§ 5.5] Напорная модель открытого потока 235
резко упростить конструкцию модели, оборудование
лаборатории и условия проведения опытов, а также применить
измерительную аппаратуру, разработанную в
аэродинамических лабораториях. Свойства воздуха существенно
отличны от свойств воды. Важно отметить большую разницу
сжимаемости этих сред. Однако в реальных условиях
Рис. 5.41. Условия в нижнем бьефе Цимлянской ГЭС:
О — натура; φ — модель
использования напорных моделей при скоростях до 50—
60 м/с разница сжимаемости воды и воздуха не приводит
к сколь-либо заметным ошибкам. Предвидение Η. Ε.
Жуковского о том, что «удобство исследований над воздухом
позволит проникнуть в сокровенные законы распределения
сгруй и теснее сблизить две науки — гидродинамику и
гидравлику», подтвердилось и опытом применения напорных
моделей открытых потоков.
Ниже приводятся результаты исследований плана течений,
выполненных на напорных моделях в НИС Гидропроекта.
На рис. 5.41 показано распределение средних по глубине
скоростей на напорной (Мг=1 : 1000, Mh—\ : 500) и безнапорной (Mi=Mh=
= 1:85) моделях нижнего бьефа Цимлянской ГЭС на р. Дон.

236 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
Сопоставление на рис. 5.42 результатов определения перепадов
уровней воды в подводящем канале Асуанской ГЭС на открытой (Μι~
= 1 : 120) и напорной (Μι—\ : 500) моделях подтверждает возможность
достаточно точного прогноза перепадов уровней свободной
поверхности по измерениям давления на напорной модели при малых
значениях FrH.
Рис. 5.42. Понижение пьезометрического уровня (уровня свободной
поверхности) в подводящем строительном канале Асуанской ГЭС
относительно уровня в водохранилище в долях скоростного напора
в туннелях:
О — гидравлическая модель; φ — напорная воздушная модель
Введение жесткой стенки на свободной поверхности
напорной модели практически исключает из числа
объектов исследования на таких моделях неустановившиеся
потоки и потоки, характеризуемые высокими значениями
числа Фруда. Однако нельзя ли воспользоваться
основным преимуществом напорных моделей — возможностью
отступления от правила Фруда — в более общем случае?
Положительный ответ на этот вопрос заключается в
использовании метода гравитационно-упругой аналогии
[125].

§ 5.5] Напорная модель открытого потока 237
Для пояснения существа метода обратимся к
уравнению плавно изменяющего движения (2.124), которое при
отсутствии боковой приточности и дРП/дх=£0 может быть
записано в следующем виде:
(Для простоты уравнение записано для одномерной
задачи, так как использование плановой схематизации,
несколько усложняя записи, не приводит к иным
результатам). Если на свободной поверхности открытого потока
d(Pn/pg)/dx=Oy то для безнапорного потока это
уравнение записывается в следующем виде:
Здесь открытому потоку присвоен индекс „на. Для
напорного потока, принимаемого в качестве модели, при
d(Pn/?g) ^ дУ]н
дх дх
Уравнения (5.48) и (5.49) имеют одинаковый вид, причем
£$η„ н дРп м/рм
члену fe '"·" в одном из них соответствует член —"· г в
охн охм
другом.
К эгим уравнениям необходимо добавить уравнения
неразрывности, которые с учетом того, что h = r\n—Лд,
можно записать как
^Ιπ.η ι Ft К dbH .Π ^Ъ ι Г/ ^д.н , , дПн п /с гПч
Ί^ + υ«Τ^Ί^ + υ»Ί^ + υ«-Ί^ (5·5°)
д%.м , Гт hM dbM , jj дум γ, ^д.м , * дЦм_ _ г\
~ЖГ+ М"^Г <^+^Μ дхм -Г^м дХм -1-ЛмдХм—^·
(5.51)
Если свободная поверхность напорного потока
представляет собой жесткую стенку, го дг|п.м/д^=0, а если при
этом жесткая стенка плоская, то дцп.м/дх=0, г. е. в этом
случае формы уравнений (5.50) и (5.51) не одинаковы, что
исключает неустановившиеся потоки из числа объектов
исследования на напорных моделях или накладывает ограни-

238 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
чения на выбор таких объектов среди установившихся
потоков.
Представим себе, что свободная поверхность открытого
потока воспроизводится на напорной модели поверхностью
упругого слоя, свойства которого таковы, что
перемещение этой поверхности в каждой точке пропорционально
изменению давления (винклеровская модель):
Δη„ = /(ΔΡπ, (5.52)
где К — коэффициент постели.
Тогда поток на модели будет обладать свободной
поверхностью, положение и форма которой связаны с
характеристиками потока. Уравнение (5.51) в этом случае может
быть записано в виде
<?(*ГЯП.М) , г? Л,4,,гг д(КР„.м) ,
«И* ~^м Ьм дхм-ги™ дхм Т
+ ^■^ + ^^=0. (5.53)
Уравнение движения для напорного потока можно
переписать как
4,_L д(КРП.м) ± («Ό\λ .hu ΊΚ _ о /ς χλ\
dtM-r к?м дх„ ~дхм\ 2 /-г/?м 2 -ν· [0°^
Уравнения (5.53) и (5.54) имеют ту же форму, что и
уравнения безнапорного потока: соответственно (5.50) и
(5.48), причем производной дцп.н/дхн соответствует
производная д(КРи.м)/дхм, а коэффициенту g — коэффициент
1/Крм.
Формальная аналогия как уравнений движения (5.48)
и (5.54), так и уравнений неразрывности (5.50) и (5.54)
для открытого потока и напорного потока, имеющего
свободную поверхность с заданными свойствами, указывает
на возможность существования аналогии между этими
потоками. Так как членам, связанным с силами тяжести в
уравнениях одного явления, соответствуют члены,
связанные с силами упругости в уравнениях другого, то такая
аналогия названа гравитационно-упругой.
Из нормированных уравнений (5.48) и (5.54) следует,
что аналогия достигается при выполнении условий
ΔΡΠΜ/(ρΜσ2Μ) =£Δηπ .„/tfV, (5.55)
Sh=idem; (5.56)
%Rlfh=idemf (5.57)

§ 5.5] Напорная модель открытого потока 239
к которым необходимо добавить условие
ΔΡπν/ΐΜ = Δηπ.Η/№)> (5.58)
следующее из рассмотрения нормированных уравнений
(5.50) и (5.54). Обратим внимание на то, что равенство
(5.55) в данном случае имеет смысл условия аналогии, а
не следствия подобия, как в случае жесткой стенки на
свободной поверхности напорной модели, так как в
рассматриваемой ситуации величина ΔΡΠ.Μ должна быть задана в
условиях однозначности.
Исходя из (5.58)
АЛт.м 1 hu
а из (5.55) следует, что
АРп.м/Аг|п.н=рм£ (UmJUh)2,
т. е. для достижения аналогии необходимо, чтобы
KpJJ\/K=UKI{gK)
или
FrM=^Fr*· (5·59>
Если не накладывать ограничений на КУ то на
напорной установке с упругой свободной поверхностью можно
обеспечить достижение высоких значений FrM (высоких
значений скоростей), обеспечивающих выполнение других
условий подобия (например, ReM^Rerp, или Z7/t/Kp = idem)
(см. §7.4).
Для практического использования предложенного метода прежде
всего необходимо установить условия выполнения требования (5.59)
при неравномерном загружении упругого слоя и его реальных
пространственных деформациях. Эта задача решена [125] путем отыскания
относительного отклонения перемещения поверхности упругого слоя,
которое получено из решения пространственной задачи теории упругости
от этого перемещения, соответствующего условию (5.58). При этом
найдена связь между коэффициентом /С, константами упругости и
характеристикой неравномерности распределения давления:
У (ΐΛ>--Ρ·ο-2)$
Д- 2|*\Ε(1-ε) .
где δ — толщина слоя; Ε—модуль упругости; μ0 — число Пуассона
(μο=1//η, где m — коэффициент Пуассона); е — величина, зависящая от

240 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
гладкости функции Ρπ = Ρ(Χι, ^2), с ростом гладкости этой функции
значение ε уменьшается, для дважды дифференцируемых функций ε^
^0,055. Исследование показало, что при гладкости функции РП =
=Р(хи х2), соответствующей обычным плавно изменяющимся потокам,
коэффициент К можно считать практически постоянным (с отклонением
не более 1 %) при использовании для упругого слоя материалов, у
которых μ0>10, δ/Ε<\ м/Па. Хорошее соответствие выдвигаемым
требованиям дает использование в качестве упругого слоя неформовой ла-
тексной губки, выпускаемой промышленностью. Для такой губки Е=
= 1,35ч-1,4-104 Па, μ0 = 11,5-*-12. При толщине слоя 3 см Kpg=
= 0,022-^0,026.
При исследовании нестационарных безнапорных потоков на
напорной установке с упругой свободной поверхностью этот слой находится
в условиях динамического загружения, что может привести к отличию
связи между изменением давления и деформациями слоя от
зависимости (5.58). Однако испытания слоя губки при разных скоростях
загружения показали, что в условиях, характерных для реальных
исследований, при скоростях деформации упругого слоя 0—28 см/с зависимость
(5.58) сохраняется.
Экспериментальная установка при использовании
гравитационно-упругой аналогии представляет собой жесткое
герметичное металлическое корыто, в котором формуется
(обычно из цементного раствора) русло исследуемого
водотока до уровней, соответствующих максимальным
уровням воды. Установка закрывается плоской крышкой, на
внутренней поверхности которой укрепляется упругий слой.
Следует обращать особое внимание на предотвращение
деформаций крышки, для чего ее можно распереть через
домкраты в рамы, соединенные с корытом установки. Если
материал упругого слоя имеет незамкнутые поры, то его
следует изолировать от потока тонким слоем резины.
Коэффициент XR в условии (5.57) может быгь оценен по
сведениям, приведенным в § 5.4, с учетом того, что при
использовании латексной губки, изолированной слоем
тонкой резины, высота эффективного выступа шероховатости
поверхности упругого слоя составляет по результатам
экспериментов 0,22 мм.
Возможность использования гравитационно-упругой аналогии для
определения характеристик открытых стационарных потоков в широком
диапазоне числа Фруда, а также нестационарных открытых потоков
подтверждается результатами исследования открытых потоков,
характеристики которых известны из других источников.

§ 5.5] Напорная модель открытого потока 241
На рис. 5.43 приведены результаты исследования зависимости
относительной длины водоворота от Fr при внезапном симметричном
расширении потока (степень расширения 6=1,67). Характерный перегиб
кривой свидетельствует о том, что на напорной установке возникает
гидравлический прыжок. Сопоставление результатов эксперимента с
данными опытов, выполненных для открытых потоков, дает неплохое
совпадение.
Рис. 5.43. Зависимость
длины водоворота от
числа Fri:
/ — h2/b2=Q,42; 2 — h2/b2=
-0,25; 3 — Л2/&2=0,167; 4—
h2/b2=*Q,Q7; 5 — граница
применимости напорных
моделей с плоской свободной
поверхностью
12\-
b2/b^1,67
о-/]- .
а- 9 I Открытый
\ поток '
-о
напорный поток
_J Ь_
<.!
IgFn-ftT
"χ,
3
2
I
I
I
b!
Si.
S*-*-
fir*-
I ]
\ J
Δ
д
0
30 40 50 60 70
10 20 JO 40 50 60 70 BO x/fy
δ)
Рис. 5.44. Характеристики гидравлического прыжка на напорной
упругой модели:
а — незатопленный, без поверхностного вальца, Fri=9,4, hi/hK **0,82; б —
затопленный с поверхностным вальцом, Fri=9,6, Λ7Λκρ = 0,47; /—-свободная
поверхность открытого потока; 2 — свободная поверхность, определенная по напорной
модели; 3 — U/Ui

242 Открытый поток в жестком русле [Гл. 5
Исследования плоского гидравлического прыжка показали, что на
установке с упругой свободной поверхностью при определенных
значениях числа Фруда и отношения глубин возникает гидравлический
прыжок, имеющий разные формы: с вальцом и без вальца, отогнанный и
надвинутый (рис. 5.44). Параметры, соответствующие смене форм
прыжка, хорошо согласуются с известными рекомендациями для
открытого потока.
Л;см
щ
h,CM
1/
1,5
¥\
¥\
о/
L=0,64m
10
20
tfi
Г-"""
I
I
"^
[=Vm
\2000\
\ΐ50θ\
wool
50θ\
г-
L = 0,0m
10 20 tfi 0 20 40 tjO
Рис. 5.45. Трансформация прерывной волны на напорной упругой
модели на различных расстояниях от начального створа:
— модель; — ■ расчет безнапорного потока
Нестационарная прерывная волна в напорном потоке создавалась
изменением расхода в начальном створе по некоторому гидрографу. Ее
параметры фиксировались в нескольких сечениях по длине потока.
Результаты эксперимента сопоставлены с данными расчета на ЭВМ
параметров соответствующего безнапорного потока по программе,
прошедшей подробную проверку. На рис. 5.45 представлены результаты
определения трансформации глубины потока. Экспериментальные
данные практически совпадают с результатами расчета.
Выполненные эксперименты показали, что рассматриваемым
методом можно изучать безнапорные двумерные потоки в широком
диапазоне условий. Исследование этим методом нестационарных потоков
возможно в случаях, когда изучается общая картина трансформации
потока без выделения особенностей на фронте волны.

§6.1]
Общие представления
243
Г лав а 6
МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ ПОТОКИ
6.1. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Многокомпонентные потоки весьма
разнообразны — снежная метель, кровь в сосудах, топливные
смеси в ракетах, цементные и бетонные растворы, речные
потоки в деформируемых руслах, пароводяные смеси в
энергетических установках, селевые потоки на горных
склонах— вот далеко не полный перечень многокомпонентных
потоков.
Часто можно выделить компоненты потока, резко
отличающиеся по свойствам: газ, жидкость, твердое вещество.
Каждая из этих компонент может быть в двух
качественно различных формах: несущей среды или несомой
среды (дисперсной фазы).
Несущая среда может предполагаться абсолютно
непрерывной (или просто непрерывной). В любой точке
этой среды может быть размещен шар, состоящий из
частиц рассматриваемой среды, который можно переместить
в любую другую точку области, занятой средой. Напротив,
несомая среда этим свойством не обладает.
Например, частицы грунта в русловом потоке полностью
окружены водой. От одной частицы грунта к другой нельзя
перейти, минуя воду. Такую среду при малых размерах частиц
предложено называть непрерывно
диспергированной (или равномерно разрывной), условно
сплошной средой [47].
Для дисперсной фазы не обязательно вводить гипотезу
условной сплошности. В некоторых задачах, например при
выводе критериев подобия, полезно сохранить дискретное
рассмотрение.
Пусть некоторая область, ограниченная твердыми
поверхностями, занята жидкостью, переносящей N твердых
частиц. Движение каждой частицы описывается шестью
уравнениями: тремя скалярными уравнениями сохранения
количества движения частицы
md-^L = mgi + ^olinjdQ (6.1)
Ω'
и тремя уравнениями сохранения момента количества
движения. В (6.1): m — масса частицы; x0i — координаты ее

244
Многокомпонентные потоки
[Гл. 6
центра тяжести; ^--компонента ускорения объемных
сил; Oij — напряжения на контакте жидкости и частицы;
tij — компоненты нормали к поверхности частицы Ω'.
Если полагать форму частицы близкой к сферической,
то между ее массой и смоченной поверхностью Ω'
существует соотношение
«=&ff·'. (6-2)
где ps — плотность материала частицы; Q = Q'/KS —
площадь поверхности шара, объем которого равен объему
частицы; Ks — коэффициент формы частицы; для правильных
частиц Ks= 1,1-^-1,2, для острозернистых существенно
больше.
В вязкой жидкости тензор {oij} определен
соотношением (2.37). К уравнениям, описывающим движение
частицы, должны быть добавлены уравнения движения
жидкости, краевые условия на границах области и на контактах
между частицами и жидкостью, условия взаимодействия
частиц между собой и с границей области (при
столкновениях). Если допустить, что эти условия не содержат новых
размерных констант или функций, то критерии подобия
движения геометрически подобных частиц в геометрически
подобных объемах получаются следующими:
N=idem; (6.3)
p/ps = idem; (6.4)
<J//0=idem; (6.5)
F(d)=idem; (6.6)
Re/o=/0i/0/v = idem; (6.7)
Frd=U\!(gd)=idem. (6.8)
Здесь F(d) — относительное количество частиц,
диаметр которых в смеси из N частиц меньше d
(гранулометрическая кривая); d — средний диаметр частиц.
Записи (6.3) —(6.8), очевидно, могут быть даны и в
других формах. Например, вместо (6.3) можно
потребовать неизменность объемной концентрации частиц, равной
отношению объема частиц к объему смеси:
c~>Nd?ll\ (6.9)
Когда несомой средой является газ или жидкость,
уравнения движения приобретают более сложную форму: для

§ 6.2] Перенос жидкостью твердых частиц 245
несомой фазы выписываются свои уравнения
(порождающие свою систему критериев подобия) и, кроме того,
выписываются условия на контакте между средами,
отвечающие требованию локального равновесия (с учетом
поверхностного натяжения на границах фаз), кинематические
условия совместности движений.
Система критериев (6.3) — (6.9) вследствие возможной
неединственности течений может быть неполной в том же
смысле, что и более простая система критериев подобия
движения реальной однокомпонентной жидкости.
Проблема замыкания уравнений для турбулентного
многокомпонентного потока находится примерно в таком же
положении, как и для однокомпонентного потока.
6.2. ПЕРЕНОС ЖИДКОСТЬЮ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ
Специфическим для многокомпонентной среды является
учет взаимодействия между частицами несомой фазы, их
взаимодействия с границей. Для твердых частиц это
взаимодействие в простейшем случае может быть
представлено двумя типами явлений — упругого удара, задаваемого
безразмерным коэффициентом удара КУу характеризующим
относительную потерю энергии при ударе, и неупругого —
сухого трения, задаваемого коэффициентом трения /=
= arctg(p.
Эти два безразмерных параметра, зависящих от свойств
материалов частиц и стенок сосуда, а также от формы
частиц, должны быть включены в анализ. Возможно и более
полное описание взаимодействия частиц при ударе,
приводящее к появлению большего числа параметров, которые
трудно задать и контролировать в эксперименте.
Индивидуальное моделирование переносимых частиц
трудновыполнимо и во многих случаях не является
необходимым. Если обеспечены условия подобия состава
твердых частиц, а также
tfy = idem; (6.10)
f=idem (6.11)
или заведомо известно, что концентрация частиц мала и
влияние условий (6.10), (6.11) несущественно, главные
проблемы моделирования оказываются связанными с
обеспечением подобия движения частиц в жидкости. Как видно
из (6.1), движение твердой частицы определяется ее инер-

246
Многокомпонентные потоки
[Гл. 6
цией и силами, действующими на нее со стороны жидкости.
Эти силы можно найти, полагая известной скорость
частицы V(x, t) и решая соответствующую краевую задачу
для уравнений Навье — Стокса. Принципиальная
трудность в постановке такой задачи состоит в необходимости
учета реальной нестационарной и пространственной
картины турбулентного потока, обтекающего частицу, влияния
сложной формы частиц.
Пусть U(x, /) есть мгновенное поле скорости,
а Р(х, /)—поле давления в «исходном» потоке без
частиц. Введение в поток твердой частицы вызовет
искажение поля скоростей и давлений соответственно на
величины и(х, /) и р(ху t). Таким образом, поток, несущий
частицу, задан уравнениями:
U2 = U + u; ΡΣ = Ρ + ρ. (6.12)
Записав уравнения Навье— Стокса для исходного
U(x, t) и возмущенного Us(x, t) потоков и вычгя эти
уравнения почленно одно из другого, получим уравнения
относительно полей возмущений и и р. В реальном
русловом взвесенесущем потоке эти возмущения, вносимые
частицами, обычно малы по сравнению с величинами
исходного течения, и в получающихся уравнениях могут быть
отброшены члены, нелинейные относительно и и р:
-at + U* -т^ + ^0 -з— = 7Γ^-+νν^; (6.13)
*:=о. «.? = ,. 2.3.
Система (6.13) является обобщением известных
уравнений Осеена.
Краевые условия для (6.13) задаются на поверхности
частицы
ua=V*-Ua (6.14)
и на большом удалении от частицы
иа = 0. (6.15)
Уравнения (6.13) решаются совместно с уравнением
движения частицы (6.1), которое можно переписать,
раскрыв значение интеграла в правой части:
dV
m-£-=-P.-Tm + mgu. (6.16)

§ 6.2] Перенос жидкостью тбердых частиц 24?
где т-—масса частицы, m = psnd3/6; ga — проекция
ускорения свободного падения; Ра и Та — проекции интегралов
по поверхности частицы от нормальных давлений и
касательных напряжений, вычисленных на основе решения
уравнений (6.13).
Некоторые соображения о структуре сил можно
высказать, и не решая системы (6.13) в полном виде.
Поскольку в жидкости касательные напряжения
возникают лишь при наличии градиентов скорости, можно
полагать, что Та пропорционально разности характерной
скорости среды и частицы:
г.=с,Р-^__=С',р_г-4· (6.17)
В отличие от Та сила Ра, вызванная нормальным
давлением, определяется не только скоростью относительного
обтекания частицы и, но и полем давления,
существовавшим в жидкости до введения частицы:
^ = [grade/W+J/*»e· (6.18)
W Ω
Первый интеграл в правой части (6.18) вычисляется по
объему жидкости W, замещаемому частицей. Это
выражение является обобщением известной «архимедовой силы»
для условий движущейся жидкости. Второй интеграл,
вычисляемый по поверхности частицы, непосредственно
учитывает нормальные давления, связанные с обтеканием
частицы. Эта составляющая силы по аналогии с известными
решениями о движении тела в неподвижной жидкости
также может быть представлена суммой двух компонент:
$р*>.=Р-+р* (6·19)
учитывающих влияние нестационарности движения
(инерционности) Раи и собственно силу сопротивления Рас:
ρ с η ·
11Λ\ίΐ\ ъгП U„V
(6.20)
Коэффициент «присоединенной массы» Ст почти не
зависит от вязкости. Напротив, коэффициенты сопротивления

248
Многокомпонентные Потоки
[Гл. 6
Сх и Ср зависят от локального числа Рейнольдса Re'd=
= \u\d/v. Наиболее чувствителен к влиянию вязкости
коэффициент Сх, который с ростом числа Re быстро
убывает.
При малых числах Рейнольдса существенно зависит от
Re'd и коэффициент СР. Например, согласно решению
исеена при Ке'<*<1:
с*~с*=Щ1 + ъ**'<У (6·21>
β этих условиях мало изменяются коэффициенты С\ и
Ср.
Коэффициенты Ср и Сх существенно зависят от формы
частиц. Форма частиц влияет даже на характер осаждения
частиц в стоячей воде. Если центр тяжести и центр
действия поверхностных сил частицы не совпадают, то падение
частиц происходит по винтовой линии. Неудивительно, что
даже при малых числах Рейнольдса (Re/d<10)
коэффициенты сопротивления частиц с разной формой могут
отличаться в 2 раза [155J. При Re'd^lO3 различие может быть
в 5—10 раз. Суммарный коэффициент сопротивления 0Σ—
— СР:{-СХ зависит от параметров нестационарного
обтекания.
В [155] приведены ссылки, указывающие на
противоречивость экспериментальных данных, касающихся влияния
нестационарности. Отчасти это объясняется тем, что в
экспериментальных работах силу сопротивления,
действующую на частицу, обычно представляют в форме
Fs = Ш# ^Ц^ (U - V), (6.22)
Где U и V — векторы скорости соответственно жидкости и
частицы; Ω5 — площадь поперечного сечения частицы.
В таком представлении нестационарные эффекты,
связанные непосредственно с ускорением [первый член в
правой части уравнения (6.19)], а в случаях резкой
нестационарности и со сжимаемостью среды, не учитываются.
Их наличие вызывает существенное изменение Ψ, в том
числе и под влиянием турбулентных пульсаций
набегающего потока. При большой амплитуде пульсаций скорости
коэффициент Ψ может быть в 3 раза больше стандартного
значения. Учет реальной картины обтекания уменьшает
разброс значений опытных констант, а в некоторых слу-

§ 6.2] Перенос жидкостью твердых частиц 249
чаях (при простой форме поперечного сечения частицы)
позволяет найти основную компоненту силы
взаимодействия (параметр СР) без введения опытных данных [8, 81].
1,6
1,2
0,8
¥
W/ VLjjJ U
·//
/~
&
v^
dу^
•
| о- (
▲
I δ—
0=1,0
>
0,9
0,8
0,7
ш.
0=0,6
л,
"£х— =■
-2
-1
5 IgRe^
Рис. 6.1. Зависимость относительной гидравлической крупности частиц
от их формы и Red
Значения коэффициентов Ст и Сру характеризующих сопротивление
стационарному движению частицы в неподвижной жидкости, в целом
можно оценить одним параметром — гидравлической крупностью
частицы w, под которой понимается скорость равномерного осаждения
частицы:
.y2 = w=y ^gd^-.:
сУ
(6.23)
где
Cr = 2C'/Re'd.
100
10
1
0,1
Рис. 6.2. Зависимость гидравлической
крупности w частиц кварцевого песка от приведенно- qqqi qj у iOdMn
го диаметра d

250
Многокомпонентные потоки
[Гл. 6
Формула (6.23) непосредственно получается из уравнений (6.13) —
диа дР
(6.19) при Ua = 0; η£ = 0; grad Ρ == -^- = — р^г. Зависимость (6.23)
часто представляется в следующем виде:
t0 = $(Rerf, форма частицы) Vg^+d, (6.24)
где р+= р5/р— 1; Re^ = d V gp+d/v. В качестве характеристики формы
частицы в [133] предложена величина Q—d2f(l8b8) (где ls и Ь8— длина
и ширина частицы). На рис. 6.1 показана полученная обработкой
данных [133] зависимость <р — w/V g?+d от Red и θ, а на рис. 6.2 —
зависимость w кварцевых частиц (9^0,7) в воде при 15°С от
приведенного диаметра d этих частиц.
В реальном турбулентном потоке структура сил Ра и Та
может быть принята аналогичной (6.17) —(6.20).
Дополнительная сложность здесь связана с явлением осреднения
пульсирующего давления по поверхности частицы,
искажением высокочастотной части спектра турбулентности
потока, зависимостью коэффициентов СР и Сх от
структуры пульсаций относительной скорости и, влиянием
градиента скорости dUJdx$ [149].
Влияние этих факторов невелико, и воздействие на
частицу можно рассчитывать по схеме ее нестационарного
движения в колеблющейся безграничной жидкости со
скоростью u=V—U, если для исходного течения выполняются
следующие оценки:
а также
и
1 1 3
{?*+ — р т
—\ grad P
<υ- 1
(6.25)
Здесь λ и Xt — пространственный и временной тэйлоров-
ские масштабы турбулентности:
dUf
дхг
ι=υ'*ΙΙ^)->ι< = ν\
dt J
№
Штрих (') у переменных означает вычисление
среднеквадратичного значения.

§ 6.2J Перенос жидкостью твердых частиц 251
Оценки (6.25) редко выполняются в реальных потоках1·
Однако если в первом приближении пренебречь этим
обстоятельством, то условия подобия движения частицы
можно записать в следующем виде:
из соотношения сил инерции и сопротивлений
i+f^
U0u0
_ #0ν πάζ
= C'eRe''d = C§^ = idem; (6.26)
из соотношения сил инерции и тяжести
m ί 1 + ~- Cm J UQu0
mgd
= C, ^-^- = C\^.Re"d=iaem;
w w
(6.27)
из соотношения внешних сил (тяжести и градиента
давления)
1 mg ?sg 9sgl v ;
Здесь
С, = — — (у" + Ст ~ · ~ — Cm J J
ь !— з с' ^ ρ +ϋ™ ?8 т)'
Re"d = a0d/v.
(6.29)
Коэффициенты С0, С, C'i мало изменяются при малых
числах Рейнольдса (АС'/С'<0,1 при Re'd<10);
коэффициенты Со, С, Ci мало изменяются при больших числах
Рейнольдса (АС/С<0,1 при Re'd>200-^1000) *.
1 Оценки (6.25) получаются из качественного анализа
взаимодействия частицы с турбулентным полем, рассматриваемым в лагранже-
вых переменных [149].
* Вид функции C(Re'd) довольно сильно зависит от формы частиц.
Для вытянутых частиц переход от одной (вязкой) автомодельной зоны,
в пределах которой C'=const, к другой (турбулентной) автомодельной
зоне (C = const) происходит в относительно более узком диапазоне
чисел Рейнольдса (20<Re'd<80), чем для шарообразных частиц [210].

252
Многокомпонентные потоки
[Гл. 6
В соотношениях (6.26) — (6.28) использованы
характерные скорости основного потока U0 и относительного
движения частицы в жидкости и0. Движения частицы
подобны, если масштабы этих скоростей сохраняются
одинаковыми.
Очевидно, все условия (6.26) —(6.28) выполняются,
если диаметр частиц изменяется пропорционально линейному
масштабу модели, гидравлическая крупность w —
пропорционально характерной скорости U0y а коэффициент С
Рис. 6.3. Коэффициент захвата Ε
частиц прямым круговым
цилиндром в зависимости от
соотношения сил инерции и сопротивления
частиц
%1 Oft 1 4 Ю 40 fy
остается постоянным. Практически это возможно, если
частицы в натуре достаточно крупны, так чтобы на
модели их крупность не была меньше 1 мм (Re'd>100). Во всех
других случаях можно говорить лишь о приближенном
подобии, когда тот или иной критерий влияет относительно
мало.
Введение в рассмотрение условий (6.25), (6.27),
связанных со структурой турбулентности, исключает возможность
точного воспроизведения движения частиц на модели,
отличной от натуры. Действительно, уменьшение
геометрических масштабов гидравлической модели требует
уменьшения скорости течения и размеров частиц. При этом
тэйлоровские масштабы турбулентности λ не
уменьшаются, а увеличиваются [84]. В связи с этим искажается
взаимодействие турбулентного поля с частицей. Например,
сглаживание пульсации по поверхности частицы на
модели меньше, чем в натуре.
Влияние критерия πι (6.26) можно проследить
применительно к характерной задаче столкновения частицы с
препятствием. Этой задаче посвящен ряд работ, ссылки на
которые можно найти в [128].

§ 6.2] Перенос жидкостью твердых частиц 253
Роль сил инерции по сравнению с силами сопротивления
характеризуется коэффициентом захвата £, определяемого отношением числа
захваченных частиц к числу частиц на подходе, попадающих в
проекцию обтекаемого тела на направление движения. На рис. 6.3 показаны
4mU0
в функции критерия щ = ^2 значения коэффициента Е,
рассчитанные без учета эффекта присоединенной массы частицы (Ст=0)
[128]. Две кривые на рис. 6.3 очерчивают область возможного влияния
изменения линий токов жидкости у препятствия за счет различия чисел
Рейнольдса. Точки на графике соответствуют результатам наблюдений
за осаждением на цилиндре из потока воздуха весьма мелких частиц
(диаметром 1,5 и 15 мкм).
По данным рис. 6.3 можно заключить, что критерий πι
практически не влияет на движение частиц при его малых
и больших значениях. Если πι<0,5, частицы повторяют
линии тока жидкости. При значениях πι>10 траектории
частиц будут определяться в основном их столкновениями
с препятствиями и друг с другом.
При концентрации частиц, достаточно большой для
того, чтобы столкновения частиц стали весьма вероятными,
начинает проявляться дополнительное относительное
скольжение частиц и жидкости. Если частица диаметром d
движется со скоростью Wi относительно отдельных частиц
смеси, то, очевидно, она будет сталкиваться со всеми
частицами, центры которых находятся внутри цилиндра
диаметром 2d, ось которого коллинеарна скорости Wi. В
объеме n(2d)2L/4 таких частиц находится несколько
меньше, чем
Ν= ά ///ча = ^, (6.30)
-ия
где с —объемная концентрация взвеси. Полагая N=2y
найдем среднюю длину пути частицы между ударами при
минимальной подвижности часгиц
L^d/3c. (6.31)
Эта оценка заметно отличается от среднего расстояния
между частицами. Действительно, полагая частицы
размещенными в узлах кубической решетки со стороной L0,
находим из условия равномерного распределения этих

254
Многокомпонентные потоки
[Гл. 6
«кубиков» в пространстве:
4 / d \3
8-м-) у
с = (2L.)' ; ί. = άΥφο. (6.32)
Среднее расстояние между частицами в такой решетке,
очевидно, равно
Ζ,= ^-(6+ 12 К2 + 8 УЪ)ъ* 1,42L0. (6.33)
Обратим внимание на то, что средняя длина
свободного пробега частицы среди относительно
малоподвижных частиц существенно больше расстояния между
частицами. Если частицы имеют ненулевую компоненту
скорости, нормальную к Wi, то вероятность столкновения
возрастает и L уменьшается, стремясь к Lq.
В принятых предположениях среднее время движения
ty с, частицы между ударами имеет порядок
Если это время меньше характерных времен
свободного движения частицы (осаждения или турбулентного
переноса с малым изменением скорости), то влияние
соударений частиц существенно. При различной крупности частиц
соударение между ними неизбежно даже при ламинарном
движении. Соударение частиц проявляется в том, что
скорости гидравлически более крупных частиц уменьшаются,
а скорости гидравлически более мелких частиц
увеличиваются. Частицы всех размеров уменьшают свою скорость
при ударе о стенку. Все эти процессы действуют
однозначно — увеличивают потери энергии несущей жидкости.
Наличие частиц, однако, может качественно изменить режим
течения — вызвать уменьшение интенсивности
турбулентного обмена и за счет этого локальное уменьшение потерь
энергии на транспорт взвеси при определенных
(достаточно малых) концентрациях частиц [10].
Индивидуальное описание соударения частиц требует
введения многих параметров. Например, простейший
случай соударения симметричных частиц требует введения по
меньшей мере двух безразмерных «коэффициентов
восстановления» нормальных /С„е(—1,0) и тангенциальных /Сте
е( —1,0) составляющих скоростей, определяемых как
отношение соответствующих составляющих относительной
скорости соприкасающихся точек недеформируемых (!?)

§ 6.2] Перенос жидкостью твердых частиц 255
частиц [8, 225]. Рассмотрение явлений соударения частиц
приводит к формулировке требований подобия [201],
которые в реальных условиях трудновыполнимы.
Практически требование подобия процессов соударения частиц
некоторыми авторами сводится к условию неизменности в
натуре и на модели соотношения средних скоростей
твердой и жидкой фаз [211].
Для описания и моделирования процессов движения
многофазных сред более перспективным в настоящее
время представляется использование схемы условно
сплошных взаимопроникающих и взаимодействующих сред,
каждая из которых задана своим уравнением состояния [47].
Рассмотрим уравнения двухфазной среды, встречающейся
особенно часто. Более сложные случаи трехфазной среды
обычно можно привести к схеме двухфазного течения,
пренебрегая взаимным относительным движением одной из
пар фаз.
Уравнения неразрывности для двухфазной среды,
состоящей из частиц и жидкости, заполняющей пространство
между частицами, имеют вид:
^+div*p,V = (); (6.34)
^^ —^P^-div(l —^)PU = 0. (6.35)
Уравнения (6.34), (6.35) не дают существенно новой
информации для моделирования.
Уравнения изменения количества движения более
информативны:
Psig- = FM + <«vtf. + F; (6.36)
p(l-c)^- = F. + div/7-F. (6.37)
Здесь nSi Π — тензоры напряжений в фазе,
сформированной частицами, и в жидкости; F0s и F0 —объемные
силы, действующие в этих фазах; F — сила межфазного
взаимодействия [47].
Информативность системы (6.36), (6.37) начинает
проявляться лишь в том случае, если удается раскрыть связь
между тензорами Я5, Я, вектором F, скоростями фаз и
концентрацией с.

256
Многокомпонентные потоки
[Гл. 6
Важнейшим качественным результатом использования
континуального подхода является оценка условий
возникновения и прекращения размыва на основе анализа
мгновенного напряженного состояния среды (см. [47], а также
гл. 7).
Следует еще раз предупредить об опасности смешения
двух подходов к анализу явлений. Например, если
использовать континуальный подход и в качестве характерного
параметра задачи ввести критическое касательное
напряжение Ткр, отвечающее началу размыва грунта (или
соответствующую критическую скорость ί/κρ), то вводить в
качестве линейного параметра диаметр частицы не следует.
Необходимо стремиться составлять все критерии из
величин, относящихся к одному уровню схематизации явления.
Выбор параметров из разных уровней описания явлений
может привести к неоправданному увеличению числа
критериев подобия и утрате существенных критериев. Такое
смешение подходов допущено в современной книге по
моделированию [216], где длина волны рифелей на песчаном
дне измеряется в долях диаметра частиц и сопоставляется
с U/UKp. Исходя из континуальной концепции более
логично было бы представить результаты опытов, выбрав в
качестве масштаба длины гряд, например, параметр
£=ткр/£(р5-р), (6.38)
а в качестве масштаба скорости потока
(^)kp=KVF (6-39)
или
(tf*Ap=W(ps-p): (6·40)
Конечно, континуальный подход необязателен — при
альтернативном подходе в качестве линейного масштаба,
естественно, принять диаметр частицы, а в качестве
масштаба скорости, например,
Ud = V(t.h-l)gd. (6-41)
Последний подход применяется особенно широко (см.
гл. 7). Смешение подходов часто встречается в
гидравлических работах. Например, известные экспериментаторы
Д. Саймоне и Э. Ричардсон, пытаясь найти закономерности
движения гряд, ввели три параметра U*/wt U*d/v и
диаметр частиц в размерных единицах [53]. Смешение
подходов и неудовлетворительность размерного критерия здесь
очевидны.

§ 6.3] Вовлечение газа со свободной поверхности 257
6.3. ВОВЛЕЧЕНИЕ ГАЗА СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
При наличии внешних границ раздела между потоком
жидкости и газа часто реализуются условия, при которых
газ в виде отдельных включений вовлекается внутрь
жидкости, существенно изменяя характеристики ее потока.
К таким явлениям относятся самоаэрация открытых
потоков в безнапорных водосбросах и горных реках, захват
газа в воронки, образующиеся у водозаборных отверстий,
аэрация свободных струй и т. д. Последствия вовлечения
газа могут быть как положительными (уменьшение
интенсивности воздействия потоков на их границы, улучшение
качества воды в естественных водотоках, обеспечение
протекания реакций в технологических аппаратах), так и
отрицательными (увеличение размеров потоков, снижение
пропускной способности водосбросов, нестабильность
работы механического оборудования, ухудшение теплообмена
в активной зоне ядерного реактора).
Во всех случаях вовлечение локальных масс газа
связано с местными деформациями свободной поверхности
потока жидкости, нестационарностью этих деформаций.
Поэтому процесс захвата газа определяется такими
свойствами потока жидкости и его свободной поверхности, как
бурность, турбулентность и поверхностное натяжение.
Несмотря на то, что некоторые механизмы вовлечения газа
имеют математическое описание, реальной основой для
построения системы условий подобия этого явления в
большинстве случаев являются результаты
систематических экспериментов, которые, к сожалению, часто бывают
противоречивыми. В качестве характеристик процесса
вовлечения обычно используются те или иные величины
(скорость, число Фруда, заглубление водосбросного отверстия
под уровень), соответствующие началу вовлечения.
Начало аэрации открытых квазиравномерных потоков
обычно связывается с достижением достаточно больших
(критических) значений числа Фруда при заданной
шероховатости дна потока. При этом предполагается, что при
автомодельности по критерию гидравлических
сопротивлений имеется автомодельность по этому критерию и
аэрации потока.
Характерным примером связи, соответствующей началу
аэрации, является зависимость [139]
РгКр=45(1-Лэф//?)
(6.42)

258
Многокомпонентные потоки
[Гл. 6
где ЛЭф — эффективная шероховатость дна;
#—-гидравлический радиус. Однако известно, что при моделировании
открытых потоков аэрация на мелкомасштабных моделях
и в натуре существенно различна, поэтому зависимости,
аналогичные (6.42), пригодны лишь в ограниченном
диапазоне условий, в которых они получены.
Общий подход к описанию явления аэрации,
позволяющий сделать некоторые выводы и в отношении
моделирования аэрации, может быть построен на основе анализа
характеристик турбулентности потока вблизи свободной
поверхности [84]. Согласно известной схеме Г. Хальброна
(1952 г.) аэрация потока происходит в момент смыкания
поверхности воды после того, как некоторый объем
жидкости, имеющий достаточно большую скорость по нормали к
осредненной поверхности воды, вырывается из потока,
оставляя за собой каверну. Для того, чтобы оценить
частоту повторения таких событий и объем захватываемого
воздуха, надо знать, как часто нормальная компонента
скорости частиц под поверхностью воды превышает некоторый
предел, зависящий от формы и положения свободной
поверхности, насколько продолжительны эти превышения и
какой объем воды в момент вылета можно принимать
движущимся как единое целое. Вводя соответствующие
тейлоровские масштабы турбулентности, оценивающие
указанные величины, удается получить достаточно общее условие
возникновения аэрации [84], которое для схемы
равномерного течения на быстротоке может быть конкретизировано в
следующем виде:
Здесь и'2 — среднеквадратичное значение пульсационной
скорости, нормальной к поверхности воды (ί/2^0,5ί/*); С\
и С2 — константы; θ — угол наклона поверхности воды к
горизонту. Выписанное соотношение примечательно тем,
что число Вебера We^ = pg"/i2/a входит в отношение с
локальным числом Рейнольдса Re* = i/*/i/v. Понятно, что в
условиях, когда число Вебера оказывает заметное
влияние, так же сильно будет сказываться влияние числа
Рейнольдса. Влияние этих обоих критериев должно быть
велико при больших уклонах дна. В частности, течение со
свободным падением струй должно быть особенно сильно
чувствительно к линейному масштабу модели. В инженер-

§ 6.3] Вовлечение газа со свободной поверхности 259
ном отношении неавтомодельность тонких эффектов
аэрации по критериям Вебера и Рейнольдса проявляется в том,
что гидродинамические (пульсационные) нагрузки,
изучаемые на мелкомасштабных моделях, в схемах с
отброшенной струей в низкочастотной части спектра должны быть,
как правило, завышенными, а в высокочастотной части
заниженными. К счастью, высокочастотная часть спектра
обычно мало влияет на прочность и устойчивость
гидротехнических конструкций.
Если принять, что размеры пузырей воздуха,
захватываемых аэрированной поверхностью воды, связаны не с
тейлоровским, а с интегральным масштабом
турбулентности (такая гипотеза соответствует модели локальной
потери устойчивости свободной поверхности [30]), то в
условиях подобия аэрации влияние критерия Рейнольдса резко
уменьшится. Главным остается обеспечение достаточно
больших чисел Вебера, которые в данной модели
целесообразно составлять по интегральному масштабу
турбулентности L
WeL=pgL2/a.
Влияние этого критерия мало, если Wei^WeiKp^lO3.
Автомодельность по критерию We в данной схеме
также не гарантирует подобия тонкой структуры
аэрированного потока (и соответственно всего спектра пульсаций
скоростей и давлений), однако низкочастотная часть
спектра на модели исходя из такого описания явления
может ожидаться близкой к натуре.
Количественную оценку для установления условий
подобия начала аэрации, исходя из данной концепции, дает
иолуэмпирическая формула [15]
cos φ~ (1 — 8,7/С) - 13b00/We' * '
в которую наряду с геометрическими характеристиками —
угол наклона дна потока φ — входят коэффициент Шези
(в квадратичной зоне сопротивления) С и число Вебера
We=pi/2A/a. Очевидно, что эта зависимость не может
претендовать на достаточную общность — в ней не учтено
соотношение плотностей жидкостей и газа: она. применима
только для воды и воздуха.

260
Многокомпонентные потоки
[Гл. 6
На рис. 6.4 приведена связь
между числами FrKp и We, из
которой следует, что при
достаточно больших значениях
числа We (тем меньших, чем
меньше коэффициент Шези)
имеет место автомодельность
начала аэрации по этому
критерию. Если натура
относится к автомодельной
области по We, то для отнесения
к той же области и модели
к ее геометрическому
масштабу при соблюдении условия
Fr = idem должно быть
предъявлено требование:
/AL WerD
ифйтъ- (6·44>
При моделировании, например, быстротоков, характеризующихся
значениями С = 40-г-60 м0,5/с и Werp~l-105, минимальный
геометрический масштаб, выбранный исходя из этого требования при одной и той
же жидкости на модели и в натуре, составляет 1 : 10—1 : 20.
Иной путь отыскания областей автомодельности аэрации по
критерию We рассматривается в [15], где сопоставляются силы
поверхностного натяжения и· силы тяжести, связанные с деформациями свободной
поверхности, определяемыми турбулентностью потока. В указанной
работе получено, что подобие состояния свободной поверхности может
быть достигнуто при глубине потока на модели, большей 0,1 м.
Приведенные данные справедливы, естественно, для области вне
начального участка, на котором происходит развитие пограничного слоя
(см. § 5.2).
При бурном обтекании местных препятствий вследствие
возмущения свободной поверхности на участке влияния
препятствий имеются дополнительные причины вовлечения
газа. Например, при обтекании цилиндра вовлечение газа
наиболее интенсивно происходит на границе следа и
транзитного потока в вихревые структуры! Исследования
вовлечения газа при обтекании одиночных цилиндров и их
систем (применительно к ядерным реакторам на быстрых
нейтронах), выполненные в НИС Гидропроекта совместно
IgWe
Рис. 6.4. Влияние числа We на
значение числа FrKp,
соответствующего началу аэрации:
— дистиллированная вода;
— вода с
органическими примесями; О —
эксперимента ΠΤ,ΗΤ,Ι А TClUVU

§ 6.3] Вовлечение газа со свободной поверхности 261
с сотрудниками МИСИ [208], указали на автомодельность
начала газововлечения по критерию Рейнольдса при Re =
= ί/Ζ)/ν>1Ί03 (t/·— скорость набегающего потока, D —
диаметр цилиндра). Получено, что в области автомодель-
ности по Re начало аэрации связано со значениями чисел
Fr и We, между которыми существует связь:
FrKP=185/We, (6.45)
где Fr = t/2/(gD); We= (ρί/2Ζ))/σ.
Судя по полученным данным, подобия вовлечения газа
в данном случае можно добиться только при выполнении
условий
Fr=idem и We = idem.
В литературе очень большое внимание уделено
вовлечению газа в вихревые шнуры, образующиеся при входе в
заглубленные под уровень жидкости отверстия. Только в
[171] приведено более 30 ссылок на работы зарубежных
авторов по этому вопросу. По мнению большинства
исследователей, начало захвата газа в вихревые шнуры
(критическое заглубление отверстия под уровень) зависит от
критериев Fr, Re, We, так что по каждому из этих критериев
существуют автомодельные области. Однако данные о
граничных значениях указанных критериев практически во
всех работах существенно разнятся. Анализ этих данных
показывает, что имеющиеся различия вызваны тем, что
экспериментальные данные, положенные в основу
рекомендаций, получены при разных очертаниях границ и
различном распределении скоростей на подходе. Наилучшее
обобщение может быть сделано, если рассматривать
циркуляцию относительно водоприемного отверстия. Но при
сложных геометрических граничных условиях связать
циркуляцию с величинами, входящими в условия однозначности,
бывает не просто.
В систематических опытах Джейна [183], в которых наряду с
другими величинами варьировалась циркуляция потока, получено, что
границы автомодельной области по Re зависят от безразмерной величины,
в которую входит циркуляция Г. Использовался комплекс
πΓ = ΓΛΚρ/<?,
где Г = πΟί/τ; Uz — тангенциальная составляющая скорости на
расстоянии D/2 от оси воронки; /гКр — критическое заглубление отверстия
под уровень жидкости. По [183]
/iKP/Z>o=tfFr°>25, (6.46)

262
Многокомпонентные потоки
[Гл. 6
где Ζ)β—диаметр водоприемного отверстия; Л'=/( (Re/Fr0,5, πΓ); Fr =
=£/2/gZ),0; Re=UD0/v (U — скорость в водоприемном отверстии). При
Re/FrG>5>5· 104 коэффициент К автомоделен по этому комплексу.
В [183] найдено, что по крайней мере при 1 -102<We<3,4· 104ч
(We = p£/2Z),0/a) начало воздухововлечения не зависит от критерия Ве-
бера. Однако в опытах, результаты которых изложены в [166], где
изучены условия подобия захвата газа применительно к ядерным
реакторам на быстрых нейтронах, при вариации жидкости от фреона до
натрия было четко зафиксировано влияние критерия We на захват газа
в воронку. В этих опытах циркуляция потока была однозначно связана
с расходом жидкости (критерий πΓ связан с Fr). Для автомодельной
зоны по числу Re была получена следующая связь для критического
затопления водосбросного отверстия:
/ ι 7 a.in* \
(6.47)
(6.48)
«кр/^
откуда следует, что
где
\,
Э0 = const
Werp =
(*)L
У *г ^рго.25- We
7,6· lO^Fr0-25
[М^кр/^о)]доп '
(AKp/^o)werp
, (^Kp/^o)we-oo
Вовлечением газа обычно сопровождается вход
свободной струи под поверхность открытого потока
(сопряжение бьефов плотины отброшенной струей, шахты падения,
сифоны, участки разрыва уровней в контурах циркуляции
некоторых теплообменных аппаратов). Близко к этим
случаям и вовлечение газа в гидравлическом прыжке.
Вовлечение газа в данной ситуации возможно за счет как
содержания газа в струе, так и его захвата из газового
пространства в месте удара струи о поверхность.
Исходя из большого количества эмпирических
зависимостей, связывающих газосодержание в потоке воды на
участке прыжка с числом Фруда, таких как формула Ка-
линске и Робертсона:
p=/C1(Fr°.5—1)1·4,
некоторые исследователи полагают, чго газововлечение в
рассматриваемых случаях достаточно точно
воспроизводится при условии Fr = idem. По мнению других
исследователей, для достижения подобия, кроме того, необходимо

§ 6.3] Вовлечение газа со свободной поверхности 263
обеспечить на модели достаточно большие скорости в струе
(влияние Re и We). Так, по Виллкоку и Торни [173]
необходимо, чтобы ί/θΜ^0,5 м/с. Из имеющихся в литературе
рекомендаций представляется целесообразным
использовать те, в которых в качестве условия подобия вовлечения
газа предлагается следующее:
t/„a4/i/o=idem, (6.49)
где ί/нач — скорость в струе, соответствующая началу
вовлечения газа; ί/0 — фактическая скорость в том же
сечении.
В [169] рекомендуется полагать £/Нач^0,8 м/с (вода и
воздух при нормальном давлении и комнатной
температуре). Однако [173] установлено, что {/Нач может
существенно изменяться (от 0,8 до 3 м/с) в зависимости от
интенсивности турбулентности в струе. Если дополнительных
источников турбулизации не имеется, то UHa4=0y8-^-l м/с.
Исходя из условия (6.49) подобие вовлечения газа
струей жидкости при отсутствии автомодельности по числу
Фруда может быть обеспечено только при отличии свойств
жидкости и газа на модели от таковых в натуре.
В различных разделах техники актуальной задачей
является прогноз характеристик вовлечения газа в свободные
струи жидкости и распада (распыления) таких струй в
окружающей газовой среде. В энергетике эта задача
относится, например, к распылению топлива форсунками, к
охлаждению воды брызгальными устройствами и к
сопряжению бьефов
высоконапорных плотин отброшенными
струями.
Исходя из данных,
приведенных в [73], при весьма
больших значениях числа
Фруда (при автомодельности
по Fr) распыление жидкости
в газе автомодельно по числу
Re при достаточно больших
значениях этого критерия, и
определяющими критериями
подобия можно полагать
критерий We и симплекс рг/р.
Подтверждением сказанному
служит рис. 6.5, на ' котором
представлень! обработанные
200
iOO
МКМ"
V
\
5s
X
^
v\
-«^,
/e=J;i
40s
№=7>10s
We=1-104 I
J 4 5 LgRe
Рис. 6.5. Зависимость среднего
диаметра капель,
образующихся при распылении жидкости
форсункой, от чисел Re и We
при рг/р«0,00!2

264
Многокомпонентные потоки
[Гл. 6
данные опытов Л. А. Витман [73] по определению
среднего диаметра капель, образующихся при распылении
жидкости форсункой. Эти данные относятся к форсунке одной
и той же конструкции, характеризующейся, в частности,'
постоянством критериев турбулентности. Начальная
турбулентность струи существенно сказывается на
характеристиках вовлечения газа и распада, однако ее влияние
ограничивается начальным участком струи. На
достаточном удалении от входного сечения характеристики струи
v%
iiW

§ 6.3] Вовлечение газа со свободной поверхности 265
перестают зависеть от начальной турбулентности и
определяются взаимодействием движущейся жидкости и
газа [39].
Аналогичный результат был получен и в опытах,
выполненных в НИС Гидропроекта на крупной
экспериментальной установке с напором до 20 м и расходом,
превышающим 1 м3/с. В опытах изучались характеристики
свободных струй, выходящих из прямоугольных насадков с
горизонтальной осью. На рис. 6.6 представлена зависимость
относительной площади поперечного сечения сгруи (ее
границы определялись обработкой фотоснимков) от
относительного расстояния данного сечения от выхода из насадка
при разных значениях чисел Fr, Re и We. На этом рисунке
можно отметить указанную стабилизацию процесса
расширения струй во всех рассмотренных случаях.
Изучение элементов энергетического оборудования, в
которых происходит вовлечение газа в свободные струи и их
распад, обычно не представляет большой трудности, так
как эти элементы можно воспроизвести на
экспериментальных установках в натуральную величину. Иначе
обстоит дело при исследовании водосбросов высоких плотин,
модели которых могут быть реально выполнены только в
геометрическом масштабе, существенно меньшем единицы,
причем использование на этих моделях жидкостей,
отличных от воды (для выполнения условия We=idem),
практически невозможно.
Рис. 6.6. Изменение площади поперечного сечения горизонтально
отброшенной струи в воздухе по ее длине
Условия опытов
Обозначения
U0, м/с
Re
We
Fr
Насадок сечением 500X100 мм
3,3
5,0
7,0
9,6
12,2
13,9
Нас
3,1
5,1
5,7
6,1
9,8
И,4
3,3-105
5,0-Ю5
7,0-10»
9,6-Ю5
1,22·10е
1,39·10"
а док сечением 500Х
6,2-105
1,03-105
1,14.10»
1,22-103
1,96-10е
2,28-Ю6
1,5-10*
3,4-10*
6,8-10*
1,27-105
2,05-105
2,65-Ю3
200 мм
2,6-10*
7,2-10*
8,9-10*
1,02-105
2,63-10*
3,56-Ю5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12

266 Многокомпонентные потоки [Гл. 6
Моделирование таких водосбросов возможно лишь при
наличии автомодельности изучаемых явлений по числу We.
Существенным здесь является и отношение масштабов
турбулентности λ;//ο (см. гл. 2). Можно полагать, чтол
автомодельности явления распада струи во всех деталях
этого процесса не существует; например, распространение
водяной пыли в окружающей атмосфере воспроизвести на
модели невозможно. Однако имеются сведения о том, чго
Рис. 6.7. Зависимость нормированного максимального стандарта
пульсации давления на дно при затоплении отброшенной струи от числа
We, /гн.б/й"?^1, Fr = 20^-30 (числа Re, We и Ft относятся к
начальному сечению):
φ — модель водосброса Саяно-Шушенской ГЭС в масштабе 1:20; Д —т0 ж«
1 : 50; ^ — то же 1 : 100; О — струя из насадка сечением 500X200 мм; Π — т°
же сечением 357X143 мм
при достаточно больших значениях числа We и достаточно
больших числах Re существует автомодельность основных
энергонесущих структур распавшейся струи по этим
критериям, о чем свидетельствует, в частности,
представленная на рис. 6.7 зависимость от числа We нормированной
интенсивности пульсации давления на жесткое
горизонтальное дно со стороны распавшейся струи при ее
пространственном сопряжении с нижним бьефом (прыжок
затоплен). Зависимость построена по результатам
выполненных в НИС Гидропроекта опытов на моделях реального
водосброса и экспериментов по изучению отброса струи
через горизонтальные насадки. Исходя из данных,
приведенных на рис. 6.7, можно полагать, что такие
характеристики, как воздействие распавшейся струи на препятствие
в низкочастотной части спектра можно приближенно вое-

§ 6.4] Структура газожидкостных потоков 267
произвести на крупномасштабной модели водосброса
высоконапорной плотины. Геометрический масштаб для
плотин высотой 100—200 м должен быть не меньше 1 :30—
1 : 20.
Аэрация может происходить не только с поверхности
воды. Она может быть результатом выделения
растворенных газов при понижении давления в воде, поступающей
из водохранилища в водосброс, что необходимо учитывать
при анализе моделирования таких явлений, как
нестационарные гидродинамические воздействия на элементы
напорных водосбросов и кавитация.
6.4.СТРУКТУРА ГАЗОЖИДКОСТНЫХ ПОТОКОВ
При совместном движении газа и жидкости образуется
газожидкостная система. Формы совместного движения
газа и жидкости чрезвычайно многообразны: от движения
двух сплошных потоков, взаимодействующих по
поверхности раздела, до движения потока пены, в котором обе
фазы образуют сложную, тонкую и неустойчивую структуру.
Газожидкостные системы характерны для многих явлений
природы и технологических процессов. Они отличаются от
систем жидкость —- твердые частицы тем, что форма
внутренних границ раздела фаз для них не задана. На
поверхностях раздела фаз возникают силы, которые даже при
изотермическом течении существенно сказываются на
полях характеристик потоков. Надежные теоретические
методы для описания таких полей в общем случае отсутствуют.
Поэтому физическому моделированию двухфазных потоков
уделяется особое внимание. Однако вследствие
многофакторности явлений газожидкостных течений точное
физическое моделирование достижимо только в частных случаях,
а методы приближенного подобия газожидкостных потоков
разработаны недостаточно.
Если в качестве основных величин, характеризующих
газожидкостную систему при отсутствии
термодинамических эффектов, приняты геометрические размеры /,
плотность жидкости ρ и газа рг, динамическая вязкость фаз μ
и μΓ, коэффициент поверхностного натяжения на границе
раздела фаз σ, приведенные скорости фаз (отношение
объемного расхода фазы к полной площади живого
сечения двухфазного потока) ϋ и V, ускорение свободного
падения g", то определяющими критериями подобия могут
быть симплексы рг/р, μΓ/μ, VjU, IIU и комплексы, в которые

268
Многокомпонентные потоки
[Гл. 6
входят характеристики одной из фаз и величины,
определяющие межфазовое взаимодействие: OVo/v, U2olgh,
pCVo/σ.
Имея в виду, что эти комплексы представляют собой
критерии Re, Fr и We, легко установить, что
моделирование газожидкостного потока при геометрических
масштабах, отличных от единицы, весьма затруднено. Трудности
моделирования еще более возрастают, когда по
техническим соображениям приходится использовать на модели
жидкости и газы, существенно отличающиеся от таковых
в натуре, например использовать вместо воды и ее пара
при высоких параметрах воду и воздух при нормальных
температуре и давлении.
В частных задачах иногда полезно использовать
комбинации указанных критериев при условии, что доказана
автомодельность по другим. Так, критерий Архимеда
записывается в форме
^d-pr/p) = (%J|(l-f). (6.50)
Этот критерий характеризует соотношение подъемной
(архимедовой) силы, действующей на данный элемент
потока под влиянием разности плотностей фаз, и силы
сопротивления, вызываемой молекулярной вязкостью.
Комплекс
рЛ' _«*. ι (6.5ΐ)
£(Р— РгНо gh Р/Рг —I
может рассматриваться как соотношение подъемной силы
и силы инерции.
При составлении критериев подобия газожидкостных
систем бывает удобно использовать так называемые
внутренние линейные масштабы — комплексы, имеющие
линейную размерность и включающие только свойства фаз [71].
Масштабом линейного размера свободно возникающих
пузырей, капель, пленок может служить постоянная
Лапласа:

§ 6.4] Структура газожидкостных потоков 269
При подстановке этой величины в (6.51) получается
критерий вида
^σ(ρ —рг) '
названный С. С. Кутателадзе критерием устойчивости
режимов движения и характеризующий деформации
поверхности раздела под воздействием динамического напора,
архимедовой силы и поверхностного натяжения.
Гравитационно-вязкому взаимодействию для свободно
стекающих пленок вязкой жидкости можно приписать
линейный масштаб
ν [ £(1-Pr/P) J *
Формулировка условий подобия существенно
облегчается в тех случаях, когда внутренние межфазовые границы
определены независимо, например по экспериментальным
данным. Частным случаем здесь являются пузырьковые
(или капельные) двухфазные потоки при установившихся
размерах пузырей (капель). Важной характеристикой при
этом служит гидравлическая крупность (скорость
витания) w. Как известно, эта величина является комбинацией
критериев Вебера, Архимеда и Рейнольдса. При малом
вкладе сил инерции в качестве основного условия подобия
можно так же, как для систем жидкости — твердые
частицы, в данном случае принять следующее:
f70/(D=idem. (6.52)
Приемлемость этого условия демонстрируется, в частности,
в [173] применительно к установлению газосодержания в
областях рециркуляции в вальце воздуха, захваченного
падающей струей, и транспорта его по напорному
водоводу. При этом для системы вода — воздух при нормальных
условиях рекомендуется принимать ш = 0,25 м/с. В тех
случаях, когда имеется возможность отступить от правила
Фруда, условие (6.52) можно выполнить за счет
назначения масштаба U равным масштабу гидравлической
крупности.
Условие (6.52) использовано нами в исследованиях
газожидкостных потоков в элементах ядерных паропроизводящих установок на во-
довоздушных моделях. Одной из задач исследований была оценка
распределения паросодержания в водяном объеме горизонтального
сепаратора пара [124]. По литературным данным было принято, что средняя

270
Многокомпонентные потоки
[Гл. 6
гидравлическая крупность пузырей пара в нем в натуре (Р=7 МПа,
7=270 °С) составляет примерно 0,3 м/с, а для модели (техническая
вода и атмосферный воздух при нормальных температуре и
давлении) — 0,25 м/с, т. е. Mw^l. На рис. 6.8 представлено распределение
истинного объемного газосодержания в водяном объеме на модели
в зависимости от масштаба скорости Mv. Здесь же приведены сведения
о распределении паросодержания, полученные на специальном стенде,
Ο/ό 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 β
Рис. 6.8. Объемное газосодержание φκ в коробах и в межкоробовом
пространстве φΜΚ горизонтального сепаратора в зависимости от
объемного расходного газосодержания β при исследовании на пароводяной
и воздушно-водяной установках:
/ — пароводяная модель, Р=7 МПа, D=2300 мм; 2 — воздушно-водяная модель,
D-2200 мм, Ми=\; 3 — то же, Λί^Ο.9
воспроизводящем секцию сепаратора пара в натурных размерах. Как
следует из графика, достаточно точное соответствие результатов
получено при Mu^zMw. Использование водовоздушной модели вместо
пароводяной позволило существенно упростить проведение исследования,
получить большой объем информации и выбрать оптимальные
инженерные решения [124].
Другим примером применения водовоздушной модели для
исследования пароводяной системы является изучение закономерностей есте-

§ 6.4] Структура газожидкостных потоков 271
ственной циркуляции в корпусном водоводяном реакторе. Исследование,
выполненное с использованием соотношения (6.52), позволило
определить тяговые характеристики контура при существенно
пространственном течении, условия захвата пара в опускные каналы, рекомендовать
UJilt \ ФШ
|i у ч
Рис. 6.9. Газосодержание в контуре естественной циркуляции
корпусного реактора по данным воздушно-водяной установки

272 Многокомпонентные потоки [Гл. б
инженерные решения, повышающие качества контура естественной
циркуляции. Основные закономерности течений, полученные на модели,
подтвердились опытом эксплуатации корпусного кипящего реактора.
Некоторые результаты исследования представлены на рис. 6.9.
Существенная часть инженерных задач в энергетике
связана с газожидкостными течениями в трубах. Многие
практически важные характеристики при этом связаны с
тем, какой режим течения (расслоенный, пузырьковый,
снарядный, кольцевой, дисперсный и т. д.) реализуется в
Ки
6
4
W
Ж1
I
_
///
IV
я~**~'
II
Л|
>
\
\ I
Aj
Рис 6.10. Карта режимов
течения газожидкостных потоков
в вертикальных трубах:
/ _ устойчивое пленочное течение;
// — неустойчивое пленочное
течение на стенке и эмульсионное — в
центре трубы; /// — пенообразное
течение; IV — пузырьково-снаряд-
ное течение
i(T
i0~°
Ю'А
Ю~1 )Я
рассматриваемом случае. Поэтому при моделировании
течений в трубах прежде всего важно воспроизвести
реальные режимы. Для установления областей существования
тех или иных режимов в динамике двухфазных систем
используются так называемые карты режимов течения, на
которых отмечены границы названных областей в
зависимости от двух безразмерных комплексов. Примером такой
карты является рис. 6.10, на котором отмечены области
режимов вертикального газожидкостного течения в
цилиндрических трубах диаметром D в координатах Ки и N:
Ки:
Рг^о
N
^£°(Р —Рг)
JVV/2(p-Pr)
критерий Кутателадзе;
4σ'
3/4
£(Р-Рг)£>4
1,25
Χ
X J 1 + | 1 Γ ϊ 13/2 И),55 '
Ι \Τ[ й(Р-Рг) Ι / J
Если указанные комплексы надежно определяют
существование режимов течения, то они могут быть приняты в
качестве критериев подобия.

§7.1] Особенности моделирования русловых деформаций 273
Глава 7
ПОТОК В ДЕФОРМИРУЕМОМ РУСЛЕ
7.1. ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ РУСЛОВЫХ
ДЕФОРМАЦИЙ
Изучение деформаций русла является одним из
наиболее важных разделов гидравлических исследований.
Деформации русла вызывают изменения характеристик
потока, которые должны быть учтены при проектировании
речных гидротехнических сооружений. От русловых
деформаций непосредственно зависят сохранность сооружений,
объем строительных работ и эксплуатационные затраты.
Большинство явлений, связанных с деформациями русла,
относится к чрезвычайно сложным задачам динамики
русловых потоков. Благодаря интенсивному изучению
русловых процессов и использованию вычислительных методов
применение в данной области численного моделирования в
последние годы существенно расширилось. Однако на
современном этапе гидравлическое моделирование остается
не менее важным, чем во времени Л. Ж. Фарга, впервые
использовавшего в 1875 г. гидравлическую модель с
подвижным руслом для исследования выправительных
сооружений на Гаронне.
Вместе с тем и гидравлическое моделирование
деформаций русла встречает существенные трудности, которые
связаны прежде всего с многофакторностью руслового
процесса. Наряду с характеристиками потока и наносов он
зависит от геологического и топографического строения
долины, развития растительности на пойме и в русле,
антропогенной деятельности и т. д. В общем случае все
факторы, влияющие на русловой процесс, воспроизвести
невозможно. Но сложность гидравлического моделирования
русловых деформаций велика и в случаях, казалось бы,
относительно простых.
Рассмотрим течение в русле, сложенном несвязным
материалом, который можно характеризовать крупностью
(диаметром) частиц d и плотностью р5. Русло ограничено
жесткими берегами. Поток транспортирует только тот
материал, из которого сложено русло. Понятно, что при
установлении критериев подобия на основании теории
размерностей после введения в уравнение связи (1.17) величин d
и ps будут получены дополнительные критерии подобия

274 Потоп в деформируемом русле |Тл. 7
d/k и р5/р. На первый взгляд может показаться, что
обеспечение идентичности этих критериев не вызывает
осложнений: для этого при рм=рн достаточно, чтобы p5M=psH,
а масштаб крупности частиц несвязного материала
равнялся геометрическому масштабу модели. В
действительности при обычной для равнинных рек крупности русло-
формирующих наносов, равной 0,2—0,3 мм, и обычных
геометрических масштабах модели (1 : 10—-1 : 100) песок
будет воспроизводиться на модели пылеватыми и
глинистыми частицами, для которых существенно молекулярное
взаимодействие, не проявляющееся в песках. Дело
осложняется еще больше, если обратить внимание на то, что
гидравлическое моделирование открытого потока
практически возможно благодаря наличию автомодельности по
критерию Рейнольдса. Достижение автомодельных
областей характеристик потока в жестких границах по Re
отнюдь не обеспечивает возможности пренебречь
существенными для русловых процессов эффектами вязкости,
проявляющимися при обтекании частиц наносов. Так,
влияние вязкости на устойчивость кварцевых частиц,
составляющих ровное дно водного потока, и на
гидравлическую крупность проявляется при d^l,5 мм.
Понятно, что использование на модели подвижного
материала с диаметром частиц, большим 1,5 мм, не может
обеспечить автомодельности по Re всех деталей руслового
процесса, так как это условие относится к частным
явлениям. Если считать эту рекомендацию подходящей, то
подобие в рассматриваемых условиях можно ожидать в
тех случаях, когда в натуре крупность частиц не меньше
сантиметров, т. е. при исследованиях галечниковых и
валунных русл. При моделировании песчаных русл можно
надеяться на приближенное подобие при искажении на
модели соотношений сил, действующих на грунт.
Естественно, что при приближенном моделировании
русловой процесс приходится расчленять на характерные
явления, абстрагируясь от других явлений, относительно
менее существенных для данной задачи. Среди задач в
области приближенного моделирования руслового
процесса можно указать на оценку местных деформаций русла,
воспроизведение осредненных характеристик русла,
изучение общих плановых переформирований русла,
исследование русловых морфометрических форм, изучение заиления
водохранилищ и т. д.

§ 7.2] Местные размывы в несвязном грунте 275
7.2. МЕСТНЫЕ, РАЗМЫВЫ В НЕСВЯЗНОМ ГРУНТЕ
Размещение в естественном или искусственном
водотоке различных сооружений (водосбросов, мостовых опор,
перемычек, пирсов, порогов и т. д.) приводит к
возникновению областей повышенного воздействия на дно
водотока, связанного главным образом с наличием
крупномасштабных вихрей и повышенной турбулентностью,
определяемыми поверхностями раздела в потоке. Если дно
потока в этих областях не закреплено и грунт, находящийся
на дне, не может противостоять этим воздействиям, то
здесь возникает локальный размыв дна, развивающийся
(при неограниченном во времени гидродинамическом
воздействии) до глубин, при которых гидродинамические силы
и силы, препятствующие размыву, уравновешиваются.
Для несвязных грунтов выполнение наряду с условиями Fr«=idem
и Re^Rerp условий Md — Mi и Μ = Μ0 при достаточно крупных раз-
мерах частиц грунта на модели обеспечивает подобие местного
размыва. Это подтверждается, в частности, в [226], где наряду с
приведенными условиями подобия указывается на необходимость соблюдения
подобия гранулометрического состава грунта и использования на
модели несвязного материала с Ям^1,8 мм.
Положение осложняется, если дно потока в натуре
сложено относительно мелкозернистым материалом. При
изучении местного размыва по сравнению с другими
явлениями имеются некоторые облегчающие постановку
исследования обстоятельства, связанные с тем, что здесь обычно
наблюдаются резко неравномерные течения, кинематические
характеристики которых определяются главным образом
макроразмерами границ потока (относительными
размерами сооружений и русла, размерами ямы размыва) и слабо
связаны с их шероховатостью, т. е. имеются основания
исключить симплекс dfh из системы определяющих критериев
и выбирать масштаб крупности наносов отличным от
геометрического масштаба объекта. Если полагать явление
местного размыва связанным лишь с устойчивостью частиц
грунта на дне потока (не связанным с неравномерным
движением частиц относительно жидкости), то и критерий ps/p
можно считать несущественным. При вертикальном
взвешивании частиц удерживающая сила пропорциональна g(ps—
—p)rf3, а сила гидродинамического воздействия на частицу
пропорциональна ρί726/2φι (Red), где функция φι (Red)
учитывает влияние вязкости при обтекании частицы. Тогда наря-

276 Поток в деформируемом русле [Гл. 7
ду с критериями, идентичность которых обеспечивает
подобие потока жидкости, в систему определяющих критериев
должен быть включен комплекс
P^fiiRed) - ?b№d) U2
или (при извлечении квадратного корня) комплекс
где
?2 (Re,) = l/l/?1(Red); р+ = (ρ, - р)/р.
Отметим, что этот результат получен благодаря
использованию одного из способов уменьшения числа
критериев — предварительной группировки величин.
Принципиальную трудность представляет определение функции
<P2(Red). Можно заметить, что числитель полученного
комплекса пропорционален гидравлической крупности:
w=Kcp(Red) Vp+gd.
Если принять, что q)2(Re<i) =(p(Red), то условие
подобия устойчивости частицы можно записать в виде
U/w=idem. (7.2)
В качестве критерия подобия местных деформаций
симплекс U/w предлагался многими исследователями.
Прямых доказательств идентичности функций q)2(Red),
относящейся к обтеканию частицы, расположенной среди
других частиц на дне потока, и (p(Red), характеризующей
свободное падение единичной частицы в покоящейся
жидкости, не имеется. Более того, опубликованные в
последнее время данные систематических исследований размыва
несвязного материала струями жидкости [186, 209, 224]
свидетельствуют о том, что условие (7.2) в общем случае
недостаточно для подобия размыва.
На рис. 7.1 и 7.2 представлены обработанные результаты
описанного в [209]" экспериментального исследования размыва в несвязном
материале плоскими струями воды и воздуха. Приведенные данные
свидетельствуют о том, что зависимости глубины размыва от отношения
Uofw для струй воды и воздуха существенно не одинаковы, особенно
для вертикальной плоской струи. Вместе с тем для одной и той же
жидкости данные, относящиеся к материалам разной крупности,
характеризуемым разными значениями до, практически описываются общими

§ 7.2] Местные размывы в несвязном грунте 277
зависимостями. Различие связей между глубиной размыва и
комплексами, аналогичными U0/w, при существенной разнице р+ (твердые
частицы в воде и воздухе) в [209] объясняется отличающимся в этих
случаях режимом перемещения наносов в воронках размыва,
находящихся в динамическом равновесии, и поэтому в систему определяющих
критериев подобия размыва грунта струями следует вводить
дополнительно величину р+.
20 U0/w
Рис. 7.1. Зависимость глубины местного размыва несвязного
материала горизонтальной плоской струей воды и воздуха от отношения Uo/w.
Экспериментальные точки относятся к частицам разной плотности
(ps= 1,05-^2,65 т/м3) и разным значениям δο/d
Рис. 7.2. Зависимость глубины местного размыва несвязного материа
ла вертикальной плоской струей воды и воздуха от отношения Uo/w
В отличие от [209] в [186] на основании исследования размыва
вертикальной осесимметричной струей аналогичный результат
объясняется существенным влиянием фильтрации в материале, определяемой
крупностью частиц и вязкостью жидкости. В связи с этим условия
подобия дожны содержать критерий Red, влияние которого
иллюстрируется данными, приведенными на рис. 7.3.
Роль фильтрационных явлений при нестационарном воздействии на
грунт, описанная в [47], детально изучалась в НИС Гидропроекта при
исследовании размыва грунта волной прорыва [101]. Несинфазность
изменения давления на поверхности грунта и в его толще приводит
к разуплотнению поверхностных слоев несвязного материала и
интенсивному отрыву частиц от дна в области за фронтом волны даже при
распространении волны по гладкому руслу. Эти явления усугубляются
при обтекании препятствий. Систематическое исследование размыва

278
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
в несвязных грунтах у цилиндрических вертикальных тел,
подвергающихся воздействию волны прорыва, показало, что наряду с выносом
частиц грунта из области вблизи препятствия при прохождении фронта
волны вследствие различия изменения во времени давления на
поверхности грунта и в его толще, приводящего к появлению взвешивающих
-η*
wp/2ilD
Рис. 7.3. Зависимость относительного объема размыва вертикальной
струей, выходящей из цилиндрического насадка диаметром D, от
относительного расстояния насадка от начального дна при постоянном
отношении Uo/w=\\,5 и разных значениях Red
сил, происходит разуплотнение значительного слоя грунта. Этот
процесс, зафиксированный в одном из опытов, показан на рис. 7.4.
В качестве дополнительных критериев подобия в данном случае
можно использовать комплексы
U-tg?)Ps/P и Sh' = aVf0/l0.
Здесь д= V kfyEs/bYg(kfy — коэффициент1 фильтрации; £s — модуль
упругости скелета грунта; ε — пористость грунта); t0 — характерное время
гидравлического процесса; k — характерный геометрический размер
препятствия; φ — угол внутреннего трения в грунте. При £$,=&(Red) и
неоднородном поле фильтрации в систему критериев подобия должен
независимо входить комплекс Red.

§ 7.2] Местные размывы в несвЛЗном грунте 2?9
Приведенные результаты исследований,
свидетельствующие о неоднозначности зависимости характеристик
местного размыва от комплекса ίΖ/ш, относятся к случаям
резко выраженных локального и нестационарного
воздействия, а также к случаям очень большой разницы
величины ps/p в сопоставляемых явлениях. Вместе с тем по ре-
Рис. 7.4. Изменение βθ времени скорости на подходе к препятствию,
давления в ряде точек цилиндра и глубины размыва при обтекании
прерывной волной цилиндрического препятствия:
1—5 — давление соответственно в точках измерения № 1—5; 6 — глубина от
начального дна до границы неразуплотненного грунта; 7 — то же до границы
разуплотненного грунта; 8 — скорость

280 Поток в деформируемом русле [Гл. ?
зультатам этих исследований можно заключить, что в
случаях, отличных от указанных, идентичность комплекса U/w
может обеспечить достижение приближенного подобия
местного размыва.
Об этом свидетельствуют, в частности, данные опытов по изучению
интенсивности выноса потоком воды частиц разных материалов,
выполненных на установке, представленной на рис. 7.5 [216]. Условия выноса
частиц в этих опытах близки к условиям выноса грунта из ямы
размыва за горизонтальным креплением русла. Экспериментальные данные
удовлетворительно обобщаются с использованием комплекса U/w
(рис. 7.6).
Η
Рис. 7.5. Схема проведения опытов по определению интенсивности
выноса частиц из пазухи:
/ — поршень; 2 — уровень раздела жидкости и твердых частиц, поддерживаемый
за счет подбора скорости поршня Un
Приемлемость в ряде случаев условия (7.2) подтверждают и
результаты моделирования реальных объектов, сопоставленные с натурой.
Примеры этих сопоставлений содержатся в [76]. Здесь сошлемся также
на сведения, содержащиеся в работе голландских специалистов [175].
В ней сообщается об исследовании местного размыва за водосбросом,
расход истечения через который изменяется во времени в связи с
приливами (водосброс размещен в эстуарии). Дно в натуре состоит из
песка с ite0,25 мм. На модели в качестве несвязного материала
использован порошок полистирола. Масштаб гидравлической крупности Mw —
=йУм/йУн=1 : 5. Геометрический масштаб модели принят равным Af/ =
= 1:30. По правилу Фруда Mu—M°>5i=\ : 5,5^Afw, т. е. приближенно
выполняется условие (7.2). Сопоставление, приведенное на рис. 7.7,
указывает на соответствие результатов определения местного размыва
в натуре и на модели.

§ 7.2] Местные размывы в несвязном грунте 281
Условие (7.2) может быть выполнено за счет
соответствующего выбора масштабов величин w или U. Обычно
участки местного размыва характеризуются относительно
высокими значениями числа Фруда, так что существенное
искажение модели по критерию Фруда невозможно, и при
использовании безнапорных моделей приходится
принимать Μυ=Μι°>5. В некоторых случаях при относительно
небольших значениях FrH (обтекание затопленных тел,
размыв за креплением низкона- ,.,„„,,,,
порных плотин и т. п.)
имеются перспективы использования
напорных моделей, для
которых Ми не связан с Μι.
1
Рис. 7.6. Зависимость интенсивности
выноса частиц от отношения U/w:
/ — никель (ps = 8,75 г/см3, d=0,57 мм);
2 — кварцевый песок (ps = 2,63 г/см3, d-=
=0,18 мм); 3 — стекло (ря = 2,4б г/см3, с/=
=•0,11 мм); 4 — люцит (ps= 1,2 г/см3, d-=
=0,25 мм)
Ws/uaz
j——
О
>*у
№*
>
•
v#*
0-2
*-4
• ··
¥
1,4 1,6 1,8
\ψΜ)
Необходимый масштаб Mw (в частности, Mw = Mu =
—Μι°>5) может быть обеспечен за счет соответствующего
выбора масштабов Ма и Μ . Данные, необходимые для
ρ
выбора Ма и Μ +, приведены на рис. 6.1 и 6.2.
Ось водосброса
Ось бодосброса
50 15 0 15 30м ' 50 20 10 0 10 20 50м
Рис, 7.7. Яма размыва за водосбросом по результатам определения в
натуре и по пересчету с модели:
д. — на модели; б — в натуре

282
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
^
80
60
Г)
''40
20
\
—
--
—
О 0,2 0,4 0,6 ci}MM
Рис. 7.8. Зависимость
отношения сил
молекулярного сцепления и веса
частицы от ее диаметра
Казалось бы, всегда можно выбрать такой масштаб Aid,
чтобы при Μ +=ί удовлетворить условию (7.1). Однако
это условие получено для несвязных грунтов. По [106]
напряжение молекулярного сцепления для песчаных
грунтов под водой близко к 1 / (ά· ΙΟ4),
Η/м2 ([а]=м). Влияние
связности в задачах от устойчивости
частиц на дне потока можно
оценить отношением силы
молекулярного сцепления,
приходящегося на частицу, и силы веса этой
частицы. Зависимость такого
отношения от диаметра частицы
исходя из приведенной выше
оценки напряжения
молекулярного сцепления построена на
рис. 7.8. При этой оценке в
инженерных задачах наличие
сцепления следует учитывать во
всяком случае при d^TO,3-*-0,4 мм. В [76] утверждается,
что молекулярное сцепление проявляется при d^0,l мм, а
в [181]—при rf^0,5 мм. Таким образом, выполнение
условия (7.1) за счет выбора Μ а может привести при
изучении местного размыва в мелко- и среднезернистых грунтах
к завышению сил молекулярного сцепления. Поэтому
приходится прибегать к использованию материалов с
плотностью, меньшей плотности естественных материалов-
В современной лабораторной практике применяются
многие искусственные порошки, состоящие главным образом
из полимерных материалов. При использовании легких
материалов Md^Mi, благодаря чему удается избежать
влияния молекулярного сцепления. Например, если в
натуре русло сложено кварцевым песком с dH = 0,3 mm (wH^
^45 мм/с), то на модели с Λί/= 1 :50 в соответствии с
условием (7.2) крупность кварцевого песка должна быть
при Fr=idem ^м = ^нЛ4/°'5 = 6 мм/с и rfM=0,06 мм. При
такой крупности материала связность будет проявляться
весьма значительно. Если использовать на модели
порошок с pSM=1050 кг/м3 (полистирол), то условию (7.2)
удовлетворяет rfM=0,5 мм. При такой крупности
материала с молекулярным сцеплением можно не считаться.
Как отмечалось выше, выполнение условия £//ау = Ыет

§ 7.2] Местные размывы в несвязном грунте 283
(или Mu=Mt°>5) при малой бурности потока в натуре
может быть обеспечено не только за счет соответствующего
выбора масштаба гидравлической крупности Mw, но и
масштаба скорости жидкости Μυ. Искажение по критерию
Фруда при использовании безнапорной модели открывает
здесь небольшие возможности. Более перспективно
использование напорных моделей, хотя в данном случае
следует считаться с искажением кинематики
пространственных течений из-за наличия стенки на «свободной»
поверхности модели.
Рис. 7.9. Размыв в нижнем бьефе шлюза в натуре (а) и на воздушной
модели (б) и эпюры средних по глубине скоростей при максимальном
расходе опорожнения. Глубина размыва дана в метрах
Примером исследования местного размыва в несвязном грунте на
напорной модели является определение размыва дна канала
имени Москвы за креплением в нижнем бьефе одного из шлюзов. На
напорной модели в геометрическом масштабе 1 :200 нестационарный
режим опорожнения шлюза был воспроизведен стационарным режимом,
соответствующим максимуму расхода. На модели использован песок
с £=0,2 мм. Размывы на модели и в натуре оказались весьма
схожими (рис. 7.9) [91].
В процессе местного размыва происходит изменение
состава поверхностных слоев грунта — естественная отмо-
стка, которая может коренным образом влиять на
характеристики размыва. Поэтому при моделировании размыва
в разнородном грунте необходимо воспроизвести
гранулометрический состав материала. Для этого следует вое-

284 Поток в деформируемом русле [Гл. 7
произвести хотя бы приближенно распределение по объему
материала его гидравлической крупности. По Шокличу
(см. в [226]), необходимо по крайней мере обеспечить
соблюдение масштабов гидравлической крупности частиц с
dso и d90 (d5Q и dgo — крупность частиц, меньше которой
в объеме грунта содержится соответственно 50 и 90%
материала). Если весьма разнородный грунт
воспроизводится материалом с малой плотностью, то размеры частиц,
соответствующих наиболее крупным фракциям, на модели
могут оказаться сопоставимыми с макроскопическими
размерами объекта. В таких случаях возможно использование
для моделирования разных фракций грунта материалов с
различной плотностью: мелкие фракции воспроизводятся
более легким материалом, крупные — более тяжелым.
Форма области местного размыва может существенно
зависеть от устойчивости массива грунта в целом.
Поэтому при моделировании следует обращать внимание на
идентичность угла внутреннего трения. В связи с тем, что
для несвязных грунтов эта величина изменяется не
слишком сильно, очевидна неприемлемость геометрического
искажения моделей, предназначенных для оценки местных
деформаций русла. Впрочем, геометрическое искажение
неприемлемо и из-за существенной пространственности
течений на участках местных деформаций.
В инженерной практике часто можно ограничиться
предельной оценкой местных деформаций: получить сведения
об их характеристиках при стабилизации процесса в
экстремальных условиях. При этом развитие деформаций во
времени не рассматривается и соответственно не возникает
вопроса о масштабе времени деформаций при
моделировании. Однако существуют задачи (относящиеся, например,
к условиям строительства), для которых изменение
деформаций во времени представляет интерес. Решение этих
задач с использованием гидравлического моделирования
требует установления масштаба времени деформаций.
Понятно, что при выполнении условий Md = Ml и Μ =
— Μ , что возможно при крупном несвязном материале
в натуре, масштаб времени деформаций М. равен мас-
деф
штабу времени гидравлических процессов Mt. В частности,
при соблюдении правила Фруда М, =М°'Б. При Μά-φΝΙι
деф *
и Μ фМ оснований для равенства Mt и Mt нет, т. е.
р5 р деф

§ 7.2] Местные размывы в несвязном грунте 28S
имеется искажение модели по времени характерных
процессов. В связи с отсутствием надежных связей,
описывающих нестационарный процесс местных деформаций, в
установлении масштаба времени таких деформаций
имеются существенные затруднения и оптимальным путем
нахождения масштаба времени является использование
данных, полученных в натуре [181]. Однако возможность
получить такие данные представляется весьма редко. Иногда
для приближенной оценки масштаба времени деформаций
Расстояние от конца крепления, м
О 10 20 50 40 50 60 70 80 90
Рис. 7.10. Развитие ямы размыва за водосбросом. На
кривых указано время разв/^тия размыва в часах:
— натура; — модель
предлагаются эмпирические зависимости, полученные в
результате систематических исследований. Так, в [175]
приводится зависимость следующего вида:
Μ =Λί1,7 Λί\ΛΓ~4'3
'деф ■ V hMW-U^ *
где Л —глубина; α —безразмерный коэффициент,
связанный с распределением скоростей и турбулентностью
потока; ί/κρ — скорость, соответствующая началу движения
частиц грунта.
Учитывая, что при достижении подобия Μ = 1 и Ми =
α °кр
= Mut эту зависимость можно переписать как
ЛГ, =ЛГ1>!М*ЛЛС4,3.
'деф Р+ U

286 Поток в деформируемом русле [Гл. ?
Приемлемость этой зависимости для оценки развития
во времени ямы размыва за горизонтальным креплением
водосброса с использованием порошка полистирола
подтверждается рис. 7.10, где приведены сведения об
изменении во времени на модели и в натуре продольного профиля
ямы размыва.
7.3. МЕСТНЫЕ РАЗМЫВЫ В СВЯЗНОМ И СКАЛЬНОМ ГРУНТАХ
В настоящем параграфе рассмотрено моделирование
деформаций русла, сложенного материалами, для которых
существенны связи между составляющими его отдельно-
стями: молекулярное сцепление в связных грунтах, силы
трения между блоками скального грунта. Особенностью
размыва в таких грунтах является то, что при
гидродинамическом воздействии может изменяться структура грунта
в области воздействия. Наличие указанных связей
затрудняет оценку местных деформаций.
Использование имеющихся в литературе
многочисленных эмпирических зависимостей для расчета параметров
размыва в скальных и связных грунтах не гарантирует
достаточно достоверного определения важных для
практики величин. Исходные предпосылки этих зависимостей
содержат существенные допущения, и ни одной из них
нельзя отдать полного предпочтения по сравнению с
другими, а результаты расчетов по ним существенно разнятся.
Кроме того, указанные зависимости получены в плоских
условиях и для наиболее простых схем (размыв бурной
струей, движущейся параллельно дну, или струей,
отброшенной с гладкого носка). Оценки размыва по
большинству из них при существенной пространственности условий,
при сложных границах потока или оценки влияния
инженерных мероприятий, обеспечивающих уменьшение
размыва, неправомерны.
В такой ситуации понятны постоянные попытки оценок
размывов в скальном и связном грунтах с использованием
физического моделирования. Однако в связи со
сложностью воспроизведения характеристик грунтового
массива, влияющих на размыв (сами эти характеристики в
настоящее время достаточно достоверно не выявлены),
экспериментальная оценка размыва производится сугубо
приближенно. Существующие приемы учитывают лишь
отдельные стороны взаимодействия потока и грунта,
опуская другие.

§ 7.3] Местные размывы в связном и скальпом грунтах 287
При моделировании локального размыва в скальном и
связном грунтах существует несколько способов
воспроизведения грунта. Чаще всего он заменяется на модели
несвязным материалом (песком, гравием, щебнем). Такой
прием используется как в отечественной, так и в
зарубежной лабораторной практике. Применительно к скальному
грунту правомерность такого приема пытаются обосновать
тем, что под действием динамических нагрузок, вызванных
потоком воды, происходит усталостное разрушение
скального массива, его отдельности утрачивают связи. На
конечной стадии размыва дно воронки обычно покрыто
продуктами разрушения скалы, причем размеры отдельностей,
лежащих на дне, могут лимитировать глубину размыва.
Крупность несвязного материала, заменяющего на
модели грунтовой массив, выбирается исходя из тех или иных
условий, выполнение которых предполагает подобие
глубины размыва. При воспроизведении скального грунта
размеры частиц несвязного материала часто принимаются
соответствующими размерам отдельностей, на которые
разбит трещинами скальный массив. Существуют и другие
подходы к выбору крупности несвязного материала.
Например, выбирают крупность этого материала так, чтобы
отношение гидравлической крупности частиц на модели и
отдельностей воспроизводимого массива равнялось
масштабу скоростей, или так, чтобы этому масштабу равнялось
отношение неразмывающих скоростей для грунта на
модели и в натуре в условиях равномерного движения или
местного размыва в тех или иных стандартных условиях.
Способ выбора несвязного материала для моделирования связных
грунтов предложен в [106]. По этому предложению сопротивляемость
размыву связного грунта, характеризующегося динамической
прочностью на разрыв #нд, размерами агрегатов d и плотностью ps,
соответствует сопротивляемости размыву несвязного грунта с крупностью
частиц, равной размерам агрегатов связного грунта, и с эквивалентной
плотностью
р5э=рН-6стНд/(я^)·
При этом рекомендуется принимать σΗπ=2,5σρ (σρ — статическая
прочность грунта на разрыв) и с?=3-?-5 мм. Такой «эквивалентный»
несвязный грунт и предлагается воспроизводить на модели. Исходя из
условия
?2 (RedyV9+gd/U = Idem

288
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
при автомодельности по Red (по [106] для ρ+=1,65 автомодельность
имеет место при ^0,5 мм) для достижения подобия необходимо,
чтобы
При значительной связности грунта во избежание слишком большой
крупности несвязного материала на модели рекомендуется использовать
материал с большой плотностью (гранулированный барит, гематит,
свинец и т. п.).
В условиях, близких к плоским, определение размыва
в связном и скальном грунте при удачном выборе
несвязного материала иногда дает результаты, достаточно
близкие к натуре. Однако в пространственных условиях и
особенно при размыве русл с крутыми берегами, когда весьма
существенно влияние крутизны естественных откосов,
коренным образом различающейся для связного (или
скального) и несвязного грунта, такой прием дает заведомо
неверные результаты. Следует отметить, что и в условиях
плоской задачи форма воронки размыва на модели и в
натуре может не совпадать. Это связано как с различием
крутизны откосов для материалов на модели и в натуре,
так и с несоответствием других их характеристик. В [32]
отмечено, что в определенных условиях яма размыва,
образованная отброшенной струей в трещиноватом или связном
материале, может располагаться ближе к водосбросу, чем
соответствующая ему яма в несвязном материале.
Отмеченное обстоятельство объясняется различием
проницаемости материалов. В проницаемом несвязном материале
давление осредняется по объему. В слабо же проницаемом
материале давление даже в малых областях может
распределяться существенно неравномерно. В частности,
давление в пространстве между струей и верховым откосом
воронки размыва может быть значительно ниже давления
на низовую поверхность струи. При существенном
затоплении струи это приводит к ее отклонению в сторону
водосброса.
Отличие формы ямы размыва в трещиноватом
материале, воспроизводящем свойства скального массива, от
таковой в несвязном материале иллюстрируется рис. 7.11.
Условия проведения соответствующих опытов приведены в
конце настоящего параграфа. Здесь же отметим, что в
материале, аналогичном скальному, размыв происходит
главным образом в зоне падения струи. В несвязном материале

§ 7.3] Местные размывы в связном и скальном грунтах 289
имеет место размыв в областях течений с большими
скоростями, параллельными дну, циркуляционных течений у
жестких границ и т. п. *
Отмечая недостатки способа оценки размыва скального
и связного грунта с использованием несвязного материала,
следует указать на его простоту и мобильность, что опре-
—I I I I ι ι
20 40 60 80 100 120 н
Рис. 7.11. Размыв отброшенной струей в
трещиноватом (а) и в несвязном (б) материалах
деляет в некоторых случаях целесообразность применения
способа для сравнительной оценки вариантов инженерных
решений.
Указанные недостатки заставляют отыскивать методы
исследований, более полно учитывающие свойства
реальных грунтов.
При изучении размывов в квазиоднородных,
нетрещиноватых связных грунтах перспективно использование на
моделях искусственных легкоразмываемых связных
композиций на базе песка, гипсовых и цементных вяжущих
материалов и некоторых добавок.
19—3299

290
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
По [106] силами, препятствующими размыву связных грунтов,
являются сила веса отрываемого агрегата грунта, характеризуемого
эквивалентным диаметром άΆ (ά&^3-+-5 мм): Fg=g(p,—ρ)π<ί3Λ/6, сила
сцепления агрегата с грунтом /7c = aHAd2a, пригружающая сила,
связанная с давлением воды на агрегат, Fn. Последней величиной, по
имеющимся данным, можно пренебречь. Тогда при автомодельности по Red
должны быть учтены два критерия подобия:
P+gd&/U*; (7.3)
aV(pi/2). (7.4)
Если положить, что силы Fg и Fc входят в связи, определяющие
размыв, в виде суммы, то два критерия подобия можно заменить
одним:
(h — Ρ) grc/a/6 + анд -
jZT· · (7·5>
Так как значения d& и рв на модели близки к таковым в натуре,
сцепление на модели при идентичности комплекса (7.5) должно быть
меньше, чем исходя из критерия (7.4). Поэтому следует использовать
модели с крупными гидравлическими масштабами и грунты с малой
связностью. В связи с зависимостью свойств искусственных композиций
от технологии их изготовления дать общие рекомендации по рецептуре
этих композиций, удовлетворяющей заданным значениям анд, не
представляется возможным. Их следует устанавливать подбором в каждом
конкретном исследовании.
Изучение размывов в скальном грунте осложняется
анизотропией его строения, наличием систем трещин,
расчленяющих массив. В простейшем случае трещиноватый
скальный грунт схематизируется совокупностью
несвязанных блоков и воспроизводится на модели бетонными
параллелепипедами, уложенными вплотную друг к другу.
Размеры этих параллелепипедов принимаются
соответствующими размерам заданных отдельностей скального
массива, а их ориентация — основным системам трещин. Такой
прием неоднократно использовался в отечественной [135]
и зарубежной [194] лабораторной практике. Модель
скального грунта, получаемая таким способом, обеспечивает
возможность существования крутых откосов и
относительно малую проницаемость массива. К ее недостаткам
можно отнести следующее. Во-первых, вследствие высокой
прочности отдельностей на модели их разрушение в
процессе размыва исключается, в то время как в натуре такое
разрушение происходит. Во-вторых, ввиду отсутствия свя-

§ 7.3] Местные размывы в связном и скальном грунтах 291
зей между отдельностями выпадение одной отдельности
приводит на модели к нарушению устойчивости целой
области массива. Попытка исключить последний недостаток
содержится в [159], где предложено заполнять зазоры
связующим материалом. При этом ширина зазора
рекомендуется равной 2 мм, так как при такой ширине
обеспечивается максимум вырывающих гидродинамических
нагрузок на отдельности. Введение связующего материала
существенно приблизило качественную картину размыва к
реальным условиям размыва скального грунта.
В связи с тем, что как для скального, так и для
связного грунта характерно разрушение в областях
повышенного гидродинамического воздействия, имеются
предложения оценивать размыв скального грунта в натуре по
размыву связного грунта на модели. Такой прием
используется в некоторых зарубежных лабораториях (например, в
Национальной гидравлической лаборатории Франции в
Шату) и в СССР [7]. В качестве связного материала на
моделях используются песчано-цементные и песчано-гип-
совые композиции, временное сопротивление сжатию
которых в момент проведения опытов составляет 0,05—
0,2 МПа. В результате экспериментов получаются воронки
размыва, часто имеющие вертикальные и даже
нависающие откосы. На дне воронок находятся окатанные
отдельности связанного материала, т. е. наблюдается картина,
качественно похожая на ту, которую можно наблюдать
при размыве скального грунта. Однако оснований для
количественного определения параметров ямы размыва (в
первую очередь ее глубины) этот способ не дает.
Недостатками способа являются отсутствие подобия
неоднородности массива, невоспроизведение системы трещин и т. д.
Размываемый материал на модели разрушается главным
образом путем отрыва мелких агрегатов, не образующих
бара. Вместе с тем даже качественная оценка ямы
размыва в ряде случаев, например в задаче прогнозирования
устойчивости бортов узкого каньона, может оказаться
весьма полезной.
Попыткой преодолеть некоторые недостатки
изложенных способов моделирования размыва в скальном грунте
являются приближенные приемы экспериментальной
оценки таких размывов, описанные в [32]. Первый из них
является комбинацией способов воспроизведения
скального грунта несвязным и связным материалами. Практически

292
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
этот прием заключается в том, что положение и форма
в плане ямы размыва определяются на модели с руслом^
выполненным из песчано-цементного или песчано-гипсового
раствора. Состав раствора выбирается таким образом,
чтобы глубина размыва в нем была заведомо больше, чем
соответствующая натуре.
Яма размыва, развившегося в связном материале,
заполняется несвязным материалом, крупность которого
выбирается так же, как в способе оценки размыва скалы по
размыву в несвязном материале. При стабилизации
размыва несвязного материала, уложенного в воронку,
определяются глубина размыва, положение бара, уровни
воды. В изложенном приеме устранены основные недостатки
способов, комбинацией которых он является: искажение
формы ямы размыва при использовании несвязного
материала и неопределенность воспроизведения свойств
грунта при применении связного материала.
Второй из предложенных способов состоит в том, что
скальный грунт заменяется на модели трещиноватым
материалом, воспроизводящим некоторые свойства скального
массива. Трещиноватый материал получается из
низкопрочного песчано-цементного раствора. Состав раствора
выбирается так, чтобы его прочность соответствовала
прочности сохранной скалы в масштабе
гидродинамического давлениямя = МрМ2и).Раствор загружается в дере-
σΗ
вянные формы возможно большого объема (насколько это
позволяют условия транспортировки) слоями, толщина
которых соответствует расстоянию между основными
трещинами одного из направлений. Между слоями свежего
раствора помещаются кусочки негашеной извести, гашение
которой приводит к появлению системы трещин в
растворе. Деревянная опалубка обеспечивает возможность
деформации монолита. Из полученных таким способом
монолитов составляется исследуемое русло.
Размываемость искусственного трещиноватого
материала регулируется количеством введенной в него негашеной
извести. Свойства материала предварительно подбираются
в плоских условиях таким образом, чтобы глубина
размыва в нем соответствовала бы глубине размыва в
воспроизводимой скале, определенной по наиболее надежным
зависимостям для тех же условий.

§ 7.3] Местные размывы в связном и скальном грунтах 293
Третий прием отличается от второго способом задания
трещин в грунте и сцепления между отдельностями.
Модель массива создается из раствора, прочность которого
выбирается так же, как в предыдущем случае. Для
обеспечения равенства плотности раствора и скалы в него
добавляются металлические опилки или другой тяжелый
мелкий заполнитель. Укладка раствора производится
непосредственно на модели русла слоями, параллельными
основным трещинам, наиболее близким к горизонтальной
плоскости. Толщина слоев соответствует расстоянию
между трещинами этого направления. Поверхность слоев сма-
ф УНБ при Q=4000'm3/c
JA . УНБ при # =1000 м3/с
Рис. 7.12. Продольный профиль воронки размыва в нижнем бьефе ГЭС
Наглу:
1 — в связном материале; 2 — в несвязном материале; 3 — в трещиноватом
материале; 4 — в натуре при Q =» 1000 м3/с; 5 — естественная поверхность скалы;
6 — то же аллювия
зывается машинным маслом. Толщиной слоя смазки
регулируется сцепление между слоями, определяемое на
образцах. Каждый слой до его затвердения рассекается на
отдельности в направлении основных трещин
специальными ножами.
В качестве примеров использования предложенных приемов
моделирования приведем исследования размыва отброшенной струей русла
в нижнем бьефе гидроузлов Наглу (Афганистан) и Эль-Мате
(Куба) [32].
Размыв в нижнем бьефе гидроузла Наглу на р. Кабул, русло
которой сложено гранитами (предел временного сопротивления сжатию
около 100 МПа), расчлененными в верхних слоях на блоки объемом
около 1 м3, оценивался на модели в масштабе 1 :50 двумя первыми
из описанных приемов. При использовании одного из них русло было

, 294
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
сформовано из песчано-цементного раствора с соотношением массы
цемента к массе песка 1 :30. Временное сопротивление такого раствора
сжатию в момент проведения опытов (через 3 сут после формовки
русла) составляло примерно 0,1 МПа.
При сбросе последовательно увеличивавшихся до максимального
расходов воды в растворе формировалась четко выраженная яма
размыва (рис. 7.12). После стабилизации размыва в воронку закладывался
гранитный гравий до уровня, соответствующего уровню бытовой
поверхности скалы. Крупность гравия (приблизительно 17 мм) выбиралась
исходя из равенства отношения его гидравлической крупности к
гидравлической крупности отдельности скалы масштабу скорости (Ми—М0·5^
^1:7). Глубина размыва в гравии, заложенном в воронку, оказалась
существенно меньше глубины размыва в тощем растворе, что связано,
в частности, и с образованием бара (рис. 7.12).
При использовании другого приема временный предел
сопротивления сжатию искусственного материала должен был составлять
*в.ы=*в.нМ?АЛ*и = 2 МПа.
Этому соответствует песчано-цементный раствор с соотношением
массы цемента к массе песка 1:10 при водоцементном отношении 1 : 5.
Количество вводимой негашеной извести подбиралось исходя из
сопоставления глубины размыва в плоских условиях при отбросе струи
с гладкого носка, подсчитанной по формуле М. С. Вызго [34], и
глубины размыва в- искусственном материале в тех же условиях. При
удельном расходе <7=80 м3/(с-м) и перепаде уровней воды г=70 м без
учета аэрации струи глубина воды в яме размыва /гр.н= ^Σ)/" q Vz ==
= 40 м (/гР.м = 0,8 м). Такая глубина получалась в плоском лотке при
введении в раствор около 5 % по массе негашеной извести. На рис. 7.13
можно отметить достаточно близкое совпадение очертаний воронок
размыва при использовании двух£ приемов.
При оценке размыва за водосбросом гидроузла Эль-Мате
использован третий прием. Дно отводящего канала здесь сложено глинистыми
известняками с σΒ.Ηε=25 МПа.
По глубине массив распадается на слои высотой 40—50 см и
разбит вертикальными трещинами. При геометрическом масштабе модели
1 :40 необходимо, чтобы ав.м^0,6 МПа. Соответствующий материал
был получен на основе песка (45 частей), строительного гипса (9
частей) и цемента (1 часть) с добавкой сульфитно-спиртовой барды.
Введение машинного масла между слоями модели скалы обеспечило
сцепление между ними, равное примерно 0,02 МПа. Слои искусственного
материала были рассечены ножами на отдельности, соответствующие
блокам скалы в натуре. Оценки размыва с применением искусственного
материала и несвязного грунта оказались разными (см. рис. 7.11).

§ 7.4] Плановые деформации аллювиального русла 295
Применение предложенных приближенных приемов
экспериментального определения размыва скального русла
позволяет получить ориентировочную оценку локального
размыва. При проведении исследований целесообразна
использовать несколько методов, которые учитывают
различные характерные эффекты явления.
7.4. ПЛАНОВЫЕ ДЕФОРМАЦИИ АЛЛЮВИАЛЬНОГО
РУСЛА
Рассмотрим случай изучения деформаций сложенного
несвязным материалом русла, развитие которых
определяется не столько изменением турбулентности и
поперечной циркуляцией в потоке (пространственными
эффектами), сколько перераспределением в плане средних по
глубине скоростей, т. е. тот случай, для которого течения
достаточно хорошо описываются уравнениями плановой
гидравлики. Такие деформации русла будем называть
плановыми.
В этом случае для достижения подобия явления, кроме
условий подобия, вытекающих из анализа уравнений
плановой гидравлики, необходимо удовлетворить условиям
подобия, которые следуют из уравнения продольного
баланса наносов:
где Qs — расход наносов на полосе шириной Ъ\ χ —
координата вдоль течения; т]д — координата поверхности дна;
^деф — время деформации русла. Расход наносов Qs может
быть получен из уравнения движения твердой фазы,
включающего в первом приближении характеристики водного
потока, при определении которых влияние твердой фазы
не учитывается. В инженерных оценках считается
возможным заменить уравнение движения для твердой фазы
соотношением, связывающим расход наносов и параметры
водного потока, полученные для условий равномерного
течения (зависимостью для транспортирующей способности).
Таких связей существует весьма много.
На основании анализа размерностей многие
исследователи (см. например, [181]) ставят безразмерный удельный
расход донных наносов q* = qsl (p8dU*) (здесь qs=PsQs/b;
ί/^ =}/тд/р=]/^г/1/тр;тд-—касательное напряжение на дне)

596 Поток в деформируемом русле [Гл. 7
в зависимость от величин
Fr =-LA/ - ' ut*
Γ1* ρ+ d 'τρ ρ+ ffrf ~(ps-p)rf
Re^]/^/Tpd/v = t/^/v.
В [181] показано, что многие известные эмпирические и
полуэмпирические связи для qs могут быть сведены к
зависимостям от указанных безразмерных комплексов. При
достаточно больших значениях величины Re* имеется авто-
модельность по этому комплексу, что обеспечивает
возможность осуществить моделирование в тех случаях, когда
в натуре крупность наносов достаточно велика, как это
было отмечено в § 7.1.
С другой стороны, большинство современных
эмпирических и полуэмпирических зависимостей для qs можно
представить в виде связей удельного расхода наносов с отно-
шением_гидравлических параметров потока (средней
скорости О, касательного напряжения на дне тд,
динамической скорости ί/*, «влекущей силы» ghlrp) к критическим
(«стандартным») значениям этих величин в
характерных ситуациях транспорта наносов (начало движения
наносов, переход в сплошное влечение, начало выпадения
частиц и т. п.). Чаще используются значения, относящиеся
к началу движения частиц,_ например «несдвигающая»
средняя по глубине скорость Ζ7κρ. Так как
U
то
-V\^V\^f-
gU-
τρ
(7.7)
и условия i//C/Kp=idem, тд/тКр=1с1ет, ghlrp/ (g-ft/TP)Kp=
= idem эквивалентны.
Из многочисленных зависимостей удельного расхода наносов
рассматриваемой структуры укажем на некоторые формулы,
принадлежащие советским ученым, содержащие отношение скорости потока и не*
сдвигающей скорости наносов (для придания общности эти формулы

§ 7.4] Плановые деформации аллювиального русла 297
нами несколько преобразованы по сравнению с их оригиналами):
Г. И. Шамов [152]:
Яз = КтУт·-» (ϋ/νκί>)ψ/υκρ-\); , (7.8)
И. И. Леви [75]:
Qs^Kndf (d'h) V^(U/VKpy (U/UKV- 1); (7.9)
Β. Η. Гончаров [42]:
Яш = М^кр [(U/UKp)*-l] (№P - 1); (7.10)
К. В. Гришанин [43]:
qs = Kr»dUKP(U/UKpy(D/UKp--l); (7.11)^
А. В. Караушев [60]:
qs = ^ кр^ад£7кр (U/UKpy (U/UKp) Kfxp/fTp,. (7.12)
Здесь ад — коэффициент перехода от донной скорости к средней; /тр
и /тро — динамический и статический коэффициенты трения для
частицы.
Обратим внимание на то, что в эти формулы непосредственно не
входят величины, характеризующие вязкость жидкости. Как будет
показано ниже, влияние вязкости здесь учитывается в величине (7Κρ·
Подставим теперь зависимость для qs в форме И. И.
Леви (от выбора формы зависимости последующие выводы
не изменяются) в уравнение продольного баланса
наносов (7.6):
>
-4-(ν(τ)Ρ^ρ(^)>3&-0· СЛЗ
Произведя нормирование этого уравнения, получим
следующие условия подобия:
£7Д7КР== idem (7.14)
и
lh idem. (7.15)
Wf(^)p+^Kp
Условие (7.15) определяет масштаб времени дефор
маций:
MtMh
М4 =
'деф MdMf {djh)M ,Μπ

298
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
При выполнении условия (7.14) (Λί_=Λί_ ), а также
и икр
при р+ = р+(Мр+=1) и Md=Mh(Mf(d/h) = l)
'деф " U
т. е. масштаб времени деформаций русла Mt только
деф
в этом случае равен масштабу времени гидравлических
процессов Mt.
Условие (7.14) неоднократно предлагалось в качестве
условия подобия русловых деформаций (симплекс U/UKp
к
in'*
КР
-'".
ь*
«L
''/ж
w<
ν//*
)////-
Υ/Λ
Υ//
/////
У///
У//)/,
10° 2
101 2
10*
10s 2
Re*
Рис. 7.13. Связь величин Fr*Kp и Re* [181]
иногда называют критерием Леви), поскольку, в частности,
при отсутствии поступления наносов его выполнение
при ΰ/ϋκν^Λ обеспечивает неизменность русла как в
натуре, так и на модели, а при ί7/ί/κρ>1— размыв русла
сопоставляемых потоков. _
Остановимся теперь на несдвигающей скорости UKV.
По современным представлениям движение частиц
несвязного материала начинается после того, как динамическая
скорость достигнет определенной величины ί/*Κρ. По Шилд-
су [181]:
ί+^=ΡΓ*ΗΡ==/(βφι» βφι· βφ·· Re*Kp = ^Kp^/v)>
где величины βψι, βψ2, βψ3 учитывают влияние
геометрической формы частицы и ее положения на дне. Влияние этих
величин предполагается второстепенным. Тогда
(7.16)
U*Kp = f(Re*Kp)V?+gd
Зависимость Fr*Kp от Re*Kp показана на рис. 7.13, из
которого следует, что при достаточно больших значениях

§ 7.4] Плановые деформации аллювиального русла 299
Re*Kp имеет место автомодельность по этому комплексу.
Однако в комплекс Re*Kp входит определяемая величина
i/*Kp, и в данной задаче он не является определяющим,
Целесообразнее использовать следующую зависимость для
критического значения динамической скорости [76]:
U*v = i(Relf)VrFe3f
где Red = d]/rp+gdf\t Функция <p(Rerf) изображена на
рис. 7.14. Здесь наряду с результатами опытов [65]
помещены экспериментальные данные авторов. Можно
отметить, что все точки хорошо ложатся на кривую В. С. Кно-
Рис. 7.14. Функция <p(Red) по
результатам исследования
начала движения частиц:
1 — кварцевый песок в воздухе;
2 — то же в воде; 3 — акрилатный
порошок в воде; 1—3 — данные
авторов; 4—то же В. С. Кнороза [65]
¥\
0,2
WdJ
^
°\
·-/
о-2
OS
*-4
^*4-
—*-,
1" · "
1
0,5
1,5
2,5 IgRe^
роза. Соответствие этой кривой результатам опытов,
существенно различающихся по величине р+ (кварцевые
частицы в воде и в воздухе, акрилатный порошок в воде),
свидетельствует о том, что в изученном диапазоне
значений крупности частиц (d^0,2 мм) непостоянство в
определенном диапазоне Re<* функции cp(Re<i) объясняется
прежде всего влиянием вязкости, а не сил молекулярного
сцепления, как это утверждается в [106]. Из графика на
рис. 7.14 следует, что при Red^Redrp=300 имеется
автомодельность величины φ (Red) no Re^. В автомодельной
области эта величина приблизительно равна 0,22.
По данным Ивагаки1, существуют две зоны
автомодельное™ коэффициента qp(Re<i)-— при малых и больших
числах Red: <p'(Red) =0,376 при Re<*<2,l и qp"(Re<i) =0,225
при Re<*>670.
1 Transport of Material in Water, Japan's regional report, Proc. VIII
IAHR Congr., Montreal, 1959, v. 4.

300
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
Выразим несдвигающую скорость *7Кр через
критическую динамическую скорость t/*Kp:
£/„, = \ГЩХ t/XKp = φ (Red) K2p +gd\Xh,
или, имея в виду, что 2/X^C2/g (С —коэффициент Шези),
Если принять по Маннингу С= (1//г)/г1/6, то
UKp=^ed)V?Td-hlIB. (7.17)
При h= 1 м имеем
i7Kpi=i^V^· (7.18)
Величина £7κρι зависит только от свойств наносов и
жидкости. Из (7.17) и (7.18) следует известная
зависимость В. Н. Гончарова:
UKP=UKPlhW. (7.19)
Тогда условие (7.14) можно записать в виде
мп=мп =мп м,/6.
U икр ϋκρι h
При выполнении правила Фруда
Следовательно, для одновременного выполнения
правила Фруда и условия (7.14) необходимо, чтобы
κρι
Исходя из зависимости (7.17), можно было бы выбрать
достаточно мелкий вертикальный геометрический масштаб
модели с подвижным руслом при изучении его плановых
деформаций за счет назначения малых масштабов величин
р+ и d. Однако эти величины при определенных значениях
Red сказываются на значениях qp(Red). Для частиц с ps =
=2650 кг/м3, находящихся в воде, Re^rp соответствует
drp=l,5 мм. Ниже этой границы производная dUKV\/dd
начинает резко уменьшаться (рис. 7.15), так что при d^.
^0,2 мм £7Κρι практически не зависит от d. При
использовании на гидравлической модели естественных песков

§ 7.4] Плановые деформации аллювиального русла 30
j^ggp^
[(UKp\)min ~ 0,3 м/с] приемлемые
масштабы модели можно обеспечить
лишь при достаточно крупных
наносах в трубе. Например, на
модели с вертикальным
геометрическим масштабом 1 :50 можно
изучать объект, для которого б?н>4мм.
Вследствие влияния вязкости о/
уменьшение допустимого
вертикального масштаба модели за счет
уменьшения плотности частиц
наносов не столь существенно, как это
может показаться на первый взгляд.
Для легких материалов вязкость
начинает сказываться при еще
больших значениях d. Например, при_
pSM=1100 кг/м3 и рм=1000 κΓ/Μ^ί/κρι весьма слабо
зависит от d при d^0,4-4-0,5 мм и (i/Kpi)min^^0,13 м/с. В том
случае, если в натуре русло сложено мелкозернистыми
песками (ί/κριΗ^0,3 м/с), при использовании
пластмассовых порошков вертикальный масштаб модели,
рассчитанный по правилу Фруда, не должен быть меньше
Afh==(0,13/0,3)3^1/12.
/ 2 [q(100d)
Рис. 7.15. Зависимость
несдвигающей скорости
частиц разной плотности
от их диаметра, мм, при
глубине 1 м
Приведенные оценки относятся к неразмывающей
скорости при плоском дне потока. Реально при движении
наносов на дне потока возникают локальные образования,
приводящие вследствие увеличения коэффициента
шероховатости η и уменьшенияRe^ к снижению (£/Kpi)min.
Систематических исследований в данной области не имеется,
однако для оценки можно принять, что вследствие отличия
русла от плоского значения (икр\)тт может снизиться
примерно на 20%. Тогда для наиболее легкоподвижных
материалов, используемых на модели, (i/Kpi)rmn можно
считать близким к 0,1 м/с, и при исследовании деформаций
мелкопесчаных русл минимальный вертикальный масштаб
модели — 1 : 30—1 : 40.
Изложенный подход приближенного моделирования
русловых деформаций на основании условия (7.14) вместо
условий Re<i=idem, p+ = idem, d/h = idem (см. § 7.1)
служит типичным примером использования искаженной
модели, для которой основной критерий подобия является ком-

302
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
бинацией критериев в более общем случае (§ 3.4). Он
предоставляет возможность обеспечить приближенное подобие
плановых деформаций песчаных русл при относительно
крупных, но в некоторых случаях приемлемых
геометрических масштабах моделей с применением легкоподвижных
материалов. Такие материалы широко используются в
практике гидравлических лабораторий.
Выше рассмотрены способы, которыми можно_
удовлетворить условию (7.14) за счет выбора величины £7Кр.м.
Возможность выполнения этого условия при заданном
вертикальном масштабе модели подбором соответствующего
масштаба скорости Ми ограничена необходимостью
обеспечить идентичность критерия Фруда. При сравнительно
малых значениях FrH (при автомодельности натуры по Fr)
существует некоторая свобода выбора Ми за счет
искажения модели по критерию Фруда. Это относится к
случаям исследования относительно коротких участков русл,
в которых увеличение на модели скоростей против
определенных по правилу Фруда не приводит к существенному
искажению перепада уровней в пределах изучаемого
участка. Если воспроизводимый на модели участок имеет
существенную длину, то при решении плановой задачи, когда
необходимо равенство коэффициентов сопротивления по
длине в натуре и на модели (Xl/h=idem)y даже небольшое
завышение скоростей по сравнению с определенными по
правилу Фруда приводит к существенному преувеличению
перепада уровней свободной поверхности и соответственно
искажению глубин потока. До недавнего времени этот
дефект иногда пытались исключить увеличением
продольного уклона дна модели (наклонные модели с подвижным
дном). Однако такой прием может представить интерес
только при решении одномерных задач. В плановой задаче,
для которой существенно соотношение продольных и
поперечных уклонов, этот прием непригоден, вследствие чего в
последние годы он не используется.
Гораздо большие перспективы удовлетворить условию
(7.14) за счет назначения соответствующего масштаба Ми
содержит в себе применение для изучения русловых
деформаций напорных моделей с подвижным дном (см. § 7.6).
При моделировании русловых деформаций необходимо
выполнить условия подобия течения жидкости. В случае
изучения плановых деформаций к ним относится условие
X///i = idem. Для моделей с подвижным дном по сравнению

§ 7.4] Плановые деформации аллювиального русла 303
hr/h
0,4
o,s\
0,2
0,1
η
Δ
лЯ
Δ
D
Ύ D
Δ Δ
2
^^^
>
0
£ο—■<^
-Ε
0-1
•-2
α-3 —
ο-* Η
Δ-5
/#~
ΛΓ
Ι/ of ιν
Рис. 7.16. Зависимость относительной высоты гряды от комплекса
U d w
^кр h Уф *
/ — полистирол; 2—бакелит; 3 — кварцевый песок d=0,67 мм; 4 — то же d*-
= 0,25 мм; 5 — натурные данные
с жесткой моделью чрезвычайно осложняется оценка
величины λΜ, которая определяется не только геометрическими
характеристиками потока и материала русла, как это
имеет место на жесткой модели.
Сопротивление подвижного русла наряду с зернистой
шероховатостью определяется донными формами (рифели,
гряды, дюны и т. д.), неучет этого обстоятельства
некоторыми исследователями [76, 181], сопоставляющими на
модели и в натуре только зернистую шероховатость дна,
может привести к существенным ошибкам.
Исходя из имеющихся в литературе зависимостей для
определения размеров донных гряд выполнение условий
подобия плановых деформаций, казалось бы, не должно
приводить к существенному искажению формы дна на
модели.
Так, по [65]
ι
и/и,
кр
h ~~ ' W/d) + 6
.=2,8
^кр
U/U}
(7.20)
(7.21)
/^кр"
где Аг — высота гряды; /г — ее длина.
В [115] результаты опытов (рис. 7.16), в которых
изучалось формирование гряд в естественных и
искусственных материалах, обобщены зависимостью:

304
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
Опыт использования моделей с подвижным дном
свидетельствует о том, что при соблюдении условия (7.14)
русловые формы на модели могут не соответствовать
таковым в натуре, причем на модели они выражены
существенно резче. Исходя из зависимостей (7.20) и (7.22) основной
причиной несоответствия высоты гряд на модели может
быть неидентичность симплекса d/h. При этом зависимость
(7.20) оценивает влияние данного обстоятельства на
искажение размеров гряд, как несущественное. Значительнее
влияние симплекса djh получается при расчете по (7.22).
В [226] указывается, что на характеристики донных
форм наряду с комплексом FT*/Fr*KP=U/UKp существенно
влияют Re*Kp и h/d. Во избежание значительного
искажения донных форм при моделировании песчаных русл в
[226] рекомендуется принимать на модели Re*>25 (что
определяет минимальное значение 5М) и h/d>50 (что
определяет минимальный вертикальный масштаб модели).
Понятно, что такая рекомендация пригодна лишь при
моделировании относительно крупного грунта. Реально при
изучении плановых деформаций приходится допускать
искажение размеров гряд, компенсируя завышение
коэффициента гидравлического трения искажением
геометрических масштабов модели.
В ряде работ, например в [53], характеристики гряд ставятся
в зависимость от числа Фруда, что подтверждается некоторой
корреляцией между этими характеристиками и Fr по экспериментальным
данным. Выявленная зависимость закономерна для бурного потока,
в котором образуются такие структуры, как антидюны. Для спокойных
потоков, если исходить из соображений и фактов, изложенных в § 5.2,
эта корреляция может представиться неожиданной. В этом случае
влияние числа Фруда можно объяснить, если рассматривать дно
потока как подвижную границу между двумя континуальными средами.
Как известно, характеристики такой границы определяются значениями
критериев, аналогичных модифицированному числу Фруда: Frp=
ρ'—ρ" U\
= -f г- (р' и ρ"—плотность сред). В связи с тем, что при
сопоставлении потоков обычно (р'—ρ")/Ρ·"~(Ρβ—p)/lp=const (во всех
случаях дно составлено кварцевым песком), влияние модифицированного
числа Фруда Frp может проявляться как влияние обычного числа
Фруда FT—U2a/gho.
При современном состоянии вопроса сопротивление
русла на модели возможно оценить лишь ориентировочно.
Для этого можно в первом приближении воспользоваться

§ 7.5] О соотношении характеристик русла в натуре и на модели 305
зависимостью (5.8), определяя параметры гряд по
приведенным в данной главе связям.
Однако оценку сопротивления русла на модели более
надежно производить экспериментально в условиях,
возможно близких к предполагаемым в конкретном
исследовании.
Масштаб расхода наносов М0 и времени русловых де~
формаций Mt ■=MhMlJMQ может быть в первом прибли-
деф ys
жении выбран исходя из зависимостей для
транспортирующей способности [например, формул (7.8) —(7.12)].
Но лучше эти масштабы определять непосредственно с
использованием модели, для чего при выбранных
геометрических масштабах и масштабе расхода жидкости при
известном бытовом состоянии русла на входе в модель
варьируется расход наносов и выбирается то его значение,
которое обеспечивает поддержание на модели заданных
глубин. Это значение принимается в качестве Qsu.
Сопоставляя QSM с расходом донных наносов в натуре,
известным по результатам гидрологических исследований, или
оцененным расчетом, получают М0 и затем Mt
^s деф
7.5. О СООТНОШЕНИИ ОСРЕДНЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
РУСЛА В НАТУРЕ И НА МОДЕЛИ
Основные характеристики русла на данном участке
реки наряду с геологическими особенностями долины, с
характеристиками растительности на пойме и в русле
зависят от свойств наносов, сформировавшихся выше
изучаемого участка, их количества и расхода воды. Обычно
считается, что русло формируется расходами, близкими к
расходам в его бровках (руслоформирующими, или
доминирующими расходами), хотя имеются сведения о том, что
русло, сформированное таким расходом, не полностью
соответствует руслу, соответствующему переменному
расходу реки. Если концепция руслоформирующего^ расхода
справедлива, то в процессе формирования русла
заданными являются расход воды Q, расход наносов Qs и их
свойства (крупность d, плотность ps и другие
характеристики). От них зависят гидравлический уклон /Тр, средняя
глубина Я и ширина русла Ъ. Для определения этих трех
величин имеются два уравнения:
уравнение движения воды:
Q = Q(dy Й, Ьу /тр); (7.23)

306
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
уравнение транспорта наносов:
Qs=Qs(dy й, 6, ,р, ps, Q). (7.23а)
Для замыкания системы необходимо еще одно
уравнение. Однако такого физически обоснованного уравнения
в настоящее время нет. В качестве него разные авторы
предлагают те или иные эмпирические связи, чаще всего
так называемые морфометрические зависимости,
полученные в результате обработки данных полевых наблюдений
и лабораторных опытов. Из этих зависимостей следует,
что с увеличением абсолютных размеров поперечного
сечения русла или водности реки отношение ширины русла
к его средней глубине возрастает.
Так, по Рыбкину [136]:
bd/h^ki или b[h=kxh/d\ (7.24)
но Лейси [188]:
6 = ад0'5 или b/I=k2Il^2Ti2/3/nl!2; (7.25)
ло Гастунскому [36]:
Ь = *з<20,56//?р16 или b/h = k°3-23 /ЦЧ^/п1·25; (7.26)
ло Алтунину [3]:
6т//Г=£4или b/I=k{4/mhllm-1, (7.27)
где в зависимости от размываемости берегов и подвижности русла k^
изменяется от 8 до 20, а т —от 1 до 0,5. При т=0,5 (аллювиальные
равнинные реки) эта зависимость записана в следующем виде:
b==ksQ°^/I%275 или b/h^kl>22h/nl>22. (7.28)
Η. А. Ржаницын [127], располагая реки в ряд по водности, ставит
относительную ширину русла b/Ъ в зависимость от положения реки
в ряду.
Первая попытка получить морфометрические связи с
помощью теории размерностей принадлежит М. А. Вели-
канову [27]. Полагая, что (в связь должны войти Q, dy g,
УТр, Ъ, й, он приходит к следующему результату:
г=^(гтк)"· (7·291
В этой зависимости, как и во многих других морфо-
метрических связях, в число моновалентов включен
гидравлический уклон /тр. Однако во многих случаях он бы-

§ 7.5] О соотношении характеристик русла в натуре и на модели 307
вает не включен в условия задачи, и в то же время в эти
условия входит расход наносов Qs. Если в таких случаях
пренебречь· влиянием вязкости и отличием состава
материалов, слагающих русло и берега, то в с_вязь следует
включить величины QSy Q, dy р5, ρ, g, by Я, /тр, первые
шесть из которых являются заданными. Тогда, исходя из
Пи-теоремы:
b/d=k7f[h/df ρβ/ρ, μ5, Q2/(^5), /тр], (7.30)
где μ8=ζ}81ζϊ — мутность потока; π-члены в зависимости
(7.30) можно рассматривать как критерии подобия, причем
определяющими являются критерии р<?/р> μβ, Q2/gd5, как
составленные из моновалентов. При идентичности этих
критериев достигается идентичность остальных
(неопределяющих) критериев и подобие _ явления. В частности,,
должно выполняться условие b/ h = idem.
Условие ps/p = idem для сравниваемых между собой
естественных водотоков обычно выполняется, так как в
природе ps колеблется незначительно. Мутность потоков
может разниться весьма существенно. Поэтому реки,
характеризующиеся разной мутностью, при прочих равных
условиях должны иметь русло разной формы. Например,
Амударья в среднем течении и Ока характеризуются
примерно одинаковыми донными наносами и руслоформирую-
щими расходами. Но мутность воды в Амударье
существенно больше, чем в Оке. Поэтому уклон и относительная
ширина русла Амударьи гораздо больше, чем у Оки.
Влияние мутности на форму русла косвенно отражает
предложенная И. Я. Орловым [3] зависимость показателя степени m в формуле
(7.27) от критерия устойчивости русла:
т=((7/с7Кр)-°·1.
Чем больше £7/£7кр (а следовательно, больше μβ), тем меньше m
и тем больше b/h.
Условие Q2/gd5=idem для рек различного размера
обычно не выполняется, и формы их русл могут быть
неподобны также и по этой причине. Исходя из этого условия
для достижения подобия у тех из сопоставляемых рек,,
водность которых больше, нанось* должны быть крупнее.
Однако в природе наиболее крупные реки обычно
характеризуются наиболее мелкими наносами.
Из приведенного анализа следует, что формы
поперечных сечений русл разных по водности рек в большинстве

308
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
случаев не подобны потому,, что условия их подобия в
природе не соблюдаются.
Нами была предпринята попытка установить
зависимость относительной ширины русла bjh от определяющих
критериев Q2/gd5 и μ5 для водотоков, берега которых
сложены тем же несвязным материалом, что и дно. Для этого
выли выполнены опыты по изучению развития пионерной
прорези при постоянной подаче наносов на напорных и
безнапорных установках. Данные опытов нанесены на
график, помещенный на рис. 7.17. Здесь можно отметить,
что опытные точки, относящиеся к различным значениям
мутности, отчетливо расслоились. Как и следовало
ожидать, при прочих равных условиях с увеличением мутно-
w ^ сти отношение bjh растет,
причем более резко, чем
по зависимости И. Я.
Орлова.
Рис. 7.17. Связь между
относительной шириной русла,
комплексом Q2/gdb и
концентрацией наносов μ8:
*2"θ 0Λ Oft ^1,2 IqlQ/bdfyU1'] 1 —напорный поток; 2-безна-
Л L ·* порный
Данные, относящиеся к напорным и безнапорным
потокам, практически совпали. Это, очевидно, объясняется тем,
что при весьма шероховатом русле влияние гладкой
крышки напорной установки было несущественным.
Обработка экспериментальных данных привела к
следующей морфометрической связи:
bjh= 63^'17(Q2/^5)0'033. (7.31)
Приведенные выше соображения относятся к
аллювиальным руслам, имеющим однородное геологическое
строение при малом влиянии растительности на их
формирование. В природе на формирование русл влияет как
растительность, так и геологическая неоднородность русла, в
частности отличие состава грунтов на его дне и в
берегах. Все это должно сказаться на структуре морфометри-
ческих связей, что отмечает М. А. Великанов [27], не
вводя, однако, величины, характеризующие указанные
дополнительные факторы, в свои зависимости. В формуле (7.27)
такое влияние косвенно учитывается тем, что значение
коэффициента &4 связано с размываемостью берегов.

§ 7.5] О соотношении характеристик русла в натуре и на модели 309
Имеются предложения и о непосредственном учете размываемости
берегов. По [5] в устойчивом русле скорости равны неразмывающим
скоростям для грунтов, слагающих берега: {7Д7Кр.б = 1. Рекомендаций
по оценке (7Кр.б в условиях бокового размыва, не равной
соответствующей величине при размыве дна, при этом не дается.
Такой же подход излагается в [200], где предполагается, что на
береговом откосе касательное напряжение т=ткр.б (тКр.б — допустимое
касательное напряжение для грунта, слагающего откос). В [190]
получено соотношение между критическими касательными напряжениями на
откосе берега ткр.б и на горизонтальном дне тКр:
%Р.б = τκρ cos Φ V\ — (tg<l>/tg<p)2,
где Ф — угол наклона откоса, а <р — угол естественного откоса* грунта.
В [189] сделана попытка выявить распределение касательных
напряжений по поверхности трапецеидального русла. Зная распределение
напряжений и полагая, что на откосах берегов τ=τκρ.6, можно найти
третью зависимость, связывающую средние характеристики сечения
русла.
Указанные предложения по учету размываемости берегов также не
универсальны. Они не пригодны при однотипном материале дна и
берегов, когда равновесие берегов носит динамический характер, т. е.
поддерживается за счет обмена частицами между берегом и потоком.
В этих случаях на откосе берега может быть τ>τκρ.6· Но в
большинстве случаев геологическое строение дна и берегов резко различается.
Как указывалось в § 7.4, при моделировании песчаных
русл обычно h/d=£idem (масштаб крупности наносов не
равен геометрическим масштабам модели). Вследствие
этого не выполняются условия Q2/gd5=idem и μ8 = Ίάεπ\.
Относительная ширина самоформирующегося русла на
модели (6/й)м оказывается меньше, чем (b/h)Uy т. е.
нарушение условий подобия приводит к искажению формы
русла, что должно учитываться при назначении
масштабов модели с подвижным руслом, иначе русло на модели
может оказаться не тех размеров, в предположении
которых строилась модель. Такой учет иногда производится на
основании имеющихся морфометрических зависимостей
[3, 27]. Моделирование, при котором условия подобия
получены с использованием морфометрических зависимостей,
называется натуральным. Некоторые исследователи,
исходя из того, что малое русло имеет меньшую
относительную ширину, назначают искажение геометрических
масштабов на основании морфометрических зависимостей и
для моделей с жестким дном. Понятно, что к недеформи-

310
Поток θ деформируемом русле
[Гл. 7
руемым моделям натуральное моделирование никакого
отношения не имеет.
При использовании известных методов натурального
моделирования иногда допускаются ошибки, связанные с
тем, что для русл естественных рек и для потоков в
лаборатории применяются одни и те_ же зависимости. Так,
в [3] исходя из зависимости &°>5/й—&4 принимается, что
M°>5b=Mh. Если даже предположить, что структура
использованной зависимости справедлива, то для равнинных
рек в натуре и их моделей в лаборатории коэффициенты
&4 имеют разные значения. Для равнинных рек &4^Л2, а
для аллювиальных русл с глубинами до 10 см и
наносами, характеризующимися d=0,2-^-0,5 мм, по данным
К. И. Российского, &4^36. Разница объясняется как
недостаточной общностью связи, так и тем, что на модели
обычно не воспроизводится строение берегов и
растительность.
Для того, чтобы учесть отмеченные обстоятельства, при
использовании формулы (7.27) индикатор подобия
следует записывать в виде M°>5bl {MhMh) [177]. Такая
запись обеспечивает лишь некоторое соответствие, а не
подобие явления.
Рассмотрим выбор искажения геометрических
масштабов (Mb/Mh), исходя из зависимости (7.31). По этой
зависимости
Mh
:М
0,17
Ж
•0,066
Λί°'165
При соблюдении правила Фруда
принять для оценки μ<? формулу (7.9)
писать как
(7.32)
MQ==Mi^hMb. Если
которую можно за-
И*
и4
h (^)3
и
кр
1- =
и
τ)
то при U/U]
После
имеем
кр
1 и М„=М\
и h
0,5
μ=νΡ?ινϊ*
подстановки выражении для
MQ и М^
(7.32)
Mb
Μ
0,33
1
— ,,0,39 — mO.OS
Mh Μ
№
Mh
Md

§ 7.5] О соотношении характеристик русла в натуре и на модели 311
Учитывая низкую степень при Ма и обычно слабое
отличие этого масштаба от единицы, а также
приближенность использованных эмпирических зависимостей, можно
записать:
MblMh^(Mh/Md)°>™.
Обратим теперь внимание на то, что если принять для
коэффициента Шези степенную зависимость С=
=kc{h/d)x,Qy то масштаб коэффициента гидравлического
трения Λίλ=^—(Λί^/Λί/t)0,31 и при ровном дне
kc
Mb/Mh^llMx.
Такого же результата следует ожидать не только при
ровном дне, ж> и при не слишком большом отличии
характеристик русловых форм на модели и в натуре.
Таким образом, искажение геометрических масштабов
модели, следующее из анализа морфометрической связи,
аналогично тому, которое было найдено из рассмотрения
плановой задачи гидравлики, чтс* неоднократно замечалось
нами в исследованиях конкретных русловых объектов.
Отметим, что этот результат получен при Μ =Λίρ= 1 и
iFr = idem. Возможно, что в других случаях найденного
соответствия может и не быть.
Если в натуре берега сложены относительно слабо
размываемыми грунтами, значимость учета морфометриче-
ских связей при моделировании уменьшается. Однако
плановый масштаб модели во всех случаях должен быть не
меньше того, который определен с учетом морфометриче-
ских связей. В противном случае ширина русла на модели
может оказаться меньше, чем ширина, соответствующая
выбранному масштабу.
Во многих инженерных задачах берега при
моделировании можно считать неразмываемыми. Если же с
размывом берегов следует считаться, то правильнее
воспроизвести на модели сопротивляемость берегов размыву.
При этом можно исходить из условия
Тб=Ткр.б
или
ми =ми.
кр.б
Если понимать f/Kp.6 как среднюю по сечению скорость,
при которой грунт, составляющий берега, устойчив, то эта

312 Поток в деформируемом русле [Гл. 7
величина является функцией_ свойств грунта, формы русла
(в частности, отношения bjh) и относительной
шероховатости дна (АЭф.д/Й) и берегов (Аэф.б/Ь·).
Материал, свойства которого на модели соответствуют
свойствам связного, грунта, слагающего берега в натуре,
в нашей практике получается добавлением к
мелкозернистому песку небольшого количества вяжущих (лучше
извести или гипса), и его, рецептура выбирается примерно
так же, как при моделировании местных размывов в
связном грунте (см. § 7.3).
7.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛАНОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
НА НАПОРНОЙ МОДЕЛИ
Даже при приемлемом отклонении от правила Фруда
и искажении геометрических масштабов модели плановые
размеры модели песчаного русла должны быть достаточно
велики. Это становится понятным, если иметь в виду, что
скорости на обычной модели открытого потока зависят от
геометрических масштабов модели и тем они меньше, чем
мельче эти масштабы, а свойства подвижных материалов
на модели (несдвигающие скорости) близки к таковым
для мелко- и среднезернистых песков в натуре.
Моделирование песчаных русл при приемлемых геометрических
масштабах моделей практически возможно при
использовании искусственных материалов. Так как стоимость
искусственных подвижных материалов велика, а размеры
моделей даже при употреблении таких материалов
должны быть очень большими, то исследования деформаций
русла обычно требуют большой затраты средств, времени
и сил.
При отмеченных трудностях моделирования
деформаций русла весьма заманчиво использовать для
исследования напорные модели (см. § 5.5), для которых масштаб
скорости не связан прямо' с геометрическими масштабами.
Здесь масштаб скорости можно выбрать в соответствии
с масштабом несдвигающей скорости и тем самым
удовлетворить условие (7.14). На это обстоятельство указывал
А. Г. Аверкиев [1] в самом начале использования
воздушных моделей. При исследованиях деформаций русла
на напорных моделях нужно быть уверенным, что
уравнения, описывающие транспорт наносов и деформации
русла, для напорной модели имеют тот же вид, что и для
безнапорных потоков в натуре.

§ 7.6] Определение плановых деформаций на напорной модели 313
Как показано в .§ 5.5, напорная модель пригодна, для
решения плановой задачи гидравлики. Следовательно, ср<е-
ди задач, посвященных определению деформаций русла,
на долю» напорной модели можно отнести определение
плановых деформаций русла. При установлении условий
подобия плановых деформаций в § 7.4 использованы
зависимости для несдвигающей скорости, характеризующей
наносы, и для транспортирующей способности потока. Для
отыскания этих зависимостей применительно к напорной
модели нами были выполнены опыты на специальных
установках. Эти установки представляли собой напорные
лотки с крышками из органического стекла. На установки
подавались жидкость (воздух или вода) и наносы
(кварцевый песок средней крупностью 0,2 и 0,6 мм). В опытах
при постоянном расходе наносов варьировался расход
жидкости и после стабилизации дна потока измерялись
глубины и средние скорости.
Данные опытов, помещенные на поле (lg/ι, \gU)>
приведены на рис. 7.18—7.20. Можно отметить, что
большинство точек, соответствующих постоянным расходам
наносов, легло на параллельные прямые. Обработка результа-
Рис. 7.18. Связь между «
средней по глубине
скоростью, глубиной напорного 8
воздушного потока и кон- _,
центрацией наносов для '
песка со средней
крупностью 0,2 мм:
/ —- на дне рифли; 2 — плоское
дно
5 6 7 8 01Oh,CM
м/с -
|
Ι "ν"
ί^^τ—фзС
ι +-^
м~-S
JL··
\
vA
j)(
s2
Π
=Я7Пг/(с,ь
>4b _^"' χ- -
г
[/7
Ю1
■t
I и
·26θ\-
m
'~t
\0
XL·
°m
a)\
Ц
Ί
1,5 2 S ^ 4 5 6 7 8 910 hjCM
Рис. 7.19. Связь между
средней по глубине
скоростью, глубиной
напорного воздушного потока
и концентрацией
наносов для песка со
средней крупностью 0,6 мм:
/ — на дне рифли; 2 —
плоское дно

314
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
Рис. 7.20. Связь между
средней по глубине скоростью,
глубиной напорного водного
потока и концентрацией наносов
для леска со средней
крупностью 0,2 мм:
1 — на дне рифли; 2—плоское дно
UjlU* 1 1 1 1—I—1111 1—1—J—ι
1j5 2 2}5 δ - 4 5 6 7/?,см
тов опытов показала, что при заданном расходе наносов
средняя скорость над стабилизировавшимся дном,
состоящим из этих наносов, связана с глубиной зависимостью
£7=С0/г1/6.
При qs—0 средняя_скорость представляет собой не-
сдвигающую скорость Окр. Если глубина h=l м, то С0 =
= икр. Следовательно,
σκρ=σΚρι/ι1/6.
Таким образом, для напорных потоков воды и воздуха
имеется связь между несдвигающей скоростью и
глубиной, такая же как зависимость В. Н. Гончарова для
открытого водного потока [42].
Результаты опытов подтвердили, что несдвигающие
скорости при плоском дне и при наличии на нем гряд
заметно отличаются друг от друга. Данные о средних
значениях несдвигающих скоростей, м/с, в напорном потоке
при глубине, равной 1 м, приведена в табл, 7.1.
Как следует из данных таблицы, отношение
соответствующих значений несдвигающей скорости при плоском
дне и цри наличии гряд составляет в среднем 1,17, что
соответствует данным опытов в открытых гидравлических
лотках [76].
Таблица 7.1
d, мм
0,2
0,6
Вода
плоское дно
0.27
0.40
гряды
0,23
0,33
Воздух
плоское дно
7,6
12,0
гряды
6,5
10,5

§ 7.6] Определение плановых деформаций на напорной модели 315
Напомним, что
U* = <? №*) Κ2ρ+^/λ, (7.33)
где Red — dyp+gdlv. Для одного и того же материала
при ps = 2650 кг/м3 и 7=15 °С отношение комплексов Re<*
для воздуха и воды составляет RedB(WRedBoA^3,5, т. е.,
если иметь в виду характер функции φ (Re^) (рис. 7.14),
(p(Red)Bo3^(p(Red) вод.
По экспериментальным данным исходя из зависимости
(7.33) были определены значения qp(Red) для различных
наносов и использованных жидкостей. При этом
коэффициент гидравлического трения λ в зависимости (7.26)
полагался равным λι (см. § 4.1). Вычисление λι
основывалось на том экспериментально установленном факте, что
в диапазоне условий выполненных опытов отношение(
нижней зоны потока к полной глубине h\\h зависит только от
крупности наносов и при d=0,2 мм составляет 0,55, а при
^=0,6 мм — 0,65. Экспериментальные точки, относящиеся
к напорным потокам, помещенные на график В. С. Кно-
роза (см. рис. 7.14) и оказавшиеся хорошо
соответствующими его данным, и есть средние значения вычисленных
таким образом коэффициентов φ (Red).
На рис. 7.18—7.20 можно отметить, что
экспериментальные точки, соответствующие постоянным удельным
"С^'ЗрЛ**
Рис. 7.21. Рельеф русла у перемычек Саратовской ГЭС:
_ натура; модель

316
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
расходам наносов, в поле (lg £/кр, ]gh) легли на прямые,
примерно параллельные прямой lgf/KP=l/6 IgA. Это
означает, что при постоянном расходе наносов отношение
С7/£7кр = const, что соответствует большинству зависимостей
для расхода донных наносов, в частности зависимостям
(7.2) —(7.12).
(здесь £/кр — несдвигающая скорость при наличии гряд).
Коэффициент К оказался для воздушного потока при d=
= 0,2 мм равным 48 г/(с-м) и при d = 0,6 мм —
260 г/(с-м), для водного потока при d=0y2 мм—
0,48 г/(с-м).
Обратим еще раз «внимание на соответствие морфоме-
трических связей для напорных и открытых потоков.
Из сказанного следует, что связи между средними
характеристиками потока и характеристиками наносов,
входящие в систему уравнений плановых деформаций русла,
для напорного и безнапорного потоков воды имеют одина-

§ 7.6] Определение плановых деформаций на напорной модели 317
Рис. 7.22. Регулирование русла на участке водозабора Ермаковской
ГРЭС:
1 — каменконабросные шпоры; 2 — водозаборный канал; 3 — сбросной канал

318
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
ковый вид, что служит основанием возможности
достижения подобия таких деформаций. Система масштабов
напорной модели с подвижным дном устанавливается так
же, как для обычных моделей:!из анализа уравнений
плановой гидравлики и баланса наносов.
Благодаря свободе в выборе масштаба Ми при
использовании напорной модели условие О/0KP=\dem может
быть удовлетворено для тяжелых заменителей наносов,
чем обеспечиваются высокие числа Re и соответственно
допустимость малых геометрических масштабов напорных
моделей. Однако все же следует стремиться к возможно
более крупным плановым геометрическим масштабам во
избежание большого искажения геометрических
масштабов.
На напорных моделях вследствие больших значений
Ми и малых геометрических масштабов масштаб времени
деформаций существенно меньше, чем для обычных
моделей, что обеспечивает малое время, необходимое для
проведения опытов.
Для решения плановой задачи деформаций русла
может быть использована как водяная, так и воздушная
напорная модель. Однако вследствие всегда
присутствующих пространственных эффектов, в частности, за счет
искажения траекторий движения твердых частиц в
жидкости, предпочтительнее использовать водяные модели (см.
§ 6.2).
Конструкции воздушных и водяных напорных моделей с
подвижным дном и техника их использования приведены в [91].
В качестве примеров результатов использования воздушных
моделей с подвижным дном на рис. 7.21 приведены данные, относящиеся
к исследованиям размыва русла Волги, стесненного перемычкой
Саратовской ГЭС. Сравнение данных моделей с наблюдениями в натуре
свидетельствует о достаточной надежности прогнозов.
Результаты использования напорной водяной модели показаны da
рис. 7.22, где представлены данные об исследованиях формирования
русла р. Иртыша на участке водозабора Ермаковской ГРЭС.
7.7. О «ГИБРИДНОМ» МОДЕЛИРОВАНИИ РУСЛОВЫХ
ДЕФОРМАЦИЙ
Приведенные в настоящей главе материалы
свидетельствуют о том, насколько трудности исследований на
моделях с подвижным дном больше трудностей исследований

§ 7.7] О «гибридном» моделировании русловых деформаций 319
потоков в жестких границах. Они велики даже в
относительно простых случаях: при однородном составе наносов
и изотропном геологическом строении русла, при
возможности выделить в изучаемом процессе доминирующие
явления. Реально процесс деформаций русла в той или
иной мере отличается от принимаемых при моделировании
схематизации. Как правило, наносы существенно
неоднородны, и состав их отложений меняется в процессе
деформаций, геологическое строение русла неизотропно, причем
в нем могут присутствовать и, несвязные и связные
грунты, на деформации влияют пространственные эффекты,,
изменение характеристик турбулентности. Вследствие
этого,; за исключением некоторых частных случаев,
определение деформаций русла на модели с подвижным дном во
всех практически важных деталях невозможно.
Деформации русла являются процессом взаимного·
влияния потока и его границ. Одна из сторон этого
процесса — влияние русла на поток — относительно просто
оценивается на гидравлической модели, причем если
пренебречь тем, что содержание в воде наносов сказывается
на характеристиках потока, то указанное влияние можно*
определить на жесткой - модели. При наличии связей
между характеристиками потока и деформациями русла
сведения о характеристиках потока могут быть использованы
при численном моделировании деформаций.
Характеристики потока могут быть получены и при численном
моделировании [47, 157]. Численное моделирование русловых,
потоков широко используется в современной инженерной
гидравлике, но такая возможность при имеющихся в
настоящее время средствах ограничивается главным
образом одномерными и двумерными задачами. В трехмерном
случае физическое моделирование более предпочтительно
(см. § 1.1).
Изложенные соображения указывают на
целесообразность отнесения оценки; разных сторон процесса русловых
деформаций к разным классам моделирования: на
целесообразность определения влияния русла на поток
физическим моделированием и потока на русло — численным,,
т. е. на перспективы использования в данном случае
гибридного моделирования.
Такой путь моделирования в простейшей форме описан
в [151], где он назван «методом подскребывания».
Поскольку в процессе деформаций русла поток непрерывна

320
Поток в деформируемом русле - [Гл. 7
меняется, то в соответствий с содержанием предложения
процесс определения деформаций следует разбивать на
несколько ступеней, соответствующих разным состояниям
русла при его деформации. При начальном состоянии
русла на жесткой модели определяются характеристики
потока. По этим характеристикам вычисляются деформации
русла за некоторый отрезок времени. Рельеф русла на
-жесткой модели изменяется в соответствии с результатами
расчета. На модели определяются характеристики потока
при деформированном русле. Производится расчет
деформаций за следующий отрезок времени и т. д. до
стабилизации деформаций или достижения заданного времени.
В [151] использование метода предлагается для
определения плановых деформаций. При решении такой
задачи поток можно разбить на турбоструи в соответствии
с результатами, полученными на гидравлической модели,
и вдоль каждой турбоструи, начиная с сечения, где
расход наносов задан, определить деформации русла за
время /Деф, пользуясь уравнением баланса наносов. При этом
может быть учтен и обмен наносами между турбоструями.
В настоящее время при широком использовании ЭВМ
эта часть «гибридного» моделирования русловых
деформаций технически существенно облегчилась, что дает
возможность решать не только плановые, но и другие, более
сложные задачи, связанные с деформациями русл.
«Гибридное» моделирование деформаций с применением
современных вычислительных средств используется, в
частности, в национальной гидравлической лаборатории
Франции в Шату.
К сожалению, вторая сторона процесса «гибридного»
моделирования — определение характеристик потока —
остается весьма трудоемкой. Для этого русло
изготовляется из тощего раствора, который «подскребывается» (или
наращивается) после каждого измерения характеристик
потока и расчета 'деформаций, что затруднительно, если
нметь в виду большие размеры гидравлических моделей.
Так как площади, занимаемые напорными моделями,
малы по сравнению с площадями открытых
гидравлических моделей, а материал, из которого обычно
изготовляются жесткие воздушные модели (пластилин), легко
механически деформируется, то эти модели очень подходят
для «гибридного» моделирования. На напорных моделях
весьма просто определить некоторые характеристики, не-

§ 7.7] О «гибридном» моделировании русловых деформаций 321
посредственно входящие в зависимости, используемые при
расчете деформаций [91].
На жесткий рельеф напорной модели тонким слоем укладывается
подвижный материал, резко отличающийся по цвету от жесткой
поверхности модели. Затем через модель пропускается воздух, расход
которого наращивается ступенями. При данном расходе воздуха уносятся
частицы из областей, где скорости превосходят неразмывающие для
уложенного на рельеф материала. С учетом того, что UKV = UKVih46t на
границе области смыва материала £7гр.м—UKV\uhl!6M.
Так как Mu—MQ/(MiMh), то скорость в натуре на границе
области, соответствующей области смыва материала на модели,
MQ
^гр.н = ^гр.гл j\/[lj\/ih = ^κρι^Η .
где
ί/κρι-ί/κρίΜ ΜιΜψ·
В результате опытов получается ряд областей, соответствующих
разным MQ, на границах которых известны значения Οκρι.
При отсутствии транзита наносов размыв будет происходить там,
где ί7κρι>ί/κρΐΗ. Если в натуре есть транзит наносов, то для
определения деформаций русла необходимо знать соотношение
транспортирующей способности потока в различных областях русла. Так как qs=
=/(ί7/ΐ7κρ), то форма информации, получаемой на воздушной модели
изложенным способом, весьма удобна:
^гр.н ^κρι^Η _ ^κρι
^кр.н UKpmhl!Q ~ ίΑφίΗ '
т. е. области с одинаковыми значениями £7Kpi характеризуются
одинаковыми удельными расходами наносов.
Использование рассматриваемого приема измерения характеристик,
необходимых для определения деформации русла, позволяет косвенно
оценить деформации, не связанные с изменением средних по глубине
скоростей, например, в областях вихрей, возникающих при обтекании
препятствий. По смыву материала, уложенного на жесткий рельеф
модели, можно судить о положении и размерах таких областей и изменении
интенсивности размыва в них при деформации русла. Данным приемом
достаточно точно определяются, например, зоны размыва в головах
шпор или защитных оголовков перемычек. На основании измерения
лишь средних скоростей эти зоны могут быть не выявлены, что
приводит иногда к существенным ошибкам, грозящим авариями сооружений.
«Гибридное» моделирование русловых деформаций с
использованием воздушных напорных моделей неоднократно применялось в прак-

322
Поток в деформируемом русле
[Гл. 7
тике исследований НИС Гидропроекта и во многих случаях дало
результаты, хорошо подтвержденные натурными наблюдениями.
Сопоставления данных моделей и натуры, относящихся к исследованиям
стеснения русла Волги дамбами при возведении перемычек
Чебоксарской ГЭС и стеснения русла Евфрата строительными перемычками
гидроузла Табка (Сирия), приведены на рис. 7.23 и 7.24 [91].
Точность «гибридного» моделирования русловых
деформаций практически полностью зависит от надежности
связей, используемых при численном моделировании. Так
как имеющиеся в современной русловой гидравлике
зависимости несовершенны (особенно это относится к зависи-
Рис. 7.23. Размыв русла Волги при строительстве перемычек
Чебоксарской ГЭС:
а — модель; б — натура

§ 7.7] 0 «гибридном» моделировании русловых деформаций 323
Рис. 7.24. Размыв русла Евфрата стесненного перемычками
гидроузла Табка:
а — модель; б — натура
мостям, используемым для оценок отложений наносов),то,
если возможно, следует либо проводить определение
деформаций параллельно с использованием гибридного
моделирования и на модели с подвижным дном, либо
выполнять комбинированные опыты. Например, определив
размыв при гибридном моделировании, заполнить затем
области размыва подвижным материалом и определить его
перемещение.
21*

324 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
Глава 8
ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОС И ФАЗОВЫЕ
ПЕРЕХОДЫ
8.1. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ЭЛЕМЕНТАХ
ОБОРУДОВАНИЯ1
При установлении «условий подобия теплопередачи в
жидкости наряду с уравнениями движения (например, в
форме Навье—Стокса) должны быть рассмотрены
уравнения переноса теплоты с их условиями однозначности и
в общем случае — уравнения состояния. Если можно
пренебречь эффектами сжимаемости, то достаточно добавить
уравнения теплопроводности, которые для однофазной
химически однородной и изотропной жидкости могут быть
записаны в следующей форме:
рср (dT/di + υνΓ) = μ/2 (dUtldxt + ди,1дх,)\+ Λ,ΔΓ + qn,
(8.1)
где ср — изобарная теплоемкость; Τ — температура; λτ —
теплопроводность; qn — мощность внутренних источников
теплоты. В потоках без внутренних источников теплоты в
случаях пренебрежимости удельной теплотой трения,
выделяющейся в жидкости [первый член в правой части
уравнения (8.1)], при двумерной схематизации течения
уравнения переноса теплоты записывается как
дТ тт дТ , ΤΊ дТ /д2Т . д2Т \ /Q 0,
Ж+и* ΛίΓ+£/· ^7=α (^+^J · (8·2)
Здесь α=λτ/ορρ — температуропроводность. При р =
=const можно полагать, что a = const. В рассматриваемых
задачах температура (так же, как и давление) входит
в уравнения под знаком производной. Поэтому существен-
1 Пересечение гидродинамических и термодинамических задач —
существенная особенность инженерной практики в области создания и
эксплуатации теплотехнического оборудования, в том числе
энергетического. В данной книге не рассматривается рабочий процесс тепловых
машин (так же как и гидравлических машин) — моделирование такого
оборудования относится к деятельности
специалистов-энергомашиностроителей. Однако имеется ряд других элементов электростанций
(различные теплообменники, парогенераторы, элементы безопасности АЭС,
вспомогательное оборудование), для которых вопросы теплопередачи
первостепенны и в исследовании которых авторы имеют некоторый опыт.

§8.1] Теплопередача в элементах оборудования 325
ными здесь являются перепады этих величин. При
нормировании уравнений теплопереноса в качестве величины,
входящей в условия однозначности, может быть принята,
например, разность между заданными температурами
твердой стенки и жидкости в начальном сечении Гст—-7Y
Тогда в нормированные уравнения войдет относительная
температура Т+=(Т—То)/ (Гст—То):
ν, 2 дХ^
Члк[д11\11+ дт+
a dt+ + ι
dxt ' 2 дх+ ) ^(х/·)2 д{х£у
(8.3)
Из (8.3) следует, что наряду с безразмерными
комплексами, следующими из анализа уравнений движения,
в рассматриваемом случае в перечень критериев подобия
должен быть включен комплекс
Pe^i/o/o/a, (8.4)
называемый критерием Пекле.
Удобно вместо Ре в систему определяющих критериев
ввести комбинацию критериев Пекле и Рейнольдса —
критерий Прандтля:
Pr=Pe/Re=v/a. (8.5)
В этот критерий входят только параметры,
характеризующие свойства жидкости: μ, ρ, λτ, ср.
Таким образом, если в натуре и на модели
используется одна и та же жидкость при близких
термодинамических параметрах, то условие Pr=idem выполняется
автоматически.
Числа Рг для капельных жидкостей сильно
зависят от температуры, причем для больший- «
ства жидкостей эта зависимость в основном
аналогична зависимости вязкости от температуры,
так как теплоемкость ср и теплопроводность λτ
зависят от температуры более слабо. Зависимость
числа Рг от температуры для воды на линии
насыщения показана на рис. 8.1. При температурах
от 130 до 310 °С значения Рг для воды
изменяются незначительно и близки к единице.
Число Рг для газов практически не зависит
ни от температуры, ни от давления. Оно близко
к единице и для данного газа является
постоянной величиной, определяемой атомностью газа.
Числа Рг для тяжелых и щелочных
жидких металлов, применяемых в качестве тепло-
100 200 Т,%
Рис. 8.1.
Зависимость числа Рг от
температуры для
воды на линии
насыщения

326 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл, 8
носителей, изменяются в пределах 0,005—0,05. Малые значения
числа Рг для таких жидкостей объясняются их высокой
теплопроводностью. Эта особенность жидких металлов затрудняет
моделирование теплопередачи в их потоках с использованием других
жидкостей. При постановке исследований теплопередачи в жидких
металлах особенно актуально отыскание областей автомодельности по Рг.
При течении несжимаемых жидкостей, не имеющих
свободных поверхностей, подобие полей температур
достигается в общем случае при Re = idem и Pr = idem:
r+=T(Re, Рг).
При исследованиях теплоотдачи от твердых границ
задачей исследования бывает определение коэффициента
теплоотдачи:
α=ςτ/(Τοτ-Τ),
где qT — тепловой поток; Τ — средняя по расходу
температура жидкости. Нормированный коэффициент
теплоотдачи представляется в виде числа Нуссельта:
Число Nu характеризует отношение полного теплового
потока от стенки к потоку, определяемому
теплопроводностью:
Критерий Nu обычно не является определяющим, так
как в него входит величина а, не задаваемая в условиях
однозначности. Число Nu выражает результирующий
эффект и отыскивается в функции от чисел Re и Рг:
Nu=/j(Re, Рг).
Следует обратить внимание на то, что в процессах
теплопереноса привычная автомодельность результатов (в
том числе критерия Эйлера Ей) по критерию Рейнольдса
обычно отсутствует даже при высокой интенсивности
турбулентности. На рис. 8.2 приведена зависимость от Re
чисел (Nu и Ей, полученная в исследованиях поперечного
обтекания воздухом пятирядных коридорного и
шахматного трубных пучков. Из рисунка следует, что и при
достижении автомодельности Eu no Re число Nu
продолжает изменяться с ростом Re: молекулярный механизм пе-

Рис. 8.2. Зависимости Eu = (p(Re) и Nu=/(Re) для
поперечно-обтекаемых воздухом пятирядных коридорного (а)
и шахматного (б) пучков с относительными расстояниями
между трубами /j/D=l,28 и /2/£>=1,5 [73]

328 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
реноса теплоты остается сопоставимым с молярным. Если
жидкость можно рассматривать как несжимаемую
(теплопроводность, вязкость, плотность и теплоемкость жидкости
постоянны), то уравнения движения жидкости
оказываются не связанными («расцепленными») с уравнениями
переноса теплоты, вследствие чего решение уравнений
движения не зависит от поля температур. Эта несвязность
уравнений движения с уравнениями переноса теплоты,
имеющая место при постоянных значениях μ, ρ, λτ и ср,
существенна при расчетно-теоретическом решении (или
при численном моделировании) соответствующих задач и
позволяет наметить сравнительно простой (по крайней
мере в принципиальном отношении) путь расчета
теплообмена в потоке жидкости. Для этого достаточно решить
уравнения движения и подставить найденные значения
скорости в уравнения переноса теплоты.
С позиций физического моделирования указанная «рас-
цепленность» уравнений дает возможность при отсутствии
внешнего теплообмена использовать аналогию переноса
теплоты с переносом консервативных примесей. Такая
возможность существует благодаря формальной
аналогичности записей уравнения теплопроводности Фурье и закона
Фика [см. уравнение (2.31)]. В рассматриваемой аналогии
градиенту температуры соответствует градиент
концентрации вещества, а температуропроводности а — коэффициент
диффузии D. Условие (8.4) в данном случае заменяется
следующим:
(U0iola)H=(U0lo/D)M.
Переход от поля концентрации на аналоге к полю
температур в натуре ведется исходя из соотношения
(ΑΤι/ΑΤ0)η= (ACi/ Ас0)м.
С использованием указанной аналогии в НИС Гидропроекта [118,
123] выполнено исследование изменения во времени температурного
поля на входе в активную зону корпусного реактора с водой под
давлением при внезапном подключении одной из теплообменных петель,
через которую поступает теплоноситель с температурой, резко отличной
от его температуры в других петлях. На модели через одну из петель
подавался раствор соли. Ее концентрация измерялась коидуктометричс-
скими датчиками.

§8.1] Теплопередача в элементах оборудования 329
Часть результатов этого исследования в виде изолиний величины
τ -τ _ >JdQ
Т+ = = — , где Τ — температура в точке; Τ = —q—» Q Рас~
У У о V
ход теплоносителя; Г0 — температура теплоносителя в подключаемой
петле, представлена на рис. 8.3.
\U1c \t-2c \t-Sc \t*4c
Рис. 8.3. Изменение во времени поля температур на входе в активную
зону реактора при внезапном подключении петли, содержащей
теплоноситель с более низкой, чем в других петлях, температурой
Наличие внешнего теплообмена (например, в прудах-
охладителях или других теплообменниках) осложняет
использование рассматриваемой аналогии. В таких случаях
физическое моделирование можно сочетать с численным,
т. е. осуществлять «гибридное» моделирование.
Применение «гибридного» моделирования с использованием
функции распределения времени пребывания расхода воды в
пределах охладителя описано в § 8.3.
Все сказанное выше справедливо, когда жидкость
можно считать несжимаемой. Если это не так, то при анализе
условий подобия к уравнениям (8.1) и (8.2) следует
добавить термодинамические соотношения. Тогда в
рассмотрение войдет ряд величин и соотношений, связанных с
молекулярной структурой жидкости. Это относится в первую
очередь к кинетическим коэффициентам, теплоемкости,
уравнению состояния жидкости. Переменность
кинетических коэффициентов, как и плотности жидкости в
зависимости от температуры и давления, приводит к изменению
распределения скоростей, температур и концентраций в
потоке жидкости и тем самым влияет на интенсивность
процессов переноса импульса, теплоты и массы.

330 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы . [Гл. 8
Изменение локальных свойств жидкости особенно сильно
сказывается на характеристиках пограничного слоя. В [50] указывается, что
при несущественности эффектов плавучести основной причиной
перестройки профиля скорости у стенки является неоднородность поля
вязкости, а причиной перестройки профиля температуры — неоднородность
поля теплопроводности. Влияние переменности свойств жидкости на
распределение скоростей зависит от направления потока теплоты. При
потоке теплоты от стенки профиль скорости в пограничном слое более
равномерен, и по сравнению с изотермическим течением сопротивление
10° 2 4 δ 8 1Q1 2 4 6 8 10* 2 4 XfX^/V
Рис. 8.4. Изменение профиля скорости потока глицерина у
плоской стенки при ее нагреве при разных отношениях Рг/РгСт
трения уменьшается, а при потоке теплоты к стенке оно возрастает.
В [50] предлагается учитывать переменность свойств жидкости
введением в систему определяющих критериев наряду с Re и Рг отношения
Pr/Ргст (Рг — число Прандтля, составленное из величин,
соответствующих температуре невозмущенного потока жидкости, а Ргст — то же
число, составленное из величин, соответствующих температуре стенки).
На рис. 8.4 демонстрируется изменение профиля скорости потока
глицерина у плоской стенки в зависимости от этого отношения при
направлении потока теплоты к стенке, а на рис. 8.5 — изменение профиля
скорости потока' воды в зависимости от того же отношения при разных
направлениях потока теплоты.

§8.1] Теплопередача в элементах оборудования 331
В общем случае система критериев, соответствующих
движению вязкой и теплопроводящей жидкости, должна
содержать молекулярные характеристики жидкости или
непосредственно связанные с ними макроскопические
параметры. В [114] показано, что такими величинами
являются критические параметры, т. е. значения давления,
температуры и плотности в, критической точке. Строго
говоря, термодинамическое подобие возможно, если
вещества на модели и в натуре находятся в соответственных со-
Рис. 8.5. Изменение
профиля скорости потока
воды у пластины при ее
нагреве (Рг/Ргст<1),
охлаждении (Рг/Ргст>
>1) ив изотермических
условиях (Рг/Ргст = 1)
стояниях, когда симплексы Р/Ркр, Т/Ткр, ν/υ^ (ν —
удельный объем) для них равны, причем эти вещества
удовлетворяют одному и тому же приведенному уравнению
состояния (уравнению состояния реальной жидкости или газа,
в частности уравнению Ван-дер-Ваальса, в котором
термодинамические параметры нормированы их критическими
значениями).
Строгое соблюдение условий термодинамического
подобия приводит в большинстве случаев к непреодолимым
техническим трудностям моделирования. Поэтому обычно
в исследованиях ограничиваются достижением
приближенного подобия в предположении, что в изучаемом
диапазоне изменения термодинамических параметров изменением
части характеристик жидкости можно пренебречь.
Например, при существенности эффектов плавучести за счет
изменения плотности вязкость жидкости, ее теплоемкость
и теплопроводность полагаются постоянными. В этом
случае в систему определяющих критериев наряду с
гидродинамическими критериями и критерием Прандтля (или
10° 2 4 6 8101 2 4 6 8102 2 4X2=X2U*/V

332 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
Пекле) вводится критерий Архимеда:
АгАТ^ф-^тАТ0, (8.7)
где βτ — температурный коэффициент расширения
жидкости, а при свободной конвекции (при циркуляции,
определяемой градиентами плотности, связанными с неизотер-
мичностью)—критерий Грасгофа:
Ог=*£.ргДГ.. ' (8.8)
Если в условиях однозначности задан не
температурный перепад АТ0, а поток теплоты qToy то критерии
Архимеда и Грасгофа можно записать иначе:
gi\ Мту (8.10)
Gr„ =
я
Иногда полагают, что для обеспечения подобия
турбулентной свободной конвекции необходимо по крайней
мере, чтобы и на модели конвективное течение было
турбулентным. Для этого требуется, чтобы Gr>107.
При исследовании задач вынужденной и смешанной
конвекции сохраняется роль критериев (8.7) и (8.8),
которые должны рассматриваться вместе с другими
критериями подобия, определяющими соответствующее течение
(гл. 4 или 5).
При свободной конвекции эффективное обобщение в
некоторых случаях достигается введением критерия Ре-
лея:
Ra = GrPr = ^-P^Tt. (8.11)
Для течения вдоль пластины число Нуссельта, например,
однозначно определяется критерием Ra [114]:
Ми^ОЛЗбИа1/3. (8.12)
С использованием приведенных соображений в НИС Гидропроекта
было выполнено гидротермодинамическое моделирование заполненных
водой металлических блоков, через часть внешних границ которых
поступает теплота. Эти блоки различаются по конструкции, положению
в пространстве и подводу к ним тепловых потоков. Основной задачей

§8.1] Теплопередача в элементах оборудования 333
Τ
ill
ки
гт\
П\
V
Рис. 8.6. Распределение температуры по стенке металлического блока
тепловой изоляции при разных схемах циркуляции воды в нем:
подвод воды во все отсеки; —подвод в центральный отсек
исследования явился выбор такой схемы циркуляции для каждого
блока, которая обеспечивала бы допустимые градиенты температуры в
металлоконструкциях во избежание опасных деформаций и повреждения
блоков. На рис. 8.6 показано полученное в опытах распределение тем-
Τ — Τ,
пературы (изолинии величины γ j , где Τ — температура в точке,

334 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
Т\ — температура на входе в блок, Т2 — то же на выходе из него)
металлоконструкций одного из блоков при разных схемах циркуляции
воды в нем.
8.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ЖИДКОСТИ
Перенос масс воды, каких-либо примесей или теплоты
в жидкости при известном гидравлическом режиме
определяется соответствующим уравнением сохранения [см.
(2.119)].
Критерии подобия процессов переноса существенно
зависят от того, является ли переносимая субстанция
пассивной или активной. Пассивная примесь по определению
не влияет на гидродинамическую картину в водоеме. Во
всех других случаях примесь считается активной. Строго
говоря, пассивных примесей не существует. Даже в том
случае, если примесь по своим свойствам не отличима от
воды, ее введение изменяет исходное гидродинамическое
поле. Введенная классификация имеет смысл (как уже
многократно отмечалось выше) при фиксированной мере
допустимых расхождений в сравниваемых параметрах.
Моделирование переноса пассивной примеси
осуществляется автоматически при обеспечении подобия
гидродинамических полей, краевых условий и сохранении условия
пассивности в натуре и на модели.
Пересчет результатов измерения концентрации
примеси с(х, t) осуществляется по формуле
-~(*i/C xjlf xjl»* tft0) = idem. (8.13)
Здесь со — заданная концентрация в характерной
точке; Uo — линейные масштабы; to — масштаб времени, выбор
которого при моделировании с искажением
геометрических масштабов -не является однозначным и зависит от
конкретной задачи исследования.
Практически при моделировании переноса пассивной
примеси особое внимание следует уделять контролю за
выполнением краевых условий для примеси. Примесь
может поглощаться границей или отскакивать от нее.
Соответствующее краевое условие в общем случае может дать
дополнительные критерии подобия.
Изучение процесса массопереноса на моделях (и в
натуре) во многих случаях может быть существенно
облегчено при использовании лагранжевых координат. Вариан-

§ 8.2] Процессы переноса в жидкости 335
том такого подхода является рассмотрение функции
распределения некоторого объема жидкости по времени
пребывания в той или иной части рассматриваемой области
течения. Основная идея состоит в том, чтобы, пометив
небольшой объем жидкости, зафиксировать время его
пребывания в той или иной выделенной области. Пусть,
например, рассматривается водоем, в который сбрасывается
(и из которого забирается) расход Q. Задача состоит в
том, чтобы оценить массообмен в пределах водоема.
Пометим воду, поступившую в водоем в период (0, Ο+Δί),
массой т0 метящего вещества и будем фиксировать во
времени t концентрацию метящего вещества c(t) на выходе
из водоема. ·;
Функция
/»W = ^Q = -S- (8-И)
в [82, 93] названа^ функцией распределения расхода воды
по времени пребывания в водоеме1. Здесь co = rrio/QAt—
начальная концентрация метящего вещества.
Функция ρ (t) впервые была предложена и изучена
авторами в 1957 г. применительно к
водоемам-охладителям ТЭС [82, 93]. Величина p(t)At характеризует
относительный объем жидкости, находящийся в водоеме время
(t, t-{-At). Расход воды, выходящей из водоема в
рассматриваемый момент τ, складывается из элементов,
попавших в водоем в интервале (τ, τ—t)y где t изменяется от О
до оо. Поэтому
00 00
Q=[Qp(t)dt n [p(t)dt=l. (8.15)
В зависимости от условий водообмена вид функций
p(t) может быть самым разнообразным [82]. В
частности, возможны две предельные ситуации: .«идеальный
вытеснитель», когда поступающая вода без перемешивания
вытесняет воду, находившуюся ранее в водоеме; и
«идеальный смеситель», когда поступающая вода немедленно
и полностью равномерно перемешивается в водоеме.
1 Более точно ее следует называть плотностью распределения
расхода воды по времени.

336 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
В первом случае функция p(t) имеет вид
дельта-функции Дирака:
p(t)=*>(t-WIQ); (8.16)
во втором случае
ρ (t) = -|r exp- -^ при t^O; 1 (g 1?)
p(t) = 0 при /<0. i
Здесь IF —объем водоема.
Функция p(t) обладает важным свойством,
вытекающим из условия сохранения массы и наличия массообмена
в водоеме:
^tpdt^WJQ. (8.18) ·
о
Доказательство (8.18) имеется в [82]. Соотношения
(8.15), (8.18) показывают, что характерным масштабом
времени при описании процессов массообмена является
величина
t0=W/'Q. (8.19)
Плотность распределения p(t) целесообразно
рассматривать в безразмерном виде (в функции относительного
времени i+=t/to) с масштабом времени t0. При этом
условие (8.15) не изменяется, а (8.18) принимает следующий
вид:
?*+/?(*+) Л+ = 1. (8.18а)
о
Функция p(t+)—безразмерна.
Для условий конкретного водоема функция p(t) наиболее надежно
может быть получена из лабораторных испытаний гидравлической или
воздушно-напорной модели водоема. Для этого нужно пометить какой-
либо объем, поступающий в водоем, и определить, какое время
отдельные его части находятся в пределах водоема. На модели эту операцию
можно произвести, равномерно растворив какое-либо вещество в объеме
воды, поступающем на модель за время, пренебрежимо малое по
сравнению с /0, и регистрируя во времени концентрацию этого вещества
в воде, забираемой из модели водоема.

§ 8.2] Процессы переноса в жидкости 337
Время берется от момента поступления меченого объема воды
в водоем до момента поступления его частей к водозабору в долях /о·
Легко видеть, что в этом случае
W
ma
P(t) = -j- />(* + ),
(8.20)
где W — объем воды в пределах модели; т0—масса растворенного
вещества; c(t)—концентрация этого вещества в воде, регистрируемая на
водозаборе.
Можно поставить опыты по определению p(t) и несколько иначе.
Заполнив модель водоема водой с постоянной концентрацией
растворенного в ней вещества, не изменяя расхода воды, с некоторого момента
времени начнем подавать на модель чистую воду. Измеряя
концентрацию вещества c(t) в воде на водозаборе, получаем величины,
пропорциональные величине
-'(-/■
c(t) = k[l-\pdt\, (8.21)
откуда можно найти
t
P(t) = ^pdt
о
и вычислить
дР
P(t)=-5t'
Первый из предлагаемых способов определения функции p(t)
целесообразно применять в опытах на крупномасштабных
гидравлических моделях, где время t0 относительно велико и где впуск на
модель меченого объема воды легко произвести за время, пренебрежимо
малое по сравнению с t0.
Интегральный способ определения функции p(t) применяется
прежде всего в тех случаях, когда время пребывания воды на модели /0
мало. Этот способ используется, в частности, при проведении
исследований на воздушно-напорных моделях.
В качестве метящего вещества на гидравлических моделях
применяют слабый раствор поваренной соли, поплавки (конфетти) и др. На
воздушно-напорных моделях удобно использовать, например,
низкотемпературный дым, концентрация которого может приниматься
пропорциональной оптической плотности среды.

338 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
Соотношение (8.15) позволяет не интересоваться
конкретным значением константы, связывающей
концентрацию метящего вещества c(t) с регистрируемым сигналом
A(t):
p(t)=kic(t)=k2A(t). (8.21a)
Действительно, если известно, что метящее вещество
вводилось в поток достаточно быстро, то можно
воспользоваться соотношением (8.15), записав
kt$A{t)dt=U
Pit)
A(t)
\A{t)dt
(8.22)
Соотношения (8.18) или (8.18а) могут быть
использованы для определения эффективного объема водоема И7Эф,
фактически участвующего в водообмене:
W,
A(t)dt
00
\ Α{τ)άτ
(8.23)
Напротив, если точно известен (или задан) некоторый
объем внутри водоема и требуется определить расход Qi
водообмена между этим объемом W\ и остальной частью
водоема, то, пометив воду в рассматриваемом объеме и
фиксируя концентрацию метящего вещества с\ (t) на
поверхности, отделяющей рассматриваемую часть от
остального водоема, найдем из (8.20)
а(0=-7Г7^ж-1г«.(0; (8·24)
Q, = ·
W,
§tPl(t)dt _f
о J
(8.25)
de,
При обеспечении гидродинамического подобия
нормированные функции p(t) или P(t), очевидно, в натуре и на
модели должны совпадать. Например, как видно на
рис. 8.7, планы течений на гидравлической и воздушно-на-

§ 8.2]
Процессы переноса в жидкости
339
порных моделях мало отличаются. Соответственно функции
Ρ(0, определенные разными способами на разных моделях,
также оказались весьма близкими (рис. 8.8).
Гидравлическая модель имела масштаб Λί/= 1/200; М^=1/75 при
п=0,012; воздушно-напорная модель Л1/=1/2500; Mh=
= 1/450 при п=0,013; однако было выполнено условие
Kb/h=idem,
Рис. 8.7. Очертание транзитной струи в пруде-охладителе Змиевс-
кой ГРЭС:
— гидравлическая модель; — воздушная модель
обеспечивающее приближенное подобие плана течений.
Сходство функций P(t) указывает, в частности, на то, что
основные процессы переноса в рассматриваемом водоеме
связаны с переносом и перемешиванием масс жидкости
в плане. Функции p(t) или P(t) отражают и то, что
обычно подразумевают под турбулентным перемешиванием.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4t/t0
Рис. 8.8. Интегральная функция распределения P(t) объемов воды,
забираемых из пруда-охладителя Змиевской ГРЭС, по времени
пребывания в пруде:
воздушная модель (регистрация концентрации дыма); О — гидравличе -
екая модель [численное интегрирование функции ρ(t)]
22*

340 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
Поэтому повторение опытов при неизменных внешних
условиях должно давать различные виды этих функций.
Понятно, что при регистрации p(t) на водозаборе
высокочастотные пульсации сглаживаются и оказываются
заметными лишь возмущения с масштабами порядка t0.
Фактически такие вариации наблюдаются в эксперименте (рис. 8.9).
Важно, чтобы различия в результатах не были связаны с
недостаточной пассивностью метящего вещества или с изменением каких-либо
условий течения. Например, при использовании для пометки воды на
8.9. Повторное определение функции p(t) в опытах
с неизменными условиями:
/ — первое определение; 2 — второе определение
гидравлических моделях поплавков получаем картину перемешивания,
искаженную за счет того, что в поверхностных слоях (где
располагаются поплавки) скорость течения даже в хорошо перемешанных по
глубине водоемах несколько больше средней по глубине скорости течения.
Максимум функции p(t), рассчитанной по измерениям количества
поплавков, наступает раньше и имеет большее значение, чем при
использовании полностью пассивной метки.
При использовании для пометки воды раствора поваренной соли
возможна другая неточность: если начальная концентрация метящего
раствора недостаточно мала, возникает плотностное расслоение и на
выходе из модели может фиксироваться более высокая концентрация соли
у дна, чем у поверхности (рис. 8.10). Даже в том случае, если на
выходе из модели (в створе регистрации) этого не наблюдается, но где-то

§ 8.2]
Процессы переноса в жидкости
341
в зоне подачи меченого раствора расслоение имеет место, функции
p(t) оказываются искаженными и не удовлетворяют условиям (8.15),
(8.18). Если меченый раствор тяжелее воды, то он будет двигаться
в донных слоях, расход которых, естественно, меньше полного расхода.
Поэтому окажется, что
czrdt<tQ.
(8.26)
Здесь c(t)—концентрация метящего вещества в воде у выхода из
водоема; mQ — масса метящего вещества, введенного в воду на входе
в водоем; W—объем водоема.
Но поскольку средние скорости движения слоев, несущих раствор,
меньше средних скоростей потока, то среднее время движения раствора
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2/> 2,6 Щ
Рис. 8.10. Изменение во времени концентрации соли на выходе из
прямого лотка:
/ — в донных слоях при большой начальной концентрации; 2 —- в средних слояа;
3 — у поверхности воды

342 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл.· 8
в водоеме окажется больше среднего времени движения воды:
00
ί
W
tc—dt
lc?-
ί
■■>*..
(8.27)
W
с —dt
Если метящий раствор легче воды, то знак неравенства в (8.26),
(8.27), очевидно, изменит направление.
Предельная концентрация, обеспечивающая движение раствора
вместе с водой при равномерном распределении его по глубине,
связана с неустойчивостью плотностного течения и характеризуется
критическим значением числа Ричардсона
ΔΡο gh
Ρο ί/»·'
где Δρ0 — начальная разность плотностей; h0 — характерная глубина
водоема; U0 — скорость течения.
ВД = -
(8.28)'
D(t) °°.·
ι °
оо
ь
·(
•с
θ·(
·(
о·]
•
•
1 1_
о-1
—2
•
ο·ο
•о
··
о ·
t/tn
а)
1 о
t0p(t) о q
ζ
/
оо
о
ОС
<
Η
•
1
о-J
-4
:
oV
·.
о*,
о*»
• ·
о
t/tn
δ)
.*
0
°·
ο»
I t
ο-5
•-6
Ό
···
Условия опытов

Обозначения
/
2
3
4
5
6
Λ, см
4,4
8
4,4
4,1
8,1
8,3
U, см/с
4,4
4,5
4,4
2,3
2,3
2,1
г0, г/л
2
2
2
2
Г),1
1,4
О 1 2 t/t0
Рис. 8.11. Влияние глубины (а), скорости течения (б) и начальной
концентрации (в) на результаты определения p(t) из опытов

§ 8.2]
Процессы переноса в жидкости
343
С увеличением Ri возрастает плотностная стратификация потока и
наоборот. Рисунок 8.11 иллюстрирует характер изменения вида
функции p(t)=cW/m0 при изменении скорости течения, глубины потока и
начальной концентрации раствора отдельно. Как видно на рис. 8.11,
увеличение концентрации, уменьшение скорости или увеличение глубины
действуют в одну сторону, что соответствует структуре числа Ri.
р/
ъ~~П
I
1
1
1о
1
»-со£
и
о
5-"
j
с
■чт
ΤΊ —
!
И-
г
О/
У С
о
/
/
Ι Ρ
Ία
АЛ
Я
Г°1—1
•
/
τ /^
\\ /
\г
ΊΙ
тг °
11 °
Ml'
1111
Μι
0,1 1,0 10 " Ri
Рис. 8.12. Зависимость относительного времени пребывания солевого
раствора в водоеме ^+Ср от числа Ri при Ap/p = 0,74c0'10~3
Устойчивость плотностного течения, возникающего при подаче
солевого раствора, можно оценить по среднему времени пребывания
раствора в водоеме. Как указано выше, при наличии плотностной
стратификации относительное среднее время движения солевого раствора
больше единицы. Относительное среднее время движения чистой воды
строго равно единице.
На рис. 8.12 представлены обобщения результатов опытов,
показанных на рис. 8.10, 8.11, проведенных в прямом 20-метровом лотке
прямоугольного сечения (ширина лотка 4,2 м). Равномерное
распределение скоростей по ширине потока обеспечивалось устройством
переливной струераспределительной дамбы в голове лотка. Как видно на
рис. 8.12, при довольно большом разбросе точек, вызванном, вероятно,
различиями в условиях подачи солевого раствора *, отчетливо
прослеживается тенденция к уменьшению относительного времени /Ср/^о=
00 00
= \ tpdt/tQ \ pdt при уменьшении числа Ri. При Ri<0,09-i-0,l
1 В некоторых опытах в поток сыпали соль, в других подавали
концентрированный раствор. Раствор соли иногда подавали
непосредственно в прямую часть лотка, иногда в смеситель перед
струераспределительной дамбой в голове модели.

344 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл.' 8
относительное время практически равно единице и не зависит от Ri.
В этом диапазоне движение солевого раствора осуществляется только
вместе с массами воды.
При исследовании массообмена в нестационарном
течении могут быть использованы плотности распределения
ρ (τ, t) и функции распределения Ρ (τ, t), рассматриваемые
как функции двух переменных — времени τ поступления
(или выхода) меченой воды в водоем с расходом Q+ (или
из водоема ζλ_) и времени t пребывания в водоеме. Из
условия сохранения массы метящего вещества получаем:
00
/*.(')= §c(z+t)Q.(z+t)dt. (8.29)
О
где то — масса растворенного метящего вещества; с(х\) —
его концентрация на выходе из водоема; Q-(ti)—расход
воды на выходе из водоема.
Определим ρ и Р:
ρ (τ, t)=c(T+t)Q-(x+t)/m0\ (8.30)
t
Ρ (τ, ί) = |/7(τ, t)dt. (8,31)
О
Так же, как в стационарных условиях, функции ρ (τ, t)
и Ρ (τ, t) характеризуют массообмен в водоеме.
Рассматриваемая функция ρ (τ, t) является по существу
функцией Грина для уравнения сохранения массы.
Описанные технические приемы получения этой функции легко
преобразуются в алгоритм численной модели при задании
коэффициентов этого уравнения, определяемых картиной
течения.
Масштаб времени при нестационарных условиях,
очевидно, должен быть равен масштабу величины to=W/Q.
В частности, при моделировании с искажением масштабов
(ΜιφΜη)
Mt=Mi/Mu. (8.32)
Длительность эксперимента по изучению массообмена
должна быть не меньше нескольких to. В стационарных
условиях оценку необходимой длительности эксперимента

§ 8.2]
Процессы переноса в жидкости
345
получим из рассмотрения функции P(t) для «идеального
смесителя»:
t
PW=-^-Jexp(-i//.)rfi=l -exp(-f/f.). (8.33)
О
Величину
l—P(t)=exp(—t/tc) (8.34)
можно рассматривать как относительную «ошибку»
эксперимента по изучению массообмена вследствие
ограниченной длительности эксперимента. В [181] рекомендуется
максимальную длительность эксперимента принимать
равной to. Формула (8.34) показывает, что использование этой
рекомендации может дать ошибку в оценке массообмена
около 40%.
Приведенные выше сопоставления, подтверждающие
автомодельность процессов переноса при выполнении
условий подобия плана течений, следует относить к
характеристикам, осредненным по достаточно большим объемам
с линейным размером, равным нескольким глубинам.
Процессы перемешивания внутри этих объемов в натуре и на
модели могут протекать по-разному вследствие влияния
деталей граничных условий, существенного различия чисел
Рейнольдса, неидентичности соотношений между
внутренним и внешним масштабами турбулентности (см. § 2.5).
В частности, важные явления могут иметь место
непосредственно в районе водосбросных и водозаборных
сооружений. Эти зоны следует изучать на отдельных моделях без
искажения геометрических масштабов, проявляя искусство
в выборе краевых условий на основе данных полной
модели, выполняемой обычно с искажением масштабов. Выбор
масштабов неискаженных фрагментарных моделей зависит
от того, с какой детальностью следует изучать процессы
массообмена. Здесь особенно важно обеспечить подобие
(или контролируемую автомодельность) по критерию
Рейнольдса. Конкретные пределы допустимого уменьшения
значения критерия Рейнольдса следует выбирать,
ориентируясь на рассуждения, приведенные в гл. 2 в связи
с обсуждением структуры турбулентности. На практике
при отсутствии специальных требований к детальности
моделирования обычно бывает достаточно, чтобы ReM=
=g/v>1500 (в [96, 99] указаны еще более низкие
пределы).

346 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
При наличии стратификации условия подобия
усложняются. Плотностная стратификация в водоемах может
возникать вследствие неравномерности температур — летнее
нагревание поверхностных слоев глубоких озер или
водохранилищ [134], сброс теплых вод в водоемы-охладители
ТЭС или АЭС [96, 116]; вследствие различной солености
морских и речных вод [107]; под влиянием насыщения
воды мелкими частицами песка или ила («мутьевые»
потоки— по терминологии И. И. Леви, первым в СССР
начавшего их систематическое исследование).
Возможна, конечно, и одновременная реализация
температурной и мутьевой стратификации, как это имеет место
в Нурекском водохранилище.
Вопрос о стратифицированных течениях весьма
актуален. Существенные результаты в рамках традиционных
моделей полуэмпирической теории турбулентности получены
группами специалистов, возглавляемыми Г. И. Марчуком,
О. Ф. Васильевым, Η. Η. Моисеевым, А. С. Мониным 1. Во
всех этих моделях описываются статистические
характеристики полей, причем в работах, в которых рассмотрены
уравнения для первых моментов, широко используется
гипотеза квазигидростатического распределения давления по
глубине водоема. Получающиеся трехмерные картины
течений отражают трехмерность лишь через условие
неразрывности потока. Практическую значимость этих
вычислительных моделей можно будет окончательно оценить лишь
при наличии хотя бы отдельных точных решений, не
использующих гипотезы квазигидростатичности.
Вместе с тем наличие достаточно убедительных
сопоставлений с натурными данными [213] позволяет полагать,
что, например, система уравнений (2.30) может служить
основой для формирования правил физического
моделирования и поиска областей автомодельности по отдельным
критериям. Учет стратификации вводит в рассмотрение
критерий Ri или его модификации, зависящие от
постановки задачи.
Описанные выше опыты с солевым раствором в потоке,
близком к равномерному, позволили оценить критическое
1 Представление о достигнутых результатах на разных этапах
исследований дают обзоры в [81, 94, 141], книги [10, 99, 107, 113, 134,
154, 213], а также публикации в журнале «Водные ресурсы» (1981,
№ 3; 1976, № 4; 1975, № 2); материалы Симпозиума МАГИ по
стратифицированным течениям. — Новосибирск, 1972.

§ 8.2]
Процессы переноса в жидкости
347
значение числа (8.28), характеризующего границу области
автомодельности:
RiKP<0,l. (8.35)
Конкретное значение RiKp зависит от условий задачи.
Однако лабораторные опыты с двухслойными разнотемпе-
ратурными потоками, а также натурные наблюдения,
выполненные в зоне сброса теплой воды в крупную реку,
подтвердили возможность использования условия (8.35) в
качестве достаточного условия отсутствия стратификации.
°ОС°0/°
J2°26°24
Рис. 8.13. Изотермы
в поперечном сечении
потока у водосброса
водоема -охладителя
Средне-Уральской
ГРЭС при
максимальной скорости
течения 0,6 м/с:
а — при штиле; б — при
ветре со скоростью
4 м/с
Достаточность условия (8.35) подтверждается данными
многих публикаций, относящихся к разным объектам. Так,
при исследованиях смешения вод в реках при
одновременном сбросе теплой воды (ниже по течению) и заборе
холодной всплывание теплой воды к водозабору (имеющее
место при стратификации) не наблюдается уже при Ri<
<1,6 [96]. Этот пример показывает, что возможны
ситуации, когда Ri>0,l, а стратификация не наблюдается, что
обычно имеет место при действии внешних дополнительных
турбулизаторов. Важнейшим таким турбулизатором
является ветер. На рис. 8.13 показано распределение
температур, замеренных на водоеме-охладителе Средне-Уральской
ГРЭС в поперечном сечении потока у водосброса. В обоих
случаях (при штиле и ветре) Ri>0,l, однако на рис. 8.13,6
стратификация отсутствует вследствие интенсивного ветро-

348 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
вого перемешивания. Существенно, что стратификация
(большие градиенты температуры в данном примере)
неоднозначно зависит от скорости ветра (рис. 8.14)..
Необходимые условия отсутствия стратификации или
достаточные условия ее наличия сильно зависят от деталей
постановки задачи, очертания границ водоема и схемы
сброса и забора воды, интенсивности естественных
(фоновых) течений, имевших место до начала подогрева воды
в водоеме за счет влияния станции и других
гидротермических условий.
1,6
^1,2
О
о <
ъ0,4
О
Ϊ
4
\
о"
I I
<
с
К
\
г °
υ о
Ч
ы
ta.
χ>^
г&<»
х>—
Рис. 8.14. Максимальное
значение модуля градиента
температуры в зависимости от
скорости ветра над водоемом:
— от штиля к ветру:
от ветра к штилю
О 1 2 J 4 5 V,M/c
Детальное исследование устойчивости стратификации
по отношению к длинноволновым возмущениям, на которых
не сказывается влияние вязкости, но существенно
соотношение глубин потоков, выполнено Т. Г. Войничем-Сяно-
женцким ГЗО]. Если форма течения такова, что влияние дна
и свободной поверхности заведомо мало (например,
течение легкой жидкости над неподвижной тяжелой
жидкостью, истечение легкой жидкости с уступа в
«неограниченный» водоем, забор воды из холодного или нагретого
слоя вблизи поверхности раздела в глубоком водоеме
и др.)» в этих случаях, когда в граничные условия не
входит характерный линейный размер, единственным
динамическим определяющим критерием будет комплекс
с = -£=
и\
Ri £νΔΡο'Ρο
или его модификация
Re,
U\
Ri ^νΔρ0/ρ0
(8.36)
(8.37)
где U* — скорость трения на поверхности раздела.

§ 8.2]
Процессы переноса в жидкости
349
По данным [ПО, 154] значения критерия С определяют
форму поверхности раздела. В частности, образование
«размытой» границы слоев должно иметь место при
01650, (8.38)
а сохранение плоской, четкой границы раздела
обеспечивается прл
С<150. (8.39)
«Размытость» поверхности раздела еще не означает
отсутствие стратификации. Например, в [62] приводятся
данные, согласно которым стратифицированное течение
сохраняется при значениях С до 15 600 (Rei=60-103;
Δρ0/ρο=0,05; i/2i/g/ii = l,3-10-2). Неравномерность
распределения температуры по глубине прудов-охладителей по
натурным данным наблюдается даже при С=64 500 (пруд
Щекинской ГРЭС), хотя отчетливый «скачок» температуры
по глубине зафиксирован лишь при С=2600 (пруд Бара-
бинской ГРЭС). Там же указаны условия, обеспечивающие
устойчивое положение поверхности раздела:
ίΛ/£Λι<0,12(Δρ0/ρο)0'7. (8.40)
Фактически в основных опытах глубина верхнего
теплого слоя воды h\ изменялась в небольших пределах,
так что условие (8.40), вероятно, можно представить
и так:
С= Г: <(0,12)3/2 (^У'°5А&^850. (8.41)
Эта оценка согласуется с оценкой (8.38).
Критерии Ri и С (или С*) позволяют оценить поведение
поверхности раздела по отношению к возмущениям
разного масштаба.
При отсутствии стратификации эффективные
результаты можно получить путем решения двумерной (плановой)
задачи численными методами или физическим
моделированием на основе рассмотренных выше правил. При выводе
двумерных уравнений переноса без предварительного
осреднения по вероятности (см. § 2.7) использованы
гипотезы, означающие пренебрежение явлением, похожим (но
не совпадающим) на явление дисперсии, связанное с
неравномерностью распределения мгновенных скоростей и
концентраций по глубине потока [213]. Приемлемость такого

350 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
допущения, освобождающего от необходимости введения
дополнительных ограничений на искажение масштабов,
проверялась путем сопоставления расчетов, не
учитывающих это явление, с результатами лабораторных и
натурных измерений. Определяющими здесь, очевидно, являются
Рис. 8.15. Планы течений по натурным измерениям (а) и расчету (6)
и функции p(t) (в) для части водоема-охладителя
Средне-Уральской ГРЭС:
/ — по данным натурных измерений; 2 — по расчету
коэффициент гидравлического трения λ (характеризующий
неравномерность распределения скоростей по глубине),
относительная ширина b/h и форма водоема в плане.
На рис. 8.15 сопоставлены результаты расчетов {90] функции p(t)
для части водоема-охладителя Средне-Уральской ГРЭС с данными
измерений в натуре [83]. В расчетах использован только один
эмпирический параметр — коэффициент гидравлического трения λ=0,007.
Результаты расчетов и натурных измерений практически совпадают.
Исследование объекта произведено в связи с увеличением
мощности электростанции и, следовательно, тепловой нагрузки охладителя.

§ 8.2]
Процессы переноса в жидкости
351
Рис. 8.16. Очертание транзитной струи в
водоеме-охладителе Средне-Уральской ГРЭС:
/ — водосброс; 2 — водозабор; 3 — по измерениям
на модели при ΛίΛ = 1 : 400, Λίζ = 1 : 5000, λ = 0,018;
4 — то же, Λίζ = 1 : 2500; 5 — то же, λ = 0,04; 6 —
по натурным наблюдениям
Лабораторное исследование было
предварено натурными наблюдениями на
существующей станции, что позволило надежно
обосновать методику последующих опытов
путем сопоставления зафиксированных в
натуре режимов с соответствующими
режимами на модели. В связи с тем, что
большие размеры пруда затрудняли
исследование, подробному изучению в натуре
подвергся главным образом его залив в районе
водосброса. На этом участке были
определены план течений, термический режим и
функция распределения расхода по времени на выходе из залива.
При выборе геометрических масштабов напорной модели
варьировались плановый ее масштаб и шероховатость дна. На рис. 8.16
приведены очертания транзитной струи, зафиксированные на модели с
плановым масштабом Μι=\ : 5000 и вертикальным масштабом Мн=\ : 400
с гладким пластилиновым дном (λ=0,018), на модели с М/=1 : 2500 и
Λί/ι= 1:400 с гладким пластилиновым дном (λ = 0,018), на той же
модели при наклейке на дно крупного песка (λ^0,040), и очертания
транзитной струи в натуре (λ^0,007) на обследованном участке.
Здесь можно установить, что расширение транзитной струи
наименее интенсивно происходит на первой из указанных моделей MXbjh—·.
= 0,4 и наиболее интенсивно—при наклейке дополнительной
шероховатости. Благодаря тому, что в последнем случае ^\bjh =^> очертания
транзитной струи на этой модели и в натуре совпали. Для северной
части пруда был выполнен также расчет плана течений, который
позволил выделить границу водоворота, практически совпадающую с изме
рениями в натуре и на модели.
Расчеты были проведены также для условий моделей водоемов-
охладителей Верхне-Тагильской и Черепетской ГРЭС, имеющих
довольно сложную форму в плане и заметную разницу глубин по акватории
водоемов [89, 90]. Как и в предыдущем случае, расчеты по уравнениям,
осредняющим мгновенное поле скоростей (и температур или примесей)
по глубине потока, хорошо совпали с данными измерений (рис. 8.17)
[87]. Отметим на рис. 8.17 различие реализаций экспериментальных
функций p(t), связанное с упоминавшимся выше влиянием
крупномасштабных пульсаций.

352 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
Представленные материалы и другие имеющиеся
сопоставления [154, 178] подтверждают возможность прямого
пересчета характеристик массообмена с моделей в натуру
в реальном диапазоне влияющих параметров при выборе
масштабов, обеспечивающем подобие плана течений.
- rf
Ά
J
к
Χ
&L-
§*
&£
ы
г
&ά
&&
0,4 0,8 1,2 1,5 2,0 2fit/to
Рис. 8.17. План векторов скорости (а) и функции p(t) (б) для
водоема-охладителя Верхне-Тагильской ГРЭС по измерениям на
гидротермической модели /, 2 [87] и расчету 3 [90]
Если картина течений осложнена действием ветра, то
моделирование процессов переноса пока остается
нерешенным. Для техники регистрации процессов переноса
описанные выше функции распределения p(t) и P(t) особенно
удобны, так как они отражают все особенности течений.
На рис. 8.18 сопоставлены функции распределения P(t) и
Р\
0,в\
¥\
0,2
1
1
/
/
£-1
-и
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 t/t0
■Г
5\
ч
J\
Δ
1
α
/
I
I
iL
/
-
//
\
Рис. 8.18. Схема напорной
модели для исследования массо-
переноса с учетом влияния
ветра (а), результаты
определения (в опыте) интегральной
Φ функции P(t) (б) и пересчета
ее в функцию p(t) (в).
Скорость ленты, моделирующей
действие ветра, на модели
8 м/с; скорость воздуха на
модели 8 м/с. Ориентировочные
натурные условия: скорость
воды 0,1 или 0,2 м/с, скорость
ветра 5 или 7,3 м/с
соответственно:
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 Щ
В)
I — без ветра; Л — при действии
ветра; / — водосброс; 2 —
водозабор; 3 — направление движения
ленты на модели

§ 8.2]
Процессы переноса в жидкости
353
плотности распределения p(t), зафиксированные на
воздушно-напорной модели с подвижной лентой под крышкой,
имитировавшей действие ветра (описание модели в [91]).
Как видно, влияние ветра на процессы переноса весьма
велико.
При отсутствии автомодельности по критерию
Ричардсона (при плотностном течении) моделирование
существенно усложняется. Особенно важными оказываются два
вопроса, ответы на которые могут качественно измениться
с появлением стратификации:
влияние критерия Рейнольдса и относительной
шероховатости дна в условиях стратифицированного течения;
особенности плановой задачи, возможности и
ограничения искажения геометрических масштабов моделей.
Влияние критория Рейнольдса может проявиться двояко:
1) за счет влияния на условия движения в слоях,
разделяющих разноплотные жидкости, и пограничных слоях,
примыкающих к жестким (или податливым) границам
водоема;
2) за счет влияния на распределение осредненных и
пульсационных скоростей в толще потока.
Так как в нашей постановке основной результат
исследования состоит в оценке границ области автомодельности,
то в первом случае, по-видимому, можно ограничиться
изучением плоского, стационарного, однородного по длине
потока. Исследование этого случая дает значение числа
Рейнольдса Re'rp, ограничивающего автомодельную область.
В реальных условиях наложение возмущений различного
происхождения вызовет дополнительную турбулизацию
потока и расширит область относительно малого влияния
критерия Рейнольдса (Rerp<Re/rp). Экспериментальные
доказательства этого положения для нестратифицированных
потоков приведены в § 4.1 и 5.2.
Экспериментальные данные о влиянии критерия
Рейнольдса в условиях стратификации противоречивы.
Поданным, собранным в [110, 154], влияние критериев Re и Ri
отражается одним критерием С. Причем влияние этого
критерия весьма велико: при малых С (С<150)
λ1=2([/*/ί/1)2=9,70-0'9, (8.42)
при больших С (О 1650)
λ1=0,32Ο-0'54. (8.43)

354 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
По заключению [62, 116] автомодельность по критерию
Re=^/v (для верхнего слоя) наблюдается при Re>20 000
независимо от значений критерия Ri (но при условии
сохранения стратификации).
Более внимательное рассмотрение данных, положенных
в основу этого вывода, показывает, однако, что
коэффициент λι при Δρο/ρο=0,05 систематически (на 30—40%)
меньше, чем, например, при Δρ0/ρο=0,02 (λι=0,004).
Теоретический анализ, выполненный по методике [30] для
схемы с тремя слоями (два слоя однородной жидкости,
разделенные слоем переменной плотности), показал, что
при малых числах Рейнольдса в донном слое коэффициент
λι для верхнего слоя зависит от числа Re несколько
сильнее, чем в «гладкостенном режиме». Влияние критерия Ri
в этом анализе оказалось относительно более слабым.
Получаемый результат является промежуточным по
отношению к выводам [62, ПО], приведенным выше. Эти и другие
результаты [96], однако, согласуются в оценке
величины λι, которая при числах Рейнольдса порядка (2—10)X
XIО4 и устойчивой стратификации изменяется в пределах
λι=0,002-4-0,006. По-видимому, в данном случае нет
возможности добиться на обычных моделях автомодельности
по критерию Рейнольдса.
Еще более существенно то, что единственная практически
удобная возможность управления коэффициентом трения
верхнего слоя открытого потока связана с изменением его
числа Рейнольдса. Существенное расширение возможностей
моделирования может быть достигнуто использованием
напорных моделей (воздушной или гидравлической). При
этом появляется возможность изменения λι за счет
изменения шероховатости крышки модели. Изменение
коэффициента трения на модели необходимо при использовании
моделей с искажением (укрупнением) вертикального
масштаба по отношению к масштабу в плане.
Такое искажение, как правило, необходимо при
исследовании прудов-охладителей и речных объектов, у которых
отношение ширины потока к глубине очень велико и
практически невоспроизводимо на модели. Было показано
(§2.7, 5.3), что исследование распределения средних по
глубине скоростей в плане (плановая задача) должно
проводиться с выполнением условия
Xb/h=idemy (8.44)
где Ъ — ширина водоема; h — средняя глубина.

§ 8.2] Процессы переноса в жидкости 355
Применительно, к стратифицированному водоему
в (8.44) должны быть включены величины, относящиеся
к слою основного течения (обычно — к верхнему слою).
При исследовании эффектов поперечной циркуляции более
существенное влияние оказывает относительная ширина
потока b/hy значения λ играют второстепенную роль и
моделирование по условию (8.44) приводит к некоторым
ошибкам (§ 5.3). Исследование стратифицированных течений на
искаженных моделях дополнительно затруднено
неопределенностью выбора формы записи критериев подобия поля
плотностей (в частности, гидротермического).
Если опираться на уравнения, замкнутые на уровне
первых моментов (с введением турбулентной вязкости ντ —
§ 2.5), то в случае, когда главная роль в формировании
течений определяется соотношением архимедовой силы и
силы турбулентного трения между горизонтальными
слоями жидкости, критерий подобия при термической
стратификации имеет следующий вид (ντ~£ΛΛι) [78]:
ЛгдгА.,_ *Мга._вМепь (8 45)
ντί/, ϋ\
аналогичный критерию Ri.
Если наиболее существенны силы, действующие между
струями в плане (ντ~£Λ£), то критерий подобия
искаженной модели принимает иную форму:
m ^мт -_idem (8<46)
ντί/, U\
При этом же общем условии, но определяющей роли
перемешивания по глубине в формировании температурного
поля (vT~t/i/zi) критерий гидротермического подобия
имеет третью форму:
eh6Tbt ^idem. (8.47)
Здесь βτ=1,5·10-4 1/°С.
Аналогично могут быть записаны (и окажутся
различными) критерии подобия плотностных течений, не
связанных с температурой.

350 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
Условия и результаты моделирования по критериям
(8.45) — (8.47) получаются существенно разными (рис. 8.19).
Конкретные условия применимости того или другого
критерия пока нельзя сформулировать. Можно отметить, что
при отсутствии водоворотных зон или при
λι6//ΐι»λΓρ
(8.48)
перемешивание в плане почти не влияет на общую
гидродинамическую картину в водоеме и моделирование следует
проводить по условию (8.45). Напротив, при наличии
водоворотных зон и
λι6/Λι<λΓΡ (8.48а)
Сброс теплой доды
(зимой)
Т-
4
2
т^
"—*—^
"в"^^
__/
^^i>
""^^
200
400
δ)
600 м 0
On
е-, С
r^^s
II
^v?
4 \
χ \
\\
\
35
70
Μ
Рис. 8.19. Схема компоновки (α) и результаты пересчета в натуру
измерений (б) температуры в районе сброса теплой воды в реку:
/ — вдоль линии максимальных температур в реке; // — поперек потока (в 140 м
ниже точки сброса теплой воды); / — при назначении температуры на модели по
(8.45) 7^=17 °С, Те=\4°С·; 2 — то же по (8.47) TQ = 23,4 °C, Те=14°С

§ 8.2]
Процессы переноса в жидкости
357
существенным является требование (8.46). Здесь λΓρ=
=2|т| /pU2max — коэффициент трения между струями в
плане; |τ|—касательное напряжение на боковых
поверхностях струй; Umax — максимальная осредненная скорость
в рассматриваемом сечении потока.
По данным, собранным в [91],
λΓΡ~ 0,05-4-0,07. (8.49)
Изложенные правила позволяют приближенно
воспроизвести явление на гидротермической модели.
Для изучения массообмена в стратифицированном
водоеме может быть применена несколько более сложная
методика, чем для нестратифицированного водоема. В этом
случае целесообразно различать объемы, движущиеся
в разных слоях. Определим, например, плотность
распределения p\(t\, Τι, τ) объема воды по времени пребывания
в верхнем слое стратифицированного водоема. Величина
P\kt\ характеризует долю объемов воды, пробывших
в верхнем слое время /ι±Δίι/2.
Допустим, что переход объема из верхнего слоя в
нижний осуществляется в момент τι главным образом за счет
охлаждения этого объема и предшествует его выходу из
водоема. За время движения элемента /г=т—Τι в донном
слое его температура (и плотность) не изменяется. Тогда
по определению при стационарном режиме
о
Но
ff,A(i.)<#. = nW
о
где W\ — объем зоны, занятой верхним слоем.
Определение функции p\(t\) требует некоторого
усложнения эксперимента. Как указано выше, функцию p(t)
можно найти, например, пометив жидкость во всем объеме
пруда и регистрируя изменение относительной концентра-
ции метящего вещества с+=с/с0 на выходе из пруда *(у
водозабора):
Р(0 = 1—с+(/). (8.50)
Для определения p\(t) нужно в том же (или в другом)
опыте отличить метящее вещество, вводимое, например,

358 · Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
в «пассивную» часть пруда. Разность времен пребывания
во всем пруде и в его «пассивной» части характеризует
время пребывания заданной доли расхода воды в
«активной» (верхней) часта пруда (рис. 8.20). Такая оценка
интегральной функции распределения P\{t\) справедлива,
если весь расход поступает к водозабору только через «пас-
P(t)
Рис. 8.20. Схема определения
интегральной функции
распределения для '«активной» части
пруда P\(t\) на основе
функции P(t) для всего
стратифицированного водоема и Рг(^
для «пассивной» части его
о к , t
сивный» донный слой. В другом важном частном случае,
когда весь расход поступает из «активного» верхнего слоя,
функция распределения Ρι(^ι) находится точно так же, как
для неглубокого пруда-охладителя в целом.
8.3.v ТЕПЛООБМЕН В ВОДОЕМАХ-ОХЛАДИТЕЛЯХ
В тепловой и атомной энергетике существенное
значение имеет прогноз гидротермического режима водотоков и
водоемов, в которые производится сброс теплой воды,
прошедшей через конденсаторы турбин. Такой прогноз важен
как с точки зрения оценки теплового загрязнения водной
среды, так и с точки зрения определения температуры
воды, забираемой на конденсаторы. Если при прямоточной
схеме водоснабжения превышение температуры воды на
водозаборе над естественной связано в основном с
попаданием части отработавшей воды в водозабор и при малом
расстоянии между водосбросом и водозабором обычно
слабо зависит от теплоотдачи в атмосферу, то при
оборотной схеме, основанной, в частности, на водохранилищах-
охладителях, температура забираемой воды полностью
определяется теплоотдачей в атмосферу. Возможны,
конечно, и промежуточные ситуации, когда вода частично
охлаждается за счет теплоотдачи в атмосферу и частично
перемешивается со свежей, холодной водой.
Вследствие неизотермичности явлений, во-первых,
меняются условия массообмена в водоеме за счет появления
разности плотностей, связанной с разностью температур
Αψ
w/ Д ,
/
/
/-"- ■"/
/Pit)

§ 8.3]
Теплообмен в водоемах-охладителях
359
воды; во-вторых, возникает вопрос о правилах
моделирования температурного режима водоемов, о назначении
температуры воды и пересчете результатов измерений с
модели в натуру при заданных условиях теплоотдачи в атмо*
сферу и, в-третьих, появляется необходимость моделирова-
ния не только процесса теплопереноса в водоеме, но и мае-
со- и теплопереноса в приводных слоях атмосферы, опре*
деляющего теплоотдачу водоема.
Вопрос об изменениях картины течений под влиянием
плотностной неоднородности, возникающей вследствие
изменения температуры воды, обсуждался в § 8.2.
Полагая подобие процессов переноса в водоеме
обеспеченным, рассмотрим условия моделирования теплового
режима водоема. Уравнение теплопроводности в
традиционном виде, получаемое с использованием градиентной
гипотезы для представления турбулентного и молекулярного
переноса теплоты, в результате применения к этому
уравнению преобразования подобия дает дополнительно к
рассмотренным ранее новый критерий (Пекле):
Ре=£/(0/0/а2. (8.51)
Здесь ац — суммарная (турбулентная+молекулярная)
температуропроводность водоема.
Условия на свободной поверхности водоема обычно
отражают три процесса, определяющих режим теплообмена
водоема и атмосферы — излучение, испарение и
непосредственно теплоотдачу [80, 98, 146].
При относительно небольшом изменении температуры
по поверхности водоема (обычно не более 10—12°С) все
процессы теплообмена можно линеаризировать и
представить поток теплоты ητ с единицы площади свободной
поверхности в форме
qT = oio(T—Те). (8.52)
Здесь а0 — суммарный коэффициент теплоотдачи,
зависящий в основном от скорости ветра над водоемом V и срав*
нительно слабо от абсолютной температуры воды Τ [82,
146]; Те — естественная температура воды, которая
была бы при тех же метеорологических условиях в отсутствие
сброса теплоты в водоем.
Краевое условие (8.52) при использовании упомянутой
выше традиционной формы записи уравнений переноса за^

ЗСО Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
ставляет ввести в рассмотрение определяющий критерий
Био
Bi^ao/oAs, (3.53)
где λΣ — суммарная теплопроводность (турбулентная+мо-
лекулярная); /о— некоторый линейный масштаб.
При расчетах распределения температур по глубине
lo=h; при анализе переноса теплоты в плане-/о —
характерный размер в плане. Критерии Пекле и Био в
представленной форме довольно часто используются на практике
(включая нормативные документы, например [146J).
При этом, однако, встречается непреодолимая
трудность корректного задания αΣ и λ2, отражающих
турбулентный обмен, параметры которого являются обычно
предметом исследования и не могут быть надежно
определены ни до опыта, ни после него. Более перспективным
представляется подход, описанный в § 2.5, не требующий
введения коэффициентов турбулентного обмена. В этом
случае в критерии Пекле величина αΣ должна быть
заменена на молекулярную температуропроводность а, а сам
критерий влияет на процессы теплообмена примерно в
такой же мере, как и критерий Рейнольдса. При достаточно
больших числах Рейнольдса на модели, обеспечивающих
наличие в спектрах пульсаций инерционного интервала (см.
§ 2.5), влияние критериев Re и Ре может не
учитываться.
Критерий Био при рассматриваемом подходе
распадается на два критерия, один из которых учитывает
молекулярную теплопроводность и обычно может не
приниматься во внимание. Другой критерий, который можно
рассматривать так же, как комбинацию критериев Био и Пекле,
оказывается весьма существенным. При исследовании
водоемов-охладителей его удобно записывать в форме
Π=αΩ/ρ. (8.54)
Здесь a=a0/pcp — приведенный коэффициент
суммарной теплоотдачи (в дальнейшем называемый просто
коэффициентом теплоотдачи) с размерностью [<*] = [/]/[/];
ср — удельная теплоемкость воды; Ω — площадь
поверхности водоема; Q — расход охлаждаемой воды.
Специальная форма критерия Био (8.54) для водоемов-
охладителей была опубликована в [82], где было
исследовано и влияние этого критерия, в частности, на
«коэффициент использования водоема».

§ 8.3] Теплообмен в водоемах-охладителях 361
Соотношение между потоком теплоты через свободную
поверхность и конвективным переносом в качестве
определяющего критерия в более общей (и менее компактной)
форме используется и в методике, опубликованной в [12] *.
До этих публикаций, а в некоторых лабораториях и в
настоящее время пересчет плана температур с
гидротермических моделей осуществляют, исходя из гипотезы о подобии
расположения изотерм [98], т. е. принимая в сходственных
точках натуры и модели
(Т—7,1)/A7,=idem (8.55)
независимо от значений критерия П. Здесь Т{ —
характерная температура в водоеме; ΔΓ — заданный (в натуре)
или измеренный (на модели) перепад температур между
водосбросом и водозабором.
Как показано ниже, гипотеза (8.55) при ПН=7^ПМ
справедлива лишь для сильно перегретых водоемов в
стационарных условиях.
В общем случае пересчет по (8.55) допустим лишь при
условии
n=idem. (8.56)
Критерий Π влияет и на эффективность использования
водоема-охладителя, характеризуемую коэффициентом
использования площади водоема £и. Величину £и обычно
назначают из условия равенства температур воды на
водозаборе реального водоема с площадью Ω и «идеального»
водоема площадью £ΗΩ, в котором глубина такая же, как
и в реальном водоеме, но скорости распределены
равномерно по объему водоема.
Задавая массообмен в водоеме с помощью функции
P\t)y можно рассчитать фактическое охлаждение воды
в реальном водоеме по формулам [82, 83, 87]
оо Г τ
(Τ, - Те), = j (Τ, - Te)x_t exp - J Π (t) £
0 *" τ—t
для стационарных гидрометеоусловий
p(t)dt; (8.57)
со
Тг-Те = (Т. - Те) J ρ (t) exp (-Π -£-) dt (8.58)
* В [12] символом Π обозначена величина, обратная (8.54).

362 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
или
■7\ =
00
ΔΓ
p(t)exp -Π
(8.59)
ctt
Справедливость расчетов по (8.57) хорошо
подтверждается результатами измерений в натуре (рис. 8.21) и на
моделях (рис. 8.22, 8.23).
Рис. 8.21. Температура воды в
контрольном створе,
ограничивающем северную часть
водоема-охладителя
Средне-Уральской ГРЭС:
/ — расчет по ρ (О. определенной
в натуре; 2 — измерения в
натуре [83]
0/1 Ο,δ Οβ t/t0
Шчасток сопоставления
рассчитанной и замеренной
температуры
«идеальном» водоеме площадью &ΗΩ температуры
на сбросе То и у водозабора Т2 связаны соотноше-
В
воды
нием
(Tt-Tt)T = (Tt-Te)^
ехр
~ f KU{t)
dt
-k„U
(8.60)
20,0
19,0
о°о
о°°°
0оо0
пОо
сРос
°°оС
°о°о
"ifs
^-
^
.,
*р*
&;
о
~\£.
~,,Q3
χϋ^
17,0
16,0
\ 0 0,2 0,4 0,6 0,6 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2/ £6 2,8 3,0 Щ
Рис. 8.22. Температура воды у водозабора на модели
водоема-охладителя Верхне-Тагильской ГРЭС:
; — · — · — · — — расчет по определенным из опыта функциям p(t)
(см. рис. 8.17) при постоянном (осредненном) коэффициенте теплоотдачи а;
то же по функции / на рис. 8.17 при переменном а; О—результаты
измерения температуры на модели [87]

§ 8.3]
Теплообмен в водоемах-охладителях
г 63
tep(t)
υ,ο
0,ч
Α
(ι
ι
ι

ΙΗ
1
^,
ч,
2
*- ■»
~
Έ3α)
Ο
ο
>0ο
1,0
ο ο ο
ο"^
2,0
Τ2 Te,C
L ΙΟ
4Й
ΊΟ
tA
0
■^^^ο^ο '
к
rv
_o n
OQ
-2,4 -2,0 -/,£ -/,* -0,5 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2fl 2,4 2,8 t/t0
Рис. 8.23. Функция распределения p(t) (а) и температура воды (б)
у водозабора на модели пруда-охладителя Черепетской ГРЭС:
/ — по расчету; 2 — по опытным данным; 3 — расчет по (8.57) с использованием
p(t) по опытным данным; 4 — данные измерений [87]
Ю
или в стационарных условиях
Т2—Те= (To—Te)exp(—kun).
(8.61)
Соотношения (8.58), (8.61) позволяют вычислить
значения &и, которые оказываются зависящими не только от
условий массообмена [функция p(t)]9 но и от
параметра П.
На рис. 8.24 видно, насколько велико может быть
влияние Π (при П<4). Поэтому рекомендации, которые
величину kn связывают только с гидравлическим
режимом в водоеме (с отношением площади транзитной струи
Рис. 8.24. Зависимости
«коэффициента использования площади водоема»
от критерия П:
/, 2, 3, 4— схемы организации
циркуляционного потока в водоемах соответственно
Змиевской, Средне-Уральской, Верхне-Та-
гильской и Черепетской ГРЭС; 5 —
граница автомодельной зоны по критерию П;
точки — минимальные значения к..
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0J
ш
\
\
У^
V
\
1
N А
^
^?
j
\
*ч.
С)
"^<
<
у
у
5
<
•—ί
— ι
L-7'
А
к
V
1
.
7 0 1
J 4
6 Π

364 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
к площади водоема), могут быть справедливы лишь при
малых тепловых нагрузках на водоем (больших
значениях П).
На возможную зависимость коэффициента
использования пруда-охладителя от тепловой нагрузки Q/Ω и
условий теплоотдачи α указывалось еще в публикациях 30-х
годов (например, в [14]), однако в последующие годы это
обстоятельство) часто игнорировалось. Имеющиеся
утверждения о допустимости определять кИ по гидравлической
модели с последующим расчетом температуры по
уравнению теплового баланса [96, 98, 99, 145], как видно на
рис. 8.24, могут привести к существенному завышению
расчетных температур в водоеме и неоправданному
занижению охлаждающей способности водоемов.
В 60-е годы Г. В. Востржелом и А. Г. Аверкиевым,
много сделавшими для становления гидротермического
моделирования, была выдвинута гипотеза о подобии
формы изотерм в плане [33].
Согласно этой гипотезе с модели берется лишь план изотерм (без
учета конкретных пометок температуры). Этот план переносится
(в масштабе) на натурный водоем. Конкретные значения температуры
для каждой изотермы рассчитываются из уравнения теплового баланса.
Справедливость этой гипотезы в настоящее время может быть доказана
по крайней мере для условий стационарной метеорологической
обстановки над водоемом и зависимости локальных условий теплоотдачи
лишь от температуры воды. Идея доказательства связана с
результатами [102, 103, 198], где показана возможность преобразования
уравнений теплопереноса к автомодельному виду и на этой основе
сформулированы правила взаимного пересчета данных, получаемых при
различных значениях критерия П. Уравнение переноса теплоты,
проинтегрированное по глубине потока (без осреднения по вероятности) с
учетом уравнения сохранения массы воды, с пренебрежением процессами
молекулярного переноса и явлениями мелкомасштабной дисперсии имеет
вид:
diT-Tx)h dqtjT-TJ ^ qT
dt dxi cpp
или в областях непрерывности h и qi = Uih
(8.62)
д{Т — Т,) ό(Τ—Τλ)
+ Ut
]_ Ь
dt ·" ' dxi J cpp
Здесь Τι — некоторая характерная температура, постоянная или
изменяющаяся вне связи с процессами в водоеме; i/,· — проекция на 0х\

§ 8.3]
Теплообмен в водоемах-охладителях
365
осредненной по глубине h мгновенной скорости потока; qT — поток
теплоты с единицы поверхности водоема.
Разделив левую и правую части (8.62) на qT, введем
преобразование
t0cP? д{Т — Тх)
д* = Т0 Тт ' (8'63)
т. е. определим новую переменную
Τ—Τι
'h° J
CpodK
(8.64)
U-Τχ
где Т0, Τι — температуры в характерных точках.
Новая переменная θ однозначно связана с температурой Т, т. е.
изолинии Τ суть изолинии Θ. Вместе с тем уравнение для функции θ
дй dqfl
dt дх;
(8.65)
не зависит от критерия П, который входит в неявном виде лишь в
краевые условия для θ (через температурный перепад на водоеме). Здесь
t=t/t0; h=h/ho\ *{=*ι//0; qi=qi/U(,hQ\ t0=lo/Uo=W/Q. Индексом О
отмечены характерные величины (масштабы).
Если без ущерба для общности результата несколько изменить
постановку задачи, считая заданными значения θ0 в районе водосброса, то
решение (8.65), в частности форма и положение изолиний G=const,
вообще не будет зависеть от П. Этим доказывается «гипотеза» Вострже-
ла—Аверкиева, много лет вызывавшая дискуссии.
Практически, если принять аппроксимацию (8.52), при
Т\=Те и a=const из (8.64) получаем
8 = 4-In 1~~ΤΪ , (8.66)
где
— t0 αΩ r-г
Таким образом, если на модели при некотором П = ПМ
зафиксировано поле относительных изотерм/—^ > то
надо от этого поля изотерм перейти к полю изолиний θ

366 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
и именно это поле сохранить при любом другом
значении П, в частности, для условий натуры при П = ПН:
К = К\ (8.68)
В тривиальном случае ПН=ПМ получаем
где ΔΤ=Το—7Υ, То — температура на сбросе; Т2 —
температура на заборе воды.
Если ПН=7^ПМ, то из (8.69) получаем
(^г)=(^Г"- <870»
За температуру TQ в данном случае было удобно
принять температуру на водосбросе, которая в натурных
условиях однозначно связана с температурой Т2 на водозаборе
и температурным перепадом Δ7\ поддерживаемым на
конденсаторах станций постоянным (при постоянных
мощности станции и расходе охлаждающей воды). В опытах на
модели температуру Т0 контролируют (задают)
непосредственно при настройке модели, выбирая ее главным
образом из условия подобия режима плотностных течений.
В натурных условиях обычно задается не температура
воды на сбросе, а перепад температур на конденсаторах
станций AT.
Вводя эту величину в (8.70), можно получить формулу
пересчета результатов моделирования в ином виде [102]:
т—т»
( т~тР \пн,
π /п
W ;„—j / Тг-Ть ^гупм
V
(8.71)
Удается показать [102], что при
Т.-Τ
Т.-Те
) <1 (8.72)

§ 8.3] Теплообмен в водоемах-охладителях 367
(#-■)(*
— Т
<С1
(8.73)
из соотношения (8.71) получается правило пересчета
температур (8.55), широко применяемое в настоящее время
в качестве эмпирической гипотезы.
Если несколько усилить требования (8.72), (8.73),
заменив Τ на температуру 72, близкую к минимальной (для
рассматриваемого водоема), то получим условия
автомодельное™ плана температур по критерию Π в следующем
виде:
(1Яг1<1; <8J2a>
4-Knf--1) ("Twt),
<ci.
(8.73a)
При выполнении этих неравенств распределение
температур в натуре можно вычислять, например, по формуле
(Т — ТЛ _(Т — Тг
\ АТ )Л
ΔΓ
с относительной ошибкой δΤ/ΔΤ, не
модулю)
($.74)
превышающей (по
δΤ
AT
/ AT
-ι
\
-)u
(8.75)
Очевидно, современная практика пересчета плана
температур по (8.55) или ио (8.74) эффективна лишь для
сильно нагруженных водоемов. В этих случаях
относительные перегревы воды на водозаборе в натуре и на модели
связаны приближенным соотношением, следующим из
(8.70):
ΔΓ
[.+ (■
ΔΓ
П„
ji!L_ 1. (8.76)
При указанных условиях сравнение данных натурных
и модельных испытаний оказывается удовлетворительным
[102].
При необходимости повышения точности прогноза температуры
можно воспользоваться соотношением (8.64), учитывающим нелиней-

368 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
ность связей Ят(Т) в натуре и на модели. Условие (8.68) является
необходимым условием подобия и при нестационарном термическом
режиме водоема, связанном с изменением расхода воды без изменения
метеорологической обстановки.
При нестационарной метеорологической обстановке для
обеспечения подобия изотерм необходимо выполнение условия (8.56). В этих
случаях особенно эффективным может быть использование
определяемых на модели функций p{ty τ) с последующим расчетом
температурного режима в натуре. Этот случай является примером
эффективности «гибридного» моделирования.
Из (8.71) видно, что при гидротермическом
моделировании и в натуре и на модели важно знать суммарный
коэффициент теплоотдачи α и естественную температуру
воды 7V.
Эти параметры могут быть рассчитаны, например, по
рекомендациям нормативных документов [98, 99].
Практически, однако, эти важные величины по существующим
формулам определяются с большой ошибкой. В связи с
этим рекомендуется на модели и в натуре организовывать
специальные измерения с учетом локальных особенностей
участка проведения испытаний моделей и района, где
будет строиться или реконструироваться водоем. На модели
естественную температуру воды измеряют непосредственно
во время эксперимента, создав рядом с действующей
моделью непроточный водоем с параметрами, близкими к
действующей модели. На этом водоеме или на
действующей модели систематически проводятся измерения
суммарного коэффициента теплоотдачи. В [87] приведены
подробные примеры таких испытаний.
Что касается коэффициента а, то этот параметр
сложно зависит от процессов массообмена над водоемом, от
состояния поверхности воды и других факторов.
Физические соображения и детальный анализ явления (см.
ниже) приводят к предположению, что главным фактором,
определяющим а, должна быть скорость ветра над
водоемом в приводных слоях. Анализ размерностей дает
следующую простейшую формулу для а:
a=a,+A|V|. (8.77)
Эта формула достаточно хорошо подтверждается
измерениями на моделях [87] и в натуре [80]. Данные для
относительно длинного канала с горячей водой при j>a3-
личных направлениях и скорости ветра, измеренной на

§ 8.3] Теплообмен в водоемах-охладителях 369
расстоянии 2 м от поверхности воды, приведены на
рис. 8.25. Константы в (8.77) имеют следующие значения:
для моделей
а'=0,16 м/сут; £=0,29 с/сут;
для натуры
а'=0,18 м/сут; £ = 0,22 с/сут.
(8.78)
(8.79)
Можно поражаться сравнительно малому различию
констант, найденных по опытам на моделях и в натуре.
Более детальный анализ изменений атмосферы над подогретым
водоемом был начат в [80], существенно этот вопрос расширен в цикле
работ, обобщенных в [ИЗ]. Несмотря на очевидную научную
значимость этих работ, практический вывод по современному состоянию
вопросов гидротермического моделирования состоит в том, что специально
учитывать трансформацию воздушных масс над водоемом и
соответствующее изменение параметров α и Те в функции координат
нецелесообразно. Значительно более существенны эффекты нестационарности
метеорологического режима над водоемом [80].
V, м/с
Рис. 8.25. Относительные коэффициенты суммарной теплоотдачи а:
о—по измерениям на моделях; б—то же в натуре [80]; /—опытные данные [87];
2 — расчет по (8.78); 3 — опытные данные [153]; 4 — расчет по (8.79); 5 —
границы максимальных отклонений, связанных с ошибками измерений

370 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
Если все-таки пытаться учесть изменения состояния воздуха по
мере его движения над водоемом, то сделать это на физической модели
оказывается невозможным. Указанные изменения в атмосфере
рекомендуется учитывать расчетным путем с использованием плана изотерм,
получаемого на модели [68]. Этот прием является еще одним примером
«гибридного» моделирования.
8.4. ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ
При наличии фазовых превращений условия на
границах раздела фаз не являются граничными условиями
системы дифференциальных уравнений, описывающих тепло-
и массоперенос, и поэтому не входят в условия
однозначности системы в целом. При этом условия на границах
раздела фаз включают физические свойства обеих сред
и градиенты температур и скоростей для каждой фазы.
Градиенты температур и скоростей при кипении и
конденсации определяются тепловой нагрузкой поверхности
нагрева (или охлаждения) системы в целом.
Закономерности термодинамического подобия связаны с
физическими свойствами сред. Поэтому система дифференциальных
уравнений в целом может быть замкнута только при
условии присоединения к ней аналитических связей,
отражающих закон соответственных состояний и позволяющих
перевести условия на границах раздела фаз (эти условия
называют иногда [73, 114] автономными, граничными
условиями) в граничные условия системы в целом. При
этом в условия подобия (так же, как в общем случае,
рассмотренном в § 8.1) должны войти два из симплексов,
представляющих собой отношение заданных значений
термодинамических параметров к их критическим значениям
(например, Г/Гкр, Р/Ркр).
Универсальность этих комплексов подтверждается рис. 8.26, где
в координатах Р/РКр, Т/Тк$ представлены границы режимов кипения,
полученные для различных жидкостей при различных условиях. Здесь
нижняя линия 2 соответствует температуре насыщения 7нас, верхняя
/ — расчетной температуре спинодали, т. е. температуре, отвечающей
предельному перегреву жидкой фазы 7Сп- Область ниже линии
насыщения соответствует существованию однофазного потока, область
между линиями отвечает возможным температурам поверхности нагрева,
обеспечивающим пузырьковое кипение. Область выше спинодали — это
область температур стенки, при которых возможно только пленочное
кипение. Более подробные доказательства правильности введения ука-

§ 8.4]
Фазовые превращения
371
занных симплексов в качестве критериев подобия фазовых превращений
представлены в [73].
Если известны какие-либо характеристики сред и их
взаимодействия на границах раздела фаз, то условия
подобия фазовых превращений существенно облегчаются.
В этих случаях наряду с критериями, составленными из
параметров фаз, характерных для газожидкостных пото-
1 кр
0,3
0,8
0,7
/^
ЩШл
v/y^
-г
Ο,Ζ 0,4 0,6 0,8 Р/Ркр
Рис. 8.26. Границы режимов кипения
ков при отсутствии фазовых переходов (см. гл. 6), исходя
из условий теплового взаимодействия фаз:
(8.80)
гр-
г.гр,
-Ч-£)„="--М&).,.
где qa — массовая скорость фазового превращения; г —
скрытая теплота фазового превращения, можно получить
следующие условия подобия:
(8.81)
(8.82)
Так как qa = 9ewn (wn — объемная скорость фазового
превращения), то может быть произведена следующая
замена:
λτ /Яг = 1(1ет;
г
rqjo/ (λτΔΤ)=\άεπι.
uj
(ГО
а
СрЫ
:Ре
CffiT
(8.83)
Следовательно, учет фазового превращения приводит к
расширению системы определяющих критериев за счет
комплекса Ки = г/(срАТ)у впервые введенного С. С. Ку-
тателадзе [73]. Этот критерий характеризует и объемное
тепловыделение при гомогенных реакциях, если под
величиной г понимать теплоту реакции.

372 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
(8.85)
В некоторых случаях бывает удобнее использовать не
разность температур ΔΓ, а плотность теплового потока.
Если в условия однозначности вводится плотность
теплового потока qTy то определяющим становится не критерий
Ки, а его комбинация с критерием Нуссельта:
-£l=-^L (8.84)
Ku rpga v '
или с критериями Нуссельта и Прандтля:
Nu Я-γΚ
KuPr rpgv
Величина qr/rprg имеет размерность скорости и может
быть названа скоростью конденсации. Критерий (8.84)
следует рассматривать как специальную форму критерия
Пекле, а критерий (8.85) — как форму критерия Рей-
нольдса.
Большое число факторов, определяющих тепло- и мас-
сообмен при изменении агрегатного состояния вещества,
исключает обычно возможность точного моделирования
фазовых превращений. Приближенное моделирование
удается осуществить в относительно простых случаях.
Такой случай рассмотрен в [73], где изучены условия
подобия пленочной конденсации чистого пара на
горизонтальном трубном пучке.
8.5. КАВИТАЦИЯ
Характерным случаем фазовых превращений является
кавитация в движущейся жидкости. При понижении
абсолютного давления в какой-либо области изотермического
течения до давления насыщенных паров РНас начинают
образовываться паровые пузыри, приуроченные к ядрам,
связанным главным образом с не полностью смоченными
поверхностями или взвешенными частицами, которые
существенно снижают сопротивляемость межмолекулярных
сил образованию разрывов в жидкости. Образующиеся
в областях с низким давлением пузырьки переносятся
потоком в области более высокого давления, где
разрушаются вследствие конденсации пара. Этот процесс и
называется кавитацией.
Разрушение («захлопывание») пузырей
сопровождается резким локальным повышением давления до 103 МПа
(в зависимости от размера пузырей, содержания некон-

§ 8.5]
Кавитация
373
денсирующихся газов и т. д.) и распространением волн
давления, которые могут приводить к периодичности
процесса парообразования и конденсации. Материал твердых
стенок, расположенных в зоне кавитации, испытывает при
этом переменные нагрузки и может разрушаться
вследствие усталостных явлений. Другие отрицательные
последствия кавитации — шум, максимум спектра которого
приходится на сверхзвуковые частоты, удары и вибрация
конструкций, так что обычно инженеры стремятся к
предотвращению кавитации. Однако имеются примеры и
полезного использования кавитации: в дозирующих кавитирую-
щих соплах, в ограничительных вставках, являющихся
элементами безопасности АЭС, и т. д.
Важнейшим параметром, характеризующим
возможность возникновения, стадию развития и интенсивность
кавитации, служит так называемое число кавитации
(критерий Тома):
Th0= VV23C ' (8·86)
где Ρϋ — давление в заданной точке; U0 — скорость,
входящая в условия однозначности.
Так как обычно абсолютное давление в жидкости не
может быть ниже давления насыщенных паров, то
превышение скорости (понижение давления) величины,
соответствующей началу кавитации, приводит к изменению
распределения давления в жидкости вследствие расширения
зоны паровых пузырьков или относительно стабильной ка-
витационной каверны. Значение числа кавитации,
соответствующее ее зарождению, называется критическим ThoKP.
Задачей исследования часто является установление
возможности возникновения кавитации. Эта задача немногим
отличается от сопоставления значения числа ThoKp с
минимальным значением коэффициента давления
Казалось бы, установление возможности возникновения
кавитации несложно произвести с использованием
обычной модели (без воспроизведения кавитации) при
подробном измерении поля давлений (и это обычно в
лабораторном деле). Однако при таком подходе исследователей
могут подстерегать ошибки, подобные имевшей место в
нашей практике.

374 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
При оценке опасности кавитации при обтекании расщепителей,
установленных на сходе с водосливной грани плотины, на обычной модели
было произведено подробнейшее измерение давления на поверхностях
расщепителя и многоточечное измерение пульсации давления (рис. 8.27).
Результаты измерений, пересчитанные в натуру, позволяли заключить,
что давление с существенным запасом нигде не снижается до давления
насыщенных паров. Однако при первых же сбросах воды в натуре было
Рис. 8.27. Распределение давления на гранях расщепителя по данным
опытов на обычной модели
обнаружено кавитационное повреждение граней расщепителей.
Контрольные опыты, выполненные на вакуумном стенде, подтвердили
наличие кавитации. Очевидно, что ошибка исследования была связана
с тем, что возникновение кавитации было связано с понижением
давления внутри жидкости. Возникновение кавитации приводило к
перестройке всей структуры течения. Сказанное свидетельствует о том, что
если возможно появление кавитации, то при моделировании следует
обеспечить подобие этого явления.
При изучении влияния кавитации на распределение
давления, или на динамические нагрузки на конструкции,
или иные характеристики кавитирующего потока
необходимо наряду с другими условиями подобия обеспечить
выполнение условия Tho=idem, например, за счет выбора
либо соответствующего значения /70м, либо значения Ром·
Первый из путей выполнения указанного условия
используется при исследовании кавитации в напорных потоках,
когда применяются кавитационные трубы, в которых можно
варьировать и Ром- Если выбор масштаба скорости связан с
какими-либо другими условиями (например, правилом Фру-

§ 8.5]
Кавитация
375
Рис. 8.28. Зависимость числа ка- _
витации Tho, соответствующего ее '"0\
возникновению на теле при
безотрывном (а) и отрывном (б) обте- ν*
кании, от числа Re при разном
содержании ядер кавитации и га- А
за (отфильтрованная и неотфиль- ;
трованная вода и различное
отношение измеренной с0 к
предельной Снас концентрации
растворенного газа)
о- —
--О-""
—и-
Л=
—-о
^„ пс
2
Re-ΛΓ
а)
; ' [неотфилыпробанная
о -^ J£ J
□ _ j ήξ-ή ζ\
ι,ιj ifu \рттцльтроданная
A-0,S5 Γία
1,0
0,8
0,6
<
&
Δ'
/
/
\χ
1
Ь
да при исследовании
открытых потоков), то приходится
использовать второй путь.
При исследовании откры- п
тых потоков опыты ведутся
в вакуумных лотках, где 1,6
регулируется давление в
газовом пространстве над W
потоком жидкости. Следует, ^
однако, отметить, что уело- ?
вия Tho=idem
недостаточно, чтобы гарантировать
достижение подобия.
Причиной этому является, во-
первых, влияние на кавита- ι ι ι ι ι ι
цию пульсаций давления. <№~ ^ J '■ J ^
В отличие от других явлений,
для которых при неравномерном движении имеется авто-
модельность по Re при относительно небольших
значениях этого критерия, в данном случае существенно
воспроизведение мелкомасштабных турбулентных структур, в
которых имеют место минимальные давления, т. е. для
достаточно полного воспроизведения кавитации (особенно
при ее возникновении) числа ReM должны быть близки
к ReH. Во-вторых, имеются определенные трудности в
оценке давления Рнас, на которое влияют поверхностное
натяжение, концентрация растворенных газов, такие свойства
включений, как их размеры, количество и форма.
Систематические исследования [181] показали, что
начало кавитации за телом существенно зависит от состава
ядер кавитации, имеющихся в жидкости, и что степень
влияния состава ядер связана с градиентами
характеристик течения (рис. 8.28). Исследования продемонстрирова-

376 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
ли также, что на значения числа кавитации Tho сильно
влияет «предыстория» изучаемой жидкости. Например,
выявлено, что для одного и того же тела при одинаковой
концентрации газа и ядер кавитации ThoKp изменяется
в широких пределах в зависимости от того, покоилась ли
жидкость перед опытом, двигалась ли при наличии
кавитации или находилась под давлением.
Отмеченные обстоятельства указывают на
необходимость тщательного анализа при моделировании кавитации.
В частности, в каждом конкретном случае следует
всесторонне изучать свойства жидкости, используя, например,
для этого кавитационные "испытания в стандартных
условиях. Следует обратить внимание на то, что при наличии
свободных поверхностей свойства жидкости на модели
могут изменяться в процессе опыта за счет вовлечения
газа и не соответствовать натуре также и вследствие этого
обстоятельства. Правда, чаще всего такое несоответствие
обеспечивает некоторый запас в оценке опасности
кавитации.
Обычно кавитация на модели наступает при меньших
значениях Tho и ее эффекты более слабы, чем в натуре.
Различия между моделью и натурой тем меньше, чем
крупнее геометрические масштабы модели и больше
скорости на ней: числа Рейнольдса должны быть как можно
ближе к натурным.
При изучении частично или полностью развитой
кавитации указанные сложности моделирования менее
существенны, чем при оценке ее возникновения. Но чем больше
кавитационная каверна, тем существеннее проявляются
эффекты плавучести. В, этих случаях в систему
определяющих критериев должно быть введено число Фруда —
особенно если оно относительно невелико или если каверна
размещена близко к свободной поверхности, на которой
имеются волны.
Кроме названных обстоятельств, определенные
опасения с позиций моделирования кавитации могла бы
вызвать конечность времени фазовых переходов (времени
релаксации): несоответствие еГЪ масштаба масштабу
времени гидравлических процессов. Это относится в первую
очередь к кавитации при нестационарных процессах.
Однако результаты показывают, что при достигаемых в
опытах значениях ускорений фазовые переходы можно
рассматривать как мгновенные.

§ 8.5]
Кавитация
377
тш
3 4c(uoot/l0)
Рис. 8.29. Условия течения через сопло различных диаметров при
разгонном движении жидкости
Условия опытов
^ос/^кроо
ι
0.45
0,6
1,15
1,33
1.82
3
"/"оо=/
по расчету
Диаметр сопл
1
2
3
4
5
(^)
по опыту
а 14,6 мм
О
#
Δ
D
▲
а
Tho
по
опыту
6
7
8
9
10
11
^оо/^кроо
1
2,42
0,53
0,68
1,2
1 ,48
1,6
1,87
V/Uoo=f(
но расчету
Диаметр сгп
1
2
3
4
5
с /о )
по опыту
ла 25 мм
О
0
Φ
Δ
D
▲
■
Tho
по
опыту
6
7
8
9
10
11
12
Π ρ и м е ч а н и е. ζ —коэффициент сопротивления сопла в стационарных условиях;
Iff— характерный размер сопла; U^, ^Kpocf~~CM· § 4·3

378 Тепло- и массоперенос и фазовые переходы [Гл. 8
0,020
Р=5к\)а
Ρ = 100 кПа
ЫщфЩ^^^Щ'
Р=173кПа
Рис. 8.30. Характер пульсации давления при различном
абсолютном давлении
Об этом свидетельствуют данные наших опытов по изучению
разгонного движения через стандартное сопло при ускорениях до 25 м/с2.
На рис. 8.29 можно· отметить, что кавитация наступает сразу при
достижении давления насыщенных паров: практически не имеется
переходных участков от кривых 1, соответствующих бескавитационному
течению, к горизонтальным прямым, соответствующим кавитационным
течениям. Другим доказательством приведенного утверждения является
осциллограмма пульсации давления (рис. 8.30), по которой можно
установить, что минимальные значения абсолютного давления не опускаются
ниже Рнас
Указанные выше особенности относятся к тем
задачам, в которых течение можно полагать изотермическим.
Практически такие течения имеют место при кавитации в
воде при нормальной температуре и в жидких металлах
(за исключением ртути). В других случаях на процесс
кавитации могут существенно сказаться
термодинамические эффекты, которые проявляются при больших
значениях плотности паров и теплоты фазового превращения.
Такие эффекты были отмечены при изучении кавитации
в углеводородах, криогенных жидкостях и в воде при
высоком давлении (при высокой температуре).

§ 8.5]
Кавитация
379-
Влияние термодинамических эффектов связано с тем,
что теплота, затрачиваемая на парообразование,
отнимается у окружающей жидкости. При этом температура
жидкости в области, прилегающей к паровым пузырям или
к началу каверны, падает. Поэтому дальнейшее
парообразование возможно только при меньшем давлении,
соответствующем снизившейся температуре: кавитация
«запаздывает» по сравнению с теми случаями, когда
термодинамическими эффектами можно пренебречь1.
При моделировании кавитации с учетом термодинамических явлений
можно воспользоваться приведенными в [198] характерными
масштабами:
температуры
tf". = 7"£-, (8·88>
где ρ" и ρ' — плотность пара и жидкости на линии насыщения; г —
скрытая теплота парообразования; ср — изобарная удельная
теплоемкость жидкости;
перепада давления
^=g^. (S.89)
где аРнас/аТ — производная давления насыщенных паров по
температуре в области фазового перехода;
времени
Р' h
** = ψΓ rdPmc/dT ' (8·90)
где λΓ — теплопроводность жидкости.
В кавитационном исследовании может быть поставлена
задача, не только оценить гидродинамические
характеристики, но и определить возможные кавитационные
разрушения. В этих случаях при, обеспечении подобия
гидродинамических характеристик для достижения подобия
кавитационной эрозии необходимо выбрать материал,
воспроизводящий на модели изучаемую конструкцию,
обладающий соответствующими свойствами. Вопросы подобия
кавитационной эрозии разработаны в настоящее время
недостаточно полно.
1 Рассмотрение данного вопроса содержится в обзоре [217], в
котором приведена подробная библиографическая справка по работам
в этой области.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аверкиев А. Г. Новый метод гидравлических модельных
исследований. — Изв. ВНИИГ, 1952, т. 47.
2. Айвазян О. М- Сравнительная оценка современных формул по
расчету коэффициента Шези. — Гидротехника и мелиорация, 1979, № 11.
3. Алтунин С. Т. Моделирование размываемых русл и речных
сооружений.— В кн.: Русловые процессы. М.: Изд-во АН СССР, 1958.
4. Альтшуль А. Д. Гидравлические потери на трение в
трубопроводах. М: Госэнергоиздат, 1963.
5. Андреев О. В. Проектирование мостовых переходов. М.: Авто-
трансиздат, 1960.
6. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики
неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978.
7. Ахмелов Т. X. Размыв скального русла. Алма-Ата: Наука, 1982.
8. Бабуха Г. Л., Шрайбер А. А. Взаимодействие частиц
полидисперсного материала в двухфазных потоках. Киев: Наукова думка, 1972.
9. Байбиков Б. С, Орешкин О. Ф., Прудовский А. М-
Сопротивление трения при ускоренном течении в трубе. — Изв. АН СССР, МЖГ,
1981, № 5.
10. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная
асимптотика. Теория и приложения к геофизической гидродинамике. Л.:
Гидрометеоиздат, 1978.
11. Барышников Н. Б. Об учете взаимодействия руслового и
пойменного потоков при построении и экстраполяции кривых расходов
воды.— Тр. ЛГМИ. Исследования динамики потоков и вопросы
гидрофизики, 1967, вып. 25.
12. Безызвестных А. В. Анализ методов моделирования
гидротермического режима водохранилищ-охладителей. — В кн.:
Гидротермические и химико-гидробиологические исследования охладителей
циркуляционной воды тепловых электростанций. Л.: Гидрометеоиздат, 1971.
13. Белоцерковский О. М. Прямое численное моделирование
переходных течений газа и задач турбулентности. — В кн.: Механика
турбулентных потоков. М.: Наука, 1980.
14. Вернадский Н. М., Проскуряков Б. В. Теория и практика
расчета прудов-холодильников. М. — Л.: Госэнергоиздат, 1933.
15. Богомолов А. И., Боровков В. С, Майрановский Ф. Г.
Высокоскоростные потоки со свободной поверхностью/ Под ред. А. И.
Богомолова. М.: Стройиздат, 1979.
16. Болотовский С. В., Левина С. М. Лабораторные исследования
нестационарных режимов в Невской губе. — Изв. ВНИИГ, 1979, т. 132.
17. Букреев В. И., Зыков В. В., Костомаха В. А. Одномерные
законы распределения вероятностей флуктуации скорости при турбулентном
течении в круглой трубе. — Изв. СО АН СССР. Сер. Технические
науки, 1975, № 13, вып. 3.
18. Букреев В. И., Шахин В. М. Экспериментальное исследование
турбулентного неустановившегося течения в круглой трубе. — В кн.:
Аэромеханика. М.: Наука, 1976.

Список литературы
381
19. Васильев О. Ф., Атавин Α. Α., Воеводин А. Ф. Методы расчета
неустановившихся течений в системах открытых русел и каналов.—
Численные методы механики сплошной среды, 1975, т. 6, № 4.
20. Васильев О. Ф., Квон В. И. Исследования стратифицированных
течений. — Гидротехническое строительство, 1973, № 8.
21. Васильев О. Ф., Квон В. И. О влиянии нестационарности при
движении открытого потока жидкости. — ПМТФ, 1966, № 1; 1967, № 3.
22. Васильев О. Ф., Темноева Т. Α., Шугрин С. М. Численный
метод расчета неустановившихся течений в открытых руслах. — Изв. АН
СССР. Сер. Механика, 1965, т. 2.
23. Васильченко Г. В. Исследование связи между трубулентными
характеристиками потока в придонной области и подстилающем его
несвязном грунте. — В кн.: Динамика и термика рек. М.: Стройиздат, 1973.
24. Васильченко Г. В. Моделирование гидравлических
сопротивлений пойменным потокам равнинных рек. — Мелиорация и водное
хозяйство, 1980, вып. 50.
25. Васильченко Г. В. Расчет установившегося течения жидкости
над шероховатостью. — Водное хозяйство и гидротехническое
строительство, 1980, вып. 11.
26. Васильченко Г. В., Лукошко Р. Ф. Исследование уровенного
режима половодий на физической модели участка р. Припять при
обваловании реки дамбами. — Водное хозяйство и гидротехническое
строительство, 1980, вып. 10.
27. Великанов М. А. Русловой процесс. М.: Физматгиз, 1958.
28. Веников В. А. Теория подобия и моделирования. М.: Высшая
школа, 1976.
29. Влияние формы тела на перемежаемость турбулентного течения
в осесимметричном следе/ В. И. Букреев, А. В. Гусев, В. А. Костомаха,
Ю. М. Лыткин. —Изв. АН СССР, МЖГ, 1975, № 1.
30. Войнич-Сяноженцкий Т. Г. К оценке устойчивости поверхности
раздела двух разноплотностных горизонтальных потоков при наличии
свободной поверхности.— Тр. ЗакНИГМИ. Геология горных рек и
динамика разноплотностных потоков, 1971, вып. 42 (48).
31. Войнич-Сяноженцкий Т. Г. Проблема устойчивости течения
потока реальной жидкости в каналах конечной глубины. — Изв. ТНИСГЭИ,
1965, т. 16; 1969, т. 18.
32. Воинов Ю. П., Прудовский А. М., Смирнов Л. В.
Экспериментальные приемы определения размыва скального грунта. — Тр. коорд.
совещ. по гидротехнике, 1969, вып. 52.
33. Востржел Г. В. Разработка методики приближенного
гидротермического моделирования прудов-охладителей. — Тр. коорд. совещ. по
гидротехнике, 1961, вып. 1.
34. Вызго М. С. Эксплуатационные мероприятия, прогнозы и
способы уменьшения местных размывов за гидротехническими
сооружениями. Ташкент: Наука, 1966.
35. Гамбарян А. О. Экспериментальные и полевые исследования
катящихся волн в сверхбурном потоке. — Тр. коорд. совещ. по
гидротехнике, 1963, вып. 7.
36. Гастунский А. Н. Устойчивое русло. — Вопросы гидротехники,
1955, вып. 1.
37. Гениев Г. Α., Эстрин М. И. Динамика пластической и сыпучей
сред. М.: Стройиздат, 1972.
38. Гиляров Н. П. Моделирование речных потоков. Л.: Гидроме-
теоиздат, 1973.

382
Список литературы
39. Гиневский А. С, Почкина К. А. Влияние начальной
турбулентности на аэродинамические характеристики турбулентной струи. — Изв.
АН СССР, МЖГ, 1967, № 4.
40. Глушко Г. С. Дифференциальное уравнение для масштаба
турбулентности и расчет турбулентного пограничного слоя на плоской
пластине. — В кн.: Турбулентные течения. М.: Наука, 1970.
41. Гольдштик Μ. Α., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость
и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977.
42. Гончаров В. Н. Динамика русловых потоков. Л.: Гидрометео-
издат, 1954.
43. Гришанин К. В. Речная гидравлика. Л.: Гидрометеоиздат, 1971.
44. Грушевский М. С. Волны попусков и паводков в реках. Л.:
Гидрометеоиздат, 1969.
44а. Грушевский М. С. Неустановившееся движение воды в реках
и каналах. Л.: Гидрометеоиздат, 1982.
45. Гухман А. А. Введение в теорию подобия. М.: Высшая школа,
1963.
45а. Гухман А. А. Применение теории подобия к исследованию
процессов тепло- и массообмена. М.: Высшая школа, 1974.
46. Девнин С. И. Аэрогидродинамический расчет плохообтекаемых
судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1967.
47. Динамика сплошных сред в расчетах гидротехнических
сооружений/ Б. И. Дидух, В. Л. Лобысев, В. М. Лятхер и др.; Под ред.
В. М. Лятхера и Ю. С. Яковлева. М.: Энергия, 1976.
48. Еременко Е. В. Кинематическая структура прерывной волны.
В кн.: Исследования турбулентных одно- и двухфазных потоков. Киев:
Наукова думка, 1966.
49. Железняков Г. В. Теоретические основы гидрометрии. Л.:
Гидрометеоиздат, 1968.
50. Жукаускас Α., Шланчаускас А. Теплоотдача в турбулентном
потоке жидкости. Вильнюс: Минтис, 1973.
51. Залуцкий Э. В. Скоростная структура ускоренного
турбулентного плоского потока в гидравлически гладком русле. — В кн.:
Исследования по прикладной гидродинамике. Киев: Наукова думка, 1965.
52. Зегжда А. П. Теория подобия и методика расчета
гидротехнических моделей. М.: Госстройиздат, 1938.
53. Знаменская Н. С. Донные наносы и русловые процессы. Л.:
Гидрометеоиздат, 1976.
54. Игнатова Г. Ш., Квон В. И. О гидродинамической схеме
скольжения при турбулентном течении. — Метеорология и гидрология,
1978, т. 7.
55. Избаш С. В. Основы лабораторно-опытного дела в
гидротехнике. Л.: ОНТИ, 1938.
56. Историк Б. Л. Численные исследования резко нестационарных
течений в открытых руслах. — В кн.: Сб. научных трудов Гидропроекта.
Гидравлика и фильтрация. М.: 1979.
57. Историк Б. Л., Лятхер В. М. Распространение волны прорыва
в призматическом русле. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1975, № 1.
58. Кадер Б. А. Турбулентность в вязком подслое вблизи плоской
стенки. — В кн.: Турбулентные течения. М.: Наука, 1970.
59. Калякин А. М- Теоретическое и экспериментальное исследования
взаимодействия открытого потока с обтекаемыми твердыми границами.
Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд. техн. наук. МИСИ. М.: 1978.

Список литературы
383
60. Караушев А. В. Теория и методы расчета речных наносов. —
Л.: Гидрометеоиздат, 1977.
61. Картвелишвили Н. А. Потоки в недеформируемых руслах. Л.:
Гидрометеоиздат, 1973.
62. Кинд К. Я. Исследование стратифицированных течений. — Тр.
коорд. совещ. по гидротехнике, 1964, вып. 11.
63. Кирпичев М. В. Теория подобия. М.: Изд-во АН СССР, 1953.
64. Клайн С. Дж. Подобие и приближенные методы: Пер. с англ.
М.: Мир, 1968.
65. Кнороз В. С. Неразмывающая скорость для несвязных грунтов
и факторы, ее определяющие. — Изв. ВНИИГ, 1958, т. 59.
66. Конаков П. К. Теория подобия и ее применение в
теплотехнике. М.: Госэнергоиздат, 1959.
67. Конт-Белло Ж. Турбулентное течение в канале с параллельными
стенками: Пер. с франц. М.: Мир, 1968.
68. Костин А. Г. Приближенный тепловой расчет подогреваемых
водоемов, работающих в нестационарных условиях. — В кн.:
Стратифицированные и турбулентные течения. Киев: Наукова думка, 1979.
69. Коппель Т. Α., Лийв У. Р. Экспериментальное исследование
возникновения движения жидкости в трубопроводах. — Изв. АН СССР,
МЖГ, 1977, № 6.
70. Кочин Н. Е., Кибель И. Α., Розе Н. В. Теоретическая
гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963.
71. Кутателадзе С. С. Анализ подобия в теплофизике.
Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1982.
72. Кутателадзе С. С. Пристенная турбулентность. Новосибирск:
Наука, Сиб. отд-ние, 1973.
73. Кутателадзе С. С, Ляховский Д. Н., Пермяков В. А.
Моделирование теплотехнического оборудования. М.: Энергия, 1966.
74. Кучмент Л. С. Модели процессов формирования речного стока.
Л.: Гидрометеоиздат, 1980.
75. Леви И. И. Динамика русловых потоков. М. — Л.:
Госэнергоиздат, 1957.
76. Леви И. И. Моделирование гидравлических явлений. Л.:
Энергия, 1967.
77. Лятхер В. М. Гидроимпульсное разрушение горных пород. —
Гидротехническое строительство, 1972, № 10.
78. Лятхер В. М. Гидротермическое моделирование и расчет плот-
ностных течений в системах охладителей тепловых и атомных
электростанций.— В кн.: Международный симпозиум по стратифицированным
течениям. Доклад 12, Новосибирск, 1972.
79. Лятхер В. М. О механизме турбулентности. — В кн.: Динамика
и термина рек. М.: Стройиздат, 1973.
80. Лятхер В. М. Охлаждение текущей воды в турбулентной
атмосфере.— Тр. Гидропроекта, 1963, № 8.
81. Лятхер В. М. Прогноз гидравлического режима рек и
водохранилищ.— Водные ресурсы, 1982, № 6.
82. Лятхер В. М. Термический расчет пруда-охладителя по времени
пребывания воды в пределах пруда. — Тр. коорд. совещ. по
гидротехнике, 1961, вып. 1.
83. Лятхер В. М. Термический расчет прудов-охладителей
небольшой глубины. — Водоснабжение и санитарная техника, 1962, № 6.
84. Лятхер В. М. Турбулентность в гидросооружениях. М.: Энергия,
1968.

384
Список литературы
85. Лятхер В. М. Турбулентные пульсации в вязком подслое. —
ДАН СССР, 1968, т. 180, № 2.
86. Лятхер В. М. Условия формирования плотностного течения
в водоемах. — Тр. коорд. совёщ. по гидротехнике, 1964, вып. 11.
87. Лятхер В. М., Гильденблат М. Я. Сопоставление результатов
термического расчета и гидротермического моделирования
прудов-охладителей.— Бюл. научн.-техн. информ. Гидропроекта, 1962, № 14.
88. Лятхер В. М., Гурин И. Н. Гидравлические характеристики
потоков над поверхностью, покрытой травянистой растительностью. —
Водные ресурсы, 1978, № 3.
89. Лятхер В. М., Милитеев А. Н. Гидравлические исследования
численными методами. — Водные ресурсы, 1981, № 3.
90. Лятхер В. М., Милитеев А. Н., Яшин В. Н. Исследования
численными методами распространения примеси в неглубоких водоемах. —
Водные ресурсы, 1979, № 4.
91. Лятхер В. М., Прудовский А. М. Исследования открытых
потоков на напорных моделях. — М.: Энергия, 1971.
92. Лятхер В. М., Прудовский А. М. Некоторые вопросы воздушно-
напорного моделирования речных потоков. — В кн.: Новые методы и
аппаратура для производства исследований русловых процессов. М.:
Изд-во АН СССР, 1959.
93. Лятхер В. М., Прудовский А. М., Божич С. П. Новый метод
термического расчета и оценки эффективности прудов-охладителей по
данным гидравлических моделей. — Бюлл. научн.-техн. инфор.
Гидропроекта, 1960, № 10.
94. Лятхер В. М., Фидман Б. А. Гидродинамика рек и
водохранилищ.— В кн.: Динамика и термина рек. — М.: Стройиздат, 1973.
95. Лятхер В. М., Школьников С. Я. Тензорная структура
коэффициента гидравлического трения. — Водные ресурсы, 1981, № 5.
96. Макаров И. И. Вопросы водоснабжения мощных тепловых
электростанций из водотоков и водоемов с учетом комплексного
использования их в народном хозяйстве. СЭВ. — Бюл. постоянной комиссии
по электроэнергии, 1982, № 3.
97. Марченко А. Г. Исследование турбулентного пограничного слоя
на гладких и шероховатых поверхностях при произвольных градиентах
давления. —ПМТФ, 1971, № 3.
98. Методические рекомендации к расчету
водохранилищ-охладителей ТЭС: П-33-75/ ВНИИГ. Л.: Энергия, 1976.
99. Методические рекомендации по гидротермическому
моделированию/ ВНИИГ. Л.: Энергия, 1972.
100. Методы расчета турбулентного пограничного слоя/ А. С. Ги-
невский, В. А. Иоселевич, А. В. Колесников и др. — Итоги науки.
Механика жидкости и газа, 1978, т. 11.
101. Местный размыв у преград/ А. И. Богомолов, В. С. Алтунин,
Н. А. Петров, А. М. Прудовский, В. А. Киссин.— Гидротехническое
строительство, 1975, № 7.
102. Милитеев А. Н. Гидротермическое моделирование водоемов-
охладителей.— Изв. АН СССР, Сер. Энергетика и транспорт, 1982, № I.
103. Милитеев А. Н. Исследование переноса теплой воды,
сбрасываемой в мелкие водоемы. — Водные ресурсы, 1981, № 4.
104. Милитеев А. Н. Численные исследования плана течений
открытых потоков. — В кн.: Сб. научных трудов Гидропроекта. Гидравлика и
фильтрация. М.: 1979.

Список литературы
385
105. Миллионщиков М. Д. Некоторые проблемы турбулентности и
турбулентного тепломассообмена.— В кн.: Турбулентные течения Μ:
Наука, 1974.
105а. Миллионщиков М. Д. Турбулентное течение в пограничных
слоях и трубах. М.: Наука, 1969.
106. Мирцхулава Ц. Е. Размыв русел и методика оценки их
устойчивости. М.: Колос, 1967.
107. Монин А. С, Озмидов Р. В. Океанская турбулентность. Л.:
Гидрометеоиздат, 1981.
108. Монин А. С, Яглом А. М. Статистическая гидромеханика.
Ч. I; Ч. II. М.: Наука, 1965, 1967.
109. Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность.
Материалы V Всесоюзной школы по нелинейным волнам/ Под ред. М. И.
Рабиновича. Горький, 1980.
ПО. Нетюхайло А. П., Тележкин Э. Д., Шеренков И. А. Перенос
импульса в двумерном безнапорном стратифицированном потоке
несжимаемой жидкости. — Тр. Харьковского отдела водного хозяйства ВНИИ
ВОДГЕО. Гидравлика водохранилищ, водотоков и гидротехнических
сооружений, 1971, вып. 9.
111. Неустановившееся движение воды в бьефах гидроузлов/
В. М. Лятхер, Б. Л. Историк, В. М. Синявская, Г. М. Рябкин. — Тр.
Гидропроекта, 1975, вып. 44.
112. Никитин И. К. Обобщение полуэмпирической теории
турбулентности на течения у шероховатых поверхностей с различными режимами
проявления шероховатых свойств. — В кн.: Турбулентные течения. М.:
Наука, 1970.
113. Никитин И. К. Сложные турбулентные течения и процессы
тепломассопереноса. Киев: Наукова думка, 1980.
114. Новиков И. И., Боришанский А. М. Теория подобия в
термодинамике и теплопередаче. М.: Атомиздат, 1979.
115. Образование и развитие песчаных гряд при движении взвесе-
несущего потока в неразмываемых границах/ В. К. Дебольский,
В. М. Катков, Н. Р. Ранджанов, Д. В. Штеренлихт. — Водные ресурсы,
1977, № 3.
116. Охрана водной среды при строительстве и эксплуатации
водохранилищ ТЭС и АЭС —Изв. ВНИИГ, 1981, т. 153.
117. Павлов С. П. Условия регулирования высокого стока. — Тр.
Гидропроекта, 1980, вып. 60.
118. Прудовский А. М. Гидравлические вопросы обеспечения
безопасности АЗС. — Сб. научн. трудов Гидропроекта. Проектирование и
научно-исследовательские работы в области атомной энергетики, 1979
119. Прудовский А. М. Гидравлическое моделирование сегодня.—
Гидротехническое строительство, 1982, № 9.
120. Прудовский А. М. О влиянии числа Фруда на характеристики
спокойного потока. — Тр. Гидропроекта, 1968, вып. 15.
121. Прудовский А. М. Равномерное движение.в канале со
смешанной шероховатостью. — Тр. Гидропроекта, 1968, вып. 15.
122. Прудовский Α.. Μ., Байбиков Б. С, Юсипов Η. Μ.
Исследование гидродинамических характеристик быстродействующих элементов
обеспечения безопасности АЭС с реакторами РБМК-Ю00 и ВВЭР-440.—
Тр. Гидропроекта, 1977, вып. 57.
123. Прудовский А. М., Вереземский В. Г., Корнеева С. Н.
Гидродинамика первого контура ВВЭР-1000. — Тр. Гидропроекта, 1977,
вып. 57.

386
Список литературы
124. Прудовский А. М., Гильденблат М. Я., Кузнецов А. В. Пути
усовершенствования горизонтальных барабанов-сепараторов. — Тр.
Гидропроекта, 1978, вып. 67.
125. Прудовский А. М., Киссин В. А. Моделирование
неравномерных и нестационарных открытых потоков методом
гравитационно-упругой аналогии. — Гидротехническое строительство, 1976, № 6.
126. Резников А. Б. Метод подобия. Алма-Ата: Изд-во АН КазССР,
1959.
127. Ржаницын Н. А. Морфологические и гидрологические
закономерности строения речной сети. Л.: Гидрометеоиздат, 1960.
128. Ричардсон Э. Динамика реальных жидкостей. М.: Мир, 1965.
129. Розанов Н. П. Вопросы проектирования водопропускных
сооружений, работающих в условиях вакуума и при больших скоростях
потока. М.: Госэнергоиздат, 1959.
130. Розовский И. Л. Движение воды на повороте открытого
русла. Киев: Изд-во АН УССР, 1957.
131. Розовский И. Л. Исследования турбулентных напорных и
открытых потоков, выполненные в Институте гидромеханики АН
УССР. — В кн.: Турбулентные течения. М.: Наука, 1970.
132. Розовский И. Л., Еременко Е. В., Базилевич В. А.
Неустановившееся движение водного потока ниже гидроэлектростанций и его
влияние на русло. — Киев: Наукова думка, 1967.
133. Романовский В. В. Экспериментальное исследование
гидравлической крупности наносов. — Тр. ГГИ, 1972, вып. 191.
134. Российский К. И. Термический режим водохранилищ. М.:
Наука, 1975.
135. Рубинштейн Г. Д. Лабораторные исследования местного
разрушения скалы в нижних бьефах высоких водосливных плотин. — Тр.
коорд. совещаний по гидротехнике, 1963, ^ып. 7.
136. Рыбкин С. И. Морфологическая классификация рек. —
Метеорология и гидрология, 1946, № 4.
137. Савельев П. Α., Воскресенский Ю. С. Исследование
гидравлического сопротивления спирально профилированных труб при больших
числах Рейнольдса. — Изв. вузов. Энергетика, 1981, № 5.
138. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.:
Наука, 1967.
139. Слисский С. М. Гидравлика зданий гидроэлектростанций. М.:
Энергия, 1970.
140.' Спектральная плотность пульсаций трения в турбулентном
пристенном течении/ С. С. Кутателадзе, В. Е. Накоряков, А. П. Бурдуков,
A. И. Гуваков. —ДАН СССР, 1971, т. 196, № 6.
141. Стратифицированные течения (обзор)/ О. Ф. Васильев,
B. И. Квон, Ю. М. Лыткин, И. Л. Розовский. — Итоги науки и техники.
Гидромеханика. М.: ВИНИТИ, 1975, т. 8.
142. Структура турбулентного потока и механизм теплообмена
в каналах/ М. X. Ибрагимов, В. И, Субботин, В. П. Боков, Г. И. Сабе-
лев, Г. С. Таранов. М.: Атомиздат, 1978.
143. Тарг С. М. Основные задачи теории ламинарных течений. М.:
Гостехиздат, 1951.
144. Тепакс Л. А. Равномерное турбулентное движение в трубах и
каналах. Таллин: Валгус, 1975.
145. Трубина Е. К. Опыт лабораторного проектирования на моделях
водохранилищ-охладителей. Л.: Энергия, 1969.

Список литературы
387
146. Указания по термическому расчету водохранилищ. ВСН 46-71
ВНИИГ. Л.: Энергия, 1972.
147. Фидман Б. А. О влиянии шероховатости стенок на структуру
турбулентного потока. — Изв. АН СССР. Сер. географии, и геофизич.,
т. 12, 1948, № 3.
148. Фидман Б. А. Результаты измерений трубулентности в
равномерном и резкорасширяющемся потоках. — Изв. АН СССР ОТН 1953
№ 11.
149. Фидман Б. Α., Лятхер В. М. Исследование турбулентности
методом фотокиносъемки. — В кн.: Динамика и термика речных потоков.
М.: Наука, 1972.
150. Фидман Б. Α., Орлов А. С, Корозенков В. С. Измерение
структуры речного течения. — Водные ресурсы, 1973, № 6.
151. Халтурин А. Д., Кузьмин И. А. Моделирование деформаций на
жестких моделях.— Тр. Гидропроекта, 1959, вып. 2.
152. Шамов Г. И. Речные наносы. Л.: Гидрометеоиздат, 1959.
153. Шеренков И. А. Некоторые результаты сопоставления
модельных и натурных исследований водохранилища-охладителя Старо-Бешев-
ской ГРЭС. — Тр. коорд. севещ. по гидротехнике, 1967, вып. 32.
154. Шеренков И. А. Прикладные плановые задачи гидравлики
спокойных потоков. М.: Энергия, 1978.
155. Шрайбер Α. Α., Милютин В. Н., Яценко В. П. Гидромеханика
двухкомпонентных потоков с твердым полидисперсным веществом. Киев:
Наукова думка, 1980.
156. Штеренлихт Д. В. Гидравлические условия работы подводных
трубопроводов. — Сб. трудов кафедры гидравлики МГМИ, 1969, вып. 2.
157. Эббот М. Б. Гидравлика открытого потока — Вычислительная
гидравлика: Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1983.
158. Экспериментальное исследование структуры пристенной
турбулентности и вязкого подслоя. — Новосибирск: Наука, 1976.
159. Юдицкий Г. А. Моделирование размыва скальных русл за
водосливными плотинами с носком-трамплином. — Тр. коорд. совещ. по
гидротехнике, 1969, вып. 52.
160. Abbott Μ. В., Verhoog F. H. Date — reversible system for flood
routing. — Proc. 13 IAHR, Congr., Kyoto, 1969, v. 1.
161. Abbott M. В., Petersen H. M., Skovgaard 0. On the numerical
modelling of short waves in shallow water. — Journ. of Hydraul. Res.,
1978, v. 16, )№ 3.
162. Allen J. Scale models in hydraulic engineering. London: Long-
mens Green, 1947.
163. American Society of Civil Engineers/ Hydraulic Models.
Manual 25. —N. Y.: 1942.
164. Baker W. E., Westine P. S., Dodge F. T. Similarity method in
engineering dynamics. N. Y.: Hyden Book Co., 1973.
165. Banch W. Simulation of the Bavarian reach of the Danube
river. — Proc. 13 IAHR Congr. Kyoto, 1969, V. 1.
166. Baum M. R., Cook M. E. Gas entrainment at the free surface
of a liquid: entrainment inception at a vortex with an unstable gas
core. — Nncl. Eng. and Design, 1975, v. 32.
167. Buchler B. J„ Garrison J. M., Granyn J. P. Digital computer
simulation of transient flows in the TVA systems. — Proc. 13 IAHR
Congr., Kyoto, 1969, v. 1.
168. Costa V. F. Use of compromise time scales for minimization of
scale effects. — Proc. 19 IAHR Congr., New-Delhi, 1981, v. 5.

388
Список литературы
169. Costeleyn J. Α., van Groen P., Kolkman P. A. Air entrainment
in siphons. —Delft Hydr. Lab., Publ. 1977, № 187.
170. Curie N. Unsteady two — dimensional flows with free
boundaries (I, II). —Proc. Roy. Soc, 1956, v. A235.
171. Dhillon G. S., Sakhuja V. S., Paul T. S. Modelling criteria for
vortex formation at pipe intakes. — Proc. 19 IAHR Congr. New-Delhi,
1981, v. 5.
172. Einstein Η. Α., Chien N. Similarity of distorted river models
with movable beds. — Proc. ASCE, 1954, v. 80.
173. Ervine D. Α., McKeogh E. J., Elsawy Ε. Μ. Model — prototype
conformity in hydraulic structures. — Proc. 19 IAHR Congr., New-Delhi,
1981, v. 5.
174. Gaster M. Vortex shedding from slender cones. Rec. Res. on
Unsteady Boundary Layers. — JUTAM Symp., 1977, Quebec, 1972, v. 2.
175. de Graauw A. F. F., Pilarczyk K. W. Model — prototype
conformity of local scour in non — cohesive sediments beneath overflow
dam.— Proc. 19 IAHR Congr., New-Delhi, 1981, v. 5.
176. Grijsen J. G., Vrengdenhil С. В. Numerical representation of
flood waves in rivers. — Proc. JS on Unsteady Flow in Open Channels,
Newcastel-upon-Tyne, 1976.
177. Hancu S. Modelarea hidraulica in currenti de air sub presiune.
Bucuresti: Editura Acad. RSR, 1976.
178. Harleman D. R. F. Hydrothermal analysis of lakes and
reservoirs. — Journ. of the Hydr. Div., Proc. ASCE, 1982, v. 108, HY 3.
179. Haszpra 0. Modelling hydroelastic Vibrations. Budapest: Acade-
miai Kiado, 1978.
180. Huntley Η. Ε. Dimensional analysis. London: McDonald and
Co., 1953.
181. Hydraulic modelling Kobus H. (Ed.). Hamburg: Verlag Paul
Parey; Boston: Pitman, 1980.
182. Ivicsics L. Hydraulic models. Budapest: Iinstitute VITUKI, 1975.
183. Jain A. K. Physical modelling of vortices at intakes. — Proc.
19 IAHR Congr., New-Delhi, 1981, v. 5.
184. de Jong R. J., Vrijer A. Mathematical and hydraulic model
investigation of longitudional forces on ships in locks with door filling
system. — Proc. 19 IAHR Congr., New-Delhi, 1981, v. 5.
185. Kenn M. J. Dynamica similarity for flow systems in which
inertia effects are small. — Journ. of the Inst, of Water Eng., 1969, v. 23,
№ 4.
186. Kobus H., Leister P., Westrich B, Flow field and scourning
effects of steady and pulsating jets impinging on a movable bed. —
Journ. of Hydraul. Res., 1979, v. 3.
187. Knauss J. Modelling of baundary layer development and
velocity distribution in super — critical channel flow. — Proc. 19 IAHR Congr.,
New-Delhi, 1981, v. 5.
188. Lacey G. Flow in allvial channels with sendy mobile beds.—
Proc. Inst. Civ. Eng., 1959, № 9.
189. Lane E. W. Progress Report on Design of Stable Channels by
Bureau of Reclamation. — Proc. ASCE, 1953, № 280.
190. Lane E. W., Carlson E. J. Some factors affecting the stability
of channels constructed in coarse granular material. — Proc. Minnesota
Intern. Hydr. Convention, 1953.
191. Laufer J. Some recent measurements in a two dimensional
turbulent channel. — Journ. Amer. Sci. Mag., 1950.

Список литературы
389
192. Launder В. Ε., Spalding D. В. The numerical computation of
turbulent flow.— Сотр. Meth. in Appl. Mechan. and Engng, 1974 3*
Journ. of Fluid Mechan., 1975, v. 67. ' '
193. Lenghaar H. L. Dimensional analysis and theory of models
N. Y.: John Wiley and Sons, 1965.
194. Lencastre A. Descarregadores de lamina livre bases para о sen
estudo e dimensionamento. — LNEC, Lisboa, 1961, № 174.
195. Lepetit J. P., Manoha B. Un modele physique couranto — logi-
que et thermique pilote par ordinateur. — Comptes — Rendus 19 AJRH
Congr., New-Delhi, 1981, v. 5.
196. Leuchter 0. Effects of freestream turbulence and initial
boundary layers on the development of turbulent mixing layers. Turbulence
in Internal Flows.— Wash. —L.: Ed. S. N. B. Murthy, 1977.
197. Ljatkher V. M., Dzugaev V. V. Impact jet to rigid wall.—
Proc. 14 IAHR Congr., Paris, 1971, V. 2.
198. Ljatkher V. M., Militeev A. N. Numerical methods of studying
transfer processes in water pools. — Proc. 19 IAHR Congr., Cagliari,
1979, v. 3.
199. Ljatkher V. M., Proudovsky A. M. Approximate similitude of
open flows and their investigation using pressure models. — Proc. 19
IAHR Congr., New-Delhi, 1981, v. 5.
200. Loursen В. M. The application of sediment — transport
mechanics to stable channel design. — Journ. Hydr. Div., ASCE, 1956, v. 82.
201. Molerus 0. Zur Beschreibung feststoffbeladerner Stromungen.—
Chem. Ind. Techn., 1977, Bd 49, N° 12.
202. Murphy G. M. Similitude in engineering. N. Y.: Ronald Press,
1950.
203. Morris H. M. A new concept of flow in rough conduits. — Proc.
ASCE, 1954, v. 80, № 390.
204. Novak P., Cabelka J. Models in hydraulic engineering. Physical
principles and design applications. Boston: Pitman, 1981.
205. Pankhurst R. C. Dimensional analysis and scale factors.
London: Chapmen and Hall, 1964.
206. Petrak D. Die Bewegung von Teilchen in Gasstromungen. —
Chem. Ind. Techn., 1978, Bd 30, № 3.
207. Ponce V. M., Simons D. B. The propagation of dynamic waves
in open channel flow. — Proc. 17 IAHR Congr., Baden — Baden, 1977,
v. 2.
208. Proudovsky A. M. Hydraulic problems associated with nuclear,
power plant safety. — Proc. 18 IAHR Congr., Cagliari, 1979, v. 4.
209. Rajaratham N. Erosion by plane turbulent jets. — Journ. of
Hydraulic. Res., 1981, v. 19, № 4.
210. Raudkivi A. J. Loose boundary hydraulics. London: Pergamon
Press, 1967.
211. Recent advances in fluidization and fluid — particle systems.
Punwani D. V. (Ed.). — Amer. Inst, of Chem. Engs, 1981, v. 77.
212. Richter Α., Naudascher E. Fluctuating forces on a rigid circular
cylinder in confined flow,— Journ. of Fluid Mechan., 1976, v. 78.
213. Rodi W. Turbulence models and their application in hydraulics.
-State-of-the-art paper, IAHR, 1980.
214. Rouse H., Siao Т. Т., Nagaratnam S. Turbulents characteristics
of the hydraulic jump. — Proc, 1958, v. 84, HY 1.

390
Список литературы
215. Rozanov N. P., Rozanova N. N. Some problems of modelling
water outlet structures with free — surface flow. — Proc. 19 IAHR
Congr., New-Delhi, 1981, v. 5.
216. Schuring D. J. Scale modelling in engineering. London: Perga-
mon Press, 1977.
217. Survey of present knowledge on cavitation in liquids other than
cold water (thermodynamic effects)/ J. Bonin, M. L. Billet, F. G. Ha-
mitt, B. Chaix. — Journ. of Hydraul. Res., 1981, v. 19, № 4.
218. Sharp J. Hydraulic modelling. London: Butterworths, 1981.
219. Shukry A. Flow around bends in an open flume. — Proc. ASCE,
1949, v. 75, № 6.
220. Taneda S. Studies on wake vortices, experimental investigation
of the wake behind a sphere of low Reynolds numbers. — Rap. Res. Inst.
Appl. Median. Kyushu Univ., 1956, v. 4.
221. Taneda S. Visualization experiments on unsteady viscous flows
around cylinders and plates. Rec. Res. on Unsteady Boundary Layers.—
JUTAM Symp., Quebec, 1971, v. 2.
222. Tani J., Yu J. J. Unsteady boundary layer over a flat plate
started from rest. — Rec. Res. on Unsteady Boundary Layers, JUTAM
Symp., 1972, v. 1.
223. Tsuchida Α., Hoshihata K-, Takahashi A. The analysis of
unsteady flow in rivers by analogue computer. — Proc. 13 IAHR Congr.,
Kyoto, 1969, v. 1.
224. Westrich D. Discussion on [209]. — Journ. of Hydraul. Res.,
1982, v. 20, № 4.
225. Yalin M. S. Mechanics of sediment transport. London: Perga-
mon Press, 1981.
226. Yalin M. S. Theory of hydraulic models. London: McMillan,
1971.
227. Zierep J. Ahnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Stromungs-
lehre. Karlsruhe: G. Braun Veriag, 1972.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Г лав а 1
Основы моделирования
1.1. Моделирование как метод познания 8
1.2. Гидравлическое и численное моделирование 11
1.3. Условия подобия 16
1.4. Размерность величин 23
1.5. О законе подобия Ньютона 31
Глава 2
Математические модели движения жидкости
2.1. Предварительные замечания 35
2.2. Условия сохранения массы и импульса 37
2.3. Невязкая жидкость 39
2.4. Вязкая жидкость 42
2.5. Турбулентность 48
2.6. Краевые условия 72
2.7. Осреднение по пространству и времени 77
Глава 3
Приближенное подобие гидравлических явлений
3.1. Несовместимость критериев подобия 90
3.2. Приближенное подобие и искаженная модель .... 92
3.3. Автомодельность 94
3.4. Нахождение условий приближенного подобия с
использованием теории размерностей 102
3.5. Схематизация явлений и комбинация критериев . . . . 109
Глава 4
Напорные потоки
4.1. Равномерное течение 113
4.2. Неравномерное течение 147
4.3. Нестационарное течение 163
Глава 5
Открытый поток в жестком русле
5.1. Особенности открытых потоков. Роль критериев Фруда и
Эйлера 175
5.2. Автомодельность открытых потоков по критерию Рейнольд-
са. Характеристики турбулентности 184
5.3. Моделирование плана течений руслового потока .... 196
5.4. Нестационарные открытые потоки 207
5.5. Напорная модель открытого потока 225
Глава 6
Многокомпонентные потоки
6.1. Общие представления 243
6.2. Перенос жидкостью твердых частиц 245
6.3. Вовлечение газа со свободной поверхности 257
6.4. Структура газожидкостных потоков 267

Глава 7
Поток в деформируемом русле
7.1. Особенности моделирования русловых деформаций . . . 273
7.2. Местные размывы в несвязном грунте 275
7.3. Местные размывы в связном и скальном грунтах . . . 286
7.4. Плановые деформации аллювиального русла .... 295
7.5. О соотношении осредненных характеристик русла в натуре
и на модели 305
7.6. Определение плановых деформаций на напорной модели 312
7.7. О «гибридном» моделировании русловых деформаций . . 318
Глава 8
Тепло- и массоперенос и фазовые переходы
8.1. Теплопередача в элементах оборудования 324
8.2. Процессы переноса в жидкости 334
8.3. Теплообмен в водоемах-охладителях 358
8.4. Фазовые превращения 370
8.5. Кавитация 372
Список литературы . „ 380
Виктор Михайлович Лятхер
Александр Михайлович Прудовский
ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Редактор М. Я. Гильденблат
Редактор издательства Т. П. Г от мая
Художественный редактор Б. И. Тумин
Переплет художника Ε. Η. Волкова
Технический редактор Н. П. Собакина
Корректор Я. А. Смирнова
ИБ № Ю18
Сдано в на5ор 04.11.83 Подписано в печать 04.01.84 Т-01603
Формат 84 X 1 Э8»/з2 Бумага типографская № ι Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 20,58 Усл. кр.-отт. 20,58 Уч.-изд. л. 22,53
Тираж 360) экз. Заказ 3299 Цена 1 р. 60 к.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного
Знамени Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзпо-
лиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, М-54,
Валовая, 28

в.м. · ep,A.M.ri овский
■щ