Распределение корней целых функций - Левин Б.Я.

Автор: Левин Б.Я.
Теги: математика целые функции
Год: 1956
Похожие
Целые функции. Курс лекций
Целые функции.
Асимптотические оценки и целые функции
Целые функции многих комплексных переменных
Текст
                    Б. Я. ЛЕВИН
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
КОРНЕЙ
ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1956

11-5-4
Левин Борис Яковлевич. Распределение корней целых функций.
Редакторы Я. С. Ландкоф и Э. П. Тихонова.
Техн. редактор Н. А. Тумаркинс. Корректор С. Н. Емельянов?,
Сдано в набор 7/11 1956 г. Подписано к печати 24/V 1956 г. Бумага 84 Х108/:а.
Фнз. печ. л. 19,75. Условн. печ. л. 3239. Уч.-изд. л. 31,56. Тираж 5000 экз. Т-04415.
Цена книги 17 р. 30 к. Заказ № 988.
Государственное издательство технико-теоретической литературы
Москва. В-71, Б. Калужская, 15.
Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической
промышленности. 4-я типография им. Евг. Соколовой.
Ленинград, Измайловский пр., 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава I. Общая теория роста целых функций 9
§ 1. Шкала роста 10
§ 2. Связь между ростом целой функции и скоростью убы-
убывания коэффициентов ее степенного разложения . . 12
§ 3. Разложение целой функции в бесконечное произ-
произведение 15
§ 4. Оценка канонического произведения 18
§ 5. Теорема Иенсена 24
§ 6. Связь между максимумом модуля голоморфной функ-
функции и максимумом ее вещественной части 28
§ 7. Оценка модуля многочлена снизу 31
§ 8. Оценка модуля голоморфной функции снизу .... 33
§ 9. Рост произведения двух целых функций 35
§ 10. Теорема Адамара 38
§ 11. Целые функции целого порядка 41
§ 12. Уточненный порядок 46
§ 13. Распространение классических теорем на случай
уточненного порядка 60
§ 14. Принцип Фрагмена и Линделёфа 67
§ 15. Индикатор функции •. . 72
§ 16. Основное соотношение для индикатора и аналитиче-
аналитические свойства индикатора 75
§ 17. Вспомогательные функции 85
§ 18. Обобщенный индикатор 96
§ 19. Плоские выпуклые множества 100
§ 20. Целые функции конечной степени . .- 113
Глава П. Целые функции, множество корней которых
имеет угловую плотность 118
§ 1. Изложение основных результатов 118
§ 2. Целые функции нецелого порядка с правильным рас-
распределением корней (доказательство теоремы 1) . . 128
§ 3. Целые функции целого порядка с правильным рас-
распределением корней (доказательство теоремы 2) . . 142
§ 4. Построение целой функции с заданным индикатором
(доказательство теоремы 3) 151

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Асимптотическое представление целых функций с пра-
правильным распределением корней (доказательство тео-
теоремы 4) 159
§ 6. Целые функции с регулярным множеством корней
(доказательство теоремы 5) 163
§ 7. Теоремы о равностепенной непрерывности (доказа-
(доказательство теорем 6 и 7) 167
Глава III. Функции вполне регулярного роста 182
§ 1. Множество лучей вполне регулярного роста 184
§ 2. Обобщенная формула Иенсена. Исследование функ-
функции JrF F) 186
§ 3. Основная теорема о функциях вполне регулярного
роста 199
§ 4. Индикатор произведения двух функций 207
§ 5. Некоторые следствия из обобщенной формулы Иен-
Иенсена. Случай тригонометрического индикатора .... 209
Глава IV. Единственность, интерполяция и полнота . . 218
§ 1. Теоремы единственности для целых функций конеч-
конечного порядка 221
§ 2. Теоремы единственности для функций конечного
порядка, голоморфных внутри угла 227
§ 3. Функции, обращающиеся в нуль на множестве, имею-
имеющем угловую плотность 247
§ 4. Представление целых функций интерполяционным
рядом Лагранжа 253
§ 5. Некоторые приложения интерполяционного ряда Ла-
Лагранжа ц. . 263
§ 6. Полнота системы функций. Связь между полнотой и
единственностью ц. 274
§ 7. Теоремы о полноте некоторых систем целых функций 280
Глава V. Функции класса А 289
§ 1. Формула Карлемана. Критерий принадлежности целой
функции конечной степени классу А 291
. § 2. Представление функции, гармонической в -полупло-
-полуплоскости 299
§ 3. Представление в верхней полуплоскости функции ко-
конечной степени и класса А 306
§ 4. Функции класса А и вполне регулярного роста . . . 314
§ 5. Индикаторная диаграмма целой функции конечной
степени и класса А 325
§ 6. Теорема М. Г. Крейна о разложении обратной вели-
величины целой функции 333
Глава VI. Корни экспоненциальных сумм 341
§ 1. Некоторые сведения из теории почти-периодических
функции 342
§ 2. Корни почти-периодической функции с ограниченным
спектром 346

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 3. .Общая теорема о корнях и о среднем движении для
голоморфных почти-периодических функций 353
§ 4. Теорема о среднем движении для почти-периодиче-
почти-периодической функции с полуограниченным спектром .... 361
§ 5. Функции, приближаемые экспоненциальными много-
многочленами 371
§ 6. Рост функции класса Ёх при нормирующей области
в виде многоугольника 380
§ 7. Рост функции класса Ех при произвольной нормирую-
нормирующей области / '. 388
Глава VII. Теорема Эрмита—Билера для целых функций 394
§ 1. Представление вещестаенной мероморфной функции,
отображающей верхнюю полуплоскость на верхнюю . 397
§ 2. Обобщение теоремы Эрмита — Билера на произволь-
произвольные целые функции 402
§ 3. Представление функции класса НВ 409
§ 4. Теорема Эрмита — Билера для целых функций конеч-
конечной степени 412
Глава VIII. Приближение целых функций многочле-
многочленами с корнями в заданной области 422
§ 1. Функции, приближаемые многочленами, все корни
¦ которых лежат внутри угла 423
§ 2. Теоремы о композиции многочленов 434
§ 3. Последовательности множителей 439
Глава IX. Операторы, сохраняющие неравенства между
целыми функциями 449
§ 1. Майоранты и допустимые классы 452
§ 2. Некоторые свойства класса Р* 454
§ 3. Операторы, сохраняющие подчинение (ЗЗу-операторы) 458
§ 4. Класс Р и неравенства на вещественной оси .... 466
§ 5. Классы функций от нескольких переменных 471
§ 6. Общий вид операторов 33 и 95* 480
§ 7. Некоторые экстремальные свойства целых функций . 489
Приложение I. Некоторые дополнительные вопросы
общей теории 494
1. Невозможность построения точной шкалы роста .... 494
2. Сходящийся и расходящийся типы . 495
3. Теорема Палея и Винера 498
4. Многочлены Левитана 504
5. О степенных рядах с коэффициентами, проинтерполи-
рованными целой функцией конечной степени 506
Приложение П. Применение теорем единственности
к квазианалитическим классам функций 510
1. Функции, определяемые своими значениями на интервале 510
2, Квазианалитические классы почти-периодических функций 524

6 ¦ ОГЛАВЛЕНИЕ
Приложение III. Полнота и линейная независимость
системы функций {е кХ} на конечном интервале . . 533
1. Теоремы о полноте 533
2. Минимальность (усиленная линейная независимость)
системы функций {е к } 542
Приложение IV. Применение теорем единственности
к некоторым вопросам теории дифференциальных
уравнений 549
1. Полнота системы решений дифференциального урав-
уравнения второго порядка в областях комплексной пло-
плоскости 549
2. Об обратной задаче для уравнения Штурма — Лиувилля 556
Приложение V. Представление положительной целой
функции конечной степени в виде квадрата модуля
целой функции 566
Приложение VI. Почти-периодические функции с огра-
ограниченным спектром 575
1. Выражение вещественной части корня функции класса [Д] 575
2. Характеристика множества корней почти-периодической
функции класса [Д]' 582
3. Связь между рядами Фурье функций 6 (х) и f(x) . . . 595
Приложение VII. Отдельные теоремы и задачи . . . 601
Список важнейших понятий и теорем 609
Цитированная литература 626

ПРЕДИСЛОВИЕ
Одной из важнейших проблем теории целых функций
является проблема связи между ростом целой функции и
распределением ее корней. К этой проблеме сводятся многие
задачи из различных областей, смежных с теорией функций
комплексного переменного.
Связь между ростом целой функции и распределением
ее. корней была исследована в классических работах Бореля,
Адамара, Линделёфа и других авторов в конце прошлого и
начале настоящего столетий.
Более тонкие 'характеристики роста и распределения
корней целых функций дали возможность установить более
точные зависимости. При этом аналогичные зависимости
были обнаружены для более широкого класса функций,
голоморфных внутри угла.
Особенно точные зависимости получаются для специаль-
специального класса функций, которые естественно называть функ-
функциями вполне регулярного роста. В этой книге теория функ-
функций вполне регулярного роста систематически применяется
к исследованию различных вопросов теории целых функций.
Построению теории функций вполне регулярного роста
посвящены II и III главы.
Затем в главах IV, V и VI даются различные приложе-
приложения этой теории к изучению вопросов полноты и единст-
единственности, интерполирования, распределения корней экспо-
экспоненциальных сумм, свойств целых функций, ограниченных
на вещественной оси, и пр.
В дальнейших главах рассматривается цикл вопросов,
связанных с перенесением на целые функции некоторых
свойств многочленов. Сюда относятся обобщения теоремы
Эрмита — Билера, начатые в работах Н. Г. Чеботарёва и
развитые в работах других советских математиков (гл. VII),

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
изложение результатов Лагерра — Полна, Шура об алгеб-
алгебраических свойствах целых функций (гл. VIII) и далеко
идущие обобщения неравенств А. А. и В. А. Марковых и
С. Н. Бернштейна (гл. IX).
Хотя в этих главах аппарат теории функций вполне
регулярного роста и не играет основной роли, однако он
облегчает исследования, упрощая некоторые доказательства.
Поскольку я не могу указать руководства, в котором
с достаточной полнотой и в нужной для моих построений
форме была бы изложена общая теория целых функций,
я счел необходимым расширить первоначально задуманное
введение, превратив его в довольно обширную главу, по-
посвященную изложению общей теории целых функций.
Глава V читается независимо от главы IV, а VII, VIII
и IX — независимо от IV и VI глав. В книге помещены
приложения, в которых даны применения в смежных обла-
областях результатов и методов, изложенных в книге.
Круг вопросов, вошедших в эту книгу, естественно опре-
определялся интересами автора и направлением его собственных
исследований.
В конце книги помещен список важнейших понятий и
теорем. Пользуясь этим списком, читатель сможет быстро
восстановить в памяти не только определение понятия, но и
относящиеся к нему основные факты. Классические понятия
и теоремы не внесены в этот список.
Я выражаю благодарность М. Г. Крейну, который по-
побудил меня к написанию этой книги, познакомился с.руко-
с.рукописью и сделал ряд существенных замечаний. Я выражаю
также благодарность Н. И. Ахиезеру, который знакомился
с рукописью по мере ее написания и дал мне ряд советов,
которыми я воспользовался. Я весьма благодарен также
Н. С. Ландкофу, который внимательно прочитал всю руко-
рукопись и сделал много замечаний, способствовавших улучше-
улучшению книги.

ГЛАВА I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
В этой главе мы излагаем основы общей теории роста
целых функций. Целой функцией называют функцию ком*
плексного переменного, голоморфную во всей плоскости и,
следовательно, представляющуюся всюду сходящимся сте-
степенным рядом
f(z) = a0+a1z + a2z*-\-...+anzn+... A.00)
Эти функции являются естественным обобщением многочленов
и наиболее близки к многочленам по своим свойствам.
Теорема Вейерштрасса о разложении целой функции в бес-
бесконечное произведение дала основной аппарат для исследо-
исследования свойств целых функций и явилась отправным пунктом
для их классификации. Приблизительно к тому же времени,
что и работа Вейерштрасса, относятся работы Лагерра, в ко-
которых изучается связь между целыми функциями и многочле-
многочленами и устанавливается важное понятие рода целой функции.
В классических исследованиях Бореля, Адамара и Лин-
делёфа исследуется связь между ростом целой функции и
распределением ее корней. Скорость возрастания многочлена
при удалении независимой переменной на бесконечность,
очевидно, определяется его степенью. С другой стороны,
число корней многочлена равно его степени. Таким образом,
чем больше корней у многочлена, тем больше его рост. Эта
связь между множеством корней функции и ее ростом обоб-
обобщается на произвольные целые функции. Содержание большей
части классических теорем теории целых функций состоит
в установлении связи между распределением корней целой
функции и ее асимптотическим поведением при 2->оо.
Для измерения роста целой функции и плотности мно-
множества ее корней вводится особая шкала роста,

10 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
§ 1. Шкала роста
Для характеристики роста целой функции f(z) вводится
функция
Mf(r)= max|/(*)|
|г|=г
(иногда мы будем писать просто Ж (г)). Из принципа ма-
максимума модуля следует, что с увеличением г величина Mf(r)
монотонно возрастает. Скорость возрастания функции Mf{r)
есть важнейшая характеристика поведения целой функции.
Покажем, что у целой функции, отличной от многочлена,
Mf(r) возрастает быстрее любой положительной степени г.
Теорема 1. Если существует такое целое положи-
положительное число п, что
МАП
Urn -LJ- < оо *),
г->оо
то f(z) есть многочлен степени, не большей п.
Доказательство. Если
то функция
— целая и на некоторой последовательности окружностей
\z\—rn (/¦„-> оо) равномерно стремится к нулю. Отсюда
по принципу максимума следует, что <р(,г)==О, т. е.
Таким образом, при оценке роста целых трансцендентных
функций следует выбирать для сравнения функции, расту-
*) Здесь, как обычно,
lim <f (r) = lim ( sup i) (t) )
lim <p (r) = lim (inf <p (t)).

§ 1] ШКАЛА РОСТА II
щие быстрее, чем степенные. В качестве таких функций,
служащих для сравнения, выбирают функции вида
где k > 0.
Целую функцию f(z) называют функцией конечного
порядка, если существует такое положительное число k,
что неравенство
выполняется для всех достаточно больших значений r(r > ro(k)).
Точную нижнюю границу таких чисел k называют порядком
целой функции f(z).
Из этого определения следует, что если р — порядок
целой функции f(z), a e — произвольное положительное
число, то
/"'<^W<«ff+', (l.oi)
причем правое неравенство выполняется для всех достаточно
больших значений г, а левое — для некоторой последова-
последовательности {/•„} значений г, стремящейся к бесконечности.
Легко проверить, что условие A.01) равносильно равенству
— In In Mf (г)
p=Hm у', A.02)
Г -> ОО Ш '
которое поэтому также может быть принято за определение
порядка функции.
Неравенства, которые выполняются для всех достаточно
больших значений г, мы будем для краткости в дальнейшем
называть асимптотическими неравенствами.
Более точную характеристику росва функции данного
порядка дает тип функции. Типом о целой функции f(z)
порядка р называют точную нижнюю границу положитель-
положительных чисел А, для которых асимптотически
Mf(r)<eAr\
Так же как и при определении порядка, легко проверить,
исходя из этого определения, что тип о функции f(z) по-
порядка р определяется равенством
о= Htn

12 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
При о = 0 функцию f(z) называют функцией минималь-
минимального, при 0 < о < оо нормального и при о = оо макси-
максимального типа.
Примером целой функции порядка п и типа о может
при п целом служить функция
е*»п.
Легко также проверить, что sin г есть целая функция пер-
первого порядка и нормального типа о=1. Функция cos^z
имеет порядок р = -^ и тип о = 1. Функция
дает пример целой функции бесконечного порядка.
В следующем параграфе мы построим примеры целых
функций произвольного порядка и типа.
Мы будем говорить, что рост функции /2 (г) больше,
чем рост функции f%(z), если порядок /2(.г) больше порядка
ft(z) либо порядки равны, но тип /2(.г) больше типа f^{z).
Легко убедиться в том, что порядок суммы двух функ-
функций не превышает наибольшего из порядков слагаемых,
а если при равенстве порядков слагаемых сумма имеет тот же
порядок, что и слагаемые, то тип суммы не превышает
наибольшего из типов Слагаемых. Кроме того, если рост
одного из слагаемых больше роста другого, то сумма имеет
порядок и тип слагаемого большего роста.
§ 2. Связь между ростом целой функции и скоростью
убывания коэффициентов ее степенного "разложения
Пусть целая функция f(z) разложена в степенной ряд
/(*) = <ч> + <*г+<***+- • • • + ««*"-+- • • • A-03)
Радиус сходимости этого ряда бесконечен и потому
HmVTcJ = O. A.04)
Следующая теорема дает возможность определять порядок
и тип целой функции по скорости убывания последователь-
последовательности ее коэффициентов Тейлора,

§ 21 РОСТ «ЙЙСЦИИ И СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ 13
Теорема 2. Порядок a man целой функции выра-
выражаются Через коэффициенты ее степенного разложения
равенствами
"'""-, A.05)
(aep)T = 1ЙГ (nr^[cj). A.06)
n-Юо
Доказательство. По известному неравенству для
коэффициентов степенного разложения
^. 0.07)
Если f{z) — конечного порядка, то асимптотически
Mf(r)<eArk, A.08)
\сп\<еАЛ-п. ¦
'Пользуясь обычными приемами отыскания экстремума, легко
убедиться, что функция, стоящая в правой части этого нера-
неравенства, принимает в интервале г > 0 наименьшее значение
;*¦ При
и, следовательно, асимптотически
• .0-09)
Предположим, обратно, что оценка* A.09) имеет место
для всех значений индекса п, превосходящих некоторое число
ио(А, А), и найдем оценку для Mf.{r). При п > mr = [2keAkrk]
и всех достаточно больших значениях г в силу A.09)
и, следовательно,
I/WK
Если ввести обозначение

14 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1
то получится, что
M,(r)^(l+2*eAkr*)v.{r)+2-n>r. A.10)
Если f(z) — не многочлен, то Mf(r), а значит, по A.10)
и !*(/¦) растут быстрее, чем любая степенная функция, и
поэтому индекс наибольшего члена ряда A.03) должен не-
неограниченно расти с ростом г. Из A.09) следует, что асимп-
асимптотически
n
max
n
Максимум правой части достигается при
п = Akrh
и, следовательно, асимптотически
I* (/¦)<«**.
Из A.10) получается, что асимптотически
MfirXV + WeAkr*)****. A.11)
Итак, из A.08) следует A.09), а из A.09) следует A.11).
Это показывает, что порядок р целой функции f(z) со-
совпадает с точной нижней границей тех значений k, при кото-
которых имеет место асимптотическое неравенство A.09), а тип
равен точной .нижней границе значений А, при которых
асимптотическое неравенство A.09) имеет место для А = р.
Отсюда непосредственно следуют оба утверждения теоремы.
Отметим еще интересное следствие, которое получается
непосредственно из формул A.07) и A.10). Максимальный
член [!(/¦) в степенном разложении целой функции конечного
порядка удовлетворяет асимптотическим неравенствам
[).(/¦)< М (г)<ГР+'|1 (г),
где р — порядок функции f{z) и е — любое положительное
число.
С помощью теоремы 2 можно легко построить целые
функции произвольного порядка и типа. Рассмотрим с этой
целью функцию
-(Аг)П

§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 15
где А > 0 и а > 0. По известной формуле Стирлинга
из A.05) и A.06) получаем:
Можно построить также функции максимального и мини-
минимального типа. Например, при
cn = (~f. («-1.2,8,...)
ряд A.03) представляет функцию порядка р и максимального
типа, а при
— порядка р и минимального типа. При сп = е-"а получается
целая функция нулевого порядка. Все эти утверждения не-
непосредственно проверяются с помощью A.05) и A.06). Ана-
Аналогично можно построить целую функцию бесконечного
порядка.
Верхние пределы в формулах A.05) и A.06) не изме-
изменятся, если сп заменить на (п-\-\)сп. Следовательно, при
дифференцировании порядок и тип целой функции не из-
изменяются .
§ 3. Разложение целой функции в бесконечное
произведение
Известно, что всякий многочлен может быть представлен
в виде произведения линейных множителей. Аналогом этого
утверждения для целых функций является теорема Вейер-
штрасса о представлении целой функции бесконечным про-
произведением. Это представление является базой для исследо-
исследования основного вопроса теории целых функций — вопроса
о связи между ростом целой функции и распределением ее
корней в комплексной плоскости.
Пусть av а2, ..., ап, ... — последовательность отличных
от нуля комплексных чисел с единственной точкой сгущения

16 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ {ГЛ. I
на бесконечности. Мы построим целую функцию, множество
корней которой совпадает с этой последовательностью.
Мы можем считать, что эти числа перенумерованы в по-
порядке возрастания их модулей (если имеется несколько раз-
различных точек ап с одним и тем же модулем, то порядок их
нумерации безразличен). Подберем такую последовательность
натуральных чисел рп, чтобы ряд
п=1
равномерно сходился в любой ограниченной области. Такой
выбор возможен, ибо при | г | ^ R (/? > 0) неравенство
выполняется для всех достаточно больших п, и можно вы-
выбрать, например, рп = п. Составим бесконечное произведение
в котором
и2 иР
О(и;/>) = A— «)e"+'ir+"'+~ir, О(в; 0)=1—«.
Выражения О (и; р) называют первичными множителями.
Покажем, что произведение A.13) равномерно сходится
на любом ограниченном замкнутом множестве, не содержа-
содержащем точек ап, и, следовательно, определяет целую функцию,
обращающуюся в нуль во всех точках ап и только в них.
С этой целью оценим величину 11п О (и; р) \ при | и |<; q < 1
и |arg(l—н)|^1г. Из разложения
которое имеет место при указанных условиях, получается:

§ 31 РАЗЛОЖЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 17
Из этого неравенства вытекает, что при |z|<# и
7, R) будет иметь место неравенство
- l — q ап '
в силу которого из равномерной сходимости ряда A.12)
в круге | z|<; R следует равномерная сходимость ряда
r»=l
а значит, и произведения A.13) на всяком замкнутом мно-
множестве, лежащем в этом круге и не содержащем точек ап.
Теорема 3. Всякая целая функция f(z) предста-
представляется в форме
где g(z) — целая функция, ап — не равные нулю корна
f(z) и т — кратность ее нулевого корня.
Доказательство. Отличные от нуля корни ап целой
функции f{z) (n=\, 2, ..., ш^оо) не имеют точек сгу-
сгущения кроме бесконечно удаленной. Составим по ним про-
произведение
причем рп = 0, если <о конечно. Функция
— целая и не имеет корней. Поэтому функция
— также целая, и мы получаем требуемое представление
В представлении A.14) последовательность чисел рп опреде-
определена неоднозначно, а значит, неоднозначно определена и
функция g(z).
2 Зак. 988. Б. Я- Левин

18 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Представление функции f(z) значительно упрощается,
если числа ап подчинены следующему дополнительному
условию: ряд
%ш ч <М2')
г»=1
сходится при некотором положительном X. Обозначим в этом
случае через р наименьшее целое число, при котором ряд
сходится. Очевидно, 0<1р<А.. Ряд AЛ2) будет равномерно
сходящимся, если положить все рп = р.
Равномерно сходящееся бесконечное произведение
AЛ5)
п=1
называется каноническим произведением, а число р—родом
канонического произведения.
В рассматриваемом случае в представлении A.14) за
бесконечное произведение обычно выбирают каноническое
произведение. При этом функция g(z) определяется одно-
однозначно.
Если g(z)— многочлен, то /(г) называется целой функ-
функцией конечного рода. Наибольшее из чисел р и q, где
q — степень многочлена g(z)> называется родом целой функ-
функции f(z).
Если g(z) — не многочлен или если ряд A.12') расхо-
расходится при всех значениях X, то род функции считается бес-
бесконечным.
§ 4. Оценка канонического произведения
Представление целой функции бесконечным произведе-
произведением позволяет установить весьма важную зависимость между
ростом этой функции и плотностью распределения ее корней.
Для характеристики плотности последовательности точек ап
с единственной точкой сгущения на бесконечности вводится

§ 4] ОЦЕНКА КАНОНИЧЕСКОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ '19
показатель сходимости. Показателем сходимости последо-
последовательности
Cj, д2 ап, ... (аЛ ф О, JJ^*» = °°)
называют точную нижнюю границу чисел X, для которых
сходится ряд
оо
—!_. A.16)
Очевидно, что чем быстрее возрастает последовательность
чисел \ап\, тем меньше ее показатель сходимости. В част-
частности, показатель сходимости может равняться нулю.
Если ряд A.16) расходится при всех значениях X > О,
то показатель сходимости считается бесконечным*. При X,
равном показателю сходимости, ряд A.16) может быть схо-
сходящимся или расходящимся в зависимости от последователь-
последовательности {ап}.
Например, последовательности ап = »Р и аи = (re In9 п) <¦
имеют один и тот же показатель сходимости р, причем ряд
A.16) при Х = р для первой последовательности расходится,
а для второй сходится. Примерами последовательностей
с показателями сходимости 0 и оо могут служить последо-
последовательности {еп} и {In»}.
Отметим еще следующую очевидную зависимость между
показателем сходимости рх последовательности {а„} и ро-
родом р соответствующего канонического произведения A.15)
При целом рх равенство p = ?t будет иметь место, если
ряд A.16) расходится при Л = рх, а равенство рх =/>+1
будет иметь место, если при X = pt ряд A.16) сходится.
Более полную характеристику плотности последователь-
последовательности {ап}, чем показатель сходимости, дает изучение роста
функции я (г), равной числу точек этой последовательности
в круге | z | < г. Порядком этой монотонной функции мы
назовем число
2*
gp A.17)

20 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ (гл. I
а верхней плотностью точек {ап} — число
Д= lini ^p-. ¦ A.18)
r-»oo Г*1
При существовании обычного предела число А называют
просто плотностью.
Лемма 1. Показатель сходимости последователь-
последовательности чисел
av а2 ап)... ( Ит | ап\ — оо)
равен порядку соответствующей функции п(г).
Доказательство. Ряд A.16) можно записать с по-
помощью интеграла Стильтьеса следующим образом:
ОО
I
dn(t)
о
Интегрированием по частям получаем *):
о-19)
Если ряд A.16) сходится, то оба положительных слагае-
слагаемых в правой части равенства A.19) ограничены, и так как
второе слагаемое монотонно возрастает, то интеграл
it A.20)
сходится. Из этой сходимости следует, что при произволь-
произвольном 8 >0 и г >го(е)
ИЛИ
lim ^ =
Таким образом, порядок функции п(г) не превышает пока-
показателя сходимости последовательности. Кроме того, из про-
¦) Здесь используется, что я (t) = 0 при 0 ¦< t < | а^ |.

§ 4J ОЦЕНКА КАНОНИЧЕСКОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 21
веденных рассуждений следует, что и обратно сходимость
интеграла A.20) влечет за собой сходимость ряда A.16).
Пусть теперь рх —порядок п(г). Тогда при s>0 асим-
асимптотически г
Поэтому при X=p1-j-s интеграл A.20) сходится, а следо-
следовательно, сходится и ряд A.16). Итак, показатель сходимо-
сходимости не превышает порядка функции п(г). Лемма доказана.
Для оценки роста канонического произведения A.15)
оценим сначала первичный множитель.
Лемма 2. При р > 0 и всех комплексных значениях и
\p{^ A.21)
где
р
При р = 0
1п|Й(и;0)|<1пA+|в|). A.22)
Доказательство. Второе утверждение леммы оче-
очевидно. Пусть />>0. Если |й|<—хГГ» т0
н
При |«|>—rrf в силу неравенства ln(l-f-|«|)< | и |
имеем:
и f eB + Inp)< ^^ ЪеB + Inp)

22 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ (гл-
Лемма 3. Если ряд
сходится, то бесконечное произведение
(U5)
удовлетворяет во всей комплексной плоскости неравен-
неравенству
jg Ij^ ~\z\), A.24)
в котором
kp = Ze(p-\-l)B-\-\np) при />>0 и ko=\.
Доказательство. Из неравенства A.21) при/>> О
следует, что
Из сходимости ряда A.23) следует, как было показано
выше, что
^> 0.
Интегрируя по частям, получаем:
оо
J ^1% n
или

1 § 4] ОЦЕНКА КАНОНИЧЕСКОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 23
(
Ъгучай р = 0 проверяется аналогично с заменой оценки A.21)
¦а A.22).
Теорема 4 (Борель). Порядок р канонического про-
произведения
не превышает показателя сходимости pt последователь-
последовательности {ап}.
Доказательство. Число р должно быть наимень-
наименьшим целым числом, при котором сходится ряд A.23).
Таким образом, для показателя сходимости рх имеем
неравенства
Пусть pt<jp+l и pj < X </>-}-!• Тогда в силу A.17)
существует такая постоянная Сх, что при всех значениях t > О
По лемме 3 получаем:
In |
где
т. е. порядок *) П(г) не превышает X, а следовательно,
и рх. Если р( = />-}-1, то, как было показано при доказа-
доказательстве леммы 1,
f-*oo
и интеграл
» (О
*) В этом неравенстве, очевидно, можно заменить III (?)
на Мп(г).

24 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ.ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
сходится. Воспользовавшись этим, получаем из леммы, что
асимптотически ¦¦'
In | Д B) |< sri>+*,
т. е. что ПB) не более чем порядка j» —|— 1 и минималь-
минимального типа.
Замечание. Если pt— нецелое число и верхняя
плотность последовательности \ап) конечна, то рост Л(г)
не более чем порядка pt и нормального типа; если
же рх попрежнему — не целое, а плотность Д последователь-
последовательности {ап} равна нулю, то рост П(г) не более чем по-
порядка pj и минимального типа.
Это утверждение легко следует из асимптотического
неравенства
Д +
которое при pj нецелом влечет асимптотическое неравенство
!п|ПB)К(Д+«)Вр/". A.25)
Заметим, что при целом pt из леммы 3 нельзя получить это
неравенство. В дальнейшем мы убедимся, что при целом рх
утверждение перестает быть верным.
Для дальнейшего исследования связи между ростом
функций я (г) и InAfn(r) требуется ряд общих теорем,
играющих фундаментальную роль в теории целых функций.
§ 5. Теорема Иенсена
Теорема 5. Пусть f(z)— функция, голоморфная
в круге радиуса R с центром в нуле, а /ф)Ф 0. Тогда
= ^_ f In |/(/?««) |Й_ In |/@)|, A.26)
где nf(t) —число корней функции f(z) в круге \z\<t.
Заметим, что если функция не имеет корней в круге
\z\<R, то n(t) — Q, и равенство A.26) выражает извест-
известное свойство гармонических функций. При наличии корней
из формулы A.26) следует, что
¦in
Ш|/@)|< ^-JIn

\ § 5] ТЕОРЕМА ИЕНСЕНА 25
1 Доказательство. Если на окружности \z\-t нет
^корней функции, то по принципу аргумента
2*
о
Воспользовавшись равенством Коши — Римана
"*)] д In
получим
при всех значениях t в интервале 0 < t < R, за исключе-
исключением конечного числа значений. Проинтегрировав обе части
последнего равенства от нуля до R, получим A.26). При
этом, конечно, мы пользуемся непрерывностью функции
2ic
In
J
о
Эту непрерывность легко доказать, представив функцию
| в форме 1п'|/1(гг)|+ 2 Щг—о.к\,гл&ак—корни
функции f(z), a ft(z) не имеет корней в круге |.г|</?.
Первое слагаемое — непрерывная функция, а
2«ln|cfc| при
т. е. также функция непрерывная. Таким образом, теорема
доказана.
Формулу Иенсена можно обобщить и "на тот случай,
когда f(z) имеет в нуле корень кратности к. Тогда, запи-
записав формулу A.26) для функции f(z)z~x, получим:
J
=j. J 1п
,„ R+ JML dt=j. J 1п ,/(/fc*), d9 _ ,n

26 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [гл. I
При этом нужно считать, что здесь nf(t) — число кор-1
ней f(z) в круге \z\<.t, отличных от нуля. (
Из формулы Иенсена вытекает важная оценка для числи
корней f(z) в данном круге, которая дается следующей
леммой.
Лемма 4. Если функция f(z) голоморфна в круге
и |/@)| = 1, то
1Лег).* A.27)
Доказательство. Из монотонности я^(?) и формулы
Иенсена непосредственно следует, что
). A.28)
Исследуем, в каком случае в A.27) имеет место знак ра,-
венства. Для этого, очевидно, необходимо и достаточно,
чтобы имел место знак равенства всюду в A.28).
Равенство
ег
dt
означает, что функция f(z) не имеет корней в кольце
r<\z\<er.
Равенство
означает в силу A.26) при |/@)| = 1, .что f(z) не имеет
корней в круге | z | < г.
Наконец, равенство
i (" In | f{ere®) | db = In Mf (er)
о
означает, что на всей окружности | z | = ег
\№\ = Mf(er).

§ 5] ТЕОРЕМА ИЕНСЕНА 27
Все эти условия выполнены для функции вида *)
(| ап | = г, а — вещественное).
В самом деле, каждый множитель в этом произведении
есть функция, отображающая круг ] z | <[ ег на единичный
круг, и следовательно, значение его модуля всюду на ок-
окружности |z| = er равно единице.
Таким образом, на окружности \z\ = er имеем | <р(z)| == е".
Кроме того, все корни <р(г) лежат на окружности \z\-r и
0)| 1
|
Из леммы 4 непосредственно следует
Теорема 6. Показатель сходимости корней произ-
произвольной целой функции не превышает ее порядка.
Доказательство. Не нарушая общности, можно
считать, что /@) = 1. В противном случае вместо функ-
функции f(z) можно рассмотреть
имеющую тот же порядок и тот же показатель сходимости,
что и f(z). Из оценки A.27) следует, что
\nnf(r) — \x\\nMf{er)
p. = lim —г1 < hm —ж-.— = P.
Теорема доказана. Заметим, что из A.27) можно также
получить:
(егр
и при рх = р будем иметь:
Сопоставляя это с теоремой 4 и замечанием к ней, полу-
получаем теорему.
Теорема 7. Для канонического произведения пока-
показатель сходимости корней совпадает с порядком функции.
*) Нетрудно показать, что это есть общий вид функции, для
которой в A.27) имеет место знак равенства.

28 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Кроме того, при нецелом показателе сходимости
последовательности корней каноническое произведение
будет максимального, минимального или нормального типа
в зависимости от того, будет равна бесконечности, нулю
или числу, отличному от нуля и бесконечности, верхняя
плотность множества корней
»-->оо
В дальнейшем вопрос о связи между типом целой функ-
функции и величиной Af будет рассмотрен полнее.
§ 6. Связь между максимумом модуля голоморфной
функции и максимумом ее вещественной части
Максимум вещественной части функции f(z), голоморф-
голоморфной в круге |г|-^г, обозначается Af(r). Из принципа ма-
максимума для гармонической функции следует, что Af(r)
монотонно возрастает с ростом г. Кроме того, очевидно, что
При R > г можно установить между Af(R) и Mf(r) не-
неравенство, которое является в известном смысле обратным
этому неравенству.
Теорема 8. Для всякой функции f{z), голоморфной
в круге*) |г|</?,
^r + I /@)| (r<R). A.29)
Это неравенство называется неравенством Каратеодори
для круга.
Доказательство. Мы будем исходить из следую-
следующей формулы Шварца:»
тс
A-30)
(/(*) = в (г)+ /«(*)),
*) Можно потребовать несколько меньше, а именно, чтобы f(z)
была голоморфна в круге |г|<R и чтобы ее вещественная часть
имела ограниченные сверху предельные значения на окружности
| г | = R.

§ б] МАКСИМУМ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ЧАСТИ ГОЛОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ 29
дающей представление функции, голоморфной в круге |
через граничные значения ее вещественной части*).
Прибавляя к правой части равенства A.30) равную нулю
величину
мы получим, равенство
1С
/(г) = 1 J и (Re**) R^_z *{..+ /@).
—те
В частности, для f(z)==l мы получим:
z ¦ d-> = 0.
Из последних двух формул можно получить равенство
—А*) =4
Отсюда в силу неотрицательности величины A+(R)—
поручается неравенство
Очевидно, что можно \f(z)\ заменить максимумом Mf(f)
и получить A.29). Если функция w = f(z) принимает в круге
\z\<_R значения, принадлежащие левой полуплоскости
R0), то Af(R)<0 и
Отображая круг |z[< R на полуплоскость, можно из
последнего неравенства получить соответствующее неравен-
неравенство для функций, голоморфных в полуплоскости.
Теорема 8'. Функция f(z) — голоморфная в полу-
полуплоскости Im z > 0 а принимающая там значения из
*) Вывод формулы A.30) см., например, у Титчмарша [1].

30 общая Теория роста Целы* Функций (гл. i
*
верхней полуплоскости Im/(z)>0, удовлетворяет при
Imг>0 и \z|> 1 неравенствам
1^- A-31)
Эти неравенства мы будем называть неравенствами Ка-
ратеодори для полуплоскости.
Доказательство. Отобразим верхнюю полуплоскость
Im z > 0 на единичный круг
Функция
определена в единичном круге и в нем ReF(«)<!0. Следо-
Следовательно, Ар(/?)<0, и из неравенства Каратеодори для
круга |и | ^1 получаем:
I/(*) I < I /(О I 2^^
Заметим, что при
| |2 |1
— |г — i|3 = 4rsin6 *)
мы получим:
Для получения левой части неравенства заметим, что
функция f(z) не обращается в нуль в открытой верхней по-
полуплоскости. Записав неравенство A.31') для функции
f(z), мы получим левое из неравенств A.31).
Теорема 8 дает возможность оценить снизу модуль го-
голоморфной функции f{z), не имеющей корней в некотором
круге |г|</?. В самом деле, предположим, что /@)=1,
и запишем неравенство A.29) для голоморфной функции
In f(z). Получим неравенство
•) Последнее равенство -легко получить, рассматривая тре-
треугольники с вершинами я 0, г, I я в 0, г, — i.

§ 7] ОЦЕНКА МОДУЛЯ МНОГОЧЛЕНА СНИЗУ 31
из которого следует:
In 1
или
Итак, мы получили теорему.
Теорема 9. Если функция f(z), голоморфная в круге
|2|</?, не имеет в этом круге корней и /@)=1, то
ее модуль в круге |z|<></? удовлетворяет неравенству
^ (|*|<г<Я). A.32)
При наличии корней у функции f(z) такая оценка, конечно,
невозможна. Однако можно дать аналогичную оценку для
модуля функции в области, которая .получается после вы-
вырезывания из основного круга некоторых малых кружков,
содержащих корни. Для получения этой тонкой оценки,
играющей большую роль в теории целых функций, мы сна-
сначала займемся оценкой снизу модуля многочлена.
§ 7. Оценка модуля многочлена снизу
Оценка модуля многочлена снизу дается следующей
изящной теоремой А. Картана [1].
Теорема 10. Каковы бы ни были число #>0 и
комплексные числа alt a2 ап, можно найти в ком-
комплексной плоскости такую систему кружков с общей сум-
суммой радиусов 2Н, что для всякой точки z, лежащей вне
этих кружков, выполняется неравенство
ffi A.33)
Доказательство мы разобьем на несколько этапов:
1. Выберем величину. — за единицу масштаба и пока-
покажем, что в плоскости есть замкнутые кружки, радиус
каждого из которых равен числу точек {aj}, содержащихся
в этом кружке. Построим наименьший выпуклый многоуголь-
многоугольник, содержащий все точки {afc}, и возьмем какую-нибудь
, вершину uj этого многоугольника. Очевидно, можно построить

32 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
окружность любого радиуса, содержащую эту точку и не
содержащую других точек {%}. В частности, можно по-
построить такую окружность с радиусом, равным кратности
ТОЧКИ йу
2. Из всех окружностей, радиус которых равен числу
точек {ак}, лежащих внутри этой окружности, выберем
окружность с наибольшим радиусом кх — и обозначим ее Cv
Заметим, что никакой круг в плоскости с радиусом, боль-
тт
шим или равным Xt — , не может содержать больше точек
из га41, чем содержится единиц масштаба в его радиусе.
В самом деле, пусть круг радиуса X — при X >- Xt содер-
содержит X' > X точек из { ак }. Концентрический круг радиуса
X' — содержит либо X' точек, либо X" > X' точек. Во вто-
ром случае строим концентрический круг радиуса X" —
и т. д. Так как число всех точек {ак ( конечно, то мы при-
гт тт
дем к кругу радиуса X —, большего, чем Xt—, содер-
содержащему X точек. Это невозможно, ибо Ct — наибольший из
кругов, обладающих этим свойством. Точки, попавшие
внутрь Clt мы назовем точками ранга Хх.
3. Отбросим все точки ранга kt и для остальных га— Хх
точек построим наибольший из кругов С2, содержащий
столько же точек, сколько содержится единиц масштаба
• г_г
в его радиусе. Пусть его радиус Х2 —. Покажем, что
В самом деле, в противном случае круг С2 имел бы ра-
радиус, больший, чем Хх —, и содержал бы не меньше из
основных п точек, чем содержится единиц масштаба в его
радиусе. Это противоречит п. 2. Все точки, попавшие
в круг С2, назовем точками ранга Х2. Отбрасывая и эти
точки, построим для остальных п — Хх — Х2 точек круг С3—
наибольший из кругов, содержащих столько этих точек,
сколько содержится единиц масштаба в его радиусе. Пусть
тт
его радиус Х3 — . Очевидно, что Х3 <[ Х2. Точки, попавшие
в С3, назовем точками ранга А3 и т. д.

8] ОЦЕНКА МОДУЛЯ ГОЛОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ СНИЗУ 33'
Получим последовательность кружков
с радиусами, содержащими Xt, Х.2, .... Хр единиц масштаба,
причем Xj> Х2> ...> Хр и
4. Построим концентрические с Си С2 Ср кружки
М> Гд, . . . , Тр
вдвое больших радиусов и возьмем произвольную точку г
вне этих кружков. Опишем из точки г окружность Сг ра-
диуса X —, где X— некоторое натуральное число. Эга
окружность не пересекает кружков Cj радиуса, большего
или равного X. Таким образом, внутрь этого круга могут
попасть лишь" те. точки, ранг которых меньше чем к.
Из определения ранга точек следует, что после того
как отброшены все точки ранга, большего или равного X,
ни один круг с радиусом, большим или равным X — , не может
содержать столько точек, сколько единиц масштаба содер-
содержится в его радиусе.
В силу п. 2 отсюда следует, что в круге CZi\ содер-
содержится не больше чем X — 1 точек.
' 5. Перенумеровав все точки {ак} в порядке возрастания
их расстояний от z, получим:
§ 8. Оценка модуля гЬломорфной функции снизу
Теорема II. . Пусть функция f(z) голоморфна
в круге ) z | < 2eR (R > 0), /@) =1 и tj — произвольное
о
положительное число, не превышающее -д- е. Тогда внутри
3 Зш. 988. В. Я. Левин

34 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЧЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
круга | z К R, но вне исключительных кружков с общей
суммой радиусов, меньшей чем 4tj/?,
In |/B)| >— ЯG1IпМBеЯ) A.34)
при
Доказательство. Построим функцию
tw тт w (*-**>
где ot, а2, .... ап — корни f(z) в круге |г;| < 2#. Имеем:
,@)=1 и
Функция
не имеет корней в круге |2|<;2/?, и по следствию из тео-
теоремы Каратеодори для круга (теорема 9) имеем при
||
> — 2lnMfBeR). A.35)
Оценим теперь |<pB)| снизу. При [z[</?
Применяя к многочлену в числителе <р (г) оценку Картана
(см. теорему 10), получим, что вне кружков с общей сум-
суммой радиусов, равной
п
Ц
к = 1
и, следовательно,
По лемме 4

§ 9] РОСТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 35
что дает для |<р(г)| оценку
Соединяя это с оценкой A.35), получаем, что в круге
| z | < R, но вне исключительных кружков, с общей суммой
радиусов, не превосходящей величины 4^?
In | /(*) | > — B + In щ) In M BeR).
§ 9. Рост произведения двух целых функций
Непосредственно из определения порядка функции сле-
следует, что порядок произведения двух целых функций не
превышает наибольшего из порядков сомножителей.
С помощью выведенной в предыдущем параграфе оценки
модуля целой функции снизу это утверждение может быть
значительно уточнено. Именно, верна следующая теорема.
Теорема 12. а) Порядок произведения двух целых
функций различных порядков равен наибольшему из по-
порядков сомножителей и тип произведения равен типу
той функции, которая имеет больший порядок.
б) Произведение двух целых функций одного порядка,
одна из которых нормального типа о и другая мини-
минимального типа, есть целая функция того же порядка и
типа о.
в) Произведение двух целых функций одного порядка р,
из которых одна максимального типа, а другая не выше,
чем нормального, есть целая функция порядка р и ма-
максимального типа.
Эту теорему можно сформулировать короче, если ввести
понятие категории. Будем считать две функции f(z) и <?(z)
принадлежащими одной категории, если они одного порядка
и либо обе нормального типа, либо обе минимального, либо
обе максимального типа. В противном случае мы будем
считать принадлежащей старшей категории ту из функций,
которая имеет больший порядок, а в случае равных поряд-
порядков— ту, у которой больший тип.
Теорема 12 может быть теперь сформулирована так:
Если функции f(z) и y(z) разных категорий, то про-
произведение f(z)<o(z) имеет тот же порядок и тип, что
и множитель, принадлежащий к старшей категории.

8$ ОВЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦВЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Доказательство. Ограничимся доказательством
пункта б), так как остальные доказываются аналогично.
Пусть f(z) — целая функция порядка р и типа о>0,
а (р(г) — порядка р и минимального типа. Из асимптотиче-
асимптотических неравенств
Mf(r)<e(°+Y'r и M9(r)<e^rf
следует асимптотическое неравенство
Мл (/¦)<*(•+•>¦*. . A.36)
Для получения нужной оценки функции М^(г) снизу на
некоторой стремящейся к бесконечности последовательности
значений г мы применим к <p(z) оценку снизу, данную в § 8
(теорема 11). При этом мы можем считать, не нарушая
общности, что <р@)=: 1, ибо умножение функции <p(z) на cz~n
не меняет на порядка, ни типа этой функции.
Выберем сначала такое (произвольно большое) число Rv
чтобы выполнялось неравенство
и при
Такой выбор возможен при произвольных положительных е
и Ь, так как первое неравенство выполняется на стремящейся
к бесконечности последовательности, а второе — асимптоти-
асимптотическое.
Мы будем считать, что 0 < 8 < 1. Возьмем ч\ = -т? и
построим внутри круга | z | < R (R = Rt A— S)) исключи-
исключительные кружки, о которых идет речь в теореме 11. Сумма
диаметров всех исключительных кружков меньше чем §/?.
Поэтому в интервале (Rt, R) найдется такое число rv что
окружность
\z\ = rt
не пересекает ни одного исключительного кружка.
• По теореме 11 на этой окружности \z\ = rt
|> — B-f 1пЩ\пМ9BеЮ. A.37)

§ 9\ РОСТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 37
Так как Rt < rt < Лд (t — Ь)~\ то
Сопоставив с A.37), получим:
Ш Mf9(rt)> f{o—j-)(l -§W -
и так как
In /И?Bе/?) < 8Bв)рЛр < SA — 8)~р
то
При заданном е > 0 можно выбрать 8 настолько малым,
чтобы величина в квадратных скобках была не меньше чем
о — s. Следовательно,
для последовательности значений rv стремящейся к беско-
бесконечности, и теорема доказана.
Следствие. Если частное двух целых функций f(z)
a <p(z) есть целая функция ^{z), то ее категория не
больше старшей из категорий функций f{z) и <р(г), при
этом категории f(z) и ?(г) могут быть равны. Если же
категории этих функций различны, то категория функ-
функции <\(z) совпадает со старшей из категорий f(z) и <p(z).
Доказательство. Нам дано
?(*Ж*) = /(*)•
Если категория ty(z) больше, чем категория <р(г), то кате-
категория f{z) равна категории ty{z)' Таким образом, катего-
категория ty(z) не может превосходить категории f(z) и <р(г). Этим
доказана первая часть следствия. Очевидно также, что если
категория f\z) больше, чем категория «p(z), то категории/(г)
и 6 {г) равны. С другой стороны, категория f(z) может ока*
заться меньше, чем категория <р(г), ТОЛЬКО если категории
() и <^(z) равны. ,: .. .

38 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ-ФУНКЦИЙ (ГЛ. 1
§ 10. Теорема Адамара
Теоремы предыдущих параграфов дают возможность зна-
значительно уточнить теорему о представлении целой функции
бесконечным произведением. Это уточнение, принадлежащее
Адамару, относится к представлению целой функции конеч-
конечного порядка и является одной из классических теорем тео-
теории целых функций.
Теорема 13. Целая функция f(z) конечного порядкар
представляется в форме
( ) о-38)
где ап — все отличные от нуля корни функции f(z),
jtf<Cpi P(z) — многочлен, степень которого q не превы-
превышает р, а т — кратность нулевого корня.
Иначе эту теорему можно сформулировать так:
Род целой функции (определение рода см. на стр» 18)
не превосходит ее порядка.
Доказательство. Показатель сходимости pj корней
целой функции не превосходит ее порядка р, а целое число р
в каноническом произведении этой функции
не превосходит pv Следовательно, /><!р.
Остается показать, что целая функция g{z) в A.14) есть
многочлен степени q, не большей р. Для этого заметим, что
порядок канонического произведения равен показателю схо-
сходимости pi<^p. йо следствию из теоремы 12 целая функция
• «!•(*) =/С*) П-1 (*)*-*
имеет порядок, не больший р, и поэтому удовлетворяет
асимптотическому неравенству
Кроме того, функция,"<}i (z) не имеет корней. Таким образом,

§ 10] . ТЕОРЕМА АДАМАРА 39
— также целая функция, причем асимптотически
В силу неравенства Каратеодори отсюда следует, что
асимптотически
По теореме 1 гфункция g(z) — многочлен степени, не
большей р. Теорема доказана.
Для функции нецелого порядка степень многочлена
в экспоненциальном множителе меньше р и порядок
функции совпадает с порядком канонического произ-
произведения, а значит, и с показателем сходимости.
Таким образом, в этом случае
Р<Р<Р+1>
И рОД фуНКЦИИ /? = [р].
При р целом род функции либо равен р, либо равен
р — 1. В самом деле, если род меньше чем р, то q < p и
порядок функции р совпадает с порядком канонического
произведения, который равен показателю сходимости рх.
С другой стороны, />< pt </>-}- 1, так что />< р </>+1,
и так как, по предположению, /><р. тор = р—1.
Примеры. Функция
—делая, половинного порядка и ее корни Г2, 2'3, ... По
теореме Адамара она нулевого рода и потому допускает
представление
Из равенства /@)=1 следует, что с=1. Полагая
вместо z, получаем: .
sin nz

40 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 1ГЛ. J
откуда нахоДим также:
оо е
sin яг ==««_?? A—¦j)e"«
Итак, sin иг — целая функция не только первого порядка,
но и первого рода.
Аналогично для целой функции первого порядка
где (Oj (/= 1, 2, ..., п) все корни уравнения «*•-(-1 =0,
получается разложение
в котором ак — корни /(г). Нетрудно показать, что эта
функция также первого рода.
Функция
— целая нулевого рода. Однако у нее показатель сходимости
последовательности корней равен единице, и следовательно,
она первого порядка.
Вообще, если pt — показатель сходимости последователь-
последовательности точек {ап}—есть целое число и ряд
расходится, то род р канонического произведения равен его
порядку р = рх. Если же этот ряд сходится, то род канони-
канонического произведения равен р — 1.
Мы уже заметили, что у функций нецелого порядка есть
бесконечное множество корней и показатель сходимости
последовательности корней равен порядку функции. В этом
случае по утверждению а) теоремы 12 функция Дг) имеет
тот же порядок и тип, что и каноническое произведение.
Из этого замечания и теоремы 7 получается следующая,
более точная теорема.

§.Щ ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА 41
- Теорема 14. Если порядок р целой функции-f (г)
не равен целому числу, a b.f—верхняя плотность множе-
множества её корней, то при bf = 0 функция f(z) — минимального
типа, при Д,.=?0, оо нормального и при Д^гзоо макси-
максимального типа.
Так как порядок и тип функции /(г) — а при любом
комплексном а совпадает с порядком и типом функции f(z),
то из теоремы 14 можно заключить, что функция нецелого
порядка принимает все комплексные значения с «одинаковой
частотой».
§ 11. Целые функции целого порядка
Утверждения теоремы 14 перестают быть верными, если
порядок целой функции равен целому числу.
В самом деле, в этом случае порядок функции может
определяться степенью экспоненциального множителя, в то
время как показатель сходимости может быть меньше по-
порядка функции. В частности, корней может и вовсе не быть.
Но особенность целого порядка не только в этом. Ока-
Оказывается, что в этом случае тип канонического произведения
уже не определяется только верхней плотностью Д множе-
множества корней, но зависит и от распределения корней по аргу-
аргументам.
Для пояснения рассмотрим две функции:
Для обеих функций имеем:
h(r)~r.
т. е. плотность множества корней одна и та же, Однако
sm -^z —- первого порядка, и нормального типа, в то
время как <р(г) — первого порядка в максимального

42 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
типа. В последнем легко убедиться, воспользовавшись фор-
формулой Стирлинга *)
из которой следует, что
In Ж? (г) — г In г.
При исследовании функций целого порядка р существен-
существенную роль играет величина
где р — порядок целой функции /(г), а <хр — коэффициент
при гР в экспоненциальном множителе представления A.38).
Обозначим
bf = Ш I bf(r) | и у = шах (Дл SA
Г->ао
Вопрос о типе целой функции целого порядка решается
следующей теоремой Линделбфа [1]>
Теорема 15. а) Если род р канонического произве-
произведения целой функции f(z) — целого порядка, представ-
представленной A.38), равен ее порядку р^>1, то при ff=O
функция f(z) — минимального типа, при О ¦< fy < оо —
нормального и при ^=оо максимального типа.
б) Если род канонического произведения целой функции
меньше ее порядка, то ее тип равен модулю коэффициента
при г9 в экспоненциальном множителе, стоящем перед
каноническим произведением.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай р = р.
Введем в рассмотрение функцию
П °{i'>?-1) П °(*t'p)' (Ь39)
*) Эта формула обычно устанавливается для всех значений г,
лежащих внутри угла | argz| <я — о (см., например, Титчмарш [1]).
Однакб из соотношения Г (г) Г A — г) == — легко получить, 4to
51П Т^%
она верна вне кружков с центрами в точках 0, —1, —2, ... и
произвольно малого постоянного радиуса. Этого достаточно для
нашего заключения.

§ 11] . ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА 43
с помощью которой можно функцию /(г) представить в форме
где Pp-t(z) — многочлен степени, не превышающей р—I.
Это важное представление будет нами часто использоваться
при исследовании целых функций целого порядка.
Для оценки роста функции fB{z) мы воспользуемся не-
неравенствами A.21) и A.22). Предположим, что р> 1. Тогда,
если положить
= max |
0 < в < 2я
ТО
R
In MB (R) < А Г
, Г/У Г fn {t) + ^ f -^Щ
Интегрированием по частям можно, так же как и при
доказательстве леммы 3, получить неравенство
в котором ft. — постоянная. В случае р = 1 неравенство A.41)
получается аналогично.
Если \f—верхняя плотность множества корней f(z), то
асимптотически при е > О
и из A.41) следует асимптотическое неравенство
lnMk(R)<2k9{bf+S)Rf. A.42)
Кроме того, из A.40) следует:
f-1), A.43)

44 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ]ГЛ. 1
и если учтем A.42), то получим асимптотическое нера*
венство *)
lnMf (R)
или
A.44)
Для доказательства обратного неравенства заметим, что
согласно лемме 4
r->oo r? r->oo {erf
и, следовательно,
V A.45)
Остается дать аналогичную оценку величины 8^. Для этого
нам нужно оценить функцию /в (z) снизу. Это можно сделать
о
с помощью теоремы 11. Выберем число ¦*) =-о" *""8' Тогда
всюду в круге [2|<;г, но вне исключительных кружков
С общей суммой диаметров, меньшей числа 6е~ег, имеет
место неравенство
In I f9(z) | > — Н (| «-«) InMB (Я) = - 6 In Mb(R).
где R = 2er.
Так как 6е~8< -^, то между числами ¦=¦ и г найдется
такое число гг, что окружность 121 = /^ не пересекает
исключительных кружков. Из представления A.40) получаем,
что на всей этой окружности выполняется неравенство
Re [bf(R)zf] < 6 In МВ (Я) + 1пMf(rt) + О(Я^1).
*) Оценка канонического произведения непосредственно с ПО"
мощью неравенства A.24) дает при целом р оцегку

§ И]. целые функции целого порядка. 45
Выберем аргумент z так, чтобы zf и bf{R) имели аргу-
аргументы противоположных знаков. Тогда будем иметь:
. A.46)
)~I
Так как rt >De)~I#, то из A.42) следует, что
— йЦЮ<и^д 4е)Р A47)
Из A.45), A.46) и A.47) следует, что
3/,<Сол A.48)
где
Согдиняя A.45) и A.48), получаем:
0/.>C-iV. A.49)
Из неравенств A.44) и A.49) следует утверждение
теоремы в случае а).
Пусть теперь р < р. В этом случае сходится ряд
а следовательно, сходится интеграл
и, кроме того,
^?) = 0. A.51)
t->oo
По лемме 3 для канонического произведения II (г) функции
/(г) имеем оценку

46 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1
Из этой оценки, равенства A.51) и сходимости инте-
интеграла A.50) легко следует асимптотическое неравенство .
которое означает, что II(z) растет не быстрее, чем функция
порядка р и минимального типа. По теореме 12, б) отсюда
следует, что тип функции f(z) совпадает с типом экспонен-
экспоненциального множителя, т. е. равен модулю коэффициента
при zf в этом множителе. Таким образом, если род целой
функции ниже ее порядка, то (в случае целого порядка)
она — минимального типа. Отсюда следует, в частности, что
функция нулевого рода растет не быстрее, чем функция
первого порядка и минимального типа.
В заключение остановимся на смысле условий
пт | bf(r) | < оо, lim bf(r) = 0,
Г-*0О Г->00
которые играют существенную роль в случае равенства р = р.
При этом равенстве ряд
расходится. Поэтому ограниченность величины bf(r) возможна
только при особой симметрии в расположении корней ап.
При отсутствии такой симметрии lim | S^ (г) | = оо. Например,
г->оо
если все корни ап лежат на одном луче, то 8^(г)->-оо.
В этом случае согласно доказанной теореме f{z) максималь-
максимального типа. Именно так и было в рассмотренном нами при-
примере функции Г (z). Таким образом, у функции нецелого
порядка тип определяется модулями ее корней, а у функ-
функций целого порядка тип зависит также от распределения
корней по их аргументам.
§ 12. Уточненный порядок
Шкала роста, которой мы пользовались в предыдущих
параграфах, допускает дальнейшее уточнение. Так, напри-
например, Линделёф сравнивает In Mf(r) с функциями вида
.. 1пРГ,
где 1п^г = 1п1п^_1Г и ах, а2, .... ар — вещественные числа.

§ 12J уточненный порядок 47
Очевидно, что каждый следующий логарифм растет мед-
медленнее, чем любая положительная степень предыдущего.
Обобщенный порядок целой функции f(z) определяется как
такая система чисел р, <хх, а2> ..., «р, что при любом s > О
rp In"r In?г ... 1п;*-г < 1пЖДг) < гр1па'г1п?г.. Лп°р+шг
(з > 0),
причем правое неравенство—асимптотическое, а левое выпол-
выполняется для последовательности значений г, стремящейся к бес-
бесконечности. Порядок /, а^ <х'г а' целой функции /х {г)
считается больше, чем порядок р, at, a2 <хр целой фун-
функции f(z), если р' > р или р' =г р, но aj > oti или вообще
р' = р, «[ ==« «х a^j = a^_t hjj> a^. На эту более точ-
точную шкалу роста можно распространить все основные тео-
теоремы предыдущих параграфов.
В частности, можно показать, что при р нецелом асим-
асимптотические неравенства
In Mf(r)< rf In*11 ... lnVV
и
«,(,-)<rpinv... m;P+v
равносильны и, следовательно, в этом случае обобщенные
порядки функций Mf(r) и tif{f) равны.
Мы не будем доказывать эти теоремы, так как докажем
вскоре более общие. Можно было бы еще далее уточнять
шкалу роста, вводя для сравнения монотонные функции,
растущие медленнее любого из логарифмов ln^r, и т. д.,
но естественнее вместо дальнейшего уточнения определить
некоторым общим образом класс «медленно растущих» функ-
функций L (г) и сравнить In Mf(r) с функциями вида rfL (г).
На этот путь стал Валирон [1], введя понятие об уточ-
уточненном порядке роста.
Функция р(г), удовлетворяющая условиям *)
limp(r) = p и lim гр/(гIпг = 0, A.52)
называется уточненным порядком.
*) Здесь и всюду в этой книге утверждение lim <р (г) = А озна-
чает «предел существует и равен Аь.

48 ОБЩАЯ. ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1
¦ Если для некоторой целой функции f(z) величина
— \nMf(r)
отлична от нуля и бесконечности, то р (г) называется уточ-
уточненным порядком данной функции f(z), a af — типом
функции f(z) при уточненном порядке р(г). Очевидно, что
уточненный порядок данной функции и соответствующий тип
Определены не однозначно. Например, прибавляя к уточнен-
lfl С
ному порядку функции величину —,' мы получим новый
уточненный порядок этой функции, причем после этой замены
тип функции умножится на с.
По отношению к произвольному уточненному порядку
функция может быть минимального, нормального и макси-
максимального типа. По отношению к своему уточненному
порядку она нормального типа.
Положительную функцию мы будем называть медленно
растущей и обозначим L(r), если
Urn
L(r)
равномерно на любом отрезке 0<а^&<^?<оо.
При работе с уточненным порядком существенную роль
играет следующая лемма. «
Лемма 5. При любом уточненном порядке р(г) функ-
функция
есть медленно растущая функция *).
Доказательство. Положим
тогда
Предположим для определенности, что Q < о ^ k <! 1,
тогда в силу второго из условий A.52) при любом т\ > О
*) При некоторых дополнительных ограничениях, наложенных
на функцию L (г) (например, при логарифмической выпуклости L (г)),
верно обратное утверждение. . . • • ¦ ¦

§ 12] уточненный порядок 49
и достаточно больших значениях г получаем по теореме
Латранжа:
Кроме того, при достаточно больших г, в силу первого из
условий A.52)
и, следовательно, равномерно при 0 < а ^ k ^ 1
и 1 L(kr) „ .. L(kr) .
Hm In -7-7-^ = 0 или lim \ ' = 1.
г->оо *• v) г->оо *• V /
Аналогично рассматривается случай k > 1.
Установим сейчас несколько простых свойств уточненного
порядка, которые в дальнейшем будут часто использоваться.
1) При р > 0 функция гНг) монотонно растет для всех
достаточно больших значений г.
В самом деле',
(г? су = р (г) г? С/-!+/-р ()У (г) In r,
и из стремления к нулю величины гр'(гIпг следует, что
асимптотически
(гК'УХр —e)rPM-*>0 @<s<p).
Заметим, что утверждение остается верным и при р = О,
если только р(г)>0 и второе из условий A.52) заменено
условием ~j r In г-*-0 при г->¦ со (при р > 0 эти условия
эквивалентны).
В самом деле, в этом случае р (r) In r —> оо и
Так как при изучении асимптотических свойств поведение
уточненного порядка на конечном интервале не играет роли,
то мы будем считать в дальнейшем, что гр(г) — монотонная
функция при г^-0, и положим ее в нуле равной нулю. Это
не нарушит общности наших выводов.
2) При г->со и 0<а<^&^?<оо равномерно отно-
относительно k выполняется асимптотическое неравенство
4 Зак. 9S8 Б. -Я. Левин

50 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Это неравенство прямо следует из леммы 5 и определения
медленно растущей функции.
Заметим, что при k > 1 имеет место асимптотическое
неравенство
3) При А.<р+1
\ -X). A.53)
г
Действительно, интегрируя по частям, получаем:
I fi~^ftW~f /It jP(')+1—X
Из определения уточненного порядка следует, что асимпто-
асимптотически
Воспользовавшись этим, мы получим, что
г
a
и, наконец,
При X>p-J-1 можно аналогично получить формулу
00
Г t9(*)-* dt e X /+И-Х+1 + О (Г(> W-X-I), A 53')

§ 12] уточненный порядок 51
4) Если <р(г)—. ограниченная функция на любом конеч-
конечном интервале, то при к < + 1
где
Действительно, при е>0иг>г,
и, следовательно,
Применяя правило 3), получаем:
Отсюда уже непосредственно следует;
г
Аналогично получается, что
55
где
Из правила 4) и последнего замечания непосредственно по-
получается следующее предложение:

52 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
5) Если <f(t) — ограниченная функция на любом конеч-
конечном интервале и существует предел
то при X < р - {-1 существует предел
lim JX
r->oo
p+ 1 — X
Валирон доказал тот основной факт, что всякая целая
функция конечного порядка имеет свой уточненный порядок.
Таким образом, после введения понятия уточненного порядка
всякая функция конечного порядка может рассматриваться
как функция нормального типа.
Мы докажем несколько более общую теорему.
Теорема 16. Для всякой положительной при г > О
функции /(г), удовлетворяющей условию
можно так подобрать уточненный порядок р(г), что для
всех положительных значений г
и для некоторой стремящейся к бесконечности последо-
последовательности значений гп (я = 1, 2, ...)
Доказательство. 1. Вместо данной функции /(г)
нам удобнее рассмотреть функцию
рост которой меньше роста любой степенной функции.
Очевидно, что
Перейдя к логарифмической шкале, т. е. положив х = In г
и _у = 1п<р(/"). мы будем иметь:

§ 12] уточненный порядок 53
где <рх (х) = In «р (ех). При этом будет справедливо равенство
из которого непосредственно следует, что при любом s > О
и всех значениях х, превосходящих некоторое xt, вся кри-
кривая у = 9i (х) располагается под прямой
у = ex.
С другой стороны, существуют точки этой кривой с про-
произвольно большими абсциссами, расположенные над прямой
у = — sx.
2. Предположим сначала, что
Шп
и построим наименьшую выпуклую область, содержащую
все точки кривой у = <рх (х) и положительный луч оси ох.
Часть границы этой
области, расположен- у к
ная над осью абсцисс,
образует непрерывную
кривую (черт. 1)
О
Легко установить еле- „ ^
дующие свойства этой
кривой:
а) кривая обращена выпуклостью в сторону положитель-
положительных ординат *);
б) lim zS^l = 0;
Х+ + ОО Х
г) каждая крайняя (т. е. не лежащая внутри прямоли-
прямолинейного отрезка кривой) точка кривой у = ty (л;) принадле-
принадлежит также кривой _y = ?i(-*0. Т- е- В крайних точках
д) на кривой у = ty (x) есть стремящаяся к бесконечности
последовательность крайних точек.
*) Такие функции называются вогнутыми.

54 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Незначительно изменив кривую y = ty(x) в окрестностях
изломов, можно считать, что <!?{х) всюду дифференцируема.
Из а) и б) непосредственно следует, что
Urn </(*) = 0. A.54)
as->+oo
Возвращаясь к прежним переменным, мы можем записать
неравенство в) в форме
или иначе
и, наконец,
f(r)<r9 + —
Положив р (г) = р -J- **j ' , мы получим неравенство
/(г) < г( М (г > 0). A.55)
Кроме того, в силу свойств г) и д) существует стремящаяся
к бесконечности последовательность чисел гп, для которых
в A.55) имеет место знак равенства. Остается проверить,
что построенная нами функция р(г) является уточненным
порядком, т. е. удовлетворяет условиям A.52) Валирона.
Очевидно, из б) следует lim р (г) = р. Кроме того,
»¦-> оо
Отсюда, из б) и A.54) следует, что lim rp'(r)lnr = 0. Мы
г-*оо
построили функцию р (г) при том условии, что lim <ot (х)= оо.
as-»+oo
3. Покажем теперь, как общий случай привести к этому.
Для этого мы построим вогнутую кривую у = <{<! (х) таким
образом, чтобы
lim MfL = o, lim 4<J(*)=»0
и чтобы при этом lim [<ft(x)-\-^1(x)] = co. Построим кри-
а!->оо
вую 4i С*) следующим образом: проведем отрезок dt прямой

§\ 12] уточненный порядок 55
от начала координат до точки xt (черт. 2), в которой
Выберем положительное еа < вх и проведем из точки
(xv —*iX]) отрезок d.2 прямой
до какой-нибудь точки х.2 > xt, в которой
Из точки (л\2, —s1xl — г.2(х2 — хх)) проведем отрезок
с угловым коэффициентом —е3@<е3<е2) и т. д.
0
X,
' X
f\\y=<p,(x)
-J-.y—ffjjfXJ
Черт. 2.
Положительные числа zv s.2> s8, .. ., sn, ... мы будем
выбирать так, что st >s2 > s3 > ... > sn > .., и sn->-0,
а точки xv x2 xn, ... так, что хп -»¦ -j- oo . Очевидно,
что построенная нами ломаная y = ^t(x) удовлетворяет
условию
Urn
Несущественно изменив функцию tyt(x) в окрестностях
точек излома, мы можем сделать ее всюду дифференцируе-
дифференцируемой. Обозначим через <Ji(-*0 функцию с обратным знаком.
Построенная функция у = <!{1(х) обладает нужными свой-
свойствами.
Построим теперь для функции <pt (x) -J- ^ (х) выпуклую
мажоранту <1>а(де) так же, как в п. 2.
Положив затем
получим:

56 'ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
и на стремящейся к бесконечности последовательности край-
крайних точек { х'п}
Кроме того,
lim <У(х) = 0 и Игл 1^ = 0. A.56)
Положив, как и прежде,
ф (In Г)
получим из A.56):
lim р(г) = р,
г->оо
lim гр' (г) In г = lim L'(lnr)—
->+co r->+coL
r->+co r->+coL 'nr J
т. е. р(г) есть уточненный порядок. Кроме того,
и для стремящейся к бесконечности последовательности гп
Теорема доказана.
Заметим, что функция exp^(lnr) есть медленно растущая
функция L(r).
Во II главе нам понадобится следующее замечание.
Замечание. Построенная нами медленно растущая
функция, как легко видеть, представляется в форме
? /уч _ g4" (In »0-<l>i (In r)
где tyt(x) и ty%(x) — неограниченно растущие вогнутые функ-
функции, удовлетворяющие условию в).
Мы покажем еще, что в выражении для L (г) можно
функции $х(х) и ф2(^) заменить другими вогнутыми функ-
функциями Oj(jc) и *>2 (•*-)• также удовлетворяющими условиям,
a) lim r%(jc) = oo,
б) „т

4 12] уточненный порядок 57
и,'кроме того, дополнительному условию
б') Нт -^-^ = 0.
Для того чтобы это доказать, мы проведем следующее
построение. Пусть y = ty(x)— вогнутая кривая, удовлетво-
удовлетворяющая условиям Hm ty(jt) = oo, Нт ^-^ = 0> и пусть
Я-> +О0 Я!-> + оэ ¦*
(/0)—некоторая опорная прямая*) этой кривой. Выберем
на прямой (/0) точку (х0, у0) и проведем кривую AХ)
касающуюся прямой (/0) в точке (х0, у0). В уравнении этой
кривой гх — некоторое положительное число, а коэффи-
коэффициенты c'o1' и с'Р определяются из условия касания (/0) и AХ)
в точке (х0, у0).
где у'о — угловой коэффициент прямой (/0). Параметр с'/' мы
выберем положительным, но меньшим, чем у'о. Тогда коэффи-
коэффициент Cj> будет также положительным.
Кривая (lt) будет, очевидно, вогнутая и асимптотически
приближающаяся к прямой у = ср -j- с"' (х — х0).
Кроме того, из равенства
у'(
следует, что на всей кривой
у" (х
Если абсцисса х^ достаточно велика, то вся часть кри-
кривой 11г лежащая правее точки х0, расположится над кривой
ty{) Проведя, таким образом, кривую (lj) и уменьшая
*) Опорной прямой данной кривой называется прямая, имеющая
общие точки с кривой, причем вся кривая лежит по одну сторону
от этой прямой. (Подробнее об опорных прямых см. в § 19.)

58 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ , [ГЛ. I
затем величину cf при фиксированной точке (х0, у,) и вели-
величине г1( можно добиться того, чтобы эта кривая опиралась
извне на кривую y = fy(x) (черт. 3). Так как кривая (Zx)
вогнутая и не содержит прямолинейных отрезков, то точка
опоры (х'й, у'^ этой кривой должна быть крайн ей точкой
кривой у==
Возьмем затем числа s2 < зх и ei2) < Cj1' и выберем на
кривой A{) точку (xv у{) настолько далеко, чтобы часть
кривой A.2)
У = Со -+- С\ {х — хх) — с2 е ,
касающейся кривой (lt) в точке (xv ух), находящаяся правее
этой точки, лежала над кривой y = ty(x). He меняя точку
(jct, yt) и параметр з3 и умень-
шая параметр с\ , мы получим
кривую (/2), опирающуюся
на кривую y — ty(x). Далее
задаются числа s3 и cf' < СТ.
выбирается на 1.2 точка касания
(х.2, у.2), строится кривая A3)
и т. д. Этот процесс продол-
жается неограниченно, при-
причем числа st > г3 > г3 >...,
Черт. 3. 41)>ci2'>c?)>..'. выбира-
выбираются так, что з„ -> 0 и cin)->- 0.
Из отрезков кривых (/0), AХ) (/„), взятых между
точками сопряжения, составляется гладкая вогнутая кривая
у = 9 (я). Очевидно, что
lim 9(*) = oo, Hm
и 9 (х) ^ ф (jc), причем знак равенства имеет место на беско-
бесконечной последовательности чисел х\, х',.... х' х' ->¦ оо,
которым отвечают крайние точки кривой у = ty(x). Кроме
того, 9 (х) дважды дифференцируема всюду, кроме точек
сопряжения. В этих точках сопряжения график первой про-
производной у = Ь'(х) имеет угловые точки. Несущественно
изменив функцию Ь(х), можно сгладить эти углы так, чтобы
вторая производная 9"(лг) на интервале сглаживания нахо-

§12] уточненный порядок 59
дилась между правым и левым пределами функции Ь"(х)
в соответствующей точке сопряжения. На основании нера-
неравенства A.57) можно утверждать, что
И-
Построим теперь для вогнутой функции ^(х) мажоранту
{>! (х). Пусть ty2 (х) есть наименьшая выпуклая мажоранта функ-
функции <pj (х) = «р (х)+ 9Х (х) и Ь2 (х)—мажоранта функции ф2 (х).
Тогда будем иметь всюду &2 (х) > ?2 (*) > ? W + 8i (л)>
причем на некоторой стремящейся к -(-00 последователь-
последовательности точек х[, х'2 х'п соответствующих крайним
точкам кривой y = ty(x), имеет место равенство &2(д^) =
= $%(хп). Так как, с другой стороны, в крайних точках
кривой y = ty<i(x) верно равенство ^a(J<:) = tP
мы будем иметь:
Таким образом, мы построили функции ^t(x) и в2(д:), обла-
обладающие свойствами а), б), б') и такие, что
(*';-¦ оо).
В дальнейшем мы будем обозначать L*(r) функции,
допускающие представление
In L'(r) = »й (In г) —»j (In г),
в котором функции ?i(jc) и ^гС^) СУТЬ вогнутые функции,
удовлетворяющие условиям а), б), б').
Через р*(г) мы будем обозначать функции, определяемые
равенством
Функции р*(г), очевидно, образуют более узкий класс,
чем уточненные порядки р(г), однако, как видно из приве-
приведенных рассуждений, этот класс достаточен для того, чтобы

60 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
построить шкалу для функций конечного порядка. Точнее
говоря, в формулировке теоремы 16 можно заменить уточ-
уточненный порядок функцией р*(г). Функцию р*(г) мы будем
называть сильным уточненным порядком.
§ 13. Распространение классических теорем
на случай уточненного порядка
Изложенные в предыдущих параграфах классические
теоремы о связи между ростом функции
\nMf(r)
и распределением корней функции f(z) распространяются
на более тонкую характеристику роста, даваемую уточнен-
уточненным порядком. Обобщается также и теорема о связи между
типом целой функции и скоростью убывания последователь-
последовательности коэффициентов ее степенного разложения. Для того
чтобы точно сформулировать эту теорему, введем функцию
<р @. определив ее как единственное (при t > t0) решение
уравнения
Теорема 2'. Тип af целой функции
П=0
уточненного порядка р(г) определяется равенством
"пГ <р (я) УЫ = (?#е)Т. A.06')
п->оо
Доказательство. Покажем, прежде всего, что
Hmi^ = ftf. A.58)
Действительно, продифференцировав по In г равенство
In t = р (г) In г,
мы получим:

§ 131 РАСПРОСТРАНЕНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ 61
и, следовательно,
,. d\nt n
Это равенство иначе можно записать в форме
dint p
Таким образом, справедливы асимптотические неравенства
(I — е)<Нп*<«Пп<р(О<(|-|-е)<Лп*.
Интегрирование от t до )W дает асимптотические неравен-
неравенства
из которых сразу следует:
Теперь мы можем провести доказательство теоремы 2',
несущественно лишь изменив рассуждения, проведенные нами
при доказательстве теоремы 2.
Из неравенства A.07) мы получаем, что' при о > о^ асимп-
асимптотически
In | сп | < orP W — n In г.
Положив г равным корню уравнения
п = oprP W (о > <у),
получим:
или
и, переходя к пределу, будем иметь:
п-* со

62 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
а в силу произвольности о >¦ су
V ¦!
Нш ?(»)У|с„|<(Огре)Р. A.090
П-»оо
Следует показать, что в A.09') имеет место знак равен-
равенства. Определим число о равенством
П->оо
и покажем, что. предположение о < су приводит к противо-
противоречию. Выберем произвольное число Oj между о и <у
(о < ох < о^). Мы будем иметь при всех достаточно боль-
больших п
С помощью A.58) этому асимптотическому неравенству
можно придать вид
ы<
Итак, при всех значениях п > »0
1
и максимальный член р.^(г) ряда Маклорена функции /(г)
удовлетворяет неравенству
Выбрав в этом неравенстве п = [ojprPИ], будем иметь:

§ 13] РАСПРОСТРАНЕНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ 63
Отсюда в силу A.10) получаем, что при любом рх > р
а это приводит к противоречивому результату r^t
Таким образом, знак неравенства в A.09') невозможен.
Теорема доказана.
Перейдем теперь к теоремам о связи между типом целой
функции при данном уточненном порядке и распределением
ее корней.
Пусть /(г)—целая функция уточненного порядка р (г), т. е.
«,^ + 0. °°- 0-59)
г-*оо Гр(г)
Тогда при любом з > 0 асимптотически t
и по лемме 4
Воспользовавшись асимптотическим неравенством (см. 2),
стр. 49)
(erf{er) = e9rfL (er) < A + -rj) e9r9L (/•) = A + •»]) e'?(t-),
верным при любом f\ > 0, получим из A.59):
пг я/-<г) / „р.
Сохранив обозначение
мы запишем это неравенство в форме
Если р — нецелое, то можно получить обратную оценку.
В этом случае из представления A.38) целой функции и
леммы 3 получается:

64 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1
Из асимптотического неравенства
•и свойства 3) уточненного порядка получается:
In Mf{r) < А,
откуда следует:
где се — постоянная, не зависящая от функции /(г).
Таким образом, мы получили теорему, обобщающую
теорему 14.
Теорема 17. Пусть /(г) — целая функция нецелого
порядка $ и пусть р(г)— некоторый уточненный порядок,
причем Hmp(r) = p. Если при этом показателе \r—Q,
то /(г) минимального типа по отношению к р(г), если
0<Д^<оо, то нормального типа, и если Лу=оо, то
максимального.
Случай целого порядка является и здесь особенным. Мы
уже убедились в § 10, что в этом случае принадлежность
функции к минимальному, нормальному или максимальному
типу не определяется значением одной только верхней плот-
плотности Д^.
Определим для целой функции порядка р(г) величину 8^.
Независимо от сходимости ряда
мы представим целую функцию /(г) целого порядка р
в форме
П(г ) (°><°°)* A-380
п=1 ^ п
где P{z) = <*(z?-\- op_1zP-1 -f- ... -f-^«4- <*<)• Положим
\l<an

§ 13] РАСПРОСТРАНЕНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ 65
где L(r) = rfW-t, и введем величину
/., bf).
Вопрос о типе функции f(z) по отношению к данному
уточненному порядку решается следующим обобщением тео-
теоремы Линделёфа.
Теорема 18. Пусть f(г) —целая функция целого
порядка р и пусть р (/¦) — некоторый уточненный поря-
порядок, причем Шп р(г) = р.
Г->оо"
Если при этом ir=0, то f(z) минимального типа по
отношению к р(г), если 0<f^<oo, то нормального и
если ty. = oo, то максимального типа.
Проведем вкратце доказательство, воспользовавшись оцен-
оценками, сделанными нами при доказательстве теоремы 15а).
Независимо от того, совпадает род канонического про-
произведения с порядком функции или меньше его, функцию f(z)
можно представить в форме A.40). Из оценки A.41) и
свойства 3) уточненного порядка (стр. 50) легко следует,
что асимптотически
lnMB(R)<%rk(Af-{-*)R>iB). A.42')
Деля асимптотическое неравенство A.43) на /?Р(Л) и взяв
верхний предел при R -»• оо, получаем:
Для получения обратного неравенства мы заметим, что из
оценки п (г) ^ In /И (ег) вытекает неравенство
Ьг<е\ A.45')
для уточненного порядка. Кроме того, из неравенства A.46)
при помощи A.42') и A.45') получается:
где ct — постоянная. Из последнего неравенства и A.45')
следует:
of>c-iy. A.49')
Из A.44') и A.49') вытекает утверждение теоремы.
5 Зак. 988. Б. Я- Левин

66 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ (ГЛ- 1
При данном уточненном порядке можно ввести понятие
о категории функции, так же как это было сделано в § 9
для обычного порядка.
Функции f(z) и <?(г) относятся к одной категории,
если af и о9 оба бесконечны, конечны и положительны или
равны нулю. На такие обобщенные категории распростра-
распространяется теорема 12, а именно;
Категория произведения функций f(z) а ср(г) не пре-
превосходит большей из категорий сомножителей, и если
категории f(z) и <?(z) различны, то совпадает с боль-
большей из этих категорий;
Доказательство можно провести так же, как и в § 9.
Однако проще воспользоваться следующими соображениями,
основанными на теоремах 17 и 18. Из равенства
следует:
причем, если из двух слагаемых правой части по крайней
мере одно равно нулю или только одно равно бесконечности,
то имеет место знак равенства.
У функций нецелого порядка величины cf и А^ одновре-
одновременно равны нулю, бесконечности или положительному числу.
Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы для
этого случая. При целом р = lim p (г) надлежит еще при-
П->оо
нять .во внимание соотношение
Утверждение теоремы для целого р легко получится из
этих соотношений, если заметить, что по теореме 18 кате-
категория функции вполне определяется величиной т^=тах(8^, А^).
Следствие из теоремы 12 также непосредственно переносится
на случай обобщенной категории.
Для более тонкого исследования зависимости между ро-
ростом функции и распределением ее корней уже недостаточно
той грубой характеристики роста, которая дается асимпто-
асимптотическим поведением функции Mf{r). В § 16 мы введем и
изучим более тонкую характеристику роста, дающую зави-
зависимость роста функции f(z) от направления, по которому
точк^ z стремится к бесконечности.

§ 14] ПРИНЦИП ФРАГМЕНА И ЛИНДЕЛЕФА 67
При этом окажется, что рост функции существенно за-
зависит от распределения ее корней по аргументам даже в слу-
случае нецелого порядка.
Для изучения этой характеристики роста нам понадо-
понадобятся некоторые общие теоремы теории функций, которые
мы изложим в двух следующих параграфах.
§ 14. Принцип Фрагмена и Линделёфа
Принцип максимума модуля состоит, как известно, в том,
что модуль функции f(z), голоморфной в некоторой области
и непрерывной в замыкании этой области, принимает наи-
наибольшее значение на границе области. Этот важный прин-
принцип был распространен Фрагменом и Линделёфом [1] на тот
случай, когда непрерывность функции нарушается в неко-
некоторых' исключительных точках границы, при том, однако,
условии, что при приближении к этим точкам модуль функ-
функции не слишком быстро возрастает. В основе лежит сле-
следующая теорема.
Теорема 19. Пусть f(z)—функция, голоморфная
в некоторой области Q, и пусть существует голоморф-
голоморфная в этой области функция »(г), причем /(г) [«(г)]6
имеет при любом 8 > 0 предельные значения во всех точ-
точках границы О (включая бесконечно удаленную точку,
если она является граничной) и на всей границе
|/(г)[ш(г)]8|</И, A.60)
причем М не зависит от 8.
Тогда
во всей области О.
Доказательство. Из обычного принципа максимума
модуля следует, что выполнение неравенства A.60) на гра-
границе области влечет за собой выполнение этого же нера-
неравенства всюду внутри области *). Пусть точка z0 принадлежит
*) Если функция и (г) имеет корни в области О, то /(г) [<о (г)]'
не^будет голоморфной функцией в G, но модуль этой многознач"
ной функции однозначен в О. Принцип максимума модуля перено"
сится на этот случай без существенных изменений в доказательстве*
5*

68 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
области G и ш(го)=?О. Тогда при любом 3>0
|/(го)|<Л1|ш(го)Г8
и, следовательно,
|/(го)|<Ж. A.61)
Корни функции <о (г) — изолированные точки, и по прин-
принципу максимума модуля неравенство A.61) должно выпол-
выполняться и в этих точках, т. е. во всей области О.
Заметим, что знак равенства не может достигаться во
внутренней точке области, если функция f(z) — не постоян-
постоянная. Из этого общего принципа выводится ряд важных тео-
теорем, которые часто применяются в различных вопросах.
Теорема 20. Пусть функция f(z) голоморфна в об-
области G, граница которой содержит бесконечно удален-
удаленную точку, и пусть во всех конечных точках границы
\№\<М. A.62)
Если при этом |/(г)| ограничен в области G, то не-
неравенство A.62) выполняется во всей этой области.
Доказательство. Вырежем из области О кружок С
радиуса г с центром в какой-нибудь точке г0. Положим:
Z — Zq
Функция /(г)|ов(г)]8 стремится к нулю на бесконечности, и
так как |ш(г)|<1 при \г — го|>/-, то на всей границе
области, оставшейся после вырезывания кружка С, будем
иметь:
|/(г)[•(*)]• |< И«.
Кроме того, на окружности \z — го| = г будем иметь:
где Жх= max \f(z)\.
|s-zo|=r
щему принц
области
| f(z) |< max (Ж, Mj) (z?Q — С).
|s-zo|=r
По общему принципу Фрагмена и Линделёфа во всей
оставшейся области

§ 14] ПРИНЦИП ФРАГМЕНА И ЛИНДЕЛЙФА 69
Устремим г к нулю. При этом lim Mt = \f(z0)\ и
|/(г)|<тах(Л1, |/(го)|) (г 6 О).
Если | /(г0) | > М, то получается, что во всей области О
Но во внутренней точке г0 функция |/(го)| не может при-
принять своего максимального значения. Поэтому \f(zo)\^M
и, следовательно,
|/B) |</И при z?O.
Весьма важную роль будет играть в дальнейшем теорема
о росте функции внутри угла, полученная Фрагменом и
Линделёфом из общего принципа.
Предварительно введем следующие понятия. Обозначим
Мг{г, а, р)= max |/(re«)|
и назовем порядком р и типом af функции /(г) внутри
угла a^iTgz^.^ величины
_ 1ПЫМГ(Г, а, р) -_ \ПМГ(Г, а,
р = lim г и af = hnv
Теорема 21. Пусть функция f (г) голоморфна внутри
угла раствора — и непрерывна на его границе. Предпо-
Предположим, что на сторонах этого угла
\№\<м
и что порядок р этой функции меньше чем а. Тогда
всюду внутри этого угла.
Доказательство. Не нарушая общности, можно
рассматривать угол |argz|<!^.
Положим:

70 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
где р < f < а* Тогда асимптотически внутри угла
I/(*) [«(г)]81 = | f(z) | е ~м008т<» (г = re®, 8 > 0)
и, следовательно, при р < pt < f
Итак, показано, что функция
равномерно стремится к нулю внутри угла |arg,z|<? при
г ->• оо. Так как, кроме того, модуль этой функции огра-
ограничен числом М на сторонах угла, то в силу общего прин-
принципа Фрагмена и Линделёфа
внутри всего угла.
Доказанная теорема точна в том смысле, что существует
функция порядка р внутри угла раствора — и ограниченная
на сторонах этого угла. Примером такой функции может
служить
взятая внутри угла | argz | -^ =--. Однако и в случае угла
раствора — можно дать оценку модуля f(z) внутри угла,
зависящую от типа.
Теорема 22. Если f(z) — функция порядка р и типа
о>-0, голоморфная внутри угла larg^l^s", и если на
сторонах этого угла
то внутри всего угла имеет место неравенство

§ 14] ПРИНЦИП ФРАГМЕНА И ЛИНДЕЛЙФА 71-
При этом угол |arg2|<y может быть, конечно, заме-
заменен любым другим углом раствора —.
Доказательство. Функция
ограничена на сторонах угла | arg г [ -^ g- и. кроме того,
ограничена на положительном луче.
Применяя к этой функции теорему 21 внутри каждого
из углов 0<argz<^- и — ^-<argz<0, мы убеждаемся
в том, что <ре(г) ограничена внутри всего угла. Следова-
Следовательно, по теореме 20 внутри этого угла
или
и, наконец, в силу произвольности s
В частности, если функция /(г) порядка 1 и типа о
в верхней полуплоскости (Im z ]> 0) ограничена на вещест-
вещественной оси
!/(*)|< >И (-оо<*<оо),
то во всей полуплоскости Im z !> 0
|/(г)|<Л1е°1т*. A.63)
При а—'0 теорему 22 можно рассматривать как неко-
некоторое усиление теоремы 21. В самом деле, в этом случае
она отличается от теоремы 21 тем, что требование, чтобы
порядок р функции f(z) внутри угла был меньше —, заме-
заменяется более слабым требованием, чтобы она была не более
чем минимального типа внутри этого угла при порядке
К-Т-.
Следствие. Если целая функция /(г) не выше, чем
первого порядка и минимального типа, и ее модуль огра-
ограничен на какой-нибудь прямой, то она постоянна.

72 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
В самом деле, в этом случае |/(г)| ограничен в каждой
из полуплоскостей, на которые эта прямая делит плоскость,
т. е. |/(г)| ограничен во всей плоскости, и по известной
теореме Лиувилля f{z) — постоянная.
Заметим также, что совершенно аналогичными рассужде-
рассуждениями можно доказать следующую теорему Фрагмена и
Линделёфа для полосы.
Пусть /(г) — функция, голоморфная в полосе |.у|<Л|
причем
/)|<Л1 и |/(
и 0<;&<2-. Тогда |/(г)|<Л1 во всей полосе.
В самом деле, выбрав
мы будем иметь:
| ю (z) |s == е-Ье"х oos "V (8 > 0).
Положив Mt = m ах | f(iy) | при —Т<.У<Л и Щ~
= тах(Л1, М{), получим по принципу максимума модуля
во всей полуполосе х~^0, \y\4^.f. В силу общего принципа
Фрагмена и Линделёфа будем иметь |/(г)|<;Ж2 при х^>0,
Точно так же доказывается это неравенство для левой
полуполосы х <; 0, |.у|<Л. По теореме 20 отсюда следует
что
|/(г)|<И«
при Ы<л-
§ 15. Индикатор функции
Для характеристики зависимости роста функции конеч-
конечного порядка р, голоморфной внутри угла bL <; arg z <1 62,
от направления, по которому точка z стремится к бесконеч-
бесконечности, Фрагмен и Линделёф [1] ввели функцию
h F)= п5 ln|/yi9)l (e1<

§ 15] ИНДИКАТОР ФУНКЦИИ 73
которую называют индикатором функции f(z). Заметим,
что для функций нормального типа внутри угла индикатор
ограничен сверху, а для целых функций нормального типа
он в силу теоремы 11 ограничен и снизу.
Непосредственно из определения индикатора функции
следует, что индикатор произведения двух функций f(z)
и <р(г) одного порядка не больше суммы индикаторов со-
сомножителей
й?/,F)<й? F)+ /1,(8) A.65)
и индикатор суммы двух функций не больше наибольшего
при данном 0 из индикаторов слагаемых
W9)<тах(йгF), А?F)). A.66)
Проверим второе из этих утверждений:
Кроме того, легко проверить, что если при каком-нибудь
значении 9 индикаторы слагаемых неравны, то в A.66) имеет
место знак равенства.
Для функции
голоморфной внутри любого угла
и ее индикатор равен
Такой индикатор мы будем называть «тригонометрическим»,
а выражение a cos рб -\-Ь sin рб обозначать Н(Ь). Легко ви-
видеть, что функция ЯF), принимающая в точках Ьх и 6а
значения ht и А2, дается равенством
_ hi sin р F2 - 8) + fr sin p F - 6t) t

74 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Лемма б. Пусть h (9)—индикатор функции порядка р,
голоморфной внутри угла ОХ<Й<;62> 62— 91<—, а
пусть функция Н(Ь) определена равенством A.67). Тогда
для всех Ь на интервале (бх, 6.2)
АF)<ЯF). A.68)
Это свойство называется тригонометрической выпук-
выпуклостью.
Доказательство. Построим функцию
Нь (б) = аь cos рб -\- &8 sin рв,
принимающую в точках 8Х и 62 значения Ах —J— S и А2-(-8
E > 0). Функция
имеет индикатор *)
Таким образом, вдоль лучей arg? = 61, 6a функция <р(г)
стремится к нулю.
По теореме Фрагмена и Линделёфа <р(г) ограничена
внутри всего угла bt <[ arg z ^ Й2 и, следовательно, ее инди-
индикатор не больше нуля. Таким образом, при любом 8 > 0
в), 61<6<62,
откуда следует A.68).
Из леммы 6 следует, что если индикатор функции коне-
конечен при в =: вх, 6а (82 — вх < — J, то он ограничен сверху
при всех значениях 6 из отрезка 6t ^ 8 <^ 62. Кроме того,
если при каком-нибудь значении 8 = 60 на этом отрезке
*) Здесь мы пользуемся следующим общим фактом: если суще
ствует lira <p (г), то
"in [/(г) ± ?(г)]= Ш5 f(r)± Hm

§ ,16] ОСНОВНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ ИНДИКАТОРА 75
то АF)= —оо во всем интервале (91( 92). Последнее легко
получить, если принять 60 за конец отрезка и несущественно
видоизменить рассуждения в лемме 6. Иногда удобна сле-
следующая эквивалентная формулировка леммы 6:
Если в1'<9а<е8, 83 —0Х<- и Л(Й1)<Я(91), .АF2)>
>Я(82),'то Р
Из этой формулировки следует, что если h (92) = оо, то
) = оо внутри некоторого угла, содержащего луч 8 = 02.
§ 16. Основное соотношение для индикатора
¦ и аналитические свойства индикатора
Если воспользоваться равенством A.67), то лемму 6
о тригонометрической выпуклости индикатора можно сфор-
сформулировать в следующей симметричной форме.
Теорема 23. Индикатор ЛД8) функции f{z) го-
ломорфной и порядка р внутри угла ^^ argz<;68>
63 — 9Х < — удовлетворяет соотношению
— e3) + AF2)sinp(83 —
+ AF8)sinp(9t — 82)<0 A.69)
при 0Х< 82 < 83.
Неравенство A.69) мы назовем основным соотношением
для индикатора. Это неравенство не меняется при круго-
круговой перестановке величин 6lf 6.3, 63 и меняет свой знак при
перестановке любых двух из этих величин.
Из основного соотношения мы получим ряд аналитиче-
аналитических свойств тригонометрически выпуклых функций подобно
тому, как они получаются для обычных выпуклых функций.
Для этого преобразуем сначала основное соотношение
следующим образом:
h @) sin р (93 — Йх) + h (Ь3) sin р (9Х - 9) +
+ h (9^) [sin p (9X — 93) — sin р {\ — Щ] <
(8х.<8<9з). A.70)

76 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Деля обе части неравенства на sin р (в — bt) sin р (98 — 6Х),
мы получим:
sin p F — Oj) ^ sin p Fg — bj) *
-j- А (8«) sin p -S-=—sec p 8 o * sec p—^—-. A.71)
2. 2. Л
Переставляя величины 9,, н б и учитывая знак дели-
делителя, можно показать, что неравенство A.71) имеет место
и при 8 < Gt < 93.
При 93 < 8Х < 9 и при 63 < 8 < 6Х знак неравенства
в A.71) меняется на противоположный.
Установим следующие свойства тригонометрически выпук-
выпуклых функций А@), ограниченных на некотором интервале:
а) Функция А F) непрерывна.
Очевидно, достаточно доказать это свойство для интер-
интервала длины, меньшей —.
р
Записав A.71) при bt < 8 < 68 и при 83<9Х<9, мы
получим, что при 6 > 9j отношение
h (8) - h Ft)
sin p F — Bj)
ограничено. Записав A.71) в двух других случаях, мы по-
получим,' что это отношение ограничено и при 6 < 6г. Из
ограниченности этого отношения, очевидно, вытекает непре-
непрерывность А (в).
б) А F) имеет в каждой точке производную справа и
слева.
Доказательство. Обозначим
k = max
при |63 — 01К^< — и bt < 6 < 0а. Из неравенства A.71)
можно получить, что
/г (8)— АFг) ^h(%) — h(bt) ¦ ,ш fl s (h
sin р (в - 60 < sin p (в, - h
и, следовательно, ограниченная величина

§ 16] ОСНОВНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ ИНДИКАТОРА 77
монотонно убывает при 6-*-814-°- Отсюда следует, что
существует предел
= Нш [ргF, Ьг)].
Аналогично доказывается существование производной
слева.
в) Производная справа в каждой точке не меньше
производной слева
Это неравенство получается непосредственно, если запи-
записать A.71) при 0<61<63 и перейти к пределу при 6->6х—О
б^ + O
зi +
г) Производная h'+ F) непрерывна справа и производная
h- (Ь) непрерывна слева.
Доказательство. Выбрав 8Х < 6 < 63, мы можем
аналогично A.71) получить:
sin р (в — вв) ^
в —в, 6,-6. в —
-LsecP-S^-secP-V
ИЛИ
> sin p (et- в3) — *<в — В^- (Ь73)
sin р (в -в8) > sin p (et-
Переходя к пределу при 8-»-68 — 0, получим:
A-(93)>P'-(«t. О,) —р*(в, —6t).
Аналогично из A.72) получаем:
Из двух последних неравенств следует, что
й'_ F3) — h'+ ф,) > - 2Ар (в8 — 9Х); A.74)
сопоставляя это со свойством в), мы приходим к выводу,
что функции

78 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
суть неубывающие на отрезке [91> 91-f-gr). Таким образом,
существуют пределы А_ (9— 0) и A+F-f-0).
Переходя к пределу при s —>- —J— 0 в равенствах
в
получим:
А
и Л'_ (в) = Л1 (в — 0).
д) Функция А F) имеет производную всюду, кроме,
быть может, счетного множества точек.
Для доказательства запишем A.74) в форме
h'+ Ft) - й'_ (9Х) - 2Ар F8 - bt) < й'_ (98) —
Если 6Х — точка непрерывности А_ (9), то
Сопоставляя со свойством в), заключаем, что А@) имеет .
производную во всех точках непрерывности монотонной
функции A_(e)-f-2ftp'J, т. е, всюду, за исключением, быть
может, счетного множества точек.
е) Если 60 — точка максимума или минимума функ-
функции h (й), то при | 6 — 901 ^ —
A(f))>A(90)cospF — 90).
В самом деле, в точке максимума Л'F0) = 0, а в точке
минимума п'+ (90) >¦ 0 >- п'- (90), Положив в A.71) 61 = 9О и
перейдя к пределу при 9—>90-(-0, получим:
0
или
при 0<98

i.lQ] ОСНОВНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ ИНДИКАТОРА 79
Аналогично получается оценка слева от точки 60.
Заметим,- что если 60 есть точка максимума А (б) и
АF0) = 0, то из доказанного свойства следует, что й@)==О
в некоторой окрестности точки 90.
ж) При любых в«р(а<Р) ¦
hi (р) — А+ (а) + Р9 / h (в) db > О, A.75)
а
причем равенство имеет место лишь при
где о и Ь — постоянные.
Доказательство. Из неравенства A.71) следует
при в -+ Ьг:
Поменяв местами 8Х и 83, получим:
— ti Гй ^> й Fз) — h (9i)
7 (а)> sinp(e3 —
и после вычитания
. A.76)
Разобьем интервал (а, [3) точками Sj, 92, .... Ь„_1г
в которых существует производная А'(8); запишем для каж-
каждого из подинтервалов неравенства A.76) и просуммируем
эти неравенства. Получим:
Для получения неравенства A.75) нужно перейти к пре-
пределу при max | bj+1 — 6^-1 -> 0.
Пусть при некоторых а и [3 (,3 > а)
s (а, р) = А'_ (?) — А+ (а) + pa J А F)d9 = 0. " .

80 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. I
Так как при а < 9 < J3
в ' AlF)
и
*(«, в)>0, в(в, р)>0. А+(в) — А',
то
или
Таким образом, знак равенства в A.75) будет лишь при
А F) = a cos рб + * sin рб.
Свойство ж) есть характеристическое свойство триго-
тригонометрически выпуклых функций. Иначе говоря, для того
чтобы функция А (8) была тригонометрически выпуклой
при некотором р «о интервале (а, |3), необходимо и
достаточно, чтобы функция
е
К<Р)*р A.77)
была не убывающей на этом интервале.
Следует доказать только достаточность.
Предположим сначала, что s(p) — дифференцируемая
функция. Тогда
Функция Грина *) G(ty, 6) дифференциального оператора
А"+р2А на интервале 6Х < 6 < Ь3 (о < Ьх < 63 < — V удо-
удовлетворяющая граничным условиям О (8Х, 6) = О F8, 6) = 0,
имеет вид
, 9)=
1 —68) f Y^
*) О функции Грина см., например, Дж. Сан соне [1].

§ 16) о:нозно1 соотношение для индикатора 81
Решение уравнения A.77) можно записать в форме
в1пр(в,-в,) ^
/ Л(ф). A.78)
«1
Если $(9)— недифференцируемая функция, то, приближая
ее неубывающими дифференцируемыми функциями и пере-
переходя к пределу в A.78), мы и в этом случае получим пред-
представление функции А (9) в форме A.78).
Так как О(ф, 6)< 0 при bt < <|», 9 < 83 и s(fy — неубы-
неубывающая функция, то из A.78) следует:
>sln P (fl« ~ 9) + A <Ц sln P(fl ~ fli> • л f<n
A(b) — тригонометрически выпуклая функция во всяком
в
интервале, в котором функция А'(б)-(-р2 JAF)dO — неубы-
неубывающая.
Равенство в A.79) хотя бы при одном значении 9 Ф б1( б3
возможно лишь, если интеграл в A.78) равен нулю, т. е.
s(b) сохраняет постоянное значение в интервале Ьх < ф < Й8,
иначе, говоря, если А F) = /lcospb + 5sinpfr.
Формула A.78) остается верной и при 03 — ()i>—•
Нужно только, чтобы 98 — 6Х не было равно целому крат-
кратному —, так как при этом функция Грина не существует.
Покажем теперь, что всякой неубывающей функции 5(9)
отвечает периодическая, тригонометрически выпуклая
функция А (9). Для этого следует построить функцию Грина
оператора А" + р9А, удовлетворяющую периодическим гра-
граничным условиям
G@, 9) = GBir, 9) и 0^@, б) = 0^Bтс, Ь).
При р нецелом функция
удовлетворяет условиям
G(fi — 2ir, в) = 0F, 6) и G^(9 —2и, 9) —Оф
6 Зшс 988 Б. Я. Левин

82 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Продолжив эту функцию периодически с периодом 2гс,
мы получим нужную функцию Грина. Если функция sty)
дифференцируема, то функция
h F) = Г О ty, 6) ds ty)
о
является единственным периодическим решением уравнения
A.77'). Если sty) — недифференцируемая, то, приближая ее
дифференцируемыми функциями и переходя к пределу, мы
убедимся в том, что это представление имеет место и
в общем случае. Если 9 — точка непрерывности sty), то ин-
интегрирование от нулядо2тс можно заменить интегрированием
в пределах от 6 — 2тс до 9, положив при этом s (Q -f- 2tt) ==
= sBic) — s(O)-f-s@). Тогда будем иметь:
в
^- Г cospF — <]< — n)dsty). A.80)
е-г*
Формулы A.77) и A.80) взаимно обратны и устанавливают
связь между всеми периодическими тригонометрически вы-
выпуклыми функциями при данном нецелом р и всеми неубы-
неубывающими функциями на интервале @,2тг).
Несколько сложнее случай целого р. Прежде всего за-
заметим, что в этом случае при заданной тригонометрически
выпуклой функции А (в) с периодом 2it функция s(b), опре-
определенная равенством A.77), должна удовлетворять условию
2п
= 0- A.81)
о
Действительно,
2п 2п 2п
J eW ds ty) = р J e^h (<]*) <ty+ J e^d {h' (<}»)},
о о о
и, преобразуя второй интеграл двухкратным интегрирова-
интегрированием по частям, получаем A.81). Мы покажем, что всякой
монотонной функции sty), удовлетворяющей условию A.81),
отвечает тригонометрически выпуклая функция с периодом
2тг, удовлетворяющая уравнению A.77). Однако это реше-

§ 16] ОСНОВНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ ИНДИКАТОРА 83
ние уравнения A.77) нельзя строить сейчас так же, как и
в случае р нецелого. В самом деле, при р целом однород-
однородное уравнение А" + р2А = 0 имеет периодические решения
cospQ, sinpft, и поэтому не существует функции Грина,
удовлетворяющей периодическим граничным условиям. Однако
в этом случае можно построить обобщенную функцию Грина,
дающую периодические решения неоднородного уравнения
A.77') при s'(9), ортогональной к решениям однородного
уравнения cospQ, sinpf).
Для построения этой обобщенной функции Грина заме-
заметим, что функция
удовлетворяет уравнению
Giee + p2Gl = 2cospF— ф).
Кроме того,
GtF — 2ir,6) — Ql(b,b) = O, О^(Ь — 2тг, в) — 0^F, 9) =
Если продолжить функцию О (ф, б) периодически с периодом
2тг, то получится обобщенная функция Грина. Таким обра-
образом, если s(ty)— дифференцируемая неубывающая функция,
удовлетворяющая условию A.81), то любое периодическое
решение уравнения A.77') может быть представлено в форме
+ Лсозр9 + Взтр9. A.82)
Остается рассмотреть случай недифференцируемой монотон-
монотонной функции s(9), удовлетворяющей условию A.81). В этом
случае следует аппроксимировать s(9) с помощью дифферен-
дифференцируемых функций, удовлетворяющих A.81). Например, за
аппроксимирующие функции можно взять
Ь+к
1
(При этом принимается, что * (9 + 2тс) = s F) + s Bir) — * @).)
Затем следует сделать предельный переход в формуле A.82).
6*

84 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Таким образом, при целом р формулы A.77) и A.82)
взаимно обратны и устанавливают соответствие между всеми
периодическими и тригонометрически выпуклыми при дан-
данном р функциями А@) и всеми неубывающими на @,2ic)
функциями s(p), удовлетворяющими усло.виюд( 1.81). Сфор-
Сформулируем результат в виде отдельной теоремы.
Теорема 24. Общий вид периодической функции h ф)
с периодом 2тг, тригонометрически выпуклой при некото-
некотором р > 0, дается при р нецелом равенством
е
/ A.80)
где s($)— произвольная неубывающая функция на
F — 2u ^ <|< < в), а при р целом—равенством
в
в2
в2тс ,
+ ;4cO8p6-|-?sinp6, A.82)
где А и В — постоянные, a s(ty) — произвольная неубываю-
неубывающая функция, удовлетворяющая условию
2п
J e*r*ds (ф) = 0. A.81)
о
Функция s(b) выражается через h (9) по формуле
в
Теорема 24 будет нами использована в главе II.
Отметим' в заключение еще одно почти очевидное свой-
свойство индикатора, которым часто приходится пользоваться:
з)
*) Можно непосредственно проверить, что функции, предста-
представленные формулами A.80) и A.82), удовлетворяют уравнению A.77).
Это дает независимое доказательство теоремы 24, так как при р
нецелом периодическое решение уравнения A.77) единственно,
а при р целом определено с точностью до слагаемого вида
A cos рб + В sin рб.

§ 17] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 85
Это свойство получается непосредственно из основного
неравенства A.69), если положить ^ = 6, Ь2 = Ь-\--^- и
§ 17. Вспомогательные функции
Исследуем специальные целые функции, которые нам
понадобятся для изучения индикатора при уточненном по-
порядке. Эти функции будут играть в теории уточненного
порядка ту же роль, что и функции
при изучении целых функций порядка р и нормального ти-
типа *). Кроме того, эти функции будут играть основную роль
в главе II при разыскании асимптотических формул для
функций с особой правильностью в распределении корней.
Так как нам придется рассматривать логарифм канони-
канонического произведения, то для выделения однозначной ветви
этой функции мы определим функцию
In О (и; р)
в плоскости и разрезанной вдоль положительного луча,
положив на верхнем борту разреза argG(#; p) = 0. Если
в плоскости z провести разрезы, идущие по лучам, исходя-
исходящим из нуля, от всех корней канонического произведения
П(г) до бесконечности, -то в полученной звездной области
функция
г")
однозначно определена.
Прежде всего мы дадим асимптотическое выражение для
функции 1пП(.г) в том случае, когда все корни П(г) лежат
на одном луче, множество корней имеет плотность Д и
р — нецелое число.
Заметим при этом, что нетрудно построить последова-
последовательность {aft} положительных чисел, имеющую заданную
*) Эти функции были построены впервые Валироиом .(см. [3]),

86 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
плотность Д при данном уточненном порядке р (г). Для этого
достаточно положить ак равным единственному положитель-
положительному корню уравнения
Для получения этой асимптотической формулы нам понадо-
понадобятся две леммы.
Лемма 7. Если множество {ак} точек на плоскости
таково, что при некотором С > О и уточненном по-
порядке р(г)
n(r)<Cr?W A.83)
и
л B)= П G(?; р) (р<9>- с1-84)
то асимптотически
A.85)
причем постоянная Ср не зависит от а.
Доказательство. При р>0 из неравенства A.21)
следует, что
или
Последний интеграл можно вычислить по формуле A.53)
и, следовательно, асимптотически
; A.86)
причем С' не зависит от о.
При р = 0 и р>0 неравенство A.86) получается анало-
аналогично из A.22).

§ 17] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 87
Оценим теперь mgfa(z). Имеем:
р
|argO(a; р)|< 2*+ j1^ < А', \а\р ПРИ 1«1>1- A-87)
4 = 1
Отсюда получаем:
or
I arg/, (z)| < л;гр J ^ + 2«я (or),
о
Оценивая этот интеграл так же, как предыдущий, мы
получим, что
2)|<C;oP-»rPW. A.88)
Из A.86) и A.88) следует утверждение леммы.
Лемма 8. Пусть множество {ак} удовлетворяет
условию A.83) а пусть
*/(*)= П
Тогда асимптотически
I In t/(^)|< СЫ tP-*-Vp (*¦),
г(?е постоянная С№) ие зависит от т. '
Доказательство. Из разложения
следует, что при | и | < -^-
Из этого неравенства следует, что
о-89)
; 2—/-P+1.

88 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Иначе
оо
| In J(z)\ < 2СГР+1 J t? W -P-a dt,
¦vr
и по правилу A.53') вычисления интеграла
Отсюда получаем, что асимптотически
Теорема 25. Пусть множество {ак} точек на по-
положительном луче имеет плотность
при некотором уточненном порядке р(г), причем р — не-
нецелое и пусть
Тогда при z = reib, 0 < б < 2it,
Urn '
r^-oo
причем стремление к пределу равномерно в любом интер-
интервале 0<i)<e<2ic — -г).
Доказательство. Из лемм 7 и 8 следует, что при
произвольном е > 0, достаточно малом о > 0 и достаточно
большом •: > 0 асимптотически
Сумму в левой части A.91) можно представить интегралом
Стильтьеса
ln0CI; )J
яг < ak < тг «•

§ 17] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 89
После интегрирования по частям получается:
Воспользуемся асимптотической оценкой
которая следует из A.90) и свойства 2) уточненного порядка.
Из этой оценки и неравенства A.89) следует при достаточно
большом т асимптотическое неравенство
Аналогично из асимптотической оценки
и неравенств A.21) и A.87) вытекает асимптотическое не-
неравенство
справедливое для всех достаточно малых значений о. Воз-
Возвращаясь к A.92), можем теперь написать:
ЯГ < Ол < If
Из A.90) следует, что при любом 8>0 и при всех доста-
достаточно больших значениях t
\n(t) — L
и поэтому при 0 < 8 < 2я
J \t-re<a\

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
90
При
и, следовательно, асимптотически
[ГЛ. I
A.94)
Г
Т7
\t-re»\
p~p~1
Таким образом, при i]>0 и -r)^6^2it —1\ и достаточно
малом 8 > 0 получается асимптотическое неравенство
f ЧШ1 AzP+i J *>-»-l
w v ' or
РТспользуя еще раз A.94), мы также получаем:
A.95)
<jr*W. A.96)
Наконец, при достаточно малом о > 0 и достаточно боль-
большом X
da
и- <L97)
Из неравенств A.91), A.93), A.95), A.96) и A.97) следует,
что асимптотически и притом равномерно по Ь при t\ <^ б ^
In

§ 17] вспомогательные функции 91
Чтобы закончить доказательство, остается лишь вычислить
интеграл *).
Проведенные нами рассуждения неприменимы, если р —
целое число. В этом случае из лемм 7 и 8 нельзя сделать
заключение о справедливости асимптотического неравенства
A.91). Кроме того, не имеет места A.97), так как интеграл
от нуля до бесконечности в этом случае не существует. Для
рассмотрения случая целого р докажем лемму.
Лемма 9. Пусть множество {ак} точек на положи-
положительном луче имеет плотность Д по отношению к неко-
некоторому уточненному порядку р (г) и р — целое число
(р > 1). Пусть
ak>r
Тогда при z = rel\ О < 6 < 2я
f->oo rr<L ' Lp
При этом стремление к пределу равномерно в любом
интервале 0<тХ^в<^2тг — -rj.
Доказательство. Будем исходить из равенства
ak<r ak>r
Из лемм 7 и 8 следует, что при достаточно малом о > О,
достаточно большом t и всех достаточно больших значе-
значениях г
г
\nVr(z)- Jln0(-f ;
*) Он вычисляется так же, как классический интеграл Эйлера

92 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
или после интегрирования по частям при 0 < 8 < 2тс
f n{t) dt-\-
¦zr
Г
J
рй
dt
Точно так же, как и при доказательстве теоремы 25, мы
можем получить из свойств функции
что при
c — -г)
J
Кроме того,
t(t —
*) Действительно,
i
<f
: In — ^9 я= In (I — е -Л) — 1п (
и неравенство имеет местр при достаточно малом

§ 171 вспомогательные функции 93
Из этих неравенств следует, что при 0 < i] -^ б <^ 2тс —
асимптотически
In Vr (ге«) -+¦ А Г- — / Ф — ^lje^V-
Функция Vr(z) — не целая. Она имеет разрывы при \z\ = ak.
Однако мы воспользуемся леммой 9 для построения целой
функции целого порядка с асимптотическим представлением
внутри угла, аналогичным представлению, данному в тео-
теореме 25.
Теорема 26. Пусть множество {ак). точек на-поло-
на-положительном луче имеет плотность Д по отношению
к некоторому уточненному порядку р (г), причем р — целое
число (р>1). Пусть
i —
U(t ) П
ft = 1 К—1
Тогда равномерно во всяком замкнутом интервале, вну-
треннем к интервалу — < 6 < 2и,
lim )
Доказательство. Предположим, что р=ри пред-
представим функции aW (г) и а('а) (г) в форме
где
&: Р-1) П о(^; р)

94 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Тогда получим:
и для доказательства достаточно сослаться на лемму 9.
При р=р-\-1 следует представить функции иA> (z) и
иB) (z) в форме
и воспользоваться той же леммой.
В заключение мы построим функцию, которая будет
играть основную роль при изучении обобщенного индикатора
функции.
Лемма 10. Пусть р(г) — заданный уточненный поря-
порядок (р > 0) и раствор угла
меньше наименьшего из чисел — и 2тг. Тогда для любых
Р
вещественных чисел а и b можно построить функцию
W(z), голоморфную, не имеющую корней внутри этого
угла и такую, что при 6Х ^ 6 ^ Й2 равномерно
Доказательство. Рассмотрим сначала случай неце-
нецелого порядка р. При произвольных ^ и фд> удовлетворяющих
неравенству 0 < ф2 — <W<^— . система уравнений
имеет решение Ах и А2, так как определитель этой системы

§ 17] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 95
Выберем фх и ф2 вне отрезка 9j < 9 < 92. Пусть
и Zi = sign (Аг sin up) (/ = 1, 2).
i = лс
Построим множества {ак<1} и {а*>2} с плотностями соответ-
соответственно Aj, Д2, функции'
nte)
и, наконец, голоморфную внутри угла (bt ^ в ^ 62) функцию
Из теоремы 25 и равенств A.98) следует, что равномерно
при 91<6<в2
Если р — целое, то вместо уравнений A.98) рассмотрим
систему
sin р<^ + А2 sin p^2 = а, \
JZ ТС
причем 0<'{»2 —4j<— и четыре точки tyv tyj-j , ф2,
Р Р
<1»2 -|— находятся вне отрезка Йх ^ в ^ 62 (при р ^ 1 и
92 — 6Х <— такой выбор возможен). Положим затем:
.AiP
и е4 = sign At (f=l, 2). A.99)
Построим множества {akil} и {aki2} точек на положительном
луче с плотностями соответственно Дх и Д2 и соответственно
функции Vx(z) и V2(z), о которых идет речь в теореме 26.
Из этих функций далее составляем функцию
W (z) = V\' 0*ri<K) VV {.ге~ц%
голоморфную внутри угла 61

96 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОТГА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Из теоремы 26 и равенств A.98') и A.99) следует, что
равномерно при 8Х ^ 9 ^ 82
A.100)
§ 18. Обобщенный индикатор
Понятие об индикаторе функции можно обобщить, заме-
заменив обычный порядок уточненным. Обобщенным индикато-
индикатором функции f{z), голоморфной внутри угла bi ^ argz^. б2,
мы будем называть
где р(г) — некоторый уточненный порядок.
С помощью вспомогательных функций предыдущего пара-
параграфа можно получить следующий результат.
Теорема 27. Обобщенный индикатор hf(H) при р>0
удовлетворяет основному соотношению
h (бх) sin р (82 — б3) + h (92) sin р (б3 — 9Х) +
+ A(93)sinp(91 —9.2)<0 A.69')
при 91<8а<98 и 93 — 9Х< ~.
Доказательство. Пусть Ьх < 8 < 93, 93 — 9Д < —
и пусть
. [/t Ft) + ^] sin р F - б!) + [* F8) + •] sin Р Fg - 6) , .
По лемме 10 существует функция W(z) ухочненного по-
порядка р(г), голоморфная и не имеющая корней внутри угла
bi ^ arg z <[ 93 и такая, что функция
равномерно стремится на отрезке 8t^8<;83 к функ-
функции Я, (8). Таким образом, функция

¦ § 18] обобщенный индикатор 97
стремится к нулю вдоль лучей arg z = bj (J = 1, 3) и по
теореме Фрагмена и Линделефа она ограничена внутри
угла
<8
Отсюда следует, что при Ьх <; Ь <; 03 и любом е > О
Остается перейти к пределу при е—>-0.
Из основного соотношения A.69') следует, что обобщен-
обобщенный индикатор h(b) обладает свойствами а) — з), которые
были выведены из этого соотношения в § 16. Сейчас мы
выведем некоторые общие свойства роста функции вдоль
лучей, относящиеся к функциям уточненного порядка р(г).
Результаты будут, конечно, верны и в том частном слу-
случае, когда р(г) = р, т. е. для функций нормального типа
обычного порядка р.
Теорема 28. Если f(z) — голоморфная функция уто-
уточненного порядка р (г) (р > 0) внутри угла а ^ arg z ^ C,
то произвольному г > 0 отвечает такое число г„ что
неравенство
A.101)
выполняется при г > г% для всех значений 6 на отрезке
[«, Щ-
Доказательство. Разобьем отрезок [а, [3] на про-
промежутки точками деления Ьх, 62, .... 8n-1 (а = 60, р == бп)
и для каждого промежутка (Ьу, ftj+l) построим тригономе-
тригонометрическую функцию Н/(Ь) вида A.67), принимающую в точ-
точках tij и bj+l соответственно значения
| и
Промежутки (bj, bj+l) можно выбрать настолько малыми,
что колебания функций А (в) и Hj(b) в каждом из этих про-
промежутков меньше чем •_-. Итак, в каждом промежутке
Построим в каждом из этих промежутков функцию Wj{z)
с индикатором Hj(b), существование которой утверждается
7 Зак. 988. Б. Я- Левин

98 06ЩАЯ *ЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
в лемме 10. Модуль функции
f{z)Wjx(z)
ограничен на сторонах угла 9j<;argz<8j+1. В силу тео-
теоремы Фрагмена и Линделёфа он ограничен также внутри
этого угла. Следовательно, при достаточно большом ()
и г > Я,-(г)
In I /(r*«) | < [ЯД8)+1] г* <'> (8, < 9
и если R(e) = maxRj(z), то при
Из этой теоремы непосредственно вытекает теорема
о связи типа и индикатора.
Теорема 29. Максимальное значение индикатора hf(b)
функции f(z) на отрезке а ^ 9 ^ р равно типу af этой
функции внутри угла <%Orgz<;p.
В самом деле, из A.101) следует, что max hf (9)>>o/.,
а с другой стороны, из определения индикатора очевидно,
что
max hf(9) < of.
Теорема 30 (Виман). Если порядок р целой функции
меньше единицы, то существует такая последователь-
последовательность Tj < г2 < г3 < ... (гп -*¦ оо), что при любом е > 0
и л>и.
= min |
О < 8 < 2те
Доказательство. Пусть
ft=l
целая функция порядка р < 1. Очевидно, что
A+—у)

§ 181 ОБОБЩЕННЫЙ ИНДИКАТОР 99
Пусть
и hy (б) — индикатор функции Д (г). Так как max Ах F) = hx
то из свойства е) (§ 16) индикатора получается:
гт- lnm(r) ^ ту-
Лт>Лт
г->оо 1
Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы.
Особенно интересен частный случай p<-<r- В этом слу-
случае, как видно из теоремы, существует последовательность
окружностей | z \ = гп, на которой т (гп) -> оо, причем по-
порядок возрастания т (гп) тот же, что и порядок роста М (ги),
а тип ^о^созтгр.
В. Бернштейну принадлежит следующая тонкая теорема,
дающая оценку плотности того множества значений г, на
котором при фиксированном 9 и в > 0 выполняется нера-
неравенство
Теорема 31 (В. Бернштейн [2)). Пусть функция f(г)
голоморфна и порядка р(г) внутри угла a<[argz<;p.
Произвольным положительным числам 8 > 0, в > 0 и
О < <в < 1 отвечает на фиксированном луче argz = b по-
последовательность интервалов
на каждом из которых неравенство
выполняется всюду, кроме, быть может, некоторого
множества, мера которого не превосходит «8гп.
Доказательство. Не нарушая общности, можно счи-
считать, что 9 =* 0. При любом 1 > 0 найдется такая последо-
последовательность гп->оо, что
Кроме того, если выбрать достаточно малым число . 8 > 0,
7*

100 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
то при |91 < arcsinBe8) и /¦>гг>5. зависящего лишь
от 3 и к,
Ш | /(«") |< [Л F) + f] rf М < [h @) + 2Т] rPW.
Положим:
Тогда »я @) — 1 и при | z | < 2е8г
Из теоремы 11 следует, что неравенство
In 19п(г) | > - 3ТЯ (-J) (гя + 2elrJ <'»
выполняется всюду в круге | z | ^ 8rn, но вне исключитель-
исключительных кружков с суммой радиусов, не большей, чем юЬгп.
Возвращаясь к функции f(z), мы получим, что асимптоти-
асимптотическое неравенство
Ш | f{r) | > [h @) - Т—
выполняется во всем интервале A—5)г„< г < A+8)г„,
за исключением, возможно, интервалов с общей суммой длин,
меньшей чем 2а>Вгп. Используя свойства функции rf (¦">, можно
легко проверить, что при A — §)г„ < г < A -J-S)rn асим-
асимптотически
Для того чтобы окончить доказательство, достаточно вы-
выбрать f ¦ и ¦ 8 настолько малыми, чтобы выполнялось нера-
неравенство
§ 19. Плоские выпуклые множества
При р = 1 индикатор h (9) имеет простую геометрическую
интерпретацию. Для того чтобы ее изложить, нам понадо-
понадобятся основные свойства плоских выпуклых множеств.
Выпуклой областью называется непустое замкнутое
множество, которому вместе с любой парой точек принад-

§ 19] ПЛОСКИЕ ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 101
лежит соединяющий их отрезок прямой. В частности, отре-
отрезок является выпуклой областью. Одну точку также считают
выпуклой областью. Очевидно, непустое пересечение выпук-
выпуклых областей есть выпуклая область. Пересечение всех вы-
выпуклых областей, содержащих некоторое множество, является,
таким образом, наименьшей выпуклой областью, содержащей
это множество. Ее иногда называют выпуклой оболочкой
данного множества. Нетрудно показать, что эта выпуклая
область может быть получена как пересечение всех полу-
полуплоскостей, содержащих данное множество.
Введем операцию арифметического сложения выпуклых
областей. Суммой Gx~\-G.2 выпуклых областей Gt и G2 на-
называют множество всех точек вида z = zl-\-zi, где zl^LOl
и z2?G2. Покажем, что Ог-\-О.2 есть выпуклая область.
Пусть z'x-\-z'% и .Zj-j-Zj — точки этой суммы. Так как
z = X (z[ + z'2) + jx
и в силу выпуклости GL и О.2 имеем ^^j
kzf2-f-jj-Zj ?O2, то «^Gj-j-Gg. Замкнутость Ох-\-О2 оче-
очевидна.
В дальнейшем в этом параграфе мы, не Оговаривая этого,
будем иметь в виду ограниченные выпуклые области.
Весьма важным является понятие об опорной функции
выпуклой области. Опорной функцией выпуклой области О
называется функция
= sup (xcos6+jsin6) = supReBe-«). A.102)
iG ?
Из ограниченности и замкнутости области G легко сле-
следует, что эта точная верхняя граница достигается в некото-
некоторой точке выпуклой области О. Прямую
xcos6+jsin6 — ?F) = 0 A.103)
мы будем обозначать /6. Очевидно, что прямая /9 имеет
общую точку с областью О. Кроме того, все точки выпук-
выпуклой области О лежат по одну сторону от каждой такой
прямой, так как из определения опорной функции k (9) имеем

102 ' ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
при
х cos б -\-у sin б — k (9)< 0.
Прямые (/е) называются опорными прямыми выпуклой
области. Опорная прямая есть, очевидно, обобщение каса-
касательной. Общие точки опорной прямой и выпуклой области
называются точками опоры данной опорной прямой. Опор-
Опорная прямая имеет либо одну точку опоры, либо прямолиней-
прямолинейный отрезок, состоящий из точек опоры. Точки границы
выпуклой области О, не являющиеся внутренними точками
прямолинейного отрезка границы, называются крайними
точками этой выпуклой области.
Легко усмотреть геометрический смысл опорной функ-
функции. Она 'равна расстоянию опорной прямой от начала коор-
координат. Очевидно, что опорная функция точки z0 = pei9° имеет
вид &(fl)=pcosF—Йо). Опорной функцией отрезка —#<.у<#
мнимой оси служит k (9) = Н | sin б |.
Обозначая через k (б) опорную функцию суммы Oj +
-f-G2-f- ... +О„ выпуклых областей, мы можем легко про-
проверить, что
Л(в) = Л1(вL-Ла(в)+...+*п(в). (Ы04)
где kj(b) (/=1, 2, ..., п) — опорные функции выпуклых
областей Ov Оа, ..., Оп. Для пересечения выпуклых обла-
областей имеем:
AF) = inf{A1F), Л,(в), .... Лп(в)}. A.105)
Для выпуклой оболочки областей Qt, 0.2, ..., Оп опорной
функцией будет:
k F) = max {^ (б), Ла(в) kn(b)}. A.106)
Докажем последнее утверждение. Всякая полуплоскость,
содержащая все области Gj (/=1, 2 re), определяется
неравенством
х cos б + _у sin б — Ъ (9) < 0,
где ~k F) > max {&t (9), A9(fl) *п(б)}- Так как выпуклая
оболочка есть пересечение всех таких полуплоскостей, то и
получается A.106).

§ 19]
ПЛОСКИЕ ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
103
Следующая теорема дает характеристическое свойство
опорной функции выпуклой области.
Теорема 32. Для того, чтобы функция k(b) была
опорной функцией ограниченной выпуклой области, необ-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
a) fc(8 + 2it) = fcF) (—оо<9<оо),
б)
k (8t) cos 6t sin 6X
cos92 sin62
>0
k F8) cos 63 sin 63
при всех 6Х < 92 < 63, 63 — 62 < it, 62 — 6t < it.
Условие б) в развернутой форме может быть запи-
записано так:
k FJ sin<62 — 83) + k F2) sin F3 — 6Х) + k F3) sin Fj — 62)< 0.
Доказательство. Пусть О — выпуклая область,
k(б) — ее опорная функция nz = x-\-ly — точка границы Q,
принадлежащая опорной прямой kt. Тогда имеем три соот-
соотношения:
х cos 82+у sin 62 — А (92) = 0,
д; cos 63 -\-у sin 83 — k F3) <^0.
Умножив первое из этих соотношений на
cos62 sin82
cos03 sin 0,
= sin F3 — 62)>0,
второе на
третье на
cos63 sin 83
cos 6,
A.107)
AЛ08)
A.109)
cos 6} sinO1
cos62 sin62
и сложив, получим б). Условие а) очевидно.
Докажем достаточность. Выберем произвольным обра-
образом б2 и построим прямую /еа:
A.110)
= sinF2 —6Х) > 0
*cos ва+У sin62 —?F2) = 0.

104 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Не нарушая общности, можно считать, что Ь.2=~.
Открытые полуплоскости
(-J<6t<-j) (l.lll)
пересекают /„ по интервалам (pv +00), теоретико-множе-
Т
ственная сумма которых дает интервал (Ь, + со).
Аналогичная сумма бесконечных интервалов пересечения
полуплоскостей
ж cos в,+jr sine, — *(в,)>0 (|<63<^) A.112)
с прямой /^ дает интервал (— со, а).
2
Покажем, что ни одна точка прямой /п не может при-

надлежать одновременно обоим интервалам (—оо, а) и
(», +оо).
В самом деле, в противном случае координаты такой
точки удовлетворяют соотношениям A.110), A.111) и A.112),
и, умножая их соответственно на A.108), A.107) и A.109)
и складывая, мы получим соотношение, противоречащее б).
Следовательно, а^Ь, и получаем, что всякая точка
отрезка а^.х^.Ь прямой 1К принадлежит всем полупло-
?
скостям
хcosЬ-\-уsin6 — k(б) <0.
Таким образом, пересечение этих полуплоскостей не пусто
и образует, следовательно, выпуклую область О. Эта область
лежит по одну сторону от каждой из прямых х cos в -|-
—j—_у sir Ь — &F)=i0, причем имеет с каждой из этих пря-
прямых общие точки. Эти прямые суть опорные прямые выпук-
выпуклой области О, a k F) — опорная функция этой области.
Из теорем 27 и 32 следует, что индикатор роста произ-
произвольной целой функции первого порядка (при некотором
уточненном порядке р (/¦)-> 1) есть опорная функция некото-
некоторой ограниченной выпуклой области. Эта выпуклая область
называется индикаторной диаграммой данной функции.
Мы будем называть дугу выпуклой, если она вся находится •
на границе своей выпуклой оболочки, и локально выпуклой,

§ 19J ПЛОСКИЕ ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 105
если каждая ее точка имеет на ней выпуклую окрестность.
Из предыдущего рассмотрения ясно, что условие б) является
необходимым и достаточным условием выпуклости дуги.
Локально выпуклая дуга может сама себя пересекать. Оче-
Очевидно, что индикатор функции, голоморфной и первого
порядка внутри угла раствора, меньшего или равного ir,
есть опорная функция некоторой выпуклой дуги. В общем
случае, если hf (б) — индикатор роста голоморфной внутри
некоторого угла функции порядка р, то, как следует из A.69),
функция hfl—\ есть опорная функция некоторой локально
выпуклой дуги.
Если f(z) — целая функция целого порядка р, то соот-
соответствующая локально выпуклая кривая замкнута и при обходе
этой кривой опорная прямая делает р полных оборотов.
Изучим подробнее строение выпуклых областей. Пока-
Покажем прежде всего, что через каждую точку границы выпук-
выпуклой области О проходит опорная прямая. Так как в случае
области, состоящей из одной точки
или отрезка, утверждение очевидно, то
мы рассмотрим область с внутренней
точкой.
Если продолжение некоторого лу-
луча, исходящего из граничной точки г0
выпуклой области О, проходит через
ее внутреннюю точку zv то, очевидно,
некоторый угол с вершиной в z0, со-
содержащий этот луч, свободен от то-
точек О (черт. 4). Граничный луч этого Черт. 4.
множества лучей и его продолжение,
образующие прямую /, не могут содержать внутренних то-
точек О. Вся область О лежит по одну сторону от этой
прямой, так как из наличия внутренней точки области G
с одной стороны прямой / и точки G с другой ее стороны
вытекало бы наличие внутренней точки на /. Таким обра-
образом, / есть опорная прямая, проходящая через точку z0.
Граница Г выпуклой области имеет длину. Это следует
из того, что длина любого многоугольника (вписанного без
самопересечений в границу области) не превосходит пери-
периметра треугольника, образованного тремя опорными пря-
прямыми.

106 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Если начало координат внутри области и длина дуги гра-
границы отсчитывается от некоторой фиксированной точки до
точки опоры против часовой стрелки, то угол б—неубывающая
функция от длины дуги s.
В самом деле, пусть zt и z.2— две точки границы О,
причем arg2, > arg2r Отрезок прямой, соединяющий точки zl
и z2, принадлежит области О и потому лежит с той же
стороны от опорных прямых в точках zx и z2, что и начало
координат. Отсюда следует, что опорная прямая в точке г2
повернута по отношению к опорной прямой в точке гх на
неотрицательный угол, т. е. Оз^-вд. Очевидно, что в угло-
угловых точках границы функция 9 = б (s) имеет скачок, а на
отрезках прямых, принадлежащих границе, 6(s) — постоянная.
Обратная функция s(8), очевидно, имеет разрывы, когда
луч argz = 6 перпендикулярен к какому-нибудь прямолиней-
прямолинейному отрезку границы, и непрерывна при всех других зна-
значениях 9.
Геометрическая интерпретация тригонометрически выпук-
выпуклой функции k (9) дает возможность получить установленные
нами раньше аналитические свойства этой функции. При
этом получается геометрическая интерпретация величин
в,
k'+ (б), k'_(б) и s(bv 62) = A:F.2)-A;(
о которых шла речь в § 16.
Покажем, что ft('i) — непрерывная функция. Не нарушая
общности, можем считать, что точка нуль лежит внутри
выпуклой области О. Обозначив через 2(Д9) длину отрезка
луча argz = 9-|-A6 между опорными прямыми /9 и /9+де
(черт. 5), будем иметь:
A.113)
Для установления непрерывности достаточно заметить, что
где d — диаметр области. Исследуем теперь вопрос о диф-
ференцируемости k (9) и найдем геометрический смысл А'(9).
Обозначим через р(Ь) отрезок прямой /9 от точки опоры
до основания перпендикуляра, опущенного из начала коор-
координат на прямую /е. Легко видеть, что радиус-вектор точки

191
ПЛОСКИЕ ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
107
кривой Г —непрерывная функция от s, а следовательно,
в крайних точках-непрерывная функция от 9. Отсюда сле-
следует что функция р(Ь) непрерывна в крайних точках.
Если направление б перпендикулярно к отрезку границы Г,
то имеем:
где d(b) — длина этого отрезка.
Из простых геометрических соображений (см. черт. 5)
можно получить неравенство
tg (A.b)[p(ti-irb.b) — &.s cos (A9)]<S(A9) </> (9+Afl)tg(A9).
Из A.113) и этого неравенства получаем, что в каждой
крайней точке у
А:'(9) = /7 F).
В точках разрыва рф) точно
так же устанавливается существо-
существование правой и левой производ-
производных от k (9), причем
Найдем выражение для дли-
длины дуги s между точками опо-
опоры прямых /а и /р через опорную функцию k(§). Впишем
в эту дугу ломаную 2 с настолько малыми звеньями, что
где /?F) обозначает опорную функцию вписанного много-
многоугольника 2 .
Обозначив длины звеньев через dk, получим:
та та
h = 2 dh = У,
h)-RUh)] =
= R+ (К)-- R- (У - Jl IR- (W - R+
Здесь 0fc определяют направления, перпендикулярные к звеньям
ломаной. Заметив, что в интервалах (Ьк, Ьк+1) функция А (9)

108 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
имеет вид Akcos(<)— О*), мы .получим:
П-1 Г
st =я;@„)—Л1(*о)—2 J W)db
или
•о
и, переходя к пределу при maxdft->0, получаем:
а
Заметим, что для длины всей границы выпуклой области
получается формула*)
A.115)
Из монотонности s F) следует, что радиус кривизны R = —
существует для всех значений 0, за исключением, быть может,
множества меры нуль, и
Я = Л* F)+Л (в).
Сравнивая формулу A.114) с A.77) § 16, мы убеждаемся
в том, что при р = 1 функция s(b), определенная равенством
A.77), есть длина дуги границы индикаторной диаграммы
функции от некоторой фиксированной точки до точки опоры
прямой /9. Если р ф 1 и через а (й) обозначена длина локально
выпуклой дуги с опорной функцией k(— j, то будет спра-
справедливо равенство, вытекающее из A.114):
9
а (р,3 ± 0) — о (ра ±: 0) = | [k'± (?) - k'± («) +>" J k @) <*0 j
*) Если контур Г имеет постоянную ширину, т. е. k (8) -f-
+ k F + тг) = d @ < 6 < 2п), то из A.115) получается s = izd. Это —
известная теорема Барбье.

§ .191 Плоские выпуклые множества 109
Сравнивая с.A.77), мы получаем, что при произвольном р > О
Решим теперь обратную задачу о выражении опорной
функции к F) через длину дуги sF). Поместим начало коор-
координат в точке опоры некоторой опорной прямой 10 и впишем
ломаную между этой точкой опоры и точкой опоры прямой Z9.
Очевидно, что опорная функция RD) этой ломаной равна
п
R(h)= 2 dk sin @ — 6ft),
где 6ft — направление, перпендикулярное к звену ломаной
с номером k, dk — длина этого звена и 9„<]0<0„+х.
Переходя к пределу при maxrffc->0, имеем:
6
ft@)= I sin @ — <!/)ds ('Ь).
о
Перенося начало координ.ат в произвольную точку пло-
плоскости и пользуясь правилом сложения опорных функций
при сложении областей, имеем:
9
к @) = A cos @ — %) + J sin @ — -!,) ds (ф). A.116)
о
Формула A.116) дает возможность по заданной монотон-
монотонной функции s(»|i) восстановить выпуклую кривую. При этом
условие замкнутости k @ -f- 2тс) = к @) может быть записано
в форме
2к
или иначе
*) В теореме 24 было дано отличное от A.116) представление
функции k (в) для замкнутой выпуклой дуги
в
А (в) = Л cos (в — во)+ /(в — 4OslnF — \)ds(if).
в—2ic

110 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [гЛ. 1
Аналогично можно восстановить локально выпуклую кри-
кривую I с опорной функцией k(—I по заданной монотонной
функции
о
В этом случае формула A.116) перепишется в форме
а условие замкнутости этой кривой при целом р перепишется
в форме
2*
JV O. A-117)
Воспользовавшись такой геометрической интерпрета-
интерпретацией условия A.117), мы можем дать решение следующей
задачи.
Дана неубывающая функция s (ty) и при некотором целом р
Найти неубывающую, кусочно постоянную функцию Sp(#),
которая приближает s (ф) с заданной точностью е > О, т. е.
!«СФ>—*, «О К* @<<к2Я).
При этом требуется, чтобы скачки функции sp($) были ра-
рациональными числами, не превышали данного положительного
числа 8 и чтобы сама функция sp($) удовлетворяла усло-
условию A.117).
В самом деле, построив по заданной неубывающей функ-
функции s(^) замкнутую, локально выпуклую кривую I, впишем
в нее замкнутую ломаную Lp, звенья которой не превосходят
величины 8 и длина которой отличается от длины L меньше
чем на е. Сдвигая незначительно вершины этой ломаной,
можно добиться того, чтобы длины ее звеньев выражались

4 19] плоские выпуклые множества 111
рациональными числами. Соответствующая этой ломаной
функция sp(ty дает решение задачи. В главе II мы восполь-
воспользуемся этим решением.
В заключение этого параграфа мы отметим некоторые
почти очевидные свойства индикаторных диаграмм целых
функций конечного порядка.
1. Если целая функция f(z) первого порядка и нор-
нормального типа (т. е. р(/-)=1), то индикаторная диа-
диаграмма функции
y(z) — e<"f(z) (a — комплексное число)
получается из индикаторной диаграммы If функции /(г)
путем сдвига на вектор а.
В самом деле, очевидно, что
hv F) = | а | cos (в + а) + hf F) (а = arg a).
Функция | а | cos F -{- а) есть опорная функция выпуклой обла-
области, состоящей из одной точки а.
Таким образом, А?(9) есть опорная функция арифмети-
арифметической суммы выпуклых областей lf и а или
2. Индикаторная диаграмма произведения двух функ-
функций содержится в арифметической сумме их индикатор-
индикаторных диаграмм*).
Это непосредственно следует из того, что индикатор
произведения двух функций не больше суммы индикаторов
сомножителей.
3. Индикаторная диаграмма суммы функций содер-
содержится в наименьшей выпуклой области О, охватываю-
охватывающей индикаторные диаграммы слагаемых.
Это следует из неравенства
АЛ+Г,+...+гп (в) < max \hu F), hft F) hfn F)].
Эту теорему мы несколько уточним. Для этого обозначим
через Е множество таких крайних точек области О, которые
*\
*) В дальнейшем (в главе III) мы докажем для частного случая
значительно более точную теорему.

112 ОбЩая тейрия робтл целых функций (гл. ;1
принадлежат только одной из индикаторных диаграмм. Оче-
Очевидно, что каждая изолированная точка этого множества
является общим концом двух прямолинейных отрезков гра-
границы О. Наименьшую выпуклую область, содержащую Е,
мы обозначим /(?).
4. Индикаторная диаграмма суммы функций содержит
область /(Я).
Этот результат легко следует из следующего отмечен-
отмеченного в § 15 факта: если при каком-нибудь значении б инди-
индикатор одного из слагаемых превосходит индикаторы других
слагаемых, то при этом значении 6 индикатор суммы равен
этому наибольшему индикатору. Действительно, если zo?E
и не является концом прямолинейного отрезка границы /(?),
а Ьо — направление, для которого z0 является точкой опоры
прямой ko, то в силу определения множества Е индикатор
одного из слагаемых больше других при Ь = 60 и, следо-
следовательно, z0 содержится в индикаторной диаграмме суммы.
Если z0 является общим концом двух прямолинейных отрез-
отрезков границы /(?¦), то из направлений Ь, отвечающих угло-
угловой точке z0, можно выбрать такое направление 60, для,
которого индикатор одного из слагаемых превосходит инди-
индикаторы других слагаемых, и следовательно, z0 содержится
в индикаторной диаграмме суммы. Наконец, точки из Е,
являющиеся концом только одного из прямолинейных отрез-
отрезков границы, являются предельными для других точек из Е.
Поэтому выпуклая оболочка множества точек из Е первых
двух типов содержит эти точки и, следовательно, совпадает
с 1(Е).
Итак, индикаторная диаграмма суммы функций со-
содержит /(?).
В частности, если О и /(?) совпадают, то индикаторная
диаграмма суммы совпадает с О — наименьшей выпуклой
областью, содержащей индикаторные диаграммы слагаемых.
Так будет, например, если индикаторные диаграммы слагае-
слагаемых получаются одна из другой с помощью ненулевого сдвига.
В частности, если умножить функцию f(z) первого порядка
и нормального типа на конечную сумму вида
где ак и kh (k = 1, 2, ..., и) — комплексные числа, ак

; Целые функции конечной степени 113
, то индикаторная диаграмма произведения
'.арифметическая сумма индикаторной диаграммы f(z)
й^Шйсеньшегб выпуклого многоугольника, содержащего
ТОЧКИ Aj,' Aj, Ag» '• ¦ • i ^n-
" ' • § 20. Цейыё функции конечной степени
. Целая функция не выше чем первого порядка и нормаль-
нормального типа называется целой функцией конечной степени,
причем степенью функции называется величина
. . 1 . , ' -— lnAf*(r)
....-> о = Нш — .
. 1. " Г-^оа г
Щ' Таким образом, функции порядка меньшего единицы или
нервого порядка, но минимального типа суть функции нуле-
нулевой степени.
¦Функции конечной степени часто встречаются в разных
приложениях, в частности в гармоническом анализе и в крае-
краевых задачах теории дифференциальных уравнений.
Каждой целой функции конечной степени
П = 0
ставится в соответствие функция
п=о
которую называют ассоциированной по Борелю функции f(z).
Если о — степень функции f{z), то по формуле A.06)
и, следовательно, ряд (,1.119) представляет функцию, голо-
голоморфную в области |z|>a.
Наименьшая выпуклая область If, содержащая все осо-
особенности <рB), называется сопряженной диаграммой функ-
функции f(z). Она, очевидно',' расположена в круге |г|^о.
Полна [1] принадлежит следующая замечательная теорема.
8 Зак. 988. Б. Я. Левин

114 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ {ГЛ. I
Теорема 33. Сопряженная диаграмма произвольной
целой функции конечной степени есть зеркальное отра-
отражение в вещественной оси ее индикаторной диаграммы.
Доказательство. В основе доказательства лежат две
интегральные формулы. Первая дает интегральное предста-
представление функции f(z) с помощью ассоциированной
A.120)
где С — любой контур, охватывающий сопряженную диа-
диаграмму. Действительно, интеграл в правой части равенства
не изменится, если контур С заменить любым контуром,
охватывающим круг | z | <^ о. При интегрировании по такому
контуру можно вместо <р(г) подставить ряд A.119) и инте-
интегрированием убедиться в справедливости A.120). Вторая фор-
формула дает интегральное представление функции <pB):
A.121)
причем интеграл взят по лучу C =
Легко проверить, что этот интеграл сходится абсолютно
и равномерно в области
Reze-i9>Ar(— 6) + e. A.122)
Сходимость интеграла прямо следует из асимптотических
неравенств
Для доказательства A.121) достаточно показать, что это
равенство имеет место на части области A.122), например
при
Покажем, что при этих значениях z можно прямо подста-
подставить ряд A.118) в A.121) и почленно интегрировать. Дей-
Действительно, в этой полуплоскости
| в-»«"-*|< е-w. A.123)

,§20] ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ 115
С другой стороны, из неравенства
~яГ<
следует, что остаток
ряда .A.118) удовлетворяет неравенству
и если положить г = It, то
D)Пе2('+»><. A.124)
Из неравенств A.123) и A.124) следует равномерная
сходимость ряда
ft-О
на всем луче t > 0, C = fe~i9. Интегрируя почленно, полу-
получаем равенство A.121).
Воспользуемся теперь формулами A.120) и A.121) для
доказательства теоремы. Пусть теперь kf(b) — опорная функ-
функция сопряженной диаграммы If. Выбрав в формуле A.120)
контур интегрирования так, чтобы он отстоял не более чем
на некоторое э > 0 от сопряженной диаграммы, мы полу-
получим оценку
г max [Re (Ce*9)J [ft,(-0)+tl r
или
С другой стороны, из сходимости интеграла A.121) при
следует, что <рB) не имеет особенностей в этой области
8*

116 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ.
и поэтому
Таким образом,
и теорема доказана. Приведем некоторые примеры.
Если
то
и сопряженная диаграмма есть наименьшая выпуклая область
(многоугольник), содержащая все точки Хй. Если
TO
и сопряженная диаграмма — та же, что и в первом примере.
Построим' целую функцию конечной степени с наперед
заданной индикаторной диаграммой *). Обозначим 7 область,
симметричную / относительно вещественной оси. Выберем
счетное множество точек \н, плотное на границе области /,
Л построим функцию
причем
00
2 I ак |< со.
Эта функция голоморфна вне области 7. Убедимся, что все
*) В главе II мы решим аналогичную задачу для функций про-
произвольного уточненного порядка.

ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ 117
К суть особые точки этой функции. В самом деле,
ТОЯК?* приближается к точке \р по перпендикуляру
~ из опорных прямых в точке кр; тогда, оче-
М.Л-.
:3». * i _ 1 i ^ i • _ 1. | при
>,м число Л^, так, что
|жх , ^ |*fc| lar —
или .
/01» V I
i-i lz-
Очевидно, при z-+"kp указанным способом будем иметь
|)|—уоо. Таким образом, I есть наименьшая выпуклая
область, содержащая все особенности функции <p(z), ассо-
ассоциированной по Борелю целой функции
Заметим еще, что теорема Полна позволяет для функций
конечной степени усилить утверждение 4) об индикаторной
диаграмме суммы целых функций. Именно можно утвер-
утверждать, что индикаторная диаграмма суммы функций конеч-
конечной степени содержит наименьшую выпуклую область, содер-
содержащую все крайние точки каждой индикаторной диаграммы,
не входящие ни в какую другую индикаторную диаграмму.
В самом деле, всякая крайняя точка какой-нибудь сопряжен-
сопряженной диаграммы есть особая точка соответствующей ассо-
ассоциированной функции. Если такая точка не входит в другие
сопряженные диаграммы, то она является особой для суммы
ассоциированных функций и, следовательно, входит в со-
сопряженную диаграмму суммы заданных целых функций ко-
конечной степени.

ГЛАВА II
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ, МНОЖЕСТВО КОРНЕЙ КОТОРЫХ
ИМЕЕТ УГЛОВУЮ ПЛОТНОСТЬ
§ 1. Изложение основных результатов
В этой главе мы рассмотрим специальный класс целых
функций, отличающихся особой правильностью в распреде-
распределении корней.
Этот класс весьма часто встречается в различных при-
приложениях и будет играть существенную роль з следующих
главах этой книги. Мы дадим точное асимптотическое пред-
представление функций этого класса. Правильность в распреде-
распределении корней будет характеризоваться наличием особого
рода плотности множества этих корней *).
Доказательства большей части теорем этой главы не-
несколько громоздки. Для того чтобы при разборе этих до-
доказательств читатель не потерял перспективы, мы изла-
излагаем в первом параграфе без доказательств все основные
результаты этой главы. Читатель может при первом чте-
чтении книги ограничиться во II главе только чтением перво-
первого параграфа с тем, однако, чтобы впоследствии вернуть-
вернуться к остальным параграфам, в которых изложены доказа-
доказательства.
Мы будем говорить, что множество 9t точек комплексной
плоскости имеет угловую плотность с показателем р(г),
если для всех значений & и б @ < & < 9 <; 2it), за исклю-
исключением, быть может, счетного множества, существует пре-
*) Главные результаты этой главы были опубликованы ранее
автором [1], [2]. Независимо аналогичные результаты были полу-
получены А. Пфлюгером [1J, [2], [4].

§ 1] ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 119
ДеЛ*) / a ач
(А) А<М)=Нп.???г*. <2-00>
где п(г, », в) —число точек множества 9t в секторе |г|<г,
0<argz<9. Величину Д(&, 9) мы будем называть угловой
плотностью множества 9t внутри угла 0 < arg z < 9 или
короче внутри угла @, 6). Равенство
ДF) —A(ft) = A(ft, 9) B.01)
определяет при фиксированном ft, с точностью до постоян-
постоянного слагаемого, неубывающую функцию А (9). Она опреде-
определена при всех значениях 9, за исключением, быть может,
счетного множества. Исключительные значения ft и 9, при
которых не существует угловая плотность A (ft, 6), должны
быть точками разрыва функции А (9). В самом деле, если
& и 9(9>ft) — произвольные числа, a s>0 таково, что
Orte и 9rte — точки непрерывности функции А (9), то
Если & и б — точки непрерывности Д(б), то нижний предел
равен верхнему. Множество, имеющее угловую плотность
с показателем р (г) при р нецелом, мы будем называть
правильно распределенным по отношению к р(г).
Мы покажем в этой главе, что из правильности в рас-
распределении корней целой функции следует особая регуляр-
регулярность ее роста. Для того чтобы точно сформулировать, в чем
состоит эта регулярность роста, мы введем еще одно понятие.
Линейной плотностью множества С кружков
в комплексной плоскости мы будем называть предел
р* (С) == Нш {—
в котором rj — радиус кружка Cj, а символ 2 означает
суммирование по всем кружкам, центры которых попали
в круг \z\<r. ¦
*) Говоря «существует предел», мы всюду имеем в виду конеч-
конечный предел.

120 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. И
Если предел р*(С) не существует, то мы будем рассма-
рассматривать верхний и нижний пределы той же величины, обо-
обозначать их р*(С) и р*(С) и называть соответственно верхней
и нижней линейной плотностью множества кружков С.
Множество нулевой линейной плотности мы будем называть
С0-множеством.
Асимптотические равенства, которые мы установим, свя-
связаны с уточненным порядком роста, именно под асимптоти-
асимптотическим равенством
мы будем понимать выполнение соотношения
lim r-pW[/(r) — <p(r)] = O.
r->oo
Теорема 1. Пусть р(г) — некоторый уточненный
порядок, причем p = limp(r) — нецелое число и множество
{ап} точек комплексной плоскости имеет угловую плот-
плотность Д(ф) с показателем р(г). Тогда при z, не принад-
принадлежащем некоторому (^-множеству, целая функция
0 ?;
\ B.02)
удовлетворяет асимптотическому равенству
B.03)
в котором
Я^ = 1Й^ f cospF-^-^)dA(-}). B.04)
При этом функция
стремится к пределу Н(Ь) равномерно относительно Ь
при 0<9<2и.
Таким образом, для функций нецелого порядка наличие
угловой плотности множества корней влечет за собой осо-
особую регулярность роста, которая выражается в равномерном

§ I] ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 121
стремлении к пределу функции АЛг(9); функция Я F) не
зависит от множителя перед каноническим произведением и
поэтому полностью определяется правильно распределенным
множеством корней.
Для функций целого порядка одно только существование
угловой плотности у множества корней уже не является
достаточным условием для такой регулярности роста функ-
функции. В этом случае требуется еще особая симметрия в рас-
распределении корней функции, которая характеризуется суще-
существованием предела
(В) ъ-^т
в котором Z.(r) = rP<r>-pf а ср — коэффициент при старшей
степени в экспоненциальном множителе перед каноническим
произведением в представлении A.38). Это условие мы будем
называть условием (В). Если р = р = р (г), то это условие
означает особую условную сходимость ряда
оо
а именно существование главного значения
Нт ( 2 а-?)
г-»со |ак|<г
суммы этого ряда. Для функций целого порядка будет до-
доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть р(г) — некоторый уточненный
порядок, р = Нт р (г) — целое число и множество {aJ кор-
ней целой функции
имеет угловую плотность с показателем р(г) и удовле-
удовлетворяет условию (В).
Тогда при г, не принадлежащем некоторому ^-мно-
^-множеству, имеет место асимптотическое равенство
¦ to I fire®) J да И (9) г? <'\ B.05)

122 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
в котором
е
Я (9) = J (ф — 9) sinр (ф — 6) d/±(ф)+vcosрF — 6Г) B.06)
9
и Ьг=х/У
При атом функция
стремится к пределу Я (9) равномерно относительно 9
яри 0 < 6 < 2те *).
После этой теоремы естественно определить правильно
распределенное множество с показателем р(г) при р це-
целая как такое точечное множество плоскости, которое имеет
угловую плотность при этом р(г), и такое, что при некото-
некоторой постоянной Сэт существует предел
1ая1<г
Если L(r) -*¦ оо или имеет отличный от нуля предел при
г -*¦ оо, то в условии (В7) величина С« может быть заме-
заменена произвольным числом. В противном случае число Сэт
определяется однозначно.
Среди целых функций, множество корней которых совпа-
совпадает с 9?, мы выделим канонические функции f(z; 3t). При
р нецелом мы будем считать канонической функцию
а при р целом — функцию
При этом, если в условии (В') величина Cjj произвольна,
то выберем С® =0. Величина Я(9), определенная в форму-
*) Б. Я. Левин [1], 1121-1127, А. Пфлюгер [4J.

- „ ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 123
лиоовках теорем 1 и 2, вполне определяется множеством 9t,
|\ нецелое или если р — целое, но величина Сэт опре-
определена однозначно. Вообще мы будем функцию Н(Ь) для
канонических функций обозначать Н<ц(Ъ) и называть индика-
индикатором множества 9?.
Функцию /(г) с правильным распределением корней можно
оценить внутри исключительных кружков по принципу ма-
максимума модуля и получить для индикатора hf(h) целой
функции равенство
Таким образом, формулы B.04) и B.06) дают выражение
для индикатора целых функций с правильным распределением
корней через угловую плотность и величину 8^,. Такие же
по форме представления индикатора были нами получены
в § 16 главы I, но существенно, что в формулах B.04) и
B.06) вместо неубывающей функции Sf(ty) стоит Д*D)—
плотность множества корней целой функции f(z) внутри
угла @, 4).
Из формул обращения § 16 главы I следует, что
s^=tO) + C (С —постоянная), B.07)
гО) = —- s^=
или иначе
4,(9±0)-Д,(» =t0) = JL [sf<ndz0)-sf(b±0)].
Исходя из геометрической интерпретации функции f
(см. § 19 главы I), мы получаем, что при р = 1 угловая
плотность множества корней функции f(z) внутри угла (ft, Ь)
равна деленной на 2ic длине дуги индикаторной диаграммы
между точками опоры опорных прямых 1д и /9, перпендику-
перпендикулярных к сторонам угла. В общем случае правая часть B.07)
пропорциональна длине некоторой локально выпуклой дуги
(черт. 6).
Формулы B.07), B.04) и B.06) дают возможность по-
построить целую функцию заданного уточненного порядка р(г)
так, чтобы ее индикатор совпадал с произвольной тригоно-
тригонометрически выпуклой функцией А (в), имеющей период 2ти.
Идея этого построения состоит в том, чтобы по данной
функции А(Ь) с помощью равенств B.07) и A.77) построить
неубывающую функцию Д(Й). Построив затем множество

124 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
1/1
V
Черт. 6.
точек {ак} с угловой плотностью А F) при показателе р(г)
и составив по этим точкам каноническое произведение, мы
получим нужную нам целую функцию. Построение• целой
. функции с заданным индикато-
индикатором проводится в § 4 этой
главы.
Результат можно сформулиро-
сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 3*). Каков бы на
был сильный уточненный поря-
порядок p*(r) ( lim p*(r) = p>0)
г-> со
и какова бы ни была тригоно-
метрически выпуклая при этом р
периодическая функция h (Ь)
с периодом 2ic, существует це-
целая функция уточненного по-
рядка р*(г) с индикатором h F).
При р нецелом аналогичное
утверждение верно относительно произвольного уточ-
уточненного порядка.
Заметим еще, что целая функция с данным индикатором,
которую мы построим в § 4, обладает особой регулярностью
роста.
При правильном распределении корней целой функции
можно установить асимптотическое представление не только
для функции In |/(ге*е)|, но и для функции argf(z), т. е.
можно получить асимптотическое представление самой целой
функции /(г). Этому вопросу посвящен § 5 настоящей главы.
Для того чтобы выражение &rgf(z) приобрело определенный
смысл для канонического произведения
(р =
мы определим функцию argG(«; p) в плоскости и, разрезан-
разрезанной вдоль луча A,-f-oo) так, чтобы она была равна нулю
на верхней стороне разреза, и продолжим ее на всю раз-
разрезанную плоскость по непрерывности. Функция arg G (и; р),
*) Эта теорема является некоторым обобщением теоремы
В. Бернштейна [1], [3], относящейся к функциям нормального типа.

& lj ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 125
однозначно определенная таким образом во всей разрезанной
плоскости, имеет в точках луча A, +оо) скачок, равный 2те.
Назовем «обыкновенными» те лучи arg2 = 9, которые
удовлетворяют условию
|i"M
Все другие лучи мы будем называть «исключительными».
Из монотонности функции Д(в) легко заключить, что если
корни функции f{z) распределены правильно, то множество
исключительных лучей не более чем счетно. Основной ре-
результат § 5 может быть сформулирован следующим образом.
Теорема 4. Если 3?—правильно распределенное
множество при показателе р(г) и f(z, 9?) — его канониче-
каноническая функция, то при г, принадлежащем обыкновенному
лучу и не принадлежащем некоторому С°-множеству,
выполняется асимптотическое равенство
ln/(rei9, 9l)!&J(b)rtlr\ B.08)
в котором
в
= —-— g*c<e-<V-*)rfAD) B.09)
sin яр J VT/ v '
в-2л:
при р нецелом и
при р целом.
При этом на любом замкнутом множестве Ш обыкно-
обыкновенных лучей стремление переменной r~*Winf(reib) к пре-
пределу 7@) равномерно относительно в.
Заметим, что умножение функции f(z, Ж) на показатель-
показательный множитель ер^\ в котором степень P(z) меньше р,
не нарушает асимптотического равенства B.08).
Выделение С°-множества в теоремах 1, 2, 4 и 5 основано
на оценке Картана (см. главу I, § 7). В этой оценке множе-
множество исключительных кружков не строится эффективно.
Поэтому в теоремах 1, 2,-.4 и 5 только утверждается, что
асимптотические равенства выполняются вне некоторых
исключительных областей (С0-множеств), но не указывается,

126 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. Г,
как построить эти области. Однако при некоторых дополни-
дополнительных ограничениях, наложенных на корни функции, можн<3
дать более точные сведения относительно расположения
кружков исключительного множества. Мы предположим, что
точки не могут слишком сближаться. Точнее, мы будем
предполагать, что выполняется одно из следующих усло-
условий (С) или (С):
(С) Существует такое число d > 0, что кружки
радиусов
t Р(|а„1)
rn = d\an\ a
с центрами в точках ап не пересекаются.
(С) Точки ап расположены внутри углов с общей
вершиной в начале координат, не имеющих других общих
точек, причем если перенумеровать точки множества
{ап} внутри любого из этих углов в порядке возрастания
их модулей, то для точек, попавших внутрь одного
угла,
при некотором d > 0.
В условиях (С) и (С) уточненный порядок р(г) имеет
тот же смысл, что и в условии (А).
Правильное множество точек {ап}, удовлетворяющее
одному из условий (С) или (С), мы будем называть регу-
регулярным или короче R-множеством, а кружки \z— я„|<гп
в первом случае и \z— ап\ < d\ an^~t{k '°»|) во втором —
исключительными кружками R-множества(Ся-кружками).
В § 6 мы докажем теорему.
Теорема 5. Если множество UI есть R-множество
порядка р(г), то вне исключительных Сц-кружков кано-
каноническая функция f(z, SR) удовлетворяет асимптотиче-
асимптотическому равенству
la\f(reib, ЭТ)|«Язг(9)гРМ, B.05')
и если arg z = Ь — обыкновенный луч, то
In/(re»9, 5Ц)«Л,(в)гРМ, B.080
где //я (в) и 7ЭТ @) определены равенствами B.04), B.06),
B.09) и B.10). Приближение к пределу функций

& .. ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 127
-pMlnl f(reiB ffi)\a r~f(r)\af(fea, 3t)—равномерное в том
же смысле, что а в теоремах 1, 2 и 4.
В этой теореме исключительное множество не является
^.множеством, однако при выполнении условия (С) его
верхняя линейная плотность может быть сделана сколь
угодно малой за счет выбора величины d. При выполнении
условия (С) может быть сделана сколь угодно малой другая
«плотность», а именно верхний предел отношения суммы
площадей исключительных кружков, попавших в некоторый
круг |.z|<;/?, к площади этого круга при R-юо.
Для дальнейшего полезно ввести следующее определение.
Относительной мерой множества положительных
чисел мы назовем величину
где Ег обозначает пересечение множества Е с интервалом
(О, г). Если этот предел не существует, то мы будем рас-
рассматривать верхнюю и нижнюю относительную меру
m*(E) = Ит mes(if)
Множество нулевой относительной меры мы будем назы-
называть ЕО-множеством. Очевидно, что множество тех значе-
значений г, при которых круг |2J = r пересекает С°-множество,
является ?°-множеством, поэтому в формулировках теорем
1 и 2 можно требование, чтобы z не принимало значений
некоторого С°-множества, заменить требованием, чтобы |z \
не принимало значений из некоторого ^-множества.
Как было уже указано, из теорем 1 и 2 следует, что
при правильном распределении корней функции f(z) можно
из всех значений г отбросить такое Е°-множество, что
функции от 9
будут образовывать равностепенно-непрерывное семейство.
Это свойство распространяется на произвольные целые
Функции конечного порядка, для которых оно формулируется
так:
так:

128 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
Теорема 6. Любой целой функции f(z) уточненного
порядка р(г) и положительному числу ч\ можно сопоста-
сопоставить такое множество Е^ положительных чисел с верх-
верхней относительной мерой, меньшей г\, что при ?
семейство функций hfr(b) равностепенно непрерывно.
Теорема 6 обобщается на функции, голоморфные внутри
некоторого угла а < arg2 < р. Это обобщение формулируется
следующим образом.
Теорема 7. Пусть функция F{г) — голоморфная и
уточненного порядка р (г) внутри угла а < atgz < fi и,
кроме того, при некотором положительном /< 1, неко-
некотором положительном N и всех достаточно больших
значениях г всякий круг
\z-re 2 |< lr sin Ч^
содержит точку z1 = r1ei6t, в которой
In | F (zj | > — Nr\{n). B.12)
Тогда при любом i] > 0 можно подобрать такое множе-
множество Ещ положительных чисел с верхней относительной
мерой, меньшей i\, что при г ?Е^ семейство функций от Ь
равностепенно-непрерывно *).
Эти теоремы, которые мы доказываем в § 7 этой главы,
оказываются весьма полезными при исследовании различных
вопросов теории роста функций конечного порядка.
§ 2. Целые функции нецелого порядка
с правильным распределением корней
(доказательство теоремы 1)
Для функций нецелого порядка экспоненциальный мно-
множитель перед каноническим произведением не влияет на ин-
индикатор функции, который вполне определяется в этом слу-
случае каноническим произведением, или, что то же, множеством
*) Дополнительное условие, выраженное неравенством B.12) для
случая целой функции, будет выполняться в силу известной оценки
целой функции снизу (глава I, стр. 33—35).

§ 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1 129
корней этой функции. Поэтому мы будем в этом параграфе
рассматривать лишь канонические произведения. Это не нару-
нарушит общности наших рассмотрений.
Сначала мы рассмотрим некоторые частные случаи пра-
правильного распределения корней. Наиболее простой случай:
все корни канонического произведения П(г) расположены
на одном луче argz = '|> с некоторой плотностью
л 1 • П (Г)
r->co
Г? (Г) '
Этот случай был уже собственно рассмотрен в теореме
25 главы I. В самом деле, если сделать поворот плоскости
на угол ф, т. е. поставить вместо Ь величину Ь — ^, то
получится, что при любом ч\ > О равномерно относительно
fH2 )
Hm
r->co rf{r' sin Tip
Приравнивая вещественные части, мы получим, что
Следующий по сложности случай: все корни канониче-
канонического произведения TL(z) расположены на конечном числе
лучей arg? = fy (у = 0, 1, ..., т) и имеется плотность
множества корней на каждом луче, т. е. существует предел
Д;= lim (У = ° ! т)
Г->оо
где п$(г) — число корней П(г) в интервале @, г) на луче
argz = fy. В этом случае функция П(г) является произведе-
произведением функций Iij(z), корни каждой из которых лежат
только на одном луче argz = tyj. Таким образом, этот слу-
случай сводится к предыдущему, и мы получаем, что равно-
равномерно при |6 — ^\>1\>0 (У = 0, 1, ...", т)
In I TT /Vz>*9
hm
r->oo ГР lr' Sin Яр ^
9 Sax. 988. Б. Я. Левин

130 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [гЛ. II
Если записать сумму в правой части этого равенства
с помощью интеграла Стильтьеса, то получим для этого
частного случая правильного распределения корней формулу
B.04). Переход к общему случаю основан на следующей
важной лемме.
Лемма 1. Пусть множество {ап} корней канониче-
канонического произведения
имеет плотность с показателем р(г), т. е. существует
предел
я (г)
А = lim
гр (г)
и пусть р= lim р(г)— нецелое число. Обозначим через
W(z) другое каноническое произведение
в котором | а'п | = | ап | и J arg а'п — arg an |< 8. Тогда при
любых з > 0 и Т| > 0 можно так подобрать число 3 > 0,
что
| In | Щг) | — In |
при всех z, не принадлежащих некоторому исключитель-
исключительному множеству кружков С с верхней линейной плот-
плотностью, меньшей чем i\. (При этом 8 зависит лишь от чисел
s и % а исключительное множество кружков С зависит от
множеств {aj и {а'п}.)
Эта лемма дает возможность с произвольной асимпто-
асимптотической точностью заменить данное каноническое произве-
произведение другим, у которого корни лежат на конечном числе
лучей. Доказательство этой леммы несколько громоздко, и
мы проведем его позже, чтобы теперь не прерывать основ-
основную нить рассуждений. Теперь продолжим прерванное дока-
доказательство, используя эту лемму. Итак, пусть f(z) — целая
функция нецелого порядка р и пусть множество ее корней
имеет угловую плотность Д^(в) с показателем р(г).

§ 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1 131
Пусть величина Нф) определена формулой B.04). По-
Построим интегральную сумму
т-1
cos р F ~ ъ - *>[Л (**»> -
Очевидно, что при s > 0 можно так выбрать о > 0, чтобы
при max \'lj+1 — ^-|<S С/ = 0, 1, 2, ..., т—1) выпол-
4
нялось неравенство
\Нф) — 5ж(в)|<-д- (О<6<2«). B.13)
Как было условлено, мы будем считать, что функция
f{z) есть каноническое произведение
iMbi построим другую функцию /р B), у которой все корни
лежат на лучах argz = '^- (у = 0, 1, ..., т—1) и которая
асимптотически мало отличается от f{z). Для этого выберем
точки ап так, что | ап \ = | ап | и при ^ <; arg an < fy+1 поло-
положим argan = 'l)j. По лемме 1 функция
удовлетворяет при любых е>0, tj > 0 и достаточно малом
3 > 0 неравенству
\\n\f(z)\-ln\f(z)\\<^r'{r) (|«| = r) B.14)'
при всех значениях г, не принадлежащих исключительному
множеству кружков С с верхней линейной плотностью
Корни функции / (z) расположены правильно и находятся
на конечном числе лучей arg 2 = fy О' = 0, 1, 2, .... m — 1).

132 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. ц
В этом случае, как было уже указано, при любом а > 0 и
\Ь — tyj | ^ а величина
равномерно стремится к Sn(b). Иначе говоря, суще-
существует такое число ге, что при r>r8, ^ и |Й—fy|^>o
(у = 0, 1, ..., m—1) имеет место неравенство
|/--рм1п|/(/-^)|-5яF)|<|. B.15)
Из B.13), B.14) и B.15) следует, что при
|в —fy|>o>0 (у = 0, 1, ..., /» —1), ге^С и г>г.,а
| г-? W In |/(reiS) | — Я F) |< е. B.16)
Требование л > rs, „ можно отбросить, присоединив круг
| z | <; г,, „ к множеству С.
Мы доказали, что неравенство B.16) выполняется вне
некоторых углов, т. е. при |6 — fy|;>a>0. Чтобы изба-
избавиться от этого дополнительного требования, мы сделаем
второе разбиение интервала @, 2тс —J— 8) точками <!у (/ = 0,
1, ..., m—1, m) так, что <j^ == <|<о-f-2тс и |<!у+1 — <]у|<3
и выберем a > 0 так, чтобы множества 10 — ^ | ^- а и
1^ — "Ы^-3 (У=-0, 1,..., /п—1, /к) перекрывали весь
отрезок [0, 2я]. Использовав это второе разбиение, мы полу-
получим, что неравенство B.16) выполняется, если reib не при-
принадлежит некоторому исключительному множеству кружков С
с верхней линейной плотностью р* (С') < 4- и |Й — 4ч1^°
(у = 0, 1, .... /п). Так как множества |Й—-^j\^a и
|S — 'r'il^3 перекрывают весь отрезок [0, 2и], то получаем,
что неравенство B.16) выполняется при rem?C = C~\-C',
причем р*(С)< т). ^
Итак, можно построить исключительное множество С
кружков с произвольно малой верхней линейной плотностью,
вне которого при произвольно малом е > 0 выполняется
неравенство B.16). Воспользовавшись этим, мы построим
множество кружков нулевой линейной плотности, вне кото-
которого выполняется нужное асимптотическое равенство. Для
этого выберем произвольно две стремящиеся к нулю последо-
последовательности положительных чисел {з^} и {t\p} и найдем после-

g 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1 133
довательность таких множеств кружков Ср (/>= 1, 2, .. .),
что ?*(Cp)<rip и при геа?Ср
|/(*«)|//@)|<в,. B.17)
Обозначим 2Vf сумму радиусов тех кружков из множе-
множества С , центры которых находятся в круге | Z | < г. Так
как р*(С )<"V т0 ПРИ достаточно большом значении г
2
Выберем последовательность положительных чисел Rp
(р=1, 2, ...) так, что Rp+tXp+VRp и при г > Rp
выполняется неравенство B.18).
Выделим из каждого множества Ср те кружки, центры
которых принадлежат кольцу
и совокупность всех таких кружков обозначим С. Это мно-
множество является С°-множеством. В самом деле, если пере-
перенумеровать кружки из С и обозначить г$ радиус кружка
с номером у, то при
будет выполнено неравенство
и, следовательно,
Кроме того, при ге№?С и г>гр будет выполнено нера-
неравенство B.17). Иначе говоря, при z?C величина
равномерно стремится к Н(Ч). Теорема доказана *).
*) Полезно отметить еще другой вид формулы для ЯF):
) = ilrT^ J
о
2я
cos р <] в — ф | — тт
. о
который можно получить непосредственно из B.04), если заметить,
что при 0 — 2т: < ф < 8 cos р F — б — я) = cos р (I 0 — iM — я) и
cos р {| 6 _ F + 2Л) | _ те} = cos р (| 6 — i | — я).

134 ФУНКЦИИ С ПРАЗИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
Докажем теперь лемму 1.
1. Зафиксируем положительное число а < 1, число т > 1
и положительное число [3, не превышающее чисел 1 —аи z~1,
и представим бесконечное произведение
1
в виде произведения следующих пяти функций:
П °{Ьр\ </B)= П
ап\<аг Ю„|>*г
П
П
w= П
A-3)г<| onl
В дальнейшем мы будем, кроме этих функций, рассма-
рассматривать те функции, которые из них получатся, если в каж-
каждом произведении точки а„ заменить на ап такие, что
«J = I ап I и | arg ап — arg ап |< 3 C > 0). Для этих новых
функций мы будем сохранять прежние обозначения, приписы-
приписывая только сверху значок S (/ (z), fl(z) и т. д.). Можем
записать неравенство
B.19)
Займемся оценкой каждого из слагаемых в правой части
этого неравенства.

§ 2]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1
135
2 Из лемм 7 и 8 главы F следует, что при достаточно
малом о > 0 и достаточно большом i > 1 асимптотически
|la|/.<*)ll<,VM. !ln]/a*)l!<iV?l''''
и, следовательно,
B.20)
3. Для оценки третьего и четвертого слагаемых мы вос-
воспользуемся равномерной непрерывностью функции
ln|G(se-i9; p)\ (s>0)
по * и 6 в областях
Из существования плотности Д у множества корней \ап}
(апф0) следует, что при некотором с > Д
n(r)<crpir). B.21)
Если теперь выбрать 8>0 настолько малым, чтобы при
A — 3)~1<s<a-1 или ¦:-1<s<(l+i5)HnpH[81—02|<8
выполнялось неравенство
|ln|G(s^; p)\ — ln\O(se*",p)\\<-
то получим:
<
In

136 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
Из B.21) легко следует, что при достаточно больших
значениях г
n(ir)<2ci9rfir)
и получаются асимптотические неравенства
B.22)
Остается показать, что при достаточно малом ,3 > 0 и
при z, не принадлежащем некоторому исключительному
множеству, последнее слагаемое в B.19) асимптотически
меньше чем-^-гр . Это — технически наиболее трудный
пункт доказательства.
4. Сначала вместо функции Фр (z) мы рассмотрим функцию
и оценим | In | <|>д, р (г) 11 в кольце ||г-|—/?|<р/?. При этом
мы сначала не будем пользоваться существованием плотности
у множества точек {ап}, а предположим только, что множе-
множество имеет предельную точку на бесконечности, и получим
некоторую общую оценку (см. B.27)). Затем уже, воспользо-
воспользовавшись наличием плотности, мы получим нужное нам не-
неравенство. Прежде всего дадим оценку функции |<5»д, р(.г)|
сверху. Из неравенства
•-=
верного при
\ап\ — R
при ||г| —
]г—
следует, что
B.24)
Здесь через N(R, $) обозначено число точек из множе-
множества {ап} в кольце A — Р)Д< \z\ < ?

§ 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1 137
Для получения оценки фл.„<2) снизу мы будем исходить
из оценки Картана (глава I, § 7), по которой при любом
Я>,0 многочлен
р(*)= П
удовлетворяет неравенству
. \n\P(z)\>N(R, @ In G)
всюду вне кружков с общей суммой радиусов, равной 2Н.
Заметив, что в произведении B.23) \ап\ < A -f-|3)#> и
положив H=$2R, мы получим из этого неравенства, что вне
исключительных кружков с общей суммой радиусов 2,32/?
Построим теперь исключительное множество С во всей пло-
плоскости. Для этого разделим положительный луч на полу-
полуинтервалы If
и = о, 1, 2, ...).
где
а всю плоскость вне круга | z \ <; 1 — ^ — на кольца Kf
^0 —PXI>l</?i(i+P) G = 0, l, 2, ...)
и обозначим через iij число точек ап в кольце /fy.
Каждому из колец Kj можно сопоставить исключительные
кружки с суммой радиусов, равной 2^Rj, вне которых
выполняется неравенство
^ — ln2 — l]. B.25)
Так как каждый исключительный кружок содержит точку
о-п из кольца Kj, то центры этих кружков находятся либо
в Kj, либо в одном из .смежных колец Kj_^ и Kj+i. Обозна-
Обозначим через С совокупность всех исключительных кружков,
отвечающих различным кольцам Kj(j=l, 2, ...), и через

138 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ.
rk (k = 1, 2, . ..) радиусы этих кружков и дадим оценк
верхней линейной плотности этого множества.
Пусть R — произвольное число, большее чем 1—3,
пусть т — таково, что Rm<R<Rm+1. Тогда
В левой части этого неравенства стоит сумма радиусов,
тех кружков из С, центры которых находятся в круге | z | < R.
Поэтому
Неравенство B.25) дает оценку снизу функции |<!/д.,
внутри кольца Kj, но вне построенного нами множества1 С.
Перейдем к оценке функции | fyR „ (z)\ вне этого множества
при произвольном R. Для этого при Rm ^ R < Rm+l пред-
представим ^л р(г) в виде
где
П
П
Функции 6_ „(г) и 6„ я(г) оцениваются с помощью не-
ат'9 '•"»»¦р
равенства B.25). Функции ty$Лг) и Щ\(г) следует оценить
сверху. Чтобы сделать это, заметим, что в обеих этих функ-
функциях
1
и следовательно, при \[z
Таким образом, при |г|<
In |<^> B)] <пт+1\п 10, ln\№h(z)\<nmln 10.

2} ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ I 139
Используя оценки всех четырех функций, получаем при
.г|_#|<рг, но вне кружков множества С:
Соединяя эту оценку с B.24), получаем, что
|ln|4«,p(*)||<(»« + i«+i)[21iij + 4]. B.26)
Перейдем теперь к оценке функции
П
I
Она допускает представление
In | Фя р (г)| = In | фя
•••+4I-
Оценка первого слагаемого дается неравенством B.26),
а для оценки второго нужно лишь заметить, что при
A— ?)/?<| ап |< A —j— p) i? и \\z\ — R\<$R будем иметь:
и, следовательно,
Соединяя обе оценки, получаем, что при zfCj\\z —/? | <
< ?Л
I In I Фд. ? (г)| | < (я» + О [2 In -1 + В,], B.27)
где

140 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. I
5. Используем теперь, что в нашем случае множество,
имеет плотность, т. е. существует предел
При /?от < Ж Rm+i и \г — R К J3^ будем иметь:
Из этих неравенств и B.27) получается асимптотическое
неравенство
| In | Фл, р B)| | < 2B in 1-f Вр) (Ш)Р [A +Р)р-A -ОТ Дг" w>
в котором ||z| —
Очевидно теперь, что, каковы бы ни были положительные
числа $ и С, можно так выбрать число J3 > 0 и множество
исключительных кружков С, что р*(С)< $ и вне этих круж-
кружков
6. Выберем $ = -|-и С = -Д и построим множества круж-
кружков Сх и С! соответственно для последовательностей {ап}
и {й^}, о которых идет речь в лемме 1. Тогда при R == г = \ г |,
достаточно малом ,3 и z^Cj^-^Ci получим, что асимптоти-
асимптотически
и, следовательно,
Кроме того,

§ 2]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1 141
Таким образом, мы получили нужную оценку последнего
слагаемого в неравенстве B.19) и тем самым доказали
лемму 1, а значит, и теорему 1.
При доказательстве леммы 1 мы в пп. 5 и 6 доказали
два положения, которые будут нами использованы в дальней-
дальнейшем. Поэтому мы сформулируем их в виде отдельных лемм.
Лемма 2. Пусть {ап} — последовательность ком-
комплексных точек с единственной точкой сгущения на бес-
бесконечности и
П °{f'p)' B>28)
|Л I >м i.Q\ 9 \ Я- I
где р — натуральное число, О < J3 < -х
Пусть
и п$ — число точек из [ап] в кольце
О—
Тогда можно выделить такое множество С кружков
с верхней линейной плотностью
что при г?С, ||г|—Я|<РЯ и Rm<R<Rm+1
I In | Фл. з (г)| | < (пт + пт+1) B in I
где Вр =
Лемма 3. Если последовательность {ап} точек ком-
комплексной плоскости имеет плотность А с показателем
р (/"), то, каковы бы ни были два положительных числа \
¦и С, можно так выбрать множес/heo С кружков с верх-
верхней плотностью меньшей %, и число % что при R-+oo,
Wz\ — R\<?R и z?G функция Фд,р(z), определенная
равенством B.28), удовлетворяет асимптотическому не-
неравенству

142 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. 1»
Заметим, что в лемме 2 мы не накладываем никаких
ограничений на последовательность {ап}, а в лемме 3 тре-
требуется лишь существование плотности, причем несуще-
несущественно, является о = limp (г) целым или нецелым числом.
§ 3. Целые функции целого порядка
с правильным распределением корней
(доказательство теоремы 2)
У функций целого порядка индикатор не определяется
полностью множеством [ап] корней функции, а может зави-
зависеть также от экспоненциального множителя, стоящего перед
каноническим произведением. Кроме того, в этом случае при
данном уточненном порядке р(г) величина Af, как было
показано в § 13 главы I, еще не определяет типа канони-
канонического произведения. Для нас сейчас существенно, что
в случае целого порядка рассуждения, проведенные в пре-
предыдущем параграфе, не проходят даже для того простей-
простейшего случая, когда все корни функции f(z) расположены
на одном луче. Это обстоятельство было уже отмечено нами
при доказательстве теоремы 25 главы I, § 17.
Для того чтобы получить в этом случае асимптотическое
равенство, мы представим функцию f(z) (как это было уже
сделано в § 11 главы I) в форме
/(*) = 2V>-iw+V<rr<*). B-29)
где
При этом /3р_1(г) = с0 +
Un|>r
Если корни ап и величина с0 удовлетворяют условию (В),
т. е. существует предел
I'm TTTTV^^V '

§ 3] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2 143
то величина
равномерно относительно 6 @ < 6 ^ 2т:) стремится к пределу.
lim T(r, 6) = T/eip(e"V B.30)
г->оо
Это обстоятельство выясняет смысл условия (В). Весь вопрос
теперь сводится к изучению второго множителя fr(z), кото-
которое мы проведем, используя только существование угловой
плотности множества корней. Рассмотрим, как и прежде,
сначала тот простой случай, когда все имеющее угловую
плотность множество \ап) расположено на конечном числе
лучей arg z = <>_,¦ (у = 0, I, ...,m— 1).
Применяя теперь вместо теоремы 25 лемму 9 § 17 гла-
главы I, мы получим, что при |б—'^|^°>0 равномерно
lim
Н1-1
[(fJ - 'Ъ - ")sin р (fJ - Ь) - jcos р (9 - ^
где Aj- — плотность, множества корней на луче ^
Можно ожидать, что и в общем случае существования угло-
угловой плотности у множества корней вне некоторого исклю-
исключительного множества будет выполняться равенство
lim "Ч
е
— "I* — ") sin Р (9 — Ю — - cosP (9 — Ю
Чтобы доказать это, потребуется лемма, аналогичная лем-
лемме 1.
Лемма 4. Если при целом р множество {ап} корней
функции
ш- n°(f;p-0II°(i;
1л 1^. Х»« '1/. 1^«. Х Л

144 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
имеет плотность с показателем р (г) —> р и
причем \а'п\=>\ап\ a |arga/— argan|<3, то при любых
ч\ > О и s > 0 можно так подобрать S > 0, что асимпто-
асимптотически
| In
при z, не принадлежащем некоторому исключительному
множеству кружков С с верхней линейной плотностью,
меньшей t\. (При этом S зависит лишь от в и т), а исклю-
исключительное множество С — от множеств {ап} и {а'п}.)
Доказательство этой леммы аналогично доказательству
леммы 1, но сильно упрощается в связи с тем, что мы
дюжем теперь использовать уже доказанную нами лемму 3.
Приведем это доказательство здесь же.
Положив
П
I an
П
П
ог<|ая|<A-Э)г
*„(*>= П

§ 3] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2
будем иметь:
145
|^р(^)|-1п|^?(^I|- B-31)
Из лемм 7 и 8 главы I следует, что при заданном в > О,
достаточно малом о > 0 и достаточно большом х > 1 асим-
асимптотически
Следовательно,
B.32)
Из существования плотности А у множества корней [ап\
функции /(г) следует, что при некотором с > Д
Воспользовавшись непрерывностью функций
\a\Q(se-^; р—1)| при A — ?)<e<o-i
ln|O(ee-«; р)| при х-1<
мы можем, так же как в п. 3 § 2 этой главы, выбрать S> О
настолько малым, что
B.33)
10 Зак. 988. Б. Я. Ле

146 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ (ГЛ. 11
Согласно лемме 3 можно так выбрать число 0 < ?5 < j и
множество кружков С с верхней линейной плотностью, мень-
меньшей заданного числа ч\ > 0, что при
т. е.
In | Фг, р (г) | - In | Ф^ р (г) 11 < | гр И. B.34)
Кроме того,
и, следовательно, асимптотически
(S>°>-
При достаточно малом C > О
| 'и | фГ, р(*) | — In | ^ р (г) 11 < j гр ("'. B.35)
Из неравенств B.31), B.32), B.33), B.34) и B.35) сле-
следует, что при достаточно малом 8 > 0, вне множества С
Лемма доказана. Перейдем к асимптотическому представле-
представлению функции 1п|/г(г)|. Такое представление дается в сле-
следующей лемме.
Лемма 5. Если множество {ап} точек имеет угло-
угловую плотность А(^) с показателем р(г), причем р — целое
число и
»(^-О,
, г(^О,
то ири 2, мг принадлежащем (У-множеству, имеет место
асимптотическое равенство

§ 3] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2 147
в котором
//l(e)==Ja»'-F~<!'~"t)smpF v) pC°sp -1
Доказательство. Построим для интеграла ЯхF)
интегральную сумму
— <!fj — it) sin p F — ty) —
— -i cos p (9 — ^)J [Л (ty+1) — A (^)],
= 0. 1, 2 я), фя+1
При этом 8>0 мы выберем настолько малым, что
-д-. B.36)
Выберем числа а'к так, что | а'к \ == [ ак \, arg а'к ~ ^., если
, и построим функцию
|aft|<r * \а'к >г
По лемме 4 при любых s > 0, ч\ > 0 и достаточно малом
S > 0 неравенство
| In | fr(z) | - In I /* (z) 11 < I гр И B.37)
выполняется при всех значениях г, не принадлежащих исклю-
исключительному множеству кружков С с верхней линейной плот-
плотностью, меньшей ~. Для функции fr(z) было установлено,
что при а>0 и |arg2 — ty|>o (/ = 0, 1 «) можно
так указать число г , что при /¦ ^> г
| г-р и In | fr {re*) | - Sn (b) |< |. B.38)
Из B.36), B.37) и' B.38) следует, что при z?C и
—.>,|>о (У = 0, 1, 2 п)
|r-p('>ln|/r(re«)| ~HL(b)\<s. B.39)
10*

148 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
Разбив вторично интервал @, 2u + S) точками ^
(; = 0, 1, 2 п) так, 4X0^ = 4-0+2^, \?i+l — %\<*>
и выбрав а > 0 достаточно малым, мы добьемся того, что
множества |6 — tyl>° и Iй —^1>а (/ = 0, 1 п)
перекроют весь полуинтервал [0, 2и). Использовав это вто-
второе разбиение, мы получим, что неравенство B.39) выпол-
выполняется, если г = reiH не принадлежит некоторому исключи-
исключительному множеству кружков С с верхней плотностью,
меньшей -3-, и |8 — ty \~2"<* (/ = 0, 1 п). Таким обра-
образом, неравенство B.39) выполняется всюду вне исключитель-
исключительного множества кружков С = С-{-С', причем
Дальше, точно так же, как в § 2 при доказательстве
теоремы 1 (стр. 132 —133), строится С°-множество, вне кото-
которого равномерно относительно 6
-^C»). B.40)
Заметим еще раз, что при этом выводе мы пользовались
только существованием угловой плотности у множества
корней. Лемма 5 доказана. Перейдем к доказательству тео-
теоремы 2.
По предположению, множество точек {ап} удовлетворяет
условию (В) (см. стр. 121). Если воспользоваться этим
условием, то из представления B.29) и равенств B.30) и
B.40) можно непосредственно получить, что равномерно
при ^
где
е
Г ГF— A — 7t)sinpF — ty) — -cospF — 4*)I
1L p J

§ 3) доказательство теоремы 2 149
Преобразуем это выражение к виду B.06). Для этого заме-
заметим, что при р целом
в
•-V
"fa
где А и В — постоянные, и получим, что
в
Н (Ь) = Al cos рб + Bt sin рб + J F — ф) sin р F — ^
8-2п
Как показано в конце § 16 главы I, из этого равенства
следует:
А W = 2^ [Я'№ + р2 J Я(?) d?] '
и в силу периодичности функции Я (в)*)
J e<P* <fA (•» = <). B.41)
о
Учитывая это, получим, что А = 5 = 0 и
6-2*
Теорема 2 доказана. В § 1 мы заметили, что при пра-
правильном распределении корней функции f(z) ее индикатор
совпадает с функцией Я F), определенной формулами B.04)
и B.05). Остановимся теперь на этом подробнее. По тео-
теоремам 1 и 2 вне исключительного С°-множества вели-
) Равенство B.41) можно получить и непосредственно из уело-

150 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
чина йдг@) равномерно стремится к Н(Ч). Покажем, что
внутри исключительных кружков асимптотически
Действительно, отношение диаметра da любой области Q,
состоящей из исключительных кружков С°-множества, к рас-
расстоянию этой области от нуля стремится к нулю при уве-
увеличении этого расстояния. Из принципа максимума следует,
что значение функции ln[/(.z)| в любой точке такой исклю-
исключительной области не превышает ее максимума на границе
этой области. Но на границе исключительной области спра-
справедлива асимптотическая формула для hftr(b), и, учитывая
непрерывность функции Я(9), получим прите*9?2 асимпто-
асимптотическое неравенство
In | /(ге^ | < (н (в) + •§-
На каждом луче arg.z = 0 есть сколь угодно далекие точки,
не покрытые кружками исключительного С°-множества, и,
следовательно, при любом 6
Г-Э-оо Г* v '
Интересно отметить, что области Q, состоящие из исклю-
исключительных кружков, не содержащие корней функции /(г),
можно изъять из исключительного множества.
Действительно, применяя к функции ln|/(.z)| внутри
такой области принцип минимума, мы получим асимптоти-
асимптотическое равенство In | f(reiH) \ za Н F) гр М внутри такой области.
Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что каждая
исключительная область содержит корень функции f{z). Это
замечание дает возможность установить важное следствие
из теорем 1 и 2.
Следствие. Если корна целой функции f(z) уточ-
уточненного порядка р(г) распределены правильно при пока-
показателе р(г) и плотность множества корней внутри не-
некоторого угла (а, [3) равна нулю, то индикатор функции
внутри этого угла — тригонометрический, т. е.
B.42)
{при а-<6<;р; А и В — постоянные).

§ 41 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3 151
Если же внутри этого угла вовсе нет корней функции,
то при в < 6 < ? существует предел
5г^
причем переменная стремится к пределу равномерно при
а + ц<в<р —Ч Сп>0).
Второе утверждение прямо следует из того, что при
указанном условии внутри угла (a-j-i). ? — "П) нет точек,
принадлежащих исключительным кружкам. Первое утвержде-
утверждение следует из формул B.04) и B.06). Например, фор-
формула B.06) принимает вид
а
А(Й)= J <|» sinp(^ —в)ЛА(ф)+т/.со8р(9 —ф).
Р-2*
Раскрывая синус разности и интегрируя, получаем B.42).
Полезно отметить еще следующий пример целой функции
целого порядка с правильным распределением корней. Пусть
{ап} — множество, имеющее угловую плотность Л F) внутри
некоторого угла а. < ty < а. -| при целом р и
Очевидно, что множество корней функции Ф(г) имеет угло-
угловую плотность и 8^ = 0. Формулу для Нфф) можно легко
получить, применив к функции половинного порядка (
теорему 1, и путем простых преобразований получаем:
р
Н(Ь) — п J sin р | в —-
а
§ 4. Построение целой функции с заданным индикатором
(доказательство теоремы 3)
Теорема 1 дает возможность построить целую функцию
нецелого уточненного порядка р(г)(р > 0), индикатор кото-
которой совпадает с заданной, тригонометрически выпуклой при
данном р периодической функцией h (9) с периодом 2чг,

152 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
Из теоремы 2 получается аналогичный результат для р целого
и любого сильного уточненного порядка. Проведем сначала
это построение для более простого случая целой функции
нецелого порядка.
1. Прежде всего строим по заданной, тригонометрически
выпуклой функции А (8) неубывающую функцию Д(<»:
о
По теореме 24 главы I функция й@) представляется в форме
B.43)
В силу теоремы 1 вопрос сводится к построению точечного
множества {ап} с угловой плотностью Д(^) при показателе
р(г). В самом деле, после построения такого множества
достаточно составить каноническое произведение
°(^; р)
Индикатор этой функции будет по теореме 1 выражаться
равенством
9
й^ J coepF —.!,-«
в2
и, следовательно, hr(b) ()
2. Для того чтобы построить точечное множество {ак}
с угловой плотностью А ('}), приблизим равномерно функцию
Д(<{<) последовательностью неубывающих кусочно-постоянных
функций Дто(^) с конечным числом скачков, причем подберем
эти функции так, чтобы величины скачков Дот^(/ =1,2 sm)
выражались рациональными числами. Точки скачков мы обо-
обозначим ^,(/=1, 2 sm).
Нетрудно построить точечные множества ffim с угловыми
плотностями Ат (-]>). Для этого мы проделаем следующие
операции.

§41 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3 153
Выберем значения r = rmiP(P = h 2, ...). при которых
величина r»W принимает значения, кратные^общему знаме-
знаменателю dm всех рациональных чисел Дот> j(j — 1. 1 sm).
Затем отметим точки, лежащие на пересечении окружностей
\z\ = rm ,(p«=rfl, 2, ...) и лучей arg« = «!'1II,iC/=I, 2, ...,*„,).
приписав' каждой такой отмеченной точке кратность
4m,i = d*?m. j (/= 1. 2, - ...Sj.
Очевидно, что число п(г, ^) отмеченных точек в сек-
секторе |2|<r, 0<arg2<^ с учетом их кратности
) + c(r, <!/), B.44)
причем
| с (г, -V)|<dmAmW). B.45)
Отсюда, конечно, следует, что построенное множество ЭТОТ
имеет угловую плотность Дт(ф). Разобьем теперь всю пло-
плоскость на кольца Кт:
выбрав для этого некоторую последовательность чисел
ro *C ri < ^ч К • • • так, что г0 = 0 и гот -> оо при /и -> оо,
и выберем в каждом кольце Кт точки множества 3tOT. Сово-
Совокупность всех этих точек обозначим 3t. Мы сейчас убедимся
в том, что если последовательность гт(т = 0, 1, ...) вы-
выбрать достаточно быстро возрастающей, то множество 9t
будет иметь угловую плотность Д(<}).
Выберем, в самом деле, последовательность чисел
гт(т=1> 2, ...) так, что
т
Jimjr-pi'V 2 dk}=0. B.46)
Обозначив п{г, <Ь) число точек множества VI в соответствую-
соответствующем секторе, мы будем иметь при rm<r<rm+x и неко-
некотором натуральном т < т
т
гЦг, ф) = Я(гт, ф)+21я*<г*« Ф) — M'fc-1. ФI +
1+1

154 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
При заданном а > 0 можно так выбрать число т, что при
Применяя равенство B.44) и неравенство B.45), мы получим,
что при k > т
Ч (гк, ф)- я* (г*_!. ф) < [Л (ф) + в] (^ "V — rj?*-i> + 2rfs).
Отсюда и из B.47) получаем:
т
я (г, <})<п(/-т) •Я + ад-ННО'РМ —гр<'т>) + 2 2<**}.
т + 1
и в силу B.46)
Аналогично получается:
и в силу произвольности е
Таким образом, построено множество с данной угловой
плотностью и тем самым доказана теорема 3 для случая
нецелого порядка.
Заметим, что построенная нами функция f(z) не только
имеет заданный индикатор h F), но удовлетворяет вне неко-
некоторого С°-множества асимптотическому равенству
3. Случай целого порядка значительно сложнее. В этом
случае недостаточно построить точечное множество [ап]
с заданной угловой плотностью
А0» = -2^" [*' (Ф + 0) — h'(+ 0) + Р9 J h(cp) d<p]. B.48)
о
Требуется его построить так, чтобы выполнялось условие (В),
Более того, сравнивая выражение A.82) для заданной функ-

§ 4) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3 155
ции А F) с выражением B.06) для индикатора, мы видим,
что при некотором ср предел
должен равняться заданной величине. Именно требуется,
чтобы выполнялось равенство
^cos F — bf) = A cos рб + В sin рб,
в котором А и В имеют тот же смысл, что и в формуле
A.82).
Каноническая функция этого множества при указанном
значении ср будет удовлетворять асимптотическому равенству
Мы построим такое множество для заданного сильного
уточненного порядка р*(г).
4. Сначала построим для А@) при целом р и любом
уточненном порядке р(г) множество {ак} с угловой плот-
плотностью А(ф), определенной равенством B.48), и притом
такое, что
|Ojl<f
Для этого построения мы воспользуемся тем, что (как
было показано в теореме 24 главы I) функция А(-{*), опре-
определенная равенством B.48), удовлетворяет при р целом
условию
Приблизим функцию Д('}) последовательностью кусочно-по-
кусочно-постоянных неубывающих функций Д^ОЮ с конечным числом
скачков, которые все выражаются рациональными числами
^m,jU=l, 2, ..., s) и притом таким образом, чтобы эти
функции удовлетворяли условию
0, B.50)

156 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
Возможность такого приближения была показана в конце § 19
главы I. С помощью функций AOT(->) построим множество 3t
(см. п. 2). Оно имеет угловую плотность Д(^). При этом
точки ак располагаются на концентрических окружностях
\*\ — гтгР, имеют вид гт<ре^«Ч(j = i, 2 sm) и обла-
обладают кратностью qmj — dm\mj (/=1, 2,..., sm), где
— скачок функции AOT('|>) в точке fy. Составляя сумму
распространенную на точки, лежащие на одной окружности,
причем так, что каждая точка ак повторяется в этой сумме
столько раз, какова ее кратность, мы получим:
К, Р = dmrj j еЩ
Последнее равенство следует из B.50). Отсюда уже с оче-
очевидностью следует, что
\ч\<г
Для построения множества, удовлетворяющего при неко-
некотором ср условию B.49) при заданных xf и bf, следует к мно-
множеству 9? добавить некоторое множество 31' с нулевой
угловой плотностью и удовлетворяющее при некотором ср
условию B.49). Суммарное множество 3t + 9t' будет удо-
удовлетворять всем требованиям. Очевидно, что функция /(г),
удовлетворяющая вне некоторого С°-множества асимптоти-
асимптотическому равенству
In |/(г*49) | ;«й F) грМ,
равна произведению функций
f(z, И) = По(-?-; Р) (аке% »х<оо) B.51)
)- B-52)

§ 4] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3 157
Если р (г) = const, то за W можно взять пустое множество
и в качестве функции <?(z) показательную функцию ехрсрггР
(ср = x/e""if>V). В общем случае при произвольном р* (г) функ-
функция <p(z) должна удовлетворять в силу теоремы 2 вне неко-
некоторого С°-множества асимптотическому равенству
In | <р (re*9) | ^ xf cos F — bf) rf^'i.
Таким образом, для случая целого р задача сведена нами
к построению множества 91' с указанными свойствами, или,
что то же, функции <?(z), являющейся аналогом (для произ-
произвольного уточненного порядка р*(г)) функции expcpzP.
Для построения нужной нам функции мы заметим, что
из определения сильного уточненного порядка р*(г) и соот-
соответствующей функции L*(r) следует:
r"+1 [С(г)]' = гр [»;(Ш г)- Ь[ (In г)] в».0«*)-».О-»).
Положив
(/=1, 2),
мы получим:
гр+1 [L* (г)]' = х„ (О - Уд (г), B.53)
причем
Покажем еще, что, несущественно изменив функции х»(г)>
можно сделать их монотонно возрастающими. Действительно,
из определения fj(r) следует:
у/, (г) = rP-iL* (г)»; (In г) L + %^- + ej (In г) - ftl (In r)l.
L *i(lnr> J
Величина в квадратной скобке стремится к р при г->оо,
и следовательно, при достаточно больших значениях г про-
производная Х|(г) положительна. Таким образом, функция /j(r),
начиная с некоторого значения г, монотонно растет. Для
построения множества W отметим сначала на луче arg.z = 0
точки bkv в которых функция ул{г) принимает целые зна-
значения, и на луче arg z = — — точки bki, в которых функ-

158 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
ция ул(г) принимает целые значения. Обозначим через rij(r)
(/= 1, 2) число точек bkj с модулем, не превышающим г.
Тогда, очевидно,
] G = 1.2)
и угловая плотность построенного множества равна нулю.
С другой стороны,
\bki\<r
I6*il<r
где ге@ = «2(t) — Ял @. Очевидно, --я(Q = ^P+1[L*@)' + О(\)
и ге(^) = 0 при некотором s>0 и0<^<?. Интегрируя
по частям, получим:
\
B.54)
где <?(t) = n(t) — t?+1lL*(t)Y = O(\). Добавим к точкам Ьк}
еще одну точку Ь, которую мы определим равенством
»-г = !•(.)-
Составив 3(г) для соответствующего канонического произ-
произведения, мы получим S(r) = 1 -)-оA).
-1 {в
Умножив все числа bkj и число & на т. ?е f, мы получим
множество {Ьк} нулевой плотности и такое, что
Итак, нами построено множество 9Т, каноническая функция
которого вполне регулярного роста и имеет нужный триго-
тригонометрический индикатор. Теорема доказана.
Заметим, что построенная нами функция с данным инди-
индикатором имеет вполне регулярный рост.

§ 51 доказательство теоремы 4 159
Замечание. Если заданная тригонометрически выпуклая
функция неотрицательна*), то в утверждении теоремы 3 для
Его порядка также можно сильный уточненный порядок
заменить произвольным уточненным порядком. ^
Для того чтобы это показать, построим для функции I (г)
мажоранту L*t(r) (возможность такого построения показана
в § 12 главы I) и положим L* (г) = [^ (г)!- Тогда будем
иметь:
r+coHr)
Затем построим целую функцию F{z) сильного уточнен-
уточненного порядка р*(г) (гр*(г) = гр1*(г)) с заданным индикато-
индикатором h(9) и вполне регулярного роста. Пусть Е — исключи-
исключительное ?°-множество для этой функции. Тогда получим:
г-»». г*Цг) г±«> гП (г) r-*ooL(r)
Далее, основываясь на теореме В. Бернштейна (см. § 18
главы I), мы можем утверждать, что hp Ф) = h(b).
§ 5. Асимптотическое представление целых функций
с правильным распределением корней
(доказательство теоремы 4)
Для того чтобы получить асимптотическое представле-
представление B.08) функции f(reiB) с правильным распределением
корней, нужно исследовать функцию arg/(rei9). Мы ограни-
ограничимся при этом случаем, когда р — число нецелое, так как
случай целого р исследуется аналогично **). Наше рассмо-
рассмотрение попрежнему будет основано, как и в § 2, на теореме 25
главы I, но для проведения рассуждений в этом случае тре-
требуется следующее дополнение к лемме 1 ***).
*) Возможно, что требование неотрицательности — лишнее.
**) Ниже мы укажем, какие следует внести изменения в рас-
рассуждения при переходе к целому порядку.
**) При р целом нужно сделать аналогичное дополнение к
лемме 4.

160 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. 1
Лемма 6. Если множество {ак} имеет плотность
Д = hm
а функции f(z) и f(z) определены так же, как в лемме 1,
то при любом г > 0 и z = re®, принадлежащем некоторому
замкнутому множеству обыкновенных лучей *), можно
так подобрать число 8 > 0, что
I arg/(z) — arg/s (z) \ < «*«. B.55)
При этом 8 зависит от в и множества лучей Ш.
Доказательство. Представив каноническое произве-
произведение
в виде произведения следующих трех функций:
/-«= П 0(i'p)>
П
ft
П
@ < o< 1 <т<оо, |г|=г), можем записать неравенство
| arg/(*) - arg/Ч*) | < I arg/^z)- arg/s (*) |+
1 argTf(z) - arg, f (z) \ +1 argT/. (z) - arg,/^ (г) |. B.56)
Из лемм 7 и 8 § 17 главы I следует, что при задан-
заданном s, достаточно малом о>0и достаточно большом х > 1
B.57)
Iarg,f(z) — argt/8(z)|< 4Пw.
*) Определение см. в § 1.

§ 5] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 4 161
Для оценки третьего слагаемого в B.56) заметим, что
в выражении
¦ argO(a;p) = arg(l—a) + arg(a + T+" '+77
второе слагаемое есть равномерно непрерывная функция от а
ПрИ _L^;|a|^;J_( а первое слагаемое есть равномерно
* ° ' /1 / / !
непрерывная функция в разрезанном кольце у— < и ^. —,
0<arg«<2itV При переходе через разрез A, +со) на
положительном луче эта функция получает приращение 2«.
Представим xf,(z) в виде произведения двух функций:
П G{i'p)'
|9|>S
or<|ofc|<xr Ч '
[argaA-9| <8
Из существования плотности множества корней следует,
что при некотором С > О
n(r)<CrPW (r>0)
или
Если 8 > 0 достаточно мало, то при | ty | !> 8 и | ф — ^i | <
^^1
и ^
| arg О (Mi+; p) - arg О (se**; p) |< щ,
и будем иметь:
I arg ,Д 9 (г) — arg ,/„', е (z) |< щ п (v) < -J- гр W. B.58)
Для оценки разности | arg х/„, в (reie) —¦ arg J\ e (rei9) | заметим,
что при произвольном достаточно малом 8>0 и | 6 — ty|<8
| arg О (ее**; р) — arg О (**«•; р) | < 3«.
11 Зак. 988. Б. Я. Левин

162 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДРЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
Поэтому
I arg.A в (/V9) — arg X в ^^ 1 <
< Зя [и (тг, 0 + 8) — я (У • в — 8I.
Если arg z = 0 есть обыкновенный луч, то при данном at
можно так выбрать 8, что
я(тг, Q+3) —я(-сг, 8-5)<e,rPW. B.59)
По теореме о конечном покрытии можно при заданном et
выбрать так Ьи что неравенство B.59) будет выполняться
при 8 < §j и всех Ь ? 3R. Выбрав нужным образом ех и взяв 8
достаточно малым, мы получим:
I arg, ? е (re*9) - arg, / J, 9 (rei9) |< ? г'(г) F 6 2R)
и, соединяя с B.58), получим оценку для третьего слагае-
слагаемого в B.56)
I arg, Д (reif>) - argx fl (re*) \<±r*{r)
при 6^9К и достаточно малом 8.
Эта оценка вместе с B.57) дает
| arg /(гей) — arg /8 (rei<r) \ < erf M
при 6 ? 3R и достаточно малом 8. Лемма 6 доказана.
Перейдем к доказательству теоремы. Из теоремы 25
главы I следует, что если корни функции f(z) располо-
расположены на конечном числе лучей argz = fy с плотностями
AjG = 0, 1 п), то при |0 — ifj | ^- т) > 0 равномерно
и
arg/(r*«>) да_JL^ ^ Д, sin р F -ty — и). B.60)
В общем случае правильного распределения корней выбе-
выберем при заданном е > 0 число 8 > 0 настолько малым,
чтобы при | <bj+1 — ty |< 8 (/ = 0, 1, .... я), фя+1 = % + 2и
интегральная сумма в правой части этого равенства отли-
отличалась от соответствующего интеграла Стильтьеса меньше
чем на у. Кроме того, если 8 настолько мало, что при
) — arg/«(/¦*«) |< 4" /-p(r),

§ 6]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 5
то при О ? 9И и не принадлежащем интервалам
при некотором г^э» и г > г^щ будем иметь:
163
—-9|<тг),
arg /(/-е«) _
о
sin р (9 - 6 - u)
Выбрав другое разбиение интервала @, 2и) точками
6' (у = 0, 1 ») так, что | Yj+1 — '^|<5, и так, чтобы
интервалы \Ь — <!/' | < -q не имели общих точек с интерва-
интервалами |0—-'^|<7), получим, что это неравенство выполняется
одновременно для всех 0 ? 9И и г, превосходящем некоторое
ЧИСЛО ГвЗИ. __
Отсюда и из теоремы^1 непосредственно следует утвер-
утверждение теоремы 4 для р нецелого.
Исследование случая целого р отличается]от проведенного
лишь тем, что вместо функции f(z) следует рассмотреть
функцию fr{z) и вместо теоремы 25 главы I воспользоваться
леммой 9 главы I. Кроме того, следует еще учесть, что
§ 6. Целые функции с регулярным множеством корней
(доказательство теоремы б)
Асимптотические формулы, установленные в § 2, 3 и 5,
верны вне некоторого исключительного С°-множества круж-
кружков, причем это исключительное множество не строится
эффективно. В этом параграфе мы предположим, что корни
функции образуют /^-множество, и покажем, что асимптоти-
асимптотические формулы B.03) или B.05) имеют место вне вполне
определенного Сд-множества. Точная формулировка дана
в теореме 5 (см. § 1).
Для доказательства теоремы 5 нам понадобятся две
леммы.
Лемма 7. Пусть {а'п} — бесконечное множество точек,
имеющее предельную точку на бесконечности и
IV

164 -ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
где в произведение входят только те множители, в кото-
которых числа ап удовлетворяют неравенству \ап — z|< Ьг,
\г\ = г и 0<3<у.
Тогда при z ф ап имеет место неравенство
Ьг
In \Fb {z)\ |< c5«,Cr)+ J ^ф-dt, B.61)
о
в котором nz (t) — число точек ап в круге радиуса t
с центром в точке z и с8— положительная постоянная,
зависящая только от 8.
Доказательство. Из вида функции Fb{z) непосред-
непосредственно следует неравенство
I *-»„!¦
Легко видеть, что
6r or
ln\an — z\ =
\an~s\<br
И
In] П «п'|>— я,(8гIпA+8)г.
\an-z\<.br
Из этих неравенств следует:
6
Лемма 8. Если множество {ап} точек есть R-mho-
жество и Fb(z) имеет тот же смысл, что и в лемме 7,
то при произвольном г > 0, достаточно малом 8 > 0 и z,
лежащем вне исключительных Сд-кружков и вне неко-
некоторого круга \г\^>ге, имеет место неравенство
|ln|FsB)||<erpW. B.62)
Доказательство. Пусть выполняется условие (С)
(см. § 1) и точка z не принадлежит ни одному из кружков,
О которых идет речь в этом условии. Опишем из точки z

§ 6) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 5 165
круг Kt произвольным радиусом t > 0. Так как центр этого
круга не входит ни в один исключительный кружок, то
радиусы исключительных кружков с центрами внутри этого
круга меньше величины t. Так как исключительные кружки
не перекрываются, то число ns{t) их центров в круге Kt
меньше отношения площади круга радиуса It к площади
наименьшего исключительного кружка с центром в круге Kt.
Если этот наименьший радиус обозначить lti z, то при t < г
и, следовательно, при t^.br и при достаточно больших
значениях г
4^(r + QP<-+*> 8 A+5)^ (г)_2
ty < d^ (l _ 6J
Аналогичную оценку можно получить при выполнении
условия (С), сравнивая диаметры кругов. Подставляя найден-
найденную оценку для nz(t) в B.61), получим B.62). Лемма дока-
доказана*). Перейдем к доказательству теоремы 5.
Функция f(z) удовлетворяет асимптотическому равен-
равенству B.03) (или 2.05). При этом неравенство
In | /(ге«) | < [Я F) +в] rf W @ < Ь < 2тг),
выполняется всюду при г, превосходящем некоторое число г'%,
а неравенство
— вне некоторого С°-можества.
Нам нужно показать, что второе неравенство выпол-
выполняется всюду вне Сд-кружков при »¦ > г\. Для этого фикси-
*) Условия (С) и (С) нужны лишь для того, чтобы выполнялось
неравенство B.62), которое получается в силу леммы 7 из оценки
для nz(t). Поэтому в теореме 5 условия (С) и (С) могут быть
заменены любым другим условием, дающим соответствующую оценку
для пг (t). в частности, при р (г) = 1 можно, например, вместо
условия (С) потребовать; чтобы при некотором rf>0 и произволь-
произвольных л и k выполнялось неравенство | an+fc — «n|>d/fe. Тогда
я*@<-^ t и при |г —en|>d1(d1>d, n = 1, 2, ...) будет выпол-
выполнено B.62).

166 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
руем z вне Cr -кружков и так, что |z|>2r(, и определим
функцию
«>= П
Очевидно, что Fb(z, 0) = F^(z), и при 3 < -j и |и|<8г
будет верно неравенство \n\Fb(z, и)|<0. Отсюда полу-
получается, что во всем этом круге, но вне исключительного
С0-множества функция
удовлетворяет неравенству
в котором ф = arg(^4-w). Из непрерывности Н%(Ь) следует,
что при достаточно малом 8 > 0 в той же области
In | в, (z, и) | > [Я„ (9) — 2s] r? M (z = /¦*«). B.63)
Покажем, что при достаточно больших значениях г это
неравенство выполняется при и = 0, даже если г принадле-
принадлежит С°-множеству. В самом деле, при фиксированном 8 > О
и г достаточно большом сумма диаметров кружков С°-мно-
жества, попавших в круг \и\ < Ьг, меньше чем Ьг, и поэтому
существует окружность | и | = г @ < х < Ьг), не пересекаю-
пересекающая С°-множества. Неравенство B.63) выполняется на всей
окружности | и | = х, а так как функция <?5 {z, а) не имеет
корней в круге | и | ^ т, то оно должно выполняться и
в центре. Итак,
и в силу неравенства B.62)
I In |/(z, Я)||>[Яш(Й)-38]гр(г).
Это неравенство, доказанное нами для всех достаточно
больших значений г и г, не принадлежащих Cr -кружкам,
дает в соединении с асимптотическим неравенством
In | f(z, Ж) |< [Нт (в) + в] г? W (z = re*)
(см. главу I, теорему 28) первое утверждение теоремы 5.

§ 7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 6 И 7 167
Второе утверждение, относящееся к аргументу f(z, Ж),
не требует дополнительных рассуждений, так как асимпто-
асимптотическое равенство для arg/(re", 9t) не связано ни с каким
исключительным множеством кружков, а имеет место на любом
замкнутом множестве обыкновенных лучей при всех доста-
достаточно больших значениях г.
Пример. Пусть Qmn = m-\-in(m, л--0, ±1, r±i2,. . .),
(штрих при бесконечном произведении означает, что пара
значений т = п = 0 исключается). Множество корней этой
Лункпии имеет vi^rmvio плптнпгть
значений т = п = 0 исключается)
функции имеет угловую плотность
с показателем р = 2.
В силу непрерывности функции ДD) исключительных
лучей' нет. Условие (В) выполнено, ибо 8о(г) = 0. Кроме
того, множество корней является /v-множеством, так как
выполняется условие (С) при d < -»-. Таким образом, вне
кружков с центрами в целых точках Qm> „ сколь угодно
малого радиуса в силу формул B.08) и B.10) равномерно
относительно Ь @ <[Й < it) выполняется асимптотическое
равенство
§ 7. Теоремы о равностепенной непрерывности
(доказательство теорем 6 и 7)
Прежде всего укажем на тесную связь, существующую
между теоремой 6 и доказанной нами раньше леммой 1.
В лемме 1 мы показали, что при наличии плотности у множе-
множества корней целой функции f(z) уточненного порядка р(г)
при достаточно малом изменении аргументов корней ак
функция ln[/(rei9)| асимптотически мало меняется. Так как

168 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. j
первичные множители канонического произведения зависят
от величин
г
«ft I аи, I
k — \, 2, 3, ...).
то малое изменение 6 равносильно малому изменению аргу-
аргументов корней ак (k=l, 2, ...)• Таким образом, если
множество корней функции f(z) имеет плотность, то каж-
каждому е можно сопоставить такие 8 > 0 и г, > 0, что при
| 6.2 — 6Х | < 8, г > гв и re*8', rei9*, не принадлежащих неко-
некоторому С°-множеству (или г, не принадлежащем некоторому
не зависящему от е Е°-множеству), будем иметь:
При г^ге и вне ?°-множества Адг@) равномерно непре-
непрерывна от г и Й, и следовательно, при некотором 8.2 и
| f)j — Qo | <С 2-2 будет выполняться то же неравенство. Доста-
Достаточно выбрать 8 = min(81, 82). Итак, если множество {ак)
корней целой функции уточненного порядка р (г) имеет
плотность, то утверждение теоремы 6 следует, как было
сейчас показано*) из леммы 1.
При доказательстве леммы 1 мы использовали наличие
плотности, у множества корней функции f(z) только при
оценке величины [ In | Фд, р (z) \ |. Поэтому естественно для
доказательства теоремы 6 без дополнительного предположе-
предположения о множестве корней воспользоваться той общей оценкой
для ] In j Фд,р(г)| |, которая дана в лемме 2. В эту оценку
входят величины пт и пт+1 — числа корней f(z) в некоторых
кольцах Кт: Я«A —?)< |z|< ЛмA+?) и Кт+1:
Rm+1 A —15)< | z | < Rm+i (I -f-13). При отсутствии плотности
у множества корней функции f(z) ее корни могут сильно
сгущаться в некоторых кольцах, однако если заметить, что
*) Для этого случая мы получили утверждение теоремы 6
в усиленной форме, так как вместо исключительного множества Е
сколь угодно малой верхней относительной меры здесь участвует
^'-множество.

$ 7J ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ б И 7 169
(см. лемму 4 главы I) при некоторой постоянной с
\ B.64)
то легко понять, что относительная мера таких колец не
может быть большой. Дадим точную оценку относительной
меры таких особых колец.
Обозначим через /, полуинтервалы
и через Kq кольца
Обозначив, как и раньше, через nq число точек последо-
последовательности \ап) в кольце . Kq, мы назовем особыми те из
интервалов Iq и колец Kq, для которых
nq> fh^^-1, B.65)
причем через Д? обозначена длина интервала Jq. Пусть,
как обычно, n(t) обозначает число точек последовательности
К} в круге M<af.
Докажем, что верхняя относительная мера множества
особых интераалов стремится к нулю при [3—>¦(). Для этого
рассмотрим сумму
Rg.<B q=
в которой суммирование распространено только на те значе-
значения индекса q, которым отвечают особые интервалы.
Из B.65) получается, что
р(Д„ )' р(Д„ )
R ^i I J? J
qi !<%<*

170 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
Из монотонности функции грс» следует, что при Rg > -^
<V>(|)'(?)
и, следовательно, при некотором Ro > 0 и # > Ro
Таким образом, получаем, что
..i п
г- B-66)
Возвращаясь сейчас к B.64), убеждаемся в том, что
Sr < с и поэтому неравенство B.66) дает:
R R
Подставляя в это неравенство -к- вместо R, затем -^
и т. д. и складывая полученные неравенства, мы получим при
некотором Ro > 0:
и, наконец,
Таким образом, доказано, что верхняя относительная
мера множества особых интервалов стремится к нулю при
Перейдем теперь к оценке функции | In| Фд, р (zI1 вне
некоторых исключительных колец. Отберем из последова-
последовательности всех интервалов h особые интервалы и все смеж-

» у-, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ б И 7 171
ные с особыми и обозначим через Е' множество, состоящее
из всех этих интервалов. Будем иметь при 0 < 3 < — :
B.67)
Обратимся к лемме 2. Если число R не принадлежит Е'
и Rm<R<Rm+i> т0 интервалы 1т и 1т+1 — неособые,
т. е.
Таким образом, если z такое, что ||г| — R\<.$R, и,
кроме того, не принадлежит множеству С исключительных
кружков, то из леммы 2 получаем асимптотическое нера-
неравенство
где Вр = 4-j-3*j0, из которого следует:
I In |Фд, p(z)| |< 22р+2,3^2 inl + B^rfM. B.68)
•
При этом верхняя относительная мера множества Е" тех
значений г, при которых окружность | z ] = г пересекает
исключительный кружок из множества С, не превышает
величины 3(l-f-3K(l— 3)~2.
Пусть заданы числа rj > 0 и е > 0. Выберем число J3
настолько малым, что
B.69)
Тогда, если обозначить Е = Е'-\-Е", то
и при |г|^?
^ B.70)

172 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
Представим теперь целую функцию /(г) уточненного
порядка р (г) в виде произведения пяти функций так, как
это было сделано в п. 1 доказательства леммы 1. Будем
иметь
| In | /(««О | — 1п | f(re^) \ \ < jln | /, (ге^) | — In | /„ (/•<?«¦) 11 +
In |тр
-In |тр
и дадим оценку каждого из слагаемых правой части.
Из B.70) следует, что при
| In | Ф? (rei901 — In | Фр (re*6*) |1< -J- rf w. B.71)
Кроме того, из неравенства B.20) следует, что асимпто-
асимптотически
I In IЛ (л?«01 —In I/,(re*.)| |< JL
B.72)
Наконец, из равномерной непрерывности функции по О
областях
A—[3) <^5<^а~, т" ^s<
и из неравенства B.64) следует, что при достаточно малом
5>0 и |вх — Й2|<5
B.73)
Из неравенств B.71), B.72) и B.73) следует, что при
Е и |вЛ — в.2|<5
In | /(rei901 — In \f(reib') 11 < erf<r\ B.74)

§ 7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 6 И 7 173
Итак, мы доказали, что любым положительным числам т\
и s можно сопоставить такое множество Е с верхней отно-
относительной мерой, меньшей чем % и такое число 3 > 0, что
при /¦ ? ? и |0х— 92I<S будет выполняться неравен-
неравенство B.74). Нужно еще доказать, что если отбросить неко-
некоторое фиксированное множество Е значений г со сколь
угодно малой верхней относительной мерой, то каждому
s > 0 можно будет так сопоставить 5 > 0, что из 10х — 0.2| < 8
будет следовать B.74).
Для построения такого множества Е выберем при за-
заданном ч\ две последовательности положительных чисел:
гу, е2 стремящуюся к нулю, и %, -ц.2, ... такую, что
Каждой паре чисел гк, rjfc отвечают такое множество Ек
с верхней относительной мерой, меньшей ч\к, и такое
число &ь\ что при г?Ек и |ЬХ — 62 [ <1 5^ выполняется не-
неравенство
I In I /(/¦*«•) | — In | f(re*<) 11 < vp w. B.75)
Множества Ек мы несколько исправим, выбросив из каж-
каждого Ек часть, принадлежащую некоторому интервалу @, гк),
причем сделаем это так, чтобы оставшееся множество Ек
удовлетворяло условию
al < 2fjftr (r > 0).
Тогда, очевидно, верхняя относительная мера множества
не будет превосходить т). Множество Ек и число о^ выбраны
так, что при г>гк, г ? Е и 16.3 — bt | < 8(^ будет выпол-
выполнено неравенство B:75). С другой стороны, при |г|<гл и
Iz I 6 ^1 функция In| /(z) | раэномерно непрерывна, и следо-
следовательно, при некотором о*', \ftt—¦ в31 < о^', r<rft и г ^?
будет выполнено неравенство B.75). Остается выбрать
S = min(S1, Sa), и мы получим, что B.75) выполняется при

174 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. И
r Zf ? и | fj (I.-, I < ^ic- Отсюда уже непосредственно следует
равностепенная~ непрерывность семейства функций Адг('1)
от Ь при всех г ? Е. Теорема доказана.
Перейдем теперь к доказательству более общей тео-
теоремы 7 равностепенной непрерывности семейства hp, г@) для
функции, голоморфной внутри некоторого угла a<;argz<^.
Докажем предварительно три леммы.
Лемма 9. Пусть Ф(г) — голоморфная функция в круге
= max
Пусть, кроме того, в какой-нибудь точке г0 (| г0 \
)
Тогда верна следующая оценка для числа корней «ф (tR)
функции Ф (г) в круге | z | < t < 1 при I < t < 1:
Лемма 10. Если при выполнении условий леммы 9
функция ФB) не имеет корней в круге
нимум /гаФ (tR) функции | Ф (z) |
творяет оценке
/?, /ко
удовле-
удовлеЭти леммы отличаются от леммы 4 § 5 главы I и след-
следствия из теоремы 8 § 6 главы I тем, что требование
|Ф@)|=1 заменено требованием |Ф(го)| = 1 и |20|<//?.
Обе эти леммы приводятся к указанным положениям главы I
с помощью преобразования круга | z \ ^ R в единичный круг
с переходом точки z0 в нуль. Мы ограничимся доказатель-
доказательством леммы 9. Лемма 10 доказывается аналогично.
Доказательство. Функция

§ 7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 6 И 7 175
преобразует единичный круг |Ч<1 плоскости С в круг
|* |< Я. При этом точка С = 0 переходит в точку г0. Под-
Подставляя функцию
в формулу Иенсена (см. § 5 главы I), получаем:
-i— dz = к- In I «в (е»'1) | fi?0 = In Жф (Я
о о
и в силу монотонности и,, (i) при 0 < ty < 1
При tx = ,Tti образ круга | С | < ^ содержит круг
</Я. Поэтому пФ(Ш) ^. nv(tt) и, следовательно,
Лемма 9 дает нам возможность найти оценку для числа
корней внутри сектора у функции, удовлетворяющей усло-
условиям теоремы 7. Именно имеет место следующая лемма.
Лемма 11. Пусть функция F(z) — голоморфная,
уточненного порядка р (г) внутри угла а <^ arg z < |3 и
пусть при некотором положительном N и некотором
положительном I < 1 для всех достаточно больших зна-
значений г каждый круг вида
\z— re 2 | < /cinE__^r
содержит точку zx = rteib^ в которой
Тогда при ;>0 число п(г, а.-\-\, } —;) корней этой
функции в секторе a-j-E < arg.z < ,3 —;, \z\ < г удовле-
удовлетворяет асимптотическому неравенству
n(r, oc + f, Э —6)<хF, а, Э, 0
в котором
А= max

176 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
а х(?, а, ?, /) — постоянная, зависящая лишь от указан-
указанных величин.
Доказательство. Предварягельно сделаем следую-
следующие замечания. Утверждение леммы относится к любому
углу, внутргннему к (а, 3). Поэтому, не нарушая общности,
можно считать, что t3—а не есть кратное —. С помощью
преобразования г = ei<fux можно угол (а, 3) преобразовать
в правую полуплоскость, причем функция F(z) перейдет
в функцию нецелого порядка в правой полуплоскости. При
этом можно так подобрать положительное число 1у < 1, что
область, в которую преобразуется круг
z-re
будет содержаться при некотором /?>0 в круге
\z — R\<ltR.
Таким образом, мы можем считать, не нарушая общности,
что а = — -н-, Р=2" и Р нецелое, и при всех достаточно
больших значениях г круг
содержит точку zt> r = г^е*6^ в которой
!n IF («х, г) I > — M-5(ri) >NBr)fi2r). B.76)
С другой стороны, по теореме 28 главы I функция F(z)
должна во всем круге \z — r\^lr удовлетворять асимпто-
асимптотической оценке
1п|/7(г)|<(А + в)Bг)|1Bг> (е>0). B.77)
Из неравенств B.76) и B.77) следует, что при всех до-
достаточно больших значениях г функция
удовлетворяет в круге |z | -^ г неравенству
In | ^r (z) |< (Л+ЛГ+ е) Bг)р Bг) < (А + 2Л0 B/-)р Bг)
(О < е < ЛГ).

§ 7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 6 И 7 177
Кроме того, имеем при zo = zlt r — г
По лемме 9 число щ(к,г) корней функции фг(г) в круге
\z\<kr (l<k < 1) удовлетворяет неравенству
Щ (kr) < vt (I, k) (ft+2Л0 rf W, B.78)
в котором чгA, k) — постоянная, зависящая от / и k. Теперь
нужно с помощью оценки B.78) дать оценку числа корней
функции F(z) внутри сектора |г|<]7? и |argz|<;o <-j.
Для этого выберем число к (sin о < k < 1) и опишем из
точки г окружность радиуса kr. Она пересечет стороны угла
argz = rho в точках
\z\ = r(cosa±:Vk'i — sinaa).
Положим R = r cos о и s = X^kq—sinao и обозначим
cos о '
Kr область
Область Kr целиком содержится в круге \г — г \ <! кг,
и в силу B.78) получаем:
где h(Kr) — число корней функции F{z) в области
Kr, a v1(l, k) — постоянная. Воспользовавшись равенством
R~r cos о, мы можем последнее неравенство переписать
в форме
я (Kr) < va (/, k, а) (Л + 2М) RfW, B.79)
где v2(Z, А, а) — постоянная, зависящая от указанных величин.
При заданной величине /? > 0 выберем последовательность
чисел
Ro = /?A +8у\ Rt = R(>q Rp= (
B.80)
12 Зак. 988. Б. Я. Левин

178 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. II
Из определения уточненного порядка легко получить,
что при некотором г0 и г2 > rt > г0
Последовательность B.80) мы будем считать конечной,
подчинив ее условию Rp > г0.
Записав неравенство B.79) для каждой из областей К в
и сложив эти неравенства, мы получим:
n(R, —а, о)<
1 Ё1
или асимптотически
я (Я, —о, в)<х(/, о)(/г + 2ЛГ)/?р(Л), B.81)
где у.A, а) — постоянная, зависящая от указанных величин.
Лемма 11 доказана. Перейдем к доказательству теоремы 7.
Пусть ап — корни функции F (z) внутри угла | arg г \ ^ од
( а < ot < ^т), перенумерованные в порядке возрастания их
модулей. Каноническое произведение
представляет целую функцию не выше чем нормального типа
при уточненном порядке р (г). По теореме 6 любому поло-
положительному числу т] можно так сопоставить множество
?,[т'(Яч)<т|], что при г?Е^ функции А^,г(9) образуют
равностепенно-непрерывное семейство.
Частное
есть отличная от нуля голоморфная функция, не выше чем
нормального типа и уточненного порядка р(г) внутри угла
) В самом деле, [In г?<г)]' = ^ + р' (г) In г = -?- + о (-р) > ?".
Интегрируя обе части этого неравенства от г1 до г2, получим тре-
требуемое.

§ 7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 6 И 7 179
|argz|<c2, в < с, ^ .(пива I, §8) и, следовательно,
при некотором Л^ > 0 асимптотически
- B-82)
С другой стороны, из условия B.12) теоремы и оценки
сверху функции ln|/(z)|
следует, что каждый круг вида
\г — r\<lr
содержит точку Zi,r, в которой
In IX (*. г) | > N™r*(r) (Nf — постоянная). B.83)
Функция y(z) удовлетворяет всем условиям теоремы и
не имеет корней внутри угла | argz | <^ <j2 < -g-. Остается,
таким образом, доказать теорему только для этого частного
случая.
Дадим оценку функции |ln|/B)|| внутри меньшего угла
| argz| <; о3(о < а3 < о.2). Для этого воспользуемся лем-
леммой 10. Из B.82) и B.83) следует, что функция
удовлетворяет в круге ] и | ^ г sin o2 неравенству
In 19 (и) К M;V(r) (iV^ — постоянная)
и в точке и0 — zi,r — г этого круга 0 (и0) = 1.
Кроме того, б (и) не имеет корней в этом круге. По
лемме 10 получаем, что в меньшем круге |и| < г sino3 имеет
место неравенство
| In | в (а) 11 < Nfr9 {r) (Nx — постоянная).
Наконец, возвращаясь к функции ySz)> получим, что
всюду внутри угла | arg z \ ^ а3 выполняется неравенство
|1п 17. (г) 11 < Ntr*{Г) (Мг — постоянная). B.84)
12*

180 ФУНКЦИИ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ КОРНЕЙ [ГЛ. Ц
С помощью оценки B.84) мы докажем равностепенную
непрерывность семейства функций от 6 при г > г0 и произ-
произвольном Т].
Для этого представим гармоническую функцию In | у (г+и)|
в круге | и |<; R (R — r sin o2) с помощью интеграла Пуас-
Пуассона:
о
г> ^ > Sin Оо , , , . _
Выбрав k = ——а и числа их и и2 в круге | и | ^. А7<, мы
будем иметь:
и в силу B.84) получим:
-вд) I — In 1 х C*--h «а) 11
xBr) 2-j
j
Из этого неравенства следует, что при заданном е > 0, неко-
некотором 5х>0 и \их — u2\R~1<ib1
|1п|хС'-Ч-«1>| — «п 1х ('• + «2)| | < ^р(г)- B-85)
Выбрав теперь достаточно малое 3 > 0, мы из B.85) непо-
непосредственно получим, что при |Й1|<;оз, |во1^°з и
|9|S
ln\x(reif>-)\ — \а\х(ге^)\\<ег?{г) (г > 0). B.86)
Функция F (z) представляется в форме
По теореме 6 семейство функций
In ie

§ 7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 6 И 7 181
равностепенно-непрерывно при г, не принадлежащем некото-
некоторому множеству сколь угодно малой относительной меры.
Сопоставляя это с B.86), получаем, что при произвольном
ч\ > О семейство функций
гРИ
равностепенно-непрерывно по 6 при 19 | < о3 <-Цг и
где ?ч—некоторое множество положительных чисел с верх-
верхней относительной мерой, меньшей i). Теорема доказана.

ГЛАВА III
ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА
В этой главе мы будем заниматься задачей, которую
можно рассматривать как обратную основной задаче главы II.
Там мы установили, что правильность в распределении кор-
корней целой функции влечет за собой регулярность роста.
В этой главе мы покажем, что из регулярности роста сле-
следует правильность в распределении корней функции *).
Функцию F(z) голоморфную и уточненного порядка р(г)
внутри некоторого угла (Ьг, 62) мы будем называть функ-
функцией вполне регулярного роста на луче arg2 = 0, если
существует предел
r->oo f9 И
при условии, что г стремится к бесконечности, пробегая вс
положительные значения, за исключением, быть может, неко-
некоторого множества Е$ нулевой относительной меры (^-множе-
(^-множества). В дальнейшем будем в таких случаях иногда писать
lim*.
Мы назовем F (z) функцией вполне регулярного роста
на некотором множестве лучей RSi (Ш — множество зна-
значений 6), если функция
равномерно стремится к ftp(ti) при 6?2К, когда г стремится
к бесконечности, принимая все положительные значения, за
исключением, быть может, некоторого множества ?\щ нулевой
*) Основные результаты первых трех параграфов этой главы
принадлежат А. Пфлюгеру [1].

ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА 183
относительной меры, общего для всех лучей Rm. В даль-
дальнейшем множество Ида мы будем называть исключительным
множеством для данной функции.
Мы будем называть функцию F(z) функцией вполне
регулярного роста внутри угла (ftt, Ь.2), если множество 2К
совпадает с интервалом (f^, 0.2), и просто функцией вполне
регулярного роста, если она — целая функция и является
функцией вполне регулярного роста во всей плоскости, т. е.
при 0 < Й < 2и.
Функции с правильным распределением корней, рассмо-
рассмотренные в предыдущей главе, являются функциями вполне
регулярного роста. В самом деле, как следует из теорем 1
и 2 главы II, для этих функций/B) величина Л/>,Г(Й) равно-
равномерно стремится к hf(H), если г стремится к бесконечности,
не принимая тех значений, при которых окружность \z\ = r
пересекает кружок некоторого С°-множества. Очевидно, что
это исключительное множество значений г есть Е0-множество.
В этой главе мы покажем, что если F(z) есть функция
вполне регулярного роста внутри угла Dt, 03), то множество
ее корней имеет угловую плотность внутри этого угла (точ-
(точную формулировку см. в теореме 2). Кроме того, если
f(z)— целая функция вполне регулярного роста, то корни
ее распределены правильно. Таким образом, правильное рас-
распределение корней есть характерное свойство целых функций
вполне регулярного роста. Если сопоставить это с теоремами
1 и 2 главы II, то получим, что целая функция вполне регу-
регулярного роста удовлетворяет вне некоторого С°-множества
асимптотическому равенству*)
Для получения этих результатов мы обобщим формулу
Иенсена (глава I, § 5), рассматривая голоморфную функцию
не в круге, а в некотором секторе. Когда раствор сектора
равен 2и, эта формула переходит в обычную формулу Иен-
Иенсена.
В § 5 мы исследуем голоморфные функции некоторого
уточненного порядка р(г) с тригонометрическим индикатором
*) Аналогичное утверждение верно и для функций голоморфных
и вполне регулярного роста внутри некоторого угла a<;arg<r<;p.
Мы не будем останавливаться на доказательстве этого более общего
положения..

184 ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА [ГЛ. Ш
внутри угла. Функции такого вида часто встречаются в раз-
различных приложениях.
Результаты, изложенные в этом параграфе, будут нами
существенно использованы в главе VI при изучении корней
экспоненциальных сумм.
§ 1. Множество лучей вполне регулярного роста
В определении вполне регулярного роста по какому-
нибудь лучу существенную роль играет некоторое исключи-
исключительное множество Еь нулевой относительной меры, которое,
вообще говоря, может зависеть от выбранного луча. Мы
докажем, однако, что если голоморфная функция F (z) уточ-
уточненного порядка р (г) внутри некоторого угла имеет вполне
регулярный рост на каждом луче из некоторого множества R$n,
то можно построить такое множество Ещ нулевой относи-
относительной меры, что при r^Esm, О 6 9R и г -*¦ оо
Кроме того, мы докажем, что F{z) является функцией
вполне регулярного роста на всяком луче, предельном для
лучей, на которых F (z) имеет вполне регулярный рост.
Теорема 1. Если функция F (z), голоморфная и уточ-
уточненного порядка р(г) внутри угла (а, р), является функ-
функцией вполне регулярного роста на каждом луче некото-
некоторого множества R%r, принадлежащего внутреннему углу
(а < Sj <; 9 < 82 < 3), то она вполне регулярного роста на
множестве лучей R&.
1. Для доказательства заметим, что если функция F(z)
вполне регулярного роста на некотором луче arg2r = f, нахо-
находящемся внутри угла (а, Р), то при любом з > 0, некотором
положительном / < 1 и всех достаточно больших значениях г
каждый круг
\z~re 2
содержит точку z = re^, в которой
Действительно, отношение длины хорды, по которой этот
круг пересекает луч arg2 = "f к г, есть постоянная положи-

§ 1] МНОЖЕСТВО ЛУЧЕЙ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА 185
тельная величина, а отношение к г меры части исключитель-
исключительного множества, попавшей на эту хорду, стремится к нулю.
Таким образом, выполнены условия теоремы 7 главы II,
и следовательно, каждому положительному числу tj можно
сопоставить такое множество положительных чисел Еч с верх-
верхней относительной мерой, меньшей tj, что при г ? Е^ функции
fiF,r(b) образуют на отрезке а<61<;9<!Й2<р равно-
равностепенно-непрерывное семейство.
2. Выберем по заданному з > 0 число о > 0 так, чтобы
при г ?"?",, и | 8' — в" | < о (9Х < S' < 9" < Ь.2) выполнялось
неравенство
Г1Р,гФ")\<^- C-00)
Затем выберем из множества /?эд конечную систему лучей
arg z = 8^ (у = 1, 2,..., я„) так, чтобы о-окрестности точек 9j
покрывали все множество Ш. После этого выберем число г,
так, чтобы при г > г, и г ? /V выполнялись неравенства
1А*>г(в,) —А,(в,)|<-? (/=1. 2 п.).
Присоединяя к множеству Ещ все значения г, меньшие
чем г„ и все множества E6.(j=l, 2, .... п„), мы получим
такое множество ?ч, что /те* (Ёч) <т] и
i C-01)
при 8?2К и V
3. Выберем две последовательности положительных чисел
8п-»-0 и т]„ —> 0 (и=1, 2, 3, ...) и определим последова-
последовательность множеств Еп таких, что т*(?„)< "Чп и что ПРИ
г ? Ея выполняется неравенство
|АЛгF) —ЛИвI<*и С3-02)
при всех Ь ? 2К, Построим по индукции последовательность
чисел rt < r2< ... < гп<С ... (гп->-оо). Выберем гх > 0
произвольно. Пусть уже выбраны числа гу, г2, .. •, rn_±.
Выберем г„ так, чтобы при г ^ гп выполнялись неравенства
mes (Е'") < \ i\nr {к = 1, 2 л — 1), шее (??) < i^r
" C.03)

186 ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА [ГЛ. III
(Ег, как и прежде, означает пересечение множества Е
с интервалом @, /•)).
Такой выбор, очевидно, возможен. После выбора после-
последовательности {/¦„} определим множество Е так, что при
rn<r<rn+l E = En. Из C.03) следует, что при rn<r<rn+i
выполняется неравенство mes Er < 2f\nr и, следовательно,
m*(?) = 0.
Кроме того, из C.02) следует, что при г^>гп и
будет выполнено неравенство
Итак, F (z) вполне регулярного роста на 3R.
В п. 3 мы доказали положение, которое будет нами
использовано в дальнейшем. Поэтому мы сформулируем его
как отдельную лемму.
Лемма 1. Если функция F(z) — голоморфная, уточ-
уточненного порядка p(z) внутри угла (a, J3) и если любым
положительным числам в>0 ат]>0 можно сопоставить
такое множество Егщ с верхней относительной мерой,
меньшей ч\, что
при г?Е,шГ) и а < Ь < J3, то F (z) есть функция вполне
регулярного роста внутри угла (а, |3) *).
Из теоремы 1 непосредственно получается следствие.
Следствие. Множество всех лучей внутри угла
а < ^i^ У <^2 < 3, на которых F(z) вполне регулярного
роста, замкнуто.
Отсюда, в частности, следует, что целая функция вполне
регулярного роста на лучах, образующих всюду плотное
множество, есть функция вполне регулярного роста во всей
плоскости. .
§ 2. Обобщенная формула Иенсена.
Исследование функции /рф)
Для определения числа корней голоморфной функции F (z)
в секторе O^argar^S, |z|<>, которое мы будем обозна-
обозначать n(r, ft, 6), мы воспользуемся известным принципом
*) Лемма остается верной, если вместо угла а < 6 < (J рас-
рассматривать функцию на одном луче.

§ 2] ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА ИЕНСЕНА 187
аргумента. Мы будем при этом считать, что на границе
сектора нет корней функции F (г). Имеем:
2im(r
> 0. 6)= J *WJf*)\ dt+ \
6 i
-J-
dt
а
С помощью равенства Коши—^Римана эту формулу можно
преобразовать к виду
Предполагая, что |F@)| = l, мы введем в рассмотрение
функцию
Эта функция будет играть существенную роль в этой главе,
и мы в этом параграфе проведем исследование ее свойств.
Требование | F @) | = 1 при доказательстве теорем этой
главы мы часто будем считать выполненным. Это не нару-
нарушит общности наших выводов.
Пользуясь функцией Jp(b), мы можем формулу для числа
корней функции F (г) в секторе записать в форме

188 ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА [ГЛ. III
Поделив обе части этого равенства на 2тгг, проинтегри-
проинтегрировав от нуля до г и введя обозначение
мы получим:
. C.04)
Эта формула и дает обобщение классической формулы
Иенсена и при в = *> —(— 2ic она переходит в обычную фор-
формулу Иенсена.
Мы используем эту формулу для доказательства 'суще-
'существования угловой плотности у множества корней функции
вполне регулярного роста и получения асимптотических фор-
формул для числа корней этих функций в секторе.
Для этого мы предварительно проведем исследование
асимптотического поведения функции Jp(b).
Лемма 2. Если F(z) — голоморфная функция уточ-
уточненного порядка р (г) внутри угла а <[ arg z <! p и если
на луче argz=9 (а < Й < |3) она вполне регулярного
роста, то существует предел
Ншг"р(г)УЬ(в)«-А,(в). C.05)
Г->00 Р
Это утверждение получается весьма просто, если у функ-
функции
исключительное множество отсутствует и, следовательно,
существует предел
= lim hF,r(b)

§ 21 ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА ИЕНСбНА 1$Э
в обычном смысле. В самом деле, в этом случае равен-
равенство C.05) является простым следствием свойства 5) уточ-
уточненного порядка.
В общем случае, при наличии исключительного множества
доказательство леммы сильно усложняется. Заметим, что
из определения индикатора Ау(9) и свойства 4) уточненного
порядка следует:
Нужно лишь доказать, что
lim Г' (Г)ЛФ) > ¦} Мб).
Для получения этого неравенства нужно оценить функцию
\n\F(teib)\ снизу. На множестве, дополнительном к исклю-
исключительному множеству Е,
и следовательно, вопрос сводится к получению оценки снизу
на множестве Е. Естественно это сделать, опираясь на
общую теорему 11 главы I об оценке голоморфной функции
снизу.
Сначала мы рассмотрим случай 6 = 0 и йр@) = 0. Из
непрерывности индикатора Ар (9) в этом случае легко полу-
получается, что при некотором 8 > 0 и 19 | < 28 выполняется
неравенство |йрF)|<-^, ив силу асимптотического нера-
неравенства
будем иметь внутри угла•19 | < 8 асимптотическое нера-
неравенство
ln\ Fire^K-^ r? W. C.07)
Пусть Ег—множество точек положительного луча, в кото-
которых
ln|/>(/)|<—Jrpm. C.08)

ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РбСТА [ГЛ. Ц1
Так как функция F (z) вполне регулярного роста на этом
луче, то относительная мера множества Ее равна нулю. Это
множество можно, очевидно, заключить в множество Ег
интервалов Jk(k = 1, 2, 3, .. .)с относительной мерой, равной
нулю.
Обозначим через йк длину отрезка Jh, через Rk абсциссу
правого конца этого отрезка и опишем из точки Rk, как
из центра, окружность радиуса 4edk. Из того, что /»*(?,) = О,
следует, что
Вк<г
а значит, и
Urn Ц- — 0. C.09)
Применим теперь теорему 11 главы I к функции
F{Rk)
в круге Ск: \u\-^.4edk. При всех достаточно больших Rk
в силу неравенства C.08) и неравенства, противоположного
C.08) в точке Rk, функция <рА(и) удовлетворяет в круге Ск
неравенству
ш I ъ (и)\ < -J
Воспользовавшись свойством 2) уточненного порядка, мы
отсюда легко получим:
По теореме 11 главы I имеем, что в круге |и|^2^4, но
вне исключительных кружков с общей суммой радиусов,
меньшей, чем 4ч] dk, выполняется неравенство
Возвращаясь к функции F(z), можем записать, что в круге
\z — Rk\^2dk, но вне исключительных кружков с суммой
радиусов, меньшей, чем 4t]dk,
In | F (z) | > -{H(t]) +1) e^^*' > - 2з (Н(-n) +1) r? W.
C.10)

§ 21 ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА ИЕНСЕНА 191
При -г] < ~ найдется окружность Ск с центром в точке Rk
и радиусом, лежащим между dk и 2dk, не пересекающая
исключительных кружков. На всей этой окружности, охва-
охватывающей отрезок dk, выполняется неравенство C.10).
Круги, ограниченные окружностями Ск, могут пересекаться
и образовывать «грозди» — области Qp. Диаметр Ьр каждой
области Qp не превосходит суммы диаметров составляющих
ее кругов. Поэтому при Rp = ma.x\z\
= 0
Яр<г
lim ^ = 0. C.11)
Пусть ап — корни F(z). Обозначим
Из C.11) следует при р, превосходящем некоторое фик-
фиксированное число р0:
Сопоставляя это с (ЗЛО), мы получим, что при всех доста-
достаточно больших значениях р на всей границе Qp должно
выполняться неравенство
[(±)]$*р\ C.12)
Функция \п\$р(z) | — гармоническая в Qp, и следовательно,
по принципу минимума неравенство C.12) выполняется во
всей этой области.
Пусть 1р — отрезок, получающийся в пересечении обла-
области Qp с положительным лучом, и пусть Ёг — множество
этих отрезков. Очевидно, т*ф,) = 0 и

192 ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА [ГЛ. Ш
Из C.12) получается, что на каждом отрезке 1р
in | F (t) | > In | Ф, (t) | — nut(t) (z 6 Ip),
где т = 2\н( g-]+ 1 • Кроме того, при t?Et
Из этих неравенств следует, что при достаточно большом
значении г0
. C.13)
<v
Далее, из определения функции Фр(г) будем иметь:
Для оценки правой части заметим, что при R — {
в
7? "л*
In 1 dt = a In | и — 11 rf« =
B-8
Д-8
а
Д-а
а
= а J In|i»|d©>2a f
В-о-
Подставляя в C.14), получаем:

§ 2] ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА ИЕНСЕНА 193
где пр — число корней функции F(z) в области Qp. Возвра-
Возвращаясь к C.13), можем написать:
Из C.11) следует, что при всех достаточно больших р
и поэтому
г
Г In 1^@1 т / ХГ\ \
——1— dt > sr? w—-I V nvK~\~o(rf M). C.15)
Очевидно, что при любом а > О
2 пр <«(/-, —а, о) + 0A).
Кроме того, по лемме 11 главы II мы имеем:
п(г, —а, а)<СрГР(г),
где ср — некоторая постоянная. Возвращаясь к неравенству
C.15), получаем:
j
6
Отсюда-в силу произвольности г>0 следует:
Избавимся теперь от требования Aj(O)= 0. Для этого по-
построим вспомогательную функцию W^B) § 17 главы I без
корней на положительном луче и такую, что hw@) = hp@).
Функция
13 Зак. 988 Б. Я. Левин

194 ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА [ГЛ. Ill
имеет вполне регулярный рост и йФ@) = 0. Будем иметь:
= lim r-f
J
Поворотом плоскости можно любой луч arg z = 9 из угла
а ^С Ь ^ р совместить с положительным лучом и, следова-
следовательно,
„тг-,м
Достаточно сопоставить это неравенство с неравенством
C.06), чтобы получить утверждение леммы.
Отметим еще следствие из леммы.
Следствие. Если F (г) — голоморфная функция
уточненного порядка р(г) внутри угла a^argz^i$ и
вполне регулярного роста на луче arg.z = fJ, а < 6 < р,
то существует предел
lim rf
f 4(°)т = Р~2М°)- C-05')
Это утверждение непосредственно следует из леммы 2 и
свойства 5) уточненного порядка (глава I, стр. 52). Лем-
Лемму 2 и следствие из нее можно обратить. При этом нет
необходимости предполагать голоморфность функции F(z).
Лемма 3. Пусть функция F(f) определена при
г>0
Если при этом
lim r-e('">/„ = р-*Л @) C.16)

§ 21 ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА ИЕНСЕНА 195
или
то существует предел
г
Нш r-гЛг) f уг^ = р-2А @), C.16')
Доказательство. Условие C.16') следует из C.16).
Поэтому достаточно провести доказательство, предполагая,
что выполнено условие C.16'). Не нарушая общности, будем
считать в дальнейшем, что йр@) = 0. Пусть f — некоторое
положительное число и Е — множество положительных чисел,
на котором
ln|F@|< — 4tf{t). C.17)
Обозначим через xE(t) характеристическую функцию мно-
множества Е и оценим интеграл
/{/**<«<"" fit-
о
Будем иметь:
г и г и
I.R W ? Т) ~U ^ J \ J fa "' ~t ~ ^
О о »¦ О
Т
откуда далее следует:
Г м
о о
13*

196 Функции вполне Регулярного роста (гл> ш
Наконец, обозначая т(Ег) меру множества Е на интервале
(О, г), получим:
г и — L
Г (Г ^wp№ dt\ du ^. 2In2 т(Е2) — т(Е*) , ¦.
J \ «J t ' U 4Г Г
О О
Из этого неравенства и неравенства C.17) на множестве Е
можно заключить, что
о о
С помощью этого неравенства и асимптотической оценки
ln\F(t)\<st?{t)
легко можно получить неравенство
г г
е »(r) 21n2,m(?2)—
Деля все на rp(r) и переходя к пределу при г->оо, полу-
получаем из условия леммы:
Из этого равенства получается, что
и следовательно, относительная мера множества Е равна
нулю. Таким образом, получаем, что при произвольном -у > О
\n\F{r)\
rt С")

§ 2] ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА ИЕНСЕНА 197
всюду, кроме, быть может, множества нулевой относительной
меры. По лемме 1 отсюда следует, что существует предел
Лемма доказана.
Соединяя эту лемму со следствием из леммы 2, мы полу-
получим следующую теорему.
Теорема 2. Для того чтобы функция F(z) голоморф-
голоморфная и уточненного порядка р (г) внутри угла а < Ь < ?
D = argz) имела вполне регулярный рост, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось одно из условий
l= lim r
В заключение мы установим еще одно свойство функции
), которое будет нами использовано в главе V.
Лемма 4. Для целой функции f(z) уточненного
порядка р(г) функция -//-('0 удовлетворяет асимптоти-
асимптотическому неравенству
в котором kf — постоянная, зависящая от функции f(z).
Доказательство. Прежде всего заметим, что из
асимптотического неравенства
следует, что асимптотически
max \hf^) + ^\rf(r\ C.18)
<е<2
При доказательстве оценки снизу для 7^@) следует разли-
различать случаи целого и нецелого порядка р. Мы здесь рас-
рассмотрим только более сложный случай целого pt

198
ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА
[гл. ш
2 ln
Функцию f{z) можно представить в форме
In \f(z) | = Re (Яр_! (z) + 3r (w) zf) +
Ч°(?;рI-(ЗЛ9)
По лемме 8 § 17 главы I последняя сумма т/(г) при доста-
достаточно большом t удовлетворяет неравенству
|. C.20)
Из оценки п (t) < cf{t) легко получается неравенство
'' ?. Ж~\Г
rf«(O
(cT — постоянная, \ = l, 2 p — 1). C.21)
Кроме того,
| S(v) zp | < c'rp (r) (c[ — постоянная). C.22)
Из C.19), C.20), C.21) и C.22) получается, что
г
ln
{cz — постоянная).
Заметим, что
г
J-
1
0
t
\ап\
dt _
>
|а„|
Г
0
2
Jln|l-
,rfa
U ' и
,d« _
C.23)
Таким образом, интегрируя обе части неравенства C.23),
будем иметь асимптотически:
> — (^ 4-« Vp) rp lr). C.24)
Из C.18) и C.24) следует утверждение леммы.

§ 3] ¦ основная теорема 199
§ 3. Основная теорема о функциях
вполне регулярного роста
Исходя из обобщенной формулы Иенсена и воспользовав-
воспользовавшись установленными в § 2 свойствами функции JfA>), мы
можем сейчас доказать основную теорему о распределении
корней у функции вполне регулярного роста. Сформули-
Сформулируем ее.
Теорема 3. Если голоморфная порядка р(г) функ-
функция F{z) имеет вполне регулярный рост внутри угла
(blt 02), то для всех значений величин ft и Ч @t < ft < 0 < 0.2),
за исключением, быть может, счетного множества, суще-
существует предел
П (Г, t>, 0) ,о oj.,
;.а ' C-25)
где
SF (Р, 0) = Гh'F @) — h'F (») + f>a J /^ (9) rf'f 1. C.26)
Исключительное счетное множество может состоять
лишь из точек, в которых hp (H~\-O)^fip(t) — 0).
Доказательство. Прежде всего преобразуем фор-
формулу C.04) так, чтобы избавиться от производных по ср.
Для этого усредним обе части равенства по переменным ft и 'J.
Мы получим:
8+&9+1
7k \
6
»+г в
J Jln

200
ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА
(ГЛ. III
Выберем в формуле C.27) числа Я и Н так, чтобы суще-
существовали производные tip ((J) и hp (8), и выберем числа /е и &е
так, что при | /1 < /, и !&[<&,
' р (9 + *) — hF (8)
Az-^ + O-AjW /
e

, e
-
C.28)
Кроме того, если k% и /е достаточно малы, то
6 + &9 + Z в 9
ji I J | Aj (?) d» dn-dO — J hv{i)df < |-. C.29)
e' » » »
Так как функция /^(г) вполне регулярногоу роста, то по
лемме 2 при r>rs будем иметь:
¦"'"I
6" '
Очевидно, также верно неравенство
C.30)
J
e
 '
C.31)
Кроме того, если г не принадлежит исключительному множе-
множеству Е для функции F(z), то при достаточно большом г,
и г > ге будем иметь:
-.[*»&>*
<-§¦
C.32)
Из C.27), C.28), C.29), C.30), C.31) и C.32) следует,
что при г g Е, г > г, имеет место неравенство
о »
в котором | /1 < Jf и !&!<*,.

Л 3] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 201
Очевидно, при I < 0 и k > 0
, 0-
Взяв / > 0 и ft < 0, мы аналогично получим неравенство
N(r,», 6). 1 ,,. ..
-^Н>2^2^0К 0)-в.
Из этих двух неравенств следует, что
= *5я »<».«>• (з.зз)
Ввиду того, что относительная мера множества ? равна
нулю, всякий интервал (R, /?(l-f-3)) при 3>0 и R > R?
содержит точки, не принадлежащие множеству Е. Учитывая
монотонность функции N{r, ft, Ь), мы легко получим из
последнего равенства, что при любом г > ге, а и гх < г < г2,
?5
Числа rt и г2 можно выбрать в интервалах гA —S) < rt < г,
г <; г2 <^ A —{— S) г. Так как L (г) — медленнно растущая функ-
функция, то при таком выборе
lim f^=l.
Кроме того,
Выбрав 8 > 0 достаточно малым, мы получим, что при всех
достаточно больших значениях ~

202 ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА [ГЛ. III
и, следовательно,
, », 8) 1 ,u ft, ,q ом
Для того чтобы перейти от функции Л/(г, i>, в) к функции
л (г, ft, 0), заметим, что при k > 1 из монотонности функции
л (г, ft, 0) легко получается неравенство
г
JV(fer, а, 6) N(r,b,b)
~~ rtV) гЦг) '
и в силу C.34) получаем:
1^У' 1 , И).
r->co rP(r) 1n/fe 2лр2
Переходя к пределу при k -*¦ 1, имеем:
Аналогично, воспользовавшись неравенством
г
л (г, ft, fj) in 1>J lSLpSdt = N(r, ft, b)—N(kr, ft, ft),
верным при 0<й<;1, мы получим, что
lim — ' «о -^ s/-4^> ^)-
Таким образом, предел C.25) существует для тех зна-
значений ft и 6, при которых существуют производные A'(ft) и
h'F), т. е. для всех, кроме, быть может, счетного множе-
множества. Теорема доказана.
Следствие. Для того чтобы множество корней
функции вполне регулярного роста имело нулевую плот-
плотность внутри некоторого угла (я, !3), необходимо и доста-
достаточно, чтобы ее индикатор был тригонометрическим
внутри этого угла.

§ 3] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 203
Действительно, если индикатор тригонометрический, то
s(a, 3) = 0 и в силу C.25) плотность множества корней
равна нулю. Обратно, равенство нулю плотности множества
корней означает, что s(ot, f5) = 0 и по свойству ж) индика-
индикатора (глава I, стр. 79) он будет тригонометрическим.
Из доказанной сейчас теоремы 3 и теоремы 1 главы II
следует, что при р нецелом классы целых функций с пра-
правильно распределенным множеством корней и функций
вполне регулярного роста совпадают.
Докажем, что это же имеет место и для целых функ-
функций f(z) целого порядка. По теореме 3 множество корней
функции f(z) имеет плотность. Однако в этом случае
в соответствии с определением правильно распределенного
множества нужно еще доказать, что существует предел
»• ->¦ СО , ,
где а — коэффициент при степени р в многочлене Р (z)
представления A.38) функции /(г), ап — корни этой функ-
функции и !(/•)== гР(г)-р.
Для того чтобы доказать существование этого предела,
составим функцию
По лемме 5 главы II при г, не принадлежащем некоторому
Е°-множеству ЕФ, существует предел
Кроме того, так как f(z) вполне регулярного роста, то при
r?Ef существует предел
Заметив, что
In 1 Ф (rg*a) | , ,

204 ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА [ГЛ. III
мы получим, что при произвольном 0 и г, не принимающем
значений из множества E<f~\-Ef, существует предел
lim
Г-> со
Положив один раз 6 = 0, другой раз fJ = 9~> мы
димся в том, что при г?Е]>-\-Еф существует предел
\an\<r
Избавимся теперь от требования г ?Ef-\-E<b. Для этого сде-
сделаем оценку величины
1 V \п 1-е
Иг)
Представляя ее интегралом Стильтьеса, мы получим:
TV) S !°»Г =
r<\an\<kr
_1_ С^Я(О= 1 Гя(йг) я(гЛ . р_ Г я @
@
Первое слагаемое в правой части может быть записано
в форме
1 Г я (кг) _ п(гу\ _ ff(Jfer) I(fer) _ я_(г)
L /-P J (kr)^kr) L (r) rp(r) '
и при существовании плотности А множества {ап) корней
эта величина стремится к нулю при г —>¦ оо.
Последнее слагаемое можно асимптотически оценить
так:
кУ /д i s\ . кг
fi[^y

§ 3] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
Окончательно получаем асимптотическую оценку
L(r)
205
C.36)
r<\an\<kr
При произвольном k > 1 и достаточно больших значениях г
всякий интервал (г, kr) содержит точку rv не принадлежа-
принадлежащую множеству Ег-\-ЕФ. В силу C.35) будем иметь асим-
асимптотически
т 2
или иначе
так как lim .J ^ = 1. Кроме того, из C.36) имеем, что
асимптотически, при k, достаточно близком к единице,
1 2
?L(r)
r< |onl<r,
<т
и, следовательно,
тЫ X '=')
Итак, существует предел
(В) 8,= lim A-^a + l.
| < г
<
dr)
при произвольном стремлении г к бесконечности. Соединяя
этот результат с теоремой 2 главы II, мы получим следую-
следующую теорему, которую можно считать основной в теории
функций вполне регулярного роста.
Теорема 4. Для того чтобы целая функция F(х)
уточненного порядка р (г) была функцией вполне регуляр-
регулярного роста, необходимо и достаточно, чтобы множество
ее корней было правильно распределено.

206 . функции вполне регулярного роста (гл. ш
В главе II было дано (в теореме 4) асимптотическое
представление целых функций с правильно распределенным
множеством корней.
Из этого представления и только что доказанной теоремы
для функций вполне регулярного роста следует, что при
всех значениях 6, за исключением, быть может, счетного
множества, существует предел
Такой же результат можно получить для функций уточ-
уточненного порядка р(г) и вполне регулярного роста внутри
некоторого угла, однако мы на этом не будем останавли-
останавливаться *).
Замечание. Из условия (В) легко следует, что
каноническое представление A.38) целой функции f(z)
вполне регулярного роста, целого порядка р и нормаль-
нормального типа может быть записано в форме
п
k (P~M~\
где т — целое неотрицательное число и P?(z)— многочлен
степени, не большей р. В частности, целая функция
конечной степени и вполне регулярного роста допускает
представление
lim TT (l -\.
ак
Действительно, целая функция/(z) представляется в форме
Р-1 „р
П
р
_
*) См. А. Пфлюгер [3].

4 4] ИНДИКАТОР ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ 207'
или иначе
f(z) = z™epw Jim exp ( Y
I «ft К й
X Нт
Чтобы получить отсюда нужное представление функции f(z),
следует только воспользоваться условием (В).
§ 4. Индикатор произведения двух функций
В § 15 главы I мы уже отмечали, что индикатор произ-
произведения двух функций f(z) и <?(z), голоморфных внутри
угла F1( 62)> не превосходит суммы индикаторов сомножи-
сомножителей, т. е.
Это же соотношение, очевидно, имеет место и для обобщен-
обобщенных индикаторов, если считать, что все три индикатора
вычислены для одного и того же уточненного порядка.
Мы покажем, что если один из сомножителей имеет
вполне регулярный рост, то в C.37) имеет место знак равен-
равенства.
В самом деле, из теоремы В. Бернштейна (теорема 31
главы I) следует, что неравенство
In | f(reib) j > [hf(})) — s] /-P ('¦)
выполняется при любом фиксированном 6 (bt < 6 ^ 9.2) на
множестве Е', имеющем положительную верхнюю относи-
относительную меру. Если один из сомножителей (например, <f(z))
есть функция вполне регулярного роста, то при всех значе-
значениях г > 0, за исключением, быть может, множества нуле-
нулевой относительной меры Е°,
Таким' образом, при всех значениях г, принадлежащих
множеству Е' — Е° • Е' положительной верхней относитель-
относительной меры, будем иметь:
C.38)
Сопоставляя C.37) и C.38), мы получаем теорему.

208 ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА [ГЛ. III
Теорема 5. Если f(z) и <p(z) — функции, голоморф-
голоморфные внутри угла @J( Й2), и одна из них вполне регуляр-
регулярного роста, то индикатор произведения этих функций
равен сумме индикаторов сомножителей.
' Заметим еще, что если оба сомножителя вполне регу-
регулярного роста на некотором луче, то и произведение вполне
регулярного роста на том же луче.
Если целая функция /(г) удовлетворяет условию
In Mf {r)
то из леммы 4 главы I непосредственно получаем, что
и следовательно, множество корней этой функции имеет
нулевую угловую плотность. Если при этом р = lim р (/¦) —
г->оо
целое число, то из теоремы 18 главы I получаем еще:
Таким образом, по теоремам 1 и 2 главы II функция /(г)
имеет вполне регулярный рост, причем индикатор ее равен
нулю. Воспользовавшись теоремой 5, получаем
Следствие 1. Если F(z) — голоморфная функция
уточненного порядка р(г) внутри угла (Hlt Ь2), а <в {г) —
такая целая функция, что
Ш
то индикатор произведения этих двух функций внутри
угла (9lt 62) равен индикатору функции F(z).
Из теоремы 4 также легко получается
Следствие 2. Если f(z) и <?(z) — голоморфные функ-
функции внутри некоторого угла @t, 6.2), <в(г) вполне регу-
регулярного роста при некотором р(г) и

§ 5] СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОБОБЩЕННОЙ ФОРМУЛЫ ИЕНСЕНА 209
— голоморфная функция внутри того же угла, то
hv F) = hf @) — А, ('О @t < Ь < 09).
Для получения этого равенства следует рассмотреть
произведение <р {z) 47 (г) и сослаться на теорему 4.
Заметим, что здесь, как и в теореме 4, не исключен
случай равенства нулю одного или обоих индикаторов.
§ б. Некоторые следствия
из обобщенной формулы Иенсена.
Случай тригонометрического индикатора
В § 1 мы показали, что если целая функция имеет вполне
регулярный рост на каждом луче из некоторого плотного мно-
множества лучей, то она вполне регулярного роста во всей
плоскости.
Нетрудно построить пример целой функции, которая
имеет вполне регулярный рост на конечном множестве лучей
(arg2 = —, k = 1, 2 2и— 1; и — любое) и ни в каком
углу раствора, большего —, не является функцией вполне
регулярного роста.
В самом деле, пусть р (г)— произвольный уточненный
порядок и гк — корень уравнения
гр(г> = * (й= 1, 2, ...)•
Пусть я — целое число, п > р. Множество корней целой
функции
гк '
имеет угловую плотность. Кроме того, 3Ф = 0. Таким обра-
образом, Ф(г) — вполне регулярного роста.
Отметим точки гк, попавшие в интервалы B2т~1, 22т)
(/и=1, 2, ...), перенумеруем их в порядке возрастания
модулей и обозначим {ар). Аналогично обозначим через [Ьр]
множество точек гк, попавших на отрезки B"т, 22т+1), и
положим:
14 Зак. 988. Б. Я. Левин

210 ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА [ГЛ. III
Множество корней функции W(z) не имеет угловой плот-
плотности ни в каком углу, содержащем какой-нибудь из лучей
arg? = — (& = 0, 1, ..., 2я—1), и поэтому W(z) не есть
функция вполне регулярного роста ни в каком из этих
углов. Однако на каждом луче вида arg z = —ф— ъ
(k = 0, 1, 2, ..., и—1) мы будем иметь:
и следовательно, на этих лучах функция W(z) — вполне
регулярного роста. Таким образом, функция y?(z) дает
нужный пример.
Иначе обстоит дело, если потребовать дополнительно,
чтобы индикатор роста функции f(z) был тригонометриче-
тригонометрическим внутри угла [а, [3], т. е.
hf (Ь) — A cos 0 -j- В sin 0 (а < 0 < ,3).
В этом случае для исследования вопроса о поведении функ-
функции внутри угла [a, J3] мы преобразуем формулу C.04),
проинтегрировав обе части равенства по г) в пределах от срх
до <ра и по 0 от <р2 до <в3 (я < <рх < <р2 < ср3 < |3). Получим
равенство
Г
= J
a
J / J-
| /=" (/-в**) I ?f<p <f» </Э. C.39)
Для того чтобы оценить правую часть в C.39), заметим.,
что асимптотически
In | F (teh) | < [М?)+1] 'Р (<) (s > 0)

§ 5] СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОБОБЩЁННОЙ ФОРМУЛЫ ИЕНСЕНА 211
и, следовательно, асимптотически при р > О
e J
dt
Отсюда легко следует:
т
llm r-t W J Jf('s>) Ц- < p~%.(<p). C.40)
Кроме того, из леммы 2 следует, что если F(z) вполне ре-
регулярного роста на луче arg z = <р.2> то
lim
r->co
I У}(ср2) -^ = р-3М<?о). C.41)
Из C.39), C.40) и C.41) получаем, что при произволь-
произвольном s > 0
Ит
Г Гл/>(.-, 0,
J J
. C.42)
Если заменить в левой части равенства верхний предел
нижним, то в C.42), как мы покажем, знак равенства
будет достигаться только для функции вполне регулярного
роста.
Лемма 5. Если функция F (z) — голоморфная и по-
порядна р (г) при а ^ arg z ^ р, на некотором луче argz = ср2
14*

ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА [ГЛ. Ill
(я < ср2 < р) — вполне регулярного роста а при а < <pt <
< <Ра < Ъ < ?
2тг lim г-pwJ j MF(r, Ь,
P  {Ay (?3) (?2 — Ti) + hF Ы (?i — Та) + ** (?i) (Тз — ?
<Pi <F» 9
+ / J f hF(<t)d<fdudi>,
/?to Z7^) — вполне регулярного роста внутри угла
Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу
C.42) нужно в формулировке леммы нижний предел заме-
заменить просто пределом. Из равенства C.39) мы при выпол-
выполнении условий леммы получаем:
г
J
У *.(«ра)
Т» Ti 8_
+ J J J lhF,r (?) — A,(<p)] cfcp du db) = 0.
9. ?i в
Из C.40), C.41) и асимптотического неравенства
(в>0)
легко следует, что верхние пределы всех четырех слагаемых
неположительны. Перенося все слагаемые, кроме одного,
в правую часть, мы убедимся в том, что нижний предел
этого слагаемого неотрицателен.

§ 5] СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОБОБЩЕННОЙ ФОРМУЛЫ ИЕНСЕНА 213
Таким образом, все слагаемые имеют равный нулю пре-
предел, т. е.
lim г-р(г>
r->oo 0
™Ш'
tim
По лемме 3 из первого равенства следует, 4toFB) — вполне
регулярного роста внутри угла a<arg2<[3.
Лемма доказана. Сформулируем теперь теорему о функ-
функции с тригонометрическим индикатором.
Теорема 6. Если функция F(z), голоморфная и
уточненного порядка р (г), имеет внутри угла а < argz < ?
тригонометрический индикатор и если при этом она
вполне регулярного роста на некотором луче внутри
этого угла, то она вполне регулярного роста внутри
всего угла.
Доказательство. Мы будем исходить из неравен-
неравенства C.42). Правая часть этого неравенства может быть
записана в форме
Р"9/
9» 9г
где
При тригонометрическом индикаторе sF(<o) = const и, сле-
следовательно, правая часть в C.42) равна нулю. Так как
N(r, 0, 6) — неотрицательная величина, то, очевидно,
lim
r->oo
--? W Г Г N(r, \), 0) cf!> rf'J = 0.
Таким образом, выполнены условия леммы 5 и, следова-
следовательно, F(z) — вполне регулярного роста внутри угла (я, jb),

214 ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА [ГЛ. III
Заметим, что при тригонометрическом индикаторе из C.25)
и C.26) следует, что
Теорема доказана.
Требование, чтобы функция F (z) была вполне регуляр-
регулярного роста на некотором луче внутри угла, в котором
индикатор тригонометрический, можно ослабить. Имеет
место следующая теорема.
Теорема 7. Если функция, голоморфная и уточнен-
уточненного порядка р(г), имеет, тригонометрический индикатор
внутри угла а < 0t ^ 9 ^ 0.2 < р и при этом она — вполне
регулярного роста на луче &rgz = 4x, причем fip(bi — 0)=
= /2P(fi1-)-0), то она — вполне регулярного роста внутри
угла 61<0<в2.
Доказательство. Из формулы C.39) непосредственно
следует:
1
'h) (?а
JJ j 1n
9i 9i *
Это неравенство мы перепишем в форме
(Та- Ti) J-/i(%) f >(?e-?i) J4(?a) у -
о о
— (?4 — ?a) J^k?,i) T~ j f jln
Положим cp2 — 0t, 0t < <p3 < 6.2 и a < <pt < 9X. Так как на луче
<?.3 функция /='B') — вполне регулярного роста, то

§ 5] СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОБОБЩЕННОЙ ФОРМУЛЫ ИЕНСЕНА 215
можно применить лемму 2 и получить:
>i^(?2)(?3-?i)- (Тз — Та) lim r~9ir> J*(9i)
0
e, ir. 9
~ Г Г f
r->oo J J ?
Отсюда и из асимптотических неравенств
о
следует:
(т-2 —тО
*•-*•<" о
> -if- [А_р (Тз)(Тз — ТО — hF (Vi) (?a — Т-зI —
Это неравенство верно при любом <рх < <p:J и <р3 < ?3 < Йа
Поделив его на «., — Ti и перейдя к пределу при Ti-*T2
мы получим:
Пт г-?-г
7? (Й^ (?а) + Лр (Та - 0) (Тз - Та) - Р9 J / ^ (?) rf? d'j

216 ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА [ГЛ. Ill
и, учтя, что h'F(<?2Ч~ °) = hF(?а—^), будем иметь:
A
fa 8
?8 - Ч>3) - РЧ J J А, (?
Так как, по предположению, А^ ('-?) = Л cos p («¦—«р0) при
<р2 <; в <; 02, то последнее неравенство дает:
Сопоставляя это с неравенством C.06), мы убедимся в том,
что при Oj ^ <р ^ 02 существует предел
По теореме 2 отсюда следует, что F (г) — вполне регуляр-
регулярного роста внутри угла 0t ^ argz <^62. Теорема доказана.
Формула C.39) дает возможность сделать еще некоторые
заключения о распределении корней на лучах вполне регу-
регулярного роста. Обозначим p(t, <o) число корней функции
F(z) на луче arg2 = <p> модуль которых не превосходит
числа t > 0, и
о
Очевидно, при ft < <р < О
N(r, », 0)>/J(r, <p).
Если функция /'(г) — вполне регулярного роста на луче
= <р, то, положив в формуле C.42) <?i = ?— k, «p.2 = e,

§ 5] СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОБОБЩЕННОЙ ФОРМУЛЫ ИЕНСЕНА 217
?я = ?-+-* (*>0), мы получим неравенство
ft» llm ?%-!>. < p-Q * [Л (? + ft) — 2Л (<?) + h(с? -Н ft)] +
<р + ft и О
+ J f Jh(.4)dxdbdb.
Отсюда непосредственно получается теорема.
Теорема 8. Если F(z)— голоморфная функция уточ-
уточненного порядка р(г) внутри угла, содержащего луч
= «, и вполне регулярного роста на этом луче, то
Напомним, что для функций первого порядка величина
Лр(<р + 0) — h'F(<? — 0) имеет простой геометрический смысл.
Эта величина равна длине прямолинейного отрезка границы
индикаторной диаграммы, внешняя нормаль к которому
имеет направление луча arg 2 = 0.
Заметим также, что теорема остается верной, если под
Р(г, ер) понимать число корней в пересечении круга [2|^г
и некоторой области, которая почти вся *) содержится вну-
внутри любого угла, содержащего внутри луч arg z = <o. На-
Например, такой областью может быть парабола с осью, на-
направленной по этому лучу.
Требование, чтобы функция F(z) была вполне регуляр-
регулярного роста на луче arg2 = '-s, существенно. В главе V мы
построим функцию конечной степени и нерегулярного роста,
у которой
и граница индикаторной диаграммы которой не содержит
прямолинейных отрезков (стр. 329).
*) Термин «почти вся» здесь понимается в смысле: вся, за
исключением, быть может, конечной области.

ГЛАВА IV
ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА
В этой главе мы применяем аппарат, развитый в преды-
предыдущих главах, к вопросам о единственности определения
целой функции, интерполяции целыми функциями и полноте
системы функций в комплексной плоскости. Эти вопросы,
как мы увидим в дальнейшем, тесно связаны друг с другом.
С интерполяцией связан также вопрос о зависимости асим-
асимптотического поведения целой функции во всей плоскости
от ее асимптотического поведения на некоторой последова-
последовательности точек, сходящейся к бесконечности.
Первые три параграфа этой главы посвящены вопросам
единственности. Общая постановка вопроса о единственности
формулируется следующим образом.
Пусть голоморфная функция f(z) принадлежит опреде-
определенному линейному классу (например, не более чем порядка
р и нормального типа). Какой должна быть система линей-
линейных функционалов Л„ («=1, 2, ...), чтобы значениями
ап — А„(/) функция f{z) определялась однозначно*). За
функционалы можно, в частности, выбрать значения функции
в точке, т. е. Лп(/) = /(.гп). Множество точек \zn) такое,
что из совпадения на нем двух функций определенного
класса следует их тождественное равенство, мы будем на-
называть множеством единственности для данного класса.
По известной теореме теории функций множество точек,
имеющее предельную точку в некоторой области О, является
множеством единственности для всех функций, голоморфных
в этой области. Поэтому для классов целых функций пред-
*) Эта постановка вопроса о единственности принадлежит
А. О. Гельфонду [2] и В. Л. Гончарову [1].

ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА 219
ставляют интерес множества единственности . с предельной
точкой на бесконечности. Соответствующие теоремы един-
единственности означают, что «не слишком быстро растущая»
функция не может обращаться в нуль на «достаточно плот-
плотном» множестве точек, не будучи тождественно равной
нулю. Таким образом, эти теоремы можно рассматривать
как обобщение известной теоремы о многочленах: многочлен
степени, не большей п и не равный тождественно нулю, не
может иметь более чем я корней. Теоремы такого же ха-
характера имеют место и для функций, голоморфных внутри
некоторого угла.
Типичной теоремой единственности такого рода является
следующая теорема Карльсона [1], играющая большую
роль в вопросах интерполяции.
Если голоморфная функция f(z) конечной степени
в полуплоскости Re^>0 обращается в нуль в целых
точках ге= 1, 2, 3, ... и при этом ширина ее индика-
индикаторной диаграммы hfy~\-\~hA-—-^-J меньше чем 2п, то
Эта теорема точная, так как функция sin vz обращается
в нуль во всех целых точках и ширина ее индикаторной
диаграммы в точности равна 2тг *).
В § 2 и '3 мы доказываем теоремы такого же типа, но
значительно более общие.
В большей части этих теорем особую роль играет класс
функций вполне регулярного роста. Они образуют класс «гра-
«граничных функций», которые обладают максимальной плотностью
*) Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что
если функция f(z) удовлетворяет условиям теоремы и не равна
тождественно нулю, то частное
sin vz
есть функция конечной степени в полуплоскости Re г ^ 0 с индика-
индикатором
А, @) == hf (8) — п I sin G |.
Таким образом,
что противоречит свойству з) индикатора роста (см. § 16, глава I).

220 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
корней при данном росте. Для выяснения этой особой роли
приведем теорему 3 из § 2.
Множество корней всякой не равной тождественно
нулю целой функции уточненного порядка р(г) удовле-
удовлетворяет неравенству
Знак равенства имеет место для всех целых функций
вполне регулярного роста и только для них.
Это характерное экстремальное свойство целых функций
вполне регулярного роста может быть принято за их опре-
определение. Таким образом, целые функции вполне регулярного
роста — это функции, имеющие при заданном уточненном
порядке и заданном индикаторе наибольшую нижнюю плот-
плотность множества корней.
Аналогичные теоремы мы доказываем для функций конеч-
конечного порядка, голоморфных внутри некоторого угла.
В § 3 мы излагаем теоремы, в которых множество един-
единственности есть правильное множество или некоторое распо-
расположенное внутри угла множество с угловой плотностью.
С вопросом о единственности- определения целой функции
ее значениями на множестве точек, естественно, связан во-
вопрос о нахождении целой функции по этим ее значениям. Эта
задача решается с помощью интерполяционных рядов. Мы
изучаем здесь вопрос о представлении целой функции интер-
интерполяционным рядом Лагранжа, причем за множество узлов
интерполяции выбираем некоторое /^-множество (глава II, § 1).
Благодаря этому ограничению удается получить результаты,
имеющие законченный характер.
Вопрос о единственности определения целой функции
связан с вопросом о полноте системы голоморфных функций
в некоторой области. Эта связь весьма полно исследована
в работе А. И. Маркушевича [2]. Им установлено, что каждая
теорема о единственности порождает некоторую теорему
о полноте, и наоборот.
Мы излагаем в § 6 теорему о связи полноты и единствен-
единственности, а в § 7, используя эту связь и теоремы единствен-
единственности, доказанные в первых параграфах, получаем неко-
некоторые теоремы о полноте системы функций.

§ 1) ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 221
§ 1. Теоремы единственности для целых функций
конечного порядка
Теоремы единственности можно формулировать так, как
уже было указано, т. е. при ограничении, наложенном на
рост целой (или голоморфной внутри угла) функции; из обра-
обращения этой функции в нуль на множестве большой плотности
(обычной, верхней или нижней) следует, что она тождественно
равна нулю.
Очевидно, можно дать эквивалентную формулировку
каждой из этих теорем, состоящую в том, что для функции,
не равной тождественно нулю, плотность множества корней
не превосходит некоторой величины, зависящей от ее роста.
Естественно получить такие оценки для плотности множества
корней целой функции конечного порядка, исходя из теоремы
Иенсена (ср. с леммой 4 главы I).
Теорема 1, Пусть f{z) — целая функция уточнен-
уточненного порядка р(г) (р > 0), не равная тождественно нулю,
nf{r) — число отличных от нуля корней функции f(z)
в круге радиуса г и
J^tf. D.00)
о
Тогда
2*
Доказательство. По теореме Иенсена*) мы имеем
равенство
In |/@)|
j(O)rfO Ш21. D.02)
о
Правую часть этого равенства легко оценить, если восполь-
воспользоваться асимптотическим неравенством
*лг(°)<М0) + ». D-03)
*) Если/@) = 0, то следует применить теорему Иенсена к функ-
функции -~, где т — кратность нулевого корня.

222 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
доказанным в теореме 28 главы I. Из D.02) и D.03) непосред-
непосредственно следует утверждение теоремы.
Теорема 2. При выполнении условий теоремы 1 имеет
место неравенство
2тс
Доказательство. Из монотонности функции tif(f)
легко следует неравенство
1
nf(t) Nf{e*r)
D-05)
из которого получается:
— Л/, (г) Nf{r) ¦
lim ^г<е° lim
Неравенство D.04) прямо следует из D.06) и теоремы 1.
Покажем теперь, что неравенство D.04) точное, более
того, мы покажем, что существует целая функция, для ко-
которой в D.04) имеет место знак равенства.
Для построения такой функции полезно заметить, что
знак равенства в D.04) может достигаться лишь для функций
весьма нерегулярного роста. В самом деле, в левой части
D.05) знак равенства получается лишь в том случае, когда
функция f{z) не имеет корней в кольце г < | z\ < е*г.
В правой части D.05) знак равенства получается лишь тогда,
когда f{z) не имеет корней в круге |г|<г. Из этих заме-
замечаний следует, что знак равенства в D.04) возможен только,
если функция п'(г) растет на коротких интервалах, которые
редко расположены на положительном луче.
После этих предварительных замечаний перейдем к по-
построению примера функции, для которой в D.04) имеет место
знак равенства. При этом мы ограничимся случаем целой
функции нормального типа при обычном порядке р.

§ 1) ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 223
Пример. Определим последовательность целых чисел
п„ = 2-зР и построим функцию
лР
р
D.07)
При «Р <г<пР мы будем иметь:
К /С ~\~ 1
где гк<(к— 1J"' .
Таким образом,
С другой стороны,
ft-i
Itl J \ y\ ¦ ^ In'
J \ / ¦ / . Ill
-
¦) 1
га
г \ р
+ ln
J
р
оо
"Т" ^j 'п
I" 1
\
( г
1
^лР
р
п±
1 р
•
/
D.08)
-l~Y . D.09)
При я? <г<«р получаем:
<2пй_г1п2г<2г2 1п2г = о(гр). D.10)
Если р >- A -f- 2, то асимптотически гп р < -^ и из неравенства
НпО-ЮКг^л

224
ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
верного при |и|<". следует, что
л
р=к+2 - D.11)
Сопоставляя D.09), D.10) и D.11), мы получаем, что
асимптотически при яр <г<яр
к А+1
D.12)
D.13)
или при пк(\ -4-з) < гр < «ft+1 (s > 0)
г* р/-? пк
Максимум первого члена в правой части этого равенства
получается при гр = епк и, следовательно,
M)
Сопоставляя это с D.08), получаем:
2л
D.14)
fiS-^=f \hf(b)d'l, D.15)
т. е. для построенной функции в формуле D.04) имеет место
знак равенства.
При оценке нижней плотности множества корней целой
функции особую роль играют функции вполне регулярного
роста. Именно имеет место следующая теорема.
Теорема 3. Нижняя плотность множества корней
всякой не равной тождественно нулю целой функции f(z)
уточненного порядка р (г) (р > 0) удовлетворяет неравен-
неравенству
lim
If {Г)
¦ rf\r)
D.16)

§ 1] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ Ц*ЛЫХ ФУНКЦИЙ 225
При этом знак равенства имеет место для функций
вполне регулярного роста и только для них *).
Доказательство. Первая часть теоремы непосред-
непосредственно получается из оценки D.01) и неравенства
Это последнее неравенство следует из свойства 4) (см.
главу I, § 12) уточненного порядка. Существенным здесь
является второе утверждение теоремы.
В главе III (теорема 2) было доказано, что множество
корней голоморфной функции f(z) конечного порядка и вполне
регулярного роста внутри угла имеет угловую плотность,
причем
/
Положив ft = 0, Ь = 2тс, мы будем иметь:
Остается доказать, что знак равенства в D.16) достигается
только для целых функций вполне регулярного роста. Из
D.17) следует, что при таком равенстве
r->oo '
а так как по теореме 1
2it
*) Оценки D.04) и D.16) по существу есть в статье Р. П. Боаса.
См. мигу [1]. В недавней работе Р. Бака [1] дана следующая
оценка для распределения корней функции порядка р и нормального
типа а:
Теорема, близкая к теореме 3, есть у А. Пфлюгера [1].
15 Зак. 988. Б. Я- Левин

226 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА (гл- 'V
то и получаем:
Сопоставляя это равенство с равенством Иенсена D.02), мы
получаем:
2%
lim Г [hf @) — hf r F)] <?0 = О
r-»oojf
и, учитывая асимптотическое неравенство hf,r @) < fy (fJ)-f- s
(s > 0), можем отсюда заключить, что
2л
lim Г |й,@) — hf,r (fJ)|d9 = 0. D.18)
r-»oo •»
О
Для того чтобы вывести отсюда, что f{z) — вполне регуляр-
регулярного роста, мы прежде всего воспользуемся теоремой 6
главы II, по которой семейство функций hf,r(H) равносте-
равностепенно-непрерывно при всех положительных г, за исключением,
быть может, множества Е значений с произвольно малой
верхней относительной мерой.
Покажем, исходя из этой теоремы и равенства D.18),
что при г ?~Е и г —> оо функция hf,r(b) равномерно стремится
к hf (Ч). В самом деле, при достаточно малом S, |A|<S и
<|+jTj J I*лг(?) —
о
и при г > г,
Дв. D.19)
Таким образом, мы показали, что при произвольных s > О
и т) > 0 неравенство D.19) выполняется при всех положи-
положительных г, за исключением, быть может, множества с верхней
относительной мерой, меньшей -ц. По лемме 1 главы III

§ 21 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 227
отсюда Следует, что /(г) —вполне регулярного роста. Тео-
Теорема доказана.
Замечание. При р = 1 интеграле правой части D.16)
равен длине границы индикаторной диаграммы функции f(z).
§ 2. Теоремы единственности для функций
конечного порядка, голоморфных внутри угла
В этом параграфе мы получим для функций, голоморфных
и конечного порядка внутри угла, теоремы единственности,
аналогичные теоремам для целых функций, которые были
установлены нами в предыдущем параграфе. В главе III,
исходя из обобщенной формулы Иенсена, мы получили оценки
для плотности множества корней функции F{z) внутри угла
(неравенство C.42) и лемма 5), аналогичные теоремам 1 и 3
предыдущего параграфа. Однако эти оценки сделаны при
весьма' ограничительном дополнительном предположении, что
функция F (z) имеет вполне регулярный рост на некотором
луче внутри угла.
В этом параграфе мы получим другие теоремы единствен-
единственности для голоморфных функций конечного порядка внутри
угла, не делая никаких предположений о регулярности роста.
Для этого будет выведена новая формула, аналогичная фор-
формуле Иенсена. Заметим при этом, что, не нарушая общности,
можно считать угол, в котором дана функция F (z), совпа-
совпадающим с полуплоскостью Re z ^ 0, так как общий случай
может быть приведен к этому преобразованием w = eiazi
ft > 0, 0 < а. < 2*).
Перейдем к выводу формулы, являющейся аналогом фор-
формулы Иенсена для полуплоскости.
Пусть функция F(z) голоморфна в полуплоскости Re2^> О
и пусть F@)=?0. Выберем число d>0 так, чтобы в зам-
замкнутом круге |.г|<;й функция F{z) не имела корней. По-
Построим контур Та,в, состоящий из дуг окружностей \z\-d
D р
— -^ = -у (R > d). Из каждого корня функции F (z),
как из центра, оп*ишем окружность Cj радиуса S, причем 8
выберем так, чтобы оно было меньше, чем расстояние кон-
контура Та, в °т множества корней, попавших внутрь этого
контура, и расстояния между корнями. Рассмотрим в области,
ограниченной контуром Та, в и окружностями Cj, две гармо*
15*

228 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
нические функции и (z) = In | F (z) | и v (z) — -^ — ^- (z=reiB)
и применим к ним известную формулу Грина. Получим:
dv
v
С I dv du\ .
J (ud-n-vdn)ds =
Переходя к пределу при 8 —> 0 и замечая, что на окружности
R
R
= ~2, которую мы обозначим Гд, г> = 0, получим
при больших R:
5(
= ^ J
*'i d
где Zj = rje — корни функции F (z) и a (#) = arc sin -^,
a 0A) есть интеграл от ограниченной функции по дуге
окружности | z | = d.
Заметив, что величина rjcos~1bj равна диаметру Rj окруж-
окружности Гд,, проходящей через корень гр®*, мы можем запи-
записать левую часть равенства в форме
R
у^\ / i cos bj
rj<CR cos bj
где 4p(t) — число корней функции F(z) внутри окружности Tt.
Интегрированием по частям мы можем преобразовать правую
часть последнего равенства и получить:
S/ 1 cos 8^ J*
_ . Kr 7Tl~ i
г .<Д cos 9 .
4 S
R
vv(t)

§ 2] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 229
Заметив, с другой стороны, что на окружности Гд
^г = по 1 ч п . мы получим:
dn Ra cos3 6 '
в
^-^-ar J -1—* ^^ет +0A)*). D.20)
J
0
Равенство D.20), аналогичное равенству Иенсена, и дает
аппарат для установления теорем единственности для функ-
функций, голоморфных в полуплоскости.
Дадим еще другой вывод этой формулы, построенный на том же
принципе, что и вывод формулы Иенсена в главе I, и обобщенной
формулы Иенсена в главе III.
Обозначим через Г* окружность г — -~ = у и выберем
число t так, чтобы эта окружность не проходила через корни
функции F(z). Имеем:
Преобразование
w = —
переводит окружность Г< в прямую и = — плоскости w = и -f- iv,
и получается
*) Анализируя величину О A) при условии /?@) = 1, легко
убедиться в том, что О A) при d-»-0 стремится к -^Ref'(O), и,
сделав в D.20) предельный переход, мы получим равенство
к
R J
4F(t) I f In | F{R cos M) I fifB
f vr,(t) I f
J T-*=27 J
о
R
При этом интеграл в правой части равенства следует понимать
8 смысле главного значения.

230 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
Интегрируя обе части этого равенства по и в пределах от г -1
до R~i, мы получим:
В со
Заметив, что на Г^
г = t cos 6e<e,
мы получим, что
dv— —
= -^- j (Z? In
cos
— s-1 In | У (s cos
Далее, из разложения
легко получить, что при заданном tf>0, ^cos6<rf ие<^ можно
так подобрать постоянную М, что
| R~l In | F(R cos 6 e*9) | _ »-i in | F(E cos в ei4) \ \ <MR cos2 в.
Заметив это, мы получим:
I -jj- Л :
= -L Г
2л J

§ 2] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 231
и, наконец,
.JL Г /г1 inimcose**) 1-^ + 0A).
f Z? In |/=¦(/? cos 0e«9)|
Для выяснения особой роли, которую играет в теоремах
единственности класс функций вполне регулярного роста
внутри угла, нам понадобится лемма, дающая критерий того,
что данная функция, голоморфная внутри некоторого угла,
есть функция вполне регулярного роста.
Лемма 1. Для того чтобы голоморфная внутри
угла (а, р) функция F{z) уточненного порядка р(г) была
вполне регулярного роста, необходимо и достаточно,
чтобы среднее по площади
р гв
Ф (Я,' а, р) = 3(р-а)/гГ j J lAi? F> - **•
стремилось к нулю при R —> оо.
Доказательство необходимости. Для функций
вполне регулярного роста имеет место равенство
Np(r, ft, в) 1
lim F ,r, = sy(ft, в).
где
sF (ft, 8) == Аг- (в) — AF (») + p2 J hp (<p) d<p
(cm. C.34) § 3 главы III). Из этого равенства непосред-
непосредственно следует:
lim
-р(г) с с
SL—«г-J J
2тгр2 | k
8+й
Й1 J [МТ)^^&Л|. D.21)
i * »

232 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
В главе III с помощью обобщенной формулы Иенсена было
доказано равенство (см. C.27))
-^ f f NF{r, ft,
9+ft »+? 9
D.22)
По следствию из леммы 2 главы III для функции вполне
регулярного роста имеет место равенство
r->oo
и
Воспользовавшись этим, из D.21) и D.22) можно получить:
9+fc »+? 9
1 Г Г Г
lim -тг [Ai?(9) — hp r(®)]dvdndf) — 0. . D.23)
Г->.оо «< ¦' .' .' '
Из асимптотического неравенства
следует, что в равенстве D.23) можно величину hFirD) —
— hF(b) заменить ее абсолютной величиной и получить
равенство
е
lim Г \hF('s>) — hF,r(jf)\d^ = O @ < /t < /).
Из этого равенства интегрированием по г от R до 2/?
получаем:
НтфСЛ, а, р)=.О. D.24)
Л-»со
Необходимость доказана.

§ 2] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 233
Доказательство достаточности. Пусть выпол-
выполнено условие D.24). Если обозначить
KF(r) = J | hF(b) — hF,rC01 d'J,
a
то из условия D.24) легко получим:
2Д
lim -L Г Kp(r) dr = 0. . D.25)
00 в
Пусть Е.( — множество тех значений г, при которых
Тогда, очевидно,
mes (JS^2) — mes (?*)
L_ L.
в
и в силу D.25)
_ от (?!*)-»«(??)
lim !-=- 1- = 0.
Отсюда следует, что относительная мера множества Е
равна нулю. Итак, если г->оо, не принимая значений
из некоторого множества ?\ сколь угодно малой верхней
относительной меры, то
Р
f |Ау(в) —A^r(e)|d9 = 0. D.26)
lim
Докажем теперь, что функции \fiF(b) — hp,r(b)\ обра-
образуют равностепенно-непрерывное семейство внутри угла
<*<а' <в<^'<3 при всех значениях параметра г,
за исключением, быть может, множества Et со сколь
угодно малой верхней относительной мерой я'(?,)<1].
С этой целью "выберем положительное число I настолько
малым, чтобы всякий круг C(R, l) вида
\z-Re 2 |<#?

234 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
2 4
содержался в области д- Я <! 121 ^ у /?, <* ^ ar?z -^ ^> п0
которой берется интеграл в определении функции ty (у R, a, pj.
1 . R —а ,,
Для этого достаточно выбрать / = -gSin—-х—. Из условия
D.24) следует, что среднее от величины \hp(b) — йр,|
по площади круга C(R, Г) стремится к нулю при /?—уоо.
Поэтому при всех достаточно больших значениях R в каждом
круге C(R, Г) найдется точка ?д = Rxeib\ в которой выпол-
выполняется неравенство
Из этого неравенства следует:
где
N= — [ min Aj(9) — в].
У нас выполнены условия теоремы 7 главы II, и следо-
следовательно, при г??2 (/»* (Еа) <-Э-) семейство функций
| Aj? @) — Ay, »• @) | равностепенно-непрерывно на отрезке
(а < а' < 0 < f|' < р).
Из этой равностепенной непрерывности и D.26) следует,
что при достаточно малом 5 > 0, | k | < 8, а'-^Й^р',
и при г > г,
\hP(b) — hF,r(b)\<z. D.27)
Итак, при любых в > 0 и t\ > 0, при всех г, не принадле-
принадлежащих некоторому множеству с верхней относительной ме-
мерой, меньшей t\, при а' ^ ii ^ $' выполняется неравенство
D.27). По лемме 1 главы III отсюда следует полная регу»

§ 2] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 235
лярность роста внутри всего угла а < 9 < ,3. Лемма дока-
доказана.
При доказательстве теорем единственности с помощью
формулы D.20) существенную роль будет играть также сле-
следующая лемма.
Лемма 2. Множество корней функции F(z), голо-
голоморфной в полуплоскости Re z ;> 0, уточненного порядка
р(г) (р > 1) а вполне регулярного роста, удовлетворяет
равенствам
lim -^т~ = Hm
= ^- J hF(b)cosp~2bd<i, D.28)
в которых
-dt. D.29)
-/¦
Доказательство. Для доказательства этой леммы
естественно воспользоваться теоремой 3 главы III. Выберем
число S>0 и точки 9О<91<... < Ьп (bo = — j-\-b,
^п==~2—М > в которых функция hpifi) дифференцируема.
Обозначим через 8-7(у = О| I, ..., п—1) точку на отрезке
№р bj+1], в которой cos 0 принимает наибольшее значение
на всем этом отрезке. Тогда будем иметь:
п-1
'—о
sin 3, —~, — -?¦-
так как правая часть дает число корней функции F{z)
В области, содержащей круг
z—у
-^ (черт. 7). Из

236
ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
этрго неравенства следует по теореме 3 главы III:
lim
PC;
г->оо Г1
Переходя к пределу при max|8^+1— ^|->0, а затем при
У\
8 -> О, мы получим:
lim —
<
С
J cosp 9 ЛгИ9).
тс
D.30)
Аналогично можно получить
оценку снизу нижнего предела. Для
этого выберем в каждом из отрез-
отрезков [Hj, bj+1] точку bj, в которой
cos 0 принимает наименьшее зна-
значение на этом отрезке, и получим:
и-1
2 n(rcosb'-,bj,bj+1).
Черт. 7.
Отсюда следует:
n-l
Переходя в правой части к пределу при maxjO^+1
а затем при 8—>-0, мы получим:
— 6^[—> 0.
lim
2
— Г cosp 0 dsF(b).

§ 2] ТРОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 237
Сопоставляя этот результат с D.30), получаем:
~2~
v (р\ 1 (*
lim *. — cosp t)dsp(!>). D.28')
Далее, при р Ф 1 с помощью свойства 5) уточненного по-
порядка мы можем получить из D.29):
^L—L iin ^2=—L_ f
f""'1 p —If-»» /*<" 2к?(р-1) J
fco.ro
Остается преобразовать правую часть этого равенства.
Интеграл в правой части можно записать в виде
ь & и
/ cosp 6 dsp (Ь) = J cosp Ы [h'F (в) -h p2 J
J cosp 0 dh'F @) -+- p2 J hF @) cos9 0 rfO.
При p > 1 первый из этих интегралов можно дважды про-
проинтегрировать по частям. В результате получим:
J cosp 0 dsy @) = р (р — 1) f hFQi)cos?-*f>db D.31)
и, подставляя в D.28'). получим утверждение леммы.
Докажем теперь с помощью формулы D.20) теорему
единственности для функций, голоморфных в полуплоскости
Re2>0, аналогичную теореме 1 предыдущего параграфа,
которая относится к целым функциям.

238 ТАИНСТВЕННОСТЬ, ИНТГРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
Теорема 4. Если функция F{z) (F@) ф 0) голо-
голоморфна в правой полуплоскости, уточненного порядка
)
то
Г-+ОО
•г
4|ГТ<1Г f ^@)cosp-26rf0. D.32)
Доказательство. Предположим сначала, что
hp (^J < 0 и hp (—5-J < 0. Тогда при достаточно малом
5>0 внутри углов -тт —З^Ч^т индикатор прф)
остается отрицательным, и при некотором d ^> 0 и всех
(!^) D.33)
По формуле D.20) имеем:
KF (r) _ 1 I" in | f (г cos
гр(г)-1 — 2к J гГг)
0A)
и, воспользовавшись D.33), получаем асимптотическое нера-
неравенство
In |F (r cos 8^)| йГ6 0A)
NF(r) I P
2Т"
Это неравенство мы преобразуем, воспользовавшись тем, что
при произвольном е и всех достаточно больших значениях г
1 п ] F (г cos Ь е®) |< [hp (9) -f- si (г cos Й/(г ооа в)

§ 2] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 239
(см. главу I, теорема 28), а также тем, что равномерно при
После преобразования получаем асимптотическое неравенство
0A)
гтШ-<^ J
и в силу произвольности s > О
тс
Наконец, в силу произвольности 3 > О
Избавимся теперь от дополнительного требования
Ai? (— -гг) < 0 и ЛЛ^- J < 0. Для этого построим целую функ-
функцию Ф(г) уточненного порядка р(г), вполне регулярного
роста, с таким индикатором АФ(Й), что Лф(у) < — /Ы-тН
и Нф(—") <С — hp[—о")» Возможность такого построения
при р >• 1 вытекает из теоремы 3 главы II.
Функция
имеет индикатор
йчг@) =
и, следовательно, hy(—-^-J <0 и А* (~\ < 0.

Я40 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
По доказанному верно неравенство
которое можно переписать в форме
lim ,.--, -4- hm •—-—.г <
Предел
lim
существует по лемме 2 и равен второму слагаемому правой
части. Таким образом, получаем:
s
Теорема доказана.
Из теоремы 1 мы получили в предыдущем параграфе
оценку для верхней плотности Л множества корней целой
функции. Аналогично этому мы можем получить из тео-
теоремы 4 оценку для величины
hm
Следствие. При выполнении условий теоремы 4
ш> ^(Г) <-А_—P_L_ ( cosp bdsF(Q). D.3
¦P<rJ 2ic(p —1) J w v

§ 2] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 241
Доказательство. Из монотонности функции vp(r)
следует, что при k > 1
кг
Vff(r)( 1 -Г-)<^
Отсюда с помощью D.34) и D.31) получается:
т.
Г
\cosfbdsF(H).
-1) J
Правая часть в этом неравенстве принимает наименьшее зна-
значение при k= 1 -|—. Подставляя это значение k, мы полу-
получим неравенство D.34). Так же как и в § 1, можно по-
построить функцию, для которой в D.34) будет знак равенства,
но мы на этом не будем останавливаться.
Оценка нижнего предела
приведет нас к теореме, аналогичной теореме 2 предыду-
предыдущего параграфа.
Теорема 5. Если F (z)— голоморфная, не равная
тождественно нулю функция уточненного порядка р(г)
s полуплоскости Rez^O, причем р> 1, то
D-35)
При этом знак равенства имеет место для функций
вполне регулярного роста и только для них.
Доказательство. Доказательство первого утвержде-
утверждения теоремы не представляет затруднений. В самом деле,
обозначив
и.= 1нп —¦—— ,
16 Зак. 988. Б. Я. Левин

242 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА {ГЛ. IV
мы будем иметь асимптотическое неравенство
Не нарушая общности, можно, считать, что F @) ф 0 и
получить асимптотическое неравенство
г
о о
~ 'о~1 /•Р(')~1 -|-0(/"РИ~1)-
Из этого неравенства непосредственно следует:
NP(r)
!*<(р—1) Шп ^pV, D.35')
и оценка D.35) получается непосредственно из D.32) и D.31).
Переходим к доказательству второго утверждения тео-
теоремы. Из леммы 2 непосредственно следует, что для функ-
функции вполне регулярного роста в D.35) имеет место знак
равенства. Остается доказать, что знак равенства имеет
место только для функций вполне регулярного роста.
Итак, предположим, что в D.35) имеет место знак равен-
равенства. Тогда с помощью равенства D.20) и D.35') получим:
Нт f
Т.
г-ID
in |f (г со,
cos2 8
Мы уже заметили при доказательстве теоремы 4, что, не
нарушая общности, можно считать выполненным следующее
условие: при достаточно малом 8 > 0, некотором d > 0 и
всех г > d
и следовательно, можно считать, что

§ 2j ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 243
Учтя это, получим:
lim
-т+»
J
О rfO = О (S^1)
' Отсюда и из асимптотического неравенства
— ¦ ptr) — < (fiF С>) + s) cosp Ь,
верного при любом в > 0 и | Ч -^ тг — ^> следует, что асим-
асимптотически
lim
Г-* 00
In I F (r cos 8e*f') [
и в силу произвольной малости о ^> О
--3
2
1,- I Г— Г 1П | У7 (Л COS
lim lim
Величина под знаком предела в левой части равенства не
убывает при уменьшении 8 и поэтому
lim
г -^ со
2
J
In | f (r cos 6g<») |
COS2 6
16:i

244
ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА
- IV
Под знаком верхнего предела в левой части стоит неотри-
неотрицательная величина и, следовательно, существует предел
lim
In I F (r cos
= 0.
Из этого равенства следует, что при произвольном *f>
0<<
М I
_MfJ)cosPQ
= 0.
-т
Воспользуемся теперь леммой 1. Для этого умножим ин-
интеграл в левой части последнего равенства на -^ и про-
проинтегрируем в пределах от R до 2R secy. Мы получим:
2-Bsecy -j
' In I h' If nno Нлг'П I . f Wfl И*
I
In IF (r cos 8<?й) I
Л -у
Обозначив rcosO через rj, мы будем иметь:
oosT
lim -r^r
и, наконец,
In
¦-kF(b)
=0
По лемме 1 отсюда следует, что F(z) — вполне регуляр-
регулярного роста в полуплоскости Rez^O. Теорема доказана.
Как следствие этой теоремы мы получим следующую важную
теорему М. Картрайт [3].
Теорема 6. Если функция F (z) — голоморфная,
уточненного порядка р (г) внутри угла (а, р), имеет три-
тригонометрический индикатор при а < 0 < C и раствор

§ 2] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 245
угла (а, ?) больше чем —, то она — вполне регулярного
роста и плотность ее корней внутри этого угла равна
нулю.
Доказательство. Не нарушая общности, можно
считать, что угол (а, {3) совпадает с полуплоскостью Re .г > О
и р>1. При тригонометрическом индикаторе dsp(b)^=0, и
поэтому в D.35) имеет место знак равенства.
Из теоремы 5 следует, что функция F(z) — вполне ре-
регулярного роста. Кроме того, плотность множества ее кор-
корней в полуплоскости Re 2>0 равна д— \sF (тН— sf(—%) =0.
Теорема доказана.
Интересно сравнить эту теорему с теоремой 5 § 3
главы III. Там требовалось, чтобы индикатор был тригоно-
тригонометрическим и чтобы внутри угла был луч, на котором
функция F(z)— вполне регулярного роста. Из теоремы
Картрайт следует, что, если раствор угла превосходит —,
требование существования такого луча становится лиш-
лишним.
Все доказанные нами теоремы об оценке плотности мно-
множества корней в полуплоскости относятся к случаю р > 1.
Случай р=1 является здесь особым. В этом случае нельзя
сделать оценку так, как это было сделано в теореме 4.
Мы рассмотрим только функцию конечной степени и
докажем теорему, которая содержит, в частности, теорему
Карльсона, сформулированную нами в начале этой главы.
Теорема 7. Если F(z)— голоморфная, не равная
тождественно нулю функция конечной степени в полу-
полуплоскости Rez^O, то
Доказательство. Мы будем попрежнему исходить
из формулы D.20). При заданном е > 0 таком, что
In IF {re") | < [А,(в)+ в] г ( | Ь |< |),

246 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
можно так выбрать d > О, что будем иметь:
J
(a (/¦) = arc sin -A.
Покажем, что первое слагаемое правой части является глав-
главным членом. Для этого проинтегрируем по частям. По-
Получим:
NH/-X i
1 |*
Так как
In ctg -
lnr
1 при г -*¦ со, то отсюда следует:
1 < 5Г [hF (т) + Ai? (~ J) + 2s] ln r + °(ln r)>
и в силу произвольности е > О
Перейдем теперь от величины Ny(r) к v(r). Пуст1>
Тогда при любом е > 0 будем иметь асимптотическое не-
неравенство

§ 3] ФУНКЦИИ, ОБРАЩАЮЩИЕСЯ В НУЛЬ НА МНОЖЕСТВЕ 247
Воспользовавшись этим неравенством, мы легко получаем
прямо из определения Nf(/"):
N>(r)>O(l)+(a — в) In r.
Наконец, отсюда в силу произвольности г > 0 имеем:
и <Г Нт
In г
Сопоставляя это с D.37), получаем:
Теорема доказана. Заметим еще, что ширину индикаторной
диаграммы АИ у)-)- hpi—^Л можно представить в форме
2.
—f) = J
Действительно, легко видеть, что интеграл в правой части
это равенства дает проекцию на мнимую ось дуги границы
индикаторной диаграммы функции F (z) между точками опоры
прямых / л и /п и, следовательно, равен ширине индикатор-
индикаторной диаграммы в направлении мнимой оси. Таким образом,
неравенство D.36) получается из неравенства D.35), если
в нем положить р = 1 *).
§ 3. Функции, обращающиеся в нуль на множестве,
имеющем угловую плотность **)
В этом параграфе мы дадим другое обобщение теоремы
Карльсона для голоморфных функций конечного порядка
внутри угла. Мы будем рассматривать функции, обращаю-
*) Заметим, что в этом случае остался открытым вопрос о том,
только ли для функций вполне регулярного роста в D.36) дости-
достигается знак равенства.
**) Б. Я. Левин [1].

248 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
щиеся в нуль на некотором множестве точек, имеющем
угловую плотность, и покажем, что при некоторых ограни-
ограничениях, наложенных на рост функции, такая функция должна
быть тождественно равной нулю.
Теорема 8. Пусть функция F(z), голоморфная не
выше чем нормального типа при уточненном порядке р (г)
шутри угла а <] arg .г <! а-]—, обращается в нуль на
расположенном внутри этого угла множестве N— [ak\
с угловой плотностью A#-('iO> u пусть
Hn^ = liifV J co« p (| 0 - -Я - «) d\N F)
ОС
при р нецелом и
HN (Ь) = it I sin р | 6 — 0 | d\N (¦"»)
а
при р ч^ол. Тогда, если F (z) нг равна тождественно
нулю, то
Доказательство. Внутри угла (а, а + —) рассмо-
рассмотрим голоморфную функцию
где
Фу(г) =
при р нецелом и
при р целом.

§ 3] ФУНКЦИИ, ОБРАЩАЮЩИЕСЯ В НУЛЬ НА МНОЖЕСТВЕ 249
Так как Ф(г) — функция вполне регулярного роста
с индикатором HN(b) (см. главу II, § 4), то
По свойству з) индикатора (см. главу I, § 16)
и, следовательно,
Теорема доказана. Заметим, что при р=1 величина
hp (а -\- тс) -\~ hF (а) есть ширина индикаторной диаграммы
функции в направлении arg? = ot.
Если р (г) = 1 и множество N есть последовательность
целых чисел ак=1, 2, ..., то Н$ (Й) = тг | sin 0 [, и по до-
доказанной теореме
Таким образом, теорема Карльсона является частным слу-
случаем теоремы 8.
Другая теорема единственности получится, если вместо
свойства з) индикатора использовать свойство е). Перед
формулировкой этой теоремы введем понятие об индикаторе
единственности. Тригонометрически выпуклую функцию h (Ь)
мы назовем индикатором единственности правильного
множества N с угловой плотностью Д# @) и индикатором
A/jr(9), если не существует не равной тождественно нулю
целой функции F(г) уточненного порядка р(г), с индика-
индикатором h (Ь) и обращающейся в нуль во всех точках мно-
множества N.
Теорема 9. Для того чтобы тригонометрически
выпуклая функция h(h) не была индикатором единствен-
единственности заданного правильного множества N, необходимо
и достаточно, чтобы при любых а и $ (а < J3) выполня-
выполнялось неравенство
0) —Aff(«d=0)], D.38)

250 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
где
9
S (a, -I) = h' (?) — A' (a) + f J A (?) tfp.
Доказательство. Заметим прежде всего, что функ-
функция А@) не является индикатором единственности тогда и
только тогда, когда она может быть представлена в форме
А@) = Яу@) + А1('О, D.39)
где Ах @) — тригонометрически выпуклая функция с перио-
периодом 2тт. В самом деле, если A (ft) не есть индикатор един-
единственности, то существует целая функция F(z) уточненного
порядка р (г) с индикатором А @), обращающаяся в нуль
на N. Пусть Фцг(г) — каноническая функция правильного
множества (глава II, § 1). Тогда, очевидно, функция
— целая и ее индикатор
Наоборот, если выполнено условие D.39), то, построив це-
целую функцию 4J'(^) с индикатором AtF) (глава II, § 4),
мы убедимся в том, что функция
имеет индикатор
и обращается в нуль на множестве N.
Для того чтобы доказать эквивалентность D.39) нера-
неравенству D.38) при любых а и р (а < р), достаточно со-
сослаться на эквивалентность тригонометрической выпуклости
функции- hx (Ь) выполнению неравенства

§ 3] ФУНКЦИИ, ОБРАЩАЮЩИЕСЯ В НУЛЬ НА МНОЖЕСТВЕ 251
при а < 3 (глава I, § 16) и воспользоваться равенством
Р
H'n(?) — H'N{a) ¦+- f J Я(ср)rf'f = 2rp [\NC) — Ajv(«)],
a
доказанным в § 3 главы III.
Напомним, что при р = 1 величина s(a, 3) есть длина
границы области, для которой Л@) является опорной функ-
функцией между точками опоры опорных прямых, перпендику-
перпендикулярных к лучам argz=a, argz —3\
Таким образом, при р = 1 получается геометрический
критерий того, что опорная функция Л@) некоторой вы-
выпуклой области является индикатором единственности. Именно,
длина указанной дуги должна быть меньше плотности мно-
множества N внутри угла, умноженной на 2-п.
Заметим еще, что из всех тригонометрически выпуклых
функций, не являющихся идикатором единственности для
данного правильного множества, наименьшее значение функ-
функционалу
s(a, % ft) = *'(¦)) — A
придает при любых а и ,3 (а < 3) функция
Действительно,
s(<x, 3, Яу) = 2«р[Д(-1) — Л (а)],
а в общем случае из D.39) следует, что
s(a, ,3, А) = 2«р[Д(Ч) —Д(«I + 5(а, 3, At).
Но по свойству ж) тригонометрически выпуклых функций
(глава I, § 16) s(ct, % Ax)^>0 и, следовательно,
s(a, 3, А)>5(а, ,3, HN).
Заметим (глава I, § 16), что равенство s(a, 3, hx) = 0
возможно лишь в случае А1(б) = i4cosp'i-)-Bsii: рО.
Отсюда следует, что при р нецелом единственной функ-
функцией, минимизирующей функционал s@, 2тч А), является
Нлг(Ь), а при р целом общий вид минимизирующих фупк*
ций b 4\BJ

252 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
Аналогично предыдущему можно определить индикатор
единственности для голоморфных функций уточненного по-,
рядка р(г) внутри некоторого угла (а, р).
Тригонометрически выпуклую функцию h @)(а < в < р) мы
будем называть индикатором единственности множества
N; расположенного внутри угла (а, р) и имеющего угло-
угловую плотность Д# F), если не существует внутри этого
угла голоморфной функции уточненного порядка р (г) с ин-
индикатором h(b), обращающейся в нуль во всех точках мно-
множества N и не равной тождественно нулю. Относительно
индикатора единственности для угла можно доказать сле-
следующую теорему.
Теорема 10. Если тригонометрически выпуклая
функция h @) (а ^ Ь <; Р) не является индикатором
единственности множества N, то при любых <х' и р'
(а ^ а' < $' ^ Э) выполняется неравенство
s («', р', Л) > 2тгр [Л»- 00 — Л* («01- D.40)
Доказательство. Предположим сначала, что р — не-
нецелое, и построим функцию
где ай —точки множества N, попавшие в угол (а', $').
Пусть F (z) — голоморфная функция уточненного порядка
р(/-) в (а, ,3) с индикатором А@). Тогда
* W — ф (г)
— голоморфная функция в (а', Р0 уточненного порядка р(г)
с индикатором
А* (в) = А F) —А. (в).
Отсюда следует:
*(«', р, Л) —s(a', ?', ЯФ)>0,
и так как Ф(г) — вполне регулярного роста, то
Для рассмотрения случая целого р прежде всего заметим,
что достаточно доказать неравенство D.40) при условии

§ 4] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ РЯДСЗМ ЛАГРАНЖА 253
?'¦—«' < — . В самом деле, если это будет доказано, то
для доказательства неравенства D.40) в общем случае нужно
только разбить угол (а', р') на части и сложить соответ-
соответствующие неравенства. Положим:
где аЛ — точки множества N, попавшие в угол (а', ,3')
($'—а'<—). Функция Ф (z) — голоморфная, уточненного
порядка р(/-) и вполне регулярного роста. Дальше доказа-
доказательство заканчивается так же, как в случае нецелого р.
§ 4. Представление целых функций интерполяционным
рядом Лагранжа
С вопросом о единственности определения целой функции
ее значениями на некотором множестве точек тесно связана
задача об интерполяции целыми функциями, т. е. задача
о построении целой функции, относящейся к определенному
классу и принимающей, в точках данного множества {ап}
(узлах интерполяции) заданные значения {Ьп}.
Для этого построения служат интерполяционные фор-
формулы, являющиеся обобщением соответствующих формул
для интерполяции с помощью многочленов.
Рядом Ньютона называется интерполяционный ряд вида
2 an (z — а,) (г — а2) ... (z — а„).
Известно*), что при ап = п (га = 0, 1, 2, ...) областью
сходимости этого ряда является полуплоскость Re z >- f
(•у — некоторое вещественное число). Кроме того, сумма
ряда Ньютона есть функция конечной степени в этой полу-
полуплоскости и ее индикатор удовлетворяет неравенству
hF (в) < cos 0 1п B cos 8) + 6 sin 0 (l в I < jf).
*) См. А. О. Гельфонд [1], [2].

254 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА (ГЛ. IV
С другой стороны, по теореме Карльсона функция конеч-
конечной степени в полуплоскости Rez^-if вполне определяется
своими значениями в целых точках п — 0, 1, .... если
4)
Таким образом, существует класс функций конечной сте-
степени, которые вполне определяются своими значениями в точ-
точках 0, 1, 2 но не могут быть восстановлены по этим
значениям с помощью ряда Ньютона *). К этому классу
относятся, в частности, все функции конечной степени, у ко-
которых л < hp (~) ~\- hp ( — тг) < 2тг. Таким образом, для
множества точек 0, 1, 2, ... «класс сходимости» уже, чем
«класс единственности», определенный условием
Во многих случаях более удобной для представления
целых функций оказывается другая интерполяционная фор-
формула, дающая разложение целых функций уже не в ряд мно-
многочленов, а в ряд, составленный из специальных целых функ-
функций.
Пусть f{z) — целая функция, имеющая простые корни
во всех узлах интерполяции {ап) (| ап\ -» оо), и пусть {Ьп) —
значения, заданные в узлах интерполяции. Если ряд
сю
VЫ^-^ D.41)
равномерно сходится в любой ограниченной области, то он
представляет целую функцию, решающую интерполяционную
задачу. Этот ряд называется интерполяционным рядом Ла-
гранжа.
Мы исследуем вопрос о представлении целой функции
интерполяционным рядом Лагранжа в том случае, когда узлы
интерполяции образуют /^-множество с некоторым показате-
*) Вопрос о представимости целой функции интерполяционным
рядом Ньютона изучен в ряде работ. Наиболее полные результаты
получены в работах А. О. Гельфонда [1] и И. И. Ибрагимова и
М. В Келдыша [1]. А. О. Гельфонд дал весьма общий прием вос-
восстановления целой функции по определяющим ее значениям на не-
некоторой последовательности функционалов [1], [2].

§ 41 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ РЯДОМ ЛАГРАНЖЛ 255
лем *) р(г) (определение см. в главе II, § 1). Все множество
узлов интерполяции мы будем обозначать через 21, канони-
каноническую функцию этого множества f(z, 21)— через f(z) и
индикатор множества Яа@) — через Я@). Относительно схо-
сходимости интерполяционного ряда Лагранжа в этом случае
справедлива следующая теорема.
Теорема 11. Если множество 21 узлов интерполя-
интерполяции есть R-множество (глава II, § 1) с некоторым пока-
показателем р(г) и при некотором е>0 и я>«(г) все числа
Ьп удовлетворяют неравенству
, D.42)
то ряд Лагранжа D.41) равномерно сходится в каждой
ограниченной области и представляет целую функцию
с индикатором, не превышающим НF).
Доказательство. По теореме 5 главы IIфункция f(z)
удовлетворяет всюду вне исключительных Сд-кружков асимп-
асимптотическому равенству
Оценим теперь величину \/(ап)\. Для этого рассмотрим
функцию
1п ¦'_<?).
г —а,,
Она — гармоническая внутри исключительного Сд-кружка
с центром в точке ап и удовлетворяет на границе этого
кружка асимптотическому равенству (при п —*¦ оо)
In
г — аГ1
По принципу максимума и минимума гармонической функ-
функции мы получаем отсюда:
1п|Л«»>1«Я(Ф»)|«»Г<|вя>- D-43)
Отсюда и из D.42) следует, что при z, лежащем вне исклю-
исключительных Сд-кружков, и «>«'(з)
In
*) Часть результатов § 4 и 5 содержится в статье автора [2].
См. также статью А. Пфлюгера [2].

256 ' ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
С другой стороны, имеем;
и следовательно,
Это соотношение дает возможность записать последнее не-
неравенство в форме
Ьп
f(an)(z-an)
Таким образом, ряд
D'44)
V ьп
Lkf'{an){z-an)
п-Х
равномерно сходится вне исключительных Cr-кружков к не-
некоторой фуНКЦИИ <?(?).
Применяя принцип максимума в каждом из исключитель-
исключительных кружков к отрезкам ряда целых функций D.4-1), мы
получим, что этот ряд равномерно сходится в каждой огра-
ограниченной области к целой функции F (z)—f(z)<o(z).
Докажем еще, что ?1рф)^.Н(')). Для этого прежде всего
установим, что ®(z) стремится к нулю, если |z|—>оо и z
не принадлежит множеству Сд-кружков. Действительно, из
D.44) имеем при z~^Cr:
n=l
При любом з > 0 можно так выбрать N, а затем г„ что
при \z\ > ге и z^_С,
Таким образом, вне исключительных кружков и при
\>rt
\F<*)\<\№\
и, следовательно, hp(p)^.HQl). Теорема доказана.
Замечание 1. Функция F(z), представленная рядом
D.41), не является единственным решением интерполя-

§ 4] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ РЯДОМ ЛАГРАНЖА 257
ционной задачи даже при дополнительном условии
D-45)
Покажем, что все решения, удовлетворяющие этому усло-
условию, заключены в форме
Ф(г) =/>(*) +«(*)/(«), D.46)
где o>(z) — целая функция не выше чем минимального типа
при уточненном порядке р(г).
В самом деле, если Ф(г) — произвольное решение, то
есть целая функция. Кроме того, если ФB) удовлетворяет
условию D.45), то индикатор числителя не превышает Н(Ь).
В знаменателе — целая функция вполне регулярного роста
с индикатором Н F). Поэтому индикатор функции a>(z) не
больше нуля и, следовательно, ш(г) не выше чем минималь-
минимального типа при уточненном порядке р(г).
Наоборот, всякая функция Ф(z), представленная равен-
равенством D.46), очевидно, является решением интерполяционной
задачи при дополнительном условии D.45).
Замечание 2. Если дополнительное условие D.45) за-
заменить более сильным условием
= 0, D.47)
которому, как было показано, удовлетворяет функция F(z),
то получится, что целая функция ш(г) стремится к нулю,
когда |г| —>• со {z~^C), и из принципа максимума получается
to B) =а 0.
Таким образом, F(z) является единственным решением
задачи при дополнительном условии D.47). В следующей
теореме мы дадим достаточное условие для представле-
представления заданной целой функции интерполяцион-
интерполяционным рядом Лагранжа.
Теорема 12. Если точки {ак} образуют R-множе-
ство 51 с показателем {> (г), то любая целая функция F (z),
удовлетворяющая условию
@<б<2*), D.48)
17 Зак. 988. Б. Я- Левин

258 единстврнность, инТеРпоЛяЦия и ПОлнОта [гл.
представляется рядом
п=1
равномерно сходящимся в любой ограниченной области.
Доказательство. Покажем, что при выполнении
условия D.48) последовательность чисел {?>„ = F (ап)} удо-
удовлетворяет условию D.42) теоремы 11. Действительно, из
D.48) следует, что при некотором е > О
Ы8)<Я@)—2е. D.50)
Кроме того, по теореме 28 главы I имеет место асимпто-
асимптотическое неравенство
и, следовательно, при «>«(е)
По теореме 11 из этого неравенства следует сходимость
ряда D.49). Нужно еще показать, что сумма этого ряда
равна заданной функции F (z). Для этого мы воспользуемся
замечанием 2 к теореме 11. Как видно из D.48), функ-
функция F (z) удовлетворяет условию D.47). Этому условию
удовлетворяет также и сумма ряда. Из единственности
решения интерполяционной задачи при дополнительном усло-
условии D.47) вытекает равенство D.49). Теорема доказана.
Замечание. Теорема 12 остается верной, если требо-
требование, чтобы множество узлов интерполяции было /?-мно-
жеством, заменить более слабым требованием, чтобы оно
было правильным множеством. При этом, однако, сумму
ряда нужно понимать в особом смысле. Именно можно
утверждать, что
— lim
F(an)f(z)
где Е — некоторое ?°-множество.
В самом деле, из D.48) и из асимптотического равен-
равенства In j/(reie)|?«W@)rPW, справедливого при г, не принад-

§ 4] Представление интерполяционным рядом лагранжа 259
лежащем некоторому ?°-множеству Е, следует:
Из этого неравенства вытекает, что интеграл
стремится к нулю, когда г стремится к бесконечности, не
принимая значений из множества Е. С другой стороны,
/' («п) {г — ап)
и, следовательно, верно D.51).
Назовем индикатором сходимости (при данном р (/•))
такую тригонометрически выпуклую функцию Л (О), что вся-
всякая целая функция уточненного порядка р(г) с индикатором,
не большим чем h (9), представляется рядом D.49). Оче-
Очевидно, что всякий индикатор сходимости является также
индикатором единственности. Из теоремы 12 следует, что
индикатор сходимости может быть как угодно близок к инди-
индикатору множества //@), который не является индикатором
единственности. Напомним, что для интерполяционного ряда
Ньютона дело обстоит иначе *).
В теореме 11 было показано, что если при данном
/^-множестве {ап} последовательность чисел {Ьп} удовлетво-
удовлетворяет условию D.42), то существует целая функция F(z) с
индикатором, не превосходящим индикатора множества Я@),
принимающая в точках {а„} значения {Ьп}.
В следующей теореме мы дадим необходимые и доста-
достаточные условия для того, чтобы данная последовательность
чисел {Ьп} была последовательностью значений в точках {а„}
заданного /^-множества некоторой целой функции, имеющей
индикатор, не превосходящий индикатора множества Нф).
Теорема 13. Пусть 51— некоторое R-множество
точек {ап} с показателем р(/-) и {Ьп}—некоторая число-
*) Стоит, однако, отметить, что для решения многих вопросов
теории целых функций требуется разложение функции не в ряд
Лагранжа, а в ряд Ньютона. Это связано главным образом с тем,
что ряд Ньютона представляет собой ряд многочленов.
17*

260 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
вая последовательность. Для того чтобы существовала
целая функция F(z), удовлетворяющая условиям
F(an) = bn, (a)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравен-
ство
<<№ I «и lP
D.52)
Доказательство. Необходимость условия D.52) вы-
вытекает непосредственно из асимптотического неравенства
которому должна удовлетворять интерполирующая функ-
функция F(z), и условия ф).
Для доказательства достаточности прежде всего заметим,
что если
lii ln I*»' <1
<
то существование интерполирующей функции, удовлетво-
удовлетворяющей условию ф), прямо следует из теоремы 11. Если же
в D.52) имеет место знак равенства, мы не можем гаранти-
гарантировать сходимость ряда Лагранжа D.41), и поэтому нельзя
построить функцию F(z) так, как это было сделано в тео-
теореме 11. Для того чтобы и в этом случае получить схо-
сходящийся ряд, мы добавим к множеству % новые узлы интер-
интерполяции {<хп} так, чтобы новое множество оставалось /?-мно-
жеством и чтобы каноническая функция fi(z) нового
множества росла быстрее, чем f(z). При достаточно быстром
росте функции /х(г) ряд
со
будет сходиться, и можно будет построить интерполирую-
интерполирующую функцию F(z) с помощью формулы Лагранжа. В до-
дополнительных узлах интерполяции ап можно положить
F(an) = 0. При этом требуется, чтобы индикатор

§ 4J ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ РЯДОМ ЛАГРАНЖА 261
построенной функции не превосходил Я(б). Это получится,
если расширить множество 31 так, чтобы его индикатор не
изменился. Мы сделаем это расширение следующим образом.
При знаке равенства в D.52) будет справедливо равенство
По теореме 16 главы I существует такой уточненный
порядок Pi(r), что *)
причем
Urn rp'(r)-pw =
г->оо
Определим уточненный порядок
и построим /^-множество 9tx с показателем р$(г), удовле-
удовлетворяющее условию (С) (глава II, § 1), и притом такое,
чтобы индикатор Н^(Ь) удовлетворял неравенству
При этом можно считать, что исключительные кружки мно-
множеств 31 и %х не перекрываются **).
*) В главе I рассматривается не последовательность, а функция,
определенная на положительном луче, однако в рассматриваемом
вопросе это различие несущественно.
2izk
**) Наметим построение множества Щ: на лучах arg2 = |-а
(k = 0, 1, 2,.. .,п — 1; п — целое число и п>-2р2» а — произвольное)
отметим точки, в которых функция ЛгРа'^ принимает целые значе-
значения. Так построенное множество имеет угловую плотность. При р2
целом следует выбрать п кратным числу 2р2, и будет выполнено
условие (В) (глава II, § 1). Кроме того, по построению для точек
на одном луче имеем:
= А (I ««+11 -1 ап |) [р2 (с) cP»«"-i + Ср°«У (с) In с]

262 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
Обозначим со О) каноническую функцию множества Щ.
Вне исключительных кружков множества 3tx выполняется
асимптотическое неравенство
1п1со(.г)|>2гМг)
и, следовательно,
In
Из этого неравенства следует, что ряд
— У
- Zl
Г (an). (а„) (г - ап)
равномерно сходится в любой конечной области и дает
решение интерполяционной задачи, причем индикатор функ-
функции, представленной этим рядом, не превышает Н%(Ь)*).
или асимптотически
|el>A"V
и следовательно, выполнено условие (С). Воспользовавшись асимп-
асимптотическими формулами B.05) и B.07), мы получим, что при доста-
достаточно большом Д Нх (в) > 2.
Нужно еще, чтобы исключительные кружки множеств 8t и 31'
не перекрывались. Заметим, что диаметры исключительных кружков
множества %¦, не больше чем
Если множество 31 удовлетворяет' условию (С), то достаточно
выбрать лучи, на которых лежат точки множества Slj, отличными
от тех лучей, на которых лежат точки множества 31, выбрать
число d достаточно малым, и исключительные кружки обоих мно-
множеств не будут перекрываться.
Если же 91 удовлетворяет условию (С), то лучи, на которых
лежат точки множества 9tt> можно выбрать произвольно. Если
какая-нибудь из точек Щ попадет при этом внутрь исключительного
кружка Ся, то можно перенести эту точку на периферию этого же
кружка. При таком преобразовании множества Э^ оно остается
^-множеством и его индикатор не меняется. Если после такого
преобразования уменьшить вдвое радиусы всех исключительных
кружков, то, как видно из (*•), кружки множеств ЭС и 9^ не будут
пересекаться.
*) Теорема 13 аналогична некоторым теоремам А. Ф. Леонтьева
[1], [2], [3], доказанным им также с помощью ряда Лагранжа.
У А. Ф. Леонтьева множества узлов интерполяции более общие,
но характеристика роста менее тонкая, чем в теореме 13.

§ 5J ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО РЯДА ЛАГРАНЖА 263
Замечание. Требование, чтобы множество узлов
было R-множеством, можно несколько ослабить, заменив
его требованием
Нт
На доказательстве этого мы не будем останавливаться.
§ 5. Некоторые приложения интерполяционного
ряда Лагранжа
С помощью интерполяционного ряда Лагранжа можно
исследовать вопрос о поведении целой функции во всей пло-
плоскости в зависимости от ее поведения на некоторой после-
последовательности точек с предельной точкой на бесконечности.
Мы изложим некоторые результаты, относящиеся к этой
области.
Теорема 14. Если целая функция Ф(г) 1) ограни-
ограничена на некотором R-множестве с показателем р(г) и
положительным индикатором (Я@) > 0 при О < Ь < 2и),
2) не выше чем нормального типа при уточненном по-
порядке р(г) и индикатор этой функции удовлетворяет
неравенствам
Аф(О^) < H(bj) (/=1,2 и), D.53)
причем
то Ф (z)=s const.
Доказательство. Покажем сначала, что из условий
теоремы вытекает:
АФ@)<//(в) @<6<2п). D.54)
Для этого построим функцию вполне регулярного роста
^(z) уточненного порядка р(г), у которой индикатор
есть постоянная величина h, меньшая, чем
min [H(bj) — АФ F^I U = 1, 2, ..., п),
и
А< min tf(ft).
0<6<2л;

264 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
Индикатор функции Ф(г)Ф(г) равен сумме АФF)-|-й и,
следовательно, удовлетворяет условиям D.53). Покажем,
используя это, что функцию Ф(г)Ф(г) можно представить
интерполяционным рядом Лагранжа.
В самом деле, из ограниченности чисел Ф(я„) и равен-
равенства Ачг @) = h следует, что
77- 1
1111*
В силу неравенства h < min Н(Ь) получается
о<е<
< *
и по теореме 11 сходится ряд
причем, как было раньше показано, равномерно стремится
к нулю при |z|->oo и z, не принадлежащем исключитель-
исключительному множеству Сд-кружков. Целая функция 8 (z)f(z) при-
принимает в точках {ап} значения Ф (ап) W (ап). Поэтому раз-
разность
есть целая функция, обращающаяся в нуль во всех точ-
точках {ап}, и следовательно,
— также целая функция. Нетрудно видеть, что х(^) не более
чем нормального типа при уточненном порядке р(г). Пока-
Покажем, что у(,г) = О. Для этого заметим, что в точках bj
С/=1, 2 п) индикатор кф(Ь)-\~к функции Ф(г)Ш(г)
меньше чем Н(Ь), и в силу непрерывности при достаточно
малом S>0 внутри углов |6 — Й^|<3 (/=1, 2, .... п)
выполняется неравенство

§ 5] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО РЯДА ЛАГРАНЖА 265
Отсюда следует, что в углах | Ь—Ь} | < -j (/= 1, 2, ..., л),
но вне исключительных Сд-кружков функция
равномерно стремится к нулю при \z\-+oo.
Так как 8 (z) также равномерно стремится к нулю вне
исключительных кружков, то, следовательно, и целая функ-
функция y(z) равномерно стремится к нулю в указанных углах,
но вне исключительных кружков. Применяя принцип макси-
максимума к функции \ySz)\ B каждом из этих кружков, мы по-
получим, что х(гегЬ3)-+ О при г-»-со. Применяя к этой функ-
функции теорему Фрагмена и Линделёфа в каждом из углов
Ь<Ь<Ь+1 (/=Ь 2 » и 9»+i = 9i + 2*). мы полу-
получим, что y(z) ограничена во всей плоскости и, следовательно,
X (z)== const, а так как y.(ret-i)~>0 при г->оо, то
У.B) = 0.
Таким образом,
Ф (г) ?(*) = /(*) 0 (z),
следовательно,
Докажем теперь, что Ф(г) есть функция минимального
типа при уточненном порядке р(г). Построим вспомогатель-
вспомогательную функцию Vc(z) (глава I, § 17), индикатор которой
внутри угла |arg2|<-j- равен Ссозрб.
При этом мы будем считать, что
С< min ЛЩ, D.55)
cos р8 ' ч '
2р
так что

266 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
Тогда числа Ьп = Ф (а„) Vc(an) удовлетворяют условию D.42),
и по теореме 11 ряд
|argaMl<-
равномерно сходится вне исключительных Сд-кружков и
равномерно стремится к нулю вне этих кружков при
| z\ —у оо.
Так же как выше, убеждаемся в том, что функция
— целая и не более чем нормального типа при уточненном
порядке р(г). Кроме того, из D.54) следует при 0 = -=-,
Ao(9)-f-Ccosp6 < Н(Ь) и, следовательно, при достаточно
малом 8 > 0 внутри углов -^ 8 < 9 <; -=— и — у- ^С в <
< — -S—[-8 функция tp (z) равномерно стремится к нулю
при z-yoo. По теореме Фрагмена и Линделбфа отсюда
получается, что <p'(z) ограничена внутри всего угла I^I^-h-,
и следовательно,
или иначе
Аф (Ь) < Н (Ь) — С cos рв
Так как С — любое число, удовлетворяющее неравен-
неравенству D.55), то в точке 60, в которой правая часть в D.55)
достигает минимума, будем иметь:
АФF0)<0.
Сделав поворот плоскости, можно любой угол рас-
раствора — совместить с углом 101 <^ -=- и получить, таким
образом, что любой угол раствора — содержит строго внутри
себя луч, на^котором

§ 5] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО РЯДА ЛАГРАНЖА 267
Отсюда и из основного соотношения для индикатора
(глава I, § 16) легко следует, что АФ(Й)<0 всюду, т. е.
что Ф(г) — не выше чем минимального типа при уточнен-
уточненном порядке р(г).
Нам остается доказать утверждение теоремы в предпо-
предположении, что Ф(г) — целая функция не выше чем минималь-
минимального типа при уточненном порядке р(г). Для этого мы вос-
воспользуемся одним приемом В. Г. Ийера [1].
При произвольном целом положительном т функция
[Ф^)]"* удовлетворяет всем условиям теоремы 12 и, следо-
следовательно, может быть представлена рядом
f(n)(n)
n=i
По условию теоремы ]Ф(аи)|<;Л1 (я = 1, 2, ...), по-
поэтому, введя обозначение
оо
\f(an)\\z-an\>
n = l
можем утверждать, что
или
Наконец, в силу произвольности числа т
Отсюда следует утверждение теоремы.
Заметим, что требования D.53), наложенные на индика-
индикатор Ф (z), существенны. В самом деле, индикатор функ-
функции f(z) равен Н(Ь).
Теорема 14 является обобщением следующей теоремы
Н. Левинсона [1].
Пусть {1п} и {\Ln}—две последовательности положи-
положительных чисел, имеющие плотности Dx и D^, т. е.
lim -f- = Dx> lim -f = D,,

268 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
Если целая функция Ф(.г) конечной степени аФ огра-
ограничена в точках dz\n, =t^ft и
то Ф (z) s= const *).
Доказательство. Все точки вида ±^.п, —*'[*« об-
образуют, очевидно, ./^-множество при показателе р(г)=1.
Каноническая функция f(z) этого множества может быть
представлена в форме
(?)
n=l N лп7 и=1
где
Функции <?(z) и ^(г) — вполне регулярного роста, причем
h9 @) = uD^ | sin 6 | и Аф (8) = itD^ | cos Й |, а индикаторные
диаграммы этих функций суть соответственно отрезки х = О,
|j/|<>Dx и у = 6, 1*100,,,. При перемножении функций
вполне регулярного роста их индикаторные диаграммы
складываются и, следовательно, индикаторная диаграмма
функции f(z) есть прямоугольник If. \ х \ ^ nD^, |у \ ^ vDx.
Из условия Оф<яУОх+?)^ следует, что индикаторная
диаграмма функции Ф(г) лежит в круге с центром в нуле
и диаметром, меньшим диагонали прямоугольника If.
Таким образом, при bj = rt arctg —- будем иметь:
M«j) < ЯF,-).
Условия D.53) выполнены и, следовательно, Ф (z) = const.
Теорема доказана.
Случай, когда все точки /^-множества расположены на
вещественной оси И р=1, не охватывается теоремой 14,
так как в этом случае Я(О) = Я(тг) = О.
*) Эта теорема в свою очередь является усилением аналогичной
теоремы В. Г. Ийера [1], у которого вместо условия оф<п VD\
несколько более сильное условие: оф < п min (Dv D ).

§ 5] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО РЯДА ЛАГРАНЖА 269
Рассмотрению этого важного случая посвящен ряд работ.
Основной в этом вопросе можно считать следующую тео-
теорему М. Картрайт.
Теорема 15. Если целая функция конечной степени,
индикаторная диаграмма которой имеет ширину 2k < 2%,
ограничена в целых вещественных точках, т. е.
|/(я)|<АГ (±п*0, 1, 2, ...).
то она ограничена на всей вещественной оси, причем
где C(k) зависит только от k *).
Доказательство. Заметим, что, не нарушая общности,
можно считать, что A^f-^-J = A^f—-к-)^*' Доказательство
теоремы будет основано на следующей формуле:
со
У (-
— гJ
D.5б)
справедливой для целой функции конечной степени, ограни-
ограниченной в целых точках, при условии k < it (k = h( (^) =
{ ))
= hr{— т)) и
Для вывода этой формулы зафиксируем целое число п
и рассмотрим функцию от двух переменных:
sin»(С —
sin w(v — z)
v= — со
При фиксированном z— это целая функция конечной сте-
степени от С, обращающаяся в нуль во всех целых точках.
*) Из этой теоремы следует, что функция нулевой степени, огра-
ограниченная в целых точках, — константа. В такой формулировке эта
теорема была впервые дана в работе Г. Полна.
**) См. С. Н. Бернштейн [2].

270 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
Поэтому после деления этой функции на sin itC получим
также целую функцию конечной степени от С:
1-г) т
оо
г)
Индикатор первого слагаемого при Ь = ±^г
а (±|-) = *-+-« —*<о.
В силу непрерывности индикатора он будет отрицатель-
отрицательным в некоторой окрестности точек ± -^.
Второе слагаемое стремится к нулю по любому лучу
argC = 6 при б =? 0, it. Таким образом, ф(С, z) стремится
к нулю по любому лучу из некоторой окрестности лучей
arg С = it-=¦, По теореме Фрагмена и Линделёфа из этого
следует, что <{>(?, z) = Q.
Таким образом, мы получаем тождество
00
sin "> (С — г) _ slnitC VI . nv /(/г + •<) sin u> (v —г)
«(С —г) ~ ™ XU к и (у — г)(С —v)
из которого предельным переходом при С->г получается
D.56).
Положив теперь z = х ± i (— -^ ^ х ^ -д-) и заметив,
что |/(ге-И)|<М (±v = 0, 1, 2, ...)> мы из D.56) легко
получим оценку
Ввиду произвольности целого п из этой оценки следует, что

§ 5] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО РЯДА ЛАГРАНЖА 271
при — оо < х < оо
\)\
(ш) = ясЬя-^, ш<те —ft).
По теореме Фрагмена и Линделёфа для полосы (глава I, § 14)
получается, что f(z) удовлетворяет той же оценке в полосе
\у\ <; 1, а значит, и на вещественной оси. Теорема доказана.
Найденная нами оценка для С (k)
С(?)< min Р(со) = zchit ch("--fe) (
oi<n-ft 1Z — R
конечно, неточная *).
Результаты, аналогичные теореме М. Картрайт, полу-
получаются не только для функций, ограниченных на последова-
последовательности точек, но и для функций, растущих 'на этой по-
последовательности **). В частности, если точки некоторого
/^-множества при р = 1 достаточно плотно расположены на
положительном луче, то рост функции на этой последова-
последовательности совпадает с ростом функции на положительном
луче ***).
*) Оценка величины С (И) дается в нескольких статьях. Наи-
Наиболее точная оценка дана в статье С. Н. Бернштейна [2]. Для слу-
случая k = к , где п — целое число, С. Н. Бернштейн дает точную
оценку. При о->-гс С. Н. Бернштейн [2] дал асимптотическую оценку
к п — к
Ряд исследований посвящен также различным обобщениям тео-
теоремы М. Картрайт: Р. Боас и Шеффер [1], Дуффин и Шеффер [1],
С. Н. Бернштейн [2], Н. И. Ахиезер и Б. Я. Левин [1], Ш. Агмон [1].
К этому же кругу вопросов примыкает также статья Планшереля
и Г. Полна [1].
**) См. Ш. Агмон [1] и Н. И. Ахиезер [4].
***) Вопросу о связи между верхними пределами
.— In | /=• (г) | гт- In | F (ап) |
km —¦—+-Г-1- и hm —¦—;.-" ¦ ;
посвящено много исследований. Укажем здесь работы В. Берн-
Бернштейна [1], А. Пфлюгера [3], Н. Левинсона [1] и Р. П. Боаса [2].
Наиболее полный результат получен недавно в статье
В. Г. Фукса [1].

272 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
Теорема 16. Пусть последовательность точек [ап]
на положительном луче (at < о2 < ...) имеет плотность Д
с показателем р(г) (р= 1), т. е.
некотором d > О
fln+t — <*n>dan
и пусть Т (г) — голоморфная функция при Re z ~^ 0, причем
M0)=
a n
Доказательство. Множество точек ±ап(п= 1, 2, ...)
есть /^-множество с канонической функцией
и индикатором
tfF) = itA|sine|. D.57)
Пусть
hU^uL D.58)
Выберем последовательность положительных чисел ^ < (i2 < ...
с плотностью Дх > cit и построим вспомогательную функ-
функцию
с индикатором
| D.59)

§ 5] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО РЯДА ЛАГРАНЖА 273
Мы легко получим из D.58) и D.59), что при некотором
е > 0 и всех достаточно больших п
и, следовательно, при некотором г\ > 0 и всех п > п
С другой стороны, из D.57) и D.43) следует, что
lim 1п^(д">'=0
Из двух последних соотношений следует равномерная схо-
сходимость ряда
Z4f'{an)(z~an)
вне исключительных Сд -кружков, причем сумма ряда ty
вне этих кружков равномерно стремится к нулю при \z\-+oo
Функция
голоморфна внутри угла |arg2|<-n- и не выше чем нор-
нормального типа при уточненном порядке р(г).
Докажем, что эта функция ограничена внутри угла
[ argг | <;# < -^-. Для этого заметим прежде всего, что, не
нарушая общности, можно считать hF(—y/^^It) и п0
условию теоремы Ai?(-^-J < ттД.
Индикатор функции
-тшег
равен hp(b) — теД | sin Ь \ — ¦кА11 cos Й | и, следовательно, при б,
близком к -п и —-н-, принимает отрицательные значения.
Поэтому при достаточно малом 3 > 0 tp (rei9) стремится
к нулю при г->оо и 6 = drf-|- — 3). Так как функция <^
18 Зак. 988. Б. Я. Левин

274 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА |ГЛ. IV
также стремится к нулю на этих лучах, то это же можно
утверждать относительно функции 7,B). Применяя, далее,
к этой функции теорему Фрагмена и Линделёфа для угла,
мы получим:
! —8).
Для оценки индикатора функции F(z) мы можем теперь
воспользоваться равенством
По доказанному |y_B)| ограничен, а |<{>(.г)| ограничен
вне исключительных кружков. Отсюда непосредственно сле-
следует, что
hF(b) < uA I sin 6 I + uA11 cos 9 I.
Подставляя 6 = 0, получаем: .
При построении функции V(z) за Дх можно принять любое
число, большее, чем с-к*1. Поэтому получаем:
М0)<с.
Обратное неравенство следует прямо из определения инди-
индикатора.
§ 6. Полнота системы функций.
Связь между полнотой и единственностью
Последовательность {/„(?)} функций, голоморфных в об-
области О, называется равномерно сходящейся в этой области,
если она равномерно сходится на всяком ограниченном зам-
замкнутом множестве, принадлежащем О.
Система {<?n(z)} голоморфных функций называется полной
в области G, если, какова бы ни была голоморфная в G
функция f(z), существует последовательность линейных
комбинаций
¦ 2 «„,**»(*> D-6°)
п = Х
с постоянными коэффициентами, которая равномерно схо-
сходится в области G к этой функции. Иначе говоря, замкну-

§ 6) ПОЛНбТА СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 275
тая линейная оболочка системы {<fn(z)} совпадает с мно-
множеством всех голоморфных функций. Если это условие не
выполняется, система называется неполной. По известной
теореме Рунге *) система степеней 1, z, 29,V- является
полной в любой односвязной области. *
Заметим, что если система {<fn(z)\ полна в G, то линей-
линейными комбинациями D.60) можно равномерно приблизить
любую функцию, голоморфную в произвольной односвязной
ограниченной замкнутой области D, целиком принадлежа-
принадлежащей G. В самом деле, из полноты системы {<?„(?)} в О сле-
следует, что любую степень zm можно с произвольной точ-
точностью приблизить на D линейными комбинациями вида
D.60), а следовательно, можно приблизить такими комби-
комбинациями и любую голоморфную функцию.
Покажем также обратное, т. е. что если любую функ-
функцию, голоморфную в произвольной ограниченной односвяз-
односвязной замкнутой области D, принадлежащей односвязной об-
области О, можно равномерно приблизить линейными комби-
комбинациями вида D.60), то система {fn(z)}—полная в О.
В самом деле, пусть /(г) —произвольная функция, го-
голоморфная в G. Рассмотрим последовательность ограничен-
ограниченных замкнутых односвязных областей
со
D1<=Da<=...cDnc:...2 Dn = G
l
и положительных чисел et > s2 >... > sn > ..., lim гп = 0.
П->оо
йные комбинации
енствам
n, n = l, 2, ...),
П>оо
По условию существуют линейные комбинации Pn(z)
вида D.60), удовлетворяющие неравенствам
и, следовательно,
f(z) = Pt (г) + 2 [Рп+1 W - Рп (г)],
1
п=1
причем ряд равномерно сходится в О,
Пусть область G — односвязная и не содержит беско-
бесконечно удаленной точки. Обозначим через 2Jlff совокупность
*) См., например, А. И. Маркушевич [1].
18*

276 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПбЛНбтА (ГЛ. IV
функций, каждая из которых голоморфна в некоторой одно-
связной области, содержащей дополнение к О, и равна нулю
на бесконечности. Всякая функция из fflG голоморфна в не-
некоторой области, содержащей границу G и бесконечно
удаленную точку. Поэтому каждой функции f(z) из Шв
можно сопоставить такой спрямляемый контур Lf, принад-
принадлежащий О, что f(z) голоморфна вне этого контура и на
нем.
Мы будем говорить, что функция f{z), принадлежа-
принадлежащая Ша, ортогональна некоторой функции <?(z), голоморф-
голоморфной в О, если
J7(z)<p(z)rfz = O. D.61)
J
<v
Теорема 17. Для того чтобы система функций
{<?„(.?)} была полна'в G, необходимо и достаточно, чтобы
из ортогональности функции f{z) из Ше ко всем функ-
функциям системы {'¦?„(?)} следовало /(z) = 0.
Доказательство. Предположим сначала, что об-
область О есть единичный круг. Пусть система {«„(г)) не полна
в этом круге. Тогда существует круг | z | <; г < 1 и такая
степень zm, которую нельзя приблизить в этом круге с по-
помощью линейных комбинаций вида D.60). Но в таком слу-
случае эту степень нельзя приблизить в среднем квадратичном
линейными комбинациями D.60) ни в каком круге вида
|г|<;/? (г <. R <С 1). В самом деле, пусть
f
i
По интегральной формуле Коши
*¦ - 2 С-Л (z) в ** I [см - 2 с-?-(С)] ^ -
п=1 F'л) »=1
и, применяя неравенство Коши — Буняковского, получим, что
при | z | ^ г
Рг
R-r'
и=1

§ б] ПОЛНОТА СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 277
Введем обычным способом скалярное произведение для
функций, определенных на окружности \z\ = R:
о
¦=2S7 f /<*)*(?) 1Г @ = arg^). D.62)
Ортогонализируем систему функций {<р„(.г)} и построим
ряд Фурье для функции zm:
со
У.т(*)=2Bт. <Ши(г), D.63)
в котором {^„(.г)}— ортогональная система, эквивалентная
системе {<*>n{z)}. По теореме Фишера — Рисса этот ряд схо-
сходится в среднем квадратичном на окружности | z | = R
к функции с интегрируемым квадратом. Из интегрального
представления Коши следует, что ряд D.63) сходится равно-
равномерно во всяком внутреннем круге. Таким образом, функ-
функция ут (z) — голоморфная в круге | z | < R и принадлежит
к L% на границе. Функция
со
f (*) = *» — ум(г)= 2 в*«*
не равна тождественно нулю и ортогональна ко всем функ-
функциям {<рп(г)} в смысле D.62). Положив
гк+1 >
мы получим, что
(п=1, 2, ...). D.64)
Таким образом, мы построили функцию f{z)(^WlQ, орто-
ортогональную ко всем функциям неполной системы *) {'-on(z)}.
*) Очевидно, что вместо единичного круга можно взять
круг произвольного и даже бесконечного радиуса.

278 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
Перейдем теперь к общему случаю произвольной одно-
связной области G, не содержащей бесконечно удаленной
точки и отличной от всей плоскости. Пусть z — $(w) —
функция, отображающая единичный круг плоскоски w на
область О плоскости z. Очевидно, полнота системы функ-
функций \<?n(z)} в области G эквивалентна полноте системы
{<р„ (Я О))} в единичном круге.
Пусть система {<on{z)) неполна. Тогда по доказанному
существует функция f(w), голоморфная вне некоторого
круга | w | >/?(/?< 1), не равная тождественно нулю и
и удовлетворяющая соотношениям
f /(™)<Р»(я О)) d™ = °- D-65)
При конформном отображении z = ft (та) кольцо /? < рх <
< | «/1 < р9 < 1 переходит в двусвязную область Г, при-
принадлежащую О и ограниченную двумя аналитическими кон-
контурами Lx и Ц с уравнениями \w(z)\ = pl и |и»(г)| = рч.
Область, ограниченная контуром L2, вся принадлежит G,
а внешняя из областей, ограниченных контуром Llt содержит
все дополнение к области G. Функция f(im), голоморфная
в кольце р! <; \w\ <^p2, переходит при отображении в функ-
функцию F(z) = f\w(z)], голоморфную в области Г, а равен-
равенство D.65) может быть записано в форме
f F (г)®„ (z) w' (z) dz = 0, D.66)
V
где Lp — образ окружности | w\ = p (pt < p < р2). Функция
<V
голоморфная в Г, может быть представлена в форме
Второй интеграл, который мы обозначим 0(,г), есть голо-
голоморфная функция в области, ограниченной контуром L2.
Поэтому
^ 0. D.67)
<v

§ 61 полнота системы функций 279
Функция Ф(г) не может быть голоморфной функцией всюду
внутри Ц, так как тогда f(w) была бы голоморфна во
всей замкнутой плоскости и равна нуио на бесконечности,
т. е. тождественно равна нулю. Тадом образом, функция
$(г) = Ф(г)— b(z) не может тождественно равняться нулю.
Если учесть D.67), то соотношение D.66) может быть за-
записано в форме
Итак, если система {<?n(z)} не полна в G, то во мно-
множестве 2Л<? существует функция ty(z), не равная тожде-
тождественно нулю и ортогональная ко всем функциям системы.
Пусть теперь система {yn(z)} полна в G nty(z)— функ-
функция из Шв, ортогональная ко всем функциям этой системы.
Покажем, что fy(z) = 0. Действительно, в силу полноты
системы <fn(z) из D.68) следует:
0. D.69)
Интегрирование по контуру Z.p можно в D.69) заменить
интегрированием по окружности произвольно большого ра-
радиуса.
Вне некоторого круга имеем:
и из D.69) получаем, что ат — 0 (/и = 0, 1, 2, ...) и, сле-
следовательно, ty(z)==0. Теорема доказана*).
Эта теорема устанавливает связь между вопросами пол-
полноты и единственности. В самом деле, по этой теореме
полнота в О системы функций (<pn(z)} означает, что функ-
функция 6(z)? 2ие определяется единственным образом последо-
*) Эта теорема была доказана для случая круга А. И, Мар-
кушевичем [2].

280 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
вательностью значений функционалов
ап= f <f(z)ffn(z)dz, (»=1, 2, ...)•
<V
Таким образом, каждая теорема о полноте порождает
некоторую теорему единственности и наоборот.
§ 7. Теоремы о полноте некоторых систем
целых функций
Пользуясь общей теоремой о связи между полнотой и
единственностью, мы получим в этом параграфе некоторые
теоремы о полноте систем функций в комплексной пло-
плоскости.
Мы будем говорить, что последовательность функций
\'?n(z)} порождается функцией F(z, X) и последователь-
последовательностью {Х„}, если
<fA*) = F(*. Хп).
При этом мы предположим, что F(z, X)— голоморфная
функция от z в некоторой области Qz, если X принадлежит
области G^, и голоморфная от X в Ох, если г^О3*).
В частности, Ох может совпадать со всей плоскостью,
и тогда F(z, X)-—целая функция от X. В дальнейшем мы
будем считать F(z, X) целой функцией от X и накладывать
некоторые ограничения на рост этой целой функции.
*) Это предположение не накладывает ограничений на после-
последовательность {f,i(z)}. В самом деле, пусть {fп (г)} — произволь-
произвольная последовательность голоморфных функций в G, Dn — замкну-
замкнутые области, принадлежащие Q, lim Dn = G и Мп — max | ?п(г) ].
5
Тогда функция F {г, X) = -^-5^1 \ V~" ' ^w' ^—голоморфная по г
в области G при любом X и целая по л. при г^а,и последователь-
последовательность Хп = п порождает данную последовательность функций.

§ 7] ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 281
Функцию F(z, А) мы назовем замкнутым по z ядром,
если при ty(z)?WiG из равенства
J F(z,
при A?GX следует ф(г) =
Рассмотрим интеграл
<р(А) = J>(z, *) <}.(*)*:, D.70)
в котором ty(z)— функция из Шв> а /'(г, А) — замкнутое
ядро. Если последовательность чисел {А„} такова, что для
функций вида D.70) равенства <р(Ап) = О (и=1, 2, ...)
влекут за собой <р(А) = О, то, очевидно, функции F(z, А„)
образуют полную систему **) в О. Наоборот, если функ-
функция <р(л) вида D.70) не равна тождественно нулю и обра-
обращается в нуль в точках {А„|, то система {«р„(г)) не полна в О.
В частности, если последовательность {А„} имеет предельную
точку в Ох, то система <on(z) — F(z, А„) полна в Ог. Для
ядра F(z, а) вида ***)
F(z, \) = f(z\)
можно указать следующий простой критерий замкнутости
в круге \z |< R.
Если f{z) — голоморфная функция в круге \ z | < R и
все коэффициенты ее разложения
ao + axz+a^+ . .. +anzn+ . . . D.71)
*) А. И. Маркушевич называет такую функцию «полной функ-
функцией».
**) Вместо функционалов F (z, \n) можно выбрать любую си-
систему функционалов *„ (г) = Ln [r (z, X) ]. Например, можно взять
9п (•?) = /"'х™' {г, к), и если для функций, представленных в виде D. 70),
равенства Ln [? (X) ] = 0 (п = 1, 2, ...) влекут <р (X) = 0, то {<р„ {г) У
образует полную систему в G.
***) Впервые вопрос о полноте системы функций f Q.^z) в круге
(/(f) — целая функция) был поставлен А. О. Гельфондом [2], кото-
который получил теоремы о полноте этой системы функций, используя
разложение функции /(Хг) в интерполяционный ряд Ньютона.

282 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
отличны от нуля, то при \Ц<\ функция f(kz) есть
замкнутое ядро в этом круге. В самом деле,
-Lf
и из ортогональности функции i>{z) ядру следует Ь^ = О
(/г = 0, 1, 2, ...) и ^(z)s=sO. Наоборот, если какой-нибудь
из коэффициентов ат=0, то ядро f(zk) ортогонально
к функции ty(z) = z-™-1. Если f(z) — целая функция, то
отличие от нуля всех коэффициентов ее разложения является,
очевидно, необходимым и достаточным условием замкнутости
ядра/(.г^) в круге | .г|</?при X, принадлежащем какой-нибудь
области.
Для дальнейшего нам понадобится оценка роста функции
J
D.72)
причем предполагается, что f(z)—целая функция типа а
при уточненном порядке p(r), a ty(z) — ограниченная функ-
функция на окружности интегрирования. Из асимптотического
неравенства
1) (з>0,
справедливого при больших значениях к, следует
r*\k\'L(r\k\)
и в силу основного свойства функции L{r)
ln[/(^)|<(a4-s)rp|MPUXn-
Из этого неравенства и D.72) получается:
| Ф (к) |< 2vrM exp {(a+ в) г91 к f(l X"}
(Л1=
z\ =

§ 7] ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 283
Наконец, отсюда и из произвольности е > 0 следует:
АФ @)< огр. Й D-73)
Эта оценка дает возможность весьма просто установить сле-
следующую теорему о полноте.
Теорема 18. Если целая функция f(z), представлен-
представленная разложением D.71), удовлетворяет условию
апф0 (я = 0, 1, 2, ...) D.74)
и имеет тип, не больший а при уточненном порядке р (г),
и {кп} — последовательность комплексных чисел, то система
функций
?„(*) = /(*„*)
полна в круге с центром в нуле и радиусом R, определен-
определенным равенством
R ==: ^7 ''т г; ip(ix и • D-75)
Доказательство. Проведем доказательство от про-
противного. Предположим, что система функций f{knz) не полна
в круге \z\<CR. Тогда по теореме 17 найдется функция
ty(z), не равная тождественно нулю, голоморфная в области
| z | >- г (г < R), равная нулю на бесконечности и ортогональная
ко всем функциям f(knz), т. е.
Таким образом, в этом случае функция Ф (к), определенная
равенством D.72), обращается в нуль во всех точках после-
последовательности {кп}.
Из теоремы 2 и оценки D.73) для индикатора функции
Ф (к) следует, что если Ф (Л) не равна тождественно нулю,
то
lim
При г < R это неравенство невозможно. Таким образом
получается, что Ф(/.)=нО и в силу замкнутости ядра f(kz)
и ^(z)==0. Итак, предположение, что система функций

284 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
\f(knz)} не полна в круге \z\<R, приводит к противоречию.
Теорема доказана.
Если повторить рассуждение, но вместо теоремы 2 для
оценки плотности множества корней функции Ф (z) вос-
воспользоваться теоремой 3, то получится следующая теорема о
полноте.
Теорема 19. Пусть f(z) — целая функция типа а
при уточненном порядке р(г) ив ее разложении D.71)
все коэффициенты отличны от нуля и [Кп]—некоторая
последовательность комплексных чисел. Тогда система
функций <T>n.(z) = f0~nz) полна в круге с центром в нуле
и радиусом R, определенным равенством
#р = — lim ^ггъ- D-76)
Теорема 18 была доказана А. И. Маркушевичем [2], а
теорема 19 есть некоторое уточнение теоремы А. О. Гель-
фонда [2]. -Заметим, что при R = оо в D.75) или D.76)
система функций D.74) полна во всей плоскости.
Если функция /{г) = ^апгп такова, что существует
предел
D'77)
где в (л) есть решение уравнения
то оценка D.76) в некотором смысле—точная. Именно
в этом случае можно так подобрать последовательность {Ъп},
что, какова бы ни .была целая функция f(z), удовлетворяю-
удовлетворяющая условию D.77), система функций \f(bnz)} не полна ни
в каком круге с центром в нуле и радиусом, ббльшим, чем
число R, определенное равенством D.76). Выберем для того,
чтобы это показать, правильное множество точек {кп} так,
чтобы каноническая функция Ф (z) этого множества имела
постоянный индикатор (Аф ('!) = аФ). Тогда по теореме 3 этой
главы будем иметь:
lim - = раФ. D.78)
Х |Ptf*l)

§ 1\ ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 285
Пусть
ени
Используя коэффициенты этого разложения, составим функ-
функцию
о UnZ
Этот ряд сходится вне круга, радиус г которого определяется
равенством
п
* lira Ч> («) V\cn] з . i.
Если воспользоваться D.78), это равенство можно записать
в форме
р 1 ,. П
т. е. г = R. Функцию Ф(г) можно, очевидно, представить
в форме
*(*)= / f(zkI,(z)dz (e>0). D.79)
[г|=Л+|
Так как Ф(Х„) = О (и = 1, 2,...), то не равная тожде-
тождественно нулю функция >!/(г) ортогональна ко всем функциям
f(z^n) (я = 1, 2, ...). Таким образом, эта система функций
неполна в круге |z|</?-|-s (8 > 0) *).
Доказательства теорем 18 и 19 были основаны на тео-
теоремах единственности 2 и 3. Из теорем единственности,
изложенных в § 2, также можно получить теоремы о полноте.
Докажем следующую теорему о полноте, основанную на
теореме 7.
*) Можно показать, что теорема 18 точна в таком же смысле.
Для этого нужно построить функцию Ф (X.) так же, как был построен
пример в § 1, устанавливающий точность оценки в теореме 2.

286 единственность, интерполяция и полнота [гл. iV
Теорема 20. Пусть {Хп}—последовательность точек
из правой полуплоскости, ч(г) — число этих точек в круге
Z 2
D.80)
ех»г}
Тогда система функций {ех»г} полна во всякой полосе I
вида
у0 < lm z<yo-{-2nd
(Уо — произвольное вещественное число).
Доказательство. Пусть L—-произвольный контур,
принадлежащий целиком полосе /, и ty(z)—-некоторая функ-
функция, голоморфная вне этого контура и на нем. Тогда
Ф(Х) = fe^(z)dz D.81)
есть целая функция конечной степени и ширина ее индика-
индикаторной диаграммы меньше чем 2-zd. Если ty(z) ортогональна
ко всем функциям системы {ех«2}, то Ф(Хп) = 0(п— 1,2,...)
и по теореме 7 § 2 Ф(>0 = 0. Ядро eXs-—замкнутое, и сле-
следовательно, система {е «г} полна внутри любого контура,
расположенного в /. Теорема доказана.
Положив w = ez, мы получим следующую теорему, со-
содержащую известную теорему Т. Карлемана [1].
Система функций {гх»} полна внутри угла ср0 < arg z<C
<»0-)-2itd, где % — произвольное число, a d опреде-
определяется равенством D.80).
Формула D.81) допускает обращение (глава I, § 21).
Это обстоятельство дает возможность доказать следующую
точную теорему.
Теорема 21. Если для последовательности ком-
комплексных чисел {Кп} существует предел
d = lim ~ (d > 0), D.82)
то система функций [е »г} полна во всякой области О,
которая любую прямую, параллельную мнимой оси, пере-
пересекает по отрезку длины, не большей 2nd, и эта система

§ 7) ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 287
не полна ни в какой области, содержащей отрезок
длины 2nd, параллельный мнимой оси*).
Доказательство. Докажем сначала вторую часть
теоремы. Пусть отрезок / длины 2nd, пагаллельный мнимой
оси, содержится в обла'сти G. Индикаторная диаграмма
функции
со
есть отрезок мнимой оси длины 2nd. При правильном вы-
выборе числа f сопряженная диаграмма функции 6 (к) = ет Ф (к)
совпадает с отрезком /. Все особенности функции ty(z),
ассоциированной по Борелю функции 6 (к), располагаются
на этом отрезке.
Пусть L — контур, охватывающий отрезок / и принад-
принадлежащий области О. Тогда
0 w = й
(i)
и функция ^(г), не равная тождественно нулю, голоморфная
вне контура L и на нем, ортогональна ко всем функциям
системы {е»г}. Таким образом, эта система функций не
полна внутри этого контура, а следовательно, и в О.
Пусть теперь О пересекается со всякой прямой, парал-
параллельной мнимой оси, по отрезку, длина которого не пре-
превышает 2x:d. Если система функций {ех»г} не полна в О,
то существует функция ty(z), голоморфная вне некоторого
контура L, принадлежащего G, и на нем и при этом орто-
ортогональная ко всем функциям системы. Другими словами,
целая функция конечной степени
должна обращаться в нуль во всех точках кп.
Отсюда следует, что частное
д\ _ Т (х)
. Ы'—ФЩ
*) Во время подготовки книги к печати аналогичный результат
был получен А, Леонтьевым [4].

288 ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛНОТА [ГЛ. IV
есть голоморфная функция конечной степени в правой полу-
полуплоскости (следствие из теоремы 12, глава I, § 9). Функция
Ф(к) — вполне регулярного роста. Поэтому при умножении
на нее индикаторы складываются и
А, @) = ЛФ @) + h.t ('О = Ах @) + *d | sin 0 |
Таким образом, индикаторная диаграмма функции <р (А)
получится, если сдвинуть индикаторную диаграмму функ-
функции -/(К) на отрезки Ый и —Ый и на две полученные обла-
области натянуть наименьшую выпуклую область.
Итак, мы получаем, что
и следовательно, граница индикаторной диаграммы функ-
функции <p(z) содержит отрезок /, перпендикулярный к веще-
вещественной оси, длины, не меньшей чем 2nd. Концы отрезка,
симметричного / относительно вещественной оси, суть край-
крайние точки сопряженной диаграммы и поэтому являются осо-
особыми точками функции '^(z). Эго противоречит тому, что
все особенности ty(z) лежат в О. Итак, предположение, что
система [е »г) не полна в О, приводит к противоречию.
Теорема доказана.
Область, в которой система функций {<?., (г)} полна и
которая не является правильной частью области, обладаю-
обладающей тем же свойством, естественно, назвать максимальной
областью полноты.
Пусть y = f(x) — непрерывная функция от х, тогда по
теореме 21 криволинейная полоса
есть максимальная область полноты для системы функций
{Л8}.

ГЛАВА V
ФУНКЦИИ КЛАССА А
В приложениях теории целых функций существенную
роль играют целые функции, удовлетворяющие условию
< оо, E.00)
где оА — корни функции. Эти функции являются естествен-
естественным обобщением функций, все корни которых вещественны.
Действительно, из E.00) следует, что корни, {а^}, лежа-
лежащие вне углов |аг^.г|<8 и |argz — тг | < 8, образуют схо-
сходящийся ряд
и, следовательно, «почти все» корни {ак} лежат в «окрест-
«окрестности» вещественной оси. Мы будем называть такие функ-
функции функциями класса А. Аналогично можно определить
функции класса А в полуплоскости (Imz>0 или Im z < 0),
считая, что в сумму E.00) входят корни функции, принад-
принадлежащие этой полуплоскости *). Наибольший интерес пред-
представляют функции класса А и конечной степени. Из критерия
Линделёфа (глава I, § 11) у < М непосредственно
i , Яп '
\ап\<г
*) В этом случае условие E.00) играет ту же роль, что условие
со
Бляшке ^ A — I «ft I) Для функций, определенных в единичном
круге. Одно условие можно получить из другого отображением
круга на полуплоскость.
19 Зак. 988. Б. Я. Левин

290 ФУНКЦИИ КЛАССА А [ГЛ. V
•следует, что целая функция конечной степени, все корни
которой лежат в одной из полуплоскостей Imz^O или
Im z < 0, есть функция класса А.
В этой главе мы изложим основные факты, относящиеся
к функциям класса А.
При изучении свойств целых функций конечной степени,
зависящих от поведения функции на вещественной оси, зна-
значительную роль играет интеграл
л
'ln\F(x)F{-x)\dK_
В § 1 мы покажем, что ограниченность этого интеграла
равносильна принадлежности целой функции F(x) конечной
степени классу А *).
Если, кроме того, F (z)— конечной степени в полупло-
полуплоскости Im z^- 0, hp @) -j- hp (it) = 0 и существует предел
этого интеграла при R —> оо, то F (z) есть функция вполне
регулярного роста **). Для целых функций конечной сте-
степени оба эти условия являются необходимыми и достаточ-
достаточными***).
Кроме указанного признака в § 4 даются и другие при-
признаки того, что функция конечной степени в полуплоскости
является функцией класса А и вполне регулярного роста.
В частности, это будет иметь место, если сходится интеграл
ОО
J
или
п
— UO
Из последнего признака (принадлежащего М. Картрайт [1]
следует, что функции конечной степени, ограниченные на оси
(или принадлежащие к L? (— оо, со) {р > 0)), суть функции
вполне регулярного роста.
*) Н. И. А х и е з е р [2] и Н. Н. Мейман [3].
**) Б. Я. Левин CJ.
***) А. Пфлюгер [5].

§ 1] ФОРМУЛА КАРЛЁМАНА 291
Мы покажем, что для функций конечной степени сходи-
сходимость второго из этих интегралов влечет за собой сходи-
сходимость первого, из которой в свою очерар следует Aj?(O)+
+ *,(«) = О»).
В этой главе мы изучим также свойства индикаторной
диаграммы функций конечной степени и класса А и неко-
некоторые другие вопросы, относящиеся к этому классу функций.
В заключение в § 6 мы докажем связанную с этим кру-
кругом вопросов теорему М. Г. Крейна: целая функция f(z)
класса А, допускающая разложение
-ak ан 4 4Л
в котором R(z) — многочлен, есть функция конечной сте-
степени и вполне регулярного роста.
§ 1. Формула Карлемана. Критерий принадлежности
целой функции конечной степени классу А
Существенной для дальнейшего является следующая тео-
теорема Карлемана **)
Теорема 1. Если F (z) — голоморфная функция в об-
области
0<A<|zi</? и Im;z>0 E.01)
и ак — гке% к (k = 1, 2, .... re) — ее корни в этой области,
то
тг - й)sin °* = i
In IF (Rei*) Isin °dl)+
2 (
k<R
R
i j (^r — ^r) In | F (x) F (— x) I dx + A (/=•, /?),
E.02)
причем
n
Л (F, «) = - Im ± J In F (le«>) (^. — ^j dt). E.03)
о
*) Во время подготовки к печати этой книги вышла книга
Р. П. Боаса [1], в которой дано несколько иное изложение этих
вопросов, основанное на одной формуле Р. Неванлинна [2].
**) См., например, Титчмарш [1], 152—154.
19*

292 функции класса А [гл. v
В этой формуле, так же как и в формуле Иенсена и
формулах C.06) и D.20), устанавливается связь между распо-
расположением корней функции F (z) и ростом величины In \F(z)\.
Доказательство. Предположим сначала, что функ-
функция F {z) не имеет корней на границе области E.01), и рас-
рассмотрим интеграл
S7 J (Ж" 1*-Iп
(О
J
(О,
взятый по границе области E.01) в положительном напра-
направлении, начиная от точки к:
R
^ш J GH»)In F
х
25
J
-л
_L j \nFiXei*) (±_е^хе«> dfi. E.04)
С другой стороны, после интегрирования по частям будем
иметь:
Здесь (Т> означает приращение функции при обходе кон-
контура С. Это приращение равно (ш~т~у) n(R> ^)> гдеп(/?, X) —
число корней функции F (z) в области E.01). Второе сла-
слагаемое в E.05) равно
г*
Приравнивая друг другу мнимые части E.04) и E.05),
получим E.02).
Если при изменении /? на полуокружность | z \ = R по-
попадет корень, то формула E.02) остается в силе, так как

« j, ФОРМУЛА КАРЛЕМАНА 293
обе части формулы —непрерывные функции от R. Легко
видеть также, что формула E.02) остается верной и при
наличии корней у функции F (х) на вещественной оси.
Замечание. Величина А} (F, А) ограничена при R > А
и при /?-»-оо имеет предел
1 Г е-®
А (Л o6) = lm~ Inf^e'V-r'" •
о
Если функция F (z) голоморфна в нуле и F @) = 1, то
WmAx{F, R) = ~\mF'@),
и получается равенство
). E.020
Теорема 2. Для того чтобы целая функция f(z)
конечной степени была функцией класса А, необходимо
и достаточно, чтобы при некотором фиксированном А > О
и произвольном R > X выполнялось неравенство
R
| 1?И/(*)/(—*)! dx <Mf,x, E.06)
i
где Mf,K — постоянная.
Из этой теоремы, в частности, следует, что всякая огра-
ограниченная на вещественной оси целая функция конечной сте-
степени есть функция класса А.
Доказательство. Докажем сначала достаточность,
Пусть выполнено E.06). Обозначив

294 функции класса А [гл. v
и интегрируя по частям, получим, что
I* (l — та) -I/W{( X)' dx=^ U(*)*d*<Alr,x, E.07)
и следовательно, второе слагаемое в правой части формулы
Карлемана E.02) ограничено. Кроме того, так как f{z)—
функция конечной степени, то при R > \ и некоторой по-
постоянной kfl\ будем иметь In \f(Rei9)\ < kf,\R и
1 Г 2
-^ \a\f(Rei<i)\s\nbd^<-kf,x. E.08)
0
Таким образом, функция от R в правой части равенства
E.02) ограничена.
С другой стороны, имеем:
Ssinflfc 4_ VI (\_ г^\ . , ,
/¦* ^ 3 —I \гк R4 к^ -
¦1 V (±_
¦ з Z^ W
<%д + |-%).+ Л(/. Л). E.09)
Последнее неравенство следует из E.02), E.07) и E.08).
Из E.09) непосредственно следует, что f(z) — функция
класса А.
Для доказательства необходимости условия воспользуемся
оценкой модуля целой функции снизу (глава I, § 8, тео-
теорема 11). Из этой оценки следует, что произвольному числу
tj > 0 соответствует такое число Нх (у\) > 0, что
1п|/(/?^9)|>— H^R @<6<2O E.10)
при всех значениях R > Rn, за исключением, быть может,
интервалов, сумма длин которых на любом интервале @, R)
не превосходит величины f]R.
Пусть число R — вне исключительных интервалов, тогда
тс
i J In \/(Reif>)\ sin OdO >—^Н1 (т,). E.11)

«. ji ФОРМУЛА КАРЛЕМЛИЛ 295
Если /(,) класса А то ? V <»' " М E'°2)
будем иметь:
f
в
' +\ \ ln\f(x)f(—x)\dx. E.12)
х
Последний член в E.12) ограничен, так как при л: > I
In |/(*)/(— х)\<2кглх E.13)
и, следовательно,
в
-Q2 1п|/(л:)/(—x)\dx <C kf,\. E-14)
о
Итак, если точка R лежит вне исключительных интер-
интервалов, то
R
причем величина Mf, х не зависит от R. Если R — в исклю-
исключительном интервале, то найдется такая точка R', лежащая
вне исключительных интервалов, что R' < R и /? — /?'< т,/?.
Из неравенств E.13) и E.14) получаем:
J
J talA^bf01^e J Ъ\
к
I
E.15)
Замечание. При доказательстве достаточности усло-
условия E.06) нами не было использовано, что f(z) — целая
функция, а лишь то, что она—голоморфная и конечной степени
в полуплоскости lmz^-О. Таким образом, мы получили:

2S6 ФУНКЦИИ КЛАССА А [ГЛ. V
если голоморфная и конечной степени в полуплоскости
Im2>0 функция F(z) удовлетворяет условию E.06),
то F(z) — класса А в этой полуплоскости.
Теорема 3. Для целой функции f{z) конечной сте-
степени условие
равносильно каждому из следующих условий;
bVlx)«-X"\At2x, (б)
f*»dx<MpXi (в)
о
(Mf,\, 1 = 0, 1, 2, 3, не зависят от R).
Доказательство. Сначала докажем, что для всякой
целой функции конечной степени справедлива оценка
Для этого заметим, что из формулы Карлемана следует
неравенство
R

с ji ФОРМУЛА КАРЛЕМАНА 297
Отсюда, если воспользоваться ограниченностью А(/, /?) и
оценкой E.08), следует:
* , ?
{}*Ш$?-*1)ах>М($ + ±] \n\f(x)f(-x)\dx.EA6)
Далее, обозначив
и интегрируя по частям, мы получим:
в
ij In |
ff(^)]rfx. E.17)
В главе III (лемма 4) мы доказали неравенство, которое для
целых функций конечной степени имеет вид
J\(b)\<.Cf,\\x\ {cf,x — постоянная). E.18)
С помощью этого неравенства из E.17) получается:
в
jp Ji
Jin
и после подстановки в E.16) имеем:
Зсль
и, соединяя с (а), получаем (б). Таким образом, для целой
функции конечной степени условия (а) и (б) эквивалентны.

298 функции класса А [гл. v
Для того чтобы доказать эквивалентность условий (б)
и (а) условиям (в) и (г), рассмотрим интеграл
R
R
— Г » \n\f(x)f(-x)\.
-J *<1+*8)
Интегрирование по частям дает:
в
j
Применяя, далее, неравенство E.18), мы получим при/?>1:
в
Переписав это неравенство в форме
J Ш{Х)^^ЧХ~Асгл< J'
мы легко убеждаемся в эквивалентности условий (а) и (в),
а также (б) и (г). Теорема доказана. Таким образом, каждое
из условий (а), (б), (в), (г) является необходимым и доста-
достаточным для того, чтобы целая функция конечной степени
принадлежала классу А.
Интегралы, входящие в эти условия, играют существен-
существенную роль в критериях того, чтобы целая функция конечной
степени была не только класса А, но и вполне регулярного
роста. Для установления этих критериев мы получим спе-

§ 2] ФУНКЦИЯ, ГАРМОНИЧЕСКАЯ В ПОЛУПЛОСКОСТИ 299
циальное представление целой функции класса А, аналогич-
аналогичное известному представлению голоморфной функции, огра-
ограниченной в круге. Получению такого представления посвящены
следующие два параграфа.
§ 2. Представление функции, гармонической
в полуплоскости
В этом параграфе мы установим некоторые достаточные
условия для представимости гармонической в полуплоскости,
функции с помощью известного интеграла Пуассона
оо
I Г
к .! (*-
(о
— оо
Лем«а 1 (Н. Г. Чеботарев [6]). Целая веществен-
вещественная *) функция f(z), удовлетворяющая условию Im f(z) > 0,
при Im z > 0 имеет вид
f(z) = <xz-\- $ (а > 0, {3 — вещественное число).
Доказательство. Из принципа симметрии и условий
леммы имеем также Im/^XO при Imz^O. Приращение
&Tgf(z) на любой окружности не превосходит 2я. Таким
образом, f(z) имеет не более одного корня. Этот единствен-
единственный корень х0 — вещественный. Функция <o(z) = {z—xoylf(z)
не имеет корней и | arg tp (z) |< г. во всей плоскости. Та-
Таким образом, целая функция w = \n<o(z) отображает всю
плоскость z на полосу |1птш|<тг и, следовательно, <9(z) =
= const**).
Лемма 2. Если непрерывная вещественная функ-
функция u{t), заданная на вещественной оси, удовлетворяет
условию
= а < оо E.19)
*) Целая функция называется вещественной, если она прини-
принимает вещественные значения на вещественной оси.
**) Достаточно заметить, что функция и = ~~ ограничена
во всей плоскости г ( | ы | <! те), и воспользоваться извэстной теоре-
теоремой Лиувилля.

300 ФУНКЦИИ КЛАССА А [ГЛ. V
и существует интеграл
-rhidt, E.20)
¦- i/ * ~~г~ *
— со
то и интеграл
существует при любых вещественных значениях перемен-
переменных х, у (уф 0).
Доказательство. Докажем сначала, что из условий
E.19) и E.20) следует существование интеграла
\\u(±f)\%. E.22)
i
Обозначив
мы из существования интеграла E.20) получим |^)|
(— оо < х < со) и при любых а > 0 и А > 0 будем иметь:
о+Ь о+й
Таким образом, доказано существование интеграла

§ 2) ФУНКЦИЯ, ГАРМОНИЧЕСКАЯ В ПОЛУПЛОСКОСТИ 301
С другой стороны, из E.19) следует*):
Отсюда следует существование интеграла
со со
Ц±4dt = - J"(±o-»,
i
и так как \u(i)\ = a+{t)-\-u_(t), то и получается, что су-
существует интеграл E.22).
Далее, из оценки
и существования интеграла E.22) следует, что существова-
существование интеграла E.20) эквивалентно существованию E.21) при
любых х я у. Лемма доказана.
В следующей лемме мы дадим оценку функции, пред-
представленной интегралом Пуассона.
Лемма 3. Интеграл
—y Г u
~^ JV-
u {t) dt
определяет гармоническую в полуплоскости у > 0 функцию
v(z), имеющую предельные значения на вещественной
оси, совпадающие со значениями функции и(х), и удовле-
удовлетворяющую неравенству
.21 (r = |z|), E.23)
*) Функции и+ {t) и и- (t) определяются, как обычно:
i @ при и @ > О,
О при а @ < О,
-а (О при а(*)<0,
О при и (t) > 0.

302 ФУНКЦИИ КЛАССА А [ГЛ. V
в котором г —- произвольно малое положительное число
и с, — постоянная, зависящая от г.
Доказательство. Из существования E.22) легко
следует, что интеграл
E'24)
равномерно сходится на любом ограниченном замкнутом мно-
множестве, принадлежащем полуплоскости у > 0, и, следова-
следовательно, представляет гармоническую функцию при у > 0.
Равенство v(x) — u(x) устанавливается обычным путем. Пе-
Перейдем к установлению оценки E.23). Положим:
и @ при \t\>N,
при |,|<*
х
Ы*) = /¦/.* (О' #.
о
Так как -^— 3 ._ , =. O(t~4), то при произвольном ч] ^> 0 и
,, будем иметь i'^@l<^-
Интегрируя E.21) по частям, мы получим:
E'26)
При г > 2N будут выполнены неравенства
Л/2 Ш
поэтому абсолютная величина выражения в фигурных скоб-
скобках в E.26) меньше чем 4-rj.

§ 2J ФУНКЦИЯ, ГАРМОНИЧЕСКАЯ В ПОЛУПЛОСКОСТИ 303
[Для оценки третьего члена в E.26) заметим, что ядро
довательно,
меняет знак при ^ = 0 и t---=x-\-<- и, сле-
С помощью этих оценок получаем из E.26):
1«(*)|<О(|) + 53^
Лемма доказана.
поЛупЛОс«ости У W^удо^
представлялась в форме
СО
где
В) А= Ни «1Ш

304 ФУНКЦИИ КЛАССА А [ГЛ. V
Доказательство. Необходимость получается прямо
из равенства б), если положить в нем z = i. Для доказа-
доказательства достаточности заметим, что из лемм 2 и 3 и пред-
представления функции E.21) легко получается, что функция
u(z) — v(z) — ky E.27)
— гармоническая при у > 0 и удовлетворяет следующим
условиям:
1) «;(*) = 0,
3) «,(z) = O(O + °-fl
Из условия 1) следует по принципу симметрии, что функ-
функцию w(z) можно гармонически продолжить в нижнюю полу-
полуплоскость нечетно относительно у. Гармоническая функция
y+h i-t-ft
1 Г Г
4Л2 J J
y-h x-ft
удовлетворяет условиям 1) и 2), а условие 3) заменяется
условием
3') wh (z) < О (г-).
Применяя к гармонической функции wh(z) — гу теорему
Фрагмена и Линделёфа*) внутри углов 0^arg2<;-^- и
¦j-^. argz^ir, получим, что wh(z) — гу ограничена в полу-
полуплоскости у^О и wh(x) = 0. Применяя снова теорему Фраг-
Фрагмена и Линделёфа к функции 1Уп(г) — гу в полуплоскости
у^О, получим:
Wh(zXsy (У>0)-
В силу произвольности s > 0
wh(z)^.O при I)
*) Теорему Фрагмена и Линделёфа для гармонических функций
легко получить из теоремы 22 § 14 главы 1, если заметить, что
гармоническая функция есть логарифм модуля голоморфной функ-
функции.

§ 2] ФУНКЦИЯ, ГАРМОНИЧЕСКАЯ В ПОЛУПЛОСКОСТИ 305
Переходя, далее, к пределу при h ->• 0, получим неравен-
неравенство
®(г)<0 при 1тг>0.
Обозначая через X{z) сопряженную гармоническую функ-
функцию, мы построим целую вещественную функцию
отображающую верхнюю полуплоскость на верхнюю.
По лемме И.- Г. Чеботарёва эта функция имеет вид
<o(z) — az-\-3, а следовательно,
w(z) = — ay.
С другой стороны, из леммы 3, условия в) и E.27) следует:
-— w (/у) п
lim v - =0.
Поэтому а = 0 и w(z)=>0. Теорема доказана.
Следствие 1. Если функция u(z), гармоническая
в полуплоскости Im z > 0 а непрерывная при I
удовлетворяет условию
а) иЖ^<оо
и интеграл
со
J
dt
l + fi
— CO
сходится, то
lim u{re%) = /fesinO @ < 0 < it). E.28)
Это получается непосредственно из представления б) и
леммы 3.
Следствие 2. Если функция u(z), гармоническая
при Im z > 0 и непрерывная при lmz^-О, удовлетворяет
условию а) и условиям
в') и (' ^ ^ '- dt существует
6
и
г) lim
|о:|->-оо
20 Зак. 988. Б. Я. Левин

34N Функции класса Л [гл. v
то
Hm^^=?sin6 @<6<u). E.28')
r->oo
Доказательство. Функция u(z)-\-u( — z) по тео-
теореме 4 представляется в форме б) и, следовательно,
Urn *^9> + "^-9)> = 2k sin 6 @ < Ь < и). E.29)
г-*со
Кроме того, из условия г) следует, что индикаторная
диаграмма, соответствующая функции u(z),—-отрезок на
оси Оу, т. е.
Ит u(re&) =ks\n4. E.30)
г
С другой стороны, из E.29) и E.30) следует:
= A Sin 6.
Отсюда и из E.30) следует равенство E.28').
§ 3. Представление в верхней полуплоскости функции
конечной степени и класса А
Если функция F(z) конечной степени в полуплоскости
, не имеет корней в этой полуплоскости и'интеграл
со
г
сходится, то, как видно из теоремы 4 предыдущего пара-
параграфа, эта функция допускает представление
In
где A: = Ai?(^-j. Для получения критериев полной регуляр-
регулярности роста функций класса А и конечной степени нам пона-

§ 3]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ
307
добится представление таких функций в более общем случае,
когда функция имеет корни в верхней полуплоскости. В этом
параграфе мы получим такое представление. Предварительно
докажем две леммы.
Лемма 4. Если ряд
2
Im —
ак
E.31)
сходится, то бесконечное произведение
-1
E.32)
сходится равномерно и абсолютно в каждой конечной
замкнутой части плоскости, не содержащей точек ак.
Доказательство. Запишем y(z) в форме
ак
По известному критерию равномерная и абсолютная схо-
сходимость бесконечного произведения E.32) эквивалентна равно-
равномерной и абсолютной сходимости ряда
а сходимость этого ряда эквивалентна сходимости ряда
«А
. Лемма доказана.
Лемма 5. Если {ак} — последовательность комплекс-
комплексных чисел, причем 1тай>0 и V
1т ¦
< с», то
lim*
r-Ь-са
20*

308
ФУНКЦИИ КЛАССА А
[ГЛ. V
где y(z)— мероморфпая функция, определенная равен-
равенством E.32) *).
Доказательство. Заметим прежде всего, что модуль
каждого множителя в произведении E.32) при z в верхней
полуплоскости меньше единицы, поэтому
I<1 Aтг>0),
и следовательно,
Tim
Нужно теперь оценить
у (z) в форме
0 @<6<it). E.34)
| снизу. Для этого представим
E-35)
где
*«-
argoA-|
п
/
Исследуем сначала функцию уЛ(г). Для этого представим
ХГ1^) в Ф°Рме
1 +
'¦ " ' 2
2telm —
1--?-
аи.
*) Б. Я. Левин [5], Н. И. Ахиезер [2]. В статье Альфорса и
Гейнса [1] доказан следующий несколько более тонкий факт: суще-
.. In | у (re®) |
hm *• ^ =
г
ствует предел
п
= 0 при условии, что г->-оо, не
принимая значений из некоторого множества Е конечной лога-
логарифмической длины, т. е. такого множества, что I —<со. Заме-
Ё Х
тим, что множество конечной логарифмической длины имеет нулевую
относительную меру, но не всякое множество нулевой относитель-
относительной меры имеет конечную логарифмическую длину. В дальнейшем
мы будем пользоваться леммой 5, однако замена ее в соответствую-
соответствующих местах теоремой Альфорса и Гейнса позволяет несколько уси-
усилить результаты.

§' 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ
Из неравенства 1п|1+*|<М следует:
309
arg Cfc--|<-
1- —
Im -
При
\^г — 28 будет выполняться неравенство
-<ctgS
I «ft
и, следовательно, внутри этого угла при некотором
1
Z
~а~к
Im —
«А
Im-L
\z .
<ctgS 2
При заданном в>0 и достаточно большом ./V эта величина
не превосходит -j|«|. После выбора N можно так подобрать
число Re, что при | z | > Rs будет выполняться неравенство
2 '"
—
«ft
ak
Таким образом, мы получили, что при | г | > Re внутри угла
argz-
; 4- — 23 выполняется неравенство
и следовательно,
E.36)
Перейдем теперь ко второму множителю в E.35). Все корни
функции ул{г) лежат внутри угла argz — ^- ^-S-—8, по-
поэтому для них выполняется неравенство Imak^sin8 \ан\ или
Im —
а
sin S

310 ФУНКЦИИ КЛАССА А
Отсюда и из E.31) получается, что ряд
2
сходится и, следовательно,
[ГЛ. V
E.37)
есть целая функция нулевого рода. Поэтому А?@) = 0, §т = О
и по теореме 2 главы II
lim
причем г стремится к бесконечности, не принимая значений
из некоторого множества Е нулевой относительной меры.
Функция
П
— также нулевого рода, не имеет корней в верхней полу-
полуплоскости и, следовательно,
=0
г->оо
при 0 <; Ь < тт. Так как
—, . »
то из последних двух равенств получаем:
lim
г->оо
Отсюда, из E.35) и E.36) следует:
Сопоставляя 9то с E,34), получаем утверждение леммы.

§ 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ 311
Замечание. Если некоторый угол 0<61^6<62<1с
не содержит точек множества {ак), то внутри этого
угла существует предел в обычном смысле
lim -
Г-Ь-ОО
Действительно, из E.34), где, конечно, можно заменить x
на ул (z), и E.36) следует, что при достаточно малом S > 0
lim
Функция у2 (z) — вполне регулярного роста при показателе
р=1, яе имеющая корней. При ftt ^ 0 ^ 02 существует
предел
lim —— = и \^i "^ ^ "^ ''о)
г -> со '
и, следовательно,
lim ""^' =0.
Следующая теорема дает представление специальных функ-
функций, голоморфных в полуплоскости.
Теорема 5. Если функция F{z)-—голоморфная и
конечной степени в полуплоскости Im z ^ 0 и существует
интеграл
dt, E.38)
—оо
то
Inl
— со
где k = hF{^j и
причем ак — корни функции F{z) в полуплоскости у> 0*).
*) При несколько иных предположения^ эту формулу установил
еще Р. Невандинна [2],

312 ФУНКЦИИ КЛАССА А [ГЛ. V
Доказательство. Прежде всего заметим, что произ-
произведение y(z) в правой части E.39) существует. Действи-
Действительно, из сходимости интеграла E.38) следуют по теореме 1
принадлежность F(z) классу Л и по лемме 4 сходимость
бесконечного произведения x(z) во всякой конечной замкну-
замкнутой области верхней полуплоскости, не содержащей точек ак.
Построим теперь функцию
E.40)
По теореме 4 она—-гармоническая в верхней полуплоскости
и принимает на вещественной оси значение и (х) — In | F (х) |.
Пусть г»(г)—гармоническая функция при j>0, сопряжен-
сопряженная u(z).
Функция
-*W-*'W, E.41)
очевидно, голоморфная в верхней полуплоскости, причем
модуль ее имеет на вещественной оси предельные значения
равные единице.
По принципу симметрии эта функция продолжается на
нижнюю полуплоскость и имеет полюсы в точках ак той же
кратности, что и корни ай функции F(z).
Для того чтобы дать оценку функции |ty(z)| в верхней
полуплоскости, заметим, что по лемме 5
Так как по условию F{z) конечной степени, то
^ +e)r. E.42)
¦|-J следует Л^Л-к-]
Для уточнения оценки E.42) мы применим тот же прием,
что и при доказательстве теоремы 4.
Введем усредненную функцию
у+ъ т+й
-ij I'
y-b -e—А

§ 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ 313
Это —субгармоническая функция при у > 0, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям:
1) wh(x) = 0,
3) wh(z) =o(/-2).
Применяя к функции wh (z) — гу теорему Фрагмена и
Линделёфа в каждом из углов 0 < arg z <; ^-, -^ <; argz< n,
мы получим, что при любом е>0 функция wh(z) — гу огра-
ограничена в полуплоскости j/>-0. Применяя снова к этой функ-
функции теорему Фрагмена и Линделёфа в полуплоскости у^-0,
мы из 1) получим, что wh (z) — гу <; 0 при любом е>0 и
у > 0. В силу произвольности г > 0 отсюда следует:
Перейдя к пределу при h-> 0, мы получим:
In К (г) |< о Су>0),
т. е.
в полуплоскости у
Покажем теперь, что функция ty(z) равна (с точностью
до постоянного множителя) произведению %(z). Для этого
положим
-1
Функция
-1
ограничена в верхней полуплоскости, и так как на веще-
вещественной оси | tyn (x) | = 1, то по теореме Фрагмена и Лин-
Линделёфа | <>п (г) | <; 1 при Imz>0. Переходя к пределу при
п -*¦ оо и полагая ^оо (z) = ф (^) у. B), получим:
К1 Aшг>0).
Эта функция не имеет корней и полюсов и, следовательно,

314 ФУНКЦИИ КЛАССА А [ГЛ. V
— вещественная целая функция, и при 1т.г>0 Im<p(z)>0.
По лемме Н. Г. Чеботарёва имеем <s(z) = otz + Р (»>0н
Im ? == 0).
Для определения а выберем последовательность yj->~\-оа
так, чтобы иметь
htn — — — k.
У]
Из леравенства Im ев (iy)^C и (iy)— In | /^ (/_у) [ вытекает:
hm
откуда следует, что « = 0 и ^«> (г) = е^ или ^ (z) = ei|Jx (г).
Чтобы закончить доказательство теоремы, следует подста-
подставить это выражение в E.41).
§ 4. Функции класса А и вполне регулярного роста
Опираясь на представление E.39), мы получим в этом
параграфе ряд теорем, дающих полезные критерии того, что
функция конечной степени есть функция класса А и вполне
регулярного роста.
Полезно заметить, что плотность (при р(/-)=1) множе-
множества корней целой функции класса А равна нулю внутри
любого угла вида 0 < 8 ^ | argz\ -^ тт — S (см. E.37)). По-
Поэтому у всякой целой функции конечной степени класса А
и вполне регулярного роста угловая плотность Д(>}) множе-
множества корней есть кусочно-постоянная функция, имеющая лишь
два скачка равной величины в точках 0 и л. Отсюда сле-
следует, что индикаторная диаграмма такой функ-
функции есть отрезок, параллельный мнимой оси.
Теорема 6. Если F(z) — функция конечной степени
в полуплоскости lmz^-0 и сходится интеграл
J
E.43)
то F (z) есть функция класса А и вполне регулярного
роста @ < arg z < тт), причем hv (Ь) = k sin 6.
Доказательство. При выполнении условий теоремы
функция ln]F(z)| допускает в полуплоскости Imz^-0 пред-
представление E,39). По лемме 3 первое слагаемое в правой

§ 4] ФУНКЦИИ КЛАССА А И ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА 315
части E.39) после деления на г стремится к нулю при
г-*оои|б — ? <? — 8(8>О). Из леммы 5 мы имеем
I ~
также:
!
где ? — некоторое ?°-множество, и следовательно,
llm '""^UfcrinB E.44)
при 8<;&<;л-—8. Из произвольности 8>0 следует, что
при некотором множестве Е нулевой относительной меры
равенство E.44) имеет место внутри всего угла 0 < 6 < я
(глава III, теорема 1).
Теорема 7 (М. Картрайт [1]). Если F(г) — функция
конечной степени в полуплоскости Im z ^ 0 и сходится
интеграл
J^^dt. E.45)
о
/ко F(z) — класса А и вполне регулярного роста при
О < atgz < и и hF (Й) = yfe sin 6 @ < 0 < ¦*).
Доказательство. Мы докажем, что для функций
конечной степени из сходимости интеграла E.45) следует
сходимость интеграла E.43). Тогда утверждение теоремы 7
будет непосредственно следовать из теоремы 6. Мы вос-
воспользуемся для этого формулой Карлемана, которую можно
записать так:
R
R

316 ФУНКЦИИ КЛАССА А [ГЛ. V
Для функции конечной степени сумма двух последних чле-
членов ограничена сверху. Заметив также, что
2 (r,-
мы получим:
я
Далее, отсюда и из очевидного неравенства
л
2
я
-i J [1п_| F @1 + 1п_ | F (- 01] A -i
следует:
л
л
3 .'
x
и, наконец,
л
2
f ln_
.)
с, J
1
X'

§ 4] ФУНКЦИИ КЛАССА А И ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА 317
где сх — постоянная. При выполнении условия теоремы из
этого неравенства следует:
т. е. абсолютная сходимость интеграла E.43).
Следствие. Функции конечной степени в полупло-
полуплоскости lmz^-0, ограниченные на вещественной оси (или
принадлежащие Lp (—со, оо), суть функции класса А и
вполне регулярного роста в этой полуплоскости.
Действительно, такие функции, очевидно, удовлетворяют
условиям теоремы Картрайт *).
Теорема 8. Если F(z)— голоморфная и конечной
степени в полуплоскости Im z ~^> О и удовлетворяет усло-
условиям:
I
—!—} _|_ а — dx существует, (а)
то функция F(z)— класса А и вполне регулярного роста
в верхней полуплоскости **) @ < Ь < и).
Доказательство. Положим F(z) = F (z) (Im z < 0).
Функция ^ (z) = F (z) F (—z) удовлетворяет условиям тео-
теоремы 6 и, следовательно,
А (9)= lim*ln|<i>(/"gt)l = 2/fesin9, E.46)
где k = hF{-7A. С другой стороны, из условия ф) следует,
что индикаторная диаграмма функции F(z) — отрезок, парал-
параллельный оси Оу. Не нарушая общности, можно считать, что
этот отрезок находится на оси Оу (достаточно функцию F(z)
*) Для функции из Lp (—со, со) это следует из неравенства
*) Теорема, близкая к теореме 8, была доказана Н. Левинсоном
для целых функций конечной степени (см. [1], 25—42).

ФУНКЦИИ КЛАССА А (ГЛ. V
помножить на ё1" с некоторым вещественным -у). Таким
образом,
hF (в) = П5 ln|F<rgl >' = A sin 6. E.47)
Г-*оо '
Из E.46) и E.47) получаем:
@ < 6 < it).
Отсюда и из E.47) следует:
Теорема доказана.
Теорема 9*). Для того чтобы целая функция f(z)
конечной степени была функцией класса А и чтобы при
этом существовала плотность
я> (/)
Дг= lim -i—, E.48)
необходимо и достаточно, чтобы существовал интеграл
J
E.49)
о
- Доказательство. Если интеграл E.49) существует,
то по теореме 6 функция
— вполне регулярного роста в полуплоскостях 0 < argz < тг
и —u< argz< 0 и по следствию из теоремы 1 главы III она
вполне регулярного роста по всей плоскости. Множество
корней функции вполне регулярного роста имеет угловую
плотность, и следовательно, существует предел
и<р(г)
2Д,= lim ^
г
*) Теорема А. Пфлюгера [5].

$ 4j ФУНКЦИИ КЛАССА А И ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА 319
Для получения E.48) достаточно заметить, что «,(/¦) =
==2п*(г). Кроме того, существование интеграла E.49) влечет
за собой принадлежность функции f(z) классу А. Это сле-
следует из критерия принадлежности функции классу А, сфор-
сформулированного в теоремах 2 и 3.
Перейдем к доказательству необходимости. Из принад-
принадлежности целой функции f(z) конечной степени классу А и
выполнения условия E.48) следует, что <?(z) = f(z)f(—z)
есть целая, четная функция конечной степени, класса А,
причем множество корней этой функции имеет плотность.
Напомним (см. E.37)), что все корни функции класса Л, за
исключением, быть может, множества нулевой плотности,
лежат внутри сколь угодно малых углов, содержащих лучи
arg? = O, argz=±u. Поэтому множество корней четной
функции <р (z) имеет угловую плотность. Таким образом,
корни y(z) распределены правильно и, следовательно, она —
вполне регулярного роста.
Для доказательства сходимости интеграла E.49) обра-
обратимся к формуле Карлемана, применив ее к да (z) в верхней
полуплоскости. Прежде всего исследуем величину
2 (k-%)s[nbk (о <»*<«).
y.<rk<R
в которой bk — rke%k— корни ср (z) в верхней полуплоскости.
Из неравенства
да 2 ->*••< S ^*
r<rk<B rk>r
следует, что при достаточно большом г.
^ ^ rk sin \ < s,
rt<rk<B
откуда вытекает:
гк<Л
Таким образом, мы получаем:
.'!?_, 2 OHM"*.-- 2tas-

320 ФУНКЦИИ КЛАССА А [ГЛ. V
Для исследования величины
i J ln|cp(/?ei8)|sin0d0
о
мы воспользуемся тем, что y{z) — вполне регулярного роста.
Из теоремы 3 главы IV следует, что
hm p = ^
Отсюда
2*
и по теореме Иенсена
2*
Hm
J рпI?(/?««*)i_^F)jdQ = Q E51)
Если учесть (глава I, теорема 28), что асимптотически
то из E.51) получается:
2ic
Hm
о
Отсюда следует предельное равенство
% п
Hm ~ j ln|<p(#ew)lsinerf0=i- Г /L(O)sin6d0. E.52)
Л->
О О
Так как величина Д(«р, /?) также имеет предел при /?->оо,
то из E.50) и E.52) следует, что существует предел
л

§ 4) ФУНКЦИИ КЛАССА А И ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА 321
Остается доказать, что существует предел
в
llm i f In |/(*)/( — *) | tf*.
Имеем:
X
#2 J t at\x 1$ J J4
х
По лемме 2 главы III существует предел
lim i-yf('O) = Am('O)
и, следовательно,
я
lim ?3 In J <р (дг)| dx = -к-А„@). E.54)
Л + оэ Л jJ ^
Отсюда и из E.53) следует, что сходится интеграл
Г
xJ
xJ
|
Для того чтобы перейти отсюда к сходимости интеграла
E.49), положим:
Интегрируя по частям, мы получим:
и существование предела при R ->¦ со очевидно. Теорема
доказана.
21 Зак. 988. Б. Я. Левин

322
ФУНКЦИИ КЛАССА А
[ГЛ. V
Если f(z) — целая функция конечной степени и класса А, мно-
множество ее корней имеет плотность и /@) = 1 *), то
оо
и
In !/(*)/(-*)lrf_r_
(S.SS)
Для доказательства естественно исходить из формулы E.02'). Из
равенств <р' @) = 0, Л9 F) = А,, С^\ sin 0 @<в<я), E.52) и E.54)
получаем равенство
Im6fc>0
-Ьт».(т).
из которого непосредственно получается E.55).
Заметим, что в силу E.55) равенство
оо
Г
J
о
In
|tf = _ Л
2
эквивалентно вещественности всех корней функции /(г)**). Заметим
также, что существование интеграла в левой части E.55) у целой
функции /(г) конечной степени влечет за собой сходимость ряда и
существование предела в правой части равенства ***).
Неравенство E.55) можно еще преобразовать, заметив, что по
теореме 3 главы IV
2я
"Ш ~V~ = 2яГ Л"
и следовательно,
Подставляя это в E.56), получаем:
оо
If
-dx
= 5]
1ш —
—-^ lim
"Г (Г)
*) Это ограничение, конечно, не нарушает общности.
**) Это теорема Палея и Винера [1].
***) Можно доказать и обратное.

§ 41 функции класса А и вполне регулярного роста 323
Пои этом по теореме 9 сходимость интеграла в левой части равен-
равенства является необходимым и достаточным условием сходимости
ряда и существования предела в правой части.
Теорема 10*). Для того чтобы целая функция f(z)
конечной степени была класса А и вполне регулярного
роста, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетво-
удовлетворяла следующим условиям:
'" ' /f|/^~ X)] dx существует, (а)
Доказательство. Достаточность условий следует из
теоремы 8, так как полная регулярность роста при 0 < 6 < тс
и 0 > 9 > — тг влечет за собой полную регулярность роста
во всей плоскости (глава III, теорема 1). Необходимость
условия (а) следует из теоремы 9, так как множество кор-
корней целой функции вполне регулярного роста имеет плот-
плотность. Необходимость ([3) очевидна, так как индикаторная
диаграмма целой функции конечной степени, класса А и
вполне регулярного роста есть отрезок, параллельный мнимой
оси.
Сведем некоторые изложенные нами здесь результаты
в одну теорему.
Теорема 11. Если целая функция конечной степени
удовлетворяет какому-нибудь из условий **):
а) существует интеграл ln^^^^~x^dx и hf@) =
*) Теорема А. Пфлюгера [5].
**) Эти условия, конечно, не являются независимыми. Из каж-
каждого следующего вытекает предыдущее. Действительно: из б) по
теореме 6 следует, что fy-F) == &sin6(O<6<7t), т. е. ft@)>
> h (л) = 0. При доказательстве теоремы 7 мы показали, что из
в) следует б). Очевидно, что из г) следует в). Нетрудно также по-
показать (это просто следует из теоремы С. Бернштейна, которую мы
Докажем в главе IX), что из д) следует г).
В статье Боаса [2] обстоятельно исследована связь между раз-
различными условиями такого вида; см. также Боас [1].
21*

324 функции класса Л [гл. v
со
б) существует интеграл J " ^ dx,
—схэ
f ln+
J 1
в)
г) |/(*)| ограничен на вещественной оси,
д) |/(*)|6?*( —оо, оо),
/ко
1) /С2)— класса А, вполне регулярного роста и ее ин-
индикаторная диаграмма есть отрезок мнимой оси;
2) все корни функции f(z), за исключением, быть мо-
может, множества нулевой плотности, лежат внутри
сколь угодно малых углов |argzj<e и \argz — тс|<е,
причем плотность
Уф- (i=l, 2)
Г
множества корней внутри каждого из этих углов равна
я-, где d — длина индикаторной диаграммы. Кроме того,
существует предел 3= lim S(r), где
Чг)= 2
.-i.
2
\ап\<г
3) функция f(z) представляется в форме
* lim
(А — вещественное число).
Доказательство. Утверждение 1) составляет соб-
собственно содержание теорем 6, 7 и 8. Утверждение 2) сле-
следует из теорем 3 и 4 § 3 главы III о распределении кор-
корней у функции вполне регулярного роста. Новым является
3). Для того чтобы его доказать, воспользуемся представ-
представлением целой функции конечной степени и вполне регуляр-
регулярного роста
lim TT (l— -V
|afci<-RV ukl

§ 5] индикаторная диаграмма 325
которое было дано в замечании к теореме 4 главы III.
Нужно доказать, что в этом представлении а — чисто мни-
мнимое число. Для этого заметим, что функция
<p(z)= lim TT (l—
может быть представлена в форме
Так как llm [§(/¦)— 8] = 0, то из леммы 5 главы II следует,
что индикаторная диаграмма функции <p(z)— отрезок мнимой
оси. Индикаторная диаграмма функции f(z) получается из
индикаторной диаграммы <р(.г) смещением на вектор а. Так
как она при этом не сходит с мнимой оси, то и получается,
что Re a = 0.
§ 5. Индикаторная диаграмма целой функции
конечной степени и класса А
Исследуем подробнее индикаторную диаграмму функции
конечной степени и класса А. Из леммы 2 этой главы легко
следует, что индикаторная диаграмма целой функции f(z)
конечной степени и класса А имеет ось симметрии, па-
параллельную вещественной оси *). В самом деле, если
f(z) = zPe"+* Ц (l — J) e^, E.57)
то
Y\ E.58)
aj
*) Впервые этот факт был замечен М, Г. Крейном,

326 ФУНКЦИИ КЛАССА А [ГЛ. VI
оо
где -г = 2 Im а + 2 V !т —, ^ = 2 1т &, и из леммы 2 легко
получить, что
Г->СО Г
Следовательно,
А/(8) = А/.( — 0) — fsinB, E.60)
т. е. индикаторная диаграмма имеет ось симметрии
у 2 *
Пусть аА = Re аА. Покажем, что индикаторные диаграммы
функции f(z) и функции
получаются одна из другой параллельным сдвигом на неко-
некоторый вектор. Для этого заметим, что если положить:
-k) ¦
ТО
Несущественно изменив рассуждения, проведенные при до-
доказательстве леммы 2 этой главы, можно показать, что *)
E.62)
и следовательно,
E.63)
Если целая функция конечной степени и класса А имеет
вполне регулярный рост, то, как было показано, ее инди-
индикаторная диаграмма — отрезок, параллельный мнимой оси.
*) Нобль [1].

§ 5] ИНДИКАТОРНАЯ ДИАГРАММА 327
Может возникнуть предположение, что это—общее свойство
всех целых функций конечной степени и класса А. Мы
покажем, что это не так, построив следующий пример.
Пример. Выберем последовательность положительных
онсеп lh \(h <' b-><Cbt< • ••) с плотностью Д, т. е.
.. п .
lim т—= Д,
и последовательность вещественных чисел {си} A^1 <; |с2|<
<|с3|<...) нулевой плотности и притом такую, что ряд
со
1
расходится. (Например, можно взять Ьп = п и сп = ± п In п.)
Выберем затем знаки сп таким образом, чтобы границы не-
неопределенности величины
были равны заданным числам а и Ъ (а < Ь).
Перенумеруем множества чисел {±#„} и {сп} в порядке
возрастания их модулей и обозначим {ап}. Множество точек
{ап} имеет плотность Д на положительном и отрицательном
лучах вещественной оси. Кроме того, при
{Г) ~ 2* ап
\ап\<г
справедливы равенства
Шп 8 (г) = a, lim 8 (г) = Ъ. E.64)
г->оо
Каноническое произведение
представляет целую функцию класса А. По теореме Лин-
делёфа (глава I, § 14) она — конечной степени, Представим

328
/(*) в
где
Имеем
форме
1т (*) =
П
г
По лемме 5 главы II
lim
Г->оо
ФУНКЦИИ КЛАССА А
4r)z
\ ln|/r(^s)l
(r)cos I r
при 6^0, u
ln|/r(re^)| _ ai „i hi
r i • !•
[ГЛ. V
Приняв во внимание E.64), получаем:
Таким образом, индикаторная диаграмма этой функции есть
прямоугольник я <*<;?, —Д<;^»<;Д. Если поменять
знаки при всех точках {сп}, то получим функцию fx(z),
у которой индикаторной диаграммой служит прямоугольник
— &<[jc-^ — а, —Д-^^-<;Д. Произведение этих функций
fi(z)f(z) есть функция вполне регулярного роста с инди-
индикатором А (8)= 2Д J sin G |.
Таким образом, мы построили пример функций, индика-
индикаторы которых при перемножении не складываются.
В этом примере индикаторная диаграмма функции f(z)
была расширена в направлении вещественной оси за счет
колебания величины 8(г). Однако можно.построить четную
функцию конечной степени (у которой 8 (г) = 0) с веще-
вещественными корнями, индикаторная диаграмма которой не
есть отрезок. Множество корней такой функции, конечно,
не должно иметь плотности, так как в противном случае
она была бы вполне регулярного роста и, следовательно,
индикаторная диаграмма была бы отрезком. Таким образом,
индикаторная диаграмма расширяется за счет нерегуляр-
нерегулярности в распределении корней, Однакр в этом случае инди-

§61
ИНДИКАТОРНАЯ ДИАГРАММА
329
каторная диаграмма не может быть сколь угодно широкой
в направлении вещественной оси. Точный результат дается
следующей теоремой.
Теорема 12. Индикаторная диаграмма четной целой
фткции f(z) конечной степени и класса А умещается,
с точностью до параллельного переноса, внутри выпуклой
области К с опорной функцией
(Д [cos 0 In A + 2 cos 9 У 2 cos 29 + 2 cos 28) +
при
I sin О I при |8rt-
liin
nf{r)
E.65)
E.66)
. Область К симметрична относительно оси Оу (черт. 8).
Оценка hf(8)^ k(Ь) — точная, так как существует
четная целая функция 'f(z) конечной степени и класса А,
у которой индикаторная диаграмма
совпадает с К.
Доказательство. Из E.63)
следует, что достаточно рассмотреть
лишь четные целые функции конечной
степени с вещественными кор-
корнями, т. е.
E.67)
Имеем:
in |/(
|= Jin |i_??
Черт. 8.
стоящая под знаком интеграла функция In 11 ^—

330
ФУНКЦИИ КЛАССА А
[гл. v
I
принимает отрицательные значения при *>rBcos2'i)
l<"j)' Поэтому
г B cos 29) 2
In|/(re'«)|< J In
1 ll e2U
Интегрирование по частям дает:
г B cos в) 2
_ f ±
Функция под знаком этого интеграла на всем интервале
интегрирования отрицательна. Кроме того, асимптотически
п (t) < (Д -\~s)t. Поэтому асимптотически
г B cos 28) 2
ln|/(rei9)|
и, следовательно,
ln\f(reif>)\<
J 4t{-
г B cos 28) 2
J
о
Наконец, положив t = tr, получим:
B cos 28) 2
E.68)

§ 51
при |«^-2
ИНДИКАТОРНАЯ ДИАГРАММА 331
- функция
In
положительна и монотонно убывает при t > 0. Поэтому,
заменяя в предыдущих рассуждениях верхний предел
B cos 20) 2 бесконечностью, мы получим асимптотическое
неравенство
In
-^ E.69)
Вычислив интегралы E.68) и E.69) и воспользовавшись
произвольностью е, мы получим hf(b)^ k(b). Первая часть
теоремы доказана.
Построим теперь пример четной целой функции конечной
степени с вещественными корнями и индикатором, равным
k(b). Выберем для этого такую последовательность поло-
положительных чисел pt < р2 < ps < ..., что
П->-оо Рп
и построим бесконечное произведение
ft=i
в котором ак суть все целые точки, попавшие в интервалы
вида (p2q_v p2q). Очевидно,
Для определения индикатора функции f(z) при 181< -т
выберем последовательность значений гд:

332 ФУНКЦИИ КЛАССА А
Легко видеть, что при q-*co
1 С I г\ё*® I
— In 1 2^— dn@-
[ГЛ. V
if
In 1
dn(t)-+k(H)
При j<|D|<Y следует выбрать
Тогда, как легко видеть,
In | <р (г„е{!>) |
f Q
1 —
или
lim
In I <p
>
Сопоставляя с неравенством
@
1 —
= tc I sin 0 I
получаем:
2тг).
Замечание. Функция срх(гг), построенная так же, как
и ср (г), с корнями на дополнительных интервалах (p2q, p.2g+1)
имеет, очевидно, ту же индикаторную диаграмму, что и
(р(г). Произведение этих функций есть sinirz и его индикатор-
индикаторная диаграмма — отрезок. Таким образом, у нас есть пример
четных функций конечной степени, индикаторы-которых при
перемножении не складываются.
*) Это легко получить, интегрируя по частям и заменяя t на

§ 61 ТЕОРЕМА М. Г. КРЕЙНА 333
§ 6. Теорема М. Г. Крейна о разложении
обратной величины целой функции
Интересный подкласс целых функций класса А был вве-
введен М. Г. Крейном [2], [3] в связи с развитой им теорией
целых операторов в гильбертовом пространстве. Речь идет
о целых функциях f(z), допускающих разложение вида
где R (z) — некоторый многочлен и
-<со. E.71)
Й = О
Основная теорема М. Г. Крейна следующая.
Теорема 13. Если целая функция f(z) класса А
допускает разложение вцда E.70), то
О f{z) —функция конечной степени и
2)
Заметим перед доказательством, что из 1) и 2) следует, что
f(z) — функция вполне регулярного роста и ее индикатор-
индикаторная диаграмма — отрезок *).
Доказательство. Заметим, что, не нарушая общ-
общности, можно считать R(z)=sQ и р = 0. В самом деле,
легко видеть, что если функция f'1 (z) представляется
в форме E.70), то, умножая ее на многочлен P(z) степени
?>? и большей, чем степень R(z), причем такой, что его
корни не совпадают с корнями f(z), мы получим функцию
*) Эта теорема была применена М. Г. Крейном [4] при изучении
спектра граничной задачи, для уравнения Штурма — Лиувилля.
•заметим, что М. Г. Крейн ограничивается случаем веществен-

334 ФУНКЦИИ КЛАССА А
ft(z) = P {z)f{z), допускающую разложение
г Л
[гл. v
E.72)
оо.
где ак — все корни ft{z) и 2 I с
Дадим оценку функции f(z), допускающей представле-
представление E.72) в полуплоскости Im z~^-r\ > 0. Для этого опишем
из каждого корня ак, как из центра, кружок радиуса
— пя lm^r \lmah\' где А =
Im-i
Обозначим
через С (х, -^\ круг \г — х — ih | < -^ при фиксированных
х и h и через С—множество исключительных кружков.
Сумма радиусов кружков, отвечающих корням, попавшим
внутрь круга С(х, -~\, удовлетворяет неравенству
i- <±h. E.73)
Отсюда следует, что если точка x-\-ih попала в область,
покрытую исключительными кружками, то вся эта область
умещается внутри круга с(х, -^-]. В каждой точке z
круга Сух, -J-), не попавшей в исключительный кружок,
имеет место неравенство
\/~Чг)\<
Cft
z—ak
«ft
I ak-x-ih\> —
\ak-x-ih\ < —
42 ы+ S
\Ck\dk\

* gj TfeOPEMA M. Г. КРЕЙНА 335
или. если учесть, что d**< 8Л | aft|9p , можем написать при
?, что
f), E.74)
где g постоянная, зависящая от функции f(z).
Определим функцию
П
В верхней полуплоскости |хB)|<!1, и из E.74) можно
получить с помощью принципа максимума:
|1^(М2+1) (Im*>0). E.75)
Из полученного неравенства E.75) легко следует, что
при ?B) = /"~1(z)xB) функция In | «в (г)| может быть пред-
представлена в полуплоскости Im z ^ tj > 0 интегралом Пуас-
Пуассона (см. теорему 4), т. е.
1П
причем
У
Воспользовавшись оценкой E.75), мы получим, что
оо
J ]ri+ll(l^)l-dt < 2vgIn 1 + ^(а-постоянная). E.77)
— со '
Подставляя в E.76) г = 1-\-щ, мы получим:
схэ
_ J 1"'

336 ФУНКЦИИ КЛАССА А [ГЛ. V
или
Г iiuiT(< + fti)l*tf I f in+\<t-4t + tij)\ „_
- ) г+i5 h J " ГТ^
—оо —со
= яА —itIn|t«pBTi+l)fl|.
Сопоставляя это с E.77), мы получим при 0 <?*»)<! 2:
<2g,lnl+g2
(ga ~~ постоянная),
и если учесть, что |x~1('+I'7i)|^> 1> т0
E.78)
Аналогичное неравенство имеет место и при
Интегрируя неравенство E.78) по у\ от —2 до 2, мы по-
получим:
2 оо
J J ln+l^+fT|)| Adt[ <ga(g3 — постоянная). E.79)
—2 —оо
Воспользовавшись теоремой Иенсена для целой функции
f(z), мы получим:
или после умножения на г и интегрирования по г от нуля
до единицы:
2я 1
6 0
zn 1

о gj ТЕОРЕМА М. Г. КРЕЙНА 337
Наконец,
2л 1
J J
о 6
уо+1 х„+1
J J
#„-1 х^-1
и из E.79) при |^о К * получается оценка
E.80)
Докажем, что f(z) — конечной степени.
Неравенство E.80) дает оценку функции f(z) в полосе
| Im z |<] 1. Для ее оценки вне этой полосы можно восполь-
воспользоваться представлением E.76), положив, например, т] = -д .
Заметив, что \f(z)\ <[ l?^)! при Im z > 0, мы из пред-
представления E.76) и леммы 3 можем заключить, что при г>г,
Г3 1 • E.81)
1УI—г"
Из этого неравенства следует, что при |^|!>1
1п|/(гг)| = о(г2). E.82)
Присоединяя оценку E.80), мы получим, что E.82) вы-
выполняется во всей плоскости. Функция
где аг и а2 — корни f(z), очевидно, также удовлетворяет
оценке
и при этом ограничена на вещественной оси. Кроме того,
из E.81) непосредственно следует асимптотическое неравен-
неравенство *
Ч Л(О0 !<(*+•) М-
22 Заь 988. Б. Я. Левин

338 функции класса А [гл. ч
Таким образом, мы получаем, что
/^ei (*•<¦•)*_ О (г3)
и ограничена на вещественной оси и на луче Оу. При-
Применяя теорему Фрагмена и Линделёфа в каждом из углов
Y и ~о -С arg2 Сл> мы установим ограниченность
этой функции в верхней полуплоскости, и следовательно,,
при у^>0 справедлива оценка
где Mt — постоянная. Оценивая также ft (z) в нижней полу-
полуплоскости, мы получим, что fx{z), а следовательно, и
f(z) — конечной степени во всей плоскости.
Для получения второго утверждения теоремы заметим,
что ln+ \f(t-\-z)\ — субгармоническая функция от г*). Из
этого следует, что функция
J
-R
— также субгармоническая. Непосредственно из определения
субгармонической функции получаем неравенство
2г.
Применяя теперь оценку E.78), мы получим неравенство
*) Субгармонической называется вещественная функция и (г)
удовлетворяющая неравенству
2л
k J u
при всех г и

§ 6] ТЕОРЕМА М. Г. КРЕЙНА 339
из которого следует:
со
Теорема доказана.
Как было уже замечено, из условий 1) и 2) следует, что
t/z\ вполне регулярного роста и ее индикаторная диа-
диаграмма есть отрезок мнимой оси. Однако относительно
роста функций класса А, допускающих представление E.72),
можно дать более полные сведения.
Мы ограничимся тем случаем, когда все ак вещественны.
Действительно, индикатор целой функции конечной сте-
степени
равен нулю при 0 ^ 6 ^ тт. Из полной регулярности роста
функции f(z) следует, что индикатор функции
? (г) = / (*)«-'*,
голоморфной и конечной степени в полуплоскости 1т.г>0,
также равен нулю. Непосредственно из представления E.72)
получаем, что
По теореме Фрагмена и Линделёфа для полуплоскости отсюда
следует, что при Im z > h > О
\<?(z)\<M
и, следовательно,
ehf'^y *). E.83)
Аналогичная оценка имеется и в нижней полуплоскости.
Интересно отметить, что если целая функция конечной
степени с индикаторной диаграммой, совпадающей с отрез-
' ———¦— •
*) Это неравенство было доказано М. Г. Крейном [2].
22*

340 ФУНКЦИИ КЛАССА А [ГЛ. V
ком [—/jx, f,u] мнимой оси, удовлетворяет во всей плоскости
неравенству
\f(z)\>c\z\e^y\ (c>0), E.84)
то она допускает разложение вида E.72). Это легко сле-
следует и} метода Коши разложения мероморфных функций.
Таким образом, для целых функций f(z) с веществен-
вещественными корнями необходимое условие E.83) мало отличается
от достаточного условия E.84) разложения функции
в ряд вида E.72).

ГЛАВА VI
КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ
Это глава состоит из двух частей. В первых четырех
параграфах мы рассматриваем распределение корней у голо-
голоморфных почти-периодических функций. В частности, в § 2
и 4 мы изучаем распределение корней у почти-периодиче-
почти-периодических функций с полу ограниченным и ограниченным спектром.
Во второй части, состоящей из § 5, 6 и 7, мы иссле-
исследуем распределение корней у целых функций конечной .сте-
.степени, приближаемых в некотором смысле конечными суммами
вида
P(r)=2a/V F.00)
к=1
с комплексными показателями.
Почти-периодические функции с ограниченным спектром
являются весьма частным видом таких целых функций.
Исследование распределения корней у этих функций осно-
основано на результатах первых четырех параграфов и на тео-
теоремах и методах, изложенных в предыдущих главах.
Основным результатом является теорема о том, что
целая функция f(z), представленная абсолютно сходящимся
рядом
ПО СО
/(*) = Se*ev (S Ы <с»), F.01)
к=1 к=1
в котором Xfc — точки границы некоторой ограниченной вы-
выпуклой области /, есть функция вполне регулярного роста.
Таким образом, по теореме 3 § 3 главы Ш для распре-
распределения корней этих функций имеется асимптотическая фор-
формула.

342 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
Аналогичные теоремы доказываются также относительно
функций более общего вида. Конечные суммы вида F.00)
мы будем называть экспоненциальными многочленами.
§ 1. Некоторые сведения из теории
почти-периодических функций
Нам понадобятся в дальнейшем некоторые основные
определения и теоремы из теории почти-периодических функ-
функций. Мы напомним их читателю *).
Множество {т } вещественных чисел называется относи-
относительно плотным, если всякий интервал, длина которого не
меньше некоторого положительного числа /, содержит по
крайней мере одно число множества. Интервал длины I на-
называется включающим интервалом множества.
Число 1 называется ^.-смещением функции f(x), если
при всех значениях переменного х выполняется неравенство
|/(*+т) — /(*)|<з. F.02)
Функция при этом предполагается комплекснозначной,
но заданной для вещественных значений х.
Функция f(x) называется почти-периодической, если она
непрерывна на всей числовой оси и каждому положительному
числу а отвечает относительно плотное множество ее е-сме-
щений. Перечислим некоторые свойства почти-периодических
функций.
а) Необходимым и достаточным условием того, чтобы
функция f{x) была почти-периодической, является компакт-
компактность на всей оси множества функций fb(x) = f(x-\-h),
зависящих от произвольного вещественного параметра h
(С. Бохнер).
Компактным же называется множество, каждая беско-
бесконечная часть которого содержит равномерно сходящуюся
последовательность.
б) Почти-периодическая функция ограничена и равно-
равномерно непрерывна на всей числовой оси. Сумма и произве-
произведение, а также предел равномерно сходящейся последова-
последовательности почти-периодических функций есть почти-перио-
почти-периодическая функция.
*) Подробное изложение теории почти-периодических функций
дано в книге Б. М. Левитана [1]; см. также Г, Бор [1].

& 1] ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 343
в) Обобщенный тригонометрический многочлен, т. е.
функция вида
2 «*«*** F.03)
(kk — вещественные' числа),
есть почти-периодическая функция, так как он является
суммой периодических функций. Равномерный предел таких
многочленов также есть почти-периодическая функция.
г) Для всякой почти-периодической функции существует
«среднее», т. е.
Т+а
M{f}= Urn J= Г f{t)dt, F.04)
причем сходимость равномерная относительно а.
«Коэффициенты Фурье»
а (л) = М {f(x)e-ilas} F.05)
отличны от нуля лишь для счетного множества значений \.
Это счетное множество Xt, Х2 кп, ... называется
«спектром функции f(x)» или множеством ее показателей
Фурье, а ряд
ОО
fix)-^2 e*«*V («a = а(h)) F-06)
— рядом Фурье функции f(x).
Имеет место равенство Парсеваля
со
м{|/р}= 2 КГ2. F-07)
эквивалентное теореме единственности, т. е. теореме о том,
что различным почти-периодическим функциям отвечают
различные ряды Фурье.
д) Существует последовательность множителей Ьц
(k — 1, 2 п, 0 < bf] < 1) и *ira)-> 1 при п -»¦ сю такая,
что при любом s > 0 и п > Л/1 (s) верно
/(*) — S bfa^ | < е (— оо < х < оо). F.08)
* 1

344 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. ij
Из этой основной теоремы следует, что класс почтцз
периодических функций есть замыкание класса обобщенны!
тригонометрических многочленов.
е) Если последовательность обобщенных тригонометри-
тригонометрических многочленов
сходится равномерно к f{x), то а'^)-^-ан— соответствую-
соответствующему коэффициенту Фурье функции f(x).
Функция f(z), голоморфная в замкнутой полосе а <!.у^?
(у = Im z), называется почти-периодической в этой полосе,
если каждому положительному числу е отвечает относи-
относительно плотное множество е-смещений функции f(z), т. е.
таких вещественных чисел т, что
\f(z-\-x) — f(z)\<z при а <;/<?. F.09)
Функция f(z) называется почти-периодической в откры-
открытой полосе —со <; а <_у < Э -^ со, если она почти-перио-
' дическая во всякой замкнутой полосе, принадлежащей по-
полосе a<_y<j3. Заметим, что для почти-периодических
функций в полосе имеет место теорема С. Бохнера, т. е.
а') почти-периодичность голоморфной функции f(z) в по-
полосе а^.у^.$ означает, что множество функций f{z-\~h)
при вещественных h компактно в смысле равномерной схо-
сходимости в этой полосе.
Кроме того, в этой полосе f(z) можно равномерно при-
приблизить экспоненциальными многочленами.
Теорема 1. Пусть f(x) — почти-периодическая
функция, определенная на вещественной оси. Для того
чтобы существовала голоморфная функция конечной сте-
степени Д в полуплоскости Im z > 0, имеющая на веществен-
вещественной оси предельные значения, совпадающие со значе-
значениями f(x), необходимо и достаточно, чтобы точная
нижняя граница спектра f(x) была равна —Л. При
атом f(z) будет почти-периодической в. полуплоскости,
I>0

- j. ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 345
Доказательство. Пусть f(x) — почти-периодическая
функция и — ¦ !* = inf h- По основной теореме д) существует
последовательность многочленов
равномерно сходящаяся к функции f(x) на вещественной
оси, причем числа Х^ .суть показатели Фурье функции f(x).
Так как | е**? \ = е~^у .< е*у (у = Im z), то многочлены
e-*v*Pn(z) ограничены в полуплоскости Im2>0.
По принципу Фрагмена и Линделёфа модули этих много-
многочленов ограничены в полуплоскости Im 2>- 0 тем же чи-
числом, что и на вещественной оси. Таким образом, из не-
неравенства
следует неравенство
\е-^Рп{г) — е~^Рт{г)\<г при I
и последовательность многочленов е~^Р„(г) равномерно схо-
сходится в полуплоскости Im z^ 0 к ограниченной функции
*/(). Функция /(г) голоморфна при Im z > 0 и
F.10)
= sup |/(x)|, ^=I>0)
т. е. f(z) — конечной степени Д<^.
Пусть теперь дано, что почти-периодическая функ-
функция f(x) является граничной для голоморфной функции f{z)
конечной степени Л в полуплоскости 1т.г>0. Эта функция
ограничена на вещественной оси и, следовательно, по прин-
принципу Фрагмена и Линделёфа
F.11)
По теореме Коши интеграл по прямоугольному контуру
(—Т, T,T-\-iy, —f-\-iy,'—Т) от голоморфной функции

346 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
f(z)e~ilz равен нулю, т. е.
т т
~ [ f(x)e»*dx — ^ f /(*+
+ 27
о
г/
t = O. F.12)
Из неравенства F.11) следует, что при Т-+со последние
два члена стремятся к нулю и, следовательно,
а (А) = М [f(x)е-^\ = М {f(x + iy)е~л(ж+ 1у]\.
Отсюда и из неравенства F.11) следует:
Если Х<—Д, то при у-+-\-оо получим а(А) = О.
Итак, спектр f(x) ограничен снизу и —р = inf kk^- — h.
Теорема доказана.
Следствие. Для того чтобы почти-периодическая
функция f(z) была целой функцией конечной степени,
необходимо и достаточно, чтобы ее спектр был огра-
ограничен.
Заметим еще, что при этом наименьший отрезок мнимой
оси, содержащий весь спектр функции f(x), совпадает с ее
сопряженной диаграммой.
§ 2. Корни почти-периодической функции
с ограниченным спектром
Если в сумме F.01) все показатели Хк лежат на мнимой
оси и, следовательно, выпуклая область / есть отрезок на
мнимой оси, то по следствию из теоремы 1 f(z) есть целая
почти-периодическая функция конечной степени. Таким об-
образом, в этом случае наша задача приводится к задаче о рас-
распределении корней целой почти-периодической функции.
Соответствующие теоремы будут изложены в этом и двух

§ 2] КОРНИ ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ 347
следующих параграфах. Эти теоремы понадобятся нам не
только, когда выпуклая область / есть отрезок мнимой оси,
но и в том более общем случае, когда граница / содержит
прямолинейные отрезки. Сначала докажем леммы.
Лемма 1. Пусть f(z)— голоморфная и не равная
тождественно нулю почти-периодическая функция в по-
полосе |_у|<А. Тогда любому числу 8>0 можно сопоста-
сопоставить число т (8) > 0 так, что
|/(*)!>« (8)
при z, лежащем в полосе \y\^Ch — 8 и вне кружков ра-
радиуса 8 с центрами в корнях функции f(z).
Доказательство. Предположим, что точная нижняя
граница значений функции | f(z) | в указанной области равна
нулю, т. е. что для некоторой последовательности {zj}
(/'=1, 2, ...), взятой из этой области, lim /(гЛ — О.
J-*OD
По теореме Бохнера а') из последовательности функций
— f(z-\-Xj) (Zj = Xj -j- iyj) можно выделить подпосле-
подпоследовательность »н. (z) = f{z -f- xn.), сходящуюся равномер-
равномерно в полосе \у\ <А —8 к некоторой функции fo(z). Пусть
z — iy0 — точка сгущения для точек iyn.. Из условия
Нш <?„ Ну .)= lim /(* -f-OV.) = О
следует fo(tyo) = Q- По известной теореме Гурвица о кор-
корнях равномерно сходящейся последовательности голоморф-
голоморфных функций все члены последовательности 'on.(z)> начиная
с некоторого, должны иметь корни в 8-окрестности точки iy0.
Иначе говоря, функция f(z) имеет бесконечное множество
корней в кружках \z — zn. | < 8. Но это невозможно, так
как точки zn. находятся на "'расстоянии, большем 8, от мно-
множества корней функции f(z). Лемма доказана.
Лемма 2. Число корней голоморфной и почти-пе-
почти-периодической в полосе |v|<A функции f(z), попавших
в прямоугольник f<x<;/-)-l, |_у|^А — о, ограничено
некоторым числом &(8), не зависящим от t.
Доказательство. Предположим, что существует
такая бесконечная последовательность чисел tj, что число
корней функции f(z) в. соответствующих прямоугольниках.

348 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
неограниченно возрастает. Выделим из последовательности
функций f(z-\-tj) равномерно сходящуюся последователь-
последовательность. Предельная функция fo(z) должна иметь бесконечное
множество корней в прямоугольнике 0<x< 1, |_у|<1Л — 8
и, следовательно, она тождественно равна нулю. Но из рав-
равномерной сходимости последовательности функций f(z-\-tn )
к /0 (z) следует, что
sup |/о(*)|= sup \f(z)\ (|_у|<Л-8),
— оо<а;<оо —oo<aj<oo
т. е. f(z)==-0. Лемма доказана.
Лемма 3. Если спектр почти-периодической функ-
функции f{x) ограничен снизу и точная нижняя граница —Л
входит в спектр, то
lim eiL <*+<»>/ (х + iy) = а (— Л),
причем стремление к пределу равномерно относительно х.
Доказательство. Пусть
— последовательность почти - периодических многочленов,
равномерно сходящаяся на всей вещественной оси к функ-
функции f(x). При доказательстве теоремы 1 было показано,
что последовательность почти-периодических многочленов
равномерно сходится в полуплоскости Imz^O к функции
еш/{г).
При _у->-|-оо почти-периодический многочлен Qn(z) равно-
равномерно стремится к своему коэффициенту Фурье а(п)(—Д).
С другой стороны,
КтаМ(— Д) = а(— Л),
п-»-оо
где а (— Д) — коэффициент Фурье функции f(x).

§ 2] КОРНИ ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ 349
Выбрав число п так, что
мы получим, что при всех достаточно больших значениях у
| eiAZ f(z) _ а (_ Д) | < | еглг [ /(г) _ />„ B)] | +
4-|е*ЛгР„B) —аИ(—Д)| + |а(»)(—Д) —а(—Д)|<з.
Таким образом, при у->-\-оо функция
равномерно стремится к а(—Д).
Теорема 2 (Г. Бор). Для того чтобы все корни
\ак) почти-периодической функции конечной степени Д
в верхней полуплоскости (Im z > 0) были расположены
под некоторой прямой, параллельной вещественной оси
(Im ak < Л), необходимо и достаточно, чтобы точная
нижняя граница — Д спектра функции входила в спектр.
Доказательство. Если —Д входит в спектр, то
й(—Д)=?0, и по лемме 3 функция f{z)eiLl не обращается
в нуль при достаточно большом у {y^-h).
С другой стороны, если - все корни функции f(z) лежат
под прямой у = Л, то функция In \f(z)eUz\ — гармоническая,
ограниченная сверху в полуплоскости _у^-Л1(Л1 = Л-j-S,
й !> 0) и, следовательно, по теореме 4 главы V предста-
представляется в форме
. F-13)
Мы используем при этом, что по теореме 1 этой главы
Ш JEl/Мид.
У

350 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
По лемме 1 существует такое число т > 0, что
In \f{t-\-ihx)\ > In m при —со < t < со, и из равен-
равенства F.13) получаем, что
\f{z)eihz\>me-L^ при y>h1.
Таким образом, lim /(.г)е*Дг#0 и, следовательно, число
2/->со
—Д входит в спектр.
Следствие 1. Если нижняя граница спектра почти-
периодической функции f{z) отрицательна и не входит
в спектр функции, то f(z) принимает в полуплоскости
у > h > 0 лю5ое значение.
В самом деле, при любом комплексном числе А точная
нижняя граница спектра функции f{z) — А (та же, что у f(z))
не входит в спектр, и следовательно, эта функция имеет
корни со сколь угодно большой мнимой частью.
Следствие 1 есть известная теорема Бора.
Следствие 2. Для того чтобы все корни целой почти-
периодической функции конечной степени располагались
в некоторой полосе, параллельной вещественной оси, необ-
необходимо и достаточно, чтобы верхняя и нижняя границы-
спектра («концы») входили в спектр.
Такие функции мы будем в дальнейшем называть функ-'
циями класса [Д], если ширина индикаторной диаграммы
равна 2Д. Функция класса [Д] является с точностью до мно-
множителя вида eiks функцией степени Д.
Лемма 4. Если нижняя граница — Д спектра почти-
периодической функции f(z) входит в ее спектр, то суще-
существует такое вещественное число Н, что при j > Н функ-
функция arg f(x-\-iy), рассматриваемая как функция от х,
представима в форме
arg/(* +/у) = —А*+ <?,(*), F.14)
где fy(x) — почти-периодическая функция.
При этом, конечно, предполагается, что из бесконечного
множества значений argf(x-\-iy) выделена какая-нибудь
непрерывная ветвь. Такое выделение возможно, так как при
у>Н f{x + ly) + Q.
Доказательство. Представим функцию f(z) в форме

§ 2] КОРНИ ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ 351
Это возможно, так как, по предположению, а(—Д)#0.
Показатели Фурье функции С (г) все положительны и, следо-
следовательно, при достаточно большом И > О и _у > И будет
выполняться неравенство | ? (х -f- iy) | < 1.
Выделив однозначную ветвь функции In [1 —(— С (л;)], положив,
например, | arg[l +СB)]|< тс при |СB) | < 1, мы получим,
что
есть непрерывная функция от почги-периодической функции
1 -)- С (х + /_у) и, как это прямо следует из определения,
также является почти-периодической. Таким образом, имеем:
а (—Д)],
причем фр(х) = Im \4y(x)-\-Yn a(—А)] — почти-периодическая
функция.
Теорема 3. Корни функции f(z) класса [А] лежат
в полосе |у|<Л, и если n{t) —число корней в прямо-
прямоугольнике \у | ^ h, 0 < х ^ t, то
причем функция <s>(t) ограничена*).
Доказательство. По следствию 2 из теоремы 2 все
корни f(z) лежат в полосе. Выберем Н достаточно большим
и, применив к прямоугольнику \у \ «^ Н, 0 < х ^ ^ известную
формулу для числа корней функции внутри контура, будем
иметь:
-я
t я
При этом мы предполагаем, что на прямых х = 0 и x=-t
нет корней функции f{z).
*) В дополнении мы излагаем работу М. Г. Крейна и автора,
в которой дана полная характеристика множества корней функции
класса [Л].

352 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
Первое из этих предположений можно сделать, не нару-
нарушая общности рассуждений, ибо можно вместо функции f{z)
рассматривать /(г-\-г). Взяв вещественные части от обеих
частей равенства и воспользовавшись леммой 4, мы получаем:
я
2«л@ = 2М + ?я@-?_я(*>+ Re J ^'(f_+^rfs + с,
-и F.16)
где <ря@ и «_я@ — почти-периодические функции и
я
:==~Re J
Докажем ограниченность функции
— 2Д/ —
Назовем исключительными те значения /, при которых
прямая Re z = t пересекает кружки радиуса 8 > 0 с центрами
в корнях ак функции f(z). Эти значения, очевидно, обра-
образуют интервалы, которые мы назовем исключительными
интервалами. Ограниченность функции <»(?) вне исключи-
исключительных интервалов легко следует из ее интегрального пред-
представления
я
а) (?) = Re
-я
В самом деле, из формулы
7 W —йи/ _J ис-
исследует при |_у|<# неравенство
I /' (z) I -^ ^
в котором
М = sup

§ 3] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О КОРНЯХ И О СРЕДНЕМ ДВИЖЕНИИ 353
С другой стороны, nput, лежащем вне исключительных интер-
интервалов, по лемме 1 |/(*-)-is) | > m (S) > 0 и, следовательно,
Для оценки функции ш (t) в исключительных интервалах заме-
заметим, что по лемме 2 их общая длина в любом интервале
(х, х-\-1) не превышает 2kb, где k— наибольшее число кор-
корней функции f{z) в прямоугольнике *< х < t + 1, |.y|<i H-
Мы будем предполагать, что 8 < jr. Обозначим через x(s)
точную верхнюю границу колебания функции 2М— ?я@~Ь
-|-ф_я@ на интервале (х, x~\-s) при —оо < х < оо.
В силу равномерной непрерывности функций <ря@ и <?_B(t)
функция x(s) ограничена. Выберем при заданном значении t
число s(lsl<~o") так> чт°бы точка t-\-s находилась вне
исключительных интервалов. Тогда
и, следовательно,
|»@1< 2НМт-1 C) + 2*k + х (у)
при всех значениях t. Теорема доказана.
§ 3. Общая теорема о корнях и о среднем движении
для голоморфных почти-периодических функций
Средним движением для комплекснозначной функции f(x),
определенной на вещественной оси и отличной от нуля,
называется предел
с = lim aig/(*)-arg/(y)
Т Х-У + оэ Х~У
При этом выбирается какая-нибудь непрерывная ветвь функ-
функции argf(x). Если функция f(x), голоморфная на веществен-
вещественной оси, обращается в нуль в некоторых точках, то в них
различают «правый» и «левый» аргументы функции f(x).
Правый аргумент определяют так: в какой-нибудь точке xQ
выбирают произвольно значение arg/(x) и непрерывно про-
продолжают его направо до ближайшего корня /(#). Этот
корень обходят снизу по малой полуокружности и снова
23 Зак. 988. Б. Я. Левин

354 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
продолжают его непрерывно по вещественной оси направо.
Так же продолжают arg/(x) налево, обходя каждый корень
снизу. Очевидно, что при переходе слева направо через
корень функции кратности р правый аргумент получает при-
приращение pit. Левый аргумент получается таким же обра-
образом при обходе корней функции сверху. Очевидно, что
при переходе через корень кратности р левый аргумент
получает приращение —ър. Соответственно определяют
правое и левое средние движения с+ и с~. Если с+ — С7, то
эта величина называется средним движением и также обо-
обозначается Cf*).
*) Первая проблема, относящаяся к среднему движению, была
поставлена Лагранжем в 1782 г. в связи с одним астрономическим
вопросом. Ее можно сформулировать так: доказать, что всякий обоб-
обобщенный тригонометрический многочлен имеет среднее движение.
Этой проблеме посвящено много тонких исследований. Мы
укажем здесь некоторые из них. Сам Лагранж рассмотрел лишь
тот тривиальный случай, когда модуль одного из коэффициентов
превосходит сумму модулей всех остальных. Рижский математик
Боль показал, что обобщенный тригонометрический многочлен,
составленный из трех слагаемых, всегда имеет среднее движение.
В 1916 г. Г. Вейль доказал, что если в обобщенном тригоно-
тригонометрическом многочлене
числа У-к линейно независимы (т. е. нет таких целых чисел m/с, что
п п
2 Vft"^ и 2 mft^0)' т0 этот многочлен имеет среднее дви-
жение. Впоследствии, развив свой метод, Г. -Вейль [1] показал, что
проблема Лагранжа имеет положительное решение. Однако доказа-
доказательство Г. Вейля содержало погрешность. Сделав нужные уточне-
уточнения, Иессен и Торнгавт [1] дали в 1945 г. полное решение вопроса.
В этой статье Иессена и Торнгавта подробно изложена также
история вопроса> изложены основные результаты, относящиеся
к этой области, и дана полная библиография.
Задача о среднем движении ставится не только для обобщенных
тригонометрических многочленов, но и для произвольных почти-
периодических функций. Основной здесь является следующая теорема
Бора [2].
Аргумент, почти-периодической функции f(t), удовлетво-
удовлетворяющей неравенству \f(t) | >/п>0 на всей числовой оси, пред-
ставляется в форме
где с—некоторая постоянная, а у (t) — почти-периодическая
функция.

§ 31 ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О КОРНЯХ И О СРЕДНЕМ ДВИЖЕНИИ 355.
В этом параграфе мы изложим некоторые из теорем
Иессена о среднем движении и о распределении корней
у голоморфных почти-периодических функций.
Лемма 5. У каждой голоморфной в полосе а < у < J5,
не равной тождественно нулю, почти-периодической
функции f(z) существует среднее
Ч(у) = М [ln\ f(x + ty)\) F.17)
х
при а<_у<р.
Доказательство. Положим |/(_y)|OT=max {|/(y)|; т).
Функция ln\f(x-\-iy)\m, очевидно, является почти-периоди-
почти-периодической функцией от х и поэтому имеет среднее
. F.18).
Построим квадрат (/): \х — яо|<1 и \у—^0|<1 и обо-
обозначим через k максимально возможное число корней в пере-
пересечении этого квадрата с полосой a-f-8 <; _у <j; р — 8(S>0)
при фиксированном у0 и изменении х0 от —со до оо
(см. лемму 2).
Выберем число 8t > 0 настолько малым, чтобы выполня-
выполнялось неравенство 2Л31<-2". Множество, покрытое круж-
кружками радиуса 8Х с центрами в корнях функции f(z), состоит
из областей. Диаметр каждой такой области »^(/= 1,2 р),
пересекающей квадрат \у—J'ol^'o» I* — xol ^ -к> не пРе"
восходит, очевидно, величины 2kbt <-д-, и поэтому каждая та-
такая область умещается в квадрате (/). Вне этих исключитель-
исключительных областей имеем по лемме 1
Рассмотрим интеграл
'= /
в котором т = т(Ь) и \у—^ol^-g"' Вне исключительных
областей «ь(/= 1, 2, ..., р) подинтегральная функция равна
23*

356 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
нулю. Построим многочлен
il8
8 = 1
в котором z8 — корни функции f(z) в квадрате (/)
Очевидно, всюду в (/) имеет место неравенство |
<^BV^2)ft. На границе исключительной области <Oj будем
иметь:
По принципу максимума это неравенство будет иметь место
во всем квадрате \х — *ol<^'2> \У—л!-^? и> следова-
следовательно,
и в областях (Oj будем иметь неравенство
й
2
8-1
Так как диаметр <о^ не превосходит 2/г8х, то получаем
отсюда:
|У1 <ЗйаIn 2SX — /г J \a\t\dt (a + 8<,y<0 — S).
Эта оценка имеет место при произвольном х0.
Устремляя S к нулю, а следовательно, и /»(S)->0, мы
получим, что У-+0 равномерно относительно a-f-S.^j'-^
C —S. Обозначая
In \f(x-{-iy)\dx
и строя аналогично <fm(y, xv л;2) по 1п|/(л;-|-/_у)|т, мы
получим:
при m < то, и произвольных xt и ха (ха >

§ 3] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О КОРНЯХ И О СРЕДНЕМ ДВИЖЕНИИ 357
Таким образом, при достаточно малом т получается:
lim <f(y, xx,
Отсюда следует существование <р(у). Лемма доказана.
Изучим функцию .<р(.у). Для этого удобно воспользоваться
принципом аргумента. Обозначив через n(xv х%, s, t) число
корней функции f(z) в прямоугольнике xt < Re z < jc2,
s^,\mz4^t, расположенном в полосе почти-периодичности
f(z), и применяя принцип аргумента, можем написать:
Последний член в этом равенстве (мы обозначим его
C(xv x2, s, t) есть функция, ограниченная на относитель-
относительно плотном множестве Е значений переменных xt \i лга
(ср. с рассуждением в теореме 3).
Из условий Коши — Римана следует
dx ds
и после подстановки получается:
2im(xv xit s, 0 =
F.20)
Интегралы в правой части равенства F.20) существуют
при всех значениях величин s и t, за исключением, быть
может, счетного множества.

358 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
Пусть а<У1<Уй<Уа<$- Проинтегрировав обе части
равенства F.20) по s в пределах от yt до у%, по t от у.2
до у3 и поделив на лг2 — xv мы получим:
Vz J/a
2" ( Г n(xv x.2, s, t)dsdt =
Х% — Х-^ J ,}
} СУ-2 - Уд +
+ —Ц- f f C(xlt x2, s, f)dsdt.
хч — x\ J J
Z/j Vi
Перейдя затем к пределу при х2 — хх -> -\- оо и считая,
что xt и х2 принадлежат относительно плотному множе-
множеству Е, на котором функция C(xt, x%, s, t) ограничена, мы
получим:
—[? (Л)-? Ci)l (Л—лЖ? (Л>-? СУаI (У-2-Ух) > 0 F.21)
ИЛИ
?СУ1)(Уй—Л) + ?(^а)СУ. —Л)+?(У8)(У1-Л)<0. F.22)
Таким образом, функция <?(у) — выпуклая. По известным
свойствам выпуклых функций у (у) имеет в каждой точке
правую и левую производные, причем правая производная
в данной точке не меньше, чем левая. Известно также, что
правая производная выпуклой функции равна левой во всех
точках, за исключением, быть может, счетного множества,
и ?'Су) — неубывающая функция*).
Теорема 4. Если производная <р'(у) существует при
У —Ух и У = У2 СУз>Л)> то существует предел
2* lim ¦П{Х11х*>*у*~ч'(у*)-?(У1)- F-23)
*) В главе I мы получили аналогичные теоремы о тригонометри-
тригонометрически выпуклых функциях.

§ 3] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О КОРНЯХ И О СРЕДНЕМ ДВИЖЕНИИ <$59
Доказательство. Выберем число h так, чтобы
производная <?'(у) существовала npny = yt— h, у = y$-\-h,
и настолько малым, что
У(Ут) — У(У1 — h)
h
Проинтегрируем равенство F.20) по s в пределах^ — Л,yt
и по t в пределах у2, У-2~\~Ь> поделим его на лг2 — х1
и перейдем к пределу при лг2 — л^-юо, считая, что JCj
и лг2 принимают значения из того относительно плотного
множества Е, на котором функция C(xlf x.2, s, t) ограни-
ограничена. Мы получим:
Уг+Ь ?'.
lim
Уг-Ъ
. _ У (Уг + А) — У (У2) У (УО — У (У1 — ^) /fi 94>>
При А > 0 подинтегральная функция не меньше, чем
n(xv x%, yt, у^)(х2 — x^jT1, и мы получим:
2, iE "(Ъ^УьУ*)*
Аналогично при h < 0 получаем:
№,+л ?'¦
Из этих двух неравенств следует F.23). Освободимся еще
от требования, чтобы величины х1 и х2 принимали значе-
значения только из Е. Заметим, что при любых хг и х* можно
подобрать четыре числа х[, x"v х'г и х'^, принадлежащие Е
и такие, что \х[ — х[\<\, | *2 — •*? | < 1 и х[ < х± < х'[,

360 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
Непосредственно из определения функции n(xlt x2,yvy2)
следует, что
4-*1 п(*Г, 4 уР у2) п (хр х2, yv уг)
Х% — X-l Х2 — •*! Х2 X-l
я (х\, *;', yv y2) х-х[
<%- Г, / * > \р.?О)
2 1 2 ^^ 1
и, очевидно, все три величины имеют общий предел при
•"•а — #x-»-oo.
Теорема 5. Если при у = у0 существует производи
яЬя <р'(.Уо)> то Функция f(x-\-iy0) имеет среднее движе-
движение ) '()
?(y0)
Доказательство. Функция n(xv x2, y0, t)(x%—хх) 1,
монотонная от t, имеет в силу теоремы 4 предел при
•"•2 — хг-уоо при всех значениях переменной t, за исклю-
исключением, быть может, счетного множества. Так как, кроме
того, эта функция ограничена при yt ^.t^.yt-\-h, то
существует предел
lim
Vi+h
^ Г n{xv x2, y0, t)dt .
Положив в формуле F.20) s=y0 и интегрируя обе части
по t от yt до yi~\-h, получим:
?
= — (x2 — jtj) J ln|/[* + /(yiH-A)
4
H- (*9 - ^i) J >n I /(* + ^j) I dx -
— (J<ra — xj-1 J CC^, jc2> .y0. t)dt-\-
Vi+h
-\-2к(х2 — х1)-1 J n(xv x2, y0, f)dt. F.26)

§ 4] ФУНКЦИИ С ПОЛУОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ 361
Все величины в правой части равенства имеют предел
при х2 — л^-^оо. Переходя к пределу и воспользовавшись
теоремой 4, получим:
= —<р'О0- F-2?)
§ 4. Теорема о среднем движении для почти-
периодической функции с полуограниченным спектром
Из формулы F.27) следует, что cf(y) — монотонно убы-
убывающая функция. Если точная нижняя граница — Л спектра
функции конечна, то функция еш/(г) ограничена в верхней
полуплоскости, а следовательно, и выпуклая функция <р (у)—Ду
также ограничена при у > 0. Это возможно лишь при усло-
условии у'(у) — Д<^0. Таким образом, в этом случае монотонно
убывающая функция cf(y) ограничена снизу числом —Ли,
следовательно, имеет предел
lim cf О0> — Л- F.28)
>+оо
Из леммы 3 следует, что если число —Л входит в спектр
функции f(x), то в F.28) имеет место знак равенства.
Оказывается, что этот предел равен —кие том слу-
случае, когда —А не входит в спектр функции f(x)."
Эта теорема кажется весьма естественной, но доказа-
доказательство ее довольно "сложно *). В дальнейшем мы исполь-
используем эту теорему при изучении общих экспоненциальных
сумм. Для ее доказательства нам понадобится ряд лемм.
Прежде всего докажем следующую общую лемму.
Лемма 6. Если голоморфная в круге \z—^ol^7"
функция f(z) удовлетворяет неравенству |/B)|^1 и,
кроме того,
\/М>е-1, F.29)
то изменение функции arg/(z) на любом прямолинейном
отрезке, расположенном в круге \z — z0\^p = rBe)-1,
не превосходит величины D-(-2u)f.
Доказательство. Положив а = ге~1 и обозначив
через га(/, о, z0) число корней функции f(z) в круге
*) Б. Я. Левин [4].

362 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. V]
\2—zo|<o, мы из леммы 4 § 5 главы I получим:
»(/. о. ^оХт- F.30)
Составим по этим корням функцию
1«71<'а UkU
где a = z— zQ и ак = ак — z0 {ak — корни /(^)).
Функция
zo) = f(z)y-Hz, г,,), F.31)
голоморфная и не имеющая корней в круге \z — z0|<^o,
удовлетворяет на границе, а следовательно, и внутри этого
круга неравенству
Так как внутри этого круга | у (z, z0) | < 1, то | <р (z0, z0) | >е~т.
Применяя к голоморфной при \z — z0|<o функции
In у г° неравенство Каратеодори (глава I, § 6), положив
Ч (z0> ZQ)
в нем R = 2г, мы получим:
|1п«р(г, zo)~Inср(г0, zo)|< —21п|ср(г;0, zo)|
при \z-—zo\<j=p.
Таким образом, если zt и z2 — две точки из круга | z—zo\ <р,
то
|1пя»(г9, г0) — i
и тем более
I arg <р (га, г0) — argcp (zt, zQ) \ < 4Т. F.32)
Изменение аргумента функции ст v" ~^_цл) на любом прямо- .
линейном отрезке меньше, чем 2тг, откуда следует:
I argх (z2. zQ) — argyv (zt, г0) | < 2icre (/, о, г0). F.33)
Сопоставляя F.31), F.32), F.33) и F.30), получаем, что
arg/(zx)

§ 41 функции с полуограниченным спектром 363
При этом, очевидно, безразлично, принимается ли за arg/(z)
правый или левый аргумент при движении точки z по
отрезку \zv z2]. Если спектр ограничен снизу, то можно,
не нарушая общности, считать, что его нижняя граница
равна нулю. Если при этом нуль не входит в спектр, то
по лемме 3 функция f(x-\-ty) равномерно стремится к нулю
ПрИ _у_»._|_оо. Поэтому, не нарушая общности, можно счи-
считать, что |/(-*:) |<; 1 и, следовательно, во всей полуплоскости
Для оценки изменения аргумента функции f(z) на пря-
прямой у = R мы воспользуемся леммой 6. Для того чтобы это
можно было сделать, нужно показать, что в окрестности
каждой такой прямой можно найти достаточно плотное
множество точек (опорных пунктов), в которых выполняется
неравенство вида F.29).
Дальнейшее посвящено доказательству существования
таких опорных пунктов.
Лемма 7. Пусть {ак}—последовательность чисел
Im i
ta-L
ak
<оо
¦ft^T \ ak / \ ak,
Тогда величина
J(X, R) = -^ [ 1п | х (Reif>) [ si
б
sin 0 db
стремится к нулю с ростом R.
Доказательство. Учтя, что W(J?)| = 1, и восполь-
воспользовавшись формулой Карлемана E.02'),* мы можем написать:

364 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
где ак = гкег\ Но у/@) =— 2t ^Im^" и> следовательн0'
ъю= 2 ^-i 2
* fc rk<s
При некотором г, > 0 будем иметь:
Кроме того, при некотором /?е > 0 и
sin
и следовательно, асимптотически
Правое неравенство вытекает из неравенства |у(г;)|<1
при Im z > 0.
Лемма 8. ?Ъяи голоморфная при 1тг;>0 и непре-
непрерывная в замкнутой полуплоскости функция конечной
степени ty(z) допускает представление
F.35)
—со
то
В-»оо
Доказательство. Составляя выражение
меняя порядок интегрирования, мы получим:
где
со
kit, R) = ±
тс J #a + *a — 2/?^ cos 8'

§ 41 функции с полуограниченным спектром
что после вычисления дает:
365
Таким образом,
в
1
1
при \t\<R,
при 111 > R.
-dt+k. F.36)
Существование второго интеграла можно получить не-
непосредственно из существования интеграла F.35) с помощью
интегрирования по частям, так же как в § 3 главы V.
Вводя функцию
* ( —01 dt (*>A),
= Г
мы легко получим, что
в
мв,
— |i f
и, учитывая, что «рх(О стремится к нулю при t > X и Х->оо,
получим, что при некотором Ае>0 и /?^
F.37)
Выбрав число R, достаточно большим, мы при /?>/?,
будем также иметь:
.. 1
j
О
Л
F.38)

366 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
Из F.36), F.37) и F.38) следует утверждение леммы. Объ-
Объединением лемм 7 и 8 получается
Лемма 9. Если функция f(z) — голоморфная и ко-
конечной степени в полуплоскости \т z ;> 0, причем суще-
существует
f
J
In 1/@/(-01 ., fi „
f+la dt F.
ш = *, F.40)
{/-» + oo У
mo
lim J(f, R) = k. F.41)
Доказательство. По теореме 5 § 3 главы V из
предположений этой леммы следует, что функция f(z) пред-
представляется в форме
где y(z) определяется формулой F.34) (ай — корни функ-
функции, f(z)), a ty(z) допускает представление F.35). Отсюда
получаем*.
«). F.42)
и остается сослаться на леммы 6 и 7.
Лемма 10. Пусть f(x) — почти-периодическая функ-
функция с точной нижней границей спектра, равной нулю,
и пусть
ТЕ
J(f, ~. R) = ^ J In |/(т+ /?eie) | sin 6 db. F.43)
о
Тогда каждому числу г > 0 отвечают относительно плот-
плотное множество вещественных чисел z и число Rt такие,
что при /?>/?,
— 8<У(/, х, Д)<0 F.44)
для всего множества чисел {г}.
Доказательство. Не нарушая общности, можно
считать, что |/(^)|< 1 (достаточно умножить функцию f(x)

§ 4] ФУНКЦИИ С ПОЛУОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ 367
на некоторую постоянную). По формуле Карлемана имеем:
= У(/, т, Я)+А(/, т, Я), F.45)
где rfc (т) et9*w = йй — •: (ай— корень f(z)) и
Л(/. *. Я) = -ьп1 J
Левая часть равенства F.45) есть функция, монотонно
возрастающая с ростом R при любом фиксировании т. Мы
будем ее обозначать ty(#. т). По лемме 8 имеем при неко-
некотором я! > 0 и Я > Я[:
—J < 7(/, О, Я)< 0. F.46)
Пусть, кроме того, Я. настолько велико, что при
R^Rm выполняется неравенство
|Ях(/. О, Я)|<?, F.47)
где
^х(/. 1. Д) = А(/. t, Я) —А(/. т. °о) =
1С
= -Im^a J
о
Выберем числа 0<Х<1 и Re^>R[>k так, чтобы на
полуокружностях z = Xeih и z = Rtei% @ <[ 6 <[ те) не было
корней функции f(z); обозначим точную нижнюю границу
|/B)| на этих полуокружностях через т > 0 и выберем
число 3 так, что 8<-^-.

368 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
Если т есть о-смещение функции f(z) в полосе
и точка z принадлежит одной из полуокружностей, то
|ln/(z+,)-ln/(,)| - | in [l- /W7ff-"]| < ? < |.F.48)
Таким образом, при R^ Ra и указанном выборе чисел т
и } F.49)
\Bx(f, х, RJ — BiU, О, Re)\<^. j
Из первого из этих неравенств и F.46) следует:
По формуле Карлемана F.45) функция J(f, т, /?) есть
сумма монотонно растущей функции ф(#, т) и функции
А(/> т> R)> колебание которой при изменении R от R,
до оо не превышает в силу неравенств F.47) и F.49)
величины -5-. Таким образом, при R^ Ra
— е<У(/, т, R)<0, ¦ F.51)
где {х} —относительно плотное множество 3-смещений функ-
функции f(z) в полосе 0^.y^.R- Лемма доказана.
Из леммы 10 легко следует, что на каждой дуге
z — Reib-\-i, 6—~ < а (а > 0) и R > Rt существует
точка гх, в которой
В самом деле, в противном случае мы имели бы:
~ J ln
fisina = — s, F.53)

§ 4] ФУНКЦИИ С ПОЛУОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ 369
что противоречит F.44). Итак, из последних четырех лемм
получаем следствие, которое мы сформулируем в виде отдель-
отдельной леммы.
Лемма 11. Если точная нижняя граница спектра
почти-периодической функции f(x) равна нулю, то каж-
каждой паре чисел s > О и С > 0 отвечают такое относи-
относительно плотное множество чисел {т} и число R (г, С) > О,
что при R > R О, С) каждый круг с центром в точке
т_|_/# и радиуса С/? содержит некоторую точку zT, в ко-
которой
In|/(zt)|> —вД. F.54)
Предыдущие четыре леммы были нужны нам лишь для
доказательства леммы 11, которой мы и воспользуемся.
С помощью лемм 6 и 11 мы можем доказать теорему.
Теорема 6. Если точная нижняя граница спектра
почти-периодической функции f(x) равна —Д, то
lim сг0) = Д •). F.55)
2/->+оо
Доказательство. Следует, очевидно, рассмотреть
лишь тот случай, когда число —-Д не входит в спектр. Не
нарушая общности, можно считать, что Д ==-0 и |/(х)|<;1
(— оо < л* < оо), так как к этому случаю можно привести
умножением функции ./(х) на множитель keiLx (k — по-
постоянная).
Пусть дано s > 0. Выберем число С так, что С < -т— ,
определим относительно плотное множество {т} и число Rt,
о которых идет речь в лемме 11, и выберем число Rs ^>
(Да/ ч
/?.,—=——], где / — включающий интервал для
'/3A-0/
множества {-z}. Опишем вокруг каждой из точек ^.суще-
^.существование которых утверждается в лемме 11, круг Къв
радиуса d = RBe)~1(l—С) с центром в этой точке. При
указанном выборе чисел Си R> R', эти круги полностью
покроют прямую y = R.
*) Здесь, как обычно, сЛу) — среднее движение для функции
+ ly), т. е.
= Ига
24 Зак. 9SS. Б. Я. Левин

370 корни экспоненциальных сУмм [гл. VI
Согласно лемме 11 имеем |/fe)| >?-•*, кроме того,
|/(г)|<^1 в0 всей полуплоскости \mz^>Q, а следовательно,
и в любом круге \z — zx\j^.A—С)/?.
По лемме 6 изменение arg/(z) на любом прямолиней-
прямолинейном отрезке в круге |z —zT|<rf не превышает величины
Bk-\-4)sR. Всякий отрезок прямой y — R, длина которого
не превышает ]^3 d, полностью покрывается двумя кругами
Ki,r, и следовательно, приращение функции argf(x-\-iR)
на этом отрезке не превышает величины 4 (и -)- 2) sR. Таким
образом, при произвольном е > 0 и у > Re
\Cf(y)\<. Tg- « F-56)
и, следовательно,
Нтс/.О) = 0. F.57)
Из доказанной сейчас теоремы и теорем 4 и 5 полу-
получается
Следствие. Если спектр почти-периодической функ-
функции ограничен и
то
lim 0 0»!,^) = ^-, F.58)
г^е d — длина наименьшего отрезка, содержащего весь
спектр функции f(x).
В самом деле, по теореме 4 a{yv y.2) существует для
всех (кроме, быть может, счетного множества) значений _ух
и у2, причем a(yt, у2) = <?'(у2) — ?'(Л). или' что то же
самое,
1<(Л) С(I- F-59)
Величины Cf(yj) и cf(y2) стремятся при j;j—>¦¦—оо и
,У2-*- + с>о соответственно к нижней и верхней границам
спектра функции *).
*) Можно показать, что если какой-нибудь из концов не входит
в спектр, то а(уи У:.)<2^ ПРИ любых уь

& 5] ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 371
§ 5. Функции, приближаемые экспоненциальными
многочленами
Теория, изложенная в предыдущих главах, дает возмож-
возможность весьма полно исследовать вопрос о распределении
корней у целых функций конечной степени вида
со со
/B) = 2й/*2 B|в*|<°0), F-01)
1 ¦ 1
у которых показатели кк принадлежат границе некоторой
ограниченной выпуклой области / *). При этом исследова-
исследовании мы воспользуемся также результатами, изложенными
в первых четырех параграфах этой главы.
Мы будем проводить исследование для функций более
широкого класса, чем функции, представленные рядом F.01).
Для определения этого класса мы введем норму для целых
функций конечной степени, связанную с некоторой выпуклой
областью /. Пусть/ — произвольная ограниченная выпуклая
область и А(—0)—ее опорная функция. С помощью й@)
мы определим норму \\F\\j целой функции F(z) конечной
степени следующим образом:
\\F\\T= sup (\F(re^)\e-h^)r) F.60)
r>0,
О < 6 < 2*
Множество целых функций конечной степени, ограниченных
по этой норме, образует линейное пространство Вг
Если последовательность ограниченных по этой норме
целых функций сходится по норме, то она, очевидно, схо-
сходится равномерно в любой конечной части плоскости, и сле-
следовательно, существует предельная целая функция с огра-
ограниченной нормой.
Итак, каждой ограниченной выпуклой области / отве-
отвечает полное пространство В1 функций конечной степени.
В него включены лишь целые функции конечной степени
с индикаторной диаграммой, принадлежащей выпуклой об-
области /. (/ симметрична области / относительно веще-
*) Этот вопрос исследуется во многих работах. См., например,
М. Регенсбургер [1J и Г. Маттисон [1].

372 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
ственной оси). Легко видеть, что все экспоненциальные
многочлены F.00), показатели которых принадлежат гра-
грата
нице области 7, входят в Вт и ||ЯЦ7< 2l ak !• Это следует
непосредственно из соотношения
| в* |) шах е1 х*1 г сов (в+в*) =B| ак
S | * |)
1 ft
Точно так же показывается, что функция f(z) вида F.01)
принадлежит Вг если за нормирующую область / принять
наименьшую выпуклую область, содержащую все показа-
показатели кк. Очевидно также, что ряд F.01) сходится по
норме Bj.
Определим класс целых функций Еv приближаемых по
норме Bj экспоненциальными многочленами, показатели ко-
которых принадлежат границе /. Этот класс функций шире
класса функций, представленных рядом F.01).
Мы получим сейчас важное для дальнейшего предста-
представление функций класса Ег Пусть X— произвольная точка
/, а 0— такое направление, что точка X является точкой
опоры для прямой If. х cos 0 -\~у sin 0 — й(9) = 0. Направле-
Направление argz —0, перпендикулярное к прямой /9, мы будем на-
называть направлением, отвечающим точке X. Если \ — не
угловая точка границы области /, то отвечающее ей напра-
направление определяется однозначно. В противном случае эти
направления образуют угол, отвечающий точке X.
Построим функцию
) F.61)
где X — точка границы /, а 9—отвечающее этой точке
направление. Сопряженная диаграмма /д этой функции по-
получается из сопряженной диаграммы / функции F(z) с по-
помощью сдвига на вектор —к к поворота на угол 9. При
этом точка Я переходит в точку нуль, вся диаграмма h
оказывается в левой полуплоскости, а мнимая ось опирается
на 7j в точке нуль. Опорную функцию области /& мы бу-

& 51 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 373
дем обозначать А„('-р). В общем случае будем иметь отрезок
опоры, принадлежащий мнимой оси и содержащий точку
нуль. '
Каждый экспоненциальный многочлен Рп,ц{г) можно
представить в форме
Рп. о (*) = Q», « B)+ Я», 9 (г) F.62)
таким образом, что показатели экспоненциального много-
многочлена Qn, еС2) лежат на отрезке мнимой оси, а веществен-
вещественные части показателей экспоненциального многочлена
/?n, e(z) отрицательны. Так как при указанном расположе-
расположении диаграммы /о Ы@) = 0 и так как последовательность
многочленов Pn{z) сходится по норме, то при х > 0 и
п, т > Ne
\Pm.u(.X) — P)i,6{x)\<B.
С другой стороны, /?,„, в (л:)-» 0 и /^ е (лг) —>¦ 0 при х ->-)-сх),
а значит,
™, а (х) — (&, в (*) |< « (я, /и > yvt).
Отсюда для почти-периодических многочленов Qm,i(x) и
Qn, e(Jf) следует неравенство на всей вещественной оси
|Qt»,e(Jf) — Q»,(W|<E (—оо<д;<оо).
Таким образом, последовательность почти-периодических
многочленов Qn,&(z) равномерно сходится к почти-периоди-
почти-периодической функции '{'в (х). Отсюда получается следующая лемма.
Лемма 12. Пусть F(z)—целая функция, к которой
сходится по норме Bi последовательность экспоненциаль-
экспоненциальных многочленов Pn(z), с показателями, принадлежащими
границе I, a f\ (z)—функция, определенная равенством
F.61). Тогда Fe(z) представляется в' форме
/^B):=ФвB) + ^B), F.63)
где fy(z) — почти-периодическая функция, спектр которой
расположен на части границы области h, принадлежащей

374 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
мнимой оси, а Фв(г) равномерно стремится к нулю
при Re z -*¦ ~\- оо и | Im z | <; М (М — любое положительное
число).
В частности, может случиться, что ie(.z)s=0.
Замечание 1. Представление F.63) единственно.
Действительно, из равенства двух представлений
Ф« (*) + '^в (г) = ф\« (г) + $» (г)
следует:
Urn [<&(*) — <&(*)] = О,
Х->+оо
и в силу почти-периодичности функции ^ie(Jf) и ^sW полу-
получаем:
Замечание 2. Если X — крайняя точка области /, то
функция <$(«) равна постоянной й(Х). Функция F(^r) пред-
представляется в этом случае в форме
г)], F.64)
причем lim ух [(г-(- ") е*9] = 0 и стремление к нулю равно-
Г-*оо
мерно относительно т при ]i|^AI, если 0 — направление,
отвечающее точке X границы области 7.
Определим теперь важное понятие спектра функции
класса Ei.
Определение. Точка к границы ограниченной выпук-
выпуклой области / называется точкой спектра функции F (z)
класса Ei, если нуль является точкой спектра почти-перио-
почти-периодической функции $ц(z) в представлении
F {zeiH) exp (— \zeih) = $ (z) + Ф( (г),
в котором 0 — направление, отвечающее точке X при
Фв(х)->-0, когда х->-\- оэ.
Совокупность всех точек спектра функции F (z) назы-
называется ее спектром. Из единственности представления F.63)
следует, что спектр функции F{z) класса ?> не зависит от
выбора приближающей последовательности экспоненциальных
многочленов^

§ 5] ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИаЛЬНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 375
Покажем, что если л —точка спектра функции F(z), то
при некотором Nx > 0 и п > Л/х все экспоненциальные много-
многочлены Pn{z) содержат к среди своих показателей и
lim an(k) = a(k), F.65)
И-» СО
где ап(к)— коэффициент при eXz в экспоненциальном много-
многочлене Pn(z), а а (л) — свободный член в ряде Фурье почти-
периодической функции <J>e(z)- В самом деле, если А— крайняя
точка 7, то из F.64) и неравенства
| F (rei4) — Рп(rei8) | е~ь <9) ' < е,
которое равносильно неравенству
| ехр (— Xr««) [F {re») — Р„ (гей)] | < в,
получается после перехода к пределу при г —> оо:
Отсюда непосредственно следует F.65). Если же X — точка
прямолинейного отрезка границы /, то F.65) следует из пред-
представления F.63) функции f\(z) и известного свойства е)
почти-периодических функций. Наоборот, если выполняется
F.65), то точка к входит в спектр функции F (z). Таким
образом, мы получаем новое определение спектра.
Спектром целой функции F (z), приближаемой по
норме Bj экспоненциальными многочленами, показатели кото-
которых принадлежат границе /, называется множество тех
точек к границы I, для которых не равна нулю величина
a(k)= lim а„(Х).
Таким образом, спектр функции F (z) не зависит от
выбора нормирующей области /, граница которой содержит
все показатели {кк} приближающей последовательности
экспоненциальных многочленов. В частности, спектр целой
функции f(z), представленной рядом
со со
f(z)= 2 айЛ? ( 2 | ак |< оо), F.01)
й=1 к-1
в котором числа Х^ принадлежат границе выпуклой области,
состоит из множества всех показателей .к%.

376 . КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
Из представления F.63) легко получить выражение для
«коэффициентов Фурье» функции F(z), а именно получить
формулу
т
а (к)— lim ~ I F(reVl)exp(— kewr)dr, F.66)
где X и 0 имеют тот же смысл, что и в F.61).
Спектр функции F(z) можно, таким образом, еще опре-
определить как множество значений к, для которых а (к), опре-
определенное формулой F.66), отлично от нуля.
Из представления F.63) также следует, Что если
к — точка спектра функции F (г), то точка к входит в гра-
границу индикаторной диаграммы функции F(z) и, следова-
следовательно, сопряженная диаграмма функции F(z) содержит все
точки ее спектра. Заметим, что сопряженная диаграмма
функции F (z) класса Ег не обязательно совпадает с наи-
наименьшей выпуклой областью, содержащей весь спектр этой
функции. Чтобы убедиться в этом, мы построим целую функ-
функцию класса ?>, не имеющую спектра. Пусть f(z) — функ-
функция, голоморфная вне единичного круга, не продолжаемая
через единичную окружность, равная нулю на бесконечности
и непрерывная при \z\~^\ *). Положим:
/>(*)= f e^f(k)dk,
(С)
где С—единичная окружность. Очевидно, F (z) — целая
функция конечной степени и ее сопряженная диаграмма —
единичный круг. Положим
7»
рп (*) = 51 *х*7(**) (V.t - К) (Ч 6 О
и покажем, что при \kk?l — Xfe|<8 (k = 1, 2, ..., п) и
3-»-0 функция Pn(z) стремится к F(z) по норме ?,, если
*) Например, можно взять:

§ 5] ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 377
за 7 выбран единичный круг С. Можно, не нарушая обш
ности, считать, что z — r, и рассмотреть величину
"к
с
где Sfe — дуги, на которых I arg А I ^ т ^ п
;;1б;Гдуги 5 HaLU
на каждой из этих дуг было меньШ? л
и чтобы при *e*i и г >0 иметь: 6*
и в силу равноправности всех
lF(.r*i9)-Pn
Таким образом, F(z)~ клягга /?
ПоказатЬ, что при U60M значении
значении 0 "" СТ°Р°НЫ' Легко
lirn
г->са
в cl ГГТЭР *ункции
теорема. ПрИМеР°М "Р^"^ особый интерес

378 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
Теорема 7. Если нормирующая область I — много-
многоугольник, то функция F{z) класса Ei представляется
в виде
2УЛ). F.67)
где kj — точка на стороне dj многоугольника I — опре-
определяет направление нормали к этой стороне, a tyj{z)—
почти-периодическая функция, причем весь спектр функ-
функции tyj{z) лежит на отрезке, в который переходит сто-
сторона dj многоугольника I при переносе ее на вектор — kj
и повороте на угол —Vj. При этом множество особен-
особенностей ассоциированной функции f(z) совпадает с замы-
замыканием спектра функции F(z).
Доказательство. Экспоненциальные многочлены Pn(z),
приближающие функцию F(z), можно представить в форме
где kj и <Dj имеют тот же смысл, что и в формуле F.67),
a ^jn(z) — почти-периодические многочлены, причем весь
спектр функции фл-„ (z) лежит на отрезке, в который пере-
переходит сторона dj многоугольника / при ее переносе на
вектор — Xj и повороте на угол — «_,-. Так как последова-
последовательность Pn(z) сходится по норме Bi, то при любом з > О,
некотором N, и п, /re > N,
\Рп(.ге*) — Рт{ге*)\е-ъ^г<г @ < 9 < 2~, г > 0).
Отсюда непосредственно получается:
и следовательно,
Переходя к пределу, получаем F.67).

§ 5] ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 379
Для доказательства второй части теоремы достаточно
показать, что множество особенностей функции, ассоцииро-
ассоциированной почти-периодической функции 6B) с ограниченным
спектром, совпадает с замыканием множества ее показателей
Фурье {ikk}. Обозначим y_(z) функцию, ассоциированную
функции 6B), и
7.» (г)= 5
функцию, ассоциированную почти-периодическому много-
многочлену <Ьп(г) из последовательности, равномерно сходящейся
к 6B). ^3 неравенства
|6(х) — 6„(*)|<е (—оэ<х<сю)
следует, что
17.(*) — 7.«(*)| <\Т\ i
С другой стороны,
lim xyn (х + ih) = an
0
и следовательно, если Хк— точка спектра функции 6(z), то
lim ху (х + ikk) = а (кк)ф0.
Итак, если кк — точка 'спектра 6B), то tkk — особая точка
функции /B). Пусть, наоборот, точка iy0 находится на
положительном расстоянии d от множества {ikk}. Покажем,
что iy0 — регулярная точка функции 7B). Действительно, из
неравенства
I *„(*) — **(*) К" (— сю<*<со)
следует:
и, применяя формулу Пуассона к функции 1п|7.п(.г) — y.m(z)\
в круге с центром в точке iy0 и радиуса R < d, получим:
an
• i if
Inl7.n(*)—'Am(z)\<o=
cos F —

380 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
Из этого неравенства следует оценка
из которой непосредственно получается, что последователь-
последовательность {y_n(z)} равномерно сходится в окрестности точки iy0
и, следовательно, в точке iy0 нет особенности у функции y(z).
Теорема доказана.
Другой пример целой функции, у которой замыкание
спектра совпадает с множеством особенностей ассоциирован-
ассоциированной функции и, следовательно, сопряженная диаграмма сов-
совпадает с наименьшей выпуклой областью, содержащей спектр,
дает функция, представленная рядом
со
/й=2«^. F-01)
в котором 2 \ак I < °° и Кк принадлежат границе выпуклой
_ к = 1
области/ (глава I, § 21).
§ 6. Рост функции класса Е{ при нормирующей
области в виде многоугольника
В этом параграфе мы рассмотрим случай, о котором
шла речь в конце предыдущего параграфа.
Именно мы предположим, что последовательность экспо-
экспоненциальных многочленов сходится по норме F.60), причем
нормирующая область / есть многоугольник и показатели
экспоненциальных многочленов, приближающих функцию F (z),
принадлежат границе этого многоугольника. Наш основной
результат состоит в том, что так определенная функ-
функция F(z) есть функция вполне регулярного роста.
Докажем сначала следующую лемму.
Лемма 13. Пусть ^(г) и y.2(z) — целые почти-пе-
риодические функции конечной степени с неотрицатель-
неотрицательным спектром. Тогда целая функция конечной степени
F (г) = ?1 (**-*«.)+?а(**-**) (<*! < «9) F.68)
есть функция вполне регулярного роста.

§ 6] рост функции класса ?'/ (Т—многоугольник) 381
Доказательство. Не нарушая общности, можно
считать, что точка z = 0 не входит одновременно в спектры
обеих функций ^ц(х) и о.2(х). Так как функции, ассоции-
ассоциированные функциям cpt(ze-iaO и cp2(zg-faa), не имеют общих
особенностей, то сопряженная диаграмма функции F(z) есть
наименьшая выпуклая область, содержащая два прямоли-
прямолинейных отрезка dt и d2 на лучах arg2 = y-f-ot, и argz=
= ^--\-а2. Эти отрезки получаются поворотом наименьших
отрезков мнимой оси, содержащих спектры функций <ot(z)
и t?.2(z)' на углы at и а2.
Функции <о% (z) и (рз (?) ограничены на вещественной оси
и потому (глава V, § 4, теорема 11) суть функции вполне
регулярного роста. Таким образом, существуют
,im* IYjV —а.=hj@) a = i, 2).
Очевидно, что если для какого-нибудь значения угла 0
выполнено hl(b)=^h.2(b), то существует
= max {Ax @), h.2 @)}.
Если точка 2 = 0 не является общим концом отрезков
dt и d2, то существует только два значения угла S, при
которых hx @) = h.2 @). Эти значения Й соответствуют на-
направлениям нормалей к тем сторонам индикаторной диа-
диаграммы функции F (z), которые соединяют концы отрезков
dl и d.2. Функция F(z) — вполне регулярного роста повеем
направлениям, кроме, быть может, двух, и по теореме о
замкнутости множества направлений вполне регулярного
роста она является функцией вполне регулярного роста во
всей плоскости (глава III, следствие из теоремы 1).
Если точка z x= 0 является общим концом отрезков dx
и d.2, то At@)=: А2@) при —«Xj <0-<; тс — а2. Нужно пока-
показать, что F(z) — вполне регулярного роста внутри этого угла.
Пусть точка z = 0 является точкой спектра функции
F(z) с коэффициентом Фурье а0. Из представления F.64)
этой функции следует, что при — ах < 0 < % — а2
tim F {reif>) = а0.

382 корни экспоненциальных сумм [гл. vi
Отсюда вытекает, что функция F(z)— вполне регулярного
роста внутри этого угла, а следовательно, и во всей пло-
плоскости.
Наиболее сложным является тот случай, когда точка
z = О является общим концом двух отрезков dx и d.2 и не
входит в спектр функции F (z).
Предположим, не нарушая общности, что ах == О и, сле-
следовательно,
F(z) = 4.1(z) + Ta(ze-H F.69)
Легко видеть, используя приближение функции <?2(z)
обобщенными тригонометрическими многочленами, что при
х-*--{-оо ср2 (^rg-*»2) равномерно стремится к нулю.
По лемме 1 этой главы в любой горизонтальной полосе
|_у|<1/г> но вне кружков радиуса 8 с центрами в корнях
функции срх (z) выполняется неравенство
1 <pj (z) | > т C, А)>0.
Так как при некотором х0 > у C, h), х > .v0 и | у | ^ А
верно неравенство \®2(ze~ia')\<. т(Ъ, А), то в полосе |.у|<;/г
при х > х0 нет корней функции F (z) вне областей, обра-
образованных исключительными кружками.
По лемме 2 число корней функции 9j(z) в прямоуголь-
прямоугольнике |^|-^ A, t -^.x <C t-\- I it-—произвольное) не превы-
превышает некоторого числа kh. При 3 < [2(kh-\- 1)]~х диа-
диаметры областей, образованных «гроздьями» исключительных
кружков, не превосходят величины 2khb и, следовательно,
при достаточно малом 8 > 0 будут сколь угодно малыми.
Функция F(z) имеет по известной теореме Руше в каждой
такой области столько же корней, сколько и функция <?t(z).
Обозначим через nF{h, f) число корней функции F(z)
в прямоугольнике 0<Jf<^, |^|<А, а через n^(u, t) —
число корней функции «рх (г) в прямоугольнике [.уК^и,
О < х <! t. Из предыдущего следует, что при ч\ > 0 верно
неравенство
.. «^(А-Ч. О nF(h,t) _ nF(A, t)
t + CG ' f^-^ t «->OO '
< hm -?- 7 . F.70)

§61 РОСТ ФУНКЦИИ КЛАССА El (?— МНОГОУГОЛЬНИК) 383
Пределы, указанные в неравенстве F.70), которые суще-
существуют в силу теоремы 4 этой главы, суть непрерывные
функции от Л + -П и h — ^ для всех значении этих величин,
за исключением, быть может, счетного множества. Таким
образом, почти для всех значений величины h существует
предел
,• a*l(ft>') lim <}^' *>
lim -——2 = '"' -—-j—— •
Основываясь на следствии из теоремы 6 этой главы, мы
можем утверждать, что при произвольном е = 0 и h > he
Яр (A, t) /, — е
Нт ^ >\^, F-71)
где /j — длина спектра функции tpt (z).
Таким образом, нижняя плотность множества корней
внутри угла (— s, s) (s > 0), содержащего положительный
луч, удовлетворяет неравенству
и-
Аналогично получаем для угла, содержащего нормаль к дру-
другой стороне индикаторной диаграммы:
Нт М',"^."—> + '> > к F-72)
г->со
где U — длина спектра e2(z)- ^не Угла Ф> u ~aa) ФУН1<-
ция F(z) — вполне регулярного роста. Поэтому внутри
малого угла, содержащего нормаль к третьей стороне
индикаторной диаграммы, существует плотность множества
корней функции F (z) и она равна длине третьей стороны /3,
деленной на 2и (глава III). Итак,
где sp — длина всей индикаторной диаграммы функции F (z).
По теореме 3 главы IV и замечанию к ней F (z) есть функ-
функция вполне регулярного роста.
Замечание. В F.71) нами дополнительно установлен
следующий факт относительно асимптотического распреде-

384 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
ления корней функции F (z). Во всякой полосе, параллельной
нормали dj, I Im (ze"wJ) [ <^ h существует плотность мно-
множества корней функции F (z) для всех значений h, за исклю-
исключением, быть может, счетного множества, причем при
неограниченном расширении полосы (А—>--|-оо) эта плот-
плотность стремится к величине -~, где lj — длина соответ-
соответствующего отрезка.
•Теорема 8. Если I — многоугольник, то целая
функция F (z) класса Ej есть функция вполне регуляр-
регулярного роста.
Доказательство. Рассмотрим угол между нормалями
argz=:Gj и arg2 = 9j-+1 к двум соседним сторонам dj и dj+l
индикаторной диаграммы 1р функции F(z). He нарушая
общности, можно считать, что общий конец отрезков dj
и dj+1 находится в точке z = 0. Функцию F{z) можно пред-
представить в форме
F (z) = ф, (ze ~ *i) + Фл-i {ге ~ 'V+1) + FSi j+1 (г), F.74)
где ty(z) и ty3+x(z) — почти-периодические функции с поло-
положительным спектром (одна из которых можег равняться
нулю), a Fjj+l(z) — сумма остальных слагаемых из F.67).
Первые два слагаемых образуют по лемме 13 функцию
вполне регулярного роста с индикатором, равным нулю
внутри угла tij < argz < 'JJ+1. Сопряженная диаграмма функ-
функции Fjtj+1(z) есть многоугольник, принадлежащий наимень-
наименьшему выпуклому многоугольнику, содержащему все стороны
многоугольника /, кроме dj и dj+i. Поэтому индикатор
Fjj+t (z) есть отрицательная величина внутри угла
0j< argz < bj+t и, следовательно, F(z)~- вполне регулярного
роста внутри этого угла. Таким образом, F(z) — вполне
регулярного роста внутри любого угла между двумя сосед-
соседними нормалями. Так как множество лучей вполне регуляр-
регулярного роста замкнуто (глава III, теорема 1), то F (z) — вполне
регулярного роста во всей плоскости. Теорема доказана.
Сопоставляя эту теорему с теоремой 2 главы III, мы
получим, что все корни функции F(z), кроме, быть может,
множества нулевой плотности, расположены внутри
сколь угодно малых углов, содержащих нормали к сто-

§ 6J РОСТ ФУНКЦИИ КЛАССА El (/ — МНОГОУГОЛЬНИК) 385
ронам индикаторной диаграммы, и плотность множества
Ц
корней внутри каждого из этих углов равна -^, где
I длина соответствующей стороны.
В частном случае теорема 8 может быть значительно
уточнена. Это уточнение мы сформулируем в виде отдель-
отдельной теоремы.
Теорема 9. Если F(z) — целая функция, определен-
определенная в теореме 8, и все вершины многоугольника I входят
в ее спектр, то все ее корни расположены в полуполосах
| Im (ze~lHJ)\ < h, Rz{ze~l з)^>0, где Ь^ определяет напра-
направление нормали к стороне многоугольника I и h — некото-
некоторое положительное число. Кроме того, если обозначить
через n.j(t) число корней функции F (z) в прямоугольнике
| Im (ze-'V)|< h и 0 < Re(ze~*V)<*, то ^+
Доказательство. Эга теорема доказывается неза-
независимо от общей теоремы 8. Не нарушая общности, можно
считать, что вершина Xj, в которой сходятся стороны dj
и dj+l многоугольника, расположена в точке 0.
Из представления
F (z) = а0 + ф,{ze-% -\-fy+1 (ze" Vi) + Fjt j+l (z) F.75)
(в котором <bj{z), tyj+x(z) и Fjt^-H1 (z) имеют тот же смысл,
что и в F.74)), следует, что при некотором А >0 внутри
угла 1т(.гЛ)>/г и 1т (.гЛ+i) >/г (Qj+1>bj) нет корней
функции F(z).
В самом деле, спектр почти-периодической функции fyB)
положителен, и следовательно, эта функция равномерно
стремится к нулю при Im z ->•-)- оо. Таким образом, второе
слагаемое в F.75) стремится к нулю при Im (el9.?'z)->--|-oo.
Аналогично доказывается, что третье слагаемое в F.75)
равномерно стремится к нулю при Im (Л'+1,г)--»--Ьсо. Точно
так же легко показать, что Fj>;-+1 (z) -*¦ 0 равномерно при
lm(elHiz)^h, 1т(е*9У+1г)>h и h-+-{-oo. Таким образом,
8 указанной области при достаточно большом h мы имеем:
|/Ч*) —ао|<|ао|, F.76)
и следовательно, F (z) не имеет корней.

386 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ (ГЛ. VI
Для получения асимптотической оценки числа корней
мы будем считать, не нарушая общности, что
где tyjCz) — почти-периодическая функция класса [Д],
a F1(z)-*-0 равномерно при Re^-v-f-oo в любой полосе
|1т.г|<;Л. По теореме 3 этой главы все корни функции
tyj(z) лежат в некоторой полосе \\rnz |<СА и rij(t)= ^-/—f-0 A),
где lj—«длина» спектра <]^(.г), a n^(t) — число ее корней
в прямоугольнике 0<Re.z^?, |Imz|-^A. Кроме того, вне
областей, покрытых кружками радиуса 8 с центрами в кор-
корнях функции 4)(z)> верно \<bj(z) |>> т(Ь) > 0. При некото-
некотором хо= хC), Rez > х0 и ]Imz|< h получаем |Ft(z)|<m(S),
и следовательно, функция F{z) не имеет корней вне этих
областей. По теореме Руше функция F(z) имеет в каждой
из этих областей столько же корней, сколько и функция <bj(z).
Таким образом,
»,@ = -^-* + ОA). F.77)
Замечание. С помощью теоремы Руше легко пока-
показать, что асимптотическая картина распределения корней
функции
F(z) = F(z) + <b(z), F.78)
где F(z) удовлетворяет условиям теоремы 9, а Ф(г) такова,
что | Ф (rei9)| g-b^-yO равномерно при г —> со (А(И) — опор-
опорная функция многоугольника /),—та же, что и у функ-
функции F(z). В частности, в таком виде может быть предста-
представлен любой экспоненциальный многочлен, если за / принять
наименьшую выпуклую область, содержащую все показа-
показатели этого экспоненциального многочлена. Роль функции Ф(.г)
играет сумма показательных функций с показателями, рас-
расположенными строго внутри многоугольника.
Построим пример, показывающий, что если вершина
многоугольника не входит в спектр, то внутри соответ-
соответствующего этой вершине угла может быть бесконечное
множество корней.

§ 6) РОСТ ФУНКЦИИ КЛАССА El G—МНОГОУГОЛЬНИК) 387
Пример. Рассмотрим функцию F(z), представленную
рядом
(О=ах<0!2< аз< ••• <«»<¦••< 1, <«»->¦ О,
причем 2|ап1<°°- ^a область 7 может быть принят тре-
треугольник |^]<1—х, x>-0 и спектр F(z) состоит из
точек andzia.n. Точка z = 1 не входит в спектр F(z). Мы
покажем, что эта функция может иметь бесконечное мно-
множество положительных корней. Для этого мы подберем
коэффициенты ап следующим способом: предположим, что
числа ау, а2 о,т уже выбраны. Рассмотрим функцию
— an)z
F.80)
в полосе |з»|<!1. Легко видеть, что есть такое число Nm,
что при х > Nm и вне исключительных кружков радиуса
3 < -к- с центрами в корнях функции sin(l — am)z модуль
последнего члена суммы F.80) превосходит удвоенный модуль
суммы остальных членов. Кроме того, можно считать, что
модуль последнего члена в этой области больше единицы.
Определим положительное число am+i < 2~m~1e~2N™ и за-
затем абсциссу Nm+1 так, что при х > Nm+1 и вне исключи-
исключительных кружков радиуса 8 с центрами в корнях
функции sinA — «m+l)z модуль последнего члена в сумме
Pm+i(z) превышает удвоенный модуль суммы всех осталь-
остальных членов и, кроме того, больше единицы. Определим
2 2№+1
+2<2
При Nm < х < Nm+1
кружков будем иметь:
J_
2
и т. д.
и Ij
ea»»ssin(l — am)z
но вне исключительных
>\Pm-lV)\
п—т+1
25*
n=m+l

388 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
Из последнего неравенства следует, что в указанной области
член атеЛт? sin A—am)z суммы F.80) превосходит по мо-
модулю всю остальную сумму. По теореме Руше получается,
что функция F (z) имеет в каждом исключительном кружке
из прямоугольника Nm < х < 2Nm, \y\^.\ точно один
корень. Из вещественности F(z) следует вещественность
этого корня.
Этим примером показано, что если сопряженная диа-
диаграмма / функции F (z), о которой идет речь в теоремг 8,
есть многоугольник и не все вершины этого многоуголь-
многоугольника входят в спектр функции F(z), то эта функция может
иметь бесконечное множество корней вне углов, содержащих
нормали к сторонам /. В силу теоремы 8 это множество
должно иметь нулевую плотность *).
§ 7. Рост функции класса Ei _
при произвольной нормирующей области /
В этом параграфе исследуется общий Случай целой
функции класса ?/, у которой сопряженная диаграмма совпа-
совпадает с наименьшей выпуклой областью, содержащей весь
спектр. Мы показали в § 5, что это всегда имеет место,
если нормирующая область / есть многоугольник или если
*) Если обозначить YjO='> % ••¦) положительные корни
построенной нами функции F(z), то
и если выбрать точки а^ так, чтобы расходился ряд
оо
*=1
то будет расходиться и ряд
00
У —
h
Это указывает на то, что, несмотря на нулевую плотность, мно-
множество корней вне углов, содержащих нормали к сторонам /,
может быть довольно «густым».

рост функции класса Е/ 389
функция представляется рядом F.01). Кроме того, пример
в § 5 показывает, что в общем случае это не так. Рост
функции класса Ej, обладающей этим свойством, характе-
характеризуется следующей теоремой.
Теорема 10. Если у целой функции класса Ег сопря-
сопряженная диаграмма совпадает с наименьшей выпуклой
областью, содержащей весь спектр функции, то эта
функция — вполне регулярного роста.
Доказательство. Из представления F.63) следует,
что направление 9, которое соответствует точке спектра
функции F (г), есть направление вполне регулярного роста
этой функции.
Из условия теоремы следует, что каждая крайняя точка
сопряженной диаграммы /# является либо точкой спектра,
либо точкой сгущения для точек спектра.
Покажем, воспользовавшись этим, что направление, отве-
отвечающее любой крайней точке сопряженной диаграммы, есть
направление вполне регулярного роста.
Пусть крайняя точка Хо сопряженной диаграммы IF не
есть угловая точка границы /. Ей отвечает единственное направ-
направление 60. Если Ао — точка спектра, то это направление есть
направление вполне регулярного роста. Если же Хо не вхо-
входит в спектр, то она — предельная для последовательности
точек спектра Xj, а направление 60 —предельное для на-
направлений 6^-, соответствующих точкам Xj. Направления bj
суть направления вполне регулярного роста, и так как
такие направления образуют замкнутое множество (глава III,
следствие теоремы 1), то и 0о есть направление вполне регу-
регулярного роста.
Пусть теперь 10 есть угловая точка /. Если \0 входит
в спектр функции F(z), то все отвечающие ей направления
суть направления вполне регулярного роста. Остается только
рассмотреть угловые точки, не входящие в спектр функции.
Сначала рассмотрим угловые точки, не являющиеся общим
концом двух прямолинейных отрезков границы сопряженной
диаграммы. В этом случае существует последовательность
\Xj\ точек спектра, не принадлежащих прямолинейному
отрезку границы /, которая стремится к \0, как к пределу.
При этом последовательность соответствующих направлений

390 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
сходится к направлению б0, определяющему одну из
сторон угла (9t, 9.2), отвечающего угловой точке Хо. Напра-
Направления bj суть направления вполне регулярного роста,
а следовательно, таким же будет и направление 00. Это
направление не перпендикулярно к прямолинейному отрезку
границы и, следовательно, h+ (90) == /г_ (90). Кроме того,
внутри угла @t, 6.2), отвечающего угловой точке Хо границы 7,
индикатор А (9)— тригонометрический. По теореме 7 главы III
F (z) — вполне регулярного роста внутри этого угла.
Пусть теперь угловая точка Хо сопряженной диаграммы
/ есть общий конец двух прямолинейных отрезков границы /.
Тогда функция F(z) может быть представлена в виде
F (z) = ** [^ (*«-*«.) + Фа &-*>) + Fti 2 (г)],
где '^(г) и $2(z) — почти-периодические функции с положи-
положительными спектрами, Oj^argz^Og — угол, отвечающий
точке Хо, a Fii2(z)—целая функция конечной степени,
индикатор которой отрицателен внутри этого угла. Применяя
лемму 13, мы можем из этого представления получить, что
F (z) — вполне регулярного роста внутри этого угла, отвечаю-
отвечающего точке Хо. Итак, F(z) — вполне регулярного роста по
всем направлениям, отвечающим крайним точкам /. Напра-
Направлений, отвечающих прямолинейным отрезкам индикаторной
диаграммы, не более чем счетное множество. Но множество
направлений вполне регулярного роста — замкнутое (глава III,
§ 1, следствие из теоремы 1) и, следовательно, F (z)— вполне
регулярного роста во всей плоскости. Теорема доказана.
Замечание 1. Из этой теоремы и теоремы 2 главы III
следует, что множество корней функции F{z) имеет плот-
плотность внутри угла (ft, 9) для всех значений ft и 9, за исклю-
исключением, быть может, счетного множества, и эта плотность
Д(9)—Д (fl) равна длине дуги границы / между точками
опоры прямых /9 и Ц *).
*) Регенсбургером [1] получен для сумм вида F.01) следующий
результат. Если точки X/j расположены плотно на некоторой выпу-
выпуклой дуге и /Vt9fc — корни функции /(г), расположенные между
оо
нормалями к концам дуги, то 2 гк^ ==0°- Этот результат, конеч-
но, следует из теоремы 10.

§ 7] РОСТ ФУНКЦИИ КЛАССА Ех 391
Замечание 2. Если функция F(z) удовлетворяет всем
условиям теоремы 10 и при этом все угловые точки/входят
в ее спектр и если функция Fl(z) удовлетворяет условию
». 0
равномерно относительно Ь при г—уос, то
есть функция вполне регулярного роста с индикатором
В самом деле, если 0о—направление, отвечающее край-
крайней точке Хо спектра функции F(z), то
lim Ф (/ч?*9) ехр (— Хоге№) =
г-> со
= lim F(rel)exp(—Хогеп) = а(к0) ф 0.
Г->оо
Поэтому каждое такое направление есть направление вполне
регулярного роста. Эти направления (значения угла 6) рас-
расположены плотно на интервале @, 2тг) и, следовательно,
Ф(г) — функция вполне регулярного роста с индикатором
b
В заключение рассмотрим еще" один общий пример
функции класса Ej, где / — единичный круг, у которой
наименьшая выпуклая область, содержащая спектр, совпадает
с сопряженной диаграммой функции.
Пример. Пусть
F.81)
где ср(л) — почти-периодическая функция на группе целых
чисел. Известно *), что эта функция может быть приближена
почти-периодическими многочленами вида
F.82)
*) См., например, Б. М. Левитан [1].

392 КОРНИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ [ГЛ. VI
Таким образом, функция <l(z), ассоциированная функции
F(z) по Борелю, имеет вид
Отсюда легко следует, что все точки чг'к, где lk—точка
спектра <?(«)> являются особыми точками функции <j>(z).
Точки ег>'к являются точками спектра функции F(z), если
за область / принять единичный круг.
Докажем, что множество особенностей функции fy(z)
совпадает с замыканием множества точек ег)'к. Это очевидно,
если точки е%Хк расположены плотно на единичной окруж-
окружности.
Пусть теперь некоторая дуга единичной окружности
свободна от точек etXfc. He нарушая общности, можно счи-
считать, что середина этой дуги находится в точке — 1, т. е.
что это дуга, дополнительная к дуге | arg.z| ^ q < it. Пока-
Показатели \к в F.82) определены с точностью до целого крат-
кратного 2it, поэтому можно считать, что | Хк | ^ q < д. Много-
т
члены Рт(z) = 2 fl4'"V &г образуют последовательность,
равномерно сходящуюся на множестве целых точек, т. е.
s, t >Л/2и =tz = 0, I, 2, ...F.83)
Для доказательства равномерной сходимости этой после-
последовательности на всей вещественной оси мы сошлемся на
теорему М. Картрайт, доказанную в главе IV. Так как
почти-периодические многочлены Ps(z) суть целые функции
степени, не большей q < it, то по этой теореме из F.83)
следует:
' c(q)t (-оо<х<сю), F.84)
где с (q) — постоянная, зависящая лишь от q. Согласно
F.84) из равномерной сходимости последовательности Pm(z)
на множестве целых точек следует ее равномерная сходи-
сходимость на всей вещественной оси, а значит, и в любой
полосе, параллельной вещественной оси. Предельная функ-
функция <f(z) есть, очевидно, целая функция степени, меньшей

„ ,, р0СТ ФУНКЦИИ КЛАССА ЕТ 393
о *
или равной q. Представим функцию <?(z) в форме (глава I,
§21)
^ F.85)
где а (и) — функция, ассоциированная по Борелю <?(z), и
де — прямоугольник, образованный прямыми Rea = =ts и
Ima = =t(9 + s) (s>0). При |z| > 1-}-г функция ^()
может быть представлена в форме
» = 0
Из этого представления видно, что функция ty(z) не
имеет особенностей вне области, в которую переходит пря-
прямоугольник Де при отображении z — еи. Так как е > О
произвольно, то функция 'Ь(г) может иметь особенности
лишь на дуге |гг] = 1, | argz |^ </< тт. Таким образом,
множество особенностей функции ^(г) совпадает с замыка-
замыканием точечного спектра функции F(z), откуда следует, что
сопряженная диаграмма функции F{z) есть наименьшая выпу-
выпуклая область, содержащая весь ее точечный спектр. По тео-
теореме 10 F(z) — вполне регулярного роста*).
*) Этот пример рассмотрен в статье Г. Маттисона [1]. Им полу-
получен следующий результат: если точки el\ расположены плотно
на некоторой дуге 61<arg2<62 и Zj — корни F(z) внутри угла
со
= СО.

ГЛАВА VII
ТЕОРЕМА ЭРМИТА — БИЛЕРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
В предыдущих главах мы занимались в основном вопро-
вопросом о регулярности роста целых функций и связью этой
регулярности с распределением корней у целой функции.
В несколько ином направлении идут исследования, также
относящиеся к распределению корней и устанавливающие
условия того, чтобы все корни целой функции принадлежали
некоторой области G. В дальнейшем за область О будет
принята открытая или замкнутая верхняя полуплоскость.
При изложении этих исследований мы используем неко-
некоторые методы и теоремы, развитые и доказанные нами
в предыдущих главах, в особенности в главах III и V.
Основным алгебраическим фактом, направившим исследо-
исследования в этой области, является известная теорема Эрмита —
Билера [1] для многочленов.
Для того чтобы многочлен
a>(z) = P(z) + iQ(z), G.00)
где P(z) и Q(z)— вещественные многочлены*), не имел
корней в замкнутой нижней полуплоскости Imz^O,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие
условия:
1) многочлены P(z) и Q(z) имеют лишь простые веще-
вещественные корни, причем эти корни взаимно разделяются,
*) Аналитическая функция называется вещественной, если все
коэффициенты ее разложения в ряд по степеням независимой пере-
переменной вещественны, или иначе, если она на вещественной оси
принимает вещественные значения. Очевидно, что всякая целая
функция может быть представлена в форме G.00), где Я (г)
и Q (г) — вещественные целые функции.

ТЕОРЕМА ЭРМИТА — БИЛЕРА ДЛЛ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 395
т е между двумя последовательными корнями одного из
этих многочленов находится точно один корень другого;
2) в некоторой точке х0 вещественной оси
)>O. G.01)
Тот факт, что два многочлена удовлетворяют условию 1),
мы будем выражать словами «корни многочленов P(z) и Q(z)
перемежаются» или «многочлены P(z) и Q(z) удовлетворяют
условию перемежаемости корней». Той же терминологии
мы будем придерживаться и в отношении целых функций.
Заметим, что если корни многочленов P(z) и Q(z) пере-
перемежаются, то выражение Q'(x)P(x) — Q(x)P'(х) сохра-
сохраняет знак на всей вещественной оси.
Легко видеть, что в прямой форме критерий Эрмита —
Билера не переносится на произвольные целые функции.
Можно показать на простых примерах, что для целой
функции ш (z) = P (z) -\- iQ (z) вещественность и перемежае-
перемежаемость корней функции P{z) и Q(z) не является ни необхо-
необходимым, ни достаточным условием того, чтобы функция со (z)
не имела корней в нижней или в верхней полуплоскости.
В самом деле, пусть, например, со (л) и ty(z) — вещественные
многочлены, корни которых перемежаются. Тогда корни
вещественной и мнимой частей функции
со {z) = е2» (z) ~\- fy (z)
также вещественны и перемежаются. С другой стороны, эта
функция — вполне регулярного роста и ее индикаторная
диаграмма — отрезок 0 ^. х <^ 1 вещественной оси (глава I,
§ 20). Таким образом, внутри сколь угодно малых углов,
содержащих лучи мнимой оси, находится бесконечное мно-
множество корней (с плотностью Д = B~)-1), и следовательно,
условие перемежаемости корней P(z) и Q(z) не является
достаточным для того, чтобы корни функции ш(г) лежали
в одной из полуплоскостей Imz^O или ItrJ<;0. Чтобы
показать, что оно не является также и необходимым, можно
привести следующий пример. Функция
имеет только один корень i, а между тем легко проверить,
что вещественная часть этой функции zcos\z — sinXz имеет

396 ТЕОРЕМА ЭРМИТА БИЛЕРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
при X > 1 пару комплексных корней, а при X < 1 имеет
три корня между двумя ближайшими к нулю корнями мни-
мнимой части —zsinXz— cosXz.
Для решения некоторых вопросов теории регулирования
машин потребовался эффективный критерий того, что все
корни функции
га, т
F(z)= 2 ак/ехе G.02)
к, j=0
лежат в левой полуплоскости. Функции вида G.02) Н. Г. Чебо-
Чеботарёв назвал квазиполиномами. Квазиполиномы зависят
лишь от конечного числа параметров, и поэтому естественно
предполагать, что для них существует эффективный метод
решения этой задачи.
В 1942 г. Н. Г. Чеботарёв нашёл такой эффективный
критерий для весьма частного случая квазиполиномов 13].
В другой работе Н. Г. Чеботарёв [5], обобщив на квази-
квазиполиномы алгоритм Штурма, дал общий принцип решения
этой задачи для произвольных квазиполиномов. Однако при-
применение этого общего принципа требовало обобщения тео-
теоремы Эрмита —Билера на квазиполиномы.
Л. С. Понтрягин [1] обобщил в 1942 г. теорему Эрмита—
Билера на квазиполиномы вида P(z, ez), где P(z, и)—поли-
и)—полином от двух переменных.
Работы Н. Г. Чеботарёва [2], [3], [4], [5], [6] и Л. С. Пон-
трягина [1] вызвали интерес к этому кругу вопросов, и
вскоре появился ряд работ советских математиков в этом
направлении *). В этих работах полностью выяснен вопрос
о перенесении критерия Эрмита—¦ Билера на произвольные
целые функции.
Исследования, связанные с теоремой Эрмита — Билера,
нашли впоследствии новое применение. Они играют суще-
существенную роль при изучении некоторых экстремальных
свойств целых функций. Эти применения будут изложены
в главе IX.
*) См. статьи Б. Я. Левина [5], Н. Н. Меймана [1], Ю. И. Ней-
марка [1]. Ббльшая часть этих результатов изложена в книге
Н. Г. Чеботарёва и Н. Н. Меймана [1].

§ 1] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ 397
§ 1. Представление вещественной мероморфной функции,
отображающей верхнюю полуплоскость на верхнюю
При перенесении критерия Эрмита — Билера на произ-
произвольные целые функции существенную роль играет особый
класс целых функций. Этот класс был введен и изучен
М. Г. Крейном в его статье «Об одном классе целых и
мероморфных функций», посвященной перенесению критерия
Гурвица на целые функции *).
Определение. Целая функция со(z) называется функ-
функцией класса НВ, если она не имеет корней в замкнутой
нижней полуплоскости Im z ^ 0, и
^М- <1 при Imz>0**). G.03)
со (г)
Если co(z)— многочлен, то условие G.03) следует с оче-
очевидностью из того, что все корни многочлена лежат в верх-
верхней полуплоскости, т. е. в этом случае условие G.03) лишнее.
Из теоремы Фрагмена и Линделёфа следует, что то же
обстоятельство имеет место и для целых функций нулевой
степени. Для целых функций произвольного роста условия,
определяющие класс НВ, независимы. Заметим ещё, что
из G.03) вытекает принадлежность функции "L в верхней
полуплоскости классу А, а так как корни этой функции
в верхней полуплоскости совпадают с корнями со (z), то вся-
всякая функция класса НВ есть целая функция класса А.
В дальнейшем нам часто придется пользоваться эквива-
эквивалентностью условия G.03) для функции
где P(z) и Q(z) — вещественные функции, условию, что
функция
отображает верхнюю полуплоскость на верхнюю.
*) Определение этого класса, приведенное здесь, принадлежит
Н. Н. Мейману [1]. Оно эквивалентно определению, данному ранее
М. Г. Крейном (см. книгу Н. И. Ахиезер и М. Г. Крейн [1]).
**) Здесь, как обычно, под со (г) понимается целая функция,
которая получается из со (г) заменой в ее степенном разложении
всех коэффициентов на сопряженные.

398 ТЕОРЕМА ЭРМИТА БИЛЁРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [гЛ. Vll
В самом деле, положив
ш (г)
и 0 = S О), будем иметь:
w =
1 — /8'
и единичному кругу в плоскости w отвечает верхняя полу-
полуплоскость в плоскости 6.
В теореме 1 мы даем представление вещественной меро-
морфной функции, отображающей верхнюю полуплоскость
на верхнюю.
Теорема 1. Для того чтобы вещественная меро-
морфная функция <b(z) отображала верхнюю полупло-
полуплоскость на верхнюю, т. е. чтобы выполнялось неравенство
Im ty (z) Im z > 0 при Im z ф 0 необходимо и достаточно,
чтобы эта функция представлялась в форме *)
где bk<ak<bk+i, ±k = 0, I, 2, . . ., a_t < 0 < Ьх и с > 0.
Штрих при знаке бесконечного произведения означает,
что индекс k принимает все целые значения, кроме нуля.
Доказательство. Докажем сначала достаточность.
Из перемежаемости величин ak и Ьк легко получается схо-
сходимость ряда
2'(-тг—Ч
Jmd \ bk ak I
одимость ря;
Y'lYi-.i.Vi- M Л-
/ill1 i I А ~Z I A I ~~~~
а следовательно, и сходимость ряда
.-i
M
ак
Таким образом, произведение G.04) сходится равномерно
на любом ограниченном замкнутом множестве, не содержа-
содержащем точек Ьк (rh& = 0, 1, ...).
*) Эта теорема была доказана М. Г. Крейном в его неопубли-
неопубликованной работе. Она также неявно содержится в статье Н. Н. Мей-
мана [2].

$ 1] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ МЁРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ §99
При всех значениях индекса k имеем:
arg °f = arg (z — ak) — arg (z — bk),
и следовательно, этот аргумент равен углу, под которым
виден отрезок \Ьк, ак\ вещественной оси из точки z. Таким
образом, из равенства
со
&rgif(z) = У
следует, что
Докажем теперь необходимость. Пусть функция 6(z) ото-
отображает верхнюю полуплоскость на верхнюю, т. е. при
Im z > О
О < arg 4B) О.
Тогда функция <b(z) не имеет в открытой верхней полу-
полуплоскости ни корней, ни полюсов.
В самом деле, в противном случае при обходе некото-
некоторого контура, принадлежащего верхней полуплоскости и
содержащего полюс или корень функции b{z), приращение
функции arg^B) было бы больше или равно 2л, что невоз-
невозможно. В силу принципа симметрии функция if(z) не имеет
также ни корней, ни полюсов в нижней полуплоскости.
Таким образом, все корни и полюсы функции <!f(z) лежат
на вещественной оси.
При Im z < 0 имеем:
и когда точка z обходит один раз произвольную окружность,
приращение функции arg^(^) не превосходит по абсолютной
величине числа 2тг.
Отсюда следует, что все корни и полюсы функции ^ (z) —
простые и что на любом интервале вещественной оси число
корней функции <5f(z) отличается от числа ее полюсов не
более чем на единицу, т. е. что корни и полюсы функции
перемежаются.

400 ТЕОРЕМА ЭРМИТА — БИЛЁРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VU
Бесконечное произведение
составленное по корням {ак} и полюсам {Ьк} функции ty()
равномерно сходится на любом ограниченном замкнутом
множестве, не содержащем точек {Ьк). Функция Ф = Ф (z)
отображает верхнюю полуплоскость плоскости z на верхнюю
полуплоскость плоскости Ф.
Функция
— целая, не имеет корней во всей плоскости и | argy (z)| ^ 2%
при всех значениях переменной z.
Таким образом, целая функция u = \ny(z) отображает
всю плоскость z на полосу | Im и | ^ 2тг и, следовательно,
и = const.
Из этой теоремы непосредственно следует замечание.
Замечание. Для того чтобы вещественную меро-
морфную функцию w = ^(z) можно было равномерно при-
приблизить в любой ограниченной области вещественными
рациональными функциями с вещественными и перемежаю-
перемежающимися корнями и полюсами, необходимо и достаточно,
чтобы она отображала верхнюю полуплоскость плоско-
плоскости z на верхнюю полуплоскость плоскости *) w.
Другое представление вещественной мероморфной функ-
функции, отображающей верхнюю полуплоскость на верхнюю,
было значительно раньше дано Н. Г. Чеботарёвым [6].
Теорема 2 (Н. Г. Чеботарёв). Если вещественная
мероморфная функция ty(z) отображает верхнюю полу-
полуплоскость на верхнюю, то ее полюсы ak(±k = 0,
1, 2, ...) — все вещественные и простые, и она предста-
представляется в форме
Чй^--?) G-05)
Н-а.
(— оо <^ а < ш ^ со),
*) Этот факт был впервые установлен Н. Г. Чеботарёвым [6].

§ 1] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ 401
где д>0, Ь — вещественное, Лй>-0 (ztfe = 0, 1, 2, ...)
и ряд
„ 4
одится.
Доказательство. По теореме 1 функция ^(z) пред-
представляется с точностью до постоянного множителя в фор-
форме G.04) и, следовательно, является равномерным пределом
последовательности
которую можно представить в форме
ft=-»
(при k < а или А > ш принимается сй = со), причем Акп > О
и сп — вещественная постоянная. Взяв производную в точке
нуль, мы получим, что последовательность сумм
п .
К
стремится к </ @). С другой стороны, очевидно, что Аи п
стремится к вычету Ак функции ty(z) в точке ак. Переходя
к пределу при п-*оо, мы получим из неравенста
ЧТО
и следовательно, ряд
SAic
26 Зак. 988. Б. Я. Левин

40$ ТЕОРЕМА ЭРМИТА БИЛЕРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [гл- V"
сходится. Отсюда получается сходимость ряда в право-
части формулы G.05).
Покажем теперь, что разность между ty(z) и суммо
этого ряда есть линейная функция. Для этого зафиксируе!
число N и рассмотрим при п > N разность
-2л
1 1 \ vi Ак<п
) 2
N<\k\<n
Очевидно, что мнимая часть этой функции неотрицательн
при Imz>0. Переходя к пределу, будем иметь:
к= —N
Таким образом, целая вещественная функция
— z ak)
отображает верхнюю полуплоскость на верхнюю и, следова-
следовательно, по лемме Н. Г. Чеботарёва (глава V) она равна
az-\-b (a>0, lmb — Q). Теорема доказана*).
§ 2. Обобщение теоремы Эрмита — Билера
на произвольные целые функции
Из теоремы 1 весьма просто можно получить критерий
принадлежности целой функции классу НВ, который анало-
аналогичен критерию Эрмита — Билера. Этот критерий, принад-
принадлежащий Н. Н. Мейману, дается следующей теоремой.
Теорема 3. Пусть
*) Другое доказательство этой теоремы получается непосред-
непосредственно из следующего данного Р. Неванлинной представления
функции, отображающей верхнюю полуплоскость на верхнюю:
f — 2
—со
где а (<) — неубывающая функция.

§ 21 ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЭРМИТА — БИЛЕРА 403
где P(z) и Q (г) —целые вещественные функции, и пусть
G-06)
Q(z) = Be*W(г — *o) П A --%-)/*("V/ (v@) = 0)
ux разложения в бесконечные произведения. .
Для принадлежности функции <e(z) классу НВ необхо-
необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
а) корни ан и Ьн функций P(z) и Q(z) перемежаются;
р) целые вещественные функции u{z) и v(z) и показа-
показатели рЛ—) и рЛ-п-) удовлетворяют условию
Ш-р*Ш]-°: G-07>
Й=-оо
f) постоянные А и В — одного знака.
Доказательство необходимости. Из G.03)
следует, что функция
отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг,
и следовательно, вещественная функция Ь (z), определенная
равенством
отображает верхнюю полуплоскость на верхнюю полупло-
полуплоскость. По теореме 1 ее корни и полюсы — вещественные,
простые и перемежаются. Так как функции ю(г) и ю(г)
не имеют общих корней, то и функции P(z) и Q(z) не имеют
общих корней. Таким образом, мы доказали, что корни
функций P(z) и Q(z) удовлетворяют условию а).
26*

404 ТЕОРЕМА ЭРМИТА — БИЛЕРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Из представления G.06) функций P(z) и Q(z) следует,
ЧТО
где функция Ф (z) определена равенством G.04').
По теореме 1 функция т = Ф (z) отображает верхнюю
полуплоскость на верхнюю. Таким образом, мы получаем,
что во всей плоскости z
в (г)
arg v '
и следовательно, целая вещественная функция
ft=-oo
отображает всю плоскость z на полосу |1тта|^1т, т. е.
w = const. Условие 3) получается, если заметить, что w @) = 0.
Так как мнимые части 0(z) и Ф(г)-—одного знака, то А
и 5 — также одного знака.
Доказательство достаточности. При выполне-
выполнении условий а), Р) и if) функция Ь (z) совпадает с точностью
до положительного постоянного множителя с функцией Ф (z),
т. е. отображает верхнюю полуплоскость на верхнюю полу-
полуплоскость.
Функция
KZ)
1 —10 (г)
отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг,
т. е. выполнено неравенство G.03). Функции P(z) и Q(z),
а значит, ш(г) и <e(z) не имеют общих корней, и в силу
неравенства G.03) функция w(z) не имеет корней в полу-
полуплоскости Imz^O. Теорема доказана.
Заметим, что условие АВ > 0 можно заменить условием
Q(x)P'(x)>0 ' (— оо<л:<оо).

§ 2] ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЭРМИТА — БИЛЕРА 405
В самом деле, при выполнении условий а) и ,3) функ-
функция Ь(г) отображает верхнюю полуплоскость либо на
верхнюю полуплоскость, либо на нижнюю. В первом случае
функция б (х) монотонно растет, во втором — монотонно
убывает. Легко видеть, что Ь'(х)фО и что знак Ь'(х) совпа-
совпадает со знаком выражения Q' (х) Р (х) — Q (х) Р' (х).
Определение. Целые функции в>(г), не имеющие
корней в открытой нижней полуплоскости (Im z < 0) и удо-
удовлетворяющие условию
»(*)
1 при Im z > О,
мы будем называть функциями класса НВ.
Очевидно, что знак равенства возможен лишь в том
случае, когда w(z) с точностью до постоянного множи-
множителя -— вещественная функция. Такие функции мы будем
называть тривиальными функциями класса НВ.
_Если (a(z)?HB, то все общие корни функций ш(г)
и w (z) вещественны. Составляя по этим общим корням кано-
каноническое произведение R(z), мы получим, что
G.08)
где ш1(г)?НВ. Наоборот, если функция ш(г) представляется
в форме G.08), где ш1B)^ЯБ, a R(z) — вещественная
функция, имеющая лишь вещественные корни, то ш(г)?НВ.
Стоит отметить, что если функция ш(г) — целого порядка,
то R(z) и mt{z) могут оказаться функциями большего роста,
чем ш (z), В частности, если <e(z) — нормального типа, то
функции R(z) и (Dj (z) могут оказаться функциями макси-
максимального типа.
Заметим, что если последовательность функций класса НВ
равномерно сходится в каждой конечной части плоскости,
то предельная функция есть также функция класса НВ.
Из теоремы 3 непосредственно следует
Теорема 3'. Для того чтобы целая функция
была нетривиальной функцией класса НВ, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

406 ТЕОРЕМА ЭРМИТА БИЛЕРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
а') функции P(z) и Q(z) представляются в форме
z) и
причем корни целых функций R(z), Pt(z) и фх(.г) все
вещественны и корни Px(z) и Qt(z) перемежаются;
C) в представлении функций Py(z) и Qt(z)
Pt (z) = Ае« W (z - а0) Д' A —J-) е " W (в @) = 0),
k=00 X к'
целые вещественные функции u(z) и v(z)
и показатели Вейерштрасса рА—Л и рЛ-т-] удовлетво-
удовлетворяют условию
u(z)-v(z)+
fc=— 00
If) постоянные А и В — одного знака.
Условие f) можно и здесь заменить условием
Q7 (х) Р (х) — Q (х) Р' {х) > 0
в какой-нибудь точке вещественной оси.
Иногда бывает удобнее пользоваться другими условиями
принадлежности целых функций к классам НВ и НВ. Прежде
чем сформулировать их, введем следующее предложенное
Н. Г. Чеботарёвым [3] понятие.
Определение. Две целые вещественные функции Р(z)
и Q(z) называются вещественной парой, если у них нет
общих корней и любая линейная комбинация jtP (z) -f- tQ (z)
с вещественными коэффициентами jj. и v не имеет комплекс-
комплексных корней *).
Теорема 4. Для того чтобы целая функция ю(г) =
— P(z)-\-iQ(z) принадлежала классу НВ, необходимо
и достаточно, чтобы функции P(z) и Q(z) составляли
*) Комплексными мы называем корни, не лежащие на веще-
ственной^оси.

§ 2] ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЭРМИТА — БИЛЕРА 407
вещественную пару и чтобы в какой-нибудь вещественной
точке х0 выполнялось неравенство
Q' (х0) Р (х0) — Q (х0) Р' (х0) > 0.
Доказательство. Из того, что P{z) и Q(z) обра-
образуют вещественную пару, следует, что вещественная функция
G'09)
не принимает вещественных значений при Im z ф 0 и, сле-
следовательно, отображает верхнюю полуплоскость либо на
верхнюю полуплоскость, либо на нижнюю.
Если при этом Q'(xo)P(xo) — Q(xo)P'(x0)> 0, то
в'(*о)>О и 9B) отображает верхнюю полуплоскость на
верхнюю. Отсюда следует, что функция
F(z) = ^ G.10)
(г)
отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг,
и мы получаем неравенство G.03).
Так как функции P(z) и Q(z) не имеют общих корней,
то (o(z) и <u(z) также не имеют общих корней, и из нера-
неравенства G.03) следует, что cn(z) не имеет корней в полу-
полуплоскости 1тг<;0. Итак, a>(z)?HB.
Наоборот, если ш(г)?НВ, то <e(z) и ш(г) не имеют
общих корней, и выполняется неравенство G.03). Но тогда
вещественные функции P(z) и Q(z) также не имеют общих
корней, функция Ь(г) голоморфна в верхней полуплоскости
и Im 0 (z) > 0 при Im z > 0. Таким образом, функция б (z)
принимает вещественные значения только на вещественной
оси, и следовательно, линейная комбинация \>.Р (z)-(- vQ(z)
с вещественными коэффициентами может иметь лишь веще-
вещественные корни. Теорема доказана.
Определение. Две целые вещественные функции Р(z)
и Q(z) мы будем называть обобщенной вещественной парой,
если любая их линейная комбинация jj.P(z)-(-mQ(z) с веще-
вещественными коэффициентами не имеет комплексных корней.
При этом допускаются общие корни у функций P(z) и Q(z).
Из теоремы 4 и представления G.08) непосредственно
следует

408 ТЕОРЕМА ЭРМИТА — БИЛЕРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Теорема 4'. Для того чтобы целая функция
была нетривиальной функцией класса НВ, необходимо и
достаточно, чтобы функции P(z) и Q(z) составляли
обобщенную вещественную пару и чтобы в некоторой
вещественной точке выполнялось неравенство
Q' (*о) Р(*о) — Q (*о) Р' (*о) > 0.
Покажем теперь, что нельзя обобщить теорему Эрмита—
Билера на более широкий класс целых функций *). При этом
мы ограничимся для простоты целыми функциями конечного
порядка.
Теорема 5. Если целая функция конечного порядка
имеет корни и все ее корни лежат в открытой верхней
полуплоскости, а корни функций P(z) и Q(z) переме-
перемежаются, то <»(z)?HB.
Доказательство. Из оценки целой . функции ш(z)
снизу (глава I, § 8) следует, что вне исключительных
кружков функция F(z) = _ ¦ удовлетворяет неравенству
ln|FB)|<lnMe + '-A+e (Imz>0), G.11)
где р — порядок <o(z) (э > 0) и Ме — некоторая постоянная.
В полуплоскости Im z > 0 функция F(z) не имеет особен-
особенностей, и так как на вещественной оси |F(x)|^=l, то
по принципу максимума неравенство G.11) будет выпол-
выполняться всюду в верхней полуплоскости.
С другой стороны, функция 6 (z) = -п?\ может быть
представлена в форме
Ъ(г) = ев<Ц{г), G.12)
где g(z) = aozn-{-alzn--1-{- . .. -\-ап, п<![р] и все коэф-
коэффициенты с^(у = 0, 1, ..., га—1) вещественны, а функ-
функция ty(z) определена равенством G.04') и согласно теореме 1
отображает верхнюю полуплоскость на верхнюю.
*) Это — результат Н. Н. Меймана (см. Н. Г. Чеботарёв и
Н. Н. Мейман [1]).

§ 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ КЛАССА НВ 409
Если я = 0, т. е. g(z)ssc, то 6(z) отображает верхнюю
полуплоскость на верхнюю, и так как F(z)~^j~ пред-
представляется в форме
то \F(z)\<C 1 при 1тг>0 и, следовательно, w(z)?HB.
Пусть теперь п > 0. Имеем:
Из неравенства Каратеодори (глава I, § 6, теорема 8')
следует, что при Im z > 0
c^<\W)\<c^b, G.14)
где сх и с2 — постоянные и z = reif> @ <[ 0 < тх).
С другой стороны, имеем:
Re g(re^)^aor» cos пЧ. G.15)
Сопоставляя G.13), G.14) и G.15), мы получим, что
вне сколь угодно малых углов, содержащих лучи argz =
= (^ 2") Р функция F (z) ограничена. Кроме того, F (z)
ограничена на вещественной оси.
Приняв во внимание оценку G.11), мы по принципу
Фрагмена и Линделёфа получим, что F(z) ограничена в верх-
верхней полуплоскости, и, применяя еще раз тот же принцип,
получим, что |F(z)|< 1 при Imz>0, т. е. что <a(z)?HB.
§ 3. Представление функции класса НВ
В этом параграфе мы получим принадлежащее
М. Г. Крейну [1] представление функций класса НВ с по-
помощью особых бесконечных произведений. При этом мы
будем пользоваться следующими обозначениями.
со
Если f(z) = '2i(ak-{-ibk)zk, где ак и Ьк — вещественные
ft = 0
числа, то
оо со
2 2 G.16)

410 ТЕОРЕМА ЭРМЯТА — БИЛЕРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
или иначе 2Rf(z) = f(z)-\-f(z) и 2i/f(z) = f(z) — f(z). Пусть
*=И ак1
a)(z)
G.17)
— разложение функции <a(z) в каноническое произведение.
Если <a(z)?HB, то функция
ограничена в верхней полуплоскости и поэтому по замеча-
замечанию к теореме 2 главы V принадлежит в этой полуплоскости
классу А, т. е. сходится ряд
произведение
ак
. По лемме 4 главы V
равномерно сходится на всяком замкнутом ограниченном
множестве, не содержащем точек ак. Обозначим:
G.19)
Тогда будем иметь:
f" • G.20)
Из сходимости произведений G.17) и G.18) мы получим,
оо I
что ряд У]1Рк\—) равномерно сходится в любой конечной '•
со
части плоскости. Обозначив v(z) = Ig(z)-\- V 1Рк\-~-\

Л 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ КЛАССА НВ 411
и a(z) = Rg(z), мы представим функцию а>(г) в форме
— — )
Va
е Vafc/. G.21)
Из принципа Фрагмена и Линделёфа для полуплоскости
(глава I, § 14) можно легко получить, что
? 1 при 1тг>0. G.22)
Переходя в G.22) к пределу при п-уоо и сравнивая
с G.21), мы убедимся в том, что целая вещественная функ-
функция v (z) удовлетворяет при Im z > 0 неравенству | eiv W | ^ 1,
или, что то же, отображает верхнюю полуплоскость на
верхнюю. По лемме Н. Г. Чеботарёва (глава V, § 3,
лемма 3) будем иметь v (z) = чг -\~ 8, где v^-О. Оконча-
Окончательно получим:
О) (Z) = Z»»e«W+i(vs+5)TI Л ?
причем v^-0 и u{z) — вещественная целая функция.
Наоборот, если функция <e(z) представляется в виде G.23),
то
W G.24)
()
и w(z)?HB. Итак, мы получили следующую теорему
М. Г. Крейна*).
Теорема 6. Для того чтобы целая функция <я{г)
принадлежала классу НВ, необходимо и достаточно,
чтобы она представлялась в форме G.23).
Функции класса НВ имеют, очевидно, то же представле-
представление с той лишь разницей, что Imaft^0 и знак равенства
возможен
возможен.
*) См. Н. И. Ахиезер и М. Г. Крейн [1].

412 ТЕОРЕМА ЭРМИТА — БИЛЕРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
§ 4. Теорема Эрмита — Билера для целых функций
конечной степени
Обобщенный критерий Эрмита — Билера обычно при-
приходится применять к целым функциям конечной степени.
Для этого случая он допускает значительно более полную
формулировку, чем в общем случае произвольной функции
класса НВ. В этом частном случае трудно проверяемые
условия G.03) и G.06) могут быть заменены условиями,
наложенными на индикаторные диаграммы функций ®(z),
P(z) и Q(z), выполнение которых во многих случаях легко
проверить.
Определим дефект dM функции w(z) конечной степени
равенством
У функции конечной степени и класса А (следовательно, и
НВ) индикаторная диаграмма симметрична относительно оси,
параллельной вещественной оси (глава V, § 5). Очевидно,
что дефект йш равен отрезку, который эта ось симметрии
отсекает на мнимой оси, взятому с обратным знаком.
Функцию <o(z) конечной степени мы будем называть
функцией класса Р, если
а) <u(z) не имеет корней в открытой нижней полупло-
полуплоскости;
б) дефект функции <o(z) не отрицателен.
Функции класса Р и степени, не превышающей а ~^> 0,
образуют подкласс, который мы будем обозначать Р„. Мы
будем называть функцию тривиальной функцией класса Р,
если она вещественна с точностью до постоянного множителя.
Весьма важной является следующая лемма.
Лемма 1. Для того чтобы целая функция <u(z) при-
принадлежала классу Р, необходимо и достаточно, чтобы
она была класса НВ и конечной стЪпени.
Доказательство. Пусть ш(г)?Р и ее разложение
°М = **~+ЬШ1-к)в''> G.25)
ft = 1
оо
(Im a ]> 0 и
1
ак

§4]
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ 413
Для функции F(z) = —-^ получаем разложение
^ ^ <о (г)
F (г) = е1 (*>*+«> х (*)> G.26)
где
а р и ^—-вещественные числа.
По лемме 5 главы V функция y(z) — вполне регулярного
роста в полуплоскости 0 < 6 < я и
Иш'1п'*<"">Up. ,G.27)
Г-)- ОО Г
Отсюда следует, что F(z) — также вполне регулярного
роста в той же полуплоскости и
hF(b) = —psmb @ < 6 < те). G.28)
Так как при перемножении двух функций, из которых
одна — вполне регулярного роста, их индикаторы склады-
складываются (глава III, теорема 5), то
А-(<«) = *»(— в)—PsinO. G.29)
Подставляя 0 = -^-» мы убедимся в том, что р — 2Aф.
Так как, по предположению, дефект функции <o(z) не-
неотрицателен, то р>0, и из G.26) получаем:
«(г)
^ 1 При 1Ш2 > 0.
Обратно, если ш (z)?HB, то |<o(t^)|< | <»(—«» | СУ>°)-
Следовательно, Аш ^j < Аш (— ~\, и если <о (г) — конечной
степени, то она — класса Р. Лемма доказана.
Замечание. Произведение функций ш1(г)ш2(г), каж-
каждая из которых — класса Р, есть функция класса Р,
причем дефект произведения равен сумме дефектов со-
сомножителей.

414 ТЕОРЕМА ЭРМИТА — БЙЛЕРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Первое утверждение прямо следует из леммы. Для до-
доказательства второго заметим, что функции
(*=1, 2)
— вполне регулярного роста и их индикаторы hp (9) =
= — 2dwi sin 9. Достаточно вспомнить, что при перемноже-
перемножении функций вполне регулярного роста их индикаторы
складываются.
Лемма 2. Пусть P(z) и Q(z) — целые функции ко-
конечной степени, корна которых вещественны и переме-
перемежаются, и пусть
Р(г) = zmea*+°
z
— j-\ e a*
(в_1 < 0 < bt)
их канонические представления.
Для того чтобы имело место равенство
G.30)
t ' л I "~~~ **»
G.31)
необходимо и' достаточно, чтобы индикаторные диа-
диаграммы этих функций совпадали.
Доказательство. Из представлений G.30) следует,
что
где с — постоянная
оо
и Ь = Ь — а-\~ J,(-r ).
Обозначим через Ф (г) бесконечное произведение в пра-
правой части равенства, сходимость которого была доказана

§ 41 ЦелыЬ функции конечной степени 415
ранее (теорема 1). Вещественная функция «-*(*) °то;
бражает верхнюю полуплоскость плоскости г либо на
верхнюю, либо на нижнюю полуплоскость плоскости w (§ 1).
По теореме Каратеодори для полуплоскости (глава I,
§ б, теорема 8') функция Ф(г) удовлетворяет неравенствам
«), G.33)
в которых сх и с2— некоторые постоянные, зависящие от
функции Ф(г). Из этих неравенств следует, что при ОфО, я
Urn
Таким образом, получаем, что при ЬфО, я
G.34)
и в силу непрерывности индикаторов равенство G.34) имеет
место при всех значениях 6.
Очевидно, что условие 8 = 0 равносильно тождествен-
тождественному равенству hpF) ез hq(Ь). Лемма доказана.
, Сделаем следующее замечание, прямо вытекающее из
равенства G.34).
Замечание. Если корни функций конечной степени
P(z) и Q(z) перемежаются, то индикаторная диа-
диаграмма функции Q(z) получается из индикаторной диа-
диаграммы функции P(z) сдвигом на некоторый вектор 8.
Очевидно, если P(z) и Q(z)—вещественные функции, то
и вектор 8 — вещественный.
Заметим, что если функция класса Р вещественна
с точностью до постоянного множителя (тривиальная), то
все ее корни вещественны.
Наоборот, если все корни вещественной функции конеч-
конечной степени вещественны, то это — тривиальная функция
класса Р.
Теперь сформулируем основную теорему этого пара-
параграфа *).
Теорема 7. Для того чтобы целая функция w(z)=a
= Р (z) -f- tQ (г) была нетривиальной функцией класса Р,
*) Эта теорема была доказана одновременно и независимо
мной [5] и М. Г. Крейном, но работа М. Г. Крейна не была опуб*
ликована.

416 ТЕОРЕМА ЭРМИТА — БИЛЕРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI1
необходимо и достаточно, чтобы вещественные функции
P(z) и Q(z) удовлетворяли условиям:
А) функции P(z) и Q(z) представимы в форме
z), G.35)
причем все корни функций R(z), Pt(z) и Qt(z) веще-
вещественны и корни Pi(z) и Qi(z) перемежаются;
Б) функции P(z) и Q(z) — конечной степени и их ин-
индикаторные диаграммы совпадают;
В) в некоторой вещественной точке
Q' (х0) Р (х0) — Q(x0) Р' (х0) > 0. G.36)
Доказательство. По лемме 1 принадлежность функ-
функции <u(z) классу Р равносильна тому, что w(z)?//fi и ко-
конечной степени. Условия принадлежности функции ш(г)
классу НВ даны в теореме 3'.
Условия а') и if) теоремы 3' совпадают с условиями А)
и В) теоремы 5. Если ш(г) — конечной степени, то и функ-
функции P(z) и Q(z) — тоже конечной степени, причем степень
по крайней мере одной из них равна степени функции ш(z).
Наоборот, если P(z) и Q(z) — конечной степени, то w(z)—
также конечной степени и степень w(z) равна наибольшей
из степеней функций P{z) и Q(z). Этот вывод следует не-
непосредственно из выражения степени функции через коэф-
коэффициенты ее разложения в степенной ряд (глава I, § 2).
По лемме 2 условие совпадения индикаторных диаграмм
для функций Р (z) и Q(z) конечной степени с веществен-
вещественными перемежающимися корнями равносильно равенству
ft — <Н
или, что то же, условию (i) теоремы 3'. Таким образом, если
выполнены условия А), Б), В), то функция a>(z)— конечной
степени и принадлежит классу НВ, т. е. она класса Р.
Наоборот, если a>(z) — класса Р, то по лемме 1 она
принадлежит НВ и, следовательно, удовлетворяет усло-
условиям а'), C) и if). Так как при этом P(z)nQ(z) — конечной
степени, то условие ^) равносильно условию Б), и, таким
образом, будут выполняться условия А), Б) и В). Теорема
доказана.

§ 4] ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ 417
Проанализируем подробнее связь между условиями А),
Б) и В) и условиями а) и б), определяющими класс Р.
Прежде всего сделаем следующее замечание.
Если выполнено условие А), но индикаторные диаграммы
функций P(z) и Q{z) не совпадают, то функция w(z) имеет
корни в обеих полуплоскостях Im г > 0 и Im z < 0.
В самом деле, из теоремы 5 легко получить, что если
при выполнении условия А) все корни функции m(z) при-
принадлежат одной из полуплоскостей Im z ^ О или Im z <J. 0,
то либо <u(z), либо <u(z) принадлежит классу НВ, или, что
то же, классу Р. Но в этом случае должно выполняться
условие Б), что противоречит предположению. Итак, функ-
функция № (z) должна иметь корни в обеих полуплоскостях.
Таким образом, требования, чтобы все корни <a(z) ле-
лежали в верхней полуплоскости, а корни P(z) и Q(z) были
все вещественны и перемежались, совместимы лишь в том
случае, когда совпадают индикаторные диаграммы функций
P(z) и Q(z). Если же это условие выполнено, то из веще-
вещественности и перемежаемости корней P(z) и Q(z) следует,
что либо iu(z), либо oj(z) принадлежит классу Р.
Замечание. Если функция u>(z) — нулевой степени, то
индикаторные диаграммы функций ш(г), P(z) и Q(z) сво-
сводятся к одной точке нуль. Таким образом, в этом случае
принадлежность <e(z) классу Р определяется требованием,
чтобы (о (z) не имела корней в открытой нижней полупло-
полуплоскости.
Индикаторные диаграммы функций P[z) и Q(z) в этом
случае совпадают, т. е. выполняется условие Б).
Таким образом, из теоремы 7 следует, что для функций
нулевой степени вещественность и перемежаемость корней
У функций P(z) и Q(z) и условие В) Q'(x)P(x) —
— Q(x)P'(X)>0 являются необходимыми и достаточными
условиями того, чгоЗы функция ш (z) = P (z) -j- iQ (z) не име-
имела корней в полуплоскости Imz<;0.
Теорема 8. Если дефект dM целой функции (u(z)
конечной степени положителен, то условие А) является
необходимым и достаточным условием принадлежности
функции ш(г) классу Р.
Доказательство. Если при выполнении условия А)
не выполнено условие Б), то, как было указано, индика-
27 Зак. 988. Б. Я. Левин

41в ТЕОРЕМА ЭРМИТА — БИЛЕРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [гЛ. VII
торные диаграммы функций P(z) и Q(z) получаются одна
из другой сдвигом на отличный от нуля вещественный век-
вектор. Но так как индикаторная диаграмма функции ш (z) есть
наименьшая выпуклая область, содержащая индикаторные
диаграммы функций P(z) и Q(z) (глава I, § 21), то она
должна быть симметричной относительно вещественной оси,
ибо индикаторные диаграммы вещественных функций P(z)
и Q(z) симметричны относительно вещественной оси и, сле-
следовательно, dM= 0. Таким образом, если выполнено усло-
условие А) и йф > 0, то выполнено также и условие Б), от-
откуда следует, что ш(г)?Р.
Рассмотрим два примера на применение обобщенной тео-
теоремы Эрмита—Билера.
Пример 1. Пусть
»(*)= 2>еАк* Pk(z), G.37)
где Хх < к.2 < ... < кп, | Xj | < кп и Рк (z) — многочлены.
Индикаторной диаграммой этого квазиполинома служит
отрезок мнимой оси между точками — ikn и — ikt и, сле-
следовательно,
Пусть
Из теоремы 8 следует, что условие перемежаемости
корней у функций Р(z) и Q(z) является необходимым и
достаточным для того, чтобы все корни квазиполинома ю (z)
лежали в открытой верхней полуплоскости.
Пример 2. Пусть дано дифференциальное уравнение
У + 9(х)у + Щх)у = 0 (р(х)>0, lmq(x) = 0). G.38)
Определим два решения ср(д:, к) и ^(д:, к), удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям
<р@, к) = cos а, <р'@, к) = sin а,
Х) = — sin а, у @, к) = cos а,
причем а — произвольное вещественное число. Функции <р (х, к)
и ^(л:, к) суть целые функции от к, так как коэффициенты
уравнения G.38) — целые функции от к.

л 41 ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ 419
Пусть ~/(х, к)— некоторое решение того же уравнения,
удовлетворяющее условию
/, Х) = 0 (й — вещественное). G.39)
Тогда при должной нормировке
Х(*. *) =»?(*• Ц — »(Щ(х, к).
Записывая подробно граничное условие G.39), получаем:
или
По известной формуле Абеля вронскиан, составленный
из решений у(х, к) и ty(x, к), не зависит от х и, следо-
следовательно,
Кроме того, умножая первое из соотношений
на •?, второе — на х> вычитая и интегрируя от нуля до /,
получаем:
i г
(Х X — X X) dx -\~(к — X) I | у>_ (х, к)\ 2р (д;) dx = О,
о
или
^i;JA)PPW^>0. G.41)
о
27*

420 ТЕОРЕМА ЭРМИТА ДИЛЕРА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Таким образом, а>(А) есть вещественная мероморфная
функция, отображающая верхнюю полуплоскость на верх-
верхнюю. Эта функция может иметь лишь вещественные полюсы.
Корни уравнения
f (/, к)-\-ЦA, А) = 0
суть характеристические числа задачи при граничных условиях
= 0. G.42)
Таким образом, в этом случае (при вещественном К)
все характеристические числа — вещественные и простые.
Так как h — произвольное вещественное число, то ^A, к)
и <{/(/, к) образуют вещественную пару. Очевидно, что при
h*t=h2 Функции ф(/, к)-\-к$ (I, к) и <{-(/, A)-f/z.2<>/(/, к)
также образуют вещественную пару. При h =p -\-iq будем
иметь:
ср (А) = -}(/, A)-f-Af (/, А) = <}»(/, A) + pf (/, Ъ+Щ'Ц, *).
и по теореме 4 получается, что все характеристические
числа лежат в одной из полуплоскостей Im A > 0 или Im A < 0.
Если при комплексных значениях А общее решение урав-
уравнения G.38) имеет интегрируемый квадрат на полуоси @, оо)
при весе р(х), то в приведенных рассуждениях можно по-
положить I = оо. С помощью теоремы М. Г. Крейна (глава V,
теорема 12) можно получить более полные сведения о рас-
распределении собственных значений этой краевой задачи.
Из G.40) при А = 0 и h = со получаем, что ^ .' *
?'(U) . , V
и ^ ' суть мероморфные функции, отображающие верх-
верхнюю полуплоскость на верхнюю. Имеем:
1 у (Л X) У (/, X)
6 (/, \) I/ (/, )i) — ф (/, X) <!/ (/, X) '
и по теореме Н. Г. Чеботарева (теорема 2) имеет место
разложение
1
(/, X) у (/, X)

§ 4] ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ 421
где кк и \>к—корни функции ty(l, к) и </(/, к) и Ак и
Вк— положительные числа.
По теореме М. Г. Крейна из наличия этого разложения
следует, что ЬA, Х)^'(/, к) есть целая функция конечной
степени.
Известно *), что почти все характеристические числа
уравнения G.38) при условиях G.42) и вещественном h по-
положительны. Положив в G.43) X == ji.2 'и разложив каждое
слагаемое на элементарные дроби, мы получим для целой
функции ty(/, р9) <]/(/, ft2) разложение, аналогичное G.43).
Снова применяя теорему М. Г. Крейна, мы заключаем, что
целая функция ф(/, \)$/(I, к) не больше чем порядка Va и
нормального типа. Обозначим т(г), лл(г) число корней
в круге | А.|<г функций <^(/, >.)</(/, к) и 4?(l, k)-\-h'Y(l, к).
Так как ty(l, k)ty'(l, к) — вполне регулярного роста, то
существует конечный предел
г-»оо —
Из перемежаемости корней <\A, к) и ^'(/, X) можно заклю-
заключить, что существует конечный предел
*) См., например, Дж. Сансоне [1].
**) Приведенные здесь рассуждения взяты из статьи М. Г. Крей-
Крейна [4]. Основываясь на них, М. Г. Крейн получает в этой статье
весьма точную характеристику спектра граничной задачи.

ГЛАВА VIII
ПРИБЛИЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ
С КОРНЯМИ В ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ
Из представления целой функции степенным рядом сле-
следует, что произвольная целая функция есть предел последо-
последовательности многочленов, равномерно сходящейся в любой
ограниченной области. Если же наложить на многочлены,
равномерно приближающие функцию, дополнительное тре-
требование, чтобы их корни принадлежали некоторому множе-
множеству, то предельные функции будут образовывать некоторый
специальный класс, зависящий от этого множества.
Первые результаты в этом направлении принадлежат
Лагерру [2], который дал полную характеристику целых
функций, равномерно приближаемых многочленами:
I. Со всеми положительными корнями.
II. Со всеми вещественными корнями.
В случае II Лагерр сформулировал теорему без доказа-
доказательства. Доказательство этой теоремы было впоследствии
дано Полна [2]. Более полное исследование сходимости по-
последовательностей таких многочленов было проведено Линд-
вартом и Полна [1]. В частности, ими было показано, что
в случаях I и II (а также и в более общем) из равномерной
сходимости последовательности многочленов в некотором
круге | г |< R следует равномерная сходимость этой по-
последовательности в любой ограниченной части плоскости.
При изложении этих вопросов мы будем следовать ме-
методу Линдварта и Полна.
В третьем параграфе этой главы мы изложим тесно свя-
связанные с этим кругом вопросов теоремы о «последователь-
«последовательностях множителей»,

§ I) МНОГОЧЛЕНЫ, ВСЕ КОРНИ КОТОРЫХ ЛЕЖАТ ВНУТРИ УГЛА 4 23
§ 1. Функции, приближаемые многочленами,
все корни которых лежат внутри угла
Лемма 1. Множество многочленов вида
удовлетворяющих условиям
2K,J~p <M (8.01)
и
\ск,т\<М (*=1, 2, ..., р, р—-1</><р), (8.02)
образует нормальное семейство во всей плоскости *).
Доказательство. В главе I было показано (§ 4,
лемма 2) существование такой постоянной Ар, что при всех
значениях переменной и имеет место неравенство
Из этого неравенства легко получается, что все многочлены
рассматриваемого множества, удовлетворяют неравенству
в котором
Sj,m = 2j в*/и (У = 1. 2, ..., /;)
ft- 1
и z—произвольное комплексное число. Выражая по фор-
формулам Ньютона величины sit m через коэффициенты много-
многочлена и воспользовавшись условием (8.02), мы получим, что
при некоторых а^ > 0 для всех многочленов рассматривае-
рассматриваемого множества будет выполняться неравенство
\sJ,m\<°j G=1. 2, .... р)
*) Нормальным семейством называется такое семейство голо-
голоморфных в данной области функций, что любая его бесконечная
часть содержит равномерно сходящуюся последовательность.,

424 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ [ГЛ. VIH
и, следовательно, во всей плоскости
\Рш^)\<е г р Р . (8.03)
Из ограниченности множества \Pm(z)) многочленов в любой
ограниченной части плоскости следует, что они образуют
нормальное семейство *).
Лемма 2. Если последовательность \Pm(z)) много-
многочленов удовлетворяет условию (8.01) и равномерно схо-
сходится в некоторой, окрестности точки 0 к функции, не
равной тождественно нулю, то эта последовательность
равномерно сходится в любой ограниченной области.
Если при этом в условии (8.01) число р— нецелое, то
род р предельной иелой функиии не превышает Щ. Если
же р — целое, то предельная функция имеет вид
Р(г) = в-тг*рФ(г), (8.04)
где f — некоторое число и Ф(г) — целая функция, род
которой не выше чем р — 1.
Доказательство. Не нарушая общности, мы можем
считать, что Рот@)=1 и что в некотором круге |г|<8
нет корней Рт(г), так как в противном случае можно
было бы вместо многочленов Рт{г) рассмотреть многочлены
Рт (z) = —
Так как корни Pm(z) стремятся к корням предельной функ-
функции, то сходимость последовательности \Pm{z)) эквивалентна
сходимости последовательности \Pm(z)}. Поэтому мы будем
считать в дальнейшем, что условие Рт@)=1 выполнено и
в некоторой окрестности нуля Pm(z) Ф 0. Из сходимости
последовательности многочленов Pm(z) в окрестности нуля
следует, что коэффициенты Cjm (_/= 1, 2, . ..) этих много-
многочленов сходятся при т -> со к соответствующим коэффи-
коэффициентам ' Cj предельной функции и, следовательно, выпол-
выполняется условие (8.02). По лемме 1 последовательность \Pm(z)}
образует нормальное семейство и по известной теореме
*) См., например, А. И. Маркушевич"»[1].

§ 1] МНОГОЧЛЕНЫ, ВСЕ КОРИН КОТОРЫХ ЛЕЖАТ ВНУТРИ УГЛА 425
Стильтьеса *) из ее равномерной сходимости в окрестности
нуля следует ее равномерная сходимость в любой ограни-
ограниченной области.
Из оценки (8.03) следует, что предельная целая функ-
функция не выше чем порядка р и нормального типа.
Кроме того, корни ак>т многочлена Pm(z) внутри любого
круга стремятся к корням ак предельной функции. Таким
образом,
?
ИЛИ
и род канонического произведения, составленного по корням
предельной функции, не превышает числа р при р << р <
При р нецелом отсюда следует, что предельная функ-
функция F (z) не больше чем порядка р и минимального типа.
При р целом род канонического произведения не больше
чем р—-1. По теореме Адамара функция F(z) отличается
от своего канонического произведения лишь множителем
вида
т. е. имеет вид (8.04).
Теорема 1. Если последовательность {Pm{z)\ много-
многочленов равномерно сходится в окрестности нуля к функ-
функции, не равной тождественно нулю, а все корни много-
многочленов Рт (z) находятся внутри угла 0х < arg z < О.?
(I fJ-2 — fJi I < ¦*), то эта последовательность сходится
равномерно в любой конечной части плоскости и предель-
предельная функция имеет вид
A— -f), (8.05)
где
С*)
1«&P1 < оо, Ot<;argfl;A.<G.2 и Ь1 < — arga<6.2.
21
ft — J
См., например, А. И. Маркущевич [1].

426 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ [ГЛ. VIII
Доказательство. Не нарушая общности, можно
считать, что многочлены Pm(z) не имеют корней в круге
| z | < 8 и Лто@)=1. Можно также считать, что
ei = -J + 8i и ва = -J — 8Х &Х)).
Из сходимости последовательности многочленов
Рт (*) = 1 + clt mz + с2> „а* + • • ¦ + c»m> „,2й»»
в круге \z\<lR вытекает, что сХт-+сх и, следовательно,
lci,ml<M- Таким образом, получаем, что
|2(ft> j! < м,
к=1
и в силу неравенства | oftTO|~1sin81^Re(oft
м
¦ft, ml ^sin5 •
k=l
По лемме 2 отсюда следует, что последовательность
{Pm(z)} равномерно сходится в любой ограниченной области
и что предельная функция F(z) имеет вид
F(z) = ce-
Корни ак являются предельными точками для корней много-
многочленов Pm(z) и, следовательно, |argaft|<[-K- — 8Х. Покажем
еще, что j arg a j ^[ -=-—-8^.
Из разложений
мы имеем:
со пт
-1 . . VI -1

§ 1] МНОГОЧЛЕНЫ, ВСЕ КОРНИ КОТОРЫХ ЛЕЖАТ ВНУТРИ УГЛА 427
При этом st= lim slm и lim ak m = ak. Заметив, что при
— 8i<^<^! Re {e^a-1} >• 0, мы получим, что
N N
Re { ^Ца*1) - lim Re { е^^а^\н} <
k l !
и, переходя к пределу при 7V->oo, будем иметь:
со
Re {eho} = Re {e\} — Re {e" 2 а* *} > 0 (— it < т < 8j).
Таким образом, имеем | argosy— 8Х. Теорема доказана.
Заметим, что если целая функция имеет вид (8.05), то
она может быть представлена в виде
F(z)= lim a
Таким образом получается следующая теорема.
Теорема 2. Для того чтобы целая функция F(z)
могла быть равномерно приближена в любой ограничен-
ограниченной области многочленами, все корни которых находятся
внутри угла 6Х <; arg z <; 6.2 A6а — 6Х | < «), необходимо и
достаточно, чтобы эта функция имела вид (8.05).
Перейдем к рассмотрению более тонкого случая
f 0.2 — 0х | = it. Многочлен, не имеющий корней в открытой
нижней полуплоскости, мы будем называть Н-многочленом.
Теорема 3. Если последовательность {Pm{z)\ Н-мно-
гочленов равномерно сходится в Ь-окрестности нуля
к функции F(z), не равной тождественно нулю, то она
равномерно сходится в любой ограниченной области,
а предельная функция F(z) принадлежит классу НВ и
представляется в форме
где
F (z) = сгЧ-^+** IX A — —) е°*, (8.06)

428 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ [ГЛ. VIII
Если все корни многочленов Pm{z) вещественны, то
и все корни F(z) вещественны*) и Im[3 = 0.
Доказательство. Построим последовательность мно-
многочленов
Так как при 0<а<8 функция F(—га) Ф 0, то последо-
последовательность {Qm(z)} равномерно сходится в круге |г|< §—а,
коэффициент сх>т стремится к некоторому пределу при
т—>• оо и, следовательно, при некотором М > 0 неравенство
lci,ml<M выполняется при всех т=\, 2, ...
Из равенства
пт
2^*.»+to) = -<:,,„,
следует, что
V? а ^ V? а +Im afr. m , ^„
Таким образом, многочлены Qm(z) удовлетворяют усло-
условию (8.01) при р = 2, и по лемме 2 последовательность этих
многочленов равномерно сходится в любой ограниченной
области. При этом предельная функция „f_ a , а значит,
и F(z) должны иметь вид (8.04) при р = 2.
//-многочлены Pm(z) принадлежат классу НВ, и следо-
следовательно, предельная функция F(z) также принадлежит НВ.
Остается показать, что ~{^>0. Для этого предположим сна-
сначала, что все корни многочленов Pm(z) вещественны. Не
нарушая общности, можно считать, что в (8.06) ^ = 0. Обо-
Обозначив
_ F" @) F @) - F'2 @) _ о . VI -2
s2~ р^ -2T+2fl*
%т ~
*) В случае вещественных корней — это теорема Лагерра —
Полна. Для случая комплексных корней близкая теорема была дока-
доказана Н. Обрешковым [1].

& 1] МНОГОЧЛЕНЫ, ВСЕ КОРНИ КОТОРЫХ ЛЕЖАТ ВНУТРИ УГЛА 429
будем иметь lim s2im — s2. При любом натуральном N
N N
2flfc2= lim 2а*Ди< 'itn s2,m = S2,
и следовательно,
со
к=1
Таким образом, в этом случае т>0.
Рассмотрим общий случай. Положим:
Pm(.z) = Qm{z)+iRm{z).
Из равномерной сходимости последовательности \Pm(z))
следует равномерная сходимость последовательности {Pm(z)},
так как Рт (г) = Рт (z).
Из равенств
следует равномерная сходимость последовательностей много-
многочленов {Qm(z)} и {Rm(z)} к функциям Q(z) и R(z). По тео-
теореме Эрмита — Билера корни Qm(z) и Rm(z) все вещественны,
и следовательно, по доказанному Q{z) и /?(г) допускают
представление
¦?'
Так как функция
принадлежит классу НВ, то по условию C) теоремы 3 главы VII
Таким образом, функция F(z) представляется в форме

430 Приближение Целых функций Многочленами {гл. Vni
где г.^О и $iB) — функция не выше чем второго порядка
минимального типа. Такое представление единственно, так
как в этом случае прф) =— ficos ^0 и, следовательно,
ft определяется однозначно.
Заметим, что требование сходимости последовательности
{Pn(z)} Я-многочленов в окрестности нуля можно заменить
более слабым требованием сходимости на бесконечной после-
последовательности точек, имеющей конечную предельную точку,
если ввести дополнительное условие litn |Яот@)|>0. Этот
цывод прямо получается из следующего замечания.
Замечание. Множество Н-многочленов
удовлетворяющих условиям \ Рт@)\ >> с0 > 0, | Рш@) | < ct,
|Я"„@)|<с3 (с0, clt c2 — некоторые положительные
постоянные), образует нормальное семейство.
Доказательство. Обозначив хкт и укт корни много-
многочленов Qm(z) и Rm{z), мы получим:
1
^ * in ^ '
и по крайней мере одна из этих сумм ограничена числом
ill —— п •
4
Отсюда в силу перемежаемости корней Qm(z) и Rm(z) полу-
получаем:
Из этих оценок и леммы 1 следует, что многочлены

§ 1) многочлены, все корнИ которых Лежат внутри угла 431.
образуют нормальные семейства. Отсюда непосредственно
получается нормальность семейства [Pm{z)}.
Наш вывод остается верным, если lim P(,rt@) = 0
(й = 0, 1,2, ...,р— 1), lim |Я(Г@)| >0 и
<Ccv I Рш+2)@)| < Са- Действительно, этот вывод сводится
к предыдущему, если вместо многочленов Рт (z) рассмотреть
1
где Zj(j=\, 2, ... р) — первые корни Pm(z). Требование
lim |Р{т^@) | > 0 существенно, как показывает пример по-
последовательности {zm} //-многочленов, которая не образует
нормального семейства во всей плоскости.
Заметим также, что результат можно обобщить, заменив
Я-многочлены целыми функциями F(z) вида (8.06). Это
получится непосредственно, если воспользоваться формулой
1_ _ F'2 @) — F @) F" @)
Определение. Классом Р* мы будем называть класс
целых функций, принадлежащих НВ и допускающих пред-
представление
F (г) = е-<*'Ф (г),
в котором f ^ 0 и Ф (z) — целая функция не выше чем
первого рода.
Теорема 4. Для того чтобы целая функция F{z)
была пределом равномерно сходящейся последовательности
Н-многочленов, необходимо и достаточно, чтобы она при-
принадлежала классу Р*.
Доказательство. Необходимость следует непосред-
непосредственно из теоремы 3. Для доказательства достаточности мы
построим для данной функции класса Р* и заданных s > 0
и /?>0 такой tf-многочлен P(z), что \F(z) — P(z)|<e
при |z|<#.

432 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ [ГЛ . VI
Из представления, данного в теореме 6 главы VII для
произвольной целой функции класса ИВ, следует, что F (z)
может быть представлена в виде
F (г) = с*е-*+*+ыТТ
* а
где f^O, 8 — вещественное и v^O,
Из этого представления следует, что при | z | ^ R и
достаточно большом п
где
Всякий многочлен вида
при целом положительном /?„ является, очевидно, //-много-
//-многочленом, и при рп достаточно большом будет иметь:
Соединяя с предыдущим неравенством, мы получим:
\F(z)-Pn(z)\<* (\z\<R).
Теорема доказана. В следующей теореме устанавливается
связь между принадлежностью классу Р* некоторой целой
функции и принадлежностью этому классу ее веществен-
вещественной и мнимой компонент.
Теорема- 5. Для того чтобы функция
принадлежала Р*, необходимо и достаточно, чтобы a(z)
принадлежала классу НВ и чтобы P(z) и Q(z) были
функциями класса Р*.

§ 1] МНОГОЧЛЕНЫ, ВСЕ КОРНИ КОТОРЫХ ЛЕЖАТ ВНУТРИ УГЛА 433
Доказательство. Если <o(z)?P*, то существует
последовательность //-многочленов
равномерно сходящаяся к w(z). Очевидно, что при этом
последовательности {Pn(z)\ и {Qn{z)) вещественных //-мно-
//-многочленов равномерно сходятся к целым функциям P(z) и Q(z),
которые, следовательно, .принадлежат Р*. Наоборот, пусть
и пусть
Р(г) = v
4=1
СО
JJ (l — ¦?
k=i ^ k
суть функции класса Р*.
Из теоремы 1 § 1 главы VII следует, что корни ак и
Ьк перемежаются и
Многочлешл
, .«-(I -?f
образуют обобщенную вещественную пару, и при Ьк^> ак
многочлен <um,n(z) = Pm>n(z)-\-iQmtn(z) есть Я-много-
член. Очевидно, что можно выбрать так последователь-
последовательность чисел га = пт, что при т —*¦ оо последоэательности
l^m, « B)j и {Qm, n (z)} многочленов равномерно сходятся со-
соответственно к P(z) и Q(z). При этом последовательность
\тт, п (z)\ //-многочленов равномерно сходится к <o(z).
Итак,*» (z) ^ Р*.
Некоторые свойства функций класса Р* будут еще уста-
установлены в следующей главе.
28 Зак. 988. Б. Я. Левин

434 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ [гЛ. Vllt
§ 2. Теоремы о композиции многочленов
В дальнейшем нам понадобятся преобразования, переводя-
переводящие //-многочлен в //-многочлен. При этом существенную
роль будут играть теоремы о композиции многочленов и
о последовательностях множителей. Эти теоремы мы изложим
в двух следующих параграфах.
Теорема 6 (Шур [1]). Если все корни многочлена
f(x) = а0 + а,х + а.2х-> + • ¦ ¦ + атх™ (ат Ф 0)
вещественны, а все корни многочлена
g (х) *= b0 + b,x + Мч + ¦ ¦ ¦ + bn*n Фп Ф 0)
вещественны и одного знака, то и все корни многочлена
Р (х) = ао*о+ 1! Mi* + 2! «2*2*'2 + • • • + Al akbkxk
(k = miii (/re, n))
вещественны. Если при этом т < га и aobo ф 0, то все
корни Р(х) различны.
Мы проведем доказательство этой теоремы, следуя статье
И. Шура. Предварительно докажем две леммы.
Лемма 3. Если все корни вещественного многочлена
h (х) = co-r ctx+ ... + спхп
вещественны, с0Ф 0 и ср = 0 @ < р < п), то ср_1ср+1 < 0.
Доказательство. Обозначив через хк корни h(x),
будем иметь:
п
с\~2с0с, = 4 2*а2. (8.07)
Отсюда следует, что при с0 ф 0
cf — 2c0c2>0.
Из теоремы Ролля получается, что все корни производ-
производной порядка р—1 от многочлена h(x)

? 2] ТЕОРЕМЫ О КОМПОЗИЦИЙ МНОГОЧЛЕНОВ 435
вещественны. Составляя для этого многочлена выражение
(8.07), мы получим неравенство
2 )cp-icp+i > 0,
из которого непосредственно следует утверждение леммы.
Из этой леммы, в частности, следует, что у многочлена
h (х) при с0 Ф 0 не могут быть равны нулю два рядом стоя-
стоящих коэффициента.
Лемма 4. Если все корна многочленов
и
h(х) = сй+схх + ... -|-спх* (с0 ф 0, сп Ф 0)
вещественны, то а все корни многочлена
F (х) = h (D)f(x) = с0 + cj' (x) + ¦ ¦ • + cj** (x)
вещественны. При этом каждый кратный корень много-
многочлена F(x) является также кратным корнем много-
многочлена f{x).
Доказательство. Дифференциальный оператор h(D)
можно разложить на множители
причем все корни <хк вещественны и не равны нулю. При
любом многочлене <р(х) и вещественном а Ф 0 функция
е~~ахФ(х) стремится к нулю либо при х-+-\-оо, либо при
Х-> — С».
По теореме Ролля число вещественных корней у функции
?1 (х) = (D — а) ? (х) = eaxD [e-^cp (л;)]
не меньше, чем у функции <?(х). Так как многочлен f(x)
имеет п вещественных корней, то и многочлен свх (л:) сте-
степени п имеет также п вещественных корней. Следовательно,
и F{х) = h (D)f(x) также имеет лишь вещественные корни.
Для доказательства леммы нужно еще показать, что
если г — кратный корень многочлена
Ф (*) = /" (*) — «/(*).
то он будет кратным корнем f(x). Разложим Ф(л:) по
степеням х — \
Ф (х) = dt + a
28*

436 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ {ГЛ. VIII
Если I — кратный корень многочлена Ф(х), то dx -\- ad0 = О
и 2di-\-ad1 = 0 и, следовательно,
d\ — 2d0d2 = 0.
По лемме 1 это равенство невозможно при do=f=Q. Таким
образом, имеем do = O, dt = 0, d2 —0, т. е. ? —кратный
корень многочлена f(x).
Доказательство теоремы 6. Рассмотрим сначала
случай аоф0, bo=fc0um^.n. Не нарушая общности, можем
считать, что ат>0, Ьп > 0 и все коэффициенты Ьк
(k — 0, 1 п) положительны. Выбрав произвольное ве-
вещественное число z, составим многочлен
и представим его в форме
где
Ро (z) = a A -f-1 \axbtz + 2 \аф*& + • ¦ • + ю \ambmz™
и
(jx= 1, 2, . .., /я).
Многочлены P0(z) и Pt(z) не имеют общего корня, так
как в противном случае нуль был бы кратным корнем мно-
многочлена F(x) и в силу леммы 4 кратным корнем f(x), что
противоречит предположению йо^=О.
Таким образом, мы получаем последовательность много-
многочленов
P0(z), Px{z) Pm(z)
со следующими свойствами:
1) Последний член Pm(z) последовательности есть от-
отличная от нуля постоянная.
2) Ни при каком значении z не обращаются в нуль два
рядом стоящих многочлена последовательности (лемма 3).
3) Если какой-нибудь из многочленов последователь-
последовательности обращается в нуль при вещественном значении z, то

с 2] ТЕОРЕМЫ О КОМПОЗИЦИИ МНОГОЧЛЕНОВ 437
два соседних имеют при этом z значения разных знаков
(лемма 3).
Таким образом, эта последовательность многочленов об-
образует обобщенный ряд Штурма. Если обозначить через
v(z) число знакоперемен в ряду этих многочленов при за-
заданном значении г, а через г — число вещественных корней
многочлена P0(z), то будем иметь:
r^v (— со) — v (оо).
При ат > О и ?>й > 0 (k — 0, 1, ..., т) получим, что
¦у(оо) —О и v(—oo) = m, т. е. что все корни многочлена
P0(z) вещественны. В этом случае при переходе через
корень многочлена P0(z) число знакоперемен v(z) должно
возрастать на кратность этого корня. Так как многочлены
Pq{z) и Py(z) не имеют общих корней, то число знакопе-
знакоперемен не может возрасти больше чем на единицу, т. е.
P0(z) не имеет кратных корней.
Рассмотрим теперь случай ао6о=?О и т > п. Рассматри-
Рассматривая вместо многочлена g(x) многочлен
= Ьо (в) + bt (в) х + .. . + Ьт(г) х*,
мы будем иметь:
Ьк при k = 0, 1, ..., п,
lim Ьи (г) = \ „
о 10 при k>n.
Все корни многочлена
(в) Оя.ДС»
вещественны, и, переходя к пределу при е->0, получаем,
что все корни многочлена
!#А*+ • • • +п\Ьпапхп
вещественны.
Если числа с0 или Ьо равны нулю, т. е.
х) и
то, составляя композицию многочленов

438 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ [ГЛ. VIII
мы получим многочлен, все корни которого вещественны,
и, переходя к пределу при е->0, получим, что композиция
многочленов f(x) и g(x) есть многочлен, все корни кото-
которого вещественны.
Из композиционной теоремы Шура легко следует
Теорема 7 (Мало)*). Если все корни многочлена
fix) = во+ о:дг + . . . + апхп
вещественны, а все корни многочлена
вещественны и одного знака, то все корни многочлена
Р (х) = aobo -f-a^byX -f- • . • + афкхк (k = min (m, n))
вещественны.
Доказательство. Если все корни многочлена
f{x) = а0 + ахх + • • ¦ + апхп
вещественны, то, заменяя х на —, убеждаемся в том, что
все корни многочлена
также вещественны. Составляя по Шуру композицию этого
многочлена с многочленом
мы получим, что многочлен
• • • -\-аоп\хп
также имеет лишь вещественные корни. Подставляя снова
вместо х величину х~х и деля на п\, получим, что много-
многочлен
имеет лишь вещественные корни. Составляя теперь компо-
композицию этого многочлена с многочленом g(x), мы получим,
что многочлен Я(д:) имеет лишь вещественные корни,
*) В дальнейшем мы теорему Мало не используем,

с 3] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МНОЖИТЕЛЕЙ 439
§ 3. Последовательности множителей
Пусть
То. Ti. •••- Т«. ••• (8-08)
-произвольная числовая последовательность и Г* [Я(л;)] —
операция перехода от произвольного многочлена
Я (х) = о0
к многочлену
Г
Последовательность (8.08) называется последовательностью
множителей первого рода, если соответствующая Г*-опе-
Г*-операция переводит всякий многочлен со всеми вещественными
корнями в многочлен того же класса, и последователь-
последовательностью множителей второго рода, если соответствующая
Г*-операция переводит всякий многочлен со всеми положи-
положительными корнями в многочлен с вещественными корнями.
Эти понятия были введены Полна и Шуром [3].
Лагерр [2] рассмотрел некоторые последовательности
такого вида. В частности, он показал, что последователь-
последовательности
1, q, q\ <79, .... q*\ ... (|?|<1)
суть последовательности множителей первого рода и что
при любых вещественных \ и 5) последовательность
cosX, cos (X 4-f>)> cos(^4-2fr)> ¦••
есть последовательность множителей второго рода.
Если fn=n, то Г' [Р(х)\ = хР'(х), и по теореме Ролля
.получается, что последовательность 0, 1, 2, ... есть после-
последовательность множителей первого рода.
Установим некоторые свойства последовательностей мно-
множителей.
1. Если f0, Yi. • • • i Tn> ••¦—последовательность мно-
множителей первого или второго рода, то ц -у*.

440 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ [ГЛ. VIII
Ъ+2. •••>Ть+л> ••• (* > 0) есть последовательность мно-
множителей того же рода.
В самом деле, если все корни многочлена
P(x)=^ao-\-atx-\- ... -\-апх»
вещественны (или одного знака), a *fo> Xi> •••—последо-
•••—последовательность множителей первого (второго) рода, то все
корни многочлена
х~кТ* \хкР (х)] = аот* + а^к+1х + • • • + аЛя+**п
вещественны. Мы будем в дальнейшем считать, что ЧоФО.
2. Если в последовательности множителей первого
рода некоторый член равен нулю, то равны нулю все
последующие.
В самом деле, все корни многочлена
вещественны. Из леммы 3 следует, что если ч„Ф0 и fр = 0
при некотором р @ < р < п), то -\j>-i tP+i < 0. С другой
стороны, корни многочлена
Г
вещественны. Но при fp-iTp+i "С 0 это невозможно.
Таким образом, равенство fp = 0 @ < р < п) невоз-
невозможно.
3. В последовательности множителей первого рода
либо все множители — одного знака, либо последователь-
последовательность — знакопеременная.
В самом деле, из вещественности корней многочлена
Vn*p+1 — "(p-i*11'1 следует, что т*»—t и Tp+i — одного знака.
Неотрицательную последовательность множителей пер-
первого рода мы будем называть ^-последовательностью, а
соответствующую операцию — Т-операцаей.
4. Т-операция переводит Н-многочлен в Н-многонлен.
В самом деле, пусть

? 3] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МНОЖИТЕЛЕЙ 441
есть Я-многочлен. Не нарушая общности, можно счи-
считать, что *) а>@)=?0. По теореме 2 § 1 главы VII много-
многочлены
образуют обобщенную вещественную пару и
Г-операция переводит обобщенную вещественную пару
P(z) и Q(z) в обобщенную вещественную пару
Г [Р (г)] = то«о + ТА* ¦+-•••+ Т А*".
Г
причем foTi (ao*i — аА) > °-
Отсюда следует, что Г [о (г)] есть Я-многочлен. Лю-
Любая полуплоскость вида а < argz < те —J— а может быть про-
простым преобразованием переведена в нижнюю полупло-
полуплоскость (Im z < 0), и следовательно, если все корни не-
некоторого многочлена R(z) лежат внутри угла a <!arg^ <[J3
@-^? — a<^it), то внутри того же угла лежат все корни
многочлена Г [R(z)].
В частности, если все корни R(z) лежат на некотором
луче arg z = с, то на этом же луче лежат корни многочлена
Г [/?(*)].
Г-операцию можно распространить на более широкий
класс функций, определив ее следующим образом. Пусть
2
целая1 функция. Тогда положим
при условии, что второй ряд сходится.
*) В противном случае мы рассмотрели бы функцию <о {г -f-
сделали бы потом предельный переход при s-»-0,

442 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ [ГЛ. VIII
Теорема 8. Т-операция имеет смысл для всех функ-
функций класса Р* и функции класса Р* переводит в функции
того же класса.
Доказательство. Функция класса Р*
го
<в {z) = ^j akzk
является пределом равномерно сходящейся последователь-
последовательности //-многочленов
п
°>n(z)= 2 «ft, nzU- ¦ х
После применения Г-операции получается последователь-
последовательность Я-многочленов
п
гкй1=2та/.
причем Hm ^kakn = fkak. Из замечания к теореме 3
следует, что многочлены Г [<urt (z)] образуют нормальное
семейство. Предельная функция F (z) для равномерно схо-
сходящейся подпоследовательности многочленов Г[<ип(г)] при-
принадлежит классу Р*. Коэффициенты разложения в ряд этой
функции можно получить предельным переходом, т. е. по-
получится
Так как предел — единственный, то сходится сама последо-
последовательность {Г[<и„(г)]} и
Важный пример Г-операции был построен Иенсеном.
Множители Иенсена [1]. Пусть все корни мно-
многочлена
вещественны. Взяв композицию этого многочлена с много-
многочленом A-\-х)п, мы получим по теореме Шура, что все

с 3] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МНОЖИТЕЛЕЙ 443
корни многочлена
pt (х) = а0 -\-axtix + а.2п (п — \)х*-¦+¦. . .
...-\-акп{п— 1). ..(п — k-\-\)xk
вещественны. Подставив вместо х величину —, мы получим
многочлен
с вещественными кор?шми. Таким образом, при любом на-
натуральном п последовательность
есть Г-последовательность. Соответствующую Г-операцию
мы будем обозначать 1п[Р(х)]. Иногда мы будем пользо-
пользоваться обозначением Рп{х) = 1п\Р(х)\.
Операция /„ [/] ставит в соответствие любой целой функ-
функции многочлен степени п. Легко видеть, что
Нт/„[/(*)]=/(*).
т->со *
В самом деле, пусть
со
fc O
—i).. .(l -
Из неравенств для коэффициентов степенного ряда
= шах |/(гI, ?=1, 2,...)
IS I ~*v

444 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ [ГЛ. VIII
получаются неравенства
п
М (R) У"+1
М (R) rm+i
Rm (Л - г)
при | z | <^ г. Выбрав R = 2г и число т достаточно боль-
большим, мы будем иметь:
/ 1 I * Z~ 11 * ZT I • • • I 1 Z. ) ик*
Кроме того, при достаточно большом п
и, следовательно,
— /„
е при
Если функция <a(z)?P*, то существует равномерно схо-
сходящаяся к ней последовательность //-многочленов
Применяя операцию /„, мы получаем последовательность
Я-многочлвнов In[(om(z)\ и, переходя к пределу при /ге->оо,
получаем последовательность Я-многочленов
/й [т (г)] = ао
которая равномерно сходится к

§ 3]
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МНОЖИТЕЛЕЙ
445
Итак, мы получили теорему.
Теорема 9. Для того чтобы функция
со
(В (z) = 2 akzk
принадлежала классу Р*, необходимо и достаточно,
чтобы все многочлены последовательности {/„[<» (z)]},
равномерно сходящейся к с»(г), были Н-многочленами*).
В заключение этой главы мы докажем следующую тео-
теорему Г. Полна и И. Шура [1].
*) Эта теорема была впервые доказана Иенсеном[1]
й вещественными корнями. Записав условия Гурвица для
б
)
функций с
многочленов
для целых
р у ур
/„ [<в {г)\, мы получим необходимое и достаточное усло-
услоф Р* б
у у
вие принадлежности функции классу Р*, выражающееся в беско-
бесконечном множестве детерминантных неравенств. Интересно сопоста-
сопоставить этот результат с имеющимися обобщениями теоремы Гурвица
на целые функции. Громмер [1] показал, что для вещественной
целой функции нулевого рода f(z) =
положительность всех
определителей Гурвица, т. е. всех последовательных главных мино-
миноров бесконечной матрицы
«! а0 0 0 0 0 0 ...
а3 Да «1 а0 0 0 0 ...
аь ак яд а2 а\ ао ° • • •
является необходимым и достаточным условием того, чтобы все
корни этой функции лежали в левой полуплоскости. Фудживара [1]
распространил этот результат на целые функции произвольного
рода. Однако результаты Громмера и Фудживара ошибочны.
М. Г. Крейн[1] обнаружил ошибочность этих результатов и пока-
показал, что положительность всех определителей Гурвица является
необходимым и достаточным условием представимости веществен-
вещественной функции /(г) в форме f(z) = E(z%) G(z), где ? (г) —произ-
—произвольная вещественная целая функция, a G (iz) — произвольная целая
функция класса НВ.

446 пРивлйжение Целых функций многочленами [гл. Vir
Теорема 10. Для того чтобы последовательность
чисел
То> Ti. •••- Ти.» ••• Gо=^О) (8-08)
была ^-последовательностью, необходимо, и достаточна
чтобы ряд
оо
" '}z* (8.09)
сходился во всей плоскости и чтобы целая функция
представлялась в форме
при о ^> 0, у.к > 0 и 2 хл < °°-
Доказательство. Пусть (8.08) есть Г-последова-
тельность. Применяя Г-операцию к многочлену
мы получим многочлен
п
*, (8.11)
все корни которого вещественны и отрицательны. Положив
х = —, мы получим многочлен
(8Л2>
все корни которого вещественны и отрицательны.
Покажем, что последовательность {Pn{z)\ многочленов
равномерно сходится к целой функции. В самом деле, эти
многочлены образуют нормальное семейство, так как все их
корни лежат в полуплоскости lmz^-0, первые три коэф-

? 3) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МНОЖИТЕЛЕЙ 44?
фициента ограничены и f0 ф 0 (замечание к теореме 3). Так
как коэффициенты многочленов Pn(z) стремятся к опреде-
определенным пределам при п-+со, то это нормальное семейство
имеет единственный предел
и следовательно, последовательность {Pn(z)\ многочленов
равномерно сходится к y(z). По теореме 1 предельная функ-
функция <?(z) для последовательности {Pn{z)\ многочленов, имею-
имеющих лишь отрицательные корни, представляется в форме
(8.10).
Докажем теперь достаточность. Пусть cp(z)— целая функ-
функция вида (8.10). Возьмем последовательность многочленов
к-0
все корни которых вещественны и отрицательны и которые
аппроксимируют функцию <р (z). Составим композицию по
Шуру из многочлена Rm(z) и произвольного многочлена
Р(z) = с0-f-ayz-+-а.^-+- ... -\-anzn,
все корни которого вещественны. По теореме Шура все
корни многочленов
п
?>т (z) = 2j
вещественны. Перейдя к пределу при т —> оо, мы получим,
что все корни многочлена
Г [Р (z) ] =
вещественны. Отсюда следует, что последовательность чисел
(8.08) есть Г-последовательность.
Замечание. Все знакопеременные последовательности
первого рода можно получить, разлагая в ряд функции
вида ср(—z).
Вполне аналогично теореме 10 доказывается следующая
теорема Г. Полна и И. Шура [1].

448 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ {ГЛ.. VIB
Теорема 11. Для того чтобы последовательности
чисел
То> fi Ъ»>
была последовательностью множителей второго рода,
необходимо и достаточно, чтобы ряд
сходился во всей плоскости и чтобы ®(г) была веществен-
вещественной функцией (с точностью до постоянного множителя)
класса Р*.

ГЛАВА IX
ОПЕРАТОРЫ, СОХРАНЯЮЩИЕ НЕРАВЕНСТВА
МЕЖДУ ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Классы целых функций, рассмотренные в главах VII и VIII,
играют большую роль при изучении неравенств между целыми
функциями и экстремальных свойств целых функций.
С. Н. Бернштейном было открыто [1], [6], [7] следующее
замечательное свойство целых функций конечной степени.
Если целая функция f(z) конечной степени с ограни-
ограничена на вещественной оси, т. е.
|/(*)|<M (— со<*<со),
то
Эта теорема, играющая большую роль в теории аппро-
аппроксимации, вызвала большой интерес, много раз передоказы-
передоказывалась и обобщалась в различных направлениях.
Неравенства в формулировке этой теоремы могут быть
записаны в форме
т. е. теорема С. Н. Бернштейна состоит в том, что при ука-
указанных условиях неравенство между некоторыми функциями
влечет за собой неравенство между их производными.
С. Н. Бернштейн обобщил свою теорему [1], заменив
функцию el"z более общими функциями <u (z) = е"г<р (г), где
о (z) — целая функция нулевого рода, не имеющая корней
в одной из полуплоскостей Imz<Ot Itnz>0.
Н. И. Ахиезер [2] сделал дальнейшее обобщение, заменив
функцию ср(г) функцией конечной степени, удовлетворяющей
некоторым условиям регулярности.
29 Зак. 988. Б. Я. Левин

450 ОПЕРАТОРЫ, СОХРАНЯЮЩИЕ НЕРАВЕНСТВА (гл. IX
В работах [6], [7]*) были сняты эти требования регуляр-
регулярности и доказано, что если o>(z)?P, a f(z)— целая функ-
функция степени, не большей, чем степень <в(г), то из неравенства
следует неравенство
h'WI (— оо<*<оо).
Существенно, что нельзя далее расширить класс функ-
функций со (л:), играющих ту же роль, что и еЬж, в неравенстве
С. Н. Бернштейна. Показано [7], что если <a(z)?P иш(г)?Р,
то существует целая функция меньшего роста, чем в>(г), удо-
удовлетворяющая на вещественной оси неравенству | f(x) | <; | ш (х) \
и при этом в некоторой точке вещественной оси | /' (х) \ > | о/ (х) |.
При доказательстве этих теорем существенно был исполь-
использован тот факт, что при условиях теоремы из неравенства
|/(*)| <^ I ш(-*01 на вещественной оси и аш<^су следует не-
неравенство в полуплоскости
Н. Н. Мейман [2] предложил прямо определять соотно-
соотношение майорантности с помощью неравенств
|/(*)|<|ш (*)],, |/B)|<h(z)| (Imz<0) (9.00)
и доказал, что если o>(z)?HB, то из этих неравенств сле-
следует неравенство на вещественной оси
Стоит отметить, что в этом случае в противоположность
предыдущему соотношение майорантности, имевшее место
для функций, не возобновляется для производных, поэтому
в формулировке этой теоремы нельзя операцию дифферен-
дифференцирования заменить кратным дифференцированием.
Естественно было поставить вопрос о наиболее широком
классе майорант в этом новом смысле, которые сохраняют
соотношение майорантности (9.00) после дифференцирования.
Оказалось (9], что наиболее широкий класс майорант, инва-
*) Числами в скобках без указания автора даны ссылки на статьи
автора книги.

Операторы, сохраняющие неравенства 451
риантный относительно умножения на функцию етх при любом
вещественном значении числа «с и сохраняющий соотношение
майорантности (9.00) после дифференцирования, совпа-
совпадает с Р*.
В работах [7], [8] было установлено, что оператор диф-
дифференцирования может быть заменен в этом круге вопросов
множеством других операторов значительно более общего
вида. Для получения этих теорем вводятся понятия о допу-
допустимых классах функций и о 23-операторах. Подкласс Т
класса НВ мы называем допустимым, если из принадлеж-
принадлежности функции о» (z) классу Т и выполнения неравенств (9.00)
следует, что <o(z)-\~f(z)? T .и va>(z)?T (v — постоянная).
Функция о) (z) называется при этом Т-майорангпой функ-
функции f(z).
Общая идея доказательства неравенств для целых функций
состоит в следующем. Доказывается теорема. Если Т—до-
Т—допустимый класс и при | v | ;> 1 функция f(z) — ¦исв (z) ? Т,
то ш(г) есть Т-майоранта целой функции f(z).
Пусть теперь ш(г) есть Т-майоранта целой функции f(z),
а К [/] — линейный оператор, определенный на линейной
оболочке класса Т и отображающий Т в себя. Так как
Т—допустимый класс, то f(z) — v<a(z)?T при \v\^ 1. При-
Применяя оператор K\f], получаем K\f{z)\ — vK\<*>{z)\ ? Т
при \v\~^-\ и, следовательно, K\°&(z)\ есть Г-майоранта
для K\f\z)\. Таким образом, применение такого оператора
сохраняет Г-майорантность.
Линейные операторы, отображающие допустимый класс Т
на себя, мы называем Ът-операторами. Особенный интерес
представляют 2?j и 58^» -операторы, которые сокращенно
обозначаются 23 и 58*. В частности, оператор дифференци-
дифференцирования есть 93 и 23*-оператор.
В § 7 этой главы мы находим общий вид 23 и 23*-опе-
23*-операторов при некоторых небольших ограничениях (см. [10],
[15]), относящихся к непрерывности оператора.
Из этого общего вида получается, в частности, что произ-
произвольный 23-оператор, перестановочный с оператором диф-
дифференцирования, имеет вид
к=0
29*

I
3
452 ОПЕРАТОРЫ, СОХРАНЯЮЩИЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. IX |
есть целая функция класса Р*. Оператор Г[/], определенный
в главе VIII, есть наиболее общий вид 23 (и 23*)-оператора,
перестановочного с оператором z -г .
Общее выражение для операторов 33 и 33* потребовало
введения классов Р, Р* и НВ для функций от нескольких
переменных*) [8]; были определены 23-операторы для классов
функций от нескольких переменных и распространены тео-
теоремы о сохранении неравенств. Распространение теории на
функции от нескольких переменных дало возможность обоб-
обобщить на функции от нескольких переменных известную тео-
теорему Лагерра — Полна, изложенную в главе VIII (см. [8], {9]
и [15]). Эти результаты изложены в § 5.
§ 1. Майоранты и допустимые классы
Определение 1. Функция u>(z) называется НВ-май-
орантой целой функции f(z), если ш (z) ? MB и при Im z <] 0
1/<*)|<Н*)|, |/(г)|<|«(*)|. (9.00)
Если о (z) принадлежит некоторому подклассу Т класса ИВ,
допускающему умножение на постоянную **), то мы будем
ее называть Т-майорантой функции f(z).
Очевидно, что если со (z) есть Г-майоранта функции f(z),
то при |и|;>1 и u<b(z) есть Г-майоранта той же функции.
Теорема 1 ***). Пусть f(z) и w(z) — целые функции.
Для того чтобы функция
*) Впервые неравенство С. Н. Бернштейна для целых функций
было перенесено на функции от нескольких переменных самим
С. Н. Бернштейном [3].
**) То-есть если <* (г) € У, то и с<* (г) ?Т.
***) Эта теорема была доказана автором для функций конечной
степени и сформулирована в качестве общего принципа для доказа-!
тельства неравенств типа неравенства С. Н. Бернштейна (см. [7],
лемма 3). Доказательство обобщенного неравенства С. Н. Бернштей-
Бернштейна с помощью этой леммы является усовершенствованием одного
приема, примененного Н. И. Ахиезером [2]. Для класса НВ теорема
в части достаточности была доказана Н. Н. Мейманом [2].

§ 1]
МАЙОРАНТЫ И ДОПУСТИМЫЕ КЛАССЫ
453
принадлежала классу НВ при всех v, взятых вне единич-
единичного круга (| v | ;> 1), необходимо и достаточно, чтобы <в (z)
была НВ-майорантой для f(z).
Доказательство. Сначала докажем необходимость.
Пусть <ov(z)?HB. Тогда из равенства
следует, что <в (z) ? НВ. Кроме того, при | v \ > 1 функция ср„ (z)
не имеет корней в нижней полуплоскости и, следовательно,
/(*) ' -1- П
при Im z < 0 и |г>|>1. Иначе говоря,
(9.01)
при 1тг^0. Для того чтобы получить второе из соотно-
соотношений майорантности, заметим, что при 1тг^0
или, учитывая (9.01) и принадлежность <a(z) классу НВ:
Таким образом, в силу равенства
всюду в нижней полуплоскости
= | f(z)|будем иметь
Из (9.01) имеем при —оо < д; < оо
и по теореме Фрагмена и Линделёфа (глава I, § 14)
/(г)
т. е.
(г)
Aшг<0),
Итак, o)(z) есть Я5-майоранта функции

454 ОПЕРАТОРЫ, СОХРАНЯЮЩИЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. IX
Докажем достаточность. Если m(z) есть НВ-майоранта
функции f(z), то при |г>| > 1 функция %(z) не может обра-
обращаться в нуль в полуплоскости Im z < 0. Кроме того, при
|г>|> 1 и Imz< 0
/<*) • (*)
. (Z) <0 (Z)
При вещественном г это отношение равно единице, и,
применяя теорему Фрагмена и Линделёфа к функции
%, (г)
получим, что
Итак, <?v(z)?HB при |г»|1>1. Лемма доказана.
Определение 2. Назовем подкласс Т класса НВ до-
допустимым, если из того, что ш(г) является 7-майорантой
целой функции f(z), следует, что
Из теоремы 1 следует, что класс НВ — допустимый.
Класс Р — также допустимый класс. В самом деле, если
m(z) есть Р-майоранта функции f(z), то /B) —конечной
степени. Функция f{z)-\-m{z) — также конечной степени.
По теореме 1 эта функция принадлежит НВ и, следова-
следовательно, Р (глава VII, лемма 1).
Допустимость класса Р* мы докажем несколько позже.
§ 2. Некоторые свойства класса Р*
Пусть Pn(z)—произвольный Я-многочлен. Из формулы
в которой zk — корни многочлена Pn(z) (Im^ft>-0), следует,

§ 2] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КЛАССА Р* 455
что при Im z < 0 ,
Таким образом, P'n(z) не имеет корней в нижней полу-
полуплоскости и, следовательно, также есть //-многочлен*).
Приближая, данную функцию о (z) класса Р* последова-
последовательностью {Pn(z)} //-многочленов, мы получим, что ш'(z)
также есть предел последовательности {Pn(z)} //-многочленов.
Таким образом, производная от функции из класса Р* сама
принадлежит Р*.
Следующая теорема показывает, что класс Р* является
в некотором смысле наиболее широким классом функций,
допускающим дифференцирование.
Теорема 2 [9]. Если <a(z) —целая функция и при
любом вещественном х
[е™ш(г)]'?НВ, (9.02)
то ta(z) есть функция класса Р*.
Доказательство. Пусть m{z) = P{z)-\-iQ(z). По
теореме 4' главы VII из (9.02) следует, что при всех ве-
вещественных значениях х функции
образуют обобщенную вещественную пару. Таким образом,
все корни функции Р' (z) -\-тР (z) вещественны и, следова-
следовательно, величина
$ (9-03>
сохраняет знак при Im z > 0. В верхней полуокрестности
каждого полюса эта величина отрицательна и, следовательно,
она отрицательна во всей верхней полуплоскости. По тео-
рг B)
реме 2 главы VII мероморфная функция допускает
представление
со
Р'(г)
*) Из приведенных рассуждений легко вытекает следующая
теорема Гаусса: корни производной от многочлена располо-
расположены все в наименьшей выпуклой области, содержащей корни
этого многочлена.

456 ОПЕРАТОРЫ, СОХРАНЯЮЩИЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. IX
в котором 8 и ah (ft=l, 2, ...) вещественны, Y>Q и
00
2 Iй* |~2 < °°- Таким образом, Р(г) представляется в форме
г
» . . —
И Кг) —се ±±\\ je
и, следовательно, P{z)?P*. Аналогично показывается, что
Так как при любых вещественных ц, v и х все корни
функции
|i [/>' B) + тР B)] + v [С (г) + tQ (г)]
вещественны, то, деля на т и переходя к пределу при -с-э-оо,
получаем, что P(z)n Q(z)— обобщенная вещественная пара.
Отсюда следует, что либо <u(z)?HB, либо m(z)?HB и по
теореме 5 § 1 главы VIII либо ш(г)?Р*, либо <a(z)?P*.
Для невещественной функции <в(г) второй случай исклю-
исключается, так как ш'(г)?НВ. Итак, ш(г)?Р*. Эта теор�