Ergebnisse der Mathematik
und ihrer Grenzgebiete Band 5
Jean Dieudonne
LA GEOMETRIE
DES GROUPES CLASSIQUES
Troisieme Edition
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1971

Ж. Дьёдонне
ГЕОМЕТРИЯ
КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
Перевод с французского
Э. Б. Винберга
Издательство «МИР»
Москва 1974

УДК 610.4
Монография одного из крупнейших французских
математиков Жана Дьёдонне содержит систематическое
изложение теории классических линейных групп иад
произвольным телом. Третье ее издание дополнено но-
новейшими результатами об автоморфизмах классических
групп.
Несмотря на то что многие из результатов, изла-
излагаемых в книге, могут быть теперь получены методами
теории полупростых алгебраических групп, монография
Дьёдоние сохраняет свое значение как безукоризнен-
безукоризненное изложение теории классических групп .классиче-
.классическими методами, преимущество которых состоит в про-
простоте и высокой степени конструктивности.
Изложение носит характер обзора: доказательства,
как правило, лишь намечаются. Благодаря этому книга
при небольшом объеме содержит очень много резуль-
результатов.
Книга заинтересует математиков многих специаль-
специальностей, в первую очередь специалистов по алгебре и
топологии. Она будет полезна преподавателям, аспи-
аспирантам и студентам старших курсов университетов и
пединститутов.
Редакция литературы по мате магическим наукам
20203—005
Д ¦ . „ . 5—74 © Перевод иа русский язык, «Мир», 1974

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Книга Ж. Дьёдонне содержит наиболее полное из-
изложение теории классических линейных групп над про-
произвольными телами. Она является как хорошим руко-
руководством для изучения предмета, так и незаменимым
справочным пособием. Ее автор — крупный француз-
французский математик, которому принадлежит много ориги-
оригинальных работ в этой области.
Название книги, быть может, не дает достаточно
ясного представления о ее содержании. Основная ее
цель — выяснение алгебраической структуры классиче-
классических групп;, геометрия же, наряду с линейной алгеброй,
служит средством для достижения этой цели. Полно-
Полностью геометрическим вопросам посвящена лишь третья
глава, но и она носит скорее вспомогательный характер.
Ко времени выхода второго издания книги теория
классических групп в основном закончила свое само-
самостоятельное развитие и влилась в теорию полупростых
алгебраических линейных групп, создание которой свя-
связано в первую очередь с именами К. Шевалле, А. Бо-
реля и Ж. Титса. Однако классические методы не утра-
утратили значения ввиду своей элементарности и высокой
степени конструктивности, которую им придает аппарат
линейной алгебры, не говоря уже о том, что классиче-
классические результаты служат образцом для обобщений. По-
Поэтому книга Дьёдонне, зафиксировавшая состояние
классической теории линейных групп в высшей фазе ее
развития, еще долго сохранит свою ценность.
Э. Б. Винберг

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В этой книге излагаются примерно те же теории, что
и в первой трети труда Ван-дер-Вардена «Группы ли-
линейных преобразований», вышедшего раньше, в этой се-
серии. В ней дается значительно более развернутое изло-
изложение, которое отражает в первую очередь большое
число работ на тему книги, появившихся в течение по-
последних двадцати лет и существенно изменивших точку
зрения на рассматриваемые в ней вопросы. С другой
стороны, хотя в отведенных нам рамках не могло быть
и речи о полных доказательствах, мы старались демон-
демонстрировать хотя бы основные идеи доказательств зна-
значительно чаще, чем это сделано у Ван-дер-Вардена.
Из всех групп линейных преобразований здесь рас-
рассматриваются только те, которые называются «класси-
«классическими». В связи с этим используется лишь «элемен-
«элементарная» часть теории групп, концентрирующаяся вокруг
понятий подгруппы и гомоморфизма. Мы не затраги-
затрагиваем тех частей теории, которые требуют более слож-
сложных понятий. Так, мы не касаемся теории линейных
представлений групп, а также топологии и дифферен-
дифференциальной геометрии. Поэтому почти единственным сред-
средством доказательств остается линейная алгебра в той
геометрической форме, которую она приняла в совре-
современную эпоху.
Эванстон, 1 октября 1954 г.
Жан Дьёдонне

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
После выхода в свет в 1955 г. первого издания этой
книги было опубликовано довольно много работ о клас-
классических группах, внесших значительные улучшения
как в методы, так и в результаты. В этом новом изда-
издании мы попытались по возможности учесть эти улучше-
улучшения и привести библиографию в соответствие с сегод-
сегодняшним днем. Необходимо, однако, указать, что в тексте
практически не отражен самый эффектный прогресс, до-
достигнутый в эти последние годы: после решающих работ
К. Шевалле, посвященных построению простых групп из
простых комплексных алгебр Ли [5] и классификации
полупростых алгебраических групп над алгебраически
замкнутым полем [6], на первый план вышли методы,
заимствованные в значительной степени из теории Ли
и алгебраической геометрии и позволяющие трактовать
большое число вопросов теории классических групп
единым образом, без необходимости изучать группу каж-
каждого типа отдельно. Многие математики вслед за К. Ше-
Шевалле уже с успехом использовали эти общие методы в
своей работе, и есть все основания ожидать, что будущее
развитие этого направления покроет практически все со-
содержание данной книги. Обзор результатов, достигнутых
в этом направлении, должен быть в ближайшее время
сделан Ж. Титсом.
Париж, 1 октября 1962 г,
Жан Дьёдонне

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Наиболее важный прогресс в теории классических
групп после 1962 г. касается определения автоморфиз-
автоморфизмов этих групп. Новые методы позволили решить ряд
проблем из этой области, упоминавшихся в предыдущих
изданиях как открытые. Мы сделали несколько указа-
указаний по поводу этих методов и пополнили библиографию.
Ницца, 1 декабря 1970 г.
Жан Дьёдонне

Глава I
КОЛЛИНЕАЦИИ И КОРРЕЛЯЦИИ
§ I. Линейные и полулинейные отображения
В последующем изложении мы предполагаем из-
известными элементарные понятия и результаты линейной
алгебры (см., например, монографию Бурбаки [1], обо-
обозначениями которой мы пользуемся). Под векторным
пространством всегда понимается (если не оговорено
противное) конечномерное правое векторное простран-
пространство Е над телом К (коммутативным или нет).
Пусть К, К' — два тела, а —изоморфизм тела К
на К'. Пусть Е— векторное пространство над К и F—
векторное пространство над К'. Полулинейное отобра-
отображение пространства Е в F относительно изоморфизма
а — это такое отображение и, что
и(х-\-у) = и(х) + и(у) при х<=Е, у^Е,
и(хХ) = и{хI° при х<=Е, Х^К.
Образ при отображении и подпространства из Е
есть подпространство в F; полный прообраз подпро-
подпространства из F есть подпространство в Е. Рангом ото-
отображения и называется размерность пространства
и(Е), равная коразмерности ядра ы-'@) отображе-
отображения и.
Пусть К" — третье тело и т — изоморфизм тела К'
на К". Пусть G — векторное пространство над К" и v —
полулинейное отображение пространства F в G относи-
относительно изоморфизма т. Тогда w = vu есть полулинейное
отображение пространства Е в G относительно изомор-
изоморфизма от тела К на К". Если и биективно, то иг1 есть
полулинейное отображение пространства F на Е отно-
относительно изоморфизма о~'.
В случае когда К' = К, линейное отображение про-
пространства В в F — это не что иное, как полулинейное

10 Гл. I. Коллинеации и корреляции
отображение, соответствующее тождественному авто-
автоморфизму тела К-
Пусть (ai)l<{<n — базис пространства Е. Полу-
Полулинейное отображение и пространства Е в простран-
пространство F полностью определяется заданием изоморфизма
а и элементов Z\ = u(a,) (l^i^n) пространства F.
п п
В самом деле, при х = 2 afci имеем «(x)=2zfi°. Если
т
(bj)l<l<m — базис пространства F и2| = н (с/) = 2 ?/«/*>
то отображение ы определяется матрицей А=(ац),
имеющей' т строк и п столбцов. Матрица А называется
матрицей отображения и по отношению к базисам (а;)
и (bj). Если и биективно (и, значит, т = п), то матри-
матрицей отображения ы~' по отношению к базисам (Ь}) и
(at) служит матрица (А~ ) . Если v — полулинейное
отображение F в G относительно изоморфизма т и В —
матрица отображения v по отношению к базису (bj)
пространства F и базису (ck) пространства G, то мат-
матрицей отображения vu по отношению к базисам (а4)
и (сй) будет матрица ВАХ.
Коллинеацией векторного пространства Е над те-
телом К называется всякое биективное полулинейное ото-
отображение пространства Е на себя. Коллинеации про-
пространства Е образуют группу. Очевидно, что группы
коллинеации векторных пространств одной размерности
над одним телом изоморфны. Обозначим через ГЬп (К)
группу коллинеации фиксированного раз . и навсегда
«-мерного векторного пространства Е над -телом К (на-
(например, пространства Кп, рассматриваемого как правое
векторное пространство над К).
Для всякого а е К, афО, отображение ha: x-+xa
есть коллинеация относительно внутреннего автомор-
автоморфизма-|->о~Ча тела К- Говорят, что ha — гомотетия
с коэффициентом а. Гомотетии образуют нормальный
делитель Нп в группе ГЬп(К), и отображение a-+ha
есть антиизоморфизм мультипликативной группы К*
тела К на группу Нп. Гомотетия может быть охаракте-
охарактеризована как коллинеация, относительно которой цнва,-

$ 1. Линейные и полулинейные отображения \ 1
риантно всякое k-мерное подпространство простран-
пространства Е (для какого-нибудь одного значения k, удовлет-
удовлетворяющего неравенствам 1 ^ k <c п).
Коллинеации пространства Е, являющиеся линей-
линейными отображениями1), образуют нормальный делитель
GLn(K) в группе Пп(К), называемый полной линей-
линейной группой от п переменных над телом К- Подгруппы
#„ и GLn(K) являются взаимными централизаторами
в группе П„(К) (см. гл. II, § 1). Их пересечение Zn
есть их общий центр. Он изоморфен мультипликативной
группе Z* центра Z тела К и состоит из так называемых
центральных гомотетий х-*ху, где уе2*.
Для любых подпространств V и W одинаковой раз-
размерности в пространстве Е существует такое линейное
преобразование u^GLn(K), что u(V)=W. Иначе го-
говоря, для всякого г, удовлетворяющего неравенствам
ls^r^/i— 1, группа GLn(K) транзитивно действует
на множестве r-мерных подпространств.
Если обозначить через ф(«) автоморфизм тела К,
соответствующий коллинеации и, то отображение
ы—>ф(ы) будет гомоморфизмом группы ГЬп(К) на
группу А автоморфизмов тела К- Ядром этого гомомор-
гомоморфизма является GLn(K), так что rLn(K)IGLn{K)—A.
Факторгруппа PrLn(K) = ГЬп(КIНп может быть
отождествлена с группой проективных коллинеации
(п—1)-мерного правого проективного пространства
Р(Е) = Р„_1 (/С) над К (которое при этом отожде-
отождествляется с пространством прямых пространства Е).
Мы будем обозначать через и -* п канонический гомо-
гомоморфизм группы FLn на РГЬП. Проективной коллинеа-
коллинеации п соответствует не один автоморфизм о тела К, но
целый класс смежности группы А по подгруппе / внут-
внутренних автоморфизмов (изоморфной К /Z*). Этот класс
мы будем обозначать через а = ф(ы). Отображение ф
есть гомоморфизм группы PFLn(K) на группу А/1. Его
ядром является группа PGLn(K)= GLn(K)/Zn проек-
*) Биективное линейное отображение векторных пространств
над одним и тем же телом К называется также изоморфизмом этих
пространств. Таким образом, элементы группы GLn(K)—это авто-
автоморфизмы векторного пространства Кп.

12 Гл. I. Коллинеации и корреляции
тивных линейных отображений пространства Pn-i(K)
на себя (так называемая полная проективная группа
от п переменных над телом /С), так что имеем
PrLn(K)/PGLn(K)^A/I.
§ 2. Растяжения и сдвиги
Мы не будем здесь заниматься проблемой класси-
классификации коллинеации векторного пространства Е над
произвольным телом К. Укажем только, что эта проб-
проблема состоит в отыскании условий, при которых кол-
коллинеации и л v связаны соотношением v = tut-1, где
t e GLn(K). В случае коммутативного тела К и линей-
линейных отображений и проблема решается классической
теорией элементарных делителей (см., например, Бур-
баки [2]). Эта теория обобщена на произвольные кол-
коллннеации в работах Джекобсона [1], [2] и [3], Накаямы
[1], [2], Асано и Накаямы [1] и Хаантьеса [1]. Мы огра-
ограничимся здесь изучением нескольких частных случаев,
которые будут использованы в дальнейшем.
Пусть V и W — два дополнительных подпростран-
подпространства размерностей р и п — р A^р<п) в простран-
пространстве Е. Всякая коллинеация и пространства Е, относи-
относительно которой инвариантны (в целом) V и W, одно-
однозначно определяется своими ограничениями v и до на V
и W соответственно. Такие коллинеации образуют груп-
группу, изоморфную подгруппе произведения Г/.Р(#)Х
ХГ?п_р(/С), составленной из таких пар (о, ДО), что
автоморфизмы тела К, соответствующие v a w, совпа-
совпадают. Очевидно, что эта подгруппа содержит в качестве
нормального делителя группу GLP (К) X GLn_p (/(),
образованную линейными коллинеациями пространства
Е, относительно которых инвариантны V и W.
В тех же обозначениях рассмотрим коллинеации и,
оставляющие на месте каждый элемент подпростран-
подпространства V. Ясно, что такая коллинеация должна быть ли-
линейной и определяется своим ограничением на подпро-
подпространстве W, дополнительном к V. Для х е W имеем
и (х) = v (х) + до (х), где v (х) е V, w (x) e W. При этом
v — произвольное линейное отображение подпростран-
подпространства W в V, а до — произвольное линейное отображение

§ 2. Растяжения и сдвига 18
W на себя. Отображения v и w зависят от выбора до-
дополнительного подпространства W, но линейное преоб-
преобразование, индуцированное w в факторпространстве
E/V, зависит только от и.
Рассмотрим частный случай, когда р = п—1, т. е.
когда V — гиперплоскость. Пусть W = аК — прямая, до-
дополнительная к V. Тогда w(a) — aa; элемент aeiC
определен коллинеацией и с точностью до сопряженно-
сопряженности. Обозначим через а класс сопряженности элемента а
(образованный элементами ЯаАг1). Следует различать
два случая в зависимости от того, состоит класс А
лишь из единицы 1 тела К или нет. Если а=5^{1}, то
коллинеация и называется растяжением. Легко пока-
показать, что в этом случае существует единственная пря-
прямая WQ = а0К, дополнительная к V и инвариантная
(в целом) относительно и. Если а = {1} и коллинеа-
коллинеация и не тождественна, то она называется сдвигом
вдоль гиперплоскости V; будем также говорить, что V
принадлежит сдвигу и. В этом случае для любого хе?
имеем и(х) = х-^-ар(х), где aeV, а р — такая линей-
линейная форма на Е, что р~' @) = V. Вектор а и форма р
определены коллинеацией и с точностью до одновре-
одновременной замены а на аХ и р на Я-'р, где К е К*- Подпро-
Подпространство VQ = аК с: V называется прямой, принадле-
принадлежащей сдвигу и; мы также говорим «сдвиг в направле-
направлении прямой Fo». He существует никакой прямой, инва-
инвариантной относительно и и не принадлежащей V.
Растяжения и сдвиги, соответствующие гиперплоско-
гиперплоскости V, вместе с тождественным отображением образуют
подгруппу D(V) группы GLn(K). Сдвиги вдоль гипер-
гиперплоскости V вместе с тождественным отображением
образуют коммутативный нормальный делитель T(V)
в группе D(V), изоморфный аддитивной группе про-
пространства V, т. е. группе Кп~1. Факторгруппа D(V)/T(V)
изоморфна мультипликативной группе К*. Группы D(V)
и T(V) имеют простую интерпретацию в проективном
пространстве Pn_i(/Q: если гиперплоскость простран-
пространства Pn-i(^C), соответствующую пространству V, при-
принять за «бесконечно удаленную», то D(V) будет груп-
группой аффинных преобразований пространства Кп~\

14 Гл. 1. Коллимации и корреляции
переводящих каждую прямую в параллельную ей пря-
прямую, a T(V) будет группой параллельных переносов
пространства Кп~1.
Два растяжения (соответственно два растяжения,
содержащиеся в D(V)) сопряжены в группе GLn(K)
(соответственно в группе D(V)) тогда и только тогда,
когда они соответствуют одному и тому же классу а
сопряженных элементов в группе К*. Любые два сдвига
сопряжены в группе GLn(K) (ra^2); два сдвига, со-
содержащиеся в T(V), сопряжены в группе D(V) тогда
и только тогда, когда они соответствуют одной и той же
прямой Vo cz V.
Для того чтобы линейное преобразование v e
eGLn(/C) было перестановочно со сдвигом иеГ(У),
необходимо и достаточно выполнение следующих усло-
условий:
1) v(V)=V;
2) v{Vo)= Vo, где Vo — прямая, принадлежащая
сдвигу и;
3) если и(х) = х + ар(х) и v(a) = al, то p(v(x)) =
\()
р()
Для того чтобы два сдвига были перестановочны, не-
необходимо и достаточно, чтобы прямая каждого из них
содержалась в гиперплоскости другого. Централизато-
Централизатором группы T(V) в группе GLn(K) является произве-
произведение (прямое) ZnT(V). В самом деле, относительно
преобразования и, перестановочного с любым сдвигом
вдоль V, должны быть инвариантны гиперплоскость V
и любая прямая этой гиперплоскости. Следовательно,
ограничение и на У есть центральная гомотетия пу (см.
гл. II, § I). Тогда hylu<=D(V), и легко видеть, что
hy и может быть только сдвигом.
§ 3. Инволюции и полуинволюции
Инволюцией в группе GLn(K) называется такое ли-
линейное преобразование и, что и2(х) = х (мы будем за-
записывать это и так: и2 = 1). Описание таких преобра-
преобразований различно в случаях, когда характеристика тела
отлична от 2 и равна 2.

§ 8. Инволюции и полуинволюции 15
1°. Если характеристика тела К отлична от 2, то Е
разлагается в прямую сумму двух подпространств U+
и U- (одно из которых может быть нулевым) таким об-
образом, что и(х) = х при * е ?/+ и и(х) = —х при x^U~.
Говорят, что U+ и U- — это положительное и отрица-
отрицательное собственные подпространства инволюции и.
Если dim(?/+) = р, то и называется инволюцией типа
(р, га— р), или (р, п — р) -инволюцией. Образ в группе
PGLn(K) инволюции типа (р, п— р) или (га— р, р)
(р ^ га/2) называется р-инволюцией.
2°. Если К — тело характеристики 2, то и(х) = х-{-
+ у(#), где v — линейное преобразование, удовлетво-
удовлетворяющее условию v2 = 0 или, что то же самое, v(E)c
сг'(О). Говорят, что у-'@) и v(E) — подпространства,
принадлежащие инволюции и (или подпространства
этой инволюции). Если dim (у (Е))—р, то dim(iH@)) =
= га — р и 2р^га; в этих обозначениях говорят, что
и — инволюция типа (р,п — р), или {р, п — р)-инволю-
р)-инволюция, а ее образ в PGLn(K) называется р-инволюцией.
В частности, инволюции типа A,га—1) — это не что
иное, как сдвиги (см. § 2).
Коллинеация u^FLn{K) будет называться полуин-
полуинволюцией, если соответствующая проективная колли-
коллинеация п. является инволютивным элементом группы
РГЬП(К), т. е. йа=1. Это равносильно тому, что
и2 (х) = ху, где у е К*, для всякого х е Е. Если о —
автоморфизм тела К, соответствующий и, то, вычисляя
и3(х) двумя способами, находим, что
Y° = Y. (I)
и, вычисляя и2{х\) двумя способами, — что
f-Y-'EY B)
для всех | е К. Теперь необходимо рассмотреть два
случая:
А) у не представляется в виде ХХа, ^е/(. Тогда
можно построить квадратичное расширение Ко тела К,
базис которого над К (правый и левый одновременно)
достоит из 1 и такого элемента р, что р2 = у и т^р = рт]а

16 Гл. I. Коллинеации и корреляции
для всех т^е/С1). Можно, далее, ввести в Е структуру
правого векторного пространства над Ко, положив
х? = х1 + и(х)ц при ? = | + рт]е/Со (ge/C, Че=/().
При этом Е будет иметь размерность га/2 над /Со, от-
откуда, кстати, следует, что в этом случае га непременно
четно (ср. Дьёдонне [14]2)).
В) у=ККа, где А,е/0 Положим тогда v(x)=u(x)fc-x;
это будет полуинволюция относительно автоморфизма т,
определенного равенством ?х = Х1а\~1. Имеем v*(x)=x,
V = ?. Пусть К\ — подтело тела К, образованное эле-
элементами, инвариантными относительно т. Возможны два
случая:
81) К\ = К, т. е. т — тождественный автоморфизм.
В этом случае v — инволюция в группе GLn (К); вид
такой коллинеации был определен выше.
82) К есть квадратичное расширение тела Ki. Тогда
Е есть правое векторное пространство размерности 2га
над К\ и v, рассматриваемое как линейное преобразо-
преобразование этого векторного пространства, есть инволюция
в группе GL2n(K\). Если характеристика тела К отлич-
отлична от 2, то К имеет базис над Ки состоящий из 1 и та-
такого элемента р, что р2 е Ки Рх = —Р- Пространство Е
разлагается над К\ в прямую сумму собственных под-
подпространств V+ и V~ преобразования v. Так как v(xp) =
= —v(x)p, то коллинеация х-+хр отображает V+ на
V~. Следовательно, пространства V+ и V~ имеют оди-
одинаковую размерность, равную га, и базис (е(I</<л
пространства У+ над К\ есть в то же время базис про-
пространства Е над К. В этом базисе ы(ег) = еД при 1 ^
< t < га..
Если К — тело характеристики 2, то оно имеет над
К\ базис, состоящий из 1 и такого элемента 8, что
82 + 8 = peE/Ci и 8х = 8+1. В этом случае v(x) =
•) Если а — нетождественный автоморфизм тела К, то /Со не
коммутативно, даже если К коммутативно. Это с очевидностью по-
показывает необходимость введения некоммутативных тел в теорию.
2) Доказательство существования тела Ко, данное на стр. 178—
179 этой работы, годится при любой характеристике тела К, но
если К имеет характеристику 2 и а оставляет неподвижным каж-
каждый элемент центра тела К, то Ко не будет расширением Галуа
над К

§ 4. Централизатор проективной инволюции 17
= x-\-w(x), где w(E)a до-1(О)= V, причем размер-
размерность р пространства w(E) над К\ не превосходит п.
Легко проверяется, что w(xQ)= w(x)Q-\-w(x)-\-х; в
частности, если xeV, то w(*8) = х. Отсюда следует,
что w(E) = V и р = п. Так как отображение x-*xQ
является коллинеацией, то размерность подпростран-
подпространства VQ (над /Ci) равна размерности V, т. е. п. По-
Поскольку V П VG = {0}, подпространства V и VQ допол-
дополнительны. Таким образом, базис (?*I<г<„ пространства
V над К\ есть в то же время базис пространства Е
над К, и в этом базисе ы(е{) = еД при 1 ^ i ^ п. Мы
получили тот же результат, что и в случае, когда ха-
характеристика тела К не равна 2.
§ 4. Централизатор проективной инволюции
Изучим централизатор П инволюции п в группе
PrLn(K), т. е. группу проективных коллинеаций v, пе-
перестановочных с п. Это равносильно изучению под-
подгруппы Н элементов v e ГЬП (К), соответствующих та-
таким проективным коллинеациям v. Коллинеаций оеЯ
характеризуются тем, что они шроективно перестано-
перестановочны-» с «, т. е. v(u(x)) = u(v(x))a, a^K- Допуская
некоторую вольность, мы будем записывать это так:
vu = uv-a. Пусть о и т—автоморфизмы тела К, соот-
соответствующие и и v. Заменяя в полученном выше соот-
соотношении х на я|, приходим к условию
lm = a-Ta C)
при всех |е/( (мы полагаем, что 6Aт = (|а)т). Если
и2(х) = х\, то для y имеются условия A) и B); кроме
того, вычисляя двумя различными способами и(v(u(x))),
находим, что
у-'7т = аса. D)
Заметим, что для решения нашей первоначальной
задачи можно по желанию заменять и и v на и-а и
v-p, где а и (S — произвольные элементы из К*\ при

18 Гл. 1. Коллинеации и корреляции
этом а заменяется на a~1p-°aatpI) и у — на уа°а. В со-
соответствии с § 3 мы будем различать несколько слу-
случаев (которые будут обозначаться так же, как и там).
A) y не представляется в виде ХХа, X е К. Если рас-
рассматривать Е как векторное пространство размерности
п/2 над телом /Со, то и будет гомотетией х-*хр. Соот-
Соотношения C) и D) позволяют продолжить автоморфизм
т на тело Ко таким образом, чтобы рх = ра, и тогда
условие v(хр) = v(х)ра записывается в виде v(xp) =
= v(x)px. Это означает, что v есть коллинеация вектор-
векторного пространства Е над /Со относительно автоморфизма
т. Обратно, для того чтобы такая коллинеация v при-
принадлежала группе Я, необходимо и достаточно выпол-
выполнение следующих условий:
1) тело К инвариантно (в целом) относительно т;
2) рх = ра, где не К.
Таким образом, группа Я— это подгруппа группы
rLn/2(Ko), образованная такими коллинеациями, что со-
соответствующий им автоморфизм т тела До удовлетво-
удовлетворяет двум предыдущим условиям. Заметим, что во вся-
всяком случае Я содержит в качестве нормального дели-
делителя полную линейную группу GLn/2(Ko)-
B) у = ХХа, где Яе/С*. Заменяя и на и-Х~\ мы сво-
сводим дело к случаю у = 1, о2 = 1.
В1) Предположим, что о — тождественный авто-
автоморфизм; тогда соотношение D) приводит к тому, что
а2 = 1, т. е. а = ±1.
а) Пусть вначале характеристика тела /С отлична
от 2. Если vu = uv, то v(U+)=U+, v(U~)= U~, и об-
обратно. Если vu = —uv, то v(U+)=U-, v(U-)=U+;
это возможно, только если п = 2р и и есть (р, р) -инво-
-инволюция. Таким образом, индекс в группе Я централиза-
централизатора Яо коллинеации и в FLn(K) равен 1 или 2, причем
второй случай имеет место, лишь если и есть (р, р) -инво-
-инволюция. Что касается группы Яо, то она изоморфна
подгруппе прямого произведения rLp(K.)Y^rLn-p(K.)
1) Здесь и дальше используется следующее обозначение: если
сг< — автоморфизмы тела К и т,- — целые числа, то хг1 ' ' =
= П (я0')' = П (x^f1 для любого *е= К. — Прим. перев.

§ 4. Централизатор проективной инволюции 19
(если и есть (р, п — р)-инволюция), образованной та-
такими парами (fi, иг), что автоморфизмы тела К, соот-
соответствующие Vi и у2, совпадают. Группа GLpWX
X GLn-p(K) есть нормальный делитель в Яо.
Р) Пусть теперь /С —тело характеристики 2. Тогда
и(х) = x-j-w(x), где до(?)с: аН@) = U. Положим р=
= u\m(w(E)). Централизатор Я коллинеации и в груп-
группе FLn(K) совпадает с централизатором ДО. Следова-
Следовательно, U и w(E)= W инвариантны (в целом) относи-
относительно всякой коллинеации оеЯ. Пусть Яо— нормаль-
нормальный делитель в Я, образованный элементами v, для
которых полулинейное преобразование, индуцированное
в E/U, тождественно. Элементы оеЯ0 являются линей-
линейными преобразованиями. Пусть U' — дополнительное
подпространство к U. Для всякого ней и x<=U'
имеем v(x)=vl(x)+v2{x), где vx(x)^U' и v2(x)^U.
При x^U' должно выполняться равенство w(vl(x)) =
= v(w(x)). Следовательно, при данном vx коллинеа-
ция v однозначно определяется в W = w(U') и может
быть произвольно задана на векторах подпространства
W, дополнительного к W в U (но так, чтобы W ото-
отображалось в U). Отсюда немедленно вытекает, что фак-
факторгруппа HIНо изоморфна группе ГЬР(К), В группе
Но можно выделить нормальный делитель Ни образо-
образованный элементами v, оставляющими на месте каждый
вектор подпространства U. Легко видеть, что группа
Hi изоморфна аддитивной группе /Ср("~р). С другой сто-
стороны, поскольку элементы иеЯ0 характеризуются тем,
что v(x) = x для всех x^W, в каждом классе смеж-
смежности группы Яо по Hi имеется такой элемент v, что
v(x) = х для всех *е W + U'. Отсюда следует, что фак-
факторгруппа HQ/Hi изоморфна группе Но, образованной
ограничениями коллинеации »е//0 на подпростран-
подпространстве U. В группе Но выделяется нормальный делитель
Яг, образованный коллинеациями, тождественными на
U по модулю W. Легко видеть, что факторгруппа
Яо/#2 изоморфна группе О/.„_2р (/(), а группа Я2' изо-
изоморфна аддитивной группе Кр(п~2р). Обозначим через
Я2 полный прообраз группы Яг в Я. Тогда мы имеем
следующий нормальный ряд для группы Я:

20 Гл. I. Коллинеации и корреляции
последовательные факторы которого изоморфны груп-
группам
ПР(К), GLn_.2p{K), Kp(n-ip\ Kp(n-p).
В2) Предположим теперь, что а — нетождественный
автоморфизм, и пусть /Ci — подтело, образованное эле-
элементами тела К, инвариантными относительно о. Из
формулы D) следует, что ааа = 1. Поле Z(a), порож-
порожденное элементом а и центром Z тела К, инвариантно
относительно автоморфизма о. Если ограничение авто-
автоморфизма о на Z(a) тождественно, то а2 = 1 и, зна-
значит, а = ±1. В противном случае, поскольку период
автоморфизма о равен 2, существует такой элемент
Ъ ^Z(a), что а = bl~a; но тогда и и л-Н коммутируют.
Таким образом, всегда можно считать, что а= ±1.
Условие C) дает равенство |ffx = ixa для всех 1^К.
Следовательно, подтело К\ инвариантно относительно
автоморфизма т тела К.
а) Пусть характеристика тела К не равна 2. Под-
Подгруппа НаПп(К), образованная такими коллинеа-
циями v, что vu = ±uv1), содержит в качестве нор-
нормального делителя индекса 2 централизатор Но колли-
коллинеации и. Мы ограничимся изучением группы Яо. Выше
было показано, что пространство Е, рассматриваемое
как 2п-мерное векторное пространство над К\, есть пря-
прямая сумма n-мерных подпространств U+ и 0~, причем
U~ = U+p. Условие v e Но равносильно тому, что
v(U+)= U+, v(U~)=U-. Ограничение коллинеации v
на пространстве U+ есть коллинеация этого простран-
пространства (над К\). Так как рха = р<" = —рт, то рг = ра,
где а е К\. Положим ?ш = р~Чр для всякого | е К\;
тогда со — автоморфизм тела Ки и
I =ct? a . E)
Кроме того, если р2 = р е Ки то должно быть рт =
= (РхJ = рара, откуда
Р-'РХ = Л. F)
*) Эта подгруппа не совпадает с подгруппой Я, определенной
в начале этого параграфа; однако ее образ в группе PrLn{K) со-
совпадает с Я. — Прим. перев.

§ 4. Централизатор проективной инволюции 21
Обратно, если т — автоморфизм тела Ки удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям E) и F) для некоторого а <= Ки то его
можно продолжить до автоморфизма тела К, полагая
рт = р<х,*и всякая коллинеация v пространства U+ (над
К) относительно автоморфизма т продолжается до кол-
линеации пространства Е (над К). Для этого надо по-
положить v (хр) = v (х) рх. Так как тогда v (U~) = U~, то
v е #о- Таким образом, группа Яо изоморфна подгруппе
группы rLn(Ki), образованной коллинеациями относи-
относительно автоморфизмов т тела Ки удовлетворяющих
условиям E) и F) (для некоторого а, зависящего от
т). Заметим, что полная линейная группа GLn(Ki) есть
нормальный делитель группы Яо (и группы Я).
Р) Пусть теперь К — тело характеристики 2. Выше
было показано, что пространство Е, рассматриваемое
как 2«-мерное векторное пространство над К\, есть пря-
прямая сумма подпространств V=w~l@) и VQ, где 82+8=
= pe/Ci и 6а=8+1. Кроме того (Дьёдонне [14],
стр. 181), отображение |-*О| = 8| + |0 есть диффе-
дифференцирование тела К\. Для того чтобы коллинеация
v принадлежала Я, необходимо и достаточно, чтобы
vw = wv. В частности, v(w(x)) = w(v(x)) при JteV,
откуда v(V) = V. С другой стороны, 8та = 8е" = 8Т + 1,
откуда 8х = 8 + X, Ае4 Принимая во внимание, что
w(xQ) = x при хеУ, легко проверить, что если v(V) =
= V и 8т = в + Х (Я6=/С,), то v(w(xQ)) = w(v(xQ))
при яеУ и, значит, v и w коммутируют. Заметим те-
теперь, что если применить к равенству D\ = 8| + ?8 ав-
автоморфизм т, то получится, что
(Dty-D(g) = ktx + gk. G)
С другой стороны,
Эт — р = А,2 + Я. (8)
Обратно, если т — автоморфизм тела К\, удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям G) и (8) для некоторого К е Ки то его
можно продолжить до автоморфизма тела К, полагая
вт = 9 + А,, и всякая коллинеация v пространства V
(над Ki) относительно автоморфизма т продолжается
до коллинеации пространства Е (над К) таким обра-
образом, что v (xQ) = v (х) 8Т. Следовательно, группа Я

22 Гл. t. Коллинеации и корреляции
изоморфна подгруппе группы rLn(Ki), образованной
коллинеациями относительно автоморфизмов т тела Ки
удовлетворяющих условиям G) и (8) (для некоторого
Я, зависящего от т). Полная линейная группа GLn(Ki)
является нормальным делителем в группе Н.
Что касается изучения централизатора в группе
GLn(K) произвольного линейного преобразования, мы
ограничимся ссылкой на работы Шрейера и Ван-дер-
Вардена [1] и Дьёдонне [3], где это проделано при не-
некоторых ограничениях на тело К-
§ 5. Корреляции и полуторалинейные формы
Известно, что сопряженное пространство Е* к пра-
правому векторному пространству Е над телом К есть ле-
левое векторное пространство над К той же размерности,
что и Е. Как обычно, мы будем употреблять обозначе-
обозначение {х',х) вместо х'(х) при Jte? и х'е Е*. Простран-
Пространство Е* можно рассматривать также как правое вектор-
векторное пространство над телом К°, противоположным телу
К- Полулинейное отображение Е в Е* может существо-
существовать только в том случае, когда тела К и К° изоморфны,
т. е. существует такое биективное отображение / тела К
на себя, что (а + Р)J = otJ + Р' и («P)J = PJaJ; такое
отображение называется антиавтоморфизмом тела К.
Заметим, что если К коммутативно, то антиавтомор-
антиавтоморфизм — это то же самое, что автоморфизм. Отображе-
Отображение ф пространства Е в пространство Е* будет полули-
полулинейным отображением относительно антиавтоморфизма
/ тела К, если
при х<=Е, у<=Е,
Ф (хк) = АЛр (л:) при х^Е, А,<=#.
Каждому такому полулинейному отображению ф по-
поставим в соответствие отображение (х, у) —* f(x, у) =
==(ф(#),#) прямого произведения Еу^Е в К- Отобра-

§ 5. Корреляции и полуторалинейные формы 23
жение f, очевидно, обладает следующими свойствами:
f (xi + х2, у) = f(xu у) + f (х2, у),
- f (х, У\ + y2) = f (х, уд + f (х, у2),
Такое отображение будет называться полуторалинейной
формой на Е X Е относительно антиавтоморфизма /.
Если К коммутативно и / — тождественный автомор-
автоморфизм, то / — это обычная билинейная форма на ? X ?•
Обратно, очевидно, что всякая полуторалинейная
форма на ЕУ.Е однозначно представляется в виде
(ф(*)> у)> гДе Ф — полулинейное отображение простран-
пространства Е в Е*. Пусть (ед1<{<п — базис пространства Е
и (е',) — дуальный базис пространства ?*, такой, что
(eU et) = 8it. Если ф (<?*)= 2 а*/е/, то а,/ = (<р(ег), е;) =
= f(elt e{), и для х= 2 е&, ^=2 efti имеем f{x, у) —
= 2 Vfiifli== lx]Ay, где х та у отождествлены со столб-
столбцами своих координат и А = (аг/). Матрица А, являю-
являющаяся матрицей отображения q> по отношению к бази-
базисам (hi) и (e't) ')i называется также матрицей полутора-
полуторалинейной формы / в базисе (et) пространства Е. Ее ранг,
не зависящий от выбора базиса (е{) и совпадающий
с рангом отображения ср, называется рангом полутора-
полуторалинейной формы /.
Если (ё/I<г<п— другой базис пространства Е,
Р — матрица перехода от (е{) к (et) и А' — матрица
формы / в базисе (ё,), то A' = iPJAP. В случае, когда
К коммутативно, определитель Д матрицы А называется
дискриминантом формы / в базисе (et). Если Д' — ди-
дискриминант f в базисе (ё<), то A' = F6J)A, где 6»
*) При том определении матрицы полулинейного отображения,
которое было дано в § 1, матрицей отображения <р будет матрица,
транспонированная к Л. — Прим. перев.

24 Гл. 1. Коллинеации и корреляции
Корреляцией пространства Е на Е* называется би-
биективное полулинейное отображение Е на Е* или, что
то же самое, полулинейное отображение, ранг которого
равен размерности пространства Е. Полуторалинейная
форма / на Я X ?> соответствующая корреляции <р, на-
называется невырожденной. Такая форма характеризуется
следующим свойством: всякий вектор ^е?, для кото-
которого f (х, у) —0 при всех </ е Я, равен 0.
§ 6- Рефлексивные полуторалинейные формы
В дальнейшем, если не будет оговорено противное,
мы будем рассматривать только невырожденные полу-
полуторалинейные формы на Е X Е (относительно антиавто-
антиавтоморфизмов тела К). Два вектора х, у пространства Е,
взятые в данном порядке, называются ортогональными
в смысле (или относительно) формы f, если f(x,y) = O.
Невырожденность формы / означает, что не существует
вектора х ф 0, такого, что хну ортогональны для
любого у^Е. Мы будем говорить, что форма f (или
соответствующая корреляция ф) рефлексивна, если от-
отношение ортогональности симметрично, т. е. f(x, y) = 0
эквивалентно f(y,x) = O. Ниже будут описаны (при
п ^ 2.) все рефлексивные полуторалинейные формы
(Биркгоф и фон Нейман [1]).
Прежде всего можно ограничиться рассмотрением
только невырожденных рефлексивных форм. В самом
деле, если / рефлексивна и вырожденна, то множество
векторов х, ортогональных ко всем векторам из Е, яв-
является подпространством N пространства Е. Если
* = *,(modA0 и у = у{(тойЩ, то f(x,у) = f(xityi);
следовательно, форма f определяет полуторалинейную
форму на факторпространстве E/N (называемую фор-
формой, ассоциированной с f). Эта форма рефлексивна и
невырожденна, и она полностью определяет форму f.
Если / — антиавтоморфизм, соответствующий форме
/, то предположение о рефлексивности означает, что для
всякого вектора х Ф 0 пространства Е линейные урав-
уравнения f(x, г/) = 0 и (/((/, х)У~1 = 0 задают одну и ту
же гиперплоскость и, значит, f(y,x) = (f(x,y))Jm(x),
где пг(х) — скаляр, зависящий только от х. Если х^ и х9

§ 6. Рефлексивные полуторалинейные формы 25
линейно независимы, то из предыдущего соотношения
вытекает, что m(xi -\- х2) = m(xi) = пг(х2). Следователь-
Следовательно, f(y,x) = (f(x,y))Jr-1, где г — скаляр, отличный от О
и не зависящий от х и у.
Далее, вычисляя двумя способами {f(y,x))J и учи-
учитывая, что f(x,y) может быть произвольным элементом
тела К, получаем, что
f = r'lr для всех |е= K\ (9)
в частности,
rrJ=\. A0)
Теперь рассмотрим отдельно два случая:
1) | + iJrJ:=0 для-всех |е/С. Полагая ?—1, на-
находим г = —1, откуда %J = | при всех |. Это возможно,
только если тело К коммутативно и / есть его тожде-
тождественный автоморфизм. Таким образом, в этом случае
Ш, x) = -f(x,y); A1)
такая форма / называется кососимметричной билиней-
билинейной формой.
2) Существует такой элемент ? е К, что ? -f- Z,JrJ =
= q ф 0. Легко видеть, что г = q~xqJ. Положим |т ==
= (Q~1lQ)J и g(x, у) = q'f(x, у); тогда
f' = l для всех |<=/( A2)
x) = g(x,y)r. A3)
Антиавтоморфизм Т, удовлетворяющий условию A2),
называется инволюцией тела К, а полуторалинейная
форма g со свойством A3) называется эрмитовой от-
относительно инволюции Т. Если тело К коммутативно
и Т — его тождественный автоморфизм, то соотношение
A3) превращается в равенство
g(y, x) = g(x, у); A4)
в этом случае форма g называется симметричной били-
билинейной формой. Если Т — нетождественная инволюция,
то элементы а е К*, для которых ат = а, называются
симметричными относительно Т, а элементы, для которых

26 Гл. I. Коллинеации и корреляции
ат = —а (такие всегда существуют в силу сделан-
сделанного предположения) — кососимметричными. Если а —
симметричный (соответственно кососимметричный) отно-
относительно Т элемент, то, полагая |s = а|га~' и Л (#,«/) =
= ag(x, у), мы получаем инволюцию S тела К и полу-
торалинеиную форму h относительно инволюции S, удо-
удовлетворяющую условию
h (У< х) = (h (х, y))s, если а симметричен,
h{y, x) — — (h(x, y))s, если а кососимметричен. ' '
Во втором случае форма h называется косоэрмитовой
относительно инволюции S.
Для того чтобы полуторалинейная форма f была эр-
эрмитовой (соответственно косоэрмитовой), необходимо
и достаточно, чтобы ее матрица А в произвольном ба-
базисе пространства Е удовлетворяла условию *А = AJ
(соответственно *А = —AJ).
Это условие может быть выражено другим способом.
Если и — полулинейное относительно изоморфизма а
отображение, векторного пространства Е в векторное
пространство F, то отображение *-»•((#', и(л:)))а бу-
будет линейной формой на Е для любого элемента у' про-
пространства F*, сопряженного к F. Следовательно,
где '«— полулинейное отображение F* в Е* относи-
относительно изоморфизма от-1. Отображение 'и называется
транспонированным к и. В частности, для корреляции
Ф пространства Е на пространство Е* относительно ан-
антиавтоморфизма / отображение *<р будет корреляцией
пространства Е на пространство Е* относительно анти-
антиавтоморфизма /-1; при этом
<ф(*). 0>-<W), *У. A7)
Эрмитовость (соответственно косоэрмитовость) полу-
торалинейной формы f, соответствующей корреляции ф,
означает, что 'ф = ф (соответственно *ф «¦= — ф).
Мы доказали, что, умножая произвольную рефлек-
рефлексивную форму на скаляр, можно добиться того, чтобы

§ 7, Ортогональные дополнения и изотропные подпространства 27
она стала эрмитовой или косоэрмитовой. Отныне мы
будем рассматривать исключительно такие формы, и
когда мы будем говорить о рефлексивной форме, это
всегда будет означать, что она эрмитова или косоэрми-
това (и в обоих случаях, что / — инволюция).
§ 7. Ортогональные дополнения и изотропные
подпространства
Пусть / — (невырожденная) рефлексивная форма на
«-мерном пространстве Е. Для всякого подпростран-
подпространства V пространства Е множество V0 всех векторов
пространства Е, ортогональных ко всем векторам из V,
является подпространством р Е; оно называется ортого-
ортогональным дополнением к У. В свою очередь V есть орто-
ортогональное дополнение к V0. Если dim V = р, то
diml/° = rt — p. Имеем (V + W)° = V°C\W°, (V(]W)° =
= V° -f W° для любых подпространств V, W. Говорят,
что подпространство V изотропно, если V О V0 Ф {0}; в
этом случае V0 также изотропно. Это условие эквива-
эквивалентно тому, что ограничение формы / на V X V вы-
вырожденно. Говорят, что подпространство V вполне изо-
изотропно, если V с V0; это эквивалентно тому, что огра-
ограничение формы /на VX V тождественно равно 0 (или
что любые два вектора из V ортогональны). В этом слу-
случае р^п — р, т. е. 2р ^ п. Индексом формы f назы-
называется наибольшая размерность v вполне изотропных
подпространств пространства ?; из предыдущего ясно,
что 2v ^ п. Для любого изотропного подпространства
V подпространство V П V0 вполне изотропно. Заметим
также, что если V — вполне изотропное подпростран-
подпространство и W — вполне изотропное подпространство, содер-
содержащееся в V0, то V + W также вполне изотропно. От-
Отсюда следует, что если dim V = v, то всякое вполне
изотропное подпространство, содержащееся в V0, содер-
содержится в V.
Неизотропное подпространство V пространства Е ха-
характеризуется тем свойством, что V0 является дополни-
дополнительным подпространством к V. Форма / называется ани-
анизотропной, если v = 0.

28 Гл. /. Коллинеации и корреляции
Вектор хф® называется изотропным, если f(x, х)=0
(иначе говоря, если он ортогонален самому себе). Оче-
Очевидно, что все векторы вполне изотропного подпростран-
подпространства изотропны. Обратно, предположим, что f(x,x) = 0
для всякого вектора х, принадлежащего подпростран-
подпространству V. Из равенства f(x + y,x-{-y) = 0 при x^V,
jeF следует, что f(x,y)= e(f(x,y))J, где е = — 1, если
форма f эрмитова, и е = 1, если форма f косоэрмитова.
Если пространство V не вполне изотропно, то, заменяя у
на у%, получаем, что |J = k%k~l для некоторого КФО и
любого | е К. Это возможно, только если К коммутатив-
коммутативно и / — тождественный автоморфизм. Очевидно, что
тогда форма f косо симметрична. В частности, если
f(x, х) = 0 для всех векторов х е Е, то форма f называет-
называется 'знакопеременной. Всякая знакопеременная форма ко-
сосимметрична. Обратно, если К — поле характеристики,
не равной 2, то всякая кососимметричная форма на
Е X Е знакопеременна.
§ 8. Эквивалентность рефлексивных полуторалинейных
форм
Пусть Е и F — два n-мерных векторых пространства
над /Сим — изоморфизм пространства F на Е. Если
f — полуторалинейная форма на Е X Е (не обязательно
невырожденная или рефлексивная), то отображение
(х,y)-*f{u(x),u(y)) будет полуторалинейной формой
на F X F (относительно того же антиавтоморфизма те-
тела К); говорят, что эта форма fi получается перене-
перенесением формы / посредством изоморфизма и. Если А —
матрица формы f в базисе (e<)I<i<n пространства Е,
то А будет также матрицей формы /i в базисе простран-
пространства F, образованном векторами «~'(е0 (ls^i^tt).
В любом другом базисе пространства F матрица формы
f\ имеет, следовательно, вид tUJAU, где U — обратимая
квадратная матрица.
Говорят, что полуторалинейная форма / на Е~ХЕ и
полуторалинейная форма /i на F X Р эквивалентны,
если fi получается из / перенесением посредством изо-
изоморфизма и пространства F на пространство Е; тогда f
получается из /i перенесением посредством изоморфиз-

§ 8. Эквивалентность рефлексивных полуторалинейных форм 29
ма и~1. Если А и А\— матрицы форм f и f\ в каких-то
базисах пространств Е и F соответственно, то эквива-
эквивалентность форм f и /i равносильна существованию та-
такой обратимой квадратной матрицы U, что Ai = WJAU.
Можно также сформулировать условие эквивалентно-
эквивалентности форм f и /i как существование базисов пространств
Е и F соответственно, в которых матрицы форм f и fi
одинаковы.
Проблема нахождения условий, при которых две по-
луторалинейные формы на Е\Е эквивалентны, за
исключением одной работы Жордана ([3], т. III, мемуар
69, см. также комментарии к этому тому, стр. XI), рас-
рассматривалась только для рефлексивных форм1). Резю-
Резюмируем кратко основные полученные результаты.
Прежде всего две эквивалентные формы должны
иметь одинаковый ранг. Легко также установить, что
две вырожденные рефлексивные формы эквивалентны
тогда и только тогда, когда эквивалентны ассоцииро-
ассоциированные невырожденные формы (см. § 6)__1аким обра-
образом, можно ограничиться рассмотрением невырожден-
невырожденных рефлексивных форм.
Проблема эквивалентности полностью решена лишь
для знакопеременных форм (над коммутативным те-
телом К). Такая форма f может быть невырожденной,
только если пространство Е имеет четную размерность
2пг. В этом случае можно показать, что в пространстве
Е существует такой базис (называемый симплектиче-
ским базисом для формы /), что
f(e{, е,)==0, если j=f=i-\-m и IФ j -f m,
f (et, e,+m) = — f (el+n, et) = 1 для 1 < / < m.
(B § II будет доказано более общее утверждение.) Та-
Таким образом, две знакопеременные формы на Е)^Е,
имеющие одинаковый ранг, всегда эквивалентны.
Для прочих рефлексивных форм над произвольным
телом известны лишь некоторые необходимые условия
эквивалентности. Первое такое условие состоит в ра-
равенстве индексов (см. § 7; более точное необходимое
*) Автор не совсем прав. См., например, Ходж в Пидо [1*].—
Прим. перев.

30 Гл. 1. Коллинеации и корреляции
условие будет найдено в § 11). Во-вторых, если тело К
коммутативно, дискриминанты двух эквивалентных
форм (см. § 5) должны принадлежать к одному классу
мультипликативной группы К* по модулю подгруппы
«норм» XXJ.
Если рефлексивная форма / не кососимметрична, то
в пространстве Е существует ортогональный базис для
формы /, т. е. такой базис (ei)i<t<n, что
}(е„е,) = О при 1Ф\.
Кроме того, полагая f(e,-, ef) = yit получаем, чтоу{ =
= Y<> если форма / эрмитова, и у'=--У<>если форма /
косоэрмитова. Доказательство существования такого
базиса можно провести индукцией по п: в пространстве
Е существует неизотропный вектор в\\ гиперплоскость
Н, ортогональная к eit не изотропна и дополнительна
к eiK; так как форма f не кососимметрична, то по пред-
предположению индукции существует ортогональный базис
для ограничения формы / на Н, откуда и вытекает до-
доказываемое утверждение.
Единственный случай, оставшийся в стороне, — слу-
случай симметричных, но не знакопеременных форм над
телом характеристики 2 — будет рассмотрен в § 10.
Существование ортогональных базисов позволяет в
некоторых случаях решить проблему эквивалентности.
Например, если К — алгебраически замкнутое поле и
/ — невырожденная симметричная форма на Еу(Е, то
существует такой ортогональный базис (ег) простран-
пространства Е, что f(eit 6i) = 1 при 1 ^ i ^ п (такой базис на-
называется ортонормированным). Таким образом, в этом
случае две симметричные формы одинакового ранга
всегда эквивалентны. Если К — евклидово упорядочен-
упорядоченное поле (т. е. из каждого неотрицательного элемента
извлекается квадратный корень) и / — невырожденная
симметричная форма на Е)^Е, то существует такой
ортогональный базис (ег) пространства Е, что Де*,е») =
= 1 при 1 ^ i ^ р и f (<?,-, е{) = —1 при р + 1 < i ^ п.
Кроме того, если К — произвольное упорядоченное поле,
то при любом ортогональном базисе (е,) пространства
Е для невырожденной симметричной формы / число р

§ 8. Эквивалентность рефлексивных полуторалинейных форм 31
таких индексов i, что yt = f(eit е<) > 0, одно и то же
(закон инерции Сильвестра). Пара (р, я— р) назы-
называется в этом случае сигнатурой формы f, а число
и — р — ее индексом инерции. Две эквивалентные фор-
формы должны иметь одинаковую сигнатуру; над евклидо-
евклидовым полем это необходимое условие эквивалентности
является также и достаточным. В § 11 будет показано,
что для упорядоченного поля К всегда имеет место не-
неравенство v ^Шп(р,п — р); в случае евклидова поля
К оно превращается в равенство.
Если К — конечное поле Fg из а элементов харак-
характеристики ф% то для всякой симметричной формы f
существует такой ортогональный базис (е*), что
1(еь е{)=1 при l^i^rc—1 и либо f(en,en)~l,
либо f(en, еп) = б, где б — элемент, не являющийся квад-
квадратом в поле Fg (известно, что квадраты образуют в
мультипликативной группе FJ подгруппу индекса 2; см.
Диксон [1], стр. 158). Таким образом, над полем F,
имеется два класса эквивалентных симметричных форм
ранга и. Для форм первого класса дискриминант Д (от-
(относительно произвольного базиса) есть квадрат в поле
Fg ; для форм второго класса он не является квадра-
квадратом. Если я = 2т -\- 1 нечетно, то всякая форма второго
класса получается из формы первого класса умножением
на б; в этом случае индекс всякой симметричной формы
равен т = [я/2]. В случае когда п = 2т четно, индекс
равен т = я/2, если (—1)тД есть квадрат в Fq, и
т — 1 в противном случае.
Для поля алгебраических чисел проблема эквива-
эквивалентности симметричных форм полностью решена Мин-
ковским в [1] и Хассе в [2]. Современная теория сим-
симметричных форм над таким полем тесно связана с из-
изучением алгебр Клиффорда (гл.-II, § 7). Эта теория и
ее обобщения изложены, например, в работе Витта [1]
и в книге Эйхлера [2], к которым мы и отсылаем чита-
читателя •).
Пусть Ко — упорядоченное поле, K = /Co(V — 1) —
квадратичное расширение и / есть /Со-автоморфизм
поля К, отличный от тождественного, такой что Ко есть
*) См. также книгу О'Мира [7*]. — Прим. пврвв.

32 Гл. I. Коллинеации и корреляции
множество элементов, симметричных относительно /.
Если f — эрмитова форма на ?Х^ и (е{)— ортогональ-
ортогональный базис пространства Е относительно формы f, то
число таких индексов i, что у< = f (ей е{) > О, не зави-
зависит от выбора ортогонального базиса (закон инерции).
Этот результат справедлив также, если К — обобщен-
нов тело кватернионов над Ко и / — его единственная
инволюция, множество инвариантных элементов кото-
которой совпадает с Ко- Если, кроме того, Ко — евклидово
поле (а К — либо его квадратичное расширение, либо
тело кватернионов над Ко), то необходимое и достаточ-
достаточное условие эквивалентности двух эрмитовых форм над
К состоит в том, чтобы они имели одинаковую сигна-
сигнатуру. Укажем также, что если Ко — евклидово поле, а
К — тело кватернионов над Ко, то для всякой косоэрми-
товой формы / на Еу(Е существует такой ортогональ-
ортогональный базис (е,), что f(eh е<) = / при l^ts^n, где / —
фиксированный кватернион, квадрат которого равен — 1.
Таким образом, в этом случае две косоэрмитовы формы
одного ранга всегда эквивалентны (Дьёдонне [13],
стр. 383).
Предположим теперь, что Ко — произвольное конеч-
конечное поле Fq, К — его квадратичное расширение F^ и
/ — единственный /Co-автоморфизм |—*|9 поля К, от-
отличный от тождественного. Тогда для любой эрмитовой
формы на Е X Е существует ортонормированный базис;
иначе говоря, две эрмитовы формы одинакового ранга
всегда эквивалентны и, следовательно, все эрмитовы
формы имеют максимальный возможный индекс [я/2].
Это немедленно вытекает из того факта, что каждый
элемент поля Ко является нормой некоторого элемента
из К.
Заметим, наконец, что проблема эквивалентности
эрмитовых форм над полем алгебраических чисел, а
также эрмитовых или косоэрмитовых форм над телом,
центром которого служит поле алгебраических чисел,
была решена Ландгером [1], [2], Раманатаном [1], Цука-
мото [1] и Сатаке [1]').
') См. также Джекобсон [4*], Шимура [1*1, Якобовиц [1].—
Прим. перев.

§ 9. Унитарные группы 33
§ 9. Унитарные группы
Пусть f — (невырожденная) рефлексивная форма на
Е X Е, соответствующая инволюции / тела К- Биектив-
Биективные линейные отображения и пространства Е на себя,
для которых форма f равна своему перенесению по-
посредством и (см. § 8), т. е.
f(u(x), u(y)) = f(x, у) при х<=Е,у(=Е, A8)
называются унитарными преобразованиями простран-
пространства Е относительно формы f. Они образуют подгруппу
в группе GLn(K), которую мы будем обозначать через
Un(К, f) и которая называется унитарной группой от п
переменных над телом К относительно формы /.
Соотношение A8) может быть записано другим спо-
способом. Если <р — корреляция, ассоциированная с фор-
формой f, и й = *и~г — преобразование, контраградиентное
к и, то соотношение A8) эквивалентно тому, что
<Ф («(*)), и(у)) = {<?(х), */> = <й(<р(л:))( и (у)),
н, поскольку и(у) пробегает вместе с у все простран-
пространство Е, это в свою очередь эквивалентно равенству
<р(и(я)) = й(<р(х)) для всех хе?,
Более общо, пусть и — коллинеация пространства Е от-
относительно автоморфизма тела К, который мы будем
обозначать через а или аи- Мы будем говорить, что кор-
корреляция <р и коллинеация и проективно перестановочны,
если существует такой скаляр ги, что
Ф (и (х)) == гай (ф (#)) для всех xsE, A9)
где по-прежнему й = *и~1 — коллинеация пространства
Е*, контраградиентная к и (и соответствующая тому же
автоморфизму о тела К, что и и). Это соотношение эк-
эквивалентно тому, что
<ф («(*)), и(у)) = {Гий(Ф)), U (у))
для всех х^Е, у^Е. В силу формулы A6) это в свою
очередь эквивалентно равенству
f («(*). и (у)) = ra(f(x,y)f. B0)
2 Ж- Дьёдонне

34 Гл. I. Коллимации и корреляции
Для того чтобы коллинеация и удовлетворяла условию
этого типа, необходимо и достаточно (при п ^ 2), чтобы
она переводила ортогональные векторы в ортогональ-
ортогональные. В самом деле, если это свойство имеет место, то
для данного yef существует такой скаляр пгу, что
при любом #е Я
), уH.
Как и в § 6, рассматривая линейно независимые эле-
элементы у\ и у% находим, что тУ1+у,= тУ[ — тУг, откуда
вытекает соотношение B0).
Заметим, что если в A9) заменить х на х\, то полу-
получится, что
f^rag'V1 для любого %<=К. B1)
Переставляя в B0) х и у и учитывая, что форма / эр-
эрмитова или косоэрмитова, находим, что
г'а = ги. B2)
Мы будем говорить, что коллинеация и, удовлетво-
удовлетворяющая условию B0), есть унитарное полуподобие (от-
(относительно формы /), соответствующее автоморфизму ои
и множителю ги. Если (et) — произвольный базис про-
пространства Е, то условие B0) равносильно тому, что
f(u(et), u(e,)) = \
Это означает, что матрица U коллинеации и в этом ба-
базисе удовлетворяет условию
*' B3)
где А — матрица формы / в этом базисе. Очевидно, что
полуподобия (относительно формы /) образуют под-
подгруппу FUn(K,f) группы ГЬ„(К). Полуподобие, соот-
соответствующее тождественному автоморфизму (иначе го-
говоря, линейное), называется также унитарным подобием
(относительно формы /). Такие преобразования обра-
образуют нормальный делитель GUn (К, f) = Г1)п (К, f) П
f\GLn(K) в группе rUn(K,f). Унитарная группа
Un(K,f) является нормальным делителем в группе
GUn(K,f), состоящим из подобий с множителем 1, на-

§ 9. Унитарные группы 35
зываемых также унитарными преобразованиями. Если
Л—матрица формы / в каком-то базисе пространства
Е, то вместо Un(K,f) пишут также Un(K, А) и анало-
аналогично для остальных групп.
Отображение и—*-аи является гомоморфизмом груп-
группы Ги„ (К, f) на некоторую подгруппу группы автомор-
автоморфизмов тела К. Об этой подгруппе в общем случае ни-
ничего не известно, кроме того, что она содержит группу
внутренних автоморфизмов тела К- Ядром гомоморфизма
и—*аи является группа GUn(K,f). Для u^GUn(K,f)
соотношение B1) показывает, что множитель ги должен
лежать в центре Z тела К, а из B2) следует, что, кроме
того, ги принадлежит подполю Zo поля Z, образован-
образованному элементами, инвариантными относительно инволю-
инволюции / (либо это подполе совпадает с Z, либо Z является
его сепарабельным квадратичным расширением). Ото-
Отображение и—>ги является гомоморфизмом группы
GUn(K,f) на (абелеву) подгруппу M(f) группы Zo.
В общем случае об этой подгруппе известно очень мало
(см. гл. II, § 13). Ядром гомоморфизма и—*ги является
унитарная группа Un(K,f).
Мы будем обозначать через РГил(К, f), PGUn(K, f),
PUn(K,f) образы групп rUn(K,f), GUn(K,f), Un(K,f)
при каноническом гомоморфизме группы ГЬп(К) на про-
проективную группу РГЬп(К)- Очевидно, что всякая гомо-
гомотетия х—*х% является унитарным полуподобием с множи-
множителем KJK. Отсюда следует, что РГипс^FUn/Hn. Всякая
центральная гомотетия является унитарным подобием
и, значит, PGUnc^GUn/Zn. Наконец, PUn~Un/Uu где
Ui = Un П Zn — подгруппа, образованная центральными
гомотетиями х-^ху, для которых yJv = 1. Позже мы
увидим (гл. II, § 3), что группа Uu как правило, совпа-
совпадает с центром группы Un.
Если рефлексивная форма fi на Еу^Е получается
перенесением формы / посредством биективного линей-
линейного отображения v, то группа rUn(K,fi) (соответ-
(соответственно GUn(K,fi), Un(K,fi)) получается из группы
rUn(K,f) (соответственно GUn(K,f), Un(K,f)) при по-
помощи внутреннего автоморфизма s-^v^sv группы
ГЬп(К). С другой стороны, если а —симметричный или
кососимметричный (относительно /) элемент тела /С, то

36 Гл. 1. Коллинеации и корреляции
rUn(K,af)=rUn(K,f), GUn(K,af)=GUn(K,f) щ
Un(K,af)=Un(K,f). .i
Если тело К коммутативно и / — знакопеременная
форма, то прилагательное «унитарный» повсюду в пре-
предыдущих определениях заменяют на прилагательное!
«симплектический». Так как две знакопеременные фор-
формы одинакового (четного) ранга п эквивалентны, то со-
соответствующие группы обозначают просто через
rSpn(K), GSpn(K) и Spn(K), не указывая формы /.
(Аналогичные обозначения используются для проектив-.
ных групп.) Вообще, форма / опускается в обозначении
унитарной группы всегда, когда две формы одинакового
ранга эквивалентны (в частности, когда / ф 1 и К —
конечное поле).
Если К — поле характеристики ф 2 и / — симмет-
симметричная форма, то прилагательное «унитарный» заме-
заменяют повсюду на «ортогональный» и соответствующие
группы обозначают через rOn(K,f), GOn(K,f) и
On(K,f) (и соответствующим образом обозначаются
проективные группы). Для полей характеристики 2
определение ортогональных групп совершенно иное и
будет дано в § 16.
§ 10. 7-формы
Пусть / — эрмитова форма на Еу^Е; мы будем го-
говорить, что / есть Т-форма, если для всякого х^Е эле-
элемент f(x,x) есть «след» в К, т. е. представляется в виде
Я+А/ для некоторого КеК. Так как элемент y=f(x,x)
симметричен, то это условие всегда выполняется, если
характеристика поля К отлична от 2; в самом деле, в
этом случае достаточно взять К = у/2. Это условие вы-
выполняется также, если характеристика поля К равна 2,
но подполе Zo симметричных элементов центра Z тела К
отлично от Z (в таком случае говорят, что / — инволю-
инволюция второго рода; это бывает всегда, когда тело К ком-
коммутативно и / не есть тождественный автоморфизм).
Действительно, тогда существует такой элемент у е Z,
что у1 ф- у и, значит, а = у + YJ Ф 0- Если ц — произ-
произвольный симметричный элемент тела /(, то (a~V)J =
s= ог'ц. поскольку asZ, и ц = Y(a~V)+YJ(a~1ti)t/=s

§ JO. Т-формы 37
= (уа~*|л) + (уст^ц)-1. Напротив, никакой симметричный
элемент, отличный от 0, не является «следом», если К
коммутативно (характеристики 2) и / — тождественный
автоморфизм. В этом случае Г-формы— это знакопере-
знакопеременные формы. Можно привести и другие примеры, ко-
когда не все симметричные элементы являются следами.
Существует, например, некоммутативное тело размер-
размерности 4 над своим центром, обладающее этим свой-
свойством (см. Дьёдонне [4], стр. 73).
Изучение унитарных групп относительно произволь-
произвольных эрмитовых форм может быть в основном сведено
к изучению унитарных групп относительно Г-форм
(Дьёдонне [16]). В самом деле, если / — любая эрми-
эрмитова форма на Е~Х Е, то множество V векторов j;e?,
для которых / (л:, л:) есть след, является подпростран-
подпространством. Положим Vi = V П V0 (это вполне изотропное
подпространство), и пусть V2 и Vz— подпространства*
дополнительные к V\ в пространствах V и V0 соответ-
соответственно. Нетрудно показать, что существует такой ба-
базис (е*)]</<2? пространства (Уг + Уз)°= V%П И>, что
векторы eit i t?i q, образуют базис пространства V\ и
f(eueq+j) = O при i=t=j, f{e{, eq+i)=\ при l<t<^.
Если V\ — подпространство, порожденное векторами
eq+i (l<li-<<7), то Е есть прямая сумма подпрост-
подпространств V\, V2, V3 и V^ Анализ условий, которым должно
удовлетворять унитарное преобразование и, показы-
показывает, что группа Un(K,f) обладает нормальным рядом
в котором группы Го/Г и Г абелевы, а фактор ип/Гь
изоморфен унитарной группе Um(K,f2), где fa — ограни-
ограничение формы /на Vi X V2 и m = dim V21). По построе-
построению /г — невырожденная Т-форма.
Такое же разложение пространства Е позволяет до-
доказать существование ортогонального базиса в случае,
') Это следует из того, что группа Un(K,f) тождественно дей-
действует на E/V. В самом деле, пусть we Un(K,f), x e E. Тогда
имеем f{u{x),u(x)) =}(х,х) и f(u(x) + х, и(х) + х) = /(«(*).*) +
И- f{u(x), x)J\ следовательно, и (х) -{- х s V{ т. е. u(*)s=* (mod V).^*
Прим, перее, .•¦¦-¦ . '

38 Гл. 1. Коллинеации и корреляции
который мы не разобрали в § 8, а именно, когда К —
поле характеристики 2 и f — симметричная, но не зна-
знакопеременная форма. В предыдущих обозначениях
множество V U V0 не может совпадать со всем прост-
пространством Е и, если афУ\}У°, то а — неизотропный
вектор и в ортогональной к нему гиперплоскости Н
существуют неизотропные векторы (так как иначе
H=V и аеР). Такое же рассуждение по индукции,
как и в § 8, позволяет установить существование орто-
ортогонального базиса (Алберт [1]).
§ 11. Свойства Г-форм
Начиная с этого места, мы будем предполагать, что
все рассматриваемые эрмитовы формы являются невы-
невырожденными Т-формами. Для таких форм справедлива
прежде всего следующая лемма: каковы бы ни были
изотропный вектор а^Е и содержащая его неизотроп-
неизотропная плоскость Р, существует второй изотропный вектор
Ь^Р, для которого f(a, b) = 1. В самом деле, можно
взять такой вектор с^Р, что f(c,a) = а ф О, и искать
вектор Ь в виде b = с + я| так, чтобы f(b, b) = 0. При
этом получается уравнение а? + ?JaJ = —f(c, с), и так
как — f(c, с) = Х + А/, то можно положить | = а-'Я.
При этом f(a,b) = aJ ф 0. Умножая b на a~J, полу-
получаем требуемое соотношение.
Из этого результата получаются два следствия.
1) Для всякого вполне изотропного подпространства
V пространства Е существует второе вполне изотроп-
изотропное подпространство W той же размерности, такое, что
V П W = {0} и никакой вектор из V не ортогонален к
W. Кроме того, для всякой пары вполне изотропных
подпространств, удовлетворяющих этому условию и
имеющих одинаковую размерность р, существует базис
(в(),<(<р пространства V и базис (ер+1I<{<р простран-
пространства W, такие, что f(ei,ep+j) = 6ij.
Это утверждение можно доказать индукцией по раз-
размерности пространства V при помощи предыдущей
леммы. Заметим, что для пары вполне изотропных под-
подпространств размерности р, равной индексу v формы /,

§ //. Свойства Т-форм 39
из соотношения V П W = {0} вытекает, что никакой век-
вектор из V не ортогонален к W.
2) Если v ^ 1, то существует базис пространства Е,
составленный из изотропных векторов. В самом деле,
существует изотропный вектор ае? и второй изотроп-
изотропный вектор Ь, такой, что f(a,b) = 1. Плоскость Я, опре-
определенная векторами а и Ь, неизотропна. Пусть
(c')i</<n-2—базис ортогонального дополнения Р°. По-
Поскольку f(b,a + Сг)Ф0, в плоскости, определенной век-
векторами b и а + d, существует такой изотропный век-
вектор еи что ЦЬ,е() = 1. Векторы a, b и ег (l^.i^.n — 2)
образуют искомый базис.
Два подпространства V, W одинаковой размерности
не всегда, вообще говоря, можно перевести одно в дру-
другое унитарным преобразованием пространства Е. Усло-
Условие существования такого преобразования дается сле-
следующей фундаментальной теоремой, принадлежащей
Витту [1] (см. также Полл [1] и Капланский [1]):
Для того чтобы существовало такое унитарное пре-
преобразование не Un(K,f), что u(V) = W, необходимо
и достаточно, чтобы ограничения формы f на V X У и
W y^W были эквивалентны*
Доказательства требует лишь достаточность этого
условия. Пусть v — такое линейное отображение про-
пространства V на пространство W, что f(v(x), v(y)) =
= f(x,у) при х,yeF. Достаточно доказать, что ото-
отображение v может быть продолжено до преобразования
и е Un. Доказательство, которое мы наметим, принад-
принадлежит Шевалле [1]. Будем доказывать теорему индук-
индукцией по размерности m подпространств V и W. Приме-
Применяя предположение индукции к (пг—1)-мерному под-
подпространству U пространства V, мы можем с самого
начала считать, что v(x) = х при x^U. Рассмотрим,
далее, подпространство U\ наибольшей размерности
среди подпространств, содержащих U и обладающих
следующим свойством: отображение v может быть про-
продолжено до такого линейного отображения w подпро-
подпространства V + Uu что f(w(x),w(y)) = f(x,y) при
x,y^V-\- Ui и w(x) = х при x^Ui. Заменив V на
V-\-Uit можно предполагать, что Ui = U, т. е. что отобра-
отображение v не может быть продолжено на подпространство

40 ?л. I. Коллинёации и корреляции
V\->V таким образом, чтобы f(v{x),v(y))=f(x,tj)
при х, y&Vi и чтобы в Vt существовали векторы,
инвариантные относительно v и не лежащие в U.
Поскольку результат очевиден при U = V, можно пред-
предполагать, что V = U + о-К, где аф1]. Положим Ь =
— v(a); ясно, что ЬфИ. Можно также считать, что
V Ф Е. Попытаемся продолжить v на подпространство
размерности т +1. Для этого нужно найти векторы
гфУ, z'&W, удовлетворяющие следующим условиям:
(A) z' — г ортогонален к U, f(z,a) = f(z',b) и
/B, *) = /(*', У).
Тогда можно будет продолжить отображение v на
подпространство V + zK, положив v(z) = z'.
Заметим, что из-за максимальности подпространства
U невозможно, чтобы условия (А) удовлетворялись при
г' — z, т. е. чтобы вектор г' = г, не принадлежащий ни
V, ни W, был ортогонален к b — а. Отсюда следует, что
гиперплоскость Н, ортогональная к b — а, содержится
в V или в W. Это означает, в частности, что пг = п — 1.
Предположим для определенности, что Н = V. Тогда
f(a, b — а)=0 и f(a,b) = f(a,a) =f(b,b), так что
f(b,b — a) = 0 и, значит, Ь<=Н и Н = W.
Таким образом, доказательство свелось к случаю,
когда подпространства V и W совпадают с гиперпло-
гиперплоскостью Н, ортогональной к b — а. В этом случае
b — а — изотропный вектор, ортогональный к векторам
а и b и к подпространству U. Попытаемся сделать так,
чтобы выполнялись условия (А), взяв в качестве z про-
произвольный вектор, не лежащий в V. Будем искать век-
вектор г' в виде г' = г + с + (Ь — а) I, определяя с и |
с помощью условия (А). Прежде всего, вектор с дол-
должен быть ортогонален к U. Из условия. f(z',b) =
= f(z, а) получаем f(c, b) = — f(z, b — a) = 0 Ф 0. Так
как b ф.1), то существует вектор с е U°, для которого
f (с, Ь) = р. Этот вектор не может быть ортогонален к
а, так как в этом случае он был бы ортогонален и к ги-
гиперплоскости Н = 0 -\- аК и, следовательно, к Ь; зна-
значит, /(с,а)=а#0, Итак, f (z', b — a) = f(z,b — a) +
+ f(c, b —a) = —f(c, a) = —а ф 0, откуда видно, что
z'фН при любом |. Остается определить I из условия
f(z',z') =f(z,z). Поскольку / есть Г-форма, получаем

§ И. Свойства Т-форм 41
следующее соотношение: а? + ?aJ = f (г + с, г -(- с) —
— f(z, z) = l-\-%J, так что можно взять g = а~'Я.
Перед тем как делать выводы из теоремы Витта,
укажем, что для того, чтобы подпространство V могло
быть преобразовано в W посредством унитарного по-
подобия, необходимо и достаточно, чтобы ограничение
формы / на Wy^W было эквивалентно ее ограничению
на V X V, умноженному на элемент ц из группы мно-
жителей M(f) (см. § 9).
Из теоремы Витта получаются следующие резуль-
результаты:
3) Если V и W — два вполне изотропных подпро-
подпространства одинаковой размерности, то существует такое
преобразование «е Un(K,f), что u(V) = W.
4) Всякое вполне изотропное подпространство V,
пространства Е содержится во вполне изотропном под-
подпространстве максимальной размерности v.
В самом деле, пусть W — вполне изотропное подпро-
подпространство размерности v и V\ — подпространство в W,
размерность которого равна размерности V. Тогда су-
существует такое преобразование ueUn(K,f), что
u(V\) = V. Подпространство u(W) удовлетворяет по-
поставленным условиям.
5) Пусть V, W — вполне изотропные подпростран-
подпространства максимальной размерности v, причем V(\W = {0}.
Тогда подпространство* М = V + W неизотропно (раз-
(размерности 2v), поскольку всякий изотропный вектор,
ортогональный к V, содержится в V (см. § 7). По той
же причине подпространство М° (размерности п — 2v)
не содержит никакого изотропного вектора. Если те-
теперь V\, Wi — два других вполне изотропных подпро-
подпространства размерности v, для которых V\ Г\ Wt = {0},
то существует такое унитарное преобразование и, что
u(V) = V\ и u(W) = W\. Это следует из теоремы Вит-
Витта и из существования базисов подпространств V + V?
и Vi + Wi описанного в п. 1 типа. Так как и (М°) = М?.
то ограничения формы / на М° X М° и на М? X М° эк-
эквивалентны. Ограничение формы / на М°~Х.М°, которое
определено, таким образом, однозначно с точностью до
эквивалентности, называется приведенной анизотропной

42 Гл. 1. Коллинеации и корреляции
формой формы /. Для того чтобы две эрмитовы формы
были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы
они имели одинаковый индекс и чтобы их приведенные
анизотропные формы были эквивалентны.
Если К — упорядоченное поле (по необходимости ну-
нулевой характеристики) и / — симметричная форма, то
элементы сг = V2 (e« + ei+v), ci+v = l/2 (e{ — ei+v) A ^
^ (г-s; v) образуют ортогональный базис подпростран-
подпространства М = V + W, причем f(cu с{)= '/г и f(ci+v, cJ+v) =
e —'/г при 1 <: i ^ v. Дополняя систему (c<)ls;/<2v до
ортогонального базиса пространства Е при помощи ор-
ортогонального базиса (CtJv<i<nподпространства М°, мы
видим, что v <: Min (/?, п — р), где р — число таких
индексов i, что f(cu c{) > 0. Если, кроме того, поле К
евклидово, то можно считать, что f(cu с{) = 1 при всех
i > 2v или f (cit c{) = —1 при всех i > 2v, поскольку
M° не содержит изотропных векторов. В таком случае
v = Min (р, п — р). Эти результаты легко распростра-
распространяются на эрмитовы формы в случае, когда К —квад-
—квадратичное расширение упорядоченного поля или обоб-
обобщенное тело кватернионов над упорядоченным полем.
Заметим, наконец, что теорема Витта и утверждения
1)—4) этого параграфа справедливы также для знако-
знакопеременной формы f.
§ 12. Квазиотражения и сдвиги в унитарных группах
Проблема классификации преобразований, принад-
принадлежащих группе Un(K,f) или GUn(K,f), или rUn(K,f),
состоит в отыскании условий, при которых два преоб-
преобразования и, v, принадлежащие одной из этих групп,
сопряжены в этой группе. Мы изучим только частные
случаи этой проблемы. Более полное исследование про-
проведено в работах Жордана ([3], т. III), Спрингера [1],
Якобинского [1] и Уолла [2].
Заметим вначале, что если подпространство V про-
пространства Е инвариантно (в целом) относительно некото-
некоторого преобразования из ri/n(K,f), то его ортогональное
дополнение V0 также инвариантно (в целом) относи-
относительно этого преобразования. Если V неизотропно, то
такое преобразование определяется своими ограниче-

§ 12. Квазиотражения и сдвиги в унитарных группах 43
ниями на дополнительных подпространствах V, V0, и
множество этих преобразований является группой, изо-
изоморфной подгруппе группы Г1)Р(К, fi) X Ги„-р(К, f2),
образованной такими парами (v,w), для которых авто-
автоморфизмы тела К и множители, соответствующие v и
w, одинаковы. (Здесь р = dim V, ft и ^ — ограничения
формы /на УХУ'и У0Х ^ соответственно.)
Рассмотрим теперь преобразования из rUn(K,f),
оставляющие на месте каждый элемент подпростран-
подпространства V. Такое преобразование и должно принадлежать
группе GUn (К, f), а если V не вполне изотропно, то
группе Un(K,f). Пусть Vi = V Л V0 и U — дополнитель-
дополнительное подпространство к Vi в V. Тогда преобразование и
однозначно определяется своим ограничением на неизо-
неизотропном подпространстве U0, в котором оно должно
оставлять на месте все элементы подпространства Vi.
Если Vi = {0} (т. е. V неизотропно), то такие преобра-
преобразования и образуют группу, изоморфную группе
Un-p (К, f2) (в тех же обозначениях, что и выше). Дру-
Другой крайний случай — это когда V вполне изотропно.
Ограничимся случаем, когда V — вполне изотропное
подпространство максимальной размерности v, причем
2v = п. Пусть W — вполне изотропное подпространство,
дополнительное к V, и (ejI<i<2v — базис пространства
Е описанного в п. 1 § 11 типа. Положим и (х) =
= х-f v(х). Из соотношения f(u(x), u(y)) =f(x,y) по-
получаем прежде всего, что / (х, v (у)) = 0 при x^V,
y^W. Это означает, что v — линейное отображение,
аннулирующее V и отображающее W в V. Далее, при
х е W, y^W получаем (для эрмитовой формы /) соот-
соотношение f(x, v(y)) + f (у, v(x))J = 0. Матрица преобра-
преобразования и в базисе (е*) имеет вид
/
0 I
где '5 = —SJ (иначе говоря, S — косоэрмитова матри-
матрица порядка v и произвольного ранга ^v). Если исхо-
исходить из косоэрмитовой формы f, то S будет эрмитовой
матрицей. Следовательно, подгруппа группы Vn(K,f),
оставляющая на месте все элементы подпространства

44 Гл. I. Коллинеации и корреляции
V, в рассматриваемом случае изоморфна аддитивной
группе косоэрмитовых (соответственно эрмитовых) ма-
матриц порядка v. Унитарные преобразования того типа,
который мы только что рассматривали, называются спе-
специальными преобразованиями. Легко видеть, что для
того, чтобы два таких преобразования ии и2 были со-
сопряжены в группе Un(K,f), необходимо и достаточно,
чтобы соответствующие матрицы S\ и 5г (или, что то
же самое, косоэрмитовы формы f(x, Vi(y)) и f(xtv2(y))
в пространствах W, и W2 соответственно) были экви-
эквивалентны.
Рассмотрим унитарные преобразования, оставляю-
оставляющие на месте все элементы гиперплоскости V, т. е. уни-
унитарные растяжения и сдвиги (см. § 2). Если V неизо-
неизотропно и а — вектор, ортогональный к V, то и(а)=аа
и aJf(a, a)a = f(a, а). Такое преобразование и назы-
называется квазиотражением относительно гиперплоскости
V. Для данной неизотропной гиперплоскости V всегда
существует квазиотражение, отличное от тождествен-
тождественного. Если характеристика тела К не равна 2, то можно
взять а = —1 (тогда получается отражение относи-
относительно V). Если характеристика тела К равна 2, то при
f (а, а) — X ¦+¦ № возьмем а = X~lKJ; тогда оЛсс = А, и
aJlkJa = lJ, так что а удовлетворяет нужному условию;
кроме того, а ф 1, так как "к1 ф к. Заметим, что в орто-
ортогональной группе On(K,f) (где К— поле характеристи-
характеристики ф 2) единственным квазиотражением относительно
гиперплоскости V, отличным от тождественного, яв-
является отражение относительно V. Симплектическая
группа Spn(K) является единственной унитарной груп-
группой, в которой нет квазиотражений (потому что нет
неизотропных гиперплоскостей).
Что касается унитарных сдвигов, то они существуют,
только если гиперплоскость V изотропна; вектор а сдви-
сдвига является при этом изотропным вектором, ортогональ-
ортогональным к V. Такой сдвиг представляется в виде х—*
—¦ х + aXf(a, х), где X — кососимметричный элемент
тела К, если форма f эрмитова, и симметричный, если
она косоэрмитова. При замене вектора а на ajx-1 коэф-
коэффициент К заменяется на цЯц/. Для того чтобы два уни-
унитарных сдвига вдоль гиперплоскости V были сопряжены

§ 13. Полуинволюции в унитарных группах. Первый случай 45
в группе Un, необходимо и достаточно, чтобы их коэф-
коэффициенты Я, А/ были связаны соотношением X' = р/Лц
при подходящем ц. Заметим, что, коль скоро в прост-
пространстве Е имеются изотропные векторы, существуют
унитарные сдвиги; исключением является лишь ортого-
ортогональная группа On(K,f) (где К— поле характеристики
Ф2), поскольку в К в этом случае нет кососимметрич-
ного элемента, отличного от 0.
§ 13. Полуинволюции в унитарных группах
и их централизаторы. Первый случай
Пусть и — некоторая полуинволюция в группе
FUn(K,f) относительно автоморфизма а тела К. Пусть
и2(х) = ху и f(u(x),u(y)) = e(f(x, y))a. Перепишем в
этом случае соотношения A), B), B1) и B2):
Y° = Y, io2 = Y~'iY. f = ellae-\ e' = e. B4)
Кроме того, вычисляя f(u2(x),u2(y)) двумя способами,
находим, что
у'у = ееа. B5)
Мы будем предполагать в этом параграфе, что у не
представляется в виде КХа (случай А) § 3). Образуем
квадратичное расширение Ко = К(р) тела К, в кото-
котором р2 = у и ЛР = РЛ0 ПРИ Л s K> и превратим прост-
пространство Е в векторное пространство размерности п/2
над /Со, полагая х% = х\ + " {А Ц при ? = ? + рт) е Ко
и хе Е. Полученное векторное пространство обозначим
через Ео- Легко видеть, что существует взаимно одно-
однозначное соответствие *'¦«-»• *6 между пространством
?*, двойственным к Е, и пространством ?о, двойствен-
двойственным к Eq, при котором
(х'о, х) = <*', *> + р <*', и (х))а у'1 ' B6)
для всякого х<=Е. Кроме того, при помощи формул
B4) и B5) можно показать, что инволюция / может
быть распространена на Ко таким образом, что pJ =
= pe°Y"'. В соответствии с формулой B6), корреляции

46 Гл. I. Коллинеации и корреляции
Ф (ассоциированной с формой /) отвечает отображение
Фо пространства Ео в Е*о, определяемое формулой
(Фо (х), у) = <Ф (х), у) + р (Ф (х), и (у))а у-\ B7)
Из B4) и B5) выводится, что фо(*?) = ?Jq>o(*) при
любом ? е Ко', иначе говоря, ф0 есть корреляция. Далее,
если 'ф = еф, е = ± 1, то и (фо = ефо. В самом деле, из
формулы B7) следует, что
<Фо(*)> УУ — е<Фо(у). х)<=рК
при любых х, у е ?о". однако это выражение является
линейной функцией от х (над Ко) и не может прини-
принимать значения только в рК, не будучи тождественно
равным нулю.
Из B7) получаем следующую формулу для рефлек-
рефлексивной формы fo(x,y), ассоциированной с корреля-
корреляцией фо:
k (х, У) = f(x,y) + p (f (x, и (у))H у. B8)
Найдем теперь группу Н полуподобий, проективно
перестановочных с полуинволюцией и. Это равносильно
изучению централизатора инволюции м е PFUn в про-
проективной группе РГ11п (см. § 4). Преобразование t/еЯ,
соответствующее автоморфизму т, удовлетворяет усло-
условию vu= uv • а (а^К), из которого вытекают соотно-
соотношения C) и D); кроме того, <p(v(x)) = hti((p(x)), где
h — симметричный элемент тела К. Известно (см. § 4),
что можно распространить автоморфизм т на тело Ко
таким образом, что v будет коллинеацией пространства
Ео относительно полученного автоморфизма. Если это
сделать, то из формулы B8) будет следовать, что
fo(v(x), v(y)) — h(fo(x, </))xepi( при любых хе?0,
уеЕ0; но так как это выражение при фиксированном х
полулинейно по у, все его значения могут лежать в рК,
только если оно тождественно равно нулю. Следова-
Следовательно, v принадлежит группе rUnl2(Ko,fo)- Обратно,
элемент v этой группы проективно перестановочен с и,
если соответствующий ему автоморфизм т тела /@ со-
сохраняет (в целом) К и удовлетворяет условию рх = ра
(где а е К) и если его множитель принадлежит К. За*

§ 14. Полуинволюции в унитарных группах. Второй случай 47
метим, что подгруппа Н группы rUnri{Ko,U)> определен-
определенная этим условием, содержит в качестве нормального
делителя унитарную группу Un/2(Ko,fo)-
§ 14. Полу инволюции в унитарных группах
и их централизаторы. Второй случай
В обозначениях § 13 предположим теперь, что у =
= XX0. .Заменяя и на и • Х~1 (что приводит к изменению
автоморфизма и множителя, соответствующих ы), мож-
можно добиться того, чтобы у = U откуда а2 = 1 и ее°=1.
Рассмотрим отдельно два случая в зависимости от того,
тождествен автоморфизм а или нет.
А) а = 1 и, значит, е2 = 1. Есть три возможности:
А1) Характеристика тела К не равна 2 и е= 1; то-
тогда и — инволютивный элемент группы Un (К, f). Легко
видеть, что всякий вектор из U+ ортогонален ко вся-
всякому вектору из U~. Отсюда вытекает, что подпростран-
подпространства U+, U- неизотропны; каждое из них есть ортого-
ортогональное дополнение к другому. Обратно, для всякой
пары дополнительных ортогональных неизотропных под-
подпространств V, W линейное преобразование и, опреде-
определенное равенствами и(х)=х при х е V и и{х)=—х
при x^W, является инволютивным элементом группы
Un(K,f).
Пусть v — полуподобие с множителем h, соответ-
соответствующее автоморфизму т тела К, и пусть vu = uv • а.
Из условия D) находим, что а2 = 1, т. е. а = ±1. Слу-
Случай vu = —uv возможен, только если U+ и U~ имеют
одинаковую1 размерность. Если Н — группа полуподо-
полуподобий, проективно перестановочных с и, и Но — централи-
централизатор элемента и в Г11п, то #0 — подгруппа индекса 1
или 2 в Н. Группа Яо изоморфна подгруппе прямого
произведения ГUP(K, fi) X Гип-р(К, Ы (где р =
= dim U+, fi и f2 — ограничения f на U+XU+ и U-y^U-
соответственно), образованной такими парами полупо-
полуподобий, что входящие в одну пару полуподобия имеют
одинаковые автоморфизмы и множители.
А2) Характеристика тела К не равна 2 и е = —1.
Из соотношения f(u(x), и(у)) = — f(x, у) немедленно
следует, что (/+ и U~ — дополнительные вполне

48 Гл. I. Коллинеации и корреляции
изотропные подпространства и, значит, п = 2/п и
dim U+ = dim U~ = m = v. Обратно, если п = 2v и К,
W— дополнительные вполне изотропные подпространства
максимальной размерности v, то линейное преобразова-
преобразование и, определенное равенствами и(х) = х при xeVn
и(х) =—х при ieV, удовлетворяет условию f(u(x),
и(у)) = —f (х, У) ПРИ любых х<=Е, у е Е.
Если v е Г1/„ и иы = «и • а, то, как и в предыду-
предыдущем случае, а2 = 1. Предполагая, что форма f эрми-
эрмитова, можно выбрать в пространстве Е базис описан-
описанного в п. 1 § 11 типа, и тогда преобразование и, опре-
определенное равенствами v(ei) = ei+m и v(ei+m) = et при
1 sg; i sg; m, принадлежит подгруппе Я, причем vu =
= —uv. Следовательно, централизатор Но инволюции
и в группе Г11п в этом случае всегда является подгруп-
подгруппой индекса 2 в группе Н. Таким образом, можно огра-
ограничиться рассмотрением Но. Пусть сеЯ0 — полуподо-
полуподобие, соответствующее автоморфизму т, и Л —его мно-
множитель. Соотношение vu = uv показывает, что v(U+) =
= U+, v(U-) = U~, а соотношение f(v(x), v(y)) =
= h(f(x,y))'1 при хе(/+а у е U~ показывает, что дей-
действие преобразования v в U~ однозначно определяется
действием v в U+, причем соответствующий автомор-
автоморфизм т обладает тем свойством, что антиавтоморфизмы
т/ и /т отличаются на внутренний автоморфизм тела К.
Непосредственно проверяется, что, обратно, всякая кол-
линеация пространства U+ относительно автоморфизма
т, обладающего этим свойством, продолжается до кол-
коллинеации v пространства Е, принадлежащей Яо. Таким
образом, группа Но может быть отождествлена с под-
подгруппой группы ГЬп/2 (К), образованной такими колли-
неациями, что соответствующие им автоморфизмы об-
обладают указанным выше свойством. Заметим, что Яо
содержит в качестве нормального делителя полную ли-
линейную группу GLn/2 (К).
A3) Характеристика тела К равна 2 и е = 1. Тогда
(см. § 3) и(х) = x + w(x), где ш(Е) cz oH@) = U.
Записывая условие унитарности для и, находим, что
w(E) ортогонально к U; так как w(E) имеет ту же раз-
размерность, что и U0, то w (Е) = U0 a U — вполне изо-
изотропное подпространство. Если полуподобие v ^

§ 14. Полуинволюции в унитарных группах. Второй случай 49
е rUn(K,f) проективно перестановочно с и, то оно
принадлежит централизатору Н инволюции и в группе
rUn(K,f), поскольку в рассматриваемом случае из
а2 = 1 следует а = 1. Следовательно, v(U) = U и
v(U°) = U°. Обозначим через V (неизотропное) под-
подпространство, дополнительное к U0 в U. Тогда V0 будет
неизотропным подпространством размерности 2р, где
р = dim U°. Оно содержит U0, и в нем можно найти
р-мерное вполне изотропное подпространство W, допол-
дополнительное к U0 в V0 (см. § 11).
Пусть Hi — нормальный делитель группы Н, образо-
образованный такими v, что v(x)== *(mod U) при всех хеЕ
и v(y) == у (mod U°) при всех y^U. Из этих условий
следует, что v — линейное преобразование. Если V ф
ф {0}, то его множитель равен 1; иначе говоря,
v<=Un{K,f). Из равенства f(v(x), v(y)) =f(x,y) при
л;е W и y^V° получаем f(x, v(y) —у) =0 и, так как
W° = V + W и v(y) —yeU°, то v(у) = у при уе= U9.
Если У={0}, то таким же образом получаем, что
v (у) = yh при #е U0, где Л —множитель v (принадле-
(принадлежащий центру тела К).
Пусть #2 — подгруппа группы Ни оставляющая на
месте каждый элемент из U. Так как любое преобразо-
преобразование v e #2 оставляет на месте все элементы подпро-
подпространства V, то оно полностью определяется своим
ограничением на V0 = U° -\- W, которое является уни-
унитарным преобразованием этого пространства, остав-
оставляющим на месте все элементы вполне изотропного
подпространства U0, и, следовательно, — специальным
преобразованием (см. § 12). Это показывает, что Я2 —
абелева группа, изоморфная аддитивной группе косоэр-
митовых или эрмитовых матриц порядка р в зависимо-
зависимости от того, эрмитова или косоэрмитова форма /.
Группа HiJH2 изоморфна группе Н{ ограничений
преобразований »еЯ] на U. Если V Ф {0}, положим
v (У) =У + и"(У)> r^e v"(y)(=U°, при г/е= V; с другой
стороны, положим v(x) = x-\- v'(x), где v' (х) е 0, при
x^W. Соотношение f(v(x), v (у)) —f(x,y) дает тогда
f{v'(x),y)+f(x,v"(y))=O при xeW, ye=V. Выби-
Выбирая каким-либо образом базисы bVhbV°=U°+W
^например, ортогональный или симплектический базис

60 Гл. I. Коллинеации и корреляции
в V и базис описанного в п. 1) § 11 типа в V0), нетруд-
нетрудно установить, что для всякого линейного отображения
v" пространства V в пространство U0 существует един-
единственное линейное отображение v' пространства VP в
пространство V, удовлетворяющее предыдущему усло-
условию. Это показывает, что группа HJH2 изоморфна ад-
аддитивной группе матриц, имеющих р строк и п — 2/7
столбцов, т. е. группе Кр(п~2р). Если V = {0}, то v(y) =
= yh при yeU° = U, и можно положить v(x) = япри
х е W. Следовательно, в этом случае группа HJH2 изо-
изоморфна мультипликативной группе Zo поля симмет-
симметричных элементов центра тела К.
Определим, наконец, #/#ь Для всякого не// по-
положим v(x) = V\(x) + v'(x), где V\(x)eW, v'(x)^U,
при x(= W, и v(y) = v2(y) +v"(y), где v2(y) <= V,
v"(y)^U°, при у е V. Определим коллинеацию v сле-
следующим образом: v(x) = Vi(x) при xeW, v(y)=v2(y)
при г/е V и v(z) —v(z) при zs U°. Можно проверить,
что v принадлежит группе tUn(K,f) (и ей соответствует
тот же автоморфизм т и множитель h, что и и) и
что v коммутирует с и тогда и только тогда, когда б
коммутирует с и. Таким образом, отображение v —* S
является гомоморфизмом группы Н на ее подгруппу Я,
причем ядром этого гомоморфизма служит Ну. Группа
Я, тем самым, изоморфна Н/Н\. Выберем в простран-
пространстве V0 = U° -\- W базис описанного в п. 1) § 11 типа.
Тогда матрица ограничения коллинеации v на V0 будет
(AJh 0\
иметь вид I „ .}' где А — квадратная матрица по-
порядка р. Матрица ограничения отображения и на V°
Г s)
[о ir
имеет вид I » . I, где 5 — косоэрмитова или эрмитова
матрица порядка р в' зависимости от того, эрмитова
или косоэрмитова форма f. Условие перестановочности
и и € в Vo записывается тогда в виде *AJSA = hSx;
иначе говоря, ограничение v на V0 может быть отожде-
отождествлено с элементом группы FUP (К, S). С другой сто-
стороны, ограничение v на V есть элемент группы
rUn-2p(K,fi), где fi — невырожденная форма, являю-
являющаяся ограничением /на VX.V. Окончательно, группа

§ 14. Полу инволюции в унитарных группах. Второй случай 51
1Х изоморфна подгруппе группы rf/n_2p(/C, fi) X
X.rUp(K,S), образованной парами коллинеации с оди-
одинаковыми автоморфизмами и множителями. Заметим,
что рефлексивная форма, определяемая матрицей S,
невырожденна, но может не быть Т-формой (см.
§ Ю).
В) аф 1. Обозначим через Ki подтело тела К, обра-
образованное элементами, инвариантными относительно а.
(Отметим, что, вообще говоря, Ki не инвариантно отно-
относительно /.) Известно, что множество 0+ элементов
х^Е, для которых и(х) = х, есть «-мерное подпро-
подпространство над Ки причем базис U+ над К\ есть в то же
время базис Е над К (см. § 3). Имеем f(x,y) = ef(x, y)a
при х е U+, у е U+. Заменяя х на х\, где I e Ки полу-
получаем, что |J = e\Jae~x. Отсюда следует, что если е=±1,
то К\ инвариантно относительно /. Мы сейчас покажем,
что, умножая форму f на подходящий симметричный
или кососимметричный элемент, можно добиться того,
чтобы е = 1. Предположим вначале, что г = 1 + е ф 0;
тогда г3 = г и г° = ге~1, т. е. е = г:~а. Форма g(x, у) =
= r~lf(x,y) будет эрмитовой (соответственно косоэр-
митовой) относительно инволюции l~*lT = r-x\Jr, если
f — эрмитова (соответственно косоэрмитова) относитель-
относительно /. При этом g(u{x),u(y)) = (g(x,y))a. Остается рас-
рассмотреть случай, когда е = —1 и характеристика К от-
отлична от 2. Имеем K = Ki(p), р° = —р. Возьмем г =
== pJ ± р, выбрав знак так, чтобы г ф 0. Тогда rJ = ±г
и га = —г, так что е = rl~a, и дальше можно рассуж-
рассуждать так же, как и выше.
В дальнейшем будем считать, что е— 1. Тогда при
x,y^U+ имеем f(x,y) = (f(x,y))a и, следовательно,
f(x,y)eK\. Поскольку базис пространства U+ над К\
есть в то же время базис пространства Е над К, огра-
ограничение формы /на U+ X U+ будет невырожденной реф-
рефлексивной формой.
Известно (см. § 4), что при.изучении коллинеации
v, проективно перестановочных с и, всегда можно, умно-
умножив v на скаляр, свести дело к случаю, когда vu =
= ±му, и в этом случае Ki инвариантно относительно
автоморфизма т тела К, соответствующего v. Рассмот-
Рассмотрим отдельно две возможности:

52 Гл. I. Коллинеации и корреляции
81) Характеристика тела К не равна 2. Тогда К =
= /С](р), где р° = —р. В силу формулы B4) paJ=pJa.
Следовательно, pJ0=—pJ, так что pJ—рб, где бе/Ci1).
Ограничимся рассмотрением централизатора Но инво-
инволюции и в run(K,f), являющегося подгруппой индек-
индекса 1 или 2 в группе Н элементов v e FUn(K, f), для ко-
которых vu = ±ми. Ограничение преобразования v е Но
на U+ принадлежит группе Гип(К\,\\), где fi — ограни-
ограничение формы /на ?/+ X ^+- Автоморфизм т тела Ки со-
соответствующий v, должен удовлетворять условиям E)
и F) § 4. Кроме-того, если Л— множитель v (который
должен принадлежать К\), то, записывая условие ptJ =
= Ар*'/!, находим, что 2)
а/т6А = Л(йа6т. B9)
Обратно, если эти условия выполнены, то можно продол-
продолжить коллинеацию v^rUn(Kuf\) до коллинеации про-
пространства Е, полагая v{xp) =v{x)pt (§4), и при этом
f{v{xp), v(yp).) = h(f(xp,yp)y для любых х, y<=U+,
так что v <= Гип(К, f). Так как U~ = U+p и v{U~) = t/-,
то при этом также v принадлежит Яо. Итак, группа Но
изоморфна подгруппе группы rUn(Ki,fi), образованной
такими полуподобиями, что соответствующие им авто-
автоморфизм т и множитель А удовлетворяют условиям E),
F) и B9) (для некоторого ae/Ci, зависящего от v).
Заметим, что эта подгруппа содержит в качестве нор-
нормального делителя унитарную группу Un(Ki,fi).
82) Характеристика тела К равна 2. Тогда (см. § 4)
К — К\Ь, где 0а = 9 + 1, и соотношение 0JO = QaJ дает,
что QJa = 9J + 1. Следовательно, 9J = 9 + б, где бе Ки
Группа Н в данном случае совпадает с централизатором
элемента и в rUn(K,f). Так же, как и в В1), ограниче-
ограничение коллинеации v на U+ принадлежит* группе
rUn(Ki,fi)> причем ее автоморфизм т должен удовлет-
удовлетворять условиям G) и (8) § 4. Кроме того, множитель
•) Если р2 = Р <= Ki и р~4?р = |т при I e /Ci, то обязательно
?«>j = p^J шц-i, Где ц е Ki, nJ = ц, р» = р, PJP = цц«>; тогда
б = ц-'Р' = цир-i.
г) См. обозначения п. В2а) § 4. — Прим. перев.

§ 15. Перестановочные корреляции 53
h e /Ci полуподобия v должен удовлетворять условию
0« = hQJxh~\ откуда ')
Dh + h (A, + бт) + (б + А/) Л = 0. C0)
Как и в В1), делаем вывод, что группа Н изоморфна
подгруппе группы rUn(K\,fi), образованной полупо-
полуподобиями, автоморфизм и множитель которых удовлет-
удовлетворяет условиям G), (8) и C0) (для некоторого Х^Ки
зависящего от v). Она содержит в качестве нормального
делителя унитарную группу Un(Kufi).
§ 15. Перестановочные корреляции
Мы определили понятие коллинеации, проективно
перестановочной с какой-либо коллинеацией (§ 4) или
корреляцией (§ 9). Если теперь ф и \|э — две корреля-
корреляции пространства Е на пространство Е*, то qH\|) будет
коллинеацией пространства Е; мы скажем, что корре-
корреляции ф и ф проективно перестановочны, если ф—'я|> —
полуинволюция (§ 3), т. е. существует такой элемент
у^К, что
' 1)у C1)
для всех х<=Е.
Очевидно, что это свойство не зависит от порядка,
в котором берутся ф и г|>. Кроме того, определенные
нами в трех случаях понятия «проективной перестано-
перестановочности» когерентны в следующем смысле: если колли-
неация и (соответственно корреляция 0) проективно
перестановочна с двумя корреляциями ф, ф, то она про-
проективно перестановочна с коллинеацией qr'i|); если кол-
линеация и проективно перестановочна с коллинеацией
и и с корреляцией ф, то она проективно перестановочна
с корреляцией фи; наконец, если корреляция г|з проек-
проективно перестановочна с коллинеацией и и с корреля-
корреляцией ф, то она проективно перестановочна с корреля-
корреляцией ф«.
Описание централизатора инволюции в группе
РПп (§ 4) или в группе РГЦп (§ 13 и 14) есть
1\ См. обозначения п. B2JS) § 4. — Прим. перев.

54 Гл. I. Коллинеации и корреляции
частный случай следующей общей проблемы, с другими
частными случаями которой мы встретимся в § 8 гл. IV.
Дано некоторое число полуинволюций щ^ГЬп(К)
A ^ i ^ q) и рефлексивных корреляций ср^ A ^/^ г),
попарно проективно перестановочных. Требуется найти
все коллинеации v, проективно перестановочные с щ
A -< i -< q) и <р4 A ¦<!/-< г). Предыдущие замечания
позволяют свести вопрос к случаю, когда г = 0 или
г = 1 (заменяя г—1 из корреляций ф,- коллинеациями
ФГ'Ф/).
Если характеристика тела К не равна 2, то можно
использовать результаты § 4, 13 и 14 для определения
группы Н коллинеации v, проективно перестановочных
с полуинволюциями щ и корреляцией ф, при помощи
рекуррентного процесса по числу q (Дьёдонне [14]).
Возьмем для этого полуинволюцию щ и рассмотрим не-
несколько случаев').
1) Mi удовлетворяет условиям § 13. Тогда (в обо-
обозначениях этого параграфа) полуинволюции щ B ^i<
¦^ q) могут рассматриваться как q — 1 полуинволюций
в группе rUn/2(Ko,fo), а коллинеация v — как элемент
этой группы, проективно перестановочный с ними и та-
такой, что его автоморфизм и множитель удовлетворяют
условиям, указанным в § 13.
2) «1 удовлетворяет условиям случая В) § 14. Тогда
полуинволюции щ B^i^q), умноженные, если нуж-
нужно, на подходящие скаляры, могут рассматриваться как
q— 1 полуинволюций в группе rUn(Kuf\), ay — как
элемент этой группы, проективно перестановочный
с ними и такой, что его автоморфизм и множитель
удовлетворяют условиям, указанным в § 14.
3) «1 удовлетворяет условиям случая А1) § 14. Если
подпространства U+ и U~ имеют различную размер-
размерность, то они инвариантны относительно преобразований
и* B ^ t ^ q), а также любого элемента v группы И,
и, с точностью до условий на множитель и автоморфизм,
') В дальнейшем предполагается, что f—'эрмитова или косо-
эрмитова форма, определяемая корреляцией <р в пространстве Е.
Условие проективной перестановочности коллинеации V с <р означает,
что v е Гип (К, {). — Прим. перев.

§ 15. Перестановочные корреляции 55
соответствующие коллинеации v, дело сводится к пер-
первоначальной задаче для каждого из подпространств U+,
U~, но уже для q — 1 полуинволюций щ. Так же об-
обстоит дело и тогда, когда U+ и U~ имеют одинаковую
размерность, но щщ = щщ при 2 ^ i ^ q, с той только
разницей, что мы переходим от группы Я к ее под-
подгруппе Нй индекса 2. Если, наконец, и2щ = — щи2, то,
заменив, если нужно, и, на и2щ, можно предполагать,
что щщ = и\Щ при i>3. Тогда u2(U+)= U~, u2(U~) =
= U+, u{(U+)= U+ и щ(и-)= U- при i > 3. Переходя
к подгруппе #о индекса 2, можно ограничиться случаем,
когда ущ = uiv, и тогда у([/+)=С/+, и(?/-)=[/-.
Ограничение и' коллинеации и на подпространстве U+
принадлежит группе fUnf2(K,f) (где f — ограничение
формы / на U+ X ^+) и проективно перестановочно
с ограничениями на U+ полуинволюций щ C^i^q).
Обратно, можно проверить, что хотя и не всякое такое
преобразование v' пространства U+ продолжается до
коллинеации v е Но, но это всегда имеет место, если v'
принадлежит группе Un/2(K,ff) и перестановочно с щ
4) «1 удовлетворяет условиям случая А2) § 14. Если
«,«! = щщ при 2^t^9i то преобразования щ сохра-
сохраняют подпространства U+ и U~,n, перейдя к подгруппе
Но индекса 2 в группе Н, можно предполагать, что тем
же свойством обладает преобразование v. Ограничение
v на U+ является коллинеацией этого пространства,
проективно перестановочной с ограничениями на U+
полуинволюций щ B ^ i <g; q). Такая коллинеация не
всегда продолжается до коллинеации v e Яо; однако это
верно для линейных коллинеации v' e GLn/2 (К), пере-
перестановочных с щ (i ^ 2).
Если Ы2И1 = —щи2, то можно предполагать, что
и4и1 = а1Щ при i ^ 3. Если т — автоморфизм, соответ-
соответствующий и2, то полуторалинейная форма f'(x,y) =
= f(u2(x),y), определенная прид;еС/+, y^U+, реф-
рефлексивна относительно антиавтоморфизма т/. В этом
случае ограничение v' коллинеации v на U+ должно
принадлежать группе Гипр (К, Г) и быть проективно

56 Гл. I. Коллинеации и корреляции
перестановочно с ограничениями на U+ полуинволюций
щ C ^ i ^ q). Обратное опять-таки верно не всегда, но
во всяком случае верно для коллинеации v', принадле-
принадлежащих группе Unp (К, V) и перестановочных с щ
(i3)
§ 16. Квадратичные формы и ортогональные группы
над полем характеристики 2
Если К — поле характеристики ф2 и / — симметрич-
симметричная билинейная форма на ? X ?> то квадратичной фор-
формой, ассоциированной с f, называют отображение
х—*Q{x) = f(x,х) пространства Е в К. Непосредствен-
Непосредственно проверяется, что
Q (kx + \ху) = WQ (х) + № (у) + 2Kiif (х, у) C2)
для любых скаляров К, а. В частности, отсюда сле-
следует, что f(x,у) = xk(Q{x + y)—Q(x)—Q(y)). Обратно,
если отображение Q пространства Е в К удовлетворяет
тождеству C2), где /—билинейная форма на Еу^Е, то
f — симметричная форма, Q(Xx) —%2Q(x) и Q(x) =
= f(x,x).
Предположим теперь, что К — поле характеристики 2.
В этом случае квадратичной формой называют отобра-
отображение Q пространства Е в К, удовлетворяющее тожде-
тождеству вида
Q (Хх + м) = *2Q (*) + M-2Q (У) + W (х, У), C3)
где f — билинейная форма на Еу^Е. Эта форма одно-
однозначно определяется по Q, поскольку из C3) вытекает,
что
C4)
Кроме того, Q (Д.*) = 12Q (x) и, следовательно,
f(x,x) = 0; таким образом, f — знакопеременная форма.
Пусть 2/7-^п — ранг формы f и Е° есть (п — 2р) -мер-
-мерное подпространство, ортогональное к Е. Если обозна-
обозначить через h ограничение формы Q на Е°, то при х^Е°,
у^Е° имеем
C5)

$ 16, Квадратичные формы над полем характеристики 2 57
Отображение ?-»-?2 является изоморфизмом поля К
на подполе К2; формула C5) означает, что h есть по-
полулинейное отображение векторного пространства Е°
над полем К в векторное пространство К над полем К2
относительно изоморфизма ? —* |2. Следовательно, ядро
F отображения h есть ^-мерное подпространство про-
пространства Е°, где q ^ п — 2р, а его образ М = п(Е°)
есть подпространство пространства К (над. К2) размер-
размерности n — 2p — q = d. Ясно, что d ^ [К : /С2]; в частно-
частности, если поле К. совершенно (т. е. К = /С2), то d = О
или d=l. Число п — q называется рангом формы Q.
Пусть U есть 2/7-мерное подпространство, дополнитель-
дополнительное к Е° в Е, и V есть d-мерное подпространство, до-
дополнительное к F в Е°. Если (e/)i<<<2p—симплектиче-
ский базис пространства U (относительно формы /),
@какой-нибудь базис пространства V и
какой-нибудь базис пространства F,
п
то форма Q (х) при ж = 2 eth записывается в виде
Р 2p+d
S (аД2 + ЬЫр+t +УЛ1+1) + i=S+i S,|2, причем соотноше-
2p+d
ние S б/12=0 влечет за собой g< == 0 при 2р + 1 <
/=2р+1 '
^ i ^ 2/7 + d. Мы будем говорить, что форма Q невы-
рожденна, если q = 0; число d=n — 2/7 в этом случае
называется дефектом формы Q, и, если d > 0, форма Q
называется дефектной (что всегда имеет место, если про-
пространство Е нечетномерно). Начиная с этого места, мы
будем предполагать, что форма Q невырожденна. Ее
ограничение на любом подпространстве U, дополнитель-
дополнительном к Е°, недефектно.
Ненулевой вектор х е Е называется особым, если
Q(x) = 0. Подпространство V пространства Е назы-
называется" особым, если Q(*) = 0 при всех xeF. Так как
Q (х) ф 0 для любого ненулевого вектора из Е°, то для
любого особого подпространства V имеем V П Е° = {0},
так что V содержится в некотором подпространстве Ей
дополнительном к Е°. В силу формулы C4) V вполне
изотропно по отношению к форме / и, следовательно,

68 Гл. 1. Коллинеации и корреляции
dim V ^ р. Индексом формы Q называется максималь-
максимальная размерность v особых подпространств пространства
Е. Из предыдущего следует, что у^ри что можно вы-
выбрать дополнительное к Е° подпространство Е\, содер-
содержащее особое подпространство максимальной размер-
размерности v. Предположим отныне, что такое подпростран-
подпространство Е\ выбрано раз и навсегда; ортогональность в Е\
будет всегда пониматься в смысле знакопеременной
формы /. Имеет место лемма, аналогичная первой лем-
лемме § 11: для всякого особого вектора ае^ и неизо-
неизотропной плоскости Р, содержащей а, в плоскости Р су-
существует единственный особый вектор Ь, такой, что
f(a,b)=l. В самом деле, если f(a, с)фО, то условие
Q(c-\-al) = 0 записывается в виде f{a, c)! + Q(c) = 0.
Из этой леммы следует, что утверждения 1) и 2) § 11
будут справедливы, если заменить Е на Е{ и слова «изо-
«изотропный» и «вполне изотропный» — на «особый». Заме-
Заметим также, что если Vc?| — особое подпространство
и W — особое подпространство, содержащееся в V0
(ортогональном дополнении к V в Ei), то V-\-W —
также особое подпространство; следовательно, если V
имеет максимальную размерность v, то всякий особый
вектор, содержащийся в V0, принадлежит V.
Если Е и F — векторные пространства одинаковой
размерности над К и и — изоморфизм F на Е, то функ-
функция х —>Q(u(x)) на пространстве F, очевидно, является
квадратичной формой. Говорят, что эта форма полу-
получается перенесением формы Q посредством изоморфиз-
изоморфизма и. Соответствующая знакопеременная форма полу-
получается перенесением формы f посредством и. Две квад-
квадратичные формы называются эквивалентными, если они
получаются одна из другой перенесением; в этом слу-
случае они имеют одинаковый ранг и индекс, а ассоцииро-
ассоциированные с ними знакопеременные формы имеют одинако-
одинаковый ранг.
Проблема эквивалентности решена лишь в неболь-
небольшом числе случаев. Мы ограничимся рассмотрением не-
невырожденных форм. Если поле К алгебраически замк-
замкнуто, то р = v, поскольку квадратное уравнение всегда
имеет решение в К- Кроме того, d = 0 или 1. Поэтому

§ 16. Квадратичные формы над полем характеристики 2 59
существует такой базис (ei)l<t<n пространства Е, что
htp+l+ ... -\-lphp, если п = 2р,
Q(*) = 6,6p+,+ ...+M*, + &2p+i. если п = 2р+1.
Если К = F, (^ = 2s), то всегда существует такой
базис (е,) пространства Е, что
Q(*) = ^p+I + ... +М2р+ !!„+,. если п = 2/>+1,
QW = 5ilP+I+ ... +lP-ihp-2 +
+ Ц2„+ «%,)- если /г = 2/>,
где во втором случае а = 0 или а таково, что полином
аХ2 + X + а неприводим над К (Диксон [1], стр. 197—
199). В первом случае d = 1, v = p; во втором случае
d = 0, v = p или v = p — l, если а = 0 или а^О со-
соответственно.
О других результатах по проблеме эквивалентности
см. Арф [1].
Ортогональным полуподобием относительно квадра-
квадратичной формы Q называется коллинеация и простран-
пространства Е, удовлетворяющая условию
Q(u(x)) = ra(Q(x))° для всех х е Е, C6)
где а = ои — автоморфизм поля К, соответствующий
коллинеации и, а г„е К* называется множителем и.
Формула C4) показывает, что, если форма Q не де-
дефектна, и является симплектическим полуподобием
с тем же множителем. Ортогональные полуподобия об-
образуют подгруппу в группе ГЬп(К), обозначаемую че-
через rOn(K,Q). Преобразования, принадлежащие нор-
нормальному делителю GOn (К, Q) = ГОп (К, Q) П GLn (К),
называются подобиями (относительно Q), а подобия
с " множителем 1 — ортогональными преобразованиями.
Ортогональные преобразования образуют нормальный
делитель On(K,Q) в группе GOn(K,Q), называемый
ортогональной группой (относительно Q). Отображение
и—*ои является гомоморфизмом группы FOn(K,Q) на
подгруппу группы автоморфизмов поля К; ядром этого
гомоморфизма служит группа GOn[K,Q)- Отображение

60 Гл. I. Коллинеации и корреляции
и—*ги является гомоморфизмом группы GOn(K,Q)
на подгруппу мультипликативной группы К*; его ядром
служит группа On(K,Q). Очевидно, что Zn = Нп а
cz GOn(K,Q), причем множитель гомотетии х-*ху$а-
вен у2- Образы РГОп(К,Я) и PGOn(K,Q) групп ГОп
и GOn в проективной группе РГЬп (К) изоморфны соот-
соответственно rOnIZn и GO/Zn. Далее, Zn П Оп = {1} и,
следовательно, группа Оп изоморфна проективной груп-
группе РОп, являющейся ее образом в PFLn.
Ортогональные группы, соответствующие двум
эквивалентным квадратичным формам, изоморфны.
Для любого ае/С имеем rOn(K,aQ) = ГОп(К, Q),
GOn(K,aQ)=GOn(K,Q) и Оп(К, aQ)= On(K, Q).
Если и— ортогональное преобразование, то легко
видеть, что и(Е°) = Е° и что ограничение и на Е° тож-
тождественно (потому что равенство Q(u(x))= Q(x), если
хеЕ°, можно записать в виде Q(u(x) — дг)=-О). Следо-
Следовательно, и однозначно определяется своим ограниче-
ограничением на Е[. При x^Ei положим и(х) =± «i (-v) -f- u2(x),
где щ(х)е Ей U2(x)^E°. Ясно, что преобразование щ
должно принадлежать симплектической группе Sp2v(K);
кроме того, оно должно быть таким, чтобы Q(ui(x))-\-
-\-Q(x)^M при любом x^Eh Обратно, если щ обла-;
дает этими двумя свойствами, то существует единствен-
единственное отображение и2, для которого щ + и2 е Оп (К, Q)
(Дьёдонне [4], стр. 53—54). Группа On(K,Q) может
рассматриваться, таким образом, как подгруппа группы
Sp2P(K), образованная такими преобразованиями v, что
Q(v(x))-\- Q(*)e M при всех х^Е\. Если форма Q
недефектна, то это последнее условие сводится, оче-
очевидно, к тому, что Q(v(х)) = Q(x).
Если К — совершенное поле, то невырожденная фор-
форма Q недефектна, если п четно, и имеет дефект 1, если п
нечетно. В последнем случае группа On(K,Q) совпа-
совпадает с симплектической группой Sp2p(K).
Для случая, когда форма Q недефектна, Арф [1] полу-
получил следующее обобщение теоремы Витта:
Для тогд': чтобы существовало такое ортогональное
преобразование u<=On(K,Q), что u(V)=W, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы ограничения формы Q на V
и W были эквивалентны^ . .. ¦¦....

§ 17. Обобщения 61
Доказательство теоремы Витта, принадлежащее Ше-
валле (§ 11), применимо к данному случаю со следую-
следующими модификациями. Прежде всего в условиях (А)
нужно заменить f{z,z) = f (z', z') на Q(z)~ Q(z'). За-
Затем в конце доказательства следует заметить, что по-
поскольку /(а, а) = 0, то f (a, b) = f(a, Ь — а) = 0, откуда
Q(b — а)= Q(b)-{- Q(a) = 0 в силу сделанного пред-
предположения. Тогда условие Q(z + c + F — a)l)=Q(z)
сводится к уравнению
из которого определяется ?, поскольку а ф 0.
Из этого результата немедленно вытекает, что утвер-
утверждения 3), 4) и 5) § 11 остаются справедливыми, если
заменить слова «вполне изотропный» на «особый».
Сдвиг в ортогональной группе On(K,Q) (рассматри-
(рассматриваемой как подгруппа симплектической группы Sp2P(K))
есть симплектический сдвиг х-*х -\-Xf(x, а)а, где век-
вектор а должен быть изотропен; условие ортогональности
приводит к тому, что А, + %2Q (a) e M.
§ 17. Обобщения
Часть определений, данных в этой главе, распро-
распространяется на случай, когда К есть коммутативное
кольцо А, а Е — свободный модуль конечного типа
над А. В частности, на этот случай переносятся поня-
понятия ортогональной и унитарной групп. Изучение этих
групп существенно зависит от природы кольца А. Суще-
Существенные результаты имеются только в случае, когда
А — локальное кольцо или кольцо целых элементов поля
алгебраических чисел. Мы не можем углубляться в эти
вопросы и отсылаем читателя к следующей литературе:
Эйхлер [2], Клингенберг [1], [2], Лакруа [1], Реге [1], Рим
[2], [3], [4], О'Мира и Поллак [1], [2], Поллак [3], [4], Борель
[1], Райнер [1], [2], Хуа и Райнер [1], [2], [3], Ландин и Рай-
нерШ,[2], ОД').
') См. также О'Мира [7*]. — Прим. перед.

Глава II
СТРУКТУРА КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
§ 1. Центр и коммутант группы GLn(K)
Рассмотрим л-мерное векторное пространство Е
над К. Всякая коллинеация и пространства Е, пере-
перестановочная со всеми линейными преобразованиями,
перестановочна, в частности (при п > 1), со сдвигами
(гл. I, § 2), и, следовательно, каждая прямая простран-
пространства Е инвариантна относительно нее. Выбрав какой-
нибудь базис пространства Е, легко доказать, что и —
гомотетия. Это показывает, что централизатор группы
GLn(K) в ГЬ„(К) совпадает с группой Нп гомотетий.
При п = 1 это утверждение тривиально.
При п ^ 2 специальной линейной группой, или уни-
модулярной группой (от п переменных над телом К)
называют подгруппу SLn(K) группы GLn(K), порож-
порожденную сдвигами. Очевидно, что это нормальный дели-
делитель. Группа SLn(K) совпадает с коммутантом группы
GLn(K), кроме случая, когда п = 2 и тело К. есть поле
F2 из двух элементов (Дьёдонне [1]). Доказательство
этого факта проводится в несколько этапов.
а) Отождествляя группу GLn(K) с группой обрати-
обратимых матриц порядка п, начнем с того, что представим
всякую матрицу А в виде произведения сдвигов и рас-
растяжения. Для этого обозначим через / единичную мат-
матрицу и через Ец — матрицу, у которой все элементы,
кроме стоящего в i-й строке в /-м столбце, равны нулю,
а этот элемент равен 1. Тогда В^(%) = I + КЕ{1 (i?=j)
будет матрицей сдвига, а О(ц) = I -\-(ц— 1) ?„„ — мат-
матрицей растяжения. Матрица Вг;(Я,)Л получается из А
прибавлением к i-й строке /-й строки, умноженной-слева
на Я. Если Pij = В{,A)ВИ(—1)ВУA), то матрица PtjA
получается из А заменой i-й строки на /чо и /-й строки
на i-ю, умноженную на —1. Используя эти замечания,

§ 1. Центр и коммутант группы GLn(K) 63
легко представить всякую обратимую матрицу А в виде
А = BD(n), где B^SLn{K)—матрица, являющаяся
произведением некоторого числа матриц Вц("к) (такое
разложение, конечно, неоднозначно; см. Диксон [1]). За-
Заметим мимоходом, что если тело К коммутативно, то
минимальное число членов в разложении произвольного
преобразования из SLn(K) в произведение сдвигов
равно п, если данное преобразование не есть гомотетия,
и п + 1 в противном случае (Дьёдонне [19]).
b) Покажем, далее, что группа SLn(K) в любом слу-
случае содержит коммутант группы GLn(K), т. е. что груп-
группа GLJSLn абелева. Как легко видеть, для любой мат-
матрицы В, являющейся произведением некоторого числа
матриц Bi}(X), имеет место равенство D(n)B = В'?)(ц),
где B'^SLn. Поэтому из а) следует, что достаточно
проверить включение ?)(A,(j,A,~V~')e SLn(K). Поскольку
^(ЯцЛг'цг1) = D{k)(D(ii%n-l))-\ достаточно доказать,
что два растяжения, принадлежащие к одному классу со-
сопряженности (гл. I, § 2), сопряжены в группе SLn(K).
Это легко выводится из следующих двух замечаний:
1°. Для любых двух ненулевых векторов а, Ъ про-
пространства Е существует линейное преобразование, яв-
являющееся сдвигом или произведением двух сдвигов и
переводящее а в Ь.
2°. Для любых двух гиперплоскостей Яь Н2 и для
любого вектора а, не принадлежащего ни Hi, ни #2, су-
существует сдвиг, оставляющий на месте а и переводя-
переводящий Н{ в Н2.
c) Поскольку любые два сдвига сопряжены в группе
GLn(K), всякий гомоморфизм 0 этой группы на абелеву
группу переводит все сдвиги в один элемент а. Так как
Bi2(h)Bi2(ii) = Bl2(k-\- ц)> то а2 = а и, значит, о=1,
если только в К существует два таких элемента К, цфО,
что X -f ii Ф 0; это условие всегда выполняется, если
К ф Y2. Если К= F2 и п > 2, то сдвиги вдоль гипер-
гиперплоскости 'Н образуют (вместе с тождественным пре-
преобразованием) группу Т (Н), изоморфную /С" (гл. I,
§ 2) и, следовательно, содержащую более двух элемен-
элементов. Рассматривая в этом случае образ при гомомор-
гомоморфизме 0 произведения двух сдвигов из Т(Н),. отличных
от единицы, получаем опять-таки, что а2 = а. Случай,

64 Гл. II. Структура классических групп
когда п = 2 и К = F2, — особый. В этом случае нет рас-
растяжений, отличных от тождественного, и, следователь-
следовательно, C?L2(F2) = SL2(F2); группа GL2(F2) изоморфна сим-
симметрической группе ©з и, будучи разрешимой, не сов-
совпадает со своим коммутантом.
Если тело К коммутативно и содержит по меньшей
мере 4 элемента, то всякое преобразование и е SLn (К)
является коммутатором vwv~lw~l двух элементов этой
группы, кроме, быть может, того случая, когда и — го-
гомотетия и характеристика поля К равна 0 (Томсон [1],
[2], И).
Обозначим через С коммутант мультипликативной
группы К*. При я ;зг 2 факторгруппа GLn(K)ISLn{K)
изоморфна абелевой группе К /С (Дьёдонне [1]). В слу-
случае когда К коммутативно, эта теорема немедленно сле-
следует из существования определителя, осуществляющего
гомоморфизм группы GLn(K) на /С*. В общем случае
поступают так же, определяя для всякой обратимой
матрицы Л порядка п элемент <Зе1(Л) группы К*/С, на-
называемый по-прежнему определителем матрицы А, та-
таким образом, что отображение A-*det(A). является го-
гомоморфизмом группы GLn(K) на К* 1С с ядром SLn(K).
Построение det (J4) проводится индукцией по п. Пусть
Ф — каноническое отображение группы К* на К*/С. Если
Л — (аи) и a»i Ф 0> то обозначим через А' матрицу,
получаемую из А вычитанием из строк с номерами /=/=»
подходящих кратных i-той строки таким образом, чтобы
все элементы первого столбца, кроме а.ц, стали рав-
равными 0. Положим det (Л)=<р((—1)'+| an) det (Лп),.где А\\—
матрица, получаемая из А' вычеркиванием первого
столбца и i-той строки. Индукцией по п доказывается,
что это определение не зависит от выбора индекса i
(такого, что at\ ф 0), что значение det (А) не изменяется
при переходе от Л к Btj(k)A и, наконец, что det (Л)
умножается на ф(ц) при умножении какой-либо строки
матрицы А слева на \i (подробное доказательство см. у
Артина [3]). Для матрицы А = BD(\i), где В — произ-
произведение матриц Bij(\), из этих свойств определителя
следует, что det (Л) = ф((х). Отсюда в свою очередь не-
немедленно следует, что отображение X—*det(X) является
гомоморфизмом на К*/С с ядром SLn{K).

§ 2. Структура группы SLn(K) 65
Из предыдущего следует также, что если V и W —
два подпространства одинаковой размерности в Е, то
существует такое преобразование u^SLn{K), что
u(V)= W.
§ 2. Структура группы SLn(K)
Рассуждение, проведенное в начале § 1, позволяет
также утверждать, что централизатор группы SLn(K)
в ГЬп(К) совпадает с группой Нп гомотетий. Центром
группы SLn(K) является, следовательно, группа
SLn(K)C\ Zn, образованная центральными гомотетиями
х—*ху, определитель которых (в смысле § 1) есть еди-
единичный элемент группы К*/С, т. е. у" принадлежит ком-
коммутанту С группы К*- Факторгруппа группы SLn(K) по
центру изоморфна ее образу PSLn(K) при канониче-
каноническом гомоморфизме в полную проективную группу
PGLn(K). Группа PSLn(K) называется специальной,
или унимодулярной, проективной группой (от п перемен-
переменных над телом К).
Структура группы PSLn(K) выясняется следующей
теоремой: при п ^ 2 группа PSLn(K) проста, за исклю-
исключением случая, когда п = 2 и К = F2 или F3 (Диксон
[1], Ивасава [1], Абе [1], Дьёдонне [1], Хуа [8]).
Изложенный ниже способ доказательства принадле-
принадлежит Ивасаве [1] и опирается на следующие леммы из
теории групп, где Г обозначает группу перестановок
множества Е.
1) Если Г по меньшей мере дважды транзитивна,
то она примитивна.
2) Всякий нормальный делитель Ф {е} примитивной
группы перестановок транзитивен.
3) Если N — транзитивная подгруппа группы Г, то
для всякого хе? имеет место равенство Г = NSX, где
Sx — стационарная подгруппа элемента х.
Это классические леммы.
4) Предположим, что группа Г примитивна и удовле-
удовлетворяет следующим условиям:
a) Г совпадает со своим коммутантом;
b) для всякого ле? стационарная подгруппа Sx со-
содержит абе леву подгруппу Нх, являющуюся нормальным
3 Ж. Дьёдоние

66 Гл. II. Структура классических групп
делителем в Sx и такую, что сопряженные к ней под-
подгруппы sHxS'1 (s е Г) порождают Г.
Тогда группа Г проста.
В самом деле, пусть N — нормальный делитель груп-
группы Г, отличный от {е). Всякий элемент sеГ может быть
п
представлен в виде П s^sj, где hi^Hx, и, согласно
леммам 2) и 3), s,- = tiUi, где U eiV, щ е Sx. Пользуясь
тем, что Нх— нормальный делитель в Sx, получаем
s = t'h', где t'e=N и h' «= Нх. Таким образом, Г = NHX.
Так как // — нормальный делитель, а группа Ях абелева,
то отсюда легко выводится, что коммутант группы Г со-
содержится в N yi, следовательно, N = Г, что и доказывает
утверждение леммы.
Чтобы применить эти леммы, заметим, что группа
PSLn(K) no меньшей мере дважды, транзитивна (в дей-
действительности, в точности дважды транзитивна, если
только п > 2) в проективном пространстве Рп-\ {К) при
п :з* 2, поскольку две пары различных прямых в Кп все-
всегда могут быть преобразованы одна в другую преобразо-
преобразованием из группы $Ln(K). Согласно 1), отсюда следует,
что группа PSLn(K) примитивна, и остается проверить
условия а) и Ь) леммы 4). Займемся вначале условием
Ь). Пусть zePB_i(^) и а^Кп — вектор, канонический
образ которого есть г. Возьмем в качестве Нг канониче-
канонический образ подгруппы сдвигов вида х -> х + ар (х). Так
как tHzt~l = Нцг) для всякого ^е PSLn(K) и группа
PSLn транзитивна, то Нг удовлетворяет условиям Ь).
(Напомним, что по определению группа SLn(K) порож-
порождается сдвигами.) Остается доказать, что группа SLn(K)
в рассматриваемых случаях совпадает со своим комму-
коммутантом. Для этого достаточно проверить, что всякий
сдвиг является коммутатором в группе SLn(K). Более
того, поскольку любые два сдвига сопряжены в группе
GLn(K), а группа SLn(K) является нормальным делите-
делителем в группе GLn(K), достаточно проверить, что ка-
какой-нибудь один сдвиг t является коммутатором в
SLn(K). Если п ^ 3, возьмем в качестве t сдвиг вдоль
гиперплоскости #= 2 etK в направлении вектора
1ФЗ
а = е\ — е% нормированный так, чтобы t{e$) = е% + а

§ 2. Структура группы SLn(K) 67
(здесь (ei)—базис пространства /С"). Пусть тогда t\—
сдвиг вдоль гиперплоскости Н в направлении вектора еи
нормированный так, чтобы t\{e3)= е3-f е\, и s — преоб-
преобразование из SLn(K), определяемое равенствами s(ei) =
= е2, s(e2) = — ех и s(et) = е, при i ^ 3. Непосредствен-
Непосредственно проверяется, что / = /is/'"'s~'. Если п = 2, достаточно
рассмотреть матрицу Bi2(X) при % ф 0. Пусть Л =
0 '
0 ,у. Тогда Л512A)Л-1Б12(-1)=В12(ц2-1).
Единственными телами, в которых ц,2 = 1 при всех
ц е /С*, являются F2 и F3.
Остается изучить особые случаи К = F2 и /С = F3.
Вообще, порядок группы GL(Fg) равен
В самом деле, это есть число базисов пространства F?.
Группа GLn/SLn, изоморфная FJ, содержит q — 1 эле-
элементов; отсюда следует, что порядок группы SLn(Fq) ра-
равен
Центр группы SLn(Fq), изоморфный подгруппе груп-
группы F*q, образованной корнями п-й степени из единицы,
есть циклическая группа порядка d, где d — наибольший
общий делитель чисел q— 1 и п. Следовательно, порядок
группы PSLn(Fq) равен
(qn — 1)(qn-q) ... (qn-qn~2)qn~4d.
В частности, PSL2(F2) есть группа порядка 6 и
PSLz(Fz)—группа порядка 12. Обе эти группы разре-
разрешимы (см. также гл. IV § 8). За этими двумя исключе-
исключениями, группы PSLn(Fq) образуют последовательность
(зависящую от двух параметров п, q, где q — степень
простого числа) простых конечных групп (см. Диксон [1],
стр. 309—310).
Заметим, что рассуждения, проведенные в этом пара-
параграфе, показывают также, что всякий нормальный дели-
делитель группы GLn(K), не содержащийся в ее центре Zn,
содержит унимодулярную группу SLn(K), кроме, может
быть, тех случаев, когда группа PSLn(K) не проста.
Заметим также, что при п ^ 3 любые два сдвига
3*

68 Гл. П. Структура классических групп
сопряжены в группе SLn{K). В самом деле, они сопря-
сопряжены в GLn (К), и легко видеть, что для любого сдвига и
существует преобразование из GLn, перестановочное с и
и имеющее произвольный определитель (см. гл. I, § 2).
Напротив, при п = 2 не всякие два сдвига сопряжены в
SL2{K). Можно показать, что классы сопряженных сдви-
сдвигов в SL2(K) взаимно однозначно соответствуют элемен-
элементам группы К*1К*2, где К*2 обозначает мультипликатив-
мультипликативную группу, порожденную квадратами элементов груп-
группы К*.
§ 3. Образующие и центр унитарной группы
В дальнейшем, когда будет идти речь об унитарных
группах Un(K,f), симплектические и ортогональные
группы (последние — над полем характеристики ф 2)
будут подразумеваться как частные случаи, если не ого-
оговорено противное. Всегда будем предполагать, что п ^ 2
и, в случае когда характеристика К равна 2, что / есть
Г-форма.
Если унитарная группа Un(K,f) не является симплек-
тической группой (иными словами, если / — не знакопе-
знакопеременная форма),то она порождается квазиотражениями
(гл. I, § 12), за исключением группы U2(Fi) (Дьёдонне
[16]). Доказательство проводится индукцией по п.
При uet/, для любого неизотропного вектора х е Е
хотя бы один из векторов и(х) — х, и(х)-\-х (если харак-
характеристика К не равна 2) неизотропен, и существует ква-
квазиотражение относительно гиперплоскости, ортогональ-
ортогональной этому вектору, преобразующее х в и(х) или —и(х).
Во втором случае другое квазиотражение преобразует
—и(х) в и(х). Таким образом, всегда существует такое
произведение s квазиотражений, что преобразование s~l и
оставляет на месте вектор х и поэтому может рассматри-
рассматриваться как унитарное преобразование в гиперплоскости,
ортогональной х. Применяя предположение индукции, по-
получаем требуемое утверждение. Случай, когда характе-
характеристика тела К равна 2, требует более тонкого исследо-
исследования. Можно, далее, показать, что всякий элемент орто-
грнальной группы Оп [К, j) есть произведение не более

§ 8. Образующие и центр унитарной группы 69
чем п отражений (Э. Картан [2], Дьёдонне [4], Шерк [1]);
всякий элемент произвольной группы Un(K,f), за исклю-
.чением, само собой разумеется, группы ?/2(^4), есть про-
произведение не более чем п -f 1 квазиотражений (Дьёдон-
(Дьёдонне [19]), причем эта оценка является точной.
Коммутант С группы К*, очевидно, инвариантен (в це-
целом) относительно антиавтоморфизма / тела К, и тем
самым / индуцирует инволютивный автоморфизм (кото-
(который мы также будем обозначать через /) фактор-
факторгруппы К*/С. Из предыдущего результата легко вывести,
что определитель (см. § 1) всякого преобразования из
унитарной группы, не являющейся ортогональной, имеет
вид y^Y» гДе Ye^*/C')- Что касается ортогональных
групп, то легко видеть, что определитель любого преоб-
преобразования из этих групп равен -fl или —1.
Всякое преобразование из Пп(К), принадлежащее
централизатору унитарной группы Un{K,f), перестано-
перестановочно, в частности, со всеми квазиотражениями и, следо-
следовательно, сохраняет (в целом) всякую неизотропную
гиперплоскость. Оно перестановочно также со всеми уни-
унитарными сдвигами, если такие сдвиги существуют, и со-
сохраняет всякую изотропную прямую. Отсюда вытекает,
что если группа Un не является ортогональной, то ее цен-
централизатор совпадает с группой гомотетий Н„, а ее центр
есть Fpynna Un Л Zn, состоящая из центральных гомоте-
гомотетий х —»jcy, для которых yjY — !•
Что касается ортогональной группы On(K,f), то ее
централизатор также совпадает с #„ при п ^ 3. Это вы-
вытекает из изложенных выше соображений и из следую-
следующей леммы:
1) При п Г*: 3 всякая изотропная прямая пространства
Е является пересечением двух неизотропных плоскостей.
В самом деле, если х — изотропный вектор, у — век-
вектор, ортогональный к л: и не коллинеарный ему, и z — не-
неизотропный вектор, не ортогональный к х, то плоскость,
натянутая на векторы х и г, и плоскость, натянутая на
векторы х и у -f z, удовлетворяют поставленным требо-
требованиям.
') В частности, определитель всякого преобразования из сищ-
й группы равер 1 (см. § 5). — Прим. перев.

70 Гл. II. Структура классических групп
Остается рассмотреть группы 02{K,f). Пусть
{е\,е2)— ортогональный базис пространства Е. Если поле
К (характеристика которого Ф 2) содержит более 3 эле-
элементов, то существует такой элемент aeiC, что вектор'
в\ + е2а неизотропен. Преобразование и е П2, принад-
принадлежащее централизатору группы О2, должно сохранять
прямую, содержащую вектор е\ + е2а, а также оси коор-
координат. Следовательно, и{е{) = eiYi, и(е2) = е2у2 и a0 =
= ац,, где y> = yly2~i (здесь a — автоморфизм поля К,
соответствующий преобразованию и). Заметим теперь,
что имеется не более двух значений а, при которых век-
вектор е\ -\- е2а изотропен. Если К* содержит хотя бы 6 эле-
элементов, то существуют два элемента a,ps К", такие, что
векторы в\ + ^а, ei + еФ> ei + е2«Р неизотропны. Из ра-
равенств <х° = оф., pa=P(i и (ар)я = (ар)ц. следует, что
ц = 1 и а0 = а для всех элементов а е К*, кроме, быть
может, двух. Однако, если о не есть тождественный авто-
автоморфизм, то подгруппа элементов из К*, инвариантных
относительно а, содержит не более половины всех эле-
элементов группы /С*. Значит, если К содержит не менее
7 элементов, то о тождествен, а и — гомотетия. Это же
сраведливо и для К = Fs, ибо поле F5 не допускает нето-
нетождественного автоморфизма. Для К = F3 следует разли-
различать два случая: f(e\, ех) = f(e2, е2) и f(eu ех) = — f(e2, e2).
8 первом случае индекс v формы / равен 0, изотропных
векторов нет и, следовательно, и — гомотетия. Во втором
случае, напротив, v = 1, оси координат суть единствен-
единственные неизотропные прямые пространства Е и O2(F3,/) яв-
является абелевой группой порядка 4 (прямым произведе-
произведением двух циклических групп порядка 2), совпадающей
со своим собственным централизатором в группе
rL2(F3)=GL2(F3).
В случае когда v^- 1, мы будем называть гиперболи-
гиперболической плоскостью неизотропную плоскость, содержащую
хотя бы один изотропный вектор. В любой гиперболиче-
гиперболической плоскости существуют два изотропных вектора а, Ь,
образующих базис этой плоскости и удовлетворяющих
условию f(a,b)= 1. Если Un — ортогональная группа, то
в такой плоскости имеется только две изотропные пря-
прямые; в остальных случаях, напротив, имеется по меньшей
мере три такие прямые. Мы будем называть преобразо-

§ 4. Структура группы Un(.K,f) 71
вание и е Un гиперболическим, если оно оставляет на
месте все векторы (п — 2) -мерного подпространства, ор-
ортогонального к некоторой гиперболической плоскости.
2) Если v = 1, то всякое преобразование из Un(K,f)
есть произведение гиперболических преобразований. Это
очевидно при п — 2. Если п>2 и f — не знакоперемен-
знакопеременная форма, то достаточно заметить, что всякое квазиот-
квазиотражение s относительно (неизотропной) гиперплоскости
Я есть гиперболическое преобразование. В самом деле,
пусть а — ненулевой вектор, ортогональный к Н. Суще-
Существует изотропный вектор Ь, не ортогональный к а (см.
гл. I, § 11, п. 2)). Плоскость Р, натянутая на векторы а и
Ь, гиперболическая, и преобразование s оставляет на ме-
месте все векторы из Р°. Тем самым s — гиперболическое
преобразование. Что касается симплектической группы
Spn(K), то для нее утверждение вытекает из того факта,
что она порождается симплектическими сдвигами
(см. § 5).
3) При v ^ 1 и п ^ 3 всякая неизотропная прямая
есть пересечение двух гиперболических плоскостей, кро-
кроме того случая, когда Un(K,f) есть ортогональная группа
Ог(?з,/)• В самом деле, если х — неизотропный вектор,
то существует изотропный вектор у, не ортогональный
к х (см. гл. I, § 11, п. 2)). Пусть z — вектор, ортогональ-
ортогональный к х, но не ортогональный к у и не лежащий в пло-
плоскости Р, проходящей через х и у. Тогда плоскость Q, со-
содержащая у и 2, является гиперболической. Если Un —
не ортогональная группа, то плоскость Q содержит хотя
бы один изотропный вектор у', не коллинеарный ни у, ни
z и, следовательно, не ортогональный к х. Плоскость Р',
содержащая х и у', отлична от Р. Прямая, содержащая
х, есть пересечение плоскостей Р и Р'. Если Un —
ортогональная группа, отличная от указанной выше
исключительной группы, то всегда можно выбрать век-
вектор 2 неизотропным, и далее рассуждать таким же
способом.
§ 4. Структура группы Un(K,f)
(f есть Г-форма индекса >1; ортогональные группы
не рассматриваются.)

72 Гл. II. Структура классических групп
I. ГруппаТп(К,})
При изучении структуры унитарных групп важно раз-
различать два случая: когда v> 1 и когда v = 0 (см. § 12).
В этом и следующем параграфах мы будем всегда пред-
предполагать, что v ^ 1. Поскольку мы исключаем ортого-
ортогональные группы, в группе Un(K,f) есть унитарные
сдвиги. Мы будем считать форму / косоэрмитовой, что не
приводит к ограничению общности (см. гл. I, § 6). При
этом предположении унитарный сдвиг имеет вид х—*х -f
'+ a%f(a, х), где а — изотропный вектор и % — симметрич-
симметричный элемент тела К (гл. I, § 12). Обозначим через
Tn(K,f) нормальный делитель группы Un(K,f), порож-
порожденный унитарными сдвигами. Для изучения структуры
группы Tn(K,f) используются следующие леммы.
1) Если тело К не коммутативно, то оно порождается
множеством S симметричных элементов, за исключением
того случая, когда К есть тело обобщенных кватернионов
характеристики ф 2, a S совпадает с его центром Z
(Дьёдонне [13]). Если К коммутативно и J Ф 1, то, оче-
очевидно, S есть такое подполе поля К, что К является его
сепарабельным квадратичным расширением.
2) Если а и Ь — два неколлинеарных изотропных век-
вектора, то существует такое преобразование иеГ„, что
векторы и (а) и b коллинеарны. Пусть сначала f(a, b) Ф 0.
Положим \n = (f(a,b))~1. Тогда вектор с = а — Ьц изо-
изотропен и сдвиг х -^х + cf(c, x) удовлетворяет постав-
поставленному условию. Пусть теперь f(a,b) = O. Тогда плос-
плоскость, натянутая на а и Ь, вполне изотропна, так что
п :з* 3, и существует такой вектор z, что Ца,г)фО и
f(b,г)Ф0. Плоскость, натянутая на а и г, гиперболична
и содержит изотропный вектор аи не коллинеарный век-
вектору а и, следовательно, не ортогональный к Ь. Так как
f(a, пу)фО и 1(аиЬ)Ф0, то доказательство сводится
к первому случаю.
При п = 2 пространство Е есть гиперболическая пло-
плоскость. В качестве ее базиса можно выбрать два изо-
изотропных вектора еи е2, таких, что f(ei,e2)= 1. При таком
базисе (и в обозначениях § 1) имеет место следующая
лемма:

§ 4. Структура группы Un (К, {) 73
3) Группа T2(K,f) порождается унитарными сдви-
сдвигами Bl2Ck) и S2i(|х), где Яиц пробегают множество
симметричных элементов тела К. Достаточно заметить,
что условие изотропности вектора х = е\а + е$ записы-
записывается в виде а'Р — pJa = 0, что при р Ф О означает
симметричность элемента о&р~'. Сдвиг В\2{—аР) преоб-
преобразует такой вектор х в вектор, коллинеарный е2. Следо-
Следовательно, всякий сдвиг в направлении вектора х при
трансформации посредством В\2(—аР) преобразуется
в сдвиг вида В21(Х). Отсюда и следует утверждение
леммы.
Эти леммы позволяют, прежде всего, установить, что
центр группы Тп есть ее пересечение Wn = Тп П Zn с цен-
центром группы GLn(K). Действительно, преобразование из
Т„, перестановочное с любым сдвигом из Тп, сохраняет
каждую изотропную прямую и, следовательно, каждую
гиперболическую плоскость. Ввиду леммы 3 из § 3 ет-
сюда следует, что при п ^ 3 такое преобразование сохра-
сохраняет каждую прямую. При п = 2 преобразование из цен-
центра группы Тп должно коммутировать со сдвигами
Вх2{Х) и B2i([i), откуда следует, что его матрица имеет
/а 0 \
вид 1П , _{у I, где аХ = X(a)J для любого симметрич-
симметричного элемента X тела К1)- Лемма 1 показывает тогда, что
а принадлежит центру тела К, за исключением, быть мо-
может, случая, когда К есть тело обобщенных кватернионов
характеристики Ф 2, а множество S совпадает с центром
Z тела К. Но в этом последнем случае элементы матриц
В\2{Х) и B2i(\x.) лежат е Z и в силу леммы 3 элементы,
всех матриц из Т2 также лежат в Z; в частности, aeZ,
откуда и следует в этом случае доказываемое утвер-
утверждение.
Структура группы Tn/Wn выясняется следующими
теоремами (Дьёдонне [13]; см. также Хуа [10]).
А) Если группа T2/W2 проста, то группа Tn(K,f)/Wn
проста при п ^ 3 (для всякой Г-формы / индекса v ^ 1).
Заметим, что унитарные сдвиги, вообще говоря, не яв-
являются попарно сопряженными е группе Тп. Однако из
') При Д, = 1 получаем, что а= (сг1)-7 и, значит, аХ = ка
для любого симметричного элемента X. — Прим. перев.

74 Гл. П. Структура классических групп
леммы 2 следует, что если нормальный делитель G груп-
группы Тп содержит все сдвиги, соответствующие какому-
либо одному вектору а, то он содержит вообще все
сдвиги и, следовательно, совпадает с Тп. Поэтому доста-
достаточно проверить, что этим свойством обладает произволь-
произвольный нормальный делитель G группы Тп, не содержащий-
содержащийся в Wn. Пусть ue G, иф Wn. Существует такой изо-
изотропный вектор хе?, что х и и(х) не коллинеарны
(иначе в силу леммы 3 § 3 преобразование и было бы
гомотетией). Предположим сначала, что f(x,u(x)) = 0.
Существует вектор z, ортогональный к и(х), но не орто-
ортогональный к х. Плоскость Р, содержащая х и 2, будет
гиперболической. В ней имеется изотропный вектор у, не
коллинеарный х. Лемма 2 показывает, что существует
сдвиг v, преобразующий х в уХ, причем вектор этого
сдвига содержится в плоскости Р. Тогда v(u(x)) = u(x),
так что преобразование щ = vu~lv~lu, принадлежащее G,
переводит х в уХ. Следовательно, можно ограничиться
случаем, когда f (х, и(х))=^ 0. Если тогда w — сдвиг в на-
направлении вектора х, то uwu~x — сдвиг в направлении
вектора и(х), не коммутирующий с w (см. § 1). Обозна-
Обозначим через Q гиперболическую плоскость, определяемую
векторами х и и(х). Преобразование и2 = w~xuwwx при-
принадлежит G и оставляет на месте каждый вектор под-
подпространства Q0, ортогонального к плоскости Q. Его мо-
можно рассматривать как элемент группы U2(K,fi), где fi—
ограничение формы / на Q. С другой стороны, будучи
произведением двух сдвигов из U2(K,fi), оно принадле-
принадлежит группе Ti{K,}i), но не лежит в центре этой группы,
поскольку не коммутирует с до. В силу сделанного пред-
предположения отсюда следует, что G содержит все преобра-
преобразования из Ti(K,h) и> в частности, все сдвиги в направ-
направлении вектора х. Тем самым теорема доказана.
В) Если тело К содержит более 25 элементов, то
группа T2(K,f)/W2 проста (для всякой Г-формы / ин-
индекса v^l). Доказательство аналогично доказатель-
доказательству простоты группы PSL2(K), данному в § 2. Группу
T2/W2 следует рассмотреть как группу подстановок мно-
множества С изотропных прямых. Лемма 2 показывает, что
эта группа транзитивна; для того чтобы доказать, что

§ 4. Структура группы Vn {К, f) 75
она дважды транзитивна, достаточно проверить, что
сдвиги В12(%) (где К— симметричный элемент тела К)
преобразуют прямую е%К в любую изотропную прямую,
отличную от ехК, что очевидно. Проверка условия Ь)
леммы 4 § 2 производится так же, как для группы
SLn (К), но используется определение группы Тп (К, f).
Остается, таким образом, доказать, что (исключая осо-
особые случаи) группа T2/W2 совпадает со своим комму-
коммутантом. Из сделанного относительно К предположения
вытекает в силу леммы 1, что S содержит хотя бы один
элемент, отличный от 0 и ±1. Элементарное вычисление
с матрицами (Ван [1]) показывает, что всякая матрица
ВиЩ, гДе ^^S, принадлежит коммутанту группы Т2,
что завершает доказательство.
С) Предположим, что К. коммутативно. Если / = 1,
то всякий элемент поля К симметричен. Согласно лем-
лемме 3, группа T2(K,f) порождается матрицами В\2(Х) и
^2i (ц). где Х^К, це/С, и, следовательно, совпадает
с унимодулярной группой SL2(K). Если J ф\, то мно-
множество симметричных элементов есть подполе Ко поля К,
такое, что К является его сепарабельным квадратичным
расширением. В этом случае по тем же соображениям
группа T2(K,f) совпадает с унимодулярной группой
SL2(Ko)- Из этих замечаний и результатов § 2 следует,
что если поле К содержит не более 25 элементов, то
группа T2/W2 не будет простой только в следующих слу-
случаях:
a) /=1, /C = F2 или F3;
b) /^=1, tf = F4 или F9.
В силу теоремы А) мы получаем, что, за исключе-
исключением этих четырех случаев, группа Tn/Wn проста при
п :зг 2. В особых случаях рассуждение, проведенное при
доказательстве теоремы А), показывает, что если группа
ThIWh проста при некотором h > 2, то группа Tn/Wn
проста при всех n^h. Если применять к группе Th/Wh
метод п. В), то выясняется, что рассматриваемая группа
подстановок не будет дважды транзитивна, если h ^ 4
(поскольку поле К конечно и, следовательно, v > 2
(гл. I, § 8)). Однако таким же методом, что в § 9,
леммы 7, 8 и 9, можно установить, что она примитивна.

76 Гл. II. Структура классических групп
Тем самым все сводится к тому, чтобы посмотреть, совпа-
совпадает ли группа Th/Wh со своим коммутантом Г.
а) / = 1 (симплектические группы). Заметим, что в
этом случае Tn(K,f) — Spn(K,f) (см.§ 5). Если К = F3)
то можно взять h = 4. В самом деле, специальное
преобразование и (см. гл. I, § 12), соответствующее ма-
/1 0\
трице S = ( ~ . I, есть произведение двух сопряженных
сдвигов и, следовательно, является коммутатором. То же
самое относится к специальному преобразованию, соот-
ветствующему матрице S' = l . .1, поскольку эта
матрица эквивалентна матрице S (см. гл. I, § 12). Сле-
Следовательно, коммутант Г группы Г4 содержит спе-
специальное преобразование, соответствующее матрице
' 1 -Г
S —^'==(_1 л/' и, так как последняя эквивалентна
/ 0 -1\
матрице S"= . Кто и специальное преобразо-
/-1 0
вание, соответствующее матрице S'-f S" = ( „
Последнее преобразование есть сдвиг t. Группа Г со-
содержит также t2, а всякий сдвиг сопряжен с t или t2.
Значит Г = Г4.
Если К = F2, то группа Г4/W4 содержит простую под-
подгруппу индекса 2 (см. гл. IV, § 8). В этом случае можно
взять h = 6. Действительно, специальное преобразова-
/1 О ОХ
ние н, соответствующее матрице S = l 0 1 0 1, яв-
\0 0 0/
ляется, как и выше, произведением двух сопряженных
сдвигов и, значит, лежит в Г. Матрица S эквивалентна
двум симметричным матрицам

§ 4. Структура группы 1)„ (К, f) 77
Следовательно, Г содержит также специальное преоб-
преобразование, соответствующее матрице
/0 11
S' = S, + S2 = ( 1 0 0
\1 0 0.
/0 1 ON
а также эквивалентной ей матрице S" = I 1 0 0 1.
\0 О О/
Отсюда получаем, что Г содержит специальное преоб-
преобразование, соответствующее матрице S + S", которое
является сдвигом.
Ь) / ф 1 (унитарные группы). Если исключить слу-
случай К = F4 и п = 3, тоТ„(К, f) = UUK, f) (см. § 5).
Если К = F9, то можно взять h = 3. Действительно,
пусть ? — унитарный сдвиг. Тогда t3 = 1, и достаточно
найти такой элемент set/}, что s/s = /м, поскольку
тогда sts'H-1 = t2 = t, и тем самым будет доказано,
что 1еЛ Пусть (ей е2, е3)— базис пространства ?, об-
образованный не ортогональными друг другу изотропными
векторами eit в2 и вектором е3, ортогональным к гипер-
гиперболической плоскости Р = е\К + е2К- Можно считать,
что t есть сдвиг в направлении вектора eiy так что его
/s,2W o\
матрица имеет вид I _ .1- Существует такой эле-
элемент а е /(, что aaJ = —1. Автоморфизм s простран-
/а 0 0 \
ства ?, матрица которого есть I 0 —a 0 }, удовлет-
\0 0 а2/
воряет нужным условиям.
Наконец, при К = F4 группа ^(Fi) имеет нормаль-
нормальный ряд Гч=>ГзГI^.з=>{1}, где группа Гз/Г3 изо-
изоморфна симметрической группе <53. а группа П/^з цик-
циклическая порядка 3. В этом случае можно взять h = 4.
В самом деле, специальное преобразование и, соответ-
(\ 0\
ствующее эрмитовой матрице S = ( I, является

78 Гл. II. Структура классических групп
произведением двух сопряженных сдвигов и, значит,
содержится в Г. Но все эрмитовы матрицы ранга 2 над
F4 эквивалентны (см. гл. I, § 8). Следовательно, Г содер-
содержит также специальные преобразования, соответствую-
/0 1\ /1 1\
щие матрицам S' = ( . „I и S" = ( I, а значит,
/0 0\
и матрице S -f S' + S" = ( Q . I ¦ Это последнее пре-
преобразование является сдвигом.
Предыдущие рассуждения позволяют утверждать,
что в тех случаях, когда группа Tn/Wn проста, всякий
нормальный делитель группы Un(K,f), не содержащийся
в ее центре, содержит группу Тп (К, f).
§ 5. Структура группы Vn(K,f)
(/ есть Г-форма индекса >1; ортогональные группы
не рассматриваются.)
II. Группа Un(K,f)/Tn(K,f)
Структура группы Un(K,f)/Tn{K,f) была определена
Уоллом [1]. Обозначим через 2 подгруппу группы К*,
порожденную ее симметричными элементами, и через
Q — подгруппу, порожденную элементами К е К*, обла-
обладающими следующим свойством: существует вектор
х е Е, ортогональный к некоторой гиперболической
плоскости и такой, что f(x,x) =Х — XJ. Подгруппы 2 и
Q являются нормальными делителями в К*1). Обозна-
Обозначим через [К*, Q] подгруппу группы К*, порожденную
коммутаторами ХсоАг1©, где К^К* и coeQ. В этих
обозначениях группа Un(K,f)/Tn(K,f) при п ^ 2 изо-
изоморфна факторгруппе К*/2 [К*, Q], за исключением слу-
случая, когда п — 3 и К = F4.
Метод Уолла основан на следующих предваритель-
предварительных рассмотрениях, проводимых при единственном пред-
предположении, что / — невырожденная косоэрмитова форма
') Легко видеть, что 2 с Q. — Прим. перев.

§ 5. Структура группы Un (К, f) 79
(не обязательно Г-форма и, может быть, анизотропная).
Пусть аФО — вектор пространства Е. Обозначим через
Qa подгруппу группы К*, порожденную элементами
Л, е К*, для которых существует такой вектор х е Е, ор-
ортогональный к а, что / (х, х) = X — ЯЛ Положим Га =
= 2 [К*, Qo]. Легко видеть, что Qo и Га — нормальные
делители группы К*, причем 2 сг Га cz Qo. Определим
следующим образом гомоморфизм Afo: Un(K,f)-+K*ira
(норму Уолла). Для всякого u^Un обозначим через
Vu подпространство пространства Е, являющееся обра-
образом эндоморфизма х —> х — и(х). Если dim(Vu) = г, то
преобразование и может быть представлено в виде
и = SiS2.. .sr, где Si^Un, dim (Vs.) =1 и Vu есть пря-
прямая сумма Vsr Каждое из преобразований Si является
квазиотражением или сдвигом и записывается в виде
si(x) = x — ai(x>if{ai, x),
где cor1 — (ог; = /(аг, а,), причем каждый из векторов
а* может быть выбран так, чтобы f(a, Oj) = 0 или 1. Тог-
Тогда образ в К*1Га элемента coico2. • ¦ шг не зависит от рас-
рассматриваемого разложения преобразования и, и если
обозначить его через Na{u), то No будет гомоморфиз-
гомоморфизмом.
Теперь для доказательства теоремы Уолла зафикси-
зафиксируем изотропный вектор е е Е и обозначим через N
норму Уолла Ne. Пусть Ро — гиперболическая плоскость,
содержащая е. Теорема Уолла доказывается сначала
для случая Ро = Е. В общем случае рассматривается
подгруппа U°n группы Un, образованная гиперболиче-
гиперболическими преобразованиями, соответствующими плоскости
Ро- Доказывается, что ограничение N на U°n сюръектив-
но, и завершается доказательство при помощи следую-
следующей леммы (использующей частный случай теоремы
при п = 2).
1) Если Pi и Рч — две гиперболические плоскости, то
существует такое преобразование w е Тп> что ш(Р4) =
= Рг [случай, когда п = 3 и К = F*, исключается).

80 Гл. II. Структура классических групп
Из теоремы Уолла, в частности, выводится следую-
следующее утверждение:
2) Если v ^ 2, то группа Tn(K,f) совпадает с ком-
коммутантом группы Un(K,f) l).
В самом деле, в этом случае очевидно, что й = К*2).
Ван [2] определил во всех случаях коммутант груп-
группы U2(K,f) при v = 1.
Предположим теперь, что К — тело конечной размер-
размерности шг над своим центром Z. Можно показать, что
тогда для инволюции / возможны три случая:
I. / оставляет на месте все элементы из Z, и размер-
размерность (над Z) пространства S симметричных элементов
равна m(m + l)/2.
II. / оставляет на месте все элементы из Z, и раз-
размерность (над Z) пространства S симметричных элемен-
элементов равна пг(пг— 1)/2.
III. Ограничение / на Z не тождественно, симметрич-
симметричные элементы из Z образуют такое подполе Zo, что Z яв-
является его сепарабельным квадратичным расширением;
пространство S имеет размерность т2 над Zo.
В случаях I и II говорят, что / — инволюция первого
рода, в случае III — второго рода (очевидно, что именно
этот случай имеет место, если К коммутативно и
J ф 1). Заметим, что если / — инволюция типа I и
aJ = —а, то \—> а|/а~1— инволюция типа II.
Если J — инволюция типа I, то Un(K,f)=Tn(K,f)
(Дьёдонне [13], стр. 379). Это относится, в частности, к
симплектическим группам (J = 1). Таким образом, про-
проективная группа PSpn(K), факторгруппа группы Spn(K.)
по ее центру (состоящему из одного или двух элементов
в зависимости от того, равна или не равна 2 характери-
характеристика тела /С), проста, за исключением случая, когда
К = F3, п = 2, и случая, когда /С = F2, n = 2 или 4
(Диксон [1]). Кроме того, всякое симплектическое преоб-
преобразование есть произведение симплектических сдвигов.
') Кроме случая, когда Un — 5p4(F2). — Прим. перев.
2) В силу теоремы Уолла из этого следует, что группа Un/Tn
коммутативна и, значит, Тп содержит коммутант группы Un.
С другой стороны, из результатов § 4 вытекает, что при v>2 во
всех случаях, кроме оговоренного в предыдущем примечании, Тп
содержится в коммутанте группы Un. —Прим. перев.

§ 5. Структура группы Un(K,f) 81
Можно показать, что число множителей при этом может
быть сделано не превосходящим я+1, причем эта
оценка является точной (Дьёдонне [19]).
Уолл [1] вывел из своей теоремы такое следствие:
3) Если К — тело, конечномерное над своим цент-
центром, п :зг 3 и группа Tn/Wn проста, то Тп совпадает с
коммутантом группы Un.
Напротив, при п = 2, если К — тело обобщенных
кватернионов и / — инволюция типа II, то Тг не совпа-
совпадает с коммутантом группы U2 (см. гл. IV, § 8).
Обозначим через U% (К, f) (без ограничений на фор-
форму /, которая, в частности, может быть индекса 0) нор-
нормальный делитель группы Un(K,f), образованный пре-
преобразованиями, определитель которых (см. § 1) равен
1, и через PUUK, f) — образ Ut (К, f) в PGLn{K) при
каноническом отображении. Если тело К конечномерно
над своим центром и / — инволюция типа I, то из ска-
сказанного выше следует, что Un = Un. Можно доказать
то же самое в случае, когда / — инволюция типа II, по-
поскольку в обоих случаях автоморфизм группы К* 1С, ин-
индуцированный /, тождествен1). Напротив, если / — ин-
инволюция типа III, то всегда Ut?=Un (Дьёдонне [13],
стр. 384). Если К не коммутативно, строение группы Ut
в этом случае не известно2). Для коммутативного тела К
имеет место следующее утверждение (Диксон [1, 3],
Дьёдонне [4], стр. 66—71):
4) Если К коммутативно, v ^ 1 и J Ф 1, то
Un (К, /) = Тп (К, /) при п > 2, кроме случая п = 3,
К= F4.
В особом случае Ut/Тз есть группа порядка 4, про-
произведение двух циклических групп порядка 2.
Таким образом, если К коммутативно, группа
PUn (К, f) изоморфна Tn/Wn, за исключением случая
') Если / — инволюция типа I, то 11+ = Тп. Напротив, как до-
доказал Платонов, если /—инволюция типа II и Z — конечно по-
порожденное поле, то U* фТп.— Прим. перед.
2) Для глобальных полей Z (в частности, для полей алгебраи-
алгебраических чисел) Платонов и Янчевскии [1*] доказали, что в этом слу-
случае U* = Тп. — Прим. перев.

82 Гл. II. Структура классических групп
группы U3(?k); во всех случаях группа U^fUn изоморф-
изоморфна группе элементов поля К, норма которых равна 1
(относительно поля инвариантов /Со инволюции /).
Добавим, наконец, что порядок симплектической
группы Sp2m(Fq) над конечным полем равен
(q2m — I)q2m~] (q2m~2 — 1) q2m~3 ... (q2 — 1) q,
а порядок унитарной группы Un (F,*) равен
(Диксон [1], стр. 94 и 134).
§ 6. Группа On(K,j) (характеристика К не равна 2):
группа вращений и коммутант
Отображение и—> det(u) есть гомоморфизм группы
On(K,f) на группу {—1, +1}. так что ортогональные
преобразования с определителем 1 образуют нормаль-
нормальный делитель индекса 2 в On(K,f). Этот нормальный де-
делитель обозначается через Ot (К, f) и называется груп-
группой вращений. Элементы группы О„, не принадлежащие
On, называются переворачиваниями. Вращение (соот-
(соответственно переворачивание) является произведением
четного (соответственно нечетного) числа отражений,
причем это число всегда можно сделать ^и. Поэтому,
если п нечетно (соответственно четно), всякое вращение
(соответственно переворачивание) оставляет на месте
хотя бы один вектор ФО.
Для подпространства V пространства Е всегда суще-
существуют ортогональные преобразования с определителем
—1, сохраняющие V (в целом), за исключением случая,
когда п = 2m, v = m и V есть m-мерное вполне изо-
изотропное подпространство. Ввиду теоремы Витта отсюда
следует, что если V и W — два таких подпространства
Е, что ограничения формы f на V X V и на W X W эк-
эквивалентны, то всегда существует такое вращение и,
что u(V) = W, кроме случая, когда V и W — вполне

§ 6. Группа On (К, f): группа вращений и коммутант 83
изотропные подпространства размерности я/2. Что ка-
касается вполне изотропных подпространств размерности
л/2, то они разбиваются на два класса транзитивности
относительно группы On- Более точно, если V и W —
два таких подпространства, то для любого отражения s
имеем d\m(V f]s(W)) = сНт(КП W) ± 1, так что V и W
принадлежат к одному классу тогда и только тогда,
когда dim (V П Щ имеет ту же четность, что л/2.
Инволюция типа (л — 2, 2) в группе On(K,f) назы-
называется инверсией. Очевидно, что инверсия является вра-
вращением.
1) При п ^ 3 всякое вращение представляется в
виде произведения инверсий.
Это утверждение доказывается индукцией по п.
Пусть х — неизотропный вектор. Тогда существует ин-
инверсия, преобразующая х в —х. Если и — произвольное
вращение, то хотя бы один из векторов и(х)—х,
и(х)-\-х неизотропен. Если таковым является вектор
и(х) + х, то существует ортогональная к нему неизотроп-
неизотропная плоскость Р, содержащая вектор и(х)—х; инверсия,
для которой Р служит отрицательным подпространст-
подпространством, переводит тогда х в и(х). Если вектор и(х)—х не-
неизотропен, то аналогично строится инверсия, переводя-
переводящая х в —и(х), и затем применяется инверсия, перево-
переводящая —и(х) в и(х). Таким образом, всегда можно
свести доказательство к случаю, когда и оставляет на
месте неизотропный вектор х. Рассматривая ограничение
преобразования и на гиперплоскости, ортогональной к х,
путем индуктивного рассуждения доказательство приво-
приводится к случаю п = 3. В этом случае, поскольку вся-
всякое вращение из группы О2 есть произведение не более
чем двух отражений, всякое вращение из группы О3,
оставляющее на месте некоторый неизотропный вектор,
есть произведение не более чем двух инверсий.
2) При п > 3 центр группы Ot (К, f) состоит лишь
из единицы, если п нечетно, и из единицы и преобразо-
преобразования х -*¦ —х, если п четно. Действительно, полулиней-
полулинейное преобразование, перестановочное со всеми инвер-
инверсиями, сохраняет все неизотропные плоскости. Но оче-
очевидно, что всякая неизотропная прямая есть пересече-

84 Гл. II. Структура классических групп
ние двух неизотропных плоскостей. В силу леммы 1 § 3
то же самое справедливо в отношении изотропных пря-
прямых. Следовательно, централизатором группы Оп в
ГЬп является группа гомотетий Нп — Zn, откуда и
вытекает доказываемое утверждение. Если п нечетно,
то группа Оп есть прямое произведение группы On и
центра Zn Л Оп группы Оп-
3) При п = 2 группа Ot (К, f) коммутативна. Более
точно, возможны два случая:
a) если v=l, то, выбирая в пространстве Е базис
из двух изотропных векторов, мы видим, что преобразо-
, (К 0 \
вания из 07 записываются матрицами вида I „ _i I,
где Я е К*- Следовательно, группа Ot {К, f) в этом
случае изоморфна К*;
b) если v = 0, то выбрав в пространстве Е ортого-
ортогональный базис, можно предполагать, что f (x, х) =
= 1, + а?|, где —а не является квадратом в К. Пусть
Kt = /С(ш) — квадратичное расширение поля К, полу-
полученное присоединением квадратного корня и из —а.
Пространство Е может быть отождествлено с Ki таким
образом, что вектор A,0) отождествляется с единицей
поля К\. Заметим, что если ? = ? + <от], то ? = | — от)
и Ц, — t2 + остJ. Вращение неО2+ (К, /) переводит еди-
единицу поля /Ci в элемент у, норма которого равна 1, и
поэтому совпадает с преобразованием ?—>у? поля Ki.
Таким образом, в этом случае группа Ot (К, /) изо-
изоморфна группе элементов с нормой 1 поля Ki.
Обозначим через Qn(K,f) коммутант ортогональной
группы On(K,f).
4) Группа Qn(K,f) порождается произведениями
s(wsw~l) двух сопряженных отражений. Она также по-
порождается квадратами элементов группы Оп (Диксон
[1], стр. 218; Дьёдонне [4], стр. 23). Чтобы доказать, что
всякий коммутатор uvu~lv~[ является произведением пре-
преобразований вида s(wsw~l), где s — отражение, можно
рассуждать индукцией по числу отражений, в произве-
произведение которых разлагается v (§3). Тем же методом до-
доказывается, что всякий квадрат v2 принадлежит группе

§ 6. Группа On(K,f): группа вращений и коммутант 85
йп1). Отсюда вытекает, что всякий отличный от 1 эле-
элемент группы On/Qn имеет период 2. Тем самым строение
этой группы полностью определяется кардинальным чис-
числом ее элементов (которое может быть либо конечным
вида 2й, либо бесконечным).
5) При п ^ 3 группа Qn является также коммутан-
коммутантом группы 0%. Для доказательства достаточно исполь-
использовать свойство 1). Рассуждая как в п. 4), мы видим,
что коммутант группы О„ порождается квадратами ее
элементов2). С другой стороны, легко доказать, что
группа Qn порождается коммутаторами sts-U'1 = (stJ
всевозможных пар отражений s, t. Следовательно, Qn
содержится в коммутанте группы О„ и, значит, совпа-
совпадает с ним. При п = 2 Q2cz Ot, однако, равенства нет,
поскольку группа О}, как мы видели, абелева.
Таким образом, при п ^ 3 мы имеем следующий
нормальный ряд в группе On(K,f):
OnzDCt =>Qn=>QnnZn=>{l}. A)
Если п нечетно, то, как мы видели, группа О„ П Zn
содержит только 1. Тем более, Qn П Zn = {1}. В любом
случае группа Qn П Zn совпадает с центром группы Qn.
В самом деле, полулинейное преобразование и, ком-
коммутирующее со всеми элементами из Qn, коммутирует,
в частности, с квадратами v2 преобразований v, остав-
оставляющих на месте все элементы какого-либо неизотроп-
неизотропного (п — 2)-мерного подпространства Q. Эти преоб-
преобразования можно рассматривать как ортогональные
преобразования плоскости Q0, ортогональной к Q. За ис-
исключением случая, когда К = F3 и Q0 — гиперболиче-
гиперболическая плоскость, существуют преобразования v такого
вида, для которых v2 ф 1. Следовательно, все неизотроп-
неизотропные (п — 2)-мерные подпространства и, значит, все не-
неизотропные прямые должны быть инвариантны отно-
') Обратно, если 0^ — группа, порожденная квадратами, то
факторгруппа 0nj0n абелева, поскольку в ней квадраты всех эле-
элементов равны 1. Следовательно, O^dQ, - Прим. перев.
2) Это верно для любой группы, порожденной элементами пе-
периода 2. — Прим. перев.

86 Гл. //. Структура классических групп
сительно и. Как и в п. 3), отсюда вытекает, что и —
гомотетия. Если К = F3, то и должно сохранять все эл-
эллиптические плоскости (в которых ограничение формы
f(x,x) в некотором ортогональном базисе записывается
в виде Щ +Щ. При п ^ 4 всякая неизотропная пря-
прямая есть пересечение двух эллиптических плоскостей,
откуда и следует в этом случае доказываемое утверж-
утверждение. Наконец, при п = 3 в пространстве Е суще-
существует такой базис, что три координатные плоскости, и
только они, являются эллиптическими. Преобразование
и должно либо оставлять без изменения, либо умно-
умножать на —1 каждый из векторов этого базиса. Легко
видеть, что среди таких преобразований только тожде-
тождественное коммутирует со всеми преобразованиями из й3.
Через РО„(К, f), PQn(K, f) обозначаются канони-
канонические образы групп Ot (К, f), Qn(K,f) в PGLn{K).
Они изоморфны факторгруппам О^1(О„ Л Zn) и
йп/(йп П 2„) соответственно.
В последующих параграфах мы изложим известные
результаты о факторах описанного выше нормального
ряда ортогональной группы.
§ 7. Алгебра Клиффорда квадратичной формы
(К — поле характеристики Ф2.)
Как и выше, мы обозначаем через f(x,y) невырож-
невырожденную симметричную билинейную форму на п-мерном
векторном пространстве Е над полем К- Рассмотрим в
тензорной алгебре Т(Е) над Е двусторонний идеал а,
порожденный элементами вида х <8> у — у <8> х — 2f(x,y).
Факторалгебра C(f) = T(E)/a называется алгеброй
Клиффорда формы f (Клиффорд [1], [2], Липшиц [1]).
Пусть (aiI<t<n — ортогональный базис пространства Е.
Обозначим через ех класс элемента а» по модулю а, рас-
рассматриваемый как элемент алгебры C(f). Для вся-
всякого подмножества Н множества чисел 1,2, ..., п по-
положим ен = е,е, ... е,, где (/.) — последователь-
ность всех элементов из Н, расположенных в возра-
возрастающем порядке (если Н пусто, то вы = !)• Можно до-

§ 7. Алгебра Клиффорда квадратичной формы 87
казать (Шевалле [1], Бурбаки [3]), что 2" элементов вн
образуют базис алгебры C(f) над К с таблицей умно-
умножения
B)
где А А В обозначает сумму в булевой алгебре подмно-
подмножеств множества чисел 1, 2, ..., п (иначе говоря, ха-
характеристическая функция подмножества А А В есть
сумма по модулю 2 характеристических функций под-
подмножеств А и В). При этом
Y^b = (-DpMB) П Hat. a,-), C)
где р(А,В) есть «число инверсий» в последователь-
последовательности, полученной приписыванием В к А. Если обозна-
обозначить через р(^4,/) число элементов из А, больших /, то
р(А,В)=2р(А,!). D)
В частности, etej = —e^i при / ф i.n е\ = f[at, а,) при
любом i.
Множество Lp линейных комбинаций элементов ен,
соответствующих множествам Н, содержащим не более
р элементов @^.p^Ln), есть подпространство алге-
алгебры C(f), не зависящее от выбора базиса (а*). В частно-
частности, пространство Е может быть отождествлено с под-
подпространством элементов алгебры C(f), являющихся
линейными комбинациями элементов е». При этом
вектор а* отождествляется с е». Для каждой пары эле-
элементов х, у пространства Е в алгебре С(/) имеет место
равенство
xy + yx = 2f(x, у) E)
и, в частности,
X2 = f(x, х). F)
Очевидно, что элементы е» вместе с единицей порож-
порождают алгебру C(f).
1) Центр алгебры C(f) совпадает с К, если п четно,
U равен К -)- Ке%ег... еп, если п нечетно. Действительно,

88 Гл. II. Структура классических групп
если записать условие, что элемент z = 2j Уаёа пере-
А
становочен с е,, то получится что ул = 0 для всех
множеств А, содержащих нечетное число элементов, от-
отличных от L Отсюда и вытекает сформулированное ут-
утверждение.
Линейные комбинации элементов ен, соответствую-
соответствующих подмножествам Н, содержащим четное число эле-
элементов, образуют подалгебру C+(f) алгебры C(f), не за-
зависящую от выбора базиса (а,). Ее размерность над К
равна 2"-1. Как алгебра она порождается произведе-
произведениями e*6j (i <C/) и единицей. Линейные комбинации
элементов вн, соответствующих подмножествам Н, со-
содержащим нечетное число элементов, образуют подпро-
подпространство C~(f) алгебры C(f), дополнительное к C+(f)
и не зависящее от выбора базиса (а*)- Для краткости
элементы из C+(f) называют элементами четной сте-
степени, а элементы из C~(f) —элементами нечетной сте-
степени.
2) Центр алгебры C+(f) совпадает с К, если п нечет-
нечетно, и равен К + Kei... еп, если п четно. В предыдущих
обозначениях, если записать, что элемент ze C+(f) ком-
коммутирует с е^в}, то получится, что ул = 0 для всех та-
таких множеств А, что / е А, но i^A. Отсюда и полу-
получается сформулированный результат.
Более глубокое алгебраическое исследование алгебры
Клиффорда и описание ее связи со «спинорным пред-
представлением» ортогональной группы On(K,f) читатель
может найти в работах Шевалле [1] и Эйхлера [2].
Для целей приложения алгебры C(f) к изучению струк-
структуры группы On(K,f) мы используем элементарный ме-
метод, не требующий этих результатов. Мы будем следо-
следовать в основном изложению Эйхлера [2].
3) Для всякого ортогонального преобразования
»eOn(K,f) существует обратимый элемент su^C(f),
удовлетворяющий одному из следующих условий:
а) если и — вращение, то su — элемент четной сте-
степени и
u(x) = suxs-1 G)
для любого х е Е:

§ 7. Алгебра Клиффорда квадратичной формы 89
Ь) если и — переворачивание, то su — элемент нечет-
нечетной степени и
u(x) = -suxs^ (8)
для любого х е Е.
Эти условия определяют элемент su однозначно с точ-
точностью до пропорциональности.
В самом деле, предположим вначале, что и — отраже-
отражение относительно гиперплоскости, ортогональной неизо-
неизотропному вектору qe?. Тогда в силу E) и F)
и (х) = х — 2 -тт^—г а == х — (ах + ха) а~2а = — аха~1. (9)
Пусть теперь и = У1У2 ... vp, где и* — отражение относи-
относительно гиперплоскости, ортогональной к неизотропному
вектору а,-. Тогда
... Ор)~\
и можно взять su = а\а2 ... ар. Если t — другой эле-
элемент, удовлетворяющий условию G) или (8), то эле-
элемент s~H лежит в C+(f) и коммутирует со всеми эле-
элементами из Е и, значит, со всеми элементами из C(f).
Из п. 1) следует, что s~H^K-
4) Обратно, если s — такой обратимый элемент ал-
алгебры C(f), что sEs'1 = Е, то преобразование x-^-sxs'1
содержится в группе On(K,f); если, кроме того, sg
е С+(/), то это преобразование является вращением.
Первое утверждение немедленно вытекает из E).
С другой стороны, если seC+(/), но преобразование
х—*v(x) = sxs'1 является переворачиванием, то в силу
3) существует такой обратимый элемент t^C'(f), что
v(x) = —txt~x. Положим г = trxs. Тогда гхт~х = —х для
всякого х е Е. Пусть г = 2 УлеА- И3 условия ге\гх =
А
= —ей 1 ^ i ^ п, вытекает, что ул = 0, если Л содержит
четное число индексов Ф L Следовательно, г = ув\в2 ¦ ¦.
... еп, причем п четно; но это противоречит тому, что
ге=С-(/).
Заметим теперь, что линейное преобразование / тен-
тензорной алгебры Т(Е), определяемое условием (х\ <8>,
,<2> х2 ® ... ® хР)' = хр <8> #р_1 <2>... ® xi, является анти-

90 Гл. 11. Структура классических групп
автоморфизмом. Очевидно, что / сохраняет идеал а и,
следовательно, индуцирует инволютивный антиавтомор-
антиавтоморфизм алгебры Клиффорда C(f), который мы будем обо-
обозначать также через /. Имеем
.. ХрУ = ХрХр_1 ... Ху A0)
при х;е?, 1 ^ р <; п. Ясно, что / сохраняет C+(f) и
c(f)
(f)
Пусть теперь и — произвольное вращение, произведе-
произведение 2р отражений относительно гиперплоскостей, орто-
ортогональных к неизотропным векторам п\, ..., п2Р. Тогда
для su = aia2 ... U2V справедлива формула G).
В силу F)
susIu = ala2 ... а2ра2р ... а2а1 =
= /(а„ а,)/(а2, а2) ... f(a2p, а2р) ф 0
Если заменить su на Ksu, где Яе/С*, то скаляр s^
умножится на К2. Из 3) следует, что класс элемента sus]u
по модулю группы К*2 квадратов элементов группы К*.
зависит только от и. Обозначим этот класс через 8(ы).
Для двух вращений и, v из 3) следует, что su« и susv
отличаются только скалярным множителем. Отсюда по-
получаем
8 (uv) = 8 (и) 8 (v). A1)
Другими словами, 0 — это гомоморфизм группы 0%
на подгруппу Г группы К*/К*2, порожденную классами
элементов вида f(x,x)f(y,y), где х и у — произвольные
неизотропные векторы пространства Е. Говорят, что 9(ы)
есть спинорная норма вращения и (Липшиц [1], [2], [3],
Эйхлер [2]). Определение Липшица дает также метод вы-
вычисления в (и) через элементы матрицы преобразования и
в ортогональном базисе.
Ядро О'п{К, /) = 9~'A) содержит коммутант Й„(К, f)
группы On(K,f). Это очевидно при п ^ 3, поскольку то-
тогда Qn(K,f) совпадает с коммутантом группы Ot (К, f).
Это верно также при п = 2; в самом деле, если s, s' —
два сопряженных отражения относительно гиперплоско-
гиперплоскостей, ортогональных векторам а, а', то можно считать, что

§ 8. Структура группы 0„ (К, {) 91
f(a,a) =f(a',a') и тогда 9(ss') = (f (a, a)Jmod К*2 =
= 1.
Мультипликативная группа таких обратимых элемен-
элементов s^C(f), что sEs~l = Е, называется группой Клиф-
Клиффорда формы f. Ее подгруппа, образованная элементами
s<^C+(f), для которых ssJ=l, обозначается через
Spinn(K,f). Ставя в соответствие каждому элементу sg
<= Spinn{K,f) элемент x—*sxs~l группы On(K,f), полу-
получаем гомоморфизм, ядро которого есть {—1, +1}, а об-
образ— группа О'п (К, /)• Иначе говоря, имеется канониче-
каноническая точная последовательность гомоморфизмов групп
1-4-1,
§ 8. Структура группы On(K,f)
(К — поле характеристики ф 2, f — форма индекса
v> 1,л>2.)
I. Структура групп О+/й„ и iinf\Zn
1) Пусть Р — гиперболическая плоскость. Всякое ор-
ортогональное преобразование (соответственно вращение)
и может быть представлено в виде и = sv, где s — ги-
гиперболическое преобразование (соответственно гипербо-
гиперболическое вращение), связанное с плоскостью Р, a v e
ей„.
Это очевидно, если и — гиперболическое преобразова-
преобразование, связанное с плоскостью Р', так как в силу теоремы
Витта существует такое преобразование t e Оп, что
t(P) = P't и тогда и = tst-1 = sls-Hst-1), где s — гипер-
гиперболическое преобразование, связанное с плоскостью Р.
В общем случае и разлагается в произведение р гипер-
гиперболических преобразований, и доказательство может
быть проведено индукцией по р. Наконец, если и — вра-
вращение, то, поскольку и у — вращение, s — также вра-
вращение.
Другое доказательство этого утверждения см. у Ше-
валле [1], стр. 53—55.
2) Если Р и Р' — две гиперболические плоскости, то
существует такое преобразование ve?ln(K, f), что
v(P) = Р'. Это очевидно при п = 2. При п>2в силу

92 Гл. 11. Структура классических групп
теоремы Витта существует такое преобразование и е ОП)
что и(Р) = Р'. Согласно 1), имеем тогда представление
и = sv, где v e Qn, as — гиперболическое преобразова-
преобразование, связанное с плоскостью Р'. Ясно, что тогда v (P) =
= Р'.
Эти результаты позволяют доказать следующую тео-
теорему (Эйхлер [2]):
Если v ^ 1 и п^2, то спинорная норма 0 есть гомо-
гомоморфизм группы 0% на группу К*1К*2, ядром которого
является коммутант Qn группы О«.
В самом деле, из 1) получаем, что 9(ы) = 8(sH(y) =
= 0(s), поскольку Qn содержится в ядре гомоморфиз-
гомоморфизма 0. Поэтому доказательство сводится к случаю п = 2,
v = 1. В этом случае в базисе, составленном из изотроп-
изотропных векторов еи е2, для которых f(ei,e2) = 1, враще-
' О
ние s записывается матрицей I ~ _, I и является про-
произведением двух отражений, одного — относительно пря-
прямой, ортогональной к вектору в\ — е2, другого — относи-
относительно прямой, ортогональной к вектору ав\ — е2. Так как
i(ei — e2,ei — e2)=—2, /(aei — е2, аех — е2) = — 2а, то
0(s) = а (класс элемента а^К* по модулю К*2). От-
Отсюда немедленно вытекает доказываемая теорема, ибо
если 0(s) = 1, то a = В2 и s является квадратом враще-
/р 0 \
ния _ о-| . так что seQn (см. § 6).
\О Р I
Из этой теоремы получаются следствия:
a) Если п 5г 2 и v ^ 1, то группа Ot (К, f)/Q» (К, f)
изоморфна К*/К*2.
b) Если п^-2 и v^ 1, то симметрия х-*—х принад-
принадлежит группе Qn(K,f) тогда и только тогда, когда п
четно и дискриминант формы f является квадратом в
поле К. Действительно, симметрия х—*—х есть произ-
произведение п отражений относительно координатных гипер-
гиперплоскостей в ортогональном базисе для формы /. Спи-
Спинорная норма этого преобразования есть, следовательно,
класс по модулю К*2 дискриминанта формы f в этом
базисе. Заметим, что условие «дискриминант формы f
является квадратом» в любом случае является необходи-
необходимым и достаточным условием для того, чтобы преобразд»

§ 9. Структура группы Oa(K,f) 93
вание х-*—х принадлежало группе О'п (даже если
0
§9. Структура группы On(K,f)
(К — поле характеристики ф% f — форма индекса
> 1, я>3.)
II. Структура группы Й„/Йв П Zn = Рпп (К, f)
Особое строение алгебр Клиффорда при п = 3 и п =
= 4 дает важные сведения о структуре соответствующих
ортогональных групп (см. также гл. IV, § 8), и мы нач-
начнем с изучения этих двух случаев, без ограничения на
индекс v (который, таким образом, может равняться
нулю.)
А) и = 3. Пусть (бгI<г<3 — ортогональный базис
пространства Е. Подалгебра C+(f) имеет в этом случае
размерность 4. Ее базис составляют единица 1 и три
элемента
г, = е2е3, k = e3eit h^ — a^fo A2)
с таблицей умножения
hk = h, ijk = — ikk ПРИ >гф /г,
где as = f {eh, ей), Pi = — агаз, р2 = — а3оч. Таким об-
образом, C+(f)—это обобщенная алгебра кватернионов
над К, соответствующая элементам pi eK, Рг е К. Ре-
Результаты § 7 уточняются следующим образом:
1) Для всякого вращения неО? элемент su есть
обратимый кватернион, и, обратно, всякий обратимый
кватернион есть элемент вида su.
Первая часть этого утверждения была доказана в § 7.
Для доказательства обратного утверждения можно рас-
рассуждать следующим образом (Эйхлер [2]). Будем гово-
говорить, что кватернион z чистый, если он не содержит ска-
скалярной компоненты. Антиавтоморфизм / алгебры C+(f)
(см. § 7) есть единственный антиавтомофизм этой ал-
алгебры, оставляющий на месте только элементы из /С, и

94 Гл. П. Структура классических групп
чистые кватернионы z могут быть определены условием
z1 = —z. Положим, далее, / = 616263. Если рассматри-
рассматривать пространство Е как вложенное в С(/), то отобра-
отображение x—*xj отображает его изоморфно на пространство
чистых кватернионов. Из того что M(t) = ttJ = tJt e К
для любого кватерниона t, легко следует, что если z —
чистый кватернион и t — любой обратимый кватернион,
то tzt~l — чистый кватернион. Для любого х^Е теперь
txt~l = t(xj)t~lj-1, так что txt~l^E, откуда и вытекает
доказываемое утверждение (см. п. 4) § 7) ').
Из этого результата немедленно получается след-
следствие:
2) Группа О* (К, f) изоморфна факторгруппе С+*/К*;
где С+* обозначает группу обратимых элементов алгебры
C+(f) (кватернионов). Группа О'3(К, f) изоморфна фак-
факторгруппе группы кватернионов t, норма N{t) которых
равна 1, по подгруппе {—1, +1}.
Известно, что условие обратимости кватерниона z
состоит в том, что его норма N(z) = zzJ должна быть
отлична от нуля. Легко видеть, что на пространстве чи-
чистых кватернионов билинейная форма xyJ + yxJ эквива-
эквивалентна форме f с точностью до множителя и что, если
N(z) =0 для какого-то кватерниона z Ф 0, существует
чистый кватернион z' Ф 0, для которого Л^(г') = 0. Сле-
Следовательно, если v = 0, то C+(f) —тело. Напротив, если
v = 1, то в C+(f) имеются делители нуля; в этом случае
C+(f) = КB) где /СB> — алгебра матриц порядка 2 над К.
Группа С+* в этом случае изоморфна группе GL^K).
Отсюда получаем (см. § 2):
3) Если v = 1, то группа Ot (К, f) изоморфна проек-
проективной группе PGL2{K), а ее коммутант Q3(K,f) —
группе PSL2(K); группа Q3(K,f) проста, если только
tf?=F3.
Для случая когда v = 0 и К — не диадическое ло-
локальное поле, Поллак [3] нашел все нормальные дели-
делители группы Q3(K,f).
*) Элементы х е Е могут быть при п < 4 охарактеризованы
как такие элементы из C~(f), что х1 = х. Этим можно воспользо-
воспользоваться для более непосредственного доказательства того, что
Ш'^- е ?. — Прим. перед.

§ 9. Структура группы 0„ (К,}) 95
В) п = 4. В этом случае центр Т алгебры С+(/) есть
прямая сумма К и /Ceie2e3e4, где (е<I<г<4— ортогональ-
ортогональный базис пространства Е. Кроме того, (ei62e3e4J = А,
где А — дискриминант формы f в базисе [ei). В зависи-
зависимости от того, является А квадратом в К или нет, алге-
алгебра Т есть либо прямая сумма двух полей, изоморфных
К, либо квадратичное расширение поля К. Заметим, что
при v = 2 всегда имеет место первый случай, при v =
= 1—второй случай; при v = 0 могут представиться
оба случая.
Элементы k, определенные равенствами A2), поро-
порождают подалгебру L в алгебре C+(f), являющуюся обоб-
обобщенной алгеброй кватернионов над К. Поскольку Т Л
П L = К и всякий элемент из Т коммутирует со всеми
элементами из L, алгебра C+(f) может быть отождеств-
отождествлена с тензорным произведением Т <8> L (над К), Поло-
Положим / = 61^26364; тогда
Для t = Яа + Я,/, + у2 + у3 е С+ (/), где Xk e= T,
имеем tJ = X0 — X^i — X2i2 — Я3г, поскольку / оставляет
на месте все элементы из Т. Отсюда получается, что
N (t) = tf = Ц - Я.?р, - Щ2 + Я^,р2 е Т.
4) Обратимый элемент t еГ <8> L является элементом
вида su, где и е Ot, тогда и только тогда, когда N(t) e
€Е/( (Эйхлер [2]).
Действительно, в § 7 мы видели, что если / = su, то
N(t)^K. Обратно, пусть N(t)^K. Тогда у = txt~l =
= txtJ/N(t) для всякого х^Е, так что yJ = у. С другой
стороны, ясно, что y<=C~(f). Следовательно, у^Е.
Ввиду утверждения 4) § 7 этого достаточно для доказа-
доказательства.
Из предыдущего следует, что группа О'а {К, f) изо-
изоморфна факторгруппе группы кватернионов tеГ B) L,
удовлетворяющих условию N(t) = 1, по подгруппе
Рассмотрим теперь отдельно два описанных выше
случая.
BI) А не является квадратом в К. Если обозначить
через fi(x,y) ограничение формы f(x,y) на гиперплоско-
гиперплоскости Н, ортогональной к е4, то из 2) следует, что группа

96 Гл. П. Структура классических групп
O'i{K, /) изоморфна группе О'3(к(УА), fi). Если ин-
индекс v формы / равен 1, то можно считать, что индекс
формы /i также равен 1. Ввиду 3) отсюда получается
такое следствие:
5) Если v = I, то группа Qi(K, f) проста и изоморфна
группе P5L2(/C(]/A)). (Заметим, что если К конечно, то
/((I/A") содержит не менее 9 элементов.)
Если v = 0, то форма f\ также имеет индекс О над
К (У А). В самом деле, если бы в #_нашлись такие два
ненулевых вектора х, у, что / (* + У А у, х + У А у) = О,
то х и у должны были бы быть ортогональны друг другу
и имело бы место равенство f(x,x) = —Af{y,y). Но из
определения А тогда следовало бы, что в плоскости, ор-
ортогональной к х и у, существует изотропный вектор (для
формы /), что противоречит предположению.
ВН) А является квадратом в К; скажем, А = и2, где
сое/С. Пусть c'=i/2(l + (o-1/), е"= VsO-co-1/), то-
тогда с' и с" — два ортогональных идемпотента в С+(/),
так что алгебра C+(f) есть прямая сумма двух алгебр
кватернионов Lc' и Lc", каждая из которых изоморфна
L, с центрами Кс' и Кс" соответственно. Всякий обрати-
обратимый элемент алгебры С+(/) представляется в виде t =
= ас' + be", где а и Ъ — обратимые элементы алгебры L.
Условие N(f) e/( означает, что N(a) =N(b); при этом
N(t)= N(a)= N(b), В частности, JV(f)=l тогда и
только тогда, когда N(a) =N(b) = 1. Учитывая, что
Oi(]Zi состоит из двух элементов (см. § 7), получаем,
что группа 04/@4 П ?¦•) изоморфна прямому произведе-
произведению 0'3(К, fi)XO'a(K, U). В частности,
6) Если v = 2, то группа ^^/(^Л^О изоморфна
прямому произведению PSL,2(K)X PSL2(K) (множители
которого просты, если К Ф F3).
Эти результаты можно уточнить следующим образом.
Для всякого х е Е имеем х\ = —jx, так что с'х = хс",
с"х = хс'. Если t = ac'-{-bc"(a<=L, b(=L), то *-' =
= ar^ + Ь-Ч" и
txt~l = с' {axb'1) + с"{Ьха'\
Предположим для простоты, что f (е4, е4) = 1 (этого все-
всегда можно добиться, умножив форму / на константу).

§ 9. Структура группы On(K,f) 97
Всякий элемент х ^ Е однозначно представляется в виде
х = в\<х + /о2, где аеЛ, /о = eie2e3, a 2eL — чистый
кватернион. Сопоставим вектору х кватернион х '= а +
+ <oz. Учитывая, что / = /064 = ш (с' — с") и что е4 ком-
коммутирует со всеми кватернионами, легко проверить, что
х = с'хе4 + с"е4х = cfxe4 -f- еАс'х.
Из этого выводится, что вектору txt~x соответствует ква-
кватернион axb~x. Таким образом, если отождествить Е с L
посредством линейного отображения х-+х, то всякое
вращение пространства Е представится в виде у—*ауЬ~1,
где а и Ь — такие кватернионы, что N(a) == N(b), и, об-
обратно, всякое такое преобразование будет вращением.
С) п~^Ь. Имеется следующая фундаментальная тео-
теорема (Диксон [1], [2], [3], Дьёдонне [4]):
Если n^5uv^l,To группа Qn/(Qn П Zn) проста.
Принцип приводимого ниже доказательства принад-
принадлежит Тамагаве [1]; оно использует идею Ивасавы, уже
применявшуюся нами в § 2 и 4. Мы ограничимся для
простоты случаем, когда К Ф F3, и затем укажем (не
входя в детали), каким образом Тамагава избегает этого
исключительного случая. Доказательство основывается
на нескольких предварительных леммах.
7) Пусть D, D', Di, D\ — четыре изотропные пря-
прямые, причем D и D' не ортогональны друг другу и
D\ и D\ также не ортогональны друг другу. Тогда суще-
ствиет такой элемент v e Qn, что v(D) =Di и v(D')==
=ы.
Пусть Р (соответственно Pi) —гиперболическая пло-
плоскость, определяемая прямыми D и D' (соответственно
Di и D'i). Тогда существует такое преобразование aye
е й„, что w(P) = Р\ (см. § 8, 2)). Поэтому можно счи-
считать, что Р = Pi. Далее, поскольку гиперболическая
плоскость содержит только две изотропные прямые, то до-
доказательство сводится к случаю, когда D\ = D', D\ = D.
Пусть а — неизотропный вектор, ортогональный к Р.
В плоскости Р существуют векторы х с любым наперед
заданным значением f (х, х) е К и, в частности, вектор Ь,
для которого f(b,b)=f(a,a). В силу теоремы Витта
существует такое преобразование t^On, что t(a) =b.
Обозначим через s отражение относительно гиперпло-
4 Ж. Дьёдонне

Гл. II. Структура классических групп
скости, ортогональной к а. Тогда s(D) = D, s(D') = Df.
Преобразование s' = tst1 будет отражением относитель-
относительно гиперплоскости, ортогональной к Ь, и s'(D)—D',
s'(D')—D. Преобразование v = s's = tst^s-1 e Qn бу-
будет искомым.
Заметим, что эта лемма справедлива при любых п ^
^ 3 и v ^ 1 (мы используем это в лемме 8).
8) Пусть а, Ь, Ь' — три различных изотропных век-
вектора, причем f(a,b) = f (с, Ъ') = 0. Тогда существует та-
такой элемент v e Qn, что v(a) = а и v(b) — b'.
Предположим сначала, что /(&, Ь')=И=О. Пусть Р —
гиперболическая плоскость, определяемая векторами Ь и
Ъ'. Существует четвертый изотропный вектор а', такой,
что /(а, а') Ф 0, f(a',b) = f(a',b') = 0 (гл. I, п. 1 § 11).
Ортогональное дополнение R в Е к плоскости, определяе-
определяемой векторами а и а', неизотропно и имеет размерность
^3. Обозначим через /i ограничение формы f на R. Из
7) следует, что существует такое преобразование и'е
е Qn-2{K, fi), что р'(Ь) =6'. Продолжим v' до преоб-
преобразования пространства Е, тождественного на ортого-
ортогональном дополнении к R. Полученное преобразование
»eSn(/(J) и будет искомым.
Если f(b,b') =0, рассмотрим такой изотропный век-
вектор а', что f(a,a') Ф 0, и определим подпространство R
так же, как и выше. Обозначим через 6i и М ненулевые
векторы, содержащиеся в пересечениях подпростран-
подпространства R с вполне изотропными плоскостями Ка -\- Kb и
/Са + Kb' соответственно. Пусть с — изотропный вектор,
лежащий в R и не ортогональный к Ъ\\ тогда с не орто-
ортогонален и к Ь, поскольку f(a, с) = 0. Применяя дважды
первую часть доказательства, находим такое преобра-
преобразование t»! е йп, что ьЛа) = a, v\\b)=b\. Поступая
так же с векторами Ь' и Ь\, мы приходим в конце концов
к тому, что достаточно найти преобразование да е fin,
для которого w (a) = a, w (bi) = b\. Для этого возьмем
такое преобразование w'^Qn-2(K,fi), что w'{bi) = b't
и продолжим его до преобразования шейп(^,|), то-
тождественного на ортогональном дополнении к R.
Из п. 3) § 3 немедленно вытекает, что группа РОп
(и, тем более, Р?1п) действует точно на множестве С
изотропных прямых пространства Е.

§ 9. Структура группы 0„ (К, f) 99
9) Группа Рпп, рассматриваемая как группа пере-
перестановок множества С, примитивна.
Предположим противное, т. е. что С допускает не-
нетривиальное разбиение, совместимое с действием группы
PQn- Пусть М — одно из множеств такого разбиения и D,
D' — два его различных элемента. Можно считать, что
прямые D и D' не ортогональны. В самом деле, если бы
они были ортогональны, то из 8) следовало бы, что М
содержит все изотропные прямые, ортогональные к D
или D'. Существует изотропная прямая D", ортогональ-
ортогональная к D, но не ортогональная к D' (гл. I, п. 1, § 11). То-
Тогда D"eM, и пару (D,D') можно заменить на пару
(D",D').
Итак, предположим, что прямые D и D' не ортого-
ортогональны. Из 7) следует, что М содержит все изотропные
прямые, не ортогональные к D или D'. Если v = 1, то из
этого уже следует, что М = С. Если v > 1, то существует
изотропная прямая D\, ортогональная к D, отличная от D
и не ортогональная к D' (гл. I, п. 1, § 11). Согласно
предыдущему, DX^M. В силу 8) существует преобра-
преобразование из fin, оставляющее на месте прямую D и пере-
переводящее прямую D\ в любую изотропную прямую, орто-
ортогональную к D и отличную от нее. Следовательно, М
содержит все изотропные прямые, ортогональные к D, и,
значит, М = С.
Покажем теперь, что к примитивной группе Pfin при-
применима лемма 4 § 2, если определить подходящим обра-
образом группы Нх.
10) Пусть а — изотропный вектор, L — изотропная ги-
гиперплоскость, ортогональная к а. Для всякого вектора
у ei сдвиг ta : z —*z-\- af (г, у) в гиперплоскости L одно-
однозначно продолжается до ортогонального преобразования
Ра, у пространства Е.
Существование преобразования ра, у вытекает из тео-
теоремы Витта, если проверить, что ta является ортогональ-
ортогональным преобразованием гиперплоскости L; но это немед-
немедленно следует из того, что / (a, z) = 0 для всех zgL.
Для доказательства единственности рассмотрим изотроп-
изотропный вектор Ь, не ортогональный к а. Пусть Р — гипербо-
гиперболическая плоскость, содержащая а и Ь. Если два орто-
ортогональных преобразования и, «' совпадают с ta на L,

100 Гл. //. Структура классических групп
то они совпадают с ta на подпространстве Р°. Преобра-
Преобразование и'и~х оставляет неподвижными все векторы из
Р° и, следовательно, сохраняет плоскость Р. Более того,
u'w1 оставляет на месте изотропный вектор аеР. Сле-
Следовательно, «'«-'—тождественное преобразование.
11) В обозначениях п. 10)
Ра,уРа,у' = Ра,у+у' ПР» У е L> У' S L>
Ра,Ку = Р\а,у При Я«=/(, ^ Ф 0,
VPa, yV~l = Pv (a), v W) дЛЯ Л^богО V^°n (*> f)-
В самом деле, для доказательства этих равенств до-
достаточно проверить совпадение значений их членов на
векторах из L или, для третьего равенства, из v(L); но
это очевидно.
Из соотношений 11) следует, что для данного изо-
изотропного вектора а преобразования ра, у, где у пробе-
пробегает L, образуют абелеву подгруппу На в группе Оп. При
этом Н%м = На, так что На зависит только от х = Ка е
е С. Образ группы На в РОп, очевидно, изоморфен На;
обозначим его через Нх. Для всякого !)еОп имеем
vHav~l = HV(a). Отсюда следует, в частности, что Нх яв-
является нормальным делителем стационарной подгруппы
точки х в РОп-
12) Группа PQn порождается своими подгруппами Нх,
хеС.
Докажем вначале, что Нхе PQn при любом ^ёС.
В обозначениях доказательства утверждения 10) до-
достаточно показать, что ра,^ейп для всех векторов у
некоторого ортогонального базиса пространства Р°. По-
Поэтому можно ограничиться случаем, когда вектор у не
изотропен. При этом условии сдвиг ta совпадает с огра-
ограничением на L произведения ss' отражений относительно
гиперплоскостей, ортогональных к векторам у и у' = у —
—ll2f(y,y)a. Так как f{y', y') = f{y,y), то по теореме
Витта существует такое преобразование и е Оп, что
и(у) = Уг- Тогда имеем s' = uswl, и ро,у совпадает на
L с susu~K Ввиду 10) отсюда следует, что ра, у = susu~l e
е Qn. Заметим теперь, что группа Qn порождается про-
произведениями вида susu~l, где s — отражение относитель-
относительно неизотропной гиперплоскости V, а ие О„ (§ 6, п. 4).

§ 9. Структура группы On(K,f) 101
Пусть г — вектор, ортогональный к V. Если плоскость Р,
определяемая векторами г и u(z), изотропна и с — изо-
изотропный вектор этой плоскости (определенный одно-
однозначно с точностью до пропорциональности), то susu^ e
ейов силу предыдущего вычисления. Предположим те-
теперь, что плоскость Р неизотропна. Тогда существует
3-мерное неизотропное подпространство W, содержащее
плоскость Р и изотропный вектор с. Это очевидно, если
Р — гиперболическая плоскость: тогда можно взять се
еР. В противном случае, поскольку изотропные векторы
не могут лежать в одной гиперплоскости, существует
изотропный вектор с ф. Р, не ортогональный к Р; в этом
случае в качестве W можно взять Р + Кс (Действитель-
(Действительно, W = Р + Кс не может содержать вполне изотропной
плоскости, так как она имела бы изотропное пересече-
пересечение с Р; с другой стороны, в силу выбора с невозможно,
чтобы Wf]W° = Kc.) Обозначим через f\ ограничение
формы f на W. Согласно 3), коммутант группы O3(/C,fi)
прост. Следовательно, ограничение преобразования
susir1 на W есть произведение ограничений на W преоб-
преобразований вида ра, у, где а и у принадлежат W (посколь-
(поскольку в простой группе подгруппы, сопряженные к любой
неединичной подгруппе, порождают всю группу)- Так как
эти преобразования тождественны на W0, то и на всем
пространстве Е преобразование susu~l есть произведение
преобразований вида р0, „.
13) Группа PQn совпадает со своим коммутантом.
Достаточно показать, что каждая из подгрупп Нх со-
содержится в коммутанте группы Pfin. Возьмем такое X е
е К, что К ф 0 и "К2ф\. Пусть a, b—два изотропных
вектора, причем f(a,b) = 1. Обозначим через Р гипер-
гиперболическую плоскость, определяемую этими векторами,
и через v — вращение плоскости Р, для которого v (а) =
= Ы, v(b) = h~lb. Мы знаем, что о2 е Qn (§ 6, п. 4)).
Из соотношений 11) следует, что для всякого вектора у,
ортогонального к а,
') Поскольку ра „+„а= ра, у, можно считать, что у ортогона-
ортогонален к Ь; тогда v (у) = у. — Прим. перев,

102 Гл. //. Структура классических групп
Так как X2 — 1 ф 0, то тем самым доказано, что всякий
элемент подгруппы На является коммутантом в Qn.
Таким образом, все условия для применения леммы 4
§ 2 выполнены, что и требовалось доказать.
Оригинальное доказательство Тамагавы несколько от-
отлично от приведенного выше. Он сразу рассматривает
группу п'п, порожденную преобразованиями ра<у в груп-
группе On (К, /), и непосредственно показывает, что группа
Рп'п примитивна. Затем он доказывает, что п'п = Qn,
и заканчивает доказательство так же, как и выше. По-
Поскольку простота группы PSL2(K) при этом не исполь-
используется, случай /С = F3 не является для него исключи-
исключительным нигде, кроме доказательства утверждения 13),
которое в этом случае может быть проверено простым
вычислением, использующим предположение, что п ^ 5.
В действительности проведенное нами доказательство
позволяет утверждать, что всякий нормальный делитель
группы Ot (К, f) (п ^ 5, v ^ 1), не содержащийся в Zn,
содержит пп (К, f).
Заметим, наконец, что число элементов группы вра-
вращений Ot (Fq, f) равно
(qn~l — 1) q"-2(qn-3 — 1) qn-4 ... (q2 — 1) q
при нечетном п (в этом случае все ортогональные группы
от п переменных над полем Fg изоморфны) и при четном
п = 2т —
(q2m-l _ eqm-l) (^m-2 _ J) q2m-3 ... (q2 — \) q,
где e=l, если (—l)mA есть квадрат в поле Fq, и е =
= — 1 в противном случае (Диксон [1], стр. 160). Так
как для конечного поля К индекс формы / всегда ^1
при п^З и группа К*/К*2 состоит из 2 элементов, то
fin(F<,,f) —подгруппа индекса 2 в 0% (Fg, f) (см. § 8),
и при четном п группа Qn П Zn содержит 2 или 1 эле-
элементов в зависимости от того, является дискриминант Л
квадратом в F, или нет.
§ 10. Группа On(K,Q)
(К — поле характеристики 2, форма Q не дефектна.)
Напомним, что п = 2т четно и группа Оп(К, Q) яв-
является подгруппой симплектической группы SpSm(K), со-

§ 10. Группа 0„ (/(, Q) 103
ответствующей билинейной форме /, ассоциированной с
квадратичной формой Q (гл. I, § 16).
Централизатор группы Оп(К, Q) в ГЬп{К) находится
так же, как в § 3 (с заменой отражений ортогональными
сдвигами и изотропных векторов — особыми). Таким об-
образом устанавливается, что этот централизатор совпа-
совпадает с группой гомотетий Нп, за исключением следую-
следующих двух случаев:
1°. п = 2, /C=F4, v=l. В этом случае централи-
централизатор содержит, помимо гомотетий, полулинейное пре-
преобразование, меняющее местами два особых вектора е\,
е2, таких, что \(ех, е2) = 1.
2°. n = 2, K=F2, v = l. В этом случае Оп(К, Q)
есть группа порядка 2, совпадающая со своим центра-
централизатором.
Таким образом, кроме этого последнего случая, центр
группы Оп(К, Q) состоит лишь из единицы.
Каждой недефектной форме Q ставится в соответ-
соответствие алгебра Клиффорда C(Q) (Арф [1], Шевалле [1]).
Это факторалгебра тензорной алгебры Т(Е) по двусто-
двустороннему идеалу аь порожденному элементами вида х ®
®х — Q(x) (и содержащему идеал, порожденный эле-
элементами х ® у-\-у ® х — f(x, у)). Алгебра C(Q) имеет
размерность 22 над К. Пространство Е может быть
отождествлено с подпространством элементов первой сте-
степени алгебры C(Q). При этом для любых х^Е, у^Е
имеем
xy + yx = f(x, у), A4)
x2 = Q(x). A5)
В частности, если {eiI<i<2m — симплектический ба-
базис пространства Е (относительно формы /), т. е.
!(еие}) =f{em+i,em+j) =0 и f(eit em+j) = б»,- при 1 <
^ i ^ пг, 1 ^ / ^Г tn, то
A6)
при 1 ^ i ^ m, I ^ j ^ m. Центр алгебры C(Q) совпа-
совпадает с /С

104 Гл. П. Структура классических групп
Линейные комбинации элементов ен (определенные,
как в § 7), соответствующих множествам Н, состоящим
из четного числа элементов (элементы четной степени
в C(Q)), образуют подалгебру C+(Q) размерности 22т~х
над К. Она порождается произведениями е»е.; A ^ i =?1
^/^2m) и единицей. Центр Т алгебры C+(Q) двуме-
двумерен; его базис составляют 1 и элемент
••• +eme2m, A7)
удовлетворяющий условию
S2 + ? = A(Q), A8)
где
A (Q) = Q fo) Q (e*+i) + • • • + Q (em) Q (e2m). A9)
Говорят, что A(Q)—псевдодискриминант формы Q
относительно симплектического базиса {edl<l<2ni (Арф
[1], Кнезер [2]). Пусть и — симплектическое преобразова-
преобразование. Положим
m
u(et) = 2 atje, + 2 btjem+j,
m m
= 2 cliei + 2 di
Обозначим через A(Qi) псевдодискриминант формы
Qi, определяемой равенством Qi(*) =Q(m(a;)), относи-
относительно того же базиса (ei). Тогда
), B0)
где f(t) = Ъ + Ъ2, a D(u) —инвариант Диксона преоб-
преобразования и, определяемый формулой
D (и) = 2 [л/пцС,, + Р, V</ + **/ci/)» B1)
в которой а» = Q(ei), Pi = Q(em+i) (Диксон A], стр. 206;
Дьёдонне [20]). Если и — ортогональное преобразование,
то D(u) =0 или D(u) = 1. Кроме того, отображение
u-+D(u) является гомоморфизмом группы Оп(К, Q)
в аддитивную группу поля К. Ортогональные преобразо-
преобразования и, для которых D(u) = 0, образуют подгруппу ин-
индекса 2 в Оп(К, Q), называемую группой вращений и

§ 10. Группа On(KQ) 105
обозначаемую через Оt (К, Q). Для ортогонального
сдвига t всегда D(t) = 1.
1) Всякое преобразование из Оп(К, Q) есть произве-
произведение ортогональных сдвигов, кроме случая, когда К =
= F2, п = 4 и v = 2 (Дьёдонне [4]; другое доказатель-
доказательство у Шевалле [1], стр. 20—21). Более того, можно по-
показать, что, за вышеупомянутым исключением, всякое
ортогональное преобразование представляется в виде
произведения не более чем п ортогональных сдвигов
(Дьёдонне [19]). При этом вращения могут быть охарак-
охарактеризованы как такие ортогональные преобразования,
которые представляются в виде произведения четного
числа ортогональных сдвигов. Замечания, сделанные в
§ 6, о возможности преобразовать с помощью вращения
данное подпространство V в другое данное подпростран-
подпространство W (такое, что ограничения формы Q на V и W
эквивалентны) сохраняют силу, если заменить слова
«вполне изотропный» на «особый» (даже в указанном
выше исключительном случае).
2) При п ]5г 4 центр группы 0% (К, Q) состоит лишь
из единицы. Доказательство может быть проведено так
же, как в § 6, если заметить, что для всякой неизотроп-
неизотропной плоскости Р существует вращение (произведение
двух ортогональных сдвигов в направлении векторов,
лежащих в Р), подпространством неподвижных точек ко-
которого является Р°.
3) Группа Ot (К, Q) коммутативна. Следует разли-
различать два случая, в зависимости от индекса v формы Q.
a) Если v= 1, то в базисе, составленном из особых
векторов, матрицы преобразований из Ot имеют вид
К 0 \
_i I, где Я,е/С*. Таким образом, в этом случае
и л у
группа Ot (К, Q) изоморфна К*.
b) Если v = 0, то в симплектическом базисе Q (х) =
=i? + Iii2 + аШ ')> где многочлен X2 -f X -f- а неприводим
над К- Пусть /Ci = K(g>) — сепарабельное квадратичное
') Точнее, этого можно добиться, умножая форму Q на ска-
скаляр. — Прим. перед.

106 Гл. II. Структура классических групп
расширение поля К, получаемое присоединением к К
корня со этого многочлена. Отождествим пространство Е
с Ki так, чтобы вектор A,0) отождествлялся с единицей
поля Ki. Если ? = ? + ©г|, то ?=E + r] + cori и ?? =
= I2 + 1*1 ¦+" ат12- С другой стороны, легко видеть, что
всякое вращение, оставляющее на месте единицу поля
К\, тождественно. Так как всякое вращение аеОг" (К, Q)
переводит единицу поля К\ в элемент у, равный 1 по
норме, то оно совпадает с преобразованием ?—*y?- Та-
Таким образом, в этом случае группа Ot (/С, Q) изоморфна
группе элементов с нормой 1 в поле К\.
Обозначим через Qn(K, Q) коммутант ортогональной
группы On(K,Q).
4) Группа Qn (К, Q) порождается произведениями
t(wtw~1) двух сопряженных ортогональных сдвигов. Она
также порождается квадратами элементов группы Оп.
Доказательство такое же, как и п. 4) § 6, кроме особого
случая К = F2, п = 4, v = 2, который требует специаль-
специального изучения (Дьёдонне [4], стр. 45).
В оставшейся части этого параграфа мы исключаем
из рассмотрения, если не будет оговорено противное,
особый случай К = F2, п = 4, v = 2.
5) При п~^А группа пп совпадает с коммутантом
группы вращений 0%. Доказательство, данное в п. 5)
§ 6, не проходит, но можно доказать это утверждение
непосредственно, проверив, что коммутатор sts~lt~l про-
произвольных ортогональных сдвигов s, t содержится в ком-
коммутанте группы On.
Центр группы Qn сводится к единице (и тем самым
равен Qn П %п) при п = 4. Доказательство совершенно
аналогично данному в § 6 для полей характеристики ф2.
Правда, здесь имеется особый случай /С = F2. В этом
случае рассматриваются эллиптические плоскости, т. е.
такие плоскости, ограничение формы Q(x) на которых
в симплектическом базисе записывается в виде
Ш + ?|1г + %¦ Доказывается, что всякая неособая пря-
прямая является пересечением двух эллиптических плоско-
плоскостей (исключая случай, когда п = 4, v = 2).
6) Для всякого ортогонального преобразования и е
&On(K,Q) существует такой обратимый элемент sv g

§ 10. Группа On(K,Q) 107
() определенный с точностью до скалярного мно-
множителя, что и (х) = suxs~l при любом х&Е. Преобра-
Преобразование и является вращением тогда и только тогда, ко-
когда su — элемент четной степени. Обратно, для всякого
обратимого элемента s, такого, что sEs~l = Е, преобра-
преобразование x-+sxs-1 пространства Е принадлежит группе
O»(K,Q).
Доказательство проводится так же, как в § 7, п. 3)
и 4), с заменой отражений ортогональными сдвигами.
Далее, как и в § 7, для всякого вращения м е О*
определяется спинорная норма 6(м) е К*/К*2. Образом
группы On при гомоморфизме б является подгруппа
группы К*/К**, порожденная классами произведений
Q(x)Q(y), а его ядро Оп{К, Q) = 6~'(l) содержит груп-
группу Qn(K,Q). Заметим, что если поле К совершенно
(в частности, если оно конечно), то О„= 0%.
Назовем гиперболической плоскостью всякую неизо-
неизотропную плоскость, содержащую особую прямую (и, зна-
значит, содержащую ровно две такие прямые). Назовем так-
также гиперболическим преобразованием (соответственно
гиперболическим вращением) всякое ортогональное пре-
преобразование (соответственно вращение), оставляющее
неподвижными все элементы ортогонального дополнения
к гиперболической плоскости.
7) Пусть Р — гиперболическая плоскость. Всякое ор-
ортогональное преобразование (соответственно всякое
вращение) может быть представлено в виде и = sv, где
s — гиперболическое преобразование (соответственно ги-
гиперболическое вращение), связанное с плоскостью Р, а
v e Qn. Если Р' — вторая гиперболическая плоскость, то
существует такое преобразование шей,, что w(P) =
= Р'. Доказательство (для ортогональных преобразова-
преобразований) проводится так же, как в § 8, п. 2), если заметить,
что ортогональный сдвиг является гиперболическим пре-
преобразованием. Далее, если и — вращение и и = sv, где
v e Qn, то s также должно быть вращением. Вторая
часть утверждения доказывается так же, как в § 8, п. 3).
8) Если п~^Ч av^l (особый случай К = F2, n =
= 4, v = 2 исключается), то спинорная норма есть го-
гомоморфизм группы, On на группу К*/К*2, ядром которого

108 Гл. II. Структура классических групп
является коммутант Qn. Факторгруппа O?JQn тем самым
изоморфна группе К*/К*2-
Доказательство проводится так же, как в § 8.
Изучение алгебры Клиффорда при п = 4, как и в § 9,
позволяет определить структуру групп О4(/С, Q). Пусть
(e')i<f<4 — симплектический базис, т. е. f(eue3) =
= /(^2,64) = 1 и f(ei,ej) = 0 для любой другой пары
индексов. Положим Q{ex) = a, Q(e2)=p, Q{e3)=y,
Q(e4) = б. Центр Т алгебры C+(Q) есть прямая сумма К
и Kt где ? = ехеъ + е2е^ При этом ?2 + ? = Д, где Д =
= ау + Рб — псевдодискриминант формы Q. В зави-
зависимости от того, имеет Д вид р(р) при ре/( или нет,
алгебра Т есть либо сумма двух полей, изоморфных К,
либо сепарабельное квадратичное расширение поля К-
По теореме Витта при v = 2 всегда имеет место первый
случай (и можно считать, что a=P = Y = 6 = 0); при
v = 1 всегда имеет место второй случай (и можно счи-
считать, что р = б = 0, а ау не имеет вида #>(p)). При
v = 0 могут представиться оба случая.
Определим инволюцию / алгебры C(Q), как в § 7.
Имеет место следующий критерий, доказываемый так
же, как в случае характеристики Ф2 (§ 9, п. 4)).
9) Для того чтобы обратимый элемент t алгебры
C+(Q) был элементом вида su, где не Of, необходимо
и достаточно, чтобы элемент N(t)=W принадлежал
полю К.
Из этого вытекает, что группа О[(К, Q) изоморфна
группе обратимых элементов алгебры C+(Q) с нормой
N(t), равной 1.
Рассмотрим отдельно несколько случаев.
I. v=2. Тогда алгебра C+(Q) является прямой суммой
двух простых алгебр с центрами A -{-t,)K и Щ соответ-
соответственно. Базис первой составляют элементы 1 + ?, «i^,
?3^4 и / = eie2e3e4, базис второй — элементы eie4, e2e3,
6ie3? = / + е1ез и е2е4? = / + е2е*- Легко видеть, что каж-
каждая из этих двух алгебр изоморфна алгебре матриц по-
порядка 2 над К и при отождествлении ее с этой алгеб-
алгеброй1) норма yV(?) совпадает с определителем. Отсюда
получаем
') Причем ее центр отождествляется с К- — Прим. перев.

§ 10, Группа On(K,Q) 109
10) Если v =2, К Ф F2, то группа Q4(K, Q) изоморф-
изоморфна прямому произведению SL2(K)XSL2(K) (каждый
множитель которого является простой группой (§ 2)).
В исключительном случае, когда v = 2, К = F2, груп-
группа О*1) изоморфна группе элементов t^C+(Q) с нор-
нормой N(t), равной 1, и, значит, изоморфна прямому про-
произведению 5L2(F2)X5L2(F2), множители которого суть
разрешимые группы порядка 6. Группа Q4, порожденная
произведениями пар сдвигов (Дьёдонне [4], стр. 45), яв-
является в данном случае подгруппой индекса 2 в Ot, a
коммутант группы Ot является подгруппой индекса 2 в
Q4. Эта последняя подгруппа есть прямое произведение
двух циклических групп порядка 3.
II. v = 1. Центр Т алгебры C+(Q) является в данном
случае сепарабельным квадратичным расширением поля
К- Элементы 1, в\е2, е3е4 и / = 61626364 образуют базис ал-
алгебры C+(Q) над Т. Легко видеть, что алгебра C+(Q)
изоморфна алгебре матриц порядка 2 над Т, и при отож-
отождествлении ее с этой алгеброй норма N(t) совпадет с
определителем. Отсюда получаем
11) Если v = 1, го группа Q4(/C, Q) изоморфна группе
SL2(T) и, значит, проста (поскольку Т содержит не менее
4 элементов; см. § 2).
III. v = 0. Как указывалось выше, здесь могут быть
два случая.
а) Д=р(р), где ре К. Тогда C+(Q) изоморфна пря-
прямой сумме двух простых алгебр с центрами (р + ?,)К и
A+P + Q/C соответственно (если А = 0, то возьмем
р = 1). Первая из них имеет в качестве базиса элементы
9 + 1, (p-K)eie2, (р + ?)езе4, (p + ?)eie2e3e4. Она изо-
изоморфна алгебре кватернионов А\ над К с таблицей умно-
умножения
Вторая имеет в качестве базиса элементы
(p+H-l)eie4, (р+?+1)е2е3 и (p+?+l)(eie3+eie2e3e4) и
изоморфна алгебре кватернионов А2 над К с таблицей
умножения
/2 = а6, /| = Pv, /2/i = /1/2 +Р-
') Совпадающая с О4. — Прим. перев.

110 Гл. II. Структура классических групп.
Из предположения v = 0 следует, что обе эти алгебры
являются телами. В самом деле, норма элемента х =
= х0 + x\ii -f- x2i2 + x3i\i2 алгебры А\ представляется
квадратичной формой
А + Р *Л + а№4 + аР*? + Р*Л + Y**S.
которая с точностью до множителя эквивалентна форме
Q B) = аг\ + 2,23 + Y*S + К + 22г4 + бг^.
4
где z=^Z[et. Эквивалентность осуществляется под-
{—1
становкой
+ 22 = ал:, + 6^2. «з
Так же исследуется алгебра А2. Таким образом, если
обозначить через Nt (соответственно N2) группу элемен-
элементов алгебры А\ {соответственно А2) с нормой 1, то группа
&4(К, Q) изоморфна прямому произведению Ni X N2.
b) Д не представляется в виде f (р). Тогда Т есть се-
парабельное квадратичное расширение поля К, и алгебра
C+(Q) является алгеброй кватернионов над Т, имеющей
в качестве базиса элементы 1, ete2, e3e4 и е\е2еъе^. Таб-
Таблица умножения этой алгебры такая же, как у А\, с за-
заменой р на 1 + ?• а норма с точностью до множителя эк-
эквивалентна форме Q{z), рассматриваемой как квадра-
квадратичная форма над Т. Из предположения v = 0 следует
так же, как и в случае характеристики ф 2, что форма
Q(z) имеет индекс 0 над Т. Действительно, пусть
Q(* + ESO = 0. Тогда Q(x) = AQ(y) и Q(y) = f(x,y).
Пользуясь определением псоевдодискриминанта Д, от-
отсюда легко вывести, что в плоскости, ортогональной к
хК + уК, имеется особый вектор фО. Таким образом,
C+(Q) — тело кватернионов над Т и группа Q4(^C, Q) изо-
изоморфна группе его элементов с нормой 1.
Для п ]5г 6 имеется следующая теорема (Диксон [1],
Дьёдонне [4]):
12) Если п>6 и v>l, то группа Qn{K,Q) проста.
(Напомним, что форма Q не дефектна).

§ П. Группа On(K,Q) Ш
Доказательство Тамагавы для поля характеристики
Ф 2 проходит здесь без изменений (если повсюду вместо
изотропных векторов рассматривать особые), исключая
доказательство леммы 13 § 9 в случае К = F2, когда тре-
требуется небольшое специальное рассуждение, использую-
использующее предположение п ^ 6.
Это доказательство позволяет, кроме того, утверж-
утверждать, что всякий нормальный делитель группы О„ (К, О)
(n^6, v^ 1)содержит ее коммутант пп(К, Q).
Заметим, наконец, что число элементов группы вра-
вращений OtmCPq, Q) = ^2m(F,, Q), ГДв q = 2*, рЭВНО
(qm — 1) (q2 f) — 1) q2 (m~^ ... (q2 — 1) q2,
если v = m и
(<Г + 1) (Я2 (m-1) — 1) Ф (m-1) • • • (Я2 — 1) <72.
если v = m — 1 (Диксон [1], стр. 206).
§ 11. Группа On(K,Q)
{К — поле характеристики 2, форма Q дефектна.)
Напомним (гл. I, § 16), что дефект d формы Q обла-
обладает тем свойством, что п — d = 2р — четное число и что
всегда можно рассматривать группу Оп(К, Q) как под-
подгруппу симплектической группы Sp2p(K), образованную
такими преобразованиями и, что Q(u(x))-\-Q(x)^M,
где М — подпространство поля К, рассматриваемого как
векторное пространство над К2; при этом можно предпо-
предполагать, что М содержит единицу. Поэтому единственный
случай, который нуждается в рассмотрении, — это когда
М Ф К, т. е. поле К несовершенно (и, значит, бесконеч-
бесконечно). Кроме того, ограничение Qi формы Q на 2р-мерном
подпространстве Ех не дефектно, а условие v ^ 1 влечет
за собой, что в Е\ существуют особые векторы ф 0. Так
как группа О2Р(К, Qi) является подгруппой группы
On(K,Q), то центр группы On(K,Q) состоит лишь из
единицы (§ 10).

112 Гл. II. Структура классических групп
Вектор a^Ei называется полуособым, если Q()
Преобразования из группы Оп(К, Q) переводят полуосо-
полуособые векторы в полуособые. Ортогональный сдвиг (гл. I,
§ 16) в направлении полуособого вектора называется
полуособым. Такой сдвиг х—*¦ х-{-Xf (х, а) а характери-
характеризуется условием leM (автоматически выполняющимся
при К= 1).
1) Всякое ортогональное преобразование является
произведением ортогональных сдвигов. Доказательство
проводится так же, как в случае недефектных форм, при-
причем предположение о бесконечности К исключает все
особые случаи (Дьёдонне [4], стр. 55).
2) При Чр ]5г 2 и v ^ 1 группа Qn (К, Q), порожденная
полуособыми сдвигами, проста. Доказательство совер-
совершенно аналогично доказательству простоты группы
Tn{K,f), порожденной унитарными сдвигами (Дьёдонне
[4], стр. 55—58).
3) Группа Qn{K,Q) (при 2р ^ 2, v^l) является
коммутантом группы On{K,Q)- Доказательство, имею-
имеющееся у Дьёдонне [4], стр. 59—60, не применимо в случае
2р = 4, v = 2. Чтобы исследовать и этот случай, доста-
достаточно (см. там же) доказать, что,если Р, Р' — две гипер-
гиперболические плоскости в подпространстве Е\, то сущест-
существует преобразование из группы Qn, преобразующее Р
в Р''. Используя предположение v = 2, можно доказать
это утверждение, следуя, с небольшой модификацией,
методу, примененному в работе Дьёдонне [13], стр. 380—
382, для унитарной группы. Модификация состоит в сле-
следующем. Пусть (et)l<t<i— симплектический базис про-
пространства Еи образованный особыми векторами, удовле-
удовлетворяющими условиям: f(e\, е%) ==¦](ез, е4) = 1 и /(е», fy) =
= 0-для остальных пар индексов (i4^j). Доказывается,
что произведение и трех (а не двух) ортогональных сдви-
сдвигов в направлении векторов ak = 1.^2 + н-ье3 сохраняет
(в целом) плоскости в\К + е3/С и е^К + е4К и что и(в\) =
= ei + е3а, где а Ф 0. Для этого достаточно заметить,
что в поле К можно найти шесть элементов Kh, \ih
A ^ k sg; 3), таких, что
h "h ^2 +. ^з = 0, щ + fi2 + М* = 0, Яф1 +_ Я2(Х2 + Яз^з Ф 0

§ 12. Унитарные и ортогональные группы 113
§ 12. Унитарные и ортогональные группы,
соответствующие анизотропным формам
Большая часть полученных в § 4—11 результатов о
строении ортогональных и унитарных групп перестает
быть справедливой, когда рассматриваемые квадратич-
квадратичные или полулинейные формы анизотропны.
Рассмотрим, например, рациональное р-адическое
поле Qp. Пусть / — невырожденная симметричная били-
билинейная форма индекса 0 от п = 3 или 4 переменных над
QP. Тогда можно найти такой ортогональный базис про-
пространства Е, что всякое преобразование из On{Qp,f) за-
записывается в этом базисе матрицей, все элементы кото-
которой— целые р-адические числа (Эйхлер [2], стр. 57).
Пусть Gk — множество преобразований меОп, матрица
которых имеет вид l-\-pkV, где V — матрица с целыми
р-адическими элементами. Предыдущее замечание пока-
показывает, что Gft — нормальный делитель группы Оп. Легко
доказывается, что Gk/Gk+i — абелева р-группа, не рав-
равная единице, и что пересечение подгрупп Gh содержит
только единичный элемент группы О„ (Дьёдонне [11]).
Сравнение с § 9 показывает, что этот случай в некотором
роде противоположен случаю v> 1.
Аналогичные примеры можно привести для ортого-
ортогональных групп On(K,f) от произвольного числа перемен-
переменных, так же как и для ортогональных групп Оп{К, Q)
над полем характеристики 2 и для унитарных групп
Un (К, f) (Дьёдонне [4]). Результаты § 8 о группах О?/й„
и пп П Zn также перестают быть справедливыми для ани-
анизотропных форм. Например, при К = R (поле действи-
действительных чисел) для положительно определенной формы /
имеем Qn= О^.хотя группа R*/R*2 состоит из 2 элемен-
элементов. Можно привести пример анизотропной симметричной
билинейной формы / от 4 переменных над полем Q ра-
рациональных чисел, дискриминант которой есть квадрат,
но для которой симметрия х—* — х не принадлежит ком-
коммутанту Qn (Дьёдонне [9], стр. 93). Можно также приве-
привести пример унитарной группы Un(K,f) от 2 переменных
над полем Q(\/2), для которой группа Vt не совпа-
совпадает со своим коммутантом, в противоположность ре-
результатам § 5 (Дьёдонне [10], стр. 948).

114 Гл. II. Структура классических групп
Предыдущие примеры строились для специальных по-
полей К. Легко устанавливается, что строение, например,
группы On(K,f) для анизотропной формы f существенно
зависит от основного поля К. Так, хорошо известно, что
группа On (Ry f), где / — анизотропная форма, проста
при п^3и«=й=4,вто время как строение ортогональ-
ортогональных групп от 3 переменных над р-адическими полями,
как было показано выше, совершенно иное.
Единственными типами полей, которые хорошо изу-
изучены с этой точки зрения, являются локально компакт-
компактные нормированные поля (характеристики Ф 2) и поля
алгебраических чисел. Что касается первых, то описан-
описанная выше ситуация, имеющая место для р-адических по-
полей, является общей для этого типа полей (Дьёдонне [11],
Эйхлер [2], стр. 57). Для р-адических и ft-адических полей
встречаются только случаи п = 3 и п = 4, поскольку при
п ]5г 5 всякая симметричная билинейная форма над та-
таким полем имеет индекс ^ 1 (Витт [1], стр. 40).
Изучение ортогональных групп над полем алгебраиче-
алгебраических чисел К тесно связано с теорией эквивалентности
квадратичных форм над таким полем (гл. I, § 8). Не
входя в детали этой теории, укажем, что она основана на
изучении квадратичных форм />, получаемых из формы f
расширением поля К до каждого из его локальных полей
К) (где *> — архимедово или неархимедово нормирование
поля К). Ее главные результаты выражаются удивитель-
удивительнейшим образом в виде принципа «.перехода от локаль-
локального к глобальному» х). Например, для того чтобы форма
f имела индекс ^ 1, необходимо и достаточно, чтобы она
обладала этим свойством над каждым из полей К$2).
Это приводит к предположению, что аналогичный прин-
принцип должен управлять строением ортогональных групп.
Это предположение частично подтверждается работами
Кнезера [1], основной результат которых (улучшающий
результаты, полученные ранее Дьёдонне [9], [10], [12] ме-
*) Этот принцип называют иногда «принципом Хассе». —Прим.
перев.
г) То есть чтобы этим свойством обладала каждая из форм
fp • — Прим. перев.

§ 12. Унитарные и ортогональные группы 115
нее мощным методом) состоит в доказательстве (при
v = 0) следующих трех теорем:
A) Пусть pi A =^ i =?i О — вещественные нормирова-
нормирования поля К, для которых форма ff имеет индекс 0. То-
Тогда при п~^Ъ спинорная норма определяет изоморфизм
группы 0%1<Эп на подгруппу группы К*/К*2, образован-
образованную классами чисел поля К, положительных в каждом из
полей Kjpt-
B) При п ]5г 2 и п ф 4 имеем О'п = Qn.
C) При п > 5 группа Рпп = Qn/(Qn П Zn) проста.
Для доказательства теоремы А) заметим, что образ
пространства К^ при отображении х -»• /„ (х, х) есть
все Kf для любого нормирования р поля К, отличного
от нормирований pt и (при п = 3) от конечного числа
неархимедовых нормирований qy, для которых форма fq
имеет индекс 0. Для каждого / образ пространства К%,
при отображении x-»-fq (x, х) есть дополнение к классу
*2
по модулю Kq, элемента 5^ Пусть теперь у^К таково,
что у > 0 в каждом из полей К},- Существует элемент
oei(, представляемый при любом i формой f и не
принадлежащий ни при каком / ни классу 6}, ни
классу y^/"' по модулю К1'г Элементы а и р = а~'у
представляются тогда формой f? при любом р и, значит,
формой f в силу принципа перехода от локального
к глобальному. Отсюда следует, что класс у по
модулю К*2 является спинорной нормой произведения
двух отражений. Тем самым теорема А) доказана.
Для доказательства теоремы В) рассмотрим сначала
случай п ^ 3. Всякое преобразование /еО+ представ-
представляется тогда в виде произведения двух отражений sa и
sb относительно гиперплоскостей, ортогональных к век-
векторам а и Ъ соответственно. При t^O'n можно считать,
что f(a,a) — f(b,b), и из теоремы Витта следует тогда,
что so и S& сопряжены в группе О„ и, значит, t e Qn.
Пусть теперь п > 5. Элемент /еО» представляется

116 Гл. II. Структура классических групп
в виде произведения отражений sa. (l^i^m). Затем
ищется плоскость Р cz /С", содержащая такие векторы bt,
что f(bi,bi) = f(ai,ai) при любом I. Отражения sa< и sft2
будут тогда сопряжены в группе Оп. Поэтому если обо-
обозначить через Y произведение отражений sbj, то ^7"'eQn,
и если / е О'„, то и /' е OJ,. Но /' можно рассматривать
как вращение в плоскости Р, и доказательство сводится
к первому случаю. Таким образом, остается доказать
существование плоскости Р. С этой целью строится ква-
квадратичная форма g(y, y) = f(av a,)(iii — &4j) в про-
пространстве /С2, принимающая значения /(a*,a,) (I ^ f =?i
^ m), для чего достаточно взять в качестве б норму эле-
элемента К расширения L поля К, порожденного квадрат-
квадратными корнями Vf {at, a{)/f (a,, а,)при 2 ^ i ^ m. Далее,
нужно показать, что в Кп существует плоскость Р, огра-
ограничение на которой формы / эквивалентно g. В силу
принципа перехода от локального к глобальному это
достаточно проверить над каждым из полей К$- Для не-
неархимедовых нормирований $ это вытекает из предполо-
предположения п ]5г 5. Небольшое дополнительное рассуждение
показывает, что это верно также и для архимедовых
нормирований.
Доказательство теоремы С) намного сложнее. Оно со-
состоит из двух частей. Сначала для произвольного нор-
нормального делителя N группы Qn, не содержащегося в ее
центре, доказывается, что
I) Af содержит нормальный делитель группы Оп, не
содержащийся в ее центре.
С этой целью доказывается, прежде всего, что
1) УУ содержит плоское вращение, отличное от 1. В са-
самом деле, пусть u^N — элемент, не лежащий в центре
группы Qn. Тогда существует такая плоскость Т, что
и(Т)Ф Т. Пусть t — вращение плоскости Т, принадлежа-
принадлежащее группе Qn. Тогда преобразование v = t~xut\rx при-
принадлежит N, отлично от 1 и оставляет неподвижными
векторы из подпространства V размерности ^ п — 4.
Пусть xel/j ортогонален к V и s — вращение плоско-
плоскости 5 = Кх + Ку, принадлежащее группе Qn и такое, что
s2 Ф 1. Тогда w = s^vsv1 будет искомым плоским вра-
вращением.

§ 12. Унитарные и ортогональные группы 117
Пусть W — плоскость вращения w. Предположим сна-
сначала, что для всякого вещественного нормирования fc
форма /j, и ее ограничение на подпространстве W0, орто-
ортогональном к W, либо обе имеют индексы 0, либо обе
имеют положительный индекс. Тогда теоремы А) и В),
примененные к W0 и к Кп, показывают, что О„ (/(,/) =
= Qn (К, f) Оп-2 (К, g), где g — ограничение формы / на
W0, и, значит, всякое преобразование вида sws~l, где
s е Оп, представляется также в виде twt~\ где t e Qn.
Отсюда следует, что нормальный делитель группы О„,
порожденный w, удовлетворяет требованиям предложе-
предложения I.
Если вращение w не удовлетворяет предыдущему
условию, то можно построить другое плоское вращение
«е N, которое ему удовлетворяет. Для этого рассмотрим
3-мерное подпространство V, содержащее W. Пусть h —
ограничение формы / на V. Рассмотрим вещественные
нормирования fc, для которых форма fp имеет положи-
положительный индекс. Легко видеть, что для каждого такого
нормирования в пространстве V<S>KKp, существует плос-
плоскость Uf, ортогональное дополнение ?/° к которой в про-
пространстве /С" содержит изотропные векторы. Пусть щ —
вращение плоскости U$, отличное от 1. Из простоты
группы Ot (R, Лр) = Оз(Я, Лр) вытекает, что up разла-
разлагается в произведение элементов вида sws'HwH'1, где s
и t принадлежат Q3(R,Л?), поскольку эти произведения
образуют нормальный делитель группы Q3(R, h$), не рав-
равный единице. Пусть fc>, A-^i-^m) — рассматриваемые
вещественные нормирования. Тогда при любом i элемент
щг может быть представлен в виде
~xtT
с одним и тем же k (поскольку всегда можно взять не-
несколько из элементов s^, 1ц равными 1), причем Эц и tij
принадлежат Qs(R, Л^)при 1 ^ / ^ k. Затем можно ис-
использовать следующую аппроксимационную лемму:
2) Пусть заданы конечное число нормирований %ц
A ^ ( ^ пг) поля К и для каждого i элемент Vi группы
0%(К Ь{) (соответственно Qn(Kvt, foj). Тогда суще-

118 Гл. II. Структура классических групп
ствует последовательность (vW) элементов группы
On (К, f) (соответственно Qn (К, f)), которая при каждом i
сходится к vt в группе On(Kpt, />г).
Эта лемма легко выводится из обычной аппроксима-
ционной теоремы для поля К с помощью представления
преобразований vt в виде произведения отражений.
Возвращаясь к доказательству утверждения I, приме-
применим лемму 2) к элементам s^ и Ьц при каждом /. Тогда
мы получим элемент aeJV П &з(К,Л), сколь угодно
близкий к элементу щ в группе Q3 (R> #t>,) при 1 ^ i ^
i^ т. Легко видеть, что при этом можно добиться того,
чтобы элемент и удовлетворял нашим требованиям.
Таким образом, можно предполагать, что N — нор-
нормальный делитель в группе Оп. Точнее, нужно доказать
следующее утверждение.
II) Всякий нормальный делитель N группы Оп, не со-
содержащийся в ее центре, но содержащийся в группе Qn,
совпадает с Qn.
Говорят, что гиперплоскость Н пространства Кп уни-
универсальна, если образы Я и Кп при отображении х—*
—*f(x,x) одинаковы. В силу принципа перехода от ло-
локального к глобальному это условие при п ^ 5 равно-
равносильно тому, что если а — вектор, ортогональный к Я, то
/>(а,а)> 0 (соответственно < 0) для всякого такого
вещественного нормирования fc, что сигнатура формы fp
равна (п—1, 1) (соответственно A, п—1)). Справед-
Справедливо следующее утверждение:
3) Группа Qn порождается произведениями отраже-
отражений s^SyS^-1, для которых гиперплоскость, ортогональ-
ортогональная к х, универсальна.
Достаточно (§ 6, п. 4) показать, что всякое произведе-
произведение и = s~Hst~l (s и t — отражения) представляется в
виде s-lsysxs~l, где х удовлетворяет условию нашего ут-
утверждения. Преобразование и является плоским враще-
вращением. В его плоскости имеется вектор х, ортогональный
к некоторой универсальной гиперплоскости. Это следует
из предыдущей характеризации таких векторов и из ап-
проксимационной теоремы для поля К- Тогда и = sxsz,
причем можно считать, что f(x,x) = f(z,z), поскольку
спинорная норма и равна 1. Пусть sy — отражение, пере-

§ 12. Унитарные и ортогональные группы 119
ставляющее х и z. Тогда и = s~lsvsxs~l, что и требова-
требовалось доказать.
Таким образом, достаточно доказать, что образующие
группы Qn, рассмотренные в лемме 3, принадлежат N.
Это вытекает из следующей леммы:
4) Если а и b — два таких вектора пространства Кп,
что аф±Ь, f(a,a) = f(b,b), и если гиперплоскость Я
отражения, переставляющего а и Ь, универсальна, то су-
существует такой элемент t^N, что t(a) = b.
Действительно, предположим, что эта лемма дока-
доказана. В обозначениях леммы 3 ограничимся случаем,
когда 8х(у)ф±у (иначе s-lsysxs~^= 1), и применим
лемму 4 к векторам у и sx(y). Тогда получим sx(y) =
= t(y), где /eJV. Преобразование /~'sx = u перестано-
перестановочно с sv, так что sj'sySxS^1 = u~x(r1sytsy'1)не N.
Лемма 4) будет вытекать из следующей леммы:
5) В предположениях леммы 4 существуют такие эле-
элементы u^N и с<^Кп, что f(c,c) — f(a,a), f(a,c) =
= f(b,c) = f(a,u(a)).
В самом деле, тогда в силу теоремы Витта сущест-
существуют такие преобразования v, w из О„, что v(a) = a,
v(u(a)) = с, w(a)=b, w(u(a)) = с и элемент t =
= {wuw~x)~l (vuv~]) удовлетворяет требованиям леммы 4).
Доказательство самой леммы 5) разбивается на не-
несколько этапов.
6) Существует такое преобразование v e Qn, что
v(a)^H (т.е. f(a,v(a)) = f(b,v(a))) и v(a) не лежит
в плоскости Р = Ка-\- Kb.
В силу предположения относительно Н существует
такой вектор ее Я, что f(e,e) = f(a,a), и по теореме
Витта существует такое преобразование vi e Оп, что
V\(a) = e. Умножив vi в случае необходимости на отра-
отражение относительно Я, можно считать, что v\^. О*. Обо-
Обозначим через g ограничение формы f на Я. Из предполо-
предположения об универсальности Я вытекает, что группы спи-
норных норм для / и для g одинаковы. Следовательно,
существует такое преобразование v2 e On-i(K, g), что
v2vx s О'п (К, f) = Qn (К, f) (в силу теоремы В)), если рас-
рассматривать v2 как элемент группы On(K,f), считая, что
ОНО тождественно на векторах, ортогональных к Я.

12Э Гл. //. Структура классических групп
Наконец, можно найти такое преобразование v3 e
eOn-i(/C,g), что vz(v2(v\(a)))^P. Обозначая той же
буквой г>з продолжение из До преобразования простран-
пространства /С", видим, что преобразование v = VsV2Vi удовле-
удовлетворяет требованиям леммы 6.
Рассмотрим теперь подпространство Р°, ортогональ-
ортогональное к Р, и пусть ft» (I ^.i^Lm) — нормирования (архи-
(архимедовы или неархимедовы), для которых ограничение
формы ff на Р° ®/с Кр, анизотропно (таких нормирова-
нормирований имеется конечное число, поскольку dimP° ^ 3). Так
как п ^ 5, то группы PQn(K?., fp.), как известно, просты.
Если w — элемент из N, не содержащийся в центре груп-
группы О„, то при каждом i имеем
V = SnWsrftnW^tTl1 ¦ ¦ ¦ SikWSTktikW~ltTk,
где Sn и tij лежат в пп(Крг ht)- Применяя к Stj и t^ лем-
лемму 2), можно сделать вывод о существовании элемента
и^ N, сколь угодно близкого к v в каждой из групп
й„ [/Срг fp{)- Теперь можно применить следующую лемму
непрерывности:
¦7) Пусть L — не дискретное полное нормированное
поле характеристики ф1 и g(x, х)= 2 o-ijltl/ — невы-
невырожденная квадратичная форма в пространстве Ln. То-
Тогда существует такое е > 0, что из соотношений
J а'ц — а,/|^8 для любой пары (i, /) следует, что ква-
квадратичная форма g' (x, х) = 2 аг/1,1/ эквивалентна фор-
форме g(x,x).
Этот результат легко получается из возможности из-
извлечь квадратный корень в L из всякого элемента, доста-
достаточно близкого к 1.
Пусть теперь g(x, x)—квадратичная форма в про-
пространстве К3, определяемая для векторов канонического
базиса (а',Ь',с') равенствами g(a',a') = g(b',b') =
= g(c',c')=f(a,a), g(a',b')=f(a,b), g{a',c') =
= g(b', c') = f(a,u{a)). С помощью леммы 7) устанавли-
устанавливается, что если взять преобразование и достаточно близ-
близким к и в каждой из групп Й„(/С^, />.), то форма g<?{ при
4юбом i будет эквивалентна ограничению формы /> на

§ IS. Группы подобий QVn (К, /) 121
подпространстве Qt c= Kpt, порожденном векторами а, Ь
и v(a). Пусть d'— вектор пространства К3, ортогональ-
ортогональный (относительно g) векторам а' и Ь'. Из предыдущего
следует, что для любого i существует такой вектор
dt е= Р° <8>к Кь, что fV{ (dt, dt) = gPi (df, d'). С другой
стороны, для любого нормирования jj, отличного от Хн,
ограничение формы fp на Р°<8>кКр имеет положитель-
положительный индекс и, значит, существует такой вектор dp e
еР° <8>к Kv> что fp (dp, dp) = gp (dr, d'). Согласно принципу
перехода от локального к глобальному, существует такой
вектор d е Р°, что f(d, d) = g(d', d'). В силу определения
формы g отсюда немедленно следует, что существует
вектор с, удовлетворяющий требованиям леммы 5. Этим
завершается доказательство теоремы С).
Таким образом, для поля алгебраических чисел К
остается только выяснить структуру группы O3(K,f) при
v = 0 (поскольку структура группы O4(K,f) будет тогда
ясна ввиду результатов § 9). На этот счет имеются ре-
результаты только для случая, когда К есть поле Q рацио-
рациональных чисел или, более общо, поле, имеющее только
одно вещественное нормирование. А именно, тогда можно
доказать, используя структуру ортогональной группы от
3 переменных над />-адическим полем, что при v = О
группа Os(K,f) допускает такую убывающую последова-
последовательность нормальных делителей G^, что группы Gk/Gk+i
абелевы и пересечение всех Gh есть единица (Дьёдонне
[И]).
Укажем, что Кнезер [1] получил аналогичные резуль-
результаты для унитарных групп над полями алгебраических
чисел.
§ 13. Группы подобий GUn(K,f)
Мы ограничимся случаем, когда тело К коммутатив-
коммутативно. Пусть Лиг — определитель и множитель подобия
«6 GUn(K,f). Из соотношения B3) § 9 гл. I получаем
Если п = 2пг + 1 нечетно, то, полагая А = гтц, из
предыдущего соотношения находим, что г = \i\iJ и,

122 Гл. 11. Структура классических групп
значит, перобразование й]Г и, где Ар, — гомотетия х —*хц,
принадлежит группе Un(K,f). Таким образом, в этом
случае группа GUn(K,f) есть произведение (вообще го-
говоря, не прямое) группы Zn гомотетий и унитарной
группы Un (К, f) ¦ Что касается ортогональных групп над
полем К характеристики Ф2, группа GOn(K,f) при не-
нечетном п есть прямое произведение группы Zn и группы
вращений Ot (К, f) (см. § 6, п. 2).
Если п = 2т четно, то Д = цгт, где цц7 = 1. Подо-
Подобия, для которых Л = rm, называются прямыми подо-
подобиями и образуют нормальный делитель GUt (К, f) в
группе GUn(K,f). Если J ф \, то факторгруппа
GUn/GUt изоморфна группе элементов поля К с нормой
1, поскольку в группе Un(K,f) существуют преобразова-
преобразования с определителем, равным любому элементу с нор-
нормой 1.
Из предыдущего следует, что группа M(f) множите-
множителей подобий одинакова для GUn и для GUt. Кроме
того, если /о — приведенная анизотропная форма для
формы f (от 2(пг — v) переменных; см. гл. I, § 11), то
M(f) =M(f0). В частности, для симплектической груп-
группы M(f) = К.*; вообще, это верно, если v = m. Струк-
Структура группы M(f) для четного п — 2пг н анизотропной
формы / в общем случае не известна. Можно только до-
доказать (Дьёдонне [21]), что M(f) есть подгруппа группы
N(A) элементов поля Ко (поля инвариантов инволюции
/), имеющих вид aaJ + (—l)m~lAbbJ; но, вообще говоря,
M(f) Ф N(S) *). В случае, когда К — поле алгебраиче-
алгебраических чисел, можно полностью описать подгруппу M(f)
в группе М(Д) (см. там же) как для унитарных групп
(/ ф 1), так и для ортогональных.
Для группы GOn(K,f) ортогональных подобий (над
полем К характеристики Ф2) можно представить ее
элементы при помощи алгебры Клиффорда (Эйхлер
[1], [2]). Для всякого подобия и с множителем г„ и для
всякого произведения *iX2 • • • Хщ четного числа векторов
пространства Е (погруженного в C(f)) положим
*) Здесь Д — дискриминант формы /. — Прим. перев.

§ 13. Группы подобий GUn(K,f) 123
«(*!••• X2k)= ro *" (*i) • • • u (X2k)- Можно доказать, что
это определение не зависит от представления данного
элемента в виде произведения векторов пространства Е
и что определенное таким образом преобразование й ал-
алгебры C+(f) является ее автоморфизмом. Для того что-
чтобы и было прямым подобием (в случае, когда п = 2т),
необходимо и достаточно, чтобы й было тождественно
на элементах центра Т алгебры C+(f). В этом случае й
является внутренним автоморфизмом z-*-suzs~l, где
su — элемент алгебры C+(f), определенный с точностью
до множителя из Т. Кроме того, suslu содержится в Г, и
даже в К, если m нечетно. Более детальное изучение
подобий с этой точки зрения см. в работе Воненбурге-
Ра [2].

Глава III
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ
КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
§ 1. Основная теорема проективной геометрии
Пусть Е, Е' — правые векторные пространства одина-
одинаковой размерности п над телами К, К' соответственно.
Если К и К' изоморфны, то всякое биективное полу-
полулинейное отображение и пространства Е на простран-
пространство Е' определяет посредством факторизации биектив-
биективное отображение п проективного пространства Р(Е) на
проективное пространство Р(Е'), преобразующее каж-
каждое проективное линейное многообразие в проективное
линейное многообразие той же размерности. «Основная
теорема проективной геометрии» является обращением
этого утверждения. Более точно, ее формулировка та-
такова:
1) Пусть ф — биективное отображение пространства
Р(Е) на пространство Р(Е'), преобразующие любые три
коллинеарные точки пространства Р{Е) в три колли-
неарные точки пространства Р(Е'). Тогда, если п ^ 3,
тела К и К' изоморфны и ф = п, где и — биективное
полулинейное отображение пространства Е на простран-
пространство Е'.
Заметим вначале, что из предположения, сделанного
относительно ф, следует, что для всякого проективного
линейного многообразия VczP(E) размерности
р ^ п—1 множество <p(V) также является р-мерным
проективным линейным многообразием. В самом деле,
пусть а,К A sg: i sg: p + 1) — проективно независимые
точки пространства Р(Е), порождающие многообразие
V. Тогда ф(К) содержится в проективном линейном
многообразии V, порожденном точками ф^/С)
A < i< P+ !)¦ Дополним систему (щI<1<р + 1 до
базиса (а*),<;<„пространства Е. Поскольку \(Р(Е)) =
= Р(Е') содержится в проективном линейном многооб-

§ 1. Основная теорема проективной геометрии 125
разии, порожденном п точками ф(аД) A ^ i ^ «), эти
точки проективно независимы. Тем более проективно не-
независимы р + 1 точек ф(аг/С), 1 ^ i < р + 1- Если бы
множество (p(V) было отлично от V, то нашлась бы та-
такая точка аК пространства Р(Е), не принадлежащая
Рис. 1.
многообразию V, что ф(а/()(= V, и тогда (р + 1)-мер-
ное многообразие Vi, порожденное V и а/С, при отобра-
отображении ф переходило бы в множество, лежащее в р-мер-
ном многообразии V, что, как мы только что видели, не-
невозможно.
Рассмотрим теперь базис (ei)l<i<n пространства Е,
точки eiK, e2K и епК пространства Р(Е) и их образы
е\К' = ^{е1К), е'2К' = <р(е2К) и </С' = ф(е„/С) в про-
пространстве Р{Е'). Векторы е'и ei и е'п линейно независи-
независимы в пространстве Е'. Обозначим через D проективную
прямую, порожденную точками et/C и е2К, и через F —
проективную плоскость, порожденную D и епК. Поло-
Положим D' = ф(?>), F' = ф(^). Всякая точка плоскости F,
не лежащая на прямой D, единственным образом пред-
представляется в виде (eiai -f- бгаг + еп)К, так что дополне-
дополнение к D в F может быть отождествлено с векторным
пространством L =.ei/C + e2K. Всякой прямой плоскости
F, отличной от D, соответствует прямая пространства L,
причем любым двум прямым плоскости F, точка пере-
пересечения которых принадлежит D, соответствуют парал-
параллельные прямые пространства L (т. е. прямые, получаю-
получающиеся одна из другой параллельным переносом). Отож-
Отождествляя аналогичным образом дополнение к прямой
D' в плоскости F' с векторным пространством L' =
= е\К' + е'гК', получаем, исходя из отображения ф, би-

126 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп
ективное отображение g пространства L на простран-
пространство U, преобразующее всякую прямую в прямую и
любые две параллельные прямые в параллельные пря-
прямые. Кроме гого, g@) =0, и можно считать, что
g(ei) = e'u g(e2) = e2
) g()
Как показано на рисунках 1 и 2, при помощи прове-
проведения параллельных прямых в пространстве L можно,
исходя из данных элементов а, р тела К, получить эле-
элементы а + р и ар как абсциссы точек прямой ei/C-
Следовательно, g (eig) = eig0, где g -*¦ g° — такое би-
биективное отображение тела К на тело К', что (g + т])(Г=
= gor + T)<r и {\х[)а = V40- Иначе говоря, .а — изомор-
изоморфизм тела К на тело К'. Далее, поскольку прямая, со-
соединяющая точки ejg и ег| в пространстве L, параллель-
параллельна прямой, соединяющей точки е4 и е2, то g (e2g) = е'<?.
Наконец, точка eia + е2р пространства L получается
как пересечение прямых, проведенных через eta и е2р
параллельно прямым е2 и ву соответственно'). Следова-
Следовательно, g {е\а + е2р) = е\аа + егР", так что ^ —полули-
') То есть прямым, проведенным через 0 и ej и через 0 и е%
соответственно. — Прим, nepef,

§ t. Основная теорема проективной геометрии 127
нейное (относительно изоморфизма а) отображение
пространства L на пространство Z/.
Это рассуждение применимо к любой паре точек
(etK, ejK), где 1^/</^п—1. Обозначим через и
полулинейное относительно изоморфизма а отображение
пространства Е на пространство Е', определяемое равен-
равенствами и (ei) = e't (I ^ i ^и)'). Если ы — соответствую-
соответствующее отображение пространства Р(Е) на пространство
Р(Е'), то пг\ будет преобразованием пространства
Р(Е), переводящим прямые в прямые и оставляющим
на месте все точки каждой из прямых, соединяющих
две точки в{К, ejK. Индукцией по р отсюда легко выво-
выводится, что это преобразование оставляет на месте все
точки /^-мерного линейного многообразия, определяемого
любыми р + 1 точками из числа в{К. При р = п — 1 по-
получаем ф = п.
Имеется следующий вариант основной теоремы:
2) Пусть ф — биективное отображение пространства
Р{Е) на пространство Р(Е'), при котором образ любого
р-мерного проективного линейного многообразия (где
р — фиксированное целое число, удовлетворяющее не-
неравенствам 1 г^ р ^ п — 2) содержится в р-мерном про-
проективном линейном многообразии. Тогда справедливо
заключение теоремы 1).
Случай, когда р = 1, составляет содержание теоре-
теоремы 1). Доказательство теоремы 2) можно свести к этому
случаю путем постепенного понижения размерности р,
если доказать, что в условиях теоремы образ всякого
(р—1)-мерного линейного многообразия V содержится
в (р—1)-мерном линейном многообразии.
Многообразие V есть пересечение содержащих его
р-мерных многообразий. Их образы при отображении q>
не могут содержаться в одном и том же р-мерном много-
многообразии, так как тогда ф(Р(?)) не совпадало бы с
Р(Е'). Пусть Wi и Wz — два таких /?-мерных многообра-
многообразия, что V = №| П W2 и <p(Wi) с W'u y(W2)c:W2, где Щ
') Векторы et A<?<л— 1) необходимо предварительно
нормировать таким образом, чтобы <р {(ei + еп) К) = [е\ + е'п) К.'. —
Прим. мрев.

128 Гл. 111. Геометрическая харакТеризация классических групп
и Wr2 — различные р-мерные . многообразия. Тогда
(f>(V)c:Wif\ W'2, откуда и вытекает доказываемое утверж-
утверждение.
При Е = Е' предыдущие теоремы дают геометриче-
геометрическую характеризацию коллинеаций пространства Е, т. е.
элементов группы РГЬп(К). Они, очевидно, неверны при
п = 21). В этом случае коллинеаций (или корреляции)
можно охарактеризовать как отображения, сохраняю-
сохраняющие двойные отношения, равные какому-либо элементу
центра тела К, отличному от 0 и 1 и инвариантному от-
относительно соответствующего автоморфизма (или анти-
антиавтоморфизма). См. по этому поводу Анкочеа [1], Хуа
[7], Бэр [3], стр. 78—93.
При п ^ 3 основная теорема дает также характери-
характеризацию корреляций, если взять в качестве Е' простран-
пространство Е*, дуальное к Е.
§ 2. Преобразования, сохраняющие «соседство»
I. Преобразования грассманианов
В обозначениях § 1 пусть ОГ(Е) — множество г-мер-
ных проективных линейных многообразий пространства
Р(Е) @^г^п—\). Тогда G0(E) = Р(Е); при г > О
множество Gr(E) называется грассманианом индекса г
пространства Е. Всякое биективное полулинейное ото-
отображение и пространства Е на пространство Е' (если
оно существует, т. е. если тела К а К' изоморфны) опре-
определяет биективное отображение пг множества Gr(E) на
множество Gr(E') (в частности, п0 — это отображение,
обозначавшееся в § 1 через и). Кроме того, при 2г ==
= п — 2 можно определить следующим образом биек-
биективное отображение сог множества Gr(E) на множество
Gr(E*) (где Е* — пространство, дуальное к Е). Всякое
r-мерное проективное линейное многообразие V про-
пространства Р(Е) представляется в виде V = P(W), где
W а Е — подпространство размерности г -f- 1 = п/2.
Пусть W с: Е* — «ортогональное» ему подпростран-
') Точнее, теорема 1) неверна, а теорема 2) бессодержательна.—
Прим. перев.

§ 2. Преобразования, сохраняющие «соседство» 129
ство, образованное линейными формами, обращаю-
обращающимися в 0 на W. Это левое векторное пространство над
К, или правое векторное пространство над К°, размер-
размерности п/2. Множество P(W') будет r-мерным проектив-
проективным линейным многообразием в пространстве Р(Е*).
В этих обозначениях положим cor(V) = P(W).
Желательно получить «геометрическую» характери-
зацию отображений пг и шг при г ф О, подобную той, ка-
какую дает основная теорема проективной геометрии для
отображений щ. С этой целью вводится понятие откло-
отклонения двух многообразий Vi, Vz, принадлежащих Gr(E).
Отклонение считается равным t, если пересечение
Vi Л V* имеет размерность г — t. Это равносильно тому,
что наименьшее линейное многообразие, содержащее
Vi и Vz, имеет размерность г -\-1. Два r-мерных линей-
линейных многообразия Vit V2 называются соседними, если их
отклонение равно 1. Отклонение двух линейных много-
многообразий Vi e Gr(E), Уг е Gr(E) может быть определено
также как наименьшее целое число /, для которого су-
существует такая конечная последовательность (?/,), со-
состоящая из t -f- 1 элементов множества Gr(E), что
Ui = Vu Ut+i = V2 и многообразия Uit t/,+i являются
соседними при 1 ^ i ^ t.
Это последнее замечание показывает, что если ф —
биективное отображение множества Gr(E) на GT{E'), то
Ф сохраняет отклонение любых двух многообразий тог-
тогда и только тогда, когда ф и ф преобразуют любые два
соседних многообразия в соседние многообразия. Иско-
Искомая характеризация отображений пг дается следующей
теоремой (Чоу [1]).
При и^З и 0 < г < п — 2 всякое биективное ото-
отображение ф множества Gr(E) на множество Gr(E'), со-
сохраняющее отклонение любых двух многообразий, яв-
является отображением вида пг, где и — биективное полу-
полулинейное отображение пространства Е на пространство
Е', либо {при 2г = п — 2) — отображением вида пгоаг,
где v — биективное полулинейное отображение про-
пространства Е* на пространство Е'.
б Ж. Дьёдонне

130 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп
Мы ограничимся тем, что наметим в общих чертах
доказательство этой теоремы.
a) В Gr(E) рассматриваются максимальные подмно-
подмножества, состоящие из попарно соседних многообразий.
Доказывается, что всякое такое множество состоит либо
из всех r-мерных линейных многообразий, содержащих
некоторое (г—1)-мерное линейное многообразие (мно-
(множество первого типа), либо из всех r-мерных линейных
многообразий, содержащихся в некотором (г -f-1) -мер-
-мерном линейном многообразии (множество второго типа).
b) Образ при отображении ф максимального множе-
множества первого типа есть максимальное множество в
Gr(E'), которое априори может быть первого или вто-
второго типа. Но если для какого-нибудь одного макси-
максимального множества ЯЯ первого типа фBЯ) есть множе-
множество первого типа, то образ при отображении ф любого
другого максимального множества SWi первого типа есть
также множество первого типа. Доказательство этого
утверждения сводится к случаю, когда 2Я и 2ttt соответ-
соответствуют соседним (г — 1) -мерным линейным многообра-
многообразиям. В этом случае достаточно заметить, что пересече-
пересечение 301Л SWi содержит только один элемент, в то время
как пересечение максимального множества первого типа
и максимального множества второго типа, если оно не
пусто, содержит не менее двух элементов.
c) Ввиду описания максимальных множеств, данного
в п. а), из п. Ь) получаем биективное отображение ф4
множества G,-i(?) на Gr-i{E') или на Gr+i(Ef). Так
как два (г—1)-мерных (соответственно (г -f-1) -мер-
-мерных) линейных многообразия являются соседними тог-
тогда и только тогда, когда соответствующие им макси-
максимальные множества имеют общий элемент, то отображе-
отображения ф, и ф,-' преобразуют соседние многообразия в со-
соседние.
d) Если 2г ф п — 2, то из изложенного выше сле-
следует, что ф1 отображает Gr-i(E) на Gr-i(Б'). В самом
деле, если 2г < « — 2, то отклонение двух (г— ^-мер-
^-мерных линейных многообразий не превосходит г, в то
время как два (г + 1)-мерных линейных многообразия
могут иметь отклонение г+1. Аналогично, если

§ 3. Преобразования, сохраняющие €соседство» 131
2г > п — 2, от отклонение двух (г -f- 1) -мерных линей-
линейных многообразий не превосходит п — г — 2, в то время
как существуют (г—1)-мерные линейные многообра-
многообразия, имеющие отклонение не менее п — г— 1. Постепен-
Постепенным понижением размерности получается в конце кон-
концов такое биективное отображение t|> пространства Р(Е)
на пространство Р(Е'), что t|)(V) = (p(V) для любого
r-мерного линейного многообразия V <z.P{E). Утвержде-
Утверждение 2) § 1 позволяет вывести отсюда заключение тео-
теоремы.
е) Если 2г = п — 2 и <р отображает каждое макси-
максимальное множество первого типа в максимальное мно-
множество второго типа, то ф°(о-' отображает всякое мак-
максимальное множество первого типа в ОГ(Е*) в макси-
максимальное множество первого типа в Gr(E'), и доказа-
доказательство сводится к рассмотренному выше случаю.
§ 3. Преобразования, сохраняющие «соседство»
II. Преобразования пространств изотропных многообразий
Предположим теперь, что в пространстве Е задана
невырожденная полуторалинейная форма f(x,y), эрми-
эрмитова или косоэрмитова. Если характеристика тела К
равна 2, мы будем предполагать, что / есть Г-форма
(гл. I, § 10). Кроме того, мы будем предполагать, что
индекс г + 1 формы f не меньше 1. Линейное многообра-
многообразие V пространства Р(Е) будем называть изотропным
(соответственно вполне изотропным), если оно имеет вид
P(W), где W—изотропное (соответственно вполне изо-
изотропное) подпространство пространства Е (относитель-
(относительно формы /). Через NS(E) (или Ns) мы будем обозна-
обозначать множество s-мерных вполне изотропных многооб-
многообразий пространства Р(Е). Всякое полуподобие ые
s rUn(K,f) определяет очевидным образом биектив-
биективное преобразование пт множества NT. Желательно было
бы получить геометрическую характеризацию таких пре-
преобразований. Эта характеризация дается следующей
теоремой, аналогичной теореме § 2 (Чоу [1], Дьёдонне
[8]):

132 Гл. III. Геометрическая характеризация классических^ групп
При 2<г<[га^1 (и, значит, п ^ 6) всякое биек-
биективное преобразование ф множества Nr{E), обладающее
тем свойством, что ф и ф преобразуют любые два сосед-
соседних многообразия в соседние, имеет вид пт, где и — не-
некоторое полуподобие.
Свойства вполне изотропных подпространств (гл. I,
§ 11) позволяют, прежде всего, доказать следующие две
леммы:
a) Пусть Vi, V2 — два вполне изотропных многообра-
многообразия одинаковой размерности s ^ г. Тогда существуют
два вполне изотропных многообразия Wit W% макси-
максимальной размерности г, такие, что Vi с Wu V2 cr W2 и
Wt П W2 = Vi П У г.
b) Пусть Vu Vz — два вполне изотропных многообра-
многообразия одинаковой размерности s ^ г, и пусть s — t — раз-
размерность их пересечения. Тогда существует такая конеч-
конечная последовательность {Wk)x<k<t+[ вполне изотропных
многообразий размерности s, что IFi = Vu Wt+i = V2 и
многообразия Wh, Wh+i являются соседними при 1 ^
^ А< t.
Далее, как и в § 2, рассматриваются максимальные
множества попарно соседних r-мерных вполне изотроп-
изотропных многообразий. Последовательно проверяются сле-
следующие свойства:
c) Всякое максимальное множество есть множество
всех вполне изотропных многообразий, содержащих не-
некоторое вполне изотропное многообразие размерности
г — 1.
d) Так как преобразование ф, а также qr1 переводит
всякое максимальное множество в максимальное мно-
множество, то, ввиду с), возникает биективное преобразо-
преобразование ф1 множества Nr-i(E) вполне изотропных многооб-
многообразий размерности г— 1. Используя а), можно показать,
что ф, и фр' переводят любые два соседних многообра-
многообразия в соседние и что (г—1)-мерные вполне изотроп-
изотропные многообразия, содержащиеся в r-мерном вполне
изотропном многообразии V, при преобразовании ф[
переходят в (г—1)-мерные вполне изотропные много-
многообразия, содержащиеся в ф(У).

§ 3. Преобразования, сохраняющие «соседство» 133
e) Постепенно понижая размерность s, можно таким
образом определить биективное преобразование фг_3
множества N8(E), такое, что q>r_s и tf~J_s переводят со-
соседние многообразия в соседние. При s = О получается
биективное преобразование g = qv множества N0(E)
изотропных точек пространства Р(Е). Это преобразова-
преобразование обладает тем свойством, что если V — P(W) —
вполне изотропное многообразие размерности s ^ г, то
множество g(V), состоящее из образов точек из V при
преобразовании g, совпадает с фг_8(У). Предположение
г ^ 2 позволяет тогда применить основную теорему
проективной геометрии (§1). Это дает следующее свой-
свойство преобразования g: если V = P(W) есть г-мерное
вполне изотропное многообразие и ф(У) = P{W), то
ограничение g на V имеет вид Hw, где uw — биективное
полулинейное отображение пространства W на простран-
пространство W. Кроме того, для всех V е Nr(E) автоморфизм
тела К, соответствующий отображению Uw, один и тот
же с точностью до внутреннего автоморфизма и, следо-
следовательно, может быть сделан одинаковым для всех
V^Nr(E). Это доказывается сначала для двух сосед-
соседних многообразий Vi, V2, а затем применяется Ь).
Если п четно и форма f знакопеременная, то Мо(?) =
= Р(Е) и g есть тогда биективное преобразование
пространства Р(Е), преобразующее любые две ортого-
ортогональные (в смысле формы /) точки в ортогональные.
Так как всякая гиперплоскость пространства Р(Е) об-
образована точками, ортогональными к одной из ее точек,
то преобразование g переводит гиперплоскости в гипер-
гиперплоскости. Основная теорема проективной геометрии
показывает тогда, что g = п, где и — полулинейное пре-
преобразование пространства Е. Выбрав в Е симплектиче-
ский базис и записав условие того, что и преобразует
ортогональные векторы в ортогональные, легко пока-
показать, что и — полуподобие.
f) В общем случае рассмотрим два многообразия
Vie Nr(E), F2eiVr(?), не имеющие общих точек.
Пусть Uo = P(W0) — Bг+ 1)-мерное проективное ли-
линейное многообразие, которое ими порождается. Можно
показать, что существует такое биективное полулиней-
полулинейное отображение v0 пространства Wa на Bг + 2)-мерное

134 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп
подпространство пространства Е, что vo(x) = g(x) для
любой изотропной точки x<=U0 (Чоу [1], стр. 47). Затем
образуется возрастающая последовательность Uo, ?Л, .. •
... ,?/п-2г-2 проективных линейных многообразий про-
пространства Р(Е) таким образом, что многообразие f/ft+i
порождается многообразием ?4 и изотропной точкой, не
ортогональной к Uk. Пусть Un = P(Wk). Рекуррентным
образом строится такая последовательность Уо. Wi, ...
..., vn-2r-2 — и биективных полулинейных отображений,
что Vh определено на Wk, Vk+i продолжает Vh и vu(x)=^
= g(x) для всякой изотропной точки х е Uk (Дьёдонне
[8], стр. 298—299). Тогда и будет биективным полули-
полулинейным преобразованием пространства Е, причем
U(V) = <J>(V) для любого многообразия V^Nr(E).
Кроме того, показывается, что и преобразует ортого-
ортогональные векторы в ортогональные. Для этого исполь-
используется тот факт, что изотропная, но не вполне изотроп-
изотропная прямая характеризуется тем, что она содержит
только одну изотропную точку и, следовательно, перехо-
переходит при преобразовании п в прямую того же типа.
Окончание доказательства проводится так же, как
в п. е).
Замечания. 1) Пусть Е' — второе пространство той
же размерности, что и Е, и f — эрмитова или косоэрми-
това невырожденная полуторалинейная форма на
Е'У^Е', имеющая тот же индекс г+ 1, что и /. Вместо
сохраняющих соседство биективных отображений мно-
множества Nr{E) на себя можно рассматривать такие би-
биективные отображения ф множества Nr(E) на множе-
множество Nr(E'), что ф и ф сохраняют соседство. Таким же
образом доказывается, что тела скаляров К, К' про-
пространств Е, Е' изоморфны и что ф = пт, где и — такое
биективное полулинейное отображение пространства Е
на пространство Е', что f'(u(x), u(y))= \i(f{x, y))a, где
а — изоморфизм тела К на тело К', соответствующий
отображению и, а ц — отличный от нуля элемент тела
К'.
2) Предыдущие рассуждения легко распространяют-
распространяются на случай, когда характеристика тела К равна 2, а в
пространстве Е задана недефектная квадратичная фор-
форма Q индекса г+ 1 ^ 1. Будем называть особыми про-

$ S. ЛреобраэованиА, еохранАющие €соседство» 135
ективные линейные многообразия V = P(W) простран-
пространства Р(Е), для которых W — особое подпространство в
Е (относительно формы Q). Обозначим через Ne(E)
множество особых многообразий размерности s ^ г.
Тогда теорема, сформулированная в начале этого па-
параграфа, остается справедливой, а ее доказательство —
неизменным, с точностью до того, что нужно повсюду
заменить вполне изотропные многообразия на особые
(Дьёдонне [8]).
3) Теорема, доказанная выше при условии г ^ 2, не-
неверна при г = О, поскольку тогда любые два элемента
из Nr{E) будут соседними. Она также неверна при
г = 1, п = 4, когда К коммутативно и f — симметрич-
симметричная билинейная форма. Это следует из того, что мно-
множество Nr (E) является тогда объединением двух таких
подмножеств N* и N7, что два многообразия, принадле-
принадлежащие одному из них, никогда не являются соседними,
в то время как многообразие из N7 и многообразие
из N7 — всегда соседние (классические свойства «пря-
«прямолинейных образующих» квадрик; см. § 6 гл. II и § 4
этой.главы). Всякое преобразование <р, переставляющее
произвольным образом элементы множества N7, с од-
одной стороны, и элементы множества N7— с другой,
удовлетворяет условию теоремы. Неизвестно, справед-
справедлива ли теорема в других случаях, когда г = 1.
4) Из результатов Чоу вытекают как частные случаи
многочисленные теоремы, доказанные ранее Хуа [1J, [2],
[4], [6] и выраженные на языке теории матриц. Рассмот-
Рассмотрим, например, случай, когда пространство Е имеет чет-
четную размерность 2т, а форма f знакопеременна (и, зна-
значит, тело К коммутативно). Пусть («<),,-;,<2т— симп-
лектический базис пространства Е относительно формы
/. Используя обозначения Хуа, сопоставим каждому век-
вектору пространства Е строку из его 2пг координат в ба-
базисе (е*). Для m векторов zit..., zm матрицу, составлен-
составленную из соответствующих им строк, запишем в виде
(X, Y), где Хи Y — квадратные матрицы порядка пг.
Если z\, ..., z?,—-другие m векторов и (X', Y') — соот-
соответствующая матрица, то непосредственно проверяется,

136 Гл. ///. Геометрическая характеризйция классических групп
что матрица (f{zt, z,)) равна
F(X, Y, X', Г) = (*, Y
0 Im\('X'\
_Im o){'Y'J'
Следовательно, условие «f(Zi,Zj) = О для всех i, /» мо-
может быть записано в виде
F(X,Y,X,Y) = 0. A)
При этом, для того чтобы вполне изотропное подпро-
подпространство W, порожденное векторами zt, имело размер-
размерность /и, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
(X, Y) равнялся т. Пару {X, У) квадратных матриц по-
порядка т, удовлетворяющую этим условиям, Хуа назы-
называет симметричной парой. Это название объясняется
тем, что если, например, матрица Y обратима, то усло-
условие A) может быть записано в виде (Y~lX) = г(У~*Х)
и означает, таким образом, что матрица Z = Y~lX сим-
симметрична. Для того чтобы две симметричные пары
(X, Y) и (Xt, Yi) определяли одно и то же вполне изо-
изотропное подпространство W, необходимо и достаточно,
чтобы существовала такая обратимая квадратная мат-
матрица Q порядка т, что (Хи Yi) = Q(X,Y). В случае
когда матрицы Y и Ki обратимы, это означает, что
Y~1Xi = Y~lX. Множество Nm-i(E) может быть, таким
образом, отождествлено с множеством классов симмет-
симметричных пар относительно указанного выше отношения
эквивалентности или с множеством симметричных мат-
матриц порядка т, пополненным «бесконечно удаленными»
элементами (соответствующими симметричным парам,
в которых матрица У необратима). Далее, показывает-
показывается, что отклонение двух многообразий V — P(W),
Vi = P{W\), соответствующих симметричным парам
(X, Y), (Xu Yi), равно рангу квадратной матрицы
F(X, Y,Xi, Yi) (или, в случае когда матрицы Y и Yt об-
обратимы, рангу разности Z\ — Z соответствующих сим-
симметричных матриц). В этих терминах легко интерпрети-
интерпретировать теорему Чоу. Интересно отметить, что преобразо-
преобразование ф записывается в «неоднородных координатах»
в виде
Z -* a{AZ° + B)(CZ° + D)~\

§ 4. Преобразования, сохраняющие «соседство» 137
где абК,а квадратные матрицы Л, В, С, D удовлетво-
удовлетворяют условиям
А'В = В-'А, C-ID = D-'C, A'D — B-'C = I.
§ 4. Преобразования, сохраняющие «соседство»
II. Преобразования пространств изотропных многообразий
(продолжение)
В обозначениях § 3 предположим, что К — поле ха-
характеристики ф2, f — симметричная билинейная форма,
п четно и г равно своему максимальному возможному
значению (п — 2)/2. В § 6 гл. II было указано, что мно-
множество NT(E) распадается тогда на два класса тран-
транзитивности N7 (Е), N7 (Е) относительно группы вра-
вращений On (К, f) (или, точнее, ее образа в проективной
группе). При этом многообразия Vi e Nr(E), V2 e
е Nr(E) принадлежат одному классу транзитивности
тогда и только тогда, когда dim(ViD V2) =r — 2k
(k целое). В этом случае будем говорить, что многооб-
многообразия Vi и У г соседние, если k = 1, т. е. dim(Ki f] Vz) =
= г — 2. При таком определении справедлива следую-
следующая теорема (Чоу [1]):
При г ^ 4 всякое биективное преобразование <р мно-
множества N7 (Е), такое, что ф и qr1 преобразуют любые
два соседних многообразия в соседние, имеет вид пг,
где и — полуподобие.
Для доказательства так же, как и выше, рассматри-
рассматриваются максимальные множества попарно соседних ли-
линейных многообразий в N7 (Е). Последовательно уста-
устанавливаются следующие свойства:
а) Всякое максимальное множество образовано либо
многообразиями из N7 (Е), имеющими (г—1)-мерное
пересечение с некоторым многообразием из N7 (Е)
(множество первого типа), либо многообразиями из
N7 (Е), содержащими некоторое (г — 3)-мерное вполне
изотропное многообразие (множество второго типа).

138 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп
b) Максимальное множество первого типа при пре-
преобразовании ф переходит в максимальное множество,
которое априори может быть либо первого, либо вто-
второго типа. Однако если для какого-нибудь одного мак-
максимального множества Ш первого типа фBК) есть мно-
множество первого типа, то это верно и для любого дру-
другого максимального множества первого типа.
c) Если г :> 4, то образ максимального множества
первого типа не может быть множеством второго типа.
Отсюда выводится, что преобразование ф может быть
продолжено до преобразования всего множества Nr(E),
удовлетворяющего условиям теоремы § 3. Применение
этой теоремы завершает доказательство.
Следующие соображения позволяют описать полупо-
полуподобия и, для которых пг сохраняет множество N? (?).
Легко видеть, что если V е N? (Е), то существует полу-
полуподобие v с тем же множителем и автоморфизмом, что
и и, относительного которого V инвариантно. Тогда и-1ы
есть ортогональное преобразование, переводящее V в
другое многообразие из N? (Е) и, значит, являющееся
вращением.
Замечания. 1) Предыдущий результат можно распро-
распространить на случай, когда рассматриваются два различ-
различных пространства Е, Е' и отображение ф множества
N?(E) на множество N? (?') (см. § 3).
2) Если К — поле характеристики 2, Q — недефект-
недефектная квадратичная форма максимального индекса на Е,
то множество Nr(E) также распадается на два класса
транзитивности N? (E), NT (E) относительно группы
вращений 0% (К, Q) (гл. II, § 10). Предыдущие резуль-
результаты переносятся без изменений на преобразования мно-
множества N* (Е).
3) При г= 1 и г = 2 теорема Чоу неверна, посколь-
поскольку тогда любые два многообразия из N? (Е) соседние.
Случай г = 3 также исключительный. В этом случае из
теории «тройственности» (Шевалле [1], гл. IV) вытекает
существование биективного отображения множества
Ыз' (Е) на множество N0(E), преобразующего любые два
соседних многообразия в две ортогональные изотропные

$ 4. Преобразования, сохраняющие «соседство» 139
точки. При помощи этого отображения определяется би-
биективное преобразование ф0 множества Мз"(?), перево-
переводящее всякое максимальное множество первого типа в
максимальное множество второго типа. Отсюда немед-
немедленно вытекает, что всякое преобразование <р, удовлет-
удовлетворяющее условиям теоремы, есть либо преобразование
вида пг, либо преобразование вида <po«r.
4) Переводя теорему этого параграфа на язык мат-
матриц,, получаем на этот раз теорему о множестве косо-
симметричных матриц, пополненном подходящим обра-
образом бесконечно удаленными элементами.
5) Если К — поле характеристики Ф2, то грассма-
нианы Gr(E), пространства N? (Е) при n = 2r -f- 2 в
случае симметричной формы / и пространства Nr(E) во
всех остальных случаях являются неособыми неприво-
неприводимыми алгебраическими многообразиями, которые мо-
могут быть погружены в проективное пространство S. Чоу
[1] доказал, что все бирегулярные бирациональные пре-
преобразования этих многообразий индуцируются преобра-
преобразованиями из GL(E), за исключением N$ (E). Идея до-
доказательства состоит в том, чтобы перевести понятия
«соседства», введенные в § 2—4, на язык геометрии
пространства S. А именно, две точки из Gr(E) или
Nr(E) будут соседними тогда и только тогда, когда пря-
прямая, соединяющая их в пространстве S, целиком лежит
в Gr(E) (соответственно в Nr(E))\ две точки из N? (Е)
будут соседними тогда и только тогда, когда они лежат
на плоской кривой 2-го порядка, содержащейся в
N? (?). После этого все сводится к доказательству
того, что всякое бирегулярное бирациональное преобра:
зование рассматриваемого многообразия переводит
прямую в прямую (соответственно плоскую кривую
2-го порядка —в плоскую кривую 2-го порядка). По-
Последнее проводится при помощи изучения полных ли-
линейных систем без базисной точки на этих многообра-
многообразиях и, в частности, системы, порожденной гиперплос-
гиперплоскими сечениями.
В случае когда К — поле комплексных чисел, можно
вместо бирегулярных бирациональных преобразований

140 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп
рассматривать биективные аналитические преобразо-
преобразования. Доказательство проводится аналогично, с за-
заменой полных линейных систем на классы гомологии
§ 5. Другие характеризации классических групп
Пусть К — поле характеристики ф2, Е — векторное
пространство размерности п ^ 2 над К, f(x,y) —невы-
—невырожденная симметричная билинейная форма на Е. Для
того чтобы элемент f(x, x) был квадратом в К при лю-
любом ие?, необходимо и достаточно, чтобы поле К было
пифагоровым (т. е. чтобы сумма двух квадратов была
квадратом) и чтобы существовал такой ортогональный
базис (егI<!<га пространства Е, что Дег-, е{) = 1 при
1 ^Г i ^Г п. При этом, для того чтобы форма f была
анизотропной, необходимо и достаточно, чтобы —1 не
была квадратом в К, т. е. чтобы поле К было упорядочи-
упорядочиваемым. Обычная евклидова геометрия над полем дей-
действительных чисел служит типичным примером, когда
эти условия выполнены. Из этих условий вытекает
свойство «свободной подвижности» в пространстве Е,
которое можно сформулировать следующим образом.
Пусть К упорядочено. Будем называть i-мерной
цепью инцидентных полупространств последовательность
(Hk)l<k<i, определенную, исходя из линейно независи-
независимой системы векторов (uk)l<k<l, таким образом, что
k
Hh есть множество линейных комбинаций 2 Ъ,а,, в ко-
торых последний коэффициент Хь неотрицателен. Свой-
Свойство «свободной подвижности» состоит в том, что при
перечисленных выше условиях для любых двух п-мер-
ных цепей инцидентных полупространств существует
единственное преобразование из группы On(K,f), пре-
преобразующее первую из этих цепей во вторую. «Пробле-
«Проблема Гельмгольца» заключается в том, чтобы найти все
подгруппы группы GLn(K), обладающие свойством сво-
свободной подвижности. Эта проблема неоднократно иссле-

§ 5. Другие характеризации классических групп 141
довалась для поля действительных чисел, большей
частью инфинитезимальными методами (см. библиогра-
библиографию у Пиккерта [1]). В наиболее общем виде она была
решена Бэром [1], который в предположении, что К —
упорядоченное, но не обязательно коммутативное тело,
доказал следующую теорему:
Если подгруппа G группы GLn(K) (при п ^ 3) обла-
обладает свойством свободной подвижности, то тело К ком-
коммутативно и пифагорово, a G есть ортогональная группа
On(K,f) относительно такой анизотропной симметрич-
симметричной билинейной формы f(x,y), что элемент f(x,x) яв-
является квадратом в К при любом ие?.
Идея доказательства состоит в том, чтобы, исполь-
используя свойство свободной подвижности, доказать, что для
всякого подпространства Ус? существует единствен-
единственная инволюция ueG, для которой V служит положи-
положительным подпространством. Ставя в соответствие под-
подпространству V отрицательное подпространство этой ин-
инволюции, получаем «отношение ортогональности» между
подпространствами пространства Е, которое определяет,
в частности, биективное отображение множества прямых
пространства Е на множество гиперплоскостей, или,
иными словами, биективное отображение пространства
Р(Е) на пространство Р(Е*) (где Е* — пространство,
дуальное к Е). Так как это отображение переводит пря-
прямые пространства Р(Е) в прямые пространства Р(Е*),
то применима основная теорема проективной геометрии,
показывающая, что определенная выше «ортогональ-
«ортогональность» совпадает с ортогональностью относительно не-
некоторой рефлексивной полуторалинейной формы f(x,y)
на Е. Эта форма должна быть анизотропной. Кроме
того, из свойства свободной подвижности довольно лег-
легко выводится, что любые две прямые пространства Е
могут быть преобразованы одна в другую произведе-
произведением инволюций, принадлежащих группе G. Более тон-
тонкое рассуждение показывает, что форма f симметрична
и, следовательно, тело К коммутативно и пифагорово.
Доказательство заканчивается замечанием, что инволю-
инволюции из группы G являются ортогональными преобразо-
преобразованиями относительно формы /.

142 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп
Теорема остается справедливой при п = 2, если
предположить, что К — евклидово упорядоченное поле,
т. е. что всякий неотрицательный элемент является квад-
квадратом в К (Бэр [1]).
Кроме того, Бэр [1] доказал, что свойство, аналогич-
аналогичное свойству «свободной подвижности», но в котором
n-мерные цепи заменены (п — 1)-мерными, характери-
характеризует при п~^% подгруппы вращений On {К, f) ортогональ-
ортогональных групп On(K,f), обладающих свойством свободной
подвижности. Пример Пиккерта [1], стр. 498, показывает,
что это перестает быть верным при п = 2.
Рассматривая проективную группу PGL2(K) над по-
полем К как группу перестановок проективной прямой
Pi(K), Тите [1] получил характеризацию этих групп по-
посредством свойств транзитивности. Эти группы трижды
транзитивны в том смысле, что для любых двух троек
(а, Ь, с) и (а', Ь', с') различных точек проективной пря-
прямой Р\ (К) существует ровно одно преобразование из
группы, которое переводит а в а', Ъ в Ь' и с в с'. Одного
этого условия недостаточно для характеризации групп
PGL2(K), однако в той же работе Титса указаны раз-
различные дополнительные условия, которые вместе с ус-
условием троекратной транзитивности позволяют ут-
утверждать, что рассматриваемая группа изоморфна груп-
группе PGLi(K). Эти условия подсказаны классическими
определениями и построениями проективной геометрии.
Например, трижды транзитивная группа G перестано-
перестановок множества Е изоморфна группе PGL2(K), если для
всякой пары различных элементов а, Ь множества Е
группа преобразований из G, оставляющих а и Ь на
месте, коммутативна. Помимо этого, методы Титса по-
позволили ему найти все конечные трижды транзитивные
группы (см. там же). Он распространил затем свои ре-
результаты на проективные группы PGLn(K) от любого
числа переменных над полем К (Тите [2]). Группа G пе-
перестановок множества Е называется почти п-кратно
транзитивной, если в множестве Е выделены так назы-
называемые «реперы», состоящие из п точек и обладающие
тем свойством, что для произвольных реперов (а*) и
{pi) существует единственное преобразование из груп-

§ б. Другие характеризации классических групп 143
пы О, переводящее ai в Ь{ при 1 ^ i ^ п1). Глубокое
изучение этого понятия позволило Титсу охарактеризо-
охарактеризовать группы PGLn(K) среди всех почти (п + 1)-кратно
транзитивных групп.
Другую характеризацию групп PGL2(K) (К—поле
характеристики #2) дал Бахман [1]. Она основывает-
основывается на том факте, что всякий элемент такой группы яв-
является произведением двух инволюций. Это немедленно
следует из того, что группа PGL2(K) изоморфна группе
вращений Оз (К, f), где / — форма индекса 1 (см. § 9
гл. II), и из того, что всякое вращение является в этом
случае произведением двух инверсий (гл. II, § 6). Бах-
Бахман показал, как можно охарактеризовать группы
PGL2{K) среди групп, обладающих указанным выше
свойством, четырьмя дополнительными условиями, в
формулировке которых участвуют только инволюции и
их произведения и свойство такого произведения быть
или не быть инволюцией. Шмидт [1] и Бахман [1] дали
аналогичные характеризации групп Оз (К, f), где К —
поле характеристики ф2 и / — форма индекса 0. (Эти
группы можно рассматривать как группы движений
эллиптической неевклидовой геометрии.) Бэр [2] охарак-
охарактеризовал эти группы множеством других систем усло-
условий, также использующих инволюции. Наиболее замеча-
замечательная из них, несомненно, следующая. Каждой группе
G поставим в соответствие два множества: Р (множе-
(множество «точек») и Я (множество «гиперплоскостей»), каж-
каждое из которых находится во взаимно однозначном соот-
соответствии с множеством инволюций в группе G. Далее
определяется отношение «точка р принадлежит гипер-
гиперплоскости h» условием, что ph — инволюция в G (здесь
р и h отождествляются с соответствующими элементами
группы G). Это позволяет определить понятие «линейной
зависимости» в Р: точка р линейно зависит от множе-
множества точек S, если она принадлежит всякой гиперплос-
гиперплоскости, содержащей все точки из S. Затем определяются
«линейные многообразия» в Р как такие подмножества
•) Помимо этого свойства, множество «реперов» должно, ко-
конечно, обладать некоторыми свойствами, обеспечивающими его
«обильность». — Прим. пёрев.

144 Гл. III. Геометрическая характеризация классических групп
М, что всякая точка, линейно зависящая от М, содер-
содержится в М. При таких определениях «линейные много-
многообразия» в Р удовлетворяют аксиомам «-мерной проек-
проективной геометрии для некоторого п > 1 тогда и только
тогда, когда группа G изоморфна группе движений эл-
эллиптической геометрии, и в этом случае п = 3.

Глава IV
АВТОМОРФИЗМЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ
КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
§ 1. Автоморфизмы групп GLn(K)
До 1966 г. большая часть методов определения авто-
автоморфизмов классических групп основывалась на изуче-
изучении инволюций в этих группах и на том факте, что при
автоморфизме инволюция переходит в инволюцию. Изу-
Изучение инволюций в классических группах, предпринятое
в гл. I, показывает, что им можно внутренним образом
поставить в соответствие подпространства того простран-
пространства, в котором действует группа; автоморфизм группы
индуцирует преобразование множества этих подпро-
подпространств, и в большинстве случаев основная теорема про-
проективной геометрии (гл. III, § 1) позволяет установить,
что это преобразование происходит из коллинеации или
корреляции, что и дает описание автоморфизмов данной
группы.
В настоящей главе будут изложены результаты, полу-
полученные этими методами. Краткое описание новых мето-
методов см. в приложении.
Начнем с изучения автоморфизмов группы GLn(K),
где К — произвольное тело (не обязательно коммутатив-
коммутативное). Из-за того, что инволюции в группе GLn(K) устрое-
устроены различным образом в случаях, когда характеристика
тела К отлична от 2 и равна 2, нужно рассмотреть от-
отдельно эти два случая.
I. п ^ 3, характеристика тела К не равна 2. Мы будем
называть (р, п — р) -инволюцию (гл. I, § 3) экстремаль-
экстремальной, если р = 1 или р = п — 1. Первый шаг состоит в до-
доказательстве следующего утверждения:
1) Всякий автоморфизм <р группы GLn(K) переводит
экстремальную инволюцию в экстремальную инволюцию.
Для доказательства достаточно охарактеризовать экс-
экстремальные инволюции среди всех инволюций в группе

146 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
GLn(K) свойствами, зависящими только от структуры
группы QLn(K), а не от ее определения при помощи
я-мерного векторного пространства Е, в котором она дей-
действует. Это можно сделать несколькими способами, раз-
развивая идеи, восходящие к работе Макки [1]. Наиболее
быстрый способ, несомненно, следующий (Дьёдонне [7],
стр. 5): в группе GLn(K) рассматриваются максималь-
максимальные множества попарно коммутирующих сопряженных
инволюций. Используя тот факт, что линейное преобразо-
преобразование, коммутирующее с инволюцией, сохраняет собст-
собственные подпространства этой инволюции, легко показать,
что если такое множество инволюций состоит из
(р, п — р) -инволюций, то оно содержит ( п 1 элементов, и
что всякая (р,п — р) -инволюция принадлежит хотя бы
одному такому множеству. Отсюда и получается искомая
характеризация экстремальных инволюций.
Другой способ, предложенный Риккартом [1], также
исходя из идей Макки [1], больше связан со следующими
этапами доказательства и применим, как мы увидим ниже
(§ 3, 4 и 7), к другим классическим группам. Для любого
множества S инволюций группы GLn{K) обозначим через
c(S) множество инволюций, коммутирующих со всеми
инволюциями из S. Для двух коммутирующих инволю-
инволюций и, v обозначим через v(u,v) число элементов в
c(c(u,v)). Наконец, для всякой инволюции и обозначим
через v(u) максимум из чисел v(u,v), когда v пробегает
множество инволюций, коммутирующих с и. Можно по-
показать при п > 3, что v(u)= 16, если инволюция и не
экстремальна, и v(«) = 8 в противном случае. Это дает
новую характеризацию экстремальных инволюций. (При
п = 2 и п — 3 всякая инволюция экстремальна.)
Следующий шаг состоит в рассмотрении, согласно
Макки, минимальных пар экстремальных инволюций. По
определению две экстремальные инволюции и, v обра-
образуют минимальную пару, если они не коммутируют и
имеют общее собственное подпространство. Доказывает-
Доказывается следующее утверждение:
2) Всякий автоморфизм ф группы GLn(K) переводит
минимальную пару экстремальных инволюций в мини-
минимальную пару.

§ 1. Автоморфизмы групп GLn(K) 147
Как и выше, достаточно охарактеризовать минималь-
минимальные пары свойствами, зависящими только от структуры
группы. Способ Макки (см. там же) основывается на
следующем свойстве: две не коммутирующие экстремаль-
экстремальные инволюции и и v образуют минимальную пару тогда
и только тогда, когда с (с (и, v)) = с (с (и', v')) для всякой
пары не коммутирующих экстремальных инволюций и',
v', содержащихся в с (с (и, v)).
Далее, можно рассуждать двумя различными спосо-
способами (при п^З). Первый способ состоит в том, чтобы
сопоставить каждой экстремальной инволюции пару
(D,H), образованную собственными подпространствами
этой инволюции, где D — прямая, Н — гиперплоскость и
D фЯ = Е. Автоморфизм ф определяет тогда переста-
перестановку ф множества этих пар. Будем называть две мини-
минимальные пары {u\,V\), («2,^2) экстремальных инволюций
подобными, если размерности общих собственных под-
подпространств инволюций «1, Vi, с одной стороны, и «2> V2—
с другой, равны. Легко доказать, что ф преобразует
любые две подобные минимальные пары в подобные
(Риккарт [1], стр. 459). Поэтому совокупность пар (D,H)
с фиксированной прямой D при преобразовании ф пере-
переходит либо в совокупность пар с общей прямой, либо в
совокупность пар с общей гиперплоскостью, причем для
всех прямых/) имеет место один и тот же случай. Тем са-
самым преобразование ф определяет биективное отображе-
отображение 0 пространства Р{Е) либо на себя, либо на простран-
пространство Р(Е*). Кроме того, легко видеть, что если Du D2,
D3—три различные прямые пространства Е, лежащие
в одной плоскости, Н — гиперплоскость, не содержащая
ни одной из этих прямых, и Ui (i = 1,2,3) обозначает ин-
инволюцию, соответствующую паре (Di,H), то каждая из
инволюций щ принадлежит множеству с (с (и,, и&)), опре-
определенному двумя другими инволюциями. Отсюда без
труда выводится, что точки Du D2, D3 пространства
Р(Е), лежащие на одной прямой, переходят при отобра-
отображении 0 в три точки, лежащие на одной прямой. Соглас-
Согласно основной теореме проективной геометрии (гл. III, § 1),
существует либо такая коллинеация g пространства Е,
что g = 0, либо такая корреляция h пространства Е на
пространство Е*, что h = 0. В первом случае ф совпадает

148 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
на множестве экстремальных инволюций с автоморфиз-
автоморфизмом u-*gug~\ во втором — с автоморфизмом u-*h~luh,
где й обозначает преобразование, контраградиентное к и.
Предположим для определенности, что имеет место пер-
первый случай. Так как всякий сдвиг является произведе-
произведением двух экстремальных инволюций и группа SLn(K)
порождается сдвигами, то автоморфизмы ф и u-+gug~l
совпадают на SLn(K). Рассмотрим автоморфизм
фо: и-*g~l(p(u)g. Он оставляет на месте все сдвиги. Если
t — какой-нибудь сдвиг, а и— любое преобразование из
GLn (К), то utu~l — также сдвиг, и поэтому
фо(")^фо(")"' = utur1. Это означает, что преобразование
и~1ц>о(и) перестановочно со всеми сдвигами и, следова-
следовательно, относительно него инвариантна любая прямая
пространства Е. Значит, %(и) = «-'фо(ы) есть центральная
гомотетия. Очевидно, что отображение и—*%(и) является
гомоморфизмом группы GLn(K) в ее центр Zn. Оконча-
Окончательно получаем, что в рассматриваемом случае
A)
где % — гомоморфизм группы GLn (К) в ее центр Zn, а
g — коллинеация пространства Е. Записывая условие
того, что ограничение автоморфизма ф на Zn биективно,
находим следующее необходимое условие на гомомор-
гомоморфизм %: из равенства %(?)=?~1 должно следовать ?= 1.
Ясно, что это условие и достаточно1).
Во втором случае
"'йА. B)
где % — гомоморфизм группы GLn{K) в ее центр Zn, a
h — корреляция пространства Е на пространство Е*.
Второй способ получения этих результатов состоит в
использовании упомянутого выше факта: всякий сдвиг
есть произведение двух экстремальных инволюций, обра-
образующих минимальную пару, и обратно. Отсюда следует,
что автоморфизм ф переводит любой сдвиг в сдвиг. За-
Затем используется рассуждение Шрейера и Ван-дер-Вар-
дена [1], стр. 315—316, основанное на том, что произве-
') Достаточно для ::пъективности, но не для сюръективности,
как показывает пример К = Q, х(") — (det (и)J. — Прим. перев.

§ 1. Автоморфизмы групп GLn(K) 149
дение двух сдвигов t\, ti является сдвигом только тогда,
когда tx и t2 имеют либо общую гиперплоскость, либо
общую прямую. Всякая подгруппа группы GLn(K), со-
состоящая только из сдвигов (и тождественного преобразо-
преобразования), содержится либо в группе Т(Н) всех сдвигов
вдоль некоторой гиперплоскости Н, либо в группе T(D)
всех сдвигов в направлении некоторой прямой D. Пересе-
Пересечение T(D) Л Т(Я) содержит сдвиг только тогда, когда
DczH; подгруппа вида T(D) не сопряжена подгруппе
вида Т (Н) в группе GLn(K). Из этих замечаний следует,
что автоморфизм ф определяет биективное отображение
9 пространства Р(Е) на пространство Р{Е) или Р(Е*).
При этом точки, лежащие в одной гиперплоскости, преоб-
преобразуются отображением 0 в точки, лежащие в одной ги-
гиперплоскости, что позволяет закончить доказательство
так же, как и выше.
П. п ^ 3, характеристика тела К равна 2. В этом слу-
случае сдвиги являются A,п—1)-инволюциями в группе
GLn(K), и достаточно отличить их (при п^-А) от других
инволюций свойствами, использующими только струк-
структуру группы; метод Шрейера и Ван-дер-Вардена, описан-
описанный выше, позволит тогда сделать то же заключение, что
и в случае 1. При п ^ 6 искомое различение достигается
замечанием, что произведение двух коммутирующих
сдвигов есть либо сдвиг, либо B, п — 2)-инволюция, в то
время как при р > 1 произведение двух коммутирующих
(р, п — р) -инволюций может принадлежать более чем
двум классам сопряженных элементов в группе GLn(K)
(Дьёдонне [7], стр. 14). При п = 4 и п = 5 нужно разли-
различить два класса Си С2 инволюций в группе GLn(K),
С этой целью для всякой инволюции и рассмотрим мно-
множество Р*(и) инволюций, коммутирующих с и и не при-
принадлежащих тому классу, которому принадлежит и, за-
затем множество Р**(и) инволюций, коммутирующих со
всеми инволюциями из Р*(и) и принадлежащих тому же
классу, что и. Если и — сдвиг, то произведение любых
двух различных элементов из Р**(и) лежит в том же
классе, что и; но это не так, если и — не сдвиг. Отсюда и
получается искомое различение.
III. n = 2. Если характеристика тела К равна 2, то по
тем же соображениям, что и в случае И, получаем, что

150 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
автоморфизм ф переводит сдвиги в сдвиги и тем самым
определяет биективное преобразование проективной пря-
прямой Pi (К) на себя. Можно предполагать, что это преоб-
преобразование оставляет на месте точку (которую можно счи-
считать «бесконечно удаленной») и, значит, индуцирует
биективное преобразование t—*ta тела К. Можно, далее,
добиться того, чтобы 0° = 0, 1° = 1^. Используя тот факт,
что если s и t — сдвиги, то sts~l — также сдвиг, легко до-
доказать соотношения (х + у)° = ха + уа и(хух)а = хау°ха
(Шрейер и Ван-дер-Варден [1], стр. 317—318). Из тео-
теоремы Хуа [7] следует тогда, что отображение t-+ta обя-
обязательно является автоморфизмом или антиавтоморфиз-
антиавтоморфизмом тела К, откуда уже легко выводится, что ф задается
формулой A) или B).
Тот же метод был применен Шрейером и Ван-дер-
Варденом для коммутативного тела К характеристики
Ф 2. Однако их рассуждение содержит ошибку в доказа-
доказательстве того, что автоморфизм ф преобразует сдвиги в
сдвиги. Этот факт был доказан Хуа [5], стр. 756, который
заметил, что сдвиги можно охарактеризовать следующим
образом. Если характеристика поля К равна р Ф 0, то
сдвиги t характеризуются свойством tP = 1. Если харак-
характеристика поля К равна 0, то сдвиги являются единствен-
единственными преобразованиями t e SL2(K), для которых суще-
существует бесконечно много преобразований из SL2(/C), со-
сопряженных с t и коммутирующих с t. Представление ав-
автоморфизма ф формулой A) или B) сохраняется и в
этом случае.
Наконец, опираясь на этот последний результат, Хуа
[9] смог доказать, что для произвольного (не обязательно
коммутативного) тела К любой автоморфизм группы
GL2(K) задается одной из формул A) и B). Таким об-
образом, проблема определения всех автоморфизмов грун-
пы GLn(K) полностью решена.
Замечания. 1) Автоморфизмы группы ГЬп(К) колли-
неаций пространства Е при п ^ 3 также задаются фор-
формулами A) и B), причем х в этом случае есть отображе-
отображение группы ГЬп(К) в группу 2„, удовлетворяющее усло-
условию %(и1и2) = %(и1)%{и2)а', где (Ti — автоморфизм тела К,
соответствующий коллинеации щ (Риккарт [3]). В самом
деле, достаточно показать, что при любом автоморфизме

§ 2. Автоморфизмы групп SLn(K) 151
группы FLn(K) экстремальные инволюции из группы
GLn(K) переходят в экстремальные инволюции. Предпо-
Предположим вначале, что характеристика тела К отлична от 2.
Используя описание инволюций в группе Пп(К), данное
в § 3 гл. 1, легко убедиться, что для всякой инволюции-
и е ГЬп (К), не принадлежащей группе GLn (К), суще-
существует система из 2П попарно коммутирующих инволю-
инволюций, сопряженных к и в ГЬп{К) (Дьёдонне [7], стр. 9).
Этого достаточно для отличения этих инволюций от экс-
экстремальных. В случае когда характеристика тела К рав-
равна 2, достаточно заметить, что если щ, и2 — коммутирую-
коммутирующие сопряженные инволюции в группе ГЬп(К), не при-
принадлежащие группе GLn(K), то их произведение принад-
принадлежит группе GLn(K) и, значит, не может быть сопря-
сопряжено инволюции ыь в противоположность тому, что бы-
бывает, когда «ь ы2 — сдвиги (Дьёдонне [7], стр. 17). Это
последнее рассуждение применимо также при п = 2 и
дает описание автоморфизмов группы ГЬ2(К) для тела
К характеристики 2.
2) Риккарт [1], [3] распространил эти методы на за-
задачу определения автоморфизмов группы GL(E) линей-
линейных преобразований бесконечномерного векторного про-
пространства Е над телом К характеристики Ф2. Впрочем,
метод «минимальных пар» был изобретен Макки [1] имен-
именно при решении подобной задачи (в случае когда К —
поле действительных или комплексных чисел).
Укажем также на другое обобщение, принадлежащее
Эрлиху [1], при котором группа QLn(K) заменяется груп-
группой обратимых элементов «регулярного» кольца, ассо-
ассоциированного с «непрерывной геометрией» фон Неймана.
§ 2. Автоморфизмы групп SLn (К)
Очевидно, что автоморфизм ф группы GLn(K), зада-
задаваемый формулой A) или B), индуцирует автоморфизм
группы SLn(K), если только ограничение гомоморфизма
X на SLn(K) является гомоморфизмом этой группы в ее
центр. Так как группа SLn(K) совпадает со своим ком-
коммутантом, кроме случаев, когда п = 2, а К = F2 или
К = F3 (гл. II, § 2), то х = 1 на SLn(K), за исключе-
исключением, быть может, этих двух случаев. Однако центр груп-
группы SZ-2(F?) равен единице, а центр группы SZ,2(F3)

152 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
состоит из двух элементов, в то время как ее коммутант
является подгруппой индекса 3. Это показывает, что
X = 1 во всех случаях.
Мы покажем теперь, что всякий автоморфизм группы
SLn(K) индуцируется автоморфизмом группы QLn(K),
за исключением одного случая, для которого вопрос
остается открытым.
Прежде всего, если характеристика тела К отлична от
2 и п нечетно, то группа SLn(K) содержит A,/г— ^-ин-
^-инволюции, и рассуждения § 1 применимы при п ^ 3. Эти
рассуждения применимы также, если К — некоммутатив-
некоммутативное тело характеристики Ф 2 и — 1 содержится в ком-
коммутанте группы К* (например, это справедливо для тела
кватернионов), поскольку в этом случае любая инволю-
инволюция из GLn(K) содержится в SLn(K). Наконец, если ха-
характеристика тела К равна 2, то сдвиги принадлежат
группе SLn(K), однако метод, описанный в § 1, исполь-
использует тот факт, что инволюции одного типа (р, п — р) (где
2р ^ п) сопряжены, что верно в группе SLn(K), если
2р < п, и не всегда верно, если 2р — п. Тем не менее до-
доказательство того, что автоморфизм группы GLn(K) пре-
преобразует сдвиги в сдвиги, переносится без изменений на
автоморфизмы группы SLn(K), кроме случая п = 4.
В этом последнем случае нужно использовать другой ме-
метод доказательства этого утверждения. Метод, указан-
указанный в работе Дьёдонне [7], стр. 19, содержит ошибку, ис-
исправленную Хуа и Ванем [1]. Учитывая все эти резуль-
результаты, получаем, что для тела К характеристики 2 авто-
автоморфизм группы SLn(K) индуцируется автоморфизмом
группы GLn{K) при любом п ^ 2.
Остается рассмотреть случай, когда п четно, характе-
характеристика тела К не равна 2 и —1 не принадлежит комму-
коммутанту С группы К*. В этом случае экстремальные инво-
инволюции не принадлежат группе SLn(K). При п^б ме-
методы, аналогичные методам § 1, могут быть применены
к B, п — 2)-инволюциям (которые всегда принадлежат
группе SLn(K)), и это позволяет доказать, что и в этом
случае всякий автоморфизм группы SLn{K) индуцирует-
индуцируется автоморфизмом группы . GLn(K) (Дьёдонне [7],
стр. 20—21). Тот же результат получен Хуа [9] для п = 4
совершенно другим методом: вначале он изучает авто-

§ 3. Автоморфизмы групп Sp2m(K) 1бЗ
морфизмы группы SLn {К), образованной линейными
преобразованиями, определитель которых равен единице
или образу —1 в группе К* 1С, и показывает, что эти авто-
автоморфизмы индуцируются автоморфизмами группы
GLn(K)\ затем, опираясь на этот результат, с помощью
довольно сложного рассуждения он определяет в рассма-
рассматриваемом случае все автоморфизмы группы SL4(/C).
Что касается группы SL2(K), то она не содержит ин-
инволюций, отличных от единицы1). Для определения ее
автоморфизмов достаточно было бы охарактеризовать
сдвиги свойствами, зависящими только от структуры
группы. В конце § 1 мы видели, что это возможно, если
К коммутативно. Хуа и Вань [1] доказали, что если К —
произвольное тело характеристики р > О, то сдвиги —
это все элементы порядка р в группе SL2(K)- Таким об-
образом, проблема остается открытой только в том случае,
когда К — некоммутативное тело характеристики 0 и —1
не принадлежит коммутанту группы К*.
§ 3. Автоморфизмы групп Sp2m(K)
Симплектическая группа Sp2{K) тождественна унимо-
дулярной группе SL2(K) (гл. II, § 4). Поскольку тело К
коммутативно, ее автоморфизмы известны, согласно
§ 22). Таким образом, можно ограничиться размерно-
размерностями 2т :> 4. При этом справедливо следующее утверж-
утверждение:
Всякий автоморфизм ф симплектической группы
Sp2m(K) может быть представлен в виде ф(и) = ?«?"',
где g^rSp2m(K) (гл. I, § 9), за исключением случая,
когда m = 2 и характеристика поля К равна 23).
•) Имеется в виду случай, когда характеристика тела К не
равна 2. — Прим. перев.
2) В этом случае всякий автоморфизм может быть задан фор-
формулой A) (с х= 1). В самом деле, пусть h0 — корреляция, соот-
соответствующая инвариантной знакопеременной форме. Тогдафо(и)=*
= AJ"'EA0 = tt при любом и s Spi(K) =SZ.2(/C). С другой сто-
стороны, всякий автоморфизм, задаваемый формулой B), есть компо-
композиция автоморфизма фо и автоморфизма, задаваемого формулой
A). — Прим. перев.
•) Как следует из предыдущего примечания, это утверждение
справедливо и при m = [. — Прим. перев.

154 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
Способы доказательства зависят от того, равна или
не равна 2 характеристика поля К.
I. Характеристика поля К не равна 2. Первый способ
доказательства использует инволюции в группе Sp2m(K).
Инволюция типа B,2т — 2) или Bпг— 2,2) называется
экстремальной. Инволюции типа Bр, 2т — 2р) отли-
отличаются тем, что максимальная система попарно коммути-
коммутирующих инволюций такого типа (которые всегда сопря-
сопряжены) содержит (J?) элементов. Другой способ отличить
экстремальные инволюции состоит в рассмотрении числа
v(u)> определенного в § 1. При 2m ^ 8 можно показать,
что v(«)= 16, если инволюция и не экстремальна, и
v(«)= 8 в противном случае (Риккарт [2]). (При 2т=4
и 2т = 6 все инволюции экстремальны.)
Затем вводится понятие минимальной пары экстре-
экстремальных инволюций. При 2т ^6 это пары (и, v), обра-
образованные экстремальными инволюциями, двумерные соб-
собственные подпространства которых имеют одномерное
пересечение. Доказывается, что критерий Макки (для
минимальных пар в группе GLn{K)) и в этом случае ха-
характеризует минимальные пары, и, следовательно, вся-
всякий автоморфизм группы Sp2m{K) переводит минималь-
минимальные пары в минимальные пары (Дьёдонне [7], стр. 26;
Риккарт [2], стр. 710). При 2т = 4 минимальной парой
называется такая пара (и, v) некоммутирующих инволю-
инволюций, что одно из собственных подпространств инволюции
и имеет одномерное пересечение с одним из собственных
подпространств инволюции v. Характеризация минималь-
минимальных пар в этом случае состоит в том, что централизатор
пары инволюций (и, v) разрешим тогда и только тогда,
когда эта пара минимальна (в случае К = F3 минималь-
минимальная пара отличается порядком централизатора).
Используя полученную характеризацию минимальных
пар, показывается затем, что множество I(D) экстре-
экстремальных инволюций, двумерное собственное подпро-
подпространство которых содержит прямую D, при любом авто-
автоморфизме группы Sp2m{K) переходит в множество вида
I(D'). Это устанавливается довольно легко при 2т ^ б
(Дьёдонне [7], стр. 26—27; Риккарт [2], стр. 711—712) и
отдельным, гораздо более длинным рассуждением при
2/п«=4 (Дьёдонне [7], стр. 29—30). Полагая затем

§ 8. Автоморфизмы групп Spim(K) 155
¦ф (D) = Dr, мы получаем биективное преобразование ф
пространства Р(Е), которое переводит любые две орто-
ортогональные прямые пространства Е в ортогональные пря-
прямые и, следовательно, любые точки пространства Р(Е),
лежащие в одной гиперплоскости, — в точки, лежащие в
одной гиперплоскости. Применение основной теоремы
проективной геометрии (гл. III, § 1) немедленно приво-
приводит тогда к окончательному результату.
Хуа [5] получил этот же результат совершенно другим
методом — индукцией по m с использованием описания
автоморфизмов группы SL2(K), полученным в § 2. По-
Поскольку всякий автоморфизм ф группы Sp2m(K) перево-
переводит экстремальные инволюции в экстремальные, доказа-
доказательство можно свести к случаю, когда ф оставляет на
месте одну экстремальную инволюцию и, следовательно,
ее централизатор Г, который является прямым произве-
произведением группы Sp2(#) = SL2(K) и группы Sp2m-2(K).
Далее доказательство сводится к случаю, когда ф оста-
оставляет на месте все элементы группы Sp2m-2 (К) .Оконча-
.Окончательный результат получается с помощью исследования
действия ф на некоторые подгруппы группы Г.
II. Характеристика поля К равна 2. В этом случае
нужно выделить с помощью групповых свойств сдвиги
среди всех инволюций в группе Sp2m(K). При m ^ 3 это
достигается изучением централизатора инволюции в
группе Sp2m{K) (гл. I, § 14) и доказательством (индук-
(индукцией по гп) того, что группа Sp2m(K) не может быть изо-
изоморфна группе Sp2q(K) при q < п. Заканчивается дока-
доказательство так же, как и в § 1.
Если К — совершенное поле характеристики 2, то тео-
теорема, вообще говоря, перестает быть справедливой при
m = 2. Предположим, что существует такой автомор-
автоморфизм о поля К, что а2 совпадает с автоморфизмом х—*х2.
Тогда можно показать (Тите [4]), что существуют- авто-
автоморфизмы группы Spi(K), переводящие сдвиги в
B,2)-инволюции. (Доказательство несуществования таких
автоморфизмов, данное Дьёдонне [7], стр. 37—38, оши-
ошибочно.) В частности, поле К, состоящее из 2™ элементов,
обладает автоморфизмом а с указанным выше свойством
тогда и только тогда, когда п нечетно. В этом случае
можно доказать, что упомянутые выше особые

156 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
автоморфизмы вместе с автоморфизмами, описанными
в начале этого параграфа, порождают группу всех авто-
автоморфизмов группы Spi(K) (Стейнберг [1]). Для других
полей характеристики 2 полное описание автоморфизмов
группы SptiK), по всей видимости, получено только в
случае, когда поле К алгебраически замкнуто (Стейнберг
[1]), стр. 614).
Учитывая, что симметрическая группа ©6 изоморфна
группе Sp4{F2), мы получаем известный факт, что груп-
группа ©6 имеет внешние автоморфизмы.
§ 4. Автоморфизмы групп Un(K, f)
(К — тело характеристики ф2.)
Предположим, что / — эрмитова 7"-форма над телом
К характеристики Ф2. При этих условиях справедлива
теорема:
При п :> 3 всякий автоморфизм унитарной группы
Un(K,f) может быть представлен в виде ф(ы) =
= %(u)gue~x> где g ^ Гип (К, f), а% — гомоморфизм груп-
группы Un(K,f) в ее центр.
Первый этап доказательства, как и в предыдущих
параграфах, состоит в характеризации экстремальных
инволюций группы Un (К, f)- Экстремальными инволюция-
инволюциями в данном случае называются отражения относитель-
относительно неизотропных гиперплоскостей пространства Е. При
п = 3 всякая инволюция экстремальна. При п ^ 4 ха-
рактеризация экстремальных инволюций получается ме-
методом Макки — Риккарта, описанным в § 1. А именно,
если инволюция и е Un(K,f) экстремальна, то v(u) =
= 16; если она не экстремальна, то v(u)= 8. Таким об-
образом, всякий автоморфизм ф группы Un(K,f) преобра-
преобразует отражения в отражения и тем самым определяет
биективное преобразование ф множества неизотропных
прямых пространства Е, которое переводит любые две
ортогональные прямые в ортогональные прямые. Если
индекс формы f равен 0, то можно применить к ф основ-
основную теорему проективной геометрии (гл. III, § 1) и по-
получить отсюда окончательный результат так же, как в
предыдущих параграфах (Риккарт [2]).

§ 4. Автоморфизмы групп Un(K,f) 157
Если в пространстве Е имеются изотропные прямые,
то можно продолжить ф на все пространство Р(Е) та-
таким образом, чтобы любые две ортогональные прямые
пространства Е по-прежнему переходили в ортогональ-
ортогональные прямые. С этой целью заметим прежде всего, что
множество неизотропных прямых, принадлежащих од-
одной неизотропной плоскости Р, может быть охаракте-
охарактеризовано как множество неизотропных прямых, ортого-
ортогональных к некоторой системе из п — 2 попарно ортого-
ортогональных неизотропных прямых пространства Е, и, следо-
следовательно, переводится преобразованием ф в множество
неизотропных прямых некоторой неизотропной плос-
плоскости, которую мы обозначим через i|)(P). Аналогичным
образом показывается, что если Pi, Р2 — неизотропные
плоскости, пересечение которых изотропно, а сумма
(имеющая размерность 3) неизотропна, то их образы
¦фС^О. $(Рг) обладают теми же свойствами.
Предположим теперь, что п ^ 4, и пусть Д — изо-
изотропная прямая. Докажем, что если плоскость Р пробе-
пробегает множество /(Д) неизотропных плоскостей, содер-
содержащих Д, то плоскости ty(P) содержат некоторую изо-
изотропную прямую ф(Д). Это вытекает из следующего
предложения (Дьёдонне [7], стр. 48—49): если Р — не-
неизотропная плоскость, D — неизотропная прямая, со-
содержащаяся в Р, и а, Ь, с — три различные точки на
прямой D, то существует четвертая точка d e P, такая,
что d ф D и векторы d — a, d — b, d — с не изотропны.
При доказательстве этого предложения можно считать,
что с = О, и тогда в качестве d можно взять вектор, ор-
ортогональный к D, если только функция | -> ^a\J (где
а ф 0 — симметричный элемент тела К) принимает бо-
более двух отличных от 0 значений в теле К. Рассуждение,
аналогичное тому, которое проведено в работе Дьёдонне
[13], стр. 374, показывает, что это последнее свойство
всегда имеет место, если тело К бесконечно (если К не
коммутативно, то следует рассмотреть централизатор
элемента а), а также если К конечно и подтело Ко сим-
симметричных элементов содержит более 5 элементов. Слу-
Случай Ко = F5 разбирается сходным образом; случай
Ко = F3 требует других методов (Дьёдонне [7], стр. 50—
51 и 76—77) для доказательства существования прямой

158 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
ф(). После того как существование этой прямой дока-
доказано, окончательный результат, как и выше, получается
применением основной теоремы проективной геометрии.
Пусть, наконец, п = 3. Если / ф 1, то геометриче-
геометрическое рассуждение позволяет продолжить преобразова-
преобразование \j) на всю плоскость Р(Е), если только К содержит
более 25 элементов_ (Дьёдонне [7], стр. 77—78). Анало-
Аналогичное рассуждение применимо и к ортогональным
группам, если К содержит достаточно много элементов;
однако проще воспользоваться тем, что группа О* (К, f)
изоморфна группе PGL2(K), и применить результаты
§ 6. Относительно автоморфизмов оставшихся групп
U3(F9) и U3(F25) см. § 7.
Автоморфизмы унитарных и ортогональных групп
над бесконечным телом характеристики 2 не определены.
§ 5. Автоморфизмы групп Un (К, /)
(К — поле характеристики Ф2.)
Если п нечетно, то инволюции типа A, п— 1) принад-
принадлежат группе Un (К, f), и рассуждения § 4 применимы
без всяких изменений. Напротив, если п четно, то экс-
экстремальные инволюции не принадлежат более группе
Un (К, f), и приходится рассматривать инволюции типа
B, п — 2) или (п — 2,2). Критерий, использующий
функцию v(m), не отличает, вообще говоря, эти инволю-
инволюции от других, поскольку могут существовать инволю-
инволюции других типов, для которых v(m)= 8. В общем слу-
случае не известно никакого критерия, отличающего эти
инволюции от других. Однако, если индекс формы f по-
положителен, можно охарактеризовать инволюции типа
B, п — 2) или (п — 2, 2), у которых (п — 2) -мерное соб-
собственное подпространство содержит изотропные векто-
векторы, рассматривая их централизаторы в группе Un (К, f)
и показывая (с помощью результатов о структуре уни-
унитарных групп, полученных в гл. II), что такой централи-
централизатор не изоморфен централизатору инволюции типа
(р,п — р) при 2 < р < п — 2 (Дьёдонне [7], стр. 52—
53 и 79—80). Дополнительное рассуждение (использую-
(использующее условие перестановочности двух инволюций) пока-

§ 5. Автоморфизмы групп U*(K, f) 159
зывает, что автоморфизм группы Ut (К, f) переводит
всякую инволюцию типа B,п — 2) или (га— 2,2) в ин-
инволюцию одного из этих типов (там же, стр. 53—54).
Предположим теперь, что п ^ 6. Пусть S — множе-
множество инволюций типа B, п — 2) или (п — 2, 2). Пусть,
далее, и, v — две коммутирующие инволюции из S, U+,
V+ (соответственно U~, V~) — их 2-мерные (соответ-
(соответственно (п — 2)-мерные) собственные подпространства.
Тогда либо U+ П V+ одномерно, либо U+ с: V~ и V+ с:
с U~. В первом случае говорят, что инволюции и и v
иррегулярно перестановочны, во втором — что они регу-
регулярно перестановочны. Для различения этих двух сортов
перестановочности при п > 6 заметим, что uv принадле-
принадлежит S тогда и только тогда, когда и и v иррегулярно
перестановочны; при п = 6 необходимо другое рассуж-
рассуждение (Дьёдонне [7], стр. 54 и 80). Назовем теперь ми-
минимальной парой элементов множества S пару инволю-
инволюций, 2-мерные собственные подпространства которых
имеют одномерное пересечение. Для любых двух инво-
инволюций и, v из S обозначим через с'(и, v) множество ин-
инволюций из S, регулярно перестановочных с и и v, и че-
через с'(с'(и, v)) —множество инволюций из S, регулярно
перестановочных со всеми инволюциями из c'(u,v). При
таких изменениях критерий Макки (§ 1) будет характе-
характеризовать минимальные пары.
Далее, исходя из автоморфизма ф группы Un (К, f),
так же, как и для группы Sp2m(K) в § 3, определяется
биективное преобразование пространства Р(Е), и легко
показывается, что оно переводит любые две ортогональ-
ортогональные прямые пространства Е в ортогональные прямые.
Как и в предыдущих, параграфах, отсюда получается
окончательный результат:
При четном п ^ 6 всякий автоморфизм группы
U% (К, f), где К — поле характеристики Ф2, a f — эрми-
эрмитова (или симметричная) форма индекса ^1, индуци-
индуцируется автоморфизмом группы Un(K,f).
Автоморфизмы группы Ut (К, f) (J ф 1) для формы
/ индекса 1 могут быть определены из результатов
§ 2, если воспользоваться тем, что эта группа изомор-
изоморфна группе SL2(Ko), где Ко — поле инвариантов

160 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
антиавтоморфизма / (гл. II, § 4 и 5). Отсюда легко полу-
получить описание автоморфизмов группы U2(K,f) в этом же
случае, используя тот факт, что ее коммутантом является
как раз группа Ut (К, /)• Для формы / индекса 0 авто-
автоморфизмы группы U2 (К, f) не определены.
Автоморфизмы группы Ut(K,f), где J ф 1 и К —
бесконечное поле характеристики ф2, не известны. То
же относится к группе Ot (К, f) Для формы f индекса 0.
Напротив, для формы / индекса 2 автоморфизмы
группы Ot (К, f) можно определить. В самом деле, из-
известно (гл. II, § 9), что преобразования из Ot (К, f)
можно отождествить с преобразованиями X —*иХУ~* в
пространстве матриц 2-го порядка над К, где U и V —
такие обратимые матрицы, что det (U) = det(V) (при
этом форма f(x,x) отождествляется с det(X)). При та-
таком представлении коммутант Qi(K,f) группы 0^ (К, f)
отождествляется с группой преобразований описанного
выше вида, для которых det(U) является квадратом в К.
Поскольку всем парам вида (XU,XV), где X ф 0, соот-
соответствует одно и то же преобразование из Ot, группа
п4 изоморфна группе пар (U, V) с det(f/) = det(V) =
= 1, рассматриваемых с точностью до одновременного
умножения U и V на —1. Обозначим через G\ (соответ-
(соответственно G2) подгруппу группы Q4, образованную парами
(U, I) (соответственно (/, V)), где U (соответственно
V) — унимодулярная матрица. Подгруппы Gu G2 поэле-
поэлементно перестановочны; их пересечение Gj П G2 совпа-
совпадает с центром S группы fli (а также группы Оь), со-
состоящим из двух элементов; каждая из них изоморфна
группе SL2(K). Следовательно, группа пь изоморфна
факторгруппе (Gi X G2)/S (но не прямому произведе-
произведению группы S и двух экземпляров группы PSL^iK), как
ошибочно утверждает Хуа в [9], стр. 118). Подгруппа
Gi (соответственно G2) может быть интерпретирована
как подгруппа группы 04, сохраняющая все вполне изо-
изотропные плоскости, принадлежащие одному из двух
классов транзитивности группы вращений (см. гл. II,
§ 6 и гл. III, § 4). Для всякого отражения s e 04 имеем
GS = G2,

§ 5. Автоморфизмы групп U^(K,f) 161
Если поле К содержит более 3 элементов, то (гл. И,
§ 2) группа SL2(K) не имеет нетривиальных нормальных
делителей, кроме центра. Отсюда немедленно следует,
что в этом случае подгруппами Gi, Gz и S исчерпывают-
исчерпываются все нетривиальные нормальные делители группы Q4
и, значит, всякий автоморфизм q> группы Ot либо ос-
оставляет на месте каждую из подгрупп Gu G2, либо пере-
переставляет их. Комбинируя автоморфизм ф с внутренним
автоморфизмом группы 04, порожденным отражением,
можно добиться того, чтобы он оставлял на месте Gj
и G2.
Заметим теперь, что для любого автоморфизма о
поля К и любых обратимых матриц А, В преобразова-
преобразование X —* АХ°В~1 пространства матриц 2-го порядка ото-
отождествляется с полуподобием g ^rOt(K,f) (оно преоб-
преобразует det(X) в (det(,4))(det(fi))-1(det(*))e- Из вида
автоморфизмов группы SL2(K) (см. § 2I) следует, что,
комбинируя автоморфизм ф с автоморфизмом u—*gug~l,
можно добиться того, чтобы он оставлял на месте все
элементы подгруппы Gz. Рассмотрим, далее, какой-ни-
какой-нибудь автоморфизм т поля К и такой эндоморфизм 8
группы К*, что 0(|J = |'-т для любого I S К*. Опреде-
Определим автоморфизм группы Ot, ставя в соответствие каж-
каждой паре (U, V) (такой, что det(?/) = det(V)) пару
(B(det(U))U\V) = {Ui,Vi). Так как паре (W,XV) при
этом ставится в соответствие пара (Шь hVi), то это
отображение при факторизации корректно опреде-
определяет автоморфизм группы Ot, тождественный на под-
подгруппе Ог и совпадающий с преобразованием U —*¦ Vх на
подгруппе Gi (отождествленной с SL2(K)). Используя
описание автоморфизмов группы SLz(K) (§ 2), можно
доказать, что, комбинируя автоморфизм ф с таким ав-
автоморфизмом и с автоморфизмом u-*gug~l, где g — по-
полуподобие Х—*АХ, можно добиться* того, чтобы он
оставлял на месте все элементы подгрупп Gi и G2. Но
тогда он будет оставлять на месте все элементы из Й4,
и, поскольку квадрат любого элемента u&Ot лежит в
Q4 (гл. II, § 6), такой автоморфизм должен иметь вид
') См. также примечание 2 на стр. 153. — Прим, перев,
б Ж- Дьёдоние

162 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
и-+%о(и)и, где хо — гомоморфизм группы Ot в ее центр
S. Это завершает описание всех автоморфизмов группы
Ot (Хуа [9]).
§ 6. Автоморфизмы групп PGLn (К),PSLn(К), PSpim (К)
Принципиальная трудность применения предыдущих
методов к проективным группам состоит в наличии в
этих группах инволюций, которые происходят не из ин-
инволюций в группе GLn(K), а из полуинволюций в этой
группе (гл. I, § 3). Поэтому нужно, прежде всего, от-
отличить (групповыми свойствами) эти инволюции «вто-
«второго рода» от тех, которые происходят от инволюций в
GLn(K).
Рассмотрим вначале проективную группу PGLn(K),
где п^З и К — тело характеристики ф2. Экстремаль-
Экстремальные инволюции в этой группе (происходящие из экстре-
экстремальных инволюций в GLn(K)) можно отличить от дру-
других инволюций первым методом, указанным в § 1, а
именно, рассматривая максимальные множества ком-
коммутирующих сопряженных инволюций (Дьёдонне [7]).
Исключение составляет случай, когда п = 4 и —1 не яв-
является квадратом в ТС. В этом случае экстремальные ин-
инволюции можно отличить от инволюций второго рода,
заметив, что если и, v, и', vf—четыре сопряженные ин-
инволюции второго рода (соответствующие элементу
Y е К, не являющемуся квадратом), причем и переста-
перестановочно с v, а и' — с v', то произведения uv и u'v' не
обязательно сопряжены в группе PGLn(K). После того
как получена характеризация экстремальных инволю-
инволюций, методом § 1 устанавливается, что всякий автомор-
автоморфизм группы PGLn(K) получается посредством факто-
факторизации из автоморфизма группы GLn(K). Результат
остается справедливым при п = 2 (если характеристика
тела К отлична от 2). Это доказал Хуа [9] теми же мето-
методами, которые он использовал при определении автомор-
автоморфизмов группы GL2(K).
¦ Если характеристика тела К равна 2, то инволюции
второго рода в группе PGLn(K) (n ^ 2) легко отли-
отличить от остальных, заметив, что если и, у —две комму-

§ 7. Автоморфизмы групп PUn(K,f), PU*(K,f) и PQn(K,f) 163
тирующие сопряженные инволюции второго рода, то
произведение uv никогда не сопряжено с и, в противо-
противоположность тому, что имеет место для инволюций из
GLn(K). После этого применимы методы § 1, и сформу-
сформулированный выше результат, следовательно, справедлив
и в этом случае.
Аналогичные методы применимы и к группе PSLn(K),
за исключением случая, когда п четно, характеристика
тела К не равна 2 и —1 не принадлежит коммутанту
группы К* (Дьёдонне [7], стр. 19). В этом последнем слу-
случае, чтобы отличить 2-инволюции от инволюций второго
рода (при п^4), используют свойства централизато-
централизаторов этих инволюций в группе PSLn(K) (гл. I, § 4). За-
Затем применяются методы § 2. Получаемый результат
состоит в том, что во всех случаях, когда известны ав-
автоморфизмы группы SLn(K), все автоморфизмы группы
PSLn(K) получаются из них посредством факторизации.
Аналогичный результат получается и для проектив-
проективных симплектических групп PSpim{K). В этом случае
также все сводится к отличению экстремальных инволю-
инволюций от инволюций второго рода, что делается путем изу-
изучения централизаторов этих инволюций (см. гл. I, § 13
и 14, и Дьёдонне [7], стр. 32—34).
§ 7. Автоморфизмы групп PUn(K, f),
PUt {К, f) и PQn(K, f)
Трудности, связанные с инволюциями второго рода,
возникают и при определении автоморфизмов группы
PUn(K,f). Положение осложняется тем, что методы § б
применимы лишь при специальных предположениях от-
относительно тела К или формы /. Тем не менее Уолтеру
[1] удалось определить все автоморфизмы группы
PUn(K,f) при п ^ 5 для любого тела К характеристики
ф2, содержащего более 3 элементов. При этих условиях
всякий автоморфизм группы PUn(K,f) получается фак-
факторизацией из автоморфизма группы Un(K,f) (эти ав-
автоморфизмы описаны в § 4). Основная трудность со-
состоит в том, чтобы отличить экстремальные инволюции
в группе PUn(K,f) от других инволюций, после чего
рассуждения § 4 проходят без существенных изменений.
6*

164 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
Метод Уолтера является развитием метода Риккарта
(§ 1). Он основан в первую очередь на рассмотрении
числа v(«) для произвольной инволюции пе PUn(К, f).
Этого, однако, недостаточно, так как v(«) •= 4 не толь-
только для экстремальных инволюций, но и для некоторых
инволюций второго рода. Уолтер рассматривает, далее,
множество М всех инволюций в группе PUn(K,f), для
которых v(«) = 4, и для любых трех различных комму-
коммутирующих инволюций ы, v, w из М рассматривает число
ш(«, v, w) элементов множества с(с(п, v, w)) (где c(S)
имеет тот же смысл, что и в § 1, но в применении к рас-
рассматриваемой группе PUn(K,f))- Пусть а(п) обозна-
обозначает максимум из чисел со(«, v, w) для всевозможных
v, w, удовлетворяющих предыдущим условиям. Деталь-
Детальное изучение множества М (основанное на результатах
§ 13 и 14 гл. I) позволило Уолтеру доказать, что условие
ш(у) =8 выделяет экстремальные инволюции среди
всех элементов множества М, исключая случаи, когда
п = 8 и п = 12, которые исследуются особыми метода-
методами (см. там же).
Еще раньше Дьёдонне [7], стр. 55—57, нашел все ав-
автоморфизмы группы РОп (К, f) в предположениях, что
/ — симметричная форма индекса :=sl, К — произволь-
произвольное поле характеристики ф2 и п ^ 3. При нечетном п
группа POn(K,f) изоморфна группе On (К, f), и ее ав-
автоморфизмы найдены в § 5. При четном п метод состоит
в отличении неэкстремальных инволюций от таких экс-
экстремальных инволюций, собственная гиперплоскость
которых содержит изотропные прямые, при помощи
свойств централизаторов этих инволюции. Это делается
достаточно легко путем рассмотрения первых двух ком-
коммутантов централизатора и использования того факта,
что квадрат всякого элемента группы On(K,f) принад-
принадлежит ее коммутанту. Окончательный результат состоит
в том, что всякий автоморфизм группы POn(K,f) полу-
получается факторизацией из автоморфизма группы
О„ (К, f).
Аналогичным методом определены автоморфизмы
группы РОп (К, f) при п = 6 и любом четном п > 10
для формы / индекса >1 (Дьёдонне [7], стр. 57—60),

§ 7. Автоморфизмы групп PUn(K,f), PU^K,f) и PQn(K,f) 165
В этом случае требуется проверить, что централизатор
2-инволюции, (п — 2)-мерное собственное подпростран-
подпространство которой содержит изотропные прямые, не может
быть изоморфен централизатору инволюции второго
рода. Это делается путем рассмотрения в этих двух
централизаторах максимальных систем коммутирующих
инволюций и доказательства того, что они состоят из
разного числа элементов. В рассматриваемых случаях
автоморфизмы группы РОп (К, f) также получаются
факторизацией из автоморфизмов группы Ot (/С, /)
(определенных в § 5 при тех же предположениях). Ис-
Используя особую структуру группы Ot (K> f), такими же
рассуждениями, как в § 5, можно показать, что этот ре-
результат справедлив и при п = 4 (исключая, быть может,
случай, когда К = F3 и f — форма индекса 2).
Воненбургер [4] распространил предыдущие методы
и результаты на группы РОп (К, f) для формы / индек-
индекса 0 при п ^ 5. При п = 8 происходят особенные яв-
явления, связанные с так называемой «тройственностью»
(см. Э. Картан [2], Шевалле [1], Спрингер и Ван-дер-
Блей [1]). А именно, могут существовать автоморфизмы
группы POt (К, f), преобразующие 2-инволюции в инво-
инволюции второго рода. Для того чтобы это было возмож-
возможно, необходимо и достаточно, чтобы поле К было пифа-
пифагоровым и чтобы для подходящего а форма af обладала
ортонормированным базисом (Воненбургер [5]).
Кажется правдоподобным, что, комбинируя метод,
используемый для отличения инволюций второго рода
от 2-инволюций в группе РО„ (К, f), с методом, позво-
позволяющим отличать инволюции типов B, п — 2) и
(п — 2,2) от других инволюций в группе Ut (К, f)
(§ 5), можно получить описание всех автоморфизмов
группы PUt (К, f) в случае, когда К — произвольное
поле характеристики Ф2, J ф 1 и f — форма индекса
Стейнберг [1] полностью описал автоморфизмы групп
PUt (К, I) и PQn (К, f) для конечного поля К в тех слу-
случаях, когда эти группы простые (см. гл. II, § 3, 4, 9 и 10).
Мы не можем здесь привести его метод, который

166 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
основан на теории групп Ли и совершенно отличен
от методов этой книги. Во всех этих случаях (при
п Ф 8) из результатов Стейнберга легко получается
описание автоморфизмов групп Un(K,f)^n U%{K,f).
Для этого достаточно заметить, что всякий такой авто-
автоморфизм ф сохраняет центр и коммутант группы и,
следовательно, определяет автоморфизм ф группы
PUt (К, f), который по теореме Стейнберга происходит
из автоморфизма \р группы Un(K,f), имеющего вид, опи-
описанный в § 4. После этого все сводится к тому очевид-
очевидному факту, что если ф= 1, то ср(ы) = %(«)ы, где %
имеет тот же смысл, что и в § 4.
Автоморфизмы группы Qn{K,f) для бесконечного
поля К в общем случае не известны (см., однако, част-
частный случай в работе Дьёдонне [9], стр. 91—92). То же
самое относится к группе PQn(K,f) *)¦
Укажем, наконец, что Воненбургер [4] определил
также автоморфизмы проективных групп подобий
PGOn(K,f) и PGOn(K,f) при га>4 для поля К ха-
характеристики ф2.
§ 8. Изоморфизмы классических групп
Классическая группа G(n,K,f) зависит от тела К,
целого числа п (размерности пространства, где дей-
действует группа) и, возможно, полуторалинейной формы
f (или квадратичной формы Q) данного индекса. Мы бу-
будем называть изоморфизм группы G(n,K,f) на группу
G'(n', К', У) типовым, если его определение не зависит
от специальных свойств тела К (кроме, быть может, его
коммутативности) и, тем самым, для любого (быть мо-
может, любого коммутативного) тела К имеет место изо-
изоморфизм соответствующих групп (при этом К', конечно,
зависит от К). В противном случае мы будем говорить
об особом изоморфизме.
Мы уже встречались с типовыми изоморфизмами. Та-
Таковыми являются изоморфизм группы Sp2(K) на груп-
группу SL2(K), где К — произвольное поле, и изоморфизм
группы Ut{K,f) на группу SL2(Ko), где К— поле,
:) См. приложение. — Прим. перед.

§ 8. Изоморфизмы классических групп 167
/ ф 1, f—форма индекса 1 и Ко — поле инвариантов
антиавтоморфизма / (гл. II, § 4 и 5). Большая часть
других известных типовых изоморфизмов (с некоторыми
из которых мы встречались, когда изучали группы О3 и
О4 в § 9 гл. II) связывается с одним-единственным из
них, следуя методу, систематически развитому Ван-дер-
Варденом [1], стр. 18—28.
Этот метод исходит из следующих соображений.
Пусть вначале К — поле характеристики Ф2. Рассмот-
Рассмотрим векторное пространство F = /С4 и пространство Е
бивекторов над F. Размерность пространства Е равна
6; если (eOi^/^4 — базис пространства F, то бивекторы
в{ Л ej (i < /) составляют базис пространства Е. Внеш-
Внешнее произведение двух бивекторов х, у представляется в
виде f (x, y)et Л ег Л е3 Л е4, где f(x,y)—невырожден-
f(x,y)—невырожденная симметричная билинейная форма на Е, индекс кото-
которой равен 3. Соотношение f(x, х)= 0 означает, что х—•
разложимый бивектор (соответствующий 2-мерному под-
подпространству пространства F). Следовательно, грассма-
ниан Gi(F) может быть отождествлен с квадрикой в
5-мерном проективном пространстве Р(Е), определяе-
определяемой уравнением f(x,x)=0. Пусть теперь v — произ-
произвольное полулинейное преобразование пространства F
и и = уB> — его вторая внешняя степень, т. е. такое
полулинейное преобразование пространства Е, что
u(s At)= v(s) A v(t) для любых векторов s, t. Не-
Непосредственно можно проверить, что f(u(x), и (у)) =
= (det(y)) (f(x,у))а, где а—автоморфизм поля К, со-
соответствующий преобразованию у1). Иначе говоря, и —
это полуподобие относительно формы f. Обратно, если
и — такое полуподобие, то соответствующее проектив-
проективное преобразование ы отображает грассманиан Gi(F)
в себя. При этом, поскольку «соседние» точки множе-
множества Gi(F) (в смысле § 2 гл. III) характеризуются тем,
что прямая, соединяющая их в Р(Е), лежит в Gi(F),
преобразования п и пт1 переводят соседние точки
*) Под det (i>) здесь понимается определитель матрицы преоб-
преобразования v в базисе (еО (или в любом базисе, для которого оп-
определитель матрицы перехода от базиса (е{) равен 1). — Прим.
перев.

163 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
в соседние. Следовательно, можно применить теорему
Чоу (гл. III, § 2), которая позволяет заключить, что если
п не переставляет два класса плоскостей Nt (Е), МГ (Е)
квадрики Gi(F), то существует такое полулинейное пре-
преобразование v пространства F, что преобразование
yB)u-i оставляет на месте все точки пространства Р(Е)
и, значит, является гомотетией. Иначе говоря, в этом
случае и = ц,у<2>, где ц, е К*. Кроме того, легко видеть,
что если цуB) = Hiyi2)> то Oi = te и ц = Х^щ, где
К е К*. Если, напротив, п переставляет Nt {E) и N2 (E),
то преобразование и является произведением второй
внешней степени полулинейного отображения простран-
пространства F на пространство F* (т. е. корреляции простран-
пространства F) и канонического отображения (определенного
с точностью до множителя) пространства бивекторов
над F* на пространство бивекторов над F. В первом слу-
случае, если v линейно, то и является прямым подобием 4)
относительно формы /, и обратно. Таким образом, ото-
отображение (ц, у) -* ци<2) является гомоморфизмом пря-
прямого произведения К* X GLt{K) на группу GOt (К, f)
прямых подобий относительно формы /; ядро этого го-
гомоморфизма образовано элементами (К2, X), где
Х^К*\ множитель подобия цу'2) равен (a,2det(y). По-
Поскольку всякая невырожденная симметричная билиней-
билинейная форма индекса 3 на ? эквивалентна форме f (гл. I,
§ 11), тем самым получается типовой изоморфизм для
ортогональных групп таких форм.
Помимо этого, метод Ван-дер-Вардена основывается
на следующих двух замечаниях:
Г. Пусть / — невырожденная симметричная билиней-
билинейная форма на л-мерном векторном пространстве Е над
полем К и Н — неизотропная гиперплоскость в про-
пространстве Е. Обозначим через /i ограничение формы /
на Я. Тогда группа Ot-i {К, f\) естественным образом
отождествляется с подгруппой группы О„ (К, f) (или
группы GOn (К, /)), сохраняющей ту линейную форму и,
') См. § 13 гл. II. Утверждение вытекает из того, что
det (у2) = (det v)K. — Прим. перев.

§ 8. Изоморфизмы классических групп 169
для которой уравнение и(х) = 0 определяет гипер-
гиперплоскость Я.
2°. Пусть Ki — такое подполе поля К, что [К: Ki] = 2,
и а — нетождественный ^-автоморфизм поля К. Тогда
ipynna GOn (K\, f) естественным образом отождеств-
отождествляется с подгруппой группы GOn (К, /), образованной
преобразованиями, коммутирующими с полуинволю-
полуинволюцией (^)-*Aг°). принадлежащей группе FOn(K,f) (где
|i — координаты точки пространства Е в некотором ба-
базисе *)).
Всякая невырожденная симметричная билинейная
форма после некоторого числа последовательных квад-
квадратичных расширений становится формой максималь-
максимального индекса. Поэтому для любой группы On при п ^ 6
можно получить некоторый канонический изоморфизм,
если перевести предыдущие условия на язык фактор-
факторгруппы К* X GLi(K), изоморфной ' группе GOt (К, f)
посредством описанного выше изоморфизма (для фор-
формы f индекса 3).
Таким образом получается 18 типовых изоморфиз-
изоморфизмов для групп 0^ при 3 ^; п sg: 6. Они были частично
перечислены Ван-дер-Варденом (см. [1], стр. 18—28, где
можно также найти список предыдущих работ по этому
вопросу) и полностью — Дьёдонне ([14], стр. 200—225).
При этом используется, помимо прочего, общая про-
процедура, описанная в § 15 гл. I.
Мы ограничимся здесь указанием получаемых таким
образом типовых изоморфизмов между простыми или
полупростыми группами (следовательно, для ортогональ-
ортогональных групп, соответствующих формам индекса ^1).
1) п = 6, / — форма индекса 3. Отождествим форму
f с рассматривавшейся выше формой в пространстве Е
бивекторов над пространством K.k. Гомоморфизм v —* у<2)
посредством факторизации определяет изоморфизм
группы PSLi(K) на группу PQ6(K,f).
2) п = 6, f — форма индекса 2. В некотором базисе
пространства Е форма / записывается в виде/(х, х) =
') Предполагается, что коэффициенты билинейной формы /
^ этодо базисе принадлежат полю К\. — Прим. перед.

170 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
= а{1\ + а4^ —?2|5 + у=6, где элемент — а4/а4 не яв-
является квадратом в /С Дискриминант Д = a^i формы /
обладает тем свойством, что —Д не является квадратом
в К- Пусть К\ = K{V—Л)— квадратичное расширение
поля К, получаемое присоединением корня ш многочле-
многочлена щХ2 + cti. Рассмотрим косоэрмитову форму g(z, z)=
= S1S2 — Ы,\ — «((S3S4 — Ы,г) индекса 2 в пространстве
К\. Имеется изоморфизм группы PL/t {Ki, g) на группу
PQe(K,f), определяемый следующим образом: каждому
элементу v^Ut(Kug) сопоставляется матрица преоб-
преобразования v® в базисе (ei)i<J<6 пространства Е бивек-
бивекторов над К\, задаваемом формулами
е\ = (сое, Ле2 + е3Л е4)/2соа,, е'2 = е, Л е3, е'3 = е, Л е4,
е\ = (сое, Л е2 — е3 Л е4)/ 2ю, е^ = е2 Л е4, ^ = е2 Л е3.
где (е()к.<4— канонический базис пространства К\
над Кй далее производится факторизация по центрам.
3) п = 6, / — форма индекса 1 с таким дискрими-
дискриминантом А, что —Д является квадратом в поле К. В не-
некотором базисе пространства Е форма f записывается
в виде / (х, х) = а{1\ + аД — а$ — аъЦ + У6, где
das = а2а^ Пусть К\ = /С(со), где ш имеет тот же смысл,
что в 2), п Ki — тело кватернионов над К, соответствую-
соответствующее паре (—а^аиа^а2). Тело Кг можно рассматривать
как 2-мерное правое векторное пространство над Ki\
при этом его базис составляют единица и такой элемент
р, что р2 = а\пч и ?р = pi для всякого g e Ki. В этих
обозначениях имеется изоморфизм группы PSL2{K2)
на группу PQ^iKyf), который строится следующим об-
образом. Будем рассматривать пространство (^2)^ как
4-мерное векторное пространство F над Ki. Пусть
(ei)l<{<2 — канонический базис пространства (^Сг)|'> тог-
тогда векторы еь в2, еф, егр составляют базис пространства
F. Каждому элементу о е SL2(^2), рассматриваемому
как линейное преобразование пространства F, поставим
в соответствие матрицу преобразования v® э базисе

§ 8. Изоморфизмы классических групп 171
(егI<г<6 пространства Е бивекторов над F, задаваемом
формулами
е[ = (ше, Л е2 — а2-'е,р Л е2р)/2сйа„
е\ = (сов; Л е2 + Of'^p Л е2р)/2со,
е2 = (аГ'ше1 А е2р — е,рЛ е2)/2а>а2,
е5== (a2~1(Dei Л е2р + <?,р Л е2)/2со,
ез = ei Л е,р, е^ = а-'е2 Л е2р.
Далее произведем факторизацию по центрам.
4) п = 6, f — форма индекса 1 с таким дискриминан-
дискриминантом А, что —А не является квадратом в К (этот случай
не может представиться, если К — поле действительных
чисел). В некотором базисе форма f записывается так
же, как в 3), но без условия на коэффициенты а*. Обо-
Обозначим через ш, как и выше, корень многочлена
aiXz + «4 и через а' — корень многочлена a2Xz + «5-
Положим Ki = K{(o), Ki = К(<&')• РасширенияКи К\
линейно свободны над К и, следовательно, их композит
Кз = К(а>, со') является расширением Галуа 4-й степени
над К; оно содержит поле /Со = ^(К~А) = ^С (cog/).
Пусть L — тело кватернионов над Ко, соответствующее
паре (—ajui, aia2). Его можно рассматривать как 2-мер-
2-мерное правое векторное пространство над Кз', при этом его
базис составляют единица и такой элемент р, что р2 =
= aia2 и ?р = р? для всякого % е Ks, где t,-*l есть К-
автоморфизм поля Кз, меняющий знаки у со и ш'. Опре-
Определим инволюцию / тела L таким образом, чтобы aJ = ¦
= —ш, (o'J = to', pJ = р. Заметим, что это инволюция
второго рода (гл. II, § 5). Рассмотрим на L% косоэрми-
тову форму индекса 1, записывающуюся в виде
g(z, z) = ?(?2 — ?;[?,, Тогда имеется изоморфизм группы
T2(L,g)/W2 (см. § 4 гл. II) на группу PQ6(K,f), который
строится следующим образом. Пространство Ld рас-
рассматривается как 4-мерное векторное пространство F
над К; если при этом (е<I</<2— канонический базис
пространства Ld над L, то векторы еи е2, еф, е2р состав-
составляют базис пространства F над Кз- Каждому элементу

172 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
v^Tz(L,g), рассматриваемому как линейное преобра-
преобразование пространства F, ставится в соответствие мат-
матрица преобразования у<2> в базисе (^f)i<(<6 простран-
пространства Е бивекторов над F, образованном элементами
е[ = (<ое, Л е2 — а~1ехр Л е2р)/2юа1,
е\ = (сш>, Л е2 + а-'ejp Л е2р)/2со,
е2 — (a2l@'ei Л егР ~ eiP А <?2)/2а>'а2,
e5 = (a2"lco'ei Л е2р + е,р Л е2)/2<й',
е'г = ех1\ е,р, е^ = aj1^ Л е2р.
Далее производится факторизация по центрам.
5) п = 5, f — форма индекса 2. Можно считать, что
в некотором базисе пространства Е форма f записывает-
записывается в виде / (х, х) = |,g4 —12?5 + 1з- Рассмотрим на /С4 зна-
знакопеременную форму g(x, у)— Ьщ — Smi + |3Ti2 — |2Tis.
Имеется изоморфизм группы PSpi(K,g) на группу
PQb(K,f), определяемый следующим образом. Для каж-
каждого элемента v e Spi(K, g) рассматривается матрица
преобразования у® в базисе (e'i)i<t<6 пространства Е'
бивекторов над К\ образованном бивекторами
е\ = е, Л е2, ег2 = е1А е3, е'ъ = (е, Ле4 + е2Л е3)/2>
«4 = е3Л е4, е'ь = е2 Л в4, < = (в, Л е4 — е2 Л вэ)/2,
где (ei)i<i<4 —канонический базис пространства /С4.
Преобразование уB) сохраняет подпространство, порож-
порожденное бивекторами е\ с индексами i ^ 5, которое
отождествляется с пространством Е. Элементу v ста-
ставится в соответствие матрица ограничения преобразова-
преобразования уB) на подпространстве Е в базисе (e<)i<*<5- Затем
производится факторизация по центрам.
6) п = 5, f —форма индекса 1. Можно считать, что
в некотором базисе пространства ? форма / записывает-
записывается в виде f (я, х) = a,|2 -f a4?4"~ Ыь + 1з» причем эле-
элемент —aja\ не является квадратом в К- Положим К\ =
= /((©), где ш, как и выше, — корень многочлена а\Х2-\-
-\- ait- Пусть, с другой стороны, L — тело кватернионов

§ 8. Изоморфизмы классических групп 173
над К, соответствующее паре (—ajait —а4). Его можно
рассматривать как 2-мерное правое векторное простран-
пространство над Ki, базис которого составляют единица и такой
элемент р, что р2 = — d и ?р = р? для любого ? е Ki.
Рассмотрим на пространстве h\ косоэрмитову форму
g{z,z) = t,[tJ — ???, индекса 1, на этот раз относительно
инволюции / первого рода, определенной так, чтобы
coJ = —со, pJ = р (инволюция типа I в классификации § 5
гл. II). В этих обозначениях имеется изоморфизм груп-
группы T2(L,g)/W2 на группу PQ5(K,f), который строится
следующим образом. Пространство Ld рассматривает-
рассматривается как 4-мерное векторное пространство F над AV, при
этом если (бг)]<г<2 — канонический базис пространства
L^, то векторы е4, е2, eip, е2р составляют базис про-
пространства F. Для каждого элемента v^T2(L,g), рас-
рассматриваемого как линейное преобразование простран-
пространства F, строится матрица преобразования у<2> в базисе
(e'i)l<t<6 пространства Е' бивекторов над F, составлен-
составленном из бивекторов
е; = е,Ле2, e? = e!Ae,p, ej = (e, Л е2р — е,р Л е2)/2,
е[ = е1рЛе2р, е'5 = е2Ле2р, е'6 = (е1 Л е2р + е,р Л е2)/2.
Преобразование уB> сохраняет подпространство, порож-
порожденное бивекторами е\ с номерами / ^ 5, которое ото-
отождествляется с пространством Е. Элементу v сопостав-
сопоставляется матрица ограничения преобразования у<2' на под-
подпространстве Е в базисе (et)liit<6. Затем производится
факторизация по центрам.
7) п = 4, f — форма индекса 2. В некотором базисе
пространства Е форма f записывается в виде f(x, x) =
— Ixli — Ыг = det(-Y), где Х=[ ' 2 • Отождествив
\63 64/
пространство Е с пространством матриц 2-го порядка над
д, мы можем построить изоморфизм группы PSL2(K)X.
X PSL2(K) на группу PQi(K,f). Для этого каждой паре
(Ui, U2) унимодулярных матриц 2-го порядка на К
поставим в соответствие линейное преобразование

174 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
пространства Е (см. Дьёдонне [5]); затем
профакторизуем по центрам.
8) п = 4, f — форма индекса 1. В некотором базисе
форма / записывается в виде f(x, х) —1^4 — (a2l\ +
+ а3^з), где элемент —а3/а2, а значит, и дискриминант
А = —а2а3, не является квадратом в К. Пусть К\ =
= К{У~К) — квадратичное расширение посредством
присоединения к К корня ш многочлена а2Х2 + аз. В этих
обозначениях имеется изоморфизм группы PSL2(Ki) на
группу PQi(K,f), который строится следующим образом.
Пространство К* отождествляется с пространством
матриц 2-го порядка над Ки и для каждой матрицы
U^SL2(Ki) рассматривается линейное преобразова-
преобразование этого пространства, определяемое формулой
X-*UX(POP-*), где P = (J a°.,j, a ?-?-нетож-
?-?-нетождественный /(-автоморфизм поля Ki- Матрице U сопо-
сопоставляется тогда матрица этого линейного преобразо-
преобразования в базисе (e't)l<l<i пространстваК\, составленном
из векторов
е; = е,, 4 = (сое2 + е3)/2ша2, е'3 = (ше2 — еэ)/2со, < = е4,
где (е{I<1<4— канонический базис этого пространства.
Далее производится факторизация по центрам.
9) п = 3, / — форма индекса 1. Можно считать, что
в некотором базисе пространства Е форма f записы-
записывается в виде f (x, x) = lll2—ll = det(X), где Х =
—(* *' -Отождествивпространство Е с пространством
V S3 S2 /
симметричных матриц 2-го порядка над К, мы можем
построить изоморфизм группы PSL2{K) на группу
PQ3(K, /)• Для этого каждой матрице U ^SL2(K) по-
поставим ^ соответствие линейное преобразование
X -+иХ*и пространства Е, а затем профакторизуем по
центрам.
Некоторые из изложенных выше результатов для
размерностей 5 и 6 могут быть получены рассмотрением
алгебр Клиффорда так же, как для размерностей 3 и 4

§ 8. Изоморфизмы классических групп 175
(Эйхлер [2], стр. 33—35, и Шевалле [1], стр. 102—105).
Среди изоморфизмов, получаемых этими методами
(и не указанных в § 9 гл. II) упомянем еще изоморфизм
между ортогональной группой Оз (К, /), где / — форма
индекса 0, и факторгруппой по группе гомотетий группы
прямых унитарных подобий GUt (К и g), где Ki — квад-
квадратичное расширение поля К, a g— эрмитова форма ин-
индекса 0 над Ki.
Для поля К характеристики 2 так же, как и выше, по-
получается гомоморфизм группы К* X GLi(K) на группу
GOt (К, Q), где Q — недефектная квадратичная форма
индекса 3 (гл. I, § 16). Исходя из этого гомоморфизма,
метод Ван-дер-Вардена с некоторыми естественными
модификациями (например, дискриминант заменяется
на псевдодискриминант, определенный в .§ 10 гл. II) лег-
легко перенести на поля характеристики 2. Изоморфизмы,
получаемые таким способом (для размерностей п = 4
и п — 6), полностью определены Охарой [1].
Рассматривая другие типы полуинволюций в группе
rOe(K,f), (где / — форма индекса 3), тем же методом
можно получить изоморфизмы для унитарных групп над
обобщенным телом кватернионов. Пусть L — такое тело
(характеристики Ф2), Z— его центр (обязательно бес-
бесконечный), У — его единственная инволюция, множество
инвариантов которой совпадает с Z. Пусть ш — какой-
либо элемент тела L, удовлетворяющий условию a>J =
= —ш; тогда со2 е Z. Обозначим через К поле Z(u>). Из-
Известно, что в L существует такой элемент р, что pJ =
= —р, шр = —рсо, р2 = у е Z. Тело L можно рассмат-
рассматривать как правое векторное пространство над К; при
этом элементы 1, р составляют его базис. Для любого
| е К имеем р~*?р=| (где ?—>?"—единственный не-
нетождественный Z-автоморфизм поля К). Пусть теперь
Е есть правое n-мерное векторное пространство над L
и f — невырожденная косоэрмитова форма на Е X Е-
Форма f может быть представлена в виде
f (х, у) — h (х, и0 (у)) + pfo (x; у),
где fo — невырожденная симметричная билинейная фор-
форма на пространстве Е, рассматриваемом как 2п-мерное

176 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
векторное пространство над К, а и0 — полулинейное пре-
преобразование этого пространства (относительно автомор-
автоморфизма ?->|), определяемое равенством ио(х) — хр, так
что и20(х) = ух; при этом fo(u0(x), ио(у)) = — \h(x,у).
Группа Un(L,f) интерпретируется тогда как подгруппа
группы 02n(K,fo), образованная преобразованиями,
коммутирующими с ы0 (гл. I, § 13). При п = 3 и п = 2
это дает изоморфизмы групп Un(L,f) на другие класси-
классические группы (Дьёдонне [17]). Ограничимся случаем,
когда I—форма индекса 1, и укажем получаемые при
этом изоморфизмы для групп Tn(L,f) (см. § 4 гл. II).
10) п — 3. Можно предполагать, что в некотором ба-
базисе (CfcI<ft<3 пространства Е (над L) форма / записы-
записывается в виде /B,2) = -72(СК1 + ^з-ВД. Рас-
Рассмотрим в пространстве /С4 косоэрмитову форму
g {х, х) —1,& — У, — со Aз1з — Vlili)
индекса 1. Имеется изоморфизм группы PUt (К, g) на
группу T3(L,f)/W3, который строится следующим обра-
образом. Каждому элементу v^Ut (К, g) ставится в соответ-
соответствие матрица преобразования у<2> в базисе (е\) про-
пространства бивекторов над К4, определяемом формулами
е\ — (е, Л е2)/а, е'2 = ехЛ еу е/3 = е1А е4,
е4 = е3 Л ?4, б5 = е2 Л #4» еб== е2 "* ез>
где (е^I<г<4— канонический базис пространства К*.
При отождествлении базиса (el) с базисом простран-
пространства Е над К, образованном векторами с4 и ftp (I ^
^^^3), полученная матрица естественным образом
интерпретируется как матрица из ортогональной груп-
группы, соответствующей форме fo, ассоциированной с фор-
формой / указанным выше способом. Далее производится
факторизация по центрам.
11) п = 2. В некотором базисе пространства Е (над
L) форма f представляется в виде f(z, z) = — V2 (S2S3 —
— ?$;2).Если обозначить через f (соответственно через
Е') форму, обозначавшуюся в 10) через / (соответствен-
(соответственно через Е), то группа U2(L,f) может рассматриваться

§ 8. Изоморфизмы классических групп 177
как подгруппа группы U3(L, /'), сохраняющая подпро-
подпространство, задаваемое уравнением ?i = 0. Используя го-
гомоморфизм, описанный в 10), преобразования из
1}г(Ь,1) можно отождествить с преобразованиями вида
|ху<2> (где v e GUi(K, g)), сохраняющими бивекторы
в\ Л ег, е% Л е4; это означает, что в пространстве К}
преобразование v сохраняет плоскости Р' = Кв\ + Ке%
и Р" = Ке3 + Kei. Пусть v' и v" — ограничения преоб-
преобразования v на эти плоскости. Можно доказать, что в
качестве v' можно взять любой элемент из GLz{Z), и
тогда преобразование v" должно иметь такой же опреде-
определитель, как и v', и принадлежать группе GUt (К, g") (где
g"— ограничение формы g на Р"), изоморфной
мультипликативной группе L* отличных от 0 кватернио-
кватернионов. Окончательно мы видим, что группа U2{L,f) изо-
изоморфна факторгруппе подгруппы Г группы L* X GL2(Z),
образованной парами (q, v'), для которых qqf = det(y'),
по подгруппе (изоморфной группе Z*), образованной па-
парами (Я, Я), где leZ*. При таком представлении
группа T2(L,f) отождествляется с группой PSL2(Z), и
ясно, что факторгруппа ?/2,Т2 не коммутативна (выби-
(выбирая подходящим образом тело L, можно добиться того,
чтобы композиционный ряд группы ?/2/7*2 содержал не-
некоммутативные простые факторы).
Упомянем, наконец, что те же методы позволяют по-
получить изоморфизмы для некоторых групп PUi(L,f).
В самом деле, такая группа интерпретируется как под-
подгруппа группы РО8+ (ТС, /0). Изоморфизмы, о которых
идет речь, получаются в случае, когда группа РО* {К, /0)
допускает особые автоморфизмы (см. § 7). Если ф —
такой автоморфизм, он преобразует группу PUi(L,f)
в подгруппу группы РО* {К, f0), образованную элемента-
элементами, инвариантными относительно автоморфизма qnpoqr1,
где гро — автоморфизм v^-uovu^1 группы РО* (К, f0).
Помимо типовых изоморфизмов, о которых только
что шла речь, известно некоторое число особых изомор-
изоморфизмов между конечными группами типов PSLn(K),
PSp2m(K), PUt (К, f), к которым здесь удобно присоеди-
присоединить симметрические группы ©п и знакопеременные
7 Ж. Дьбдонне

178 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
группы 21„. Эти изоморфизмы, открытые Жорданом [1] и
Диксоном [1], суть следующие:
1) группа PSL2(F2) изоморфна симметрической груп-
группе ©з;
2) группа ASL2(F3) изоморфна знакопеременной
группе 'Л4;
3) группы ASL2(F4) и PSL2(F5) обе изоморфны зна-
знакопеременной группе $5;
4) группы ASL2(F7) и ASL3(F2) суть изоморфные
простые группы порядка 168;
5) группа PSL2(Fg) изоморфна знакопеременной
группе 916;
6) группа P5L4(F2) изоморфна знакопеременной
группе %;
7) симплектическая группа PSp^Fz) изоморфна сим-
симметрической группе ©в;
8) группы PS/?4(F3) и PUt (Fa) суть изоморфные
простые группы порядка 25920.
Метод, при помощи которого Жордан и Диксон уста-
установили эти изоморфизмы, состоит в том, что в рассмат-
рассматриваемых конечных группах, изоморфизм которых дока-
доказывается, выбираются системы образующих, содержащие
одинаковое количество элементов и удовлетворяющие
одинаковым соотношениям. Можно, однако, получить
эти особые изоморфизмы другими методами, которые
больше учитывают геометричесую природу рассматри-
рассматриваемых групп (Дьёдонне [18], Эдж [1, 2, 3]).
§ 9. Изоморфизмы классических групп (продолжение)
Естественно поставить вопрос, существуют ли изо-
изоморфизмы (типовые или особые) между классическими
группами, кроме тех, которые описаны в § 8. Этот во-
вопрос еще не решен каким-либо определенным образом.
Мы укажем здесь основные результаты, полученные в
этом направлении.
Прежде всего группы PSLn(K) и PSLm(K') (n ^2,
m ^ 2) могут быть изоморфны только при п = пг, за
исключением групп PSZ,2(F7) и PSL3{F2); кроме того,
при п = m > 2 изоморфизм возмооюен, только если тела
К и К' изоморфны или антиизоморфны. Это же верно

§ 9. Изоморфизмы классических групп (продолжение) 179
при п = т = 2, если тела К и К' коммутативны, за ис-
исключением случая, когда К = F4, К' = F5.
Это утверждение было доказано в несколько этапов.
Вначале Шрейер и Ван-дер-Варден [1] доказали его для
коммутативных тел К и К'. Затем Дьёдонне ([7],
стр. 22—25 и [6], стр. 91—94) дал доказательство для
произвольных тел К и К', за исключением нескольких
случаев, которые были разобраны Хуа и Ванем [1].
Следует различать два случая в зависимости от того,
конечны тела К а К' или бесконечны. В первом случае
метод Шрейера и Ван-дер-Вардена состоит в доказа-
доказательстве того, что при п ^ 3 сдвиги могут быть охарак-
охарактеризованы как элементы, отличные от единицы, цент-
централизатор которых имеет максимальный порядок. Метод,
примененный в § 1 для определения автоморфизмов
группы GLn(K), позволяет тогда доказать, что при
«^Зиш>3 изоморфизм группы PSLn(K) на группу
PSLm(K') определяет полулинейное отображение про-
пространства Кп на пространство К'т или дуальное к нему;
отсюда и получается требуемое заключение. Остается
исследовать случай, когда одно из чисел п, т равно 2.
В этом случае используется тот факт, что в группе
PSL2(K) над конечным полем К централизатор любого
элемента, отличного от единицы, разрешим; далее рас-
рассматриваются порядки конечных групп, встречающихся
в рассуждении.
В случае когда оба тела К, К' бесконечны, общим
методом является изучение инволюций в рассматривае-
рассматриваемых группах. Прежде всего тела К и К' должны иметь
характеристику, равную 2 или не равную 2 одновремен-
одновременно. Это следует из того, что если характеристика тела К
равна 2, то в группе PSLn(K) существуют бесконечные
системы коммутирующих сопряженных инволюций, в
противоположность случаю, когда характеристика не
равна 2. Предположим, что характеристика тел К и К'
не равна 2. Рассматривая число элементов в максималь-
максимальных системах коммутирующих сопряженных инволюций
в группе PSLn(K), можно тогда, вообще говоря, дока-
доказать, что т = п. Для малых значений т и п в некото-
некоторых случаях требуются дополнительные рассуждения;
наиболее трудный случай, разобранный Хуа и Ванем

180 Гл. IV. Автоморфизмы и изоморфизмы классических групп
[1], — это когда п = 2, m — 3. После того как установ-
установлено равенство m = п, методы § 6 позволяют при m =
= п > 2 доказать, что тела К и К' изоморфны или ан-
тиизоморфны.
Если характеристика тела К равна 2 и п ^ 6, то
сдвиги в группе PSLn(K) характеризуются свойством,
не зависящим от п (§ 1 и 6). Следовательно, если харак-
характеристика тел К а К' равна 2, то при п ^ 6 и m ^ 6
всякий изоморфизм группы PSLn(K) на группу
PSLm(K') должен переводить сдвиги в сдвиги; отсюда
легко получается требуемый результат. Если одно из
чисел пит меньше 6, то требуются дополнительные
рассуждения. Наиболее трудные случаи, соответствую-
соответствующие парам B, 3) и D, 5), разобраны Хуа и Ванем (см.
там же).
Что касается симплектических групп, можно дока-
доказать, что группы PSp2m(K) и PSp2n{K') могут быть изо-
изоморфны, только если m = n и тела К и К' изоморфны,
за исключением случая m = п = 1, К — F4, X' = F5
(Дьёдонне [7], стр. 39—41). Для доказательства так же,
как и выше, изучаются централизаторы инволюций в
рассматриваемых группах.
Возможные изоморфизмы между классической груп-
группой вида PQn(K,f) или PUn (К, f) (где К коммутатив-
коммутативно) и другой классической группой в общем случае не
найдены. Однако это может быть сделано полностью в
случае конечного поля К. При помощи арифметического
изучения формул для порядков классических групп над
конечными полями Артин [!, 2] показал, что конечные
группы типов PSLn(K), PSp2m{K), PQq(K,f), PU?(К)
(где поле К не фиксировано), ©^ и 21/, имеют попарно
различные порядки, за исключением пар, для которых
имеется типовой или особый изоморфизм, пары групп
ASL3(F4) и PSLi (F2), которые, как мы видели выше, не
изоморфны, и, наконец, пар групп P5p2m(F9) и
PQ2m+\(Fq) (q нечетно, /и^З). Последнее совпадение
порядков заметил Диксон [1], который доказал, что две
такие группы не изоморфны (см. там же); другое дока-
доказательство см. у Дьёдонне [7], стр. 73—74. Таким обра-
образом, между рассматриваемыми простыми конечными

§ 9. Изоморфизмы классических групп (продолжение) 181
группами нет никаких изоморфизмов, кроме изоморфиз-
изоморфизмов (типовых и особых), указанных в § 8. Можно так-
также заключить, что для групп вида PQn(K,f), где f —
форма индекса > [(п — 2)/2], и PUt (К, f), где f — фор-
форма индекса [л/2], нет других типовых изоморфизмов,
кроме указанных в § 8, поскольку такой изоморфизм
должен был бы тогда существовать р для_ конечных
групп этих типов,

ПРИЛОЖЕНИЕ
Методы, использовавшиеся в § 1—7 гл. IV, основы-
основываются главным образом на изучении инволюций в рас-
рассматриваемых группах; это предполагает, с одной сторо-
стороны, что в группе имеется «достаточно много» инволюций
и, с другой стороны, что известно их явное описание.
В 1967 г. О'Мира [4] придумал совершенно новый метод,
не использующий инволюций и позволяющий разрешать
многочисленные вопросы, не поддававшиеся решению
прежними методами. А именно, в работе [4] О'Мира на-
нашел своим методом автоморфизмы групп пп(К, f) и
О'п (К, f) при «>7ип^=8 для поля К характеристики
Ф2, содержащего более 3 элементов. Он показал, что
для некоторых полей может случиться, что в группе Qn
нет ни одной инволюции, отличной от 1, так что его
результат не может быть получен прежними мето-
методами.
Основная идея этой работы состоит в рассмотрении
плоских вращений в изучаемой группе А (равной О'т
или Qn). Под плоским вращением автор понимает пре-
преобразование из группы Д, подпространство Р неподвиж-
неподвижных точек которого имеет размерность п — 2, причем мо-
может быть изотропным; вращение называется регуляр-
регулярным, если это подпространство не изотропно; в любом!
случае плоскость R, ортогональная к Р, называется ба-
базисной плоскостью вращения. Цель состоит в том, что-
чтобы доказать, что автоморфизм а группы Д индуцирует
Перестановку плоскостей пространства Кп с обычными
свойствами инцидентности, позволяющими применить,
как в § 1—7, основную теорему проективной геометрии.
Для этого доказывается, что всякая плоскость R яв-
является базисной плоскостью некоторого плоского враще-
вращения, принадлежащего группе Д и преобразуемого авто-
деорфизмом g в плоское вращение. Доказательство очень

Приложение 183
технично, причем наиболее труден случай, когда плос-
плоскость Р не изотропна. Свойство, на которое в конечном
счете опирается автор, состоит в том, что регулярные
плоские вращения с данной базисной плоскостью Обра-
Образуют коммутативную группу. Если для всякого подмно-
подмножества X а А обозначить через С(Х) его централизатор
в А, а через DH обозначить коммутант группы Н, то
можно доказать, что для любого плоского вращения и
при k ^ 2 группа DCDhC(u) коммутативна. Так как это
свойство чисто групповое, то тем же свойством обла-
обладает элемент а(и). В предположении, что п ^ 5, автор
выводит отсюда сначала, что а(и) есть вращение, под-
подпространство неподвижных точек которого имеет раз-
размерность, равную п — 2 или одному из чисел 0, 1, 2.
Затем при помощи ряда довольно тонких геометриче-
геометрических рассуждений он исключает последние три случая
(при п > 7 и л ^ 8) и доказывает, что определяемое ав-
автоморфизмом о взаимно однозначное преобразование
множества плоскостей пространства Кп обладает обыч-
обычными свойствами инцидентности.
Этот метод интересен тем, что он применим во мно-
многих других случаях. Например, в ранней работе [2]
О'Мира, используя сдвиги, определил при п ^ 3 авто-
автоморфизмы групп GLn(A) и SLn(A) для произвольного
целостного кольца А. Данное в этой работе доказатель-
доказательство того, что всякий автоморфизм переводит сдвиги в
сдвиги, было длинным и трудным. В работе [6] О'Мира
значительно упростил это доказательство, рассмотрев
упомянутые выше группы как подгруппы группы
GLn(K) (где К—поле частных кольца А) и охаракте-
охарактеризовав сдвиги, принадлежащие любой подгруппе
Д с GLn(K), содержащей «достаточно много» сдвигов
(в том смысле, что для всякой гиперплоскости Я.и для
всякой прямой Вей в группе Д имеется сдвиг вдоль
Н в направлении D), при помощи групп CDC(u) для.
некоторых элементов кеД.
Аналогичным способом можно определить автомор-
автоморфизмы ортогональных групп над локальными или деде-
киндовыми кольцами, а также их «конгруэнц-подгрупп»
(О'Мира [5], О'Мира и Цассенхауз [1]) и автоморфизмы

184 Приложение
унитарных групп над телом характеристики 2 (Джон-
(Джонсон [3]).
Упомянем, наконец, другое направление, использую-
использующее гомологии групп и теорию групп Ли (Борель [1]),
но охватывающее только подгруппы полупростых веще-
вещественных групп Ли ').
') Абстрактные изоморфизмы изотропных простых алгебраиче-
алгебраических групп над произвольными полями (в частности, классических
групп, соответствующих формам индекса 5»1) найдены Борелем и
Титсом (Borel A., Tits J., Homomorfhismes «abstraits» de groupes
algebriques simples, Ann. Math., 97 A973), 499—571).
Об изоморфизмах классических групп над целостными кольцами
см. Hahn A. J., The isomorphisms of certain subgroups of the isometry
groups of reflexive spaces, /, Algebra, 27 A973), 205—242. — Прим.
перев.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1
Эта библиография совершенно не претендует на полноту в от-
отношении работ, появившихся до 1935 г. Список этих работ читатель
может найти в книге Ван-дер-Вардена [I].
Абе (Abe M.)
1. Projective transformation groups over non-commutative fields,
Sijo-Sugaku-Danwakai, 240 A942).
Алберт (Albert A. A.)
1. Symmetric and alternate matrices in an arbitrary field, I, Trans.
Amer. Math. Soc, 43 A938), 386—436.
Аллен (Allen H. P.)
1. Hermitian forms, Trans. Amer. Math. Soc, 138 A969), 199—210:
/. Algebra, 10 A968), 503—515.
Анкочеа (Ancochea G.)
1. Le theoreme de von Staudt en geometrie projective quaternio-
nienne, /. reine angew. Math., 184 A942), 193—198.
Артин (Artin E.)
1. The orders of the linear groups, Comm. Pure Appl. Math., 8
A955), 355—366;
2. The orders of the classical simple groups, Comm. Pure Appl.
Math., 8 A955), 455—472.
3. Geometric algebra. Interscience Tracts n" 3, New York —Lon-
—London, Interscience Publ., 1957. [Русский перевод: Артин Э., Гео-
Геометрическая алгебра, «Наука», М., 1969.]
Арф (Art С.)
1. Untersuchungen uber quadratische Formen in KSrpern der Cha-
rakteristik 2, I, /. reine angew. Math., 183 A941), 148—167.
Асано, Накаяма (Asano К.., Nakayama Т.)
1. Ober halblineare Transformationen, Math. Ann., 115 A937),
87—114.
') Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе,
Прим. перее,

186 Список литературы
Бахман (Bachmann F.)
1. Eine Kennzeichnung der Gruppe der gebrochen-linearen Trans-
formationen, Math. Ann., 126 A953), 79—92.
Беге (Boge S.)
1. Schiefhermitesche Formen uber Zahlkorpern und Quaternio-
nenschiefkorpern, J. reine angew. Math., 221 A966), 85—112.
Биркгоф, фон Нейман (Birkhoff Q., von Neumann J.)
1. The logic oi quantum mechanics, Ann. of Math., 37 A936),
823—843.
Болт, Рум, Уолл (Bolt В., Room Т. G., Wall G. E.)
1. On the Clifford collineation transformation and similarity
group, I, II, /. Austr. Math. Soc, 2 A961), 60—96.
Борель (Borel A.)
1. On the automorphisms of certain subgroups of semi-simple Lie
groups. Algebraic geometry (Papers presented at the Bombay
Colloquium, 1968), Tata Institute of fundamental research,
43—73.
Бреннер (Brenner J.)
1. The linear homogeneous group, Ann. of Math., 39 A938),
472—493.
2. The linear homogeneous group, II, Ann. of Math., 45 A944),
100-109.
Бурбаки (Bourbaki N.)
1. Algebre, chap. II: Algebre lineaire, Actual. Scient. et Ind.,
3e ed., n° 1236, Paris: Hermann, 1962. [Русский перевод: в кни-
книге Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная
и полилинейная алгебра, Физматгиз, М., 1962.]
•' 2. Algebre, chap. VII: Modules sur les anneaux principaux, Ac-
Actual. Scient. et Ind., n° 1179, Paris: Herman 1952. [Русский
перевод в книге Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, фор-
формы, «Наука», М, 1966.]
3. Algebre, chap. IX, Actual. Scient. et Ind,, n° 1272, Paris: Her-
Hermann, 1959. [Русский перевод там же.]
Бэр (Baer R.)
1. Free mobility and Orthogonality, Trans. Amer. Math. Soc, 68
A951), 439—460.
2. The group of motions of a two-dimensional elliptic geometry,
Сотр. Math., 9 A951), 271—288.
3. Linear algebra and projective geometry, New York: Acad. Press,
19—52. [Русский перевод: Бэр Р., Линейная алгебра и про-
проективная геометрия, ИЛ, М., 1955.]
Ван-дер-Варден (Van der Waerden В. L.)
¦ 1. Gruppen von linearen Transformationen, Berlin: Julius Sprfn-
ger 193§.

Список литературы I8f
Ван-Дрооге (Van Drooge D. С.)
1. Spinor theory of quadratic quaternion forms, Koninkl. Ned.
Akad. Wetenschap. Proc, Ser. A, 70 A967), 487—523.
Вань (Wan Z.-X., иное написание Wan C.-H.)
1. On the automorphisms of linear groups over a non-commutative'
Euclidean ring of characteristic 2, Sci. Rec, 1 A957), 5—8.
2. On the commutator subgroup of the unitary group, Sci. Rec,
4 A960), 343—348.
Вань, Ван (Wan Z.-X., Wang Y.-X.)
1. On the automorphisms of symplectic groups over a field of
characteristic 2, Sci. Sinica 12 A963), 289—315.
Веблен, Янг (Veblen О., Young J. W.)
1. Projective geometry. 2 vol., 2nd ed., Boston, 1918—1938.
Вейль (Weil A.)
1. Algebras with involutions and the classical groups, /. Ind.
Math. Soc, 24 A961), 589—623. [Русский перевод: Вейль А.,
Алгебры с инволюциями и классические группы, в сб. «Мате-
«Математика», 7 : 4 A963), 31—55.]
Витт (Witt E.)
1. Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Korpern, /. reine
angew. Math., t76 A937), 31—44.
2. Ober eine Invariante quadratischer Formen mod. 2, /. reine
angew. Math., 193 A954), 119—120.
3. Verschiedene Bemerkungen zur Theorie des quadratischen For-
Formen iiber einem Korper, Centre Beige Rech. math., Colloque
d'Alg.'sup. Bruxelles A957), 245—250.
Витт, Клингенберг (Witt E., KHngenberg W.)
1. Ober die Arfsche Invariante quadratischer Formen mod. 2,
/. reine angew. Math., 193 A954), 121—122.
Вольфхардт (Wolffhardt K-)
1. Ober eine Charakterisierung der Determinante, Math. Z., 103
A968), 259—267.
Воненбургер (Wonenburger M.)
1. Study of a semi-involutive similitude, Rev. Mat. Hisp. Am.,
Ser. 4, 20, n°l A960).
2. The Clifford algebra and the group of similitudes, Canad. J.
Math., 14 A962), 45—59.
3. Study of certain similitudes, Canad. J. Math., 14 A962), 60—68.
4. The automorphisms of the group of simiitudes and some related
groups, Amer. J. Math., 84 A963), 600—614.
5. The automorphisms of PO?(Q) and PSf (Q), Amer. J. Math.,
84 A963), 635—641.
6. The automorphisms of the group of rotations and its projective
group corresponding to quadratic forms of any index, Canad.
J. Math., 15 A963), 302—303.

188 Список литературы
Гётцки (Gotzky M.)
1. Ober die Erzeugenden der engeren unitaren Gruppen, Arch. d..
Math., 19 A968), 383—389.
2. Unverkiirzbare Produkte und Relationen in unitaren Gruppen,
Math. Z., 104 A968), 1—15.
Джекобсон (Jacobson N.)
1. Pseudo-linear transformations, Ann. of Math., 38 A937), 484—
507.
2. Normal semi-linear transformations, Amer. J. Math., 61 A939),
45—58.
3. Theory of rings, Math. Surveys, n°2, New York, 1943. [Русский
перевод: Джекобсон Н., Теория колец, ИЛ, М., 1947.]
4*. A note on hermitian forms, Bull. Amer. Math. Soc, 46 A950),
265—268.
Джонсон (Johnson A. A.)
1. Integral representations of hermitian forms over local fields,
Bull. Amer. Math. Soc, 72 A966), 118—121.
2. Integral representations of hermitian forms over local fields,
/. reine angew. Math., 229 A968), 57—80.
3. The automorphisms of unitary groups over a field of characte-
characteristic 2, Amer. J. Math., 93 A971), 367—384.
Диксон (Dickson L. E.)
1. Linear groups, Leipzig: B. G. Teubner, 1901.
2. Theory of linear groups in an arbitrary field, Trans. Amer.
Math. Soc, 2 A901), 363—394.
3. Linear groups in infinite field, Proc. Lond. Math. Soc, 34
A902), 185—205.
Дьёдонне (Dieudonne J.)
1. Les determinants sur un corps non commutatif, Bull. Soc.
Math. France, 71 A943), 27—45.
2. Complements a trois articles anterieurs, Bull. Soc. Math. Fran-
France, 74 A946), 59—68.
3. Sur la reduction canonique des couples de matrices, Bull. Soc.
Math. France, 74 A946), 130—146.
4. Sur les groupes classiques, Actual. Scient. et Ind., n°1040, Pa-
Paris: Hermann, 1948.
5. Sur une generalisation du groupe orthogonal a quatre vari-
variables, Arch. d. Math., 1 A949), 282—287.
6. Sur les systemes maximaux d'involutions conjuguees et per-
tables dans les groupes projectifs, Summa Bras. Math., 2,
A950) 59—94;
7. On the automorphisms of the classical groups, Memoirs Amer.
Math. Soc, n°2 A951), 1—95.
8. Algebraic homogeneous spaces over fields of characterististic
two, Proc. Amer. Math. Soc, 2 A951), 295—304.
9. On the orthogonal groups over the rational field, Ann. of
Math., 54 A951), 85—93.

Список литературы 189
10. Orthogonal and unitary groups over the rational field, Amer.
J. Math., 73 A951), 940—948.
11. Sur les groupes orthogonaux rationnels a trois et quatre vari-
variables, C. r. head. Sci. (Paris), 233 A951), 541—543.
12. On the orthogonal groups over an algebraic number field,
Proc. Lond. Math. Soc. C), 2 A952), 245—256.
13. On the structure of unitary groups, Trans. Amer. Math. Soc,
72 A952), 367—385.
14. Les extensions quadratiques des corps non commutatifs et leurs
applications, Ada Math., 87 A952), 175—242.
15. A problem of Hurwitz and Newman, Duke Math. 1., 20 A953),
381—390.
16 On the structure of unitary groups (II). Amer. J. Math., 75
A953), 665-678.
17 Sur les groupes unitaires quaternioniques a deux et a trois
variables, Bull. Set. Math., 77 A953), 195—213.
18 Les isomorphismes exceptionnels entre les groupes clasciques
finis, Canad. d. of Math., 6 A954), 305—315.
19. Sur les generateurs des groupes classiques, Summa Bras.
Math., 3 A955), 149—178.
20. Pseudodiscriminant and Dickson invariant, Pacif. J. Math., 5
A955), 907-910.
21. Sur les multiplicateurs des similitudes, Rend. Circ. Math. Pa-
Palermo B), 3 A954), 398—408.
22. Sur la representation parametrique de Cayley, Arch. d. Math.,
9 A958), 39-41.
Жордан (Jordan C.)
1. Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris:
Gauthier-Villars, 1870.
2. Sur les groupes lineaires (mod. p) a invariant quadratique,
J. de Math. G), 2 A916), 253—280.
3. Memoire sur les formes bilineaires, /. de Math. B), 19 A874),
35—54 ( = Oeuvres, vol. HI, Paris, Gauthier —Villars, 1962).
Ивасава (Iwasawa K.)
1. Ober die Einfachheit der speziellen projektiven Gruppen, Proc.
Imp. Acad. Tokyo, 17 A941), 57—59.
Капланский (Kaplansky I.)
1. Forms in infinite-dimensional spaces, Anals Acad. Bras. CL, 22
A950), 1—17.
2. Orthogonal similarity in infivite-dimensional spaces, Proc. Amer.
Math. Soc, 3 A952), 16—25.
3. Quadratic forms, J. Math. Soc. Japan, 5 A953), 200—207 (cf.
Math. Rev., 15 A954), 500).
Картан (Cartan E.)
1. Lecons sur la geometrie projective complexe, Paris: Gauthier —
Villars, 1931.
2 Lecons sur la theorie des spineurs, vol. II, Actual. Scient. et
Ind., n°701, Paris: Hermann, 1938. [Русский перевод: Картан Э.,
Теория спиноров, ИЛ, М., 1947.]

!90 Список литературы
Клингенберг (Kjingenberg W.)
1. Lineare Grappen uber lokalen Ringen, Amer. J. Math., 83 A961),
137—153.
2. Orthogonale Qruppen uber lokalen Ringen, Amer. Math., 83
A961), 281—320.
3. Symplectic groups over local rings, Amer. J. Math., 85 A963),
232—240.
Клиффорд (Clifford W. K.)
1. Applications of Grassmann's extensive algebra, Math. Papers,
266—276, London: Macmillan, 1882.
2. On the classification of geometric algebras, Math. Papers, 397—
401, London: Macmillan, 1882.
Кнезер (Kneser M.)
1. Orthogonale Gruppen uber algebraischen Zahlkorpern, /. reine
angew. Math., 196 A956), 213—220.
2. Bestimmung des Zentrums der Cliffordschen Algebren einer
quadratischen Form uber einem Korper der Charakteristik 2,
/. reine angew. Math., 193 A954), 123—125.
3. Ober die Ausnahme — Isomorphismen zwischen endlichen klassi-
schen Gruppen, Abn. Math. Sem. Hamburg Univ., 31 A967),
136—140.
Лакруа (Lacroix N. H. J.)
1. Two-dimensional linear groups over local rings, Canad. J.Math.,
21 A969), 106—135.
Ландгерр (Landherr W.)
1. Aquivalen Hermitescher Formen uber einem beliebigen algebrai-
algebraischen Zahlkorper, Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ., 11 A935),
245—248.
2. Liesche Ringe vom Typus A uber einem algebraischen Zahl-
Zahlkorper (Die lineare Gruppe) und hermitesche Formen fiber einem
Schiefkorper, Abn. Math. Sem. Hamburg Univ., 12 A938), 200—
241.
Ландин, Райнер (Landin J., Reiner I.)
1. Automorphisms of the general linear group over a principal
ideal domain, Ann. of Math., 65 A957), 519—526.
2 Automorphisms of the Gaussian modular group, Trans. Amer.
Math. Soc, 87 A958), 76-89.
3. Automorphisms of the two-dimensional general linear group
over a Euclidean ring, Proc. Amer. Math. Soc, 9 A958), 209—
216.
Лиигенберг (Lingenberg R.)
1. Die orthogonalen Gruppen O3 (K, Q) uber Korpern von Char. 2,
Maih.Nachr., 21 (I960), 371-380.

Список литературы 191
Липшиц (Lipschitz R.)
1. Untersuchungen iiber die Summen yon Quadraten, Bonn, 1886.
2. Analyse francaise du memoire precedent, Bull. Sci. Math. B),
10 A886), 163-183.
3. Correspondence, Ann. of Math., 69 A959), 247—251.
Макки (Mackey G. W.)
1. Isomorphisms of normed linear spaces, Ann. of Math., 43
A942), 244—260.
Маркус, Хан (Marcus M., Khan N. A.)
1. A note on a group defined by a quadratic form, Canad. Math.
Bull., 3 A960), 143-148.
Минковский (Minkowski H.)
1. Ober die Bedingungen, unter welchen zwei quadratische Fermen
mit rationalen Koeffizienten rational einander transformiert
werdn konnen, /. reine angew. Math., 106 A850), 5—26. ( = Ges.
Abh., 1 A914), 219).
Harao (Nagao H.)
1. On GL{2, k[x]), J. Inst. Poly. Osaka, 10 A959), 117—121.
Накаяма (Nakayama T.)
1. Ober die Klassifikation halblinearer Transformationen, Proc.
Phys. Math. Soc. Japan, 19 A937), 99—107.
2. A note on the elementary divisor theory in non-commutative
domains, Bull. Amer. Math. Soc, 44 A938), 719—723.
Настольд (Nastold H. J.)
1. Ober mehrfach metrische Raume, Arch, der Math., 9 A958),
256—261.
О'Мира (О'Меага О. Т.)
1. On the finite generation of linear groups over Hasse domains,
/. reine angew. Math., 217 A965), 79—108.
2. The automorphisms of the linear groups over any integral do-
domain, /. reine angew. Math., 223 A966), 56—100.
3. The automorphisms of the standard symplectic group over any
integral domain, /. reine angew. Math., 230 A968), 104—138.
4. The automorphisms of the orthogonal groups Qn(V) over fields,
Amer. J. Math., 90 A968), 1260—1306.
5. The automorphisms of the orthogonal groups and their cong-
congruence subgroups over arithmetic domains, /. reine angew.
Math., 238 A969), 169—206.
6. Group-theoretic characterization of transvections using CDC,
Math. Z., П0 A969), 385—394.
7*. Introduction to quadratic forms, Springer — Verlag, 1963.
О'Мира, Поллак (О'Меага О. Т., Pollak В.)
1. Generation of local integral orthogonal groups, Math. Z., 87
A965), 385—400.
2. Generation of local integral orthogonal groups, II, Math. Z.,
93 A966), 171-188.

192 Список литературы
О'Мира, Цассенхауз (О'Меага О. Т., Zassenhaus H.)
1. The automorphisms of the linear congruence groups over Dede-
kind domains, /. Number Theory, 1 A969), 211—221.
Оно (Опо Т.)
1. Arithmetic of Orthogonal Groups, /. Math. Soc. Japan, 7 A955),
79—91.
2. Arithmetic of Orthogonal Groups (II), Nagoya Math. J., 9
A955), 129—146.
Oxapa (Ohara A.)
1. La structure du groupe des similitudes directes GOg" (Q) sur
un corps de caracteristique 2, Osaka Math. J., 10 A958), 239—
257.
Пиккерт (Pickert G.)
1. Elementare Behandlung des Helmholtzschen Raumproblems,
Math. Ann., 120 A948), 492—501.
Платонов В. П., Янчевский В. И.
1*. Структура унитарных групп и коммутант простой алгебры
над глобальными полями, ДАН СССР, 208, 3 A973). 541—544.
Полл (Pall G.)
1. Hermitian quadratic forms in a quasi-field, Bull. Amer. Math.
Soc, 51 A945), 889—893.
Поллак (Pollak B.)
1. The equation tat = b in a quaternion algebra, Duke Math. I., 27
A960), 261-272.
2. The equation Iat = b in a composition algebra, Duke Math. J., 29
A962), 225—230.
3. On the structure of local orthogonal groups, Amer. J. Math., 88
A966), 763—780.
4. Generation of local integral orthogonal groups in characteristic
2, Canad. J. Math., 20 A968), 1178—1191.
Райнер (Reiner I.)
1. Automorphisms of the symplectic modular group, Trans. Amer.
Soc, 80 A955), 35—50.
2. A new type of automorphism of the general linear group over
a ring, Ann. of Math., 66 A957), 461—466.
Раманатан (Ramanathan K. G.)
1. Quadratic forms over involutorial division algebras, /. Indian
Math. Soc, 20 A956), 227—257.
2. A note on symplectic complements, /. Indian Math. Soc, 18
A954), 115—125.
Ридж (Rege N. S.)
1. On certain classical groups over Hasse domains, Math. Z., 102
A967), 120-157,

Список литературы 193
Риккарт (Rickart С. Е.)
1. Isomorphic groups of linear transformations, Amer. J. Math.,
72 A950), 451—464.
2. Isomorphic groups of linear transformations, II, Amer. J. Math.,
73 A951), 697—716.
3. Isomorphisms of infinite-dimensional analogues of the classical
groups, Bull. Amer. Math. Soc, 57 A951), 435—448.
Рим (Riehm С R.)
1. Integral representations of quadratic forms in characteristic 2,
Amer. J. Math., 87 A965), 32—64.
2. The structure of the symplectic group over a discrete valuation
ring, Amer. J. Math., 88 A966), 106—128.
3. Orthogonal groups over the integers of a local field, I. Amer.
J. Math., 88 A966), 553-561.
4. Orthogonal groups over the integers of a local field, II, Amer.
J. Math., 89 A967), 549—577.
Ca (Sah C.-H.)
1. Quadratic forms over fields of characteristic 2, Amer. J. Math.,
82 A960), 812—830.
Сатаке (Satake I.)
1. Some remarks to the preceding paper of Tsukamoto, J. Math.
Soc. Japan, 13 A961), 401—409.
Сегье (de Seguier J. A.)
1. Sur les groupes a invariant bilineaire ou quadratique dans un
champ de Galois, /. de Math. G), 2 A916), 281—366.
2. Les substitutions d'ordre 2 des groupes lineaire, hermitien, gau-
gauche et quadratique dans un champ de Galois, I, Ann. Ecol.
Norm. Sup., 50 A933), 217—243 II, 51 A934), 79—140.
Сейп-Хорникс (Seip-Hornix E. A. M.)
1. Clifford algebras of quadratic quaternion forms, Koninkl. Ned.
Akad. Wetenschap. Proc, Ser. A, 68 A965), 326—363.
Седа (Shoda K.)
1. Einige Satze fiber Matrizen, Jap. J. Math., 13 A937), 361—365.
2. Ober den Kommutator der Matrizen, J. Math. Soc. Japan, 3
A951), 78—81.
Спрингер (Springer T.)
1. Over symplectische Transformaties, Diss. Univ. Leiden, 1951.
2. Sur les formes quadratiques d'indice zero, С. г. Acad. Sci. (Pa-
(Paris), 234 A952), 1517—1519.
3. On the equivalence of quadratic forms, Konink. Ned. Akad. We-
Wetenschap Proc, Ser. A, 62 A969), 241—253.
4. Quadratic forms over fields with a discrete valuation, Konink.
Ned. Akad. Wetenschap. Proc, Ser. A, 58 A955), 352—362.
Спрингер, Ван-дер-Блей (Springer Т., van der Blij R.)
1. Octaves and Triality, New Arch, voor Wisk C) A960), 158—
169,

194 Список литературы
Станек (Stanek P.)
1. Concerning a theorem of L. К. Hua and I. Reiner, Proc. Amer.
Math. Soc, 14 A963), 751-753.
Стейнберг (Steinberg R.)
1. Automorphisms of finite linear groups, Canad. J. Math., 10
A960), 606—615.
Сю (Xu C.-H.)
l.On the automorphisms of orthogonal groups over perfect fields
of characteristic 2, Chinese Math., 8 A966), 475—523.
Тамагава (Tamagawa T.)
1. On the structure of orthogonal groups, Amer. J. Math., 80
A958), 191-197.
Тите (Tits J.)
1. Generalisations des groupes projectifs, Acad. Roy. Belgique
Bull. Cl. ScL, 35 A949), 197—208, 224—233, 568—589, 756—773.
2. Generalisations des groupes projectifs besees sur leurs proprietes
de transitivite, Acad. roy. Belgique, Mem. Cl. ScL, 27 A952),
fasc. 2.
3. Le plan projectif des octaves et les groupes de Lie exceptionnels,
Acad. roy. Belgique, Bull. Cl. ScL, 39 A953), 309—329.
4. Les groupes simples de Suzuki et Ree, Sem. Bourbaki, 13-e an-
nee, expose 210 A960—1961).
5. Formes quadratiques, groupes orthogonaux et algebres de
Clifford, Invent. Math., 5 A968), 19—41.
Томсон (Thompson R. C.)
1. Commutators in the special and general linear groups, Trans.
Amer. Math. Soc, 101 A961), 16—33.
2. Commutators of matrices with coefficients from the field of two
elements, Duke J. Math., 29 A962), 367—374.
3. Commutators of matrices with coefficients from the field of
three elements, Port. Math. A963).
Тояма (Toyama H.)
1. On commutators of matrices, Kodai Math. Sem. Rep., n°5—6
A949).
Уолл (Wai G. E.)
1. The structure of a unitary factor group, Publ. math. Inst Hautes
Etudes Scient., n° 1 A959).
Уолтер (Walter J. H.)
1. Isomorphisms between projective unitary groups, Amer. J.
Math., 77 A955), 805—844.
Фрейденталь (Freudenthal H.)
1. Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie, Utrecht 1951.
[Русский перевод: Фрейденталь Г., Октавы, особые группы и
рктавная геометрия, в сб. Математика», 1:1 A957), 117—153.

Список литературы 195
2. Sur le groupe exceptionnel ?7, Indag. Math., 15 A953), 81—89.
3. Sur le groupe exceptionnel Eg. Indag. Math., 15 A953), 95—98.
Хаантьес (Haantjes J.)
1. Halblineare Transfermationen, Math. Ann., 114 A937), 293—304.
Xacce (Hasse H.)
1. Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen in einem
beliebigen algebraischen Zahlkorper, /. reine angew. Math., 153
A924), 113-130.
2. Aquivalenz quadratischer Formen in einem beliebigen algebrai-
algebraischen Zahlkorper, /. reine angew. Math., 154 A924), 158—162.
Хаттори (Hattori A.)
1. On the multiplicative group of simple algebras and orthogonal
groups of three dimensions, /. Math. Soc. Japan, 4 A952),
Ходж, Пидо (Hodge W. V. D., Pedoe D.)
I*. Methods of algebraic geometry, vol. I. Cambridge, 1947. [Рус-
[Русский перевод: Ходж В., Пидо Д., Методы алгебраической гео-
геометрии, т. I, ИЛ, М., 1954.]
Хуа (Hua L.-K.)
1. Geometries of Matrices: 1, Generalizations of von Staudt's
theorem, Trans. Amer. Math. Soc, 57 A945), 441—481.
2. Geometries of Matrices: It, Arithmetical constructions, Trans.
Amer. Math. Soc, 57 A945), 482—580.
3. On the extended space of several complex variables A): The
space of complex spheres, Quart. J. Math., 17 A946), 214—222.
4. Geometries of Matrices: III, Fundamental theorem in the geo-
geometry of symmetric matrices, Trans. Amer. Math. Soc, 61
A947), 229—255.
5. On the automorphisms of the symplectic group over any field,
Ann. of Math., 49 A948), 739—759.
6. Geometry of symmetric matrices over any field with characte-
characteristic other than two, Ann. of Math., 50 A949), 8—31.
7. On the automorphisms of a field, Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
35 A949), 386—389.
8. Some properties to a field, Proc. N'at. Acad. Sci. USA, 35
A949), 533—537.
9. Supplement to the paper of Dieudonne on the automorphisms
of classical groups, Mem. Amer. Math. Soc, № 2 A951), 96—
122.
10. A generalization of Hamiltonian matrices, Ada Sci. Sinlca 2,
№ 1 A953), 1—58.
Хуа, Вань (Hua L.-K-, Wan C.-H.)
1. On the automorphisms and isomorphisms of linear groups, /.
Chinese Math. Soc, 2 A953), 1—32.
Хуа, Райнер (Hua L.-K.., Reiner I.)
1. On the generators of the symplectic modular group, Trans.
Amer. Math. Soc, 65 A949), 415—426.

196 Список литературы
2. Automorphisms of the unimodular group, Trans. Amer. Math.
Soc, 71 A951), 331—348.
3. Automorphisms of the projective unimodular group, Trans.
Amer. Math. Soc, 72 A952), 467—473.
Цассенхауз (Zassenhaus H.)
1. Characterization of unipotent matrices, /. Number Theory, 1
A969), 222—230.
Цукамото (Tsukamoto T.)
1. On the local theory of quaternionic anti-hermitian forms,
1. Math. Soc. Japan, 13 A961), 387—400.
Чоу (Chow W. L.)
1. On the geometry of algebraic homogeneous spaces, Ann. of
Math., 50 A949), 32—67.
Швердтфегер (Schwerdtfeger H.)
1. Skew-symmetric matrices and projective geometry, Amer. Math.
Monthly, 51 A944), 137—148.
2 Symplectic groups and null systems, Courant anniversary vo-
volume, 1948, 371—382.
Шевалле (Chevalley C.)
1. The algebraic theory of spinors, New York, Columbia Univ.
Press, 1954.
2. Theorie des groupes de Lie, t. II, Groupes algebriques, Actual.
Scient. et Ind., № 1152, Paris: Hermann 1951. [Русский пере-
перевод: Шевалле К.-, Теория группы Ли, т. II, Алгебраические
группы, ИЛ, М., 1958.]
3. Sur le groupe exceptionnel (?6), С г. Acad. Set., (Paris), 232
A951), 1991-1993.
4. Sur une variete algebrique liee l'etude du groupe (Ее), С. г. Acad.
Sci. (Paris), 232 A951), 2168—2170.
5. Sur certains groupes simples, Tohoku Math. J., B), 7 A955),
14—66. [Русский перевод: Шевалле К., О некоторых простых
группах, в сб. «Математика», 2 : 1 A958), 3—53.]
6. Classification des groupes de Lie algebriques, 2 vol., Seminaire
1956—1958, Paris: Seer, math., 11, R. P. Curie, 1958.
Шерк (Scherk P.)
1. On the decomposition of orthogonalities into symmetries, Proc.
Amer. Math. Soc, 1 A950), 481—491.
2. On regular bilinear forms, Ann. di Mat. D), 47 A959), 391—
400.
3. Similarities over fields of characteristic two, Trans. Roy. Soc.
Canada, 53 A959), 15-20.
Шимура (Shimura G.)
1* Arithmetic of unitary grouos. Ann. o! Math., 79 A964), 369—
. 409.

Список литературы 197
Шмидт (Schmidt A.)
1. Dber die Bewegungsgruppe der ebenen elliptischen Geometrie,
У. reine angew. Math., 186 A949), 230—240.
Шпигель (Spiegel E.)
1. On the automorphisms of the unitary group over a field of
characteristic 2, Amer. J. Math., 89 A967), 43—50.
2. On the automorphisms of the projective unitary group over a
field of characteristic 2, Amer. Math., 89 A967), 51—55.
Шрейер, Ван-дер-Варден (Schreier О., van der Waerden B. L.)
1. Die Automorphismen der projektiven Gruppen, Abh. Math. Sem.
Hamburg Univ., 6 A928), 303—322.
Эдж (Edge W. L.)
1. Geometry in three dimensions over GF C), Proc. Roy. Soc. A
(London), 222 A953), 262—286.
2. The geometry of the linear fractional group LF D,2), Proc.
Lond. Math. Soc. C), 4 A954), 317—342.
3. The projective orthogonal and linear fractional representations
of the simple group of order 360, Proc. Internet. Math. Con-
Congress, Amsterdam, Sept. 1954, vol. II.
Эйхлер (Eichler M.)
1. Idealtheorie der quadratischen Formen, Abh. Math. Sent. Ham-
Hamburg Univ., 18 A952), 14—37.
2. Quadratische Formen und Orthogonale Gruppen: Berlin, J.
Springer, 1952.
Эрлих (Ehrlich G.)
1. The structure of continuous rings, Diss. Univ. of Tennessee,
Knoxville, 1953.
Якобинский (Jacobinski H.)
1. Ober die Automorphismen einer quadratischen Form, Kungl.
Fysiogr. Sallsk. Forh., 19, № 8 A949).
Якобовиц (Jacobowitz R.)
1. Hermitian forms over local fields, Amer. J. Math., 84 A962),
441—465.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
А) Обозначения, использующиеся во всей книге:
?° (? е К, а — автоморфизм тела К или его изо-
изоморфизм на тело К'), Аа (матрица (а°;), если Л = (а;/)).
К° (тело, противоположное телу К), J (изоморфизм
тела К на тело К°), l' A<^K), А1 (матрица (а,-/), если
)
I = \1) . Е = Is J . Е = (.1) ¦
(х',х) = х'(х) (х — элемент векторного простран-
пространства Е, х' — элемент дуального пространства ?*)•
*и, й = *и~1 (и — полулинейное отображение) гл. I,
§ 6
А (матрица (а^), транспонированная по отношению
к матрице А = (а(/)).
f (х> У), f (полуторалинейная форма) гл. I, § 5.
У0 (ортогональное дополнение к подпространству V)
гл. I, § 7.
v (индекс формы f, в гл. I и II) гл. I, § 7.
M(f) (группа множителей формы f) гл. I, § 9.
Пп(К), GLn(K), Hn, Zn гл. I, § 1.
ha (гомотетия с коэффициентом а) гл. I, § 1.
й (и — коллинеация) гл. I, § 1.
Р(Е), Рп.АК) гл. I, § 1.
РПп(К), PGLn(K) гл. 1, § 1.
SLn(K), PSLn(K) гл. II, § 1.
rUn(K,f), GUn(K,f), Un(K,f), Un(K, A), Un(K)
гл. I, § 9.
GUUK,f) гл. II, § 13.
Ut(K,f) гл. II, § 5.
Tn(K, f), Wn гл. II, § 4.
РГип(К, f), PGUn(K, f), PUn(K, f) гл. I, § 9.
UK, f) гл. II, § 5.

Список обозначений 199
rSpn(K), GSpAK), SpAK) гл. I, § 9.
PrSpAK), PGSpn(K), PSpn(K) гл. I, § 9.
ГОп(К, f), GOn(K, f), On(K, f) гл. I, § 9.
OUK,f), Qn(K,f) гл. II, § 6.
O'AK,f) г л. II, § 7.
РГОАК, f), PGOn(K, f), POAK, f) .гл. I, § 9.
POi(K,f), PQn(K,f) гл. II, § 6.
Q(x), Q (квадратичная форма над полем характе-
характеристики 2) гл. I, § 16.
ГОАК, Q), GOn(K, Q), OAK, Q) гл. I, § 16.
РГОАК, Q), PGOAK, Q), POAK, Q) гл. I, 16.
OUK, Q), Qn(K, Q), Qn(K, Q) гл. II, § 10 и § II.
F, — конечное поле из q элементов.
Q — поле рациональных чисел.
R — поле действительных чисел.
В) Специальные обозначения для некоторых раз-
разделов книги:
U+, U~ (собственные подпространства инволюции)
гл. I, § 3, 4, 14, 15.
Bi}{K) (матрицы сдвигов) гл. II, § 1 и 2.
C(f), C+ (/), С~ (/), ен, У (инволюция алгебры Клиф-
Клиффорда), su, 6 (спинорная норма) гл. II, § 7.
C(Q), C+(Q), su, jp(p) гл. II, § 10.
Gr(E), йг, сог гл. Ill, § 2.
NS(E) гл. Ill, § 3; N?(E), N7(?) гл. Ill, § 4.
c(S), v(u,v), v(u) гл. IV, § 1.

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
И ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
(Цифры указывают главу, параграф и страницу)
Алгебра Клиффорда II, 7, 86;
II, 10, 103
Антиавтоморфизм I, 5, 22
Базис ортогональный 1, 8, 30
— ортонормированный I, 8, 30
— симплектический 1, 8, 29
Вполне изотропное подпростран-
подпространство I, 7, 27
многообразие III, 3, 131
Вращение II, 6 и 10, 82; II, 10,
104
Гиперболическая плоскость II, 3,
70; III, 10, 107
Гомотетия I, 1, 10
— центральная I, 1, 11
Группа вращений, II, 6, 82; II,
10, 104
— ортогональная I, 9, 36; I, 16,
59
— полная линейная 1, 1, 11
проективная I, 1, 12
— симплектическая I, 9, 36
— специальная линейная II, 1,
62
проективная II, 2, 65
— унимодулярная II, 1, 62
проективная II, 2, 65
— унитарная I, 9, 33
Дефект квадратичной формы I,
16, 57
Дискриминант I, 5, 23
инерции If 8? 31—32
Изотропное многообразие III, 3,
131
— подпространство I, 7, 27
Изотропный вектор I, 7, 28
Инвариант Диксона II, 10, 104
Инверсия II, 6, 83
Инволюция в линейной группе I,
3, 14
— типа (р, п—р) I, 3, 15
— экстремальная IV, 1, 145
Инволюция тела I, 6, 25
первого (второго) рода II,
5,80
Индекс рефлексивной формы 1(
7, 27
— квадратичной формы 1, 16, 58
Квазиотражение I, 12, 44
Коллинеация I, 1, 10
— проективная I, 1, II
— проективно перестановочная
с коллинеацией I, 4, 17
— проективно перестановочная
с корреляцией 1, 9, 33
Корреляция I, 5, 24
— проективно перестановочная
с корреляцией I, 15, 53
Матрица полулинейного отобра-
отображения I, 1, 10
— полуторалинейной формы I, 5,
23
Минимальная пара инволюций
IV, 1, 146
Множитель полуподобия I, 9, 34
Определитель (над некоммута»
тивным телом) II, 1, 64

Указатель терминов и основных теорем
201
Ортогональное дополнение к
подпространству I, 7, 27
Ортогональные векторы I, 6, 24
Основная теорема проективной
геометрии III, 1, 124
Особое -подпространство I, 16,
57
Особый вектор I, 16, 57
Отклонение двух многообразий
III, 2, 129
Отражение 1, 12, 44
Переворачивание II, 6, 82
Перенесение полуторалинейной
формы I, 8, 28
Подобие ортогональное 1, 9, 36;
I, 16, 59
— симплектическое I, 9, 36
— унитарное I, 9, 34
прямое II, 13, 122
Полуинволюция I, 3, 15
Полулинейное отображение I, 1,
9
Полуособый вектор II, И, 112
Полуподобие ортогональное I,
9, 36; I, 16, 59
— симплектическое I, 9, 36
— унитарное I, 9, 34
Преобразование гиперболическое
II, 3, 71; II, 10, 107
— ортогональное I, 9, 36; I, 16,
59
— унитарное I, 9, 33
Псевдодискриминант II, 10, 104
Ранг квадратичной формы I, 16,
57
— полулинейного отображения
I. 1,9
— полуторалинейной формы I, 5,
23
Растяжение I, 2, 13
Сдвиг (вдоль данной гиперпло-
гиперплоскости в направлении данной
прямой) I, 2, 13
Сигнатура I, 8, 31
Собственные подпространства
инволюции 1, 3, 15
Соседние многообразия 111, 2,
129, III, 4, 137
Спинорная норма II, 7, 90; II, 10,
107
Теорема Витта I, 11, 39; I, 16, 60
Теоремы простоты II, 2, 65; II, 4,
75; II, 9, 97; II, 10, ПО; II, 11,
112; II, 12, 115
Форма билинейная I, 5, 23
знакопеременная I, 7, 28
— квадратичная I, 16, 56
— — дефектная I, 16, 67
невырожденная I, 16, 57
— кососимметричная I, 16, 25
— косоэрмитова I, 6, 26
— полуторалинейная I, 5, 23
невырожденная I, 5, 24
— рефлексивная 1, 6, 24
анизотропная I, 7, 27
невырожденная, ассоци-
ассоциированная с вырожденной фор-
формой I, 6, 24
— симметричная I, 6, 25
— эрмитова I, 6, 25
Эквивалентные полуторалиней-
ные формы I, 8, 28
— квадратичные формы I, 16, 58
Элемент четной (нечетной) сте-
степени в алгебре Клиффорда II,
7, 88; II, 10, 104
Элемент тела симметричный I,
6,25
кососимметричный I, 6, 26
Эллиптическая плоскость II, 6,
86; II, 9, 106
р-инволюция I, 3, 15
(р. п—р) -инволюция I, 3, 15
Г-форма I, 10, 36

ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика 5
Предисловие автора 6
Предисловие ко второму изданию 7
Предисловие к третьему изданию 8
Глава I. КОЛЛИНЕАЦИИ И КОРРЕЛЯЦИИ 9
§ 1. Линейные и полулинейные отображения 9
§ 2. Растяжения и сдвиги 12
§ 3. Инволюции и полуинволюции 14
§ 4. Централизатор проективной инволюции 17
§ 5. Корреляции и полуторалинейные формы 22
§ 6. Рефлексивные полуторалинейные формы 24
§ 7. Ортогональные дополнения и изотропные под-
подпространства 27
§ 8. Эквивалентность рефлексивных полуторалинейных форм 28
§ 9. Унитарные группы 33
§ 10. Г-формы 36.
§ 11. Свойства Г-форм 38
§ 12. Квазиотражения и сдвиги в унитарных группах . . 42
§ 13. Полуииволюции в унитарных группах и их централи-
централизаторы. Первый случай 46
§ 14. Полуинволюции в унитарных группах и их централи-
централизаторы. Второй случай 47
§ 15. Перестановочные корреляции 53
§ 16. Квадратичные формы и ортогональные группы иад
полем характеристики 2 56
§ 17. Обобщения 61
Глава П. СТРУКТУРА КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП 62
§ 1. Центр и коммутант группы GLn(K) 62
§ 2. Структура группы SLn(K) 65
§ 3. Образующие и центр унитарной группы 68
§ 4. Структура группы Un{K,f). (/ есть Г-форма индекса
^1; ортогональные группы не рассматриваются.)
I. Группа Тп{К,{) 71

Оглавление 203
§ 5. Структура группы Un(K,f). (f есть Г-форма индекса
^1; ортогональные группы не рассматриваются.)
II. Группа Un{K,f)ITn(K,f) 78
§ 6. Группа On(K,f) (характеристика К не равна 2): груп-
группа вращений и коммутант 82
§ 7. Алгебра Клиффорда квадратичной формы, (if —поле
характеристики Ф2.) 86
§ 8. Структура группы О„ (К, {). (К — поле характери-
характеристики Ф% f — форма индекса v ^ 1, л ^ 2.) I. Струк-
Структура групп O+/Qn и Qn П 2„ 91
§ 9. Структура группы On(K,f). (Л —поле характери-
характеристики Ф2, / — форма индекса v^l, п^З.) II. Струк-
Структура группы Qn/Qn П2„ = PQn{K,f) 93
§ 10. Группа On (К, Q). {К — поле характеристики 2, фор-
форма Q не дефектна.) 102
§ 11. Группа Оп(Д, Q). (К — поле характеристики 2, фор-
форма Q дефектна.) 111
§ 12. Унитарные и ортогональные группы, соответствующие
анизотропным формам 113
§ 13. Группы подобий GUn(K,f) 121
Глава III. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ КЛАС-
КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП 124
§ 1. Основная теорема проективной геометрии . . . . . 124
§ 2. Преобразования, сохраняющие «соседство». I. Преобра-
Преобразования грассманианов 128
§ 3. Преобразования, сохраняющие «соседство». II. Пре-
Преобразования пространств изотропных многообразий . . 131
§ 4. Преобразования, сохраняющие «соседство». II. Преобра-
Преобразования пространств изотропных многообразий (продол-
(продолжение) 137
§ 5. Другие характеризации классических групп .... 140
Глава IV. АВТОМОРФИЗМЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ КЛАССИ-
КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП 145
§ 1. Автоморфизмы групп GLn(K) 145
§ 2. Автоморфизмы групп SLn(K) 151
§ 3. Автоморфизмы групп Spim(K) 153
§ 4. Автоморфизмы групп Un(K,f). (/(—тело характери-
характеристики ф2.) 156
§ 5. Автоморфизмы групп I/* (К, f). (К — поле характери-
характеристики Ф2.) 158
§ 6. Автоморфизмы групп PGLn(K), PSLn(K), PSp2m(K) 162
§ 7. Автоморфизмы групп PUn(K,f), PU*n (K,f) и PQn(K.t) 163

204 Оглавление
§ 8. Изоморфизмы классических групп 168
§ 9. Изоморфизмы классических групп (продолжение) . .176
Приложение 182
Список литературы 185
Список обозначений 198
Указатель терминов и основных теорем ,..,.,... 200

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,
качестве перевода и другие просим присылать по адре-
адресу: 129820, Москва, И-ПО, ГСП, 1-й Рижский пер., д.2,
издательство «Мир».

Ж- ДьВдонне
ГЕОМЕТРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
Редактор Г. М. Цукерман
Художник О. С. Прнйменко
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Л. П. Бирюкова
Корректор О. К. Румянцева
Сдано в набор 21/IX 1973 г.
Подписано к печати 27/Ш 1974 г.
Бум. для гл. печ. 84х108'/з2=3.25 бум. л.
10,92 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 10,10. Изд. № 1/7319
Цена 73 коп. Зак. 819
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии
н киижиой торговли,
19S052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29

В 1975 г. В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР» ГОТОВИТСЯ
К ВЫПУСКУ
БУРБАКИ Н. Группы и алгебры Ли (гл. I—III), пер. с
франц., 32 л.
Книга входит в завоевавшую мировое признание
энциклопедию современной математики «Основы матема-
математики», созданную группой французских ученых, высту-
выступающих под коллективным псевдонимом Н. Бурбаки.
В 1972 г. издательством «Мир» был выпущен перевод
гл. IV—VI книги «Группы и алгебры Ли», а сейчас пред-
предлагается перевод ее начальных глав (в таком же порядке
выходили французские издания). Книга отражает самые
современные результаты в этой области. В ней имеется
обширный материал по теории алгебр Ли, свободных
алгебр Ли и групп Ли.
Книга предназначена для широкого круга математи-
математиков различных специальностей — от студентов до науч-
научных работников.
Если Вы желаете приобрести эту книгу, оставьте в
книжном магазине предварительный заказ. Своевремен-
Своевременное оформление заказа гарантирует Вам приобретение
нужной книги.