;).
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
АЛГЕБРА
Перевод с апглийского
В. М. КОТЛОВА
Под редакцией
Л. А. КАЛУЖНИИА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 0 9

517.1
A 86
УДК 512.8
GEOMETRIC
ALGEBRA
E. ARTIN
Princeton University, Princeton, New Jersey
\
INTBRSCIENCE PUBLISHERS, INC.. NEW YORK
INTERSCIENCB PUBLISHERS LTD., LONDON
1957
2-2-Я
№1-1)8

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 9
Как пользоваться этой книгой И
Глава I. Предварительные понятия 13
§ 1. Элементы теории множеств 13
§ 2. Теоремы о векторных пространствах 17
§ 3. Более детальное описание строения гомоморфизмов 24
§ 4. Сопряженность и спаривание ф 31
§ 5. Линейные уравнения 41
§ 6. Советы для одного упражнения 46
§ 7. Элементы теории групп 48
§ 8. Элементы теории тел 53
| 9. Упорядоченные тела 62
§ 10. Метрики поля 71
Глава П. Аффинная и проективная геометрии .... 75
§ 1. Введение и первые три аксиомы 75
§ 2. Гомотетии и параллельные] переносы 79
§ 3. Построение тела 84
§ 4. Введение координат 90
§ 5. Аффинная геометрия над данным телом 94
§ 6. Теорема Деварга 99
§ 7. Теорема Паппа и коммутативный закон 103
§ 8. Упорядоченная геометрия 105
§ 9. Гармонические точки 111
§ 10. Основная теорема проективной геометрии 119
§ 11. Проективная плоскость 137
Глава III. Симплектическая в ортогональная геометрии 145
§1. Метрические структуры на векторных пространствах 145
§ 2. Определения симплектической и ортогональной гео-
геометрии 152
§ 3. Общие свойства ортогональной и симплектической
геометрии 158
§ 4. Характерные свойства ортогональной геометрии . . 173
§ 5. Характерные свойства симплектической геометрии 187
§ 6. Геометрия над конечными полями 104
§ 7. Геометрия над упорядоченными полями. Теорема
Сильвестра 202

4 ОГЛАВЛЕНИИ
Глава IV. Полная линейная группа 205
§1. Некоммутативные определители 205
§ 2. Строение группы GLn (к) 214
§ 3. Векторные пространства над конечными полями . 228
Глава V. Строение симплектической и ортогональной
групп 232
§ 1. Строение симплектической группы 232
§ 2. Ортогональная группа евклидова пространства . . 237
§ 3. Эллиптические пространства 240
§ 4. Алгебра Клиффорда 248
§ 5. Спинорная норма 258
§6. Случаи малых размерностей (dim V <4) . . . . 262
§ 7. Строение группы Q(V) 271
Литература и рекомендации для дальнейшего чтения . . . 280
Дополнительная литература 281
Предметный указатель 282

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
На современном уровне развития чистой и прикладной
математики векторная алгебра, наряду с теорией множеств,
топологией и общей алгеброй, является основой почти
всех традиционно сложившихся математических дисцип-
дисциплин, а также теоретической механики, теоретической фи-
физики, а в последнее время и математической экономики (ли-
(линейное программирование). Хорошо известна роль теории
векторных пространств в современном анализе. В нем все
большее место занимает функциональный анализ, изучаю-
изучающий строение бесконечномерных топологических вектор-
векторных пространств (пространство Гильберта, пространство
Банаха и др.). Знание чисто алгебраических свойств ко-
конечномерных пространств является необходимой предпо-
предпосылкой для изучения бесконечномерных пространств. В
связи с преобладанием анализа среди университетских
математических дисциплин раздел «конечномерные век-
векторные пространства» или, как он обычно называется, «ли-
«линейная алгебра», излагается у нас в рамках курса «высшей
алгебры»; при этом в первую очередь предполагаются даль-
дальнейшие применения его в функциональном аналиие. Этой
же цели служат такие превосходные учебные пособия, как
книги И. М. Гельфанда «Лекции по линейной алгебре» и
Г. Е. Шилова «Введение в теорию линейных пространств».
Направленность на применения в анализе видна здесь хо-
хотя бы уже в том, что основным полем скаляров почти исклю-
исключительно являются поле действительных и поле комплекс-
комплексных чисел.
С другой стороны, не меньшее значение линейная алгеб-
алгебра имеет как основа для преподавания геометрических
дисциплин: аффинной, евклидовой, проективной геомет-
геометрий, а также оснований геометрии. Связи линейной алгебры

fl ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
с геометрией даже старше, чем с анализом, так как они
восходят к классическим работам А. Кэли и Дж. Сильвест-
Сильвестра по теории алгебраических инвариантов, к работам
Г. Грассмана по многомерным проективным геометриям и,
наконец, к «Эрлангенской программе» Ф. Клейна, т. е.
к исследованиям, стоявшим в центре внимания во вто-
второй половине прошлого столетия еще до возникнове-
возникновения функционального анализа (начало XX столетия). И
после этого взаимосвязи между алгеброй и геометрией все
дальше развивались, что в конце концов должно было,
естественно, найти отражение и в преподавании. В насто-
настоящее время повсеместно наблюдается тенденция к далеко
идущему объединению уже на младших курсах изложения
аналитической геометрии, с одной стороны, и линейной
алгебры,— с другой.
Такому синтезу современной алгебры и современной
геометрии посвящена предлагаемая книга крупного не-
немецкого алгебраиста Э. Артина. Читатель-специалист от-
отметит как оригинальность, так и простоту наложения.
Несмотря па то, что книга содержит достаточно богатый
и считающийся трудным материал, она вполне доступна
студентам третьего и даже второго курса, правда, после
некоторого знакомства с элементарными понятиями и ме-
методами современной общей алгебры в том объеме, который
намечен в первой, вводной, главе «Предварительные по-
понятия».
Э. Артин в первую очередь алгебраист и геометри-
геометрические закономерности воспринимает с точки зрения алге-
алгебры. Кроме довольно широкого использования алгебраи-
алгебраических понятий, эта черта особенно ярко проявляется
в том, что векторные пространства систематически рас-
рассматриваются над «произвольным полем», а в большинстве
случаев даже над телом. В этом смысле книга близка к
известной книге Р. Бэра «Линейная алгебра и проектив-
проективная геометрия», хотя и отличается от нее довольно сущест-
существенно по содержанию, а в смысле стиля изложения в боль-
большей мере использует «геометрическую наглядность», что,
на мо* взгляд, делает ее более доступной. Вообще же кни-
книги Артина к Б»ра хорошо дополняют друг? друга, и студен-
студенту полезно проработать оба изложения. При атом, мне
кажется, начинать следует с книга Артина.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 7
Построение геометрий над произвольным полем имеет
ряд преимуществ; оно позволяет охватить единым методом
ряд важных областей современной математики, непосред-
непосредственная связь которых с аффинной, проективной или ев-
евклидовой геометриями в традиционном смысле при другом
подходе не сразу усматривается. Так, например, очень
важными становятся «конечные геометрии», т. е. геометрии
над конечными полями. Они используются в различных
вопросах теории чисел. В последнее же время они приоб-
приобретают очень большое значение для многих разделов
комбинаторики и их применений в таких актуальных дис-
дисциплинах, как математическая логика, алгебраическая тео-
теория кодов, теория автоматов и др. Систематическое изучение
геометрий над произвольными полями и телами является
также хорошей основой для трактовки проблем оснований
геометрии. В частности, вторая глава книги — «Аффинная
и проективная геометрии» — является, по моему мнению,
превосходным примером того, как во второй половине XX
столетия должны излагаться основания геометрии.
Несомненный интерес представляет третья глава,
посвященная векторным пространствам с билинейной
метрикой. Центральное место в ней занимает теорема Вит-
та, которую давно уже следовало бы включить в курс ли-
линейной алгебры наряду с теоремой Сильвестра (закон инер-
инерции). Оригинальное изложение Артина теории билиней-
билинейных и квадратичных форм вообще очень многое может
подсказать для обновления и углубления этого важного
раздела линейной алгебры.
Четвертая и пятая главы книги могут служить хоро-
хорошим современным введением в теорию линейных групп.
Этот классический раздел теории групп, восходящий к
основоположным работам К. Жордаиа и Л. Диксона,
за последние десятилетия переживает вторую молодость.
Для популяризации этой области многое сделал Ж. Дьё-
донне, который в ряде работ и монографий показал, как
систематическое использование геометрического языка
упрощает довольно трудные доказательства структурных
теорем теории классических линейных групп. Так как соот-
соответствующие работы и книги Дьёдонне не были пока пере-
иедены на русский язык, то они мало известны советским
алгебраистам. В указанных главах Артип во многом

8 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
следует изложеншо Дьёдонне, и его книга будет, между про-
прочим, способствовать привлечению внимания молодых ал-
алгебраистов к этой области. Нужно, впрочем, отметить, что
некоторые направления теории линейных групп у нас ус-
успешно развиваются в Минске Д. А. Супруненко и его уче-
учениками; направление, которое нашло отражение в книге
Артина и которое можно было бы назвать «геометрическая
теория классических линейных групп», хорошо дополня-
дополняет эти исследования советских алгебраистов.
Читатель, несомненно, заметит несколько необычный
для математической литературы стиль изложения. Книга
написана на основе лекций 0. Артина, и ее язык за-
зачастую ближе к устной речи, чем к письменной. В тексте
встречаются многочисленные вольности речи, отступления,
юмористические сравнения, характерные для устного
изложения опытного лектора. При переводе мы старались
сохранить этот живой авторский стиль. Это не всегда было
легко, так как для идиоматических английских выражений
не всегда можно подобрать соответствующие русские вы-
выражения; в таких случаях иногда приходилось довольно
далеко отступать от дословного перевода. Терминологию
автора мы старались привести в соответствие с той, кото-
которая принята в советской математической литературе.
(Так, например, английский термин «field» мы переводили
как «тело», употребляя термин «поле», когда мультипли-
мультипликативная группа тела коммутативна.) Изредка мы поль-
пользовались терминами, предложенными Н. Бурбаки и полу-
получившими распространение в работах и книгах советских
авторов (инъекция, сюръекция, эпиморфизмы, мономор-
мономорфизмы и т. д.).
Краткий список литературы, предложенный автором,
мы дополнили указанием на некоторые книги советских
математиков и па русские переводы иностранпых книг,
примыкающих по содержанию к монографии Лртшш.
Л. Калужниц,

Посвящается Наташе
ПРЕДИСЛОВИЕ
Многие разделы классической геометрии развились
и обширные самостоятельные теории. Линейная алгебра,
топология, дифференциальная и алгебраическая геометрии
стали необходимыми орудиями современных математиков.
Часто возникает потребность в построении курса геомет-
геометрической природы, отличного от этих основных направле-
направлений, который можно прочесть студентам не только старших,
но даже и средних курсов *).
Настоящая книга возникла на основе конспектов лек-
лекций курса такой природы, прочитанного мною в Нью-Йорк-
Нью-Йоркском университете в 1955 году. Этот курс концентрировался
«округ оснований аффинной геометрии, теории квадратич-
квадратичных форм и вопросов строения полной линейной группы. Я
счел необходимым расширить содержание этих конспектов,
пополнив их описанием проективной и симплектической
геометрий, а также изложением вопросов строения сим-
нлектической и ортогональной групп. Из-за недостатка
места я вынужден был исключить унитарную геометрию и
теорию квадратичных форм над полем характеристики 2.
В первую очередь я должен поблагодарить свою жену,
которая оказала мне большую помощь при подготовке
рукописи и чтении корректур. Я также весьма призна-
признателен Георгию Бахману, который с помощью Бернарда
< дшера законспектировал первоначальный курс, Лер-
кину Джойнеру, который выполнил рисунки, и Сузанне
Хан за помощь при чтении корректур.
Э. Аршин
'*) В оригинале: «beginning graduate students» и «advanced un-
dei graduates». В системе советского университета указанный курс
должен, по-видимому, соответствовать спецкурсу на 3—5-м курсах.—
Прим. перев.

КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ЭТОЙ КНИГОЙ
Прежде всего следует иметь в виду, что главой I нужно
пользоваться исключительно в справочных целях; в ней
собраны доказательства некоторых изолированных алге-
алгебраических теорем. Эти доказательства отобраны с тем, что-
чтобы не прерывать основного развития мысли в последую-
последующих главах.
Начинающий читатель может сразу же приступить к
чтению главы II. Он с пей вполне справится, зная опре-
определение понятия тела и основы теории групп. Правда,-
начиная с § 8, потребуются более глубокие познания. Нуж-
Нужно прочитать первые три параграфа и начало § 9 главы I.
Это позволит понять остаток главы II, за исключением не-
несколько более сложных алгебраических теорем, которые
при первом чтении можно опустить.
Возможность подобного перескакивания при работе над
книгой — второй важный момент. Это следует делать тогда,
когда какое-либо доказательство кажется слишком труд-
трудным или когда какая-либо теорема или целый параграф
не находит отклика у читателя. В большинстве случаев
можно читать дальше и вернуться к пропущенным местам
позже.
Остальная часть книги существенно предполагает хо-
хорошее знание § 4 главы I *). Содержание этого парагра-
параграфа имеет такое фундаментальное значение для большей
части современной математики, что все усилия должны
быть приложены к его овладению. Чтобы этому помочь, со-
содержание § 4 иллюотрируется в § 5 теорией линейных урав-
уравнений, а в § б предлагается упражнение, на котором чита-
читатель может проверить, как он усвоил предшествующий па-
") Достаточно знать ого только для конечномерных пространств.

\2 КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ЭТОЙ КНИГОЙ
раграфы. Если читатель справится с этим упражнением, то
он будет хорошо подготовлен к дальнейшему чтению книги.
В главе III на геометрическом языке описывается теория
квадратичных и кососимметрических билинейных форм.
При первом чтении все, что относится к симплектической
геометрии, можно пропустить.
Глава IV почти не зависит от предыдущих глав. Чита-
Читатель может даже начать изучение книги с главы IV, если
это пе покажется ему слишком сложным. Однако ему по-
понадобится § 4 главы I.
Глава V связывает, так сказать, идеи главы III»и гла-
главы IV: задачи главы IV относятся к группам., введенным в
главе III.
Любая из этих глав содержит слитком много материа-
материала для курсов и семинаров, предназначенных для студен-
студентов младших и средних курсов. Я предлагаю следующий
выбор тем для таких занятий.
1) Наиболее легкие разделы главы II.
2) Линейная алгебра, изложенная в первых пяти пара-
параграфах главы I, с последующим изучением избранных раз-
разделов главы III либо по ортогональной, либо по симплек-
симплектической геометрии.
3) Основная теорема проективной геометрии, затем не-
некоторые разделы главы IV.
4) Глава III, пополненная следующим утверждением
из § 4 главы I:
Если W — пространство, ортогональное подпростран-
подпространству W невырожденного пространства V, то dim W* +
•f dim W = dim V.
Это утверждение можно вывести из элементарной тео-
теории линейных уравнений, и преподаватель может сам
предложить его доказательство. Из этого утверждения
вытекает, что W" — W\ никакие другие сведения ив § 4
главы I здесь не потребуются.

ГЛАВА /
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. Элементы теории множеств
Мы начнем со списка принятых обозначений:
а 6Е S означает, что а — элемент множеств S.
S CI Т означает, что S — подмножество множества Т.
S П Т означает пересечение множеств S и Т; если оно пус-
пустое, то говорят, что множества S и Т не пересека-
пересекаются.
S [} Т означает объединение множеств S и Т.
П Si и U Si означает соответственно пересечение и объе-
г i
динение семейства множеств. Если St и S] не пе-
пересекаются при i =/= /, то мы назовем |] St сум-
суммой множеств. *
Множества иногда обозначают символом {...}, где в
скобках перечислены элементы множества, или симво-
символом {«И), где А — свойство элементов х\ это обозначе-
обозначение следует читать: «множество всех х со свойством А».
Так, например,
SQT = {х \xeS, г^Т}.
Если / — отображение непустого множества S в мно-
множество Т, т. е. функция / (s) определена для всех элемен-
элементов s?Sco значениями в Г, то мы пишем
/: S -+ Т или S Л Т.
18 f &
Если S —>¦ Т и Т — > U, то мы пишем также S —>¦ Т —> U.
Для каждого элемента seS рассмотрим элемент g (/ (s)) €-¦
€Е U и получим, таким образом, отображение из ? в С/,
обозначаемое S -*¦ U. Заметим, что ассоциативный закон
очевидным образом выполняется для этих «произведений»
отображений. Порядок следования двух множителей в вы-
выражении gf происходит из обозпачения /(s) для обрапов

14 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
элементов. Если бы мы писали (s)/вместо / (s), то было
бы естественней писать fg вместо gf. Хотя мы будем придер-
придерживаться (за редким исключением) обозначения / (s),
читатель должен уметь пользоваться противоположными
обозначениями. Иногда даже удобней писать sf вместо
/ (s); заметим, что при таком обозначении (в*)8 = sef.
Если S —>¦ Т и Sa cz 5, то множество всех образов эле-
элементов из So обозначается / (So) и называется образом под-
подмножества Su. В частности, в качестве So можно взять
само множество S. Тогда / (S) cz Т; если / (S) = Т, то
мы называем/ отображением на Т *) и говорим, что / ото-
отображает 5 на Г.
Пусть То — подмножество множества Т. Множество
всех s €E S, для которых / (s) ЕЕ То, называется прообразом
множества То и обозначается/" (То). Отметим, что множест-
множество /-' (То) может быть пустым, даже если То не пусто. За-
Запомним также, что/"*1, вообще говоря, не есть отображение.
Под /-* (t) для произвольного (е? мы понимаем прооб-
прообраз множества {t}, состоящего из одного элемента t. Может
случиться, что для каждого t множество /-1 (t) состоит не
более чем из одного элемента. Тогда мы говорим, что / —
взаимно однозначное отображение в Т **). Если / — отобра-
отображение на Г и взаимно однозначное отображение в Т, то
мы говорим, что / — взаимно однозначное отображение
на Т или взаимно однозначное соответствие***). Только
в этом случае f~x можно интерпретировать как отображение
Г—>-?,при этом оно обязательно будет взаимно однознач-
однозначным соответствием. Заметим, что//: S -*¦ SvLff~l: Т-*- Ги
что оба отображения являются тонодественными на S и Т
соответственно. f
Итак, пусть S —>¦ Т, причем / — произвольное отобра-
отображение. Если tx и t2 (tx =f= tz) — элементы множества Т,
то множества/ (?х) и Z (?2) не пересекаются. Если s €E S
и / (s) = t, то s GE /"* (t), и это показывает, что S является
суммой множеств /~* (<):
s = и /-1 (о-
(ет
*) Отображение / называется также сюръекцией.— Прим. ред.
**) Отображение / называется также инъекцией— Прим. ред.
*¦*) Отображение / называется также биекцией.— Прим. ред.

8 П ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 15
При этом некоторые из множеств f~l (t) могут быть пустыми.
Выберем ив этих множеств только непустые и обозначим
через Sf множество, элементами которого будут эти не-
непустые множества f~l(t). Отметим, что элементы множест-
множества St являются подмножествами множества S, а не его эле-
элементами. Sf называется фактор-множеством, а его эле-
элементы — классами эквивалентности.
Таким образом, элементы st и s2 лежат в одном классе
эквивалентности тогда и только тогда, когда / (%) = / (s2).
Каждый элемент s лежит в точности в одном классе экви-
эквивалентности; если / (s) = t, то класс эквивалентности эле-
элемента s есть /~* (t).
Построим отображение Д: S ->- Sf, сопоставляя каждо-
каждому s €E S его класс эквивалентности. Так, если / (s) = t,
то /i (s) — f~l @- Это отображение является, очевидно,
сюръекцией.
Затем определим отображение /2: S/ -*¦ f (S), сопостав-
сопоставляя непустому классу эквивалентности /~* (t) элемент
t ЕЕ f (S), Если t е= / (S) и t = / (s), то t есть образ класса
эквивалентности /~* (t) и только этого класса. Поэтому
отображение /а является биекцией. Если s E= S и / (s) = t,
то /х (s) =/-! (t) и образ класса f'1 (t) при отображении /2
есть t. Следовательно, /гД (s) = t.
Наконец, построим совсем тривиальное отображение
/s: / (S) -»- Т, полагая /8 (t) = t, /e/ (S). Это отображе-
отображение не следует называть тождественным, так как оно яв-
является отображением подмножества, вообще говоря, в
большее множество Т. Отображение такого типа называется
вложением и является, конечно, инъекцией. Для / (s) = t
мы имели /2 /г (s) = t и, следовательно, fJtfx (s) = t.
Итак, окончательно, S -* St -* / (S) -^ 7\ так что /s/2/i:
S -*¦ Т. Мы видим, что наше исходное отображение / рас-
раскладывается в произведение трех отображений:
/ = hUh-
При этом Д — сюръекция, /2 — биекция и /я — вложение.
Назовем это представление каноническим разложением ото-
отображения /. Вообще слова «канонический» или «естествен-
«естественный» употребляются в несколько нестрогом смысле при
описании математических построений, которые являются

16 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ 1.ГЛ. I
однозначными постольку, поскольку в них не вгспольаует-
ся свобода выбора объектов.
Пусть, для примера, G и Н — группы, /: G->- II —
гомоморфизм группы G в группу Н, т. е. отображение, для
которого / (ху) = f (ж) f (у) для всех х, у ?= G. Пола-
Полагая х — у — 1 (единица группы G), получаем / A) --- 1
(единица в Н). Положив у = ж', имеем / (х1) — (/ (ж))'1.
Опишем теперь каноническое разложение гомоморфизма /.
Для этого найдем сначала фактор-множество Gf. Элемен-
Элементы ж и у лежат в одном классе эквивалентности тогда и толь-
только тогда, когда / (х) — f (у) или / (ху~1) — 1, или также
/ (у~1х) = 1; если мы обозначим прообраз единицы буквой
К, то принадлежность х и у к одному классу означает, что
ху~1 ЕЕ К и у~1х ЕЕ К (илиж EF-. К у и х t-- у К). Поэтому два
класса смежности у К и К у совпадают, и элементы х, эк-
эквивалентные г/, образуют класс смежности уК. Если взять
у уже из К (следовательно, у лежит в классе эквивалент-
эквивалентности единицы), то получим ///{ = К, так что К — группа.
Из того, что левые и правые классы смежности совпадаюту
следует, что К — инвариантная подгруппа и наше фактор-
фактормножество есть просто фактор-группа G/K. Отображение
Д сопоставляет каждому х ЕЕ G класс смежности хК:
/t (ж) = хК'. При этом сюръекция Д является гомомор-
гомоморфизмом *). Действительно, /2 (ху) = хуК = хуК-К =
^х.Ку.К^хК-уК = fx{x)fM-
Это отображение называется каноническим эпиморфиз-
эпиморфизмом группы G на ее фактор-группу G/K.
Отображение /а сопоставляет каждому классу хК эле-
элемент / (х) е= / (б): U (хК) = / (ж). Так как j2{xK-yK) =
= h{xy-K)=f[xy)=f(x)}{y)=h(xK)fl{yK), то/2-гомо-
морфттзм. Поскольку это отображение — биекция, оно
является изоморфизмом фактор-группы б/А! на группу
/ (G). Подгруппа A'cG называется ядром гомоморфиз-
гомоморфизма /.
Отображение/8, будучи вложением, является, конечно,
изоморфным отображением / (G) в Я**).
*) Сюръективный гомоморфизм принято называть эпиморфиз-
эпиморфизмом.— JfpuM. ред.
**) Мнъек'шпиый изоморфизм ткшваотся также моиоморфия-
мо.м. В частности, отображение /8'а можно рассматривать просто
как мономорфизм С/К а Л.— Прим. pei).

t 2] TEi.U'Kl:U О ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 17
§ 2. Теоремы о векторных пространствах
Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием и
элементарными свойствами векторного пространства, но
мы повторим его определение и обсудим некоторые вопро-
вопросы, с которыми читатель, возможно, не сталкивался.
Определение 1.1. Правое векторное простран-
пространство V над телом к — это аддитивная группа с компози-
композицией Аа бг V элементов А Е? V и a cf- <'с, подчиняющейся
следующим правилам:
1) (А + В)а = Аа + Ва, 2) А (а + Ь) = Аа + ЛЬ,
3) (Ло)Ь = А (аЬ), 4) А Л = А,
где А, В е V, а, bEEk, 1 — единица тела к*).
В случае левого векторного пространства композиция
записывается аА и предполагается, что выполняются ана-
аналогичные правила.
Пусть V — правое векторное пространство над к и S —
произвольное подмножество в V. Под линейной комбина-
комбинацией элементов множества S понимается конечная сумма
вида Ахаъ + А2аа + ...+ Arar, AtEE S.
Легко видеть, что множество <5> всех линейных ком-
комбинаций элементов из S образует подпространство про-
пространства V и что <5> — наименьшее подпространство в
V, содержащее S. Если S — пустое множество, то под сим-
символом <5> мы понимаем наименьшее подпространство про-
пространства V, содержащее S, а так как 0 содержится в любом
подпространстве, то пространство <5> состоит только из
нулевого вектора. Это подпространство обозначается сим-
символом 0.
Мы называем (S) пространством, порожденным (или
натянутым на) S и говорим, что S — система образую-
образующих пространства <?>.
Подмножество S называется независимым, если линей-
линейная комбинация Ахаг + Ага% + ... + АТаТ различных эле-
элементов из S является нулевым вектором только в том слу-
*) Можно показать, что аддитивная группа пространства V
коммутативна. Действительно, если А и В — произвольные эле-
элементы из V, то {А + Я)A + 1) = (Л -f В) + (Д J,- Д); с другой
стороны, (А + В) A -|- 1) == /1A + 1) + ВA + 1) = Л + А+Н +
-I- ii. Из этих равенств вытекает, что А -\- В ¦-= В + Л.— Прим.
перев.

18 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. t
чае, когда все at = 0. Поэтому, в частности, пустое множе-
множество независимо.
Если S независимо и <5> = V, то S называется базисом
пространства V. Это означает, что каждый вектор из V
представим в виде линейной комбинации различных эле-
элементов из 5 и что такое представление единственно с
точностью до тривиальных слагаемых вида А -О.
Если Т независимо и L — произвольная система об-
образующих пространства V, то Т может быть «дополнено» до
базиса пространства V элементами из L. Это означает, что
существует такое подмножество Ьо в L, не пересекающееся
с Т, что множество Т \j La будет базисом простран-
пространства V.
Читатель, конечно, знаком с этим утверждением по
крайней мере, когда V — конечномерное пространство.
Доказательство в бесконечномерном случае требует при-
применения одной из трансфинитных аксиом *), например
леммы Цорна, но читатель, не знакомый с ней, может во
всех последующих рассмотрениях ограничиться конечно-
конечномерным случаем.
Если базисом пространства V служит конечное множест-
множество S, то число п элементов множества S (и=0, если S пусто)
зависит только от У и называется размерностью простран-
пространства V. При этом пишут п = dim V. Число п будет макси-
максимальным числом независимых элементов пространства V,
и любое независимое множество Т, состоящее из п эле-
элементов, будет базисом пространства V. Если U — под-
подпространство в V, то dimf/ ^ dimF и равенство имеет
место только в случае U — V.
В случае, когда V не обладает конечным базисом, го-
говорят, что размерность пространства бесконечная и пи-
пишут dim V = оо. Собственное подпространство про-
пространства U может все еще иметь размерность оо. (Можно
ввести более точное определение размерности dim V,
а именно — понимать под размерностью мощность базиса.
Тем не менее мы не воспользуемся им и хотим предосте-
предостеречь читателя, что некоторые утверждения, которые мы
собираемся привести, не будут справедливы при таком
уточненном определении размерности.)
*) Имеются в виду утверждения, равносильные аксиоме выбо-
выбора. — Прим. ред.

U 21 ТЕОРЕМЫ О ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 19
Простейшим примером n-мерного пространства яв-
является множество всех w-ок элементов из к со следую-
следующим определением суммы и произведения:
(*1.*1 «п) + (У1,У2,-;Уп) = (*1 + »i,...,a?n + Уп),
(zlf z.iy..., zn) a = {хга, хга,..., хпа).
Если U и W — подпространства некоторого простран-
пространства V, то пространство, натянутое на U \j W, называется
суммой подпространств U и V и обозначается U + W.
Так как линейная комбинация элементов из С/ — снова
элемент из U, то U -4- W состоит из всех векторов вида Л +
+ В, где Л €Е U, В €Е W. Два пространства [/ и W могут
быть такими, что каждый элемент из U + W одно-
однозначно представим в виде А -\- В, A GE V, В ЕЕ W.
Легко видеть, что так будет в том и только в том случае,
если U (] W = 0. Тогда мы будем говорить, что сумма
U-\-W прямая, и употреблять для ее обозначения символ @.
Таким образом, можно писать U ® W вместо U + W
тогда и только тогда, когда U П W = 0.
Если {7Х, ?/2, Us — подпространства и если можно на-
написать (Ux ф U2) © ?/s, то представление элементов этой
суммы в виде At + Аъ -\- Аа (At ЕЕ Ui) однозначно и по-
поэтому можно написать Ul 0 (Ьг ф i/8). Следовательно,
мы можем опустить скобки: {/х ф U2 ф f/g- Пересечение
подпространств также будет подпространством.
Пусть теперь U — подпространство пространства V.
Мы помним, что V было аддитивной группой. Это позволяет
нам рассмотреть аддитивную фактор-группу VJU, элемен-
элементами которой будут классы смежности А + U. (А + U
для произвольного, но фиксированного 4eF означает
множество всех векторов вида А -\- В, В ее U.) Равенство
Аг + U = А2 + U двух классов означает, что А1 — Аг E=U;
сложение задается равенством (А1 + U) + (А2 + U) =
= (Аг + Аг) -f- {/. У нас также есть каноническое отобра-
отображение
ф: У -
которое сопоставляет каждому А ?= V класс смежности
А. + ?Л содержащий /1. Отображение ср является аддитив-
аддитивным гомоморфизмом V на V/U. Мы превратим V/U в век-
горное пространство, определяя композицию элементов

20 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГГЛ. 1/
А + U 6E F/C/ к а Е1. к следующим образом:
(А + U) а = Аа + U.
Сначала нужно показать, что ята композиция опреде-
определена корректно, т. е. не зависит от выбора элемента А
из класса смежности А -\- U. Действительно, если А -|- U —
= В + U, то А — В ЕЕ U; следовательно, (А — В) а е." Г/,
а это показывает, что Аа + U = Ва + U. Совершенно
очевидно, что тождества определения 1.1 выполняются.
Для канонического отображения ф имеем
Ф (Аа) = Aa+U=(A + U)a = tp (А) -а;'
кроме того, <р — аддитивный гомоморфизм. Это подсказы-
подсказывает следующее
Определение 1.2. Пусть VnW—правые вектор-
векторные пространства (W не обязательно подпространство и V)
пад к. Отображение f'.V~*-W называется гомоморфизмом
V в W, если
1) f(A+B) = f (А) + / (В), 4Е7, В ее F,
2) /(Ло) =/(Л)-о, 4eF, aGi
Если / — биекция, то / называется изоморфизмом V
на W. Сам факт существования изоморфизма V на W мы
записываем так: VcszW (читается «V изоморфно W»),
Заметим, что гомоморфизм / является, конечно, гомо-
гомоморфизмом аддитивной группы. Поэтому понятие ядра U
гомоморфизма / уже определено, U — f * @), т. е. U есть
множество всех А ЕЕ. V, для которых / (А) = 0. Если А ?=
ЕЕ С/, то f (Аа) — f (А)-а — 0, так что -4а Gi: С/. Это показы-
показывает, что U не только подгруппа, но даже подпространство
пространства V.
Пусть U — произвольное подпространстпо в V ш ф: V-*-
~» V/U — каноническое отображение. Тогда ясно, что гр
является гомоморфизмом V на V/U. Нулевым элементом
в V/U будет образ нуля, следовательно, само U. Ядро со-
состоит из всех А ЕЕ V, для которых
Ф (А) = Л + U = U.
Следовательно, ядро совпадает г, подпространством U.
Полезно упомянуть частный случай U = 0, когда каждый
класс смежности является множеством, состоящим из

§ 21 ТЕОРЕМЫ О ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 21
одного элемента А, и может быть отождествлен с А. Стро-
Строго говоря, имеет место канонический изоморфизм F/0 сз=: V,
однако мы будем, писать F/0 = V.
Вернемся к произвольному гомоморфизму /: V-*- W, и
пусть U — ядро гомоморфизма/. Так как/ — гомоморфизм
аддитивной группы, то для него уже построено канони-
каноническое разложение
V Д- V/U ^f(V)-^W,
где f1 (A) = A -\- U, т. в. отображение /г является кано-
каноническим эпиморфизмом V -*• V/U, далее, /г (А -|- U) —
= / (А), поэтому
U ((A + U)a) = U (Аа + U) = / (Аа) = / (А)-а =
и, наконец, /3 — вложение. Очевидно, что все три отобра-
отображения — гомоморфизмы между векторными пространст-
пространствами, причем /2 — изоморфизм.
Итак, имеет место
Теорема 1.1. По данному гомоморфишу /: V — >W
с ядром U можно построить канонический изоморфизм /2,
отображающий V/U на пространство f (V).
Предположим, что в пространстве V заданы подпростран-
ства U и W. Пусть ф — каноническое отображение V
*
Ср
V/U. Ограничение гр отображения ф на подпространство
ф
W — канонический гомоморфизм W—> V/U. Что представ-
представляет собой образ я|) (W)? г|) (W) состоит из всех классов
смежности А + U, где А ? W. Объединение ятих классов
смежности образует пространство W+ U; поэтому клас-
классы смежности вида А + U образуют разбиение простран-
пространства W + U на классы смежности по подпространству U.
Это показывает, что у\> (W) — (U + W)/U. Что будет яд-
ядром отображения г|)? Для всех элементов A Ez W имеем
\\> (А) — ф (А). Но ядром отображения ф в пространстве
V является U, так что ядром отображения г|) будет U [\ W.
По г|) можно построить каноническое отображение о|?г,
которое устанавливает изоморфизм между W/ (U [] W) и
(U + W) JU. Поскольку все конструкции были канони-
каноническими, имеет место

22 ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПОНЯТИЯ [Wt. t
Теорема 1.2. Если U и W — подпространства в
V, то (U + W)/U и W/ (U П W) канонически ивоморфны.
В частности, если V = U ф W, пространства V/U
и JF/ (U О W) = W/0 = W канонически изоморфны. Пред-
Предположим теперь, что дано только подпространство U про-
пространства F. Существует ли такое подпространство W,
что V = U ф W? Такое подпространство называется
дополнительным к ?Л Пусть 5 — базис U. Дополним
S до базиса S [) Т пространства V так, чтобы S и Г не
пересекались. Положим; 1У = <|1Г>. Тогда U -\-W — V и,
очевидно, V ¦¦= U ф W. Эта конструкция предполагает
свободу выбора и поэтому заведомо не является канони-
канонической.
Теорема1.3. К каждому подпространству U про-
пространства V можно найти (не каноническим обравом) до-
дополнительное подпространство W, т. е. такое, что V —
= U ф W. При атом каждое ив этих дополнительных под-
подпространств W канонически ивоморфно пространству V/U.
Если V — U ф Wi = U ф W2, то Wl канонически иао-
морфно W2.
Если /: V -> W — мономорфизм, то образ / (S) базиса
пространства V будет во всяком случав независимым.
Отсюда заключаем, что dimy ^ dim W; если, кроме того,
/ — эпиморфизм, то имеет место равенство.
При построении пространства W, дополнительного к U,
мы фактически имели, что dimF = AimU + dim W, и
так как W ~ V/U, то
dimF = dimU + dim V/U;
следовательно, всякий раз, когда V = U ф W,
dimF = dim U + dim W.
Предположим теперь, что Ux с: иг с Us — подпро-
подпространства в V. Найдем такие подпространства W% и W3,
что
ut = ut® wt, и9 = иг@ w3
и, следовательно,
и* = ux e w2 © w,.

i 2] ТЕОРЕМЫ О ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 23
Тогда dim U2/Ux = dim Wt, dim U3/U2 = dim Wx и
dim UJUy = dim (W, © W3) = dim Wt + dimWs. Тем
самым мы доказали, что при U\ с: U2 cz Us
dim UJUX = dim U2/Ut + dimUJU^ A.1)
Пусть теперь U тл W — подпространства в V. При-
Применим формулу A.1) для Ux = 0, иг = U, UA — U + W.
Мы получаем
dim (U + W) = dim U + dim (U + W)/U =
= dimU + AimW/ (U Q W).
Прибавим к обеим частям dim(f/ П W) и восполь-
воспользуемся равенством dim W/(U f\ W) -f dim (f/ f| W) —
= dim W; получим
dim (U + W) + dim (C/ fl W) = dim U + dimW.
Далее, воспользуемся равенством A.1) для иг = U П W,
U s= W, Us = V:
dimV/(U П Щ = dimW/(?7 П ИО + dim V/W =
= dim (U + W) I U + dim V/W.
Прибавив к обеим частям dim V/(U + W) и воспользовав-
воспользовавшись равенством dim F/(?7 -f- WO + dim (U + PF)/?7 =
= dim V/U, получим
dimV/(U+W)+dim V/ (U[]W) = dim V/U +dim V/W.
Если размерность пространства V конечна, то и
все подпространства в V имеют конечную размерность.
Если, однако, dim V = оо, то особого внимания заслу-
заслуживают два типа подпространств U: подпространства, раз-
размерность которых конечна, и, с другой стороны, «боль-
«большие» подпространства, а именно такие, которые обла-
обладают дополнениями конечной размерности. Для про-
пространств второго типа dim U — оо, но dim V/U конечна;
при зтом dim U говорит нам очень мало об U, тогда как
dim V/U указывает величину, на которую U отличается
от всего пространства V. Поэтому мы присвоим числу
dim V/U специальное наименование с помощью следую-
следующего определения.

2Л ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ.
Определение 1.3. Размерность пространства
V/U называется коразмерностью подпространства U:
codimf/ = dimV/U.
Различные результаты, полученные нами, содержит
Теорема 1.4. Размерности и коразмерности под-
подпространств подчиняются следующим законам:
dimU + codim U = dim F, A.2)
dim (U + W) + dim (U П W) = dim U + dimW, A.3)
codim (U + W) + codim {U П W) =
= codim U + codim WV A.4)
Эти правила имеют малую ценность, если величины
в одной части равенства бесконечны (тогда и в другой
части равенства не все величины конечны).
Пространства размерности один называются прямыми,
размерности два — плоскостями, а пространства коразмер-
коразмерности один называются гиперплоскостями.
§ 3. Более детальное описание строения гомоморфизмов
Пусть V и V — правые векторные пространства над
телом к. Обозначим через Horn (F, V) множество всех
гомоморфизмов пространства V в пространство V. Мы
превратим Нот (V, V) в аддитивную абелову группу,
определив сложение следующим образом:
Если отображения / и g принадлежат Нот (V, V),
то суммой / + g назовем отображение, сопоставляющее
вектору X ?¦; V вектор f(X) -+- g (X) из V; иными словами,
(/ + g) (X) = / (X) + g (X).
Легко проверить, что f -\- g будет гомоморфизмом и что
введенное сложение ассоциативно и коммутативно. Ото-
Отображение, которое сопоставляет каждому вектору X ElV
вектор О Е.; V, является, очевидно, нулевым элементом
из Нот (F, V) и будет также обозначаться через 0. Если
/ Ef Horn (F, F'), то отображение —/, которое переводит
X в —(/ (X)), является гомоморфизмом и /-f (—/) =0.
Тем самым установлено, что Horn (F, V) — группа.

8 31 ОПИСАНИЕ СТРОЕНИЯ ГОМОМОРФИЗМОВ 2Г)
В частных случаях можно ввести в Нога (V, V) до-
дополнительные операции, и мы собираемся исследовать
несколько таких возможностей.
а) V = V.
Элемент из Нот (V,V) отображает пространств© V в
себя; такой элемент называется эндоморфивмом прост-
пространства F. Если /, g Ez Нога (F, V), то можно построить
отображение gf: V -* F-* F,. как мы это сделали в § 1:
gf (X) — g (/(X)). Легко видеть, что gf также является гомо-
морфиэмом V -> V.
Так как
(& + *.)/(*) = eif (X) + gj (X) = (ft/ + gj) (X)
*g (A + /,) (X) = g (jti (X) -I- /, (X)) = gh (X) + gft (X) =
= igfi + gfi) (X),
то мы видим, что имеют место оба дистрибутивных за-
закона: Нот (F, V) становится кольцом. Это — кольцо с
единицей (единицей является тождественное отображе-
отображение).
Отображения/ Gf Horn (V, V), являющиеся биекциями,
обладают обратными отображениями Z, которые также
принадлежат Нот (V, V). Поэтому такие отображения
образуют группу относительно умножения. Вся гл. IV
посвящена изучению зтой группы для случая пространств
V конечной размерности.
Исследуем теперь некоторые элементарные свойства
кольца Hom(F, V) в предположении, что размерность
dim V = п конечна. Пусть / ЕЕ Нот (F, F) и U — ядро
эндоморфизма/. Тогда V/Ucaf (F), так что размерность
образа / (F) есть п — dim U. Это показывает, что / явля-
является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда dim U =0,
т. е. тогда и только тогда, когда / — мономорфизм.
Пусть Аи А^..., Ап — базис F и пусть / (At) — Bt.
Если X = Агхг + Агх% + ... + Апхп е F, то
/ (X) = BlXl + ДЛ + ...+Вяхя. A.5)
Обратно, выберем произвольные п векторов В\ Е1 V
и определим отображение / с помощью равенства A.5).
Легко видеть, что f ЕЕ Нот (F, F) и что / (Л{) = Bt.

26 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
Следовательно, /полностью определяется заданием образов
Bt базисных элементов Ль причем 5{ могут образовывать
произвольную систему, состоящую из п векторов простран-
пространства V. Представив каждый вектор Bt в базисе Ау
/ = 1,2, .. .,п,
v=l
мы видим, что / представляется квадратной матрицей
(ац) размерности п, где i — номера строк, а / — номера
столбцов.
Пусть g ?Е Нот (V, V) задается матрицей (Ьц), что оэ-
начает
п
g(A5) = 2
v—1
Тогда
n n
Мы видим, что / + g представляется матрицей {ati + bt)),
a fg — матрицей ( Saiv&v/)- Поэтому естественно опреде-
лять сложение и умножение матриц по правилам:
При зтих определениях сложения и умножения соответст-
соответствие / ->¦ (rtjj) становится изоморфизмом между Нот (F, V)
и кольцом всех квадратных матриц размерности п.

S 3] ОПИСАНИЕ СТРОЕНИЯ ГОМОМОРФИЗМОВ 27
Этот изоморфизм далеко не канонический, так как он
зависит от выбора базиса {At) для V.
Пусть g — другой элемент из Нот (F, F); предполо-
предположим, что g — биекция, т. е. g — автоморфизм простран-
пространства F. Пусть (Ъц) — матрица, представляющая элемент
gfg~i из Нот (F, F). Элементы матрицы (btj) таковы, что
Если мы применим к зтому равенству отображение
g~l, то оно превратится в равенство
/(г'(^))= 2 rfDv)-bvi.
Поскольку^1 — произвольный автоморфизм простран-
пространства V, векторы g~i (Av) образуют другой базис простран-
пространства V, и элемент g может быть выбран так, что зтот ба-
эис будет произвольным. Рассматривая с этой точки зре-
зрения написанное выше равенство, можно сформулировать
следующее утверждение: матрица, представляющая /
в «новом» базисе, будет такой же, как матрица, представ-
представляющая gfg~i в «старом» базисе. В зтом утверждении g —
отображение, которое переводит новый бавис g~l(Av) в
старый:
g(g-l(AJ)=Av.
Следовательно, отображение g будет определено, если
задан новый базис. Предположим теперь, что /->-Л,
g -*• D — представления / и g в исходном базисе. Тогда
gfg'1 -*• DAD. Будем считать, что g фиксировано (опре-
(определено старым и новым базисом) и что / пробегает множест-
множество Нот (V, V). Мы получаем следующую теорему.
Теорема 1.5. Кольцо Нот (V, V) изоморфно коль-
кольцу всех квадратных матриц раамерности п с элементами ив
к. Этот шоморфием ваеисит от выбора базиса. Пусть g —
элемент из Нот (F, V), переводящий некоторый выбранный
новый бавис в стшрый, D — матрица, представляющая g в
старом бависе. Если теперь f -*¦ А — представление про-
иаеолъного / е= Нот (F, F) матрицей А в старом базисе, то
DAD~l является представлением тоео же f в новом бависе.

28 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
Преподавание математики все еще страдает от энтузи-
энтузиазма, вызванного открытием этого изоморфизма *). След-
Следствием было то, что геометрия фактически исключалась и
заменялась вычислениями. Вместо наглядных отображе-
отображений пространства, сохраняющих сложение векторов и ум-
умножение их на скаляры (такие отображения имеют непо-
непосредственный геометрический смысл), в рассмотрение пво-
дились матрицы. Разрешите мне из числа многочисленных
абсурдов (с педагогической точки зрения) привести один
пример и сопоставить матричный подход с непосредствен-
непосредственным описанием.
Матричный метод: произведение матрицы А на ликтор
X (рассматриваемый как матрица, состоящая из одного
столбца длины п) определено: это также вектор. Теперь
бедный студент должен «проглотить» следующее опреде-
определение:
Вектор X называется собственным, если существует
такое число X, что
АХ = XX.
Пробравшись через формальные выкладки, через ха-
характеристическое уравнение, студент, наконец, дойдет
до теоремы вроде следующей: если матрица А имеет п
различных собственных значений, то можно подобрать
такую матрицу D, что DAD~i будет диагональной мат-
матрицей.
Студент, конечно, выучит все это, так как в противном
случае он не сдаст экзамен.
Между тем можно рассуждать так: дано линейное пре-
преобразование / пространства V в себя. Существует ли пря-
прямая, которая сохраняется при преобразовании /? Для
того чтобы включить в рассмотрение собственное зна-
значение 0, следует видоизменить вопрос, спрашивая, суще-
существует ли прямая, переходящая в себя. Для вектора X,
на который натянута прямая, это, очевидно, означает, что
/ (X) =%Х.
•) Подразумевается изоморфизм, сопоставляющий каждому эп-
доморфизму некторного пространства некоторую матрицу.— Прим.
ред.

5 ;tl ОПИСАНИЕ СТРОЕНИЯ ГОМОМОРФИЗМОВ 20
При такой постановке задачи матрица А, представ-
представляющая /, возникнет только для фактического вычисле-
вычисления К и снова исчезнет. Затем можно доказать все обычные
теоремы, совсем не прибегая к матрицам, и поставить воп-
вопрос: пусть существует базис пространства V, состоящий из
собственных векторов; что отсюда вытекает для геометри-
геометрического представления преобразования /? Ясно, что про-
пространство растягивается в различных направлениях ба-
базиса с коэффициентами, которые являются собственными
числами. Только после этого следует выяснить, что это
означает для представления/матрицей в этом базисе. Соот-
Соответствующая матрица, очевидно, является диагональной.
Я должен; конечно, несколько смягчить мою критику,
так как в последнее время появились книги, подчеркиваю-
подчеркивающие именно эту точку зрения, так что будем надеяться на
лучшее.
Мой опыт показывает, что доказательства, включаю-
включающие в себя матрицы, могут быть сокращены на 50%,
если выбросить матрицы. Иногда зто невозможно; бывает,
например, что нужно вычислить определитель.
Говоря об определителях, мы предполагаем, что чита-
читатель с ними знаком. В гл. IV мы дадим определение, кото-
которое применимо даже в некоммутативном случае; пока же
мы будем придерживаться коммутативного случая. Если
к — п о л е и / Er. Horn (V, V), то мы определим опре-
определитель эндоморфивма f следующим образом: если А —
матрица, представляющая /, то положим det / = det A.
При переходе к новому базису матрица А преобразуется
в DAD'1, а определитель становится равным AetD-AetA-
• (det/))'1 по теореме об определителе произведения мат-
матриц; так как к — поло, то detD и (det D)'i взаимно уни-
уничтожаются, и мы видим, что отображение
/ _>. det / = det A
каноническое и определено корректно. Если g соответст-
соответствует матрице В, то fg соответствует матрице АВ и теоре-
теорема об определителе произведения матриц показывает, что
det/g = det/-det g.
Теорема 1.6. Существует корректно определен-
определенное отображение
Нот (V, V) -у к {если к — поле),

30 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
сопоставляющее эндоморфизму / его определитель. Выпол-
Выполняется условие
det (fg) = det / ¦ detg.
Принимая во внимание этот факт, можно описать det/
внутренним образом. Читатель найдет такое описание в
книге Н. Бурбаки, Алгебра, гл. III •).
Ь) V — двустороннее пространство.
Определение 1.4. Предположим, что V од-
одновременно и правое, и левое векторное пространство над
телом А; и что имеется дополнительное правило (a A) b =
= а (АЪ) для всех а, Ъ Ег к и а ЕЕ V. Тогда V называется
двусторонним пространством над к.
Теорема 1.7. Если V — правое и V — двусторон-
двустороннее векторное пространство над телом к, то Hom(F, V)
можно канонически превратить в левое векторное простран-
пространство.
Достаточно определить произведение af для a €F k и /GE
ЕЕ Нот (V, У). Мы понимаем под а/ функцию, которая пере-
переводит вектор X Ег V в вектор a-f (X) Е= V.
Так как
(й/) (X + У) - а •/ (X + Y) = а (/ (X) + / (У)) =
= а ¦ f (X) + а./ (У) - (а/) (X) + (а/) (У)
(efl (ХЬ) = а ¦/ (ХЬ) = а ¦ (/ <Х) Ь) = (а/ (Х))Ь =
= ((а/) (X)) -fe,
то а/ е Нот (У, У')-
Равенства
(a (f + g)) (X) = а ((/ + *) (X)) - й (/ (X) + g (X)) =
= (af) (X) + (ag) (X) = (af + ag) (X),
((a + b)f)(X) = (a + b) •/ (X) = af (X) + bf (X) =
= (af + bf) (X),
A •/) (X) = 1./ (X) = / (X)
показывают, что Horn (F, V) — левое пространство над
к. Возникает вопрос: можно ли произвольное правое век-
векторное пространство V естественным образом превратить
*) Фи8ыатги8, 1962. — Прим. ред.

S 4] СОПРЯЖЕННОСТЬ И СПАРИВАНИЕ 31
в двустороннее пространство, определив подходящим обра-
лом произведение аХ слева? Конечно, было бы естественно
определить это произведение так: аХ = Ха. Но при этом
а (ЪХ) = (ЬХ)а = (ХЪ)а = X фа) = Ьа (X), тогда как мы
должны были получить (аЬ) X. Это «естественное» опреде-
определение применимо только в том случае, когда тело к комму-
коммутативно, т. е. является полем.
Теорема 1.7'. Если V и V — векторные простран-
пространства над полем к, то Нот (V, V) можно превратить ес-
естественным образом в векторное пространство над к.
Для произвольного тела к наиболее важным примером
двустороннего векторного пространства V является само
тело к, если определить сложение и умножение так, как
они определены в теле. Мы исследуем этот случай в сле-
следующем параграфе.
§ 4. Сопряженность и спаривание
Определение 1.5. Если V — правое векторное
пространство над/г, то множество V = Нот (V, к) является
левым векторным пространством над к и называется про-
пространством, сопряженным к V. Элементы ф, t|>,... ив V
называются функционалами на V. Итак, функционал ф —
это такое отображение V —»- /с, что
1) Ф (А .+ В) = ф (А) + Ф (В), 2) Ф (Аа) = <р (А) -а.
Операции над функционалами определяются следую-
следующим образом:
3) (Ф + г|>) (А) = Ф (А) + ф (А), 4) (йф) (А) - а .<р (А).
Для левого векторного пространства V над к аналогичным
образом определяется сопряженное пространство: V =
= Нот (V, к). Для получения полной симметрии мы пишем,
однако, (А) ф вместо ф (А). Здесь V — правое векторное
пространство над к.
Обозначения станут еще проще, если писать ц>А вместо
Ф (А) (и А(р вместо (А)<$, если V — левое пространство).
Если переписать правила 1) и 3), то они примут вид «дис-
«дистрибутивных законов», а правила 2) и 4) станут «ассоциа-

32 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ?ГЛ. I
тивными законами». Другими словами, будем считать
(рА своеобразным «произведением» элемента ф ЕЕ V и
элемента A &i V таким, что q>A ET к.
Это изменение обозначений подсказывает следующее
обобщение, при котором вместо пространства if рассматри-
рассматривается произвольное левое пространство W.
Определение 1.6. Если W — левое, a F —
правое векторные пространства над телом к, то говорят,
что задано спаривание пространств W и V в к, если опреде-
определено производение А В Е= к для всех A ?r W и В ЕЕ V
так, что выполняются следующие условия:
1) A (i?j + Bt) = АВХ -!- АВ2, 2) А (ВЬ) = (АВ)Ъ,
3) (Лх + Л%) В = Аф + А2В, 4) (аА)В = а (АВ).
Мы замечаем, что для V ж V определено каноническое
спаривание в к. Нашей задачей будет более подробное
изучение пространства t и произвольных спариваний.
Пусть {At} — базис правого пространства V, где ин-
индексы i пробегают некоторое множество / — множество
индексов.
Пусть ф ег- V, и положим (рЛ i = at e /с Элемент IeF
однозначно записывается в виде X — ^AiXi, где ж,-¦=/= О
только для конечного числа индексов, так как X должен
быть конечной линейной комбинацией векторов At. Тогда
Это показывает, что ф известно, коль скоро известны все
aj. Обратно, для всякого индекса i выберем произвольный
элемент at ст.' /с и определим функцию ф (X) с помощью
равенства
ф(Х) = 23
г
Сумма в правой части имеет смысл, так как Xt ф 0 только
для конечного числа индексов i. Оба соотношения
ф(Х + Y) = ф(Х) + Ф(У) и ф(ХЬ) + Ф(Х)Ь пепосред-
ст'вевио проверяются. Так как A. t — ^jAvf)vi, где, как обыч-

5 4] СОПРЯЖЕННОСТЬ И СПАРТТПЛПИЕ 33
но, б» = 1 и 6^ = 0 для i Ф /, то мы также получаем
Ф (Ai) — 5] av6vi = at. Таким образом, имеет место
V
Теорема 1.8. Если {At} — базис пространства V,
то для произвольно заданных at Е7 к (по одному для каж-
каждого i) существует один и только один функционал ф Е? 1^,
для которого q>At = сг.
Пусть i будет одним из индексов. Обозначим через ф*
функционал, для которого tptAt — 1 и ^гА} = 0 для i Ф /.
Иными слонами, <piAj — б^.
Конечная линейная комбинация функционалов ф{
имеет вид ф = 2 &гФг> гДе ^>t ?= 0 только для конечного чис-
г
ла индексов i. Функционалы ф, получающиеся таким пу-
путем, образуют подпространство WQ в V, натянутое на функ-
функционалы ф{. Для такого ф имеем
фЛ, = ^bicpiAt = 53 6,6 w = bt.
i i
Это означает, что ф вполне определяет коэффициенты bj
как значения функционала ср на базисных векторах. По-
Поэтому линейная комбинация единственна; функционалы
qi4 независимы и, следовательно, образуют базис подпро-
подпространства Wo. Так как функционалов ф{ столько же, сколь-
сколько базисных векторов Аи то dim Wo = dim V. Подпростран-
Подпространство Wo может быть охарактеризовано как множество тех
функционалов ф пространства V, для которых уА{ф0
только для конечного числа индексов i. Если dimF конеч-
конечна, то Wo содержит, очевидно, все функционалы простран-
пространства V, т. е. Wo = f, и мы получаем dimF = dimK Ес-
Если dimV = оо, то dimPFo = оо и, так как Wo с V', то
dim'P' = оо. Тогда Wo, очевидно, не совпадает со всем
пространством V. Если А = 2-^гй( Е F и Л # 0, то най-
дется по меньшей мере одно /, для которого а3 Ф 0. Для
этого /' ф^ Ф 0. Из определения функционала легко по-
получить, что только нулевой функционал обращается в нуль
на всех векторах из V. Теперь мы видим, что справедливо
в некотором смысле аналогичное утверждение: если
А е= V и (рА = 0 для всех ф ЕЕ V, то А = 0.
2 О. Артив

34 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
Сформулируем полученные результаты.
Теорем al,9. Всегда имеет место равенство dimF =
= dimV. Если ц>А = 0 для всех ц>, то А = 0; если ц>А = 0
для всех А, то ф = 0. Пусть размерность dim V = п ко-
конечна, тогда по данному базису {At} пространства V мы
можем найти такой ((сопряженный базис» {срг} простран-
пространства У, что ЦцА} = Ьц.
Переходя к спариванию, мы предполагаем, что спари-
спаривание левого пространства W и правого пространства У в к
задано.
О п р е д е л ение 1.7. Если А е W, Be У и АВ =
= 0, то мы будем говорить, что А ортогонально В. Если
Wu — подпространство в W, аУ0,— в У, то мы говорим,
что Wo ортогонально Уо, если АВ = 0 для А е= Wo и
В ЕЕ TV Если Уо — подпространство в V, то легко ви-
видеть, что множество Vo всех векторов в W, ортогональных
Vo, образует подпространство в W: Vo с: W. Аналогично
каждое подпространство Wo в W порождает подпростран-
подпространство Wl в V. Очевидно, что Vo cz (Уо) *• Ддя краткости
будем писать Уо вместо (Vo)*. Особенно важным яв-
является подпространство V* пространства W, состоящее из
всех векторов пространства W, ортогональных ко всем
векторам пространства У. Назовем У* левым ядром спа-
спаривания. По аналогии мы называем подпространство W*
пространства У правым ядром спаривания.
Заметим, что теорема 1.9 показывает, что при спари-
спаривании f и У оба ядра равны 0.
Предположим, что при спаривании W u V в к левое яд-
ядро равно 0. Каждому элементу А ЕЕ W соответствует функ-
функция фд на У со значениями в к, а именно
срд (X) =АХ.
Легко видеть, что функция фд является гомоморфизмом
У-> к, т. е. фд ЕЕ V.
Изучим отображение W-*- V, которое переводит вектор
А в фд. Имеем
Фд+вХ = (А + В) X = АХ + ВХ = (Фд + Фв) X,
ФадХ = (аА)Х = а (АХ) = афд X.

S 4] СОПРЯЖЕННОСТЬ И СПАРИВАНИЕ 35
Два равенства Фл+В = фл + q>B и фоА = ац>л означают, что
наше отображение W-+-V — гомоморфизм. Ядро этого
гомоморфизма состоит из тех A El W, для которых фд —
нулевая функция: АХ = 0 для всех X ЕЕ V, т. е. оно яв-
является левым ядром спаривания, которое, по предположе-
предположению, равно нулю. Поэтому наше отображение W-> Т^ —
мономорфизм, причем, вообще говоря, не изоморфизм W
на V.
Аналогично, если правое ядро равно 0, то можно полу-
получить мономорфизм V -*- W.
Предположим опять, что левое ядро равно 0. Пусть
Wo — подпространство в W, a. Wl — подпространство в
V, ортогональное к Wo. Мы можем построить естественным
образом новое спаривание пространства Wo и простран-
пространства V/Wl в к, определяя произведение вектора X ЕЕ Wo
на класс смежности У" + W*o из V/Wl как элемент XY
из к:
X -(Y + Wl) = XY.
Это спаривание определено корректно. Действитель-
Действительно, из равенства У + Wl = Yt + Wl вытекает, что
Y — Y^ е= Wl, атак какX е Wo, то X (Y — YJ = 0 или
XY = XYV Очевидно, что при таком определении выпол-
выполняются все аксиомы спаривания. Что является правым
ядром? Ясно, что У* + Wo принадлежит правому ядру,
если XY = 0 для всехX ЕЕ Wo. Это означает, чтоУе^
и поэтому У* + И^о = Wo — нулевой элемент простран-
пространства V/WQ. Следовательно, правое ядро нашего спарива-
спаривания — нуль. Мы можем воспользоваться установленным
выше методом для построения (канонического) мономор-
мономорфизма:
v/wl -»w0.
Как действует это отображение? Данному элементу А +
+ Wo из V/Wo оно ставит в соответствие функционал
иэ Wo, переводящий всякий элемент X^W0 в элемент
тела
Х-(А + W*o) = ХА.

3E ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
Если Vo — данное подпространство в V, мы также мо-
можем определить естественное спаривание VI и V/Vo,
полагая
X-(Y + V0) '
Как и раньше, это спаривание определено корректно
и удовлетворяет необходимым аксиомам. Сейчас нас инте-
интересует его левое ядро; X лежит в левом ядре, если XY = О
для всех 7е^. Но так как мы предположили, что левое
ядро нашего первоначального спаривания равно 0, то
зто означает, что левое ядро нового спаривания также рав-
равно 0. Поэтому мы получаем мономорфизм
Пусть неопытный читатель не сдается, а снова и снова
просмотрит все определения и отображения, пока он все
не увидит в полной ясности. Сформулируем полученные
результаты.
Теорема 1.10. Пусть для пространств W и V оп-
определено спаривание в к, и предположим, что левое ядро
спаривания V* — 0. Пусть Wo — подпространство в W
и Vo — подпространство в V. Тогда существуют естест-
естественные мономорфивмы
A-7)
Так как эти отображения — мономорфизмы, то размер-
размерности пространств, записанных слева, не превосходят раз-
размерностей пространств, записанных справа. В силу тео-
теоремы 1.9 значок сопряженности над пространством может
быть опущен под знаком dim. Мы получаем неравенства
dimV/Wo < dimW0 и dim V^ < dimF/F0, которые мож-
можно переписать в форме
codim Wo <; dim Wo и dimVo ^ codim Vo.
Если положить Vo — Wo во втором неравенстве и объе-
объединить его с первым, то получим
codim Wl < dim Wo-

§ '<\ СОПРЯЖЕННОСТЬ И СПАРИВАНИЕ 37
Однако очевидно, что Wo cr Wl*, следовательно,
dim Wo < dimWC. Поэтому мы получаем равенство
dim W'o* = codim W*Q = dim Wo. A.8)
Наибольшее значение приобретает эта формула в слу-
случае, когда dim Wo конечна. Так как Wo с^", то мы
видим, что тогда просто Ш*>\ = Wo. При мономорфизме
A.6) оба пространства имеют одинаковые конечные раз-
размерности, поэтому наше отображение является эпимор-
эпиморфизмом и, таким образом, пространство V/Wq естествен-
естественно считать сопряженным к Wo. Если отображение A.7)
применить для Уо — Wu, to оно становится мономорфиз-
мономорфизмом Wo в V/Wo • Это отображение опять будет эпиморфиз-
эпиморфизмом, и мы видим теперь, что каждое из пространств Wo и
V/Wo естественно сопряжены друг с другом.
В равенстве A.8) на Wo не делается никаких ограниче-
ограничений; можно, в частности, положить Wo = W. Получим
codimJT = dim W. A.9)
Заметим, что полученные выше результаты справед-
справедливы для всех подпространств из И7 в случае, когда само
W конечномерно.
Что мы можем сделать, если левое ядро V* отлично от
О? Мы построим новое спаривание (мы уже прибегали к
этому процессу) между W/V' и V, определяя
(X + V) Y = XY, X + V е= W/V, УеК
Элемент X + V* лежит в левом ядре, если XY = О
для всех Y е= V. Это означает, что X G V* и, следователь-
следовательно, X + V* = V* — нулевой элемент в W/V. Левое
ядро теперь равно 0. Правое ядро, очевидно, прежнее, т. е.
W*. Равенство A.9) указывает на то, что коразмерность
подпространства W* в V такая же, как и размерность ле-
ного сомножителя W/V*. Поэтому мы получаем
dimV/W - dimW/V. A.10)
Предположим теперь, что оба ядра У* и W — нули
II что размерность dimPF конечна. Соотношение A.10)
показывает, что dimF также конечна и равна

38 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
В этом случае мы моясем применить все наши результаты без
ограничений к любым подпространствам пространств W
и .V. Если положить, например, Wo = W, то И^ = О
и V/Wo = V; мы видим, что каждое из пространств W
и V естественно сопряжены друг другу. Читатель должен
отчетливо представлять себе отображение: элементу А из
W соответствует такой функционал фд, что ц>лХ = АХ,
причем А -> фА — изоморфизм. Рассмотрим еще соответ-
соответствие Wo+* Wl между подпространствами Wo czW и
подпространствами Wo с V. При помощи него может
быть получено любое подпространство Vocz V; достаточно
положить Wo = Vq. Различные подпространства в W
дают различные образы, так как Wo = W\ влечет (следует
применить звездочку) Wo = Wx. Речь идет, следовательно,
о взаимно однозначном соответствии, которое обращает
отношение включения, т. е. включение Wo cz Wt влечет
Wo -Э W[ (строгое включение влечет опять строгое вклю-
включение). Соберем полученные результаты.
Теорема 1.11. Предположим, что для прост-
пространств W и V определено спаривание в к. Тогда
a) dimW/V* = dim У/И7*; в частности, если одно us
пространств W/V* и V/W* конечномерно, то другое также
конечномерно и размерности равны между собой.
b) Если левое ядро равно 0 и WQ с W, то
dimWo = coding = dim W'o\ A.11)
Если dimWo конечна, mo Wo = Wo и каждое из про-
пространств Wo и V/Wo естественно сопряжены друз с другом.
с) Если оба ядра равны 0 и размерность AixaW конечна,
то пространства W и V естественно сопряжены друг с
другом. Соответствие Wo *-* Wo является взаимно одно-
однозначным соответствием между подпространствами иа W и
подпространствами из V. Оно переворачивает любое отно-
отношение включения (в строгом смысле).
В случае, когда рассматриваемое спаривание является
спариванием между V и V, результаты можно усилить.
Мы уже знаем, что в этом случае оба ядра равны 0. Пусть
Vq будот произвольным подпространством пространства V

S 4] СОПРЯЖЕННОСТЬ И СПАРИВАНИЕ 39
(не обязательно конечномерным), и рассмотрим отображение
A.7) (см. теорему 1.10): V'o -->-У/Уо- Это отображение —
мономорфизм; покажем, что оно также является эпимор-
эпиморфизмом. Пусть ф — произвольный функционал пространства
F/Vo. Построим функцию ф на пространстве F, положив
Ф (X) = Ф (X + Fo).
Тогда
Ф (X + Y) = Ф (X + Y + Fo) = Ф ((Х + Fo) +
+ (Y + Vo)) = Ф (X + Fo) + Ф (V + Vo) =
= Ф (X) + ф (У)
Ф (Ха) = Ф (Ха + Vo) = Ф ((X + 70)а) =
= ф (X + Vo) а = ф (Х)а.
Отсюда следует, что ф — функционал на F. Предположим,
что X е Fo- Тогда ф (X) = Ф (X + Fo) = Ф (Fo) = О,
так как Fo — нулевой элемент из V/Vo. Итак, ф обращается
в 0 на всех векторах ив Fo и поэтому принадлежит Fo. Мы
утверждаем, что данный функционал ф является образом
Ф при мономорфизме A.7). Отсюда будет следовать, что на-
наше отображение является эпиморфизмом. Что будет обра-
образом функционала ф? Построим новое спаривание Fo и
V/Vo, определяя Y-(X + Vo) = УХ (Y е= Fo*, Xe F);
для У = ф е Fo это означает, что ф-(Х + Уо) = ф (X),
т. е. получаем функцию на V/Vo, которая и является обра-
образом ф. Но фХ равно, по определению, ф (X + Fo), так что
эта функция на V/Vo действительно равна ф.
Пространство Fo естественным образом сопряжено с
V/Vq. Пусть А ^ Fo. Тогда класс смежности А + Fo —
ненулевой элемент в V/VQ, так что можно найти такой функ-
функционал ф е= V/Vo, чт(> ф {А + Vo) ф 0 (теорема 1.9). Со-
Соответствующий элемент ф ЕЕ Fu дает тогда ф (А) = ф (А +
-}- Fo) ф 0. Поэтому этот вектор А не ортогонален всем
векторам из Fo, и мы заключаем, что вектор, ортогональ-
ортогональный всем олементам из Уо, должен обязательно лежать в Fo.
Очевидно, что Fo ортогонально Fo, следовательно,
мы доказали равенство Fo = Fo. Наконец, подставим в
равенство dimJFo = codimJFo (см. формулу A.11) теоре-

40 ПРКДПАРИТКЛЫТЬТГС ПОНЯТИЯ [ГЛ. Т
мы 1.11) Fo вместо Wo. Так как Wv = Fo, то мы получаем
dimVo — codim Fo, что дополняет формулу dim Fo =
== codimVo, аналогичную A.11) и справедливую для любого
спаривания (с нулевым правым ядром). Итак, мы видим,
что в нашем частном случае имеется взаимно однозначное
соответствие TF0 «-* Wo между подпространствами Wo cr
с: W конечной размерности и подпространствами в V с
конечной коразмерностью. В самом дело, если codiniFo
конечна, то размерность пространства Vo, равная codimFo,
конечна и Wo = Fo — пространство, для которого W» =
= Fo; существует только одно такое пространство. Дей-
Действительно, если Wo дано и конечномерно, то формула A.11)
показывает, что codimTFo = dim Wo, следовательно,
Wo = Vo влечет Fo = W*o-
Теорема 1.12. Рассматривается спаривание между
V — W и V. Если Vo — произвольное подпространство в
F, то Fo* = Fo u Fo естественным образом сопряжено с
пространством V/Vo. Наряду с равенством dimFo =
= codimFo (теорема 1.11) имеет место равенство dimFo =
= codim Fo. Соответствие Wo <-> WQ — взаимно одно-
однозначное соответствие между всеми подпространствами
Wo с W конечной размерности и всеми подпространства-
подпространствами из V конечной коразмерности. Подобные результаты,
вообще говоря, не имеют места для подпространства из V.
Рассмотрим особо гиперплоскость Fo из V. В этом слу-
случае codim Fo = 1 и» следовательно, dimFo = 1. Пусть
К = <Ф> (ф Ф 0)- Так как Fo* = Fo, векторы X из Fo
могут быть охарактеризованы как решения уравнения
фХ = 0. Произвольное i|) e= F* такое, что фХ = 0 для всех
X ?= Fo, должно лежать в Fo и поэтому является левым
кратным элемента ср. Обратно, если мы будем исходить из
произвольного ф^=0и положим Wo = <ф>, то dim Wo = 1
и, следовательно, codim Wo = 1, т. е. решения уравне-
уравнения фХ = 0 образуют гиперплоскость.
Для доказательства этих простых фактов о гиперплос-
гиперплоскостях используется слишком обширная теория. Попро-
Попробуем получить их непосредственно.

S 51 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 41
Возьмем функционал ц>фО в V. Отобразим V в к при
помощи q>: X-*-(fX. Это отображение — гомоморфизм по
определению функционала. Так как ф ф О, то существует
ненулевой образ Ь, а поскольку к (как правое простран-
пространство над к) имеет размерность 1, рассматриваемое отобра-
отображение — эпиморфизм. Пусть Vo — его ядро. Тогда V/Vo сы
~к, откуда dim V/Vo = codim Vo = 1. Обратно, будем
исходить из гиперплоскости Vo. Рассмотрим каноническое
отображение V ->¦ V/Vo с ядром Fo- Пространство F/Vo
одномерно, следовательно, изоморфно (не канонически)
к.Тогда отображение V ->¦ F/Fo -v ft .будет функционалом
Ф с ядром Vo. Возьмем произвольный вектор А ф Vo и
два функционала ф, ij), каждый с ядром Vo. Тогда ф (А) =
—.- а фО, г|) D) = Ь.фО и функционал ф — аб1|? будет
отображать Vo и А в 0. Следовательно, он обращается в
0 на V и поэтому совпадает с нулевым функционалом. Та-
Таким образом, ф = ab'1 i)j.
Теорема 1.13. Гиперплоскость Vo ua V может
быть охарактеризована как множество решений уравне-
уравнения фХ = 0, где ф фО — элемент из F. Обратно, про-
произвольный функционал ф Ф 0 из V порождает указан-
указанным образом гиперплоскость. Функционал ф определяется
гиперплоскостью Vo с точностью до ненулевого левого
сомножителя из к.
§ 5. Линейные уравнения
Проиллюстрируем развитую нами теорию, применив
оо к теории линейных уравнений. Начинающий не должен
надеяться, что мы здесь сможем развить какие-то чудо-
методы для решения уравнений. Фактические решения
все-таки лучше всего находить элементарным методом по-
последовательного исключения неизвестных.
Пусть дапа система
-f a13x3 -f- ... + eiA = &i»
+а22х2 -f ... + а2пхп --= b2, A.12)
m урапнений с п неизвестными х(, коэффициенты при ко-
которых и правые части bt — данные элементы тела к.

42 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
Следующие объекты будут играть роль в наших рас-
рассмотрениях:
1) Матрица (аи) коэффициентов, состоящая из т строк
и п столбцов.
2) Правое n-мерное векторное пространство V над к и
фиксированный б&эпсЕх,Е2,..., Еп пространства V. Реше-
Решение (хх, #2,..., хп) системы A.12) будет интерпретироваться
как «вектор-решение» X = Еххх -\-Е%сг -{-... + Епхп из V.
3) Сопряженное пространство ft с базисом фх, ф2.,...
...,ф„, сопряженным к Ех, Ег,..., Еп. С ?-й строкой матри-
матрицы (atj) мы связываем функционал
ЕслиХ = Exxx -|
тор из V, то
ati(f2
YE%x%
+ ••
+ •
• + «гпф,
.. +Eni
я (i= 1,2,..., т).
сп — произвольный век
X = alxxx + ai2x2 + ... + ainxn
(это легко следует иэ соотношения
4) Подпространство W из V, натянутоенагр!,^,...,^,,,.
Его размерность г есть максимальное число линейно не-
независимых векторов среди векторов ipt и, следовательно,
максимальное число линейно независимых слева вектор-
строк матрицы (atj). Поэтому число г называется левым
строчечным рангом матрицы {а1}).
5) тп-мерное правое пространство Sm, состоящее из т
элементов из к. В него, в частности, входят п век-
вектор-столбцов Аг, Az,..., An матрицы (ац), а также вектор
В = (bx, b2,..., Ьт). Пространство U, натянутое на векторы
Ах, Л8,..., Ап, будет подпространством в Sm, и его раз-
размерность будет называться правым столбцевым рангом
матрицы (at)).
Используя введенные обозначения, систему уравнений
A.12) можно переписать двумя способами. Очевидно, в
пространстве Sm она эквивалентна векторному уравнению
Аххх +А2х2 + ... +Апхп = В. A.13)
Но уравнения! системы также могут быть записаны в виде
X = bt, тогда система примет вид
в = (%х, ^х,..., упх), х е v. A.14)

\
\ 5] ЛИНВЙНЫЁ УРАВНЕНИЯ 43
I
^ Наша система может не иметь решения. Задача разре-
разрешимости формулируется следующим образом: будем рас-
рассматривать матрицу (at)) как заданную и фиксированную.
Для каких векторов В существует решение?
Уравнение A.13) указывает, что векторы В, для кото-
которых решение существует, должны лежать в подпростран-
подпространстве U пространства Sm.
Уравнение A.1?) указывает, что векторы В должны
лежать в пространстве, являющемся образом Fnpn отобра-
отображении V —*¦ Sm:
Очевидно, что отображение / — гомоморфизм. Его ядро
состоит из тех векторов X, для которыхtyiX — 0 (t = 1,...
..., т), т. е. из векторов X, которые ортогональны к г|зь
г|зг,..., г|зт и поэтому ортогональны пространству Wcz V,
натянутому на -ф1т г|>2,..., г|>т. Поэтому ядром является W.
Мы заключаем отсюда, что пространство U изоморфно
VIW и, следовательно, AimU = codim W*. Hocodim W =
= dimW, и мы получаем, что dimU = dim W. Таким
образом, мы имеем правило: «левый строчечный и правый
столбцевой ранги матрицы (аг1) совпадают», которое иног-
иногда облегчает вычисление рангов.
Для большинства приложений вполне удовлетвори-
удовлетворителен такой критерий разрешимости: система уравнений
имеет решение тогда и только тогда, когда В принадлежит
определенному г-мерному подпространству U простран-
пространства Sm; основным при этом является наше знание того,
что г — левый строчный ранг матрицы (агу).
Часто возникает вопрос, когда система имеет решение
при любых В с: Sm? Это означает, что U = Sm или г = т.
Последнее имеет место тогда и только тогда, когда строки
матрицы (atj) линейно независимы слева.
Предположим теперь, что В — такой вектор, при ко-
котором система уравнений имеет решение, и пусть Хо —
частное решение: i|>fX0 = bt (i = 1, 2,..., т). Тогда урав-
уравнения системы могут быть переписаны в видег^ (X — Хо) ~
= 0; они теперь показывают, что вектор X — Хо должен
принадлежать подпространству W* пространства V. Реше-

44 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. J
I
ния составляют класс смежности Хо + W'. Поэтому мы
получаем знакомое правило: общее решение = частное ре-
решение + общее решение однородной системы уравнений.
Рассмотрим также вопрос, когда решение системы един-
единственно. Это означает, что W = 0 и, следовательно, W —
= V; поэтому г = т. Итак, нами изучены крайние случаи
для г:
г = т означает разрешимость при любых В;
г — п означает единственность решения, если оно су-
существует.
Предположим, что т = п (часто встречающийся слу-
случай совпадения числа уравнений с числом неизвестных);
тогда равенство г — п означает разрешимость при любых
В и единственность решения; оно также эквивалентно ра-
равенству W* = 0, из которого следует, что система одно-
однородных уравнений имеет только тривиальное решение.
Этот факт часто применяется в приложениях.
Для описания выражения Хо -f W, которое дает нам
совокупность решений, напрашивается геометрический
язык.
Пусть Vo — произвольное подпространство в V.
Класс смежности А -\- Vo называется линейным много-
многообразием. Если класс смежности A -f- Vo задан просто как
множество векторов, то можно найти подпространство
Fo, вычитая из каждого вектора множества A -f- Vo ка-
какой-нибудь один из них, скажем А. Подпространство Vo
назовем направлением линейного многообразия. (Интуи-
(Интуитивная картина состоит, конечно, в том, что векторы пред-
представляются в виде «стрелок», выходящих из начала; при
этом линейное многообразие А + Vo состоит из концов
всех «стрелок» из А + Fo.) Теперь мы можем сказать, что
решения нашей системы уравнений образуют линейное
многообразие, которое проходит через частное решение
А и имеет направление W*. Если А + Fo — линейное
многообразие, то величина dim Vo называется размерностью
линейного многообразия. Линейное многнобразие решений
нашей системы уравнений имеет размерность dim W* =
= codim W, т. е. п — г.
Можно поставить и обратный вопрос. Дано линейное
многообразие А -\- Vo. Что можно сказать о всех системах
уравнений ij)X — b (г|з ?= V), которым удовлетворяют все

5 Y| ЛИНЕЙНЫЕ УРЛПНЕНПЯ 45
X из A -f Fo? В частности, таким уравнениям должен удов-
удовлетворять вектор А, откуда b — г|з (А) и, таким образом,
пти уравнения имеют, вид ij) (X — А) = О или ij) (Fo) = 0;
поэтому г|з должно принадлежать V*o. Каждое -ф GE V*o
действительно определяет одно из искомых уравнений:
положим Ь = ур (А); так как ij) (X — А) = 0, то для X Е:
е^ А -\- Vo мы получаем, что г|> (X) = 6. Если положить
г = dim Fo и предположить, что г|I, г|>2,.., г|?г — базис
пространства Fo, то получим, 4toi|)jX = i|)j.4 (i — 1,..., г)
будет системой линейных уравнений, каждое решение
которой подчиняется условиям \pt(X — А) — 0 (i -— 1,..., г),
так что X — 4 ge Fo = Fo, т. е. А -\- Vo — множество
решений и dimF0 = codim VQ = п — г.
Элементарная геометрия линейных многообразий очень
проста. Пусть Lx — А -|- Vx и L2 == j5 -(- F2 •— два линейных
многообразия с направлениями Vx и F2. Они не обяза-
обязательно пересекаются. Когда же Lx (") ^2 не пусто? Тогда
и только тогда, когда существуют такие векторы Хх GE Vx и
Х2 е F2, что A -f Xi = 5 -f Х2 или 4 — J? = (—Х^ +
| Ха. Это означает, что А — В EzVx -\- F2. Если Lx (] L2
не пусто и С — общий вектор, то^ можно написать: Lx —
¦-- С -f- Fd ?>2 = С + ^г! следовательно, Lx (] L2 = С -\-
Н- (^i П F2). Поэтому направлением многообразия Lx П ^а
япляется Fx (] F2. Его размерность (при непустом пе-
пересечении Lx fl L2) такая же, как у Ft Q F2. Рассмотрим
jaioue «объединение» LxoL2 многообразий Lx и L2 — наи-
меныпее линейное многообразие, содержащее Lx и L2.
Его направление должно содержать А— В и все разности
пекторов из Ухя F2 и, следовательно, все векторы из {А —
— ВУ -f Vx -f- ^2- Объединение,, содержит Л, а значит, и
# 4- <-4 — В) 4- Fr 4- Vf Но последнее — линейное мно-
многообразие, содержащее Lx и L2. Следовательно,
LxoL2 = B + <А-В> +VX +F2.
Его направление — подпространство (А — В)> -{-Vx -\-
| F2. Отметим, что возможны два различных случая:
1) Lx П Ьг не пусто; тогда А — В Ez Vx 4- У г и
^ .Z, = B 4- ^ + F2,
dim (/>jl о L2) = dim (Vx + F2).

46 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ПОНЯТИЯ [ГЛ./
Мы получаем
dim (Lx П L2) -f dim (Lx о L2) = dim Lx + dim?2.
2) Lx П L2 пусто. Тогда A — В & Vx + V2 n j
dim (^ .LJ = 1 + dim (Fx + F2). /
Проиллюстрируем это на нескольких примерах.,' Если
dim Lx = dim L2 = О, то Lx — A, L2 = В, Vx = V2 = 0;
если Lx ^fc L2, то они не пересекаются и
dim (jLx о i2) = 1;
Lx о Ьг — единственная «прямая», проходящая через А
и В.
Предположим, что п = dim V — 2, dim^ = dimi2 — !•
Если Z»! П Z-2 пусто, то мы имеем dim {Lx о L2) — 1 +
+ dim (Fx + F2) < 2; следовательно, dim (Ft + F2) = 1,
Уi — F2 («параллельные прямые»).
Если Lt П L2 не пусто, то
dim Aц П ?2) + dim (Lt о i,2) = 2.
Если Z-! #=i2, то dim {Lx о L2) >1 и, следовательно,
dim {Lx П Z-2) = 0, i, 0 i2 - «точка».
§ 6. Советы для одного упражнения
Читатель лучше усвоит содержание §§ 2—4, если он
проведет аналогичные рассуждения для обычных аддитив-
аддитивно записываемых абелевых групп.
Пусть R — аддитивная группа вещественных чисел и
Z — подгруппа обычных целых чисел. Вначале мы должны
ознакомиться с фактор-группой R/Z. Элементами RIZ
являются классы смежности а -\- Z, а ЕЕ R- Два класса
смежности о -f- Z и b -\- Z совпадают в том и только в том
случае, если о — b — целое число. Для упрощения обо-
обозначений мы будем изображать класс a -\-Z просто буквой
а (где а определено с точностью до целого числа). Такой
класс смежности можно умножать на целые числа (это
может быть выполнено в произвольной аддитивной группе),
но произведение двух классов смежности не определено.
Одним из важнейших свойств группы RIZ является ее
«полнота»: по элементу о €Е RIZ и целому числу п ^> 0 мож-

§ 6Д СОВЕТЫ ДЛЯ ОДНОГО УПРАЖНЕНИЯ 47
но найти такой элемент Ь, что nb = а. Однако это Ъ опре-
определено неоднозначно. Кроме класса смежности а/п, мож-
можно выбрать в качестве b классы а/п -{- i/n, О ^ i ^ п —1.
Читатель должен теперь просмотреть все наше изло-
изложенного векторных пространствах, заменяя всюду слова:
«векторное пространство», «подпространство», «размер-
«размерность» соответственно на слова: «абелева группа», «подгруп-
«подгруппа», «пбрядок группы». Всякий раз, когда между размер-
размерностями стоит знак плюс, его нужно заменить знаком ум-
умножения. Всякая ссылка на тело к должна быть опущена.
Мы сохраняем прежние обозначения для того, чтобы лег-
легче было сравнивать: V теперь означает аддитивную груп-
группу, dim V — ее порядок. У нас не возникает затруднений
с символом <?>, но мы пренебрегаем понятием независи-
независимости множества. Под базисом конечной абелевой
группы мы понимаем такие элементы Ах, А2,..., Ат из V
порядков ех, е2..., ет (et eZ) соответственно, что At по-
порождают V, и что тп1А1 -]- т242 -(- ... + тптАг = 0 (mi 6=
€Е Z) тогда и только тогда, когда каждое mt кратно et. Чи-
Читатель может найти в любой книге по теории групп доказа-
доказательство того, что всякая конечная абелева группа имеет
базис. Понятие базиса неприменимо уже к бесконечным
группам и должно быть отброшено. Следовательно, мы,
вообще говоря, не можем доказать теорему 1.3 и доказы-
доказываем непосредственно в ситуации Vx с U2cz Us для конеч-
конечных групп аналог равенства A.1), а именно
dim UzlUy. = dim UJUV Aim U8/U2.
Теперь мы можем доказать теорему 1.4. Из § 3 нам потре-
потребуется только тот факт, что множество Нот (V, V) может
быть превращено в абелеву группу; затем мы немедленно
перейдем к § 4.
В аналоге определения 1.5 впервые используется осо-
особая группа R/Z. Мы определяем V = Horn (F, R/Z) и
говорим в определении 1.6 о спаривании абелевых групп
W и V в RIZ.
Пусть V — конечная группа с базисом Ai (et — поря-
порядок A i) исрёЕ V. Тогда элементы ц>А( = а{ЕЕ R/Z определя-
определяют ф. Однако at не могут быть выбраны в R/Z произволь-
произвольно, так как eiAl = 0 и, следовательно, е^ог — 0 (нулевой

48 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. Г
элемент в RIZ). Это ограничивает выбор at: элемент а( дол-
должен быть видаm/et, 0 «s^ /га << е? — 1. В пределах указанного
ограничения у нас свободный выбор. Это позволяет (Опре-
(Определить сопряженный базис срь полагая <ptAj — 1/е)-Ьи.
Оказывается, что элементы фг образуют базис fi и имеют
точно такие же порядки et. Поэтому V~V, хотя изомор-
изоморфизм не является каноническим, так как он основщвается
на выборе базиса для V. Поэтому для копечнок группы V
имеем dim V ¦¦= dim tf.
Имея дело с бесконечными группами, читатель должен
попытаться доказать следующую лемму: Пусть U — соб-
собственная подгруппа в V, X ее V, X ф U. Пусть ф Ет. U.
Тогда ср может быть продолжен до функционала на группе,
порожденной подгруппой U и элементом X и состоящей,
следовательно, из всех элементов вида Y -(- тпХ, Y е- U,
m <=: Z. Надо испытать определение ф (Y -\- mX) ~ ф (Y) +
-f- ma с подходящим а из RIZ. Как следует выбрать а,
чтобы отображение было определено корректно? Каким
числом способов можно сделать это? Можно ли сделать
это с о =5^0? Далее применяется трансфини'шое рассужде-
рассуждение для доказательства того, что функционал ф может
быть распространен на всю группу V. Затем читатель без
особого труда доберется до конца (т. е. до теоремы 1.12).
Понятие сопряженности пространства проникает во
многие области современной математики. Читатель встре-
встретится с ним снова в теории банаховых пространств и и дру-
других разделах анализа.
§ 7. Элементы теории групп
Пусть G — группа (но обязательно коммутативная) и
? — произвольное подмножество в G.
Определение 1.8. Множество всех х Ez G, для
которых множества zS и Sx совпадают, называется
нормализатором Ns множества S. Множество всех таких
х fE?. G, что xs = sx для всех s ЕЕ S, называется центра-
централизатором Zs множества S. Множество всех х ЕТ. С, ко-
которые коммутируют со всеми элементами из G (другими сло-
словами, централизатор Zo группы G), называется центром
группы G. Множества Ns и Zs — подгруппы и G, а центр —

(.• 71 элементы тб:ории групп 49
коммутативная инвариантная подгруппа (нормальный де-
делитель) группы G.
Пусть / — гомоморфизм группы G в некоторую другую
группу. В каком случав образ / (G) будет коммутативным?
Равенство / (а) / (b) — f (b) f (а) равносильно соотноше-
соотношению / (aba'1/)'1) = 1. Если К — ядро гомоморфизма /, то
последнее соотношение показывает, что aba^b'1 Ег. К.
Элемент aba~lb~x называется коммутатором элементов а
и Ь. Обратным к нему будет элемент bab~la~l — комму-
коммутатор элементов b и а. Ядро К содержит все коммутаторы.
Обратно, пусть Я будет произвольной подгруппой, содер-
содержащей все коммутаторы. Если х бб иАе Я, то xh —
-- xhx~lh~l hx 61- Их. Следовательно, хН с Нх и аналогично
Нх с хН. Такая подгруппа Н автоматически будет ин-
инвариантной. Так как ядро Н канонического отображения
G —> GIH содержит все коммутаторы, то фактор-группа
GUI будет абелевой. Минимальная подгруппа G' группы G,
которую можно получить таким путем, состоит из всевоз-
всевозможных произведений коммутаторов, и включение G' а К
является другим способом выражения найденного условия.
Определение 1.9. Множество всевозможных
произведений коммутаторов из G называется коммутан-
коммутантом группы G и обозначается G'.
Фактор-группа G/G' абелева. Образ группы G при гомо-
гомоморфизме / аболев тогда и только тогда, когда G' содержит-
содержится и ядре К гомоморфизма /. Подгруппа Н группы G,
содержащая G', обязательно инвариантна и фактор-груп-
фактор-группа 67// коммутативна.
Пусть с — произвольный элемопт группы G; рассмот-
рассмотрим следующее отображение ср,.: G -*- G: г
фс (х) = схс-1.
фс—гомоморфизм, так как фс (ху) == схус'1 = схс~хсус~х =
Фс (я)Фс (?/)¦
Далее,
4>r. (<IV (л-1)) = с {dxd'1) с'1 = cdx (cd)'1 = cpcd: (x),
т. е. фсф,, •••¦ q>cd. Отображение q>! тождественно. Если
х — произвольный элемент из G, то х — фх (х) =
фЛф, ¦ (J))- Это покалывает, что фс — эпиморфизм.
Ксли ф(. (.г) 1, то фс_1 (фс(х)) = 1 или х~ 1, т. е. ядро

50 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
отображения фс состоит только из единицы. Каждое ото-
отображение фс является изоморфизмом группы G на себя или,
другими словами, автоморфизм группы G. Автоморфизм
фс, получаемый таким образом, называется внутренним
автоморфизмом группы G. Так как ф-сф^ = ф^ и фу = 1,
то внутренние автоморфизмы группы G образуют | груп-
группу /0. ,'
Рассмотрим отображение G -*¦ /0, эадаваемое'соответ-
ствием с -*¦ фс. Это отображение, по определению, сюръ-
ективно; оно является даже эпиморфизмом. Элемент с при-
принадлежит ядру этого отображения, если фс = 1, т. е. схс'1 =
= х для всех жеС Итак, ядро этого отображения — центр
группы G; мы видим, что
1а си GIZq.
Назовем два подмножества S и Т группы G сопряжен-
сопряженными, если Т является образом S при некотором автомор-
автоморфизме фс: Т — фс (S). Тогда S = фс-1 (Г); если множества
Т и U сопряжены, U = q>d (Т), то U = q>d фс (S) — <pdc (S),
так что U и S тоже сопряжены. Сколько множеств
сопряжено данному множеству 5? Иначе говоря, нужно
выяснить, когда фс (S) = yd (S) или S — фс-^ (S). Но ра-
равенство S = ф„ (S) означает, что S = aScC1 или Sa = aS,
а это равносильно включению а ЕЕ Ns- Таким образом,
фс (S) = ф^ (S) эквивалентно тому, что с~Ы ЕЕ JVs» ^ ? ciVs.
Все элементы d левого класса смежности cNs дают один и
тот же образ ц>л (S). Поэтому число различных образов
q>d (S) равно числу левых классов смежности cNs группы
G по подгруппе JVS. Число (G: Н) левых классов смежности
сН по подгруппе Я в группе G называется индексом Я в G,
Таким образом, мы показали, что число различных мно-
множеств фс (S) = cSc'1, которые получаются, когда с пробе-
пробегает группу G, равно индексу (G: Ns) нормализатора
множества S в G.
Особенно важным представляется случай, когда S
состоит только из одного элемента: S = {а}. Тогда каждое
множество фс (S) также состоит только из одного элемента
сас~г. Поэтому группа G разбивается на классы сопряжен-
сопряженных элементов. Число элементов в классе, содержащем
элемент а, равно (G: Na). Какие из этих классов сопряжен-
сопряженных элементов состоят только из одного элемента? Для

V\ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 51
соответствующего элемента а должно, очевидно, выпол-
выполняться равенство а = сас~х для всех с ge G. Поэтому такие
элементы а должны лежать в центре ZG группы G. Обозна-
Обозначив символом ф (S) число элементов в множестве S, по-
получаем, что имеется ф (Zg) классов сопряженных элемен-
элементов, обстоящих только из одного элемента. Подсчет числа
элементов в группе G по классам сопряженных элементов
приводит к формуле
#(G) = #(Z0) + %(G:Na), A.15)
а
где символ 2 означает несколько неопределенную «сумму
а
по некоторым а», в которой встречается каждое число
(С: iVa) >1, так как те случаи, когда (G:Na) = 1, уже
учтены в слагаемом 'ф (ZG).
Хотя следующее применение формулы A.15) нам не
понадобится в дальнейшем, однако мы не можем удержать-
удержаться от соблазна упомянуть о нем.
Предположим, что порядок группы G — степень просто-
простого числар: фб = /(г> 1). Тогда каждое слагаемое, стоя-
ат;ее под знаком суммы 2> будет степенью/), так как число
(G: Na) — делитель числа рг. Кроме того, каждое слагае-
слагаемое больше 1. Поэтому вся сумма делится на р. Следова-
Следовательно, # (%в) = # G — 2 делится на р. Мы получили
а
известную теорему о том, что центр такой группы состоит
более чем из одного элемента (т. е. отличен от единичной
подгруппы).
Если дана мультипликативная группа G, мы можем при-
присоединить к ней нулевой элемент 0 такой, что а-0 = 0- а =
= 0 для любого а €= G, а также для а = 0, и получить но-
новое множество, которое уже не будет группой, однако бу-
будет называться (несколько неточно) группой с нулем.
Определение 1.10. Под «группой с нулем»
будем понимать такое объединение обычной группы и
элемента 0, что а-0 = 0-а = 0 для любого а из этого объе-
объединения.
Мы попробуем сейчас объяснить (прежде чем будет
дано точное определение), что мы будем подразумевать
иод упорядоченной группой. Это будет группа G, в которой

ГJ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ПОНЯТИЯ [Г#- I
определено бинарное отношение а <^Ь, подчиняющееся
некоторым условиям, которые для нас были бы желатель-
желательны. Обозначим через S множество всех элементов оу > 1.
Желательно, чтобы иэа>1и6>1 можно было заклю-
заключить, что aft >1. Тогда множество S будет замкнуто от-
относительно операции умножения. Хотелось бы также,
чтобы соотношение а > 1 было равносильно соотношению
а < 1 (за исключением, конечно, случая а = 1). Более
того, нам хотелось бы, чтобы для каждого элемента а
выполнялось одно иэ соотношений: а > 1, а = 1 или а <^ 1.
Это показывает, что мы хотим постулировать, что G яв-
является суммой множеств S'1 (J {1} JJ {5}, где множество
S состоит из всех элементов, обратных к элементам мно-
множества S. Наконец, желательно, чтобы из а > 1 вытекало
Ьа > /;, а из последнего неравенства после умножения спра-
справа на ft мы получали бы ftai >1. Воплотим все это в
определении.
Определение 1.11. Группа G называется упоря-
упорядоченной, если в ней можно выделить подмножество S, об-
обладающее следующими свойствами:
1) группа G является суммой множеств:
G = S-i U {1} U S;
2) S-SczS (замкнутость относительно умножения);
3) для произвольного элемента b EzG bSb~x a S.
Применяя условие 3) для ft, получаем ft^ с= 5
или S cz bSb'1 и, следовательно, bSb-1 = S.
Далее, положим а > Ь, если d a 6 5. Последнее
включение влечет ab'1 — b (b^ia)b~i e= S. Поэтому без-
безразлично, говорить о включении b'la ЕЕ S или о включе-
включении аЬ ЕЕ S. Заметим, что а^> 1 действительно означа-
означает, что а ЕЕ S, как нам этого и хотелось.
Пусть задана произвольная пара элементов а и Ь.
Тогда, если b-ia ЕЕ S, то а > Ь; если Ъ~1а = 1, то а = Ь;
если Ь~{а ЕЕ 5, то а-1Ь ЕЕ S и ft ^> а, причем эти возмож-
возможности исключают друг друга. Любые два элемента группы
G «сравнимы» между собой *).
*) Такие группы называют также линейно упорядоченными в
отличив от частично упорядоченных групп, в которых существуют
пары «несравнимых» элементов.— Прим. ред.

$ Rl \ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТЕЛ 53
Предположим, что а > Ь и Ь > с; тогда afe е5 и
к' Я S. Следовательно, аЬ~{ • Ъсг1 = ас~* ?= 5, откуда
й^>а т. е. отношение ^> транзитивно.
Предположим, что а^> b и с — произвольный элемент
группы! G. Тогда brla_E-S, ab~l €E S и, следовательно,
(cb)~{ (са) =1г'аЕ S и ас (fee)-1 =а6-1 ?Е 5. Это означает,
что а^Ъ влечет са^>сЬ и ас ^> be, т. е. неравенство мож-
можно умножать на элемент с.
Если а > Ь и с ^> d, то ас > ad и ad ^> bd; следователь-
следовательно, по транзитивности ас ~^> bd, т. е. неравенства можно
перемножать.
Если а > Ь, то Ь > а, так как последнее означа-
означает, что ab~l e S.
Итак, мы доказали все привычные свойства неравенств.
Определение 1.12. Группа с нулем (= О U G)
на;я>1вается упорядоченной, если упорядочена сама группа
G п смысле определения 1.11 и для всякого элемента а СЕ G
имеет место соотношение 0 < а.
§ 8. Элементы теории тел
Мы снова напоминаем, что умножение в теле к не обя-
обязательно коммутативно, но сложение, конечно, коммута-
коммутативно. Множество всех ненулевых элементов тела /с обра-
образует группу по умножению, которую мы будем обозна-
обозначать к*.
Как и в произвольной аддитивной группе, можно эле-
элемент a Ei к умножить на обычное целое число п Е=-. Z (бук-
(буквой Z мы будем обозначать множество обычных целых чи-
чисел) и получить элемент па ЕЕ к. В произвольной адди-
аддитивной коммутативной группе имеют место равенства
{п -\- т)а — па -\-та, п(та) = (пт)а, п(а -J- Ь) = па + nb-
Легко заметить, что в тело А: выполняется еще дополнитель-
дополнительный закон
(па) (mb) = (nm)(ab).
Например, если и и/п — положительны, то левая часть
равенства суть
(а +а +...) (Ь +/; +...);
раскрывая это произведение, получим правую часть ра-
иепства.

54 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. t
Пусть а фО. Тогда вопрос, может ли выполняться ра-
равенство па = 0, не зависит от а, так как последнее равен-
равенство равносильно равенству we»я = 0 или пе =,'0, где
е — единица тела к. Это равенство заведомо не имеет
места при п = 1. Отображение п -*¦ пе кольца целых чисел
Z в тело к является кольцевым гомоморфизмом. Если пе Ф
Ф 0 при любом п ф 0, то наше отображение —. изомор-
изоморфизм; в этом случае к содержит изоморфный экземпляр
кольца Z. Так как к — тело, то к содержит даже изоморф-
изоморфный экземпляр поля рациональных чисел. Такое тело к
называется телом характеристики 0. Предположим, с
другой стороны, что отображение п ->- пе имеет ненулевое
ядро Н. Так как Н — подгруппа аддитивной группы коль-
кольца 2, отличная от нулевой, то она состоит из всех кратных
pv наименьшего положительного целого числа р из Н.
Как уже отмечалось ранее, р ф1. Если бы число р не
было простым, то его можно было бы представить в виде
р = аЬ, 0 < а < р, 0 < Ь < р. Так как ре = 0, то мы
получили бы, что (ае)(Ье) == 0, что невозможно, так как
к— тело. Поэтому число р простое. Оно называется ха-
характеристикой тела такого типа.
При нашем отображении п -»- пе элементы кольца Z
имеют ровно р различных образов вида \е, 0 < v ^/> — 1.
р — 1 ненулевых элементов среди них образуют множество,
замкнутое относительно умножения. Эти элементы состав-
составляют группу, так как в теле выполняется закон сокраще-
сокращения. Поэтому р элементов хе образуют подтело ^(изоморф-
^(изоморфное полю классов вычетов ZIpZ кольца целых чисел по
модулюр) тела к. Начиная с этого места, мы будем обозна-
обозначать единичный элемент тела к символом 1, а элементы v • 1
просто v, подразумевая под этим, что v рассматривается
по модулю характеристики тела к.
Если к — подтело тела F, то F можно рассматривать
как левое векторное пространство над к, беря в качестве
операций векторного пространства операции, уже опре-
определенные в теле F. Это пространство F имеет некоторую
размерность (над к), которая называется левой степенью
тела F над к и обозначается символом [F:k]. Можно, ко-
конечно, определить и правую степень; остается открытым
вопрос, существует ли какая-нибудь связь между этими
двумя величинами. Мы будем придерживаться левой сте-

§ 8] \ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТЕЛ 55
пени. .Под левым к-базисом {at} тела F будем понимать та-
такое множество элементов из F, что каждый элемент тела F
однозначно представим в виде конечной линейной комби-
комбинации элементов этого множества с коэффициентами иэ к.
Следовательно, если {aj} — А-баэис тела F, то для произ-
произвольного элемента рЕ^ имеем {3 = ^xtat, причем xt от-
г
личны от нуля только для конечного числа индексов i.
Пусть F — подтело тела Е, к — подтело тела F, {Г,} —
левый F-баэис тела Е, а {at} — левый А-баэис тела F.
Каждый элемент А е? представим в виде А = 2Р;Г/,
Р/ S F, а jJj в свою очередь — в виде Р; = Sx^ctj (xtj e к),
где только конечное число элементов xt] фО.
Таким образом,
А = ^
«, j
Обратно, если мы обозначим сумму ^хцо-Р^ буквой А,
*. i
то-4 = S (SxWai)^j! элемент Л однозначно определяет коэф-
i »
фициенты 2 Xjjaj при Fj, а каждый элемент 2 xija« однознач-
t i
но определяет коэффициенты хц. Это доказывает, что множе-
множество \aiTj} составляет А-базис тела Е. Попутно мы доказа-
доказали формулу
[E;k\=* IE:F] [F:k].
Если a G ft, то множество всех таких элементов i?i,
что ха = ах, называется нормализатором Na элемента а.
Kcnnx<E:Naviy^Na, iox+y^.NaTx.xy^iNa. Предположим,
что х ФО. Тогда из равенства ха = ах вытекает, что ах =
- х~1а, т. е. х 6= Na. Это доказывает, что Na — подте-
подтело тела к. Nl — теоретико-групповой нормализатор эле-
элемента а в группе к*. Множество всех таких х 6= /с, что
ху = ух для любого J6i, также составляет тело Zk,
называемое центром тела А, и мы опять получаем, что Zjs —
центр группы к*. Очевидно, что Z\ с: Na.
Некоторые геометрические задачи связаны с телами к,
состоящими лишь из конечного числа s элементов. Харак-
Характеристика такого тела должна быть простым числом/) >0.
вели к — подтело в F и [F : к] = г, то каждый элемент

56 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [,ГЛ. I
тела F однозначно представим в виде
г
где а* — А-базис тела F. Отсюда следует, что F состоит
из / элементов.
Пусть Zfc — цептр тела к, q — число элементов в Zk.
Пусть, далее, [к: Zk] = n и а ЕЕ к. Тогда Zk с: Na cz к и
можно ввести степени da=[Na'.Z^ и еа = [k:Na]. Со-
Соотношение п = daea показывает, что число da — делитель п.
Мы обозначили через q число элементов в Zu; поэтому
qn и q a — числа элементов в к и Na соответственно, а число
элементов в Z*, Na и к* равно соответственно q — 1,
q а — 1 и?"- 1. Применяя теперь формулу A.15) § 7 к
группе G = к*, мы получим формулу вида
d 9 — 1
в которой символ 23 означает некоторую сумму слагаемых,
каждое из которых имеет вид (qn — l)/(qd — 1); одина-
одинаковые слагаемые могут повторяться. Действительно,
(G: Na) — (qn — 1)/(? ° — 1)- Число d всегда должно
быть делителем числа п, меньшим п, так как каждое из
чисел (G: Na) должно быть больше 1.
Наша цель — показать, что соотношение вида A.16) не
может выполняться при п >1. Если бы нам удалось это
доказать, то отсюда следовало бы, что п — 1, т. е. к ¦—¦ Z^.
Это означало бы, что тело к коммутативно, т. е. является
полем. Для проведения доказательства нам понадобятся
некоторые факты о так называемых полиномах де-
деления круга.
Известно, что полином хп — 1 можно разложить в поле
комплексных чисел на множители
*"-1=П(*-8), A.17)
¦
где е пробегает множество корней степени п из единицы:
еп = 1. Если d — (точный) порядок числа е, то в называ-
называется первообразным корнем степени d из единицы. Каждый
корень степени d из единицы встречается среди корней

S1 \ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТЕЛ 57
степени п из единицы, если d — делитель числа п. Рассмот-
Рассмотрим Полином
Ф, (х) = П (х - в),
где в пробегает множество первообразных корней степени
d из единицы. Группируя сомножители в формуле A.17),
получаем
х» - 1 = ПФ, (*), A.18)
где d пробегает все делители числа п. Полиномы Фп (х)
и называются полиномами деления круга. Очевидно, что
старшие коэффициенты полиномов Фп (х) равны единице.
Ми утверждаем, что все коэффициенты полиномов Ф„ (х)
целые. Так как Ф! (х) = х — 1, то утверждение верно при
п — 1. Предположим, что оно справедливо для всех поли-
полипомов ФЛ (х), где d <C п. Тогда мы можем преобразовать
равенство D.18) к виду
хп - 1 = Фп (х)/ (х),
где / (х) — произведение полиномов Od (x), d < п и din,
т. е. / (х) — целочисленный полином со старшим коэф-
коэффициентом, равным единице. Следовательно, требуемый
полином Фп (х) можно получить делением полинома хп — 1
на / (х). Вспоминая, как вычисляется частное от деления
полиномов и тот факт, что старший коэффициент полинома
/ (х) равен единице, мы убеждаемся в том, что Ф„ (х) —
целочисленный полином.
Пусть теперь d — делитель числа п, причем d < п.
Тогда
х" - 1 = П Ф8 (х);
каждый член Ф& (х) встречается в качестве сомножителя в
в правой части равенства A.18), так как Ь\п. Но Ьфп,
поэтому полином Фп (х) все еще будет одним из сомножи-
сомножителей частного (хп — l)/(xd— 1). Таким образом, полином
Фп (х) делит полиномы хп — 1 и (хп — l)/(xd — 1):
X" - 1 = Фя (X) / (X), Jp=-] = Фп W S (*)•
причем оба полинома / (х) и g (x) целочисленные. Если по-
положить здесь х — q, то мы видим, что целое число Ф„ (q)

58 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. i
делит числа qn — 1 и (qn — l)/(qd — 1). Получив эти (Сведе-
(Сведения, мы возвращаемся к формуле A.16) и заключаем, что
q — 1 делится на Ф„ (q).
Теперь мы оценим величину числа On(q)- Это число
равно произведению сомножителей вида q — е. Абсолют-
Абсолютная величина числа q — в равна расстоянию между точкой
е на единичной окружности и точкой q > 2, расположенной
на вещественной оси. Поэтому сомножитель q — в по аб-
абсолютной величине не меньше единицы и даже не меньше
числа q — 1; он может быть равен q — 1 только при в = 1.
Однако этот случай не имеет места, если п >1, так как
е — первообразный корень степени п из единицы. Таким
образом, |ФП (q)\^>q—1, если п >1. Отсюда очевидно, что
Фп (q) не может быть делителем числа q — 1. Тем самым
мы доказали знаменитую теорему Веддербёрна:
Теорема 1.14. Всякое конечное тело коммутатив-
коммутативно, т. е. является полем.
Определение 1.13. Пусть / — взаимно одно-
однозначное отображение тела к в некоторое тело F, причем / —
гомоморфизм по сложению. Если для / имеет место соотно-
соотношение
f(ab) = f(a)f(b) A.19)
при любых a,iE к, то/ называется изоморфизмом к в F.
Если же для / имеет место соотношение
/ (аЬ) = / W (а) A-20)
при любых а, Ь е= к, то / называется антиизоморфизмом
к в F.
Заметим, что достаточно было предположить, что / —
гомоморфизм по сложению, который отображает не все
элементы тела /с в 0 и обладает свойством A.19) или A.20).
Действительно, если бы / (а) = 0 для некоторого а фО,
то отсюда следовало бы, что / (aft) = 0. Ыо ак — к, так
как к — тело, и мы пришли бы к противоречию с нашим
предположением.
Следующая красивая теорема, принадлежащая Хуа,
имеет интересное геометрическое применение.
Теорема1.15. Если а — такое отображение тела
к в некоторое тело F, которое удовлетворяет следующим
условиям:

ij 8.1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТЕЛ 59
1) a — гомоморфизм по сложению;
2) если а Ф О, то имеет место равенство а (а) =
= (о(а))~1,т. е. предполагается, что а переводит обратный
элемент в элемент, обратный образу исходного;
3) б A) = 1,
то а является либо изоморфизмом, либо антиизоморфиз-
антиизоморфизмом тела к в тело F.
Замечание. Предположим, что отображение
а обладает только свойствами 1) и 2). Положим в условии
2) а = 1. Тогда элемент х = а A) обладает тем свойством,
что х = х" или х2 — 1 = (яг — 1)(х -}- 1) = 0. Поэтому,
если отображение а не обладает свойством 3), то о A) =
= —1. Если положить т (а) = —а (а), то отображение
т будет удовлетворять уже всем трем условиям. Это озна-
означает, что а либо «противоположно» изоморфизму, либо
«противоположно» антиизоморфизму.
Доказательство теоремы. Вместо о (а)
будем писать а". Условие 2) будет теперь выглядеть так:
(а~1)а = (а0) ~ь, для выражений, стоящих в левой и правой
частях последнего равенства, введем единое обозначение
а-°. Из условия а фО следует аа-а-° = 1, так что а" фО.
Это показывает, что ядро аддитивного гомоморфизма а рав-
равно 0; поэтому а — мономорфизм.
Сначала установим одно тождество. Предположим,
что a, b e= к, а, Ь ФО и а фЬ. Тогда выражение а -\-
+ (Ь'1 — а) вполне определено. Вынесем за скобки слева
аг1, а справа (Ь~г — а):
а-i + (Г1 - а) = а ((Г1 — а)+а) (Ь~1 - а) =
= аГ1Ь-1 (Ь-1 - а)'1.
Отсюда следует, что элемент а + (Ь'1 — о) обратим:
(a-i _). ф-1 — а)) = (b-1 — a)ba = a — aba.
Таким образом, имеем
а - (в + (b-1 - ay1)'1 = aba.
Применим отображение а к левой части этого равен-
равенства, последовательно используя условия 1) и 2) (условие
2) позволяет переставлять отображение о с операцией
взятия обратного элемента). В конце концов, мы придем
к выражению, которое будет отличаться от исходного

60 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
только тем, что вместо а и 6 будут стоять а" и № соответст-
соответственно. Поэтому левая часть последнего равенства превра-
превращается в а°6°а°. Таким образом, мы показали, что
(aba)" = <fbaa°. A.21)
Равенство A.21) остается справедливым, если а = 0
или 6 = 0. Если аГ1 — 6, то ab = 1 и левая часть равен-
равенства A.21) будет равна аР. Но а?Ь°аа = сРсГ>а? = о". По-
Поэтому равенство A.21) справедливо при любых а, 6 ?= к-
Положим в равенстве A.21) 6 = 1
(а2H = (а0J. A.22)
Заменим в равенстве A.22) а на а + 6:
(а2 + ab + Ьа + б2H = (а0J + а0*8 + Ь°аР + (б0J.
Если теперь воспользоваться равенством A.22) и усло-
условием 1), то мы, наконец, придем к равенству
(аЬу> + (bay = а°6° + 6°а°. A.23)
Теперь — основная идея! Пусть a, b фО. Рассмот-
Рассмотрим выражение
((ab)" — а°6°) (а6)"° ((ab)° — 6°а0).] A.24)
Раскрывая скобки в A.24), получаем выражение
(aby — 6°о° — аРЬа + aob<> (а6)-°60а0. A.25)
Из равенства A.21) вытекает, что 6я (ab)~aba =
= F {аЬ)-Ч)\ откуда а0 F° (а6)-°6°) а0 = а" F (ай)-^)8**».
Воспользовавшись опять соотношением A.21), получим
(а -6 (аб) 6-а)° = Fа)°.
Таким образом, выражение A.24) равно выражению
(abH — Ь°а? — aab° -\- (bay,
которое в свою очередь по формуле A.23) равно нулю.
Так как произведение A.24) равно 0, то по крайней мере
один из сомножителей обращается в нуль. Итак, мы Полу-
Получаем, что
{aby = яли A.26)

3 8] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТЕЛ 61
а это — уже почти то, что мы хотим доказать. Для а = О
или Ь = 0 соотношение A.26) выполняется очевидным об-
образом.
Спрашивается, может ли случиться, что в теле к най-
найдется такая четверка элементов а, Ь, с и d, что
(ab)° = а°Ь° ф Ра?,
A.27)
(cd)a = rf°cs =#=coda?
Предположим, что такие элементы найдутся, и выведем
отсюда противоречие.
Пусть х — произвольный элемент тела к. Восполь-
Воспользуемся соотношением A.26) для а и b -f- x:
{a (b + x))° =
a? (b -f х)° = а°№ -
или A.28)
(Ь + з;)ааа = ^аа° -|- &<&•
Левая часть равна (ab -(- аху = aPb" + (ах)а ¦).
Если в формуле A.28) имеет место первый случай, то мы
получаем, что (ах)а = а°#°. Если же имеет место второй
случай, то мы, вспоминая, что а°Ь° фЬааа, имеем, ко-
конечно, (ах)а фх°аа. Это означает (см. A.26)), что (ах)а —
-- аРх". Поэтому всегда выполняется равенство (ах)° =
—а"ха. Этот же метод применяется к выражениям ((а + х)Ь)°,
(с (d -f- х))а и ((с +х)с1)а. Объединяя все четыре результата,
получаем
{ах)° = а?ха, A.29)
(хЪ)* = х°Ь°, A.30)
(сх)° = ж°с°, A.31)
(xd)e = d?x°. A.32)
Положив х = d в равенстве A.29), х — а — в A.32),
х = с — в A.30) и х — Ъ—в A.31), получим
aV=dV и ce6c = 6V. A.33)
*) Так как по предположению A.27) (ab)a = aabc.— Прим. ред.

62 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
Наконец,
((а + с) (Ь + <1))° =
(а + сH (b + d)a = а%° + а V -f cV -f cV°
= или . A.34)
F + d)° (a + с)" = 6" a" + dV + bac° + dV.
Непосредственное вычисление в левой части этого
равенства приводит к
(аЬH -f (ad)° + (cb)° + (cd)a = a°b° + aad° + ca6a + d°ca.
Первая возможность в правой части равенства A.34) дает
cad° = d°c°, что противоречит соотношению A.27). Если
же имеет место вторая возможность, то мы получаем
а°Ьа — Ьаа°, а это тоже противоречит условию A.27).
Таким образом, теорема доказана: тот факт, что гипотеза
A.27) исключена, означает, что в равенстве A.26) имеется
либо только первая, либо только вторая возможность
для всех а, Ь ?= к.
§ 9. Упорядоченные тела
Определение 1.14. Тело к называется упоря-
упорядоченным, если, во-первых, упорядочена его аддитивная
группа. Переписывая условия определения 1.11 в адди-
аддитивных обозначениях (третье условие в определении 1.11
можно опустить, так как операция сложения коммутатив-
коммутативна), мы получаем, что в теле к можно выделить множество
Р так называемых «положительных» элементов, удовлет-
удовлетворяющее условиям:
1) к = — Р U {0} U Р (сумма множеств),
2) Р + Р сг Р (множество Р замкнуто относительно
сложения).
К этим двум аддитивным условиям мы прибавим еще
одно — мультипликативное:
3) Р-Р cz P (произведение положительных элементов
положительно).
Положим а^>Ь, если а — Ь ?= Р. Упомянем опять, что
неравенство а >0 равносильно отношению а е= Р. По-
Поэтому мы можем воспользоваться всеми следствиями опреде-
определения 1.11 (конечно, в аддитивной записи), например

S 9] УПОРЯДОЧЕННЫЕ ТЕЛА 03
таким следствием: из условия а> Ь следует, что —Ь> —а.
Выведем теперь следствия для операции умножения.
a) Пусть cEf и а > Ь. Тогда п — Ье=Р, а значит,
с {а — Ь) е Р ~ и (а— Ь) с^ Р. Следовательно, са >cb
и ас > ic. Если —с е Р, то —с (а — i) e Р. Поэтому
сб ^> са и Ьс^>ас (если 0 ]> с, то неравенство меняется на
обратное).
b) Если а >0, то а-а >0. Если 0 >а, то умножение
ua а обращает неравенство, т. е. а-а >0 при любых а.
Квадраты отличных от нуля элементов положительны,
в частности 1 = I2 >0. Поэтому 0 > — 1.
Можно записать, что с = с (с)8, и отсюда заключить,
что из неравенства с >0 следует неравенство с >0,
из неравенства 0 >с — неравенство 0 >с~г.
Умножение слева на элемент с фО тя. справа на с'1
сохраняет неравенство: из условия а >Ъ следует, что сас"х^>
~>cbc~x. Рассмотрение частных случаев Ь — 0 и Ъ = 1
показывает, что сРс~х cr P и cSc cr 5, где S — множест-
множество элементов а > 1. Множество Р является инвариантной
мультипликативной подгруппой группы к'; неравенство
а >Ь равносильно неравенству ab~x > 1 или включению
ab'1 e S. Если йёЛ причем а не больше единицы и не
равно единице, то 1 > а. Умножение на о приводит к
неравенству а'1 >1, т. е. к включению а е= <S.
Группа Р является суммой множеств 5 у {1} U S.
Упорядочение в теле к индуцирует упорядочение в муль-
мультипликативной группе Р.
c) Так как 1 е Р, то и сумма произвольного числа еди-
единиц принадлежит Р. Отсюда следует, что характеристика
тела к равна нулю. Обычные целые положительные числа
также положительны и в теле к. Поэтому упорядочение в
теле к индуцирует в подполе Q рациональных чисел обыч-
обычную упорядоченность.
В частности, мы доказали, что обычная упорядочен-
упорядоченность поля рациональных чисел является его единствен-
единственной возможной упорядоченностью.
В некоторых геометрических задачах упорядочение
тела определяется самым различным образом. Мы подош-
лиеще к одному определению.
Определение 1.15. Тело к называется слабо
упорядоченным, если для его элементов введено бинарное

О/, ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ПОНЯТИЯ [ГЛ. 1
отношение а <С.Ь, обладающее обычными свойствами
упорядочения. Однако этот порядок связан с операциями
в теле более слабыми аксиомами:
1) При любом фиксированном a?/t отображение х ->•
~*-х -\-а либо сохраняет, либо обращает порядок в теле к.
(Заметим, что одни элементы а могут сохранять его, а
другие — обращать.)
2) При любом, фиксированном а?^" отображение
х -*- ха либо сохраняет, либо обращает порядок в теле к
(на отображение х ->• ах никаких ограничений не наклады-
иается).
Если мы говорим, что элементы вх, а2, ..., ап располо-
расположены в цепочку, то мы подразумеваем под этим, что либо
"i<a2<...<С а„, либо аг > а2)>...> ап. Аксиомы указы-
указывают на то, что отображения переводят цепочки в цепочки.
Имеется один причудливый случай: тело, состоящее из
двух элементов 0, 1, обладает только одной цепочкой.
Поэтому любое взаимно однозначное отображение сохра-
сохраняет ее; тело может быть слабо упорядочено. Начиная с
этого места, мы будем предполагать, что тело к содержит
по меньшей мере три элемента. Мы докажем несколько ут-
утверждений о таких слабо упорядоченных телах.
1) к не может быть телом характеристики 2. Действи-
Действительно, пусть 0, a, b — различные элементы тела к, те-
тело к слабо упорядочено и его характеристика равна 2.
a) Пусть элементы расположены в цепочку 0, а, Ь.
Если мы прибавим к каждому элементу цепочки элемент
a, то получим цепочку а, 0, а -\- h\ если же мы прибавим
b, то получим цепочку b, a -\- b, 0. Объединяя эти цепочки
в одну, получаем цепочку а, 0, а -\- Ь, Ь. Последняя це-
цепочка противоречит исходной.
b) Пусть теперь элементы расположены в цепочку а,
0, Ь. Прибавление элементов а и Ь приводит соответственно
к цепочкам 0, а, а -\- Ь и а -\- b, b, 0, объединение ко-
которых дает либо цепочку 0, a, b, a -\- b, либо цепочку 0,
b, a, a -f- b, что противоречит предположению.
Этими двумя типами цепочек исчерпываются все воз-
возможности.
2) Итак, характеристика тела к не равна 2. Пусть
«?'('. Рассмотрим все возможные цепочки, состоящие из
элементов 0, я/2 и —а/2.

§ Hi укси'ядочкпиьп-: тр.лл 05
a) Элементы расположены в цепочку —а/2, 0, а/2.
Прибавляя —а/2 и а/2, мы получаем соответственно це-
цепочки — а, —а/2, 0 и 0, а/2, а, которые вместе с исходной
приводят к цепочке
а л а
b) Элементы расположены в цепочку 0, —а/2, а/2.
Прибавление элементов — а/2 и а/2 приводит соответст-
соответственно к цепочкам —а/2, —а, 0 и а/2, 0, а. 15 соединении
с исходной они дают цепочку а, 0, —а, —а/2, а/2. (Слу-
(Случай 0, а/2, —а/2 сводится к рассмотренному заменой
:шака у элемента а.)
Оба эти предположения приводят к цепочке
—а, 0, а,
которая, следовательно, для произвольного ненулевого
элемента а содержится в любом теле к. Прибавляя а,
получаем цепочку 0, а, 2а.
3) Предположим, что два элемента содержатся в це-
цепочке
0, а, Ь.
Прибавляя элемент а, получаем цепочку 0, 2а, а -|- Ь.
В соединении с цепочкой 0, а, 2а это дает цепочку 0, а, а -|- Ъ.
Таким образом, мы получаем следующее правило: если
два элемента а и b расположены по одну сторону от ну-
нули, то irx сумма также расположена по ту же сторону от
нуля.
Обозначим через Р множество всех элементов, распо-
расположенных по ту же сторону от нуля, что и элемент 1. Тог-
Тогда получаем, что тело к является суммой множеств
-Р U {0} U Р
и что Р -\~ Р cz Р. Это — первые две аксиомы упорядо-
упорядоченного тела. Следует заметить, что мы исполъвовали
только условие 1) определения 1.15.
Предположим, что а, Ь е= Р- Тогда элементы а и 1
расположены по одну сторону от нуля. Умножая на Ь,
мы получаем, что произведение ah расположено по ту же
сторону от нуля, что и элемент Ь. Это означает, что ah е Р-
3 ;'). Артии

6fi ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГГЛ. Т
Тело к упорядочено. Мы видим, что отображения х -*¦
—*ах (а Ф 0) также сохраняют или обращают упорядочение.
Теорема 1.16. Если тело к слабо упорядочено и
состоит более чем из двух элементов, то оно упорядочено.
Приведем пример некоммутативного упорядоченного
тела, принадлежащий Гильберту.
Предположим, что F — тело, а — автоморфизм тела F.
Обозначим через а" образ элемента а ?= F при автоморфиз-
автоморфизме а, а через а?1— образ при автоморфизме а\
Мы построим тело к (расширение тела F) формальных
степенных рядов
от переменной /, содержащих лишь конечное число отлич-
отличных от пуля коэффициентов с отрицательным индексом i.
Другими словами, мы предполагаем, что для каждого сте-
степенного ряда существует такое целое число N, что at = 0
для i < N.
Сложение в к определяется как обычное сложение рядов,
тогда как умножение задается следующим образом. Для
того чтобы перемножить два степенных ряда, вначале нуж-
нужно их перемножить почленно:
Однако, так как (' и bj, вообще говоря, не перестановочны,
вместо обычной перестановочности вводится правило
которое дает нам в качестве произведения ряд
Наконец, собираются слагаемые с одинаковыми показате-
показателями степени при t. Поэтому коэффициенты сг при 1Г на-
находятся по формуле

ij !»] УПОРЯДОЧЕННЫЕ ТЕЛЛ б'/
Провести все рассуждения строго — это хорошее уп-
упражнение. Мы укажем путь, но детали оставим читателю.
'Гак как степенной ряд задается коэффициентами, то мож-
можно рассматривать элементы множества /с как функции / (?)
от целых чисел со значениями в /•', считая, что / ((') равно
коэффициенту при tl. Мы рассматриваем только такие
функции /, для которых / (г) = 0 при i <. N (N — неко-
некоторое целое число, зависящее от функции/). Сложение функ-
функций определено как обычно, а произведение fg — функция,
значения которой находятся по формуле
Можно проверить, что сумма в правой части равенства
содержит только конечное число отличных от нуля слага-
слагаемых, а также что (fg){i) = 0, если i < N -|- М; N и М —
целые числа, зависящие от функций / и g соответственно.
Легко показать, что для так определенных операций вы-
выполняются оба дистрибутивных и ассоциативный законы.
Так как мы хотим рассмотреть кольцо к как расширение
тела F, то мы должны изоморфно отобразить тело F в к.
Обозначения с помощью рядов подсказывают нам, как это
следует сделать. Элемепт ое F отображается в такую функ-
функцию а, что а @) = а и a (i) = 0, если i =?0. Можно про-
иерить, что отображение а -*¦ а —_ изоморфизм тела F в
кольцо к. Оказывается, что образ 1 единицы тела F будет
единицей кольца к. Если/€Е к, то af — функция, значение
которой от i равно a-f (i), тогда как значение функции
/а от I равно/ (i)-aa\ Желательно также получить степень
Сп. Для этого обозначим через tm функцию, которая прини-
принимает при т значение 1, а при всех других целочисленных
значениях аргумента обращается в 0. Можно доказать, что
tmfn — tm+n И ^о = 1 — еДИНИЧНЫЙ ЭЛвМвНТ. ПоЭТОМу ?™ ==
= tm и, заменяя tx на t, мы получаем, что tm — tm.
Можно показать, что
Га =~7кГ.
Будем далее опускать черту в записи а, отождествляя а
с элементом а.

t)8 пгг.дв.м'мтклънык понятия [гл. i
Если / ее к, то умножение функции / сирина на tm в
действительности является сдиигом на т. Легко проворить
справедливость формул
AП @ - / (/ - т) и (Г/) @ -: (/ (/ _ m))°m.
Мы хотим показать, что к — тело, т. е. что всякий нену-
ненулевой элемент кольца /с обратим. Если / Ф®, то, подбирая
подходящий элемент а ЕЕ F и подходящую степень tm,
можно получить новую функцию g ~ aft, которая будет
удовлетворять условиям g @) = 1 и g (i) — 0, если i < 0
(ее степенной ряд не содержит слагаемых с отрицательными
степенями неизвестного / и начинается с единицы). Если
мы сможем показать, что функция g обратима, то обратной
к функции / будет функция ting'la (так как / = a^gt').
Попытаемся подобрать в качестве обратного элемента к
функции g функцию h такого же типа, что и g: h @) = 1,
h (i) = 0, если i< 0. Для неизвестных h A), h B),... по-
получаем уравнения (считая при этом, что h @) = 1):
h A) g @)= -f h @) g A) ,-- 0,
hB)g{()y +h(l)g(l)° -\ h @) g B) = 0,
h C) g @Г + h B) g (I)»1 4- A A) ff B)° -|- h @) ff C) - 0,
которые позволяют последовательно вычислить h A),
h B),... Обратный элемент к / будет левым обратным: /~х/ —
= 1. Но в теории групп доказывается, что тогда и//~1 -= 1.
Итак, кольцо к является телом — рассширением тела F.
С этого места без всяких опасений можно перейти к
представлению элементов тела к степенными рядами. Если
/ -? ^] attl ?Е к и/ Ф=0, то существует такое целое число
г
N, 'П'о a-i = 0, если i <c N, но aN ^0. Назовем элемент
а^ младшим членом ряда /. Если пц — младший член
ряда /, а Ъм — младший член ряда g, то элемент
aNbc^ будет младшим членом ряда fg.
Теперь настало время поговорить об упорядочении те-
тела к. Предположим, что F — упорядоченпое тело, и попы-
попытаемся определить множество Р элементов из /г, индуци-

S 91 У III) I> il ДО 4 1С И И I. IK '1Т.ЛЛ (jfl
рующее упорядоченность с It. Пусть множество Р состоит
из тех элементов / ^=0, младшие члены un которых поло-
положительны в упорядочении тела /'": а^ >0. Очевидно, что
к — —Р U {0} U Р (сумма множеств). Легко проверить,
что сумма двух элементов из Р также принадлежит мно-
множеству Р. Остается проверить аналогичное правило для
произведения элементов из Р. Очевидно, что для этого нуж-
по сделать следующее предположение об автоморфизме о: из
неравенства а >0 должно следовать а" >0. Предполо-
Предположим, что а обладает этим свойством; тогда неравенство а <
< 0 влечет за собой неравенство а° < 0. Отсюда следует,
что неравенство а0 >0 влечет а, ^>0. Это показывает, что ав-
автоморфизм а также обладает подобным свойством. Мы
привлекли сюда автоморфизм а, чтобы убедиться в том,
что все степени автоморфизма а обладают этим свойством.
Теперь мы в состоянии доказать требуемое правило о про-
произведении. Если младпше члены а^ и 1>м функций fug
соответственно положительны, то младший член а^Ь"м
произведения fg также положителен. Мы показали, что
¦голо к упорядочено.
Является ли тело к некоммутативным? Do определе-
определению ta — aat. Тело к будет некоммутативным, если только
автоморфизм о отличен от тождественного.
Все это немного упрощает задачу построения некомму-
некоммутативного упорядоченного тела. Нам нужно найти тело
F (коммутативное или некоммутативное), которое было бы
упорядочено и обладало автоморфизмом а Ф 1, переводя-
переводящим положительные элементы в положительные. Это мож-
можно сделать, опять привлекая степенные ряды. Обозначим
через Q поле рациональных чисел с его естественной упо-
упорядоченностью. Буквой F обозначим поле степенных рядов
от переменной х:
но теперь уже с обычным умножением степенных рядов
(т. с. с тождественным автоморфизмом). Упорядочим поле
F с помощью младших членов; ото возможно, таи как тож-
тождественный автоморфизм переводит положительные эле-
элементы поля Q н положительные. Мы должны указать

ГО ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
автоморфизм о Ф 1 поля F, сохраняющий свойство эле-
элементов быть положительными. Таким автоморфизмом бу-
будет замена х -*¦ 2х или, боле© точно,
Показать, что а — автоморфизм, будет совсем простым
упражнением. Совершенно очевидно, что автоморфизм о
сохраняет знак. Это заканчивает построение тела к.
Теорема 1.17. Существуют упорядоченные неком-
некоммутативные тела.
Упорядоченное тело имеет характеристику 0 и поэто-
поэтому содержит поле Q рациональных чисел. Так как поле Q
может быть упорядочено только обычпым способом, то
упорядочение тела к согласуется с естественным упорядо-
упорядочением поля Q.
Определение 1.16. Упорядоченное тело к на-
называется архимедовым, если для произвольного элемента
а €Е к найдется такое целое число п, что а < п.
Пусть тело к будет архимедовым и а е= к. Сущест-
Существуют такие целые числа пит, что и<ви —а < т; тог-
тогда —т < а < п. Каждый элемент тела к заключен между
двумя целыми числами. Рассмотрим множество С всех
рациональных чисел, больших а, и множество D Dcex ра-
рациональных чисел, не превосходящих а. Ни одно из этих
множеств не пусто. Эти множества образуют дедекиндово
сечение множества рациональных чисел. Обозначим че-
через / (а) вещественное число, определяемое этим сочопием.
Мы получаем отображение /: к -+¦ R (R — ноле веществен-
вещественных чисел), которое, как мы покажем, является взаимно
однозначным. Пусть а фЬж , для определенности, Ь >а\
мы укажем рациональное число, заключенное (строго)
между а и Ь. Тем самым мы докажем, что / (a) =fcf (ft).
Существует целое число т >> (ft — а)'1. Так как b — а >
> 0, то т (ft — а) > 1. Среди целых чисел п, удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству п ~>та, существует наименьшее. Для
такого числа п имеем та ^> п — 1 ^> п — (mb — та) —
=п — тЬ 4- та, откуда получаем тЬ >/г. Неравенство
тЬ >п ~>та

§ Id I МЕТРИКИ ПОЛЯ 71
tiоказииавт, чтот>0 и b ~>nlm > а. Мы заключаем, что
/ A>) >/ (я)- й3 свойств дедекиндовых сечений можпо
вывести, что / — изоморфизм тела к в поле R; как пока-
показывают наши предыдущие рассмотрения, отображение /
сохраняет упорядочение.
Теорема 1.18. Архимедово тело является полем,
изоморфным поОполю поля вещественных чисел с его обычной
упорядоченностью.
Мы видели, что поле Q рациональных чисел допускает
только одно упорядочение. Поле R вещественных чисел
также допускает лишь одно упорядочение. Действитель-
Действительно, квадраты ненулевых элементов положительны при лю-
любом упорядочении. Пусть элемент а е= И будет положи-
положительным при некотором упорядочении поля R. Тогда
число —а не может быть квадратом. Это означает, что а >
>0 в обычном смысле. Обратно, если а >0 в обычном
смысле, то а — квадрат и поэтому является положитель-
положительным элементом при данном упорядочении.
Предположим теперь, что сг — автоморфизм поля R.
Автоморфизм сг переводит квадраты: элементов в квадраты.
Поэтому сг сохраняет свойство элементов из R быть
положительными. Если а < Ь, то а" < Ьа. Автомор-
Автоморфизм индуцирует на поле Q тождественный автоморфизм.
Пусть а — заданный элемент поля R. Он однозначно оп-
определен дедекиндовым сечением, которое он порождает в
коле рациональных чисел. Так как автоморфизм сг сохра-
сохраняет неравенства и оставляет рациональные числа без
изменения, то элемент а° определяется тем же дедекин-
дедекиндовым сечением, что и элемент а. Последнее означает, что
а"= а.
Теорема 1.19. Поле R вещественных чисел мо-
может быть упорядочено только обычным образом. Поле R
ие обладает автоморфизмами, отличными от тожде-
тождественного.
§ 10. Метрики поля
Определение 1.17. Пусть к — поле, a G — упо-
упорядоченная мультипликативная группа с нулем. Предпо-
Предположим, что группа G коммутативна. Отображение поля к в
С, обозначаемое а-*- \а\ (\а\ читается как «абсолютная

72 т'к.дпм'нтк.чьпьгг. понятия [гл. г
величина элемента а»), называется метрикой*) поля /с,
если оно удовлетворяет следующим условиям:
1) \а\ — 0 тогда и только тогда, когда а = О,
2) \ob\= \а\ -\Ь\,
3) \а + /,|<Мах(|а|, |6|).
Замечание. Условие 3) можно заменить условием
За) если \а\ <1, то |1 -\-а\ <; 1.
Действительно, из условий 1) и 2) следует, что |1| = 1,
так что из условия 3) вытекает условие За). Предположим,
что выполнено условие За). Условие 3) выполняется оче-
очевидным образом, если а = b — 0. В противном случае
предположим, что |я| <4 \Ь\. Тогда \alh\ «J. 1 и из условия
За) следует, что |1 -f- л/Л| <^ 1. Умножая обе части на \Ь\,
получаем условие 3).
Все, что нам фактически понадобится, — это несколько
примеров нормирований. Эти примеры можно легко по-
построить с помощью другого понятия.
Определение 1.18. ПодкольцоД поля к называется
кольцом нормирования, если для^ каждого ненулевого
элемента а из к либо а ?Е R, либо а ев R-
Элементы а поля /с, для которых а и а лежат в кольце
R, образуют мультипликативиую группу U, которая на-
называется группой единиц. Отличные от нуля элементы а,
не принадлежащие подкольцу R (для которых а'1 е R),
образуют некоторое множество <S'. Элементы а €Е R, для
которых а по лежат в R, образуют множество &'~х, состо-
состоящее из элементом, обратных к элементам множества S.
Очевидно, что
к - {0} U S U U U S,
причем это объединение — сумма множеств. Кольцо Н
представимо в виде
R - {0} U S~l U U.
Если a, b ЕЕ: R и ab 6E U, то a~xb~l e= R. Следователь-
Следовательно, а~х — b (а~*Ь~х) 6= R и /г1 — a {a~xb~l) €= R, откуда
a S U и b €E U. Это показывает, что б1^" с: 5 и
S-XU cz S~x. Отсюда следует, что SS cz S и SU С S.
*) Говорят также нормирование или оценка поля. Мы придержи-
придерживаемся здесь терминологии книги: 3. И. 13 о р о в и ч и И. Р. Ш а
ф а р е в и ч, Теория чисел, «Наука», 1964. — Прим. ред.

§ in] мгстргши поля 73
Множество классов смежности по U разлагается в сле-
следующую сумму множеств:
А/г/" = {0} и s-чи и {иIV} и si и,
причем &/U— группа спулем, SIU— полугруппа. Поэтому
можно рассматривать klU как упорядоченную группу с
нулем.
Теперь уже легко построить метрику: отображение
а-> \а\ будет просто каноническим отображением к на
к/17. Другими словами,
\а\ = aU.
Условия 1) и 2) выполняются очевидным образом. Не-
Неравенство \а\ «^ 1 означает, что смежный класс aU при-
принадлежит либо S~4U, либо U/U — 1. Это показывает, что
неравенство |д| «^ 1 равносильно включению а е R, из
которого, очевидно, следует, что 1 -\- а ее R, и поэтому
Случай R = /с не исключен. Если оп имеот место, то
S — пустое множество и klU состоит лишь из двух элемен-
элементов — нуля и U/U = 1. Такую метрику назовем триви-
тривиальной.
Теперь приведем примеры.
1) Предположим, что к — Q — поле рациональных
чисел, а р — фиксированное простое число. Чорез R обо-
обозначим множество тех элементов из Q, которые могут быть
записаны в виде дроби со знаменателем, взаимно простым
ср. Очевидно, чтоЛ — кольцо нормирования. Группа еди-
единиц U состоит из тех дробей, числители и знаменатели ко-
которых не делятся на р. Если а ^=0, то \а\ — aU = plU,
где р{ — степень числа р, которая входит в разложение
числа а на простые множители. Неравенство |а| <С 1 оз-
означает, что ееR, т. е. 2>0. Если |а| = pll7, a \b\ — pUJ,
то из неравенства \а\ •< \Ь\ вытекает, что \а1Ь\ = рг"}17 <Г 1
или t — / > 0, т. е. i > /. Элемент из поля Q «мал», если
он делится на высокую степень числа р.'4"
Такая метрика поля Q 'назжвается р-яЗической. '¦
2)*Пусть к — произвольное упорядоченное поле. Эле-
мепт'поля к навивается коночным, если «н заключен'между
двумя 'целыми числами; в противном случае его можно
назвать бесконечным. Легко видеть, что множество всех

74 ПРЕДПЛРИТИЛЫШЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. I
конечных элементов составляет кольцо нормирования R.
Соответствующее множество S состоит из всех бесконечных
элементов поля к. Множество S~x можно назвать множест-
множеством бесконечно малых элементов; неравенство \а] <J 1 оз-
означает теперь, что а — конечный элемент.
Эта метрика тривиальна в том и только в том случае,
если поле к архимедово. Если поле к неархимедово, то
\а\ дает классификацию бесконечно больших или беско-
бесконечно малых элементов согласно их «порядку» *).
*) Два бесконечно больших (бесконечно малых) элемента а и в
называются бесконечно большими (соответственно бесконечно ма-
малыми) одного я того же порядка, если alb и Ь/а — копечные элемен-
элементы. Бесконечно большой (бесконечно малый) элемент и имеет более
высокий порядок, чем бесконечно большой (бесконечно малый)
элемент v, если u/v — бесконечно большой (соответстненпо беско-
бесконечно малый) элемент. — Прим. ред.

ГЛАВА If
АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Введение и первые три аксиомы
Все мы знакомы с аналитической геометрией, в которой
точка плоскости задается парой (х, у) вещественных
чисел, прямая линия — линейным уравнением, коничес-
коническое сечение — уравнением второй степени. Аналитическая
геометрия легко позволяет нам свести любую задачу эле-
элементарной геометрии к алгебраической. Однако пересечение
прямой линии с окружностью наводит нас на мысль о
расширении этой системы с помощью введения новой пло-
плоскости, точки которой задавались бы парами комплек-
комплексных чисел. Очевидное обобщение этого процесса сос-
состоит в следующем. Пусть дано тело к; построим плоскость,
«точками» которой будут пары (х, у) элементов из к, пря-
прямые линяй зададим линейными уравнениями. Конечно,
сравнительно легко найти геометрические теоремы, кото-
которые имели бы место в подобной геометрии.
Однако более привлекательной является обратная за-
задача. Пусть задана планиметрия, объектами которой яв-
являются элементы двух множеств — множества точек и
множества прямых. Предположим, что справедливы обыч-
обычные аксиомы геометрического характера. Можно ли по-
подобрать такое тело к, чтобы точки в нашей геометрии за-
задавались координатами из к, а прямые — линейными урав-
уравнениями?
Вначале мы сформулируем необходимые аксиомы не
строгим образом. Первые две из них — аксиомы инциден-
инцидентности: через две различные точки можно провести только
одну прямую; существует лишь одна прямая, параллель-
параллельная данной прямой и проходящая через данную точку.

7() ЛФФИМПЛП И НРОККТШШЛЯП'ЕОМЕТРИИ 1ГЛ. II
Третья аксиома исключает причудливые случаи геометрий,
которые легко можно пересчитать; она гарантирует нам
существование достаточного числа точек и прямых. Вре-
Временно мы будем оперировать только с этими тремя аксио-
аксиомами и подготовим почву для четвертой (и последней)
аксиомы, наиболее интересной.
В геометрии можно ввести определенные симметрии, на-
называемые гомотетиями*). Они являются (заисключением
вырожденных случаев) взаимно однозначными отображе-
отображениями плоскости па себя, переводящими все точки прямой
в точки параллельной прямой.
Тождественное отображение является частным случаем
гомотетии. Однако, имея и распоряжении только упомя-
упомянутые три аксиомы, пе следует ожидать, что паша геомет-
геометрия будот обладать и другими гомотетиями. Вот тут в
игру и вступает четвертая аксиома. Она распадается на
две части — 4а и 4Ь. Аксиома 4а постулирует существо-
существование параллельного переноса (частного вида гомотетии),
переводящего данную точку в любую другую точку. С по-
помощью только одной этой аксиомы 4а можно уже построить
некоторое тело к. Аксиома 4Ь обеспечивает существование
достаточного числа гомотетий оставшегося вида (которые
сходны с преобразованиями подобия в евклидовой плос-
плоскости). С помощью аксиомы 4Ь можно показать, что точки
могут быть заданы координатами из тела к, а прямые —
линейными уравнениями.
Таким образом, можно заключить, что в любой геомет-
геометрии, содержащей достаточное число симметрии, можно
ввести координаты. Перейдем теперь к строгой формули-
формулировке аксиом.
Даны два множества: множество «точек» и^множество
<шрямых». Дано также основное бинарное отношение
между точками Р и прямыми I: «точка Р лежит на прямой h
(оно может быть верпым или нет для данной пары Р и /).
Все аксиомы можно сформулировать в терминах этого ос-
основного бинарного отношения. Однако если так поступить,
то изложение станет излишне громоздким. Поэтому мы
будем пользоваться следующими синонимами этого бинар-
бинарного отношения: «точка Р принадлежит прямой Z», «пря-
*) Гомотетии HiKii.in.'uoT также putтяж<нинми,~~ Прим. ред.

$ l! ВВЕДЕНИИ В IIHI'ВЫИ ТРИ АКСИОМЫ 77
мая I содержит точку Р», «прямая / проходит через точку Р».
Мели точка Р лежит на прямых / в /га, то можно еще ска-
сказать, что «прямые I и т встречаются в топке Р>>. Если
/' — единственная точка встречи, то говорят, что «прямыо
/ и т пересекаются в точке />» или что «Р — точка пересе-
пересечения прямых I и т». Вначале язык нашего наложения бу-
будет несколько педантичен, до тех пор пока читатель не
научится свободно обращаться с синонимами этого основ-
основного отношения; патем мы будем вести изложение более
польно.
По той же причине мы не приводим рисунков в первых
параграфах этой главы. Тем не менее читатель лучше
поймет доказательства, если он самостоятельно сделает
:>скизы.
Теперь мы. поясним, что мм понимаем под «параллель-
«параллельностью».
Определение 2.1. Если прямые I и т либо сов-
совпадают, либо не содержат пи одной общей точки, то мы го-
говорим, что они параллельны, и питем/||т. Если прямые
I и т не параллельны, то мы пишем I -Ц~ т.
Если I -jj~ m, то существует по крайней мере одна точка
Р, лежащая на прямых 1шт.
Аксиома 1. Даны две различные точки Р и Q;
существует единственная прямая I, содержащая обе эти
точки. Для такой прямой I используем обозначение
l = P+ Q.
Если I -||- "I, то имеется в точности одна точка Р,
лежащая на обеих прямых I и т. Действительно, если бы
имелись две такие точки, то, по аксиоме 1, I -¦- т и, сле-
следовательно, 11| т.
Аксиома 2. Даны точка Р и прямая /; существует
одна и только одна прямая т, проходящая через точку Р
и параллельная прямой I.
Теорема 2.1. «Параллельность* является отноше-
отношением эквивалентности.
Д о к а а а т е л ь с т в о. Очевидно, что это отноше-
отношение рефлексивно и симметрично. Для доказательства тран-
.читивпости предположим, что 1г \\ 12 и L || /я. Если но су-
существует точки, лежащей на обеих прямых 1г и /3, то \ || 1.А.
Если же точка Р лежит на 1Л и на ls, то, по аксиоме 2 (так
как /г || 12 и 1Я || 12), /, -- = /8, т. е. опять /х || 13.

78 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ tlMlJ II
Определение 2.2. Класс эквивалентности па-
параллельных прямых называется пучком параллельных
прямых.
Теорема 2.2. Предположим, что существуют три
различных пучка щ, щ и я3 параллельных прямых. Тогда
каждый пучок я содержит одно и то же число прямых,
равное количеству точек на произвольной прямой.
Доказательство. Пусть / — прямая пуч-
пучка ях, т — прямая пучка я2. Так как I -Ц- т, то существует
в точности одна точка Р прямой I, лежащая также
и на прямой т. Предположим, с другой стороны,
что Q — произвольная точка прямой /. Существует
в точности одна прямая т', параллельная прямой
т (и, следовательно, одна прямая пучка я2) и со-
содержащая точку Q. Поэтому имеется взаимно однозначное
соответствие между точками прямой I и прямыми пуч-
пучка я2: число точек прямой I равно числу прямых пучка я2.
Мы уже доказали следующее утверждение: если даны
два различных пучка, то каждая прямая одного пучка
содержит столько же точек, сколько прямых содержится
в другом пучке. Если я — произвольный пучок, то он,
конечно, отличен по меньшей мере от двух из трех данных
пучков, скажем я фпх и я Ф я2. Количество точек на пря-
прямой из пучка ях равно числу прямых в пучке я и равно
числу прямых в пучке я2. Отсюда легко следует утвержде-
утверждение теоремы.
Аксиома 3. Существует такая тройка различных
точек А, В и С, что точка С не лежит на прямой А + В.
Говорят также, что существует тройка неколлинеарных
точек.
Прямые А -|- В и А + С не параллельны (в противном
случае они совпадали бы, так как они содержат точку А,
и точка С лежала бы на прямой А + В). По той же причине
A+B-jrB + CnA+C-i-B +С. Мы видим, что дей-
действительно существуют три различных пучка параллель-
параллельных прямых. Поэтому можно будет применять теорему 2.2.
Упражнение 1. Перечислите (без всяких пред-
предположений относительно существования точек, пря-
прямых или точек на прямых) вое геометрии, в которых вы-
выполняются первые две аксиомы, но нарушается третья
аксиома.

f 21 ГОМОТЕТИИ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНОСЫ 79
Упражнение 2. Укажите геометрию с наи-
наименьшим возможным числом точек, в которой бы выпол-
выполнялись все три аксиомы. Покажите, что ее строение од-
однозначно.
§ 2. Гомотетии и параллельные переносы
В современной математике исследование симметрии дан-
данной математической структуры приводит, как правило,
к наиболее значительным результатам. Симметрии — это
отображения, сохраняющие определенные свойства. В на-
нашем случае они будут отображениями, сохраняющими
«направление».
Определение 2.3. Отображение о точек в точки
называется гомотетией, если оно обладает следующим
свойством: пусть даны различные точки Р и Q и их образы
Р' vlQ''; если прямая V параллельна прямой Р -\~ Q и про-
проходит через точку Р', то точка Q' лежит на прямой V.
Приведем два примера.
1) Отображение всех точек в некоторую фиксирован-
фиксированную точку. Будем называть эту гомотетию вырожденной,
а все остальные гомотетии — невырожденными.
2) Тождественное отображение.
Теперь мы можем непосредственно доказать следующую
теорему.
Теорема 2.3. Гомотетия б однозначно определя-
определяется образами Р' ,Q' двух различных точек Р uQ. Если Р' —
¦— Q', то а — вырожденная гомотетия и все точки отобра-
отображаются в точку Р'. Если Р' =f= Q', то а — биекция (каж-
(каждая т,очш является образом).
Доказательство. 1) Пусть R — произволь-
произвольная точка, не лежащая на прямой Р + Q. Тогда R + Р -j|~
-|f- R -\- Q. Обозначим через V прямую, проходящую через
точку Р' параллельно прямой R + Р. По определению го-
гомотетии точка R' лежит на V. Аналогично точка R' лежит
на прямой Г, проходящей через точку Q' параллельно пря-
прямой R-\-Q. Прямые V и I" не параллельны и содержат точ-
точку R'. Следовательно, точка R' определена однозпачно.
2) Пусть теперь R — точка, лежащая на прямой Р -f- Q
и, скажем, R Ф Р. Выберем произвольную точку S, не
лежащую на Р -\- Q. Точка R не лежит на Р -\- S; в

ЯП АФФИННАЯ И НРПККТПГШАЯ ГВОМК'ПМШ 1ГЛ. II
противном случае точки R и Р лежали бы на прямых P-\-Q
и P-\-S, т. о. имело бы место равенство Р +Q ~ Р + S,
a это противоречит выбору точки S. Образ S' точки S
определен по 1); нам уже известны образы Р' и S' точек
Р и S, а точка R не лежит на прямой P-\~S. Следователь-
Следовательно, образ точки R определен по 1).
3) Предположим, что Р' = Q'. Вырожденное отобра-
отображение т, сопоставляющее каждой точке точку Рг, действует
на точки Р и Q так же, как и отображение ст. Согласно уже
доказанной однозначности имеем сх = т.
4) Предположим, что Р' Ф Q' и что R' — данная точ-
точка. Мы должны показать, что существует точка R, обра-
образом которой является точка R'. Предположим сначала,
что точка R' не лежит на прямой Р' + Q'. Тогда Р' + R' -fl-
HI- Q' + -"'¦ Обозначим через 1Х прямую, проходящую че-
через точку Р параллельно прямой Р' -|- R1, а через /2 —
прямую, проходящую через точку Q параллельно прямой
Q' + R'. Тогда /, ~\\~ 12. Найдется точка R, лежащая на
1Х и на 1.г. Если бы точка R лежала на прямой Р + Q,
то прямая Р -\- Q встречала бы прямую 1Х в точках Р и R,
а 1г — и точках Q и R, так что прямая Р -|- Q совпадала
бы с одной из прямых Z, или 12. Но прямая Р' + Q' не па-
параллельна ни прямой Р' + R', ни прямой Q' -\~ R'. Из
1) следует теперь, что R' — образ точки R. Если точка
R' лежит на прямой Pf + Q', то мы сначала выберем
точку S', не лежащую на Р' + Q', найдем точку S, обра-
образом которой является точка 5", а затем повторим предыду-
предыдущие рассуждения, заменяя Р' и Q' на /¦*' и S' соответствен-
соответственно. Теорема доказана.
Из этой теоремы непосредственно вытекает
Следствие. Если гомотетия а имеет две непод-
неподвижные точки, то а == 1, т. е. а — тождественное ото-
отображение.
Определение 2.4. Предположим, что а — невы-
невырожденная гомотетия, Р — точка. Каждая прямая, со-
содержащая точки Р и аР, называется следом точки Р.
Если Р Ф аР, то след определен однозначно — это прямая
Р + аР.
Теорема 2.4. Пусть а — невырожденная гомо-
гомотетия, Р — точка, I — след точки Р. Если точка Q ле-
лежит на прямой I, то точка aQ также лежит на прямой I.

{ 2] ГОМОТК.ТИИ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРКНОСЫ 81
Доказательство. Можно предположить, что
Q ф Р, так что I — Р + Q. Тогда aQ ф аР и аР +
-|- aQ || I по определению гомотетии. Но прямые I и аР +
-\- aQ имеют общую точку аР и, следовательно, совпадают.
Это показывает, что точка aQ лежит на прямой I.
Из теоремы 2.4. также непосредственно вытекает
Следствие. Точка пересечения двух непараллель-
пых следов является неподвижной точкой.
Пусть о — невырожденная гомотетия; имеют место
следующие возможности:
1) Следом является любая прямая тогда и только тогда,
когда о" = 1.
2) Следом является всякая прямая, проходящая че-
через точку Р, если о" Ф 1 и Р — неподвижная точка гомо-
гомотетии а. В этом случае никакая другая прямая не может
быть следом, так как гомотетия о, отличная от тождест-
тождественного отображения, не может обладать более чем одной
неподвижной точкой.
3) Следом является всякая прямая некоторого пучка
параллельных прямых, если гомотетия а не обладает не-
неподвижной точкой.
Эти случаи исчерпывают все возможности и подсказыва-
подсказывают следующее определение.
Оп ределение 2.5. Невырожденная гомотетия т
называется параллельным переносом, если либо т = 1,
либо т не обладает неподвижной точкой. Если т — парал-
параллельный перенос, отличный от тождественного отображе-
отображения, то следы гомотетии т образуют пучок я параллельных
прямых, который мы будем называть направлением парал-
параллельного переноса т.
Теорема 2.5. Параллельный перенос т однозначно
определяется заданием образа одной точки. (Заметим, что
мы не утверждаем существования параллельного переноса
с наперед заданным образом точки.)
Доказательство. Пусть I — след параллель-
параллельного переноса т, содержащий точку Р. Каждая прямая,
параллельная /, также будет следом отображения х;
пусть V || I, I' ф1, Q — точка, лежащая на Г. Тогда точка
xQ должна лежать на /'. Положим т — Р + Q, и пусть
т' — прямая, параллельная прямой т и содержащая
точку %Р. По определению гомотетии точка xQ также

82 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМКТРИИ [ГЛ. II
должна лежать на т'. Точка xQ лежит на обеих прямых
Г и т', причем V -\- т', так как I -Ц- т. Поэтому точка
zQ определена однозначно. Но гомотетия определяется
однозначно образами двух точек. Теорема доказана.
Начиная с этого места будем предполагать, если не ого-
оговорено противное, что гомотетии невырожденны. Тогда оп-
определение гомотетии можно упростить: если Р Ф Q,
то аР ф aQ и Р + Q \\ аР + aQ.
Пусть даны гомотетии а\ и а«. Тогда можно образовать
составное отображение cr, (cr2 (j°)), которое мы обозначаем
а^. Если Р =f= Q, то azP=f=a^Q. Следоватслгно, Рф
Ф б1<12<? И
Отображение о^сгг также является гомотетией.
Поскольку гомотетия сг — биекция, то можно образовать
обратное отображение, которое также будет биекцией.
Если Р ф Q, то <Г1Р Ф (r-lQ и a~lP + cT'Q || а (о~1Р) +
-\- а(а'^) = Р -\- Q, откуда следует, что сг1 — гомотетия.
Поэтому гомотетии образуют группу.
Если т — параллельный перенос, то т~* — также парал-
параллельный перенос. В самом деле, предположим, что отобра-
отображение х~1 обладает неподвижной точкой Р. Тогда х~1Р =
= Р. Применяя к обеим частям этого равенства т, полу-
получаем Р = хР, что возможно только тогда, когда т = 1, но
в этом случае т = 1 также будет параллельным переносом.
Предположим, что х1 и т, — пареллельные переносы,
причем отображение хххг имеет неподвижную точку: т}т2Р =
= Р. Тогда х2Р — х~^Р. Таким образом, параллельные пере,
носы т3 и xiX принимают одинаковые значения в точке Р.
Это означает, что они совпадают: т2 = т^1. Тогда ххх2 =1 —
параллельный перенос. Мы видим, что в любом случае
хгх2 — параллельный перенос. Следовательно, парал-
параллельные переносы составляют группу.
Пусть о* — гомотетия, а т — параллельный перенос. Мы
хотим показать, что ахз~1 = тг — параллельный перенос.
Если отображение хг обладает неподвижной точкой Р, то
axa~i P=P, откуда следует, что xa~iP = a~iP. Точка а~1Р—
пеподвижная точка отображения т. Следовательно, т = 1,
хг = 1, т. е. хх — параллельный перенос. Предположим

S Ii1 ГОМОТЕТИИ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНОСЫ 8,4
теперь, что т^1 и пучок те является направлением па-
параллельного переноса т. Прямая а~1Р + тег1/' является
т-следом точки сг Ф и поэтому является прямой пучка л.
'Гак как сг — гомотетия, то а~1Р + то"Ф|| а (сгФ) +
-'- с (т<з-ф) =• Р + <зтз~4Р. Прямая Р -f огт<г'/> также при-
принадлежит л и является егтег"'-следом точки Р. Отсюда сле-
следует, что зт<з~г также имеет надранлеиие л. Объединим
все эти результаты в следующей теореме.
Теорема 2.6. Гомотетии образуют группу D, а
множество всех параллельных переносов составляет, инва-
инвариантную подгруппу Т группы D. Если а—гомотетия,
а % — параллельный перенос (х Ф 1), то параллельные пе-
переносы х и ОТсГ1 имеют, одинаковые направления.
Теорема 2.7. Параллельные переносы, обладающие
данным направлением — пучком параллельных прямых л,
вместе с тождественным отображением образуют группу.
Доказательство. Если т Ф 1, то прямая
Р + хР = хР + х'1 {тР) является т-следом точки Р и
т~'-следом точки хР.
Если параллельные переносы ту и т2 (т^ Ф 1, т2 Ф 1)
имеют направление я, то прямая Р -\- х2Р принадлежит
пучку л и содержит точку х2Р. Поэтому она содержит так-
также, по теореме 2.4, точку хгх2Р. Еслит^Р = Р, то TjT3 = 1;
если хххгР ф Р, то прямая Р + %гР = Р -f хххгР яв-
является следом отображения ххх2-
Теорема 2.8. Если существуют параллельные пе-
переносы с различными направлениями, то группа Т комму-
коммутативна.
Доказательство. 1) Предположим, что па-
параллельные переносы тх и т2 имеют различные направле-
направления. По теореме 2.6 параллельный перенос x^n^xl1 имеет
то же направление, что и т2, и, следовательно, то же нап-
направление, что и Тг. Если ТдТгТ^т^1 ф 1, то отображения
xlx2Xi1xl'1 и х% имеют одинаковые направления. Но па-
параллельные переносы х^ и х^х^х'^ имеют одинаковые
направления, так что т^т^Чг1 имеет то же направление,
что и тг. Мы получили противоречие. Следовательно,
^JT1 =1, откуда XjX2 =т2т1.
2) Предположим, что параллельные переносы х1 и
т2 имеют одинаковые направления. По условию теоремы

84 АФФИННАЯ^!! ПРОЕКТИВНАЯ ГКОМКТРИИ ГГЛ. II
существует параллельный перенос т3, направлепие ко-
которого отлично от направлений отображений гл и т2. По-
Поэтому tgti =т1т3. Параллельный пеу>енос т2х8 также дол-
должен иметь направление, отличное от направления отображе-
отображения т,; в противном случае нараллельпые переносы
тг'тгТ:! — т» и Ti имели бы одинаковые направления. Таким
образом,
т, (тгт3) ^ (т2т„) т, = т2 (т8тл) == т2
Из равенства т,т2т., — т2%\%з сразу следует, что т,т2 =
--"- Т2Т,.
Замечание. Предположим, что геометрия со-
содержит параллельные переносы лишь с одним направлением
я (и, кроме того, единичное отображение). Остается от-
открытым вопрос, будет ли в этом случае группа Т обязатель-
обязательно коммутативной. Вероятно, существуют контрпримеры,
но ни один из них не известен.
§ 3. Построение тела
Надеяться на то, что геометрия окажотся хоротпой,
можно только тогда, когда эта геометрия обладает доста-
достаточным количеством симметрии. Поэтому мы постулируем
следующую аксиому.
Аксиома 4а. Для каждой пары точек Р, Q суще-
существует параллельный перенос %pq, переводящий точку Р
в точку Q:
(Р) == Q.
Замечание. Поскольку параллельный перенос
определяется образом одной точки, то отображение tjjq
определено однозначно; в частности, хРР — 1. Очевидно
теперь, что существуют параллельные переносы с различ-
различными направлениями. Следовательно, группа?1 параллель-
параллельных переносов коммутативна. Значение аксиомы 4а для
геометрии очевидно; другое геометрическое толкование ее
будет приведено позже.
Введем новые отображения, переводящие группу Т
в себя.
Определение 2.6. Отображение а: Т -*¦ Т на-
называется гомоморфизмом, сохраняющим следы, если:

I 31 ПОСТРОЕНИЕ ТЕЛА 8Г,
1) Отображение а является эндоморфизмом группы Г,
т. е.
(Для удобства мы обозначаем символом Xх образ элемента
т при отображении а.)
2) Отображение а сохраняет следы, или, более точно:
следы параллельного переноса т являются следами образа
т*. Это означает, что либо та = 1, либо параллельные
переносы хит" имеют одинаковые направления.
Приведем важные примеры гомоморфизмов, сохраняю-
сохраняющих следы.
a) Отобразим каждый параллельный перенос т из Т на
единичное отображение: та = 1 для всех т ?= Т. Очевид-
Очевидно, оба условия определения 2.6 выполняются. Обозна-
Обозначим это отображение символом 0; такое обозначение под-
подсказано равенством т° = 1.
b) Тождественное отображение, которое будет обоз-
обозначаться символом 1. Таким образом, т1 = т для всех
те Г.
c) Отображение, переводящее каждый элемент т в об-
обратный к нему элемент т. Обозначим, конечно, это отоб-
отображение через —1. Имеем
так как группа Т коммутативна; параллельные переносы
r~i их имеют одинаковые следы.
d) Предположим, что a—фиксированная гомотетия.
Сопоставим каждому параллельному переносу т элемент
ото*. Мы уже знаем, что т и атег имеют одинаковые сле-
следы. Более того,
Итак, оба условия определения 2.6 выполняются. Мы не
станем давать этому отображению специального названия.
Множество всех гомоморфизмов, сохраняющих сле-
следы, будет обозначаться буквой к.
Определение 2.7. Пусть аир — элементы мно-
множества к. Отображение, сопоставляющее элементу т эле-
элемент т" т3, назовем суммой отображений а и р и обозначим

fcft АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГТСОМТСТРЙИ [tA. 11
через а + р. Таким образом,
Отображение, сопоставляющее элементу т элемент
(т9)*, назовем произведением отображений аи Р и обо-
обозначим гдерез а-[3. Следовательно,
Теорема 2.9. Если а и Р принадлежат к, то эле-
элементы а -\- Р и аC также принадлежат к. При данном
определении операции сложения и умножения множество
к становится ассоциативным кольцом с единицей 1.
Доказательство.
(TiT«)a • (УЛ)^ (по определению а + Р) =
(поскольку а, Р е /с) =
(так как группа Г коммутативна).
Следовательно,
Если т = 1, то та = t'4 == 1. Таким образом, та+? = 1.
Если т =^= 1, то его направление я совпадает с множест-
множеством следов параллельных переносов та и т3 и, значит,
с множеством следов отображения та-тC = xat'4. Отсюда
следует, что a + P ? /с.
2) (тл)" = ((r^ff = (т^)а = (г?)
Следы отображения т совпадают со следами отображе-
отображения xfJ и, значит, со следами отображения (тр)а = т"'1. Та-
Таким образом, aP e /с.
3) Если а, р, у е А, то (а + Р) + V = а + (Р + у).
Действительно,
(мы воспользовались ассоциативностью операции умноже-
умножении п группе Т).
4) a + р = р + а:
(здесь мы воспользовались коммутативностью группы Т).

5 3] ПОСТРОЕНИИ ТЕЛА 87
5) 0 + а = а:
t0-*01 = t°ra = 1-t" = т*.
6) а + (-1)а = 0:
т«+(-« а — t" • тН)а = т* • (т") = 1 = t°.
Мы показали, что к — коммутативная группа по сложению
7) ф + у) а = ра + уа:
Заметим, что мы воспользовались только определениями
сложения и умножения.
8) а (Р + V) = сф + «у:
Т7 o+Y) = (T.s+v)a = (TV)a = (t-8)a (ty)" = Ta-4aY = t**+aY.
Здесь мы вынуждены были воспользоваться тем, что a—го-
a—гомоморфизм.
9) (ар) т = «
10) 1-a = а и а-1 = a:
Ti-a = (т01I = та и t01 = (t1)* = та.
Мы установили все аксиомы кольца.
В следующей теореме мы в полной мере используем
аксиому 4а.
Теорема 2.10. Пусть а ЕЕ к, а=^0, а Р — дан-
данная точка. -Существует такая однозначно определенная
гомотетия о с неподвижной точкой Р, что
та = ото для всех т GE Т.
Доказательство. 1) Предположим, что подоб-
подобная гомотетия а существует. Пусть Q — произвольная точ-
точка; в качестве т возьмем параллельный перенос %pq. Тогда
Применим последнее отображение к точке Р (будем при
этом пользоваться тем, что гомотетия сг оставляет точку Р
неподвижной):
(Р) = O-TPQ0-1 (Р) = VTpq (Р) = О (<?).

88 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ |ТЛ. II
Таким образом,
* (<?) = *PQ (Р). B-1)
Равенство B.1) показывает, как найти образ данной
точки Q при отображении о*: надо взять параллельный пе-
перенос xpq, найти tpq и применить это отображение к точ-
точке Р. Это правило не только доказывает единственность
гомотетии о*, но и подсказывает также, какое отображение
о- следует испытать при доказательстве теоремы.
2) Пусть теперь а ?= к, допускается даже, что d = О,
Определим действие отображения а на произвольную точ-
точку Q с помощьнГформулы B.1). Мы утверждаем, что а —
гомотетия, но, возможно, вырожденная.
Предположим, что Q и R — различные топни. Тогда
параллельный перенос xqrXpq переводит точку Р в точ-
точку R, так как xqrXpq (Р) — %qr (Q) — R. Поэтому
Применим к этому равенству гомоморфизм а:
Применяя теперь обе части послодного равоистпа к точке
Р, получаем
откуда, по формуле B.1),
т*н (а «?)) = в (R). B.2)
Предположим, что I — прямая, проходящая через
точку cr (Q) параллельно прямой Q + R. Прямая I явля-
является следом отображения т^я и, следовательно, следом
параллельного переноса tqr. Итак, точка cr (Q) принадле-
принадлежит следу отображения tqr, поэтому образ этой точки —
о (R) также должен лежать на прямой I. Но это и есть то
условие, которому должно подчиняться отображение а
для того, чтобы быть гомотетией. По формуле B.1) имеем
о (Р) = xlp (Р) = 1«(Р) = 1(Р) = Р, так что Р яв-
является неподвижной точкой гомотетии а. Если гомотетия
о вырождена, то каждая точка отображается в точку Р
и формула B.1) дает Р — t"q (P). Следовательно, tpq = 1

jj Л\ ПОСТРОЕНИЕ ТКЛА. 89
для всех Q. Проиавольиый параллельный перенос т име-
имеет вид %pq, где Q — х (Р). Следовательно, т" = 1 для всех
х е= Т, откуда а = 0. Если а Ф 0, то а ~ невырожденная
гомотетия.
Пусть теперь а Ф 0. Поскольку нам известно, что
а(Р) — Р, то равенство B.1) можно переписать в виде
или
Это означает, что параллолышй перенос сг1 (t"q) (сг1)'1
переводит точку Р в точку Q и, следовательно, совпадает
с xpq. Таким образом,
или
Мм уже отметили, что t.j>q может быть любым параллель-
параллельным переносом т, и поэтому имеем
та = огтсг1 для всех теГ.
Но это и составляет утверждение нашей теоремы.
Замечание. Пример d) гомоморфивмов, сохраняю-
сохраняющих следы, показывает, что имеет место и обратное утвер-
утверждение. Если а — гомотетия, то отображение т->- оха~1
является гомоморфизмом а, сохраняющим следы; этот го-
гомоморфизм отличен от нулевого, так как равенство at о =
— 1 имеет место не при любых т, а только при т = 1.
Таким образом, примером d) исчерпываются все возмож-
возможные гомоморфизмы, сохраняющие следы. По данному го-
моморфиэму a^tO можно найти соответствующую гомо-
гомотетию сг, причем можно даже яаранее предписать отобра-
отображению а неподвижную точку.
Теорема 2.11. Кольцо к является телом (возможно,
некоммутативным по умножению).
Доказательство. Пусть йЕЬа^О. Най-
Найдем такую гомотетию а, что т* = аха~1. Отображение, пе-
переводящее т и в~На = tf (a'1), также будет элементом
кольца Аг, который мы обозначим символом а™1. Таким об-
образом,
т" ~ $т б~' и хх'1 --= о"¦ Н а.

90 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ
Далее,
и
Последние равенства показывают, что аа — а~'а = 1,
т. е. устанавливают существование обратного элемента
(если существование обратного элемента уже установлено,
то единственность — факт, известный из теории групп),
Теорема 2.12. Если та = 1 для некоторого а и
некоторого т, то либо а. = 0, jui,6ox — 1. Если для некоторых
а, р, т имеет место равенство та — т'\ то либо х == 1, либо
а = р.
Доказательство. Предположим, что т* = 1
иа^О. Применим гомоморфизм а:
(та)а~'= 1"~' = 1 или т = 1.
Предположим теперь, что та= тЛ После умножения на
т~р получаем та = 1. Если а Ф р, то т = 1.
(Элемент —р, конечно, совпадает с (—1) Р, а также
с Э(—1), так как [I + р (—1) = РA + (—1)) = fJ-О = 0.
Равенство [3-0 = 0 имеет место в любом дистрибутивном
кольце, но может быть также проверено непосредственно:
§ 4. Введение координат
Наша геометрия все еще недостаточно «симметрична».
Нам потребуется еще одна аксиома, которую мы приве-
приведем в двух формах; доказательство эквивалентности этих
форм составит содержание отдельной теоремы.
Аксиома 4Ь. Если 1Х и т2 — параллельные пере-
переносы с одинаковыми следами и если тх Ф 1, х2 ф 1, \х ф
фх2, то в теле к найдется такой элемент а, что т2 =
а
= X1.
Замечание. Если т3 = тХт то т2 = Tt; если т2 ==
= 1, то т2 = т?. Таким образом, достаточно потребовать
только, чтобы хх ф\, но нам .хотелось сформулировать
аксиому в наиболее слабой форме. Теорема 2.12 покалы-
покалывает, что эндоморфизм а определен однозначно.

Г, ;il ВВЕДЕНИЕ КООРДИНАТ 91
Аксиома 4ЬР (для данной точки Р). Пусть даны
такие точки Q и R, что точки Р, Q, R попарно различны,
и о лежат на одной прямой. Тогда существует гомоте-
гомотетия а, переводящая точку Q в точку R и оставляющая
точку Р неподвижной.
Теорема. 2.13. Если аксиома 4ЬР имеет место
для, одной точки Р, то выполняется аксиома 4Ь. Иг ак-
аксиомы 4Ь следует аксиома 4ЬР для всех точек Р.
Доказательство. 1) Предположим, что ак-
аксиома АЬР верна при некотором Р. Пусть т3 и х3 — па-
параллельные переносы, удовлетворяющие предположению
аксиомы 4Ь. Положим ххР — Q, х2Р = R. Посколь-
Поскольку хх и х2 имеют одинаковые следы, точки Р, Q, R колли-
иеарны, при этом они различны, согласно предположению
о хх и т2. Пусть а — гомотетия с неподвижной топкой Р,
причем a (Q) = R. Тогда отображение otjCT является
параллельным переносом и от,а'1 (Р) = ахг (Р) = a (Q) = R.
Следовательно, аххо~1 =%г- Пусть элемент а ЕЕ А; таков,
что та =о'ха. Тогда т2 =т*.
2) Предположим, что верна аксиома 46, и пусть Р,
Q, R — различные коллинеарные точки. Положим хг =
-- tpQ, т2 =xPR. Так как точки Р, Q, R коллинеарны, то
параллельные переносы хг и т2 имеют одинаковые следы,
причем хх =7^=1, т2 ф\, хх Фх%. По аксиоме 4Ь сущест-
иует такой гомоморфизм а фО, что т2 = т"- По теореме
2.10 существует такая гомотетия с неподвижной точкой
/', что ха = ото* для всех хЕЕТ", в частности,
т2 = ахха~х, т2а = ахх.
Применяя обе части последнего равенства к точке Р,
получаем х2 (Р) ~ охг (Р) или R = a (Q), т. е. а — ис-
искомая гомотетия.
Геометрический смысл аксиомы 4ЬР ясен. Другая гео-
геометрическая интерпретация будет указана позже.
Теорема 2.14. Пусть даны параллельные переносы
т, и х2 (хх ф1, х2 ф 1) с различными направлениями.
Тогда для всякого параллельного переноса х ? Т найдутся
« теле к такие одноаначно определенные элементы а,
Р, что

02 АФФИННАЯ И ПРОККТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ 1ГЛ. И
Доказательство. Перестановочность эле-
элементов в последнем равенство очевидна, поскольку груп-
группа Т коммутативна.
1) Пусть дапа произвольпая точка Р. Положим г (Р) =
=- Q. Предположим, что прямая 1Х — Тх-след, проходя-
проходящий через точку Р, а /2 — т2-след, проходящий через
точку Q. Тогда /г ~\\~ /2, так что существует точка R, ле-
лежащая на /г и 1г.
Параллельный перенос xPr является либо тождест-
тождественным отображением, либо имеет то же направление,
что и хх. Параллельный перенос %rq также либо совпада-
совпадает с тождественным отображением, либо имеет то же
направление, что и т2. По аксиоме 4Ь и по замечанию
к ней, найдутся такие элементы аир из к, что xPR — т"
и tRq --- х§. Тогда т2т? (P) — xRQxPR (P) — Q и, следо-
следовательно, Xpq = т^т"* Но xpq и есть наше отображение т.
2) Если т?т^ = т1т|, то тГт = Ха~'4. Если %\'у ф\,
то параллельный перенос t*~y имеет направление отоб-
отображения тг, a Xj~3 — направление отображения т2, что
невозможно. Таким образом, х*"г = 1 и х\~^ =1. Из
теоремы 2.12 теперь вытекает, что а -- у и 6 = р.
Теперь у нас все подготовлено к введению координат.
В обычной геометрии координаты вводят, выбирая на-
начало координат О, рисуя две координатные оси и отме-
отмечая на них «единичные точки».
Мы поступим точно так же. Выбираем точку О в ка-
качестве «начала» и два параллельных переноса хх =ф= 1
и т2 =Ф= 1 с различными следами. Геометрический смысл
отображений %х и т2 состоит в следующем: хг и х2- следы,
проходящие через точку О, можно представить себе как
координатные оси, а точки тх (О) и т2 (О) — как «еди-
«единичные точки».
Пусть Р — произвольная точка. Запитом параллельный
перенос хор в виде
с одпозначно определенными ?, п?5^ и припишем точке
Р координаты (?, т]). Обратно, если дана пара (?, т)),
то х^То—-параллельный мереное, переводящий точку О

5 '.I ПШОДКНШО КООРДИНАТ JO
и некоторую точку Р, так что тор -- TitC и ота точка Р
будет иметь данные координаты (g, т]). Мr,i пишем Р =
- (|, Л).
Для Р ~ (9 имеем too-I = t"x2, так что начало име-
имеет координаты @, 0).
Для пары A,0) имеем tIt!} ~ т1 — тор, так что тх (О)
действительно является «единичной точкой» на первой
оси и, аналогично, т2 (О) — на второй оси.
Предположим теперь, что I — произвольная прямая,
Р — (а, Р) — точка на прямой /, а т --== т^ — парал-
параллельный перенос, отличный от тождественного отображе-
отображения, для которого прямая I является следом. Пусть Q =
— (?> ^l) — произвольная точка, лежащая на прямой /.
Тогда либо tpQ = 1, либо Трц и т имеют одинаковые нап-
направления. По аксиоме 4Ь и по замечанию к ней имеем
при некотором t e Л.
Обратно, при любом t прямая I является следом отоб-
отображения т(; т' (Р) — Q — некоторая точка, лежащая на
прямой /. Это показывает, что каждый параллельный
перенос т1 имеет вид xpq, где Q — точка, лежащая на
прямой I. Иам также известно, что элемент t определяет-
определяется однозначно отображением tpq (теорема 2.12).
Для того чтобы определить координаты точки Q,
нужно вычислить xqq. Имеем
Таким образом, точка Q = (lx -|- a, tb -\- P) пробе-
пробегает всю прямую /, если t пробегает множество к. На-
Насколько свободным может быть выбор элементов а, р,
Y, б, чтобы точки вида Q --- (tx + a, t6 -j- P) описыва-
описывали прямую?
Поскольку точка Р — (а, Р) может быть любой, то
а, Р могут быть произвольными. Отображение т = т^та
должно быть параллельным переносом, отличным от
тождественного отображения; это означает, что у и б
не обращаются и нуль одновременно. Если последнее
имеет место, то прямая, проходящая черен точку Р

9/, АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. II
и являющаяся т-следом, будет прямой, которая задается
нашей формулой.
Можно перейти к сокращенной записи в векторных
обозначениях. Положим А = {у, б), Р = (а, Р). Тогда
формула
Q = Р +tA,
где t пробегает множество к, определяет точки прямой.
Единственным ограничением является А Ф 0.
Читателю, возможно, более знакома другая форма
уравнения прямой линии.
Положим Q = (х, у). Тогда х — ty -f а, // = 'б -)- р.
Рассмотрим два случая.
a) у фб. Тогда t == ху'1 — cry и, следовательно,
// = ху"г6 -\- р — а^^- Это выражение имеет вид
у = хт -\- Ь.
Обратно, если у = хт -\- Ь, то, положив х = t, у — tm -(-
+ b, получаем «параметрическую форму» с у — 1, б = т,
а = 0, р = Ь.
b) у = 0. Тогда б фО, так что у — произвольно, а
х = а.
Ясно, что мы вновь нашли обычное координатное пред-
представление точек и прямых.
§ 5. Аффинная геометрия над данным телом
Рассмотрим теперь обратную задачу. Предположим,
что дано тело к, и построим над ним аффинную геомет-
геометрию.
Определим точку Р как упорядоченную пару (|, г\)
элементов |, т) (= /с Мы будем также отождествлять
точку Р с вектором (|, т)) и прибегать к векторным обоз-
обозначениям. Прямая / будет определяться как множество
точек Р -\-t-A, где Р — данная точка, А —данный не-
ненулевой вектор, a t пробегает тело к. Отношение «точка
Q лежит на прямой I» будет просто означать, что Q явля-
является элементом множества тонок, обозначенного через /.
Задача теперь состоит в том, чтобы доказать, что в этой
геометрии верны вое сформулированные ранее аксиомы.

s Г.1 АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ НАД ДАННЫМ ТЙЛОМ 95
Рассмотрим вначале возможные пересечения прямых
/' ]- tA и Q + иВ, где А и В — ненулевые векторы, а
/ и и пробегают тело /с. Для общей точки имеем условие
р _j_ tA = Q + иВ.
Нам нужно найти t и и, удовлетворяющие этому уравне-
уравнению, которое мы теперь перепишем в форме
tA — иВ = Q — Р. B.3)
Случай 1. Векторы А ж В линейно независимы слева,
т. е. из равенства хА -\- уВ = 0 следует, что х — у = 0.
Тогда каждый вектор можно представить в виде хА -f- уВ,
в частности, в уравнении B.3) достаточно представить
is такой форме вектор Q — Р. Очевидно, что уравнение
B.3) имеет в этом случае единственное решение. Это
означает, что пересечение состоит в точности из одной
точки.
Случай 2. Векторы А и В линейно зависимы слева,
т. е. существуют такие элементна, Р€=&, не равные од-
одновременно нулю, что а.А -f- Р# — 0. Тогда а Ф 0; в
противном случае $В = 0, откуда р = 0, так как мы
иредположили, что В ф0. Аналогично Р ф0. Следова-
Следовательно, В — уА, где у = — ^а, ф0.
Мы можем теперь упростить прямую: Q ~\- иВ =
Q -f- иуА = Q + vA, где v — иу; если и пробегает
тело к, то и v пробегает тело /с. Поэтому можно предпо-
предположить, что В = А, и уравнение B.3) принимает вид
(t-u)A = Q — Р. B.4)
Коли вектор ^ — Р не является левым кратным вектора
/1, то это уравнение не имеет решения — прямые не пе-
пересекаются, они параллельны. Если же вектор Q — Р
яилястся левым кратным вектора A: Q — Р = ЬА, то
(J = Р 4- ЬА, и прямая Q -\- иА превращается в прямую
," 4- (и -}-д)А. Если и пробегает тело к, то и и 4- б
добегает тело к. Мы видим, что в этом случае прямые
совпадают и, следовательно, опять параллельны.
Таким образом, прямые Р -\- tA и Q -\- иВ парал-
ю.сьны тогда и только тогда, когда В = уА. Пучок па-
параллельных прямых состоит из прямых Р J- tA при фик-
фиксированном Л, когда Р пробегает множество всех точек.

96 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ |ГЛ. II
Наши рассуждения показали также, что имеется не
более чем одна прямая, содержащая две различные точ-
точки. Предположим теперь, что Р и Q — различные течки.
Тогда Q — Р фО, так что Р + t (Q — Р) — прямая.
При t — 0 и t = 1 мы получаем точки Р и Q на этой пря-
прямой. Таким образом, мы проверили, что имеет место ак-
аксиома 1.
Если Р ~\~ tA — данная прямая, a Q — данная
точка, то Q -\- и& — прямая, параллельная данной и со-
содержащая точку Q (при и — 0). Наши рассмотрения по-
показывают, что Q -\- иА — единственная прямая, парал-
параллельная данной прямой и проходящая через точку Q.
Но это и есть аксиома 2.
Точки А = @, 0), В = A,0), С — @,1) не коллинеар-
ны: прямая А -\-1 (В — А) — {t, 0) содержит точки А
и В, но не содержит точку С. Следовательно, выполня-
выполняется аксиома 3.
Далее, рассмотрим следующее отображение о: выбе-
выберем произвольно элемент аЕ^: и вектор С Положим
о-Х « аХ + С. B.5)
Если а ~ 0, то каждая точка переходит в точку С
ист — гомотетия.
Пусть а =^0. Тогда образом прямой Р -\- tA являет-
является прямая а. (Р -\- tA) -(- С — аР + С + at A - (аР 4-
+ С) -f иА ,так как и = at пробегает тело к, если t про-
пробегает /.•.
Образом прямой Р -|- tA является прямая (аР -f-
-\-С) -\-иА, параллельная данной прямой. Таким об-
образом, а — гомотетия, причем невырожденная, посколь-
поскольку прямая переходит в прямую.
Неиодвиншыо точки гомотетии ст должны .удовлетво-
.удовлетворять услотшю
X = аХ -|- С, A - а) X « С.
Возмотпи два случая.
1) а Ф 1; тогда A — а) С — единственная непод-
неподвижная точка.
2) а — 1; если С ^=0, то неподвижная точка отсут-
отсутствует; если С ~~- 0, то сг == 1, т. е. гг — тождественное
отображение.

§ 5.1 АФФИННАЯ ГВОМЕТРИЯ НАД ДАН К ММ ТГСЛОМ 07
Мы видим, что среди наших отображений есть парал-
параллельные переносы, которые имеют вид X —> X -|- С.
Обозначим такой параллельный перенос через тс. Оче-
Очевидно, что xq^p (Р) — Р -|- (Q — Р) = Q. Последнее
равенство является проверкой аксиомы 4а. Оно показы-
нает также, что отображения хо, исчерпывают все парал-
параллельные переносы пашей геометрии.
Для проверки аксиомы ЛЪР предположим, что /\
Q и R — коллинеарные точки, причем Р ф() и /' фЯ.
Так как точка R лежит на прямой Р + t (Q — Р), со-
содержащей точки Р и Q, то можно подобрать элемент а
гак, чтобы выполнялось равенство
р + a (Q — Р) = R.
')тот элемент а отличен от нуля, поскольку R фР. По
элементу а можно построить гомотетию
а (X) = аХ + Р - аР.
Очевидно, что а (Р) = Р и a (Q) — R, откуда следу-
следует справедливость аксиомы 4ЬР при любых Р, Отсюда
также вытекает, что каждая гомотетия с неподвижной
точкой Р имеет такой вид. Таким образом, мы получаем,
что формула B.5) определяет все гомотетии рассматрива-
рассматриваемой геометрии.
Теперь отыщем все гомоморфизмы группы Т параллель-
параллельных переносов, сохраняющие следы. 17ользуясь теоремой
2.10, это можно проделать следующим образом.
Выберем в качестве точки Р начало @, 0). Если го-
гомотетия а, задаваемая соотношением а (X) — аХ 4- С,
обладает неподвижной точкой @,0), то @,0) = С. Гомо-
Гомотетии, имеющие неподвижную точку Р, можно задать
формулой
аХ — аХ, а ф0.
Элемент а однозначно определяется гомотетией ст.
Поэтому отображения т —> сттст являются ненулевыми
гомоморфизмами, сохраняющими следы, причем различ-
различные гомотетии а дают различные гомоморфизмы.
Очевидно, что а~гХ ~ си^Х. Образом параллельного
переноса тс при гомоморфизме а является отображение
4 Э. Артии

98 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. I]
т«с. Действительно,
сггсо-1 (X) = ахс (а^Х) = а (а^Х + С) =
=а (аГхХ + С) = X + аС = хаС (X).
Мы получаем, что при данном а Ф 0 отображение тс ->¦
—>• хас является искомым гомоморфизмом, сохраняющим
следы. Сюда следует добавить О-отображение, сопостав-
сопоставляющее каждому элементу %с единицу 1 = х0. Это отоб-
отображение можно также задать в форме хс —> х„с, а имен-
именно при а = 0.
Обозначим теперь отображение хс-> т„с (<*?=&) че-
через а, а через к — тело всех гомоморфизмов, сохраня-
сохраняющих следы. Мы только что видели, что отображение
а —> а является взаимно однозначным соответствием ме-
между телом к и телом к. Утверждается, что это соответ-
соответствие является даже изоморфизмом. Для доказатель-
доказательства этого следует показать, что а + Р = а-fP и af>=af>.
Отображение а переводит %с в тас» Р переводит эле-
элемент %с в трс, а отображение a -f- P (по определению опе-
операции сложения в теле к) переводит этот элемент в
НО
(X) - хаС (X + PC) = X + рС + аС -
= X + (а + р) С = т(«+Р)С (X).
Таким образом, отображение a -f- P переводит %с в
Т(«+0)с> Но то же действие осуществляет отображение
Отображение (Г переводит элемент тс в трс, а а# пе-
переводит его в образ элемента Трс при отображении а,
т. е. в элемент таро Отображение оф действует на эле-
элемент Хс точно так же. Соответствие а -*¦ «^действительно
является изоморфизмом между телами /с и к.
Введем теперь координаты, основанные на теле к.
Возьмем наше начало @,0) в качестве начала О в коорди-
координатах из к. Положим хх = тс, т2 = xD, где С = A, 0),
D = @, 1). Предположим, что (?, ц) — данная точка Р.

! 6] ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА 99
Тогда
xf = х\ = тес и та^= т* - T,D;
@,0) = tw (г]Д) = TJJD + 6С = F, л) = Р-
Параллельный перенос т* TJ переводит начало в точку
Р. Согласно § 4 точке Р приписываются координаты (f,
т)). Таким образом, мы видим, что точка Р = (|, т)) полу-
получает просто координаты (|, tj), если мы основываемся на
координатах из к.
Это означает, что получены те же самые координаты с
точностью до изоморфизма /с —> к, и показывает, что фак-
фактически мы возвратились к исходному телу к. Заметим,
что изоморфизм к •«-» к канонический.
§ 6. Теорема Деварга
Предположим, что в рассматриваемой геометрии вы-
выполняются только первые три аксиомы. Следующая тео-
теорема может быть верной или неверной в этой геометрии
(рис. 1).
Теорема 2.15. Пусть /1( /а, /8 —различные прямые,
которые либо параллельны, либо встречаются е точке
Р. Пусть Q и Q' — точки на прямой lx, R и R' — точки
на прямой 1г и S и S' — точки на прямой /8, причем все
они отличны от точки Р, если прямые пересекаются.
Предположим, что
Q+R\\<? +R' и Q+S))<? +S'.
Тогда
R + S || R' +.5'.iU,
Эта теорема называется теоремой Дезарга.
Замечание. Имеется несколько тривиальных
случаев, < в которых теорема выполняется очевидным
образом.
1) Если <? = (?', то Q + R = <?' + R' и, поскольку
упрямых lt и Q + R имеется общая точка R, а точка Q
не является для них общей,.то R = R' и S = S'. Таким
4*

100
АФФИННАЯ Я ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. II
образом, если угодно, можно предположить, что точки раз-
различны.
2) Если точки Q, R и S коллинеарны, то точки Q',
R', S' также коллинеарны и утверждение теоремы опять
верно.
S'
Рис. 1.
Если прямые lx, 1Ъ, ls параллельны, то мы будем гово-
говорить о теореме Da; если же они встречаются в точке Р —
о теореме DP.
Теорема 2.16. Теорема Da вытекает из аксиомы 4а,
а теорема DP — из аксиомы 4Ы°.
Доказательство. Пусть а — параллельный
перенос, переводящий точку Q в точку Q' (если мы до-
доказываем теорему Da), или от — гомотетия с неподвижной
точкой Р, переводящая точку Q в точку Q' (если мы до-
доказываем теорему DP). Тогда прямые 1Х, /2 и 13 являются
следами отображения о\ Так как
Q +R\\aQ +aR ^ Q' + oR,.
то cri? = R' и аналогично aS — S'. Тогда
R + S || oR + aS = R' + S',
что и требовалось доказать.

§ 6] ТВОРИМА ДЕЗАРГА 101
Теорема 2.17. Аксиома 4а вытекает из теоремы
Da, а аксиома 4ЬР — из теоремы DP.
Доказательство. 1) Предположим, что каж-
каждая прямая содержит лишь по две точки. Тогда в данном
пучке параллельных прямых содержатся только двеггрямые,
следовательно,, в нашей геометрии имеется только четыре
топки: А, В, С и D. В ней имеется шесть прямых: A -f
+ В, А + С,...; каждая прямая содержит только две точ-
точки, которыми она определяется. Таким образом, такая
геометрия должна иметь однозначно определенное строе-
строение. С другой стороны, существует тело /с, состоящее
из двух элементов 0, 1, в котором 1 +1=0. В геомет-
геометрии над этим телом каждая прямая содержит лишь две
точки. Следовательно, эта геометрия содержит только
четыре точки. Это доказывает, что в нашей геометрии
выполняются все аксиомы, в частности аксиомы 4а и
4Ь. Поэтому можно предположить, что каждая прямая
содержит по крайней мере три точки; тогда для каж-
каждой пары прямых можно укааать точку, не лежащую ни
на одной из этих прямых.
2) Предположим, что выполняется утверждение те-
теоремы Da. Каждой паро Q, Q' различных точок мы сопо-
сопоставим отображение т®-®', которое будет определяться
только для точек Я, но лежащих на прямой Q -f- Q'.
Пусть 11| <?+<?' и / содержит точку R; тогда I Ф
^Q +Q'- Пусть т || Q + В, и т содержит точку Q';
тогда та ^Q -\-В. Так как Q + Q' -^ Q + В, то 1^-т.
Пусть В' — точка пересечения прямых т и I (рис. 2).
Точка R' лежит на прямой I и, следовательно, не ле-
лежит на прямой Q -\-Q'\ она лежит также на прямой т,

102 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. II
следовательно, не лежит на прямой Q -f R. Отсюда сле-
следует, что R' =j=Q' и R' фЯ.
Это построение можно описать проще: R -|- R' ||
||Q + (?' и Q + R\\Q' + R'. Таким образом, мы опреде-
определили образ R' точки R, т. е. отображение rQQr.
Теперь по паре R, R' можно построить отображение
tr,r' Очевидно, что оно переводит точку Q в точку Q'.
Пусть теперь S — точка, не лежащая ни на прямой R +
+ R', ни на прямой Q+Q', a S'— образ точки S при ото-
отображении т<?.0\ Имеем R + R'\\Q + Q'\
три прямые различны. К тому же Q + R\
S + S', и зти
<?' + R' и Q +
+ S || Q' + 5". Так как мы предположили, что имеет
место теорема Da, то R + S \\ Rr + S'. Но утвер-
утверждения R + R' || S + S' и R + S || R' + S' означа-
означают, что 5" — образ точки S и при отображении trr'.
Следовательно, отображения т^О' и tR-R' согласуются
всюду, где они оба * определены. Поскольку мы пред-
предположили, что точка S, лежащая вне прямых Q +Q'
и R ¦+¦ R', действительно существует, то можно постро-
построить также отображение tSiS'. Мы внаем, что отображе-
отображения t°'Q', trb' и ts's' согласуются всюду, где опреде-
определены два или все три отображения. Искомое отображение
т представляется теперь как комбинация всех трех отоб-
отображений: образом произвольной точки Т будет образ при
одном из зтих отображений (при том, для которого этот
образ определен). Это отображение т, как мы уже отме-
отметили, когда мы вводили отображение trr', обладает
тем свойством, что x(Q) —Q'. Если бы нам удалось по-
показать, что т — гомотетия, то отсюда бы следовало, что
т — параллельный перенос, поскольку все следы отоб-
отображения т параллельны. Тем самым доказательство бы-
было бы закончено (случай Q = Q' тривиален — искомым
параллельным переносом служит тождественное отоб-
отображение).
Пусть U и V — различные точки. Тогда одна из пря-
прямых Q +Q', R + R' и S +S', скажем Q +Q', не со-
содержит точек U и V. Следовательно, для нахождения
образов этих точек можно воспользоваться отображени-
отображением тОО'. Если" U + V || Q + <?', то прямая U + V со-
содержит также точки U' и V. Поэтому можно предполо-
предположить, что U +V-^Q -\-Q'. Тогда точки U и V нахо-

§ 7] ТЕОРЕМА ПАППА И КОММУТАТИВНЫЙ ЗАКОН ЮЗ
дятся в том же положении, что и точки Ли S, для которых
мы уже доказали, что R + S || R' + <$'• Доказатель-
Доказательство закончено.
3) Если предположить справедливость теоремы DP,
то можно вывести аксиому АЪР с помощью методов, со-
совершенно аналогичных предыдущим, заменяя прямые,
параллельные прямой Q -f- Q', прямыми, проходящими
через точку Р. Детали доказательства мы оставляем чи-
читателю.
В силу теорем 2.16 и 2.17 наша геометрия часто назы-
называется деаарговой геометрией, а плоскость — дезарго-
вой плоскостью. Теорема Дезарга и является обещанной
(см. § 3) интерпретацией аксиом 4а и 4Ь. Третья геомет-
геометрическая интерпретация этих аксиом будет дана позже-
§ 7. Теорема Паппа и коммутативный закон
Одним из самых простых, но замечательных результа-
результатов в основаниях геометрии является тот факт, что мож-
можно найти простую геометрическую конфигурацию, эк-
эквивалентную коммутативному закону для операции
умножения в нашем теле к.
Выберем произвольную точку Р. Тогда любой эле-
элемент а =й=0 тела к можно получить (теорема 2.10) с по-
помощью одной и только одной гомотетии аа с неподвиж-
неподвижной точкой Р в виде
ЕСЛИ Tg == O-gTCTg1, ТО Т = (тР)* = СГаСГрТО-^аа1 =
= аастрт (аа<зр)-\ а с другой стороны, т"Р = о-аРтаа"р.
Так как гомотетия аа однозначно определяется элемен-
элементом а, то ааР = стаар. Это означает, что мультипликатив-
мультипликативная группа тела к изоморфна группе гомотетий с непод-
неподвижной точкой Р. Тело к коммутативно, т. е. является
нолем, тогда и только тогда, когда группа гомотетий
коммутативна.
Выберем теперь две произвольные прямые I и /га,
проходящие через точку Р. Пусть Q — произвольная
точка прямой I (Q фР). Если ах — гомотетия с непод-
неподвижной точкой Р, то прямая /¦ — а^след, точка oxQ — Q'
отлична от точки Р и, по аксиоме 4ЬР, может быть

104 АФФИННАЯ И ПРОККТИТШАЯ ГИОМЕТРИИ [ГЛ. II
произвольной точкой прямой /. Поэтому равенство OjQ—Q'
полностью определяет гомотетию аг. Подобным же об-
образом, иыбирая на прямой т точки Я и IV , отличные от
точки Р, зададим другую гомотетию ст2 с неподвижной
топкой Р рапонством esR -¦ IV (рис. 3).
Рис. 3.
Построим вначале две точки: S = axa^R на прямой
т и Т — OtfSyQ на прямой I. Они однозначно определяют-
определяются следующими условиями:
Q + R' || a,Q + o.R' = Q' + аха, R = Q' +S,
R -I- Q' II o2R + аг(?'= Л' + o^Q = R' + Т.
Для доказательства равенства ata2 = сг^ необхо-
необходимо и достаточно показать, что о1а2^ = стгсгг(? или же
ola2Q ~ Т. Так как точка O\O2Q лежит на прямой /, она
определяется условием
<? + Л II a&Q + OtOtR = a^Q + S,
и мы видим, что условие коммутативности равносильно
условию Q -f R [| Т + S.
Забудем теперь о гомотетиях а, и аг и посмотрим на
конфигурацию. Точки Т (на прямой /) и S (на прямой тп)
определяются из условия
Q+R'\\Q'+S и Q' -\-R\\R' +Т,
а мы хотим показать, что Q + R \\ Т + S. В нашей кон-
конфигурации имеются шесть прямых: Q-\- R', R' -j- Г,

§ 8] УПОРЯДОЧЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ 105
Т ~\- S, S-\- Q', Q'-\- R и R-\-Q, которые можно рассмат-
ринать как шестиугольник, «вписанный» и пару прямых
/, т-, «вершинами» которого являются наши шесть точек.
Прямые Q + R> и Q' + S, Q' + R и R' + Т, R -\- Q и
Т -\- S образуют пары противоположных сторон шести-
шестиугольника. Мы видим, что если две из этих пар — пары
параллельных прямых, то и третья пара — пара параллель-
параллельных прямых.
Это утверждение известно как теорема Паппа. Мы мо-
можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 2.18. Тело к является полем тогда и толь-
только тогда, когда имеет место теорема Паппа.
Упражнение. Покажите, что теорема Паппа
выполняется, если прямые / и т параллельны и что в
этом случае не требуется, чтобы тело к было коммутатив-
коммутативным. Не пользуйтесь при этом вычислениями с коорди-
координатами, а рассмотрите параллельные переносы!
Если геометрия содержит лишь конечпое число то-
точек, то группа Т, очевидно, конечна и тело к такнш ко-
конечно. Если читатель усвоил теорему 1.14 гл. I, § 8,
то он извлечет из нее следующее геометрическое прило-
приложение.
Теорема 2.19. В дезарговой плоскости, состоя-
состоящей лишь из почечного числа точек, выполняется теорема
Паппа.
Чисто геометрическое доказательство теоремы 2.19
пока неизвестно.
§ 8. Упорядоченная геометрия
В некоторых геометриях, например, в случае евкли-
евклидовой плоскости, точки каждой прямой упорядочены.
Однако это упорядочение нельзя отличить от обратного
упорядочения. С помощью тернарного отношения «точ-
«точка Р лежит «между» точками Q и Ш эту ситуацию можно
описать инварийнтным образом. Гильберт аксиомати-
аксиоматизировал это тернарное отношение, о чем читатель может
прочесть в его книге «Основания геометрии» *). Однако
мы фактически не будем рааличать линейное упорядоче-
*) Гостехивдат, 1948.— Прим. ред.

106 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. II
ние и обратное ему упорядочение, считая их эквивалент-
эквивалентными. Предполагается, что читатель знаком с § 9 гл. I
или по крайней мере с теоремой 1.16.
Однако упорядочение должно быть связано с геомет-
геометрией плоскости. Следующее определение описывает эту
связь.
Определение 2.8. Плоскость называется упо-
упорядоченной, если:
1) множество точек на каждой прямой линейно упо-
упорядочено;
2) параллельное проектирование
точек одной прямой на точки другой прямой *) либо сох-
сохраняет, либо обращает упорядочение.
Основным результатом является следующая теорема
(см. гл. I, § 9, определение 1.15).
Теорема 2.20. Упорядочение геометрии на плос-
плоскости канонически индуцирует слабое упорядочение те-
тела к, а слабое упорядочение тела к канонически индуци-
индуцирует упорядочение геометрии.
Доказательство. 1) Предположим, что гео-
геометрия уже унорядочена. Упорядочим тело /с следующим
образом. Выберем точку Р и параллельный перенос т Ф1.
Тогда, если а пробегает тело к, то хЛ(Р) пробегает все
точки т-следа I точки Р. Следовательно, имеется взаимно
однозначное соответствие между элементами а тела к
и точками ха(Р) прямой I. Таким образом, упорядочение
тела к индуцируется упорядочением прямой I.
Прежде всего мы должны показать, что это упорядо-
упорядочение не зависит от выбора точки Р и параллельного пе-
переноса т.
Заменим т параллельным переносом %гф\, направ-
направление которого отлично от направления отображения
т. Обозначим через 1г т^-след точки Р. Воспользуемся
теоремой 2.10, утверждающей, что для каждого ненуле-
ненулевого элемента asft можно указать единственную гомо-
гомотетию аа с неподвижной точкой Р, удовлетворяющую
условию г" = CaTooQ1 для всех параллельных перено-
*) То есть такое отображение точек одной прямой на точки'дру-
гой прямой, при котором прямые, соединяющие соответствующие
точки, параллельны. — Прим. ред.

g] упорядоченная Геометрия lot
сов х0. В частности, х? (Р) = оат0сг? (Р) — ват0 (Р).
Поэтому
х- (Р) = аах (Р) и xj (Р) - ааТ1 (Р).
Точки х (Р) и т* (Р) отличны от точки Р и лежат на пря-
прямой 1\ точки хх (Р) и х? (Р) также отличны от точки Р
и лежат на прямой /х. Имеем
х (Р) + тх (Р) || аат (Р) + аЛ (Р) = г» (Р) + т- (Р).
Это означает, что все прямые ха (Р) +т" (^) парал-
параллельны между собой и что точки tJ (P) являются обра-
образами точек та (Р) при параллельном проектировании. Это
утверждение остается, конечно, справедливым, если а = О,
так как в этом случае мы получаем просто точку Р, ко-
которая является точкой пересечения прямых I ив/х. По на-
нашему предположению, упорядочение в теле к, инду-
индуцируемое точкой Р и параллельным переносом т, либо
совпадает с упорядочением, индуцируемым точкой Р
и отображением т1( либо обратно этому упорядочению.
Если параллельные переносы т и хх имеют одинаковые
направления, то заменим пару Р, х некоторой парой Р,
ха, где х2 имеет направление, отличное от направления ото-
отображения х, а затем заменим пару Р, х2 парой Р, xlt Это
показывает, что упорядочение не зависит от выбора х.
Заменим теперь точку Р точкой Q и предположим сна-
сначала, что точка Q не лежит на прямой I. Обозначим че-
через 1г т-след точки Q; тогда прямые I в 1х параллельны,
но различны. Имеем условие
Р + Q || х- (Р) + х« (<?),
которое опять показывает, что точки хж (Q) являются об-
образами точек ха (Р) при параллельном проектировании.
Индуцируемое упорядочение то же самое.
Если же точка Q лежит на прямой I, то заменим сна-
сначала точку Р точкой Qu не лежащей на прямой I, а затем
точку Qx — точкой Q. Таким образом, упорядочение тела к
не зависит от Р и х в том смысле, что оно, возможно, ме-
ияотся на обратное при выборе новой точки и нового па-
параллельного переноса.

108 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВ1ШГ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. II
Теперь мы должны показать, что тело к слабо упоря-
упорядочено. Пусть б — фиксированный элемент тела к .Упо-
.Упорядочим тело к вначале по точке Р и параллельному пе-
переносу т, затем по точке хъ(Р) и параллельному переносу т.
Эти упорядочения будут либо совпадать, либо будут об-
обратными друг другу. В первом случае элементы а будут
упорядочены как точки та (Р), во втором случае — как
точки та(х*(Р)) ~ т*+8 (Р). Это показывает, что отоб-
отображение х —> х -\- б (х ?Е /с) либо сохраняет, либо обра-
обращает упорядочение. Если б ^0, упорядочим также те-
тело к сначала при помощи пары Р, т, затем при помощи па-
пары Р, т15. В первом случае элементы а упорядочены как
точки т" (Р), во втором случае — как точки (т5)а(Р) =
= та5 (jP). Это показывает, что отображение х — > хЬ
либо сохраняет, либо обращает упорядочение. Таким об-
образом, тело к действительно слабо упорядочено.
2) Предположим теперь, что тело к слабо упорядо-
упорядочено. Пусть / — данная прямая. Выберем точку Р на
прямой I и параллельный перенос х ф1, для которого
прямая I является следом. Если а пробегает тело к, то
х"(Р) пробегает множество точек прямой I. Упорядочим
точки на прямой I в соответствии с упорядочением эле-
элементов а. Мы снова должны показать, что это упорядо-
упорядочение не зависит от выбора точки Р и параллельного пе-
переноса т.
Произвольную точку Q прямой I можно представить
в виде Q = т5(Р), где б — некоторый фиксированный
элемент тела к. Тогда т* (Q) — та+8 (Р). По упорядоче-
упорядочение элементов а -\- Ь либо совпадает с упорядочением эле-
элементов а, либо обратно этому упорядочению. Таким об-
образом, мы доказали независимость упорядочения точек
прямой I от выбора точки Q. Пусть хх — другой парал-
параллельный перенос (тх Ф 1) с тем же следом /. Тогда тх =
= т8при некотором б Ф 0. Имеомт^(Р) = (т8)*(Р) -¦ та8 (Р).
Ыо элементы а и аб упорядочены либо одинаково,
либо обратным образом. Это доказывает независимость
упорядочения от выбора т.
Наконец, мы должны показать, что параллельное про-
ектировиние либо сохраняет, либо обращает упорядо-
упорядочение точек на прямых. Пусть I и т — различные пря-
прямые. Предположим, что дано параллельное проектиро-

§ 8] \ УПОРЯДОЧЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ 109
\
вание точек прямой / на точки прямой т. Рассмотрим два
случая.
а) Прямые I и т параллельны. Тогда для обеих пря-
прямых можно выбрать один и тот же параллельный перенос
т (для которого эти прямые являются следами). На пря-
прямой / выберем точку Р, а на прямой т возьмем точку
Q — образ точки Р при данном параллельном проекти-
проектировании. Точки прямой / упорядочены как точки х" (/'),
а точки прямой т — как точки ix (Q). Но
откуда следует, что та (<?) — образ точки тя (Р) при рас-
рассматриваемом параллельном проектировании.
Ь) Прямые lam пересекаются в точке Р. Предполо-
Предположим, что т — произвольный параллельный перенос
(т ф 1) со следом I, & Q — образ точки Р при отображе-
отображении т. Тогда Q — точка прямой /, причем Q фР. При
данном параллельном проектировании она имеет образ
Q', лежащий на прямой т, отличный от точки Р. Сущест-
Существует параллельный перенос т^, переводящий точку
Р в точку Q'. Его следом, проходящим через точку Р,
является прямая т. Упорядочим точки прямой I как точ-
точки та(Р), а точки прямой т — как точки т*(.Р). Так
же, как и в пункте 1), имеем
если а фО. Тогда
Q + Q' II М<?) + М<?') = т*(Р) + да,
откуда следует, что точка т" (Р) — образ точки тя(Р)
при данном параллельном проектировании; если а = 0,
то это утверждение очевидно. Таким образом, упорядо-
упорядочение точек прямой т соответствует упорядочению то-
точек прямой / при параллельном проектировании.
3) Заметим, что переход от слабо упорядоченного те-
тела к упорядоченной геометрии и обратный переход сог-
согласованы.
Геометрия, содержащая лишь четыре точки, составля-
составляет исключение. Каждая прямая в этой геометрии содер-

НО АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ / [ГЛ. II
жит всего две точки и упорядочена тривиальным обрааом,
так как здесь возможно только одно упорядочение и об-
обратное к нему. Эта геометрия соответствует телу иа двух
элементов, которое представляет собой исключитель-
исключительный случай слабо упорядоченного тела.
Теперь из теоремы 1.16 гл. I, § 9 вытекает следующая
Теорема2.21. Во всех случаях, га исключением, слу-
случая плоскости, состоящей из четырех точек, и тела из
двух элементов, выполняется следующее утверждение:
всякое упорядочение дезарговой плоскости канонически
индуцирует упорядочение его тела к и, обратно, вся-
всякое упорядочение тела к индуцирует упорядочение плос-
плоскости.
Исключительный случай мы оставим в стороне.
Определение 2.9. Упорядочение дезарговой
плоскости называется архимедовым, если оно обладает
следующим свойством: для произвольных параллельных
переносов тх и т2 (тх ф\, т2 ф\) с одинаковыми направ-
направлениями и для произвольной точки Р, не лежащей между
точками тх (Р) и т2 (Р), существует такое целое число п,
что точка т2 (Р) лежит между точками Р и т"(Р).
Поясним, что это означает для тела. Можно написать,
что т2 = т?. Тогда три точки г* (Р) = Р, хх (Р) и т2 (Р) =
— х^(Р) упорядочены так же, как элементы 0, 1, а. По
предположению 0 не лежит между 1 и а, так что а ^> 0.
Мы хотим подобрать целое число п так, чтобы точка т? (Р)
лежала между г" (Р) и г? (Р). Это оаначает, что 0<а<п.
По определению 1.16 гл. I, § 9 это в сврю очередь озна-
означает, что тело к архимедово. Воспользовавшись
теоремой 1.18 гл. I, § 9, мы видим, что имеет место
Теорема 2.22. Архимедовость является необхо-
необходимым и достаточным условием того, чтобы упорядо-
упорядоченная геометрия была построена над телом к, изоморф-
изоморфным подполю поля вещественных чисел {в его естествен-
естественном упорядочении). Заметим поэтому, что в архимедо-
архимедовой плоскости выполняется теорема Паппа, так как
к — поле.
Теорема 1.17 гл. I, § 9 покааывает, что, вообще говоря,
в упорядоченной геометрии теорему Паппа нельая до-
доказать.

5 9] \ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТОЧКИ Ш
Теор\ема 2.23. Существуют упорядоченные деаар-
говы плоскости, в которых теорема Паппа не имеет мес-
места. Эти геЬщетрии, конечно, неархимедовы.
Упражнение. Следствием аксиом упорядоче-
упорядочения является fo, что отображение х —> ах (a фО) либо
сохраняет, лийр переворачивает упорядочение. Дайте
этому утверждению геометрическое толкование.
\
§ 8Ц Гармонические точки
Предположим, что П — деааргова плоскость. Опи-
Опишем следующую конфигурацию (рис. 4).
Рис. 4.
Через три данные различные точки А, В та. С, лежащие
на прямой I, проведем параллельные прямые Zl7 1й и ls
соответственно, причем так, чтобы они не совпадали
с прямой I. На прямой 1Я выберем точку Р (Р ф С).
Таким обрааом, произвольными элементами являются
пучок я параллельных прямых, содержащий прямые
li, /.2 и 1а, но не содержащий прямую I, и точка Р (Р Ф
ФС) прямой ls.
Прямая Р -\- А ив параллельна прямой /3; в против-
противном случае она бы совпадала с ней, а точка А не лежит
на 1Ъ. Прямые Р + А и 1г пересекаются в точке В., кото-
которая не лежит на прямой /; в противном случае точка R
совпала бы с точкой В, но точка В не лежит на прямой
Р -\- А, так как точка Р не лежит на прямой /. Аналогич-
Аналогично прямая Р ~\- В пересекается с прямой 1Х в точке S,

112 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ / [ГЛ. II
/
не лежащей на прямой I. Прямые I и R-\-S, конечно, раз-
различны. Если они не параллельны, то они пересекаются
в точке D; если же они параллельны, то мы будем обоз-
обозначать этот факт записью D — оо.
Мы утверждаем, что точка D не зависит от выбора пуч-
пучка я и точки Р. Мы докажем ато, вычислив координаты
точки D, поскольку это вычисление понадобится нам
в дальнейшем. /
Пусть пачалом нашей системы координат будет неко-
некоторая ааданная точка О на прямой /I и пусть xt — дан-
данный параллельный перенос (tj Ф1) со следом I. Этого
достаточно, чтобы определить координаты произволь-
произвольной точки X прямой I: X — (|, 0), где | определяется иэ
равенства т![ (О) = X. Поэтому/ мы обладаем свободой
при выборе параллельного переноса та (без изменения ко-
координат на прямой I) при условии, что х2 =f= 1 и прямая
I не является следом т2. Выберем т4 как параллельный
перенос, переводящий точку С в точку Р.
Пусть (а, 0), (Ь, 0) и (с, 0) — координаты точек А, В
и С соответственно. Тогда отображение х? переводит
точку О в точку С, а тгт? — точку О в точку Р. Следо-
Следовательно, точка Р имеет координаты (с, 1). Элементы а,
Ь и с различны. Прямые /г, /, и /, — следы отображения
г2. Каждая точка прямой /а имеет координаты (а, т)),
так как т?г? (О) = т? (А); точки прямой 12 имеют коор-
координаты (Ь, т)'). Уравнение прямой Р + А имеет вид
у = (х - а) (с — а)'1, ¦
так как ему удовлетворяют координаты точек (с, 1) и
(я, 0). Поскольку точка R = (Ь, т\) лежит на этой прямой, то
tj = {Ь - а) (с - а)-К
Таким образом, R — (b, (b — а) (с — а)) и, по симметрии,
S = (а, (а — Ь) (с — ЬУ1).
Пусть у =-¦ хт -f- п — уравнение прямой R -f- S
(оно не может иметь вид х ~- е, так как прямые R -|- S
и /г не параллельны). Точки R и S лежат на этой прямой,
и мы заключаем, что
(Ъ — а) (е- а)'1 =-¦ Ьт + п, B Q)
(а _ /,) (с _ h)~l =¦¦ am +п. ^ '

§ 9] \ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ТОЧКИ 113
Если почленно вычесть одно равенство из другого,
то в обеих Частях полученного равенства появится мно-
множитель b —V и мы получим
\т=(с- а)'* -|- (с - ЫК B.7)
Остановимся\ пока на этом и посмотрим, может ли
быть т = 0. ЕДли т = 0, то
\ с — а =•¦ — (с — Ь)
или 2с — а -\-Ъ. ЕДли характеристика тела к не равна
двум, то это может случиться тогда и только тогда, ког-
когда с = я-(а -(- 6), т. е. если точка G находится «посереди-
«посередине» между точками А ткВ. Если же характеристика рав-
равна 2, то 0 = а -\- Ь илим = Ь, что противоречит сделан-
сделанному предположению. Следовательно, т = 0 в том и
только в том случае, если характеристика тела к не рав-
равна 2 и с = у (а + Ь). При /га = 0 уравнение прямой В -f
4- S принимает вид у = п; это означает, что прямые I
и R -\- S параллельны, т. е. D = оо. Таким образом,
случай, когда D — оо, не зависит от выбора пучка я
и точки Р.
Предположим, что т =f= О, D = (<2, 0). Так как точка
D лежит на прямой у — хт -f и, имеем
d = — /г/га.
Если мы умножим второе из равенств B.6) на т'1,
то получим
(Д _ Ъ) (с - бГ1™-1 = а — d. B.8)
Вычислим сначала величину, обратную к величине, стоя-
стоящей в левой части равенства B.8)
т (с - Ь) (а — Ь)-1 =
= ((с - а)-' + (с - б)"*) (с -b)(a- b)~l =
- (с - а) (с - Ь) (а - Ь)-!+ (а - b)~l -
- (с - а) ((с - а) 4- (а - 6)) (а - А)4- (« - '<Р -
= (а - ЙР 4- (с - а) 4- (а - 1>)~1 =
¦--= 2 (а - б) + (с - о).

114 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ / [ГЛ. II
Отсюда, испольауя B.8), получаем
а - d = B (а - by1 + (с - а
и, окончательно,
d = а - B (а - b)~l + (с - ару*. B.9)
Полученный результат доказывает, конечно, больше,
чем мы утверждали; заметим, что выражение для d со-
содержит только операции сложения/ вычитания и взя-
взятия обратного. /
Предположим, что точки нашей геометрии представ-
представляют собой упорядоченные пары (?, г\) элементов некото-
некоторого данного тела к. Мы ааписы'вали уравнение прямой
линии в виде ха + Ф + с — 0/с коэффициентами спра-
справа. Причину этого можно проследить с самого начала;
это происходило оттого, что все отображения записы-
записывались слева от объектов, которые отображались. Пред-
Предположим, что мы поступили бы наоборот. Тогда бы мы
также получили тело к, свяаанное с геометрией. Это
тело не совпало бы с телом к, оно было бы антииаоморфно
телу к, порядок умножения изменился бы. Если, с дру-
другой стороны, мы исходим из данного тела и нааываем упо-
упорядоченные пары точками, то мы можем ввести две гео-
геометрии, которые вообще говоря, не совпадают. В одной
из них прямые задаются уравнениями вида ха -\- уЬ -f-
+ с — 0 (будем называть их «правыми прямыми»), в дру-
другой — уравнениями вида ал -{-by -j-c — 0. Только не-
некоторые прямые будут совпадать, например, оси х:
у = 0; большинство других прямых не будет совпадать
(если только тело не коммутативно).
Если нам даны три точки (а,0), (Л,0) и (с,0), лежащие
на оси т., то мы можем построить точку D в «левой» и
в «правой» геометриях над нашим фиксированным телом
к. Совершенно очевидно, что мы получим для d одно и
то же значение B.9), так как формула B.9) не содержит
операцию умножения.
Назовем четверку точек А, В, С и D гармонической,
а точку D — четвертой гармонической к точкам А, В
и С. Тогда D— одна и та же точка в левой и в правой гео-
геометриях. Это и есть первая причина того, что мы запи-
записали d в кажущейся по началу громоздкой форме B.9).

5 9] \ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТОЧКИ Ц5
Отлична ли точка D от точек А, В а С? Равенство /)= А
означало бы\ что прямая R + S содержит точку А.
Так как S ф\А, to R + S = lu что неверно. Симмет-
Симметричным образом, D ф В. А как обстоит дело с равен-
равенством D = С? \
Если характеристика тела & равна 2, то, по формуле
B.9),
d = а — ((fc — а)) = a — (с — а) = с
и, действительно, JD — С.
Пусть характеристика тела к не равна 2. Если бы вы-
выполнялось равенство d~ = с, то, по формуле B.9), мы
имели бы
с - а = - B (а - by1 + (с - а)-1),
(с _ а)'1 = — 2 (а — йр - (с - в),
2 (с - а) = - 2 (а - б),
с — а = — а -\- Ь, с = Ь,
что противоречит условию.
Теорема 2.24. Если характеристика тела к
равна 2, то четвертая гармоническая точка D совпадает
с точкой С, и наоборот, если четвертая гармоническая
точка D совпадает с точкой С, то характеристика тела
к равна 2. Если же характеристика тела к не равна 2
{например, в случае упорядоченной геометрии, содержащей
более четырех точек), то все точки в четверке гармони-
гармонических точек А, В, С и D различны.
Предположим теперь, что характеристика тела к
отлична от двух.
Само построение показывает симметрию в выборе то-
точек А и В: если точки А и В поменять местами, то поло-
положение точки D не изменится. Но в действительности име-
имеются и другие симметрии. Формулу B.9) можно перепи-
переписать в эквивалентной форме, перенося слагаемое а в дру-
другую часть равенства и переходя к обратным величинам:
(d — а)'1 = - 2 {а — Ь)'1 — (с — а)
или
(d - а) + (а - Ь)-1 = (а -.с) + (Ь - а). B.10)

116 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ / [ГЛ, IT
Если поменять местами точки С и D, то условие B.10)
не изменится.
Рассмотрим теперь выражение
•г" + У'1 = х~1 (х + у) у~
Применяя это тождество к обеим частям1 равенства B.10)
двумя способами и учитывая, что множители (/; — а)
и (а — Ь)~г = — (b — а) можно вынести за скобки в
обеих частях равенства либо слева, либо справа, после
сокращений получаем еще два равенства, эквивалент-
эквивалентных B.10):
(d — b)(d — a)'1 = — (b -с) (а- с)~\ B.11)
(d - a)-1 (d-b) = - (а- су1 F - с). B.12)
Если поменять местами точку А с точкой С и точку
В с точкой D, то B.11) преобразуется в равенство
(Ь — d)(b — с)-1 = — (d — a) (с — о),
которое можно переписать в виде
(d — а) (Ь — d) = — (с — а) (Ь — с).
Это равенство отличается от равенства B.12) только ана-
ком, и поэтому оно верно.
Мы видим, что, учитывая установленные симметрии,
можно говорить о двух гармонических парах точек А, В
и С, D. Мы, конечно, предполагаем, что D <^= оо. Это
ограничение будет легко устранено в следующих па-
параграфах.
Если наша геометрия упорядочена, то пары гармони-
гармонических точек А, В и С, D разделяют друг друга. Предпо-
Предположим, что это не так. Тогда, размещая соответствующим
образом координатную ось и учитывая симметрии, мож-
можно предположить, что а < b < с <с d. Но теперь левая
часть равенства B.11), будет положительна, а правая —
отрицательна. Получили противоречие.
Пусть характеристика тела к все еще не равна 2. По-
Понятие двух гармонических пар точек вводит некоторую
структуру в такую бедную отношениями геометрию,
как геометрия прямой на плоскости. Теперь вполне уме-

§ 9] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТОЧКИ 117
стен вопрос, насколько «жестка» эта структура, другими
словами, какие у нее есть симметрии.
Пусть а —> биекция прямой на себя, переводящая
гармонические точки (конечные точки) опять в гармони-
гармонические точки. Тогда отображение а обладает тем же свой-
свойством. Для того чтобы в этом убедиться, предположим,
что А', В', С и D' — гармонические точки, а точки А,
В, С и D — их образы нри отображении а. Если чет-
четвертая гармоническая точка Dx точек А, В и С конечна,
то четверка точек А', В', С и a (Dt) гармоническая и,
следовательно, aDx = D' = aD, откуда Dx = D.
Оставляет сомнения случай, когда с = (a -j- b)/2; но
если это так, то d =f= (a -f- b) I 2 и мы можем заключить,
что четвертой гармонической точек А, В и D является точ-
точка С. Отсюда следует, что образы трех точек, четвертая
гармоническая которых бесконечно удалена, обладают
тем же свойством; в противном случае после применения
отображения а мы бы пришли к противоречию. Это
оаначает, что
а + ъ)= q(fl) + e(b) f B.13)
если a=f= b. Если а = b, равенство B.13) очевидно.
Предположим сначала, что а @) = 0 и а A) - 1.
При 6 = 0 равенство B.13) превращается в равенство
Его можно использовать в равенстве B.13):
а (а +Ь) = а (а) +а (Ь). B.14)
Формула B.14) показывает, что а — изоморфизм по
сложению. Так как а A) = 1, то а (— 1) == — 1.
Пусть а = — 1, b — -\- 1 же отлично от 0, 1 и — 1.
Тогда, по формуле B.9), для четвертой гармонической
точки имеем
Поскольку - 1 + (с + I) = (- (с + 1) +1) (с
--. _ с (с + I), имеем
d =-- - 1 + (с + 1) Г1 = - 1 + 1 + с = с~К

118 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. Ц
Другими словами, четверка точек — 1,1, с, с гармо-
гармоническая. Их образы — 1,1, а (с), а (с) /также состав-
составляют гармоническую четверку точек, откуда
а (О = (а (с)). B.15)
Это равенство имеет место и при с = — 1, так что мы по-
потребуем только, чтобы с ф 0. Обратно, если отображе-
отображение обладает свойствами B.14) и B.15), то одного взгля-
взгляда на формулу B.9) достаточно, чтобы убедиться в том,
что, если d — четвертая гармоническая точек а, Ь, с,
то о* (d) будет четвертой гармонической точек а (а), а (Ь)
и а (с), так как равенство B.9) содержит только суммы,
разности элементов и обратные величины. Такие отобра-
отображения полностью определяются условиями B.14), B.15)
и а A) = 1.
Возвратимся к теореме 1.15 гл. I, § 8. Иа нее следует,
что а либо автоморфизм, либо антиавтоморфизм тела к.
Для решения вопроса в общем случае, когда условия
а @) = 0 или а A) = 1 могут не выполняться, заме-
заметим, что а (х) — а @) отличается от а (х) параллельным
переносом, а , (а A) — а (О)) (а (х) — а @)) = г (х)
от а (х) — а @) — гомотетией. Гомотетии сохраняют
конфигурацию гармонических точек. Но г @) = 0, г A) =
= 1, так что т (х) = хт — либо автоморфизм, либо ан-
антиавтоморфизм тела к. Вычисляя а (х), имеем а(х) =
— (а A) — а @)) хг + °" @)- Следовательно, а (х) мож-
можно представить в виде а (х) = ахг + Ь, где а ф 0.
Теорема 2.25. Биещии а прямой на себя, перево-
переводящие гармонические пары (конечных) точек опять в гар-
гармонические пары (конечных) точек, можно представить в
виде
а (х) = ах -(- Ь,
где а Ф 0 и т — либо автоморфизм, либо антиавтомор-
антиавтоморфизм тела к.
Замечание. Если тело к не обладает автомор-
автоморфизмами, отличными от тождественного (в этом слу-
случае к — поле, так как в противном случае оно
обладало бы внутренним автоморфизмом), например, ес-
если А; — поле вещественных чисел, то а (х) — ах -\- Ь.
Этот факт впервые установил О. Штаудт.

I 10] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Ц9
§ 10. Основная теорема проективной геометрии
Если V — левое векторное пространство над телом
к и V — левое векторное пространство над телом к' и
если между телами к и к' существует иаоморфизм ц, то
понятие гомоморфизма можно обобщить следующим об-
образом.
Определение 2.10. Отображение X: V -> V
называется полулинейным относительно изоморфиама \i,
если:
1) % (X + Y) = к (X) + к (У), 2)Х (аХ) = аУ-к (X)
для всех X, Y е= V и всех sgi
Описание всех полулинейных отображений происхо-
происходит по той же схеме, что и описание гомоморфиамов.
Если Ах, А^,...,Ап— базис пространства V,Bi,B2,..., Bn—
произвольные векторы иа V (образы базисных векто-
векторов Аг) и X = 1,XiAi — произвольный вектор из V,
то отображение к, задаваемое соотношением
п
к (X) = 2 Фи
является полулинейным отображением пространства V
в пространство V; обратно, каждое полулинейное отоб-
отображение имеет такой вид. Это отображение является инъ-
инъекцией тогда и только тогда, когда векторы Bi неаави-
симы, и биекцией — в том и только в том случае, если
векторы В{ составляют базис пространства V. Доказа-
Доказательство этих достаточно тривиальных утверждений мож-
можно предоставить читателю.
По каждому левому векторному пространству V над
телом к можно построить новый объект — соответствую-
соответствующее ему проективное пространство V. Его элементами
будут не отдельные векторы из V, а подпространства U
пространства V. Припишем каждому подпространству
U в V проективную размерность: dimp U — dim U — 1,
т. е. проективная размерность на единицу меньше обыч-
обычной размерности.
Будем пользоваться терминами «точки» и «прямые»
для подпространств проективной размерности 0 и 1

120 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. II
соответственно. Таким образом, прямые пространства V
становятся «точками» пространства F, а плоскости в V —
«прямыми» в V. Всему пространству V обычной размер-
размерности п приписывают (как элементу из V) проективную
размерность п—1. Нулевое подпространство простран-
пространства V будет считаться «пустым элементом» пространства
V, имеющим проективную размерность —1. В V вводит-
вводится отношение инцидентности; это будет просто отношение
включения Ux с: ?/а между подпространствами прост-
пространства V. Тогда понятия пересечения U1r\Ui и сум-
суммы Ux + иг можно выразить в терминах отношения ин-
инцидентности пространства V: UX(\U% — «наибольший»
элемент, содержащийся в Ux и в Uv Ux -\- U2 — «наи-
«наименьший» элемент, содержащий Ux и U%. _ _
Определение 2.11. Отображение ст: V -> V
элементов проективного пространства V на элементы про-
проективного пространства V называется коллинеацией,
если 1) dim V — dim V, 2) а — биекция, 3) ?/х с: 11г
влечет a Ux с aUz.
Приведем пример коллинеации. Предположим, что
имеется полулинейное отображение Я: V-* V, которое
является биекцией. Если определить aU = XU, то ото-
отображение ст, очевидно, будет коллинеацией V—> V,
и мы будем говорить, что коллинеация а индуцируется
отображением Я. Этот параграф посвящен в основном до-
доказательству того, что если dim V 1> 3, то каждая колли-
коллинеация индуцируется некоторым полулинейным отобра-
отображением. __
Пусть ст: V —»• V — коллинеация, U — подпростран-
подпространство пространства V и dimF = п. Тогда существует пос-
последовательность подпространств 0 = Uo cz Uxa ?/a с.
...с Un = V, одним из членов которой является U,
причем dim U] = /*). По предположению aU0 cz aUx с.
...с пС/„, причем aUt=j=aUul, так как Ui=f=Ui+l и
ст — взаимно однозначное соответствие. Следовательно,
*) Такая последовательность называется композиционным рядом
пространства V, проходящим через подпространство U.— Прим.
перев.

S 10] ОСНОВНАЯ ТЕОРКМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 121
раамериость подпространств ollt возрастает с ростом I.
Но число dim V — п ограничивает сверху размерности
dim 0U1. Отсюда следует, что dim oUi = i и, в частности,
dim U — dim oU. Таким образом, коллинеадия сохра-
сохраняет размерность.
Пусть Ux и U% — подпространства пространства V.
Предположим, что aUl а а?/2. Тогда можно найти до-
дополнительное подпространство пространства aVx n аЕ/2;
оно должно быть образом некоторого И . Иными слова-
словами, aU2 = oUx -\-aW, al/x ("I сИ7 = 0. Поскольку Ux(]
П W — подпространство пространств U и W, мы за-
заключаем, что a (Ux П W) a aU^ П oW = 0. Отсюда следует,
что 1/г П W = 0. Таким образом,
dim (Ut + W) = dim Ux + dim W =
= dim (tZ7x +dim aW = dim (ctZ7x + cW7) = dim (af/9)
и, следовательно,
dim @ (U± + W)) = dim cf/,.
С другой стороны, Z7X и W — подпространства простран-
пространства Ui +W и, следовательно, оих+ oWa a(C/1-f-W),
т. е. ст?/2 с: a (Ux -f- И7). Поскольку размерности
этих подпространств равны, о1/г — а (С/х + W).
Так как ст — взаимно однозначное соответствие, ?72 =
= Ux -\- W; поэтому окончательно имеем Ux а иг. Все
;>ти рассуждения понадобились нам для того, чтобы по-
показать, что отображение ст также является коллинеа-
цией. Поскольку коллинеация а, так же как и сГ1, со-
сохраняет отношение включения, а пересечение и сумму
можно выразить в терминах этого отношения, мы полу-
получаем также, что
б(UxП С/г) = aUiПaVt и a(Ut+ 1!г) = <tUx + oU%.
Предположим, что нам задано действие коллинеации
а только на «точках» пространства V (т. е. па прямых
пространства V). Если U — произвольное подпростран-
подпространство пространства V и U ~ Lx + La +••• + ^г> гДе каж-
каждое Ьг — прямая, то all — aLx -f- <зЬг +...+ oLT, и мы
получаем, что отображение а задано полностью, если
оно определено на прямых пространства V. Действие

122 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. II
коллинеации а на прямых обладает следующим свойством:
crZj с: aL2 + oLs всякий раа, когда Lx с: L% -\- L3.
Теперь мы можем сформулировать и докааать основную
теорему проективной геометрии.
Теорема 2.26. (Основная теорема проективной гео-
геометрии). Пусть V и V — левые векторные пространства
одинаковой размерности п ^> 3 над телами к и к' соот-
соответственно, V и V — соответствующие проективные
пространства. Пусть а — биекция «точек» пространст-
пространства V на «точки» пространства V, обладающая следующим
свойством: всякий раз когда три различные «точки»
Lx, L2, Lg (они являются прямыми в пространстве V)
коллинеарны: Lx с L% -\- Lz, их образы также колли-
неарны: aLx cz аЬг-\-аЬа. Подобное отображение можно,
конечно, единственным образом продолжить до коллинеа-
коллинеации, но мы утверждаем больше. Существуют изомор-
изоморфизм \а между телами к и к' и такое полулинейное отоб-
отображение Я пространства V на V (относительно \а), что
коллинеация, индуцируемая отображением к на V, сог-
согласуется с а на «точках» пространства V. Если Ях — дру-
другое полулинейное отображение относительно изомор-
изоморфизма щ между телами к и к', которое также индуци-
индуцирует эту коллинеацию, то Кг(Х) = Я (аХ) при некотором
фиксированном элементе афО тела к, а изоморфизм (J.x
задается соотношением х*1 = (ахаГ1)*. Для каждого афО
отображение Я (а,Х) будет полулинейным', оно индуци-
индуцирует ту же коллинеацию, что и Я. Следовательно,
изоморфизм \i определяется коллинеацией а с точностью
до внутреннего автоморфизма тела к.
Замечание 1. Предположение о том, что «точки»
Lt, Ьг, L3 различны, излишне, так как из включения
Lx cz L% -f Ls сразу следует, что аЬх с: <зЬг -\- oLa,
если две «точки» совпадают.
Замечание 2. Если п = 2, то dimp V = 1. В
этом случае имеется всего лишь одна прямая и всякое
взаимно однозначное соответствие между точками прост-
пространств V и V должно быть коллинеацией. Утверждение
теоремы ложно, если тело к содержит по меньшей мере
пять элементов; только для полей F2, Fa и F4 оно все еще
остается верным.

§ 10] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 123
Доказательство. 1) Докажем индукцией по
г следующее утверждение: если L с: Lx -f L2 + (- Lr,
то aL с: oLt -\- oL2 -|—-\-oLr. Утверждение тривиаль-
тривиально, если L — LT. Если L ф Lr, то прямая L натянута
на вектор A -f В, где А е Lx -f- L% -f —(- ?r-i (-4 ф 0),
a B^zLT. Тогда ст <Л> с: с/^ -f aL% -f ... -f- o^r-i (no
предположению индукции) и из L с (Ay -\- Lr следует,
что ст? с: а <Л> + aLr.
2) Мы будем часто пользоваться следующим рассуж-
рассуждением. Пусть Си D — независимые векторы и L с: <С> -)-
-j- (jD>, но L ф (D}. Тогда прямая L натянута на век-
вектор аС -\- bD, причем а ф 0; этот вектор можно заменить
на вектор С -f- a bD = С -f- ^D. Элемент d однозначно
определяется прямой L.
3) Пусть векторы А% образуют базис пространства V,
Lt = (АгУ, oLt — (А('$. Имеем V = Lx -f- Ьг -| \-Ln;
если L — произвольная прямая пространства V,
то L а V и, следовательно, oL с: <зЬх -)- aL2 -j- ...
...-{-oLn. Поскольку наше отображение — сюръекция, то
произвольная прямая пространства V представима в
виде aL, откуда следует, что oLt -\- аЬг -f...-f-c?n =
= V, так что векторы А\ порождают пространство V.
Но из равенства dim V = п вытекает, что векторы А\
образуют базис пространства V. Прямая (Ах -\-Aty от-
отлична от (А(У при ?>2 и содержится в (Aty +(А(У;
следовательно, a (At -(- Л|) = (A't -\- ЬгА'гУ', Ьг ф 0,
так как (At -f- Aty ф (Aty. r Заменим вектор А1 экви-
эквивалентным ему вектором Ь\а[. Тогда
с<Лг> = О-ф для i > 1
И ст<Л! +Л4> = _<ili +A[) для i>2.
4) Пусть are к; (Аг -\- хА%У а <Ла> + <А2У и
<ЛХ -|- хЛа> =^= <^42>- Существует однозначно опре-
определенный элемент х' €г. к', jx,nn которого о (At -f- хА2У =
~<Л^+х'Л^>. При этом х' Ф у1', если хфу, так
как <^! 4-^2L=^1 + У-^г)- Поэтому отображение
Л —> А', переводящее а; в х', является во всяком случае
инъекцией. Из 3) следует, что 0' = 0 и 1' = 1.
Аналогично можно построить такое отображение
х -> х", что а <ЛХ -f- хАаУ = (А'г -\-хпА'гУ. Мы утверждаем,

124 АФФИННАЯ И ПРОВКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. II
что х' = х" для всех х е= к. Можно предположить, что
хфО.
Прямая (хАг — хАяУ лежит, с одной стороны, в
подпространстве (Аг) -\-<AS}, с другой стороны, в
подпространстве (Ах -\-хА2У -\-(Ах -\-хАаУ. Поэтому
ее образ натянут на вектор И8 подпространства (А'2У ~\-
-f <Лз>, а также на вектор иа подпространства (А[ -\-
-\-х'А'гУ +<^4i -\-х"А'3У. Единственно возможным
обрааом ялляется прямая (х'А2 — х"Аяу. Но (хАг — хА3)~
— <Аг — А3У, а обрааом прямой (А2 — А3) по тому
же соображению является прямая A'А% — 1"А'Я) =
— < Aj — Ад}. Это показывает, что (х'А'г — х"А'3У=
— (Ai — А3У, откуда х" == х'.
Вместо вектора А3 моншо было взять любой вектор
Аи i > 3. Мы ааключаем, что существует одно и только
одно отображение х—-х', для которого
а (Аг -\- хА{У = <А[ + х'А\У
при i > 2.
5) Предположим, что равенство о (At -\- x%A% -{-...
... +;3;г_1^г_1) = <.А[ +х^ + ... + х'^А'^у уже
доказано. Прямая (,Аг -\-х^Аг -\- ... -\-хГАг} лежит в
подпространстве <ЛХ -f- хгАа + • • • + xr-iAr_j> -\-(Аг>п
отлична от (,АГУ. Поэтому ее обраа натянут на вектор
вида А[ -{-^Иг Jf- .-. + x'r_lA'r_l + uA'r. Наша прямая
лежит также в подпространстве <4x-f xTAr}-\- <Л2>-(-...
... -|- <ЛГ_!>, откуда следует, что ее образ лежит в под-
подпространстве (А'х -f- х'гАтУ-\- <-4а) + ••• +<-4r-i>. По-
Поскольку в образ должен входить вектор A'v то и — х'г.
Следовательно, имеем
+... -\-хпАп}= (А'х +х'2А^ -] +х'пА'п\
6) Образ прямой (х%Аг -\~ ... -{-хпАпУ лежит в под-
подпространстве (А\У -}-... ~{-(А'пу. Эта прямая лежит
также в подпространстве (^ -\-x%A% -|— -{-хпАпУ -\-
-\- (At), поэтому ее образ лежит в (A'x j^x^A^ -(-••.
i.. -\-х'пАп'У -\-(А[У. Очевидно, что а <л;2Л2 -|
... -^пАпУ = (х'2 -\ -\-х'пА'пУ.
7) Прямая пространства V вида (Ах 4- уА2У не
является, как показывает 6), образом прямой подпро-

§ 101 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 125
странства <Ла> -(-••• -т-<-4„>. Следовательно, она дол-
должна быть образом прямой (Ах -(- х2А2 -|~—\-хпАпУ>
что влечет х$ = у, т. о. отображение /с —> Л' — сюръ-
екция.
8) o<At +(х +у)А2 +Л8> =
= <л;+(« + у)'л; +,4з>.
Но
так что
Отсюда легко получить, что (я + у)' = х' -{-у'.
9) а (Аг + хуА% + хА3у = (А\
Следовательно,
<Л; + (ху)' А% + ж'Л3> с <А[У + <у'Л, + А'ь\
откуда (жу)' = ж'у'. Рассматриваемое отображение х —> х'
является изоморфизмом \л между телами к и к'.
Прямая {х^А^ -f-... -)-хпАп} имеет образ {ху-А'х -)-...
+ ... +a;JJ^^>; это очевидно, если хг = 0 или хх = 1.
Если «! =7^0, то эту прямую можно задать также в
форме (Аг -\-х~1хгА2 -f... -{-х^хпАпУ и ее образ
(А{ + х^х^А'ъ + ••• + ^я^™^ будет совпадать с прямой
^1
10) Пусть X — полулинейное отображение простран-
пространства V на пространство V (относительно изоморфизма
р.), переводящее At в А\. Для произвольной прямой L
пространства V мы уже показали, что aL —- XL. Это до-
доказывает первую часть теоремы. Оставшиеся утвержде-
утверждения доказываются очень легко.
11) Предположим, что Ях — другое полулинейное ото-
отображение пространства V на пространство V, которое дей-
действует на прямые пространства V точно так же, как Я.
Тогда Я,"^! — отображение пространства V на себя,
оставляющее на месте каждую прямую. Оно должно
переводить каждый ненулевой вектор X пространства

126 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. II
V в некоторое ненулевое кратное вектора X. Пусть X и
У — независимые векторы пространства У. Тогда три
вектора X, Y и X-\-Y переходят соответственно в аХ,
РУ, у (X + Y). Но л-% (X + У) = Г1^ (X) + r% (У) =
= аХ -f РУ. Сравнение этого вектора с вектором
уХ -f уУ показывает, что а = р. Если ХиУ зави-
зависимы, но отличны от нулевого вектора, a Z — третий век-
вектор, независимый с X, то векторы X и У приобретают
при отображении Я"^ тот же коэффициент, что и вектор
Z. Таким образом, Я^ (X) = аХ с одним и тем же ос
для всех X (случай X = 0 тривиален) и, следовательно,
Ях (X) = к (аХ).
12) Пусть а Ф 0. Определим отображение Хх равен-
равенством Ях (X) = X (аХ). Тогда для произвольного Р е Л
имеем Ях (рХ) = X (арХ)=Я (ара^-аХ) = (арсГУЯ^Х).
Поэтому отображение Яг полулинейно, и соответству-
соответствующий ему изоморфизм ^ задается формулой х*г =
= {ах аГху. Если А =?0, то Ях D) = Я (аА) = а*Я (Л),
откуда Ях <Л > = Я (А >, так что Ях и Я индуцируют од-
одну и ту же коллинеацию. Теорема полностью доказана.
Будем обозначать изоморфизм, соответствующий по-
полулинейному отображению Я, через Я. Предположим те-
теперь, что F-4- V-+ V" — последовательность полулиней-
полулинейных отображений. Тогда
ЯЛ (хХ) = Яа (а:^ (X)) = (а^ЯА (х) = а^'ЯА (X).
Мы видим, что отображение Я2Яг также полулинейно
и что ЯаЯх = Я^.
Очень интересные результаты получаются в случае
коллинеаций проективного пространства V на себя.
Полулинейные отображения пространства V на себя об-
образуют группу S; коллинеаций пространства V также
составляют группу, которую мы обозначим через PS.
Каждый элемент X группы S индуцирует коллинеацию
пространства V на себя. Отображение S —+ PS, сопос-
сопоставляющее каждому Я ее S индуцируемую им коллинеа-
коллинеацию / (Я) (/ (Я) — это просто отображение, которое осу-
осуществляет Я на проективном пространстве V), является,

S 10] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 127
очевидно, эпиморфизмом — по основной теореме проек-
проективной геометрии. Ядро отображения / состоит иа тех
элементов 1е5, которые отображают каждую прямую
пространства V на себя. Мы видели, что для каждого
элемента а Ф 0 из к, т. е. для каждого элемента ag/c',
имеется в точности одно такое отображение, а именно
отображение Яа, при котором Ка (X) = аХ. Поэтому мож-
можно построить отображение i группы к* в группу S, сопос-
сопоставляя элементу а отображение Ха; поскольку ХаХр =
= Хар, отображение i является мономорфизмом /с* в
S и образ отображения i будет ядром отображения /.
Эту ситуацию обычно выражают с помощью диаграммы
1 _* & -^ S -i PS -v 1,
в которой добавлены два совершенно тривиальных отоб-
отображения: каждый элемент группы PS отображается на
1, а отображение 1 -> к* сопоставляет элементу 1 едини-
единицу группы к". В этой последовательности отображений
образ каждого отображения является ядром следующего
отображения; если возникает подобная ситуация, то пос-
последовательность отображений называется точной после-
последовательностью. Таким образом, утверждение, что наша
последовательность точная, содержит все предыдущие
утверждения, т. е. что i — мономорфизм, что образ i —
ядро / и что / — эпиморфизм.
Обозначим теперь через А (к) множество всех автомор-
автоморфизмов тела к. Тогда можно построить отображение
S —*¦ А (к), где р сопоставляет каждому полулинейному
отображению X автоморфизм к. Как мы уже видели, р —
гомоморфизм. Более того, р — эпиморфизм, так как лю-
любой автоморфизм можно реализовать в некотором полу-
полулинейном отображении.
Ядро GL (полная линейная группа) отображения р
состоит из тех элементов группы S, у которых соответст-
соответствующие автоморфизмы тождественны, т. о. просто из
автоморфизмов пространства V. Таким образом, имеется
другая точная последовательность

128 АФФШ1ИАЯ И ПРОККТИВНАЯ ГК0МЕТР1П1 [.ГЛ. U
и которой отображение inj является вложением группы
GL в группу S.
Каждый элемент группы GL индуцирует на про-
пространстве V коллинеацию частного вида, называемую
проективным преобразованием пространства If. Эти пре-
преобразования образуют подгруппу группы PS, обозна-
обозначаемую PGL (полная проективная линейная группа),
а отображение группы GL на группу PGL является как
раз ограничением отображения / на группу GL. Обозна-
Обозначим его (допуская некоторую вольность) также через
/. Ядро этого отображения состоит из тех полулинейных
отображений Яа, которые являются гомоморфизмами.
Поэтому элементы ядра подчиняются условию Ха (хХ) =
= х Ха (X), откуда ах — ха для всех хЕ=к. Это означает,
что а — элементы центра Z тела к, т. е. элементы группы
Z", так как а ^=0. Мы получаем точную последователь-
последовательность
Обозначим через / (к) множество внутренних автомор-
автоморфизмов тела к. Элемент группы PS определяет автомор-
автоморфизм тела к только с точностью до внутреннего автомор-
автоморфизма, так что каждому элементу группы PS соответствует
только элемент фактор-группы А (к)II (к). Обоз-
Обозначим этот эпиморфизм через р4': PS -^ А (к)/1 (к).
Его ядро состоит из коллинеаций, которые индуцируются
теми элементами группы S, у которых соответствующий
автоморфизм — внутренний. Но так как внутренний ав-
автоморфизм можно заменить на любой другой внутрен-
внутренний автоморфизм, то можно предположить, что автомор-
автоморфизм, соответствующий такому элементу группы S,
тождественный, т. е. что полулинейное отображение ле-
лежит в группе GL. Отсюда следует, что ядром отображения
р' является группа PGL и мы можем записать другую точ-
точную последовательность.
Ситуация станет менее запутанной, если читатель
изучит следующую диаграмму, которая содержит все
высказанные нами утверждения. Эта диаграмма истол-
истолковывает во всех деталях последовательности, относящие-

S 10] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 129
ся к основной теореме проективной геометрии в случае
коллинеаций пространства V на себя:
1 1 1
1_>2* -* GL -+PGL -И
| inj | inj I Uij
1_*A» -» ? -i AS" ->1
j. Po | Р I С'
inj can
1-»/(А:) -> Л (/с) -> yJ (А)// (А) ~> 1
I i I
1 1 1
Символ «inj» означает обычное вложение, «сап» — ка-
каноническое отображение группы на фактор-группу. Отоб-
Отображение р0 сопоставляет элементу а ее к* внутренний
автоморфизм вида х —> am; очевидно, его ядром яв-
является группа Z*.
Каждый столбец и каждая строка диаграммы — точ-
точная последовательность. Каждый квадрат диаграммы
коммутативен*); это означает, например, для квад-
квадрата, в левом верхнем углу которого стоит S, что после-
последовательное применение отображений / и р' приводит
it тому же результату, что и последовательное примене-
применение отображений р и сап, т. о. р'/ = сап р.
В последующих главах мы ивучим подгруппы Г груп-
группы GL. Образ группы Г при отображении /, т. о. группу
проективных преобразований, индуцируемых _элемен-
тами группы Г на проективном пространстве V, будем
обозначать через РТ. Ядро эпиморфизма Г -> РТ со-
стоитиз тех отображений вида Ка, которые лежат в Г. Во
всех случаях, которые мы будем рассматривать, это ядро
будет центром группы Г. Это позволяет нам определить
РТ как фактор-группу группы Г по ее центру.
В классической проективной геометрии важную роль
играет понятие перспективы (или перспективного отоб-
*) Диаграмма, в которой каждый квадрат коммутативен, на-
начинается коммутативной.— Прим. перев.
Аргин

130 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ 1ГЛ. П
ражения). Оно поможет нам еще лучше понять основную
теорему проективной геометрии.
Предположим, что оба пространства V и V — под-
подпространства пространства fi размерности ./V > dim V =
= dim V = п ;> 2; заметим, что мы допускаем п = 2.
Пусть Т — подпространство пространства Q, допол-
дополнительное как к V, так ик Г:
Q = V©T=V'@T, V(\T = V ОТ = 0.
Предположим, что W — подпространство в Q, содер-
содержащее Т. Рассмотрим пересечение We V: W(]V — U.
Очевидно, что U -f- T cz W, но имеет место также и об-
обратное включение. В самом деле, произвольный вектор
пространства ?2 = V ® Т представим в виде А = В +
+ С, Be^V, Се--Т. Если AeeW, то вектор В = А —
— С лежит в WhbV, т. в. В ze U; следовательно, Ac~U-\-
-f 7', т. е. VF = J/ + ^\ Если бы мы исходили из произ-
произвольного подпространства U пространства V и положи-
ли W = U + Т, то U c= W П 7; если Л GE И?П V с= W,
то A = B + C,BEzU,Се1 Т. Вектор С = А — В лежит в
V и в f, и так как F Q Т = 0, то С = 0, А = Я е= ?7.
Таким образом, для подпространств J/ пространства
F и пространств W, содержащих Т, равенства
U = WftV и W = U +Т
равносильны.
Будем исходить теперь из произвольного подпрост-
подпространства U пространства V. Образуем пространство W =
==¦ U -f- T; пересечение его с V обозначим через U': U' —
— W^V. Тогда между подпространствами U про-
пространства V и подпространствами U' пространства V
устанавливается взаимно однозначное соответствие, ко-
которое однозначно задается равенством
и + т = и1 + т.
Поскольку из включения TJX с: U2 следует включение
Ux' cz UJ, то зто взаимно однозначное соответствие яв-
является коллинеацией пространства F на пространство
V и называется перспективой пространства V на прост-
пространство V с центром Т.

S 10] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 131
Мы допускаем случай п = 2 и поэтому не можем вос-
воспользоваться основной теоремой проективной геометрии.
Будем рассуждать непосредственно. Пусть Ах, Аг,...
...,Ап — базис пространства V. Обозначим через (А\)
образ прямой <Л{>. Тогда <Лг> + Т = (А\) -f T,
что приводит к соотношению At — aiAx-\- Bt, Bt ce T;
щ фО, так как At ф Т. В качестве вектора А\ можно
ваять вектор atAi. Вследствие этого наше соотношение
упростится: А\ = А\ -\-Bi. Это приводит к формуле
ххАх+...-\-хпАп — xxAv +х2А'2 +... + хпА'п +С, Се Г-
Если через к обозначить гомоморфизм (рассматриваемый
как полулинейное отображение относительно тождествен-
тождественного автоморфизма тела к), переводящий At в А'., то
X (X) -ХеГ, и мы имеем
Эта формула показывает, что линейное отображение
к индуцирует на V рассматриваемую перспективу. Отоб-
Отображение к: V —> V — не произвольный гомоморфизм.
Если X е Vf\V, то равенство <Х> + Т = <Х> +
+ 7' (в различных интерпретациях обеих его частей)*)
показывает, что прямая <Z> отображается при перспек-
перспективе на себя; поэтому вектор к (X) — X лежит не только
в Т, но и в V. Теперь из равенства V П Т -- 0 следует,
что к (X)— Х,т. е. к оставляет на месте каждый вектор
из V(]V.
Обратно, будем исходить, из сюръективного линейно-
линейного отображения к: V —> V, оставляющего на месте каж-
каждый вектор из Vf]V. Обозначим чероа То множество
нсех векторов вида к (X) — X, где X нробегаот множест-
но векторов пространства V. Очевидно, что Тп — под-
подпространство пространства Q; его пересечение с V равно 0.
Действительно, если к (X) — X е V, то к(Х)е-Х +
-|- V = V; так как к (X) е.Г, то к (X) е Ff] V w, сле-
следовательно, к (X) — X, откуда следует, что к (X) — X =
=¦¦ 0. Подобным же образом можно доказать, что
т0 п г = о.
*) То есть слева <Х> стптается прямой в V, п справа — прямой
I".— Прим. перев.

132 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. II
Очевидно, что Тоа V + V, поэтому V + То <=. V +
-\-V. Если X (X) — произвольный вектор пространства
V, то
Это показывает, что V-{- V а То-\- V и, следователь-
следовательно, V+V = To+V. Аналогично этому V + То =
= 7+7'; так как V(]T0= V'(]T0 = 0, то можно
написать, что 7+ V = V 0 То — V 0 То. Пусть
7\ — подпространство пространства Q, дополнительное
к V +V. Положим Т = То 0 7\; тогда
УфТ0®Т1=УфТ = п = 7'0 Г.
Мы можем построить перспективу с центром Т. Так как
ЦХ)Х?ГсГ, то
т =
откуда слеаует,что X индуцирует перспективу с центром Т.
Условие к (X) — X для всех X е: V[) V не имеет
непосредственного геометрического смысла для про-
проективных пространств V и V, в которых сами векторы про-
пространства Q не фигурируют. Посмотрим, не можем ли мы
заменить его условием, имеющим геометрический смысл.
Перспектива оставляет на месте каждую прямую про-
пространства V(]V, т. е. каждую «точку» проективного
пространства Vf\ V. Предположим теперь, что дана кол-
линеация а: V —> V, которая оставляет на месте каждую
«точку» из V (] V. Является ли она перспективой? Пред-
Предположим, что dim GП V) > 2. Если п = 2, то послед-
последнее возможно только в том случае, если V = V; колли-
неация а должна быть тождественным отображением и,
очевидно, индуцируется тождественным отображением
X, т. е. а является перспективным отображением. Если
п ;> 3, то мы можем воспользоваться основной теоремой
проективной геометрии. Коллинеация сг индуцируется по-
полулинейным отображением X, которое отображает каждую
прямую из Vf\V' на себя. Для*вектора X GE FQF' бу-
будем иметь X (X) = аХ; мы сможем доказать, что элемент
а здесь один и тот же для всех X ее V(] V, как мы это
сделали при доказательстве основной теоремы проектив-

5 10] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 133
ной геометрии, сравнивая между собой независимые век-
векторы пространства V(\V (размерность которого не мень-
меньше двух). Теперь мы можем домножить отображение к на
а, и новое отображение к будет все еще индуцировать
коллинеацию а, но удовлетворять уже условию к (X) =
= X для всех X ЕЕ Vf\V. Обозначим автоморфизм тела
к, соответствующий полулинейному отображению к,
через ц. Для вектора X фО из V(] V имеем, с одной сто-
стороны, к (аХ) = а»-к (X) = av-X и, с другой стороны,
к (аХ) = аХ. Отсюда следует, что ц — тождественный
автоморфизм, т. е. что к — обычный гомоморфизм прост-
пространства V на пространство V. Поскольку он оставляет
каждый вектор из Vf)V без изменения, наша коллинеа-
ция действительно является перспективой. Мы на время
отложим рассмотрение случаев, когда dim (VC\ У'Х 1-
В классической проективной геометрии при синтети-
синтетическом подходе коллинеация двух подпространств V и
V пространства Q называется проективным отображе-
отображением, если ее можно получить в результате последова-
последовательного применения перспективных отображений. Каж-
Каждая из этих перспектив (воаможно, на другие подпрост-
подпространства) индуцируется линейным отображением, и, сле-
следовательно проективное отображение пространства V
на пространство V также индуцируется линейным отоб-
отображением. Рассмотрим сначала частный случай — слу-
случай проективного отображения V на себя. Проективное
отображение индуцируется линейным отображением,
т. е. элементом группы GL (V), и является, следователь-
следовательно, элементом из PGL (V). Возникает вопрос, является
ли каждый элемент группы PGL (V) проективным отоб-
отображением. Пусть Н — произвольная гиперплоскость из
V. Так как.Л^>и, то найдется подпространство V'*)
пространства Q, пересекающее пространство V по гипер-
гиперплоскости Н. Существует линейное отображение прост-
пространства V на пространство V, которое является тождест-
тождественным на Н и переводит данный вектор AzeV, не лежа-
лежащий в Я, в заданный вектор ВеГ, также лежащий вне
*) dim V = dim V. — Прим. ред.

134 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. II
И. Это отображение индуцирует перспективу. Затем мы
можем отобразить пространство V обратно на простран-
пространство V, переводя вектор В в любой заданный вектор А' и»
V, не принадлежащий //. Произведение этих отображе-
отображений является проективным отображением V на себя, ко-
которое индуцируется таким отображением X: V —> V, что
X тождественно на Н и X (А) — А'. Например, отображе-
отображение X может «растягивать» вектор А: X (А) — аА, или
действовать на нем так: X (А) — A -f- С, где С — произ-
произвольный вектор гиперплоскости Н. В начале гл. IV мы
покажем, что каждый элемент группы GL (V) можно по-
получить как последовательное применение отображений
такого типа (выбирая различные гиперплоскости Н).
Если предвосхитить зтот результат, то можно сказать,
что проективные отображения пространства V на себя
являются просто элементами группы PGL (V). Если V и
V — различные пространства, то мы можем построить
сначала какую-нибудь перспективу V на V, а затем
применить проективное отображение V на себя, т. е.
произвольный элемент из PGL (V). Теперь уже ясно, что
произвольное линейное отображение V на V индуциру-
индуцирует проективное отображение V на V. Это объясняет, по-
почему группа PGL (V) играет столь большую роль при син-
синтетическом подходе.
Возвратимся к вопросу о том, какие коллинеации
пространства V на пространство V являются перспекти-
перспективами с подходящим центром. Нужно, конечно, предпо-
предположить, что каждая «точка» из Vf\ V остается непод-
неподвижной, и мы видели, что этого достаточно, если
dim(Fn P')>2. Для того чтобы разобрать остальные слу-
случаи, нужно предположить, что данная коллинеация сг
является проективным отображением, т. е. что она по-
получается как последовательное применение перспектив.
Это предположение значительно упрощает рассуждения,
так как оно эквивалентно следующему: коллинеация сг
индуцируется линейным отображением X пространства
V на пространство V.
Если V П V — 0, то для построения центра перспек-
перспективы Т на линейное отображение X никакого условия нак-

; 10] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 135
ладывать не надо. Следовательно, в этом случае вопрос
решается положительно *).
Остается еще случай, когда dim (FTl О ~ 1> т. е.
пространства V и V' пересекаются в одной точке. Пусть
(A>=V()V'. Так как а<4>==<4>, то должно
иметь место равенство Х(А)—аА, где афО. Обратно,
если X — линейное отображение пространства V на
пространство V, причем X (А) — а А (и а может прини-
принимать для соответствующего к любое ненулевое значение
в теле к), то X будет индуцировать проективное отобра-
отображение сг пространства V на пространство V, при кото-
котором точка {А > неподвижна. При заданном а имеется
небольшая свобода в выборе X. Именно, к (X) можно за-
заменить на Хг (X) = X фХ) при условии, что Хг также
будет линейным отображением. Если кг — линейное отоб-
отображение, то р лежит в центре тела к. Теперь нам следу-
следует посмотреть, можем ли мы, подбирая подходящий эле-
элемент р, добиться того, чтобы Хг (А) — А. Ото приводит
к уравнению |3а = 1, которое показывает, что такой эле-
элемент р можно подобрать в том и только в том случае,
если а принадлежит центру тела к. Поскольку а может
принимать любое значение, то следует предположить,
что к — поле. Сформулируем полученные результаты на
языке проективной геометрии.
Теорема J2.27. Пусть Й — проективное прост-
пространство, V и V — его собственные подпространства
одинаковой размерности и а — коллинеация простран-
пространства V на пространство V, при которой все точки из
VQV остаются неподвижными. Тогда имеют место сле-
следующие утверждения:
1) Если dimp (Ff)^')^>l, то а — перспектива
пространства V на пространство V с соответствующим
центром.
2) Рели пространства V и V обладают пустым пере-
пересечением и если а — проективное отображение, то а опять
является перспективой с подходящим центром.
*) То есть проективное отображение является порспективой.—
Прим. перев.

136 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. П
3) Если пересечение пространств V и V состоит
только из одной точки и если а — проектиеое отобра-
отображение, то а является перспективной, если тело к явля-
является полем. Если же тело к некоммутативно, то послед-
последнее утверждение не всегда верно.
Наиболее важный частный случай этой теоремы, ког-
когда Q — плоскость, а V и V — различные прямые, приво-
приводит к третьей из наших альтернатив. Проективное отоб-
отображение прямой V на прямую V, оставляющее на месте
их точку пересечения, будет, вообще говоря, перспективой
только в том случае, когда к — поле. Это обстоятельство
связано с конфигурацией Паппа.
Вопрос, является ли каждая коллинеация простран-
пространства V на себя проективным отображением, получает
совершенно другой ответ. Нужно предположить, что
dimp V !> 2, тогда задача сводится к вопросу, когда име-
имеет место равенство PGL = PS, которое, как следует из
нашей диаграммы, эквивалентно равенству А (к) =¦
= 1{к). Последнее означает, что все автоморфизмы тела
к должны быть внутренними.
В классическом случае, когда к — R, где R — поле
вещественных чисел, оба условия выполняются: R —
поле и единственным автоморфизмом является тождест-
тождественный автоморфизм.
Последняя теорема этого параграфа относится к харак-
характеристике тождественного отображения.
Теорема 2.28. Пусть V — проективное простран-
пространство над полем k, a — проективное отображение прост-
пространства V в себя, оставляющее на месте п -f 1 точек
(п = dim V). Предположим, что никакие п из этих то-
точек не лежат в одной гиперплоскости. Тогда а — тож-
тождественное отображение. Теорема неверна, если к — не-
некоммутативное тело.
Доказательство. Пусть <Л0>, (А^,...
...,<ЛП> — точки, удовлетворяющие условию теоремы.
Векторы Alt А2,..., Ап составляют базис пространства V.
п
Если Ао = ]>]а(Л{, то а\ Ф®. Эти утверждения легко
следуют из сделанного в условиях теоремы предположе-

11] ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ 137
ния о точках. Если заменить векторы а^Аг на Аг, то
п
мы получим формулу более простого вида Ао = ^] At.
Проективное отображение сг индуцируется линейным
отображением X, и так как сг оставляет наши точки на мес-
п
те, то X (Ai) — р{-4| и, следовательно, X (Ао) = 2Pi^i-
Но X (Ао) — Ро^о откуда р( = р0, т. е. все р( равны меж-
между собой. Так как к — поле, то из равенства X (At) =
= $At можно вывести, что X (X) = р X для всех век-
векторов X. Но зто и составляет утверждение нашей теоремы.
Если тело к некоммутативно, то выберем такие элементы
а, Р ЕЕ к, что ар ф ра. Пусть X — линейное отображение,
переводящее At в aAt (i = 1,..., п). Тогда вектор Ао ='
п
= 2^( переходит в вектор аА0. Коллинеация сг, ин-
дуцируемая отображением X, оставляет точки <|
на месте. Точка < X > = < Аг -f- рЛ2) переходит в точ-
точку <аЛх -(- раЛ„> = <ЛХ -\-аГ1РаАгУ, не совпадаю-
совпадающую с точкой Х>
§11. Проективная плоскость
Рассмотрим аффинную дезаргову плоскость. Обозна-
Обозначим через /с соответствующее ей тело. Пусть V — трех-
трехмерное левое векторное пространство над телом к, W —
плоскость из V. Построим новую дезаргову плоскость
Uw следующим образом.
«Точками» плоскости Rw будут прямые L простран-
пространства V, не содержащиеся в W.
«Прямыми» плоскости Щу'будут плоскости U из V,
отличные от W. Отношением инцидентности будет прос-
просто включение L cz U.
Пусть W = <Л21 ^з>. V = <illt A%, А3У. Если LcpW,
то L порождается однозначно определенным вектором
вида Аг -{- ^ Аг -f. т].43; такой «точке» L мы сопоста-
сопоставим координаты E, т)).
«Прямая» С7 пересекается с W в некоторой «точке»
Л + Р-^з^- Пространство U порождается вектором

138 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. II
аА2-\- Мз и некоторым вектором вида Аг-\- уАг-\- ЬА3.
Поскольку L <Jz W, «точка» L «прямой» U натянута на
одноаначно определенный вектор вида {Аг-\- уА2-\- ЬА3) -\-
4-1 {аАг-{- рМ3). Поэтому «точка» L имеет координаты
(ta+Y, Ф -И) = /(a, P)+(Y, S).
Это — уравнение прямой в параметрической форме;
единственное ограничение заключается в том, что (а,
C) ф @, 0). Мы видим, что в плоскости TLw можно ввести
координаты из тола к. Следовательно, П^- имеет то же
строение, что и наша исходная дезаргова плоскость.
Плоскость lljv получается из проективной плоскости
V удалением «прямой» W и всех «точек» этой прямой.
Таким образом, имеем следующую картину: если взять
проективную плоскость У и удалить из нее одну прямую
и все точки этой прямой, то получится дезаргова плос-
плоскость. Все дезарговы плоскости, которые можно полу-
получить из V при помощи такого процесса, относятся к «од-
пому и тому же» типу аффинной геометрии. Если две
прямые из V пересекаются в одной из точек удаленной
прямой В7, то они но пересекаются в П^ и, следовательно,
параллельны. Каждая удаленная точка характеризует-
характеризуется пучком параллельных прямых из П^. Назовем их
бесконечно удаленными точками плоскости П^, а само
W — бесконечно удаленной прямой плоскости tlw.
Из аффинных конфигураций можно получать проектив-
проективные конфигурации и доказывать их, удаляя подходящие
прямые.
Рассмотрим проективную конфигурацию, изображен-
изображенную на рис. 5 *). Если выбросить прямую X, то фигура ста-
станет аффинной дезарговой: прямые 1Х и 1г, т1 и тг станут
параллельными, так что пх и /?а — также параллельные
прямые; следовательно, они должны пересекаться в точ-
точке на прямой X. Эта конфигурация известна под названием
проективной дезарговой конфигурации. Она содержит,
конечно, как частный случай, аффинную дезаргову кон-
конфигурацию, если X — бесконечно удаленная прямая.
*) Подразумевается, что на рис. 5 изображена плоская фигура.
Но тик как нам ато понадобится в дальнейшем, мы нарисовали ее
так, что ее можно интерпретировать как пространственную,.

5 11]
ПРОККТИПНАЯ ПЛОСКОСТЬ
Рассмотрим теперь конфигурацию, изображенную на
рис. 6. Через точку Q проведем прямую X так, чтобы она
не проходила ни через одну из точек А, В, С. Если уда-
удалить прямую X, получится конфигурация, изображающая
Рис. 5.
построение четвертой гармонической точки D. То, что
это построение не зависит от выбора точек Р и Q в аффин-
аффинной форме, означает, что точку Q можно переместить в
/I
В
Рис. 6.
любую другую точку прямой X, т. е. в любую точку Q'
из V, обладающую тем свойством, что прямая, проходя-
проходящая через точки Q и Q', не содержит ни одной из точек
А, В, С (конечно, при условии, что Q' находится вне пря-

140 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. II
мой /). С помощью двух последовательных перемещений
такого типа можно точку Q перенести в любое положение.
Таким образом, положение точки D не зависит от выбора
точек Р и Q. Этот факт известен как теорема о полном
четырехстороннике.
Мы предоставляем читателю самостоятельно постро-
построить проективную конфигурацию Паппа.
Любые две различные прямые из V пересекаются
в единственной точке, а через две различные точки из V
проходит в точности одна прямая. Каждая прямая про-
проективной плоскости V содержит по меньшей мере три
точки.
Теперь уже ясно, на каких аксиомах будет основы-
основываться проективная геометрия плоскости:
1) Две различные точки определяют единственную
прямую, на которой они лежат.
2) Две различные прямые пересекаются в точности в
одной точке.
3) Каждая прямая содержит по крайней мере три точ-
точки; существуют три неколлинеарные точки.
4) Имеет место проективная дезаргова конфигурация.
Если V — проективная плоскость такого рода, то вы-
выбросим из нее прямую и все точки этой прямой. Получит-
Получится аффинная плоскость, в которой имеет место аффинная
дезаргова конфигурация. Бэтой аффинной плоскости мож-
можно ввести координаты из тела к. По этому телу к мож-
можно построить проективную плоскость, имеющую то же
строение, что и данная плоскость. Однако следует отме-
отметить, что тело строится не канонически, что построение
связано с выбором удаляемой прямой. Каноническое
тело, соответствующее плоскости, должно быть истолко-
истолковано как класс эквивалентности тел (одно тело для каж-
каждой удаляемой прямой).
Мы еще ни разу не упомянули об аксиомах аффин-
аффинных или проективных пространств размерности п > 2.
Как эти аксиомы должны выглядеть, приблизительно
ясно. В проективном случае аксиомы инцидентности мог-
могли бы быть правилами, связывающими размерности пе-
пересечения и суммы, в аффинном случае — правилами,
связывающими размерности пересечения и объединения.

§ 11] ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ 141
Мы уже вывели эти правила в гл. I. Если п >2, то пос-
постулирование теоремы Деэарга не является необходимым:
ее можно вывести иэ аксиом инцидентности. Рис. 5 под-
подсказывает, что дезаргову конфигурацию можно рассмат-
рассматривать как проекцию трехмерной конфигурации на плос-
плоскость. Легко проверить, что имеет место трехмерная кон-
конфигурация. Читатель должен разработать все детали этой
проверки. Таким образом, теорема Дезарга является не-
необходимым и достаточным условием того, чтобы плани-
планиметрия допускала расширение до геометрии размерности
3 (или больше). В самом деле, если п > 2, то теорему Де-
Дезарга можно доказать; с другой стороны, если теорема
Дезарга выполняется, то в плоскости можно ввести коор-
координаты. Но тогда эту плоскость, очевидно, можно вложить
в пространство большей размерности. Мы получили но-
новое геометрическое толкование теоремы Дезарга.
Бели заменить конфигурацию Дезарга конфигурацией
Паппа, то, как показал Гессенберг, утверждение Де-
Дезарга можно вывести из утверждения Паппа. Хотелось
бы иметь доказательство этого факта в духе нашего изло-
изложения.
Может также возникнуть мысль о замене теоремы Де-
Дезарга теоремой о полном четырехстороннике. Здесь уже
получено много интересных результатов, которые чита-
читатель может найти в соответствующей литературе.
Упражнения. Можно, конечно, и правому век-
векторному пространству сопоставить проективное прост-
пространство V.
Пусть V и V — векторные пространства над телами
кик' соответственно (V может быть правым, а V' — ли-
либо левым, либо правым или V — левым, а V — либо
левым, либо правым). Предположим, что они имеют оди-
одинаковые размерности. Пусть U —>• U' — биекция подпро-
подпространств из V на подпространства из V. Назовем ее
коллинеацией F на V, если Ux с: U2 влечет Ux с: и'2,
корреляцией V на V, если Ux a U2 влечет U[ r> Ut.
1) Пусть V — левое векторное пространство над те-
телом к. Укажите такое правое векторное пространство
V над некоторым телом к', чтобы существовала коллинеа-
ция пространства V на пространство V.

142 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. И
2) По каждому левому векторному пространству V мож-
можно канонически построить правое векторное пространст-
пространство V над тем же телом к вместе с канонически определяе-
определяемой корреляцией V —* V. Докажите этот факт.
3) Используйте 1) и 2) для описания всех коллинеа-
ций и корреляций, привлекая для этого также и основ-
основную теорему проективной геометрии.
4) Какое необходимое и достаточное условие следует
наложить на тело к, над которым рассматривается прост-
пространство V, чтобы существовала корреляция V —* V
(пространства V на себя)? Рассмотрите групиу всех кор-
корреляций и коллннсаций V —> V и исследуйте ее строение.
Постройте для них диаграммы.
Пусть х — антиавтоморфизм тела /с (если к — поле,
то каждый автоморфизм является также и антиавтомор-
антиавтоморфизмом). Назовем «произведение» VxV-^-k обобщен-
обобщенным спариванием V с V в тело к, если имеют место оба
дистрибутишшх закона и (в случае, если V — правое
векторное пространство) удовлетворяются следующие
условия:
X (Го) = (XY) a, (Xa) Y = a? (XY).
Используя пространство V, сопряженное к V, можно
легко описать законы, которым подчиняется такое спа-
спаривание.
5) Предположим, что имеется корреляция V —> V.
Докажите, что существует обобщенное спаривание V с
V в тело к, позволяющее описать корреляции на алгебра-
алгебраическом языке. Найдите все спаривания, описывающие
данную корреляцию.
6) Рассмотрите корреляцию между двумя проектив-
проективными плоскостями. Рассмотрите образы конфигураций
Дезарга, Паппа и полного четырехсторонника. Являет-
Является ли это доказательством того, что имеют место конфи-
конфигурации-образы?
7) Пусть П и П' — дезарговы аффинные плоскости,
к и /с' — тела гомоморфизмов, сохраняющих следы групп
параллельных переносов Т и Т' соответственно. Пусть
%: П -у 1Г — биекция плоскости П на П', переводящая
прямые в прямые.

5 И] ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ 143
Докажите, что:
a) ХТХ~1 = Г;
b) для каждого а е-1 к отображение
т' -> X (Х-ЧХУХ-*
является гомоморфизмом, сохраняющим следы группы
Т', и, следовательно, произвольным элементом тела к',
который можно обозначить через а*;
c) отображение X: к—ук', задаваемое соответствием,
а --* а\ является изоморфизмом между телами к и А"
d) если в плоскости П координаты уже вподены, то
систему координат в плоскости П' можно выбрать так,
чтобы образом точки (х, у) плоскости П являлась точка
(хК, у*) плоскости ГГ.
e) Опишите все такие отображения X с помощью фор-
формул.
8) Используя рис. 6, укажите последовательность
из трех перспектив, которая осуществляет проективное
отображение а прямой /, проходящей через точки А и
В, на себя, обладающее следующими свойствами: А и
В — неподвижные точки; если точка С отлична от А и
В, то ее образ при отображении а является четвертой
гармонической точкой D. Каков порядок проективного
отображения б? *)
9) Пусть к — поле, характеристика которого не рав-
равна двум, V — векторное пространство над к, V — соот-
соответствующее проективное пространство. Пусть а — про-
проективное отображение пространства V на себя, порядок
о1 равен 2 ш а обладает по меньшей мере одной неподвиж-
неподвижной «точкой». Докажите, что среди линейных отображе-
отображений пространства V на себя, индуцирующих а, имеется
одно (обозначим его X), порядок которого также равен
2. Покажите, что пространство V является прямой сум-
суммой двух таких подпространств U и W, что X оставляет
каждый вектор из U на место и переводит каждый вектор
из W в противоположный вектор. Покажите также, что
*) Подразумевается порядок з как элемента группы проектич-
вых отображений. — Прим. перее.

144 АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. II
проективное отображение ст полностью определяется за-
заданием пары подпространств U, W (пара U, W эквива-
эквивалентна паре W, U).
10) Пусть к — поле, характеристика которого не рав-
равна 2. Покажите, что проективное отображение порядка
2 прямой I, обладающее неподвижной точкой, обязатель-
обязательно является отображением вида, описанного в 8). Не
прибегайте к каким-либо вычислениям. Возвращаясь к
9), опишите проективное отображение а с помощью гео-
геометрических построений. Предположим, что к — тело
кватернионов. Укажите проективное отображение пря-
прямой, имеющее порядок 2, но уже отличное от отображе-
отображения указанного типа.

ГЛАВА Ш
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Метрические структуры на векторных пространствах
Эта глава предполагает знание §§ 2—4 гл. I. Мы бу-
будем иметь дело исключительно с векторными простран-
пространствами V конечное размерности п над полем! Левое
пространство V мы канонически превратим в двусторон-
двустороннее пространство, полагая, по определению,
Ха = аХ, ее к, l?7.
Поскольку V уже стало как левым, так и правым про-
пространством, то можно рассмотреть спаривание простран-
пространства V с самим собой в поле к. При этом спаривании
произведение XYе?к определено для всех X, Уе^и
подчиняется законам
{Хх + Xt) У = Х{Г + Х2У, X (Ух+ У,) = ХУх-Ь XY2,
(аХ) Y = a (XY), X (оУ) = a (XY) Л)
(последний закон выполняется, так как aY = Ya и так
как к — поле).
Читателю следует интуитивно представить себе X2 =
— XX как нечто, характеризующее «длину» вектора X,
a XY — как нечто, относящееся к «углу» между X и У
(как «скалярное произведение»). Будем говорить, что
такое произведение определяет «метрическую структу-
структуру» (или «метрику») на пространстве V. Исследуем сна-
сначала, как эту структуру можно описать в базисе Лг,
А2,..., Ап пространства V.
Положим
AiA}=-gl}, gu<=k, i, / = 1, 2,..., п, C.2)

UB СИМПЛЕКТИЧВСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ 1ГЛ. Ш
Пусть
п п
х = s м*, з' =» S .^Л C-3)
— произвольные векторы. Законы C.1) позволяют вы-
выразить их произведение следующим образом:
п
XY = 2 Sv^vZAm C.4)
а ото показывает, что произведение XY вполне определе-
определено, коль скоро известны gij.
Обратно, выберем в поле к произвольные элементы
gtj и определим произведение XY (векторов X и У, задан-
заданных равенствами C.3)), с помощью равенства C.4).
Очевидно, что это произведение подчиняется законам
C.1) и поэтому является спариванием. Если в C.4) по-
положить X = Аи Y = Aj, мы опять получим C.2). Функ-
Функция от переменных zv и у^ вида C.4) называется били-
билинейной. Следовательно, изучение билинейных функций
эквивалентно изучению метрических структур на V.
Для данного спаривания коэффициенты gtj зависят
от выбора базиса. Посмотрим, как преобразуются gl}
при замене одного базиса другим. Пусть Вх, В2,..., Вп —
п
новый базис пространства V. Тогда Bj =¦- 2 Ачач], где
v=l
df] — некоторые элементы поля к. Векторы Bj бу-
будут образовывать базис пространства V тогда и только
тогда, когда определитель матрицы (atj) не равен 0. Но-
Новому базису отвечают новые коэффициенты g^:
Эти равенства можно записать в матричной форме:
И = («л) (8а) Ы, C.5)
где (a,ji) — матрица, транспонированная к матрице (at Л.

|S Ij ММРИ^КСКЙЁ СТРУКТУРЫ 147
Рассматриваемое спаривание имеет левое ядро Uu
я правое ядро Fo. В данном случае они являются, конеч-
конечно, подпространствами одного и того же пространства F.
Мы уже знаем, что dim V/Uo~ dim V/Vo, откуда сле-
следует, что размерности пространств Uo и Fo равны между
собой. Выразим элементы из Uo в базисе Av. Вектор X —
п
= 2 ХтАч принадлежит подпространству t/0 в том и толь-
v=l
ко в том случае, если XY = 0 для всех У. Тогда, ко-
конечно, X'Aj—0 {j — 1, 2,..., п). Обратно, если ХА}= 0 для
7 = 1, 2,..., п, то
Итак, X Er t^o тогда и только тогда, когда
п
Sgwa:v = O, / = 1, 2,...,п. C.6)
Нас, в частности, интересует вопрос: когда UQ будет ну-
нулевым подпространством в F? В этом случае и Fo= О,
так как Fo имеет ту же раамерность, что и Uo. Система
уравнений C.6) будет обладать только тривиальным ре-
решением, а это возможно в том и только в том случае, ес-
если определитель матрицы (g^) отличен от нуля. Мы бу-
будем пользоваться следующей терминологией.
Определение 3.1. Векторное пространство V
с метрической структурой называется невырожденным,
если ядра спаривания равны 0. Определитель G = det(g^)
называется дискриминантом пространства V. Не-
Необходимым и достаточным условием того, что F — не-
невырожденное пространство, является условие G Ф 0.
Возвратимся к формуле C.5). Обозначим определитель
матрицы (gl}) (т. е. дискриминант пространства V отно-
относительно базиса Bv) через G. Переходя в C.5) к опреде-
определителям, получаем
G = 0-(det (au))z. C.7)

148 СЙМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЙ trjt. tit
Следовательно, сама по себе метрическая структура
определяет дискриминант пространства V с точностью
до множителя, являющегося квадратом в /с*).
Определение 3.2. Пусть V и W — векторные
пространства над телом к, а: V —* W — мономорфизм.
Предположим, что на обоих пространствах определены
метрики. Мономорфизм а называется изометрией про-
пространства V в пространство W, если а «сохраняет произ-
произведения»:
XY = (аХ) (сгУ) для всех X, Y е V.
Наиболее важным является случай изометрии прост-
пространства V на себя. В этом случае отображение о~4 также
является изометрией; если а и т — изометрии простран-
пространства V на себя, то и ах — изометрия V на V.
Определение 3.3. Пусть V — пространство с
метрической структурой. Изометрии пространства V на
себя составляют группу, которую мы назовем группой
пространства V (с метрикой).
Пусть а — эндоморфизм пространства V, А„ — ба-
базис пространства V. Положим oAt = Bt; если а — изо-
изометрия, то BtBj = AtAj (i, / = 1, 2,..., п). Обратно,
предположим, что этив равенства имеют место. Если Х=
п п
= 2 ЖмЛ и У = 2 Уу.Ау_, то
аХ = 2 ^v (<зА v) =
Й
*) Дискриминант зависит, по существу, не только от метричес-
метрической структуры, но и от выбранного базиса для самой метрической
структуры. Дискриминант определен только с точностью до множи-
множителя, являющегося ненулевым квадратом в к. Иначе говоря, дис-
дискриминант метрики — это или нуль, или элемент фактор-группы
/с*/Л*2.— Прим. ред.

g \) МЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 149
Имеем
n n
V, [1=1 V, (lei
Отображение а будет изометрией, если мы сможем по-
показать (или предположим, если это необходимо), что яд-
ядро отображения а равно 0. Если пространство V невы-
невырожденно, то это получается автоматически. Действи-
Действительно, если аХ = 0, то oXaY = 0 для всех Y из V.
Но aXoY = XY, так что XY = 0 для всех Y^V. Это
означает, что вектор X лежит в левом ядре Uo, и поэтому
X = 0, если мы предположим, что V — невырожденное
пространство.
Теорема 3.1. Пусть а — эндоморфизм простран-
пространства V, {At} — базис пространства V и oAt — Bt. Тог-
Тогда отображение а будет изометрией в том и только в
том случае, если AtAj = ВгВ] для всех i, j = 1,2,..., n
и если ядро отображения а равно 0. Последнее условие из-
излишне, если пространство V невырожденно.
п
Если мы напишем Bt = 2 Ача^, то матрица (at})
v=l
будет представлением эндоморфизма а в смысле § 3 гл. I.
Так как при изометрии В\Вj — gtj = gtj, то из равенств
C.5) и C.7) получаем
Ы = Ш Ш (ац), C.8)
¦ G = (det (au)y-G = (detaJ-G. C.9)
Если пространство V невырожденно, то G Ф 0 и мы
получаем, что det <х = ± 1.
Теорема 3.2. Если пространство V невырожденно
и а—изометрия пространства V на себя, то det a =
== ± 1. При det а — -+- 1 игометрия а называется вра-
вращением; при det а = — 1 — отражением. Вращения сос-
составляют инвариантную -подгруппу группы простран-
пространства V, индекс которой не превышает 2.
Последняя часть теоремы следует из того, что отобра-
отображение а —> det а является гомоморфизмом группы про-
пространства V, ядро которого составляют все вращения,
а образами при котором являются ± 1 или только + 1

150 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. lit
(в том случае, если отражения вовсе отсутствуют или
если характеристика поля к равна 2).
Пусть X2 = Х-Х; по формуле C.4) получаем
п
*• = S 8Ч*Ъ- (ЗЛО)
*, 3=1
Это выражение зависит от xv квадратично и поэтому
называется квадратичной формой. Коэффициентом при
Я{2 является элемент gih а при хгх} — элемент gu + gjj,
если i Ф /. Заметим, что элементы ц1} можно подобрать
так, чтобы Xz стало любой наперед заданной квадратич-
квадратичной формой; это даже возможно сделать различными спо-
способами.
Квадратичную форму можно определить внутренним
образом (без упоминания о базисе) как отображение Q
пространства V в поле к (но нелинейное), удовлетворяю-
удовлетворяющее следующим условиям
1) Q (aX) = a*Q (X), а ЕЕ к, XeeV.
2) Функция Q (X+ Y) - Q (X) - Q (Y) двух пере-
переменных X, Уе V, которую мы обозначим X ° У, явля-
является спариванием пространства V с самим собой в поле к.
В самом деле, если исходить из произвольного спари-
спаривания XY и определить Q (X) — Хг, то это Q (X) будет
удовлетворять условию 1). Для X о Y получаем
X о Y = (X + Yf — X2 — У2 = XY + YX.
Следовательно, функция X ° Y удовлетворяет условию 2).
Заметим, однако, что X ° Y не является, вообще гово-
говоря, исходным спариванием.
Обратно, предположим, что Q (X) удовлетворяет обо-
обоим условиям. Если положить в условии 2) X = Хх -\-
Хъ + ... + Xr_t и У = Хг, то получим
Q (Х1 + X, + ... + Хг) r= Q (X, + X, + .. . + Хъ) +
г—1
+ Q(Xr)+

§ 1] МЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 151
Воспользовавшись индукцией по г, можно показать, что
г
Q{Xl+Xt + ... + Xr) = '%Q(Xd+ S (Х,оХ,).
Пусть i4lt Аг,..., Ап — базис пространства V и пусть
п
X = 2 Mi- Тогда
Это равенство показывает, что Q (X) действительно за-
зависит от xi квадратично.
Спаривание
Q(Y), C.11)
которое получается из квадратичной формы, является
спариванием очень частного вида. Если в C.11) поло-
положить У = X, то мы получим
X с X = 2Q (X), C.12)
так как Q {2X) = 4 Q (X). Соотношение C.11) показы-
показывает также, что
X oY = Y о X. C.13)
Рассмотрим отдельно случаи, когда характеристика
поля отлична от 2 и равна 2.
а) Пусть' характеристика поля к не равна 2. Тогда
можно записать: Q(X)=y(X°X), и мы видим, что
квадратичная форма отличается от X о X несуществен-
несущественно. Спаривание симметрично. Существует ли другое
симметричное спаривание XY = YX, для которого
Q (X) = у X • X? Предположим, что оно существует.
Тогда
откуда X-Y = X °Y,

152 СИМПЛБКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. III
Таким образом, квадратичная форма Q (X) однознач-
однозначно определяет такое симметричное спаривание,
что
X-X = 2Q(X).
Если мы зададимся целью изучать квадратичные формы,
то можно также исходить из симметричного спаривания и
называть X2 соответствующей квадратичной формой, по-
поскольку Xz несущественно отличается от Q (X), а именно,
постоянным множителем 2.
Ь) Картина будет совсем иной, если к — поле харак-
характеристики 2.
Равенство C.12) преобразуется к виду X о X = 0.
Если мы будем исходить из симметричного спаривания
XY — YX и попытаемся из X2 получить квадратичную
форму Q (X), то это нам не удастся. В самом деле, если
X — ^AtXi, то
так как слагаемые AiAjZiXj и AjAiXjXi (при i Ф /) вза-
взаимно уничтожается, если характеристика равна 2.
Например, никогда не получится слагаемое хгх2. Исхо-
Исходить же из несимметричного спаривания нежелательно,
так как такое спаривание определяется квадратичной
формой неоднозначно *).
§ 2. Определения симплектической
и ортогональной геометрий
Предположим опять, что задано произвольное спари-
спаривание пространства V с самим собой в поле к. Как и
при любом спаривании назовем вектор А ортогональным
вектору В, еоли АВ = 0. Немедленно возникает вопрос:
*) Теория билинейных и квадратичных форм над полем ха-
характеристики 2 существенно отличается от соответствующей теории
в случае, когда характеристика поля не равна 2. Она еще очень.
мало исследована. — Прим. ред.

% 2] ОПРЕДЕЛЕНИЯ 153
при каких метриках из АВ = 0 вытекает В А = О? Пред-
Предположим, что пространство V обладает указанным свой-
свойством. Пусть А,В, СеГ. Пользуясь тем, что к — поле,
получаем
А ((АС) В - (АВ) С) = (АС) (АВ) - (АВ) (АС) = 0.
Следовательно,
,((АС)В - (АВ)С)А = 0
или
(АС) (ВА) = (СА) (АВ). C.14)
При С = А получаем А*-(ВА) = А2-(АВ). Если А2 Ф
Ф 0, то 5.4 — АВ. Иными словами:
если АВ Ф ВА, то Аг — 0 и аналогично Я2 = 0.
Предположим теперь, что пространство V содержит
два таких вектора А и 5, для которых АВ Ф ВА. Мы хо-
хотим показать, что тогда С2 — 0 для любого вектора С.
Последнее, конечно, верно, если АС Ф СА. Следователь-
Следовательно, можно предположить, что АС = СА. Но тогда равен-
равенство C.14) будет совместимо с условием АВ Ф ВА толь-
только в том случае, если АС = С А = 0. Поменяв местами
векторы А и В, мы видим, что можно также положить
ВС — СВ = 0. Но тогда имеем
(А + С) В = АВ Ф ВА = В (А + С).
Следовательно, (А -\- СJ = 0; так как А2 = 0 (это вы-
вытекает из того, что АВ Ф ВА) и АС — СА = 0, то мы
действительно получаем, что С2 = 0. Мы видим, что име-
имеются следующие два типа метрических структур со свой-
свойством «АВ — 0 влечет ВА = 0».
1) Симплектическая геометрия. Здесь мы постули-
постулируем
X2 = 0 для всех X е V. C.15)
Заменяя вектор X на X + Y, получаем X2 + XY +
+YX + Y2 = 0, откуда
XY~-YX, X,Y^V. C.16)
Из равенства C.16) следует, что АВ = 0 влечет ВА = 0.

154 СИМПЛЕКТИЧКСКЛЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМКТРИИ ГГЛ. lit
Из условия C.16) нельзя получить условие C.15)
как частный случай, полагая Y — X, так как поле к
может иметь характеристику 2.
Для элементов gtj в случае симплектической геомет-
геометрии выполняются следующие условия:
ёи = 0, Ец = - gJt. C.17)
п
Билинейная форма 2 gi}xiVh коэффициенты которой
i, 3=1
удовлетворяют условиям C.17), называется кососиммет-
рической. Если условия C.17) выполняются, то X2 —
п
— 2 8uxixi—Qi откуда следует, что равенства C.17)
составляют необходимое и достаточное условие того, чтобы
геометрия была симплектической. Сказанное означает
также, что изучение симплектической геометрии равно-
равносильно изучению кососимметрических билинейных форм.
2) Ортогональная геометрия. Если геометрия прост-
пространства V несимплектическая, обладающая, однако, свой-
свойством «АВ — 0 влечет ВА = 0», то необходимо, чтобы
XY = YX для всех X, Y<=V, C.18)
т. е. в этом случае мы имеем симметричное
спаривание, с которым уже столкнулись ранее при рас-
рассмотрении квадратичных форм.
Если характеристика тела к не равна 2, то эта геомет-
геометрия вполне удовлетворительна, так как симметричные
спаривания находятся во взаимно однозначном соответ-
соответствии с квадратичными формами и можно просто сказать,
что Хг — квадратичная форма, соответствующая наше-
нашему спариванию.
Однако, если к — поле характеристики 2, то симмет-
симметричных спариваний, вообще говоря, недостаточно*).
В этом случае исходят из произвольной квадратичной фор-
формы О (X) и определяют спаривание по формуле C.11).
•) То есть может нарушиться взаимно однозначное
соответствие между симметричными спариваниями и квад-
квадратичными формами. — Прим. ред.

§ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЯ 155
Будем, однако, для простоты применять и для этого, спа-
спаривания обозначение XY. Следовательно,
XY = Q(X -I- Y)-Q(X)-Q (Y). C.19)
Равенство C.12) показывает, что
X2 - 0. C.20)
Таким образом, соответствующее спаривание являет-
является симплектическим (если характеристика равна 2, то
между равенствами C.18) и C.16) нет никакой разницы).
На интуитивном геометрическом языке: V обладает
симплектической геометрией, которая уточняется до-
дополнительной квадратичной формой (измеряющей дли-
длины, если хотите), связанной с симплектической гео-
геометрией равенством C.19). Геометрия пространства V
в обоих случаях называется ортогональной геометрией.
Итак, связи с квадратичной формой следующие:
(X -|- УJ = X2 + Y2 + 2XY, если характеристика не
равна 2; Q (X + Y) = Q (X) + Q (У) + XY, если харак-
характеристика равна 2. Каждую из этих формул можно наз-
назвать теоремой Пифагора или также «теоремой косинусов»,
так как обе эти формулы в частных случаях превращают-
превращаются в указанные теоремы.
Однако мы несколько ограничим наши рассмотрения.
Если мы имеем дело с ортогональной геомет-
геометрией, то для простоты мы всегда будем молчаливо пред-
предполагать, что характеристика поля не равна 2.
В случае симплектической геометрии мы никаких ограни-
ограничений на характеристику поля накладывать не будем.
Если читатель заинтересуется вопросами ортогональ-
ортогональной метрики в случае поля характеристики 2, то он мо-
может обратиться к рекомендуемой литературе, в которой
лтот случай рассматривается более подробно.
Приложение для читателей, которые поработали
над некоторыми уп ражнениями § 11 главы II
Если тело к не обязательно коммутативно, но обладает
антиавтоморфизмом т, то можно рассмотреть обобщен-
обобщенное спаривание правого векторного пространства V с
самим собой в А; и исследовать соответствующую задачу.

156 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. III
«Предположим, что из XY = 0 всегда вытекает YX = 0.
При каких метриках это возможно?» Исследование не-
несколько усложняется тем, что мы имеем дело уже с обоб-
обобщенным спариванием. Предположим, что dim F>2, и рас-
рассмотрим сначала случай, когда ядро спаривания нулевое.
Пусть А, В и С — такие векторы из V, что АВ Ф 0
и АС Ф 0. Из тождества
А (В (AB)~i - С (АС)-*) = 0
получаем
{В {АВ)-* - С {АС)-*) А = 0,
что приводит к равенству
{АВ)-* {ВА) = {АСУ {СА) = а.
Можно записать {ВА) — (АВуа, где а зависит только
от А; для векторов В, для которых АВ = В А = 0, это
равенство выполняется очевидным образом. Теперь нуж-
нужно показать, что а не зависит от А. Путь Аг и А2 — не-
независимые векторы. Тогда существует вектор В\, орто-
ортогональный А2, но не ортогональный А1г т. е. такой, что
АгВг ^0 и А2Вг — 0. Поскольку вектор Вг можно ум-
умножить на подходящий скаляр, то, не нарушая общности,
можно считать, что АхВг = 1, А2Вг = 0. Аналогично
существует такой вектор В2, что AtB2 = 0, А2В2 — \.
Вектор В = Вх -\- В2 удовлетворяет условиям АХВ = 1,
А2В = 1. Имеем три равенства
54r = {AiBfth, BA2 = D25)таа,
В {А, - А2) = {(А, - 4г) 5)та8-
Они дают: ВАГ = ах, 542 = а2, аг— а2 = 0. Если бы
векторы Лг жА2 были зависимы и отличны от 0,то мы срав-
сравнили бы их с третьим независимым вектором и заключи-
заключили бы, что а — одно и то же для всех А Ф 0. Если А = 0,
то не имеет значения, какое мы берем а. Окончательный
результат:
{YX) = {XY?a для всех X, Y 6E V.
Случай 1. X2 = 0 для всех XgeF. Тогда, как в сим-
плектическом случае, мы заключаем, что YX = — {XY),
и получаем — (XY) = (ХУ)та. Выбирая X и У таким

9 2] ОПРЕДЕЛЕНИЯ 157
образом, чтобы XY = 1, мы получаем, что а = — 1,
так что (XY) — (XY)Z. Но XY может принимать любые
значения из тела к, так что т = 1, т. е. т — тождествен-
тождественное отображение тела к. Но тождественное отображение
может быть антиавтоморфизмом лишь в том случае, если
к — поле. Это означает, что наша геометрия симплек-
тическая.
Случай 2. Существует некоторый вектор Хо, для кото-
которого X* = р Ф 0. Полагая в нашем равенстве X = Y —
— Хо, получаем а = Р~тр. Введем новое спаривание
[XY] = р (XY). Оно отличается от данного спаривания
совсем несущественно (только постоянным множителем).
Мы получаем
Р IYX) = (Р [ХУ])ТР"ТР = [XYYf,,
[YX\ = p-1 [XY]Tp.
Имеем
l(Ya)X] = р-1 ((Га) X) = p-V (YX) = ^a^
откуда следует, что новому спариванию соответствует
антиавтоморфизм а -> Р-1атр = ах. Теперь можно за-
записать
[YX] = IXYt.
Произведя повторную перестановку векторов X и У,
получаем [YX] — [YX]X\ откуда следует, что Я,2 — тож-
тождественное отображение.
Следовательно, можно было сразу предположить,
что т — антиавтоморфизм порядка не больше 2 и что
(УХ) = (XY)\
Если т = 1,- то тело к должно быть полем и мы нахо-
находимся в случае ортогональной геометрии.
Если т — антиавтоморфизм порядка 2, то тело к мо-
может и не быть полем. Соответствующая геометрия назы-
называется унитарной, а форма Хг — эрмитовой формой.
Если ядро спаривания У^Ф 0, то нужно предполо-
предположить, что dim V/Vo > 2, и получить прежний резуль-
результат, переходя к спариванию, индуцируемому на V/Vo.
Упражнение. Каждая ив наших геометрий с
ядром 0 индуцирует на проективном пространстве V

153 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. III
корреляцию порядка 2 и каждая корреляция порядка 2
индуцируется одной из наших геометрий. Какими харак-
характерными геометрическими чертами симплектичес-
к а я корреляция отличается от остальных корреляций?
Оправдано ли употребление прилагательного «симплек-
тическая»? Предположим, что геометрия либо унитарна,
либо ортогональна. Что означает для отдельного вектора
X равенство Хг = 0 на языке корреляции? Это приводит
к классическому определению конического сечения в про-
проективной геометрии.
§ 3. Общие свойства ортогональной
и симплектической геометрии
В этом параграфе мы изучим пространства, обладаю-
обладающие либо ортогональной, либо симплектической геомет-
геометрией. В любом случае ортогональность векторов или под-
подпространств определена недвусмысленно*). Если U —
подпространство пространства V, то ортогональное под-
подпространство U* определено однозначно. Оба ядра спари-
спаривания пространства V совпадают; обозначим их через V*.
Определение 3.4. Ядро V* называется ради-
радикалом пространства V и обозначается rad V.
Если U — подпространство пространства V, то спа-
спаривание пространства V индуцирует, как ограничение на
U, спаривание пространства U, которое будет того же
типа, что и спаривание пространства V, т. е. ортогональ-
ортогональное или симплектическое. Подпрострапство U в свою
очередь обладает радикалом, состоящим из векторов про-
пространства U*, лежащих в U. Иными словами,
radU = Ur\U*, UcV. C.21)
Определение 3.5. Если пространство V прод-
ставимо в виде прямой суммы
V = <710t710...0rP. C.22)
попарно ортогональных подпространств, то мы будем
говорить, что V является ортогональной суммой подпро-
*) Здесг» имеется в пиду равносильность равенств ЛВ = О
И ВЛ ~ 0.— Прим. ред.

8 3) ОБЩИЕ СВОЙСТВА 1f>9
странств Ut, и записывать это следующим образом:
V~l\±U,±...±Ur. C.23)
Пусть V — векторное пространство, являющееся
прямой суммой C.22) подпространств Ut. Предположим,
что на каждом Ui задана метрическая структура. Тогда
эту структуру можно единственным способом продолжить
до структуры на пространстве V так, чтобы V превра-
превратилось в ортогональную сумму подпространств U{.
г г
ЕслиХ = ^ -^ь Y ~ 2лВ{ — векторы пространства
V и Ai, BiEr.Ut, то, очевидно, их скалярное произве-
произведение нужно определить так:
XY = А& + АгВ2 +...+ АТВТ. C.24)
Доказательство того, что C.24) определяет спаривание
на V и что V будет обладать симплектической или орто-
ортогональной геометрией, если все Ut — пространства с сим-
симплектической или ортогональной геометрией соответ-
соответственно, не вызовет у читателя каких-либо затруднений.
Метрика пространства V индуцирует на каждом Ut его
исходную метрику, причем Ut и Ut ортогональны, если
Предположим, что V — Ur -\- иг +...+ UT, Ui ор-
ортогонально U}, если i Ф /, но не предполагается, что сум-
¦г
ма — прямая. Пусть Х= S-^ь At^Ut. Предполо-
i
жим, что X е= rad V. Тогда XBt = 0 для всех 54е: Uи
откуда Afii = 0 или 4FErad Ut. Обратно, если каждый
вектор Аг е rad Ut, ioXe rad V. Другими словами, ес-
если Ut попарно ортогональны, то
rad V = rad Щ + rad U2 +... + rad Ur. C.25)
Если каждое Ut невырожденно, т. е. rad U{ — О,
то мы получаем, что rad V — 0, т. е. V невырожденно.
Но в этом случае рассматриваемая сумма — прямая.
г
В самом деле, если ^At — 0, то АгВг = 0 для всех

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. III
Следовательно, Аге? rad Ut — 0. Таким обра-
образом, если каждое V% невырожденно, то имеет место ра-
равенство (и. 23).
Рассмотрим подпространство rad V пространства V.
Пусть U — дополнительное к нему подпространство, т. е.
V = rad V 0 U; rad V ортогонален V и, следовательно,
ортогонален U, и мы получаем, что
V = rad V ±\U, C.26)
откуда
rad V = rad (rad V) J_ rad U = rad F J_ rad C/.
Поскольку последняя сумма — прямая, то rad G=0.
Следовательно, подпространство U невырожденное.
Метрика на пространстве V, вообще говоря, не ин-
индуцирует метрику на фактор-пространстве. Однако она
индуцирует метрику на пространстве F/rad F. Естест-
Естественно определить произведение классов смежности (Х+
+ rad V) и (У + radF) как элемент XY:
(X + rad V)-(Y + rad F) = XY. C.27)
В теореме 1.3 мы отображали дополнительное прост-
пространство U ивоморфно на фактор-пространство F/rad V.
Это отображение было каноническим и переводило век-
вектор X из U в класс смежности X + rad V. Равенство
C.27) означает, что это отображение является ивомет-
рией пространства U на пространство F/rad V. Таким
образом, имеет место
Теорема 3.3. Каждое дополнительное к radF
пространство U обеспечивает ортогональное разложе-
разложение C.26). Пространство U — невырожденно и канони-
канонически иаометрично пространству F/rad V.
Определение 3.6. Пусть V = Ut J_ Ut J_ ...
... _|_ U, и V = ?Y J_ U4 _]_ ... J_ U/ - ортогональ-
ортогональные разложения пространств V и V; предположим, что
для каждого г задана изометрия at пространства Ut в
г
пространство Ut'. Если -X — 2-44 (At e Ut) — вектор
из пространства V, то можно определить отображение

§ 3] ОГ.ЩЙЕ СПОЙСТПЛ 1G1
а пространства V в пространство V, положив
аХ = ауАх + агАг + ... + Мт! C.28)
а будет изометриеи. Мы обозначим ото отображение сле-
следующим образом:
o = o1±at±...JLar, C.29)
и будем говорить, что а — ортогональная сумма отобра-
отображений CTj.
Читателю необходимо, конечно, проверить, что а —
мономорфизм пространства V в пространство V, сохраня-
сохраняющий скалярные произведения.
Теорема 3.4. Пусть V — их}_иг}_... \JJT и каж-
каждое аг — изометрия пространства Ut на себя. Тогда ор-
ортогональная сумма
а — ai _!_ ста J_ ••• _L °r
является изометриеи пространства V па себя и
det a = det а1-Ав\,аг... dot а,.. C.30)
Если
т = Т! J_t2_L ... J_t,.,
где каждое т* также является изометриеи пространства
V\ на себя, то
ах == агху JL сг2т2 J_ ... ±_ агхг. C.31)
Доказательство этой теоремы проводится непосред-
непосредственно и может быть предоставлено читателю.
Теорема 3.5. Предположим, что пространство V
невырожденно, и пусть U — любое подпространство в
V. Тогда имеют место следующие соотношения:
U** = U, dim U + dim U* = dim V, C.32)
rad U =¦¦ rad U* = U[\ U*. C.33)
Подпространство U будет невырожденным тогда и
только тогда, когда U* невырожденно. Если U невырож-
невырожденно, то
V = U _1_ U*. C.34)
Наконец, если V — U J_ W, то подпространства
U и W невырожденны и W = U*.
6 Э. Артин

н,2 агмплг.ктпчг.с.клн л ортогональная ri::oMF.Ti'iin: г гл. ггт
Д о к a ;i а т с л ь с т и о. Поскольку ядра енарпва-
ппя раины 0, то из общей к'орпн спаpunaним пмтекают
равенства (о.;>2). Из формул (М..Ч2) и (^.21.) шлекшет (.i.'.V-i).
Есля подпространство U певмрождсшю, то (о!..'33) тжа-
:и.1иаст, что и (,'* певирожденно и что сумма U -|- //*—
прямая; ввиду равенство размерностей мы получасы (,"!.М4).
Если F - /у [ и/, то IV с: U* и dim W = п — dim t/ =¦=:
¦ dim ?/*; следовательно, Р^ = ?7* и rad f/ -¦ (If)
п ^/* - о.
(.) пределе и и е 3.7. Если произведение jnoiioii
нары векторов пространства V равно 0, то такое прост-
пространство называется изотропным. Нулевое нодпростр.иг-
ctro и радикал простраистиа составляют примеры изо-
изотропных подпространств. Вектор А называется илот port-
ным, если Л2 -¦-¦ 0. В елмплектпческой геометрии каждый
вектор изотропен.
Т с о р о л a 3.G. Пусть V — пространство с орто-
ортогональной геометрией, причем каждый вектор из V изо-
изотропен. Тогда пространство V изотропно.
Д о тс а з а т е л ь с т в о. При сделанном предполо-
предположении ото геометрия является как ортогонально)!, так
и симплектической. Поэтому имеем XY - - — УХ -= УХ.
Отсюда следует, что ХУ = 0, так как мы предположили,
что в случае ортогональной геометрии характеристика
тела h не равна 2.
Следующий частный случай играет важную роль в
общей теории.
Предположим, что dim V = 2, пространство V по-
полы рождонно, но V содержит изотропный вектор N фО.
Если А — произвольный вектор, не содержащийся
в прямой <ЛГ>, то V — (N,Ay. Мы попытаемся подобрать
другой изотропный вектор М так, чтобы NM ----- 1. По-
Положим М ~ xN + уА. Тогда NM — у NA. [Сели бм
N Л — 0, roN ?~ rad V, но мы предположили, что простран-
пространство V невырождепно. Поэтому NA Ф 0 и можно одно-
однозначно подобрать у так, чтобы NM ¦-¦= 1. В симилекти-
ческом случае равенство М2 -- 0 выполняется амтомати-
чески, так что х можно придать любое значение. Кепи
пространство V снабжено ортогональной метрикой, то
т определяется ил уравнения
Л/2 = о =-= 2x1/ NA -|

s ,'U опции свойства Ki:i
Так как 2j/AM Ф О, то г>то урлшкчше относительно
х имеет единственное решение.
Для обеих метрик имеем теперь
V = <ЛТ, М), Л'2 -¦ Ж2 =¦- О, NM •- 1.
Обратно, оелн F (N,M) — плоскость, то в Heft можно
внести метрику, полагая gn — /,г22 — 0 и #12 ¦¦¦¦¦¦¦ 1 (следо-
(следовательно, #г1 ¦¦¦•- 1 в ортогональном случпе и /?•,, --¦• —In
симшюктическом случае). Тогда TV2 — Мг ¦¦¦¦¦- 0 и NM ~- 1.
Если X - .гЛ7 -|- r/Af cv rad F, то ХМ -¦ 0 и NX ¦=-- О,
откуда х --¦ 0, и/ = 0. Следовательно, иростршгетво F
невырожденно.
Предположим, что на плоскости У — (N, №)¦ опреде-
определена ортогональная метрика. Вектор X ¦¦¦-¦ xN -\- цМ бу-
будет изотропным, если Хг — 2хг/ = 0, откуда либо у ---
== 0, X = xN, либо х = 0, X = ?/JW.
Определение 3.8. Иевырол;детшая плоскость,
содержащая изотропный вектор, нааывается гиперболи-
гиперболической плоскостью. Ее всегда можно натянуть ш\ пару вок-
торон N и ЛГ, которые удовлетворяют условиям
JV2 = 7W2 = 0, ЛГД/ = 1.
Каждую такую упорядоченную пару N, М назовем
гиперболической парой. Если V — невырожденная плос-
плоскость с ортогональной метрикой и Л Ф 0 — иаотроши.п"|
вектор пространства V, то существует в точности один
вектор М из V такой, что пара N, М будет гиперболичес-
гиперболической. Тогда изотропными векторами: плоскости V будут
только векторы xN и уМ.
Определение 3.9. Ортогональная сумма ги-
гиперболических плоскостей Px,L'-i,...,Pr называется ги-
гиперболическим, пространством:
Это пространство нер,ырождеино и имеет, очевидно, чет-
четную размерность 2г.
Пространство можно назвать неприводимым, если
его нельзя представить в виде ортогональной суммы соб-
crneirru.ix подпространств. 1J силу формулы .'.l!<j непри-
неприводимое пространство обязательно является либо иолы-
рожденпым, либо изотрошшм. Если оно изотропно, то
6*

104 СИМПЛКНТНЧ1ХЖЛЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. Ш
его размерность равна 1, так как любое разложение
изотропного пространства в прямую сумму является так-
также и ортогональным разложенном. При рассмотрении
невырожденного пространства мы различаем два случая.
1) Ортогональная геометрия. Ввиду теоремы 3.6
пространство V содержит неизотропный вектор А. Тог-
Тогда подпространство U=(,A} невырожденно и C.34) пока-
показывает, что U* = 0, dim 7=1.
2) Симплектическая геометрия. Пусть N ф 0 — про-
произвольный вектор пространства V. Так как rad V = 0,
то существует такой вектор А е: V, что NA Ф 0. Тогда
плоскость U = <iV, А} невырожденна и из C.34) опять
следует, что U* — 0, V = U.
Теорема 3.7. Пространство с ортогональной мет-
метрикой является ортогональной суммой прямых:
v = <^> _L <4.> _L ... _L <Any.
Множество векторов А < называется ортогональным бази-
базисом пространства V. Пространство V невырожденно
тогда и только тогда, когда ни один из векторов Ai не
изотропен.
Невырожденное симплектическое пространство являет-
является прямой суммой гиперболических плоскостей; другими
словами, jono является гиперболическим пространством.
Его размерность всегда четна.
Теорема 3.8. Пусть V — невырожденное прост-
пространство и U — произвольное подпространство в V. Пред-
Представим U в виде C/=rad UJ_W; пусть векторы Nu JV2,...
..., Nr составляют базис пространства rad U. Тогда в про-
пространстве V можно указать такие векторы Мг, М2,...
..., МТ, что каждая пара Ni, Mi будет гиперболичес-
гиперболической, гиперболические плоскости Pi = <JVj, Mt} будут по-
попарно ортогональны, а также ортогональны подпрост-
подпространству W. Поэтому V содержит невырожденное прост-
пространство
п-=Рг±Р,± ...± Pr I W,
которое в свою очередь содержит U. Пусть, наконец,
а — произвольная изометрия пространства U в некото-
некоторое невырожденное пространство V. Тогда а можно про-

§ 3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА 105
должитъ до изометрии а пространства U в пространст-
пространство V.
Доказательство. 1) Если г = 0, то доказы-
доказывать нечего. Поэтому можно применить индукцию по г.
Подпространство
Uo = <#!, iVa iVr_x> 1 W
ортогонально пространству Nr, но не содержит NT.
Имеем
rad U; = rad Uo = <JVlt ЛГ, Nr.ty.
Отсюда следует, что NT е U',, но Nr е? rad ?7,*. Поэтому
пространство U'o содержит такой вектор А, что ЫгАф0.
Тогда плоскость <JVr, А) невырожденна и содержит-
содержится в Uo. Она натянута на гиперболическую пару NT,
МТ. Положим Рг = (Nr, Мгу. Так как Рг czU*0, то
пространство Uo ортогонально плоскости Рт, откуда сле-
следует, что и0 содержится в невырожденном пространстве
Р*г. Радикал пространства Uo имеет размерность г — \.
По предположению индукции (применяемому к Р" как
ко всему пространству) в Р*г можно указать такие ги-
гиперболические пары JV;, Mi (для i ^ г — 1), что плоскос-
плоскости Pi будут попарно ортогональны и также ортогональ-
ортогональны W. Поскольку они ортогональны плоскости Рт, так
как Рт ортогональна пространству W, то на этом пост-
построение пространства U заканчивается.
2) Пусть а — изометрия пространства U в простран-
пространство V, JV/= aNt и W'= aW. Тогда aU = <#/, JVa',...
..., iVr')J_ W. Поэтому в пространстве V найдутся
такие векторы М/, что пара JV/,M/ будет гиперболичес-
гиперболической, а плоскости Р/= <-/V/, Mi") будут взаимно орто-
ортогональны и ортогональны W. Отображение а простран-
пространства U в пространство V продолжается теперь до отоб-
отображения а пространства U в пространство V, если
положить дМг = Mt'; очевидно, что а — изометрия.
Теорема 3.9. (Теорема Витта). Пусть V и V —
невырожденные пространства, между которыми установ-
установлена некоторая изометрия р. Пусть а — изометрия под-
подпространства U пространства V в пространство V.

160 О11МП.!1К!.-Т11ЧГ<;кл:1 ll (Н'ТоГОПЛ.ЧЫШ! ГКОМКТРИП 11'Л. ГI
Tosda а можно продолжить до изометрии. пространства V
на пространство У.
Д о к а .) а т е л ь с т и о. 1) Если И — невырожден-
невырожденное подпространство в V, которое было построено в тео-
теореме 3.8, то о можно продолжить до изомотрии простран-
пространства U в пространство V. Тем самым задача сводится к
случаю, когда U невырождешю, что иш тпггерь и предпо-
предположим.
2) Пусть V — симплектлческое пространство; обо-
обозначим через U' образ пространства U при изометрии а.
Запишем V = U J_ U* и V == ?/' ± IT*. Нам доста-
достаточно показать, что пространства ГУ* и W' мяомотричны.
1.1 о :)то очевнд1гп. Действительно, пространства V и V
имеют одинаковые размерпооти, так как между ними
существует изометрия р. Поэтому пространства U* и
U'* также имеют одинаковые роамерности и невьтрожден-
пы; по тео]>еме 3.7 они гиперболичны (мы находимся в
елмнлектическом. случае) и, следовательно, изометрич-
ны. Начиная с этого места можно предположить, что
метрика ортогональна.
3) Предположим, что наша теорема верна для невы-
невырожденных подпространств меньшей размерности, и бу-
будем рассуждать следующим образом.
Пусть U ----- Ut J_ U*, где Ux и Ut — собствен-
н ы е подпространства пространства U. Обозначим
черея t/j'o6pa3 пространства Ur при изометрии о", а через
т — отображение Г7Х —> ГД, яплпющееся ограниче-
ограничением о на Ь\. По предположению индукции т (как иио-
мотрию Ux в V) можно продолжить на все пространство
V; тогда пространство Щ будет отображаться на прост-
пространство их ¦ Это означает, что U\ и Uy изометричиы.
О другой стороны, изометрия а отображает пространство
?Л2 (ортогональное к Ux) в пространство U\ . Л такое ото-
отображение (по предположению индукции) можно продол-
продолжить до ииомотртш X л])остравства TJ\ на пространство
1][. Па этом доказательство заканчивается, тал как
т _|_ % — искомое продолнеение.
4) Осталось (еще покапать, что теорема верна, если
пространство U новырожденно и неприподимо. Б отом
случае U ¦¦¦- (Л} — прямая и J^ 0. Для образа С ~
=•- аА имеем С2 --- Л2. Но так как между V и V задана

S "'I ОЧЩГГГ, OliOIKTl: -\ К;/
изометрпя (>, ректор С япляется образом (> (/;) некоторо-
некоторого вектора В из V. Мы получаем, что У1".: /У2. Если дц,|
сможем укапать м:кшстршо т прост ранетка V на себя, пе-
переводящую A D II, то отображение рт будет пиомстриеп
V на У. Для того чтобы построить такое отображение т,
поступим следующим образом.
Векторы Л + В и Л — ./>' ортогональны, так как
(А -}- ^) (Л. — •#) ::- 0. Они ло могут быть одновремен-
одновременно ияотроппыми, поскольку лектор 2/1 (/! \ В) -
-\- (А — В) леияотроттмг. Один ил вокторои A -J- /{,
являющийся и е и з о т р о п н и м, обозначим мерс.1) 1):
D --¦- А -}• лЯ (г == ± 1). Ия вамечппии, сделанного
выше, следует, что вектор А — еВ принадлежит гипер-
гиперплоскости // =•= (А + еВ)'* = <РУ'. Пусть \х, — илоыот-
рия, тождественная на Н и переводящая нектор /) п пок-
тор — D (и. — ортогональная сумма нзометрий прост-
пространств </)> и <Z?>* на себя). Тогда
(г (Л + гВ) =—А~ гП,
[I (А — гВ) =А— еВ.
Складывая эти равенства, получаем ц /1 - ¦ — t.B
(в ортогональном случае характеристика поля k не ран-
на 2).
Если е = — 1, то искомое отображение построено.
Если же е= + 1, то [л Л = — В. Пусть v — отображе-
отображение, переводящее каждый вектор X е; V в —X. Очевид-
Очевидно, что это отображение является изометрией простран-
пространства V и что vu. A = В. Теорема доказана.
Из теоремы 3.9 можно вынести много важных следст-
следствий. Изотропное подпространство U естественно назвать
максимальным изотропным подпространством, если
U не янляется собственным подпространством некоторо-
некоторого изотропного подпространства пространства V.
Т е о р е м а ЗЛО. Вес максимальные изотропные
подпространства невырожденного пространства V име-
имеют одну и ту же размер}/ость г. Инвариант г простран-
пространства V называется индексом пространства V.
Дока ,'i «тел ь <¦ т в о. Пусть ИЛ \\ /72 — макси-
максимальные изотропные подпространства. Предположим,
что dim Ul <..,' dim Ut. Существует линейное отображоппс

168 СГШТГЛГ.КТПЧиСПАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГКОМПТРИИ [ГЛ. Ш
пространства Uy в пространство U2, которое явля-
является мономорфизмом. Поскольку пространства U1 и Ua
изотропны, это отображение, очевидно, является изо-
метрией. По теореме 3.9 ого можно продолжить до изо-
метрии а пространства V на себя. Таким образом, aUx cz
cz V\ и, следовательно, Ux cz a'1 U2. Пространство
a~iUi также изотропно. Так как JJX — максимальное изо-
изотропное подпространство, то U1 — a~jU2, откуда следу-
следует, что dim Uу = dim U2.
Теорема 3.11. Размерность максимального ги-
гиперболического подпространства равна 1г, где г — ин-
индекс пространства V. Поэтому 1г <:. п = dim V и мак-
максимальное значение -~-п для индекса г достигается тогда
и только тогда, когда само V — гиперболическое прост-
пространство (например, в симплектическом случае). Гипербо-
Гиперболическое подпространство H2S является максимальным
гиперболическим тогда и только тогда, когда простран-
пространство Ягз не содержит ненулевых изотропных векторов.
Следовательно, имеет место разложение V = //2r J_ W;
при этом пространство W можно назвать анизо-
анизотропным. Метрика пространства V однозначно опре-
определяет метрику подпространства W (независимо от вы-
выбора подпространства Яаг).
Доказательство. 1) Если U — максималь-
максимальное изотропное подпространство в V и г = dim U, то
из теоремы 3.8 вытекает, что существует гиперболичес-
гиперболическое пространство Я2г размерности 2г. Пусть W -— Щг,
так что V = HiT J_ W. Если бы W содержало изотроп-
изотропный вектор N ф 0, то N был бы ортогонален подпро-
подпространству Нгт и, следовательно, подпространству U,
но не содержался бы в U. Пространство U _]_ <iV> было
бы изотропным, а это противоречит тому, что U — мак-
максимальное изотропное подпространство.
2) Если Н-ш — произвольное гиперболическое под-
подпространство в V, то Н<& можно представить в виде
W» ^'>±W, Ma'> J_ ... X <iV/, Мя'>, причем
<7V1', N2',..., Nt'y — изотропное подпространство раз-
размерности s. Отсюда следует, что s < г. Можно положить
HiT = Нга _|_ Н2(г-в), где H2s и Н2(г-а) — гиперболичес-

§ 3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА 169
кие пространства размерностей 2s и 2 (г — s) соответст-
соответственно. Существует изометрия сг пространства V на себя,
отображающая подпространство Н2а на #28. Пусть
#2(r_s) и W — образы подпространств #2(г_8) и W со-
соответственно при отображении о. Тогда
V = II» ± H'ttr-.) ± W,
и мы видим, что пространство Н'2(Г-*) _L W' ортогонально
пространству #28. Если бы имело место неравенство
s < г, то это пространство содержало бы изотропные ве%
торы; если же s = г, то оно превращается в пространст-
пространство W', изометричное пространству W.
Теорема 3.12. Пусть V — невырожденное прост-
пространство. Если U1 и иг — иаометричные подпространст'
ва пространства V, то подпространства U* и U* иво-
метричны.
Доказательство. Существует изометрия про-
пространства V на себя, отображающая Ux на С/а. Она ото-
отображает подпространство ?7* на ?7*.
Для некоторых приложений в дальнейшем нам по-
понадобится следующее утверждение об лзометриях гипер-
гиперболических пространств.
Теорема 3.13. Пусть V = <ЛГ„ М^ J_ <iVa,M2> JL
...J_ <iVr, Mr) —гиперболическое пространство
и а — изометрия пространства V на себя, которая ос-
оставляет каждый вектор N\ без изменения. Тогда а —
вращение,. В сущности, а имеет следующий вид:
v=l
где матрица (аи) симметрична, если геометрия симплек-
тическая, и кососимметрична, если геометрия ортого-
ортогональна.
Доказательство. По условию aNt — N\.
Пусть
1 Ц1
Тогда
j =-= NroMj =

17ll i.ii.vll. n;i, ril'il,(,i;..\.l II Ш'ТОГОНЛ.Ш.НЛЛ ГКОМКТ1ЧШ FГЛ. lit
11 так кик oAi -oMj ¦-¦¦ TV-tM;-, осли cr — и.чометрия, то
Ьц - 1 и l>ij -¦ 0 для / ф j. Таким образом,
1
Осталось еще проверить, что аЛ/; -оА/^ = MtMj ----- 0.
Ичо щшнодпт к равенству
1 j) «„ -I- (Л/М а« - 0.
* V .-I (I. ~L
Если иространстпо У симплектипсское, то MiNt ¦ ; — 1
и мы получаем я^ = а;^. Если же пространство V орто-
ортогонально, то ajj -¦=¦¦ — а.ц, и так как мы предположили,
что \аракторисгш;;| поля к не раина 2, матрица (а^)
косопшмотрпчпа.
Очонидно, в обоих случаях deto= + 1>
теперь к иаометрням произвольных
р пространств. Тождественное отобрансе-
ние будем обозначать символом 1 или 1у, если необходи-
необходимо указать лрострапстио, на котором оно определено.
Отображение а, сопоставляющее казкдому вектору X
вектор —X, удовлетворяет условию A4- о) X — X — Х-—
--= 0, 1 4- °" ~ 0 и поэтому будет обозначаться сим-
символом — 1 или — 1у, если необходима ссылка на про-
пространство.
Пусть V ; - U _ [_ W- Тогда мо;кно построить изомет-
рию а -=-• — \,r l_ ivi'- Очевидпо, она представляет инте-
интерес только тогда, когда характеристика поля к не раина
2, так как п иротипном случае она просто совпадает с ото-
отображением \v. Если X — А -{-В, где Ас-Т: ?/, Be--W, то
оХ = — А -\- В. Поэтому аХ — X тогда и только тог-
тогда, когда А ---- 0 или X с-= W, и аХ = — X тогда и только
тогда, когда В -=¦¦ 0 или X(:r U. Это означает, что прост-
пространства U и W определяются и.чомотрией а. Очевидно,
что отображение а удовлетворяет условию а2 -¦ 1. Те-
Теперь ми докажем следующую теорему.
Т о о р е м а 3.14. Изпметрия а невырожденного про-
пространства V называется пнеолюцией, если о2 1. Если
характеристика пиля к не равна 2, то каждая инволю-

ITl; \
ция имеет г>ид —1 ,¦ _[_ 1ц {который соишпетствует не-
некоторому разложению V ¦¦¦¦¦¦ U _[_ W). Пели же характе-
характеристика поля к равна 2, то каждая инволюция простран-
пространства V оставляет каждый вектор некоторого макси-
максимального изотропного подпространства пространства V на
месте и имеет вид изометрии, описанной в теореме 3.13.
Д о к а и а т о л I. с т и о. 1) Предположим, что о2
= 1. Тогда XY -. аХ-аУ и аХ-У = а"Х-оУ - А'-аГ.
Следовательно,
(аХ - X) (о-Г+У) -- 0Z.aF-(- aX-Y — Л;.оГ —Л'Г - 0.
Поэтому подпространства Г/ == (а — 1) V и ТГ =:= (с |- 1I>'
ортогональны.
2) .Пусть характеристика поля I; не раина 2. Тогда нек-
некто р аХ — X пространства U меняет ;щак, а нектор аХ
+ А пространства (У отображаете/г на себя лри отобра-
отображении о. Следовательно, f/Q W~ 0. Так как кажд|.н1 лек-
лектор X можно записать в виде —- (оХ — X) -\- v-(aX -\ X),
то*мы получаем, что V ~- U _|_ W и а ¦¦¦-- — i(/J_ lw-
3) Если характеристика поля к равна 2, то мы нахо-
находимся в симплектическом случае. Отображения a — 1 и
a -|- 1 совпадают, и из 1) следует теперь, что пространство
(а ~|~ 1)Р н:ютроино. Пусть К — ядро отображения
a — 1 ==: а 4-1» т- е* К — подпространство, состоящее
ия всех таких векторов из V, которые остаются без изме-
изменения при преобразовании а. Тогда (а 4- 1) V cz К. 11а-
тгшпем разложение
К = rad К J_ /<f0.
Так как аК0 ~ К», то a/f^ --= К"{1, и поэтому (a — l)/i|k,c:
с: /С„. Векто])ами пространства К, лежащими п К]>,
будут только векторы из гас! К, откуда следует, что rad К
является ядром отображении а — i, рассматриваемого
как отображение пространства Kl- Отсюда следует, что
dim К1 =- dim (а — 1) К*й -{- dim rad К.
Подпространства (а — 1)АГ* и rad А* невырожденного
пространства А"*, изотропны, поэтому их размерности но

1.72 СТШГОгеКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. III
превышают у dim Kit. Мы видим, что это значение дос-
достигается, т. е. что rad К — максимальное изотропное под-
подпространство пространства К*п. Если обозначить макси-
максимальное изотропное подпространство в Ко через Кх, то
К2 — rad К _[_ Кл — максимальное изотропное подпро-
подпространство в V. Кроме того, включение К2 cz К показы-
показывает, что каждый вектор из К2 остается неподвижным при
отображении а.
Определение 3.10. Предположим, что характери-
характеристика поля к не равна 2. Если а = —\v J_ lw ир = dim U,
то число р называется типом инволюции а. Очевидно,
что det а = (—1)р. Поскольку подпространство U невы-
невырожденно, то р — четное число, если V — симплектиче-
ское пространство; если же пространство V снабжено
ортогональной геометрией, то р может быть любым числом,
не превышающим га = dim V. Инволюцию типа р = 1
назовем симметрией относительно гиперплоскости W.
Инволюцию типа 2 назовем вращением на 180°.
Поясним, почему мы выбрали термин «симметрия»:
U — (А > — невырожденная прямая, U* = W — не-
невырожденная гиперплоскость и образ вектора хА -\-В
(В ?Е W) — вектор — хА -f В.
Следующая теорема характеризует изометрии ±1у
Теорем а 3.15. Пусть V — невырожденное прост-
пространство и а — изометрия пространства V, которая отоб-
отображает все прямые из V на себя. Тогда а = ±1у.
Доказательство. Если о отображает прямую
<Х> на себя, то аХ = Ха, и для любого вектора Y ев
е <Ю имеем oY = а (ХЬ) = а (Х)-Ь - ХаЪ = Ya.
Если а отображает каждую прямую пространства V на
себя, то пока неясно, может ли зто а зависеть от рассмат-
рассматриваемой прямой <Х>. Если <Х> и <У> — различные
прямые, то X и У — независимые векторы. Имеем, с од-
одной стороны, а (X + У) = (X -\- Y)c; с другой стороны,
а (X -f Y) = о (X) -f с (У) = Ха + Yb. Сравнение зтих
равенств показывает, что а — с = Ъ, и мы видим теперь,
что аХ = Ха с одним и тем же а для всех X. Пусть X и
У—такие векторы, что ХУфО. Тогда XY—aX-aY —
= Xa-Ya = {XY)a\ откуда а2 = 1, а = ± 1.

§ 4] ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА 173
§ 4. Характерные свойства ортогональной геометрии
В этом параграфе предполагается, что V — невырож-
невырожденное пространство размерности га с ортогональной мет-
метрикой.
Определение 3.11. Группа всех изометрий про-
пространства V в себя называется ортогональной группой
пространства V. Обозначим ее через О. Подгруппа всех
вращений обозначается через О\ а коммутант группы О —
через Q. Если необходимо уточнить смысл этих символов,
то приписывают внизу индекс и, а в скобках помещают
остальную информацию. Например, символ Оп (к, /) оз-
означает ортогональную группу такого пространства над
полем к, размерность которого равна га, а геометрия зада-
задается квадратичной формой /. Группа О+ является ядром
эпиморфизма, сопоставляющего каждой изометрий ее
определитель; образ зтого эпиморфизма коммутативен,
следовательно, Qt cr О+. Индекс подгруппы О+ в группе О
равен 2, так как в О имеются отражения (например, сим-
симметрии), если п > 1.
Сформулируем некоторое уточнение теоремы Витта.
Теорема 3.16. Пусть а — изометрия подпрост-
подпространства U пространства V в пространство V. Определи-
Определителю отображения т, являющегося продолжением изо-
изометрий а на пространство V, можно приписать любое
из значений ±1 тогда и только тогда, когда
dim U-{- dimrad U <^n.
Доказательство. 1) Если тх и та — продол-
продолжения отображения о на пространство V, определители
которых имеют противоположные знаки, то отображение
р = т7хт2 является отражением пространства V, оставляю-
оставляющим каждый вектор из U на месте. Обратно, если р —
отражение, оставляющее каждый вектор из U неподвиж-
неподвижным, и тх — продолжение отображения а на все простран-
пространство V, то т2 = тхр — другое продолжение и det т2 ==
= — det тх. Остается, однако, проверить, существует ли
такое отражение р.
2) Предположим, что dim U -\- dim rad U < га. Про-
Пространство U (см. теорему 3.8) имеет размерность dim U -f
-f dim rad U. Можно написать, что V = U J_ U*, где

17/, Г.ИМП.A1''л;Т[|Ч1ХКА!1 К OVTOVOtTAJlbTUH ГНОМК'П'ШГ ГГЛ HI
U* фО. Пусть X —- отражение пространства (J*. Тогда
ПОЛОЖИМ (> -= Jjj J X.
3) Предположим, что dimM -[-dim rari U ¦- п. Тогда
V -- U г- Нгт _[_ W. Ми хотим отыскать такое отобра-
отображение р, которое было бы тождественным на U, а следо-
следовательно, и на W. Otto должпо отображать W* — II21. на
себя и быть отражением на .//„,. Но оно будет оставлять
неподвижным каждый вектор из rad U (который является
максималышм изотропным подпространством простран-
пространства //2,.). Иа теоремы 3.13 гштекает, что такого отобра-
отображения р по сущестнует.
Т е о р е м а 3.17. Пусть о — изометрия простран-
пространства V, которая отображает каждый вектор гиперплос-
гиперплоскости Н на себя. Если II — вырожденное пространство,
то о ¦¦-¦¦ i. Если же II— невырожденное пространство,
то о" — либо тождественное отображение, либо симмет-
симметрия относительно П. Действие изометрии на гиперплос-
гиперплоскости II полностью определяет изометрию, если 11 —
вырожденное, пространство, и определяет ее с точностью
до симметрии относительно Я', если пространство II
иевырожденно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть Н — вырожденное
пространство. Тогда прямая L = Н* — (N} также
вырождена, вектор N изотропен. Имеем rad II ¦¦=¦- rad II* —¦¦
¦-- (N}. Следовательно, имеет место разложение
где W — невырожденное пространство рааморности п — 2.
Плоскость W* ыовырожденна и содержит вектор N.
Поэтому в плоскости W* существует однозначно опреде-
определенная гиперболическая пара N, М. Если о оставляет
нее векторы из // tta место, то aW* = W*. Пара лекторов
aN, аМ также будет гиперболической и oN —- N; тогда
ил однозначности*) следует, что аМ -- М, откуда вы-
вытекает, что а — тождественное отображение как на W*,
так и на W.
*) Для всякого и-1отро1гпого ноктора N сущоству^т и точности
одни мсктор М, обладающим тем сиойстном, что пара Л', М гшюрбо-
литсскан.--- Прим. реО.

Г 'i] Л'Л1'Л1.ТР,1'ЛЫ1'С СТЮЙСТНЛ 175
2) Предположим, 'по гиперплоскость П новорожденна.
Тогда и прямая L- Л* --¦¦ {А} нсвырождепна и V -
— L \ //. Если а — тождостпенное отображение на Я,
то а — Я, _[_ 1/7 и к, как изометрия на L, совпадает с ОТОб-
раЖеНЛРМ 4;!;..
3) Если а и т совпадают на 11, то иаометрия о 't отоб-
отображает каждый вектор иа // на себя. Если гиперплоскость
Л вырождена, то а'ух --¦¦ 1, о --- т. Если жо If — иевы-
рождоннос пространство, то а'Ч может бьггь симметрией
относительно //.
Теорему 3.15 можно уточнить в двух направлениях.
Теорема 3.18. Предположим, что п ;> 3 и что
пространство V содержит изотропные прямые. Если а
отображает каждую изотропную прямую па себя, то
а ¦-¦-. ±iv.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Простряпстно V содержит
гиперболическую пару N, М. Пространство <7V, Л/>*
невырожденно и не совпадает с нулевым пространством.
Пусть В (=- <,N, МУ. Если В2 ^ 0, то аВ ¦¦¦¦¦- Вс но пред-
предположению. Предположим теперь, что Вг ф(). Тогда
пространство (N, Af>J_<5>= <iV, M, /»> невырожден-
невырожденной <./?>—единственная прямая в </V,M,/?>, ортогональная
подпространству <iV, МУ. Если бы мы смогли докапать, что
а отображает <JV, M, В)> на себя, то мы опять имели бы
аВ — Вс, так как, по предположению, oN — Na и оМ ~
~ Mb.
Легко видеть, что вектор N—:-Вг-М -\-В изотро-
изотропен независимо от того, равно В2 нулю или нет. Понтом у,
по предположению, имеем, с одной стороны,
d(N — -J- Вг-М-\- В] -..,
:= dN — ?гВг-М-\-AЯ
и, с }\ругой стороны,
\ ^ aN _ !Lb%-M-\. a A1).
Сртнюгпте этих, равенств показывает, по-ггерпых, что
а (В) ( ' (N, М, В У, откуда, следует, что а (/1) Вс и
и чом случае, когда В2=?(), и, во-вторых, что а -=•• d — с.

¦570 cmvm.rii:K.T!i4i;cKAH и ортогональная гкометрии [гл. ш
Если вектор В выбран так, что В2 ^= 0, то получаем также,
что а = d — Ъ. Это показывает, что каждый вектор из
(N, МУ и из (N, МУ* умножается на а. Поэтому аХ =
— Ха для всех X е= V и из теоремы 3.15 вытекает, что
0 = ±1у
Теорема 3.19. Предположим, что а отображает
каждую неизотропную прямую из V на себя. Тогда
0 = ± 1у (исключение составляет единственный случай,
когда V— гиперболическая плоскость над полем из трех эле-
элементов).
Доказательство. В силу теоремы 3.15 можно
предположить что пространство V содержит гиперболи-
гиперболическую пару N, М.
1) dim V > 3; тогда dim <JV, M>* > 1. Пусть В —
неизотропный вектор из <N, M>*. Векторы В и N -}- В
неизотропны. Следовательно, по предположению, аВ =
= ВЬ и a (N + В) = (N+ В) с = a (N) + ВЬ; поэтому
0 (N) = Nc 4- В (с — Ь). Но о (N) — изотропный вектор;
мы заключаем, что с = Ь, a (N) = Nc, т. е. 0 отображает
также и изотропные прямые на себя. Теперь мы восполь-
воспользуемся теоремой 3.15.
2) V — (N, М~>. Если прямые <ЛО, <ЛГ> не отобража-
отображаются на себя, то отображение а должно менять их места-
местами, так как они являются единственными изотропными
прямыми пространства V. Следовательно, oN — aM,
аМ = bN. Из равенств NM = oN-aM = aM-bN — 1
мы заключаем, что Ь = Ма. Пусть с — элемент поля к,
отличный от 0 и от ± а. Вектор N + сМ неизотропен.
Следовательно, по предположению,
a (N + сМ) = d (N + сМ) = dN + dcM,
с одной стороны, и
а (N+cM) = aM+~N,
с другой стороны.
Сравнение этих равенств дает а — dc, cla = d и, сле-
следовательно, с2 = а2. Полученное противоречие доказывает
теорему.
Следующая теорема, принадлежащая Э. Картану и
Ж. Дьёдонне, дает возможность выразить каждую изо-

S 41 ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА 177
метрию пространства V с помощью симметрии относитель-
относительно гиперплоскостей.
Теорема 3.20. Пусть V — невырожденное прост-
пространство, dim V = п. Каждая изометрия пространства V
на себя является произведением не более чем п симметрии
относительно невырожденных гиперплоскостей.
Доказательство. Теорема верна, если а =
= 1, или га = 1. Воспользуемся индукцией по га. Рас-
Рассмотрим четыре случая.
Случай 1. Существует .неизотропный вектор А, непод-
неподвижный при отображении ст. Пусть Н = (А)*; тогда
аН — Н. Пусть X — ограничение а на пространство Н.
По предположению индукции X ~ TjTj ... тг, г < п — 1,
где Т| — симметрия пространства Н относительно гипер-
гиперплоскости Hi из //. Положим Т{ = 1lJ_T|, где L ~
= <Л>. Каждое ft отображает гиперплоскость LJ_Ht
пространства V на себя и поэтому является (как отражение)
симметрией пространства V. Произведение Т]Т2 ... тг
равно 1lJ_^ = о", и мы видим, что в этом случае а
можно выразить с помощью не более чем п — 1 сим-
симметрии.
Случай 2. Существует такой неизотропный вектор А,
что вектор сА — А неизотропен. Пусть Я =
~(оА — А >* и пусть т — симметрия относительно Н.
Поскольку (оА + -4) {оА — А) = {aAf — А2 = 0 (а —
изометрия), имеем оА -{-AzeH. Следовательно,
1 (оА + А) = оА -{-А, х (оА — А) = А — оА.
Складывая эти равенства, получаем тоBА) = 2А, отку-
откуда следует, что та отображает вектор А на себя. Тогда,
согласно случаю 1, имеем та = Т]Т2...тг, где г ^ п — 1.
Умножая обе части последнего равенства слева на т, по-
получаем1 (так как т3 = 1) а = тт1т2...тг, т. е. а — произ-
произведение не более чем п симметрии.
Случай 3. п = 2. Результаты, полученные нами в слу-
случаях 1 и 2, позволяют предположить, что пространство V
содержит ненулевые изотропные векторы: V = (N, М},
где N, М — гиперболическая пара.
a) aN = аМ, аМ = a~lN. Тогда a (N + аМ) = аМ +
-\- N — пеизотропный вектор, неподвижный при а. Мы
приходим к случаю 1.

17S спммлкитпчксклп и ш'Тоготм/п.тм ггсомк'П'пн Г гл.
b) aiV — aiV, ciM --- a~lM. Можно предположить, что
а гф ], так как в противном случае a ---¦ 1. Тогда некторы
А --г. N -|- М и огЛ. — Л =- (а — \)N -| (а — 1OW" не-
наотрошш и мы возвращаемся к случаю 2.
Случал 4. Теперь можно предположить, что гс ^> .4,
что ни один из цоизотротшх векторов пе отображается
на себя л, наконец, что вектор аА — А изотропен, если
пектор Л пензотронен.
Пусть N — изотропный вектор. Тогда размерность
пространства (TV)* не меньше 2, а радикал этого простран-
пространства совпадает с радикалом пространства <iV> (т. е. ра-
радикалом является <ЛГ>). Пространство <iV>* содержит
нои.чотронпшг вектор А.
Имеем Л2 ^0, и (Л + eNJ ^ А2 фО. Из сделан-
сделанного предположения заключаем, что вектор аЛ — Л,
а также вектор
а (Л -|- eJV) - (Л + eiV) = (аА — А) + е (oN - Я)
изотропны. Поэтому квадрат последнего вектора рапечг 0;
2е (аЛ - A) (oN - ЛГ) + е2 (oN — N2) =*¦¦ 0.
Переписывая это соотношение для е = 1 не— —1 и
складывая, получаем 2 (aN —NJ = 0 или (aN — JVJ =0.
Мы. показали, что вектор оХ — X изотропен незави-
независимо от того, изотропен вектор X или нет, Множество W
всех таких векторов оХ — X является образом простран-
пространства V при отображении a — i. Оно состоит только из
изотропных пекторо'в и япляется, следовательно, иао-
тропным подпространством в V. Произведение любых двух
его векторов равно нулю.
Пусть теперь X е. V и У {= W*. Рассмотрим тождество
(аХ — X)(aY — Y) = 0 = аХ-аУ - X-oY ~ (аХ - Х)У.
Но оХ — X б- W, У (=."? W*, так что последнее сла-
слагаемое ])<1вно 0. Кроме -юго, о Х-оУ — XY, мак как
a — и.чомртрия. Следовательно, •
X (У - о-У) = 0
— равенство, гпраяедлпвоп при гсох X г'} . '^то озна-
означает, что У ¦¦¦ аУ cs tad V ¦¦¦¦ О пли У —- о>'.

S 1] XAPAItTF.I'TtWK CBOfiCTTiA 179
Mi>] видим, что каждый вектор кз W* отображается на
собп. Но так как, по предположению, неизотроимыи пек-
тор не является неподвижным, W* — изотропное иод-
пространство. Мы знаем, что dim W^-^n и (lira W*^
5--"-'-w, поскольку эти .пространства изотропны. Из равен-
равенства dim !!' + dim W* = п заключаем, что dim W -¦-;
— dim W* ¦--¦ -- п. Поэтому V — гиперболическое прост-
пространство //„,,, п ----- 2г и W* — максималгыюе ияотропиое
поднростраиспт пространства Я2,.. Изомегрия а остав-
оставляет каждьш вектор из W* неподвижным н, как пока-
.чываот теорема 3.13, а — вращение.
Отсюда ми можем, например, заключить, что для про-
пространства V --- /72Г наша теорема Bj.inojuiHeTOi но край-
крайней мере для отражений. Пусть теперь т — произвольная
симметрия пространства V = Н2г. Тогда отображение
та является отражением пространства Я2,,. Следо-
Следовательно, та --= тгта... т„ где s <^га — 2г, но так как то" —
отражение, то s нечетно. Следовательно, я *? 2г ¦— 1.
Мы получаем а = ттгт2 ... т8, т. е. а — произведение
л' -|- 1 (у |- 1. <7 2г = п) симметрии.
Замечание 1. Пусть а = t,t,j ... т„ где т( —
симметрия отио1Ч1тельно гиперплоскости //;. Пусть С7г =
- /У, ПЯ2П ...f\ffi- Тогда coclim Ut -|-codim Яг+1 =
== coclim f/j+i + codim (C/j -\-Ht+x). Следовательно,
codim Ui+1 <J codim Ui -f- !•
Это показывает, что codim f/t <^ г it, it частности, что
cod im {IIx П #a П • • • П #„) < •? или
dim (Wj П Яа П • ¦ • О Я.) > n — .<?.
Каждый вектор из /7Х (] II2C\... П Я, отображается
на себя при каждом отображении т4, а поэтому и при
отображении а. Отсюда следует, что каждый вектор неко-
некоторого подпространства размерности не ниже п — s
отображается при (т на себя. Бели *>• < п, то а оставляет
на месте некоторые ненулевые векторы. Мы заключа-
заключаем, что изометрию, которая не обладает ноподпижпыми

180 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. Ill
векторами, отличными от нулевого вектора (как, например,
отображение — lv), нельзя представить в виде произведе-
произведения менее чем п симметрии.
Если а — произведение п симметрии, то det а =
= (-1)".
Таким образом, если п четно, то каждое отражение
отображает некоторый ненулевой вектор на себя; если же
п нечетно, то этим свойством обладает каждое вращение.
Замечание 2. Предположим, что изометрия а
не представима в виде произведения менее чем п симмет-
симметрии. Пусть т — произвольная симметрия. Тогда det (та) --
= —det а, откуда следует, что та = тхта ... т„, где s <
< п, и, следовательно, а = ттх ... т8 (s + 1 «С п)- Мы
видим, что первый сомножитель в записи а в виде произ-
произведения симметрии может быть произвольной симметрией.
Примеры
I. dim V = 2.
Каждое отражение является симметрией и каждое вра-
вращение является произведением двух симметрии, в котором
первый сомножитель может быть выбран произвольным
образом (в том числе и для 1 = тт). Теорема 3.17 указы-
указывает на то, что вращение а ф\ может оставлять на месте
только нулевой вектор и что каждое вращение однозначно
определяется образом одного ненулевого вектора.
Пусть т — симметрия, а — ххг — вращение. Тогда
тат = т^т = тхт = (tTjl) = а. Таким образом, имеем
тат = а-1. C.35)
Если aj = тт2 — другое вращение, то
— а.
Следовательно, группа 0% коммутативна и связана с клас-
классом смежности симметрии соотношением C.35).
Из теоремы 3.14 вытекает, что среди вращений имеется
только две инволюции +1уи —1у, если и = 2.
Это позволяет нам ответить на вопрос, в каком случае
группа Ог абелева. Если группа Ог абелева, то из формулы
C.35) вытекает, что а = а или а2 = 1, т. е. что имеется

3 i). ХАРАКТЕРНЫЙ СВОЙСТВА 181
нсего два вращения. О? — подгруппа индекса 2 группы
6>а, т(?а — другой класс смежности по подгруппе О* (т —
симметрия), так что в такой геометрии имеется всего лишь
две симметрии. Это означает, что V содержит только две
неизотропные прямые. Если векторы А и В составляют
ортогональный базис, то <У1 > и </?> — единственные не-
неизотропные прямые. Следовательно, прямые (А-\-ВУ и
(А — В} — изотропны и, поскольку V может содержать
всего лишь две изотропные прямые, мы уже перечислили
все прямые пространства V. Поле к состоит из трех эле-
элементов. Обратно, если V — гиперболическая плоскость
пад полем из трех элементов, то V содержит всего четыре
прямые: две изотропные и две неизотропные. Имеются
две симметрии и, следовательно, два вращения. Эти вра-
вращения могут быть только отображениями ±1у и для каж-
каждого вращения выполняется равенство а — а'1; группа
О% коммутативна.
Подведем итоги: если dim V ~ 2, но V не является
гиперболической плоскостью над полем из трех элемен-
элементов, то группа О2 не коммутативна и группа О\ содержит
вращения а, для которых ая ф1.
II. dim V = 3.
Теорема 3.17 указывает на то, что вращение, отличное
от тождественного отображения, не может оставлять не-
неподвижными два независимых вектора. Однако оно яв-
является произведением двух симметрии и поэтому остав-
оставляет на месте все векторы некоторой прямой (А}. Пря-
Прямую (А > назовем осью вращения.
Пусть а — изометрия, которая оставляет на месте не-
ненулевой вектор А и переводит некоторый другой ненуле-
ненулевой вектор В в вектор —В. Тогда векторы А иВ независи-
независимы. Отображение а2 будет вращением, оставляющим каж-
каждый вектор из (А, ВУ неподвижным. По теореме 3.17 аа =
= 1 (но а ф±1). Отсюда следует, что а — инволюция,
отличная от ±1. Следовательно, а — либо симметрия (ес-
(если а — отражение), либо вращение на 180° (если а — вра-
вращение).
Если вращение а записано в виде произведения TjT2
симметрии, то можно также написать а =(—тх) (—т4),
т. е. а — произведение двух вращений на 180°.

tS2 ОПМПЛПКТПЧКСКЛЛ II О1ТОГОГТЛЛГ.Т1АП. ГТ.<)М1',ТРИМ [ГЛ. Ill
Рассмотрим, наконец, пращепия с данной осью <Л >
(включая также а -~ 1). Очевидно, они составляют под-
подгруппу группы О\ Исследование разобьем на два случая.
1) (А > — поизотропноо пространство. Тогда V —
*' <Л > J_ <Л У* и наша группа, очевидно, изоморфна
группе О.)' пространства <Л>*.
2) Л =г- N, N2 = 0. Имеем rad <iV>* = rad <iV> =•=
¦--= <7V>. Следовательно, <iV>* = (N, ВУ, где NB = 0,
В'1 фО. Отыщем осе маометрии а пространства V, для
которых aN .=¦-¦ /V. Если oN == Ж, то a <iV>* ^ <7V>* и
а полностью задастся действием па вырожденной плос-
плоскости <Л'>* (теорема Я. 1.7). Положим оВ - xN -\-yB,
и из уежпжя В'~ ¦¦ ¦¦ (аВ)'г ¦--¦ ;/2Ла получим у -¦¦- -!:1.
Пусть т.х — симметрия отиосительно плоскости, пер-
перпендикулярной вектору -jxN — В. Поскольку, очеппд-
но, N- (l-xN — В) = 0, имеем xxN --=¦- N; ххВ ~
=« тл. (-¦;¦ *N — ErxN - В\) ¦-= i J.-.V + i з:Ж-« :¦ Л-ЛГ-/Г.
При о.' - 0 поручим tqN --¦ N, x0B — — В. Если обозна-
обозначить тотх через ах, то ах — вращение и
o-^JV = jv, ахВ = xN + 5.
Симмстриями тж н врап^ениями. аЛ. исчерпываются псе
иаометрии, отображающие вектор N на себя. Очевидно,
откуда следует, что вращения относительно оси <Ж> со-
составляют грушту, изоморфную аддитивной группе ноля к.
Наметим, что ах ¦-¦¦¦ ((Ух/-,)'л, откуда следует, что каждое
отображение ах являотся квадратом пращепия.
Рассмот[)нм-таклео отражения. Konit а — отражение,
то —а — к ращение. Если аф—\, то —а — вращение
относительно некоторой осп </1). Ото означает, что о
переводит каждый вектор прямой (Л ) (и только этой пря-
прямой) в противоположный вектор. Если а оставляет неко-
некоторый ненуленой вектор неподвижным, то, как мы уже
видели ранее, <т—симметрия. ' тражения, не имеющие
неподвижных векторов,— :>то и точности те изометрии, ко-

§ 4J ХЛГМП'ЕРПТ.Ш СИОиПТВЛ IR3
торме нельзя представить и виде произведоипн менее чем
трех симметрии.
Некоторые на полученных результатов иказынаютея
полезными и для п "J> 3.
Т е о р е м а 3.21. Пусть dim V ^> 3. Тогда цен пра-
лизатор множества квадратов вращений состоит на
отображений .-Mv-
Д о к a ;i а т е л ь с- т в о. 1) Предположим, что и
пространств V содержится изотропная прямая <jV>.
Тогда rad <7V>* ~ rat! Л' == <ЛГ> и имеет место разложение
<ЛГ>* =¦=¦ <7V> _[_ W,
где W — невырожденное пространство размерности п —
— 2 ;> 1. Пусть U — невырожденное подпространство
пространства W размерности п — 3 (возможно, U ¦•¦¦¦¦¦¦ 0).
Запишем разложопио V — U* |_ U; U* — ненырождеп-
ное пространство размерности 3, содержащее <Л/>. Пусть
ах — вращение пространства U* относительно от (Ny,
зх — квадрат вращения о"Хг- Если положить а -¦¦¦¦¦• п,.-. [_
? Ii;, то а2 ---¦ сгж J_ \у. Какие векторы из V пеподвнжни
ири отображении аг1 Пусть A Ez U*, В е U, и предпо-
предположим, что А -\- В — неподвижный вектор ири отобра-
отображении ах J_ 1гг. Очевидно, вектор А должен отображаться
на себя при ах, откуда следует, что А (~ <ЛГ>. Поэтому
неподвижные векторы при отображении. аа — это векто]>1.1
из пространства <7V> _J_ U = Wo, радикалом которого
является прямая <iV>. Пусть теперь т — отображение,
норестаиовочное с квадратами всех вратпепин. Тогда
га'-т =-- а2, ха2х~х отображает каждый воктор ил тИ7,,
на себя, так что t\V0 ¦= IVO. Это означает, что радикал
г<Л'> иростраистпа тИ'г0 равен <Л). Паше отоб]>а;1!еAио
т оставляет ненодпижной каждую изотропную прямую
<7V>, и из теореуы 3.19 следует, что т -; -;¦ 1Г.
2) Пpeдпoлoжи^f, что пространство V не содержит изо-
изотропных иокторов. Пусть /'—• произвольная плоскость
из V. М'ь? знаем, что сугцесгиучгг такое пршдеине X плос-
плоскости /', тто Яа ф1. .Запитом разложение V ¦¦- !' ! /'*.
Пусть а ---¦ X |_ 1р. Тогда о*2 оставляет пеподвг'жпммп
только векторы из Р*. FjCjitt та'т — гг2, то мм ипдим,
как ранее, что хР* — /'* п. следовательно, г!> /'. Эле-
Элемент т остлиляет неподмп/кноп каждую плоскость. Любая

184 СИМПЛЕКТПЧЕСКАЯ II ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. III
прямая является пересечением двух плоскостей (посколь-
(поскольку п ^> 3). Следовательно, т оставляет неподвижной каж-
каждую прямую из V. Тогда, по теореме 3.15, т = ± lv.
Значение теоремы 3.21 выяснится несколько позже.
Пусть теперь Tj и та — симметрии относительно не-
невырожденных гиперплоскостей .ffj^iTj. Предположим опять,
что п > 3. Пусть <^4> = Н[ и (В) = Н*2. Прямые (А)
и (В) — невырожденные, пространство Р = (А, В} (раз-
(размерности не выше двух) неизотропно, размерность его ра-
радикала не больше чем 1. Имеем опять rad Р* = rad P,
пространство Р* имеет размерность не меньше чем п — 2
и содержит невырожденное подпространство U размер-
размерности п — 3. U cz Н1П Л2, так как пространство U
ортогонально как А, так и В. Отображения х1 и та тож-
тождественны на U и индуцируют симметрии t"i, та на трех-
трехмерном невырожденном пространстве U*. Таким образом,
т. е. мы заменили т^ произведением двух вращений на
180°.
Пусть теперь а = Т]Та ... т„ — произвольное вращение
пространства V, заданное в виде произведения s симмет-
симметрии (s ^ п). Поскольку s четно, то можно сгруппировать
сомножители по парам и заменить их вращениями на 180°.
Таким образом, имеет место
Теорема 3.22. Если п > 3, то каждое вращение
является произведением четного числа, не превышающего
п, вращений на 180°.
Для дальнейшего пам понадобится следующая теоре-
теоретико-групповая лемма.
Лемм а. Пусть G — группа, S — подмножество
элементов, обладающих следующими свойствами:
1) группа G порождается множеством S;
2) xsx'1 fE- S, епли х Е= G, s GE S;
3) sa = 1 для всех 4' F: S.
Тогда коммутант G' группы G порождается коммутатора-
коммутаторами s1s^Si1s^l= (з^)*, 4-jEE S, saFE S. Группа G' содержит
, квадраты всех элементов группы G.
Доказательство. Обозначим через // мно-
множество всевозможных произведений элементов вида

5. '.] ХАТ'ЛКТЕРНЫГС СВОЙСТВА 185
s^jsj^1, где slt .9ar-. Очевидно, что Я—группа; посколь-
поскольку имеет место 2), то Н — инвариантная подгруппа груп-
группы G.
Пусть / — естественный гомоморфизм G —> GIH с яд-
ядром Я. Так как «iS^1^1 е Я, то / fovrX1) ~ *' откуда
/ (si)/ (*г) ~ / (ss)/ (si)- Множество S порождает группу
G, так что образ / (G) = G7.ff порождается множеством
/ (S). Мы видим, что группа / (G) коммутативна. Отсюда
следует, что G' содержится в ядре Я. Однако очевидно,
что Я a G', так как подгруппа Я порождается коммута-
коммутаторами. Каждый образующий группы / (G) имеет порядок
не выше 2. Поэтому и каждый элемент группы / (G)
имеет порядок не более 2. Отсюда следует, что / (а;2) = 1,
х2 €Е Я. Лемма доказана.
Если а — симметрия (вращение на 180°) относитель-
относительно гиперплоскости Я (с плоскостью Р), то тат также
будет симметрией (вращением на 180°) относительно гипер-
гиперплоскости тЯ (с плоскостью хР) и а4 = 1. Множество
всех симметрии (вращений на 180°) порождает группу
О (группу (?+) и удовлетворяет условиям леммы.
Если п > 3, то коммутант группы On порождается
элементами вида fao^2, где ах и а2— вращения на 180°,
и содержит квадраты всех вращений. Коммутант Qn
группы Оп порождается элементами (tjTaJ, где хг и та—
симметрии; поскольку t^Tj — вращение, (Т]ТаJ — квад-
квадрат вращения. Отсюда следует, что группа Qn не больше,
чем коммутант группы On. Теперь становится понятным
значение теоремы 3.21. Мы нашли централизатор группы
Qn. Тем самым мы отыскали и централизатор групп On и
Оп (так как ±1, очевидно, коммутирует с каждым эле-
элементом группы (?„). Таким образом, имеет место
Теорема 3.23. Пусть п > 3. Группы Оп и Оп
имеют один и тот же коммутант Qn, который порожда-
порождается элементами (т1т2J, где хх и та — симметрии, и ев'
держит квадраты всех элементов группы Оп. Централи-
Централизатор каждой из групп Оп, Оп или Qn состоит из элемен-
элементов ±1у. Центр группы Оп также состоит из элементов
±_ 1у Если п — нечетное число, то центр группы Оп,
а также группы Qn состоит, из одного элемента lv (—1у —

1Я0 CffATn.ni'.KI'll'fiCH'An !l 'ipTnl'OII \ •fi,ir,\:l I'WraFTPHll Г.ГЛ. itl
отражение). Если же п четно, то центр группы 0+ с0„
стшмтотп элементы _-! I (-; центр группы ilu состоит из двух
элементов гИ-f или одного элемента. \у в зависимости от
того, будет элемент — 1у лежать в группа iln или
нет. Нее олемепты фактор-групп 0n/Qn и ^'„/Q
имеют порядки, не выше 2.
Следующий теорема ука.чнваот на другое нажное свой-
свойство группы iln.
Т о о р о м а 3.24. Если, п > 3, то группа Й„ пепри-
водима. Это означает, что никакое собственное подпрост-
подпространство U фО не отображается в себя при всех отобра-
отображениях ив iin.
Д о к а з а т е л ъ с т в о. Предположим, что сущост-
пуст собстиенпое подпространство U ф 0, отображающееся
в себя при псох отображениях из 12п. Рассмотрим два
случая и в обоих случаях получим противоречие.
1.) Подпространство U невырожденпо. Тогда V ~ U J
_L W; если a t~ ?2Т1, то, по предположению, all — U
и, следовательно, гг — т J_ р, где т (~ О (V), р i~: О (W).
Иниолюция А- = —ij: J_ iw удовлетворяет условию пгЛ, =
=•- Яог, откуда следует, что А, лежит в централизаторе груп-
пы И.п, что противоречит теореме 3.23.
2) Подпространство U вырожденно. Тогда rad U фО
также отображается в себя при отображениях из Qn,
и, поменял ролями пространства U и rad U, можно пред-
предположить, что пространство U изотропно. Пусть N Ф 0 —
вектор из U и N, М — гиперболическая пара. Поскольку
в>3, суш;ествует трехмерное невырожденное подпрост-
подпространство W -- <7V, M, А}, где А — неизотропный вектор
из <ЛГ, Л/>*. Изотропные подпространства пространства W
имеют размерность, по большую I, так что U f] W -¦¦- (N)
(иешмним, что пространство U изотропно). Пусть сгхф 1 —
вращение прострапстпа W с осью <Л/>. Если бы прямая
<jV> 6jjfla неподвижной при ах, го и ращение ах индуци-
индуцировало бы вра1л,ОЕ1не плоскости (N, Л/); но тогда из ра-
венеша ахМ —- М пытекало бы, что axN ¦¦= N и, следо-
следовательно, ах ¦-—. \\у (два вектора неподвижны). Таким об-
образом, прямая (N} отображается на другую прямую из W,
т. е. па прямую, не лежащую и U. Полагая о ¦¦- axj_ 1\у«,
имеем гг (¦¦".: iln, так как ах -- (о-,/:,)'2, и aN c/i U.

S !il Х.М'ЛН'Т.1'1:ТЫН CliOflCTIU 1R7
У ii p а ж н е и и я. 1) Исследуйте группы. 0п, О],
и Qn па неприводимость прл п --¦- 2.
2) Пусть V — проект иное пространство, гоотвототвую-
щро пространству V. Рассмотрите п V гиперповерхность,
определяемую уравнением Х~ = 0. Каково гоометриче-
ское :шаггснио максимального изотропного поднростраи-
стиа пространства V?
§ 5. Характерные cifoiie/i оа спмнлсктичгсиоП i-fonuvrpini
В теореме 3.7 мы показали, что каждое негш рожденное
симплоктическоо пространство является ппнфболичоеккм:
=r (Nv Mu Nt, Мг,...< Nn Mr\ C.3G)
где Рг = <7V,-, Mi~y — гиперболическая плоскость. Век-
Векторы Nt и Мj удовлетворяют условиям:
NtNj — MiMj = 0, NiMt = 1, N^My. = 0, если v ^ jx.
C.37)
О п р с д D л о п и о Я.12. Базис пространства V типа
(З.ЗГ>), C.37), « котором векторы расположены » яоелодо-
лателх.иостп C.3:i), называется симплектичеекгш Cm пи-
сом пространства V. Легко подсчитать, что дискриминант
G относительно симплектического базиса равен 1.
Определение 3.13. Группа н.юмотрий невы-
невырожденного симплектического пространства V -¦=¦¦ П2Г
размерности п -¦- 2г на.чынаотся симплектической группой
и обозначается символом Sp,, Щ.
Мы хотим покапать, что элементами группы Spn (/г)
являются только вращения. Приведем два доказательст-
доказательства этого утверждения.
Пусть А — иенулоиой вектор из V. Спрашивается,
содержит лн группа Spn (k) такой алемеят а, кото[)ый
сдвигает каледьп'т вектор .Y г V на некоторый вектор пря-
прямой (А ):
а (X) ¦-- X -J- ф (Х)-А, ф (X) <-¦ /г?

188 СИМПЛККТЦЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГКОМКТРИИ [ГЛ. Ш
Если такая изометрия существует, то а (Х)-а (Y) —
= XY, что приводит к равенству
<t(X).(AY) = <?(?)¦ (АХ). C.38)
Подберем вектор Yo так, чтобы (AY0) фО, в равенстве
C.38) положим Y ~ Yo и вычислим ф (X). Получаем
Ф (X) = с-(АХ), C.39)
где с — постоянная (с 6Е к)\ функция ф (X), задаваемая
равенством C.39), удовлетворяет, конечно, условию C.38)
и, следовательно,
а (X) = X +с • (АХ) ¦ А. C.40)
Легко проверить, что каждое отображение вида C.40)
является эндоморфизмом пространства V. Так как прост-
пространство V невырожденно, а действительно является изо-
метрией. Если с = 0, то а = 1у. Если же с фО, то вектор
X остается неподвижным в том и только в том случае,
если АХ = 0, т. е. если X лежит в гиперплоскости Н =
= <Л>*. Эти изометрии специального вида можно оха-
охарактеризовать и другим образом. Пусть Н — данная
гиперплоскость. В каком случае изометрия а оставляет
каждый вектор из Я неподвижным? Если ХеГиУё
ЕЯ, то
(аХ - X)Y = аХ ¦ Y - X ¦ Y = аХ ¦ Y - oX-oY =
- аХ • (У - oY) - аХ • 0 = 0,
если мы предположим, что oY = Y. Это означает,
что аХ — X €Е Н*. Но Я* — прямая, т. е. мы возврати-
возвратились к изометрии исходного вида.
Определение 3.14. Изометрия вида C.40) на-
называется симплектической трансвекцией в направлении А.
При фиксированном векторе А изометрия а все еще
зависит от с. Если обозначить ее через ос, то acad — ac+d,
ас = 1 тогда и только тогда., когда с = 0. Это означает,
что симплектические трансвекции в направлении А об-
образуют коммутативную группу, изоморфную аддитивной
группе поля к.
Пусть А и В — непулеяые векторы из V. При каком
условии найдется симилектическая транснекция, пере-

§ !i) ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА 189
водящая вокгор А в вектор /?? Направлением такой транс-
векции служит вектор В — А. Так как случай В = А
тривиален, можно предположить, что В ФА. Каждый
вектор, ортогональный вектору В — А, не сдвигается.
Поскольку вектор А при отображении должен измениться,
то А (В — А) — АВ Ф 0. Если последнее условие выпол-
выполняется, то вектор А сдвигается на некоторое кратное
вектора В — А. Подобрав подходящее с, мы действи-
действительно можем добиться того, чтобы а (А) = В. Итак,
вектор А может быть переведен в вектор В, если либо
векторы А и В не ортогональны, либо А = В.
Предположим теперь, что АВ = 0. Тогда существует
такой вектор С, что AC ф 0 и ВС Ф$. Действительно,
если <Л>* = </?>*, то выберем вектор С так, чтобы он
не лежал в гиперплоскости <Л>*. Если же <Л>* ф(ВУ*,
то пусть D е <А >*, D ф. <?>* и Е е <ВУ, Е ф (А >*;
для вектора С — D -\-Е имеем АС = АЕ =j= 0 и ВС —
— BD фб. Теперь вектор А можно перевести в вектор С,
& С — в вектор В. Таким образом, ненулевой вектор А
можно перевести в другой ненулевой вектор В с помощью
не более чем двух симплектических трансвекций.
Пусть даны две гиперболические пары Ыъ Мг и Nt,
Мг. С помощью не более чем двух трансвекций можно
перевести вектор N.r в вектор JVa и эти же трансвекций пе-
переведут гиперболическую пару Nu Mr в пару N2, M3.
Мы утверждаем, что пару Nt, M3 можно перевести в пару
N2, M2 с помощью еще не более чем двух трансвекций.
Таким образом, пару Nt, Mt можно перевести в пару iV2,
М% с помощью не более чем четырех симплектических транс-
трансвекций. Итак, нам осталось показать, что если N, М и
N, М' — гиперболические пары, то можно перевести век-
вектор М в вектор М', оставляя вектор N на месте, с помощью
не более чем двух трансвекций.
Случай 1. ММ' фО. Тогда вектор М можно перевес-
перевести в вектор М' с помощью одной трансвекций с направ-
направлением М' — М. Заметим, что N (М' — М) — NM' —
— NM = 1—1 = 0, т. е. вектор N остается неподвижным
при этой трансвекций, что и требовалось.
Случай 2. ММ' = 0. Заметим сначала, что векторы
N, N -\- М составляют гиперболическую пару и М (N -\-
4- М) — MN = —1 ^=0. Следовательно, пару N, М

100 СПМЛЛККТПЧКСКЛП И ОРТОГОПЛДТ.ТТ \Я ГКОМИ'ПЧШ [1'Л. Ш
можно перспссти в пору TV, N -| М. Теперь имеем (N -|
¦ |- М)М' ;: NМ' -¦-¦ 1 =ф0, поэтому можно перевести пару
Дг, Л -\-М в пару Л', М'. <ho завершает доказательство.
Пусть U — невырожденное подпространство прост-
пространства V, Тогда
V == U J_ U*.
Если т — трансвекция пространства U*, то отображение
1и _1_ т, очевидно, является трансвекцией пространства
V. Отсюда вытекает, что если Nr, Мх и N», М2 — гипер-
гиперболические «ары лекторов из ?/*, то пару TV,, 71/, можно
перевести и пару N2, Мг с помощью по более чем четырех
трннсвекций пространства V, каждой и;) которых остав-
оставляет неподвижным всякий вектор из U.
Пусть G — подгруппа группы Spn (к), )го])()}кден1га>г
множеством иссх симилектических трансвокций. Пусть
о г" Spn (к) п Nx, Мх, Ыг, М%, ..., 7Vr, Mr — симплскти-
ческий базис пространства V. Обозначим образы векто-
векторов итого базиса при отображении о через Nlt Mu /V2,
M'i, ..., N'n М\. Существует элемент, тх Е~: G, перово-
дящий пару Nlf М1 а пару JVtl М[. Предположим, что
мы уже нашли элемент т{ Gr G, переводящий первые (
на иапгих гиперболических пар Nv, Mv н соответствующие
пары vVv> Мч. Образы векторов первого симплектиче-
ского базиса при отображении. х; образуют симплекти-
ческин базис
Пусть Ut ¦¦¦¦¦-t<K пМ'и К M't,...,N'u М[\ Тогда нес
пары /V'ii-v, Ми.ч wNi+^i Мц.ч лежат и U* (v ]> 1). Найдем эле-
элемент т G С, который каждый вектор из U оставляет не-
неподвижным и тгереводит пару Ni+1, Mia в пару Nn.b Mia.
Тогда элемент тт4 переводит первые i -]- 1 пар Nv, Mv в
соответствующие пары 7VV, Mv. Это показывает, что в
группе G имеется элемент, переводящий первый базис во
второй, т. е. (} -~ Spn (It).
Тоггорь мы покажем, что для каждого элемента а груп-
группы iS'/>,i (/'") имеет место равенство del; о — -|-1. Досга.точ.по
докапать это равенство в том случае, когда а — траисвок-

§ til ХЛРЛГСТТД'ТТЫК. СПОИСТИЛ 101
ция. Если харлктерпстпка поля/г равна 2 , то петого дока-
:n.iiiaTi>, поскольку в :>том случае —.1 -¦¦¦ 1. Еолл и») она
не равна 2, го о',. -== ((То/аJ, откуда и следует требуемое
утверждение.
ГГ е о р о м а 3.25. Каждый элемент о группы Spn (к)
является враиичшем (т.. с. dot о" ~ -|-1). Группа Spn (/,-)
порождается множеством всех симплектических транс-
векциИ,
Коли а —- трапсвекцпя (а =^1) с направлением А, то
аХ -¦¦ X с~ (у1 > для l'.ccs X G": V. Коли t e: S[\,(l,), то
тох-'Х — А' ¦- х (о (х-1Х) — (t^V)) ?i; <тЛ >,
откуда следует, что тех — трапевеицшг с папраилоинем
гА, тат ^ 1-
ТГродполоясим теперь, что т лежит в центре rpyinn.i
д.9рп (/с). Тогда тспг1 = о и, следовательно, \А > -= <тЛ >.
Элемент т отображает каждую прямую из V па себя. Из
теоремы 3.14 иитокает, что х = +1у.
Too ром а У.26. Центр гриппы Spn(k) состоит на
элементов х-\у. Иго порядок равен 2, если характеристи-
характеристика поля к не. равна 2, и равен 1, если /с — иоле характерис-
характеристики 2.
Дадим второе доказательство теоремы 3.2Г>, которое
нроводится совершенно иным способом. Пусть V — симгт-
лектическое пространство, возможно вырожденное. Вы-
Выберем в пространстве V произвольный базис и вычислим
относительно него дискриминант G. Если пространство V
вырождено, то G == 0; если же пространство V погшрож-
допио, то в V имеется симплектический базис, относитстп.-
по которого дискриминант равен -\- 1. Из формулы C.7)
иидно, что G — квадрат некоторого элемент ноля /с.
Пусть теперь (^(J) — ко с о с и м м от [» и ч е с к а я
матрица. Если положить АгА] ----- gij, то отга будет инду-
индуцировать на пространстве V симплектическую геометрию.
Отсюда сиедует, что опроделитель произвольной кососим-
иет|)иг1еокой матрицы с. оломонтами gij (— k является квад-
квадратом элемента поля к. Если п нечетно, то симплектиче-
ское пространство вырождено, определитель равен 0. ТГа-
чишш с итого места мм будем предполагать, что п чочпо.
Пусть Q — поле рациональных чисел. Присоединим к
нему п(п — 1)/2 1гезапис|1М1.1.\- переменных :ги (I. <^ / <Г

102 СИМПЛЕКТПЧЕСКАЯ II ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГКОМИТРИИ ГГЛ. Ill '
<С ] ^ п). Полученное поле рациональных функций пе-
переменных Хи с рациональными коэффициентами обозна-
обозначим через к. Положим хц — 0 и xtj = —хц для i^>].
Тогда матрица (хц) кососимметрична. Следовательно,
det (*„) - (f/gJ, -C.41)
где fug — полиномы от переменных Xij (i < /) с целыми
коэффициентами. Читатель должен знать, что в кольце
полиномов с целыми коэффициентами имеет место одно-
однозначность разложения на множители. Можно предполо-
предположить, что полиномы / и g взаимно просты. В левой части
равенства C.41) стоит полином с целыми коэффициента-
коэффициентами; отсюда следует, что полином /2 делится на g*, значит,
g2 — единица, g = +1. Равенство C.41) можно перепи-
переписать в более простой форме
det (xu) = /2;
полином / определен с точностью до знака. Это — поли-
полиномиальное тождество, которое не нарушается в любом
поле и при произвольных (составляющих, однако, косо-
симметрическую матрицу) значениях переменных хи.
Если положить xtj равными коэффициентам gtj симплек-
тического базиса, то левая часть последнего равенства об-
обратится в 1. Поэтому можно зафиксировать знак полино-
полинома /, потребовав, чтобы он на симплектическом базисе
принимал значение 1.
Теорема 3.27. Существует полином с целыми коэф-
коэффициентами, который называется пфаффианом и обоз-
обозначается Pf (xtj), обладающий следующим свойством:
если (gu) — кососимметрическая матрица, то
det (gu) = (Pf {gu))\
Если коэффициенты gt] соответствуют симплектическо-
му базису, то Pf (gtj) = 1.
Кроме переменных xtj присоединим к полю Q еще п2
переменных ai} и положим
(У и) = (ал){хи)(аи)-
Легко видеть, что матрица (ytj) кососимметрична. Переходя
в обеих частях равенства к определителям и извлекая

S 5} ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА 193
квадратный корень, получаем
Pf (Vи) = в • Р/ (*„) • det (а„),
где е = -И. Для того чтобы определить е, положим мат-
матрицу (аи) равной единичной матрице; тогда yt] = xt}.
Отсюда следует, что е = -{- 1.
Теорема 3.28. Если (gi}) — кососимметрическая
матрица и (ац) — произвольная матрица, то
Pf (ЫШЫ) = det (atj) • Pf (gu).
Пусть (аи) — матрица, представляющая элемент группы
Spn(k), и предположим, что Pf (gtj) фО. Тогда симплек-
тическое пространство невырожденно, (о/<)(?!,/)(ви) = (gu),
и мы получаем det (ац) = +1. Это и есть второе доказа-
доказательство теоремы 3.25.
Если V — невырожденное симплектическое простран-
пространство размерности п и (gij) — кососимметрическая матрица,
то в V найдутся такие векторы Аъ Ла, ...,Ап (не обяза-
обязательно составляющие базис пространства F),4to g^ = AtAj.
Это можно доказать следующим образом: пусть Vo — про-
пространство с базисом В1} Вг, ..., Вп. Введем в пространстве
Vo симплектическую метрику, полагая BtBj = gtj. Прост-
Пространство Vo может быть вырожденным,
П = ^1 rad Fo.
Пусть Bi = Ci +Dt, где Ct ЕЕ Vt, Dt e rad Vo. Тогда
gtj = BtBj — Cfij. Имеем gl} — CtCj, где векторы Ct
принадлежат невырожденному пространству Vt. Вложим
теперь пространство Vx в невырожденное пространство
V подходящей размерности.
В пространстве V можно выбрать симплектический ба-
аис Ег, Е2, ..., Еп. Положим yi} = EtE} (тогда Pf {yt]) =
п
=1) и А) = 2 E"av- Тогда
ИЛИ
(gu) -"= (ait)
7 Э. Артин

19/, СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. III
C.42)
Иа теоремы 3.28 вытекает, что
Pf (gu) = det (о„).
Из равенства C.42) можно вывести все свойства пфаф-
фиана, которые мы сформулируем в качестве упражнений.
1) Если в матрице (gu) поменять местами r-ю и s-ю
строки и одновременно r-й и s-й столбцы, то пфаффиан
Pf is и) изменит знак.
2) Если r-ю строчку и r-й столбец матрицы (gtj) умножить
на t, то пфаффиан Pf (gtj) умножится на t.
3) Пфаффиан Pf (xtj) зависит от строки переменных
хг1 (г — фиксировано, i —¦¦ 1, 2, ..., п) линейно.
Обозначим коэффициент при xrs (r < s) в полиноме
Pf (xtJ) через Cri.
4) Clt = Pf ((*„),,/>.),
и вообще
Crt = Pf ((*iy)i,Mril) • (-1Г8-1, r<s.
5) Докажите, например, что имеет место разложение
Pf (хи) ~ Ж12^1а + Ж1з^1з + ••• + xiifiin'
6) Для п = 2 Р/ (а:,у) = х1г;
для п = 4 Pf (xl}) = ж1аа:84 + xlaxi2 + xltxi3.
7) Если (atj) — произвольная матрица четного порядка
с вектор-столбцами At, «симплектическое произведение»
которых задается формулой
A,Aj =
«и аи
«si я«
-f-...
то определитель det (а1}) можно вычислить по формуле
det (а„) - Pf (gu).
§ 6. Геометрия над конечными полями
Пусть к = Fq — поле, состоящее из д элементов,
F*q — мультипликативная группа ненулевых элементов
поля Fq. Возведение в квадрат элементов группы F*q яв-
является гомоморфизмом с ядром +1. Если характеристика
поля равна 2, то +1 = — 1, рассматриваемое отображе-

I 6] ГЕОМЕТРИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ 195
ние — изоморфизм, каждый элемент является квадратом.
Если характеристика не равна 2, то ядро имеет порядок 2,
группа-образ имеет порядок (q — 1)/2 и индекс 2 в группе
Fq. Если некоторый элемент g не является квадратом, то
каждый элемент, не являющийся квадратом, можно пред-
представить в виде gy2.
Пусть V — векторное пространство размерности п
над полем Fq с невырожденной ортогональной метрикой.
Рассмотрим сначала пространства с малыми значениями
размерности п.
1) п = 1, V = <4>. А2 может быть элементом вида
аг или ga2. Но вектор А можно умножить на любой эле-
элемент из Fq. Поэтому можно предположить, что А2 = 1 или
А2 = g. Это приводит к двум различным геометриям: если
А2 = 1, то квадраты ненулевых векторов пространства V яв-
являются квадратами в группе F*q; если же А2 = д, то они
не являются квадратами в FQ.
2) п = 2. Плоскость|!?над полем Fq содержит q -f I
прямых: прямые вида (A -f #2?> и <2?>, если F = (А, В).
Припишем пространству V знак е = +1; если V — ги-
гиперболическое пространство, положим е = +1, если же
пространство V не содержит изотропной прямой, положим
8 = -1.
Число неизотропных прямых пространства V равно
q — е (если е = -\-1, то имеются всего лишь две изотроп-
изотропные прямые). Поэтому число симметрии в группе О (V)
равно q — е. Эти симметрии образуют класс смежности
группы О (V) по подгруппе О+ (V), отличный от О+ (V).
Отсюда следует, что группа О+ (V) также состоит из q —
— е элементов.
Каждая из q — 8 неизотропных прямых содержит
q — 1 ненулевых векторов. Поэтому общее число неизо-
неизотропных векторов пространства V равно (q — l)(g — в).
q — е вращений индуцируют разбиение совокупности неи-
неизотропных векторов пространства V на q — 1 классов
эквивалентности. Каждый класс эквивалентности состоит
(по теореме Витта) в точности из тех векторов, квадраты
которых равны между собой. Мы видим, что каждый эле-
элемент группы Fq представим как квадрат некоторого
вектора из V.
7*

f9B СИМПЛВКТИЧВСНАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. III.
Пусть А — такой вектор пространства V, что Аг = \,
В — ненулевой вектор, ортогональный вектору А; по-
поскольку вектор В можно' умножить на элемент из к, то
можно предположить, что В2 — —1 или В2 — —g. Так
как V = <4, В> и (Ах + By)* = х* + В2у2, то V — ги-
гиперболическое пространство, если В2 = —1, и негипер-
негиперболическое, если Вг = —g. Символ е действительно пол-
полностью определяет метрику; если е = —1, то х2 — gy2 —
квадратичная форма, соответствующая нашей метрике.
Число изотропных векторов пространства V равно
q -\-щ — е Bд — 1, если V — гиперболическое прост-
пространство, если V— негиперболическое пространство, толь-
только нулевой вектор является изотропным).
3) п > 3. Пусть Р — произвольная невырожденная
плоскость в пространстве V и В — неизотропный вектор
пространства Р*. В плоскости Р найдется такой вектор С,
что С2 = —В2. Тогда С + В =?0, но (С + в? = °- Про-
Пространство V содержит изотропные векторы.
Согласно теореме 3.11
V = H2r j_ W,
где Н2Г — гиперболическое пространство, а пространство
W не содержит изотропных векторов, отличных от 0.
Мы видим, что имеется четыре возможных типа метрик
(Р{ — гиперболические плоскости):
п нечетно
(I) V = P1 \ Paj ... LW1
(П) V = Л1 Р21... J_ P(n-1)/2 _L О*>. А* = в,
п четно
(III) V = P1±P2±...±Pn/2,
(IV) v = л j_ p2 j_... j_ P(n-2)/2 J_ w,
где W — плоскость се = —1.
Квадратичные формы, соответствующие этим четырем
типам метрик, имеют следующий вид:
(I) 2xtx% + *
(II) 2хгхг -
(III) 2x^2 + 2ж8*4 + ... 4- ЗЖп.зЖп.,, +
(IV) 2хгх2 -f 2ar8x4 4-...

t «] ГЕОМЕТРИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ 197
Дискриминанты равны соответственно (—l)("-i)/*, (—l)(n-y/2g,
(_l)n/2) (_i)n/2^# Следует отметить, что тип метрики
определяется заданием п и квадратичного характера
дискриминанта*). Важно также запомнить, что если
V = Pt J_ Vt, где Pt — гиперболическая плоскость, то
пространства V и Vt принадлежат к одному и тому же
типу.
Разница между типами (I) и (II) несущественна. Если
квадратичную форму типа (I) умножить на g, то она станет
эквивалентной форме типа (И). Разница между типами
(III) и (IV) очень велика; максимальное изотропное под-
подпространство имеет размерность п/2 для типа (III) и п12 —
— 1 для типа (IV).
Мы опять сопоставим знак г = -\-1 типу (III) ие = —1
типу (IV).
Обозначим теперь через фп число изотропных векторов
пространства V для некоторого фиксированного типа гео-
геометрии. Если п !> 3 и N, M — гиперболическая пара век-
векторов из V, то <iV, M>* — пространство размерности п —
— 2, имеющее тот же тип, что и V; поэтому пространство
<iV, МУ* содержит ф„_2 изотропных векторов.
W) J_ <ЛГ,М>* — (п — 1)-мерное пространство,
ортогональное вектору iV; следовательно, оно совпадает
с пространством <iV>*. Пусть xN -f- A — вектор из этого
пространства (А (Е <iV, M>*). Он будет изотропным тогда
и только тогда, когда изотропен вектор А. Таким образом,
пространство <iV>* содержит 9фп-а изотропных векторов.
Для вычисления фп нам нужно еще определить число век-
векторов, не ортогональных вектору iV. Каждый такой век-
вектор порождает совместно с вектором N гиперболическую
плоскость. Гиперболическую плоскость, содержащую пек-
тор N, можно представить в виде <iV, ?> при условии
NB фО. Пространство V состоит из дп векторов, qn~^
из них лежат в пространстве <iV>*, так что имеется qn —
— qn~x = дп~Цд — 1) таких векторов В. Каждая плос-
плоскость <iV, ВУ содерясит, по той жо причине, д2 — д =-
— q (q — 1) векторов С (не ортогональных вектору N),
*) То есть заданием того, является дискриминант квадратом d
группе F или нет. — Прим. пере».

198 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. Ш
каждый из которых вместе с вектором N порождает ту
же самую плоскость <iV, 2?>. Таким образом, если заста-
заставить вектор В пробегать множество из q'n^i{q — 1) век-
векторов, то каждая плоскость будет получаться по g (q —1)
раз. Следовательно, имеется qn~2 различных гиперболи-
гиперболических плоскостей, содержащих данный вектор N. В
каждой такой плоскости содержится в точности одна ги-
гиперболическая пара N, M, в которой первым вектором
является данный вектор N. В ней содержатся изотропные
векторы хМ (х фО), не ортогональные вектору N; в
плоскости лежит q — 1 таких векторов. Отсюда следует,
что имеется qn~2(q — 1) = qn~l — qn~2 изотропных век-
векторов, не ортогональных вектору N.
Подведем итоги:
<7фп-2 векторов изотропны и ортогональны вектору N,
qn-i _ qn-г векторов изотропны и не ортогональны
вектору N,
qn~z — число гиперболических пар, у которых на пер-
первом месте стоит вектор N.
Для вычисления фп при п > 3 получается следующее
рекуррентное соотношение:
Фп == ?«-i — д«-г + дфп-2
или
Фп—з"-1 = q (фп-а — д"-8)
или
Тпп (Фп— 9") = Г(п-а)/2 (<Рп-2 — З"-3).
Это означает, что q~nP (фп — qn~l) принимает одно и
то же значение с для всех п > 1 (и для каждого типа
геометрии), другими словами,
Для типов (I) или (II) п нечетно и фх = 1 (если п = 1,
то единственным изотропным вектором является 0). От-
Отсюда следует, что с — 0, т. е.
Фп - qn~l-
Для типов (III) или (IV) при п = 2 получаем фа =
= q _f. tq — е, так что с — е — е/g. Таким образом, для

S 6] ГЕОМЕТРИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ 199
четных п имеем
фп = gn-i + Bq«>* — eqW'1 = (qn<* — е
Имеется ф„ — 1 изотропных векторов N фО. Каждому
из них соответствует <7П~2 гиперболических пар, первой
компонентой которых является вектор N. Следовательно, в
пространстве V имеется Кп = qn~2 (фп — 1) гиперболи-
гиперболических пар. Имеем
Кп = grt-2(qrn^1—1), если п нечетног
Кп = д"-2(?п/з _ е) (д(п/гы 4- е), если п четно.
Прежде чем продолжить наше исследование, опреде-
определим число Кп гиперболических пар в симплектиче-
с к о м случае; п должно быть четным числом. Однако ха-
характеристика поля к может быть произвольной.
Каждый вектор iV изотропен, так что имеется qn — 1
ненулевых изотропных векторов. Как и ранее, имеется
qn. — qn-i векторов В, не ортогональных вектору iV, и
каждая гиперболическая плоскость <iV, Z?> порождается
векторами из зтой совокупности и вектором N q2 — q раз.
Следовательно, получается дп~2 гиперболических плос-
плоскостей <iV, В). В каждой плоскости имеется q2 — q век-
векторов В, не ортогональных вектору N, и эти векторы В
порождают прямые <Z?>; q — 1 векторов В из этого числа
порождают одну и ту же прямую. В плоскости <iV, В)
содержится' q прямых, не ортогональных вектору N. На
каждой из этих прямых найдется такой (единственный)
вектор М, что NM = 1. Следовательно, имеется д™
гиперболических пар с первой компонентой N. Поскольку
имеется qn — 1 таких векторов Ny то
если V — симплектическое пространство.
Обозначим через Фп либо порядок группы On для
каждого из наших типов геометрии, либо порядок симп-
лектической группы Spn (к). Данная гиперболическая пара
N, М может быть переведена в любую другую иэ %п

200 СИМПЛВКТИЧВСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. III
гиперболических пар с помощью отображения а. Если а и
т переводят ее в одну и ту же пару, то отображение х~уа =
= р оставляет пару N, М на месте. Записывая разложение
V — <iV, М> _]_ <iV, М>*, получаем, что р = 1у _]_ ри«,
где U = <7V, Л/> и ри« — один из элементов группы прост-
пространства <iV, Af>*, порядок которой равен Ф„_2. Следо-
Следовательно,
где га > 3 в ортогональном случае и п ;> 2 в симплекти-
ческом (необходимо, чтобы существовала гиперболиче-
гиперболическая пара).
Если п нечетно, то Фх = 1 (единственным вращением
является тождественное отображение) и, следовательно,
(П—1)/2
Фп = ^п_а..Л8 = д(^)+(п-4)+...+1. Д (gt'-l).
1=1
Если га четно и F — ортогональное пространство, то,
как мы уже знаем, Ф2 = q — ей
п/г
Щ gi_e)(gt-i + e))(g-e) =
1=2
(П-2)'2
_ e). Д (g2i
Если F — симплектическое пространство, то Фо = 1
и
»V2
Фп = %п%м ...К = д(*-«+(«-в)+...+1. Q (д«г - 1).
1=1
Таким образом, порядок Фп нашей группы задается
следующей формулой:

§ 6] ГЕОМЕТРИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ 201
(п-х>;а если п нечетно,
q(n-iLi. Д (q2i_i)) у — ортОгональ-
i=i , ное пространство,
(л-г)/2 всли п четно,
дп(п-2)ч(?п'2_е). Д ^?2<_i)) 7 — ортогональ-
i=i ное пространство,
п2 если п четно,
д(п.:2)'. Д ^2i — j), У —спмплектиче-
i=i ское пространство.
Напомним, что в ортогональном случае Фп означает
порядок группы On, а не порядок группы Оп.
Рассмотрим опять случай ортогональной геометрии.
Пусть U — пространство размерности г (г < п) с заданной
невырожденной метрикой. Пусть W — пространство раз-
размерности п — г; определяя на W две метрики, возможные
при размерности п — г, и образуя пространство U J_ W —
— У, мы получаем на пространстве У две возможные мет-
метрики. По теореме 3.12 эти метрики различны, так как
W — U*. Отсюда следует, что метрика на пространстве
W может быть выбрана (в точности одним способом) так,
что пространство У приобретает заданную метрику из
двух возможных. Иными словами: если У — данное не-
невырожденное пространство размерности п, то среди собст-
собственных невырожденных подпространств пространства У
встречаются подпространства со всевозможными типами
метрик. Можно поставить вопрос о числе подпространств U
с данной невырожденной метрикой. Пусть U — одно из
них. Тогда i
у = и _L U*.
Дискриминанты пространств У и U определяют диск-
дискриминант пространства Г/*, и, следовательно, они опре-
определяют и метрику пространства U*. Если к подпростран-
подпространству U применить все отображения из группы О+ (У), то
получатся все изометричньто ему подпространства. Осталось
только определить, сколько элементов а из О1 (У) отоб-
отображают пространство U на гебя. Если ст — такой элемент,
то он отображает подпространство U* тоже на себя.

202 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГОЕМЕТРИИ [ГЛ. III
Следовательно, <т = т_|_р,гдетеС> (С/), ре О (С/*). По-
Поскольку отображение б должно быть вращением, det т =
= det p. Если порядок группы О* (V) обозначить через
Ф (V), то имеется Ф (U) Ф (U*) возможностей, когда т
ир — вращения, и столько же, когда тир — отра-
отражения. Таким образом, в пространстве V содержится
2Ф (U) Ф (U*)
подпространств, изоморфных пространству U. Анало-
Аналогичные вопросы можно исследовать для изотропных
подпространств или для данных множеств независимых
векторов (число которых меньше п). Это мы предоставляем
читателю.
§ 7. Геометрия над упорядоченными полями.
Теорема Сильвестра
Предположим, что к — упорядоченное поле и V — век-
векторное пространство над к с ортогональной метрикой.
Определение 3.15. Метрика пространства V
называется
a) положительно полу определенной, если Х2> 0 для
всех X е Г,
b) отрицательно полуопределенной, если Хг<Г 0 для
всех XeF,
c) положительно определенной, если X4 ^> 0 для всех
Х^ОДё V,
d) отрицательно определенной, если X2 < 0 для всех
X ^=0Д?7.
Предположим, что V — положительно полуопределен-
полуопределенное пространство, и пусть У — такой вектор из V, что
У4 = 0. Тогда для произвольных XEFieE^; имеем
(X + aYf = X* + 2а (XY) > 0.
Если бы XY Ф 0, то функция X2 -\- 2a(XY) одновременно
с а принимала бы все значения в поле к, в том числе и
отрицательные. Следовательно, XY = 0 для всех ХеГ.
Поэтому радикал пространства V состоит из всех тех век-
векторов 7б7, для которых У2 = 0. Положительно полу-

§ 1) ГЕОМЕТРИЯ НАД УПО^ЯДОЧЕНЙЬШИ ПОЛЯМИ 203
определенное пространство невырожденно тогда и только
тогда, когда оно положительно определено. Подобное ут-
утверждение имеет место и для отрицательно определенных
пространств. Заметим, что О-пространство является как
положительно, так и отрицательно определенным.
Предположим теперь, что V — просто невырожденное
пространство, и пусть U — положительно определенное
подпространство, W — отрицательно определенное под-
подпространство. Если X е U П W, то X2 > 0 и X2 < 0, от-
откуда X = О, U Q W = 0. Следовательно, dim (U + W) =»
= dim U -f dim W, а поскольку dim (U -\-W) <^ n, то
dim U -fdim W< n.
Предположим, что подпространство U не является
собственным подпространством никакого положительно
определенного подпространства пространства V (U —
максимальное положительно определенное подпростран-
подпространство). Имеем V = U _|_ U*. Если бы в пространстве U*
содержался такой вектор У, что У > 0, то, очевидно,
пространство U _|_ <У> было бы положительно определен-
определенным; следовательно, У <Г 0 для всех 7е ?/'. Поскольку
пространство U* невырожденно, то оно отрицательно оп-
определенное. Обозначим размерность пространства U через
г. Тогда мы получаем:
a) если W — отрицательно определенное подпрост-
подпространство, то dim W ^ п — г;
b) верхняя граница п — г размерностей подпростран-
подпространства достижима, а именно, достаточно положить W =
- U*. ¦
Получена инвариантная характеристика числа г, и мы
заключаем, что все максимальные положительно опреде-
определенные подпространства имеют одинаковую размерность г.
Нам понадобятся еще некоторые сведения. Предполо-
Предположим, что U — положительно определенное пространство.
В каком случае оно будет максимальным положительно
определенным подпространством? Ясно, что в этом слу-
случае подпространство U* должно быть отрицательно опре-
определенным. Является ли это условие достаточным? Если
U* — отрицательно определенное подпространство раз-
размерности п — s, то каждое положительно определенно*
пространство имеет размерность не выш» п — (п — s) = s.
Поэтому подпространство U (которое имеет размерность s)

204 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГЕОМИТРИИ ?ГЛ. III
является максимальным положительно определенным (и,
очевидно, s — т).
Эти утверждения легко интерпретировать в терминах
ортогонального базиса Ах, А2, ..., Ап прострап-
ства V. Предположим, что Alt А2, ¦••, Аг — те базисные
векторы, квадраты которых положительны, и пусть U ~
= <ЛХ, А2, ..., АГУ (U = 0, если г = 0). Тогда подпрост-
подпространство U* = <Лг+1, Лг+г,..., АпУ отрицательно определе-
определено и, следовательно, U — максимальное положительно оп-
определенное подпространство. Таким образом, г — нага пер-
первоначальный инвариант.
Утверждения, сформулированные нами, известны под
названием теоремы Сильвестра.
Инвариант г описывает метрику на пространстве V,
вообще говоря, не полностью. Однако в одном важном слу-
случае он это делает полностью. Предположим, что каждый
положительный элемент поля к является квадратом неко-
некоторого элемента из к. Это условие выполняется, например,
если к = R, где R — поле вещественных чисел. Если за-
заменить каждый базисный вектор A t подходящим вектором
aiAi, то можно предположить, что для новых базисных
векторов выполняются равенства А\ = 1 для i <^г и
А\ = —1 для i > r -j- 1. Метрика основывается на квад-
квадратичной форме
х\ +х* +... +х1-хЛ1- ... -xl
Получается п -\- 1 таких метрик, так как г = 0, 1, ...
..., п—возможные значения для г. Как раз теорема Силь-
Сильвестра и обеспечивает то обстоятельство, что все эти мет-
метрики различны.

ГЛАВ А IV
ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА
§ 1. Некоммутативные определители
Ж. Дьёдонне распространил теорию определителей на
тела. Его теория включает в себя случай обычных опре-
определителей, и мы изложим ее здесь. Пусть к — тело. Пусть
А = (ai}) — матрица порядка п с элементами из тела /с,
где буква i обозначает номер строки, а / — номер столбца
матрицы А. Для каждого i ф) и произвольного к е= к
обозначим через Вц (А.)- матрицу, которая получается из
единичной матрицы заменой элемента ai} = 0 единичной
матрицы на к.
Умножение произвольной матрицы А слева на матрицу
Вц (к) равносильно прибавлению к i-й строке матрицы А
/-й строки, умноженной слева на к. Умножение матрицы
А справа на матрицу Bi} (к) сводится к прибавлению к
/-му столбцу матрицы А i-го столбца, умноженного спра-
справа на К. В частности, Bt) (к) Bi} (ц) = Ви (к + ц) и
Если Ai, Av •••. An — вектор-строки матрицы А,
то вектор-строки матрицы ВА являются левыми линей-
линейными комбинациями векторов As. Матрица А невырож-
денна, если она обладает обратной матрицей В, т. е. если
п единичных векторов могут быть записаны как левые ли-
линейные комбинации векторов As. Это возможно в том и
только в том случае, если векторы A v линейно независи-
независимы слева.
Группа всех вевырожденных квадратных матриц по-
порядка п называется полной линейной группой и обозначается
GLn (к). Матрицы Ви (к) (для всех i ф) и всех к е к)
порождают подгруппу SLn (к), которая называется упи-
модулярной группой. Ее элементы назовем унимодуляр-
ными матрицами-
Пусть А — невырожденная матрица. Ми хотим, ум-
nnwoa iiOTmrnv А СЛ Я Н ПвВЛИЧНЫЙ М ТШПП.Т Вч (к)

206 ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА [ГЛ. IV
привести ее к возможно более простому виду. Эти после-
последовательные умножения равносильны умножению слева
на подходящую унимодулярную матрицу В.
Так как матрица А невырожденна, то не все элементы
ап первого столбца равны нулю. Если п > 2 и ап — 0,
то мы прибавим подходящую строку ко второй строке и
получим матрицу, у которой аа1 ф 0. Теперь мы умножим
вторую строку на A — ап)а? и прибавим ее к первой стро-
строке. Получим матрицу, у которой alt = 1. Затем мы ум-
умножим первую строку на atl и вычтем ее из г-й строки
(i ^> 1). Получится невырожденная матрица, у которой
ап = 1 и а,л — 0 для i >1.
В этой матрице п — 1 строк А2, ..., Ап линейно неза-
независимы слева; следовательно, мы можем преобразовать
второй столбец аналогичным образом и получим ааа = 1,
0i2 — 0 Для г ^> 2. если п > 3. Но мы можем также до-
добиться того, чтобы я12 = 0, вычитая некоторое кратное
второй строки из первой.
Описанная процедура закончится только тогда, когда
полученная матрица будет отличаться от единичной толь-
только последним столбцом. Тогда элемент епп — ц должен
быть отличен от 0, поскольку в противном случае послед-
последняя строка состояла бы только из нулей. Таким образом,
мы можем добиться по крайней мере того, чтобы а1п — 0
для i^n — 1, вычитая кратные последней строки из
остальных строк. Окончательно мы получаем матрицу
D (ц), которая отличается от единичной матрицы только
элементом апп, который равен ц. Таким образом, имеет
место
Теорема 4.1. Каждую невырожденную матрицу
А можно представить в виде В • D (ц), где Й? SLn (к)
и ц — некоторый ненулевой элемент из к.
Умножение матрицы А слева на матрицу D (ц) сводит-
сводится к умножению последней строки слева на ц. Умножение
матрицы А справа на D (ц) равносильно умножению по-
последнего столбца матрицы А справа на ц. В частности,
Отличные от нуля, элементы тела к образуют мульти-
мультипликативную группу к*. Фактор-группа группы /с* по
коммутанту абелева. Обозначим ее через /с*. К этой труп-

5 1] НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 207
пе мы присоединим нулевой элемент с естественным ум-
умножением. Полученную таким образом полугруппу обоз-
обозначим через к. Каждый элемент а =?0 тела к имеет кано-
канонический образ а ъЪ. Нулевому элементу тела к мы сопо-
сопоставим нулевой элемент D полугруппы к. Тогда ab = ab =
= Ъа и I—единица полугруппы к. Для простоты будем часто
писать 1 вместо I и 0 вместо D. Следует предостеречь чи-
читателя относительно элемента —1, поскольку может
случиться (например, в теле кватернионов), что
=iI = т.
Сопоставим теперь каждой матрице А элемент из к,
который мы назовем определителем матрицы А и обозна-
обозначим символом det А. Потребуем, чтобы det А удовлетворял
следующим аксиомам:
I. Если матрица А' получена из матрицы А умножени-
умножением одной строки матрицы А слева на ц, то
det A' = JI det A.
П. Если матрица А' получена из матрицы^ прибавле-
прибавлением одной строки к другой, то
det A' = det А:
III; Определитель единичной матрицы равен 1.
Так как мы будем доказывать существование опреде-
определителей индукцией по п, то сначала выведем из аксиом не-
некоторые следствия.
a) Если к строке At прибавить левое кратное кА} дру-
другой строки, то определитель не изменится.
Утверждение очевидно, если Я, = 0. Пусть Я, фО и
А' — матрица, которая получается из матрицы А заме-
заменой строки А) на kAj. Тогда det ^1 = Я det А'. Теперь
достаточно прибавить строку XAj матрицы А' к строке
At и вынести из ;-й строки множитель Я..
b) Если матрица А вырождена, то det А — 0.
Действительно, одна вектор-строка является левой
линейной комбинацией остальных строк. Вычитая из нее
эту линейную комбинацию, мы получаем матрицу, в ко-
которой одна строка состоит сплошь из нулей. Предположим,
что матрица А имеет такой вид. Тогда из этой строки мож-
можно вынести множитель 0, откуда det А — 0 • det A — 0.

208 ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА [ГЛ. IV
c) Если строки At w Aj поменять местами, то опреде-
определитель матрицы А умножится на —1.
Действительно, заменим строку At на Аг -\-А}, выч-
вычтем ее из строки Aj (получим — A-D и прибавим эту строку
к 1-й строке. Эти операции привели к перестановке строк
Л, и А)У но с переменой знака. Следовательно, остается
поменять знак у одной строки, что приводит к множите-
множителю —1 у определителя.
d) det D (ц) = pi. Для доказательства достаточно вы-
вынести из последней строки и и воспользоваться аксиомой
III.
e) Если матрица А невырожденна и представима в виде
ВФ (ц),где В — унимодулярная матрица, то det A = jJ.
Это утверждение вытекает из d), так как умножению
на матрицу В равносильно последовательному примене-
применению операций, не изменяющих определителя.
f) Аксиомы являются категорическими. Это вытекает
из Ь) ие).
g) det A — 0 тогда и только тогда, когда матрица А
вырождена. Это также следует из Ь) и е).
h) det (АВ) = det A - det В.
Пусть матрица А вырождена, тогда матрица АВ не-
необратима, поскольку из равенства ABC — I (где / — еди-
единичная матрица) вытекает ВС = А'1. Следовательно,
det А — det АВ — 0 и наша формула в этом случае верна.
Если матрица А — С • D (ц) невырожденна (С — уни-
унимодулярная матрица), то det А — \.С. Матрица D (\х.)В
получается из матрицы В умножением последней строки
на ц. Следовательно, det (D (\i)B) — jl det В. Умножение
матрицы D {\i)B слева на унимодулярную матрицу С
не изменяет определителя. Таким образом,
det (АВ) = det (D (ц)В) = pi det В = det A det В.
i) Поскольку det (A • Bti (Ц) = det А, то det А не из-
изменяется, если правое кратное одного столбца прибавить
к другому столбцу.
j) Если столбец матрицы А умножить справа на ц,
то определитель умножится на р.
Для последнего столбца это утверждение следует из
равенства det (AD (ц)) = det A • pi, а для остальных

5 1] НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 209
столбцов его можно доказать, воспользовавшись переста-
перестановкой столбцов. Правило перестановки столбцов полу-
получается из i) так же, как в с); его можно получить сначала
только для перестановки последнего столбца с другим столб-
столбцом. Этого достаточно для того, чтобы доказать j). За-
Затем можно, используя j), полностью вывести правило за-
замены столбцов.
Существование определителей
1) Для однострочных матриц А — (а) положим det A —
= а. Легко проверить, что при этом выполняются аксиомы
определителей. Предположим, что определители для
(п — 1)-строчных матриц уже определены и что выполня-
выполняются необходимые аксиомы.
2) Пусть А — n-строчная матрица. Если матрица А
вырожденна, положим det А = 0. То, что матрица А вырож-
денна, означает, что ее строки зависимы. Тогда аксио-
аксиомы I и II выполняются, поскольку новые строки также
зависимы.
3) Если матрица А невырожденна, то вектор-строки ли-
линейно независимы слева и существуют такие однозначно
п
определенные элементы ki ?ft, что 2 ХЧА v = A, 0,..., 0)
(не все Xt = 0). Мы запишем At = (ац, #4), где Bt —
(п — 1)-мерный вектор. Тогда
п п
Рассмотрим теперь матрицу F, состоящую из п строк
Bi (и п — 1 столбцов). Обозначим через С% квадратную
матрицу порядка п — 1, которая получается из матрицы
F вычеркиванием i-fi строки. Мы хотим получить некото-
некоторую информацию о det Ci.
n
a) Если A,j = 0, то из ^]XV5V = 0 следует, что строки
v=l
матрицы Ci зависимы и, следовательно, det Ci = 0.
b) Предположим, что Kt ф0 и kj Ф0 (i Ф)). Обоз-
Обозначим черен D и Е матрицы, которые получаются из мат-
матрицы Ci заменой В} на kjBj и на Bt соответственно.

210 ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА [ГЛ. IV
Имеем det Ct = K~l det D. Если к строке XjBj приба-
прибавить все остальные строки, каждая из которых умножена
слева на соответствующее Kv, то в этой строке получим
Вынося —Kh получаем
С помощью |? — /| — 1 перестановок соседних строк
матрицу Е можно преобразовать в матрицу Су. Следова-
Следовательно, имеем
det d = (—I)*"* JIJ1 (— К)
или
(—l)t+1 A,?det C{ = (—If1 J^detC,-. D.1)
Таким образом, выражение D.1) является одним и тем
же для каждого Kt Ф 0. Мы и назовем его определителем
матрицы А:
Теперь мы должны доказать, что при таком определе-
определении выполняются аксиомы определителей.
I. Предположим, что строка At заменена на [iAt. Ес-
Если [i = 0, то, очевидно, аксиома выполняется. Пусть
(х =5^= 0. Тогда нужно заменить Xt на Х^р,, а остальные эле-
элементы %„ оставить без изменения. Если Xt Ф 0, то матрица
Ct не изменяется; множитель XJ1 заменяется на (I^J1 и ак-
аксиома верна. Если Kv ф 0 для v ф i, то det Cv умножа-
умножается на jl и аксиома опять верна.
II. Если строка At заменяется на At + Aj, то Xj за-
заменяется на Kj — Я,;, а все остальные Kv остаются прежними
вследствие тождества
%, (At + Aj) + (h - U)A} = Mi + Му-
Если некоторое Kv отлично от 0 для v ф i, /, то мы ис-
используем его для вычисления определителя и убедимся в
том, что det Cv не изменяется, поскольку строка прибав-
прибавляется к другой. Если %i Ф 0, то Xt и Ct остаются преж-

§ 1] НЕК0ММУТАТИЁНЬ1Ё ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 211
ними. Остается еще рассмотреть случай, когда К} фО,
но все остальные %v = 0. В этом случав KjBj = 0, откуда
следует, что Bj = 0. Так как строка Bt должна быть
заменена на Bt -\-Bj,ro матрица С; не изменится; %} также
не изменится, и наша аксиома доказана во всех случаях.
III. Для единичной матрицы %г — 1, все остальные
Kv = 0. Сг — также единичная матрица, откуда следует,
что det 1=1.
Теорема 4.2. Пусть а, ЬеА, а Ф0, Ь ф0.
Пусть с = аЬаГЧ'1. Тогда при п > 2 матрица D(c) уни-
модулярна.
Доказательство. Отправляясь от единичной
матрицы, произведем ряд преобразований, сводящихся к
прибавлению подходящего левого кратного одной строки
к другой. Стрелка между матрицами указывает на преоб-
преобразования
°Ы° W° ~a
/0 -с
\1 Ь
Эти преобразования выписаны только для 2-строчных
матриц, но подразумевается, что они производятся в по-
последних двух строках га-строчных матриц. Они показы-
показывают, что матрица D(c) может быть получена из единичной
матрицы умножением слева на унимодулярные матрицы.
Теорема доказана.
Теперь мы можем ответить на вопрос, в каком случае
det А = 1. Если положить А — В • D([i), где В —
унимодулярная матрица, то det A = \i. Но равенство
]1=1 означает, что ц принадлежит коммутанту и поэтому
является произведением коммутаторов. Отсюда следует,
что матрица D(\i) унимодулярна и, следовательно, мат-
матрица А унимодулярна.
Если га = 1, то det A = det (a) = а. Для того чтобы
получить единообразный ответ, можно определить группу
SLX (к) как коммутант группы к*.

212 ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА [ГЛ. IV
Отображение GLn (к) ->- /с*, задаваемое соответствием
А -*~ Aet А, является гомоморфизмом ввиду теоремы об
определителе произведения матриц. Это отображение яв-
является сюръекцией, поскольку D {\\) -*¦ р, а ц может быть
любым элементом в к*. Его ядром будет группа SLn(k).
Следовательно, группа SLn (к) является нормальным
делителем группы GLn (/с), фактор-группа по которой
естественно (при отображении матриц в определители)
изоморфна группе к*. Таким образом, нами доказана
Теорема 4.3. Равенство dot A — 1 имеет место
тогда и только тогда, когда А ЕЕ SLn (к). SLn (к) — нор-
нормальный делитель группы GLn (к); он является ядром ото-
отображения А -*- det A, а фактор-группа по нему изоморфна
группе к*.
Теорема 4.4. Пусть
'В
- (В0\
~\CD)
где В и D — квадратные матрицы. Тогда
det А — det В • det D.
Это же соотношение выполняется и для матрицы
(В С\
ков,
Доказательство. 1) Если матрица В вырож-
денна, то ее строки зависимы и поэтому соответствующие
строки матрицы А также зависимы. Наша формула в этом
случае верна.
2) Если матрица В невырожденна, то можно произвес-
произвести унимодулярные преобразования (и те же преобразова-
преобразования над матрицей А) для того, чтобы привести ее к виду
D (ц). Тогда det В = р. Вычитая подходящие кратные
первых строк матрицы А из последующих, можно матри-
матрицу С превратить в нулевую:
OD
Если D — вырожденная матрица, то и А — вырожденная
матрица. Если же матрица D невырожденна, то можно

5 11
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
213
предположить, что матрица D имеет вид D (р) и det D —
— р. Вынося из матрицы А множители ц. ир, мы получаем
единичную матрицу. Следовательно,
det А = цр = det В- det Z>.
По отношению к матрице А второго вида можно рас-
рассуждать аналогично, исходя И8 матрицы D.
ор
Y6
Примеры для п = 2
Y б
ОР
= \
2)
ар
V б
а
О б—
= аб —
3) Предположим, что ab фЬа. Тогда
1 а
Ъ ab
Это показывает, что правый множитель Ъ в последней
строке нельзя выносить, поскольку в противном случае
мы получили бы 0.
В коммутативном случае определитель обладает свой-
свойством линейности для строк и столбцов. Исследуем, каким
свойством заменяется эта линейность в общем случае.
Пусть к' — коммутант группы ненулевых элементов
тела к. Тогда элемент а можно интерпретировать как класс
смежности ак'. Очевидно, ab = ab — ab. Определим сло-
сложение следующим образом: а -\-Ь~ = ак' -\-Ьк' — множе-
множество всех сумм элементов из с и из Ь. Тогда а -f- b €= й +
+ 5; следовательно, (а + Ь)Ъ с= аЪ 4- ЬЪ. Заметим, что это
включение превращается в равенство в коммутативном
случае, так как тогда а = атх.а-\-Ь~ = а-\-Ь.
Рассмотрим теперь определитель как функцию неко-
некоторой строки, скажем, последней строки Ап, считая ос-
остальные строки At постоянными. Обозначим эту функ-
функцию через D (Ап).
Теорема 4.5.
D (Ап + А'п) с D (An) +D(A«).

214 Полная линейная группа [гл. iv
Доказательство, n -f 1 векторов Аи А%, ...
...,Ап, А'п линейно зависимы; »то означает, что имеет место
нетривиальное соотношение;
1) Если А, = (x = 0, то первые п — 1 строк наших
трех определителей зависимы; определители равны 0,
теорема верна.
2) Если, скажем, X фО, то можно предположить, что
К = 1. Прибавляя к последней строке соответствующие
кратные первых п — 1 строк, получаем
D (Л„) = D (~[iAn) = -pD(An) = ~[iD(An)
и
D (An +A'n) = D (A - р)А'п) = A - n)Z> (X).
Наша теорема вытекает теперь из включения
Следствие. ?^слм тгеело А; является полем, то опре-
определитель является линейной функцией каждой строки.
§ 2. Строение группы GLn (U)
Выведем несколько лемм о телах; они нам понадобятся
в дальнейшем. Введем следующие обозначения:
к — произвольное тело,
Z — центр тела к, который является подполем тела к,
S — аддитивная подгруппа тела /с, порожденная
квадратами элементов из к, поэтому любой элемент из S
представим в виде 2 + x\x\..: xj.. Заметим, что S + S cz
cz S, SS cz S, а также что из с €= S следует с = с (с~хJе
€= S, если с Ф 0.
Лемм а 4.1. Если квадрат любого элемента из к
лежит в Z, то тело к является полем.
Доказательство. 1) Поскольку ху -\- ух =
= (х + У)* — х* — ,уа, то каждый элемент вида ху + ух
принадлежит Z.

5 2] СТРОЕНИЕ ГРУППЫ GLn(k) 215
nv
2) Если характеристика тела к не равна 2, то каждый
элемент х представим в виде
._(•+!}•_(!=!?, <4.2)
2
откуда следует, что а; ЕЕ Z.
3) Если /с — тело характеристики 2, не являющееся
полем, то найдутся такие элементы а и Ь, что аЬ фЪа и,
следовательно, с = ab -f &я =5^ 0- Но из 1) вытекает, что
cGZb элемент са — а фа) -f- фа)а также принадлежит
Z. Отсюда следует, что iieZh, следовательно, ab = Ьа,
что противоречит сделанному предположению.
Лемма 4.2. 5о веса: случаях, эа исключением того
случая, когда к — поле характеристики 2, S = к.
Доказательство. 1) Тождество D.2) доказы-
доказывает лемму в том случае, когда характеристика тела к не
равна 2.
2) Предположим, что к — тело характеристики 2,
не являющееся полем. Тогда ху -f- ух = {х + уJ — ж2 —
— уа, откуда следует, что ху -\-ух^ S.
По лемме 4.1 существует такой элемент а ЕЕ к, что
аа §Ё Z. Поэтому можно указать такой элемент а ЕЕ А,
что о2Ь =/: Ьд2. Элемент с = а?Ь + Ьд2 лежит в S и отличен
от 0. Пусть а; — произвольный элемент тела к. Тогда
сх = агЪх + Ъагх = аг(Ъх -\- хЪ) + (а2а;)Ь + Ъ{агх), отку-
откуда следует, что сх ЕЕ 5, и поэтому а; ЕЕ с-15 с: S, что и
требовалось доказать.
Пусть V — правое векторное пространство размерности
п > 2 над телом А. В гл. I мы показали, что множество
Нот (F, V) А-линейных отображений пространства V в
себя изоморфно кольцу всех квадратных матриц порядка
п с элементами из к. Этот изоморфизм зависит от выбора
базиса Аг, Аг, ..., Ап. Если а ЕЕ Нот (F, У) и а.4у =
п
^}Avavj, to элементы а„у составляют /-й столбец матрицы
»—1
(ajy), соответствующей элементу а. Назовем определите-
определителем элемента а определитель матрицы (ajy):
det a = det (а1}).
Если в пространстве V выбран новый базис, то матрица
А =* (atj) заменится некоторой матрицей ВАВ'1 и
det (BAB'1) = det В • det A • (det Я) = det A, поскольку

216 ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА [ГЛ. IV
значения определителей коммутируют между собой.
Таким образом, det с не зависит от выбора базиса. Оче-
Очевидно, det (<тт) = det о • det т.
Предпочтительно определять группу GLn (к) как мно-
множество всех невырожденных А:-линеишлх отображении
]ддостр_аиства' V на себа^ подгруппу SLn (к) выделять
усло1вием det а ^"ТГМы попытаемся понять геометриче-
ский смысл группы"SLn (к).
Определение 4.1. Элемент т е GLn D) назы-
называется трансвещией, если он отображает каждый вектор
некоторой гиперплоскости Я на себя и сдвигает каждый
вектор X ЕЕ V на некоторый вектор гиперплоскости //:
т1-1?Я.
Установим сначала форму, в которой можно предста-
представить произвольную трансвекцию. Пространство V, соп-
сопряженное к F, является левым n-мерным векторным прост-
пространством над к. Его можно использовать для задания
гиперплоскостей пространства V следующим образом:
если ф — элемент из V, ср Ф О, то множество всех векто-
векторов Y ЕЕ V, удовлетворяющих условию <р (Y) = 0, со-
составляет гиперплоскость Я пространства V; если ф ЕЕ V
задает ту же самую гиперплоскость, то Ир — е<р, с ЕЕ к.
Предположим, что гиперплоскость Н задается элемен-
элементом ф ЕЕ, V. Выберем вектор В из V так, чтобы он не лежал
в Я, т. е. чтобы ф (В) = а Ф 0.
Пусть X — произвольный вектор пространства V.
Рассмотрим вектор X — Ba~lq> (X). Его образом при ото-
отображении ф является ф (X) — <р (В)а~х(р (X) — 0, откуда
следует, что вектор X — 5а ф (X) лежит в Я. Следова-
Следовательно, он неподвижен при трансвекции т:
хХ - хВ • а-хф (X) = X - В • а-*<р (X),
хХ = X + (т Eа-1) - В а'1) <р (X).
Поскольку вектор ВсГ1 сдвигается при отображении х
только на вектор из Я, то А = т фа) — Ва~х <~ Я
и можно написать
хХ = X + А ¦ ф (X), ф (А) = 0. D.3)
¦¦ч
Обратно, выберем произвольный элемент ф ЕЕ V и
произвольный вектор А (= V, для которого ф (А) — 0.

5 2] СТРОЕНИЕ ГРУППЫ Gtn(/.') 217
определим отображение т формулой D.3) и обозначим его
(ввиду его зависимости от А) через тд.
Если один из элементов ср или А нулевой, то т — тож-
тождественное отображение, т. е. трансвекция относительно
любой гиперплоскости. Предположим, что <р и А отличны
от 0. хХ = X тогда и только тогда, когда <р (X) = 0, т. е.
когда X принадлежит гиперплоскости Н, определяемой
элементом <р. Вектор А удовлетворяет условию <р (А) = 0
и поэтому лежит в Н. Произвольный вектор X сдвигается
на некоторое кратное вектора А, т. е. на вектор гипер-
гиперплоскости Н. Отображение т невырожденно, поскольку
из равенства хХ = 0 вытекает, что X — кратное вектора
А и, следовательно, ХеЯ; но тогда хХ — X и поэтому
X = 0. Мы убедились в том, что формула D.3) определяет
все трансвекции; они намного более частного типа, чем
предполагается в определении, так как вектор X всегда
сдвигается на некоторый вектор прямой {А > а Н. Пря-
Прямая (А > называется направлением трансвекции. Понятие
направления трансвекции имеет смысл, разумеется, толь-
только в том случае, когда трансвекция т отлична от тождест-
тождественного отображения.
Пусть А,В ЕЕ Н. Тогда можно вычислить хАхв'-
тА (хвХ) = хв (X) +А • Ф (хвХ) = тв (X) +
= X +
так как ф (В) = 0. Таким образом,
Пусть' т — трансвекция, заданная соотношением D.3),
причем х ф1, а а — произвольный элемент группы
GLn (k). Положим т' = сгтсг1. Тогда
= от (ст1* +А
= X + оА • ф (а*).
Отображение X ->- ф {а~гХ) ?= к также является эле-
элементом из V. Для отыскания соответствующей ему гипер-
гиперплоскости заметим, что равенство ф (о~1Х) = 0 равносиль-
равносильно включению сг^ ЕЕ Н, т. е. включению X ЕЕ аН. Век-
Вектор аА принадлежит гиперплоскости аН, и мы убеждаемся

218 ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ! ГРУППА [ГЛ. IV
в том, что отображение т' = сгтсГ1 также является транс-
векцией, принадлежащей гиперплоскости аН, с направ-
направлением (аА >. Обратно, пусть х' — трансвекция с соот-
соответствующей гиперплоскостью Н', х' ^1 и
= X +А'-
Найдем два вектора В и В' из V, которые удовлетворяют
условиям ф (В) = 1 и Ир (В') = 1.
Определим элемент а е GLn (к) так, чтобы а А = А',
аН — Н' и аВ = В'; это можно сделать, поскольку
базис гиперплоскости Н совместно с В порождают прост-
пространство V, и аналогично базис гиперплоскости Н' совмест-
совместно с вектором В' также порождают V. Положим т" =
= отсг. Тогда
т" (X) = X + А' • ф (а*).
Существует такая постоянная с, что ф (а^Х) = сф (X),
так как ф (<T"XZ) тоже определяет гиперплоскость аН =
= Н'. Полагая X = В\ а~хХ = В, получаем с = 1 и
т" = т'. Итак, все трансвекции т, отличные от тождест-
тождественного отображения, сопряжены в группе GLn (к). Ив
равенства т' = аха'1 вытекает, что det т' = det т, т. е.
все трансвекции, отличные от тождественной, имеют один
и тот же определитель.
Как мы уже показали выше, хАхв — тА+в, где А и В —
векторы из Н. Предположим, что Н содержит по меньшей
мере три вектора. Выберем вектор А Ф 0 и вектор В Ф О,
—А. Полагая С = А -\-В =?0, имеем хАхв — хс, при-
причем все три трансвекции отличны от тождественного отоб-
отображения. Они имеют один и тот же определитель а Ф О,
следовательно, имеем а2 = а, а = 1. Эту формулу можно
использовать и для других целей. Пусть / — естественный
гомоморфизм группы GLn (к) на ее фактор-группу по ком-
коммутанту. Образом группы GLn (к) при гомоморфизме /
является коммутативная группа, так что / (аха'1) =
— 1 (а) 1 (т) / (°г~1) = / (т)' откуда опять следует, что все
трансвекции имеют один и тот же обраэ р при отображении
/. Опять имеем ра = р и, следовательно, р = 1. Образом
любой трансвекции является 1, каждая трансвекция ле-
лежит в коммутанте группы GLn (к). Не следует, однако, 8а-

§ 2] СТРОЕНИЕ ГРУППЫ GLn(k) 219
бывать, что мы сделали предположение в том, что в плос-
плоскости Я содержатся по крайней мере три вектора. Это ус-
условие заведомо выполняется если dim Я > 2 или п > 3;
если п — 2, dim Я = 1, то оно выполняется, если тело
к содержит по меньшей мере три элемента. Поэтому един-
единственное исключение составляет группа GL2 (/); утверж-
утверждение об определителях справедливо и в этом случае, так
как единственным ненулевым элементом поля F2 является
1, однако трансвекции из группы GL2 (F2), как мы увидим
ниже, не лежат в коммутанте.
Воспользуемся теперь базисом Аг, Лг, ...,Ап прост-
пространства V. Пусть т — отображение, отвечающее матрице
В 1} (к); для v Ф] отображение т оставляет векторы Ач
на месте. Векторы Av (v ф}') порождают гиперплоскость
Я. Оставшийся вектор А} сдвигается на кратное вектора
At, следовательно,— на вектор иэ Я. Поэтому произволь-
произвольный вектор из V также сдвигается на вектор из Я, т. е.
т — т^рансвекция. Мы знаем, что трансвекции, соответ-
соответствующие матрицам В1} (К), порождают группу SLn (к).
Таким образом, группа, порожденная множеством всех
трансвекции пространства V, содержит группу SLn (к).
Но мы уже показали, что каждая трансвекция унимоду-
лярна, т. е. ее определитель равен 1. Отсюда следует, что
SLn (к) — группа, порожденная множеством всех транс-
трансвекции пространства V. Это и есть геометрическая интер-
интерпретация группы SLn (к).
Мы доказали, что группа SL^ (к) содержится в комму-
коммутанте группы GLn(lc) (исключение составляет группа
CrZa (/('а)). Фактор-группа GLn (k)/SLn (к) коммутативна
(группа SLn (к) является ядром отображения, сопостав-
сопоставляющего каждой матрице ее определитель). Отсюда выте-
вытекает обратное включение. Группа SLn (к) является ком-
коммутантом группы GLn (к), и фактор-группа по коммутанту
канонически изоморфна (при отображении в определите-
определители) фактор-группе группы к* по коммутанту.
Пусть т (X) = X + А • Ф (X) и т' (X) = X +
+ A'-ty (X) — трансвекции, отличные от тождественного
отображения, а В и В' — векторы, удовлетворяющие усло-
условиям ф {В) = 1 и 1|э (В1) = 1. Выберем произвольный эле-
элемент а е GLn (к), удовлетворяющий условиям оН = Я',
а А = А' и сг5 = В'. Тогда т' = сгтсГ1.

220 ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА [ГЛ. IV
Если п > 3, то имеется большая свобода в выборе ото-
отображения а. Гиперплоскости Н и Н' содержат независи-
независимые векторы. Умножая образ вектора — базисный вектор
гиперплоскости Н', который не зависит от А',— на не-
некоторый множитель из /с, можно добиться того, чтобы
det а = 1, т. е. того, чтобы or e SLn(k). Все транс-
трансвекции, отличные от тождественной, сопряжены в группе
SLn (к).
Если п — 2, то гиперплоскость совпадает с направле-
направлением трансвекции. Если мы потребуем только стЯ = #',
то и при этом можно достичь равенства det or = 1, посколь-
поскольку вектор В' можно умножить на подходящий элемент из к.
Пусть теперь т пробегает все нетождественные трансвек-
трансвекции с гиперплоскостью Н. Тогда т' = сгтог1 будет пробе-
пробегать трансвекции с гиперплоскостью Н', причем каждая
трансвекция г' получается таким путем, а именно, из
трансвекции г = orVor. Таким образом, множество всех
трансвекции, отличных от тождественного отображения,
с гиперплоскостью Н сопряжено в группе SLn (к) с мно-
множеством всех нетождественных трансвекции с некоторой
другой гиперплоскостью Н'.
Соберем полученные результаты.
Теорема 4.6. Множество нетождественных транс-
вещий пространства V порождает группу SLn(k). Оно
является классом сопряженных элементов группы GLn (k)
и, если п > 3, даже классом сопряженных элементов груп-
группы SLn (k). Если п = 2, то множество всех нетождест-
нетождественных трансвекции с данным направлением сопряжено в
группе SLn (k) с множеством всех нетождественных транс-
вещий с некоторым другим направлением.
Теорема 4.7. Группа SLn (k) является коммутан-
том группы GLn (k) (исключение составляет группа
GL2 (Fa)), а фактор-группа по коммутанту канонически
изоморфна (при отображении в определители) фактор-
факторгруппе группы /с* по коммутанту.
Теорема 4.8. Централиэатор подгруппы SLn (/с)
в группе GLn (к) состоит иа элементов а ЕЕ GLn (к), кото-
которые отображают все прямые пространства V на себя.
Они находятся во взаимно однозначном соответствии с
отличными от 0 элементами а центра Z тела к. Если аа
соответствует элементу а ЕЕ Z*, то аа (X) — Ха. Этот

§ 2] СТРОЕНИЕ ГРУППЫ GLn(lt) 221
централизатор является одновременно центром группы
GLn (к). Центр группы SLn (к) состоит из элементов аа
с определителем 1, для которых а" == 1.
Доказательство. Пусть <Л > — некоторая пря-
прямая и т — трансвекция с этим направлением. Если о ле-
лежит в централизаторе группы SLn (к), то or коммутирует
с г и оха'1 = т. Трансвекция в левой части этого равенства
имеет направление (аА >, а в правой — {А>. Это означает,
что огХ = Ха для произвольного X <~ V; остается еще
проверить, может ли а зависеть от X. Если X, и 1а -
независимые векторы, то векторы Хг, Х2, (Хг + Х2) ото-
отображаются при or в векторы Хга, Х2р, (Хг -|- Х2)у. По-
Поскольку вектор Хга -f- Х2р тоже является образом век-
вектора Хг -\- Х2, то а = y = Р- Если же векторы Хг и Х2
зависимы, то мы сравним их с таким третьим вектором,
который независим с каждым из первых двух, и убедим-
убедимся, что они также умножаются на один и тот же коэффи-
коэффициент. Отображение аа (X) = Ха не обязательно линей-
линейно; оно должно удовлетворять условию стя (Хр) = оа (Х)р
или Хра = ХаР, откуда следует, что aeZ*. Остальные
утверждения теоремы очевидны.
Мы подошли к основной части этого параграфа. Будем
говорить, что подгруппа G группы GLn (к) инвариантна
при унимодулярных преобразованиях, если aGu'1 a. G
для каждого а е SLn (к). Мы покажем, что подобная
подгруппа G (за некоторыми исключениями) либо содер-
содержится в центре группы GLn (к), либо содержит группу
SLn(k). Для этого мы докажем, что группа G содержит
все трансвокции, если она не содержится в центре груп-
группы GLn (к). При доказательстве будем пользоваться сле-
следующим утверждением: если or GE SLV (к) иге G, то
элемент сгтсгЧг1 также принадлежит G, поскольку он
является произведением элементов ото и г; элементы
вида тогг^ог1 тоже лежат в G.
Лемма 4.3. Пусть G — подгруппа группы GLn (к),
инвариантная при унимодулярных преобразованиях и со-
содержащая трансвещию х ф\. Тогда SLn{k)cG, за
исключением того случая, когда одновременно п = 2 и к —
поле характеристики 2.
Доказательство. 1) Пусть п > 3 и отобра-
отображение о пробегает группу SLn (k). Тогда элемент ото

222 ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА [ГЛ. IV
пробегает множество всех нетождественных трансвекций и,
следовательно, SLn (к) с G.
2) Пусть п = 2, (А > — гиперплоскость (и направление)
трансвекций т, В — некоторый вектор, линейно неза-
независимый с А. Тогда V = (А, В), следовательно, транс-
векция г определяется заданием ее действия на векторах
А и В:
х(А) = А, х(В) = А1 + В. D.4)
Обратно, если отображение т можно представить в такой
форме, то оно является трансвекцией с гиперплоскостью
<Л>. Если нужно указать, что эта трансвекция зависит от
X, то мы будем писать г*.
Выберем or е= GL% (к), задаваемое равенствами
or (А) = Аа, а (В) = Лр + By. D.5)
Применяя к D.5) отображение от1, получаем А = а~г(А)а,
а~\А) = Аа~г и В = о-*D)р + or1^)?, откуда ст^) =
= — Аа'^у'1 -f- Ву~1. Очевидно, что (г — 1)Л = 0 и
(т— 1) 5 = -4Я, откуда имеем а (т — lJorM = 0 и
о (г — \)а~гВ = о (Л • Яу) = Aahf'1. Следовательно,
oxg^A = ^4, аха~хВ = ЛаЯу +5. D.6)
Это вычисление будет также использовано несколько
позже.
Если мы хотим, чтобы отображение а было унимодуляр-
ным, то определитель матрицы
0Y
(т. е. ау) должен равняться 1. Это будет заведомо так,
если положить у = Я»^. При таком выборе у формулы
D.6) принимают вид
та'1 А = А, аха~гВ = Аа?1 + В.
Следовательно, элемент огтсГ1 является трансвекцией
то»> и тоже лежит в G.

i 2] СТРОЕНИЕ ГРУППЫ Gt.n(k) 22.3
Множество Т всех X из /с, для которых тх е= G, содержит
ненулевые элементы. Если Х1, Х2^.Т,тох^х\1 =Xxt±i,G
GE G. Это означает, что Т — аддитивная группа. Мы толь-
только что видели, что при любом ast* множество ааТ со-
содержится в Т. Следовательно, ala\... a?rT cz T и поэтому
5Г с: Т, где 5 — множество, определенное в лемме 4.2.
По нашему предположению о А; и по лемме 4.2, S = к и,
следовательно, ST = /сГ = А. Группа <? содержит все
трансвекции с направлением <Л >. Из теоремы 4.6 следует,
что группа G содержит uce трансвекции и поэтому содер-
содержит группу SL2 (к).
Лемма 4.4. Предположим, что п = 2 и что группа
G содержит элемент а, действие которого на некотором
базисе А, В плоскости V задается формулами вида D.5).
Тогда SL2 (k) cr G, если у не лежит в центре тела к; или
в случае, когда у принадлежит центру, если а Фу.
Доказательство. Пусть т — трансвекция, за-
задаваемая равенствами D.4). Тогда элемент р = аха'Чг1
тоже лежит в группе G. Для х'1 имеем
тГ1 {А) = А, т (В) = —АХ + В.
Принимая во внимание равенства D.6), мы получаем, что
действие отображения р задается соотношениями
р (А) = А, р (В) = А (аЯу — X) + В.
Выбор элемента Я находится в нашем распоряжении;
попытаемся подобрать его так, чтобы аЯ/у — Я Ф 0.
При таком выборе отображение р было бы нетождественной
трансвекцией, содержащейся в группе G. Тогда, по лем-
лемме 4.3, SL2 (k) d G, если только тело к не является полем
характеристики 2. Если а =/= Y. то можно положить X =1 ;
при сделанном предположении у не лежит в центре, если
а = у, т. е. существует такое Я, что уХ — Ху Ф 0. Тогда
(уХ — ^лОу = ^У'1 — X фО. Осталось рассмотреть слу-
случай, когда к — поле характеристики 2. Тогда у — эле-
элемент центра и, по нашему предположению, ос фу. Мно-
Множитель аЯ/у — X = (ау — 1) X пробегает поле к, если
X пробегает к. Элемент р пробегает тогда множество всех
трансвекции с направлением (А >. По теореме 4.6 все
трансвекции лежат в G. Следовательно, SL2 (к) a G.

224 ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА [ГЛ. IV
Теорема 4.9. Предположим, что либо п > 3,
либо п = 2, но к, содержит по меньшей мере четыре эле-
элемента. Если G — подгруппа группы GLn (к), инвариантная
при унимодулярных преобразованиях и не содержащаяся
в центре группы GLn {к), то SLn (к) a G.
Доказательство. 1) » = 2. В группе G дол-
должен содержаться элемент о, сдвигающий некоторую пря-
прямую (А >. Положим оА = В. Тогда плоскость V порож-
порождается векторами А и В, а отображение а можно задать
его действием на базисе А, В:
аА — В, зВ = Af> -\-By, Р фО.
Выберем в теле к любой ненулевой элемент а и опре-
определим элемент т группы GL2 (к) равенствами
хА = Ауа — Ва, хВ = Аа~х.
Ему соответствует матрица
уа а~
—а О
определитель которой равен 1, так что т ?Е: SL^ (к). От-
Отсюда следует, что р = х^а'На также лежит в группе G.
Имеем
ахА = Вуа — А$а — Вуа = —АРа, ахВ = Ва~х
и, следовательно, для элемента, обратного к ах, имеем
Для ха получаем
хоА — Аа'1, хаВ = Ауа$ — Бар + Аа~ху =
= А
Теперь можно вычислить р = та~1та:
р (А) = —Аа-1^-
р {В) = -Аа-ф
Постараемся подобрать элемент а так, чтобы можно
было применить к отображению р лемму 4.4. Можно ли
выбрать а так, чтобы элемент аар не лежал в центре тела
/с? Если р не лежит в центре, положим а -— 1. Если же

I 2] СТРОЕНИЕ ГРУППЫ GLn(fc) 225
р лежит в центре тела к, но тело к некоммутативно, то
выберем а таким образом, чтобы элемент а2, а с ним и
агР, не лежал в центре; лемма 4.1 обеспечииает сущест-
существование такого элемента а. Следовательно, для некомму-
некоммутативных тел это возможно сделать. Если к — поле, то
мы попытаемся добиться того, чтобы аар фа'^^а'1,
что эквивалентно условию о4 ф$~г. Уравнение х* = Р~а
имеет не более четырех решений; если поле состоит не ме-
менее чем из шести элементов, то можно найти такой элемент
а =/=0, что а4 =5^Р~г. Итак, нам осталось рассмотреть толь-
только случаи двух полей: Ft и F&.
В поле Ft имеется три ненулевых элемента, составляю-
составляющих группу. Поэтому а3 = 1 и а1 = а, если а фО. Нам
нужно добиться того, чтобы а Ф р~г, что, разумеется,
осуществимо.
В поле F& для каждого а фО а* = 1. Мы видим, что
наша попытка не увенчается успехом, если р = 1, р =
= -f 1. Если р = Н-1, то выберем а так, чтобы а2р = 1;
это возможно, поскольку в поле F& Р = 1, 2а = —1.
Действие соответствующего отображения р задается фор-
формулами
р (А)~ -А, р E)- -А-2у-В.
Так как рбб, тор2е<?и
рМ = А, р2В - А-Ау +В;
если у фО, то р2 ф 1, р2 — трансвекция, и из леммы 4.3
вытекает, что SL2 (к) a. G.
Остается еще рассмотреть тот случай, когда к — F6,
р = ±1, у = 0.
Если Р = 1, то оА — В, аВ = А. Выберем новый ба-
базис: С = А +5, D = А — В. Тогда
аС = С, сг?> = -?>.
Если р = — 1, то а А — В, аВ = —А. Положим С =¦
= 4 + 25, Я = А - 25. Тогда
о-С = В — 2А = -2С, а?> = 5 + 1А = 2Z).
В обоих случаях можно к отображению о применить
лемму 4.4. Теорема для п = 2 доказана.
V«8 Э. Артин

226 ПОЛНАЯ ЛШТГСЙНАЯ ГРУППА [ГЛ. IV
2) п р> 3. Выберем в группе G элемент о. который сдви-
сдвигает некоторую прямую (Ау. Положим аА — В. Пусть
т — трансвекгщя с направлением {А}, причем т Ф 1.
Тогда элемент р — стто^'т тоже лежит в G и является
произведением трансвекций т и ахз~* с направлениями
D>и o(i) = (Я) соответственно. Эти направления раз-
различны, откуда следует, что от or1 Ф т, р = оха~1т~* Ф 1.
Трансвекция т сдпигает лектор X на кратное вектора
А, а трансвекция ахб~1 сдвигает вектор т~'Х на кратное
вектора В. Отсюда вытекает, что р сдвигает вектор X
на вектор плоскости (А, В}. Так как п > 3, то плоскость
(А, В} можно вложить в некоторую гиперплоскость Я.
Тогда рЯ cz Я, поскольку вектор X Ег Н сдвигается на
вектор из {А, В) cz H. Элемент р?б обладает следую-
следующими свойствами:
а) р ф 1, Ь) р# = Я, с) рХ — X е Я для всех X €=
е V.
Предположим сначала, что р коммутирует со всеми
трансвекциями, принадлежащими гиперплоскости Я.
Выберем элемент срЕг V, задающий гиперплоскость Я.
Пусть С — любой вектор иа Я. Пусть %± — трансвекция:
т,Х = X + С ¦ ф (X).
Ввиду с) имеем <р (рХ) = ф (рХ — X) + ф (X) = Ф(Х).
Следовательно,
= рХ И- С-ф(рХ) = рХ + С-ф(Х).
Так как, согласно предположению, ртх = Tjp, то из
сравнения последних равенств вытекает, что рС — С,
поскольку вектор X можно выбрать так, чтобы ф (X) ф 0.
Но С — произвольный вектор гиперплоскости Я, следо-
следовательно, элемент р отображает каждый вектор из Я на
себя. Отсюда и из свойства с) вытекает, что р — трансвек-
трансвекция. Иа леммы 4.3 мы заключаем, что SLn (к) cz G.
Таким образом, можно предположить, что существует
такая трансвекция т, с гиперплоскостью Я, что ptj Ф т^р
и, следовательно, К — рт1р"'х7' ф 1. Элемент % тоже лежит
в G и является произведением трансвекций х~л и pxjp с
гиперплоскостями Я и р// — 11 соответственно. Слодо'

it] СТРОВНИЯ ГРУППЫ Gtn(k) ' 227
вательно, будучи произведением трансвекций с общей
гиперплоскостью, элемент А, и сам является трансвекцией.
По лемме 4.3 SLn (к) с G. Теорема докавана.
Теорема 4.9 проливает некоторый свет на определение
определителей. Предположим, что мы каким-то образом
ввели понятие определителя, причем так, чтобы оно во
-всяком случае имело смысл для невырожденных элемен-
элементов из Нот (V, F), т. е. для элементов из GLn (к). Пусть
единственным условием, которое мы наложили на опреде-
определители, будет соотношение det от = det or • det г, но
значение определителя может приниматься в любой (воз-
(возможно некоммутативной) группе. Тогда соответствующее
этому определению новое отображение а -> det or являет-
является гомоморфизмом группы GLn(k), a ядро G этого отоб-
отображения является инвариантной подгруппой группы
GLn (к). Оставим в стороне два случая групп GL2 (Ft) и
GL2 (Fs). Если группа G содержится в центре группы
GLn (&), то рассматривать отображение a-*- det or нецеле-
нецелесообразно, поскольку оно сведется просто к факторизации
по некоторому множеству диагональных матриц из центра.
.В любом другом случае можно заключить, что SLn (к) с: G,
откуда следует, что новое отображение грубее, чем ста-
старое, у которого ядро точно совпадает с группой SLn {к).
Определение 4.2. Пусть Zo — центр группы
SLn (к). Тогда фактор-группа SLn(k)/Z0 называется про-
проективной унимодулярной группой и обозначается через
.PSLn(k).
Теорема 4.10. Группа PSLn (k) простая, т. е.
у нее нет инвариантных подгрупп, отличных от 1 и всей
группы. Исключение составляют группы PSL2 (Fa) и
nor ijp \
FbLl (fig).
Доказательство *). Пусть Г — инвариант-
инвариантная подгруппа группы PSLn (k). Ее элементами являются
классы смежности группы SLn (k) по центру Zo. Пусть
G — объединение этих классов; группа G — инвариант-
инвариантная подгруппа группы SLn (к). Если G с Zo, то Г = 1; в
противном случае группа G совпадает с SLn {к) и, следо-
следовательно, Г = PSLn (к).
*) Случаи PSL^Ft) и РБЬг{Р3) рассмотрены ниже в теореме
4.11. — Прим. ред.
Vl9 Э. Артив

228 ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА [ГЛ. IV
§ 3. Векторные пространства над конечными полями •)
Предположим, что к = Fg, т. е. к — поле, состоящее
из q элементов. Группы GLn (к), SLn (к) и PSLn (к) будут
конечными, и мы вычислим их порядки.
Пусть Аг, Аг, ..., Ап — базис пространства V и пусть
oE=GLn(k). Элемент or полностью определяется обра-
аами 5( — aAt базисных векторов. Так как отображение
а невырожденно, то векторы Bi линейно независимы.
В качестве Bt можно выбрать любой из qn — 1 ненулевых
векторов пространства V. Предположим, что мы уже вы-
выбрали векторы Ви В2, ..., Bt (i < re); эти векторы порож-
порождают подпространство размерности i, состоящее из ql
векторов. В качестве ?(+, можно взять любой из qn —
— q{ векторов, не лежащих в этом подпространстве. Та-
Таким образом, имеется
п
(qn — \)(qn — q)... (qn — q"~i) = q**-Dt* П (ql — 1)
возможностей для выбора образов. Это число и есть по-
порядок группы GLn (к).
Группа SLn (к) является ядром_отображения а -> det о
элементов из GLn (к) на группу к* =/с*, состоящую из
q — 1 элементов. Поэтому порядок группы SLn(k) по-,
лучается делением на q — 1 порядка группы GLn (к), т. е.
нужно просто опустить в произведении сомножитель с
i = 1.
Порядок центра группы SLn (к) равен числу решений
уравнения <хп = 1 в к*. Множество элементов из А;* со-
составляет группу порядка q — 1; элементы этой группы
удовлетворяют уравнению хп~' — 1. Обозначим через d наи-
наибольший общий делитель чисел ге и q — 1. Тогда сущест-
существуют такие целые числа г и s, что d = гег + (q — l)s.
Если ап = 1,то ad = (an)r-(aQ-l)s = i; обратно, если
ad = 1, то и а" = 1, так как d — делитель числа п. Те-
Теперь нам нужно отыскать число решений уравнения
*) Напомним, что, согласно теореме 1.14, коночные тела яв-
являются полями. — Прим. перее.

|3] ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ 229
ad — 1 (где d — делитель числа q — 1). Полином а^-1 — 1
имеет q — 1 различных корней в к, а именно, корнями яв-
являются все элементы группы к*. Он раскладывается в про-
произведение q — 1 различных линейных множителей. Поли-
Полином xd — 1 делит ж"-1 — 1, откуда следует, что xd — 1
раскладывается в произведение различных линейных
членов. Следовательно, порядок центра группы SLn (к)
равен d.
Для отыскания порядка группы PSLn (к) нужно раз-
разделить порядок группы SLn (к) на d.
Теорема 4.11. Порядок группы GLn (k) равен
g,n(n-i)/2 П (д1 — 1), порядок группы SLn (k) равен
п
fMl/sri^-l), а порядок группы PSLn{k) равен
i-2
п
(l/d)^")/» П (q{ — 1), где d — наибольший общий дели-
тель чисел пи q — 1. Группа PSLn (k) действительно не
является простой в случаях п = 2, q = 2 или тг — 2, <7 = 3.
При п = 2 для группы PSLn (к) получаются такие
порядки:
,, если о нечетно,
q {q2 — 1), если q четно.
Для q — 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13 получаем, что эти
порядки равны соответственно 6, 12, 60, 60, 168, 504, 360,
660, 1092.
Если V — пространство размерности п над полем
Fq, то V содержит </" — 1 ненулевых векторов. На каждой
прямой имеется ц — 1 ненулевых векторов, так что в
пространстве V содержится (qn — l)/(q — 1) прямых.
Каждому элементу группы SLn (Fq) можно сопоставить
перестановку этих прямых. Ядром полученного отобра-
отображения (совокупность элементов из SLn {FQ), оставляющих
прямые на месте) является центр группы SLn {Fq). Ото-
Отображение, индуцируемое на группе PSLn (Fq), является,
очевидно, мономорфизмом группы PSLn (Fq) в симметри-
симметрическую группу перестановок прямых.
9*

230 ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА [ГЛ. IV
Если га = 2, q = 2, 3, 4, то получается соответственно
3, 4 и 5 прямых. Легко видеть, что:
1) GL2 (F2) = SL2 (F2) = PSL2 (F2) — симметрическая
группа S3, не являющаяся простой, следовательно,
группа SL2 (F2) не совпадает с коммутантом группы GL2(F2),
который является циклической группой третьего порядка;
2) PSL2 (F3) — знакопеременная группа At — тоже
не является простой;
3) PSL2 (F4) — знакопеременная группа Аь; группа
PSL2 (Fb) также имеет порядок 60, причем можно пока-
показать, что она изоморфна группе PSL2 (Ft).
Прочие интересные случаи:
4) PSL2 (F,) и PSLS (F2) — группы порядка 168 каж-
каждая; они действительно изоморфны;
5) группа PSL2 (F«) порядка 360 изоморфна знакопе-
знакопеременной группе Ав;
6) простые группы PSL3 (Ft) и PSLt (F2) имеют по-
порядок 20160 —тот же, что и знакопеременная группа А6)
можно покавать, что А6 аг PSLt (F2).
Поскольку пример простых неизоморфных
групп одинакового порядка представляет определенный
интерес, мы докажем, что группы PSL3 (Ft) и PSLt (F2)
неизоморфны.
Отличные от 0 элементы поля Ft образуют цикличе-
циклическую группу порядка 3. Отсюда следует, что куб любого
элемента центра группы GL3 (Ft) равен 1. Выберем в
группе PSL3 (F4) элемент о порядка 2, являющийся клас-
классом смежности в группе SL3 (Ft); пусть а — элемент этого
класса. Равенство о2 = 1 означает, что а2 лежит в центре
группы SL3 (Ft), и, следовательно, а0 = 1. Элемент а3
лежит в классе смежности о3 = а, и мы могли бы в классе
а выбрать элемент а3 вместо а. Произведя эту замену, мы
получаем, что новый элемент а удовлетворяет условию
<х2= 1.
Пусть Я — ядро отображения X -> A + а)Х = X ¦+¦
+ аХ. Так как V/H at (I + o)V, то
3 = dim V = dim H + dim A + a)V;
если бы dim Я = 3, то A + a)V = 0, X + аХ = 0 для
всех X е= V. Следовательно, аХ = X (характеристика
поля Ft равна 2). Цо это означало бы, что о = 1, тогда как

I 3] ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ 231
мы предположили, что а — элемент порядка 2. Следова-
Следовательно, dim Я ^ 2. Включение ХеЯ означает, что X +
4- оХ = 0 или, что то же самое, аХ — Х\ пространство
Я состоит из элементов, неподвижных при а. Но элементы
пространства A + а) V неподвижны, так как а (X + аХ) —
— аХ 4- о2Х = аХ + X, откуда вытекает, что
A + а) V cz Я и, следовательно, dim A + а) V ^ dim H.
Для значения размерности Я остается единственная возмож-
возможность: dim Я = 2, т. е. Я — гиперплоскость и а сдвигает
каждый вектор X на вектор аХ + X е A + a)V czH.
Следовательно, а—трансвекция, о Ф 1. Любые две транс-
векции, отличные от тождественной, сопряжены, так как
га = 3. Это означает, что элементы порядка 2 группы
PSL3 (FA составляют один класс сопряженных элементов.
Рассмотрим группу PSLt (F2) — SLt (F2) = GL4 (F2).
Среди элементов второго порядка находятся, во-первых,
все трансвекции, отличные от тождественного отображе-
отображения (В12 (IJ = В12 @) = 1), которые образуют один класс
сопряженных элементов. Пусть At, Аг, А3, At — базис
пространства V; определим отображение т равенствами
т (At) — Alt x (A2) = Ay + A2,
х (А3) = А3, х (АА ** А3 + At.
Тогда т2 = 1, однако т не является трансвекцией, так
как векторы А2 ж At сдвигаются на векторы различных
прямых. Таким образом, элементы второго порядка со-
составляют по меньшей мере два класса сопряженных эле-
элементов. Группы PSL3 (Ft) и PSLt (F^) неизоморфны.
Можно показать, что, кроме рассмотренных случаев,
среди групп PSLn (Fg) нет изоморфных между собой
групп или групп, изоморфных знакопеременным группам.

ГЛАВА V
СТРОЕНИЕ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ
И ОРТОГОНАЛЬНОЙ ГРУПП
В этой главе мы будем изучать вопросы, похожие на
те, которые рассматривались в предыдущей главе. Рас-
Рассматривая пространство с симплектической или ортого-
ортогональной метрикой, попытаемся отыскать инвариантные
подгруппы соответственно симплектической или ортого-
ортогональной группы. В симплектическом случае это оказы-
оказывается достаточно легко, и можно было бы ожидать, что
для ортогональных групп также получатся аналогичные
результаты. Но оказывается, что не все ортогональные
группы приводят к простым группам. Задача о строении
ортогональных групп решена только частично, и много
интересных вопросов остается все еще нерешенными. Мы
начнем с легкого случая — с рассмотрения симплекти-
симплектической группы.
§ 1. Строение симплектической группы
Докажем аналог теоремы 4.4.
Теорема 5.1. Пусть G — инвариантная подгруппа
группы Spn (k)y не содержащаяся в центре этой группы.
Тогда G = Spn (к) (исключение составляют группы Spt G^),
Spt (F3) и SPi (Ft)).
Доказательство. 1) Пусть A Ez V, А Ф О,
и предположим, что в группе G содержатся все трансиек-
ции в направлении А. Если В — другой ненулевой век-
вектор, то выберем т б= Spn (k) так, чтобы хА — В. Если а
пробегает множество трансвекций в направлении А, то
тат пробегает множество трансвекций в направлении В,
так что группа G содержит все трансвекций. Значит,
в этом случае G = Spn (к). Если к = Fs, то имеется только
одна трансвекция с направлением А, а если k — Ft, то —
две, но они взаимно обратны. Поэтому в случае к = Ft
или к =s Fa достаточно установить, что в группе G содер-

t ll СТРОЕНИЕ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ 233
жится хотя бы одна трансвекция, отличная от тождест-
тождественного отображения.
2) Если п = 2, V — (N, М>, где N, М — гиперболи-
гиперболическая пара, то положим otV = аМ -\- $М, аМ = yN +
+ ЬМ. Если мы хотим, чтобы а(= Sp2 (к), то нужно пред-
предположить, что а удовлетворяет одному-единственному
условию: aN'• аМ ~ N-М = i. Из него вытекает, что
аб — Py — !• Это показывает, что Брг (к) = 5/>2 (А;),
т. е. ?р4 (/г) — двумерная унимодулярная группа прост-
пространства V. В случае п = 2 паше утверждение является
следствием теоремы 4.9.
3) В группе G должно содержаться некоторое отобра-
отображение сг, сдвигающее с места по крайней мере одну пря-
прямую С<4). Пусть аА — В. Предположим сначала, что АВ=*
= 0. Тогда <Л>* ф </?>*, так как (А> ф <J3>. Следова-
Следовательно, гиперплоскость <i5>* не содержится в <Л>*. По-
Поэтому существует такой вектор С, что СЕ (.В)*, Сф (А}*.
Тогда СВ — 0, но СА =j=> 0; вектор С можно выбрать
так (домножив на подходящий элемент из к), чтобы про-
произведение СА было равным 1. Пусть т — трансвекция:
тХ = X + ((С - А)Х). (С - А).
Тогда хА = А + (С — А) = С и хВ = В.
Элемент р = тсг'тг'а принадлежит группе G, причем
р(А) = ta~lx~\B) = та-!E) = %{А) = С. Так как АС ф О,
то без ограничения общности можно предположить, что
исходное отображение а удовлетворяет условию аЛ = В,
АВ Ф0.
Пусть tj — трансвекция: тхХ = X + (АХ)-А. Тог-
Тогда элемент р, = ТхатГ'0 принадлежит G. Имеем
Pl [В) = т,ат7г (А) = хга(А) = хгВ - В + (АВ)А. E.1)
Трансвекция т, оставляет на месте каждый вектор,
ортогональный вектору А, а трансвекция ат1га~1 — каж-
каждый вектор, ортогональный вектору В. Их произведение —
трансвекция рх — оставляет на месте каждый вектор, ор-
ортогональный плоскости Р = <Л, В). Эта плоскость не-
вырожденна, поскольку А В Ф 0; можно написать V =
= jP J_ Р", откуда находим, что рг = p2_Llp*, где р2 6?
е «Spg (к). Из равенства E.1) вытекает, что ра не остав-

?234 СИМПЛЙКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. ?
"ляет на месте прямую <J9> плоскости Р, т. е. что р2 не
лежит в центре группы Sp2 (к). Множество всех X ЕЕ 5р.г(к),
для которых %J_ip* принадлежит G, составляет ин-
инвариантную подгруппу группы Sp2 (к), не лежащую в
центре этой группы. Если к ф F2nit ф F3, то это мно-
множество совпадает со всей группой Sp2 (к). В частности,
если в качестве К взять все трансвекции плоскости Р в
направлении <Л>, то, как нетрудно заметить, в груп-
группе G будут содержаться все трансвекции X I 1Р» прост-
пространства V в направлении <Л>. Следовательно,G = Spn (к).
Если к = F3, то п > 4. Вложим плоскость Р в невы-
невырожденное пространство V^ размерности 4. Элемент р2
представим в виде р9 _[_ Iv,*» где р8 S «Sp4 (к). Поэтому
можно рассуждать так же, как в предыдущем случае, при
"условии, что теорема доказана для группы Spt (к). Ана-
"логично, если к = ft, то достаточно доказать теорему
¦для группы Spe (к).
Таким образом, нужно особо рассмотреть группы
SPl (F,) и SPt (F2).
4) Пусть к = F2 или к = F3, и предположим сначала,
что элемент рх отображает некоторую прямую <С> плос-
плоскости Р на себя. Если к = 7^, то сам вектор С отобража-
отображается на себя, pj — трансвекция плоскости -JP и, следова-
следовательно, трансвекция пространства V, и в этом случае
наша теорема верна. Если к = F3, то рх может отображать
вектор С в противоположный ему вектор. Положив Р =»
= <С, D), получаем
PlC = -С, PlD = -D + 1С,
так как отображение рг должно действовать унимодуляр-
но. Элемент t, не равен 0, поскольку отображение рх сдви-
сдвигает с места прямую <Л> плоскости Р. Для р\ получаем
? = С, 9\D -D
т. е. р? — трансвекция.
Можно предположить, что рх не оставляет на месте ни
одной прямой плоскости Р. Если к = F2, то плоскость Р
содержит три ненулевых вектора, а трансвекция р, цик-
циклически переставляет эти векторы; трансвекция р71 осу-
осуществляет вторую циклическую перестановку. Если Q —

|_ 1] СТРОЕНИЕ СИМЛЛЕКТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ 235
другая невырожденная плоскость ите Spu (F2), причем
%р = Qt то элементы тр^Ч также принадлежат группе G
и циклически переставляют ненулевые векторы из Q,
оставляя на месте каждый вектор, ортогональный плос-
плоскости Q.
Если к = F3, то выбором в Р произвольную прямую
<Л>. Положив ptA — В, имеем Р — <Л, В), а унимо-
дулярноо действие отображения pL на Р задается равен-
равенствами
= В, PlB = —А + Р5.
Мы утверждаем, что Р == 0; в противном случае рх (А -\-
+" рВ) = Я - М -f р25 = - рЛ - 5 = - р (Л + Pi5)
(в поле F3 Р == -f-1), откуда следовало бы, что прямая
(А + РВ> отображается на себя. Следовательно,
—Л, р"Л = —В, p'JJ3 = 4.
Одна из пар Л, Z? или В, А — гиперболическая, так
как А В = +1. Поэтому группа G содержит элемент а,
который на симплектический базис Nu Mly Nt, Мг дейст-
действует следующим образом:
aNx — My, aMt = —Nlt oNt — N2, аМ3 — M2.
Рассмотрим теперь отдельно группы Spt (F^) и Sp9 (F2).
Мы будем неоднократно пользоваться следующим рассуж-
рассуждением: если Alf А2, ..., Ап и Ви В2, ..., Вп — с и м п-
лектичеспие базисы пространства V, то суще-
существует такой элемент те Spn(k), что xAt = В,. Если
п
известно, что а? G и что аАг = 2jaiv-^v> то'гат так-
V—1
же лежит в G и
п
5) 1?р4 (F3); пусть jV1? Mt; N2, M2 — симплектиче
окий базис простраастпа V. Тогда
Nlt N, + Л/,; Nt, Mz + N2 E.2)
— тоже симплектический бааис. Группа G содержи/

236 СИМПЛЕКТИЧИСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
элемент а, который действует следующим образом:
aNr = M1( aMr = —Nlt oN2 = N2, оМг = А/,. E.3)
Группа G содержит также элемент т, действующий соот-
соответствующим образом на базисе E.2):
xNt = N2 + Ми х (Nt + Мг) = -Nlt xN2 = N2,
x (M2 + NJ = M2 + Nv
Имеем
j = ЛГ, — iVi, (тс (ЛГ, + Mx) = —Aflf <тгЛ^г = ЛГ„
cr (Af, + iVi) = Af, + Mlt
= N2 — Nlt oxMx = —Mt — 7V2, отЛ^2 = ^V8,
otM2 = Nt - N2 + Mt + Mv
Элемент p = (axJ также лежит в G и
pN1 = Nu pMj = Mlt piV8 = N2, pM2 = N2 + M2.
Но эти равенства показывают, что р — трансвекция. До-
Доказательство закончено.
6) Spe(F2); будем использовать следующие симплекти-
ческие базисы:
ЛГг, Mi, ЛГ„ М2; N3, М„ E.5)
Nt, Мх + Мг; Nx + N2, M2; N3, M3, E.6)
Nu Mi; N3, M3; N2, M2, E.7)
Nlt M,; N2 + N3, M2; Ns, M, + Mt. E.8)
Пусть аг — циклическая перестановка (а! действует
на базисе E.5))
N2-+N2 + M2-+ M2-+ N2,
переводящая векторы Nu Mx, N3 и М3 в себя.
Аналогично пусть а2 — перестановка (а2 действует
на базисе E.6))
Nt + N2-+ Af,-*- Nt + N2 + M2-> N1 + N2,
оставляющая на месте векторы -Nlt Mx + М2, N3, M3.
Положим а3 — а2ах. Тогда
asAf.! = Мх + ЛГ, + N2, о;!М2 = М2 + N» а3М3 = М3,
а векторы Nf неподвижны,.

I 2] ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА 237
©безиачим через at и <тв элементы из G, которые дейст-
действуют на базисах E.7) и E.8) соответственно подобно а3.
Они оставляют неподвижными векторы Wi, и мы получаем
<T4Mi - М1 + Nt + N» otMt - Mt,
о,хМй - Ms + Nu <sbMx - Mx + Nt + N2 + N,,
abM% - M2 + Nu абМ3 « M3 + Nx.
Элемент т = а, а4 аь тоже лежит в G, отображает век-
векторы Ni на себя, и, поскольку
хМг = M, + Nu хМг = М2, хМ3 = М8,
он является трансвекцией. Теорема доказана полностью.
Определение 5.1. Фактор-группа группы Spn(k)
по ее центру называется проективной симплекгпической
группой т обозначается PSpn(k).
Теорема 5.2. Группы PSpn(k) просты. Исклю-
Исключение составляют группы PSp2(Ft), PSpt(F8) и PSpiiFi).
Если характеристика тела к равна 2, то Spn(k) —
группа без центра; если жо его характеристика не равна 2,
то центр группы Spn (к) имеет порядок 2. В § 6 гл. III мы
определили порядок группы Sp^F^). Порядок группы
PSiF) равен
4
где через d мы обозначили наибольший общий делитель
чисел 2 и q — 1.
Порядок простой группы PSpt(F3) равен 25920. В ал-
алгебраической геометрии эта группа появляется как груп-
группа 27 прямых линий на поверхности третьего порядка.
Порядок простой группы PSpe(F2) равен 1451520.
Эта группа тоже возникает в алгебраической геометрии
как группа 28 двойных касательных к плоской кривой
четвертого порядка.
§ 2. Ортогональная группа евклидова пространства
. Пусть к — поле вещественных чисел R. Предположим,
что V — n-мерное векторное пространство над к с орто-
ортогональной метрикой, основанной на квадратичной форме
а , а с . ч
Тогда говорят, что V — евклидово пространство.
10 Э. Артив

238 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
Рассмотрим сначала трехмерное евклидово простран-
пространство. Изотропных векторов здесь нет. Метрика в каждой
плоскости Р пространства V тоже евклидова, так что любые
две плоскости Рг и Р2 из V изометричны. JP8 = xPx для
некоторого tgOJ. Отсюда следует, что все вращения на
180° сопряжены. Так как они порождают группу О», то
инвариантная подгруппа G группы Оз. содержащая
вращение на 180°, совпадает с 01.
Пусть теперь G — инвариантная подгруппа группы
0з» G=fc 1, и а— элемент группы G, аф\.. Посмотрим,
как группа G действует на единичной сфере, т. е. на сово-
совокупности векторов, квадрат которых равен 1: элемент а
имеет ось вращения (А), где А2 = 1. На геометрическом
языке это утверждение выглядит очень просто: а вращает
сферу вокруг оси <у4> на некоторый угол. Пусть d — рас-
расстояние, на которое сдвигается вектор У, перпендикуляр-
перпендикулярный оси: AY = 0 (т. е. лежащий в плоскости экватора).
Тогда остальные векторы сдвигаются на расстояние, не
превосходящее d, и для заданного числа т <^ d найдется
точка Zu которая передвигается на расстояние т (и пе-
переходит в некоторую точку Z2). Если Рг и Р2 — проив-
вольные точки сферы, расстояние между которыми равно
т, то существует такое вращение т G O3+i что xZx = Plt
tZ2 = Рг. Вращение таг также лежит в G и переводит Рх
в Р2. Значит, точку Рх можно перевести с помощью отоб-
отображения из G в любую точку JPjj при условии, что расстоя-
расстояние между Рг и Р2 не превосходит d. Последовательно
применяя такие отображения к точке Ри эту точку молшо
перевести в любую точку сферы, в частности, в точку
— Рг. Следовательно, группа G содержит элемент alt кото-
который переводит некоторый вектор в противоположный
ему вектор. Но в гл. III — при рассмотрении случая
п = 3 — мы показали, что аг — вращение на 180°.
Следовательно, G = Оз.
Некоторые читатели, вероятно, хотели бы увидеть фор-
формальное доказательство утверждения о точке Zx. Поло-
Положим Zx — А • У1 — ц2 -+- У"-ц, где 0 ^ \i <^ 1. Тогда
(a- i)Zt = ц . (а- 1)У, ((a- i)ZJ* - ji» ((а - i)Y)\
е наше утверждение становится очевидным.

i 2] ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА 239
Группа 0? по модулю своего центра не является прос-
простой группой. Тем не менее можно показать, что спра-
справедлива
Теорема 5.3. Пусть V — евклидово пространство
размерности п > 3, но п Ф 4. Если G — инвариантная
подгруппа группы Ot, не содержащаяся в центре группы
On, то G — On. Отсюда следует, что группа Ot проста
для нечетных размерностей, не меньших 3; для четных рая-
мерностей, не меньших 6, фактор-группа группы 0%. по
центру -Ну проста.
Доказательство. Можно предположить, что
га > 5. Пусть а — произвольный элемент группы G,
не лежащий в центре группы О (V). Если бы для каждой
плоскости Р из V выполнялось соотношение аР = Р,
то отсюда следовало бы, что aL = L для каждой прямой
L пространства V, так как L — пересечение плоскостей.
Пусть Р — такая плоскость, что аР ф Р и X — враще-
вращение на 180° в плоскости Р. Тогда сЛсГ1 — вращение
на 180° в плоскости аР и, следовательно, сЛст Ф X.
Элемент р =¦ аХ<Г1к~1 тоже лежит в G, отличен от 1 и
оставляет на месте каждый вектор, ортогональный про-
пространству Р + аР. Так как п > 5, то существует вектор
А ф 0, ортогональный к Р -f- оР. Поскольку рА = А, то
р ф — lv; так как р Ф 1У, то р не лежит в центре груп-
группы О (V).
Элемент р должен сдвигать с места некоторую прямую
<J3>; положим рВ = С. Обозначим через тд симметрию
относительно- гиперплоскости <-4>*. Произведение \х =•
— вращение. Имеем ртдр = трд = тд, ртвр =-
Тс и, следовательно, р^р^ = хс^а\а.^~в = тсТв; эле-
элер^р^
мент ох ¦= ХсХв лежит в G, отличен от 1, так как <С> Ф
Ф <j9>, и оставляет на месте каждый вектор, ортогональ-
ортогональный плоскости Q=~(B, С). Если U — трехмерное под-
подпространство пространства V, содержащее плоскость Qt
то можно ваписать ffi =¦ Pi J_ 1ц», где р1 ЕЕ 0% (U) и pi Ф 1.
Группа Og (U) простая, и мы заключаем, что в группе G
содержатся все элементы вида ps J_ lv, где р8 ЕЕ 0$ (?/).
Среди этих элементов имеются вращения на 180°. Теоре-
Теорема доказана.
10*

240 СИМПЛЕКТИЧИСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
§ 3. Эллиптические пространства
Читатель, тщательно изучи пиши предшествующее до-
доказательство для п = 3, заметит в нем очень специфиче-
специфическую особенность: при выводе того, что последовательным
применением «малых» перемещений на единичной сфере
можно добиться произвольного перемещения, мы исполь-
использовали архимедову аксиому в поле вещественных чисел.
Следующий пример показывает, что применение этой ак-
аксиомы здесь по существу.
Пусть к — упорядоченное поле, содержащее бес-
бесконечно малые элементы (элементы, большие 0, но меньшие
любого положительного рационального числа). Примером
такого поля служит поле степенных рядов переменной t
с рациональными коэффициентами, упорядоченное по
«младшим членам» (см. § 9 гл. I). Пусть опять п = 3, а
геометрия пространства V основывается на квадратичной
формо х2 + у2 + г4. Интуитивно ясно, что «бесконечно
малые вращения» образуют инвариантную подгруппу груп-
группы О?,. Следовательно, группа OJ не является простой.
Мы посвятим настоящий параграф обобщению этого при-
примера.
Предположим, что на поле к задана метрика с группой
значений S (S — упорядоченная группа с нулем). Пред-
Предположим, что группа S нетривиальна (т. е. состоит не
только из элементов 0 и 1) и является полным образом
поля к при данной метризации.
Пусть V — пространство над к с невырожденной ор-
ортогональной геометрией, и предположим, что п — dim V >
>3.
Пусть Ау, А%, ..., Ап — базис пространства V, gi} =»
= AiAj и (hfj) — матрица, обратная к матрице (gi}).
Пусть
п п
х = 2 А*** и у =* 2 а*у*
— векторы пространства V. Имеем

I»] вллиптичвскин пространства
откуда
F.9)
Определим норму \\X\\ вектора X относительно нашей
метрики:
|| X || ~ Мах 1^1. E.10)
Тогда ив формулы E.9) (если st — влемент из S, являю-
являющийся максимальным элементом среди элементов \htj\)
получаем
|| Х[| ^stMax) ХАЧ \. E.11)
V
п
Если st = Max\gy\, то ив равенства XY = 2 8ijxiMj
вытекает, что
ITVI «С' * IITII IIV1I (Ъ 4 ^\
\Л I I ^^ «] ||Л|] * ||х |]. \рщх&}
Определение 5.2. Пространство V называется
эллиптическим относительно введенной метрики, если
существует такой элемент »,eS, что
для всех Х,7е7.
Замечание. Предположим, что в пространстве V
содержится изотропный вектор N ф 0. Пусть N, М —•
гиперболическая пара. Тогда неравенство E.13) не выпол-
выполняется, когда X ¦¦ N, Y -= М, и пространство V не явля-
является эллиптическим. Если же пространство V не содер-
содержат ненулевых изотропных векторов, то оно может быть,
а может и не быть эллиптическим пространством относи-
относительно введенной метрики.
Лемма 5.1. Пространство V является эллиптиче-
эллиптическим в том и только в том случае, когда существует такой
мемент sx ?E S, что неравенство \Хг\ ^ 1 влечет \\X\\ ¦<
»4-
Доказательство. 1) Предположим, что V —
эллиптическое пространство и |Х2| <^ 1. Если в E.13)
положить У = А у, то получим \ХА v|2 -^ sa |/!|?|. Слодо-

242 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
вательно, ввиду неравенства E.11) ||X||2^SiS3 Max | Л?|<[
v
< s< для подходящего st.
2) Предположим, что неравенство |Х2| <^ 1 влечет
|| Х\\ < st. Тогда из равенства ||У|| = ч4 вытекает, разумеет-
разумеется, что |Уг| j> 1. Пусть X — любой ненулевой вектор.
Подберем элемент а€=к так, чтобы \\X\\ = |а|, а элемент
Ь Ег Л так, чтобы s4 ¦¦ 1^1- Тогда норма вектора (Ь/а)Х
равна st и, следовательно, \((Ь/а)ХJ\ > 1 или si \Хг\ >
> ||Х||2. Поэтому для всех X е V имеем ЦХЦ1 < *« |Х2|.
Из неравенства E.12) выводим теперь, что
откуда следует, что V — эллиптическое пространство.
Лемма 5.2. Предположим, что пространство V
содержит такой вектор А ф 0, для которого существует
элемент SjE^, удовлетворяющий условию
Тогда V — эллиптическое пространство.
Доказательство. Если о пробегает множест-
множество всех пзометрий, то векторы оА порождают подпростран-
подпространство пространства V, инвариантное при всех изометриях.
По теореме 3.24 это подпространство совпадает со всем
пространством V. Следовательно, из этого множества мож-
можно выбрать базис At = otA пространства V. Тогда
и в силу E.11)
Таким образом, если |Х2| < 1, то ||Х||2 < s?s8 < sj для
подходящего st. Пространство V эллиптическое.
Следующее определение все еще применимо к произ-
произвольному пространству.
Определение 5.3. Изометрия а пространства
V называется бесконечно малой порядка s (s 4s 0, sE= S),
если
\X {aY - У) |2 < a \X*{ ¦ |У2| для всех X, Y (= V.

I 8] вЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 243
Обозначим через G, множество всех бесконечно малых
изометрий данного порядка s. Очевидно, тождественное
отображение входит в это множество.
Теорема 5.4. Ga — инвариантная подгруппа груп-
группы О (У).
Доказательство. 1) Пусть и, те G,. Тогда
|Х (отУ - У) | - |Х (oxY - xY) + X (xY - Y)\ <
< Max (|X (a (xY) - xY)\, |X (xY - Y)\),
|X (axY - Y)\* < Max (s |X2| -\(xY)*\, s |X2| .|У2|) =
откуда следует, что ах е= С?,.
2) Пусть а е Ga. Тогда
|Х ((Г'У - Г)|г = |<тХ (Y — аГ
так что it' E G,.
3) Пусть ае(?„ тбО (У). Тогда
|Х (тотг'У -
Это показывает, что G, — инвариантная подгруппа груп-
группы О (V).
Теорема 5.5. С убыванием s множества G, умень-
уменьшаются и
Доказательство. Первое утверждение оче-
очевидно. Для доказательства второго утверждения достаточ-
достаточно указать группу G,, не содержащую данный элемент
оф 1.
Выберем вектор Y так, чтобы oY — У ф 0, а вектор
X так, чтобы X (oY — Y) Ф 0. Тогда неравенство
не будет выполняться при достаточно малых s6 5.
Теорема 5.G. Если V — неэллиптическое простран-
пространство, то Ga — 1 для любого sEH S.

244 СИМПЛЕКТИЧВСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
Доказательство. Достаточно показать, что
V — эллиптическое пространство, если а(аф\) содер-
содержится в некоторой группе Оя.
Выберем вектор У так, чтобы А «• сгУ — У ф 0. Тогда
\ХА |*<»|Х»| • (Г" | -= se
для всех ZgFh подходящего se. Из леммы 5.2 вытекает,
что пространство V эллиптическое.
Следовательно, начиная с этого места можно пред-
предположить, что пространство V эллиптическое.
Теорема 5.7. Если V — эллиптическое простран-
пространство, то каждая группа G, содержит элементы аф\.
Доказательство. Идея доказательства состоит
в следующем. Обозначим через хА симметрию относитель-
относительно гиперплоскости {А}*. Пусть векторы А и В линейно
независимы, но «очень близки»; тогда хАфхц, а = хвхА ф
Ф 1, но а — «почти» тождественное отображение. При
доказательстве теоремы нам нужно будет дать оценку
выражения X (oY — Y), вависящую от \Y2\ и |Х2| ¦¦
= | (твХ)|а. А так как
X(oY-Y)-X (xbXaY - У) - твХ (xaY - %BY),
достаточно оценить выражение X (xAY
Для вектора xAY имеем формулу
XAY — Y
В этом легко убедиться, если ваметить, что правая часть
формулы представляет собой линейное отображение, тож-
тождественное на <^4>* и переводящее вектор А в —А. Таким
образом,
E.14)
Выберем фиксированный вектор А Ф 0 а фиксирован-
фиксированный вектор С так, чтобы векторы А и С были независимы.
Выберем в к элемент т) Ф 0 и положим В «« А + х\С.

I 81 ЭЛЛИПТИЯВСКИВ ПРОСТРАНСТВА 245
Тогда условие хА Ф тв будет соблюдено. Элемент х\ бу-
будет выбран «очень малым».
Имеем В2 = Аг + 2х\ (АС) + т]2С», и если | r\ | дос-
достаточно мало, то | А2 | — максимальный член; ив равен-
равенства А2 = Вг — 2т] (АС) — ti2C2 легко вывести, что при
малых значениях | r\ | член | Вг\ максимален, так как
А2ф0. Это означает, что \ Аг \ = \В 2|, следовательно,
множитель 2/АгВг в равенстве E.14) постоянен по абсо-
абсолютной величине.
Если в правой части равенства E.14) в скобках про-
произвести замену В = А + х\С, то слагаемое A2 (AX)(AY)
уничтожится и останется полином от т], в котором все
слагаемые содержат г\. Вынося множитель т) за скобки,
мы получим новый полином от х\, в котором все коэффициен-
коэффициенты, с точностью до постоянных сомножителей, будут про-
ивведениями членов (АХ) или (СХ) на (AY) или (СУ). Это
покавывает, что существует такой элемент s' ЕЕ S, что для
малых вначений | r\ |
| X (xAY - xBY) | <
<s' • | -n | .Max(\AX\, \CX\) -Max (| AY |, \CY \).
Поскольку пространство вллиптическое, получаем
\АХ |*<9, \А*\. | -ЯГ* Г- \СХ |2<s, \C*\.\X*\;
мы видим, что в S найдется такой элемент s", что будет
выполняться неравенство
I X (xAY - xBY) |< s" I л ! • I X2 | • ! У«|.
Нам только остается выбрать 11) | достаточно малым.
Теорема 5.8. Если | в | < |4|, то группа Са не
содержит ивометрйй а, переводящих какой-либо ненулевой
вектор в противоположный ему вектор. Отсюда следует,
что при сделанном предположении G, с:О+ (V), группа
G, не содержит ни одного элемента четного порядка и
(если пространство V эллиптическое) Gt p Q (V) Ф 1.
Докавательство. Предположим, что оА =
¦» —А, А ф 0 и V — эллиптическое пространство. По-
Положим X = Y = А. Тогда
| х (oY - Y) |* - |4 ! • | А*\ * - | 4 | . | ХМ . |У* |,
откуда следует первая часть утверждения теоремы.

246 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
Если а — отражение и п = dim V нечетно, то —а —
вращение. Так как п нечетно, то отображение —а обладает
ненулевым неподвижным вектором. Тогда о будет перево-
переводить этот вектор в противоположный вектор. Если п
четно и а — отражение, то о является произведением не
более чем п — 1 симметрии и, следовательно, оставляет
на месте вектор В Ф 0. Пространство V эллиптическое,
В2 Ф 0. Отражение а имеет вид 1<в> _[_ т, где т — отраже-
отражение на нечетномерном пространстве {By*. Отсюда опять
следует, что а переводит некоторый ненулевой вектор в
противоположный вектор.
Если а — элемент порядка 2г, то ог — инволюция,
отличная от тождественного отображения, переводящая
некоторый вектор в противоположный ему вектор; аг не
может лежать в G, и, следовательно, а тоже не принад-
принадлежит G,. Отсюда вытекает, что если оЕб, и а Ф 1,
то ^eG.i а2ф 1. Но о*е а (У).
Группы Ga f) Я (V) образуют убывающую цепочку
нетривиальных инвариантных подгрупп группы Q (V).
Следовательно, если V — эллиптическое пространство,
то группа Q (V) не является простой.
Теорема 5.9. Если о Е= G,, те Gt, то коммута-
коммутатор ата^т-1 е G,t.
Доказательство. Имеем | X • (о — 1)У2 | ^
< s | X2 | • |У2 |. Положим X = (а - 1O. Получим
| ((а — 1OJ | < s | У» |. Следовательно,
| х • (а - 1) (т - 1O |» <
<s\X*\ • |((t-lO)»!<rf|X2| .\Y*
\Х . (т - 1)(с -
Так как от — та = (а — 1) (т — 1) — (т — 1) (о — 1),
то получаем
|Х ¦ (от-та)У|2<^ |Х2 | • |72 |.
Если заменить здесь У на o~H~lY, то получим
|Х • (атсгИг1 - 1) У|» < st\ X2 | • | У2 |.
Теорема доказана.

! Я] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 247
Эта теорема имеет существенное значение только в
том случае, когда s<C i и (< 1. Отметим, что в частном
случае, когда s< 1, коммутатор произвольных элементов
ив Ga лежит в G&, так что фактор-группа Ga/Gs> абелева.
Теорема 5.10. Если V — эллиптическое простран-
пространство us — достаточно большой элемент, то Ga = О (V).
Доказательство. Так как по предположе-
предположению V — эллиптическое пространство, то
У«| и |Х
Следовательно, | X (oY — Y) |2 < s8 | X2 | • | Y* |. Это
неравенство показывает, что каждая изометрия а при-
принадлежит Ggt.
Было бы интересно узнать строение фактор-групп
GJG& также и для s ^> 1.
Для того, чтобы привести несколько примеров, возвра-
возвратимся сначала к примеру, приведенному в начале этого
равдела. Если к — неархимедово упорядоченное поле, то
этому упорядочению можно сопоставить нормирование,
введенное нами в § 10 гл. I. Конечными элементами поля к
являются такие элементы а, для которых ] а | «^ 1.
Метрика основывалась на квадратичной форме х2 -Ь
+ уг + г2. Если | ж2 + у2 + z2 | < 1, то х2 + У2 + z2 <
<J т, где т — целое число. Следовательно, 0 < ж2 «^
^ хг + у2 + z2 < т. Отсюда следует, что | х2 | < 1,
и поэтому | х | ^ 1. Это показывает, что неравенство
| Хг | <^ 1 влечет ||Х|| ^ 1. Итак, наша геометрия является
эллиптической.
Приведем второй пример. Пусть к — поле рациональ-
рациональных чисел Q. Построим геометрию, основывающуюся тоже
на квадратичной форме х2 + у2 + z2. В качестве норми-
нормирования поля Q возьмем 2-адическое нормирование, при
котором | а | <! 1 означает, что в знаменателе числа а сто-
стоит нечетное число. Пусть d — наименьший общий знаме-
знаменатель чисел х, у, % и пусть х — r/d, у = s/d, z = t/d.
Предположим, что \х2 -(- у2 + z*\ = |(r2 + s2 + tz)/d2\ < 1.
Отсюда следует, что число (г2 + s2 + t2)/d2 тоже
можно записать в виде дроби с нечетным знамена-
знаменателем. Мы утверждаем, что d нечетно. Действительно, ес-
если бы d было четным, то число г2 -\- s2 + t2 делилось бы

248 СИМПЛИКТИЧВСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
на 4. Легко видеть, что »то вовможно только тогда,
когда г, s я t — четные числа. Но тогда d не было бы
наименьшим общим знаменателем чисел х, у и г.
Таким образом, мы покавали, что ив неравенств | х \ <С 1,
12/1 < 1, |г1<1и|Х2|<1 снова вытекает, что ||Х|| <
< 1; т. е. наша геометрия является »ллиптической.
§ 4. Алгебра Клиффорда
Пусть V — векторное пространство о невырожденной
ортогональной метрикой. Для получения более глубоких
результатов об ортогональных группах мы построим не-
некоторое ассоциативное кольцо, которое напивается алге-
алгеброй Клиффорда С (V) пространства У.
Введем сначала некоторые элементарные понятия и»
теории множеств. Если Su St, ..., Sr — подмножества
данного множества М, то определим следующим образом
сумму St + 5, + ... + Sr, которая не будет объедине-
объединением. А именно, пусть эта сумма состоит из тех элементов
множества М, которые встречаются в нечетном числе мно-
множеств Sf.
Легко вывести следующие правила:
(Sl + St + ... + Sr) + SHl -Sl + St + ... + 5r+1,
(St + St + ... + Sr) П T~
- (Sl n T) + (St n T) + ... + (Sr n T).
Пустое множество обовначим символом 0.
Пусть теперь А1} Аг, ..., Ап — ортогональный базис
пространства V. Рассматриваемыми множествами будут
2П подмножеств множества М «= {1, 2, ..., п). Построим
векторное пространство С (V) над полем к размерности 2П
с базисными элементами ев (один элемент е$ для каждого
подмножества S множества М).
В С (V) определяется операция умножения, обозначае-
обозначаемая символом ", сначала для базисных элементоп eg, a
затем распространяется на все элементы множества С (V)
по линейности. Определение следующее:
eso*r » ПО*. *)¦ П ^'

I 4) АЛГЕБРА КЛИФФОРДА 249
Символ (s, t) указывает знак: (s, t) = +1, если s*C * ,
и (s, t) = —1, если х ^> t. Член Л? — обычный квадрат
базисного вектора At пространства V. Следовательно,
А\ — элемент поля к. Если одно ив множеств S, Т или
S (] Т пустое, то в определении встретятся «пустые про-
произведения», которые естественно интерпретировать как 1.
Выбор именно такого определения станет понятен не-
несколько позже.
Труднее всего доказать ассоциативность умножения.
Имеем
(«s ° «т)°вв ==
~ П(М>- П (/<')• П М- П Ales+T+R.
»ея teS+T <es-t-r xS(S+T)n«
1st гея
Запишем правую часть этого равенства в более симмет-
симметричной форме.
Рассмотрим сначала знаки. Если заставить / пробе-
пробегать сначала множество S, а затем множество Т, исклю-
исключая элементы множества S + Т, то каждое /Е5 fl J1
встретится при этом дважды. Поэтому ничего при этом
не изменится, так как (/, г)в = 1. Таким образом, внаки
можно записать в более подходящем виде:
П со- П(».'')-П(<г'-).
>б?> 8&S 1ST
(ет ген ген
Теперь об At Имеем (S + Т) П R = (S П R) +
+ (Т П R)'- Если v принадлежит всем трем множествам
S, Т и R, или v принадлежит и S и Т, но не принадлежит
R, то v содержится в S П Г, но не содержится в
E Л R) + (У П #)• Если v принадлежит и 5 и Л, но не
принадлежит Т, или v припадлежит и Т и /?, но не принад-
принадлежит S, то v не содержится в S (] Т, но содержится в
(б П R) + (Т П Л). Если, наконец, v лежит только в од-
одном ив множеств S, T, R или не лежит ни в одном из них,
то v принадлежит либо множеству S (] Т, либо
E П R) + (T(\R). Таким образом, мы должны перемпожить
только те Al, для которых v лежит более чем в одном
ив множеств Sa T, R,

250 СИМПЛЕКТИЧВСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
Выражение, стоящее в правой части, нам удалось сде-
сделать настолько симметричным, что равенство (eg ° ет) °
о вд = ев ° (ет о ед) становится вполне очевидным. Вве-
Введенная операция умножения превращает аддитивную груп-
группу С (V) в ассоциативное кольцо, называемое алгеброй
Клиффорда пространства У. Легко видеть, что е0 о es =
1=1 es о е# = е3. Это означает, что в алгебре С (V) суще-
существует единица е@, которую мы будем обозначать также 1.
Произведения элемента е0 на скаляры, т. е. элементы
к о е0, будут отождествляться с к.
Отождествим также пространство У с подпространст-
подпространством пространства С (V) следующим образом: вектор At
отождествляется с е^} (с элементом, соответствующим мно-
множеству {г}, состоящему из единственного элемента i).
Вектор X — 2ХИ« пространства V отождествляется о
вектором 2x*eU> из С СО- Мы должны, однако, раэли-
чать старое скалярное произведение XY в пространстве V
а произведение X о Y в пространстве С (V). Имеем
* А*.
Если < >уЬ /, то
(А». ^) + {А, о 4{) = (t, /) в{1> i} + (/, i) e{ii})
Пусть X » ^j^i^i» ^ = zjlfiAj't тогда
n
(X в У) -f- (У о X) =* 2 Ж1Ю ((-^i ° Aj) + I
1. J-l
где (ХУ) — старое скалярное произведение в пространст-
пространстве V. Рассмотрим равенство
(X . У) + (У о X) - 2 (ХУ) E.15)

S 4] АЛГЕБРА КЛИФФОРДА 251
в двух частных случаях. Правило коммутирования
(X о Y) = - (Y о X) E.16)
получается иэ равенства E.15), когда векторы X и Y ор-
ортогональны.
Кроме того, из E.15) легко вывести равенство
X о X = X2. E.17)
Пусть S — непустое подмножество в М. Расположим
элементы множества S в возрастающей последовательно-
последовательности: ix < it < ... < ir. Тогда
е8 = Л{1 о Аи о ... о Air,
что легко доказать по индукции. Следовательно, векторы
Ai порождают алгебру Клиффорда. Теперь уже легко по-
понять, как возникло такое определение умножения еа °
о ег. Если записать es и ет в виде произведения базисных
векторов At, то нужно воспользоваться несколько рае
правилом коммутирования и затем, возможно, правилом
E.17) для того, чтобы представить еа ° ет в виде крат-
кратного элемента ев+т- В итоге получится наше исходное оп-
определение *).
В пространстве С (V) содержатся подпространства
С+ {V) и С~ (V) размерности 2" каждое. Пространство
С4 {V) натянуто на векторы eg, для которых множество
S содержит четное число элементов; пространство С" {V) —
на те векторы es, для которых S содержит нечетное число
элементов. Если оба множества S и Т содержат четное число
элементов или оба — нечетное число элементов, то мно-
множество S + Т состоит из четного числа элементов. Если
же одно иэ них содержит четное, а другое — нечетное чис-
число элементов, то множество S + Т состоит иэ нечетного
числа элементов. Это приводит к следующим правилам!
С+ (V) о С* {V) cz С+ (V), С- {V) о С" (У) с С+ (V)t
С- (V) о С+ (F) cz С- (V), С+ (V) о С (V) с С~ (V).
Очевидно, С (V) = С+ (V) ф С~ (V). Так как С* (V) со-
содержит 1 ¦= е0, то это подпространство является подал-
*) Теперь легко также видеть, что алгебра C(V) не аивисжт от
выбора ортогонального бааиса пространства V.

252 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
гебрвй с единицей алгебры С (V). Ясно, что алгебра С*' (F)
порождается теми элементами ет, для которых множество
Т состоит иэ двух элементов.
Как следует ив соотношения
чча— П (*>. *г)' П <4?<=й\
каждый базисный вектор eg обладает обратным, который
является произведением его на скаляр.
Произведение» es о ет отличается от ет о ва только
знаком. Если мы обозначим число элементов в множестве
S символом [S], то для знака получается следующая фор-
формула:
Это равенство можно записать в ином виде:
Исследуем более тщательно, как изменяется энак при
трансформировании с помощью элемента ет. Пусть eg —
некоторый базисный элемент и пусть Т пробегает множест-
множество всех множеств, состоящих из двух элементов, [У] === 2;
имеется ли среди них множество Т, индуцирующее из-
изменение знака? Для того чтобы множество Т было тако-
таковым, необходимо выполнение условия \S f) Т] = 1, т. е.
один элемент множества Т должен лежать в S, а второй —
нет. Если S не совпадает с пустым множеством 0 или со
всем множеством М, то такое множество Т обязательно
найдется.
Произвольный элемент igC (V) можно представить
в виде a = 2 ysest Уа €= к. Найдем те а, которые лежат
з
в централиэпторе алгебры С+ (V) и которые, следователь-
следовательно, коммутируют со в с е м и ет, где [Т] — 2. Имеем
ет ° а о е?1 — а или
Для данного 5 Ф 0, М можно укаэать элемент ет, ме-
меняющий внак. Тогда для таких S уз — 0. Поэтому центра-

i 4] • АЛГЕБРА КЛИФФОРДА 253
лизатором алгебры С+ (У) будет множество
Со (V) = к + кем.
Со (У) —[подалгебра алгебры С (У) с очень простым стро-
строением. Легко подсчитать, что
ем оем = (_i)n(rtV2 A2A?. A\ = (_l)n(n-D/2 Q
где G — дискриминант пространства У.
Если п — нечетное число, то ем не лежит в С+ (V) и
центр алгебры С+ (У) совпадает с к. Если же п — четное
число, то Со (У) а С+ (У), т. е. Со (У) — центр алгебры
С+ (У).
Для того чтобы найти центр алгебры С (У), нужно про-
проверить, коммутирует ли элемент ем со всеми элементами
вида ет, где [Т] = 1. Можно показать, что это будет так
в том и только в том случае, когда п нечетно. Таким об-
образом, центр алгебры С (У) совпадает с к, если п четно, и
с Су (V), если п нечетно.
На вопрос, какие элементы алгебры С+ (У) коммути-
коммутируют со всеми элементами из У, можно дать единый ответ:
во всех случаях такими элементами являются элементы
поля к. В самом деле, они должны коммутировать с каж-
каждым элементом из С (У) и лежать в С+ (У).
Теперь найдем, какие элементы а = 2 Ув^в алгебры
С (V) антикоммутируют с каждым вектором из У,
т. е. какие элементы а удовлетворяют условию а о At =
= —(А{ о а) для всех i. Если Ys Ф 0, то ет <> eg ° в?1
должно равняться —е$ для всех Т, где [Т] — 1. Это дает
нам следующее условие: число [S] — [S f\ T] должно
быть нечетным для всех таких множеств Т. Это возможно
только в том случае, когда S — М, и при этом п должно
быть четным. Поэтому ответ на поставленный вопрос та-
таков: а = 0, если п нечетно, и а €Е к ем, если п четно.
Если а — обратимый элемент алгебры С (У), то вместо
выражения а о | о а можно сокращенно писать ?*.
Отображение С (У) -*¦ С (У), задаваемое соответствием
I ->-1", является автоморфизмом алгебры С (V), причем
Множество всех а, отображающих подпространство
У пространства С (У) в себя, т. е. тех отображений а, для
II Э. Артин

254 СИМПЛЕКТИЧКСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
которых. X €= V влечет X* Gr V, обозначим И (V). Пусть
а — такой элемент. Применим отображение а к обеим
частям равенства E.15). Правая часть, 2 (XY), будучи
элементом поля к, остается неизменной; левая часть
преобразуется в выражение (Xх о У") 4- (У* о Xя) =
= 2 (ХаУ«). Мы получаем (XY) = (ХаУ). Это равен-
равенство указывает на то, что а1 индуцирует на простран-
пространстве V изометрию, т. е. а действует на V как элемент аа
группы О (V). Отображение а -*- аа является гомоморфиз-
гомоморфизмом группы R (V) в группу О (V). Ядро этого отображения
состоит ив обратимых элементов а центра алгебры С (V).
Если п четно, то ядром является к*; если же п нечетно, то
ядро совпадает с множеством Сп (V) всех обратимых эле-
элементов из Со (V). Найдем теперь образ нашего отобра-
отображения.
Пусть В, X ЕЕ V и Вг Ф 0. Из равенства E.15) полу-
получаем (В о X) — 2 (ВХ) — (X о В). Из равенства 1E.17)
вытекает, что 5" = A/52) • В] если предшествующее ра-
равенство умножить справа на В~1, то в левой части этого
равенства появится Хв и мы получаем
где тв (X) = X — B (ВХIВ*)В. Отображение тл: V ~> V
тождественно на гиперплоскости <2?>* и переводит век-
вектор В в вектор —5. Следовательно, оно является сим-
симметрией относительно гиперплоскости <jB>*.
Вспомним, что каждая иэометрия а пространства V
является произведением симметрии: о — TbJb,.-. твг. Мы
не будем здесь пользоваться тем фактом, что можно до-
добиться выполнения неравенства г «^ п. Если 0 ЕЕ 0+ (F),
то г четно, в противном случае оно нечетно. Мы уже вн-
дели, что
и теперь, последовательно воэводя X в степени Вг, Вг_и...
..., Вх, получаем, что

I 4] АЛГЕБРА КЛИФФОРДА 255
Если п — четное число, то —1у — вращение, и мы
видим, что элемент (—1)гсг пробегает всю группу О (У).
Если о — вращение, то о* (X) выражается непосредствен-
непосредственно; если же а — отражение, то отражение —а задается
паптей формулой. Отображение R (У) -*- О (У) является
сюръокцией, ядром этого отображения служит к*, и мы
видим, что каждый элемент из R (У) представим в виде
у • Вг о Вг о ... о Вг. Так как у можно объединить сВ1,
то элементы группы R (У) представимы просто в виде
произведений Вх о Вг о ... о Вт неизотропных векто-
векторов.1 Если г четно, то такой элемент лежит в С+ (У),
в противном случае он лежит в С~ (У). Элементы алгебры
С+ (У) индуцируют только вращения, а элементы из
С~ (У) — отражения.
Если п нечетно, то —lv — отраженно и отображение
(—1)г а всегда будет вращением. Возникает вопрос, можпо
ли указать такой элемент а €= R (V), чтобы отображение
Ха = а (X) было отражепием. Полагая р==5го Ба о ...о Вг
(где г нечетно), получаем, что элемент Р о о — у
группы R (V) должен индуцировать отображение
Ху = —X. Но мы уже показали, что если п нечетно,
то ни один элемент у Ф 0 не может антикоммутировать
с каждым элементом пространства V. Следовательно, об-
образ группы R (У) состоит только из вращений. Эти вра-
вращения индуцируются уже элементами Вг о В% о ... о В,.,
лежащими в С+ (Y), если г четно, и в С~ (У), если г не-
нечетно. Это подсказывает следующее
Определение 5.4. Элемент а, принадлежащий
либо С* (У), либо С~ (У), называется регулярным, если он
обратим и осли он отображает У на себя: X ЕЕ: У влечет
Х«<ЕЕ У.
Если п нечетно, то элементы аир индуцируют одно и
то же вращение тогда и только тогда, когда они отличаются
множителем из 6\> (У). Если они оба лежат в С* (У) или
оба в С~ (У), то этот множитель принадлежит к*, так как
ем Ег С~ (У). В этом случае регулярные элементы тоже
являются произведениями неизотропных векторов.
Наибольший интерес представляет для нас группа
О* (V), и мы можем ограничиться рассмотрением регуляр-
регулярных элементов алгебры С+ (У). Они образуют группу,
11*

256 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
которую мы обозначим D (V). Мы получаем единообразное
утверждение:
Теорема 5.11. Регулярные элементы алгебры С* (V)
являются произведениями четного числа неиаотропных
векторов пространства V. Отображение D (V) -*¦ О* (V),
задаваемое соответствием а ->- <т„, является сюръещией с
ядром к*. Следовательно, имеем изоморфизм О* (V) о^
~ D (V)Jk*.
Возвратимся к выражению
es= Аио Аио. . .о Airy i'i < is < ... < ir,
для непустых подмножеств S — {ix, г2,.. ., ir] множества
М. Поменяем порядок всех сомножителей на обрат-
обратный и полученное произведение обозначим через е'а\
e'S = K° Air-l ° • • • ° АЬ-
Правило коммутирования показывает, что элементы
e'g отличаются от eg только знаком,
В соответствии с этим правилом мы положим 1' =
== е'а — е0 = 1 и продолжим отображение es ->- e's на
С (V) по линейному закону: если а = 23 Vses» то «' —
s
s
Сравним (для каждого At) произведения
Ai о еа — Ак о (Ак о А^ о ... о А^)
и
е'8о A{ = (Airo Air_to . .. о Аи) о Ах.
Чтобы представить первое произведение в виде неко-
некоторого кратного элемента ет, нужно несколько раз вос-
воспользоваться правилом перестановки для того, чтобы пра-
правильно расположить At, а затем, возможно, правилом
At о At = А\, если число i встречается среди чисел iv.
Выражая второе произведение в виде кратпого элемен-
элемента е'т, нам нужно сделать такое же число перестановок, пос-
после чего, воэможно, заменить At о At на А\. Таким об-

5 4] АЛГЕБРА КЛИФФОРДА 257
равом, если A t о es = ует, то е$ ° At = уе'т, что является
частным случаем формулы
e's о в'г = (ет о ед)',
когда множество Т одноэлементно. Эту формулу можно
доказать методом индукции для произвольных Т,
Следовательно, отображение /: С (F) -> С (V), зада-
задаваемое равенством aJ = а', является антиавтоморфиз-
антиавтоморфизмом алгебры С {V).
Введем на алгебре С (V) норму
N (а) = а о aJ.
Эта норма не удовлетворяет, вообще говоря, условию
N (а о р) = N (а) о N (fJ). Тем не менее последнее ра-
равенство будет выполняться, если аир — регулярные эле-
элементы. Действительно, если
а = Вг о #2 о ... о Вг,
то
N (а) = а о aJ = (Вг о В2 о ... о Вг) о (Вг о Вг_х ° ... ° Вх)
и ив соотношений Вг о Вт — В\, Br.i ° Br_i = Br-i, ...
вытекает, что
N {а) = B\B\....Bl^k*. . E.18)
Отсюда следует, что N (а о р) = а о р о р^ о aJ =
= TV (Р) • (а о а-7) = N (а) N ф), если аир — регу-
регулярные элементы.
Теперь мы можем доказать основную лемму.
Лемма 5.3. Пусть Вх, Вг, ..., ВТ — неизотроп-
неизотропные векторы пространства V, 1вк — симметрия отно-
относительно гиперплоскости <5{>*, и предположим, что
Тв, • Хвг ••• тв = 1у Тогда произведение В\В\... ВгТ будет
квадратом некоторого элемента из к*.
Доказательство. Так как отображение 1у —
вращение, то г четно. Элемент Вх ° В% о ... о Вг алгебры
С+ (V) индуцирует на V тождественное отображение
и поэтому лежит в ядре к* отображения D G)->0+ (V).
Если положить а — Вг о В2 о ... о Вп то аЁ к*. Норма
элемента а равна, с одной стороны а о аТ = а • а — аг,
а с другой стороны, по формуле E.18), В\В\ ... В\.

258 СИМПЛИКТИЧЕСКАЯ И (ИГГОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
§ 5. Спинорная норма
Пусть о = Ча,Та, ••• iUr = 1bi%b. ••• тв, — два пред-
представления иэометрии о в виде произведения симметрии.
Тогда
и из леммы 5.3 вытекает, что А\А\ ... AfBlB^-i ••• В\ —
квадрат в группе к*. Следовательно, произведение А\А\ ...
... А\ отличается от В\В\ ... В\ множителем-квад-
множителем-квадратом
А\Л\.. . А\В\В\.. . В\
Обозначим черев к*2 мультипликативную группу квад-
квадратов группы к*. Фактически мы показали, что отображе-
отображение Э, задаваемое равенством
в(о)*=А1А1..А*кФ\ E.19)
определено корректно. Поскольку, очевидно, G (аг аг) —
= Э (о^Э (<т2), то 0 осуществляет гомоморфное отображе-
отображение О (У) -> k*fk*2. Так как образ коммутативен, то
коммутант О, (V) содержится в ядре этого отображения.
Однако это отображение^ еще не является приемле-
приемлемым. Если заменить скалярное произведение XY на про-
пространстве V новым произведением t • (XY), где t — фик-
фиксированный элемент из к*, то ортогональная группа не
изменится, изометрии останутся прежними линейными
отображениями пространства V. Тем не менее отображение
6 (сг) умножается на f. Если г — нечетное число, то
Э (о*) изменяется коренным образом, и только при четных
г оно остается прежним. Поэтому мы будем применять наше
отображение только к вращениям. Так как й (V) а
с: О* (V), то группа ?2 (V) все еще содержится в ядре
О' (V) этого более узкого отображения.

5 !>1 СПИНОРНЛЯ НОРМА 259
Определение 5.5. Отображение E.19) группы
О* (У) в группу к*/к*аг называется спинорнои нормой. Его
образ состоит из всевозможных классов смежности вида
А\А\ ... Лг /с*2 с четшлм числом г сомножителей. «Спинор-
ноо ядро» О' (У) этого отображения удовлетворяет усло-
условию Й (У) с О' (У) о О4" (У).
Кроме отображения 0 мы введем каноническое ото-
отображение /: О (У) -*• О (У)/й (У) и сформулируем основ-
основное свойство этого отображения, которое будет исполь-
использоваться в дальнейшем.
Теорема 5.12. Если а — xAlxA, ... хАг е= О (F),
то j (а) аависит только от множества {А\, А\, ..., А*}
и не аависит ни от отдельных векторов Ах, Аг, ..., Аг,
ни от их порядка следования.
Доказательство. Предположим, что А\ =
= 2??. Существует такой элемент Xj €Е О (У), что X,-4j =
= Bt. Тогда "KiXaXI1 = хщ. Поскольку обраа при гомо-
морфиэме / коммутативен, имеем / (хвг) = / (^{Т/.Л-Г1) =
= / (h)f(^Ai)f(h)~i = f Ыг) и, следовательно, / (о) = / (П хщ),
причем любое расположение сомножителей в произведе-
произведении элементов тд{ приводит к тому же результату.
Теорема 5.13. Если V = U±W, a = x _|_ р, где
тёО+(Р) и р<= 0+ (W), то 6 (а) = 0 (т) 0 (р). Если
отождествить элемент х €Е О+ (?/) с т J_ lw e" 0+ (У),
/гао 0 (т), вычисленное е подпространстве (I, совпадает с
Э (т), вычисленным в пространстве У. Можно сказать, что
спинорная норма инвариантна относительно ортогональ-
ортогональных вложений. Кроме того, О' (U) = 0+ (U) П О' (У).
Доказательство. Достаточно показать, что
9 (т) = 0 (т JL ljv), поскольку о = (т_1_ ЫAсг ±Р)-
Выразим т в виде произведения симметрии Т/ц
пространства ?/: т = x'Alx'A, ... т^.. Тогда хА{ = Тд{ J_ iw —
симметрия относительно гиперплоскости </lj>* простран-
пространства У и т J_lw = Тд,т^, ... Хаг. Все утверждения теоремы
тановятся теперь очевидными.
Теорема 5.14. Предположим, что а — тЛт/( — произве-
произведение только двух симметрии и а ?Е О' (У). TozdaaGz Q (V).

260 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
Если dim V — 2, то O'(V) = Q (V) и каждый элемент
группы Q (V) является квадратом вращения. Если Aim V —
= 3, то равенство О' (V) = Q (V) тоже выполняется
и каждый элемент группы Q (V) является квадратом
вращения с той же осью вращения.
Доказательство. 1) Если а = хАхв, то 0 (а) =
= А2В2к*2. Если о<=О' (V), то А2В2 = а? е /с*2. По-
Положим Вх — {АЩВ, имеем хв, — %в и В\ = (А*JВ2/а2 =
= Л2. Поэтому с самого начала можно было предположить,
что Аг = В2. Но тогда, по теореме 5.12, / (хАхв) —
1 (Та ха) = 1 и, следовательно, ffEQ (V).
2) Если п == dim F = 2 или 3, то двух симметрии
достаточно для того, чтобы выразить произвольный
элемент ff?O+ (F). Следовательно, О' (V) = Q (V).
Квадраты вращений порождают группу Q (V). Если п = 2,
то группа О+ (У) коммутативна, каждый элемент a GE
€Е Q(V) является квадратом. Пусть n = 3,e? O'(V), <Л> —
ось вращения а. Если вектор Л изотропен, то
вращение а является, как вытекает из наших пред-
предшествующих рассмотрений подобных вращений, квадра-
квадратом вращения с осью (.А). Если А2 Ф 0, то вращение а
можно отождествить с вращением, которое оно индуцирует
в плоскости <-4>*, и наше утверждение следует из ра-
равенства 9 (а) = 1 и случая п = 2.
Теорема 5.15. Если V — произвольное пространство,
U — невырожденное подпространство размерности 2 или
3, о = a J_ \и* €Е О' (F), то х — квадрат моей G).
Для доказательства достаточно воспользоваться ра-
равенством 0 (о) = 9 (т) и предыдущей теоремой.
Теорема 5.16. Пусть U — Невырожденное под-
подпространство пространства V, обладающее следующими
свойствами:
1) О' (U) = Q (U);
2) для каждого неиаотропного вектора 4eF можно
указать такой вектор В ЕЕ U, что Аг =В2.
Тогда О' (V) = Q (V).
Доказательство. Пусть а= xAixa, ... хА е=
€= О' (F). Найдем в пространстве U такие векторы 2?j,
что В\ — А\, и положим ах = хв,хвг ••• хвг- По теореме 5.12
/ (а) = /(ai) и» очевидно, 0 (а) = 9 (аа) = 1. Каждое

§ 5] СШШОРНАЯ НОРМА 201
отображение Тв{ оставляет на месте каждый вектор под-
подпространства U', аг = а2 J_ *и» и 0 (ах) = 0 (о2) = 1.
По предположению теоремы о*2 €= Й (?/), <т2 — произведе-
произведение квадратов. Отсюда следует, что ах — произведение
квадратов, / (аг) = 1 и, следовательно, /(ог) = 1, иЕ
GQ(F).
Теорема 5.17. Zfrviu пространство V содержит
изотропные векторы, отличные от О, то О' {V) — Q (V).
Доказательство. Пусть N, М — гиперболи-
гиперболическая пара векторов из V. Тогда подпространство U =
= (N, М) удовлетворяет условиям теоремы 5.16: усло-
условию 1), поскольку dim U — 2, и условию 2), так как вы-
выражение {aN + ЬМJ = 2ab может принимать любые зна-
значения в к.
Теорема 5.18. Если пространство V содержит изо-
изотропные векторы, то фактор-группа O+(V)/Q(F) кано-
канонически изоморфна {при спинорном отображении) группе
k'/k**.
Доказательство. Сюръективность отобра-
отображения вытекает из доказательства предшествующей тео-
теоремы, так как квадраты векторов плоскости (N, М} про-
пробегают все поле к.
Если V — произвольное пространство^ то его всегда
можно вложить в большее пространство V, для которого
О' (V) = Q (V). Это можно сделать многими способами,
например, полагая V = V J_ Р, где Р — гиперболиче-
гиперболическая плоскость. Можно было бы также положить V =
= V J_ L, где L — подходящая прямая: L = <#>; при-
припишем В2 значение — А2, где A G V, А2 Ф 0. Тогда век-
вектор Б + А будет изотропным, О' (V) — Q (У)- Если для
такого пространства выписать разложение V = V _]_ U,
то, по теореме 5.13,
О' (V) - О+ (V) П Й G).
Следовательно, группе О' (V) можно придать следующую
геометрическую интерпретацию: она состоит из тех вра-
вращений пространства V, которые лежат в коммутаторе
группы объемлющего пространства V.
Теорема 5.19. —1у ЕЕ О' (V) тогда и только тог-
тогда, когда V — пространство четной размерности и диск-
дискриминант G пространства V является квадратом. Если

262 СИМПЛНКТИЧКОКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
V содержит изотропные векторы, то сформулированное
условие является условием того, что — 1у лежит в Q (F).
Доказательство. Если dim V — нечетное
число, то —1у— отражение. Пусть dim V четно и A1,"Ai,...
..., Ап — ортогональный базис пространства V. Тогда
—1у = ха^а, ••• Тдп и, следовательно, 9 (—1у) — А\А\ ...
... Al . k** = Gk'K
До сих пор все шло хорошо. Однако, если пространство
V пе содержит изотропных векторов (т. е. пространство
V анизотропно), и если dim V |> 4, то природа группы
О, (F) для такого пространства пока не выяснена и даже
никакие предположения о строении группы Q (F), сделан-
сделанные ранее, не выполняются. Дьёдонне построил контр-
контрпримеры для п — 4.
§ 6. Случаи малых размерностей (dim V <J 4)
В этих случаях строение алгебры Клиффорда намного
проще, чем в случаях больших размерностей. Как мы уже
показали, e's = e's = (—l)^7^2 eg, где г — число элементов
множества S. Если п <! 4, то г <! 4; ев отображается на
себя при антиавтоморфизме J тогда и только тогда, когда
г = 0, 1, 4.
Элементы алгебры О (V), неподвижные при /, будут
элементами из к, если п ^ 3, и элементами из Со (V) —
= /е + к«м, если п = 4. Заметим, что при п — 4 алгеб-
алгебра Со (V ) является центром алгебры С+ (F). Элементы
из С~ (V), неподвижные при J, являются во всех случаях
в точности элементами пространства V.
Если dGC* (F), то норма Na = а о aJ тоже при-
принимает значения в С+ (V), не изменяющиеся при антиав-
антиавтоморфизме /, так как
(а о a';)J = aJ' о aJ = а о aJ.
Следовательно, Na е= к, если и <^ 3, и Ла е= Со (V),
если и = 4. Поэтому для а, р б С+ (F) имеем N (а о р) =
= а о р о pJ о а3 = iVp о а о aJ = iVa о Np.
Мы уже знаем, что каждый регулярный элемент a €5
€= 6Ч (F) удовлетворяет условию Na e /с*. Обратно, пред-

5 fi1 СЛУЧАИ МЛЛЬТХ РЛЗМ.КРП0СТГСП (<llm V <',) 263
положим, что а Е= С* (V) n'Na — а о а> — а е к*. Тогда
элемент (l/o)aJ является обратпым элементом а элемента
а и для XGF имеем
Элемент X" лежит в С~ {V) и, поскольку (а о X о aJ)J =
= а о X о aJ, он отображается на себя при /. Следо-
Следовательно, X" 6Е V. Если п ^ 3, то iVa всегда лежит в к.
Если элемент а обратим, то, как следует из равенства
Na о JVcr1 = 1, Na е /с*. Поэтому если п -^ 3, то ре-
регулярными элементами алгебры С+ (F) будут элементы с
ненулевой нормой. Если п = 4, то' следует присоединить
условие iVa Gr к', так как нам известно только то, что
Na e Со (V). Условие X" ЕЕ V, по сути дела, выполня-
выполняется автоматически.
Воспользуемся построенным в теореме 5.11 изоморф-
изоморфным отображением группы D(V)/It* на <9+ (F), которое
сопоставляет классу смежности ак* элемент аа 6= О* (V),
задаваемый равенством cra (X) = X*. Из определения
спинорной нормы 9 (о*0) и из формулы E.18) вытекает, что
9 (°а) — ^а ¦ /с*2. Следовательно, спинорная норма соот-
соответствует переходу к норме в группе D(V)/k. Обозначим
через D% (V) группу тех а€ЕС+ (V), для которых N
G= А;*2. Тогда имеет место изоморфизм
Поскольку элемент а можно умножить на любой эле-
элемент из к*, оставаясь при этом в классе смежности а/с*,
то можно предположить, что Na = 1. Такой элсмонт а оп-
определяется с точностью до знака и, следовательно,
где Do (V) — множество всех элементов алгебры С* (V)
с нормой 1.
Рассмотрим теперь каждый случай отдельно.
I. n = 2.
Если Alt Аг — ортогональный базис плоскости V,
то ем е ^м = —Л. t<4 2 = — G, где .G — дискриминант
плоскости V. Имеем е'м — — ем- Алгебра С+ (V) совпадает
о Со (V) — к + кем и. следовательно, коммутативна. Для

264 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
элемента а = а + Ьем имеем aJ = а — Ьем и
Na = а2 4- G62.
Если iVa т^ 0, то а — регулярный' элемент и, следо-
следовательно, а = А о 5, где Лий — неизотропные век-
векторы плоскости V. Тогда iVa = А2Вг, Л =
j5-i = (l/B*)B и
Произведения В о X я В о А, как элементы алгебры
С+ (F), коммутируют, и можно написать, что
где а2 означает, конечно, а о а. Отсюда
(Z2 S /с, выражение X2 недвусмысленно, так как X2 =
= X • X = X о I), Если к обеим частям этого равен-
равенства применить /, то получим
и, следовательно,
2 (XX") = (X о Xй) +(ГоХ) = |,У (а«).
Символ S (Р) означает элемент р* -f {F, лежащий в /<;.
Окончательно,
Геометрическое значение этой формулы станет яснее,
если мы проиллюстрируем ее на примере евклидовой плос-
плоскости, когда к = R, где R — поле вещественных чисел,
G — 1 и алгебра С+ (V) изоморфна полю комплексных чи-
чисел. Если б — аргумент комплексного числа а, то -g~ =
= е2'1 и-rS (тг) — cos 20. Наша формула означает
тогда, что 20 — угол вращения X -*¦ X".

§ Ы случай малых размерностей (dim у < 4) 265
Оставляя тривиальный случай гиперболической
плоскости читателю, этот результат можно обобщить.
Если V — негиперболическая плоскость, то —G не яи-
ляется квадратом и алгебра <7+ (V) изоморфна квадратич-
квадратичному расширению к (У—G) = К поля к.
Имеем
о\ (V) ~ к'/к\ о; (V) = fi2 (V) ~ ад+i),
где Do — группа элементов поля К с нормой 1. Если аа ЕЕ
G= Ot (У), т0 выражение ХХЯ/Х2 не зависит от X, его зна-
значение равно -g- S (a2/Na), т. е. является аналогом ко-
синуса угла вращения.
II. п = 3.
Если Аи А2, А3 — ортогональный базис пространства
V, то алгебра С+(F) порождается элементами 1, ilt i2,
i3, где ix = А2 о Л3, г2 = -4S ° ^n fs = -^i ° ^s-
Таблица умножения выглядит так:
(it о j2) = — (г-2 о ix) = — Ali3, i\ = — А\А\,
(h ° У = - (^з ° к) = —^Jii» «г = —^Mii
(г3 о ^) = — (ij о i8) = —Лаг2, гз = — А\А\.
Алгебра такого вида называется обобщенной алгеброй
кватернионов.
Отображение / устроено совсем просто: 1 отображается
на себя, а каждое iv меняет знак. Таким образом, если
а = х0 + «1*1 + x2i2 + x3i3, то
Na = (х0 + «i?"i + ^гЧ + ж3гд) о (ж0 — ^^ — х2ц — x3i3) =
= aj + 4*4М + А\А\х\ + A\Alxl
Имеем: D (V) — группа кватернионов с ненулевой
нормой, D2 (V) — группа тех кватернионов, норма кото-
которых лежит в /с*2, a Do (V) — группа кватернионов с нор-
нормой 1. Тогда
0$ (V) - D (V)jk\
Из (V) = 0'3 (V) ~ D, (У)/к'~О0 (V)/{±1).

2<i(j сймплкктггчлскля и ортогонллытая груггпы fr.ir. v
Иптересен один частный случай. Предположим, что V
содержит изотропные векторы. Вместо гиперболической
пары векторов N, М мы используем векторы Аг =- Лг -|-
+ — М, А2— N — -т? М и вектор Аа, ортогональный пен-
торам Ах и Аг. Поскольку
имеем
('i ° ^а) == —(^2 ° Ч.) ~ —л&'з» 'i = ~Ь^>
(гг о is) = — (га о г2) == — jj, i* = —a,
Легко отыскать квадратные матрицы порядка 2, кото-
которые перемножались бы согласно этим правилам. А именно,
таким свойством обладают матрицы
О а\ . _ /1 0>
-1Oj' гз" Vo —1.
Они порождают алгебру всех квадратных матриц по-
порядка 2 над полем к, и, следовательно, эта алгебра изо-
изоморфна алгебре C+(V). Норма превращается в гомоморф-
гомоморфное отображение элементов алгебры матриц в поле /с, при
котором образ каждой матрицы задается квадратичной
формой от ее элементов, являющейся просто определите-
определителем матрицы. Таким образом,
at (V) ~ PGL, (к), Q3 (V) ~ PSL, (ft).
Теорема 5.20. Если dimF = 3 в если пространство
V содержит изотропные векторы, то Q3 (F) a* PSL2 (k),
причем Q3 (V) — простая группа, если к Ф F3 (характе-
(характеристика поля к не равна 2).
III. it = 4.
Обозначим центр Со (V) — к ~\- кем алгебры С+ (У)
через К, множество обратимых алементов алгебры К
обозначим через К', множество их квадратов—чере;з
К*г. Отображение / оставляет на месте каждый элемент
алгебры К и, следовательно, Na = a2, a e= К. Элемент
а е К (а = о + Ьем) будет регулярным, если а2 ЕЕ А;*,
откуда следует, что (а2 + Ь2е\) + 2аЬ<?м €1- &*; один ия

§ в] СЛУЧАИ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ (dimV<4) 267
элементов а, Ъ равен 0, класс смежности а-к" совпадает
либо с А;*, либо с ем-к*. Соответствующее вращение
<5а (X) = Xя является либо тождественным, либо враще-
вращением, индуцируемым элементом ем = АхоA2oAioAi:
Следовательно, регулярные элементы алгебры К соот-
соответствуют вращениям ±iv.
Обозначим через Р группу всех обратимых элементов
алгебры С+ (V). Перемножим отображение О\ (V) ->
-*D(V)/k* с отображением D{V)jk*-*¦ P/K\ при кото-
котором класс смежности ак* переходит в класс смежности
аК*. Класс смежности ак* будет лежать в ядре, если
с« СЕ К*; поскольку элемент а должен быть регулярным,
это соответствует вращениям ±1у. Получаем отображение
Ot (V) -+ Р]К*
с ядром ±1у и, как ограничение, отображение
ядром которого является центр группы Ол (V).
Образ аК* элемента аа €= О\ (V) является таким клас-
классом смежности, что N (аК*) GE к*К'г. Обратно, если
аК* обладает этим свойством, то Na = ар2, где а е=г к*,
Р €= К*. Представитель а класса смежности а К" можно
умножить на Р и добиться того, чтобы МхЕЕ/е*. Это го-
говорит о том, что наш класс смежности является образом
элемента аа. Если 8,E^(F), то iVae=/c*2 и, следова-
следовательно, N (а К*) = К; для класса смежности, об-
обладающего этим свойством, можно добиться того, чтобы
Na = 1, так что такой класс смежности действительно
является образом некоторого аа ЕЕ Ot (V).
Профакторизовав по ядрам отображений, полупим
мономорфизмы
POt -*¦ PI К* и РО\ -*- P/IC,
причем образами элементов из POt будут классы смежнос-
смежности аК*, нормы которых лежат в к*К'2, а образами эле-
элементов из РО4 будут классы с нормами к А,

268 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
Если аа е= Ot, то элементы аа и — аа имеют один я тот
же образ аК*. Их спинорные нормы 0 (аа) и G (—аа)
полностью определяются нормами классов смежности аК':
Na-K*2; действительно, аК' = аемК* и Na-k'2,
N (аем)• /с*2 — спинорные нормы элементов аа и — аа.
Обратимся теперь к алгебре С+ (V). Нам понадобятся
только элементы ij = А2 о А3; iz = As ° А1 и i3 =
= Ах о Л2, порождающие алгебру кватернионов трех-
трехмерного подпространства Wo = <ЛХ, Л2, Ал) пространст-
пространства V. Из элементов этой алгебры кватернионов С+ (Wo) и
элемента е^ = Аг о А% о А3 о А& — элемента цен-
центра Со (V) — можно получить недостающие произведе-
произведения, содержащие А«. В самом деле, (А2о.43)оем = il о ем
является произведением элемента Ахо А^ на скаляр. Это
показывает, что
С+ (V) = С+ (Wo) + С+ (Wo) о вм.
Этот факт можно истолковать иначе: С+ (V) — алгебра
кватернионов пространства Wo, но уже с коэффициентами
не из к, а из Со (V).
Для того чтобы получить больше сведений, рассмотрим
два возможных случая.
a) G — не квадрат в поле к.
Заметим, что ем о ем — А[А1а1а1 = G, так что эле-
элемент ем можно рассматривать как |/G, а К — как квад-,
ратичное расширение к (]/G) поля к. Следовательно, К*
состоит из ненулевых элементов поля К. Если простран-
пространство, которое получается из WQ при расширении поля
к до поля К, обозначить через W, то алгебру кватер-
кватернионов С+ (W) можно отождествить с алгеброй О (V).
Элементы группы Р образуют просто группу D (W), а
элементы, норма которых принимает значения в К*2, обра-
образуют группу Z>2 (W). Поскольку группа D (W)/K* изо-
изоморфна группе O$(W), а группа D2(W)/K* изоморфна
группе Q3(W), мы получаем мономорфизм
POt (V) -* Ot (W).
Элементы аа и —о*0 алгебры О\ (V) отображаются на
соответствующее вращение %а G Ol (W). Спинорные нормы

5 6] СЛУЧАИ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ (dim У < 4) 269
элементов 0*о и —аа равны соответственно 9 (ао) =¦
=Мх-/с*2и8(—ого) = 0(аавм) = NaG-k'*. Образ К яв-
является вращением, спинорная норма которого, равная
Na • К, лежит в к* ¦ К*г, и формула 0 (Ка) =
= 0 (аа) • К*2 определяет связь между 9 (Ка) и 0 (аа). Что ка-
касается группы РОц (V), то имеет место изоморфизм
О\ (V) = РО'ь (V) ~ Q3 (W).
Таким образом, ортогональные (проективные) четырех-
четырехмерные группы изоморфны определенным трехмерным
группам. К сожалению, группу PQ4 (V) мы не получили.
Рассмотрим еще один важный частный случай. Пусть
пространство V содержит изотропные векторы. Простран-
Пространство V, конечно, негиперболическое, так как в противном
случае G = 1 — квадрат. G другой стороны, если G —
квадрат и пространство V содержит гиперболическую пару
N, М, то можно положить V = (N, Л/> J_ U. Дискрими-
Дискриминант плоскости U равен — G, так как дискриминант плос-
плоскости <iV, My равен — 1. Пусть А, В — ортогональный
базис пространства U. Тогда уравнение (хА + уВ)г =
= хгАг + угВг = 0 имеет нетривиальное решение, по-
поскольку —В2/А2 = G/(A2J — квадрат. Это означает, что
если G — квадрат, то V — гиперболическое пространство.
Из теоремы 5.20 вытекает
Теорема 5.21. Пусть dim V = 4 и индекс прост-
пространства V равен 1. Это означает, что в пространстве V
имеются изотропные векторы и дискриминант G — не
квадрат. Тогда
О\ (V) = Q4 (V) - PSL2 (k {VG)),
и эти группы во всех случаях являются простыми.
Ъ) G = с2 — квадрат в поле к.
Вектор А 4 можно изменить на множитель' из & и по-
получить G = 1. Тогда е2м = 1. Пусть Wo = <,Аг, А2, Ая)
(все еще над к, как над основным полем) — подпрост-
подпространство в V, ортогональное вектору At и С+ (Wo) — ал-
алгебра кватернионов. Тогда С+ (V) = C+(W0) + С+ (W0)eM.
Положим щ = — A + ем), щ = -j- A — ем). Тогда

270 СИМНЛИКТИЧЕСКАЯ Я ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
1 = «л + u2, еЛ/ = щ — иа, и? = "i, «з = ца, Wi«'2 = 0.
Следовательно, можно написать (поскольку К = к + /с<?м):
Пусть а е С+ (F), а - put + v«*t. Р. У е с+ W).
Элемент а обратим тогда и только тогда, когда обратимы р
и у. Антиавтоморфизм / является тождественным отоб-
отображением на К и, следовательно, оставляет их и щ на
месте. Имеем
Na = p i +
== 1 (ЛЧ* + iVv) + - (Лф - Ny)eM.
Тот факт, что iVa €= /с означает jVP == ^y, откуда
iV
/> - D (W0)Ul + D (Ш0)щ, 1С = k'ux + к*щ,
aK' = p/c'Wi + v/c'ua-
Поэтому фактор-группа Р/К* представима в виде прямо-
прямого произведения изоморфных групп
D (W0)}k* X D (W0)/k\
и элемент ив PJIC задается парой фк*, у/с*) классов смеж-
смежности: аК' ->• (рЛ*, ук*).
Каждая группа D (W0)/k* изоморфна группе С? (Wo)',
при иаоморфивме класс смежности р/с* переходит в такой
элемент %& 6Е О« (Wo)) что 6 (^з) = N $ • /с*2. Следова-
Следовательно, имеет место мономорфизм
причем компопепты образа (к$, Ху) элемента о"а е? О\ (V)
удовлетворяют условию 6 (кр) ~ О (%У) = 8 (аа). При
этом
РО\ (V) - Q$ (Wo) X О,
Таким образом, группа РО\ (V) разложима в прямое
произведение.
Возвратимся опять к случаю, когда V содержит изо-
изотропные векторы; мы можем предположить, что простран-

S 7] СТРОЕНИЯ ГРУППЫ U (V) 271
ство Wo тоже содержит изотропный вс кто put, и это уже бу-
будет означать, что пространство V гиперболическое.
Теорема 5.22. Если dim V — 4 и V — гипербо-
гиперболическое пространство, то P?l\(V) ¦ -- РО\ (V) ~ PSL.,(k) х
X PSL3(k).
Интересеп еще один случай евклидова пространств)
размерности 4, который мы оставили в сторопе в § 2.
Теорема 5.23. Если V — евклидово пространство
размерности 4, то группа РО\ (V), равная PQ4 (V), яв-
является прямым произведением Og (W,,) X О\ (Wo) двух
простых групп, так как Wo — евклидово пространство.
В теории относительности исследуется четырехмерное
пространств V над лолем вещественных чисел It с орто-
ортогональной метрикой, которая осповывается па квадратич-
квадратичной форме / -¦= xl + х\ -\~ ^з — ХЬ Поскольку и ь этом
случае имеются изотропные векторы, группа O^/^i
изоморфна группе R'/R*z порядка 2. Дискриминант ра-
равен —1 и не является квадратом в R. Следовательно,
PQi = Qi ~ PSL9 (R (i)) — двумерная проективная уии-
модулярная группа над полем комплексных чисел; поэто-
поэтому Qj — простая группа. Она называется группой Лорен-
Лоренца. Читателю рекомендуется показать, что группа Ло-
Лоренца состоит из вращений пространства V, переводящих
векторы X, для которых X2 < 0, но х* ^> 0, в векторы того
же вида; другими словами, из тех вращений, которые пе
мепяют местами протедшее и будущее.
§ 7. Строение группы Q (F)
В § 6 мы исследовали строение ортогональных групп
размерностей не более 4. Теперь мы рассмотрим случаи
высших размерностей. Условимся о принятии следующей
терминологии: если U — невырожденное подпространст-
подпространство пространства V и если х ЕЕ О (U), то мы отождествим
т с элементом т _|_ 1и* группы О (V), сохраняя для этого
элемента прежнее обозначение т (если это не приведет к
недоразумению). Будем говорить, что т — изометрия под-
подпространства U. Тогда уже ясен смысл слов «плоское вра-
вращение» или «трехмерное вращение» пространства U.

272 СИМПЛЕКТИ*1ЕСКАЙ И ОРТОГОНаЛЬЙЛЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
Можно ли усилить теорему Витта? Мы ответим на этот
вопрос только для случая конечных полей.
Теорема 5.24. Предложим, что к — конечное поле
их — игометрия между подпространствами Ux и С/2
пространства V. Если ?/2 содержится в невырожденном
подпространстве W, коразмерность которого не меньше 2,
то х можно продолжить до отображения р из группы Q (V).
Доказательство. Можно указать вращение
а пространства V, продолжающее изометрию т. Если р —
вращение пространства W*, то рог—тоже продолжение ото-
отображения т. Поскольку dim W* ^> 2 и так как /.: —
конечное поле, пространство W* содержит векторы с
любыми наперед заданными квадратами. Отображение р
можно подобрать так, чтобы его спинорная норма 6(р) рав-
равнялась 0 (а). Тогда (ра)= 1, откуда следует, что рстЕ= Q(V).
Следствие. Если к — конечное поле, dim, V ^>
^> 4 и N, М — пара ненулевых изотропных векторов, то
существует такой элемент J.GQ (V), что KN = М.
Достаточно заметить, что вектор М лежит в некоторой
гиперболической плоскости.
Аналогичное, но более слабое утверждение справедли-
справедливо для произвольных полей:
Теорема 5.25. Пусть Ut и ?/а — невырожденные
игометричные подпространства пространства V. Пред-
Предположим, что ?/а содержит изотропные прямые. Тогда
существует такой элемент ),ЕЙ (V), что ?/а = %U\.
Доказательство. Можно указать такое вра-
вращение ст, что ?/а = оиг. После этого можно применить
вращение р подпространства ?72. Так как в ?/а имеются
изотропные прямые, то можно добиться того, чтобы вы-
выполнялось равенство 6,(р)=6 (о). Полагая ^ = раЕЙ (F),
имеем ?/„ = KUi.
Следствие. Если dim Г>3и если N, М — не-
ненулевые изотропные векторы, то в группе /с* найдется
такой элемент с, что для любого d Er /с* можно указать
элемент X ЕЕ ?2 (У), удовлетворяющий условию KN= cd%M.
Действительно, пусть М, М" — гиперболическая пара
векторов. Можно указать такое вращение ст, что oN = М.
Пусть 6 (о) = ск*ъ и р — вращение плоскости <М, М'),
переводящее вектор М в вектор ссРМ. Тогда 0 (р) = 0 (а)
и к = ро — искомый элемент группы Q (V).

§ 71 СТРОЕНИЕ ГРУППЫ Й (V) 273
Эти следствия мы используем при доказательстве сле-
следующей леммы.
Лемма 5.4. Пусть dim V > 5, Р — (А, В) — вы-
вырожденная плоскость пространства V, причем А2 = В2 ф
Ф 0. Тогда существует элемент ),ЕЙ (F), оставляющий
на месте вектор В и отображающий вектор А в такой век-
вектор С, что {А, Су — невырожденная плоскость.
Доказательство. Если <7V> — радикал плос-
плоскости Р, то Р = (В, N} и, следовательно, А = аВ -|- fW;
так как А2 — В2, то а = +1. Поэтому аВ можно заменить
на В, а fiN — на N; в результате получим А = В + N.
Пусть Н = <-6>* — гиперплоскость, ортогональная
вектору В. Изотропный вектор N Ф 0 лежит в гиперплос-
гиперплоскости Д, и в Н можно подобрать такой вектор М, что
NM = —Л2. Если & — конечное поле, то существует
такой элемент ),еЙ (Я), что MV = М (можно продол-
продолжить % на все пространство V). Мы получаем
W = 5, Ы = # + М = С
и
АС = (fi Н- iV) E + Af) = В2 + iVM = Л2 - А2 = 0.
Так как С2 = Л2, плоскость (А, С> невырожденна. Если
А; — бесконечное поле, то можно добиться того, чтобы
выполнялось равенство %N = cd2M для подходящих с и d.
Имеем: KB = В, ХА = В + cd2M = С, Л2= С2, АС =
= ?2 - cd2^2. Если Л2С2 - (ЛСJ^0 или (А2J Ф (АС)\
то плоскость <Л, С> невырожденна. Элемент d можно
выбрать таким образом, чтобы
АС = В2 — cd2A2 Ф ±А2.
Нам также понадобится
Лемма 5.5. Пусть А — неизотропный вектор про-
пространства V, и предположим, что а — изометрия прост-
пространства V, отображающая каждую прямую, натянутую
на вектор В, удовлетворяющий условию В2 — А2, на себя.
Тогда, если к содержит больше пяти элементов или если
k=F6,H0 п > 3, или велик = F3» wo ге > 4, то ст —цИу.
Доказательство. Заменяя, если это необхо-
необходимо, or на —а, можно добиться того, чтобы аА = А. Пусть
Н = <Л>*, и предположим, что гиперплоскость Н со-
содержит изотропные прямые <iV>. Так как (А -\- NJ — Аг,

274 CTrMlTJTEKTiriECItArt И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
имеем а (А + N) =»= в (А + N), где е = +1. Образ
aN = а ((А + N) — Л) == е (А + N) — А
вектора N должен быть иаотропным, откуда следует, что
в = +1, и поэтому aN = N. Произвольный вектор X
из // содержится в некоторой гиперболической плоскости
гиперплоскости Я, и мы получаем, что аХ — X; это сов-
совместно с равенством аА — А доказывает, что сг = 1.
Предположим теперь, что гиперплоскость Н анизо-
анизотропна, и пусть С (С Ф 0) — произвольный вектор из Н.
Если существует по крайней мере шесть вращений плос-
плоскости Р — <Л, С>,тоони переведут прямую <Л> по мень-
меньшей мере в три различные прямые плоскости Р, которые,
по нашему предположению, при изометрии о" отображаются
на себя. Вспоминая, что аА = А, получаем аС = С. Если
поле к содержит не менее семи элементов, то это условие
выполняется для любого вектора С ?= Н, и мы опять по-
получаем (т = 1. Если к — F6 и п > 3, то можно предполо-
предположить, что Н — анизотропное пространство и, значит,
dim Н — 2. Следовательно, гиперплоскость Н содержит
два независимых вектора С и D, удовлетворяющих усло-
условию С2 — D2 — 2Аг, и плоскости <Л, С> и <Л, D} анизо-
анизотропны. Эти плоскости обладают шестью вращениями, и
мы вновь имеем а = 1. Пусть теперь к — F3 и п > 4.
Тогда dim Н ^> 3, следовательно, Н содержит изотроп-
изотропные векторы и наша лемма доказана во всех случаях.
Теперь мы можем доказать следующее утверждение.
Теорема 5.26. Предположим, что dim V > 3, и
пусть G — подгруппа группы О (V), инвариантная при
трансформированиях элементами us Q (У) и не содержа-
содержащаяся в центре группы О (V). Тогда группа G содержит эле-
элемент а ^ 1, который является квадратом трехмерного
вращения.
Доказательство. 1)- Выберем в G элемент
ст ф +1у\ отображение сг сдвигает с места некоторую иеизо-
тропиую прямую <Л>. Мы утверждаем, что при подходя-
подходящем ст плоскость Р = <Л, оАу невырожденна. Поэтому
предположим, что плоскость Р вырожденна. Поскольку
выполняется равенство (аАJ — Аг, можно воспользо-
воспользоваться леммой 5.4, согласно которой можно указать ото-
отображение % е= й (V), при котором вектор аА неподвижен,

S 7] СТРОЕНИЕ ГРУППЫ SI (V) "lib
а вектор А переходит в такой иектор С = X (А), что плос-
плоскость (А, С> непырожденна. Элемент р — Xa"iX~1a тоже
лежит в G, и мы имеем
р (А) = Лл-'Л.-* (о-Л) = Л.о-1 (огА) = С.
2) Таким образом, мы можем предположить, что Р =
= (А, вА) — пепырождениая плоскость. Построим эле-
элемент р Ф -My группы G, который оставляет на месте не-
некоторую неизотропную прямую; можпо предположить,
что а сдвигает каждую неизотрониую прямую, так как в
противном случае мы могли бы положить р = о". В группе
Q (V) существует элемент X, отображающий на себя каж-
каждый вектор из Р и не коммутирующий с о". Предположим,
что мы отыскали такое X. Положим р -- X~ia~lXa\ р —
элемент группы G и.
р (А) = Х~*сг~*Х (аА) = Я-'сг' (о4) = А,-1 (Л) = А.
Так как р (А) = А, то рф—ly, а так как А, и сг не коммути-
коммутируют, то рф1у Для того чтобы построить искомое Я, мы рас-
рассмотрим два случая. Если аР Ф Р, то пусть В — такой
пектор плоскости Р, что аВ ф. Р. Тогда аВ — С + D,
где С(=Р, В^Р'иВфО. Поскольку AimP* > 3,
существует X€= Q (P*)t сдвигающее с места вектор/). Для
этого % (продолженного на все V) имеем
Ка (В) = X (С + D) = С + %D Ф С + D = аВ = о?^ (В);
следовательно, Хст ^ о^« Если сгР = Р, то о"Р* = Р', но
ограничение т отображения о" на пространство Р* не яв-
является элементом центра группы О (Р*) (так как сг сдви-
сдвигает неизотропные прямые). Для некоторого iEfi (P*)
имеем %Х Ф Хт. Следовательно, аХ Ф Ха.
3) Пусть теперь ст (а Ф Ч^1у) — элемент группы G,
оставляющий на месте некоторую неизотропную прямую
<^4>. По лемме 5.5 существует такой вектор В, удовлетво-
удовлетворяющий условию В2 = А2, что прямая <J9> сдвигается при
отображении о\ Положим аВ = С; тогда <5> Ф <С>. Обоз-
Обозначим симметрию относительно гиперплоскости (А}"
символом Тд. По теореме Витта существует такой элемент
цЕО (V), что \iA=B. Тогда цтаНГ1 =тв; следовательно,
г*х~А eQ(V)

276 СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
Имеем сгтдо = тоа = *а и атдсг1 = тс, откуда
а%а~* =
и
р =
Этот элемент р лежит в G, отличен от 1, так как <С> Ф
Ф (В}, принадлежит группе й (V), так как он является
коммутатором. Радикал плоскости Р — <5, С> имеет
размерность не выше 1 и является в то же время радикалом
пространства Р*; следовательно, Р* содержит невырож-
невырожденное подпространство W размерности п — 3. Элемент
р оставляет на месте каждый вектор из Р*. Следовательно,
он оставляет на месте и каждый вектор из W. Если U —
трехмерное пространство, ортогональное W, то р —
вращение пространства U. Отображение р лежит в Q (V),
следовательно, рЕО' (V), и поэтому р GE О' (U) — Q (U).
Отсюда следует, что р — квадрат вращения пространства
U. Теорема доказана.
Если V — анизотропное пространство, то р — квадрат
вращения плоскости; на этом наши нынешние познания
о строении группы Q (V) исчерпываются.
Если V содержит изотропные прямые, то можно ска-
сказать гораздо больше. Предположим, что подпространство
U анизотропно; тогда ось вращения р неизотропна и р —
квадрат вращения анизотропной плоскости Р. Мы покажем,
что любую анизотропную плоскость Р можно вложить в
трехмерное невырожденное подпространство U' прост-
пространства V, содержащее изотропные прямые; элемент р
можно рассматривать как вращение пространства U',
и мы видим, что, не нарушая общности, можно считать,
что исходное подпространство U содержит изотропные
прямые. Выберем в пространстве V изотропный вектор
N Ф 0, не ортогональный плоскости Р; это сделать воз-
возможно, поскольку в противном случае все изотропные пря-
прямые пространства V лежали бы в Р* и поэтому были бы
неподвижны при вращениях плоскости Р. Положим V —
= Р ¦+- <jV>; если U' — вырожденное пространство и
<М> — радикал, то <Af> — единственная изотропная
прямая пространства U', <М> = <iV>, что противоречит
выбору вектора N. Отсюда следует также, что образую-

§ 7] СТРОЕНИЕ ГРУППЫ Й (V) 277
щие (тдтцJ группы Q (V) (см. теорему 3.23), являются
квадратами вращений трехмерного подпространства U,
содержащего изотрошше прямые.
Возвратимся к нашему элементу р (р Ф- 1) группы G
и предположим, что поле к состоит более чем из трех эле-
элементов. Группа Q (U) проста (теорема 5.20), G Q Q (U)
содержит р и является инвариантной подгруппой группы
Я (U); отсюда следует, что Q (U) с: G. Подпространство
U содержит гиперболическую плоскость Р и группа G
содержит Q (Р). Пусть U' — другое трехмерное подпрост-
подпространство с изотропными прямыми; оно содержит гипер-
гиперболическую плоскость Р'. По теореме 5.25 существует
такой элемент X е Й (V), что Р' = КР. Так как Q (Р1) =
= XQ (Р)к~1, мы? заключаем, что Q (P') a G. Группа
й (W) проста, и Q (U1) f| G содержит Q (Р1). Отсюда
следует, что Q (U') с G. Группа G содержит все образую-
образующие группы Q(F), значит, Gсодержит саму группу Q (V).
Если к = F3, то мы используем то обстоятельство,
что пространство над конечным полем содержит подпрост-
подпространства с любой наперед заданной метрикой. Если dim V ^>
> 5, можно указать подпространство Vo размерности 4 и
индекса 1(FO не является гиперболическим пространством).
Подпространство Vo содержит трехмерное подпростран-
подпространство V, изометричное подпространству U. Воспользовав-
Воспользовавшись теоремой Витта, мы заключаем, что U содержится
в четырехмерном пространстве Vo индекса 1. Группа Q (Fo)
проста (теорема 5.21) и р е= Q G0) ("I G. Следовательно,
Q (Vo) с G, и можно снова сделать вывод, что Q (Fj) cz G,
где Vt — любое четырехмерное подпространство, индекс
которого равен 1. Если U' — любое трехмерное под-
подпространство в V, то V можно вложить в такое прост-
пространство Vr. Следовательно, Q (W) с: G. Отсюда выте-
вытекает, что й (У) cz G, и нами доказана следующая
Теорема 5.27. Предположим, что dim V > 5,
V — пространство, содержащее изотропные прямые, и
пусть G — подгруппа группы О (V), инвариантная отно-
относительно трансформирований элементами из Q (V) и не
содержащаяся в центре группы О (V). Тогда Q (V) cz G.
Если PQ (V) — фактор-группа группы Q (V) по ев цент-
центру, то PQ (V) — простая группа.

278 ОШПЛГСКТИЧКОСАЯ И ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППЫ [ГЛ. V
Эта осповная теорема впервые была доказана Л. Дик-
Диксоном в частных случаях, а затем ЯГ. Дьёдонне в полной
общности. Рассмотрим несколько примеров.
1) к = R — поле вещественных чисел. Если dim V —
— п ^> 3 и метрика основывается на квадратичной форме
Ъхг — Ег/г, то эта метрика определяется числом п и числом
г отрицательных слагаемых. Случай г = 0 можно разо-
разобрать с помощью рассуждений § 2 и теоремы 5.23; слу-
случай г — п приводит к тем же группам и, следовательно,
тоже исчерпан. В любом другом случае пространство V
содержит изотропные векторы и теоремы 5.20, 5.21, 5.22,
5.27 показывают, что группа PQ (V) простая, если прост-
пространство V не является гиперболическим пространством
размерности 4. Поскольку порядок группы R*JR*Z ра-
равен 2, Й (V) — подгруппа индекса 2 в группе 0+ (V),
если 0 < г < п. Дискриминант пространства V равеп
(—1)г; элемент —1^ принадлежит группе й (V) тогда и
только тогда, когда п и г — четные числа.
2) к — Fq — поле из q элементов. Группа к*/к*2
опять имеет порядок 2, так что Q (V) —¦ подгруппа индек-
индекса 2 группы 0+ (V), даже если V — анизотропная плос-
плоскость (поскольку квадраты ненулевых векторов из V
пробегают группу к'). Следовательно, порядок группы
й (V) равен половине порядка группы О+ (У). Для отыс-
отыскания порядка группы Рп (V) нужно еще раз делить на
2 в случае, если дискриминант пространства V —- квадрат и
п — четное число. При четных п мы приписывали двум
возможным метрикам внак в = 4-.1. Если е = +1, то
дискриминант равен (—1)п/3;- если же е = —1, то он равен
(_l)n/2g( Где g _ не квадрат в Fq. Читатель может само-
самостоятельно доказать, что дискриминант будет квадратом
в том и только в том случае, когда q4^ — е делится на 4.
Таким образом, порядок группы PQn (V) равен
— g("-DV». Д (д2{ — 1) для НвЧвТНЫХ П.
(п-2)/а
1 П
— gn ("-»/* (g«/a—е). Д (g2t — 1) дЛя четных и,
1—1
где d — наибольший общий делитель чисел 4 и qn^ — в.

i 7] СТРОЕНИИ П'УИПЫ ?1 (У) 279
В § 1 мы определили порядок группы PSpn (FQ); если
q нечетно, то число <1, появляющееся в выражении для по-
порядка, равно 2. Таким образом, порядки групп PSp2m (FQ) и
P&inHi(Fq) равны между собой. Ранее было доказало, что
группы PSpi (Fq) и PQ6 (Fq) изоморфны, но группы
PSpzm (Fq) и PQim+1(Fq) не изоморфны, если т > 3. Сле-
Следовательно, имеется бесконечно много пар простых ко-
конечных неизоморфных групп одного подрядка. Эти пары
и пара групп порядка 20160, о которой шла речь в гл.1 V,—
единственные известные пары с этим свойством; доказа-
доказательство того, что других таких пар пе существует, пред-
представляется нам чрезвычайно сложной задачей теории групп.
Если V — анизотропное пространство, то строение
группы Q (V) изучено только для отдельных полей к.
М. Кнезер и Ж. Дьёдонне доказали, что если dim V > 5
и к — поле алгебраических чисел, то группа PQ (V) прос-
проста. Причина этого заключается в том, что пространство
V не может быть эллиптическим для нормирований поля
к, если к — числовое поле и если dim V ^> 5. Можпо, ко-
конечно, ожидать, что для произвольных нолей будут дока-
доказаны аналогичные утверждения. Следует предположить, что
пространство V но является эллелтическим для произволь-
произвольных нормирований поля к и, возможно, что dim V > 5.
Упражнение. Назовем группу G строго простой,
если существует целое число N со следующим свойством:
пусть задан произвольный элемент а Ф 1 группы G; тогда
каждый элемент К группы G является произведением не
более чем N сопряженных элементов то^Ч к элементам
ai1 (т6г G). Докажите, что во всех нетривиальных случаях
группы РSLn (к), PSpn (к) и Рп„ (к) (если V содержит изо-
изотропные прямые) строго просты при условии, что к — поле.
Покажите, что группа 0$ (У) — не строго простая, если
V — евклидово пространство. Сомнительно, чтобы груп-
группы PSLn (к) были строго простыми для любых некоммута-
некоммутативных тел. Почему сомнительно? Читатель, знакомый
с теорией топологических групп, может доказать, что бес-
бесконечная компактная группа не может быть строго простой.

ЛИТЕРАТУРА И РЕКОМЕНДАЦИИ
ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ
Мы ограничимся небольшим списком книг и статей. Более пол-
полную библиографию можно найти в книге [5].
1. В а е г В.., Linear Algebra and Projective Geometry, N. Y.,
1952. Русский перевод: Б э р Р., Линейная алгебра и проективпап
геометрия, ИЛ, 1955.
2. С h e v а 11 е у С, The Algebraic Theory of Spinors, N. Y.,
1954.
3. С h о w W. L., On the Geometry of Algebraic Homogeneous
Spaces, Ann. of Math. 50 A949), 32-67.
4. Dieudonne L, Sur les groupes classiques, Act. Sci.
Ind., № 1040, Paris, 1948.
5. D i e u d о n n 6 J., La geometric des groupes classiques, Er-
gebnisse der Mathematik und ihrer Grcnzgebiete, Neue Folge, Heft 5,
Berlin, 1955.
6. E i с h 1 e r M., Quadratische Formcn und orthogonale Grup-
pen, Berlin, 1952.
7. L e f s с h e t z S., Algebraic Topology, Coll. Publ. Amer.
Math. Soc, 1942. Русский перевод: Л е фш е ц С., Алгебраическая
топология, ИЛ, 1949.
8. П о н т р я г и н Л. С, Непрерывные группы, Гостехиздат,
1954.
9. Van der WaerdenB. L., Moderne Algebra, Berlin,
1937. Русский перевод: В ан-дор-В а р д е н Б. Л., Современная
алгебра, Гостехиздат, 1947.
10. Contributions to Geometry, The Fourth H. E. Slaught Mem
Paper, Supplement to the Amer. Math. Monthly, 1955.
К главе I. Пробелы по общей алгебре можно устранить, про-
просмотрев любую книгу по современной алгебре, например [9]. Те-
Теория двойственности для векторных пространств и абелевых групп
(§ 4 и § 6) может быть обобщена введением топологических понятий.
См., например, [7], гл. II и [8].
К главе II. Для проективной геометрии полезн» познакомиться
с книгой [1]. Для ознакомления с замечательным развитием про-
проективной геометрии п советую изучение статьи [3]; в качестве обзора
прочтите гл. III из [5]. Мы совсем оставили в стороне интересные
вопросы, относящиеся к недезарговым плоскостям. Читатель может
составить себе представление об этих вопросах, ознакомившись с

ЛИТЕРАТУРА 281
некоторыми статьями из [10]. Там же помещена соответствующая
библиография.
К главам III—V. Мы очень мало сказали об унитарной геомет-
геометрии и только вскользь упомянули об ортогональной гоомотрин при
характеристике 2. Лучше всего с этими вопросами можно позпако-
миться по книге [5]. В монографиях [2] и [6] можно найти много
материала об ортогональных группах.
Дополнительная литература
if главе I. С теоретико-множественными и алгебраическими
понятиями, методами и результатами можно более подробно озна-
ознакомиться по книгам:
1. Бурбаки Н., Алгебра, Физматгиз, 1962 (гл. I—III);
«Наука», 1965 (гл. IV-VI); «Наука», 1966 (гл. VII—IX). (Особенно
полезными будут: гл. I «Алгебраические структуры», гл. V «Поля»,
гл. VI «Упорядоченные группы и поля».)
2. К у р о ш А. Г., Лекции по общей алгебре, Фиаматгиз,
1962. (Особенно гл. I и II.)
Подробные сведения о группах содержатся в книгах:
3. К у р о ш А. Г., Теория групп, «Наука», 1967.
4. X о л л М., Теория групп, ИЛ, 1962.
Необходимые сведения о линейной алгебре читатель найдет
в книгах:
5. Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, «Нау-
«Наука», 1966.
6. М а л ь ц е в А. И., Основы линейной алгебры, Гостехиз-
дат, 1956.
7. Райков Д. А., Векторные пространства, Физматгиз, 1962.
8. Халмош П., Конечномерные векторные пространства,
Физматгиз, 1963.
9. Шилов Г. Е., Введение в теорию линейных пространств,
Гостехиадат, 1956.
Из указанных книг в качестве дополнения к книге Артина осо-
особенно полезна книга Мальцева [6]. Артинскому изложению близка
по духу также гл. П., «Линейная алгебра», книги Бурбаки [1].
К главе II. Алгебраическое изложение Артина вопросов по-
построения аффинной и проективной геометрий целесообразно про-
противопоставить чисто геометрическим изложениям, которые можно
найти, например, в книгах:
10. Ефимов Н. В., Высшая геометрия, Физматгиз, 1961.
11. К о к с т е р X. С. М., Действительная проективная пло-
плоскость, Физматгиз, 1959.
К главе III. Теория пространств с билинейной метрикой содер-
содержится также в книге Мальцева [6] ив книге Бурбаки [!]
(гл. IX «Полуторалинейиые и квадратичные формы»).
if главам IV и V. Читателю, желающему ознакомиться с дру-
другими вопросами теории линейных групп, можно порекомендовать
монографию
12. С у п р у н е н к о Д. А., Разрешимые и иильпотентпыо ли-
линейные группы, Минск, 1958.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм 27
— «нутреппий 50
Алгебра кваторшгоиои обобщен-
обобщенная 265
— Клиффорда 250
Антиизоморфизм 58
Базис 18
— ортогоцалышй 104
— симнлоктический 187
Биекция 14
Вектор изотропный 162
Вращение 149
— на 180» 172
Геометрия ортогональная 155
— симцлектическая 153
— упорядоченная 105
Гиперплоскость 24
Гомоморфизм 16, 20
—, сохраняющий следы 84
Гомотетия 79
Группа линейная полня я 205
— неприводимая 186
— ортогональная 173
— нространствц 148
— симплектическая 187
— — проективная 237
— с нулем 51
— — — упорядоченная 53
— унимодулярная 205
— — проективная 227
-— упорядочепная 52
Дискримтшапт 147
Изометрин 148
Иаоморфизм 1C, 20
Инволюция 170
Индекс подгруппы 50
— пространстна 167
Инъекция 14
Классы эквивалентности 15
Коллинеация 120, 141
Комбинация линейная 17
Коммутант 49
Коммутатор 49
Коразмерность 24
Корреляция 141
Метрика 72
— отрицательно определенная
202
— — полуопределепная 202
— положительно определенная
202
— — полуопределенная 202
— р-адичеокая 73
Множества непересекающиеся
13
Мономорфизм 16
Норма 257
— енцпориая 259
Нормализатор 48, 55
Образ 13—14
Ортогональность 34
Ось вращения 181
Отображение полулинейное 119
— проектппное 133
Отражение 149
Пара гиперболическая 103
Перенос параллельный 81
Плоскость 24

1П>к,дмктт>и уклалтгль
Плоскость гиперболическая
103
Подмножество независимое 17
Последовательность точпан 127
Пространство апизотроппоо 108
— вокторпое правое 17
— — двустороннее 30
— дополплтельпое 22
— евклидово 238
— изотроппое 102
— невырождеппое 147
— пеприводимое 163
— проективное 119
— сопряженное 31
— эллиптическое 241
Прямая 24
Прямые параллельпые 77
Пучок параллельных прямых 78
Пфаффиан 192
Радикал 158
Разложение отображения ка-
каноническое 15
Ранг матрицы левый строчечный
42
— — правый столбцовой 42
Симметрия 172
Система образующих 17
След 80
Спаривание 32
Структура метрическая 145
Сумма ортогональная 158
— пространств прямая 19
Суммм множеств У.\
Сюръешнш 14
Тело архимедово 70
— упорядоченное 02
— — слабо 03
Теорема Веддербёрна 58
— Вптта 165
— Дезарга 99
— Панпа 105
Тип ипволюции 172
Точки гармонические 114
Трансвекция 216
— снмплектическая 188
Фактор-множество 15
Функционал 31
Характеристика тела 54
Центр 48, 55
Централизатор 48
Элемент регулярный 255
Эндоморфизм 25
Эпиморфизм 16
— канонический (= естествен-
естественный) 16
Ядро гомоморфизма 16, 20
— спаривания левое 34
— — правое 34

Эмиль Артин
Геометрическая алгебра
М., 1969 г., 284 стр. о илл.
Редактор Ф. И. Кианер
Техн. редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор И. Б. Мамулова
Сдано п набор 30/IV 1968 г. Подписано к печа-
печати 18/ХП 1968 г. Бумага 84X108'/,,. Фиа. печ.
л. 8,875. Уоловн. печ. л. 14,91. Уч. И8д.
л. 14,04. Тираж 15000 экз.
Цена книги 1 р. 21 к. Заниа М 914
Ивдательство «Наука»
Главцая редакция
физико-математической литературы.
Москва В-71, Ленинский проспект, 15.
2-я типография издательства «Наука».
Москва, Шубпнский пер., 10.