Предисловие
ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ
§ 2. Число отображений и подмножеств, биномиальные  коэффициенты
§ 3. Перестановки
§ 4. Рекуррентные соотношения. Математическая индукция
§ 5. Суммирование
Глава 2. Арифметические пространства и линейные уравнения
§ 7. Ранг матрицы
§ 8. Системы линейных уравнений
§ 10. Выражение определителя. Индуктивное определение
§ 11. Основные свойства определителя
§ 12. Разложение определителя по строке и столбцу
§ 13. Определители и элементарные преобразования
§ 14. Вычисление определителей специального вида
§ 15. Определитель произведения матриц
§ 16. Дополнительные задачи
Глава 4. Матрицы
§ 18. Матричные уравнения. Обратная матрица
§ 19. Матрицы специального вида
Глава 5. Комплексные числа
§ 21. Комплексные числа в тригонометрической форме
§ 22. Корни из комплексных чисел и многочлены деления круга
§ 23. Вычисления с помощью комплексных чисел
§ 24. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости
Глава 6. Многочлены
§ 26. Простые и кратные корни над полями нулевой характеристики
§ 27. Разложение на неприводимые множители над R и С
§ 28. Многочлены над полем рациональных чисел и над конечными полями
§ 29. Рациональные дроби
§ 30. Интерполяция
§ 31. Симметрические многочлены и формулы Виета
§ 32. Результант и дискриминант
§ 33. Распределение корней
ЧАСТЬ II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
§ 35. Подпространства
§ 36. Линейные функции и отображения
Глава 8. Билинейные и квадратичные функции
§ 38. Симметрические билинейные, эрмитовы и  квадратичные функции
Глава 9. Линейные операторы
§ 40. Собственные векторы, инвариантные  подпространства, корневые подпространства
§ 41. Жорданова форма и ее приложения. Минимальный многочлен
§ 42. Нормированные пространства. Неотрицательные  матрицы
Глава 10. Метрические векторные пространства
§ 44. Сопряженные и нормальные операторы
§ 45. Самосопряженные операторы. Приведение  квадратичных функций к главным осям
§ 46. Ортогональные и унитарные операторы. Полярное разложение
Глава 11. Тензоры
§ 48. Симметрические и кососимметрические тензоры
Глава 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия §49. Аффинные пространства
§ 51. Евклидовы пространства
§ 52. Гиперповерхности второго порядка
§ 53. Проективные пространства
ЧАСТЬ III. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АЛГЕБРЫ
§ 55. Понятие группы. Изоморфизм групп
§ 56. Подгруппы, порядок элемента группы. Смежные классы
§ 57. Действие группы на множестве. Отношение сопряженности
§ 58. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы.  Факторгруппы, центр
§ 59. Силовские подгруппы. Группы малых порядков
§ 60. Прямые произведения и прямые суммы. Абелевы группы
§ 61. Порождающие элементы и определяющие соотношения
§ 62. Разрешимые группы
Глава 14. Кольца
§ 64. Идеалы, гомоморфизмы, факторкольца
§ 65. Специальные классы алгебр
§ 66. Поля
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа
§ 68. Конечные поля
Глава 15. Элементы теории представлений
§ 70. Представления конечных групп
§ 71. Групповые алгебры и модули над ними
§ 72. Характеры представлений
§ 73. Первоначальные сведения о представлениях  непрерывных групп
Ответы и указания
Приложение. Теоретические сведения
§ II. Гиперповерхности второго порядка
§ III. Проективные пространства
§ IV. Тензоры
§ V. Элементы теории представлений
§ VI. Список определений
§ VII. Список обозначений
Текст
                    Сборник задач
по алгебре
Под редакцией А. И. Кострикина
Москва
Издательство МЦНМО
2009


УДК 512 (075.8) ББК 22.143 С23 Авторский коллектив: И. В. Аржанцев, В. А. Артамонов, Ю. А. Бахтурин, Э. Б. Винберг, Е. С. Голод, А. Э. Гутерман, А. И. Зобнин, В. А. Псковских, А. И. Кострикин, В. Н. Латышев, А. В. Михалев, А. П. Мишина, А. Ю. Ольшанский, А. А. Панчишкин, И. В. Проскуряков, А. Н. Рудаков, Л. А. Скорняков, А. Л. Шмелькин Сборник задач по алгебре / И. В. Аржанцев и др. Под ред. С23 А. И. Кострикина: Учеб. пособ. для вузов.-—Новое издание, исправленное. —М.: МЦНМО, 2009. —408 с. ISBN 978-5-94057-413-2 Задачник составлен применительно к учебнику А. И. Кострикина «Введение в алгебру» (Т. 1. «Основы алгебры». Т. 2. «Линейная алгебра». Т. 3. «Основные структуры алгебры»). Цель книги — обеспечить семинарские занятия сразу по двум обязательным курсам: «Высшая алгебра» и «Линейная алгебра и геометрия», а также предоставить студентам материал для самостоятельной работы. Для студентов первых двух курсов математических факультетов университетов и педагогических институтов. Библиогр. 19 назв. Предыдущее издание вышло в 2007 году в издательстве Физматлит. ББК 22.143 © Коллектив авторов, 2009. ISBN 978-5-94057-413-2 © МЦНМО, 2009.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ Глава 1. Множества и отображения §1. Операции над подмножествами. Подсчет числа элементов 11 § 2. Число отображений и подмножеств, биномиальные коэффициенты 12 § 3. Перестановки 14 §4. Рекуррентные соотношения. Математическая индукция 17 §5. Суммирование 20 Глава 2. Арифметические пространства и линейные уравнения §6. Арифметические пространства 21 § 7. Ранг матрицы 24 § 8. Системы линейных уравнений 28 Глава 3. Определители § 9. Определители второго и третьего порядков 35 § 10. Выражение определителя. Индуктивное определение . 35 §11. Основные свойства определителя 37 § 12. Разложение определителя по строке и столбцу 39 § 13. Определители и элементарные преобразования 40 § 14. Вычисление определителей специального вида 43 § 15. Определитель произведения матриц 44 § 16. Дополнительные задачи 45
4 Оглавление Глава 4. Матрицы § 17. Действия над матрицами 50 § 18. Матричные уравнения. Обратная матрица 54 § 19. Матрицы специального вида 57 Глава 5. Комплексные числа § 20. Комплексные числа в алгебраической форме 61 §21. Комплексные числа в тригонометрической форме ... 62 § 22. Корни из комплексных чисел и многочлены деления круга 64 § 23. Вычисления с помощью комплексных чисел 67 § 24. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости . 69 Глава 6. Многочлены § 25. Деление с остатком и алгоритм Евклида 73 § 26. Простые и кратные корни над полями нулевой характеристики 74 § 27. Разложение на неприводимые множители над R и С . 76 § 28. Многочлены над полем рациональных чисел и над конечными полями 77 § 29. Рациональные дроби 80 § 30. Интерполяция 81 §31. Симметрические многочлены и формулы Виета .... 83 §32. Результант и дискриминант 88 § 33. Распределение корней 89 ЧАСТЬ II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Глава 7. Векторные пространства § 34. Понятие векторного пространства. Базисы 93 § 35. Подпространства 96 § 36. Линейные функции и отображения 102 Глава 8. Билинейные и квадратичные функции § 37. Общие билинейные и полуторалинейные функции . . . 105 § 38. Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции 114
Оглавление 5 Глава 9. Линейные операторы § 39. Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора 120 §40. Собственные векторы, инвариантные подпространства, корневые подпространства 124 §41. Жорданова форма и ее приложения. Минимальный многочлен 129 § 42. Нормированные пространства. Неотрицательные матрицы 136 Глава 10. Метрические векторные пространства §43. Геометрия метрических пространств 141 § 44. Сопряженные и нормальные операторы 148 §45. Самосопряженные операторы. Приведение квадратичных функций к главным осям 153 §46. Ортогональные и унитарные операторы. Полярное разложение 157 Глава 11. Тензоры § 47. Основные понятия 162 §48. Симметрические и кососимметрические тензоры . ... 164 Глава 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия §49. Аффинные пространства 167 §50. Выпуклые множества 173 §51. Евклидовы пространства 178 §52. Гиперповерхности второго порядка 183 § 53. Проективные пространства 189 ЧАСТЬ III. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АЛГЕБРЫ Глава 13. Группы § 54. Алгебраические операции. Полугруппы 194 §55. Понятие группы. Изоморфизм групп 195 § 56. Подгруппы, порядок элемента группы. Смежные классы201 § 57. Действие группы на множестве. Отношение сопряженности 206
6 Оглавление § 58. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Факторгруппы, центр 212 §59. Силовские подгруппы. Группы малых порядков .... 217 § 60. Прямые произведения и прямые суммы. Абелевы группы 219 § 61. Порождающие элементы и определяющие соотношения 225 §62. Разрешимые группы 229 Глава 14. Кольца § 63. Кольца и алгебры 233 § 64. Идеалы, гомоморфизмы, факторкольца 239 § 65. Специальные классы алгебр 250 § 66. Поля 256 § 67. Расширения полей. Теория Галуа 260 § 68. Конечные поля 272 Глава 15. Элементы теории представлений § 69. Представления групп. Основные понятия 275 § 70. Представления конечных групп 280 §71. Групповые алгебры и модули над ними 285 § 72. Характеры представлений 290 § 73. Первоначальные сведения о представлениях непрерывных групп 296 Ответы и указания 299 Приложение. Теоретические сведения § I. Аффинная и евклидова геометрия 388 § П. Гиперповерхности второго порядка 390 § III. Проективные пространства 392 §IV. Тензоры 393 § V. Элементы теории представлений 394 § VI. Список определений 396 § VII. Список обозначений 401
ПРЕДИСЛОВИЕ В новом издании «Сборника задач по алгебре» устранены обнаруженные опечатки, а также добавлены новые задачи и решения. Был расширен авторский коллектив. Структура сборника задач повторяет структуру предыдущего издания 2007 г. Москва, 2009 Авторы ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ К ПРЕДЫДУЩИМ ИЗДАНИЯМ Существующие сборники задач по курсам «Высшей алгебры», «Линейной алгебры и геометрии» (см., например, задачники Фадде- ева и Соминского, Проскурякова и др.) зарекомендовали себя с самой лучшей стороны. Поэтому выпуск еще одного учебного пособия аналогичного жанра нуждается в пояснении. Составители предлагаемого сборника задач руководствовались простыми соображениями. Изменившаяся за последние годы структура указанных курсов, появление новых разделов, упразднение или частичное сокращение ряда традиционных тем — все это привело к тому, что преподаватели, ведущие семинарские занятия, вынуждены ориентироваться на большое число разнородных источников. Чтобы исправить сложившееся положение вещей, кафедра высшей алгебры МГУ решила подготовить новый сборник задач, который охватывал бы все разделы трехсеместрового курса. Труд с самого начала приобрел коллективный характер. Сотрудник, ответственный за ту или иную главу, придерживался выработанного опытным путем критерия полноты и разнообразия материала, проявляя разумную умеренность в его подборе. Фактически это означало определенное сокращение количества шаблонных численных примеров и выделение в массиве задач наиболее характерных представителей. Таким образом, в сборник вошли в основном те задачи, которые реально предлагались студентам. Сравнительно
8 Предисловие небольшую долю, особенно в первом семестре, составляют задачи повышенной трудности. Все они снабжены указаниями. Роль таких задач, однако, возрастает к концу курса. Наиболее трудные задачи могут предлагаться на дополнительных занятиях по алгебре. Количество теоретических пояснений сведено к минимуму, однако соображения автономности играли все более значительную роль по мере продвижения к дополнительным главам алгебры. При составлении настоящего пособия было использовано значительное число задач из сборников, указанных в списке литературы. В конце книги приводятся список обозначений и определения основных понятий, используемых в книге, к которым следует обращаться в случае затруднений при понимании условия задачи. Определения, отсутствующие в последнем списке, можно найти в разделе «Теоретические сведения», где кратко изложены основные утверждения, необходимые для решения задач. Авторы выражают благодарность В. В. Батыреву, много поработавшему над текстом сборника. Особая благодарность — сотрудникам кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского университета и кафедры алгебры и математической логики Киевского университета. Они провели тщательное рецензирование сборника и сделали большое число конкретных замечаний. Авторы благодарны редактору книги Г.В.Дорофееву, который обратил самое серьезное внимание на принципы упорядочения материала и унификацию обозначений, устранив излишний параллелизм, о котором говорилось выше. * * * Объем сборника существенно увеличился не только за счет стандартных задач. Возник специальный раздел задач повышенной, а иногда и весьма высокой трудности; эти задачи, частично извлеченные из журнальной и монографической литературы, помогут в определенной степени удовлетворить запросы сильных студентов и подсказать темы курсовых работ. Эти задачи расположены в конце параграфа после знака * * *. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. Кострикин А. И., Мании Ю.И. Линейная алгебра и геометрия.-— М.: Наука, 1986.
Предисловие 9 Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. L —М.: МЦНМО, 2009. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. П. —М.: МЦНМО, 2009. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. III. —M.: МЦНМО, 2009. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. —М.: Наука, 1971. Скорняков Л. А. Элементы алгебры. —М.: Наука, 1980. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М.: Наука, 2001. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. — М.: Лаборатория базовых знаний, 1999. Икрамов X. Д. Задачник по линейной алгебре. —М.: Наука, 1975. Цубербиллер О. И. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.—М.: Наука, 1970. Хорн Р., Дэюонсон И. Матричный анализ. — М.: Наука, 1989. ВагЪеаи Е. J. Polynomials. —Ν. Υ.: Springer-Verlag, 1989. Латышев В. Н. Выпуклые многогранники и линейное программирование.—Ульяновск: Филиал МГУ, 1992. Сборник задач по алгебре / Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Наука, 1987; М.: Факториал, 1995; М.: Физматлит, 2001, 2007. Exercises in algebra: a collection of exercises in algebra, linear algebra and geometry / Ed. A. I. Kostrikin. — Gordon and Breach Publ., 1996. Дыбкова Ε. В., Жуков И. Б., Семёнов Α. Α., Шмидт Р. А. Задачи по алгебре. Основы теории групп. — СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1996. Генералов А. И., Дыбкова Е. В., Жуков И. Б., Меркурьев А. С, Семёнов Α. Α., Шмидт Р. А. Задачи по алгебре. Основы теории колец. — СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1998. Винберг Э.Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002.
Часть I Основы алгебры
Глава 1 МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ § 1. Операции над подмножествами. Подсчет числа элементов 1.1. Пусть А{ (г Ε /), В— подмножества в X. Доказать равенства: a) ([J Аг)пВ= и(^гПБ); б) (f| λλ U В = f] (At U В); в) JJTi = f] Аг; r)~T\~Al=\J At. i£l i£l iel iel 1.2. Пусть X —произвольное множество, 2х —множество всех его подмножеств. Доказать, что операция Δ симметрической разности ААВ = (АпВ)и(ЛпВ) на множестве 2 обладает следующими свойствами: а) Α А В = В А А; б) (А А В) А С = А А (В А С); в) А А 0 = А; г) для любого подмножества А С X существует подмножество В С X такое, что А А В = 0; д) (А А В) П С = (А П В) А (А П С); е) А А В = (Ли В) \ (А П В); ж) А А В = (А \ В) U (В \ А). 1.3. Доказать, что для любых конечных множеств А\, ..., Ап [J AA=J2\Ai\- Σ 1^гПА,-|+... i=l ' г=1 l^i<j^n ••• + (-l)fc_1 Σ \А11П...ПАгк\+ ... l^ii<...<ik^n ... + (-1)к-1\А1П...ПАп\. 1.4. Доказать, что для любого натурального числа η > 1 где ρι,Ρ2ι --·,Ρτ -—все различные простые делители числа η, ψ{η) — функция Эйлера.
12 Гл. 1. Множества и отображения 1.5. Какое максимальное число подмножеств можно образовать из данных η подмножеств фиксированного множества с помощью операций пересечения, объединения и дополнения? 1.6. Пусть А, В, С — подмножества в некотором множестве. Доказать, что АП В С С тогда и только тогда, когда А С В U С. § 2. Число отображений и подмножеств, биномиальные коэффициенты 2.1. Пусть X — множество людей в некотором помещении, Υ — множество стульев в этом помещении и пусть: а) каждому человеку поставлен в соответствие стул, на котором он сидит; б) каждому стулу поставлен в соответствие человек, который на нем сидит. В каких случаях а) и б) определяют отображения Х^УиУ^ —► ΧΊ В каких случаях эти отображения инъективны, сюръективны, биективны? 2.2. Доказать, что если множество X бесконечно, а его подмножество Υ конечно, то существует биективное отображение Χ \ Υ —> X. 2.3. Пусть /: X —► У-—отображение. Отображение д: Υ —► X называется левым (соответственно правым) обратным для /, если д о f = 1χ (соответственно / о д = 1γ). Доказать, что: а) отображение / инъективно в том и только том случае, если оно обладает левым обратным; б) отображение / сюръективно в том и только том случае, если оно обладает правым обратным. 2.4. Установить биективное соответствие между множеством всех отображений множества X во множество {0, 1} и множеством 2х (см. 1.2) и найти |2Х|, если |Х| = п. 2.5. Пусть |Х| = т, |У| = п. Найти число: а) отображении; б) инъективных отображений; в) биективных отображений; г) сюръективных отображений множества X во множество Υ. 2.6. Пусть |Х| = п. Найти число ί ) всех подмножеств в X, состоящих из т элементов (это число называется также числом сочетаний из η элементов по т и часто обозначается символом С™).
§2. Число отображений и подмножеств 13 2.7. Пусть |Х| = п. Найти число всех подмножеств в X, состоящих из четного числа элементов. 2.8. Доказать формулу бинома Ньютона η г=0 2.9. Пусть |Х| = η и т\ + ... + rrik = η {mi ^ 0). Найти число η mi, ..., rrik упорядоченных разбиений множества X на к подмножеств, содержащих соответственно mi, ..., rrik элементов. 2.10. Доказать равенства: mi-\-...-\-mk=n, rrii^O η б) Σ =fcn· 2.11. Доказать равенства: ")(:) = (,-BJ·· 6>£(?H»; β)ς(-ι)·(:)=ο; г)Ьо=й Д)Е("1)^(")=0, п>1; е)£( • ι \ «// · η \Ъ у \т — гу V m '' П λ . /?тЛ /η + 1 3) Σ (Γ t ^(^ +2' + ··· + "0 = (η + !)r+1 - (n +1); -)Th+VtiH-+int*)=iniiiiv κ) Σ к) \ к ) V к J V к +1 η ρ (ρ + 1)... (ρ + г - 1) _ (ρ + 1)... (ρ + η) _ г=0 ')Ш)(Я7*) = №1г)· »>* + '>»· г=к 2.12. Доказать, что жт + х~ш является многочленом степени т от χ + ж-1. 2.13. Найти число разбиений числа η в упорядоченную сумму из к неотрицательных слагаемых.
14 Гл. 1. Множества и отображения 3. Перестановки 3.1. Перемножить перестановки в указанном и обратном порядках: 3 4 5\ 1 2 Ар 2 3 4 5 4 15 6 3 4 5 λ 3 2 \р 2 3 4 5 б\ 3 4 2 1 Ъ)' 3.2. Записать в виде произведения независимых циклов перестановки: In γ 2n- lj' η η + 1 η + 2 2η 1 2 3.3. Записать в виде таблицы перестановки: а) (136)(247)(5); б) (1654237); в) (135...2га-1)(246...2га). 3.4. Перемножить перестановки: а) [(135)(2467)] · [(147)(2356)]; б)[(13)(57)(246)]-[(135)(24)(67)]. 3.5. Определить число инверсий в последовательностях: а) 2,3,5,4,1; б) 6,3,1,2,5,4; в) 1,9, 6, 3,2, 5, 4, 7, 8; г) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2; д) 1,3,5,7, ...,2га- 1,2, 4,6,8,..., 2п; е) 2,4,6, ...,2п, 1,3, 5, ...,2га- 1; ж) к, к + 1, ..., п, 1, 2, ..., & — 1; з) /с, fc + 1, ...,n, fc- 1, fc-2, ...,2, 1. 3.6. Определить четность перестановок: ч /1 2 3 4 5 6 7γ ,,/12345678 аМ5647213Г М352 16487
§3. Перестановки 15 χ /3 5 6 4 2 1 7\ ч /2 7 5 4 8 3 6 1\ В^ \2 4 1 7 6 5 Зу/; Г^3 5 8 7 2 6 1 4у/; ч Л 2 3 гс- 1 тЛ Д' \2 4 6 ... 1 3 5 у ,/123 п-1 п\ е^ \1 3 5 ... 2 4 б /' ч /1 2 3 ...п-1 тЛ Ж^ \п п- 1 η-2 ... 2 l/' ,/12 3 4 ... гс- 1 гс\ 3^ ^п 1 п-1 2 J' 3.7. Определить четность перестановок: а) (123...А:); б) (ζχζ2 ...zfe); в) (1473)(67248)(32); г) (г^Х^Х^б)... (ζ2*-ιί2*); Д) (n...ip)(.7i.-.^)(A:i...A:r)(/i..Js). 3.8. Число инверсий в нижней строке перестановки ( """ 1 \αι α2 ... anJ равно к. Найти число инверсий в нижней строке перестановки /1 2 ... гс\ \ап αη-ι ... aij' QOD /1 2 ... гс\ 3.9. Рассматриваются перестановки степени п. \αι α2 ... anJ а) В какой строке (αϊ, ..., ап) число инверсий наибольшее? б) Сколько инверсий образует число 1, стоящее в нижней строке на к-м месте? в) Сколько инверсий образует число п, стоящее в нижней строке на к-м месте? 3.10. Пусть в последовательности αϊ, ..., ап чисел 1, 2, ..., η переставлены два числа, q и q + 1, где 1 ^ q ^ η — 1. Доказать, что число инверсий изменится на ±1. 3.11. Пусть задана перестановка σ = ( '" ), причем \а± <ΐ2 ... anJ число инверсий в нижней строке равно к. Доказать, что: а) σ является произведением к транспозиций вида (g, q + 1), где 1 ^ q ^ η — 1; б) σ нельзя представить в виде произведения менее к транспозиций указанного вида. 3.12. Пусть π, σ £ Sn, причем σ является циклом длины /с. Доказать, что πσπ-1 также является циклом длины к. 3.13. Выяснить, как изменяется разложение перестановки в произведение независимых циклов при умножении ее на некоторую
16 Гл. 1. Множества и отображения транспозицию. Что происходит при этом с декрементом перестановки? 3.14. Доказать, что всякая перестановка σ £ Sn может быть представлена как произведение транспозиций вида: а) (12), (13), ...(1,п); б) (12), (23), ...(п-1,п). 3.15. Доказать, что всякая перестановка σ £ Sn может быть представлена как произведение нескольких сомножителей, равных циклам (12) и (123...п). 3.16. Доказать, что всякая четная перестановка может быть представлена как: а) произведение тройных циклов; б) произведение циклов вида (123), (124), ..., (12п). 3.17. Пусть fij —один из двучленов Xi — Xj или Xj — χι, где г и j — произвольные натуральные числа от 1 до n, i < j, и пусть /(#1, ..., хп) —произведение всех этих двучленов. Доказать, что для любой перестановки σ £ Sn /(χσ(ΐ), ...,зд) = (sgna) -/(χι, ..,4 3.18. Пусть Τ — некоторый набор транспозиций из Sn и Г — граф со множеством вершин 1, 2, ..., η и множеством ребер Т. Доказать, что: а) всякая перестановка из Sn представляется в виде произведения транспозиций из Τ тогда и только тогда, когда граф Г связный; б) при \Т\ < η — 1 существует перестановка из Sn, не представи- мая в виде произведения транспозиций из набора Т. 3.19. Пусть задано число /с, причем 1 ^ к ^ ( 9 )· Доказать, что G Л 2 ... п\ в Ьп существует перестановка I . . . I, число инверсии в нижней строке которой равно к. 3.20. Найти сумму числа инверсий нижних строк во всех переста- /1 2 ... п\ новках . . . . \Ц 12 ... In J 3.21. Пусть |Х| = т, |У| = η, σ £ 5χ, г £ 5у. Определим ξ £ Sxxy, полагая £(ж, ?/) = (σ(χ), т(г/)), xGljGF. Найти: a) sgn ξ, если заданы sgn σ и sgn τ;
§4· Рекуррентные соотношения. Математическая индукция 17 б) длины независимых циклов в разложении перестановки ξ, если известны длины /ci, ..., ks и /ι, ..., lt независимых циклов в разложениях перестановок σ и τ (с учетом циклов длины 1). Получить отсюда еще одно решение задачи а). 3.22. Пусть d = d(a) —декремент перестановки σ. Доказать, что: а) sgn σ = (—l)d] б) перестановку σ можно представить в виде произведения d транспозиций; в) перестановку σ нельзя представить в виде произведения менее чем d транспозиций. 3.23. Пусть σ £ Sn. Доказать, что σ = αβ, где α, β £ Sn и а2 = β2 = = ε. 3.24. Пусть σ — цикл длины п. Доказать, что: а) если натуральное число т делит п, то ат является произведете нием т циклов длины —; η б) если т — натуральное число, взаимно простое с п, то ат является циклом длины п; в) если т — произвольное натуральное число и d — наибольший общий делитель чисел т, п, то аш является произведением d циклов η длины —. 3.25. Пусть перестановка σ разлож:ена в произведение независимых циклов длин ηι,...,η/e. Предположим, что т — произвольное натуральное число и d{ — наибольший общий делитель чисел т и гц. Доказать, что ат является произведением d\ цикла длины -у- , (Χ2 ЦИКЛОВ ДЛИНЫ — , ... , rffe ЦИКЛОВ ДЛИНЫ —. αϊ d2 dk § 4. Рекуррентные соотношения. Математическая индукция 4.1. Пусть f(x) — χ2 — ах — Ъ — характеристический многочлен рекуррентного уравнения и{п) = аи(п — 1) + Ъи(п — 2) (n ^ щ + 2). Доказать, что: а) функция и{п) = ап является репгением данного уравнения, если а — корень f(x); б) функция и{п) = пап является решением данного уравнения, если а — двойной корень f(x);
18 Гл. 1. Множества и отображения в) если f(x) имеет различные ненулевые корни а\ и«2, то всякое решение данного уравнения имеет вид и(п) = Cia" + C2«2, причем постоянные С ι и С2 определяются однозначно; г) если f(x) имеет двойной корень а, то всякое решение данного уравнения имеет вид и(п) = С\ап + С2пап, причем постоянные С ι и С2 определяются однозначно, если а ^ 0. 4.2. Решить рекуррентные уравнения (щ = 0): a)u(n) = 3u(n-l)-2u(n-2), и(0) = -2, и(1) = 1; б) и(п) = -2и(п- 1)-и(п-2), u(0) = -l, w(l) = -1. 4.3. Доказать, что при аф\ о 2 «-ι ηαη+1 - (n+l)an + 1 (a- 1)2 4.4. Вычислить п(0) + и(1) + ... + и(п), где п)2и: а)и(п) = Ъи(п-1)-4и(п-2), и(0) = 0, и(1) = 3; б) u(ra) = 2u(ra- 1) - w(n - 2), w(0) = 1, и(1) = -1; в) u(ra) = 4u(ra-l)-4u(ra-2), w(0) =-2, u(l) = 0. 4.5. Пусть ΐί(0) = 0, u(l) = 1 и u(n) = и{п — 1) + u(n — 2), где η > 2. Числа w(n) называются числами Фибоначчи. Вычислить и(п). 4.6. Пусть α ^ — 1. Доказать, что для любого натурального числа η справедливо неравенство (1 + α)η^1 + па. 4.7. Доказать, что для любого натурального числа η ^ 2 справедливо неравенство 4П (2та)! п + 1 (п!)2' 4.8. Доказать, что для любого натурального числа п: а) (п + 1)(п + 2)... (п + п) = 2П · 1 · 3 · 5 · ... · (2п - 1); 6)1.2 + 2·3 + ... + (η-1)·η=(η-1)^ + 1); Β)1·2·3 + 2·3·4+... + η(η + 1)(η + 2)=η(η+1)(η4+2)(η + 3) ч _J . 1 . 1 ι ι 1 _ η Γ) 4·5 + 5·6 + 6·7 + ,"+ (η + 3)(η + 4) ~ 4(η + 4)'
§4· Рекуррентные соотношения. Математическая индукция 19 е' 2 + 3 4 + '"+2гг-1 2гг гг+1п + 2+'"+2гг' ϊ 1,1, , 1 1/1 1 2-3 2-3-4 гг(гг + 1)(гг + 2) 2 \2 (гс+1)(гс + 2). 4.9. Доказать, что при любом натуральном п: а) число п3 + Ъп делится на 6; б) число 2п3 + Зп2 + 7η делится на 6; в) число пъ — η делится на 30; г) число 22п — 1 делится на 3; д) число Ц6п+3 + 1 делится на 148; е) число п3 + (п + I)3 + (п + 2)3 делится на 9; ж) число 72п — 42п делится на 33. 4.10. Доказать, что для любого натурального числа η выполнены неравенства 2<1+2 + з + -+2^ГТ^· 4.11. Пусть и{п)—последовательность чисел Фибоначчи. Доказать, что: а) и{1) + ... + и{п) = и(п + 2) - 1; б) и(1)2 + ... + и(п)2 = и{п)и{п + 1); в) и(п + I)2 — и(п — I)2 = и(2п); г) и(1)3 + ... + u(nf = γ^[η(3η + 2) + (-l)n+167i(n - 1) + 5]; д) и{т + η) = и(т)и(п — 1) + и{т + l)u(n); е) если η делит т, то и{п) делит и(т); ж) (и(п), и(т)) = гд((п, ш)). 4.12. Пусть uo(t) = 0, ui(i) = 1 и un(t) = tun-i(t) — un-2(t). Доказать, что: _ j.n-1 (n — 2λ j.n-3 , (п - 3\ in-5 а) «„(f) = *»-* - (^ χ ' jf»"* + (^ 2 ° ji«"5 + ...; б) если t = 2 cos ι?, то un(£) = ——^-; в) ?in(i)2 - Ufe(i)2 = un-k(t)un+k(t), где А: = 0, 1, ..., η; г) 7in+i(t)2 - ?in(t)2 = U2n+l(t). 4.13. Пусть г и cos τπ — рациональные числа. Доказать, что cosr^r = 0, ±1/2, ±1. 4.14. На сколько частей разбивают плоскость η прямых, находящихся в общем положении (т. е. никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке)?
20 Гл. 1. Множества и отображения § 5. Суммирование 5.1. Найти суммы: а) I2 + 22 + ... + п2; б) I3 + 23 + ... + п3. 5.2. Доказать, что сумма 1к + 2к + ... + пк представляет собой многочлен от η степени к + 1. * * * 5.3. Пусть Ν(σ) = \{г \ σ{ι) = г}\ —число неподвижных элементов перестановки σ £ Sn и Υ^ (Ν(σ)Υ = 7<»η!, 1 ^ s ^ η. aGSn Доказать, что 7(1) = 15 7(s) не зависит от η и 7(s + l) = 7(s)+(j)7(s-l) + ...+ (^7(s-A;) + ...+ (sf JtW + I- 5.4. Доказать, что "ТТ | 0 при η > 1, а\п \ где μ(η) — функция Мёбиуса. 5.5. Пусть f(n) и д(п) —две функции N —► N. Доказать, что эквивалентны равенства: а) #0) = Σ №), /Μ = Σ M%(f); 5.6. Доказать, что функция Эйлера φ (η) и функция Мёбиуса μ (η) связаны соотношением Σμ(ά) = ψ{η) d n d\n
Глава 2 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 6. Арифметические пространства 6.1. Найти линейную комбинацию 3αχ + 5α2 — ^з векторов аг = (4, 1, 3, -2), а2 = (1, 2, -3, 2), а3 = (16, 9, 1, -3). 6.2. Найти вектор χ из уравнений: а) а\ + 2d2 + 3аз + 4ж = 0, где а\ = (5, —8, —1, 2), а^ = (2, —1, 4, —3), а3 = (-3,2, -5, 4); б) 3(αι — ж) + 2(а2 + ж) = 5(аз + ж), где αϊ = (2,5,1,3), а2 = (10,1,5,10), а3 = (4, 1,-1,1). 6.3. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми: а) αϊ = (1, 2,3), α2 = (3,6,7); б) αϊ = (4, -2,6),α2 = (6, -3,9); в) αϊ = (2, -3, 1), α2 = (3, -1, 5), α3 = (1, -4, 3); г) αλ = (5, 4, 3), α2 = (3, 3, 2), α3 = (8, 1, 3); д) αϊ = (4, -5, 2, 6), α2 = (2, -2, 1,3), α3 = (6, -3, 3, 9), α4 = = (4,-1,5,6); β) αϊ = (1, 0, 0, 2, 5), α2 = (0, 1, 0, 3, 4), α3 = (0, 0, 1, 4, 7), α4 = = (2,-3,4,11,12). 6.4. Из координат каждого вектора данной системы векторов одного и того же числа измерений выберем координаты, стоящие на определенных (одних и тех же для всех векторов) местах, и сохраним их порядок; полученную систему векторов будем называть укороченной для первой системы, а первую систему будем называть удлиненной для второй. Доказать, что: а) укороченная система любой линейно зависимой системы векторов линейно зависима; б) удлиненная система любой линейно независимой системы векторов линейно независима. 6.5. Доказать, что если векторы αϊ, α2, аз линейно зависимы и вектор аз не выражается линейно через векторы αϊ и α2, то αϊ и а2 различаются между собой лишь числовым множителем.
22 Гл. 2. Арифметические пространства и линейные уравнения 6.6. Доказать, что если векторы αϊ, α2, ..., ak линейно независимы, а векторы αϊ, α2, ..., α&, 6 линейно зависимы, то вектор 6 линейно выражается через αϊ, е&2, ..., ак· 6.7. Пусть задана линейно независимая система векторов αϊ, ... ..., ak. Выяснить, являются ли линейно зависимыми системы векторов: а) Ъ\ = 3αι + 2α2 + аз + сц, &2 = 2αι + 5а2 + Заз + 2а4, &з = 3αι + + 4а2 + 2а3 + За4; б) 6ι = 3αι + 4а2 — 5аз — 2а4 + 4а5, &2 = 8αι + 7а2 — 2аз + 5а4 — lOas, 63 = 2αι — а2 + 8аз — а4 + 2as; в) 6ι = αϊ; &2 = αϊ + а2, 6з = ^ι + а2 + а3, ...,&& = αϊ + а2 + ... + ак; г) 6ι = αϊ; &2 = αϊ + 2а2, &з = αϊ + 2а2 + Заз, ...,&& = αϊ + 2а2 + + За3 + ... + kak; д) 6ι = αϊ + а2; 62 = а2 + а3, &з = а3 + а4, ..., bk-i = ak-i + afe, bk = ctk + αϊ; е) 61 = ai - a2; b2 = a2 - a3, 63 = a3 - a4, ..., bk-i = ak-i - afe, bfe = a/c — a\. 6.8. Даны векторы αϊ = (0, 1, 0, 2, 0), α2 = (7, 4, 1, 8, 3), α3 = (0, 3, 0, 4, 0), α4 = (1,9,5, 7, 1), α5 = (0,1,0,5,0). Существуют ли числа cij такие, что векторы 5 hi = ^jcijaj, i = 1, 2, 3, 4,5, линейно независимы? 6.9. Найти все значения λ, при которых вектор b линейно выражается через векторы αϊ, α2, аз: а) αϊ = (2, 3, 5), α2 = (3, 7, 8), α3 = (1, -6, 1), b = (7, -2, λ); б) αϊ = (4, 4, 3), α2 = (7, 2, 1), α3 = (4, 1, 6), b = (5, 9, λ); в) αϊ = (3, 4, 2), α2 = (6, 8, 7), α3 = (15, 20, 11), b = (9, 12, λ); γ) αϊ = (3, 2, 5), α2 = (2, 4, 7), α3 = (5, 6, λ), b = (1, 3, 5); д) αϊ = (3, 2, 6), α2 = (5, 1, 3), α3 = (7, 3, 9), b = (λ, 2, 5). 6.10. Найти все базисы системы векторов: а) а1 = (1, 2, 0, 0), а2 = (1, 2, 3, 4), а3 = (3, б, 0, 0); б) αϊ = (4,-1,3,-2), α2 = (8,-2,6,-4), α3 = (3,-1, 4,-2), α4 = (6,-2,8,-4); в) αϊ = (1, 2, 3, 4), α2 = (2, 3, 4, 5), α3 = (3, 4, 5, 6), α4 = (4, 5, 6, 7); γ) αι = (2,1, -3,1), α2 = (2,2, -6,2), α3 = (6,3, -9,3), α4 = (1,1,1,1);
§6. Арифметические пространства 23 д) αι = (3, 2, 3), α2 = (2, 3, 4), α3 = (3, 2, 3), α4 = (4, 3, 4), α5 = (1, 1, 1). 6.11. В каком случае система векторов обладает единственным базисом? 6.12. Найти какой-нибудь базис системы векторов и выразить через этот базис остальные векторы системы: а) αϊ = (5, 2, -3, 1), α2 = (4, 1, -2, 3), а3 = (1, 1, -1, -2), а4 = = (3,4,-1,2), а5 = (7, -6, -7,0); б) αϊ = (2,-1,3,5), а2 = (4,-3,1,3), а3 = (3,-2, 3, 4), а4 = = (4,-1,-15,17); в) αϊ = (1, 2, 3, -4), а2 = (2, 3, -4, 1), а3 = (2, -5, 8, -3), а4 = = (5, 26,-9,-12), а5 = (3,-4,1,2); г) αϊ = (2, 3, -4, -1), а2 = (1, -2, 1, 3), а3 = (5, -3, -1, 8), а4 = = (3,8,-9,-5); д) αϊ = (2, 2, 7, -1), а2 = (3, -1, 2, 4), а3 = (1, 1, 3, 1); е) αϊ = (3, 2, -5, 4), а2 = (3, -1, 3, -3), а3 = (3, 5, -13, 11); ж) αϊ = (2, 1), а2 = (3, 2), а3 = (1, 1), а4 = (2, 3); з) αϊ = (2, 1, -3), а2 = (3, 1, -5), а3 = (4, 2, -1), а4 = (1, 0, -7); и) αϊ = (2, 3, 5, -4, 1), а2 = (1, -1, 2, 3, 5), а3 = (3, 7, 8, -11, -3), а4 = (1,-1, 1,-2,3); к) αϊ = (2, -1, 3, 4, -1), а2 = (1, 2, -3, 1, 2), а3 = (5, -5, 12, 11, -5), а4 = (1, -3, б, 3, -3); л) αϊ = (4, 3, -1, 1, -1), а2 = (2, 1, -3, 2, -5), а3 = (1, -3, 0, 1, -2), а4 = (1,5,2,-2,6). 6.13. Пусть векторы αχ, α2, ..., а& линейно независимы. Найти все базисы системы векторов &ι = αι-α2, 62 = α2-α3, 63 = α3 - α4, ···, Ofc-i = afc-i — Gfc, bk — ak — ai. 6.14. Пусть дана система векторов α» = (αα, α;2, ..., ain), где г = 1,2, ...,s; s^n. Доказать, что если \aij\ > / ν ΙαΰΊ г=1 гфз для всякого j = 1, ..., s, то данная система векторов линейно независима. 6.15. Доказать, что если целочисленные векторы αϊ, α2, ..., α^ G G Zn линейно зависимы над полем Q, то найдутся такие целые числа
24 Гл. 2. Арифметические пространства и линейные уравнения λι, λ2, ..., Afe, взаимно простые в совокупности, что λιαι + λ2α2 + ... + λ/ett/e = 0. 6.16. Доказать, что если система целочисленных векторов линейно независима над полем вычетов по модулю ρ для некоторого простого числа р, то данная система векторов линейно независима и над полем рациональных чисел. 6.17. Пусть система целочисленных векторов линейно независима над полем Q. Доказать, что найдется лишь конечное число (возможно, нуль) простых чисел ρ таких, что векторы данной системы линейно зависимы по модулю р. 6.18. Для данных систем целочисленных векторов указать все простые числа р, по модулю которых эти системы линейно зависимы: а) аг = (0, 1, 1, 1), а2 = (1, 0, 1, 1), а3 = (1, 1, 0, 1), а4 = (1, 1, 1, 0); б) αι = (1, 0, 1, 1), а2 = (2, 3, 4, 3), а3 = (1, 3, 1, 1). § 7. Ранг матрицы 7.1. Найти ранг следующих матриц с помощью окаймления миноров и элементарных преобразований: а) в) Д) ж) /822 17 4 \-2 4 2 /4 1 7 0-7 1 3 4 5 \2 5 3 /-6 4 8 -5 2 4 7 2 4 2 4 8 \ 3 2 4 / 3 1 0 2 4 3 12 9 \-12 -5 -1 Л -2 5 -ι зУ -5 ] -3 -1 -3 ί -1 3 -1 б\ 1 3 1 3 -7 6 -5 3J ι : -ι : 2 -: 8 -' -8 { ; б) ( l 7 7 5 4 2 V-1 ι L\ /8 - Ч· т^^ > ' rJ 1 - 7 - / V3 - -4 -3 -5 -1 /77 32 ; е) 32 14 6 с 5 5 \4 1 1 -1\ L 2 L 1 : Г 3 5 У з) 5 > /1 0 0 0 ^i 7 9\ 1 -1 -1 -3 3 5/ 5 5 5 9\ -5 0 -7 14 1 3 2 5/ 6 5 3\ 3 2 1 1 0 0 0 1 0 * 0 0 1/ 1 0 0 0\ 110 0 0 110 0 0 11 0 0 С » У
§ 7. Ранг матрицы 25 и) /110 0 0 0 110 0 0 0 110 0 0 0 11 0 0 0 0 1 ^10 0 0 0 /110 0 ... 0 110... 0 0 0 0 ... U 0 0 0 ... 0\ 0 0 0 1 V с с 1 с ; к) ) 0\ ) 0 . 1 ) ι • /1 1 1 1\ 4 3 2 1 14 11 5 111 113 1 V 1 1 2/ л) 7.2. Найти ранг следующих матриц при различных значениях параметра λ: 2 3 -А 1 3 1\ 2 1 1 1 -А 1/ ж /А 1 1 1 V 1 А 2 2 2 2 . 2 . А . 3 . 3 . η — 1 η — 1 η — 1 λ η 1\ 1 1 1 V 3) (ι 2 2 ^2 λ 1 2 2 λ2 . λ . 1 . 2 . λη \ .. λη~ι .. λη"2 .. 1 ) 7.3. Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется при добавлении к ней любого столбца матрицы В с тем же числом строк, то он не меняется при добавлении к А всех столбцов матрицы В. 7.4. Доказать, что ранг произведения матриц не превосходит ранга каждой матрицы-сомножителя.
26 Гл. 2. Арифметические пространства и линейные уравнения 7.5. Доказать, что ранг матрицы (А\ В), полученной приписыванием к матрице А матрицы В, не превосходит суммы рангов матриц А и В. 7.6. Доказать, что ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов этих матриц. 7.7. Доказать, что всякую матрицу ранга г можно представить в виде суммы г матриц ранга 1, но нельзя представить в виде суммы меньшего числа таких матриц. 7.8. Доказать, что если ранг матрицы равен г, то минор, стоящий на пересечении любых г линейно независимых строк и линейно независимых столбцов, отличен от 0. 7.9. Пусть А — квадратная матрица порядка η > 1 иг — ее ранг. Найти ранг присоединенной матрицы А = (Aij), где А^ —алгебраическое дополнение элемента а^ матрицы А. 7.10. Пусть А и В — матрицы с вещественными элементами с одинаковым числом строк. Доказать, что 2А Във)=г{А)+г{В). 7.11. Пусть А и В — квадратные матрицы одного порядка. Доказать, что (А АВ Г\В В + В 2) =r(A) + r(B). 7.12. Доказать, что каждая матрица ранга 1 имеет вид (Ь\с\ Ьгс2 ... bicn\ Ь2С\ Ь2С2 ... Ь2Сп \brnC! ЬШС2 ... Ь = lB . C. где B = (&i, 62, .··, bm), С = (ci, c2, ..., cn). 7.13. Пусть Αι, Л2, ·.·, Ak — матрицы с одинаковым числом строк, С = (cij) —невырожденная матрица порядка к. Доказать, что ранг матрицы f c\\A\ ci2A2 ... с1кАк KCkiAi ск2А2 ... СккАк/ равен сумме рангов матриц А\, Л2, ..., Ак. 7.14. Доказать, что прямоугольная матрица ( „ п ), где А — невырож:денная матрица порядка п, имеет ранг η в том и только
§ 7. Ранг матрицы 27 том случае, когда D = С А 1В; при этом * * * 7.15. Доказать, что каждую невырожденную матрицу с помощью элементарных преобразований II типа со строками можно привести к виду /1 0 ... О 0\ О 1 ... О О О О ... 1 О \0 0 ... О d) 7.16. Доказать, что матрица с определителем, равным 1, является произведением элементарных матриц вида Ε + XEij, г -φ j. 7.17. Доказать, что если строки (столбцы) матрицы А линейно зависимы, то с помощью элементарных преобразований II типа со строками и столбцами матрицу А можно привести к виду (Ег 0\ где Εг —единичная матрица порядка г. 7.18. Пусть А и В — матрицы размеров т χ η, η χ t и рангов г (Л), г (В) соответственно. Доказать, что ранг матрицы АВ не меньше, чем г (А) + г (В) — п. 7.19. Доказать, что всякую матрицу элементарными преобразованиями над строками можно привести к виду /О ... О 1 * ... * о * ... * о * ... * о * ... *\ О ... О О О ... О 1 * ... * 0 * ... * 0 * ... * О ... О О О ... О О О ... О 1 * ... * 0 * ... * * о * ... * О ... О О О ... О О О ... О О О ... О 1 * ... * о ... о о о ... о о о ... о о о ... о о о ... о \о ... о о о ... о о о ... о о о ... о о о ... о/ и такой вид определен однозначно.
28 Гл. 2. Арифметические пространства и линейные уравнения § 8. Системы линейных уравнений 8.1. Найти общее решение и одно частное решение системы линейных уравнений, используя метод Гаусса: Ъх\ + 3x2 + 5хз + 12x4 = 10, 2х\ + 2x2 + Зхз + 5x4 = 4, χι + 7x2 + 9хз + 4x4 = 2; -9χι + 6x2 + 7хз + 10x4 = 3, —6χι + 4x2 + 2х3 + 3x4 = 2, -3χι + 2x2 — Пхз — 15x4 = 1; -9х\ + 10x2 + Зхз + 7x4 = 7, -Αχ ι + 7x2 + хз + 3x4 = 5, 7х\ + 5x2 — 4х3 — 6x4 = 3; 12χι + 9^2 + Зх3 + Юх4 = 13, 4χι + 3x2 + хз + 2x4 = 3, 8χι + 6x2 + 2х3 + 5x4 = 7; —6χι + 9x2 + Зхз + 2x4 = 4, —2χι + 3x2 + 5хз + 4x4 = 2, —4χι + 6x2 + 4хз + 3x4 = 3; 8χι + 6x2 + 5хз + 2x4 = 21, 3xi + 3X2 + 2хз + Х4 = 10, 4χι + 2x2 + Зхз + Х4 = 8, 3χι + 3x2 + хз + %а — 15, 7χι + 4x2 + 5хз + 2x4 = 18; ( 6χι + 4х2 + 5хз + 2x4 + 3x5 = 1, 3χι + 2х2 — 2х3 + Х4 = —7, 9χι + 6x2 + хз + 3x4 + 2x5 = 2, ^3X1 + 2X2 + 4хз + Х4 + 2X5 = 3. 8.2. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра λ: ( 8χι + 6x2 + Зхз + 2x4 = 5, — 12χι — 3x2 — Зхз + 3x4 = —6, 4χι + 5x2 + 2хз + 3x4 = 3, ^λχι + 4x2 + хз + 4x4 = 2; а) б) в) ^) Д) еН Ж )< 2χι + 5x2 — 8хз = 8, 4χι + 3x2 — 9хз = 9, 2χι + 3x2 — 5хз = 7, χι + 8x2 — 7хз = 12; зН а) {
§ 8. Системы линейных уравнений 29 б) ^ ( —Qx\ + 8^2 — 5^з — χα = 9, —2х\ + 4^2 + 7^з + 3^4 = 1, —3^ι + Ъх2 + 4^з + 2^4 = 3, —3^1 + 7^2 + 17^з + 7^4 = λ; в ) { (2х\ + 5x2 + хз + 3^4 = 2, 4χι + 6^2 + Зхз + 5^4 = 4, 4χι + 14^2 + хз + 7^4 = 4, 2х\ — 3^2 + З^з + λ^4 = 7; гн д) { ж) f 2χι — Х2 + З^з + 4^4 = 5, 4xi — 2ж2 + 5ж3 + 6^4 = 7, 6xi — Зж2 + 7ж3 + 8^4 = 9, [λχι — 4^2 + 9^з + 10^4 = 11; [ 2χι + 3^2 + хз + 2^4 = 3, 4χι + 6^2 + З^з + 4^4 = 5, 6х\ + 9^2 + 5^з + 6^4 = 7, [8^1 + 12^2 + 7^з + \ха = 9; ( \Х\ + ^2 + Хз + ^4 = 15 #1 + λ^2 + ^з + ХА = 15 ^1+^2 + А^з + ^4 = 1, [χι + х2 + хз + Аж4 = 1; з) и) (1 + А)ж1 + х2 + хз = λ2 + 3λ, а?1 + (1 + А)ж2 + хз = λ3 + ЗА2, αϊ + ж2 + (1 + Х)хз = А4 + ЗА2. λχι + ж2 + хз = 1, е) < Ж1 + Аж2 +жз = 1, a;i + Х2 + Аж3 = 1; (1 + λ)χι + х2 + жз = 1, х\ + (1 + А)ж2 + ж3 = А, Ж1 +х2 + (1 + А)ж3 = А2; 8.3. Найти все векторы пространства b € Жт при линейном отображении Rn —>■! )П переходящие в вектор заданном матрицей А: а) А = б) Л = 6 = /7\ 9 8 W
30 Гл. 2. Арифметические пространства и линейные уравнения в) А г) А дМ = е) А = ж )А = /1 3 3 \2 /1 3 2 1 V2 /1 2 3 \2 f3 1 V> /2 6 2 \4 /8 3 4 3 V -2 - -6 - -6 - -4 - 9 4 2 2 3 2 7 6 2 3 1 3 2 4 3 5 2 8 -6 -2 -4 - 1 3 3 5 1 7 2 2 6 5 3 2 2 3 5 1 4 5 -1 -2 -з\ -2 -4 -5 -4 -8 -13 , 6 = 1 5 ^ -1 -1 -2 J -5\ /Л 5 2 -1 ' Ь = 3 2 7 1 4/ V5/ -2 3\ /1\ -1 3 -2 3 , ь = 5 ^ 2 1 ' -3 %) \2) -1 4\ /-7 -3 7 , Ъ= -5 -14 31/ \-10 -2 1\ /4\ -4 3 -4 1 6 = 5 11 -3 3/ \бУ 2\ /21\ 1 1 1 2/ ' 6 = V 10 8 15 18/ . /-2\ -3 -9 V-1/ з) А = 8.4. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы уравнений: а) { \Х\ + Х2 — 2жз + 2^4 = 0, 3xi + 5^2 + бжз — 4^4 = 0, 4^1 + Ъх2 — 2жз + За?4 = О, [3xi + 8^2 + 24жз — 19^4 = 0; б) ^ #1 - хз + ж5 = О, χι — χα + х& = О, в) <( Ж! - Ж2 + Ж5 - Хб = О, ^2 - Ж3 + XQ = О, #1 — ха + ^5 = 0; ){ х\ - xz = О, Х2 — ха = О, —χι + жз - хъ = О, —Ж2 + ха — Хб = О, -ж3 + ж5 = О, ^-ж4 + ж6 = 0; ж ι + ж2 = О, χι + Х2 + £з = О, Х2 + ^3 + ха = О, Хп — 2 \ %п—1 ~г ^п — U5 %п — 1 ~г ^п — U.
§ 8. Системы линейных уравнений 31 8.5. Найти какой-нибудь базис ядра линейного отображения, заданного матрицей: б) в) Д) / б -4 5 V 2 /5 2 7 \5 9 1 7 5 2\ 1 4 ЗУ б -2 3 -1 9 -3 9 -3 7 4 5 1 г) Л 2 б /5 8 7 \4 /3 5 7 \4 7 9 1 1 5 7 9 8 б 9 б 3 3 б 9 3 -2 -3 -2 -1 2 4 б 2 1\ 3 5 О/ е) /3 5 4 4 7 5 10 1 1 2 1 2\ 4 б V 2 3 1 б з\ 4 5 5/ 8.6. С помощью правила Крамера решить систему уравнений: 2χχ - х2 = 1, J 2xi + 5х2 = 1, χι + 16x2 = 17; Ι 3χι + 7x2 = 2; а) в) xi cos a + Х2 sin α = cos /?, —χι sin α + Χ2 cos α = sin /?; 2χι + χ2 + χ3 = 3, γ) { χι + 2χ2 + хз = 0, χι + χ2 + 2χ3 = 0; 2χι + 3x2 + 5хз = 10, 3χι + 7x2 + 4хз = 3, χι + 2x2 + 2хз = 3. χι + χ2 + хз = 6, д) I -xi + Χ2 + ^з = 0, е) [χι - χ2 + хз = 2; 8.7. Найти многочлен /(х) второй степени с вещественными коэффициентами, для которого /(1) = 8, /(—1) = 2, /(2) = 14. 8.8. Найти многочлен f(x) третьей степени, для которого /(—2) = = 1, /(-1) = 3, /(1) = 13, /(2) = 33. 8.9. Найти многочлен f(x) четвертой степени, для которого /(-3) = -77, /(-2) = -13, /(-1) = 1, /(1) = -1, /(2) = -17. 8.10. Решить систему сравнений: |2х + у - ζ = 1, ί Зх + 2у + bz = 1, x + 2y + z = 2, (mod 5); б) < 2х + Ъу + 3z= 1, (mod 17). х + у — z = — 1, [5χ + 3?/ + 2^ξ4, 8.11. Доказать, что если определитель квадратной матрицы (а^·) порядка η с целыми коэффициентами взаимно прост с натуральным
32 Гл. 2. Арифметические пространства и линейные уравнения числом т, то система сравнений (ацхг + ai2X2 + ... + ainxn) = Ь{ (mod m), имеет единственное решение по модулю т. 1,2, П. можно 8.12. Пусть А — целочисленная матрица и d — наименьший из модулей ее элементов. Доказать, что если при целочисленных элементарных преобразованиях строк и столбцов матрицы А число d не уменьшается, то d делит все элементы этой матрицы А. 8.13. Доказать, что с помощью элементарных преобразований строк и столбцов над кольцом Ζ любую целочисленную матрицу привести к виду ( п п ), где А = diagjdi, ..., dr} и d{ | c^+i (г = 1,2,...,г-1). 8.14. Доказать, что если квадратная целочисленная система линейных уравнений является определенной по модулю любого простого числа р, то она является определенной и над кольцом целых чисел. 8.15. Выяснить, будет ли квадратная целочисленная система линейных уравнений, совместная по модулю любого простого числа р, совместной над кольцом целых чисел. 8.16. Доказать, что следующие системы уравнений имеют единственное решение по модулю всех простых чисел, кроме конечного их числа. Решить эти системы по модулю остальных простых чисел: (х\ + х2 + хз = 1, а) χι + 2х2 + 2ж3 = 2, 2χι + х2 - 2х3 = 1, 2^1 - 2х2 + хз = 1; б) { в)< ^1+^2+^4 = 1, Х\ + ХЗ + Х4 = 1, %2 + хз + #4 = 1; Х\ + Х2 + ХЗ + ХА = 1, Х\ + %2 - ХЗ - %А = 1, Х\ + Х2 + ХЗ - %А = 1, УХ\ — Х2 — Хз + %А — 0. 8.17. Доказать, что всякую систему линейных уравнений с вещественными коэффициентами можно привести к ступенчатому виду, используя лишь элементарные преобразования II типа. 8.18. Доказать, что при целочисленных элементарных преобразованиях строк и столбцов целочисленной матрицы наибольший общий делитель ее миноров фиксированного порядка к не меняется.
§ 8. Системы линейных уравнений 33 8.19. Доказать, что если целочисленная матрица с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов приведена к виду ( 0 0 j, где А = diag{di, d2, ···, dr], d{ ^ 0 и d{ \ di+i, z = l,2,...,r — 1, то числа di, d^^ ..., dr определены однозначно (с точностью до знака). 8.20. Два набора неизвестных называются целочисленно эквивалентными, если они связаны соотношением /yi\ ίχι : \=и \Уп/ \Хг где U — целочисленная матрица с определителем, равным по модулю единице. Доказать, что система уравнений η 3 = 1 где ctij, bi — целые числа, эквивалентна над кольцом целых чисел системе уравнений вида diVi = Q5 г = 1,2, ..., т, причем набор неизвестных (?/ι, ..., ?/п) целочисленно эквивалентен набору (хи...,хп). 8.21. Доказать, что целочисленная система уравнений имеет целочисленное решение в том и только том случае, когда для любого натурального числа к наибольшие общие делители всех миноров порядка к в матрице системы и в ее расширенной матрице совпадают. 8.22. Доказать, что целочисленная система уравнений имеет целочисленное решение в том и только том случае, когда она имеет решение по любому модулю р. 8.23. Обосновать следующий практический способ нахождения всех целочисленных решений системы уравнений η /_, ^ij^j — ^ii 1 — -м ^? ···? ^? 3 = 1 с целыми коэффициентами. Построим матрицу ί р п I размера (п + т) х (п + 1). Затем, используя лишь целочисленные элементарные преобразования первых т строк и η столбцов, приведем эту
34 Гл. 2. Арифметические пространства и линейные уравнения (D С\ матрицу к виду I ^ Q 1, где с — /сЛ \CraJ (dx О О d2 detU\ = l, D = О О О О 0\ О О О О . О . dr .. О О . О . . О . О \о о ... о о di | di+i, άλ ^0, ..., dT ^0. Тогда система совместна, если di | С{ при г = 1, ..., г, Cfe = 0 при /с > г, а общее решение дается формулой /ci/di\ о/ = с/ 1(ί/ΐ ж1 Gt* / 667* ϊ/r + l V Уп / где 2/г+1, ?/г+2? ···, Уп—любые целые числа. 8.24. Найти все целочисленные решения следующих систем уравнений: |2xi + 3^2 — 11жз ~~ 15^4 = 1, 4xi — 6x2 + 2ж3 + 3x4 = 2, 2xi — 3^2 + 5^з + 7^4 = 1. 8.25. Пусть А и В — матрицы одинаковых размеров, причем однородные системы линейных уравнений с матрицами А и В эквивалентны. Доказать, что от А к В можно перейти элементарными преобразованиями строк. 8.26. Пусть задана система линейных комплексных уравнений АХ — Ь с квадратной невырожденной матрицей А. Предположим, что сумма модулей элементов каждой строки матрицы Ε + А меньше 1. Пусть Xq — произвольный столбец; индуктивно определим Хш+1 = (А + Е)ХШ — Ь. Тогда последовательность столбцов Хш сходится к решению уравнения АХ = Ь.
Глава 3 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 9. Определители второго и третьего порядков 9.1. Вычислить определители: а) д) ж) 3 5 5 3 б) ab bd ас cd в) cos a sin a - sin a cos a ;г) sin a cos a sin β cos β ;e) cos a + i sin a 1 |logb a 1 1 loga 6 a + bi c + di -c + di a — bi 9.2. Вычислить определители: 1 cos a — г sin a a) Д) 3) к) 1 5 3 a b с 1 0 1- 1 1 1 2 3 1 4 2 5 b с с а a b 5 5 0 1 i —i 1 ε £ ε2 1 ε б) е) 1 + 1 г 1 ' (■ -1 5 4 3-2 0 -1 3 6 0 α 0 bed 0 е 0 ;и) Ξ — СО 5 ;ж) 1 ε ε2 Ι ε ε2 4 S3 ■π- Ьг в) 0 2 2 sin a sin /3 sin 7 ε2 ε 1 sir 5 1 7 1 2 2 0 2 2 0 ;r) cos a 1 cos /? 1 cos 7 1 1 2 4 5 7 8 1 (-4+4) )· 3 6 9 5 § 10. Выражение определителя. Индуктивное определение 10.1. Выяснить, какие из следующих произведений входят в развернутое выражение определителей соответствующих порядков и с какими знаками: а) αΐ3&22&31&46&55&64; б) ^31^13^52^45^24; в) аз4^21^46^17^73^54^62- 10.2. Выбрать значения г, j, к так, чтобы произведение &51&г6&1^&35&44&6/с входило в развернутое выражение определителя шестого порядка со знаком минус.
36 Гл. 3. Определители 10.3. В развернутом выражении определителя χ 1 2 3 χ χ 1 2 1 2 ж 3 ж 1 2 2ж найти члены, содержащие х4 их3. 10.4. Пользуясь определением, вычислить следующие определители: а) an G21 аз1 αηι 0 &22 аз2 &п2 0 0 азз а<пз 0 0 0 &ηη б) о о 0 0 а\п 0 0>2,п-1 &2η 0>п1 С^п.п — 2 С^п.п—1 аг в) a 3 0 0 6 0 1 2 с 0 0 0 ки ai2 «21 0.22 0,31 Й32 θ41 042 «51 θ52 5 2 3 d 1 ai3 θ23 0 0 0 г) 1 0 2 0 3 с d 0 Ol4 «15 θ24 «25 0 0 0 0 0 0 2 6 4 0 . a 0 5 0 д) 10.5. Представить в виде многочлена, расположенного по убывающим степеням £, определитель -t αϊ 0 0 0 -t 0 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 0 -t an αχ 0 0 -t 10.6. Вычислить определитель, у которого все элементы главной диагонали равны 1, а элементы столбца с номером j равны αϊ, α2, ..., flj-i, dj+i, ..., аП5 а остальные элементы равны 0. 10.7. Пусть σ = eS7 л А — квадратная матрица размера η с элементами ars, причем ars = 1, если s = гг, и ars = 0 в противном случае. Доказать, что определитель матрицы А равен знаку подстановки σ.
§11. Основные свойства определителя 37 § 11. Основные свойства определителя 11.1. Как изменится определитель порядка п, если: а) у всех его элементов изменить знак на противоположный; б) каждый его элемент а^ умножить на сг~к (с ^ 0); в) каждый его элемент заменить элементом, симметричным относительно побочной диагонали; г) каждый его элемент заменить на симметричный относительно «центра» определителя; д) его повернуть на 90° вокруг «центра» (против часовой стрелки)? 11.2. Как изменится определитель порядка п, если: а) его первый столбец поставить на последнее место, а остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя их расположение; б) его строки записать в обратном порядке? 11.3. Как изменится определитель, если: а) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец; б) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить все предыдущие столбцы; в) из каждой строки, кроме последней, вычесть следующую строку, а из последней вычесть прежнюю первую строку; г) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец, а к первому прибавить прежний последний столбец? 11.4. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен 0. 11.5. Числа 20604, 53227, 25755, 20927 и 289 делятся на 17. Доказать, что делится на 17 определитель |2 0 6 0 4| 5 3 2 2 7 2 5 7 5 5. 2 0 9 2 7 |θ 0 2 8 э| 11.6. Вычислить, не развертывая его, определитель \ χ у ζ ll \ У ζ χ 1\ \ ζ χ у 1 · \х + ζ χ + у у + ζ 12 2 2 I
38 Гл. 3. Определители 11.7. Чему равен определитель, у которого сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами? 11.8. Доказать, что любой определитель равен полусумме двух определителей, один из которых получен из данного прибавлением ко всем элементам г-й строки числа 6, а другой — аналогичным образом прибавлением числа —Ь. 11.9. Доказать, что если все элементы определителя порядка η являются дифференцируемыми функциями одного переменного, то производная этого определителя является суммой η определителей Di, где все строки определителя L>^, кроме г-й, те же, что и в определителе D, а г-я строка составлена из производных элементов г-й строки определителя D. 11.10. Вычислить определители: а\ + χ χ X CL2 + X в) 1 + xiyi 1 + Х1У2 1 + x2yi 1 + Х2У2 1 + xiyr 1 + Х2Уг г) I + xnyi 1 + ХпУ2 ... 1 + ХпУг /ι (αϊ) /ι («2) ... fi(an] /2 (αϊ) /2(α2) ... f2(an] I fn (αϊ) fn(a2) ... /n(o„)| где /г(ж) —многочлен степени не выше η — 2 (г = 1, 2, ..., п); Д) е) 1 + αϊ + Ъ: а2 + Ъ\ ап + Ь\ 1 + xiyi Х2У1 L Cii+bi 1 + а2 + Ь2 ап + Ь\ Х1У2 1 + Х2У2 а] . + Ьп а2 + Ьп 1 + ап + Ьп Х\Уп Х2Уп . Жп?/1 ^nJ/2 1 + ХпУг
§12. Разложение определителя по строке и столбцу 39 12. Разложение определителя по строке и столбцу 12.1. Разлагая по третьей строке, вычислить определитель |2 -3 4 1| 4 -2 3 2 \а b с dl 3 -1 4 3 12.2. Разлагая по второму столбцу, вычислить определитель |5 а 2 -1| 4 6 4 -3 2 с 3 -2Г 4 d 5 -4 12.3. Вычислить определители: а0 -2/1 0 0 0 сц Х\ ~У2 0 0 а2 0 . Х2 0 . 0 . α,η-ι 0 0 Хп—\ -Уп ап 0 0 0 %п ао αχ 0,2 Ο,η-1 ап -1 X 0 0 0 0 -1 X 0 0 0 . 0 . -1 . 0 . 0 . . 0 . 0 . 0 X . 0 0 0 0 -1 X п\ ао —п 0 0 (п — 1)! αϊ X -(п-1) 0 (п - -2)! 0 X 0 й2 .. ап .. 0 .. 0 X 1 -1 0 0 0 2 X -1 0 0 3 .. 0 .. X 0 .. 0 .. η — 1 0 0 X -1 п 0 0 0 X а) X 0 0 0 У У X 0 0 0 0 У X 0 0 .. 0 .. 0 .. 0 X .. 0 0 0 0 У X б)
40 Гл. 3. Определители е) η η — 1 n-2 -1 χ 0 О -1 χ О О -1 о о о ж) з) 2 1 1 0 1 аг 1 1 1 0 μ о 0\ 0 0 0 0 0 0,2 1 0 0 0,2 0 0 0 0 0 α3 0 0 0 0 ь2 0 0 0 0 1 χ С 1 0 0 0 ап bi 0 • -1 χ 1 И О Ь2п &2n-l О 0>2n-l О О ^2n αο 1 1 1 1 αϊ О О 1 Ο α2 О 10 0 0 а7 12.4. Доказать, что (п + 1)-й член и{п + 1) последовательности чисел Фибоначчи (см. 4.5) равен определителю 1 -1 0 0 1 1 -1 0 0 1 1 0 0 ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 0 0 -1 0 0 0 1 порядка п. § 13. Определители и элементарные преобразования 13.1. Вычислить определители: а) в) 1 -3 1 -2 7 1 7 1 -7 2 2 -2 9 6 и Η -1 и 3 -5 10 -8 9 -2 9 -2 -9 4 13 4 25 4 6 -1 4 2 ; б) -4 6 -Н ь -2 • 1 1 -1 1 3 -1 -1 -3 0 г) 4 4 2 3 3 2 1 2 1 7 2 1 1 -1 4 -8 -1 7 5 2 6 1 -2 3 3 -13 η 5 7 1 6 2 5 -1 8 2 3 3 2 1 2 5 7 2 1
§13. Определители и элементарные преобразования 41 д) 1 3 -1 3 1 5 1 7 4 8 3 2 -3 2 3 5 9 8 4 3 -4 8 -9 7 5 е) -5 О 2 б 5 3 ж) 1001 1002 1003 1004 1002 1003 1001 1002 1001 1001 1001 999 1001 1000 998 999 з) -7 О О 4 -4 О 27 20 13 46 -2 4 -2 б 10 -2 44 64 -20 45 2 О О 1 1 о и) 30 20 15 12 20 15 12 15 15 12 15 20 12 15 20 30 к) 1/2 1/3 1/2 1 1/3 1/2 1 1/2 1/2 1 1/2 1/3 1 1/2 1/3 1/2 л) 1 10 100 1000 10000 100000 м) о) 0,1 2 30 О 0,1 3 О 0 0,1 0 0 0 0 0 0 о -2 3 -6 4 2 -3 2 4 3 -2 2 -2 2 1 3 Р) 3 4 5 -3 б 3 5 б О 3 4 1 2 -3 -2 4 400 60 4 ОД О 5 1 -1 -3 5 -4 -7 9 5000 1000 100 5 ОД 60000 15000 2000 150 б н) 4 3 3 5 3 4 3 2 3 2 5 4 2 4 2 3 п) 14 -7 21 7 13 -4 23 12 3 2 О -2 -13 10 -23 -б 4 4 -4 -4 2 2 б с) 2 4 6 1 б 5 -3 2 4 4 5 2 -2 -5 2 15 14 3 40 55 21 40 -13 24 -55 84 16 О О -5 6 О 13.2. Приведением к треугольному виду вычислить следующие определители: а) 1 -1 -1 -1 2 0 -2 -2 3 3 0 -3 . η η η .. 0 б) 1 η η η η 2 η η η η 3 . η η η η η
42 Гл. 3. Определители в) 1 а\ а2 1 1 1 а\ а\ — Ь\ а\ α,2 — ί>2 αϊ α2 а7 а7 а7 а7 г) XI χι χι χι ai2 Χ2 Χ2 Χ2 αΐ3 &23 Χ3 Χ3 din α2η азп Хп д) е) 1 2 3 \п 1 an Й21 ttnl 2 3 4 η 3 4 5 η X 1 α22 βη2 χ2 χ 1 <2η3 η — η — η η χ3 χ2 χ αη4 2 1 η — η η η 1 η η η η χη χ^-1 χη~2 1 ж) 1 1 1 —η 1 . 1 . —η 1 . 1 —η 1 1 —η 1 1 1 3) и ) α b b b 1 1 1 b a b b ai ai + bi ai 6 6 a b ai b b b a 1 0,2 a2 + b2 ... an an an |1 a\ a2 ... an + b 13.3. Вычислить определитель a a + h a + 2h ... a + (n — 2)h a + (n — \)h a + (n — l)h a a+lh a + (n — 3)h a + (n — 2)h a + h a + 2h a + 3h a + (n — \)h a
§14- Вычисление определителей специального вида 43 § 14. Вычисление определителей специального вида 14.1. Вычислить следующие определители методом рекуррентных соотношений (см. 4.1): а) 2 1 0 0 1 2 1 0 0 . 1 . 2 . 0 . . 0 . 0 . 0 . 2 б) 3 1 0 0 2 3 1 0 0 . 2 . 3 . 0 . . 0 . 0 . 0 . 3 в) 5 6 0 0 0 4 5 2 0 0 0 13 2 0 0 0 13 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 2 3 ; г) 1 3 0 0 0 0 2 4 2 0 0 0 0 3 5 2 0 0 0 0 3 5 0 0 0 . 0 . 0 . 3 . 0 . 0 . . 0 . 0 . 0 . 0 . 5 . 2 0 0 0 0 3 5 д) 3 1 0 0 0 0 2 3 2 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 0 2 3 0 0 .. 0 .. 0 .. 0 .. 0 .. 1 .. 0 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 1 3 е) а + β αβ 1 а + β 0 1 о о о о αβ 0 а + β αβ 0 0 о о о а + β ж 1 1 1 2 1 3 1 п + 1 (п+1): 1 2п Τ {n + iy ап (α-1)η ... (а-п)п α""1 (α-Ι)™"1 ... (α-η)"1'1 а 1 α- 1 1 α — η 1
44 Гл. 3. Определители и) к) л) Μ 1 χι + 1 χϊ + хГ' + ап, al αη+1 1 χι 1 Х2 1 XU ll + Ж1 1+^2 \l + Χη χι χΓ2 α?"1 aj"1 <1\ь Xl χ\ χ2 1 + 1 + 1 + 6ι 62 η+1 Χ\ χ{ χ2 Χ α α η αη iL· Λ Χ2 Xs' 1 Χη + 1 Χγΐ Ι ^П η-1 ι η-2 1 Γ2^2 ··· *>ι Г2ь22 - Щ +1°η+1 ··· υη+1\ -1 ~s+l η Ju λ ... Ju Ι Χη · · · %2 -1 „s+1 τη JU η . . . ^ η 1 + χΓ l + a£ -1- Τ" %η 1 η) 0 1 1 1 1 1 0 χ χ χ 1 χ 0 χ χ .. 1 χ χ .. 0 χ 1 ж ж χ 0 ο) α Ι/ У У χ α У У χ χ α У · χ χ χ α § 15. Определитель произведения матриц 15.1. Вычислить определитель а b с d b а -d с с d а -Ь d —с b а путем возведения его в квадрат. 15.2. Вычислить следующие определители, представляя их в виде произведений определителей: а) cos(c^i — βι) cos(c^i — /З2) C0S((^2 — βΐ) C0S((^2 — /З2) COs(ai - βη) COs(a2 - βη) cos(an - βι) cos(an - β2] cos(an - βτ
§16. Дополнительные задачи 45 б) 1 аЖ а^Ь пип η 1 — а\Ъ\ T-aibi 1 — а\Ь 1 апЬп в 1 - anbi (α0 + bo)' 1 - anbn (α0 + bn) {(in + b0y {(In + br r) so si S2 Si S2 S3 S2 S3 sa Sn-1 Sn Sn+1 где sk x\ + x\ + ,. + X n' \Sn-l Sn Sn+1 ... S2n-2 15.3. Доказать, что циркулянт αϊ α2 α3 αη αϊ α2 αη_ι αη αϊ αη 0>η-1 Cin-2 CL2 α3 α4 αϊ равен /(ει)/(ε2)... /(εη), где /(ж) = αϊ + а2ж + ... + апж7 ..., εη — все корни степени п из единицы. 15.4. Вычислить определители: 2 1 а a ει, ε2. a) а d с b b а d с с b а d d π b а ; ь) 1 n-1 a a an~2 a71'1 1 a a n-l V n-2 n — 3 a a a § 16. Дополнительные задачи 16.1. Найти наибольшее значение определителя третьего порядка, составленного: а) из чисел 0 и 1; б) из чисел 1 и —1. 16.2. Доказать, что если в определителе порядка η на пересечении некоторых к строк и / столбцов стоят элементы, равные нулю, причем к + / > п, то определитель равен нулю. 16.3. Пусть D — определитель порядка η > 1, Ό\ и D2—определители, полученные из D заменой каждого элемента а^ на его
46 Гл. 3. Определители алгебраическое дополнение Aij для Ό\ и на его минор М^ для D<i- Доказать, что D\= D2. 16.4. Взаимной (или присоединенной) матрицей А для квадратной матрицы А размера η называется матрица, в которой на месте ij стоит алгебраическое дополнение А^. Доказать, что: а) |А| = IAI—1; б) А = |А\п~2А при п>2 η А = А при η = 2. 16.5. (Формула Бине—Коши.) Пусть А = (α^·), β = (6^) — матрицы порядка т χ п, Агь...^т и ^i,...,zm —миноры порядка т матриц А л В соответственно, составленные из столбцов с номерами η fe=l J^aifebjfe, C= (cij), z = 1, ...,m; j = 1, ...,m. fe=l Доказать, что detC= ^ ^<ι,.·,ί™β< 1^г1<г2<...<гт^п если m ^ η, и det С = 0, если т > п. 16.6. Пусть А и В — матрицы порядков ρ χ η и η χ к соответственно, А( . """ m ), £>( . """ m ) —миноры матриц А и В, стоящие на пересечениях строк с номерами zi,...,zm и столбцов с номерами ji, ..., jm, и С = AS. Доказать, что /^i Ι Ίι ··· W \ А\ \В I I, если т^п, О, если т> п. 16.7. Доказать, что сумма главных миноров порядка к матрицы А · А равна сумме квадратов всех миноров порядка к матрицы А. 16.8. Пусть \ац ... аъ D = \ап\ ... а7
§16. Дополнительные задачи 47 Доказать, что an din Xl CLnl χι Χη Χη ζ η = Dz-J2A i,3 = l rp . rp . IJ ^i^j - 16.9. Доказать, что сумма алгебраических дополнений элементов строки определителя не изменится, если ко всем элементам матрицы прибавить одно и то же число. 16.10. Доказать, что если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны единице, то сумма алгебраических дополнений всех элементов определителя равна самому определителю. * * * 16.11. Пусть А = an dnl аи αΎ В = bu bki bik bkk D anbn ... ainbn anb 12 ainb 12 aub k\ ainbki aiibk2 ainb k2 a\\b\k ... ainbij. CLnibn ... annb\i an\b\2 ... annb\2 ... ctnibik ... ctnnbih anb kk ainb kk an\bk\ ··· annbki anibk2 ··· annbk2 ··· an\bkk ··· annbkk где D (определитель порядка пк) — кронекеровское произведение определителей А л В. Доказать, что D = АкВп. 16.12. Континуантой называется определитель а\ -1 0 0 1 U2 -1 0 0 1 аз 0 0 .. 0 .. 1 .. 0 .. 0 0 0 -1 0 0 0 ап (αϊ α2...αη) = а) Выразить (αια2...αη) в виде многочлена от αϊ, ..., ап. б) Написать разложение континуанты по первым к строкам.
48 Гл. 3. Определители в) Установить следующую связь континуанты с непрерывными дробями: (αια2·..αη) (а2аз...ап) = а\ + 0,2 а3 + ...+ a-n-i + т- 16.13. Доказать, что если А, 5, С, D — квадратные матрицы порядка η и С · bD = D · гС, то = \A-tD-B-tC\. 16.14. Доказать, что если А, В, С, .D — квадратные матрицы порядка п, причем С или D — невырожденная матрица и CZ) = DC, то С D = \AD-BC\. 16.15. Вычислить определитель А = сЕ А А сЕ , где а 1 0 0 1 а 1 0 0 1 α 0 0 .. 0 .. 1 .. 0 .. . 0 . 0 . 0 α 16.16. Доказать, что определитель, получающийся при вычеркивании к-го столбца в матрице (aij)= ((^I-j), г = 1, ...,n + l; j = 1, ...,η + 2, en(n + 1) ен U-J- 16.17. Доказать 1 2! 1 0 , что 1 1 3! 4! 1 1 2! 3! 1 h. 1 (2fc + 2)! 1 (2/c + l)! 1 0 0 0 (2fe)! j_ 2! 0, JfeGN.
§16. Дополнительные задачи 49 16.18. (Тождество Эйлера.) Перемножив матрицы ίχι Х2 Хз \Х4 доказать, что Х2 -χι Х4 -ХЗ Хз — Х4 —χι Х2 χ Λ ХЗ — Х2 ' /2/1 2/2 2/з -Xl) \У4 2/2 -2/1 2/4 -2/3 2/з -2/4 -2/1 2/2 2/4 \ 2/3 -2/2 -2/1/ / 2 , 2 , 2 ι 2\/ 2 , 2 ι 2 ι 2\ (Xi + Ж2 + Ж3 + Х4)(2/1 + 1/2 + 2/3 + 2/4) = = (χι2/ι + ж22/2 + %зУз + ж42/4)2 + Οι2/2 - ^22/1 ~ жз2/4 + ^42/з)2 + + (χι2/3 + ^22/4 - Х3У1 - Х4У2)2 + Οι2/4 - %2Уз + ^з2/2 - ^42/ι)2· 16.19. Вычислить определитель матрицы (а^·) порядка п, где: а) a^j равно 1, если г делит j, и равно 0 в противоположном случае; б) ctij равно числу общих делителей чисел г и j. 16.20. Доказать, что определитель матрицы (dij) порядка п, где dij —наибольший общий делитель чисел г и j, равен φ(Ϋ)φ(2)... φ {η). 16.21. Пусть χι, ..., жП5 2/ι, ..., уп—числа, причем xiyj -ф 1 для всех г, j — 1, ..., η, Δ(χι, ..., жп), Δ(2/ι, ..., уп)~определители Вандермон- да. Доказать, что η А(жь ...,жта)Д(уь ...,yra) = det( _ ) ТТ (1 - азд)·
Глава 4 МАТРИЦЫ 17. Действия над матрицами 17.1. Перемножить матрицы: - sin β\ _ cos/? Я 17.2. Выполнить действия: '3020 а) ( 0 1 2 1 .2300 б) /3 0 2\ 0 1 3 2 2 0 \0 1 0/ О б -2 -4 2 -2 3 б -5 б О 1\ -2 4 1/
§17. Действия над матрицами 51 17.3. Вычислить: а) 2 1 -2 б) Л 1 1 1\ 1 1-1-1 1-1 1-1 \1 -1 -1 1/ 17.4. Вычислить: в) /О 1 0 0\ 0 0 10 0 0 0 1 \о о о о/ /о ι о о\ 0 0 2 0 0 0 0 3 \о о о о/ г) а) в) cos a sin α η — sin α cos α б) 'λ Г О А '2 Г 5 3 ι οΝ 3 -Г -5 2 η η 17.5. Вычислить значение многочлена f(x) от матрицы Л: /2 1 0\ а) f(x) = x3 -2х2 + 1, Л= 0 2 0 ; V1 ι У /2 1 1\ б) f(x) = ж3 - Зх + 2, Л= 1 2 1 . V1 1 2/ 17.6. Доказать, что если матрицы А и В перестановочны, то η г=0 Привести пример двух матриц А^В^ для которых эта формула неверна. 17.7. Вычислить все степени квадратной матрицы Н = /0 0 0 \о 1 0 0 0 0 . 1 . 0 . 0 . • °\ . 0 . 1 • о/ 17.8. Пусть задана квадратная матрица J = (X 0 0 1 0 . А 1 . 0 0 . 0 0 . . 0 . 0 . А . 0 о\ 0 1 V
52 Гл. 4- Матрицы размера п. Доказать f(j) = ffW 0 0 V о >, что если f(x) - /4λ) 1! /(λ) 0 0 /"(λ) 2! /'(λ) 1! 0 0 - многочлен, /(η-2)(λ) (η-2)! /(η"3)(λ) (η-3)! /(λ) 0 το /(""1)(λ)\ (η-1)! /(η"2)(λ) (η-2)! /'(λ) 1! /(λ) ) 17.9. Пусть С, А ^квадратные матрицы одного размера и /(ж)- многочлен. Доказать, что f(CAC~l) = С f(A)C~l. 17.10. Вычислить еА, где: 2 -4 17.11. Вычислить In А, где 9 ; б) А = 0 0 6 ^ \о о о, *М=(_4 _!); бМ = /1 1 0 0 1 1 о \0 0 0 ... 1/ 17.12. Пусть Л = (а^·) —матрица размера т χ п. Доказать, что г,3 где Е^· — матричные единицы. 17.13. Доказать, что EijEpq = SjpEiq. 17.14. Пусть А — произвольная матрица. Вычислить EijA. 17.15. Пусть А — произвольная матрица. Вычислить AEij. 17.16. Пусть А — квадратная матрица, причем Е^А = AEij для всех матричных единиц Eij. Доказать, что А — ХЕ для некоторого скаляра λ. 17.17. Пусть А — квадратная матрица, причем ЕцА = АЕц для всех г. Доказать, что матрица А диагональна. 17.18. Пусть квадратная матрица А перестановочна со всеми невырожденными матрицами. Доказать, что А = ХЕ. 17.19. Найти все матрицы А порядка η такие, что след tr АХ — 0 для любой матрицы X порядка п.
§17. Действия над матрицами 53 17.20. Доказать, что след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей. 17.21. Доказать, что если С — невырожденная матрица, то для любой матрицы А того же порядка tr CAC~l = tr А. 17.22. При каких А имеется решение уравнения [Χ, Υ] = ХЕ ([Χ, Υ] = XY — YX — коммутатор матриц X и У)? 17.23. Доказать, что для любых квадратных матриц А, В, С выполняются равенства: а) [А, ВС] = [А, В]С + В [А, С]; б) [[А, В], С] + [[В, С], А] + [[С, А], В] = 0. 17.24. Доказать,что для любых матриц порядка 2 выполняется равенство [[А, В]2, С] = 0. 17.25. Пусть Α, £>, ..., Ό\ —квадратные матрицы одного порядка. Выразить произведение матриц Ά С В" D 'Аг Сг Вг через заданные матрицы. 17.26. Пусть А — треугольная вещественная матрица, перестановочная с 1А. Доказать, что матрица А диагональная. 17.27. Пусть А = (а^·) £ Mn(IR) —симметричная невырожденная матрица, причем существует такое к < п, что ац = 0 при \г — j\ ^ к. Предположим, что А = 1В · В, где В = (6^) — верхнетреугольная матрица. Доказать, что 6^· = 0, если j — г ^ к. 17.28. Доказать, что любая матрица со следом 0 является суммой коммутаторов матриц со следом 0. 17.29. Для матрицы Х = /0 0 0 \v 1 0 0 0 0 .. 1 .. 0 .. 0 .. 0\ 0 1 о/ найти такие матрицы А л В, что [А, X] = X, [А, В] -В, [X, В] = А.
54 Гл. 4- Матрицы §18. Матричные уравнения. Обратная матрица 18.1. Решить систему матричных уравнений: a)X + y=(j J), 2X + 3Y=(l °); б)2Х-У=(_°1 J), -4X + 2Y=(°2 -2). 18.2. Доказать, что квадратная матрица X порядка 2 является решением уравнения X2 - (tr X)X + det X = 0. 18.3. Решить матричные уравнения '2 1 0\ /0 0 1 л) ( 1 2 0X0 1 0 ,0 0 1/ \1 0 0
§18. Матричные уравнения. Обратная матрица 55 1 2 0 1 1 1 °\ 2 \х = 1/ / 5 l·6 1-2 -1 4 0 2 6 7 о) 18.4. Пусть Д β —матрицы размеров т χ пит χ к соответственно. Доказать, что матричное уравнение АХ = В, где X — матрица размера η χ А:, имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы А совпадает с рангом расширенной матрицы (А \ В). 18.5. Пусть А — квадратная матрица. Доказать, что матричное уравнение АХ = В имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица А невырождена. 18.6. Пусть Л —матрица размера η χ m, причем т -φ η. Доказать, что для любого натурального числа к существует такая матрица В размера η χ А:, что матричное уравнение АХ — В не имеет единственного решения. 18.7. Доказать, что система уравнений η 3 = 1 где Xj и Bi — матрицы порядка ρ χ g, имеет единственное решение тогда и только тогда, когда det(a^) ^ 0. 18.8. С помощью присоединенной матрицы найти матрицу, обратную к матрице: Ί 3" о 18.9. Найти с помощью элементарных преобразований матрицу, обратную к матрице: а) Λ о о о о о 1 о 1 о о о\ о 1 о/ б) (° 1 0 \о 0 0 0 1 1 0 0 0 о\ 0 1 V
56 Гл. 4- Матрицы в) Д) (2 О о /1 о о о 2 О 1 1 о о о 1 о\ 1 о о/ г) \о о 1\ 1 V е) з) /0 0 0 0 0 2 1 0 0 \0 3 0 /1 0 1 1 0 1 \0 0 /3 -4 2 -3 \3 -5 /1 2 2 3 1 1 \1 0 " 0 0 1 0 3 1 1 -2 -Л 0 0 5 о/ ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 5\ 1 ; и 1/ 4\ 2 -1 — V • 0\ 0 0 V 5 /2 ) з \1 7 3 9 4 5 3 л) 18.10. Найти матрицу, обратную к квадратной матрице: а) (в с); б) (о с); где Л, С — невырожденные матрицы. 18.11. Найти матрицу, обратную к матрице: /1 2 1 Vo 18.12. а) 2 3 -1 1 о о 1 о о\ о 3 27 б) /2 1 0 \о 3 1 1 2 0 1 0 1 2\ 0 -1 -2 Пусть A^B^C^D — невырож:денные матрицы. Доказать, что \А - BD^C)-1 {С - DB^A)' (Б - AC^D)-1 {D - С А'1 В v-l 18.13. Какие значения мож:ет принимать определитель а) ортогональной матрицы; б) унитарной матрицы? 18.14. Чему равен определитель целочисленной матрицы А, если матрица Α~λ также целочисленная? 18.15. Пусть А — квадратная матрица порядка п, элементы которой есть многочлены от переменной £, и det A — ненулевой многочлен. Доказать, что существует единственная матрица £>, элементы которой есть многочлены от £, такая что АВ = В А = (det А) Е. Найти В, если:
§19. Матрицы специального вида 57 18.16. Доказать, что в кольце матриц над полем: а) обратимая матрица не является делителем нуля; б) любая матрица либо обратима, либо является левым и правым делителем нуля. 18.17. Доказать, что если матрица Ε + АВ обратима, то матрица Ε + ΒΑ также обратима. 18.18. Пусть А и В — матрицы размеров η χ т и т χ η, причем А В и В А — единичные матрицы размеров пит. Доказать, что т = п. 18.19. Пусть А ^матрица размера т χ η, имеющая ранг т. Доказать, что существует такая матрица X размера η χ m, что ΑΧ — единичная матрица размера т. 18.20. Как изменится матрица А-1, если в А: а) переставить г-ю и j-ю строки; б) к г-и строке прибавить j-ю, умноженную на с; в) умножить г-ю строку на число с ^ 0; г) преобразования а)—в) совершить со столбцами? 18.21. Доказать, что (АВ)~1 = В'1 А'1. * * * 18.22. Пусть X—присоединенная матрица (см. 16.4) для квадратной матрицы X. Доказать, что Ав = в А, а^1 = (А)-\ (й) = \А). 18.23. Пусть В и С-—строки длины п, причем С1В -ф — 1, и Ε-— единичная матрица размера п. Доказать, что матрица Ε + 1ВС обратима. 18.24. Пусть В, С — строки длины п, причем С1В = —1, и Ε — единичная матрица размера п. Доказать, что ранг матрицы Ε -\-1ВС равен η — 1. § 19. Матрицы специального вида 19.1. Доказать, что Ец — Ejj = [Eij, Eji] при г ^ j, 19.2. Представить в виде произведения элементарных матриц матрицу: а)0 5> б>(; \ ;)·
58 Гл. 4· Матрицы 19.3. Используя свойства элементарных матриц, перемножить матрицы: о\ о а) б) в) /1 1 1 Vi /1 о о Л 1 1 Vi / 2 3 2 1 3 5 4 1 4\ 7 /1 О о 2 О о 2 3 2 1 О о 3 о 3 5 4 1 V о\ о о V 4\ 7 V V- 0 1 о о о о 1 о о\ о о о Vo /1 1 1 V1 / ι о 2 V-3 Л 1 1 V о 2 о о о о 3 о 3 5 4 1 о V 4\ 7 V о 1 о о 2 3 2 1 О о 1 о 3 5 4 1 о\ о о !/ 4\ 7 8 V 19.4. Доказать следующие свойства операции транспонирования: а) \А + В) = *А + *В; б) \ХА) = \*А] в) \АВ) = 1В · М; г) (Μ)"1 = '(А"1); д) *(М) = А. 19.5. Доказать, что всякая матрица может быть единственным образом представлена в виде суммы симметрической и кососиммет- рической матриц. 19.6. Доказать, что: а) если матрицы А и В ортогональны, то матрицы Α~λ и АВ также ортогональны; б) если комплексные матрицы А и В унитарны, то матрицы Α~λ и АВ также унитарны. 19.7. Доказать, что: а) произведение двух симметрических или кососимметрических матриц является симметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны; б) произведение симметрической и кососимметрической матриц является кососимметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны. 19.8. При каком условии произведение двух эрмитовых или косо- эрмитовых матриц является эрмитовой матрицей?
§19. Матрицы специального вида 59 19.9. Доказать, что для любой квадратной комплексной матрицы X существует матрица У, такая что XYX = Χ, ΥΧΥ = Υ, и матрицы ΧΥ и ΥΧ эрмитовы. 19.10. Доказать, что матрица, обратная к симметрической или кососимметрической, является симметрической или кососимметри- ческой. 19.11. Доказать, что если матрицы Ал В обе симметрические или кососимметрические, то их коммутатор [А, В] —кососимметрическая матрица. 19.12. Верно ли, что всякая кососимметрическая матрица является суммой коммутаторов кососимметрических матриц? 19.13. Найти все симметрические ортогональные и кососимметрические ортогональные матрицы порядка 2. 19.14. Найти все нижние нильтреугольные матрицы, коммутирующие со всеми нижними нильтреугольными матрицами того же порядка. 19.15. Доказать, что сумма двух коммутирующих нильпотентных матриц является нильпотентной матрицей. Верно ли это утверждение, если матрицы не коммутируют? 19.16. Доказать, что если матрицы А, В и [А, В] нильпотентны и матрицы Ал В коммутируют с матрицей [А, В], то матрица А + В нильпотентна. 19.17. Доказать, что если матрица А порядка 2 нильпотентна, то 19.18. Доказать, что всякая нижняя нильтреугольная матрица нильпотентна. 19.19. Доказать, что если матрица А нильпотентна, то матрицы Ε — А и Ε + А обратимы. 19.20. Доказать, что если матрица А нильпотентна и многочлен f{t) имеет свободный член, отличный от 0, то матрица /(^4) обратима. 19.21. Решить уравнение АХ + X + А = 0, где А — нильпотентная матрица. 19.22. Доказать, что нильпотентная матрица порядка 2 имеет нулевой след. 19.23. Доказать, что произведение двух коммутирующих периодических матриц является периодической матрицей. Верно ли это утверждение, если матрицы не коммутируют?
60 Гл. 4· Матрицы 19.24. Доказать, что матрица САС~Х является нильпотентной или периодической тогда и только тогда, когда матрица А является нильпотентной или периодической. 19.25. Пусть σ — перестановка на множестве {1, 2, ..., п} и Ασ = = (Si(J(j}) (Sij —символ Кронекера). Доказать, что: а) матрица Ασ периодическая; б) для любых перестановок σ и τ Αστ = ΑσΑτ; в) Ασ может быть представлена в виде произведения не более чем η — 1 элементарных матриц. 19.26. Доказать, что произведение верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной матрицей. 19.27. Доказать, что матрица, обратная к унитреугольной, является унитреугольной. 19.28. Пусть Α, £>, С, D — квадратные комплексные матрицы размера п, причем CD — DC. Доказать, что det (с d)^° ^^ det(AD-BC)^0.
Глава 5 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 20. Комплексные числа в алгебраической форме 20.1. Вычислить выражения: а) (2 + г)(3-г) + (2 + Зг)(3 + 4г); б) (2 + г)(3 + 7г)-(1 + 2г)(5 + Зг); в) (4 + г)(5 + Зг) - (3 + г)(3 - г); г) $ + ')(? ~ 6i) · , (5 + г)(3 + 5г) , (1 + Зг)(8-г) д) т, ; е) З + г 2г ' ' (2 + г)2 ' (2 + г)(4 + г)_ (3-г)(1-4г)_ 1 + г ' ' 2 - г и) (2 + г)3 + (2 - г)3; к) (3 + г)3 - (3 - г)3; (1+г)5 ч / 1 , л/ЗД3 20.2. Вычислить г77, г98, г-57, гп, где п —целое число. 20.3. Доказать равенства: а) (1 + г)8п = 24η, η е Ζ; б) (1 + г)4п = (-1)η22η, η е Ζ. 20.4. Решить систему уравнений: (l + i)z1 + (l-i)z2 = l + i, (1-φι + (1 + φ2 = 1 + 3ζ; ζ^ι + (1 + г)^2 = 2 + 2г, J (1 - ϊ)ζ\ - 3ζ2 = -г, 2г^1 + (3 + 2ϊ)ζ2 = 5 + Зг; ^ [2^ι - (3 + 3i)z2 = 3 - г; г , ч \ χ + iy — 2z = 10, , \2z1-(2 + i)z2 = -i, ч г / \ ; ' д) < ж - у + 2гг = 20, ; |(4-2φι-5^2 = -1-2ζ; Μ , ! ^ν ; ' [гж + Згт/-(1 + ф = 30. 20.5. Найти вещественные числа ж и ?/, удовлетворяющие уравнению: а) (2 + г)ж + (1 + 2г)у = 1 — 4г; б) (3 + 2г)ж + (1 + Ъг)у = 4 - 9г. 20.6. Доказать, что: а) комплексное число ζ является вещественным тогда и только тогда, когда ζ — ζ\ б) комплексное число ζ является чисто мнимым тогда и только тогда, когда ζ — —ζ.
62 Гл. 5. Комплексные числа 20.7. Доказать, что: а) произведение двух комплексных чисел является вещественным тогда и только тогда, когда одно из них отличается от сопряженного к другому вещественным множителем; б) сумма и произведение двух комплексных чисел являются вещественными тогда и только тогда, когда данные числа или сопряжены, или оба вещественны. 20.8. Найти все комплексные числа, сопряженные: а) своему квадрату; б) своему кубу. 20.9. Доказать, что если из данных комплексных чисел z\, £2, ... ..., zn при применении конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления получается число ζ, то из чисел ζι, Ζ2, ---ι %п ПРИ применении тех же операций получается число ζ. 20.10. Доказать, что определитель 21 Ζ2 Ζ3 21 Ζ1 Ζ3 а Ь с где ζ\, Ζ2, zs — комплексные и а, 6, с — вещественные числа, является чисто мнимым числом. 20.11. Решить уравнения: a) z 2 _ ,2 _ г: б) ζ 2 _ 4г; в) ζ2 = 5 - 12г; г) ζ2 - (1 + ϊ)ζ + 6 + Зг = 0; д) ζ2 - 5ζ + 4 + Юг = 0; е) ζ2 + (2г - 7)г + 13 - г = 0. 21. Комплексные числа в тригонометрической форме 21.1. Найти тригонометрическую форму числа: а) 5; б) г; в) —2; г) —Зг; д) 1 + г; е) 1 — г; ж) 1 + гл/3; з) —1 + гл/3; и) —1 — гл/3; к) 1 — гл/3; л) л/3 + г; м) — л/3 + г; н) -л/3-г; о) л/3-г; п) 1 + г^; р) 2 + л/З + г; с) 1 - (2 + л/3)г; т) cos α 1 + г tg α г sin α; у) sin a + г cos α; *) 1 - i tg α; X^ ! + cos ^ + ^ sin Ψι Ψ^ [_7Γ' π1; ч cos φ + г sin φ Ц ; :—: Γ· 7 cos ψ + г simp 21.2. Вычислить выражения: а) (ι + i)iooo. б) (1 + iA/3)i50. в) (л/з + ^зо. r)(l + f + |)24; д)(2-УЗ + г)- e)(i^)12;
§21. Комплексные числа в тригонометрической форме 63 ч (VA±1Y° ,λ (-ι + Уз)15 , (-ι-η/з)15 ' \ 1-г ) ' 3J (1-г)20 + (1 + г)20 ' 21.3. Решить уравнения: a) \z\ + 2? = 8 + 4г; б) |г| - ζ = 8 + 12г. 21.4. Доказать следующие свойства модуля комплексных чисел: а) \ζ\ ± ζ2\ ^ \ζι\ + \ζ2\; б) \\ζχ\ - \ζ2\\ ^ \ζχ ± ζ2\\ в) \ζ\ + ζ2\ = \ζ\\ + Ι ζ21 тогда и только тогда, когда векторы ζ ι и ζ2 имеют одинаковые направления; г) \ζ\ + ζ2\ = \\ζ\\ — I^211 тогда и только тогда, когда векторы z\ и z2 имеют противоположные направления. 21.5. Доказать, что: а) если \z\ < 1, то \z2 — ζ + i\ < 3; б) если \z\ ^ 2, то 1 ^ \z2 — 5| ^ 9; в) если \z\ < 1/2, то |(1 + i)z3 + iz\ < 3/4. 21.6. Доказать неравенство \ζι - ζ2\ ^ \\ζι\ - \z2\\ +min{|^i|, \z2\} · | arg z\ - arg22|. В каком случае это неравенство обращается в равенство? 21.7. Доказать, что \zl\ + Ш = Z\ + Z2 Z\ + Z2 y/ziz2\ + —5 h λ/ζ1ζ2 2 21.8. Доказать формулу Муавра: [г(cos φ + г sin (/?)]n = rn(cos ηφ + г sin ηφ) для целых η -ф 0. 21.9. При η G Ζ вычислить выражения: Ί — г\/3 η 1 а)(1+г)п; б)(Н^) В) (ТТТ^)П; r)(l + cos<p + isin<p)». 21.10. Доказать, что если ζ + ζ-1 = 2 cos φ, το ζη + ζ~η = 2 cos η(/?, где п G Ζ. 21.11. Представить в виде многочленов от sin ж и cos ж функции: a) sin 4ж; б) cos 4ж; в) sin 5ж; г) cos Ьх. 21.12. Доказать равенства: [п/2] ( п . а) cos пх = Σ (~^)k ( ои ) собП 2к х ' 8т х\ [(гс-1)/2] / ч б) sinnx= ^ (_1Π2£; + ΐ) СОБП~2к~1 х ' sin2/c+1 ж.
64 Гл. 5. Комплексные числа 21.13. Выразить через первые степени синуса и косинуса аргументов, кратных ж, функции: а sin х\ б) cos х\ в) sin ж; г) cos x. 21.14. Доказать равенства: ι [т— 1 2га 1 а в cos χ 22m-1 sin2mx=(_1) g(2r)coS(2m-2fc), + i(-) cos2m+1 χ = ψ^ Σ (2Г?\+ *) cos(2m + 1 - 2k)x; ns^\ Л\к(^гп\ ,0 oM . (-l)m/2mV ?n (_1) ( * J C°S(2m " 2/с)Ж + ~^~~ ( m J fc=0 га ттг 22m-l fc=0 sin2m+1 χ = [-^- Σ ("l)fc (2Г\+ *) sin(2m + 1 - 2fe)x. § 22. Корни из комплексных чисел и многочлены деления круга 22.1. Доказать, что если комплексное число ζ является одним из корней степени η из вещественного числа а, то и сопряженное число ζ является одним из корней степени η из а. 22.2. Доказать, что если y/z = {ζι, Ζ2, ..., ζη}, το \/Ι = {^ι, £2, ... 22.3. Какие из множеств y/z содержат хотя бы одно вещественное число? 22.4. Пусть ζ и w — комплексные числа. Доказать равенства1: a) у/ znw = ζ y/w; б) у/—znw = — ζ y/w, если п нечетно; в) y/zw = и y/w, где и — одно из значений y/z. 22.5. Доказать, что объединение множеств y/z и у/—ζ есть мно- 2п/ о жество ν ζ. 22.6. Верно ли равенство ny/z* = V/z (s > 1)? 22.7. Вычислить: а) ξ/ϊ; б) 1^/512(1 - i\/3); в) у/2у/2(1 - г); г) ^Т; д) У1; е) θΤ; ж) ?/i; з) ^4; и) Ш; к) ^16; л) ^27; м) У8\/Зг - 8; н) ^/-72(1 -гл/3); о) ^И; π) ?/2^2Ϊ; р) 4/ 18_. С) 4/ 7~2* + 4 + 14* _ (8 - 2гУ Множество ζ А есть по определению {ζα | a Ε А}.
§22. Корни из комплексных чисел 65 Т) з/1^5г_51±2г+2" у) 4М±^Й _ 5. ^" 22.8. Найти двумя способами корни степени 5 из единицы и выразить в радикалах: ч 2π ГЛ . 2π Λ 4π Λ . 4π a) cos —; о) sin —; в) cos —; г) sin —. 22.9. Решить уравнения: а) (ζ + 1)п + (ζ- 1)п = 0; б) {ζ + 1)η -{ζ- 1)η = 0; в) (z + i)n + (z-i)n = 0. 22.10. Выразить в радикалах вещественные и мнимые части корней из единицы степеней 2,3, 4, 6, 8, 12. 22.11. Найти произведение всех корней степени η из единицы. 22.12. Пусть Eh = cos \- г sin (0 ^ к < п). Доказать, что: η η v J a) \/ϊ= {ε0, ει, ..., εη_ι}; (0 ^ к < η); еш, еслик + Кп, (0 ^ fc < η> „ ^ , < „); Ek+i-n, если k + l^n г) множ:ество Un корней степени п из единицы является циклической группой порядка η относительно умножения; д) всякая циклическая группа порядка η изоморфна группе Un. 22.13. Доказать, что: а) если числа г и s взаимно просты и ar = as = 1, то а = 1; б) если d — наибольший общий делитель чисел г и 8, то Ur Π Us = = Ud; в) если числа г и s взаимно просты, то всякий корень из единицы степени rs однозначно представляется в виде произведения корня степени г на корень степени s. 22.14. Доказать, что следующие утверждения равносильны: а) ε является первообразным корнем из единицы степени п; б) порядок ε в группе Un равен п; в) ε является порождающим элементом группы Un. 22.15. Доказать, что если ε является первообразным корнем степени η из единицы, то ε также является первообразным корнем степени η из единицы. 22.16. Доказать, что если числа г и s взаимно просты, то ε является первообразным корнем степени rs из единицы тогда и только тогда, когда ε является произведением первообразного корня степени г и первообразного корня степени s.
66 Гл. 5. Комплексные числа 22.17. а) Пусть ζ — корень п-й степени из 1. Вычислить l + 2z + ?>z2 + ... + ηζη~ι. б) Пусть ζ — первообразный корень степени 2 η из 1. Вычислить l + z + ... + zn~l. в) Пусть £ —корень из 1 и ζη ± ζ™ ± 1 = 0. Найти пит. 22.18. Доказать, что: а) число первообразных корней степени η из единицы равно φ{η) (см. 1.4); б) если числа тип взаимно просты, то φ{πιη) = φ (πι) φ (η). 22.19. Доказать, что если ζ — первообразный корень нечетной степени η из единицы, то — ζ — первообразный корень степени 2п. * * * 22.20. Обозначим через σ(η) сумму всех первообразных корней степени η из единицы. Доказать, что: а)а(1) = 1; б) если η > 1, то J2 σ(ά) = 0; d\n в) σ(ρ) — — 1, если ρ— простое число; г) a(pk) = 0, если ρ -—простое число, к > 1; д) a(rs) — σ(τ) · cr(s), если числа г и s взаимно просты; е) функция σ(η) совпадает с функцией Мёбиуса μ(η). 22.21. Пусть d—(полож:ительный) наибольпгий общий делитель целого числа s и натурального числа η, ε ι — первообразный корень степени η из единицы (г = 1, 2, ..., ψ(η)). Доказать равенство 1 ψ(η/ά)μ\ά)' ί=1 2 + г 22.22. Является ли число : корнем некоторой степени из еди- ницы? 22.23. Найти многочлены деления круга (круговые многочлены) Фп(я) для п, равного: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 6; е) 12; ж) р, где ρ — простое число; з) рк, где ρ — простое число, к > 1. 22.24. Доказать следующие свойства круговых многочленов:
§23. Вычисления с помощью комплексных чисел 67 б) Ф2п(^) = Фп(—х) (п —нечетное число, большее 1); в) Фп(х)= Ц(ха - l)^n/d); d\n г) если к делится на любой простой делитель числа п, то Фп(х) = Ф*(х"/*); д) если η делится на простое число ρ и не делится на ρ2, то Фп(х) = Фп/й(хр)(Фп/р(х))"1. 22.25. Найти круговые многочлены для п, равного 10, 14, 15, 30, 36,100,216,288,1000. 22.26. Доказать, что у всякого кругового многочлена: а) все коэффициенты — целые числа; б) старший коэффициент равен 1; в) свободный член равен —1 при η = 1 и равен 1 при η > 1. 22.27. Найти сумму коэффициентов кругового многочлена Фп(х). § 23. Вычисления с помощью комплексных чисел 23.1. Вычислить суммы: 'п\ in а) " U ' ' ···' в)1+(»)+(»)+„, г) («)+(«)+(«)+... 23.2. Доказать равенства: пх (п-\-1)х Sill -^ COS -—^- a) cos χ + cos 2х + ... + cos пх = :—= (χ ψ 2κπ, J sin f v ' feGZ); 6)(;)-(;)+i:)-i;U·..; пх · (n+l)x sin ^sm v y б) sin χ + sin 2ж + ... + sin nx = :— (χ ψ 2Аж, fcGZ); \ π . 3π . 5π , , (2η - 1)π в) cos —h cos h cos l· ... + cos = (J; ; η η η η λ . π , . Зтг , . 5π , (2η - 1)π г sm —h sm h sin h ... + sin = 0; 7 η η η η n—l -ι П—1 д) ~ Σ (ж + ад)п = жп + ?;η (ε0, ει, ..., εη_ι — корни степени η из η fe=o единицы); е) x2n+1 - 1 = (χ - 1) ft (ж2 - 2ж cos ^ργ + l);
68 Гл. 5. Комплексные числа ж) х2п - 1 = (х2 - 1) "П (х2 - 2х cos ^ + l); п-1 з) Π k=l η и) Π fc=l sin sin 2n ~ тгк 2n + ] 2П-1 5 V2rz + 1 [ ~~ 2n * * * 23.3. Решить уравнение cos φ + ί J cos(<£ + а)ж + ί j cos(<£ + 2а)ж2 + ... j cos(<£ + na)xn — 0. ...+■" a)l+(5) + C;U... = iC2" + 2ooe21|; 23.4. Доказать, что: 'g) + ...-3.- , — 3 6>(^ΐ) + (τ) + ··4(2" + 2-^ ■)(;)+(;)+(;)+--Ka"+2«-&^ r) 2 cos mx=(2 cos ж)ш-у (2 cos x)m~2+ m^ 3\2 cos x)m"4 + , / ^krn(m-k-l)...(m-2k + l) \m-ik , + (-1)* — ητ1 -(2cOS:r)m 2/c+... 23.5. Найти суммы: а) cos χ + ί j cos 2x + ... + ί j cos(n + 1)ж; б) sin ж + ί J sin 2x + ... + ί j sin(n + 1)ж; в) sin2 ж + sin2 Зж + ... + sin2(2n — 1)ж; г) cos ж + 2 cos 2ж + 3 cos Зж + ... + η cos nx; д) sin ж + 2 sin 2x + 3 sin Зж + ... + η sin пж. 23.6. Доказать, что: ν о 9 ^ о п cos(n + 1)х sin пх a) cos ж + cos 2x + ... + cos пж = - Η —: ; 7 2 2 sin ж 2 . . 2 о ι ι·2 Π COs(n + 1)ж Sm ΠΙ о) sm ж + sm 2x + ... + sm их = — ^— . 7 2 2 sm ж 23.7. Доказать, что для нечетного натурального числа m ™^ί = (_4)(—D/2 ТТ fsin2 χ - sin2 ^Ж l<j<(m-l)/2
§24- Связь комплексных чисел с геометрией па плоскости 69 § 24. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости 24.1. Изобразить на плоскости точки, соответствующие числам 5, -2, -Зг, ±1±гл/3. 24.2. Найти комплексные числа, соответствующие: а) вершинам квадрата с центром в начале координат, со сторонами длины 1, параллельными осям координат; б) вершинам правильного треугольника с центром в начале координат, стороной, параллельной оси координат, вершиной на отрицательной вещественной полуоси и радиусом описанного круга, равным 1; в) вершинам правильного шестиугольника с центром в точке 2 + гуЗ, стороной, параллельной оси абсцисс, и радиусом описанного круга, равным 2; г) вершинам правильного η-угольника с центром в начале координат, одной из вершин которого является 1. 24.3. Указать геометрический смысл выражения \zi — z2\, где z\ и z2 — заданные комплексные числа. Ζλ — Ζ9 24.4. Указать геометрический смысл числа arg , где z\, Z2, z3 —различные комплексные числа. 24.5. Как расположены на плоскости точки, соответствующие: а) комплексным числам z\, ζ2η ζ3η для которых ζλ + ζ2 + ζ3 = 0, \ζλ\ = \ζ2\ = \ζ3\ φ 0; б) комплексным числам ζ\, ζ2η ζ3η ζ^·, для которых ζ\ + ζ2 + ζ3 + £4 = 0, \ζι\ = \z2\ = \z3\ = 1241 -ф О. 24.6. Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам ζ, удовлетворяющим условиям: a) \z\ = 1; б) arg ζ = π/3; в) \ζ\ ^ 2; г) \ζ - 1 - г\ < 1; д) \ζ + 3 + 4г| ^5; е) 2 < \ζ\ < 3; ж) 1 ^ \ζ — 2г| < 2; з) | arg z\ < π/6; в) | Re z\ ^ 1; к) — 1 < Re iz < 0; л) | Im z\ = 1; м) | Re z + Im z\ < 1; н) |г-1| + |;г + 1| = 3; о) \z + 2\-\z-2\=3; п) \z-2\=Rez + 2; ρ) α < arg(z — zq) < β, где —π <α<β^ππζο -—заданное комплексное число.
70 Гл. 5. Комплексные числа 24.7. Доказать тождество Ι ι \ Δι ι \ I А О I I ^ ι О I \ А \z + w\ + \z — w\ = 2\z\ -\- 2\w\ и указать его геометрический смысл. 24.8. Пусть комплексные числа z\, £2, £3 соответствуют вершинам параллелограмма А\, А^ А%. Найти число, соответствующее вершине А±, противолежащей А^. 24.9. Найти комплексные числа, соответствующие противоположным вершинам квадрата, если двум его другим противоположным вершинам соответствуют числа ζ и w. 24.10. Найти комплексные числа, соответствующие вершинам правильного η-угольника, если двум его соседним вершинам соответствуют числа zo и z\. 24.11. Изобразить на плоскости множество точек, соответствую- 1 + ti щих комплексным числам ζ = -——, где t £ IR. 24.12. Доказать, что: а) точки плоскости, соответствующие комплексным числам ^Ъ ζ2ι %3ι лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют вещественные числа λι, λ2, Аз, не все равные нулю, такие что λι^ι + λ2^2 + А3^з = 0, λι + λ2 + λ3 = 0; б) точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам ζ\, Ζ2-! ζ%, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда Ζ\ - Z3 число является вещественным; Ζ2 ~ Ζ3 в) точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам ζι, Ζ2, zs, Z4 и не лежащие на одной прямой, лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда их двойное отношение Z\ — Z3 Z\ — Za : является вещественным числом. Z2 — Z3 Z2 — Z4 24.13. Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам ζ, удовлетворяющим равенству Ζ — Ζλ = λ, где ζ\, Ζ2 £ С и λ — положительное действительное Ζ Ζ2 | ЧИСЛО. 24.14. Найти min |3 + 2г — z\ при \z\ ^ 1. 24.15. Найти max |1 + 4г — z\ при \z — Юг + 2| ^ 1. 24.16. (Лемниската.) Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам ζ, удовлетворяющим равен-
§24- Связь комплексных чисел с геометрией па плоскости 71 ству \z2 — 1| = λ. При λ = 1 записать уравнение полученной кривой в полярных координатах. 24.17. Расширенной комплексной плоскостью называется комплексная плоскость, дополненная бесконечно удаленной точкой ос. Доказать, что если (ζι, £2, £3) и (wi, г^, г^з) —две тройки попарно различных точек расширенной комплексной плоскости, то существует дробно-линейное преобразование w = :, а, 6, с, d £ С, ad—Ьсф О, cz + а переводящее первую тройку во вторую. 24.18. Доказать, что если в каждой из двух четверок (ζι, £2, £3? ^4) и (i(;i, W2-J Ws, W4) точек расширенной комплексной плоскости все точки попарно различны, то дробно-линейное преобразование, переводящее одну из этих четверок в другую, существует тогда и только тогда, когда совпадают двойные отношения: Z\ — Z3 Z\ — Ζδ, _ W\ — W3 W\ — W4 Z2 — Z3 ' Z2 — Z4 W2 — W3 W2 — W4 ' 24.19. Доказать, что при дробно-линейном преобразовании распгиренной комплексной плоскости прямые и окружности переходят в прямые и окружности. 24.20. Доказать, что дробно-линейное преобразование w — :, аа — ос = 1, cz + a переводит вещественную прямую в себя тогда и только тогда, когда ία Ь\ матрица I , I пропорциональна вещественной матрице. 24.21. Выяснить геометрический смысл дробно-линейного преобразования w = 1/ζ. 24.22. Выяснить геометрический смысл преобразования комплексной плоскости, заданного формулой w = ζη (η ^ 2). 24.23. Доказать, что функция Жуковского w = - ( ζ Η— ) отображает: а) окружность \ζ\ — 1 на отрезок [—1, 1] действительной оси; б) окружность \ζ\ = Д, R ^ 1, в эллипс с фокусами —1,1; в) луч arg ζ = φ в ветвь гиперболы с фокусами —1,1. 24.24. Доказать, что всякое дробно-линейное преобразование, отображающее открытую верхнюю полуплоскость на внутренность
72 Гл. 5. Комплексные числа единичного круга с центром в начале координат, имеет вид w(z) = а =, \а\ = 1, Im Ъ > 0. ζ — Ъ 24.25. Доказать, что всякое дробно-линейное преобразование, отображающее единичный круг с центром в начале координат на себя, имеет вид w(z) = а =, \а\ = 1, \Ъ\ < 1. 1 — zb 24.26. Для каких комплексных чисел а отображение ζ —> ζ + αζ2 отображ:ает круг \ζ\ ^ 1 биективно в себя?
Глава 6 МНОГОЧЛЕНЫ § 25. Деление с остатком и алгоритм Евклида 25.1. Разделить многочлен /(ж) с остатком на многочлен д(х): а) f(x) = 2х4 - Зх3 + Ах2 - 5ж + 6, д(х) = х2 - Зх + 1; б) /(ж) = ж3 — Зх2 — χ — 1, д(х) = Зх2 — 2х + 1. 25.2. Найти наибольший общий делитель многочленов: а) х4 + х3 — Зх2 — 4ж — 1иж3+ж2 — ж — 1; б) ж6 + 2х4 - Ах3 - Зх2 + 8х - 5 и ж5 + ж2 - ж + 1; в) ж5 + Зх2 - 2х + 2 и ж6 + ж5 + х4 - Зх2 + 2ж - 6; г) х4 + ж3 - 4ж + 5 и 2ж3 - ж2 - 2ж + 2; д) ж5 + ж4 - ж3 - 2ж - 1 и Зж4 + 2ж3 + ж2 + 2ж - 2; е) ж6 - 7ж4 + 8ж3 - 7ж + 7 и Зж5 - 7ж3 + Зж2 - 7; ж) ж5 - 2ж4 + ж3 + 7ж2 - 12ж + 10 и Зж4 - 6ж3 + 5ж2 + 2ж - 2; з) ж5 + Зж4 - 12ж3 - 52ж2 - 52ж - 12 и ж4 + Зж3 - 6ж2 - 22ж - 12; и) ж5 + ж4 — ж3 — Зж2 — Зж — 1 и ж4 — 2ж3 — ж2 — 2ж + 1; к) ж4 - 4ж3 + 1 и ж3 - Зж2 + 1; л) ж4 — 10ж2 + 1 и ж4 — 4л/2ж3 + 6х2 +4л/2х + 1. 25.3. Найти наибольший общий делитель многочленов f{x) и д{х) и его линейное выражение через f{x) и д(х): а) f(x) = χ4 + 2х3 - х2 - Ах - 2, д(х) = х4 + х3 - х2 - 2х - 2; б) f[x) = Зх3 - 2х2 + χ + 2, д(х) = х2 - χ + 1. 25.4. Пусть d(x)—наибольший общий делитель f{x) и д(х). Доказать, что: а) существуют такие многочлены и (ж), v{pc), что deg и (χ) < deg g{x) — deg d(x), причем d(x) = f{x)u{x) + g(x)v(x); б) в случае а) имеем также deg г;(ж) < deg /(ж) — deg d(x)\ в) многочлены и{х), v{x) из а) определяются однозначно. 25.5. Методом неопределенных коэффициентов подобрать такие многочлены и{х), v(x), что f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1: а) /(ж) = ж4 - 4ж3 + 1, д{х) = х3 - Зх2 + 1; б) /(ж) = ж3, р(х) = (1 -ж)2; в) /(ж) = х4, #0) = (1 - х)4. 25.6. Найти такие многочлены и{х), v{x), что жшг^(ж) + (1-ж)пг;(ж) = 1.
74 Гл. 6. Многочлены 25.7. Найти наибольший общий делитель и его выражение через /ид над полем F2: а) / = ж5 + ж4 + 1, д — ж4 + ж2 + 1; б) / = х5 + ж3 + ж + 1, ρ = ж4 + 1; в) / = ж5 + ж + 1,д = ж4 + ж3-|-1; г) / = ж5 + ж3 + х, д — ж4 + ж + 1. 25.8. Выделив кратные неприводимые множители данного многочлена, разложить его на неприводимые множители: а) ж6 - 15ж4 + 8ж3 + 51ж2 - 72ж + 27; б) ж5 - бж4 + 1бж3 - 24ж2 + 20ж - 8; в) ж5 - 10ж3 - 20ж2 - 15ж - 4; г) ж6 - 6ж4 - 4ж3 + 9ж2 + 12ж + 4; д) ж6 - 2ж5 - ж4 - 2ж3 + 5ж2 + 4ж + 4; е) ж7 - Зж6 + 5ж5 - 7ж4 + 7ж3 - 5ж2 + Зж - 1; ж) ж8 + 2ж7 + 5ж6 + 6ж5 + 8ж4 + 6ж3 + 5ж2 + 2ж + 1. 25.9. Пусть К — поле, / € if [[ж]] и д € if [ж]. Существуют ли такие г £ К[х\, h G if [[ж]], что f = hg -\- г и либо г = 0, либо deg r < deg g? § 26. Простые и кратные корни над полями нулевой характеристики 26.1. Разделить многочлен /(ж) с остатком на ж — жо и вычислить значение /(жо): а) /(ж) = ж4 - 2ж3 + 4ж2 - 6ж + 8, ж0 = 1; б) /(ж) = 2ж5 - 5ж3 - 8ж, ж0 = -3; в) /(ж) = Зж5 + ж4 - 19ж2 - 13ж - 10, ж0 = 2; г) /(ж) = ж4 - Зж3 - 10ж2 + 2ж + 5, ж0 = -2; д) /(ж) = ж5, ж0 = 1; е)/(ж) = ж4 + 2ж3-Зж2-4ж +1, ж0 = -1; ж) /(ж) = ж4 - 8ж3 + 24ж2 - 50ж + 90, ж0 = 2; з) /(ж) = ж4 + 2гж3 — (1 + г)х2 — Зж + 7 + г, жо = —г; и) /(ж) = ж4 + (3 - 8г)ж3 - (21 + 18г)ж2 - (33 - 20г)ж + 7 + 18г, жо = —1 + 2г. 26.2. Разлож;ить многочлен /(ж) по степеням ж — жо и найти значения его производных в точке жо: а) /(ж) = ж5 - 4ж3 + 6ж2 - 8ж + 10, ж0 = 2; б) /(ж) = ж4 — Зг'ж3 — 4ж2 + Ых — 1, жо = 1 + 2г; в) /(ж) = ж4 + 4ж3 + 6ж2 + 10ж + 20, ж0 = -2.
§26. Простые и кратные корпи над полями 75 26.3. Определить кратность корня xq многочлена f(x): а) f(x) = χ5 - 5х4 + 7х3 - 2х2 + 4г - 8, х0 = 2; б) f(x) = χ5 + 7ж4 + 16ж3 + 8х2 - 16х - 16, ж0 = -2; в) /(ж) = Зж5 + 2ж4 + ж3 - 10х - 8, ж0 = -1. г) /(ж) = χ5 - 6х4 + 2х3 + 36ж2 - 27ж - 54, ж0 = 3. 26.4. При каком значении а многочлен х5 — ах2 — ах + 1 имеет — 1 корнем не ниже второй кратности? 26.5. При каких а и Ъ многочлен axnJrl + Ъхп + 1 делится на (х-1)2? 26.6. При каких а и Ъ многочлен х5 + ах3 + Ъ имеет двойной корень, отличный от нуля? 26.7. Доказать, что многочлены: а) х2п — пхп+1 + пхп~1 — 1; б) ж2п+1 - (2п + 1)жп+1 + (2п + 1)жп - 1; в) (п — 2т)хп — пхп~ш + пжш — (п — 2т) имеют число 1 тройным корнем. 26.8. Доказать, что многочлен 2 η + Ϊ! + ~2\ + '"+ Ы" не имеет кратных корней. 26.9. Доказать, что у многочлена αιχηι + а2хП2 + ... + akxnk, щ < п2 < ... < пк, каждый ненулевой корень имеет кратность не выше к — 1. * * * 26.10. Определить кратность корня а многочлена *^[/'(х)+ />)]-/(*) +/(а), где f(x)—некоторый многочлен. 26.11. Доказать, что над полем нулевой характеристики многочлен f(x) делится на свою производную в том и только том случае, если f(x) — а$(х — xq)u. 26.12. Доказать, что если многочлен f(x) степени η не имеет кратных корней, то [/''(х)]2 — f{x)f,r{x) не имеет корней кратности выше η — 1. 26.13. Рассмотрим рекуррентное соотношение и{п + к) — a$u(n) + а\и{п+ 1) + ... + ак-1и{п + к — 1), к^ 0, а^ -φ 0.
76 Гл. 6. Многочлены Положим f(x) — хк — dk-ixk~l — ... — αο· Доказать, что: а) функция и{п) = пгап, г ^ О, α ^ О, является решением рекуррентного соотношения тогда и только тогда, когда α — корень f(x) кратности, не меньшей г + 1; б) если αϊ, ..., am— все корни f(x) кратности si, ..., sm, то произвольное решение и(п) рекуррентного соотношения имеет вид т где gi{x) —многочлен степени не выше si — 1 (г = 1, ..., т). 26.14. Пусть f(x) = αο + αϊ ж + ... + а^хк. Доказать, что ненулевое число ζ является корнем кратности не меньше г + 1 тогда и только тогда, когда a0 + ai£+ a2z2 + ...+ am£m + ...+ akzk = 0, a\z + 2a2^2 + ...+ mam£m + ...+ kdkZk = 0, αλζ + 22a2£2 + ... + m2arnzm + ... + £;2α^ = 0, ai2 + 2ra2£2 + ... + mrarnzrn + ... + krakzk = 0. § 27. Разложение на неприводимые множители над R и С 27.1. Разложить на линейные множители над полем комплексных чисел многочлены: а) х3 - 6х2 + Их - 6; б) ж4 + 4; в) ж6 + 27; г) х2п + хп + 1; д) cos(n arccos χ); е) sin((2n + 1) arcsin x). 27.2. Разложить на линейные и квадратные множители над полем вещественных чисел многочлены: а) х6 + 27; б) х4 + 4г3 + 4г2 + 1; в) х4 - ах2 + 1, \а\ < 2; г) х2п + хп + 1; д) ж6 - ж3 + 1; е) ж12 + Xs + ж4 + 1. 27.3. Построить многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий: а) двойной корень 1, простые корни 2, 3 и 1 + г; б) двойной корень г, простой корень — 1 — г. 27.4. Построить многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий: а) двойной корень 1, простые корни 2, 3 и 1 + г; б) двойной корень г, простой корень — 1 — г.
§ 28. Многочлены над полем рациональных чисел 77 27.5. Доказать, что многочлен х3ш + х3п+1 + х3р+2 делится на χ2 + χ + 1. 27.6. При каких т,п,р многочлен х3ш — ж3п+1 + х3р+2 делится на х2 — χ + 1? 27.7. При каких т многочлен (х + 1)ш — жш — 1 делится на (х2 + х + 1)2? 27.8. Найти наибольший общий делитель многочленов: а) (х - 1)3(х + 2)2(х - 3)(х + 4) и (ж - 1)2(ж + 2)(х + 5); б) (ж - 1)(х2 - 1)(х3 - 1)(х4 - 1) и (х + 1)(х2 + 1)(х3 + 1)(ж4 + 1); в) хш — 1 и жп — 1; г) хт + 1 и хп + 1. 27.9. Доказать, что если f(xn) делится на χ — 1, то f(xn) делится на хп — 1. 27.10. Доказать, что если а/0 и /(ж) делится на (х — а)к, то f(xn) делится на (хп — ап)к. 27.11. Если F(x) = fi(x3) + xf2(x3) делится на ж2 + χ + 1, то fi(x) и /2 (ж) делятся на ж — 1. * * * 27.12. Пусть значения многочлена f(x) неотрицательны при всех χ £ М. Доказать, что /(ж) = fi(x)2 + f2(x)2 для некоторых /i(aO,/2(z)eRM. 27.13. Пусть /, g — взаимно простые комплексные многочлены. Тогда максимум из степеней /, g меньше числа различных корней многочлена fg(f + g). 27.14. Пусть /, g, h — попарно взаимно простые комплексные многочлены положительной степени, причем fn-\-gn = hn. Доказать, что η ^ 2. § 28. Многочлены над полем рациональных чисел и над конечными полями 28.1. Доказать, что если несократимая рациональная дробь p/q является корнем многочлена f(x) — а^хп + a\xn~l + ... + ап-\х + ап с целыми коэффициентами, то: а) ρ | αη; б) q | αο; в) (ρ — mq) \ f(m) при любом т £ Z. 28.2. Найти все рациональные корни многочленов: а) х3 - Qx2 + 15х - 14; б) ж4 - 2х3 - 8х2 + 13х - 24; в) 6ж4 + 19ж3 - 7ж2 - 26х + 12; г) 24ж4 - 42ж3 - 77ж2 + 56х + 60;
78 Гл. 6. Многочлены д) 24ж5 + 1(Ь4 - х3 - 19ж2 - Ъх + 6; е) 10х4 - 13ж3 + 1Ъх2 - 18х - 24; ж) 4ж4 - 7ж2 -Ъх- 1; з) 2ж3 + Зж2 + 6ж - 4. 28.3. Доказать, что многочлен f(x) с целыми коэффициентами не имеет целых корней, если /(0), /(1) — нечетные числа. * * * 28.4. Доказать, что многочлен, неприводимый над полем рациональных чисел, не может иметь кратных комплексных корней. 28.5. Многочлен с целыми коэффициентами называется примитивным, если его коэффициенты в совокупности просты. Доказать, что произведение примитивных многочленов является примитивным многочленом. 28.6. Доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами приводим над полем рациональных чисел, то он может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени с целыми коэффициентами. 28.7. Пусть многочлен f(x) с целыми коэффициентами принимает значения ±1 при двух целых значениях х\, Х2- Доказать, что f(x) не имеет рациональных корней, если \х\ — х^\ > 2. Если же \х\ — х^\ ^ 2, то рациональным корнем может быть только (χ\ + Х2)/2. 28.8. (Признак неприводимости Эйзенштейна.) Пусть f(x) — многочлен с целыми коэффициентами и существует такое простое число р, что: а) старший коэффициент f(x) не делится на р; б) все остальные коэффициенты f(x) делятся на р; в) свободный член f(x) не делится на р2. Доказать, что многочлен f(x) неприводим над полем рациональных чисел. 28.9. Доказать неприводимость над полем рациональных чисел многочленов: а) х4 - 8х3 + 12ж2 - 6х + 2; б) х5 - 12ж3 + 36х - 12; в) х105 - 9; г) Фр(х) = xv~l + хр~2 + ... + χ + 1 (р — простое число); д) (х — а\)(х — аг) · ... · (ж — ап) — 1, где αϊ, а2, ..., ап — различные целые числа; е) (х — αϊ)2 · ... · (χ — ап)2 + 1, где αϊ, е&2, ..., ап — различные целые числа.
§ 28. Многочлены над полем рациональных чисел 79 28.10. Доказать, что многочлен хп — χ — 1 при η ^ 2 неприводим над Q. 28.11. Доказать, что многочлен хп + χ + 1 неприводим над Q, если η ψ 2 (mod 3). Доказать, что при η ξ 2 (mod 3) многочлен хп + ж + 1 делится над Ζ на хп + ж + 1. 28.12. Пусть f(x) = хп ± жт ± 1. Доказать, что либо /(ж) неприводим над Q, либо корнем f{x) является некоторый комплексный корень из 1. 28.13. Пусть f(x) = хп ± хш ± xq ± 1. Доказать, что либо /(ж) неприводим над Q, либо корнем /(ж) является некоторый комплексный корень из 1. 28.14. Доказать, что всякий многочлен положительной степени с целыми коэффициентами имеет корень в поле Zp для бесконечного множества простых чисел р. 28.15. Доказать, что если ¥q—поле из q элементов, то xq — χ = I I (ж — α). ae¥q 28.16. Пусть F — конечное поле. Доказать, что для всякого отображения h: Fn —► F существует многочлен / из кольца F[xi, ..., жп], для которого /(αϊ, ..., ап) — /ι(αι, ..., ап) для любых αϊ, ..., ап £ F. 28.17. Пусть /(ж) из 28.10 или 28.11, причем f{x) имеет q корней, являющихся комплексными корнями из 1. Доказать, что в Q[x] имеет место разложение f(x) = g{x)h(x), где корнями д{х) являются все корни из 1, a h(x) —неприводимый над Q многочлен. 28.18. Доказать, что многочлен f(x) = хп + ах ± 1, а £ Z, неприводим над Q, если |а| ^ 3. 28.19. Доказать, что если многочлен f(x) = хп ± 2х ± 1 приводим над Q, то /(ж) = д{х)(х =Ь 1), где д(ж) неприводим над Q. 28.20. Доказать, что многочлен /(ж) = жп + g:rp + г £ Ζ [ж] при р: 1 ^ ρ < η, неприводим над Q, если |д| > 1 + |r|n_1 и \г\ не является d-й степенью для любого неединичного делителя d числа п. 28.21. Многочлен f(x) = хп + ап-Ххп~х + ... + а0 £ Z[ ж] неприводим над Q, если |αη_ι| > 1 + |α0| + ... + |αη_2|. 28.22. Найти: а) все неприводимые многочлены степени ^ 4 над полем Ζ2; б) все унитарные неприводимые многочлены степени 2 над полем Ζ3; в) число неприводимых многочленов степени 5 над полем Ζ2;
80 Гл. 6. Многочлены г) число неприводимых унитарных многочленов степеней 3 и 4 над полем Z3. 28.23. Найти число неприводимых унитарных многочленов степеней 2 и 3 над полем из q элементов. 28.24. Доказать, что многочлен Ф^(х) при d, делящем ρ — 1, разлагается на линейные множители над Ζρ. 28.25. Пусть f(x) £ Zp[x]. Доказать, что многочлены /(ж), f{x + 1), ..., f{x + ρ — 1) либо попарно различны, либо все совпадают. 28.26. Доказать, что при а £ Ζ* многочлен хр — χ — а неприводим над Ζρ. 28.27. Пусть Ъ — ненулевой элемент Ζρ. Доказать, что хр — χ — Ъ неприводим над ¥рп тогда и только тогда, когда η не делится на р. 28.28. Доказать, что при а -ф 1 многочлен xq — ах — b имеет в ¥q корень. 28.29. Доказать, что х2п + хп + 1 неприводим над Z2 тогда и только тогда, когда η — Зк для некоторого к ^ 0. 28.30. Доказать, что х4п + хп + 1 неприводим над Z2 тогда и только тогда, когда η = ЗкЪш для некоторых целых /с, т ^ 0. 28.31. Найти все целые числа а, для которых все корни многочлена х4 — Ых3 + 61ж2 + 84ж + α целые. 28.32. Пусть 1Ш — число различных неприводимых многочленов степени т со старшим коэффициентом 1 над конечным полем из q элементов. Доказать, что в кольце степенных рядов Q[[V|] ос 1-qz = 11 Vl3! qz т=1 28.33. В условиях задачи 28.32 доказать, что qk равно сумме ml^ для всех делителей т числа к. 28.34. Пусть 1Ш из 28.32. Доказать, что 7™ = т Σ ^ W ^rnd т d\m § 29. Рациональные дроби 29.1. Представить рациональную дробь в виде суммы простейших дробей над полем комплексных чисел: а) 7Z—iw*, ow„ ■ ^ б) ΖΓΤΊ^ в) 0-1)0 + 2)0 + 3)' } ж4+ 4' } (x2-iy
§30. Интерполяция 81 О Ъх2 + 6х - 23 (ж- 1)3(х + 1)2(х-2) Д) (ж- 1)(ж-2)(ж-3)(ж-4)' е) (x-i)(x2 + d; ж; ^4—у; 3) ^г^;; и ) п\ к ) 1 ϊ 1 ■; л) ж(ж-1)...(ж-п)' "'(ж2-!)2' 7 (ж" - I)2' 29.2. Представить рациональную дробь в виде суммы простейших дробей над полем вещественных чисел: а) г) X х4- 16 1 ' б) ж4 + 4' В) (ж + 1)(ж2 + 1)2' Д) (х4 — I)2 ' cos(n arccos x)' е) , где многочлен /(ж) степени η имеет η различных веще- ственных корней; Ж) x*-V ^ ж6+ 27' к)(^Тр; л) И ) 2ж- 1 х(х+1)2(х2 + х + 1)2' т <п. х2п + 1' 29.3. Разложить на простейшие дроби над Zp. 29.4. Доказать, что для любых ненулевых многочленов /, д Uя)' _f\g' fg f g' 29.5. Пусть / = (χ — а\)... (χ — ап). Доказать, что г_ = / χ — а\ 1 +...+ ι iL· (JLj 30. Интерполяция ЗОЛ. Найти многочлен наименьшей степени по данной таблице его значений: а) X Я*) -1 б 0 5 1 0 2 3 3 2 б) X /(*) 1 5 2 6 3 1 4 -4 6 10 30.2. Доказать, что многочлен степени < п, принимающий целые значения при η последовательных целых значениях переменной, принимает целые значения при всех целых значениях переменной. Верно ли, что такой многочлен имеет целые коэффициенты? 30.3. Доказать, что всякая функция /: F —> F на конечном поле F из q элементов однозначно представляется в виде многочлена степени < q.
82 Гл. 6. Многочлены 30.4. Доказать, что многочлен степени < п, принимающий в точках х\, ..., хп значения у\, ..., уп, равен η г=1 Уг (χ - Xi)g'(Xi где д(х) = {χ-χι)...{χ - хп). 30.5. Многочлен f(x) степени не выше η — 1 принимает значения 2/1, ..., уп в корнях степени η из 1. Найти /(0). 30.6. Доказать, что точки х\, ...,жп G С являются вершинами правильного η-угольника с центром в точке хо тогда и только тогда, когда для любого многочлена f{x) степени < η выполняется равенство η 30.7. Пусть все корни х\, ..., хп многочлена f{x) различны. а) Доказать, что при любом неотрицательном целом s ^ η — 2 б) Вычислить сумму V -^—= 0. г=1 JL Tn-i 1=1 30.8. Найти многочлен степени 2п, дающий при делении на х{х — 2)... {х — 2п) остаток —1. 30.9. Построить над Zp многочлен f{x) наименьшей степени с условием f(k) = к~х для /с = 1, 2, ..., ρ — 1. 30.10. Построить над Ζγ многочлен /(ж) наименьшей степени с условием /(0) = 1, /(1) = 0 и f(k) = к для к = 2, 3, 4, 5, 6. 30.11. Пусть ¥q — поле из q > 2 элементов, с — образующий циклической группы F* Доказать, что группа подстановок Sq, реализуемая на Fg, порождается отображениями f(x) = χ + 1, h(χ) = ex, g(x) — xq~2. 30.12. В условии 30.11 доказать, что знакопеременная группа Aq порождается многочленами с2х, χ + 1, [xq~2 + l)q~2. 30.13. Пусть /cq, ..., /cn—натуральные числа и ж^5 6^ —элементы поля F нулевой характеристики, где г = 0, ..., n, j = 0, ..., А:^ — 1.
§31. Симметрические многочлены и формулы Виета 83 Предполагается, что элементы xq, ...,хп различны. Доказать, что существует единственный многочлен f{x) £ F[x] степени не выше ко + ... + кп — 1 такой, что f3 {χι) = bij для всех г, j. 30.14. В условии задачи 30.13 положим ТЪ rvi JL гС τ /w^G.wEEif£i(eb))L,(--^ г=0 fe=0 Z=0 где Gi(x) = Π (χ — Xj)kj. Доказать, что f(x) — многочлен степени не эфк выше ко + ... + кп — 1 и f^\xi) = bij для всех г, j. §31. Симметрические многочлены и формулы Виета 31.1. Построить многочлен степени 4 со старшим коэффициентом 1, имеющий: а) корни 1, 2, —3, —4; б) тройной корень —1 и простой корень г; в) корни 2, —1, 1 + г и —г; г) двойной корень 3 и простые корни —2 и —4. 31.2. Найти сумму квадратов и произведение всех комплексных корней многочлена: а) Зх3 + 2х2 - 1; б) х4 - х2 - χ - 1. 31.3. Найти сумму чисел, обратных комплексным корням многочлена: а) Зх3 + 2х2 — 1; б) ж4 — х2 — χ — 1. 31.4. Найти значения всех элементарных симметрических многочленов от комплексных корней n-й степени из единицы. 31.5. Определить λ так, чтобы один из корней многочлена х3 — 7х + λ равнялся удвоенному другому. 31.6. Сумма двух корней многочлена 2х3 — х2 — 7х + λ равна 1. Найти λ. 31.7. Определить соотношение между ρ и д, при выполнении которого корни ^1,^2, хз многочлена х3 + рх + q удовлетворяют условию 1 , ! х3 = 1 . Х2 Xl 31.8. (Критерий Вильсона.) Доказать, что (р — 1)! = —1 (mod ρ) тогда и только тогда, когда ρ — простое число. 31.9. Следующие многочлены выразить в виде многочленов от элементарных симметрических многочленов: а) х\х2 + Х\х\ + Х2Хз + Ж1Ж3 + х\х<$ + Х2%\\
84 Гл. 6. Многочлены Сл\ о~4 ι ™4 ι ™4 9о-2™2 9о-2™2 9о~2™2. \J ) ЛуЛ ι Jb<2 I Xq Ζ/Χι Χο ^Χιλο Z/Jyo^^? в) (Ж1Ж2 + Χ·3,Χα){χιΧ?> + Х2Ха){х\ХА + Ж2^з); г) (a;i + Ж2 — ХЗ ~ Х^){х\ — Х2 + ХЗ ~ Х^){х\ — Х2 ~ ХЗ + Ж4); д) Οι +Χ2 + 1)(ж1 + ж3 + 1)(ж2 + ж3 + 1); е) {х\Х2 + ж3)(ж1Ж3 + ж2)(ж2ж3 + a?i); ж) (2xi - х2 - хз)(2х2 - χι - жз)(2жз — х\ — хг); 3) (Χι + Ж2)(Ж1 + Ж3)(Ж1 + Х±){х2 + Ж3)(ж2 + Ж4)(ж3 + Ж4)', И λ r^D φΖ _ι_ ^,^^,Ο _ι_ ™u φΖ _ι_ ^у,^ ^,Ο _|_ ^,Ο^,Ζ _|_ гуъА ™0 . / Χ 1 ti^o |^ Χ -1 ti^o "1 JU -1 Χ о П^ tLi tLo "1 iLoXo ~~| *jbn JU о , κ) (χχ - l)(x2 - 1)(яз - !); л) χ2 + ...; м) χ3 + ...; н) х\х2хз + ...; о) ж^2 + ...; π) xf^2^3 + ...; ρ) χ\χ\ + ... 31.10. Найти значение симметрического многочлена F от корней многочлена f(x): a) F = х\(х2 + жз) + х\(х\ + хз) + %\(%ι + ж2), /(ж) = х3 — х2 — -4х + 1; б) F = Ж^ (^2^з + Ж2Ж4 + Хзха) + ^2(^1^3 + Х\Х^ + Ж3Ж4) + ^з X X {х\Х2 + ^1^4 + ^2^4) + х\{х\Х2 + Х\Хз + Ж2^з)5 /(ж) = Ж4 + Ж3 — -2ж2 -Зх + 1; в) F — {Х\ — ^2)2(^ι — Жз)2(^2 — Хз)2·, f{%) = X3 + CL\X2 + (I2X + CL2'·) 3 r)F= Χ) xfxj, f(x) = 3x3 -5x2 + 1; ϊφ3 д) F = J] x3x3, f(x) = 3x4 - 2x3 + 2x2 + x-l; е) F = (ж2 + ^i^2 + xDixl + ^2^з + жз)(^1 + ^1^з + я§); /(ж) = = Ъх3 - 6х2 - 7х - 8. 31.11. Пусть χι, ..., жп — корни многочлена хп + ап-1ж71-1 + ... + αο· Доказать, что любой симметрический многочлен от Ж2> ^з, ..., жп можно представить в виде многочлена от χχ. 31.12. Пусть Gki —элементарный симметрический многочлен степени к от χι, ..., Жг-15 жг+ъ ···> жп. Доказать, что ^fci = σΗ- хгак-! + ... + (-l)fe-1xj;-1ai + {-1)кх\ (считается, что аш = 0 при т > η л ami = 0 при т^п). 31.13. Рассмотрим многочлен \t = (l + x1t)...(l + xnt) от переменных х\^ ..., жП5 ί. Доказать, что At = 1 + σχί + σ2ί2 + ... ... +antn.
§31. Симметрические многочлены и формулы Виета 85 31.14. Пусть Xt из задачи 31.13 и s^ — х\ + ... + х\. Доказать, что d ±(\nXt) = J2(-l)ksktk-\ 31.15. Доказать формулу Ньютона Sk ~ cnsk-i + cf2Sk-2 + ... + (-l)k~1ak-is1 + (-l)kkak (считается, что σ& = 0 при к > η). 31.16. Доказать, что в условиях задачи 31.15 Sk = 31.17. Доказать, что в условиях задачи 31.15 (Ук 31.18. Найти sm от корней многочлена Фп(х). 31.19. Найти 8ι, ..., sn от корней многочлена О σι 2σ2 (к - l)ak-i как 1 σι σ/ο-2 Cfc-l 0 1 σ/с-з Cfc-2 .. 0 .. 0 .. σι .. σ2 0 0 1 σι 1 k\ S\ S2 Sfc-1 Sk 1 Sl Sk-2 Sk-1 0 2 Sfc-3 Sfc-2 .. 0 .. 0 .. Si .. S2 0 0 k-1 Sl П.П X'L + Ж + X n-2 n! 1! ' 2! 31.20. Вычислить значения симметрических многочленов Sk от комплексных корней к-й степени из 1. 31.21. Решить над полем комплексных чисел систему уравнений: 1Х\ + Х2 + ^3 = 0, {х\ + ^2 + х\ = 6, Ж^+^2+Жз= 0, б) < ^f + ^2 + ^з — Ж1Ж2Ж3 = —4, х\+ х\ + х\ = 24; [^1^2 + ^1^3 + Х2%а = — 3. 31.22. Доказать, что значение от корней степени η из 1 всякого симметрического многочлена от η переменных с целыми коэффициентами является целым числом. 31.23. Пусть ζ — первообразный комплексный корень степени к из 1. Доказать, что для любого комплексного числа а (х - α)(χζ - а)... (хСк-г -а) = (-1)к+\хк - ак).
86 Гл. 6. Многочлены 31.24. Пусть ζ — первообразный комплексный корень степени к из 1 и f{x) — многочлен с комплексными коэффициентами. Доказать, что а) f(x)f(x()...f(x(k~1) = h(xk), где h(x) —многочлен; б) корнями h(x) являются в точности к-е степени корней многочлена f(x). 31.25. Найти многочлен третьей степени, корнями которого являются: а) кубы комплексных корней многочлена х3 — χ — 1; б) четвертые степени комплексных корней многочлена 2х3 — х2+2. 31.26. Найти многочлен четвертой степени, корнями которого являются: а) квадраты комплексных корней многочлена х4 + 2х3 — χ + 3; б) кубы комплексных корней многочлена х4 — χ — 1. * * * 31.27. а) Пусть /(χι, ..., хп)—кососимметрический многочлен от χι, ..., хп. Доказать, что /Οι, ..., хп) = Д(хь ..., xn)g(xi, ···, Хп), где i\yXii ..., χη ) — определитель Вандермонда, а д(хг, ..., хп) — симметрический многочлен. б) Пусть h(x\, ..., хп) — симметрический многочлен, причем h{x\, Х2, ^з, ..., χ η) = 0. Доказать, что h(xi, ..., xn) = Δ(χι, ..., xn)2u(xi, ..., χη), где и(х\, ..., χη)—симметрический многочлен. 31.28. Пусть Пк — 2_j Х%\ ''' ^"ik и At из задачи 31.13. Доказать, что: а)*Г1 = E(-i)feMfe; б) σ^ - /ца*_1 + ... + (-l)*"1^-^! + (-1)*Λ* =0, fe^l; в) каждый симметрический многочлен является многочленом от h\, ..., hn. 31.29. Разбиением числа η назовем набор λ целых неотрицательных чисел λ = (Αι, ..., λη), где λι + ... + λη = η и λι ^ λ2 ^ ... ^ λη ^ 0.
§31. Симметрические многочлены и формулы Виета 87 Пусть р(п) — число разбиений числа п. Доказать, что 31.30. Пусть а = (α±, ..., αη), α± > α2 > ... > αη ^ 0 —набор натуральных чисел. Положим αα (χι, ..., Хп) = Σ (δ§Π σ)χσ(1) · · · Χσ(*η) · aESn Доказать, что: а) αα(χι, ..., xn) = det б) если 5 = (п — 1, η — 2, ..., 1, 0), то α^(^ι, ..., хп)-—определитель Вандермонда от хп, ..., х\. 31.31. Пусть λ = (λι, ..., λη) — разбиение некоторого натурального числа к. Положим αι = \ι+η- г для всех г, δ из задачи 31.30. Пусть ^λ\^1? •••5 Хп) ~~ · as Доказать, что: а) S\(xi, ..., хп)—целочисленный симметрический многочлен; б) S\{x\, ..., хп) при всех λ = (λι, ..., λη) образуют базис линейного пространства симметрических многочленов от х\, ..., хп\ в) если λ= (1, ..., 1), то S\{x\, ..., хп) = ση; г) если λ = (η, 0, ..., 0), то S\(x\, ..., хп) = hn (см. 31.28). 31.32. Доказать, что: η а) П С1 -ЯгУэУ1 = Y,S\(x1,x2, ...)Sx(yuy2, ...); η б) π (ΐ + ^^) = Σ5'λ(^ι,χ2, •••)S\>(yuy2,...); где суммирование ведется по всем разбиениям λ = (λι, ..., λη), λ7 — сопряженное разбиение, т. е. \[ —число таких j, что λ^ ^ г. 31.33. Доказать, что Σ °к(хт{1)У1, •••5^r(n)2/n) =0"fe(xi, ...,Χη)σ^(?/ι, ...,J/n). ж αχ . t/y -I ж αχ
88 Гл. 6. Многочлены 31.34. Пусть F — поле дробей кольца целочисленных симметрических многочленов от ж ι, ..., хп. Доказать, что F совпадает с подпо- лем в Q(a?i, ..., жп), состоящим из всех симметрических рациональных дробей. § 32. Результант и дискриминант 32.1. Вычислить результант многочленов: а) ж3 — Зж2 + 2х + 1 и 2х2 — χ — 1; б) 2ж3 - Зх2 + 2х + 1 и χ2 + χ + 3; в) 2ж3 - Зх2 - χ + 2 и ж4 - 2ж2 - Зх + 4; г) Зж3 + 2ж2 + ж + 1 и 2ж3 + х2 - χ - 1; д) 2ж4 - ж3 + 3 и Зж3 - ж2 + 4. 32.2. Найти все значения λ, при которых имеют общий корень многочлены: а) х3 — Хх + 2 и ж2 + Хх + 2; б) ж3 + Аж2 - 9 и х3 + Аж - 3; в) ж3 - 2Аж + А3ж и ж2 + А2 - 2. 32.3. Исключить χ из системы уравнений: х2 - ху + у2 = 3, Г ж3 - жу - у3 + 2/ = О, х2у + жу2 =6; \ χ2 + χ — у2 = 1; .2 >7~„. ι Λ™2 . 2Г - 7ху + 4ж^ + 13ж - 2у - 3 = О, S/2 - 14жу + 9ж2 + 28ж - 4т/ - 5 = 0; I yz + xz - у - Зх = 0, |у2 - бжу - х2 + Ну + 7ж - 12 = 0; \Бу2 — бжу + 5ж2 - 16 = 0, 1 у2 - ху + 2ж2 — у — ж — 4 = 0. 32.4. Доказать, что R(f, дхд2) = R(f, gi)R(f, #2). 32.5. Найти результант многочленов Фп и хт — 1. 32.6. Найти результант многочленов Фп и Фт. 32.7. Вычислить дискриминант многочленов: а) ах2 + Ьх + с; б) ж3 + рж + </; в) ж3 + а1Ж2 + α<ιχ + аз; г) 2ж4 — ж3 — 4ж2 + ж + 1; д) ж4 -ж3 -Зж2 + ж + 1. 32.8. Найти все значения А, при которых имеют кратный корень многочлены: а) ж3 — Зж + А; б) ж4 — 4ж + А; в) ж3 - 8ж2 + (13 - А)ж - (6 + 2А);
§33. Распределение корней 89 г) х4 - 4ж3 + (2 - \)х2 + 2х - 2. 32.9. Доказать, что D[{x-a)f{x)]=D\f{x)]-f{af. * * * 32.10. Вычислить дискриминант многочлена χη~λ + хп~2 + ... + 1. 32.11. Вычислить дискриминант многочлена Фп(ж). 32.12. Вычислить дискриминант многочлена + ΊΤ + ^Γ + ··· + 7Π"· 32.13. Пусть / и g — неприводимые многочлены. Доказать, что D(fg) = D(f)D(g)[R(f,g)]2. 32.14. Пусть j, к— натуральные числа и d = (j, к). Доказать, что R(xj - а\ хк - Ък) = (-1У(Ь'ы~г - ^'Ы~У. 32.15. Пусть η > к > 0 и d = (η, к). Доказать, что D(xn + ахк + Ъ) = (_i)"("-i)2-V-i х χ [^"^(n-fcjd-1 _ (.^nd-1^ _ kyn-k)d-*kkd-\nd-^ 32.16. Вычислить дискриминант многочлена хп + а. 32.17. Вычислить дискриминант: ) многочленов Эрмита Рп{х) = (—1)пех ^2~j—^{^~x ^2); dn _ б) многочленов Лагерра Рп{х) = (—1)пеж-^—-(хпе~х); в) многочленов Чебышева 2 cosi n arccos — ]. § 33. Распределение корней 33.1. Составить ряд Штурма и отделить корни многочленов: а) х3 — Зх — 1 в) х3 — 7х + 7 д) х3 + Зх — 5 б) яг + яг - 2х - 1; г) ж3 — ж + 5; е) ж4 - 12ж2 - 16х - 4; ж) ж4 - ж - 1; з) 2ж4 - 8ж3 + 8х2 - 1; и) ж4 + ж2 - 1; к) ж4 + Ах3 - Ylx + 9. 33.2. Составить ряд Штурма для вещественного многочлена х5 — Ъах3 + Ъа2х + 26. В зависимости от знака числа а5 — Ъ2 найти число вещественных корней многочлена.
90 Гл. 6. Многочлены 33.3. Составить ряд Штурма для вещественного многочлена хп + +px + q. В зависимости от четности и знака числа d= — (n — l)n~1pn — — п q найти число вещественных корней многочлена. 33.4. Составить ряд Штурма и найти число вещественных корней многочлена дп(ж) = 1 + £ + !г + ... + £г. 33.5. Доказать, что многочлен t3 — 3£ + г не может иметь более одного вещественного корня на отрезке [0, 1]. 33.6. Предположим, что все корни многочлена f{x) £ Щх\ вещественны, т. е. /О) = а(х - ai)kl ... (χ - am)fcm, α φ 0, где αϊ < α2 < ... < ат. Доказать, что: а) f(x) =па(х - ai)fel_1...(x - am)krn~1(x - bi)...(x - 6m_i), где αϊ < 6χ < α2 < b2 < ... < am_i < 6m_i < am; б) если число к не превосходит степени многочлена /(ж), то кратными корнями к-й производной f(k> (χ) являются числа а^, к{ ^ к + 2, и только они; в) если /(ж) = спхп + cn-ixn~l + ... + с0, где сп ^ 0 и с& = cfe+i =0 для некоторого /с = 0, ..., η — 2, то cq — с\ — ... = с& = Cfe+i = 0. 33.7. Пусть #(ж) = 6пжп + ... + 6о — вещественный многочлен, причем 6П, &0^0 и 6^ = 6fe+i = 0 для некоторого /с = 1, ..., η — 2. Тогда не все корни д{х) вещественны. 33.8. Доказать, что у вещественного многочлена апхп + ап-\хп~1 + ... + азх3 + х2 + χ + 1, αη ^ 0, не все корни вещественны. 33.9. Доказать, что все комплексные корни ζ многочлена пхп — — χη~λ — ... — 1 удовлетворяют условию \ζ\ ^ 1. 33.10. Доказать, что все положительные корни многочлена j{x) — х(х + 1)(ж + 2)... (х + п) — 1 меньше 1/п!. 33.11. Доказать, что многочлен х4 — 5х3 — Ах2 — 7х + 4 не имеет отрицательных корней. 33.12. Сколько корней многочлена х6 + 6ж + 10 лежит в каждом квадранте комплексной плоскости? 33.13. Пусть п\ < ... < η к —натуральные числа. Доказать, что многочлен 1 + χηι + ... + хПк не имеет комплексных корней ζ с усло- I ι ^ л/5-1 вием \ζ < —-—.
§33. Распределение корней 91 33.14. Доказать, что все комплексные корни многочлена жп+1 — — ахп + ах — 1, где а— вещественное число, имеют модуль 1. 33.15. Пусть к— натуральное число и \αι\ < к при г = 1, ..., п. Доказать, что тогда для любого корня ζ многочлена апхп + ... + а\х + 1 ι ι ^ 1 имеем \ζ\^ -. 1'^к+1 33.16. Доказать, что если все корни многочлена f(x) £ С[х] расположены в верхней полуплоскости, то все корни f'(x) лежат в той же полуплоскости. 33.17. Доказать, что если D — выпуклая область комплексной плоскости, содержащая все корни многочлена f(x) £ С [ж], то все корни f'(x) лежат в D. 33.18. Пусть дана последовательность вещественных многочленов /о,/ъ ···, Λι с положительными старшими коэффициентами, причем: степень Д равна к = 0, ..., щ fk — Ukfk-i — Ckfk-2, где α^, Cfe — вещественные многочлены, причем Ck{r) > 0 для всех г £ Ш при к ^ 2. Доказать, что: а) корни всех многочленов Д вещественны; б) между двумя корнями многочлена Д есть корень многочлена Д-1· 33.19. Определить число вещественных корней: а) многочлена Эрмита (—1)пех ^2~т~^е~х ^2; dn _ б) многочленов Лагерра (—1)пех-г-^(хпе х). 33.20. Определить все многочлены с коэффициентами ±1, имеющие только вещественные корни.
Часть II Линейная алгебра и геометрия
Глава 7 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этой главе координаты вектора записываются в строку. Базис пространства, состоящий из векторов ei, e2, ..., еп, записывается строкой (ei, б2, ..., еп), а при переходе к матричной записи координаты базисных векторов располагаются в столбец. Матрицей перехода от старого базиса к новому базису (e'b e^, ... . ..,е^), называется матрица Т= (iij)5 B столбцах которой стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе. Таким образом, (ei, е'2, ..., е'п) = (еь е2, ..., еп)Т, а координаты вектора ж в старом и новом базисах связаны равен- п ствами χΊ 3 = 1 χ ·, или, в матричной записи, IJ^j Ж2 = Г ж'2 \%п/ § 34. Понятие векторного пространства. Базисы 34.1. 34.1. Пусть ж, у — векторы, а, /? — скаляры. Доказать, что: а) ах — 0 тогда и только тогда, когда а — 0 или χ — 0; б) аж + βι/ = βχ + од тогда и только тогда, когда а = β или χ = у. 34.2. При каких значениях λ: а) из линейной независимости системы векторов {αϊ, 0,2} вытекает линейная независимость системы {λα ι + е&2, α ι + λα2}; б) из линейной независимости системы {αϊ, ..., ап} вытекает линейная независимость системы {αϊ + α2, ^2 + аз5 ···, ^η-ι + αη, αη + λαι}? 34.3. Доказать линейную независимость над Ш систем функций: а) sin ж, cos x; б) 1, sin ж, cos x; в) sin ж, sin 2ж, ..., sin nx; г) 1, cos ж, cos 2ж, ..., cos пж; д) 1, cos ж, sin ж, cos 2ж, sin 2ж, ..., cos пж, sin пж;
94 Гл. 7. Векторные пространства е) 1, sin ж, sin2 ж, ..., sinn χ; ж) 1, cos ж, cos2 ж, ..., cosn χ. 34.4. Доказать линейную независимость над Ш систем функций: ЯЛ ρΟί\Χ ρΟί2Χ ρΟίηΧ. СЛ) Ι Ο 1 ^ ? * * * ? Ί в) (1 - αχχ)'1, ..., (1 - αηχ)~λ; где αϊ, ...,αη —попарно различные вещественные числа. 34.5. Доказать, что в пространстве функций одной вещественной переменной векторы Д, ..., fn линейно независимы тогда и только тогда, когда существуют числа αϊ, ..., ап такие, что det(fi(aj)) -φ 0. 34.6. а) В векторном пространстве V над полем С определим новое умножение векторов на комплексные числа по правилу а о χ = ах. Доказать, что относительно операций + и о пространство V является векторным. Найти его размерность. б) Пусть Сп — абелева группа всех строк (fti, ..., &п) длины 72, αι G С. Если Ъ G С, то положим 6 о (αϊ, ..., ап) — (6αι, ..., Ъап). Является ли Сп относительно операций + и о векторным пространством? 34.7. Доказать, что: а) группа Ζ не изоморфна аддитивной группе никакого векторного пространства; б) группа вычетов Ъп изоморфна аддитивной группе векторного пространства над некоторым полем тогда и только тогда, когда η — простое число; в) коммутативную группу А можно превратить в векторное пространство над полем Ζρ тогда и только тогда, когда рх = 0 для любого χ G А] г) коммутативную группу А можно превратить в векторное пространство над полем Q тогда и только тогда, когда в ней нет элементов конечного порядка (кроме нуля) и для любого натурального числа η и любого a G А уравнение их = а имеет решение в группе А. 34.8. Пусть F — поле, Е — его подполе. а) Доказать, что F является векторным пространством над полем Е. б) Если F конечно, то |F| = \Е\п, где η — размерность F как векторного пространства над Е. в) Если F конечно, то |F| = рш, где ρ — характеристика F. г) Найти базис и размерность поля С над полем Ш. д) Пусть mi, . ..,mn—различные натуральные числа, отличные от 1, каждое из которых не делится на квадрат простого числа.
§34· Понятие векторного пространства. Базисы 95 Доказать, что числа 1, у/т7, ..., v/rnn линейно независимы в пространстве Ш над Q. е) Пусть г ι, ..., rn —различные рациональные числа из интервала (О, 1). Доказать, что в пространстве Ш над полем Q числа 2Г1, ..., 2Гп линейно независимы. з) Пусть а — комплексный корень многочлена pGQ[x], неприводимого над Q. Найти размерность над Q пространства Q[a], состоящего из чисел вида /(a), /gQ[x]. 34.9. Пусть Μ — множество, состоящее из η элементов. На множестве его подмножеств 2м определим операции сложения и умножения на элементы поля Ζ2 по правилу, как в задаче 1.2: IX = Х, ОХ = 0. а) Доказать, что относительно этих операций множество 2 является векторным пространством над полем Ζ2, и найти его базис и размерность. б) Пусть Χι, ..., Χ^ —подмножества в М, причем ни одно из них не содержится в объединении остальных. Доказать, что Χι, ..., Xk — линейно независимая система. 34.10. Пусть векторы ei, ..., еп и χ заданы своими координатами в некотором базисе: а) ei = (1, 1, 1), е2 = (1, 1, 2), е3 = (1, 2, 3), χ = (6, 9, 14); б) ei = (2, 1, -3), е2 = (3, 2, -5), е3 = (1, -1, 1), χ = (6, 2, -7); в) ei = (1,2,-1,-2), е2 = (2,3,0,-1), е3 = (1, 2, 1, 4), е4 = = (1,3,-1,0), ж = (7, 14,-1,2). Доказать, что (ei, ...,en)—также базис пространства, и найти координаты вектора χ в этом базисе. 34.11. Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов ^и^ является базисом. Найти матрицу перехода от S к Sf: a)S= ((1, 2,1), (2, 3, 3), (3, 8, 2)), S> = ((3, 5, 8), (5,14,13), (1, 9, 2)); б) S = ((1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 1,), (1, 3, 2, 3)), S' = ((1, 0, 3, 3), (-2, -3, -5, -4), (2, 2, 5, 4), (-2, -3, -4, -4)). 34.12. Доказать, что в пространстве Щж]п многочленов степени ^ η с вещественными коэффициентами системы {1, ж, ..., хп} и {1, χ — а, (х — а)2, ..., (ж — α)η}, α G IR, являются базисами, и найти координаты многочлена f(x) = clq + + αιχ + ... + апхп в этих базисах и матрицу перехода от первого базиса ко второму.
96 Гл. 7. Векторные пространства 34.13. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если: а) поменять местами два вектора первого базиса; б) поменять местами два вектора второго базиса; в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке? 34.14. Доказать, что системы векторов линейно независимы, и дополнить их до базиса пространства строк: а) сц = (2, 2, 7, -1), а2 = (3, -1, 2, 4), а3 = (1, 1, 3, 1); б) αϊ = (2,3, -4,-1), α2 = (1,-2, 1,3); в) αλ = (4, 3, -1, 1, 1), α2 = (2, 1, -3, 2, -5), α3 = (1, -3, 0, 1, -2), α4 = (1,5,2, -2,6); г)а! = (2,3,5,-4,1),а2 = (1,-1,2,3,5). § 35. Подпространства 35.1. Выяснить, является ли подпространством соответствующего векторного пространства каждая из следующих совокупностей векторов: а) векторы плоскости с началом О, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в точке О; б) векторы плоскости с началом О, концы которых лежат на данной прямой; в) векторы плоскости с началом О, концы которых не лежат на данной прямой; г) векторы координатной плоскости, концы которых лежат в первой четверти; д) векторы пространства IRn, координаты которых—целые числа; е) векторы арифметического пространства Fn, F — поле, являющиеся решениями данной системы линейных уравнений; ж) векторы линейного пространства, являющиеся линейными комбинациями данных векторов αϊ, ..., α&; з) ограниченные последовательности комплексных чисел; и) последовательности вещественных чисел, имеющие предел; к) последовательности вещественных чисел, имеющие предел а; л) последовательности и(п) элементов поля F, удовлетворяющие рекуррентному соотношению и(п + k) = f(n) + аои(п) + aiu(n + 1) + ... + ak-iu(n + к — 1), где (f(n)) — фиксированная последовательность элементов поля F, к — фиксированное натуральное число, a^GF;
§35. Подпространства 97 м) многочлены четной степени с коэффициентами из поля F; н) многочлены с коэффициентами из поля F, не содержащие четных степеней переменной х; о) множества из пространства 2м (см. 4.9), состоящие из четного числа элементов; п) множества из 2м, состоящие из нечетного числа элементов. 35.2. Доказать, что следующие совокупности векторов пространства Fn, F — поле, образуют подпространства, и найти их базисы и размерности: а) векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты; б) векторы, у которых координаты с четными номерами равны 0; в) векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой; г) векторы вида (а, /?, а, /?, ...); д) векторы, являющиеся решениями однородной системы уравнений. 35.3. Выяснить, какие из следующих совокупностей матриц порядка η над полем F образуют подпространства в пространстве матриц Mn(F), найти их базисы и размерности: а) все матрицы; б) симметрические матрицы; в) кососимметрические матрицы; г) невырожденные матрицы; д) вырожденные матрицы; е) матрицы со следом, равным нулю; ж) матрицы, перестановочные с данным множеством матриц (при вычислении базиса и размерности предположить, что данное множество матриц состоит из одной диагональной матрицы с различными диагональными элементами); з) матрицы X, удовлетворяющие условию А{Х + ХВ{ = 0, где {Ai, Βι] — заданный набор матриц. 35.4. Пусть ЖБ — пространство всех функций, определенных на множестве S и принимающих вещественные значения. Выяснить, какие из следующих совокупностей функций f(x) £ №s составляют подпространство: а) функции, принимающие значение а в данной точке s £ S; б) функции, принимающие значение а во всех точках некоторого подмножества Τ С S;
98 Гл. 7. Векторные пространства в) функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества S; г) функции, имеющие предел а при χ —> ос (при S = М); д) функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при S = R). 35.5. Пусть К°° — пространство бесконечных последовательностей с элементами из поля К. Выяснить, какие из следующих совокупностей последовательностей составляют в Q°° подпространство: а) последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля; б) последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю; в) последовательности, в которых все элементы отличны от 1. 35.6. Доказать, что в пространствах ~Ш°° и С°° следующие совокупности образуют подпространства: а) последовательности, удовлетворяющие условию Коши: для любого ε > 0 найдется число N £ N такое, что при любых п, /с > N выполняется неравенство \хп — хи\ < £; б) последовательности, удовлетворяющие условию Гильберта: ос ряд Σ \хг\2 сходится; в) последовательности полиномиального роста, т.е. \хп\ ^ Спк, где С, к— натуральные числа, зависящие от последовательности; г) последовательности экспоненциального роста, т.е. \хп\ ^ Сеп, где С — положительное вещественное число, зависящее от последовательности. 35.7. Выяснить, какие из следующих совокупностей многочленов образуют подпространства в пространстве Щж]п (см. 34.12) и найти их базисы и размерности: а) многочлены, имеющие данный корень а £ IR; б) многочлены, имеющие данный корень а £ С \ IR; в) многочлены, имеющие данные корни αϊ, ..., а к £ Щ г) многочлены, имеющие данный простой корень а £ Ш. 35.8. Доказать, что если подпространство векторного пространства Μ [ж] η (см. 34.12) для любого к — 0, 1, ..., т содержит хотя бы один многочлен степени /с и не содержит многочленов степени > т, то оно совпадает с Щж]т.
§35. Подпространства 99 35.9. Пусть R[xi, ..., хш] —пространство многочленов от перемен- НЫХ Х\ , . . . , Χγγι . Найти: а) размерность подпространства всех однородных многочленов степени к; б) размерность его подпространства, состоящего из всех многочленов степени ^ к. 35.10. Пусть V — n-мерное векторное пространство над полем F, состоящим из q элементов. Найти: а) число векторов в пространстве V; б) число базисов пространства V; в) число невырожденных матриц порядка η над полем F\ г) число вырожденных матриц порядка η над полем F; д) число /с-мерных подпространств пространства V; е) число решений уравнения АХ = 0, где А — прямоугольная матрица ранга г, X — столбец неизвестных длины п. 35.11. Найти базис и размерность линейной оболочки следующей системы векторов: а) сц = (1, 0, 0, -1), а2 = (2, 1, 1, 0), а3 = (1, 1, 1, 1), а4 = (1, 2, 3, 4), а5 = (0,1,2,3); б) αλ = (1, 1, 1, 1, 0), а2 = (1, 1, -1, -1, -1), а3 = (2, 2, 0, 0, -1), а4 = (1,1,5,5,2),а5 = (1,-1,-1,0,0). 35.12. Пусть L\ и L2—подпространства конечномерного векторного пространства V. Доказать, что: а) если L\ С L2, то dim Li ^ dimZ/2, причем равенство имеет место только при L\ = L2; б) если dim(Li + L2) — 1 + dim(Li Π L2), то сумма L\ + L2 равна одному из этих подпространств, а пересечение L\ Π L2 —другому; в) если dim L\ + dim L2 > dim У, то L\ Π L2 -φ 0. 35.13. Пусть U,V,W — подпространства векторного пространства. а) Можно ли утверждать, что U Π (V + W) = (U Π V) + (U Π W)l б) Доказать, что предыдущее равенство верно, если V С U. в) Доказать, что (и + w) п (w + ν) π (ν + и) = [(w + ν) π υ] + [(у + /7) π μη. г) Доказать, что dim[(E/ + У) Π ИЧ + dim(E/ Π У) = dim[(l/ + W) Π /7] + dim(T Π W). д) Доказать, что (U HV) + (V nW) + (W П U) С (U + V) П (V + W) П (W + U)
100 Гл. 7. Векторные пространства и разность размерностей этих подпространств является четным числом. 35.14. Найти размерности суммы и пересечения линейных оболочек систем векторов пространства IR4: а) S = ((1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0)), Г = <(1, 0, 1, 0), (1, 3, 0, 1)); б) S =((1,1, 1,1), (1,-1, 1,-1), (1,3, 1,3)}, Г =((1,2, 0, 2), (1,2,1,2), (3,1,3,1)); в) S = ((2, -1, 0, -2), (3, -2, 1, 0), (1, -1, 1, -1)}, Г = ((3, -1, -1, 0), (0, -1, 2, 3), (5, -2, -1, 0)). 35.15. Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек (αϊ, α2, а3) и (Ь1? Ь2, Ь3): а) αϊ = (1,2,1), h = (1, 2, 2), α2 = (1, 1,-1), 62 = (2,3,-1), α3 = (1,3,3), 63 = (1,1,-3); б) αϊ = (-1, 6, 4, 7, -2), δι = (1, 1, 2, 1, -1), а2 = (-2, 3, 0, 5, -2), 62 = (0, -2, 0, -1, -5), а3 = (-3, б, 5, 6, -5), 62 = (2, 0, 2, 1, -3); в) αϊ = (1, 1, 0, 0, -1), δι = (1, 0, 1, 0, 1), а2 = (0, 1, 1, 0, 1), 62 = = (0, 2, 1, 1, 0), а3 = (0, 0, 1, 1, 1), 63 = (1, 2, 1, 2, -1); r)ai = (l,2,l,0),6i = (2,-l,0,l),a2 = (-l,l,l,l),62 = (l,-l,3,7); д) αϊ = (1, 2, -1, -2), 6ι = (2, 5, -6, -5), а2 = (3, 1, 1, 1), 62 = = (-1,2,-7,-3), а3 = (-1,0, 1,-1). 35.16. Найти систему линейных уравнений, задающую систему векторов: а) ((1,-1, 1,0), (1,1, 0,1), (2, 0, 1,1)); б) ((1, -1, 1, -1, 1), (1, 1, 0, 0, 3), (3, 1, 1, -1, 7)). 35.17. Пусть Li, ..., L& — подпространства векторного пространства. Доказать, что: а) сумма этих подпространств является прямой тогда и только тогда, когда хотя бы один ее вектор однозначно представляется в виде х\ -χ- ... -χ- Xk, Х{ G -Li] ι = 1, ..., /с; б) условие Li Π L3\ = 0 для любых различных г и j от 1 до к не является достаточным для того, чтобы сумма этих подпространств была прямой. 35.18. Пусть подпространства С/, V С IRn заданы уравнениями XI + Х2 + .·· + Хп = 0, Χι = Ж2 = ... = Хп. Доказать, что Шп = U Θ У, и найти проекции единичных векторов на U параллельно V и на V параллельно U.
§35. Подпространства 101 35.19. Пусть в пространстве IR4 U = <(1, 1, 1, 1), (-1, -2, 0, 1)}, V = <(-1, -1, 1, -1), (2, 2, 0, 1)). Доказать, что Ш4 = U 0 У, и найти проекцию вектора (4, 2, 4, 4) на подпространство U параллельно V. 35.20. Доказать, что для любого подпространства U С Шп существует такое подпространство У, что IRn = U Θ У. 35.21. Доказать, что пространство матриц Mn(IR) является прямой суммой подпространства симметрических и подпространства кососимметрических матриц, и найти проекции матрицы /1 1 ... 1\ о ι ... ι \о о ... ι) на каждое из этих подпространств параллельно другому подпространству. 35.22. Пусть U — подпространство кососимметрических матриц, V — подпространство верхнетреугольных матриц в Мп (Ж). а) Доказать, что U Θ V = Mn(IR). б) Найти проекцию матриц Eij на U и V. 35.23. Пусть U — подпространство симметрических матриц, V — подпространство верхненильтреугольных матриц в Мп (Ж). а) Доказать, что U Θ V = Mn(IR). б) Найти проекцию матрицы Е^ на U и V. 35.24. Пусть F — поле из q элементов, U — подпространство размерности т в пространстве V размерности п. Найти число таких подпространств W в У, что V = U 0 W. 35.25. Пусть V — линейное пространство над бесконечным полем F и Vi, ..., Vk — подпространства в У, причем V — V\ U ... U Vk. Доказать, что V = Vi для некоторого г = 1, ..., к. 35.26. Пусть V — линейное пространство над полем F, С/, W — подпространства в У, причем U U W — V. Доказать, что V — U или V = W. 35.27. Привести пример такого пространства V над конечным полем, что V = Uι U Ό2 U С/3, где C/i, С/2, С/з — собственные подпространства в V.
102 Гл. 7. Векторные пространства § 36. Линейные функции и отображения 36.1. Пусть Vo —> V\ —> ... —^ ^—последовательность линейных отображений векторных пространств. Доказать, что т т У dim Ker А{ — 2_, dim(V^/ Im Αι) = dim Vo — dim Vm. i=l i=l 36.2. Пусть F — поле из q элементов. Найти: а) число линейных отображений Fn в пространство Fk; б) число линейных инъективных отображений Fn в Fk; в) число линейных сюръективных отображений Fn в F . 36.3. Пусть линейное отображение А: V ^ W в базисах (ei, β2, ез) пространства V и (Д, /2) пространства И^ имеет матрицу ( ^ 4 г ). Найти матрицу отображения А в базисах (ei, ei + б2, ei + б2 + ез) h(/i,/i + /2). 36.4. Пусть L = Κ[χ]ι (см. 34.12), К — поле. Найти матрицу линейного отображения А: f(x) ь^ f(S) пространства L в пространство Μ = M2(if), где 5=1 ι) —фиксированная матрица, если в L выбран базис (1, ж), а в Μ — базис из матричных единиц. 36.5. Пусть А, В: V —► W — линейные отображения, причем dim(Im A) ^ dim(Im В). Доказать, что существуют такие операторы С, V в V и W, что Л = VBC, причем С (или 2?) можно выбрать невырожденным. 36.6. Пусть А, В: V —> И^ — линейные отображения. Доказать, что следующие условия эквивалентны: а) Кег А С Ker i5; б) В = С А для некоторого оператора С в W. 36.7. Пусть А, В: V —► И^ — линейные отображения. Доказать, что следующие условия эквивалентны: а) Im Л С Im Б; б) А = ВТ) для некоторого оператора V в V. 36.8. Пусть Л: У —► И^-—линейное отображение. Доказать, что существует такое линейное отображение В: W —► У, что Л = ABA, В = ВАВ.
§36. Линейные функции и отображения 103 36.9. Пусть V — Щх]п и отображения аа (а £ Μ), β\ Υ пространства V в Ш заданы правилами aa(f) = f(a), /?'(/) = /(<)(0), 1г(Л = \ f(x)dx- о Доказать, что системы: а) а0, а\ ..., а»; б) β°, β\ ..., β"; в) 7°, 71, -, Τ являются базисами сопряженного пространства У*. 36.10. а) Доказать, что для каждого базиса сопряженного пространства У* существует единственный базис пространства У, для которого данный базис является сопряженным. б) Найти этот базис в задаче 36.9, а). в) Найти этот базис в задаче 36.9, б). 36.11. Доказать, что для любой ненулевой линейной функции / на n-мерном пространстве V существует базис (ei, ..., еп) пространства V такой, что /(xiei + ... + хпеп) = %ι для любых коэффициентов Х\ , ..., Хп. 36.12. Доказать, что всякое /с-мерное подпространство п-мерного пространства является пересечением ядер некоторых η — к линейных функций. 36.13. Пусть / — ненулевая линейная функция на векторном пространстве V (не обязательно конечномерном), U = Кег /. Доказать, что: а) U — максимальное подпространство У, т.е. не содержится ни в каком другом подпространстве, отличном от V; б) V = U 0 (а) для любого a ^U. 36.14. Доказать, что если две линейные функции на векторном пространстве имеют одинаковые ядра, то они различаются линейным множителем. 36.15. Доказать, что η линейных функций на n-мерном пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда пересечение их ядер есть нулевое подпространство. 36.16. Доказать, что векторы ei, ..., е& конечномерного пространства V линейно независимы тогда и только тогда, когда существуют линейные функции /*, ..., fk £ У* такие, что det(fl(ej)) -φ 0. 36.17. Для всякого подмножества U конечномерного пространства V и для всякого подмножества W сопряженного простран-
104 Гл. 7. Векторные пространства ства У* положим /7° = {/ G У* | /(ж) = 0 для любого χ £ /7}, W0 = {х £ V | f(x) = 0 для любой функции /еГ}. Доказать, что: а) U0 — подпространство в У*, и если U — подпространство, то dim U + dim U° = dim V; б) если Uι и U2 —подпространства в У, то и® = U® тогда и только тогда, когда Ui = U2\ в) для любого подпространства U пространства V (U0)0 = U, (иг + U2)° = U? Π 1Г°, (U! Π С/а)0 = С/? + Ϊ72°. 36.18. Доказать, что пространство многочленов Q[x] не изоморфно своему сопряженному. 36.19. Пусть /ι, Ι2—две линейные функции на линейном пространстве У, причем Ιι(χ)Ϊ2(χ) — 0 для всех χ £ V. Доказать, что одна из функций нулевая. 36.20. Пусть /ι, ..., 1^—линейные функции на линейном векторном пространстве V над бесконечным полем. Доказать, что если 1\{х) ...lk(x) — 0 для всех χ £ У, то одна из функций нулевая. 36.21. Пусть К — конечное поле из qn элементов, F — подполе в К из q элементов, 1{х) — χ + xq + ... + xq , χ £ К. Доказать, что: а) I (χ)—линейный оператор в К как векторном пространстве над F; б) ядро оператора 1{х) состоит из всех элементов вида а — aq, где а £ К; в) F лежит в ядре оператора 1{х) тогда и только тогда, когда характеристика поля К делит п.
Г л а в а 8 БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 37. Общие билинейные и полуторалинейные функции В этом параграфе предполагается, что характеристика основного поля отлична от двух. 37.1. Какие из следующих функций двух аргументов являются билинейными функциями в соответствующих пространствах: а) /(ж, у) = 1х · у (ж, у Ε Fn столбцы, F — поле); б) f(A, В) = tr(AB) (А, В е Mn(F), F-поле); в) f{A,B) = ti(AB-BA); г) /(Л, B) = det{AB); fl)f(A,B) = tr(A + B); e)f{A,B) = ti{A-tB)-1 ж) ί{Α,Β) = ϊτ{Α·Β)· з) f(A, В) —коэффициент на месте (г, j) матрицы АВ\ и) /(u, v) — Ke(uv) (u, v G С, С — векторное пространство над IR); к) /(и, г;) = Re(m;); л) /(и, г?) = |ш;|; м) /(и, г?) = 1т(гш); α н) /(и, г?) = \ гш d£ (u, ^ — непрерывные функции аргумента t на б отрезке [а, 6]); а о) /(и, ν) = \ ш/ d£ (u, г; — дифференцируемые функции на отрез- ке [а, 6], а и(а) = гх(Ь) = г?(а) = г?(6) = 0); а п) /(и, г?) = \(и + г;)2 d£; ъ р) /(и, г?) = (uv){a) {и, ν G ^[ж], α G F); с) Д^,г;) = -(ш;)(а); т) f(u, v) = \u + v\2 - \и\2 - \v\2 (и, ν G Μ3); у) /(и, г;) = ε(ΐ£ χ г;) (χ —векторное умножение, ε (χ) —сумма координат вектора χ в заданном базисе). 37.2. В конечномерных пространствах из задачи 37.1 выбрать базис и найти матрицы соответствующих билинейных функций.
106 Гл. 8. Билинейные и квадратичные функции 37.3. Пусть F — поле и F{x)—поле рациональных функций от переменной х. Доказать, что отображения χ \-^ εχτ задают автоморфизмы второго порядка в F(x), где ε, τ = ±1 и (ε, τ) -φ (1, 1). 37.4. Пусть ρ, q — различные простые числа. Доказать, что вещественные числа вида а + b^/p + c^fq + d^/pq, где α, 6, с, d £ Q, образуют подполе Q(^/p, γ/g) в IR. Проверить, что отображение ж —► χ = а — Ъ^/р + Сл/q — d^fpq является автоморфизмом второго порядка в этом поле. 37.5. Пусть F — поле с автоморфизмом а —> а второго порядка. Какие из следующих функций двух аргументов являются полуто- ралинейными функциями в соответствующих векторных пространствах: а) /(а, Ъ) = 1а · Ъ (а, Ъ е Fn — столбцы); б) ДД В) = ti(AB)_ (А, В е Mn(F)); в) f(A,B) = det(AB); г)/(А,В)=а(А.*В); д) НА,В)=И(А-*В); е) /(А, В) —элемент, стоящий на месте (г, j) матрицы АВ; ж) f(A, В) —элемент, стоящий на месте (г, j) матрицы А1В; з) /(и, ν) — -j-(uv)(a), (и, ν £ F[x], a £ F\ применение автоморфизма к многочлену означает применение его ко всем коэффициентам). 37.6. Найти матрицу билинейной функции / в новом базисе, если заданы ее матрица в старом базисе и формулы перехода: е[ = ei - е2, а) [ 4 5 6 ], ef2 = ei + е3, е'3 = ei +e2 + е3; е[= ei+2e2- е3, б) [ -2 2 0 ], е'2 = е2- е3, е3 = -ei + е2 - Зе3. 37.7. Пусть полуторалинейная функция / в двумерном комплексном пространстве с базисом (ei, e2) задана матрицей В. Найти матрицу В' функции / в базисе (е^, е(>), где: а) В = б) В = г + 1 0 2 —г -^ -V' -i + Λ о у е[ = е\ + ге2, е2 = iei + е2; ei = 2ei - ге2, е2 = zei + e2.
§37. Общие билинейные и полуторалинейные функции 107 37.8. Пусть билинейная функция / задана в некотором базисе матрицей F. Найти /(ж, у), если: 1 _1 Λ х = (1,0,3), у =(-1,2, -4); a) F б) F χ = (1 + г, 1 - г, 1), 2/=(-2 +г, -г,3 + 2г). 37.9. Найти значение /(ж, у) полуторалинейной функции, заданной в некотором базисе комплексного пространства матрицей В, если: , /5 2\ ж = (г,-2), j W V' г/ = (1-г,3 + г); , /-г 1-2А х = (2,г + 3), Ό) η \-А 2 + Зг;' 2/=(_г?б-2г). 37.10. Пусть g — билинейная функция с матрицей С в некотором базисе пространства V, А — линейный оператор в V с матрицей А. Найти в этом базисе матрицу билинейной функции f{u,v)=g{u,A(v)), если: /-1 1 Г а) <7= | 2 0 -2 ], А= -3 -4 2 \ 1 -2 -3, 1 -4 3N б) G= ( 4 0 3 ], Л= ( 4 -1 -2 ч-3 2 1у 37.11. Пусть g— полуторалинейная функция с матрицей G в некотором базисе линейного пространства V, А — линейный оператор в V с матрицей А. Найти в этом базисе матрицу полуторалинейной функции /(и, ν) = д(и, Α(ν)), если: «>*=(ν ?;:)· ^(-*4+13Ϊ*)· 37.12. Найти левое и правое ядра билинейной функции /, заданной в базисе (ei, ег, ез) матрицей: /2 -3 1\ /4 3 2N а) 3 -5 5 ; б) 1 3 5 \5 -8 6/ \3 6 9/ 37.13. Пусть F = Q(v/3) и ж = а — Ьл/35 если ж = α + 6а/3, где а, 6 G Q. Найти в двумерном векторном пространстве над F левое
108 Гл. 8. Билинейные и квадратичные функции и правое ядра полуторалинейной функции, заданной в базисе (ei, e^) матрицей: аЧ 1 2-УЗ J5 37.14. Найти левое и правое ядра билинейной функции /(ж, у) = = (ж, Л(г/)), где Л —линейный оператор с матрицей А в ортонормированием базисе (ei, б2, ез) евклидова пространства: /5 -6 1\ /2 -1 3N а)Л= 3 -5 -2 ; б) А = 3 -2 2 \2 -1 3/ \5 -4 0, 37.15. Пусть F, χ из 37.13. Найти левое и правое ядра полуторалинейной функции /(ж, у) = д(х, А(у)), где А — линейный оператор с матрицей А, д — полуторалинейная функция в двумерном пространстве, имеющая в базисе (ei, e<i) единичную матрицу: •м-СVs Э: 6>Ч4 I 37.16. Пусть / — билинейная функция с матрицей F на векторном пространстве V, U — подпространство в V. Найти левое и правое ортогональные дополнения к U относительно / (т. е. максимальные подпространства U\ и Ό<ι такие, что f(Ui, U) = f(U, U2) = 0), если: '4 1 3N a)F= [3 3 6 1, [/=((1,-1,0), (-2,3,1)}: 6)F= 5 -5 3 , U = ((2,0,-3), (3,1, -5)). V -3 2/ 37.17. Пусть F л χ определены как в задаче 37.13, / — полуторалинейная функция с матрицей G на векторном пространстве V, а С/ — подпространство в V. Найти левое и правое ортогональные дополнения к U относительно /, если: Ί + λ/3 2 -УЗ^ a)G=( 0 1 2 Ι Ϊ7= ((1,0, л/3), (0,2,1)); 6)G= 2 0 1 , С/ =((1, -л/3, 2)). 37.18. Пусть F — конечное поле из q2 элементов, причем χ = xq для всех χ £ -F. Предположим, что К — конечное поле, содержащее F и η = dimF К. а) Доказать, что ж —► ж — автоморфизм второго порядка в F;
§37. Общие билинейные и полуторалинейные функции 109 б) Доказать, что функция . ч 2 3 2п-2 2п—1 /О, y) = xyq + xq yq + ... + xq yq является полуторалинейной функцией в К как векторном пространстве над F. в) Доказать, что функция /(ж, у) из б) невырождена. г) Найти левое и правое ортогональные дополнения к F в К относительно f{x,y). 37.19. Пусть F = Q[z], К = F[y/2]. Рассмотрим К как векторное пространство над F. а) Доказать, что dim^ К = 2. б) Доказать, что функция f(z\ + ^2л/2, ίι + ^2л/2) = z\t\ + 2^2^25 где черта означает комплексное сопряжение, является полуторалинейной функцией в if как векторном пространстве над F. в) Найти матрицу / в базисе е\ = 1, б2 = л/2- г) Доказать, что функция / невырождена. д) Найти левое и правое ортогональные дополнения к F в К относительно /. 37.20. Пусть F = С(ж) —поле рациональных функций с автоморфизмом, при котором χ —► ехТ, где ε, г = ±1, (ε, г) ^ (1? 1). а) Доказать, что многочлен у4 — χ £ F[y] неприводим над F. б) Доказать, что в поле К — F[y]/(y4 — χ) как векторном пространстве над F функция f(u, ν) = и{х, y)v(ixr, у) + и(х, iy)v(sxT, iy) + + и(х, -y)v{exT, -у) + u(x, -iy)v{exT, —гу) является полуторалинейной. в) Найти матрицу /(ιζ, г;) в базисе 1,у,у2,у3 пространства К над полем F. г) Доказать невырожденность функции /. д) Найти левое и правое ортогональные дополнения к линейной оболочке (1, у) в К. е) Найти в К такой базис щ, и\, г^, ^з> что /(^г5 ^Z*7) = ^%эч ГДе z,j = 0, 1,2,3. 37.21. При каких из следующих элементарных преобразований базиса матрица билинейной функции меняется так же, как матрица линейного оператора: б) (еь ...,е», ...,еп)-> (еь ...,е; + AeJ5 ..., en) (7V г); By V^l? ···? ^г? ···? ^ j 5 ···? ^nj ^ v^l? ···? ^75 ···? ^г? ···? ^n)-
по Гл. 8. Билинейные и квадратичные функции 37.22. Найти связь между матрицами A^B^G линейных операторов А, В л билинейной (полуторалинейной) функции g в некотором базисе пространства и матрицей F билинейной (полуторалинейной) функции f(x,y) = g(A(x)1B(y)). 37.23. Доказать, что всякая билинейная (полуторалинейная) функция / ранга 1 может быть представлена в виде произведения двух линейных функций p(x)q(y) (соответственно p(x)q(y))· К какому простейшему виду можно привести матрицу функции / с помощью замены базиса? 37.24. Пусть е = (ei, ..., еп), е' = (e'l5 ..., е'п) —два базиса пространства V, С —матрица перехода от е к е;, / — билинейная (полуторалинейная) функция на V с матрицами F и Ff в этих базисах. Найти связь между матрицами .F, Fr. 37.25. Доказать, что билинейные и полуторалинейные функции tr(AB), ϊτ(ΑιΒ), tr(AB), ϊτ(ΑιΒ) на пространстве Мп(К) являются невырожденными. 37.26. Доказать, что размерности левого и правого ядер билинейной (полуторалинейной) функции совпадают, однако сами ядра могут и не совпадать. 37.27. Пусть / — невырожденная билинейная (полуторалинейная) функция на пространстве V. Доказать, что для любой линейной функции ρ найдется единственный вектор ν G V такой, что ρ (χ) = /(ж, ν) для любого χ £ V, и отображение ρ \-^ ν является изоморфизмом пространств У* и V. 37.28. Пусть F — матрица невырожденной билинейной функции / на вещественном пространстве размерности п. а) Доказать, что при нечетном η матрица — F не является матрицей функции /нив каком базисе пространства V. б) Верно ли утверждение а) для четного п? в) Верно ли утверждение а) при четном η для диагональной матрицы F1 37.29. Пусть для ненулевой билинейной (полуторалинейной) функции / на пространстве V существует такое число ε, что для любых x,j/GV f(y,x)=ef(x,y) (соответственно /(?/, χ) — ef (ж, у)). Доказать, что: а) ε равно 1 или — 1;
§37. Общие билинейные и полуторалинейные функции 111 б) если U\ и Ό2 — вполне изотропные подпространства относительно Д имеющие одинаковую размерность, и U\ Π U^ = 0, то ограничение / на их сумму Uι + Ό2 — невырожденная функция; в) если W\ и И^2 — максимальные вполне изотропные подпространства относительно / и W\ Π W2 = 0, то dim W\ = dim W2] г) если невырожденные билинейные функции Д и Д удовлетворяют рассматриваемому условию (при одном и том же ε) и относительно каждой из них V является прямой суммой двух изотропных подпространств, то функции Д и Д эквивалентны. 37.30. Пусть / — билинейная (полуторалинейная) функция на пространстве V и для любых х, у £ V из равенства f{x,y) — 0 вытекает /(г/, х) = 0. Доказать, что: а) если / — билинейная функция, то / — симметричная или косо- симметричная функция; б) если / — полуторалинейная функция, то / — либо эрмитова, либо косоэрмитова функция. 37.31. Пусть Д, Д —билинейные (полуторалинейные) функции на пространстве V с базисом (ei, ..., еп). На пространстве W с базисом (flu, αΐ2, ·.·, αΐη, й2Ъ •■•5 α2η, ..., flni, ···, ^) определим билинейную функцию Д положив f(aij, аы) = /i(ei5 е&)Д(е^·, ег). а) Найти матрицу функции / в заданном базисе. б) Доказать, что если пространство V является прямой суммой вполне изотропных подпространств относительно Д, то W является прямой суммой вполне изотропных подпространств относительно /. 37.32. Не производя вычислений, выяснить, эквивалентны ли билинейные функции: а) Д (х, у) = 2хгу2 - Зхгуз + х2уз ~ 2х22/1 - ^з2/2 + Зх32/ъ /г(ж, 2/) = = ж 12/2 - Я22/1 + 2х22/2 + 3χι2/3 - Зх32/ъ б) Д(х, 2/) = χι2/ι+ζχι2/2, Д(х, 2/) = 2χι2/ι+ (1 + г)х12/2 +(1-г)ж22/1- - г%2У2- 37.33. Привести к каноническому виду кососимметрические билинейные функции: а) χι2/2 - χι2/з - Я22/1 + 2х22/з + хз2/1 - 2х32/2; б) 2χι2/2 + χι2/з - 2x22/1 + Зх22/з - хз2/1 - Зх32/2; в) χι2/2 - ж 12/4 - ^22/1 + 2х22/з - 2хз2/2 + Зх32/4 + Х42/1 - Зх42/з; г) χι2/2 + χι2/з + ^ 12/4 - Я22/1 - ^22/з - яз2/1 + жз2/2 + ^з2/4 - Х42/1 - ^42/з.
112 Гл. 8. Билинейные и квадратичные функции 37.34. Привести к каноническому виду косоэрмитову функцию в комплексном пространстве: а) xiy2 - гхгуз ~ г%2Уз ~ я 12/2 + ixiVz + г#22/з + ixiyi ~ гх\у\\ б) (1 + г)х\У2 + Ъх\Уъ + гхгщ - (1 - г)ж22/з - (1 - г)хгУз + гад4 + + (1 + г)х2Уз + 2гж2^2 - 2:вдз. ι 37.35. Доказать, что функция h(f,g) = \ f(x)gf(x) dx на про- о странстве многочленов степени ^ 4, обращающихся в нуль в точках О и 1, является кососимметрической, и найти для нее канонический базис. 37.36. Доказать, что определитель целочисленной кососимметрической матрицы является квадратом целого числа. 37.37. Пусть / — кососимметрическая билинейная функция на пространстве У, W — подпространство в У, W1- —его ортогональное дополнение относительно /. Доказать, что dim W — dim{W ПИ^1)- четное число. 37.38. Доказать, что для любой косоэрмитовой комплексной матрицы А существует такая невырожденная матрица С, что С А1 С — диагональная матрица, причем по главной диагонали стоят чисто мнимые комплексные числа. 37.39. Пусть / — кососимметрическая билинейная функция на пространстве У, V — ее ядро, W — максимальное вполне изотропное подпространство. Доказать равенство τ JJT dim V + dim V' dim W = . 37.40. Пусть / — невырожденная кососимметрическая билинейная функция на n-мерном пространстве V, G = (gij)— кососимметрическая матрица порядка п. Доказать, что существуют векторы vi, ..., vneV такие, что gi3 = f(vi, Vj). 37.41. Пусть /(ж, у) — эрмитова функция в комплексном пространстве, q(x) — /(ж, х). Доказать равенство 4/(я, У) = q{x + У) ~ q(x ~У)+ iq(x + гу) - iq(x - гу). 37.42. Доказать, что вещественная и мнимая части эрмитовой функции на комплексном векторном пространстве V являются соответственно симметрической и кососимметрической функциями на У, рассматриваемом как 2п-мерное вещественное векторное пространство.
§37. Общие билинейные и полуторалинейные функции 113 37.43. Доказать, что если / — положительно определенная эрмитова форма на комплексном пространстве, то /О, у)/(ж, у) ^ /(ж, х) · f(y, у). 37.44. Пусть Λ — линейный оператор, / — положительно определенная эрмитова функция на комплексном векторном пространстве V. Доказать, что если f(A(x), χ) = 0 для любого χ £ У, то А— нулевой оператор. Верно ли это утверждение для симметрических билинейных функций на вещественном пространстве VI 37.45. Для каких значений η невырожденная билинейная функция на n-мерном векторном пространстве может обладать: а) вполне изотропным подпространством размерности η — 1; б) вполне изотропным подпространством размерности η — 2? Вывести формулу для максимально возможной размерности вполне изотропного подпространства. 37.46. Пусть А = (cbij) £ Mn(IR) -—симметрическая матрица и η L(f) = Σ lJ дхгдх0 дифференциальный оператор в Μ [ж ι, ..., χη]. Доказать, что: а) если (х\ С \ CeGLn(R), — замена переменных, то L(f)= Σ 6^·%^~' где fa) = СА*С; б) существует такая невырожденная линейная замена переменных в R[a;i, ..., хп], что относительно новых переменных ΐ/ι, ..., у^ гт = ^- + а2/ <92/ d2f Ш" ду\+-+ dy\ dyl+1 - дуГ где 0 ^ k ^ s ^ п.
114 Гл. 8. Билинейные и квадратичные функции § 38. Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции В этом параграфе эрмитовы функции рассматриваются в комплексных пространствах. 38.1. Какие из билинейных функций задачи 37.1 являются симметрическими? 38.2. а) Какие из полуторалинейных функций задачи 37.5 являются эрмитовыми? б) Является ли функция /(ж, у) из 37.18, б) эрмитовой? в) Является ли функция /(u, v) из 37.20, б) эрмитовой? 38.3. Не производя вычислений, выяснить, эквивалентны ли билинейные функции /ι(χ, у) = хгуг + 2хгу2 + Зхгу3 + 4χ22/ι + 5%2У2 + + 6х2уз + 7x3yi + 8х3у2 + Юх3уз и /2О, 1/) = 2χι2/ι - χιг/з + ^2?/2 - хзУг + 5х3?/з. 38.4. Не производя вычислений, выяснить, для какой из билинейных функций / существует базис, в котором матрица этой функции диагональна: а) -Х12/1 - 2χι2/2 - 2χ22/ι - Зх22/2 + яз2/1 - 4х3г/3; б) -Х12/2 - ^22/1 + 3x22/2 + 5Х22/3 + 5Х32/2 - Х32/3. 38.5. Доказать, что для ортогональных дополнений к пространствам относительно невырожденной симметричной (эрмитовой) функции справедливы равенства: а) (tf-L)-1- = U- б) (U1 + U2)± = UfnU£; в) (и1пи2)± = и£ + и£. 38.6. Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке (/ι 5 /2) относительно билинейной функции с матрицей F, если: Д = (1,2,3), /2 = (4,5,6); /ι = (-3,-15, 21), /2 = (2, 10, -14).
§38. Симметрические билинейные функции 115 38.7. Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке (ei, e<i) относительно эрмитовой функции с матрицей G, если: 38.8. Методом Якоби найти канонический вид симметрических билинейных функций: а) 2χι2/ι - χι г/2 + Я12/з - Х2У\ + яз2/1 + Зх3?/з; б) 2χι?/2 + 3χι2/3 + 2х2?/1 - Х22/з + ЗхзШ - ^з?/2 + яз2/з· 38.9. Методом Якоби выяснить эквивалентность билинейных функций с матрицами 1 2 3 2 0 -1 3\ -1 Ь 3/ /1 3 \о 3 1 1 0 1 5 а) над полем вещественных чисел; б) над полем рациональных чисел. 38.10. Какие из симметрических билинейных функций задач 37.1 и 37.5 являются положительно определенными? 38.11. При каких значениях λ следующие квадратичные функции являются положительно определенными: а) Ъх\ + х\ + \х\ + 4χιΧ2 — 2χιΧ3 — 2х2Хз; б) 2х\ + х\ + Зхз + 2λχιΧ2 + 2х1Хз; в) Χι + х\ + Ъх\ + 2λχιΧ2 — 2χιΧ3 + 4х2Хз; г) х\ + 4х| + х| + 2λχιΧ2 + 10χιΧ3 + 6x2X3; д) ΧιΧι + ΖΧιΧ2 — ZX2X1 + λΧ2Χ2ί е) 2χχΧι — (1 — ζ)χιΧ3 — (1 + ζ)χιΧ3 + 2Ах2Хз + 2Ах2Хз + ^2^2 + + 5х3хз? 38.12. Доказать, что для любой положительно определенной симметрической билинейной (эрмитовой) функции / выполнено неравенство причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда ах = βι/, где α, β — неотрицательные вещественные числа, не равные нулю одновременно.
116 Гл. 8. Билинейные и квадратичные функции 38.13. Не применяя критерия Сильвестра, доказать, что для η положительной определенности квадратичной функции ^ а^Х{Х^ условие ац > 0 (г = 1, ..., п) является необходимым, но не достаточным. 38.14. При каких значениях λ являются отрицательно определенными квадратичные функции: а) — х\ + \х\ — х\ + ΑχιΧ2 + 8ж2^з; б) \х\ — 2х\ — З^з + 2^ι^2 — 2^ι^3 + 2ж2^з; в) \x\Xi + ЗЖ2^2 — 1Х\Х2 + iX\X2] г) ^х\Х\ — 2x^X2 — (λ + г)х\Х2 — (λ — г)х\Х2^ 38.15. Найти симметрическую билинейную (эрмитову) функцию, ассоциированную с квадратичной функцией: а) х\ + 2^ι^2 + 2^2 — §х\Хз + 4:Х2Хз ~ %\] б) χχχ2 + х\Хз + ж2ж3; в) х\Х\ + гх\Х2 — гх\Х2 + 2^2^2; г) (5 - г)х\Х2 + (6 + г)х\Х2 + £2Χ2· 38.16. Найти симметрическую билинейную функцию, ассоциированную с квадратичной функцией q{x) = /(ж, ж), где: а) /(х, у) = 2xiyi - 3xiy2 - ^х\Уз + Х2У1 ~ $%2Уз + %зУз; б) f(x, у) = -х\У2 + Х2У1 ~ 2х2у2 + Зх2уз - Х3У1 + 2%зУз- 38.17. Эквивалентны ли над полем вещественных чисел квадратичные функции: а) х\ — 2х\Х2 + 2^з + 4:Х2Хз + 5%з и х\ — ΑχχΧ2 + 2^ι^3 + 4^2 + х\] б) 2х\ + 9^2 + З^з + 8^ι^2 - ^х\Хз - Юх2хз и 2х\ + Ъх\ + ба^ - — ^Х\Х2 — 4:Х\Хз + 8^2^3? 38.18. Найти нормальный вид квадратичных функций: а) х\ + х\ + З^з + ^х\Х2 + 2^ι^3 + 2^2X3; б) ж^ + 2^2 + х\ + 2^ι^2 + 4:Х\Хз + 2ж2^з; в) ж^ — З^з — 2^ι^2 + 2^i^3 — 6x2^3; г) Х\Х2 + Х\Хз + ^1^4 + ^2^з + Ж2^4 + Ж3Ж4; д) ^iXi — гх\Х2 + ζχι^2 + 2ж2^2; е) (1 - г)х\Х2 + (1 + г)х\Х2 + (1 - 2г)ж1Ж3 + (1 + 2ζ)χι^3 + ж2хз +^2ж3; η ж:) ^ didjXiXj, где не все числа αϊ, ..., ап равны 0; η η—1 з) Σ А + Σ я^·; и) Σ xixo'i к) Σ ^^+ι; г=1 l^i<j^n l^i<j^n г=1
§38. Симметрические билинейные функции 117 м) Σ \i-j\xiXj] н) Σ (i + J)xiXjl ο) Σ mm(i,j)xiXj] π) Σ max(i, j)xiXj. 38.19. Эквивалентны ли над полем комплексных чисел квадратичные функции: а) х\ — 2х\Х2 + 2х\х^ — 2х\Х/± + х\ + 2х2Х?> _ ^Х2Ха + х\ — 2ж| ИХ^+ ^1^2 + Ж3Ж4; б) Ж^ + 4^2 + ^з + 4:Х\Х2 — 2х\Хз И X2 + 2х\ — х\ + Ах\Х2 — 2х\Хз — - 4ж2ж3? 38.20. Пусть g — отображение вещественного векторного пространства V в поле IR, для которого существуют такие квадратичные функции a, b и билинейная функция с, что д(Аж + μι/) = \2а(х) + λμο(χ, у) + μ2Ъ{y) для любых Α, μ £ Μ и x,j/G V. Доказать, что q — квадратичная функция. 38.21. Пусть /ι, ..., /r+s—линейные функции. Доказать, что положительный индекс инерции функции q(x) = \h(x)\2 + ... + |/r(x)|2 - |/r+i(x)|2 - ... - |/,+s(x)|2 не превосходит г, а отрицательный индекс не превосходит s. 38.22. Найти положительный и отрицательный индексы инерции: а) квадратичной функции q(x) = tr x2 на пространстве Mn(IR); б) квадратичной функции q{x) — tr(xx) на пространстве МП(С). 38.23. Пусть / — невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция на пространстве V размерности ^ 3. Доказать, что если функция / не является нулевой на двумерном подпространстве С/, то существует такое трехмерное подпространство W I) Е/, на котором ограничение функции / невырождено. 38.24. Пусть / — невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция, имеющая отрицательный индекс инерции, равный 1, и /(г>, ν) < 0 для некоторого вектора v. Доказать, что ограничение / на любое подпространство, содержащее г>, невырождено. 38.25. Пусть / — невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция на пространстве размерности ^ 3. Доказать, что всякий изотропный вектор лежит в пересечении двух двумерных подпространств, на каждом из которых ограничение функции / невырождено.
118 Гл. 8. Билинейные и квадратичные функции 38.26. Доказать, что размерность максимального изотропного подпространства относительно невырожденной симметрической билинейной (эрмитовой) функции равна наименьшему из ее положительного и отрицательного индексов инерции. 38.27. Найти положительный и отрицательный индексы инерции невырожденной квадратичной функции на 2п-мерном векторном пространстве, обладающем n-мерным вполне изотропным подпространством. 38.28. Пусть невырожденная квадратичная функция q на 2п-мер- ном пространстве V является нулевой на n-мерном подпространстве U. Доказать, что: а) существует такое n-мерное подпространство £/', что V = U®U', q(U') = 0; б) в некотором базисе функция q имеет вид Х\Х2 + Х3Х4 + ... + Χ2η-1%2η· 38.29. Доказать, что если в симметрической матрице некоторый главный минор порядка г отличен от нуля, а все окаймляющие его главные миноры порядков г + 1 и г + 2 равны нулю, то ранг этой матрицы равен г. 38.30. Доказать, что вещественная симметрическая (комплексная эрмитова) матрица А может быть представлена в виде А = 1С · С (соответственно А — 1С · С), где С — квадратная матрица, тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы А неотрицательны. 38.31. Найти размерность пространства симметрических билинейных функций от η переменных. 38.32. Сопоставим каждому (неориентированному) графу Г с вершинами v\, ..., νη квадратичную функцию η qv(x) = Σ αυχίχ3ΐ положив если г — j, если i ^ j κ Vi κ Vj соединены ребром, если i ^ j к Vi к Vj не соединены ребром, CLij —
§38. Симметрические билинейные функции 119 и рассмотрим графы Лп! О О · · —О О л LL: о—о-· 2λ Еп: о—о—о -о—о (п = 6,7, 8) Е§\ о—о—о—о—о о 6 о Εη\ О О О О О О О О Eg: о—о—о—о—о—о—о—о о (число вершин графа Гп равно п, графа Гп равно η + 1). Доказать, что для графов Гп функция q^ положительно определена, а для графов Гп положительно полуопределена: qr ^ 0 для любого х. 38.33. Пусть q — невырожденная квадратичная функция на пространстве V над произвольным полем F. Доказать, что если существует ненулевой вектор χ £ У, для которого q{x) — 0, то отображение q: V —► F сюръективно. 38.34. Пусть /(ж, у) — эрмитова неотрицательно определенная функция, причем /(ζ, ζ) = 0 для некоторого ζ ^ 0. Доказать, что f(z,t) = 0 для всех t. 38.35. Пусть f(x,y) — положительно определенная эрмитова функция, причем /(ж, х) — f(y, у) — 1 для некоторых ж, у -ф 0. Доказать, что |/(ж, 2/)| ^ 1.
Г л а в а 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ § 39. Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора 39.1. Какие из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами: а)жиа (а — фиксированный вектор); б) хих + α (а — фиксированный вектор); в) χ \-^ ах (а— фиксированный скаляр); г)хи (ж, а)Ъ {V^евклидово пространство, а, Ъ — фиксированные векторы); д) жи (а, х)х (V — евклидово пространство, а — фиксированный вектор); е) f(x) \-^ /(αχ + 6) (/еК[ж]п; a, b — фиксированные числа); ж) Дх) н- Дх + 1) - Дх) (/ G ВДп); з) Дх)^Д^(х) (/еВДп); и) Οι, х2, яз) ^ Οι + 2, х2 + 5, х3); к) (хь х2, яз) ^ Οι + Зх3, х2, χι + х3); л) Οι, χ2, Хз) ^ Ob Ж2, XI + Х2 + ^з)? 39.2. Доказать, что всякий линейный оператор любую линейно зависимую систему векторов переводит в линейно зависимую систему. 39.3. Доказать, что в n-мерном пространстве для любой линейно независимой системы векторов αι,...,αη и произвольной системы векторов &1, ..., Ьп найдется единственный линейный оператор, переводящий cti в bi (г = 1, ..., п). 39.4. Доказать, что в одномерном векторном пространстве всякий линейный оператор имеет вид χ \-^ αχ, где а— некоторый скаляр. 39.5. Найти образы и ядра линейных операторов из задачи 39.1. 39.6. Доказать, что оператор дифференцирования: а) является вырожденным в пространстве многочленов степени ^ п; б) является невырожденным в пространстве функций с базисом (cos £, sin t). 39.7. Доказать, что всякое подпространство векторного пространства является: а) ядром некоторого линейного оператора;
§39. Определение линейного оператора 121 б) образом некоторого линейного оператора. 39.8. Доказать, что если два линейных оператора ранга 1 имеют равные ядра и равные образы, то они перестановочны. 39.9. Пусть А— F-линейный оператор на подпространстве L пространства У, отличном от V. Доказать, что существует бесконечно много линейных операторов на У, ограничение которых на подпространство L совпадает с Л, при условии, что поле F бесконечно. 39.10. Пусть А— линейный оператор в пространстве У, L — подпространство V. Доказать, что: а) образ A{L) и полный прообраз A~l{L) являются подпространствами в V; б) если оператор А — невырожденный и V конечномерно, то dim A(L) = dim Л_1(£) = dim L. 39.11. Пусть А — линейный оператор в пространстве У, L — подпространство V и L Π Кег А = 0. Доказать, что любая линейно независимая система векторов из L оператором А переводится в линейно независимую систему. 39.12. а) Доказать для линейных операторов А, В, С неравенство Фробениуса: тк(ВА) + тк(АС) ^ ткА + тк(ВАС). б) Пусть C/i, С/2, С/з, С/4 — векторные пространства над полем размерностей т, п, /с, /. Пусть задана цепочка линейных отображений C/i ^ С/2 ^ С/3 ^ С/4. Доказать, что ik(AiA2) + тк(А2А3) ^ гк(Л2) + тк(А1А2А3)^ 39.13. Линейный оператор А называется псевдоотражением, если гк(Л-£)= 1. Доказать, что в n-мерном пространстве всякий линейный оператор является произведением не более чем η псевдоотражений. 39.14. Доказать, что для линейного оператора А в n-мерном пространстве множество операторов X таких, что АХ — 0, является векторным пространством, и найти его размерность. 39.15. Найти матрицу оператора: а) (χι, Х2-, хз) ^ O^i, х\ + 2^2, Х2 + З^з) в пространстве IR3 в базисе из единичных векторов;
122 Гл. 9. Линейные операторы б) поворота плоскости на угол а в произвольном ортонормированием базисе; в) поворота трехмерного пространства на угол 2π/3 вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями Χι — Х2 — хз, в базисе из единичных векторов осей координат; г) проектирования трехмерного пространства на координатную ось вектора е^ параллельно координатной плоскости векторов е\ и ез в базисе (ei, б2, ез); д) χ и (χ: α)α в евклидовом пространстве в ортонормированном базисе (ei, б2, ез) при а = е\ — 2е% в указанном базисе; е) 1и J X в пространстве М2 (№) в базисе из матричных единиц; ж) J нч J J в пространстве М2 (№) в базисе из матричных единиц; з) X ь^ 1Х в пространстве М2 (M) в базисе из матричных единиц; и) X ь^ АХ В (А, В — фиксированные матрицы) в пространстве М2(М) в базисе, состоящем из матричных единиц; к) X \-^ АХ + ХВ (А, В — фиксированные матрицы в пространстве М2(М) в базисе из матричных единиц; л) дифференцирования в пространстве Щх]п в базисе (1, ж,..., хп); м) дифференцирования в пространстве Щх]п в базисе (жп, жп_1, ... ...,1); н) дифференцирования в пространстве М[ж]та в базисе (1,х 1. (х-If (х-1) П\ 39.16. Доказать, что в пространстве IR3 существует единственный линейный оператор, переводящий векторы (1,1,1), (0, 1,0), (1,0, 2) соответственно в векторы (1, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 1), и найти матрицу этого оператора в базисе, состоящем из единичных векторов. 39.17. Пусть векторное пространство V является прямой суммой подпространств L\ и 1/2 с базисами (αϊ, ..., α&) и (α&+ι, ..., ап). Доказать, что проектирование на L\ параллельно L2 является линейным оператором, и найти его матрицу в базисе (αϊ, ..., ап). 39.18. Найти общий вид матриц линейных операторов в п-мерном пространстве, переводящих заданные линейно независимые векторы αϊ, ..., α/e (к < η) в заданные векторы 6ι, ..., Ь& в базисе вида (αϊ, ..., α/e, a/e+i, ..., ап).
§39. Определение линейного оператора 123 39.19. Пусть линейный оператор в пространстве V в базисе (е\. ..., б4) имеет матрицу /0 1 5 4 3 2 \6 1 2 0 0 -1 3\ -1 3 V Найти матрицу этого оператора в базисах: а) (е2, еь е3, е4); б) (еь ei + е2, ei + е2 + е3, ei + е2 + е3 + е4). 39.20. Пусть линейный оператор в пространстве Щж]2 имеет в базисе (1, ж, ж2) матрицу 0 0 0 1 1 0 1 0 0 Найти его матрицу в базисе (Зх2 + 2х + 1, х2 + Зх + 2, 2ж2 + ж + 3). 39.21. Пусть линейный оператор в пространстве IR3 имеет в базисе ((8, -6, 7), (-16, 7, -13), (9, -3, 7)) матрицу 1 1 1 -18 -22 -25 15 20 22 Найти его матрицу в базисе ((1,-2,1), (3,-1,2), (2,1,2)). 39.22. Пусть линейный оператор А в n-мерном векторном пространстве V переводит линейно независимые векторы αι,...,αη в векторы 6ι,...,6η соответственно. Доказать, что матрица этого оператора в некотором базисе е = (ei, ..., еп) равна ΒΑ~λ, где столбцы матриц А л В состоят соответственно из координат заданных векторов в базисе е. 39.23. Найти общий вид матрицы линейного оператора А в базисе, первые к векторов которого составляют: а) базис ядра оператора А; б) базис образа оператора А. 39.24. Доказать, что если /(£) = /ι(ί)/2(ί) — разложение многочлена /(£) на взаимно простые множители и для линейного оператора А выполняется равенство f(A) = 0, то в некотором базисе матрица оператора А имеет вид ( х , 1, где fi(Ai) = 0, /2(Л2) = 0.
124 Гл. 9. Линейные операторы § 40. Собственные векторы, инвариантные подпространства, корневые подпространства 40.1. Найти собственные векторы и собственные значения: а) оператора дифференцирования в пространстве М[ж]п; б) оператора Хн>*Хв пространстве МП(М); в) оператора х — в пространстве Щж]п; dx χ г) оператора - \ /(£) dt в пространстве М[ж]п; χ «-J dnf д) оператора /ι—» -г^- в линейной оболочке (1, cos ж, sin ж, ... ..., cos mx, sin тж/; е) оператора / ι—> \ f(t)dtB линейной оболочке (cos ж, sin ..., cos тж, sin тж/. 40.2. Доказать, что в пространстве Щж]п линейный оператор / ь^ f{ax + 6) имеет множество собственных значений 1, а, ..., ап. 40.3. Доказать, что собственный вектор линейного оператора А с собственным значением λ является собственным вектором оператора /(Л), где /(£)—многочлен с собственным значением /(λ). 40.4. Доказать, что если оператор А невырожденный, то операторы А и А-1 имеют одни и те же собственные векторы. 40.5. Доказать, что все ненулевые векторы пространства являются собственными для линейного оператора А тогда и только тогда, когда Л —оператор подобия χ \-^ ах, где а —некоторый фиксированный скаляр. 40.6. Доказать, что если линейный оператор А в n-мерном пространстве имеет η различных собственных значений, то любой линейный оператор, перестановочный с А, имеет базис, состоящий из его собственных векторов. 40.7. Доказать, что подпространство V\(A), состоящее из всех собственных векторов оператора А с собственным значением λ и нулевого вектора, инвариантно относительно любого линейного оператора /3, перестановочного с А. 40.8. Доказать, что для любой (быть может, бесконечной) совокупности перестановочных линейных операторов конечномерного
§40- Собственные векторы, инвариантные подпространства 125 комплексного пространства: а) существует общий собственный вектор; б) существует базис, в котором матрицы всех этих операторов верхние треугольные. 40.9. Доказать, что если оператор А2 имеет собственное значение λ2, то одно из чисел λ или —λ является собственным значением оператора А. 40.10. Доказать, что: а) коэффициенты q многочлена \А - \Е\ = {-\)п + с^-ХУ'1 + ... + сп являются суммами главных миноров г-го порядка матрицы А; б) сумма и произведение собственных чисел матрицы А равны ее следу и определителю соответственно. 40.11. Доказать, что всякий многочлен степени η со старшим коэффициентом (—1)п является характеристическим многочленом некоторой матрицы порядка п. 40.12. Доказать, что: а) если А и В— квадратные матрицы одинаковых порядков, то матрицы АВ и В А имеют совпадающие характеристические многочлены; б) если F — произвольное поле, т, η — произвольные натуральные числа и даны прямоугольные матрицы А £ Mm5n(F), В £ Mn5m(F), то ненулевые собственные числа матриц АВ и В А совпадают с учетом кратности. 40.13. Найти характеристические числа матрицы 1А · А, где А — матрица-строка (αϊ, ..., ап). 40.14. Доказать, что все характеристические числа матрицы отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица невырожденная. 40.15. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами: а) 5 -3 3 ; б) -4 4 0 ; в) 2 5 -1 7 10 12 -1 -3 0 -12 -19 -24 2 3 -2 б4 10 13 г) 10 -19 10 ; д) 1 -4 9 ; е) 4 5 6 /3 1 3 V -5 2\ -7 3; -9 4/ -1 0 1 0 0 5 -1 3 0\ 0 -3 -ι/
126 Гл. 9. Линейные операторы 40.16. Выяснить, какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису над полем Ш или над полем С: а) в) 1\ 1 1 1/ Найти этот базис и соответствующий вид матрицы. 40.17. При каких условиях матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, элементов αϊ, ...,αη побочной диагонали, равны нулю, подобна диагональной матрице? 40.18. Для матрицы А порядка п, у которой элементы побочной диагонали равны 1, а остальные элементы равны нулю, найти такую матрицу Т, что матрица В = Т~1АТ диагональна. Вычислить матрицу В. 40.19. Доказать, что число линейно независимых собственных векторов линейного оператора А с собственным значением λ не больше кратности λ как корня характеристического многочлена оператора А. 40.20. Пусть λι, ..., λη — собственные значения линейного оператора А в n-мерном комплексном пространстве. Найти собственные значения оператора А как оператора в соответствующем 2п-мерном вещественном пространстве. 40.21. Пусть λι, ..., λη—корни характеристического многочлена матрицы А. Найти собственные значения: а) линейного оператора X \-^ АХ1 А в пространстве МП(М); б) линейного оператора X \-^ АХА~1 в пространстве Mn(IR) (матрица А невырожденная). 40.22. Найти все инвариантные подпространства для оператора дифференцирования в пространстве Щж]п. 40.23. Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов линейного оператора А инвариантна относительно Л. 40.24. Доказать, что: а) ядро и образ линейного оператора А инвариантны относительно А;
§40- Собственные векторы, инвариантные подпространства 127 б) всякое подпространство, содержащее образ оператора Л, инвариантно относительно А; в) если подпространство L инвариантно относительно Л, то его образ и полный прообраз инвариантны относительно А; г) если линейный оператор А невырожденный, то всякое подпространство, инвариантное относительно Л, инвариантно относительно Л"1. 40.25. Доказать, что в n-мерном комплексном пространстве всякий линейный оператор имеет инвариантное подпространство размерности η — 1. 40.26. Доказать, что линейный оператор в векторном пространстве над полем К, имеющий в некотором базисе матрицу / сц αϊ Ο,η-1 \ ап 1 0 0 0 0 . 1 . 0 . 0 . • °\ . 0 . 1 • о/ где многочлен χ η а\х 71—1 &п— 1% а η неприводим над К, не имеет нетривиальных инвариантных подпространств. 40.27. Пусть линейный оператор А в n-мерном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные относительно А. 40.28. Найти все инвариантные подпространства для линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу, состоящую из одной жордановой клетки. 40.29. Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариантные относительно линейного оператора с матрицей 4 -2 2Ν 2 0 2 -1 1 1 40.30. Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариантные относительно двух линейных операторов, заданных матрицами
128 Гл. 9. Линейные операторы 40.31. В М[ж]п и С[ж]п найти все подпространства, инвариантные относительно оператора: &)Af = x§-; 6)Af=Hf(t)dt. о 40.32. В линейной оболочке функций (cos ж, sin ж, ..., cos пж, sin их) найти все подпространства, инвариантные относительно оператора: а)Л/=£; 6)Af=] f(t)dt. — Χ 40.33. Доказать, что если для операторов Л, В конечномерного векторного пространства V над полем С выполняются равенства А2 — В2 — £, то в V существует одномерное или двумерное подпространство, инвариантное относительно А и В. 40.34. Доказать, что комплексное векторное пространство, содержащее только одну прямую, инвариантную относительно линейного оператора Л, неразложимо в прямую сумму ненулевых подпространств, инвариантных относительно А. 40.35. Найти собственные значения и корневые подпространства линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей: /4 -5 2\ а) 5 -7 3 ; б) в 4 5 6 2 1 1 -5 -7 -9 6 1 2 2\ 3 V -15 -5 -6 ) 1 1 -5 ; г) 4 6 (° 1 0 V -3 4\ -7 8; -7 7/ -2 3 1 -1 0 2 -1 0 2\ -1 0 V 40.36. Доказать, что линейный оператор в комплексном векторном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все его корневые векторы являются собственными. 40.37. Доказать, что если линейный оператор в комплексном векторном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу, то его ограничение на любое инвариантное подпространство L также имеет диагональную матрицу в некотором базисе подпространства L. 40.38. Доказать, что всякое корневое подпространство линейного оператора А инвариантно относительно любого линейного оператора В, перестановочного с А.
§41· Жорданова форма и ее приложения 129 40.39. Доказать, что если матрица линейного оператора приводится к жордановой форме, то всякое инвариантное подпространство является прямой суммой своих пересечений с корневыми подпространствами. 40.40. Пусть A £ МП(С). Рассмотрим в пространстве MnXm(C) оператор La, где La(X) = АХ, Найти собственные значения La· Найти корневые подпространства оператора La, где Л —верхнетреугольная матрица. 40.41. Пусть А е МП(С), В е МШ(С), причем А и В не имеют общих собственных значений. Доказать, что: а) если X — матрица размера пхши АХ — ХВ = 0, то X = 0; б) уравнение АХ — ХВ — С, где X, С — матрицы размера η χ m, имеет и притом единственное решение. 40.42. Пусть А — линейный оператор в конечномерном комплексном векторном пространстве V. Доказать, что в V существует базис, в котором матрица оператора А верхнетреугольная. 40.43. Пусть А — линейный оператор в конечномерном вещественном пространстве V. Доказать, что в V существует базис, в котором матрица оператора А имеет блочно-верхнетреугольный вид IW\ V о м_ * ^Т-П \ I/ где квадратные блоки А\, ..., Ап имеют размер не выше 2. 40.44. Пусть Л, В — линейные операторы в конечномерном комплексном векторном пространстве и ранг оператора АВ — В А не превосходит 1. Доказать, что существует общий собственный вектор для А и В. § 41. Жорданова форма и ее приложения. Минимальный многочлен 41.1. Найти жорданову форму матрицы /1 -3 4\ /4 -5 7\ а) 4 -7 8 ; б) 1 -4 9 ; в) \6 -7 7/ \-4 0 5/
130 Гл. 9. Линейные операторы г) е) 3 3 -2 0 -1 о 1 -3 0 3\ з) 2 0 1 -6 0 -3 1 -4 0 -1 0 1 -1 0 1 13 3 8/ 0 0 -1 и) О О О 1 1 1 1 О 1 о о \о о о /10 0 л) 2 О 2 3 \1 2 3 О О 1\ 1 1 V о\ о о \о о о η J м) nj /0 0 0 0 V 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 . 0 . 1 . 0 . 0 . • Ό\ . 0 ' . 0 . 1 • о/ н) ία 0 0 ^ο αΐ2 α 0 0 αΐ3 &23 α 0 α1η\ CL2n азп a J , где αΐ2, ^23, ···, йп-ι,π ^ 0. 41.2. Доказать, что жорданова форма матрицы А + аЕ равна Aj + аЕ, где Aj —жорданова форма матрицы А. 41.3. Пусть А — жорданова клетка порядка η с элементом а на главной диагонали. а) Найти матрицу f(A), где f(x)—многочлен. б) Найти жорданову форму матрицы А2. 41.4. Найти жорданову форму матрицы (а 0 1 0 ... 0 0\ 0 а 0 1 ... 0 0 О 0 α 0 ... О О О 0 0 а ... О О 0 0 0 0 \0 О О О а О О а
§41· Жорданова форма и ее приложения 131 41.5. Найти жорданову форму матрицы: а) А2] б) Α~λ (А — невырожденная матрица); если А имеет жорданову форму Aj. 41.6. Найти жорданову форму матрицы А и выяснить геометрический смысл соответствующего линейного оператора А, если: а) А2 = Е; б) А2 = А. 41.7. Доказать, что всякая периодическая комплексная матрица подобна диагональной матрице, и найти вид этой диагональной матрицы. 41.8. Доказать, что матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее характеристические числа равны нулю. 41.9. Доказать, что для всякого линейного оператора А ранга 1 в комплексном векторном пространстве существует такое число /с, что А2 = к А. 41.10. Найти жорданову форму матрицы линейного оператора А и базис (/ι, ..., /η)5 в котором А имеет эту матрицу, если в базисе (ei, ..., еп) оператор А задается матрицей: а) в) /3 2 4 10 \3 6 ( ° 1 -1 2 -1 1 V-1 ι -3^* -12 -7 > -1 -1 1 0 \ 1 ; б) -з / V-2 1\ /6 1 0 V тЛ ' > 7 8 V 1 -1 4\ 7 8 3/ -3 -2 -9 -13 -17 -2 41.11. Найти жорданову форму матрицы линейного оператора в комплексном векторном пространстве, имеющем только одну инвариантную прямую. 41.12. Доказать, что максимальное число линейно независимых собственных векторов линейного оператора А с собственным значением λ равно числу клеток с диагональным элементом λ в жордано- вой форме матрицы оператора Л. 41.13. Доказать, что множество линейных операторов в п-мерном комплексном векторном пространстве, перестановочных с данным оператором Л, является векторным пространством размерности ^ п. 41.14. Доказать, что если линейный оператор В в комплексном векторном пространстве перестановочен с любым линейным оператором, перестановочным с оператором Л, то В — многочлен от Л. 41.15. Доказать, что если матрицы А и В удовлетворяют соотношению АВ — В А = В, то матрица В нильпотентна.
132 Гл. 9. Линейные операторы 41.16. В пространстве комплексных многочленов степени не выше 2 по χ и у действует оператор А: /(ж, у) —> f(x + 1, у + 1). Найти жорданову форму оператора А. 41.17. В пространстве комплексных полиномов от ж, у степени не д д выше η действует оператор А = -к—l· т-. Найти жорданову форму Л. 41.18. Доказать, что любая матрица подобна своей транспонированной. 41.19. В пространстве М2(С) рассмотрим линейный оператор La(X) = АХ, где X £ М2(С) и А — фиксированная матрица из М2(С). Найти жорданову форму оператора La, зная жорданову форму А. 41.20. Доказать, что для любой невырожденной квадратной комплексной матрицы А и любого натурального числа к уравнение Хк = А имеет решение. 41.21. Решить уравнения: 41.22. Используя жорданову форму и задачи 17.7—17.9, вычислить: а) (-1 з) ; б) (ΐ4 -δ) · 41.23. Найти минимальный многочлен диагональной матрицы с различными элементами на главной диагонали. 41.24. Найти минимальный многочлен жордановой клетки порядка η с числом а на главной диагонали. 41.25. Доказать, что минимальный многочлен клеточно-диагональной матрицы равен наименьшему общему кратному минимальных многочленов ее клеток. 41.26. Найти минимальный многочлен: а) тождественного оператора; б) нулевого оператора; в) оператора проектирования n-мерного пространства V на /с-мерное подпространство L (0 < к < п); г) оператора отражения; д) нильпотентного оператора индекса к\ е) оператора А из 40.31, а); ж) оператора А из 40.31, б); з) оператора А из 40.32, а); и) оператора А из 40.32, б);
§41· Жорданова форма и ее приложения 133 к) оператора La из 40.40; л) оператора Л из 41.16. 41.27. Найти минимальный многочлен матрицы: /3 -1 -1\ /4-2 2\ а) 0 2 0 ; б) -5 7 -5 . \1 1 1/ \-6 6 -4/ 41.28. Пусть линейный оператор Л в базисе (ei, б2, ез) пространства V имеет матрицу (-i i ■)■ Найти минимальный многочлен g(t) оператора Л и разложить пространство V в прямую сумму инвариантных подпространств в соответствии с разложением минимального многочлена на взаимно простые множители. 41.29. Доказать, что минимальный многочлен матрицы порядка ^ 2 и ранга 1 имеет степень 2. 41.30. Что можно сказать о жордановой форме матрицы линейного оператора Л в комплексном пространстве, если Л3 — Л27 41.31. Доказать, что некоторая степень минимального многочлена матрицы делится на ее характеристический многочлен. 41.32. Доказать, что для подобия двух матриц необходимо, но не достаточно, чтобы они имели одинаковые характеристический и минимальный многочлены. 41.33. Доказать, что если степень минимального многочлена линейного оператора Л равна размерности пространства, то всякий оператор, перестановочный с Л, является многочленом от Л. 41.34. Линейный оператор называется полупростым, если для любого инвариантного подпространства имеется инвариантное дополнительное подпространство. Доказать, что: а) ограничение полупростого оператора на инвариантное подпространство также является полу простым оператором; б) линейный оператор полупрост тогда и только тогда, когда пространство является прямой суммой минимальных инвариантных подпространств; в) если для линейного оператора Л существует разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств, на каждом из которых ограничение оператора Л полупросто, то Л полупрост на всем пространстве.
134 Гл. 9. Линейные операторы 41.35. Доказать, что если минимальный многочлен линейного оператора А в пространстве V является произведением взаимно простых многочленов д\{х) и #2 (ж), то V может быть разложено в прямую сумму двух инвариантных подпространств таких, что ограничения оператора А на эти подпространства имеют минимальные многочлены д\(х) и #2(ж) соответственно. 41.36. Доказать, что для любого линейного оператора существует такое разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств, что минимальные многочлены его ограничений на эти подпространства являются степенями различных неприводимых многочленов. 41.37. Доказать, что если минимальный многочлен линейного оператора А является неприводимым многочленом степени /с, то для любого χ ^ 0 векторы ж, χ составляют базис минимального инвариантного подпространства. 41.38. Доказать, что линейный оператор полупрост тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных неприводимых множителей. 41.39. Доказать, что линейный оператор в векторном пространстве над полем К характеристики 0 полупрост тогда и только тогда, когда он обладает собственным базисом над некоторым расширением поля К. 41.40. Доказать, что сумма двух перестановочных полупростых линейных операторов над полем характеристики 0 является полупростым оператором. 41.41. Пусть А— линейный оператор в векторном пространстве над полем К характеристики 0 и К [А] — кольцо линейных операторов, представимых в виде многочленов от А. Доказать, что если минимальный многочлен оператора А является степенью неприводимого многочлена р(ж), то: а) элементы кольца ^[*Д], делящиеся в этом кольце на элемент р(А), образуют идеал /, отличный от Х[Д]; б) для всякого оператора В (Ξ Ι минимальный многочлен оператора А + В делится на р(ж); в) существует оператор В £ / такой, что минимальный многочлен оператора А + В равен р(х). 41.42. Доказать, что всякий линейный оператор А в векторном пространстве над полем характеристики 0 может быть представлен в виде суммы полу простого и нильпотентного операторов, являющихся многочленами от А.
§41· Жорданова форма и ее приложения 135 41.43. Доказать, что всякий линейный оператор А можно единственным образом представить в виде суммы перестановочных полупростого и нильпотентного операторов. 41.44. Доказать, что если степень минимального многочлена д{х) линейного оператора А в векторном пространстве V над полем К равна размерности пространства и g(t) является степенью многочлена, неприводимого над К, то: а) V нельзя разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств; б) V является циклическим относительно Л. 41.45. Пусть λι, ..., λη — собственные значения матрицы А £ еМп(С). Доказать, что: а) для любого натурального числа к tiAk = \\ + ... + А, п> б) коэффициенты характеристического полинома матрицы А являются многочленами от tr А, ..., tr An; в) если tr A = tr А2 = ... = tr Ап = 0, то матрица А нильпотентна. * * * 41.46. Пусть В = /0 0 0 V 0 . 0 . 1 . 0 . . 0 . 1 . 0 . 0 1\ 0 0 о/ еМп(С) и S — ~η={Ε + г В). Доказать, что для любой жордановой клетки J(n, λ) £ Mn(C) справедливо равенство n-l SJ{n, X)S~1 = XE + V- Σ\ΕΚΜ + Ek+ltk + i(E n — k+l,k+ fe=l 41.47. Доказать, что каждая комплексная матрица подобна симметрической.
136 Гл. 9. Линейные операторы § 42. Нормированные пространства. Неотрицательные матрицы 42.1. Пусть К — нормированное поле с нормой |ж|. Доказать, что следующие функции в Кп являются нормами: а) ||(аь ..., ап)\\ = \αλ\ + ... + |ап|; б) ||(аь ..., ап)\\ =max(|ai|7 ..., |ап|); в) ||(аь ..., ап)\\ = yf\ai\2 + ... + |ап|2. 42.2. Пусть К — локально компактное нормированное поле, V — конечномерное векторное пространство над К. Доказать, что любые две нормы ||χ||ι, ||ж||2 в V эквивалентны, т.е. существуют такие положительные действительные числа С\, С^, что для всех χ £ У Ci||x||i ^ ||ж||2 ^ С^Ц^Цъ 42.3. Пусть К — нормированное поле, V — конечномерное векторное пространство с базисом (ei, ..., ет). Пусть хп — хп\е\ + ... ··■ + xnrn^rn G У, Xij £ Χ, η ^ 1. Доказать, что последовательность векторов жп сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности xni для г = 1, ..., т. 42.4. Пусть К — полное нормированное поле и V — конечномерное нормированное векторное пространство над К. Доказать, что V полно. 42.5. Пусть К — нормированное поле и V — нормированное векторное пространство над К. Обозначим через L(V) множество всех таких линейных операторов А, действующих на У, что число ||*Α(χ)|| ограничено, если ||ж|| = 1. Доказать, что: а) L(V) —подпространство в пространстве всех линейных операторов, действующих на V; б) L(V) является нормированной алгеброй с нормой ||Л||= sup ||Л(х)||; ||ж|| = 1 в) если V конечномерно, то L(V) — пространство всех операторов, действующих на V. 42.6. Пусть к — нормированное поле и в Кп заданы нормы а), б) из задачи 42.1. Доказать, что (согласно задаче 42.5) индуцированные ими нормы в ЪЛп(К) — L(V) имеют вид: а) ||Л|| = max ί Σ \aij\ Ь б) ||Л|| = max ί Σ \aij\ )·
§42. Нормированные пространства 137 42.7. Пусть К — нормированное поле. Для А = (а^·) £ Mn(if) положим: η /η a) ΙΙ^ΙΙι= Σ ΙαυΙ; б) цл||2 = д/ Σ ΙαυΙ2; в) 11^4|1з = τι · max Ια^-Ι. /MM -, ^ . . ^ Ι ο/ Ι Доказать, что каждая из этих функций задает в ЪЛп(К) структуру нормированной алгебры. 42.8. Доказать, что для любой матрицы А £ МП(С) определены матрицы еА, sin A, cos А. 42.9. Пусть А е МП(С). Доказать, что: a) sin 2А — 2 sin A cos А\ б) егЛ = cos А + г sin Л; в) sin Л = ^{eiA - e~iA); r) cos A = ^(е'А + е~'А). 42.10. Если A, Be МП(С) иЛБ = ЯД то еА+Б = еАеБ. 42.11. Пусть А — нормированная алгебра над полным нормированным полем К. Доказать, что если xGi, то существует предел р(ж) = lim ||xn||1/n. * * * 42.12. Пусть ж — элемент банаховой алгебры А над полным нормированным полем К. Доказать, что радиус сходимости ряда Σ ίηχη G Α[[ί]] равен р(ж)"1 (см. задачу 42.11). 42.13. Пусть χ — элемент банаховой алгебры А над полным нормированным полем К. Спектром Sp(x) называется множество всех таких λ £ ii, что элемент ж — λ необратим в А. Доказать, что: а) радиус наименьшего круга в К с центром в нуле, содержащего Sp(x), равен р(ж); б) множество Sp(x) компактно в К. 42.14. Пусть Л G МП(С) и λι, ..., λη-— все собственные значения матрицы А. Доказать, что max \\Л = р(А) ^ \\А\\, 1^ . ^ I I I \ / Μ Μ где ||Л||—произвольная норма в алгебре МП(С), индуцированная в силу 42.5, б) некоторой нормой в Сп. 42.15. Пусть χ — элемент банаховой алгебры А над полным нормированным полем К и f(t) £ K[[t]\. Доказать, что если р{х) меньше радиуса сходимости /(£), то ряд f(x) сходится.
138 Гл. 9. Линейные операторы 42.16. Пусть χ — элемент банаховой алгебры А над полным нормированным полем К, д— обратимый элемент А и /(£) £ ^ [[£]]. Доказать, что ряд f(x) сходится тогда и только тогда, когда сходится f(gxg~l), причем f(gxg~l) = gf(x)g~l. 42.17. Пусть а — элемент банаховой алгебры над полным нормированным полем К. Предположим, что /(£) £ ^[[ΐ]]5 причем ряд /(а) сходится. Пусть у а имеется аннулирующий многочлен степени п. Доказать, что /(а) £ (1, α, α2, ..., αη_1). 42.18. Пусть А £ МП(С) и λο, ..., λη —все корни характеристического многочлена матрицы А кратностей /cq, ..., кп. Предположим, что λο, ..., λη лежат внутри круга сходимости ряда u(t) £ С[[£]]. Доказать, что (Λ) = Σ G'(A) Σ Σ ъШм ■ 77,gm~1\_ и - hE)1 l\ Vdx1 dxl ί=0 k=0 1=0 X = \i rAeGi(t)=U(t-^rj' 42.19. Вычислить: a) exp L J; б) exp L _J; /4 -15 б\ , _ г) In 1 -4 2 I ; д) sin ^_1 42.20. Найти определитель матрицы е"4, где А — квадратная матрица порядка п. 42.21. Пусть А £ МП(С) и в) ехр ι А π+1/· /4 2 6 4 \5 3 -5 -9 -7 — непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Доказать, что решением системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами £tx(t) = Ax(t) с начальным условием χ (ίο) является вектор-функция x(t) = eAtx(to). 42.22. Пусть А — неотрицательная матрица и Ак—положительная матрица для некоторого натурального числа к. Доказать, что р(А) > 0.
§42. Нормированные пространства 139 42.23. Привести пример такой неотрицательной (2 χ 2)-матрицы, не являющейся положительной, что А2 является положительной матрицей. 42.24. Пусть неотрицательная матрица А имеет положительный собственный вектор. Доказать, что матрица А подобна неотрицательной матрице, у которой суммы элементов каждой строки одинаковы. 42.25. Пусть А, В — положительные матрицы, причем матрица А — В также положительна. Доказать, что ρ (А) > р(В). 42.26. Пусть А — невырожденная неотрицательная матрица, причем и обратная матрица А-1 также неотрицательна. Доказать, что А = DP, где D —диагональная неотрицательная обратимая матрица, Ρ — перестановочная матрица. 42.27. Пусть А — неотрицательная матрица, χ— такой ненулевой комплексный вектор, что Ах — ах — неотрицательный вектор для некоторого вещественного числа а. Доказать, что ρ (А) > а. 42.28. Пусть А — неотрицательная матрица, причем 1А имеет положительный собственный вектор. Доказать, что если Ах — р(А)х — неотрицательный вектор для некоторого ненулевого вектора ж, то Ах — р(А)х. 42.29. Пусть А — неотрицательная матрица, причем матрица Ак положительна для некоторого натурального числа к. Доказать, что: а) А имеет положительный собственный вектор; б) ρ (А) —собственное значение А кратности 1. 42.30. Пусть неотрицательная матрица А имеет собственный вектор χ = (χι, ..., жп)5 где х\^ ..., хТ > 0, xr+i = ... = £п = 0. Доказать, что тогда существует такая перестановочная матрица Р, что Р~1АР = (^ CD J, где В е МГ(К), D е МП_Г(М), причем В имеет положительный собственный вектор. 42.31. Пусть А — неотрицательная матрица. Доказать, что существует положительная матрица В, перестановочная с Л, в том и только том случае, если существуют положительные собственные векторы у матриц А иМ. 42.32. Пусть А — неотрицательная трехдиагональная матрица. Доказать, что все собственные значения А вещественны. 42.33. Пусть А — неотрицательная матрица. Доказать, что р(Е + А) = 1 + р{А).
140 Гл. 9. Линейные операторы 42.34. Для неотрицательных матриц А найти неотрицательные собственные векторы χ и р(А):
Глава 10 МЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА § 43. Геометрия метрических пространств 43.1. Какие из векторных пространств с билинейными формами из задачи 37.1 являются метрическими? 43.2. Доказать, что вещественная часть /(ж, у) и мнимая часть д(х, у) эрмитовой функции на комплексном векторном пространстве V инвариантны относительно умножения на г, т.е. для любых векторов x,j/GV /(гх, гу) = /О, у), д(гх, гу) = д(х, у). 43.3. Доказать, что метрическое векторное пространство является прямой суммой подпространства L и его ортогонального дополнения L1- тогда и только тогда, когда скалярное произведение на L невырождено, и что в этом случае скалярное произведение на L также невырождено. 43.4. В пространстве Мт(С) с эрмитовым скалярным произведением (X, Y)=tr(XtY) найти ортогональное дополнение к подпространству: а) матриц с нулевым следом; б) эрмитовых матриц; в) косоэрмитовых матриц; г) верхних треугольных матриц. 43.5. Показать, что эрмитово и евклидово пространства являются нормированными. 43.6. Какие из нормированных пространств IRn, Cn из задачи 42.1 индуцированы евклидовой или эрмитовой метрикой? 43.7. Дополнить до ортогонального базиса систему векторов евклидова и эрмитова пространства: а) ((1,-2, 2,-3), (2,-3,2, 4)); б) ((1,1, 1,2), (1,2, 3,-3)); в) из' з' зу' U' з'~з)у ')(( 1 1 1 1\ /1 1 _1 _1 2' 2' 2' 2У' V2' 2' 2' 2
142 Гл. 10. Метрические векторные пространства д)((1,1-г,2),(-2,-1 + Зг,3-г)); е) ((-i, 2,-4 + г), (4-г,-1, г)). 43.8. Найти ортогональную проекцию вектора χ евклидова (эрмитова) пространства на линейную оболочку ортонормированной системы векторов (ei, ..., е&). 43.9. Доказать, что в любых двух подпространствах евклидова (эрмитова) пространства можно выбрать ортонормированные Ъъзи- сы (ei, ..., е^) и (/ι, ..., /г) таким образом, чтобы (е^, fj) = О при г -ф j и (е*, /г) ^0. 43.10. Пусть (ei,...,e/e) и (Д, ...,//) —ортонормированные базисы подпространств L и Μ евклидова (эрмитова) пространства, А = ((бг, Д)) —матрица порядка к χ I. Доказать, что все характеристические числа матрицы 1А · А принадлежат отрезку [0, 1] и не зависят от выбора базисов в подпространствах L и М. 43.11. Доказать, что всякая вещественная симметрическая матрица ранга ^пс неотрицательными (соответственно положительными) главными минорами является матрицей Грама некоторой системы (соответственно линейно независимой системы) векторов п-мерного евклидова пространства. Доказать аналогичное утверждение для эрмитовой матрицы и эрмитова пространства. 43.12. Доказать, что сумма квадратов длин проекций векторов любого ортонормированного базиса евклидова (эрмитова) пространства на /с-мерное подпространство равна к. 43.13. Пусть G — матрица скалярного произведения в базисе (ei, ...,еп) евклидова пространства V. Найти матрицу перехода к сопряженному базису (Д, ..., fn) и матрицу скалярного произведения в этом базисе. 43.14. Пусть S — матрица перехода от базиса е к базису е'. Найти матрицу перехода от базиса е', сопряженного к е, к базису f, сопряженному к f: а) в евклидовом пространстве; б) в эрмитовом пространстве. 43.15. С помощью процесса ортогонализации построить ортогональный базис линейной оболочки системы векторов евклидова (эрмитова) пространства: а) ((1,2, 2,-1), (1,1,-5,3), (3,2, 8,-7)); б) ((1,1,-1,-2), (5, 8,-2,-3), (3,9, 3,8)); в) ((2, 1, 3, -1), (7, 4, 3, -3), (1, 1, -6, 0), (5, 7, 7, 8)); г) ((2, 1, -г), (1 - г, 2, 0), (-г, 0, 1 - г)); д)((0,1-г,2),(-г,2 + 3г,г),(0,0,2г)).
§43- Геометрия метрических пространств 143 43.16. Найти базис ортогонального дополнения линейной оболочки системы векторов евклидова (эрмитова) пространства: а) ((1,0, 2,1), (2, 1,2,3), (0,1,-2,1)); б) ((1,1, 1,1), (-1,1,-1,1), (2,0,2,0)); в)((0,1 + 2г,-г), (1,-1, 2-г)). 43.17. Доказать, что системы линейных уравнений, задающих линейное подпространство в Шп и его ортогональное дополнение, связаны следующим образом: коэффициенты линейно независимой системы, задающей одно из этих подпространств, являются координатами векторов базиса другого подпространства. 43.18. Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение к подпространству, заданному системой уравнений: 2χι + Х2 + Зхз — Х4 = 0, а) { 3χι + 2х2 - 2х4 = 0, 3χι + Х2 + 4х3 — Х4 = 0; 2χι — 3x2 + 4хз — 3x4 = 0, б) ^ 3χι — Х2 + Нхз — 13x4 = 0, 4χι + Х2 + 18хз — 23x4 = 0; Ι χι + (1 - г)х2 - гх3 = 0, в) < I —ζχι + 4x2 = 0. 43.19. Найти проекцию вектора χ на подпространство L и ортогональную составляющую вектора х: а) х = (4, -1, -3, 4) и L = <(1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, -1), (1, 0, 0, 3)); б) χ = (5, 2, -2, 2) и L = ((2, 1,1, -1), (1, 1, 3, 0), (1, 2, 8, 1)); в) х = (7, —4, -1,2) и! задано системой уравнений 2χι + х2 + хз + 3x4 = 0, 3χι + 2х2 + 2х3 + Х4 = 0, χι + 2х2 + 2х3 — 4x4 = 0; г) χ = (0, 1 + г, -г) и L = ((-г, 2 + г, 0), (3, -г + 1, г)); д) χ = (г, 2 — г, 0) и L задано системой уравнений (2 + ζ)χι — гх2 + 2хз + гх4 = 0, (2 + ζ)χι — гх2 + 2хз + гх4 = 0, 5χι + (-1 + г)х2 + хз = 0. 43.20. Доказать, что если в процессе ортогонализации система векторов αϊ, ..., ап переходит в систему &ι, ..., 6η, то вектор Ь^ есть
144 Гл. 10. Метрические векторные пространства ортогональная составляющая вектора а& относительно линейной оболочки системы αϊ, ..., &k-i (k > 1). 43.21. Найти расстояние от вектора χ до подпространства, заданного системой уравнений: ч го л η ιλ ί 2^ι +2ж2 + Ж3 +Ж4 = 0, а) ж = (2, 4, 0, -1), < ; v У |2ж1+4ж2 + 2ж3+4ж4 = 0; ^ ,Q Q . 0ч (х!+2х2+Хз-Х4 = 0, б) я = (3,3,-4, 2), <^ Ι χι + 3^2 + хз — 3^4 = U; в) χ = (3, 3, —1, 1, —1), 2х\ — 2x2 + З^з — 2^4 + 2х^ = 0; г) χ = (3, 3, —1, 1, —1), χι — 3^2 + 2^4 — хъ = 0; д) ж = (0, -г, 1 + г), χχ + гх2 - (2 - г)ж3 = 0; е) ж = (1, —1, г), χι + (5 + 4г)ж2 — гж3 = 0. 43.22. Пусть (ei, ...,е/е) — ортонормированная система векторов n-мерного евклидова (эрмитова) пространства. Доказать, что для любого вектора χ выполняется неравенство Бесселя Σ \(Χι ег)\2 ^ \\Х\ II*. ЧЛ ^ll-ll2: г=1 причем равенство достигается для любого χ тогда и только тогда, когда к — п, т. е. данная система векторов является ортонормиро- ванным базисом пространства V (равенство Парсеваля). 43.23. Пользуясь неравенством Коши, доказать, что к ι2 к ^αφλ ^ ^ \аг\2\Ьг\2 i=l ' ij = l для любых комплексных чисел αϊ, ..., α&, &ι, ..., Ь&. 43.24. Доказать, что квадрат расстояния от вектора χ евклидова (эрмитова) пространства до подпространства с базисом (ei, ..., е/е) равен отношению определителей Грама систем векторов (еь ..., efe5 ж) и (еь ..., е&). 43.25. Доказать, что определитель Грама любой системы векторов: а) в процессе ортогонализации не меняется; б) неотрицателен; в) равен нулю тогда и только тогда, когда система линейно зависима;
§43- Геометрия метрических пространств 145 г) не превосходит произведения квадратов длин векторов системы, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы попарно ортогональны или один из них нулевой. 43.26. Доказать, что определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы не превосходит произведения элементов ее главной диагонали. 43.27. Доказать, что для любой вещественной квадратной матрицы А = (dij) порядка η выполняется неравенство Адамара η (detA)^n Σ г=1 S" = l причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда либо η ^2aikajk =0 (г, j = l, ...,п;г^ j), fe=l либо матрица А имеет нулевую строку. Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для комплексной матрицы А. 43.28. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника ABC в пространстве IR5: а) А = (2, 4, 2, 4, 2), В = (6, 4, 4, 4, 6), С = (5, 7, 5, 7, 2); б) А =(1,2, 3,2,1), В = (3,4, 0, 4,3), C=(l + AVra,2+AV78,3+gV78,2+AV78,l + AV78). 43.29. С помощью скалярного произведения векторов доказать, что: а) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон; б) квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. 43.30. Методом наименьших квадратов решить переопределенную систему линейных уравнений: (х\ + Х2 - Зж3 = —1, ч Ι 2χι + х2 - 2х3 = 1, а) < \χι + х2 + хз = 3, [χι + 2х2 - Зхз = 1;
146 Гл. 10. Метрические векторные пространства \2χι — 5x2 + З^з + ха — 5, ^N I Ъх\ — 7x2 + З^з — ха — —1, б) < Ъх\ — 9^2 + б^з + 2^4 = 7, ^4^1 — 6^2 + З^з + Х4 = 8. 43.31. (n-мерная теорема Пифагора.) Доказать, что квадрат диагонали n-мерного прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из одной вершины. 43.32. Найти число диагоналей n-мерного куба, ортогональных данной диагонали. 43.33. Найти длину диагонали n-мерного куба с ребром а и углы между диагоналями куба и его ребрами. 43.34. Найти радиус шара, описанного около n-мерного куба с ребром а, и решить неравенство R < а. 43.35. Доказать, что длина ортогональной проекции ребра п-мер- ного куба на любую его диагональ равна 1/п длины диагонали. 43.36. Вычислить объем n-мерного параллелепипеда со сторонами: а) (1, -1, 1, -1), (1, 1, 1, 1), (1, 0, -1, 0), (0, 1, 0, -1); б) (1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (2, 1, 1, 3), (0, 1, -1, 0); в) (1,1,1,2,1), (1,0,0,1,-2), (2,1,-1,0,2), (0,7,3,-4,-2), (39,-37, 51,-29,5); г) (1,0,0,2,5), (0,1,0,3,4), (0,0,1,4,7), (2,-3,4,11,12), (0,0,0,0,1). 43.37. Доказать, что для объема параллелепипеда выполняется неравенство V(ai, ..., afe, &i, ..., bi) ^ У(аь ..., ak) · V(bu ..., 6/), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда (сц, bj) = 0 при всех г и j. 43.38. Найти угол между вектором χ и подпространством L: а) L = ((3, 4, -4, -1), (0, 1, -1, 2)), х= (2, 2, 1, 1); б) L = ((5, 3, 4, -3), (1, 1, 4, 5), (2, -1, 1, 2)), χ = (1, 0, 3, 0); в) L = ((1, 1, 1, 1), (1, 2, 0, 0), (1, 3, 1, 1))), χ = (1, 1, 0, 0); г) L = <(0, 0, 0, 1), (1, -1, -1, 1), (-3, 3, 3, 0)}, χ = (1, 2, 3, 0). 43.39. Доказать, что если каждые два различных из к векторов евклидова пространства V образуют между собой угол 7г/3, то к ^ dim V.
§43- Геометрия метрических пространств 147 43.40. Доказать, что если каждые два различных из к векторов евклидова пространства образуют тупой угол, то к ^ 1 + dim V. 43.41. Найти угол между диагональю n-мерного куба и его /с-мер- ной гранью. 43.42. Найти угол между двумерными гранями а$а\а2 и а^а^а^ правильного четырехмерного симплекса αοαια2&3&4· 43.43. Найти угол между подпространствами ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)), ((1, 1, 1, 1), (1, -1, 1, -1)). 43.44. Многочлены Р„М = 1, Pk{x) = ^£.[(^-lf] (к = 1,2,..., п) называются многочленами Лежандра. а) Доказать, что многочлены Лежандра образуют ортогональный базис в евклидовом пространстве Щж]п со скалярным произведением ξ f{x)g{x) dx. б) Найти явный вид многочленов Рк(х) для к ^ 4. в) Доказать, что deg Рк{х) = А:, и найти развернутое выражение для Рк(х) при всех к. г) Вычислить длину многочлена Лежандра Рк{х). д) Вычислить значение Р/с(1). е) Доказать, что при применении процесса ортогонализации к базису (1, ж, ж2, ..., хп) пространства Ш[χ]η получается базис, элементы которого лишь постоянными множителями отличаются от соответствующих многочленов Лежандра, и найти эти множители. ι ж) Доказать, что интеграл \ f(x)2 dx, где f(x) — многочлен сте- -1 пени η с вещественными коэффициентами со старшим коэффициентом 1, достигает своего минимума 02п + 1 (2^+ΐ)(2;) при f(x) = 7^pn(x)-
148 Гл. 10. Метрические векторные пространства 43.45. В пространстве М[ж]п со скалярным произведением ι f(x)g(x) dx -ι найти: а) объем параллелепипеда Р(1, ж, ..., хп); б) расстояние от вектора хп до подпространства Μ[χ]η_ι. 43.46. В пространстве L непрерывных функций на отрезке [—π, π] со скалярным произведением (/, 9) = ^] №g(t) dt найти проекцию функции tm на подпространство V — (1, cos £, sin £, ..., cos η£, sin ηί). 43.47. Пусть V — псевдоевклидово пространство сигнатуры (р, д) и И^ — подпространство в V. Доказать, что: а) если скалярное произведение на W положительно определено, то dim W ^ р\ б) если (ж, х) — 0 для любого χ £ И^, то dim И^ ^ min(p, g). 43.48. Пусть на векторном пространстве задано невырожденное скалярное произведение сигнатуры (р, q) и ограничение его на подпространство W — невырожденное скалярное произведение сигнатуры (j/, qr). Доказать, что ограничение скалярного произведения на W1- невырождено и имеет сигнатуру (р — р1, q — qf). 43.49. Доказать, что в псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (р, д), где ρ и q отличны от нуля, существует базис, состоящий из изотропных векторов. § 44. Сопряженные и нормальные операторы 44.1. Доказать следующие свойства операции перехода к сопряженному оператору в метрическом пространстве: а) Л** = Л; б) (Л + £)* = Л* + £*; в) (Л£)* = £*Л*; г) (ДЛ)*=АЛ*; д) Л*Л и АА* -—самосопряженные операторы; е) если оператор А невырожден, то (Л-1)* = (Л*)-1.
§44- Сопряженные и нормальные операторы 149 44.2. Найти матрицу оператора Л* в базисе е метрического векторного пространства У, если оператор Л имеет в этом базисе матрицу Л, а скалярное произведение — матрицу G. 44.3. Пусть (ei, e<i)—ортонормированный базис метрического векторного пространства и оператор Л имеет в базисе (ei, е\ + e<i) матрицу ( ). Найти матрицу оператора Л* в этом базисе. 44.4. Найти оператор, сопряженный к проектированию координатной плоскости на ось абсцисс параллельно биссектрисе первой и третьей четвертей. 44.5. Пусть Л — проектирование метрического векторного пространства V на подпространство V\ параллельно подпространству Т/2- Доказать, что: а) V = V1±®V2±; б) Л* — проектирование пространства V на V^~ параллельно Vf1. 44.6. Доказать, что если подпространство метрического векторного пространства инвариантно относительно линейного оператора Л, то его ортогональное дополнение инвариантно относительно оператора Л*. 44.7. Доказать, что ядро и образ сопряженного оператора Л* являются ортогональными дополнениями соответственно к образу и ядру оператора Л. 44.8. Доказать, что если χ — собственный вектор операторов Л и Л* в метрическом векторном пространстве с собственными значениями λ и μ, то μ = λ. 44.9. Пусть V — пространство вещественных бесконечно дифференцируемых периодических функций периода h > 0 со скалярным h произведением \ f(x)g(x) dx. о а) Найти оператор, сопряженный к оператору дифференцирования Ί). б) Доказать, что отображения Либ, заданные правилами η η где щ, и ι, ..., un G V — фиксированные функции, являются линейными операторами в V и В — Л*.
150 Гл. 10. Метрические векторные пространства в) Доказать, что оператор, определенный правилом Af = sin2 ^xv\f) + ψ sin %xV(f), является самосопряженным. 44.10. Пусть V — пространство вещественных бесконечно дифференцируемых функций на отрезке [а, Ь] со скалярным произведением ъ \ f(x)g(x) dx. Доказать, что: а а) если функции щ, ·.·, ип G V удовлетворяют условиям &(иа)(а) = &(иа)(Ь) = 0 (j = 1, ..., η; г = 0, 1, ..., j - 1), то отображения А и Б, определенные правилами η η Л/ = Σ «<£>*(/)> ^ = ^(-l^W), г=0 г=0 являются линейными операторами в V и В = *Д*; б) линейный оператор Л, определенный правилом Af = (χ - а)2(х - b)2V2(f) + 2(х - α)(χ - Ь)(2х - α - &)£>(/), самосопряжен. 44.11. Доказать, что если линейные операторы An В в простран- ъ стве Щх] со скалярным произведением \ f(x)g(x) dx определены а правилами ъ ъ Af = ξ Р(х, j/)/(i/) dj/, Б/ = ξ P(j/, x)/(j/) dy, a a где P(x, у) G Щх, у], το Β = A*. 44.12. Доказать, что если А — самосопряженный оператор, то функция /(ж, у) — (Ах, у) эрмитова. 44.13. Доказать, что если А и В — самосопряженные операторы в метрическом векторном пространстве V и (Ах, х) — (Вх, х) для всех χ G V, то А = В. 44.14. Доказать, что оператор А в евклидовом или эрмитовом пространстве V нормален тогда и только тогда, когда \Ах\ = \А*х\ для всех χ G V.
§44- Сопряженные и нормальные операторы 151 44.15. Доказать, что если χ — собственный вектор нормального оператора Л в евклидовом или эрмитовом пространстве с собственным значением λ, то χ — собственный вектор оператора Л* с собственным значением λ. 44.16. Доказать, что собственные векторы нормального оператора в метрическом векторном пространстве с различными собственными значениями ортогональны. 44.17. Доказать, что: а) ортогональное дополнение к линейной оболочке собственного вектора нормального оператора Л в евклидовом или эрмитовом пространстве инвариантно относительно А] б) оператор в эрмитовом пространстве нормален тогда и только тогда, когда он имеет ортонормированный собственный базис; в) оператор в евклидовом или метрическом пространстве нормален тогда и только тогда, когда любой его собственный вектор является собственным для сопряженного оператора. 44.18. Доказать, что любое множество перестановочных нормальных операторов в эрмитовом пространстве имеет общий ортонормированный базис. 44.19. Доказать, что если нормальный оператор Л в эрмитовом пространстве перестановочен с оператором В, то Л перестановочен с В*. 44.20. Пусть Л, В — нормальные операторы в эрмитовом пространстве, причем характеристические многочлены этих операторов равны. Доказать, что матрицы операторов Л и В в любом базисе подобны. 44.21. Пусть Л — нормальный нильпотентный оператор в эрмитовом пространстве. Тогда Л — 0. 44.22. Оператор Л в эрмитовом пространстве нормален тогда и только тогда, когда Л* = ρ (Л) для некоторого полинома p(t). 44.23. Для всякого многочлена η f(x) = V^ (цхг е К [χ] ПОЛОЖИМ η Доказать, что если Л — оператор в метрическом пространстве, то:
152 Гл. 10. Метрические векторные пространства б) если ДЛ) = О, то /(Л*) = 0. 44.24. Пусть Л— нормальный оператор в метрическом векторном пространстве V и f(x) £ К [ж]. Доказать, что: а) ядро Ker /(Л) инвариантно относительно Л*; б) Кег7Й*) = Кег/(Л); в) если /(ж) = /ι(ж)/2(ж), где /ι(ж) и /2(ж) взаимно просты, то КегДЛ) является ортогональной прямой суммой подпространств КегД(Л)иКег/2(Л); г) если (ДЛ))П = 0, то ДЛ) = 0. 44.25. Пусть Л— нормальный оператор в евклидовом пространстве У, причем Л2 = — Е. Доказать, что Л* = — Л. 44.26. Пусть p(t) — t2 + at + b — вещественный неприводимый многочлен. Предположим, что Л — нормальный оператор в евклидовом пространстве, причем ρ (Л) — 0. Доказать, что Л* = —Л — аЕ. 44.27. Пусть Л — нормальный линейный оператор в евклидовом пространстве У, U — двумерное инвариантное относительно Л подпространство в У, причем Л не имеет в U собственных векторов. Доказать, что: а) U инвариантно относительно Л*; б) U1- инвариантно относительно Л и Л*. 44.28. Пусть Л — нормальный линейный оператор в двумерном евклидовом пространстве С/, причем Л не имеет собственных векторов. Пусть е = (ei, б2) —ортонормированный базис. Доказать, что матрица оператора Л в базисе е имеет вид fa -Ъ\ \Ъ а)' 44.29. Пусть Л — нормальный оператор в евклидовом пространстве V. Доказать, что в V существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора Л имеет блочно-диагональный вид I I' \0 Ап) размер клеток Ai не выше двух, причем клетки Ai размера два имеют вид fa>i -ЬЛ \Ьг Cii)'
§45- Самосопряженные операторы 153 44.30. Доказать, что всякий оператор в евклидовом (эрмитовом) пространстве является суммой симметрического и кососимметриче- ского (эрмитова и косоэрмитова) операторов. 44.31. Доказать, что всякий оператор Л в евклидовом пространстве V кососимметричен тогда и только тогда, когда для любого χ £ V векторы χ и Ах ортогональны. 44.32. Доказать, что для всякого кососимметрического оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором его матрица имеет клеточно-диагональный вид, где по главной диагонали стоят нули или клетки вида Ό -а а 0 a £ § 45. Самосопряженные операторы. Приведение квадратичных функций к главным осям 45.1. Доказать, что произведение двух самосопряженных операторов в метрическом векторном пространстве является самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны. 45.2. Доказать, что если Л и В — самосопряженные операторы в метрическом векторном пространстве, то: а) оператор ЛВ + В А самосопряжен; б) при λ = — λ оператор \{ЛВ — В Л) самосопряжен. 45.3. Доказать, что проектирование метрического пространства L\ 0 L2 на подпространство L\ параллельно L^ является самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда L\ и L^ ортогональны. 45.4. Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей: а) 17 -8 4 /0 0 0 V -8 17 -4 0 0 0 1 1 0 0 0 4 -4 11 1\ 0 0 (V 5
154 Гл. 10. Метрические векторные пространства /1 1 1 1\ 1 1-1-1 1-1 1-1 Vi -ι -ι ι) 45.5. Доказать, что функции ж) 1 —=, cos χ, sin χ, .... cos nx, sin nx л/2 составляют собственный ортонормированный базис для симметрией2 ческого оператора —^ в пространстве Уп = {^о + αϊ cos χ + b\ sin χ + ... + an cos nx + bn sin пж | a^, 6^ £ M} 1 г со скалярным произведением — \ f(x)g(x) dx. — π 45.6. Доказать, что многочлены Лежандра (задача 43.44) составляют собственный ортогональный базис для самосопряженного оператора, определенного правилом (Af)(x) = {x2-l)f"(x) + 2xf'(x), в пространстве многочленов степени ^ η со скалярным произведением 1 ξ f{x)g{x) dx. -ι 45.7. Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе эрмитова оператора, заданного в некотором ортонормированием базисе матрицей: ч / 3 2 + 2Λ ^ /3 -Α λ / 3 2-А а) ^2-2г 1 У б) ^г 3)"' В) ^2 + г 7 | 45.8. В пространстве матриц МП(С) положим (А,В)=Ъ(А-*В). Доказать, что: а) МП(С)—эрмитово пространство; б) всякая унитарная матрица в этом пространстве имеет длину ^п; в) операторы X \-^ АХ и X \-^ 1АХ в пространстве МП(С) сопряжены;
§45- Самосопряженные операторы 155 г) оператор X \-^ АХ, где А — унитарная матрица, является унитарным. 45.9. Доказать, что самосопряженные операторы евклидова или эрмитова пространства перестановочны тогда и только тогда, когда они имеют общий ортонормированный собственный базис. 45.10. Доказать, что самосопряженный линейный оператор в евклидовом или эрмитовом пространстве: а) неотрицателен тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотрицательны; б) положителен тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны. 45.11. Доказать, что если А — оператор в евклидовом или эрмитовом пространстве, то А*А — неотрицательный самосопряженный оператор и положителен тогда и только тогда, когда оператор А обратим. 45.12. Доказать, что если два неотрицательных самосопряженных оператора в евклидовом или эрмитовом пространстве перестановочны, то их произведение — неотрицательный самосопряженный оператор. 45.13. Доказать, что для всякого неотрицательного (положительного) самосопряженного оператора А в евклидовом или эрмитовом пространстве существует такой неотрицательный (положительный) самосопряженный оператор В, что В2 = А. 45.14. Пусть оператор А в трехмерном евклидовом пространстве в некотором ортонормированном базисе задан матрицей 13 14 4\ 14 24 18 . 4 18 29/ Найти в этом базисе матрицу положительного самосопряженного оператора В такого, что В2 — А. 45.15. Доказать, что собственные значения произведения двух неотрицательных самосопряженных операторов в евклидовом или эрмитовом пространстве, один из которых обратим, являются вещественными и неотрицательными. 45.16. Доказать, что неотрицательный самосопряженный оператор ранга г в евклидовом или эрмитовом пространстве является суммой г неотрицательных самосопряженных операторов ранга 1.
156 Гл. 10. Метрические векторные пространства 45.17. Доказать, что всякий линейный оператор А эрмитова пространства единственным образом представим в виде Λ = Λι + гЛ2, где А\ и Л2 —эрмитовы операторы. 45.18. Пусть А — вещественная матрица Якоби, т.е. симметрическая матрица вида /αϊ βι 0 ... О \ \ βΐ Οί2 /?2 ... О О β2 α3 ... О О 0 0 ... βη-! \0 0 0 ... ап J причем β ι · ... · β η-1 -φ 0. Доказать, что А не имеет кратных собственных значений. 45.19. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную функцию к главным осям: а) Qx\ + Ъх\ + 7^з — ^х\Х2 + ^х\Хз] б) llxf + 5^2 + 2^з + 16^1^2 + 4^ι^3 — 20^2^з; в) х\ + х\ + Ъх\ — 6х\Х2 — 2χχχ3 + 2ж2^з; г) х\-\- х\ + х\+ ΑχιΧ2 + 4:Х\Хз + 4ж2^з; д) ж2 - 5^2 + ^з + 4^ι^2 + 2^ι^3 + 4ж2ж3; е) 2^ι^2 — 6^ι^3 — Qx2X4 + 2жз^4; ж) 3x1 + 8^ι^2 — Ъх\ + 4^з — 4^3^4 + Ж45 з) ж2 + 2^ι^2 + х\ — 2^з — 4жз^4 — 2^45 и) 9x1 + 5^2 + 5^з + 8ж| + 8ж2ж3 — 4ж2^4 + 4ж3^4; к) 4а:2 — 4^2 — 8^2^3 + 2^з — Ъх\ + 6x4^5 + За:2· 45.20. Доказать, что если f{x)= Σ ^х*, то max(|Ai|, ..., |Ar|) = max |/(ж)|. |ж| = 1 45.21. Привести эрмитову квадратичную функцию к главным осям: а) 5|xi|2 + г^/Зх\Х2 — i\fbx\x2 + 6|ж212; б) 2|χι|2 + \χ2Ϋ + 2ζ^ιΧ2 — 1ix\x2 + 2г^2^з — 2гж2^з; в) \χ\γ + 2|ж212 + 3|ж3|2 — 2гх\х2 + 2ix\X2 + 2г^2^з — 2г^2Жз·
§46. Ортогональные и унитарные операторы 157 § 46. Ортогональные и унитарные операторы. Полярное разложение 46.1. Доказать, что ортогональные (унитарные) операторы образуют группу относительно умножения. 46.2. Доказать, что если оператор в евклидовом (эрмитовом) пространстве сохраняет длины векторов, то он ортогонален (унитарен). 46.3. Доказать, что если векторы χ и у евклидова (эрмитова) пространства имеют одинаковую длину, то существует ортогональный (унитарный) оператор, переводящий χ в у. 46.4. Пусть χι, ..., Хк и у ι, ..., у к —две системы векторов евклидова (эрмитова) пространства. Доказать, что ортогональный (унитарный) оператор, переводящий Xi в у ι (г = 1, ..., /с), существует тогда и только тогда, когда (а^5 Xj) — {у ι, yj) при всех г и j от 1 до к. 46.5. а) Пусть w — ненулевой вектор евклидова (эрмитова) пространства. Для любого вектора χ положим (_/ ijj \tL·) — *L· (ΐϋ, w) _L Доказать, что Uw{w) = —w и Uw{y) = г/, если х £ (w) б) Пусть ж, у — ненулевые векторы евклидова (эрмитова) пространства, причем у (£ (w). Доказать, что найдется такой вектор w, что \\Х\\ UW(X) = 7Г-ГГУ. \\у\\ 46.6. Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей: 2 2 -1\ / 1 1 — л/2^ з( \ -\ \У 6>f1 - \-1 2 2/ \V2 -у/2 ι -\/ё\ 3 \/б ; -л/6 2 / Д>* 1 1\ 1 1
158 Гл. 10. Метрические векторные пространства 1 -1 -1 1 1\ 1 1 -V 2 2 1 4 1 О 4 «о* 3 б -2 3\/2 1 3 --L\ V2 1 Зл/2 2 loo / ; м) /I V 4 V6 1 2 / 46.7. Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе унитарного оператора, заданного в некотором орто- нормированном базисе матрицей: — sin a cos a (а ^ /от): 4г 4-Зг -2-6г -!)■ 46.8. Доказать, что унитарная матрица порядка 2 с определителем, равным 1, подобна вещественной ортогональной матрице. 46.9. Доказать, что если Л — унитарный оператор в эрмитовом пространстве и оператор Л — 8 обратим, то оператор г (Л — 8)~1{Л+8) эрмитов. 46.10. Пусть Л-—эрмитов оператор. Доказать, что: а) оператор Л — г8 обратим; б) оператор В — (Л — i8)~l(A + г£) унитарен; в) оператор В — 8 обратим; г) A = i(B-S)-1(B + S). 46.11. Доказать, что для всякого эрмитова оператора Л оператор егЛ унитарен и, обратно, всякий унитарный оператор представим в виде егЛ, где Л —эрмитов оператор. 46.12. Пусть V — евклидово пространство с базисом (ei, б2, ез) и Л — ортогональный оператор в V с определителем 1. Доказать, что У\ — */\φ&η{}*/\ψ,
§46. Ортогональные и унитарные операторы 159 где Αφ и Лф —повороты в плоскости (ei, e<i) на углы φ и ψ, В$— поворот плоскости (б2, ез) на угол ϋ. 46.13. Пусть V — пространство эрмитовых матриц порядка 2 над полем Ш с нулевым следом и (А, В) — tr AB (Д BG У). Доказать, что: а) V — евклидово пространство с ортонормированным базисом 1 М° -lj' б2 ^1 О)' 6з ^\-г θ)' б) оператор, определенный правилом X \-^ АХ1 A (I G V), где А — унитарная матрица, является ортогональным; в) для всякого ортогонального оператора А в пространстве V существует такая унитарная матрица порядка 2 с определителем 1, что АХ = АХ1 А для всех X eV. 46.14. Доказать, что всякий ортогональный оператор А в евклидовом пространстве является произведением отражений относительно гиперплоскостей и минимальное число множителей равно коразмерности подпространства Кет(А — £). 46.15. Доказать, что если А, В— положительные самосопряженные операторы, А — ВС и оператор С ортогонален (унитарен), то С = 8. 46.16. Представить в виде произведения положительного самосопряженного и ортогонального операторов оператор, заданный в некотором ортонормированном базисе матрицей: .,(»-!> «>(!-!> ■>(_!"!-!)· 46.17. Доказать, что в разложении А = ВС оператора в евклидовом (эрмитовом) пространстве, где В — неотрицательный самосопряженный (эрмитов) оператор, С — ортогональный (унитарный) оператор, оператор В определен однозначно. 46.18. Доказать, что для всякого унитарного оператора А и любого натурального числа к существует унитарный оператор В, являющийся многочленом от А и такой, что Вк = А. * * * 46.19. Доказать, что самосопряженный оператор А положителен, когда коэффициенты ci,...,cn его характеристического полинома tn + c\tn~l + ... + сп отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки.
160 Гл. 10. Метрические векторные пространства 46.20. Пусть А, В— самосопряженные операторы, причем А положителен. Доказать, что собственные значения оператора АВ вещественны. 46.21. Пусть А— положительный и В — неотрицательный операторы. Доказать, что собственные значения ЛВ вещественны и неотрицательны. 46.22. Пусть А— самосопряженный оператор. Доказать, что следующие условия эквивалентны: а) все собственные значения А лежат в интервале [а, 6]; б) оператор А — \8 отрицателен при λ > Ъ и положителен при X < а. 46.23. Пусть Л, В — самосопряженные операторы, собственные значения которых лежат соответственно на отрезках [а, Ь] и [с, d]. Доказать, что собственные значения А + В лежат на отрезке [а + с, Ь + d]. 46.24. Пусть А— самосопряженный оператор. Доказать, что оператор ел положителен и самосопряжен. 46.25. Пусть А = ВЫ — полярное разложение оператора А, где В — неотрицательный самосопряженный оператор, Ы — унитарный оператор. Доказать, что А нормален тогда и только тогда, когда ВЫ = UB. 46.26. Пусть А = ВЫ — полярное разложение оператора А, где В — неотрицательный самосопряженный оператор, Ы — унитарный оператор. Предположим, что λ ι ^ ... ^ λη ^ 0 — собственные значения В. Рассмотрим в пространстве операторов норму, соответствующую согласно утверждению задачи 42.5, б) норме в эрмитовом пространстве. Доказать, что: а) Μ|| = λι; б) если оператор А обратим, то λη > 0 и ||А_1|| = т—. 46.27. Пусть А— невырожденная квадратная комплексная матрица размера п. Рассмотрим систему линейных уравнений АХ = Ь. Пусть Xq —точное решение, Х\ —приближенное, г = Ъ — АХ\ —вектор невязки. Доказать, что 4*0 -*1 || .и „и и ,_!„ И ^ ПАП - ПА" №11 ||Ь|Г 46.28. Пусть А — квадратная комплексная матрица. Доказать, что А — UiDU2, где C/i, Ό2 — унитарные матрицы, D — диагональная матрица. По главной диагонали D стоят квадратные корни из собственных значений матрицы А · Ы.
§46. Ортогональные и унитарные операторы 161 46.29. Пусть А = (dij) — комплексная квадратная матрица порядка п. Доказать, что: а) det(A · *4) ^ l·£ \а1гА ■ ... ■ ГΣ Ы2) ; б) | det А\ ^ пп/2 · (max |α^·|)η; в) указанная в б) оценка точная. 46.30. Пусть A £ Мп(С). Доказать, что Л = С/Д, где U — унитарная матрица, a R — верхнетреугольная. Если А £ Мп(М), то Л = Qi?, где Q — ортогональная, а Д — вещественная верхнетреугольная матрица. 46.31. Пусть А £ Мп(С). Доказать, что lAA = lRR, где R — верхнетреугольная матрица. Если А £ Мп(М), то R можно выбрать из Mn(R). 46.32. Доказать, что всякая унитарная матрица является произведением вещественной ортогональной и комплексной симметрической матриц. 46.33. Пусть V — комплексное векторное пространство со скалярным произведением (в поле С рассматривается тождественный автоморфизм). Доказать, что для любого симметрического оператора А в пространстве V существует жорданов базис, в котором матрица скалярного произведения клеточно-диагональна с клетками /0 0 ... 0 1\ 0 0 ... 1 0 0 1 ... 0 0 \1 0 ... 0 0/ того же размера, что и жордановы клетки матрицы оператора А.
Глава 11 ТЕНЗОРЫ § 47. Основные понятия В этом параграфе V — n-мерное векторное пространство, η ^ 2, (ei, ..., еп)— базис V, (е1, ..., еп) — сопряженный базис пространства V*. 47.1. Какие из следующих тензоров, заданных своими координатами, разложимы: a) Uj = ij; б) t) = Suj; в) tlJ = г + j; г) tk%j = 2i+j+k2; д) t\J = SijSjk; e) tijk = 5ij5jk5k{! 47.2. Найти значение F(v, f) тензора F = e1 0 e2 + e2 (g) (ei + 3e3) G T}(F). где ν = ei + 5e2 + 4e3, / = e1 + e2 + e3. 47.3. Найти значение тензора А® В — В <g> A <E T®(V) от набора (vi, ...,v5): а) A = el®e2 + e2®e2' + e2®e2eT9l{V)1 Б = е10е1®(е1-е3)еТ§(У), υι = ei, v2 = ei + e2, v3 = e2 + e3, υ4 = ^5 = e2; б) A = e1 Θ e2 + e2 0 e3 + e3 Θ e1 G T§(F), Б G T§(F), все координаты тензора В равны 1, v\ = е\ + е2, г>2 = е2 + е3, v3 = е3 + ei, г;4 = v5 = e2. 47.4. Найти значение F(v, ν, ν, /, /) тензора F G Т§(У), если все координаты тензора F равны 3, и υ = е\ + 2е2 + Зе3 + 4е4, / = е1 - е4. 47.5. Найти координату ί^3 тензора Τ £ T^fV), все координаты которого в базисе (ei, б2, ез) равны 2, в базисе /1 2 3\ (ei,e2, е3) = (еье2,е3) 0 1 2 . 47.6. Найти координаты с индексами 1, 2, 3, 3, 3 произведений А® В и В ® А тензоров А = е1 ® е2 + е3 Θ е3 е Т°(У), β = £(vb v2, v3) G Т°(У), где B(v\, V2, г>з)— определитель, составленный из координат г>1, г>2, ^з в базисе (ei, б2, ез).
§47. Основные понятия 163 47.7. Найти координаты: а) £«2ΐ тензора е1 ® е2 ® {е\ + е2) G Т^У) в базисе (ei,e2) = (ei,e2)L 3j; б) t\2 тензора Τ G T2(V), все координаты которого равны 1, в базисе (ei,e2) = (ei,e2)L J; в) Щ тензора е2 <8> е1 0 ез 0 ei + е3 <S> е3 0 ei 0 е2 G Т2,^) в базисе (ёь ё2, ё3) = (еь е2, е3) 47.8. Найти координаты тензоров: а) (ei +e2) 0 (ex - e2); б) (ei + e2) <g> (ei + e2); в) (ei + 2е2) 0 (ех + е2) - (ei + е2) Θ (ei + 2e2); г) (ei + 2е2) 0 (е3 + е4) - (ei - 2е2) ® (е3 - е4). 47.9. Пусть η = 4, Г = е1 0 е2 + е2 0 е3 + е3 0 е4 G Т}(У). Найти все такие: а) / G V*, что Τ(v, f) = 0 для любого υ G V; б) υ G V, что Γ(υ, /) = 0 для любого / G V*. 47.10. Пусть η = 3, поле К = Ζρ, Τ = е1 ® е2 + е2 ® е3 G Tj(F). Найти число пар (г;, /)бУхР, для которых Τ (ν, /) = 0. 47.11. Найти ранг билинейных функций: а) (е1 + е2) 0 (е1 + е3) - е1 ® е1 - е2 ® е2; б) (е1 - 2е3) 0 (е1 + Зе2 - е4) + (е1 - 2е3) 0 е4; в) (е1 + е3) <8> (е2 + е4) - (е2 - е4) 0 (е1 - е3). 47.12. Доказать, что: а) ранг билинейной функции и® ν, где элементы w, г; G V* отличны от 0, равен 1; к б) ранг билинейной функции Σ Щ®Vi, где щ,..., Uk, ν\,..., Vk G V*, не превосходит /с. г=1 47.13. Найти полную свертку тензоров: а) (ei + Зе2 - е3) 0 (е1 - 2е2 + Зе4) - {ех + е3) 0 (е1 - Зе3 + е4); б) (ei + 2е2 + Зе3) ® (е1 + е2 - 2е3) - (ei - е2 + е4) 0 (е2 - 2е3 - Зе4); в) ei Θ (е1 + е2 + е3 + е4) + е2 0 (е1 + 2е2 + 2е3 + 4е4) + 2е3 ® ® (е1 -е2 -е4).
164 Гл. 11. Тензоры 47.14. Пусть а: V* ® V —» L(V) —канонический изоморфизм. Вычислить a(t)v при η = 4, где: а) £ = е1 <8) е3, υ = ех + е2 + е3 + е4; б) £ = (е1 + е2) Θ (е3 + е4), ν = 2ех + Зе2 + 2е3 + Зе4. 47.15. Найти χ G У* <8> V такой, что а{х) = (a(t))2 для £, равного: а) (2ε1 - е3) 0 (ei + е2); б) е1 0 е2 + (е1 + 2е2) ® е3. 47.16. Пусть на пространстве У задано скалярное произведение с матрицей /2 1 0 0\ 1 1 О О О 0 1 1 Г \0 0 1 2/ Провести опускание и подъем индексов у тензоров: а) е1 0 е3 + е2 0 е4; б) (е1 + е2) 0 (е3 + е4) - (е1 + е3) 0 е3; в) Ц = δ2ί + ^4j·; г) t) = iSij. 47.17. Доказать, что если оператор Л диагонализируем, то one- ратор А® также диагонализируем. 47.18. Пусть а — след оператора Л, d — его определитель. Найти: a) tr(A®A)\ б) tr(7t0/c); в) det(7t(g) A). 47.19. Найти жорданову форму матрицы оператора Л®й, если матрицы операторов An В имеют соответственно жорданову форму: •>Gi)-(sii> 6>GiMs;> в)С ΐ)·(»ϋ)· § 48. Симметрические и кососимметрические тензоры 48.1. Установить изоморфизм пространств (Т^(У))* и ТПЦУ). 48.2. Доказать следующие свойства операторов Sym и Alt в пространстве Tq(V): а) пересечение ядер Ker Sym и Ker Alt равно нулю при q — 2 и отлично от нуля при q > 2; б) Sym · Alt = Alt · Sym = 0; в) оператор V = {β — Sym)(£ — Alt) -—проектирование. Найти ранг оператора V при q — 3. 48.3. Доказать, что если основное поле имеет характеристику 0, то линейная оболочка тензоров вида vk (v £ V) совпадает с Sk(V).
§4-8· Симметрические и кососимметрические тензоры 165 48.4. Установить изоморфизм: a) S«(V! 0^)и0 5*(Vi) Θ S^(V2); i=l Я. 6) A^(Vi 0 V2) и 0 Al(Vi) Θ A«-%(V2). i=l 48.5. Доказать, что при dim V > 2 пространства Л2(Л2(У)) и Л4 (У) не совпадают. 48.6. Доказать, что для любой невырожденной билинейной функции / на пространстве V существует невырожденная билинейная функция F на пространстве Л2У, для которой F(v1Av2,v3Av4) = aet(ff(lVl'V3\ 'Μ). V ' \f{V2,V3) f(v2,V4)J 48.7. Найти след оператора Ад(Л) по его матрице Л: (9 = 2); б) (д = 2,3). /1 1 0 о -2 4 0 0 0 0 -4 -3 о\ 0 4 J (9 = 4); 48.8. Найти жорданову форму матрицы оператора Л2(Л), если матрица Л имеет жорданову форму: а) /1 О О 1 1 о о о 1 1 о о\ о 1 б) (2 0 0 \о 1 2 0 0 0 0 3 0 о\ 0 1 У в /2 0 0 0 \о 0 -2 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 1 0 о\ 0 ' 0 1 1/ 48.9. Доказать, что если tr Aq(A) = 0 для всех q > 0, то оператор А нильпотентен. 48.10. Доказать, что в n-мерном пространстве V ненулевой оператор вида Ап~1(А) на ЛП_1(У) либо невырожден, либо имеет ранг 1. 48.11. Доказать, что /с-мерное подпространство W С V инвариантно относительно линейного оператора А тогда и только тогда, когда AkW инвариантно относительно Ак(А). 48.12. Доказать, что для всякого бивектора ξ £ Л2 (V) существует базис (ei, ..., еп) пространства У, для которого ξ = ei Л е2 + е3 Л е4 + ... + e&_i Л ек при некотором четном к.
166 Гл. 11. Тензоры 48.13. {Лемма Картана.) Пусть система г>1, ..., Vk векторов пространства V линейно независима и £ι, ...,£&£ У. Доказать, что vi Λίι + ... + vk Mk = 0 тогда и только тогда, когда t\, ..., £& G (v\, ..., υ к), и матрица, состав- fe ленная из элементов а^·, где ί^ = Σ aijvji симметрическая. 3 = 1 48.14. Доказать, что бивектор ξ разложим тогда и только тогда, когда ξ Α ξ = 0. 48.15. Доказать, что для ξ £ ЛР(У), χ £ У, ж ^ 0, равенство ξ Λ χ = 0 выполняется тогда и только тогда, когда ξ = χ Λ ι? для некоторого ϋ £ ЛР_1(У). 48.16. Пусть ξ £ ЛР(У) —ненулевой р-вектор и W = {xeV\£Ax = 0}. Доказать, что: а) dim W ^ р; б) dim W = ρ тогда и только тогда, когда ξ разложим; в) наименьшее подпространство, в р-й степени которого лежит р-вектор ξ, есть U = {£0ъ ···, vp-i) \ Vi £ У*}; г) dim U ^ ρ, причем dim U — ρ тогда и только тогда, когда ξ разложим. 48.17. Доказать, что внутреннее умножение г (и*), где г;* £ У*, является дифференцированием алгебры S(V). 48.18. Доказать, что операторы внутреннего умножения i(vl) и г(г>2), V\, ^2 ^ ^*? коммутируют в алгебре 5(У) и антикоммутируют в алгебре Л (У).
Глава 12 АФФИННАЯ, ЕВКЛИДОВА И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ § 49. Аффинные пространства 49.1. Доказать, что для любых точек а, 6, с аффинного пространства ab + Ъс = ~ас. к 49.2. Доказать, что если Σ Xi = 0, то для любых точек αϊ, ..., α& г=1 /с аффинного пространства вектор ^ Касц не зависит от точки а. к 49.3. Доказать, что если ^ λ^ = 1, то для любых точек αϊ, ..., α& г=1 /с /с аффинного пространства точка α + ^ \%оЩ (обозначаемая ^ λ^α^) г=1 г=1 не зависит от точки а. 49.4. Пусть (Р, С/) — аффинное подпространство (плоскость) аффинного пространства. Доказать, что: а) U = {pq\p,qeP}; б) Ρ — ρ + U для любой точки ρ £ Р. 49.5. Доказать, что пересечение любого семейства плоскостей аффинного пространства либо пусто, либо является плоскостью. 49.6. Пусть S — непустое подмножество аффинного пространства А. Доказать, что: а) подмножество (S) = а + (αχ \ χ £ 5), где α G 5, не зависит от α и является наименьшей плоскостью, содержащей S; {к к ^ Е^аг\ Σ \i = l,aieS,keN\. г=1 г=1 ) 49.7. Доказать, что подмножество аффинного независимого множества аффинно независимо. 49.8. Доказать, что любое максимальное аффинно независимое подмножество множества S в аффинном пространстве содержит к + 1 точек, где к = 1 + dim(S). 49.9. Пусть в аффинном пространстве (А, V) заданы две системы аффинных координат: (a, ei, ..., еп) и (а7, e'l5 ..., е^), a (αϊ, ..., ап) — координаты точки а1 в первой системе и В — (6^·) —матрица перехода от базиса (ei,...,en) к базису (ε^,.,.,ε^) в векторном пространстве V. Выразить координаты (χχ, ...,жп) точки xei в первой
168 Гл. 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия системе через ее координаты (ж^5 ...5ж^) во второй системе, и наоборот. 49.10. Найти систему уравнений и параметрические уравнения, задающие аффинную оболочку множества: а) (-1, 1, 0, 1), (0, 0, 2, 0), (-3, -1, 5, 4), (2, 2, -3, -3); б) (1, 1, 1, -1), (0, 0, 6, -7), (2, 3, 6, -7), (3, 4, 1, -1). 49.11. Пусть а{ = (α^ι, ..., CLin) {г = 1, ..., s) — точки в п-мерном аффинном пространстве. Доказать неравенства rk(aij) - 1 ^ dim(ab ..., as) < rk(a^) и указать условия, при которых эти неравенства превращаются в равенства. 49.12. Доказать, что любые две прямые в аффинном пространстве содержатся в трехмерной плоскости. 49.13. Пусть Рх = αϊ + Li, Р2 = а2 + ^2 _ две плоскости в аффинном пространстве. Доказать, что: а) Р\ Π Р2 — 0 тогда и только тогда, когда а\а^ (£ L\ + L2; б) если Pi П Р2 ^ 0, то dim (Pi U Р2) = dim Ρλ + dim P2 - dim(Pi Π Ρ2); в) если Ρ\ Π Ρ2 = 0, το dim(Pi U Ρ2) = dim Ρλ + dim Ρ2 - dim(Li Π L2) + 1. 49.14. Доказать, что для любых плоскостей Pi, ..., Ps аффинного пространства dim(Pi U ...UPS) ^ dim Pi + ... + dim Ps + s - 1. 49.15. Доказать, что степень параллельности двух непересекающихся плоскостей Ρι, Ρ2 равна: а) наибольшему из чисел /с, для которых существуют параллельные плоскости QiCPihQ2CP2 размерности к; б) наибольшей размерности плоскости, содержащейся в Pi и параллельной Р2, если dim Pi ^ dim P2. 49.16. Найти размерность аффинной оболочки объединения плоскостей Pi и Р2 и размерность их пересечения или степень их параллельности, если: ν „ J Зж1 + 2ж2 + 2ж3 + 2ж4 = 2, J 2ж1+2ж2 + 3ж3 + 4ж4 = 5, а) Pi: < Р2 : < I 2xi + 3ж2 + 2^з + 5^4 = 3, I 5xi —ж2 +3^3 — 5^4 = 2;
§49. Аффинные пространства 169 б) Pi 2χι + Зж2 + 4жз + 5^4 — 6, 4^1 + 5ж2 + 4жз + Зж4 = 2, Зж1 = 1 + 2£ь ж2 = 3 + 2t2, в) Pi: { £3 = 5 + 4ί2, ^4 = 4 + 3ίι + 2ί2, 4a?5 = 2 + ii +2ί2, 49.17. Пусть Pi = αϊ + Li и Р2 Р2: < Ж ι χι = 1 - ίι, χ2 = 1 + 2ίι+ί2, χ3 = 1-2ίι+2ί2, ^4 = 1 + t\ +ί2; 6 + 4£, Χ2 = 2 + 3ί, ж3 = 2 + 7£, Χ4 — — 2 + 5£, ^5 = —3 + 3ί. ^2 + ^2 — Две непересекающиеся плоскости. Доказать, что минимальная размерность плоскости, содержащей Pi и параллельной Р^, равна dim Р\ + dim Р2 — dim(Li Π L^). 49.18. Пусть Pi, P2 —две плоскости в аффинном пространстве А над полем К, (Pi U P2) = Л, Pi Π Ρ2 = 0 и пусть λ — фиксированный элемент из К, λ ^ 0, 1. Найти геометрическое место точек \а\ + (1 — λ)α2, где а\ и d2 пробегают соответственно Pi и Р^. 49.19. Пусть Pi = αϊ + Li и Р2 = а2 + L2 — скрещивающиеся плоскости в аффинном пространстве. Доказать, что для любой точки b (£ P\ U P2 существует не более одной прямой, проходящей через Ъ и пересекающей Pi и Р2, причем такая прямая существует тогда и только тогда, когда b £ (Pi U P2), но a\b ^ L\ + L2 и a^b ^ L\ + L2. 49.20. Найти прямую, проходящую через точку b и пересекающую плоскости Pi и ?2- а) 6 =(6, 5, 1,-1), -Ж1 + 2х2 + ж3 = 1, Х\ + Ж4 = 1, б) 6= (5,9, 2, 10, 10), XI - Х2 - %4 + Х$ = 2, Pi: { х\ — х3 — Х4 + Х5 = 1, δχ\ + Зж2 — 2жз — ^5 = 0, f ЯГ1 =4 + £, ж2 = 4 + 2ί, жз = 5 + 3£, х4 = 4 + 4£; ж ι = 3, £2 = 2 + 6ίι + 5£2; хз = 0, Ж4 = 5 + 4ίι + 3£2. ж5 = 6 + t\ + 2ί2;
170 Гл. 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия в) 6= (6,-1,-5,1), Г χι = 3 + 2ί, I х2 = 5 - £, p. J ~6χι + 2ж2 - 5х3 + 4^4 = 1, Ι хз = 3 — £, 1 9χι — Х2 + бхз — 6x4 = 5. [Х4 = 6 + £, 49.21. Пусть αο, αϊ, ..., ап— аффинно независимые точки п-мер- ного аффинного пространства А. Доказать, что всякая точка α £ А η единственным образом представляется в виде а = ^ λ^, где г=0 η 49.22. Пусть (αο, ei, ..., еп) — аффинная система координат в аффинном пространстве (А, У), а^ = ао + е^ (г = 1, ..., п). Найти барицентрические координаты точки χ = (χι, ..., хп) относительно системы точек αο, αϊ, ..., αη. 49.23. Пусть (А, V) — аффинное пространство над полем К, \К\ ^ 3, Ρ— непустое подмножество в А. Доказать, что Ρ является плоскостью тогда и только тогда, когда вместе с любыми двумя различными точками а, Ъ £ Ρ в Ρ содержится прямая (а, 6). Верно ли это утверждение, если К — поле из двух элементов? 49.24. Доказать, что всякое аффинное преобразование, дифференциал которого не имеет собственного значения 1, обладает неподвижной точкой. 49.25. Доказать, что для любых двух точек а, Ъ аффинного пространства (Л, V) и любого невырожденного линейного оператора А в пространстве V существует единственное аффинное преобразование /, удовлетворяющее условиям /(а) = b и Df = А, где Df— дифференциал отображения /. 49.26. Доказать, что для любых аффинных преобразований / и g D(fg) = Df ■ D9j где Df — дифференциал отображения /. 49.27. Пусть / — аффинное отображение аффинного пространства А в аффинное пространство В над полем К, αϊ, ..., as £ А, αϊ, ..., as £ К. Доказать, что: S / S \ S а) еСЛИ Σ ai = ^ ТО / Σ aiai = Σ aif(ai)i i=l \i=l J i=l s / s \ s б) если Σ oii = 0, то Df Σ <*iai = Σ aif(ai)· i=l \i=l / i=l
§49. Аффинные пространства 171 49.28. Пусть / — аффинное преобразование аффинного пространства (А, V) над полем К, имеющее конечный порядок п. Доказать, что если char К {п, то / имеет неподвижную точку. Верно ли это, если char К | п? 49.29. Доказать, что если G — конечная группа аффинных преобразований над полем К и char if { |G|, то преобразования из G обладают общей неподвижной точкой. 49.30. Пусть αο, αϊ, ..., αη и ^о? &ъ ···> ^п —Дв& набора аффинно независимых точек в n-мерном аффинном пространстве А. Доказать, что существует единственное аффинное преобразование /: А^ А, при котором /(а^) = hi {г = 0, 1, ..., п). 49.31. Найти все точки, прямые и плоскости трехмерного аффинного пространства, инвариантные относительно аффинного преобразования, переводящего точки αο, αϊ, с&25 аз в точки &ο5 ^ъ &25 ^з соответственно: а)ао = (1,3,4),а1 = (2,3,4),а2 = (1,4,4),аз = (1,3,5),Ьо = (3,4,3), h = (8, 9, 9), Ъ2 = (-2, -2, -6), 63 = (5, 7, 8); б) а0 = (3, 2, 3), αϊ = (4, 2, 3), а2 = (3, 3, 3), а3 = (3, 2, 4), Ь0 = (2, 4, 6), б! = (1, 8, 12), Ъ2 = (-1, -5, -1), Ь3 = (6, 12, 11); в) а0 = (2, 5, 1), αι = (3, 5, 1), а2 = (2, 6, 1), а3 = (2, 5, 2), Ь0 = (3, 7, 3), б! = (6, 11, 6), Ъ2 = (5, 17, 9), 63 = (0, -5, -4); г) а0 = (2, 5, 4), αι = (3, 5, 4), а2 = (2, 6, 4), а3 = (2, 5, 5), Ь0 = (1, 6, 6), h = (8, 16,18), Ъ2 = (-11, -13, -18), 63 = (7, 16,19). 49.32. Доказать, что две конфигурации Pi, Р2 и Qi, Q2 в аффинном пространстве аффинно конгруэнтны в том и только том случае, если dim Pi = dim Q\, dim P2 = dim Q2, dim(Pi U P2) = dim(Qi U Q2>, и обе пары имеют одновременно пустое или непустое пересечение. 49.33. Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки а,Ь,с соответственно в точки αϊ, &ι, ci, а прямую / — в прямую /ι, если: а) α = (1, 1, 1, 1), Ь = (2, 3, 2, 3), с = (3, 2, 3, 2), / = (1, 2, 2, 2) + + (0,1,0,1)*, αϊ = (-1,1,-1,1), Ъх = (0, 4, 0, 4), Ci = (2, 2, 2, 2), ίι = (-1,2, 0,3) +(1,-5,1,-5)*; б) α = (2,-1,3,-2), b= (3,1,6,-1), с =(5,1,4,1), / = (2,0, 4, -1) + (0, 1, 2, 0)ί, αϊ = (1, -2, 3, 5), 6 = (2, 1, 8, 7), с = (3, 2, 10, -6), ί = (1,-1, 5,-2) +(0,2,3,-3)*;
172 Гл. 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия в) а = (2, -1, 2, 2), Ъ = (5, -4, 0, 3), с = (4, 4, б, 8), / = (7, 4, 10, 9) + + (4, 4, 5, 6)f, αϊ = (1, 3, 2, -2), h = (4, -2, О, 0), а = (-3, 10, 6, 2), Ζι = (5,-6,-1,5) +(2,-6,-3,2)*? 49.34. Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки а, 6, с, d соответственно в точки αχ, 6χ, ci, di, a прямую / — в прямую /χ, если: а) a =(1,2,3,4), 6= (1,3,3,4), с = (1, 2, 2, 4), d = (1, 2, 3, 3), I = (-3, 2, 4, 1) + (2, 1, -1, -2)ί, ^ = (1, -1, 4, 2), Ьх = (2, -2, 5, 3), d = (2, 0, 3, 3), di = (2, 0, 5, 1), h = (1, -5, 2, -12) + (1, 1, 1, 1)ί; б) а= (-3, 0, 2, 4), 6= (-3, 1, 3, 5), с= (-2, 0, 3, 5), d= (-2, 1, 2, 5), I = (-1, 5, 5, 6) + (1, 1, 1, 0)ί, αλ = (-1, 1, 2, 3), 6Χ = (1, -4, 3, 5), d = (-4, 8, 1, 7), άλ = (4, -8, 4, 10), h = (4, 5, -1, 1) + (4, -6, 1, 2)ί? 49.35. Пусть аффинное пространство А равно (Pi U P2), где Р\ и Р2 — скрещивающиеся плоскости, и G — подгруппа в аффинной группе пространства А, состоящая из преобразований, оставляющих инвариантными Р\ и ?2- Найти орбиты действия G наА. 49.36. Пусть (А, V) — аффинное пространство над полем К. Биективное отображение /: А —► А называется коллинеацией, если для любых трех точек а^Ь^с £ А, лежащих на одной прямой, точки /(a), /(b), /(с) также лежат на одной прямой. Доказать, что если \К\ ^ 3, то образ и полный прообраз плоскости Ρ С А при коллинеации /: А —► Л являются плоскостями той же размерности, что и Р. Верно ли утверждение, если \К\ =2? 49.37. Пусть У — векторное пространство над полем К. Отображение φ: V —> У называется полулинейным относительно некоторого автоморфизма σ поля К, если <р(х + у) = <р(х) + <р(г/), <ρ(αχ) = σ(α)<ρ(χ), где χ,ί/еУ, aGK. Полуаффинным преобразованием аффинного пространства (А, У) называется пара (/, D/), где /: Л —> Л, D/: V —> У, удовлетворяющая условиям: D/— биективное полулинейное отображение относительно некоторого автоморфизма поля К; /(а + г?) = /(а) + Df(y) для любых а £ Л, г? £ У. Доказать, что: а) полуаффинное преобразование является коллинеацией; б) если (А, У) — аффинное пространство над полем К и \К\ ^ 3, то всякая коллинеация /: А^ А является полуаффинным преобразованием.
§50. Выпуклые множества 173 49.38. Пусть (£>, U) —плоскость аффинного пространства (А, V) и W — подпространство пространства У, дополнительное к U. Доказать, что всякая точка а £ А единственным образом представляется в виде а = Ъ + w, где b £ В, w £ И^, и что отображение аи 6 (проектирование на β параллельно И^) является аффинным отображением пространства (Л, У) в пространство (В, U). § 50. Выпуклые множества 50.1. Доказать, что всякая плоскость аффинного пространства является пересечением конечного числа полупространств. 50.2. Доказать, что подмножество плоскости Ρ аффинного пространства А является выпуклым многогранником в Ρ тогда и только тогда, когда оно является выпуклым многогранником в А. 50.3. Пусть выпуклый многогранник Μ в аффинном пространстве задается системой линейных неравенств fi(x) ^0 (г = 1, ..., k; fc ^ const). Доказать, что для всякого непустого подмножества J С {1, ..., к} множество MJ, задаваемое условиями fi(x) = 0 при г £ J, fi(x) ^ 0 при г ^ J, если оно непусто, является гранью многогранника М, и, обратно, всякая грань многогранника Μ имеет вид MJ для некоторого множества J С {1, ..., к}. 50.4. Пусть αο, αϊ, ..., ап—точки n-мерного аффинного пространства, находящиеся в общем положении, Hi (г = 0, Ι,.,.,η) — гиперплоскость, проходящая через все эти точки, кроме а^, и Н^~ —ограничиваемое ею полупространство, содержащее точку сц. Доказать, что η conv{a0, аь ..., αη} = Q Я+. г=0 50.5. Доказать, что грани n-мерного симплекса conv{a0, αϊ, ..., αη} — это выпуклые оболочки всевозможных собственных подмножеств множества {αο, αϊ, ..., αη}. 50.6. Найти грани n-мерного параллелепипеда, заданного в некоторой системе аффинных координат неравенствами 0 ^ Xi ^ 1 (г = 1,2, ...,п).
174 Гл. 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия 50.7. Найти вершины и описать форму выпуклого многогранника в трехмерном аффинном пространстве, заданного неравенствами Х\+ Х2^ -1, XI + ХЗ ^ -1, Х2 + ХЗ ^ -1- 50.8. Найти вершины и описать форму сечений четырехмерного параллелепипеда, заданного неравенствами 0 ^ Х{ ^ 1 (г = 1, 2, 3, 4), плоскостями: а) χι + х2 + хз + ха = 1; б) χι + х2 + хз + ^4 = 2; в) χι + х2 + хз = 1; г) χι + х2 = ^з + Х4 = 1. 50.9. Доказать, что замыкание выпуклого множества выпукло. 50.10. Открытым ядром М° телесного выпуклого множества Μ называется множество всех таких точек из М, некоторая окрестность которых содержится в М. Доказать, что открытое ядро М° телесного выпуклого множества Μ выпукло и его замыкание содержит Μ. 50.11. Доказать, что образ и полный прообраз выпуклого множества при аффинном отображении являются выпуклыми множествами. 50.12. Доказать, что: а) при сюръективном аффинном отображении полный прообраз гиперплоскости является гиперплоскостью; б) полный прообраз полупространства является полупространством. 50.13. Доказать, что выпуклая оболочка множества S состоит из к всевозможных комбинаций вида ^ λ^, где к aieS, Xi^O (г = 1, ..., /с), У^ Лг = 1. г=1 50.14. Пусть Μ — выпуклое множество и а (£ М. Доказать, что conv(M U а) = (J об. ъем 50.15. Пусть S— подмножество n-мерного аффинного пространства А. Доказать, что если (S) = А, то conv S есть объединение n-мерных симплексов с вершинами в точках множества S.
§50. Выпуклые множества 175 50.16. Доказать, что выпуклая оболочка компактного множества компактна. 50.17. Пусть Μ — выпуклое подмножество двумерного аффинного пространства и а (£ М° (см. 50.10). Доказать, что через точку а можно провести прямую так, что множество Μ будет лежать по одну сторону от нее. 50.18. Пусть Μ — выпуклое подмножество n-мерного аффинного пространства А и а (£ М° (см. 50.10). Доказать, что через точку а можно провести гиперплоскость так, что множество Μ будет лежать по одну сторону от нее. 50.19. Доказать, что через любую точку замкнутого выпуклого множества, не принадлежащую его открытому ядру, можно провести опорную гиперплоскость. 50.20. Доказать, что всякое замкнутое выпуклое множество Μ есть пересечение (вообще говоря, бесконечного числа) полупространств. 50.21. Доказать, что всякий замкнутый выпуклый конус в векторном пространстве есть пересечение (вообще говоря, бесконечного числа) полупространств, границы которых проходят через нуль. 50.22. Пусть fi (г = 1, ..., к) — аффинные линейные функции на аффинном пространстве А. Доказать, что система неравенств fi(x) ^ 0 (г = 1, ..., к) несовместна тогда и только тогда, когда к существуют такие числа λ^ ^ 0, что Σ Xifi есть положительная г=1 константа. 50.23. Пусть Μ — содержащее окрестность нуля компактное выпуклое множество в векторном пространстве У, рассматриваемом как аффинное пространство, и пусть М* = {/ G У* | f(x) ^ 1 для всякого χ е М}. Доказать, что: а) М*—компактное выпуклое множество в пространстве У*, содержащее окрестность нуля; б) Μ** = Μ при каноническом отождествлении пространства У** с V. 50.24. Доказать, что всякое компактное выпуклое множество совпадает с выпуклой оболочкой множества своих крайних точек. 50.25. Доказать, что максимум аффинной линейной функции на компактном выпуклом множестве достигается в некоторой крайней точке (но, может быть, достигается и в других точках).
176 Гл. 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия 50.26. Доказать, что крайние точки выпуклого многогранника — это его вершины. 50.27. Доказать, что всякий ограниченный выпуклый многогранник совпадает с выпуклой оболочкой множества своих вершин. 50.28. Доказать, что выпуклая оболочка конечного числа точек является выпуклым многогранником. 50.29. Задать системой линейных неравенств выпуклую оболочку указанных точек четырехмерного аффинного пространства и найти трехмерные грани этого выпуклого многогранника: а) О = (0, 0, 0, 0), а = (1, 0, 0, 0), Ъ = (0, 1, 0, 0), с = (1, 1, 0, 0), d=(0,0,l,0),e = (0,0,0,l),/ = (0,0,l,l); б) О = (0, 0, 0, 0), а = (1, 0, 0, 0), Ъ = (0, 1, 0, 0), с = (0, 0, 1, 0), d=(l, 1, 0, 0), е=(1, 0, 1, 0), / = (0, 1, 1, 0), <?=(1, 1, 1, 0), Л=(0, 0, 0, 1). 50.30. Пусть Μ и N — выпуклые множества в аффинном пространстве (Д V). Доказать, что: а) середины отрезков, соединяющих точки из Μ с точками из 7V, образуют выпуклое множество в пространстве А] б) векторы, соединяющие точки из Μ с точками из 7V, образуют выпуклое множество в пространстве V. 50.31. Пусть Μ и N — непересекающиеся замкнутые выпуклые множества в аффинном пространстве А и одно из них ограничено. Доказать, что существует такая аффинная линейная функция / на пространстве А, что f(x) < 0 при всех χ £ Μ и f(y)>0 при всех yeN. 50.32. Пусть Μ — компактное выпуклое множество в аффинном пространстве Л, N — компактное выпуклое множество в векторном пространстве L всех аффинных линейных функций на Л и пусть для всякой точки а £ Μ найдется такая функция / £ 7V, что f(a) ^ 0. Доказать, что существует такая функция /о G TV, что fo(x) ^ 0 при всех χ £ М. 50.33. (Теорема двойственности линейного программирования.) Пусть F — аффинная билинейная функция на прямом произведении аффинных пространств А и В, и пусть Μ и N — компактные выпуклые подмножества пространств А л В соответственно. Доказать, что: а) max min(x, у) = min max Fix, у): χ(ΞΜ yeN yeN χ(ΞΜ б) существуют такие точки χ о £ М, у о £ TV, что при всех χ £ Μ, yeN F(x, 2/o) ^ -^Oo, 2/o) ^ -^Oo, y)·
§50. Выпуклые множества 177 50.34. Доказать, что: а) максимальное число частей (выпуклых многогранников), на которое может разбиваться n-мерное вещественное аффинное пространство к гиперплоскостями, равно (^ΜϊΐϊΗϊΐί)*···' б) число частей максимально тогда и только тогда, когда пересечение любых т заданных гиперплоскостей при т ^ η есть (п — т)-мерная плоскость, а при т = η + 1 пусто; в) если число частей максимально, то число ограниченных частей равно (^J. 50.35. Определить, являются ли ограниченными многогранники, задаваемые следующими неравенствами: а) —3^1 + Ъх2 ^ 10, Ъх\ + 2x2 ^ 35, х\ ^ 0, Х2 ^ 0; б) —χι + Х2 ^ 2, 5^1 — Х2 ^ 10; в) 3^1 — Х2 ^ 4, —χι + 3^2 ^ 4; г) —3^1 + 4^2 ^ 17, 3^1 + 4^2 ^ 47; х\ — Х2 ^ 4, ^ι + ^2 ^ 0; д) — х\ + 2^2 ^ 6, Ъх\ — 2x2 ^ 26; х\ + 2^2 ^ 10; е) Ъх\ — 2^2 ^ 6, 5х\ — 2^2 ^ 36; 2 ^ ^i ^ 7. 50.36. Найти угловые точки многогранников: а) χι + 2^2 + хз + 3^4 + ^5 = 5, ^1 + жз — 2^4 = 3, χι ^ 0, ^2 ^ 0, жз ^ 0, Х4 ^ 0, ^5 ^ 0; б) ^1 + ^2 — хз — 10, ж ι — Х2 + 7^з = 7, χι ^ 0, Х2 ^ 0, жз ^ 0; в) 4^1 + 5^2 +^з+^4 = 29, 6^1 — Х2 — ХЗ + ^4 = И, ^1 ^ 0, ^2^0, ж3 ^ 0, Х4 ^ 0; г) χι + 2^2 + жз = 4, 2^1 + 2^2 + 5^з = 5, χι ^ 0, ж 2 ^ 0, £3 ^ 0. 50.37. Найти максимальные и минимальные значения линейной функции ζ на ограниченном многограннике: а) χι + 2^2 + хз + 3^4 + ^5 = 5, 2^ι + ^з — 2^4 = 3, χι ^ 0, ^2 ^ 0, Жз ^ 0, Х4 ^ 0, ^5 ^ 0, Ζ = Χι — 2^2 + Хз + 3^5; б) 3^1 — ^2 + 2^з + ^4 + ^5 = 12, χι — 5x2 — χα + ^5 = —4, ^i ^ 0, ж2 ^ 0, хз ^ 0, ^4 ^ 0, ж5 ^ 0, ζ = Αχ ι — Х2 + 2ж3 + ж5; в) 5χι + 2^2 — ж3 + ха + ^5 = 42, 4χι — 4ж2 + ж3 + ^4 = 16, ж ι ^ 0, ^2 ^ 0, Жз ^ 0, £4 ^ 0, Ж5 ^ 0, Ζ = Χι — 2^2 + 4^4 — Хъ] г) χι — 3^2 + хз + 2^5 = 8, 4^2 — 3^4 — х$ = 3, #ι ^ 0, ^2 ^ 0, Ж3 ^ 0, Х4 ^ 0, Ж5 ^ 0, Ζ — Χι — 2х2 + Хз — Х5-
178 Гл. 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия 51. Евклидовы пространства 51.1. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данный набор из η неотрицательных вещественных чисел служил набором расстояний между: а) п аффинно независимыми точками евклидова пространства; б) η произвольными точками евклидова пространства. 51.2. Существует ли в евклидовом пространстве набор точек αϊ, α2, аз, ^4, ^5? Для которого матрица А есть матрица расстояний (р(а^, dj)), и какова наименьшая размерность пространства, в которое такой набор можно поместить: а) А = б) А = в) А = (° 1 2 2 \2\/2 / о 3 у/Ъ у/Ь \2л/2 /0 1 2 К/5 V ι (° V5 χ/5 V5 \ч/5 1 0 ν/5 V5 3 3 0 \/ϊΙ \/Ϊ4 \/Ϊ7 1 0 V5 2 V2 V5 0 2\/5 2\/2 2 2 ν/5 0 2^2 2 ν/5 \/Ϊ4 0 л/2 vTr 2 V5 0 vTf 1 у/Ъ 2\/5 0 2 2χ/2 2 V5 2\/2 0 2л/3 ν/5 \/Ϊ4 V2 0 3 у/ь 2 λ/Ϊ7 0 \/Ϊ0 ν/5 2^2 2 0 2χ/5 2л/2\ 3 2 2л/3 0 / 2\/2\ л/17 л/17 3 о / 1 \ л/2 ι ; \/Ш о / \/5\ 2 2л/2 . 2\/5 0 / г) Л 51.3. Доказать эквивалентность следующих двух свойств пары плоскостей {Р, Q} в евклидовом пространстве: а) любая прямая, лежащая в одной из этих плоскостей, перпендикулярна любой прямой, лежащей в другой плоскости; б) плоскости Р, Q перпендикулярны и либо скрещиваются, либо пересекаются в одной точке. 51.4. Пусть Q С Ρ — плоскости в n-мерном евклидовом пространстве Е. Доказать, что любая плоскость Рг С Е, перпендикулярная Р, для которой Ρ Π Ρ' — Q, имеет размерность ^ η — dim Ρ + dim Q
§51. Евклидовы пространства 179 и существует единственная такая плоскость размерности η — dim Ρ + + dim Q. 51.5. Пусть Ρ— плоскость в евклидовом пространстве и точка а не принадлежит Р. Доказать, что: а) существует единственная прямая, проходящая через точку а, пересекающая Ρ и перпендикулярная Р; б) если с — любая точка в Ρ и ζ — ортогональная составляющая вектора ~ас относительно направляющего подпространства плоскости Р, то а + {ζ) —прямая, указанная в а); а + ζ — точка пересечения этой прямой с Р; в) р(а, Р) = \ζ\. 51.6. В евклидовом пространстве найти прямую, проходящую через точку а, пересекающую плоскость Ρ и перпендикулярную Р, если: а) а = (5, -4, 4, 0), Ρ = (2, -1, 2, 3) + ((1, 1, 1, 2), (2, 2, 1, 1)); б) α =(5, 0, 2, 11), Р: <> I ОЖ1 + Ж2 + оЖз + 0^4 = — 1. 51.7. В евклидовом пространстве найти расстояние от точки а до плоскости Р, если: а) а = (4, 1, -4, -5), Ρ = (3, -2, 1, 5) + ((2, 3, -2, -2), (4, 1, 3, 2)); б) а= (4, 8, -3,8, 2), Р= (3,7, -5, 4,1) + ((1,1, 2, 0,1), (2, 2,1,3,1)); J 2xi -4ж2 -8ж3 + 13ж4 = -19, в) а = (2, 1,-3,4), Ρ: Ι yxi + х2 - хз + 2^4 = 1; ч /ι о о π >п ρ ί^ι-2^2-Зх3 +Зх4+ 2х5 = -2, г) а = (1, -3, -2, 9, -4), Р: < Ι χι — 2х2 — 7хз + 5x4 + 3x5 = 1. 51.8. В n-мерном евклидовом пространстве найти расстояние от η точки (&ι, ..., Ъп) до гиперплоскости ^ а^Хг = с. 51.9. В пространстве многочленов со скалярным произведением 1 (Л 9) = \ f(x)9(x) dx найти расстояние от многочлена хп до под- -1 пространства многочленов степени меньше п. 51.10. В пространстве тригонометрических многочленов со ска- лярным произведением (/, д) = \ f{x)g{x) dx найти расстояние от — π функции cosn+1 χ до подпространства (1, cos χ, sin χ, ..., cos nx, sin nx).
180 Гл. 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия 51.11. Пусть Ρ — плоскость в n-мерном евклидовом пространстве Е. Доказать, что через всякую точку а £ Ε проходит единственная плоскость Q размерности η — dim Ρ, перпендикулярная Ρ и пересекающая ее в одной точке. 51.12. Найти в евклидовом пространстве плоскость наибольшей размерности, проходящую через точку а, перпендикулярную плоскости Ρ и пересекающую ее в одной точке, если: а) а = (2, -1, 3, 5), Ρ = (7, 2, -3, 4) + <(-1, 3, 2, 1), (1, 2, 3, -1)); б) α =(3,-2, 1,4), Ρ: { λ 2 Ι 3χι + 2^2 — Ьхз + χα = 5. 51.13. Пусть Р\ = с\ + L\ и Р2 = 02 + ^2 —две непересекающиеся плоскости в евклидовом пространстве, у и ζ — соответственно ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора С\С2 относительно подпространства L\ + L2, и пусть у = у\ + У2, где ?/i £ Li, 2/2 G Ь2. а) Доказать, что прямая с\ -\- у\ -\- {ζ) перпендикулярна плоскостям Pi, Р2 и пересекает Pi в точке с\ + ?/ι, а Р2 —в точке С2 — 2/2· б) Найти расстояние ρ(Ρι, Р2). в) Установить биективное соответствие между L\ Π L^ и множеством всех прямых, перпендикулярных Pi и Р2 и пересекающих обе плоскости. г) Показать, что все прямые, описанные в в), параллельны между собой и что их объединение представляет собой плоскость размерности dim(Li Π L^) + 1. 51.14. В евклидовом пространстве найти расстояние между плоскостями Pi и Р2, если: ч π \ х1 + 3^2 + Ж3 + Ж4 = 3, a) Pi: < ух ι + Зж2 - хз + 2ж4 = 6, Р2 = (0, 2, 6, -5) + ((-7, 1, 1, 1), (-10, 1, 2, 3)); 6)Ρι. { -*1 + *, + *, + *4 = 3, p2 = (lj з,_з,-1)+ ((1,0, 1,1)); -0x2 + 2x3 — 4ж4 = 4, Χι + хз + χα — 2х$ = 2, в) Pi : <( ^2 + ^3 - %4 - ^5 = 3, Xl — Х2 + 2^з — ^5 = 3, Р2 = (1, -2, 5, 8, 2) + <(0, 1, 2, 1, 2), (2, 1, 2, -1, 1)); \ г-, \Х\— 2χ2 + ^3 - %4 + Зж5 = 6, г) Pi: < hci — жз — ^4 + 3^5 = 0,
§51. Евклидовы пространства 181 Р2 = (-4, 3, -3, 2, 4) + ((2, О, 1, 1, 1), (-5, 1, О, 1, 1)}. 51.15. Точки αο, αϊ, ..., ап в евклидовом пространстве расположены на одинаковом расстоянии d друг от друга. Найти расстояние между плоскостями (αο, αϊ, ..., α&) и (α&+ι, ..., αη). 51.16. Доказать, что конфигурации из двух плоскостей {αϊ + Lb α2 + L2} и {ai + L'l5 a2 + L'2} в евклидовом пространстве метрически конгруэнтны тогда и только тогда, когда ρ (α ι + Li, а2 + Z/2) = р(а^ + L^, a^ + L'2)^ и конфигурации подпространств Li, L2, L^, L2 ортогонально конгруэнтны в соответствующем евклидовом векторном пространстве. 51.17. Выяснить, являются ли метрически конгруэнтными в евклидовом пространстве заданные пары плоскостей: а) Ρχ = (0, 9, 8, -12, 11) + ((0, 2, 2, 2, 1), (3, 1, 1, 1, -1)), Р2 = (-3, -4, -5, 11, -12) + ((7, 5, -5, -1, -5), (3, 5, -1, 11, 13)); б) Qx = (2, -5, -11, -8, -10) + ((2, -1, 1, -1, 1), (2, -2, 1, 0, 1)), Q2 = (8, 8, 10, 9, 11) + <(0, 3, 4, -4, -3), (14, -2, -5, 3, 4)); в) Рх = (7, -3, -9, -14, 5) + ((0, 0, 0, 1, 2), (2, -1, 2, 0, -6)), R2 = (0, 10, 9, 14, -5) + ((1, 7, 2, 0, 6), (4, -1, 0, 2, -2)). 51.18. Найти в евклидовом пространстве геометрическое место точек, через которые можно провести прямую, пересекающую плоскости Pi, Р2 и перпендикулярную этим плоскостям: а) Рх = (1, 2, -1, -9, -13) + ((2, 3, 7, 10, 13), (3, 5, 11, 16, 21)}, 13^1 — 5x2 + 2^з — Х4 + хъ — —22, 2^1 + 4ж2 + З^з — ха — 3^5 = —4, 9^1 + Зж2 + хз — 2x4 — 2х$ = —138; б) Рх = (3, 7, 2, 4, -3) + <(2, 5, 4, 5, 3), (4, 5, б, 3, 3)}, 1—3^1 + 2x2 + хз — 2x4 + хъ = —14, Qxi — Х2 — 4^з + 2^4 — хъ — 16, 2^1 — Х2 + 2^4 — 3^5 = 26. 51.19. Доказать, что: а) если движение евклидова пространства имеет две скрещивающиеся инвариантные плоскости, то оно обладает неподвижной точкой; б) движение / n-мерного евклидова пространства, имеющее неподвижную точку, имеет две скрещивающиеся инвариантные плоскости положительной размерности, если / собственное, п^5и нечетно или / несобственное, п^4и четно.
182 Гл. 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия 51.20. Пусть αο, αϊ, ..., as и &о5 &ъ ···? ^s—Дв& набора точек в евклидовом пространстве. Доказать, что движение, переводящее каждую из точек cti в точку 6^ существует тогда и только тогда, когда p(ai,aj) = p(bi,bj) (г, j = 1, ...,s). 51.21. Доказать, что для всякого движения / евклидова пространства совокупность точек а, на которых достигается минимум расстояния р(а, /(а)), является плоскостью, инвариантной относительно /, и что ограничение / на эту плоскость есть параллельный перенос. 51.22. Доказать, что если у двух тетраэдров в трехмерном евклидовом пространстве соответствующие двугранные углы равны, то эти тетраэдры подобны. 51.23. Дать геометрическое описание собственного движения / евклидова пространства, если: а) £>/=(_? nl /(О) = (-2, 4); /(О) = (1,1); ДО) = (1,0,-1); /(О) = (-1,-7, 2); f(0) = (-2, 4,1). 51.24. Дать геометрическое описание несобственного движения / евклидова пространства, если: а)Я/=(! J), /(О) = (1,0); ®Df = \(v3 ^)' ДО) = (1,->/3); в) £>/ = -§( 7 4 4|, /(О) = (1,1,-2); r)Af=§| 2-1 2|, /(О) = (4,0,2); д)Я/ = ||-2 1 -2], f(0) = (2,0,0).
§52. Гиперповерхности второго порядка 183 е)В/ = £|1 3 6 -2 ДО) = (-3,1, 2). § 52. Гиперповерхности второго порядка Обозначения и понятия, используемые в задачах этого параграфа, содержатся в приложении. 52.1. Доказать, что для любых ж, у £ V выполняется равенство Q(a0 + x + y) = q(y) + 2/0, у) + 1{у) + Q(a0 + χ). 52.2. Доказать, что если Ъ = а$ -\- ν (ν EV) —центральная точка квадратичной функции Q, то Q(b + χ) — Q(b — χ) для любого х £ У и линейная функция у \-^ 2f(v, у) + 1{у) нулевая. 52.3. Доказать, что множество центральных точек (центр) квадратичной функции Q задается системой уравнений 3Q дх -=0 (г = 1,...,п). 52.4. Доказать, что при переходе от аффинной системы координат (ао, ei, ..., еп) к системе координат (ао, е^, ..., е^) по формуле Ж1 ν Χγ = Т матрицы квадратичных форм Q и q в новой системе координат связаны с их матрицами в старой системе формулами An = гТАпТ, А' = 1ТАпТ VQ VQ q-L : где / 1 о τ 0 ίι \ ι J τ = матрица аффинной замены координат. 52.5. Доказать, что точки пересечения аффинной прямой xk = x°k + rkt (k = l,...,n)
184 Гл. 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия и квадрики Q(xi, ..., хп) = 0 определяются значениями £, удовлетворяющими уравнению At2 + 2Bt + С = О, где η A = q(r)= Σ αυτίτ3ΐ С = Q(x°1,...,x°n), η η г=1 M = l 52.6. Найти центр квадратичной функции над полем IR, заданной в некоторой аффинной системе координат: η а) 2 Σ XiXj + 2 Σ Xi + 1 = 0; η η 6) Σ χϊ +2 Σ ZiZj + 2 Σ χί +1 = 0; i=l l^i<j^n г=1 η-1 в) Σ χΐχί+ι + я ι + χη + 1 = 0; г=1 η Γ) Σ ж? +2 Σ жг^· + χι = ο. 52.7. Две квадратичные функции Q^: А ^ К (г = 1, 2) называются эквивалентными, если существует такое аффинное преобразование /: А ^ А, что фгОя) = \Q\{f{x)) для некоторого λ £ К* и всех χ £ А. Найти число классов эквивалентных квадратичных функций над полем Ζ3, если: а) размерность А равна двум; б) размерность А равна трем. 52.8. Найти число классов эквивалентных квадратичных функций на n-мерном аффинном пространстве: а) над полем С; б) над полем Ш. 52.9. Пусть точка а^ аффинного пространства (А, V) лежит на квадрике X и вектор и G V определяет асимптотическое направление. Доказать, что прямая χ = а$ + tu либо целиком лежит на поверхности X, либо пересекает ее ровно в одной точке. 52.10. Пусть и £ V — вектор неасимптотического направления квадрики Xq, т.е. q{u) ^ 0. Доказать, что середины хорд квадрики Xq, параллельных вектору и, лежат в одной гиперплоскости, и найти ее уравнение.
§52. Гиперповерхности второго порядка 185 52.11. Доказать, что направление и не является асимптотическим для квадрики X, заданной уравнением в аффинных координатах, и найти уравнение гиперплоскости, сопряженной к этому направлению: а) и = (1, 1, 1, 1), X: х\Х2 + з^з ~^ жз^4 — х\ — ха = 0; б) и = (1, 0, ..., 0, 1), Σ XiXj +χι+χη = 1. 52.12. Доказать, что если центр квадрики непуст, то он содержится в гиперплоскости, сопряженной к любому неасимптотическому направлению. 52.13. Доказать, что множество особых точек квадрики есть ее пересечение со своим центром. 52.14. Доказать, что особые точки квадрики, если они существуют, образуют плоскость, и написать ее уравнения. 52.15. Найти точки пересечения квадрики с прямой: λ 2 ι к П 5 — Х2 Ю — Хз а) х% + х\Х2 — ^2^з — 5^1 = U, χι = —-— = —=—; б) Ъх\ + 9x1 + 9x1 — YlX\X2 — §Х\Хз + ΥλΧγ — 36ж3 = 0, Щ- = Щ- = л О Δ = хз - 4; ι Q в) х\ — 2х\ + х\ — 2х\Х2 — Х2%з + ^х\Хз + 3χι — 5^з = 0, —Цг— = х^ х3 = 0. 52.16. Найти все прямые, лежащие на квадрике ел ел ел х1 + х2 + Ъхз — Qx\X2 + 2^2^3 — 2х\Хз — 12 = 0 „ Х\ — 1 Х2 + 3 и параллельные прямой —-— = —-— = — хз- 52.17. Найти прямые, проходящие через начало координат и лежащие на комплексной квадрике х\ + Ъх\Х2 + 2^2^з — х\Хз + 3xi + 2^з = 0. 52.18. Найти уравнение квадрики Q после переноса начала координат в точку О': а) Q: х\ + 5^2 + 4^з + ^х\Х2 — 2x2^3 _ ^х\Хз — 2^1 — 10x2 + 4^з = 0, 0' = (3,0,1); б) Q: х\ + 2^2 + ^з — 4:Х\Х2 + бо^з ~~ Ъх\Хъ + 10χι — 5 = 0, О'= (-1,1, 2). 52.19. Найти аффинный тип кривой, являющейся пересечением квадрики и плоскости: а) 3x1 + 4х§ + 24^1 + 12ж2 - 72ж3 + 360 = 0, хх - х2 + хз = 1; б) ж^ + 5^2 + ^з + 2^ι^2 + 2^2^3 + 6^ι^3 — 2xi + 6^2 + 2ж3 = 0, 2χι - х2 + хз = 0;
186 Гл. 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия в) х\ — Ъх\ + х\ — 6x1X2 + 2х2Хз — 3x2 + хз — 1 = 0, 2xi — 3x2 — - х3 + 2 = О; г) х^ + х| + х\ — 6χι — 2x2 + 9 = О, х\ + Х2 — 2хз — 1 = 0. 52.20. Найти аффинный и метрический типы квадрики, заданной в евклидовом пространстве IRn+1 уравнениями: η а) Σ χϊ + Σ χίχο + ^ι + ^η+ι = 0; б) X] x^Xj + χι + x2 + ... + хп = 0. 52.21. Определить аффинный вид квадрики и найти ее центр: а) 4xJ + 2х\ + Ylx\ - 4ххх2 + 8х2хз + 12χιχ3 + 14χι - 10х2 + 7 = 0; б) Ъх\ + 9^2 + 9х| — Υλχ\Χ2 — 6x1X3 + 12χι — Збхз = 0; в) Ъх\ + 2^2 + 2х| — 2χιχ2 — 4х2хз + 2χιχ3 — 4χι — 4х3 +4 = 0; г) х\ — 2х\ + х\ + 6x2X3 — 4^ι^3 — 8χι + 10x2 = 0; д) х^ + 2χιχ2 + х\ — х\ + 2х3 — 1 = 0; е) Ъх\ + Зх^ + Зх| - 6χι + 4х2 - 1 = 0; ж) 3xJ + Ъх\ - 6χι + 4х2 - 1 = 0; з) Зх? + Зх| - Ъх\ - 6хх + 4х2 + 4х3 + 3 = 0; и) Ах\ + х\ — 4χιχ2 — 36 = 0; к) х\ + 4х| + 9х| - 6χι + 8х2 - 36х3 = 0; л) 4х? -х\-х\ + 32хх - 12х3 + 44 = 0; м) Ъх\ -Х2 + Зх§ - 18χι + Юх2 + 12х3 + 14 = 0; н) 6x1 + 6х| + 5χι + 6x2 + ЗОхз — 11 = 0. 52.22. Определить метрический тип квадрики в евклидовом пространстве и выяснить, является ли она поверхностью вращения: а) Хз = 2χιΧ2; б) х3 = χιχ2; в) χ! = 3χι + 4x2; г) Хз = Зх^ + 4χιΧ2; д) χ\ = χ\+ 2χιχ2 + Х2 + 1; е) х\ + 4х| + 5хз + 4χιχ2 + 4х3 = 0; ж) х\ + 2χι + Зх2 + 4х3 + 5 = 0; з) х3 = х\ + 2χιχ2 + х\ + 1; и) х\ — 2х|+Хз + 4х1Х2 — 8x1X3 — 4х2Хз — 14χι — 14x2+ 14хз +18 = 0; к) 5χι + 8x2 + 5х| — 4χιΧ2 + 8x1X3 + 4х2Хз — 6χι + 6x2 + бхз + 10 = 0; л) 2χιχ2 + 2χιχ3 + 2х2хз + 2χι + 2х2 + 2х3 + 1 = 0;
§52. Гиперповерхности второго порядка 187 м) 3χι + 3^2 + Зх| — 2^ι^2 — 2xix% — 2х2Хз — 2χι — 2x2 — 2хз — 1 = 0; н) 2х\ + 6х| + 2х^ + 8χιχ3 - 4χι - 8х2 + 3 = 0; о) 4х^ + х\ + 4х| — 4χιχ2 — 8x1X3 + 4х2^з — 28χι + 2х2 + 16хз + 45 = 0; п) 2х\ + 5^2 + 2^з ~~ 2χιχ2 - 4χιχ3 + 2х2Хз + 2χι - 10x2 — 2хз -1 = 0; р) 7x\ + 7x\ + lQx\ — 10xiX2_8x1X3 — 8x2X3 — 16x1 — 16x2 —8хз + 72 = = 0; с) 4^1+4^2 — 8x1 —10^1^2 +4ж1Ж3 +4ж2ж3 — 16α?ι — 16ж2 + Южз — 2=0; т)2ж5-7ж|-4ж|+4ж1Ж2-16ж1Жз+20ж2Жз+б0ж1-12ж2 + 12жз-90= = 0; у) 2x1X2 + 2x1X3 — 2x1X4 — 2x2X3 + 2x2X4 + 2x3X4 — 2x2 — 4x3 — 6x4 + 5 = = 0; φ) 3Χι + Зх| + ЗХз + Зх| — 2χιΧ2 — 2χιΧ3 — 2χιΧ4 — 2X2X3 — 2X2X4 — — 2хзХ4 = 36. 52.23. При каких значениях параметра а квадрика ел ел ел Χι + х2 + х3 + 2αχιΧ2 + 2αχιΧ3 + 2ах2Хз = 4а является эллипсоидом? 52.24. При каком необходимом и достаточном условии два гиперболоида имеют общий асимптотический конус? 52.25. Найти аффинный и метрический типы квадрики, заданной в евклидовом пространстве IRn+1 уравнением 71 71+1 а \] х\ + 26 2_, xixj + 2с 2_] χί — 0? i=l l^i<j^n i=l в зависимости от значений параметров a, 6 и с. 52.26. Квадрика называется k-планарной, если через любую ее точку проходит хотя бы одна /с-мерная плоскость, целиком принадлежащая квадрике, но никакая (к + 1)-мерная плоскость не содержится в квадрике. Доказать, что: а) квадрика типа Vn s над Ш /с-планарна, где к = min(s, η — s)\ б) невырожденная квадрика типа InjS над Ш (s — 1)-планарна, если 0^8^ п/2, и (п — з)-планарна, если s > η/2; в) невырожденная квадрика типа IInjS наД ^ s-планарна, если 0^8^ п/2, и (п — 1 — з)-планарна, если s > п/2. 52.27. Выяснить, при каких значениях параметров а, 6, с ^ 0 на квадрике 71 71+1 а \] х\ + 26 2_, xixj + 2с 2_] χί — 0 i=l l^i<j^n i=l
188 Гл. 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия в пространстве IRn+ лежит плоскость наибольшей размерности, и найти размерность этой плоскости. * * * 52.28. Пусть (ei, ..., еп) — базис векторного пространства V над полем К характеристики, отличной от 2. а) Доказать, что при η = 4 все разложимые элементы ν\ Λ V2 в Л2 V удовлетворяют невырожденному однородному квадратичному уравнению Q(xo5 ···? хъ) = 0 {квадрика Плюккера). б) Доказать, что все разложимые векторы в пространстве ЛГУ, 2 ^ г ^ η — 2, удовлетворяют системе однородных квадратичных уравнений Qi(xo, .·., ^(-)-ι) = °· в) Пусть на пространстве V имеется невырожденная квадратичная форма Q. Тогда на пространстве APV можно ввести квадратичную форму Q(p) по формулам Q(0) = i, /Q(vi,vi) ... Q(vi,vp)\ Q(p)(v1A...Avp)=det . Доказать, что полученное продолжение формы Q на алгебру Λ(V) является невырожденной квадратичной формой на A(V). г) Ориентацией n-мерного векторного пространства с невырожденной квадратичной формой Q называется элемент d £ ЛПУ, для которого Q^n\d) = 1. Доказать, что если det Q является квадратом в поле К, то на V имеются ровно две ориентации, и для любой из них (скажем, d) можно определить изоморфизм векторных пространств Xd : V —► ЛП_1У, удовлетворяющий соотношению v л χ = Q0, λ"1^ = Q^"1} (\dv, x)d, v e Λ71"1!/, χ e V. (Q(x, у)—билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q). д) Используя изоморфизм Ха из предыдущего пункта, определим в случае dim V = 3 билинейное отображение V х V —> V с помощью формулы [х,у] = Х^1(хАу), x.yeV. Доказать, что так определенное умножение в V наделяет V структурой алгебры Ли над К.
§53. Проективные пространства 189 § 53. Проективные пространства 53.1. Найти какое-нибудь проективное преобразование плоскости, переводящее заданные прямые в заданные прямые: а) ж = 0н^ж = 0, у = 0 \-^ х = 1; б) х + у = 1\-^>х = 1,х-\-у = 0\-^>у = 0. 53.2. Найти какое-нибудь проективное преобразование плоскости, переводящее заданные кривые в заданные кривые: а) х2 + у2 = 1\-^ у = х2; б) х2 - у2 = 1 ь^ χ2 + у2 = 1. 53.3. Найти какое-нибудь проективное преобразование плоскости, переводящее окружность х2 + у2 = 1 в себя и: а) точку (0, 0) в точку (1/2, 0); б) прямую χ = 2 в бесконечно удаленную прямую. 53.4. Найти какое-нибудь проективное преобразование пространства, переводящее заданную квадрику в заданную квадрику: а) х2 + у2 + ζ2 = 1 \-^ ху — ζ2 = 1; б) ху — ζ \-^ х2 + у2 — ζ2 — 1; в) ху = ζ2 \-^ у = х2. 53.5. Найти максимальную размерность плоскостей, содержащихся в квадрике: <Х) Χγ -Г ... -Г JLk -Lk+1 ... JLn — 1, iS I Ύ» I I rp^ rp^ rp^ rp 53.6. Доказать, что над полем комплексных чисел любое проективное преобразование имеет по крайней мере одну неподвижную точку. 53.7. Доказать, что в вещественном проективном пространстве четной размерности любое проективное преобразование имеет неподвижную точку. 53.8. Доказать, что если проективное преобразование п-мерного проективного пространства над бесконечным полем имеет конечное число неподвижных точек, то это число не превосходит η + 1. 53.9. Доказать, что для всякого конечного множества точек А в проективном пространстве над бесконечным полем существует содержащая его аффинная карта А. 53.10. Доказать, что любое {к — 1)-мерное подпространство в Рп можно покрыть к аффинными картами и нельзя покрыть меньшим числом аффинных карт. 53.11. Найти число точек n-мерного проективного пространства над полем из q элементов.
190 Гл. 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия 53.12. Найти число /с-мерных подпространств n-мерного проективного пространства над полем из q элементов. 53.13. Найти число проективных преобразований n-мерного проективного пространства над полем из q элементов. 53.14. Пусть М\ и М^ — непересекающиеся плоскости в Рп, L\ и L2 —непересекающиеся плоскости, имеющие те же размерности. Доказать, что существует проективное преобразование, которое переводит М\ в L\ и Мъ в L2. 53.15. Доказать, что если проективное преобразование переводит некоторую аффинную карту в себя, то оно индуцирует аффинное преобразование на этой карте. 53.16. Доказать, что всякое биективное преобразование двумерной проективной плоскости, переводящее прямые в прямые и сохраняющее двойное отношение точек на каждой прямой, является проективным. 53.17. Доказать, что с помощью подходящего проективного преобразования любые четыре прямые на проективной плоскости, из которых никакие три не пересекаются в одной точке, можно перевести в любые четыре прямые, обладающие тем же свойством. 53.18. Доказать, что существует проективное преобразование плоскости, сохраняющее заданный треугольник и переводящее заданную точку внутри этого треугольника в любую другую заданную точку внутри него. 53.19. Доказать, что существует преобразование плоскости, сохраняющее окружность и переводящее заданную точку внутри этой окружности в любую другую заданную точку внутри нее. 53.20. Доказать, что с помощью одной линейки нельзя построить центр заданной окружности. 53.21. Доказать с помощью проективных преобразований, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками противоположных сторон, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда эти точки являются точками касания некоторого вписанного в треугольник эллипса. 53.22. На картине изображена аллея. Расстояние от первого дерева до линии горизонта вдоль линии аллеи обозначим через /, расстояние между k-м и {к + 1)-м деревьями — через α&. Выразить: а) аз через а\ и а2\ б) а2 через I л αι. 53.23. Проективное преобразование плоскости называется гомологией, если оно сохраняет все точки, лежащие на некоторой прямой
§53. Проективные пространства 191 {оси гомологии), и все прямые, проходящие через некоторую точку [центр гомологии). Доказать, что: а) существует единственная гомология с заданной осью / и заданным центром О, переводящая заданную точку А ^ О, А (£ /, в заданную точку Af -φ О, Af ^ /, лежащую на прямой О А] б) всякое проективное преобразование плоскости есть произведение двух гомологии. 53.24. Доказать, что существует единственное проективное преобразование плоскости, сохраняющее окружность х2 + у2 = 1 и переводящее заданные три точки на этой окружности в заданные три точки, также лежащие на этой окружности. 53.25. {Теорема Дезарга.) Доказать, что если прямые ΑΑΪ, ВВ1, С С пересекаются в одной точке, то точки пересечения прямых АВ и А'В', ВС и В1 С', АС и А1 С лежат на одной прямой. 53.26. (Теорема Паскаля.) Доказать, что точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в окружность, лежат на одной прямой. 53.27. (Теорема Паппа.) Доказать, что точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вершины которого находятся поочередно на двух заданных прямых, лежат на одной прямой. 53.28. Пусть αϊ, α2, аз? ^4 — прямые на плоскости, проходящие через точку О, / — прямая, не проходящая через О. Доказать, что двойное отношение точек пересечения прямых αϊ, α2, аз, а^ с прямой / не зависит от / (двойное отношение прямых αϊ, α2, аз, сц). 53.29. Пусть / — невырожденная билинейная функция на (и + 1)- мерном векторном пространстве V. Каждому (к + 1)-мерному подпространству U С V сопоставим (п — /с)-мерное подпространство U = {у £ V | f(x, у) = 0 для всякого χ £ U}. Этим соответствием в проективном пространстве Ρ(V) определено отображение Kf (корреляция относительно функции /), которое каждой /с-мерной плоскости сопоставляет (п — к — 1)-мерную плоскость. Доказать, что: а) корреляция сохраняет инцидентность, т. е. U1cU2^Kf(U1)DKf(U2); б) если функция / симметрическая или кососимметрическая, то корреляция Kf инволютивна, т. е. Kf{Kf{U)) = U-
192 Гл. 12. Аффинная, евклидова и проективная геометрия в) композиция корреляции и проективного преобразования есть корреляция; г) всякая корреляция есть композиция фиксированной корреляции и некоторого проективного преобразования. 53.30. Доказать, что всякая корреляция проективной прямой действует на точки так же, как некоторое проективное преобразование. 53.31. Доказать, что корреляция на проективной плоскости сохраняет двойное отношение. 53.32. Доказать, что корреляция на проективной плоскости относительно симметрической билинейной функции / переводит каждую точку кривой /(ж, х) = 0 в касательную к этой кривой, проходящую через данную точку. 53.33. Сформулировать теорему {теорема Брианшона), получаемую из теоремы Паскаля (см. 53.26) применением корреляции. 53.34. С помощью понятия корреляции доказать, что точки пересечения касательных к данной окружности, проведенных через концы всевозможных хорд, проходящих через заданную точку, лежат на одной прямой.
Часть III Основные структуры алгебры
Глава 13 ГРУППЫ § 54. Алгебраические операции. Полугруппы 54.1. Ассоциативна ли операция * на множестве М, если а) М = Ν, χ * у = ху; б) Μ = Ν, χ * у = НОД(ж, у); в) Μ — Ν, χ * у — 2ху; г) Μ — Ζ, ж * у — χ — у; д) Μ = Ζ, χ * у = х2 -\- у2; е) Μ = Ж, χ * у = sin x ■ sin у; ж) M = R*, x*y = x-yx/\x\? п ^ 1, где ж,убК, с операцией умножения. Найти в этой полугруппе левые и правые нейтральные элементы, а также элементы, обратимые слева или справа относительно этих нейтральных. 54.3. На множестве Μ определена операция о по правилу χ о у — χ. Доказать, что (М, о) —полугруппа. Что можно сказать о нейтральных и обратимых элементах этой полугруппы? В каких случаях она является группой? 54.4. На множестве М2, где Μ-—некоторое множество, определена операция о по правилу (ж, у) о {z, t) — (ж, £). Является ли М2 полугруппой относительно этой операции? Существует ли в М2 нейтральный элемент? 54.5. Сколько элементов содержит полугруппа, состоящая из всех степеней матрицы 1 0 0 0 0 0 0 1 0 Является ли эта полугруппа группой? 54.6. Доказать, что полугруппы (2м, U) и (2м, П) изоморфны. 54.7. Сколько существует неизоморфных между собой полугрупп порядка 2? 54.8. Доказать, что во всякой конечной полугруппе найдется идемпотент. 54.9. Полугруппа называется моногенной, если она состоит из положительных степеней одного из своих элементов (такой элемент называется порождающим). Доказать, что: а) моногенная полугруппа конечна тогда и только тогда, когда содержит идемпотент;
§55. Понятие группы. Изоморфизм групп 195 б) конечная моногенная полугруппа либо является группой, либо имеет только один порождающий элемент; в) любые две бесконечные моногенные полугруппы изоморфны; г) всякая конечная моногенная полугруппа изоморфна полугруппе вида 5(п, /с), определенной на множестве {αϊ, ..., ап} следующим образом: Ι α^+7·, если г + j ^ п, (^afe+i+i, если г + j > η, где / — остаток от деления числа г + j — η — 1 на η — /с. § 55. Понятие группы. Изоморфизм групп 55.1. Какие из указанных числовых множеств с операциями являются группами: а) (А, +), где Л-—одно из множеств Ν, Z, Q, IR, С; б) (А, ·), где Л —одно из множеств Ν, Z, Q, IR, С; в) (Ао, ·), где Л —одно из множеств Ν, Z, Q, IR, С, а А$ — А \ {0}; г) (ηΖ, +), где η — натуральное число; д)({-1,1},·); е) множество степеней данного вещественного числа а/0 с целыми показателями относительно умножения; ж) множество всех комплексных корней фиксированной степени η из 1 относительно умножения; з) множество комплексных корней всех степеней из 1 относительно умножения; и) множество комплексных чисел с фиксированным модулем г относительно умножения; к) множество ненулевых комплексных чисел с модулем, не превосходящим фиксированное число г, относительно умножения; л) множество ненулевых комплексных чисел, расположенных на лучах, выходящих из начала координат и образующих с лучом Ох углы φι, φ2·> ..., φη·) относительно умножения; м) множество всех непрерывных отображений φ: [0, 1] —> [0, 1], для которых φ(β) = 0, φ(1) = 1, и χ < у =>· φ (ос) < ψ{ν), относительно суперпозиции? 55.2. Доказать, что полуинтервал [0, 1) с операцией 0, где α Θ β— дробная часть числа а + /?, является группой. Какой из групп из задачи 55.1 изоморфна эта группа? Доказать, что всякая ее конечная подгруппа является циклической.
196 Гл. 13. Группы 55.3. Доказать, что множество 2 всех подмножеств в непустом множестве Μ является группой относительно операции симметрической разности А А В = [АП (М \ B)]U [В П (Μ \ А)}. 55.4. Рассмотрим группу (G, ·). Зафиксируем в G элемент а и зададим в G операцию χ о у = χ · а · у. Доказать, что G относительно новой операции о является группой, изоморфной (G, ·). 55.5. Какие из указанных ниже совокупностей отображений множества М = {1,2, ...,п}в себя образуют группу относительно умножения: а) множество всех отображений; б) множество всех инъективных отображений; в) множество всех сюръективных отображений; г) множество всех биективных отображений; д) множество всех четных перестановок; е) множество всех нечетных перестановок; ж) множество всех транспозиций; з) множество всех перестановок, оставляющих неподвижными элементы некоторого подмножества S С М; и) множество всех перестановок, при которых образы всех элементов некоторого подмножества S С Μ принадлежат этому подмножеству; к) множество {Е, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}; л) множество {Е, (13), (24), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1432)}? 55.6. Какие из указанных множеств квадратных вещественных матриц фиксированного порядка образуют группу: а) множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно сложения; б) множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно умножения; в) множество невырожденных матриц относительно сложения; г) множество невырожденных матриц относительно умножения; д) множество матриц с фиксированным определителем d относительно умножения; е) множество диагональных матриц относительно сложения; ж) множество диагональных матриц относительно умножения;
§55. Понятие группы. Изоморфизм групп 197 з) множество диагональных матриц, все элементы диагоналей которых отличны от 0, относительно умножения; и) множество верхних треугольных матриц относительно умножения; к) множество верхних нильтреугольных матриц относительно умножения; л) множество верхних нильтреугольных матриц относительно сложения; м) множество верхних унитреугольных матриц относительно умножения; н) множество всех ортогональных матриц относительно умножения; о) множество матриц вида /(А), где А — фиксированная ниль- потентная матрица, /(£)—произвольный многочлен со свободным членом, отличным от 0, относительно умножения; п) множество верхних нильтреугольных матриц относительно операции ΧοΥ = Χ + Υ- ΧΥ; (ос и \ ) (ж, у £ Ш) относи- —у χ J тельно умножения; с) множество ненулевых матриц вида I . I (ж, у £ IR), где λ — фиксированное вещественное число, относительно умножения; т) множество матриц относительно умножения? 55.7. Показать, что множество Οη(Ζ) всех целочисленных ортогональных матриц размера η образует группу относительно умножения. Найти порядок этой группы. 55.8. Доказать, что множество верхних нильтреугольных матриц порядка 3 является группой относительно операции ΧοΥ = Χ + Υ+±[Χ,Υ\. 55.9. Пусть X — множество точек кривой у = ж3, / — прямая, проходящая через точки a, b £ X (касательная к X при а — 6), с — ее третья точка пересечения с X и т — прямая, проходящая через начало координат О и точку с (касательная к X при с = 0).
198 Гл. 13. Группы Положим а 0 Ъ = d, где d — третья точка пересечения т и X или О, если т касается X в точке О. Доказать, что (X, 0) —коммутативная группа. 55.10. Доказать, что множество функций вида _ ах + Ъ У ~ ex + d' где а, 6, с, d £ Ш и ad — 6с -ф 0, является группой относительно операции композиции функций. 55.11. Доказать, что коммутатор [х, у] =хух~1у~1 элементов ж, у группы G обладает свойствами: а) [х,у}~1 = [у,х]\ б) [ху, ζ] = х[у, ζ\χ~ι[χ, ζ]; в) [z,xy] = [z,x\x[z,y\x-1. 55.12. Пусть задано разложение подстановки σ в произведение независимых циклов σ= (ή, ...,u)(ji, ...,jm)... Найти разложение подстановки σ~ι в произведение независимых циклов. 55.13. Какие из следующих равенств тождественно выполняются в группе S3: а) х6 = 1; б) [[ж,2/],*] = 1; в)[*2,у2] = 1? 55.14. Доказать, что в группе верхних унитреугольных матриц порядка 3 выполняется тождество (Ху)п = ХПуП[х, y]-"("-l)/2? n e N- 55.15. Доказать, что если в группе G выполняется тождество [[х, у], ζ] = 1, то в G выполняются тождества [х, у ζ] = [χ, у][х, ζ], [ху, ζ] = [χ, z][y, ζ]. 55.16. Доказать, что если в группе G выполняется тождество х2 = 1, то G коммутативна. 55.17. Какие из отображений групп /: С* \-^ IR* являются гомоморфизмами: a.)f(z) = \z\; 6)/(ζ) = 2|ζ|; в)/(*) = щ;
§55. Понятие группы. Изоморфизм групп 199 г)/(2) = 1 + |2|; д) /(z) = H2; е)/(2) = 1; ж)/(2) = 2? 55.18. Для каких групп G отображение /: G \-^ G, определенное правилом: а) /О) = х2; б) /(ж) = х~1, является гомоморфизмом? При каком условии эти отображения являются изоморфизмами? 55.19. Сопоставим каждой матрице ( , I £ GL2(C) функцию г/ = (см. задачу 55.10). Будет ли это отображение гомомор- физмом? 55.20. Разбить на классы попарно изоморфных групп следующий набор групп: Z, nZ, Q, Μ, Q*, Μ*, С*, UT2(A), где А — одно из колец Z, Q, IR, С. 55.21. Найти все изоморфизмы между группами (Ζ4, +) и (Ζί*, ·). 55.22. Доказать, что группа порядка 6 либо коммутативна, либо изоморфна группе S3. 55.23. Доказать, что если рациональное число а не равно нулю, то отображение φ: χ \-^ αχ является автоморфизмом группы Q. Найти все автоморфизмы группы Q. 55.24. Пусть G — ненулевая аддитивная группа, состоящая из вещественных чисел, такая, что в каждом ограниченном промежутке содержится лишь конечное число ее элементов. Доказать, что G — Ζ. 55.25. Привести примеры плоских геометрических фигур, группы движения которых изоморфны: a)Z2; 6)Z3; в) S3; г) V4. 55.26. Какие из следующих групп изоморфны между собой: а) группа D4 движений квадрата; б) группа кватернионов Q§; в) группа из задачи 55.5, л); Г) группа из задачи 55.6, т)? 55.27. Доказать, что группы собственных движений тетраэдра, куба и октаэдра изоморфны соответственно группам А4, S4, S4. 55.28. Доказать, что группы U и SC>2(Z) изоморфны. 55.29. Пусть G — множество всех пар элементов (а, 6), а ^ 0, из поля F относительно операции (а, с) о (с, d) — (ас, ad + Ъ). Доказать,
200 Гл. 13. Группы что G является группой, изоморфной группе всех линейных функций χ н^ ах + Ъ относительно суперпозиции. 55.30. Пусть G — множество всех вещественных чисел, отличных от —1. Доказать, что G является группой относительно операции χ · у = χ + у + ху. 55.31. Доказать, что: а) множество всех автоморфизмов произвольной группы является группой относительно композиции; б) отображение (тли аха~ , где а — фиксированный элемент группы G, является автоморфизмом группы G (внутренним автоморфизмом); в) множество всех внутренних автоморфизмов произвольной группы является группой относительно композиции. 55.32. Найти группы автоморфизмов групп: a) Z; б) Zp; в) S3; г) V4; д) D4; e) Q8. 55.33. Доказать, что отображение аиа, сопоставляющее каждому элементу а группы G перестановку σ: χ \-^ αχ множества G, является инъективным гомоморфизмом группы G в группу So- 55.34. Найти в соответствующих группах Sn подгруппы, изоморфные группам: a) Z3; б) D4; в) Q8. 55.35. Пусть σ — перестановка степени η и Ασ = (^σ(^)) —квадратная матрица порядка п. Доказать, что если G — некоторая группа перестановок степени п, то множество матриц Ασι где σ G G, образует группу, изоморфную группе G. 55.36. Найти в соответствующих группах матриц GLn(C) подгруппы, изоморфные группам: a) Z3; б) D4; в) Q8. 55.37. Найти в группе вещественных матриц порядка 4 подгруппу, изоморфную группе Q8. 55.38. Доказать, что группу Upoo нельзя отобразить гомоморфно на конечную группу, отличную от единичной. 55.39. Будут ли изоморфны группы a) SL2(3); б) S4; в) А5?
§ 56. Подгруппы, порядок элемента группы 201 56. Подгруппы, порядок элемента группы. Смежные классы 56.1. Доказать, что во всякой группе: а) пересечение любого набора подгрупп является подгруппой; б) объединение двух подгрупп является подгруппой тогда и только тогда, когда одна из подгрупп содержится в другой; в) если подгруппа С содержится в объединении подгрупп А и В, то либо С С А, либо С С В. 56.2. Доказать, что конечная подполугруппа любой группы является подгруппой. Верно ли это утверждение, если подполугруппа бесконечна? 56.3. Найти порядок элемента группы: г) J--J-ie£*; GGL2(C); GGL2(C); /λι * ... * \ Ι Π \Λ * I и) ( 0 XnJ где λι, ..., λη—различные корни п-й степени из 1. 56.4. Пусть ρ — простое нечетное число, X — целочисленная квадратная матрица размера п, причем матрица Ε + рХ лежит в SLn(Z) и имеет конечный порядок. Доказать, что X = 0. 56.5. Доказать, что: 3 4 а) элемент - + -г группы С* имеет бесконечный порядок; о о б) число — arctg - иррационально. 56.6. Сколько элементов порядка 6 содержится в группе: а) С*; 6)D2(C)*; в) S5; г) А5? 56.7. Доказать, что во всякой группе: а) элементы χ и уху-1 имеют одинаковый порядок; б) элементы аЬ и Ьа имеют одинаковый порядок; в) элементы xyz и zyx могут иметь разные порядки.
202 Гл. 13. Группы 56.8. Пусть элементы хну группы G имеют конечный порядок и ху = ух. а) Доказать, что если порядки элементов хну взаимно просты, то порядок произведения ху равен произведению их порядков. б) Доказать, что существуют показатели к и / такие, что порядок произведения хку1 равен наименьшему общему кратному порядков χ и у. в) Верны ли эти утверждения для некоммутирующих элементов хну? 56.9. Доказать, что: а) если элемент χ группы G имеет бесконечный порядок, то хк = χ1 тогда и только тогда, когда к = 1\ б) если элемент χ группы G имеет порядок п, то хк — х1 тогда и только тогда, когда п\ (к — /); в) если элемент χ группы G имеет порядок п, то хк = е тогда и только тогда, когда η \ к. 56.10. Доказать, что в группе Sn: а) порядок нечетной перестановки является четным числом; б) порядок любой перестановки равен наименьшему общему кратному длин независимых циклов, входящих в ее разложение. 56.11. Найти порядок элемента хк, если порядок элемента χ равен п. 56.12. Пусть G — конечная группа, а £ G. Доказать, что G = (а) тогда и только тогда, когда порядок а равен \G\. 56.13. Найти число элементов порядка рш в циклической группе порядка рп, где р — простое число, 0 < т ^ п. 56.14. Пусть G = (а) —циклическая группа порядка п. Доказать, что: а) элементы ак и а1 имеют одинаковые порядки тогда и только тогда, когда НОД(/с, п) = НОД(/, п); б) элемент ак является порождающим элементом G тогда и только тогда, когда кип взаимно просты; в) всякая подгруппа Η С G порождается элементом вида а^, где d | η; г) для всякого делителя d числа η существует единственная подгруппа Η С G порядка d. 56.15. В циклической группе (а) порядка η найти все элементы д, удовлетворяющие условию дк = е, и все элементы порядка к при: а) п = 24, к = 6; б) η = 24, к = 4;
§ 56. Подгруппы, порядок элемента группы 203 в) η = 100, к = 20; г) η = 100, к = 5; д) η = 360, к = 30; е) η = 360, к = 12; ж) η = 360, к = 7. 56.16. Найти все подгруппы в циклической группе порядка: а) 24; б) 100; в) 360; г) 125; д) рп (р — простое число). 56.17. Предположим, что в некоторой неединичной группе все неединичные элементы имеют одинаковый порядок р. Доказать, что ρ является простым числом. 56.18. Пусть G — конечная группа и d{G) — наименьшее среди таких натуральных чисел s, что gs = е для всякого элемента g £ G {период группы G). Доказать, что: а) период d(G) делит \G\ и равен наименьшему общему кратному порядков элементов группы G; б) если группа G коммутативна, то существует элемент g £ G порядка d(G)\ в) конечная коммутативная группа является циклической тогда и только тогда, когда d{G) — \G\. Верны ли утверждения б) и в) для некоммутативной группы? 56.19. Существует ли бесконечная группа, все элементы которой имеют конечный порядок? 56.20. Периодической частью группы G называется множество всех ее элементов конечного порядка. а) Доказать, что периодическая часть коммутативной группы является подгруппой. б) Верно ли утверждение а) для некоммутативной группы? в) Найти периодическую часть групп С* и Dn(C)*. г) Доказать, что если в коммутативной группе G есть элементы бесконечного порядка и все они содержатся в подгруппе i7, то Η совпадает с G. 56.21. Доказать, что в коммутативной группе множество элементов, порядки которых делят фиксированное число п, является подгруппой. Верно ли это утверждение для некоммутативной группы? 56.22. Найти все конечные группы, в которых существует наибольшая собственная подгруппа. 56.23. Является ли циклической группа (Ζ/15Ζ)* обратимых элементов кольца Ζ/15Ζ?
204 Гл. 13. Группы 56.24. Множество всех подгрупп группы G образует цепь, если для любых двух ее подгрупп одна содержится в другой. а) Доказать, что подгруппы циклической группы порядка рп, где р — простое число, образуют цепь. б) Найти все конечные группы, в которых подгруппы образуют цепь. в) Найти все группы, у которых подгруппы образуют цепь. 56.25. Представить группу Q в виде объединения возрастающей цепочки циклических подгрупп. 56.26. Установить изоморфизм между группами Un комплексных корней степени η из 1 и группой Ъп вычетов по модулю п. 56.27. Какие из групп (д), порожденных элементом д £ G, изоморфны: 6)G = GL2(C),0=(° I b)G = S6,#=(32651); г) G = C*, g = 2-i; 1 е) G = L· , q = cos — + г sm -—; 7 5 5 ж) G = Z, g = 3? 56.28. Доказать, что во всякой группе четного порядка имеется элемент порядка 2. 56.29. Будет ли группа обратимых элементов кольца вычетов Zie циклической? 56.30. Доказать, что всякая собственная подгруппа группы Upoo является циклической конечного порядка. 56.31. Доказать, что: а) в мультипликативной группе поля для любого натурального числа η существует не более одной подгруппы порядка щ б) всякая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической; в) мультипликативная группа конечного поля является циклической. 56.32. Найти все подгруппы в группах: a) S3; б) D4; в) Q8; г) А4. 56.33. Доказать, что каждая конечная подгруппа в SC>2(M) является циклической.
§ 56. Подгруппы, порядок элемента группы 205 56.34. Доказать, что если подгруппа Η группы Sn содержит одно из множеств {(12), (13),..., (In)}, {(12), (123... η)}, тоЯ = Sn. 56.35. Найти все элементы группы G, коммутирующие с данным элементом g Ε G (централизатор элемента д), если: a)G = S4,0=(12)(34); 6)G = SL2(R),(j=(° °); в) G = Sn,g = (123...n). 56.36. Для многочлена / от переменных х\^ :г2, х^·, %4 положим Gf = {σ е S4 Ι /Οσ(1), ^σ(2), ^(3))^(4)) = Д^Ъ х2, ^3 , Ж4)}. Доказать, что Gf —подгруппа в S4, и найти эту подгруппу для многочлена: а) / = χιχ2 + Х3Х4] б) / = Ж1Ж2ж3; в) / = χι + ж2; г) / = Ж1Ж2ж3ж4; Д)/= Π (Xi-Xj). 56.37. Найти смежные классы: а) аддитивной группы Ζ по подгруппе ηΖ, η — натуральное число; б) аддитивной группы С по подгруппе Ζ [г] целых гауссовых чисел, т. е. чисел а + Ы с целыми а, 6; в) аддитивной группы Ш по подгруппе Ζ; г) аддитивной группы С по подгруппе IR; д) мультипликативной группы С* по подгруппе U чисел с модулем 1; е) мультипликативной группы С* по подгруппе IR*; ж) мультипликативной группы С* по подгруппе положительных вещественных чисел; з) группы подстановок Sn по стационарной подгруппе элемента п; и) аддитивной группы вещественных (3 х 2)-матриц по подгруппе всех матриц (а^) с условием α3ι = а32 = &22 = 0; к) аддитивной группы всех многочленов степени не выше 5 с комплексными коэффициентами по подгруппе многочленов степени не выше 3; л) циклической группы (а)6 по подгруппе (а4). 56.38. Пусть д — невырожденная матрица из GLn(C) и if=SLn(C). Доказать, что смежный класс дН состоит из всех матриц а £ GLn(C), определитель которых равен определителю матрицы д.
206 Гл. 13. Группы 56.39. Пусть Η— подгруппа в группе G. Доказать, что отображение хН \-^ Ηχ~λ задает биекцию между множеством левых и множеством правых смежных классов G по Н. 56.40. Пусть gi, д2— элементы группы G и Н\, Н2—подгруппы в G. Доказать, что следующие свойства эквивалентны: а) 01 #ι С д2Н2; б) Щ С Н2 и д~1д1 е Н2. 56.41. Пусть 01, 02 — элементы группы G и Н\, Н2—подгруппы в G. Доказать, что непустое множество g\Hi Π д2Н2 является левым смежным классом G по подгруппе Ηι Π Н2. 56.42. Пусть К — правый смежный класс группы G по подгруппе Н. Доказать, что если ж, г/, ζ £ if, то xy~1z £ if. 56.43. Пусть if — непустое подмножество в группе G, причем если ж, τ/, 2; G if, то ху~1 ζ £ К. Доказать, что if является правым смежным классом группы G по некоторой подгруппе ϋ. 56.44. Пусть ϋι, ϋ2 -—подгруппы в группе G, причем ϋι С Н2. Если индекс ϋι в Н2 равен п, а индекс Н2 в G равен т, то индекс ϋι в G равен тп. 56.45. Доказать, что в группе диэдра все осевые симметрии образуют смежный класс по подгруппе вращений. § 57. Действие группы на множестве. Отношение сопряженности 57.1. Найти все орбиты группы G невырожденных линейных операторов, действующих на n-мерном вещественном пространстве V, если: а) G — группа всех невырожденных линейных операторов; б) G — группа ортогональных операторов; в) G — группа операторов, матрицы которых в базисе ei, ..., еп диагональны; г) G — группа операторов, матрицы которых в базисе ei, ..., еп верхние треугольные. 57.2. Найти стационарную подгруппу Ga вектора а — е\ + е2 + ... ... + еп, если: a) G — группа из 57.1, в); б) G — группа из 57.1, г). 57.3. Найти стационарную подгруппу Gx и орбиту вектора ж, если: a) G — группа всех ортогональных операторов в трехмерном евклидовом пространстве;
§ 57. Действие группы па мпоэюестве 207 б) G — группа всех собственных ортогональных операторов в трехмерном евклидовом пространстве. 57.4. Пусть G — группа всех невырожденных линейных операторов в n-мерном векторном пространстве V л X — множество всех подпространств размерности к в X. а) Найти орбиты группы G в X. б) Пусть ei, ..., еп—такой базис в У, что ei, ..., е&—базис некоторого подпространства U. Найти в базисе ei, ..., еп матрицы операторов из стационарной подгруппы Gjj. 57.5. Пусть G — группа всех невырожденных линейных операторов в n-мерном векторном пространстве V и F — множество флагов в У, т.е. наборов / = (Vo, Vi, ..., Vn) подпространств в У, причем 0 = V&C Vi C...cVn = V. а) Найти орбиты G в F. б) Пусть ei £ Vi \ Vi-i, г = 1, ..., п. Доказать, что ei, ..., еп -—базис У. в) В базисе ei, ..., еп найти матрицы операторов из стационарной подгруппы Gf. 57.6. Пусть G — группа всех невырожденных линейных операторов в n-мерном векторном пространстве V и X (соответственно Y) —множество всех ненулевых разложимых g-векторов из AqV (из Sq(V)). а) Найти орбиты действия СвХиУ. б) Найти стационарную подгруппу Ga разложимого g-вектора а (вектора из Sq(V)). 57.7. Пусть G — группа всех невырожденных линейных операторов в n-мерном вещественном (комплексном) пространстве V и В — множество всех симметричных (эрмитовых) билинейных функций в V. Если д £ G и b £ В, то положим д{Ъ)(х, у) = Ъ(д~1х, д~гу). а) Доказать, что задано действие Снай. б) Описать орбиты G наБ. Найти их число. в) Описать стационарную подгруппу Gb положительно определенной функции 6. 57.8. Пусть G — группа всех невырожденных линейных операторов в n-мерном комплексном пространстве V и L(V)—множество всех линейных операторов в V. Если д £ G и f £ L(V), то положим g(f) = gfg-1. а) Доказать, что задано действие G в L(V). б) Описать орбиты G в L(V).
208 Гл. 13. Группы 57.9. Найти во множестве {1, 2, ..., 10} все орбиты и все стационарные подгруппы для группы G, порожденной подстановкой: , _ /12345 б 7 8 9 1θλ ц aJ0- 1^5 8 3 9 4 10 б 2 1 7JE 10' ^ _ /1 2 3 4 5 б 7 8 9 10\ G b^_ ^7 46183295 10 J G &lo; в) ρ = (169)(2, 10)(34578) G Si0. 57.10. В прямоугольной системе координат задан ромб с вершинами Л = (0,1), Б = (2,0), С =(0,-1), Я = (-2,0). а) Найти матрицы ортогональных преобразований плоскости, переводящих ромб в себя. б) Доказать, что эти матрицы образуют относительно умножения группу G, изоморфную группе V4. в) Найти орбиты действия группы G на множестве вершин ромба и их стационарные подгруппы. 57.11. Найти порядок группы диэдра Dn. 57.12. Найти порядок: а) группы вращений куба; б) группы вращений тетраэдра; в) группы вращений додекаэдра. 57.13. Доказать, что: а) группа движений тетраэдра изоморфна группе S4; б) группа вращений куба изоморфна группе А4; в) группа вращений икосаэдра изоморфна группе А5. 57.14. Найти порядок стационарной подгруппы вершины для группы вращений: а) октаэдра; б) икосаэдра; в) тетраэдра; г) куба; д) диэдра. 57.15. Пусть G — группа аффинных преобразований в п-мерном аффинном пространстве X. Предположим, что Υ — множество всех наборов из η + 1 точки (Ао, ..., An), находящихся в общем положении. а) Найти орбиты G в Y. б) Найти стационарную подгруппу Ga набора а £ Υ. 57.16. Пусть G — группа аффинных преобразований в п-мерном аффинном вещественном (комплексном) пространстве X. Обозначим через Q множество всех квадратичных функций в X. Если д G G, h £ Q и χ £ X, то положим (g(h))(x) — h(g~lx).
§ 57. Действие группы па мпоэюестве 209 а) Доказать, что задано действие G в Q. б) Описать орбиты G в Q. в) Описать стационарную подгруппу Gh невырожденной функции h £ Q. 57.17. Пусть G — группа дробно-линейных преобразований ζ ь^ ζ — Ъ \-^ а = , |а| = 1, |6| < 1, единичного круга с центром О из зада- 1 — zb чи 24.25. Найти: а) стационарную подгруппу точки О; б) орбиту точки О; в) пересечение стационарных подгрупп двух различных точек единичного круга. 57.18. Пусть группа G действует на множестве X и ж, у — элементы одной орбиты G в X. Доказать, что все такие g£G, что д(х) = у, составляют левый смежный класс G по стационарной подгруппе Gx и правый смежный класс по стационарной подгруппе Gy. 57.19. Пусть коммутативная группа G действует на некотором множестве Μ. Доказать, что если для некоторых д £ G и то £ Μ справедливо равенство grriQ = то, то gm = m для любой точки т, лежащей в одной орбите с точкой ttiq. 57.20. Пусть Η — подгруппа группы G, а £ G. Доказать, что: а) отображение σα : дН \-^ ад Η есть перестановка на множестве Μ всех левых смежных классов группы G по подгруппе Н] б) отображение /: аиаа определяет действие группы G на М; в) σα является тождественной перестановкой тогда и только тогда, когда а принадлежит пересечению всех подгрупп, сопряженных с Η в группе G. 57.21. Перенумеровав левые смежные классы группы G по подгруппе if, найти все перестановки σα (задача 57.20), если: а) G = Ζ4, Η — единичная подгруппа; б) G = D4, Η — подгруппа, состоящая из тождественного преобразования и некоторой осевой симметрии квадрата. 57.22. Доказать, что для любой группы G: а) сопряжение определяет действие тп\-^ д · m = gmg~l, д, πι £ G, группы G на множестве G\ б) стационарная подгруппа точки тп (централизатор элемента тп) совпадает со множеством элементов группы G, перестановочных с тп.
210 Гл. 13. Группы 57.23. Найти централизатор: а) перестановки (12)(34) в группе S4; б) перестановки (123...п) в группе Sn. 57.24. В группе GL2(M) найти централизатор матрицы: а) (о -?); б) (о °); в) (з ΐ)> г) (о !)· 57.25. В группе GLn(IR) найти централизатор матрицы diag(Ai, ... ..., λη), если: а) все элементы диагонали различны; б) λι = ... = Afe = α, λ&+ι = ... = \n = bna^b. 57.26. Какие из трех матриц сопряжены между собой в группе GL2(C): 57.27. Пусть F — поле. В группе SLn(F) найти: а) централизатор dj элементарной матрицы Ε + Ец при 1 ^ г ^ Φ 3 ^ п; б) пересечение CV/ при всех г, j, где 1 ^ г Φ j ^ щ в) класс сопряженных элементов, содержащих Ε + Eij. Доказать, что любые две элементарные матрицы Ε + aEij и Ε + βΕρ4, где l^i^jip^q^nna, P^F*, сопряжены. 57.28. В группе O2QI&) ортогональных операторов найти: а) централизатор оператора поворота на угол q φ ктт; б) централизатор симметрии относительно оси ОХ. 57.29. Доказать, что в группе O2QI&) любые две симметрии сопряжены. 57.30. Найти классы сопряженных элементов групп: a) S3; б) А4; в) D4. 57.31. Найти все конечные группы, число классов сопряженности которых равно: а) 1; б) 2; в) 3. 57.32. В группе S4 найти класс сопряженности: а) перестановки (12)(34); б) перестановки (124). 57.33. Есть ли в группах S5 и S6 несопряженные элементы одинаковых порядков? 57.34. Доказать, что две перестановки сопряжены в группе Sn тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую цикловую структуру, т. е. их разложения в произведения независимых циклов для любого к содержат одинаковое число циклов длины к.
§57. Действие группы па множестве 211 57.35. Найти число классов сопряженности в группах: a) S4; б) S5; в) S6; г) Dn. 57.36. Канонической формой матрицы А £ 80з(М) называется сопряженная с А матрица вида /10 0 \ 0 cos φ — sin φ . \0 sin φ cos φ J Доказать, что матрицы Αι и А^ сопряжены в 80з(М) тогда и только тогда, когда их канонические формы связаны соотношением φ\ + ψ2 = 2тгА: или ψ\ — ψ2 = 2πΑ: для некоторого целого к. 57.37. Доказать, что: а) если Η и К — сопряженные подгруппы конечной группы и К С Я, то К = Я; б) подгруппы я={(; ?), ηεή, *={(J *), ηζή сопряжены в группе GLi2(M), и К С Я. 57.38. Найти нормализатор N(H) подгруппы Я в группе G, если: а) G = GL2(M), Я — подгруппа диагональных матриц; б) G — GL2(M), Я —подгруппа матриц вида в) G = S4, Я=((1234)>. 57.39. Найти группу автоморфизмов: а) группы Z5; б) группы Zq. 57.40. Доказать, что: а) Aut S3 — S3, причем все автоморфизмы группы S3 внутренние; б) Aut V4 — S3, причем внутренним для V4 является лишь тождественный автоморфизм. 57.41. Является ли циклической группа автоморфизмов: а) группы Zg; б) группы Zg? 57.42. Найти порядок группы Aut Aut Aut Z9. 57.43. В группе Sq построить внешний автоморфизм. 57.44. Доказать, что в группе Sn (n ^ 6) все автоморфизмы внутренние. 57.45. Доказать, что группа автоморфизмов D4 изоморфна D4. Найти подгруппу внутренних автоморфизмов группы D4.
212 Гл. 13. Группы 57.46. Найти группу автоморфизмов группы Dn и подгруппу ее внутренних автоморфизмов. § 58. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Факторгруппы, центр 58.1. Доказать, что подгруппа Η группы G нормальна, если: а) G — коммутативная группа, Η — любая ее подгруппа; б) G = GLn(IR), Η — подгруппа матриц с определителем, равным 1; B)G = Sn,# = An; г) G = S4, Я = У4; д) G — группа невырожденных комплексных верхнетреугольных матриц, Η — группа матриц вида Ε + ^2 aijEiji aij G С. 58.2. Будет ли нормальной подгруппой в группе GLn(Z) множество всех матриц вида с»· где числа a, d нечетны, а числа 6, с четны? 58.3. Доказать, что любая подгруппа индекса 2 является нормальной. 58.4. Найти все нормальные подгруппы, отличные от единичной и от всей группы в группах: a) S3; б) А4; в) S4. 58.5. На примере группы А4 показать, что нормальная подгруппа К нормальной подгруппы Η группы G не обязательно является нормальной в G. 58.6. Пусть А и В — нормальные подгруппы группы G и А П В — единичная подгруппа. Доказать, что ab — Ьа для любых а £ Л, b £ В. 58.7. Пусть Η — подгруппа в G индекса 2, С — класс сопряженных в G элементов и С С Н. Доказать, что С является либо классом сопряженных в Η элементов, либо объединением двух классов сопряженных в Η элементов, состоящих из одинакового числа элементов. 58.8. Доказать, что факторгруппа IR*/Q* не является циклической.
§58. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы 213 58.9. Найти число классов сопряженности в группе А5 и число элементов в каждом из классов. 58.10. Доказать, что группа А5 является простой. 58.11. а) Доказать, что в группе кватернионов Qs любая подгруппа является нормальной. б) Найти центр и классы сопряженности в группе Qs. 58.12. Найти все нормальные подгруппы в группе диэдра Dn. 58.13. Доказать, что каждая конечная подгруппа в С>2(М), не лежащая в SC>2(M), является группой диэдра Dn, η ^ 2. 58.14. Пусть ^^поле и G — подгруппа в GLn(F), содержащая SLn(F). Доказать, что G нормальна в GLn(F). 58.15. Сопоставим каждой матрице ( ,) £ GL2(C) дробно-ли- d. нейное преобразование az + Ъ /М cz + d' Доказать, что это сопоставление является гомоморфизмом и найти ядро этого гомоморфизма. 58.16. Доказать, что ядро любого гомоморфизма группы С* в аддитивную группу Ш является бесконечной группой. 58.17. Пусть п,т^ 2 — натуральные числа и SLn(Z; mZ) —подмножество в SLn(Z), состоящее из матриц вида Ε + Xm, где X — целочисленная квадратная матрица размера п. Доказать, что: а) SLn(Z; mZ) — нормальная подгруппа в SLn(Z); б) если т =р — простое число, то SLn(Z)/SLn(Z; pZ) ~ SLn(Zp); в) группа SLn(Z; mZ) не содерж:ит элементов конечного порядка при т ^ 3; г) если G — конечная подгруппа в SLn(Z), то порядок G делит i(3n-l)(3n-3)...(3n-3n-1). 58.18. Доказать, что для любой группы G множество всех внутренних автоморфизмов является нормальной подгруппой в группе Aut G всех автоморфизмов группы G. 58.19. Доказать, что любая подгруппа, содержащая коммутант группы, нормальна. 58.20. Найти центр группы: a) Sn; б) Ап; в) Dn.
214 Гл. 13. Группы 58.21. Пусть группа G порождена элементами а, 6, причем а2 = 62 = (а6)4 = 1. Доказать, что элемент (аб)2 лежит в центре группы G. 58.22. Доказать, что центр группы порядка рп, где р — простое число (n £ N), содержит более одного элемента. 58.23. Пусть G — множество верхних унитреугольных матриц порядка 3 с элементами из поля Zp. а) Доказать, что G — некоммутативная группа порядка р3 относительно умножения. б) Найти центр группы G. в) Найти все классы сопряженных элементов группы G. 58.24. Найти центр группы: a) GLn(K); б) 02(К); в) S02(K); г) S03(K); д) SU2(C); e) SUn(C); ж) невырожденных верхнетреугольных матриц. 58.25. Найти центр: а) группы всех дробно-линейных преобразований комплексной плоскости; б) группы всех преобразований единичного круга из задачи 57.17. 58.26. Доказать, что группа Η является гомоморфным образом конечной циклической группы G тогда и только тогда, когда Η также циклическая, и ее порядок делит порядок группы G. 58.27. Доказать, если группа G гомоморфно отображена на группу if, причем аи а', то: а) порядок а делится на порядок а'; б) порядок G делится на порядок Н. 58.28. Найти все гомоморфные отображения: a) Z6 —► Z6; б) Z6 —► Zi8; в) %18 —> Z6; г) Zi2 -> Zi5; д) Z6 -> Z25. 58.29. Доказать, что аддитивную группу рациональных чисел нельзя гомоморфно отобразить на аддитивную группу целых чисел. 58.30. Найти факторгруппы: a) Z/nZ; б) Ui2/U3; в) 4Z/12Z; г) Μ*/ζ+· 58.31. Пусть Fn — аддитивная группа n-мерного линейного пространства над полем F и Η — подгруппа векторов /с-мерного подпространства. Доказать, что факторгруппа Fn/H изоморфна Fn~k.
§58. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы 215 58.32. Пусть Нп — множество чисел с аргументами вида 2-кк/п (к GZ). Доказать, что: a) K/Z ~ U; б) C*/R* - U; в) C*/U ~ М+; г) U/Un ~ U; д) C*/Un ~ С*; е) C*/#n ~ U; ж) Яп/М+ ~ Un; з) Hn/\Jn ~ К+. 58.33. Пусть G = GLn(K), Я = GLn(C), Ρ = SLn(K), Q = SLn(C), A = {X g G | | det X\ = 1}, β = {X e Я | det X e K}, С = {X e Η | | det X\ = 1}, L> = {X e G | det X > 0}. Доказать, что: a) G/P ~ M*; 6) #/Q ~ С*; в) G/L> ~ Z2; r) Я/β ~ U; д) G/A ~ K+; e) Я/С ~ K+. 58.34. Пусть G — группа аффинных преобразований n-мерного пространства, Я — подгруппа параллельных переносов, К — подгруппа преобразований, оставляющих неподвижной данную точку О. Доказать, что: а) Я является нормальной подгруппой в G; б) G/H ~ К. 58.35. Доказать, что факторгруппа группы S4 по нормальной подгруппе {е, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} изоморфна группе S3. 58.36. Доказать, что если Я — подгруппа индекса к в группе G, то Я содержит некоторую нормальную в G подгруппу, индекс которой в G делит к\. 58.37. Доказать, что подгруппа, индекс которой является наименьшим простым делителем порядка группы, нормальна. 58.38. Доказать, что факторгруппа группы GL^Za) по ее центру изоморфна группе S4. 58.39. Доказать, что в группе Q/Z: а) каждый элемент имеет конечный порядок; б) для каждого натурального η имеется в точности одна подгруппа порядка п. 58.40. Доказать, что группа внутренних автоморфизмов группы G изоморфна факторгруппе группы G по ее центру. 58.41. Доказать, что факторгруппа некоммутативной группы по ее центру не может быть циклической. 58.42. Доказать, что группа порядка р2, где ρ -—простое число, коммутативна.
216 Гл. 13. Группы 58.43. Доказать, что группа всех автоморфизмов некоммутативной группы не может быть циклической. * * * 58.44. Найти число классов сопряженности и число элементов в каждом классе для некоммутативной группы порядка р3, где ρ — простое число. 58.45. Подгруппа Η называется максимальной в группе G, если Η ^ G и любая подгруппа, содержащая if, совпадает с Η или G. Доказать, что: а) пересечение любых двух различных максимальных коммутативных подгрупп содержится в центре группы; б) во всякой конечной простой некоммутативной группе найдутся две различные максимальные подгруппы, пересечение которых содержит более одного элемента; в) во всякой конечной простой некоммутативной группе существует собственная некоммутативная подгруппа. 58.46. Доказать, что факторгруппа SL^Zs) по ее центру изоморфна А5. 58.47. Пусть F — поле, η ^ 3 и G — нормальная подгруппа в GLn(F). Доказать, что либо G ~Э SLn(F), либо G состоит из скалярных матриц. 58.48. Пусть F — поле, содержащее не менее четырех элементов и G — нормальная подгруппа в GL2(F). Доказать, что либо G D SLi2(jF), либо G состоит из скалярных матриц. 58.49. Доказать, что SL2(2) ~ S3. 58.50. Найти все нормальные подгруппы в SLi2(3). 58.51. Пусть G — нормальная подгруппа конечного индекса в SLn(Z), η ^ 3. Тогда существует такое натуральное число т, что GCSLn(Z, mZ). 58.52. Пусть F — поле, п^Зи φ — автоморфизм группы GLn(F). Доказать, что существуют такие гомоморфизм групп η: GLn(F) —> —> F*, автоморфизм τ поля F, индуцирующий автоморфизм τ' группы GLn(F), и элемент д £ GLn(F), что либо ψ(χ) = η(x)gτ,(x)g~l, либо φ(χ)=η(χ)3(τί(χ)-1γ3-1 для всех χ G GLn(F).
§59. Силовские подгруппы 217 § 59. Силовские подгруппы. Группы малых порядков 59.1. Найти порядок групп: а) GLn(F9); б) SLn(Fg); в) невырожденных верхнетреугольных (η χ п)-матриц над полем ¥q. 59.2. Изоморфны ли: а) группа Qs и группа D4; б) группа S4 и группа SL2(3)? 59.3. Найти все силовские 2-подгруппы и 3-подгруппы в группах: a) S3; б) А4. 59.4. Указать сопрягающие элементы для силовских 2-подгрупп и силовских 3-подгрупп в группах: a) S3; б) А4. 59.5. Доказать, что любая силовская 2-подгруппа группы S4 изоморфна группе диэдра D4. 59.6. В каких силовских 2-подгруппах группы S4 содержатся перестановки: а) (1324); б) (13); в) (12)(34)? 59.7. Доказать, что существуют в точности две некоммутативные неизоморфные группы порядка 8 — группа кватернионов Qs и группа диэдра D4. 59.8. Доказать, что силовская 2-подгруппа группы SL2(Z3): а) изоморфна группе кватернионов; б) нормальна в SL2(Z3). 59.9. Сколько различных силовских р-подгрупп в группе А5, где: а) ρ = 2; б) ρ = 3; в) ρ = 5? 59.10. Найти порядок силовской р-подгруппы в группе Sn. 59.11. Сколько различных силовских р-подгрупп в группе Sp, где ρ — простое число? 59.12. Доказать, что силовскаяр-подгруппа в группе G единственна тогда и только тогда, когда она нормальна в G. 59.13. Пусть Ρ = I { η ? ) Ι α £ Zw, ό — простое число 1 ( 0 1 ) α G ^ρ' ρ~простое а) Доказать, что Ρ— силовская р-подгруппа в группе SL^Zp). б) Найти нормализатор подгруппы Ρ в SL^Zp). в) Найти число различных силовских р-подгрупп в SL2(Zp). г) Доказать, что Ρ — силовская р-подгруппа в группе GL2(Zp). д) Найти нормализатор подгруппы Ρ в GL2(Zp). е) Найти число различных силовских р-подгрупп в GL2(Zp).
218 Гл. 13. Группы 59.14. Доказать, что подгруппа верхних унитреугольных матриц является силовской р-подгруппой в GLn(Zp). 59.15. В группе диэдра Dn для каждого простого делителя ρ числа 2п: а) найти все силовские р-подгруппы; б) указать сопрягающие элементы для силовских р-подгрупп. 59.16. Доказать, что образ силовской р-подгруппы конечной группы G при гомоморфизме группы G на группу Η является силовской подгруппой в Η. 59.17. Доказать, что любая силовская р-подгруппа прямого произведения конечных групп Ал В является произведением силовских р-подгрупп сомножителей А и В. 59.18. Пусть Ρ — силовская р-подгруппа конечной группы G, Η — нормальная в G подгруппа. а) Доказать, что пересечение Ρ Π Η является силовской р-под- группой в Н. б) Привести пример, показывающий, что без предположения о нормальности подгруппы Η утверждение пункта а) неверно. 59.19. Доказать, что все силовские подгруппы группы порядка 100 коммутативны. 59.20. Доказать, что любая группа порядка: а) 15; б) 35; в) 185; г) 255 коммутативна. 59.21. Сколько различных силовских 2-подгрупп и силовских 5-подгрупп в некоммутативной группе порядка 20? 59.22. Доказать, что не существует простых групп порядка: а) 36; б) 80; в) 56; г) 196; д) 200. 59.23. Пусть ρ и (/-—простые числа, ρ < q. Доказать, что: а) если q — 1 не делится на р, то любая группа порядка pq коммутативна; б) если q — 1 делится на р, то в группе невырожденных матриц вида ί π Ί ) (α, b £ Zq) имеется некоммутативная подгруппа порядка pq. 59.24. Сколько элементов порядка 7 в простой группе порядка 168? * * * 59.25. Пусть К — нормальная подгруппа в р-группе G. Доказать, чтоХпЭД^!.
§ 60. Прямые произведения и прямые суммы 219 59.26. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F характеристики ρ и G — р-группа линейных невырожденных операторов в V. Доказать, что существует такой ненулевой вектор xGF, что дх = χ для всех д £ G. 59.27. Пусть Ρ — силовская р-подгруппа в конечной группе G и Η — подгруппа в G, содержащая нормализатор Ng(P)· Доказать, что NG(H) = H. 59.28. Пусть G — конечная группа, N — нормальная подгруппа в G и Ρ — силовская подгруппа в N. Доказать, что G = N · Nq{P) (лемма Фиттинга). 59.29. Предположим, что в конечной группе G имеется такой элемент а, что = р— простое число, где К (а)—класс сопря- \К[а)\ женных с а элементов из G. Доказать, что: а) р2 не делит порядок группы G; б) если ρ = 2, то в группе G имеется такая абелева подгруппа Η нечетного порядка и индекса 2, что aha~l = h~l для любого h £ Η. § 60. Прямые произведения и прямые суммы. Абелевы группы 60.1. Доказать, что группы Ζ и Q не разлагаются в прямую сумму ненулевых подгрупп. 60.2. Разлагаются ли в прямое произведение неединичных подгрупп группы: a)S3; б)А4; b)S4; г) Q8? 60.3. Доказать, что конечная циклическая группа является прямой суммой примарных циклических подгрупп. 60.4. Доказать, что прямая сумма циклических групп Zm 0 Zn является циклической группой тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель тип равен 1. 60.5. Разложить в прямую сумму группы: a) Z6; б) Ζι2; в) Z60. 60.6. Доказать, что мультипликативная группа комплексных чисел является прямым произведением группы положительных вещественных чисел и группы всех комплексных чисел, по модулю равных 1. 60.7. Доказать, что при η ^ 3 мультипликативная группа кольца вычетов Ζ2™ является прямым произведением подгруппы {=Ы} и циклической группы порядка 2П_2.
220 Гл. 13. Группы 60.8. Чему равен порядок: а) прямого произведения конечных групп; б) элемента прямого произведения конечных групп? 60.9. Доказать, что если в абелевой группе подгруппы А\, Ач, ... ...,Α/e имеют конечные попарно взаимно простые порядки, то их сумма является прямой. 60.10. Пусть D — подгруппа прямого произведения А х В групп А л В взаимно простых порядков. Доказать, что D~(DnA)x (ΌΠΒ). 60.11. Пусть к— наибольший порядок элементов конечной абелевой группы G. Доказать, что порядок любого элемента группы G делит к. Верно ли это утверждение без предположения об абелевости группы? 60.12. Найти все прямые разложения группы, состоящей из чисел вида ±2П. 60.13. Пусть А — конечная абелева группа. Найти все прямые разложения группы Ζ 0 Л, в которых одно из слагаемых является бесконечной циклической группой. 60.14. Найти классы сопряженности группы Α χ В, если известны классы сопряженности групп А и В. 60.15. а) Доказать, что центр прямого произведения А х В равен прямому произведению центров А л В. б) Пусть N — нормальная подгруппа в А х В, причем ΝΠΑ = ΝΠΒ = 1. Доказать, что N лежит в центре А х В. 60.16. Доказать, что если факторгруппа А/В абелевой группы А по подгруппе В является свободной абелевой группой, то А = В 0 С, где С — свободная абелева группа. 60.17. Доказать, что подгруппа А абелевой группы G выделяется в G прямым слагаемым тогда и только тогда, когда существует такой сюръективный гомоморфизм π: G —> А, что π2 — π. 60.18. Пусть φ\,φ<Σ—гомоморфизмы групп А\, А^ в абелеву группу В. Доказать, что существует единственный гомоморфизм φ: Αχ χ Α^ —► В, ограничения которого на Αι и А^ совпадают соответственно с φι и ψ2. Существенна ли здесь абелевость группы ΒΊ 60.19. На множестве гомоморфизмов абелевой группы А в абелеву группу В определим операцию сложения по правилу (а + β){χ) — α (χ) + β (χ).
§ 60. Прямые произведения и прямые суммы 221 Доказать, что гомоморфизмы А —» В образуют абелеву группу Нот(Д В). 60.20. Найти группы гомоморфизмов: a) Hom(Z12, Z6); б) Hom(Z12, Z18); в) Hom(Z6, Zi2); г) Яот(А1 φ Α2, Β); д) Нот(А, Вг Θ Я2); е) Нот( ж) Hom(Z, Zn); з) Hom(Zn, Z); и) Hom(Z, Ζ); κ) Hom(Z2 Θ Z2, Ζ8); л) Hom(Z20Z3,Z3o). 60.21. Доказать, что Hom(Z, Л) ~ Л. 60.22. Пусть Л — абелева группа. Доказать, что все ее эндоморфизмы образуют кольцо End А с единицей относительно сложения и обычного умножения отображений. 60.23. Доказать, что группа автоморфизмов абелевой группы совпадает с группой обратимых элементов ее кольца эндоморфизмов. 60.24. Найти кольца эндоморфизмов групп: a) Z; б) Zn; в) Q. 60.25. Доказать, что в абелевой группе отображение χ —► их (п G Z) является эндоморфизмом. Для каких групп оно будет: а) инъективным; б) сюръективным? 60.26. Доказать, что кольцо эндоморфизмов свободной абелевой группы ранга η изоморфно кольцу Μη(Ζ). 60.27. Найти группы автоморфизмов групп: a) Z; б) Q; в) Ζ2™; г) свободной абелевой ранга п. 60.28. Доказать, что: a) Aut Z30 ^ Aut Z15; б) Aut(Z Θ Ζ2) = Ζ2 Θ Ζ2. 60.29. Доказать, что кольцо End(Z 0 Z2) бесконечно и некоммутативно. 60.30. Доказать, что кольцо эндоморфизмов конечной абелевой группы является прямой суммой колец эндоморфизмов ее примар- ных компонент. 60.31. Доказать, что подгруппа конечно порожденной абелевой группы также конечно порождена. 60.32. Доказать, что всякий гомоморфизм конечно порожденной абелевой группы на себя является автоморфизмом. Верно ли аналогичное утверждение для аддитивной группы кольца многочленов? 60.33. Доказать, что свободные абелевы группы рангов тип изоморфны тогда и только тогда, когда т = п. 60.34. Пусть А, В, С — конечно порожденные абелевы группы, причем А 0 С с± В 0 С. Доказать, что А с± В.
222 Гл. 13. Группы 60.35. Пусть порядок конечной абелевой группы G делится на натуральное число т. Доказать, что в G есть подгруппа порядка т. 60.36. Пусть А л В — конечные абелевы группы, причем для любого натурального числа т в А и В число элементов порядка т одинаково. Доказать, что А ~ В. 60.37. Пусть А л В — конечно порожденные абелевы группы, причем каждая из них изоморфна подгруппе другой. Доказать, что А~В. 60.38. Доказать, что подгруппа В свободной абелевой группы А является свободной, причем ранг В не превосходит ранга А. 60.39. Пользуясь основной теоремой о конечно порожденных абе- левых группах, найти с точностью до изоморфизма все абелевы группы порядка: а) 2; б) 6; в) 8; г) 12; д) 16; е) 24; ж) 36; з) 48. 60.40. Говорят, что абелева группа имеет тип (ηι, П2, ..., п&), если она является прямой суммой циклических групп порядков пь п2, ..., nfe. Есть ли в абелевой группе типа (2, 16) подгруппы типа: а) (2,8); б) (4, 4); в) (2, 2, 2)? 60.41. Найти тип группы ((α)9 Θ (6)27)/(3α + 96). 60.42. Изоморфны ли группы: а) «а)2 0 (6)4)/<26) и «α>2 Θ (6)4)/(а + 26); б) Ζ60Ζ36 ηΖι2 0Ζι8; в) Ζ60Ζ36 и Ζ90Ζ24; г) Ζ6 0 Ζιο 0 Ζιο и Z60 0 Ζιο? 60.43. Сколько подгрупп: а) порядков 2 и 6 в нециклической абелевой группе порядка 12; б) порядков 3 и 6 в нециклической абелевой группе порядка 18; в) порядков 5 и 15 в нециклической абелевой группе порядка 75? 60.44. Найти все прямые разложения групп: а) <а)20(6)2; б) (а)р Θ (b)p; в) (α}2 0 (6)4. 60.45. Сколько элементов: а) порядка 2, 4 и 6 в группе Ζ2 Θ Ζ4 Θ Ζ3; б) порядка 2, 4 и 5 в группе Ζ2 Θ Ζ4 Θ Ζ4 Θ Ζ5? 60.46. Пользуясь основной теоремой о конечных абелевых группах, доказать, что конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической.
§ 60. Прямые произведения и прямые суммы 223 60.47. Пусть F — поле, у которого мультипликативная группа F* конечно порождена. Доказать, что поле F конечно. 60.48. Доказать, что конечно порожденная подгруппа мультипликативной группы комплексных чисел разлагается в прямое произведение свободной абелевой группы и конечной циклической. 60.49. Пусть А — свободная абелева группа с базисом ei, ..., еп и χ — т\е\ + ... + тпеп £ А \ 0, где πΐ{ £ Z. Доказать, что циклическая группа (х) является прямым слагаемым в А тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель чисел mi, ..., mn равен 1. 60.50. Пусть А — свободная абелева группа с базисом х\, ..., хп. Доказать, что элементы η Уз — / J aijxii J — 15 ···? ηι aij ^ A г=1 составляют базис группы А тогда и только тогда, когда det(a^) = ±1. 60.51. Пусть А — свободная абелева группа с базисом х\^ ..., жП5 В — ее подгруппа с порождающими элементами %- = Σ Q>ijxii J — I, ..., 71, Clij Ε /и. г=1 Доказать, что факторгруппа А/В конечна тогда и только тогда, когда det(aij) Φ 0, и при этом |A/i?| = | det(a^)|. 60.52. Разложить в прямую сумму циклических групп факторгруппу А/В, где А — свободная абелева группа с базисом χι, x2l хз, В — ее подгруппа, порожденная у ι, у2. Уз'· Ух = 7а; ι + 2х2 + Зж3, iyi = Ьх\ + Ъх2 + Зж3, а) <( J/2 = 21a;i + 8ж2 + 9ж3, б) < у2 = Ъх\ + 6ж2 + 5ж3, 2/3 = 5a;i - 4ж2 + Зж3; [у3 = 8^1 + 7^2 + 9ж3; 2/1 = 5ж1 + 5ж2 + 2ж3, Г г/! = βχι + 5ж2 + 7ж3, в) {у2 = llxi + 8ж2 + 5ж3, г) < у2 = 8ж1 + 7ж2 + Пж3, 2/з = 17xi + 5ж2 + 8ж3; \уз = 6χι + 5ж2 + 11жз; 2/1 = 4ж1 + 5ж2 + жз, ί2/1 = 2ж1 + бж2 - 2ж3, д) ^ 2/2 = 8χι + 9ж2 + хз, е) < 2/2 = 2χι + 8ж2 - 4ж3, 2/з = 4ж1 + бж2 + 2ж3; [?/з = 4j:i + 12ж2 - 2ж3; 2/1 = 6^1 + 5ж2 + 4ж3, Г 2/1 = ж ι + 2х2 + Зж3, ж) <J 2/2 = 7ж1 + 6ж2 + 9х3, з) < 2/2 = 2χ/ι, 2/3 = 5ж1 + 4ж2 - 4ж3; I 2/3 = 3yi',
224 Гл. 13. Группы у\ = Αχ ι + 7x2 + Зх3, [ 2/1 = 2χι + Зх2 + 4х3, и) {у2 = 2χι + 3x2 + 2х3, к) \У2 = 5χι + 5х2 + 6х3, г/з = 6χι + Юх2 + 5х3; [ϊ/з = 2χι + 6х2 + 9х3; ух = 4χι + 5х2 + Зх3, Г 2/1 = 3χι + Зх2, л) { У2 = 5χι + 6х2 + 5х3, м) < г/2 = 9χι + Зх2 - 6х3, г/3 = 8χι + 7х2 + 9х3; [г/3 = -3χι + Зх2 + 6х3. 60.53. В факторгруппе свободной абелевой группы А с базисом χι, Χ2, х3 по подгруппе β, порожденной χι+Χ2+4χ3 и 2χι — Х2 + 2х3, найти порядок смежного класса (χι + 2х3) + В. 60.54. В факторгруппе свободной абелевой группы А с базисом χι,χ2,χ3 по подгруппе В, порожденной 2χι + Х2 — 50х3 и 4χι + 5x2 + 60х3, найти порядок элемента 32χι + 31x2 + В. 60.55. Доказать, что кольцо эндоморфизмов конечной абелевой группы коммутативно тогда и только тогда, когда каждая ее при- марная компонента является циклической. 60.56. Аддитивная подгруппа Η в n-мерном вещественном пространстве W1 дискретна, если существует такая окрестность нуля С/, что U Π Η — 0. Доказать, что дискретная подгруппа в Шп является свободной абелевой группой и ее ранг не превосходит п. 60.57. Найти все элементы конечного порядка в Шп/Ζη. 60.58. Пусть Η = Ζ [г] —подгруппа целых гауссовых чисел в аддитивной группе поля комплексных чисел С. Предположим, что z = x + iy<EC\H, где х, у £ IR*, причем ху~1 иррационально. Доказать, что (ζ) + Η всюду плотно в С. 60.59. Пусть Η — аддитивная замкнутая подгруппа в Шп. Доказать, что Η — L 0 Н\, где L — подпространство в Шп и Η ι —дискретная подгруппа в Шп. 60.60. Доказать, что если порядок элемента а абелевой группы А взаимно прост с п, то уравнение их = а имеет в А решение. 60.61. Абелева группа А называется делимой, если уравнение их = а имеет в ней решение при любом а £ А и целом η ^ 0. Доказать, что группа делима тогда и только тогда, когда при любом а и любом простом ρ уравнение рх = а имеет решение. 60.62. Доказать, что прямая сумма делима тогда и только тогда, когда делимы все прямые слагаемые. 60.63. Доказать, что группы Q и Upoo (p — простое число) делимы.
§61. Порождающие элементы 225 60.64. Доказать, что в группе без кручения можно ввести структуру линейного пространства над полем Q тогда и только тогда, когда она является делимой. 60.65. Пусть А—делимая подгруппа группы G, В — максимальная подгруппа группы G такая, что А П В = {0} (такая всегда существует). Доказать, что G = А® В. 60.66. Доказать, что в любой абелевой группе существует делимая подгруппа, факторгруппа по которой не имеет делимых подгрупп. 60.67. Пусть А — конечно порожденная абелева группа и В — подгруппа в А. Предположим, что А/В — группа без кручения. Тогда А = В 0 С, где С— свободная абелева группа. 60.68. Пусть А, В — свободные абелевы группы и φ: А —> В — гомоморфизм групп. Доказать, что Кег φ — прямое слагаемое в А. 60.69. Пусть А — свободная абелева группа с базой е\, ..., еп и С — целочисленная квадратная матрица размера п. Обозначим через В множество всех таких векторов χχβι + ... + хпеп £ А, что \Хп/ Доказать, что В — подгруппа в А, являющаяся прямым слагаемым в А. Обратно, любое прямое слагаемое в А задается системой линейных однородных целочисленных уравнений. §61. Порождающие элементы и определяющие соотношения 61.1. Доказать, что: а) группа Sn порождается транспозицией (12) и циклом (12...п); б) группа Ап порождается тройными циклами. 61.2. Доказать, что: а) группа GLn(F) над полем F порождается матрицами вида Ε + aEij, где α G F, 1 ^ i ^ j ^ η, и матрицами Ε + 6£Ίι, где Ъ £ F, Ьф-\- б) группа UTn(F) порождается матрицами Ε + аЕц, где а £ F, 1 ^ i < J ^ п. 61.3. Доказать, что специальная линейная группа SLn(F) над полем F порождается трансвекциями, т. е. элементарными матрицами вида Ε + aEij (i^j).
226 Гл. 13. Группы 61.4. Доказать, что: а) любую целочисленную матрицу с единичным определителем можно привести к единичному виду только элементарными преобразованиями, заключающимися в том, что к одной строке прибавляется другая строка, умноженная на =Ы; б) группа SLn(Z) конечно порождена. * * * 61.5. Пусть ¥q — поле из q -φ 9 элементов и а — образующий циклической группы F* Доказать, что SL2(Fg) порождается двумя матрицами (θ ΐ| (α ι} 61.6. Доказать, что а) А5 порождается двумя подстановками, (254) и (12345). б) Доказать, что Ап при четном η ^ 4 порождается двумя элементами: а = (12)(п — 1, п), Ъ = (1, 2, ..., η — 1). в) Доказать, что Ап при нечетном η ^ 5 порождается двумя элементами: а = (1, η)(2, η — 1), Ъ = (1, 2, ..., η — 2). 61.7. Найти все двухэлементные множества, порождающие группы: a) Z6; б) S3; в) Q8; г) D4; д) (α>2 Θ (Ь)2. 61.8. Доказать, что если d — минимальное число порождающих конечной абелевой группы Л, то для группы А 0 А аналогичное число равно 2d. 61.9. Доказать, что группа S2 x S3 порождается двумя элементами. 61.10. Доказать, что если группа имеет конечную систему порождающих, то из любой системы порождающих можно выбрать конечную подсистему, порождающую всю группу. 61.11. Будет ли конечно порожденным нормальное замыкание матрицы А = ί π Ί ) в группе G, порожденной матрицами 61.12. Доказать, что: а) каждое слово в свободной группе эквивалентно единственному несократимому слову; б) «свободная группа» действительно является группой.
§61. Порождающие элементы 227 61.13. Пусть F — свободная группа со свободными порождающими х\, ...5жП5 G — произвольная группа. Доказать, что для любых элементов д\, ..., дп £ G существует единственный гомоморфизм ψ: F —► G такой, что φ(χ\) = д\, ..., ψ{χη) — 9п- Вывести отсюда, что любая конечно порожденная группа изоморфна факторгруппе подходящей свободной группы конечного ранга. 61.14. Доказать, что в свободной группе нет элементов конечного порядка, отличных от единицы. 61.15. Доказать, что два коммутирующих элемента свободной группы лежат в одной циклической подгруппе. 61.16. Доказать, что слово w лежит в коммутанте свободной группы с системой свободных порождающих х\, ..., хп тогда и только тогда, когда для каждого г — 1, ..., η сумма показателей у всех вхождений Xi в w равна 0. 61.17. В свободной группе описать все слова, сопряженные слову w. 61.18. Доказать, что факторгруппа свободной группы по ее коммутанту— свободная абелева группа. 61.19. Доказать, что свободные группы рангов тип изоморфны тогда и только тогда, когда т = п. 61.20. Сколько подгрупп индекса 2 в свободной группе ранга 2? 61.21. а) Доказать, что в свободной группе F ранга к все слова, в которых сумма показателей при каждой переменной делится на п, образуют нормальную подгруппу N. к раз / А ч б) Доказать, что F/N = Ъп Θ ... Θ Ζη. 61.22. Доказать, что все сюръективные гомоморфизмы свободной группы ранга 2 на группу Ъп 0 Ъп имеют одно и то же ядро. 61.23. Сколько существует гомоморфизмов свободной группы ранга 2 в группу: a) Z20Z2; б) S3? 61.24. Доказать, что в SL2(Z) множество матриц ( ,), где а = d = 1 (mod 4), b = с = 0 (mod 2), образует группу с двумя порождающими (о ι| (2 1)· 61.25. Доказать, что если группа G с порождающими элементами χι, ..., хп задана определяющими соотношениями Ri{x\, ..., хп) = 1
228 Гл. 13. Группы {г £ /) и в какой-либо группе Η для элементов hi, ..., hn Ε Η выполнено Ri(hi, ..., hn) = 1, то существует единственный гомоморфизм φ\ G —> Л такой, что φ(χι) = h\, ..., φ(χη) = hn. 61.26. Доказать, что если между элементами а и b группы выполнены соотношения а5 = Ъ3 = 1, 6_1а6 = а2, то а = 1. 61.27. Показать, что группа, порожденная элементами a, b с соотношениями а2 = б7 = 1, a~1ba = b~1, конечна. 61.28. Доказать, что группа, заданная порождающими элементами χι, #2 с соотношениями: а) х\ = х\ = {х\Х2)2 = 1; О) Ха — Хо — .1, Хл Χ^Χ\ — Хо, изоморфна S3. 61.29. Доказать, что группа, заданная порождающими элементами χι, #2 и определяющими соотношениями изоморфна группе диэдра Dn. 61.30. Доказать, что группа, заданная порождающими элементами х\, Χ2 и определяющими соотношениями Д Г) Г) -1 о Χ ι — _L, Χ ι — t/^o, tX/Q X ~^ Х*2 — Λ ί изоморфна группе кватернионов Qs. 61.31. Доказать, что группа, заданная порождающими элементами χι, #2 и определяющими соотношениями х\ = х\ = \^ изоморфна группе матриц {(ι ?)i»64 61.32. Доказать, что группа, заданная порождающими элементами х\^Х2 и определяющими соотношениями х\ = х\ = (^ι^)71 = 1, изоморфна группе матриц {(19и4
§62. Разрешимые группы 229 61.33. Найти порядок группы, заданной образующими a, b и определяющими соотношениями: а) α3 = 62 = (α6)3 = 1; б) а4 = Ъ2 = 1, аб2 = 63а, 6а3 = а26. 61.34. Пусть G — группа, порожденная элементами ж^-5 1 ^ г < < j^ п, с определяющими соотношениями XijXjix^x-j1 =хц, 1 ^ г < j < I ^ n. Доказать, что: а) каждый элемент группы G представляется в виде где m^· £ Z; 6)G~UTn(Z). 61.35. Доказать, что если G/JT = (дН) —бесконечная циклическая группа, toG= (д)Н, (д) П Η = {е}. 61.36. Описать в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений группы, у которых имеется бесконечная циклическая нормальная подгруппа с бесконечной циклической факторгруппой. 61.37. Пусть группа G задана порождающими элементами х\, х2 и определяющим соотношением х\х^х\ = х\- Описать наименьшую нормальную подгруппу в G, содержащую элемент Х2- 61.38. Пусть группа G порождена элементами а^Ь^с с определяющими соотнопгениями а2 = б3 = с5 = abc. Доказать, что abc — центральный элемент порядка 2. § 62. Разрешимые группы 62.1. Найти коммутатор: χ /0 1 а) невырожденных матриц Ι Ί π 'х у λ О ζ)" о rV^Vo V; г) двух транспозиций в симметрической группе Sn. 62.2. Доказать следующие свойства коммутанта Gr групп: a) Gr — нормальная подгруппа в G;
230 Гл. 13. Группы б) факторгруппа G/G' коммутативна; в) если N нормальна вСи G/N коммутативна, то G' С N. 62.3. Доказать, что при сюръективном гомоморфизме φ: G —> Η выполнено равенство ψ{β') = Η'. 62.4. Установить биективное соответствие между гомоморфизмами группы в коммутативные группы и гомоморфизмами ее факторгруппы по коммутанту. 62.5. Доказать, что коммутант группы GLn(F) содержится в SLn(F). 62.6. Доказать, что коммутант прямого произведения есть прямое произведение коммутантов сомножителей. 62.7. Найти коммутанты и порядки факторгрупп по коммутантам для групп: a) S3; б) А4; в) S4; г) Q8. 62.8. Найти коммутанты групп: a) Sn; б) Dn. 62.9. Доказать, что коммутант нормальной подгруппы нормален во всей группе. 62.10. Рядом коммутантов (или производным рядом) группы G называется ряд подгрупп G = G°DGfDG"D..., где Сг+1 = (Gl)f. Доказать, что: а) все члены ряда коммутантов нормальны в G; б) для всякого гомоморфизма φ группы G на группу Η φ(σ) = Ηι. 62.11. Доказать, что: а) всякая подгруппа разрешимой группы разрешима; б) всякая факторгруппа разрешимой группы разрешима; в) если А и В— разрешимые группы, то группа А х В разрешима; г) если G/A с± В и Л, В — разрешимые группы, то G разрешима. 62.12. Доказать разрешимость групп: a) S3; б) А4; в) S4; г) Q8; д) Dn. 62.13. Пусть UTn(F) —группа верхних унитреугольных матриц. Доказать, что: а) UT^(F) (множество матриц из UTn(F) с т — 1 нулевыми диагоналями выше главной) — подгруппа в UTn(F); б) если А е UT^(F), В е UTi(F), то [А, В] е UT^'(F); в) группа UTn(F) разрешима.
§62. Разрешимые группы 231 62.14. Доказать, что группа невырожденных верхних треугольных матриц разрешима. 62.15. Доказать, что конечная группа G разрешима тогда и только тогда, когда в ней имеется такой ряд подгрупп G = H0DH1D...DHk = {e}1 что ifi+i нормальна в Ηi и Ηι/Ηι+χ — (циклическая) группа простого порядка. 62.16. Доказать, что конечная р-группа разрешима. 62.17. Доказать разрешимость группы порядка pq, где р, q — различные простые числа. 62.18. Доказать разрешимость группы порядка: а) 20; б) 12; в) p2q, где р, q — различные простые числа; г) 42; д) 100; е) η < 60. 62.19. Доказать для трансвекций Uj(a) — Ε + aEij формулу [tik(a), tkj(P)] =Uj(a@) при различных г, j, к. 62.20. Пусть F — поле ип)3. Доказать, что: *)$L'n{F) = GL'n(F) = $Ln(F); б) группы SLn(F) и GLn(F) не являются разрешимыми. 62.21. Пусть F — поле, содержащее не менее четырех элементов. Доказать, что: a)SL,2(F) = GL,2(F) = SL2(F); б) группы SLi2(jF) и GLi2(jF) не являются разрешимыми. * * * 62.22. Пусть р, g, r — различные простые числа. Доказать, что любая группа порядка pqr разрешима. 62.23. Пусть р, g, r — различные простые числа. Доказать, что неразрешимая группа порядка p2qr изоморфна А5. 62.24. Если порядок конечной группы является произведением различных простых чисел, то G — разрешимая группа, обладающая такой циклической нормальной подгруппой 7V, что G/N — циклическая группа. 62.25. Пусть G — конечная группа, причем G — G1', центр G имеет порядок 2 и факторгруппа по центру изоморфна А5. Доказать, что G~SL2(Z5).
232 Гл. 13. Группы 62.26. Пусть F — поле, V — n-мерное векторное пространство над F и G — группа невырожденных линейных операторов в У, причем если gE.G,Tog = l + h, где hn — 0. Доказать, что: а) в V существует такой вектор χ -φ 0, что дх = χ для всех д £ G; б) в V существует такой базис ei, ..., еп, что матрицы всех операторов g, g G G, в этом базисе верхнетреугольные; в) группа G разрешима. 62.27. Пусть р, q — простые числа, причем ρ делит q — 1. Доказать, что: а) существует такое целое г ф\ (mod g), что γρξ1 (mod q)\ б) существует (с точностью до изоморфизма) ровно одна некоммутативная группа порядка pq. 62.28. Доказать, что: а) если в коммутативной группе элементы а, Ь связаны соотношениями а3 = б5 = (аб)7 = е, то а = Ъ = е; б) подгруппа, порожденная в S7 перестановками (123) и (14567), не является разрешимой; в) группа с порождающими элементами х\,Х2 и определяющими соотношениями х\ — х\ — {χ\χ*ιγ — е не является разрешимой. 62.29. Разрешима ли свободная группа?
Глава 14 КОЛЬЦА § 63. Кольца и алгебры 63.1. Какие из следующих числовых множеств образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения: а) множество Z; б) множество пЪ (п > 1); в) множество неотрицательных целых чисел; г) множество Q; д) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели делят фиксированное число η £ Ν; е) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели не делятся на фиксированное простое число р\ ж) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели являются степенями фиксированного простого числа р; з) множество вещественных чисел вида χ + 2/у25 гДе χι У ^ Q; и) множество вещественных чисел вида χ + у V2, где ж, у £ Q; к) множество вещественных чисел вида χ + у \Jl + £ л/4, где ж, 2/, ££Q; л) множество комплексных чисел вида χ + yi, где ж, ?/ £ Z; м) множество комплексных чисел вида χ -\- yi, где ж, ?/ £ Q; н) множество всевозможных сумм вида αι^ι + α2^2 + ··· + &nzn·) где αϊ, α,2, ..., αη — рациональные числа, ζ\, ^2 5 · · · ч ζη — комплексные корни степени η из 1; ,- ν χ + у^/а о) множество комплексных чисел вида , где а — фиксированное целое число, свободное от квадратов (не делящееся на квадрат простого числа), ж, у — целые числа одинаковой четности? 63.2. Какие из указанных множеств матриц образуют кольцо относительно матричного сложения и умножения: а) множество вещественных симметрических матриц порядка щ б) множество вещественных ортогональных матриц порядка п; в) множество верхних треугольных матриц порядка η ^ 2; г) множество матриц порядка η ^ 2, у которых две последние строки нулевые;
234 Гл. 14- Кольца д) множество матриц вида I ), где а — фиксированное целое число, ж, у £ Z; ), где г — фиксированный эле- гу χ J мент некоторого кольца R, х, у £ R; ж) множество матриц вида - I ), где а — фиксированное А \^ау хJ целое число, свободное от квадратов, χ и у — целые числа одинаковой четности; χ ( ζ w\ з) множество комплексных матриц вида I _ _ I; и) множество вещественных матриц вида (z У ζ V -у X t — ζ —ζ -t χ У -t\ Ζ -у χ J 63.3. Какие из следующих множеств функций образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения функций: а) множество функций вещественного переменного, непрерывных на отрезке [а, 6]; б) множество функций, имеющих вторую производную на интервале (а, 6); в) множество целых рациональных функций вещественного переменного; г) множество рациональных функций вещественного переменного; д) множество функций вещественного переменного, обращающихся в 0 на некотором подмножестве DCR; е) множество тригонометрических многочленов η αο + /(α& cos kx + bk sin kx) fe=l с вещественными коэффициентами, где п — произвольное натуральное число; ж) множество тригонометрических многочленов вида η αο + 2_, ак cos kx k=l
§63. Кольца и алгебры 235 с вещественными коэффициентами, где η — произвольное натуральное число; з) множество тригонометрических многочленов вида η ао + 2_, ак sin кх к=1 с вещественными коэффициентами, где η — произвольное натуральное число; и) множество функций, определенных на некотором множестве D и принимающих значение в некотором кольце R; к) все степенные ряды от одной или нескольких переменных; л) все лорановские степенные ряды от одной переменной? 63.4. Во множестве многочленов от переменной t рассматривается операция умножения, заданная правилом (fog)(t) = f(g(t)). Является ли это множество кольцом относительно заданного умножения и обычного сложения? 63.5. Образует ли кольцо множество всех подмножеств некоторого множества относительно симметрической разности и пересечения, рассматриваемых как сложение и умножение соответственно? 63.6. Доказать изоморфизм колец из задач: а) 63.1, о) и 63.2, ж); б) 63.2, з) и 63.2, и). 63.7. Какие из колец, указанных в задачах 63.1—63.5, содержат делители нуля? 63.8. Найти обратимые элементы в кольцах с единицей из задач 63.1-63.5. 63.9. Доказать, что одно из колец задач 63.3, е) и 63.3, ж) изоморфно, а другое не изоморфно кольцу многочленов Щх]. 63.10. Доказать, что все обратимые элементы кольца с единицей образуют группу относительно умножения. 63.11. Найти все обратимые элементы, все делители нуля и все нильпотентные элементы в кольцах: а) Zpn, где ρ— простое число; б) Ζη; в) F[x]/(fF[x]), где F — поле; г) верхних треугольных матриц над полем; Д) M2(R);
236 Гл. 14- Кольца е) всех функций, определенных на некотором множестве S и принимающих значения в поле F; ж) всех степенных рядов от одной переменной. 63.12. Доказать, что группа обратимых элементов Ζ [УЗ]* бесконечна. 63.13. Пусть R — конечное кольцо. Доказать, что: а) если R не содержит делителей нуля, то оно имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы; б) если R имеет единицу, то каждый его элемент, имеющий односторонний обратный, обратим; в) если R имеет единицу, то всякий левый делитель нуля является правым делителем нуля. 63.14. Доказать, что в кольце с единицей и без делителей нуля каждый элемент, имеющий односторонний обратный, является обратимым. 63.15. Пусть R — кольцо с единицей, ж, у £ R. Доказать, что: а) если произведения ху и ух обратимы, то элементы χ и у также обратимы; б) если R без делителей нуля и произведение ху обратимо, то χ л у обратимы; в) без дополнительных предположений о кольце R из обратимости произведения ху не следует обратимость элементов χ л у; г) если обратим элемент 1 + ab, то обратим и элемент 1 + Ьа. 63.16. Пусть R — прямая сумма колец ί?ι, ..., Rk- а) При каких условиях R коммутативно; имеет единицу; не имеет делителей нуля? б) Найти в R все обратимые элементы; все делители нуля; все нильпотентные элементы. 63.17. Доказать, что: а) если числа к и I взаимно просты, то Z&/ = Z& Θ Ζ/; б) если η = ρλλ.. .pkss, где ρ\, ..., ps —различные простые числа, то Ζη = Ζ кг Θ ... 0 £ks; в) если числа к и / взаимно просты, то φ(Μ) = φ(Ιζ)φ(1), где φ — функция Эйлера. 63.18. Найти все делители нуля в кольце С Θ С. 63.19. Доказать, что: а) делитель нуля в произвольной (ассоциативной) алгебре не является обратимым;
§63. Кольца и алгебры 237 б) в конечномерной алгебре с единицей всякий элемент, не являющийся делителем нуля, обратим; в) конечномерная алгебра без делителей нуля является телом (алгеброй с делением). 63.20. Доказать, что конечномерная алгебра с единицей и без делителей нуля над полем С изоморфна С. 63.21. Перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные двумерные алгебры над С: а) с единицей; б) не обязательно с единицей. 63.22. Перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные двумерные алгебры над IR: а) с единицей; б) не обязательно с единицей. 63.23. Пусть ЕЕ— тело кватернионов. а) Является ли ЕЕ алгеброй над полем С, если умножение на скаляр а £ С понимать как левое умножение на а £ ЕЕ? б) Доказать, что отображение ^(о !)' ^(о -г)' j"(-l θ)' *"(i θ) определяет изоморфизм ЕЕ как алгебры над полем Ш на некоторую подалгебру в алгебре матриц М2(С) над Ш. в) Доказать, что отображение ζ ь^ I _ J является изоморфным вложением поля С в алгебру ЕЕ, реализованную в виде подалгебры алгебры М2(С) над Ш (см. б)). г) Решить в ЕЕ уравнение х2 = — 1. 63.24. Тензорной алгеброй T(V) векторного пространства V над полем F называется (бесконечномерное) векторное пространство ос Т(у) = 0т,ею, fc=0 где То(V) = F, Тк(У) = V 0 ... Θ V для любого к > 0, с умножением к раз f-9 = f®9, где feTk(V), geTm(V). Доказать, что: а) Т(V) —ассоциативная алгебра с единицей над полем F; б) в Τ(V) нет делителей нуля.
238 Гл. 14- Кольца 63.25. Алгеброй Грассмана A(V) векторного пространства V над полем F называется векторное пространство ос Л(у) = 0л*(П fc=0 где А® (V) = F1, с умножением где / G Ak{V), g е ЛШ(У) для любых /с, m > 0. Доказать, что: а) Л(V) является ассоциативной алгеброй с единицей над полем jF; б) каждый элемент из / = (J) Л/с(У) является нильпотентным; в) каждый элемент из Л(У), не лежащий в /, обратим. 63.26. Симметрической алгеброй S{V) векторного пространства V над полем F называется векторное пространство ос S(V) = ®Sk(V), fc=0 где S°(V) = F, с умножением /•flf = Sym(/®flf), где /G5fc(F),3G £т(У) для любых /с, m > 0. Доказать, что: а) 5(У) является ассоциативной, коммутативной алгеброй над F; б) если Ж1,...,жп — базис пространства У, то 5(У) изоморфно алгебре многочленов от переменных ж ι, ..., хп. 63.27. Пусть А и В — алгебры над полем F. Тензорное произведение алгебр С = A®f В определяется как тензорное произведение векторных пространств А л В над F с умножением (а' ® &') · (а" ® 6") = а'а" Θ Ь'Ь". Доказать изоморфизм алгебр над полем F: а) C(g)FC-C0C (F = K); б) Mn(F) 0F Mm(F) ~ Mmn(F); в) Mn(F) ®f Л ~ Mn(A), где А — произвольная ассоциативная алгебра над F; г) F[XU ..., Χη] ®F F[YU ..., Ут] ~ F[Xb ..., Χη, Уь ..., Ym\-
§64- Идеалы, гомоморфизмы, факторколъца 239 д)е®мС-М2(С); е) S(V) 0f A(V) ~ T(V) при dim У = 2; ж) Q(y/p) 0q Q(v^) — Q(y/P + л/^)' где^ и <? —Различные простые числа. 63.28. Пусть F — поле характеристики нуль, R = F[x\, ..., жп] — кольцо многочленов и ^, ^ — линейные операторы на Д как векторном пространстве над F, причем для / £ R Pi(f) = Xif, ^(Л = ^т/· Обозначим через An(F) подалгебру в алгебре линейных операторов в jR, порожденную pi, ..., рП5 gi, ..., qn. Она называется алгеброй Вейля или алгеброй дифференциальных операторов. Доказать, что: а) № - ЗД· = Sij, piPj = PjPh QiQj = QjQi', б) базис An(F) как векторного пространства образуют одночлены 63.29. Пусть / = /(pi, ..., рп, ^1, ..., qn)~элемент алгебры Вейля An(F) (см. задачу 63.28.) Доказать, что ** = ** + Ы ** = **-Wi' 63.30. Доказать, что алгебра верхних нильтреугольных матриц порядка η является нильпотентной алгеброй индекса п. 63.31. Доказать, что: а) в кольце всех функций на отрезке [0, 1] делителями нуля являются функции, принимающие нулевое значение, и только они; б) в кольце непрерывных функций на отрезке [0, 1] делителями нуля являются ненулевые функции, принимающие нулевое значение на некотором отрезке [а, 6], где 0 ^ а < b ^ 1. § 64. Идеалы, гомоморфизмы, факторкольца 64.1. Найти все идеалы кольца: а) Z; б) F[x], где F — поле. 64.2. Доказать, что кольца: а) Ъ\х\\ б) F[x, г/], где F — поле, не являются кольцами главных идеалов.
240 Гл. 14- Кольца 64.3. Доказать, что в кольце матриц над полем всякий двусторонний идеал либо нулевой, либо совпадает со всем кольцом. 64.4. Доказать, что в кольце матриц Nln(R) с элементами из произвольного кольца R идеалами являются в точности множества матриц, элементы которых принадлежат фиксированному идеалу кольца R. 64.5. Найти все идеалы кольца верхних треугольных матриц порядка 2 с целыми элементами. 64.6. Пусть / и J — множества матриц вида 0 д h\ /0 1 2т\ 0 0 2к , 0 0 2п\ 000/ \0 0 0 / с целыми g,/i,/c,/,m,n. Доказать, что / является идеалом в кольце R верхних треугольных матриц над Z, J есть идеал кольца /, но J не является идеалом кольца R. 64.7. Найти все левые идеалы алгебры M2(Z2). 64.8. Найти все идеалы двумерной алгебры L над полем IR с базисом (1, е), где 1 —единица в L, и: а) е2 = 0; б) е2 = 1. 64.9. Доказать, что если идеал кольца содержит обратимый элемент, то он совпадает со всем кольцом. 64.10. Образуют ли идеал необратимые элементы колец: a) Z; б) С [ж]; в) К[ж]; г) Zn? 64.11. Доказать, что кольцо целых чисел не содержит минимальных идеалов. 64.12. Найти максимальные идеалы в кольцах: a) Z; б) С [ж]; в) ВД; г) Zn. 64.13. Доказать, что множество Is непрерывных функций, обращающихся в 0 на фиксированном подмножестве S С [а, 6], является идеалом в кольце функций, непрерывных на [а, Ь]. Верно ли, что всякий идеал этого кольца имеет вид Is для некоторого S С [а, 6]? 64.14. Пусть R — кольцо непрерывных функций на отрезке [0, 1], Ic = {f(x) e R | /(с) = 0} (0 ^ с ^ 1). Доказать, что: а) 1С — максимальный идеал R; б) всякий максимальный идеал R совпадает с 1С для некоторого с. 64.15. Доказать, что коммутативное кольцо с единицей (отличной от нуля), не имеющее идеалов, отличных от нуля и всего кольца,
§64- Идеалы, гомоморфизмы, факторколъца 241 является полем. Существенно ли для этого утверждения наличие единицы? 64.16. Доказать, что кольцо с ненулевым умножением и без собственных односторонних идеалов является телом. 64.17. Доказать, что кольцо с единицей и без делителей нуля, в котором всякая убывающая цепочка левых идеалов конечна, является телом. 64.18. Пусть R — коммутативное кольцо без делителей нуля и отображение £:ί?\{0}^Ν удовлетворяет условию: для любых элементов а, Ъ £ Д, где Ъ ^ 0, существуют такие элементы g,r ей, что а = bq + г и δ (г) < 6(b) или г = 0. Доказать, что существует отображение δ\: Д \ {0} ^ Ν, удовлетворяющее как этому условию, так и условию: для любых а, 6 G й, гдеаб^О, Ji(ab)^ 5(b). 64.19. Доказать, что: а) кольцо целых гауссовых чисел вида χ + гу (ж, у £ Ζ) евклидово; б) кольцо комплексных чисел вида χ + гул/3 (ж, у £ Ζ) не является евклидовым; ж + гу\/3 где хну — целые в) кольцо комплексных чисел вида числа одинаковой четности, евклидово. 64.20. В кольце Ζ [г] разделить a = 40 + г на 6 = 3 — г с остатком относительно функции δ(χ + гу) = х2 + у2 из задачи 64.18. 64.21. В кольце Ζ [г] найти наибольший общий делитель чисел 20 + 9г и 11 +2г. 64.22. Доказать, что всякую прямоугольную матрицу с элементами из евклидова кольца с помощью элементарных преобразований ее строк и столбцов можно привести к виду ег 0 0 0 U 0 в2 0 0 0 .. 0 .. 0 . . ΚΖ,γ· .. 0 .. 0 0 0 0 0 0 .. 0\ .. 0 .. 0 .. 0 .. о) где ei | е2 | ... | ег, е^О (г = 1, 2, ..., г). 64.23. Доказать, что в задаче 64.22 для г — 1, ..., г произведение ei ...ei совпадает с наибольшим общим делителем всех миноров размера г исходной матрицы.
242 Гл. 14- Кольца 64.24. Доказать, что любое кольцо, заключенное между кольцом главных идеалов R и его полем частных Q, само является кольцом главных идеалов. 64.25. Доказать, что кольцо многочленов R[x] над коммутативным кольцом R с единицей и без делителей нуля является кольцом главных идеалов тогда и только тогда, когда R — поле. 64.26. Найти все идеалы в алгебре формальных степенных рядов С[[х]]. 64.27. Доказать, что алгебра Вейля An(F) (см. задачу 63.28) проста, если F — поле нулевой характеристики. 64.28. (Китайская теорема об остатках.) Пусть Л —коммутативное кольцо с единицей. Доказать, что: а) если 1\ и /2 — идеалы в А и 1\ + /2 = А, то для любых элементов х\, Х2 £ А существует такой элемент χ £ А, что χ — χ ι £ Д, χ - Х2 £ h] б) если 1\, ..., 1п — идеалы в А и 1\ + 1^ — А для всех г ^ J, то для любых элементов ж ι, ..., хп £ А существует такой элемент χ £ А, что x-Xk^h (k = 1, ..., п). 64.29. Пусть R и S — кольца с единицей и φ: R —> S — гомоморфизм. а) Верно ли, что образ единицы кольца R является единицей кольца S? б) Верно ли утверждение а), если гомоморфизм φ сюръективен? 64.30. Пусть F — поле и F[x\, ..., хп] — алгебра многочленов. Предположим, что /ь ..., fn £ F[xi, ..., χη]. Доказать, что: а) отображение φ, при котором 4>(д(хи •■-,Ζη)) =#(/ъ •••,/η), является эндоморфизмом F-алгебры F[x\, ..., жп]; б) если ψ — автоморфизм F[x\, ..., жп], то якобиан является ненулевой константой; в) если /ι = h(x2-1 ..., жп)5 то отображение Ф, при котором Ф(#Оь ····> χη)) =д{х\ + Λ, Х2, ···, жп), является автоморфизмом F[^i, ..., жп].
§64- Идеалы, гомоморфизмы, факторколъца 243 64.31. Пусть F — поле и jF[[xi, ...,жп]] — алгебра степенных рядов от х\, ..., хп. Предположим, что Д, ..., fn £ ^[[#1, ..., хп]\ имеют нулевые свободные члены. Доказать, что: а) отображение φ, при котором <р(#(жь ...,Жп))=^(/ь •••,/η), является эндоморфизмом jF[[xi, ..., жп]]; б) отображение (/? является автоморфизмом тогда и только тогда, когда якобиан имеет ненулевой свободный член. 64.32. Пусть F — поле нулевой характеристики и h = h(q\) £An(F). Доказать, что отображение φ, при котором ψ(ί(ρι, ••■,Рп,9ъ •••^n)) = /(pi + h,p2, ...,pn,qi, ...,9η), является автоморфизмом F-алгебры An(F). 64.33. Пусть (/?— автоморфизм С-алгебры МП(С). Доказать, что: а) левый аннулятор матрицы φ(Εηη) имеет размерность п(п — 1); б) жорданова форма матрицы φ(Εηη) равна Ец\ в) существует такая обратимая матрица У, что y-V№nn)ir = £?nn; г) отображение А —► У_1(/?(А)У является автоморфизмом МП(С), переводящим Mn_i(C) в себя; д) существует такая обратимая матрица X, что φ (А) — ΧΑΧ~λ для любой матрицы А £ МП(С). 64.34. Пусть F — поле. а) Доказать, что линейное отображение φ: Mn(F) (8>f Mm(F) -► Mnm(F), где 1 ^ г, j ^ η, 1 ^ r, 8 ^ m и ψ\Ε^ ® Ers) = £^+n(r_i)j<7-+n(s_i), является изоморфизмом F-алгебр. б) Доказать, что линейное отображение V:Mn(F)^Mn(F)®FMn(F),
244 Гл. 14- Кольца где ^{Εί3) = Εί3®Εί3, является гомоморфизмом F-алгебр. Найти Кег Ф. 64.35. Доказать, что образ коммутативного кольца при гомоморфизме является коммутативным кольцом. 64.36. Доказать, что отображение φ: f(x) —> /(с) (с £ Ш) является гомоморфизмом кольца вещественных функций, определенных на IR, на поле Ш. 64.37. Найти все гомоморфизмы колец: а) Ζ -> 2Ζ; б) 2Ζ -> 2Ζ; в) 2Ζ -> 3Ζ; г) Ζ -> Μ2(Ζ2). 64.38. Найти все гомоморфизмы: а) группы Ζ в группу Q; б) кольца Ζ в поле Q. 64.39. Доказать, что любой гомоморфизм поля в кольцо является или нулевым, или изоморфным отображением на некоторое подполе. 64.40. Пусть F — поле ий = F[x\, ..., хп] —алгебра многочленов от χι, ..., хп над полем F. Построить биекцию между пространством строк Fn и множеством всех гомоморфизмов F-алгебр R —► F. 64.41. Доказать, что: а) F[x]/(x — а) ~ F (F-—поле); б) М[х]/(х2 + 1>~С; в) Щх]/(х2 + х + 1>~С. 64.42. При каких а и 6 факторкольца Z2[x]/(x2 + аж + Ь) а) изоморфны между собой; б) являются полями? 64.43. Изоморфны ли факторкольца Z3[x]/(x3 + 1), Z3[x]/(x3 + 2x2 + x + 1)? 64.44. Изоморфны ли факторкольца Z[x]/(x2 -2), Z[x]/(x3 -3)? 64.45. Пусть а и Ъ — различные элементы поля F. Доказать, что F [х] -модули F[x]/(x-a) и F[x]/(x-b) не изоморфны, но соответствующие факторкольца изоморфны. 64.46. Доказать, что если а ^ Ъ и с ^ rf — элементы поля F, то факторкольца F[x]/((x - а)(х - Ь)} и F[x]/((x - с)(χ - d)) изоморфны.
§64- Идеалы, гомоморфизмы, факторколъца 245 64.47. Какие из следующих алгебр изоморфны над С: Ах = С[х, у]/(х -у,ху- 1), А2 = С[х]/((х - I)2), А3 = С 0С, А4 = С[х,у], А5 = С[х]/{х2)7 64.48. Изоморфны ли алгебры А ж В над полем С: а) А = С[х, у}/(хп -у), В = С[х, у]/(х - ут); 6)А = С[х, у]/(х2 -у2), В = С[х, у]/((χ - у)2)? 64.49. Изоморфны ли следующие алгебры над полем Ш: а) А = Щх]/(х2 + χ + 1), В = Щх]/(2х2 - Зх + 3); б) А = Щх]/(х2 + 2х + 1), В = Щх]/(х2 -Зх + 2)? 64.50. Доказать, что элемент / алгебры F[x]/(xn~^1) (F — поле) обратим тогда и только тогда, когда /(0) ^ 0. 64.51. Пусть F — поле и / £ F[x] имеет степень п. Доказать, что размерность F-алгебры F[x]/(f) равна п. 64.52. Пусть F — поле. Доказать, что: а) если многочлены /, g G F[x] взаимно просты, то F[x]/(fg)~F[x]/(f)®F[x]/(g); б) если / = ρλλ .. .p^s, где р\, ..., ps — взаимно простые неприводимые многочлены, то F[x]/(f) ~ F\x]l№) Θ ... Θ F[x]/(pks°). 64.53. Доказать, что факторкольцо R/I коммутативного кольца с единицей является полем тогда и только тогда, когда / — максимальный идеал в R. 64.54. Доказать, что идеал / коммутативного кольца R является простым тогда и только тогда, когда / — ядро гомоморфизма R в некоторое поле. 64.55. Доказать, что: а) факторкольцо Ζ [г]/(2) не является полем; б) факторкольцо Ζ[ζ]/(3) является полем из девяти элементов; в) Ζ[ζ]/(η) является полем тогда и только тогда, когда η — простое число, не равное сумме квадратов двух целых чисел. 64.56. При каких а £ F7 факторкольцо ¥γ[χ]/(χ2 + а) является полем? 64.57. Доказать, что при любом целом η > 1 факторкольцо Ζ[χ]/(η) изоморфно Ζη[χ]. 64.58. Пусть f{x) —неприводимый многочлен степени η из кольца Ζρ[χ]. Доказать, что факторкольцо Zp[x]/(f(x)} является конечным полем, и найти число его элементов.
246 Гл. 14- Кольца 64.59. Доказать, что: а) всякое кольцо изоморфно подкольцу некоторого кольца с единицей; б) n-мерная алгебра с единицей над полем F изоморфна подалгебре алгебры с единицей размерности η + 1; в) n-мерная алгебра с единицей над полем F изоморфна некоторой подалгебре алгебры Mn(F); г) n-мерная алгебра над F изоморфна подалгебре алгебры Mn+1(F). 64.60. Пусть 1\, ..., Is —идеалы в алгебре А с единицей, I{ + Ij = A при г ^ j. Доказать, что отображение S f:A/ Π Ik»A/h®...®A/Ia, k=l задаваемое формулой /ία+ P| /fcJ =(a + /b...,a + /e), ^ fe=l ' является изоморфизмом алгебр. 64.61. Установить изоморфизм Q[x]/(x2 — 1) ~ Q 0 Q. 64.62. Доказать, что Q[x]/(x2-2)-Q[V2]. 64.63. Пусть / — максимальный идеал в Ζ [ж]. Доказать, что Ζ [ж]// — конечное поле. 64.64. Пусть V — векторное пространство над полем F нулевой характеристики. Доказать, что S(V)~T(V)/I, где / — идеал в Τ (У), порожденный всеми элементами х ® У — У ® χ, где ж, у £ V. 64.65. Пусть У — векторное пространство над полем F нулевой характеристики. Доказать, что A(V)^T(V)/I, где / — идеал в Т(У), порожденный всеми элементами х Θ у + у Θ ж, где ж, ?/ G V.
§64- Идеалы, гомоморфизмы, факторколъца 247 64.66. Пусть V — векторное пространство размерности 2п с базисом £>ι, ..., рП5 gi, ..., qn над полем F нулевой характеристики. Доказать, что An(F)~T(V)/I, где / — идеал в Τ (У), порожденный всеми элементами Pi Θ qj ~ 4j 0 Рг - hj, pi Θ pj - pj Θ ρ*, 4г 0 4j ~ 4j Θ #*· 64.67. Пусть (ei, ..., en) — базис векторного пространства V над полем F характеристики, отличной от 2, и A(V)—внешняя алгебра над пространством V. Доказать, что: а) сНтЛ(У) = 2п; б) если хь ..., жп+1 GA1^) Θ ...0Лп(У), το χχ Λ ...Лзд =0; в) формула η 3 = 1 где uui G Л1(У) Θ ... Θ ЛП(У), задает автоморфизм тогда и только тогда, когда det(a^) ^ 0. 64.68. Пусть Д — кольцо с единицей. Левым аннулятором подмножества Μ С R называется множество {х G Д | хш = 0 для всякого т G М}. Доказать, что: а) левый аннулятор любого подмножества является в Д левым идеалом; б) левый аннулятор правого идеала кольца Д, порожденного идемпотентом, также порождается (как левый идеал) некоторым идемпотентом. 64.69. Доказать, что сумма левых идеалов, порожденных попарно ортогональными идемпотентами, также порождается идемпотентом. 64.70. Пусть Ik (к = 1, ..., п) — множество матриц порядка η над полем F, состоящее из матриц, у которых вне к-το столбца все элементы равны 0. Доказать, что: а) Ik —левый идеал Mn(F); б) Ik —минимальный подмодуль в Mn(F), рассматриваемый как левый модуль над собой; в) Mn(F) = /i0...0/n;
248 Гл. 14- Кольца г) модуль M2(.F) обладает разложением в прямую сумму минимальных подмодулей, отличным от разложения в); д) между двумя этими разложениями модуля M2(-F) существует модульный изоморфизм. 64.71. Пусть R — алгебра всех линейных операторов в конечномерном векторном пространстве V и Jl — множество всех операторов из Д, образ которых лежит в подпространстве L. Доказать, что Jl является правым идеалом в R. Обратно, пусть J — левый идеал в R. Доказать, что существует, и притом единственное, такое подпространство L в У, что J = J^. 64.72. Пусть R — алгебра всех линейных операторов в конечномерном векторном пространстве V и 1ь — множество всех операторов из Д, ядро которых содержит подпространство L. Доказать, что II является левым идеалом в R. Обратно, пусть / — левый идеал в R. Доказать, что существует, и притом единственное, такое подпространство L в У, что 1 = 1^. 64.73. Доказать, что множества матриц: а)/={С Ζ) ("Ι* **-)}, J={{1 θ) (*.»€F)}; 6)7={Й Э <*.»^)}, J={($ *) (x,V€F)};z* ляются подмодулями кольца M2(F) как левого модуля над собой hM2(F)/I~ J. 64.74. Пусть R = 1\ 0 12 —разложение кольца с единицей е в прямую сумму двусторонних идеалов Д512 и е = е\ + б2, где е\ £ Д, ^2 G /2· Доказать, что е\ и б2 — единицы колец 1\ и 12- 64.75. Доказать, что кольца Ъшп и Zm 0 Ъп изоморфны тогда и только тогда, когда тип взаимно просты. 64.76. Кольцо называется вполне приводимым (справа), если оно является прямой суммой правых идеалов, являющихся простыми модулями над этим кольцом. При каких η кольцо вычетов Ζη вполне приводимо? 64.77. Доказать, что алгебра всех верхних треугольных матриц порядка η ^ 2 над полем не является вполне приводимой. 64.78. Доказать, что в коммутативном вполне приводимом кольце с единицей число идемпотентов и число идеалов конечны. 64.79. Доказать, что во всякой вполне приводимой алгебре пересечение всех максимальных идеалов равно нулю.
§64- Идеалы, гомоморфизмы, факторколъца 249 64.80. Доказать, что всякое коммутативное вполне приводимое кольцо с единицей изоморфно прямой сумме полей. 64.81. Модуль называется вполне приводимым, если его можно разложить в прямую сумму минимальных подмодулей. Какие циклические группы вполне приводимы как модули над кольцом Z? 64.82. Кольцо называется вполне приводимым слева, если оно вполне приводимо как левый модуль над собой. Доказать, что если кольцо R вполне приводимо слева и / — его левый идеал, то R = I 0 J для некоторого левого идеала J кольца R. 64.83. Доказать, что всякий левый идеал вполне приводимого слева кольца R: а) вполне приводим как левый модуль над R; б) порождается идемпотентом. 64.84. Пусть R — вполне приводимое слева кольцо с единицей. Доказать, что: а) если R не содержит идемпотентов, отличных от 0 и 1, то R — тело; б) если R не содержит делителей нуля, то R — тело. Верны ли эти утверждения для колец без единицы? 64.85. Доказать, что если ху — 0 для любых двух элементов х, у левого идеала / вполне приводимого слева кольца R с единицей, то /={0}. 64.86. Доказать, что если / — идеал кольца R с единицей, то факторкольцо R/I тоже имеет единицу. 64.87. Доказать, что факторкольцо коммутативного нётерова кольца также нётерово. 64.88. Доказать, что кольцо вычетов Zpl_Pm, где pi,...,pm — различные простые числа, является прямой суммой полей. 64.89. Найти все подмодули в векторном пространстве с базисом (ei, ..., еп) как модули над кольцом всех диагональных матриц, если diag(Ab ..., λη) о (оцег + ... + апеп) = λια^ι + ... + Хпапеп. 64.90. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, рассматриваемое как модуль над собой. Доказать, что R изоморфно любому своему ненулевому подмодулю тогда и только тогда, когда R — кольцо главных идеалов. 64.91. Доказать, что правило h(x)of = h(xr)f,
250 Гл. 14- Кольца где h(x)— фиксированный многочлен, превращает кольцо многочленов F[x] над полем F в свободный модуль ранга г над F[x]. 64.92. Пусть в кольце R нет делителей нуля л Μ — свободный Д-модуль. Доказать, что если г£Й\0итбМ\0, то тт -ф 0. 64.93. Пусть R — кольцо с единицей, причем все Д-модули свободны. Доказать, что R является телом. * * * 64.94. Пусть F — поле нулевой характеристики. Доказать, что алгебра полиномов F[xi, ..., хп] является простым модулем над алгеброй Вейля An(F) (см. задачу 63.28). 64.95. Пусть F — поле нулевой характеристики. Доказать, что каждый ненулевой модуль над алгеброй Вейля An{F) имеет бесконечную размерность над F. 64.96. Пусть R — алгебра вещественных функций на отрезке [—π, π], представимых многочленами от cos ж, sin x с вещественными коэффициентами. Доказать, что: а) R не имеет делителей нуля; б) R ~ ЩХ, Υ]/(Χ2 + Υ2 - 1); в) поле частных алгебры R изоморфно полю рациональных функций К(Т). § 65. Специальные классы алгебр 65.1. Доказать, что кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным нётеровым кольцом с единицей является нётеровым. 65.2. Доказать, что алгебра многочленов от конечного числа переменных над полем нётерова. 65.3. Алгебра Α(α, β) обобщенных кватернионов над полем F характеристики, отличной от 2, где α, β £ F*, определяется как векторное пространство над F с базисом (1, г, j, к) и таблицей умножения 1-1 = 1, 1 · г = г · 1 = г, 1 · 3 = 3 ' 1 =3, 1-к = к-1 = к, г2 = -a, j2 = -β, ij = -ji = к. Доказать, что: а) А(а, β) — (ассоциативная) центральная простая алгебра над полем F;
§ 65. Специальные классы алгебр 251 б) отображение χ = xq + x\i + x2j + хзк ь^ жо — χιζ — x2j — х^к = χ является инволюцией (т.е. для любых ж, у £ А(а, /?) выполняются равенства χ + у = χ + у,1Ёу = ϊ/χ, χ = х); в) для любого ж £ А(а, /?) ж2 - (tr х)х + iV(x) = О, где tr χ = χ + χ и N{x) = хх^элементы поля F; г) алгебра Л (а, /?) является телом тогда и только тогда, когда норменное уравнение N(x) = 0 имеет в ней только нулевое решение; д) алгебра Α (α, β) является либо телом, либо изоморфна алгебре матриц M2(jF) — в соответствии с существованием или отсутствием в ней делителей нуля; е) если норменное уравнение имеет в алгебре Α (α, β) ненулевое решение, то оно имеет решение и во множестве ненулевых чистых кватернионов; ж) подалгебра F(a), порожденная элементом а алгебры А (а, /?), является коммутативной алгеброй размерности ^ 2 над F, и если а не является делителем нуля, то F{a) — поле, изоморфное полю разложения многочлена х2 — (tr α)χ + Ν(α); з) (теорема Витта) норма Ν(χ) является квадратичной формой ранга 3 на пространстве чистых кватернионов, и, обратно, каждой квадратичной форме ранга 3 на трехмерном векторном пространстве W над полем F соответствует алгебра обобщенных кватернионов, определяемая как векторное пространство F Θ W с правилами умножения 1 · w = w · 1, wi -W2 = —Q(w\, w2) · 1 + [wi, w2], где Q — билинейная форма на W, ассоциированная с данной квадратичной формой, [г^1, w2] —векторное произведение элементов пространства W; и) приведенная конструкция устанавливает биективное соответствие между кватернионными алгебрами над полем F (с точностью до изоморфизма) и классами эквивалентности квадратичных форм ранга 3 на трехмерном векторном пространстве над F. (Формы Q: W х W ^ F л Qf: Wf x Wf —► F называются эквивалентными, если существуют такие изоморфизм a: W —► W и элемент λ £ F*, что Q'{a(x), а(у)) — XQ(x, у) для любых ж, у £ W.)
252 Гл. 14- Кольца 65.4. Конечномерная алгебра называется полупростой, если она не содержит ненулевых нильпотентных идеалов. Доказать, что: а) факторалгебра С[х]/(f(x)) полупроста тогда и только тогда, когда многочлен f(x) не имеет кратных корней; б) алгебра, порожденная полем С и матрицей А в алгебре МП(С), полу проста тогда и только тогда, когда минимальный многочлен матрицы А не имеет кратных корней; в) конечномерная алгебра над полем полу проста тогда и только тогда, когда она вполне приводима слева; г) коммутативная полупростая алгебра с единицей изоморфна прямой сумме полей; д) если все идемпотенты полу простой алгебры лежат в центре, то алгебра является прямой суммой нескольких тел. 65.5. Пусть Η = (hij) —симметрическая (η χ п)-матрица над полем F. Алгеброй Клиффорда называется 2п-мерное пространство C(F, Η) над F с базисом, составленным из символов е*!...г* (1 ^ή <г2 < ... <ife ^n) и е0 = 1, и с умножением, определяемым правилами £ii...ik = eh ..-eik (1 ^ Η < ··· < ik ^ ™)· Если V — n-мерное векторное пространство с базисом (ei, ..., еп) и квадратичной формой Q, то алгебра Клиффорда Cq{F) квадратичной формы Q определяется как алгебра C(F, Η), где hij = а) Доказать, что если Η = 0, то C(F, Η) ~ A(V). б) Четной алгеброй Клиффорда C+(F, Η) (или Cq(F)) называется подалгебра алгебры Клиффорда, порожденная элементами е^, ..., βι2τη (πι = 0, 1, ..., [п/2]). Доказать, что четная алгебра Клиффорда квадратичной формы Q(x\, X2, хз) = hnx\ + hi2x\X2 + h22%2, не распадающаяся в F на линейные множители, является квадратичным расширением поля F, изоморфным полю разложения ^(^12-4^11^22) формы Q.
§ 65. Специальные классы алгебр 253 в) Доказать, что при char F -φ 2 четная алгебра Клиффорда квадратичной формы Q на трехмерном векторном пространстве V изоморфна алгебре обобщенных кватернионов формы Q^ на трехмерном векторном пространстве W = A2V (см. задачу 65.3). г) В условиях задачи в) доказать, что квадратичная форма N(x) = хх на пространстве чистых кватернионов эквивалентна форме XQ (AGF*). 65.6. Пусть А = Aq 0 Αι — 2-градуированная ассоциативная алгебра над полем F, т.е. AiAj С Ai+j (сложение индексов по модулю 2). Определим в А новую операцию, полагая [х,у] = ху- (-1)гэух, где χ е Ai, у eAj. а) Доказать, что для любых однородных элементов χ £ А{, у £ Aj, ζ (Ξ А имеем [х, У] = ("1)г%, *], [х, [У, ζ]] + [у, [ζ, χ}} + (-ψ+1[ζ, [χ, у]] = 0. Алгебра с 2-градуировкой, для которой однородные элементы удовлетворяют данным соотношениям, называется супералгеброй Ли. б) Пусть V-— n-мерное векторное пространство с базисом (ei, ... ..., еп) над полем F характеристики, не равной 2, и A(V) — внешняя алгебра на У, / — тождественный оператор на У, Lq = К · / и L\ — линейная оболочка операторов ψι и ^, где Ί·) ψι{νο) = w Ле, . (—l)p-/c^i Л ... Л eL Л ... Л ei , если L· = г, U, если г^ ψ г для всех /с = 1, ..., р. Доказать, что L = Lq 0 L\ является супералгеброй Ли относительно операции, введенной в а). 65.7. Пусть К — расширение поля Q степени п. Доказать, что: а) для любого многочлена f(x) £ Q[x] степени η найдется матрица А порядка п, для которой f(A) — 0; б) алгебра Mn(Q) содержит подалгебру, изоморфную К\ в) если L — подалгебра в Mn(Q), являющаяся полем, то [L : Q] < п.
254 Гл. 14- Кольца 65.8. Имеет ли делители нуля С-алгебра аналитических функций, определенных в области U С С? 65.9. Функция комплексного переменного называется целой, если она аналитична на всей комплексной плоскости. Доказать, что всякий конечно порожденный идеал алгебры целых функций является главным. 65.10. Дифференцированием кольца R называется отображение D : R —> R, удовлетворяющее условиям D(x + y) = D(x) + D(y), D{xy) = D{x)y + xD(y), x, у £ R. Найти все дифференцирования колец: a) Z; б) Ъ\х\\ в) Ъ\х\, х2, ..., хп]- 65.11. Множество L с операцией сложения, относительно которой L является коммутативной группой, и операцией умножения о, связанной со сложением законами дистрибутивности, называется кольцом Ли, если для любых х, у, ζ £ L выполняются равенства χ ο χ — 0, (х о у) о ζ + (у о ζ) о ж + (ζ о ж) о |/ = 0 (тождество Якоби). Доказать, что: а) в кольце Ли выполняется тождество χ о у = —у о х; б) векторы трехмерного пространства образуют кольцо Ли относительно сложения и векторного умножения; в) всякое кольцо R является кольцом Ли относительно сложения и операции χ о у = ху — ух-, г) множество всех дифференцирований кольца R является кольцом Ли относительно сложения и операции Di о Ό2 = D1D2 — D2D1. 65.12. Пусть F — поле и D — дифференцирование F-алгебры матриц Mn(F). Доказать, что существует такая матрица А £ Mn(F), что D(X) = АХ - ХА для всех X. 65.13. Пусть F — поле нулевой характеристики и D—дифференцирование алгебры Вейля An(F). Доказать, что существует такой элемент / £ An{F), что D{g) = fg - gf для любого g £ An{F). 65.14. Доказать, что полугрупповое кольцо R[S] упорядоченной полугруппы S не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда кольцо R не имеет делителей нуля. 65.15. Пусть ρ — простое число и Ζρ — кольцо целых р-адических чисел, т.е. множество всех формальных рядов Σ &ίΡι, где αι £ Ζ ί>0
§ 65. Специальные классы алгебр 255 и 0 ^ а{ < р. При этом Σ агРг + ΣЬгрг = ΣСгр1' г^О г^О г^О (Σα*/)(Σ6*/) = Ι>^ если для любого п^Ов Ζρ™ η—1 η—1 η—1 г=0 г=0 г=0 (тг —1 \ /in — 1 \ тг —1 Доказать, что: а) Zp—кольцо без делителей нуля, содержащее Ζ; б) элемент ^ а^г обратим в Ζρ тогда и только тогда, когда а0 = 1, 2, ...,р- 1; в) естественный гомоморфизм групп обратимых элементов Ζ* —► Ζ*η сюръективен при любом п; г) каждый идеал в Ζρ главный и имеет вид [рп\ η ^ 0. д) Найти все простые элементы в Ζρ. 65.16. а) Доказать, что поле р-адических чисел Qp, т.е. поле частных Zp, состоит из элементов вида pmh, где т £ Ζ, /ι £ Zp. б) Показать, что Q содержится в Qp в качестве подполя. в) Доказать, что элемент рш ( ^ а{рг) из Qp, где 0 ^ α^ ^ ρ — 1, для некоторого т ^ 1 лежит в Q тогда и только тогда, когда, начиная с некоторого 7V, элементы а^, г ^ 7V, образуют периодическую последовательность. г) Найти в Q5 образы элементов 2/7 и 1/3. 65.17. Пусть F — поле, ρ — неприводимый многочлен от одной переменной X с коэффициентами в F. Построить по аналогии с задачей 65.15 кольцо jF[X]p и его поле частных F(X)p. Показать, что если ρ имеет степень 1, то jF[X]p — F[[X]]. 65.18. Найти все подкольца поля рациональных чисел Q, содержащие единицу.
256 Гл. 14- Кольца § 66. Поля 66.1. Какие из колец в задачах 63.1—63.3 являются полями? 66.2. Какие из следующих множеств матриц образуют поле относительно обычных матричных операций: а) < ( ) : ж, у £ Q >, где η — фиксированное целое число; б) < ( ) : ж, г/ £ IR >, где η — фиксированное целое число; в ) '): x,yeZp >, где ρ = 2, 3, 5, 7? χ у χ КПУ Х; 66.3. Пусть F — поле и К — поле частных алгебры формальных степенных рядов -F[[^]]. Доказать, что каждый элемент из К представляется в виде x~sh, где s^Oh/iG ^[[ж]]· 66.4. Доказать, что порядок единицы поля в его аддитивной группе либо бесконечен, либо является простым числом. 66.5. Для каких чисел п = 2,3,4,5,6,7 существует поле из η элементов? 66.6. Доказать, что поле из р2 элементов, где ρ — простое число, имеет единственное собственное подполе. 66.7. Доказать, что поля Q и IR не имеют автоморфизмов, отличных от тождественного. 66.8. Найти все автоморфизмы поля С, при которых каждое вещественное число переходит в себя. 66.9. Имеет ли поле Q(\/2) автоморфизмы, отличные от тождественного? 66.10. Доказать, что в поле F характеристики р: а) справедливо тождество / \wm η771 η771 ί \ [χ + у у = χμ + у {τη — натуральное число); б) если F конечно, то отображение χ \-^ хр является автоморфизмом. 66.11. Доказать, что если комплексное число ζ не является вещественным, то кольцо Ш[г] совпадает с полем С. 66.12. При каких т, η £ Ζ \ {0} поля Q(\/rn) и Q(v^) изоморфны? 66.13. Доказать, что для любого автоморфизма φ поля F множество элементов, неподвижных относительно φ, является подпол ем.
§66. Поля 257 66.14. Доказать, что любые два поля из четырех элементов изоморфны. 66.15. Существует ли поле, строго содержащее поле комплексных чисел? 66.16. Доказать, что любое конечное поле имеет положительную характеристику. 66.17. Существует ли бесконечное поле положительной характеристики? 66.18. Решить в поле Q(\/2) уравнения: а) х2 + (4 - 2^/2)ж + 3 - 2^/2 = 0; б) х2 - χ - 3 = 0; в) х2 + х- 7 + 6^ = 0; г)) х2 -2х + 1 - л/2 = 0. 66.19. Решить систему уравнений x + 2z = l, y + 2z = 2, 2x + z = l: а) в поле Z3; б) в поле Z5. 66.20. Решить систему уравнений 3x + y + 2z = l, x + 2y + 3z = l, 4.x + Зу + 2ζ = 1 а) в поле Ζ5; б) в поле Ζγ. 66.21. Найти такой многочлен f(x) степени не выше 3 с коэффициентами из Z5, что Д0) = 3, /(1) = 3, /(2) = 0, /(4) = 4. 66.22. Найти все такие многочлены f{x) с коэффициентами из Z5, что /(0) = /(1) = /(4) = 1, /(2) = /(3) = 3. 66.23. Какие из уравнений: а) х2 = 5, б) х7 = 7, в) χ3 = α, имеют решения в поле Zn? 66.24. В поле вычетов по модулю 11 решить уравнения: а) х2 + Зх + 7 = 0; б) ж2 + Ъх + 1 = 0; в) х2 + 2ж + 3 = 0; г) ж2 + Зх + 5 = 0. 66.25. Доказать, что в поле Fn выполняется тождество хп = х.
258 Гл. 14- Кольца 66.26. В поле Zp решить уравнение хр = а. 66.27. Доказать, что если хп = χ для всех элементов χ поля F, то F конечно и его характеристика делит п. 66.28. Найти все порождающие элементы в мультипликативной группе поля: а) Ζ7; б) Zn; в) Z17. 66.29. Пусть а, Ъ — элементы поля порядка 2П, где η нечетно. Доказать, что если а2 + аЪ + Ъ2 = 0, то а = Ъ = 0. 66.30. Пусть ^^поле, причем группа F* циклическая. Доказать, что F конечно. 66.31. В поле рациональных функций с вещественными коэффициентами решить уравнения: a)/4 = l; 6)f2-f-x = 0. 66.32. Доказать, что в поле Zp выполняются равенства: Р-1 (р-1)/2 a)£fc-i=0 (р>2); б) ^ к~2 = 0 (р>3). /с=1 /с=1 66.33. Пусть η ^ 2 и (д, ..., £ш —все корни п-й степени из 1 в поле F. Доказать, что: а) {(д, ..., £ш}— группа по умножению; б) {(д, ..., Cm}- корни степени шиз 1; в) т делит п; г) если к £ Z, то ^ ^ | 0, если m не делит /с, Ci+- + Cm = i , I m, если m делит /с. 66.34. Пусть rrikTUk-i ...то и η&η&_ι...ηο—записи натуральных чисел m и η в системе счисления с основанием s, где s— простое число. Доказать, что: χ (т\ fmo\ fггы\ ('тк\ а) числа ( I и ( II I ... ( I при делении на s дают одинаковые остатки; б) ( J делится на s тогда и только тогда, когда при некотором г выполняется неравенство πΐ{ < щ. 66.35. Нормированием поля F называется функция ||ж||5 χ £ F, принимающая вещественные неотрицательные значения, причем: || χ || =0 тогда и только тогда, когда χ — 0; ll^vll = 1ЫНМ1; || £7|| II NN«-'11' IIх + 2/11 ^ 11ж11 + 1Ы1·
§66. Поля 259 Доказать, что следующие функции в Q являются нормированиями: а) \\х\\ — < ; " " [0, х = 0; б) ||ж|| = |:r|s, где s— фиксированное число, 0 < s ^ 1; в) ||χ|| = |ж|р5 ρ — простое число, 8 — фиксированное положительное число, меньшее 1, причем если х = рттп~1, где т,п — целые числа, не делящиеся на р, то \х\р = р~г. * * * 66.36. Пусть ||ж|| —нормирование Q, причем существует такое у, что ||?/1| ^ 0, 1. Тогда ||ж|| имеет либо вид б), либо вид в) из задачи 66.35. 66.37. Пусть F — поле и F(x)—поле рациональных функций от одной переменной х. Доказать, что следующие функции в F{x) являются нормированиями: 1, если / -ф О, О, если / = 0; б) \\hg~l\\ =cdeg/l-deg2, vw>h,geF[x] и0<с<1; в) если ρ (χ) — неприводимый многочлен, h — pr(x)u(x)v~l{x), где и(х), v{x) —многочлены, не делящиеся на р(ж), то \h\ = cr, где 0<с<1. 66.38. Доказать, что: а) пополнение Q относительно нормирования из задачи 66.37, б) равно IR; б) пополнение Q относительно нормирования из задачи 66.37, в) равно Qp; в) пополнение Ζ относительно нормирования из задачи 66.37, б) равно Ζρ; г) пополнение С[х] относительно нормирования из задачи 66.37, в) с ρ = χ равно алгебре степенных рядов С [[ж]]. 66.39. Последовательность жП5 η ^ 1, элементов из Qp сходится относительно метрики ||/|| из задачи 66.37, в) тогда и только тогда, когда lim \\хп - Χη+ι\\ρ = 0. 66.40. При каких t £ Qp сходятся ряды: а) е* = Σ -л б) ΐη(ΐ + ί) = Σ ^(-ΐ)η+1*η; в) Σ ίη? η!' ' ' ^τΊ η 71^1 71^0
260 Гл. 14- Кольца 66.41. Пусть a G Qp и хп = av . Существует ли lim χηΊ 66.42. Пусть f(x) е 1р[х], а0 е Zp, причем ||/(α0)///(αο)2||р < 1· Положим _ /(On) ^п+1 — &п Доказать, что существует а = lim αη, причем f{a) = 0 и ||α — αο||ρ < 1. 66.43. Доказать, что любой автоморфизм в Qp тождественен. 66.44. Пусть f{x) G Ър[х\ имеет степень η и старший коэффициент f(x) равен 1. Пусть образ f(x) многочлена f(x) в Ъ/рЩх\ разложим, f(x) = g(x)h{x), где д(х), h{x) взаимно просты, имеют старший коэффициент 1, причем deg д{х) = г, deg h{x) = η — г. Тогда f(x) = u(x)v(x), где deg и (χ) = г, deg h{x) = η — г, старшие коэффициенты u{x)i ν (χ) равны 1, причем образы и (ж), v(x) в Έ/ρΈ[χ] равны соответственно д{х) и h(x). 66.45. Пусть f(x) G 1iP[x] и a G Zp, причем в Zp /(α) = 0, /'(a)^0. Тогда существует такой элемент 6 G Zp, что /(6) = 0 и образ 6 в Zp равен а. 66.46. Пусть m — натуральное число, не делящееся на ρ и a G 1 + + £>Ζρ. Тогда существует такое b G Zp, что bm = a. 66.47. Пусть поля Qp и Qp/ изоморфны. Доказать, что ρ = р'. 66.48. Кольцо Ζρ компактно в Qp относительно р-адической топологии. § 67. Расширения полей. Теория Галуа В этом параграфе все кольца и алгебры предполагаются коммутативными и обладающими единицей. 67.1. Пусть А — алгебра над полем F и F = F0CF1CF2C...CFS — башня подпол ей в А. Доказать, что (A:F) = (A: FS)(FS : FS.1)...(F1 : F0). 67.2. Пусть Л —алгебра над полем F и a G А.
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа 261 Доказать, что: а) если элемент а не является алгебраическим над F, то подалгебра F[a] изоморфна кольцу многочленов F[x]; б) если а — алгебраический элемент над F, то F[a]~F[x]/(/xa(a;)), где μα(χ) —некоторый однозначно определенный унитарный многочлен (минимальный многочлен элемента а) над F; в) если А — поле, то для всякого алгебраического над F элемента a £ А многочлен /ха(ж) неприводим в F[x]; г) если все элементы из А алгебраичны над F и для всякого а £ А многочлен μα(χ) неприводим, то А — поле. 67.3. Найти минимальные многочлены для элементов: а) л/2 над Q; б) л/5 над Q; в) 10^9 над Q; г) 2 — Зг над IR; д) 2 — Зг над С; е) у/2 + л/3 над Q; ж) 1 + л/2 над Q(^/2 + \/3). 67.4. Доказать, что: а) если А — конечномерная алгебра над F, то всякий элемент из А алгебраичен над F; б) если αϊ, ..., as £ Л — алгебраические элементы над F, то подалгебра F[ai, ..., as] конечномерна над F. 67.5. Доказать, что если А — поле и ai,...,as 6 А — алгебраические элементы над F, то расширение F{a\, ..., as) совпадает с алгеброй F[ab ..., as]. 67.6. Доказать, что множество всех элементов F-алгебры А, алгебраических над F, является подалгеброй в Л, а если А — поле, то подпол ем. 67.7. Доказать, что если в башне полей F = F0 С Fx С F2 С ... С Fs = L каждый этаж: i^-i С ^ (г = 1, ..., s) является алгебраическим расширением, то L/F — алгебраическое расширение. 67.8. Доказать, что всякий многочлен с коэффициентами из поля F имеет корень в некотором расширении L/F. * * * 67.9. Пусть F — поле. Доказать, что: а) для произвольного многочлена из F [х] существует поле разложения этого многочлена над F;
262 Гл. 14- Кольца б) для любого конечного множества многочленов из F[x] существует поле разложения над F. 67.10. Пусть F — поле, д(х) £ F[x], h(x) £ F[x], f(x) = g(h(x)), и а — корень многочлена д(х) в некотором расширении L/F. Доказать, что многочлен / неприводим над F тогда и только тогда, когда д{х) неприводим над F и h(x) — а неприводим над F[a]. 67.11. Пусть F — поле, а £ F. Доказать, что: а) если ρ— простое число, то многочлен хр — а либо неприводим, либо имеет корень в F; б) если многочлен хп — 1 разлагается в F[x] на линейные множители, то многочлен хп — а £ F[x] либо неприводим, либо для некоторого делителя d Φ 1 числа η многочлен xd — а имеет корень в) предположение о разложимости хп — 1 на линейные множители существенно для справедливости утверждения б). 67.12. Доказать, что над полем F характеристики ρ φ 0 многочлен f(x) = хр — χ — а либо неприводим, либо разлагается в произведение линейных множителей, и указать это разложение, если f(x) имеет корень жо· 67.13. Найти степень поля разложения над Q для многочленов: а) ах + b (α, b £ Q, α -φ 0); б) χ2 - 2; в) χ3 - 1; г) χ3 - 2; д) χ4 - 2; е) хр — 1 (ρ — простое число); ж) хп — 1 (η £ Ν); з) хр — а (а £ Q и не является р-й степенью в Q, ρ -—простое число); и) (х2 — αϊ)...(ж2 — ап) (αϊ, ...,αη принадлежат Q* и попарно различны). 67.14. Доказать, что конечное расширение L/F является простым тогда и только тогда, когда множество промежуточных полей между F и L конечно, и привести пример конечного расширения, не являющегося простым. 67.15. Пусть L/F — алгебраическое расширение. Доказать, что расширение L(x)/F(x) также алгебраическое и (L(x):F(x)) = (L:F). 67.16. Пусть L/F — расширение. Элементы αϊ, ..., as £ L называются алгебраически независимыми над F, если /(αϊ, ...,as)^0 для всякого ненулевого многочлена /(χι, ..., xs) £ F[x\, ..., xs].
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа 263 Доказать, что элементы αϊ, ..., as £ L алгебраически независимы над F тогда и только тогда, когда расширение F(a\, ..., as) F-изо- морфно полю рациональных функций F{x\, ..., xs). 67.17. Пусть L/F — расширение и αϊ, ..., аш; &ι, ..., Ьп—две максимальные алгебраически независимые над F системы элементов из L. Доказать, что т = η (степень трансцендентности L над F). 67.18. Доказать, что: а) в конечномерной коммутативной F-алгебре А имеется лишь конечное число максимальных идеалов и их пересечение совпадает с множеством Ν(Α) всех нильпотентных элементов алгебры А (нильрадикал алгебры А); б) Ared = А/ N (А) — редуцированная алгебра (не содержит отличных от 0 нильпотентных элементов); в) алгебра A/N(A) изоморфна прямому произведению полей jFi, ..., .Fs, являющихся расширениями поля F; r)s^(A:F); д) набор расширений Fi определен для алгебры А однозначно с точностью до изоморфизма (поля Fi называются компонентами алгебры А); е) если В— подалгебра в Л, то всякая компонента В является подполем в одной или нескольких компонентах А; ж) если / — идеал в Л, то компоненты алгебры А/1 содержатся среди компонент алгебры А. 67.19. Пусть F — поле, f(x) £ F[x], pi(x)kl ...ps(x)ks —разложение f(x) в произведение степеней различных неприводимых многочленов над F, А = F[x]/(f(x)). Доказать, что S Ared = A/N(A) ~Y[F[x]/(j>i(x)). i=l 67.20. Пусть А-— F-алгебра и L — расширение поля F. Доказать, что а) если /ι, ..., fn — различные F-гомоморфизмы А —> L, то Д, ..., fn линейно независимы как элементы векторного пространства над L всех F-линейных отображений A—>L\ б) число различных F-гомоморфизмов А —► L не превосходит (A:L). 67.21. Пусть А — конечномерная F-алгебра и L — расширение поля F. Положим Аь — L 0f А. Пусть (ei, ..., еп) — базис А над F.
264 Гл. 14- Кольца Доказать, что: а) (1 ® ei, ..., 1 (£> еп) — базис Аь над L; б) при естественном вложении А в Аь образ А является F-подал- геброй в Аь- 67.22. Пусть А — конечномерная F-алгебра, L — расширение поля F. Доказать, что: а) если В— подалгебра в А, то Вь —подалгебра в А^\ б) если / — идеал алгебры А и 1ь — соответствующий идеал в Аь, то (A/I)L~AL/IL; S S в) если А = Π Аи то AL ~ Π (^)l; г) если jFi5...5jFs—множество компонент алгебры Л, то множество компонент алгебр Аь совпадает с объединением множеств компонент алгебр (-Fi)l? ···, (Fs)l', д) если К — расширение поля L, то (Al)k = Αχ. 67.23. Пусть А — конечномерная F-алгебра, L — расширение поля F и В — некоторая L-алгебра. Доказать, что: а) каждый F-гомоморфизм А —► В однозначно продолжается до L-гомоморфизма Al —> Bl ; б) множество F-гомоморфизмов A—>L находится в биективном соответствии со множеством компонент алгебры Дь, изоморфных L; в) число различных F-гомоморфизмов А —► L не превосходит (Л : F) (ср. с задачей 67.20, б)). 67.24. Пусть К и L — расширения поля F, причем K/F конечно. Доказать, что существует расширение E/F, для которого имеются вложения К в Ε и L в i?, оставляющие на месте все элементы из поля F. 67.25. Пусть А — конечномерная F-алгебра и А — F[ai, ..., as]. Доказать, что следующие свойства расширения L/F равносильны: а) все компоненты Αχ, изоморфны L; б) L — поле расщепления для минимального многочлена любого элемента а £ А (расщепляющее поле F-алгебры А). 67.26. Доказать, что если L — расщепляющее поле F-алгебры А и В — подалгебра в Л, то любой F-гомоморфизм В —► L продолжается до F-гомоморфизма А —> L. 67.27. Расщепляющее поле L для конечномерной F-алгебры А называется полем разложения для А, если никакое его собственное подполе, содержащее F, не является расщепляющим для А.
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа 265 Доказать, что: а) если А = F[ai, ..., as], то L — поле разложения для А тогда и только тогда, когда L — поле разложения для минимальных многочленов элементов а\, ..., as; б) любые два поля разложения F-алгебры А изоморфны над F; в) для поля разложения F-алгебры А существует F-вложение в любое расщепляющее поле для А. 67.28. Пусть А — конечномерная F-алгебра, L — поле расщепления для А. Доказать, что число компонент L-алгебры Аь одно и то же для всех расщепляющих полей алгебры А (сепарабельная степень (А : F)s алгебры А). 67.29. Пусть А — F-алгебра и L — расширение поля F. Доказать, что: а) число компонент алгебры Al не превосходит (А : F)s; б) число различных F-гомоморфизмов А —> L не превосходит (А : F)s и равенство имеет место тогда и только тогда, когда L — расщепляющее поле для А. 67.30. Доказать, что следующие свойства конечного расширения L/F равносильны: а) все компоненты алгебры Ll изоморфны L; б) L имеет (L : F) различных F-автоморфизмов; в) для любых F-вложений φ^: L —► U (г = 1, 2) поля L в любое расширение V/F имеем φι(Σ) — ψ2^)\ г) всякий неприводимый многочлен из F\x\, имеющий корень в L, разлагается над L в произведение линейных множителей; д) L есть поле разложения некоторого многочлена из F[x]. (Расширение L/F, удовлетворяющее этим условиям, называется нормальным.) 67.31. Пусть F С L С К — башня конечных расширений поля F. Доказать, что: а) если расширение K/F нормально, то расширение K/L также нормально; б) если расширения L/F и К/L нормальны, то расширение K/F не обязательно нормально; в) всякое расширение степени 2 нормально. 67.32. Пусть А — конечномерная F-алгебра и а £ А. Характеристический многочлен, определитель и след линейного оператора t \-^ at на А обозначаются соответственно через %A/F(a, ж), NA/F(a), trA/F(a)
266 Гл. 14- Кольца и называются соответственно характеристическим многочленом, нормой и следом элемента а алгебры А над F. Доказать, что если F С L С К — башня конечных расширений полей и а £ К, то: а) Xk/f{o>, х) = ^l(x)/f(x)(Xk/l(>, ж)), где xK/l{o>, %) рассматривается как элемент поля рациональных функций F(x); б) NK/F{a) = NL/F{NK/L{a))· в) trK/F(a) =trL/F(trK/L(a)). 67.33. Пусть L/F — конечное расширение и a £ L. Доказать, что: а) минимальный многочлен элемента α равен ±χ^(α)/^(α, ж); б) XL/F(ai x) является (с точностью до знака) степенью минимального многочлена элемента а. 67.34. Пусть L/F — конечное расширение. Доказать, что F-били- нейная форма на L (x,y)^trL/F(xy) либо невырожденная, либо trl/f(x) — О Для всех χ £ L. 67.35. Доказать, что следующие свойства конечномерной F-ал- гебры А равносильны: а) для всякого расширения L/F алгебра AF редуцированная (задача 67.18); б) (А : F)8 = (A:F) (задача 67.28); в) для некоторого расширения L/F существует (А : F) гомоморфизмов F-алгебр A^L; г) билинейная форма (ж, у) \-^ ti^/F{xy) на А невырождена. (Алгебра А, удовлетворяющая этим условиям, называется сепарабель- ной.) 67.36. Пусть L — расширение поля F. Доказать, что конечномерная F-алгебра А сепарабельна тогда и только тогда, когда сепара- бельна L-алгебра AF. 67.37. Доказать, что всякая подалгебра и всякая факторалгебра сепарабельной F-алгебры являются сепарабельными F-алгебрами. 67.38. Пусть А — сепарабельная F-алгебра, (А : F) = η и φ\, ... ---ι ψη — различные F-гомоморфизмы алгебры А в некоторое ее расщепляющее поле L. Доказать, что для всякого элемента α (Ξ А η η tiA/F(a) = Σ Ψΐ{°), na/f{o) = JJ (fi(a), η Xa/f{<i, χ) = ^2(ψί(α) - χ). ί=1
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа 267 67.39. Конечное расширение L/F называется сепарабелъным, если L — сепарабельная F-алгебра. а) Доказать, что сепарабельное расширение полей является простым. 1 /2 б) Являются ли числа а = — - + i -г-, b = у/2 + i примитивными элементами расширения Q(v% i)/Qt 67.40. Доказать, что конечномерная F-алгебра сепарабельна тогда и только тогда, когда она является прямым произведением сепа- рабельных расширений поля F. 67.41. Пусть F = Fq С F\ С ... С Fs = L — башня конечных расширений полей. Доказать, что расширение L/F сепарабельно тогда и только тогда, когда каждое расширение Fi/Fi-i (г = 1, ..., s) сепарабельно. 67.42. Пусть F — поле. Многочлен f(x) £ F[x] называется сепара- белъным, если ни в каком расширении поля F он не имеет кратных корней. Доказать, что: а) если F имеет характеристику 0, то всякий неприводимый многочлен из F[x] сепарабелен; б) если F имеет характеристику ρ ^ 0, то неприводимый многочлен f(x) G F[x] сепарабелен тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде д{хр), где д{х) £ F[x]. Привести пример несепарабельного неприводимого многочлена над каким-либо полем. 67.43. Пусть А — конечномерная F-алгебра. Элемент а £ А называется сепарабельным над полем F, если F[a]—сепарабельная F-алгебра. Доказать, что элемент сепарабелен тогда и только тогда, когда сепарабелен его минимальный многочлен. 67.44. Пусть F С L С К — башня конечных расширений полей. Доказать, что: а) если элемент а £ К сепарабелен над F, то а сепарабелен над L; б) утверждение, обратное к а), верно, если расширение L/F сепарабельно. 67.45. Пусть А — сепарабельная F-алгебра, f{x) £ F[x] —сепара- бельный многочлен. Доказать, что алгебра В — A[x]/(f(x)) сепарабельна. 67.46. Пусть А = F[ai, ..., as] -—конечномерная F-алгебра. Доказать, что следующие утверждения равносильны: а) А — сепарабельная F-алгебра; б) всякий элемент a £ А сепарабелен;
268 Гл. 14- Кольца в) элементы αϊ, ..., as сепарабельны. 67.47. Доказать, что: а) конечное расширение K/F поля F сепарабельно тогда и только тогда, когда либо К имеет характеристику 0, либо характеристика К равна ρ > 0 и Кр = К] б) всякое конечное расширение конечного поля сепарабельно. 67.48. Конечное расширение полей L/F характеристики ρ > 0 называется чисто несепарабелъным, если в L \ F нет элементов сепара- бельных над F. Доказать, что L/F является чисто несепарабельным к расширением тогда и только тогда, когда Lp С F для некоторого 67.49. Пусть F = Fo С F\ С ... С Fs = L — башня конечных расширений полей. Доказать, что расширение L/F чисто несепарабельно тогда и только тогда, когда каждое расширение Fi/Fi-i {г = 1, ..., s) чисто несепарабельно. 67.50. Доказать, что степень чисто несепарабельного расширения поля характеристики ρ > 0 является степенью числа р, а его сепара- бельная степень равна 1. 67.51. Пусть L/F — конечное расширение полей. Доказать, что: а) множество Fs всех сепарабельных над F элементов из L является полем, сепарабельным над F; б) L/Fs—чисто несепарабельное расширение; b)(Fs:F) = (L:F)s; г) (L:F) = (L: F)s · (L : F),, где (L : F)% = (L : Fs) - несепара- бельная степень расширения L/F. 67.52. Пусть F С L С К — башня конечных расширений полей. Доказать, что: а) (K:F)S = (K:L)S-(L:F)S; б) (К : F), = (К : Ь)г ■ (L : F)i. 67.53. Пусть L/F — конечное расширение полей, η = (L : F)s и (/?ι, ..., (/?η — множ:ество всех F-вложений поля L в какое-либо расщепляющее поле расширения L/F. Доказать, что при любом а е L: η a) trL/F(a) = (L : F)i Ε Ψό(α)Ί 3 = 1 ((τ.π\ П Π Ψί{0) 3 = 1 / η \(L:F)i в) Xl/f(o>, χ) = ( Π {ψά{ο) ~χ)) ;
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа 269 67.54. Нормальное конечное сепарабельное расширение полей L/F называется расширением Галуа, а группа F-автоморфизмов такого расширения называется его группой Галуа и обозначается через G(L/F). Доказать, что: а) G(L/F) транзитивно действует на множестве корней из поля L минимального многочлена любого элемента поля L; б) порядок группы G(L/F) равен степени расширения L/F. 67.55. Найти группу Галуа расширения: а) С/К; б) Q(v^)/Q; в) L/F, где (L:F) = 2; г) Q(v^ + V$)/Q. 67.56. Группой Галуа над полем F сепарабельного многочлена f(x) £ F[x] называется группа Галуа поля разложения этого многочлена над F (как некоторая группа перестановок на множестве корней f(x)). Найти группы Галуа над полем Q многочленов из задачи 67.13. 67.57. Пусть G — конечная группа автоморфизмов поля L и К — = LG — поле неподвижных элементов. Доказать, что L/K — расширение Галуа и G(L/ К) = G. 67.58. Доказать, что если элементы αϊ, ..., ап алгебраически независимы над полем F, то группа Галуа многочлена хп + а\хп~х + ... + ап над полем рациональных функции F(ai, ..., ап) есть оп. 67.59. Доказать, что всякая конечная группа является группой Галуа некоторого расширения полей. 67.60. (Основная теорема теории Галуа.) Пусть L/F — расширение Галуа и G — его группа Галуа. Доказать, что сопоставление всякой подгруппе Η С G подполя LH неподвижных элементов определяет биективное соответствие между всеми подгруппами группы G и всеми промежуточными подполями расширения L/F, при котором промежуточное подполе К соответствует подгруппе Η = G(L/K); при этом расширение K/F нормально тогда и только тогда, когда подгруппа Η нормальна в(?, ив этом случае каноническое отображение G —► G(K/F) определяет изоморфизм G(K/F) c± G/H. 67.61. Используя основную теорему теории Галуа и существование вещественного корня у всякого многочлена нечетной степени с вещественными коэффициентами, доказать алгебраическую замкнутость поля комплексных чисел. 67.62. Доказать, что группа Галуа всякого конечного расширения L/Fp циклическая и порождается автоморфизмом χ \-^ хр (ж б L).
270 Гл. 14- Кольца 67.63. Доказать, что группа Галуа над полем F сепарабельного многочлена f(x) £ F[x], рассматриваемая как подгруппа в Sn, содержится в группе четных перестановок тогда и только тогда, когда дискриминант D = Y[(Xi-Xj)2 многочлена /(ж), где χι, ..., хп— корни f(x) в его поле разложения, является квадратом в поле F. 67.64. Пусть L/F — расширение Галуа с циклической группой Галуа (φ)η. Доказать, что существует такой элемент а £ L, что элементы α, φ(α), ..., φη~ι(α) образуют базис L над F. 67.65. Пусть L/F — сепарабельное расширение степени η и φι, ... • · · > ψη — различные F-вложения L в некоторое расщепляющее для L поле. Доказать, что элемент а £ L является примитивным элементом в L/F тогда и только тогда, когда образы φι(α), ..., φη(α) различны. 67.66. Найти группу автоморфизмов F-алгебры, являющейся прямым произведением η полей, изоморфных F. 67.67. Пусть L/F — расширение Галуа с группой Галуа G, L — Yl La, где La —компонента алгебры Ll, проекция на которую индуцирует на L автоморфизм σ, и еа—единица компоненты La. Доказать, что для продолжений автоморфизмов из G до L-автомор- физмов алгебры Ll справедливы равенства т(еа) = εστ-ι, σ, τ £ G. 67.68. Пусть L — расщепляющее поле для сепарабельной F-ал- гебры А и φι, ..., φη —множество всех F-гомоморфизмов А —► L. Доказать, что элементы у ι, ..., уп £ А образуют базис А над F тогда и только тогда, когда det^O/j)) ¥" 0· 67.69. (Теорема о нормальном базисе.) Доказать, что в расширении Галуа L/F с группой Галуа G существует такой элемент а £ L, что множество {с(а) \ σ £ G} является базисом поля L над F. 67.70. Найти поле инвариантов г [χι, ..., хп) п Для группы Ап, действующей на поле рациональных функций посредством перестановок переменных. 67.71. Пусть ε — первообразный комплексный корень степени η из 1 и группа G = (σ) действует на поле C(xi, ..., хп) по правилу σ(χι) = ειΧ{ (г = 1, ..., η). Найти поле инвариантов С (χ ι, ..., xn)G.
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа 271 67.72. Найти поле инвариантов для группы G, действующей на поле C(xi, ..., хп) посредством циклической перестановки переменных. 67.73. Пусть поле F содержит все корни степени η из 1 и элемент a G F не является степенью с показателем d > 1 ни для какого делителя d числа п. Найти группу Галуа над F многочлена хп — а. 67.74. Пусть поле F содержит все корни степени η из 1 и L/F — расширение Галуа с циклической группой Галуа порядка п. Доказать, что L = F( у/а) для некоторого элемента а G F. 67.75. Пусть поле F содержит все корни степени η из 1. Доказать, что конечное расширение L/F является расширением Галуа с абелевой группой Галуа периода η тогда и только тогда, когда L — -F(#i, ···? #s)5 где 0? = aieF (z = l,...,s) s (т. е. L является полем разложения над F многочлена Υ[ (χ™ — a/)s). г=1 67.76. Пусть поле F содержит все корни степени η из 1 и L = = F(0i,...,0e),rfle 0^aieF* (г = 1,...,в). Доказать, что G(LlF)~((F*)n,au...,aa)l{F*)n. 67.77. Пусть поле F содержит все корни степени η из 1. Установить биективное соответствие между множеством всех (с точностью до F-изоморфизма) расширений Галуа с абелевой группой Галуа периода η и множеством всех конечных подгрупп группы F*/(F*)n. 67.78. Доказать, что всякое расширение Галуа L/F степени ρ поля F характеристики ρ > 0 имеет вид L = F{9), где θ — корень многочлена хр — χ — α (α G F), и, обратно, всякое такое расширение является расширением Галуа степени 1 или р. 67.79. Пусть F — поле характеристики ρ > 0. Доказать, что конечное расширение L/F является расширением Галуа периода ρ тогда и только тогда, когда L = F{6\, ..., 0S), где θ ι —корень многочлена хр — χ — di {μι G F\ i — 1, ..., s). 67.80. Пусть F — поле характеристики ρ > 0 и L — F(6>i, ..., 0S), где θί — корень многочлена хр — χ — αι {μι G F; i — 1, ..., s). Доказать,
272 Гл. 14- Кольца что G(L/F)~(p(F),au...,a8)/F, где р: F —> F — аддитивный гомоморфизм χ \-^ хр — х. 67.81. Пусть F — поле характеристики ρ > 0. Установить биективное соответствие между множеством всех (с точностью до F-изомор- физма) расширений Галуа L/F с абелевой группой Галуа периода ρ и множеством всех конечных подгрупп группы F/p{F). § 68. Конечные поля 68.1. Доказать, что всякое конечное расширение конечного поля является простым. 68.2. Доказать, что: а) конечное расширение конечного поля нормально; б) любые два конечных расширения конечного поля F одной степени F-изоморфны. 68.3. Доказать, что: а) для любого числа д, являющегося степенью простого числа, существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из q элементов; б) вложение поля ¥q в поле ¥q' существует тогда и только тогда, когда qf есть степень q\ в) если F и L — конечные расширения конечного поля F, то F-вложение поля F в L существует тогда и только тогда, когда (F:L)\(L:F); г) если многочлен f(x) над конечным полем F разлагается в произведение неприводимых множителей степеней ηι, ..., nS5 то степень поля разложения многочлена f{x) над F равна наименьшему общему кратному чисел ηι, ..., ns. 68.4. Пусть F — конечное поле из q элементов, где q нечетно. Элемент a G -F* называется квадратичным вычетом в F, если двучлен х2 — а имеет корень в F. Доказать, что: а) число квадратичных вычетов равно (q — 1)/2; б) а является квадратичным вычетом тогда и только тогда, когда α(<?-ΐ)/2 = 15 и не является квадратичным вычетом при a^q~1^'2 = — 1. 68.5. Разложить на неприводимые множители: а) х5 + х3 + х2 + 1 в ¥2[х]; б) х3 + 2х2 + Ах + 1 в F5[x];
§68. Конечные поля 273 в) х4 + х3 + х + 2 в F3[x]; г) х4 + Зж3 + 2х2 + ж + 4 в F5[x]. 68.6. Для элемента α G F* положим ί — ) равным 1, если а — квадратичный вычет bF, и-1 —в противном случае. Доказать, что: а) отображение F* —> { — 1, 1}, при котором а \-^ ( — ) является гомоморфизмом групп; б) ί — 1 = sgn σα, где σα : χ \-^ αχ — перестановка на множестве элементов поля F. 68.7. Пусть а и Ъ — взаимно простые числа и σ: χ ь^ аж — перестановка на множестве классов вычетов по модулю Ь. Доказать, что: а) если Ъ четно, то {1 при Ь = 2 (mod 4), (_1)(α-ΐ)/2 при6 = 0 (mod 4); s б) если b = Yl pi (pi, ..., ps -—простые числа > 2), то г=1 s г=1 где ί — j = ί =— j (символ Лежандра) (в этом случае sgn σ обозначается через ( - 1 и называется символом Якоби); »>(5й) = (Ш)· (T) = (f)(f> г)(х) = (-1)<Ь-1)/2· 68.8. Пусть G — аддитивно записанная конечная абелева группа нечетного порядка, σ — автоморфизм группы G, ( -^) = sgn σ, где σ рассматривается как перестановка на множестве G. Доказать, что если G представляется в виде объединения {0}и5и{ — S} непересекающихся подмножеств, то (£)=(-1)И*)п(-*)|. 68.9. Пусть σ — автоморфизм абелевой группы G нечетного порядка, G\ — подгруппа в G, инвариантная относительно σ,
274 Гл. 14- Кольца G<i = G/G\ и σι, σ^ — автоморфизмы G\ и (?2, индуцированные σ. Доказать, что и получить отсюда утверждение задачи 68.7, б). 68.10. {Лемма Гаусса.) Доказать, что если N — количество чисел χ из промежутка 1 ^ χ ^ (Ъ — 1)/2, для которых ах = r (mod 6), -(6- l)/2^r ^ 1, то ϊ) = (-ΐ)№ .6. 68.11. Доказать, что (|) = (-l)^2"1)/8. 68.12. (Квадратичный закон взаимности.) Доказать, что для любых взаимно простых нечетных чисел а и b -)(-) =(_!)(а-1)/2-(Ь-1)/2в 68.13. Пусть V — конечномерное пространство над конечным полем F нечетного порядка и Λ — невырожденный линейный оператор на V. Доказать, что А\ fdetA У) \ Г 68.14. Пусть F — конечное расширение поля ¥q степени п. Доказать, что в F как векторном пространстве над ¥q существует базис η — 1 вида ж, xq, ..., xq для некоторого χ £ F. 68.15. Доказать, что элементы х\, ...,хп £ ¥qn образуют базис над ¥q тогда и только тогда, когда det / Χι Χ2 .·. Хп \ »АУ "Ι »АУ О · · · »Ау γη \Xl Х2 ·.· ^п / ф0. ^п-1 68.16. Пусть a £ Fg™. Элементы ^ образуют базис F^™ как векторного пространства над ¥q тогда и только тогда, когда в ¥qn [χ] многочлены хп — 1 и ахп~х + aqxn~2 + ... + aqn 2χ + aqT взаимно просты.
Глава 15 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ § 69. Представления групп. Основные понятия 69.1. Доказать, что отображение р\ Ъ —> GLi2(C)5 при котором р(п)=(о i)' nGZ' является приводимым двумерным комплексным представлением группы (Z, +) и не эквивалентно прямой сумме двух одномерных представлений. 69.2. Доказать, что отображение р: (а) —► GL^Fp) (p — простое число), при котором <*·*>= β V) является приводимым двумерным представлением циклической группы (а) и не эквивалентно прямой сумме двух одномерных представлений. 69.3. Пусть A £ GLn(C). Доказать, что отображение ρ а : Ъ —► —► GLn(C), при котором рл(п) = Ап, является представлением группы (Z, +) и представления ρ а и ρ в эквивалентны тогда и только тогда, когда жордановы нормальные формы матриц А и В совпадают (с точностью до порядка клеток). 69.4. Будет ли линейным представлением группы (IR, +) в пространстве С(М) непрерывных функций на вещественной прямой отображение L, определяемое по формулам: a)(L(f)/)(x) = /(x-f); 6)(L(t)f)(x) = f(tx); B)(L(t)f)(x) = f(etx)-1 r)(L(i)/)W = eVW; A)(L(t)f)(x) = f(x)+t; e)(L(i)/)(z) = e'/(s + i)? 69.5. Какие из подпространств в С (Μ) инвариантны относительно линейного представления L из задачи 69.4 а): а) подпространство бесконечно дифференцируемых функций; б) подпространство многочленов; в) подпространство многочленов степени ^ п; г) подпространство четных функций;
276 Гл. 15. Элементы теории представлений д) подпространство нечетных функций; е) линейная оболочка функций sin χ и cos х\ ж) подпространство многочленов от cos χ и sin x; з) линейная оболочка функций cos ж, cos 2ж, ..., cos nx; и) линейная оболочка функций eClt, eC2t,..., eCnt, где ci, C2,..., cn — различные фиксированные вещественные числа? 69.6. Найти подпространства пространства многочленов, инвариантные относительно представления L из задачи 69.4, а). 69.7. Записать матрицами (в каком-либо базисе) ограничение линейного представления L из задачи 69.4, а) на подпространство многочленов степени ^ 2. 69.8. Записать матрицами (в каком-либо базисе) ограничение линейного представления L из задачи 69.4, а) на линейную оболочку функций sin χ и cos χ. 69.9. Доказать, что каждая из следующих формул определяет линейное представление группы GLn(F) в пространстве Mn(F): а) А(А)-Х = АХ; б) Ad(A)'X = AXA~1; в) Ф(А)-Х = АХ*А. 69.10. Доказать, что линейное представление Л (см. задачу 69.9, а)) вполне приводимо и его инвариантные подпространства совпадают с левыми идеалами алгебры Mn(.F). 69.11. Доказать, что если char F не делит п, то линейное представление Ad (см. задачу 69.9, б)) вполне приводимо и его нетривиальные инвариантные подпространства — пространство матриц с нулевым следом и пространство скалярных матриц. 69.12. Доказать, что если char F -φ 2, то линейное представление Φ (см. задачу 69.9, в)) вполне приводимо и его нетривиальные инвариантные подпространства—пространства симметрических и кососим- метрических матриц. 69.13. Пусть V — двумерное пространство над полем F. Показать, что существуют представления pi и р2 группы S3 на У, для которых в некотором базисе пространства V будут выполнены соотношения Pi((12))=(j J), P1((12 3))=(J :|), р2((12))=(; J), p2((12 3))=(_°1 _\). Доказать, что эти представления изоморфны тогда и только тогда, когда char F^3.
§69. Представления групп. Основные понятия 277 69.14. Пусть V — двумерное векторное пространство над полем F. Показать, что существуют два представления pi, р2 группы D4 = (α, b I α4 = b2 = {abf = 1) на V, для которых в некотором базисе пространства V будут выполнены соотношения рЛа)=у_1 о)' M6)=(i 0)' Ρ2(α)=(_° J), P2(b)=(£ _°). Будут ли эти представления эквивалентны? 69.15. Пусть р\ и р2 —представления групп S3 и D4 из задач 69.13 и 69.14. Будут ли эти представления неприводимы? 69.16. Пусть V — векторное пространство над полем F с базисом (ei, ..., еп). Зададим отображение ф: Sn —► GL(V), полагая где σ £ Sn, г — 1, ..., п. Доказать, что: а) ^ — представление группы Sn; б) подпространство W векторов, сумма координат которых относительно базиса (ei, ..., еп) равна нулю, и подпространство U векторов с равными координатами инвариантны относительно представления ф\ в) если char F не делит п, то ограничение представления φ на W — неприводимое (п — 1)-мерное представление группы Sn. 69.17. Пусть Рп,т — подпространство однородных многочленов степени т в алгебре F[x\, ..., хп] и char F — 0. Определим отображение Θ: GLn(F) —► GL(Pn m), полагая для / £ Рп ш л А = (а^·) £ GGLn(F): г=1 г=1 ' Доказать, что Θ — неприводимое представление группы GLn(F) на пространстве Рп,т· 69.18. Пусть задано n-мерное пространство V над полем F нулевой характеристики. Определим отображение Θ: GL(V) —> ^GL(Aml/), полагая S(g)(xi Λ ... Л хт) = (gxi) Л ... Л (дхт),
278 Гл. 15. Элементы теории представлений где χι, ..., хш £ V и g G GL(V). Доказать, что Θ — неприводимое представление группы GL(V). 69.19. Доказать, что: а) для любого представления ρ группы G существует такое представление р®ш группы G на пространстве V®m = V®...®V 4 ν / т т раз контравариантных тензоров на пространстве У, что Р®шШъ1 ® ... 0 vm) = (p(g)vi) Θ ... Θ (p(g)vm) при любых ^ι5 ..., vm G У, g £ G; б) подпространства симметрических и кососимметрических тензоров являются инвариантными подпространствами для представления р®ш. Найти размерности этих подпространств, если dim V — п. 69.20. Пусть задано представление Ф: G —► GL(V) над полем F и гомоморфизм ξ: G —> F*. Рассмотрим отображение Ф^ : G —> GL(У), заданное по правилу Φξ(#) = ξ(5ί)Φ(5ί)5 g £ G. Доказать, что Ф^ — представление группы G. Оно неприводимо тогда и только тогда, когда неприводимо представление Ф. 69.21. Пусть Φ — комплексное представление конечной группы G. Доказать, что каждый оператор Ф^, g £ G, диагонализируем. 69.22. Пусть р: G —> GL(V) — конечномерное представление группы G над полем F. Доказать, что в V существует базис, в котором для любого g £ G матрица р(д) имеет клеточно-верхнетреугольный вид /Pi(ff) * \ р{я) = \ 0 pm(g)J где р^—неприводимые представления группы G. 69.23. Пусть р\ G —> GL(Vr) — конечномерное представление группы G и в V существует базис (ei, ...,en), в котором для любого д £ G матрица р(д) имеет клеточно-верхнетреугольный вид из задачи 69.22, где размер с^ квадратной матрицы pi(g) не зависит от д. Доказать, что: а) линейная оболочка V{ векторов ed1+...+di_1+i5 ..., β^+.,.+άα яв_ ляется G-инвариантным подпространством (1 ^ г ^ т); б) отображение g ·—> Рг(#) является матричным представлением группы G;
§69. Представления групп. Основные понятия 279 в) линейное представление группы G, соответствующее этому матричному представлению, изоморфно представлению, возникающему на факторпространстве Vi/Vi-i (по определению Vo = 0). 69.24. Пусть р: G —> GL(V) ^представление группы G. Доказать, что: а) для любого ν G V линейная оболочка (p(g)v \ g G G) является инвариантным подпространством для представления р; б) любой вектор из V лежит в некотором инвариантном подпространстве размерности ^ \G\. в) минимальное инвариантное подпространство, содержащее вектор υ G V, совпадает с (p(g)v \ g G G). 69.25. Пусть р\ G —> GL(V) —представление группы G и Η — подгруппа в G, [G : Н] = к < оо. Доказать, что если подпространство U инвариантно относительно ограничения представления ρ на подгруппу if, то размерность минимального подпространства, содержащего U и инвариантного относительно представления р, не превосходит к · dim U. 69.26. Пусть V — векторное пространство над полем С с базисом (ei, ..., еп). Определим в V представление Φ циклической группы (α)η, полагая Ф(а)(е^) = e^+i при г < η и Ф(а)(еп) = е\. При η = 2т найти размерность минимального инвариантного подпространства, содержащего векторы: а) ei + em+i; б) ei + е3 + ... + e2m-i; в) ei - е2 + е3 - ... - е2ш; г) ei + e2 + ... + еш. 69.27. Доказать, что у любого набора попарно коммутирующих операторов на конечномерном комплексном векторном пространстве есть общий собственный вектор. 69.28. Доказать, что неприводимое конечномерное комплексное представление абелевой группы одномерно. 69.29. Пусть G — (а) х (b) , где ρ — простое число и F — поле характеристики р. Предположим, что V — векторное пространство над F с базисом жо5 χι, ···? χη·> 2/ъ ···? У η- Зададим отображение р: G —► GL(Vr), полагая p(a)xi — p(b)xi — Xi, 0 ^ г ^ п; р(а)^ = Хг + Уг, l^i^n; р(Ь)гц = yi + Xi-i, 1 ^ г ^ п. Доказать, что ρ продолжается до представления группы С Проверить, что это представление неразложимо.
280 Гл. 15. Элементы теории представлений 69.30. Доказать, что неприводимые комплексные представления группы Upoo взаимно однозначно соответствуют таким последовательностям (ап) натуральных чисел, что 0 ^ ап ^ рп - 1, ап = αη+ι (mod pn) при всех п. 69.31. Доказать, что неприводимые комплексные представления группы Q/Z взаимно однозначно соответствуют таким последовательностям натуральных чисел (αη), что 0 ^ ап ^ η — 1 и ап = аш (mod n), если η делит т. § 70. Представления конечных групп 70.1. Пусть Л и В — два перестановочных оператора на конечномерном комплексном векторном пространстве V и Лш = Вп = 8 для некоторых натуральных чисел тип. Доказать, что пространство V распадается в прямую сумму одномерных инвариантных относительно Л и В подпространств. 70.2. Перечислить все неприводимые комплексные представления групп: а) (а>2; б) (а>4; в) (а)2 χ (Ь)2; г) (а)6; д) (а>8; е) (а>4 х (Ь)2; ж) (а>2 х (Ъ)2 χ (с>2; з) (а)6 χ (Ь)3; и) (а>9 χ (Ь)27. 70.3. Пусть У — векторное пространство над полем F, Л £ GL(V) и Лп = £. а) Доказать, что соответствие а^ н^ Л^ определяет представление циклической группы (а)п на пространстве V. б) Найти все инвариантные подпространства этого представления при указанных порядках п, если оператор Л задается в некотором базисе матрицей А: n = 4, ^=(_J J); n = 6, A=(l :j). в) Пусть jF = С и в V имеется такой базис ео, βι, ..., en_i, что [ег+ь еслиг<п-1, I ео, если г = η — 1. Разложить это представление в прямую сумму неприводимых.
§ 70. Представления конечных групп 281 г) Доказать, что представление из в) изоморфно регулярному представлению группы (а)п. 70.4. Разложить в прямую сумму одномерных представлений регулярное представление группы: а) Ζ2 Θ Ζ2; б) Ζ2 Θ Ζ3; в) Ζ2 Θ Ζ4. 70.5. Пусть Η = (α)3—циклическая подгруппа группы G, Φ — регулярное представление группы G и Φ — его ограничение на Н. Найти кратность каждого неприводимого представления группы Η в разложении представления Φ в сумму неприводимых: a) G = (Ь)6, а = б2; б) G = S3, α = (123). 70.6. Найти все неизоморфные одномерные вещественные представления группы (а) . 70.7. Доказать, что неприводимое вещественное представление конечной циклической группы имеет размерность не более двух. 70.8. Пусть pk : (а)п —> GL2(IR) —представление, для которого (2кк . 2ттк\ cos — sin \ sin cos / η η / Доказать, что: а) представление pk неприводимо, если к -φ η/2; б) представления pk и р^/ эквивалентны тогда и только тогда, когда к— к1 или к + к' = щ в) любое двумерное вещественное неприводимое представление группы (а)п эквивалентно представлению pk для некоторого к. 70.9. Найти число неэквивалентных неприводимых вещественных представлений: а) группы Zn; б) всех абелевых групп порядка 8. 70.10. Найти число неэквивалентных двумерных комплексных представлений групп: a) Z2, б) Z4, в) Ζ2ΘΖ2. 70.11. Пусть G — абелева группа порядка п. Доказать, что число неэквивалентных /с-мерных комплексных представлений группы G равно коэффициенту при tk ряда (1 — t)~n. Найти этот коэффициент. 70.12. Доказать, что ядро одномерного представления группы G содержит коммутант этой группы. 70.13. Пусть ρ — представление группы G в пространстве V и в V существует базис, в котором все операторы р(д) (д £ G) диагональны. Доказать, что G' С Кег р.
282 Гл. 15. Элементы теории представлений 70.14. Доказать, что все неприводимые комплексные представления конечной группы одномерны тогда и только тогда, когда она коммутативна. 70.15. Найти все одномерные комплексные представления групп S3 и А4. 70.16. Найти все одномерные комплексные представления групп Sn и Dn. 70.17. Построить неприводимое двумерное комплексное представление группы S3. 70.18. Используя гомоморфизм группы S4 на группу S3, построить неприводимое двумерное комплексное представление группы S4. 70.19. Используя изоморфизм групп перестановок и соответствующих групп движений куба и тетраэдра (см. 57.13), построить: а) два неприводимых неизоморфных трехмерных комплексных представления группы S4; б) неприводимое трехмерное комплексное представление группы А4. 70.20. Доказать, что если ε— корень степени η из 1, то отображение α^(θ ε^l)' 6^(ΐ θ) продолжается до представления рЕ группы Dn. Является ли оно неприводимым при ε ^ ±1? 70.21. Пусть ре и /ν — неприводимые двумерные комплексные представления группы Dn из задачи 70.20. Доказать, что рЕ и рЕ> изоморфны тогда и только тогда, когда ε1 = ε^1. 70.22. Пусть ρ — неприводимое комплексное представление группы Dn. Доказать, что ρ изоморфно ре для некоторого ε. 70.23. Пусть ρ — естественное двумерное вещественное представление Dn в виде преобразований, составляющих правильный η-угольник. Найти такое ε, что ρ изоморфно ρε. 70.24. Используя реализацию кватернионов в виде комплексных матриц порядка 2 (см. задачу 55.6, т)), построить двумерное комплексное представление группы Qs. 70.25. Пусть группа G допускает точное приводимое двумерное представление. Доказать, что; а) коммутант группы G' — абелева группа; б) если G конечна и основное поле имеет характеристику 0, то G коммутативна.
§ 70. Представления конечных групп 283 70.26. Доказать, что точное двумерное комплексное представление конечной некоммутативной группы неприводимо. 70.27. Пусть G — конечная группа, ρ — ее конечномерное комплексное представление и в некотором базисе матрицы всех операторов p(g) (g £ G) верхнетреугольные. Доказать, что Ker(p) D Gf. 70.28. Доказать, что если в задачах 69.22, 69.23 основное поле является полем комплексных чисел и группа G конечна, то представление ρ эквивалентно прямой сумме представлений pi, ..., рш. 70.29. Доказать, что если в задаче 69.22 основное поле является полем комплексных чисел и группа G конечна, то существует такая невырожденная матрица С, что для всех д £ G С-1р{д)С=\ \ о Рт(д)/ 70.30. Пусть G конечная группа порядка η и ρ ее регулярное представление. Доказать, что [п, д = 1. 70.31. Доказать, что для любого неединичного элемента конечной группы существует неприводимое комплексное представление, переводящее его в неединичный оператор. 70.32. Пусть Л, В— линейные операторы в конечномерном векторном пространстве V над полем нулевой характеристики и Л3 = = В2 = 8, ЛВ = В Л2. Доказать, что для всякого подпространства С/, инвариантного относительно Л и В, существует подпространство W, инвариантное относительно Л, В и такое, что V = U Θ W. 70.33. Найти все попарно неэквивалентные двумерные комплексные представления групп: а) А4; б) S3. 70.34. Найти число и размерности неприводимых комплексных представлений групп: a) S3; б) А4; в) S4; г) Q8; д) Dn; e) А5. 70.35. Сколько прямых слагаемых в разложении на неприводимые компоненты регулярного представления следующих групп: a) Z3; б) S3; в) Q8; г) А4? 70.36. С помощью теории представлений доказать, что группа порядка 24 не может совпадать со своим коммутантом.
284 Гл. 15. Элементы теории представлений 70.37. Могут ли неприводимые комплексные представления конечной группы исчерпываться: а) тремя одномерными и четырьмя двумерными; б) двумя одномерными и двумя пятимерными; в) пятью одномерными и одним пятимерным? 70.38. Доказать, что в группе GL2(C) нет подгруппы, изоморфной S4. 70.39. Доказать существование двумерного инвариантного подпространства в любом восьмимерном комплексном представлении группы S4. 70.40. Доказать существование одномерного инвариантного подпространства в любом пятимерном комплексном представлении группы А4. 70.41. Доказать, что число неприводимых комплексных представлений группы G строго больше числа неприводимых представлений любой ее факторгруппы по нетривиальной нормальной подгруппе. 70.42. Для каких конечных групп регулярное представление над полем С содержит лишь конечное число подпредставлений? 70.43. Доказать, что любое неприводимое представление конечной р-группы над полем характеристики ρ единично. 70.44. Пусть G — конечная р-группа и ρ — ее представление в конечномерном пространстве V над полем характеристики р. Доказать, что в V существует такой базис, что для любого g £ G матрица оператора р(д) —верхняя унитреугольная. 70.45. Пусть Η — нормальная подгруппа в конечной группе G. Доказать, что размерность любого неприводимого представления группы G над полем F не превосходит [G : Н]т, где т — наибольшая размерность неприводимого представления группы Η над полем F. 70.46. Доказать, что в GLn(C) существует лишь конечное число попарно несопряженных подгрупп фиксированного конечного порядка. 70.47. Пусть р: G —> СЬз(М) — неприводимое трехмерное вещественное представление конечной группы G и представление р: G —► СЬз(С) получается как композиция отображения ρ со стандартным вложением GL3(M) —> СЬз(С). Доказать, что представление ρ неприводимо. 70.48. Доказать, что всякое неприводимое неодномерное комплексное представление группы порядка р3, где ρ — простое число, является точным.
§71. Групповые алгебры и модули над ними 285 70.49. Найти число неприводимых комплексных представлений некоммутативной группы порядка р3 и их размерности. 70.50. Разложить в прямую сумму неприводимых подпредстав- лений вещественное представление Φ циклической группы (а)4, при котором /о о -ιΝ Ф(а) =01 0 V о о, 70.51. Рассмотрим вещественное трехмерное представление группы G = (а)2 х (Ь)2, где 5 6 0 -4 -5 0 0 0 1 ф(а)= б -5 0 , Ф(Ь) = -Е. \0 0 I) Разложить Φ в прямую сумму неприводимых представлений. 70.52. Рассмотрим двумерное комплексное представление Φ группы G — (а)2 х (Ь)2, где Разлож:ить Φ в прямую сумму неприводимых представлений. 70.53. Доказать, что любая конечная подгруппа в группе GL2(C) (соответственно в GLi2(M)) сопряж:ена с подгруппой в группе унитарных (соответственно ортогональных матриц) размера 2. 70.54. Доказать, что всякая конечная подгруппа в SL2(Q) является подгруппой одной из следующих групп: D3, D4, De- 70.55. Доказать, что каждая конечная подгруппа в SL2(M) сопряжена с подгруппой в SC>2(M) и потому является циклической. 70.56. Доказать, что каждая конечная подгруппа в GL2(M) сопряжена с подгруппой в С>2(М) и потому является либо циклической, либо группой диэдра Dn, η ^ 2. 70.57. Пусть G — конечная неабелева простая группа. Доказать, что размерность любого неприводимого нетривиального комплексного или вещественного представления группы G больше 2. § 71. Групповые алгебры и модули над ними 71.1. Является ли алгебра кватернионов вещественной групповой алгеброй: а) группы кватернионов;
286 Гл. 15. Элементы теории представлений б) какой-либо группы? 71.2. Пусть V — векторное пространство над полем F с базисом (ei, б2, ез), φ: F[Ss] —> End V — гомоморфизм, где φ{σ){βι) = еа^ для всех σ £ S3 (г = 1, 2, 3). Найти размерность ядра и размерность образа гомоморфизма φ. 71.3. Найти базис ядра гомоморфизма φ: С[(а) ] —> С, при котором φ (α) = ε, где ε — корень степени η из 1. 71.4. Пусть группа Η изоморфна факторгруппе группы G. Доказать, что F[H] изоморфна факторалгебре алгебры F[G]. 71.5. Пусть G = G\ x G^. Доказать, что F\G\~F[GX\®F\G2\. 71.6. Пусть G — конечная группа, R — множество отображений из G в поле F. Определим на R операции, полагая для /ι, /2 £ Д (afi + Pf2)(g) = (*fi(g) + Pf2(g), {hf2){g) = YJh{h)f2{h-1g). heG Доказать, что R — алгебра над полем F и отображение из R в F[G] —изоморфизм алгебр. 71.7. Доказать, что если группа G содержит элементы конечного порядка, то групповая алгебра F[G] имеет делители нуля. 71.8. Доказать, что всякий неприводимый FfGj-модуль изоморфен фактормодулю регулярного FfGj-модуля. 71.9. Найти все коммутативные двусторонние идеалы групповой алгебры C[G] для: a)C = S3; 6)C = Q8; b)G = D5. 71.10. Найти все элементы χ групповой алгебры -F[G], удовлетворяющие условию хд = χ при любом д £ G. 71.11. Найти базис центра групповой алгебры групп: a) S3; б) Q8; в) А4. 71.12. Доказать, что в групповой алгебре А свободной абелевой группы ранга г нет делителей нуля. Поле частных для А изоморфно полю рациональных дробей от г переменных. 71.13. Пусть А — кольцо, V — Л-модуль и V = U 0 W, причем U — неприводимый модуль и в W нет подмодулей, изоморфных U. Доказать, что если а — автоморфизм модуля У, то a(U) — U.
§71. Групповые алгебры и модули над ними 287 71.14. Пусть А — кольцо, А-модуль V разложен в прямую сумму подмодулей V = U Θ W, φ: U —> W — гомоморфизм Α-модулей. Доказать, что U\ = {χ + φ(χ) \ x £ U} есть Α-подмодуль в У, изоморфный С/, и V = U\ 0 W. 71.15. Пусть А — полупростая конечномерная алгебра над С и Л-модуль V разлагается в прямую сумму попарно неизоморфных неприводимых Л-модулей: V = V\ Θ ... Θ Vfc. Найти группу автоморфизмов модуля V. 71.16. Пусть А — полу простая конечномерная алгебра над С и Л-модуль V есть прямая сумма двух изоморфных неприводимых Л-модулей. Доказать, что группа автоморфизмов Л-модуля V изоморфна GLi2(C). 71.17. Пусть А — полупростая конечномерная комплексная алгебра и V — Л-модуль, конечномерный над С. Доказать, что V имеет конечное число Л-подмодулей тогда и только тогда, когда он является прямой суммой попарно неизоморфных неприводимых Л-модулей. 71.18. Пусть G — конечная группа, F — поле характеристики О и групповая алгебра А = F[G] рассматривается как левый модуль над собой. Доказать, что для любого его подмодуля U и гомоморфизма Л-модулей φ: U —> А существует такой элемент а £ А, что φ (и) = иа для всех и £ U. 71.19. Для каких конечных групп комплексная групповая алгебра является простой? 71.20. Пусть А = F[G] (F — поле), (^-—конечная группа порядка η > 1, и для η · 1 ^ 0 положим ei = (η · Ι)"1 ^2 9, е2 = 1 - еь Доказать, что Ае\ и Ае^ — собственные двусторонние идеалы и А = Ае\ Θ Ле2. 71.21. Доказать, что равенство xy = f(x,y)-l+ Σ а9'9' ag^F, g£G\{i} в групповой алгебре F[G] задает на пространстве F[G] симметрическую билинейную функцию и ядро этой функции / — двусторонний идеал в F[G].
288 Гл. 15. Элементы теории представлений 71.22. Пусть G — конечная группа, / — билинейная функция на ЩСт], определенная в задаче 71.21. Доказать, что / невырождена, и найти сигнатуру функции / для групп: a) Z2; 6)Z3; в) Z4; r)Z20Z2. 71.23. Пусть Η — подгруппа группы G и ω{Η)—левый идеал в jF[G], минимальный среди левых идеалов, содержащих {h — 1 | h £ £ Η}. Доказать, что если Η — нормальная подгруппа, то идеал ω{Η) двусторонний. 71.24. Разложить в прямую сумму полей групповые алгебры группы (а)3 над полями вещественных и комплексных чисел. 71.25. Доказать, что Q[(a)J (ρ— простое число) есть прямая сумма двух двусторонних идеалов, один из которых изоморфен Q, а другой Q(£), где ε — первообразный корень степени ρ из 1. 71.26. Пусть G — конечная группа, char F не делит |G|, / — идеал в F[G]. Доказать, что I2 — I. 71.27. Найти идемпотенты и минимальные идеалы в кольцах: a) F3[(a)2]; б) F2[(a)2]; в) С[(а)2]; г) Щ(а)3]. 71.28. Пусть G — конечная группа. Доказать, что при любом α G C[G] уравнение а = аха разрешимо в C[G]. 71.29. Сколько различных двусторонних идеалов в алгебре: a) C[S3]; б) C[Q8]? 71.30. Для каких конечных групп G групповая алгебра C[G] является прямой суммой η — 1, 2, 3 матричных алгебр? 71.31. Пусть G — группа, А — алгебра над полем F с единицей и φ — гомоморфизм G —> Л*. Доказать, что существует единственный гомоморфизм F[G] —> Л, ограничение которого на G совпадает с φ. 71.32. Доказать, что если char F не делит порядок конечной группы G, то любой двусторонний идеал групповой алгебры F[G] является кольцом с единицей. Верно ли это утверждение для произвольных алгебр с единицей? 71.33. Пусть F — поле характеристики ρ > 0, ρ делит порядок конечной группы G и u=J2geF[G]. Доказать, что _Р[С]и — подмодуль левого регулярного модуля, не выделяющийся прямым слагаемым.
§ 71. Групповые алгебры и модули над ними 289 71.34. Пусть G— (а) , F — поле характеристики]?, Ф: G^GL^F), где *(«*>=(;ν) — представление группы G. Указать такой F[G] -подмодуль U регулярного представления V = F[G\, что представление G на У/[/ изоморфно Φ. При каких ρ представление Φ изоморфно регулярному представлению? 71.35. Доказать, что алгебра F2[(a)2] не является прямой суммой минимальных левых идеалов. 71.36. Пусть Η—р-группа, являющаяся нормальной подгруппой в конечной группе G, и F — поле характеристики р. а) Доказать, что идеал ω(Η) из задачи 71.23 нильпотентен. б) Найти индекс нильпотентности идеала ω{Η) при G = (а)4, Н=(а2) hF = F2. 71.37. Доказать, что все идеалы групповой алгебры бесконечной циклической группы главные. 71.38. Доказать, что циклический модуль над алгеброй F^a}^] либо конечномерен над F, либо изоморфен левому регулярному -^Ка)ос]-М°ДУЛЮ· 71.39. Пусть А = С[(^)ос], Ρ = Ах\ 0 Ах2 -—свободный А-модуль с базисом (ж1,Ж2)5 Η — подмодуль в Р, порожденный элементами /ΐι, h2. Разложить Ρ/Η в прямую сумму циклических Л-модулей и найти их размерности, если: а) hi = gx\ + х2, h2 = х\ - (g + l)x2; б) /ΐχ = g2xi + #~2:г2, /ι2 = g4xi + (1 - #)^2; в) /ΐχ = ^i + 2g~1x2, h2 = {l + g)x\ + 2(g~2 + g~l)x2. 71.40. Пусть Л, В — линейные операторы на V — F[x], A(f(x)) — = f (х), Β{f{x)) = χf{x). Доказать, что отображение ψ: g ь^ АВ продолжается до гомоморфизма i?[(5f)oc] —> End У, и найти Кег (/?. 71.41. Пусть Μ — максимальный идеал алгебры А — F\ia)^ и г = аш\р(А/М). Доказать, что: а) если F = С, то г = 1; б) если F — М, то г — 1 или г — 2; в) если F = F2, то г может быть неограниченно велико. 71.42. Доказать, что групповая алгебра свободной абелевой группы конечного ранга является нётеровой.
290 Гл. 15. Элементы теории представлений 71.43. Доказать, что в групповой алгебре свободной абелевой группы конечного ранга справедлива теорема о существовании и единственности разложения на простые множители. 71.44. Разложить в произведение простых множителей элемент групповой алгебры А = C[G] свободной абелевой группы G с базисом (#Ъ02): а) д\Я2 +9Ϊ1921'ι б) 1 + 9Ϊ192 ~ 9ι921 ~ 9Ϊ292- 71.45. Пусть G — свободная абелева группа с базисом (^1,^2)· Найти факторалгебру групповой алгебры А = F[G] по идеалу /, порожденному элементами: а) 9\9ϊλ\ б) 01 - д2\ в) дг - 1 и д2 - 2. 71.46. Доказать, что если группа G конечна и алгебра C[G] не имеет нильпотентных элементов, то G коммутативна. 71.47. Пусть Η — нормальная подгруппа в группе G, V — некоторый FfGj-модуль и (Н — 1)V — линейная оболочка элементов вида {h — 1)г>, где h £ if, v £ V\ Доказать, что: а) (Н — 1)V является F[G]-подмодулем в V; б) если Η — силовская (нормальная) р-подгруппа в G, char F = ρ и (Η -1)V = V, тоУ = 0. 71.48. Доказать, что комплексные групповые алгебры групп D4 и Qs изоморфны. 71.49. Найти число попарно неизоморфных комплексных групповых алгебр размерности 12. 71.50. Доказать, что число слагаемых в разложении групповой алгебры симметрической группы Sn над полем С в прямую сумму матричных алгебр равно числу представлений числа η в виде п = П1+П2 + _ +П/е, где п\ ^ П2 ^ ... ^ Пк > 0, к>1. § 72. Характеры представлений 72.1. Пусть элемент д группы G имеет порядок к и χ— n-мерный характер группы G. Доказать, что х(д) есть сумма η (не обязательно различных) корней степени /с из 1. 72.2. Пусть Φ — трехмерное комплексное представление группы Ζβ и Хф(д) = 0 для некоторого д £ Ζ3. Доказать, что Φ эквивалентно регулярному представлению.
§ 72. Характеры представлений 291 72.3. Пусть χ — двумерный комплексный характер группы G = = Ζβ х Ζβ. Доказать, что х(д) ^ 0 для всякого д £ G. 72.4. Пусть χ — двумерный комплексный характер группы G нечетного порядка. Доказать, что х(д) ^ 0 для любого д <Е G. 72.5. Пусть Φ — n-мерное комплексное представление конечной группы G. Доказать, что Хф(д) = η тогда и только тогда, когда д принадлежит ядру представления Ф. 72.6. Пусть А — аддитивная группа n-мерного векторного пространства V над полем ¥р и χ — неприводимый нетривиальный комплексный характер группы А. Доказать, что подмножество {аеА | χ(α) = 1} есть (п — 1)-мерное подпространство в V. 72.7. Пусть χ — комплексный характер конечной группы G и т = max{|x(g)| | g £ G}. Доказать, что H = {geG\X(g)=m} и К = {д е G \ \х(д)\ = т] — нормальные подгруппы в G. 72.8. Доказать, что двумерный комплексный характер χ группы S3 неприводим тогда и только тогда, когда χ((123)) = — 1. 72.9. Пусть χ — двумерный комплексный характер конечной группы G и д G G'. Доказать, что если х{д) -ф 2, то χ неприводим. 72.10. Чему равно «среднее значение» щ Σ ж) geG неприводимого характера неединичной конечной группы G1 72.11. Доказать, что для любого элемента д неединичной конечной группы G существует такой нетривиальный неприводимый комплексный характер χ группы G, что х(д) φ 0. 72.12. Доказать, что отображение группы G в С является одномерным характером группы G тогда и только тогда, когда это отображение является гомоморфизмом группы G в группу С*. 72.13. Доказать, что центральная функция, равная произведению двух одномерных характеров группы G, является одномерным характером группы G. 72.14. Доказать, что операция умножения функций определяет во множестве одномерных характеров группы G структуру абелевой группы G.
292 Гл. 15. Элементы теории представлений 72.15. Доказать, что для конечной циклической группы А группа А — конечная циклическая группа того же порядка. 72.16. Пусть конечная абелева группа А разлагается в прямое произведение А = А\ χ Α<ι, αϊ £ Αι, ^G^· Доказать, что отображение А —> С*, переводящее элемент (αϊ, а^) в αϊ (αϊ) · «2(^2)5 является одномерным характером группы А, и А ~ А\ χ ^2. 72.17. Пусть В— подгруппа конечной абелевой группы А и В0 = {a £ А | а(Ь) = 1 для всякого b £ β}. Доказать, что: а) В0 — подгруппа в Л и всякая подгруппа в А совпадает с В0 для некоторой подгруппы В; б) В~А/В°; в) Si С £>2 тогда и только тогда, когда В\ D В®] г)(В1ПВ2)0 = В°1-В°2] д)(В1В2)° = В^Г\В1 72.18. Пусть Φ — гомоморфизм группы G в GLn(C). Доказать, что: а) отображение Ф*:дь^(Ф(д-1)^ также является представлением группы G; б) Хф(д) = хф* (д) для всякого geG; в) представления Φ и Ф* эквивалентны тогда и только тогда, когда значения характера χ вещественны. 72.19. Пусть Φ — неприводимое комплексное представление группы Sn и Φ'(σ) = Φ(σ) sgn σ (σ £ Sn). Доказать, что Ф7-—представление группы Sn и следующие утверждения эквивалентны: а) Φ ~ ф7; б) ограничение представления Φ на Ап приводимо; в) χφ(σ) =0 для любой нечетной подстановки σ £ Sn. 72.20. В задаче 55.6, т) задана группа матриц из GZ/2(C), изоморфная группе кватернионов Qs. Доказать неприводимость этого двумерного представления группы Qs и найти его характер. 72.21. Найти характер представления группы Sn в пространстве с базисом (ei, ..., еп), задаваемого формулой Ф(а)ег = еа^ для σ £ Sn. 72.22. Найти характер двумерного представления группы Dn, определяющегося изоморфизмом группы Dn с группой симметрии правильного п-угольника.
§ 72. Характеры представлений 293 72.23. Найти характер трехмерного представления группы S4, определяющегося изоморфизмом группы S4 с группой симметрии правильного тетраэдра. 72.24. Найти характер представления группы S4, определяющегося изоморфизмом группы S4 с группой вращений куба. 72.25. Составить таблицу неприводимых характеров групп: а) (а>2; б) (а)3; в) (а>4; г) (а>2 х (Ь)2; д) (а>2 χ (Ь)2 χ (с)2. 72.26. Составить таблицу характеров одномерных представлений и вычислить группу одномерных характеров (задача 72.14) для групп: a) S3; б) А4; в) Q8; г) Sn; д) Dn. 72.27. Найти модуль определителя матрицы, строки которой совпадают со строками таблицы неприводимых характеров абелевой группы порядка п. 72.28. Составить таблицу неприводимых характеров групп: a) S3; б) S4; в) Q8; г) D4, д) D5; e) А4. 72.29. Может ли характер представления некоторой группы порядка 8 принимать значения (1, —1, 2, 0, 0, —2, 0, 0)? 72.30. Разложить центральную функцию (1,-1, г, -г, j, -J, /с, -к) н-> (5, -3, 0, 0, -1,-1, 0, 0) на Qs по базису неприводимых характеров. Является ли она характером какого-либо представления? 72.31. Определить, какая из центральных функций на S3 /ι: (е, (12), (13), (23), (123), (132)) н- (6, -4, -4, -4, 0, 0), h: (е, (12), (13), (23), (123), (132)),- (6, -4, -4, -4, 3, 3) является характером, и указать это представление. 72.32. Пусть А — аддитивная группа конечномерного векторного пространства V над полем ¥р и Φ — нетривиальный неприводимый (комплексный) характер аддитивной группы поля ¥р. а) Доказать, что всякий неприводимый характер χ группы А имеет вид χ(α) = Φ(Ζ(α)) для некоторой линейной функции / £ У*. б) Установить изоморфизм двойственной группы Л (см. задачу 72.14) и аддитивной группы пространства У*. в) Построить изоморфизм между А и А.
294 Гл. 15. Элементы теории представлений 72.33. Пусть в условиях предыдущей задачи / — комплекснознач- ная функция на А. Определим функцию / на А, полагая для χ £ А аеА а) Доказать, что / = Σ Λ*) · Χ· б) Доказать, что φ<ΕΑ в) Сравнить функции / на А и / на А, используя изоморфизм из задачи 72.32, в). 72.34. Пусть Л — аддитивная группа поля ¥р. Рассмотрим функцию / на А, полагая 10, если а — 0, 1, если α = χ2 для некоторого ж £ F*, — 1, в остальных случаях. Доказать, что если χ — неприводимый комплексный характер группы А, то |(/, х)а| =р"1/2. 72.35. Пусть G — конечная группа, Η — ее подгруппа. Доказать, что центральная функция на Η, получающаяся ограничением на Η характера группы G, является характером группы Н. 72.36. Пусть Φ — матричное n-мерное представление группы G. Построим представление Φ группы G на пространстве квадратных матриц порядка п, полагая для А £ Mn(F) *д(А) = ФдА*Фд:-1. Выразить хф через %ф. 72.37. Найти неприводимые слагаемые представления Φ из задачи 72.36 и их кратности, если: а) Ф — двумерное неприводимое представление группы S3; б) Φ — представление из задачи 72.23; в) Φ — двумерное представление группы Q§ из задачи 72.20. 72.38. Пусть Φ — матричное n-мерное представление группы G. Построим представление Φ группы G на пространстве квадратных
§ 72. Характеры представлений 295 матриц Mn(F), полагая Ф,(Л) = Ф,-А Выразить х^ через %ф. 72.39. Пусть р: G —► GL(V) — регулярное комплексное представление группы G = Ъп. Найти кратность единичного представления группы Ъп в разложении представления р®т (см. задачу 69.19) на неприводимые представления. 72.40. Пусть ρ — двумерное неприводимое комплексное представление группы S3. Разложить на неприводимые представления р®2 ирда. 72.41. Пусть р: Zn\-^ GL(У) —комплексное регулярное представление группы Zn. Найти кратность единичного представления группы в разложении на неприводимые компоненты представления, возникающего на пространстве кососимметрических т-контравариант- ных тензоров на V (см. задачу 69.19). 72.42. Пусть χ — характер группы G, / — центральная функция на G, f{g) = \{x{g)2-x{g2)). Доказать, что / — характер группы G. 72.43. Пусть Φ — представление группы G — S3 в пространстве С(6г) всех комплекснозначных функций на G: (Φσ/)(χ) = /(σ-1χ), /eC(G), x EG, aeG, /0 G C(G) и Vo —линейная оболочка множества элементов вида Φσ/ο> где σ G G. Найти характер ограничения Φ на Vo для: а) /оИ = sgna; 1, если σ G {е, (12)}, 0, в противном случае; 1, если aG{e, (123), (132)}, 0, в противном случае; 1, если σ G {е, (13), (23)}, -1, если ае {(12), (123), (132)}. 72.44. Пусть Φ — комплексное представление конечной группы G на пространстве У, Φ —представление группы G на пространстве W.
296 Гл. 15. Элементы теории представлений Обозначим через Г(Ф, Ф) пространство таких линейных отображений S из V в W, что S о Ф^ = Ф^ о S для всех g £ G. Доказать, что ά™Γ(Φ,Φ) = (χΦ,χΦ)σ. § 73. Первоначальные сведения о представлениях непрерывных групп Если не указывается противное, то все рассматриваемые в этом параграфе представления предполагаются конечномерными. * * * 73.1. Пусть F есть поле Ш или С. Доказать, что: а) для любой матрицы А £ Mn(F) отображение Рд: t ь^ etA (t G F) является дифференцируемым матричным представлением аддитивной группы поля F; б) всякое дифференцируемое матричное представление Ρ аддитивной группы поля F имеет вид Рд, где А = Р7(0); в) представления Ра и Рв эквивалентны тогда и только тогда, когда матрицы А л В подобны. 73.2. Доказать, что Ρ является матричным представлением аддитивной группы поля IR, и найти такую матрицу А, что Ρ = Ра, если: λ ολλ fcost -sin Λ ^χ D/ χ fcht shA a)PW=Uni cost)' 6)PW=(4shi chij: в)Р(*)=(е0* °); г)Р(*)=(е0' e°_t); A)P(t)=(l *); e)P(t)=(£ «J1)- 73.3. Какие из матричных представлений группы Ш из задачи 73.2 эквивалентны? 73.4. В каком случае представления Ра и Р-а эквивалентны для F = C? 73.5. Найти все дифференцируемые комплексные матричные представления групп: а) Щ_- б) М*; в) С*; г) U (предполагается дифференцируемость представления по аргументу комплексного числа ζ). 73.6. Всякое ли комплексное линейное представление группы (Ζ, +) получается ограничением на Ζ некоторого представления группы (С, +)?
§ 13. Представления непрерывных групп 297 73.7. Найти в пространстве Сп все подпространства, инвариантные относительно матричного представления Рд (см. задачу 73.1) в случае, когда характеристический многочлен матрицы А не имеет кратных корней. 73.8. Доказать, что матричное представление Ра (см. задачу 73.1) вполне приводимо тогда и только тогда, когда матрица А диагона- лизируема. 73.9. Пусть Rn — пространство однородных многочленов степени η от переменных х, у с комплексными коэффициентами. Для л=(: d)esL2(C) и / £ Rn положим (Фп(А)/)(х, у) = f(ax + су, Ъх + dy). Доказать, что ограничение представления Фп на подгруппу SU2(C) неприводимо. 73.10. Пусть G = GLi2(C). Комплексную функцию на G назовем полиномиальной, если она есть многочлен от матричных элементов. а) Пусть t(A) = tr A, d(A) = det А. Доказать, что t и d — центральные полиномиальные функции на G. б) Доказать, что любая центральная полиномиальная функция на G является многочленом от t и d. в) Пусть А — (dij) £ G и R = С [ж, у]. Обозначим через Φ (А) гомоморфизм R—>R, для которого Ф(А): χ ^ ацх + αΐ22/, Ф(А): у^а21Х + а22У. Доказать, что Φ — представление группы G в пространстве R и подпространства однородных многочленов степени η инвариантны относительно представления Ф. г) Доказать, что для А £ SL2(C) ограничение Φ (А) на подпространство Rn совпадает с оператором Фп(А) из задачи 73.9. д) Пусть χη— характер ограничения Ф|дп. Доказать, что χη = ίχη-ι -άχη-2· 73.11. Пусть ЕЕ — пространство комплексных матриц вида χ=( ί w) \ —111 7. \
298 Гл. 15. Элементы теории представлений со структурой четырехмерного евклидова пространства (X, X) = = det X и Н0 = {X G Η | tr X = 0}. Доказать, что: а) отображение Р: SU2 —> GL(Ho), определенное формулой Р(А): Х^АХА~\ является (вещественным) линейным представлением группы SU2, Кег Ρ = =Ь£7, a Im P состоит из всех собственных ортогональных преобразований пространства Но; б) отображение R: SU2 x SU2 —> GL(H), определенное формулой R(A, В): Χ ι—» АХВ~1, является (вещественным) линейным представлением группы SU2 x SU2, Ker R = {(.Ε, Ε), (-Е, — Е)}, a Im R состоит из всех собственных ортогональных преобразований пространства Но; в) комплексификация линейного представления Ρ изоморфна ограничению представления Ф2 группы SL*2 из задачи 73.9 на подгруппу SU2. 73.12. Пусть G — топологическая связная разрешимая группа и ρ — непрерывный гомоморфизм изСв группу невырожденных линейных операторов в конечномерном комплексном пространстве V. Доказать, что: а) в V существует ненулевой вектор, являющийся собственным для всех операторов p(g), gGG; б) в V существует такой базис ei, ..., еп, что все матрицы р(д), g £ G, в этом базисе верхнетреугольные. 73.13. Пусть F — алгебраически замкнутое поле и G — разрешимая группа невырожденных линейных операторов в конечномерном векторном пространстве V над F. Доказать, что существуют такие базис е\, ..., еп в V и нормальная подгруппа N в G конечного индекса (зависящего только от п), что N состоит из верхнетреугольных матриц.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1.3. Использовать индукцию для г U лг ъ=1 1.4. Провести индукцию по п. 1.5. 22 . Пусть Х\,...,Хп—данные подмножества и Xf обозначает Х{ или Xi. Тогда всякое образованное из Xi подмножество может быть записано в виде (J (χ1ειηχ|2η...ηχ^), (ε1,...,εη)€ε где ε — некоторое подмножество во множестве всех последовательностей (ει, ... ..., εη)· Во множестве X всех подмножеств из η элементов построить η подмножеств Xi таких, что любой элемент из X молено записать в виде Х\х П...ПХ^. 2.2. Представить X в виде (У U A) U {X \ (Y U А)), где А счетно и Α П Υ = 0, Х\Ув виде A U (X \{Y U А)) и использовать существование биекции Υ U А^ А. 2.4. 2П. 2.5. a) \YX\ = nm. б) n(n - l)...(n - га + 1). в) η! при га — η, 0 при πι φ п. г) nm-n(n- 1)т + ... + (-1)г(П)(п-г)т + ... + (-1)п-1( ™ ). Использовать задачу 1.3. 2.6. гг(гг — 1)... (η — га + 1)/га!. 2.7. 2η_1. 2.9. п\/{т1\...тк\). 2.11. з), и), к) Индукция по п. 2.12. Индукция по га. ). Установить биекцию между множеством указанных разбиений и множеством подмножеств из к — 1 элементов во множестве из η + /с — 1 элементов. Использовать задачу 1.3. Q . χ /1 2 3 4 5\ /12 3 4 5" όΛ· *> \2 1 3 4 ъ) И VI 2 5 4 Зу fiv /1 2 3 4 5 б\ /12 3 4 5 6 ' V6 5 3 2 1 V И V1 3 5 6 4 2 ч /1 2 3 4 5\ /12 3 4 5 6 В^ \Ъ 4 3 1 2J И ^4 1 6 5 3 2 3.2. а) (153)(247). б) (1362)(47). в) (1362745). г) (1472365). д) (12)(34)... (2п - 1, 2п). е) (1, η + 1)(2, η + 2)... (η, 2η).
300 Ответы и указания q q сЛ ί1 2 3 4 5 6 Л х\ (1 όό- ^ \3 4 6 7 5 1 2)' Ь> V6 ч /1 2 3 4 ... 2п - 1 2п 2 3 4 5 6 7 6 3 7 2 4 5 1 ч3 4 5 6 ... 1 2 3.4. а) (1642573). б) (26537). 3.5. а) 5. 6)8. в) 13. г) 18. д) <^-Ά, е) ^±Я ж) (n - fc + l)(fc - 1). з) (fc - l)(n - fc) + (/C~1)(/C~2). 3.6. а) Нечетная. б) Четная. в) Четная. г) Нечетная. д) (—1)п(п+2)/8 при четном η и (— 1)(п _1)/8 при нечетном п. е) (-l)Kri+1)/4]. ж) (-1)[п/21 з) (-1)["/2П("+1)/2]# 3.7. а), б) Четная при /с нечетном. в) Четная. г) Четная при к четном. д) Четная при ρ + q + r + s четном. 3.9. а) Г1 2 , ··· ?У б) к- 1. в) η-/с. у у η η — 1 ... 1у у у 3.10. Если пара чисел отлична от пар (g, g + 1) и (д + 1, д), то она образует инверсию в обеих последовательностях одновременно. 3.11. Воспользоваться задачей 3.10. 3.12. Показать, что если σ — (ζχ, ..., Ζ&), то ttGtt"1 = (τφι), ..., тг(гк)). 3.13. Если г, j входят в разные циклы, то эти циклы сливаются в один; если г, j входят в один цикл, то он распадается на два цикла, остальные циклы не изменяются; декремент увеличивается или уменьшается на 1. 3.17. Если д — другой многочлен того же типа (при другом выборе двучленов), то (Jf/сгд = f/g] затем использовать Y\ (xj — Xi). i>j 3.18. а) Если граф связный, то в виде указанных произведений представляются транспозиции (12), ..., (In), а если несвязный, то только циклы, которые содержатся в одной из компонент связности. б) Воспользоваться утверждением а). 3.19. Рассмотрим ряд последовательностей, начинающийся с 1, 2, ..., п, полученный следующим образом: сначала 1 переводим последовательно на 1-е, 2-е, ..., п-е место; затем 2 переводим последовательно на все места до (п — 1)-го и т.д. На каждом шаге число инверсий увеличивается на 1 и достигает числа ( ) в последней последовательности п,п — Ι,.,.,Ι. TL! / TL \ 3.20. — ί ). Воспользоваться задачей 3.8. 3.21. a) sgn ξ = (sgn a)n(sgn r)m. Лексикографически упорядочить X χ Υ и подсчитать число инверсий. б) Длины циклов равны (ki, lj), каждый входит (ki, lj) раз (г = 1, ..., «s; j = 1, ...,£); рассмотреть сначала случай, когда сами σ, τ являются циклами. Заметить, что в этом случае четность ξ совпадает с четностью \Х\ + \Υ\. 3.22. в) Воспользоваться задачей 3.12. 3.23. Разложить σ в произведение независимых циклов. Интерпретируя каждый цикл длины не меньше трех как поворот правильного n-угольника, представить поворот как произведение двух симметрии. 4.2. а) и(п) = 3 · 2П - 5. б) и(п) = (-1)п(2п - 1). 4.3. Индукция по п.
Ответы и указания 301 4.4. а) п-1. б)-п2 + 1. в) 2п+2(п - 2) + 6. . _ . . 1 /1 + л/5\п 1 /1-л/5\п 4.5.«(п) = -(^) --(^) . 4.6—4.10. Индукция по п. 4.11. а)·—д) Индукция по гг. е) Вытекает из д). ж) Вытекает из д), е) и алгоритма Евклида. 4.12. Индукция по п. 4.13. Если т — такое целое число, что гтп Ε Z, то иш{2 cos Г7г) = 0 по 4.12, б). По 4.12, б) и 28.1 число 2 cos νπ целое. Так как | cos νπ\ ^ 1, то 2 cos νπ = 0, ±1, ±2. Yl( Yl —I— J_ ) 4.14. \- 1. Добавление гг-й прямой увеличивает число областей на п. 5.1. а) п{п + 1)(2п + 1)/6; рассмотреть сумму (0 + 1)3 + (1 + 1)3 + ... + ((п-1) + 1)3. б) п2(п+ 1)2/4. 5.2. См. указание к 5.1. 5.3. Пусть Τ — множество, состоящее из пар (σ, г), где σ £ S, σ(ι) — г; тогда η ^^(σ)^^ J^ ΛΓ(σ)5=^ Σ (N(a' + l))s. σ£$τι (σ,ί)€Τ г=1 a/GSn_i 5.4. Использовать задачу 2.7 и 2.12, а). 5.5. Использовать задачу 5.4, предварительно представив в виде суммы выражение одной функции через другую. 5.6. Использовать задачу 5.5. 6.1.(1,4,-7,7). 6.2. а) (0,1,2,-2). б) (1,2,3,4). 6.3. а) Да. б) Нет. в) Да. г) Нет. д) Нет. е) Да. 6.7. а) Нет. б) Нет. в) Нет. г) Нет. д) Да, при четном к. е) Да. 6.8. Нет. 6.9. а) λ = 15. б) λ — любое число. в) λ — любое число. г) λ φ 12. д) Такого λ не существует. 6.10. а) (αϊ, аг), (&2, аз). б) (αϊ, аз), (аг, 04), (αϊ, 04), (аг, аз). в) Любые два вектора образуют базис. г) (αϊ, α2, α4), (α2, аз, а4). д) (αϊ, аг, α4), (αϊ, α2, as), (аг, а3, 04), (аг, а3, as). 6.11. Если система линейно независима или получается из линейно независимой добавлением нулевых векторов. 6.12. а) (ai, a2, a4, as), аз = αϊ — α^. б) (αϊ, α2, аз), α4 = 17αι + 12α2 — 26аз- в) (αϊ, α2, аз), α4 = Ъа\ + 2α2 — 2аз, as = —αϊ + α2 + аз. г) (αϊ, аг), аз = αϊ + За2, α4 = 2αι — α2· д) (αϊ, α2, аз). е) (αϊ, аг), а3 = 2αι - α2· ж) (αϊ, аг), аз = —αϊ + аг, а4 = — 5αι + 4аг- з) (αϊ, α2, аз), α4 = αϊ + α2 - α3. и) (αϊ, α2, α4), α3 = 2αι - α2. κ) (αϊ, аг), аз = 3αι — аг, α4 = αϊ — аг. л) (αϊ, α2, аз), α4 = αϊ - α2 - α3. 6.13. Любые к — 1 различных векторов образуют базис. 6.18. а), б) р = 3.
302 Ответы и указания 7.1. а) 2. б), в), г), д) 3. е), к) 4. ж), з), и) 5. л) η при нечетном щ η — 1 при четном п. 7.2. а) 1 при λ = 1, 2 при λ = — 1 и 3 при λ φ ±1. б) 2 при λ = 1, 3 при А = 2иА = 3, 4в остальных случаях. в) 2 при λ = 0, 3 при λ φ 0. г) 2 при λ = 3, 3 при λ φ 3. д) 3 при λ = ±1 или ±2, 4 при λ φ ±1 или ±2. е) 3, если λ = 0,—2,—4и4в остальных случаях. ж) η при λ = 1, 2, ..., η и п+ 1 при остальных значениях λ. з) η при λ = 1/2 и η + 1 при λ ^ 1/2. 7.4. Система строк произведения матриц линейно выражается через систему строк второй матрицы. 7.6. Система строк суммы матриц линейно выражается через объединение систем строк этих матриц. 7.7. Если, например, система строк матрицы ранга 2 есть (а, Ь, аа+/ЗЬ, 7&+5Ь), то А есть сумма матриц со строками (а, 0, аа, ηα) и (0, Ь, /36, 56); далее использовать 7.6. 7.9. 0 при г ^ η — 2; 1 при г = η — 1; η при τ — п. 7.10. Воспользоваться элементарными преобразованиями. 7.15. Использовать приведение к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований II типа со строками. 7.16. Индукция по числу столбцов. 7.19. Индукция по числу строк. Для доказательства единственности рассмотреть базис системы столбцов с наименьшими возможными номерами. 8.1. а) х3 = Οι - 9х2 - 2)/11, х4 = (-5χι + х2 + Ю)/11; (0, 1, -1, 0). ^ 11 2 1 1 ί 1 г, г, \ б) ХЗ = ΧΔ,, Х\ — -Х2Л Х4 5 , 0, 0, 0 . J 8 3 24 3 V 3 / в) Система несовместна. г) хз — 1 — 4χι — 3x2, Х4 — 1; (1, —1, 0, 1). д) хз = 6 + ΙΟχι — 15x2, Х4 = —7 — 12χι + 18x2; (1, 1, 1, —1)· е) χι = 3, Х2 = 0, хз = —5, Х4 = 11. ж) χι = 3, Х2 = 2, хз = 1. з) хз = 13, Хб = —34, Х4 = 19 — 3χι — 2x2. 8.2. а) При λ = 0 система несовместна; при λ —φ 0 _ 1 _9λ-16 8 _4-λ 3 Xl " λ' Χ3~ ~5Χ 5Χ2' ΧΑ " ^Γ ~ 5Χ2' б) При λ φ 0 система несовместна; при λ = 0 χι = —(7 + 19хз + 7x4), Χ2 = —(3 + 13χι + 5x4). в) При λ = 1 система несовместна, при Χ φ 1 43 - 8λ 9 5 х3 5 XI = Хз, Х2 = 1 , Χ4 — · 8-8Х 8 4-4Л 4' λ-1 г) Х2 = 4 + 2χι — 2x4, хз = 3 — 2x4 при λ = 8; х\ — 0, Х2 = 4 — 2x4, хз = 3 — 2x4 при λ φ 8. 3 2 д) хз = —1, Х4 = 2 — χι — -Х2 при λ = 8; Х2 = 4 χι, Χ3 = —1, Х4 = 0 при Хф8. е) χι = Х2 = хз = 1/(λ + 2) при λ φ 1, —2; х\ — 1 — Х2 — хз при λ = 1; при λ = — 2 система несовместна.
Ответы и указания 303 ж) χχ = Х2 = хз = з?4 = 1/(λ + 3) при λ φ 1, —3; χχ = 1 — Х2 — %з — %4 при λ = 1; при λ = — 3 система несовместна. з) При λ φ 0, -3 _ 2 - λ2 _ 2λ - 1 _λ3+3λ2-λ-1 Χ1 ~ λ(λ + 3)' Χ2 _ λ(λ + 3)' Χ3~ λ(λ + 3) ' при λ = 0 и λ = - 3 система несовместна. и) χχ — 2 — λ2, Χ2 — 2λ — 1, χ3 = λ3 + 2λ2 — λ — 1 при λ φ 0, —3; χχ = —Χ2 — ^з при λ = 0; χχ = Χ2 = хз при λ = —3. 8.3. а) *(2, 3, Ι)1. б) Множество векторов вида *(0, 0, 2, -1) + α*(13, 0, 9, -1) + /3*(0, 13, -27, 3). в) Множество векторов вида *(2, 1, -1,0, 1) + α*(1, 0, 4, 0, -1) + /3*(0, 1, -8,0,2). г) Множество векторов вида t(2, —2, 3, —1) + α^( —13, 8, —6, 7). д) 0. е) Множество векторов вида *(1, 2, 22/5, 8/5) + а*(5, 0, -17, -8) + /3*(0, 5, 34, 16). ж) Множество векторов вида *(-3, 1, 3/2, -1/2, -5/2) + а*(1, 0, -2, -4, -4) + + /3^0,1,-1,-2,-2). з) *(3,0, -5, 11). 8.4. а) χι = 8х3 - 7х4, Х2 = -6х3 + 5х4; (*(8, -6, 1, 0), *(-7, 5, 0, 1)). б) Система имеет только нулевое решение. в) χχ = Х4 — Х5, Х2 = ^4 — #б> хз — #45 *(1, 1, 1, 1, 0, 0), *( — 1, 0, 0, 0, 1, 0), '(0,-1,0,0,0,1)). г) Если η = 3k или η = 3k + 1, то система имеет только нулевое решение; если η = 3k + 2, то общее решение ЖЗг = 0, Жз;+1 = -Хп, ЖЗг + 2 = Жп (г = 1, ..., /с); ('(-1,1,0, -1,1,0, ...,0,-1, 1)). 8.5. а) ('(7, -5, 0, 2), '(-7, 5, 1, 0)). б) ('(-9, 3, 4, 0, 0), '(-3, 1, 0, 2, 0), '(-2, 1, 0, 0, 1)). в) Ядро состоит из нулевого вектора. г) ('(-9, -3, 11, 0, 0), '(3, 1, 0, 11, 0), '(-10, 4, 0, 0, 11)). д) ('(0,1, 3,0,0), '(0,0, 2, 0,1)). е) ('(-3,2, 1,0,0),'(-5, 3,0, 0,1)). 8.6. а) χχ = х2 = 1. б) хз = 3, Х2 = —1. /9 3 3 \ в) χχ = cos(a + /3), Х2 = sin(a + β). г) ι [ -, , J. д) χχ = 3, Χ2 = 2, хз = 1. е) χχ = 3, Χ2 = —2, хз = 2. 8.7. χ2 + Зх + 4. 8.8. χ3 + Зх2 + 4χ + 5. 8.9. -χ4 - χ + 1. 8.10. а) *(2, 4, 2). 6) *(15, 2,4). 8.11. Получить формулы Крамера Δχ^ = Δ^ и обе части умножить на число и, такое, что Аи + την = 1. 8.12. Если d = dij и а^ = dq + г (0 < г < |d|), то элементарным преобразованием молено перейти к матрице с элементом г < |d|; поэтому все элементы строки г и столбца j делятся на d, и матрицу молено привести к виду £?, где Ъц — d, Ьц — Ь/ех = 0; если 62 = dq + s (0 ^ s < |d|), то, вычтя из первой строки В ответах символ 1и обозначает вектор-столбец, полученный транспонированием строки и.
304 Ответы и указания вторую, а затем прибавив ко второму столбцу первый, умноженный на д, получим матрицу с элементом —«s, т. е. s = 0. 8.13. Использовать задачу 8.12 и ее решение. 8.14. Использовать теорему Крамера. Обратное утверждение неверно: система из одного уравнения 2х = 2 является определенной над кольцом целых чисел и неопределенной по модулю 2. 8.15. Неверно: система из одного уравнения Ах — 2 не имеет целых решений, но совместна по модулю любого простого числа р. 8.16. а) Единственное решение по модулю ρ φ 3; х\ — — 1 + Х2 + хз при ρ = 3. б) Единственное решение по модулю ρ φ 3; по модулю 3 система несовместна. в) Единственное решение по модулю ρ φ 2; по модулю ρ = 2 система несовместна. 8.19. Использовать результат предыдущей задачи. 8.23. Воспользоваться результатами задач 8.20—8.22. 8.24. а) {*(1 - ЗА; - 2/, 2/с, l)\kje Z}. б) {*(&, 0, 11(2/с - 1), -8(2/с - 1)) | k G Z}. 8.25. Использовать задачу 8.19. 8.26. Для столбца X через ||Х|| обозначим максимум модулей координат. Доказать, что для любых натуральных чисел n, m справедливо неравенство \\Хп — Хщ\\ < ς||Χη,—ι — -X'm—1||? где 0 < q < 1. Отсюда следует сходимость последовательности Хп к решению уравнения АХ = Ь. 9.1. а) -16. б) 0. в) 1. г) sin(a - β). д) 0. е) 0. ж) а2 + Ь2 + с2 + d2. 9.2. а) -8. б) -50. в) 16. г) 0. д) ЗаЬс — а3 — Ь3 — с3. е) 0. ж) sin(/3 — 7) + sin(7 — а) + sin(a — /3). з) -2. и) 0. к) Згл/3. 10.1. а) Входит со знаком плюс. б) Входит со знаком минус. в) Не входит. 10.2. г = 2, j = 3, /с = 2. 10.3. 2х4 - 5х3 + ... 10.4. а) αιια22...αηη. б) (-1)η(η_1)/2αιηα2,η-ΐ ...апъ в) abed. r) abed. д) 0. 10.6. 1. 11.1. а) Умножится на ( —1)п. б) Не изменится. в) Не изменится; преобразование молено заменить двумя симметриями относительно горизонтальной и вертикальной средних линий и симметрией относительно главной диагонали. г) Не изменится. д) Умножится на ( — 1)п(п_1)/2. 11.2. а) Умножится на ( —l)n_1. б) Умножится на ( —1)п(п_1)/2. 11.3. а), б) Не изменится. в) Обратится в нуль. г) Определитель четного порядка обратится в 0; нечетного порядка удвоится. 11.4. Транспонировать определитель и из каждой строки вынести —1 за знак определителя. 11.5. Использовать, что, например, 20604 = 2 · 104 + 6 · 102 + 4. 11.6. 0, так как одна строка равна полусумме двух других. 11.7. 0. 11.10. а) αϊ<22 ...ап + {α>ια>2 ...αη_ι + а\ ...αη_2αη + ... + <22аз ...ап)х; разложить определитель на сумму двух слагаемых, пользуясь последней строкой. б) χη + (αι + ... + αη)χη"1.
Ответы и указания 305 в) Dn = 0 при η > 2, Di = 1 + хц/ι, £>2 = Οι - X2X2/1 - 2/2). г) 0 при η > 1; разложить на сумму определителей, используя каждый из столбцов. η Д) 1 + Σ) (аг + ьг) + Σ (аг - afe)(6fe - bi)\ представить в виде суммы г—1 1^г<к^п двух определителей, пользуясь первой строкой; е) 1 + χι ух + ... + хпУп. 12.1. 8а + 156+ 12с- 19d. 12.2. 2а-8b + c + 5d. 12.3. a) xn + (—l)n+1yn; разложить по первому столбцу. б) α0χΐΧ2Χ3···Χη + а1у1х2х3...Хп + а2угу2х3 ---Хп + ··· + апу1у2уз •••Уп] разложить по первой строке и использовать теорему об определителе с углом нулей или разложить по последнему столбцу и составить рекуррентное соотношение. в) αοχη + αχχη_1 + ... + αη; разложить по первому столбцу. г) η!(αοχη + αιχη_1 + ... + αη). χη+1 - 1 η+ 1 Д^ (χ- Ι)2 ~ χ- Γ ч ηχη χη - 1 е) . χ - 1 (χ - Ι)2 ж) αχα2 ...αη — αχα2 ...αη_ι + αχα2 ...αη-2 ~ ··· + (—1)η_1αι + (—1)η; разложить по первому столбцу или разложить по последнему столбцу, в первом слагаемом перенести последнюю строку на первое место и составить рекуррентное соотношение. η з) Π (α^α2η+ΐ-ζ - bib2n+i-i)' г=1 ^ ( ι ι Μ и) αϊ α2 ... αη α0 ... . V αϊ α,2 αη / 12.4. Доказать, что Dn = Dn-\ + Dn-2. 13.1. a) 301. б) -153. в) 1932. r) -336. д) —7497; получить угол из нулей. е) 10. ж) —18016. 28 з) 1. и) -2639. к) —. л) 1. м) -21. н) 60. о) 78. п) -924. р) 800. с) 301. 13.2. а) п\. б) ( —1)п_1п!; последнюю строчку (или последний столбец) вычесть из всех остальных. в) (_l)"("-D/2blb2...bn. г) х\{х2 — а±2)(хз — а2з) ...(хп — ^η-ΐ,η); из каждой строки, начиная с последней, вычесть предыдущую. д) (— 1)η(η-1)/2η; из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть предыдущий. η е) Π (1 - о,ккх). к = 1 ж) ( — 1)η(η+1)/2(η + 1)η_1; прибавить все столбцы к первому. з) [(а + (п- 1)Ь](а - Ь)71-1. и) Ъ\...Ъп. 13.3. (—п/г)п_1 α -\ h\; из каждой строки от 1-й до (п — 1)-й вычесть следующую и полученные η — 1 строки сложить. 14.1. а) η + 1. б) 2η+1 - 1. в) 9 - 2η+1. г) 5 · 2й-1 - 4 · З™"1. д) 2η+1 - 1.
306 Ответы и указания е) при а ф /3; и (η + 1)θίη при а = β] а — β η ж), 3) Π fc!· и) Π (^г - Xfe). k = l n^i>k^l κ) Π (aibk - akbi). л) (^ χαιχα2 ...xftn_s j f3 (x^ — xk)-> ГДе сумма берется по всем сочетаниям η — s чисел αι, ..., an—s из чисел 1,2, ...,η; приписать строку 1, ζ, ζ2, ..., zs_1, zs, zs+1, ..., ζη и столбец *(£"% x^, ..., x^), полученный определитель вычислить двумя способами: разложением по приписанной строке и как определитель Вандермонда и сравнить коэффициенты при zs. м) [2х\Х2 ...Хп — {х\ — 1)(#2 — 1)...(хп — 1)] Π (Хг ~ xk)'i Приписать первую строку 1,0,0, ...,0 и первый столбец из единиц, первый столбец вычесть из остальных, единицу в левом верхнем углу представить в виде 2—1 и представить определитель в виде разности двух определителей, пользуясь первой строкой. χ п-2 н) (-l)™"1^- 1) χ (а - у)п - у (а - х)п о) . χ - у 15.1. (а2 + Ь2 + с2 + d2)2] умножить данную матрицу на транспонированную. Найти коэффициент при а4 в развернутом выражении данного определителя. 15.2. а) 0, если η > 2, sin(ai — α^) sin(/3i — /З2) при η = 2. б) Π (ai - ak)(bi -bk). n^i>k^l в) (")(?) -Π Π (а,-аг)(Ьг-^). VI/V2/ \nJ n^i>k^o r) Π (Жг-^fc)2· 15.3. Умножить на определитель Вандермонда. 15.4. а) (а + b + с + d)(a — b + с — d)(a + Ьг — с — di)(a — Ы — с + di) = а4 — Ь4 + + с4 - d4 - 2а2с2 + 2b2d2 - 4а2fed + 4Ь2ас - 4c2bd + 4d2ac; см. задачу 15.3. б) (1 — an)n_1; см. задачу 15.3 и равенство (1 — αει)(1 — αε2)···(1 — αεη) = = 1-αη. 16.1. а) 2; показать, что все три члена определителя, входящие в развернутое выражение со знаком плюс, не могут равняться 1, и рассмотреть определитель с нулем на главной диагонали и остальными единицами. б) 4; в развернутом выражении определителя рассмотреть произведение членов со знаком плюс и членов со знаком минус и вычислить определитель с элементами главной диагонали —1 и остальными единицами. 16.2. Воспользоваться развернутым выражением. 16.4. Применить теорему об умножении определителей к произведению А А. 16.5. Разложить det С в сумму пш определителей, пользуясь столбцами. В каждом слагаемом из j-ro столбца вынести bjk.. Показать, что η det С = 2_^ frifci •••bmkrnAk1,...,kr k\ , · · · ,&τη — 1 Заметить, что при т > η среди чисел fci, ..., кш всегда есть равные и Akl_^krn = = 0. Второй способ: при т > η матрицы А и В дополнить до квадратных при
Ответы и указания 307 помощи πι — η столбцов, состоящих из 0, и применить теорему об умножении определителей. 16.6, 16.7. Использовать задачу 16.5. 16.8. Разложить по последней строке. 16.9. Сначала доказать, что ап + х dnl + Χ din + Χ + ж ац αΐΎ a>nl + χ 2_^ Aij, *> з затем в левой части равенства и в первом слагаемом правой части вычесть первую строку из всех остальных и положить χ = 1. 16.11. Выполнить над каждой из к групп по η строк определителя D преобразования, приводящие определитель А к треугольному виду, и разложить полученный определитель по строкам с номерами п, 2гг, ..., кп по теореме Лапласа. 16.12. а) Сумма всевозможных произведений αι,...,αη, одно из которых содержит все элементы, а другие получаются из него выбрасыванием одного или нескольких сомножителей с соседними номерами (если выброшены все сомножители, считаем член равным 1); использовать рекуррентное соотношение (αϊ ...αη) = αη(αχ ...αη_ι) + (αχ ...αη_2). б) (αια2...αη) = {αχα2 ...ak)(ak+1ak+2 ...αη) + (αχα2 ...а/е_1)(а/е+2а/е+3 ...αη). в) Применить метод математической индукции. 16.13. В случае линейной зависимости строк матрицы (C\D) элементарными преобразованиями строк перевести ее к матрице с нулевой строкой и эти же элементарные преобразования применить к столбцам матриц tD и 1С\ это даст матрицу, отличающуюся от AtD — BtC невырожденным множителем; в случае когда сц сц. -nil · · · пгк рассмотреть произведение Ό ... о ... d101 d L3l ™ji d η /0, k + l = n, is φ jt, В D -lC > где (K\L) = '1*1 'Hi 0 0 d'm d'njl <n <n 0s 0 d' U'i d' матрица, обратная к nH , 16.14. Рассмотреть произведение А С А С В D или соответственно 16.15. (с - а)п (»;>-α)-+(»;>-α) η —А + ·. Χ (c + aT-^-^ic+ar-i+^-^ic + a) η —4
308 Ответы и указания Воспользоваться тем, что сЕ А А сЕ = \с2Е - А2\ = \сЕ-А\ · \сЕ + А\. 16.16. В определителе Dn+2 матрицы, полученной из исходной приписыванием снизу строки 1, χ, . ..,xn+1, вычесть из каждого столбца предыдущий, показать, что Dn+2 = (χ — l)Dn-i, и разложить Dn+2 по последней строке. 16.17. Разложив D2k+i по последнему столбцу, показать, что числа —D\, D2, — D35 ^4, ··· удовлетворяют той же системе уравнений, что и коэффициенты разложения = 1 + Ь\х + Ь2Х2 + Ьзх3 + ... ех - 1 (использовать тождество 1 = (1 + Ъ1х + Ъ2х2 + Ь3х3 + ···)(!+ ^ + |]- + ^г+···); 1 χ заметить, что Ъл = и что 2 ех - 1 1 Η—χ — четная функция). 16.18. Каждый из определителей возвести в квадрат. 16.19. а), б) Рп = Qn = 1; показать, что Qn = Ρ2. 16.20. Пользуясь формулой Гаусса η — ^ ψ{ά), показать, что d\n dij = Σ PkiPkj^Pik), k=i где pij = 1, если г делит j, и pij = 0, если г не делит j; разложить определитель на сумму пп слагаемых. 16.21. Проверить, что А = detf- VI XiVj Уг,з = 1,...,п . . ι,3 = 1 Π ΐ1 _x^i) является целочисленным многочленом от χχ, ..., xn, yi, ным по χχ, ..., хп и по yi, ..., уп. Поэтому А = ЬА(хь ..., xn)A(yi, ..., ι/η), где Ь — многочлен от χχ, ..., уп. Сравнивая степень А и Δ(χι, ...,xn)A(yi, ..., yn), показать, что 6=1. П + ТТтЛ 17.1. a) (I б) 0 cos(a + β) sin(a + β) — sin(a + β) cos(a + β) уп, кососимметрич- 5 -5 10 0,
Ответы и указания 309 17.2. а) 17.3. а) в) О О 17.4. а) б) в) О б) б) О о \о ( 7 6 о 1 о о о 4 4 О 2 °\ 1 о 6 12 з/ о/ г) О о 6 о о/ sin па cos πα применить метод математической индукции. Зп + 1 — η 9п —Зп + 1 ратные, и записать степени в виде η сомножителей ; заметить, что первая и третья матрицы взаимно об- 17.5. а) 17.7. Я к 0 1 = 4 0\ 1 0 4 0/ /о £; V0 0 где .Е — единичная матрица размера η — к, если к ^ η — 1, и Я^ = 0 при к ^ п. 17.8. Представить /(ж) в виде /(*) = η Σ fc=0 /(fc)(A) fc! (χ - λ)' и / в виде / = ХЕ + Я, где Η из задачи 17.7. Воспользоваться задачей 17.7. 17.10. а) ( 17.11. а) 3 -4 2 -4 б) О О 1 о о -1/2 1 о 1/3 -1/2 1 -1/4 1/3 -1/2 (-1)-/(п-1) \ (_l)n-i/(n_2) (_1)п-2/(п_3) о 17.14. ^2ajkEik. к 17.15. Σ CLkiEkj- к 17.16. 17.17. Воспользоваться задачами 17.14 и 17.15. 17.18. Показать, что перестановочность матрицы А с Ε + Eij, г φ j, эквивалентна перестановочности А с Eij. Воспользоваться задачей 17.16. 17.19. А = 0; после умножения А на матричную единицу Eji получится матрица, у которой на главной диагонали стоит элемент ctij, а остальные элементы — нули. 17.21. Использовать задачу 17.20. 17.22. При λ = 0; использовать задачу 17.20.
310 Ответы и указания 17.24. tr[A, В] = 0. Вычислить квадрат матрицы с нулевым следом. 17 2^ (ААг + Bd АВг + BDi ^ °· V^Ai + Dd СВг + DDi 17.26. Найти элементы главной диагонали матриц А1А и 1АА. 17.27. Пусть В — (i>ij), где i^j = 0 при г > j. По условию Ь^/ = 0 при г > j, Ъц φ 0 для всех г и bubij + ... + bubij — 0 при j ^ г + к. Индукцией по г показать, что h ъз 0. 17.28. Заметить, что Eij = [Eij, Ejj] при ίφ j, а матрица diag(ai, ..., an) η η с нулевым следом равна ^ а^(Ец — Ец) — Σ щ[Ец, Ец]. 17.29. A = diag(/ib /11 0 0 г = 2 о о hi + /ι 2 0 г=2 0 0 0 hi + h2 + /13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 п-1 fe = l °\ 0 ] 0 0 0 V , где X — произвольная матрица порядка 2. 18.4. Воспользоваться теоремой Кронекера—Капелли. 18.5. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы (А\В) привести А к ступенчатому виду. 18.6. Указать матрицу £?, считая А ступенчатой. ч0 ι)" б) (-3/2 1/2)· В) ( 3 -1у / 7 -3\ Л/5 ° ° \ (l ° г) _; ι)" Д) ° V3 0 . е) 0 1 V J lJ V ° ° -1/2/ \-3 0 18.8. а)
Ответы и указания 311 0 0 0 -1 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 °\ 0 -1 1/ 0 0 -1 1 -1 0 0 1/3 в) /1/2 ' о 0 V о 0 0 0 1 0 1/2 0 0 -А-1. οχ 3 1 -2 0 0 0 0 ВС~Х\ 1 ) -8 4 2 1 . 3 -1 -1 -1 о 1 о/ Использовать присоединенную матрицу А. -1 + £ 0 1 - ίΝ б) [ 0 2£2 -2£ ■1 + t -2£ 1 + tj 18.16. б) Заметить, что если det А — 0, то система уравнений ^ aijxj — О j=i имеет ненулевое решение. 18.17. Положив С = (Е + ^В)"1, доказать, что (Я - ВС А){Е + β А) = Я. 18.18. Сравнить ранги матриц АВ и £?А с рангами матриц А ш В. 18.19. Использовать 18.4. 18.20. Использовать связь между умножением на элементарные матрицы и элементарными преобразованиями.
312 Ответы и указания 18.22. Пусть А = (aij), В = (bij) — матрицы порядка η с коэффициентами — многочленами от 2п2 неизвестных а^·, Ь^·, 1 ^ г, j ^ п. Тогда А = (det A)A-1. Воспользоваться задачей 18.21 для доказательства первого равенства. Вместо неизвестных а^, bij молено подставить любые значения. Аналогично доказывать остальные равенства. 18.23. Воспользоваться задачей 11.10, е). 18.24. Пусть Bi —строка длины η — 1, получающаяся из В выбрасыванием г-координаты. Доказать, что C^Bi φ — 1 для некоторого г. Пользуясь задачей 18.22, указать минор порядка η — 1, отличный от нуля. *«··)(! !)-с -")■(; ι б) (Е - Е12)(Е + Ε2ι)(Ε - 2Е22)(Е + Е12)(Е + Е31)(Е + Е32)(Е - ЗЕ33) X X (Е + Е\3){Е + 2Е23); использовать задачу 17.13. $. а) Л 1 1 V / -5 2 -10 3 -15 2 V о 1 4 6 4 2 3 5 4 1 9 15 12 3 ^ 7 8 V 16\ 28 32 . б) /1 2 2 6 3 6 4/ \4 4 ( ' 2 • г) 2 5 3 6 V-2 -5 3 10 12 4 3 8 10 -8 Μ 14 24 47 Л 11 16 и/ в) 19.6. Воспользоваться задачей 19.4. 19.8. Если матрицы перестановочны. 19.9. Для построения матрицы Υ использовать матрицы С/, V такие, что UXV = Eu + ... + Err. 19.12. Верно при η ^ 3. 19.14. {αΕι,η-ι \ ае К}. 19.15. Воспользоваться формулой бинома из задачи 17.6; неверно. 19.17. Если Ап — 0, то det А — 0; далее использовать задачу 18.2. 19.19. Воспользоваться формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии. 19.20. Использовать задачу 19.19. 19.22. См. задачи 19.17 и 19.19. 19.23. Неверно. 19.27. Использовать вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. 19.28. Если det (CD) φ 0, то det А В С Ό det Ό 0 = det 0 С J ^w \CD DC) AD BC\ = det (cD Cd) = det AD - ВС ВС 0 CD = det(AD - ВС) det(CD). 20.1. a) 1 + 18г. б) 4г. в) 7 + 17г. г) 10 - 11г. д) 14 - 5г. λ 13 1 . ч 11 27 . е) 5 + г. ж) г. з) г. 2 2 5 5 и) 4. к) 52г. л) 2. м) 1. 20.2. гп = 1 при η = 4/с, гп = г при η = 4/с + 1, гп = — 1 при гг = 4fc + 2, гп = — г при η — 4/с + 3, где /с — целое число; г77 = г, г98 = — 1, г-57 = 20.4. a) z\ = г, Ζ2 = 1 + г. б) г ι = 2, 2:2 = 1 — г. в) 0. -г. г) 21 = . д) χ = 3 — 11г, у = —3 — 9г, ζ = 1 — 7г.
Ответы и указания 313 20.5. а) х = 2, у = —3. б) χ = 3, у = — 5. 20.8. а) 0, 1, -- ±г —. б) 0, ±1, ±г. 20.9. Применить индукцию по числу операций. 20.10. Применить предыдущую задачу. л/2 20.11. а) ± —(1 + г). б) ±(2 - г). в) ±(3 - 2г). г) ζ\ = 1 — 2г, Ζ2 = Зг. ц) ζ\ = Ъ — 2г, 2:2 = 2г. е) 2:1 = 5 — Зг, Ζ2 = 2 + г. 7Г 7Г 21.1. a) 5(cos 0 + г sin 0). б) cos \- г sin —. J v 2 2 в) 2(cos π + г sin π). r) 3( cosi j + г sinf ] ]. д) л/2 ( cos \- г sin — j. e) л/2 ( cos ( j + г sin ( j j. \ ^i π . . π\ χ Λ/ 2π . . 2π\ ж;) 2 ί cos h г sin — j. 3) 21 cos \- г sin — j. и) 2(cos(-f) +i8in(-^)). к) 2(coe(-§) +isin(-§)). л) 21 cos \-1 sin — ). м) 21 cos h г sin — ). V 6 6 / V 6 6 / h) 2(cos(-^) +i8in(-^)). o) 2(cos(-^) + isin(-£)). χ 2 / π . . 7Γ\ n)7I^cos6+iS1%> ρ) 2 γ 2 + л/з(со8 hi sin — j или (л/б + л/2) (cos hi sin — J; для получения второго выражения для модуля применить формулу а ± Vb= ^a + VJ^ ± \ja~^1. с) 2(v 2 + л/3) (cosi j + г sin( П. τ) cos(—a) + i sin( —a). y) cos ( a j + г sin ( a). φ) cos 2a + г sin 2a. χ) 2 cos — ( cos \- г sin — j. ц) cos((^ — ^) + г sin(y? — t/j). 21.2. а) 250. б) 2150. в) -230. r) (2 + y^)12. д) -212(2 - \/3)6. e) -26. ж) 215г. з) -64. 21.3. a) 3 + 4г. б) 5 - 12г. 21.5. Использовать задачу 21.4. 21.6. Равенство получится, если либо arg z\ = argZ2, либо хотя бы одно из данных чисел равно нулю; выяснить геометрический смысл числа min(|zi|, |z2|)| arg z\ - arg 221. 21.7. Свести задачи к теореме о сумме квадратов длин диагоналей параллелограмма. 21.10. Доказать, что ζ — cos ψ ± г sin ψ. 21.11. а) 4 cos3 x sin χ — 4 cos χ sin3 χ; вычислить (cos x + г sin χ)4 по формулам Муавра и бинома Ньютона. б) cos4 χ — 6 cos2 x sin2 x + sin4 χ. в) 5 cos4 x sin χ — 10 cos2 χ sin3 χ + sin5 x. г) cos5 χ — 10 cos3 χ sin2 χ + 5 cos χ sin4 χ. 1 ζ — ζ~λ 21.13. a) - (cos 4x — 4 cos 2x + 3); если ζ = cos χ + г sin x, то sin x = 2г zfe + z~k — 2 cos kx.
314 Ответы и указания Ж и б) -(cos 4х + 4 cos 2х + 3); в) —(sin 5х — 5 sin Зх + 10 sin x); 8 16 г) —(cos Ъх + 5 cos Зх + 10 cos x). у 16 v J 21.14. а) Применить указание к задаче 21.13. 22.6. Неверно; эти множества состоят из разного числа элементов. ЛЛ э. ν (4fe + 1)π . . (4fe + 1)π _ ^ , 22.7. a) cos - —-— + г sin - —-— (0 ^ /с ^ 5). 7 12 12 V J ^ Л (6fc - 1)π . . (6/с-1)тг1 /Л ^ , ^ΛΝ б) 2 cos - — +zsin - — (0 <fc<9). J L 30 30 J v У ν 4/ттГ (8/c - 1)π . . (8/с-1)тг1 /Λ ^ , _λ в) ^2 [cos V з2 ^ + г sin V ^ J j (0 ^ fc ^ 7). r){l,_i±4}. д){±1,±1}. e){±1,±l^i±i^}. ){_ + -,,-_ + -,,-,}. 3){1±,,-1±,}. )2^1. к){±л/2,±л/2г,±(1 + г),±(1-г)}. л) {±iy/3,±^(y/3 + i),±^(y/3-i)}. м) {\/3 + г, -1 + г\/3, — л/3 — г, 1 — г\/3}. н) {3 + г\/3, \/3 - Зг, -3 - г\/3, -\/3 + Зг}. о) [\ Щ{% - 1), ψ(1 - V3 - г(л/3 + 1)), -^(1 + у/% - Цу/% - 1))}· п) {^ч/2(л/2 + \/3-гл/2- \/3), - - л/2 (л/2 - у/% - г л/2 + у/%), 1 - г}. >>Й + <тИт-г)}-° с) [±У^±гУ^у T){+2i,-V3-i,V3-i}. у) \V2^cos π 7r+isin7r j, fc = 0, 1,2, 3. 22.8. a) -(\/5- 1)· 6) -\/l0 + 2\/5. 22.10. {±1}; {l, i±i^}; {±1, ±г}; {±1, ±i(l + гл/3) ± i(l - гл/3)}; {±1, ±г, ±^(1 + г), ±^(1 - г)}; {±г, ±±(1 + i>/3) ± £(ч/3 + г), ±\{у/% - г)}. 22.11. ( —l)n_1; все сомножители, отличные от 1 и —1, разбить на пары взаимно обратных. 22.13. Наибольший общий делитель чисел г и s может быть представлен в виде г и + sv. в) Если a £ Ur, /3 £ Us, то (a/3)rs = 1, т.е. αβ £ Urs и UrUs С Urs; если αϊ /«2 — элементы Ur, βι Φ β2 — элементы Us, το θί\β\ Φ θί2β2, в противном случае ΟίχΟί^ — βιβ^ £ Ur Π Us, хотя ΟίχΟί^ φ 1, Ur Π Us = {1} (см. утверждение в п. б)); поэтому |UrUs| = rs = |Urs|, так что Urs = UrUs. 22.15. ε и ε имеют одинаковые порядки. 22.16. См. задачу 22.12. 22.17. а) —гг(1 — ζ)~λ, если ζ φ 1, и гг(гг + 1)/2, если ζ — \. При £ ^ 1 умножить данную сумму на 1 — 2. б) 2(1 -ζ)'1. в) Число ζ является корнем 6-й степени из 1, и пара (гг, т) совпадает с одной из пар (2 + 67V, 1 + 6М), (1 + 6М, 2 + 6iV), (5 + 67V, 4 + 6М), (4 + 6М, 5 + 6iV),
Ответы и указания 315 (2 + 67V, 4 + 6М), (4 + 6М, 2 + 6А0, (1 + 6АГ, 5 + 6М), (5 + 6М, 1 + 6iV), где Ν, Μ — любые неотрицательные целые числа. 22.18. а) См. задачу 22.14. б) См. задачу 22.16. 22.19. См. задачу 22.16. 22.20. б) Каждый корень является первообразным ровно для одной степени, и поэтому данная сумма есть сумма всех корней степени п. в), г) Следует из б). д) См. задачу 22.16. е) Рассмотреть разложение η на простые множители. 22.22. Представить ζ в тригонометрической форме. 22.23. а) х-1. б) χ + 1. в) χ2 + χ + 1. г) χ2 + 1. д) χ2 - χ + 1. е) χ4 - χ2 + 1. ж) χΡ-1 + χ?5"2 + ... + 1. з) (х^ - 1)/(χ^_1 - 1). 22.24. а) См. указание к задаче 22.20, б). б) См. задачу 22.19, а), б); ε — первообразный корень степени η тогда и только тогда, когда —ε — первообразный корень степени 2п (п нечетно). в) Вытекает из а) и формулы обращения 5.5, б). г) Если {ε^} — все первообразные корни степени d из 1 и {ε^/e | 1 ^ /с ^ d} — все значения корней степени d из ε^, то {ε^ | г — 1, ..., (р(к); к — 1, ..., d} — первообразные корни степени п. д) См. задачу 22.19; для любого делителя d числа т — п/р имеем и все делители η получаются, если ко всем делителям т добавить их произведения на р; поэтому Фт(Х) = Yl(xd - iy^/d) = Y[(Xd - l)M(n/d) Y[(xPd _ λγ{τη/ά) = d\n d\n d\n = V\(xd - l)-MWd) . y[(xPd _ 1)μ(πι/ά) = ®m(xP) d|ra d|n 22.25. а) Фю(х) = Фб(-ж) = χ4 - χ3 + χ2 - χ + 1. 6) Φΐ4(#) = χ6 - χ5 + χ4 - χ3 + χ2 - χ + 1. β) Φι5(χ) = —-—- = —τ-!- — = χ8 - χ7 + χ5 - χ4 + χ3 - χ + 1. Фз(ж) χ2 + χ + 1 г) Фзо(#) = Φΐδ(—ж) = χ8 + χ7 - χ5 - χ4 - χ3 + χ + 1. д) Фзб(х) = Фб(х6) = х12-х6 + 1. е) Фюо(х) = Φιο(^10) = χ40 ~ χ30 + χ20 ~ χ10 + 1. ж) Ф21бО) = ФбО36) = х72 ~ х36 + 1. з) Ф288(х) = Фб(х48) = Χ96 " X4S + 1. и) Фюоо(х) = Φιο(χ100) = χ400 - χ300 + χ200 - χ100 + 1. 22.26. а), б) Следует из задачи 22.24, в); в Фп(0) есть произведение всех первообразных корней степени η на —1. 22.27. Φι(1) = 0, Φ fc(l) = ρ, ρ— простое число, Фп(1) = 1 для остальных η; по задаче 22.24, г), д) фрк1 ,Л1) = ФР1...Рв(1) = |^И = 1; далее см. задачу 22.23, з). 23.1. a) 2n/2 cos —. Вычислить (1 + г)п по формуле бинома Ньютона и по формуле Муавра.
316 Ответы и указания б) 2"/2sin—. 7 4 fc=0 ) -(2n_1 + 2n/2 cos —); использовать а) и равенства ^ ( ] = 2П; s. (-'ίο=-· )i(2n-l+2»/2sin^). fe=0 г 23.2. Левая и правая части равенств а) и б) равны вещественной и мнимой zn -1 частям суммы ζ + ... + ζη = ζ , где ζ = cos χ + г sin x. ζ — 1 в), г) Аналогично а) и б). е) Разложить левую часть в произведение (ж — ει)... (ж — Е2п) и объединить множители χ — Εχ и χ — en-i — χ — Εχ. з), и) Равенства в задачах е), ж) сократить соответственно на х2 — 1 и на χ — 1 и в полученных равенствах положить χ = 1. Λΐό·ό· Xfc — ■ . (2k + 1)π - 2у? sin 2n sin (2fc + 1)π -2φ - 2nal~1 , /c = 0, 1, ..., n — 1. 2n Если 2: = cos 99 + г sin φ, t = cos α + г sin α, то 2 cos φ = ζ + ζ~λ\ 2 cos((^ + /ca) = = ztk + z-xt~k, и поэтому t(l + ^x)n +t"1(l + ^-1x)n =0. 23.4. r) Использовать задачу 4.12. 23.5. a) 2n cosn - cos -^x. J 2 2 6) 2n cosn - sin x. J 2 2 ч п sin 4nx в) . 2 4 sin 2x (77 + 1) sin пж — η cos(n + l)x — 1 ^ 4 sin2 (ж/2) . (η + 1) sin пж — n sin(ra + l)x — 1 Д^ 4sin2(x/2) " rtrt ~ TS Л Л СЛ ^O A \ Sin ШЖ 771—1 23.7. Как в задачах 4.12 и 23.4, г) многочлен степени от sin χ 2 sin2 χ со старшим коэффициентом ( — 4)(т_1)/2, корнями которого являются 771 sin2(27Ty/m), где j = 1, 2, ..., Δ 24.2. а) ±-± -г. б) -1, -±г —. У 2 2 ' 2 2 в) 4 + гл/3, 3 + 2г\/3, 1 + 2г\/3, г\/3, 1, 3. 24.3. Расстояние между точками, соответствующее данным числам. 24.4. а) Вершины правильного треугольника с центром 0. б) Вершины ромба с центром 0. 24.6. а) Окружность радиуса 1 с центром в начале координат. б) Луч, выходящий из начала координат и образующий угол π/З с положительной вещественной полуосью. в) Круг радиуса 2 с центром в начале координат, включая границу. г) Внутренность круга радиуса 1 с центром в точке 1 + г. д) Круг радиуса 5 с центром в точке — 3 — 4г, включая границу. е) Внутренность кольца, заключенного между окружностями радиусов 2 и 3 и с центром в начале координат. ж) Кольцо, заключенное между окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точке 2г, причем окру