МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
С.Н. Вергелес
ЛЕКЦИИ
ПО ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Допущено Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по физическим
и физико-математическим специальностям
МФТИ
2001

УДК 530.145
В31
Рецензенты:
Кафедра теоретической физики
Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
Член-корреспондент РАН А.А. Старобинский
Вергелес С.Н.
ВЗ1 Лекции по теории гравитации: Учебное пособие. —
М.: МФТИ, 2001.— 428 с.
ISBN 5-7417-0150-7
Предлагаемый курс лекций состоит из трех частей. В первой части даны
основы дифференциальной геометрии на современном математическом язы-
ке. Во второй части излагается общая теория относительности Эйнштейна
и основные ее приложения. Третья часть посвящена фундаментальной про-
блеме квантования гравитации, которая до настоящего времени еще не ре-
шена. Здесь излагаются не только основополагающие методы, ставшие уже
классическими, но также и некоторые новые идеи.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и научных работников
физико-математических специальностей.
УДК 530.145
Учебное издание
Вергелес Сергей Никитович
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Редактор И.А. Волкова. Корректор О.П. Котова
Изд. лиц. № 040060 от 21.08.96. Подписано в печать 17.04.2001.
Формат 60 х 84 V16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 26,75.
Уч.-изд. л. 25,0. Тираж 500 экз. Заказ № 100.
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Отдел автоматизированных издательских систем "физтех-полиграф"
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
© Московский физико-технический институт
(государственный университет), 2001
ISBN 5-7417-0150-7 © Вергелес С.Н., 2001

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 9
Часть I
ВВЕДЕНИЕ
В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ
ГЛАВА I
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 12
§ 1. Многообразия 12
§ 2. Векторы 14
§ 3. Тензоры и тензорные поля 20
3.1. Операции над тензорами 21
3.2. Тензорное произведение линейных пространств .... 24
§ 4. Дифференциальные формы 24
§ 5. Внешний дифференциал
дифференциальной формы 30
§ 6. Интегрирование дифференциальных форм.
Теорема Стокса 34
ГЛАВА II
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 40
§ 7. Векторные расслоения 40
7.1. Определение векторных расслоений 40
7.2. Примеры векторных расслоений 44
7.3. Тензорное произведение расслоений 46
§ 8. Ковариантный дифференциал
и связность на расслоении 47
3

§ 9. Параллельный перенос векторов вдоль кривой.
Тензоры кривизны и кручения 58
9.1. Определение параллельного переноса векторов .... 58
9.2. Геодезические линии 59
9.3. Тензор кривизны 60
9.4. Тензор кручения 64
9.5. Структурные уравнения Картана
и тождество Бианки 66
9.6. Явные выражения для коэффициентов связности . . 69
Часть II
ГЕОМЕТРОДИНАМИКА
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 73
§ 10. Введение 73
10.1. Клю чевые идеи
общей теории относительности 73
10.2. О точности измерения времени
в теории гравитации 79
§11. Движение частицы в гравитационном поле 82
11.1. Уравнение распространения безмассовой частицы . . 83
11.2. Уравнение движения массивной частицы 84
11.3. Ньютоновский предел 85
11.4. Изменение частоты света,
связанное с гравитационным прлем 86
11.5. Вариационный принцип нахождения траекторий . . 89
§ 12. Тензор энергии-импульса 89
12.1. Определение тензора энергии-импульса материи . . . 90
12.2. Уравнения движения материи
в случае электромагнитного взаимодействия 91
12.3. Закон "сохранения" тензора энергии-импульса ... 92
12.4. Уравнение движения релятивистской жидкости . . 95
4

§ 13. Уравнение Эйнштейна 97
13.1. Физический вывод Эйнштейна 98
13.2. Вывод Гильберта 101
13.3. Возможны ли другие варианты теории? 105
13.4. Теория гравитации с Λ-членом 106
§ 14. Гармонические координаты 106
§ 15. Задача Коши 109
§ 16. Псевдотензор энергии-импульса 112
ГЛАВА II
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОБЩЕЙ
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 118
§17. Гравитационное излучение 118
17.1. Слабое гравитационное поле 118
17.2. Случай плоской волны 120
17.3. Излучение гравитационных волн 124
17.4. О методике регистрации гравитационных волн . ... 128
§ 18. Центрально-симметричное гравитационное поле ... 129
18.1. Решение Шварцшильда 129
18.2. Координаты Крускала 134
18.3. О возможности возникновения черных дыр
в результате эволюции 139
§ 19. Движение в центрально-симметричном поле 141
19.1. Движение массивных частиц 142
19.2. Движение безмассовых частиц 144
§ 20. Прецессия гироскопа,
движущегося в гравитационном поле 145
20.1. Вращающаяся система координат 145
20.2. Прецессия покоящегося гироскопа 146
20.3. Прецессия оси движущегося гироскопа 148
20.4. Прецессия орбиты частицы
в поле вращающегося тела 152
5

§ 21. Применение общей теории
относительности к космологии 154
21.1. Геометрия однородных и изотропных пространств . . 155
21.2. Включение времени и решение Фридмана 159
21.3. Космологические следствия 165
21.4. Оценки средней плотности материи во Вселенной . . 168
Часть III
ПРОБЛЕМА
КВАНТОВАНИЯ ГРАВИТАЦИИ
ГЛАВА I
ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ
ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ 179
§ 22. Дираковские поля в искривленном пространстве .. 179
22 Л. Дираковское поле в пространстве Минковского . . . 179
22.2. Дираковское поле в искривленном пространстве . . . 187
22.3. Операции дискретной симметрии
и алгебра матриц Дирака 192
§ 23. Обобщенная гамильтонова механика 199
23.1. Классическая теория 200
23.2. Квантование вырожденных систем 210
23.3. Пример 212
23.4. Уравнения Гамильтона-Якоби
и полуклассическое приближение 216
§ 24. Классическая теория гравитации
с точки зрения канонического формализма 224
24.1. Вспомогательные конструкции и формулы 225
24.2. Вычисления 228
24.3. Канонический формализм
в теории чистой гравитации 233
24.4. Канонический формализм в теории чистой
гравитации в переменных тетрада-связность 238
6

ГЛАВА II
ФОРМАЛЬНОЕ КВАНТОВАНИЕ
ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ 246
§ 25. Канонический путь квантования гравитации 246
25.1. Фундаментальные уравнения 246
25.2. Проблема внутреннего произведения
в пространстве физических состояний 249
25.3. Проблема третичного квантования 255
§ 26. Представление амплитуды перехода
в виде континуального интеграла 257
26.1. Континуальный интеграл в конечномерном случае . 257
26.2. Континуальный интеграл
для вырожденных систем 262
26.3. Квантование гравитации
при помощи функционального интеграла 265
26.4. Доопределение детерминантов
при функциональном интегрировании 275
26.5. Математический смысл меры в функциональном
интеграле амплитуды перехода 279
ГЛАВА III
ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ФЕЙНМАНА
И КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ПОДХОД
К ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ 283
§ 27. Диаграммная техника Фейнмана
в приложении к теории гравитации 283
27.1. Диаграммная техника на простейшем примере
скалярной теории поля 284
27.2. Проблема ультрафиолетовых расходимостей
и понятие о перенормируемости 292
27.3. Выделение однопетлевых диаграмм 297
27.4. Размерная регуляризация 301
27.5. Выделение однопетлевых контрчленов
при помощи метода размерной регуляризации .... 305
27.6. Неперенормируемость теории гравитации
в однопетлевом приближении 316
7

27.7. О расходимостях в теории гравитации
в высших петлях 327
§ 28. О проблеме
"квантового рождения Вселенной" 331
28.1. Прескрипция Хартла и Хокинга 332
28.2. Минисуперпространственная модель 336
28.3. Квазиклассическое приближение 338
28.4. Интерпретация волновых функций Фт и Фяя • • ■ 343
28.5. Выход за рамки
минисуперпространственной модели 350
ГЛАВА IV
НОВЫЕ ПОДХОДЫ
К КВАНТОВАНИЮ ГРАВИТАЦИИ 352
§ 29. Точно решаемый пример:
двумерная квантовая гравитация 352
29.1. Введение 352
29.2. Квантование чистой гравитации 358
29.3. Включение материи 367
29.4. Пространство физических состояний 374
29.5. Вычисление средних значений 377
29.6. Заключение 380
29.7. Приложение 381
§30. Новый динамический метод
квантования гравитации 386
30.1. Введение 386
50.2. Метод динамического квантования 387
30.3. Аксиоматический подход 395
ЗОЛ. Динамическое квантование гравитации 402
30.5. О проблеме декогерентности
в квантовой космологии 410
30.6. Приложение 418
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 420
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 426
8

ВВЕДЕНИЕ
В начале нынешнего века утвердилась великая физическая идея о
том, что эффекты гравитации полностью обусловлены эффектами
кривизны пространства-времени. Наоборот, кривизна пространства-
времени создается движущейся в нем материей. Так возникла общая
теория относительности, другое название которой непосредственно
отражает лежащие в ее основе идеи - геометродинамика. Можно
сказать, что геометродинамика является наиболее общей из всех
теорий поля, поскольку любая теория поля должна быть в кон-
це концов сформулирована в искривленном пространстве-времени,
т.е. включена в общую теорию относительности. Геометродинами-
ка позволяет поставить и дает физически интересные, хотя часто
и удивительные, решения таких задач, которые в нерелятивистской
ньютоновской теории даже не могли быть и поставлены. Например,
это задача о распространении и об излучении гравитационных волн
или проблема эволюции Вселенной.
Настоящая книга является расширенным вариантом курса лек-
ций, читаемых автором в Московском физико-техническом институ-
те. Материал, содержащийся в книге, включает в себя математиче-
ские основы теории гравитации, формулировку основных уравнений
теории и их применение к классическим задачам теории гравита-
ции. В третьей части книги сжато, но на основе строгих и полных
выкладок формулируется аппарат квантовой теории гравитации и
рассматриваются некоторые вопросы квантовой космологии.
Первая часть книги представляет собою сжатый курс дифферен-
циальной геометрии. Изложение ведется на языке дифференциаль-
ных форм. Это позволяет сформулировать и использовать струк-
турные уравнения Картана. Такой подход ведет к значительной
экономии в конкретных вычислениях. Кроме того, формулировка
дифференциальной геометрии при помощи аппарата дифференци-
альных форм соответствует общепринятой в настоящее время прак-
тике в математической и физической литературе. Это делает пред-
лагаемый курс лекций более привлекательным для обучающихся.
Первая часть книги представляет также самостоятельный интерес
для студентов, аспирантов и научных работников, желающих бы-
стро ознакомиться с дифференциальной геометрией.
Во второй части курса лекций формулируется и обосновывается
основное уравнение теории - уравнение Эйнштейна. Затем при по-
9

мощи уравнения Эйнштейна решаются классические задачи общей
теории относительности: ньютоновское приближение, приближение
слабых гравитационных полей и излучений гравитационных волн,
решение Шварцшильда для центрально-симметричного распределе-
ния материи (черная дыра), прецессия оси гироскопа и его орбиты
при движении в гравитационном поле, решение Фридмана уравне-
ний Эйнштейна для однородной и изотропной Вселенной. Все эти
задачи были поставлены и в основном решены самими создателями
общей теории относительности. Поэтому обсуждение упомянутых
задач содержится практически во всех учебниках по теории грави-
тации (см. список литературы). Главное отличие настоящей книги
от имеющихся учебных пособий состоит во включении появившихся
за последние годы экспериментальных данных, которые достаточно
хорошо подтверждают предсказания теории.
Согласно современным представлениям теоретической физики лю-
бая фундаментальная теория поля должна быть квантовой. Наи-
более общей теорией поля (по крайней мере на масштабах меньше
планковских) является Общая Теория Относительности, или реля-
тивистская теория гравитации. Поэтому уже более пятидесяти лет
продолжаются попытки построения релятивистской квантовой те-
ории гравитации. Впечатляющие успехи, достигнутые при кван-
товании электродинамики, а затем и единой теории элементарных
частиц, воодушевили исследователей общей теории относительности
и предоставили им разнообразные методологические средства. Тем
не менее проблема квантования гравитации до настоящего времени
остается нерешенной. С формальной точки зрения это объясняет-
ся неперенормируемостью теории гравитации, т.е. невозможностью
осмысленного устранения расходимостей, возникающих при разви-
тии теории возмущений в соответствии с диаграммным методом Фей-
нмана. Однако к настоящему времени накоплены чрезвычайно кра-
сивые идеи и весьма значительные методологические достижения,
которые, быть может, никогда не появились бы в традиционных те-
ориях поля. Кроме того, несмотря на отсутствие последовательной
квантовой теории гравитации, имеются достаточно интересные при-
ложения квантового подхода к некоторым физическим проблемам,
таким, как, например, проблема рождения Вселенной.
В третьей части книги систематически, и в то же время кратко,
излагаются основные идеи и методы квантовой теории гравитации.
Мы надеемся, что здесь представлены основные идеи и подходы,
10

ставшие уже классическими в этом разделе теоретической физики.
Стиль нашего изложения предполагает по возможности полное про-
ведение вычислений при изучении рассматриваемых здесь вопросов.
Круг затронутых в пособии проблем весьма широк: от чисто техни-
ческих, как уравнение Дирака в кривом пространстве или гамильто-
нов формализм для вырожденных систем, ставших классическими
и основополагающими результами Уилера и ДеВитта, однопетлевых
вычислений т'Хоофта и Вельтмана - лауреатов Нобелевской премии
по физике за 1999 г., до новых идей, касающихся проблемы постро-
ения корректной квантовой теории гравитации.
Нам представляется, что предлагаемый курс лекций может быть
весьма полезным для широкого круга читателей (студентов, аспи-
рантов, преподавателей и научных работников физических специ-
альностей), помогая пройти весьма экономным путем от математи-
ческих и физических основ теории гравитации к некоторым быстро
развивающимся в настоящее время направлениям этой науки.
В четвертой части предлагаемого курса лекций мы предполагаем
совершить экскурс в теорию супергравитации, рассмотреть термоди-
намику черных дыр, привести великолепную лекцию
А.Л. Старобинского по теории инфляции Вселенной, а также дать
обзор интересной теории Г.Е. Воловика о моделировании явлений
космологии на квантовых жидкостях.
Я благодарен А.А. Старобинскому за ряд полезных замечаний,
которые были учтены мною при подготовке рукописи.
11

Часть I
ВВЕДЕНИЕ
В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ
ГЕОМЕТРИЮ
ГЛАВА I
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
§ 1. Многообразия
Пусть X - некоторое множество.
Определение 1. Картой в X называется пара (U, h), где
U С X - подмножество, a h : U —> Rn - отображение множе-
ства U в Rn, биективно (взаимно однозначно) отображающее U
на некоторое открытое подмножество пространства R". □
Подмножество U С X называют носителем карты (U, h).
Пусть точка р (Е U. Тогда, согласно определению, имеем взаимно
однозначное соответствие
h
р <—>■ (хх(р), ...,xn{p))=h(p)eRn , где xi(p)eR.
Числовые функции х'(р), i = 1, ..., п на U называются ло-
кальными координатами карты (С/, h). При этом вместо (U, h)
часто пишут ( U, х1, ..., хп ) = (U, х').
Определение 2. Две карты (U, h) = (U, х') и ( V, к) = (U, у')
в X С-согласованы, если либо W — U П V — 0,
либо
а) оба множества h(W) и k(W) открыты в R" и
б) отображение (k\w) ° (^|w)_1 : h(W)—> k(W) является диффео-
морфизмом класса С. □
12

По определению карт имеем взаимно однозначные соответствия
для р G W:
р^—^х1(р), ...,хп(р) , Р*—+У1(р), -.., Уп(р)
и в случае согласованных карт имеем диффеоморфизм
у = ф(х) (y=((koh-1)x)
(или у = ф(х) ) класса С.
Определение 3. Множество карт {(Ua, ha)} называется
С'-атласом на X', если
а) любые две карты этого множества С""-согласованы;
б) имеет место равенство
UaUa = X.
□
Два атласа А и А* на А" называются С-эквивалентными,
если их объединение AUA* является С-атласом (т.е. каждая кар-
та любого из этих атласов С-согласована с каждой картой другого
атласа).
Определение 4. Гладким многообразием класса С называет-
ся пара [X, А), где X - множество, А - произвольный С-атлас
на X. При этом многообразия (Х,А) и [У, А*) являются
одинаковыми тогда и только тогда, когда X — У и их атласы
С-эквивалентны. □
В дальнейшем мы рассматриваем многообразия класса С°°, ко-
торые будем называть гладкими многообразиями или просто много-
образиями.
Число и, равное размерности пространства Rn, называется раз-
мерностью многообразия и обозначается dim X.
Дадим определение многообразия с краем. Обозначим через R?-,
полупространство пространства R", состоящее из точек (ж1, ..., ж"),
для которых х1 < 0.
13

Определение 5. n-мерное гладкое многообразие с краем - это
множество X с подмножеством У и атласом {(Ua, ha ) }, который
удовлетворяет следующим условиям:
1) Если подмножество Ua данного атласа содержится в X \ У,
то соответствующее отображение ha : Ua —> Rn биективно ото-
бражает подмножество Ua на некоторое открытое подмножество
пространства Rn; в противном случае отображение ha биективно
отображает подмножество Ua на некоторое открытое подмножество
Va пространства Щ_<,, причем множество Ua П У отображается
на подмножество Va, состоящее из всех точек, для которых ж1 = 0.
2) Если { ( Ua, К ) } и { ( Up, hp ) } - две карты в X и UaC\Up ф®,
то haohZ = hap есть гладкое биективное отображение множества
hp(UaC\Up) n&'ha{UaC\Up). □
Поскольку гомоморфизмы hap переводят внутренние точки во
внутренние, а граничные в граничные, то очевидно, что если ограни-
чить на подмножество У те Ua, которые его пересекают, то они (т.е.
множества Ua П У ) вместе с ограничениями отображений ha\uany
образуют атлас на множестве У. Многообразие У называют краем
многообразия X и обозначают дХ. Очевидно, что многообразие
дХ имеет размерность (п — 1).
Введем обозначение int X = X \ дХ. Согласно данным определе-
ниям int/f является многообразием (без края). Легко также понять,
что ддХ = 0.
Карты, для которых Ua П дХ = 0, называются внутренними, а
в противном случае - краевыми.
§ 2. Векторы
Для введения понятия вектора, касательного к произвольному глад-
кому многообразию, рассмотрим многообразие Rn.
Пусть х'} i = 1, . .., п - некоторые координаты в Rn, возможно,
криволинейные, и x'(t), i = 1, ..., п - гладкая кривая. Обозначим
через vl = ж1 (to) вектор, касательный к кривой в точке x%(to). В
новых координатах
14

имеем ту же кривую
xi'(t) = xi'(x1(t),...,xn(t))
и тот же вектор v' — х' (to), причем
■ >• дх*' .t
ох'
так что
/ = (^)о"' <2Л)
Пусть теперь А(р) - множество карт многообразия X, содер-
жащих точку р.
Определение 1. Касательным вектором к многообразию X
(или просто вектором многообразия X) в точке р называется
такое отображение
что для произвольных карт
(U, h) = (U, х\ ...,хп) и (U',h') = (U',x1',...,xn') из А(р)
векторы V(U ,h) = (v\ ..., vn ) и V'( U', Ы ) = ( v1', ..., v11')
пространства R" связаны формулой (2.1):
w) *'
' p
Компоненты v' вектора V называются координатами векто-
ра в локальных координатах карты ([/, h). Обычно записывают:
V - (v1, ..., vn). □
Определение 2. Множество всех векторов многообразия X в
точке р обозначается символом ТРХ и называется касательным
пространством многообразия X в точке р. Касательное про-
странство многообразия X является линейным пространством над
полем R относительно линейных операций, определенных форму-
лами:
(V + W){U, h) = V(U, h) + W(U, h),
15

{XV)(U, h) = XV{U, h)
для любых V, W <E TpX, Аей. П
Таким образом, если
V=(v\...,vn), W = (w\...,wn),
V + W = (v1 +w\ ..., vn + wn)
и
AVr = (A^, ..., \vn).
Имеется очевидный изоморфизм пространства ТрХ и Я™, кото-
рый устанавливается следующим образом. В фиксированной карте
(U, h) вектор V = (vl, ..., vn) можно воспринимать как вектор
в R", имеющий координаты (vl, ..., vn). Таким образом, изомор-
физм
ТрХ —->■ Я" (2.3)
задается на карте (U, h) соответствием
V(U, Л)-» (v1, ...,vn)E Rn,
где v*, i — 1 ..., n - координаты вектора V в локальных коор-
динатах карты (U, h). Наоборот, координаты любого вектора из
Rn можно считать координатами некоторого вектора V(U,h) в
карте (U, h). Координаты этого же вектора в любой другой карте
из ([/', Л') £ А(р) получатся при помощи формул пересчета (2.2).
Подчеркнем, что изоморфизм (2.3) зависит от карты.
Векторы, переходящие при изоморфизме (2.3) в стандартный ба-
зис ei,e2,...,e„ пространства Я™, обозначаются символами
—) (—) (—
дхЧ' \дхЧ ' '" ' \дхп
1 / ' \ Ят.2 / ' • • - ' \ я„п I ' v - /
Они составляют базис пространства ТрХ, причем координаты про-
извольного вектора V £ ТрХ относительно этого базиса - это в
точности его координаты в карте (U, h), т.е. если V — [vl, ..., vn )
в ( U, h), то
у=Л&), (2б)
16

и наоборот. Так как запись (2.5) имеет место в любой карте и вслед-
ствие закона преобразования компонент вектора (2.2), имеем закон
преобразования базисных векторов:
^лЧ^77], ы]/ (2-2,)
Пусть X т/1 У - два гладких многообразия размерностей пит
соответственно, и пусть / : X —► У - произвольное гладкое отобра-
жение. Пусть р £ X - точка многообразия и q = /(р) £ У. Рассмо-
трим карты {U, h) = {U, х\ ..., хп) и {V,k) = (V,y\...,ym)
многообразий X и У соответственно, такие, что р £ U и /(?/) С V.
Тогда имеем
yJ = ft(x1,...,xn), j = l,...,m,
где ft - некоторые гладкие функции. Матрица (dft/дх')р =
= (ду3/дх')р линейно отображает векторы V(U, h) в векторы
W{ V, к ) согласно правилу
дхЧ,
V
(2.6)
Проверим корректность формулы (2.6). Пусть (£/', Л') =
= ([/', х1', ..., хп') и {V, к') = (V, у1', ..., у"1') -другие карты
многообразий X и У, причем р £ U' и q £ V'. Имеем цепочку
равенств:
(2.7)
q ■' г \ / р
Таким образом, определение (2.6) корректно. Это означает, что ото-
бражение (2.6) определяет линейное отображение касательных про-
странств
ТрХ —+ ТЧУ
Определение 3- Построенное отображение ТрХ -—} ТЧУ назы-
вается дифференциалом гладкого отображения f в точке р. Мы
17

будем обозначать его символом (d f)p или dfp. □
Пусть / : X —\ У и д : У —► Z гладкие отображения
и ( U, х1, ..., хп ), ( V, у1, ..., ут ), ( W, zl, ..., zs) - такие карты
многообразий Х,У и Z, что /([/) С V, g{V) С W и у = /(ж), г =
= д(у) ~ функции, задающие в этих картах отображения / и д.
Кроме того, д о f : X —> Z задается в указанных картах согласно
z = g(f(x)). Тогда имеет место цепное правило
d(g°f)P =dgqodfp.
Здесь справа стоит композиция линейных отображений.
Рассмотрим частный случай, когда У = R. В этом случае ото-
бражение / : X —у R является гладкой функцией на X и диф-
ференциал d fp называется дифференциалом функции f в точке р.
Так как TqR = Л, то градиент является линейным отображением
ТрХ —>■ R, т.е. ковектором пространства ТрХ или вектором сопря-
женного пространства Т* X, которое также называется кокасатель-
ным пространством многообразия X в точке р. По определению
ковектор dfp на любом векторе V G ТРХ принимает значение
(см. (2.6)):
dfp(V)=(^)/- (2'8)
Это значение называют производной функции f no вектору V и
обозначают символом Vf = dfp(V).
Из данных определений и обозначений получаем (d/dx')pf =
= (dffdx')p для г = 1, . .., и, что и объясняет выбор обозначений
(2.4). Отсюда видно, что базис пространства Т*X, сопряженный к
базису (2.4) пространства ТРХ, состоит из ковекторов
dx\,...,dxnp. (2.9)
Действительно, согласно (2.8)
Таким образом, мы имеем разложение дифференциала любой функ-
ции по базису (2.9):
18

Замечание. Обратим внимание на то, что градиент является не
вектором, а ковектором. □
Очевидно,
df_ _ (дх^\ dj_
дх1 \ дх' I дхг'
Отсюда следует закон преобразования компонент ковектора при пе-
реходе от одних локальных координат к другим:
Щ=\д^)1Н'' Щ'={д^)рЩ- (2Л1)
Если wl - компоненты вектора в базисе (д/дх')р, то величина Viw'
не зависит от карты, т.е. является инвариантом. Это вытекает из
(2.2) и (2.11).
Аналогично инвариантной записи вектора (2.5), любой ковектор
V G Т*Х может быть записан инвариантным образом:
V = vidxip. (2.12)
Разработанный аппарат дает возможность определить подмногообра-
зие многообразия X.
Определение 4. Гладкое отображение / : У —У X т-мерного
многообразия У в n-мерное многообразие X называется погру-
жением в точке р G У, если его ранг в этой точке равен т (что,
конечно, возможно только при т < п), т.е. если отображение
dfp:Tpy—yTqX, где q = f(p)
является мономорфизмом (т.е. образ любого ненулевого вектора не
равен нулю). □
Определение 5. Гладкое многообразие У называется подмно-
гообразием многообразия X, если оно содержится в X, и соответ-
ствующее отображение вложения
г:У —У X , i(p) = р
19

является погружением в любой точке р £ у. □
Примем без доказательства, что для любой точки р подмного-
образия У существует такая карта ([/, х1, . .., хп ), р £ U много-
образия X, что, во-первых, на некотором открытом в У множестве
V CUny ограничения у1 = xl\v, ■ ■ ■, ут = xm\v первых т ко-
ординат ж1, ..., хт являются локальными координатами на V и,
во-вторых, точка q £ U тогда и только тогда принадлежит V,
когда xm+1(q) = 0, ...,xn(q) = 0.
Такие координаты ж1, ..., жт мы будем называть согласован-
ными с поймногообразиел* ^. Очевидно, что для согласованных
координат набор векторов (д/дх1)р,... {д/дхт)р является базисом
в подпространстве ТрУ пространства ТрХ.
Из данных определений следует, что край любого многообразия
размерности п может рассматриваться как его подлтогообра-
зие размерности (п — 1). При этом локальные координаты на X,
согласованные с подмногообразием дХ, указываются в самом опре-
делении края многообразия (см. § 1, определение 5).
§ 3. Тензоры и тензорные поля
Пусть ( U, h) = ( U, х1, . .., хп) - произвольная карта многообразия
X, содержащая точку р. Эта карта определяет взаимно сопряжен-
ные базисы пространств ТрХ и Т*Х:
ШР'-ШР и **-•••■**• (зл)
Определение 1. Тензором Sp типа (а, 6) на пространстве
ТрХ называется отображение, сопоставляющее произвольному ба-
зису (3.1) набор па+ь чисел й1^1 "/ь, называемых компонентами
тензора Sp в этом базисе. Компоненты тензора Sp в картах (U, К)
и (U',h') связаны соотношениями (сравни с (2.2) и (2.Ив):
V-'i " \dx''Jp--\dx^)p \дх»)р-{дх»)р Л"-" ■ [6-2)
□
20

3.1. Операции над тензорами
Для тензоров типа (а, Ь) определена операция сложения
(s + T)tt = st± + Tt± (3-3)
и умножения на число
№i:X = x-st±- (3-4)
Кроме этих операций на множестве тензоров, определена опе-
рация тензорного умножения, обозначаемая символом ®. Пусть
имеется тензор Sp типа [а.Ь) и тензор Тр типа (с. с?). Тогда, по
определению, тензор Sp ® Тр = (S ® Т)р является тензором типа
(а + c,b+ d) с компонентами
(S®TtJlZ = sii±.^i;;{^. (3.5)
Обобщение тензорного произведения на несколько сомножителей оче-
видно. Имеем следующие свойства тензорного произведения:
{\s®T)p = {s®\T)p = \{s®T)p, лея, (з.б)
((Д + S) ® T)p = {R® Т)р + {S® T)p , (3.7)
{{R®S)®T)p = {R®{S®T))p. (3.8)
Последнее свойство позволяет записывать тензорное произведение
не расставляя скобок: (R ® S ® Т)р. По отношению к операциям
сложения и умножения на числа все тензоры типа (а, Ь) в точке р
образуют линейное пространство.
Исходя из изложенного, легко представить базис в пространстве
тензоров типа (а.Ь) в точке р. Это множество всех элементов вида
(^4®---®(^4®(^г) в--®^)^ (з-9)
В базисе (3.9) тензор Sp имеет координаты Sj1'"/'.
У тензора Sp типа (а, Ь) выберем любой верхний индекс js и
любой нижний индекс гг, положим их равными друг другу и про-
суммируем соответствующие компоненты тензора:
п
EoJi...j,-iij,...jb-i _ oJi-.-jt-i
°!i...ir_ii!r...!„_! — °i1...ia_i '
! = 1
21

В результате получается тензор типа (а — 1,6— 1) (проверить, что
это действительно тензор). Эта операция над тензором Sp называ-
ется сверткой.
Определение 2. Если тензор Sp задан для любой точки р £ X,
то в карте [U, h) компоненты Sj1"'^ будут функциями от р или
от х1, ..., хп. Если эти функции гладкие, то соответствие р —> Sp
называется гладким тензорным полем (или, короче, тензором) ти-
па (а,Ь) на многообразии X. □
Теперь соотношение (3.2) имеет место в каждой точке р много-
образия X, откуда следует, что условие гладкости тензорного поля
не зависит от выбора карты.
Замечание. Тензорное поле на многообразии можно рассматри-
вать как соответствие, сопоставляющее каждой карте (U, К) много-
образия X набор гладких функций 5,/1"/ь(г) на U и обладающее
тем свойством, что для любых двух карт (U, h) и (U',h') на пере-
сечении UPiU' имеет место соотношение (3.2). Это можно принять
за определение тензорного поля. □
Все алгебраические операции над тензорами автоматически пе-
реносятся на тензорные поля. Например:
(S ® R)p = SP®RP, (S + R)p = Sp + Rp.
Ясно, что из гладких полей при этом всегда получаются гладкие
поля.
Совокупность Т^Х всех тензорных полей типа (а,Ь) на мно-
гообразии X является линейным пространством. Это простран-
ство бесконечномерно (при п > 0).
При (а, Ь) = (0, 0) тензорные поля являются гладкими функция-
ми на X, а линейное пространство TqX - линейным пространством
FX гладких функций на X. Пространство FX представляет
собой по отношению к умножению функций алгебру, причем умно-
жение (fS)p превращает линейное пространство Т%Х в модуль
над алгеброй FX.
При (а, Ъ) = (0,1) тензорные поля называются векторными
полями. Примерами векторных полей на координатной окрестности
22

U являются поля
Они называются г-ми координатнылш векторными полялш на U.
Каждое векторное поле X на U имеет вид
Х = Х'±. (3.11)
При (а,Ь) = (1,0) тензорные поля называются ковекторными
полями. Примером ковекторного поля является 2-е координатное
ковекторное поле
dxi :p—>(di')p (3.12)
на координатной окрестности U. Каждое ковекторное поле а имеет
на U вид
а = a,- dx% . (3.13)
В (3.11) и (3.13) X' и Oj , i = 1,..., п - некоторые гладкие функции
на U.
Для обозначения ковекторных полей по традиции употребляются
строчные греческие буквы, а для обозначения векторных полей -
прописные латинские буквы из конца алфавита.
Выше было показано (см.(2.8)), что каждый вектор V G ТрХ
позволяет произвольной гладкой функции / сопоставить некоторое
число Vf - производную этой функции по вектору V. Отсюда
следует, что для любого векторного поля X на многообразии X и
произвольной функции / G FX формула
(Xf)p =xpf , Рех
определяет на X некоторую функцию Xf. Из приведенных формул
вытекает, что в некой карте (U, h) — (U, х1,...хп) многообразия
X ограничение функции Xf на U определяется на U формулой
Xf = X<%L, (3.14)
где X' - компоненты векторного поля X в карте (U, К). Поэтому
функция Xf гладка на X.
23

3.2. Тензорное произведение линейных пространств
В заключение этого параграфа дадим определение тензорного про-
изведения двух линейных пространств V и W надполем А', кото-
рое обозначается V®W. Пространство V®W является линейным
пространством, натянутым на элементы вида а®Ь, где a g V и
b £ W . При этом выполнены следующие свойства:
если aba2,a£V', bi,b2,bGW и A G R, то:
(а: -(- а2) ® b = ах ® b + а2 ® b ,
а ® (bi + b2) = a ® bi + а ® Ьг ,
Аа ® b = а ® Ab = А(а ® b).
Отсюда видно, что если векторы ei,..., е„ образуют базис про-
странства V, a fi,... ,fm - базис пространства W, то элементы
е,- ® f j , 1 < г < n , 1 < j < m
образуют базис пространства V ®W■
Тензорное произведение двух линейных пространств очевидным
образом обобщается на тензорное произведение любого числа век-
торных пространств.
Мы видим, что определенные в этом параграфе тензоры типа
(а, Ь) в точке р являются элементами тензорных произведений про-
странств ТрХ, которых имеется b сомножителей, и пространств
Т*Х, которых имеется а сомножителей в этих произведениях. Ба-
зис в таком тензорном произведении может быть взят в виде (3.9).
§ 4. Дифференциальные формы
Пусть <т - перестановка г чисел [ii,...,ir) i-> (<t(ji), .. .,<x(ir)) и
ea = ±1 в зависимости от четности перестановки, Х\,... ,ХГ -
векторные поля на многообразии X. Обозначим через X[iX2-..Xr]
антисимметричное тензорное поле типа (0, г), определяемое форму-
лой
Х{1Х2 ...Xr] = J2£° x«{i) ® • • • ® Х°(г) ■ (4-1)
24

Если ( U, х1,..., х™ ) - карта, то очевидно, что компоненты тензора
(4.1) в этой карте представляются в виде
{Х[1Х2...ХГ])«>~Л'=Х'1Х'2>...Х<:
х[> ... х\-
X*' ... ХУ
(4.2)
Определение 1. Кососимметричное тензорное поле типа (г, 0)
на многообразии X называется дифференциальной формой степени
г на этом многообразии. По определению, r-форма ш принима-
ет следующее значение на наборе векторных полей Х\, Х2 ■. ■, Хг
(в карте ( U, ж1,..., хп )):
w{X1,X2...,Xr)=wil...irXi*...X%. (4.3)
Очевидно, что
и(Ха(1),.- .,^<7(г)) = £a^(Xi, . . .,ХГ) .
По традиции дифференциальные формы обозначаются строчны-
ми греческими буквами: ш, в, ф, ..., а векторные поля - заглавными
латинскими буквами: X, Y,.... Гладкие функции Ш{1...гг в кар-
те ( U, х1,..., хп ) называются компонентами антисимметричного
тензорного поля типа (г, 0) . Конечно, значение (4.3) не зависит от
карты.
Определим внешнее умножение дифференциальных форм, для
обозначения которого используется символ Л. Начнем с базис-
ных 1-форм dx', г = 1, ..., п в карте ( U, х1,..., х"). Выбирая
произвольный набор г индексов (i'i, . .., гг), определим базисную
r-форму через внешнее умножение 1-форм dx'1, ..., dx'r:
dx*1 Л ... Л dxir = J2£° dx°(h) ®---® dx°{ir) ■ (4-4)
a
Напомним, что если X = X' д/дх' есть векторное поле, то
dx'{X) = X1. Естественно принять, что
(dxil®...®dxi'){Xl®...®Xr)=Xi1...Xl/. ■ (4.5)
25

Здесь важен взаимный порядок расположения форм и векторов- в
тензорных произведениях в скобках.
Сопоставление формул (4.4), (4.5) и (4.2) дает:
[dxh Л ... Л dx^) (A"i ®...®XT)=X\l... Х^ .
Отсюда видно, что естественно определить значение базисной
r-формы на векторных полях Х\, ..., Хг согласно
{dxh Л ... Л dx**) {Хг, ..., Хт) = Х[{ ... Х\\ . (4.6)
Сравнение (4.3) и(4.6) показывает, что любая r-форма может быть
представлена в виде
u = uil...irdxil /\...Adxir . (4.7)
По определению внешнее произведение базисных г- и s-форм
задается правилом
{dxh Л ... Л dxir) Л {dxir+1 Л ... Л dxir+1) = dxh Л ... Л dxir+~ . (4.8)
Если потребовать, чтобы внешнее умножение было линейно по
каждому сомножителю, то формулы (4.7) и (4.8) определят внешнее
произведение любых г- и s-форм. Пусть в — s-форма, такая, что
в карте ( U, х1, . . ., х" ) в = 9i1...it dx4 Л ... Л dx's. Тогда
и /\в = Шг1..Лг ^r+1...,-r+,rfa;*1 Л ... Л dx'r+° =
= (и Л 0),-!....\.+, dxh Л ... Л dx*'*' . (4.9)
Здесь
(w Л 0),-!....•,.+, = fr + sy Y1 £аШа^)-а(^)е^^)-^^-) ■
Конечно, в последней формуле антисимметризация внутри первых г
и последних s индексов излишняя. Удобно исключать лишние опе-
рации. Две перестановки <т\ и <Т2 (r-fs) чисел <Ti(ii), . .., <Ti(ir),
<T\{ir+\), ..., <ri(v+») и cr2(ii), ..., <T2(v),^2(v+i), • • •, ff2(«r+») экви-
валентны, если эти перестановки переводятся друг в друга путем
отдельных перестановок первых г чисел и последних s чисел; при
26

этом никакие перетасовки между первыми г числами и последни-
ми s числами не допускаются. Обозначим через а' какой-либо
представитель класса эквивалентных перестановок. Тогда послед-
няя формула переписывается в виде
(w л е){1...{г+. = ,r + 's)] 2^ £°' ^'ы- "'(>v) 8a>(ir+l)...o>(ir+,) • (4.Ю)
^ ''а'
Нетрудно проверить, что из данных определений следует формула
{ыАб){Хи...,Хг+,) =
— Z^ £а'Ш(Ха1^, . . . , ^ст'(г)) 9{X„>(r+i), . . . , Хст.(г + 5)) . (4.11)
а'
Отсюда вытекает независимость внешнего произведения дифферен-
циальных форм от выбора карты. Формула (4.11) может быть взя-
та в качестве определения внешнего умножения дифференциальных
форм.
Приведем свойства внешнего умножения:
1) Для r-формы ш и s-формы в имеет место свойство кососимме-
тричности:
ш Ав ={-!)" в Аш. (4.12)
2) Свойство билинейности (формы в и ф одного порядка):
шА{в + ф)=шАв + шАф. (4.13)
3) Свойство ассоциативности:
(ш Ав) Аф = шА(в Аф) = шАв Аф. (АЛА)
Все дифференциальные формы степени г > 0 образуют линейное
пространство, обозначаемое WX. Таким образом, &Р X = FX и
£1ХХ = Т\Х. Заметим, что WX — 0 для любых г > п.
Из (4.6) и (4.7) следует, что
Пусть / : X —> У - произвольное гладкое отображение, а
ш - произвольная дифференциальная форма степени г > 0 на
27

многообразии У. Каждой точке р £ X мы отнесем кососимме-
трический тензор (f*u>)p типа (г, 0), принимающий на векторах
Х\, ..., Xr £ ТрХ значение
(f*u)p(Xlt. ..,Xr) = Uq( (df)pXu..., (df)pXr), (4.16)
где q = f(p) и (df)p : TpX —> ТЧУ - дифференциал отображения
/ в точке р. Если (U, х1,..., х") и (V, у1,..., ут) - такие карты
многообразий X и У, что fU С V, и если
у= =Р{х\...,хп), j=l,...,m
- функции, выражающие в этих картах отображение /, то
р \ / р \ У / q
'р\дх<; \дх* J \ду>
и потому
{Гш)>{ШР'---'(£,Р,
Зу7'1 \ {dyir\ (( д \ ( д
дх^ J р' ■ ' \3xir J р 1 \\dy}'Jq'"'\dy}',qJ
для любых индексов i\,..., iT. Но согласно (4.15)
^),'--,Ш,)=г!"',"(')=к*о/)(',)
Поэтому в любой точке р карты (U, ж1,... ,х") имеем равенство
az'1 ох'г
показывающее, в частности, что функции (f*u>)j1 jr гладки на U.
Мы видим, что формула
/*ш = (/'ш),ь.,; dxh Л... Л dxir (4.18)
28

определяет на U дифференциальную форму }*ш. Сопоставляя две
последние формулы, мы можем написать также
Гш = (Wjl...ir о /) d^ Л ... Л dy*' , (4.19)
если воспринимать dyi в (4.19) как 1-формы пространства Т*Х
(см. (2.8)-(2.10)):
dy> = % dxl . (4.20)
ox'
Таким образом, формулы (4.19)^(4.20) автоматически определяют
форму f*w при отображении / : X —> У.
Определение 2. О форме f*u> говорят, что она получена из
формы ш переносом посредством гладкого отображения /. □
Ясно, что отображение
линейно и перестановочно с внешним умножением:
/*(0Aw) =f*8Af*u
для любых форм в и ш на У. Последнее свойство проще всего
проверить при помощи формул (4.9), (4.19) и (4.20).
Кроме того, если / : X —> У и д : У —> Z, то (д о /)ж =
= /* од*, а если / = id : X —> X - тождественное отображение,
то /* : WX —> WX - также тождественное отображение.
При г = 0, когда форма ш является гладкой функцией
д : У —> R, мы имеем
Г 9= 9° I ■
Для произвольного подмногообразия У многообразия X и от-
вечающего ему вложения г : У —> X отображение
г* : WX —>■ ЪГУ
является ничем иным, как отображением ограничения, переводя-
щим форму ш на X в форму ш\у на У, для которой
(ш\у)р(х1,---,Хг) =up{Xi,...,Xr)
в любой точке р £ У и для любых векторов Х\,..., Хг £ ТРУ (где,
естественно, пространство ТРУ рассматривается как подпростран-
ство пространства ТрХ ).
29

§ 5. Внешний дифференциал
дифференциальной формы
Каждая гладкая функция / на многообразии X определяет ко-
векторное поле df, которое в карте (U, х1,..,, хп) представляется
согласно (2.10) в виде df = df/дх' dx'. Таким образом, df есть
дифференциальная форма степени 1. Мы имеем отображение
d:tt°X—>ft1;t, /и-d/,
которое линейно и
d{fg) =df-g + fdg
для любых двух функций / и д.
Оказывается, что отображение d естественным образом распро-
страняется на дифференциальные формы любой степени.
Предложение 1. Для любого гладкого многообразия X и лю-
бого г > 0 существует единственное отображение
d:WX—>ПГ+1Х,
обладающее следующими свойствами:
1 . Отображение d линейно.
2°. Отображение d является антидифференцированием, т.е.
для форм 9 и ш имеет место равенство
d{9Aw) = de/\u + (-l)r9AdLj,
где г - степень формы в.
3°. Для любого гладкого отображения f : X —> У и любой
формы ш на У имеет место равенство
df*u = f*du.
4°. Для каждой функции f G £l°X форма df является ее
дифференциалом: df = df/дх' dx'.
30

5°. Если и = df, где f £ OPX, mo dcu = 0.
Доказательство. Докажем сначала единственность.
Пусть (U, г1,..., г") - произвольная карта многообразия X, и
пусть
ш\и — cji1...ir dx'1 Л ... Л dx'r.
В силу свойств 1° — 5° немедленно получаем, что
d(u\u) = duil ir/\dxhl\.. Adxir = ^';1г с?д'Лс?д,'1Л.. .Adxir. (5.1)
Следовательно, форма d(w\u)t а значит, - в силу произвольности ко-
ординатной окрестности U - и форма du однозначно определяется
формой ш. Это означает, что отображение d единственно.
Чтобы доказать его существование, мы на каждой координатной
окрестности U определим форму d(ui\u) = du>u посредством фор-
мулы (5.1). Если (U, х1,.. .,хп) и (£/', х1 ,... ,хп ) - две карты
многообразия X и если
ш = Wj-j. ,,'г (is'1 Л ... Л с?г!г на £/ и
ш ■
■ uiji j, dx'1 f\ ... Adx'r на {/' , то
и, значит,
dxi ~ ^ dx'* ''' дх' дх{" ''' дх^ 'ш,'у1'- <9z*i ''' дх^ дх'
(5.2)
С другой стороны, для любой функции /
d2f
—4- dx1 Л dx3 = 0 ,
ибо с?ж' Лс?г-' = —dxi Adx'. Поэтому
У" ^ • • • -гЦ-- • ■ ■ IT" -w,-' ,' -dx{AdxilA.. AdxikA.. .Adx*' = Q
^ Зжч дх' дх"' дх1' 1" г
fc=i
31

Следовательно, на U П V
дш
»1---»г >„»
dxi
dx'i дх'- дш{> А
dx' Adx'1 A...Adx'r = '
n''- ,„t
5x'> ''' dx'r dxi
dx' Adx'1 A...Adx,r
[dLUi< i> Л I dx'i ■ \ (dx'r
I ''■■■•г^' Л l^—dx'1 Л...Л \~dx'
V dx' ) \ dxii J " \ dx'
■i ., diOi' ,■/ ., ., ./
= йш{> v A dx'1 Л ... Л dx'r = ''.,' r dx' A dx'1 Л ... Л dx'-,
т.е.
Таким образом, формы dujjj согласованы на пересечениях и,
значит, составляют дифференциальную форму duj степени г + 1
на многообразии X, обладающую тем свойством, что
<fw |(/ = dujjj
для любой координатной окрестности U. Тем самым отображение
d: 9ГХ —>ПГ+1Х
построено. Ясно, что оно обладает свойствами 1° и 4°. Кроме того,
для любой функции / £ FX в каждой карте (U, х1,..., г") имеет
место равенство
что доказывает свойство 5°.
Проверку свойства 2° достаточно произвести в произвольной кар-
те (U, ж1,...,г"). Кроме того, в силу линейности оператора это
свойство достаточно проверить лишь для "одночленных" форм вида
9 = fdxa, u = gdxP,
где положено
dxa = dxh Л ... Л dxir и dx? = dxjl A ... Л dxi".
32

Но для таких форм
d(6Au) = d(fgdxa Adx?) =
= d(fg) A dxa A dx? = (df ■ g + f ■ dg) A dxa A dx? =
= df A dxa Agdx? + (-l)r (/ dxa) A (dg A dx?) = d9 Аш + (-l)r в A du ,
что и доказывает свойство 2°.
Аналогично, свойство 3° достаточно проверить на координатных
окрестностях (U, ж1,..., хп) и (V, у1,... ,ут). удовлетворяющих
соотношению fU С V. Пусть у> = /J' (х1,..., хп), j = l,...,m, и
dy3 = dy>/dx1dxi - 1-формы пространства Т"Х. Тогда (см. (4.19))
d(f*tj) = {^р^ о f) dy1 A d^ A ... Л <V' ■ (5.3)
С другой стороны,
дш« ^ - •
du = —£Ф- dy> A dy>1 А ... A dy>r.
ду>
где 1-формы dyk являются базисными 1-формами в карте
(V,y\...,ym). Поэтому, согласно (4.19) и (4.20),
Г(<Ь)= (^jf^°f) dy* Ad^ A...Ad^ ,
что совпадает с (5.3). Следовательно,
d(f*u) = r(du).
D
Определение 1. Форма dui называется внешним дифференци-
алом формы ш.
П
Пример. Для линейной формы а = ocj dx3 имеем
dQ = ^dx'Adxi = 4^-^-) dx^Adxi .
дхг 2 \дхг дхз)
Предлоясение 2. Для любой дифференциальной формы ш име-
ет место равенство
d du = 0 .
33

§ 6. Интегрирование дифференциальных
форм. Теорема Стокса
Определение 1. Карты (£/, х1,..., х") и (U', х1 ,..., хп1)
n-мерного многообразия X называются положительно согласован-
ными, если либо U П U' = 0, либо U П U' ф 0 и det (дх'/дх) > О
на [/П f/', т.е. если в каждой точке р £11011' базисы
W)p'---'{dx^)p и U^JP'''-'U^7P
касательного пространства ТрХ одноименны. Атлас, состоящий
из положительно согласованных карт, называется ориентирующим.
Многообразие X, на котором существует хотя бы один ориентиру-
ющий атлас, называется ориентируемым. □
Ориентируемое многообразие, в котором выбран ориентирующий
атлас, называется ориентированным, а выбранный атлас называет-
ся ориентацией. Карты, принадлежащие ориентации ориентирован-
ного многообразия, называются положительно ориентированными
(или просто положительными).
Нетрудно установить, что на связном ориентируемом многообра-
зии существуют две и только две ориентации. Эти ориентации
называются противоположными. Если X - многообразие с одной
ориентацией, то снабженное противоположной ориентацией оно обо-
значается —X.
Замечание. До сих пор предполагалось, что п > 0. В вы-
рожденном случае п = 0 многообразие X представляет собой
множество изолированных точек. Будем говорить, что нульмерное
многообразие X ориентировано, если каждой его точке р сопо-
ставлен знак е(р)=±1. □
Определение 2. Многообразие с краем X называется ориен-
тируемым (ориентированным), если ориентируемо (ориентировано)
многообразие int X. На ориентированном многообразии краевая
карта (U, Л) называется положительной, если положительна вну-
тренняя карта (U П int X, h\umnt x)- п
34

,=0, * = 2,
det£i=£Tdetl£r на ^1^.
Если (Ua, ha) - атлас на многообразии X, то (V0, ha\va), где
Va = t/a ПдХ, образует атлас на многообразии (ЗА1 (см. конец § 1).
Карта (Va,ha\va) называется высеченной на <9<-f картой (Ua, ha).
Покажем, что если краевые карты (Ua, ha) и (Up, hp) поло-
жительно согласованы, то соответствующие им высеченные карты
(Va, ha\va) и (Vp, hplvp) также положительно согласованы.
Действительно, пусть (Ua, ha) — (Ua, x1,..., хп) и (Up, hp) =
= (Up, у1,..., у") -две краевые карты на X. "Условия г1 = 0, у1 — 0
задают соответствующие карты на дХ. Поэтому на Va П Vp имеют
место равенства
(V
дхк
Поэтому
dyi _ ду1 дук
дх1 дх1 дх1
Здесь г, j = 1,..., п, а к, I — 2,..., п. С другой стороны, так как
у1 < 0 тогда и только тогда, когда г1 < 0, то ду1 /дх1 > 0 на
Va П Vp. Отсюда следует, что если две краевые карты на X положи-
тельно согласованы, то соответствующие им высеченные на границе
дХ карты также положительно согласованы.
Если краевая карта положительна, то будем говорить, что высе-
ченная ею на границе карта также положительна.
Предположим теперь, что п-мерное многообразие X ориентиру-
емо и ориентировано. Так как при п > 0 для любой точки р £ дХ,
очевидно, существует положительная карта, содержащая точку р,
то все положительные карты на дХ образуют атлас положитель-
но согласованных карт на дХ. Об ориентации на дХ, задаваемой
этим атласом, мы будем говорить, что она индуцирована ориентаци-
ей многообразия X.
При п = 1 многообразие X является системой отрезков, а дХ
состоит из их концов. Ориентация многообразия X задает на этих
отрезках направление, и мы введем на дХ ориентацию, считая, что
правый конец каждого отрезка имеет знак "+", а левый - знак " —" .
Таким образом, край ориентируемого (ориентированного) мно-
гообразия является ориентируемым (ориентированным) многообра-
зием.
Простейшие примеры ориентируемых многообразий без края -
это пространство Rn, сфера Sn, n-мерный тор.
35

Простейший пример неориентируемого многообразия с краем -
лист Мебиуса. Обозначим через L прямоугольник:
L = {{x,y)£ R2 : -10 < г < + 10, -1 < у < 1 } .
Теперь в пространстве L отождествим точки (10, у) и (—10, —у)
для — 1 < у < +1. Полученное таким образом пространство X
называется листом Мебиуса. Нетрудно понять, что лист Мебиуса -
неориентируемое многообразие.
Пусть X - n-мерное ориентированное многообразие (возможно,
с краем) и ш -п-формана X. Обозначим через fx ш интеграл от
формы ш по многообразию X , который определяется следующим
образом:
1). Пусть для многообразия X существует всего одна карта
(X, х1,..., хп), покрывающая все многообразие X, эта карта поло-
жительна, и координаты (г1,..., г") заполняют измеримое множе-
ство G С R". Очевидно, форма ш в этой карте имеет вид
ш = р(х) dx1 Л ... Л dxn .
Тогда, по определению
f ш- \ p{x)dx1 ...dxn . (6.1)
J X JG
Пусть (X, x1 ,. .., xn ) - другая положительная карта, покрываю-
щая все многообразие, причем координаты (х1 ,..., хп ) заполняют
измеримое множество С С Rn. В этой карте
ш = р(х(х')) (det ~] dx1' Л ... Л dxn'
и, согласно определению,
/ ш= f p(x(x')) (det |^ J dxl'dx2' ...dxn'. (6.2)
Так как det(dx/dx') > 0, то правые части соотношений (6.1) и
(6.2) равны. Это доказывает корректность определения интеграла от
n-формы по n-мерному многообразию в случае 1).
36

2). Если многообразие X таково, что его любая ориентация
содержит более одной карты, то многообразие X следует разбить
на такие подмногообразия Ха (возможно, с краем), что
X = UXa, ХаПХр = Ч>, афР, (6.3)
и на каждом подмногообразии Ха существует атлас, состоящий из
одной положительной карты. Знак карты на Ха задается ориента-
цией на X.
По определению
" = £ / i>, (6-4)
х а JxQ
где i : Ха —\ X - вложение. Легко понять, что правая часть (6.4)
не зависит от разбиения многообразия X согласно (6.3).
Заметим, что интеграл от дифференциальной формы по много-
образию изменяет знак при изменении знака ориентации много-
образия.
Пусть X - n-мерное многообразие с краем дХ, ориентация на
котором задается ориентацией X, г : дХ —у X - вложение и и -
- (п — 1)-форма на многообразии X. Поэтому определен интеграл
г ш,
дХ
который для сокращения всегда обозначается символом
дХ
Теорема 1. (Теорема Стокса). Имеет место равенство
dw = ш. (6-5)
х Jax
Доказательство.
1). Рассмотрим сначала случай, когда ориентация многообразия X
состоит из одной карты (X, х1,..., хп) и ее координаты заполняют
n-мерную сферу
(х1)2 + ... + (хп)2 <а2.
37

Ориентацию многообразия дХ возьмем состоящей из двух карт,
задаваемых координатами ж2, ж3,...,ж" при условии х1 = ф(г)
(для Vi) и —ж2, ж3,...,ж" при условии ж1 = — ф(г) (для V2 ),
где г = -\/(ж2)2 + ... + (жп)2, ф(г) = л/а2 — г2 и г < а. Общий вид
(п — 1)-формы на n-мерном многообразии таков:
п
ш = ^ pi (ж) dx1 Л ... Л dx Л ... Л dxn . (6.6)
/=i
Здесь шляпка над 1-формой dx означает, что эта форма отсутствует
во внешнем произведении в соответствующем слагаемом в правой
части равенства (6.6). Формула (6.5) верна для каждого слагаемого в
правой части равенства (6.6) в отдельности. Рассмотрим, например,
форму
ш = p(x)dx2 A...Adxn . (6.7)
Имеем
Поэтому
du - -^A-dx1 Л dx2 Л ... Л dxv
ох1
du= I dx2...dxn I dx1 др
X J0<r<a J-4>(r) ®xl
= I dx2...dxn{p^(r),x2,...,xn)-p(^(r),x2,...,xn)}.
J0<r<a
(6.8)
Правая часть равенства (6.8) совпадает с Jdx ш, что очевидно из
формулы (ср. с (6.4))
Ш = / IjCJ +
ЭХ JVi JV2
где ia : Va —>■ X , а = 1, 2 - описанные вложения.
Аналогично доказывается справедливость формулы (6.5) для всех
остальных слагаемых в правой части (6.6).
2). Для более сложного случая суть доказательства теоремы
Стокса сводится к разбиению многообразия X на отдельные под-
многообразия Ха аналогично (6.3). При этом для каждого подмно-
гообразия должен существовать атлас, состоящий из одной карты,
38

координаты которой заполняют простую область в Rn, для кото-
рой формула Стокса уже доказана. В таком случае равенство (6.4)
позволяет доказать теорему Стокса в произвольном случае. Мы пре-
доставляем читателю проведение строгого доказательства случая 2).
3). Рассмотрим вырожденный случай п = 1. Определим ин-
теграл от 0-формы (т.е. функции) по 0-мерному ориентированному
многообразию X формулой
// = £ф)Др). (6-9)
Для п = 1 формула (6.5) принимает вид
[ df=f(b)-f(a), (6.10)
Jx
где X - отрезок, направленный от точки а к точке 6. Таким обра-
зом, для п = 1 формула Стокса переходит в формулу Ньютона-
Лейбница. О
Пусть теперь X - n-мерное подмногообразие с краем т-мерного
многообразия У и г : X —>■ У - вложение. Пусть далее ш есть
(п — 1)-форма в у. Тогда справедлива
Теорема 1'. (Теорема Стокса для подмногообразий с кра-
ем). Имеет место формула (6.5).
(Мы заменяем обозначение г*ш обозначением ш для сокращения
записи).
Теорема 1' непосредственно вытекает из Теоремы 1.
В заключение этого параграфа заметим, что теорема Стокса со-
держит в себе хорошо известные из курса математического анализа
формулы Грина, а также Гаусса-Остроградского и Стокса соответ-
ственно в пространствах В? и В?.
39

ГЛАВА II
ЭЛЕМЕНТЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 7. Векторные расслоения
7.1. Определение векторных расслоений
Будем обозначать символом Кп n-мерное вещественное или ком-
плексное пространство.
Определение 1. Тройка £ = (£,тг,В), состоящая из топологи-
ческих пространств £,В и непрерывного отображения
ж:£—>В, (7.1)
называется векторным расслоением ранга п над R или С , если
а) для любой точки Ь £ В множество
является n-мерным линейным (векторным) пространством над R
или С;
б) условие локальной тривиальности: существует такое открытое
покрытие {Uа} пространства В и такие гомеоморфизмы (взаимно
однозначные и непрерывные в обе стороны отображения)
фа : Ua х Кп —» £Ua , (7.2)
где £Ua =ж~1иа. что
61) для любой точки (6, х) е Ua х Кп имеет место включение
фа(Ь, х) eJ-b.
Отсюда следует, что для любой точки Ь е Ua Фа осуществляет
изоморфизм
фа : Ь х Кп *-► Тъ;
62) для каждой точки 6 е В отображение
^«,6 •' Кп —> Тъ ,
40

определяемое формулой
Фа,ь{х) = Фа{Ь, X) , X £ К" ,
является изоморфизмом линейных пространств. □
Пространство В называется базой векторного расслоения £,
пространство £ - его тотальным пространством, а отображение
7Г - проекцией. Линейное пространство Ть называется слоем
расслоения £ над точкой Ъ £ В. Ранг п векторного расслоения
называется также размерностью этого расслоения и обозначается
символом dim£.
Гомеоморфизм фа из (7.2) называется тривиализацией рассло-
ения £ над открытым множеством Ua, а открытое множество
Ua — тривиализующей окрестностью. Покрытие {Ua}, состо-
ящее из тривиализующих окрестностей, называется тривиализую-
щим покрытием. Семейство {(Ua, Фа)} тривиализаций (Ua, Фа)
называется тривиализующим атласом.
Непрерывное отображение s : В —> £, удовлетворяющее соотно-
шению 7г о s = id, называется сечениелг расслоения £. Непрерывное
отображение s : В —У £ тогда и только тогда является сечением,
когда s(b) £ Ть для любой точки b £ В, т.е. когда оно .выби-
рает в каждом слое Ть вектор s(b). На этом основании сечения
расслоения £ называются также ^-векторными полями на В.
Имеют место следующие очевидные факты: для любых сечений
s, Si, «2 и любой вещественной (комплексной) функции / на В
формулы
(si + s2)(b) = Sl(b) + s2(b) , (fs)(b)=f(b)s(b) , be В
определяют сечения s\ + S2 и fs расслоения £. Отсюда следу-
ет, что относительно операций (s1; S2) М- s\ + S2 , (A, s) м- As, где
А - вещественное (комплексное) число, множество Г£ всех сече-
ний векторного расслоения £ является линейным пространством
над полем вещественных (комплексных) чисел, нулем которого слу-
жит нулевое сечение 0, сопоставляющее каждой точке b £ В нуль
пространства Ть- Более того, бесконечномерное линейное простран-
ство Г£ является модулем над алгеброй всех непрерывных веще-
ственных (комплексных) функций на В.
41

По определению, для любого расслоения £ = (£, 7г, В) существу-
ет открытое покрытие пространства В, состоящее из тривиализую-
щих окрестностей. Пусть Ua и Up - два пересекающихся элемента
этого покрытия. Тогда для любой точки b £ Ua П Up определено
отображение
фра(Ь)=ф-^ьофа<ь:Кп-+Кп,
где фа<ь и фр^ь - отображения Кп —у Ть, индуцированные три-
виализациями фа : Uа х Кп —> Еиа и фр : Up х Кп —у 8и0
(см. пункт б определения 1). Это отображение линейно и обрати-
мо, т. е. является элементом группы GL(n; К) (группы обратимых
п х п матриц с вещественными (комплексными) матричными эле-
ментами). Поэтому формула
фра : b i—>■ фра{Ъ)
задает некоторое отображение
Фра :UanUp—+ GL(n; К), (7.3)
называемое отображением или функцией перехода (подразумевает-
ся - от фа к фр).
Из определения функций перехода непосредственно вытекают сле-
дующие их свойства:
Фра = Фар На Uа П Up ,
^/37 Ф-уа = <^/з« на [7а П [//з П U1 (7.4)
для любых индексов а, /?, 7-
Предложение 1. Пусть В - топологическое пространство,
{Uа) - его открытое покрытие и ф = {фра} ~ множество
GL(n; К)-значных функций на Uaf~)Up (если UaC\Up ф 0j, обладаю-
щих свойствами (7.4). Тогда существует единственное векторное
расслоение £ ранга п с базой В, тривиализующим покрытием
{Uа) и функциями перехода {фра} ■
Доказательство этой теоремы можно найти в [2]. Здесь мы лишь
покажем, как по функциям перехода строится соответствующее рас-
слоение. Рассмотрим множество пространств {Ua x Кп}. Обозна-
чим для любых точек b £ Ua и х £ Кп точку (6, х) £ Ua x К"
42

символом (6, х)а. Отождествим точки (6, х)а и (с, у)^ тогда
и только тогда, когда Ь = с е Ua^Up и у = фра{Ь)х. Из (7.4)
немедленно следует, что это отождествление корректно, т.е. если
отождествлены точки (6, х)а и (с, У)/?, а также точки (с, у )^
и (d, z)7, то и точки (6, x)ff и (rf, z)7 также отождествляются.
Тогда пространство
£ = Ua(UaxKn), (7.5)
в котором осуществлены указанные отождествления точек, является
тотальным пространством расслоения и непрерывное отображение
7г : £ —> В задается согласно
тг[6, х]а = 6, be В, х£Г.
Здесь точка [Ь, х]а расслоения £ соответствует точке (6, х)а.
Для любого а формула
фа(ь,х) = [ь,х]а, beua, хекп
определяет непрерывное послойное отображение
фа-.иахКп —>K-lUa,
и формула
[ь,х]а^(ь,х)а, ьеиа, хек"
корректно определяет непрерывное отображение n~lUa -4(7ax К",
обратное к отображению фа. Следовательно, фа является по-
слойным гомеоморфизмом. Это означает, что тройка (, = (£, п, В)
удовлетворяет условию 61) определения 1. Далее, поскольку ото-
бражение ф/за(Ь) : Кп —> Кп линейно, то формулы
[6, х]а + [Ь, У]а = [Ь, х + у]а,
\[Ь,х]а= [Ь, Хх]а, х, у еА'" ,
корректно определяют в Ть структуру линейного пространства.
Это дает условия а) и 62). Кроме того,
{Ф}1 °Фа)(Ъ, х) =ф-1[Ъ,х]а = ф-1[Ь, фра{Ь)х]/з = (Ь, фр«{Ъ)х)
43

для любой точки (6, х) 6 (Uа П Up) х Кп. Значит, функциями пере-
хода построенного расслоения являются исходные функции перехо-
да. □
Пусть В - гладкое m-мерное многообразие.
Определение 2. Векторное расслоение £ = (£, 7Г, В) ранга п
над многообразием В называется гладким, если существует такой
тривиализующий атлас {{Ua, Фа)}, что отвечающие ему функции
перехода {фра} являются гладкими отображениями:
Фра ■ Ua П Up —> GL(n; К) , К = R, С .
а
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь гладких век-
торных расслоений.
7.2. Примеры векторных расслоений
Пример 1. Для любого многообразия В и любого линейного про-
странства V надполем К тройка (BxV, тг, В), где тг : В х V —> В
- проекция прямого произведения на первый множитель, является
векторным расслоением. Тривиализующее покрытие {Ua} состоит
для этого расслоения из одного элемента U = В, а тривиализация
ф : В х К" —> BxV определяется выбором в V базиса е\,. . ., е„
и задается формулой
п
ф(Ь, х) = (6, Y, x'ei), be В, х^(х\...!хп) е Кп .
1=1
Это векторное расслоение обозначается символом 9g и называется
тривиальным векторным расслоением ранга п.
Пример 2. Рассмотрим следующую конструкцию. Пусть X -
произвольное n-мерное многообразие и
тх = [J трх
р£Х
- дизъюнктное объединение (т.е. такое объединение, в котором ТРХГ\
Тр'Х — 0, если р ф р') всех линейных пространств ТРХ, р G X.
44

Таким образом, точками множества ТХ являются всевозможные
касательные векторы V многообразия X. Для каждого вектора
V 6 ТХ (единственную) точку р £ X, для которой V £ ТрХ,
обозначим символом n(V). Тем самым возникает отображение
я- : ТХ —>■ X ,
обладающее тем свойством, что л~1{р) — ТрХ для каждой точки
Рех.
Покажем, что тройка тх — {ТХ, ж, X) является векторным рас-
слоением ранга п, очевидно, над R.
Мы видим, что условие а) определения 1 выполнено и dim тх —
— п. Далее рассмотрим произвольную карту (U, х1,..., хп) много-
образия X. Обозначим
TU= [J ТрХ = п~1и.
p£U
Пусть ф : U х Rn —у TU - отображение, определяемое согласно
ФЬ>, v) = v< (~^j , peU, v G Rn ■ (7.6)
Очевидно, что отображение (7.6) является тривиализацией рассло-
ения тх над окрестностью U. Теперь возьмем какой-либо атлас
{Uа) многообразия X та для каждой окрестности Ua постро-
им отображение фа согласно правилу (7.5). Семейство {(Ua, фа)}
является тривиализующим атласом. Тем самым условие б) опреде-
ления 1 также выполнено, и тх является расслоением.
Покажем, что тх является гладким расслоением. Пусть (Ua, х1,
..., хп), (Up, у1, ..., уп) - две карты и р £ (/„ П Up. Поскольку
ф-p^W) = (w\ .... w") G Rn, где W = ui''(W)j» и <^,p(v) =
= vl(d/dx')p, где v = (v1, ..., vn) £ R4, то мы имеем
Фе*№ = (Фр!Р о фа,Р)(у) = (|j) v< е Rn.
Последняя формула означает, что функции перехода в смысле опре-
деления 2 в заданном случае имеют вид
45

Отсюда видно, что расслоение тх является гладким.
Расслоение тх называется касательным расслоением над мно-
гообразием X.
Пример 3. В точности аналогично касательному расслоению
над многообразием X строится расслоение над многообразием X,
точками которого являются всевозможные тензоры типа (а, 6) над
многообразием X.
В частности, для (а, 6) = (1, 0) такое расслоение обозначается
тх, для (а, 6) = (1, 1) соответствующее расслоение имеет обозначе-
ние тх®т*х, а при (а, 6) = (1, 2) для расслоения имеем обозначение
тх ® тх ® тх. Отсюда очевидно обозначение для произвольного тен-
зорного расслоения типа (а, 6). Сечениями тензорных расслоений
типа (а, 6) являются тензорные поля типа (а, 6) на многообра-
зии X.
7.3. Тензорное произведение расслоений
Пусть £ = (&, 7г^, В) та г] = (£п, ттп, В) - векторные расслоения
над полем К рангов пит соответственно с одной и той же
базой В и J-\ и Т\ - слои расслоений £ и ц над точкой 6 £ В.
Рассмотрим пространство
ьев
являющееся дизъюнктным объединением пространств Т^ ® 3~ь > и
тройку (£, 7г, Б), где 7г : £ —у В - естественная проекция.
Условие а) определения 1 выполнено, причем Ть = к~1(Ъ) =
= Т\ ® З-Ц является векторным пространством размерности mn
(см. конец § 3).
Пусть {Uо] - открытое покрытие пространства В , которое
является тривиализующим для каждого из расслоений £ и г] и
ф{ : Ua х Кп -» 4„ . Ф1 ■■ Ua х A'm —► ^а
- тривиализации расслоений £ и ?; над Ua. Тогда тривиализация
расслоения (£, 7Г, Б) над Ua задается отображением
ф{®Ф1:иах(К"®Кт)^£иа,
46

где линейное отображение (ф^ ® ф^,)ь Для Ъ £ Ua задается на
базисе е,- ® fj согласно формуле
(Ф{ ® Ф1)ь{ег ® /,-) = (^)ь(е,-) ® №(//) •
Здесь е\,...,еп и fi,...,fm - базисы пространств Кп и А'т
соответственно.
Определение 3. Построенное векторное расслоение (£, п, В)
обозначается символом £ ® т? и называется тензорным произве-
дением векторных расслоений £ и ц. Оно гладко, если гладки
расслоения £ и ц. □
Очевидно, расслоения г* ® тх и т.д. являются тензорными
произведениями расслоений тх и т£ и т.д.
Если С/ является тривиализующей окрестностью расслоения £,
то каждая тривиализация ф : U х А'" —>■ £у определяет в Г(£|с/)
сечение s по формулам
Si(b) = ф(Ь, е,-) , z = l,..., я,
где {е;} - стандартный базис пространства А'". Так как для любой
точки 6 £ £/ векторы {sj(fc)} составляют базис линейного простран-
ства Ть, то каждое сечение s : U —> £ц задает на U функции
{/'(6)} со значениями в К, удовлетворяющие соотношению
п
t=i
которое эти функции однозначно определяет. Если сечение s -
гладкое, то функции /'(6), i = 1, ..., п - также гладкие.
§ 8. Ковариантный дифференциал
и связность на расслоении
Пусть £ = (£, 7г, В) - произвольное гладкое А'-векторное расслое-
ние ранга п над m-мерным многообразием и пусть Tg при К = R
- кокасательное расслоение над В, а при К = С - его комплек-
сификация. Через Г£ обозначим FxB-модулъ гладких сечений
47

расслоения £. (Напомним, что FkB означает множество гладких
функций над В со значениями в К). Рассмотрим гладкое Л'-век-
торное расслоение т^ ® £ и ^Б-модуль его гладких сечений.
Определение 1. Линейное отображение
У:Г£—>Г(т£0£)
называется ковариантпным дифференцированием или связностью,
если оно удовлетворяет тождеству Лейбница, т.е. если для любой
функции / £ Fj<B и любого сечения s £ Г£ имеет место равенство
V(/s) = df ® s + /Vs . (8.1)
Напомним, что df является сечением расслоения Гц , и потому
df ® s - сечение расслоения Tg ® £. Сечение Vs расслоения Гц
называется ковариантпным дифференциалом сечения s. □
Из формулы (8.1) следует, что отображение V обладает свой-
ством локальности, т.е. если сечения si и $2 равны вблизи точки
6о £ $; то сечения Vsi и V«2 также равны вблизи 6о. Действи-
тельно, если si = «2 на окрестности U точки Ь0 и если ф -
гладкая функция на В, равная единице на некоторой окрестности
W С U точки 6о и равная нулю вне U, то сечение ф(в2 — si)
тождественно равно нулю и, значит, dф ® («2 — s\) + <^V(s2 — si) = О
на Б. Поэтому V($2 — si) = О на W.
Так как оператор ковариантного дифференцирования локален,
то имеет смысл говорить об его ограничении на открытое подмно-
жество многообразия В. Если совокупность открытых подмножеств
Uа покрывает многообразие В, то глобальная связность однозначно
определена своими ограничениями на UQ ■
Пусть U - тривиализующая координатная окрестность в В и
s\, ..., sn - какой-нибудь базис сечений расслоения £|с/, так что
любое сечение может быть однозначно записано как сумма f^sj +
... + fnsn, где коэффициенты /' являются гладкими функциями.
Очевидно, что {dxk ® s,-; 1 < ii < п, 1 < k < т] - базис сече-
ний расслоения (Tg ® £)|с/ и для каждого j — 1, ..., п имеет место
равенство вида
Vsj = Fjk dxk ® si, (8.2)
48

где Г'-к - гладкие функции на U. Равенство (8.2) записывается
также в виде
Vsj = ш) ® Si, ш) = Т)к dxk ЕПги. (8.3)
Для сокращения формул мы вместо V|c/ пишем V. При этом
формы иЛ однозначно определяют дифференцирование.
Действительно, если s — /*s,-, то используя (8.1) и (8.3), получа-
ем
Vs=(#*'+wj-/J")®*. (8.4)
Если U1 - другая тривиализующая координатная окрестность с
базисом сечений {$;'} и
Vsy< = Wj-#®s,-', на U', Sf = 4\,Si, Si = ф] Si> на Uf\U', (8.3')
то
Vsj< = d(^}/ ® Si + <^}/Vs,- = #}/ ® Sj + <£},w^ ® Sj =
= (ttyj, + ^,wj) ® #'*,■- = #' ( йф), + ф],ш)) ® Si,,
и, значит,
wj.', = ф№,,ш) + Фи*)* ■ (8.5)
Обратно, если на окрестностях U и U' заданы ковариант-
ные дифференцирования, действующие соответственно по форму-
лам (8.3) и (8.3'), и если имеют место соотношения (8.5), то на пере-
сечении U П17' эти дифференцирования совпадают. Это означает,
что справедливо следующее
Предложение 1. Пусть {Ua} - открытое покрытие много-
образия В, состоящее из тривиализующих координатных окрест-
ностей. Тогда каждое ковариантное дифференцирование V опре-
деляет для любого а формы ш^' j на Ua, причем для любых а
и а' эти формы на окрестности Ua П Ua' связаны соотношения-
ми (8.5).
Обратно, задание для любого а форм u>(a>'j, связанных соотно-
шениями (8.5), однозначно определяет ковариантное дифференци-
рование V, действующее на каждой окрестности Ua no форму-
ле (8.4).
49

Пусть X - векторное поле на многообразии В или, что то же
самое, сечение касательного расслоения rg. Если U - тривиали-
зующая координатная окрестность в В, то Х% - координаты поля
X в базисе д/дх* (см.(3.11)). Обозначим значение формы (8.4) на
векторном поле X через Vx«- С учетом (8.3) и (2.8) находим
Определение 2. Сечение Vx« называется ковариантной про-
изводной сечения s по векторному полю X. При X — д/дхк
оператор Vx обозначается символом V^ и сечение V^ называет-
ся частной ковариантной производной по хк сечения s 6 Г(£|(/).
D
Из определения имеем Vx« = XkVi<s. Равенство (8.6) часто
записывают также в виде
(V, /)' = |^ + r*fc/J' • (8.6')
Вместо (Vfc/)' часто пишут также Vfc/!.
Далее мы рассматриваем только метризованные вещественные
векторные расслоения.
Определение 3. Пусть £ = (£, 7г, В) - расслоение. Гладкая
функция g : £ —> R, ограничение которой на любом слое Ть, Ь 6 В,
является невырожденной вещественной квадратичной формой, на-
зывается метрикой на расслоении. □
Пусть U - тривиализующая координатная окрестность в В, s\,
..., s„ - какой-нибудь базис сечений расслоения £\и и X = X'si -
какое-либо сечение. Согласно определению 3 метрика задает функ-
цию
д(Х, X) = gi3 Х{Х* , (8.7)
где коэффициенты g,j являются гладкими функциями локальных
координат х1, ..., хп и симметричная матрица gtj является не-
вырожденной матрицей.
Напомним тот факт, что всякая квадратичная форма порождает
симметричную билинейную форму. Пусть X = X,Si и Y = Y*Si -
50

сечения. Тогда билинейная форма на сечениях, которая также на-
зывается скалярным произведением сечений, определяется согласно
правилу
g(X,Y) = ±{g(X + Y,X + Y)-g (X, X) -g(Y,Y)}. (8.8)
С учетом (8.7) скалярное произведение (8.8) записывается в виде
д(Х,У)ь=дц{Ъ)Х*У>. (8.9)
Подчеркнем, что в (8.9) все величины берутся либо в точке b £ В,
либо в слое Ть- Поэтому определенная метрика называется так-
же послойной метрикой. Билинейная форма (8.9) чаще называется
скалярным произведением сечений X и Y и обозначается X ■ Y
или (в локальных координатах) X'Yi, где У|- = <7«jFJ, или XiY*. Из
введенных обозначений имеем также
gij = si-sj =gji. (8.10)
Из линейной алгебры известно, что для всякой симметричной
невырожденной вещественной матрицы <7,j существует такая невы-
рожденная матрица t'a, i, a — 1, ..., п, что имеет место равенство
tigijtjb = vab, (8.И)
причем матрица г) является диагональной, и ее диагональные эле-
менты равны ±1.
Далее для нас представляют интерес лишь два случая:
1) Индексы а, Ь, ..., а также i, j, ... пробегают значения 0,1, ... ,п — 1
и 77оо = 1) »?п = • • • = Vn-i,n-i = —1- Такую метрику мы будем на-
зывать локально-псевдоевклидовой. В этом случае вместо индексов
г, j, ... мы будем пользоваться индексами р, v = 0, ..., п — 1.
2) Индексы а, Ь, ..., а также i,j, ... пробегают значения 1, ..., п и
т]ц = ... = г)пп = 1. Такая метрика называется здесь локально-
евклидовой. В этом случае мы пользуемся индексами а, /?,... вме-
сто индексов а, Ь, ....
Матричные элементы t'a в (8.11) могут быть выбраны гладкими
функциями в каждой тривиализующей координатной окрестности.
Тогда сечения еа = t'aSi являются гладкими. Комбинируя (8.10) и
(8.11), находим
еа -еь = т]аЬ. (8-12)
51

Базис сечений {еа}, удовлетворяющий условиям (8.12), называется
ортонормированным базисом (ОНБ). Мы видим, что в любой три-
виализующей координатной окрестности может быть выбран ОНБ,
состоящий из гладких сечений.
Вернемся к базисам сечений общего вида.
Пусть U и U' - две тривиализующие координатные окрестности
с базисами сечений {s,} и {v} соответственно. Для любого
сечения s на U П [/' имеем
« = /•'«,■ = /*"*,■<. (8.13)
Отсюда и из (8.3') получаем
Г'=Ф?Г- (8.14)
Пусть в каждой тривиализующей окрестности заданы базисы се-
чений и п функций р, причем на пересечении окрестностей эти
функции связаны согласно (8.13). Тогда задано глобальное сечение
на расслоении. Это сечение называется контравариантным век-
тором или тензорным полем на расслоении типа (0,1).
Аналогично набор п функций /г,-, заданных в каждой тривиа-
лизующей окрестности и связанных на пересечениях окрестностей
согласно
ft,-» = ф\.Ы, (8-15)
образует ковариантный вектор или тензорное поле типа (1,0). Так
как
Ф\> <$ = %, (8-16)
то
Г hi = Г'hi>, (8-17)
то есть из контравариантного и ковариантного векторов образуется
скаляр по обычному правилу.
В точности аналогично определению тензорных полей типа (а, Ь)
на касательном расслоении (см. § 3) определяются тензорные поля
типа (а, Ь) на векторных расслоениях общего вида.
В частности, набор величин (8.10) образует ковариантный тен-
зор второго ранга или тензорное поле типа (2,0). Действительно,
из представления (8.10) вытекает закон преобразования компонент
метрического тензора:
9vj> = Ф)> Ф], gij ■ (8.18)
52

Обратим внимание, что скалярное произведение двух векторов не
зависит от базиса сечений, т.е. является величиной скалярной по
самому определению. Это свойство, разумеется, согласуется с зако-
нами преобразований (8.14)—(8.18).
Как известно из линейной алгебры, в метризованном простран-
стве исчезает принципиальная разница между контравариантными
и ковариантными векторами. Действительно, из закона преобразо-
ваний (8.14)—(8.18) вытекает, что компоненты
fi=9ijfj (8-19)
являются компонентами ковариантного векторного поля. Наоборот,
величины
Г=д'Чз, 9ik9ki = &) (8.20)
образуют контравариантный вектор.
Определение 4. Связность V на метризованном расслоении £
называется согласованной с метрикой (или метрической), если для
любого векторного поля X £ тв и любых сечений s, s' £ Г£ имеет
место равенство
X{s ■ s') = (Vjrs) • s' + s ■ (У**') . (8.21)
П
Предложение 2. Связность V на расслоении £ тогда и
только тогда согласована с метрикой, когда для любой тривиали-
зующей окрестности U матрица ш — \\шаЬ\\ форм связности,
отвечающих ОНБ (8.12), кососимметрична, т.е. когда
шаЬ + шЬа = 0. (8.22)
Здесь и далее
шаЬ = шаст,сЬ,шаЬ = т,асшсь. (8.23)
Доказательство. Ясно, что соотношения (8.21) эквивалентны со-
отношениям
X{si -Sj) = {VxSi) ■ Sj + si ■ (Vxsj) , i, j = 1, ..., n , (8.24)
53

где {s,} - произвольный базис сечений над U. С другой стороны,
если базис {sa} ортонормирован, то вследствие (8.12) имеем
(Vxsa) -sb+sa Vxsb = 0 ,
или
шаЬ{Х)+шЬа(Х) = 0, (8.25)
что равносильно (8.22). □
Везде далее мы рассматриваем лишь связности, согласованные с
метрикой.
Пусть s = Psi и s1 = h'si. Имеем s ■ s' = f'hi (см.(8.19)).
Поэтому, комбинируя (8.21) и (8.6), получаем
^(/^^(gl + r^^ + r^),,
Отсюда находим ковариантную производную компонент ковектора:
(V*A),- = V*A,- = Q^hi- 4Л ■ (8-26)
Очевидно, обобщение операции ковариантного дифференцирова-
ния V на случай тензоров произвольного ранга. Например, в слу-
чае тензорного произведения двух контравариантных векторов s и
s' и одного ковариантного вектора s" ковариантная производная
такого тензора определяется естественным образом как
Vk(s®s'®s") = Vks®s'®s" + s®Vks'®s" + s(y)s'®Vks". (8.27)
Пусть компоненты векторов s,s',s" в некотором базисе суть {/'},
{д'} и {hi} соответственно, и компоненты тензора s ® s' ® s" в
этом же базисе имеют вид t)J = f'g'hi. Тогда равенство (8.27)
эквивалентно следующим равенствам:
(v^'j = а^ *? + г-* ^ + г-* ^ ~ г" ^ ■ (8'28)
Обобщение правила дифференцирования компонент тензора лю-
бого ранга S'-1'"'-* очевидно: каждому верхнему индексу в величине
(VfcS)'-1 "'5r отвечает слагаемое, пропорциональное Г'к со знаком
54

плюс, а каждому нижнему индексу - такое слагаемое со знаком ми-
нус, плюс частная производная по д/дхк компонент тензора.
Используя (8.3),(8.10) и (8.21), находим
X" -foj: 9ij = (Vjcs,-) • 8j + Si • (VxSj) = Xk (Tlik 9lj + Г', ga).
Из сравнения правой и левой частей последнего равенства, получаем
Vfcffij = 0 . (8.29)
Мы видим, что ковариантная производная метрического тензора
равна нулю, если связность согласована с метрикой.
Далее мы рассматриваем, если не оговорено обратное, лишь ка-
сательные расслоения с локально-псевдоевклидовой метрикой. Ло-
кальные координаты на многообразии X обозначаются х^ , \i =
= 0,...,п— 1. Метрика в базисе д/дх^ (сравни с (8.10)) имеет
обозначение д^. Пусть е£ , а — 0,...,п— 1 - набор гладких орто-
нормированных полей, так что
9ц^аеЬ = ЧаЬ, (8.30)
и еа - их обратные поля:
е£е» =*»<-► е£е« = ^ , <7„„ = ^Х ■ (8-31)
Согласно (8.3)
д „, д
V,, -7Г- = Г
л
"5г" ^"дхх'
и поэтому для любого вектора X — Хи д/дх" его ковариантная
производная в компонентах имеет вид (сравни с (8.4))
ЬХ"
V^ = ^T + r^Y\ (8.32)
Ввиду его важности, перепишем для случая касательного расслое-
ния уравнение (8.29):
j^-^U^~Kx9,P = 0- (8.33)
55

При переходе от локальных координат х** к координатам х11
компоненты связности пересчитываются следующим образом (срав-
ни с (8.5); здесь матрица ф\ заменяется матрицей дхх /дхх ):
rv ... _ д*х' дх" дх« Л дх*' дЧ*
В ОНБ {е£} , а = О,..., п — 1, любой вектор представляется в виде
£" = е< , (8.35)
или, опуская верхний индекс ц, £ = £аеа. Компоненты £а явля-
ются координатами вектора £ в базисе {еа}. Согласно (8.3) имеем
V„ea=w^efc. (8.36)
Для сокращения записи знак тензорного произведения ® далее
будет опускаться. Отсюда и из (8.4) находим ковариантную произ-
водную в ОНБ {еа}, записанную в компонентах:
Так как еа ■ еь - 8ьа (см.(8.31)), то
(У^еа)-еь + еа-Уме"=0.
Отсюда с учетом (8.36) находим
т-r Ь Ь
еа • V^e = -ша/1,
что эквивалентно
У^еа+^еь = 0. (8.38)
Учтем теперь, что V^еа есть ковариантная производная ковекто-
ра е°, которую можно расписать согласно (8.26). Поэтому (8.38) в
компонентах имеет вид
дА - W*„e* + T^el = О «. 8^ + ш«, е£ - Г^е£ = 0 . (8.39)
В физической литературе совокупность полей {е°} называется
тетрадой, а уравнение (8.39) - "тетрадным постулатом".
Обозначим через
ша = ea^ dx» (8.40)
56

п независимых 1-форм, которые назовем формами смещения. Пусть
x^[s) - гладкая кривая и Xй(s) = dxti(s)/ds - компоненты каса-
тельного вектора к этой кривой в точке s. Тогда величина
является проекцией этого вектора на ковектор еа. Естественно счи-
тать совокупность величин ша(Х) ds = еа dx^ компонентами вектора
(в ОНБ), соединяющего бесконечно близкие точки на кривой с пара-
метрами s и s + ds. Тогда квадрат расстояния между этими точками
ds2 = туаЬ (el dx») [el dxv) = 9flv dx» dx» . (8.41)
Пусть теперь x>^(s,t) - гладкая двумерная поверхность и X** =
= dx^/dsds и У = dx^jdtdt - независимые бесконечно малые
касательные к поверхности вектора. Величина
является ориентированной проекцией бивектора X^Y"' на плос-
кость (а, Ь). Ориентация этой проекции задается порядком индексов
а, Ь. Очевидно, величина (8.42) не зависит от локальной системы
координат, ее можно считать площадью проекции указанного бивек-
тора на плоскость (а, Ь), снабженной знаком. Рассмотрим в коорди-
натном пространстве {г^} в точке поверхности [s,t) бесконечно
малый параллелограмм со сторонами Xй и У. Величину (8.42)
естественно интерпретировать как ориентированную площадь про-
екции этого параллелограмма на плоскость (а, Ь).
Из этого рассмотрения видно, что ограничение 1-формы со" на
кривую дает длину проекции бесконечно малого участка этой кри-
вой на ковектор еа, ограничение 2-формы юа Л соь на двумерную
поверхность дает ориентированную площадь проекции бесконечно
малого участка этой поверхности на плоскость [а, Ь) и т.д.
В частности, величина
fl = w°Aw1A...Awn-1 (8.43)
задает ориентированный элемент объема многообразия X. Неза-
висимость элемента объема (8.43) от локальных координат очевид-
на, а его независимость от выбора ОНБ следует из того, что если
57

ea = Лд еа, то det kaa — ±1. Поэтому изменение ОНБ может при-
вести лишь к изменению знака п-формы (8.43).
Подставим в (8.43) выражения (8.40):
fi = e° е\ ...ena-ldx^hdx^h...hdx^ =
= (det ej) (п!)"1 е^..ф, dx"1 Л ... Л da:"" . (8.44)
Здесь e^j...^n - абсолютно антисимметричный символ и £oi...(n-i) =
= 1. Согласно (8.31) |det ea\ = \f\g\. Везде далее мы пользуемся
стандартным обозначением д = det д^и. Из (8.44) видно, что вели-
чина
Е^...^ = уДдКг-Ф. (8-45)
является полностью антисимметричным псевдотензором. Пристав-
ка " псевдо" означает в данном случае изменение знака величины при
изменении ориентации локальной системы координат. Тот факт, что
величина (8.45) является псевдотензором, легко проверить непосред-
ственно, сравнивая ее компоненты в разных системах координат.
Из сказанного следует, что в локальных координатах ж" поло-
жительный элемент объема многообразия имеет вид
dV= x/\g\dx° dx1 .. .dxn~l = ^J\g\dnx . (8.46)
§ 9. Параллельный перенос векторов
вдоль кривой.
Тензоры кривизны и кручения
9.1. Определение параллельного переноса векторов
В целях экономии места обозначим базис сечений в некой триви-
ализующей координатной окрестности U через {е^}, А, В,... =
= 0,..., п— 1. В качестве базиса обычно подразумевается либо коор-
динатный базис {д/дх»}, либо ОНБ {еп} (см.(8.30)-(8.31)). Любой
вектор из касательного расслоения в окрестности U представляется
в виде X = £Аед и его ковариантная производная в компонентах
имеет вид
(V^)A = d»tA + r£^B. (9.1)
58

Пусть х^ - локальные координаты в окрестности [/ и / -
гладкая или кусочно-гладкая кривая, содержащаяся в окрестности
U, которую обозначим /. Пусть во всех точках кривой / опре-
делены векторы X(s), гладко зависящие от параметра s. Будем
говорить, что вектор X параллельно переносится вдоль кривой /,
если ограничение 1-формы VX на / равно нулю:
VX\i = 0. (9.2)
Перепишем уравнение (9.2) в компонентах:
dtA = -u>UB, u>i = TJ>,l—d8. (9.3)
Формула (9.3) задает изменение компонент вектора в фиксирован-
ном базисе при его параллельном переносе вдоль кривой.
Мы видим, что следующая задача является корректной и имею-
щей единственное решение:
В начальной точке кривой / задан вектор ^(0). Найти в каждой
точке кривой / вектор X(s), который получается путем параллель-
ного переноса вдоль кривой вектора ^(0) из начальной точки (при
s = 0) в текущую точку кривой, имеющей значение параметра s.
Действительно, согласно (9.3) решение этой задачи сводится к
интегрированию системы обыкновенных дифференциальных линей-
ных уравнений
^ = -^-<'<.> <»>
с заданными начальными условиями £^(0). Совокупность величин
dx^(s)/ds = x^(s) образует компоненты контравариантного вектора
в точке x^(s). Этот вектор называется касательным к кривой I.
9.2. Геодезические линии
Пусть касательный вектор к кривой / в точке «о переносится
параллельно вдоль этой кривой в точку s. Если перенесенный таким
образом из точки so в произвольную точку s касательный вектор
оказывается равным касательному вектору к кривой / в точке s,
59

то такая кривая называется геодезической линией. Таким образом,
уравнение геодезической имеет вид
Vx{,)X(s) = 0, (9.5)
где X(s) - касательный вектор к кривой / в точке s.
Заметим, что уравнение (9.5) фиксирует параметр кривой s с
точностью до аффинного преобразования s = at + /?, где а ф 0 и
j3 - константы.
Действительно, результат параллельного переноса вдоль кривой
/ в точку s не зависит от параметризации этой кривой. В то же
время замена параметра кривой s —> t приводит к изменению дли-
ны касательного вектора в точке t(s) согласно X(s) —У X(t) =
= ds/dt X(s). Поэтому лишь при указанной замене параметра кри-
вой уравнение (9.5) остается справедливым.
Параметры геодезической, для которых справедливо уравнение
(9.5), называются аффинными параметрами.
Рассмотрим уравнение (9.5) в локальных координатах. Для этого
в формуле (9.4) следует сделать замену (А —у dxfl/ds:
х
» „„ dxu dxx
Из теории дифференцирования уравнений следует, что уравнение
(9.6) имеет единственное решение при заданных x^(so) и x^(so).
Иными словами, задание точки, через которую проходит геодези-
ческая, и ее направления в этой точке однозначно определяет гео-
дезическую.
Геодезическая линия является аналогом прямой линии в евкли-
довом пространстве.
9.3. Тензор кривизны
Пусть I является замкнутой кривой. Это означает, что ее начало и
конец совпадают. Замкнутая кривая называется петлей. Для петли
имеем в локальных координатах
х"(в), 0 < s < 1, х"{0) = х1'(1). (9.7)
Рассмотрим следующую задачу. Пусть в точке хц(0) задан век-
тор X — £Лед. Перенесем этот вектор параллельно вдоль петли из
60

точки х>1(0) в точку х^(1). В результате получается вектор X'
в точке ^(l) = хи(0). Таким образом, есть два вектора в точке
хи(0): X и X'. Очевидно, разность векторов АХ = X'— X также
является вектором в этой же точке. При помощи уравнения (9.3)
компоненты вектора АХ = А^Ае^ представляются в следующем
виде:
AZA = j>dZA{s)=-jui{s)(;B{s). (9.8)
Здесь iB (s) - компоненты вектора, получающегося при помощи
параллельного переноса вектора X из точки х^[0) в точку x^(s)
вдоль петли I.
Прежде чем продвинуться дальше в вычислениях, необходимо
провести следующее построение.
Без ограничения общности можно считать, что для рассматрива-
емых локальных координат справедливо равенство х^(0) = 0, т.е.
начало и конец петли имеют координаты, равные нулю. Рассмотрим
семейство лучей, выходящих из точки хи = 0. Каждый луч имеет
непрерывный индекс г = (т°, ..., г"-1), причем
(т0)2 + ...+ (т"-1)2 = е2. (9.9)
При движении вдоль луча изменяется параметр s. Локальные ко-
ординаты точек, лежащих на луче с индексом г, таковы:
x^ = t>1s, 0<s<l. (9.10)
Очевидно, множество точек, лежащих на лучах (9.9), (9.10), запол-
няют некую е-окрестность точки х^ = 0. Будем считать, что петля
находится в этой окрестности. Кроме того, все рассмотренные лучи
пересекаются в единственной точке zM = 0.
Теперь базис векторов {е^} в точке хи = 0 параллельно пе-
ренесем вдоль луча xl'(s) в точку s и результат этого переноса
обозначим {ёл}т,г- Таким образом, получается новый базис се-
чений некой е-окрестности, обозначаемый {ёл}- Из построения
видно, что
Vm|s,=o = 0. (9.11)
Поэтому связность йд в базисе {ёд} обращается в нуль при х^ — 0.
В силу гладкости это означает, что существует такая константа С\,
для которой справедливо неравенство
|JB„(*)l<Cie, (9.12)
61

если точка х содержится в указанной е-окрестности.
Так как петля I находится в е-окрестности, то ее "длина" в
метрике (ж0)2 + ... (ж"-1)2 меньше чем Сг£- Используя послед-
нее замечание и оценку (9.12), находим при помощи формулы (9.8)
оценку:
|Д^|<С£2||£||о. (9.13)
Здесь С - некая константа, а ||£||о - норма вектора X в точке
х" = О (например, ||£||0 = |£(°0)| + ... + \^~1\ ).
Заметим, что значение А£А в (9.8) зависит лишь от базиса в
точке х1* = 0. Поэтому полученная оценка (9.13) справедлива не
только в базисе {ё.д}т,«> но и любом другом базисе.
Рассмотрим теперь в е-окрестности векторное поле X, которое
строится из вектора X, заданного в точке х^(0) = 0, путем парал-
лельного переноса вдоль лучей x^-(s). (Очевидно, в базисе {ё^}
координаты векторного поля X не зависят от точки, оставаясь
равными £л(0).) Обозначим координаты поля X через £А.
Оценим интеграл (9.8) с точностью до 0(е2). В этом приближе-
нии
&tA = -fb>£(S)£B(S). (9.14)
Здесь £B(s) означает значение компонент вектора X в точке петли
I с параметром s.
Действительно, согласно определению поля X разность вели-
чин £B(s)—£B(s) в каждой точке петли I есть разность компонент
вектора, возникающая в результате его параллельного переноса по
замкнутой петле. В данном случае замкнутая петля состоит из от-
резка луча ж^-, соединяющего точку с координатами x^[s] сточкой
х>* — 0, и куска петли I со значениями параметра s' от нуля до s
(см. (9.7)). Поэтому согласно (9.12) £B{s) — £B(s) ~ e2. Отсюда в
свою очередь следует, что разность правых частей уравнений (9.8) и
(9.14) имеют порядок е3, что нами не учитывается.
Далее, в точке х**(0) имеем равенство VX = 0 по определению
поля X. Запишем последнее равенство в виде
d£A = -U££B+SA. (9.15)
Здесь 1-форма (А имеет порядок е в е-окрестности и обращается
в нуль в точке х^(0).
62

Пусть а - двумерное подмногообразие с границей I : да = I.
Воспользуемся теоремой Стокса для вычисления интеграла (9.14):
I шАв ~е = f d(u* iB) = f (dui ■ tB - u$ л dtB).
J do Jo Jo
Используем равенство (9.15) и учтем, что в нашем приближении
формой (л можно пренебречь. В результате получим следующий
ответ:
AtA = -\ QT д^ е. (эле)
В нашем приближении величины £,в можно считать постоянными,
равными компонентам вектора X в точке хи(0). 2-форма
Ri = 2(du£+u£Au%) (9.17)
называется тензором кривизны.
Пусть {ел1} -новыйбазиси е^/ = фд,ед. Тогда 1-формасвязно-
сти преобразуется согласно правилам (8.3') и (8.5). Легко убедиться
при помощи прямого вычисления, что при этом 2-форма (9.17) пре-
образуется согласно
Ri', = ф^фвв, Ri . (9.18)
Закон преобразования (9.18) вытекает также из соотношения
(9.16), так как А£л и £в в (9.16) есть векторы в одной точ-
ке. Поэтому 2-форма RB, переводящая вектор £ в вектор А£А,
есть тензор.
Запишем 2-форму (9.17) в локальном базисе [д/дх^):
R» = R:XpdxxdxP,
К а, = дх ПР - др Т»х + ТаХ Т1р - Т% Т1Х . (9.19)
Очевидно, величины (9.19) представляют собою тензор типа (3,1),
антисимметричный по последним двум индексам. Этот тензор на-
зывается тензором Римана, или тензором кривизны.
Полученный нами результат можно сформулировать более на-
глядным образом. Пусть в координатном пространстве {х11} заданы
два вектора V = {v*1} и W = {w11}. Построим в координатном про-
странстве параллелограмм со сторонами (sV, sW, —sV, — sW), e —»
63

—¥ 0. Этот параллелограмм задает петлю 7 на многообразии. Па-
раллельный перенос вектора ^ вдоль этой петли приводит к его
изменению с точностью до 0(е2):
/^" = -\e2(KXpv^w^)e. (9.20)
Действительно, параметрически поверхность а, краем которой
является петля */, можно задать согласно
r"(s,i) = e(sv"+iiu''), 0<s,i<l.
Поэтому на поверхности а
dx^ = e (v» ds + w" dt),
dxx Л dxp = e2 {vxwp - vpwx) dsAdt = e2 v[xwp] ds Л dt.
Подставляя это в (9.16), получаем соотношение (9.20).
9.4. Тензор кручения
Теперь изучим следующую задачу. Пусть в координатном простран-
стве дана петля x^(s). Так как х**(0) = ^(l), то очевидно, что
Г dx^
ф—ds = 0. (9.21)
Ji ds
В интеграле (9.21) величину dx^ можно трактовать как бесконечно
малый вектор, соединяющий точки s и s + ds на петле. Равенство
(9.21) выражает лишь тот факт, что петля является замкнутой.
Однако в кривом пространстве аналогичная задача оказывает-
ся принципиально сложнее. Это происходит вследствие того, что
бесконечно малые векторы, соединяющие близкие точки на петле,
сначала необходимо перенести в одну точку и лишь затем сложить.
В противном случае невозможно получить осмысленный результат.
Для решения поставленной задачи необходимы некоторые по-
строения.
Пусть в е-окрестности точки х1*-— 0 задан репер {ед(х)}. Пе-
ренесем вдоль координатного луча (9.10) репер {ед(ж)} из точ-
ки х^ в точку х^ = 0 и обозначим результат {ёд(х)}. Пусть
64

ёА(х) = £?Adx) ед(0). Формула (8.4) дает изменение координат век-
тора, переносимого параллельно вдоль кривой. В нашем случае на-
ходим
$)W=tf+"V + 0(e2). (9-22)
Поэтому ёА(х) — е^(О) = шА^х^ев{^) + 0{е1). Заметим, что все
векторы в этом равенстве берутся в одной точке. Так как г —> 0 и
х^ - малы, то последнее равенство переписывается в виде
deA=uA1lldx>1®eB(0) + 8eA. (9.23)
Векторнозначная 1-форма 8ёА обращается в ноль в точке хи = 0.
Теперь рассмотрим векторнозначную 1-форму 9, которая опре-
деляется свойством 0{Х) = X. Тогда в локальных координатах
в = (д/дх^) ® dx1*. Действительно, если X = X11 д/дх^, то
в(Х) = ^-®Х» dx» (-JL) = X» 4~ = X.
v ; dxf \дхv) дх»
Пусть еА - координаты вектора еА и еАеА = 8^ , еА = еА д/дх^.
Введем обозначение
шА = еА di" . (9.24)
Тогда для формы в имеем в = еА ® шл.
Пусть I - петля в е-окрестности точки х^ = 0. Рассмотрим
величину §. ёА ® иА, которая в кривом пространстве является ана-
логом интеграла (9.21). Эта величина есть вектор в точке х^ = 0.
Пусть а - поверхность с краем , так что да = I. Тогда согласно
теореме Стокса
I ёА®шА = j d(eAuiA)= / (deA AuiA + eAduiA).
J да J (J J (J
Теперь воспользуемся формулой (9.23). Заметим, что слагаемым
8ёА в (9.23) можно пренебречь, если нас интересует результат с
точностью до 0{е2). Имеем
j ёАиА = J (dwA + шА Л шв) еА = i j ТАеА . (9.25)
Здесь совокупность 2-форм ТА при преобразованиях репера пре-
образуется как компоненты контравариантного вектора. ТА назы-
вается тензором кручения пространства.
65

В локальных координатах еЛ = д/дх^, шЛ = dxx и ш£ =
= Г£л dxx. Поэтому Т" = 2 Г£л dxx Л dx", или
ГД = Г£„ - Г^Л . (9.26)
Таким образом, тензор кручения является тензором типа (2,1). Тен-
зорный характер величины (9.26) следует также непосредственно из
формул преобразования для связности (8.34).
В заключение дадим наглядную трактовку геометрического смы-
сла тензора кручения. Рассмотрим еще раз в координатном про-
странстве петлю 7 в форме параллелограмма со сторонами (eV, eW ,
—sV, —eW), где V = {v*1} и W = {w11} -два вектора. Пусть эта пе-
тля параметрически задается кусочно-гладкими функциями x,1(s).
Тогда dx>*(s) - бесконечно малый касательный вектор в точке s к
этой петле и dx,i(s) - бесконечно малый вектор в точке х* = 0, по-
лученный параллельным переносом вектора dz^fs) так, как было
описано выше. Тогда с точностью до 0(е2)
idx"(s) = ^e2Ti;xv[l/wx]. (9.27)
9.5. Структурные уравнения Картана
и тождество Бианки
Перепишем уравнения (9.17) и (9.25) в виде:
duA + w£ Лшв = - Т£сшв Лшс , (9.28а)
dui^+ojAAu^ = -Д£ CDwc/\uD . (9.286)
(См. (9.17)). Уравнения (9.28) называются структурными уравне-
ниями Картана.
Выпишем также выражение для метрики (см. (8.41)):
ds2 = д„„ dx" dxv = gAB ojaojb . (9.29)
Обратим внимание на то, что в (9.29) справа нет знака внешнего
умножения. В случае ОНБ вместо длв имеем т)аь. Пространства,
в которых тензор кручения равен нулю, называются Римановыми
пространствами, или пространствами без кручения.
66

Вычислим внешний дифференциал от уравнения (9.28). При этом
учтем, что dod = 0, а также воспользуемся уравнениями (9.28) для
исключения 2-форм dui" и dui^. В результате простых, но длитель-
ных вычислений мы получим
Щьы) = Чс;,) + Т^ьТ1ыу (9.30а)
К(Ы;1) = -ЩеиТЫ)- (9-306)
Здесь введены следующие обозначения: для любых величин (аьс
с тремя нижними (верхними) индексами С(аЬс) есть циклическая
сумма С(абс) = СаЬс + Сьса+СаЬ, У а = е£ V,,, оператор ковариантного
дифференцирования определен согласно (8.28), а индекс после точки
с запятой означает соответствующее частное ковариантное диффе-
ренцирование. Соотношения (9.30) называются тождествами Би-
анки.
В Римановом пространстве тождества Бианки упрощаются. За-
пишем их в локальных координатах:
R/i(v Хр) = 0 , R^(\p;a)—0, R^v \р = ЭцсгЩ, Хр- (9.31)
Укажем на основные свойства тензора Римана, вытекающие из
его определения. Хотя эти свойства мы формулируем в ортонорми-
рованием базисе, они, очевидно, имеют место в любом базисе. Для
Rab cd = VaeRt cd имеем:
1°.
Rab cd = —Rba cd , (9.32a)
Rab cd — —Rab dc ■ (9.326)
Равенство (9.32а) является следствием соотношения (8.22), а равен-
ства (9.32b) вытекают из того, что шс Aud = — uid Ли>с (см. (9.28Ь)).
Подчеркнем, что свойства (9.32) имеют место также и в простран-
стве с кручением.
2°. Следующее свойство справедливо лишь в Римановом простран-
стве:
Rab cd = Red ab ■ (9.33)
Для доказательства воспользуемся первым из тождеств Бианки
(9.31):
(i) = Rab cd + Rac db + Rad be = 0 .
67

Отсюда получаем, переставляя циклически индексы (a,b,c,d), еще
три тождества:
(к) = Rbc da + Rbd ас + Rba cd = 0 ,
(h) — Rcd ab + Rca bd + Rcb da — 0 ,
(I) = Rda be + Rdb ca + Rdc ab = 0 .
С учетом свойств (9.32) имеем
- {(i) + (*) - (h) -(/)} = Rad be ~Rbcad = 0,
что и требовалось доказать.
Подсчитаем число независимых компонент тензора кривизны в
каждой точке Риманова пространства размерности п. Это делается
с учетом свойств 1° и 2°. Число всех компонент тензора Римана:
га (га — 1)
типа Rab ab,
2
п(п- 1)(п-2)
2
га(га- 1)(га-2)(га-3)
типа Rab ас ,
типа Rab cd .
12
Число компонент типа Rab аь не нуждается в комментарии.
Число компонент типа Rab ас равно числу пар [а,Ь], равному
га (га — 1)/2, умноженному на число (га — 2) возможных индексов,
не равных ни а, ни Ь. Два случая а < b и а > b не приводят к
удвоению вследствие соотношения (9.33). Число компонент со всеми
различными индексами равно числу га(га—1)/2 пар индексов [а, Ь],
умноженному на число (га — 2)(га — 3)/2 остающихся возможностей
для пар отличных индексов [c,d], за вычетом числа соотношений
(9.31). Последнее число равно га(га — 1)! [3!(га— 4)!]-1 = 6_1га(га — 1) •
•(га — 2)(га — 3). Теперь явно учитывать соотношения (9.33) не следует,
так как они содержатся в учтенных уже тождествах (9.31). Сумми-
руя, находим число всех независимых компонент тензора Римана в
n-мерном пространстве:
68

9.6. Явные выражения для коэффициентов связности
В Римановом пространстве связность легко выражается через ме-
трический тензор. Обозначим d/dxx g^ = 5ц^,л и gvpTpx = T1/ilix.
Тогда (8.33) принимает вид
Делая здесь две циклические перестановки индексов (ц, г/, Л), полу-
чаем еще два равенства:
9\ц,1/ ~ * /i,Ai/ "Г * A,/if •
Сложим первые два равенства и вычтем третье. Учитывая (9.26),
находим
Г^~25 U^A ^" " ^J=\ /х J" (9-38)
Если кручение не равно нулю, то аналогичным образом получается
формула
Кх = { \Х } - £ <Г (^Кх + eaXTava + e„JJ( ). (9.38')
Выражение (9.38) называется символом Кристоффеля.
Выпишем в Римановом пространстве величину V^J^ для век-
торного поля, которая является аналогом дивергенции. Имеем в
согласии с (8.6'):
dJ11
где, согласно (9.38),
г ч - I п»° ^9ца
""~ 25 ах" •
Пусть ^ = det <JV • Тогда dg = gg^v dg^. Действительно, g-g'"/
есть минор элемента g^ в соответствующем определителе. При вы-
числении величины dg следует взять сумму всех дифференциалов
dgfivу умноженных на свои миноры. Поэтому
„/i<7^W_ n-i_^L ™ д*"\/Ы
9 дх» 9 дх" ' "" За:" '
69

Отсюда
V„J' = i^-(^iJ')
""' ~7P^vvm';' (9'40)
Выпишем также в Римановом пространстве выражение для опе-
ратора д'Аламбера. Пусть ф - скалярное поле. В качестве компо-
нент вектора возьмем величины gl"/ -^Ь. Имеем
°^=да(^^
(9-41)
Нам понадобится также формула для VW7T, где Т?" - симме-
тричный тензор. Имеем по определению
8
но, так как ТХи = TvX, то
1 1 Я
ГгрХг/ /-р , т^ \ гр\и А лрАь' ^
<9z"
Поэтому
v^ = ii(^;)4r
_ !ta^ д
ЦЪх"УЛ/]У]±»> 2 ai"
5Лк.
(9.42)
Формула (9.40) имеет и другое лицо. Рассмотрим (п — 1)-форму (см.
(8.45)):
wj = , * , Ец111з..фж J»1 dx^ Л ... Л dx^ . (9.43)
■ Е 1Ц1 dx^2 Л Л dx*"
Здесь J*1 - компоненты векторного поля. Вычислим внешний диф-
ференциал формы ujj\
dui.
1 3
¥\дх"
w\9\j":
-Eli,...^dxfl1 A...Adx^
(9.44)
Пусть У - подмногообразие размерности п с краем или просто
некая область в Л" с регулярной границей. В частности, подмного-
образие У может совпадать с X. Согласно теореме Стокса
/ duij = uij .
J У Jay
70

Зафиксируем ориентацию локальных систем координат так, чтобы
вторая квадратная скобка в (9.44) была положительна, а значит,
совпадала с элементом объема (8.46). Тогда последнее равенство
переписывается в более привычной форме:
/ (V„Jll)dV = f J»dS^. (9.45)
Jy Jdy
Элемент площади (п— 1)-мерной гиперповерхности задается формой
dS" = j^Ty. Ew-**-idx>il Л ■ • •Л dx"'~1 ■ <9-46)
Из (9.45) вытекает, что обращение в нуль коеариантной дивергенции
(9.40) влечет за собой сохранение некоего заряда. Действительно,
пусть подмногообразие У представляет собою в локальных коорди-
натах слой, ограниченный условием 0 < х° < t. Имеем dx0\gy = 0.
Поэтому в данном случае согласно (9.46) отличной от нуля будет
лишь dSo, которая в локальных координатах хц на гиперплоско-
сти х° = t равна
dS0 = y/^\\tdx1...dxn-1 = dS{t).
Вследствие равенства нулю обеих частей уравнения (9.45) имеем
Q = f (J° y/\jj\ )t dxl... diC""1) = const. (9.47)
Величина Q оказывается сохраняющейся и называется зарядом то-
ка JV-.
Выведем, наконец, выражение для связности в Римановом про-
странстве в ОНБ. Для этого предварительно необходимо устано-
вить явный вид форм ша. Практически это делается путем диаго-
нализации метрики (см. равенства (9.29)). Пусть dwa = С^сшь Лшс,
где С£. = — C"j, - известные коэффициенты постольку, поскольку
формы ша известны. Пусть ш% = ~]%сшс. Из уравнений структуры
(9.28а) имеем
^а,Ь с = « (7a,b с ~ 7а,с Ь) •
Как обыЧНО, Cafic - VadC$c, И 7а,be - Vadltc la,be = ~lb,ae- Ци-
клически переставляя индексы (а, Ь, с) два раза, получаем еще два
71

аналогичных уравнения. Складывая первые два из них и вычитая
третье, находим однозначное решение:
"аЬ = {Са.Ьс - Cb,ac - Ce,ab) ^ ■ (9-48)
В случае наличия кручения к правой части следует добавить выра-
жение {ТЬ,ас ~ ТаМ + ТС)аЬ) Шс/1.
В качестве простейшего примера рассмотрим Риманову геоме-
трию на поверхности сферы радиуса а. Метрика на поверхности
в сферических координатах имеет вид
ds2 = a2 (d62 + sin2 в йф2) = ujj + ш2ф . (9.49)
Отсюда видно, что в ОНБ (е#, еф)
u>e = ade, Шф^аъ'твйф. (9.50)
Теперь легко найти связность при помощи уравнения (9.28а) с Т£с =
= 0. Имеем йшф = a cos в dd Л <1ф или du/ф — a-1 ctg вид Л Шф = 0.
Сравнивая это уравнение с уравнением структуры ёшф+ШфеАшв — 0,
получаем, что
Щф = -a-1 ctg вшф + -jug .
Так как dug = 0, то второе структурное уравнение упрощается:
ш$ф Лшф = 0. Отсюда окончательно получаем
швф = -a-1 ctg вшф .
Вычисляя внешний дифференциал от формы связности, находим
ёшвф — а~2и>0 Ашф .
Следовательно, единственная отличная от нуля компонента тензора
Римана в выбранном нами ОНБ имеет вид
Явф вф~ оГ .
72

Часть II
ГЕОМЕТРОДИНАМИКА
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§10. Введение
10.1. Ключевые идеи
общей теории относительности
Теперь мы готовы приступить к изложению общей теории относи-
тельности, открытой в основном А. Эйнштейном, а также Д. Гиль-
бертом и другими.
Главные идеи общей теории относительности (ОТО) сводятся к
следующим.
1) Геометрическая идея
Пространство-время не является плоским псевдоевклидовым, а
является Римановым пространством с локалъно-псеедоевклидовой
метрикой. Кривизна пространства-времени обусловлена гравита-
ционным полем.
Таким образом, все физические явления происходят в кривом
пространстве-времени. Локальные координаты этого пространства
обозначаются х^, ц, v... = 0,1,2,3. Метрический тензор заключа-
ет в себе всю информацию о гравитационном поле. Связность не
имеет кручения. Координата х° считается временной. Координа-
ты хг, г = 1,2,3 -пространственные.
2) Динамическая идея
Согласно ОТО, инертная масса совпадает с гравитационной мас-
сой. Этот закон называется принципом, эквивалентности.
Из принципа эквивалентности следует, что все тела, независимо
73

от их массы, движутся в гравитационном поле в точности одинаково
(разумеется, если можно пренебречь размером этих тел по сравне-
нию с неоднородностями гравитационного поля, в котором они дви-
жутся). Это означает также, что в малой области мира, где грави-
тационное поле достаточно однородно, любое поле тяготения может
быть уничтожено с помощью преобразования координат. Такая си-
стема координат А'о может быть мысленно реализована в виде сво-
бодно парящего, достаточно малого ящика, на который не действуют
никакие внешние силы, кроме силы тяготения, под действием кото-
рой он свободно падает.
Математически рассмотрение физических явлений в системе А'о
означает выбор таких локальных координат ха, для которых ме-
трика максимально близка к псевдоевклидовой и связность локаль-
но (внутри описанного ящика) обращается в нуль. Опишем процесс
построения таких координат.
Проведем из точки р, находящейся внутри ящика, геодезиче-
ские по всем направлениям. Назовем множество таких геодезиче-
ских связкой геодезических в точке р. Пусть {еа} - некий ОНЕ в
точке р. Зададим аффинный параметр s (см.(9.5)-(9.6)) на каждой
геодезической и пусть
Здесь dx^/ds\p - вектор, касательный к некой геодезической в точ-
ке р. Очевидно, набор величин {va} однозначно задает геодезиче-
скую. Введем координаты ха = vas, которые являются координата-
ми точки на геодезической, выходящей из точки р с касательным
вектором va и отстоящей от точки р на расстояние s. Это значит,
что аффинный параметр в точке р считается равным нулю, а в
точке ха имеет значение s. В этих координатах уравнение геоде-
зической, проходящей через точку р, имеет вид ха = vas. Теперь
базис {еа} из точки ха — 0 перенесем параллельно в точку ха
вдоль геодезической, соединяющей эти две точки, так что ограниче-
ние 1-формы V еа на любую геодезическую из связки обращается в
ноль. Так как в наших координатах вектор, касательный к геоде-
зической, имеет компоненты dxa/ds = va = xa/s, то в полученном
базисе форма связности шаЬ(х) = ш"ь(х) dxc удовлетворяет условиям
шась{х)хс = 0. (10.2)
74

Введем дополнительный параметр t, 0 < t < 1 и вспомогательные
координаты xa—txa. Имеем
dxa = ха dt +t dxa . (10.3)
Теперь в формах связности шаЬ и смещения ша (см.(9.28)) сде-
лаем замену ха —> ха , dxa —> <f£a. Это означает, что вблизи точки
р используются также координаты ха, связанные с исходными ука-
занным соотношением. Таким образом, мы имеем гладкое отобра-
жение прямого произведения окрестности точки р и отрезка прямой
в эту же окрестность и соответствующий этому отображению пере-
нос дифференциальных форм, так что формы (10.4 - 5) являются
образами исходных форм. Вследствие (10.2) и (10.3)
ab ,~,ab ,~,ab
Ш — Ш
^Ht=o = 0, (10.4)
где шаЬ являются линейными комбинациями 1-форм dxa. Гранич-
ное условие (10.4) при t — 0 (т.е. в точке р) является следствием
(10.2) и (10.3). Имеем также
wa = xadt+u\ wa\t=o = 0. (Ю.5)
Форма ша разлагается по формам dxa, граничное условие (10.5)
при t = 0 вытекает из (10.3). Слагаемое в (10.5), пропорциональное
dt, имеет вид wa(di) = elvbsdt, причем е£ dxb = ea dx1*. Заметим,
что поля е£ vb не изменяются вдоль геодезических. Это вытекает
из уравнений
IK*) v»v< = 0 , ^ (el v" ) - It v»v< e3 = 0.
Здесь Г£с - символы Кристоффеля в координатах ха. Первое из
этих уравнений есть следствие уравнения геодезической d2xa/ds2 —
= 0, второе - следствие (10.2) и тетрадного постулата (8.39). Теперь
заметим, что с учетом сказанного и определения (10.1) вдоль каждой
геодезической из связки имеем
dx^
ах_
" ds
Р~Ч ds
то есть uia(dt) = elvbsdt = va sdt = xa dt. Таким образом вид
первого слагаемого в (10.5) установлен.
75

Вычислим внешние дифференциалы форм (10.4) и (10.5):
а дшаЬ t / дша\
duab = dtA -^— + 5шаЬ , dua = dt Л -dxa + —- + SQa . (10.6)
dt ' V & .
Здесь символ S означает внешнее дифференцирование относитель-
но переменных ха. Теперь подставим правые части уравнений (10.6)
в структурные уравнения (9.28) с нулевым тензором кручения и вы-
делим члены, пропорциональные dt. В результате приходим к сле-
дующим уравнениям:
^ = dx°+Qabxb, ^=RlciX<Qd. (10.7)
Уравнения (10.7) легко решаются методом итераций относительно
параметра t с граничными условиями (10.4) и (10.5). Находим с
точностью 0(t3):
Q°=tdxa + ±t3Rabcdxbxcdxd, Qab = ±t2Rabcdxcdxd. (10.8)
Очевидно, при t — 1 wa = ша , wb = шь. Поэтому имеем:
ds2 = т)аЬ шашь = gab dxa dxb , gab = т)аЬ + - Rac db xc xd ,
u>ab = ^Rabcdxcdxd. (10.9)
В (10.8) и (10.9) тензор кривизны берется в точке р.
Таким образом, можно так выбрать координаты, что связ-
ность обращается в нуль в любой заданной точке 1. Построенные
координаты называются нормальными координатами Римана.
Заметим, что участок кривой х° = s, xa = 0 вблизи точки
ха = 0 является участком геодезической. Действительно,
r6acL=o = 0, (10.10)
и потому уравнение геодезической в точке х = 0 принимает вид
d2xa
ds2
= 0. (10.11)
1 Можно показать, что надлежащим выбором системы координат можно обра-
тить в нуль все коэффициенты Г**А вдоль заданной мировой линии.
76

Кривая х° — s, ха = 0 удовлетворяет этому уравнению. Сказанное
означает, что если материальная точка или тело малых размеров
имеют координаты х° = s, ха = 0 и эти координаты являются
нормальными координатами Римана, то при х° — 0 тело движется
по геодезической. Наоборот, если тело движется по геодезической,
то возможно введение таких локальных координат, в которых коор-
динаты тела равны х° = s, xa = 0 и
(10.12)
Если Rab cd — 0 в точке р, то вблизи точки р отклонение метри-
ки от псевдоевклидовой еще меньше. Если же Я„ь cd — 0 везде, то
из уравнения (10.7) следует, что во всем пространстве координаты
можно выбрать так, что метрика будет везде псевдоевклидовой, т.е.
в этом случае пространство-время псевдоевклидово (если не учиты-
вать его глобальных топологических свойств).
Определим связь истинного времени, которое обозначается бу-
квой т, с координатой х°. Для этого рассмотрим два бесконечно
близких события, происходящих в одной и той же точке простран-
ства. Это значит, что dx' — 0. С другой стороны, этот же интервал
вычислим в нормальных координатах Римана (10.9), центр которых
находится в интересующей нас точке. Разумно считать, что в нор-
мальных координатах Римана интервал равен ds2 = с2 (dr)2 (с -
скорость света в пустоте). Так как интервал не зависит от локаль-
ных координат, то мы имеем
ds2 = <;оо (^°)2 = с2 (dr)2 ,
откуда
dr=-^g^dx°. (10.13)
с
Выражение (10.13) определяет изменение собственного времени для
данной точки по изменению координаты х°. Из (10.13) видно так-
же, что доо > 0. Это условие фактически лишь означает, что коор-
дината х° действительно является временной координатой. Если
бы условие <7оо > 0 не выполнялось, а метрический тензор был бы
по-прежнему локально-псевдоевклидовым, то надлежащим преобра-
зованием координат условие <7оо > 0 можно было бы восстановить.
ддаь
дхс
77

Выясним, чему равно пространственное расстояние между точ-
кой р с координатами х^ и бесконечно близкой к ней точкой q
с координатами х^ + dx^. Для решения этой задачи удобно счи-
тать, что точки р и q разделены нулевым интервалом: ds2 =
= g^v dx^ dx^ = 0. Решая последнее уравнение относительно вели-
чины dx°, находим
dx° = _^i^ ± l(_9jl + io19oi)'d~^x~j_ (10.14)
1 ' ' 9оо У V 9оо 9оо )
Очевидно, величина dx° = dx0^-, — dx%, является "временем", за
которое световой сигнал пролетает от точки q до точки р и обрат-
но. Согласно (10.13) находим соответствующее собственное время,
а умножая собственное время на с/2, находим пространственный
интервал dl, разделяющий точки р и q:
dl = Mij dx* dxi , 7y = -9ij + ^^ . (10.15)
V #00
Отсюда видно, что шесть величин 70 могут рассматриваться как
компоненты пространственного метрического тензора. Без труда
проверяется, что при чисто пространственной замене координат
(х° — х°, х' = /'(я-7)) величина 70 преобразуется как тензор ти-
па (2,0).
3) Идея общей ковариантности
Согласно этой идее, математическая формулировка теории осу-
ществляется в общековариантной форме, т.е. все уравнения тео-
рии являются тензорными (в частности, скалярными, векторными
и т.д.).
Отсюда следует, что все уравнения теории имеют одинаковую
форму в любых локальных координатах.
Далее мы занимаемся развитием теории на основе сформулиро-
ванных идей.
78

10.2. О точности измерения времени
в теории гравитации
Формула ds2 = c2dr2, где ds - интервал, a dr - собственное
время, требует некоторого комментария ввиду того, что реальные
часы имеют конечный размер ~ а. Оценим влияние размеров часов
на их точность. При этом мы будем использовать некоторые фор-
мулы, которые выводятся в следующих параграфах независимо от
результатов этого пункта.
Рассмотрим, например, в качестве часов в плоском пространстве
Минковского атомные часы, подчиняющиеся уравнению Шрединге-
ра
ih^j-^нф, (Ю.16)
где h - постоянная Планка и Н - оператор Гамильтона. Пусть
фп - собственная функция оператора Н с собственным значением
h шп ■ Тогда частное решение уравнения Шредингера имеет вид
фпЦ) = е-'ш-* фп .
Фактически атомные часы управляются разностями фаз (шт —шп ) t
при неких переходах. Эти фазы зависят лишь от мировых постоян-
ных h, с, т, е2, где т - масса электрона, е2 - константа электро-
магнитного взаимодействия.
Теперь рассмотрим такие же часы в ОТО, причем они не обя-
зательно движутся по геодезической. ОТО настаивает на общей
ковариантности всех уравнений, описывающих движение материи
во всех формах. Вместе с тем вблизи любой точки пространства-
времени может быть введена такая система локальных координат, в
которой метрический тензор близок (а в заданной точке совпадает)
к метрическому тензору в пространстве Минковского (см. (10.9)).
Пусть такие координаты построены в центре атомных часов. Вслед-
ствие принципа общей ковариантности в таких координатах уравне-
ние Шредингера совпадает с уравнением Шредингера в пространстве
Минковского с точностью до ддаь/дхс. Если размер часов ~ а, то-
гда с той точностью, с какой можно пренебречь величиной
79

можно считать, что часы подчиняются уравнению (10.16) в плоском
пространстве. Это означает, что с указанной точностью часы отсчи-
тывают время в метрике Минковского ds2 = с2 dt2 — (dx)2. Так
как в нашем случае dx = 0, a ds является инвариантом, то мы
видим справедливость формулы (10.13). Если тело движется по гео-
дезической, то вследствие (10.12) и (10.9) точность уравнения (10.16)
повышается до
д2д,
аЬ
dxcdxd
Ra1
(10.17)
Здесь R - кривизна пространства.
Оценим относительное изменение частоты часов под действием
возмущения (10.17). Для этого рассмотрим свободно падающие в
гравитационном поле атомные часы и оценим изменение частоты
n-го уровня. Для простоты рассмотрим водородоподобный атом.
Атом рассматривается в нерелятивистском приближении, посколь-
ку релятивистские поправки, вытекающие из специальной теории
относительности (или из уравнения Дирака) не имеют отношения к
рассматриваемому вопросу. В системе отсчета, в которой ядро по-
коится, в координатах (10.9) уравнение Шредингера для электрона
имеет вид
h л ( а
2т \ г
фп = h (ш„ + S шп ) фп .
(10.18)
Здесь ф - потенциал внешнего гравитационного поля, который сле-
дует добавить к кулоновскому потенциалу. Поле ф предполагается
стационарным и слабым. В этом случае справедливо соотношение
(11.7). При наших предположениях
/ \ /п\ , 1 925оо(0) „ в
доо(х) = 5оо(0) + - „ .. „ 'а ха хр
2 dxa dx?
и вследствие (11.7):
Постоянная величина ^(0) одинаково сдвигает все частоты в урав-
нении (10.18), и потому ее можно опустить. Таким образом, в урав-
нении (10.18):
1 д2ф(0)
ф[х) =
2 дха dx?
хах13
(10.19)
80

Сдвиг частоты 6шп в (10.18) стремится к нулю при стремлении к
нулю потенциала (10.19).
Обратим внимание на то, что оператор Лапласа в (10.18) имеет
свой обычный вид:
* = £(£)'■ <">•*»
Это означает, что отклонением пространственной метрики от плос-
кой мы пренебрегаем, в то время как отклонение доо от единицы
учитываем. Такой подход оправдывается тем, что из сопоставления
формул (11.10) и (18.16) в центрально-симметричном поле имеем
тф{В) = -{тс2)^, (10.21)
где R - расстояние от гравитирующего центра. Здесь мы имеем
дополнительный множитель (тс2). Поправки же к оператору Ла-
пласа вследствие изменения пространственной метрики такого мно-
жителя не имеют, и потому ими можно пренебречь.
Сопоставляя (10.21) и (10.19), мы видим, что в качестве тф в
(10.18) следует взять величину
SV=^^-(SaP-3nanp)xaxp, n« = ^, (Ю.22)
которая должна рассматриваться как возмущение гамильтониана
водородоподобного атома в центрально-симметричном гравитацион-
ном поле на расстоянии R от центра. Далее действуем согласно
правилам стационарной теории возмущений.
Очевидно, в (10.22) вместо хахр можно подставить
Сер = хахр - - г2 8ар , (10.23)
где г2 = (ха)2■ Но тензор (10.23) является неприводимым при орто-
гональных преобразованиях координат. Так как заданный уровень
энергии характеризуется лишь оператором углового момента 1а, то
среднее от симметричного тензора (10.23) (п\(а0\п) пропорцио-
нально среднему
2
( П | ( IJp + Ipla — о <W Мч ) I П ) •
81

Поэтому если атом не выстроен, т.е. если (п \ 1а1р \ п) = 0, то среднее
(п I Са/З | п) = 0 и поправка первого порядка к частоте отсутствует.
Поправка второго порядка имеет вид
[n\SV\m)\2
6ш» = Е Т2
тфп
h (шп
Отсюда имеем оценку
8шп ( SV
EnJ V &Еп
На краю Солнца R ~ 10псм, гравитационный радиус Солнца
гд ~ 3 • 105 см, а ~ Ю-8 см, Еп ~ 10 эВ, тс2 ~ 106 эВ. Поэтому на
краю Солнца имеем оценку точности атомных часов:
— ~10-80. (10.24)
ш
Идея вывода оценки (10.24) позаимствована нами у А.В. Беркова
и И.Ю. Кобзарева [11].
Заметим, что аналогично тому, как атомные часы измеряют аб-
солютное время (l/c)ds, небольшой жесткий стержень может рас-
сматриваться как эталон абсолютной длины в той системе отсчета, в
которой он покоится. Действительно, размеры твердого тела (кри-
сталла) определяются законами квантовой механики и значениями
мировых констант. Жесткость стержня и его малые размеры нужны
для того, чтобы можно было пренебречь гравитационными силами,
возникающими вследствие того, что д^д^дхр ф 0. Сказанное означа-
ет, что в указанном приближении интеграл от одного конца стержня
до другого (см. (10.15))
L= yjjij dxi dxi (10.25)
является постоянным во времени.
§11. Движение частицы
в гравитационном поле
Уравнение движения частицы в гравитационном поле легче всего
установить, исходя из принципа эквивалентности. Согласно этому
82

принципу, в указанной выше системе отсчета Ко гравитационное
поле отсутствует. Это означает, что в системе Ко в неких коор-
динатах ха частица движется равномерно и прямолинейно, что
математически выражается уравнением d2xa/ds2 = 0 для подхо-
дящего параметра s. С другой стороны, в системе Ко все компо-
ненты связности в точке ха обращаются в нуль согласно (10.12).
Поэтому частица движется по геодезической. Последнее утвержде-
ние является фактом объективным, не зависящим от системы ло-
кальных координат. Таким образом, уравнение движения частицы
в гравитационном поле имеет вид (см.(9.5),(9.6))
Как было указано в § 9, траектория частицы однозначно определя-
ется значением координат х^ и скорости dx^/ds при s=0.
11.1. Уравнение распространения
безмассовой частицы
Уравнение для распространения безмассовой частицы (луча све-
та) по форме совпадает с уравнением (11.1). Однако по причине,
которая ниже объясняется, параметр вдоль геодезической теперь
обозначается буквой Л. Представим поле электромагнитной волны
в виде / = а е-1*. Для плоской волны в псевдоевклидовом про-
странстве a = const, ф — кцХ^ , кцк11 = 0. В ОТО мы по-прежнему
имеем
*„ = ~, <Г*,А = 0. (11.2)
Здесь ф - угловой эйконал, к11 - волновой вектор. Второе из
уравнений (11.2) говорит о том, что фотон - частица безмассовая.
Теперь вместо уравнения dk^ = 0 в псевдоевклидовом пространстве
имеем уравнение (V^A)'1 = 0, которое в подробной записи имеет вид
^-+ Г£Л Г *Л = 0 , dx^=k>idX. (11.3)
Уравнение (11.3) решается совместно со вторым уравнением (11.2).
Эти уравнения совместны, поскольку параллельный перенос сохра-
няет скалярное произведение.
83

Вдоль геодезической (11.2)—(11.3) интервал ds = yjdx^dx^ = 0.
Такие геодезические называются нулевыми или изотропными.
Напомним (см.(9.29)), что символ ds2 зарезервирован для обо-
значения интервала. Поэтому в уравнениях (11.3) параметр вдоль
геодезической обозначается буквой, отличной от s.
11.2. Уравнение движения массивной частицы
Уравнение (11.1) для движения массивной частицы может быть по-
лучено из принципа наименьшего действия:
SS = -mcS I ds = 0, ds = \Jg^{x) dx^ dxv . (11.4)
Действительно, вычисление вариации в (П.4) дает
SS = —mcg^u^Sx^l + mc / dsSx1* < — (gn^u") — - ——- • u uv
J {ds 1 ох^
(11.5)
Здесь v? = dx^/ds - 4-скорость. Уравнение движения получается
приравниванием нулю выражения в фигурных скобках под интегра-
лом. С учетом того, что
d9nv _ ддци х
ds дхх
фигурная скобка оказывается равной (см.(9.38))
duv 1 (ддц„ дд^х ддхЛ Л v (duv л
Поэтому условие SS = 0 эквивалентно уравнению (11.1). Первое
слагаемое в правой части уравнения (11.5) показывает, что на ис-
тинной траектории движения частицы обобщенный импульс
г\ Q
PV=—Q^ = mCUV (И.6)
Имеется соотношение дц*' РцР„ = т2с2. Используя первое из ра-
венств (11.6), приходим к уравнению Гамильтона-Якоби:
dS dS 2 2
9 т,— т;— = тс . (Н-7
dx» dxv v ;
84

Уравнение Гамильтона-Якоби для безмассовой частицы отличается
от уравнения (11-7) лишь устремлением массы к нулю (см. уравне-
ние (11.2)).
11.3. Ньютоновский предел
Рассмотрим случай малых скоростей и малых гравитационных по-
лей. В этом случае д^ = т\^ + h^ , ц^ = diag(l, —1, —1,—1) и
hnv{z) - малые поправки. Следовательно, компоненты связности
имеют порядок h^. Кроме того, х° — ct, и можно считать, что
ds = cdt и u° = 1. Поэтому уравнение (11.1) дает
^ = -С2Г00 = с21\,оо. (11.8)
Всеми остальными слагаемыми в правой части уравнения (11.8) мож-
но пренебречь, если /3 = v/c —> 0. Так как компоненты связно-
сти малы, то в первом порядке относительно величин h^ имеем
Г'00 = —Г^оо- Согласно (9.38):
Чоо- 2 дх{ + dx0 ■
Но в пределе /3 —> О вторым слагаемым в правой части последнего
равенства можно пренебречь, поэтому уравнение (П-8) принимает
форму
rfV_ _с^8ды , ,
dt> ~ 2 дх* ■ ( 3
Как известно, в нерелятивистской механике мы имели бы в правой
части уравнения (11.9) выражение —дф/дх',тде ф(х) -потенциал
гравитационного поля. Следовательно, в рассмотренном приближе-
нии
доо = 1 + Ц- (П.Ю)
Заметим, что остальные компоненты метрического тензора, во-
обще говоря, того же порядка, что и #оо- Однако информацию
о них невозможно получить таким путем, т.к. эти компоненты вхо-
дят в уравнение движения частицы с дополнительными множителя-
ми с-1.
Обратим внимание на то, что в (11.10) потенциал ф берется
таким, что он стремится к нулю на бесконечности. Очевидно, что
85

в этом случае и #оо —> 1- Это соответствует естественному пред-
положению, что вдали от тел, создающих гравитацию, метрика мо-
жет быть выбрана псевдоевклидовой. Вблизи поверхности Земли
доо — 1 и — 2 • 10~9. Несмотря на такую близость #оо к единице,
траектории частиц вблизи Земли заметно искривляются, так как в
уравнении (11.9) доо умножается на квадрат скорости света.
11.4. Изменение частоты света,
связанное с гравитационным полем
Рассмотрим теперь слабое стационарное гравитационное поле, обра-
щающееся в нуль на бесконечности. Будем считать также, что на
бесконечности метрический тензор стремится к псевдоевклидовому
Щци и координаты х^ выбраны глобально. Стационарность поля
означает, что все поля не зависят от координаты х°. В описанной
ситуации координата х° может быть взята в качестве мирового
времени. Мировое время выбирается неоднозначно, поскольку к х°
можно добавить произвольную функцию остальных координат (но
не х° ). В противном случае свойство стационарности метрического
тензора было бы нарушено.
В ОТО существует возможность синхронизации часов в беско-
нечно близких точках р и q (см. начало § 10 и равенство (10.2)).
События (х°,х{) и (x° + dx°, х( + с1х(), где dx° = (dx°{1) + dx°{2))/2,
естественно считать одновременными. Действительно, середину про-
межутка времени, за который световой сигнал долетает от точки q
до точки р и без задержки возвращается в точку q, следует счи-
тать одновременной с моментом времени достижения этим сигналом
точки р. Таким образом, разность координаты х° для двух одно-
временных событий в близких точках равна
dxo = _i^dxi (1111)
доо
Используя (11.11), можно установить одновременность событий вдоль
любого незамкнутого контура. В частности, можно установить од-
новременность событий в любой точке пространства с событиями на
бесконечности, где метрика плоская.
Теперь рассмотрим в одной пространственной точке р два со-
бытия, разделенные интервалом времени Ах°. Рассмотрим также в
86

другой пространственной точке q два события, соответственно од-
новременных двум событиям в точке р. Важно, что в стационарном
случае два указанных события вблизи точки q разделены тем же
интервалом времени Ах°. Это следует из (11.11). Однако истин-
ное или собственное время будет, вообще говоря, различаться. Из
(10.13) и (11.10) находим
Отсюда видно, что собственное время тенет тем медленнее, чем
больше абсолютная величина гравитационного поля (поле всегда от-
рицательно при нашем граничном условии). Если часы побывали в
гравитационном поле, то они отстали от таких же часов, кото-
рые там не были.
Другое следствие (11.10) - изменение частоты света при переходе
из одних областей в другие. Согласно (П-2) частота света, измерен-
ная в мировом времени х°, равна wq = сдф/дх° . Поскольку
уравнение (11.2) для эйконала ф не содержит переменной х° яв-
но, то "импульс" ш0 сохраняется при распространении луча света.
Частота, измеренная в собственном времени, равна
дф дф дх° 1/2
Поэтому в слабом поле
ш= (i - 4) "о =>> — = -4- (и-13)
\ С1 J U)0 С1
Отсюда следует, что частота света возрастает при приближении
к создающим поле телам, т.е. в областях, в которых поле возра-
стает по абсолютной величине.
Этим объясняется смещение частот излучающих на Солнце ато-
мов в красную сторону. Действительно, у поверхности Солнца в
собственном времени частота излучения ш\ атома обычная. Но при
регистрации на Земле этот же свет, согласно (11.13), будет иметь
частоту W2 = (1 + Фо/с2)ых, где ф0 - потенциал у поверхности
Солнца.
87

Формула (11.13) дает возможность экспериментальной провер-
ки ОТО. Из (11.13) следует, что при распространении света и> (\ +
+ ф/с2) = const, откуда в свою очередь следует формула
Дш_ Аф
и> с2
Эффект, описываемый последней формулой, измерялся для Солнца
и некоторых других звезд. Например, для Солнца
ДоЛ / ( Аи\
) = 1,05±0,05.
еор.
v / Ti
Наблюдения осложнены допплеровским смещением, которое дает
сдвиг частоты в три раза больший.
Для белых карликов эффект возрастает в 10-100 раз, так как их
радиус во столько же раз меньше радиуса Солнца.
Однако самые точные измерения проведены на Земле (Паунд и
Снайдер). Идея опытов состоит в следующем. Излучатель квантов
был помещен на башне высотой h т 20 м, приемник 7-квантов ~
внизу так, что смещение было фиолетовым:
Дш дН „ ,„-14
= ~ = 2- 10 .
и с1
Для измерений использовалось мессбауэровское резонансное погло-
щение на Fe57. Несмотря на чрезвычайную трудность опытов, была
достигнута точность:
^эксп' = 1,00 ± 0,01.
С середины 70-х годов наступила новая эра для экспериментов
по красному смещению. Это связано с развитием стандартов часто-
ты сверхвысокой стабильности порядка Ю-15 ч- Ю-16 при време-
нах усреднения от 10 до 100 с и более. Благодаря этому удалось
зафиксировать разницу в показаниях часов, совершающих длитель-
ный полет на самолете на высоте ~ 104 м с аналогичными часами
на поверхности Земли, а также уследить за смещением частоты в
зависимости от высоты при запуске водородных мазерных часов на
ракете на высоту до 10 000 км. Во всех случаях согласие с предска-
заниями ОТО было лучше, чем 1%.

11.5. Вариационный принцип нахождения траекторий
В заключение этого параграфа укажем еще одну форму вариацион-
ного принципа для нахождения траектории частицы. Рассмотрим
вариационную задачу:
SS=-2S] dT{^r)9MX)^^ + '
е{т)(тсу \ . (И.14)
Здесь т - некий параметр вдоль мировой линии частицы и е(г) -
дополнительная переменная, играющая роль " лагранжевой перемен-
ной". В (11.4) независимо варьируются переменные е(т) и х''(г).
Условие стационарности действия в (11.14) относительно переменной
е(т) дает уравнение:
e{T) = -—x/g^i»i". (11.15)
Точка сверху означает производную по т. Подстановка (11.15) в
(11.14) возвращает нас к вариационной задаче (11.4), чем и устана-
вливается эквивалентность задач (11.4) и (11.14). Заметим, что ва-
риационный принцип для нахождения траектории частицы в форме
(11.14) удобнее, поскольку он допускает изучение безмассовых ча-
стиц. Для этого достаточно в (11.14) положить m = 0.
Если в (11.14) переменную г рассматривать как временную пе-
ременную, то из (11.14) следует выражение для лагранжиана ча-
стицы:
К лагранжиану (11.16) применим весь формализм аналитической
механики. Независимыми переменными в (11.16) являются е(г)
и х»(т).
§12. Тензор энергии-импульса
Рассмотрим действие для системы заряженных частиц и электро-
магнитного поля в гравитационном поле:
S = ^2 ) _т« с / у9цЛхп) dxn dxvn - — / Ац{хп) dx£ *> -
89

-йГ~ I ^g^F^F^^-gd'x. (12.1)
lo ttc J
Здесь индекс n нумерует частицы, x£ = x£(sn) - мировая линия
частицы с номером п и параметром sn и тп, еп - ее масса и заряд
соответственно. 1-форма А(х) = Ali(x)dx,i описывает потенциал
электромагнитного поля. Величина F^ = dp, Av — Э„ A^ является
тензором напряженности электромагнитного поля. Определим
2-форму F = <1А. Имеем
F = dA = д» Av dx" Л dxu = i F^ dx" Л dxv . (12.2)
Отсюда видно, что величины F^ действительно являются компо-
нентами антисимметричного тензорного поля типа (2,0) (см. дока-
зательство Предложения 1 в § 5). Действие (12.1) инвариантно от-
носительно общих (общековариантных) преобразований координат.
Поэтому уравнения движения, возникающие из условия 5S — 0, где
5S - вариация действия (12.1) относительно вариаций переменных
5 х£ и 5Ац(х), являются общековариантными.
12.1. Определение тензора энергии-импульса материи
Мы сначала изучим вариацию действия (12.1) относительно вариа-
ции метрики 8д^и{х).
По определению,
Здесь Т"" называется тензором энергии-импульса материи.
Чтобы убедиться, что при помощи уравнения (12.3) действитель-
но определяется тензор энергии-импульса, рассмотрим вариацию дей-
ствия (12.1). Обозначим
dsn
-"-Па d8n = y/giu,{xn)dx»dx». (12.4)
Без труда находим, что вариация первого слагаемого в (12.1) дает
2 г
- X! —^г~ / "«u"dSn' &зМхп) ■
90

Сравнивая последнее выражение с определением (12.3), находим, что
вклад массивных частиц в тензор энергии-импульса равен
7Г (*) = (-Ф)Г1/2 £ тпс2 [ dsn 8^ (х - хп) • < < . (12.5)
Второе слагаемое не зависит от метрического тензора и потому не
дает вклада в тензор энергии-импульса. Третье слагаемое в (12.1)
дает следующий вклад в тензор энергии-импульса:
Т7 = -^ (f^F^-^F^Fx^ ■ (12.6)
При вычислении (12.6) учтено, что 8д = д ■ д^ 8д^ Мы видим, что
величина Т7"" = Tf^ + Тд" в пределе псевдоевклидова пространства
{9iiv —> diag (1, — 1, — 1, — 1)) действительно переходит в известный
тензор энергии-импульса. Поэтому равенства (12.3) следует рас-
сматривать как определение тензора энергии-импульса материи.
Данное определение тензора энергии-импульса материи в точно-
сти повторяет определение электрического тока в электродинами-
ке. Для определения тока действие разбивают на два слагаемых,
первое из которых SmA описывает движение заряженной мате-
рии в электромагнитном поле, а второе Sa является действием
чистого электромагнитного поля. В нашем случае SmA дается пер-
выми двумя слагаемыми в (12.1). Электромагнитный ток J^{x)
определяется как вариация действия SmA относительно вариации
потенциала Ац:
8SmA = --c f J"{x)8Afi{x)^/-g{x)d4x. (12.7)
В нашем случае
J"(x) = (-g(x))- * Y, e" / ds» 5(4)(х ~ ж")' < ■
п J
12.2. Уравнения движения материи
в случае электромагнитного взаимодействия
Для полноты картины выпишем уравнения движения для частиц и
электромагнитного поля в Римановом пространстве. Они получают-
91

ся путем приравнивания нулю вариации действия (12.1) относитель-
но вариаций 8х^ и 8 Ац (х) соответственно:
6nS = 0, 6AS = 0. (12.8)
Вариация первого слагаемого в (12.1) относительно 8х£ была вы-
числена выше (см. (11.5)—(11.6)). Вариация второго слагаемого в
(12.1) относительно 8х^ дает вклад в 8п S, равный
^2 — I ds„5x^F^(xn)Un.
Поэтому уравнения движения для частиц во внешнем электромаг-
нитном поле имеют вид
( du^ г \ е
тс ( — + Т"Ха(х)ихи°\ =-F^(x)uv. (12.9)
Вариация действия (12.1) относительно 8Ац дает уравнение
(см. (12.7))
1 Я
' ^F^) = 4nJ^. (12.10)
V3^ dxv
Аналогично тому как было установлено, что правые части уравне-
ний (9.39) и (9.40) равны, можно показать, что левая часть уравне-
ния (12.10) равна \7l/Fl/fl. Поэтому уравнение (12.10) записывается
также в виде
V„ F"" = 4 тг J" . (12.10')
Вследствие тождества dd = 0 имеем из (12.2) dF = 0, что эквива-
лентно уравнениям
^ + ^А + ^=0. (12.11)
Уравнения (11.10) и (11.11) обобщают однородные и неоднородные
уравнения Максвелла на Римановы пространства.
12.3. Закон "сохранения"
тензора энергии-импульса
Имеется важнейшее следствие, вытекающее из инвариантности дей-
ствия 5, описывающего движение материи в гравитационном поле
92

(например, действие (12.1)), относительно общекоординатных пре-
образований. Чтобы получить это следствие, необходимо просле-
дить за изменением метрики при бесконечно малых преобразованиях
координат.
Пусть ум = хм —^(х) , ^ —»■ 0. Согласно общим правилам связь
компонент метрического тензора в координатах у11 и х11 дается
формулой
^) = t^J^(*). (12.12)
Будем проводить все вычисления с точностью до первого порядка
относительно ^. Тогда
Поэтому
<V dx" <V " дх»
9'цЛу) = 9»ЛХ) + I g^ ■ 9»* + ^r • SvA (x)
С другой стороны,
з'рЛу) =9'»Лх)- Ua J^9»A (ж)'
Комбинируя последние формулы, находим для величины 8д^{х) =
= 9'цЛх) -9цЛхУ
8
дх^
9 ц.
+
v=i°
дхи
д
дха
-9Х"
9 ци +
\ дх^
дхь
L +
~ ' 9\ч>
dgva
дх»
+ дх»
дха
■ д»а
(12.13)
Здесь мы учли, что
я^9*) 9°»- 9°Х дх»
? -9 &> I -57779 )9<т»--9 jrz9a^
Теперь учтем формулу (9.38) и перепишем равенство (12.13) в виде
х п — ^v _i_ ^ or* с
93

или окончательно
&дри = ЧцЬ + Чи£ц. (12.14)
Формула (12.14) дает вариацию метрического тензора в зависимо-
сти от вариации локальных координат. Подчеркнем, что величина
(12.14) есть разность компонент тензора в координатах у11 и х^,
взятых соответственно в точках у^ + ^ и х^ (а значит, в разных
точках многообразия X, поскольку одна и та же точка пространства
X имеет координаты хр или у^ ).
Аналогичным образом можно вычислить вариацию полей мате-
рии в зависимости от вариации локальных координат. Обозначим
совокупность материальных полей и их вариацию соответственно
символами q и Sq. В случае системы (12.1) q означает сово-
купность полей х£ и Ац [х). Для этих полей
6х" = -е, SA^CF^ + ^iCAv).
Теперь совершим бесконечно малое преобразование координат. Это
преобразование влечет за собой вариацию метрики (12.14) и вариа-
цию материальных полей Sq. Так как действие S материальной
системы инвариантно относительно общих преобразований коорди-
нат, то при этом вариация действия 8 S будет тождественно равна
нулю:
SS = SgS + SqS = 0. (12.15)
Здесь Sq S - вариация действия, следующая из вариации полей q.
Теперь будем считать, что материальные поля подчиняются урав-
нениям движения. Это равносильно условиям Sq S = 0 для любых
вариаций материальных полей (см. (12.8)). В этом случае Sg S — О,
что с учетом определения (12.3) и равенства (12.14) дает уравнение
fT"v(Vli^)yf^dix = 0 (12.16)
для любого ковекторного поля £v(x). Теперь учтем, что
и согласно (9.40):
v,(^6)-7=^(V=?^^).
94

Допустим, что на бесконечности £у(х) обращается в нуль. Тогда с
учетом выписанных формул левая часть равенства (12.16) преобра-
зуется к виду
-j(VllT'tI')ZvJ=jdix = 0.
Ввиду произвольности поля £„ отсюда следует, что
\7^Т^ = 0. (12.17)
Уравнение (12.17) имеет место лишь в том случае, когда поля мате-
рии подчиняются уравнениям движения.
Подчеркнем, что уравнение (12.17) не означает сохранение какой-
либо величины. Из результатов следующего пункта можно сделать
вывод, что в уравнениях (12.17) содержатся уравнения движения
материи.
12.4. Уравнение движения релятивистской жидкости
Многие физические системы, включая, вероятно, саму Вселенную,
можно рассматривать приближенно как идеальную жидкость. Дви-
жение идеальной жидкости может быть описано при помощи урав-
нения (12.17), где Т^ — ее тензор энергии-импульса. Обозна-
чим через W 4-скорость релятивистской жидкости в данной точке
пространства-времени, нормированную обычным образом:
UllUli = l, и{ = у*и°. (12.18)
Тогда тензор энергии-импульса имеет вид
Г"" = {e+p)U'iUv -pg"1'. (12.19)
Здесь е и р - скалярные поля, смысл которых выясняется при
переходе в локальную систему координат К0, в которой д^ = т]^
(см. § 9) и жидкость покоится, т.е. U^ = (1,0,0,0). В системе А'о
(которую мы будем называть собственной) имеем
Т00 = г , V> = p6ij , foi = 0 . (12.20)
Отсюда видно, что е является плотностью энергии жидкости, а р
- ее давление в системе Ко.
95

Подставляя тензор (12.19) в уравнение (12.17), можно получить
уравнение движения релятивистской жидкости. Для этого необ-
ходимо ввести в рассмотрение сохраняющийся 4-вектор тока час-
тиц п^:
V„n" = 0. (12.21)
Из условия (12.21) следует, что полное число частиц
N = J n° y^gdx1 dx2 dx3 сохраняется (см. (9.47)). Очевидно, что
4-вектор п11 должен быть пропорционален 4-скорости V, т.е.
иметь вид
n'i = nU'i. (12.22)
Здесь п(х) - скаляр, из определения которого ясно, что п есть
плотность числа частиц в собственной системе отсчета.
Рассмотрим далее энтальпию W = Е + pV, которая есть тер-
модинамическая величина, характеризующая состояние некой под-
системы, заключающей в себе определенное количество вещества.
Здесь Е - полная энергия подсистемы, р - давление, а V - ее
объем в собственной системе отсчета. Если к этой подсистеме не
подводится тепло, то dE = —pdV. Отсюда
dW-Vdp. (12.23)
Соотношение (12.23) справедливо в случае отсутствия теплообмена
или в случае сохранения энтропии.
В формуле (12.19) величина w — e + p является энтальпией еди-
ницы объема в собственной системе отсчета. Поскольку объем, при-
ходящийся на одну частицу, есть 1/п, то энтальпия, приходящаяся
на одну частицу, равна w/n. В случае изэнтропического движения
согласно (12.23):
d(") = ±dp.
\nJ п
Подставляя (12.19) в (12.17), получаем
V„ Т"» = U" Vu{wUu)+w Uv V„ U" - g"v dvP.
Спроектируем равенство (12.25) на Up и учтем (12.18)
U,, V^ Г"" = V^ (w Uv) - Uv dvV.
Ho
V„{wU") = V„ (- n Uv} =nUvdv (-)
(12.24)
(12.25)
(12.26)
(12.27)
96

вследствие (12.21) и (12.22). Комбинируя (12.27) и (12.24), мы нахо-
дим, что правая часть (12.26) обращается в нуль.
Теперь мы можем, обратив ход рассуждений, сделать вывод: вы-
полнение уравнения (12.17) означает выполнение соотношения (12.24)
при движении релятивистской жидкости, т.е. ее движение являет-
ся изэнтропическим. С учетом сказанного уравнение V„ Т = О
означает, что
wUvVvUli = dlip-UliUvd„p. (12.28)
Уравнение (12.28) является релятивистским обобщением уравнения
Эйлера. Проведенный анализ показывает, что не только уравнение
(12.17) является следствием общей ковариантности и уравнений дви-
жения, но и сами уравнения движения содержатся в (12.17).
В случае электромагнитного взаимодействия из (12.5) и (12.6)
получаем (след тензора (12.6) равен нулю):
ТЦ = {-ЯГ112 £ m» c2 / dsn 5\x - хп).
Но (в системе Ко) dsn = cdtn д/l — /?~. Поэтому в ультрареляти-
вистском пределе (/?„ —> 1) dsn —> 0, и мы имеем
Т; = 0. (12.29)
Предположим, что макроскопические силы являются результатом
усреднения микроскопических электромагнитных сил. Тогда равен-
ство (12.29) сохраняет свою силу в ультрарелятивистском пределе
для макроскопического тензора энергии-импульса (12.19), что дает
в этом предельном случае уравнение состояния
Р=\е. (12.30)
Хотя уравнение состояния (12.30) выведено для чисто электромаг-
нитных сил на макроскопическом уровне, представляется разумным
считать его справедливым в ультрарелятивистском пределе также и
для микроскопических сил любой другой природы.
§ 13. Уравнение Эйнштейна
В §§ 11,12 были выписаны уравнения, определяющие движение ма-
терии в заданном гравитационном поле. Однако материя и сама
97

создает гравитационное поле. Поэтому наша задача - сформулиро-
вать уравнение, связывающее гравитационное поле и механические
характеристики материи.
13.1. Физический вывод Эйнштейна
В ньютоновском пределе (малые скорости и поля) гравитационное
поле подчиняется уравнению Пуассона:
Аф = 4жвц. (13.1)
Здесь G — 6,67 • Ю-8см3-г-1 • с~2 - гравитационная постоянная,
ц - плотность массы тела. Часто пользуются вместо G величиной
«2=^ = 1,86.10-27смт-1) (13.2)
с1
которая называется эйнштейновской гравитационной постоянной.
В нерелятивистском пределе е = ц с2, и давление р пренебре-
жимо мало по сравнению с величиной е. Поэтому тензор энергии-
импульса (12.19) принимает вид Т1"/ = цс^и^и". Кроме того, в
нерелятивистском пределе и0 — 1, и' = 0 и из всех компонент Т'"'
остается только
Тт = цс2. (13.3)
Используя (11.10) и (13.3), перепишем уравнение (13.1) в виде
Л</оо=~ТЬо. (13.4)
с4
Последнее уравнение указывает путь, по которому следует дви-
гаться. Очевидно, что в полном уравнении должны участвовать рав-
ноправно все компоненты тензора энергии-импульса. Поэтому иско-
мое уравнение имеет вид
G>„ = ——Три- (13.5)
Здесь слева - некий тензор, который строится из метрического тен-
зора и его производных. Уравнение (13.5) удовлетворяет принципу
общей ковариантности теории.
98

Тензор G^u удовлетворяет нескольким требованиям:
а) Поскольку Т^ = TUII , то и G^ = GU)i.
б) Поскольку тензор энергии-импульса удовлетворяет уравнению
(12.17), то G^ должен удовлетворять тождеству
V„G£ = 0. (13.6)
В этом случае уравнение (12.17) автоматически следует из уравне-
ния (13.5). В этом смысле ситуация похожа на ту, которая имеет
место в электродинамике: из уравнения Максвелла (12.10) автома-
тически следует закон сохранения электрического тока V^, J^ = 0
(см. (9.40)).
в) Тензор G^ должен быть линеен относительно вторых производ-
ных метрического тензора и квадратичен относительно первых про-
изводных метрического тензора. Все остальные комбинации произ-
водных метрического тензора в G^ недопустимы, так как в против-
ном случае при изменении масштаба гравитационное взаимодействие
полностью изменяло бы свой характер. Согласно этому требованию
G^u = C\ RpU + C*2 g^u R. (13.7)
Здесь
R»» = R\\», R = R» (13.8)
тензор Риччи и скалярная кривизна пространства соответственно,
а С\ и Сг - константы. Из (9.19) и (9.38) следует, что величина
(13.8) удовлетворяет свойству в), а из (9.32) и (9.33) - что тензор
Риччи симметричен. Поэтому величина (13.7) удовлетворяет также
свойству а).
г) В релятивистских уравнениях (13.5) содержится теория Ньютона
как предельный случай.
Условие б) даст возможность найти соотношение констант С\ и
CV Используем для этого тождество Бианки (9.31):
VCT Дл/i pv + Vp-RA/i vo + V„-RA/i ар = 0 . (13.9)
Напомним, что согласно (8.29) V\д^и = 0. Поэтому (см. также
(8.21))
gfiX VoR\n Pu = Va {дрх RXfi pv) = V.R^ .
99

Умножим тождество (13.9) на дрХ и используем последнее равен-
ство. Это приводит к тождеству
Vct^/ji/ — V^-R/jct + V\R ц vo = 0 .
Умножая это равенство на д1"7, получаем
V^u-^duR=Q.
Отсюда видно, что если Сг = — \С\, то имеет место тождество
(13.6), где
Си = Rf" - ]- д^ R . (13.10)
Таким образом, искомое уравнение имеет вид
Rnv- ^9^R= —^T^y. (13.11)
Уравнение (13.11) называется уравнениель Эйнштейна.
Умножим уравнение (13.11) на g^v:
r = -^t, (г = г;). (13.12)
Исключая из уравнения (13.11) скалярную кривизну при помощи
соотношения (13.12), переписываем уравнение Эйнштейна в экви-
валентной форме:
R,u^-^-{T,v-\g,vT). (13.13)
Остается установить свойство г).
В начале этого параграфа было показано, что единственная от-
личная от нуля компонента T^v имеет вид (13.3). Поэтому мы
должны рассмотреть уравнение (13.13) с индексами fi = и = 0:
Roo=^H- (13.14)
При вычислении величины Доо замечаем, что члены, квадратичные
относительно связности (см. (9.19)), малы в Ньютоновском пределе.
Поэтому
Д°0 = ^Г--^Л- (13Л5)
100

Члены, содержащие производные д/дх°, малы, как содержащие
лишний множитель с-1. При вычислении величины Т'00 согласно
(9.38) следует помнить, что все недиагональные элементы д^и дают
лишнюю малость. Поэтому в нужном приближении
00 " 2дх*
Комбинируя уравнения (11.10), (13.14) - (13.16), мы возвращаемся
к уравнению (13.1), что и требовалось.
13.2. Вывод Гильберта,
Одновременно и независимо от Эйнштейна уравнения (13.11) были
получены Гильбертом при помощи принципа наименьшего действия.
Мы воспроизводим здесь этот вывод, пользуясь другим формализ-
мом.
Рассмотрим 4-форму:
A=^eabcdRab/\uc/\ujd. (13.17)
Здесь Eabcd - абсолютно антисимметричный тензор, еот = 1,
2-форма кривизны Rab = R^dx11 t\dxu выражается через 1-форму
связности ш^ь dx1* согласно (9.28Ь) и ша = e^dx^. Таким образом,
вычисления идут в ортонормированном базисе. Имеем
£abcd е-14 = (det eca) е^хр е£е£ .
Из соотношения д^ = Т]аьеа^еьи получаем д = (det 7;ab)(det е£)2 =
= -(det е^)2. Пусть det e£ > 0. Тогда det e£ = ^д и
eabcdecxedp = E^pe^b. (13.18)
Тензор ЕциХр определен в (8.45). Форма (13.17) переписывается
при помощи (13.18) в виде
Л = i dx" Л dx» Л dxx Л dxp ЕатХр еаае\ Rfu .
Теперь учтем, что (см. (8.35))
«X Rfu = R% > dx^Adx'Adx* Adxp = dx° Adx1 Л dx2 Adx3 -e^xp ■
(13.16)
101

Поэтому
л = jV-gd,x° Л dx1 Л dx2 Л dx3 ■ е^хреат\р R% ■
Но
и окончательно
Л = </У-Л, R=R^, dV = ^g<Px. (13.19)
Согласно Гильберту действие гравитационного поля равно
s9
= -~ J d^V^R, (13.20)
где скалярная кривизна выражена через метрический тензор при
помощи формул (9.19) и (9.38). Таким образом, функционал (13.20)
зависит лишь от тензора дци. В подходе, излагаемом нами, действие
Гильберта записывается в форме Палатини:
S -- —
*9~ 2«2
/ Л = _ 2^ / d*x^« < • (13-21)
Важно, что тетрада и связность в (13.21) рассматриваются как не-
зависимые переменные. Если же выразить связность при помощи
уравнений структуры через тетраду (следовательно, через метрику),
то согласно (13.19) действия (13.20) и (13.21) совпадут.
Принцип наименьшего действия гласит, что уравнения движения
получаются из условия
S(Sg + S) = 0. (13.22)
Здесь S - действие материи (см. § 12). В нашем формализме
независимо варьируются переменные w"b, e" и q. Напомним, что
переменные q описывают степени свободы материи.
Вычислим вариацию формы (13.17), используя (9.28):
ieabcduc Л^Л8waA - iеаЬЫГл^Л8иаЬ+
SA = d[-e,
+ ^£abcdRab/\uc/\6ud. (13.23)
102

Здесь Тс обозначает левую часть уравнения (9.28а). Формула
(13.23) без труда выводится в такой точке пространства, в которой
и> — 0. Согласно § 10, этого можно добиться в любой точке, выби-
рая соответствующим образом базис. В такой точке имеем
<L6ujab=l-6Rab, йшс = \тс.
Поэтому
-£abcd&Ra Л ШС Л Wd = -6abcdUC Л Ud Л dSuj" =
4 2
= d Г-еаьышс h^hSu"^ -^£abcdTc hud Л8иаЬ.
Таким образом, первые два слагаемых в (13.23) возникают вслед-
ствие вариации связности, последнее слагаемое тривиально получа-
ется вследствие вариации тетрады. Формула (13.23) проверена в
точке, в которой шаЬ — 0. Теперь из факта независимости обеих
частей уравнения (13.23) от базиса следует, что уравнение (13.23)
справедливо в любой точке.
Приведенное вычисление, использующее возможность обращения
связности в нуль в любой точке пространства, характерно для диф-
ференциальной геометрии и теории гравитации. Таким путем можно
резко сократить вычисления.
Теперь заметим, что действие материи 5, рассмотренное в § 12,
не зависит от связности иаЬ, а зависит лишь от метрического тен-
зора, т.е. от тетрады. Далее вплоть до специальной оговорки мы
будем предполагать, что действие материи не зависит от связности.
Поэтому часть уравнений в (13.22) получается приравниванием ну-
лю коэффициента при 6и>аЬ в (13.23). При этом первое слагаемое в
(13.23) можно отбросить, поскольку оно является полной производ-
ной. Таким образом,
или
е?м Т„Х) - e(/J T°A) = 0
(смысл обозначения (fivX) см. после (9.30)). После умножения
последнего равенства на е\ получаем
Г;„ = (е°^д-е-Т*д)е^. (13.24)
103

Теперь умножим равенство (13.24) на eva, что дает T*eva = 0.
Вместе с (13.24) это означает отсутствие кручения. Таким образом,
вариация (13.22) относительно связности дает уравнение
дЛ - д„е1 + ufebv - ш1ьеЬ1, = 0 , (13.25)
которое имеет единственное решение (9.48) (или (9.38) в базисе
д/дх» ).
В результате проведенного этапа вычислений мы вернулись к
действию Гильберта (13.20) для гравитационного поля. Однако при
вычислении вариации (13.22) относительно тетрады тензор кривиз-
ны R°^v следует считать постоянным. С учетом того, что
2 V/r?/'/<^ = <Vr9', Sg^^eapSe^ + eavSel, 5e"b = '-е£< 5е\ ,
(13.26)
без труда находим коэффициент в 8Sg при 8еа:
±d\v4(Ke:-\
2Л^(ЛМ-:е;Л). (13.27)
Вариация действия материи получается из (12.3). Следует лишь сде-
лать подстановку Ьдц1/ согласно (13.26). В результате коэффициент
при 5еа в 5S будет равен
--Рху/^дТ^е^. (13.28)
Согласно принципу наименьшего действия сумма выражений (13.27)
и (13.28) равна нулю, что означает выполнение уравнения
-L (яг Лд^ R\ ЛтЛ еа„ = 0, (13.29)
которое вместе с уравнением (13.25) эквивалентно уравнению (13.11).
Одновременно нами доказана следующая формула для вариации
действия Гильберта (13.20) относительно метрики:
5S3 = - JL j d {еаьы ис Л ыл Л ЬыаЬ)+
j dAXyf^{R^-l-g^R)5g,v. (13.30)
с
104

Действительно, было показано, что если кручение равно нулю, то
действие (13.21) совпадает с действием Гильберта. Поэтому прова-
рьируем действие (13.21), считая связность выраженной через ме-
трику (или тетраду) согласно уравнению (13.25). Тогда второе сла-
гаемое в (13.23) автоматически равняется нулю, а оставшиеся два
слагаемых приводят (с учетом формул (13.26)) к равенству (13.30).
В настоящее время согласие ОТО с опытом установлено прибли-
зительно с точностью от 1% до 20 % в зависимости от вида экспери-
мента. Однако экспериментальных данных мало.
13.3. Возможны ли другие варианты теории?
Теория должна быть безмассовой из-за дальнодействия. Действи-
тельно, массивное поле в релятивистской механике удовлетворяет
уравнению вида
(г &£ + •*)* = *■
Если имеется статический точечный источник в начале координат,
то последнее уравнение принимает вид
{-А + гп2)ф = С6{3)(х).
Решение этого уравнения имеет вид ф ~ (r_1) (exp— mr), откуда
видно, что дальнодействующее поле не может быть массивным.
а) Скалярная теория. Взаимодействие скалярного поля с ма-
терией могло бы быть вида
£ш ~ фТ£ .
Но след тензора-энергии электромагнитного поля равен нулю. По-
этому оно не взаимодействовало бы с гравитационным полем и не
отклонялось в нем. Вообще в ультрарелятивистском случае вслед-
ствие уравнения (12.29) отсутствовало бы взаимодействие материи с
гравитационным полем. Но это противоречит эксперименту.
б) Векторная теория неудовлетворительна тем, что векторные
частицы (фотоны) приводят к притяжению противоположных по
знаку частиц (частица -f античастица) и отталкиванию одинаковых
частиц.
105

в) Теория типа R2 явно или неявно содержит вторые производ-
ные по времени. Такие динамические системы не рассматриваются,
поскольку нарушают всю традицию механики.
13.4. Теория гравитации с А-членом
Весьма важным для космологии обобщением уравнения (13.11) явля-
ется уравнение с так называемым Л-членом:
1 о_ fi
R^--^9^R=-^-Т^ + Ад^. (13.31)
Здесь Л - некая константа, имеющая размерность кривизны, то есть
см-2. Эта константа должна быть весьма малой, чтобы уравнения
(13.11) и (13.31) фактически приводили бы к различным следстви-
ям лишь на очень больших космических масштабах. При Л —> О
условия а) - г) этого параграфа выполнены.
Уравнение (13.31) рассматривалось еще Эйнштейном. Это урав-
нение может быть получено из вариационного принципа, если вместо
(13.21) использовать следующее выражение для действия гравитаци-
онного поля:
с3 Г
Sg = -^^ j d4xyf^{R+2A). (13.32)
Теперь (13.31) выводится при помощи (13.26) и (13.30) из условия
6{Sg + S) =0.
§ 14. Гармонические координаты
Будем рассматривать уравнения (13.11) как дифференциальные урав-
нения второго порядка относительно компонент метрического тен-
зора.
Симметричный тензор в 4-мерном пространстве-времени имеет
10 независимых компонент. Поэтому на первый взгляд может по-
казаться, что уравнений Эйнштейна при заданных граничных усло-
виях может быть достаточно, чтобы определить д^ единственным
образом.
Вспомним, однако, что тензор, стоящий в левой части уравнения
(13.11), удовлетворяет тождеству (13.6), которое состоит из 4-х диф-
ференциальных уравнений. Из этого тождества следует, что число
106

независимых дифференциальных уравнений среди уравнений Эйн-
штейна равно 10 — 4 = 6. Отсюда в свою очередь следует, что урав-
нения (13.11) оставляют неопределенными 4 степени свободы в 10
неизвестных компонентах дци. Эти степени свободы соответствуют
тому, что если дци - решение уравнений Эйнштейна, то решением
его будет также и д', которое получается из д^ с помощью про-
извольного преобразования координат х —У х'. Такое преобразова-
ние координат вводит четыре произвольные функции х'(х), соответ-
ствующие как раз четырем степеням свободы в решении уравнений
Эйнштейна.
Недостаточность эйнштейновских уравнений для определения дци
единственным образом аналогична недостаточности уравнений Макс-
велла для однозначного определения вектор-потенциала Ац. Эта
неоднозначность используется в каждой конкретной задаче нало-
жением калибровочного условия так, чтобы это облегчало решение
задачи.
Аналогично поступают и в общей теории относительности. Из
сказанного ясно, что в данном случае следует выбрать некоторую
конкретную систему координат. При этом исключается неоднознач-
ность в метрическом тензоре. Особенно удобны при наличии слабых
гравитационных полей условия гармоничности координат :
ГА = я"" Г*„ = 0 . (14.1)
Условие (14.1) всегда возможно. Действительно, согласно (8.34):
^=g^rK, = d-^g^^-^^ + ^ gV g
У V"' дх\» дх»' дх»1 "" дхх дх»'дх"' У
Р" —
= дх* гЛ dx* д*х* дх» дх»' = дх* рЛ д*х*
дхх дхх дх»'дх"' дха дхР дхх дхРдх"
(14.2)
Если ГЛ не исчезает, то мы вводим новую систему координат, ре-
шив следующие дифференциальные уравнения второго порядка в
частных производных:
^/!^1_^ГЛ = 0. (14.3)
дх»дхи дхх v ;
Тогда согласно (14.2) ГЛ = 0 в координатах х'.
107

Чтобы выяснить математический смысл уравнения (14.3), исполь-
зуем представление символов Кристоффеля через метрический тен-
зор (9.38), а также формулы, следующие за (9.38):
ГЛ = 1=-2-Ы=д?х). (14.4)
С учетом (14.4) уравнения (14.3) переписываются в виде
Я2„Л' 1 Я„Л' X)
ох^ох" yj—g ox" oxi1
Левая часть последнего уравнения совпадает с (9.41), где вместо
поля ф подставлена координата х .
Теперь проясняется смысл термина "гармонические координа-
ты": гармонические координаты х' удовлетворяют уравнению
д'Аламбера (14.5).
Пусть х^ - гармонические координаты, т.е. условие (14.1) вы-
полнено. Согласно (14.4) это означает выполнение условий
%(V4<r) = o. (14.6)
дх
Если х' - другие гармонические координаты, то согласно (14.5) они
удовлетворяют уравнениям
д2хх'
<Л -5—5— = 0 • (14-7)
Очевидно, что в пространстве Минковского обычные ортогональные
координаты являются гармоническими, поскольку gl'u = diag(l, — 1,
— 1,-1) и g — —1. Тем самым условия (14.6) выполняются триви-
ально.
В некоем смысле гармонические координаты в кривом простран-
стве максимально близки (в конечном участке пространства, в от-
личие от бесконечно малого участка пространства, рассмотренного
в § 10) к ортогональным координатам в пространстве Минковского.
Однако, хотя условия (14.1) накладывают некоторые ограничения
на координаты, эти условия не фиксируют координаты однозначно.
Это видно уже на примере пространства Минковского. Действи-
тельно, если добавить к гармоническим координатам любые реше-
ния уравнения д'Аламбера (14.7), то новые координаты останутся
108

гармоническими. Известно, что уравнение д'Аламбера имеет беско-
нечно много решений, которые легко описываются в пространстве
Минковского. Ситуация опять аналогична ситуации в электродина-
мике. Фиксация калибровки условием д^А* = 0 неоднозначна,
поскольку потенциал А'^ — А11 + д^ /, О / = 0 также удовлетворяет
условию дц А'11 = 0.
В заключение отметим, что условие (14.5) не является тензор-
ным, т.к. координаты не являются скалярными величинами. Усло-
вия гармоничности отбирают некий класс координат, которые осо-
бенно полезны при изучении гравитационных волн.
§15. Задача Коши
В этом параграфе в качестве независимых переменных берутся те-
трада e£(z) и связность ш^ь(х). Эти переменные подчиняются
уравнениям (13.11), в которых тензор кривизны выражен через связ-
ность согласно (9.286), и уравнениям (13.25).
Мы хотим изучить следующую задачу. Предположим, что на
"гиперповерхности" х° — const заданы поля тетрады и связности.
Можно ли найти эти поля на "гиперповерхности" х° + 6х°, исполь-
зуя уравнения (13.11) и (13.25) и заданные начальные условия при
х° = const? Эта задача называется задачей Коши.
Заметим, что тождество Бианки (9.31) или (13.9) вытекает не-
посредственно из определения тензора кривизны (9.286). Поэтому
тождество (13.6) для тензора (13.10) имеет место всегда независи-
мо от выполнения уравнений (13.11) и (13.25). Распишем тождество
(13.6):
G** = —jrjGl*-TvavGav-TvovGlta. (15.1)
Точка сверху означает производную д/дх°. Согласно общим фор-
мулам пересчета связности (8.5) и с учетом (8.35) имеем
Kx = <'l»h + °z£x'i- (15-2)
Так как тензор С" содержит величину ша„ь в степени не вы-
ше первой, то с учетом (15.2) можно утверждать, что правая часть
109

равенства (15.1) содержит ш"ь в степени не выше первой. Следова-
тельно, величина С0 вовсе не зависит от ша^.
В уравнениях (13.11) и (13.25) не содержатся eg и ш^ь. Поэтому
поля eg (я) и ШцЬ(х) не являются динамическими переменными,
они являются произвольными функциями, смысл которых выяснит-
ся ниже. Таким образом, динамическими переменными являются
поля e?(z) и ш?ь(х), 1=1,2,3.
Выше было показано, что компоненты GM° не зависят от wfb.
Из определения тензора С" (13.10) видно, что он не зависит от
ё". Поскольку компоненты С0 не зависят от производных д/дх°
от каких-либо полей, то эти компоненты не могут зависеть также
и от полей ujQb(x). В противном случае была бы нарушена общая
ковариантность теории. Далее из (13.7) видно, что действие Sg
зависит от eg линейно, и потому из (13.33) следует, что С не
зависит от eg. Поэтому уравнения (см. (13.11))
дро_1^0д_^Т"0 = 0 (15.3)
не содержат полей eg, ш$ь, ё°, ш?ь. Четыре уравнения (15.3) явля-
ются связями между переменными ef и ш"ь на гиперповерхности
х° — const. Очевидно, что 12 из 24-х уравнений (13.25) также явля-
ются связями:
3i е] + ш? ebj - dj ef - wf ebi = 0 . (15.4)
Уравнениями движения являются уравнения
ё? = -ша0ь ebi + di еа0 + uf> еьо , (15.5)
Rij - I gij R - ^ Т* = 0. (15.6)
Пусть на гиперповерхности х° = const заданы переменные е°
и ш?ь, удовлетворяющие условиям (15.3) и (15.4). Такие перемен-
ные будем называть допустимыми. Тогда при помощи уравнения
(15.5) можно найти переменные е° в момент времени х°+8х°.Шз
этого же уравнения виден смысл полей wg и eg, которые произ-
вольны. Поля Wq генерируют локальные преобразования Лоренца
ОНБ {еа}, а поля eg производят общее преобразование локаль-
ных координат. Действительно, изменение метрики gij = e?eaJ- за
ПО

бесконечно малый промежуток времени S х° согласно (15.5) равно
(сравни с (12.14))
Sg{j = 6х° {5,-eg • eaj + eai ■ 3,eg + uf eboeaj + wf eboeai } =
= diZj + djb-Sx0 ea0 {(д^+cof ebj ) + ( drf+uf ebi)} = V^ + V^ .
(15.7)
Здесь & = egea,- 6x°. При переходе к последнему равенству мы учли
тетрадный постулат (8.39).
Для нахождения 18 полей и>?ь в момент времени х° + 6х° не
достаточно шести уравнений (15.6). Мы потребуем, чтобы 12 свя-
зей (15.4) сохранялись во времени. Это даст нам недостающие 12
уравнений. Для этого вычислим производную д/дх° от уравнений
(15.4) и воспользуемся уравнениями (15.5) и еще раз уравнениями
(15.4). В результате простого вычисления получаем
Дм еьз - Ki еы + Я# е60 = 0 . (15.8)
Двенадцать уравнений (15.8) и шесть уравнений (15.6) относительно
величин u>fb (все эти уравнения линейны) дают возможность найти
все величины uifь и тем самым найти поля и>"ь в момент времени
х° + 8х°.
Остается установить, что найденные переменные е? и tjf на
гиперплоскости х° + Sx° допустимы, т.е. связи (15.3) и (15.4) оста-
ются в силе. Сохранение связей (15.4) заложено в саму процедуру
решения, поскольку сохранение этих связей дает возможность найти
uifb. Сохранение связей (15.3) вытекает из тождества Бианки:
v. (g"v - ^ т"Л = о,
которое с учетом уравнений связей (15.3) и движения (15.6) дает
К обсужденным здесь уравнениям гравитационных полей следует
добавить уравнения движения для полей материи. Мы видим, что
е теории гравитации имеет смысл задача Коши. Однако задача
Коши здесь содержит произвол: 4 функции eg и 6 функций и>^ь,
которые выбираются исходя из соображений удобства.
111

§16. Псевдотензор энергии-импульса
Рассмотрим действие Гильберта (13.20) в форме
Sg = -~ J d4x^g»»R^, (16.1)
где тензор Риччи (см. (9.19))
Rnv - д\ ТЦ1/ - ди ТцХ + ГстАГ^ - Г^Г^а ■ (16-2)
Если связность выразить через метрику согласно (9.38), то действие
(16.1) окажется зависящим от вторых производных метрического
тензора, что неприемлемо с точки зрения канонического формализ-
ма механики. В данном случае эта трудность легко устраняется,
т.к. вторые производные входят линейно в действие. Поэтому мы
перебросим производные со связности на остальные множители. В
результате получим с точностью до поверхностного члена, который
не влияет на уравнения движения, следующее выражение для дей-
ствия гравитационного поля:
5э=2^/Л(Г^_^Г^)(7=^^)'А + А5- (16-3)
Здесь AS - та часть действия, которая зависит квадратично от
связности, но не зависит от производных метрического тензора не-
посредственно. Здесь и далее мы пользуемся общепринятым обозна-
чением частной производной по координатам жА для любого набора
полей Qn'-
д д2
Qn-" = !h^QN' Qn'^ = дх»дх» Qn
и т.д.
Таким образом, действие (16.3) зависит от связности ГА (но
не от ее производных), от метрического тензора дЦ1/ и его произ-
водных первого порядка <7^:а. Связность в (16.3) можно считать
независимой переменной.
Проварьируем связность Г*„ и вычислим соответствующую ва-
риацию действия (16.3). При помощи (16.1-2), (9.26) и (9.38') нахо-
дим
SvSg = ^G I Л^^гМ^^-^/т;+/'^+<;} ■
(16.4)
112

Очевидно, что если положить кручение равным нулю и связность
выразить согласно (9.38), то вариация (16.4) обращается в нуль. На-
оборот, если потребовать обращения в нуль вариации (16.4) относи-
тельно любых вариаций коэффициентов связности, то мы вернемся
к выражению (9.38) для коэффициентов связности. Действительно,
s T(s)fv = S Г<>W ' S ГИм^ = ~S ГИ^м ' (16-5)
причем в (16.5) оба слагаемых являются независимыми. Сначала
приравняем нулю коэффициент при <Я^ач и в (16.4):
д1>6 Тих _ д„6 тд _ s, дор ТАА + S, даи уд = 0 (16>б)
Сворачивая последнее уравнение по паре индексов, получаем Т , =
= 0. Поэтому из уравнения (16.6) вытекает, что
(fii/X) = g^s Т*х ~ 9vb Т6^х = 0 ,
а также
(fivX) + (vXfi) + {Xfiv) = 2gupT>Xli = 0 .
Таким образом, из равенства нулю вариации (16.4) следует равен-
ство нулю тензора кручения, а также ковариантной производной ме-
трического тензора и тем самым спраьедливость уравнения (9.38).
Заметим, что если бы часть действия, описывающая материю,
содержала коэффициенты связности, то равенство нулю вариации
полного действия относительно вариации коэффициентов связности
привело бы к уравнению вида (16.6) с отличной от нуля правой ча-
стью, пропорциональной полям материи. Таким образом, материя,
вообще говоря, индуцирует не только тензор кривизны, но и тензор
кручения (см. § 30). Тем не менее, как было показано, при наличии
лишь заряженных скалярных полей, взаимодействующих с электро-
магнитным полем, тензор кручения не появляется.
Из сказанного следует, что при рассмотрении различных вариа-
ций в действии (16.3) связность можно считать постоянной, посколь-
ку вариация действия относительно связности тождественно равна
нулю.
113

Формула (16.3) дает выражение для лагранжиана гравитацион-
ного поля:
£ = ^2 (г£„ - ^ П°) (у/^зПл + ьс.
2«
Д£ зависит квадратично от связности и не зависит от д^^х-
Введем в рассмотрение величину
дС
(16.7)
-9^ = 7г—-9\о,ц-б;с.
дд\аи '
(16.8)
Имеем
(yFgty,» =
( ЗС
Но
д,
5£
\dg\atuj „
9\o,ii +
g\a,u +
дС
dg\a,u
gXa,fiu ^,ц •
дС
дхо,^ +
дС
dVba
i/CTj/i '
, 9g\a J ' \ dgxo,v
Здесь последнее слагаемое равно нулю в силу (16.5). Поэтому
дС \ ( дС
(V=9~Q,» =
dgxo,v
dg
Act
g\o,»
(16.9)
Выражение в квадратной скобке есть вариация действия Sg относи-
тельно вариации тензора дха, умноженная на (—с). Поэтому в силу
уравнения (13.30) выражение в квадратной скобке в (16.9) равно
с'
-g\RXa-\9XaR)=-l-^rgTx°
(16.10)
Последнее равенство является уравнением Эйнштейна (13.10). Ком-
бинируя (16.9) и (16.10), получаем
(лЛ^)," + ^Т ^."
0.
(16.11)
Но согласно (9.42) и (12.17)
-2V=9~Tx°gxa,» = {^gT;)t„,
114

и уравнение (16.11) принимает вид
{у/Ч(Ъ+ТХ)},„ = 0. ■ (16.12)
Подчеркнем, что при выводе этих уравнений использовались урав-
нения движения.
Поскольку Т'"' является тензором энергии-импульса материи,
то f" естественно считать тензором энергии-импульса гравитаци-
онного поля. Таким образом, уравнение (16.12) выражает закон
сохранения полных энергии и импульса материи и гравитационно-
го поля. Однако компоненты i1™ не образуют тензора (см. ниже).
Поэтому i*1" называют псевдотензором энергии-импульса грави-
тационного поля.
Рассмотрим дифференциальную форму
«>* = \ у/ЧеиХра (^ + Т$) dxx Л dx» Л dx"
Вследствие (16.12) (сравни с (9.43))
duin = О
Это означает, что 4-импульс
р,= [ (ti + rpas,,,
Jy
dSv = -V^ZvXpodx* Adxp Adx" (16.15)
сохраняется в силу уравнений движения (сравни с (9.45), (9.46) и
далее). Здесь У _ некая 3-мерная гиперповерхность, например,
х° = const. В последнем случае
Р„(х°) = j (tl + T°) J4dxl dx2 dx3 . (16.16)
Более того, интегралы (16.15) или (16.16) не зависят от выбора ло-
кальных координат, так как можно, не изменяя координат в один мо-
мент времени, изменить их в другой момент времени. Но 4-импульс
как сохраняющаяся величина один и тот же во все моменты времени.
(16.13)
(16.14)
115

Здесь следует сделать оговорку, что 4-импульс (16.15) сохраня-
ется в том случае, если на пространственной бесконечности отсут-
ствует поток 4-импульса через поверхность, ограничивающую объ-
ём. Это условие не всегда выполняется для конкретной системы. В
случае, когда пространство не имеет границы (например, гиперпо-
верхность ж0 = const является сферой S3 ), это условие выполнено.
Формулу (16.8) можно переписать в виде
^<Иэ1ЬК'-^' (1б17)
где Qm , m = 1, ..., 10 - любые 10 независимых функций десяти
величин д\а.
Действительно,
Qm^-\-dgYO)^9xa^
т.е.
dQm.p _ fdQm\ zU
dg\o,„ \dg\o J " '
Далее
дС _ ( дС \ dQmif> _ ( дС \ (dQ„
(16.18)
dg\atV \dQm,p) dg\a,v \dQm,vJ \dg>
При переходе к последнем" Равенству мы воспользовались равен-
ством (16.18). Теперь имеем
дС \ ( зс \ (dQm\ ( дС \
dd\o,v) ' \dQm,vJ \dg\aJ ' \dQm<v
что и требовалось.
Возьмем в качестве величин Qm величины yJ—ggXa и восполь-
зуемся формулами (16.7) и (16.17). Напомним, что дифференциро-
вать С относительно связности излишне вследствие (16.5). Кроме
того, Д£ не зависит от Qmifi. Поэтому без труда получаем
yFtr, = ^ (Па - К ПР) (у/Ч 9х"),, -s^c. (16.19)
Из последней формулы очевиден нетензорный характер псевдотен-
зора энергии-импульса. Действительно, согласно § 10 в любой точке
116

величины Гдст могут быть сделаны равными нулю за счет выбора
системы координат. Согласно (16.19) и (16.7) в этой точке псевдо-
тензор энергии-импульса также обращается в нуль. Это означает
также, что гравитационная энергия не может быть локализована.
Псевдотензор энергии-импульса определен неоднозначно. Все-
гда к t1^ y/^g можно прибавить член вида rfx , где rf^x = —Ц^.
Новый псевдотензор по-прежнему будет удовлетворять закону со-
хранения (16.12).
117

ГЛАВА II
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОБЩЕЙ
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§17. Гравитационное излучение
17.1. Слабое гравитационное поле
Случай слабого гравитационного поля означает, что метрика мало
отличается от псевдоевклидовой, а связность и кривизна малы по
абсолютной величине. На математическом языке это значит, что
9»АХ) - V^+h^{x) > \h^\«l, Цри = diag(l, -1,-1,-1). (17.1)
Выпишем связность и кривизну в первом порядке по кц1/. Согласно
(9.38) и (9.19)
Кх = \ V1" (За hua + dv hXo - д0 М , (17.2)
Д^СО - -\ {д2 V - (д„дх hxv + д„дх л*) + d„dv h\),
& = тГ дцд,,. (17.з)
В этом параграфе индексы величин, пропорциональных кц1/, под-
нимаются и опускаются при помощи величины ц^,. Например,
Мы будем искать решение линеаризованного уравнения Эйнштей-
на в форме (13.13):
Rpv — 4 Ьцц , Ьц1, = 1Ц1, — - Цци ix . (17.4)
Заметим, что для малости гравитационного поля тензор энергии-
импульса материи также должен быть малым. Поэтому при опреде-
лении Бри в (17.4) используется г)ци. Учет кц„ дал бы дополни-
тельную малость. Уравнения (12.17) и (13.6) для величины (13.10)
теперь принимают вид
W = 0, д„С%=0. (17.5)
118

Уравнения (17.5) эквивалентны уравнениям
5„S£-^0„S£ = O, 3„Л£-^3„Я=0. (17.6)
При замене координат х'ц = хц + е^ , ец —> О метрика изменяется
согласно (12.14):
&9iiv = —(piitv + duEfi) — Shfn,.
Непосредственно проверяется, что для тензора (17.3) справедли-
во тождество Лц„(п) = R^(h + Sh) для любых ец(х). Это свой-
ство называется свойством калибровочной инвариантности урав-
нений (17.4).
Чтобы устранить возникающую таким образом неопределенность,
будем работать в гармонических координатах. Мы увидим, что
изучение поставленной задачи в гармонических координатах весь-
ма удобно.
Таким образом, фиксируем калибровку условием (14.1):
ГА = ч"" Г*„ = 0 . (17.7)
С учетом уравнения (17.2) условие (17.7) принимает вид
&^-5« = 0. (17.8)
Условие (17.8) всегда возможно. Если же оно не выполнено, то со-
вершим указанное выше преобразование координат с параметрами
ец, удовлетворяющими уравнению
Согласно (14.3) в новых координатах условие (17.8) будет выполнено.
При условии (17.8) уравнение (17.4) принимает простой вид
Phia, = ~2-Slu,. (17.9)
Одно из решений этого уравнения, называемое запаздывающим, име-
ет вид
Ы*) - — J d у j^j • (17Л0)
119

Непосредственно проверяется, что для решения (17.10) условие
(17.8) выполнено как следствие уравнений (17.6). Наоборот, из
уравнений (17.8) и (17.10) следуют уравнения (17.6), и потому с уче-
том уравнений (17.4) следуют также уравнения (17.5). Для даль-
нейших вычислений в этом параграфе это имеет большое значение,
поскольку лишь Too и То,- в уравнении (17.9) в используемом
здесь приближении непосредственно получаются из соответствую-
щих компонент тензора энергии-импульса. В компоненты же Ту
в линеаризованном уравнении (17.9) должны быть включены нели-
нейные по h^y поправки, содержащиеся в R^ и имеющие тот же
порядок величины, что и часть тензора энергии-импульса, содержа-
щаяся в T{j.
Действительно, в интересующем нас нерелятивистском случае со-
гласно (12.5)
Т00 ~ р с2 , Т°{ ~ р Ы , Tij ~ p v{ vj ,
где р - плотность массы и v% - скорость материи. Поэтому из
уравнения (17.9) имеем оценку
GM
и вклад в Ти от нелинейностей в Rfll, относительно h^v имеет
нулевой порядок по с, что следовало бы учесть. Однако вследствие
уравнений (17.4) компоненты Т^ и То,- исключаются из окончатель-
ной формулы, которая выражается лишь через компоненту Too-
К решению (17.10) добавляется любое решение вида
92V = 0, д,К-~ди}^=0. (17.11)
Выражение (17.10) интерпретируется как гравитационное излуче-
ние, создаваемое источником S^v, в то время как дополнительный
член, удовлетворяющий уравнениям (17.11), представляет собой гра-
витационное излучение, приходящее из бесконечности. Появление
в (17.10) временного аргумента ж0 — |х — У | показывает, что грави-
тационные эффекты распространяются со скоростью света.
17.2. Случ&й плоской волны
Начнем изучение гравитационного излучения со случая плоской вол-
ны, распространяющейся в пустом пространстве. Математически
120

эта задача сводится к описанию решений уравнений (17.11), завися-
щих от одной переменной ф = кцХ11, где кр - постоянный 4-вектор.
Тогда имеем
hliVt\ = uliVk\, ullv = uv,1, (17.12)
где Пщ, - производная от h^ по ф. Уравнения (17.11) теперь
принимают вид
т,"" *„*„ = (), (и"" - ^jf" и) k„ = Q , u = u£. (17.13)
Вычислим псевдотензор энергии-импульса, соответствующий
плоской волне.
Прежде всего установим, что лагранжиан С в (16.8) в данном
случае равен нулю.
Заметим, что С является полиномом второй степени относи-
тельно связности Г^„ и согласно (16.5) производная лагранжиана
от связности равна нулю. В этом случае вклад в лагранжиан, линей-
ный по связности, по модулю вдвое больше вклада, квадратичного
по связности, и имеет противоположный знак. Иными словами, в
(16.7) можно отбросить слагаемое АС и одновременно умножить
первое слагаемое на 1/2. Поэтому нам достаточно установить, что
первое слагаемое в (16.7) равно нулю.
Для дальнейших вычислений необходимо найти некоторые вели-
чины с точностью до первого порядка по h^v.
Из (17.2) находим
^х = \Ккх + и*К-ииХк")- (17.14)
Имеем
<а" = -9"а 9vr9op,x = -тГтГ" VoP кх = -«"" кх ,
V-9,x = ^V-9 9ap9aP,x = ^V-9V<T,'u(rpkx = -т/^икх. (17.15)
Поэтому
(V4<r),x = -V4 К" - \ »Г«) *a . (17.16)
121

Согласно (17.14), (17.16) и (17.13)
Г% (у/Чя"").* = 0 , ГХа {^~9 9Ха)>1Л = \ («Аст«Аст - \ «2) к"к, .
(17.17)
Вышесказанное вместе с равенствами (17.17) и (17.13) означает,
что лагранжиан (16.7) плоской гравитационной волны равен нулю.
Обратим внимание на то, что лагранжиан плоской электромагнит-
ной волны также равен нулю.
Теперь мы имеем все средства для вычисления псевдотензора
энергии-импульса. Согласно (16.19) и (17.17) псевдотензор энергии-
импульса плоской гравитационной волны имеет вид
/=^ = ^T(«A<T«A<,-i«2)*,v (i7.if
4k2 ч л" 2
Рассмотрим частный случай, когда волна распространяется вдоль
третьей оси. Тогда к0 = к3 = к, к1 = к2 = 0. В этом случае
уравнения (17.13) дают соотношения
«00 + «03 = ^ U , «03 + «33 = —-ZU, «Ю + «13 = 0 , «20 + «23 = 0 .
(17.19)
Вычитая из первого уравнения второе, находим
«00 - «33 = И = «00 - «11 - «22 - «33 ,
откуда
«и+«22 = 0 -»■ и = «оо-«зз- (17.20)
Складывая первые два уравнения, получаем
2 «оз = -(«оо + «зз) • (17.21)
Далее
<- Аст ^2 2,2i2i2 о2 о2 о 2 ,
^ = ИАст« ~2И =«00 + «11+«22+«33-2и01-2«02 -2«03+
+2 и\2 + 2 и\3 + 2 «23 - 2 (и°° - Из3)2 ■ (17.22)
122

В последней сумме заменим «оз согласно (17.21) и учтем соотноше-
ния (17.19) и (17.20). В результате
? = 2(«?1+«?2).
Таким образом,
^9^ = ^(и2п+и12)кЧ,. (17.23)
Отсюда видно, что плотность энергии плоской гравитационной вол-
ны положительна. Мы видим также, что псевдотензор энергии-
импульса плоской волны зависит лишь от двух компонент по-
Этот факт имеет следующее объяснение. Четыре уравнения
(17.13) оставляют независимыми шесть компонент и^и из десяти.
Теперь заметим, что
u'l"/ = u>"'+s>'ku+s''k>' (17.24)
также удовлетворяют уравнениям (17.13) для любых величин г'1.
Можно сделать вывод, что для произвольных значений четырех
параметров е^ тензоры поляризации и' и и^и соответствуют
одной и той же физической картине. Именно поэтому из шести не-
зависимых компонент, удовлетворяющих (17.13), только 6 — 4=2
компоненты имеют физическое значение. В рассмотренном нами
случае, когда к^ = (fc, 0,0, —к), четыре компоненты «о»' и «22 вы-
ражаются через остальные шесть компонент при помощи уравнений
(17.19)—(17.21), а для последних преобразование (17.24) означает
«И = «11 , «12 = «12 ,
«13 = «13 - £1 к , и23 = «23 - £2 к ,
и'33 = и33-2е3к, и'00 = и00 + 2е0к. (17.25)
Беря
_ «13 _ «23 «33 «00
£1~Х' £2~Х' £з~^к> £о~-^к'
мы обращаем в нуль следующие компоненты: иоо, «зз, «23j «13, «о»'-
Компоненты иц и wi2 вообще не изменяются под действием пре-
образования (17.24).
123

Произведем поворот в плоскости (12) на угол ф. Матрица ш£
этого поворота имеет компоненты:
w1=cos(/>, w2=sin(/>, wx = — sin <^>,
ij}\ — COS ф , Wq = 1 , Wg = 1 .
Остальные компоненты матрицы и£ равны нулю. Преобразован-
ный тензор поляризации имеет вид и' = w^w°u\a. Отсюда для
нужных нам компонент находим '
и'1х = cos 2ф ■ ми — sin 2<^> ■ iii2 , 1*12 = sin 2^ ■ «и + cos 2^ • щ% .
Из последнего видно, что
и'± = ехр(±2г'(/>) ■ и± , и± = щ\ ± «'«12 • (17.26)
Тем самым мы можем интерпретировать компоненты и± как ам-
плитуды волн, имеющих спиральность (проекцию спина на ось "3")
± 2 соответственно. Таким образом, установлено, что гравитаци-
онные волны описывают распространение безмассовых частиц со
спином 2 и спиралъностъю ±2.
17.3. Излучение гравитационных волн
Пусть движущаяся материя заключена в ограниченной области про-
странства, размеры которой ~ а. Изучим излучаемое системой гра-
витационное поле на расстояниях г — |х | >> а. Поскольку |у | ~ а,
то |х — У | в (17.10) можно заменить на i—пу, где п = х/r. Так
как нас интересует именно поле излучения, то в (17.10) нам следует
лишь учесть вклад ~ О (г-1):
Нр„(х°,х) = -Щ /VyS^ + ny.y), (17.27)
г с4 J
где
ф = к^х" = х° -г, fc„ = (l,-n). (17.28)
Мы видим, что на больших расстояниях поле излучения (17.27) ве-
дет себя как плоская волна. С нужной нам точностью 0(г-1) имеем
(см. (17.12) и (17.4)):
«Ж, *) = дН^ Х) = А {Г/1„_ * ^}. (17.29)
124

Для сокращения записи введено обозначение
i> = -Щ f й*уТ^ (ф + пу, у). (17.30)
г с* J
Простые вычисления с использованием (17.29) приводят к формуле
V^--K)2=^----f^2. (17.31)
^ 2К f' дф дф 2 \дф
При помощи формул (17.29)—(17.31) и (17.18) принципиально ре-
шается проблема излучения гравитационной энергии пространствен-
но ограниченной материальной системой, если задан ее тензор
энергии-импульса. Выписанные до сих пор формулы точные, по-
скольку речь идет об учете излученных гравитационных волн.
Далее мы будем предполагать, что материя движется с малы-
ми скоростями по сравнению со скоростью света. В этом случае
эффекты запаздывания дают малые поправки, которые учитывают-
ся путем разложения тензора энергии-импульса в (17.30) по пУ.
Рассмотрим величину
"00 47^{^>+
дф гсЛ
+(->y)iiif"'U>,y) + U<4)2inijm(t.*) + ■■■> ■ ("-32)
Каждое дифференцирование по ф дает множитель с-1. Легко
видеть, что первое и второе слагаемые в фигурной скобке в (17.32)
дают нулевой вклад в интеграл. Для этого распишем закон сохра-
нения (17.5):
±Т00(ф,У) = -^-Т°>(ф,У), (17.33а)
^W.y) = -^'W-y)- (17-334)
Из уравнений (17.33) вытекает следующее уравнение:
д2 ^о,. ... 52
w^{*'y) = 8mT'{*'y)- (17-33c)
125

Из равенств (17.33а) и (17.33с) видно, что первое и второе слагаемые
в (17.32) дают нулевой вклад в интеграл. Поэтому в наинизшем по
п У приближении
дт00 2 G
п*п>ф'3+6» D). (17.34)
дф Зге5
Здесь
°ij = ^ /d3y (3yV -sii у2) т°°(^ у) =
= 1<13у(Ыу1-8Чу2)р(ф,у) (17.35)
- квадрупольный момент материи и
D = l J а3у.у2Т°°(ф,у),
так, что Dij + б" D = Sc~2 j d3y ■ уУ Т00.
При написании второго равенства (17.35) было учтено, что в не-
релятивистском пределе Т00 = с2 р, где р - плотность массы веще-
ства (см. (13.5)). Точка сверху означает частную производную по
времени d/dt.
Путем интегрирования по частям устанавливается, что
[ ^у-^-ТНф, У) = - I й3уу{у> -А—-^-Тк1(ф, У).
J У дф KV' ' 2 7 УУ * дуЬду1 дф KV' '
Пользуясь (17.33), преобразуем правую часть последнего равенства
к виду
Отсюда (см. (17.30)):
£ = -^0»"^). <»*>
Наконец,
дты AG Г ,,
дф= гсЧ dy
±Т°<(ф,у) + (пу)-^Т°<(ф,у) + ...
(17.37)
126

Вследствие (17.33) первое слагаемое в (17.37) не дает вклада в инте-
грал, а второе слагаемое приводит к ненулевому результату:
дт0{ 2 G
дф Зг с1
nj(D3+SijD). (17.38)
Выразим при помощи формул (17.34), (17.36) и (17.38) величину
(17.31) через квадрупольный момент вещества и затем согласно
(17.18) найдем интересующие нас компоненты псевдотензора энергии-
импульса л/^g t0'.
В результате находим для потока энергии, уносилюй гравитаци-
онными волнами в элемент телесного угла do в единицу времени,
следующее выражение:
d/Ec(*0,'n*>2do =
= 367^ {\№*"? -"V №"+ \ ^) d0- ^17^
Для того чтобы вычислить энергию /, уносимую гравитацион-
ными волнами по всем направлениям в единицу времени, следует
проинтегрировать выражение (17.39) по всем телесным углам. По-
скольку квадрупольный момент не зависит от вектора п, то инте-
грирование (17.39) по углам сводится к умножению этого выражения
на 4тг и замене в нем
nV -» - S{i , п{п*пкп1 -» — (SijSu + SikSjt + SiiSjk).
Таким образом,
Например, для полной интенсивности гравитационного излучения
двух тел массы т\ и т.2, движущихся по круговой орбите ради-
уса г под действием силы тяготения, легко получить следующую
формулу.
ZtlG*m\ml{ml + m2) , ,
К „5 „5 ' V I
Так как излучение гравитационных волн пропорционально G с-5,
то этот эффект чрезвычайно мал. В частности, формула (17.41) да-
ет для двух звезд с массами ~ 1033 г (масса Солнца), движущихся
127

по орбите г ~ 1013 см (радиус орбиты Земли), мощность гравитаци-
онного излучения ~ 1020 эрг/с. Для сравнения укажем мощность
электромагнитного излучения Солнца: ~ 4 • 1033 эрг/с.
17.4. О методике регистрации гравитационных волн
Обозначим координаты (ct, х, у, z) и предположим, что плоская
гравитационная волна распространяется вдоль оси z и имеет поля-
ризацию (см. (17.25):
и = ихх — -иуу ф 0 ,
причем все остальные компоненты и^„ = 0. Отсюда согласно (17.14)
Гцо = 0, и потому из уравнения движения свободной нерелятивист-
ской частицы (11.8) находим, что в рассматриваемой гравитацион-
ной волне имеется решение:
х = const, у = 0, z = 0. (17.43)
С другой стороны, пространственная метрика согласно (10.15), (17.1),
(17.12) и (17.42) осциллирует:
7п = l + ио cos[k(z-ct)], 722 = 1 - «о cos [k(z - ct)], 7зз = 1,
712 = 713 = 723 = 0. (17.44)
Пусть жесткий стержень длины L расположен вдоль оси х.
Согласно (10.25) и (17.44)
L=ll + -u0cos[k(z-ct)]\ Ах, (17.45)
где Да; - координатная длина стержня. Так как стержень жест-
кий, то величина (17.45) стремится остаться постоянной. Вместе с
(17.43) это означает, что в гравитационной волне в стержне возника-
ют периодические напряжения, приводящие к колебаниям, период
которых равен периоду гравитационной волны. Если частота соб-
ственных колебаний стержня равна частоте гравитационной волны,
то возникает резонанс и эффект будет легче наблюдаем. Именно та-
кова идея эксперимента Вебера, который был проведен в 60-х годах.
Однако достоверных положительных результатов, подтверждающих
существование гравитационных волн, до сих пор получено не было.
128

В настоящее время в Европе и США готовятся новые эксперимен-
ты по обнаружению гравитационных волн. Точность экспериментов
будет иметь порядок | h^ |~ 10-21. Эти эксперименты исключи-
тельно сложны. Для сравнения укажем, что точность первых экс-
периментов по обнаружению гравитационных волн была примерно
на десять порядков ниже.
§ 18. Центрально-симметричное
гравитационное поле
18.1. Решение Шварцшильда
Рассмотрим гравитационное поле, обладающее центральной симме-
трией. Это означает, что метрика ds2 инвариантна по отношению
к пространственной группе вращений. Если ввести "пространствен-
ный" единичный вектор, n = (sin в совф, sin в зтф, cos в), то весь
набор пространственных координат будет (г, п), а общий вид ме-
трики
ds2 = h(r, t) dr2 + k(r, t) (dn)2 + l(r, t) dt2 + a(r, t) dr dt. (18.1)
Выражение (18.1) остается инвариантным по отношению к ортого-
нальным преобразованиям n = On', (п)2 = (п')2. Форма метри-
ки (18.1) сохраняется при произвольных преобразованиях координат
(r,t) : г' = ф(г,г), f = ф(г,г).
Таким образом, в нашем распоряжении имеются две произволь-
ные функции ф и ф, подбирая которые, можно добиться равенств
a(r, t) = 0 , k(r, t) = —г2. Тогда
ds2 = ev с2 dt2 - г2 (d92 + sin2 в dф2) - еА dr2 . (18.2)
Функции v и А зависят от переменных г, t. Вид метрики (18.2)
означает, что длина окружности с центром в начале координат рав-
на 2тгг, где г - радиус окружности. Однако расстояние от центра
до точки на окружности равно не г, a J* dr' exp | A(r', t).
В изучаемой нами задаче тензор энергии-импульса материи за-
висит лишь от переменных (г, t), и скорость направлена по радиусу.
129

Выпишем уравнения Эйнштейна для метрики (18.2). Для этого
введем 1-формы uia:
ш° = (exp - v) dx° , и1 — (exp- X) dr , u2 = rdd,
u>3 = r sindd<t>. (18.3)
Метрика (18.2) представляется в виде ds2 = т]аьшашь (см. (8.40)
и (9.29)). Таким образом, 1-формы и>" являются формами смеще-
ния в некоем ОНБ. Выпишем внешний дифференциал форм и" :
du>° = _I„'e-V2wo Л wi t du>i = he-./2uo Awi ^
rfw2 = Ie-A/2wlAw2) rfw3 = Ie-A/2wlAw3+Ictgflw2Aw3- (18.4)
r r r
Штрих и точка вверху означают частные производные 9/9г и
д/дх° соответственно.
Отсюда находим коэффициенты Са,Ьс через которые выража-
ется связность согласно (9.48). Везде далее мы выписываем лишь
ненулевые компоненты различных величин:
Г - * I/' р-А/2 Г — 1 \р-"/2
С-
2,12 :
2г
-V2 Сд = * -А/2 Сз =_J_ ctg(?.
zr zr
Теперь получаем для шаь = (Са,бс - С<,(0С - CC;at,)wc :
w01 = _lJ//e-A/2w0_l^-,/2wlj
w12=Ie-A/2w2i w13=Ie-A/2w3j w23 = Ict flw3_ (lg_5)
Г Г Г
В результате простых, хотя и длительных вычислений, находим со-
гласно (9.28) компоненты тензора кривизны Rab = Щ^шс Л wd:
Я01 - -р~х
Л01 — о е
",, + |(,',)2-|av
1
Г"
1 ;2 1 ; •
А+2А -2А"
р02 _ рОЗ _ 1 „/«,-А р02 _ р12 _ рОЗ _ р13 _ 1 , _(A+z/)/2
л02 - л03 - jr- f е , К12 - -Н02 - К13 - -Н03 - — Л е *■ т " ,
IT IT
130

1
1
R^ = Rii = -^\'e-\ R?3=^(e-*-l). (18.6)
Теперь не составляет труда выписать уравнения Эйнштейна (13.11):
1 8ttG
iv-I
1 , 1
+ ^г =
1
+ -г
4 -'О )
С
8ttG
т±,
(18.7)
(18.8)
-2е
-А
,. 1 , ,,2 l/ -Л'
Z Г
г'*
+
+ 2£"
■ 1 ;2 1 ; ■
Л+2Л ~2XV
8ttG
Tj =
8т G-
„4 J3 >
г с4
(18.9)
(18.10)
Остальные компоненты уравнения Эйнштейна тождественно обра-
щаются в нуль. Компоненты тензора энергии-импульса должны
быть выражены через плотность энергии материи е, давление р
и радиальную скорость согласно (12.19).
Уравнения (18.7)—(18.10) можно проинтегрировать до конца в пу-
стоте, вне создающих гравитационное поле масс. В этой области
Г'*" = 0, и вместо уравнений (18.7)—(18.10)) имеем
Л = 0,
■А'
-1/4-5
г гг
+
0.
(18.11)
(18.12)
(18.13)
Уравнение (18.9) с правой частью, равной нулю, является следстви-
ем уравнений (18.11)—(18.13). Вычитая из уравнения (18.12) уравне-
ние (18.13), находим Л' + z/ = 0, откуда Л + v = f(t). При больших
г пространство должно быть близко к плоскому, так что при г —>
—> оо функции Лиг/ должны стремиться к нулю. Поэтому
Л + г/ = 0.
(18.14)
131

Уравнения (18.11) и (18.14) показывают, что Лиг/ зависят лишь
от г. Уравнение (18.12) интегрируется и дает
е
-А
= е" = !--£. (18.15)
Здесь гд - константа интегрирования, имеющая размерность дли-
ны. Она называется гравитационным радиусом тела, создающе-
го гравитационное поле. Легко найти связь между гравитацион-
ным радиусом и массой тела. Из уравнения (13.1) находим, что на
больших расстояниях от тела массы М ньютоновский потенциал
равен ф = —GM/r, а из уравнения (11.10) следует, что goo —>■
—»■ 1 — 2G М (c2r)~l при г —> со. С другой стороны, из (18.2) и
(18.15) имеем goo — I — rg/r. Поэтому
г. = ^. (18.1.)
Таким образом, нами окончательно установлен вид метрики в цент-
рально-симметричном случае в пустоте:
ds2 = (l - 7) с2 dt2-r2 (de2 + sin2 ed<<>2)-(l- ^) _1 dr2 . (18.17)
Метрика (18.17) называется метрикой Шварцшильда.
Согласно (10.15) и (18.17) пространственная метрика определя-
ется формулой
dV
(l-7^-) dr2 + г2 Ш2 + sin2 в d<!>2). (18.18)
V Т /
Уже отмечалось, что в этой метрике длина окружности г = const
с центром в точке г = 0 есть 2ж г. Из (18.18) видно, что длина
участка кривой п < г < г2 , в = const , ф = const есть
dr (l-—) 2 >Г2-П. (18-19)
Далее из (10.13)и (18.17) имеем
dr = (1 —s-) «ft. (18.20)
132

Таким образом, на конечных расстояниях от масс происходит
замедление времени по сравнению со временем на бесконечности.
Рассмотрим уравнение (18.7) при наличии материи. Из этого
уравнения видно, что при г —> О Л стремится к нулю по крайней
мере как г2. В противном случае тензор энергии-импульса имел бы
особенность в нуле ~ г~2. Перепишем уравнение (18.7) в виде
rd(e-x) + e-xdr= fl-^-TgrA dr.
Интегрируя последнее уравнение, находим
Л = _ In (l - ЦЯ. Г Г0° г'2 dA . (18.21)
Если гравитационное поле создается сферическим телом радиуса а,
то при г > а имеем Г0° = 0. Поэтому при г > а
Сравнивая последнюю формулу с (18.15) и (18.16), получаем для
полной массы тела следующее выражение:
4* Г ^о „2
Jo
М=— J Т^гЫг. (18.22)
Для статичного распределения вещества в теле имеем согласно (12.19)
Т0° = е. Поэтому
М= ц ■ 4тг г2 dr, (18.23)
Jo
где ji - плотность массы тела. Согласно (18.2) элемент простран-
ственного объема равен dV = ех'2 Ажг2 dr. Но так как Tj > е > 0,
то из (18.21) видно, что Л > 0. Поэтому dV > 4тг г2 dr, и из фор-
мулы (18.23) следует, что полная масса тела меньше суммы масс его
отдельных частей. Это явление называется гравитационным де-
фектом массы тела.
Рассмотрим падение частицы к центру вдоль радиуса. Восполь-
зуемся формулами, полученными в следующем параграфе, в кото-
рых в нашем случае следует положить М = 0. Вычислим мировое
133

время полета At частицы от г\ до Г2 , п > Г2- При помощи (19.7)
находим
At
1С3
J \ г/ \тс2) г
-1/2
Этот интеграл расходится при стремлении ri к
—Гд/с 1п(г2 — г3). Отсюда асимптотически имеем
r(t)
const ехр (
7*о
(18.24)
как
(18.25)
Мы видим, что в мировом времени (с точки зрения удаленного
наблюдателя) падающая частица достигает гравитационный радиус
за бесконечное время.
Метрика (18.17) имеет особенность при г = гд. Однако это не
означает, что пространство-время сингулярно при г = гд. Дей-
ствительно, согласно (18.6) и (18.15) ненулевые компоненты тензора
кривизны равны:
К
01
□23 _ 'д
Л23 — з '
d02 _ d12 _ 'Я
Л02 - Л12 - 2^3 '
следовательно, имеют сингулярность лишь при г = 0. Поэтому син-
гулярность метрики Шварцшильда при г = гд является следствием
выбора системы координат. По этой причине целесообразно ввести
(и это возможно) более глобальные координаты.
18.2. Координаты Крускала
В 1960 году Крускал ввел наиболее полную систему координат для
черной дыры, вся масса которой сосредоточена в одной особой точке
г = 0 [9]. В координатах Крускала переменные в, ф остаются
прежними, а вместо переменных х° = ct и г вводятся переменные
v и и согласно формулам
Тг \ — - 1 ) ехр — = и2 - v2 ,
г„ / г„
г
г9
n I v I 2uv
х = 2 r„ arcth — — r„ arcth —т. г
a u ul + vl
(18.26a)
(18.26b)
134

Здесь Г - свободный параметр. Формулы (18.26) легко обращаются.
Например, если и > \v\ > 0, то
и = Т .1 1 ( ехр -— ) ch -—
х1 гп \ v 2rJ 1ra
„о
(18.27)
У rg V 2rgJ 2rg
Метрика Шварцшильда в переменных Крускала имеет вид
4 г3 / г \
ds2 = -ф- ехр (dv2 - du2) - г2 Ш2 + sin2 9 йф2). (18.28)
Т2 Г \ Гд)
Здесь переменная г должна быть выражена через (u2 — v2) при по-
мощи уравнения (18.26а). Эта задача однозначно решается, посколь-
ку правая часть уравнения (18.26а) монотонно растет при г > 0.
Рис. 1
На рис. 1 в плоскости (и, v) изображены (сплошными линиями
и пунктиром) кривые, отвечающие постоянным значениям радиуса
г. Поскольку г > 0, то из (18.26а) имеем v2 < Г2 + и2. Поэто-
му точки пространства-времени находятся во взаимно однозначном
соответствии с точками плоскости [и, v), заключенными между ги-
перболами:
v = ±\/Т2 + и2.
135

0<x"< + oo
--"0<х"<+оо
-tx<x"<0
tx<x"< о
Рис. 2
На рис. 2 в этой же плоскости прямые, проходящие через цен-
тральную точку (u, v) = (0, 0), отвечают постоянным значениям
мирового времени х°. Из рис. 1, 2 видно, что переменные Шварц-
шильда при г > гд являются координатами части пространства-
времени, заключенной между биссектрисами v = ±u в плоскости
(u, v). Лишь точка (и, v) = (0, 0) отвечает г = гд и конечному
времени х°. Все остальные точки v — ±u отвечают г — гд и
ж0 = ±оо. Из рисунков видно также, что часть пространства, опи-
сываемая координатами Шварцшильда с г > гд в плоскости (u, d)
содержится дважды: и > 0 , |v| < и и и < 0 , Н < —и. Обозначим
эти области в плоскости (u, v) через U+ и [/_ соответствен-
но. Мы видим также, что в области U+ росту мирового времени
х° соответствует рост "времени" v. Так как функции замены ко-
ординат Шварцшильда на координаты Крускала аналитические, то
естественно считать, что все частицы в пространстве-времени дви-
жутся в направлении возрастания координаты v.
Рассмотрим движение частиц в переменных Крускала. Лагран-
жиан, описывающий движение частицы, имеет вид (см. § 19)
£ = —2~ {9w(v2 -и2)
гЧ2}-^е(тс)
136

9^ = ^е~Г'Гя- (18-29)
Поскольку лагранжиан (18.29) не зависит от ф, то момент
дЛ = М = Г-^ (18.30)
дф е '
сохраняется. Условия дС/де = 0 и (18.30) дают
е2 {Jrf
^2
v2 = u2 + — q- + roV). (18.31)
Так как лагранжиан (8.29) зависит лишь от г, но не зависит от х°,
то сохраняется энергия (сравни с (19.4)):
1_1£) i° = _^(ui _,;«) = _. (18.32)
Здесь при получении второго равенства была использована формула
(18.266).
Рассмотрим распространение частиц вдоль радиуса, что отвечает
случаю М = 0. Комбинируя уравнения (18.31) и (18.32), получаем
соотношение между дифференциалами координат и и v.
dv2 - du2 = (^) ^(udv-vdu)2, (18.33)
откуда
где
du a2 uv ± \J\ — a2 (u2 — v2
dv 1 + a2 v2
(18.34)
Рассмотрим сначала распространение безмассовых частиц вдоль
радиуса, что отвечает случаю т = 0, М — 0. Тогда из (18.31)
следует, что
v = ±и + const. (18.35)
Изображая прямые (18.35) на рис. 1, 2, делаем вывод, что в обла-
сти пространства-времени v < —\u\ движение возможно лишь
137

от центра, когда растет временная координата v. Этот же вы-
вод справедлив и в отношении движения частиц с моментом и с мас-
сой, что вытекает из (18.31). Это означает, что координаты Круска-
ла покрывают области пространства-времени, в которых движение
происходит лишь от центра при г < rg. Эту область пространства-
времени можно назвать белой дырой.
Напротив, в области пространства-времени v > | и \ при возра-
стании времени v движение частиц возможно лишь по направле-
нию к центру. Эту область пространства-времени принято называть
черной дырой.
Из формулы (18.33) видно, что для массивной частицы равенство
| du | = | dv | может иметь место лишь на прямых и = ±v. Рассмо-
трим уравнение (18.34) вблизи точки и = v > 0. Пусть и = v + e(v),
где е —> 0. Выпишем уравнение (18.34) с нижним знаком, разложив
его относительно г:
Tv = t^n+0{£)' a° = ^{—) • (18-36)
Отсюда видно, что при конечных v вблизи прямой и = v > 0
имеются мировые линии частиц, движущихся по геодезическим, ко-
торые пересекают прямую и = v под ненулевым углом. С учетом
формул (18.33) и (18.35) отсюда следует, что такие геодезические
заканчиваются на гиперболе v = \JT2 -f и2, причем вдоль этих гео-
дезических координаты и и v ограничены. Обозначим начальную
точку какой-либо из рассмотренных геодезических через р, а ко-
нечную - через q. Координата г точки q равна нулю, а точка р
лежит в области U+. Сказанное означает, что интеграл
1 f
At- - ds < оо (18.37)
с Jp
конечен, поскольку при г -> 0 интеграл (18.37) имеет согласно
(18.28) интегрируемую особенность вида
f dr_
J .~7r'
Из (18.37) следует, что частица, движущаяся по радиусу по на-
правлению к черной дыре, пересекает сферу Шварцшильда и дости-
гает нулевого радиуса за конечное собственное время.
138

Из соотношения (18.31) видно, что в координатах Крускала лю-
бая геодезическая либо продолжается до бесконечности, либо обры-
вается на истинной сингулярности г = 0.
Из приведенного рассмотрения ясно, что указанные выше обла-
сти пространства-времени U+ и U- причинно не связаны.
18.3. О возможности возникновения черных дыр
в результате эволюции
Коротко обсудим вопрос о возможности возникновения черных дыр
в результате неограниченного сжатия звезд под действием гравита-
ционных сил.
Рассмотрим нейтронную звезду. Совокупность нейтронов, из ко-
торых состоит звезда, можно считать вырожденным фермионным
газом. Пусть N - число нейтронов в звезде, V ~ Д3 - ее объем,
R - радиус звезды, m - масса нейтрона и М = Nm - масса звезды.
Все термодинамические соотношения, относящиеся к нереляти-
вистскому и релятивистскому вырожденному ферми-газу, можно най-
ти в [14].
Вначале рассмотрим нерелятивистский случай. Давление в ферми
газе имеет порядок
П2 /N\5/3 П2 М5/3
"~тЫ =да^Г" (18-38)
Давление (18.38) стремится растолкать нейтроны. С другой сторо-
ны, гравитационное давление, которое стремится сжать звезду, име-
ет порядок
Рграв -^- • (18.39)
Из условия равновесия нейтронной звезды рр — Рграв находится ее
радиус в положении равновесия Rq\
До = const GjlMm- (18.40)
Здесь const - число порядка единицы. Из оценок (18.38) и (18.39)
видно, что положение равновесия (18.40) является устойчивым. Дей-
ствительно, при возрастании радиуса звезды расталкивающее давле-
ние рр убывает быстрее, чем сжимающее давление рграв. Поэтому
139

звезда вернется в положение равновесия. При уменьшении радиуса
будем иметь аналогичную картину.
Из (18.40) видно, что при возрастании массы звезды М радиус
До уменьшается. При этом энергия Ферми ер возрастает. Сле-
довательно, при возрастании массы звезды фермионный газ станет
релятивистским. Оценим массу, при которой нейтронный ферми-газ
становится релятивистским. Имеем
П2
2 / ЛГ \ 2/3
N\ 2
£f ~ — I —-г > тс .
Подставим в это неравенство оценку (18.40). В результате получим
hc\3/2 1
М>[ — ) -т ~ Ю
33,
Таким образом, если нейтронная звезда имеет массу большую, чем
масса Солнца, то составляющие ее нейтроны должны рассматривать-
ся как вырожденный релятивистский ферми-газ.
В релятивистском случае
/М\4/3 1
^~ЙСЫ *" (1841)
Теперь гравитационная масса имеет порядок не mN, a
4/3
Мграв
«»~(hiN'»)»~*i(") ■ <■"»
Подставляя в (18.39) Мграв из (18.42), находим оценку
Рграв '
Д4 \ т I R6
r^~Gh2c> ^ -L (18.43)
Сравнение формул (18.41) и (18.43) показывает, что в релятивист-
ском случае наступает гравитационный коллапс, который невозмож-
но удержать никакими другими взаимодействиями.
Из сказанного можно сделать вывод, что если масса звезды в
несколько раз больше массы Солнца, то ее эволюция может закон-
читься гравитационным коллапсом и образованием черной дыры.
140

§19. Движение
в центрально-симметричном поле
Рассмотрим лагранжиан частицы в форме (11.16) в координатах
Шварцшильда (18.17). Заметим, что, так как в центрально-симмет-
ричном поле сохраняется момент импульса, движение происходит в
одной плоскости, проходящей через центр (см. [10]). Поэтому сразу
положим в = 7г/2. Тогда
С = -^{}-\е(тсГ, где { } = (l - ^) (i0)2- ^ -г2 02 .
(19.1)
Условие 8С/8 е — 0 дает
{}1'2 = етс. (19.2)
Так как лагранжиан не зависит от переменных х° и f то их
"импульсы" являются интегралами движения. Имеем
°Я=М = ±±, (19.3)
дф е
-^ — Ч1--)*0- (19-4)
ох" с е \ г I
Величины М. и 8 имеют смысл момента импульса и энергии
частицы, которые сохраняются. Воспользуемся уравнением (19.2)
для нахождения величины г. Выражая ф и х° через М. и 8
при помощи соотношений (19.3) и (19.4), получаем
г2 = *2[], [] = 5-(1-т)^ + -2с2)- №*)
Из (19.3) и (19.5) находим интегральное соотношение, определяющее
траекторию частицы:
/
J М г ._!
-^Ы£('-Я"-(£+"")('-?
1/2
(19.6)
141

Комбинируя (19.4) и (19.5), получаем зависимость радиуса от вре-
мени:
„о е ■
X =
, тс'
тс
-1/2
(19.7)
19.1. Движение массивных частиц
Предположим, что частица массивная и ее скорость мала по сравне-
нию со скоростью света, а гравитационное поле мало отклоняется от
ньютоновского, что выражается неравенством г/гд << 1. Эта ситу-
ация имеет место при движении планет вокруг Солнца, поскольку
гравитационный радиус Солнца гд = 3 км.
Чтобы легче извлечь из интеграла в (19.6) полезную информа-
цию, его следует привести к виду, максимально приближающемуся
к аналогичному интегралу в ньютоновской механике. Для этого сде-
лаем замену переменной интегрирования согласно г(г — гд) — (г')2.
Теперь член в квадратной скобке в (19.6), пропорциональный М2,
принимает вид М2/(г')2. При сделанных предположениях прибли-
женно имеем
Г' + 2Г*
+
8 г'
(19.
С точностью до 0(г2) квадратная скобка в (19.6), выраженная
через г, имеет вид
2 о 1
-а+ -Д-ттТг
М'
{rgmc)
(19.9)
Здесь а и /3 - константы, не зависящие от М ив случае фи-
нитного движения они обе положительны. В квадратной скобке мы
пренебрегли величиной (гд£'/с)2 по сравнению с (rgmc)2 , где
8' - нерелятивистская энергия. Из (19.8) имеем
dr
8 \r'J
dr'.
(19.10)
142

Далее штрих над буквой г опускается. Учет второго слагаемого в
квадратной скобке в (19.10) дает вклад в (19.6) порядка
М-^мг- (19Л1)
Ниже будет видно, что этот вклад в нашем приближении отно-
сительно ничтожен. Таким образом, согласно (19.6) и (19.9)
(19.12)
Здесь Д ф - изменение угла за время одного оборота, который счи-
тается совершенным при изменении радиуса от минимального зна-
чения rmin до максимального значения rmax и затем опять до
f"min- Значения гтт и rmax - это те значения переменной г, для
которых фигурная скобка в (19.12) обращается в нуль.
Интеграл в (19.12) вычисляется точно:
/
dr
V l^rnax T)V 7*minj — ~ vmin т rmax ^ V ^min ^n
В результате получаем
Отсюда видно, что смещение перигелия орбиты
Сравнивая (19.11) и (19.13), находим оценку 8i<f>/8<t> ~ Е'/тс2 « 1.
Поэтому формула (19.13) справедлива.
Численные значения смещения, определяемого формулой (19.13),
для Меркурия и Земли равны соответственно 43,0" и 3,8" в сто лет.
143

19.2. Движение безмассовых частиц
В случае распространения светового луча в формуле (19.6) следу-
ет положить m — 0. Прибегая к тем же манипуляциям, которые
привели к (19.12), получаем
ф = -ш!йг
f2 1f2r 1
^+zt rs -±м2
с2 г с2 г2
1/2
(19.14)
В отличие от случая массивной частицы, при распространении све-
тового луча релятивистская поправка к его траектории является эф-
фектом первого порядка относительно гд. Разложим правую часть
(19.14) по гд/г:
ф:
с дМ | J
Мс
(19.15)
Интегралы в (19.15) берутся при помощи подстановки г = pchx-
При изменении переменной х от ~ °° Д° +00 происходит пролет
луча света мимо центра. Первый интеграл в (19.15) удобно сначала
продифференцировать по М. Путем дальнейшего интегрирования
по х в бесконечных пределах получаем Д ^(°) = п. Это соответ-
ствует невозмущенному движению частицы. Второй интеграл дает
Аф(1> = — —— arcch ——- , R—юо.
с дМ М с
Вычисляя производную и затем, переходя к пределу, находим
д (1) = 2^ = 4GM^
р czp '
Остается заметить, что параметр р в (19.16) является прицель-
ным расстоянием, а выражение (19.16) и есть искомое угловое от-
клонение от прямой линии луча света, пролетающего на прицельном
расстоянии р от гравитирующего центра.
Для луча, проходящего мимо края Солнца, 8ф =1,75".
144

§ 20. Прецессия гироскопа, движущегося
в гравитационном поле
20.1. Вращающаяся система координат
Рассмотрим в плоском пространстве Минковского вращающуюся си-
стему координат. Пусть х" - коэффициенты в пространстве Мин-
ковского и ха - координаты во вращающейся системе координат,
которая равномерно вращается в плоскости ( х , х ) вокруг оси
х3 с угловой скоростью ш. Имеем:
о' о з' з
х = х , х — х ,
хх = х1 cosut + х2 sinwf,
х2 = — xl sinwi + х2 coswi. (20.1)
Введем обозначения:
р2 = (х1)2 + (х2)2, т=(х\х2,х3),
и, = (0,0, о;), ё = -с[Ш,т). (20.2)
Метрика в новых координатах принимает вид
ds2 = {dx°)2-(dxa')2 = {c2-ui2p2)dt2-{dxa)2+2c(g dr)dt. (20.3)
Отсюда видно, что
9
Ш о
500 = 1 J Р ' 9ар- Sap , 50а = 9а ■ (20.4)
При помощи формул (10.3) и (20.4) находим, что длина окруж-
ности р = const, z = const равна
/= Л" ■ (20-5)
г>2
^-^Р2
Изменение длины окружности во вращающейся системе координат
(20.5) объясняется с точки зрения специальной теории относитель-
ности. Действительно, уложим вдоль окружности линейки. Вслед-
ствие лоренцева сокращения вдоль окружности будет уложено боль-
ше линеек, чем в инерциальной системе отсчета. Этим и объясняется
145

увеличение длины окружности. Из (20.3) и (10.1) видно также, что
часы в точке р идут медленнее, чем в центре. Это -также эффект
частной теории относительности.
Укажем, что координаты х" имеют смысл лишь при р < cjw.
Действительно, из (20.3) видно, что при р > с/и компоненты метри-
ческого тензора goo < 0. Физически это означает, что вращающаяся
координатная система не может быть реализована физическими те-
лами при р > с/ш, поскольку эти тела должны бы были двигаться
со скоростями, большими скорости света (в инерциальной системе
отсчета).
20.2. Прецессия покоящегося гироскопа
Рассмотрим гироскоп в кардановом подвесе, ось которого сохраняет
ориентацию в инерциальной системе отсчета. Из сказанного следует,
что во вращающейся системе отсчета ось гироскопа прецессирует с
угловой скоростью:
с
w=-rotg, g= (001,002, 0оз )■ (20.6)
Формула (20.6) проверяется непосредственно при помощи (20.2).
Формула (20.6) для прецессии оси неподвижного гироскопа в про-
извольном гравитационном поле остается справедливой. Это утвер-
ждение следует из принципа эквивалентности, согласно которому
гравитационные поля, созданные материальными телами или суще-
ствующие вследствие неинерциальности системы отсчета, физически
эквивалентны.
Рассмотрим теперь прецессию гироскопа, покоящегося в поле вра-
щающегося тела. Массу тела будем считать относительно малой, так
что формула (17.10) справедлива везде. Кроме того, предположим,
что задача стационарная и нерелятивистская. Стационарность озна-
чает, что тензор энергии-импульса материи не зависит от времени.
При сделанных предположениях можно ограничиться точностью
О(в), где Р — v/c, v - характерная скорость материи. Для тен-
зора энергии-импульса материи согласно (12.5) имеем в указанном
приближении:
Т00 = рс'2, Т°' = рсь\ Tj=0. (20.7)
146

Опускание и поднимание индексов производится так же, как в про-
странстве Минковского. Вследствие стационарности уравнение (17.5)
дает
di Toi = О, (20.8)
откуда
I d3x хV дкТ°к = - I d3x( z*'T°J + xjToi) = 0. (20.9)
Обозначим через
cM'i^etjk I d3xxjT0h (20.10)
компоненты 3-вектора момента импульса вращающегося тела.
Из сравнения (20.9) и (20.10) вытекает, что
/
d3xxJT0k = -eijkM'i. (20.11)
Из (17.4), (17.10) и (20.7) следует, что h00 = hu = h2-> = /г3з- Сопо-
ставляя также (17.1) и (11.10), находим
<7оо = 1 + |г> ftj = -(l-^r) *ч- (20-12)
Компоненты g0i вычислим на большом расстоянии от вращающе-
гося тела, когда можно считать, что
Г"1—"! = Л + И • (20-13)
|х-У | |х| |х|3 v ;
В рассматриваемой задаче имеется аксиальная симметрия вокруг
оси с направляющей (20.10), и начало координат расположено на
этой оси. Поэтому в (17.10) J d3yT0t = 0 и первое слагаемое в
(20.13) не дает вклада в hoi. Второе слагаемое в (20.13) при подста-
новке в (17.10) с учетом (20.11) приводит к следующему результату:
S(r) = ^[M',T]. (20.14)
Замечание. Формула (20.14) получена в приближении слабо-
го гравитационного поля. Однако формула (20.14) сохраняет свою
147

силу также для тел любой массы, когда |g| С I. В этом случае
М. в (20.14) обозначает полный момент импульса тела, включая
момент импульса гравитационного поля, создаваемого телом. В этих
лекциях момент импульса для произвольных голсй не определяется,
поскольку такое определение потребовало бы введения симметрич-
ного псевдотензора энергии-импульса. Ввиду громоздкости симме-
тричного псевдотензора энергии-импульса этот вопрос нами опущен.
Достаточно полное изложение этого вопроса содержится в [4].
Подставляя (20.14) в (20.6), находим частоту прецессии гироско-
па в поле вращающегося тела:
Шм, = JL[3(M' n)n-M'], n=-. (20.15)
Прецессия, описываемая формулой (20.15). носит название эффекта
Лензе-Тирринга.
На полюсах п = ±М.'/М', и потому шм' — ( 2(//с2г3 ) М.'. Это
означает, что вращающееся тело увлекает гироскоп.
Очевидно, формула (20.15) качественно верна также для значе-
ний г ~ а, где а - характерные размеры тела. Имеем оценку
М! ~ М г2 О,, где М - масса тела, г - его радиус, a Q - частота
его вращения. Тогда
^.~^5^~>. (20.16)
Если считать, что оценка (20.16) применима также и для случая
сильных полей, когда г ~ гд, то из нее следует, что вращающееся
тело полностью увлекает гироскоп, поскольку
20.3. Прецессия оси движущегося гироскопа
Вычислим, наконец, прецессию гироскопа, связанную с его движе-
нием в пространстве. Начнем вычисления с учета чисто кинематиче-
ского вклада - прецессии Томаса. Для учета этого эффекта вполне
достаточно изучить ситуацию в плоском пространстве Минковско-
го. Пусть гироскоп или спин движется со скоростью /3 = v /с и
ускорением /3 = d/3/dt в некой инерциальной системе отсчета К.
148

Обозначим через К' такую инерциальную систему отсчета, кото-
рая движется относительно системы К со скоростью /3 и оси ко-
торой ориентированы так, что скорость системы К относительно
системы К' есть (—/3). Будем считать по определению, что про-
странственные оси указанных инерциальных систем отсчета ориен-
тированы одинаково. Очевидно, в момент времени t спин покоится
относительно системы К'. Предположим, что на спин не действуют
никакие силы. Тогда спин прецессирует в системе К' с угловой
скоростью:
UT=dA = _^L[pdA] 1 . (2о.17)
Т dt 7 +1 [Р' dt J' 7 УГ^ l ]
В (20.17) (1ф - угловое изменение направления ориентации спина
в системе К' за промежуток времени dt, вычисленный в системе
К. Мы не будем здесь подробно выводить формулу (20.17), указав
лишь один из путей, приводящих к ней.
Чтобы скорее прийти к цели, рассмотрим частный случай /3 =
= (@х, РУ, 0). Кроме систем отсчета К и К', рассмотрим еще две
инерциальные системы отсчета Q' и Q". Система Q' движется
относительно системы К со скоростью 0 — ((Зх> 0, 0 ), и простран-
ственные оси систем К и Q' ориентированы одинаково. Система
Q" движется относительно системы Q' со скоростью
13"= (О, /" ,0] ,
и пространственные оси систем Q' и Q" также ориентированы оди-
наково. При помощи закона сложения скоростей проверяется, что
система Q" движется относительно системы К со скоростью {3.
Это означает, что системы отсчета К' и Q" покоятся относитель-
но друг друга. Нетрудно выразить пространственные координаты
системы Q", обозначаемые (ж", у", г"), через пространственные
координаты ( ж 1, 2/1, zi ) системы К':
х" = хг cos в — ух sin в , у" = хх sin в + j/i cos в , z" = z ,
*'=£ЦЙ£. tg*=£. (20.18)
l+7(tg<^)2 Px
Из (20.18) вытекает формула (20.17). Для этого достаточно приме-
нить формулу (20.18) для двух бесконечно близких скоростей /Зг =
149

= (Дг, О, О) в момент времени t и /32 = (/Зх, dj3y, 0) в момент
времени t + dt.
Нам нужен нерелятивистский вариант формулы (20.17), когда
7 » 1:
"T = -^[v,v]. (20.19)
8 последней формуле не имеет значения, в какой системе (К или
К' ) измеряется время.
Если гироскоп свободно движется в гравитационном поле, то (см.
(11.9)) v = —V^, и формула (20.19) принимает вид
«T = x^[v, V^]. (20.20)
При движении в гравитационном поле к прецессии Томаса до-
бавляется еще эффект, связанный с возникновением при v ф 0 в
системе К момента сил в системе покоя гироскопа К1. Этот момент
возникает вследствие появления в системе покоя гироскопа компо-
нент g'oi как результат преобразования Лоренца. Пусть в системе
К метрический тензор имеет компоненты (20.12). Тогда в системе
К', движущейся относительно системы К со скоростью /3, нужные
нам компоненты g'oi с точностью до 0(/?) равны
с2
Воспользовавшись формулой (20.6), находим
J = -4[v, V^]. (20.21)
с*
Теперь сложим все три угловые скорости прецессии (20.15), (20.20) и
(20.21). В результате находим полную угловую скорость прецессии
оси гироскопа, свободно движущегося в гравитационном поле:
w = &м' + шт + w' =
= JL[3(M'n)n-M']-^[v,Vtf]. (20.22)
Первое слагаемое в (20.22) соответствует взаимодействию угловых
моментов гироскопа и тела (Земли). Поэтому эту часть прецессии по
150

аналогии с атомной физикой можно назвать сверхтонкой прецесси-
ей. Эта часть прецессии была открыта в 1960 году (L. Shiff). Второе
слагаемое в (20.22) обусловлено свободным движением гироскопа в
гравитационном поле. Эту часть прецессии называют геодезической;
она была установлена в 1923 году (Н. Weyl).
В случае гироскопа, движущегося вокруг Земли по низкой орби-
те, отношение сверхтонкой и геодезической прецессии имеет порядок
^--6- Ю-3.
шт
Поэтому лишь геодезическую прецессию имеет смысл сравнивать с
возможными экспериментальными данными для прецессии гироско-
пов (спинов) на орбите вокруг Земли. Пусть гироскоп движется по
круговой орбите радиуса г и е является единичным вектором,
нормальным к плоскости орбиты. Тогда
/GMe , . „J GM®
u,= A(GMe)3/2r-5/2e
Оценим изменение направления оси гироскопа за один оборот вокруг
Земли по низкой орбите. Так как
ге~6-108см, G~7-10"8cM3r-1c-2, Ме~6-1027г, Т~100с,
то
Д^~ |ш|Т~0,7-10_8рад. (20.23)
Ввиду малости величины (20.23) ее чрезвычайно трудно наблюдать.
Подготовка такого эксперимента ведется уже несколько десятиле-
тий.
При получении формулы (20.22) мы воспользовались материа-
лом по этому вопросу, изложенному в замечательном курсе лекций
по теории гравитации [11]. Нам представляется это целесообразным,
поскольку задача о прецессии гироскопа в гравитационном поле из-
ложена в [11] весьма ясно и сжато.
151

Отметим, что уравнение (20.22) можно было бы получить, исходя
из уравнений
rl^f г1тх Ат»
Здесь S* - 4-вектор, описывающий спин частицы в релятивистской
механике. В системе покоя частицы 5'* = (0, S), где S - обычный
спин. Первое из уравнений (20.24) вместе с принципом эквивалент-
ности выражает тот факт, что в отсутствие гравитационного поля
спин сохраняет свою ориентацию. В результате длительных фор-
мальных вычислений уравнения (20.24) приводят к закону прецес-
сии спина (20.22). Предложенный в этом параграфе вывод формулы
(20.22) представляется предпочтительнее ввиду его простоты.
20.4. Прецессия орбиты частицы
в поле вращающегося тела
Используя формулы (20.12) и (20.14) для метрического тензора, не-
трудно найти вековое смещение орбиты частицы, движущейся в по-
ле центрального тела, связанное с вращением последнего. Ввиду
малости всех релятивистских эффектов они накладываются друг на
друга линейно, и при вычислении эффектов, происходящих от вра-
щения центрального тела, можно пренебречь рассмотренным в § 19
влиянием неньютоновости центрально-симметричного силового по-
ля. Это означает, что для метрики можно считать справедливыми
формулы (20.14) и
( \ 1 2GM л
где М - масса центрального тела. В нерелятивистском пределе
поправки к д^ , содержащиеся в (20.12), несущественны. Тогда из
действия S = —гас J ds получаем следующее значение лагранжиа-
на частицы:
С = С0 + 6С ,
„ га 2 GmM 2mG ... . ,.„ .,,
Co = Jv+~r~' SC = —jTprMlT>yl- (20.25)
Здесь SC рассматривается как малая добавка. Согласно извест-
ной теореме [10], добавка к гамильтониану при этом равна (-SC),
152

причем все величины должны быть выражены через координаты и
импульсы
дС0
Р = ~б— = m v .
о v
Поэтому
Н = Н0+5Н, Н0 = ^—^^-, SH=~(M'[r,p}). (20.26)
2m г с"1 гл
Если (5 Я = 0, то при движении частицы сохраняются две векторные
величины:
M = [r,p], А=1[р,М]-СтМГ . (20.27)
т г
Вектор А направлен вдоль большой полуоси эллипса в сторону
перигелия и по величине равен GmMe, где е - эксцентриситет
орбиты.
Уравнение Гамильтона для гамильтониана (20.26) приводит к
следующим скоростям изменения векторов (20.27):
М = ^[М',М], А=|^[Л4',А] + ^(Л4'Л4)[г,Л4].
(20.28)
Правые части уравнений (20.28) следует усреднить по времени. При
этом движение можно считать невозмущенным, то есть положить
SH = 0. Тогда в правых частях уравнений (20.28) величины М. и
А являются постоянными, а зависимость радиуса г и его проекции
х на большую полуось от времени описывается формулами
Т
г = а (1 — е cos£), х = a (cos£ — е ), t — — (£ — е sin£), (20.29)
2тг
где а - большая полуось, Т - период обращения и £ - параметр,
при изменении которого на 2тг частица совершает полный оборот.
Имеем:
л2тг
{^>-fj0 ^~Ъ^10 (l-ecos£)2 ~ а3 (1-е2)3/2
cos ^ — е
(1-е cos^)4
а; 1 [2ж cos£-e
153

a4(1_e2)5/2 GmMa4 (1 - е2)5/2 ■ (20-3°)
Здесь было учтено, что Ах = GmMe. Координаты выбраны так,
что последнее равенство эквивалентно равенству
г *
GmM а4 (1 - е2)5/2 '
Подставим (20.30) в (20.28) и воспользуемся формулой
М2
a (jr
После простых вычислений получаем:
£ = [П,А], ^ = [П,«],
"^(^з/П^-МЛ^М. *=£• (20-31)
Формулы (20.31) показывают, что эллипс, по которому движется
частица, прецессирует "как целое" с угловой скоростью ft. Рассмо-
тренный эффект был получен в 1918 году (J. Lense, H. Thirring).
В самое последнее время специалистами из NASA и Европы был
проведен эксперимент по проверке формулы Лензе-Тирринга (20.31).
Для этого использовались спутники Земли. Наблюдения велись око-
ло двух лет. Координаты спутников устанавливались путем изме-
рения запаздывания лазерных сигналов, посланных с Земли, отра-
женных от спутников и зарегистрированных на Земле. Результаты
эксперимента подтверждают формулу (20.31) с точностью ~ 20%
(см. [12,13]).
§ 21. Применение общей теории
относительности к космологии
Применение ОТО к космологии приводит к качественно новым ре-
зультатам. Это обусловлено тем, что в геометродинамике простран-
ство-время, вообще говоря, не является галилеевым.
154

21.1. Геометрия однородных и изотропных
пространств
Будем рассматривать достаточно большие участки пространства, в
которых заключены большие количества галактик. При таком под-
ходе можно предположить, что средняя плотность вещества посто-
янна. Предполагается, что усреднение происходит по указанным
большим участкам пространства. Далее предположим, что все свой-
ства пространства изотропны и однородны. Заметим, что мы гово-
рим об изотропии и однородности именно пространства, а не прстран-
ства-времени. Это предположение означает, во первых, что мы поль-
зуемся сопутствующей системой координат, в которой скорость ма-
терии равна нулю, и, во-вторых, плотность материи постоянна в
пространстве. На математическом языке предположение означает,
что все геометрические уравнения, записанные в ОНБ, полностью
сохраняют свой вид при любом изменении ориентации ОНБ в про-
странстве и при переходе в другие точки. Пространства с такими
свойствами называются однородными. Сделанная гипотеза об одно-
родности и изотропности пространства Вселенной и распределения
в ней материи не противоречит современному эксперименту. Од-
нородная и изотропная модель Вселенной в рамках ОТО впервые
рассматривалась А.А. Фридманом в 1922 году.
Из сказанного следует, что изучение решения Фридмана следует
начать с изучения однородных Римановых пространств с локально-
евклидовой метрикой. Последняя задача легче всего формулируется
в ОНБ.
Выпишем в ОНБ структурные уравнения Картана (9.28) для слу-
чая n-мериого Риманова однородного и изотропного пространства:
6ua+uj% Au,? = 0, 6w% + w%hw} = KwabW(,. (21.1)
Здесь т}ар = diag(l, ..., 1), и поэтому нет разницы между верхними
и нижними индексами: ш" = ша , ш? = шар. Символ S озна-
чает внешнее дифференцирование, К ~ некая константа. Из вида
правых частей уравнений (21.1) вытекает инвариантность уравнений
(21.1) относительно любых ортогональных преобразований базиса,
что означает изотропию пространства. Независимость параметра
К от координат означает однородность пространства. Очевидно, в
155

нашем случае тензор кривизны равен
RaP -уо = К (SalSpa —ScaSp-,) . (21-2)
Прямая проверка показывает, что тензор (21.2) удовлетворяет то-
ждествам Бианки (9.30) и, более того, Rap la-p = 0. Поэтому урав-
нения (21.1) корректны.
Для фактического построения форм смещения и связности, удо-
влетворяющих уравнениям (21.1), воспользуемся методом, разви-
тым в § 10. Согласно этому методу, следует решить дифференци-
альные уравнения (см.(10.7))
^- = 8xa+w«x?, (21.3а)
-^- = К(хашр-хрша) (21.36)
для 0 < t < 1 с начальными данными
й%=0 = 0, u£|t=0 = 0, -Q%\t=0 = Q. (21.4)
Решения уравнений (21.3) с начальными данными (21.4) в точке
t = 1 удовлетворяют уравнениям (21.1). Этот факт доказывает-
ся в теории дифференциальной геометрии. Поскольку здесь будут
получены явные формулы, то указанный факт может быть проверен
в данном случае непосредственно.
Приступим к решению системы уравнений (21.3)—(21.4).
Продифференцируем уравнение (21.36) по параметру t и вос-
пользуемся уравнением (21.3а):
д2
-flpUap — К (хашр1 - хрша1) х1 + К (ха5хр - xpSxa). (21.5)
Последнее уравнение умножим на Хр и просуммируем:
— {шар хр) = -К х2(шар хр) - К х1 [8ар <L^r) &XP >
х2 = ха ха . (21.6)
156

Уравнения (21.6) легко решаются относительно неизвестных (шар хр)
с начальными данными (21.4). Однако с этого момента следует де-
лать различие между случаями К > 0 и К < 0.
Рассмотрим сначала случай К = а > 0. Имеем
Ыа/ЗХ/З
cos | — | — 1
а
( хахр\
X/}
(21.7)
Здесь х = ух2. Теперь подставим (21.7) в правую часть уравнения
(21.5) и решим его:
■'а/З
1 — cos
xt
~2 (ха Sxp - хр 5ха). (21.8)
Подставляя (21.7) в правую часть (21 .За), находим формы смещения:
р- (21.9)
шп
а . I xt \ ( х
sin I — I [дар
х \ a J \ ' х2 /
Полагая t = 1, окончательно находим
аХ/}\ ХаХр
-I Sxg+t—тг-0Х(-
>©(«*-^)'
, %а Хр г
хр + Т-дхр,
Ша/3
1 — cos —
- ) -^ (xaSxp - Хр8ха)
a/J xL
(21.10)
Можно проверить путем прямого вычисления, что 1-формы (21.10)
удовлетворяют уравнениям (21.1).
Переменная х заключена в пределах 0 < х < 7га, т.к. фор-
мулы (21.10) описывают геометрию сферы S", и при х = 0,тга
мы попадаем на "северный" или "южный" полюс. Действительно,
рассмотрим метрику нашего пространства:
-,2
oV
а ( . х^
, sm ■
Л (i xaXp\ ХаХр
-) [дар j-)dxadxp + — дхадхр .
(21.11)
Метрика (21.11) является естественной метрикой (в нормальных ко-
ординатах Римана) сферы Sn, индуцированной евклидовой метри-
кой пространства Дп+1, в которое вложена сфера. Согласно (8.46)
элемент объема равен
dV= (-sin-У'' <Гх,
\х а I
157

и весь объем конечен.
Теперь рассмотрим нужный нам случай п = 3. При помощи
подстановки
ха = ax(smOcos<f>, втввтф, cos0), 0<х> 0<it, 0 < $ < 2л-
(21.12)
метрика (21.11) приводится к виду
ds2 = a2 [6х2 + sin2X(Sв2 + sin2в6ф2)] = (ша)2. (21.13)
Здесь
ш1=а6х, й2 = a s\nx&0 , й3 = <* sinx sinOS<f). (21.14)
Метрика (21.13) является метрикой сферы S^, записанной в
угловых переменных. При помощи уравнения SQa + йар А йр — О
однозначно находятся формы связности йар (см. §9). Поскольку
(ша)2 = (ша)2, то ша — Оарыр, где С>а£ - ортогональная матрица.
Отсюда следует, что
8шар + Qor, Л w7/3 = Oa<s О^р (бщр + ш6а Л ш^р).
Поэтому формы йа и шар удовлетворяют уравнениям (21.1) с
К=а~2.
Элемент объема в новых переменных равен
tfV = a3sin2xsin0<5x<M<ty, (21.15)
а весь объем
V= f SV = 2тг2а3. (21.16)
В случае однородных пространств отрицательной кривизны, ко-
гда К — —а~2 < 0, проводимые действия и получаемые формулы в
точности аналогичны действиям и формулам в случае К > 0, за тем
лишь исключением, что в формулах (21.7)—(21.11) делается замена
cos (xt/a) —» ch (xt/a), sin (xt/a) —» sh (xt/a), и теперь 0 < x < +oo.
Для пространства отрицательной кривизны элемент объема равен
dV^i-sb-Y"1 <Гх,
\х а/
158

и весь объем бесконечен. В случае п = 3 по-прежнему мы делаем
замену переменных согласно (21.12). В новых переменных метрика
пространства имеет вид
ds2 = а2 [8Х2 + sh2 х ■ (S62 + sin2 в 8ф2)] = (ша)2 ,
0<х<оо, О<0<тг, О<0<2тг. (21.17)
Здесь
й>1 = а6х, й>2 = asb\Se, й3 = a shx втвбф. (21.18)
Формы йа и йар удовлетворяют уравнениям (21.1) с К — —аГ2.
Элемент объема равен
SV = a3 sh2x япвбхбвбф,
и весь объем бесконечен.
Заметим, что при подстановке в (21.13) г = sinx и ПРИ под-
становке в (21.17) г = shx эти метрики объединяются в одной
формуле:
ds
2
-^ + г>(662 + пп26ёф2)
1 — к г1
(21.19)
В (21.19) к = 1 для метрики (21.13) и t=-l для метрики (21.17).
В случае, когда к = 0, мы имеем плоскую метрику с масштабным
фактором а.
21.2. Включение времени и решение Фридмана
Теперь опять займемся изучением однородного пространства поло-
жительной кривизны и включим в рассмотрение временную коорди-
нату, которую обозначим буквой 77. Всегда временную координату
можно выбрать так, чтобы полная метрика в пространстве-времени
имела вид
ds2 = а2(77) {dj]2 - [ёХ2 + sin2 х (6в2 + sin2 в 5ф2) ]} . (21.20)
Таким образом, пространство является пространством сферы 53,
радиус которой a(if) зависит от времени.
159

Перепишем эту метрику в виде
ds2 = 1]аЬи!аи!Ь ,
где Цаь = diag(l, -1, -1, -1) и
ш° = a(i)) dr,, и>а=йа. (21.21)
Теперь оператор внешнего дифференцирования d = dr] д/дт] + 6,
где S есть оператор внешнего дифференцирования относительно
переменных (х, в, Ф). Из (21.21) и (21.14) получаем
dw° = 0, dua = -%и°Лйа + 5йа. (21.22)
а1
Везде а — da/drj.
Прежде всего найдем форму связности и>% при помощи первых
уравнений структуры. Прямой проверкой нетрудно убедиться, что
формы
ш« = ~й\ и#=ы2 (21.23)
удовлетворяют этим уравнениям. Действительно, из (21.22) следует,
что ш°Лш" = 0. Для формы w° из (21.23) последнее уравнение
выполняется. Далее, вследствие (21.22) и (21.23),
dua + и% Л с/ +w?Ли0 = ~и>° Аша +5ыа + w?Ли" + ^шаЛи0 = 0 .
И а2 р а1
При получении последнего равенства использовано первое уравне-
ние структуры (21.1). Поскольку форма связности находится одно-
значно из первого уравнения структуры, то формулы (21.23) решают
поставленную задачу.
Следующая задача - нахождение тензора Римана.
Заметим, что вся зависимость форм смещения и связности от
времени обусловлена их зависимостью от радиуса а и его произ-
водных. Но формы иар вовсе не зависят от а и его производных.
Это видно из первого уравнения структуры (21.1), поскольку фор-
мы ша зависят от радиуса линейно и однородно, и поэтому первые
из уравнений (21.1) можно сократить на а. Следовательно, формы
160

шар не зависят от времени и du>ap = 5шар. Поэтому второе из
уравнений (21.1) дает
du% = ~u>?; Л wj-^wa Л сор. (21.24)
Знак перед последним слагаемым в (21.24) диктуется тем, что теперь
поднятие или опускание индексов а , 0 ,... приводит к изменению
знака. Из (21.24) и (21.23) получаем
du% + u^Auj+u% Ли° = - — (Х+ Ч шаЛш(,,
откуда
R°*=_М^+1){5^' sfs']' Rapi°=° • (2L25)
При помощи уравнений (21.22) и (21.23) и первого из уравнений
(21.1) находим
4« = (г-?)"'А"-?'<Л"'-
Последнее слагаемое при помощи (21.23) переписываем в виде
—Шд Л u)q . Поэтому
и
*?*> = -(£-£)*?■ (2126)
Из (21.25) и (21.26) находим ненулевые компоненты тензора Риччи:
*~(S4 + ?) «■* = •(?-?)• <*■*>
Отсюда
Я = Я§ + Я2 = -б(^ + £) • (2128)
161

Используя (21.27) и (21.28), мы можем выписать "нуль-нуль" - ком-
поненту уравнения Эйнштейна (13.11):
Здесь учтено, что Г00 = е, поскольку и0 = 1, иа = 0 (см. (12.19)).
В уравнении (21.29) содержатся две неизвестные величины а(т])
и е{т}). Для получения второго уравнения воспользуемся уравне-
нием V^T'"/ = 0, которое содержится в уравнениях Эйнштейна.
В § 12 было показано, что последнее уравнение содержит в себе
условие изэнтропичности движения, т.е. уравнения (12.23) и (12.24).
Условие изэнтропичности можно записать также в виде dE = — р dV,
где Е, V - энергия и объем Вселенной, ар- давление. Так как
г = E/V, то
- dV „ . , da
de = -(e + p) — = -Z(e+p) — .
Последнее равенство является следствием (21.16). Окончательно
de
I
е+р
-3 In a + const. (21.30)
Если вещество распределено в виде отдельных тел, движущихся с
относительно малыми скоростями, то можно положить s = fie2, где
fi - сумма масс тел, отнесенная к единице объема. В этом случае
давлением можно пренебречь по сравнению с е. Плотность и да-
вление имеющегося в пространстве излучения также пренебрежимо
малы. Таким образом, современное состояние Вселенной описыва-
ется уравнением состояния
e = [ic2, р = 0. (21.31)
В этом случае уравнение (21.30) дает
^аъ=~, (21.32)
здесь М - арифметическая сумма всех масс во Вселенной без учета
энергии их гравитационного взаимодействия.
162

Из уравнения (21.29) находим
=±[ , d; (21-33)
а = а0 (1 - cos rf), а0 = Q_ 2 . (21.34)
Последнее уравнение с учетом (21.32) легко интегрируется:
2MG
37ГС2
Из соотношения cdt = a[r])dr] и (21.34) получаем для мирового
времени:
<= — (ij-sinij). (21.35)
с
Из полученных формул видно, что а возрастает от нуля при ц = О
или t — 0 до максимального значения 2ао при т\ = 7г или
< = л- ао/с и затем снова убывает до нуля при т\ — 2ж или t =
= 27г ао/с. Из (21.32) видно также, что при а -> 0 плотность // -> оо:
Зс4ао
£ =
47rGa3 '
Следовательно, при a —> 0 уравнение состояния (21.31) не может
быть правильным, т.к. при увеличении плотности возрастает и да-
вление. Поэтому примем при а -> 0 уравнение состояния в виде
(12.30), каким оно является в ультрарелятивистском пределе. Под-
ставляя р = е/Ъ в (21.30), получаем
£a4 = const= 3-^-, (21.36)
где а.\ - новая постоянная. Теперь уравнение (21.33) и cdt = adr]
дают
a = aishi77, t = — (1 — cosц). (21.37)
с
Это решение имеет смысл рассматривать лишь при очень больших
значениях е, т.е. при малых т]. Полагая в (21.37) т\ « 1, получаем
а&лДайП. (21.38)
Из (21.38) и (21.36) немедленно вытекает, что
£ 3 4,5-105
/i=^=32TG^ = -l^- • (2L39)
163

Обратим внимание, что зависимость (21.39) не содержит никаких
параметров.
Таким образом, значение t = 0 является особой точкой простран-
ственно-временной метрики изотропной модели. Вторая точка, в
которой а — 0, также является особой. Попытка аналитического
продолжения t на отрицательные значения в найденном решении
приводит к парадоксу, поскольку а2 становится отрицательным.
Действительно, в (21.20) подразумевается, что вместо a2 drr2 стоит
с2 dt". Поэтому отрицательность а2 означает, что метрика (21.20)
становится локально-евклидовой, что физически бессмысленно.
Рассмотренная модель положительной кривизны называется за-
мкнутой изотропной моделью.
Теперь рассмотрим изотропное пространство отрицательной кри-
визны.
В этом случае вместо (21.19) для пространственно-временной ме-
трики имеем (см.(21.17))
ds2 = а2(т]) {drj2 - [6Х2 + sh2 х ■ {S62 + sin2 вбф2))} . (21.40)
Это выражение формально получается из (21.20) заменой т], \ ■, а
на гт], гх, га соответственно. Поэтому и уравнения движения
можно получить путем этой же замены. Вместо уравнения (21.29)
будем теперь иметь
откуда вместо (21.33)
Т):
= ±( j "; (21-42)
Очевидно, уравнение изэнтропичности сохраняет свой вид (21.30).
Для пылевидной материи (р = 0) получаем из (21.30) и (21.42):
а = а0 (chrj- 1), t=—(shrj-Tj), fia3--——a0. (21.43)
с 47rG
Мы видим, что в отличие от замкнутой модели здесь радиус кривиз-
ны монотонно растет от нуля при tj = 0 или t = 0 до бесконечности
164

при т] —> оо или t —> оо. Плотность материи монотонно убывает от
бесконечности до нуля при возрастании времени.
Для больших плотностей (t -> 0) решение (21.43) непримени-
мо, поскольку правильное уравнение состояния, как и в замкнутой
модели, есть р = г/3. Поэтому при t —> 0 следует пользоваться
соотношением (21.36), которое вместе с уравнение (21.42) дает
a = a1shT]! t = — (ch?? — 1). (21.44)
Отсюда при г] « 1
что совпадает с (21.38) и (21.39). Таким образом, и в изотропной
модели с отрицательной кривизной метрика имеет особую точку при
t = 0. Вторая особая точка здесь отсутствует.
Изотропная модель с отрицательной кривизной называется от-
крытой изотропной моделью.
Заметим, что изменение радиуса кривизны во времени есть факт
объективный, с выбором координатной системы не связанный. Дей-
ствительно, кроме гравитационного взаимодействия, существуют и
другие. В частности, электромагнитное взаимодействие в рамках
квантовой механики приводит к появлению боровского радиуса. В
рассмотренных процессах боровский радиус остается неизменным
(если Вселенная не очень близка к рассмотренным особым точкам).
21.3. Космологические следствия
Рассмотрим распространение световых лучей, испускаемых или по-
глощаемых в точке х = 0 в момент времени t(r]).
Из соображений симметрии ясно, что вдоль траектории 9 =
= const, ф = const. Так как ds1 = а2(т]) (drj2 - d\2), то ds = 0
означает, что d\ = ±dr/. Поэтому уравнения траекторий описан-
ных световых лучей имеют вид
Х = ±т? +const. (21.45)
165

Рассмотрим изменение частоты света при его распространении.
Пусть в некоторой точке пространства р (ввиду однородности про-
странства можно считать, что точка р имеет координаты х — 0)
происходят два события, разделенные промежутком времени dt =
= а(т}) di]/c. Пусть в моменты этих событий отправляются световые
сигналы, которые наблюдаются в другой точке пространства q с
координатой Х- Из (21.45) следует, что для обоих этих сигналов
Ат] = Ах — Х- Поэтому моменты наблюдения этих световых сиг-
налов в точке q разделены интервалом времени, соответствующим
тому же изменению Arj переменной г), что и в точке отправления.
Но поскольку за время распространения сигнала изменяется радиус
кривизны а, то собственные времена между двумя описанными со-
бытиями в точках р и q оказываются пропорциональными 0(77)
и a(rj + Ат}) соответственно. Это означает, что и периоды свето-
вых колебаний пропорциональны а, а световые частоты - обратно
пропорциональны а, т.е.
ш а = const (21.46)
вдоль светового луча.
Предположим, что в момент времени t(r]) наблюдается свет в
точке х — 0, излученный источником, находящимся на расстоянии,
соответствующем координате %. Согласно (21.45) момент испуска-
ния этого света есть t(rj — х)- Если uq есть частота света в момент
испускания, то согласно (21.46) наблюдаемая частота равна
Ш = ^ЛШ0_ (21.47)
Если радиус кривизны а монотонно возрастает, то частота на-
блюдаемого света монотонно падает по сравнению с частотой испус-
кания по мере удаления источника испускания от точки наблюде-
ния. Это значит, что при наблюдении спектра приходящего света
все его линии оказываются смещенными в красную сторону по срав-
нению со спектрами тех же веществ в нормальных условиях. Это
явление называется красным смещением.
Пусть х « 1- Это означает, что расстояние между точками
испускания и поглощения не очень велико. Тогда вместо (21.47)
166

приближенно имеем
± = 1-хЩ. (21-48)
о)0 а(т))
Расстояние I, пройденное лучом света, будет равно
1= [' a(r,-x')dx'*txa(Tl)- (21.49)
Jo
В результате для относительной величины изменения частоты нахо-
дим следующую формулу:
г=а^а, = Я (2150)
шо с
где
с а 1 da ,
cr a at
- так называемая постоянная Хаббла. Напомним, что ct = х° -
мировое время.
Если красное смещение рассматривать как результат эффекта
Допплера, то можно определить скорости v галактик, с которы-
ми они разбегаются. Согласно эффекту Допплера z — v/c. Сравнив
с (21.50), находим
v = Hl. (21.52)
Постоянная Хаббла не зависит от I и экспериментально измерима.
Согласно последним оценкам, сделанным на космическом телескопе
"Хаббл" с точностью до 10%, она равна
Яй10-18с-1, (21.53)
или 70 (км • с-1)- (Мпк)-1 . Это означает, что скорость разбегания
увеличивается на 70 км/с на каждый мегапарсек расстояния.
Выразим при помощи (21.51) а через Н и подставим в (21.29)
и (21.41) соответственно. В результате получим
* = *£,-«• (21.54)
для замкнутой модели и
*=#-*£, Р..55,
167

для открытой модели. Таким образом, кривизна пространства по-
ложительна или отрицательна, в зависимости от того положи-
тельна или отрицательна разность 8 7rG///3 — Я2. Эта разность
обращается в нуль при
цк = 1**-ъ0,5 -Ю-29 г/см3. (21.56)
Замечание. Введем стандартное обозначение
Тогда из уравнений (21.51),(21.54-56) имеем
|°-ч= (£)'=<•(£)"■
При высоких плотностях можно воспользоваться формулой (21.38),
при помощи которой находим
|П-1|~-.
«1
Для оценки масштаба а\ предположим, что предыдущая оценка ка-
чественно верна в современную эпоху эволюции, когда Вселенная
продолжает расширяться. Согласно эксперименту 0,1 < П < 2, to ~
~ 15 • 109 лет - возраст Вселенной, так что cto ~ £о ~ Ю28 см.
Отсюда получаем а\ ~ Lq. С другой стороны, в момент рождения
Вселенной t ~ tp, dp ~ lp ~ 10-33 см, и потому
| О - 1 |~^.~Ю-60.
Эта оценка имеет место в модели Фридмана со степенным расшире-
нием (21.38) в самой начальной стадии расширения.
21.4. Оценка средней плотности материи во Вселенной
Для получения оценки (21.56) мы воспользовались (21.53). В на-
стоящее время оценка средней плотности материи в пространстве
168

может быть произведена лишь весьма приближенно. Оценка, осно-
ванная на подсчете числа галактик и на их средней массе, дает зна-
чение fi ~ 10-31 г/см 3, что в 100 раз меньше, чем ц^. Это сви-
детельствовало бы в пользу открытой Вселенной. Однако в этой
оценке не учитывается возможное существование межгалактическо-
го темного газа и других видов темной материи, учет которых мог
бы существенно повысить среднюю плотность материи. Кроме того,
последовательное квантово-механическое рассмотрение этой пробле-
мы могло бы радикально изменить картину, поскольку "нулевые"
колебания вакуума в принципе могли бы сильно повлиять на сред-
нюю плотность энергии. Поскольку квантовая теория гравитации в
настоящее время не построена, то вопрос о вкладе квантовых флук-
туации в среднюю плотность материи остается открытым.
Далее мы приводим оценки плотности в единицах О = l*/l*k ,
причем О = 0\ + 02 + ^з, где fii ~ Ю-2 - средняя плотность
светящейся материи (совокупность звезд), 02 ~ плотность несветя-
щейся материи, полученной путем вириальной оценки (см. ниже),
которая скучивается вблизи метагалактик, и Пз ~ плотность не-
скучивающейся материи, которая может состоять как из безмассо-
вых слабо взаимодействующих частиц, распределенных равномер-
но в пространстве, так и из других видов несветящейся материи
(см. §28).
В 90-е годы благодаря использованию эффекта, получившего на-
звание "гравитационное микролинзирование", начал накапливать-
ся уникальный экспериментальный материал, доказывающий, что
количество скрытой массы во Вселенной в десятки раз превышает
количество непосредственно наблюдаемой массы. Мы коротко кос-
немся здесь этого вопроса, используя материал статьи [16].
Рассмотрим галактику в инерциальной системе отсчета, в кото-
рой она покоится как целое и вращается вокруг своего центра масс.
Координаты отсчитываются от центра масс. Такая инерциальная
система отсчета всегда существует, так как размеры как галактик,
так и скоплений галактик чрезвычайно малы по сравнению с разме-
рами Вселенной. Поэтому ту область пространства-времени, в кото-
рой находится рассматриваемая галактика, с большой степенью точ-
ности можно считать плоской. Обозначим через М(г) суммарную
массу звезд галактики, заключенных в объеме радиуса г. Пред-
положим, что звезды за пределами этого объема вращаются вокруг
центра масс галактики и их движение является равновесным. Это
169

значит, что сила гравитационного притяжения равна центробежной
силе:
г2 г
Здесь т и v - масса и скорость звезды, вращающейся вокруг
центра галактики.
Из уравнения (21.57) видно, что на достаточно больших рассто-
яниях от центра галактики, когда М(г) можно было бы считать
постоянной величиной, скорость вращения звезд должна подчинять-
ся закону
v(r) ~r-1/2. (21.58)
Из наблюдений известно, что в подавляющем большинстве случаев,
в том числе и для нашей Галактики, закон зависимости скорости от
расстояния до центра (21.58) не соблюдается. Причем всегда ско-
рость вращения наблюдаемых звезд в галактиках убывает гораздо
медленнее с расстоянием, чем по закону 1/л/г, а во многих случаях
г;(г) = const для расстояний во много раз больших видимой области
галактики.
Отсюда может быть сделан только один вывод: наблюдаемые
звезды и газ в галактиках погружены в протяженную массивную
среду с размерами много большими, чем характерные размеры ви-
димой области галактики.
Анализ отклонений законов распределения скоростей вращения в
галактиках от закона 1/\/г приводит к выводу, что в скрытой нена-
блюдаемой форме находится свыше 90% всей галактической массы.
Рассмотрим теперь скопление галактик в системе покоя скопле-
ния. Согласно вириальной теореме для финитного движения галак-
тик в скоплении
Ёк = ~и. (21.59)
Здесь Ек - полная кинетическая энергия скопления, состоящая из
сумм кинетических энергий отдельных галактик, U - полная по-
тенциальная энергия скопления. Черта сверху означает усреднение
по времени. По порядку величины
_ GM2 — Mv5
где М - полная масса скопления, R - его радиус и v2 - среднее
значение квадрата скорости галактик в системе покоя скопления. Из
170

сопоставления формул (21.59) и (21.60) получаем оценку
лгг
М~ —-. (21.61)
Величины v2 и R поддаются определению при помощи наблю-
дений. Если затем воспользоваться формулой (21.61), то получается
оценка для полной массы скопления галактик, которая называется
динамической или вириальной массой скопления. Оказалось, что
для большинства скоплений галактик динамическая масса, оценен-
ная по формуле (21.61), в десятки раз превосходит видимую массу
скопления. Таким образом, наблюдение за движением галактик в их
скоплениях также подтверждает, что свыше 90% материи находится
в скрытой массе, ненаблюдаемой в непосредственной форме.
Согласно наблюдениям вклад в среднюю плотность, получаемый
при помощи вириальной оценки, заключен в пределах 0,2< Г2г <0,4.
Очевидно, вклад в Г2г могут давать лишь массивные тела и частицы.
Из сказанного ранее видно, что вопрос о количестве и природе
скрытой массы стоит очень остро. В настоящее время считается, что
скрытая масса - это не газ. Оценки массы горячего ионизированного
газа в скоплениях галактик по его рентгеновскому излучению пока-
зывают, что эта масса составляет всего лишь около 10% динамиче-
ской массы скоплений, то есть масса горячего газа того же порядка,
что и наблюдаемая масса, заключенная в галактиках. Оценки массы
нейтрального водорода в галактиках, выполненные радиоастрономи-
ческими методами по наблюдениям в линии 21 см, также отвергают
газ как носитель скрытой массы.
В настоящее время в качестве носителей скрытой массы рассма-
триваются два класса объектов. Первый класс предсказывается те-
орией эволюции звезд и представляет собой небесные тела, состоя-
щие в основном из барионной формы материи (сильно взаимодей-
ствующих элементарных частиц с полуцелым спином - в основном
нейтронов) и называются MACHO (Massive Astrophysical Compact
Halo Objects). Этот класс объектов включает в себя маломассивные
(М <О,1М0, где Mq - масса Солнца) и потому слабо светящиеся
звезды, так называемые коричневые карлики (звезды с массой ме-
нее 0,08 Mq, в недрах которых никогда не зажигаются термоядерные
реакции), белые карлики (остывшие звезды с массой порядка Mq),
планеты с массами от Ю-5 до Ю-3 Mq, нейтронные звезды в не-
активной стадии (без феномена пульсара) и черные дыры.
171

Второй класс объектов предсказывается теорией образования Все-
ленной (инфляционная стадия и горячая стадия - Большой взрыв),
которая предсказывает рождение на ранних стадиях образования
Вселенной очень слабо взаимодействующих элементарных частиц,
так называемых WIMPs (Weakly Interacting Massive Particles), на-
пример, нейтрино, а также более экзотические элементарные ча-
стицы. Из теории нуклеосинтеза на ранних стадиях образования
Вселенной доля средней плотности барионной компоненты вещества
во Вселенной по отношению к средней плотности небарионной ком-
поненты (WIMPs) составляет всего ~ 0,04. В то же время доля
средней плотности видимого вещества по отношению к полной сред-
ней плотности Вселенной должна составлять лишь ~ 0,002. Однако
окончательный ответ на вопрос о том, из чего состоит скрытая масса,
должны дать наблюдения.
Как наблюдать скрытую массу? Мы опишем метод, использу-
ющий так называемый эффект микролинзирования. Этот метод с
начала девяностых годов успешно используется для наблюдения не-
светящихся тел МАСНО нашей Галактики с массами от 10~8 до
102 Mq : нейтронных звезд, черных дыр, коричневых карликов и кос-
мических тел вплоть до тел с массой Юпитера и меньше. Идея этого
метода была предложена польским ученым Б. Пачинским, работа-
ющим в США, в 1986 году. Этот метод оказался весьма плодотвор-
ным.
Согласно методу Пачинского, Галактика обладает сферической
подсистемой (гало), которая заполнена несветящимися телами
МАСНО. Число этих темных тел в гало Галактики должно быть
весьма велико, так что вероятность того, что звезда ближайшей га-
лактики (например, Большого Магелланового облака - БМО) по-
чти точно спроектируется на темное тело, составляет порядка 10_6.
Такое событие назовем "вспышкой" этой звезды. Хотя эта вероят-
ность очень мала, но если наблюдать одновременно миллионы звезд
БМО с помощью панорамных приемников излучения (фотопластин-
ка, ПЗС-матрица), то можно надеяться достаточно часто регистри-
ровать "вспышки" звезд. Ниже показано, что слово "вспышка" на
самом деле следует писать без кавычек, так как указанное событие
действительно сопровождается вспышкой звезды. По длительности
и частоте таких событий можно судить о вкладе темных тел гало Га-
лактики в полную массу невидимого вещества. Эта наблюдательная
задача была поставлена Б. Пачинским, и ее решение несколькими
172

группами ученых привело в конце девяностых годов к определению
параметров конкретных темных тел гало Галактики.
Объясним эффект микролинзирования.
Рис. 3
Рассмотрим основные закономерности создания изображений в
гравитационной линзе - теле, создающем сферически-симметричное
гравитационное поле. На рис. 3 буквой D обозначена гравитацион-
ная линза (или, как ее еще называют, дефлектор), S - звезда фона,
буквой О отмечено положение наблюдателя. Звезда S, дефлектор
D и наблюдатель О находятся в плоскости рисунка. Угол между
направлениями на звезду и на дефлектор обозначен (—0), так что
в < 0. Два луча, прошедшие по разные стороны от массивного тела
D, будут отклонены от первоначальных направлений. Если звезда
S находится достаточно далеко от дефлектора D, то лучи начнут
сходиться и пересекутся в некоторой точке О, куда помещен наблю-
датель. Ломаные SFiO и SF2O изображают лучи, испущенные
звездой, отклоненные дефлектором и зарегистрированные наблюда-
телем. Поэтому наблюдатель в принципе видит два изображения
173

звезды 5, называемые "духами" и обозначенные буквами /i и Ii-
Углы между направлениями на звезду 5 и на "духи" 1\ и /г
обозначаются через в\ и (—02). Угол 6 отклонения луча света
звезды S в гравитационном поле дефлектора равен 2гд/р, где гд -
гравитационный радиус дефлектора, ар- прицельное расстояние
(см. (19.16)). В нашем случае
2rg
Lfd
(21.62)
Здесь и далее под Lfd , Lsd и так далее подразумеваются длины
соответствующих отрезков. Кроме того, все углы на рис. 3 чрез-
вычайно малы, порядка ~ 0,001". Из рис. 3 очевидны следующие
соотношения:
/3 = 6-01, (21.63)
Lsd Р = Lod h , (21-64)
LFD=LOD{0i-e). (21.65)
Подставим Lfd из (21.65) в (21.62):
Теперь исключим угол /3 из уравнения (21.64) при помощи уравне-
ния (21.63) и затем исключим угол S, воспользовавшись уравнением
(21.66). В результате получается следующее уравнение:
<??-0<?1-#о= 0, (21.67)
где
2 2rg LSD
(21.68)
u = V1 + ^r>1- (2L69)
{Lod + Lsd ) Lod
угловой радиус так называемого конуса Эйнштейна.
Пусть
Тогда два корня уравнения (21.67) равны
1
71,2
= -\в\(-1±и), (21.70)
174

и они обозначены на рис. 3.
Теперь исследуем вопрос о яркости "духов". Для простоты пред-
ложим, что "духи" фиксируются на фотопластинке, причем разме-
ры объектива dy по оси у и dz по оси z (ось z направлена
перпендикулярно к плоскости рисунка). Если бы дефлектор отсут-
ствовал, то яркость изображения звезды S на фотопластинке была
бы пропорциональна телесному углу:
Ду Дг
( Lsd + Lqd \
(21.71)
Яркость "духа" /i пропорциональна тому телесному углу, из ко-
торого лучи попадают в объектив фотоаппарата. Сначала свяжем
изменение угла /? с изменением координаты у от нуля до dy. Из
рис. 3 видно, что имеется соотношение
dy - Lsd d/3 - Lod d0i ■
Из (21.62) получаем, что
(21.72)
1r
d6 = —=р-dL
LFD
FD = —"
2rg Lsd
Г2
hFD
d/3.
Комбинируя (21.63) с последней формулой, находим
d01=-[ l +
2rg Lsd
Г2
bFD
dp.
Последнее соотношение подставим в (21.72):
dy = ( Lsd + Lqd ) d/3 +
1rg Lsd Lqd
—
bFD
dp.
Исключим из этого выражения Lfd при помощи (21.65), затем
воспользуемся определением (21.68) и равенством
ц-1
и + 1
В результате получим
dp
dy
Lsd + Lqd
и + 1
2u
(21.73)
175

При изменении координаты z от нуля до значения dz испу-
щенный луч SFi отклоняется в направлении, перпендикулярном
к плоскости рисунка. Обозначим соответствующее изменение угла
испущенного луча df. Величины d~/ и dz легко связать, если
учесть, что интересующее нас движение является вращением плос-
кости рисунка вокруг оси SD. Простые вычисления приводят к
формуле
dz
dj
Lsd + Lqd
^Ч1- Р..74)
Перемножая уравнения (21.73) и (21.74), находим, что "дух" 1\ име-
ет светимость, большую, чем у звезды S, в
Аг = ^ (21.75)
4 и
раз. Аналогичные вычисления показывают, что светимость "духа"
/2 увеличивается по сравнению со светимостью звезды в
I)2
(21.76)
4и
раз.
Теперь учтем, что в рассматриваемой задаче все углы имеют по-
рядок 0,001". Поэтому "духи" 1\ и Ii неразличимы, их изобра-
жения сливаются, и суммарная светимость двух "духов" в
А = АХ+А2=1- (« + ^) > 1 (21-77)
раз больше светимости нелинзированного источника S. Вследствие
(21.69) величина А бывает большой тогда, когда параметр и велик.
Поэтому при большом увеличении блеска звезды можно считать, что
A*9-f, (21.78)
то есть коэффициент усиления в этом случае равен отношению угло-
вого радиуса конуса Эйнштейна к угловому расстоянию между де-
флектором и истинным положением звезды S. При строго соосном
расположении звезды фона S и дефлектора (9 —> 0) вместо двух
изображений 1\ и I?, образуется яркое кольцо угловым радиусом
#о (см. (21.70)), именуемое кольцом или конусом Эйнштейна.
176

Оценим угловое расстояние в\2 между "духами" 1\ и I-i- Со-
гласно (21.70) 0J2 = I в | и ~ 2#о- Последняя оценка справедлива при
в2 < 9%. Если дефлектором является одна из ближайших галактик,
то во имеет порядок нескольких угловых секунд. Наблюдать два
изображения галактик или квазаров, разделенных угловым рассто-
янием в несколько секунд дуги, вполне возможно даже наземными
средствами. Если же дефлектор имеет массу порядка массы Солнца
и расстояние до него ~ 10 кпк (характерное для гало Галактики), то
расстояние между "духами" 1\ и l-i составляет величину порядка
угловой миллисекунды. Наблюдать два изображения, разделенные
расстоянием 0,001", с Земли невозможно. Оба изображения слива-
ются, усиливая наблюдаемую яркость свечения звезды. Это и есть
эффект микролинзирования.
Поэтому эффект микролинзирования наблюдают по изменению
блеска звезды S. Наблюдатель О, дефлектор D и звезда поля
S обладают некоторыми скоростями, в результате звезда поля S
движется относительно D с некоторой результирующей угловой
скоростью. При этом принципиальный параметр 0 и, как след-
ствие, коэффициент усиления являются переменными величинами.
Если пространственная скорость дефлектора ~ 300км/с (типич-
ные скорости в гало нашей Галактики), время пересечения звездой
S конуса Эйнштейна составляет около одного месяца. Таким же
является характерное время изменения блеска при микролинзиро-
вании. Кривая блеска при микролинзировании одиночной звезды S
является симметричной относительно момента времени, в который
наблюдается максимальная светимость. Кроме того, ввиду незави-
симости угла отклонения фотона в гравитационном поле от его ча-
стоты кривая блеска при микролинзировании точечного источника
не зависит от длины волны фотона.
Таким образом, существуют два важных признака, позволяющие
отличить кривую блеска звезды при микролинзировании от кривой
блеска обычной переменной звезды: при микролинзировании кри-
вая блеска должна быть строго симметричной относительно своего
максимума и не должна зависеть от длины волны.
По рекомендации Б. Пачинского с 1991 года поиск эффектов ми-
кролинзирования звезд БМО темными телами гало Галактики на-
чался различными зарубежными группами ученых. В России груп-
па астрономов ГАИШ МГУ под руководством М.В. Сажина еще в
1989 году начала поиск эффектов микролинзирования звезд галак-
177

тики в созвездии Андромеда, которое расположено в Северном небе
и доступно для наблюдений с обсерваторий России.
К настоящему времени число обнаруженных явлений микролин-
зирования превышает 50. Анализ результатов наблюдений БМО
позволяет заключить, что по крайней мере половина скрытой мас-
сы гало Галактики в виде барионов обязано своим происхождением
вкладу маломассивных звезд и коричневых карликов. Из чего состо-
ит вторая половина барионной компоненты скрытой массы и какова
природа небарионной компоненты скрытой массы, пока остается за-
гадкой. Кроме того, уже выяснено, что количество маломассивных
слабо светящихся звезд в Галактике оказывается много большим,
чем это предсказывает современная теория происхождения и эво-
люции звезд, что ставит перед учеными серьезную проблему, требу-
ющую скорейшего разрешения.
Согласно последним экспериментальным данным (середина
2000 года) плотности видимой материи, скрытой барионной и неба-
рионной материи во Вселенной, имеют порядок соответственно 1%,
6% и 30% от критической плотности (21.56). Для нескучивающей-
ся материи имеется приблизительная теоретическая оценка, осно-
ванная на косвенных экспериментальных данных ^з ~ 0,8. Таким
образом:
fii ~ 10"2, П2 -0,2 4-0,4,fi3~0,8, (21.79)
|П-1|<0,1. (21.80)
178

Часть III
ПРОБЛЕМА КВАНТОВАНИЯ
ГРАВИТАЦИИ
ГЛАВА I
ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ
ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
§ 22. Дираковские поля
в искривленном пространстве
22.1. Дираковское поле в пространстве Минковского
Для полноты картины, а также вследствие необходимости введе-
ния обозначений сначала сформулируем теорию дираковского поля
в пространстве Минковского.
Пусть ха, а = О, 1, 2, 3 - координаты в пространстве Минковско-
го и ?70(, = diag(l,—1,—1,—1) ~ метрический тензор в пространстве
Минковского. Введем четыре комплексные матрицы fa четвертого
порядка со следующими свойствами:
7а7Ь + 7Ь7а=2<6. (22.1)
Тогда, например, в спинорном представлении (7" = (7°i l"))
где а" - матрицы Паули:
-■=(!;)• 'Ч'"»')- -45-1
Стандартному представлению отвечают матрицы
v=(i_0,). И-°- ")• <»■»>
Из (22.2) и (22.3) вытекает, что
(77=7°, (7e)t = "7a, 7°7at7°=7a- (22.4)
179

Соотношения (22.4) имеют место в любом представлении, посколь-
ку 7~матРиЦы в разных представлениях различаются унитарным
преобразованием.
Пусть 75 = ~ if0"}1"}2"}3. Из этого определения имеем
(75)!=75, 757а+7а75 = 0, (75)2 = 1- (22.5)
s f -1 0 \
7 = п i J — спинорное представление,
5 ( 0 ~\\
7=1 . » ] — стандартное представление.
Введем набор из шести матриц:
rab = \[la,lb] = -rba. (22.6)
Вследствие (22.4)
7° (<гвЬ) V = -*"*• (22.7)
Используя лишь (22.1), находим
[(г"6, d^] = j^V6 - пыаас - T]acabd + T1bcaad. (22.8)
Операторы орбитального момента 1аь = хадь — хьда удовлетворяют
тем же перестановочным соотношениям, что и матрицы сгаь- Поэто-
му матрицы сгаЬ могут рассматриваться как обобщения нереляти-
вистских спиновых операторов 1/2 аа на релятивистский случай.
Пусть поле
/ iM*) \
Фз{х)
\ iM*) )
является матрицей-столбцом, состоящим из четырех комплексных
полей фа , а = 1, 2, 3, 4 и
ф(х) = ф'Чх)^ (22.10)
-матрица-строка. Поля фиф называются взаимно сопряженными
(в смысле Дирака).
ф(х) =
(22.9)
180

Дираковское поле удовлетворяет уравнению Дирака
(-ih~/aVa + mc)ip{x) = 0. (22.11)
Здесь h - постоянная Планка, т и е - масса и заряд частиц
дираковского поля, V'„ = да + %-f Аа(х) и Аа(х) -калибровочное
(электромагнитное или Янг-Миллсовское) поле.
Прежде всего следует установить факт лоренц-инвариантности
уравнения Дирака.
Пусть и>аь — —иьа - шесть вещественных параметров преобра-
зования Лоренца и
(еи)% = #+ывь+± «%«% + ...,
A,w=exp±Web<reb, 7°AL7° = A7J (22.12)
- матрицы конечных преобразований Лоренца, действующие на век-
торные и спинорные индексы, соответственно. При помощи (22.8)
легко установить, что
ха = А_шхаАш = {еш)\хь,
Л-ш7"Лш = (еш)аь7Ь, (22.13)
где
Л^ = ехр
nab I _a6 >
-и>аЬ(1 +0- ]
- оператор конечных преобразований Лоренца. В (22.13) ха - ко-
ординаты в другой инерциальной системе отсчета К. Из (22.13)
следует, что операторы Va и Va = да +у Аа{х) в системах К и
К связаны соотношением
Va = (ew)baVb. (22.13')
Дираковское поле в системе К обозначим ф и пусть
ф(х)~А!Шф(х(х)), ф(х) = ф(х)\;1. (22.14)
Здесь учтены соотношения (22.10) и (22.12). Используя (22,13) и
(22.14), получаем цепочку равенств:
(-ih-f"\7a + тс) ф(х) = -ifi-уа Авш\7 а ф{х(х)) + Агштсф =
181

= -г h Л,Ш7Ь (еш )" б Va ф(х(х )) + А5Штсф =
= Лзш {-ih~/aVa + тс) ф(х),
то есть
(ift7"Va+mc) ф{х) = Азш {~Игуа^а+тс)ф(х). (22.15)
Из формул (22.14) и (22.15) следует, что если при переходе из од-
ной инерциальной системы отсчета в другую дираковское поле пре-
образуется согласно (22.14), то из выполнения уравнения Дирака в
системе К следует выполнение уравнения Дирака в системе К.
При этом переходе матрицы Дирака (22.1) остаются неизменными,
а потому и уравнение Дирака сохраняет свой вид во всех инерциаль-
ных системах отсчета. Сказанное означает лоренц-инвариантность
уравнения Дирака.
Уравнение Дирака может быть получено путем вариации ферми-
онного действия:
5^= J d4x 1г-П{ф1а\7аф-У^фуаф)-тсфф\. (22.16)
Поскольку поля фиф- комплексные, то их следует варьировать
независимо. При помощи формул (22.13) - (22.15) устанавливается,
что действие (22.16) лоренц-инвариантно. Вещественность ферми-
онного действия вытекает из формул (22.4) и (22.10).
По определению, вариация действия материи относительно элек-
тромагнитного поля дает электромагнитный ток материи Ja. В
нашем случае имеем
5ASxP = -e f d*xJa5Aa, Г = ф~,аф. (22.17)
Учитывая (22.13) и (22.14), находим
Ja(x) = ~фчаф = фА7^1а Лзш ф = (е")а b Jb(x). (22.18)
Поэтому четыре вещественные величины J" = ф^а ф являются
компонентами 4-вектора.
Как обычно, ф = ( d/dt) ф. Согласно определению, обобщенный
импульс Жф определяется формулой
5^Бф= dt d3xn^6^.
182

и*
Отсюда и из (22.18) имеем
щ=Шфу° = ИгфК (22.19)
Дираковский гамильтониан с точностью до поверхностного члена
имеет вид
Сф= / d3x Пфф - С = / d3x ф* (-t h ааЧа + тсу° - е А0 ) ф,
(22.20)
aa=7V, {ааУ=аа. (22.21)
Оператор в круглых скобках в (22.20) - эрмитовский. Поэтому имеет
смысл задача о собственных функциях этого оператора. Рассмотрим
эту задачу для случая свободного Дираковского поля, когда элек-
тромагнитное поле отсутствует (Аа = 0).
Для облегчения формул далее мы полагаем h — с = 1.
Уравнение для собственных функций оператора Гамильтона-Ди-
рака в свободной теории имеет вид
Ha4+mT°)^=£k4. (22.22)
Как обычно, решение этого уравнения ищется в виде бегущих волн
Фь(х) = uketkx, амплитуды которых удовлетворяют уравнениям
(ak + m7°-£k)uk = 0. (22.23)
Умножая последнее уравнение на ( a k + ту0 + £к) и учитывая,
что
7° a + a 7° = 0 , аа of1 + а1 аа = 5^ ,
получаем
(4-™2-к2К = 0.
Отсюда видно, что при ек = ±\/т2 + к2 уравнение (22.23) имеет ре-
шение. Если ик удовлетворяет уравнению (22.23), то йк = 7°75 ик
удовлетворяет уравнению
(ak + m7°+£k)uk = 0. (22.24)
Поэтому имеется два независимых решения уравнения (22.23) с ек =
= л/m2 + к2 и два независимых решения с ек = —л/m2 +к2- Обо-
значим их через ик(Т и и_(_к)<, соответственно, а = 1, 2. Выберем
эти решения так, чтобы выполнялись равенства
UL uv.°' = <W . uL(_k),7«-(-k)<7' =«5(7(7', "kCT U-(-k)c7'= 0. (22.25)
183

Последнее равенство выполняется автоматически, поскольку ика и
u_(_k)<7 являются собственными векторами эрмитовского оператора
(ak + wy0) c разными собственными значениями. Функции
. uk(Te1kx, u_k(7e_,kx
образуют полный набор, по которому можно разложить дираковское
поле:
*№ = £ / Щз (°ъ° «к* *''кХ + Я* и.ка £-кх). (22.26)
Для эрмитовски-сопряженного поля имеем
^tW = E/(03(ak«,4^-ikx+^«Lb.e,'kx). (22.26')
Здесь { akст, 6кст } и {«[„, ^„ } - новые динамические комплекс-
ные переменные, содержащие в себе всю информацию о дираковском
поле. Гамильтониан (22.20) с учетом формул (22.22) - (22.26) при-
нимает вид
Ч = I Щ* £ \/m2+k2(4^k.-frk^L). (22.27)
При квантовании следует учесть два фундаментальных принципа:
а) коммутатор (или антикоммутатор) полей ф и щ = г^Д дол-
жен иметь каноническую форму;
б) в теории должно иметься основное состояние, энергия которо-
го минимальна.
Оба эти условия выполняются, если принять следующие условия
антикоммутации для введенных выше операторов:
{akCT,4v'} = (2*)3<W'<*(3)(k-k'),
{^,^} = (2^)3^<5(3)(k-k'),
{flk<7,aki<7-} = 0 и т.д. (22.28)
Теперь гамильтониан (22.27) принимает вид
d3k
Ч
/ (£уз Е ^га2+к2 (а1 аъ° + Ь1 Ька ) + е0. (22.27')
184

Здесь константа Sq —> —со. Основное состояние | 0) или вакуум
определяется условиями:
ак„|0) = 0, Ьк„|0) = 0.
Отсюда и из (22.27') видно, что е$ есть энергия вакуума, которая в
теории Дирака равна —со. Если эту энергию отбросить, то энергия
основного состояния оказывается равной нулю, а энергия любого
другого состояния вида
aki <ti ■ • ■ ak. <т. ^k. + i <t. + i • • " K.+r o.+r I ° )
является положительной. Состояния такого вида образуют физи-
ческое фермионное фоковское пространство. Если положить, что
(0 [ 0) = 1, то норма в фермионном фоковском пространстве будет
положительной.
Выпишем выражение для электрического заряда через операто-
ры рождения и уничтожения. Имеем
Q = J d*xJ° = J -0-(al<7aka+bk„bla) =
Здесь Qo —> +00 постоянный электрический заряд вакуума. Если
его отбросить, то электрический заряд вакуума оказывается равным
нулю.
При помощи (22.25), (22.26) и (22.28) находим, что
{фа(х), фЦх') } = 6&(х-х')6ар. (22.29)
Поэтому при выбранном способе квантования оба принципа а) и б)
имеют место.
Перейдем к нерелятивистскому пределу в уравнении Дирака. Для
этого подействуем на уравнение (22.11) оператором (1*7°Va + m) и
учтем, что согласно уравнениям (22.1) и (22.6) 7a7b = 7?аЬ + 2<та*.
Мы получим
{ VaVa + ааЬ [Va, V6 ] + m2 } ф = 0.
■/
185

Ho [Va, Vb] = ie (даАь — дьАа ) = ie Fab. При переходе к нереляти-
вистскому пределу следует сделать замену:
ф _>. e~imt ф, V0 = jr- + ie A0 ->• т- + ie A0 - гт ,
Членами, не содержащими m (точнее тс2), мы вправе пренебречь
в нерелятивистском пределе. С учетом сделанных замечаний по-
следнее уравнение для дираковского поля принимает вид
{ш+ = {-^а°+^р*+еА°}+- (22-30)
Согласно определению, электрическое Е и магнитное Н поля
связаны с тензором электромагнитного поля формулами: Ea = Fa0
и Fap = -Sap-y Ю. Из (22.3) и (22.6) имеем
О \ оа . 1 ( 0 <та
Нетрудно проследить, что вследствие уравнения Дирака Xk ~
~ (| к \/т1)Фк и потому в нерелятивистском пределе \ следует
положить равным нулю. Поэтому из уравнения (22.30) следует для
компоненты ф уравнение Паули:
г'^={-^^-^<ТН + еЛ°}^ (2231)
Нам остается установить, что оператор спина дираковского поля
отождествляется с оператором 1/2 <т.
Аналогично тому, как нулевая компонента электрического то-
ка J0 = ф^ф является плотностью электронного поля, величина
тпа/з = iф^ (хадр —хрда + сгар ) ф трактуется как плотность момента
импульса. Поэтому
МаР = i J сРх ф^ [хадр - хрда + (та1})ф (22.32)
есть полный момент импульса дираковского поля. Пусть Аа = 0.
Тогда свободное уравнение Дирака имеет вид
ф = —а^дуф — т~/0ф , ф^ = —дуф^ а1 + гтф^ ~/°.
186

Отсюда и с учетом уравнения (22.8) находим
Мар = -j / d3x { (дуф1) а1 (хад$ -хрда + аар ) ф +
+ Ф1 {хадр -хрда + стар)а'1д1ф} =
= i / d3x ф* { (аадр - арда) + [а7, аар ] д1} ф = 0.
Мы видим, что полный момент
J = / d3x ф1 ( г х i V + - <т ) ф
сохраняется и s = | <т есть собственный момент или спин Дираков-
ского поля.
22.2. Дираковское поле в искривленном пространстве
Из приведенного рассмотрения дираковских полей в пространстве
Минковского видно, что преобразования дираковских полей нераз-
рывно связаны с группой Лоренца, а точнее, со спинорной группой
(см. (22.12), (22.14) и (22.32) ). Алгебры Ли этих двух групп изо-
морфны. Поэтому для введения дираковских полей в кривом про-
странстве необходимо иметь ОНБ в касательном расслоении
(см. § 8).
Дадим схему доказательства невозможности существования спи-
норных представлений при отсутствии полей тетрад (и, следователь-
но, группы Лоренца). Для начала заметим, что при общих преобра-
зованиях координат х'(х) в каждой точке определена невырожден-
ная матрица дх^ /дх^, которая может быть произвольной. Каждой
такой матрице соответствует преобразование компонент векторов со-
гласно (2.2). Множество невырожденных 4x4 матриц образует груп-
пу, обозначаемую GLR(4). Мы должны установить отсутствие дву-
значных (спинорных) представлений у группы GLR(4).
Обозначим через L(3, 1), SLR(2) и SO(2) соответственно груп-
пу Лоренца, действующую в 4-мерном пространстве Минковского,
группу 2x2 матриц с единичным детерминантом и группу вращений
вокруг некой оси г. Имеем очевидные вложения:
SO(2) С L(3, 1), SO(2) С SLR(2) С GLR(4).
187

Отсюда видно, что если группа GLR(4) имеет спинорное предста-
вление, то оно является также и представлением групп SLR(2) и
SO(2). Все представления группы SLR(2) хорошо известны. Ка-
ждый элемент группы SLR(2) представляется как
М = ехр(а{К{), 1 = 1,2,3,
где три генератора Ki можно взять в виде
к+ = ( о° J ) ' К- = ( i о° ) ' к° = К о -1 ) •
Эти генераторы образуют алгебру Ли углового момента:
[К0, К± } = ±К± , [К+, К- ] = 2 К0. (*)
Важно, что матрицы из группы SO(2) представляются согласно
формуле М(ф) = ехр[ф (А'+ — К- ) ], где вещественный параметр ф
имеет смысл угла поворота вокруг оси z. Непосредственно прове-
ряется, что М(0) = М(2ж) = 1 для любого конечномерного пред-
ставления алгебры Ли (*). Это означает отсутствие конечномерных
спинорных представлений у группы GLR(4), что и требовалось до-
казать.
Пусть Xй - локальные координаты в четырехмерном кривом про-
странстве с локально-псевдоевклидовой метрикой <7^1/, { е£ } - ОНБ
и { е" } - тетрада. Пусть 7" _ не зависящие от координат матри-
цы Дирака (22.1), (22.2), ф(х) - четырехкомпонентное комплексное
дираковское поле, которое представляется как матрица-столбец, и
ф = V>f7°-
Обратим внимание на тот факт, что в кривом пространстве все
преобразования координат, базиса, компонент векторов и т.д. имеют
локальный характер, т.е. параметры преобразования (шаб) зависят
от точки пространства.
Проведем преобразование базиса и координат векторов согласно
(см. (22.13)):
е„ = (еТ'о «*', т,а'= (е")а'а т,а. (22.33)
Если спинорные поля преобразуются согласно (22.14), то формула
(22.18) остается в силе. Это значит, что величины J" = ф^аф
образуют компоненты вещественного вектора.
188

Пусть вдоль какой-либо кривой вектор тока переносится парал-
лельно. Тогда согласно (9.3) имеем
dJa = -иаь Jb , (22.34)
ёф = -Сф, ёф = -ф~!°С1~!°, (22.35)
где С - 1-форма со значениями в алгебре матриц Дирака. Это
значит, что 1-форма С разлагается по шестнадцати независимым
четырехрядным матрицам:
1, 7", <Л TV, 75- (22.36)
Для определения формы С будем исходить из того, что вели-
чины J" = ф~(а ф и фф при параллельном переносе изменяются
как вектор и скаляр соответственно. Имеем
dJa = -ф (7°CW + 1аС) ф = -ш£ h" Ф ,
d{фф) = -ф(10C^0 + C)ф = 0. (22.37)
Отсюда получаем уравнения
(22.38)
Г y°Cl1°1a+1aC = uablb,
{ 70Ct7°+C = 0.
Наиболее общее решение уравнений (22.38) имеет вид
C=^ujabaab + ieA. (22.39)
Здесь А = А^ dx11 - вещественная 1-форма, не имеющая спинорной
структуры. То, что (22.39) является решением уравнения (22.38),
непосредственно проверяется при помощи уравнений (22.7) и (22.8).
Комбинируя (22.39) и (22.35), находим ковариантную производную
спинорного поля:
Vф = dx>'V|lф, V^= Г—+1ШвЬ„<гвЬ + «еЛ/1) ф,
Р^=(Р^)+7° = ^г^-^ (\uablicrab + ieA^j . (22.40)
189

Уравнение Дирака в искривленном метрическом пространстве со
связностью, согласованной с метрикой, имеет вид
H7ae2XV + m)V = 0, iP~07ae£ + m^ = O. (22.41)
Легко понять, что уравнение (22.41) инвариантно как по отноше-
нию к общекоординатным преобразованиям, так и по отношению к
локальным преобразованиям ОНБ { еа }. Последнее свойство уста-
навливается так же, как и в (22.15). Общекоординатная инвариант-
ность уравнения (22.41) вытекает из того, что при общекоординат-
ных преобразованиях спинорное поле не изменяется:
ф{х') = ф(х'{х)), х' = х'{х). (22.42)
Теперь ясен физический смысл 1-формы Ац в операторе Т>ц (22.40):
поле А^ является калибровочным, в частности - электромагнит-
ным.
Вычислим 4-дивергенцию фермионного тока. Для этого исполь-
зуем формулы (9.1) и (8.35):
VaJa = e"(^ja+WbV6)- (22-43)
Теперь воспользуемся уравнениями (22.41) и (22.8). В результате
простых вычислений получим
Ча{Ф1аф) = 0. (22.44)
Из последнего уравнения следует, что если связность не имеет кру-
чения, то сохраняется электрический заряд (см. (9.47)):
Q = J d3xV4e°a(haiP)- (22.45)
Вещественное действие для дираковского поля в искривленном
пространстве (сравни с (22.16)) имеет вид
Бф= j й'1х^^{г-еЧ(ф1^11ф-%ф1аф)-тфф\ . (22.46)
Действие (22.46) инвариантно по отношению к общим преобразова-
ниям координат, поскольку (е£ Т>ц ф) есть инвариант по отношению
190

к этим преобразованиям.
Проверим инвариантность действия (22.46) относительно произ-
вольных локальных преобразований ОНБ { еа }.
Рассмотрим сначала бесконечно малое локальное преобразование
Лоренца, которое описывается формулами (сравни с (22.13'), (22.14)
и (8.3'), (8.5))
ёа(х) = еа(х) - шьа(х) еь{х),
j(x)=(l+luab(x)<rab) ф(х),
Здесь
^ab ~- "Цас^Х ~ бесконечно малый параметр, зависящий от
точки пространства. Легко убедиться, что
д ■ 1 - „ab А 1 _ Л , 1 ,. _с<Л ( д , 1 ,, -»ъ
дх, ■ 2*«ь^)Ф={1+-2^) ^ — + -ыл^)ф.
Отсюда и из (22.13) следует инвариантность действия (22.46) относи-
тельно бесконечно малых локальных преобразований Лоренца. Так
как локальные преобразования Лоренца образуют группу Ли, то из
сказанного вытекает также инвариантность действия (22.46) отно-
сительно произвольных локальных преобразований Лоренца.
Чтобы из действия (22.46) получить уравнения движения, следу-
ет во втором слагаемом перебросить производную с ф на ф:
Бф= f <1*Ху/^){1е11аф~1а'Р»Ф-тфф} +
+ ^j d4xV^ (Ф1аФ) { ф=д d, (V^e» ) - Jail e£ } . (22.47)
Если кручение не равно нулю, то следует пользоваться формулой
(9.38'), откуда
r^ = -i=y=^-7;V (22.48)
Используя равенства (22.48) и (8.39), преобразуем действие (22.47)
к виду
S^= J d*xy/=jji ie£ haV^ -тфф+%- е^Т^ф^ ф \ .
(22.49)
191

Теперь, приравнивая нулю вариацию (22.49) относительно ф, нахо-
дим уравнение для дираковского поля
i e^'V, ф+^е»аТ»1/1аф-тф = 0. (22.50)
Мы видим, что при наличии кручения уравнение Дирака (22.41) не-
сколько изменяется. Тем не менее электрический заряд по-прежнему
сохраняется. Действительно, вместо уравнения (22.44) теперь имеем
откуда (сравни с (9.39))
е*ф1аф) + (ТЪ + ТЬ)(е*ф1аф)=0.
дх>*
Учитывая (22.48), окончательно находим
1 8
-g dxi1
-де*ф1аф)=0. (22.51)
Поэтому при наличии кручения электрический заряд (22.45) по-
прежнему сохраняется (см. (9.43) - (9.47)).
22.3. Операции дискретной симметрии
и алгебра, матриц Дирака
Для полноты картины определим операции пространственного от-
ражения и обращения времени, а также зарядового сопряжения.
А. Пространственная инверсия
В результате этой операции пространственные компоненты век-
торов изменяют знак, а временные компоненты остаются неизмен-
ными. Пусть штрих сверху означает преобразованные величины.
Тогда
х'° = х\ х' = -х,
J'°(x°, x) = J°(x°, -х), З'{х°,х) = -3{х°, -х). (22.52)
Кроме того, мы потребуем, чтобы преобразованное дираковское поле
так же, как и исходное поле, удовлетворяло уравнению Дирака.
192

Легко проверить, что если
ф'(х°, х) = фр(х°, х) = 7° ф(х°, - х) , (22.53)
то все перечисленные требования удовлетворяются.
Действительно, для J'a(x) = ф'(х) -уа ф'(х) имеем соотношения
(22.52) вследствие свойств 7~матРиЦ (22.1) и (22.4). Кроме того, из
уравнения Дирака вытекает уравнение
{-И11аЪ'а + тс)фр{х0,х) = 0,
где Vq = Vo , V'a = —Va. И наоборот: из последнего уравнения
следует уравнение Дирака.
Непосредственно проверяется, что четыре компоненты
Г^Ф^УФ (22.54)
являются вещественными и образуют компоненты вектора относи-
тельно преобразований Лоренца, т.е. преобразуются по закону (22.18^
Этот факт вытекает из того, что [у5, <гаЬ] = 0. Вместе с тем вслед-
ствие (22.5) имеем
J>°(x0,x) = -J°(x0,-x), J5'(z°,x) = J5(z°,-x). (22.55)
Равенство (22.55) означает, что J£ являются компонентами псев-
довектора, а не вектора.
Аналогично показывается, что
(ффУ(х°,х) = (фф)(х°,-х),
(ф15ф)'(х0,х) = -(ф15ф)(х°,-х),
т.е. величины фф и ф^5ф являются скалярными и псевдоскаляр-
ными соответственно.
Обратим внимание на то, что повторное применение операции ин-
версии приводит к тождественному преобразованию всех полей.
Б. Обращение времени
При обращении времени имеем
х'° = -х\ х' = х,
193

J'°{x°, x) = J°(-x°, x), j'(z°, x) = -j(-*°,x). (22.56)
Для вектор-потенциал а при обращении времени справедливо прави-
ло:
А,0(х0,х) = А0(-х°,х), А'(х°,х)) = -А(-х°,х). (22.57)
Потребуем также, чтобы при проведении операции обращения вре-
мени уравнение Дирака сохраняло свой вид. Это требование невоз-
можно удовлетворить без комплексного сопряжения дираковского
поля, что следует из уравнения Паули, в которое переходит уравне-
ние Дирака в нерелятивистском пределе.
Проверим, что всем требованиям удовлетворяет преобразование
дираковского поля вида
ф'(х°, х) = фт(х°, х) = UT ф'(-х°, х),
фт{х°, х) = -ф*{-х°, х) UT , (22.58)
где в спинорном и стандартном представлениях
t/T = 73717°, U£ = -l. (22.59)
Индекс t сверху означает транспонирование. Имеем
UTlot = -/°Ut, Ut-t* = -lUT. (22.60)
Поскольку при обращении времени переставляются начальное и ко-
нечное состояния, то формулы преобразования (22.57 - 60) должны
быть дополнены правилом, согласно которому всякое произведение
операторов преобразуется в произведение преобразованных операто-
ров в обратном порядке. При помощи формул (22.58) и (22.60) уста-
навливаем, что поле фт удовлетворяет уравнению Дирака, если по-
ле ф удовлетворяет уравнению, которое получается из уравнения
(22.11) при помощи дираковского сопряжения, и наоборот. Кроме
того, согласно (22.58), (22.60) и указанному правилу
[ф1аф)т{х°, х) = -{ф1 UTla UT фь У(-х°, х) =
= Г)аа{Ф* I"' ФЬ У'(~Х°, X) =-7?аа(^7а Ф)(-Х°, х) . (22.61)
Здесь отсутствует суммирование по индексу а. Тем самым преобра-
зование (22.56) установлено.
194

В. Зарядовое сопряжение
Из (22.26) видно, что поля ф и ф уничтожают частицу и анти-
частицу соответственно, которые имеют взаимно противоположные
заряды. Поэтому операция зарядового сопряжения должна сопро-
вождаться операцией дираковского сопряжения полей. При этом
вектор тока (22.17) должен менять знак:
J'a(x) = -Ja(x). (22.62)
При зарядовом сопряжении следует также считать, что изменяет
знак либо электрический заряд, либо вектор-потенциал. Кроме то-
го, зарядово-сопряженные поля должны удовлетворять уравнению
Дирака.
Все указанные требования выполнены, если
ф'(х) = фс(х) = Uc ф*{х), фс = -Ф1 Uс1 ■ (22.63)
В спинорном и стандартном представлениях
Uc = il2l°, Uc1 7° UC = ~lat,
Uc1 75 Uc = 75t, Ucl <таЬ Uc = -<rabt. (22.64)
При помощи (22.64) без труда проверяется, что после преобразова-
ния (22.63) и изменения знака потенциала уравнение Дирака перехо-
дит в уравнение Дирака для дираковски-сопряженного поля. Кроме
того, из (22.63) и (22.64) получаем
J'a = -ф* Uc1 7° Uc Ф* = Ф* lat Ф1 ■
Отсюда и из антикоммутативности дираковских полей следует ра-
венство (22.62).
Повторное применение операции зарядового сопряжения приво-
дит к тождественному преобразованию.
Пусть Фсрт обозначает поле, возникающее из дираковского по-
ля ф при последовательном проведении операций обращения вре-
мени, затем пространственной инверсии и, наконец, зарядового со-
пряжения. Комбинируя (22.53), (22.58) и (22.63) в нужном порядке,
находим
Фсрт = 75 Ф(-х) ■ (22.65)
195

Теперь мы можем сформулировать понятие "вещественности"
дираковских полей. "Вещественное" дираковское поле называется
майорановским полем.
Определение 1. Дираковское поле ф называется майоранов-
ским полем, если операция зарядового сопряжения (22.63) не изме-
няет это поле, то есть если
ф(х) = исф*{х) = 1-у2ф^(х). (22.66)
□
Формула (22.66) справедлива в спинорном и стандартном пред-
ставлениях.
Так как уравнение Дирака инвариантно относительно зарядово-
го сопряжения, то майорановское поле может быть решением урав-
нения Дирака. Действительно, если дираковское поле ф удовле-
творяет уравнению Дирака, то и поле Uc Ф1 также удовлетворяет
уравнению Дирака (22.11). Поэтому и поле (ф+Uc ф*), являющееся
майорановским, также удовлетворяет уравнению Дирака.
Покажем, что электрический ток майорановского поля тожде-
ственно равен нулю.
Вследствие (22.66), (22.64) и антикоммутативности дираковских
полей имеем цепочку равенств:
J" = ф-f" ф = -ф1 Uc1 f" Uc ф* =
= ф1^ ф1 = -фча ф = -Ja ,
из которой следует сделанное утверждение.
Г. Уравнение Вейля
Пусть поле ф удовлетворяет уравнению Дирака (22.50). Оче-
видно, что если в этом уравнении т = 0, то ему удовлетворяет и
поле 75 Фу а также поля:
Ф± = \(1Т15)Ф- (22.67)
Два поля (22.67) называются правым и левым вейлевскими полями
соответственно.
196

В спинорном представлении
*<**)• **'(*>)• *-(1)-
Выпишем ковариантную спинорную производную:
V*={ О 2><"> )' ГД6
^±) = V,-i ^£a/j7wf ±^) <т\ V, = d + ieA,. (22.68)
С учетом (22.68) уравнение Дирака для вейлевских полей (22.67)
принимает вид
i(eg + e^e)2>(+)^ = 0, (22.69а)
г(е£-е>а)2>(->Х = 0. (22.696)
Уравнения (22.69) называются уравнениями Вейля.
Так как генераторы преобразований Лоренца <таР коммутируют
с проекционными операторами (1/2) (1 ± уъ ), то уравнения Вейля
инвариантны по отношению к локальным преобразованиям Лорен-
ца. Уравнения Вейля инвариантны также относительно общекоор-
динатных преобразований.
Рассмотрим уравнения (22.69) в пространстве Минковского, где
е£ = 8£ и Vft ' = Vp. При помощи данных определений для Р , Т
и С-преобразований нетрудно установить, что каждое из уравнений
(22.69) инвариантно относительно обращения времени и комбиниро-
ванного СР-преобразования. Однако уравнения Вейля не инвари-
антны по отношению к операциям пространственного отражения
и зарядового сопряжения в отдельности.
Д. Алгебра матриц Дирака и преобразования Фирца
Рассмотрим совокупность четырехрядных матриц:
1, 75- V, *757а, 2i<Tafc. (22.70)
Здесь 1 - единичная матрица. Занумеруем эти 16 матриц, обозначив
их уЛ ; А = 1, ... , 16. Пусть 7л ~ те же матрицы с опущенными
197

индексами. Так, если А = (Оа), то fA = —7а- Эти матрицы
обладают следующими свойствами:
tr7A = 0 (7А^1), \^1А1в=6%. (22.71)
Покажем это. Заметим, что из (22.13) вытекает отсутствие следа у
матриц 7°- Действительно, вычисляя след от уравнения (22.13), мы
находим, что tr7° = (еш )"ь tr ~yb, откуда следует сделанное утвер-
ждение.
Имеем также:
tr75 = -i tr(7°717273) = ~г' tr(737°7172) = »' tr(7°717273) =
= -tr75 =0.
Аналогично устанавливается, что tr757° = 0, tr <rat> = 0. При
помощи (22.1) и (22.5) устанавливаются последние соотношения в
(22.71).
Из (22.71) следует, что 16 матриц fA линейно независимы. По-
этому любая 4х4-матрица Г может быть разложена по системе
матриц у4 '•
Т = у£,Са1Л, CA = \tilAT. (22.72)
А
Пусть Тар - матричные элементы матрицы Г. Рассмотрим част-
ный случай, когда Тар = 6ат6р$. Тогда С а = \lA6r и соотношение
(22.72) принимает вид
5от SpS - -^2 ~1А St lap ■ (22.73)
А
Пусть в символе ф% верхний индекс нумерует дираковское поле,
а нижний индекс - компоненту этого поля. Умножим равенство
(22.73) на ФйФтФаФр- Учитывая свойство антикоммутативности
дираковских полей, получаем
(фа ф" ) (фс фь ) = - \ £ (Г 1А ФЬ ) (фс 1Аф6). (22.74)
198

При замене в (22.74) фл —>■ -)В фл , фь —> -ус фь получаются другие
равенства такого же типа. При этом следует пользоваться разложе-
нием
А В S~^ С ^ j. А В
7 7 = 2^ ас~1 ' ас = т *Г7 7 1С ■
с
Соотношения типа (22.74) называются преобразованиями Фирца.
Выпишем для справок результаты преобразований Фирца. Вве-
дем обозначения:
■Is = (Ф"ФЬ) (ФСФ* ), Jp = (Г 75 ФЬ) (Фс 1ЬФ6),
^=(фа1ефЬ)(фС1еФ"),
J а = (Фа il5le ФЬ ) (Фс г757е Ф* ), Jt = (Фа i<reJ фЬ ) (фс i<reJ ф* ).
Те же буквы J со штрихами будут обозначать такие же произве-
дения с переставленными местами фь и фл. Тогда
( J's \
J'v
J'a
\ J'p)
1
4
-1
3
2
-1
1
4
1
1
2
0
1
2
i
4
1
4
0
1
2
0
1
4
1
i
2
0
1
I
4
-и
1
3
2
1
-\)
( JS \
Jv
Jt
Ja
\ Jp 1
(22.75)
23. Обобщенная гамильтонова
механика
Цель этого приложения состоит в ознакомлении читателя с гамиль-
тоновым формализмом таких динамических систем, в которых име-
ются связи между каноническими переменными. Эти динамические
системы называются вырожденными. Процедура квантования вы-
рожденных систем существенно усложняется по сравнению с кано-
нической схемой квантования невырожденных систем. Важность
рассматриваемой здесь задачи становится очевидной, если учесть,
199

что наиболее важные в теоретической физике модели теории поля
относятся к вырожденным системам. Таковы все калибровочные те-
ории (электродинамика, теория Янга-Миллса), теория релятивист-
ской струны, теория гравитации.
Хотя все перечисленные системы являются системами с бесконеч-
ным (и даже континуальным) числом степеней свободы, мы далее в
этом параграфе рассматриваем вырожденные системы с конечным
числом степеней свободы. Перестройка формализма, разработанно-
го для систем с конечным числом степеней свободы, для применения
к классическим системам с бесконечным числом степеней свободы
представляется очевидной. Трудности могут возникнуть при пере-
ходе к квантовой механике. Причина в том, что в квантовой теории
поля швингеровы члены (или аномалии) в некоторых коммутаторах
могут существенно видоизменить или вообще разрушить всю схему
квантования, вытекающую из классической теории.
Изложение этого параграфа основано на лекциях Дирака [17].
23.1. Классическая теория
Пусть £(q,q) - лагранжиан некоторой динамической системы. Бу-
квой q мы обозначаем совокупность Лг вещественных переменных
{qn} и qn = dqn/dt, n = 1, .. ., N. Таким образом, лагранжиан
зависит от координат и скоростей.
Уравнения Лагранжа
If^J (23 1)
dt \dqnJ dq„
получаются из вариационного принципа
SS = S f £{q,q)dt = 0, (23.2)
причем координаты q варьируются независимо.
При переходе к гамильтонову формализму определяются импульс-
ные переменные
Рп = |£. (23.3)
oqn
В невырожденной теории импульсы являются независимыми функ-
циями скоростей. В вырожденной теории это уже не так. В этом
случае существует одно или несколько соотношений типа (j)(q,p) = 0.
200

Таким образом, из определения (23.3) вытекают соотношения
фт(д,р) = 0, m=l,...,M<N. (23.4)
Рассмотрим величину (pnqn — С) и проварьируем ее, варьируя
независимо координаты q и скорости q. При варьировании ко-
ординат и скоростей варьируются также импульсы (23.3). Ниже,
пока не будет оговорено, импульсы и их вариации предполагаются
подчиненными уравнениям (23.3) и (23.4). Имеем
S(pnqn ~ С) = Spnqn +pnSqn- f jt~ J Sqn - ( -5— j Sqn -
= in Spn - f --— j Sqn . (23.5)
Отсюда видно, что полная вариация величины % = pnin — £ за-
висит только от вариаций координат и импульсов. Это значит, что
величина может быть выражена только через переменные q и р.
Выраженная через координаты и импульсы величина % называется
гамильтонианом. Из равенств (23.1), (23.3) и (23.5) получаем
?п = -К— , Рп = —£— ■ (-«.б)
ОРп Oqn
Уравнения (23.6) являются каноническими уравнениями движе-
ния Гамильтона в фазовом пространстве, которые эквивалентны
уравнениям Лагранжа (23.1). Следует помнить, что в вырожденном
случае переменные (q,p), кроме уравнений Гамильтона, удовлетво-
ряют также связям (23.4).
Однако в вариационных задачах гораздо удобнее использовать
формализм лагранжевых множителей, который в нашем случае при-
нимает следующую форму.
Легко проверить, что уравнения (23.4) получаются из вариаци-
онного принципа:
SS
= S [{Мп-П-итфт)<И = 0. (23.7)
Здесь ит - множители Лагранжа. Если считать уравнения (23.4)
выполненными, то вариационный принцип (23.7) приводит к урав-
нениям (23.6). На самом деле удобнее сначала получить уравнения
201

движения из вариационного принципа (23.7), не предполагая связи
(23.4) выполненными. Затем множители Лагранжа выбираются так,
чтобы связи (23.4) действительно выполнялись.
Из (23.7) получаем
дН дфт
Орп Орп
д% дфт
«я
(23.
dqn OQn
Введем скобку Пуассона, которая сопоставляет двум функциям f(q, p
и g{q,p) третью функцию [/, д] согласно правилу
\f „Л df dg df dg men
ад„ дрп дрп dqn
Из определения скобок Пуассона непосредственно вытекает, что они
удовлетворяют следующим свойствам:
[/,</] = -[</,/], (23.Ю)
[fi+f2,g] = {fi,g} + {f2!g], (23.il)
[/l/2, «/] = /! [/2, </] + [/!,«/]/2, (23.12)
[/, [ff, Ml + [ff> [A,/]] +[А, [/,«,]] = (). (23.13)
Соотношение (23.13) известно как тождество Якоби.
Введем соотношение слабого равенства fa, которое означает ра-
венство по модулю связей (23.4):
ffaO «■ /(g,p) =cm(g,p)<M?>P)- (23.14)
В отношении функции / в (23.14) говорят, что она слабо равна
нулю.
Теперь уравнения движения (23.8) записываются в виде (здесь g
- любая функция переменных q и р)
д=[д,Пт), Пт = П + итфт. (23.15)
Уравнения (23.15) совпадают с уравнениями (23.8) с точностью до
членов [д, ит ] фт fa 0. Множители Лагранжа не являются, вообще
говоря, функциями лишь одних переменных (q, р) и потому скобки
202

Пуассона с их участием не определены. Тем не менее, как мы видим,
уравнения (23.8) и (23.15) совпадают при условии выполнения свя-
зей (23.4).
Подчеркнем, что в рассматриваемом формализме все скобки Пуас-
сона вычисляются до того, как связи (23.4) полагаются равными
нулю. Это означает в частности, что сначала находятся уравнения
(23.15) и лишь затем налагаются условия фт = 0.
Предположим, что условия (23.4) выполнены в момент време-
ни t. Для того чтобы эти условия были выполнены в близкие к
t моменты времени, необходимо и достаточно выполнение слабых
равенств
[Фи Кт] = [Фи П] + ит [Фи Фт]ъ0 (23.16)
для всех / = 1, ..., М.
Среди равенств (23.16) могут быть такие равенства, которые не
зависят от коэффициентов ит. Это означает, что условия (23.16)
дают одно или несколько соотношений вида x(?iP) ^ 0- Если
X ф стфт, где ст - произвольно зависящие от q и р коэффици-
енты, то для того, чтобы теория была непротиворечивой, величина
x(q,p) должна быть причислена к связям фт(д,р). Связь х на-
зывается вторичной связью, в то время как связи фт называются
первичными связями. Это деление связей на первичные и вторичные
условно и имеет вспомогательный характер. После присоединения
вторичной (или вторичных) связи к первичным процесс нахождения
вторичных связей и присоединения их к первичным должен быть
продолжен до тех пор, пока новые связи не перестанут возникать в
уравнении (23.16).
Обозначим всю совокупность первичных и вторичных связей че-
рез фт, и пусть по-прежнему индекс т пробегает значения от 1
до М. Далее не делается различия между первичными и вторич-
ными связями. Для непротиворечивости теории необходимо выпол-
нение условий (23.16). При этом среди соотношений (23.16) или их
линейных комбинаций отсутствуют соотношения, не зависящие от
коэффициентов ит.
Обратим внимание, что любая линейная комбинация связей фт
вида ф(я,р) — cm(q,p) фт{<1,р) также является связью. Поэтому
множество всех связей образует линейное пространство над гладки-
ми функциями вида c(q,p).
Существенным является деление связей на связи первого и вто-
рого рода.
203

По определению, динамической величиной (в частности, свя-
зью) первого рода называется такая величина Л(<7, р), которая
удовлетворяет условиям
[Л,^]иО, т=1,...,М. (23.17)
Связь фт, не являющаяся связью первого рода, называется связью
второго рода.
Из данного определения вытекают следующие простые теоремы.
Теорема 1. Скобка Пуассона двух величин первого рода также
является величиной первого рода.
Доказательство. Пусть R и S - переменные первого рода.
Тогда согласно определению (23.17) и (23.14)
[R, ф1 ] = rim Фт , [S, ф{ } - Slm Фт ■ (23.18)
С учетом тождества Якоби (23.13)
[[R,S]^,] = -[[S^,],R] + [[R^,]S] =
= [R, Slm Фт ] - [S, ПтФт] « 0 .
Последнее слабое равенство получается при учете (23.18). Таким
образом, доказано, что величина [R, S] является величиной пер-
вого рода. □
Предположим, что, составляя линейные комбинации связей фт,
мы выделили максимально возможное число связей первого рода,
которые обозначим ф$ , j — 1, ..., J. Оставшиеся связи являются
связями второго рода. Обозначим их Xs > s = 1, ..., 5. Имеем
J + 5 = М, 0 < J, S < М. Таким образом, 5 есть число связей
второго рода, причем никакая их линейная комбинация не относится
к связям первого рода.
Составим из множества скобок Пуассона вида [xs, Xs1 ] квадрат-
ную матрицу порядка S и рассмотрим ее определитель:
О [Xi, Х2] [хьХз] ■■• [XbXs]
д_ [X2,Xi] О [Х2, Хз] ••• \X2,Xs]
[xs,Xi] [Х5,Хг] ••• [Х5,Хз] О
(23.19)
204

Теорема 2. Детерминант Д не обращается в нуль даже в
слабом смысле.
Доказательство. Предположим, что Д я* 0. Покажем, что
это предположение приводит к противоречию.
Если Д « 0, то ранг матрицы, стоящей под знаком детерминанта
в (23.18), равен Т < S. Без ограничения общности можно считать,
что определитель матрицы, составленной из скобок Пуассона вида
[Xs, Xs'] Для s, s' = 1, ..., Т, не равен нулю ни в сильном, ни в
слабом смысле. Построим другой детерминант:
Xi 0 [хг, Xi ] • • • \Х\, Хт ]
А_ Xi \хъХ\\ 0 ••• [Х2,хт]
Хт+1 [Xt+i,Xi] Ьст+1, Х2] ■■■ \хт+1,Хт]
Покажем, что скобки Пуассона детерминанта А с любой из
связей первого или второго рода ф равны нулю в слабом смысле.
Для этого достаточно увидеть, что детерминант
[Ф,Хг] 0 Ьа,Х2] ■■• [ХиХт]
[Ф,Х2] [Х2, Xl] 0 •■• [Х2, Хт]
[Ф,Хт+\] Ьст+uXi] \хт+1,Х2] ■■■ [Хт+1,Хт]
(23.21)
слабо равен нулю. Если ф является связью первого рода, то первый
столбец детерминанта (23.21) слабо равен нулю, откуда вытекает
слабое равенство нулю и всего детерминанта. Если ф = Xs Для
какого-либо s, то детерминант (23.21) слабо равен нулю вследствие
предположения. Действительно, если бы определитель (23.21) не
равнялся нулю, то ранг матрицы в (23.18) был бы больше Т.
Разложим детерминант (23.20) по элементам его первого столбца:
4 = ciXi+...+ CT+iXT+i. (23.22)
Вследствие сделанных предположений коэффициент ст+\ не равен
нулю в слабом смысле и линейная комбинация связей второго рода
(23.22) является связью первого рода. Этот результат противоречит
определению связей первого и второго рода.
(23.20)
1Ф,А]*
205

Таким образом, доказано, что определитель (23.19) не равен ну-
лю даже в слабом смысле. Попутно доказано, что число связей
второго рода четно, поскольку любая невырожденная антисимме-
тричная матрица имеет четный порядок. D
Обозначим через css/ матрицу, обратную к матрице [xs, Xs1],
так что
с«' \х>'> Xs"] = $ss" ■ (23.23)
Теперь вернемся к исследованию условий непротиворечивости
динамической системы (23.16).
На условия (23.16) можно смотреть как на линейные уравнения,
определяющие полностью или частично коэффициенты ит.
Будем считать для удобства, что ф\ — xi, ■ ■ ■, <j>s = Xs _ все свя-
зи второго рода, а остальные связи (j>s+i, ■ ■ •, Фм являются связями
первого рода. Из Теоремы 2 следует, что матрица [Ф1, фт ] в (23.16)
имеет ранг 5, причем отличный от нуля минор составлен из коэффи-
циентов при неизвестных и1; ..., us в уравнении (23.16). Согласно
теореме Кронекера-Капелли система уравнений (23.16) имеет реше-
ние тогда и только тогда, когда ранги матриц
Aim — [Фи Фт]
И
/Ап ■■■ Аш [ф\,П] \
Аш = I ■■■ \ , rh=l, ..., М,М + 1
\ Ami ■■■ Амм [Фм,^Н] )
(23.24)
совпадают. Подчеркнем, что здесь требуется совпадение рангов ма-
триц А и А в слабом смысле. Это значит, что вычисление рангов
матриц следует проводить после-наложения связей фт = 0. Если
же ранг матрицы А больше ранга матрицы А, то невозможно
найти такой набор коэффициентов ит, чтобы система уравнений
(23.16) была удовлетворена. В этом случае динамическая система
оказывается внутренне противоречивой.
Например, пусть система имеет одну координату и лагранжиан
равен С = q. Тогда имеется связь р = 0. Гамильтониан равен
% — —q, матрица А = 0, а матрица А = (0 1). Ранги матриц А и
А различны, а сама система противоречива.
206

Далее мы рассматриваем лишь системы, у которых ранги ма-
триц А и А совпадают в слабом смысле. Такие системы можно
назвать классически совместными. Из сказанного следует, что для
таких систем коэффициенты ui,...,us определяются однозначно,
а коэффициенты us+i, ..., им остаются произвольными. Для на-
хождения коэффициентов и\, ..., us в уравнении (23.16) следует
положить фт = 0.
Обратим внимание на то, что коэффициенты щ, ..., us явля-
ются коэффициентами при связях второго рода, а остающиеся сво-
бодными коэффициенты us+i, ..., им являются коэффициентами
при связях первого рода в обобщенном гамильтониане %т (23.15).
Обозначим коэффициенты us+i, • • ■, «м через v$+i, • ■ •, Чм • Кро-
ме того, пусть (см. (23.15), далее мы полагаем j = 1, ..., J)
П' = П + и,х,, Пт = П' + ь^. (23.25)
Тогда изменение во времени любой величины д определяется урав-
нением
5 = [9,"Ит]=[9,"И'] + ^[9.^]- (23-26)
Напомним, что в уравнении (23.26) ф$ - связи первого рода. Обра-
тим внимание также на то, что гамильтониан %' (23.25) является
величиной первого рода. Именно это обстоятельство обеспечивает
воспроизведение всей картины во времени.
Тот факт, что коэффициенты v в уравнении (23.26) являются
произвольными функциями времени, означает, что в системе име-
ются так называемые калибровочные преобразования динамических
переменных, которые не изменяют физическое состояние теории.
Зададим переменные (q, р) в момент времени t. Тогда в момент
времени t+St эти переменные имеют значения q+Sq , p+Sp, причем
изменение любой величины согласно уравнению (23.26) равно
Sg=gSt = St [д, П'] + vj [д, Ф} ]St. (23.27)
Так как коэффициенты v совершенно произвольны, то в момент
времени t+St величина д определена неоднозначно, она определена
с точностью до Stvj [g, ф^]. Преобразования любой величины д
вида
д —► g+evjte^j], e -> 0 (23.28)
207

называются бесконечно малыми калибровочными преобразования-
ми. По общему смыслу обобщенной механики калибровочные пре-
образования не должны изменять физическое состояние системы.
Последнее утверждение можно переформулировать следующим обра-
зом: любая физически наблюдаемая величина F должна быть ка-
либровочно инвариантна, то есть должны иметь место равенства
[*",&] = 0, j = l,...,J. (23.29)
Сформулируем полученные результаты.
Обычно анализ динамической системы в релятивистской теории
начинается с построения лагранжиана. Лагранжиан является функ-
цией неких координатных переменных q и их скоростей q. Выбор
координатных переменных определяется физическими и прочими со-
ображениями. Затем определяются импульсные переменные соглас-
но (23.3), выявляются все связи (23.4) (первичные и вторичные).
Все связи разделяются на две совокупности: первого и второго ро-
да, причем число связей первого рода должно быть максимальным.
После этого путем решения системы линейных уравнений (23.16) на-
ходится гамильтониан %' (23.25), который является величиной пер-
вого рода. Динамические уравнения (23.26) решаются совместно с
наложением связей (23.4), и эта задача корректна. Корректность
означает, что если в момент времени t уравнения для связей (23.4)
удовлетворены, то вследствие уравнений движения уравнения (23.4)
останутся в силе и в момент времени t + St. Это есть следствие того,
что %' и (j>j в уравнениях (23.26) являются величинами первого
рода.
Теперь продвинемся дальше в развитии формализма. Это необ-
ходимо для перехода к квантовой теории. При квантовании возни-
кает необходимость явного разрешения связей второго рода.
Чтобы понять, к каким последствиям приводит разрешение свя-
зей второго рода, допустим, что имеется одна пара простейших свя-
зей второго рода gi = 0 , р\ = 0. В этом случае задача решается
просто: переменные q\ и pi полагаются равными нулю во всех ве-
личинах, а скобки Пуассона (23.9) соответственно изменяются так,
что в результате наложения указанных связей новая скобка Пуас-
сона определяется как
208

В общем случае наличия произвольных связей второго рода сле-
довало бы действовать аналогичным образом: сначала найти новый
набор канонических переменных {Qn, Рп }i в которых имеющиеся
связи второго рода или их линейные комбинации принимают про-
стой вид
Q, = 0, Ps=0, a=l,...,S,
и затем переопределить скобку Пуассона согласно правилу
П аГ = V ( Ш-SH d/ д9
[ J ^1, V3Qn дРп дРп dQn
Однако в теориях, представляющих реальный интерес, отыскать яв-
но описанные канонические переменные {Q„, P„ } практически не-
возможно. Тем не менее новая скобка Пуассона определяется явно:
[f,9]*=V,9]-[f,X,]c„>[u,9]- (23.31)
Здесь матрица cssi определена согласно (23.23). Скобка (23.31) на-
зывается скобкой Дирака. Очевидно, что скобка Дирака обладает
свойствами (23.10) - (23.12). В работе [18] путем прямых вычисле-
ний доказано, что скобка Дирака удовлетворяет также и тождеству
Якоби (23.13). Это означает, что скобки Дирака могут играть также
роль скобок Пуассона.
Поскольку %т является величиной первого рода, то [g, 7ir] ^
« [д, %т]*- Поэтому уравнения движения
д = [д,Пт]* (23.32)
эквивалентны уравнениям движения (23.15) и (23.26). Далее вслед-
ствие (23.23) из определения скобок Дирака видно, что для любой
величины д имеют место равенства
fo,X,]*=0, s=l,...,S. (23.33)
Равенства (23.33) означают, что связи \s = 0 могут быть разрешены
еще до вычисления скобок Дирака.
Из сказанного очевидно, что скобки Дирака (23.31) по существу
совпадают со скобками (23.30). Поэтому действовать можно по сле-
дующей схеме: разрешить все связи второго рода и вместо исходной
скобки Пуассона использовать скобку Дирака (23.31). При таком
(23.30)
209

подходе в теории остаются лишь связи первого рода фу Все ве-
личины fir , ф$ являются величинами первого рода относительно
скобки Дирака.
До сих пор мы рассматривали системы с конечным числом сте-
пеней свободы. Однако разработанный формализм переносится без
труда на случай теории поля. В этом случае нужно лишь учесть,
что степени свободы "нумеруются" координатами некой простран-
ственноподобной поверхности, а суммы заменяются интегралами по
этой поверхности.
Особый интерес в связи с обобщенной гамильтоновой механикой
представляют так называемые общековариантные теории поля (на-
пример, теория струны и гравитации). По определению, действие
общековариантных теорий инвариантно по отношению к общим пре-
образованиям координат. В частности, действие инвариантно отно-
сительно любой замены временной координаты х° —> f(x°). Отсюда
следует, что лагранжиан является однородной функцией величин
вида Vo^ и до- Здесь ф - какое-либо поле, Vo - ковариантная
производная по направлению д/дх° и до - временная компонента
поля д^. В теориях, представляющих физический интерес, лагран-
жиан не зависит от полей %. Из сказанного можно сделать вывод,
что гамильтониан системы имеет вид
П= f с1°-1хд0(х)ф(х), (23.34)
где ф{х) - полная совокупность связей первого рода. Здесь D -
размерность пространства-времени. Таким образом, в общековари-
антных теориях гамильтониан слабо равен нулю.
23.2. Квантование вырожденных систем
Решение проблемы квантования вырожденных систем начнем со слу-
чая, когда связи второго рода отсутствуют и скобка Пуассона дина-
мических переменных (<?,р) имеет простейший вид [qm,Pn] =
= &mn , [qm Чп ] = [Pm, Рп] = 0. При переходе к квантовой механике
скобка Пуассона заменяется перестановочным соотношением (кото-
рое обозначается тем же символом)
[Ят, Рп] = ihSmn , [qm, Чп] = \Рт, Рп ] = 0 ,
210

а переменные (qm, pm ) считаются эрмитовскими операторами, дей-
ствующими в некоем линейном пространстве. Гамильтониан Нт и
связи <f>j являются функциями операторов (q, p), а также, воз-
можно, спиновых переменных. Теперь вместо уравнений Гамильто-
на (23.26) для любого оператора О имеем уравнение Гейзенберга
ihd = [0,n'] + vj[0^j]. (23.35)
Все состояния Ф теории должны удовлетворять условиям
^•Ф = 0. (23.35)
Такие состояния называются физическими. Из условий (23.35) сле-
дует условие самосогласованности
[ф{, <^]Ф = 0. (23.36)
В классической теории мы имеем соотношение
[<t>i, <t>j] = cijk<t>k ■ (23.37)
Так как мы не хотим появления новых связей при переходе к кван-
товой механике, то мы должны сделать вывод, что и в квантовой те-
ории должны иметь место равенства (23.37). Следует иметь в виду,
что при переходе к квантовой механике в принципе может возник-
нуть проблема упорядочения исходных динамических переменных в
связях и в гамильтониане. Имеющаяся при этом неопределенность
должна быть устранена так, чтобы соотношение (23.37), а также со-
отношения
[ф^П'] = Ъ^фк (23.38)
были справедливы. Смысл последних соотношений в том, что если
условия (23.35) справедливы в один момент времени, то они останут-
ся справедливыми всегда. Соотношения (23.37) и (23.38) в сложных
теориях нетривиальны, так как коэффициенты Су* и bjk зависят,
вообще говоря, от динамических переменных, и потому они не пере-
становочны со связями ф^. Если удается так упорядочить исходные
динамические переменные в гамильтониане и связях, чтобы соотно-
шения (23.37) и (23.38) выполнялись, то квантовая теория является
самосогласованной. В противном случае лишь классический вариант
такой теории имеет смысл.
211

Квантование систем со связями второго рода осложняется по
сравнению с рассмотренным случаем. Действительно, если xi и
Х2 ~ Две связи второго рода и [xi, xi ] Ф О ни в каком смысле, то
условия
Xi Ф = 0 , Х2 Ф = О
противоречивы. Поэтому перед началом квантования связи второ-
го рода желательно разрешить. Если сделать это затруднительно,
то следует пользоваться соответствующей скобкой Дирака вместо
исходной скобки Пуассона, а уравнения
считать соотношениями между операторами, которые должны быть
выполнены.
Возможная проблема упорядочения динамических переменных
должна решаться совместно с проблемой выбора фундаментальных
динамических переменных. Действительно, после перехода к скобке
Дирака величины [Ят, Рп]* , [Ят, Яп]* и \рт, Рп]* могут оказаться
весьма сложными операторами. Поэтому может оказаться целесо-
образным выбрать иной набор динамических переменных (Q, Р).
Принцип возможной замены переменных должен быть в том, что-
бы
а) квантовые (классические) скобки Дирака имели наиболее прие-
млемый вид в новых переменных;
б) соотношения
[Х,О]* = 0, Ш,ф1]* = сцкфк! [4ч,П]*=Ъ;кфк (23.39)
имели место при некотором способе упорядочения переменных. Здесь
О - любой оператор. Если это возможно, то соотношения (23.35)
совместны и состояния, удовлетворяющие этим соотношениям, явля-
ются физическими состояниями теории. Новые переменные (Q, Р)
не обязательно должны быть каноническими.
23.3. Пример
Проиллюстрируем развитый формализм на одном исключительно
важном примере - релятивистской бозонной струне.
212

Пусть X* , fi = 0, 1, ..., D обозначают координаты в D-мерном
пространстве Минковского и т]^ = diag(—1,1, ..., 1) . Рассмотрим
действие Намбу для бозонной струны:
S~~?2 I' у/Ч*Ч= I <1тС. (23.40)
Здесь £" = (г, ф) - параметры мировой поверхности струны и
dXf dXv
д = det даь, даь = V^ -щ^ ~Щ[- ■
Параметр т считается временным, а ф - пространственным. Далее
частные производные d/дт и д/дф обозначаются соответственно
точкой и штрихом сверху. Координатными переменными являются
поля Х^(ф). Легко установить, что обобщенные импульсы 7г^ =
= дС/дХ^ удовлетворяют следующим условиям:
£=1^,^ + ^х^х'^о,
Р = X"'тг„ и 0 . (23.41)
Величины £(ф) и Т(ф) исчерпывают все связи первого рода. Связи
второго рода в рассматриваемой теории отсутствуют. Гамильтониан
системы
П= I (1ф1тиф»-£ы0
= ( йфъ^ф»
также равен нулю. Поэтому, согласно (23.25), мы должны пользо-
ваться обобщенным гамильтонианом, который является произволь-
ной линейной комбинацией связей первого рода (23.41):
■Нт= I d<j>{vV + w£). (23.42)
Уравнения движения можно получить из вариационного принципа
SS = S{ f dr( f йфж^Х» -ЧТ)}=Ъ- (23.43)
В случае открытой струны, когда параметр изменяется в пределах
от нуля до числа 7г, вариационный принцип (23.43) дает, кроме урав-
нений движения, граничные условия
(vKll + w±X'll)\t=OjT = 0. (23.44)
213

Обычно граничные условия (23.44) заменяют условиями
ь\ф=о,, = 0, Х'11\фвО,г = 0. (23.45)
Для замкнутой струны вместо граничного условия имеется условие
периодичности.
Далее мы рассматриваем открытую струну.
При квантовании первый шаг заключается в постулировании пе-
рестановочных соотношений обобщенных координат и импульсов:
[Х"(ф),тгЦф')] = г^д(ф-ф'). (23.46)
Коммутационные соотношения (23.46) и граничные условия (23.45)
удовлетворяются, если
Х^{ф) = ~ fl"+i V -а* СОВ пф) ,
^ \ £?Qn I
7г»(ф) =-L-Та» cosпф, (23.47)
v п
причем элементы (х», а£) удовлетворяют следующим коммутаци-
онным соотношениям:
[а^^п] = т^5т+п. (23.48)
Так как величины (23.47) вещественны, то
*"* = х" , а£ = аЧп ■ (23.49)
Связи (23.41) можно представить следующим образом:
{£±Т){ф) = \(е±{Ф))\ (23.50)
где
&(Ф) = -^=Уа»ехрч:1пф. (23.51)
\/7Г
у п
Отсюда видно, что S—V отличается от £+V заменой ф на —ф. Это
обстоятельство упрощает дальнейший анализ, поскольку величина
214

S + V на интервале —тг < ф < тг содержит всю информацию о
величинах £ ± V на интервале 0 < ф < тг. Поэтому компоненты
Фурье
Ln = l [ в,ф(Е + Т) exp » тг <£ (23.52)
эквивалентны множеству величин (23.51) при 0 < ф < it. Согласно
(23.50) - (23.52) имеем
" = о ' ^—> an-mavm ' ' (23.53)
m
Смысл операции упорядочения :: в (23.53) определяется методом
квантования.
Выпишем также выражения для импульса и момента струны:
J*" = / ёф(Х»тг" -Х'тг^^
. Jo
= (*"/>*- *v)+£ £ ^ (<а- - <а-п) • (23-54)
При помощи (23.45) и (23.46) непосредственно проверяется, что
[Р",-Нт] = 0, [J"1/,'Ht} = 0. (23.55)
Это означает, что импульс и момент струны сохраняются.
При общепринятом в настоящее время квантовании основное со-
стояние | 0) удовлетворяет условиям
<|0) = 0, тп>0. (23.56)
Полное пространство состояний является линейной оболочкой век-
торов вида
<...<»J 0), т,-<0. (23.57)
Таким образом, все а£, являются линейными операторами в полном
пространстве состояний. Из (23.48) и (23.56) следует, что в простран-
стве состояний (23.57) метрика является индефинитной. Упорядо-
чение в (23.53) означает, что операторы а^ с тп < 0 располагаются
215

левее всех операторов а£ с п > 0. При таком упорядочении ком-
мутаторы операторов Вирасоро содержат аномалии:
[Ln, Lm] = (п - т) Ln+m + — D(n3 - п). (23.58)
Здесь D - размерность ^-пространства. Поэтому максимум, чего
можно достичь - это аннулирование операторов L„ с п > 0. В ре-
зультате теория оказывается непротиворечивой лишь при значении
D = 26. Подробное изучение проблем, возникающих при квантова-
нии (23.56), можно найти в [19, 20].
Обратим внимание на то, что если операторы Вирасоро опреде-
лены без какого-либо дополнительного упорядочения как
Ln=\Y,<-m a,m, (23.59)
т
то аномалия в алгебре Вирасоро отсутствует. Этот факт прове-
ряется путем прямых вычислений с использованием лишь комму-
тационных соотношений (23.48). Отсюда следует, что в алгебраиче-
ском отношении задача построения состояний | ), удовлетворяющих
условиям Ln | ) = 0 для всех п, не является противоречивой. Ра-
зумеется, эти состояния качественно отличаются от состояний вида
(23.56) - (23.57). Линейные пространства, образованные двумя эти-
ми наборами состояний, унитарно неэквивалентны.
23.4. Уравнения Гамильтона-Якоби
и полуклассическое приближение
Вернемся к классической теории и сформулируем уравнение Га-
мильтона-Якоби для вырожденной теории типа гравитации, в ко-
торой гамильтониан слабо равен нулю. Затем на основе полученных
результатов выпишем формулы для полуклассического приближе-
ния таких систем.
Начнем с того, что рассмотрим динамическую систему с гамиль-
тонианом (см. (23.25))
Пт = А^(?, р), (23.60)
где
ФАЧ,Р), j = l,..., J (23.61)
216

- полный набор связей первого рода, Xj - множители Лагранжа,
которые здесь являются произвольными числами, не зависящими ни
от времени, ни от переменных
(Яп , Рп),
n=l,...,N.
(23.62)
Скобка Пуассона задается согласно (23.9). Связи второго рода пред-
полагаются отсутствующими.
Выберем в пространстве переменных {</} (N — /)-мерную поверх-
ность Е. Локальные координаты на поверхности Е будем обозна-
чать через va , v'a и т.д., где а = 1, ..., N — J. Таким образом,
поверхность Е локально задается N гладкими функциями <Д (v).
Выберем на поверхности Е гладкую вещественную функцию
&°Ць) = S (qW{vj) . (23.63)
Найдем такие функции Рп (v), чтобы удовлетворялись N уравне-
ний
^(?(0)(«),Р(0)(«))=0) (23.64а)
8va ^P" {} дУа
0.
(23.646)
Согласно теореме о неявной функции система уравнений (23.64) от-
носительно р°п разрешима, если на поверхности Е следующий
детерминант отличен от нуля:
дФ1
dpi
d±j_
dpi
ag{°>
M
(0)
дФ1
9p3
a (0)
dvN-j dvr,
dpN
дфз
dpN
dq
(0)
dvr>
фО.
(23.65)
Далее будем считать условия (23.65) выполненными и функции р},' (у)
удовлетворяющими уравнениям (23.64).
Решим уравнения Гамильтона
dqn _ дНт
dt дрп
dpn
dt
дНт
dqn
(23.66)
217

с начальными данными q„ (v), р„ (v). Таким образом, мы получим
некие функции q„(v, X,t) и pn(v, A, t), причем
q»(v,\,Q)=qW(v), Pn(v,\,0)=pW(v). (23.67)
Решим уравнение
dS(v, Л, t) тг-^. дПт
дт L = 2^P»(v,Kt)
(23.68)
<j=<j(ti, A, t), p=p(ti,A,t)
от z—' ар„
с начальным значением
S{v, \,Q) = SW{v). (23.69)
Предположим, что уравнения
qn{v,\,t) = q„ (23.70)
могут быть разрешены относительно переменных (v, А). Пусть
v(q, t) и X(q, t) - такие функции, которые обращают уравнения
(23.70) в тождества. Подставим эти функции в решение уравнения
(23.68) и введем обозначение
S(q,t) = S(v(q,t),X(q,t),t). (23.71)
Таким образом, функция S(q,t) есть интеграл J2n I Vn dqn, вы-
численный вдоль истинной траектории в фазовом пространстве и
выраженный через координаты конечной точки { q„ }.
Теорема 3.
*j(?. ^)=°- (23-72)
Доказательство.
Д1. <f>j(q, р) = 0, где q„ , р„ ~ решения уравнений (23.66).
Действительно,
it „ \ <5?п <Эр„ <?р„ <9?„ /
= Yl v №■>> ^'' J= 5ZА-»' Cjj'j" ^'"
218

Последнее равенство есть следствие того, что все связи являются
связями первого рода (см. (23.39)). Отсюда и из начальных данных
(23.64а) следует Д1.
Д2. Установим, что
п
(Если в какой-либо формуле содержатся переменные qn, pn без
аргументов, то подразумевается, что эти переменные являются ре-
шениями уравнений (23.66) с начальными данными (23.67)).
Имеем
dUa _ d2S у^ / д2д„ дрп dgn
dt ~ dvadt 2^ \Pn dvadt dt dva
n
Здесь и далее под д/dt понимается производная по времени при
фиксированных параметрах о и А. Из уравнений (23.68) получаем
82S ^ / 82qn , дРп 8qn
\Pn dvadt dva dt J
= 0.
dvadt
Комбинируя последние два равенства, находим
dUa _ ул ( #Рп д<1п_ _ дрп_ дЯп_\ _ dfir
dt ~ 2~> V dva dt dt dva J ~ dva
Но в силу Д1 на траектории, соответствующей решению уравнений
(23.66), гамильтониан fir — 0. Поэтому dUa/dt = 0 и с учетом
начальных условий (23.646) Д2 установлено.
ДЗ. Имеет место равенство
_ dS ^ dq„
J п J
Действительно, при МО в первом порядке по t согласно (23.68)
имеем
219

Отсюда видно, что на поверхности Е имеют место равенства
(23.74)
Qj
k =
Теперь применим операцию (d/dXj)
Поэтому
и с учетом
d2s
dXjdt
-E
n
dQ3 _ d2S
dt ~ dXjdt
n
f dpn
\dXj
( dp„
\dX3
■E(
n
<9i
(23.74) ДЗ доказано.
dqn
dt
' dVn
K dt
dqn
dX3
0.
к уравнениям
+ Pn
dqn
' dX3
dpn
dt
d2qn \ _
dtdXj J
, d2qn
+ Pn dtdXj
\ dHT
) ~ dX3 ~
(23
0.
■)■
= 0
Д4. Вследствие Д2 и ДЗ справедливы равенства
dS _ dS_dv^ dS_dXj__
dqn dva dqn dXj dqn
Ef dqm_ dva dq^ dXj \ v^ d(tm _
m Pm { dva dqn + dX3 dqn )~^Pm dqn ~Pn "
Последнее соотношение вместе с Д1 доказывает теорему 3. □
Теорема 4.
dS(q, t) =
dt
Таким образом, функция S зависит лишь от переменных {qn}>
но не зависит от времени.
Доказательство. Очевидно:
dS(g, t) _ dS{v, X, t) dS(v, X, t) dva dS(v, A, t) dX3
dt _ dt + dva dt + dXj ~~dt '
220

Здесь v(q, t) и \(q, t) определяются уравнениями (23.70). Вос-
пользуемся уравнениями (23.68) и Д2, ДЗ теоремы 3. В результате
получим
dS(g, t) _ у» ^ ( ддп | <9?„ dva | dtfa <9А^
dt - Z^Pn\ dt + dva dt + o\j dt * ~
так как круглые скобки здесь равны нулю. Последний факт содер-
жится в уравнениях (23.70), правые части которых по определению
не зависят от времени. □
Таким образом, в результате проведения вычислений доказано
существование функции S(q), удовлетворяющей уравнениям Га-
милътона-Якоби (23.72). Эта функция зависит от (N — J) веще-
ственных параметров {а} — (а.\, ..., a^-j).
Действительно, уравнения (23.64а) определяют величины р„ (v)
не полностью, сохраняя их зависимость от (N — J) параметров.
Таким образом, имеются N функций Рп (v, а), удовлетворяю-
щих уравнениям (23.64а). Но в таком случае уравнения (23.646)
определяют зависимость построенной функции S(q, а) от (N — J)
параметров {а} .
Легко проверить, что уравнения Гамильтона (23.66) содержатся
в уравнениях
« = А, Р» = Щ^, a = l,...,N-J (23.75)
даа dqn
и уравнениях (23.72). Чтобы показать это, продифференцируем урав-
нения (23.75) по времени:
d2S . п
■ <Ь = 0 .
daadqn
Возьмем частную производную д/даа от уравнений (23.72):
тг-f- 4~ h = ° • <23-76)
daadqn дрп
Из сравнения последних двух уравнений видно, что
8
дрп^Фз)
п-в*
P--S7
(23.77)
221

где \j - некоторые числа.
Теперь продифференцируем равенства рп = dS/dqn и восполь-
зуемся уравнениями (23.77):
■ - d2,S . _ d2S дфз
dqndqm m 3 dqndqm дрт '
Но в уравнениях (23.72) содержатся уравнения
дф, | Эф, d2s =Q
dqn дрт dqndqm
и потому
р„ = -^-(А^). (23.78)
Уравнения (23.77) и (23.78) являются уравнениями Гамильтона
(23.66).
При каноническом квантовании прежде всего следует опреде-
лить полный набор коммутирующих переменных, от которых за-
висят волновые функции состояний, и определить скалярное про-
изведение в пространстве состояний. Эта процедура означает вы-
бор представления. Для дальнейших построений мы воспользуемся
представлением Шредингера, в котором волновые функции зависят
от координатных переменных {qn}, а действие импульсных пере-
менных {рп} имеет вид
р„Ф(9)= (-«'Й^) *(<?)■ (23.79)
Скалярное произведение в этом представлении определяется как
<Ф|Ф)= [ dqi...dqN*{q)<b{q). (23.80)
Здесь черта сверху означает комплексное сопряжение. Хорошо из-
вестно, что на пространстве квадратично-интегрируемых функций,
для которых (Ф|Ф) < оо, операторы импульсов, определенные со-
гласно (23.79), являются самосопряженными.
В представлении Шредингера связи ф^ превращаются в опера-
торы
ФМп^Рп) = Фз [qn,-ih—\ . (23.81)
222

Проблема упорядочения операторов в (23.81) не может быть решена
в общем виде. Однако в полуклассическом приближении эта про-
блема отсутствует.
В полуклассическом приближении ищем волновую функцию в
виде
Ф(д)=Л(д)ехр^5а(д)) . (23.82)
Здесь A(q) и Sa(q) -вещественные функции, причем Sa{q) удовле-
творяет уравнениям Гамильтона-Якоби (23.72) и зависит от (N — </)
параметров а\, ..., ajv-j- Потребуем, чтобы уравнения
<^Ф = 0, j=l,...,J (23.83)
выполнялись с точностью до первого порядка по постоянной Планка
включительно. Подставим в уравнение (23.83) операторы и функции
вида (23.81) и (23.82) и умножим это уравнение слева на
t/t = ехр [— (i/h) Sa{q)}- Теперь учтем, что действие "обкладок"
иЮи на любой оператор О является унитарным преобразовани-
ем, причем
8S
UUnU = qn, U^pnU=pn + ^.
oqn
Поэтому мы получим следующую систему уравнений:
q--lh-k + dk)A{q) = °- (23'84)
Далее проводится разложение по постоянной Планка. В нулевом
приближении (Ь, = 0) все уравнения (23.84) удовлетворяются, по-
скольку функция Sa(q) удовлетворяет уравнениям Гамильтона-
Якоби. В первом приближении по Ь, возникают уравнения следу-
ющего вида:
12лл дФЛч,Р)
A\q)
дрп
р=Ч?
0. (23.85)
Обратим внимание на то, что правая часть последнего уравнения
не всегда может быть положена равной нулю. Дело в том, что в
ряде теорий, и в том числе в теории гравитации, требуется упо-
рядочение операторов в гамильтониане. Вследствие этого правая
223

часть уравнения (23.85) может оказаться не равной нулю (см. [21],
часть 3.3).
В заключение параграфа заметим, что на волновых функциях ви-
да (23.82), (23.85) скалярное произведение (23.80) не определено, так
как выполнение условий (23.35) означает, что эти волновые функции
не изменяются при изменении координат в согласии с уравнениями
движения, которые в изучаемой задаче можно считать калибровоч-
ными преобразованиями. Указанная проблема является общей для
всех калибровочных теорий, однако решают ее, как правило, инди-
видуально. Например, в электродинамике при каноническом кван-
товании волновая функция не зависит от продольной части трех-
мерного вектор-потенциала. Поэтому при определении скалярного
произведения в КЭД необходимо исключить интегрирование по про-
дольным полям. Эта проблема решается весьма эффективно на пу-
ти лоренц-инвариантного построения КЭД при помощи формализма
Гупта-Блейлера в рамках методов вторичного квантования.
§ 24. Классическая теория гравитации
с точки зрения канонического
формализма
Здесь мы применяем аппарат обобщенной гамильтоновой механики,
разработанный в предыдущем параграфе, к теории гравитации. Эта
задача представляет не только самостоятельный интерес. Разработ-
ка гамильтоновского формализма предшествует процедуре кванто-
вания любой канонической системы.
Решение поставленной задачи требует достаточно громоздких вы-
числений, широко использующих аппарат дифференциальной гео-
метрии, разработанный в первой главе. Автор полагает, что полное
усвоение материала этого параграфа может быть достигнуто лишь
при самостоятельном проведении всех промежуточных вычислений.
Для облегчения этой задачи параграф снабжен по возможности по-
дробными выкладками. Аналогичное, хотя и более сжатое, рассмо-
трение интересующей нас задачи содержится в [22].
На первом этапе решим указанную задачу для теории чистой гра-
витации, описываемой действием (13.20). Однако, прежде чем при-
ступить непосредственно к этой задаче, необходимо получить ряд
224

вспомогательных формул и соотношений.
24.1. Вспомогательные конструкции и формулы
Рассмотрим семейство пространственноподобных гиперповерхностей
Е(^), погруженных в четырехмерное пространство-время. Здесь t
- непрерывный параметр, фиксирующий гиперповерхность. Пусть
х11 - некие локальные координаты четырехмерного пространства-
времени. Тогда локально гиперповерхность Е(<) задается четырьмя
функциями х^(у, t), где у = (у01) и a = 1, 2, 3. Таким образом,
у" являются локальными координатами гиперповерхности Е(^). В
соответствие с терминологией, введенной в конце § 2, координаты
(у01) называются согласованными с гиперповерхностями E(i) и
набор векторов {еа — д/дуа } является базисным в пространстве
ТрЕ. Тогда
то есть контравариантные компоненты касательных векторов еа в
локальном базисе djdx^ имеют значения (дх^/ду01)- Метрический
тензор в пространстве-времени в локальном базисе djdx^ имеет
компоненты д^. Следовательно, метрический тензор на гиперпо-
верхности имеет компоненты
dx" дх»
9^ = 9^-^^- (24.2)
Так как гиперповерхность Е(^) пространственноподобна, то все соб-
ственные значения матрицы дар отрицательны. Введем в каждой
точке гиперповерхности Е(<) нормальный единичный вектор п^,
так что
^"""" = 1. 9^eva = Q. (24.3)
Обозначим совокупность четырех векторов {п, еа} через {е„} ,
а = 0, 1, 2, 3. В базисе д/дх»
дх»
дуа '
Метрический тензор и его обратный в базисе {е„} имеет вид
<?аб = еа-е6=( J Д), 9а"=(к1 д%У 9сп91Р=&Ра-
(24.5)
о = "" , < = ^ • (24-4)
225

Далее мы используем также следующие обозначения и формулы:
а — „ „ab и „а „№ Ха „я „^ Xй ,а „v i „ „^ Xй t^A £.\
е-^-9^9 еь , е.^ь=Ьь, aliea=6li, e)1ea + nlin = д^ . (24.6)
Компоненты любого вектора £** d/dx** в базисе {еа} обозначаются
С = (£±,£в), причем
К±,Г) = (п^,е^")1 ^=ГеС=^п"+Гей- (24.7)
Компоненты связности в координатном базисе д/дх^ обознача-
ются Г*„, а компоненты связности в базисе {е„ } - через 7бМ! так
что (см. (8.3))
^ fea — 7a/Je6
Отсюда и вследствие (24.6) вытекает, что
^,<=1аА. (24.8)
ll = №& , ll = Де? = e^V^ . (24.9)
Далее вплоть до специальной оговорки предполагается, что связ-
ность не имеет кручения. Согласно общим правилам (см. (8.3') и
(8.5))
„а _ a J> Ар/» | a v ° ц
Iaf3 — etieaePlv\ ' eiie(3 q v ea ■
С учетом (24.4) выписанное равенство принимает вид
^=«;«"Л = »;^=1!.. (24-ю)
Последнее равенство является следствием отсутствия кручения
(г?Л = ги
Напомним общие обозначения частных и ковариантных произ-
водных. Например,
СР — £V CP — р»СР
§ = *>ь§ = *>ь (С + ГА^А ) = Сб + 7сб7с • (24.11)
Введем трехмерную связность и ковариантную производную на ги-
перповерхности £ согласно следующим определениям (сравни с
(24.8)):
3Vae£=7V£, ^=^+7^. (24.12)
226

Трехмерное ковариантное дифференцирование получается из четы-
рехмерного ковариантного дифференцирования путем проектирова-
ния результата дифференцирования на ТРЕ.
Заметим, что метрика дар на гиперповерхности согласована с
трехмерной связностью. Действительно,
9afi\-y = 9<xf)n - lai9Sp ~ 7/?75<*<5 = 9аР;у - 0 . (24.13)
Здесь предпоследнее равенство справедливо вследствие специфики
метрики даь (см. (24.5)), а последнее — вследствие согласованности
метрики даь с четырехмерной связностью. Из (24.13) вытекает, что
результат не зависит от порядка проведения операции трехмерного
ковариантного дифференцирования и поднятия (опускания) трех-
мерных индексов.
Введем обозначения
7^ = КаР = КРа . (24.14)
Из формул (24.3), (24.8), (24.10) и (24.14) получаем
V„e^ = /fa/,n'1+7V«=^ea, V"»m = -Каре? . (24.15)
Определим в каждой точке гиперповерхности следующий 4-вектор:
N^= f , N'1=Nnti + Naetia. (24.16)
Очевидно, в пространстве ТрЕ величины {Na } составляют ком-
поненты вектора, а N является скалярной величиной.
Имеет место формула
ЛГ£ = Nve% = VNe» . (24.17)
Соотношение (24.17) вытекает из цепочки равенств
JV = ——N^ + T^^e^N" = — е/ + Tt N"ех =
;« Р)уа Т vAcaJV aj са т А Ay1' ca
JV" ( ^r^+rLe^ ]=V^
Здесь использованы факт отсутствия кручения, определение (24.16)
и вытекающая из него формула d/dt = iV [d/dx^).
227

В дальнейших вычислениях используются величины Vjve£ и
Vnti^. Пусть
Vjv< = Age2+A,n". (24.18)
С учетом (24.17), (24.16) и (24.3) имеем
= e?Va{ Юе» + NnK) = eP{ N^ + ЮV„ej£ + N Van» ).
Теперь используем (24.15) и еще раз (24.3) и (24.6):
К = Х?а + ^А^**1 ~ N W™^ = JV£ - N К? . (24.19)
Аналогично получаем
Аа = n^Vjveg = n^VaN» = П/1У„ (JV^ + Nn») =
= Nia + Юп^ае^ = NtOC + KapNP = NL]a . (24.20)
Подставляя (24.19) и (24.20) в (24.18), находим
Vjveg = (J\£ -NKg)e% + { N,a + KcpNP ) n" . (24.21)
При помощи (24.21) и с учетом (24.3) получаем
VNnll=-{Nia + KapNP)e°. (24.22)
24.2. Вычисления
Полученные формулы позволяют продвинуться далее в вычислени-
ях. Согласно (24.9)
7°о = n^n^V^ , 7,80 = e^n^V^ .
Отсюда и вследствие (24.21)
^7°0 = ^,a- lh = ~KP- (24-23)
При помощи (24.9) и (24.22) находим
NgaSlL = -N,a = -N 7°0. gcilop = ~К«Р = ~llp . (24.24)
228

откуда
QailL = -lL • (24.25)
Сопоставляя (24.14), (24.23) и (24.24), видим, что
9аб1ро = 9аб1ор - -7а/3 = ~Ка(3 ■ (24.26)
Согласно (24.9)
7o°a = ^VX = 0. (24.27)
Найдем скорость изменения пространственной метрики дар при
изменении параметра t:
да/з= ^(д^е^р) = NxVx(g^e^) =
Теперь при помощи (24.21) и (24.13) получаем
дар = -2N Kap + Na[p + Npla . (24.28)
Определим на трехмерных тензорных величинах всех типов опера-
цию Jj_, которая описывает изменение, обусловленное смещением
чисто ортогональным к гиперповерхности £. По определению, для
любой величины ф
5L<j> = Nni1<j>i)i = N<i>iL. (24.29)
В частности, для 4-вектора £**
= NrfeXw+tpNn'e^ = N£a.L + £/1VNj.e£ .
Операции Vn± и Vjvh на величинах е£ и п^ определяются пра-
выми частями формул (24.21) и (24.22), в которых следует положить
N" = 0 или N = 0 соответственно. Таким образом,
SUa = Nta.t± - N Kaptf + NiaU . (24.30)
Поскольку N - трехмерный скаляр, то Ща — N>a. Далее,
Sl Кар = N KaPtL = N Kap.L - 2 N К1К10 . (24.31)
229

При получении правой части уравнения (24.31) учтено, что Ка±, =
= Ki_a = 0, а также правило ковариантного дифференцирования
(24.11) и соотношения (24.26).
Продолжим вычисления. Имеем
6±дар = Nga(JiL = Ngap.L + N isa0gsp + Nfp0gaS ■
Так как даь>с = 0 и вследствие (24.26)
&i.9«p = -VNKap. (24.32)
Обозначим
Зд = det дар < 0 . (24.33)
Последнее равенство является следствием (24.5). При помощи (24.32)
находим
SLyf^=\yf^9apSL9ap = -Nyf^K, К = К£. (24.34)
Нам потребуется величина
Теперь воспользуемся формулой (24.21), в которой положим
N = 0. Получим, что
^а у/-°9,с = у/-°9М?а . (24.35)
Применим полученные формулы для вычисления используемого да-
лее выражения. Имеем цепочку равенств
Здесь первое равенство является следствием (24.31), а второе - след-
ствием (24.34). Но
230

д
- Na ^-^gК ),* = ■%- (V-39K)-Na y/Sg K,a - К Nc
dt
d_
di
(^-3gK)-J-*j(KNa)\c
-3g =
У .a
(24.37)
Последнее равенство в (24.37) есть следствие (24.35). Подставим
(24.37) в (24.36):
-3ggaf3s± каР = J^gN (к2-2карКа<>) +
д ,
■*дК
-a3(KNa)\a
(24.38)
Приступим теперь к вычислению скалярной кривизны в базисе { еа }.
Формы uia = е^ dx^ и и>£ = ~f£cuc удовлетворяют структурным
уравнениям Картана (2.28) (см. также (9.17) и (9.25)) с кручением,
равным нулю. Отсюда находится тензор кривизны в базисе { еа }:
Кы = 1ы,с ~ Ibc.d + ( Гес1еЫ ~ ГеЛс ) + Ibe ( ltd ~ Не) ■ (24-39)
Из (24.39) и при помощи (24.10), (24.14) и (24.26) находим
4Д«/м = 3Д«/М - (KaiKip - Ка6К.ф ) . (24.40)
Мы снабжаем верхним левым индексом "3" тензор кривизны ги-
перповерхности Е, построенный по трехмерной связности Тд-» по
обычным правилам. Верхний левый индекс "4" указывает на то,
что соответствующие компоненты являются компонентами тензора
кривизны в четырехмерном пространстве (24.39). Далее,
N 4Ra±f3± = N { gaslsOo,0 ~ ^«гТо/з.о + 9apJspJoo ~
~ 9otplso7op + 9ар1оо7ро + 9apl0s (Т/зо — 7о/з) ) • (24.41)
Вследствие (24.26) последнее слагаемое в фигурных скобках равно
нулю. Выписанных формул достаточно, чтобы после простых вычи-
слений получить следующий результат:
N Xi/3i = <5± Кар + N KlKpi - Щар .
(24.42)
Плотность действия (13.20) выражается через плотность скалярной
кривизны
N ^gR = N у/^д~дасдм Rabcd ■
231

Воспользуемся формулами (24.5) и (24.40), 24.42):
N^/^)R = N ^/-*g~{3R + Ка?Ка? -К2) +
+ 2 v°? (9ap6L KaP - N^ + N Ка§Ка? ).
При помощи формул (24.38) и (9.40) последнее выражение перепи-
сывается в виде
N
-3gR = N y/^ajj(3R - KapKafi + К2 ) +
+ 2{-(^gK)-[^(KNa + N\a)la}. (24.43)
Наконец, установим равенство
dV =^/^<Рх = N \f^g~dtd?y , g = detg^,
Действительно,
dx» = N»dt + e£ dya
(24.44)
ds2 = дЦ1/ dx» dxv = N^N» dt2 + 2Na dya dt + gaf} dya dy0 . (24.45)
Отсюда видно, что элемент объема пространства-времени (см. (8.46))
равен
dV = (-det gab)l/2dt d3y , d3y = dy1 dy2dy3 ,
где
det gab =
JV„JV Np
Na ga§
(24.46)
Прибавим к первой строке определителя (24.46) линейную комбина-
цию последних трех строк с коэффициентами — Na и учтем, что
Np — Nagap = 0. Таким образом,
det даь =
N2 0
Na gap
■■N"g.
(24.47)
Сопоставляя формулы (24.47) и (24.45), убеждаемся в справедливо-
сти равенства (24.44).
232

24.3. Канонический формализм
в теории чистой гравитации
Теперь мы готовы сформулировать уравнения теории гравитации на
гамильтоновом языке.
Будем рассматривать параметр t, фиксирующий гиперповерх-
ность S(i), как время. Поля gap(t,Y) и 9ар(^,У) =
= (д/dt)gap(t, У) на гиперповерхности Е(<) являются динамиче-
скими переменными и их скоростями соответственно. Очевидно, что
поля JV (24.16) могут быть любыми, если соответствующим образом
изменять зависимость от t семейства гиперповерхностей E(t).
Согласно (13.20) и (24.44) действие для чистой гравитации может
быть записано в виде
S=~J^G / dt J d2yN^R. (24.48)
Теперь воспользуемся соотношением (24.43). Если отбросить в (24.48)
полную производную по времени и интеграл по границе рассматрива-
емой области пространства, то равенства (24.48) и (24.43) приводят
к следующему лагранжиану:
£ = - 1б7с / d3y^-^N (Зд - KaPRaP +I<2) ■ <24-49)
Заметим, что не выписанный здесь интеграл по границе (который
можно учесть) влияет лишь на граничные условия тех уравнений,
которые возникнут. Полная производная по времени в плотности
действия (24.43) вообще не влияет на уравнения движения. Далее
в этом пункте мы будем изучать лишь локальный вид уравнений
гравитации в канонической форме. Поэтому интеграл по границе
нас не будет интересовать.
Ниже вместо У (или уа) мы пишем х (или ха). Вслед-
ствие уравнений (24.13) и (24.10) коэффициенты трехмерной связ-
ности 7/?7 выражаются через трехмерную метрику дар формулой
(9.38). Далее этот факт имеется в виду. Очевидно, трехмерный тен-
зор кривизны 3Rap-yS выражается через метрический тензор дар
и его первые и вторые пространственные производные, но он не за-
висит от дар. Поэтому (см. (24.28)) вариация лагранжиана относи-
233

тельно вариации полей дар имеет вид
SC = —^ J d3xV=g-( К да& - Ка& ) 8даР = J d3x тга" 8даР .
(24.50)
Далее мы опускаем индекс "3" в левом верхнем углу рассматривае-
мых величин, поскольку в этом подпункте все величины отнесены к
трехмерному пространству. В (24.50) поля 7Г°^(2, х) являются ве-
личинами, канонически сопряженными с полями gap(t, z). Поэтому
скобка Пуассона этих полей имеет вид
[gaP(t, х ), п-У'Ц, у) ] = i 6&(х - у) (PJsp + 66а6} ). (24.51)
Из (24.50) получаем, что
„ар _ дар-,6 К^ (24.52)
Здесь
eaPlS = I ТТГТ^ ( 2 Я*"?' ~ 9е"191" ~ <Г V7) (24.53)
- так называемая ковариантная суперметрика ДеВитта. Ее кон-
травариантные компоненты имеют вид
Qap-ys = -z з /3- (9ар9-уб - gaigpi - gasgp-y) • (24.54)
£ с \j g
Легко проверяется соотношение
ga0pag^s = \(PaSSp+Si^), (24.55)
при помощи которого уравнение (24.52) обращается:
Кар = gaPli 1г"1'. (24.56)
Используя уравнения (24.28) и (24.56), получаем также, что
gap = -2N QaPlS if' + NalP + NPla . (24.57)
Теперь легко выписать гамильтониан:
Чт~ Г d3x тга" дар-£ =
234

= j d3x( N(x) Ш{х) + Na{x) Па(х) )=Ш+Щ,
nL(x) = (-^/м^^' + ^бТс >/=?*)(*)>
(24.58)
При получении формул (24.58) используются равенства (24.49),
(24.57) и
в сруб Л7' = %г^Щ ( К2 - КарК°Р ).
Последнее равенство легко проверяется при помощи (24.52) и (24.55).
Обратим внимание на тот факт, что лагранжиан (24.49) зависит
от полей N и Na и их пространственных производных, но не зави-
сит от полей N и Na. Это означает, что поля N и Na являются
не динамическими переменными, а множителями лагранжиана. По-
ля 7V и Na называются функциями хода и сдвига соответственно.
Из (24.58) видно также, что величины W±(x) и %а(х) являются
связями. Ниже показывается, что Л± и Иа являются связями
первого рода. Связи второго рода при данном подходе в рассматри-
ваемой задаче отсутствуют.
Прежде всего выпишем канонические уравнения (23.26) для по-
лей дар и я-"'3. При помощи (24.51) и (24.58) находим
дар = -2N gapl5 nr,t + Na\p + Np\a , (24.59а)
п°Р = -N ( \ (gpai5 ^V* ) ga») + 4^ (2 ***■«> - 4^ ) +
I 2 с-5 у/-д
+ { lFn°f - N^«-1 - N^nC-i + ЛГ* тгв" } + i ( ЛГа Я" + ЛГ" Яв) •
(24.596)
При получении уравнений (24.59) использовались промежуточ-
ные формулы
Ш*)> *"ш = {-\s(3)(x - у) WtU )(*) +
235

+ \ K(7% -УЩ+ Ых ~ У) §]9а{{х) ~
-\§\х - у) 5° S*Sa"(х) } +{а ^6} , (24.60)
= 6l»(x-y) |i(^CT^^)^ + ^^(2S«^-,X/?)} .
(24.61)
[па/}(х), j d3yV4NR} =
= -NV4(K\R9a/}-Ra^+^-Gal}lSNbs. (24.62)
Кроме уравнений (24.59), должны иметь место уравнения связей
Hl{x) = 0, Па{х) = 0. (24.63)
Введем обозначения
Па(х) = (П±(х),Па(х)). (24.64)
При помощи формул, полученных в этом параграфе, нетрудно убе-
диться, что справедливо равенство
°-^- (4Ria-\goa4R)=-na. (24.65)
Следовательно, уравнения связей (24.63) эквивалентны части урав-
нений Эйнштейна. Если в уравнении (24.59) проигнорировать по-
следнее слагаемое (круглую скобку) в правой части, то оно совпадет
с проекцией уравнения Эйнштейна на гиперплоскость Е:
ARaf} - \gaf}AR = 0• (24.66)
Поскольку последнее слагаемое в правой части уравнения (24.596)
слабо равно нулю, то из сказанного вытекает, что уравнения Гамиль-
тона (24.59) и связей (24.63) эквивалентны уравнениям Эйнштейна
в пустоте.
236

В завершение построения канонического формализма остается
установить, что связи Иа(х) являются связями первого рода. Пу-
тем прямого вычисления можно установить следующий вид для ско-
бок Пуассона между величинами Иа(х):
[На(х), Щ(у) ] = Па{у) 6f(x -у)+ Щ{х) 6%\х - у), (24.67)
[Н±{х), Па(у)] = nL(y)S^(x - у), (24.68)
[П±(х),П±(у)] = -(Па(х) +Па(у))6^(х - у). (24.69)
Равенство (24.67) легче всего проверить, если учесть, что связи %а
генерируют бесконечно малые преобразования координат на поверх-
ности Е. Действительно, при переходе к новым координатам
уа = xa-Na{x), TV" —> 0 (24.70)
метрический тензор изменяется согласно (12.14) на величину
Sgap = NalP + NPla. (24.71)
Именно такое изменение метрики генерирует часть гамильтониана
7^11 (см. (24.59а)). Вариация импульса 6тгаР под действием гамиль-
тониана %\\ также соответствует указанному изменению коорди-
нат (обратим внимание, что тензорным полем на гиперповерхности
Е является поле (—</)_1/'2 жаР). Поэтому алгебра величин Иа со-
впадает с алгеброй Ли группы диффеоморфизмов гиперповерхности
Е. Поскольку поле (—д)~1'2И±(х) является скалярным, то из ска-
занного вытекает также вид коммутационного соотношения (24.68).
Равенство же (24.69) достаточно легко получается путем прямого
вычисления. Назовем первое слагаемое в И± (см. (24.58)) кине-
тической, а второе слагаемое - потенциальной энергией. Нетрудно
понять, что в (24.69) скобки Пуассона кинетической энергии с кине-
тической энергией, а также потенциальной энергии с потенциальной
энергией равны нулю. Действительно, потенциальная энергия зави-
сит лишь от поля дар. Кинетическая энергия зависит от обоих
полей дар и 7га^, но она не зависит от пространственных производ-
ных от этих полей. Поэтому скобка Пуассона кинетических энергий,
взятых в разнесенных точках на гиперповерхности Е, равна нулю.
Ненулевой вклад в (24.69) дает скобка Пуассона между кинетиче-
ской и потенциальной энергиями. Этот вклад легко вычисляется
при помощи формулы (24.62).
237

Если величины Иа(х) генерируют локальные диффеоморфизмы
гиперповерхности Е, то поле Hi_(%) генерирует изменение гипер-
поверхности Е в точке х в направлении, перпендикулярном к
гиперповерхности. Поле И±(х) называется супергамильтонианом,
а поле %а{х) ~ суперимпульсом.
В случае введения в теорию материальных полей структура воз-
никающих связей первого рода не изменяется. По-прежнему в тео-
рии будут четыре связи первого рода, играющие роль супергамиль-
тониана и суперимпульса. Их скобки Пуассона будут аналогичны
скобкам (24.67) - (24.69). Кроме уравнений движения вида (24.59),
описывающих движение гравитационного поля, появятся уравнения
движения, описывающие движение материальных полей (например,
уравнение Дирака). В частности, если в теорию включено скалярное
вещественное поле с действием
Бф = \ j dAx^Tg [ <Г ф,, ф>и - У(ф)] ,
то мы получим дополнительный вклад в гамильтониан следующего
вида:
Ифа{х) = Ф,аП,
№(t,x),*(t,y)] = 6W(x-y).
Таким образом, теория гравитации является вырожденной систе-
мой, гамильтониан которой слабо равен нулю. Этот факт является
следствием того, что действие в теории гравитации инвариантно от-
носительно общих преобразований координат.
24.4. Канонический формализм в теории чистой
гравитации в переменных тетрада-связность
Для полноты изложения мы рассмотрим здесь каноническую фор-
мулировку теории гравитации в переменных тетрада-связность.
Изучение теории гравитации в указанных переменных представляет
+ у/=^(-яарФ,аф,р + У(ф))
238

особый интерес, так как именно в этих переменных формулируют-
ся модели супергравитации. В этом пункте используется материал
работы [23].
Согласно (13.17), (13.21) и (9.286) действие чистой гравитации в
переменных тетрада-связность имеет вид
Sg = ~ f d4xeabcde^XpRaJl
ок J
рс pd
К = д^°Ь - d^t + <9^Ь ~ «" ■ (24-72)
Здесь г abed и е>"/Хр - абсолютно антисимметричные величины,
причем если в них индексы расположены в порядке возрастания, то
эти величины равны единице. В этом пункте мы будем пользовать-
ся эйнштейновской гравитационной постоянной (13.2). Далее будем
полагать скорость света равной единице, точка сверху будет обозна-
чать, как обычно, частную производную по переменной t.
С точностью до полной производной по времени и поверхностных
членов действие (24.72) переписывается в виде
Sg= f d4x I ^SabcdSijkwfe^i -Пт\ =
= jd4X£(u°b, el, idk). (24.73)
Здесь величина
Пт = -^1\аь + ^еЪФс , (24.74)
где
ХаЬ — ~ £abcd £ijk ^i Vj efc , фс — — Eabcd £ijk ^k R-ij i
«- " - " - 2
не содержат производных по времени от полей.
Ниже будет показано, что величина (24.74) как функция кано-
нических переменных является гамильтонианом, а величины \аЬ
и фс исчерпывают связи первого рода системы.
239

Из (24.73) видно, что лагранжиан системы не зависит от полей
eg и ш^ь. Поэтому их канонически сопряженные импульсы п°
и 7г£ь являются первичными связями. Канонически сопряженные
импульсы полей ef обозначим через к'а.
Плотность гамильтониана изучаемой системы дается выраже-
нием
n = nUi-C{u?,el,4), (24.75)
где
^ = ^J = ^2^bcdeijku>fe^. (24.76)
По определению, ненулевые скобки Пуассона для фундаменталь-
ных полей имеют вид
«(*)> <М ] = 4" <# % <*(3)(* - У) • (24.776)
Здесь и далее [а, Ь] (или (а, &)) в индексах означают антисимметри-
зацию (или симметризацию) относительно пары индексов в скобках.
Чтобы поля 7г^ь являлись связями, необходимо выполнение
условий непротиворечивости:
■^ab,jd3yn(y)}=0.
Заметим, что здесь и в (24.75) поля ef должны быть выражены
через канонические переменные е£, ш"ь, к%, 7r£b, и потому скоб-
ка Пуассона [7г£ь, ё£ ] может оказаться не равной нулю. Однако
при вычислении скобки Пуассона в последнем уравнении величину
[7ГдЬ, ё]г ] можно положить равной нулю. Действительно, вследствие
соотношения (24.76) имеем
def
Поэтому условие непротиворечивости сводится к соотношениям:
д£(ш°ь, ес °d
dwf
— = 0 . (24.78)
В свою очередь соотношения (24.78) эквивалентны уравнениям (13.25).
240

Выпишем часть уравнений (13.25):
V.e" - Vj-e? = 0 . (24.79)
Установим, что выписанные уравнения эквивалентны совокупности
уравнений
Хаь = 0 , А* = (gik ejlm + gjk eilm )eakVleam = Q, (24.80)
где g,k gkj = Jj , gkj = eakea-.
Действительно, путем прямых вычислений проверяется справед-
ливость соотношения
£ijkvj€k = К Eijk Cq tj ek Xab + Г Cj A ,
ё0а = -д~х eabcdAeC7ei, 5=detftj> (24.81)
из которого видно, что уравнения (24.80) заменяют соотноше-
ния (24.79).
Рассмотрим теперь систему связей:
Кь = 0, V'J-=0, **d--^1eabedeijkU?b ej = 0. (24.82)
Обозначим совокупность связей -тг^ через хл i a совокупность остав-
шихся связей в (24.82) - через хм ■ Вследствие (24.77)
\Ха,Ха'] = 0, [ха,Хм] = Ram , [хм, Хм' ] = Qmm> ■ (24.83)
Из вида связей (24.82) и коммутационных соотношений (24.77) сле-
дует, что матрица Ram в (24.83) обратима. Отсюда вытекает обра-
тимость матрицы
[ХА,ХА'] [ХА,ХМ>] \-( ° RAM'
Ь(м,ХА'] [хм,Хм'] J \ -Rma1 Qmm1
Обратная к ней матрица при этом имеет вид
(tf-'QR-^A'A -{&~1)а'м
[R~ )м'А 0
(24.84)
(24.85)
Таким образом, система связей (24.82) является системой связей
второго рода.
241

Важно отметить, что скобки Дирака [е?,7г£]*, [ef, е^]* и [7г|,, 7г£]*
при наложении связей второго рода (24.82) сохраняют свой кано-
нический вид (24.77). Это вытекает из формул (23.31) и (24.85).
Действительно, для полей ef и 7г£ скобка Дирака отличается
от скобки Пуассона на слагаемые, пропорциональные [ef, 7г£с] и
[тт%а, 7Г^С], которые равны нулю. Поэтому после наложения связей
второго рода (24.82) скобки Дирака полей е° и ^ сохраняют свой
вид:
[е?(х),е*(у)] = 0, [<(*), ^(у)] = 0. (24.86)
Здесь и далее мы опускаем звездочку, применяемую для обозначе-
ния скобок Дирака, и называем скобку (24.86) скобкой Пуассона.
Уравнения (24.82) допускают явное и однозначное решение отно-
сительно полей шЬс(х). При этом коэффициенты связности оказы-
ваются выраженными через поля ef и я^:
ш?(х) = к2 { 2ef ef e) + efef eg + ef $ ef}K(x) +
+ {2g)~lekimSinvebnecv <9,e^ ■ {gijedk - gjkedi - gikedj }{x) . (24.87)
Теперь определены скобки Пуассона на полях ef, n%a и wfb,
а тем самым и на любых функционалах от этих полей. Например,
используя (24.86) и (24.87), находим
[^(x),ef(y)] = K2S^^-y){2^efeaj++efefei + efeief}(x).
(24.88)
При подстановке правых частей равенств (24.87) в (24.80) и (24.82)
последние обращаются в ноль тождественно. После подстановки
найденных коэффициентов связности в (24.75) мы приходим к га-
мильтониану (24.74), в котором связность выражена через поля ef
и 7Гд согласно (24.87).
Далее под гамильтонианом %f мы подразумеваем именно эту
величину,
Потребуем, чтобы коммутаторы оставшихся первичных связей
7г° и 7г°ь с гамильтонианом (24.74) были слабо равны нулю. Так
возникают связи
Хаь «0, фсъ0. (24.89)
242

Можно показать, что связи (24.89) являются связями первого ро-
да. Это можно сделать путем прямого вычисления скобок Пуассона
между этими связями.
Мы докажем этот факт гораздо менее трудоемким путем.
Получим сначала уравнения движения.
Прямые вычисления показывают, что уравнения ё? = [ef, %т ]
имеют вид
V0 с? - V,- еа0 = О . (24.90)
Поскольку уравнения (24.80) удовлетворяются автоматически, то
следствием уравнений \аЬ = 0 и (24.81), (24.90) являются все урав-
нения
V„ el - V„ el = 0 (mod Xab) ■ (24.91)
Дальнейшие вычисления можно существенно сократить, если вместо
явного нахождения уравнения
К = К,Пт] (24.92)
приравнять нулю вариацию действия (27.72) относительно тетра-
ды еа. Таким образом, получаем уравнения
е^реаьыесх11% = Ъ. (24.93)
При р, = 0 уравнения (24.93) дают связи фа = 0. При fi = 1, 2, 3
уравнения (24.93) эквивалентны уравнениям движения (24.92). Вы-
пишем их явно:
Sabcd£y*(eg Rfk - 2 е) КЦ ) = 0 . (24.94)
Из уравнений (24.90) и (24.94) видно, что величины \аЬ генери-
руют локальные преобразования Лоренца, т.е.
Ьс°ь(х), ес{{у)] = -8{х - у){5саеы - Scbeai ){x),
[Хаь(х), ш?{у)] = -2Щх-у) %6?-26(x-y) {$u>b?+$Uaf } (х).
Очевидно, что любая лоренц-векторная величина имеет скобку
Пуассона с величиной ХаЬ, аналогичную выписанным. Поэтому
уравнение движения для величин ХаЬ имеет вид
Xa6 = 24acX4c-^eoV]- (24.95)
/С
243

Покажем, что гамильтониан (24.74) генерирует общекоординат-
ные преобразования. Действительно, произведем бесконечно малое
преобразование координат у^ = х? — £^ (см. (12.12)). Тогда
и для
8е;(х)=е';(х)-е;(х),
с учетом тетрадного постулата (8.39), получаем
^; = -(^0^+У,Г. (24.96)
Если положить
то уравнение (24.96) переписывается в виде
еа, = ~ша0ь еь, + V„ е% . (24.97)
Здесь было учтено, что ^ = e£eg = 8%. При /х = 0 уравнение
(24.97) является тождеством, а при р, = 1, 2, 3 оно совпадает с
уравнением (24.90). Отсюда следует, что гамильтониан Нт генери-
рует общековариантные преобразования.
Более точное утверждение состоит в том, что гамильтониан Нт
генерирует общековариантные плюс локальные преобразования Ло-
ренца. Поэтому набор величин {фа, Хьс] образует алгебру Ли груп-
пы Ли всех общековариантных преобразований и локальных пре-
образований Лоренца. При этом скобка Ли элементов {фа, хьс}
совпадает по определению со скобкой Пуассона этих же элементов.
Так как указанная алгебра Ли замкнута (т.е. скобка Ли любых ее
двух элементов принадлежит этой же алгебре), то скобки Пуассона
между величинами {фа, хьс } равны нулю по модулю этих вели-
чин. Это и означает, что набор связей {фа, хьс } является набором
связей первого рода.
Таким образом, согласно (24.95) и (24.98), связи ХаЬ и фс явля-
ются связями первого рода. Уравнения движения и связей могут
быть взяты в виде (24.91) и (24.93). Возможно, это есть наибо-
лее удобная форма уравнений гравитационного поля в переменных
тетрада-связность.
244

Главная цель канонической формулировки теории гравитации,
достигнутая здесь, - это представление коэффициентов связности
через канонические переменные {ef, 7Гд } согласно (24.87). Это
дает возможность приступить к процедуре квантования теории гра-
витации (см. следующий параграф).
При наличии в теории гравитации материальных полей появля-
ется, вообще говоря, кручение (см. § 27). Однако развитие канони-
ческого формализма при этом принципиально не изменяется, услож-
няясь лишь технически.
245

ГЛАВА II
ФОРМАЛЬНОЕ КВАНТОВАНИЕ
ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
§ 25. Канонический путь квантования
гравитации
Согласно современным физическим представлениям фундаменталь-
ная физическая теория должна быть квантовой теорией. Теория
гравитации является наиболее фундаментальной теорией поля, по-
этому физическая наука ставит перед собою цель создания кванто-
вой теории гравитации. Однако, несмотря на впечатляющие успехи
в развитии квантовой теории поля, проблема построения квантовой
теории гравитации в настоящее время остается нерешенной. Тем не
менее в этой области существует некая общая философия, на кото-
рой основаны все попытки квантования гравитации. Кроме самых
общих принципов, физическая наука располагает на этом направле-
нии рядом "плацдармов", которые постепенно расширяются. Есть
надежда, что в будущем эти "плацдармы" сольются в единую кван-
товую теорию гравитации, включающую в себя все известные теории
поля. В настоящее время имеются также некоторые приложения
квантовой теории гравитации к теории космологии на этапе возник-
новения Вселенной.
В этом параграфе дается формулировка канонического пути кван-
тования гравитации.
В § 24 было показано, что гравитация является вырожденной
системой, то есть ее гамильтониан есть линейная комбинация всех
связей первого рода. Процедура квантования таких систем была
сформулирована в § 23. Применим ее к теории чистой гравитации.
25.1. Фундаментальные уравнения
Будем работать с канонически сопряженными динамическими пе-
ременными {gap, 7Г°:^}, определенными в § 24. Для удобства сде-
лаем переобозначение индексов а, /?,... —>• г, j, ■... Четырехмер-
ные координаты обозначаются, как обычно, через zM = (t, хг), /х =
246

= 0, 1, 2, 3. При этом пространственные координаты х' при фикси-
рованном времени t являются координатами на гиперповерхности
Е(<), определенной в § 24. Таким образом, канонические переменные
обозначаются {gij, n'i}. По определению gikgk^ =Ц, N' = g'i Nj.
Четырехмерный метрический тензор в координатах х^ задается
согласно (24.45), так что
/ N> + NkNk Nj\ / W -& \
9^=1 , Г =
V * Ы J \ -& gV + ЩР- J
(25.1)
Первый шаг при переходе от классической к квантовой механике
заключается в определении перестановочных соотношений. Нену-
левые одновременные перестановочные соотношения фундаменталь-
ных переменных {gij, тг'7} постулируются, исходя из соответству-
ющих скобок Пуассона (см. (24.51)):
\дц{1,х), irkl(t,y)} = l-h6W(x - у) (<ЭД +Щ ). (25.2)
Гамильтониан в квантовой теории чистой гравитации получается
при помощи формул (24.58), если в них вместо переменных {дар, тга/3}
подставить соответствующие операторы, имеющие коммутационные
соотношения (25.2). При этом возникает первая из нерешенных в на-
стоящее время проблем: как должны быть упорядочены операторы
{gij, п'-*} в выражениях (24.58)? В § 23 было сказано, что проблема
упорядочения операторов в связях первого рода решается исходя из
требования, чтобы уравнения (23.35) имели решение.
Далее будем работать в представлении Шредингера, когда
и волновые функции ^{gij } являются функционалами от веще-
ственных полей gij(x). Тогда уравнения (23.35) символически мож-
но записать в виде
g(x) = detgvki{x) =
1 ПбпС6
2 1-з/ 9(х)
(25.4)
247

Здесь д = det дц.
''(Ч^-)"(*)*{<?о} = °- (25.5)
В последних двух уравнениях операторы в левых частях взяты в
кавычки, так как в них неизвестен порядок расположения перемен-
ных {gtj, тт13}. Кроме того, операторы в фигурных скобках в (25.4)
и (25.5) могут иметь дополнительные слагаемые, пропорциональные
постоянной Планка.
Уравнения (25.4) и (25.5) являются основными динамическими
уравнениями в квантовой теории (чистой) гравитации. Эти урав-
нения можно рассматривать как некую "базисную идею" в кванто-
вой теории гравитации. Уравнение (25.4) носит название уравнения
Уилера-ДеВиттпа. Смысл уравнений (25.5) заключается в том, что
волновая функция остается инвариантной при произвольной замене
координат на трехмерной гиперповерхности Е с метрикой g,-j.
Множество всех полей gij(x) над гиперповерхностью Е назовем
суперпространством. В суперпространстве можно ввести естествен-
ную метрику согласно формуле
SS2 = J d3xgijkl(x)Sgij(x)Sgkl(x). (25.6)
Введем вспомогательное скалярное произведение для волновых
функций при помощи формулы
(Ф!|Ф2)= /Ф^ПП >Ав(*Г\<19ц{*) ■ (25-7)
Для скалярного произведения (25.7) оператор в фигурной скобке в
(25.4) формально является эрмитовским.
Таким образом, физические состояния в представлении Шредин-
гера являются функциями на суперпространстве, удовлетворяющи-
ми уравнениям (25.4) и (25.5). Множество физических состояний
образует пространство Нр, которое называется пространством фи-
зических состояний.
Определение скалярного произведения в физическом простран-
стве Нр наталкивается на определенные трудности.
Действительно, согласно уравнениям (25.4) и (25.5), физические
состояния не изменяются при движении вдоль некоторых направле-
ний в суперпространстве. Например, вследствие уравнений (25.5)
248

при изменениях метрического тензора вида (24.71) физические со-
стояния не изменяются. Отсюда следует, что при определении ска-
лярного произведения в пространстве Нр нельзя интегрировать
по всему суперпространству. Следовательно, скалярное произведе-
ние (25.7) в пространстве физических состояний не имеет смысла.
Другая трудность в теории заключается в том, что не все исход-
ные динамические переменные являются операторами в простран-
стве физических состояний. Пусть | ) 6 Нр и А - некий оператор.
Для того чтобы состояние А \ ) было физическим, необходимо,
чтобы коммутатор [А, И] равнялся нулю в сильном или слабом
смысле. Здесь И - гамильтониан теории. Однако коммутаторы ис-
ходных динамических переменных с гамильтонианом, как правило,
не равны нулю. Поэтому не все динамические переменные могут рас-
сматриваться как линейные операторы в физическом пространстве.
Отсюда следует, что вычисление матричных элементов от некоторых
величин может также быть затруднительным.
Решение указанных трудностей в частном случае двумерной гра-
витации излагается ниже в § 29. Исходя из опыта, полученного при
изучении двумерной гравитации, в § 30 дается альтернативная фор-
мулировка квантовой теории гравитации, свободная от указанных
трудностей.
25.2. Проблема внутреннего произведения
в пространстве физических состояний
Разложим 3-тензор n'J следующим образом:
Отсюда и из (24.54) получаем
Г J3 Jfl - 1 167rG / 1 J2. 9 ij „ ч
У%зм л л - 2 сз rzj ^з * j''
Таким образом, видно, что суперметрика ДеВитта имеет сигнатуру
sign gijkl = (+ ). (25.8)
Так как симметричный тензор g»'j имеет 6 независимых ком-
понент, то суперметрика ДеВитта является метрикой в шестимер-
ном пространстве. "Времениподобный" знак "+" в (25.7) связан с
249

конформной модой 3-метрики. Таким образом, уравнение Улилера-
ДеВитта может быть интерпретировано как гипердолическое диф-
ференциальное уравнение, описывающее распространение волновых
функций (физических состояний) во "времени", спрятанном в кон-
формной моде суперпространства. Здесь имеется полная аналогия с
волновыми функциями релятивистских скалярных бозе-частиц, под-
чиняющихся уравнению Клейна-Гордона-Фока.
Хорошо известно, что для полей, удовлетворяющих уравнению
Клейна-Гордона-Фока, строится сохраняющийся ток и сохраняю-
щийся заряд. Этот заряд задает сохраняющееся внутреннее произ-
ведение волновых функций (см. [15]). Аналогично можно построить
в квантовой теории гравитации (по крайней мере формально) сохра-
няющийся ток и сохраняющееся внутреннее произведение волновых
функций. Отличие от обычной теории Клейна-Гордона-Фока со-
стоит в том, что в теории гравитации имеется континуально много
независимых уравнений типа Клейна-Гордона-Фока, которым удо-
влетворяют волновые функции. Действительно, уравнения Уилера-
ДеВитта (25.4) представляют собою бесконечное множество незави-
симых уравнений для каждой точки.
Это обстоятельство усложняет построение сохраняющегося вну-
треннего произведения волновых функций.
Рассмотрим величины:
I(AB)(ij)(x)= 2- Ф*А <%)(*) *В,
6^)=g^)j^-j^-y^n, (25.9)
которые вследствие (25.4) удовлетворяют уравнениям:
V|g(«)H*!(«) (v^WlA-)(ii)W) =0. (25.10)
В (25.9) стрелка " —> " или " <— " над оператором означает, что
этот оператор действует направо или налево соответственно. Пред-
полагается также, что волновые функции в (25.9) удовлетворяют
уравнению (25.5).
Заметим, что поле (—3<7 )-1'2 (<V^<7»j) с точки зрения координат-
ных преобразований на гиперповерхности Е является тензорным
250

полем типа (0, 2). Это следует, в частности, из формулы (24.54) и из
того факта, что %± является скалярной величиной. Поэтому опе-
ратор, действующий на волновые функции в (25.9), является полем
типа (2, 0) над гиперповерхностью Е. Так как волновые функции в
(25.9) инвариантны по отношению к преобразованиям координат на
гиперповерхности Е, то из сказанного следует, что величины (25.9)
являются симметричными тензорными полями типа (2, 0) на гипер-
поверхности Е.
Пусть Л = (ij | х ) обозначает конденсированный индекс, кото-
рый задает точку на пространственной гиперповерхности и симме-
тризованную пару индексов (ij). Тогда совокупность величин (25.9)
можно обозначить if^B)- Очевидно, что при фиксированных зна-
чениях (АВ) совокупность величин 1^АВ\ образует набор контра-
вариантных координат некоего вектора в касательном расслоении
суперпространства. Будем обозначать также:
{дф) } = /, дфх) = дш, Л \Q(x) | = |0 | = det Яш ■
(25.11)
В новых обозначениях оператор О в (25.9) принимает вид
-у «—
0л=алпА-А^ЛП- (25-12)
одп одп
Так как суперметрика ДеВитта диагональна относительно точек
^-пространства (гиперповерхности Е ), то оператор (25.12) являет-
ся суперлокальным оператором в ж-пространстве, причем действие
этого оператора сосредоточено в той точке х(Л), которая определя-
ется индексом Л.
Под ультралокальным оператором мы понимаем такой опера-
тор, который зависит от фундаментальных полей {gij, 7rIJ }, взятых
в одной точке х, но не зависит от пространственных производных
этих полей.
Из (25.10) вытекает следующее равенство:
^л ( V\GW\I(AB) ) = 0, $АВ) = ^ПбА*в. (25.13)
По аналогии с (8.45) введем полностью антисимметричный псев-
дотензор:
EAia2... = уДЩва^..., (25.14)
251

где eAjAa... есть полностью антисимметричный символ, равный еди-
нице при некоем упорядочении своих индексов в том случае, когда
они все различны. В величине (25.11) число всех индексов равно
6 х со.
Мы видим, что некоторые величины и операции, которые здесь
рассматриваются, определены на интуитивном уровне и являются
символическими. Тем не менее такие величины и операции в насто-
ящее время используются в теории квантовой гравитации (см. [21]).
Пусть т](х) - скалярное вещественное грассманово поле на
ж-пространстве:
т)(х)т){у) + ^{у)Ф) =0.
Введем в рассмотрение грассмановы операторы:
е>£ = Ф(л))е>Л (25.16)
и определим с их помощью следующие величины с 1 х со индекса-
ми Л:
№) '■ = COTSt *A
2г " J \2i "
Фв- (25.17)
Формально в квадратной скобке в (25.17) имеется столько же со-
множителей, сколько содержится точек х в я-пространстве. Вслед-
ствие (25.15) т](х)т](х) = 0, и потому все индексы Л^Лг,... в
(25.17) принимают такие значения, что все точки х(А\), ^(Лг), • • •
оказываются разными. Применяя еще раз свойство (25.15), мы ви-
дим, что величина (25.17) полностью антисимметрична по индексам
Ль Л2,....
Введем обозначения ж (Л,) = х„ и (ij)(As) — (ij\xs). Тогда
компоненты величины (25.17) могут быть записаны в виде
[ф1)ф2).-.]П [OwkO^O-Owi-O^)---] ф*- (25-18)
Так как операторы (25.16) суперлокальны, то из сказанного сле-
дует, что величины (25.17) удовлетворяют уравнениям:
1 M^'(Vs---)=°- (25-19)
V\G\6sA
При преобразованиях координат на гиперповерхности Е коорди-
наты в суперпространстве (поле gij(x) ) преобразуются по линейно-
му закону в заданной точке ж-пространства согласно (2.12), а поле
252

г]{х) остается неизменным в заданной точке я-пространства. Эти
преобразования координат в суперпространстве назовем пространст-
венно-калибровочными. Из (25.17) и (25.18) следует, что при прост-
ранственно-калибровочных преобразованиях координат в суперпро-
странстве совокупность величин (25.17) преобразуется как тензор в
суперпространстве типа (0, 1 хоо). Действительно, при пространст-
венно-калибровочных преобразованиях операторы, отнесенные к не-
кой точке ^-пространства, преобразуются независимо от таких же
операторов, отнесенных к другим точкам ^-пространства. Посколь-
ку поля г)(х) - скалярные, то при интересующих нас преобразова-
ниях они не изменяются.
Таким образом, величина
"(АВ) = const EA^.-.n^.J^B)" ■ d9ni Л ^ Л • •' (25-20)
является дифференциальной формой на суперпространстве степени
5 х оо, которая инвариантна относительно пространственно-калибро-
вочных преобразований. Этого вполне достаточно для наших целей.
Вследствие (25.19) форма (25.20) замкнута, то есть
dQ[AB) = 0. (25.21)
Форма (25.20) является аналогом формы (9.43). Однако интегри-
ровать форму (25.20) по какой-либо гиперповерхности в суперпро-
странстве невозможно именно вследствие пространственно-калибро-
вочной инвариантности этой формы. Такой интеграл был бы про-
порционален объему калибровочной группы, которая некомпактна.
Для преодоления этой трудности воспользуемся трюком Фаддева-
Попова [28]. Пусть х'{д)х ~ некие функции от метрики gij, число
которых формально равно 3 х оо, причем равенства \ — 0 фикси-
руют калибровку (по крайней мере локально в суперпространстве).
Обозначим через d[i{f} право- и левосторонне инвариантную ме-
ру на группе пространственно-калибровочных преобразований Gz
(см. § 26), / £ G3. Пусть координаты суперпространства gf по-
лучаются из д при помощи элемента /. Определим функционал
Jx{g} равенством
JX{9} [ S(x(gf))dfi{f} = l. (25.22)
253

Функционал Jx{§} калибровочно-инвариантен, то есть имеет
место равенство (26.53) Умножим форму (25.20) на левую часть ра-
венства (25.22):
П'(дв) = Члв) h{9) I W)) dn{f}. (25.23)
Будем интегрировать форму (25.23) по некой гиперповерхности
в суперпространстве и сделаем замену переменных вида д —> gh,
h £ Gz- В результате под интегралом происходит, в частности,
замена 6(х(д^)) —> S(x(gh^))- Будем считать, что интегрирование
Jq d.fi{f} производится в последнюю очередь. Во внутреннем ин-
теграле положим hf = 1 £ G3 и учтем равенства (26.53) и
гул _ о'
"(АВ) — "(АВ) •
Теперь очевидно, что подынтегральное выражение не зависит от
элемента / £ G3. Поэтому интегрирование по группе G3 может
быть опущено, и мы приходим к следующему выражению для сохра-
няющейся билинейной формы:
П(АВ) = const ЕА1Аз..Л1па...1$в)" ■Jx{9}6(x(9))dg111 Adgn'A... .
(25.24)
Здесь 1(ав) задается согласно (25.17) и
*Ш) = Цз(х*Ш- (25-25)
Теперь мы можем определить сохраняющееся внутреннее произ-
ведение волновых функций:
(Фд|Фв)=УП^(*)/П(дв). (25.26)
Здесь Е является некой гиперповерхностью в суперпространстве
размерности 5x8. Кратный интеграл по грассмановым переменным
понимается как произведение однократных интегралов и по опреде-
лению j dr)(x) ■ т)(х) = 1, j dr)(x) = 0 (см. [25]).
Более детальное обсуждение внутреннего произведения волновых
функций, возникающего вследствие равенств (25.10), можно найти
в [21].
254

25.3. Проблема третичного квантования
Так же, как и в теории Клейна-Гордона-Фока, внутреннее произве-
дение (25.26) не является положительно определенным.
Чтобы это увидеть, рассмотрим некую волновую функцию Ф#
в квазиклассическом приближении. В этом приближении волновая
функция ищется в виде (23.82)
*±M = <F{0}exp(±£s{0}) . (25.27)
Действие S{g] в (25.27) удовлетворяет системе уравнений (23.72),
где в качестве <j>j(q, p) берутся величины (24.58). Уравнения для
S{g } в рассматриваемом случае имеют такой вид, что если S{g }
является их решением, то и (—i"-)^}) также удовлетворяет этим
уравнениям.
Вычислим произведение (25.26) для волновых функций (25.27).
Так как главный вклад в полуклассическом приближении получа-
ется от дифференцирования экспонент, то согласно (25.17), (25.18),
(25.9), (25.24) и (25.26) имеем
( Ф± | Ф± ) = const J | F |2 [] dVHx) ■ (±Qiikl(x) ~~ ) .
(25.28)
В (25.28) везде берется либо верхний, либо нижний знак и
(Пх dH%i(x)) обозначает меру:
[E(ij\x1)(ki\x3)...n1n,... Jx{9] -4x(g))dgni Adg112 A ..] s •
(25.29)
На первый взгляд формула (25.28) не дает возможности срав-
нить знаки двух произведений ( Ф+ | Ф+ ) и ( Ф_ | Ф_ ), посколь-
ку согласно этой формуле указанные произведения отличаются зна-
ком [JT {—1)х ], который не определен. Однако ситуация несколько
проясняется при переходе к дискретному базису пространственных
гармоник поля gij(x). Поле g%j{x) может быть разложено в дис-
кретный ряд по неким гармоникам-модам в том случае, когда х-
пространство замкнуто. При этом функциональные координаты су-
перпространства {gij{x)} заменяются некими счетными наборами
коэффициентов такого разложения. В литературе обсуждается ги-
потеза, согласно которой пространственно неоднородные гармоники
255

входят парами и потому не вносят вклад в знак нормы, в то вре-
мя как пространственно однородная мода имеется одна, и потому
именно она определяет знак внутреннего произведения.
Однородная мода описывает минисуперпространственную редук-
цию гравитационных систем (см. § 28). Из сказанного вытекает, что,
по-видимому, частотность (знак внутреннего произведения (25.26))
определяется минисуперпространственным сектором.
Вышесказанное означает, что гипотеза о знаках внутреннего про-
изведения:
(Ф+|Ф+)>0, (Ф_|Ф_)<0. (25.30)
является естественной в теории гравитации. (Заметим, что в тео-
рии гравитации, взаимодействующей с веществом, все изложенные
результаты сохраняются.)
Если внутреннее произведение (25.26) исчерпывает все возмож-
ности для калибровочно-инвариантного внутреннего произведения в
физическом пространстве состояний, то ситуация в квантовой тео-
рии гравитации оказывается подобной той ситуации, которая имеет
место в теории Клейна-Гордона-Фока. В последней также отсут-
ствует положительно определенное скалярное произведение для вол-
новых функций отдельных частиц. Это обстоятельство приводит к
необходимости вторичного квантования и введения в теорию кванто-
ванного бозонного поля, которое в свободной теории представляется
в виде (26.81), где делаются замены а(к) —> а(к), а*(к) —> й^(к),
причем [а(к), аЦк] = (2тг)3 £(к - р ).
Аналогично следует рассуждать и в теории гравитации.
Поскольку отсутствует положительно определенное скалярное
произведение в пространстве Нр, то любую волновую функцию
Фа £ Нр следует рассматривать как некую моду третично кванто-
ванного гравитационного поля. Проблема скалярного произведения
на изложенном уровне исчезает автоматически, поскольку при тре-
тичном квантовании все решения уравнений (25.4-5) являются не
функционалами, а функциональными операторами, действующими
в более широком гильбертовом пространстве состояний, в котором
уже имеется положительно определенное скалярное произведение.
Это гильбертово пространство описывает не одну квантовую космо-
логическую модель, а множество таковых.
Обратим внимание на то, что два состояния (25.27) отличаются
тем, что на квазиклассическом уровне описывают движение системы
256

по одной и той же траектории в суперпространстве, но в противо-
положных направлениях по времени. Это ясно из (23.75). Действи-
тельно, при замене S —> —S импульсы в (23.75) меняют знак. Мож-
но таким образом условно сказать, что положительно частотные
решения уравнений (25.4-5) представляют собою Вселенные, дви-
жущиеся вперед по времени, а отрицательно частотные решения —
Вселенные, движущиеся в обратном направлении по времени.
Хотя проблема третичного квантования в настоящее время ак-
тивно обсуждается в специальной литературе, однако она еще очень
слабо разработана (см. [21] и ссылки там).
§ 26. Представление амплитуды перехода
в виде континуального интеграла
Квантовый оператор эволюции ехр[—i(t" —t')%] может быть пред-
ставлен в виде континуального интеграла по переменным в фазовом
пространстве, а в простых случаях - в конфигурационном простран-
стве. Представление амплитуды перехода в теории поля в форме
континуального интеграла Фейнмана является исключительно по-
лезным инструментом, при помощи которого решается ряд задач с
наименьшей затратой сил и времени. В частности, на этом пути
выводится диаграммная техника Фейнмана, оценивается вклад ин-
стантонов (если они существуют) в квантовой теории и так далее.
Целью этого параграфа является представление амплитуды пере-
хода в теории чистой гравитации в виде функционального интегра-
ла. Так как гравитация является вырожденной системой, а также и
вследствие ее кинематической сложности, эта задача нетривиальна.
В следующем параграфе полученные здесь формулы будут исполь-
зованы для некоторых оценок при помощи теории возмущений.
26.1. Континуальный интеграл
в конечномерном случае
Пусть %(р, д) - функция Гамильтона для некой одномерной си-
стемы. При переходе к квантовой теории канонические переменные
(р, q) заменяются на операторы (Р, Q), причем [Q, Р] = г (ft = 1).
В сложных случаях возникает проблема упорядочения операторов
257

координаты и импульса в гамильтониане, которая при квантовании
Вейля решается следующим образом.
Обозначим через \q) собственный вектор оператора Q, так что
Я\Я) = Ч\Ч), <<?'!<?} = %-<?')• (26-1)
Так как
[Qiei,P] = ,sei'Pi
е
isP
q) = \q-s). (26.2)
Рассмотрим унитарный оператор
u(s, t) = exp(?'Ps + iQt) — u\—s, —t).
Здесь параметры s и t - вещественны. При помощи формулы
Хаусдорфа
u(s, t) = e?st eitQ eiPs , (26.3)
а также формул (26.1) и (26.2) получаем
( q" | U(S, 01?') = exp (i ^±t t ) 5(q" -q' + s). (26.4)
Пусть
H(s, t) = J Щр, q) e-'v-^dpdq = %*{-s, -t) (26.5)
- компонента Фурье гамильтониана. Звездочка означает комплекс-
ное сопряжение. Согласно Вейлю квантовый гамильтониан опреде-
ляется формулой
П{Р> Q) = 7^v2 f U(s,t)u(S,t)dSdt.
(26.6)
Очевидно, оператор (26.6) эрмитов. При помощи формул (26.1) —
(26.6) легко получить, что
W>\HW) = Jh(p,*±£}^-<)£. (26.7)
258

Рассмотрим для малых (t" — t') амплитуду перехода
ехР{-г'(г" - t') %} к 1 - i(t" -t')%. (26.8)
Используя (26.1), (26.7) и (26.8), находим
<9"|е-"(("-(')*|9'> =
= |[1-^"-П^(р.Ц^)}ехР(гЖ'-?'))| =
= |ехр |ц>(?" - ,') - i(t" - t') U (р, Ц^- ) }
Если интервал (t" — t') конечен, то его разбивают на N равных
частей таким образом, чтобы At = (t" — t')/N можно было бы
считать малым. Пусть t' = to < t\ < ... < ijv = t" и </(<,) = </,-,
p{U) —Pi- Тогда амплитуда перехода U(t", t') за конечный интервал
времени представляется в виде
U{t", t') = U{t", *лг_1) (7(*jv-i, *jv-2) ■ ■ ■ tffa, *o) • (26.10)
Теперь ядро амплитуды (26.10) мы можем записать при помощи
(26.9) как многократный интеграл:
( Ч" I U{t", t') | q') = J exp {i \pN(qN - qjf.x) + . . . + Pl(qi - q0)} -
о 9 ••• О • (26Л1)
Перейдем в последней формуле к пределу N —> со, At —> 0. При
этом число переменных интегрирования стремится к бесконечности
и считается, что в пределе интегрирование происходит по p(t), q(t)
при всех t в интервале t' < t < t" . На функцию q(t) наложено
условие
q(t') = q', q(t") = q". (26.12)
В указанном пределе показатель экспоненты стремится к выраже-
нию
S(t",t')= f {p(t)q(t)-7i(p(t),q(t))}dt, (26.13)
■It'
I At
-и i „ gw + gjv-i \ ,„/ ?i + go
П \PN, 7, +... + « \P\,
2 у V 2
dpN dpN-\dqN-X dp\dqx
259

которое является классическим действием на интервале (t', t") для
траектории {q(t), p{t)) с граничным условием (26.12). Мера инте-
грирования в получающемся таким образом интеграле формально
записывается в виде
dp" т-г dp{t) dg{t)
2тг Ц 2тг
П Mt) dq[t) ■ (26.14)
Если опустить одномерное интегрирование по конечному импульсу
р", то формальное выражение для амплитуды перехода имеет вид
W',t"W,t') = (q"\U(t",t')W) =
= /^{Н>*-^'?))А}п^т?1- <26-15)
Заметим, что если бы мы пользовались другим упорядочением
операторов в гамильтониане %, то мы пришли бы опять к выраже-
нию (26.15). На первый взгляд кажется, что при помощи функци-
онального интеграла однозначно решается проблема упорядочения
операторов. Однако это не так, поскольку функциональный инте-
грал не определен корректно во внутренних терминах. Если бы в
конкретной задаче удалось полностью определить функциональный
интеграл, то тем самым была бы решена проблема упорядочения
операторов.
Обобщение на случай системы со многими степенями свободы
очевидно. Пусть q = (qa) , p = (ра) , а = 1,2, ... и набор пере-
менных {ра,' qa } образует совокупность канонических переменных.
Для краткости записываем
a t t a
Тогда амплитуда перехода записывается по-прежнему в виде (26.15).
Для дальнейших вычислений нам понадобится известная форму-
ла:
f expl-pM-^+i^p j dp= (27ri)N/2(det.M)1/2exp j-^-M£
(26.17)
260

Здесь р = (pi, ..., рн) и М - невырожденная матрица в iV-мерном
пространстве, dp = dp\dp2 .. -dp^ и £р = 52a=i £«Р«- Формула
(26.17) позволяет вычислить гауссовы функциональные интегралы:
J expj^ J dnxdnyp{x)M-1{x,y)p{y)+i I dnxt{x)p{a
■ Д dp(z) = const -(det .M)1/2-
•ехр{-г- J dNxdNyt(x)M(x,y)t(y)\ . (26.18)
Здесь .M и .М-1 - взаимно обратные линейные операторы, дей-
ствующие на интегрируемые функции в n-мерном пространстве и
константа в правой части (26.18) не зависит ни от функции £(х),
ни от оператора М. Неопределенность, которая может возникнуть
при вычислении (det М), обычно устраняется, исходя из требова-
ний конкретной задачи.
Предположим, что лагранжиан некой многомерной системы за-
висит квадратично от скорости:
C=\qMq + lq-V(q). (26.19)
Импульсные переменные равны р = М q+l. Тогда действие в форме
(26.13) имеет вид
rt" ( л
-Г-Н
(p-l)M-\p-l) + {p-l)q + lq-V(q)
(25.20)
В рассматриваемом случае в функциональном интеграле (26.15) мо-
жет быть вычислен интеграл по импульсным переменным. При по-
мощи формулы (26.18) получаем
W't"Wt') = ^ J i^ljl CdtYl[(detM(t))^dq(t).
(26.21)
Здесь £ лагранжиан (26.19), а N - нормировочная константа, не
зависящая от q' и q".
261

Если det M.(t) не зависит от переменных q, то det M(i) может
быть включен в константу N. В этом случае представление ампли-
туды перехода в виде функционального интеграла (26.21) совпадает
с формой функционального интеграла, предложенного Фейнманом.
Впервые представление амплитуды перехода в форме функцио-
нального интеграла было дано Дираком [24]. Исключительно пло-
дотворно Фейнман, а вслед за ним вся теоретическая физика начали
применять функциональный интеграл в теории поля. В этих лекци-
ях мы следуем в основном изложению этого вопроса, содержащему-
ся в книге Славнова и Фаддеева [25]. Читателю, интересующемуся
более глубоким изучением теории функционального интеграла, мы
рекомендуем книгу Фейнмана и Хибса [26].
26.2. Континуальный интеграл
для вырожденных систем
Рассмотрим многомерную динамическую систему, гамильтониан ко-
торой зависит от п пар канонически сопряженных переменных
{pa, qa } ив которой имеется m , m < п связей первого рода фа,
а связи второго рода отсутствуют. В этом случае полный гамильто-
ниан представляется в виде (см. (23.25)) Ит = % + YllLi у<Фг> гДе
V; — произвольные функции времени. Все величины {</>,} имеют
взаимные скобки Пуассона вида (23.37), и И является величиной
первого рода. Обозначим через Г2п фазовое 2п-мерное простран-
ство с координатами {ра, Qa }, в котором происходит движение.
На классическом уровне рассматриваемая обобщенная гамильто-
нова система эквивалентна обычной гамильтоновой системе с (п—тп)
степенями свободы. Фазовое пространство г*2(п-т) последней си-
стемы реализуется следующим образом. Рассмотрим m дополни-
тельных условий
хЧр, ?) = 0, (26.22)
для которых выполняются требования
det|[^,xj]|^0, [Х\хП = 0
Подпространство в Г2п, определяемое равенствами
Х*'(Р,?)=0, 4>i{p,q)=0, (26.24)
(26.23)
262

является пространством p*2(n-m) Канонические переменные в
P*2(n-m) выберем следующим образом. Вследствие (26.23) мож-
но выбрать в Г2п канонические переменные так, чтобы первые
т координатных переменных q1, ..., qm совпали с величинами
X1, ■ • •! Хт-
Ч = {х1,...,Хт,Ч*}- (26.25)
Здесь q* - остальные (п — т) координатных переменных. Запи-
сывая лагранжиан в переменных (26.25), находим соответствующие
канонически сопряженные импульсные переменные. Обозначим их
через
P={Pi, ■••,?»,,?•}. (26.25')
В новых переменных условия (26.23) принимают вид
det
фО, i,j = l,...,m. (26.26)
dPj
Отсюда следует, что уравнения связей
<j>i(p,q)=0 (26.27)
можно разрешить относительно р,- с г = 1, . .., т. В результате
подпространство Г*2(п_т) задается уравнениями
Х*' = ?'' = 0, Pi = Pi(p*, Ч*). (26.28)
Переменные {p*,q*} являются каноническими, и гамильтонианом
системы является функция
П'(р',ч')=Щр,ч)\ф=о,х=0. (26.29)
Обозначим старую систему с гамильтонианом Ит и фазовым
пространством Г2п и новую систему с гамильтонианом W и фа-
зовым пространством Г*2(п~т) через Г и Г* соответственно.
Эквивалентность систем Г и Г* означает следующее.
Выберем в Ит лагранжевы множители г>,- так, чтобы выпол-
нялись равенства
[Нт,х'] = 0- (26.30)
Вследствие (26.23) эта задача имеет однозначное решение. При этом
уравнения Гамильтона (23.26) и связей (26.27), (26.28) совпадают с
уравнениями Гамильтона для системы Г*.
263

Доказательство эквивалентности систем Г и Г* является весь-
ма простым в координатах (26.25). Уравнения q1 = О означают,
что
дП дф{
dp, dPj
При помощи этих равенств получаем следующие соотношения:
Е( %_^.^рЛ_Ч^ ( дф{ ^ дф{ dpj \
.=1 Г 5?* aPi ag* J - £ ^ а?* + £ aPj ag* J - °'
,-=i v'5p* 5pi dp*)~ hiVi \dp hi дъ др*) ~
(26.32)
Последние равенства в (26.32) вытекают из (26.27), (26.28). Из (26.32)
следует, что уравнения
(дП дф{
р =-{w+Viw
•* --!™L - - (OIL дп dpi
dq* \dq* dpi dq*
совпадают (соответствующие уравнения для переменных q* не вы-
писываются). Таким образом, утверждение об эквивалентности си-
стем Г и Г* доказано.
Система Г может быть проквантована в переменных {р*, q* },
в которых она является невырожденной. Тогда квантовый оператор
эволюции задается континуальным интегралом (см. (26.15)):
/ „*" 4" I „*' 4> \ —
{q ,t \q ,t ) =
= /«*{ijrVf-«V.O)*}-n*M.(»*)
В тех случаях, когда связи нелегко разрешить или это делать не-
целесообразно, требуется представить оператор эволюции непосред-
ственно в терминах обобщенной системы Г. Убедимся, что конти-
нуальный интеграл
/ 6ХР | Ji / ^ ~ П(р' 9) ~ "*' ^Р' ?)-
dt
264

t i a
совпадает с интегралом (26.33). Для этого проинтегрируем (26.34)
по v , в результате чего он принимает вид
J expj^ J\pq-H(p,q)]dty
■ П П W) WO det 11Ф*> Xj 11 ^f ■ (26.35)
Мера в интеграле (26.35) инвариантна относительно канонических
преобразований переменных интегрирования. Будем считать, что
он вычисляется в переменных (26.24), (26,25), в которых
]Ц[Чх')*Шьь\[фк,х*]\ =
= nn^)^)det тп =ППад%-й(р'-0].
t i Pi t i
Теперь очевидно, что после интегрирования по переменным р,-, q' с
г = 1, ..., т интеграл (26.35) сводится к (26.33).
26.3. Квантование гравитации
при помощи функционального интеграла
Рассмотрим случай чистой гравитации, когда действие задается со-
гласно (24.48) и применим формализм, разработанный в § 24 и
§26.
В рассматриваемом случае И = О и Ит является линейной
комбинацией связей первого рода (см. (24.58)). Поэтому для пред-
ставления амплитуды перехода в форме функционального интеграла
следует воспользоваться формулой (26.34) или (26.35).
Ввиду того, что фазовое пространство системы г2х6хо° име-
ет "континуально большую" размерность, возникают дополнитель-
ные трудности. Одни из этих трудностей заключаются в том, что
265

функциональный интеграл должен быть калибровочно инвариан-
тен. В частности, мера интегрирования в функциональном инте-
грале должна быть калибровочно инвариантна. Напомним, что со-
гласно § 24 калибровочные преобразования в рассматриваемой тео-
рии есть общековариантные преобразования, которые генерируются
полным гамильтонианом %т- Иными словами, решение уравнений
Гамильтона трактуется как калибровочное преобразование. Однако,
как известно, эволюция фазового пространства согласно уравнениям
Гамильтона является также каноническим преобразованием, кото-
рое по теореме Лиувилля сохраняет каноническую меру в фазовом
пространстве. Поэтому мера
«**,=п п дAdirij(t' Tndgij(t'x) <26-36)
t х i<j
является калибровочно инвариантной. В (26.36) происходит внеш-
нее умножение всех дифференциалов. Мера (26.36) играет роль ме-
РЫ IL Па <*М*) <*?"(*) В (26.34).
Поля N^1 = (./V, Ni) являются компонентами 4-вектора в бази-
се, в котором метрический тензор имеет вид (24.5). Введем триады
согласно формуле
з
tti=-£e'?e?' efe{ = Si (26.37)
a=l
Тогда поля
па = (N, na), na=ei Ni (26.38)
являются компонентами 4-вектора в некоем ортонормальном базисе.
Именно поля na(t, x) являются аналогом полей n,-(t) в (26.34).
Действительно, мера
dv = П П ^П1(*' х) Л ^"2(*' х) Л dn3^' х) Л ^(*> х) (26.39)
X х
инвариантна по отношению как общекоординатных преобразований,
так и локальных лоренц-преобразований тетрады.
Предположим, что триада (26.37) зависит лишь от шести неза-
висимых параметров в каждой точке (t,x). Отсюда следует, что в
каждой точке х справедливо соотношение
dgu Л dgu Л ... Л dg33 Л de'a = О,
266

откуда в каждой точке х получаем
dfi\ = dfi0 Л JJ dn\(x) Л dn2(x) Л dn^(x) AdN(x) =
X
- dpa Л Д (det e*a(z)) dNt (x) Л dN2(x) Л dNa(x) Л dN(x).
X
Здесь и далее под х понимается произвольная точка пространства-
времени. При помощи (25.1) легко получить, что
■щ-r П (Л^„(*)) = H(Adgij(x)) Л Ц(Л<*ВД) Л <*#(*).
Отсюда и из равенств (det е'а) = (—3^)_1/'2 и (24.47) получаем
(с точностью до числового множителя):
din = Д^ИГ^ T[(Ad7riJ(x)) Л П (Л<^И), 9 = det ^ .
(26.40)
По построению мера (26.40) инвариантна относительно калибровоч-
ных преобразований. Мера (26.40) играет роль функциональной ме-
ры в интеграле (26.34).
Теперь с учетом (24.58) амплитуда перехода (26.34) записывается
в виде
(gWMj, О = ^ /exp |^ J dt \J d3x^gij - 7£т] } •
•det | [Щу), XеW] I IIIIVW)^ ' (26-41)
я: a
Здесь и далее N~x есть нормировочный множитель, и х"{х)> а =
= 0, 1, 2, 3 - четыре условия (в каждой точке х), фиксирующие
калибровку, взятые в некоем ортонормированном базисе.
Заметим, что в качестве фактора
exp j-^ / dtVi<f>i{p,q) \ ,
имеющегося в (26.34), в интеграле (26.41) содержится фактор
exp 1-- / dtЧт
267

Таким образом, показатель экспоненты в (26.34) является дей-
ствием системы в канонических переменных, откуда вытекает кали-
бровочная инвариантность показателя экспоненты в (26.41).
Для дальнейшего продвижения необходимо рассмотреть отдель-
но интегрирование по калибровочным степеням свободы, которых
имеется четыре в каждой точке пространства-времени. Калибро-
вочные степени свободы описываются множеством четырех незави-
симых функций, каждая из которых зависит от четырех независи-
мых параметров. Эти функции задают общие преобразования коор-
динат пространства-времени. Будем обозначать их /^(я). В данном
случае удобна аддитивная запись калибровочного преобразования:
а;^ = г"+ /"(«). (26.42)
Для композиции преобразований имеем
*£=*? + /{«(*!) = *" + /"(*) + ff(x + /(*)) = X" + fi(x) .
Отсюда
tf(x) = (Л х f)"(x) = /"(*) + ff(x + /(*)). (26.43)
Предположим, что функции /(* малы, финитны и медленно
меняются. Тогда (26.43) переписывается в виде
%(х) = /"(*) + ff(x) + fx(x) dxtf(x). (26.44)
Определим якобиан
А$% = ^Щ = *<4> (х - у) ДО + Sv ft (х)) (26.45)
и вычислим его детерминант, воспользовавшись известной формулой
det A = eln det A=etrlnA . (26.46)
В нашем случае
А = 1+е, е->-0=ИпЛ = е.
Поэтому из (26.45) и (26.46) следует, что
det ^Щ = exp |j4(0) J d*x дх /* (*)} = !. (26.47)
268

Аналогично доказывается в предположении / —>■ 0 равенство
6f!?(x)
йлтш = 1- (2647,)
Предположим, что на группе калибровочных преобразований G
существует лево- и правоинвариантная мера dfiG. Это предположе-
ние использовалось в ряде основополагающих работ по квантовой
теории гравитации (см. [27] и ссылки там).
Предположение о существовании инвариантной меры dfiG мо-
жет быть оправдано следующим образом.
Определим элемент объема группы G в точке / = О как
d^G{f} = H(Adr(x)e;(x)). (26.48)
х, а
Сделаем в (26.42) замену /*• —»■ f^+df^ и затем положим /^ = 0.
Тогда равенство (26.42) переписывается в виде
dx)i(x) = df>i(x), dx)i(x) = x1-xfi .
Отсюда видно, что 1-формы df^(x) в пространстве калибровоч-
ной группы преобразуются при общих преобразованиях координат в
пространстве-времени как векторные поля. Поэтому 1-формы dx^^x)
■е^(х) в пространстве калибровочной группы являются скалярными
полями относительно общих преобразований координат. Тем самым
устанавливается инвариантность элемента объема (26.48) калибро-
вочной группы относительно левых сдвигов на этой группе. Инва-
риантность элемента объема (26.48) относительно правых сдвигов
на калибровочной группе также имеет место, поскольку при правых
сдвигах мы рассматриваем координаты х^ как функции коорди-
нат х^ : х^(х). При этом произведение в (26.48) берется по тем же
точкам, что может привести лишь к изменению знака вследствие
перестановки сомножителей. Таким образом, мы имеем
diiG{fh} = diiG{f} = diiG{hf). (26.49)
Вследствие равенства единице якобиана (26.47) имеем
dfiG{ hf} = {l+ 0(h2)) d(iG{ f } = dfiG{ fh } . (26.50)
269

Из (26.48) и (26.50) видно, что
droit) = (1 + 0(/2)) Д yfW)dr(x) =
*,м
= (1 + 0(/2))П4П*Ь d/e = e«d/". (26.51)
х, а
Таким образом, при / —» 0 можно считать, что
адл = П \/^н #"(*) = П #"(*) > #" = е2#" •
х, fi x,a
(26.51')
Соотношения (26.49) и (26.51) играют важнейшую роль в ка-
либровочных теориях, позволяя применять так называемый трюк
Фаддеева-Попова [28], при помощи которого вычисления существен-
но упрощаются и продвигаются.
Заметим, что двусторонне инвариантная мера на калибровочной
группе здесь определена лишь для метризованных ж-пространств.
Действительно, в определение (26.48) входит поле тетрады.
Будем считать, что калибровочные условия х" накладывают
ограничения на метрический тензор и поэтому совокупность кали-
бровочных условий обозначим
*(хЫ)=П*(хвЫ(*))-
х,а
Определим функционал Jx{g } ПРИ помощи следующего равенства:
Jx{9) J S(X(gI))dftG{f} = l. (26.52)
Через gf обозначается метрический тензор, полученный из д^и
при помощи калибровочного преобразования (12.14).
Функционал Jx{9] калибровочноинвариантен. Действительно,
вследствие (26.49)
Jx{gh} = [ *(х(0/А))<*М/} =
JG
= j Hx(9Jh)) dfiG{fh } = Jx{g } • (26.53)
270

Введем обозначение
K{f} = J d4x fa{x) Па{х). (26.54)
Согласно результатам § 24 И { f } осуществляет калибровочные
преобразования полей, соответствующие преобразованиям коорди-
нат (26.42):
x(gJ)=x(g) + Mf},x(g)], </^, = </„,-v„/„-v„/, • (26.55)
Рассмотрим формулы (26.55) в точке дх, в которой
ХЫ = 0. (26.56)
Тогда при достаточно малых / уравнения
Х(9{) = 0 (26.57)
имеют единственное решение / = 0. Именно такая ситуация пред-
полагается в теории возмущений. В этом случае из формул (26.51'),
(26.52), (26.55) непосредственно следует, что
Jx{g} = det | [Пь(у), Xе (*)]\. (26.58)
В дальнейшем мы будем использовать калибровочное условие
Ха{9) = еа, d^V^gn = e; хЪ) ■ (26-59)
Согласно (14.4) это калибровочное условие означает условие гармо-
ничности координат. Представим 6(х{д)) в форме функционального
интеграла:
6Ш) = / exp {i J d4x Va Xa(g) } П ^7^ • (26"6°)
Формулы (14.4) и (26.59) приводят к равенству
J d4x Па Ха = - J dAx y/=j ^аГа .
Здесь в правой части мера d4x л/—д является калибровочным ин-
вариантом. Поэтому при помощи (14.2) находим
J d*x т}а Ха{д}) = J d4x т}хХХ(д) + J d4x r,xу/=д-<Г ^-^ /А .
4 (26.61)
271

Поскольку т]а = е^т}^, то в функциональных интегралах (26.41) и
(26.52) можно воспользоваться равенством:
П(Л^а)=П(-^))"1/2(Л^И)-
(26.62)
X ,fi
Подставим в (26.52) J-функцию в представлении (26.60) и будем
считать, что д = дх. В этом случае носитель интеграла в (26.52)
сосредоточен при / = 0, и потому для меры в этом интеграле следует
пользоваться формулой (26.51'). При помощи последней, а также
формул (26.61) и (26.62) имеем
ехр < г
Рхщл/^дд'"'
дх^дхи
fx\-l[Adr1x(x)Adfx{x) = l.
' х,Л
Учитывая полученное равенство, (26.60) и еще раз (26.62), мы полу-
чаем
Мз}*Ш)
det
\LV
д2
дх^дх»
б^(х-у)
■ Jexpji J d42^x"(<7)} Ц(-д(х)Г^^ф)
(26.63)
Первый сомножитель в правой части последнего равенства может
быть записан как интеграл по четырем комплексным грассмановым
полям са[х) и са(ж), которые взаимно эрмитовски сопряжены:
Мя} = 1- -]4 = /ехр |» I dAx 7=^"" са<11 ^ | J] dca(x) dca(x) .
^ ^ х,а
(26.64)
Определение грассмановых чисел, полей и действий с ними дается в
§ 31. Возможность записи детерминанта в (26.63) в форме функци-
онального интеграла по комплексным грассмановым полям связана
с наличием в (26.63) множителя S(x{g)), который в используемой
калибровке означает, что (\/—gg,ll/) v — 0.
Замечание. Разъясним смысл утверждения о калибровочной
инвариантности функционала Jx{g}- Первый сомножитель в (26.63)
272

калибровочно инвариантен в том смысле, что сначала метрический
тензор при помощи калибровочного преобразования приводится к
виду, удовлетворяющему условию (26.59), и лишь после этого вычи-
сляется определитель в (26.63). Иными словами, функционал Jx{g}
по определению всегда вычисляется в точке дх. Однако функцио-
нал Jxid] (26.64), вычисленный в точке д, связанной с точкой
дх калибровочным преобразованием, вообще говоря, отличается от
JX{9X}- п
Лагранжиан в теории гравитации относится к типу лагранжиа-
нов (26.19). Поэтому интеграл по импульсным переменным вычи-
сляется точно, причем в качестве .М-1 мы имеем оператор, про-
порциональный NQijki. Поэтому здесь (см. (25.4) и (25.1))
Ц (det (M){t) )1/2 = const Y\ N~2(x) (-gix))-1'2 =
t X
= 1Ь00(*)(-*(*)Г1/2-
X
Собирая вместе формулы (26.21), (26.40), (26.41), (26,58) и (26.63),
окончательно получаем
ы;гы^>4/Чтб^/Л[-^я+
+ % (\/=5 Я*"), + ■/Ч'Г':»'*} 1 * <»• '• '} П *>"(*> =
4/ехр{"1б^/л^4/х{г}п^(1))*{гЬ
(26.65)
где
dfi{g, c,c} = dp,{g}Y[ dca(x)dca(x),
х,а
d^{g} = U Цд00(х)(-д(х)Г^ид11,(х). (26.66)
Формулы (26.65) и (26.66) были выведены в работе [27].
Амплитуда перехода (26.65) может быть записана в несколько
иной форме, которая удобнее для развития диаграммной техники
273

Фейнмана. Для этого калибровочное условие (26.59) заменим усло-
вием
Х^ = Х"-Р1' = 0, (26.67)
где р^(х) - произвольное поле, которое не зависят от метрического
тензора, а \^ задается согласно (26.59). Заметим, что вид функци-
онала Jx{g } при такой замене калибровочного условия не изменя-
ется. Поэтому амплитуда перехода имеет вид (сравни с (26.65))
л'-7ехрЫ^/л^''}-
■Мя)^[Чх'М-111'('))Мя)- (26-68)
Функционал (26.68) не зависит от поля р^(х). Действительно, по
самому смыслу этот функционал является амплит/дой перехода, ко-
торая по построению не может зависеть от калибровочных условий.
Поэтому мы можем проинтегрировать функционал (26.68) по полю
р^{х) с весом
В результате амплитуда перехода приобретает вид
+ 2L iliMV^g1" ))2 + у/Чя1" <4,<J | МЗ, с, с]. (26.69)
Здесь а является постоянной числовой величиной. Амплитуда пе-
рехода в представлении (26.69) удобнее амплитуды в представлении
(26.65) именно тем, что в (26.69) имеется свободный параметр. В
пределе а —> 0 выражение (26.69) переходит в (26.65).
В работе [27] проводится формальное доказательство калибро-
вочной инвариантности функциональной меры (26.66):
dn{91} = dp{g]. (26.70)
274

26.4. Доопределение детерминантов
при функциональном интегрировании
В заключение этого параграфа сделаем замечание относительно вы-
числения гауссовых интегралов (интегралов типа (26.18)) в кванто-
вой теории поля. Проблема вычисления гауссовых интегралов состо-
ит в необходимости доопределения некоторых детерминантов. Воз-
никающие при этих вычислениях детерминанты однозначно опреде-
ляются с учетом граничных условий, которые в свою очередь дик-
туются постановкой физической задачи.
Рассмотрим этот вопрос на простейшем примере скалярной тео-
рии поля в пространстве Минковского с действием (с = 1):
S = J d4Л \ (3,ф)2 - \ т'2ф2 + цф \ . (26.71)
Здесь ф(х) - вещественное скалярное поле и т/(х) — вещественное
поле, играющее роль источника скалярного поля. Система (26.71)
сводится к набору независимых гармонических осцилляторов при
помощи преобразования Фурье:
/г (/З^
(13хф(х) ехр(-г'кх) , ф(х) = / ——3 </>к(<) ехр(гкх) ,
/d3k Г {1 ■ ■ 1
wfc = \/m2 + k2 , 0к = 01к . (26.71')
Поэтому сначала вычислим явно амплитуду перехода для одномер-
ного гармонического осциллятора с вещественной координатой q и
действием
S = JdtUq2-^u2q* + r,q\ (26.72)
за конечный интервал времени (t', t") из состояния с координатой
q' в состояние с координатой q". Это означает, что в функциональ-
ном интеграле вычисление идет с граничными условиями (26.12).
При вычислении интеграла (26.21) удобно сдвинуть переменную ин-
тегрирования следующим образом:
q(t) = q(t) + Sq(t) ,
275

q(t) = qa{t)+ I AiI>(Mi)4(<i)> (26.73)
qo(t') = q', 4o(t") = q", Sq(t') = Sq(t") = 0 ,
'^+u}'2q = T}, ?o+w2?0 = 0. (26.74)
Функциональное интегрирование ведется по переменным Sq(t). Из
(26.12) и (26.74) следует, что
^ + ШЛ V(t, h) = 6{t - U) , V{t', U) = V{t", U) = Q. (26.75)
Условия (26.75) однозначно определяют функцию Грина:
V(ti,t2) = Ve(ti-t2)-
-^-=-[Ve{t"-h) sin(io(U-t'))+Vc{t'-h) sin{Lo(t"-tl))}, (26.76)
sin uj 1
где T = t"-t' и
есть причинная Гриновская функция, которая удовлетворяет перво-
му из уравнений (26.75). Решение для qo{t) легко находится:
4o(t) = -гЦ; sm(io(t - ?)) + -Д— sin[u(t" - t)]. (26.78)
Запишем действие в новых обозначениях. Опуская простые вычи-
сления, приведем результат:
s = So+l «fae-^
2
2
Sq2
So = 2^Ьт [ (?'2 + q"2 ) COSU}T - 2q' q"] + S№ '
,11
S{r))=ji dtT)(t)q0(t) + ^ f dhdt2r}(h)V(U,t2)T,{t2). (26.79)
Здесь 5о не зависит от переменных интегрирования Sq, причем
Sq(t') = Sq(t") = 0. Поэтому функциональное интегрирование в
276

(26.21) с действием (26.79) приводит лишь к появлению множите-
ля, зависящего от Т, но не от q', q", г}. Этот временной множитель
далее нами не используется, однако мы приведем точный ответ:
(*">*" I *'''' >= \[т-г^ехр (* 5°) =
V /7ггЙ smwT \ ft J
Е
. п=0
ехр ( -г [ тг + - ) и Т
фп(ч")Ф*п(ч') ["exp^SM
(26.80)
Первый множитель в фигурных скобках является амлитудой пе-
рехода при нулевом источнике, причем {фп(ч) } ~ полный набор
нормированных собственных функций гамильтониана. Теперь в ам-
плитуде (26.80) перейдем к пределу Т —> со. Заметим, что этот
предельный переход означает, что ставится задача об отыскании
S-матрицы. При этом считается, что внешний источник T](t) —»■ 0
при 111 -»■ оо и t" = -t1 - Т/2.
Второе слагаемое в правой части (26.76) записывается в виде
\ ехр(—2гп wT) [exp(—iu T) cos(w(<i + t2)) —
ш —~
— ехр(—2гш Т) cos(w(<i — t?)) ] ,
В пределе Т —> оо последнее выражение можно отбросить как
содержащее бесконечно быстро осциллирующие множители. Поэто-
му в указанном пределе So задается согласно (26.79), где вместо
V[t\, <г) следует подставить Vc(t\ — t^) из (26.77). Множитель в
фигуроной скобке в (26.80) можно опустить, поскольку он не играет
роли в теории S-матрицы.
Вернемся к теории поля (26.71). Из приведенных формул ясно,
что при вычислении S-матрицы функциональный интеграл в теории
(26.71) приводит к следующему результату (t" —»■ +оо, t' —»■ —оо):
(ф"\ф')—>N~l ехр U J ё*хф)ф0{х) +
+ ^ J dixdiyr,(x)Vc{x -у)т,{у)
277

f d k e
Vc[X>~ J (2тг)4 -P + ™2
Г _d4
J (2*
'4k e~ikx
(2тг)4 -P + m2 - is
d3k exp [ikx - iuj | x° | ] _
{2nf 2^ ' ** "
(<9^+т2)ВД = *(4)М,
ф0(х) = ф'0(х) + ф'о ,
x'1
Л.1 t~\ I „(Л \ Jbx-iu>kxa
^ = fwTs -^=a*(k)e-ib»+^° . (26.81)
Здесь а (к) - комплексные числа, являющиеся классическими
аналогами операторов уничтожения, и а* (к) - их комплексно-
сопряженные. Причина, по которой начальное состояние зависит
лишь от поля </>', а конечное - от поля ф", заключается в следую-
щем. Согласно (26.81) причинная гриновская функция получается
путем добавления к квадрату массы бесконечно малой отрицатель-
ной мнимой части. С учетом этого уравнение, которому удовлетво-
ряет поле фо, также модифицируется соответствующим образом:
{д^д* +m2~is) </»o = 0.
Отсюда вытекает, что в (26.81)
Wfc
= vra2 +k2 — ie,
ф'о{х)-^0, f—Я-оо,
Фо(х)—»0, t—^-oo.
Обратим внимание на то, что показатель экспоненты в (26.81) явля-
ется лоренц-инвариантной величиной.
Формулы (26.71) и (26.81) являются основой для построения
S-матрицы в любой теории поля, включая теорию гравитации.
278

26.5. Математический смысл меры
в функциональном интеграле
амплитуды перехода
Необходимо пояснить причину, по которой мера (26.66) содержит
функционал, зависящий от метрического тензора.
Запишем этот множитель в следующем виде:
J] g00(x) (-g(x))-W = exp{J4(0) J d"x Hg00(x) (-д(х)Г3'2} } .
(26.82)
В (26.82) в экспоненте перед интегралом имеется сингулярный мно-
житель £4(0) = 64(х)\х=о, который обезразмеривает интеграл. Ин-
туитивный смысл этого множителя состоит в том, что <54(0) явля-
ется "плотностью" точек в пространстве-времени.
Из (26.82) видно, что мера (26.66) содержит расходимость. Мож-
но показать, что эта расходимость сокращается с другой расходи-
мостью, возникающей при вычислении интеграла (26.69) вследствие
того, что экспонента в (26.69) содержит член вида
l- j d4x i K*Vfa IХт (x) (5a g,v ) (dT gPa ), (26.83)
причем K^upa^Хт(х) является функционалом от g^u(x)- Именно
по той причине, что К^ира'Ат (х) зависит от метрического тензо-
ра, мера (26.66) оказывается нетривиальной. Однако обозначенная
расходимость в интеграле (26.69) взаимно сокращается с расходимо-
стью, содержащейся в мере этого интеграла.
Не вдаваясь в подробные вычисления, доказывающие сделанное
утверждение, дадим некоторые пояснения.
Вычислим в (26.69) интеграл по грассмановым полям. В резуль-
тате мы получим, кроме нелокальных членов, локальную добавку
вида (26.83) в экспоненте интеграла (26.69). Назовем сумму послед-
него члена и первых двух слагаемых в экспоненте интеграла (26.69)
эффективным гравитационным действием Saej и эффективным
гравитационным лагранжианом Cuej- Так как в (26.69) калибров-
ка не зафиксирована, то действие SGej описывает невырожденную
динамическую систему с переменными g^v.
279

Введем обозначение
д(д0д^{х))д{д0дХр(х))
Можно установить, что
det К^^'Цх) = const g00{x) (-д(х))-3/2. (26.85)
В (26.85) константа зависит от калибровочного параметра а. Фор-
мула (26.85) доказывается в [27].
Заметим, что для вырожденной системы определитель матрицы
(26.84) был бы равен нулю.
Далее для сокращения обозначений мы ведем изложение в тер-
минах многокомпонентного скалярного поля Фа{х)> динамика ко-
торого описывается при помощи невырожденного лагранжиана С,
причем
с = \кхв(ф)(д,фА)(д1/фв)-у(ф),
К(ф(х)) = det К°А°в(ф(х)). (26.86)
Согласно (26.85) и (26.69) амплитуда перехода для системы (26.86)
представляется в виде
(0"|0') = ^/ехР[^|Лг|П^(^))]1/2^АИ-
(26.87)
Если мы покажем, что содержащаяся в мере расходимость вида
ехр[ ^(0) f d4x In К (ф(х))\ (26.S
компенсируется частью расходимостей, возникающих при взятии ин-
теграла (26.87), то мы установим соответствующее взаимное сокра-
щение расходимостей в амплитуде перехода (26.69).
Проиллюстрируем этот факт при помощи метода стационарной
фазы, когда в главном приближении интеграл (26.86) является гаус-
совым. Разложим поле на классическую и флуктуирующую соста-
вляющие: ф — фо + ф. Поле ф0 является решением классических
280

уравнений, и потому разложение по полю ф начипается со второго
порядка:
S = So- ^ f d4xфА(х) [К^в(ф0(х)) Й„ Й„ +.. .]Фв(х) + . ■ ■ • (26.89)
Здесь последнее многоточие обозначает вклад в действие степени
выше двух относительно поля ф, а многоточие в квадратной скобке
обозначает дифференциальный оператор степени ниже двух. Сде-
лаем замену в (26.87):
Ц #А(*)—► П ЛЫ*)-
х,А х, А
Из (26.89) и (26.17) видно, что взятие интеграла в гауссовом при-
ближении дает в экспоненте член
~ lndet[ ] = —i tr ln[ ], (26.90)
где квадратная скобка обозначает оператор, заключенный в квадрат-
ных скобках (26.89). Удобнее, однако, вместо величины (26.90) ис-
пользовать величину
~ЬЪ{[ П V1). (26.91)
где [ ]о обозначает оператор, заключенный в квадратных скоб-
ках, но в линеаризованной теории. Под линеаризованной теорией
мы понимаем теорию, полученную из исходной теории путем вы-
брасывания всех иелинейностей. Таким образом, оператор [ ]^:
по существу совпадает с причинной функцией Грина Vc(x) (см.
(26.81)), он не зависит от полей. Поэтому введение дополнительного
множителя под логарифм в (26.91) ведет лишь к переопределению
общего нормировочного множителя.
Оператор в фигурной скобке в (26.91) содержит часть, зависящую
от поля фо, по которой может быть разложен логарифм. Нетрудно
проследить за теми членами разложения, которые дадут слагаемые,
пропорциональные <5№(0). Из вида функции Грина (26.81) следует,
что лишь часть оператора в (26.89) Кдд д% приводит к членам
~ с^4)(0). Действительно, из (26.81) получаем, что сингулярная
часть оператора в фигурной скобке в (26.91) равна
[КавЫ*)) дрдМх - у) ]iing = КА°в(ф0(х)) 8&(х - у). (26.92)
281

Поэтому после взятия следа в (26.91) все члены указанного разло-
жения будут содержать вклады, пропорциональные (^4)(0). Это
следует из того, что сингулярная часть каждого члена в этом раз-
ложении имеет вид
[ Ли . . .d4Xn 6^(Х! - Х2) f(x2) . ..6М{ХП - Ц) /(Ц) =
= 6^(0) f d4xfn(x).
Из сказанного можно сделать вывод, что сингулярный вклад в
амплитуду перехода, происходящий от (26.90), равен
ехр |-1<у(4)(0) f d4x In К(фо{х)) | . (26.93)
Множители (26.88) и (26.93) в амплитуде перехода взаимно сокра-
щаются.
Тем самым установлено, что сингулярность, содержащаяся в ме-
ре интеграла (26.69), сокращается с соответствующей сингулярно-
стью, возникающей при вычислении этого интеграла.
Заметим, что если бы мы пользовались не причинной, а какой-
либо другой функцией Грина, то вывод о сокращении рассмотренных
расходимостей сохранил бы свою силу, поскольку при этом выводе
использовалось лишь свойство (26.92), которое имеет место для лю-
бых гриновских функций.
282

ГЛАВА III
ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ФЕЙНМАНА
И КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ПОДХОД
К ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
§ 27. Диаграммная техника Фейнмана
в приложении к теории гравитации
Теории поля, представляющие физический интерес, как правило, не
линейны. Поэтому для таких теорий (за исключением класса инте-
грируемых теорий) амплитуда перехода не может быть вычислена
точно. Для вычисления квантовой амплитуды перехода применяет-
ся метод теории возмущений, или метод диаграмм Фейнмана. В этом
методе происходит разложение всех величин теории по ее нелиней-
ностям. Последовательные члены этого разложения изображаются
графически при помощи диаграмм Фейнмана. Каждой диаграмме
Фейнмана однозначно сопоставляется некая числовая величина, ко-
торая представляется в форме кратного интеграла, в большинстве
случаев расходящегося. Если существует физически осмысленный
способ устранения этих расходимостей, то соответствующая кван-
товая теория поля, как правило, считается определенной именно
своим набором диаграмм Фейнмана. Классический пример такой
теории - квантовая электродинамика (КЭД). Однако квантовая те-
ория гравитации не относится к таким теориям. В настоящее время
в этой теории не найдено доопределение ряда теории возмущений.
Квантовая теория гравитации относится к классу так называемых
неперенормируемых теорий.
Тем не менее в этих лекциях мы излагаем, хотя и в достаточ-
но сжатом виде, метод теории возмущений в приложении к теории
гравитации. По нашему мнению, это необходимо сделать, поскольку
сложные научные проблемы не всегда решаются согласно предпола-
гаемым сценариям. Тупик, в котором находится в настоящее время
квантовая теория гравитации, может быть преодолен вместе с разви-
тием новых идей и методов. В любом случае имеющийся опыт кван-
тования гравитации при помощи метода теории возмущений внесет
позитивный вклад в развитие квантовой теории гравитации.
283

27.1. Диаграммная техника на простейшем примере
скалярной теории поля
Рассмотрим в четырехмерном пространстве Минковского динамиче-
скую систему, описывающую вещественное скалярное поле с само-
действием. Динамика этой системы описывается при помощи дей-
ствия
S--
/Л{
(9,Ф)
1
т>оФ'-У(ф) + т1Ф
•I
d4x(£ + r,<
(27.1)
Действие (27.1) отличается от действия (26.71) лишь добавлением
члена У(ф), описывающего потенциальную энергию, которая пред-
полагается полиномом выше второй степени относительно поля ф.
При построении диаграммной техники Фейнмана мы будем полагать,
что
У(Ф]
An
(27.2)
Здесь An - некая константа, называемая константой "взаимодей-
ствия" , которая считается малой и по которой происходит разложе-
ние квантовой амплитуды перехода. Заметим, что в системе единиц,
для которой с = k = 1, поле ф имеет размерность [см-1], что
следует из безразмерности действия (27.1). Но тогда очевидна без-
размерность константы An. Этот факт играет ключевую роль при
построении теории возмущений относительно An.
Запишем амплитуду перехода для системы (27.1) в присутствии
внешнего источника. При помощи (26.21) имеем
(<
t"\
*'''>4/Ч1/Л
\(д„ф)7 -\т'4? -У{ф)+Пф
Воспользуемся очевидной формулой
'П S
ф(х1)...ф(хп) =
Stj(xi
ехр I ^ / ^хт>(х)ф(
ЦЛФ(*
h 6
г
(27.3)
г 8т](хп)
п=о
(27.4)
284

при помощи которой получаем
«р{-{/аВД|}=ч{-1/лу(!^)}.
и
ехр < — / d хг]ф
(27.5)
г,=0
Равенство (27.5) позволяет представить потенциальную энергию
в (27.3) в виде функциональных производных, которые затем можно
вынести за знак функционального интеграла. После этого под зна-
ком функционального интеграла остается гауссов интеграл, который
вычисляется согласно (26.81). В результате этих формальных мани-
пуляций мы приходим к следующему выражению для S-матрицы
при наличии внешнего источника (амплитуды (27.3) при условии
t" = —V —>■ со, а также предположении об адиабатическом выклю-
чении взаимодействия при 11| —> со):
м^}4-рН/^Чт^))
•expj^ J с14хг,ф0 + ^ J d4xd4yr,(x)Vc(x-y)r,(y)} ■ (27.6)
Предполагается, что в (27.6) Т>с(х) определяется согласно (26.81) с
заменой га —>■ гао.
Формула (27.6) позволяет развить для построения S-матрицы
теорию возмущений по константе взаимодействия А0.
Из (27.6) имеем
7№)S"{^o}= (f°№ + J d4yVc(x-y)r,(y)^ -S„{M- (27.7)
Предположим, что первая экспонента в правой части равенства (26.7)
разложена в ряд. Тогда каждый член этого ряда содержит конечно-
кратное дифференцирование по rj(xi) с последующим интегрирова-
нием по Х{. Дифференцирование по полю ц проводится при помощи
формулы (27.7). Кратное применение оператора S/Srj(xi) к Sn{ij>o}
с последующим обращением в нуль поля источника приводит к по-
явлению множителей ^(^i) либо T>c(xj — Xj), причем последняя
функция соответствует дифференциальному оператору второго по-
рядка —h252/5T}(xi)5r}(xj);.
285

Нетрудно изобразить графически каждый член нашего разложе-
ния. Эти графики называются диаграммами Фейнмана. Члену раз-
ложения п-го порядка, содержащему дифференциальный оператор
(27.8)
сопоставляется диаграмма, состоящая из п вершин в точках ж,- ,
г — 1, ..., п, находящихся под тг-кратным интегралом по пространст-
ву-времени. В теории с потенциалом (27.2) из каждой вершины вы-
ходит 4 линии. (В теории с потенциалом вида Хф" из вершины вы-
ходит s линий). Эти линии могут либо замыкаться, соединяя пару
вершин (такие линии называются внутренними), либо выходить из
диаграммы, соответствуя полю фо{%{) (такие линии называются
внешними). Каждой внутренней линии, соединяющей точки ж,- и
Xj, сопоставляется функция £>с(ж,' — Xj). Каждой внешней линии,
выходящей из точки ж,-, сопоставляется поле ф0(х^. По всем точкам
Xi, г = 1, ..., п производится интегрирование. Полное выражение
для S{ фо } получается суммированием по всем диаграммам.
В качестве примера рассмотрим амплитуду перехода двух ча-
стиц с 4-импульсами к\ и fc2 B две частицы с 4-импульсами
Pi и р2 • Будем обозначать через | 0), | к), | ki кг ), • • • соот-
ветственно основное состояние (вакуум), одночастичное состояние с
4-импульсом к — (и*,, к), двухчастичное состояние с 4-импульсами
к\ и к-} и т.д. Как известно [29,30], релятивистски инвариантное
скалярное произведение в одночастичном секторе имеет вид
(Р |к) = 2шА(2тт)3^3)(к-Р). (27.9)
Поэтому одночастичное состояние можно представить как
|k) = V&+|o>,
где а% - соответствующий оператор рождения частицы.
В голоморфном представлении (см. [25]), в котором удобно произ-
водить нужные нам вычисления, одночастичная волновая функция
и скалярное произведение в одночастичном секторе имеют следую-
щий вид:
Фк = лДиЦа^.,
(27.10)
286

<Р|к) = П (|^|^exp(-a;aq)) (у^Гр аР ) (у/%Гк<±) .
(27.11)
Наша задача состоит в нахождении предела
lim U(t, -t) =S= 1 + iT. (27.12)
t—► oo
Если из ^-матрицы выделить единицу, то остается амплитуда
перехода гТ, матричные элементы которой содержат всю информа-
цию о рассеянии. Пусть fci, к2, • • • ~~ импульсы частиц начального
состояния и pi, р2, ■ ■ ■ - импульсы частиц конечного состояния.
Имеем
(Pi Р2 • • • | гТ\ Ь *2)...) = (2тг)4^4) (J£ki - Y,Pf ) Ш{Ь -» Р/ ) .
(27.13)
Здесь под (J-функцией первая сумма обозначает сумму 4-импульсов
начальных частиц, а вторая сумма - сумму 4-импульсов конечных
частиц. (J-функция в правой части (27.13) является следствием со-
хранения полного 4-импульса в задаче о рассеянии. Величина М в
(27.13) является аналогом амплитуды рассеяния в нерелятивистской
квантовой механике, вычисление которой проводится при помощи
описанного выше разложения.
В первом порядке по константе связи согласно (27.2), (27.6), (27.7)
и (27.12) имеем
.T^-i^/d4*^*). (27.14)
При вычислении матричного элемента (Pl р2 \ Т^1' \ к± к2 ) сле-
дует пользоваться голоморфным представлением. Согласно (26.81)
при t —> —со поле фа содержит лишь коэффициенты ak, а при
t —> +оо поле фо содержит только коэффициенты а£. Поэтому с
учетом формул (27.11) находим
гТ^ = -4! 1 ^ f dAx exp[-i(fci + к2 - Pl - р2) х} =
= -г-Ао(2тг)4 6^(к, + к2-Р1-р2). (27.15)
Здесь ехр(—гк\х) под интегралом возникает как множитель в (26.81)
при числе a(k), а ехр(—ip\x) - как множитель при a*(pi) и т.д.,
множители (2wfc)-1/2 при a(k) и т.д. исчезают в (27.15) вследствие
287

релятивистской нормировки одночастичных волновых функций со-
гласно (27.9), а множитель 4! имеет комбинаторное происхождение.
Действительно, число a(ki) можно извлечь из ф\ в (27.14) четырь-
мя способами, затем множитель а (кг) извлекается из ф^ тремя
способами и т.д.
Отсюда следует, что внешней линии, соответствующей начальной
или конечной частице с 4-импульсом к, сопоставляется множитель
ехр(—гкх) или ехр(гкх) соответственно.
При помощи формул (27.13) и (27.15) получаем
iMW = -|. (27.16)
На языке диаграмм Фейнмана iM*- ' представляется в виде так
называемой древесной диаграммы, показанной на рис. 4.
kl\ ^/Pl
V "р.
2
Рис. 4
Далее мы полагаем ft = 1.
Во втором порядке величина iT^2' содержится в выражении
1(-оа(^)7^^Л
2! v ' \i\ J J ' '* \г 6ф2
'1 S
Si(фа)
г Stj(xi
Выделяя отсюда интересующие нас слагаемые, получаем
(27.17)
г,=0
т(2) = Те /d4xi d4x2 ф2°{Х1)х>с2(Ж1"Х2) ф2°{Х2) • (27Л8)
288

Далее действуем по той же схеме, что и в первом порядке.
В результате находим
+ Vc(k2 -p2+q)+ Vc(k2 -pi+q)}. (27.19)
Выражение (27.19) изображается при помощи трех диаграмм Фей-
нмана, показанных на рис. 5.
+
14 kI+k2-q
+
Р.
Рис. 5
Теперь мы можем сформулировать правила Фейнмана примени-
тельно к рассматриваемой модели. Заметим, что для их однознач-
ного вывода потребовалось бы рассмотрение значительно большего
количества амплитуд перехода и их порядков. Поскольку подробное
изложение теории возмущений Фейнмана не является нашей целью,
мы формулируем здесь правила Фейнмана, отсылая читателя за по-
дробностями к ряду монографий [15, 25, 29, 30, 31, 32].
Сформулируем правила Фейнмана в импульсном представлении.
1. Амплитуда перехода iM(kj —»■ Р/ ) графически изображается в
виде суммы всевозможных различных диаграмм Фейнмана. Каждая
диаграмма Фейнмана имеет п вершин, L,„ внутренних линий и
Ьех — ( L'ex + L{x ) внешних линий, причем
4n = Lex+2Li„. (27.20)
289

L\x является числом начальных частиц, a L{x - числом конечных
частиц. Удобно приписывать направление каждой линии диаграм-
мы и при этом считать, что каждая внешняя линия, отвечающая на-
чальной частице, направлена к вершине, а каждая внешняя линия,
отвечающая конечной частице, направлена от вершины. Каждой ли-
нии диаграммы приписывается 4-импульс, причем каждой началь-
ной внешней линии приписывается один из 4-импульсов начальных
частиц, а каждой конечной внешней линии - один из 4-импульсов
конечных частиц.
2. В каждой вершине диаграммы имеет место закон сохранения
4-импульса. Это означает, что суммы 4-импульсов линий, сходя-
щихся в одной вершине, равны нулю. При этом 4-импульс линии,
направленной к вершине, берется со знаком плюс, а 4-импульс ли-
нии, направленной от вершины, берется со знаком минус.
3. Каждой вершине диаграммы приписывается множитель (—г'Ао).
4. Каждой внутренней линии диаграммы приписывается множитель
-iVc(q) = ~\ . , (27.21)
—q1 4- т2 — ге
где q есть 4-импульс этой линии.
5. Каждой внешней линии приписывается множитель 1.
6. По всем независимым внутренним 4-импульсам </;, г = 1, ..., s,
которые не фиксируются законами сохранения 4-импульсов в верши-
нах, производится интегрирование Yli=i I ^4</i/(2i")4- Число L на-
зывается числом петель в диаграмме. Например, если
L = 0, 1,2,..., то диаграммы называются соответственно древес-
ными, одно-, двух- и т.д. петлевыми.
7. Каждой диаграмме приписывается множитель (2?п)-1, где Т>п
- порядок группы симметрии диаграммы. □
По определению, порядок группы симметрии диаграммы Т>п ра-
вен числу таких перестановок компонентов диаграммы, которые не
290

изменяют эту диаграмму. Например, на рис. 5 в каждой диаграм-
ме можно взаимно переставить внутренние линии. Число таких пе-
рестановок равно двум, и потому Z>2 = 2 для всех диаграмм на
рис. 5.
Выписанные согласно изложенным правилам диаграммы будут
также содержать несвязные диаграммы, как, например, изображен-
ные на рис. 6. Первое слагаемое на рис. 6 является суммой всех
связных диаграмм, т.е. таких диаграмм, все части которых соедине-
ны хотя бы одной линией. Члены суммы на рис. 6, заключенные в
скобки, отличаются друг от друга на множители, представляющие
собой некие диаграммы без внешних линий (вакуумные диаграммы).
Если мы имеем слагаемое с т одинаковыми такими множителями,
то соответствующая этому слагаемому диаграмма имеет фактор в
числе Т>п, равный ml. Отсюда становится ясно, что произвольная
диаграмма Г, не содержащая несвязных (вакуумных) компонент,
умножается на ряд
°° рт
У"-\ = ехрГ0, (27.22)
т=0
где Го является суммой всех связных вакуумных диаграмм.
X ♦(££©)♦
♦(И ©©К
Рис. 6
Множитель (27.22) возникает перед всеми диаграммами. Поэто-
му мы можем поглотить его нормировочным множителем ./V-1 в
(27.6), полагая его в дальнейшем равным единице.
291

27.2. Проблема ультрафиолетовых расходимостей
и понятие о перенормируемости
Рассмотрим интегралы в правой части (27.19) в ультрафиолетовой
области (<7 —> оо). Так как внешние импульсы и масса фиксированы,
то ими можно пренебречь при вычислении расходящейся части инте-
гралов в (27.19). Воспользуемся расположением полюсов причинной
гриновской функции, которое позволяет проводить интегрирование
по <7о вдоль мнимой оси этой (комплексной) переменной. Иными
словами, в интегралах (27.19) можно сделать подстановку q° = iq^,
в результате которой следует сделать замены:
dAq —} г rf3q dq4 = г d4p — q2 —} q2 + q\ — p2 .
Тогда расходящаяся часть интегралов (27.19) равна
,м(2) 3 а Г А 2 ЗгЛ2 Г d*p
lM* = 2А° У (2^(?) = 32^/в7" =
lD7rJ J р 167Г II
Здесь индекс Е у знака интегрирования означает, что интеграл берёт-
ся по евклидову пространству, Л - так называемый промежуточ-
ный импульс обрезания или параметр обрезания, а // - нижний
предел интеграла, имеющий порядок физической массы частицы или
внешних импульсов, который называется точкой нормировки.
Мы видим, что амплитуды перехода в квантовой теории поля
содержат расходящиеся вклады.
Приведем еще один пример.
Диаграмма, изображенная на рис. 7, дает вклад в амплитуду пе-
рехода частицы в эту же частицу, причем в процессе этого перехода
частица взаимодействует с вакуумом. Это взаимодействие приво-
дит к перенормировке массы. Амплитуда на рис. 7 представляется
следующим интегралом:
П = -^ / ^ф^ 2>сЫ РсЫ Vc(k -91- q2) . (27.24)
Интеграл в (27.24) расходится квадратично. (Обратим внимание
на то, что для диаграммы на рис. 7 порядок группы симметрии
292

«1
\( q-V
k-4l-q2
Рис. 7
Z>2 = б, т.к. имеется 3! способов взаимных перестановок внутренних
линий, не изменяющих эту диаграмму).
Вычислим индекс произвольной диаграммы. Для этого сделаем
масштабное преобразование всех импульсов в диаграмме и массы ча-
стицы: ki, P/,q, m —>■ akj, apf, aq, am. При таком преобразовании
подынтегральное выражение умножается на аш, где из и есть ин-
декс диаграммы. Очевидно, что все внутренние линии даюг вклад
в число из, равный (—2 £.,-„). Покажем, что число четырехмер-
ных дифференциалов от внутренних независимых импульсов равно
L — [Lin — (п — !)]• Действительно, независимых внутренних им-
пульсов в диаграмме с п вершинами имеется на (п — 1) меньше,
чем внутренних линий, так как в каждой из п вершин имеет место
закон сохранения 4-импульса. Однако совокупность п законов со-
хранения содержит в себе один закон сохранения внешних входящих
и выходящих 4-импульсов. Этим объясняется уменьшение числа не-
зависимых 4-импульсов не на п, а на (п — 1). Поэтому мы имеем
для числа из:
и> = 4 (Lin - п + 1) - 2 Lin ■
Исключим из последней формулы число вершин п при помощи
(27.20):
w = 4-Lex. (27.25).
Диаграмма является формально сходящейся, если и> < 0.
Равенство (27.25) означает, что формальная степень расходимо-
сти любой диаграммы зависит лишь от суммарного числа ее внешних
293

линий. Так, степень расходимости вакуумных диаграмм равна че-
тырем, степень расходимости диаграмм с двумя внешними линиями
равна двум, а диаграммы с четырьмя внешними линиями расходятся
логарифмически. Все остальные диаграммы являются формально
сходящимися. (Заметим, что в рассматриваемой теории не суще-
ствует диаграмм с нечетным числом внешних линий). Однако это
не означает, что отдельные части диаграмм с шестью, восемью и т.д.
внешними линиями не могут расходиться. Например, диаграмма на
рис. 8 содержит логарифмическую расходимость, поскольку в ней
имеется такая же петля, как в первой из диаграмм на рис. 5.
Рис. 8
Из приведенного анализа можно сделать вывод, что рассматри-
ваемая теория относится к классу перенормируемых теорий поля.
Перенормируемость теории поля означает наличие следующих
свойств у этой теории.
Предположим, что в теории возмущений, описываемой рядом
диаграмм Фейнмана, содержатся расходимости в диаграммах с огра-
ниченным числом внешних линий. Для устранения расходимостей
вводится промежуточная регуляризация, смысл которой заключа-
ется в обрезании петлевых интегралов по промежуточным импуль-
сам неким параметром Л, стремящимся к бесконечности. Это обре-
зание производится таким образом, чтобы была сохранена лоренц-
инвариантность, а также, по возможности, все прочие симметрии,
имеющиеся в теории. Такая промежуточная регуляризация в фи-
зически значимых теориях (квантовая электродинамика, квантовая
хромодинамика и т.д.) фактически означает, что исходные параме-
тры теории "переделываются" или перенормируются. Так, в рас-
смотренной выше теории скалярного поля перенормируется лога-
294

рифмически (как функция Л) константа взаимодействия и квадра-
тично - масса.
С другой стороны, мы можем считать исходные (затравочные)
константы теории (массу, константу взаимодействия) зависящими
от параметра обрезания Л, причем эта зависимость такова, что в
каждом порядке теории возмущений расходимости, содержащиеся в
петлях, сокращаются с расходимостями, содержащимися в констан-
тах теории. В этом случае мы можем перейти к пределу Л —> оо в
каждом порядке теории возмущений. При этом ответы для ампли-
туд перехода и прочих физических величин остаются конечными.
Таким образом, в перенормируемых теориях расходимости, содер-
жащиеся в петлях, устраняются при помощи переопределения за-
травочных величин теории, и вычисления при помощи теории воз-
мущений приводят к физически осмысленным результатам.
Продемонстрируем сказанное на примере перенормировки кон-
станты взаимодействия в скалярной теории поля во втором поряд-
ке. Пусть затравочная константа Ло во втором порядке теории воз-
мущений выражается через физическую (наблюдаемую) константу
связи Л согласно формуле
Ао = А+7^1п-, А2 = А2 + 0(А3). (27.26)
167Г \1
Константа Ао присутствует в исходном неперенормированном
действии (27.1). Хотя формально разложение идет по затравоч-
ной константе, фактически все физические величины разлагаются
по физической константе связи. Из формул (27.16), (27.19), (27.23)
и (27.26) следует, что величина i (M^ + Л/(2)) не зависит от им-
пульса обрезания Л и выражается через константу А. Поэтому А
называется физической или перенормированной константой связи.
При этом амплитуда перехода как функция физической констан-
ты связи и прочих физических параметров (импульсов, физической
массы) конечна. Это утверждение сохраняет свою силу в любом по-
рядке теории возмущений.
Уточним условие перенормируемости. Теория (27.1) (аналогич-
но любая другая теория поля) является перенормируемой, если раз-
ложение в ряд по физической константе всех величин в теории с
295

перенормированным лагранжианом
Ся = %№Ф)3-т'4?]-°-^-ф'-%\ф* (27.27)
приводит к конечным результатам в пределе Л —> оо. При этом
предполагается, что
а) применяется изложенная выше диаграммная техника Фейнмана,
в которой вместо Л0 используется физическая константа связи Л;
б) вещественные величины 23, 24, ^го2 разлагаются в ряды по
неотрицательным степеням Л и являются функциями импульса об-
резания Л.
Из приведенных выше вычислений следует, что
2з = 1 + 0(Л2), Sm2 = 0{\2),
^=1 + ~/п^+0(Л2). (27.28)
Подчеркнем, что перенормированный лагранжиан (27.27) по
структуре совпадает с затравочным лагранжианом в (27.1-2). По
существу эти лагранжианы совпадают: если в (27.1-2) сделать за-
мены
ф —> 23 ф, А0 —>■ 2^" 24 Л , m,Q —>■ т + z^ от ,
то мы получим выражение (27.27). Константы Л и т в (27.27)
являются соответственно физической константой связи и физиче-
ской массой.
Полезно переписать перенормированный лагранжиан в следую-
щем виде:
Cr = \[{д»Ф)2 - т2ф2]~ ±ф4 + АС ,
АС=^1(д»ф)2-т2ф2]-6-^ф2-^\ф\ (27.29)
Здесь Д£ называется контрчленом. Его роль заключается в устра-
нении расходимостей, возникающих при описанных выше вычисле-
ниях.
296

Согласно определению перенормируемой теории контрчлен име-
ет ту же структуру, что и затравочный лагранжиан. Это обстоя-
тельство является чрезвычайно важным. Действительно, контрчле-
ны определены неоднозначно, поскольку при изменении контрчле-
нов на конечную величину они по-прежнему будут устранять рас-
ходимости. Однако указанные неоднозначности в перенормируемых
теориях можно устранить путем проведения конечного числа экспе-
риментов (в том случае, если эта теория является физической, а не
модельной). После устранения этих неоднозначностей все предска-
зания теории оказываются однозначными.
Напротив, в неперенормируемой теории число типов контрчле-
нов, необходимых для устранения расходимостей во всех порядках
теории, равно бесконечности. Иными словами, в неперенормируе-
мой теории полный контрчлен имеет бесконечное число слагаемых
таких типов, которых не содержится в затравочном лагранжиане.
Поэтому "перенормированная" неперенормируемая теория не имеет
ничего общего с затравочной теорией. Так как каждый тип контр-
члена приводит к дополнительной неоднозначности, то возникающие
неоднозначности невозможно зафиксировать при помощи конечного
числа экспериментов. Поэтому правильность тех немногочисленных
вычислений, которые проводятся при помощи теории возмущений
в неперенормируемых теориях, является проблематичной. Следу-
ет констатировать, что непертурбативные вычислительные методы,
при помощи которых некоторые из неперенормируемых теорий поля
могли бы приводить к надежным предсказаниям, в настоящее время
не развиты.
Важнейшие фундаментальные взаимодействия в природе описы-
ваются при помощи перенормируемых теорий поля. Такова единая
теория электромагнитного, сильного и слабого взаимодействия.
Мы увидим, однако, что квантовая теория гравитации, постро-
енная в § 26, не является перенормируемой.
27.3. Выделение однопетлевых диаграмм
Рассмотрим произвольную теорию поля, в которой набор всех полей,
включая фиктивные (духовые), обозначим через ф(х). Запишем
сокращенно амплитуду перехода за бесконечный интервал времени
297

из конфигурации ф' в конфигурацию ф" в виде
(Ф" IФ') = jj J ехр | i J d4x \Се}(ф) + г,ф] 1 • Ц ёф(х). (27.30)
Здесь лагранжиан £ej включает в себя также возможные: детер-
минант Фаддеева-Попова, записанный в форме континуального ин-
теграла по фиктивным полям (см. (26.64)), член, фиксирующий ка-
либровку (второе слагаемое в квадратной скобке в (26.69)), а также
член, пропорциональный 6^(0), возникающий вследствие нетриви-
альности функциональной меры (см. (26.66)). Таким образом, ме-
ра в интеграле (27.30), включающая в себя лишь произведение всех
дифференциалов физических и фиктивных полей, является линей-
ной, а лагранжиан Cej - не вырожден.
Предположим для удобства, что эффективный лагранжиан раз-
лагается на сумму двух слагаемых:
£е/ = \ Ф(~д^ -т2)ф- Уе1{ф). (27.31)
Здесь первое слагаемое имеет вид лагранжиана в свободной теории
Клейна-Гордона-Фока. Однако для нас важно лишь, чтобы в кру-
глой скобке был невырожденный оператор второго порядка. В тео-
рии гравитации это имеет место. Второе слагаемое в (27.31) имеет
степень выше второй относительно поля ф и предполагается малым.
Обозначим через фс\ классическое решение уравнения Лагранжа
(д^ + т2)фс1 + У:1(фс1) = 0 (27.32)
с граничными условиями
4>ci(x)\t=t' = 4>'(x), 4>ci(x)\t=t«=4>"(x). (27.33)
Согласно результатам § 26.4 уравнение (27.32) и граничные усло-
вия (27.33) объединяются в одном интегральном уравнении
фс1(х) = ф0(х) - f dAyVc{x - у) Vi,(4>ci)(y). (27.34)
Теперь произведем сдвиг поля:
ф(х) = фы(х) + 4>i(x). (27.35)
298

По определению, поле ф\(х) имеет следующие граничные условия:
ф1(х) —> 0, фх{х) —► 0. (27.36)
Тогда для функциональной меры, очевидно, имеем
Цс1ф(х) = 1[с1ф1(х). (27.37)
X X
Функционал действия записывается в виде
/ Cefd4x= / Се/(фС1(х))с14х +
+ \ J ФЛ-д^-т2-У"(фс1)]ф1(14х+~ J У"(фс1)ф31(х)с14х+...
(27.38)
Здесь многоточие обозначает последующие члены разложения У[ф))
относительно ф± вблизи точки фс[. Граничные условия (27.36) озна-
чают, что оператор [—д^д^ — т2) обратим на поле ф\{х), так как
при данных граничных условиях этот оператор не имеет нулевых
мод, т.е. ненулевых решений вида (д^д11 + т?) ф\ = 0 с граничными
условиями (27.36) не существует. Согласно результатам § 26.4 при
обращении оператора (дцд^ + т2) на полях ф\ следует пользо-
ваться причинной гриновской функцией Т>с[х).
Подставим разложение (27.38) и меру (27.37) в амплитуду пере-
хода (27.30). В результате получим
<ЛЛ1ч=о=ЗДо) •$,«,,, (27.39)
где
ЗДо) =ехрЬ f £ef^ci(x))d4x\ , (27.40)
a Sioop определяется суммой вакуумных диаграмм, т.е. диаграмм
без внешних линий, поскольку поле интегрирования ф\ не может
быть представлено в качестве внешней линии. При вычислении Sioop
используется диаграммная техника со следующими свойствами: вер-
шине с п входящими линиями сопоставляется (в ^-пространстве)
функция (1/п!) У}?(Фы(х)), внутренним линиям соответствуют
функции Грина дифференциального оператора:
6^(х-у)[д^ + т2 + У"(фы(у))] =
299

= (5„5" + m2) [S<V(x -y) + Vc(x - у) У"(фы(у))] =
= {д11д'1 + т2)К(фс1). (27.41)
Кроме того, Si00p содержит в качестве множителя детерминант
(det К(фс1) )-1^2, который возникает при вычислении гауссова инте-
грала по полям фх. Аналогичный детерминант ранее включался в
нормировочный множитель, поскольку он не зависел от поля фо.
Однако в новой ситуации указанный детерминант зависит согласно
(27.34) от поля фо, и поэтому он должен быть учтен.
Обычные диаграммы Фейнмана получаются из (27.39), если в ка-
честве фС1 использовать его разложение при помощи теории возму-
щений. Поскольку разложение идет по потенциалу Vej, то для этой
цели удобно использовать интегральное уравнение (27.34), причем
нулевое приближение есть ф^' — фо- При этом все петлевые диа-
граммы в Sioop соответствуют двух-, трех- и т.д. петлевым вкладам,
т.к. Sioop содержит лишь вакуумные петли, которые не бывают
однопетлевыми. Таким образом, однопетлевой вклад в амплитуду
перехода содержится в выражении
( Ф" I Ф' h-юор = ^ ехр |» j £е,(фс1) iAx \ ■ (det Щфс))-1'2 =
= — exp I i / Cef (фс1) dAx +
+ \ j Фг [-№ -т2~ У"{фы) ] Ф1 dAx \ Д <1ф1(х) . (27.42)
Легко увидеть, что в (27.42) содержатся лишь диаграммы не
выше однопетлевых. Действительно, первый сомножитель в пра-
вой части (27.42) содержит лишь древесные диаграммы. Второй
сомножитель в (27.42) переписывается при помощи (26.46) в виде
ехр [— | tr 1пК(фс1)]- Теперь разложим lnA"(^cj) относительно
возмущения Vej, используя формулы (27.34) и разложение
1п(1 + х) = х — ^х2 + .... В результате для модели (27.2) мы по-
лучим, что tr In К(фы) равен сумме всех однопетлевых диаграмм
Фейнмана, изображенных на рис. 9.
Таким образом, рецепт выделения однопетлевых диаграмм сво-
дится к следующему.
300

+ X X + X +
Рис. 9
Эффективное действие теории разлагается вблизи классического
решения фс1 уравнения движения с заданными граничными усло-
виями с точностью до квадратичного приближения. Возникающий
гауссов интеграл содержит лишь вклад от всех древесных и однопе-
тлевых диаграмм Фейнмана.
27.4. Размерная регуляризация
Индекс расходимости диаграммы существенно зависит от размерно-
сти координатного ж-пространства, которую обозначим через п. По-
скольку в любой диаграмме (в импульсном представлении) подын-
тегральное выражение для всех п дает одинаковый вклад в индекс
диаграммы, то индекс зависит от размерности пространства лишь
через зависимость от числа п меры интегрирования. Произведение
независимых дифференциалов дает вклад в индекс
L-петлевой диаграммы, равный
Аш = пЬ. (27.43)
Отсюда видно, что диаграммы, расходящиеся при п > 4, могут
оказаться сходящимися при п < 4. Очень важно, что большин-
ство свойств симметрии теории не зависит от размерности про-
странства. В случае теории гравитации важнейшей из таких сим-
метрии является калибровочная инвариантность или общая ковари-
антность. Корректно построенная диаграммная техника содержит в
себе симметрии теории. Более того, симметрии теории сохраняются
в диаграммной технике также при произвольных комплексных чи-
слах п, хотя при ненатуральных числах п невозможно говорить
о лагранжиане теории. Однако диаграммы Фейнмана могут быть
корректно определены при комплексных п. При этом оказывает-
ся, что диаграммы Фейнмана являются сходящимися почти во всей
301

комплексной плоскости переменной п, за исключением особых то-
чек. Особые точки бывают при некоторых натуральных п, вблизи
которых имеются полюсные особенности, отражающие логарифми-
ческие расходимости исходной теории.
Таким образом, при помощи аналитического продолжения диа-
грамм Фейнмана по числу п в комплексную плоскость мы можем
корректно регуляризовать ряд теории возмущений, сохраняя важ-
нейшие симметрии теории. Полюсные особенности диаграмм, имею-
щиеся при нужном значении п, устраняются при помощи введения
соответствующих контрчленов. Такая схема регуляризации была
предложена и впервые использовалась в работах [33-35].
В качестве примера рассмотрим одну из диаграмм Фейнмана на
рис. 5, каждая из которых представляется интегралом
/= \%f-n J ^Vc{q)Vc{p-q). (27.44)
Здесь // - произвольная константа, имеющая размерность массы.
Поэтому Ао - безразмерная константа связи. Представим причин-
ные гриновские функции в (27.44) в виде (см. (27.21):
/•со
Vc(q) = i da exp[ia(q2 - m2 + is]. (27.45)
Jo
Для удобства перейдем в евклидово пространство при помощи по-
ворота Вика q° = iqn , p° = ipn. В результате поворота Вика диа-
граммы Фейнмана не изменяются. Действительно, поворот Вика мо-
жет рассматриваться как непрерывный поворот вида
q° = (expi<f>) qn, причем "угол" ф меняется от нуля до тг/2. В
указанном интервале переменной ф интеграл (27.45) не зависит
от ф. При ф = тг/2 мы имеем поворот Вика. Существование по-
ворота Вика в диаграммной технике Фейнмана является следстви-
ем определенного расположения полюсов у причинной гриновской
функции. В результате интеграл (27.44) переписывается в виде
\2 ,Л-п r<x> /-co f
■ ехр{-га (q2 + т2) - i/3[(p - qf + m2] - e (a + /?) } . (27.46)
В (27.46) интеграл по переменной q является гауссовым и пото-
му вычисляется при помощи формулы (26.17), где следует сделать
302

замены N —»■ п , М —»■ —[2 (а + /9) ] *, £ —»■ 2/9р. После взятия
интеграла возвращаемся в пространство Минковского:
r°° z100 1 Г а/9 1
(27.47)
Перепишем интеграл (27.47) в новых переменных интегрирования
a = Xt, /l=(l-\)t, 0 < Л < 1, 0<<<оо:
1=Лх1^^гуп" j\\-
f
Jo
I
dt t1-"*2 exp{-t [-iX (1 - A) p2 + im2 + s] } . (27.48)
/o
Внутренний интеграл в (27.48) вычисляется при помощи формулы
dt-t2-le-kt = k'zT(z), Re Ar > 0 . (27.49)
В нашем случае 2 = 2 — п/2 , к = г [т2 — А(1 — А) р2 ] + е. Имеем
1 = а1%1^П/2) [ dX ^ - Л^ - Л) Р2 Г/2" • (27-50)
В (27.49) и (27.50) Г(г) является гамма-функцией Эйлера.
При п —»• 4 выражение (27.50) стремится к бесконечности, так
как гамма-функция в нуле имеет полюс. Это стремление к беско-
нечности отражает тот факт, что диаграммы на рис. 5 расходятся
в четырехмерном пространстве. Разложим правую часть в (27.50) в
ряд Лорана в точке п = 4 , воспользовавшись формулами
ги = П1±1), г(1) = 1.
z
Имеем
гХ2 iAg[V>(l)-b47r]
(4тг)2(4-п) 8(2тг)2
8(2тг)2 J0
dXlQrn>-X(l-X)p2-te
(2тг)2 Уо А*
303

*(<*) = —^г1- (27-51)
Теперь учтем, что все три диаграммы на рис. 5 дают одина-
ковый вклад в полюсный член и сравним расходящиеся вклады в
формулах (27.23) и (27.51). Таким путем можно сделать следующее
отождествление:
(1 4 - п г
Приведем известную формулу для n-мерного евклидовского ин-
теграла:
dnk _ 7г"/2с"/2-«1>-п/2)
й(Р + с)«- Г(а) ' (i7'53)
Правая часть последнего равенства является аналитической функ-
цией параметра п. Поэтому значение правой части равенства при
комплексных п мы примем за определение интеграла, стоящего в
левой части равенства (27.53). Из (27.53) следует, что
\е (5^ = 0 при а<П-. (27.54)
Поэтому в методе размерной регуляризации отсутствуют квадратич-
ные расходимости в четырехмерном пространстве. Из сказанного
видно также, что логарифмические расходимости проявляются как
полюса относительно параметра е в (27.52).
При вычислении фейнмановских диаграмм общего вида в методе
размерной регуляризации используются также следующие правила:
Чци f -Рц, Рц. р" =Р2 , Ли» V"" ~ п , < ninj ) = - % ,
п
, . SjjSki +5ik6ji +6ii6jk
{щп}Пкщ ) = -—f— — . 27.55)
п (п + 2)
Здесь щ - единичный вектор в n-мерном евклидовском простран-
стве, и усреднение проводится по всем телесным углам. Если в тео-
рии присутствуют дираковские поля, то, кроме (22.1), используются
также следующие формулы для гамма-матриц:
tr Ylv = 2n/2 Ц^ , tr 7"7"7V = 2n/2 (^"V P - »7"V" + V
lip ^vX
304

7"Р7„=2 (l-|)p, £ = ^7", (27-56)
и т.д. Однако если в вычислениях участвует матрица у5, то могут
возникнуть трудности, так как эту матрицу не удается корректно
продолжить на пространство произвольной размерности [33]. При
вычислении произвольной диаграммы Фейнмана сначала вычисля-
ются согласно правилам (27.56) следы произведений матриц Дирака,
отвечающие внутренним фермионным линиям. В остающихся инте-
гралах используется какая-либо параметризация, например, (27.35),
позволяющая вычислить импульсные интегралы. При этом прихо-
дится использовать формулы типа (27.55). Дальнейшее вычисле-
ние интегралов по остающимся параметрам дает выражения, содер-
жащие полюсы относительно переменной е. Наличие этих полю-
сов равносильно наличию логарифмических расходимостей в теории,
устранение которых происходит путем введения соответствующих
коитрчленов.
Очень удобной является процедура перенормировки, которая на-
зывается схемой минимальных вычитаний. Согласно этой схеме
регуляризация теории происходит просто при помощи отбрасывания
полюсных членов во всех диаграммах. Остающиеся части диаграмм
называются перенормированными. Выше было отмечено, что раз-
мерная регуляризация сохраняет симметрии теории в комплексной
плоскости переменной п. Поэтому регуляризованные диаграммы
в методе размерной регуляризации содержат в себе симметрии ис-
ходной теории. Последнее свойство, а также техническая простота
метода размерной регуляризации делает этот метод наиболее эф-
фективным вычислительным инструментом.
27.5. Выделение однопетлевых контрчленов
при помощи метода размерной регуляризации
Пусть <j>i(x) , i = 1, ..., s - набор вещественных скалярных полей
в n-мерном кривом пространстве и действие для этих полей имеет
вид
J V|y| \2y dx» dx"
305

Будем рассматривать совокупность полей {</>, } как одно поле
со значениями в s-мерном вещественном векторном пространстве,
совокупность полей {M;j } и {N-^ } как скалярное и векторное
(в координатном пространстве) поля со значениями в пространстве
вещественных s x s матриц. Будем предполагать, что
М*(х) = М(х), (Л^(ж))' = -Л^(х). (27.58)
Напомним, что верхний индекс t означает транспонирование.
Легко увидеть, что в новых обозначениях действие (27.57) при усло-
виях (27.58) переписывается в виде
(27.59)
Здесь и далее мы пользуемся следующими обозначениями:
X = М - N^ N* ,
Y„v = N„ilt - N„,v + N„ N„ -NVN„. (27.60)
Очевидно, что действие (27.57) или (27.59) инвариантно относи-
тельно произвольных преобразований координат, то есть действие
общековариантно. Из записи действия в виде (27.59) видно, что оно
инвариантно относительно следующих калибровочных преобразова-
ний:
ф' = иф, N'l = U N^U1 + U -U^, X'=UXUf. (27.61)
Здесь U[x) - произвольное скалярное поле со значениями в орто-
гональной группе s х s матриц:
и*{х)и{х) = 1. (27.62)
Легко проверить, что при этих калибровочных преобразованиях
У^ = иУ^иг. (27.63)
Наша задача заключается в устранении расходимостей из амплиту-
ды перехода (см. (27.42)):
(Ф"\Ф') = jj /(expi5) Ц йф^х) = 1 ехр{-~ trlntf
(27.64)
306

вычисленной в кривом х-пространстве с метрическим тензором д^
и комплексной размерностью п. Согласно (27.57) оператор второго
порядка К в (27.64) имеет вид
Поскольку, как было выше показано, размерная регуляризация
сохраняет все симметрии, кроме масштабной и киральной симме-
трии, то расходящаяся (полюсная) часть величины trlnA' также
является общековариантной и калибровочно инвариантной относи-
тельно калибровочных преобразований (27.61). Кроме того, инте-
ресующая нас расходящаяся часть является локальной величиной
в х-пространстве, построенной из полей д^, N^, M. Локаль-
ность следует из того, что интересующие нас расходимости имеют
место при больших импульсах. Эти факты, а также размерностные
соображения, позволяют выписать общий вид возможного контрчле-
на, который оказывается весьма компактным:
Д£ = _\/Ы tr {ai(X + aR)2+a2Yli„Y^ +
+ a3R2 + a4 R^ Я"" + a5 R^Xp R^x" } . (27.66)
Здесь a,- и a - некие вещественные числа, параметр е задает-
ся согласно (27.52), R^\p ~ тензор Римана, R^ - тензор Риччи
и R - скалярная кривизна. Все слагаемые в правой части (27.66)
имеют размерность плотности действия при п — 4 и инвариантны
относительно указанных преобразований. Никаких других комби-
наций из имеющихся в задаче полей с перечисленными свойствами
не существует.
Вычисление шести чисел аг- и а мы начнем со следующего
общего замечания. Рассмотрим в четырехмерном римановом про-
странстве 4-форму (латинские индексы а, Ь, .. . относятся к орто-
нормированному базису):
l = ^sabcdRabARcd. (27.67)
При помощи структурных уравнений Картана (9.28) эта форма пред-
307

ставляется в виде
7 =
8тг2
Sabcd [шаЬ Лс1шЫ+-шаЬ ЛшсеЛиы
(27.68)
Отсюда и из формулы Стокса (6.5) следует, что интеграл от формы
(27.67) по 4-пространству садится на границу. С другой стороны,
нетрудно показать, что в локальных координатах
7 = A V\T\ (R^xP Я""*' - 4R,v ВТ + R2)•
Й7Г
■dx° Л dx1 Л dx2 Л dx3 . (27.69)
Из сказанного вытекает, что с точностью до несущественного в
нашей задаче поверхностного члена
f d^x^jR^R^» = f d^x^JiAR^R^-R2
(27.70)
Это означает, что последнее слагаемое в правой части (27.66) нет
смысла рассматривать, поскольку два предыдущих слагаемых по-
глощают его. Поэтому всегда можно считать, что
а5 — 0 .
(27.71)
Сначала рассмотрим случай плоского пространства, когда д^ =
= ц^. В этом случае в качестве оператора К в (27.64) нам следует
использовать (см. (27.65) и (27.41)) оператор
Кц{х, у) = Stj S™{x -y)+Ve{x- у)
В
*Щу)д^+Мц(У)
Vc{x
Вначале положим JV* = 0. Тогда
tr In К = V,
Г dnk e~ikx
~~ J (2тг)" к2 + ге '
(27.72)
:(0) / dnx tr
Mix)
-~ f dnx1 f dnx2 tr©e(n - x2) M{x2)Vc(x2 - Xl) M(ii) +
(27.73)
308

Здесь многоточие означает остальные члены разложения по М, не
содержащие расходимостей при п = 4.
При помощи поворота Вика имеем Х>с(0) ~ fE dnk{k2)~l . По-
следний интеграл равен нулю вследствие (27.54) Поэтому расходи-
мость содержится лишь во втором слагаемом в (27.73).
Во втором слагаемом в правой части (27.73) расходимость име-
ется в интеграле при х\ —»• ж2. Поэтому воспользуемся формулой
М(х2) = M[xi) + (х2 — x\Y (M{xi))tll + .... Очевидно, что в правой
части последнего равенства все слагаемые, кроме первого, не дают
вклада в расходимость. Следовательно, расходящаяся или полюс-
ная часть выражения (27.73) равна
(27.74)
Сделаем поворот Вика к0 = ikA, после чего воспользуемся фор-
мулой (27.53) с с > 0. Физическая интерпретация использования
формулы (27.53) заключается в том, что выделяется расходимость
не на малых, а набольших импульсах. Имеем
<Гк 1 \ _%_
Сопоставляя равенства (27.64), (27.74) и (27.75), мы видим, что
в рассматриваемом случае в амплитуде перехода имеется расходи-
мость
(ф" | ф' )d ~ ехр | ^ f d4x tr M2 1 , (27.76)
которая компенсируется контрчленом, если положить
ai = \ . (27.77)
Теперь рассмотрим случай М = 0. Тогда согласно (27.66) и
(27.60)
Д£ = -- tr [ (ai - 2a2) {N„ IV")2 + 2a2 N„ Nv Nni N" + ...], (27.78)
где многоточие означает сумму членов, содержащих величины d^Ny
в степени не ниже первой. С другой стороны, вклад в расходящую-
ся часть trln/\' такого же вида, как выписанный в (27.78), легко
309

вычисляется непосредственно. Для этого следует разложить hi К
по второму слагаемому в правой части (27.72) до четвертого поряд-
ка. Как обычно, расходящаяся часть возникает при слиянии точек
в координатном пространстве. Простое вычисление приводит к сле-
дующему выражению для расходящейся части:
(trlnA')po, = -4 / Л trJV1 N^N^N1**-
/<Рк
(2^ (2М*))4 */..*,**«*« J • (27-79)
Сделаем поворот Вика, после чего усредним по всем углам в про-
странстве 4-импульса. В результате этого должна быть сделана за-
мена:
(к2)2
«•/U Л/12 КЦЗ *)И ~^ I . r>\ Villi)*? T?/i3/i4 T 'J/il/iJ T?/i2/'4 + T?/il/i4 ^ЛзЛЗ ) •
(27.80)
Действительно,
(*0)4-+(ifc4)4-+l(*2)4V
(ко)2 hkj ->• (ik4)2 kikj ->■ — (к2)2 wo Vij . г", J = 1, 2, 3 и т.д.
Теперь после простого вычисления с использованием формул
(27.64), (27.75), (27.79) и (27.80) находим необходимый контрчлен
для устранения расходимости. Сравнивая его с (27.78), получаем
ai-2a2 = J, 2a2=—. (27.81)
Если полученные формулы применить для вычисления однопе-
тлевого контрчлена в модели однокомпонентного вещественного ска-
лярного поля (27.2), то следует положить N^ — 0 , М — т2 + ^ А Л2
Тогда
Это совпадает с полученным ранее результатом (27.28), (27.29).
Теперь займемся вычислением контрчлена в искривленном про-
странстве в случае N^ = 0.
310

Для облегчения вычислений воспользуемся свойством общей ко-
вариантности амплитуды перехода (27.64) и тем фактом, что расхо-
димость в точке х зависит от полей в бесконечно малой окрестности
точки х. Это позволяет при вычислении контрчлена вблизи точки
х использовать вблизи этой точки гармонические координаты, обла-
дающие также свойством
9иЛу) = Vnv + h»v (2/), \h^{y)\<%:l.
(27.82)
Введение указанных координат вблизи любой точки всегда воз-
можно. Действительно, сначала выберем нормальные координаты
Римана (10.9) с центром в точке х, в которых (см. (14.1)) Гх(х+у) ~
~0(|2/|). Затем вблизи точки х введем новые гармонические коор-
динаты j/, решая уравнение (14.3) в £-окрестности точки х. Легко
получается следующая оценка для ^(у) — уц —уц в £-окрестности:
| rf | ~ 0(е3). Это означает выполнение условий (27.82).
В гармонических координатах оператор (27.65) принимает вид
К = 5ц
д2
Ш<Г
(27.83)
дх^дх»
Правую часть (27.83) следует разложить по малому параметру h^:
К = 6tj rj"
Здесь
д2
дх^дх»
+
-ki
д2
дх»дх»
+ Ми
^
А"" - j- ij"" h
»1> l\
+ A2K > ■ (27.84)
(27.85)
и A2K билинеен (или более высокой степени) относительно h^,
и Mij. Поднятия и опускания индексов производятся при помощи
тензора ц^. Разложим tr In К относительно фигурной скобки в
(27.84). Первый член этого разложения, графически представлен-
ный на рис. 10а, не дает вклада в расходимость. Действительно,
аналитически он пропорционален интегралам вида J dnk к^к^(к)-1
и J dnk(k2)~1. Оба последних интеграла согласно (27.54) равны ну-
лю. Отсюда следует, что А2К вообще не дает вклада в расходи-
мость, поскольку такой вклад от любых положительных степеней
оператора А2К отсутствует по размерностным причинам. Напри-
мер, квадратичный по оператору А2К вклад в расходимость может
311

<
a) 6)
Рис. 10
быть пропорционален четвертой степени h^, то есть (см.(27.88)) че-
твертой степени тензора Римана. Но в однопетлевом приближении
такого вклада в расходимость быть не может.
Таким образом, искомая расходящаяся часть содержится в диа-
грамме на рис. 106, которая аналитически записывается как
(см.(27.41))
(trln К )d = -l- j dnXl dnx2 tr (-«""(si) -q^U + M(Xl)
дх\дх2
Vc{Xl - x2) -sA'(z2) A, , + M{x2) Vc{x2 - an) . (27.86)
Теперь условие гармоничности координат достаточно учесть в ли-
нейном приближении. При помощи (17.8) находим
s% = 0 . (27.87)
Используя (17.3),(27.87),(27.85), получаем
R»„ = -\d2 (v-^v-sa) , R=\o2s\, д2 = ^д,ди.
(27.88)
Сделаем полезную для наших вычислений замену переменных
х1 = х + -у, х2-х--у. (27.89)
Сначала вычислим вклад в расходимость в (27.86), пропорцио-
нальный sM:
(tilnK)daM =
312

= tr I d"x I d»y [s^(x + ly)M(z-\ y)](Vc(y) ),„„ Vc(-y).
Выражение в квадратной скобке разложим в точке х относительно
переменной у и учтем, что расходящаяся часть интеграла J dny
возникает от членов разложения, квадратичных по у. При помощи
интеграла J dnx производные Mt\(x) и Mt\p(x) перебрасываются
на поле я'"'(ж). Таким образом, получаем
j <Pxs^(Kx + \y^ M(x-l-y^J =
= ( J dnx s^(x) M(x) ) Q </ у" ) , (27.90)
■P.-iky -
52
p2 др^ дрр
2 J J (2ff)" *2 U2/
(27.91)
В дальнейших стандартных вычислениях следует лишь учесть
соотношения (27.87),(27.88). Таким образом,
(trlnA'
\sMpol
"б£ J
d4x tr MR.
Сравнивая полученный результат с (27.66) и (27.77), находим
а=1-. (27.92)
Рассмотрим, наконец, последний случай, когда в (27.86) полага-
ется М = 0. После замены (27.89) имеем для соответствующей
расходящейся части
(trlnK)d„ = -ltr J d"x f dny
*'"'(* + 1у)*Хр(*-\у)
•ЗД),^сН/),а„. (27.93)
Как и выше, разложим выражение в квадратных скобках в точке
х относительно у до четвертого порядка включительно. Вклад в
313

расходимость возникает от членов разложения, имеющих четвертый
порядок по переменной у. Аналогично (27.90) получаем
J dnxs^(x + ^y)sx"(x-^y)
= h (/ **"х s"u,aJ {x) *хр'* {х))Уа Ут ш Vi •
Подставим последнее выражение в (27.93). После простых преобра-
зований правая часть в (27.93) принимает вид
(trlnK)d„ = -^ j d*xsw sx"^ ■
■J &№„(&)„■ с-)
Далее следует сделать поворот Вика и затем усреднить по углам.
При этом используются формулы (сравни с (27.80))
<к2\3
к к к к к к —v v I .
"' "2 "3 "4 "5 "6 п(п + 2)(п+ 4)
■ (%щ3 W< We + ■•■)> (27.95а)
кккккккк —V - - •
**i ^2 ^з «„4 *иь *„* *„ *м ->■ n(n + 2)(n + 4)(п + 6)
• (Wa W4 »7лбЛб 1им +■••)• (27.956)
В (27.95) многоточия означают суммы членов, подобных выписан-
ным, но с переставленными индексами, так что круглые скобки сим-
метричны относительно любой перестановки индексов. Таким обра-
зом, в первой круглой скобке имеется 15 слагаемых, а во второй -
105 слагаемых. Однако не все эти слагаемые дают вклад в (27.94).
Действительно, вследствие (27.87) все свертки индексов в (27.94) су-
щественны лишь внутри подмножеств [fi, v, А, р) и (<т, т, 5, -f), но
любая свертка одного из индексов первого подмножества с индексом
из второго подмножества приводит к нулевому вкладу. С учетом
этого упрощения правую часть (27.956) можно заменить на
"* fi ^u "*А "*р ™о "*т "*б "*"*
1920
314

• (»7pi/ T]\f> + V^ 1}vp + V»f> Vv\) {'Пат Щ-, + Vv& TJT-i + Чо-, Лтб) •
Поэтому получаем
(trlnK)sspol = -~- f dAx (2 а2*"" д\„ + 52*2 d2svv ). (27.96)
Для преобразования последнего выражения воспользуемся фор-
мулами (27.88). Соответствующий вклад в контрчлен получается
путем отбрасывания в (27.96) мнимой единицы и умножения на 1/2:
Здесь первое слагаемое в фигурной скобке было получено ранее со-
гласно (27.66),(27.77) и (27.92). Из сравнения последнего равенства
с (27.66) находим
а3 = -—, а4 = —. (27.97)
360 120 v ;
Собирая вместе формулы (27.66),(27.71),(27.77),(27.81),(27.92) и
(27.97), мы получаем искомый результат. Однако для наших целей
необходим контрчлен в том случае, когда отсутствуют ограничения
(27.58). Обобщение на этот случай происходит без труда. Действи-
тельно, если в (27.59) положить
Х = М- V„JV" - 7V„ TV" , (27.98)
то выражения (27.57) и (27.59) совпадают и в случае отсутствия
условий (27.58). Следовательно, по-прежнему имеет место калибро-
вочная инвариантность действия (27.57) относительно преобразова-
ний (27.61). Отсюда следует общий вид однопетлевого контрчлена
(27.66), коэффициенты в котором устанавливаются однозначно при
помощи перехода к уже рассмотренному случаю (27.58).
Выпишем полученный результат:
Х-М- V„JV" - N. N» + I R. (27.99)
6
315

27.6. Неперенормируемость теории гравитации
в однопетлевом приближении
Рассмотрим модель, описывающую гравитацию и вещественное ска-
лярное поле, которые взаимодействуют минимальным образом.
Действие этой модели имеет вид (в используемой здесь системе еди-
ниц h = с = 1)
5 =
х\/-д
1
тгЯ+^Ф^Ф.и
I2
lp
(27.100)
Здесь поля, снабженные чертой, разлагаются на сумму классических
и квантовых полей (сравни с (27.35)):
9\ч> — 9p.v + lp h^v ,
— ф + ф.
lp
(27.101)
Далее g^v и ф - классические поля, удовлетворяющие клас-
сическим уравнениям, a h^v и ф - квантовые поля, относительно
которых действие (27.100) разлагается до второго порядка включи-
тельно. Сложные поля, как д, <р", R и т.д., составлены из фунда-
ментальных полей д и ф по обычным правилам.
На первом этапе вычислений из действия (27.100) выделяется
квадратичная часть относительно квантовых полей. Значительная
часть формул будет выписываться без комментариев, поскольку они
излишни. Все поднятия и опускания индексов осуществляются при
помощи тензоров дИ
и д^и соответственно. Имеем
fv - 1Р Wv + lp hi hXu + ... ,
9n» = 9»\ {K + lp hi
g = g det(#
tphl]
-g
l-g exp
1
1
1 I2
« lPhX - ~T
Khv
trln(# + JPh*
i(*t)
(27.102)
Ниже все ковариантные производные вычисляются при помощи
связности Г^Л, коэффициенты которой составлены из метрического
тензора д^„ по обычному правилу. Продолжим вычисления:
г*1 _ -пР
г(1)л
316

г*1.)" = !*. (^. + м - к\),
иХ с\ \ и\Х ■ Х\и 1/Х ) '
Ч* = Г^ + у *£.„ - | A£ А*., + ... (27.103)
Л1>Х,> ~ Л1^Л/> + Л1^Хр + Л1^Хр т . . . ,
о(1)А. _г(1)л _ г(1)л _
J VAp — * i>p;A L v\;p —
= у (Vx V, Л£ - Vx V A,, - V„ V, A£ +
+ V/,VA^ + <xp^-^A/,A^),
o(2)ai _ -p(2)^ _ f(2)ai , p(l)Ai f(1)<t _ F(l) F(l)<r /07 1 M\
В (27.104) и далее используется тот факт, что
(Vx V„ - V„ VA ) Л£ = Д£Х/) К - RlXp К . (27.105)
При помощи (27.104) получаем
Д$ = у [v* (v^Л" + v-Л£) - v*v" V - v"v- ^ 1 •
4l) = y(M^):,-f [Л*(А^ + А^-А^)];д +
+ у Лх;р (A>;„ + К.ф - AjJ,) - | (А* „ + А*, - h* ) (Л£;Х + А*.„ - Л>>х).
(27.106)
При вычислении Л^1' следует учесть, что
и аналогично для R(2>. Поэтому
ДW = /Р (V„ V. А"" - V„ V A£ - Д^ А"" ),
Я(2) = ^{^(Л$Л^Ь-|[А*(2А^-А^)]:х +
317

+ \hitP(2h^-h^)-l-h^(2h^-h^)-
h^VxV,hi+-h^VxVxh,l,+
+ -h^V^V,hXx + h>lhXl'R^
(27.107)
Таким образом, нами получены все компоненты для вычисления
вклада в действие (27.100) первого и второго порядков относительно
квантовых полей. Для первого порядка имеем
1
5(1) = ^/л^|л;
\К (-Я+\ф'хф,х ) +
+ [^--ф.^ф1и
■ v„v^ .
(27.108)
Так как классические поля удовлетворяют классическим уравнени-
ям, то коэффициенты при квантовых полях обращаются в нуль:
V„V> = 0, Л^ = -ф,»ф~,„, R=^4>'"4>^. (27.109)
С учетом уравнений движения (27.109) находим
SW =Л J d4x^ {ф'" Ф,„ + <Г Ф,„ hx ф>и - 2 фф А"" ф>и +
+
-hxV,Vl,h"l' + 7;h^VxVxK +
+ h^VxV,ht--h^VxVxhMl,
(27.110)
Выпишем преобразования квантовых полей, называемые кали-
бровочными преобразованиями, относительно которых действие
(27.110) является инвариантом. Эти калибровочные преобразования
являются следствием инвариантности действия (27.100) относитель-
но общих преобразований координат.
Пусть поле £^(х) описывает бесконечно малое преобразование
координат (см.(12.12)-(12.14)). Тогда
fV = V(1(j,Afx)+V4j{*) = '?fV!
318

■«•'.£'■
+ .
',*<
= *<
(27.111)
Здесь операция V^ является операцией ковариантного дифферен-
цирования относительно связности с коэффициентами Г*
В нашей задаче естественно считать, что вся вариация полных полей
(27.101) происходит за счет вариации квантовых полей. Это указано
в (27.111) при помощи знака тождества. Таким образом, действие
(27.110) остается инвариантным при преобразованиях квантовых по-
лей (27.111) в первом порядке по полю £**. При этом классические
поля остаются неизменными.
При помощи формул (27.101) и (27.103) вычислим Sh^ с точ-
ностью до первого порядка относительно h^:
■ Sh„
(<Ы + Ip Ks) & + {д„б + h V) £?„ + h (? h^s. (27.112)
В рассматриваемой задаче для фиксации калибровки удобным
является следующее калибровочное условие:
А" _ - А"
Ха = (~д)4 е£
Обратим внимание на то, что
1 еа »\ Г(1)Л = еа^
(27.113)
h
'цЯ
К»
~2К*
Отсюда и из (14.4) видно, что калибровочное условие (27.113) явля-
ется линеаризованным аналогом калибровочного условия (26.59).
Для нахождения амплитуды перехода мы применим технику Фад-
деева-Попова в форме (26.69). В нашем случае это означает приба-
вление к действию (27.110) следующего члена, фиксирующего кали-
бровку:
Sgf = \ J d4xr,abXaXb. (27.114)
При помощи равенств (27.ПО),(27.113) и (27.114), а также урав-
нений (27.105) и (27.100) находим
sef = sw+Sgf = у d4* V=5 {-| Л"" vx vx v +1К v*v" К +
319

(27.115)
Для облегчения записи введем следующие обозначения:
Ац\»(, = R^Xp _ дХ(„ Rv)n _ Bnv _ ф;ци _
Р^хр = 1 (д„а д„„ + д„„д„а _ д/.„да„) _
РХра5 — (вХа д?5 + 9X5 Я per ~ 9Хр дав ) ,
Р^Хр рхР\б = 4" %], /("") = ^ (/"" + Г ) • (27.116)
Тензоры Р и Р-1 пропорциональны соответственно тензору су-
перметрики ДеВитта (24.53) и его обратному (24.54). Заметим, что
^(цХ)ир __ ^(цХ)(ир) _ д(ир)(рХ) _ (27.117)
Запишем эффективное действие (27.115) при помощи введенных
обозначений:
Sef = J d4x ^Ч | - \ A„„ Р""Л' VCT VCT hXp - I A„„ Л""л<> Ал„ +
+ В'"'Н„иф-^фаф+ф11ф\ . (27.118)
Здесь и далее оператор D является ковариантным оператором
д'Аламбера, который определён согласно (9.41) и используется в
(27.57). С другой стороны, оператор VCT VCT действует на Лд^, го-
раздо более сложным образом:
V, V hXp = -L (V=^j"" АдЛР ),„ + <Г { [ -2 Г^ КР,а +
+ (-ТаХт<а + Т?а Тахр ) hap + (Tl Тарт hap + Т% Т°Хт haP)]+[\*+p]}.
(27.119)
Здесь была использована формула (14.4).
Введём величину
N^x^-2g^T^6l], (27.120)
320

при помощи которой сложное выражение (27.119) переписывается
гораздо более компактным образом. Имеем
-2д"т [(TaXThaPia) + (А ++/>)] = 2N^aKai, , (27.121)
^т{[(-г?т,ст + г^г^)^] + [л^Р]} =
= <,Г hva + 2 (д% + giT Г'1т )lf(A <Г> hva . (27.122)
Но
Ц7Г . 6т -р7г т^и, „тт
9,и + 9 Г,,т = -Г^ flf .
Поэтому правая часть равенства (27.122) равна
Ml7 + г^ Nll"°)л- = (v-jV")"л- • (27-122')
Везде далее подразумевается, что в V^ Ar/J ковариантная произ-
водная действует лишь на первый верхний индекс величины (27.120).
Далее
f [ (Г{а Г£т hap + T% raXThap) + (\«p)] =
= 9-у* <6Т К1 *" V = (Na № )Z A„„ . (27.123)
Собирая вместе формулы (27.119)—(27.123), получаем окончатель-
но
д
+ [ (V, N" )% + (N, N" )Z ] } А„„ . (27.124)
Будем далее рассматривать 10 компонент h\p как первые 10
компонент одиннадцатимерного вещественного векторного поля, а
поле ф — как его одиннадцатую компоненту. Симметризованная
пара индексов (fiv) заменяется одним индексом i\— 1, ..., 10. При
таком подходе набор величин Nx 'va составляет векторнозначную
матрицу Nfj, где i = (Ар), j — (va), набор величин Р\р\$Ат(,/а
образует матрицу (Р-1Л)ij, a B^v -вектор В,-, у которого один-
надцатая компонента равна нулю.
Теперь мы можем записать (27.118) Se{ как интеграл от сле-
дующей плотности (при этом мы используем свойства матрицы Aij
(27.117), а также равенство P^Ti = РА_ДТ ):
VCT V hXp = DhXp + {2 N?} va — +
\ (*' Ф)
;;•'
h
321

„ _ f— ( (□ + 2ЛГ"5„ + V„W + N^N" + P~lA) -P~lB \
K-v-9{ _Bt a-2Rj-
(27.125)
Таким образом, оператор К в (27.125) имеет нужный вид в
соответствии с (27.57). Однако полный оператор, заключённый в
квадратные скобки в (27.125), отличается от оператора в действии
(27.57). Здесь следует обратиться к выводу пункта 26.5: если ки-
нетическая энергия в действии зависит от метрического тензора,
то функциональная мера в амплитуде перехода также зависит от
метрического тензора и потому даёт вклад в амплитуду перехода,
пропорциональный б(4'(0). Однако эта расходимость в точности со-
кращается с аналогичной расходимостью, возникающей из-за явной
зависимости кинетической энергии от метрического тензора.
Вычёркивание первого множителя в квадратных скобках в
(27.125) может быть мотивировано также тем, что в методе раз-
мерной регуляризации все дельта-функции и их производные равны
нулю в точке, где их аргументы равны нулю.
Сказанное означает, что в нашей ситуации первый множитель в
квадратных скобках в (27.125) может быть опущен как дающий в
амплитуду перехода расходимость вида <$(4)(0), которая сокраща-
ется с аналогичной расходимостью, возникающей из-за нетривиаль-
ности функциональной меры. Поэтому в однопетлевом приближе-
нии вклад в амплитуду перехода от эффективного действия (27.115)
даётся формулой (27.64), в которой в качестве оператора К берется
обозначенный этой же буквой оператор в (27.125).
Для вычисления расходимостей в этой части амплитуды мы мо-
жем воспользоваться алгоритмом, выведенным в пункте 27.5.
Из сравнения операторов (27.125) и (27.65) видно, что в нашем
случае оператор X в (27.99) имеет вид
х=(<р-._л + 1Я) -Р^ву (27Ш)
а оператор Y^ задается согласно (27.60). Операторы А, В, Р~1
и N^ определены в (27.116) и (27.120). Путём прямого вычисления
находим
(V^H^XU (27-127)
Вычислим следы тех компонент, из которых состоит контрчлен
322

(27.99). При помощи (27.127) имеем
tr У„„ У" = -6 Я^л, Я""Лр .
Согласно (27.70) последнее выражение под интегралом Г сРх у/—д
может быть заменено на следующее:
tiYlll,Yl,v = -24Rlll,Rl"/ + 6R2. (27.128)
Воспользуемся уравнениями движения (27.109), согласно кото-
рым
Д^ Д"" = - ф^ ф>и ф* ф-" = R2, (27.129)
и потому
tvYfil/Y"l/ =-lSR2. (27.130)
Далее при помощи (27.126) получаем
tr X2 = tno IP"1 AP-1A + IrP~1A + ^-R2] +
121
+ 2Btp-1B + —R2. (27.131)
Здесь символ trio обозначает взятие следа в 10-мерном простран-
стве компонент h^y Согласно (27.116)
(Р-1 А Гх; = 2 Д(А V - 2 $ Д*>, (27.132)
и потому
tno Р-1 Л Р-1 Л = 2 Я,„,А, Д""А> + 2 Д^А Д"А"> + 10 Д„„ Я"1' + Я2.
Вследствие тождеств Бианки
2 RfipuX R1* ир — Rfiv\p Д'"' р •
Таким образом, учитывая также (27.68),(27.69) и (27.129), находим
trio P~lAP~lA = 20Д2. (27.133)
При помощи (27.132) без труда получаем
trio P~l А = -6 Д. (27.134)
323

С учётом уравнений (27.109) и (27.116) имеем также
Btp-1B = 2(V/>Vx4>){VxVJ>).
Последнее выражение под интегралом J' d4x \f—g может быть за-
менено на
-2 (VA ф) V, VA V £ = -2 R^ ф* V = -4 В? .
Мы использовали формулу типа (27.105) и уравнение (27.109).
Поэтому
В* Р-1 В = -4R2.
Соберём вместе формулы (27.131), (27.133) и т.д.:
tr X2 = ^ R2. (27.135)
Теперь мы можем, используя формулы (27.99), а также (27.130) и
(27.135), найти однопетлевой контрчлен для эффективного действия
(27.115):
^ 653 2
Д£ег = -^240#. (27Л36)
Нам остаётся найти контрчлен, устраняющий расходимость из
детерминанта Фадцеева-Попова.
Согласно (26.58) для нахождения детерминанта необходимо вы-
числить вариации калибровочного условия (27.113) относительно ка-
либровочных преобразований (27.111) - (27.112). При этом следует
учесть, что в однопетлевом приближении в искомой вариации опус-
каются все члены, пропорциональные квантовым полям. Действи-
тельно, представим детерминант Фадцеева-Попова в виде интеграла
(26.64). Так как поля духов всегда квантовые, то в однопетлевом
приближении детерминант Фаддеева-Попова зависит лишь от клас-
сических полей. Поэтому с требуемой точностью
1р6Х* = (-£)1/4 W Va Va + R» - ф,и ф* } ^ =
= H)i/4WVaVj-JCK^ (27-137)
Мы воспользовались уравнением (27.109). При помощи уравнения
(14.4) находим
VAVA^ = D^-^r^]<T6-2^r^6,a +
324

+ ^r^rA,6 + <rit,rA^A-
(27.138)
Введём величину
дл\к _ _„V г"
-'v/j — У PI* '
(27.139)
в терминах которой правая часть (27.138) переписывается в нужном
виде:
+ (VA Л# I" + <7стл Я; I "Л/? I" ) } 6,. (27.140)
Здесь так же, как и в (27.122'), ковариантная производная Va дей-
ствует лишь на первый верхний индекс в величине Я^ v.
Сопоставляя формулы (27.137) - (27.140) и (26.58), видим, что в
нашем случае детерминант Фаддеева-Попова равен
Jxid, 0}=det /С,
К =
д
f ^n + 2^Al^ + (VA^A+^A^A)--^
(27.141)
Здесь была сделана замена (— д)1/4 —>■ л/^g, так как после такой
замены в величине tr In К отсутствуют расходимости, пропорцио-
нальные <£(4)(0) (см. текст за формулой (27.125).
Таким образом, необходимо вычислить контрчлен ACghost для
устранения расходимостей из величины (сравни с (27.64))
exp tr In /С .
(27.142)
Для этого мы ещё раз воспользуемся формулой (27.99), в которой в
качестве X и Y берутся соответственно величины
^ = [(Va^a+^a^a)^-^]-
(У»» )Л = (К,, - JV„„ + Я,К- К N»yx = -ЯЛ/1„ .
Без труда получаем:
tr У„„ У" = -Я„„Ар Я""Ар -»■ -4 Я„„ Я"" + Я2 = -3 Я2,
325

tr X2 = Д^Д""--Д2 = ^R2. (27.143)
Следует помнить, что теперь операция tr берётся в 4-мерном про-
странстве и что результат, полученный согласно (27.99), должен
быть умножен на (—2). После простых вычислений находим
ACghost = ^-^R2. (27.144)
Складывая (27.136) и (27.144), получаем контрчлен для устра-
нения расходимостей в однопетлевом приближении в теории гра-
витации, связанной минимальным образом с одним вещественным
скалярным полем:
д£=_^^д2. (27.145)
е 80
Поскольку в рассматриваемой теории R ф 0 даже на массовой
поверхности (т.е. при условии выполнения уравнений движения),
то формула (27.145) означает, что теория гравитации, минималь-
но связанная с вещественным скалярным полем, неперенормируема
уже в однопетлевом приближении.
Все результаты пунктов 27.5 и 27.6 впервые были получены в
работах [34, 35], которые стимулировали дальнейшие исследования
в этой области. Немедленно было установлено, что прренормируе-
мость в однопетлевом приближении также отсутствует в теории гра-
витации, минимально связанной с а) комплексным скалярным полем
[36]; б) электромагнитным полем [37]; в) дираковским полем [38].
В указанных работах использовалась та же технология, которая из-
ложена в пунктах 27.5 - 27.6. Эти отрицательные результаты в свою
очередь стимулировали поиски такой теории гравитации, которая
оказалась бы перенормируемой. Вскоре была достигнута первая по-
беда на этом пути - открыта теория супергравитации, в которой,
как было вскоре установлено, отсутствуют расходимости в низших
петлях.
Обратим внимание на тот факт, что в теории чистой гравитации
в однопетлевом приближении расходимости отсутствуют. Этот
вывод очевиден без детальных вычислений, поскольку в теории чи-
стой гравитации на массовой поверхности имеют место равенства
R^v — О, R = 0. Поэтому возможные контрчлены вида R^ R'11' и
R2 автоматически обращаются в ноль.
326

27.7. О расходимостях в теории гравитации
в высших петлях
В последних двух пунктах этого параграфа было продемонстриро-
вано, сколь трудоёмкими являются вычисления в квантовой теории
гравитации даже если ставятся очень ограниченные задачи, как вы-
деление ультрафиолетовых расходимостей в однопетлевом прибли-
жении. К тому же полученный результат отрицателен: в теории
гравитации, вообще говоря, уже в однопетлевом приближении содер-
жатся ультрафиолетовые расходимости, неустранимые при помощи
процедуры перенормировки.
Отсюда следует, что в теории гравитации диаграммная техника
Фейнмана не является корректно определённой. Поэтому мы огра-
ничимся лишь самыми общими замечаниями о свойствах диаграмм
Фейнмана в теории гравитации.
Общие принципы построения диаграммной техники возмущений
здесь такие же, как обычно: поля представляются в виде суммы
классической и квантовой частей, как в (27.35), затем полное эф-
фективное действие разлагается относительно квантовых полей:
S = 5(0) + 5(1) + S& + ... = S(°) + Sint. (27.146)
Здесь S^> являются однородными функционалами от квантовых
полей степени (г + 2). Таким образом, S^0' зависит квадратично от
квантовых полей и по нему определяются пропагаторы теории. Все
остальные SW с г > О дают нелинейные вклады в теорию, и они
определяют вершины в диаграммной технике.
В простейшем варианте классические составляющие полей удо-
влетворяют наиболее простым классическим уравнениям. Напри-
мер, рассмотрим теорию чистой гравитации, определённую на то-
пологически тривиальном многообразии. Тогда метрический тен-
зор может быть представлен в виде суммы (см. (27.100), (27.101),
(26.69)):
<V = Viw + lP V . ll = —^з— » (27.147)
где Ни» - квантовое поле. Согласно (27.118),(27.116) в гармониче-
ской калибровке
S$> = f d4x {-i V Р""А> d2hXp } . (27.148)
327

Здесь и ниже в качестве тензоров Р и Р~1 следует пользовать-
ся соответственно величинами (27.116), в которых делаются подста-
новки д^ —> т}^. Из (27.148) мы находим пропагатор гравитонов в
гармонической калибровке (сравни с результатами пункта 27.1):
Оци\хр{к) = —р {V^rj^p + n^pV^k- n^rikp) ■ (27.148)
Аналогично можно получить пропагатор духов, который мы не вы-
писываем.
В теории гравитации, в отличие от </>4-теории, квантовой электро-
динамики, квантовой хромодинамики и множества других теорий,
содержатся вершины с любым числом входящих (или выходящих)
линий. Действительно, разложение величины \f—g R относитель-
но квантового поля /j^„ не обрывается. Другая особенность тео-
рии гравитации заключается в том, что каждая вершина содержит
две производных в координатном пространстве. Это означает, что
любые два пропагатора, выходящие из заданной вершины, в коор-
динатном представлении дифференцируются, а в импульсном пред-
ставлении - умножаются на некие линейные однородные формы от
импульсов, текущих через эти пропагаторы. Эта особенное" ь вершин
следует из того, что каждое слагаемое S^' в (27.146) содержит по-
ле /j^,x во второй степени. Отметим, наконец, что слагаемое S'(')
пропорционально множителю (1р)1, где 1р ~ Ю-33 см - планков-
ский масштаб (27.147). Таким образом, S^ является локальным
однородным функционалом степени г относительно полей h^ и
степени 2 относительно полей /j^a, который порождает вершину с
(г + 2) концами.
Мы видим, что описанный ряд диаграмм Фейнмана в теории гра-
витации является рядом по положительным степеням размерной ве-
личины 1р. Другая размерная величина, появляющаяся в теории -
это импульс обрезания расходящихся диаграмм Л, так что факти-
чески разложение идёт по безразмерной величине
А = /РЛ. (27.149)
Если Л —> оо, то некорректность описанной теории возмущений
очевидна.
Вычислим формальный индекс диаграммы. Пусть L-петлевая
диаграмма имеет s вершин и L,„ внутренних линий. Тогда в
328

n-мерном пространстве ш = п L — 2Li„ + 2s. Действительно, вклад
п L происходит от L интегрирований по n-импульсам, вклад 2s
дают s вершин, каждая из которых несёт две пространственных
производных и вклад (—2 Lj„) дают L;„ пропагаторов, имеющихся
в диаграмме. Исключим из индекса диаграммы число i;n при
помощи соотношения L ~ Lin — s + 1 ив результате получим, что
w = (n-2)L + 2. (27.150)
Отсюда видно, что диаграммы с любым числом петель расходят-
ся, причём степень расходимости растёт с ростом числа петель и не
зависит от числа внешних линий диаграммы.
Рассмотрим расходимости в диаграммной технике, сформулиро-
ванной согласно (27.39 - 27.41), когда квантовые флуктуации изуча-
ются на фоне внешнего классического поля. В этом формализме
в амплитуде перехода имеются лишь диаграммы без внешних ли-
ний. Заметим, что в диаграммной технике в импульсном представле-
нии используются Фурье-образы полей Ф (к) = J d4x(expikx) Ф (ж).
Расходящиеся части диаграмм пропорциональны величинам Ф(0),
1^кФ{к)Е{-к) и т.д.
Согласно (27.150) индекс однопетлевой диаграммы равен четырём.
Однако если из расходящейся части диаграммы выделить, напри-
мер, множитель
то степень расходимости уменьшается до логарифмической. Имен-
но поэтому в пункте 27.6 был найден контрчлен в логарифмическом
приближении. Если бы мы выделили из однопетлевой диаграммы
множитель вида R (0), то он имел бы в качестве сомножителя расхо-
дящийся интеграл со степенью расходимости 2. Действительно, если
выражение (27.151) имеет нулевую размерность и в петле имеет в
качестве сомножителя логарифмически расходящийся интеграл, то
величина R (0) имеет размерность 2 и потому в этой же петле умно-
жается на квадратично расходящийся интеграл. Эта расходящаяся
часть однопетлевой диаграммы даёт вклад в эффективное действие
вида
CiA2 f d4xy/^R. (27.152)
329

Везде С,- - числа порядка единицы. В методе размерной регуля-
ризации вклады вида (27.152) автоматически устраняются. Однако
имеет смысл сохранить петлевые вклады вида (27.152), если исполь-
зуются другие методы регуляризации.
Рассмотрим теперь двухпетлевую диаграмму такого вида, как на
рис. 7, но без внешних концов. Эта диаграмма пропорциональна 12р и
согласно (27.150) её индекс равен шести. Выделим из этой диаграм-
мы член, пропорциональный Л (0). Из размерностных соображений
ясно, что этот член имеет вид
С2/рЛ4 fd^x^R. (27.153)
Аналогично из двухпетлевой диаграммы выделяются расходящиеся
члены вида
С3/рЛ2 fd^x^R2 , (27.154)
C4l2P~ Jd^x^R^R^R^. (27.155)
Теперь предположим, что имеет место оценка
Л2 ~ 1р2 = т2Р , (27.156)
т.е. импульс обрезания имеет порядок планковской массы. Согласно
современным представлениям на масштабах порядка планковских
четырёхмерная физика перестаёт быть справедливой и адекватное
описание физической реальности происходит при помощи теории
струны. Корректность оценки (27.156) следует также из самых об-
щих размерностных соображений: из мировых констант G,c,h со-
ставляется масштабная величина /р, и именно на этом масштабе фи-
зическая картина может качественно измениться.
Подставим в (27.152 - 27.155) величину Л2, оцененную согласно
(27.156). Из (27.152) и (27.153) видно, что квантовые флуктуации
перенормируют гравитационную постоянную, причём этот эффект
происходит от диаграмм всех порядков (мы рассмотрели одно- и
двухпетлевые диаграммы, но легко увидеть, что диаграммы с любым
числом петель приводят к тому же результату) и в случае (27.156)
он не мал. Кроме того, мы видим, что расходимости, возникающие
из различных петель, дают вклады в эффективное действие, нару-
шающие перенормируемость, которые имеют малость относительно
330

затравочного действия Sci в (27.100) порядка
1П/М (~) ,»">0,j>0. (27.157)
Здесь / - физический масштаб и i,j - целые числа. Отсюда мож-
но сделать вывод, что на макроскопических масштабах квантовые
флуктуации гравитационного поля несущественны. Однако на ми-
кроскопических масштабах, когда I < 1р, квантовые флуктуации
должны играть решающую роль.
Выше было показано, что в теории чистой гравитации в одно-
петлевом приближении расходимости отсутствуют. Этот результат
является простым следствием классических уравнений движения в
теории чистой гравитации и равенства (27.70). В двухпетлевом при-
ближении расходимость может содержать член вида (27.155). По-
следнее выражение не является полной производной и не обращается
в нуль на массовой поверхности. Поэтому теория чистой гравитации
с затравочным лагранжианом — (l//f>) у/—д R не является перенор-
мируемой в двухпетлевом приближении.
В этой связи следует указать на чрезвычайно интересный факт,
что в так называемых теориях супергравитации проблема ультра-
фиолетовых расходимостей несколько облегчается: в нескольких
первых петлях, в зависимости от типа супергравитации, расходи-
мости отсутствуют. Вскоре после открытия теории супергравитации
имелась надежда, что существует такой вариант теории, в котором
ультрафиолетовые расходимости отсутствуют, взаимно сокращаясь.
Тем не менее значительные усилия, предпринятые в этом направле-
нии, не привели к положительному решению проблемы ультрафио-
летовых расходимостей в теории супергравитации.
Отрицательный результат, полученный в настоящем параграфе,
подводит к следующему заключению: диаграммный метод Фейнма-
на не является адекватным AiemodoM при построении квантовой
теории гравитации.
§28. О проблеме
"квантового рождения Вселенной"
Несмотря на отсутствие последовательной квантовой теории грави-
тации, имеются весьма интересные попытки применения идей кван-
331

товой механики к построению волновой функции Вселенной и ин-
терпретации этой волновой функции. Естественно, что эта амбици-
озная задача на современном уровне знания может рассматривать-
ся лишь при условии принятия неких упрощающих предположений.
Эти упрощения, по мнению энтузиастов такого подхода, должны
привести к модели, которая поддаётся изучению и в то же время со-
держит самые общие свойства неизвестной в настоящее время стро-
гой квантовой теории гравитации.
Кроме проблемы выбора адекватной простой модели квантовой
теории гравитации, здесь возникает проблема выбора граничных
условий для волновых функций. Эта проблема тесно связана с фун-
даментальной проблемой интерпретации квантовой теории гравита-
ции. Дело в том, что согласно Копенгагенской школе, для интер-
претации волновой функции квантовой системы необходим внеш-
ний классический наблюдатель, который может создавать внешние,
в том числе граничные, условия для квантовой системы. Однако
при квантовании Вселенной необходимо отказаться от копенгаген-
ской интерпретации квантовой механики, поскольку любой наблю-
датель является частью Вселенной, описываемой полной волновой
функцией. Тем самым и проблема граничных условий становится
неопределённой. Действительно, при квантовании радиус Вселен-
ной а (см. § 21) становится квантовой переменной, причем a(t) > О
согласно физическому смыслу. Не существует даже умозрительного
эксперимента для описания системы при a(t) < 0. Поэтому неиз-
вестно, как ведёт себя волновая функция Вселенной при возраста-
нии масштаба a[t) от нуля до некоего конечного значения, когда
становится справедливым классическое описание.
Мы видим, что в квантовой теории гравитации, кроме выбора
модели, необходимо сделать некое предположение о поведении вол-
новой функции. Это физическое предположение является неотъ-
емлемой частью определения квантовой теории.
В настоящее время активно обсуждаются два (в последнее вре-
мя - три) предположения или прескрипции относительно вида вол-
новой функции Вселенной.
28.1. Прескрипция Хартла и Хокинга
Гипотеза Хартла-Хокинга и следствия из неё изложены в ряде ра-
бот [39-41, 49].
332

Прежде чем сформулировать прескрипцию Хартла-Хокинга, не-
обходимо сделать следующее замечание относительно построения
волновой функции основного состояния в обычной квантовой ме-
ханике.
Пусть гамильтониан системы не зависит от времени и ограничен
снизу. Рассмотрим амплитуду перехода системы за время t из
состояния с координатой q' в состояние с координатой q ( с, Ti — 1):
(q,t\q',0) = (q\e-UH\q') = £ lM?) C(?') ехр (-i Emt) .
m
(28.1)
Здесь { фт (q) } - полный ортонормированный набор собственных
функций гамильтониана и Я фт = Ет фт. Пусть Ет > 0 и энергия
основного состояния Eq = 0.
Теперь сделаем поворот Вика, который для амплитуды перехода
(28.1) означает переход к мнимому времени согласно формуле
t = -ir, (28.2)
где т - вещественный параметр, называемый мнимым временем.
Знак в правой части равенства (28.2) однозначно определяется ви-
дом поворота Вика в импульсном пространстве в квантовой теории
поля (см. начало пункта 27.2). В непрерывном виде поворот Вика
представляется как q° = (ехр гф) д4 , 0 < ф < 7г/2. Но тогда для вре-
менной координаты должна иметь место формула х° = (ехр— гф) т.
В этом случае причинная гриновская функция в координатном про-
странстве (26.81) определена для всех значений ф, если непрерыв-
ный поворот Вика осуществляется синхронно в импульсном и коор-
динатном пространствах. При таком определении поворота Вика со-
ответствующее преобразование пропагаторов как в импульсном, так
и в координатном пространствах получается путём аналитического
продолжения.
После перехода к мнимому времени амплитуда перехода (28.1)
принимает вид
( q, -г г | q', 0 ) = £ фп (q) ф*п (д1) ехр(-г Е„) . (28.3)
п
Перейдём в формуле (28.3) к пределу т —> +оо. Так как
Е„ > Eq — 0, если п ф 0, то в этом пределе в сумме (28.3) оста-
нется лишь одно слагаемое, равное Фо{я) Фо{я')- Как известно, в
333

квантовой механике основное состояние не вырождено, и волновая
функция основного состояния не имеет узлов. Следовательно, ам-
плитуда перехода (28.3) из произвольной точки в точку q в пределе
бесконечно большого мнимого времени пропорциональна волновой
функции основного состояния 4>o(q). С другой стороны, эта же ам-
плитуда перехода может быть представлена в форме евклидовско-
го функционального интеграла, который получается из выражения
(26.21) при помощи подстановки (28.2). В результате мы получа-
ем следующую важную формулу для волновой функции основного
состояния:
q'(r) = q, 7-->+oo. (28.4)
Здесь I{q, dq/dr} - евклидово действие, которое в случае одно-
мерного движения с лагранжианом С = (т/2) q2 — U(q) имеет вид
Обратим внимание на то, что для большинства физически инте-
ресных потенциалов евклидово действие (28.5) положительно опре-
делено, и потому функциональный интеграл (28.4) имеет непосред-
ственный смысл. Волновая функция (28.4) автоматически оказыва-
ется вещественной и без узлов.
Теперь мы готовы сформулировать прескрипцию Хартла-Хокин-
га для нахождения волновой функции основного состояния Вселен-
ной. Согласно их предписанию, волновая функция основного состоя-
ния Вселенной может быть представлена следующим евклидовским
функциональным интегралом:
*о{дц,Ф} = ^ J <111{д',ф'}ещ>(-1{д',ф'}). (28.5)
Евклидовский функциональный интеграл (28.5) возник из ампли-
туды перехода (26.69) по правилу, приводящему к интегралу (28.4).
Это правило подразумевает переход к мнимому времени т согласно
формуле (28.2). В результате этого метрика в пространстве-времени
меняет сигнатуру и становится локально евклидовой, то есть все
334

собственные значения метрического тензора д^и становятся поло-
жительными. Евклидовское действие в (28.5) имеет вид
Н9,Ф) = -р- J d4x^gR + IM{</>}, (28.6)
где R - скалярная кривизна на 4-мерном многообразии с локально
евклидовской метрикой, а 1щ ~ евклидово действие материи. Сим-
волом ф мы обозначили совокупность всех материальных полей.
Однако далее изучается частный случай, когда в теории имеется
лишь одно вещественное скалярное поле и
1м{Ф } = J dAx V£ (\ 9^ ФФ Ф,и + У{Ф) } ■
Знак перед первым слагаемым в (28.6) легко фиксируется. Для этого
следует провести поворот Вика в выражении для квадратичной ча-
сти действия (27.148). Интегрирование в (28.5) означает суммирова-
ние по классам калибровочно-эквивалентных конфигураций полей.
Это означает, что мера в (28.5) содержит множитель, фиксирующий
калибровку, а также детерминант Фаддеева-Попова (см. § 26). В
интеграле (28.5) С обозначает некий класс евклидовских гладких
метрических пространств У , таких, что граница ЗУ = X{JX\
причём трёхмерные гиперповерхности X' и X снабжены фикси-
рованными метриками д'{ ■ и #,_,■ соответственно.
Обратим внимание на то, что "время" г, разделяющее гиперпо-
верхности X1 и X, в теории гравитации не имеет объективного
смысла, являясь координатным временем. Собственное время ме-
жду гиперповерхностями X1 и X также не может быть опре-
делено в интеграле (28.5), поскольку оно зависит от пространства
У и пути, соединяющего граничные гиперповерхности. Поэтому в
интеграле (28.5) бессмысленно стремить т к бесконечности. Име-
ет смысл лишь определить то множество пространств С — {У},
по которым идёт суммирование в (28.5). Кроме того, пространство
X1 можно непрерывно деформировать Произвольным образом. При
этом волновая функция основного состояния, определённая на су-
перпространстве над гиперповерхностью X, не должна изменяться.
Поэтому естественно считать, что пространство X1 стянуто в точку.
В этом случае интеграл (28.5) трактуется как амплитуда рождения
Вселенной из "ничего", и одновременно этот интеграл даёт волновую
функцию основного состояния Вселенной.
335

С формальной точки зрения волновая функция (28.5) удовлетво-
ряет уравнениям (25.4) и (25.50). Действительно, волновая функ-
ция, удовлетворяющая уравнениям (25.4) и (25.5), является калибро-
вочно-инвариантной, и наоборот. Но волновая функция (28.5) фор-
мально калибровочно-инвариантна, так как суммирование в (28.5)
идёт по классам калибровочно-эквивалентных полей.
В окончательном виде прескрипция Хартли и Хокинга сводится
к следующему: волновая функция основного состояния определяет-
ся евклидовским интегралом (28.5) по классу С = {У } компакт-
ных гладких пространств У с локально евклидовой метрикой и
границей X — дУ, на которой метрика дц является аргументом
волновой функции основного состояния.
Фактически прескрипция Хартла и Хокинга является новым фи-
зическим законом.
Поскольку подынтегральное выражение (28.5) вещественно, то
согласно прескрипции Хартла и Хокинга волновая функция основ-
ного состояния Вселенной является вещественной.
Следует указать также на слабое место в теории Хартла-Хокинга:
евклидово гравитационное действие (28.6) не является положитель-
но определённым (за счёт первого слагаемого). Поэтому доопреде-
ление интеграла (28.5) является сложной проблемой. Авторы сдела-
ли предположение, что интеграл (28.5) можно сделать сходящимся,
если интегрирование по некоторым направлениям в сунерпростран-
стве сместить должным образом в комплексную плоскость. Однако
к настоящему времени эта проблема не решена.
28.2. Минисуперпространственная модель
Поскольку в настоящее время решить уравнения (25.4) и (25.5) или
вычислить функциональный интеграл (28.5) в полном суперпростран-
стве не представляется возможным даже качественно, то большое
значение имеют простые модели, которые, как предполагается, со-
держат в себе некоторые важные качественные свойства полной те-
ории. При таком подходе огромный интерес представляет идея,
реализованная ещё Фридманом в классической теории гравитации
(см. § 21), и перенесенная в квантовую теорию. Согласно этой идее
следует изучить квантовую теорию пространственно однородной мо-
дели "гравитация + скалярное вещественное поле". Как и в модели
Фридмана, имеется лишь пространственная однородность, а во вре-
336

мени развивается динамика. Очевидно, в такой модели от всего су-
перпространства остаётся всего две степени свободы: пространствен-
ный масштаб a(t) и нулевая гармоника скалярного поля. Поэтому
такая модель называется минисуперпространственной.
Следуя Фридману, предположим, что пространство является сфе-
рой переменного (во времени) радиуса и метрика в пространстве-
времени имеет вид (сравни с (21.20))
ds2 = ^[N2(t)dt2-a2(t)dQ2],
dQ\ = dX2 + sin2 x И2 + sin2 вйф2). (28.7)
Здесь jV играет роль функции хода (см.(24.45)). Размерный множи-
тель перед квадратной скобкой введён для удобства, так что радиус
Вселенной a(t) оказывается безразмерным. Предположим также,
что скалярное поле ф является однородным в пространстве. Тогда
действие
5 = J d4x v^ j-^ R + \Г Ф,„ Ф,„ - У(ф) } (28.8)
записывается в виде S = f dt С, где
1 (а2 а \ a3 I ф2 \
C = --{—-Na) + J {jf-NVWj. (28.9)
Для удобства, следуя работе [43], мы ввели следующие безразмерные
величины:
Ф=^щФ, У(ф) = ^У(ф). (28.10)
Точка сверху в (28.9) означает частную производную d/dt. Скаляр-
ная кривизна для метрики (28.7) фактически вычислена в § 21.
Пусть ра и рф - канонически сопряжённые импульсы пере-
менных а и ф соответственно. Обычным путём получаем полный
гамильтониан системы (сравни с (24.58)):
2а
UT = N{t)nL,
-р1 + ^р2ф)-и(а,ф)
337

и{а,ф)=а2(1-а2У{ф)). (28.11)
Функция хода N является множителем Лагранжа, а Ц±. - связью
первого рода. Поэтому волновая функция удовлетворяет уравнению
связи
га2 р д 1 д2
да* а да а* дф*
Ф = 0, (28.12)
которое играет роль уравнения Уилера-ДеВитта (25.4). Здесь без-
размерное число р отвечает за упорядочение операторов в кинети-
ческой энергии, которое нам неизвестно.
Минисуперпространством рассматриваемой модели является мно-
гообразие 0 < а < оо, —оо < ф < оо.
28.3. Квазиклассическое приближение
Поскольку для физически интересных потенциалов уравнение (28.12)
не может быть решено точно, то его решают в квазиклассическом
приближении.
Согласно результатам пункта 27.7 разложение в квантовой тео-
рии гравитации идёт по безразмерному параметру (/рЛ),где Л -не-
кий существенный для теории размерный параметр. Так как соглас-
но (27.147) квадрат планковского масштаба пропорционален посто-
янной Планка, то низшие порядки по параметру [1р Л) эквивалент-
ны полуклассическому приближению, а условие /рЛ< 1 является
необходимым для справедливости квазиклассики. В нашем случае
вместо параметра {1р Л) мы должны пользоваться безразмерным
параметром У(ф), определённым согласно (28.10). Таким образом,
для справедливости квазиклассического приближения необходимо
выполнение условия
|^|«1. (28.13)
Если это условие не выполнено, то необходимо учитывать высшие
квантовые поправки, и квазиклассическое приближение окажется
неверным.
Положим р — 1 и рассмотрим уравнение (28.12) при а —» 0, когда
U —> 0. Если опустить потенциал, то решение этого уравнения имеет
вид
Ф = а* (Ci екф + С2 е~кф).
Если Reifc < 0, то решение имеет особенность при а —> 0, что счи-
тается неприемлемым. Если Rek = 0, 1тк ф 0, то при a —> 0 мы
338

имеем осциллирующее решение, что также предполагается непри-
емлемым. Поэтому будем полагать, что если Re к — О, то и Imk — 0.
Если Rek > 0, то Ф(а = 0,ф) = 0. Следовательно, в любом (из
приемлемых) случаев волновая функция удовлетворяет граничному
условию
ф(а = 0, ф) = const . (28.14)
Сделаем предположение, что потенциал У(ф) является медленно
меняющейся функцией ф:
dV
йф
«^. (28.15)
Из соотношений (28.12) - (28.15) вытекает, что для достаточно ма-
лых а волновая функция также является медленно меняющейся
функцией ф. Поэтому мы можем пренебречь производными по ф
в уравнении (28.12) и изучать уравнение
га2 р д ТТ1
да* а да
Ф = 0, (28.16)
в котором ф является параметром. Таким образом, с формальной
точки зрения, задача свелась к изучению в квазиклассическом при-
ближении волновой функции частицы с нулевой энергией, движу-
щейся в одномерном потенциале U. Минисуперпространство (а, ф)
разбивается на области, где U > 0 и U < 0. Область, где U > 0,
является классически недоступной. В этой области волновая функ-
ция ведёт себя экспоненциально. Область, где U < 0, - классически
доступна, и в ней волновая функция осциллирует. В классически
доступной области может быть волна, уходящая от особой точки
а = 0, приходящая к точке а — 0 или их суперпозиция. Поэтому
возникает проблема выбора волновой функции.
Сначала мы опишем волновую функцию, предложенную и разра-
ботанную Виленкиным с соавторами в работах [42-44], [45-47]. Эту
волновую функцию авторы называют туннельной и обозначают Фт •
В полуклассическом приближении фактор упорядочения опера-
торов влияет лишь на предэкспоненту. В рассматриваемой задаче
удобно положить р = — 1. Тогда при помощи подстановки
z = _(2V0-2/3(l-a2^) (28.17)
339

уравнение (28.16) приводится к виду
д2
(28.18)
Заметим, что z = 0 соответствует классической точке поворота
U = 0 или значению а2 = V~l. Область z > 0 является классиче-
ски доступной.
Как известно, уравнение (28.18) решается точно. Для нахожде-
ния квазиклассических волновых функций следует перейти к преде-
лу | z | —У со в точном решении.
Согласно гипотезе Виленкина, в классически доступной области
волновая функция Вселенной состоит из одной уходящей волны.
Чтобы её выделить, заметим, что согласно (28.9) ра — —(aa)/N
и N > 0 (если бы мы имели N < 0, то коэффициент перед ф"
в лагранжиане (28.9) имел бы неправильный знак). Поэтому ухо-
дящей волне, когда, я. > 0, соответствует отрицательное значение
импульса ра. Таким образом, в квазиклассических областях, где
| z | 3> 1, волновая функция Виленкина имеет вид
Фт = Се
-(«т)/4 г-1/4
ехр
-— -г3/2
z>0,
(28.19а)
Фт = C\z\
-1/4
ехр 1 g I г
[3/2
+ -ехр
|3/2
z < 0.
(28.196)
Обычно второе слагаемое в (28.196) опускают, так как оно экспонен-
циально быстро убывает при z —> —оо по сравнению с первым сла-
гаемым. Однако в переходной области при | z | ~ 1 оба слагаемых
имеют один порядок. Нормировочная константа С в (28.19) может
зависеть от переменной ф. Подбирая С(ф) так, чтобы граничное
условие (28.14) было выполнено, и отбрасывая второе слагаемое в
(28.196), находим
ф9
(*т)/4(а2^_ jn-1/4
ехр
1 + i (а2 V _ 1)3/2
ф7
(1-а2^)
-1/4
ехр
3^
(\-a2Vfl2-\
3^
a2V> 1,
(28.20а)
a2V <1. (28.206)
340

Заметим, что волновая функция (28.206) не имеет особенности при
V = 0 и имеет смысл как при положительных, так и при отрица-
тельных значениях V.
Легко непосредственно проверить, что при выполнении (28.15)
решение (28.20) действительно удовлетворяет условию
<9Ф
~дф '
Волновую функцию Виленкина можно интерпретировать следу-
ющим образом: в этом состоянии Вселенная в интервале 0 < а <
< \j\fV находится в классически недоступной области, где время
является мнимым, а при а > \j\/V появляется вещественное время
и Вселенная начинает расширяться согласно классическим уравне-
ниям. Таким образом, согласно теории Виленкина, Вселенная ро-
ждается из "ничего" и расширяется при возрастании времени.
Теперь опишем волновую функцию, предложенную Хартлем и
Хокингом [39-41] в этой же модели. Её обозначают Фяя-
Для построения функции Фяя согласно (28.5) прежде всего вы-
пишем евклидово действие (28.6) в рассматриваемой модели. Соглас-
но данным определениям —/ = iS, где действие задаётся согласно
формулам (28.8) и (28.9), в которых делается замена t = —ir. Та-
ким образом,
-'b*) = \f *{${£)'+ 7«Ь*)}- <2821»
Мы пренебрегли вкладом в действие, пропорциональным а3(<1ф/dr)2,
что оправдано при малых а (см. выше). Согласно (28.5) и (28.21):
Фяя (а, Ф) = const / Д da'(r) ехр[-/{а', ф}],
"' т
а'(0) = 0, а'(г> 0) = а>0. (28.22)
В (28.22) поле ф играет роль параметра. Это справедливо в случае
(28.15) при малых а.
Ввиду плохой сходимости функциональный интеграл (28.22) тре-
бует доопределения. Однако в квазиклассическом приближении ин-
<9Ф
да
»
341

теграл насыщается перевалом или экстремалью действия /. В экс-
тремальной точке, в частности, имеем 8I/8N = 0, или
N1
а*
и
da \ '
~dr)
Подставим найденное значение N (которое, как было показано,
всегда положительно) в евклидово действие. При этом мы считаем,
что U > 0. Имеем
/If (41
dr -£- ^U{a', ф) = I da' ^U{a>, ф) .
(28.23)
Из (28.23) видно, что в квазиклассическом приближении волновая
функция Хартла-Хокинга в классически недоступной области растёт
при возрастании переменной а. Кроме того, функция Фяя веще-
ственна. Эти два условия однозначно определяют квазиклассиче-
скую волновую функцию Хартла-Хокинга при малых а:
VHH=2(a2V-l)-l/4 exp—-
1
(а2 V - 1)3/2
Фяя = (1-а2К)-1/4ехр
3V
a2V>\,
1-(1-а2У)3/2
2.V
3V
(28.24а)
a2V < 1. (28.24ft)
Волновая функция Хартла-Хокинга является суперпозицией двух
состояний, описывающих сжимающуюся и раздувающуюся Вселен-
ную. Иными словами, У!нн описывает падающую волну к сингу-
лярной точке а = 0 и отражённую волну.
На рис. 11а и 116 изображены соответственно волновые функции
Виленкина и Хартла-Хокинга. На этих рисунках сплошные линии
являются графиками потенциала U(a, ф), причём переменная ф
играет роль параметра. Пунктирные линии представляют графики
волновых функций или их частей. Так, на рис. Па при а2 V < 1
график Ф+ представляет функцию (28.20ft) или первое слагаемое в
(28.19ft), которое растёт при стремлении а к нулю, а график Ф_
представляет второе (чисто мнимое) слагаемое в (28.19ft), которое
уменьшается по модулю при стремлении а к нулю. Из рис. 116
видно, что волновая функция Хартла-Хокинга в области а2 V < 1
содержит лишь часть Ф_.
342

'\v+
A V-
Рис. 11a
Область a2 V > 1 является классически доступной, в которой
волновые функции имеют колебательный характер, т.е. пропорци-
ональны мнимой экспоненте или их суперпозиции. Стрелки ука-
зывают направление распространения волновых пакетов. В случае
волновой функции Виленкина стрелка на рис. 11а направлена в сто-
рону возрастания радиуса Вселенной, а в случае волновой функции
Хартла-Хокинга две стрелки на рис. 116 указывают на наличие су-
перпозиции двух волновых пакетов, движущихся в противополож-
ные стороны.
28.4. Интерпретация волновых функций Фт и ^нн
Прежде всего найдём классическое решение для системы, описы-
ваемой действием (28.8), при условии выполнения предположений
Фридмана: пространство однородно и изотропно, а скалярное по-
ле однородно в пространстве и достаточно медленно изменяется во
времени. Последнее предположение реализуется, если существует
такое значение фо, для которого V''(фо) = 0. Действительно, тогда
уравнение движения для скалярного поля
Оф0 + У'{ф0) = 0 (28.25)
удовлетворяется, если только д^фо = 0.
343

Рис. lib
Предположим, что поле ф почти равно значению фо и что
У(ф0) > 0.
Заметим, что из этого предположения вытекает ограничение
(28.15). Кроме того, согласно определению (12.3), в точке фо тензор
энергии-импульса равен
Т?(ф0) = 6£У(ф0)
Для удобства перейдём к переменным
(28.26)
,- IpN J
at = —;=— at .
- l?
a = .— a,
/24 7Г V24 7Г
в которых метрика (28.7) принимает более простой вид:
ds2 = di2 - a2 dQ2 .
(28.27)
Метрика (28.27) совпадает с метрикой (21.20), если положить adr] =
= di. Поэтому уравнения Эйнштейна получаются из уравнений
(21.29) путём замен:
fwi \ da _ da
£^сУ(ф0), ^ = а^.
344

Имеем
(5)! + . = я^, я> = ^»|фь^>,.
(28.28)
Поскольку Я - постоянная величина, то решение уравнения (28.28)
имеет вид (далее мы опускаем черту над переменными)
a(t) = Я"1 ch(Ht) , (28.29)
ds2 = dt2 - Я"2 сЬ2(Яг) dQ2 . (28.30)
Если поле ф слабо отличается от значения фо, то компоненты
тензора Т£, а тем самым и величина Я, оказывается медленно
меняющейся. В этом случае формула (28.29) с медленно меняю-
щейся величиной Я является достаточно хорошим приближением
к точному решению уравнения (28.28) в очень широком диапазоне
переменной а.
Очевидно, что в формуле (28.30) переменная времени может из-
меняться в пределах — оо < t < +оо. Пространство (R X S )
с метрикой (28.30) называется пространством де Ситтера. Про-
странство де Ситтера может быть представлено как четырёхмерная
гиперповерхность в пятимерном евклидовом пространстве, заданная
уравнением
z2-z2-z2-z2-z2 = -H-2. (28.31)
Здесь Zq, ..., Z4 - декартовы координаты евклидова пространства.
Метрика на гиперповерхности (28.31) вида
ds2 = dz2 - dz\ - dz\ - dz\ - dz\ (28.32)
совпадает с метрикой (28.30). Чтобы увидеть это, введём глобально
на гиперповерхности (28.31) четыре параметра - время и точку на
трёхмерной единичной сфере - согласно формулам
z0 = H-1sh(Ht) , za- H-lc\i{Ht)na,
а = 1,2, 3,4, ^п2а = 1.
а
В этих параметрах метрика (28.32) принимает вид (28.30).
Согласно (28.29) минимальное значение переменной ат;п дости-
гается при t = 0. Легко проследить, что am;n = Я-1 соответствует
345

классической точке поворота а2 V = 1 в терминах переменных, ис-
пользуемых в пункте 28.3.
В классически недоступной области 0 < а < Я-1 (или а2 V < 1)
экстремум евклидова действия / (28.21) достигается на решении,
которое может быть получено из решения (28.29),(28.30) при помощи
замены t = —ir. Тогда метрика принимает вид
ds2 = dT2 + H~2 cos2(Яг) dQ23 ,
а(т) =Н~1 cos(Ht), -|<Яг<0. (28.33)
Метрика (28.33) является метрикой на сфере 54. В теории поля
экстремумы евклидова действия, на которых действие ограничено,
принято называть инстпантпонами.
Таким образом, мы имеем следующую полуклассическую карти-
ну рождения Вселенной: Вселенная рождается из ничего при по-
мощи инстантона Sf_ \, который является половиной сферы S4.
Граница этой полусферы Sf*. есть сфера 53, которую обозна-
чим Е . На границе Е от евклидова пространства Sf\ отще-
пляется четырёхмерное псевдоевклидово пространство с метрикой
(28.30), и начинает течь время. В рассмотренной здесь модели при
сделанных предположениях в нулевой момент времени начинается
экспоненциальное расширение радиуса Вселенной согласно формуле
(28.29), причём минимальное значение радиуса Вселенной согласно
(28.7) имеет порядок
fmin ~ lp amin 7=r=f • (28.34)
Отсюда вследствие (28.13) имеем
rmin » lp ■ (28.35)
Фазис экспоненциально быстрого раздувания Вселенной называет-
ся инфляцией. В настоящее время считается, что фазису степенно-
го расширения Фридмана согласно формуле (21.38) предшествовал
фазис инфляции, описывающийся формулой (28.29). В противном
случае невозможно объяснить высокую степень однородности Все-
ленной на масштабах Lq порядка 1010 световых лет. Действитель-
но, любые квантовые оценки как квазиклассические, использующие
346

функции (28.20а) или (28.24а), так и общие, использующие лишь
размерностные аргументы, показывают, что области однородности
волновой функции Вселенной в начальный момент времени t = 0
не могут существенно превышать планковский масштаб 1р. Это
означает, что при современном возрасте Вселенной to ~ 1010 лет
масштабы областей однородности в теории Фридмана могут оцени-
ваться при помощи формулы (21.38), в которой ai ~ 1Р. Таким
образом, L ~ \/Tpcto ~ л]\р Lq ~ Ю-2 см. Однако наблюдаемый
масштаб однородности Вселенной имеет порядок Lq ~ 1028 см. От-
сюда видно, что на фазисе инфляции должно произойти раздувание
Вселенной оценочно в (Lo/lp) ~ Ю60 раз.
На рис. 12 схематически изображена описанная полуклассиче-
ская картина рождения Вселенной.
Рис. 12
Заметим, что к описанной физической картине приводят также
многие другие модели. Например, согласно уравнению (13.31) роль
потенциала скалярного поля может играть Л-член. Имеются и дру-
гие возможности (см. последний параграф третей части настоящего
курса лекций).
Посмотрим, к каким космологическим предсказаниям приводят
волновые функции (28.20а) и (28.24а). Мы будем предполагать,
что квадрат модуля волновой функции \ Ф(а, ф) |2 пропорционален
вероятности нахождения Вселенной в точке минисуперпростран-
ства (а, ф) . Эта гипотеза имеет чисто спекулятивный характер, по-
скольку, в отличие от ситуации в классической квантовой механике,
347

в квантовой космологии наблюдатель является частью единствен-
ной квантовой системы. Поэтому наблюдатель не может воспроиз-
водить эксперимент по рождению Вселенной для того, чтобы прове-
рить вероятностную интерпретацию волновой функции. Тем не ме-
нее в настоящее время преобладает вероятностная точка зрения на
квантовую волновую функцию Вселенной, сформулированная выше.
При этом не исключается, что волновая функция окажется ненор-
мируемой. В этом случае можно говорить лишь об относительных
вероятностях, предсказываемых волновой функцией.
Сначала рассмотрим волновую функцию Виленкина (28.20а), ко-
торая описывает раздувающуюся Вселенную. В этом случае плот-
ность вероятности пропорциональна следующей экспоненте:
Рт(а, Ф) ~ Ст ехр
L 3^(0) J
(28.36)
Здесь Ст - некая положительная константа. Мы сохранили лишь
экспоненциальную зависимость плотности вероятности как наиболее
существенную. Мы видим, что плотность вероятности не зависит от
радиуса Вселенной, но очень сильно зависит от потенциала скаляр-
ного поля. Формула (28.36) показывает, что в момент рождения
a V(<f>) = 1 Вселенная с максимальной вероятностью находится в
состояниях с максимальным значением потенциала У(ф), если он
неотрицателен. (В обычной квантовой теории поля потенциалы ска-
лярных полей, как правило, неотрицательны). Но если в момент ро-
ждения Вселенной с максимальной вероятностью реализуется состо-
яние с максимально большим и положительным значением потенци-
ала У(ф), то согласно (28.28) и (28.29) начинается фазис инфляции.
Таким образом, волновая функция Виленкина явно предсказывает
разумный сценарий.
Плотность вероятности для волновой функции Хартла-Хокинга
качественно отличается от уже рассмотренной. При помощи (28.24)
находим в области а2 V ~ 1:
Рнн(а, Ф) ~ Сн ехр
[+ЗУ(ф)\
(28.37)
Отсюда видно, что плотность вероятности Хартла-Хокинга пред-
сказывает с наибольшей вероятностью такие состояния, в которых
положительный потенциал скалярного поля минимален. На первый
348

взгляд этот результат означает, что решение Хартла-Хокинга проти-
воречит сценарию инфляции. Однако этот вывод может оказаться
ошибочным по следующей причине.
В последние годы в квантовой космологии обсуждается так назы-
ваемый антропный принцип. Очевидно, что в квантовой космологии
наблюдатель принципиально может наблюдать лишь только такую
Вселенную, в которой имеются все условия для существования ин-
теллектуальной жизни. В противном случае не могло бы существо-
вать самого наблюдателя, который является частью Вселенной. Со-
гласно антропному принципу, даже если вероятность возникновения
"благоустроенной" Вселенной исчезающе мала, только Вселенная,
населенная разумными существами, и может наблюдаться. Но та-
кая Вселенная должна пройти фазис инфляции, чтобы образовалось
однородное пространство на гигантских масштабах по сравнению с
масштабами планетных систем, и средняя плотность вещества стала
бы такой, как она есть в настоящее время.
Исходя из антропного принципа, мы не можем отбросить волно-
вую функцию Хартла-Хокинга (28.24). Лишь будущие исследования
дадут критерий отбора квантового состояния Вселенной. Заметим,
что в последнее время появился третий вариант для волновой функ-
ции Вселенной в минисуперпространственной модели [48].
В заключение этого пункта укажем на существование красивой
идеи, согласно которой "локальные" наблюдения принципиально не
позволяют выделить какую-либо из возможностей осуществления
начала инфляционной фазы (см. [64]). Под "локальными" наблюде-
ниями здесь подразумеваются те наблюдения, которые может произ-
вести человечество на протяжении своей истории; эти наблюдения
всегда будут охватывать конечные участки пространства-времени.
Из этой идеи следует, что волновые функции Хартла-Хокинга, Ви-
ленкина и др. физически неразличимы. Более того, согласно сфор-
мулированной идее не исключаются также принципиально иные пу-
ти установления де ситтеровского режима.
Указанная идея основывается на следующей качественной оцен-
ке. Обозначим через S энтропию Вселенной. Согласно простейшей
оценке, приведенной ниже, в начале фазы инфляции
5>1010. (28.38)
Поскольку энтропия есть логарифм числа состояний, то оценка
(28.38) означает, что начальное состояние Вселенной не может быть
349

чистым состоянием, это состояние должно описываться сложной ма-
трицей плотности. Поэтому волновые функции Хартла-Хокинга,
Виленкина и т.д. физически неразличимы.
Для оценки энтропии начального состояния Вселенной восполь-
зуемся формулой (28.3), согласно которой амплитуда перехода в
мнимом времени может интерпретироваться как матрица плотно-
сти, причем мнимое время т играет роль обратной температуры.
Как известно, след матрицы плотности равен ехр(—F/T), где Т -
температура, a F = Е — ТS - свободная энергия. В теории гра-
витации энергия Е = 0, и потому след матрицы плотности равен
ехр5.
Оценим след матрицы плотности функционального интегоала
(28.5-28.6). Так как волновые функции (28.5) вещественны, то вы-
числение следа в матрице плотности (28.3) эквивалентно вычисле-
нию функционального интеграла (28.5) для замкнутых траекторий
в суперпространстве. Этот функциональный интеграл в квазиклас-
сическом приближении оценивается как экспонента от экстремаль-
ного действия в минисуперпространстве при помощи формул (28.22-
28.23). При этом следует учесть, что волновые функции в матрице
плотности должны браться в той точке, где возникает реальное вре-
мя, т.е. в классической точке поворота а2 V = 1. Сказанное означа-
ет, что следует вычислить действие — / = S в (28.23) на конфигура-
ции (28.33), причем — -| < НТ < ^. Такая полевая конфигурация
является инстантоном, поскольку эта конфигурация классического
поля является решением классических уравнений в мнимом времени
с некими специальными граничными условиями в нуле и конечным
действием. При помощи (28.23), (28.11) и (28.28) находим
S = -I=0y2. (28.39)
Поскольку 1р Н ~ Ю-5, то мы получаем оценку (28.38).
28.5. Выход за рамки
минисуперпространственной модели
Возникает естественный вопрос об устойчивости волновых функ-
ций Виленкина и Хартла-Хокинга, определённых на минисуперпро-
странстве. Поставим задачу следующим образом.
350

Допустим малые флуктуации метрики на фоне метрики простран-
ства де Ситтера (28.30) и малые неоднородные флуктуации скаляр-
ного поля. Например, для скалярного поля будем пользоваться раз-
ложением
Ф(а) = ^2 fN(t)QN(na) ■
N
Здесь QN{na) ~ полный ортонормированный набор сферических
функций на сфере S3, а { /jv (f) } - новый набор динамических
переменных скалярного поля. Аналогичное разложение и все даль-
нейшие действия подразумеваются для метрического тензора. Пред-
полагая величины /дг малыми, будем искать волновую функцию в
виде
Ф = е!5, S{a, /*} = S0(a) + i£sw(a)/u. (28'4°)
N
Нетрудно написать уравнение Уилера-ДеВитта для волновой функ-
ции (28.40) в новых динамических переменных {a, f^j } и решить
его в квазиклассическом приближении для нулевых гармоник (од-
нородных составляющих полей) и в квадратичном приближении для
высших (неоднородных) гармоник полей. За подробными вычисле-
ниями мы отсылаем читателя к работам [43,49]. Главный результат
этих вычислений заключается в том, что Im Sn (a) > 0 в обоих слу-
чаях Хартла-Хокинга и Биленкина. Согласно (28.40) это означает
устойчивость волновых функций Фт и Фяя относительно малых
отклонений от минисуперпространственной модели. Действительно,
волновая функция (28.40) быстро убывает при возрастании перемен-
ных /jv неоднородных мод и если для неоднородных мод /дг = 0, то
она совпадает либо с функцией Хартла-Хокинга, либо с функцией
Биленкина в зависимости от выбранных граничных условий.
351

ГЛАВА IV
НОВЫЕ ПОДХОДЫ
К КВАНТОВАНИЮ ГРАВИТАЦИИ
§ 29. Точно решаемый пример:
двумерная квантовая гравитация
29.1. Введение
Как мы видели, квантовая теория гравитации в четырехмерном про-
странстве-времени наталкивается на фундаментальные трудности,
которые в настоящее время не преодолены. Эти трудности мож-
но условно разделить на концептуальные и вычислительные. Глав-
ная концептуальная проблема заключается в том, что гамильто-
ниан является линейной комбинацией связей первого рода. Этот
факт делает неясной роль времени в гравитации. Главная вычи-
слительная проблема состоит в неперенормируемости теории грави-
тации. Указанные трудности тесно переплетены. Например, в за-
висимости от вычислительной процедуры в алгебре связей может
быть или не быть аномального вклада или центрального заряда
(см. пункт 23.3). Наличие или отсутствие аномалии в алгебре связей
первого рода определяющим образом влияет на процедуру кванто-
вания и возникающую в результате физическую картину.
Перечисленные фундаментальные проблемы успешно решаются
на относительно простых моделях общековариантных теорий в дву-
мерном пространстве-времени. К таким моделям прежде всего отно-
сятся двумерные модели гравитации, как чистой, так и взаимодей-
ствующей с веществом и двумерные модели струны (см., например,
[50-54] и ссылки там) 2.
Здесь мы проводим каноническое квантование двумерной грави-
тации, минимально связанной с вещественным скалярным и спинор-
ным майорановским полями. Все построения и вычисления про-
водятся до получения конечного результата. Полностью описаны
физические состояния теории. Полное пространство состояний ока-
зывается подобным по своим свойствам многомерному фоковскому
2Обратим внимание читателя также на традиционный подход к квантованию
двумерной гравитации, при котором конформная аномалия накладывает серьез-
ные ограничения на число включенных в теорию полей [66 - 69].
352

пространству, в котором действуют бозонные и фермионные опера-
торы. Вычислены средние значения метрического тензора относи-
тельно состояний, близких к основному. Эти результаты излагаются
по материалам работы [54].
Прогресс, достигнутый при построении двумерной квантовой те-
ории гравитации, основан на двух идеях. Эти идеи будут сформу-
лированы ниже после введения необходимых обозначений.
Будем предполагать, что пространство-время топологически экви-
валентно двумерному цилиндру. Временная координата t изменяет-
ся от минус до плюс бесконечности, а пространственная координата
<т - от 0 до 27г. Все рассматриваемые функции периодичны от-
носительно координаты а. Набор координат (t, <т) обозначается
также {х11}. Метрический тензор в пространстве-времени обозна-
чается 0/д/, так что квадрат интервала записывается в виде
ds2 = д00 dt2 + ди da2 + 2дог dt da. (29.1)
Далее метрический тензор параметризуется следующим образом:
д = det sv = -и2 е4" . (29.2)
Пусть г, j = 0, 1 и r\ij = diag(1, — 1). Введем ортонормирован-
ный базис {ef }, так что (ср. с (8.30))
9^е?е* = тцз. (29.3)
Для определенности возьмем
eo=k'(;)" в?=(а)- (29-4)
Диада {е* } однозначно определяется уравнениями е^е^ = <5£ ■<=>
■Ф=> е'е^ = 8j. С учетом (29.4) имеем
Рассмотрим действие
S = Jdtj ^Л/=?{^д(»?Л-2А) +
9 ни = е
-,2р
353

+ \ <Г d,f dvf + l- t] ф-^V» ф | . (29.6)
Здесь G - гравитационная постоянная, Л - космологическая по-
стоянная, R - скалярная кривизна пространства-времени, т] и /-
вещественные скалярные поля, ф - двухкомпонентное спинорное
майорановское поле и {7' } - двумерные матрицы Дирака. Далее
мы считаем, что
Майорановость спинорного поля в двумерном пространстве означа-
ет (ср. с (22.66)), что ф = 7° Ф*■ Верхний индекс t означает
транспонирование. В нашем случае имеем
ф= ( * ) , ф = ф1, Х = Х]- (29.8)
Операция ковариантного дифференцирования спинорного поля опре-
делена согласно (22.6) и (22.40), причём в последней формуле кали-
бровочное поле следует положить равным нулю. Форма связности
uijii однозначно находится из уравнения (9.28а) с нулевой правой
частью и в котором ш' = е' dx^. Таким образом, находим
ш01= \и + и р - - (р + р v + v ) I dt + - (р + р' v + v') da . (29.9)
Здесь и далее точка и штрих сверху обозначают частные производ-
ные (d/dt) и (д/да) соответственно. При помощи структурного
уравнения Картана (9.286) легко устанавливается соотношение
^jRdtAda = 2dLj01. (29.10)
Так как поля ф и х в (29.8) вещественны и принадлежат
Грассмановой алгебре, то
ф(х)ф(х) = 0, х(х)Х(х) = 0. (29.11)
С учетом (29.11) мы можем в (29.6) сделать замену Т>цф —> (д/дхц) ф.
Поэтому фермионная часть действия пропорциональна выражению
е"{фф+(и + у)фф' + xx-(u-v)xx'}- (29.12)
354

В (29.12) множитель ер может быть поглощен при помощи замены
ф-+е-р'2ф, Х-+е-р/2Х-
В силу (29.11) при такой замене в действии не появляются дополни-
тельные производные поля р. Таким образом, лагранжиан рассма-
триваемой системы имеет вид
+ v' (- {p + v p' + v') - и' - и р') - Xu e2p] +
+ ^[/2 + 2,//'-(U2-,2)/'2] +
lu
+ г-[фф+(и + у)фф1 + хх-{и-у)хх'}\ ■ (29.13)
Обозначим через irv , irp и тг - поля, канонически сопряженные
с полями г), р и / соответственно. Поля и и г; в (29.13) явля-
ются лагранжевыми множителями. Стандартным путем получаем
гамильтониан системы (29.13):
П= J da(u£+vV).
£ = 2*G *,*, + -L [-(*/' - г/ р') + Ае2'] +
+ \ы2 + Г2) + ^(-ФФ' + хх'),
V = - (х„т/ + хрР' + * f + '-фф' + %-хх') ■ (29.14)
Произведем следующую каноническую замену переменных:
355

*° ~r1'= yVceP sh £' ^ + r°'= ~V7ceP ch £ • (29Л5)
Здесь
V(<t)=2jtG f dffirv{a).
Jo
Переменные, описывающие материю, остаются без изменений. Б но-
вых переменных гамильтониан (29.14) принимает вид
£=\[-(4 + (г0,)2) + Ы + (г1,)2)}+1[^ + Г2 + 1(-ФФ' + Хх')},
V = -(*(, г0' + пг г1') - (ir Г + 1-ф ф' + 1- хх') • (29.16)
До этого момента рассмотрение было классическим. Начинать
квантование системы следует с определения одновременных пере-
становочных соотношений канонически сопряженных переменных.
Б нашем случае имеем
[г», тоМ] = [г1 (а), *!(*')] = [/И, w(a')} = iS(a - а1) . (29.17)
Для фермионных степеней свободы имеют место антикоммутацион-
ные соотношения:
{ф(а), ф(а') } = {хП, хИ } = 6(<г- а1). (29.18)
Все остальные коммутационные или антикоммутационные соотноше-
ния фундаментальных полей г" , жа , / , тг, ф равны нулю. Легко
проверить, что уравнения Гейзенберга г О — [О, Ж], полученные
при помощи коммутационных соотношений (29.17), (29.18), совпада-
ют с уравнениями Лагранжа. Здесь О - любой оператор.
Так как поля и и г; в (29.14) - лагранжевы множители, то
величины (29.16) являются связями. Б рамках классического рас-
смотрения эти связи являются связями первого рода. Однако хоро-
шо известно, что при квантовании в рассматриваемой системе может
возникнуть аномалия или центральный заряд: алгебра одновремен-
ных коммутаторов величин £ и V содержит центральный заряд.
Наличие центрального заряда в алгебре связей радикально услож-
няет проблему квантования. Б частности, система (29.16) - (29.18)
может оказаться несовместной (см. пункт 23.3).
356

Б последнее время в ряде работ [50-54] был предложен безано-
мальный подход к квантованию системы (29.16) - (29.18). Б рамках
этого подхода в квантовой алгебре величин (29.16) центральный за-
ряд отсутствует. Это означает, что все операторы (29.16) могут трак-
товаться как связи первого рода в смысле Дирака. Мы применим
здесь этот новый подход.
Идея нового подхода к квантованию возникла при изучении мо-
дели, описывающей чистую гравитацию. Эта модель получается из
модели (29.16) путем вычеркивания вторых слагаемых в правых ча-
стях системы (29.16). Б [50-54] показано, что в теории чистой грави-
тации центральный заряд равен нулю, если в полном пространстве
состояний скалярное произведение положительно определено. При-
чина этого явления в том, что при новом подходе процедура упоря-
дочения операторов в величинах £ и V радикально отличается от
упорядочения при традиционном квантовании.
Теперь сформулируем положения, на основе которых развивает-
ся новый метод квантования.
1) Полное пространство состояний Не, в котором действуют
фундаментальные операторные поля г" , тга , / , тг , ф, снабжено по-
ложительно определенным скалярным произведением. Б простран-
стве Не индефинитная метрика отсутствует.
Чтобы сформулировать следующее положение, обозначим через
L совокупность операторов (29.16) и через ф - совокупность всех
материальных полей / , ф. Устраним из операторов L степени сво-
боды, описывающие материальные поля и обозначим совокупность
полученных таким образом операторов через L^0'. Таким образом,
операторы L^°> определяют динамику лишь гравитационных степе-
ней свободы и
[Ь(°\ф} = 0. (29.19)
2) Б теории (29.16) существует унитарное преобразование U,
такое, что
UL^W = L. (29.20)
Вследствие (29.19) и (29.20) поля
У = ифи1 (29.21)
коммутируют со всеми операторами L.
Поясним важную роль последнего положения в квантовании рас-
сматриваемой системы. Предположим, что в теории (29.16) найдено
357

состояние |0), которое аннулирует все операторы L^ и все опе-
раторы уничтожения полей ф. Согласно вышесказанному это воз-
можно. Тогда состояние U \ 0) аннулируется всеми операторами
L и всеми операторами уничтожения полей Ф. Физическое про-
странство состояний, аннулирующих все операторы L, строится из
основного состояния U | 0) при помощи операторов рождения по-
лей Ф. Таким образом, полностью решается проблема квантования
системы (29.16) - (29.18).
Во втором положении свойства интересующего нас унитарного
преобразования U описаны лишь в самых общих чертах. Ниже это
унитарное преобразование строится явно для изучаемой здесь моде-
ли двумерной гравитации. Эквивалент формулы (29.20) имеет при
этом более сложный вид. Тем не менее при помощи построенного
унитарного преобразования удается достаточно далеко продвинуть-
ся в вычислениях.
29.2. Квантование чистой гравитации
Применим методы безаномального квантования двумерной чистой
гравитации, разработанные в [53].
Пусть a = 0, 1 и 7]аь = diag(—1, 1). В калибровке и = 1, v — 0
уравнения Гейзенберга для полей г" , жа = т]аЬкь имеют вид
д2 я2 \ / я2 pp. \
Следовательно, поля г" и тга содержат как положительно-, так и
отрицательночастотные моды:
*» = 4 + -7= £ « zin° + К e~ina )• (29.23)
Положим ag = ag = р". Из условий вещественности полей
(29.23) вытекает, что
ха1 = ха, а^ = аа_п, а$ = а:
(29.24)
358

Для того чтобы выполнялись коммутационные соотношения
(29.17), необходимо, чтобы ненулевые коммутаторы новых перемен-
ных имели вид
K,^] = K.^] = "»'7',bWn, [xa,Pb] = ir1ab- (29.25)
Набор операторов (29.16) эквивалентен двум сериям операторов
1 Г2ж
Ln=l- Г daeina{E-V), n = 0,±l,.... (29.26)
При помощи (29.23) находим
Ln = 2 ' ^ a"_m а"т :' ^" = 2 : ^ a"-m ®am ' ' (29-27)
m m
Упорядочение операторов в (29.27) определяется в соответствии
с общими условиями квантования и играет решающую роль. Целью
квантования является отыскание такого пространства физических
состояний, на котором все операторы (29.27) обращаются в нуль и в
котором имеется математически корректное и положительно опре-
деленное скалярное произведение.
Здесь мы реализуем два подхода к квантованию изучаемой си-
стемы.
Первый подход общеизвестен. Он был сформулирован Дираком
и описан в пункте (23.2). Далее физические волновые функции Ди-
рака, удовлетворяющие уравнениям (23.35), мы снабжаем нижним
индексом PD.
При квантовании (23.35) - (23.36) возникает следующая труд-
ность (подробнее см. [53]). Из условий (23.35) вытекает, что все
физические состояния не зависят от некоторых исходных динами-
ческих переменных. По этой причине возникают проблемы:
а) определения скалярного произведения на пространстве физи-
ческих состояний и
б) вычисления матричных элементов относительно физических
состояний.
Дело в том, что не все исходные динамические переменные явля-
ются операторами в физическом пространстве состояний. Поэтому
359

матричные элементы от этих переменных в физическом простран-
стве не определены. Хотя наблюдаемые величины не зависят от
указанных динамических переменных, тем не менее при вычисле-
нии матричных элементов от наблюдаемых величин в физическом
пространстве также могут возникнуть серьезные трудности.
Далее квантование (23.35) - (23.36) мы будем называть первым
методом квантования.
В работе [54] к системе (29.25), (29.26) был применен другой метод
квантования. Идея этого метода квантования заключается в некото-
ром ослаблении условий Дирака (23.35) путем замены их условиями:
(Р\Хт\Р)с = 0. (29.28)
Здесь индекс Р нумерует физические состояния. В (29.28) идёт
усреднение по всем калибровочным степеням свободы, но не по фи-
зическим степеням свободы. Условия квантования (29.28) подобны
условиям квантования Гупта-Блейлера в электродинамике, когда
равенство д^А11 = 0 имеет место лишь в среднем, а также услови-
ям квантования в обычной теории струны, когда генераторы алгебры
Вирасоро удовлетворяют условиям Ln = 0 также лишь в среднем.
При этом усреднение производится относительно физических состо-
яний.
Фундаментальное отличие предлагаемого здесь пути квантования
от квантования Гупта-Блейлера и общепринятого квантования стру-
ны заключается в том, что при нашем подходе полное пространство
состояний снабжено положительно определенным скалярным про-
изведением. Ниже показывается, что этот факт позволяет провести
безаномальное квантование двумерной струны.
В качестве условий непротиворечивости теории, заменяющего усло-
вия Дирака (23.36), теперь мы имеем
(Р\\Хт,Хп]\Р)о = 0. (29.29)
Физический смысл условий (29.29) заключается в следующем. Пусть
гамильтониан системы имеет такой вид, как в общековариантных
теориях: Лт = ^2 vmXm- Предположим, что в момент времени t
условия (2.9) имеют место. В бесконечно близкий момент времени
t + 81 связь Хп равна
Xn(t+St) =Xn(t) +iSt ^2 v™ ЪСт, ХпШ-
m
360

Поэтому условия непротиворечивости (29.29) означают выполнение
равенств (29.28) в любой момент времени.
Метод квантования (29.28) - (29.29) далее называется вторым
методом квантования.
Сначала применим к модели (29.27) первый метод квантования.
Введем обозначения:
х±=х°±х1, а(п±) = <±^! ^ = «№±5^. (29.30)
Ненулевые коммутационные соотношения новых переменных полу-
чаются при помощи (29.25):
[с4+), 4_) ] = -2т 6т+п , Н+), 4~'] = -2т6т+п ,
[x+,a^] = [x.,a^] = -2iSn. (29.31)
Запишем операторы (29.27) в новых переменных:
т т
Далее мы по возможности не выписываем для операторов, снаб-
женных чертой, те соотношения, которые в точности копируют со-
отношения для операторов без черты. По определению в (29.32)
операция упорядочения означает, что либо элементы а^+> располо-
жены левее всех операторов а(~\ либо - наоборот. Оба эти порядка
эквивалентны (подробнее см. [53]).
Совершим каноническое преобразование вида
а -> UM aU]M , а -»■ UM aU]M , x^Um^Um ,
fiM2x+
UM = exp —
V 2p+
При этом каноническом преобразовании изменяются лишь перемен-
ные ад и а;_ согласно формулам
х. = UM х- U], = х- + М2 — . (29.33)
Р+
361

Для однообразия обозначений введем в этом пункте обозначения
am = c*m при т ф 0.
Ниже вместо операторов (29.32) мы используем операторы
m
Причина этой замены станет ясной в следующих пунктах.
Определим векторное пространство состояний, в котором дей-
ствуют динамические переменные системы как линейные операторы.
Представим полное пространство состояний Hqd как тензорное
произведение калибровочного пространства состояний Но и физи-
ческого пространства состояний Нрр:
HCD = HG® HPD . (29.35)
Пространство Hq порождается своим вакуумным вектором | 0; G),
который определяется следующими свойствами:
a°m|0;G) = 0, a^|0;G) = 0, m>0, (0; G\ 0; G) = 1. (29.36)
Базис пространства Hq состоит из векторов вида:
a°rn...a°n...a1_l...a1_r\0;G), m,n,l,r>0. (29.37)
Таким образом, Hq является фоковским пространством с положи-
тельно определенным скалярным произведением.
Базис в физическом пространстве состояний Дирака Нрр, состо-
ит из двух серий | к)г> , к = (Аг°, к1), и определяется следующими
свойствами:
atf\k)D=ul-)\k)D = 0, m = 0,±l,... (29.38)
Соотношение (29.38) с т = 0 переписывается в виде
(p2a + M2)\k)D=0. (29.39)
Отсюда видно, что множество базисных векторов | к )д разбивается
на две серии векторов | &± )д, каждая из которых параметризуется
одним непрерывным вещественным параметром. Например,
P1\k±)D = ±k\k±)D, p°\k±)D = ±^P + M2\k±)D,
362

-co < к < +оо . (29.40)
Так как операторы ра - эрмитовы, то скалярные произведения
вида
(k±\k'±)D=S{k-k>), {k-\k'+)D = 0 (29.41)
самосогласованы.
Условия квантования, аналогичные условиям (29-38), использо-
вались в работах [50, 51, 53] и гораздо раньше Дираком в электро-
динамике [55].
Замечание. Подчеркнем, что переменные а£, аап , п ф 0, явля-
ющиеся линейными операторами в пространстве Не, не являются,
вообще говоря, операторами в пространстве Про- Действительно,
в результате действия операторов ctn' и а£* на векторы \к±)п
получаются векторы, не принадлежащие физическому пространству
HPD. О
Вследствие (29.32) и (29.38) справедливы равенства:
Ln\p)D = Ln\p)D=0, \p)D£HPD. (29.42)
Таким образом, модель (29.27) проквантована при помощи первого
метода.
Теперь проведем квантование этой же модели, используя второй
метод.
Предположим, что полное пространство состояний Не, в кото-
ром действуют исходные переменные, представляется в виде тензор-
ного произведения:
Hc = HG®Hp. (29.43)
Здесь пространство На определено согласно (29.36), (29.37). Про-
странство Нр имеет базис со свойствами (29.39) - (29.41). Если
вектор \р) £ Нр, то вектор \р) удовлетворяет условиям (29.38) с
т = 0.
Обратим внимание на тот факт, что операторы а„ и а^ с
71 ф 0 (или их комбинации) действуют в пространстве Hg, но их
действие не определено ни на одном векторе из пространства Нр.
Этим пространство Нр отличается от пространства Нрр> (см.
(29.38)). Таким образом, полное пространство состояний (29.43)
363

является тензорным произведением пространств, в которых действу-
ют соответствующие операторы. Очевидно, что пространство (29.43)
снабжено положительно определенным скалярным произведением.
Для дальнейших вычислений нам необходимо определить упоря-
дочение операторов. Упорядочение (29.34) эквивалентно упорядоче-
нию:
1*0 = \ (Pi + М2) - £ К а°_т - aim «I), (29.44)
m>0
которое мы используем далее.
Нам представляется, что в рассматриваемой модели наиболее
удобными физическими состояниями, удовлетворяющими условиям
(29.28), являются состояния, когерентные по калибровочным степе-
ням свободы. Рассмотрим в пространстве В.а когерентное состоя-
ние:
+ ^ (z°_т < + zl al_m + z°_m а°т + 4 а\т ) | 10; G). (29.45)
Здесь z£> и z£, - комплексные числа. Далее положим z% = z§
и z^ — za_m. Звездочка сверху означает комплексное сопряжение.
По определению zfn ' — z£, ± z^,, zin' = z^l±zjn. Будем обозначать
также
=(-)_.(-) =(-)_=(-) m=/Q
4_) = 4~] - -^Y • (29.46)
Ч
Везде считается, что z° > 0.
Обозначим базисные векторы в пространстве Нр как |zo±)p,
z£ = ка. Имеем
pa\z0±)p = ±zS\z0±)P, 4_) = 0. (29.47)
Последнее равенство в (29.47) есть следствие соотношения (29.38) с
т = 0.
364

Пусть наборы комплексных чисел {г, г} удовлетворяют урав-
нениям (29.47) с верхним знаком и
Ln(z) = -±52z£>mzk)=0, Ln(z) = 0, « = 0,±1,... (29.48)
т
При помощи функций (аналогичные функции для переменных (29.46)
не выписаны)
г(+)((7) = 1 у eina z(+) -(+){a) = J=y e-™ 4+)
n v п
эти уравнения переписываются в более удобном виде:
z(+V)f(-)(<7) = 0, z(+V)!(_V)=°- (29.48')
Функции г(+)(<т), z(~>(<t), z(+>(<t) и z (<т) являются веществен-
ными и периодическими, и их нулевые гармоники удовлетворяют
(29.46) и (29.47).
Состояния
\z,z±)p = \±z,±z;G)®\z0±)p (29.49)
называются базисными физическими состояниями, если выполнены
условия (29.47) и (29.48').
Согласно данным определениям базисные физические состояния
имеют следующие свойства:
а°_т | z, z± )Р = ±z°_m | z, z± )Р ,
a1m\z,z±)p = ±zlm\z,z±)P, m>0. (29.50)
Из формул (29.44), (29.48) и (29.50) немедленно следует, что в
нашем случае условия (29.28) выполнены:
(z,z±\Ln\z,z±)P = H, {z,z±\Ln\z,z±)pG = Q. (29.51)
Проверим выполнение условий самосогласованности (29.29). Для
этого достаточно убедиться, что
(z,z±\( LnL_n - L_nLn )\z,z± )pg = 0. (29.52)
365

Простое вычисление показывает, что
. п п
LnL-n = ~ Y, rn(n-m) + n(a10)2 + 2n £ а1_та1т +
т=1 т=1
оо оо
+ £ ("+™)й->™ + £ (^-") 5^5°_т+:!„!_„:. (29.53)
Аналогично
- П П
!_„!„ = - ]Г т(п - т) + п (а°0 )2 + 2п £ а°т а°_т +
т—l т=1
оо оо
+ £ (7г+т)й^й°_т+ Y, (™-n)a1_ma1m+:L-nLn: . (2$М)
т=п + \ т=п + 1
Здесь операторы аа выражаются через операторы а(+), сг~) так
же, как операторы аа - через операторы ал+), а^'.
Так как : LnL-n :=: L-nLn :, то из последних двух равенств
имеем
!„!_„ - !_„!„ = 2пL0. (29.55)
Упорядочение в правой части равенства (29.55) задается согласно
(29.44). Из (29.55) видно, что уравнения (29.52) удовлетворяются,
то есть выполняются условия самосогласованности (29.29).
Заметим, что, вообще говоря,
(z,z±\LnL-n\z,z±)Pe?0. (29.56)
Мы видим, что второй метод также приводит к самосогласованной
квантовой теории модели (29.27).
Коротко обсудим принцип суперпозиции при втором методе кван-
тования.
Предположим, что состояния \z,z±)p и \z',z'±)p -физиче-
ские. Является ли состояние
\z,z±)p + \z',z'±)p (29.57)
физическим?
Нам представляется, что принцип суперпозиции не обязатель-
но распространять на нефизические, калибровочные степени сво-
боды. Поэтому если в более сложных теориях при втором методе
366

квантования принцип суперпозиции в пространстве Но окажет-
ся ограниченным, то это, по-нашему мнению, не обесценит метод.
В пространстве физических состояний принцип суперпозиции сохра-
няется в полном объеме.
29.3. Включение материи
Из коммутационных соотношений (29.17) и антикоммутационных со-
отношений (29.18) видно, что бозонные и фермионные поля имеют
следующие разложения по модам (ср. с (29.23) - (29.25)):
/И = ~ + -±= £ - К е™ + ап е-™ ),
т/47Г т/47Г ~i П
п^О
ж (с) = JL + _ £ (а„ ein° + an e~in° ), (29.58)
у/ж т/4тг
п^О
ф(<т) = ~J2^ ein° - *и = 4= Е & e~ina- (29-59)
у Аж ^~^ у 1ж ^~^
Далее полагаем р = ао = ао. Вследствие вещественности полей
(29.58) и (29.59) имеем
я* = z , а* = а_„ , 4 = *_„ , /# = /?_„ , Pi = /L„. (29.60)
Коммутационные соотношения (29.17), (29.18) равносильны соот-
ношениям:
[am, an] = [am, a„] = m5m+n , [i, p] = г, (29.61)
{/?m,/?„} = {An,M = <W>- (29.62)
Мы выписываем лишь ненулевые коммутационные соотношения. Опе-
раторы (29.27) будем обозначать далее через Ьп°^ и Ln ^ соответ-
ственно. С учетом вклада материальных степеней свободы компо-
ненты Фурье (29.26) имеют вид
Ln = Ф + \J2 ["»-"•""• + (Ш - \ ) Pn-mPm ] • (29.63)
m
Построение указанного в конце Введения унитарного преобразо-
вания, решающего проблему квантования, удобно начинать с опре-
деления операторов рождения и уничтожения поля (29.21). Иными
367

словами, первая наша задача заключается в построении бозонных
и фермионных операторов рождения и уничтожения материи, ко-
торые коммутируют со всеми операторами (29.63). Мы увидим, что
имеет решение несколько ослабленная задача. Этого достаточно для
наших целей.
Рассмотрим "гравитационно обработанные" операторы матери-
альных полей:
Am = Y^ Мт<„ап, Am = Y^M-mtnan, (29.64)
П П
п п
Бесконечномерные матрицы Мт,п , Мт,п, FMm,n и FMm,n в
(29.64) и (29.65) определены в Приложении. Элементы этих матриц
зависят от операторов (х+/р+ , ctm' /р+, а™ ' /р+ ), взаимные комм-
мутаторы которых равны нулю. Поэтому все элементы матриц в
(29.64), (29.65) взаимно коммутируют.
Легко проверить путем прямых вычислений, что ненулевые ком-
мутаторы операторов (29.64) и (29.65) имеют следующий вид:
[Ат, Ап ] = [Ат, Ап ] = т 5т+п , (29.66а)
{ Вт, Вп } = { Вт, Вп } = Sm+n ■ (29.666)
Действительно, при помощи (29.61), (29.64) и (П14) находим
[An, А] = ^2 lMmiiMn,-i = -" X] ■Мт'1 -И7-" = m<W"-
i i
(29.67)
Тем самым равенства (29.66а) установлены. Вследствие (29.62),
(29.65) и (П14') имеем
{Вт, Вп } = Y, FMm/Mn,-i = £ FMm,iFMTln. (29.68)
i i
Отсюда следует справедливость коммутационных соотношений
(29.666).
Введенные здесь операторы (29.64) и (29.65) лишь незначитель-
но отличаются от DDF-операторов, используемых в теории струны
(см. [19,56]).
368

Из данных определений легко видеть, что
[*(+>, Ап} = [аМ, Ап} = [«(+), Вп] = [«(+), В„] = 0. (29.69)
Соотношения (29.69) остаются справедливыми, если в них вместо
am подставлены агт ' или ж+.
Теперь мы должны вместо а\п ' ввести в теорию переменные
бст ', которые сохраняют прежний вид коммутационных соотноше-
ний с переменными а\п и имеют нулевые коммутаторы с новыми
переменными (29.64), (29.65).
Из определения (29.64) находим
[°L\ An] = Yj{(*™)> Mn,i]°4-
Воспользуемся (П16), а также обратим равенства (29.64). В резуль-
тате получим
р+ р \ i )
Здесь сумма в круглой скобке вычисляется при помощи формул
(ПЗ), (П10) и (П12). Таким образом, находим
[а(~\ An} = -~J2 M^iP_n Ap, тфО,
Р+ р
[а[-\Ап] = -—Ап. (29.70)
Здесь было учтено равенство (29.68). Справедливы также соотношс-
[а[),Ап] = An, [a{-U«] = 0, тфО. (29.71)
Р+
Аналогичным образом, используя формулы (29.65), (П4), (П11),
(П12) и (П14), получаем
[aL_).Sn] = --L ^(п + р)М-^_„ВР) [а^,Вп} = 0, т^О,
Р+ р
369

[4~\Bn] = -—Bn, [a{0-\Bn} = -—Bn. (29.72)
Р+ Р+
Из формул (29.70) - (29.72), а также (29.66) и (29.69) непосред-
ственно следует, что переменные
р+ р я V ^ /
4_) = 4_) = 4_) - ^- Е { лр л-р+лр л-р +
+ р(В_рВр+В_рВр) + 2М2} (29.73)
коммутируют со всеми операторами Ап, Ап, Вп, Вп :
[atf, Ап} = [atf, Ап] = [а£\ Вп} = [atf, Д,] = 0. (29.74)
Число М2 в фигурной скобке в (29.73) здесь можно воспринимать
так же как результат нормального упорядочения (ср. с (29.33)).
Если в формулах (29.70) - (29.74) все величины без черты за-
менить на такие же величины с чертой сверху и одновременно все
величины с чертой заменить на такие же величины без черты, то
эти формулы останутся справедливыми.
Теперь определим нормальное упорядочение операторов рожде-
ния и уничтожения (29.64), (29.65). Эти операторы по определению
считаются нормально упорядоченными, если все операторы рожде-
ния А_|„|, Л_|„|, B-|n|, -S-|n| расположены левее всех операторов
уничтожения Л|„|, Л|„|, Вн, В\п\.
Правые части равенств (29.73) содержат квадратичные формы
относительно операторов (29.64) и (29.65). Эти квадратичные фор-
мы представлены в виде сумм, которые не являются нормально упо-
рядоченными. Однако правые части равенств (29.73) в действитель-
ности можно считать нормально упорядоченными, поскольку имеют
место равенства
р q ^
= : Е Е Мт*+ч (Ар Лч-^р-ВрвЛ:. (29.75)
р q ^
370

Для доказательства равенств (29.75) достаточно установить, что
£ {АР А_р+рВ-р Bp) = Y;:(Ap A-p +РВ-РВР): =
р р
= :Y,(ApA-p+PB-pBp): ■ (29-76)
р
Первое равенство в (29.76) непосредственно вытекает из определения
упорядочения и коммутационных соотношений (29.66). Для доказа-
тельства второго равенства в (29.76) следует учесть, что формально
X]^Li п ~ С(—1)> гДе C(s) есть дзета-функция Римана:
оо
C(s) = £>-'. (29.77)
n = l
Дзета-функция имеет единственное аналитическое продолжение в
точку s = — 1 и £(—1) = —1/12. Указанная регуляризация расхо-
дящейся суммы ^2n=i n в настоящее время общепринята. Поэтому
можно положить, что
(i>)-(i>)=c(-i)-c(-i) = o.
Здесь первая расходящаяся сумма возникает от упорядочения бо-
зонных операторов, а вторая - от упорядочения фермионных опера-
торов. Отсюда вытекает второе равенство в (29.76).
Таким образом, правые части равенств (29.73) можно считать в
равной степени как нормально упорядоченными относительно опе-
раторов (29.64) и (29.65), так и неупорядоченными и записанными в
форме сумм, имеющихся в (29.73). Для некоторых вычислений не-
упорядоченный вариант правых частей (29.73) является более удоб-
ным.
Теперь докажем следующие коммутационные соотношения:
[аН, 5(_)] = [4-), «1_)] = l*U, «1_)] = 0. (29.78)
Пусть т ф 0 и п ф 0. Возьмём переменные йт в представлении
(29.73). Тогда
371

^ £[^_)- м-}р+д] ■ UpAq -v-^nv»q
p+
VI
■ B„ B,
(29.79)
для а„ и комму-
вместо
Здесь мы воспользовались определением (29.73) для а„ и
тационными соотношениями (29.74). В правой части (29.79)
ctm подставим его значение согласно (29.73):
[u(n-),5(-)] = ^E^u^)'-M-Ub[5L-),^-ip+qi}.
pq
Ар Ая - V~ir- BpBq) +
+ ~ £ *С+, {[<4
~APAq]-P-^[a{-\BpBq\
При помощи формул (П17) и (29.70), (29.72) и переобозначения
дексов в некоторых суммах преобразуем последнее выражение к
ду
ьчения ин-
ви-
+ V V4
2raJM-(p+g)!_(m+n) lApAq ~-BpBq )-
■^Y.rM^4+rM-]v.rApA
{m <r> n}.
(29.80)
Здесь части сумм по г, антисимметричные по индексам m и ,,.,
находятся при помощи соотношений (П18). В результате все слагае-
мые в (29.80) взаимно сокращаются. Таким образом, доказано, что
коммутатор (29.79) равен нулю. Соотношения
[й^.й! ]} = 0, тфО, пфО
доказываются точным повторением уже проведенных выкладок.
Аналогично устанавливается, что
[4").5lr)] = [4_).«L")] = o.
372

Равенства
[&к),&{п)] = 0, тфО, пфО
тривиально вытекают из фундаментальных перестановочных соот-
ношений (29.61), (29.62) и определений (29.73). Тем самым справед-
ливость коммутационных соотношений (29.78) доказана полностью.
Из определений (29.73) и коммутационных соотношений (29.69)
имеем также
[а£\&(')] = [<*£),й{-)] = -2т6т+п,
[x+,a^} = [x_,a^} = -2iSn. (29.81)
Явный вид новой переменной х_ здесь не выписывается, поскольку
эта переменная ниже не используется.
Исходные переменные {х±, Рт, Ртп] (точ-
нее - их линейные комбинации) являются каноническими. Из ком-
мутационных соотношений (29.66), (29.69), (29.74) и (29.78) следует
вывод, что набор переменных
{х+, *_, а<+), а~, а£\ ~а{~], Ат, Ат, Вт, Вт] (29.82)
также является каноническим.
Теперь мы можем определить унитарное преобразование, входя-
щее в (29.21). Определим унитарный оператор U при помощи сле-
дующих равенств:
Ux+ = x+U, Ux.=x-U, UaW = a№U, U atf = atf U ,
Uam = AmU, Upm = BmU, (/aW = a«(/,... (29.83)
и так далее для остальных операторов с чертой. Известно, что ра-
венства вида (29.83) однозначно определяют линейный оператор U
и этот оператор унитарен [24].
Мы должны выразить операторы (29.63) через новые перемен-
ные. Для этого представим операторы L„ ' из (29.63) в виде (29.32)
и выразим операторы aL"', am, /Зт через операторы z+, a™, otm ,
Ат, Вт при помощи формул (29.64), (29.65) и (29.73). В резуль-
тате несложных вычислений с использованием правил сумм (П20) и
(П21) мы приходим к следующим формулам:
L -_Iya(+) a<-) 4- —aW M
n ~ 2 2—1 n~m m AP " '
373

Ln = -- V a(+) й(_) - — a(+) JV
m=Y, м-« Ai - A-i Ai+l (B-i Bi - E-i Bi) }■ (29-84)
Повторяя рассуждения, проведенные для доказательства (29.76), при-
ходим к равенству
N =:М : . (29.85)
В справедливости равенств (29.84) можно убедиться и более про-
стым путём. Для этого следует вычислить коммутаторы операторов
(29.64), (29.65), (29.73) с операторами Ln в представлениях (29.63)
и (29.84). Результаты этих вычислений совпадают.
При помощи (29.83) и (29.84) находим, что
No = Y; ta-№ - *-'*' + ' О3"' # " ^-/Д )]' (29-86)
l>0
Соотношения (29.86) являются точным вариантом соотношений
(29.20). Хотя формулы (29.86) имеют несколько более сложный вид,
чем формулы (29.20), тем не менее имеется возможность существен-
ного дальнейшего продвижения по тому пути, который был указан
во Введении.
29.4. Пространство физических состояний
Формулы, полученные в пунктах 29.2 и 29.3, позволяют провести
квантование изучаемой модели.
Благодаря существованию унитарного преобразования со свой-
ствами (29.83) и (29.86), можно утверждать, что пространство со-
стояний системы (29.63) изоморфно пространству состояний двух
невзаимодействующих систем: чистой гравитации и свободных по-
лей (29.58), (29.59). Имея в виду это унитарное преобразование, по-
строим пространство физических состояний сразу в теории со взаи-
модействием.
374

Сначала применим первый метод квантования.
Определим два семейства состояний при помощи формул
(ср. с (29.38)):
a^\k±)D = ^-)\k±)D = 0, m = 0, ±1, ... (29.87)
Ап | k± )D = An \k± )D = Bn | k± )D = Bn \ k± )D = 0 , n > 0 .
(29.88)
Наложим также условие
A0\k±)D = A0\k±)D = 0,
которое не является обязательным и наложено лишь для упрощения
формул. Кроме того, мы полагаем, что выполнены соотношения
(29.40) и (29.41).
Теперь становится ясной причина, по которой в формулы (29.33)
и (29.73) была введена величина М2 > 0: вследствие этого усло-
вия и условия (29.87) с т = 0 оператор р+ не имеет нулевых
собственных значений в физическом пространстве Hpd ■ Поэтому
унитарное преобразование (29.83) определено корректно, и на состо-
яния | к± )d можно действовать операторами Ап.
Все физические состояния являются линейными комбинациями
базисных состояний вида
| к±; щ, hi, пи, щ)о =
= (Л_П1...Л_й1...в_т1 ...в-т..-) I*±beffj3,
щ, щ, mi, fhi > 0 , (29.89)
(J2 ni + Yj т - Y,ui - Л "*•■) = °- (29-9°)
\ i i i i /
В (4.3) берётся либо верхний, либо нижний знак. Полное простран-
ство физических состояний представляется в виде прямой суммы:
HpD = Яj# ф Н$ . (29.91)
Вследствие соотношений (29.87), (29.90) и (29.66) имеем
АГ\)р=0, \)p£Hpd. (29.92)
375

Теперь при помощи (29.84), (29.87), (29.88) и (29.92) получаем
Ln\)p = Ln\)p= 0. (29.93)
Из коммутационных соотношений (29.66) и равенств (29.88),
(29.41) вытекает, что скалярное произведение в пространствах Hpjj
и Hpjj положительно определено и эти пространства взаимно ор-
тогональны.
Сказанное означает, что проведено безаномальное квантование
системы (29.63) при помощи первого метода.
Теперь применим второй метод квантования. По определению,
пространство состояний порождается двумя сериями состояний
\z, z±)p со следующими свойствами. Состояния \z, z±)p удо-
влетворяют уравнениям (29.47), (29.88), а также (ср. с (29.50))
\ (а(+1 + 5<Г2 )\z,z±)P = ±z°_m | z, z±)P ,
l-{a^-a^)\z,z±)p=±zlm\z,z±)p, m>0, (29.94)
и аналогично для величин с чертой.
Из (29.47) следует, что
a{o~)\z,z±)P=0. (29.95)
Базисные состояния в физическом пространстве обозначаются
\z,z±; щ, щ, тп{, fhi)p. Они строятся при помощи операторов
Л_т, ..., т > 0 согласно (29.89) и (29.90). Пространство физи-
ческих состояний Нр разлагается в прямую сумму ортогональных
подпространств Нр, и Нр ' Скалярное произведение в простран-
стве Нр положительно определено.
Вследствие коммутационных соотношений (29.69) и (29.74) урав-
нения (29.94) и (29.95) остаются справедливыми также для физиче-
ских состояний, если физические состояния являются "чистыми" по
отношению к калибровочным степеням свободы. Здесь мы понима-
ем под "чистотой" то, что все физические состояния имеют один и
тот же набор параметров {z^, z^}.
Мы не станем подробно доказывать, что в рассматриваемом слу-
чае удовлетворяются условия квантования (29.28) и (29.29). Это не-
посредственно следует из всего вышеизложенного. Здесь мы лишь
376

подчеркнем следующий важный факт: усреднение в (29.28) и (29.29)
достаточно проводить лишь в пространстве калибровочных сте-
пенен свободы На (см. (29.36),(29.37)). По переменным, описы-
ваемым операторами Ат, Ат, Вт, Вт, усреднения в (29.28) и
(29.29) проводить не требуется.
29.5. Вычисление средних значений
В изучаемой модели наиболее интересным средним является среднее
от метрического тензора (29.2) относительно физических состояний.
Для этого, согласно (29.2), следует вычислить среднее от ехр(2/>),
поскольку параметры и и v являются числовыми множителями
Лагранжа.
Чтобы начать вычисления, предположим, что формулы (29.15),
справедливые в классической теории, имеют место также и в кван-
товой теории. Это предположение позволяет представить искомую
величину через квантовые поля 7га, г" (29.23) следующим образом:
—— е н — 7Га7Г — ГаГ -f I (7Г Г — 7Г Г ).
7ГО
При помощи (29.23) это равенство переписывается в удобном для
нас виде
еМ") = -- , > avwc
§ (£^+)elW ) (Е*^-'-'). (29-96)
\ т
В (29.96) переменные «„ ' должны быть выражены через новые
переменные огп , огп и Ат, Вт, Ат, Вт в соответствии с
(29.73). После этого можно проводить вычисления средних значений
выражения (29.96), используя результаты предыдущего пункта.
Представим переменные ат и <5„ в удобном для последую-
щих вычислений виде:
^+) = ^(^+) + 5L-)) + i(aL+)-5L-)),
«i_) = \ (4+) + §1_)) - \ (4+) - *i_) )■ (29.97)
377

Переменные ат , входящие в величину (29.96), выразим через
остальные переменные при помощи соотношений (29.73). После это-
го все переменные aiZ и а„ в (29.96) разложим согласно (29.97).
В результате этих подстановок правая часть (29.96) оказывается вы-
раженной через новые канонические переменные; при этом первая
круглая скобка не зависит от операторов материи (29.64 - 65), и все
переменные в первой круглой скобке коммутируют со всеми перемен-
ными во второй круглой скобке. Учитывая этот факт и конструкцию
пространства состояний, описанную в предыдущих пунктах, легко
понять, что при вычислении средних справедлива формула
(^2") = -f (Е^+)е,т<7)-(Е^"")е_"г<7)- (29-98)
т п
Вычислим диагональные матричные элементы метрического тен-
зора относительно базисных состояний | р) = \ z, z-\-\ щ, щ, mi, rhj)
вида (29.89-90).
Заметим, что
(р\АтАп\р)~6т+п, (р\ВтВп\р)~6т+п (29.99)
и т.д., поскольку базисные состояния являются собственными со-
стояниями операторов чисел заполнения Л_|т|Л|т|, S_|m|5jm|
и т.д.
Вследствие соотношений (29.99) вычисление среднего (29.98) су-
щественно упрощается. Действительно, так как второе среднее в
правой части (29.98) зависит от операторов материи не более чем
квадратично, то согласно (29.99) под знаком среднего в (29.98) мо-
жет быть сделана замена:
£*£
Р,Я
p+q \Ap Aq
М-т\0{А-Р
p-q 5
2 Вр
Ар + р В_,
Bq\
о Вр
->■
->1^М^о(А„рАр + рВ„рВр). (29.100)
Далее при помощи (П9) и (П10) получаем
d(+)
М-п\ = ^-. (29.101)
Р+
378

Таким образом, под знаком среднего в (29.98) величины а™ ' долж-
ны быть заменены величинами
а^ = а{~) + ^ :J2(A-PAp+pB-pBp):, тфО. (29.102)
Р+ Р
Оператор а^' выражается через новые переменные при помощи
второго равенства в (29.73).
Теперь воспользуемся формулами (29.94) и (29.47). Таким обра-
зом, получаем
( z, z + | £ <#) eim° \z,z+)p = ^2 *m+) eimCT. (29.103)
ТП ТП
Аналогично находим
(z, z + | £ й<Г} е--»» | z, z+ )р = £ I»~) е"'П<7 >
Л(+) 1
В результате получаем следующий ответ для величины (29.98):
(р|е2^)|р) =
= -^zW(.){l(-V) + ^(i:^ + E-.-)V (29.Ю5)
Функции z(+)(<t), г(+)((т) и z( '(<т) удовлетворяют (29.48'). При
получении формул (29.105) мы считали, что базисный вектор нор-
мирован.
Обратимся к первому методу квантования.
Вычисление матричных элементов от метрического тензора при
помощи первого метода наталкивается на серьезные трудности. Дей-
ствительно, переменные а^ ' не являются операторами в физиче-
ском пространстве состояний Нро. Поэтому средние вида
(^a£)eim°)PD, <X>L+)e-'WW (29.106)
379

не определены. Вследствие условий квантования (29.87) и (29.88)
можно было бы допустить, что среднее (29.98) равно нулю, если ма-
тричный элемент вычисляется относительно порождающих состоя-
ний \к±)о. Однако это не спасает общую ситуацию, поскольку
при вычислении матричных элементов относительно возбужденных
состояний приходится вычислять средние вида (29.106).
29.6. Заключение
В данном параграфе применены два метода квантования к теории
двумерной гравитации. Первый метод позволяет, следуя идее Дира-
ка, провести квантование до конца. Это означает:
а) построение пространства физических состояний с положительно
определенным скалярным произведением;
б) явное выражение величин, имеющих физический смысл, через те
операторы, при помощи которых строится пространство физических
состояний.
Однако вычислить средние значения от метрического тензора
при помощи первого метода не удается по принципиальным причи-
нам. Это утверждение справедливо по меньшей мере в том случае,
когда пространство физических состояний строится при помощи опе-
раторов, Ап, Вп,..., определенных в пункте 29.3.
При втором методе квантования удается решить, кроме задач
а) и б), также задачу.
в) вычисление средних значений от метрического тензора относи-
тельно физических состояний.
Исходя из этих результатов, мы полагаем, что применение вто-
рого метода квантования целесообразно продолжить при изучении
других моделей.
В заключение сделаем следующее замечание.
Модель (29.63) может быть без труда проквантована в калибров-
ке "светового конуса". На применяемом здесь языке использование
этой калибровки означает наложение связей второго рода:
а«=0, йН = 0, <4+)=0, ^ = 0, тфО. (29.107)
380

При этом согласно (29.98) среднее значение метрического тензора
относительно основного состояния равно нулю. С другой стороны,
при втором методе квантования согласно (29.105) и (29.48') среднее
от метрического тензора относительно основного состояния, вообще
говоря, не равно нулю. Если считать, что метод квантования, осно-
ванный на явном разрешении связей первого рода при помощи нало-
жения специальных калибровочных условий, эквивалентен первому
методу квантования, то мы видим, что он не эквивалентен второ-
му методу квантования. При втором методе квантования структура
пространства физических состояний оказывается существенно бога-
че, чем при первом методе квантования (или при явном разрешении
связей первого рода).
29.7. Приложение
Пусть т - некий "времениподобный" параметр и z = е!Т. Введем
в рассмотрение следующие операторные функции:
д(т) = q(z) = i±- + I lnz + -L £ i 4+) z- . (П1)
2P+ г P+ ^ n
По определению:
u{z) = eiqW = z exp (i^-) exp ( - V — z~n I , u(z) = e1^) .
(П2)
Пусть контур С в плоскости комплексной переменной z один
раз обходит точку z — 0 против часовой стрелки. Определим че-
тыре бесконечномерные матрицы согласно формулам:
FMm,n = ^- I — z~n чт уД . (П4)
2т Jс z
381

Определения матриц Мт,п и F-Mm,n получаются из опреде-
лений (ПЗ) и (П4) путем замены q —>■ q, и —> й. Здесь и далее:
dr dz р+ ^
Обратим внимание на то, что все величины (Ш) - (П5) следует рас-
сматривать как формальные ряды относительно элементов свобод-
ной ассоциативной коммутативной инволютивной алгебры Л^+' с
образующими {aj-|_/jt>_|_, ат /р+, am /р+ }• Это положение остается
справедливым до тех пор, пока не производится вычисление каких-
либо средних относительно физических состояний. Коэффициенты
при мономах относительно образующих алгебры Л^ в разложе-
ниях величин (Ш) - (П5) являются конечными полиномами отно-
сительно z и z~l. Поэтому интегралы в (ПЗ) и (П4) определены
корректно. Тем самым матричные элементы матриц (ПЗ) и (П4)
принадлежат алгебре Л^+'.
Из (П2) имеем
/Vla»+) -n\
var In u(z) = varIn z — var > z
с v ' с с \ t—' n p+ I
Здесь varc F{z) означает изменение функции F[z) (вообще говоря,
неоднозначной вдоль контура С) при однократном обходе контура
С против часовой стрелки. При таком определении контура второе
слагаемое в правой части последнего равенства вклада не дает, и мы
имеем
var In м(г) = var In г = 2ттг. (П6)
При помощи (П2) и (П5) находим
du(z) u(z) т^-л ah '
£ — *-"#0. (П7)
dz z ^-J р+
п = -оо ГТ
Последнее неравенство является следствием того факта, что в алге-
бре -Д(+' отсутствуют какие-либо соотношения, кроме тех, которые
вытекают из ее коммутативности.
Образ контура С в алгебре -4'+) при отображении (П2) обо-
значим С.
382

Отображение (П2) может быть обращено. Это является след-
ствием неравенства (П7). Указанное обращение означает, что суще-
ствует аналитическая функция z(u) от переменной и, обращающая
уравнение (П2) в тождество. Функция z{u) является формальным
рядом переменных { а(+)/р+ }. Уравнение (П2) можно обращать ме-
тодом итераций относительно степеней переменных а'+^/р+. Пусть
г{и)
*(°)|
и) + г^Ци) +
где
+ оо
*(•■)(«)= y: *p
и Zn являются однородными функциями переменных а^+>/р+
степени г. При помощи уравнения (П2) получаем
г(°)г
и е
-iS
5 =
.(+)
v ' ^ пр+ v
2Р+
<5„,
Л2Ци) = ue-iS
п^О
Р+
^ пр. v
ES
(+)
т^О
™Р+
(e-'V
(П8)
и т.д. Уравнение (П2) однозначно определяет каждый следующий
член z^'\u) по предыдущим.
Из (П6) следует также, что при однократном обходе переменной
и по контуру С* против часовой стрелки переменная z один раз
обходит контур С против часовой стрелки. Из сказанного вытекает
возможность "переделки" замкнутого интеграла по переменной z
вдоль контура С в замкнутый интеграл по переменной и вдоль
контура С* и наоборот. Согласно (П7) и (П5)
du
и
dz
z
■я-
(П9)
383

Обратные матрицы к матрицам (ПЗ) и (П4) проще всего представля-
ются в виде
M»' = h$ diu~'zn' (шо)
гпг Jc. и
FM«'* = h$ di"-l*n(*r112- (П11)
Ini Jc. и
Для доказательства равенств М М~1 = М~1 М = 1, FM FM~1 =
— F M.~1 FM = 1 используются тождества
1 * j +оо / \гг
dz
,±Х f{u,z(u)) = -L I *fl/(Ulfz(Ul)) £ n'f-^V
5 = 0,1,... (П12)
В (П12) функция /(г, и) разлагается в ряды Лорана по своим
аргументам, и интеграл идет против часовой стрелки. Тождества
(П12) основаны на очевидных равенствах
Jc z Jc- u
Вследствие (П6) и (П12) с 5 = 0 имеем
,^ • «,n 2iTz /с. «1 * 2жг Тс z /^ \z)
/ = —оо /= —оо
* / ^и?-п=5т_п_ (ШЗ)
2тгг Ус. «1
В (ШЗ) подразумевается, что и — u(z) и z\ — z{u\). Таким образом,
равенство М.М.~1 — \ установлено. Аналогично устанавливаются
соотношения M~lM — \, FMFM~1 = 1, FM~1FM = 1-
Непосредственно из формул (ПЗ) и (ШО) вытекает соотношение
lM-\=nM-i,-„, (П14)
384

справедливое при всех I и п. Из (П4), (П9) и (П11) получаем
также:
FM-]l=FM-l,-n. (П14')
Ненулевые коммутаторы а\^' и а^ с u(z) и u(z) находятся
при помощи (П2) и (2.12):
[<4-), «(*)] =-—*m«(*). ™#0, [a(-),M(Z)] = --^ZmM(Z).
(П15)
Для величин с чертой соотношения (П15) также имеют место.
Из определений (ПЗ) и (П4) при помощи (П15) следует, что
2п
[а^\ Mn,i] = Mn>i-m ,
Р+
[^),FMnJ} = --^- I ^z-'+-M«(2n(?)1/2 + m(g)-1/2),
2ттгр+ J c z
тфО,
[ai-\MnJ} = -—Mnj, [a{-\FMnj} = - — FMnJ. (П16)
P+ P+
Коммутационные соотношения (П16) сохраняют свой вид, если везде
в (П16) подставить величины с чертой. Соотношения (П16) исчер-
пывают все ненулевые коммутаторы между величинами а'-', 6^~\
М, М, FM, FM,.
Теперь при помощи (П14) и (П16) получаем
Р+
[4_). M-]t] = у+М-1,-п = ^-V (П17)
В пункте 3 используются следующие формулы:
Е M^il+qMjp_q = М^+п)Л1+р) , (П18а)
я
Е Я (м^1+д M-]p.q - M~]l+q M~m\p_q ) =
385

= (m-n)M-(i+p)y-(m+n), (П186)
£ g2 {M-m\l+q M^p.q - M~]l+q M^p_q ) =
я
= (m-n)(p- l)M-(i+p),-(m+n). (П18с)
Например, при помощи формул (ШО) и (П12) с s = 1 получаем
£ яМ-]1+яМ^р_ч=— i d«.«-"z--(u-'z™). (П19)
g=-oo •/C*
Так как нас интересует лишь антисимметричная по индексам m и
п часть (П18), то в правой части (П18) можно вынести м-' из-под
знака дифференцирования. Учитывая также, что (dz/du) du = dz,
получаем формулу (П18Ь). Остальные формулы (П18) доказывают-
ся аналогично.
Укажем также следующие формулы:
£ M-],M-imir = — £ ain-mM^r+s, (П20)
И1{гм-\/мт\-рм-п\чрМ1\) =
= ^£«!+> <-„*«>■ (то
При выводе (П20) и (П21) используются соотношения (П9), (ШО) и
(П12).
§ 30. Новый динамический метод
квантования гравитации
30.1. Введение
В настоящем параграфе мы изложим идеологию и логическую схе-
му недавно возникшего нового метода квантования общековариант-
ных теорий, который называется динамическим методом квантова-
ния [23, 57, 65]. Методология, разработанная в S 29 при квантовании
386

двумерной гравитации, естественным образом развивается в метод
динамического квантования любых общековариантных теорий.
Ключевым моментом при квантовании двумерной гравитации бы-
ло построение полного набора таких операторов {Ап,Вп,...}
(29.64 - 65), обозначаемых далее {An, AN}, которые обладают сле-
дующими свойствами:
1) Операторы An и AN взаимно эрмитовски сопряжены и
[AN,AM] = 0, [AN,A\d] = 6NM. (30.1)
2) Множество операторов {An, An} описывает все физические
динамические степени свободы системы.
3) Каждый оператор из множества {An, An} коммутирует со
всеми связями первого рода или с полным гамильтонианом теории.
Квантование проводится непосредственно при помощи операто-
ров {An, An}- Это означает, что пространство физических состоя-
ний строится при помощи операторов {AN } из основного состояния
и все операторы выражаются через операторы {An, An}, а также
через операторы, описывающие калибровочные степени свободы.
В рамках динамического метода квантование также проводится
по описанной схеме. Однако если в теории двумерной гравитации
операторы {An, An} строились явно (т.е. явно выражались через
исходные динамические переменные), то в более реалистичных тео-
риях эта задача едва ли может быть решена. Поэтому набор опера-
торов {An, An} со свойствами 1) - 3) приходится вводить аксиома-
тически. Наоборот, свойства 1) - 3) позволяют в принципе выразить
исходные переменные через удобные операторы {An, An}.
Однако, в отличие от двумерной теории гравитации, в реальных
моделях гравитации необходима регуляризация. В методе динами-
ческого квантования регуляризация осуществляется именно в тер-
минах операторов {An, An}. Как будет далее показано, такая ре-
гуляризация является естественной в общековариантных теориях,
так как она сохраняет форму уравнений Гейзенберга, а тем самым
и общую ковариантность теории.
30.2. Метод динамического квантования
Рассмотрим некую общековариантную теорию поля. Будем пред-
полагать, что в этой теории в классическом пределе гамильтониан
387

является произвольной линейной комбинацией связей первого рода,
а связи второго рода отсутствуют.
Обозначим через {ф(*)(ж) , р(*)(ж)} полный набор фундаменталь-
ных полей теории и их канонически сопряженных импульсов, через
которые выражаются все прочие физические величины и поля тео-
рии. Здесь индекс (г) нумерует сорт поля. Например, при неко-
торых (г) это могут быть 6 пространственных компонент метриче-
ского тензора gij(x), либо скалярное поле ф(х), либо дираковское
поле ф(х) и т.д. Набор полей {ф(!)(ж)} является полным набором
взаимно коммутирующих фундаментальных полей теории.
Далее для упрощения записи индекс (г) не выписывается. Мож-
но считать, что переменная х включает в себя, кроме координат
пространства, также и индекс (г).
Построение квантовой теории при помощи динамического метода
основывается на следующих естественных предположениях или ак-
сиомах относительно структуры нерегуляризованного пространства
F физических состояний теории.
Аксиома 1. Все состояния теории, имеющие физический смысл,
получаются из основного состояния | 0) при помощи операторов
рождения A'N:
\nuN1;...;n„N,) = (n1l.....n,\)-b. (Л^Г ' • • •' (4г.Г' I 0) ,
AN\0) = 0. (30.2)
Состояния (30.2) образуют ортонормированный базис простран-
ства F физических состояний теории.
Числа щ, ■ ■ ■ 1 ns принимают натуральные значения и называ-
ются числами заполнения.
Аксиома 2. Множество состояний <b[x)\ni,Ni\ ...; nS:Ns),
где набор чисел (ni,Ni; .. .; ns>Ns) фиксирован, содержит суперпо-
зицию всех состояний теории, у которых одно из чисел заполнения
отличается по модулю на единицу, а остальные совпадают с чи-
слами заполнения состояния (30.2).
Здесь операторы A'N и их сопряженные An обладают обычны-
ми коммутационными свойствами (30.1). Среди операторов {Ajv, A'N]
388

содержатся, вообще говоря, как бозевские, так и фермиевские. Если
операторы рождения и уничтожения имеют статистику Ферми, то
в (30.1) подразумевается антикоммутатор. Для интересующего нас
случая компактных пространств без ограничения общности можно
считать, что индекс N, нумерующий операторы рождения и уничто-
жения, принадлежит дискретной конечномерной решетке. В про-
странстве индексов N легко вводится норма.
Так как состояния (30.2) физические, то они удовлетворяют со-
отношениям (23.35):
nT\ni,Ni;...;n.,N.) = Q, (30.3)
то Ит ~ полный гамильтониан теории. Уравнения (30.3) вытекают
из совокупности следующих уравнений:
Пт\0) = 0, (30.4а)
[Ht,A*n] = 0, [Ht,An] = Q. (30.46)
Наоборот, из уравнений (30.3) вытекают уравнения (30.4а), а также
ослабленный вариант уравнений (30.46):
[HT,Alf]*0, [Пт,Ац]ы0. (30.46')
Далее мы увидим, что обе версии, (30.46) и (30.46'), приводят
к одинаковому результату. Поэтому основная линия изложения в
пунктах 2 и 3 базируется на упрощенной версии (30.46). При этом
параллельно вносятся в некоторые выводы поправки, возникающие
в результате перехода к более сложной версии (30.46'). Начиная с
пункта 4, разница между этими двумя версиями полностью исчезает.
Обратим внимание на то, что КС (30.46) являются следствием
общей ковариантности теории. В других теориях может не суще-
ствовать набора операторов со свойствами (30.46), исчерпывающего
физические степени свободы системы.
Следует заметить, что обе введенные аксиомы могут быть не-
сколько изменены в зависимости от свойств рассматриваемой дина-
мической системы. Здесь приведен простейший вариант формули-
ровки аксиом метода динамического квантования. В конечном счёте
важным является лишь требование выполнения следующих предпо-
ложений:
389

а) Существует набор операторов {А^, AN], исчерпывающих фи-
зические степени свободы системы и удовлетворяющих КС (30.46)
или ослабленному варианту КС:
[HT,AN] = XNAN. (30.5)
б) Матрица, составленная из элементов [Am, A'N], [Am, An] и
[А*м, A'N], является обратимой.
В отличие от рассматриваемой здесь ситуации (30.2 - 4) в при-
мере, изученном в § 29, мы имели ограничение на числа заполнения
вида (29.90). Отсутствие каких бы то ни было ограничений на чи-
сла заполнения физически означает, что в теории отсутствует явле-
ние "невылетания". (Под "невылетанием" в физической науке под-
разумевают такую ситуацию, когда некоторые сорта частиц слабо
взаимодействуют на малых расстояниях, но не могут существовать
как отдельные стационарные частицы с конечной энергией). Таким
образом, аксиомы 1-2 вместе с соотношениями (30.1 - 4) относятся
к системам, в которых кванты фундаментальных полей могут су-
ществовать как стабильные частицы. Напротив, если имеют место
соотношения (30.5), то для выполнения равенств (30.3) необходимо
следующее ограничение на числа заполнения (ср. с (29.90)):
У%я Ajy = 0.
N
Далее предполагаются справедливыми аксиомы 1-2 и равенст-
ва (30.4).
Приведем некоторые следствия из аксиом 1 и 2.
Пусть | N ) = AN | 0 ). Из аксиомы 2 вытекает, что
Ф(х)\М) = фм(х)\0) + \М;Ф(х)),
<0| JV; Ф(х)> = 0, (30.6)
и линейно независимые поля фя{х) не зависят от операторов Ам
или А]м:
[Фы{х),Ам] = 0, [М*). 4f] = 0. (30.7)
Если Ф(ж) - вещественное поле, то из аксиом и формул (30.6) сле-
дует справедливость разложения
Ф{х) = J2(An ФмП + AN ф*м(х)) + ф{х), (30.8)
N
390

где поле ф(х) не содержит операторов An и AN в первой степени.
В случае комплексного Дираковского поля ф разложение (30.8)
приобретает вид
1P(x)=Y/AntPn(x)+xW, (30.9)
N
где {А^, A'n } - фермионные операторы. Если фермионный кон-
денсат отсутствует, то фермионное поле х{х) имеет зависимость от
фермионных операторов {An, A*n } не ниже чем кубичную.
Поскольку операторы {An, An } - сохраняющиеся, то вся ди-
намика полей Ф(х) (ф(х)) заключена в переменных 4n{x) и
ф(х) №n(x), xix))-
Предыдущие построения позволяют рассмотреть регуляризацию
теории. До сих пор наше изложение было формальным, поскольку
сингулярности теории во внимание не принимались.
Важность КС (30.1) и (30.46) заключается в том, что любой набор
пар операторов {An, AN}" может рассматриваться как набор свя-
зей второго рода. Это дает возможность проведения регуляризации
следующим образом.
Выделим конечный набор пар операторов уничтожения и рожде-
ния {An, An}' и занумеруем их таким образом, что \N\<Nq. По-
скольку физическая информация содержится в волновых функциях
фт(х), то фактически этот выбор определяется выбором набора ли-
нейно независимых волновых функций {0дг(г)}', соответствующего
набору операторов {An, An}'. Выбор функций в наборе {фн(х)}'
определяется физическими условиями задачи. Например, если х-
пространство является тором, то в качестве волновых функций этого
набора в заданный момент времени могут быть взяты периодиче-
ские бегущие волны, волновые числа которых ограничены по моду-
лю. Все операторы рождения и уничтожения, кроме выбранных, т.е.
операторы с \N \ > No, полагаем равными нулю:
AN = 0, An = 0, \N\>N0. (30.10)
Докажем важную для нашего метода теорему, придающую смысл
всей схеме динамического квантования.
Теорема. В случае выполнения условий (30.46)наложение свя-
зей второго рода (30.10) не изменяет формы уравнений Гейзенберга,
391

сохраняя их классический вид.
Доказательство. Пусть \M'),\N'), ... обозначают базис-
ные векторы (30.2), построенные при помощи ограниченного набора
операторов {А^, A'N}', и F' обозначает фоковское пространство
с этими базисными векторами. Наложение связей (30.10) означает,
что пространство физических состояний F ограничивается до регу-
ляризованного подпространства F' С F. Для любого оператора А
в регуляризованной теории рассматриваются лишь матричные эле-
менты вида (М1 \A\J\f' ). Поэтому соответствующие связям (30.10)
матричные элементы квантовой скобки Дирака операторов А и В
представляются в виде (звёздочка сверху обозначает скобку Дирака)
{M'\[A,BY\JS') = J2((M'\A\£>){£>\B\N')-
с
-{М'\В\С'){С1\А\М1)). (30.11)
По определению квантовой скобки Дирака операторы А^ и A'N с
| N | > jVo, содержащиеся в операторах А и В из (30.11), полагают-
ся равными нулю после их нормального упорядочения. Коммутатор
[А, В] формально отличается от скобки Дирака (30.11) тем, что при
вычислении матричных элементов (М11 [A, B]\j\f') по формуле,
аналогичной (30.11), суммирование идет по всем промежуточным со-
стояниям (30.2). Допустим, что оператор В диагоналей в базисе
(30.2) и не зависит от операторов AN и A'N с \N\> No- Тогда
из (30.11) видно, что
{М'\[А,В]*\Я') ={М'\[А,В\\Я'). (30.12)
Теперь остается заметить, что все операторы чисел заполнения ндг =
= AN AN коммутируют с полным гамильтонианом. Более того,
вследствие коммутационных соотношений (30.46) гамильтониан не
зависит от операторов Лдг, AN. Поэтому в (30.12) вместо оператора
В можно подставить гамильтониан %т- Это означает справедли-
вость теоремы.
Имеется также классический вариант приведенной теоремы.
Наложение связей (30.10) полностью сохраняет вид уравнений
движения, что выражается равенством [^,71т] — [^,'Нт]*-
392

Последнее утверждение немедленно следует из формул (30.46) и
(23.31).
Следствие. Регуляризованная теория является общековариант-
ной.
Действительно, это непосредственно вытекает из доказанной тео-
ремы. Уравнения движения, которым подчиняются поля Ф(х) в ре-
гуляризованной теории, совпадают по форме с классическими урав-
нениями движения, являющимися общековариантными. Тем самым
следствие доказано.
Поскольку в регуляризованной теории может быть оставлено в
принципе любое число физических степеней свободы, то по этому
числу может быть развита теория возмущений.
Подчеркнём, что скобка Дирака [£, \]* двух произвольных опе-
раторов £ и Xi вообще говоря, отличается от коммутатора [£, \\
как в классическом, так и в квантовом случаях.
Следует обратить внимание на следующее обстоятельство.
Пусть операторное поле 0(х\ Ащ, A*N ) является нормально упо-
рядоченным рядом относительно образующих алгебры Гейзенберга
{AN,A^N}:
0(х; AN, А^ ) = 0М{х) + J2N [О^Ч*) А* + 0^\х) Ам) + • • •
(30.13)
Здесь операторные поля О^0'{х) ,On (x) и т.д. не зависят от обра-
зующих алгебры Гейзенберга { Ащ, A'N }. Тогда равенство
O(x;AN,Alf)=0
равносильно системе равенств
O(°)(i) = 0 , О(„1){х) = 0, ... (30.14)
Теперь предположим, что имеет место ослабленная версия ком-
мутационных соотношений (30.46'). В этом случае полный гамиль-
тониан Ит содержит операторы A'N и Д/у. Если в (30.13) в качестве
оператора О взять полный гамильтониан, то соответствующие коэф-
фициентные операторы в этом разложении обозначаются через "Щ,',
Пт',ъ т.д.
393

Легко понять, что из слабых равенств (30.46'), коммутацион-
ных соотношений (30.1) и аксиомы 1 вытекает серия следующих ра-
венств:
?40)|0) = 0, ^±1)|0) = 0,... (30.15)
Пусть ~Ht = IZi^j^ji где Фз ~~ полный набор связей первого ро-
да. Тогда согласно (30.15) множество операторов {ф^ , <f>jN , • • •}
можно рассматривать как набор связей первого рода, действующих
на пространстве функционалов, зависящих лишь от калибровочных
степеней свободы. При этом набор связей {ф; } является полным
в том смысле, что выполнение всех равенств ф- \ ) =0 означает,
что состояние | ) не зависит от калибровочных степеней свободы.
Действительно, если мы устраним все физические степени свобо-
ды, описываемые переменными {AN, A^}, то полный гамильтониан
сведется к оператору Wj,' = YLj^j'Pj > который обращается в нуль
лишь на функционалах, не зависящих от калибровочных степеней
свободы. Отсюда следует, что высшие связи ф^м ' и т.д. не являют-
ся независимыми, то есть
ф<*1) = 0 (mod фЮ) , ... (30.16)
Поэтому все высшие уравнения в (30.15) являются следствиями пер-
вого уравнения.
Теперь установим, что в случае версии (30.46') теорема справед-
лива в классическом пределе. Действительно, из определения и
сказанного выше следует, что при наложении связей второго рода
(30.10) имеем:
[Ф>, ФзТ - [Ф> > Фз] + Ли •
Здесь оператор Asj квадратичен относительно связей ф^ ' и т.д. и,
следовательно, не менее чем квадратичен относительно операторов
ф\м- Поэтому величина A,j в последнем равенстве может быть опу-
щена, так как вообще скобки Пуассона и Дирака двух связей вычи-
сляются лишь с линейной точностью относительно связей. Очевид-
но также, что при наложении связей (30.10) уравнения движения
в классическом пределе сохраняют прежний вид с линейной точно-
стью относительно имеющихся связей. Это означает, что уравнения
движения не изменяются.
При переходе к квантовой механике алгебра операторов связи
сохраняется с точностью до возможных квантовых аномалий. В
394

применяемом здесь аксиоматическом подходе постулируется отсут-
ствие квантовых аномалий в уже регуляризованной теории. Разу-
меется, наличие или отсутствие квантовых аномалий должно уста-
навливаться путем детальных вычислений в конкретных моделях.
Заметим, что в теории гравитации теряет силу общий вывод о суще-
ствовании в релятивистской квантовой теории поля швингеровского
члена в коммутаторах компонент тензора энергии-импульса. Дей-
ствительно, существование швингеровских членов в коммутаторах
времени-временной и пространственно-временных компонент тензо-
ра энергии-импульса является следствием положительности опера-
тора Гамильтона в обычной релятивистской квантовой теории поля.
Последнее свойство отсутствует в теории гравитации, поскольку в
данном случае гамильтониан слабо равен нулю.
30.3. Аксиоматический подход
Теперь изложим более аксиоматизированную схему динамиче-
ского квантования. Эта схема, являясь, быть может, менее есте-
ственной, обладает большей логической стройностью и упрощает вы-
числения.
Основой такого подхода является
Предположение. Теория регуляризована таким образом, что
выполнены следующие аксиомы.
Аксиома 3. Все состояния теории, имеющие физический смысл,
получаются из основного состояния | 0 ) при помощи операторов
рождения A'N с | N | < No:
|7Jl),V1;...;n,),V,) = (n1!-....rl,!)-T.(J43Vl)-....-(J43v>)n-|0))
Лдг 1 0) = 0 . (30.17)
Состояния (30.17) образуют ортонормированный базис простран-
ства F' физических состояний теории.
Аксиома 4. Динамические переменные Ф(г) переводят состо-
яние (30.17) с фиксированными значениями чисел (п\, N\; ...; ns, Ns)
в суперпозиции состояний теории вида (30.17), содержащие все со-
стояния, у которых одно из чисел заполнения отличается по мо-
дулю на единицу, а остальные совпадают с числами заполнения
395

состояния (30.17).
Аксиома 5. Уравнения движения и связей для физических по-
лей {Ф(ж) ,V(x)} с точностью до расстановки операторов совпа-
дают по форме с соответствующими классическими уравнениями
и связями.
Аксиомы 3 и 4 являются аналогами аксиом 1 и 2 в нерегуляризо-
ванной теории. Аксиома 5 заменяет собой теорему из пункта (30.2).
Она постулирует правильный вид уравнений движения и связей в
согласии с классической механикой. Поскольку теперь уравнения
движения выводить более не нужно, то ненужным становится и га-
мильтониан.
Обратим внимание на то, что уравнения Гейзенберга полностью
являются уравнениями типа (30.14), в то время как уравнения свя-
зей (30.4) распадаются на две серии:
?40)|0) = 0, (30.18а)
П^ = 0 ,■•■ • (30.186)
Уравнения (30.186) следует рассматривать как тождества.
В случае версии (30.46') вместо последних уравнений мы имеем
серию соотношений (30.15).
Таким образом, при формальном подходе задача сводится к сле-
дующему. Выбираются конечный набор линейно независимых функ-
ций {фм{х]}' и соответствующий им набор пар операторов
{An, An}', с их помощью согласно (30.8) составляется квантовое
регуляризованное поле Ф(ж). Затем квантовое регуляризованное
поле подставляется в уравнения движения Гейзенберга и уравне-
ния связей, которые решаются в соответствии с (30.14) и (30.18) или
(30.15). В результате таких вычислений должно быть найдено явное
выражение для поля ф(х) в (30.8) как нормально упорядоченно-
го ряда относительно образующих алгебры Гейзенберга { Лдг, AN }.
Физическое состояние задаётся разложением по базису (30.17) и по
отношению к этому состоянию вычисляются всевозможные средние.
В изложенной логической схеме квантования остаётся неясным
следующий вопрс: как решаются уравнения (30.18а) или (30.15)?
Здесь мы предлагаем решение этой задачи при помощи метода, кото-
396

рый в § 29 был назван вторым методом квантования
(см. пункт 29.2).
Далее мы будем предполагать, что удовлетворяются более сла-
бые уравнения, чем уравнения (30.18):
(0|^0)|0)G = 0, (0|?/^vI)|0)G = 0, ... (30.19)
Уравнения (30.19) являются аналогом уравнений (29.28) и (29.51).
Подчеркнём, что в (30.19) усреднение идёт лишь по калибровочным
степеням свободы системы, операторы lUj, и т.д. зависят от кали-
бровочных степеней свободы, но не от физических степеней свободы
{А„,А\,}.
Из (3.19) и последующих вычислений (см. следующий пункт)
будет видно, что обе версии коммутационных соотношений, (30.46)
и (30.46'), ведут к одинаковым результатам.
Предположим далее, что основное состояние |0) является коге-
рентным состоянием относительно калибровочных степеней свобо-
ды. Это означает следующее.
Пусть поле (30.8) таково, что в нём можно явно выделить в ли-
нейном приближении все калибровочные степени свободы. В теории
гравитации таким полем является гравитационное поле (метриче-
ский тензор или тетрада), но не поля материи. Представим поле
ф(х), являющееся вторым слагаемым в правой части в (30.8), в виде
ф(х)=ф0(х) + фЦ)(х) + ф'(х) ,
ф^(х) = Х>»^||п(*) + aU^n(x)). (30.20)
п
Здесь фо(х) и ф\\п(х) - с-числовые поля, причём набор мод {0цп(г)}
образует полный набор продольных мод. Иными словами, любое
бесконечно малое чисто калибровочное преобразование поля Ф(г)
может быть однозначно разложено по набору ортонормальных (в не-
кой смысле) мод {0цп(г), Фнп{х)}. В случае теории гравитации про-
дольная часть метрического тензора задаётся выражением (12.14).
Поле ф'(х) зависит от операторов {ап, а^} не ниже чем квадра-
тично. Естественно считать, что операторы {anjQ^} являются
образующими алгебры Гейзенберга:
[am,all} = Smin , [am,a„] = 0. (30.21)
397

Предположим, что основное состояние | 0) является когерент-
ным по отношению к калибровочным степеням свободы:
an|0) = zn|0), (0|4 = (0|<. (30.22)
Здесь {zn} - некие комплексные числа. Так как в правой части
уравнения (30.8) все операторы {ап, a],, An, An} по определению
нормально упорядочены, то
(0|Ф(1)|0)е = Фи(1)+ J2 [</>n(*)An+</>n(x)An] + ---.
\N\<N0
(30.23)
В отличие от (30.18), в правой части (30.23) все функции Ф/еп(х),
фм{х) и т.д. являются с-числовыми функциями, зависящими от
чисел zn. Обратим внимание на то, что совокупность числовых
функций { ф\\п(х), фщ(х) } образует полный независимый набор функ-
ций, по которому можно разложить любую вариацию поля Ф(х).
Далее мы будем считать, что уравнения Гейзенберга и связей
приведены к лагранжевому виду. Это означает, что импульсные пе-
ременные V(x) выражены через координатные переменные Ф(х) и
их производные при помощи соответствующей части уравнений Гей-
зенберга и подставлены в уравнения связей и оставшиеся уравне-
ния Гейзенберга. В результате в теории гравитации мы получаем
квантовые микроскопические уравнения Эйнштейна и лагранжевы
уравнения для полей материи. Термин "микроскопический" в дан-
ном случае означает, что тензор энергии-импульса в уравнении Эйн-
штейна явно выражен через поля материи (скалярные, векторные,
спинорные и т.д.), а термин "квантовый" - что все поля в уравнениях
Эйнштейна-Лагранжа являются квантованными.
Ниже совокупность квантовых микроскопических уравнений дви-
жения и связей в лагранжевой форме мы называем коротко уравне-
ниями движения.
Проблема упорядочения операторных полей в уравнениях дви-
жения не может быть решена в рамках столь общего рассмотрения.
По-видимому, эта проблема связана с проблемой непротиворечиво-
сти (самосогласованности) теории и может быть решена лишь вместе
с разработкой эффективной вычислительной схемы.
Усредним уравнения движения относительно калибровочных сте-
398

пеней свободы. Чтобы в уравнениях движения под знаком среднего
(0 | {R,u -~д„иЯ- ^Гт»« } 10 )g = 0 (30.24)
воспользоваться соотношениями (30.22), необходимо нормально упо-
рядочить совокупность операторов {ап, aj,} в фигурных скобках в
(30.24). Поскольку поле Ф(х) (или gliv(x)) является рядом по по-
лю ф\ '(х) и его производных (см. (3.20)), то в результате такого
упорядочения возникают суммы вида
Е^адл*). Е^и.^Ы*)- (30-25'
п п
и т.д. В суммах (30.25) индекс п, нумерующий калибровочные сте-
пени свободы, пробегает все свои значения. Очень важно, что фи-
зические величины не зависят от калибровочных степеней свободы.
Поэтому регуляризация по калибровочным степеням свободы не тре-
буется. Это означает, что в суммах (30.25) суммирование действи-
тельно идет по всем п. Следовательно, суммы в (30.25) пропорци-
ональны интегралам вида
Г Н°-1)к
iB~l*TP(lfc|'fe0, (30'26)
где D - размерность пространства-времени и P{\k\,kj) - полино-
мы по положительным степеням \к\, ki, причём среди полиномов в
(30.26) содержится, вообще говоря, полином нулевой степени
Ро(|*|Л) = 1.
Действительно, рассмотрим поле
h(x) = J2(AN<f>N(x) + AUM*)) + ФЦЧ*) , (30.27)
N
которое является первым членом разложения поля (30.8) по опера-
торам { An, An, an, ajj }. В теории гравитации роль поля (30.27)
играет поле h^v в (27.101). Согласно (27.118) поле h^v является бо-
зонным тензорным безмассовым полем в искривлённом пространстве-
времени и его кинетическая энергия имеет обычную для бозонных
полей структуру, являясь дифференциальным оператором второго
порядка. Поэтому процедура квантования, приводящая к разложе-
нию поля (30.27) по модам {ф^(х), фцп }, в размерностном смысле
399

идентична процедуре квантования в теории скалярного поля. Как
известно, в теории безмассового скалярного поля в пространстве
Минковского для мод справедлива формула (см.(26.81)) фк(х) ~
~ |k|_1/2exp(ikx). Так как здесь кривизна пространства-времени
не играет роли, то отсюда видно, что суммы (30.25) имеют вид ин-
тегралов (30.26).
Согласно (27.54) все интегралы (30.26), а тем самым суммы (30.25),
равны нулю при D > 2, т.е. во всех теориях гравитации в пространст-
ве-времени размерности больше двух.
Полученный результат означает, что во всех теориях гравитации,
кроме двумерных, все операторы ап и aj, в уравнении (30.24) ещё до
их нормального упорядочения могут быть заменены числами z„ и
г* соответственно, после чего операция усреднения в (30.24) может
быть опущена. В двумерных общековариантных теориях необходи-
мы более непосредственные вычисления при работе с калибровоч-
ными степенями свободы. К счастью это возможно (см. § 29) ввиду
кинематической простоты двумерных теорий.
Подчеркнём, что возникающие при упорядочении операторов А^
и A'N в уравнении (30.24) суммы вида
J2 Фм(х)ф*м{х)
\N\<N0
отбросить нельзя, так как эти суммы являются регуляризованными.
Физически измеримые величины включают в себя указанные регу-
ляризованные суммы, дающие квантовые поправки. Эти квантовые
поправки возникают как результат нормального упорядочения опе-
раторов, описывающих физические степени свободы. В книге [55]
именно таким путём Дираком были вычислены вклад в аномальный
магнитный момент электрона и лэмбовский сдвиг уровней электрона
в атоме водорода.
Коэффициентные функции материальных полей (например, iPn(x)
в (30.9)) также зависят от калибровочных степеней свободы { an, aj, }.
Последние под знаком среднего в (30.24) могут быть заменены чи-
слами { z„, 2* }. Обоснование такой замены и возникающее при этом
ограничение размерности пространства-времени остаются прежни-
ми.
Теперь мы можем существенно дополнить нашу систему акси-
ом следующим предположением: в аксиомах 3-5 используется по-
ле (30.23), т.е. квантованное поле, усреднённое относительно ка-
400

либровочных степеней свободы. Поля ф(с')(:г), фы(х), iPn{x) и т.д.
удовлетворяют неким уравнениям, которые однозначно получают-
ся из лагранжевых уравнений движения, если в них подставить
разложение поля Ф(х) в виде (30.23) и затем, после нормально-
го упорядочения операторов { Адг, A'N }, приравнять нулю коэффи-
циенты при различных степенях образующих алгебры Гейзенберга
{ Лдг, A'N }. При этом в результате указанного нормального упоря-
дочения возникает связь высших коэффициентных функций с низ-
шими коэффициентными функциями в разложении (30.23). Мы по-
лучаем бесконечную цепочку уравнений для коэффициентных функ-
ций { Ф<с') (х), фц (х), фы (х),...}.
Последнее предположение может быть введено при помощи сле-
дующей аксиомы, заменяющей аксиому 5.
Аксиома 5'. Уравнения движения для квантованных полей (23)
с точностью до упорядочения квантованных полей совпадают по
форме с соответствующими классическими уравнениями движе-
ния.
Замечание. Согласно аксиоме 5' динамика калибровочных сте-
пеней свободы в реальной теории гравитации всегда квазиклассична.
На интуитивном уровне это предположение может быть оправдано
тем, что у калибровочных степеней свободы отсутствует потенциал,
их динамика подобна динамике свободной частицы. Легко увидеть,
что последняя с ростом времени становится классической. Действи-
тельно, пусть х и р - гейзенберговы операторы координаты и им-
пульса свободной нерелятивистской частицы массы т. Тогда
Р = ро, х = х0-\ 1,
т
где t - время, а <г0 и р0 - постоянные операторы, удовлетворяющие
коммутационному соотношению [яо,ро] = г Л. Очевидно, что если
(р0) ф 0, то при t —> оо
<'><*> -+оо
|<[*,р]>| '
что и означает квазиклассичность динамики свободной частицы. Ска-
занное представляется справедливым для движения в некомпактных
401

калибровочных группах, каковой является группа общих преобразо-
ваний координат. Напротив, при движении по компактным группам
(как калибровочная группа в теории Янга-Миллса) отказ от кван-
товомеханического описания невозможен.
Система аксиом 3, 4 и 5' даёт определение квантованного вари-
анта заданной общековариантной теории.
Ещё раз отметим, что проблема упорядочения операторных по-
лей в уравнениях движения при столь общем рассмотрении не ре-
шается.
30.4. Динамическое квантование гравитации
Теперь применим разработанную схему квантования к теории гра-
витации.
Рассмотрим теорию гравитации с Л-членом, которая взаимодей-
ствует минимальным образом с дираковским полем. Действие такой
теории имеет вид (см. (13.32) и (22.46)):
5=-i- f d4x^j (Л+2А) +
+ [d4x^j (^(ф^'^ф-Ц^^ф^ -тпфф\. (30.28)
Здесь {е£} - ортонормированный базис, R = еаеь^'о1 и 2-форма
кривизны задается согласно (9.286).
Выпишем уравнения движения для системы (30.28).
Вариация действия (30.28) относительно связности приводит к
следующему уравнению:
V, el - V„ ej = --fi sabcd efa ^757d ф = Т£„ . (30.29)
При выводе последнего уравнения мы использовали равенство
7а аЬс + аЬс 7а = -kabcd 75 Id , (30.30)
а также технику, примененную при получении уравнения (13.25).
Абсолютно антисимметричный тензор в (30.30) определен в пункте
24.4. Согласно (9.28а) правая часть уравнения (30.29) является тен-
зором кручения. Мы видим, что включение в теорию дираковского
поля приводит к появлению кручения.
402

Заметим, что кручение (30.29) обладает следующим свойством:
т;, = е^т;, = о. (зо.з1)
Поэтому, несмотря на существование кручения в рассматриваемой
теории, в уравнении Дирака тензор кручения не присутствует
(см. (22.50)):
(гг»а1аЪ^-т)ф = Ъ. (30.32)
Вариация действия (30.28) относительно ортонормированного ба-
зиса приводит к уравнению Эйнштейна, которое мы записываем в
виде
Яци + Ад^ = -1р I -\ф7с ес^Т>„)ф - е^Ъ^фч0 -ф] - -тффд^ \.
(30.33)
Здесь выражение в фигурных скобках равно (!),„ —1/2 д^ Т), где Т^
является тензором энергии-импульса на массовой поверхности (т.е.
с учетом уравнений движения материи - в нашем случае уравнения
Дирака (30.31)).
Уравнения (30.29), (30.30 - 33) вместе с соотношениями д^и =
— Vabe1^, и еа e/j = $а образуют полную систему классических урав-
нений движения и связей для системы (30.28).
Представим поля в виде суммы классических и квантовых соста-
вляющих:
9^ = 9(ci)w + V . е1 = е(т/)л + fl ■ (30.34)
Предположим, что фермионное поле не имеет классической соста-
вляющей, так что
ф(х)= £ [Вмф^}(х) + С^ф^)(х)') + ..., (30.35)
\N\<NF
где фермиевские операторы рождения и уничтожения удовлетво-
ряют следующим антикоммутационным соотношениям (как обычно
выписываются лишь ненулевые соотношения):
{ Вм , Bjv } = { См , tfN } = 5M)N . (30.36)
Полный ортонормированны Г( паборфермионныхмод <. ф^ (х)> есте-
ственно определить следующим-образом. Обозначим через про-
странственноподобную гиперповерхьость, определяемую уравнени-
ем t = const и через Е^ ' - гиперповерхность при t = t0. Пусть
403

в пространстве-времени метрика задается при помощи тензора д^и.
Эта метрика индуцирует метрику на Eg , которая в локальных ко-
ординатах х', i — 1, 2, 3, представляется метрическим тензором 3<7,j
(см. (24.2)). При помощи уравнений
39ij,k - Jlik 3gij + 7Jfc Z9u , lij = Iji,
з
9ij -~ !__, ei ej . e» ep - 6<*p >
<9Ла + 7*i 3ea + 3w«^ 34 = 0 , Зш«р, = -3^a,-
определяются на щ ' связность (без кручения) в локальных ко-
ординатах Yjk и спиновая связность Зша^. Для дираковского
одночастичного гамильтониана имеем
Легко проверить, что в метрике
{Фм,Фы) = I rd3x^g~ip1MiPN (30.37)
оператор 7{х> является самосопряженным. Поэтому решение задачи
на собственные значения на Eq
^^W^iejv^W. £N>0 (30.38)
имеет полный набор ортонормированных мод в метрике (30.37). Вез-
де верхний индекс (0) означает, что в соответствующей величине по-
ля берутся в нулевом приближении относительно квантовых флук-
туации.
Заметим, что между положительно- и отрицательночастотными
модами может быть установлено взаимно однозначное соответствие
при помощи равенства 7°75 Фм ~ Фм ■
Обратим внимание на то, что скалярное произведение
{фм,Фы)= I d3x л/-д(°) фм фм (30.39)
404

не всегда совпадает со скалярным произведением (30.37). Соглас-
но (24.47) эти скалярные произведения совпадают, если функция
хода N — 1, что имеет место, например, для метрики д^' — 0,
<7оо = 1- Скалярное произведение (30.39) имеет то преимущество
перед скалярным произведением (30.37), что если моды {ipN '(х) }
удовлетворяют уравнению Дирака в нулевом приближении относи-
тельно квантовых флуктуации (что согласно нижеизложенному дей-
ствительно имеет место), то скалярное произведение (30.39) сохра-
няется с течением времени (см. пункт 22.2).
Поле h^ в (30.34) разлагается следующим образом:
hlil/=lp 2__j &N hvAn + h*N ^„Лдг) +
\N\<N0
+ l2p{ 22 (hNiN2 nvANlAN3 + h*NiN2 ^A1NiA1N2 +
\Ni\,\N2\<N0
+ hNllNa „„A^ AN2)+ £ (кТм2\, Вк Bn2 +
+ hN2 Ni v.v CNi cn2 + hN[+N2 „„ BNi CN2 + hNi+N2 *„ CN2 BNl) j + ... .
(30.40)
В (30.34 - 35) и (30.40) с-числовые коэффициентные поля ф^ ' ,
9(d)iu>\ ^N iiu и т.д. разлагаются по степеням планковского мас-
штаба, например,
9(d) ц* = 9$ + % 9$) „и + • ■ • ■
Вследствие вещественности поля (30.40) имеем
hNiNi lit/ = hN7N! hi/ , ^Ni\N2 /ii/ — hN2\N! in/ ,
//(++)* -hF(++) fcF(~)* -hF{—] /30 41)
nN2 Ni fii/ - nNi N2 pi/ i nN2N1iii/ — nNlN2^.i/- [6\)Л\.)
Операторы {Лдг,Лдг} удовлетворяют бозевским коммутационным
соотношениям (30.31). О способе выбора набора функций {Hn in/ }
будет сказано ниже.
Согласно схеме динамического квантования мы должны подста-
вить поля (30.34-35) и (30.40) в уравнения (30.29) и (30.32-33), после
405

чего нормально упорядочить операторы { Лдг, A'N } и приравнять
нулю все коэффициенты при различных степенях этих операторов и
планковского масштаба.
Таким образом, получаем первые из этих уравнений:
VWeW«-v(o)e(°)° = 0, В<£) + Ад$ = 0. (30.42)
Здесь и далее все опускания и поднятия индексов производятся при
помощи тензоров g^J и </(°)'"/. Таким образом в наинизшем прибли-
жении поля удовлетворяют классическим уравнениям движения. В
нулевом приближении имеем также серию уравнений для фермион-
ных мод:
(ie(0)"7a2?(°) -m)^±)=0. (30.43)
Введём следующие обозначения:
к(0)\р
_I v(°) v(0)ff st s> - r(TJ + д(°)р st +
+ VW (^V^^-ivW^^j+f/.f-fH + SAJ^, (30.44)
R^{2\h,h') = \ [Rm*\h + h',h + h')-
-RW2\h,h)-R$Q\h',h!)\ . (30.45)
Нетрудно проверить, что (см. (27.106))
1 г(°)л" - S(Rnv + A9n»)
2 "" SgXf
(о)
и R\o (h, h) - квадратичная форма от тензорного поля h\p, за-
данная согласно (27.106) (без множителя 12Р) с использованием поля
g)iJ вместо поля д^. Таким образом, R^J (h, h') является сим-
метричной билинейной формой относительно своих аргументов Ъ,щ,
и /г'л которые ниже являются операторными полями (30.40). Так
здесь решена проблема упорядочения операторных полей в наиниз-
шем порядке.
406

Теперь мы можем выписать при помощи формул (27.105 - 106) и
(30.44 - 45) следующие соотношения, вытекающие из точных кванто-
вых уравнений при указанном выше разложении. В первом порядке
по 1р имеем
l-K^^hNXp = 0. (30.46)
Заметим, что с учетом уравнений (30.42) оператор (30.44) обраща-
ется в ноль на величине (^ ;„ -f £„ ;/J). Поэтому значение оператора
(30.44) на полях h^ и
><,„ = V + W+^ (30.47)
совпадают для любого векторного поля £^. Этот факт являет-
ся следствием калибровочной инвариантности теории. Пользуясь
указанной калибровочной инвариантностью, можно любое решение
уравнения (30.46) привести к следующему виду:
^К-\^К = ^- (30.48)
Далее мы будем предполагать, что поле подчинено калибровочному
условию (30.48), которое удобно в ряде задач. Очевидно, что с уче-
том калибровочного условия (30.48) слагаемое в круглых скобках в
операторе (30.44) обращается в нуль.
Для выяснения вопроса о нормировке гравитационных мод вос-
пользуемся следующим приемом.
Уравнение движения (30.46) может быть получено при помощи
действия
5<2) = f d4x y/-gW h"" Л'<°)Л" hXf . (30.49)
Отсюда получается канонически сопряженный импульс для поля
h^v и одновременные перестановочные соотношения:
[h^x), 7гЛ"(у)] = iS^ 8>v) 6&(х - у). (30.50)
Очевидно, в (30.50) поля свободны от ограничения (30.48). Предста-
вим поле Ь,ци в виде (сравни с первым слагаемым в (30.40)):
М*) = J2 (WW an + h*Nllu{x) A*N) . (30.51)
N
407

Набор операторов {An, A*n } образует алгебру Гейзенберга (30.1), а
функции {/гд'/л'} удовлетворяют уравнениям (30.46). Из уравнений
(30.50-51) вытекают следующие соотношения, отражающие условия
ортонормальности набора мод:
i / <Pxy/^W[h%*vW0hNlll,-(VW0h%*)hNllv]=SM,N.
(30.52)
В последних уравнениях интегрирование идет по любой простран-
ственно подобной гиперповерхности Е'3'. Вследствие уравнений
(30.46) интегралы (30.52) действительно не зависят от гиперповерх-
ности. Естественно считать, что гравитационные моды удовлетворя-
ют условиям (30.52). Значение равенств (30.52) заключается в том,
что при его помощи задается нормировка коэффициентных функций
в разложении (30.40).
Во втором порядке по 1р получаем следующие уравнения:
\ КЦ)ХР hNlN, ар = -<)(2) (Ы, Ы) , (30-53)
\ К$ ХР hNllN2 Ар = -2 4°J(2) (h*Nl, hNa) , (30.54)
-WT'tf), (30.56)
\N\<N0
2
Из уравнения (30.29) видно, что в этом же порядке ~ 1р появля-
ется кручение. Однако мы здесь не выписываем соответствующих
поправок для связности.
408

Коротко подытожим полученные результаты.
Согласно динамическому методу квантование гравитации начи-
нается с нахождения решения классических микроскопических по-
левых уравнений движения (например, решения уравнений (30.42)
в рассмотренном выше примере). Классическое решение определя-
ется (или определяет) топологию пространства-времени. Затем при
использовании классического решения решаются уравнения (30.43)
и (30.46), которые определяют одночастичные моды {ipN , h,N/w}-
Для того чтобы решить уравнение (30.46), необходимо зафиксиро-
вать калибровку, поскольку оператор (30.44) вырожден вследствие
калибровочной инвариантности теории. На первом шаге эти моды
определяются в нулевом приближении по планковскому масштабу,
а их нормировка фиксируется при помощи соотношений (30.39) и
(30.52). Имея набор мод { ф^м ' , fiN/iv}, мы можем явно выписать
правые части уравнений (30.53 - 57) и затем решить их относитель-
но двухчастичных мод h^lN2liV, h^1 |дг2 ^ и т.д., а также найти
поправку д\ I второго порядка относительно 1р к классической
составляющей метрического тензора. Обратим внимание на то, что
правая часть уравнения (30.57) возникает вследствие необходимости
нормального упорядочения операторов. Решение уравнений (30.57)
можно трактовать как однопетлевой вклад в среднее от метрическо-
го тензора относительно основного состояния.
Заметим, что если бы в правых частях уравнений (30.53 - 57)
использовалась не симметричная билинейная форма, то условие ве-
щественности метрического тензора было бы нарушено. Поэтому
условие вещественности метрического тензора определяет упорядо-
чение операторных полей в уравнениях движения, по крайней мере,
во втором порядке относительно операторных полей.
Важно, что все возникшие уравнения (30.42), (30.46) и т.д. явля-
ются общековариантными, поскольку они являются разложения-
ми общековариантных уравнений. Таким образом, метод динами-
ческого квантования приводит к регуляризованной калибровочно-
инвариантной теории гравитации, в которой содержится произ-
вольное число физических степеней свободы.
Сделаем замечание о совместности уравнений (30.53 - 57) и ана-
логичных уравнений, возникающих в высших порядках. Пусть К^„ -
произвольное симметричное тензорное поле и - оператор (30.44),
действующий на это векторное поле. Легко проверить, что с учетом
409

уравнений (30.42) имеет место тождество (сравни с (30.48))
Поэтому для совместности уравнений (30.53 - 57) необходимо, чтобы
правые части этих уравнений удовлетворяли этому же тождеству.
Нетрудно понять, что это действительно имеет место. Действитель-
но, уравнения типа (30.53 - 56) ничем не отличаются от аналогич-
ных классических уравнений, возникающих в результате добавле-
ния к однородным полям неоднородных мод (высших гармоник) и
последующего разложения классического уравнения Эйнштейна по
степеням нелинейности или планковской длины. Отсюда следует,
что каждое слагаемое в правых частях "петлевых" уравнений ти-
па (30.57) также удовлетворяет необходимому тождеству, поскольку
эти слагаемые имеют тот же вид, что и правые части "непетлевых"
уравнений типа (30.53 - 56).
Обратим также внимание на тот факт, что в рамках метода ди-
намического квантования неявно предполагается, что в алгебре опе-
раторов связей первого рода отсутствует квантовая аномалия. По-
этому метод динамического квантования должен быть оправдан в
каждом конкретном случае конкретными вычислениями, которые
должны быть не только математически корректными, но и физиче-
ски осмысленными.
30.5. О проблеме декогерентности
в квантовой космологии
Теперь покажем, как в рамках метода динамического квантования
может быть решена проблема декогерентности в квантовой космоло-
гии в модели инфлирующей Вселенной. Предлагаемое здесь решение
является, на взгляд автора, достаточно простым и естественным.
Коротко сформулируем проблему декогерентности в квантовой
космологии (см. [58-63] и ссылки там).
В моделях типа Фридмановых естественно считать масштабный
фактор Вселенной а (см. §§ 21, 28) временным параметром. Со-
гласно всей совокупности современных экспериментальных данных
квантовые флуктуации величины а не наблюдаются вследствие их
малости. Это можно было бы легко объяснить, если бы существовал
410

внешний (по отношению ко Вселенной) наблюдатель, который про-
водил бы такой эксперимент, в результате которого волновая функ-
ция Вселенной редуцировалась бы к такому состоянию, в котором
масштабный фактор имеет определенное значение. Однако в кван-
товой космологии наблюдатель всегда является частью системы, и
потому вышеприведенное объяснение не является приемлемым.
В настоящее время общепринятой является другая идея, соглас-
но которой неоднородные квантовые флуктуации приводят к деко-
герентности матрицы плотности, описывающей однородную степень
свободы - масштабный фактор. Смысл этого утверждения заклю-
чается в следующем.
Рассмотрим матрицу плотности Вселенной и вычислим ее след
относительно всех неоднородных степеней свободы. Таким образом,
получается матрица плотности р(а, а') для масштабного фактора.
Качественные соображения приводят к следующему виду для этой
матрицы:
р{а,а')~р{а-а'). (30.58)
Последняя формула означает отсутствие когерентности (декогерент-
ность) для масштабного фактора а. Иными словами, ни в одном
измерении явления интерференции различных значений а не про-
являются.
Однако конкретные вычисления, проводившиеся в однопетлевом
приближении, натолкнулись на серьезные трудности, связанные с
ультрафиолетовыми расходимостями теории. Эти трудности были
преодолены в работах [60-61]. При этом выяснилось, что сама по се-
бе размерная регуляризация приводит к физически бессмысленному
результату. Для получения физически приемлемого результата не-
обходимы дополнительные нелокальные преобразования полей, ко-
торые имеют совершенно различный характер в случаях бозонных и
фермионных полей. Кроме того, остается открытым вопрос относи-
тельно расходимостей в вычислениях в высших петлях. Очевидно,
что этот вопрос не может быть решен без построения последова-
тельной квантовой теории гравитации, либо включения теории гра-
витации в более фундаментальную теорию, как, например, теорию
струны.
Покажем на качественном уровне, как решается проблема деко-
герентности в рамках метода динамического квантования в модели
ифлирующей Вселенной. Предлагаемое здесь решение сохраняется
при учете высших поправок по планковскому масштабу.
411

Прежде всего заметим, что качественные аргументы в работе [58],
приводящие к формуле (30.58), в нашем случае действительно име-
ют смысл, поскольку их справедливость неявно основана на пред-
положении о том, что число неоднородных мод хотя и велико, но
конечно. Именно такая ситуация имеет место в методе динамиче-
ского квантования.
Коротко воспроизведем рассуждения, приведенные в работе [58].
Обозначим через {а, хн } полный набор коммутирующих перемен-
ных, где а - масштабный фактор (30.59), a xn ~ степени свободы
неоднородных мод. В однопетлевом приближении (что соответству-
ет учету лишь "одночастичных" мод gNij, 4>N ) волновая функция
имеет вид
Ф{а,-; xN) - Ф0(а) JJ fN(a,xN).
Здесь Фо(а) ~ волновая функция минисуперпространственной мо-
дели (см. § 28). Согласно Хартлу и Хокингу для малых а
fN(a, xN) = f„\xN) ,
где fN'(x}j) - волновая функция основного состояния соответству-
ющей степени свободы при малых а. По определению матрица плот-
ности (58) получается при помощи следующего интеграла:
р(а, а) = Фо(а)Ф2(а') • JJ / dxN fN(a, xN) f*N[a!, xN). (*)
\N\<N0 J
Оценим интеграл (*) при помощи оценок однократных интегралов
pN(a,a')= / dxN fN(a,xN) f^(a',xN),
которые равны единице при малых а, а', но быстро уменьшаются по
модулю при растущих а, а', оставаясь равными единице лишь при
а = а'. Поэтому при растущих а и а' ф а
JJ pN(a,a') ^0, N0^oo.
\N\<N0
Таким образом, мы приходим к формуле (30.58). В проведенном
рассуждении было важно, что хотя No и велико, но конечно.
412

Тенерь покажем, как проблема декогерентности может быть ре-
шена в рамках метода динамического квантования.
Как известно, пространственно-однородное решение уравнения
(30.42) имеет вид (ср. с (28.27-30))
о(<)=сЬЯ«, Н2=\к. (30.59)
о
Здесь <jij - положительно-определенная метрика на сфере <Sjy_i
радиуса Н~1 в каких-либо координатах и положено х° = t. Далее
волна сверху обозначает соответствующую величину на сфере <SjL-_i.
Решение (30.59) описывает Вселенную в стадии инфляции. Выпишем
ненулевые компоненты связности:
rg>° = »»&,, rg>'=ijj, Т^ = Цк. (30.60)
Для компонент тензоров Римана и Риччи отсюда имеем
д(°) -_H2(a(°)a(0)_J0)(0))
Л/и/А/> — п \Уц\ Уир Урр УиХ ) '
В$ = -ЗН2д$. (30.61)
Выпишем также формулу
-gW = a6(t)g, (30.62)
следующую из (30.59).
Из общих соображений, основанных на калибровочной инвари-
антности теории, следует, что в каждой точке пространства (или для
каждой "частоты") остается лишь две независимых степени свобо-
ды поля Ьщ, (30.40). В приложении показано, что при помощи
калибровочных преобразований можно добиться того, что
/»jvo„ = 0, Лдг,-=0, V$0)A^,- = 0. (30.63)
В этом случае и с учетом (30.61) уравнение (30.46) принимает вид
(V(°) V(0)A + 2H2)hN у = 0 . (30.64)
413

Последнее уравнение при помощи (30.59 - 60) переписывается как
(V^0) )2 hNij - -i— Vk V* hNij +
ch Ht
+ 3 H(thH) V0 hNij + 2 tf2(l + th2 Ht) hNij = 0 ,
(^io))nhNij = a2 (j£\ (a-2hNij), n = l,2,.... (30.65)
Заметим, что оператор V& V* сохраняет инвариантным подпро-
странство векторных полей {h^ ,-j }, подчиненных условиям (30.63).
Это означает, что имеют место равенства
9ij Vfc V* hN ij = 0 , Vj V* V* Л^,. = 0 ,
если поле /zjvij удовлетворяет условиям (30.63). Кроме того, опе-
ратор Vfc V* является самосопряженным в метрике
f dVgik~gjlhMkihNij, (30.66)
(з)
где dV есть элемент объема на сфере S„_i ■ Поэтому выберем в
качестве набора функций {hNij }' ортонормированный в метрике
(30.66) набор собственных функций оператора (—V& V ) с ограни-
ченными собственными значениями:
-Vfc V* hNij = eN hNij , eN < ёо. (30.67)
Поля hjjij в (30.67) удовлетворяют условиям (30.63).
Пусть
eN »(tfchtf*)2. (30.68)
Тогда при помощи уравнения (30.65) получаем оценку
V^0)/»jvy ~ y/e^(c\iHt)-lhNi3. (30.69)
Так как согласно (30.59) hN ~ a~Ah,Nij, то при помощи (30.62),
(30.69) и (30.52) получаем
V^tf-^ch Я *)~2 | hNij |2 ~ 1,
414

или
lp I hNij | ~ ё~1/4 lp #3/2 ch Ht. (30.70)
В противоположном случае
iN •€ (Я chHt)2 (30.71)
при помощи (30.65) получаем
V^hNij ~H\hNij\. (30.72)
Отсюда, как и выше, находим оценку
1Р I hNij \~lpH VchHt. (30.73)
Из сравнения оценок (30.70) и (30.73) видно, что при значении време-
ни Н ch H tj\ ~ £дг происходит смена режима временной эволюции
соответствующей моды. Эта смена режима происходит вследствие
того, что при t < tj\ длина волны моды /ijvjj меньше так называ-
емого горизонта событий, а при t > t^ - наоборот.
Действительно, расстояния на сфере SHLX, обозначаемые I, и
на гиперповерхности EJ (сечений пространства де Ситтера с ме-
трикой (30.59) при фиксированном времени t), обозначаемые l(t),
согласно (30.59) связаны соотношением
Щ) = (ch Ht)l. (30.74)
Поэтому длина волны моды h^nj имеет порядок
\N ~(chtf<)£~1/2. (30.75)
Отсюда видно, что (30.68) соответствует
\N «Я"1, (30.76)
а (30.71) соответствует
А,У»Я"1. (30.77)
По определению, расстояние l(t) между двумя точками х\ и
(31
ж 2 на щ ' меньше горизонта событий Rc, если сигнал света, ис-
пущенный в точке х\, когда-либо в будущем достигнет точки х%.
Согласно (30.59) при распространении света dt — a(t) dl, и потому
Г*2 _(W_
h2= ^тг, (30.78)
415

где <2 _ момент времени достижения сигналом точки жг и I -
расстояние на SgLi между х\ и ж2. Сопоставляя (30.78) с (30.74)
и устремляя <2 к бесконечности, находим
Г°° di'
Смысл горизонта событий заключается в том, что две точки на
разделенные расстоянием, превышающем Rc, не могут обмениваться
никакими сигналами в течение всего последующего времени.
При помощи (30.39) и (30.59) легко получается также следующая
оценка для фермионных мод
|V/v|~ #3/2(chtft)-3/2. (30.80)
Прежде чем приступить к оценке роли квантовых флуктуации,
сделаем предположение, что
1РН<«1, Xmm~vlp, (30.81)
где A/v > Am;n - минимальная длина волны рассматриваемых мод
в эпоху, близкую к моменту наблюдения и v - некое безразмерное
число.
Воспользуемся известной формулой
[ ((5ц - 9(d)ij)2(z)) ((дм - 9(с1)ы)2{х')) ]1/2 > 2 К Ы*). 9ы(х')]) \
(30.82)
в наинизшем приближении 3. Усреднение в (30.82) предполагается
относительно состояния, близкого к основному. В этом случае не-
равенство в (30.82) близко к насыщению, и оценка для левой части
получается путем оценки правой части этого неравенства. При по-
мощи (30.29) в наинизшем приближении для квантовых флуктуации
получаем
[9ij{x),gkt{x')] = lp J2 [hNij(x)h*Nki(x')-h*Nij{x)hNki{x')}.
\N[<Na
(30.83)
3Здесь флуктуации калибровочных степеней не учитываются, так как их ди-
намика предполагается классической (см. Замечание после Аксиомы 5').
416

Для оценки правой части в (30.83) эта сумма должна быть разбита
на два слагаемых.
Первое слагаемое учитывает инфракрасные моды (индекс г) с
длинами волн
Н~г < Алл < Я"1 ch Ht , (30.84)
а второе слагаемое - ультрафиолетовые моды (индекс и) с длинами
волн
vlp<\Nu<H~l . (30.85)
Пусть числа инфракрасных и ультрафиолетовых мод имеют поряд-
ки, соответственно Лг, и Nu, причем Л/,- + Л/„ = Л/'о = const. Тогда
сумма в правой части (30.83) представляется в виде суммы двух сла-
гаемых, имеющих порядки
Е,-(*) ~ ЛГ,- /р2 | hNij |г2 ~ Ni(lp Я)2 ch Ht, (30.86)
ЗД ~ К l2p | hNij \l ~ {No - N{)(i-l/2 )u l\ tf3 (ch tf *)2. (30.87)
Здесь мы воспользовались оценками (30.73) и (30.79). Так как
9ij 9ы ~ °4> то физический смысл имеют величины (30.86 - 87),
отнесенные к четвертой степени масштабного фактора a(t). Учтем
также, что число инфракрасных мод растет со временем, так что
(см. (30.84))
Ni„ (H~la{t)) ~(chtf*)3. (30.88)
\ ^N i min /
Таким образом, находим
К(*) = Щй~(1рЩ2> (30.89)
а«(*)
K(t) = ^~(No-ch3Ht)i^2llH3(chHtr\
а (г)
(30.90)
В последней формуле также было учтено, что (ejf )„ ~ £о~ j гДе
ёо ~ максимальное собственное значение мод h^ij (см. (30.67)).
Полученные оценки приводят к следующему качественному вы-
воду: в модели инфлирующей Вселенной значение квантовых флук-
туации экспоненциально падает при возрастании времени. Наобо-
рот, при приближении к моменту рождения Вселенной роль кван-
товых флуктуации становится определяющей.
417

Действительно, согласно современным представлениям, на де Сит-
теровской стадии
1Р Я ~ (Ю-4 -г- Ю-12) ■ (30.91)
Поэтому инфракрасный вклад в квантовые флуктуации пренебре-
жимо мал на всех стадиях инфляции. Вклад ультрафиолетовых
квантовых флуктуации согласно (30.90) экспоненциально быстро за-
тухает с ростом времени, и наоборот.
30.6. _ Приложение
С учетом равенств (30.61) уравнение (30.46) принимает вид (индекс
N, нумерующий моды, здесь опускается):
-vi0)v(°)Av + 2ff2(4°)/.i-M = o. (ni)
Пусть £р - векторное поле, удовлетворяющее уравнениям
h'0, = V + Vo0)^ + V(°4o = 0 (П2)
во всем пространстве-времени.
При помощи уравнения (30.48) и (П2) получаем
v<°> (v|°> С + \К) = -(vi0) v(°>A - з я2) &. (пз)
Подставим в (Ш) с fj — v = 0 выражение для /i[j из уравнения
(П2) и используем равенство
V(0)V(0)Av(i0)G = v(i0)vmv(0)A^ +
+ 2 Я2 д$ V(°)Л О - 2 Я2 V(°) ^ - 3 Я2 VW & , (П4)
справедливое для любого векторного поля £^. В результате получим
vW[(vl0)vWA-3ff2)^]=-2ff2(vi°4,' + i/.;-). (П5)
Наконец в уравнении (П1) с ц — 0 и v — i подставим hoi согласно
уравнению (П2) и еще раз воспользуемся (П4):
V<0) [(V^ VWA -ЗЯ2)^] = -VJ0) [(V<0) V(°>A -ЗЯ2)(„] . (П6)
418

Теперь из (ПЗ), (П5) и (П6) видно, что если
(V(°)v(0)A_3iy2)^ = 0j (ГТТ)
vfV + ^ = 0 (П8)
на некой пространственноподобной гиперповерхности Eg , то равен-
ства (П7) и (П8) имеют место во всем пространстве-времени. Этого
можно достичь при соответствующем выборе векторного поля ^.
Действительно, при помощи сдвига £м —>■ ^ + ip/il где поле ip^ не
зависит от х°, можно добиться выполнения уравнения (П2) при
всех ж0 и уравнения (П7) на гиперповерхности Е0 . Далее при
помощи уравнений (30.61), (П1), (П2), (П4) и (П7) можно получить
соотношение
J 2
справедливое на Eg . Отсюда следует справедливость (П8) на ги-
v(3)
перповерхности Lq '.
Рассмотрим преобразованное поле
^ = V + ^0)^ + V(°)^. (П9)
Если поле h^ удовлетворяет уравнениям (П1) и (30.48), то вслед-
ствие (П7) поле Ы также удовлетворяет этим уравнениям. Кроме
того, согласно (П2) и (П8)
К» = о, л;> = о. (то)
Таким образом, совместность уравнений (30.63 - 64) установлена.
419

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Постников М.М. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
2. Постников М.М. Дифференциальная геометрия. — М.: Нау-
ка, 1988.
3. Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная гео-
метрия. — М.: Наука, 1979.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — М.: Наука, 1988.
5. Вейнберг С. Гравитация и космология. — М.: Мир, 1975.
6. Дирак П.A.M. Общая теория относительности. — М.: Атомиз-
дат, 1978.
7. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. — М.:
ГИТТЛ, 1955.
8. Мак-Витти Г.К. Общая теория относительности и космоло-
гия. — М.: ИЛ, 1961.
9. Kruskal M.D. Maximal extension of Schwarzschild Metric // Phys.
Rev. — 1960. — V.119. — P.1743.
10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. — М.: Наука, 1968.
11. Берков А.Б., Кобзарев И.Ю..
1. Теория тяготения Эйнштейна. Общие принципы и экспери-
ментальные следствия: Учеб. пособие. — М.: МИФИ, 1989.
2. Приложения теории Эйнштейна к астрофизике и космоло-
гии: Учеб. пособие.— М.: МИФИ, 1990.
12. Новости физики в сети Internet// УФН — 1998. — Т.168. —
С.590.
13. E-print archive: -http://wwwssl.msfc.nasa.gov./newhome
/headlines/
14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1.
— М.: Наука, 1976.
420

15. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Кванто-
вая электродинамика. — М.: Наука, 1989.
16. Черепащук A.M. Гравитационное микролинзирование и про-
блема скрытой массы// Соросовский образовательный журнал
(Soros Educational Journal) — 1998. — N 3. — С.92.
17. Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике. — М.: Мир,
1968.
18. Dirac P.A.M. Generalized Hamiltonian dynamics// Can.Journ. of
Math. — 1950. — V.2. — P.129.
19. Грин M., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Т.1,2.
— М.: Мир, 1990.
20. Бринк Л., Энно М. Принципы теории струн. - М.: Мир, 1991.
21. Альтшулер Б.Л., Барвинский А.О. Квантовая космология и
физика переходов с изменением сигнатуры пространства-
времени// УФН — 1996 — Т.166. — С.459.
22. Пономарев В.Н., Барвинский А.О., Обухов Ю.Н. Геометроди-
намические методы и калибровочный подход к теории грави-
тационных взаимодействий. — М.: Энергоиздат, 1985.
23. Вергелес С.Я. Принципиальная схема квантования гравитации.
Динамический метод// ЖЭТФ — 1996 — ТЛЮ. — С.1557.
24. Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики. — М.: Наука,
1979.
25. Славное А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию ка-
либровочных полей. — М.: Наука, 1998.
26. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по тра-
екториям. — М.: Мир, 1968.
27. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. S-Matrix for gravitational field.II.
Local measure; General relations; Elements of Renormalization
theory// Phys.Rev.D — 1973. — V.8. — P.4241.
421

28. Faddeev L.D., Popov V.N. Feynman diagrams for the Yang-Mills
field// Phys.Lett.B — 1967. — V.25. — P.29.
29. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля.
— М.: ИЛ, 1963.
30. Peskin M.E., Schroeder D.V. Lectures on Quantum Field Theory.
— Eddison-Wesley Publishing Company, 1995.
31. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантован-
ных полей. — М.: Наука, 1973.
32. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика.
— М.: Наука, 1969.
33. Ч Hooft G., Veltman M. Regularization and renormalization of
gauge fields// Nucl.Phis.B. — 1972. — V.44. — P.189.
34. 4 Hooft G. An algorithm for the poles at dimension four in the
dimensional regularization procedure// Nucl.Phys.B. — 1973. —
V.62. — P.444.
35. 4 Hooft G., Veltman M. One-loop divergencies in the theory of
gravitation// Annales de l'Institut Henri Poincare. Section A. —
1974. — V.20. — P.69.
36. Nouri-Moghadam M., Taylor J.G. One-loop divergences for the
Einstein-charged meson system// Proc.R.Soc.Lond.A. — 1975. —
V.344. — P.87.
37. Deser S., van Nieuwenhuizen P. One-loop divergences of quantized
Einstein-Maxwell fields// Phys.Rev.D. — 1974. —- V.10. — P.401.
38. Deser S., van Nieuwenhuizen P. Nonrenormalizability of the quan-
tized Dirac-Einstein system// Phys.Rev.D. — 1974. — V.10. —
P.411
39. Hartle J.В., Hawking S. W. Wawe function of the Universe// Phys.
Rev.D. — 1983. — V.28. — P.2960.
40. Turok Neil, Hawking S.W. Open inflation, the Four form and the
Cosmological constant// E-print archive: hep-th/9803156v4.
422

41. Hawking S.W., Turok Neil. Comments on "Quantum Creation
of an Open Universe", by Andrei Linde// E-print archive: gr-
qc/9802062v2.
42. Vilenkin Alexander. Birth of inflationary universes// Phys.Rev.D.
— 1983. — V.27. — P.2848.
43. Vilenkin Alexander. Quantum cosmology and the initial state of
the Universe// Phys.Rev.D. — 1988. — V.37. — P.888.
44. Vachaspati Tanmay, Vilenkin Alexander. Uniqueness of the tun-
neling wave function of the Universe// Phys.Rev.D. — 1988. —
V.37. — P.898.
45. Garriga Jaume, Vilenkin Alexander. In defence of the "tunneling"
wave function of the Universe// Phys.Rev.D. — 1997. — V.56. —
P.2464.
46. Vilenkin Alexander. The wave function discord// E-print archive:
gr-qc/9804051.
47. Vilenkin Alexander. The quantum cosmology debate// E-print
archive: gr-qc/9812027.
48. Linde Andrei. Quantum creation of an open inflationary Universe//
E-print archive: gr-qc/9802038v5.
49. Halliwell J. J., Hawking S.W. // Phys.Rev.D. — 1985. — V.31.
— P.1777.
50. Jackiw R. Solutions to a Quantal qravity-matter field theory on a
line// E-print archive: gr-qc/9612052.
51. Benedict E., Jackiw R, Lee H.-J. Functional Schrodinger and BRST
quantization of (l+l)-dimensional gravity// Phys.Rev.D. — 1996.
— V.54. — P.6213.
52. Cangemi D., Jackiw R., Zwiebach B. // Ann. Phys. (N.Y.) —
1996. — V.245. — P.408.; Gangemi D., Jackiw R. // Phys.Lett.B.
— 1994. — V.337. — P.271.; Phys.Rev.D. — 1994. — V.50. —
P.3913.
423

53. Вергелес С.Н. Безаномальное квантование струны в двумерном
пространстве-времени// ЖЭТФ — 1998. — Т. ИЗ. — С. 1566.
54. Вергелес С.Н. Каноническое квантование двумерной гравита-
ции// ЖЭТФ — 2000. — Т.117. — С.5.
55. Дирак П.A.M. Лекции по квантовой теории поля. — М.:Мир,
1971.
56. Del Giudice E., Di Vecchia P., Fubini S. General properties of
dual resonances models// Ann.Phys. (N.Y.) — 1972. — V.70. —
P.378.
57. Вергелес С.Н. К вопросу о квантовании общековариантных те-
орий. Динамический метод квантования// ТМФ — 1997. —
Т.112. —С.132.
58. Zeh H.G. Emergence of classical time from a universal wavefunc-
tion// Phys.Lett.A. — 1986. — V.116. — P.9.
59. Kiefer С Continuous measurement of mini-superspace variables
by higher multipoles// Class.Quantum Grav. — 1987. — V.4. —
P.1369.
60. Barvinsky A.O., Kamenshchik A.Yu., Kiefer C, Mishakov I.V.
Decoherence in quantum cosmology at the onset of inflation //
Nucl.Phys.B. — 1999. — V.551 — P.374.
61. Barvinsky A.O., Kamenshchik A.Yu., Kiefer С Effective action
and decoherence by fermions in quantum cosmology// E-print
archive: gr-qc/9901055.
62. Kiefer C, Polarski D., Starobinsky A.A. Quantum-to-classical
transition for fluctuations in the early universe// Int.J.Mod.Phys.D.
— 1998. — V.7. — P.455.
63. Kiefer C, Lesgourgues J., Polarski D., Starobinsky A. A. The cohe-
rence of primordial fluctuations produced during inflation// Class.
Quantum Grav. — 1998. — V.15. — P.L67.
64. Starobinsky A.A. Future and Origin of our Universe: Modern
View// E-print archive: astro-ph/9912054.
424

65. Вергелес СИ. Динамический метод квантования гравитации и
проблема декогерентности в квантовой космологии // ЖЭТФ
— 2000. — Т.118. — С.996.
66. Polyakov A.M. Quantum gravity in two dimensions // Mod.Phys.
Lett.A — 1987. — V.2. — P.893.
67. Knizhnik V.G., Polyakov A.M., Zamolodchikov A.B. Fractal struc-
ture of 2d - quantum gravity // Mod.Phys.Lett.A — 1988. —
V.3. — P.819.
68. Polyakov A.M. Singular states in 2D quantum gravity // Lectures
at the Jerusalem Winter School. — 1991.
69. Klebanov I.R., Kogan LI., Polyakov A.M. Gravitational dressing
of renormalization group // E-print archive: hep-th/9309106.
425

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно антисимметричный
тензор 1 .II. 8
Атлас на многообразии 1.1. 1
Аффинный параметр
геодезической 1 .II. 9.2
База векторного
расслоения 1 .II. 7
Вейля квантование З.П. 26.1
— уравнение 3.1. 22.3
Вика поворот З.Ш. 27.4
Вирасоро алгебра 3.1. 23.3
Время мнимое 3. III. 28.1
Гамильтона-Якоби
уравнение 2.1. 10.2
Гладкое многообразие 1.1. 1
Геодезическая
нулевая (изотропная) 2.1. 10.1
Гравитационное
излучение 2.П. 17.1
Гр авитационный
— дефект масс 2.П. 18.1
— радиус 2.П.18.1
Грина функция З.П. 26.4
— причинная З.П. 26.4
Д' Аламбера оператор 1 .II. 9.6
ДеВитта
суперметрика 3.1. 24.3
Действие гравитационного
поля 2.1. 13.2
Де Ситтера
пространство З.Ш. 28.4
Дифференциал
— гладкого отображе-
ния 1.1. 2
— функции по вектору 1.1. 2
Диаграмма связная З.Ш. 27.1
Дирака скобка 3.1.23.1
Дыра белая 2.П. 18.2
— черная 2.П. 18.2
Изотропная модель
— замкнутая 2.П. 21.2
— открытая 2.П. 21.2
Изэнтропическое
движение 2.1. 12.4
Импульс обрезания З.Ш. 27.2
Индекс диаграммы З.Ш. 27.2
Индуцированная ориентация
границы многообразия 1.1. 6
Карта 1.1. 1
Касательный вектор
— к кривой 1.П. 9.1
— к многообразию 1.1. 2
Касательное
— пространство
многообразия 1.1. 2
— расслоение над многообра-
зием 1 .II. 7
Ковектор 1.1. 2
Координаты вектора 1.1.2
Красное смещение 2.П. 21.3
Кристоффеля
символы 1 .II. 9.6
Лензе-Тирринга
эффект 2.П. 20.2
Локальная тривиальность
расслоения 1 .II. 7
Локальные карты 1.1. 1
426

Майорановский
спинор 3.1. 22.3
Массовая
поверхность З.Ш. 27.6
Масса гравитационная 2.1. 10.1
— инертная 2.1. 10.1
Мебиуса лист 1.1. 6
Метрика
— локально евклидова 1.П. 8
— на расслоении 1 .II. 8
— псевдоевклидова 1 .II. 8
Минимальное взаимодейст-
вие З.Ш. 27.6
Минимальных вычитаний схе-
ма З.Ш. 27.4.
Многообразие с краем 1.1. 1
Носитель карты 1.1. 1
Оператор
ультралокальный З.П. 25.2
Ориентируемое многообра-
зие 1.1. 6
Ориентирующий атлас
многообразия 1.1. 6
Ортонормированный
базис 1 .II. 8
Параметр обрезания З.Ш. 27.2
Перенормировка
массы З.Ш. 27.2
Подмногообразие 1.1. 2
Порядок группы симметрии
диаграммы З.Ш. 27.1
Производная функции
по вектору 1.1. 2
Римана
— нормальные координа-
ты 2.1. 10.1
— тензор 1 .II. 9.3
Риманово
пространство 1 .II. 9.5
Риччи тензор 2.1. 13.1
Свертка тензоров 1.1. 3
Связи первого
и второго рода 3.1. 23.1
Сечение векторного
расслоения 1 .II. 7
Скалярное произведение
сечений 1 .II. 8
Согласованные карты 1.1. 1
Суперпространство З.П. 25.1
Тензорное произведение
— векторных расслое-
ний 1.П. 7
— пространств 1.1. 3
Теория поля
— перенормируемая З.Ш. 27.2
— неперенормируе-
мая З.Ш. 27.2
Тетрада 1 .II. 8
Тетрадный постулат 1 .II. 8
Ток электромагнитный 2.1.
12.1
Тотальное пространство
расслоения 1 .II. 7
Точка нормировки З.Ш. 27.2
Уилера-ДеВитта
уравнение З.П. 25.1
Фаддеева-Попова
трюк 3.11. 25.2, 26.3
Фейнмана правила З.Ш. 27.1
427

Фирца
преобразования 3.1. 22.3
Форма связности 1. II. 8
— согласованная с метри-
кой 1.П. 8
Функции хода и сдвига 3.1. 24.3
Хаббла постоянная 2.II. 21.3
Число петель
в диаграмме З.III. 27.1
Шварцшильда
метрика 2.II. 18.1
Эйнштейновская гравитацион-
ная постоянная 1.1. 13.1
Эквивалентности
принцип 2.1. 10.1
Элемент объема
многообразия 1 .II. 8
Якоби тождество 3.1. 23.1
428