ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие редактора перевода....................................... 3
Предисловие.......................................................... 5
1.	ВВЕДЕНИЕ.......................................................... 8
1..1	. Функции цепи................................... 9
1.2.	Свойства функций цепи............................12
1.3.	Типы фильтров....................................15
1.4.	Нормирование частоты	и	полного	сопротивления	...	18
1.5.	Пример использования	фильтров	.......	22
Задачи	.24
2.	АППРОКСИМАЦИЯ.....................................................25
2.1.	Аппроксимация амплитудно-частотной характеристики.
Максимально	плоская характеристика..................26
2.2.	Аппроксимация амплитудно-частотной характеристики.
Равноволновая характеристика ........................... 34
2.3.	Аппроксимация амплитудно-частотной характеристики.
Эллиптическая характеристика.............................44
2.4.	Преобразование комплексной частотной переменной .	.	66
2.5.	Аппроксимация фазо-частотной характеристики ,	.	. S3
2.6.	Характеристики во временной области..................90
2.7.	Выводы...............................................94
Задачи....................................................94
3.	ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ.................................................98
3.1.	Относительная чувствительность.......................98
3.2.	Чувствительность функций цепи.......................101
3.3.	Чувствительность коэффициентов......................109
3.4.	Ненормированная чувствительность корней .	.	112
3.5.	Чувствительности Q, ип и нормированная чувствитель-
ность корней.................................'.	.	.	116
3.6.	Многопараметрическая статистическая чувствительность	122
3.7.	Машинный расчет чувствительности с помощью метода
присоединенных цепей....................................127
3.8.	Выводы..............................................134
Задачи...................................................139
4.	ЯС-ФИЛЬТРЫ НА УСИЛИТЕЛЯХ. Часть 1................................142
4.1.	PC-фильтры на усилителях............................142
4.2.	Фильтры нижних частот на одном усилителе с конечным
коэффициентом усиления ...	 147
4.3.	Полосовые фильтры и фильтры верхних частот на одном
усилителе с положительным коэффициентом усиления 154
4.4.	Фильтры, реализующие комплексно-сопряженные нули 160
4.5.	Фильтры высоких порядков ...........................166
4.6.	Усилители с конечным коэффициентом усиления .	.	174
4.7.	Чувствительность частотно-зависимых параметров цепи 180
4.8.	Выводы..............................................187
Задачи...................................................187
5.	ЯС-ФИЛЬТРЫ НА УСИЛИТЕЛЯХ. Часть 2..................................190
5.1.	Фильтры на одном усилителе с бесконечным коэффициен-
том усиления...........................................191
5.2.	Фильтр с использованием нескольких усилителей .	.	199
5.3.	Универсальный активный фильтр ......	207
5.4.	Интеграторы...........................................215
5.5.	Эффект увеличения добротности.........................223
5.6.	Частотно-зависимая чувствительность...................228
5.7.	Реализации, не зависимые от произведения GB .	.	.	237
5.8.	Выводы............................................246
Задачи.................................................247
6.	МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ	....	250
6.1.	Элементы активных цепей. Моделирование индуктивности	251
6.2.	Частотно-зависимые отрицательные сопротивления .	.	256
6.3.	Методы структурно-перекрытой реализации ....	266
6.4.	Основной резонаторный блок............................275
6.5.	Параллельно-каскадный метод...........................279
6.6.	Чувствительность......................................286
6.7.	Активные элементы цепи................................295
6.8.	Частотно-зависимая чувствительность...................306
6.9.	Выводы................................................311
Задачи.................................................312
7.	ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................316
7.1.	Фильтры в области высоких частот..................317
7.2.	Аналоговые фильтры с выборкой данных..............326
7.3.	Примеры реализации и использования активных	фильтров	343
Задачи.................................................353
ПРИЛОЖЕНИЯ........................................................355
А. Реализация пассивных фильтров нижних частот	.	.	.	355
Б. Свойства операционных усилителей....................363
Список литературы.................................................. 373
Предисловие редактора перевода
В, марте 1880 г. русский военный связист капитан Игнатьев
впервые использовал проводную линию связи для одновременной
передачи телефонного и телеграфного сигналов. Их разделение на
приемном конце выполнялось с помощью конденсатора и катушки
индуктивности. Это было первое применение фильтрации в технике
электрической связи.1
В современной радиоэлектронике электрические фильтры нахо-
дят широчайшее применение в аппаратуре самого разнообразно-
го назначения. Техника фильтрации непрерывно развивается. Ос-
новной движущей силой этого развития в настоящее время явля>-
ется микроминиатюризация. Как известно, микроэлектроника —
это путь разрешения противоречия между непрерывно увеличиваю-
щейся сложностью радиоэлектронных систем и неизбежным, при
традиционных способах конструирования, ухудшением их качест-
венных характеристик, особенно надежностных.
В части миниатюризации цифровых устройств уже достигнут
огромный прогресс. Однако миниатюризация может дать ожидае-
мый от нее эффект лишь при комплексном подходе, охватывающем
также аналоговые устройства, важную и неотъемлемую часть ко-
торых составляют устройства частотной селекции. В этом отноше-
нии проблема миниатюризации решается особенно трудно. Можно
назвать по меньшей мере три причины этого. Во-первых, чувстви-
тельность характеристик любой электрической цепи ко всякого ро-
да дестабилизирующим воздействиям в сильной мере зависит от
ее частотной избирательности: чем более избирательна цепь, тем,
при прочих равных условиях, она менее стабильна. Во-вторых, час-
тотно-избирательные устройства из-за огромного разнообразия
требований к их характеристикам (частотному диапазону, ширине
полосы пропускания, требуемому затуханию в полосе задержива-
ния и т. д.) почти не поддаются унификации. В-третьих, из-за
чрезвычайно широкого диапазона частот, используемого современ-
ной радиоэлектроникой, для создания резонансных систем необхо-
димо использовать самые различные принципы и физические явле?
ния.
В настоящее время, помимо традиционных LC-фильтров с объ-
емными элементами, известны такие типы фильтров, как электро-
механические, магнитострикционные, спиральные (объемные и в
планарном исполнении), цифровые, кварцевые (с сосредоточенны-
ми элементами и монолитные), пьезокерамические, акустоэлект-
ронные, с зарядовой связью, оптоэлектронные, электротепловые,
СВЧ фильтры с сосредоточенными и квазисосредоточенными эле-
1 Головин Г. И., Эпштейн С. Русские изобретатели в телефонии:.
М.: Связь, 1949.
ментами, волноводные, коаксиальные, полосковые (гребенчатые,
встречно-стержневые, шпилечные) и т. д.
Активные 7?С-фильтры, которым посвящена очередная книга
Л. П. Хьюлсмана (на этот раз в соавторстве с Ф. Е. Алленом), из-
даваемая в русском переводе, — средство решения проблемы ми-
ниатюризации в низкочастотном диапазоне до нескольких десят-
ков, в будущем, возможно, сотен килогерц. Содержание предлагае-
мой читателю книги существенно отличается от предыдущих книг
того же автора, издававшихся в СССР. Прежде всего, введена
глава, посвященная вопросам аппроксимации; до последнего вре-
мени в западных публикациях по активным фильтрам, в отличие
от работ отечественных авторов, вопросы аппроксимации игно-
рировались. Материал гл. 2, посвященный аппроксимации, пред-
ставлен в доступной форме и охватывает основные вопросы ап-
проксимации не только АЧХ, но и ФЧХ; имеется также небольшой
раздел, касающийся характеристик во временной области.
В существенно обновленном виде дан материал по чувствитель-
ности. Как и в отечественной работе1, введена и рассмотрена чув-
ствительность коэффициентов аппроксимационного выражения.
Рассматриваются чувствительности добротности и резонансной
частоты, а также многопараметрическая чувствительность.
Из схемных реализаций гораздо большее внимание, чем ранее,
уделено решениям, обеспечивающим лучшую стабильность частот-
ных характеристик. Практически полностью исключены реализа-
ции на конверторах отрицательного сопротивления, которым мно-
гие авторы, и в их числе Л. П. Хьюлсман, уделяли в свое время
достаточно большое внимание. В то же время две главы отведены
реализациям активных цепей на усилителях и одна глава, поме-
щенная почти в конце книги, что, видимо, должно подчеркнуть
перспективность изложенного в ней материала, — методам моде-
лирования пассивных цепей, обеспечивающих наилучшие по ста-
бильности характеристики. Наконец, в заключительной главе дан
материал по сравнительно высокочастотным активным /?-фильт-
рам и фильтрам с коммутируемыми емкостями, которые авторы
считают наиболее подходящими для реализации в виде интеграль-
ных схем.
В целом книга представляет собой интересный опыт система-
тизированного изложения теории активных /?С-цепей на уровне,
достигнутом к 1980 г., и есть основания надеяться на то, что она
найдет положительный отклик у советских читателей. Все замеча-
ния по переводу следует направлять по адресу: изд-во «Радио и
связь», 101000, Москва, Почтамт, а/я 693.
Нашим женам: Джо й Маргарет
Нашим детям: Дэвиду и Курту,
Черил и Полю
Предисловие
Эта книга построена так, чтобы дать основной материал ввод-
ного курса по теории и синтезу активных фильтров. Методы син-
теза активных и пассивных фильтров существенно различаются.
Одно из основных отличий состоит в том, что методы синтеза ак-
тивных фильтров учитывают те огромные преимущества, которые
несет использование интегральных схем. К таким преимуществам
относится то, что изготовление активных элементов зачастую де-
шевле, чем пассивных. Вследствие этого современные методы син-
теза имеют возрастающую тенденцию использовать активные эле-
менты, которые наряду с резисторами и конденсаторами факти-
чески исключили необходимость применения катушек индуктивно-
сти во многих частотных диапазонах. Такие активные /?С-цепи
значительно выгоднее их. пассивных аналогов в отношении стои-
мости, надежности, массы и возможностей усиления сигнала; в
результате они составляют все большую долю в производстве и
применении фильтров.
В гл. 1 книги описывается в общих чертах задача фильтрации,
дается обзор основных концепций теории цепей, основанных на
понятии функции цепи, и определяются процедуры нормирования
частоты и полного сопротивления.
В гл. 2 вводится понятие аппроксимации, которая трактуется
на основе не только характеристик Баттерворта, Чебышева и Том-
сона, но и эллиптических функций. Подробно рассматриваются
преобразования частоты и широко используются таблицы готовых
результатов. Такие таблицы содержат не только значения полю-
сов и нулей или коэффициентов полиномов, но и табулированные
значения для квадратичных множителей. Последнее особенно по-
лезно во многих методах синтеза активных цепей.
Понятие чувствительности вводится в гл. 3. В дополнение к рас-
смотрению различных типов чувствительности и их взаимосвязи
дается определение чувствительности присоединенных цепей и мер
статистической чувствительности.
В гл. 4 начато рассмотрение активных фильтров. Описываются
структуры с jRC-усилителями. Более углубленный анализ некото-
рых наиболее важных классов таких структур используется для
пояснения многих основных понятий, касающихся этих классов ак-
тивных фильтров.
В гл. 5 продолжается обсуждение фильтров на /?С-усилителях
и описываются фильтры, основанные на методах аналогового мо-
делирования и теории переменных пространства состояний, на ос-
нове резонаторов и универсальные активные фильтры. Для каж-
дого из типов фильтров, проанализированных в этих двух главах,
даются расчетные соотношения. Рассматривается чувствитель-
ность различных схем.
В гл. 6 представлены реализации активных /?С-фильтров, осно-
ванные на применении методов моделирования пассивных цепей.
Такой подход, предусматривающий использование смоделирован-
ных катушек индуктивности, конверторов обобщенного полного со-
противления и частотно-зависимых отрицательных сопротивлений,
а также значений элементов и схем, полученных при реализации
пассивных фильтров, обеспечивает исключительно низкую чувстви-
тельность фильтровых структур. Таблицы пассивных прототипов,
на основе которых рассчитываются указанные фильтры, приводят-
ся в приложении А. Рассматривается и использование других не-
посредственных методов реализации, таких как методы структур-
но-перекрытой реализации и основного резонаторного блока, а
также параллельно-каскадный. Практически во всех случаях реали-
зации активных фильтров в качестве основного активного элемен-
та берется операционный усилитель. Обзор свойств операционных
усилителей приводится в приложении Б. Во всех главах (4—6),
где рассматривается применение операционного усилителя, де-
тально показывается, какое влияние на характеристики реализуе-
мых структур активных фильтров оказывает его неидеальность.
Наконец, в гл. 7 излагаются некоторые специальные вопросы
современной теории активных фильтров, а именно: высокочастот-
ные фильтры (активные /?-фильтры) и аналоговые фильтры с ди-
скретной выборкой данных (фильтры с коммутируемыми емко-
стями).1 В дополнение к этому приводятся примеры полной проце-
дуры синтеза некоторых используемых на практике фильтров.
Материал, представленный в этой книге, был опробован на за-
нятиях в Аризонском, Калифорнийском (г. Санта-Барбара) и
Техасском университетах в течение последних пяти лет. Он может
использоваться либо как односеместровый курс по активным
фильтрам, либо при дополнении его материалом по методам син-
теза пассивных цепей (который можно взять из многих источни-
ков), как двухсеместровый курс по активным и пассивным фильт-
рам.
Основной упор в книге делается на изложение современных
методов синтеза активных фильтров с единых позиций. В этом
плане авторы в большей степени опирались на свой многолетний
опыт и личный вклад в области синтеза фильтров, чем на простое
представление материала, заимствованного из различных публика-
ций, или на отбор множества^ обрывочных сведений с упором на
реализации, которые доказали всем свою пользу и практичность.
В то же время в книге значительное внимание уделяется материа-
лу, обеспечивающему формирование у читателя должной теорети-
ческой базы, которая позволит ему успешно анализировать и оце-
1 В терминологии других авторов это коммутируемые фильтры. — Прим,
пер.
нивать последующие реализации, как только они будут открыты
и опубликованы в литературе.
Авторы хотели бы выразить свою признательность тем, кто
ободрял их и помогал в подготовке этой книги, особенно д-ру
р. Мэттсону, декану электротехнического факультета Аризонского
университета; д-ру Дж. Сколиику, декану технического колледжа
Калифорнийского университета и д-ру У. Джонсу (младшему),
декану электротехнического факультета Техасского университета.
Выражаем также благодарность многим нашим студентам, чьи
терпение и энтузиазм способствовали разработке материала. На-
конец, мы особенно благодарны членам наших семей, терпеливо
переносившим наше многочасовое отсутствие во время работы
над рукописью.
Л.. П. Хьюлсман
Ф. Е. Аллен
ВВЕДЕНИЕ
Изучение почти любой области техники: электротехники, меха-
ники, гидравлики, теплотехники и т. д., всегда можно разделить
на две части — анализ и синтез. При анализе имеют дело с нахож-
дением характеристик или свойств какой-то уже существующей
системы. Этот процесс иллюстрируется структурной схемой на
рис. 1.1 — 1,а. Ее можно прочитать так: «Задана система, требу-
ется найти ее свойства». Часто, конечно, система может «сущест-
вовать» только как схема, показывающая взаимные связи идеали-
зированных- элементов. В этом случае схема определяет модель
системы, а анализ в силу этого определяет свойства данной моде-
ли. Если такая система (или модель) описана полностью, то ее
свойства, конечно, однозначны. Следовательно, в задаче анализа
существует только одно решение.
При синтезе имеют в качестве исходного желаемый набор
свойств, и цель состоит в том, чтобы найти систему в ее фактиче-
ском виде или (как это чаще бывает) в виде модели, которая име-
ет такие свойства. Этот процесс иллюстрируется структурной схе-
мой, на рис. 1.1 — 1,6. Ее можно прочитать так: «Задан набор
Рис. 1.1—1. Структурные схемы:
а — анализа; б — синтеза
свойств, найти систему, которая ими обладает». В общем случае,
как это и показано на схеме, существует обычно больше, чем одна
такая система. Следовательно, в задаче синтеза решение редко
бывает единственным. Как следствие этой неединственности, в
процессе синтеза требуется конечный этап, а именно: оценка не-
скольких различных систем, каждая из которых имеет желаемый
исходный набор свойств, с целью выделить среди них наилучшую.
Прежде чем можно будет сделать это, следует определить, что
подразумевается под словом наилучшая. Другая возможность ра-
добраться в данной ситуации состоит в том, чтооы до олн тел
К исходным заданным свойствам рассмотреть еще одно или не-
сколько свойств, что позволило бы сделать выбор среди получен-
ных систем. Очевидно, что процесс синтеза значительно более сло-
жен, чем процесс анализа!
Цель книги состоит в том, чтобы исследовать синтез особого
класса систем, а именно: фильтров для электронных схем. Такие
фильтры широко используются в современных системах связи и
обработки сигналов. В самом деле, трудно найти даже не очень
сложное электронное устройство, которое не содержало бы один
или несколько фильтров. В процессе изучения фильтров будем за-
ниматься поиском способов соединения элементов цепи, которые
позволили бы реализовать схему, обладающую определенными
характеристиками фильтрации. Для достижения этой цели необ-
ходимо рассмотреть несколько вопросов. Один из них — такое оп-
ределение методов выражения или аппроксимации свойств фильт-
ров, которое облегчает их синтез. Этот вопрос составляет содер-
жание задачи аппроксимации. Другой полезный вопрос — разви-
тие методов исследования изменений свойств заданных реализа-
ций фильтров в результате вариации расчетных значений их эле-
ментов. Эти вариации могут быть вызваны старением, температур-
ными изменениями, допусками на параметры компонентов и т. д.
Это — основной вопрос темы чувствительность, которая дает цен-
ные технические приемы для сравнительной оценки схем фильт-
ров, хотя и различных по форме, но имеющих аналогичные свой-
ства. Еще один круг вопросов, который рассмотрен здесь, — изуче-
ние элементов активных цепей. Фильтры, построенные на основе
таких элементов, часто имеют существенные преимущества по
сравнению с фильтрами на пассивных элементах. В последующих
главах эти вопросы, а также ряд других, будут рассмотрены так,
чтобы дать читателю исчерпывающую и единообразную трактовку
современных методов синтеза активных фильтров.
1.1.	Функции цепи
В этом параграфе дадим краткий обзор основных концепций
теории цепей. Дополнительные обсуждения этих концепций можно
найти в работах, указанных в списке литературы.
Обычными переменными, которые ассоциируются с электронны-
ми схемами, являются напряжения и токи, измеренные в различ-
ных точках этих схем. Они являются «физическими» или «реально
существующими» переменными в том смысле, что их можно изме-
рить с помощью измерительных приборов или отобразить на экра-
не осциллографа, а если они достаточно велики, то могут вызвать
появление осязаемых признаков своего присутствия, таких, напри-
мер, как искра или удар. В подавляющем большинстве случаев
использования фильтрации значения этих переменных не постоян-
ны, а изменяются во времени. Следовательно, мы записываем их
в форме v(t) и i(t) и относимся к ним как к переменным, опреде-
ленным во временной области. Временное определение характе-
ристик фильтрации представляет собой описание того, как возни-
кает некая реакция (или выходной сигнал), переменной T(t), ко-
торая может быть напряжением или током, в результате воздей-
ствия (или подачи на вход) переменной е(£), которая, в свою
очередь, может быть напряжением или током. Определение соот-
ношений между входными и выходными переменными, если они
являются функциями времени, является в вычислительном аспек-
те занятием достаточно утомительным, так как приводит к необхо-
димости решать интегродифференциальные уравнения и не дает
возможности проследить, каким образом различные элементы дан-
ной цепи влияют на данное соотношение. Вместо этого для схем с
линейными инвариантными во времени элементами обычно ис-
пользуют преобразование Лапласа, которое создает новые (преоб-
разованные) переменные: 7?(s) —для реакции и E(s) —для воз-
действия. Эти переменные связаны с r(t) и e(t) следующими пре-
образованиями:
R (s) = X {г (0} = Jr (0
о
£(s)==£{e(0}=“e(Oe-s^,	(1)
о
где Я?{ } можно прочитать как «преобразование Лапласа от».
В подынтегральных выражениях, приведенных выше, показатель
экспоненты в члене e-st должен быть безразмерен. Поэтому можно
прийти к заключению, что величина s
I—EZJ—+ должна иметь размерность обратного
+! 1	А времени или частоты. Таким образом,
О г = =	’ Ц Оговорят, что переменные R(s) и E(s)
определены в частотной области, a s
‘------------------—° называется переменной комплексной
Рис. 1.1—2. Схема, функция частоты. Ее значения часто отобража-
цепи для которой задана вы- ются на двумерную плоскость комп-
менХГданы ’в 7м“генрт лексной частоты. Соотношение между
фарадах	R(s) и Е (s) в общем случае задаешься
путем определения функции цепи N (s)
как отношения реакции к воздействию для случая, когда все на-
чальные условия цепи нулевые. Следовательно,
W(s) = fl(s)/£(s).	(2)
Для примера рассмотрим цепй на рис. 1.1—2. Если определим пе-
ременную реакции как V2(s), а переменную воздействия как Vi(s),
то, используя обычные методы анализа цепей, найдем, что функ-
ция цепи
N (s) = V2 (s)/Vx (s) = 0,5/(sS + 2s2 + 2s + 1).	(3)
Выражения в частотной области, аналогичные приведенному
выше, являются наиболее общими в том смысле, что они приме-
йимы почти к любому типу возбуждающей функции во времен-
ной области. Однако чаще всего требования фильтрации основа-
ны на анализе установившегося режима цепи при гармоническом
воздействии. Следовательно, предполагается, что воздействие име-
ет 1вид
е (0 = |Л2 Ео cos (to t а),	(4)
где Що — среднее квадратическое значение (скв)е(Т), со — круго-
вая частота в радианах в секунду и а — фаза в радианах. Для
такого воздействия, предполагаем, что N(s) устойчива1 после то-
го, кйк составляющая переходного режима во временной области
для r\t) уменьшилась, затухая, до пренебрежимо малой величины,
r(t) будет иметь вид
r(0 = ]/27?0cos(coZ + P),	(5)
где До — среднее квадратическое значение r(t), а р— его фаза.
В этих условиях легко найти соотношение между e(t) и г(Т), если
использовать комплексные числа, названные фазорами, для пред-
ставления гармонически изменяющихся величин. Для фазоров, со-
ответствующих e(i) и r(t), будем использовать символы <S и 5?:
ё = Ео е1	Я = До ei ₽.	(6)
Соотношение между фазорами и Й получается непосредст-
венно путем замены переменной s в выражении (2) для функции
цепи TV(s) на переменную jto. В результате получаем
TV(jto) = J?/g = /?oei₽/£oei“.	(7)
Часто интересуются только соотношением между средними
квадратическими значениями гармонических сигналов возбужде-
ния и реакции. В этом случае, взяв модули от обеих частей выра-
жения (7), получим
|W(jco)| = 1Я/§1 =	= Ео/Ео.	(8)
Эти величины можно, конечно, выразить в логарифмической
мере (децибелах), если взять 20 lg|7V(jco) |. Кроме этого, можно
выразить разность фаз между гармоническими сигналами возбуж-
дения и реакции. В этом случае, вычисляя аргументы обеих час-
тей (7), можно записать
arg TV (j to) = arg (Я/ё) = arg J?—arg = p—a.	(9)
В качестве примера вычисления этих величин рассмотрим цепь
на рис. 1.1 —2 и функцию цепи (3); в результате получим
|TV(jto)| = 0,5/[(1 — 2to2)2 + (2to—to3)2]172;	(10)
arg N (j to) = — arc tg {(2to—to3)/( 1 — 2to2)};	(11)
Графики этих функций приведены на рис. 1.1 —3. Итак, функ-
ция цепи TV(s), определенная в (2), обладает очень важным свой-
1 Под словом. устойчива подразумеваем, что для любого ограниченного
воздействия e(t) реакция r(t) также будет ограничена.
Рис. 1.1—3. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики цепи,- схе-
ма которой приведена на рис. 1.1—2	/
।
ством, а именно: она определяет для всех частот реакцию цепи в
установившемся режиме на гармоническое воздействие. Почти все
методы синтеза фильтров используют указанную функцию цепи в
качестве исходной.
1.2.	Свойства функций цепи
В предыдущем параграфе было введено понятие функции цепи.
Такие функции могут определяться различными путями. Самая
простая ситуация соответствует случаю, когда интересуются на-
пряжением и током как переменными цепи только на одной паре
зажимов. Если принять за основу направление и полярность пере-
менных, показанные на рис. 1.2 — 1, то такую цепь относят к раз-
ряду двухполюсников, а функции цепи называют входными функ-
циями.
Рис. 1.2—2. Схема четырехполюсной
цепи
Рис. 1.2—1. Схема двухполюсной
цепи
Для двухполюсника определяются только два типа входных
функций. Если ток трактуется как переменная возбуждения, то
функция цепи определяется как входное полное сопротивление
Z(s) = Vi(s)/Ii(s); если же в качестве переменной возбуждения
рассматривается напряжение, то функция цепи определяется как
входная полная проводимость E(s) (s)/Vi (s). Очевидно, У(а) =
= 1/Z(s).
Более интересен для практических применений фильтрации слу-
чай, когда цепь имеет четыре внешних зажима. Эти зажимы раз-
мещаются так, что образуют двещары, названные входами, позво-
ляя, таким образом, определить четыре переменных: две — напря-
жения, две другие —токи. Примем относительные направления и
Полярности переменных такими, как они показаны на рис. 1.2 — 2;
тогда указанная цепь называется четырехполюсником. Нижние (на
рисунке) зажимы двух входов часто являются общими, в этом
случае цепь иногда относят к разряду трехполюсников. В допол-
нение к входным функциям, которые можно определить для таких
четырехполюсников, может рассматриваться любая функция цепи,
включающая в себя переменные с обоих входов, которая называ-
ется передаточной функцией. Такие функции могут быть переда-
точными полными сопротивлениями и полными проводимостями, а
также безразмерными передаточными функциями по напряжению,
такими как V2(s)/V] (s) или Vi(s)/V2(s), или же безразмерными
передаточными функциями по току, такими как 72(s)/A(s) или
/i(s)y/2(s). Последнее соотношение требует наличия пути прохож-
дения для тока реакции на воздействие. Это обычно обеспечива-
ется либо коротким замыканием схемы, либо включением нагрузки
со стороны второй пары зажимов (со стороны выхода).
В \общем случае функция цепи N (s) имеет вид отношения по-
линома A (s) в числителе к полиному В (s) в знаменателе, т. е.
'	N(s) = A(s)/B(s).	(1)
Нули полинома числителя Д(з) называются при этом нулями
функции цепи N(s)- это значит, что они имеют такие значения s
(называемые иначе местоположениями в плоскости комплексной
частоты), при которых N(s) равна нулю. Нули полинома знаме-
нателя B(s) именуются в этом случае полюсами функции цепи
N(s). Они имеют такие значения s (или местоположения в плос-
кости комплексной частоты), при которых N (s) бесконечно велика.
Положение полюсов непосредственно связано с фильтрующими
свойствами данной цепи. Например, для устойчивой цепи полюсы
ее функции цепи должны лежать в левой полуплоскости или, ес-
ли они располагаются на оси jco, то должны быть простыми, т. е.
быть функциями только первого порядка. Цепи, у которых функ-
ции цепи имеют полюсы в правой полуплоскости или полюсы по-
рядка выше, чем первый, на оси j ц>, неустойчивы, т. е. они харак-
теризуются неограниченной реакцией при ограниченном воздейст-
вии на входе и, следовательно, не могут соответствовать физиче-
ски реальной ситуации.
Рассмотрим теперь, как изменяется вид функции цепи под вли-
янием элементов, из которых состоит фильтр. В общем случае для
линейных сосредоточенных конечных цепей A (s) и В (s) — полино-
мы с вещественными коэффициентами. Следовательно, функция
цепи
N(s) = A (s)/B (s) = (а0 + s + as s2 +.. ,)/(Ь0 + bx s + b2 s2 ф-...). (2)
В этом случае N(s) называется (вещественной) рациональной
функцией, т. е. отношением полиномов. Для трехполюсной цепи,
состоящей только из пассивных элементов, таких как сопротивле-
ния, емкости, индуктивности (ДЬС-цепь), коэффициенты bi в вы-
ражении (2) должны быть неотрицательны, а полюсы /V(s) всегда/
должны лежать в левой полуплоскости и/или быть простыми нц/
оси jco. Однако, если в цепи присутствуют активные элементы, ту
кие как управляемые источники (УИ), коэффициенты Д могмг
•быть отрицательными, а полюсы N(s) —лежать в правой полу-
плоскости. В этом случае цепь, конечно, будет неустойчива. I
Можно было бы провести дальнейшую классификацию свойств
полюсов N(s), если рассмотреть возможное положение этих по-
люсов для цепей, содержащих различные типы элементов. Напри-
мер, для цепей с KLC-элементами полюсы могут располагаться в
.любой части левой полуплоскости и/или на оси jo>. В последнем
случае они должны быть простыми. Для LC-элементов полюсы
-будут лежать только на оси jco (и будут простыми). Для КС-I или
КС-элементов полюсы будут лежать только на отрицательной ве-
щественной полуоси или в начале координат. Однако для цепей,
содержащих КС-элементы и усилители (моделированные как уп-
равляемые источники), полюсы могут находиться в любом месте
плоскости комплексной частоты. Фильтры, реализованные с по-
мощью таких цепей, относятся к классу RC-фильтров с у сим теля-
ми. Они дают пример класса активных фильтров или активных
RC-фильтров. По существу, они обладают всеми преимуществами
ККС-цепей, в том числе могут иметь любое желаемое расположе-
ние полюсов в левой полуплоскости, при этом нет необходимости
иметь катушки индуктивности. Так как катушки индуктивности
имеют достаточно большую массу, то их отсутствие в КС-цепях
снимает эту проблему, что очень важно, например, в космических
применениях. Кроме того, это позволяет избежать нелинейности,
свойственной катушкам индуктивности при насыщении, а также их
неидеальности, или рассеяния энергии из-за потерь в обмотке и
сердечнике. И, наконец, катушки индуктивности, как правило, не
реализуют в интегральном исполнении, в противоположность К- и
С-элементам. Таким образом, активные КС-фильтры имеют мно-
Таблица 1.2—1
Характеристики полюсов для различных классов элементов цепи
Элементы					Порядок и местоположение полюсов
R	с	L	КОБИ	ОУ или УИ	
—-j—	+				Простые, на отрицательной вещест- венной полуоси и в начале координат
4-		+			Простые, на отрицательной вещест- венной полуоси и в начале координат
•+	+	+			Простые на оси jco
	+	+			Любого порядка в левой полуплоско- сти и простые на оси jco
					
+	+		+		Любого порядка на оси jco или в ле- вой полуплоскости
	4-			+	Любого порядка в любом месте' ком-
					плексной плоскости
го преимуществ по сравнению с пассивными /?£С-фильтрами, за
исключением тех применений, где требуется фильтровать очень
большие напряжения или токи, например, в импульсных цепях ра-
даров. Кроме указанных выше 7?С-фильтров с усилителями, су-
ществует несколько других типов активных ДС-фильтров, в неко-
торых из них используются КОБИ (конверторы обобщенного (им-
педанса) полного сопротивления)1 или операционные усилители
(ФУ) в качестве активных элементов. Свойства функций цепи для
сАм, составленных из различных комбинаций этих и других упо-
мянутых выше элементов цепи, сведены в табл. 1.2— 1.
1.3.	Типы фильтров
> этом параграфе приведем краткий обзор основных типов
кров, которые будем рассматривать в этой книге. Первым из
является фильтр нижних частот (ФНЧ). По определению,
фИЛ
них
свойства этого фильтра таковы, что низкочастотные составляющие
сигнала, действующего на вход, вплоть до постоянного тока, пе-
редаются на выход, тогда как высокочастотные составляющие,
вплоть до бесконечно больших частот, задерживаются. Таким об-
разом, модуль функции цепи нижних частот в идеале имеет вид,
показанный на рис. 1.3— 1,а. Полоса нижних частот, которая про-
пускается на выход, называется полосой пропускания фильтра.
Как доказано на рисунке, она равна значению наивысшей пере-
даваемой частоты о>с. Эта частота называется частотой среза. На
практике представленную идеальную АЧХ можно реализовать
только приближенно.
Рис. 1.3—1. Вид основных АЧХ ФНЧ
Несколько вариантов такой аппроксимации показано на рис.
1-3— 1,6—д. Заметим, что в каждом случае модуль функции цепи
достигает нуля только на бесконечно большой частоте. Для этих
характеристик ширина полосы определяется заданием некоторого-
допустимого отклонения АЧХ от ее максимального значения. Этот
максимум может иметь место на нулевой частоте, как показано на
рис. 1.3—1,6, или на некоторой промежуточной частоте или час-
тотах, как показано на рис. 1.3\— 1,в—д. Такое отклонение или
1 Более -общий термин по отношению к широко используемым КОИ (кон-
вертор отрицательного (импеданса) полного сопротивления) и КОС (конвертор
отрицательного сопротивления). Однако, ниже мы будем использовать сокра-
щение КОИ. — Прим. пер.
пульсация1 часто определяется на уровне — 3 дБ, хотя могут быть
выбраны и другие величины. Амплитудно-частотные характеристи-у
ки, для которых все локальные максимумы и минимумы в задан/
ном диапазоне частот имеют одинаковую величину в полосе про-
пускания, как показано на рис. 1.3—1,г и д, называются равнр-
волновыми. Характеристики, значение производной от которых не
меняет знак в заданном диапазоне частот, называются монотон-
ными. Например, такова характеристика, приведенная на рис.
1.3—1,6. Другой пример — характеристики, показанные на 1)ис.
1.3— 1,в и а; их можно описать как равноволновые в полосе про-
пускания и монотонные за ее пределами. Все нули функций цепи
нижних частот, амплитуды которых показаны на рис. 1.3— 1,6—а,
должны в общем случае лежать в бесконечности. Следовательно,
полиномы в числителе этих функций должны быть нулевой степе-
ни, т. е. числитель должен быть постоянной величиной, независи-
мо от степени полинома в знаменателе. В общем виде это можно
записать так:
A/(s) = tf/B(s),	(1)
где Н не является функцией s, а вид полинома B(s) зависит от
элементов заданной цепи. Например, для цепи на рис. /1.1—2
B(s) =s3+2s2+2s+ 1.	I
Амплитудно-частотная характеристика ФНЧ при нулево^ часто-
те обращается в ненулевую положительную величину. Следова-
тельно, фазочастотная характеристика (ФЧХ) всех ФНЧ, функции
цепи для которых имеют вид, определяемый выражением (1), на-
чинается с нуля (в предположении, что Я>0) и убывает при воз-
растании частоты. Если функция цепи является рациональной, то
максимальное значение фазы равно —90 п° на бесконечно боль-
шой частоте; здесь п— порядок полинома в знаменателе B(s). Та
ким образом, максимальное значение фазы для фильтра, показан-
ного на рис. 1.1—2, равно —270°.
Если характеристика равноволновая как в полосе пропускания,
так и в полосе задерживания, занимающей диапазон частот cos^
s=7(0<;oo, то происходит модификация основной АЧХ ФНЧ, как
показано на рис. 1.3—1,<5. Такая характеристика называется эл-
липтической, причем амплитуда на бесконечно большой частоте
может быть равна нулю или (как показано) быть ненулевой. Что-
бы характеристика была эллиптической, нули функции цепи долж-
ны лежать на оси jco плоскости комплексной частоты. Следова-
тельно, эллиптические функции цепи имеют вид
A(s)^A(s)/B(s),	(2)
где нули A(s) лежат на оси jco, а нули B(s) —в левой полуплос-
кости.
1 В отечественной литературе чаще используют термин «неравномерность
АЧХ» (для аналоговых фильтров); термин «пульсация» используется обычно
в цифровых фильтрах. Этот термин, как более адекватный, используется и
здесь. — Прим. пер.
Следующий тип фильтра, который рассмотрим в этом парагра-
фе,— фильтр верхних частот (ФВЧ). Фильтр верхних частот за-
держивает нижние частоты (полоса задерживания) и пропускает
верхние частоты (полоса пропускания). Некоторые АЧХ для
функций цепи верхних частот показаны на рис. 1.3—2. Их описа-
ние. 1.3—2. Вид основных АЧХ ФВЧ
ние аналогично сделанному в случае ФНЧ. На рис. 1.3—2,а пока-
зана идеальная (нереализуемая) характеристика, на рис. 1.3—
—2,6 -4 полностью монотонная характеристика. На рис. 1.3—2,в
и г даны характеристики, равноволновые в полосе пропускания и
монотонные вне ее, а на рис. 1.3—2,д— характеристика, равновол-
новая как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания
sCtOs, т. е. эллиптическая. В этом случае на нулевой частоте
амплитуда может быть равна нулю или (как показано) быть не-
нулевой. Для ФВЧ ширина полосы пропускания бесконечно вели-
ка, так как теоретически она простирается до бесконечно больших
частот. Поэтому вместо того, чтобы определять ширину полосы,
было бы более разумно определить частоту среза, которая на ри-
сунке обозначена как сос. Все нули функции цепи верхних частот,
АЧХ которых показаны на рис. 1.3—• 2,а—г, должны в общем слу-
чае лежать в начале координат плоскости комплексной частоты.
Следовательно, для рациональных функций они должны иметь вид
N(s) = HsP/B(s$	(3)
где И — постоянная, ап — степень полинома знаменателя В (s).
Например, для ФВЧ, схема которого показана на рис. 1.3—3,
функция цепи имеет вид
V2 (s)/(s) - 0,5 s3/(s3 + 2s2 -f- 2s + 1).
(4)
Фазочастотная характеристика для рациональной функции це-
пи верхних частот, заданной в виде (3),
+90 п° при нулевой частоте и уменьша-
ется до нуля на бесконечно большой ча-
стоте.
Третий общий тип фильтра, который
будем здесь рассматривать, — полосовой
фильтр (ПФ). Полосовой фильтр пропу-
скает одну полосу частот (полоса пропу-
скания), тогда как две других полосы ча-
стот, а именно, ниже и выше полосы про-
пускания задерживаются (полосы задер-
живания). Некоторые А^р^фушсциищепи
начинается со значения
Рис. 1.3—3. Схема ФВЧ.
Значения элементов даны
—н омах, генри, фарадах
для полосового фильтра показаны на рис. 1.3—4. Диапазон чаф
тот, которые пропускаются фильтром, называется полосой пропус-
кания, ширина которой (BW) определяется как разность ме
частотами среза полосы пропускания. Используя <в2 и он, как
казано на рисунках, в качестве верхней и нижней частот ср
получаем
BW = <o2—cor
У
о-
за,
(5)
Средняя частота соо полосы пропускания определяется как/сред-
нее геометрическое частот среза. Таким образом,
to0 = со2.
На рис. 1.3—4,а показана идеальная (нереализуемая)
ристика полосового фильтра. На рис. 1.3—4,6 показана
ристика, монотонная в том
смысле, что производная
(6)
ракте-
аракте-
A4XJ взятая
Рис. 1.3—4.
Вид основных
АЧХ ПФ
отдельно слева и справа от средней частоты, не меняет знака.
Аналогично этому на рис. 1.3 — 4,в и г характеристики в полосе
пропускания — равноволновые, а за пределами полосы пропуска-
ния— монотонные. И, наконец, на рис. 1.3—4,д показана эллип-
тическая характеристика полосового фильтра. Ее амплитуда на
нулевой и бесконечно большой частотах может быть равна нулю
или (как показано) быть ненулевой. Все АЧХ полосовых фильт-
ров, показанные на рис. 1.3 — 4,а—г, составляют функции цепи, у
которых в общем случае половина нулей находится в начале ко-
ординат, а другая половина — в бесконечности. Следовательно, с
учетом того, что эти функции рациональные, они имеют вид
N (s) = Hs"/2/B (s),
(7)
где Н— постоянная, а п — степень полинома в знаменателе B(s),
величина всегда четная. Фазочастотная характеристика для такой
функции начинается со значения ( + 90п/2)° при нулевой частоте
и уменьшается до (—90 м/2) в бесконечности. Она равна нулю на
средней частоте.
Существует много других типов функций цепи, например, та-
ких, которые имеют режекторные или всепропускающие характе-
ристики. Albi рассмотрим их позднее.
1.4.	Нормирование частоты и полного сопротивления
Технические требования, которые обычно задаются при проек-
тировании фильтра, указывают реальные значения частот, которые
могут составлять тысячи герц. Ясно, однако, что расчет фильтра
(льно облегчается, если использовать частоты в несколько
и радиан в секунду, так как вычисления при этом упроща-
1 вероятность ошибки уменьшается) — нет необходимости
овать различные степени десяти. В расчетных таблицах
личных характеристик фильтров также используются такие
г значения частот. Их обычно называют нормированными
ями частоты.1 Для преобразования нормированных значе-
реально существующие» частоты, требуемые для того или
онкретного применения, используется процедура денорми-
i частоты.1 Она включает в себя замену переменной комп-
частоты. Если рассматривать р как нормированную пере-
комплексной частоты, a s как денормированную, то про-
денормирования частоты будет определяться соотношением
s = &np,	(1)
где fin V- постоянная денормирования по частоте. Например, рас-
смотриЦ катушку с нормированным по частоте значением индук-
тивности L генри и нормированным по частоте полным сопротив-
лением Zn(p) =pL. Денормированное полное сопротивление Z(s)
находится из (1) и равно sL/fin, следовательно, оно соответствует
индуктивности L/fin. Аналогично, денормированная емкость будет
иметь значение C/fi„. Основываясь на этом, легко получить до-
полнительные соотношения для других элементов цепи, подвергну-
тых денормированию по частоте. Сводные результаты такого де-
нормирования приведены в первой строке табл. 1.4—1.
Таблица 1.4—1
Влияние депортирования по частоте и полному сопротивлению
на элементы цепи
Денормирование		с	L	ИНУН, усиле- ние ~ а	ИТУТ, усиле- ние	ИТУН, усиле- ние = g	ИНУТ, усиле- ние — r	реальный •ансформа- P. коэффи- 1ент транс- эрмации N	ЧЗОС
									
& (по частоте)	R	С	L	а	₽	g	r		D
Z ZnZn (по полному со- противлению)		С		а	₽	g Zn	znr	N	D Zn
По частоте и пол- ному сопротивле- нию		с				g			D
		^п2тп		а	р	Zn	znr	N	Q2 7
Примечание. ИНУН — источник напряжения, управляемый напряжением, ИТУТ — источ-
*® т°ка, управляемый током, ИТУН — источник тока, управляемый напряжением, ИНУТ —
«очник напряжения, управляемый током. Элемент ЧЗОС вводится в § 6.2.
1 В аналоговой фильтрации используются также термины: «нормализован-
ие» и «денормализованиые» (или «перенормированные») частоты (сопротив-
ления). — Прим. пер.
Аналогичные результаты применительно к функциям цепи при-
ведены в первой строке табл. 1.4—2. При использовании этих со-
отношений полезно помнить, что такие элементы, как сопротивле-
ние и управляемые источники, функции цепи для которых не яв-
ляются функциями s, остаются инвариантными и в результате
денормирования по частоте, тогда как реактивные элементы,'та-
кие как индуктивности и емкости, которые характеризуются функ-
циями цепи, явно зависящими от s, изменяют свое значение., Для
таких реактивных элементов изменение их значения обратно1 про-
порционально изменению частоты.
Таблица 1.4—2
Влияние денормирования по частоте и полному сопротивлению ।
на функции цепи
Денормирование	Полю- сы А	Нули zl	Переда- точная функция по напря- жению Vz/V1 = - А (р)	Переда- точная по току IiPi = = В(р)	Передаточное полисе сопро- тивление Vt/I^Zip)	Передаточная полная приводимость = v (р)
(по частоте)	Йп Pi	Йп	A (s/Qn)	to	zud	y( — } \&п /
Т. т12-а (по полному сопроти- влению)	Pi	Z;	А(Р)	В(р)	z„Z (р)	У(р) %п
По частоте и «полному сопротивлению	Pi	Qn	A (s/Q„)	to Ph	ZnZG0	Y(^}lzn
В таблице а, р, g, г — соответствующие коэффициенты усиле-
ния, a N — коэффициент трансформации.
Как пример денормирования по частоте, рассмотрим (норми-
рованную) цепь на рис. 1.4—1,а. Передаточная функция по напря-
е,2250вхЯГ* 	rvw	11			
+ *1	0,Н254*Нг'* Ofi Г	+ 1 v2
6}		
0,02533	нгв II	
+	и	+
	575,25 Г	1 V2
О			—О
81
Рис. 1.4—1. Денармирование частоты и полного сопротивления фильтра. Зна-
чения элементов схем даны в омах, генри, фарадах
жению при использовании р как переменной комплексной частоты
имеет вид
(pWi (р) = Nn (р) = 0,6 р/(р* + 0,6 р + 2).	(2)
\ Полюсы функции цепи р — —0,3±j 1,38203. На основании мате-
риала, приведенного в § 1.3, можно заключить, что это соответст-
вует характеристике ПФ, средняя частота которой равна ]/ 2рад/с
(корень квадратный из коэффициента при нулевой степени р в-
знаменателе). Для формирования АЧХ, имеющей точно такую же
форму, но со средней частотой 10 кГц, можно воспользоваться де-
нормированием по частоте вида (1), определив постоянную денор-
мирования по частоте Пп= (2л/ ]/2) • 104 = 4,4429-104. Подставляя
s/4,4429-104 для р в (2), получаем денормированную функцию
цепи
Ve (s) = N =_____________0,6-4,4429-10* з________ (3>
yx(s) U	s2+ 0,6-4,4429-104s + 2-(4,4429-IO4)2 ’
полюсы которой s = —1,33287-104±j 6,14019-104, причем легко по-
казать, что ее средняя частота равна 104 Гц. Применяя точно та-
кое же денормирование по частоте к элементам цепи, показанной,
на рис. 1.4—1а, получаем денормированную по частоте цепь, по-
казанную на рис. 1.4—16, реализующую функцию (3).
Роль нормирования по частоте в процессе синтеза можно на-
глядно показать, если воспользоваться рис. 1.4—2. Начиная с нор-
мированной функции цепи (крайний слева блок), можно синтези-
Рис. 1.4—2. Структурная схема
для представления синтеза и денормирования
по частоте
ровать денормированный фильтр, следуя по любому из двух ука-
занных путей. На нижней ветви порядок двух операций меняется
местами. Следуя по любому пути, получаем один и тот же резуль-
тат, однако рекомендуется использовать верхний путь, так как при
этом значительно упрощаются численные расчеты.
Второй тип денормирования, который часто используют для:
Упрощения численных расчетов, проводимых в процессе синтеза,
называется денормированием полного сопротивления. Он позволя-
ет использовать элементы, численные значения которых близки к
единице, вместо того чтобы использовать фактические значения,,
имеющие множители 103, 106, 10”6, 10~12 и т. д. Нормированное-
Полное сопротивление Zm(s) может быть денормировано к полно-
злу сопротивлению Z(s), т. е. преобразовано к практически исполь-
зуемым значениям с помощью соотношения
Z (s) = zn Zn (s),	(4)
где zn — постоянная денормирования полного сопротивления.
Для примера рассмотрим катушку, индуктивность которой пос-
ле нормирования полного сопротивления равна L генри. Норми-
рованное полное сопротивление имеет вид Zn(s)=sL, а денорми-
рованное (фактическое) сопротивление соответственно Z(s) =sznL,
т. е. соответствует катушке с индуктивностью znL. В то же время
для конденсатора, емкость которого после нормирования полного
сопротивления равна С фарадам,, нормированное полное сопро-
тивление имеет вид Zn(s) = l/sC, а денормированное — Z(s) =
=zr,JsC, что соответствует конденсатору с емкостью C]zn. Таким
образом, если осуществляется денормирование полного сопротивле-
ния, то значение индуктивности (в генри) увеличивается, а значе-
ние емкости (в фарадах) уменьшается. Аналогичные соотношения
можно непосредственно получить и для других типов элементов, а
также для функций цепи. Результаты сведены в табл. 1.4—1 и
1.4—2 (вторая строка).
В качестве примера денормирования полного сопротивления
выберем zn так, чтобы емкость конденсатора в цепи, показанной
на рис. 1.4—1,6, изменилась и стала равной 10-8 Ф. Из (4) нахо-
дим, что 1/s- 10-8=2„/(s-0, 11254-10-4). Тогда получаем zn = 1125,4.
Денормированные значения для элементов данной цепи указаны
на рис. 1.4—1,в. Так как функция цепи вида (3) для цепи на рис.
1.4—1,6 безразмерна, то указанное преобразование полного сопро-
тивления на нее не влияет, следовательно, она также применима
и к цепи на рис. 1.4—1,в. Следует отметить, что операции денор-
мирования по частоте и полному сопротивлению (как это видно
из третьей строки табл. 1.4—1 и 1.4—2) коммутативны: их можно
осуществлять в любом порядке — результат будет одним и тем же.
1.5.	Пример использования фильтров
Одним из интересных примеров того, как используются фильт-
;ры в практических устройствах, является система кнопочного на-
бора многих телефонных устройств. В такой системе телефон име-
ет группу из 12 кнопок, которые заменяют вращающийся диск.
Каждая такая кнопка, будучи надавлена, возбуждает генераторы,
которые одновременно генерируют и посылают в линию низкочас-
тотный и высокочастотный звуковые сигналы. Частоты, соответ-
ствующие тем или иным кнопкам, показаны на рис. 1.5—1,ц. На-
пример, кнопка 3 генерирует частоты 697 и 1477 Гц. Таким об-
разом, каждая кнопка идентифицируется двухтональным кодовым
сигналом. На центральной телефонной станции эти сигналы деко-
дируются с помощью набора фильтров, соединенных так, как по-
казано на рис. 1.5—1,6. Фильтры нижних и верхних частот на вхо-
де используются для разделения групп нижних и верхних частот,
а полосовые фильтры — для
идентификации определен-
ных частот в каждой группе.
Выходные напряжения поло-
совых фильтров контролиру-
ются детекторами, которые
путем использования про-
стых логических схем позво-
ляют идентифицировать ту
кнопку, которая была на-
жата.
Такая система позволяет
более быстро набирать но-
мер, чем обычная система с
вращающимся диском, в ко-
торой подсчитывается каж-
дый импульс постоянного то-
ка для того, чтобы Опреде-
лить каждую цифру. Оче-
видно, что фильтры играют
важную роль в работе систе-
мы кнопочного набора.
Кнопки ноБора.
нч группы т/	1	ч		АВС 2	ч		ДЕД 3	к
	БН1 ч			JKL 5	ч		MNO 6	
	PRS 7	ч		TUV 8	ч		WXY д	У
/	*	к		Опера- тор 0		_7	#	ч
								
170S	1336	/477
Частоты ВЧ группы
а)
Рис. 1.5—1. Кнопочная .система телефонного набора
Задачи
1—1 (§ 1.1). Выведите выражение (3) в § 1.1 для передаточной функции
ио напряжению цепи, .показанной на рис. 1.1—2.
1—2 (§ 1.1). Выведите выражения (10) и (11) в § 1.1 для амплитуды и
фазы передаточной функции по напряжению цепи, показанной на рис. 1.1—2.
1—3 (§ 1.1). а) Найдите передаточную функцию по напряжению для це-
пи, показанной на рис. 1.3—3.
б) Найдите выражения для амплитуды и фазы передаточной функции.
1—4 (§ 1.2). Найдите передаточные функции по напряжению для цепей,
схемы которых даны на рис. 3.<1—4 и покажите, что положение полюсов согла-
суется с данными табл. 1.2—-1.
Рис. 31—4. Схемы цепей к задаче 1.4. Значения элементов даны в омах, генри,
фарадах
1—5 (§ 1.2). Найдите входную полную проводимость (со стороны вход-
ной пары зажимов I) цепи на рис. 1.1—2, и покажите, что она имеет те же
полюсы, что и передаточная функция .по напряжению, определенная выраже-
нием в (3) § 1.1.
*—6 (§ 1.2). Найдите входную полную проводимость (со стороны вход-
ной пары зажимов 1) цепи на рис. 1.3—3 и покажите, что она имеет те же по-
люсы, что и передаточная функция по напряжению, определенная в задаче
1—3.
1—7 (§ 1.3). Амплитудно-частотные характеристики функций цепи часто
изображают, откладывая по оси ординат значения затухания, а не коэффи-
циента усиления. Предполагая, что это выполнено, определите, какой из гра-
фиков идеальных характеристик, показанных на рис. 3.1—7, соответствует
ФНЧ, ФВЧ, ПФ и Р (режекторному фильтру).
ь
а)
#	ZJ
Рис. 31—7. Идеальные
характеристики фильт-
ров к задаче 1.7
1—8 (§ 1.4). Цепь нижних частот на .рис. 1.1—2 имеет полосу пропуска-
ния 1 .рад/с для указанных значений элементов.
а)	Найдите значения элементов, которые они должны иметь в результате
денормирования по частоте, необходимой для изменения ширины полосы про-
пускания до И кГц.
б)	Запишите передаточную функцию по напряжению для такой ненорми-
рованной по частоте цепи.
ib) Денормируйте (полное сопротивление так, чтобы оконечный резистор
имел сопротивление 10 кОм.
г) Запишите передаточную функцию по напряжению для цепи с денорми-
рованиым полным сопротивлением.
1—9 (§ 1.4). а) Учитывая, что денормироваиие по частоте, использованное
в задаче 1—8, применяется к цепи па рис. 1—1.2, запишите функцию (входной
полной проводимости (определенную первоначально .в задаче 1—5) для де-
нормировамной по частоте цепи.
б)	Полагая, что денормирование полного сопротивления, использованное-
в задаче 1—8, применено к рассматриваемой цепи, запишите функцию входного
полного -сопротивления для результирующей цепи.
1—10 (§ 1.4). Цепь верхних частот, схема которой показана -на рис. 1.1—3„
имеет частоту среза 1 рад/с |для указанных номиналов элементов.
а) Найдите значения номиналов элементов, получаемые в результате де-
нормирования по частоте, проводимой для изменения частоты среза до 1 кГщ
б) Запишите передаточную функцию ,по напряжению для такой денормиро-
ванной по частоте цепи.
в)	Осуществите денормирование полного сопротивления так, чтобы око-
нечный резистор имел сопротивление 10 кОм.
г)	Запишите передаточную функцию по напряжению для такой денорми-
рованной по частоте и полному сопротивлению цепи.
1—11 (§ 1.4). Передаточная функция по напряжению для полосовой це-
пи, схема которой показана на рис. 3.1—11, имеет среднюю частоту 1 рад/с
и ширину полосы пропускания ОД ращ/с.
Рис. 31—И. Схема цепи к задаче
1.11. Значения элементов даны в
омах, генри, фарадах
///4/4
а)	Найдите значения номиналов элементов, получаемые в результате де-
нормирования по частоте, проводимого, чтобы средняя частота приняла значе-
ние 1 кГц.
б)	Чему равна при этом ширина полосы денормированной цепи?
в)	Чему равны значения номиналов элементов, если, кроме указанного,,
проводится денормирование полного сопротивления так, чтобы оконечный ре-
зистор имел сопротивление 1 кОм?
2
АППРОКСИМАЦИЯ
В гл. 4 — 7 будем рассматривать методы использования актив-
ных цепей для синтеза передаточных функций. Применяя эти
методы, будем предполагать, что функция цепи, т. е. отношение-
полиномов, определяющее положение полюсов и нулей в плоско-
сти комплексной частоты (или s-плоскости), задана как исходный
пункт всей процедуры реализации. Однако при практическом син-
тезе фильтров главное внимание проектировщика сосредоточеио-
обычно на том, чтобы удовлетворить некоторым техническим ус-
ловиям на характеристики цепи в установившемся режиме при
гармоническом воздействии, т. е. на соответствующие амплитудно-
частотные и/или фазочастотные характеристики как функции, за-
висящие от переменной вещественной частоты <о. В этой главе рас-
смотрим, насколько два Эти метода описания характеристик цепи
соответствуют друг другу, т. е. как частотная характеристика свя-
зана с положением нулей и полюсов. Такая связь характеризуется
общим термином аппроксимация.
2.1. Аппроксимация амплитудно-частотной
характеристики. Максимально плоская
характеристика
Наиболее часто используется тип аппроксимации, который мо-
дулю функции |Af(j<o)|, определенной аналитически с помощью
некоторого математического выражения, или набором данных, или,
наконец, графически ставит в соответствие рациональную функцию
F(s) так, что в некотором определенном смысле [ аппрок-
симирует | Af(j(o) |. Хотелось бы, чтобы в идеальном случае указан-
ные две функции были идентичны, и в большинстве случаев мы
Таблица 2.1—1
Соотношения между значениями амплитуды в децибелах
и .в линейной мере
ДБ	А	г	£
-.010000	.998849	.002305	.048013
-.020000	.997700	.004616	.067940
-.050000	.994260	.011579	.107608
-.100000	.988553	.023293	.152620
-.200000	.977237	.047129	.217091
-.500000	.944061	.122018	.349311
-1.000000	.891251	.258925	.500847
-2.000000	.794328	.584893	.764703
-3.010300	.707107	1.000000	1.000000
-5.000000	.562341	2.162278	1.470469
-10.000000	.316228	9.000000	3.000000
-20.000000	.100000	99.000000	9.949874
-30.000000	.031623	999.000000	31.606961
-40.000000	.010000	9999.000000	99.995000
-50.000000	.003152	99999.000000	316.226185
А	дБ	е1	F.
.999000	-.008690	.002003	.044755
.990000	-.087296	.020304	.142492
.980000	-.175478	.041233	.203059
.970000	-.264565	.062812	.250624
.950000	-.445528	.108033	.328684
.900000	-.915150	.234568	.484322
.800000	-1.938200	.562500	.750000
.707107	-3.010300	1.000000	1.000000
.500000	-6.020600	3.000000	1.732051
.200000	-13.979400	24.000000	4.898979
.100000	-20.000000	99.000000	9.949874
.050000	-26.020600	399.000000	19.974984
.020000	-33.979400	2499.000000	49.989999
.001000	-60.000000	999999.000000	999.999500
.000500	-66.020600	3999999.000000	1999.999750
Примечание. А — амплитуда.
убедимся, что это так и будет, мплитудно-частотная характерис-
тика (АЧХ) задается обычно либо в линейной, либо в логарифми-
ческой мере. В последнем случае в качестве единиц используются
децибелы [20 lg|7V(jco) | ]. В табл. 2.1 — 1 приведены соотношения
между значениями амплитуды в линейной мере и в децибелах.
Изучение аппроксимации АЧХ начнем с рассмотрения необхо-
димых свойств, которые должна иметь АЧХ. Фактически более
удобно рассматривать квадрат модуля АЧХ. В этом случае можно
записать
|А (]' со) 12 = N (j со) N* (j оо) = N (j co) N (—j co),	(1>
причем подтверждением справедливости записи в правой часть;
равенства служит то, что для рациональной функции с веществен-
ными коэффициентами сопряженная функция находится путем за-
мены ее аргумента на сопряженную величину, т. е. путем замены
jco на —jco. Предположим теперь, что
($) = b° + s s2 -j- M3 + fe4 + • • •
a0 + аг s c2 s2 az s3 + a4 s4 ...
Тогда
_ feo—fea co2 + frt to4-— • - • 4- j (^1 to—co3 +  .)
a0—co3 4-o4 <o4—• •  + j (Щ co+ a3 co3 4- ...)
Подставляя это соотношение в правую часть выражения (1),
убеждаемся, что квадрат модуля |A(jco)|2 является отношением
четных полиномов (первое свойство). Если теперь подставить в
(1) co=s/j, то сможем определить функцию
Т (s2) = \N (j co)|2|ffl==s/i =2V (s) N (-s).	(4)
Из выражения (4) следует, что полюсы и нули T(s2) должны
иметь квадрантную симметрию в s-плоскости, т. е. должны быть
симметрично расположены по отношению к началу координат в
правой и левой полуплоскостях. Это, конечно, является необходи-
мым условием того, чтобы Т (s2) была равна произведению
N(s)N(—s). В общем случае полиномы в числителе и знаменателе
Т(s2) могут иметь только три типа сомножителей: 1) s4+as2+b,
2) s2—а(ц>-0) и 3) s24-a(a>0). Первый и второй типы сомножи-
телей действительно имеют квадрантную симметрию, тогда как
третий тип обладает ею только в случае четного числа таких со-
множителей, т. е. в случае, если они имеют вид (s24-a)2,.
(s2-|-ci)4 и т. д., когда получающиеся в результате четно-кратные
нули на оси jco будут иметь необходимую симметрию.
Подводя итог рассмотренному, можно сказать, что для того,,
чтобы данная функция |A(j©)|2 была квадратом модуля некото-
рой рациональной функции N(s) необходимо, чтобы, во-первых,
Функция |A(jco)|2 была отношением четных полиномов от со и,
во-вторых, любые полюсы или нули на оси jco, связанной с ней
Функции T(s2), определенной в (4), были бы четного порядка.
Достаточность этих двух условий легко показать представлением
7 (s2) через произведение /V(s)Af(—s) и использованием в качест-
ве полюсов N(s) полюсов функции T(s2), лежащих в левой полу-
плоскости, и половины любых пар полюсов четного порядка той
же функции, лежащих на оси jco, а в качестве нулей N(s) —ну-
лей функции T(s2), лежащих либо в левой, либо в правой полу-
плоскости, и половины любых нулей четного порядка, лежащих на
•оси j<o. Ограничение на использование лишь тех полюсов T(s2),
которые лежат в левой полуплоскости, введено только из сообра-
жений устойчивости. Ниже рассмотрен соответствующий пример.
П ример 2.1—1. Нахождение функции цепи по заданной АЧХ. Как лри-
•мер, подтверждающий справедливость сказанного выше, рассмотрим функцию
|7У (j со) I® = (<о2+ 1)/(<о4+ 1).	(5)
Легко видеть, что связанная с ней функция
T(s2) = ( —s2+ l)/(s4+ 1) = (s+ 1) (-s+ l)/(s2+ V2s+ 1) (s2 — V2s+ 1).
(6)
Сравнивая (6) c (4), видим, что существуют две функции цепи N(s), удов-
летворяющие (5):
= (s+ l)/(s2+ VS's-J- 1) и Nz (s) = (s - l)/(s2+ l/rs-J-l), (7)
причем в выражении для Nz(s) знак в числителе изменен на противополож-
ный, так как это не влияет на квадрат модуля | Af(jco) |2. ♦
Необходимые и достаточные условия, полученные выше для
функции квадрата модуля, в общем случае можно легко применить
к определенным конкретным характеристикам фильтров. Рассмот-
рим, например, определение функции квадрата модуля, характе-
ристика которой в низкочастотной области начинается с нулевой
частоты и является максимально плоской. Один из путей получе-
ния максимально плоской характеристики — добиться того, чтобы
как можно больше производных такой функции были равны нулю
при oj = 0 рад/с. Такая функция называется максимально плоской.
Чтобы уяснить, как это может быть сделано, запишем обобщенное
выражение функции квадрата модуля |7V(jco) |2 в следующем ви-
де:
|AT(j щ)|2 = №(1 +&ltD2 + &2<D4 + ...)/(l	•••)•	(8)
Если теперь разделить знаменатель на числитель, то получим
IN (j о)|2 = Н2 [1 +	<о2 + (62-я2 +	-]• (9)
Рассмотрим теперь ряд Маклорена, т. е. разложение в ряд
Фурье в начале координат произвольной функции Е(<о). Оно име-
ет вид
f(M)=F(0)+^^<a+qp^+^^+^<0«+..., по)
где Е<^(0)—i-я производная F(&) в точке <о = 0. Сравнивая это
выражение с разложением для |2V(j<o) |2, данными в (9), и пере-
писывая его так, чтобы оно было идентично с полученным разлд-
жением, можно заметить, что в силу четности ]Ar(jco) |2 все его
производные нечетного порядка равны нулю. В дополнение к тре-
бованию равенства нулю второй производной потребуем, чтобы
были равны коэффициенты щ и Аналогично этому, наряду с
требованием равенства нулю четвертой производной, будем требо-
вать равенства коэффициентов а2 и Ь2 и т. д. Таким образом, обоб-
щенная максимально плоская функция квадрата модуля |7V(j<o) |2,
заданная (8), характеризуется следующим ограничением, накла-
дываемым на максимально возможное число коэффициентов:
ai = bi.	(11)
В качестве применения этого критерия, рассмотрим функцию
квадрата модуля для цепи нижних частот. Такая функция имеет
плоскую характеристику на низких частотах и спадает до очень
малых значений на высоких частотах. Таким образом, идеально
можно было бы представить себе, что такая характеристика вы-
глядит так, как показано на рис. 2.1 — 1. Однако характеристика,
приведенная на этом рисунке, не реализуема.1 Более практичный
подход при нахождении функции цепи нижних частот — поста-
раться аппроксимировать такую характеристику путем выбора
функции квадрата модуля |7V(j<o)|2, которая была бы максималь-
но плоской при со = 0. Это должно привести
к воспроизведению плоской формы кривой,
по крайней мере, в области нижних частот.
С другой стороны, чтобы обеспечить необхо-
димый спад характеристики в области верх- 'с?
них частот, необходимо расположить все ну- —
ли передачи искомой функции в бесконечно-
сти; следовательно, числитель TV(jco) дол-
жен быть просто константой и все коэффи- рис 2 j—p Идеальная
циенты bi в (8) должны быть равны нулю. характеристика ФНЧ
Для максимально плоской характеристики
с учетом (11) коэффициенты ai должны быть также приравнены
нулю, за исключением, конечно, старшего. Результирующая функ-
ция квадрата модуля
|Af(j со)|2 = №/(1 +82<d2«),	(12)
где Н — величина |7V(0)|, т. е. максимальная величина, которой
достигает |/V(j<o) |; е используется для того, чтобы регулировать
скорость убывания амплитуды. Некоторые значения е и е2 приве-
дены в табл. 2.1—1. Диапазон частот O^co^l рад/с называется
полосой пропускания этой функции, а диапазон частот <о>-1 рад/с
In | TV (jco) |
1 + со2
dco<oo, где
1 Общим необходимым и достаточным условием реализуемости является
оо
критерий Пэли—Винера, который требует, чтобы J
—-о
|TV(j ш) | —исследуемая на реализуемость АЧХ.
3 дБ. Из (12) следует, что
°	0,5	1,0	1,5	2,0
си
Рис. 2.1—2. Амплитудно-частотные ха-
рактеристики функций Баттерворта
различных порядков
называется полосой задерживания1. Следует заметить, что при
<о = 1 рад/с модуль |A(jl) | =/7/(1 H-е2) 1/2> причем эта величина не
зависит от п. Значение е обычно выбирается равным единице, тог-
да такая функция именуется функцией Баттерворта2. В этом слу-
чае модуль |/V(jl)|=/// ]/2=0,707Ш и 20 lg[|A(jl) |/|А(0) |] =
=20 lg 0,7071 =—3,01 дБ; таким образом, за частоту 1 рад/с обыч-
но принимают частоту на уровне — 3 дБ или частоту спада на
лон функции квадрата модуля
| N (jco) |2 на этой частоте пропор-
ционален — п/2. Графики АЧХ
функции Баттерворта для п=2, 5
и 10 показаны на рис. 2.1—2.
Значения амплитуды в некоторых
точках характеристики |W(jco)|
приведены в табл. 2.1—2. Для до-
статочно больших значений час-
тоты ослабление составляет
20п дБ на декаду по шкале ча-
стот выше 1 рад/с. Здесь п — сте-
пень данной функции.
Местоположение полюсов функции цепи, имеющей характерис-
тики Баттерворта, можно найти, используя (4) и (12). В резуль-
тате получаем
Н2 I	//2
A (s) N (— s) - 1 + (в2„ |ffi2=_s2 -	•
(13)
Приравнивая полином в знаменателе нулю, находим, что полю-
сы располагаются в точках s, удовлетворяющих соотношению
s=[—(—I)"]1/2".	(14)
Следовательно, для п четных s=(—1) 1/2 = eiIthl2n (6= 1, 3, 5,...
... ,4п—1), для п нечетных s= (1) 1/2=ei3Tft/2n (6 = 0,2, 4,..., 4п—2).
Из этих соотношений видно, что полюсы N(s)N(—s) расположе-
ны на окружности единичного радиуса на одинаковом угловом
расстоянии друг от друга, как показано на рис. 2.1 —3. Рассмат-
ривая только левую полуплоскость, находим, что полюсы .V (s)
определяются как p/t=0/i+jco/i, где
 2й—1	2k-—1	,	, „ о
Оь = —sin------л; со,, = cos---л, 6=1,2, 3
2п	й	2п
п.
(15)
1 Такое определение полосы задерживания справедливо, строго говоря,
только для идеальной АЧХ, для -реальной АЧХ полоса задерживания начинает-
ся с частоты, затухание на которой 'больше или равно заданному. Между по-
лосой пропускания и полосой задерживания лежит переходная -полоса. Этот
факт не упоминается авторами и ниже рассматриваются только две полосы:
пропускания и задерживания. — Прим. пер.
2 Баттерворт был британским инженером, который описал этот тип ча-
стотной характеристики применительно к электронным усилителям в статье
«К теории избирательных усилителей», см. [1, с. 536—541]. Десять лет спустя
Лэндон применил термин максимально плоский в своей статье «Усилительные
каскады с максимально плоской характеристикой», см. [2].
Таблица 2.1—2
Значения амплитуды максимально плоской (баттервортовской)
функции (е=1) с нормированной полосой пропускания (ю=1 рад/с)
п	0.7		0.8		0.9		1.1		1.2		1.5
	А		А	ДБ	А	дБ-	А :	дБ-	А	ДЬ	А дБ
2	.6960	-.93	.0423	1.49	.7771	-2.19	.6370	-3.92	.5704 -4.68		.4061 —7.83
3	.9459	-.40	. 0901	1.01	.8001	-1.85	.6007	-4.43	.5009 -6.01		.2841 -10.93
4	.9724	-.24	. 92S4	-.67	.0361	-1.55	.5640	-4.97	•4344 -7.24		.1938 -14.25
5	.9062	-•12	.950 3	-.44	.6611	-1.30	.5275	-5.56	.3729	-6.57	.1306 -17.60
6	.9932	-.06	.9673	-.29	.0830	-1.06	.4916	-6.17	.3176 -9.96		.0675 -21.16
7	о 9966.	-.03	.9707	-.19	.9021	-.89	.4566	-6.61	.2688 -11.41		.0584 -24.67
8	.9963	-.01	.9062	-.1г	.9185	-.74	.4220	-7.46	.2265 -12.90		•0390 -26.18
9	.9992	-.01	.9911	-.00	• 9325	-.61	.3904	“6.17	.1903 -14.41		.0260 -31Л0
10	.9996	-.00	.9943	-.05	.9442	-.50	.3597	— 8*б6	.1594 -15.95		.0173 -35.22
Примечание. А — амплитуда.
Полиномы в знаменателе, имеющие такие корни, называются
полиномами Баттерворта. В табл. 2.1 —3 приведены коэффициен-
ты полиномов Баттерворта, координаты полюсов и не равный еди-
Рис. 2.1—2. Корни полиномов Баттерворта
нице коэффициент квадратичного множителя для различных зна-
чений п. Реализация баттервортовских функций пассивными цепя-
ми приведена в приложении А. Соотношение (12) может исполь-
зоваться для определения значения п, т. е. порядка фильтра, не-
обходимого для того, чтобы удовлетворить заданным требованиям
в процессе проектирования.
Пример 2.1—2. Определение порядка функции Баттерворта. Рассмотрим
определение функции цепи нижних частот, имеющей максимально плоскую
АЧХ со спадом на 3 дБ от максимального значения (который она имеет на
нулевой частоте) на частоте среза полосы пропускания ® = 1 рад/с. Кроме это-
го, требуется, чтобы АЧХ имела спад на 15 дБ на всех частотах выше со=
=2 рад/с. Вследствие монотонности максимально плоской характеристики, удов-
летворив второму требованию на частоте со = 2 рад/с, тем самым удовлетво-
рим ему и на более высоких частотах. Заметим, прежде всего, что наличие
затухания точно —15 дБ на частоте со=2 рад/с соответствует требованию,
чтобы 201g[|A(j0) |/|.V(j2) |] = 15, что, >в свою очередь, приводит к требова-
Таблица 2.1—За
Коэффициенты полинома в знаменателе максимально
плоской (баттервортовской) функции вида	\
S’1 + fllSn-,+fl2Sn-2+ ... +fl2S2 + fllS +1
с полосой пропускания 0... 1 рад/с
Л	а.	°2	аз	а4	“з
2	1.414214				
3	2.000000				
4	2.613126	3.414214			
5	3.236068	5.236068			
6	3.863703	7.464Ю2	9.141620		
7	4.493959	10.097835	14.591794		
8	5.125831	13.137071	21.846151	25.688356	
9	5.758770	16.581719	31.163437	41.986386	
10	6.392453	20.431729	42.802061	64.882396	74.233429
Таблица 2.1—36
Положение полюсов и квадратичные миожители (s2+a<s+l)
максимально плоской (баттервортовской) функции
с полосой пропускания 0... 1 рад/с
Л	Полюсы	а1	п	Полюсы	а.
2	-0.70711 ±;0.70711	1.41421	8	-0.19509 ± /0.98079	0.39018
3	-0.50000 + /0.86603	1.00000		—0.55557 ± jO.83147	.11’114
				-0.83147 ± /0.55557	1.66294 .
4	-0.38268 ±/0.92388	0.76536		-0.98079 ±/0.19509	1.96158 1
	-0.92388 ± /0.38268	1.84776			
			9	-0.17365 ±/0.98481-	0.34730
5	-0.30902 ±/0.95106	0.61804		-0.50000 ±/0.86603	1.00000
	-0.80902 ±/0.58779	1.61804		-0.76604 ±/0.64279	1.53208
. 6	-0.25882 ±/0.96593	0.51764		-0.93969 ±/0.34202.	1.87938
	-0.70711 ±/0.70711	1.41421	10	-0.15643 ± /0.98769	6.31286
	-0.96593 ±/0.25882	1.93186		-0.45399 ± /0.89101	0.90798
7	—0.22252 ± /0.97493	0.44504.		-0.70711 ±/0.70711	1.41421
	-0.62349 ±/0.78183	1.24698		-0.89101 ±/0.45399	1.78202
	—0.90097 ±/0.43388	1.80194		I -0.98769 ±/0.15643	1.97538
Замечание. Все функции нечетного порядка имеют также полюс в точке s=—l.
ниям, чтобы lg|W(jO) |/.|/V(j2) | =0,75 и ]AT(jO) ]/|Ar(j2) | =5,623. Таким образом,
необходимо удовлетворить неравенству
|W(jO)|/|W(j2)| = (1 + 22")’/2^ 5,623.	(16)
Оно может быть представлено в виде
п (1/2) log2 [(5,623)2 — 1] = log2 5,53.	(17)
Так как Iog2 последовательности чисел 2, 4, 8, 16, 32, ... имеет соответ-
ственно значения 1, 2, 3, 4, 5, ..., то значение log25,53 лежит .между 2 и 3;
следовательно, в качестве аппроксимирующей должна быть выбрана функция'
цепи третьего порядка. В соответствии с табл. 2.1—3, ее можно записать в
виде
(s) ff/(s3-ф 2 s2 + 2 sI).	(18)
Заметим, что |7V(j2) | =0,124, а обратная ей величина равна 8,06, что
больше 5,623, как и требуется в неравенстве (16). ф
Пример 2.1—3. Максимально плоская характеристика, у которой е#=1.
В этом примере определения функции цепи с максимально плоской АЧХ, удов-
летворяющей техническому заданию, предположим, что требуемое затухание
Р,лс- 2.1—4. Номограмма для определения порядка максимально плоской функ-
ции
на границе полосы пропускания (со=1 рад/с) составляет 0,5 дБ, а затухание
на частоте со=2 рад/с должно -быть не менее 18 дБ. Первое из этих условий
можно использовать для определения величины ев (12).
Заметим, что 20 lg[|A'(j 0) |/1JV(j 1) |] =0,5, следовательно, |/V(j 0) |/|/V(j 1) | =
= (1 + е2)1/2=1,0593. В результате получаем, что е2=0,122. Чтобы получить за-
тухание точно 18 дБ на частоте со=2 р.ад/с, мы должны иметь
201g[|/V(j 0) |/|/V(j 2) |] = 18, откуда находим |/V(j 0) |/|lV(j 2) | ='7,943. Таким
образом, необходимо удовлетворить следующему соотношению:
|/V(j 0)1/1 A7(i 2) | = (1 + 0,122-22")1/2 > 7,943.	(19)
Решая это уравнение относительно п, найдем, что оно соответствует
logs 22,56, значение которого лежит между 4 и 5, т. е. окончательно получаем,
что функция цепи должна быть пятого порядка. Используя (12), можно в ито-
ге найти для этой функции .полином в знаменателе, ф
Вычисления, проведенные в двух предыдущих примерах, мож-
но упростить, используя номограммы, отображающие зависимость
требуемого порядка фильтра от затухания Апп на границе поло-
сы пропускания (нормированной к значению 1 рад/с) и от ослаб-
ления А & на некоторой (нормированной) частоте Q. Такая номо-
грамма приведена на рис. 2.1 —4*. Как ею пользоваться, показа-
но на рис. 2.1 — 5. Через точки 1 и 2, указанные на рис. 2.1—5 и
соответствующие определенным значениям Дпп и Ав на левых
шкалах рис. 2.1 —4, проводится прямая линия. Ее пересечение с
ординатой графика справа (см. рис.
2.1—4) определяет точку 3 на рис.
2.1—5. Из этой точки проводится гори-
зонтальная линия до пересечения с вер-
тикалью, восстановленной в точке 4,
соответствующей заданной частоте Q.
Результирующая точка пересечения 5
позволяет установить порядок фильт-
ра. Если эта точка лежит между двумя
прямыми, соответствующими опреде-
ленному порядку фильтра, то следует,
конечно, взять значение порядка, соот-
ветствующее верхней прямой. Эту но-
Рис. 2.1—5. Метод использо-
вания номограммы на рис.
2.1—4
мограмму можно непосредственно использовать для подтверждения
правильности результатов, полученных в примерах 2.1—2 и
2.1—3.
2.2. Аппроксимация амплитудно-частотной
характеристики. Равноволновая характеристика
В предыдущем параграфе был рассмотрен один из типов ап-
проксимации АЧХ, а именно: максимально плоская аппроксима-
* iM. Кабаками. «Номограммы для фильтров Баттерворта и Чебыше-
ва» [3]. Д-р Каваками был назначен в 1973 г. президентом Токийского тех-
нологического института.	'
ция. Этот частный вид аппроксимации характеризовался тем, что
производные функции квадрата модуля принимались равными ну-
лю на нулевой частоте. В результате эффект аппроксимации кон-
центрировался на одной частоте — нулевой, а переход от полосы
пропускания к полосе задерживания получился не таким резким,
как это требуется в ряде применений.
В этом параграфе опишем другой тип аппроксимации, для ко-
торого эффект аппроксимации распределен по всей полосе про-
пускания. Такую аппроксимацию называют равноволновой.
Равноволновую аппроксимацию АЧХ ФНЧ можно получить,
если записать функцию квадрата модуля в виде
|7V(j со)|2 = /72/[1 +82С2п(со)],	(1)
где Сп(со) —полиномы порядка п. Если эти полиномы обладают
свойством: 0sCC2„(-o)) sC 1 для OsSScossU рад/с и С2Г;. (со) >1 для
1 рад/с, то полоса пропускания будет лежать в пределах 0=С
<^со==£1 рад/с и будет характеризоваться тем, что |Af(jco) |таж =
= Яи |2V(j co) =	+ s2)1/2.
Таким образом, значение е будет определять пределы изменения
АЧХ в полосе пропускания. Например, для е= 1 минимальное
значение АЧХ будет на 3,01 дБ ниже, чем максимальное. Другие
пары значений —е и изменения в децибелах — приведены в табл.
2.1 — 1. Полоса задерживания определяется для и>1. В этой
полосе | N (jы) | < HI (1 + Е2) *'2.
Полиномы Сп(со), обладающие свойствами, определенными вы-
ше, называются полиномами Чебышева.1 Они записываются сле-
дующим образом:
Cj (со) = со;
С2(со) = 2со2—1;	(2)
С3 (со) = 4 со3 — Зсо;
Cn+i (со) = 2 со Сп (со)—Сп-1 (со),
где последнее выражение справедливо для всех п>1. Полиномы
Чебышева можно записать также и на основе тригонометриче-
ских и гиперболических функций:
Сп (со) = cos (п arc cos со), 0 со	1;	(За)
Сп (со) = ch (п Arch со), со>=1.	(36)
1 Впервые эти полиномы были использованы П. Л. Чебышевым в рабо-
те [4], посвященной изучению конструкции паровых машин (1899 г.). В ино-
странной литературе в связи с необходимостью передачи звуков русского язы-
ка латинскими буквами используются .многочисленные варианты написания
фамилии «Чебышев» (в разных странах по-разному), в частности, Chebyshev,
ichebysheff (англ.), Tschebyscheff (нем.), Czebyszew (польск.) и др.
В соответствии с этими вариантами, и чаще всего, полиномы Чебышева
обозначаются заглавной буквой Т, а не С, в том числе и в отечественной ли-
тературе (для полиномов Чебышева первого рода, о которых здесь идет
Речь). — Прим. ред.
Графики С2„(©) некоторых из этих полиномов показаны на
рис. 2.2— 1. Равноволновые АЧХ для п=2; 5 и 10 (е=1) показа-
ны на рис. 2.2 — 2. Их сравнение с соответствующими графиками
максимально плоских АЧХ (см. рис. 2.1—2) показывает, что за-
Рис. 2.2—I. Графики некоторых полиномов Чебышева С2П (®)
тухание в окрестности частоты среза для равноволновых характе-
ристик значительно больше при одинаковом порядке. Для доста-
точно высоких частот затухание составляет, конечно, величину
20п дБ на декаду по отно-
шению к его значению на
частоте 1 рад/с, как и для
случая максимально плос-
ких АЧХ. Значения модуля
|Af(jco)| Для некоторых ха-
рактерных значений нерав-
номерности АЧХ приведе-
ны в табл. 2.2—1а. Значе-
ния частот на уровне спа-
да АЧХ — 3 дБ для раз-
личных значений неравно-
мерности АЧХ (амплиту-
ды пульсаций) и различных
порядков приведены в табл. 2.2—16. Эти частоты определяются из
соотношения
®здб==сЬ(—Arch—У е<:1.	(4)
\ п	е /
Теперь можно использовать выражение для (Af(jco)|2 (1) для
определения положения полюсов при равноволновой функции це-
пи. С учетом представления, данного для функции квадрата моду-
ля как функции цепи, в общем случае (см. предыдущий параграф)
можно записать
N(s)N(—s) = !A/(j со)|2гяЛ = /72/[1 +e»C!n (s/j)J.	,(5)
Рис. 2.2—2. Амплитудно-частотные харак-
теристики равноволновых (3 дБ) функций
различных порядков
Таблица 2.2—la
Значения амплитуд равноволиовой (чебышевской) функции
с нормированной полосой пропускания (<в=1 рад/с)
w, рад/с
		U	1.2	1.5
ПОЛЬ- caupti	и	А	Д6	А	дБ	А	ДБ
Нем	2 3 4 5 6 7 8 9 10	.8958	-.96 .8165 -1.76 .6864 -3.27 .5244 -5.61 .3698 -8.64 .2481 -12.11 .1624 -15.79 .1051 -19.57 .0677 -23.39	.8359 -1.56 .6539 -3.69 .4266 -7.40 .2465 -12.16 .1355 -17.36 .0732 -22.71 .0394 -28.10 .0211 -33.50 .0113 -38.90	.633! -3.97 .3031 -10.37 .1209 -18.35 .0465 -26.65 .0178 -35.00 .0068 -43.36 .0026 -51.72 .0010 -60.08 .0004 -68.44
1ДВ	2 3 4 5 6 7 8 9 10	.8105 -1.82 .6966	-3.14 .5438 -5.29 .3894	-8.19 .2635 -11.58 .1732 -15.23 .1123 -19.00 .0723 -22.81 .0465 -26.65	.7226 -2.82 .5103 -5.84 .3081 -10.23 .1720 -15.29 .0934 -20.59 .0503 -25.96 .0270 -31.36 .0145 -36.76 .0078 -42.17	.4896 -6.20 .2133 -13.42 .0833 -21.58 .0319 -29.91 .0122 -38.27 .0047 -46.63 .0018 -54.99 .0007 -63.35 .0003 -71.71'
Примечание. А — амплитуда.
.	Таблица 2.2—16
Частоты среза на уровне половинной мощности (—3 дБ)
для равноволновой (чебышевской) функции цепи нижних частот
с полосой пропускания 0... 1 рад/с
Пульсации, ДБ	2	3	4	5	п 6	7	8	t 9	10
•oioooo	3.303615	1.877180	1.466904	1.291217	1.199412	1.145268	1.110609	1.067064	1.070331
•100000	(.943219	1.386995	1.213099	1.134716	1.092931	1.068001	1.051927	1.040955	1.0 33131
•200000	1.674270	1.283455	1.156346	1.099154	1.068517	1.050188	1.036351	1.030262	1.024489
.500000	1.389744	1.167485	1.093102	1.059259	1,041030	1.030090	1.023011	1.016167	1.014707
1*000000	1.217626	1.094668	1.053002	1.033815	1.023442	1.017205	1.013164	1.010396	1.006418
Следовательно, полюсы произведения N(s)N(—s) суть корни
уравнения С2„. (s/j)=—1/в2 или Сп (s/j) = ± j/s. Используя тригоно-
метрическую форму для Сп(©), приведенную в (3), можно запи-
сать
Сж (s/j) = cos (л arccos (s/j)) = ± j/e.
(6>
Прежде чем решать это уравнение, определим некоторую комп-
лексную функцию
iiy = u-|-jo = arccos(s/j).	(7)
Подставляя ее в (6), получаем
cos п (и -|- j v) = cos пи ch да—j sin пи sh да = ± j/в.	(8)
Приравнивая друг другу вещественные составляющие в правых
частях выражения (8), получаем cos да ch да = 0. Так как chno^
для всех значений nv, то это равенство требует, чтобы
cos пи = 0. Последнее можно записать в виде
ufe = (2&—1)л/2п, k= 1, 2, 3,..., 2п.	(9)
Аналогично, приравнивая мнимые части в (8) и учитывая, что
для значений; и, определенных выражением (9), sinnu=±l, полу-
чаем
v = (l/ri) Arsh(l/e),
(Ю)
где оставлены только положительные значения для v. Выражение
(7) можно теперь представить в виде
s = j cos(ufe + j о) = sin sh о + j cos«fecho.	(11)
Это соотношение определяет полюсы произведения N(s)N(—s).
Полюсы, лежащие в левой полуплоскости, присваиваются Af(s),
чтобы окончательно определить функцию цепи. Следовательно,
полюсами N(s) будут Pk=ofe+jcofe, где
ок= —sin ufesho
cofe = cos uk ch v
k=l, 2,..., n
(12)
и где uk и v определяются в (9) и (10).
Пример 2.2—I. Определение функции Чебышева. В качестве примера
использования формул (9)—'(II) рассмотрим определение полюсов равновол-
новой функции цепи нижних частот второго порядка с пульсацией в полосе
пропускания 3 дБ.
В этом случае п=2, и из (9) получаем: ui = ix/4 и U2=-3n/4. Для пульса-
ции, раиной 3 дБ, е='1 и из (10) находим v=0,441. Используя (12), полу-
чаем
Ci= — sin -y-sh 0,441 = —0,322; со, = cos — ch 0,441 = 0,777 ;
4	4
3 it	Зя
o2= — sin — sh0,441 = —0,322 ; co, = cos— ch 0,441 = —0,777.
4	4
(13)
Следовательно, функция цепи
N (s) = W/(s4-0,322+j 0,777) (s+ 0,322—j 0,777) = H/(s*+ 0,644 s+ 0,7074). ф
(14)
Реализация равноволновой функции в виде пассивной цепи
приведена в приложении А. Координаты полюсов и значения ко-
эффициентов полинома знаменателя для различных значений п
Таблица 2.2—2а
Коэффициенты знаменателя, представленного в виде ao+ajS+aas2+ ... +ans"-,+sn
равноволновой (чебышевской) функции с полосой пропускания 0.-1 рад/с
W		«1	«2	as	«4	"s	«6	а.	«Л	о.
2	1.516203	1,425625.					Пульсации о,5д5			
3	•715694	1.534895	1.252913							
4	•379051	1.025455	1.716866	1.197386						
5	.178923	•752518	1.309575	1.937367	1.172491					
6	.094763	.432367	1.171861	1.589763	2.171845	1.159176				
7	.044731	.282072	.755651	1.647903	1.869408	2.412651	1.151218			
8	.023691	.152544	•573560	1.148589	2.184015	2.149217	2.656750	1.146080		
9	.011133	.094120	.340819	.983620	1.611388	2.781499	2.429330	2.902734	1.142571	
10	.005923	.049285	.237269	.626969	1.527431	2.144237	3.440927	2.709741	3.14’876	1.140066
										
2	1.102510	1.097734					Пульсации 1д5			
3	.491307	1.238409	.988341							
4	•275628	.742619	1.453925	.952811						
5	.122827	.580534	.974396	1.688816	.936820					
6	•068907	.307081	.939346	1.202140	1.930825	.928251				
7	.030707	.213671	.548620	1.357545	1.428794	2.176078	.923123			
8	.017227	.107345	.447826	.846824	1.836902	1.655156	2.423026	.919811		
9	.007677	.070605	.244166	.786311	1.201607	2.378119	1.881480	2.670947	.917548	
10.	.004307	.034497	.182451	.455389	1.244491	1.612986	2.981509	2.107852	2.919466	.915932
Таблица 2.2—26
Положение полюсов н коэффициенты
квадратичных множителей (ao+«is+sz)
равноволновой (чебышевской) функции цепи
нижних частот с амплитудой пульсации 0,5 дБ
и полосой пропускания 0... 1 рад/с
Л	Полюсы	«О	Uj
2	-.71281 ♦ J 1.00404	1.51620	1.42562
3	-.31323 ♦ J 1.02193 -.62646	1.14245	.62646
4	-.17535 * J 1.01625	1.0635?	.35071
	-.42334 ♦ J .42095	.35641	.84668
5	-.11196 ♦ J 1.01156	1.03578	.22393
	-.29312 * J .62518 -.36232	.47677	.58625
6	-.07765 ♦ J 1.00846	1.02302	.15530
	-.21214 ♦ J .73824	.5900)	.42429
	-.28979 ♦ J .27022	.15700	.57959
7	-.05700 ♦ J 1.00641	1.01611	.11401
	—.15972 ♦ J .80708	.67688	.31944
	-.23080 ♦ J .44789 -.25617	.25388	.46160
е	-.04362 • J 1.00S00	1.01193	.08724
	-.12422 ‘ J .85200	.74133	.24844
	-.18591 ♦ J .56929	.35865	.37182
	-.21929 ♦ J .19991	.08805	.43859
9	-.03445 • J 1.00400	1.00921	.06691
	-.09920 ♦ J ' .88291	.78936	.19841
	-.15199 ♦ J .65532	.45254	.30397
	-.1S644 ♦ J .34869 -.19841	.15634	.37288
то	-.02790 ♦ J 1.00327	1.00734	.05560
	-.08097 ♦ J .90507	.82570	.16193
	-.12611 ♦ J .71826	•53181	.25222
	-.15891 ♦ J .46115	.23791	.31781
	-.11615 ♦ J .15630	«05624	«35230
Таблица 2.2—2в
Положение полюсов и коэффициенты
квадратичных множителей (ao-j-Cis+s2)
равноволновой (чебышевской) функции цепи
нижних частот с амплитудой пульсации 1 дБ
и полосой пропускания 0... 1 рад/с
И	Полюсы				«О	Vi,
г	-.54887	♦	J	.895131.	1.10251	1.09773
э	-.24709 -.49417	♦	J	•96600	.99420	•49417
4	-.13954	♦	J	.98338	.98650	.27907
	-.33687	♦	J	.40733	.27940	.67374
5	-.08946	♦	J	.99011	.98831	• 17892
	-.23421 -.28949	♦	J	.61192	.42930	.46841
6	-.06218	♦	J	.99341	.99073	.12436
	-.16988	♦	J	.72723	.55772	.33976
	-.23206	♦	J	.26618	.12471	.46413
7	-.04571	♦	J	•99528	.99268	.09142
	-.12807		J	.7&16	.65346	.25615
	-.18507 -.20541	♦	J	.44294	.23045	.37014
е	-.03501	•	J	.99645	.99414	.07002
	-.09970	•	J	.84475	.72354	.19939
	-.14920	-♦	J	.56444	.34086	.29841
	-.17600	♦	J	•19821	.07026-	.35200
9	-.02767	•	J	•99723	.99523	.05533
	-.07967	♦	J	.87695	.77539	.15933
	-.12205	♦	J	.65090	•43056	.24411
	-.14972 -.15933	•	J	.34633	.14236	.29944
ю	-.02241	♦	J	.99776	.99606	.04483
	0650’5	♦	J	.90011	.81442	.13010
	-•10132	♦	J	.71433	.52053	•20263
	-.12767		J	.45863	.22664	.25533
	-.14X52	♦	J	.15803	.04500	•26304
приведены в табл. 2.2—2. Геометрическое местоположение’полю-
сов можно определить, если воспользоваться основным тригоно-
метрическим соотношением sin2Wfe+cos2Wfe= 1. Подставляя в это
соотношение значения sin2Wfe и cos2Wfe из (12), получаем
o2ft/sh2 v 4- co2fe/ch2 v = 1.	(15)
Это уравнение эллипса с центром в начале координат плоско-
сти Pk с большой полуосью, направленной вдоль оси ординат и
равной ch v, и малой полуосью, направленной вдоль оси абсциссы
и равной sh v, как показано на рис. 2.2 — 3.
Эллипс, определенный выражением (15), может использовать-
ся в другом методе нахождения местоположения полюсов равно-
волновой функции. Чтобы сделать это, задаем нормирование по
частоте так, чтобы полоса пропускания соответствовала интервалу
О^хо^сос, где coc=l/cho. Тогда на основании (12) положение
нормированных полюсов определится так:
oh — —sin и th v; coft = cos и.	(16)
Эллипс, соответствующий этим полюсам, имеет полуось, на-
правленную по оси ординат, равную единице, и полуось, направ-
ленную по оси абсцисс, равную th v. Сравнивая положение полю-
сов, задаваемое в (16), с положением, задаваемым в (15) (см.
§2.1), в случае максимально плоской АЧХ (для единичной полосы
Рис. 2.2—3. Местополо-
жение полюсов равно-
волновых по амплитуде
функций
Рис. 2.2—4. Соответствие между положе-
нием полюсов -максимально плоской м рав-
'НОВОЛНОВОЙ функций
пропускания), можно видеть, что для заданного нормирования по
частоте равноволновой функции мнимые части соответствующих
Местоположений полюсов обоих этих типов функций те же самые,
тогда как вещественные части полюсов равноволновой функции
Уменьшаются пропорционально множителю th v. В результате это-
то положения полюсов максимально плоской функции, имеющих
одинаковые угловые координаты, могут использоваться для опре-
деления (графического) положения полюсов равноволновой функ-
ции путем проведения горизонтальных линий из точек пересечения
Радиус-векторов, соответствующих исходным полюсам, с единич-
ной окружностью и вертикальных линий из точек пересечения этих
радиус-векторов с окружностью радиуса th v. Как видно на рис»
2.2—4, для функции второго порядка указанные пересечения гори-
зонтальных и вертикальных линий определяют положение полюсов
равноволновых функций. Ясно, что эти положения полюсов долж-
ны быть денормированы по частоте, если указанная функция дол-
жна иметь единичную полосу пропускания.
Рассмотрим теперь использование равноволновой аппроксима-
ции для удовлетворения конкретных требований в частотной обла-
сти.
Пример 2.2—2. Определение порядка функции Чебышева. В примере
2.1—2 была определена максимально .плоская АЧХ, которая имела затухание
3 дБ относительно максимального значения на частоте со = 1 рад/с и- затуха-
ние не меньше 15 дБ для всех частот выше <о=2 рад/с. Рассмотрим теперь
использование равноволновой функции, удовлетворяющей тем же требова-
ниям.
Подставляя е=1 в (1), устанавливаем амплитуду пульсаций 3 дБ, удов-
летворяя, тем самым, требованиям на частоте <а=1 рад/с. Так как равновол-
новая функция, аналогично максимально плоской, монотонна в полосе задер-
живания, то, если мы удовлетворяем указанному требованию на частоте ш=
=2 рад/с, мы удовлетворяем ему на всех более высоких частотах. Следуя про-
цедуре, в результате которой было получено выражение (16) в § 2.1, прихо-
дим к следующему требованию:
Itf (j <»)\maxl IJV (J 2) | = [1 + С2П (2)]1/2 » 5,623.	(17)
Заметим, что в числителе левой части равенства (17) используем
|A(j<o) |max, а не |А/(0)|, как в (16), § 2.1. Причина этого заключается в том,
что только равноволиовые функции нечетного порядка имеют максимальные
значения при <о=0, как непосредственно видно из графиков на рис. 2.2—2.
Подставляя выражение для Сп(<в) из (36) в (17), получаем
[1 + ch2 (n Arch 2)] 1 /2 > 5,623.	(18)
Это неравенство можно разрешить относительно и:
п ---------Arch Г(5,6232—1)1/2]= 1,82.	(19)
Arch 2
Таким образом, заданным требованиям удовлетворяет равноволновая функ-
ция второго порядка, хотя, как было показано в примере 2.1—2, для этих же
целей требуется максимально плоская функция третьего порядка, так как она
имеет меньшую скорость спада в начале полосы задерживания. ♦
Пример 2.2—3. Функция Чебышева, у которой 6=^11. В качестве друго-
го примера, показывающего относительную большую эффективность равиовол-
новых функций по сравнению с максимально плоскими, рассмотрим задачу
определения функции цепи с амплитудой пульсаций '0,5 дБ в полюсе пропуска-
ния 0«о<1 рад/с .и затухание не ниже 18 дБ для всех частот выше со=2 рад/с,
В примере 2.1—3 было показано, что максимально плоская функция, удовле-
творяющая таким требованиям, должна иметь пятый порядок. Используя ре-
зультаты этого .примера, можно показать, что равноволновая функция имеет
порядок, определяемый неравенством
п
1
Arch 2
Arch
(7,943)2—1
0,122
(20)
т е. при равноволновой аппроксимации требуется только третий порядок функ-
ции; результатом этого будет, очевидно, значительное упрощение цепи. ♦
Вычисления, аналогичные проведенным в предыдущих двух
примерах, можно также осуществить с помощью номограммы на
At	п,ЛБ	Aji	,А.Б S
49-			
<-		140 -	
		130	
		120	
20-		но	
•		100 7	
		90-.	
 10-			
6 ;		60-_	
6-			
4-		70-.	
2-		60\	
1,0-		50z	
			
0,4-		4о'-_	
о,г-			
0,1-		30 z	
0,06		20z	
0,04'-			
0,92-		10-	
BJ01-		о,	
9005-		4 2-	
>-		1	
		o,s-	
B,00l-			
0,0005-			
0,0001-			
 5,00005-	/		
Рис. 2.2—5. Номограмма для определения порядка равноволновой функции
рис. 2.2—5 [3]. Как пользоваться этой номограммой, было показа-
но на рис. 2.1 — 5 (см. объяснения в § 2.1).
Рассматривая прекрасные результаты по затуханию в полосе
задерживания1, обеспечиваемые равноволновой функцией, как это
было видно из двух вышеприведенных примеров, можно с уверен-
ностью сделать заключение, что равноволновая функция должна
использоваться в тех случаях, когда представляет интерес лишь
АЧХ. В ряде случаев использования фильтров приходится рас-
сматривать не только АЧХ, но и ФЧХ функции цепи. В этом отно-
шении некоторые свойства максимально плоской функции цепи
более предпочтительны, чем свойства равноволновой. Детально
рассмотрим аппроксимацию ФЧХ в параграфе 2.5.
2.3. Аппроксимация амплитудно-частотной
характеристики. Эллиптическая характеристика
В предыдущих параграфах этой главы были рассмотрены два
типа аппроксимации АЧХ — максимально плоская и равноволно-
вая. Характеристики обоих указанных типов аппроксимации мож-
но записать в виде
|A(jw)|2 = tf2/[l+P2n(<o)J,	(О
где Р2п((о)—полином, который в случае максимально плоской
характеристики имеет вид <в2и, а в случае равноволновой — С2П (<о)
(полином Чебышева). В этом параграфе рассмотрим несколько
другой тип АЧХ ФНЧ, когда полином Рп(<а) заменяется рацио-
нальной функцией Rn(a). Путем выбора определенной рациональ-
ной функции, названной рациональной функцией Чебышева, мож-
но сформировать АЧХ, равноволновую не только в полосе пропус-
кания, но и в полосе задерживания, как показано на рис. 2.3—1.
Предполагается, что на этом рисунке величина Н из формулы
(1) выбрана так, чтобы амплитуда |А(}ш) | была равна единице.
При заданном порядке фильтра результирующая АЧХ спадает (в
переходной полосе)2 даже более круто, чем равноволновая харак-
Полоса
поопискания
Рис. 2.3—1. Амплитудно-частотная характеристика, равноволновая как в поло-
се пропускания, так и в полосе задерживания
* В переходной полосе, если следовать установившейся у мае терминоло-
гии (см. замечание к с. 30). — Прим. пер.
а. См. замечание иа с. 30. — Прим. пер.
теристика, обеспечивая, таким образом, наиболее крутой срез сре-
ди трех перечисленных типов АЧХ ФНЧ. Для определения вида
рациональной функции Rn(a) необходимо в общем случае исполь-
зовать эллиптические функции (функции Якоби) первого рода и
полные эллиптические интегралы. Полученные таким образом
функции часто определяют как эллиптические функции цепи. Учи-
тывая, что первая оригинальная работа, посвященная таким
функциям, была написана выдающимся немецким специалистом
по теории цепей Кауэром, фильтры с эллиптической характерис-
тикой часто называют также фильтрами Кауэра [5]
Прежде чем рассматривать фактически необходимую рацио-
нальную функцию 7?п(<о), которую будем использовать, рассмот-
рим сначала связанную с ней функцию R'n{&). Эта функция име-
ет две формы в зависимости от того, четно п или нечетно. Для
четного п
Р- =	( *>?—*>г) Н—о1 2) •  •( <^/2~ ю2)
"	(1-<4<о2)...(1—’
где критические частоты <в< выбраны так, чтобы обеспечить желае-
мые равноволновые свойства. Для нечетного п
Д, (ю) = <0 (<01 —ю2) ( с4 —с»2) • • • ( ^о-1)/2 —со2)	(3)
Анализируя функции, заданные в (2) и (3), можно заметить,
что положения полюсов взаимообратны положению нулей и что
R'n(\./a) = l/R'n(a). Вследствие этого значение R'n(a) на любой
частоте <во в полосе пропускания 0^<в^<вСреза взаимообратно ее
значению на частоте 1/юо в полосе задерживания <Взадерж^<о<о°.
Таким образом, найдя значения частот <о< таких, при которых
Rn((a) будет иметь равноволновую характеристику в полосе про-
пускания, автоматически определим равноволновую характеристи-
ку в полосе задерживания. Хотя функции R'n(a), заданные в (2)
и (3), имеют желаемые характеристики (для надлежащим обра-
зом выбранных юг), они неудобны для использования, так как по-
1 Американскими авторами допущена существенная неточность. Рациональ-
ная функция, используемая для получения характеристики, именуемой в этой
книге эллиптической, Выла получена учеником П. Л. Чебышева Е. И. Золота-
ревым, а затем, действительно, была использована В. Кауэром для аппрок-
симации АЧХ фильтров. Поскольку фильтры с полиномиальной аппроксима-
цией именуются обычно по имени авторов соответствующих полиномов фильт-
рами Чебышева, Баттерворта и т. д., вполне логично именовать эллиптические
фильтры фильтрами Золотарева. Такое название используется в отечественной
литературе. Рациональная функция Чебышева (дробь Чебышева) представляет
собой обобщение функции Золотарева; ее отличие состоит в возможности про-
извольного расположения нулей передаточной функции фильтра, благодаря
чему АЧХ, сохраняя равноволновость в полосе пропускания, может удовлетво-
рять различным требованиям по затуханию в различных частях полосы задер-
Живания> т_ е_ равноволновость АЧХ в полосе задерживания в общем случае
может и не иметь места (см. [14]).— Прим. ред.
леса пропускания простирается от нуля до частоты, меньшей еди-
ницы, причем точное значение этой частоты изменяется в зависи-
мости от п. Точно так же полоса задерживания начинается на
частоте, большей единицы, причем ее значение также меняется в
зависимости от п. Более удобная рациональная функция получа-
ется при выборе пары нижеследующих функций 7?п(со), связанных
с функциями, заданными в (2) и (3), частотным преобразованием.
Четная функция
Rn (<В) = М	Ю2М- ' '( Юп/2 — И2/Юз)	4)
(1--О>1 C02/as) (1-©2 “2/“s) • • • (1-“п/2 ш2/ю«)
Нечетная функция
Rn (ю) = N ю ( ю!—ю2/М (toj—ю2/ю8).  •( <о^_1)/2—ю2/^)
(1 — rof/ros) (1 —<в|/ю8)... (1 —ГО(П_1)/2 co2/cos)
где М и N — некоторые множители, a <ns — частота, с которой на-
чинается полоса задерживания.
Нормирование, проведенное для функций, заданных в (4) и
(5), обеспечивает полосу пропускания	рад/с независимо
от значения п и полосу задерживания в области частот <b^g>s, как
показано на рис. 2.3—1. Амплитудно-частотную характеристику
эллиптической функции цепи можно теперь записать в виде
^(j(o)|2 = №/[l+^((B)],	(6)
где задана в (4) и (5).
Рассмотрим отдельно случаи четной и нечетной функций. Если
подставить выражение для нечетной /?п(<в), заданное в (5), в
формулу (6), заменить <в на s/j и из полученного выражения ото-
брать только полюсы, лежащие в левой полуплоскости, и полови-
ну нулей на оси ]<в (см. § 2.1), то можно получить соответствую-
щую эллиптическую функцию цепи нечетного порядка
JV0(s)= Но
(«-0/2 I /
п(s3+^]/
(«о + «18 + - + an-i 1 + ап S").
(7)
где нули на оси jco расположены в точках s=±jQi. Степень поли-
нома в знаменателе No(s) равна п, тогда как степень полинома в
числителе — п—1. Модуль |Mo(j<o)| имеет (и—1)/2 максимумов в
полосе пропускания (плюс один максимум в точке со = 0) (и—1)/2
нулей передачи в полосе задерживания и нуль в точке <в = оо.
Пример АЧХ такой функции для п = 5 показан на рис. 2.3—2,а.
Рис. 2.3—2. Различные формы АЧХ эллиптических функций
рассмотрим теперь случай, когда п четно. Используя четную
заданную в (4), и преобразуя ее аналогично предыдущему,
получаем первый общий вид эллиптической функции цепи четного
порядка
Г п/2
jW= ^n(s2+fiD
L
I (a0 + ax s +... + an_xs”~l + s”).	(8)
Будем называть его далее: случай А для четного п. Степени
полиномов как в числителе, так и в знаменателе равны п. Модуль
|Mi(j®)l будет иметь п/2 максимумов в полосе пропускания, п/2
нулей передачи в полосе задерживания и ненулевое значение в
точке со = оо. На рис. 2.3—2,6 показан пример формы АЧХ для
n==4. Следствием того, что указанная эллиптическая функция ко-
нечна при со = оо, является то, что реализация ее в виде пассивной
лестничной 7?БС-цепи возможна только тогда, когда в схеме ис-
пользуются связанные катушки индуктивности, т. е. трансформато-
ры. Это обычно нежелательно с точки зрения как стоимости, так
и точности определения значений элементов. Таким образом, эта
функция, как правило, рассматривается только для реализации
активными 7?С-фильтрами типа рассмотренных в гл. 4—7. Однако,
если требуются реализации в виде пассивной цепи, необходимость
в трансформаторах можно исключить путем модификации формы
функции 7?п((о), приведенной в (4). Модификация состоит в час-
тотном преобразовании, сдвигающем в бесконечность самый вы-
сокочастотный полюс. В этом случае функция будет иметь вид
R {а} = М ( ю1 -	— ю2/М- • •( Юл/2 —	(9)
(1 — ш' 2 (02/(0s) ... (1 —	o2/cos)
где величины (вг- и g>s отличаются от аналогичных приведенных в
(4), а величины а/-; отличаются от (о<.
Подставляя полученное выражение в (6) и преобразуя анало-
гично приведенному выше, находим второй общий вид эллиптиче-
ской функции цепи четного порядка
п/2
Nb (S) = —---------—--------==1-----3- -	(10)
ао + ais 4~ • • • 4_ ап—1s 4“ апs
Будем называть его далее: случай В для четного п. Величины
Qi и йг‘отличаются, конечно, своими значениями от указанных в
(8). Стёпень числителя равна и—2 (заметим, что индекс произве-
дения i имеет начальное значение 2, а не 1), тогда как степень
знаменателя равна п. Эту функцию можно реализовать без свя-
занных катушек индуктивности, если сопротивления на зажимах
источника и нагрузки не одинаковы. Однако такое упрощение реа-
лизации достигается за счет того, что при заданном порядке и за-
данном затухании в полосе задерживания частота (os — начало по-
лосы задерживания — лежит несколько выше, чем в случае А. На
рис. 2.3-—2,в показана соответствующая форма АЧХ для п=4.
Требование неодинаковости значений сопротивлений является ре-
зультатом того, что функция Rn(a), заданная в (9), конечна при
<о = 0.
Если провести другое частотное преобразование, в результате
которого положение первого нуля сдвигается в начало координат,
то формируется функция, имеющая следующий общий вид:
ЪЮ-М.	_	(11)
(1 — ю2/ю8)... [ с?п/2 (1 — ш„/2 и2/cos)]
где величины со, и <os отличаются от приведенных в (4) или (9).
Подставляя полученное выражение в (6), находим функцию це-
пи, имеющую вид
п/2
ЯеПО2 + Й‘О
(s) =---Г----Н4--------п-ГТ — - •	<12>
со + а1 s + — + ап—1s	+ ап s
Будем называть его далее: случай С для четного п. На рис.
2.3—2,г показана соответствующая форма АЧХ для п=4. Заме-
тим, что амплитуда на нулевой частоте в полосе пропускания при-
нимает максимальное значение. Частота cos—начало полосы за-
держивания—еще выше, чем в случае В, что является следствием
дополнительных требований к форме реализации, однако эту функ-
цию можно реализовать при одинаковых сопротивлениях на зажи-
мах источника и нагрузки.
В табл. 2.3—1 приведены примеры нормированных эллипти-
ческих функций четного и нечетного порядков, положение их по-
люсов и нулей, а также их квадратичные множители. Реализации
эллиптических функций пассивными цепями приведены в прило-
жении А. Для функций четного порядка используются случаи В и
С. Другие реализации можно найти в источниках, указанных в
списке литературы.1
При использовании таблиц следует иметь в виду, что заданная
эллиптическая функция цепи и ее реализации характеризуются че-
тырьмя параметрами: 1) порядком функции п; 2) постоянной Кр
(см. рис. 2.3—1), определяющей амплитуду пульсаций в полосе
пропускания, выраженной либо в линейной мере, либо в децибе-
1 Таблицы, приводимые в справочниках, обычно составлены так; что ис-
пользуют коэффициент отражения р, а не амплитуду пульсаций в полосе про-
пускания КР. Эти величины можно сопоставить, если воспользоваться соот-
ношением Кр=—-101g[l—(р/.ЮО)2], где р берется в процентах. Некоторые соот-
ветствия приведены ниже
р, %	1	2	| 5 | 10 | 15	20 | 25	50
АР, дБ	0,00043	0,0017 | 0,011| 0,044| 0,098 0,18 | 0,28 1,25
Кроме того, выбор сог (где cos=l/sin0) сводится к выбору целых значений,
угла 6 (6 <90°) для случая А. К сожалению, использование этих парамет-
ров не позволяет получить удобных численных значений Кр и cos.
n	Таблица 2.3—t Эллиптические функции (с полюсами рг), имеющие вид*				
	а) Нечетные и		.г, , „„ Г	(s2 + c,-)	1		
			и 11 1	, i 1 (Sz для случая А — четные; .	ct	.	+aiS+fei) J амплитуда пульсаций 0,1 дБ	
	О),	Х5(ДЁ)		Pt	«1	- Ь
2	1.05,	•343	1.438664	-.075407	* Л. 180400	.150814	1.399030
		..559-	1.714083	-.’129483	4 Л.268507	.258966	1.625877
	1.20	1.075	2.235990	-.236268	* Л.393844	.472537	1.998624
	1.50	3.210	3.927051	-.534107	* Л.568367	1.068213	2.745046 К.
	2.00	7.418-	7.464102	—.843443	1 ♦ Л.581991	1.686887,	3.214092
3	1.05	1.74В	1.205410	-.044853 -2.812966	♦ Л.079332	.089707	1.166969
	1.10	3.374	1.370314	-.085421 —2.240832	* Л. 121848	.1708'43	1.265840
	1.20	6.691	1.699617	— .1567-66 -1.744102	* Л. 170259	.313532	1.394082
	1.50	14.848	2.806014	--.289646 -1.298182	* Л.212428	.579292	1.553876
	2-00 | I	24.010	5.153209	>-. 381858 -1.116765	* Л.217905	.763717	1.629108
4	1.05	6.397	1.153634	-.618576 3.3-12-518	-.03759В	♦ J1.143244	1.237152 ♦ Л.045948	.075196	1 .68964-4 1.095422
	1.10 •	10.721	1.290925	-.703816 4.349930	-.066734	♦ J .976495	1.407633 * Л.066126	.133467	1.448699 1.141079
	1.20	।	17.051	1.572430	—..10.8448 6.224402	—.726853	♦ Л.086869	.216897 * J .798154	1.453706	1.193044 1.165365
	1.50	29.064 1	2.535553	-.698734 12.099310	-.173627	* J .616949	1.397469 * Л.108114	.347253	•868855 1.258062
	2.00 * Э	41.447 ria таблица	4.593261	-.670443 * J .535639	1.340886 24.227201	-.216254 * Л.116820	.432509 была рассчитана по программе, взятой из [108].		.736403 1 .294053
Л			Ci	Pi		a,				t>.
5	1.05	13.851	1.133522	-.266902	♦	Л.015887	.533804	1	.103263
			1.773739	-.030115	♦	JI.028040	.060229	1	.057772
				-1.128856					
	1.10	20.050	1.259320	-.329692	♦	J .953299	.659383	1	.017475
		*	2.193093	-.049533	♦	JI.039346	.099067	1	.082694
				-.932112					
	1.20	28.303	1.521127	-.3791 55	♦	J .875398	.758311		.910081
			2.968367	-.075430	♦	JI.051645	.150860	1	.111647
				-.782858					
	1.50	43.415	2.425515	-.417037	+	J .775766	.834075		.775733
			5.437645	-.114129	♦	JI.066151	.228259	1	.149705
				-.649753					
	2.00	58.901	4.364951	-.429092	♦	J .721329	•85B183		.704436
			10.567732	-.1389)3	+	JI .073567	.277825	1	.171844
				-.590933					!
6	1.05	22.088	1*123326	-.647026		J .628506	1.294052		813662
			1.438664	-.151511	♦	J .985417	.303023		994002.
			6.528768	-.023386	*	Jl.018380	.046771	1.	037644
	1.10	29.686	1.243362	-.599771	V	J .517581	1.199542		627615
			1.714083	- . 194450	♦	J .951604	.388900		943361
			8.826455	-.036964	♦	J1.025B40	.073927	1.	05371<b
	1.20	39.630	1.495035	-.547628	♦	J .429686	1.095257		484527
			2.235990	-.235429	♦	J .907696	.470859		879339
			12.952671	-.054595	+	Jl.034294	•1091B9	1.	072744
	1.50	57.772	2.369289	-.487832	*	J .349732	.975663		360292
			3.927051	-.277388		J .646778	.554775		793976
			25.827242	-.080385	♦	Jl.045897	.160770	1.	098271
	’.00	76.355	4.240155	-.457235	+	J .315305	.914470		307851
			7.464102	-.296650	+	J .810843	.593299		74546?
			52.356851	-.096676	+	Jl.050734	.193352	1.	113387
7	1.05	30.470	1 .117521	-.362386		J .791219	.724773		1 J 757351
			1.308351	-.097930	♦	J .979496	•195860		J969003
			2.714372	-.018274	+	Jl.012906	.036549	1	.026313
				-.697913					
	1.10	39.357	1.235128	-.372606	4-	J .706869	.745212		L638500
			1.523953	-.129118	♦	J .957527	.258235		933339
			3.515769	-.028279	4-	Jl.018274	.056558	1/	.037683
				-.599630					
	1.20	50.963	1.479872	-.371195	♦	J .627191	.742389	1.531154	
			1.951351	-.161448	♦	J .928552	•322896		688274
			4.966697	-.041080	♦	Jl.024498	.082161	1	051284
-.519720
	CD,	*ИЛ?)	Cl	Pl		at	bl
-—		72.129	2.336522	-.359979 ♦	J .543128	.718997	.929210
			3.313990	-.198305 ♦	J .887395	.396611	.826705
			9.530078-	-.059559 *	JI.032553	.119118	1.069713
				-.993710			
		93.809	9.180093	-.350169 ♦	J .501993	.700339	.379616
			6.201776	-.217125 ♦	J .862267	.939251	.790698
			18.961095	-.07Ц29 ♦	JI.037190	.142248	1.080719
				-.408602			
	1*05	38.872	1.113869	-.518927 ♦	J .908220	1.036854	.935910
			1.293118	-.223630 ♦	J .856767	.997259	.789060
			1.906139	-.068627 ♦	J .979963	.137255	.96503?
			11.096606	-.019531 ♦	J!.009559	.029062	1.019921
	1.10	99.032	1.228286	-.466763 ♦	J .344817	.933526	•336767
			1.927103	-.246416 ♦	J .795957	.492832	•694269
			2.3809Ц	-.092390 ♦	J .964023	•184600	.937868
			15.106224	-.022205 ♦	JI.013628	.099910	1.027939
	1.20	62.298	1.470253	-.919007 ♦	J .293877	•838014	.261931
			1.789509	-.261711 ♦	J .732751	.523923	.605916
			3.252831	-.118065 ♦	J .993252	.236131	•903664
			22.383599	-.031932 ♦	JI.018911	.063064	1 .038180
	1.90	06.985	2.315697	-.369092 ♦	J .246297	.738083	.196859
			2.995660	-.270992 *	J .659775	-.591983	.508739
			6.021829	-.1*9084 ♦	J .913365	.290167	.856962
			45.059978	-.0*58*9 ♦	JI.029717	.091699	1.052198
	2.00	111.263	*.136734	—.3*4561 ♦	J .224653	.689123	•169205
			5.595063	-.272775 ♦	J .621659	.595599	.460060
			’11.766679	-.165771 ♦	J .894945	.331593	.828*07
			91.761533	-.059503 ♦	J1.C28377	•109C07	1.0*0529
9	1.05 -	97.276	1.111906	-.355257 ♦	J .616991	.710513	.506886
			1.205910	-.199551 ♦	J .893074	.299102	.819996
			1.594271	-.050863 ♦	J .982010	.101725	.966931
			3.993679	-.011772 ♦	Jl.007371	.023599	1.019935
				-.519179			
	1.10	58.707	1.229397	-.3*1731 ♦	J .599813	.683461	.913601
			1.370319	-.173149 ♦	J .897267	.396297	.797891
			1.937719	-.069513 ♦	J .969793	.139026	.995331
			5.299298	-.017899 ♦	Jl.010567	•035688	1.021569
				• -.998275			
	1.20	73.629	1.963756	-.323598 ♦	J .480740	.697197	•33582?
			1.699617	-.192808 *	J .797069	•305616	•672494
			2.579109	-.090331 *	J .953989	.180663	•918295
			7.652393	-.025490 ♦	Jl.014360	.050980	1.029577
-.392972
г	".	ЧдБ)	Ct	л	«,•	b;
	1.50	100.842	-2.301616 2.806014 4.636336 15.016341	1 1 1 1 1 U) О М N пи W	«о 0*0*	О	О □	'Jj	W	н	С7 о	о»	о	со	о Qv	N	bJ	Гч>	М	J .415879	.599383	.262770 J .735885	.420364	.585703 J .931223	.232604	.880703 JI.019421	.072724	1 .040542
	2.00	128.717	4.107442 5.153209 8.922191 30.201059	-.286338 ♦ -.217131 ♦ -.130710 ♦ -.043092 ♦ -.313657	J .384821	.572676	.230077 J .702561	.434263	.540739 J .917130-	.261421	.858212 31.022392	.086183	1.047142
10	1.05	55.681	1.109672 1.181462 1.438664 2.533648 16.859610	♦ ♦ ♦ ♦ ♦ Q4 »-4 Г* Ч» О * г- о Л1 KI m N ь* rd ю Ч> О Ф гм 4- о m о 4- nJ — О О • * * • • 1 t t t t	J	.302646	.844417	.269855 J	.730422	.492682	.594200 J	.916451	.212634	.851186 J	.984256	.078553	.970303 31.005863	.019407	1.011854
	Lio'	68.182	1.221564 1.333834 1.714083 3.261942 23.183803	-.377369 ♦ -.251250 ♦ -.127784 ♦ -.054334 ♦ -.014626 ♦	3	.259863	.754739	.209936 J	.665084	.502500	.505463 3	.880488	.255569	.791588 3	.974525	.108666	.952652 31.008442	.029253	1.017169
	1.20	64.962	1.459158 1.641431 2.235990 4.585492 34.512249	-.337237 * -.250236 ♦ -.147516 ♦ -.0714-71 ♦ -.020797 ♦	3 .224734	.674475	.164234 3 .602564	-.500472	.425702 3 .839832	-.295032	.727079 3 .962020	.142943	.930591. 31.011524	.041594	1.023613
	1.50	115.199	2.291641 2.682641 3.927051 8.750764 69.791499	-.296075 * -.243660 ♦ -.167330 ♦ -.093337 ♦ -.029532 ♦	3	.191193	.592150	.124215 3	.535025	.487320	.345621 J	.788570	.334660	.649842 3	.944057	.186675	.89995? 31.015670	.059064’	1.032457
	2.00	146.171'	4.086686 4.897971 7.464102 17.363454 142.430967	-.276117 . -.238417 ♦ -.176418 ♦ -.105713 » .-.034920 t	J .175696 .552234 .107110 3 .501208 .476833 .308052 3 .759877 .352837 .608537 J .932921 .211426 .881517 31.018121 .069840 1.037791
б) Нечетные и для случая А — четные; амплитуда пульсаций в полосе пропу-
скания 1 дБ
И		*з{д5)	с.	Pi	ai	
2	1.05	2.616	1.<»3866<»	-.157083 + Л.068900	.314166	1.167222
	1.Ю	4.025	1.714083	-.229129 ♦ Л.075841	.458258	1.209934
	1.20	6.150	2.235990	— .320565 * Л.064452	.641131	1.235820'
	1.50	11.194	3.927051	-.439709 ♦ Л.010488	•87941В	1.214431
	2.00	17.095	7.464102	-.499471 ♦ J .959482	.998942	1.170877
э	1.05	8.134	1.205410	-.065504 ♦ Л.017106 -.947805	•131007	1.038796
	1.10	11.480	1.370314	-.097651 ♦ Л.016303 -.816161'	.195302"	1.О424ОТ
	1.20	16.209	1.699617	-.136461 * Л.010059 -.7’01999	.272923	1.038841
	1.50	25.176	2.806014	-.187696 ♦ J .994225 -.591015	.375396	1.02371.4-
	2.00	34.454	5.153209	-.217034 * J .981575 -.539958	.434067	1 .010594-
4	1.05	15.840’	1.153636 3.312518	-.400926 ♦ J .723958 -.036963 * Л.004642	.601852 .073925	.68485? 1.01067?
	1.10	20.832	1.290925 4.349930	-.399229 ♦ J .638481 -.054484 ♦ Л.003351	.798458 .108969	.567042 1.009661
	1.20	27.432	1.572430 6.224402	-.386971 » J .560447 -.075673 ♦ Л.000256	.773942 .151346	.463847 1 1.006236-
tn	w.		<•	: Pi	Hi	bi
	1.50	39.518	2.535553	-.365988 ♦ J .580692	.729977	.365281
•			12.099310	-.105509 * J .993937	.208819	.998811
	2.00	51.906	5.593261	-.351273 ♦ J‘ .552598	.702556	.319197
			25.227201	-.121578 ♦ J ..989176	.252957	.993226
5	1.0$	29.135*	1.133522	-.181185 + J .858582	.362371	.769820
			1.773.739	-.023559 ♦ Jl.001165	.057118	1.002885
				-.511795		
	1.10	30.571	1.259320	—.202155 ♦ J .805785	.505289	.688551
			2.193093	-.035621 ♦ Jl.000221	.069251	1.001650
				-.556562		
	1.20	38.757	1.521127	-.21756" ♦ j ’.758167	.535136	.607089
			2.968367	“.04Р0Я4 ♦ J .998478	.096167	.999271
				-.391579		
	1.50	53.875	2.525515	-.228875 ♦ J .681678	.557759	.517069
			5.537655	-.066541 ♦ J .995254	.133081	.995957
				337846		
	2.00	69.360	5i365951	-.232338 ♦ J .656550	.565676	.471666
			10.567732	-.077625 * J .992915	.155259	.991903
				-.312599		
$	1.Э5	32.523	1.123326	-.340554 ♦ J .466561	.661109	.333656
			1.438664	-.099253 ♦ J .910440	.196505	.838752
			6.528768	-.016283 ♦ Jl.000095	.032567	1.000456
	1.10	<0.152	1.243362	-.315089 ♦ J .409244	.630179	.266762
			1.715083	-.118730 ♦ J .874514	.237561	.778873
			0.826455	-.023927 ♦ J .999416	.047854	.999404
	1.20	50.089	1.495035	-.289467 ♦ J .359826	.578933	•213267
			2.235990	-.136580 ♦ J .834256	.273161	.715637
			12.952671	-.033261 ♦ J .998304	.066522	.997718
	1.50.	 68,231	2.369289	-.260804 ♦ J .310775	.521608	.165600
			3.927051	154480 ♦ J .783831	.308960	.638255
			25.827242	-.046116 ♦ J .996374	•092233	.995887
	2.00	86.8 К.	4.248155	-.256136 ♦ J .287533	.592272	.153258
			7.565102	-.162691 * J .755715	.325383	.597574
			52.356851	-.053871 ♦ J .995015	.107752	.992957
•662566*	644090*	641466*	r	♦	Z820E0’-	££4194*16			
19QtiL’	0Z2£8I“	622E98*	Г	♦	5£9160“-	*4999Z“XX			
£X09ZE°	S9066Z’	989*65“	Г	+	E6S66T*-	E90G*5“5			
X29090*	**E5Z£“	T65E12*	Г	♦	249491“-	*EZ9£X“*	22Z*T2T	00“2	
*22966*	68Z150*	*ZZZ66“		♦	*68520“-	846640*46			
996281*	00899X*	916088“	Г	♦	00*£80*-	*28X20*9			
аеаетб*	04T862*	68ZS29*		♦	5806*1	099566*2			
800E60’	90X00**	88I0E2*	Г	♦	£50002“-	4695X£*2	5*6*96	05’X	
ггньь'	9424E0*	689866“	Г	♦	8Е99Х0’-	бб5£8£*гг			
5905E8“	2845EX*	E62XX6*	Г	♦	168490“-	ХЕ8252*Е			
**0X6*“-	6T6T62*	626489*	Г	+	0XZG*X“-	60568Z“I			
*4602f	8600G**	E6T492*	Г	♦	6*0522“-	£5204*“X	444*24	02*T	
969966“	444920*	652666*	Г	♦	98Е£Х0“—	62290l*4T			
0665Z8*	ZZ*60X“	5TE6E6*	Г	♦	9Е4*50“-	XX*08£“2			*
O84E95*	44E642*	G*ZZEZ“		♦	8896Е1*-	E0T426*!			
560251*	92EZ6*“	25E00E*	Г	♦	*998*2 *-	992822“X	166*65	OI*T	
48E666*	богато*	259666“	Г	♦	20X600“-'	909960’TT			
554X16“	626680*	£26EG6*		♦	2922*0“- ,	6EI906*!			
4SE069*	E*4092“	2E4684*	Г	♦	Т4Е0ЕТ*-	8TTE62*!			
466161*	Z5X8*5“	26TT6E*	Г	♦	840642*-	*98EXX*X	.'TEE*66	40*1	8
					ТЕйгг*-.				
.961666*.	ZET640*	60E966’	Г	♦	9956Е0--	.460196*81			
466889*	0466E2*	**0X28 *	Г	♦	5246TI*-	9Z4X02*9			
681682*	69E19E-	Z*02Z**'		♦	*8906Х“—	E*008X“*	892*60T	00“2	
					еаХ9Е2“-				
IE5566*	889/90“	68XZ66*	Г	♦	**8ЕЕ0“—	8ZOO£5*6			
16ZE24*	Z5ZX22*	902£*8*	Г	♦	8480TI*—	066£IE“£ -			
560162*	085X6£“	*54205*	Г	♦	064461•-	2249EE*2	985*28	04*1	
					690*42“-				
&E5466*	094860*	T46966*	Г	♦	09Е*2Э“-	Z69996**			
0**99Z“	264981*	988188 *	Г	♦	XZEE60 -	T6EI66-T			
90965£“	26990*“	E4I695*	с’	♦	9IEE02*-	248646*T	Z2**<9	024	
					4410IE*-				
864866*	86O4E0*	**2666“	Г	♦	624410*-	6946T4*E			
6EE4E9*	262441*	29ZII6*		♦	9*9/40“-	E66E24*I			
6E4826*	664816*	692129*	с	♦	464902*-	82T6£2*T	918*66	0X4	
					8*Z2SE“-				
969666*	0.69 £20*	244666*	Г	♦	026IT0*—	ZZE*XZ“Z			
900Е99»	406E2T*	0*9ZE6“	Г	♦	Е56Т90*-	16E80ET			Д
<40405*	495216*	£55199*	Г	♦	£62902*—	124411*1	926*06	$0*1	**
				ы		>3			
									
	1.05	57.736	1.111406	-.195247	♦	J	.551836	.390495	.342647
			1.205410	 -.087514	♦	J	.8504B2	.175028	.730978
			1.594271	-.030697	♦	J	,964496	.061394	.931195
			3.993674	-.007178 -.269878	♦	J	.999640	.014357	.999331
	1.10	69.167	1.224347	-.186736	+	J	1497328	•373473	.282206
			1.ЭТ0314	-.098792	♦	J	.807558	.197584	•661910
			1.937719	-.040723	♦	J	•949094	.081447	.902438
			5.299248	• -.010563 -.238541	♦	J	.999327	•021126	.998766
	1.20	84.089	1.463756	-.176578	♦	J	.447596	.353156	.231522
			1.699617	-.108069	♦	J	.762286	.216138	.592758
			2.579104	-.051655		J	.930819	.103311	.869092
			7.652393	-.014711 -.211419	♦	J	.998888	.029422	.997993
	1.50	111.302	2.301616	-.163781	+	J	.395695	.327563	.183399
			2.806014	-.116231	♦	J	.708498	.23246!	.515479
			4.636336	-.065021	!	J	.906413	.130043	.825813
			15.014341	-.020451 -.184275	♦	J	.998201	.040901	.996824
	2.00	139.176	*4.107442	-.156746	♦	J	.370225	.313491	.161635
			5.153209	-.119505	♦	J	.679573	.239009	.476101
			8.922191	-.072341	♦	J	.892058	.144681	.801001
			30.201059	-.023928 -.171309	♦	J	.997747	.047856	.996072
10	1.05	66.141	1.109672	-.225977	♦	J	.269047	.451954	.123452
			1.181462	-.138223	♦	J	.680726	.276445	•482493
			1.438664	-.062031		J	• 888118	•124062	.792601
			2.533648	’-.023347	♦	J	.971768	.046694	•944878
			16.859610	-.005806	♦	J	.999659	.011612	-999352
	1.10	70.842	1.221564	-.203367	♦	j	.237538	.406775	.097791
			1.333834	-.139376	♦	J	.625733	.278752	-410967
			1.714083	—.072952	♦	J	•852542	•145905	•732149
			3.261942’	-.031537	♦	•J	.959337	•063074	.921321
			23.183803	-.008547	♦	J	.999404	.017093	•998881
	1.20	.95.422	1.459158	—.182921	♦	J	.210279	.365841	.077677
			1.641431	—.137940	4-	J	.572984	.275879	•347338
			2.235990	-.082871		J	.813874	.165743	.669259
			4.585492	-.040676	♦	J	• 9«,4481	.081352	.893698
			34.512249	—-.С11907	♦	J	.999055	.023815	•998253
	1.50	125.659	2.291641	-.161666	♦	J	•183031	.323333	.059636
			2.662641	-.133903	♦	J	.515483	.267806	•283652
			3.927051,	-.092777	♦	J	.766550	•185554	.596207
			8.750764	-.052134	♦	J	•924481	.104268	.857383
			69.791499	-.016560	4	J	.998520	.033120	.997316
	2.00	156.630	4.086686	-.151264’	♦	J	.170031	•302528	.051791
			4.897971	-.130976	♦	J	.486399	.261951	.253739
			7.464102	-.097323	♦	J	.740520	.19464?	.557842
			17.363454	>-.058541	♦	J	•912636	.117082	.836331
	—		142.430967	,“.019380	♦	J	.998171	.038760	.996720
в) Случай В — четные; амплитуда пульсаций в полосе пропускания 0,1 дБ
«		Ля(лБ)	q	Pi		а,-	
— 4	1.05	4.485	1.166586	-.852205 ♦ -.040627 *	J .918084 Л.053933	1.709911 .081255	1.569133 1.112526
	1.10	8.308	1.309737	-.073101 ♦ —.796684 ♦	Л .076009 J .809361	.146201 1.593368	1.163139 ' 1.289771
	1.го	14.387	1.601406	-.116529 -♦ -.746825 ♦	Л.095968 J .700487	.237059 1.493650	1.215196* 1.048429*
	1.50	26.320	2.595517	-.183989 ♦ -.693645 ♦	Л.112642 J .580990	.367979 1.387290	1.271824- .818692
	г.оо	38.697	4.716540	-.223115 ♦ -.665767 ♦	Л .118520 J .521238	.446230 1.331534	1 .3 00868* .71493S
6	1.05	20.307	1.125244 1.500649	-.639897 ♦ -.166247 ♦ -.024644.♦	J .558952 J .984394 Л.019788	1.279799 .332999 .099288	.721895- .996669- 1.090575-
	i.iOi	27.889	1.246215. 1.800145	-.206675 ♦ -.038791 ♦ -.588055 ♦	J .947127 Л.027332 J .479414	.913399 .077982 1.176111	.939764 1.056912? •575647
1	С 1.20	37.827	1.499501 2.364951	-.243668 ♦ -.056665 * -.538160 ♦	J .901847 Л.035618 J .410727	.487336 .113330 1.076320	.872702* 1.075715' .458312’
1	1.50	55.966	2.378628 4.189497	-.280868 ♦ -.082131 * -.483133 ♦	J .892359 Л.095701 J .393213	.561736 .169262 .966267	.78899В. 1.100236- .351213
	2.00 1	79.5*8	4.267406 8.001486	-.298091 ♦ -.097774 ♦ -.455028 *	J .808340 Л.051149' J .311687	.596182 .1955*9 .910055	.79227? 1.119975 .309199
8	1.05	'37.529	1.119916 1.252999 2.039525	Illi о о гм чл М Ш о — чл гм <у •м о -*  О О ГМ ** ♦ ♦ ♦ ♦	J .386312 J .847640 Л .009939 J .979388	1.012627 .969999 .030021 .193906	.*05692 .772537 1.020203 .969391
j	1.10	97.686	1.229119 1.991163 2.557199	-;2515оз * -.022819 ♦ -.095299 ♦ -.958373 ♦	J .787764 Л .014037 J .962910 J .332941	•503006 .04562? .190499 .916746	.683826 1.028791 .936269 .320955
	(Ot	-Л,(дн)	Ci	Pi	A	b.
	1.20	60*9*9	1.921557 '1.810911 3.516389	-.26*032 ♦ J .7266*5 -.032591 ♦ Jl.016790 -.120*09 ♦ J .9*1863 -.*13887 ♦ J .287903	.5Z8O6* .065183 .2*0619 .62777*	.597125 1.038996 .901605 .254190
	1.50	65.138	2.318*35. 3.0396*8 6.556721	-.271506 * J .656662 -.0*637* ♦ Jl.02*969 —.150389 ♦ J .912223 -.366858 ♦ J .2**169	•5*3012 .0927*8 •300776 .733715	.50*921 1.052713 .85*768 .19*203
	2.00	109.915	9.142383 5.635349 12.861234	-.27287* ♦ J .6201*9 -.05*826 ♦ Jl.028517 -.166*27 ♦ J .89*253 -.3*3582 ♦ J .223806	.5*57*8 .109652 .33265* .687165	.*590*5 1.060653 .827387 .1J66138
10	1.05 •	59.608’	1.109888 1.184476 1.459121 2.745052	-.*1*731 ♦ J .293587 -.2*9669 ♦ J .721756 -.109291 ♦ J .913996 -.0*031* ♦ J .9839*5 -.00991* ♦ Jl.006005	.829*62 .*99337 .218562 .060628 .019626	.256195 .583270 .6*7333 .96977* 1 .0121*5
	1.10	47.307	1.221690 1.338203 1.7*2567 3.552863	-.252592 ♦ J .658710 -.130002 ♦ J .877950 -.01*883 ♦ Jl.008599 -.055378 ♦ J .97*066 -.372589 ♦ J .25*860	.50516* .26000* .029767 .110756 .7*5176	.*97701 .767698 1.017*93 .951671 .203776
	1.20	1. 83.887	1.459673 1.648160 2.278603 5.019460	-.250516 * J .598*50 -.1*8915 ♦ J .637636 —.072379 ♦ J .961*90 —.021068 ♦ Jl.011673 -.33**63 ♦ J .222157	.501033 .297830 .144758 .042135 .668925	.420901 .723809 •929701 1.023927 .161219
	1.50	119,123	2.292725 2.696572 4.0143.12 9.631781	-.243524 ♦ J .533167 -.167901 * J .767240 -.093900 ♦ J .943626 —.029742 ♦ Jl.015773 -.294931 ♦ J .190246	.487049 •335803 .187601 .059483 .589862	; 3413572 .647937 .899247 1.032679 .123178
	2.00	195.095	4.086922 4.926617 7.642845 19.166456	-.238296 ♦ J .500354 -.176655 ♦ J .759173 -.106015 ♦ J .932657 -.035048 ♦ Jl.018180 -.275610 ♦ J .175300	.476591 .353311 .212031 .070095 .551220	• 30713’9 .6075511 .881089' 1.037920 .106691
г) Случай В •— четные; амплитуда пульсаций в полосе пропускания 1 дБ								
И	to.	К, (дБ)	<-»	« Pi	fl|							
		13.243	1.166586	-.422751	*	3 .627439	.845502	.57239а
4				-.0*315*	♦	Л. 006305	.086309	1.014512
	1.10	18. «0	1.309737	-.403039	♦	J .574970	.806078	.493031
				-.061660	♦	Л .00*223	.123336	1.012268
	1.20	г*.700	1.60.403	303555	♦	J .523216	.767109	.*20070
				-.082727	♦	Л.000117	.165455	1 .007078
	1.50-	36.771	2.595517	-.361063	♦	J* .*65*87	.722126	.347045-
				-.109356	*	J .993062	.218712	.998131
	г. оо	<19.156	4.7165*0	-.3*0975	♦	3 .435853	.697949	.311751
				-.124305	*	J .988442	.248611	.992470
6	1.05	30.730	1.125244	332474		J .436556	.664948	.301121
			1.500649	-.107214	♦	J .902829	.214429	.826595
				-.017380	♦	Л. ОСО 1*03	.034760	1.000669-
	1.10	' эв.«г	1.246215.	-.308336	*	J -.391152	.616673	.248071
			1.800145.	-.124563	♦	J .866975	.249126	.767162
				—.025185	♦	3 .999425	.050371	.999485
	1.20	^В.285	1.499501	—.284782		J .3*9026.	.569565	.203*80
			2.364951	-.140216		J .027910	•200*31	.705096
				-.034509	♦	J .998231	.069019	.997656
	1.50	66.425	2.378628	-.258566	♦	J .306051	.517132	.161014
			4.189497	-.155955		J .700065	.311909	.632824
				-.0*7022	♦	J .996256	.09*0**	.99*73©
	2.00	85.008	4.267406	-.245081	♦	J .285837	.490161	.141767
			8.001*86	-.16’3303	♦	J .753736	.326605	• 59*786-'
				-.054402	♦	J .994927	.108005	.992039
в	1.05	47.987	1.11**16	-.26011*		J .329175.	.536220	.180241
			1.252994	-.134219	♦	J .700314	.268*37	.626912
			2.034525	-.044114	♦	J .952060	.008220	.900365
				-.009435	♦	J .999653	.018870	.999396
	1.10	‘ 58.146	1.22911*	-.2**509	♦	J .293222	.489178	.1*5803
			1.441163	-.141813	♦	J .730432	.283626	.553642
			2.557144	-.056360		J .932329	.112720	.872*13
				-.013771	♦	J .999245	.027542	.998679
«	Сд,	к. (дБ)	c<		Pi	ai	bi
	1.20	71.408	1.471557	-.222550	♦ J .261268	.445099	.117789
			1.810911	-.146649	* J .680312	.293298	.484330
			3.516389	-.069126	♦ J .909468	.138252	.831911
				-.019020	♦ J .998660	.038040	.997684
	1.50	95.597	2.318435	-.198966	♦ J .228644	.397931	.091866
			з.039б<.а	—.149279	* J .62325!	.298559	.410726
			6-556721	- .084056	♦ J .679706	.168112	.780949
				-.026174	* J .997742	•052349	•996174
	2.00	120.374	4.142383	-.187178	.♦ J .212872	.374357	•080350
			5.635349	-.149573	♦ J .593460	.29914?	.374567
			12.861234	— .091959	♦ J .862553	.183918	.752454
				-.030453	♦ J .997137	.060905	.995209
	1.05	65.067	1.109688	-.222316	♦ J .263196	.444633	.118697
			1.184476	-.139553	♦ J .673297	.279106	.472804
			1.459Д21	-.063624	♦ J .885077	.127249	.787410
			2.745052	-.023970	♦ J .971078	.047940	.943567
				-.005940	* J .999655	.011880	.999346
	1.10	77.767	1.221890	-.201018	♦. J .234049	.402036	.095187
			1.338203	-’. 1398 72	♦ J .620396	.279743	•404458
			1.742587	-.074098	♦ J .84 9790	.148196	.727633
			3.552883	-.032133	♦ J .958580	..064266	.919909
				-.008701	♦ J .999395	.017402	.998866
	1.20	94.34Б	1.459673	-.181522	♦ J .208352	•363045	.076361
			1.648160	-.138003	♦ J .569550	.276006	.343432
			2.278803	-.083577	* J .811692	.167155	.665829
			5.019460	-.041174	♦ J .943762	.082346	.892382
				-.012062	♦ J .999042	.024123	♦998231
	1.50	12*1.583	2.292725	-.161076	« J .182269	.322155	.059168
			2.696572	-.133813	♦ J .513911	.267627	.282010
			4.014312	-.093062	♦ J .765311	.186124	.594362
			9.631781	-.052431	♦ J .923983	.104862	•856494
				-.016673	♦ J .998508	.033347	.997296
	2.00	155.554	<1.088922	-.151000	♦ J .169700	.302000	.051599
			4.926617	-.130907	♦ J .485667	.261815	.253009
			7.642845	-.097442	♦ J .739879	.194863	.556916
			19.166456	-.058698	♦ J .912351	.117396	• 8358.30
				-.019447	♦ J .99.8163	.038895	.996707
	д)	Случай С — четные; амплитуда пульсаций в полосе пропускания 0,1 дБ					
п	О),		q	Pi		ai	
к	1.05	3.284	1.176065	—.041450 ♦ -1.142752 ♦	JI.062080 JI.056906	.082900 2.285503	1.129732 2.422931
	1.10	6-478	1.321589	-.076408 ♦ -1.041973 ♦	Jl.089646 J .905418	•152816 2.083946	1.193166 1.905490
	1.20	12.085	1.615655	-.128382 ♦ -.953405 ♦	Jl.115527 J .756606	.256764 1.906811	1.260882 1.481435
	1.50	23.736	2.611679	-.206296 + -.863022 ♦	Jl.136431 J .597833	.412592 1.726044	1.334033 1.102212
	2.00	36.023	6.733595	-.817435 ♦ -.253437 ♦	J .520713 Jl.142940	1.634871 •506873	.939343 1.370542
6	1.05	18.727	1.126696 .1.535284	-.789645 ♦ -.185878 ♦ -.025910 ♦	J .570579 J .993057 Jl.021602	1.579289 .371755 .051819	.949099 1.020713 1.044342
	1.10	26.230	1.246053 1.837658	-.715339 ♦ -.230107 ♦ -.040931 ♦	J .476877 J .952094 41.029755	1.430677 .460214 .081861	.739121 .959433 1.062071
	1.20	36.113	1.501690 2.606505	-.646187 ♦ -.269710 ♦ -.060077 ♦	J .398581 J .902237 Jl.03865?	1.292374 .539420 .120154	.576425 .886775 1.08241?
	1.50	54.202	2.381154 4.230449	-.572096 ♦ -.308434 ♦ -.087368 ♦	J .325068 J .836973 Jl.049925	1.144191 .616868 .174736	.432313 .795656 1.108925
	2.00	72.761	4.270072 8.042806	—.534998 ♦ -.325870 ♦ -.104187 *	J .290136 J .799822 Jl.055209	1.069995 .651740 •208374	.370401 .745907 1.124320
S	1.05	36.268	1.116839 1.259509 2.085096	f 1 < i О CM (7 >~i -4 kJl О чу, 04 -4 t* кл o VJ1 О 0, m о OS sO СУ ♦ 4 ♦ ♦	j .37i3a? J .843660 J .979591 Jl.010441	1.208130 .515072 .152)78 .031137	.502820 .778086 •965388 1.021234
	1.10	66.399	1.229651 1.446643 2.608880	-.541763 ♦ -.276093 ♦ -.023659 ♦ -.100633 ♦	J .314616 J .780152 Jl.014703 J .962426	1.083525 .552186 .047318 .201267	..392490 .684864 1.030181 ..936390
л	о.	• */аБ)	О	А	а.	Ь,
	1.20	59.639	1.472198	-.585227 ♦ 3 .267901	.970553	.307216
			1.819178	-.287400 * J .715925	.574801	.595157
			3.568474	-.126736 ♦ J .940478	.253471	.900562
				-.033798 ♦ Л.019637	.067597	1 .040601
	1.50	83.807	2.314176	-.526588 ♦ J .223590	.852977	.231665
			3.048578	-.292645 ♦ J .643036	.585691	□499254
			6.608405	-.157688 ♦ J .909548	.315377	.852143
				-.048107 ♦ Л.026042	.096214	1>055076
	2.00	108.575	4.143165	-.397764 ♦ J .203316	.795529	.199554
			5.644525	-.292952 ♦ J .605259	.585904	□452160
			12.912525	-.174180 ♦ J .890785	.348360	.823636
				-.056895 ♦ Л.029716	.113790	1.063553
10	1.05	53.576	1.110055	-.486272 • J .273776	.972553	.311413
			1.186597	-.272555 ♦ J .710688	.545089	□579358
			1.470226	-.115389 ♦ J .911607	.230777	.844342
			2.805853	-.041773 ♦ J .983714	.083546	.969439
				-.010169 ♦ Л.006194	.020339	] .012529
	1.10	66.262	1.222102	-.535156 * J .235898	.868291	.243660
			1.340720	-.273555 * J .655766	.557110	.491647
			1.754581	-.136596 ♦ J .875512	•272992	.783403
			3.612527	-.057220 ♦ J .973595	.114440	.951160
				-.015256 ♦ Л.008851	.030511	1.018013
	1.20	82.830	1.459927	-.387617 ♦ J .202683	.775235	.191328
			1.651014	-.269401 * J .584238	.538801	.413911
			2.291423	-.155607 * 3 .833128	.311213	•718316
			5.078099	-.075620 ♦ 3 .960707	.149239	.928526
				-.021585 ♦ 31.011998	.043168	1.025605
	1.50	113.056	2.293018	-.339922 ♦ 3 .171783	.679855	.155057
			2.699727	-.259970 ♦ 3 .518096	' .519950	.336007
			5.027356	—.175590 ♦ 3 .761515	.359180	.651256
			9.688795	-.096612 * 3 .952388	.193225	.897429
				-.030565 ♦ 31.016193	.060930	• 1.033575
	2.00	155.023	5.089232	-.316795 ♦ 3 .157590	.633589	.125162
			4.929889	-.253565 ♦ 3^.585036	.506929	.299505
			7.655998	-.183250 * 3 .752817	.366500	.600315
			19.222517	-.1089,80 * 3' .931131	.217960	.678881
				-.035902 ♦ 31.018656	• 071804"	1.038948
е) Случай С—'Четные; амплитуда пульсаций в полосе пропускания 1 дБ
л			С,	Pi 	ai	b,
		11.322	1.176045	-♦050129 ♦Jl.009723	.100257	1.022053
				-.665397 * J .601558	1.328793	.803283
	1.10	15.9*2	1.321589	-.617627 + J .535250	1.235255	•667956
				-.072023 ♦ Jl.007836	«155055	1.020920
	1.20	22.293	1.615555	-.573215 ♦ J .472186	1.156529	.551535
				-.096950 ♦ Jl.003197	.193901	1.015804
	1.50	35.179	2.611679	-.525307 ♦ J .505575	1.048614	•438496
				-.128327 ♦ J .995626	.296654	1.005748
	2.00	56.581	4.733595	-.599020 ♦ J .370753	.998040	.386471
				-.145844 ♦ J .968871	.291689	.999136
€	1.05	29.133	1.126696	-.579520 * J .376558	•959040	.371660
			1.535285	r.124739 ♦ J .894415	.249477	.815537
				-.010753 ♦ Jl.000393	.037507	1.001136
	1.10	36.680	1.258053	-.437212 ♦ J .330308	.874424	.300258
			1.837658	-.142909 ♦ J .855552	.285819	.752392
				-.027110 ♦ J .999598	• 05.4220	.999932
	1.20	56.571	1.501690	-.397576 ♦'J .289708	.795151	.251997
			2.40*505	-.158828 ♦ J .813561	•317656	.687107
				-.037077 * J. .998 324	.074154	.998026
	1.50	65.661	2.381155	-.175302 •* J .762525	.348604	.611825
			5.230559	-.050450 ♦ J .996191	.100900	.994942
				-.355021 ♦ J .248804	.710041	.187943
	2.00	83.221	4.2 70072'	-.333676 ♦ J .229,2.68	.667352	.163904
			8.042806	-.181299 ♦ J .735590	.362598	.572492
				-.058342 ♦ J* .994745	.116684	.992921
8	1.05	56.727*	1.114839	-.371900 ♦ J .270505	.743801	.211483
			1.259509-	-.151848 ♦ J .763118	.303695	.605407
			2.085095	-.047269 ♦ J .949664	.095537	.904097
				-.009§59 ♦ J .999670	.019717	.999437
	1.10	56.858	1.229651	-.335599 ♦ J .23767b	.*16-70998	.169050
			1.558653	-.158568 ♦ J .711532	.316936	.531390
			2.608880	-.059982 ♦ J .929136	.119964	.866892.
				-.01*360 ♦ J .999258	.028719	.998703
п		JTsfAS)	Ct	л	• Я/	ъ,
	1.20	70.098	1.<,72198 1.8X9178 3.568474	-.302267 * J .209205 -.162095 ♦ j .660152 -.073157 ♦ J .905906 -.019803 ♦ J .998692	.604534' .324190 ‘.146315 .039607’	•135132 •462075 • 0 25.112. •997679
	1.50	94.266	2.319176 3.048578 6.608405	-.267988 ♦ J . 180775- -.163159 ♦ J .602103 -.088978 ♦ J .87955В -.027229 ♦ J .9976S7	.534975 .326319 .176956 .054449	 .104229 •389149 • 772679* .996120
	2.00"	119.034	4.143165 5.644525 12.912424	-.250369 ’♦ J .167247 -.162577 « 3 .571959 ' -.096552 ♦ J .856791 -.031665 ♦ J .997054	.500739 •325154 • 19310.4 .063330	•090656 .353568 •743414 .995120
10	1.05-	64.036	1.110055 1.186597 1.970226 2.804853	-.302228 ♦ J .211052 -.154774 ♦ J-.652742 -.067537' * J .880131 -.024923 + 3 .970175 -.006111 ♦ J .999653	.604457 .309547 .135073 .049846 .012221	.135885 .450027 .779191 .941860 .999343
	1.10	76.722	1.222102 1.390720 1.759581 3.612927	-.271183 ♦ J .185925 -.153698 ♦ J .599998 -.078131 ♦ J .893990 -.033289 ♦ J .957369 -.008938 ♦ J .999386	.542366 •307296 .156263 .066578 •017875	•108108 -3B3006 .718425 .917664 .998855
-	1.20	93.289	1.459927 1.651014 2.291423 5.078099	-.243254 ♦ 3 .164164 -.150336 + 3 .548673 -.087630 ♦ J .805089 -.042532 + J .94 2 201 -.012377 + 3 .999027	.486508 .300673 .175260 .085063 .024754	.086122 .323643 .655848 .889552 .998208
	1.50	123.515	2.293018 2.699727 9.027356 9.688795	-.214394 + 3 .142421 -.144539 * 3 .493399 -.097026 * 3 .757852 -.054019 ♦ 3 .921965 -.017097 ♦ 3 .998479 .	.428788 .289078 .194052 .108037 .034194	.066248 .264334 .583753 .852937 .997252
1	2.00	154.482	9.089232 9.929889 7.655998 19.222917	-.200312 ♦ 3 .132059 -.140813 ♦ 3 .465461 -.101316 ♦ 3 .731995 -.060405 ♦ 3 .910063 -.019938 « 3 .998124	.400624 .281625 .202633 .120810 .039876	.057564 .236482 .546082 .831863 .996650
лах; 3) постоянной Ks, определяющей допуск на затухание в поло-
се задерживания, выраженной аналогично предыдущему; 4) ниж-
ней граничной частотой полосы задерживания сщ. Из данных, при-
веденных в таблице, видно, что если заданы любые два из трех
параметров 2) 3) и 4), то функция цепи данного порядка опреде-
лена полностью.
Пример 2.3—1. Использование таблицы 2.3—1. Пусть требуется найти
эллиптическую функцию цепи, удовлетворяющую следующим условиям:
1) полоса пропускания 0 ... 1 рад/с с амплитудой пульсаций 1 дБ; 2) полоса
задерживания соответствует частотам со>2 рад/с и обеспечивает минимальное
затухание 34 дБ; 3) максимальное значение АЧХ равно единице в полосе
пропускания. Используя разделы таблицы, соответствующие амплитуде пуль-
саций 1 дБ, видим, что условия 1) и 2) удовлетворяются функцией третьего
порядка. Используя табулированные полюсы и нули, можно записать иско-
мую функцию в виде
______________Я (s2+5,153209)_____________
N — (s + 0,539958) (s2 + 0,434067 s + 1,010594)
Чтобы удовлетворить условию 3), оценим Дго=77-5,153209/(0,539958Х
XI,010594) = 9,44367577= 1, откуда получаем 77=0,105891. Следует заметить,
что если для удовлетворения условий требуется использовать четную функцию
типа А или В, то для определения И следует брать 77(0) равной 0,89125 (ам-
плитудный эквивалент—1 дБ), а не единице. Это происходит потому, что чет-
ные функции имеют минимум амплитуды в полосе пропускания на нулевой ча-
стоте, тогда .как нечетные имеют на ней максимум,, ф
Порядок эллиптической функции цепи, требуемый для удовлет-
ворения заданным условиям, легко определить по номограмме,
приведенной на рис. 2.3—3 [3]. Как пользоваться номограммой,
было показано на рис. 2.1—5 (см. объяснения в 8.2.1). Следует
заметить, что для функций четного порядка номограмма дает тре-
буемый порядок функции для случая А. Если необходимо исполь-
зовать функции применительно к случаям В и С, то для удовлет-
ворения заданным условиям может потребоваться порядок функ-
ции, на единицу больший найденного по номограмме.
Пример 2.3—2. Использование номограммы для эллиптических функций.
Пусть требуется «найти необходимый порядок эллиптической функции цепи,
уровень пульсаций которой в полосе пропускания равен 0,1 дБ, а минималь-
ное затухание, обеспечиваемое для всех частот, в 1,5 раза больших частоты
среза, составляет 40 дБ.
Из рис. 2.3—3 находим, что требуемый порядок функции равен пяти.
Сравнивая полученное значение с требуемым порядком функции по аппрок-
симации по Чебышеву и Баттерворту для удовлетворения тех же условий, на-
ходим, используя рис. 2.2—5 и 2.1—4, что он должен быть равен 8 и 17 со-
ответственно. Этот пример наглядно демонстрирует преимущества эллиптиче-
ской функции в случае необходимости формирования АЧХ с крутым спа-
дом. ф
Рис. 2.3—3. Номограммы для определения порядка эллиптических функций
В этом параграфе была рассмотрена одна из наиболее полез-
ных в случае создания фильтров с крутым спадом АЧХ функций —
эллиптическая. Так же, как и определенные ранее функции Бат-
терворта и Чебышева, эллиптическая функция определяется для
АЧХ ФНЧ. В следующем параграфе увидим, как все эти три ха-
рактеристики можно использовать для фильтров верхних частот и
полосовых.
2.4 Преобразование комплексной частотной
переменной
’В предыдущих параграфах этой главы были рассмотрены три
метода аппроксимации АЧХ. Все методы рассматривались приме-
нительно к функциям цепи нижних частот. В этом параграфе по-
кажем, как эти типы аппроксимации можно применить к другие
типам функций цепи, таким как функции цепи верхних частот, по-
лосовые и режекторные. Такое применение методов основано на
использовании преобразований, осуществляемых над комплексной
частотной переменной. Обсудим применение этих преобразовании
с трех различных точек зрения: 1) их влияния на АЧХ; 2) влияния
На функции цепи и 3) влияния на элементы данной реализации
цепи.
Первое преобразование комплексной частотной переменной, ко-
торое будет описано, называется ФНЧ — ФВЧ-преобразованием.
Пусть s = o+jco является исходной комплексной частотной пе-
ременной, a p=u+jv — результирующей преобразованной комп-
лексной частотной переменной; тогда указанное преобразование
определяется в виде
s --= о + j со = со2/р = со2/(«+j о) = со2 Цц— j u)/(u2 + и2)],	(1).
где соо — постоянная. Если в этой связи ограничиться только слу-
чаем установившегося состояния при гармоническом воздействии,-
подставив о=0, то приравнивая вещественные и мнимые части в-
(1), получаем, что jco=—j<ozo/o. Таким образом, положительная и
отрицательная мнимые полуоси в (исходной) s-плоскости стано-
вятся соответственно отрицательной и положительной мнимыми
полуосями в (преобразованной) p-плоскости. Кроме того, начало
координат и бесконечно удаленная точка меняются местами. В ре-
зультате такой замены АЧХ ФНЧ на оси jco преобразуется в АЧХ
ФВЧ на оси р*. Под действием этого преобразования, как это
можно видеть из (1), частота соо становится геометрическим цент-
ром, относительно которого располагаются точки соответствующих
АЧХ на осях ]'<о и jv. Например, если со3дБ частота спада АЧХ
ФНЧ на 3 дБ (по отношению к ее значению на нулевой частоте),
то соответствующая ей частота спада АЧХ ФВЧ на 3 дБ (по от-
ношению к ее значению на бесконечно большой частоте) о3дБ , по-
лученная с помощью преобразования (1), удовлетворяет соотноше-
нию |созДБ | |пздб I =со2о- Часто для удобства полагают соо= 1 рад/с.
Тогда можно определить нормированное ФНЧ—ФВЧ-преобразо-
вание-.
s=l/p.	(2)
Для такого преобразования | создБ | |ц3дБ I- Пример примене-
ния такого преобразования к равноволновой АЧХ ФНЧ показан
на рис. 2.4—1. Соответствующие значения на исходной и преобра-
зованной характеристиках обозначены буквами А, В,..., А', В',...
Рассмотрим теперь, что произойдет, если применить нормиро-
ванное преобразование к обобщенной функции цепи нижних час-
тот вида
#нч (s) = Hf(a0 -|- «j s + а2 s2 +... + an_t s'1-’ + s").	(3)
* Изменение знака не оказывает влияния, так как АЧХ симметричны от-
носительно начала координат.
Применяя указанное преобразование и домножая числитель и
знаменатель на рп, получаем
•Л^бч (Р) = NH4 (!//>) = Нрп !(а0 рп + ах рп~' + л2 рп~‘2 +... +	р +1).
(4)
Очевидно, что п нулей в бесконечности функции 2VH4 (s) пре-
образуется в п нулей, расположенных в начале координат, функ-
ции N34 (р).
Рис. 2.4—1. Нормированное ФНЧ—ФВЧ-шреобразование
Как пример, такого преобразования, рассмотрим две функции
ЛГнч (s) = W+2s2+ 28+1); 7VB4(p)-/7p3/(p3 + 2p’+2p+1).	(5)
По виду функции Nm (s) сразу можно определить, что она яв-
ляется максимально плоской функцией цепи с частотой среза на
уровне —3 дБ, равной 1 рад/с (см. табл. 2.1—3). Так как функ-
ция ЛГВЧ (р) получается из Л/нч (s) с помощью преобразования
s=l/p, то она является максимально плоской функцией цепи верх-
них частот третьего порядка с частотой среза на уровне —3 дБ,
равной 1 рад/с. Для такой функции название максимально плос-
кая относится, конечно, к ее поведению на бесконечно большой
частоте.
Из процедуры преобразования, приведенной выше, видно, что
для нормированной функции Баттерворта нижних частот с часто-
той среза на уровне —3 дБ, равной 1 рад/с, полюсы преобразован-
ной функции цепи верхних частот занимают то же положение, что
и для функции цепи нижних частот. Для других АЧХ, однако, это
не так. Чтобы показать это, рассмотрим обобщенную функцию це-
ли нижних частот, записанную в факторизованном виде
Л/нч(«) =-------------.	(6)
(s + а) р (s2 + a2l s + an)
i=i
Таблица 2.4—la
Положение полюсов и коэффициенты
квадратичных множителей (ao+ais+s2)
равноволиовой (чебышевской) функции цепи
верхних частот с нормированной полосой
пропускания 1... оо рад/с и амплитудой
пульсаций 0,5 дБ
Таблица 2.4—16
Положение полюсов и коэффициенты
квадратичных множителей (ao+flis+s2)
равноволиовой (чебышевской) функции верхних
частот с нормированной полосой пропускания
1... оо рад/с и амплитудой пульсаций 1 дБ
И	ttmat					«1
2	-.47013	♦	J	.68221	.65954	.94026
3	-.27417 -1.59628	+	J	.89451	.87631	.54835
4	-.16488	♦	J	.95556	.94028	.32976
	-1*18778	♦		1.18107	2.80574	2.37557
5	-.10609		J	.97661	.96545	.21619
	-.61481 -2.75999	♦	J	1.31128	2.09746	1.22963
6	-.07590	♦	J	.98577	.97750	.15181
	-.35956	•	J	1.25124	1.69489	.71912
	-1.84585	*	J	1.72115	6.36953	3.69170
7	-.05616	»	J	.99045	.98415	.11220
	-.23596		J	1.19234	1.47736	.47193
	-.90910 •*3.90366	»	J	1.76421	3.93890	1.81820
	-.04311	»	J	.99315	•98621	.08621
	-.16756	•	J	1.14928'	1.34892	.33512
	-.51835		J	1.58731	2.78823	1.03671
	-2.49048		J	2.27032	11.35688	4.98097
9	-.03414	•	J	.99484	.99087	.06628
	-.12567	*	J	1.11850	1.26684	.25135
	-.33585		J	1.44808	2.20975	.67171
	-1.19251. -5.04019	•	J	2.23028	6.39622	2.38502
60	-.02770	*	J	.99597	.99272	•05539
	-.09806	♦	J	1.09612 ,	1.21109	.19612
	-.23713	♦	J	1.35061	1.88038	.47427
	-.66792	•	J	1.93832	4.20319	1*33583
	-3.12995	♦	J	2.82349	17.76864	6,25969
Я	Полюсы	°О	fll
2	-.49783 • 3 .81190	.90702	.99567
3	-.24853 ♦ J .97163 -2.02359	1.00583	.49705
к	-.14144 ♦ J .99683	1.01360	.28289
	-1.20570 ♦ J 1.45788	3.57912	2.41140
	-.09052 * J 1.00181	1.01182	.18103
	-.54555 * J 1.42540 -3.45431	2.32938	1.09111
6	-.06276,♦ J 1.00270	1.00935	.12553
	-.30460 ♦ J 1.30393	1.79302	.60920
	-1.86087 ♦ 3 2.13447	8.01860	3.72173
7	-.04605 * J 1.00262	1.00737	.09209
	-.19599 ♦ J 1.22144	1.53033	.39199
	-.80309 * J 1.92208 -4.86821	. 4.33933	1.60618
в	-.03521 ♦ J 1.00232	1.00589	.07043
	-.13779 ♦ J 1.16752	1.38209	.27557
	-.43773 * J 1.65S9S	2.93376	.87546
	-2.50491 ♦ J 2.82099 ’	14.23261	5.00983
9	-.02760 ♦ J 1.00201	1.00479	.05560
	-.10274 • 3 1.13098	1.28968	.20549
	-.27831 ♦ J 1.48416	2.28018	.55661
	-1.05168 ♦ j г.Ьъги -6.27626	7.02425	2.10336
10	-.02250 ♦ J 1.00172	1.00396	.04501
	-.07987 * J 1.10521	1.22786	.15974
	-.19464 ♦ 3 1.37231	1.92112	.38928
	-.56331 * 3 2.02362	4.41233	1.12661
	-3.14474 ♦ J 3.51168	22.22131	6,28*49
Применяя преобразование (2), получаем обобщенную фактори-
зованную функцию цепи нижних частот
// п/2	\
-вч^=-----------п7Г- v *=’ L-----------	(7)
(р + 1 /<т) П [р2 + (Oai/Cj i) р + 1 /с»]
i=l
Отсюда сразу же можно найти квадратичные множители и по-
люсы, соответствующие случаю нижних частот. Табулированные
значения для фильтров Чебышева верхних частот с амплитудой
пульсаций, равной 0,5 и 1 дБ, приведены в табл. 2.4—1. Эти значе-
ния даны для тех же значений п, ао, а^, что и в табл. 2.2—2 в слу-
чае нижних частот.
Преобразование (2) можно непосредственно применить к эле-
ментам реализованной цепи. Иначе говоря, полное сопротивление
ZH4 (s) = Ks, определяющее катушку с индуктивностью К генри,
становится в результате такого преобразования полным сопротив-
лением Zm(p)=K!p, определяющим конденсатор с емкостью
1/7С фарад. Аналогично этому, полная проводимость yH4(s)=As,
определяющая конденсатор с емкостью К фарад, становится пол-
ной проводимостью ¥вч (р)=К1р, которая определяет Катушку с
индуктивностью 1//< генри. В качестве примера применения преоб-
разования (2) непосредственно к элементам реализованной цепи
рассмотрим цепь нижних частот, реализующую функцию третьего
порядка с максимально плоской АЧХ (рис. 2.4—2). Эта цепь при-
Рис. 2.4—3. Схема цепи, реализующая
максимально -плоскую амплитудно-час-
тотную функцию -верхних частот третье-
го порядка и иолученная преобразова-
нием цепи на рис. 2.4—2. Значения эле-
ментов даны в омах, генри, фарадах
Рис. 2.4—2. Схема цепи, -реализую-
щая максимально плоскую ампли-
тудно-частотную функцию нижних
частот третьего порядка. Значения
элементов даны в омах, генри, фа-
радах
ведена в приложении А и имеет передаточную проводимость, за-
данную JVH4 (s) в выражении (5) (см. выше), где Н=\. Применяя
указанное преобразование к элементам цепи, получаем реализа-
цию, показанную на рис. 2.4—3. Так как применение преобразова-
ния к элементам цепи дает те же результаты, что и применение
преобразования к функции цепи в целом, можно сделать вывод,
что передаточная проводимость этой цепи задается NB4 (р) в вы-
ражении (5), где Н—1.
Второе преобразование комплексной частотной переменной, ко-
торое рассмотрим в данном параграфе, что ФНЧ — ПФ-преобра-
зование. Как и преобразование ФНЧ-прототипа в ФВЧ, описанное
выше, это преобразование можно применять к любому типу АЧХ,
однако, когда оно применяется к характеристике ФНЧ, то полу-
чается характеристика ПФ. Преобразование имеет следующий об-
щий вид:
s = (lW)[(p2 + <o2)/p],	(8)
где s — переменная ФНЧ-прототипа, р — переменная ПФ, BW—
ширина полосы пропускания (предполагаем, что функция цепи
нижних частот имеет нормированную ширину полосы, равную
1 рад/с), <во — средняя частота результирующей полосы пропуска-
ния. Для удобства определим нормированное ФНЧ — ПФ-преоб-
разование в виде
s = (p2+l)/p,	(9)
в котором средняя частота равна 1, а ширина полосы полосовой
функции цепи должна быть равна ширине полосы ФНЧ. Решая
(9) относительно р, получаем
р = s/2 ± |Z(s/2)2— 1.	(10)
Ограничиваясь рассмотрением случая установившегося состоя-
ния при гармоническом воздействии, т. е. полагая s = a+jco и при-
нимая а=0, найдем из (10) для p — u + \v, что ц = 0, a v определя-
ется выражением
v = (о/2 ± ]/((о/2)2-|-1.	(11)
Следовательно, мнимая ось в s-плоскости преобразуется в мни-
мую же ось в p-плоскости. Природу преобразования можно уяс-
нить1, если заметить, что в соответствии с (10) точка s = 0 преоб-
разуется в две точки p=+jl и р=—jl. Аналогично этому точка
s=oo преобразуется также в две точки р = 0 и р = оо. Используя
(11), можно видеть, что любая произвольно взятая на положи-
тельной мнимой полуоси s-плоскости точка, определенная как s =
=j(0i, преобразуется в две точки jo2 и —]’щ на р-плоскости:
—р1 = о)1/2—К^/2)2-»-1; o2 = (o1/2 + K(®i/2)2+1,	(12)
где щ и v2 положительны и o2>fi- Точка —j’g»i на s-плоскости
аналогично преобразуется в две точки joi и jo2 p-плоскости. Рас-
смотрим теперь более подробно точки щ и v2. Из (12) получаем
о1о2=1; v2—о1 = (й1.	(13)
На основе (12) и (13) можно сделать вывод, что любая часто-
та, АЧХ ФНЧ преобразуется в две частоты АЧХ ПФ и что эти
1 Наиболее точно и корректно это можно сделать, рассмотрев характери-
стики соответствующего конформного преобразования, геометрическая интер-
претация которого сводится к двулистной римановой 1поверхности, см., напри-
мер, [1*].—Прим. пер.
частоты имеют следующие свойства: 1) их среднее геометрическое
является средней частотой полосы пропускания; 2) их разность
равна частоте среза ФНЧ. Следовательно, ширина полосы АЧХ
ПФ равна ширине полосы АЧХ ФНЧ.
Как пример, подтверждающий эти выводы, рассмотрим преоб-
разование АЧХ ФНЧ с полосой пропускания на уровне —3 дБ,
равной 1 рад/с. Частоты щ и щ, определяющие ширину полосы
АЧХ ПФ на уровне —3 дБ, находятся из (12) и равны 0,618 и
1,618 рад/с. Очевидно, что эти значения удовлетворяют соотноше-
нию (13). Более подробный пример проведения преобразований
АЧХ ФНЧ-прототипа в АЧХ ПФ показан на рис. 2.4—4, где рас-
смотрена равноволновая характеристика. Для лучшей иллюстра-
ции этого преобразования характеристика ФНЧ расширена сим-
метрично в область отрицательных частот. Соответствующие точки
исходной и преобразованной характеристик обозначены буквами
А, В,... А', В',...
Рис. 2.4—4. Нормированное ФНЧ—ПФ-треобразование
Рассмотрим теперь, что произойдет, если преобразование (9)
вменить к обобщенной функции цепи нижних частот (3). После
множения числителя и знаменателя на рп получаем
(Р) =
_____________________________Нрп_______________________________
ЩрП + Щ р"-1 (р2 -J- 1) + «2 р"-2 (pS+l)2+. . ,+дп_х р (p2+1)n-l+(p2+1)n '
(14)
Получаемые в итоге обобщенные полиномы в знаменателе для
типичных значений п приведены в табл. 2.4—2.* Каждая получае-
мая полосовая функция цепи имеет /г-кратный нуль в начале ко-
ординат и /г-кратный нуль в бесконечности. В табл. 2.4—3 — 2.4—5
приведены некоторые определенные значения коэффициентов поли-
номов в знаменателе, корни и квадратичные множители различных
полосовых функций цепи.
Так как степень полинома в знаменателе полосовой функции
цепи, полученной с помощью ФНЧ ПФ-преобразования (9), удваи-
вается по сравнению со степенью полинома в знаменателе исход-
ного ФНЧ-прототипа, факторизация возможна в общем случае
только благодаря использованию машинных программ нахожде-
ния корней полиномов.
Исключение из этого общего правила представляет случай, ког-
да ширина полосы преобразованной полосовой функции цепи мно-
го меньше, чем ее средняя частота. В этом случае в качестве не-
которой дополнительной к преобразованию (9) процедуры можно
использовать непосредственное преобразование положения полю-
сов ФНЧ-прототипа, создавая, таким образом, полосовую функцию
с уже факторизованным полиномом в знаменателе. Эта процеду-
ра соответствует узкополосной аппроксимации. Чтобы показать,
хак она действует, предположим, что средняя частота ПФ долж-
на быть равна 1 рад/с. Определим теперь некоторую промежу-
точную переменную р' с помощью соотношения
p = p' + jl,	(15)
где р — комплексная частотная переменная ПФ. Это преобразова-
ние переносит начало координат //-плоскости в точку j 1 в //-плос-
кости. Подставляя это преобразование в (9) и используя биноми-
нальное разложение, получаем
s=(p' + j i)+l/(p'+j l) = (p' + j О—jZU+p7j) =
= (P'+j 1)-j (1 -P7j + -.)« 2P',	(16)
где последний член в (16) является линейным приближением, при-
годным для р'^0, т. е. в окрестности средней частоты jl в р-
плоскости. Это соотношение, наряду с (15), определяет узкополос-
ную аппроксимацию, которая может быть непосредственно приме-
нена к положению полюсов в s-плоскости (ФНЧ) для определения
их положения в p-плоскости (ПФ). Сравнивая относительное по-
ложение полюсов в p-плоскости и точки р = 1 с относительным по-
ложением полюсов в s-плоскости и начала координат, видим, что
В обоих случаях угловое положение их одинаково, но при этом
полюсы в p-плоскости расположены в 2 раза ближе к точке, отно-
сительно которой проводилось сравнение.
* Общий алгоритм определения коэффициентов полосовых функций цепи
по их ФНЧ-(прототипу .можно 1найти в работе Хьюлсмана [6].
Таблица 2.4—2
ФНЧ—ПФ-преобразование с нормированной средней
частотой полосы пропускания 1 рад/с
ЛГНЧ($) =----------—-----
• а0 + OjS + ••• + a„_jS" *+У
				Нр"	
им		1 + btp+ Ь2р2 + 		+ ijP2""1 + btp2"'1 + р2"	
п		bi	ь2	ь3	fc4	ь,
	2	01	а0 + 2		
	3	ог	at +3 а0 + 2а2		
	.4	о3	а2 + 4 - а2 + За3 а0 +		2а2 + 6
	5	«4	а3 + 5 а2 + 4а4 at +		За3 + 10 а0 + 2а2 + 6аЛ
					Таблица 2.4—Sa
		Коэффициент полинома в знаменателе максимально плоской			
			(баттервортовской) полосовой функции цепи вида		
			l+fl1S + C2S2+ ... +«Z2Sn-2 + «ZlSn-1+Sn		
			с нормированной средней частотой 1 рад/с		
п		о>	«2		а 4
4.	•	670711	2.002500		
6	.100000		3.005000	.200125	| BW « 0.05 1
8		130656	4.008536	.392296	6.017077
10	•	161803	5.013090	.647868	10.039291	.972130
4	.141421		2.010000		
6	•	200000	3.020000	.401000	| BW = 0.1 1
8	•	261313	4.034142	.786551	6.068384
10	•	323607	5.052361	1.299663	10.157406 1,952123
4	•	282843	2.040000		
6	•	400000	3.080000	.808000	1 BW = 0.2 |
8	•	522625	4.136569	1.588781	6.274737
10	•	647214	5.209443	2.630743	10.633506 3.967379
4		707107	2.250000		
б	1 .OOGOOO		3.500000	2.125000	| BW - О.5 1
8	3.306563		4.853553	4.246330	7.769607
10	1..	518034	6.309017	7.126644	14.129305 11.048471
Таблица 2.4—36
Положение полюсов и коэффициенты квадратичных множителей (ao+fli-s+s2) максимально плоской (баттервортовской)
полосовой функции цепи с нормированной средней частотой 1 рад/с
шарит полосы	п	Полксы			«1	7		ItOJtntlt		
0.05	4	-.01753 *J	1.01768	1.03599 .96526 1.04425- .95762 1.00000	.03598 .03473 .02554 .02446 .05000	ПШСЫ	n		Oo	«1
	6	-.01737 *J -.01277 -.01223 *J -.02500 *J	.98232 1.02181 .97851 .99969			0.2 ’	4 6	-.07571	1.07072 -.06571 *J .92930 -.05432 *J 1.08911 -.04568 »J .91590 -.10000 »J .99499	1.15218 .86792 1.18911 .84097 1.00000	.1S142 .1314a, .10864 .09136 .20000
	8	-.02332 *J -.02268 *J -.00979 *J -.00935 »J	1.00935 .99021 1.02332 .97712	1.01932 .98104 1.04728 .95486	.04664 .04575 .01958 .01869		8	-.09594 *J 1.03473 -.08884 «J .95820 -.04179 *3 1.09592 -.03475 »J .91115	1.07908 .92603 1.20279 .83140	.19187 .17768 >08358 >06949
	10	-.02052 *J -.01993 »J -.00791 «J -.00754- *3 -.02500 *J	1.01460 .98521 1.02403. .97648 .99969	1.02983 .97103 1.04870 .95356 1.00000	.04105 .03986 .01582 .01508 .05000		10	-.08566 .J 1.05724- -.07614	.93969 -.03383	1.09915 -.02797 »J .90894 -.10000 «J .99499	1.12510 .88881 1.20927 .82695 J.00000	•П133 .15228 .06766 •05595 .20000
0.1	4	-.03661 »J -.03411 *J	1.03536- .96465	1.07330 .93170	.07321 .06821	0.5	4	-.20801 »J 1.17726 -.14554 *J .82371	1.42922 .69968	.41602 .29108
	6	-.02608 .J -.02392 *J -.05000 +J	1.04393 .95732 .99875	1.09046 .91704 1.00000	•05216 •04784 .10000		6	-.15164 *J 1.23236 -.09836 *J .79935 -.25000 »J .96825	1.54171 .64863 1.00000	.30328 .19672 .50000
	8	-.04708 *J -.04531 *J -.02002 *J -.01825 *J	1.01825 .97998 1.04708 .95469	1.03905 .96242 1.09677 .91177	.09416 .09062 .04003 .03650		8 9 i	-.25357 +J 1.07359 -.20837	.88224 -.11729 *J 1.25306 -.07405 *J .79112	1.21688 .82177 1.58391 .63135	.50713 .41675 .23458 .14810
	10	-.04164 -.03926 *J -.01618 *4 -.01472 *J -.05000 *J	1.02900 ,.97023 1.04856 .95346 •99875	1.06058 .94288 1.09975 .90930 1.00000	.08328 .07852 .03237 .02943 .10000		10	-.23225	1.13770 -.17226 »J .84380 -.09517	1.26289 -.05934 ‘J .78736 -.25000 *J .96825	1.34829 .74168 1.60395 .62346 1.00000	.46450 .34451 .19034 .11867 .50000 4
В качестве примера использования этих выводов рассмотрим
применение узкополосной аппроксимации для определения поло-
жения полюсов максимально плоской полосовой функции цепи,
имеющей четыре полюса, ширину полосы 0,05 рад/с на уровне
—3 дБ и среднюю частоту 1 рад/с. В s-плоскости положение соот-
ветствующих полюсов максимально плоской функции ФНЧ-прото-
типа, имеющего два полюса и ширину полосы 0,05 рад/с, таково:
—0,05 ]/2±j0,05/	(рис. 2.4—5,а). Положение полюсов в р-
плоскости, определенное с помощью (15) и (16), соответствует
—0,025/ j/2±j(l ±0,025/ ]/2) (рис. 2.4—5,6). Добавляя очевид-
ные требования наличия двукратного нуля в начале координат и
Таблица 2.4—4 а
Коэффициенты полинома в знаменателе равноволновой
(чебышевской) полосовой функции цепи вида
l+ais+fi2S2+ ... +£Z2Sn“2+Cisn~1+sn
с нормированной средней частотой 1 рад/с
п			“г	«л	«S
4	.071261	2.003791		
6	.062646	3.003837	.125381	| ВЫ - 0.05 1
8	.059869	4.004292	.1797,36	6.008587
10	.058625	5.004843	.234662	10.014535	.352075
4	.142563	2.015162		
о	.125291	3.015349	.251299	[ ВЫ = 0.1 [
8	.119739	4.017169	.360242	6.034375
10	•117249	5.019374	.470306	10.058196	.706116
4	.285125	2.060648		
6	.250583	3.061396	.506891	I ВЫ = 0.2 |
8	.239477	4.06867S	.726636	6.137956
10	.234498	5.07749S	.948470	1С.23?СЗё 1.4ZS0C1
4	.712813	2.379051		
6	.626457	3.383724	1.342376	1 вы - 0.5 |
8	.598693	4.429217	1.924263	6.882125
10	.586246	5.484342	8.508681	11.500059 3.850462
Таблица 2.4=46
Положение полюсов и коэффициенты квадратичных множителей (ao+Cis+s2) равноволновой (чебышевской)
функции цепи с нормированной средней частотой 1 рад/с и амплитудой пульсаций 0,5 дБ
Ширина ПОЛОСЫ	п	Полюсы			Ширина ЛВЛВСЫ	и	Полюсы		°1
0,05	4	-.01827 *J 1.02526	1.05149	-.03654	0.2	4	-.07842 .J 1.10293	1.22260	.16684
		-.01737	.97506	-.95103	.03475			-.06414 *J .90212	.81793	.12828
	6	-.00603 *J 1.02564	1.05242	.01-606		6	-.03451 <J 1.10692	1.22646	.06902
		-.00763 ‘J .97475	.95019	.01526			-.02814 *J .90253	.81536	.05627
		-.01566 »J .99988	1.00000	.03132			-.06265 .J .99804	1.00000	.12529
	8	-.01069 *J 1.01052	1.02127	.02139		8	-.04412 *J 1.04209	1.08789	.08823
		-.01047 »J .98948	.97917	.02094			-.04055 *3 .95790	•91921	.08110’
		-.00450 .J 1.02572	1.05212	.00899			-.01931 ‘J 1.10662	1.22499	.03862
		-.00427 «J .97491	.95046	.00854			-.01576 *J .90337	.81633	.03152
	10	-.00744 .J 1.01572	1.03175	.01489		10	-.03114	1.06404	1.13316	.06228
		-.00721 *J .98447	.96923	.01443			-.02748 »J .93901	.88249	.05497
		-.00287 .J 1.02560	1.05187	.00574			-.01232	1.10620	1.22382	.02465
		-.00273	.97503	.'95068	.00546			-.01007 *J .90389	.81711	.02014
		-.00906 *J .99996	1.00000	.01612			-.03623 ♦J .99934	1.00000	.07246
0.1	4	-.03743 ♦J 1.05083	1.10564	.07486	0.5	4	-.22221 *J 1.26747	1.65585	.44442
		-.03385 *J .95042	.90445	.06771			-.13420 »J .76545	.60392	•26839
	6	-.01646	1.05228	1.10756	.03292		6	-.09774 »J 1.28481	1.66029	.19549
		-.01466 +J .95009	.90288	.02972			-.05887 *J .77385	.60230	• 11774
		-.03132 ‘J .99951	1.00000	.06265			-.15661 *J .98766	1.00000	.31323
	8	-.•02161 «3 1.02104	1.04300	.04323		8	-.11697	1.10524	1.23523	.23395
		-.02072 *J .97895	.95877	.04144			-.09470 *J .89476	.80957	• 18939
		-.00921 *J 1.05206	1.10692	.01843			-.05464 *J 1.28496	1-65410	• 10928
		-.00832 *J .95044	.90340	.01665			-.03303 »J .77683	.60456	.06607
	10	-.01511 *J 1.03164	1.06451	.03023		10	-.08463 *J 1.16584	1.36635	•16925
		-.01420 »J .96912	.93940	.02840			-.06194 *J .85325	.73188	•12387
		-.00588 *J 1.05184	1.10640	.01176			-.03486 -J' 1.28401	1.64991	•06971
		-.00532	.95068	.90383	.01063			-.02113 *J .77823,	.60610	•04225
		-.01812	.99984	1.00000	.03623			-.09058 + J .99589	1.00000	.18116 :
сопряженных полюсов, получаем окончательно узкополосную ап-
проксимацию, функции цепи N*n (р) в виде
=-------------------.	(17)
pi 4- 0,0707 р3 + 2,0025 р2 + 0,0707 р + 1,0000
Фактическая функция цепи Nn (р), полученная путем непосред-
ственного применения (9), совпадает с нефакторизованной фор-
мой (17) с точностью до заданного числа значащих цифр. В об-
щем случае следует помнить: узкополосная аппроксимация дает
Таблица 2.4—5а
Коэффициенты полинома в знаменателе равноволновой
(чебышевской) полосовой функции цепи вида
'1+a,s+a2s2+ — +fl2s”-2+a1sn-1+s"
п	с нормированной средней частотой 1 рад/с				
	а1	и амплитудой пульсации I дБ			°5
		°2	<h	°4-	
4	.054887	2*002756			
6	.049417	3.003096	.098896	Г bw -	0.05 |
8	.047641	4.003635	.143015	6.007271	
10	.046841	5.004222	.187486	10.012670	.281290
4	•109773	2.011025			
6	.098834	3.012384	•198160	|”sw =	0.1 |
8	•095281	4.014539	.286586	6.029106	
10	.093682	5.016888	.375703	10.050723	.564042
4	.219547	2.044100			
6	•197668	3.049536	.399267	| BW =	O.2 |
8	.190562	4.058157	.577628	6.116755	
’10	.187364	5.067S53	.757252	10.203587	1.139814
4	.548867	2.275628			
6	.494171	3.309602	1.049755	| 8W =	°-5 1
8	.476406	4.363481	1.522045	6.744189	
10	.4бе41о	5.422204	1.995441	11.302896	‘ 3.057899
Ширина. ПОЛОСЫ	Пол п	ожение полюсов и коэф полосовой функции Полисы	фициенты квадратичных миожи-п цепи с нормированной средней "о Ширина	елей част	(ao+Cis+s2) равноволи! отой 1 рад/с и амплиту Полюсы	Таблица 2.4—56 )вой (чебышевской) дой пульсаций 1 дБ
0.05	4	-.01403 *J 1.02253	,	Л Л	полосы 1.04577	.02806	W		л0	at
	6 8 10	-.01341 *J .97778 -.00633 .J 1.02442 -.00603 *J .97612 -.01235 .J .99992 -.00851 .J 1.01020 -.00834 »J .98983 -.00357 »J 1.02488 -.00340 .J .97571 -.00594	1.01540 -.00577 »J .98480 -.00229 *J 1.02506 -.00218 *J .97555 -.00724 «-J .99997	.95623	.02683	от 1.04948	.01265 .95285	.01206 1.00000	.02471 1.02056	.01702 .97984	.01667 1.05039	.00715 .95202	.00681 1.03107	.01189 .96987	.01153 1.05075	.00458 •95170	.00436 1.00000-	.01447	4 6 8 10	-.05979 + J 1.09202 -.04999	.91300 -.02709 »J 1.10095 -.02233 »J .90775 -.04942 .J .99878 -.03506 +J 1.04100 -.03232 .J .95953 -.01532 .J 1.10307 -.01259 *J .90639 -.02485 .J 1.06279 -.02199 .J .94041 -.00983 .J 1.10386 -.00806 .J .90584 -.02895 «J .99958	1.19609	.11958 .83606	.09997 1.21283	.05417 .82452	.04466 1.00000	.09883 1.08490	.07012 .92174	.06463 1.21699	.03064 .82170	.02518 1.13014	.04970 .88485	.04398 1.21861 .	.01965 .82061	.01613 1.00000	.05790
						
0.1 —	4 6 8 10	-.02867 *J 1.04538 -.02622 »J .95587 -.01295 *J 1.04939 -.01176 »J .95279 -.02471	.99969 -.01719	1.02043 -.01650	.97970 -.00732 »J 1.05035 -.00663 *J .95201 -.01207	1.03100 -.01135	.96980 -.00469 »J 1.05072 -.00425 *J .95171 -.01447	.99990	1.09365	.05734	0.5 .91437	.05243 1.10139	.02590 .90795	.02352 1.00000	.04942	. 1.04158	.03437 .96008	.03300 1.10329	.01464 .90638	.01327 1.06310	.02414 .94065	.02270 1.10403	.00939 .90577	.00850 1.00000	.02895	4 6 8 10	-.16744 .J 1.23974 -.10699 .J .79217 -.07630 *J 1.26849 -.04725 .J .78549 -.12354	.99234 -.09278 ♦J 1.10351 -.07566 »J .89984 -.04322 »J 1.27506 -.02655 *J .78337 -.06742	1.16296 -.04968 .j .85700 -.02774 + 3 1.27748 -.01699 *J .78242 -.07237 »J- .99738	1.56498	.33488 .63898	.21398 1.61490	.15259 .61923	.09449 1.00000	.24709 1.22633	.18556 .81544	.15131 1.62766	.08643 .61438	.05310 1.35701	.13484 .73691	.09937 1.63'272	.05548 .61248-	.03398 З-.ОобОО .14475
хорошую точность до тех пор, пока ширина полосы равна или
меньше одной десятой от средней частоты, т. е. Q должно быть
больше или равно 10. Как пример значительных искажений в оп-
ределении положения полюсов при нарушении условия примене-
ния узкополосной аппроксимации на рис. 2.4—6 показано действи-
s-плоскость
а)
Рис. 2.4—5. Пример использования узкополосной аппроксимации
тельное положение полюсов ПФ и положение полюсов, определен-
ное с помощью узкополосной аппроксимации для случая, когда
ширина полосы равна 1,5 рад/с, а средняя частота — 1 рад/с. Фак-
тическое и расчетное значения положения полюсов даны для ПФ
восемнадцатого порядка (ФНЧ-прототип девятого порядка). На
рисунке видна значительная ошибка в случае использования узко-
полосной аппроксимации.
Рис. 2.4—6. Случай, когда узкопо-
лосная аппроксимация неприменима:
1 — фактическое местоположение полюсов
ПФ; 2 — местоположение полюсов в соот-
ветствии с узкополосной аппроксимацией
Рис. 2.4—7. Схема цепи, реализую-
щая максимально плоскую АЧХ ПФ
шестого порядка, полученная преоб-
разованием цепи яа рис. 2.4—2. Зна-
чения элементов даны в омах, генри,
фарадах
Преобразование (9) также можно непосредственно применять
к определению значений элементов данной реализации цепи. В
этом случае катушка с индуктивностью К генри, имеющая полное
сопротивление ZIi4 (s) =Ks, становится последовательным соедине-
нием катушки с индуктивностью К генри и конденсатора с ем-
костью 1/7С фарад, имеющим полное сопротивление Zn (р)=Кр+
h-K/p; конденсатор с емкостью К фарад, имеющий полную прово-
димость Унч (s) =As, становится параллельным соединением кон-
денсатора с емкостью К фарад и катушки с индуктивностью 1/К
гёнри, имеющим полную проводимость Уп (Р) =К.р+Щр.
) Например, цепь, реализующая максимально плоскую переда-
точную проводимость ФНЧ третьего порядка (см. рис. 2.4—2),
можно непосредственно преобразовать в цепь, реализующую мак-
симально плоскую передаточную проводимость ПФ шестого по-
рядка с шириной полосы 1 рад/с и частотами среза на уровне
__3 дБ, равными соответственно 0,618 и 1,618 рад/с. Схема, полу-
ченная в результате преобразования цепи, показана на рис. 2.4—7.
Передаточную проводимость этой цепи можно найти сразу, если
применить результаты преобразования, приведенные в табл. 2.4—2,
к первому уравнению (5), откуда получаем
/о (P)/Vi (р) = ЯрЗ/(рв + 2рь + 5р4 + 5рЗ + 5рз + 2р +1),	(18)
где 77=1. Итоговая сводка преобразований элементов цепи при-
ведена в табл. 2.4—6.
Нормированные ФНЧ — ФВЧ- и ФНЧ—ПФ-преобразования,
определенные в (2) и (9), связанные с соответствующим нормиро-
Изменение элементов цепи прн преобразовании частоты
Таблица 2.4—6
ванием частоты, можно применить в различной последовательно-
сти для получения любой желаемой комбинации средних частот и
полос пропускания. Кроме того, если применить ФНЧ ПФ-преоб-
разование к функции цепи верхних частот, получим режекторную
характеристику, как видно из следующего примера.
'П р имер 2.4—1. Определение элементов схемы режекторного фильтра.
Пусть требуется реализовать передаточную функцию РФ шестого порядка
с резистивной 'нагрузкой 1000 Ом и полосой пропускания 1 кГц, средняя ('гео-
метрически) частота которого равна 5 кГц. В соответствии с техническим за-
данием, затухание в различных точках полосы пропускания должно быть не
менее 15 дБ, а АЧХ в полосе пропускания должна быть монотонной. Пред-
полагая, что будет использоваться выражение (9), нормируем среднюю часто-
ту и полосу пропускания соответственно к 1 рад/с и 0,2 рад/с. Из примера
2.1—2 известно, что цепь, схема которой показана на рис. 2.4—2, имеет, как
минимум, затухание 15 дБ на частоте 2 рад/с и монотонна в полосе задер-
живания. Денормируя по частоте элементы этой цепи с коэффициентом 2,5,
получаем цепь, схема которой дана на рис. 2.4—8,а, которая имеет требуемое
Рис. 2.4—8. Схема цепи, реализующая РФ в примере 2.4—1. Значения элемен-
тов даны в омах, генри, фарадах
затухание для всех частот выше 5 рад/с. Применяя ФНЧ—ФВЧ-преобразо-
вание (2) к этой цепи, получаем цепь на рис. 2.4—8,6, которая имеет требуе-
мое затухание (по отношению к его значению на высоких частотах) иа всех
частотах меньших, чем 0,2 рад/с. Применяя преобразование (9) к полученной
цепи верхних частот, получаем цепь, приведенную на рис. 2.4—8,s. Эта цепь
имеет режекторную характеристику с шириной полосы 0,2 рад/с и средней (гео-
метрически) частотой 1 рад/с. Денормируя по частоте элементы этой цепи с
коэффициентом 2л/5000, а затем полное сопротивление с коэффициентом 1000,
получаем конфигурацию цепи, показанную на рис 2.4—8,г, которая удовле-
тдоряет техническим требованиям, ф
\ ФНЧ — ПФ-преобразования, описанные в этом параграфе, так-
же можно непосредственно применять к эллиптическим функциям
цепи нижних частот для формирования эллиптических полосовых
функций, как показано в следующем примере.
Пр и м е р 2.4—2. Эллиптическая полосовая функция. Пусть требуется
реализовать ПФ четвертого порядка со средней частотой 1 рад/с, шириной
полосы 'пропускания 0,1 .рад/с и амплитудой пульсаций в полосе пропускания
1 дБ затуханием не ниже 17 дБ по отношению к максимальному значению
амплитуды, равному единице в полосе пропускания, для всех частот, лежащих
за .пределами полосы шириной 0,2 рад/с. Из табл. 2.3—1 находим, что эллип-
тическая функция цепи нижних частот второго порядка вида
N (s) = 0,139713 (s2 -j- 0,07464102)/(s2 -j- 0,0998942 s -j- 0,01170077)	(19)
имеет максимальный модуль, (равный единице, амплитуду пульсаций 1 дБ
в полосе 'пропускания 0 ... 11 рад/с и затухание 17 дБ для всех частот, боль-
ших, чем частота среза 2 рад/с. Денормируя эту функцию по частоте с коэф-
фициентом 0,1, изменяя ее полосу пропускания, которая становится равной
0 ... 0,1 рад/с и частоту среза, которая будет 'равна 0,2 рад/с. Денормнрован-
ная функция
Д'(s) = 0,139713 (s2 + 0,07464102) / (s2 -J- 0,0998942 s -j- 0,01170077).	(20)
Положения полюсов этой функции следующие: s=—0,0499471+j0,0959482.
Теперь можно найти полюсы ПФ путем непосредственного применения узко-
полосной аппроксимации. В результате получаем s=—0,0249'735+j(1+0,479741).
Эти полюсы соответствуют квадратичным множителям в знаменателе вида:
s2+0,0499471s+0,906977 и s2+0,0499471s+l,0988733.
Используя (9), сразу преобразуем числитель к виду s4+2,074641s2+l, ко-
торый можно представить множителями (s2+1,313063) (s2+0,761578). Таким
образом, требуемая полосовая функция цепи будет иметь вид
/а =	1,313063)	#g(s2 + 0,761578)
п S s2-j-0,0499471s4-0,906977 s2+ 0,0499471 s+ 1,0988733 ’	1 '
где произведение HiHz равно 0,139713. Заметим, что в формуле (21) полюсы
и нули (сгруппированы в два биквадратных множителя и подобраны так, что-
бы в каждом множителе отделение нулей от полюсов было максимальным.
Такое группирование уменьшает чувствительность (см. гл. 3) функции цепи
к изменению значений номиналов элементов при любой реализации цепи, а
также помогает уменьшить чрезмерный разброс значений номиналов элементов
при реализации. ф
2.5. Аппроксимация фазо-частотной характеристики
В предыдущих параграфах этой главы рассматривалась ап-
проксимация АЧХ. В этом параграфе займемся рассмотрением ап-
проксимации фазочастотной характеристики (ФЧХ),- т. е. будем
искать в плоскости комплексной частоты положение полюсов и ну-
лей для функции цепи, которая имеет определенную фазочастот-
ную характеристику в установившемся состоянии при действии
гармонического сигнала на входе. Прежде чем начать изучение та-
кой характеристики, рассмотрим обобщенную рациональную функ-
цию цепи N(s), которую можно представить в следующей форме:
N (s) = A (s)/B (s) = fmx(s) + щ (s)]/[m2 (s) + n2 (s)],	(1)
где mi (s) и ti\ (s) — соответственно четные и нечетные части поли-
нома Д(«) в числителе, a m2(s) и n2(s) —-соответственно четные и
нечетные части полинома B(s) в знаменателе. Рассмотрим N (s) в
условиях установившегося состояния при действии гармонического
сигнала, т. е. сделаем подстановку s=jco; тогда mi (jco) и m2(jco),
будучи четными, окажутся вещественными, a ni(jco) и n2(jco), бу-
дучи нечетными, окажутся мнимыми. Следовательно, функция
N (jo) запишется в виде
(i со) = Re Д (j со) + j Im Д (j <о) _ (j со) + nt (j co)
Re В (j co) j Im В (j co) m2 (j co) + n2 (j co)
Выделяя вещественную и мнимую части путем домножения
числителя и знаменателя на сопряженную для знаменателя вели-
чину т2(](я)—/г2(]‘со), получаем
N (j со) = Re N (j co) + j Im N (j co) =	+	.	(3)
m2--n2	m2 — H2
где для удобства убраны скобки, указывающие на функциональ-
ную зависимость величин пц и Тогда фазу или аргумент W(jco)
можно записать так:
argN(j«)-arctg= arctg' -	.	(4)
Хе /V (j со)	j тг m2 — пг n2
Теперь удобно определить функцию Д(со):
^(co) = tg[arg/V(jco)] = ^-^i=M-.	(5)
j ггцт., — rij/tg
Из (5) можно сделать вывод, что функция Л (со) должна быть
нечетной рациональной функцией, т. е. отношением нечетного по-
линома к четному. Это требование должно быть не только необхо-
димым, но и достаточным для определения рациональной функции
цепи N (s) по известной Д(со). Чтобы показать достаточность это-
го условия, сформируем вначале функцию 1+Д(со). Используя
(5), получаем
1 + j Д (со) = т] —«1 «2 + rn2 —От1 и2 = (^ч-nJ (m2—n2)
тл т2—-щПа	тг т3—пгп2
Из формы правой части приведенного соотношения можно сде-
лать вывод, что числитель функции 1+]Д (s/j) должен содержать
в виде множителя нули и отображенные в правую полуплоскость
полюсы функции цепи N(s), которая связана с функцией Л (со) с
помощью (5); Задавая эти множители в любом желаемом виде,
согласующемся с требованием устойчивости, удовлетворяем до-
статочным условиям, как это видно из следующего примера.
Пример 2.5—1. Определение функции цепи по ее аргументу. В качестве
примера процедуры, указанной выше, рассмотрим функцию
\	Л (со) = (—со3 + 11 со)/(5со2—15).
1 Отсюда видно, что
(7)
।
1 4- j А (со)
со—s/j
— j со3 -j- 5 со2 -j- j 11 со — 15 I	s3—5 s2 -[- 11 s—15
5 co2—15	[co—s/j	—5 s2—15
(8)
Числитель правой части этого равенства представляется в виде (s—3) X
+ (s2—2s+5). Приравнивая (s—3), к (ffli+ni), a s2—2s+5 к m2—и2, полу-
чаем
N (s) = (s—3)/(s2 + 2 s 4- 5).	(9)
Для этой функции цепи tg [arg TV (jco)] определяется как функция Д(со)
в (7). С другой стороны, можно было бы представить множитель (s—3) как
ри2—щ), а .множитель (s2—2s+5) как mi+«i и получить еще одну функ-
цию
N(s) = — (s2—2s+5)/(s-j-3),	(10)
имеющую ту же самую ФЧХ. Наконец, можно представить (s—3),(s2—2s+5)
как m.2—«г и 1 как /щ+щ и получить
tf(s) = —l/(s+3)(s2 + 2s-j-5),	(11)
т. е. еще одну (третью) функцию цепи с такой же ФЧХ. Для всех трех функ-
ций цепи tg [arg Д'(jco)] .представляет собой функцию Л (со), определенную
в (7). ф
При обсуждении аппроксимации АЧХ в предыдущих парагра-
фах цель состояла в том, чтобы сохранить амплитуду в полосе
пропускания постоянной с некоторой точностью. Цель аппроксима-
ции ФЧХ, однако, несколько отличается от этой. Для многих слу-
чаев можно определить эту цель, исследуя понятие идеальной пе-
редачи. Чтобы обеспечить для цепи идеальную передачу некоторо-
го произвольного входного возбуждающего сигнала e(t), было бы
достаточно иметь в выходном сигнале r(t) то же самое информа-
ционное содержание, т. е. ту же самую форму сигнала. В таком
случае существуют только две операции, которые допустимо было
бы провести над сигналом e(t), а именно: масштабное преобразо-
вание и временной сдвиг (или задержка). Следовательно, можно
определить идеальную передачу с помощью соотношения
r(O = W-Zo), £о>0.	(12)
Другими словами, форма выходного сигнала будет идентична
форме входного за исключением того, что амплитуда умножается
На К, а сигнал задерживается на время t0. Полагая, что e(t) =0
Для t<zO и преобразуя по Лапласу выражение (12), получаем
^(s)=A£(s)e-4 где R(s) и E(s) соответственно преобразования
Лапласа от r(t) и e(t). Принимая s=j<o, получаем далее
= N (j(o) = К е~1(йг»,	(13)
где SI и (S — выходные и входные фазоры, a AZ(jo>) — функция це-
пи. Из (13) видно, что для идеальной передачи требуется, чтобы
|AZ(jo>) | ==Д (это значит, что амплитуда должна быть постоянной
и независимой от частоты), a arg7V(jo>)=—(т. е. фаза должна
быть прямо пропорциональна частоте).
Рассмотрим теперь, как можно аппроксимировать линейную
фазу, которая, как показано выше, обеспечивает идеальную пере-
дачу в заданной полосе частот. Для функции цепи нижних час-
тот один из путей получения желаемой линейности — добиться
того, чтобы первая производная ФЧХ была отлична от нуля и как
можно больше производных более высокого порядка были бы
равны нулю при со = 0. Этот подход аналогичен тому, который ис-
пользуется для получения максимально плоской АЧХ в § 2.1. По-
лагая, что обобщенная функция цепи нижних частот
N (s) = 1 !{а0 + aj s+s2 -J- as s3 <z4 s* -J-...),	(14)
получаем соответствующую ФЧХ в виде
arg N (j <o) = arctg	“±£3-^=1ддд_.	(15)
°o—a2 co2 + a4 co4 — ...
Для ее разложения можно использовать следующий ряд:
arctgx = x—(16)
Пример осуществления этой процедуры дан ниже.
Пример 2.5—2. Определение линейной ФЧХ. Рассмотрим функцию це-
пи нижних частот второго порядка
N(s) = l/(s2-j-a1s+6z0).	(17)
Тогда аргумент ее, т. е. ФЧХ, можно (выразить в виде
arg Л/ (j со) = — arctg — -	.	(18)
а0 1 — со2/ао
На основе (16) можно записать
.	—1	«1(0	,1	( Ох со V
arg Л/ (j со) =-—-—— + —у -----------—- —....
а0 1—со2/ао 3 с30 \ 1— со2/ао )
Используя биномиальное разложение н проводя упрощения, получаем
f	а3 \
arg7V(jco)= ——co-j- I —co3—...	(19)
a° \ ao 3°o J
Обозначая Ci/a0=A) и .приравнивая в (19) коэффициент при со3 нулю, обес-
печим линейность фазы argA/(ja)=—coto. В результате этого получаем следу-
ющие соотношения:
Со = 3//q ; czj = Zq	(20)
Например, для to=l потребуем, чтобы а0=3 и cti=3. Таким образом,
функция цепи нижних частот второго порядка, имеющая линейную максималь-
но плоскую ФЧХ с (наклоном —II |(п,ри постоянном токе), имет вид
^(s)=l/(s2 + 3s-|-3).<	(21)
Распространяя приведенную выше процедуру на ункции це-
пи нижних частот более высокого порядка, получаем последова-
тельность полиномов, известных как полиномы Бесселя. Фильтры,
для формирования функций цепи которых используются эти по-
линомы, называются фильтрами Томсона [7]. В общем случае
для таких фильтров коэффициенты знаменателя (14), соответст-
вующие линейной ФЧХ с наклоном —1 (групповое время прохо-
ждения (ГВП) равно 1 с при постоянном токе), можно найти из
соотношения
а (2n—k)\_____________
k	2"_fe6!(n —А)! ’
/fe = 0,l,2.... п—	1,
(22)
где п — степень знаменателя. Коэффициент для старшего члена
равен единице. Значения соответствующих коэффициентов поли-
номов, корни и квадратичные множители приведены в табл. 2.5—
1. Для получения полиномов знаменателя, начиная с Bi(s)=s + 1
и Bi(s) =s2-i-3s+3, можно использовать рекуррентную формулу
Вп (s) = (2п -1) Вп_± (s) + Bn_2 (s).	(23)
Фактические характеристики, обеспечиваемые функциями, та-
булированными в табл. 2.5—1, отклоняются от идеальных как
по линейности фазы, так и по постоянству амплитуды, что
видно из рис. 2.5—1. Их можно сопоставить с идеальными харак-
теристиками путем оценки отклонения от идеальных ГВП в
Рис. 2.5—1. Откло-
нение фактических
характеристик ли-
нейно-фазовой
функции нижних
частот от идеаль-
ных
Таблица 2.5—1а
Коэффициенты полинома знаменателя линейно-фазовой (томсоновской) функции
цепи нижних частот вида ao+ctis+a2s2+ ... +an-isn-1+sn
с нормированным ГВП (при постоянном токе) 1 с
И	«0	а,	С,	и.	ч»	&S		Д7		в»
2	3	3								
3	15	15	б							
4	105	105	45	10						
5	945	945	4го	105	15					
б	10395	10395	4725	1260	210	21				
7	135135	135135	62370	17325	3150	378	28			
8	2027025	2027025	S45S45	270270	51975	6930	630	36		
9	эМвэ+гз	Э445э4гз	16216200	4729725	S4594S	135135	13860	990	45	
10	6S47iS075	6S472907S 310134625		91891800	18918900	2837835	315315	25740	14в5	55
Таблица 2.5—16
Положение полюсов и коэффициенты квадратичных
множителей (a0+ais+s2) линейно-фазовой (томсоновской)
функции цепи нижиих частот с нормированным ГВП
(при постоянном токе) 1 с
И	ПОЛЮСЬ!	а0	а1
2	-1.50000 ♦ J .86603	3.00000	3.00000
3	-1.83891 ♦ J 1.75438 -2.32219	6.45943	3.67781
4	-2.Ю379 ♦ J 2.65742	11.48700	4.20758
	-2.89621 ♦ J .86723	9.14013	5.79242
5	-2.32467 ♦ J 3.57102	18.15632	4.64935
	-3.35196 ♦ J 1.74266 -3.64674	14.27248	6.70391
6	-2.51593 ♦ J 4.49267	26.51403	5.03186
	-3.73571 ♦ J 2.62627	20.85282	7.47142
	-4.24836 ♦ J .86751	18.80113	8.49672
7	-2.68568 ♦ J 5.42069	36.59679	5.37135
	-4.07014 ♦ J 3.51717	28.93655	8.14028
	-4.75829 ♦ J 1.73929 -4.97179	25.66644	9.51658
8	-2.83898 ♦ J 6.35391	48.43202	5.67797
	-4.36829 * J 4.41444	38.56925	8.73658
	-5.20484 ♦ J 2.61618	33.93474	10.40968
	-5.58789 ♦ J .86761	31.97723	11.17577
9	-2.97926 ♦ J 7.29146	62.04144	5.95852
	-4.63844 ♦ J 5.31727	49.78850	9.27688
	-5.60442 ♦ J 3.49816	43.64665	11.20884
	-6.12937- ♦ J 1.73785 -6.29702	40.58927	12.25874
\0	-3.10892 ♦ J 6.23270	77.44270	6.21783
	-4.88622 * J 6.22499	62.62559	9.77244
	-5.96753 • J 4.38495	54.83916	11.93506
	-6.92204 ♦ J .86767	48.66755	13.84409
	-6.61529 ♦ J 2.61157	50.58236	13.23058
процентах (как показано на рис. 2.5—2) и амплитуды в децибе-
лах (как показано на рис. 2.5—3) [8]. Оба эти показателя суть
функции величины соТ, где Т — идеальное ГВП, которое и отклады-
вается по оси абсцисс. Так как произведение соГ безразлично, оно не
оказывает влияния на нормирование частоты. При применении
указанных оценок для определения требуемого порядка фильтра,
следует иметь в виду, что если должны удовлетворяться одновре-
менно требования по точности и ГВП и амплитуды, то надо ис-
пользовать ту оценку, которая дает более высокий порядок филь-
тра. Значения номиналов элементов цепи при реализации фильт-
ров Томсона различного порядка резистивно нагруженными лест-
ничными цепями без потерь можно найти в приложении А. '
На основе функций, определенных выше, можно получить дру-
гой набор функций цепи, имеющих линейную ФЧХ. Чтобы убе-
диться в этом, заметим, что функция цепи, имеющая вид
N (s) = Н/[т (s) + п (s)],	(24)
где m(s)—четная часть полинома в знаменателе, n(s)—его
нечетная часть, имеет следующую ФЧХ:
arg N (j со) = — arctg [п (j co)/j т (j со)].	(25)
Рис. 2.5—2. Ошибки группового вре-
мени прохождения, полученные при
использовании линейно-фазовых фун-
кций, приведенных в табл. 2.5—1
о 0,5 1,0	1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 0,0
СОТ
Рис. 2.5—3. Ошибка воспроизведе-
ния амплитудно-частотной функции,
полученная при использовании ли-
нейно-фазовых функций, приведен-
ных в табл. 2.5—1
Рассмотрим теперь, что произойдет, если сформировать функ-
цию цепи в виде
^вп(5) = // [«(«)—«(«)]/[«(s)+«(«)]•	(26)
Легко показать, что для такой функции |Ar(jco) | —Н, т. е. ам-
плитуда постоянна для всех частот. Эта функция называется
всепропускающей функцией цеци. Фазочастотную характеристику
такой функции легко найти:
argA/Bn(ito)=— 2 arctg [n (j co)/j m (j со)].	' (27)
Таким образом, форма ФЧХ всепропускающей функции иден-
тична форме исходной функции, если не учитывать масштабного
множителя 2.
Определение идеальной передачи, приведенное выше, можно
расширить, если рассмотреть, что произойдет при подаче импуль-
са на вход произвольной цепи, характеризуемой функцией цепи
W(j<o). Такой вид воздействия удобен тем, что его максимальное
значение можно распознать в форме выходного сигнала.
Реакцию на импульсное воздействие или импульсную иере-
ходную характеристику h(t) можно найти, если воспользоваться
обратным преобразованием Фурье:
h (0 = —— J N (j со) eicoZ den = — J | N (j со) | cos [со t + arg N (j co)] dco. (28)
2л _л $
В этом выражении интеграл будет иметь наибольшее значе-
ние, когда аргумент косинуса под знаком интеграла будет пос-
тоянным. Таким образом, максимальное значение h(t) достига-
ется, когда
[со t+arg N (j co)] = 0.	(29)
aco
Решая это уравнение, можно определить функцию времени
прохождения Z)(co)* произвольной цепи в виде
£) (со) = — —arg 2V (j со).	(30)
а со
Очевидно, что в рассмотренном выше случае идеальной пере-
дачи, когда arg7V(jco)=—соЛ>, получим, что £)(со)=/о, а для
всех частотных составляющих входного сигнала ГВП, равно 1ц
секунд. Из приведенного выше следует, что максимально линей-
ная (в начале координат) ФЧХ фильтров Томсона обеспечивает
(в начале координат) максимально плоскую характеристику вре-
мени прохождения. Таким образом, этот фильтр называют также
фильтром максимально плоского группового времени прохожде-
ния (МПГВП-фильтр).
2.6. Характеристики во временной области
В предыдущих параграфах этой главы были рассмотрены не-
которые свойства функций цепи в частотной области. В этом пара-
графе кратко рассмотрим некоторые из основных свойств этих
функций во временной области. В отличие от частотной области,
где можно было получить общие окончательные соотношения, свя-
зывающие реакцию и воздействие, во временной области реакция
должна быть определена отдельно для каждого вида воздейст-
вия. Ради простоты представления ограничимся лишь случаем,
имеющим наибольший практический интерес, а именно, реакцией
ФНЧ на ступенчатое воздействие. Этот случай особенно важен
при изучении импульсных и цифровых систем передачи данных.
Единичное ступенчатое воздействие e(t), прикладываемое в
момент t=0, можно записать в виде
е(О = ц(о{ = °’	(I)
“ Ее называют также функцией группового времени прохождения (ГВП).
где u(t)—единичная ступенчатая функция, показанная на
рис. 2.6—1. Реакция фильтрации на такое воздействие r(t) назы-
вается ступенчатой реакцией или переходной характеристикой.
Для идеальной функции цепи эта характеристика определяется
выражением (12) в § 2.5, которое теперь примет вид
r(t) = u(t—/о) ( =°’	(2)
I 1 , t > Lq.
Характеристика приведена на рис. 2.6—2. Фактически для не-
идеальной функции цепи нижних частот переходная характерис-
«	i(s)	о tB t(s)
Рис. 2.6—1. Единичное ступенчатое Рис. 2.6—2. Идеальная реакция на
воздействие	единичное ступенчатое воздействие
тика обычно имеет форму, более похожую на ту, что изображе-
на на рис. 2.6—3; из рисунка видно наличие колебательного про-
цесса, отмеченного на вершине ступеньки характерным выбросом
(перерегулированием). Он называется процессом затухания коле-
баний. По кривой на рис. 2.6—3 можно определить некоторые об-
Рис. 2.6—3. Фактическая реакция на единичное ступенчатое воздействие (пе-
реходный процесс)
Щеизвестные критерии качества, используемые для оценки пере-
ходной характеристики, такие, например, как время запаздывания
определяемое как время, требуемое для достижения реакций
Уровня, соответствующего 50% от окончательного установившего-
ся значения ГуСТ; 6о%—время, необходимое для достижения
уровня, соответствующего 10% от установившегося значения;
?90 % — время, необходимое для достижения уровня, соответству-
ющего 90% от установившегося значения. Используя две послед-
ние оценки, можно определить время нарастания
tr = foo%—^io%.	(3)
Другие интересные параметры переходной характеристики
следующие: ts — время установления (переходного процесса),
означающее время, необходимое для того, чтобы, затухая, оста-
точные колебания на вершине характеристики уменьшились до
определенной величины, обычно ±2% от установившегося зна-
чения; перерегулирование, которое обычно определяется макси-
мальной относительной величиной выброса (МОВ), заданной в
процентах:
МОВ = [(гтах-гУсТ)/густ] ЮО%.	(4)
В общем случае .можно сказать, что хорошие характеристики
во временной области соответствуют малым значениям tr, ts и
и МОВ.
Некоторые параметры переходной характеристики, определен-
ные выше, можно с некоторым приближением сопоставить с па-
раметрами в частотной области, определенными в § 1.3. Напри*
мер, для функции цепи нижних частот, у которой величина вы-
броса мала (меньше 5%), время нарастания tr и ширина полосы
пропускания на уровне —3 дБ сос связаны приближенным соот-
ношением
/гсосл?2,2.	(5)
Для иллюстрации этого соотношения рассмотрим схему цепи
на рис. 2.6—4. Ее передаточная функция по напряжению
Fa(s)/V1(s)==l/(sd-l).	(6)
Легко показать, что частота среза для нее равна 1 рад/с. Пе-
реходную характеристику можно определить как
о8(0 = (1—е-9«(0-	(7)
Из этого соотношения находим, что ^о% =0,1054s, а £9о%=
=2,3026 s. Следовательно, tr—2,1972 s, а £гсос равно также 2,1972,
что хорошо согласуется с приближенным значением 2,2, предска-
занным в (5).
Некоторые примеры переходных процессов для различных по-
рядков фильтров Баттерворта и Чебышева (амплитуда пульса-
ций 1 дБ), рассмотренных ранее в этой главе, показаны на рис.
2.6—5 и 2.6—6. Из этих характеристик можно видеть другую об-
щую черту, связывающую временную и частотную области: вы-
брос и время установления переходного процесса возрастают с
увеличением крутизны среза АЧХ. В результате этого функции
фильтрации более высокого порядка имеют более значительный
затухающий колебательный процесс, чем функции более низкого
порядка, причем у чебышевских функций он проявляется силь-
нее, чем у баттервортовских. Другое интересное свойство этих
функций состоит в том, что (для постоянного выбранного значе-
ния нормированной ширины полосы) их время запаздывания воз-
порядка, тогда
растает с возрастанием
почти постоянно.
Рис. 2.6—4. Пример це-
пи. Значения элементов
даны в омах, фарадах
как время нарастания
Свойства функций Бесселя (или фильтров Томсона), рассмот-
ренных в § 2.5, существенно отличаются. Переходные процессы
для них показаны на рис. 2.6—7, откуда можно видеть порази-
тельный результат, определяемый линейно-фазовыми свойствами
этих функций и выбранной для них нормированной постоянной
Рис. 2.6—7. Переходный процесс
(ступенчатая реакция) для функций
Томсона
Рис. 2.6—6. Переходный процесс
(ступенчатая реакция) для функций
Чебышева (амплитуда пульсаций
1 дБ)
времени прохождения. Прежде всего, это отсутствие выброса.
Кроме того, время нарастания уменьшается с увеличением по-
рядка фильтра. Очевидно, что функции Бесселя имеют значитель-
но лучшие временные характеристики, чем функции Баттерворта,
которые, в свою очередь, в этом отношении лучше, чем функции
Чебышева.
2.7 Выводы
В этой главе были рассмотрены несколько основных тем из
области аппроксимации. Первые три темы были связаны с мето-
дами аппроксимации АЧХ ФНЧ. Так, в § 2.1 обсуждались макси-
мально плоские- или баттервортовские, АЧХ. Характерным здесь
было то, что фактически аппроксимация проводилась для одной
частоты (ю = 0). Затем в § 2.2 была описана равноволновая или
чебышевская АЧХ; аппроксимация в этом случае проводилась
для всей полосы пропускания в целом. Наконец, в § 2.3 была опи-
сана эллиптическая, или кауэровская, АЧХ; аппроксимация при
этом проводилась как в полосе пропускания, так и в полосе за-
держивания. Из этих трех видов аппроксимации для заданного
порядка фильтра эллиптические характеристики обеспечивают
наиболее крутой срез на границе полосы пропускания и полосы
задерживания, затем в порядке уменьшения крутизны среза сле-
дуют чебышевские и баттервортовские характеристики. С другой
стороны, из этих трех аппроксимаций, как было показано в § 2.6,
баттервортовская аппроксимация обеспечивает лучшую форму
переходного процесса, затем, в порядке ухудшения, следуют че-
бышевская и эллиптическая аппроксимации. Хотя все эти аппрок-
симации первоначально определялись для функций цепи нижних
частот, их можно было легко преобразовать для функции цепи
верхних частот и полосовых функций, используя методы, изло-
женные в § 2.4. Томсоновская (или бесселева) линейно-фазовая
аппроксимация (максимально плоская характеристика группо-
вого времени прохождения) обеспечила значительно лучшую фор-
му переходного процесса по сравнению с тем, что давала баттер-
вортовская функция. Это показано в § 2.5.
Работ, посвященных теории аппроксимации, очень много, они
отражают широкий круг исследовательских интересов многих спе»
циалистов на протяжении ряда лет. Методы и техника, описанные
в этой главе, отбирались так, чтобы осветить наиболее полезные
и широко известные результаты, полученные в этой области. Ог-
раниченный объем книги не позволил рассмотреть многие другие
интересные, но не так широко используемые методы аппроксима-
ции, такие как обратная чебышевская, гауссовская и некоторые
промежуточные типы аппроксимации. Их изложение, однако,
можно найти в списке рекомендованной литературы.
Задачи
2—1 (§ 2.1). Для приведенных ниже функций цепи Nt(s} найдите амп-
литудно-частотную функцию |М (jw) |2 и покажите, что она равна отношению
четных поли-номО'В
a)	Na (sy^HUf+as+b) ;
б)	Nb(s)= /7(s + c)/(s2+ as-|- b) ;
в)	^(s) = ^/(s3+2s24-2s4-l).
2—2 (§ 2.1). Покажите, что приведенным ниже функциям цепи Ni(s) со-
ответствуют коэффициенты передачи, не зависящие от частоты.
Подобные функции называются всепропуекающими.
a) Na (s) = Н (s—fl)/(s+ а} ; б) Nj, (s) = Н (s2—as -j- £>) / (s2	as-)- b).
2—3 (§ 2.1). Найдите N(s), если она существует, для следующих функ-
ций:
a)	|JV(jto)|2= (1—ю2)/^4 —4со2-|-8) ;
б)	|W (j со)|2 = (1	<в2)/со (со4+ 1);
в)	(j со)|2 = (со4—2 со2 + 1)/(1 + со2) (со4—3 со2/2 + 25/16).
2—4 (§ 2.1). Для следующей ниже функции цепи N(s) определите зна-
чение постоянной а, при котором | /V (jco) | соответствует максимально плоской
АЧХ /V(s) = (s+l)/(s2+czs+l).
2—5 (§ 2.1). а) Покажите, что постоянная е ib (12) (см. § 2.1) может
рассматриваться как постоянная частотного нормирования и определите соот-
ветствующее ей выражение для частотного нормирования.
б) Используя данные примера 2.1—3, найдите частоту, при которой зна-
чение |W(jco| в (12) (для 8=1 и п=5) уменьшается на 0,5 дБ, и убедитесь
затем, что при удвоении указанной частоты знаменатель (12) имеет то же зна-
чение, что и выражение (19) (при п=5).
2—6 (§ 2.1). а) Определите передаточную функцию для ФНЧ, имеющего
максимально плоскую АЧХ с затуханием 1 дБ на частоте 2 рад/с и 30 дБ
на частоте 6 рад/с. Используя (12) в § 2.1, определите порядок аппрокси-
мирующей функции, а используя (15), найдите положение полюсов.
б) Уд остов ертесь в правильности результатов, полученных в п. а), исполь-
зуя рис. 2.1—4 и табл. 2.1—<3.
в) Полагая, что желаемая функция представляет собой передаточную пол-
ную проводимость и используя приложение А, найдите резистивно нагружен-
ную (/?=1) лестничную реализацию без потерь.
2—7 (§ 2.1). а) Найдите функцию цепи нижних частот с максимально
плоской АЧХ, имеющую затухание 3 дБ на частоте 1 кГц и 20 дБ на ча-
стотах выше, чем 2,5 кГц.
б) Используя приложение А, найдите реализацию этой функции в виде
лестничной цепи без потерь, нагруженной резистором с сопротивлением
1 кОм.
2—8 (§ 2.2). Определите полином Чебышева С7(а), используя соотноше-
ние, приведенное ,в (2), § 2.2.
2—9 (§ 2.2). Докажите, что величины е, п к v связаны соотношением
е ’ = (1/1/е2+1 4- 1 /е)1/п.
2—10 (§ 2.2). а) Определите передаточную функцию ФНЧ, имеющего
равноволновую характеристику с амплитудой пульсаций 1 дБ в полосе про-
пускания шириной 0 ... 2 рад/с и затухание не менее 30 дБ на частоте 4 рад/с.
Используйте выражения (1) и (3) из § 2.2 для определения порядка аппрок-
симирующей функции и выражение (12) для нахождения положения по-
люсов.
б) Подтвердите правильность результатов, полученных в п. а), используя
Рис. 2.2—5 и табл. 2.2—2.
в)Полагая, что желаемой .функцией является передаточная полная про-
водимость, и используя 'приложение А, найдите резистивно нагруженную
(/?=1) лестничную реализацию без потерь.
2—tl (§ 2.2). Определите минимально необходимый порядок п для
равноволновой функции с АЧХ, имеющей амплитуду пульсаций 0,5 дБ в по-
лосе пропускания 0 ... 1 рад/с и затухание 3,01 дБ на частоте не выше
1,1 рад/с.
2—12 (§ 2—2). Найдите положение полюсов и нулей функции цепи второго
порядка, имеющей равноволиовой характер с амплитудой пульсаций в пре-
делах 0 ... 0,29289 в полосе задерживания шириной 1 рад/с ... оо и монотон-
ный характер .в полосе пропускания шириной 0 ... 1 рад/с.
2—13 (§ 2—3). а) Найдите требуемый порядок функции цепи с макси-
мально .плоской АЧХ, затухающей на 1 дБ при частоте 1 рад/с и на 38 дБ
при частоте 1,5 рад/с.
б)	Выполните то же задание, но для .равноволновой функции.
в)	Выполните то же задание, но для эллиптической функции.
г)	Если исключить четный порядок (случай А) эллиптической функции,
какой порядок эллиптической функции потребуется?
2—14 (§ 2.3). а) Найдите эллиптическую функцию цепи нижних частот,
имеющую амплитуду пульсаций 1 дБ в полосе пропускания 0 ... 1 рад/с и за-
тухание не менее 50 дБ для всех частот выше 2 рад/с.
б) Для такой функции цепи определите величину мультипликативной по-
стоянной такой, чтобы максимальное значение амплитуды было равно еди-
нице.
2—15 (§ 2.3). Найдите лестничную без потерь реализацию цепи для эл-
липтической передаточной (по напряжению) функции цепи нижних частот,
имеющей амплитуду пульсаций 1 дБ .в полосе пропускания 0 ... 1 кГц и за-
тухание не менее 34 дБ на всех частотах выше 2 кГц. Фильтр должен иметь
двустороннюю (на входе и выходе) резистивную нагрузку 1 кОм.
2—16 (§ 2.4). а) Используя узкополосную аппроксимацию, найдите по-
ложение полюсов для полосовой функции цепи, имеющей равноволновую ха-
рактеристику шестого порядка с допуском в полосе пропускания 1 дБ. При-
мите ширину полосы, равной 0,1 рад/с, и среднюю частоты — 1 рад/с.
б) Сравните .полученные результаты с теми, что приведены в табл. 2.4—5.
Рис. 32—17. Значения элемен-
тов даны в омах, генри, фа-
радах
2—17 (§ 2.4). Цепь, схема которой показана иа рис. 3.2—17, имеет мак-
симально плоскую АЧХ ФНЧ с частотой среза на уровне —3 дБ, равной
1 рад/с. Желательно применить к этой цепи соответствующее преобразование
частоты, чтобы получить режекторную цепь со средней (геометрически) часто-
той 1 рад/с и шириной полосы 1/3 рад/с.
Указание. Постарайтесь использовать следующие процедуры.
а)	Сначала преобразуйте заданную цепь в цепь верхних частот (с часто-
той среза 1 рад/с на уровне — 3 дБ), затем примените • ФНЧ—ПФ-преобразова-
ние к нормированной по частоте цепи верхних частот;
б)	Сначала нормируйте по частоте заданную цепь нижних частот, затем
примените ФНЧ—ПФ-преобразовамие, а после этого ФНЧ—ФВЧ-преобразо-
вание. Если результирующие цепи получатся неодинаковыми, объясните при-
чину расхождений.
2—18 (§ 2.4). а) Используйте ФНЧ—ПФ-преобразование для нахождения-
функции цепи РФ четвертого порядка с максимально плоской АЧХ, со сред-
ней частотой 1 рад/с и шириной полосы 1 рад/с, ограниченной частотами, со-
ответствующими затуханию 3 дБ по отношению к уровню передачи на ча-
стотах, равных О и со в полосе пропускания. Выразите результат в виде от-
ношения полиномов.
б)	Решите приведенную выше задачу, используя узкополосную аппрокси-
мацию, сравните полученные результаты.
2—19 (§ 2.4). Режекторная цепь, схема которой дана на рис. 3.2—-19„
имеет максимально плоскую АЧХ в полосе пропускания. Средняя частота
3
Рис. 32—19. Значения элемен-
тов даны в омах, генри, фа-
радах
полосы задерживания равна 1 рад/с и ширина полосы (на уровне — 3 дБ от
максимального значения в полосе пропускания) КЗ рад/с. Найдите соответ-
ствующее преобразование частоты, необходимое, чтобы преобразовать ее в цепь
нижних частот второго порядка с максимально плоской характеристикой и
шириной полосы 1 рад/с.
2—20 (§ 2.4). Найдите функцию цепи четвертого порядка, имеющую амп-
литуду, изменяющуюся не более, чем на 1 дБ, в полосе пропускания 0,618 ...
... 1,618 рад/с, и имеющую нули (передачи) на частотах 0,3269 и 3,059 рад/с.
2—21 (§ 2.5). Определите, является ли выражение
А (со) = tg [arg Т (j со)] = (со6 — 2 со3—2 со)/(—2 со4—со2 + 2)
ФЧХ для какой-либо из функций цепи, приведенных ниже:
а)	Та (s) = (s+ l)/(s2 + s+ 1) (s2 + 2s+ 2) ;
6)	Tb (s) = (s2 —s + l)/(s2 + 2 s + 2) (s + 1) ;
в)	Tc (s) = (s— l)/(s2 + s + 1) (s2 + 2 s + 2) ;
r) Td (s)= (s+ 1) (s2 —2s-|-’2)/(s2 +s-|- 1).
2—22 (§ 2.5). Примените процедуру, указанную в примере 2.5—2, для
определения коэффициентов полинома знаменателя функции цепи третьего по-
рядка, имеющей максимально плоскую ФЧХ с наклоном —1. Проверьте прав-
ильность результата, используя табл. 2.5—1.
2—23 (§ 2.5). Используя выражение, приведенное в (22) § 2.5, опреде-
лите коэффициенты полинома знаменателя функции цепи для фильтра Томсо-
на четвертого порядка. Проверьте правильность результата, используя тайл.
2.5—1.
2—24 (•§ 2.5). Используя выражение, приведенное в (23) § 2.5, определи-
те коэффициенты полинома знаменателя функции цепи фильтра Томсона пя-
того порядка. Проверьте правильность результатов, используя табл. 2.5—1.
2—25 (§ 2.5). а) Определите требуемый порядок функции цепи, имеющей
ГВП 1 мс с ошибкой не больше 2,5% и амплитудными потерями не больше
3 дБ для ’Всех частот вплоть до 1500 рад/с.
б) Реализуйте указанную функцию цепи в виде передаточной проводимо-
сти, используя лестничную цепь без потерь с одним нагрузочным сопротивле-
нием 1 кОм.
2—26 (§ 2.6). Для функции цепи W(s) = (2s+3)/(s+l) (s+2) найдите вре-
мя нарастания tr и ширину полосы на уровне —3 дБ <ос и сравните произ-
ведение этих величин со значением, указанным в (5) § 2.6.
2—27 (§ 2.6). Решить задачу 2—26 для функции цепи вида N(s) —
= l/(s2+s+il).
3
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
Одна из проблем, с которой постоянно сталкивается разработ-
чик, состоит в оценке полученной реализации, особенно в срав-
нении с другими возможными реализациями, которые удовлетво-
ряют тем же самым техническим требованиям. Для того чтобы
сделать это, разработчик должен воспользоваться понятием чув-
ствительности фильтра. Под чувствительностью понимают меру
изменения некоторой характеристики цепи (или функции цепи),
которое произошло в результате некоторого отклонения одного
или нескольких элементов цепи от их номинальных значений. Да-
же если реализация цепи привлекательна с теоретической точки
зрения, она может быть практически бесполезной, если ее чувст-
вительность высока. Таким образом, при проектировании фильт-
ра разработчик должен быть заинтересован не только в том, что-
бы выбрать реализации, имеющие низкую чувствительность, но
и в том, чтобы минимизировать чувствительность тех реализаций,
которые он хотел бы использовать. В этой главе мы столкнемся
с примерами решения этих двух задач.
3.1. Относительная чувствительность
Для обозначения чувствительности используется символ S.
Кроме того, используются верхние индексы, чтобы указать, чувст-
ьвительность какого параметра оценивается, и нижние индексы,
иля указания того элемента цепи, который явился причиной из-
менения данного параметра. Если в качестве параметра взять у,
а элементом, вызвавшим изменения, считать х, то можно опреде-
лить относительную чувствительность следующим образом:
ду х — д(1пу)	(р
дх у дх/х д (In х)
Существует множество вариантов выбора параметра у. Им
может быть, например, функция цепи (как функция s или
о), или же в качестве него могут выступать положения полюсов
(нулей), определенные коэффициенты функции цепи, отдельные
параметры, такие как добротность Q функции цепи и т. д. Как
использовать различные типы чувствительности, будет показано в.
следующих параграфах этой главы. Здесь же рассмотрим неко-
торые свойства, характерные для любой чувствительности, опре-
деленной выражением (1). Эти свойства пронумерованы и сведе-
ны в табл. 3.1.1.
Свойства 1 и 2. Чувствительность любого произведения-
параметра на постоянную равна чувствитлеьности исходного пара-
метра. Чтобы показать это, запишем
cky d{ky)	х	d{ky)	ду	х	Qy
-—-	-- ~	-  Од;,
dx	ky ду	dx	ky
(2)
где k не является функцией x. Аналогично, S«fc3C=S^3C.
Свойство 3. Чувствительность к изменению обратной вели-
чины равна чувствительности к изменению исходной величины,
взятой с обратным знаком. Чтобы показать это, запишем
>у ду 1/х
’1/х-й(1/х) у
ду дх 1/х
дх д(1/х) у
ду х
дх у
(3)
Аналогично Sxlly=—Syx.
Свойства 4—9. Чувствительность произведения параметров
равна сумме чувствительностей отдельных параметров. Чтобы по-
казать это, запишем
У 2
д (У! Уг)	х = у2ду! х	У1,ду2 х
дх	угу2 дх	угуг дх , yty2
— х | дуа х __	। &у2
dx уг дх у2
(Ф
Распространяя это свойство, можно показать, что чувстви-
тельность параметра, возведенного в n-ю степень, равна произве-
дению показателя степени на чувствительность исходного пара-
метра, т. е. Synx=nSyx. Аналогично, Syxn =Syxln.
Свойства 10 и И. Чувствительность отношения параметров'
Равна разности чувствительностей исходных параметров. Исполь-
3Уя свойства 3 и 4, получаем
Syxdy* = Syxl + Sdy[ = S?—Sy\	(5))
Таблица 3.1—1
	Свойства функций относительной чувствительности
№ свойства	Соотношение
1	Sx!/ = SL=S? ; Л	rv-v	Л
. 2	S*=S*X=S** = 1 ;
3	% =5^= -S* ;
4	= Sv, + sv, . ™yi n
5	= 3 S^; 1=1
6	sf = nSy;
7	c*n_ 4kxtl-- И • c>x — n ,
8	S\= — Sy; xn nx
9	S™ = SX =-L; x	kxn	n
10	8Уг^У2 — Syi—Sys ;
И	sy =S* s?2; JC j -
12*	S? = S^I +jarg7s^^ ;
13*	Sarg« = (1/arg y) ImS^ ;
14*	Sp'^ReSj' ;
15	S^+z==—{ (ySyx 4-zSz) ; У-\-г	x	x n	In
16	Sx = S yi sxl 1 2 ya i=l	/ i=l
17	s'n4=-L- Syx; Iny x
* В этом соотношении у — комплексная, ах — вещественная величины.
Свойства 12—14. Чувствительность комплексного парамет-
ра также является комплексной величиной. Вещественная часть
является чувствительностью модуля, мнимая часть соответствует
чувствительности фазы, умноженной на фазу (предполагается,
что х вещественно).
•Пусть У — модуль у, а ср — фаза у. Таким образом, у=УИс-
пользуя (1) и свойство 4, получаем
s«'’=sr +Й’=й -й +j^7-sI + jфй. (в)
Табл. 3.1—1, кроме соотношений, полученных выше, содержит
и некоторые другие полезные формулы.
При синтезе пассивных или активных фильтров любого типа
неминуемо возникает проблема минимизации чувствительности.
Для случая, когда у является линейной функцией х, легко полу-
чить
4-s*=_LsHi-sn.	(7)
ах х	' '
В этом случае производная функция чувствительности легко
оценивается и не требует дифференцирования. Аналогичная ситу-
ация (хотя при этом получаются более сложные выражения) воз-
никает при нелинейной зависимости у от х (см. задачу 3—2).
3.2. Чувствительность функций цепи
В этом параграфе введем первую специальную функцию чувст-
вительности, соответствующую форме относительной чувствитель-
ности, определенной в (1), (см. § 3.1). В качестве параметра у
в этом соотношении выбрана функция цепи N(s). В качестве х
обычно выбирается какой-то активный или пассивный элемент
схемной реализации этой функции. Такая чувствительность назы-
вается чувствительностью функции цепи.1 Она определяется сле-
дующим образом:
$№(s) = б 7V (s) х
Х дх N (s)
Если функция цепи записана в виде отношения полиномов
A(s) и B(s), т. е.
7V(s) = A(s)/B(s),	(2)
то можно получить следующую удобную формулу (1):
S"(s) = х[Л' (з)/Л (s)-—B' (s)/B (s)l,	(3)
где A'(s) =дА (s)/dx; B'(s) =dB(s)/dx.
Рассматривая установившееся состояние при гармоническом
воздействии и применяя свойство 12 (см. табл. 3.1—1), находим
$N (j со) = (j со) | | • d arg ДГ (j co)	до
x	dx/x
1 Она часто называется классической чувствительностью или чувствитель-
ностью по Боде. Впервые она была представлена в работе Боде [9] в виде
соотношения, обратного данному.
Другую форму этого выражения, которая часто оказывается
полезной, можно получить при использовании таких понятий, как
частотные зависимости затухания а («а) и фазы р(со):
а(ю) = 1/1п |7V(j<o)|; 0 (cd) = argN (j co).	(5)
Используя их, можно записать
О (О) =___да (а) . . gp (<0)	„
х	дх/х J дх/х ’	' '
Таким образом, вещественная часть чувствительности дает из-
менение функции затухания, а мнимая часть — фазовую характе-
ристику, в обоих случаях по отношению к изменению нормиро-
ванного значения элемента.
Пример 3.2—1. Чувствительность функции цепи для пассивной R.LC-
цепи. В качестве примера вычисления чувствительности функции цепи рассмот-
рим последовательную /ДС-цепь (рис. 3.2—1). Для
°	----1---1--- этой цепи
Л=/	/?=/
у	Y (s) = s (l/L)/[s2 +s(R/L) +1/LC].	(7)
—-*-	C=l/3	_______________________________________________
Рис. 3.2—1. Схема ДЙС-цели, используемой в при-
о...	- I мере 3.2—1. Значения в омах, генри, фарадах
Применяя (3), находим
Sl(S) = — W + s (R/L) + 1/LC] ;
Sps> = (1 /LC)/[s2 + s {R/L) + 1 /LC];	(8)
SK(S) = (—« VW + «(R/L) + 1/LC].
Анализируя далее чувствительность к R путем подстановки номинальных
значений элементов, показанных на рис. 3.2—1, и полагая s=j(O, получаем
SV(j <В) =	_|_ ^2] + j [—<0 (3 — <й2)]/[(3_£й2)2 _|_ w2], (£))
Графики модуля и фазы функции цепи для значений R, равных 1 и
1,1 Ом, и соответствующей чувствительности (для R—1 Ом) показаны на
рис. 3.2—2. ф
Важно уяснить, что соотношения, определяемые с помощью
функций чувствительности, являются точными только тогда, ког-
да рассматриваются бесконечно малые приращения; тогда, ис-
пользуя (4), для случая x=R можно записать
d arg N (j ®) = Im 5$(i Q) dR/R;
d\N (j n>)|/|7V(j ®)| = ReSg(J °” dR/R.	(10)
Если используются конечные приращения, т. е. если
d arg//(уы), d|lV(j <о) | и dR в (10) заменяются на AR, A arg IV(j <о),
A]Ar(jco)|, то указанные соотношения нужно рассматривать как
приближенные. В подтверждение этого отметим, что если оце-
нить чувствительность к R, заданную выражением (9), на частоте
й=2 рад/с, то получим SRy<i2>=— 0,8+j 0,4. Если же фактически
изменим .R на 10%, т. е. например, до величины 1,1, и рассмотрим
фактические изменения модуля и фазы F(j2), то получим значе-
ние чувствительности 0,747+j 0,369. Как только процентные из*
менения /? становятся меньше, данные значения приближаются к
указанным выше.
Другое интересное наблюдение, касающееся функций чувст-
вительности, связано с обобщенной полосовой функцией цепи вто-
рого порядка. Она имеет вид
N(s) = a1s/(s2 + b1s + b0).	(Н)
Рис. 3.2—2. Чувствительности функций цепи, приведенной на рис. 3.2—1:
модуль функции цепи и вещественная часть чувствительности для этой
Функции; б —фаза (аргумент) функции цепи и мнимая часть чувствительности
для этой функции (фазы приведены в радианах)
Ее чувствительность по отношению к комплексной частотной
переменной s, как это нетрудно видеть, равна
Sw (s) = s ( 01_______2s + ^i	\ =	—s2 + bo	/ j 2)
\ CjS s2 + s + 60 ) s2Ьг sb0
Оценивая значение чувствительности на резонансной частоте,
т. е. в точке s=j (/Б? находим * 1
SsW (s)|s=j	= S£(i = -j 2	= -j 2 Q, (13)
где второй член получается как результат применения свойства 1
(см. табл. 3.1—1), а добротность цепи Q определяется как2
(?=Ш-	(14)
Таким образом, чувствительность функции цепи по отношению
к комплексной или вещественной частотной переменной является
чисто мнимой в точке резонанса. Применяя (4) к указанной выше
функции цепи, получаем
д[/У (j со) |	=0. dargAT(jcd) I	= — 2Q.	(15)
а со J(0=Vb7	’ асо/ш
Эти результаты показаны на рис. 3.2—2.
Анализ чувствительности функции цепи, проведенный в этом
параграфе, легко распространить на случай, когда определяется
влияние на функцию цепи более чем одного параметра. В этом
случае выражение (1) в § 3.2 можно записать в виде
4^- = d [lnAT(s)] = § S"(s)	,	(16)
N (s)	£=i 1 xt
где n — число рассматриваемых элементов. Используя (4), мож-
но заметить, что
4|7У(]'и)| =ype^(|M) dxt	,j~
Af(jw) Д Xi xi '
d arg N (j (n>) = § Im S" <J “»(18)
«=1	xi
Таким образом, в (16) дана компактная оценка изменения как
модуля, так и фазы. В качестве иллюстрации этого, можно найти
для примера 3.2—1 чувствительность ко всем трем элементам в
точке резонанса (со= ]/3):	=—j.	VT) =
= — j ГЗ; Sc™	= — j J/3.
1 Добротность Q более лолно обсуждается в § 3.5.
1 В (ряде отечественных работ, например в [1*], добротность определяет-
ся как 2"1/&7Д1. — Прим. пер.
В результате получаем
dY(s)
d lr(i-l/3-)-1 - + j d [arg Y (j ГЗ )] =
s=jVT ir(jV3)l
=(-1)^+(-]Кз)г4^+(-]/з) 4^.
C
(19)
Используя результаты, представленные в (19), можно указать
на другие особенности, связанные со схемой на рис. 3.2—1, а имен-
но: в точке резонанса изменение значений L или С не влияет на
модуль функции цепи и максимальная чувствительность по отно-
шению к R равна единице. В § 3.6 рассмотрим многопараметриче-
скую чувствительность более подробно.
Для случая влияния многих параметров имеется и ряд дру-
гих полезных применений чувствительности функций цепи. В
первую очередь это относится к определению отклонения АЧХ
данной реализации цепи от номинальной в расчете на худший
случай, когда элементы цепи имеют предписанный допуск. Если
обозначить номинальное значение каждого из п элементов х как
хном, то можно определить поле допуска следующим неравенст-
вом:
4°“(1— 8)<хгС4ом(1+8), 1 = 1,2........п. (20)
Из (16) видно, что худшим случаем будет такой, когда все
элементы примут свои крайние верхние или крайние нижние зна-
чения, что соответствует граничному значению поля допуска е.
При этом, конечно, предполагается, что рассматриваются эффек-
ты первого порядка. Следовательно, можно определить чувстви-
тельность модуля в расчете на худший случай WI Wi®) I с помо-
щью соотношения
W(j<o) |
1=1
Максимальное отклонение от номинальной характеристики,
т. е. характеристика, которая получилась в результате того, что
элементы приняли свои крайние значения, определяется в резуль-
тате как eTV71 Я6®> I. Для других значений элементов цепи хг-, удо-
влетворяющих (20), АЧХ будет лежать в определенных грани-
цах, как показано на рис. 3.2—3. Аналогичную процедуру можно

(21)
Pile. 3.2—3. Чувствительность
модуля функции цепи в расче-
те .на худший случай:
I — верхний предел максимального
отклонения; 2 — номинальное зна-
чение; 3 — иижний предел макси-
мального отклонения
использовать для определения фазовой чувствительности в рас-
счете на худший случай.
Для некоторых классов цепей можно показать, что амплитуд,
ная чувствительность для наихудшего случая имеет нижнюю гра-
ницу. В качестве примера рассмотрим цепь, пассивными элемен-
тами которой являются сопротивления, емкости и идеальные тран-
сформаторы, а активные элементы представлены гираторами
КОС, ИТУТ, ИНУН, ИТУН и ИНУТ1. Для такого класса цепей
можно показать, что для любой безразмерной передаточной
функции T(s)
Ssl.(s) = 2sr(s),	(22)
i 1
где Х{ включает только такие пассивные элементы, как сопро-
тивление и емкости, и такие активные элементы, как ИНУТ и
гираторы. Это выражение можно переписать в виде
2!S'rtl“>'=2S'r(Jfi>)l.	(23)
» 1
Применяя (21) к полученному выше, имеем
т (i 1 = 3-|S'“>11 > IS Siт ° 1 I = |2S'T(J 1 |.	(24)
i 1	I 1
Сравнивая первый и последний члены этого выражения,
можно определить нижнюю границу LW 1	1 чувствительности
модуля в расчете на худший случай [10]:
LUZinio)|==|2Si)7(jfi>)i |_	(25)
Из правой части этого уравнения следует, что нижняя грани-
ца зависит только от функции цепи T(s) и, таким образом, не
зависит от конкретной техники синтеза, используемой для реали-
зации функции цепи. Аналогично этому можно получить нижнюю
границу для фазовой чувствительности, рассчитанной на худший
случай.
Чувствительность функции цепи применяется еще и тогда,
когда хотят использовать машинные программы оптимизации для
выбора значений элементов так, чтобы одновременно минимизи-
ровать чувствительности цепи к изменению всех элементов. Про-
цесс оптимизации минимизирует, как правило, скалярную функ-
цию, указывая уровень, достигнутый при минимизации. Далее,
1 Используя параметры передачи четырехполюсника (или параметры цеп-
ной матрицы.— Прим, пер.), а также обобщенные параметры (прим, ред.),
определенные с помощью соотношений
rvns)] гл Bl v2 (S)1
bi(s)J |с ol L —4 (s)J ’
эти элементы можно определить следующим образом: гиратор: Л=£)=0, С>0,
В>0; КОС (конвертор отрицательного полного сопротивления): В=С=0;
(Л/Р)<0; ИТУТ Л=В=С=0, £)=/=0; ИНУН: В=С=Г=0, Л^С; (см. такжр
§ 6.1); ИТУН: Л=С=Р=0, В#=0; ИНУТ: Л=В=О=0, Су=0.
как правило, оценивают среднеквадратичную сумму вкладов от-
дельных функций. Следовательно, можно определить квадратиче-
скую амплитудную чувствительность Q | TVfjto) | следующим выра-
жением :
qHU о)| = (ReS*(1 ш))2-	(26)
i=l
Скалярную оценку можно также использовать для одновре-
менного оценивания амплитудной и фазовой чувствительности пу-
тем определения квадратичной чувствительности’ в виде
ЧП	lc^( j ®)|2
XJ xi xi	* xi *
£=1 11
(27)
Примеры таких типов чувствительности приведены в последую-
щих главах.
Использование функций чувствительности дает возможность
исследовать важные свойства широко используемых двусторонне
нагруженных лестничных фильтров без потерь, приведенных в при-
ложении А. Для таких фильтров можно показать, что на лю-
бой частоте максимального усиления в полосе пропускания
источник доставляет максимум полезной мощности в нагру-
зку. Таким образом, для любой такой частоты любые изменения
как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения номи-
нальных значений любых элементов L или С могут привести
только к уменьшению усиления. В результате этого, если рассмат-
риваются эффекты только первого порядка, чувствительность ам-
плитуды, т. е. вещественная часть функции чувствительности, дол-
жна быть равна нулю [12].
В качестве примера рассмотрим широкополосный ПФ (рис.
3.2—4,а). Обозначим его передаточную функцию по напряжению
через N(s) = V2(s)/Vi(s). Как видно из АЧХ фильтра, приведен-
ной на рис. 3.2—4,6, его средняя частота равна 1 рад/с, ширина
Рис. 3.2—4. Широкополосный ПФ четвертого порядка:
а—'схемная реализация; значения элементов даны в омах, генри, фарадах;
б — АЧХ фильтра.
1 Впервые предложена Скеффлером [41] и иногда называется чувствие
Тельностьк> по Скеффлеру.
полосы на уровне — 3 дБ также равна 1 рад/с. Фильтр имеет ха-
рактеристику Баттерворта (максимально плоскую). Следователь-
но, частота его максимального усиления совпадает со средней
частотой 1 рад/с. Графики чувствительности S 1	1 по отноше-
нию к изменению различных элементов приведены на рис. 3.2—5.
Наличие нулевой чувствительности на средней частоте хорошо
видно из графиков. Следует заметить, однако, что как только по-
лоса пропускания такого фильтра сужается, чувствительность мо-
дуля становится выше.
Рассмотрим, например, фильтр, аналогичный рассмотренному
выше, но с другими значениями номиналов элементов: Л2 = С4=
= 101/2 и Cs=L5= J/2/10. Амплитудно-частотная характеристи-
ка такого фильтра приведена на рис. 3.2—6. Средняя частота так-
же равна 1 рад/с, но фильтр теперь стал узкополосным с шири-
ной полосы, равной 0,1 рад/с. Графики чувствительности S1 w(i“’ •
по отношению к различным элементам, показаны на рис. 3.2—7.
Сравнивая эти графики с предыдущими, приведенными на рис.
cj, рад/с
Рис. 3.2—6. Ампли-
тудно-частотная ха-
рактеристика узкопо-
лосного ПФ
Рис. 3.2—7. Графики
чувствительности
S 1	1 для узкопо-
полоспого ПФ
3 2_5, заметим, что масштаб по оси ординат у них различный. Из
графиков можно видеть, что, несмотря на увеличение максималь-
ного значения чувствительности на краях полосы пропускания,
чувствительность на резонансной частоте осталась равной нулю.
3.3.	Чувствительность коэффициентов
В общем случае для любой активной или пассивной цепи с со-
средоточенными элементами
/V ($) = Л = Qo + «1 s + g2s2 + • • • + s'"	( j j
B(s) fco + ^s + ^sa-t-.-. + ^s"
где коэффициенты и, и — вещественные и зависят от элемен-
тов цепи Хг. Таким образом, для любого произвольного элемента
цепи х можно определить чувствительности, которые по форме
являются относительными и называются чувствительностями ко-
эффициентов, например
Saxi = ^L — - sbxi=^-~.	(2)
дх at	дх bi
Известно, что по форме зависимость функции цепи от любого
из элементов является билинейной зависимостью1. Следовательно,
N[s), представленную в (1), можно записать в виде
N (s) = A (s)/B (s) = [F (s) + х F («)]/[ С (s) + xD (s)],	(3)
гДе C(s), D(s), E(s) и F(s) —полиномы с вещественными коэф-
фициентами, которые не являются функциями элемента цепи х.
Это так, вне зависимости от того, что понимается под х, пассив-
ное сопротивление или емкость, коэффициент усиления какого-то
усилителя или управляемого источника и т. д.2. Например, для
цепи, показанной на рис. 3.2—1, используя указанные номиналь-
ные значения, можно записать
V (s2 + 3) + Fs s2+(i/L)(s + 3)	' (S2 + S) + 1/C *
Заметим, что для того, чтобы быть уверенным в однозначнос-
ти представления, мы уже использовали в некоторых таких слу-
чаях элементы, имеющие обратное значение, такие как 1/С или
1/F для переменной х. На основании свойства 3 табл. 3.1—1 это
приводит лишь к изменению знака полученной в итоге чувстви-
тельности на минус.
Из-за наличия билинейной зависимости, указанной выше, су-
ществуют только два вида зависимости, связывающие коэффици-
ент вг (или bi) с элементом х. Первая из них — зависимость ви-
да	в этом случае на основании свойства 2 табл. 3.1—1
* Доказательство этого приведено в [13].
2 В случае взаимной индуктивности или постоянной гирации гиратора х
фактически может быть квадратом значения данного элемента.
SKai=l. Как пример этото, для цепи на рис. 3.2—1 из выраже-
ния (7), § 3.2 находим чувствительности, показанные в табл.
3.3.1. Заметим, что эти значения не единственны. Например, если
умножить числитель и знаменатель функции цепи на LC, то полу-
чим отличный от приведенного набор чувствительностей коэффи-
циентов. Таким образом, для достижения единственности будем по-
лагать, что коэффициент при старшем члене полинома в знаменате-
ле нормируется так, чтобы быть равным единице.
Таблица 3.3—I
Чувствительность коэффициентов для функции (7), § 3.2
Элемент	Коэффициенты			
	Ьо	bl	^2	
R	0	1	0	0
L	— 1	— 1	0	—I
С	— 1	0	0	0
Вторая возможная зависимость для коэффициента а, (или
bi) — ai = ko+kix. В этом случае Sxai = k1x/('ka+kix). В этом по-
следнем варианте можно рассмотреть два случая: если знаки
членов k0 и k\X одинаковы, то максимум чувствительности мень-
ше, чем единица, если же они различны и их величины близки,
то чувствительность может быть больше (и много больше) еди-
ницы.
Пример 3.3—-1. Чувствительность коэффициентов активных iRC-фильтров.
Рассмотрим цепь, показанную на рис. 3.3—-1 (треугольником на ней обозначен
идеальный ИНУН с коэффициентом усиления К). Передаточная функция по на-
Рис. 3.3—1. Схема активного RC-
фильтра, анализируемого в примере
3.3—1. Значения элементов даны в
омах, фарадах
отряжению для этой цепи (в которой в качестве переменной рассматривается
только к, a ^i=c,= l)
V2(s)/V1(s) = K/[sa + (3—K)s+ 1].	(5)
Из (1) и (2) найдем, что
W-Ю; S£’=1-	(6)
Чувствительность всех других коэффициентов по 'отношению к К,, равна
нулю. Из выражения (6) видно, что если К->3, то SbiK^-oo. ф
Следует заметить, что в случае, аналогичном рассмотренному
в предыдущем примере, бесконечная чувствительность не означа-
ет бесконечно большого изменения значения данного коэффициен-
та. Скорее это результат деления на нуль (т. е. то значение коэф-
фициента, которое он принимает, когда К=0). В указанном слу-
чае имело бы больший смысл использовать в качестве меры из-
менения ненормированную чувствительность коэффициентов1
USaxi = -^i-
дх/х
используя которую можно вычислить изменение данного коэффи-
циента как с1аг=иЗха1 . Для приведенного выше примера
х
и5ь*к=—К. Все случаи вычисления чувствительности коэффици-
ентов, описанные выше, собраны в табл. 3.3—2.
Чувствительность коэффициентов, определенную в этом пара-
графе, легко сопоставить с функциональной чувствительностью,
введенной в предыдущем параграфе, путем подстановки выраже-
ний (1), (2) в выражение (3), § 3.2. В результате получаем
SNX^ = (3 Sax^	/ А (s)— (/В (s).	(7)
\ £=0	//	\£=0	//
Таблица 3.3—2
Соотношения для чувствительности коэффициентов
Случай	Форма, tZj	Ограничение	«к	ex	
1	kx		1	1	kx
2	ko + /ггх	ko и kix имеют одинако- вый знак	ktXl [*о + kpc)	<1	ktx
. 3	ke + klX	to и kix имеют противо- положный знак	k\X (Ао + kpi}	>1	kpc
Используя, например, выражение (7), § 3.2, получаем соотно-
шение
SY (s) = —1(1/0 s _ (-l)(l/LC) + (—1) (J?/L) s
L	s/L	s2 + 6(^/L) + l/LC
которое после упрощений согласуется с результатом, приведен-
ным в (8), § 3.2. Часто оказывается легче получить таким спо-
собом классическую чувствительность, особенно, если есть встро-
енные функции алгоритмического языка программирования.
1 Этот вид выражения чувствительности именуется полуотноснтельиой чув-
ствительностью.
3.4.	Ненормированная чувствительность корней *
Один из наиболее значимых критериев, используемых для оп-
ределения того, как свойства цепи изменяются при изменении не-
которых элементов — определение изменений положения нулей и
полюсов функций цепи, т. е. изменений корней полиномов числи-
теля и знаменателя, вызванных изменением номиналов элемен-
тов. Можно определить ненормированную (полуотносительную)
чувствительность корней следующим образом:
= USzxi = -^-
дх/х	дxjx
(1)
где pi и Zi — полюсы и нули заданной функции цепи. Так как оба
эти типа чувствительности относятся к корням полиномов, можно
более подробно остановиться только на чувствительности полю-
сов. Анализ чувствительности нулей аналогичен.
Пусть B(s) —полином знаменателя функции цепи A(s). Учи-
тывая наличие билинейной зависимости, рассмотренной в § 3.3,
можно представить зависимость этого полинома от любого пара-
метра в виде
B(s) = C(s)+xD(s),	(2)
где C(s) и D(s)—полиномы с вещественными коэффициентами,
которые не зависят от х. Проводя оценку (2) в любом полюсе
Pi функции N(s), получаем
B(pi) = C(pi)+xD(pi) = 0.	(3)
Чтобы определить влияние приращения х на рг в этом равен-
стве, можно заменить х на х+Дх, а рг на pt+Api- Используя раз-
ложение в ряд и ограничиваясь при этом членами первого поряд-
ка, можно заметить, что C(s + As) = C(s) + AsC'(s), где C'(s) =
=dC(s)lds. Аналогично, Z)(s+As) =D(s) -pAsD'(s). Подставляя
этот результат в (3), получаем
С (pi) + &PiC (р£) -I- (х 4- Д х) [D (р^ + AptD' (рг)] = 0.	(4)
Учитывая только члены первого порядка, это выражение мож-
но представить в виде
Д pt/A x=—D (pt)/В' (pt).	(5)
Устремляя х к нулю, в пределе будем иметь
USPi = др‘ — —xD (pd
дх/х В' (pt)
(6)
что и является основным соотношением для определения ненор-
мированной чувствительности полюса. Рассмотрим пример.
Пример 3.4—1. Ненормированная чувствительность полюсов активного
RC-фильтра. В качестве иримера вычисления такой чувствительности рассмот-
рим функцию цепи, приведенную в (5), § 3.3. Полюсы этой функции
₽!=-₽* = (К — 3)/2 + j V1 — (3—К)«/4.	(7)
' Из выражения (1) или (6) находим
US% = К/2 + j [7< (3 -/0/4]/У1—(3—702/4= (US%)*	(8)
где чувствительности комплексно-сопряженные, так как и полюсы комплексно-
сопряжённые. Далее, если номинальное значение К равно 2, то pi,2=—0,5±
0,866 и Z7Sp>k= (Z7Sp2K)*=l+j 0,577. Используя это значение чувствительно-
сти, можно сделать вывод, что 10%-«ые изменения К (т. е. К фактически мо-
жет принимать значение ,до 2,2) приводят к Л/ч=0,1+j 0,0577; т. е. полюсы
сдвигаются вверх и вправо, причем изменение вещественной части почти в
2 раза больше, чем изменение мнимой части. Окончательное значение pi, полу-
ченное на основе расчета чувствительности, равно —0,4+j 0,924. Точное значе-
ние pt легко .найти, и оно равно —0,4+j 0,9165. Чем меньше изменения К, тем
более точно совпадают результаты. ♦
Нормированная чувствительность корня эффективно определя-
ет траекторию изменения положения корня относительно задан-
ной его позиции в зависимости от значения конкретного элемен-
та. Для функции цепи второго порядка такая траектория всегда
будет окружностью или прямой линией. Некоторые типичные тра-
ектории для различных элементов цепи, рассмотренной в приме-
ре 3.3—1, приведены на рис. 3.4—1 (показана только верхняя
половина комплексной плоскости).
Рис. 3.4—1. Траектория изменения положения полюсов
параметров:
а—R на рис. 3.2—1; б — L на рис. 3.2—1; в —С иа
рис. 3.3—il.
цепи при изменении ее
рис. 3.2—•!; г — К на
Ненормированную чувствительность корня легко сопоставить
с чувствительностью коэффициентов, введенной в § 3.3. Чтобы
показать это, определим полиномы в (2) следующим образом:
C(s) = c0 + c1s + c2s2 + .-;
D(s) = d0 + diS + d2s2 + ...	(9)
Тогда полином B(s) в (2) можно записать в виде
= + M +	— = (c0 + xd0) + (c1 + xd1)s + (c2 + xd2)№ + ...
(Ю)
Другой формой для D(s), как легко видеть, будет
:	£)(s) = ^o._|_£h_s4-^2.s2 4_...=
дх дх дх
-^Sbx° + -—S**s+-—Sxss2 + ...	(Ц)
XX	X
Полином В'(s) также легко найти, он имеет вид
В' (s) = Ьг + 2ЬЪ s3 b3s2...	(12)
Подставляя (11) и (12) в (6), получаем
—	Sxl
------------
2 (*' + 1) s*
i=0
(13}
Определение чувствительности, данное в (6), применимо только
к простым корням В (s), так как если р$ является кратным корнем,
то В,(рг)=0, и, следовательно, чувствительность будет бесконеч-
но велика. Это не означает, конечно, что следствием изменений
элемента х явятся бесконечно большие изменения полюсов. Что
это означает фактически, можно увидеть, если рассмотреть,
функцию цепи JV(s) с полиномом в знаменателе вида (2), заме-
нив х на х+Ах. После этого, решая уравнение (14), находим но-
вые корни
C(s) + (x + Ax)D(s) = 0.	(14)
Чтобы сделать это, определим вначале функцию
G(s) = xD(s)/fi(s).	(15)
Используя эту функцию, можно переписать (14) в виде
1 + (Л х/х) G (s) = 0.	(16)
Очевидно, что полюсы G(s) те же самые, что и для N(s).
Следовательно, полагая, что полюсы простые, можно записать
для G(s) разложение на простые дроби вида
п 1(АР)
1 +^р),
4=1 S----Pi
(17)
где верхний индекс используется для того, чтобы показать, что
вычет относится к полюсу, и где член Ко имеется только тогда,
когда порядок D(s) тот же что и порядок B(s). Для значений s
в окрестности полюса рг доминирующим в разложении является
i-й член. Таким образом, из (17) находим
lim [1+ASg(s)]^1+^-^lL=14-AL_^lL = o,	(18)
S-»P£ L X |	X s—Pi	x Apj
где вместо (s—рг) подставлено Дрг-. Устремляя Ах к нулю во
втором члене последнего преобразованного выражения (18), по-
лучаем
GSpi = -^-=—^р).	(19)
дх/х
Таким образом, вычеты G(s) равны чувствительности в полю-
сах, взятой с обратным знаком.
Рассмотрим теперь случаи, когда в точке, соответствующей
pi, расположен полюс кратности k. Второй член последнего пре-
образованного выражения (18) примет теперь вид
Г Air . Kff
X Л Pl (Л Pl)2	(APi)fe
(20)
и может быть далее переписан в виде
(Ар/+ktf> (A P1)k-'+л!2р) (А Р1)к~2 +... + к$] = 0.	(21)
х
Решение этого уравнения k-ro порядка дает значение Api,
т. е. корень кратности k расщепляется на k простых корней. Для
малых значений Api находим
APi = (
— Ах
х	/
(22)
Таким образом, новые простые корни (для малых изменений
х) располагаются на окружности вокруг р1 на равном угловом
расстоянии. Ниже приведен соответствующий пример.
Пример 3.4—2. Активный iRC-фильтр с двукратным полюсом. Как при-
мер преобразований при наличии кратного корня, рассмотрим функцию цепи,
заданную в (5), § 3.3. Для номинального значения К=1, используя обозна-
чения (2), имеем B(s) =s2+2s+l, C(s)=s2+3s+l и D(s)=—s. Таким обра-
зом, существует двукратный полюс pi =—1. Из (17) получаем
G (з) = — s/(s+ I)2 = — 1/(з+ 1) + l/(s + I)2-	(23)
Следовательно, №)i2= 1 и Api=]/”—ЛА- Для ЛК=0,01 получаем корни
—l±j0,l, тогда как для ДА=—0,01 корни смещаются в —0,9 и —1,1. Эти
приближенные положения полюсов пока- заны на рис. 3.4—2. ♦	) Рассуждения, аналогичные тем, что были приведены выше, справедливы и для нулей функции к"0<93	№ 0,99 vz _А	/М
цепи N (s) =А (s)/B(s) с полино-_у) Рис. 3.4—2. Изменение положения двукратного полюса (см. пример 3.4-2)	-0,9 К=1 '		-jo,t
мом в числителе A (s) —E(s) +xF(s). Если представить (в случае
простого нуля)
Н (s)	=	(24>
Л(з) i=l 3-------Zf
(где верхний индекс (z) используется для того, чтобы показать,
что вычеты относятся к нулям), то выражение для чувствитель-
ности нулей примет вид
USzxi =	(25)
дх/х
Аналогично, для нуля в точке Zi кратности k получаем (для
малого Дх)
Д2,=(—
где A(z)ife — коэффициент при старшем члене в разложении для
Zi в H(s).
Функции G(s) и H(s), определенные выше, могут быть ис-
пользованы для того, чтобы сопоставить ненормированную чув-
ствительность корней, рассмотренную в этом параграфе, с функ-
циональной чувствительностью, определенной в § 3.2. Используя
для функции цепи общую билинейную форму, получаем
N(s) = A (s)/B (s) = [Е (s) + х F (s)]/[C (s) + x D (s)],	(26)
а используя (3), § 3.2, находим
S"(s) = xF (s)/A (s)—xD (s)/B (s) = H (s)—G (s).	(27)
Подставляя G(s) и H(s) из приведенных выше равенств, по-
лучаем (для простых корней)
П Г/С Pj т TJQZi
------------S	+	(28)
£=1 Pi	i=l S 2£
Таким образом, мы установили, что классическую чувстви-
тельность можно представить взвешенной суммой ненормирован-
ных чувствительностей корней.
3.5.	Чувствительность Q, и нормированная
чувствительность корней
При рассмотрении характеристик цепи в установившемся со-
стоянии при гармоническом воздействии оказывается, что функ-
ции чувствительности, определенные в (4), § 3.2, слишком гро-
моздки для широкого использования, так как они определяют ха-
рактеристики цепи во всем диапазоне частот. Это действительно
так в случае ПФ, когда более целесообразно использовать крите-
рий, учитывающий резонансную, т. е. частотно-избирательную
природу таких функций. Такими критериями являются, прежде
всего, частота резонанса соп, на которой располагается пик АЧХ,
и относительная острота, или коэффициент качества этого пика
(добротность). Последняя величина определяется как
Q^ujBW,	(1)
где BW — ширина полосы, определенная как разность между ча-
стотами, на которых амплитуда функции цепи уменьшается на
три децибела по отношению к ее максимальному значению на
частоте <ои. Для часто встречающегося случая цепей второго по-
рядка эти две величины можно использовать для определения
обобщенной полосовой функции цепи
N(s}=^_=_______*-----=______________
£ (s)	s2 + Ьг s -}- b0	s2 s (con/Q) и^’
где HQ/tdn — усиление на частоте резонанса (s=j©n). Величины,
приведенные выше в выражении (2), связаны с положением по-
люса ро и другими величинами с помощью соотношений
। •	—1 •	[ и ! bi V
Ро — сто + Jюо — Н V/ Ьо—~
ю", 4-1^.тЛ4П2_1;	}	(3)
2Q J 2Q
Q = |po|/2jcroj =(оп/2|ст0| = Уьо/Ь1; ап = УЬ0. J
5®
Используя эти величины, можно определить чувствительности
Q и (On-
__ д Q/Q .	__ dcon/con	(4Y
dxlx ’	Х дх]х
Очевидно, что они являются относительными. Для звеньев-
второго порядка приведенные чувствительности легко оценить,
используя их выражения через чувствительности коэффициентов
в соответствии с (3) и формулами преобразований, приведенными
в табл. 3.1.—1. В результате получаем
S« = S*»/2-S^; S>^S^/2.	(5>
Тогда для случая ПФ второго порядка вещественную часть
функциональной чувствительности, рассмотренной в § 3.2, кото-
рая определяет чувствительность модуля функции цепи, можно
выразить через чувствительности Q и wn, причем имеют место
два важных случая [14]. Первый из них соответствует резонансу
((о=<0п), для которого можно показать, что
S]Л' (J"n) I = Re	ап) = S^—S^ .	(6>
Второй случай соответствует частотам на уровне спада — ЗдБ
(о3дБ, которые определяют полосу пропускания:
(i <о3дБ) I = Re	"здБ)да _QS“n + (s« —S“n )/2.	(7>
Пример 3.5.—1. Чувствительности Q и а>п для RLC-цепи. В качестве
Примера определения чувствительности Q и с помощью табл. 3.3—1 для'
чувствительности коэффициентов, рассмотрим цепь, схема которой приведена
.на рис. 3.2—1. Используя соотношения (5), находим
Q=(1/«)1/l7c; sg=— i; s£ = i/2: sg=—1/2; Wn = i/V£c;
S^" = 0; s“n= —1/2; Scn=—1/2.	(8)
Аналогично, используя результаты примера 3.3—1 для цепи, показанной
.'на рис. 3.3—11, получаем
(?=1/(3—/<); <вп = 1 ;	SQ=K/(3—К); S“n = 0. ♦	(9)
Заметим, что в этом последнем примере Q и чуствительность
fQ возрастают при возрастании Х(Х<3), причем при Х->3 обе
указанные величины стремятся к бесконечности.
Другим типом чувствительности, который часто используется
для оценки характеристик функций цепи, особенно в случае вы-
соких значений Q, является нормированная чувствительность
корней. Он отличается от вида выражения относительной чувстви-
тельности тем, что вещественные и мнимые части нормируются от-
дельно. Таким образом, для полюса p^Oi+j ®г будем опреде-
лять нормированную чувствительность корня как
NSPxi = dGi/Ci + j .......= S°xi +jS%i, (10)
дх/х	dx/x
где чувствительности Ог и относительны по форме, а норми-
рованная чувствительность корня — нет. В результате нетрудно
получить
NSP{ = Re NSPi + j Im NSfr - — Re US& + j—— Im USpt. (11)
Для звена второго порядка, определенного выражениями (2)
!й (3), нормированная чувствительность корня определяется через
чувствительности Q и соп с помощью соотношений
Re Ж” = S°? =	-S* « -S$;	1	(12)
Im < =	= S> + S?/(4Q2— 1) « S“n , J
аде приближенные равенства соответствуют случаю высоких зна-
чений Q.
Методику использованную выше, легко распространить на
«случай звена третьего порядка. В этом случае полином в знаме-
нателе имеет вид
Z)(s) = s3 + d2s3 + d1s-|-d0.	(13)
Он может быть разложен на два множителя — первого и вто-
рого порядков. Тогда, используя обозначения (2), можно записать
Z)(s) = (s+g)(s2+©ns/Q4-(o2).	(14)
Таким образом, для случая звена третьего порядка можно
«определить три функции чувствительности S^x; SQX и Sxan. Более
удобно, однако, вычислять их через чувствительности коэффици-
ентов Sxdt. Необходимые соотношения легко найти, если предста-
вить (14) в виде
C(S) = S3 + S2 +	+	(15>
x 4 J v V /
Приравнивая соответствующие коэффициенты в (13) и (15),
получаем соотношения
=	di=®2 + g®n/Q; d2 = g+con/Q.	(16>
Решая систему, уравнений, получаем [15]
"S“n'
5?	=
Q<0n^l
(Qg-(on)do
1
A
(2con Q2 -j- gQ con) d0 (<o„ Q 2con g Q2)	(Qg —2con Q2) co„ d2
2o^Qdo/g	—2(0^^ 2<o*Qgd2
= S*1 ,
(18>
где A = 2(o2[Q((o2+g2)—(ong].
(19>
Как пример использования этого соотношения, рассмотрим нор-
мированную функцию Баттерворта третьего порядка. Из табл.
2.1—3 имеем
' Например, чувствительность добротности в этом случае оп-
ределяется выражением вида
=	(22)
Пример 3.5—2. Функции чувствительности активного КС-фильтра третье-
го порядка. Схема активной /?С-цепи нижних частот третьего порядка по-
казана на .рис. 3.5—1. Передаточная функция по напряжению для этой цепи
«мет вид
V2 (sj/Vi (s) = Kd0/(s9 + d2 s2 + dt s + dt),	(23)
где d0 = Gi G3 Gg Si S2 S3 ;
di = @2 ^3 S2 £3 + <?2 63 Si Sa + (G.j G3 Si S3 + Gi G3 Si S3) (1 K) +
4- Gi G3 Sj S2 + Gi G2 Si S2 ;	(24)
d2 = Gi Si -p G3 S2 G2 S2 -|- G2 Si -p G3 S3 (1	/С)
-я где для удобства вычисления частных производных использовались актив-
ная проводимость Gt—lfKi и реактивная (емкостная) проводимость S,-=1/Ci.
Решение для функции Баттерворта вида (20) определяется значениями К=
=2, 7?1 = 1,565, Т?2= 1,469, iR3=0,435, а все емкости равны единице [16]’. Чув-
ствительности коэффициентов полинома к изменению коэффициента усиления К
преобразуются достаточно легко:
4“ = 0 ; SK = - * (°2 Ga Si S3 + Gi G3 Si S3)/dt = —3,0338 ;	1
,	} (25)
S% = —KG3 S3/d2 = —2,2989.	J
Из (22) видно, что
Sg = о-p 3,0338 + 2,2988 = 5,3327. ♦	(26)
Рис. 3.5—1. Схема ак-
тивной /?С-цепи иижник
частот третьего поряд-
ка, используемая в при-
мере 3.5—2
Часто в выражении для функции цепи более удобно принимать
равным единице не коэффициент у старшего члена, а свободный
член. В этом случае полином в знаменателе будет иметь вид
D(s) = c3s3 + c2s2 + c1s+1.	(27)
Соотношения между чувствительностями коэффициентов такой
«формы знаменателя и формы, данной в (13), приводится ниже:
SC1   сА	оА.	0^0   ___qC3<
X — &Х	Ох ,	Ох —- ---Ох ,
Sc2 Qdz______сА .0^1 ссз.
х — Ox -----Ox , Ox — Ox ------Ox ,
(28)
Sca __	_ oC2
X -- Ox , Ox------Ox ----Ox .
Используя эти выражения, легко модифицировать выражения
для чувствительностей Q, со„ и g, приведенные в (18), где они
выражены через чувствительности коэффициентов di. Например,,
для функции Баттерворта третьего порядка соотношения (21}
принимают вид
В этом случае чувствительность добротности
S«=-S?-S? + S?.	(30)
Выражения для чувствительности третьего порядка, получен-
ные выше, находят еще одно применение в случае, когда в цепи,
реализующей функцию цепи второго порядка, используются три
реактивных элемента. Функция цепи в этом случае имеет в зна-
менателе полином третьего порядка и, кроме того, полином пер-
вого порядка в числителе. Тогда функция цепи нижних частот
приобретает вид
N (s) = A (s)/D (s) = Н (s + g)/(s® + d2 s2 + s + d^,	(31)
где коэффициенты H, g и di зависят от значений элементов. В
результате процедуры синтеза для таких цепей определяются,
как обычно, значения элементов, но множитель в числителе
(s+g) появится в том же виде и в знаменателе. В результате
этого произойдет сокращение, и указанная цепь фактически бу-
дет цепью второго порядка.
Пример 3.5—3. Активный ‘RC-фильтр второго порядка с тремя реактив-
ными элементами. Схема ПФ с тремя независимыми емкостями показана на
рис. 3.5—2 [17]. Если выбрать К=—(4Q—1), то в результате передаточная
функция цепи по напряжению
V2(s)— (4Q— l)s(s+l)/2Q  — (4Q—l)s/2Q
V1(S) (s+ 1) + s 0/Q) + 1]	s2+s(l/Q) + l ’
Сравнивая это выражение с выражением, приведенным в (14), видим, что
®„=g=l, откуда находим, что d0=l и d1=d2=l + l/Q. Чувствительность ко-
Рис. 3.5—2. Схема активного
7?С-фильт.ра второго порядка,
рассмотренного в примере
3.5—3
эффициентов по отношению к коэффициенту усиления К примет тогда следу-
ющие значения: Sd0K=0, SdiK=Sd2K=—-(4Q—1)/4Q(Q+1). Подставляя эти
значения в (18), получаем SeK='l—4/4Q. Таким образом, чувствительность
очень мала, хотя требуемый коэффициент усиления велик, ф
3.6.	Многопараметрическая статистическая
чувствительность
В предыдущем параграфе этой главы были введены различ-
ные типы чувствительности. Их можно обобщенно охарактеризо-
вать следующим образом: все они связывают изменения, которые
произошли в характеристике цепи в целом с изменением какого-
то конкретного элемента цепи. В этом параграфе введем отлич-
ный от рассмотренных тип чувствительности. Это многопарамет-
рическая чувствительность, которая формирует единственную
(скалярную) меру, определяющую свойства чувствительности за-
данной цепи [18]. Она учитывает не только допуски для любого
заданного элемента, но также и то, как изменения одного эле-
мента связаны с- изменениями других элементов. Такая чувстви-
тельность носит название статистической чувствительности1.
Хотя фактическое определение меры статистической чувстви-
тельности достаточно сложно, ее использование имеет ряд преи-
муществ. Одно из них состоит в том, что многопараметрическая
чувствительность, будучи скаляром, может непосредственно ис-
пользоваться в качестве критерия сходимости, если для миними-
зации чувствительности применяется техника машинной оптими-
зации. Кроме того, существует возможность реально учесть слу-
чайную природу изменения значений элементов, а также то, как
допуски на различные элементы связаны между собой в резуль-
тате конкретной технологии их производства. Примером этого мо-
жет служить зависимость изменений номиналов сопротивлений
резисторов и емкостей конденсаторов, обусловленная тем, что и
те и другие элементы изготавливаются на одной и той же под-
ложке в процессе интегральной реализации фильтра.
Прежде чем начать изучение статистической чувствительности,
обозначим через 7'(jco, х) обобщенную передаточную функцию це-
пи, где х—вектор-столбец элементов цепи х4(»=1, 2, 3, ..., /г);
кроме того, пусть Ах будет вектором-столбцом изменений номина-
лов цепи АХг. Предполагается, что эти изменения являются слу-
чайными величинами с нулевым средним и известным законом
распределения. Изменения функции цепи, вызванные такой вари-
ацией номиналов элементов, можно определить как
А У = У(] со, х + Ах)—У(jсо, х).	(1)
1 При проведении последующего анализа предполагаются известными эле-
ментарные сведения из теории вероятностей и математической статистики. См.,
например, гл. 2 и 3 в работе [19].
Используя эти величины, можно определить меру статистиче-
ской чувствительности для заданной полосы частот
следующим образом:
Л4(х) = £
(2)
где Е — математическое ожидание. Прежде чем применить этот
результат более детально к элементам цепи, определим вначале
градиент TQ'®, х) по х:
d7 I?
dxk J
Vx7 =
дТ
дхг
(3>
Если ограничиться при обсуждении только эффектами первого
порядка, то отношение ЕТ/Т можно переписать в виде
[VxT]TAx.
(4).
В общем случае более предпочтительно рассмотреть нормиро-
ванные отклонения номиналов элементов, а не их абсолютные:
значения, как это сделано в (4). Для этого определим вектор-
столбец нормированных отклонений элементов Ьх. и матрицу D
номинальных значений элементов. Тогда
Ax D Ах,
(5)
где
О
Ах =
'b.xjx^'
*1
х2
(6)

и D =
О

Используя D и VXT, определим вектор столбец d как
d = DyxT/T.
Заметим, что отдельные элементы этого вектора
(8)
(7)
можно
сразу классифицировать как элементы чувствительности функции
цепи, введенной в § 3.2, а именно:
di^^=sTXi.
1 Т dxt
Подставляя (5) в (4) и используя (7), находим
A7'[V*	р Дх = атАх.
Т Т
Используя полученный результат в (2), имеем
Л4(х) = £ J2 (dTАх)* AxTddco I
|_<01	J
(9)
(Ю)
Этот результат можно упростить, если заметить, что Ах*=Ах,
м определить
Р = £[АхАхт].	(11)
Здесь Р — ковариационная матрица допусков используемых
элементов размера /гХ/г. Она предполагается известной либо на
основе выборочной статистики, либо из заданного закона распре-
деления. Объединяя (10) и (11), имеем
М (х)= J!(dT)*Pdd£o.	(12)
<01
В этой связи заметим, что если нет взаимно-корреляционных
членов, то матрица ковариации диагональна, а следовательно,
можно записать:
k
dT*Pd=2 |$r |2о2 ,	(13)
i=l 1 l’
vjifi u2Xl —дисперсия значений элемента xit т. e.
o2 =£[(Ахг/хг)2]-	(И)
i
Если все дисперсии принимаются равными единице, то (13)
определяет многопараметрическую чувствительность, так как она
была определена Скеффлером [27, § 3.2]
На практике определение статистической чувствительности
2И(х), приведенное в (2), будет более целесообразным, если
представить обобщенную передаточную функцию ГО со) как
T(jo) = ^L
D (s)
s=j о
_ Ьп$пА-ьп_r s” 1 -f- ... + br s -f- bp
s’1 + an— 1 sn 1 + ... + al S 4" at
S=j(i3
(15)
Если положить, что матрицы коэффициентов а и b имеют вид
а = [On-1. Оп-2. - > О1, ОоГ; b = [bn, Ьп-1,..., Ь1г 60]т,	(16)
то величины di, определенные в (8), запишутся так:
j I _ Гд 7 dbn { д Т dbp дТ дап—1 ।
|s=jm Т [дЬп dxt	db0 dxt dan—i dxi
 д Т gg01	_xi dbT у, . xt д л1
дар 3xt-Js=it0 Т dxt Vb s=Jm T dxt
Va Т\ ,	(17)
|S=jffl
где
Va T = [d T/d an_n ..., d T/d	; Vb T = [d T/d bn,..., d T/d boy.
(18a),(186)
Для заданной передаточной функции элементы этих матриц
не зависят от формы реализации или значений элементов. Если
определить далее матрицу С( размером feX(n) и матрицу С2 раз-
мера kX (п+1), т. е.
(19)
dbT
дхк
то, используя (18) и (19), можно записать основную меру чувст-
вительности:
/г; т\ *Т	/г? Т\
41(x)=j p^L cjPCJ^JdcD+f 2Re х
в>1 \ ^ /	\ ^ /
Это определение статистической многопараметрической чувст-
вительности можно непосредственно применить к заданной реали-
зации цепи.
Как пример использования соотношения (20) рассмотрим
цепь на рис. 3.3—1. Общее выражение для передаточной функции
по напряжению этой цепи имеет вид
у /<л_1^2 (s) __KGy S1G2 S2 (21)
Vy (s) s2 + s [Gx Sx + Gg Sj Gg S2 (1 —K)] + Gx G2 S2
где Gi=l/Ri и Si=l/Ci (i=l, 2). Полагая, что резонансная час-
тота нормирована и равна 1 рад/с, найдем общую форму переда-
точной функции цепи-
Т (s) = V2 (s)/Vx (s) = tfa0/[sa + Ox 8 + 0,1 = H/[s2 + (1 /Q) s +1 ]. (22)
Сравнивая (21) и (22), видим, что
GiSi+G^x+GgS^i—K)=l/Q; GxSxG2S2=l. (23)
Чтобы упростить пример, рассмотрим только первый член в
(20). Определяя параметры вектора х так, что x=/[Gb G2, Sb
S2K]T, можно записать матрицу (19) следующим образом:
-GxSx
G2Sx + G2S2(1-K)
Sx(Gx+G2)
G2S2(1—К)
-kg2s2
GxSxG2S2
GxSxG2S2
Gi S1G2Sz
Gy Sy G2 Ss
0
(24)
Если теперь принять, что a=GiSi,
переписать матрицу С в (24) в виде
то используя
(23), можно
а	1
1/Q—а	1
l/Q + CK—D/a 1
(Г—ю/a ~~	' 1
—К/a	0_
(25)
Предположим далее, что для синтеза схемы требуется Q=10
и что интересующий нас частотный диапазон определяется соот-
ношениями
(^=1 —1/Q,g)2=14-1/Q.	(26)
Кроме этого предположим, что нормированные вариации но-
миналов сопротивлений и емкостей, т. е. (АД/7?) и (АС/С), а так-
же значения коэффициента усиления (А(Л7К), считаются одно-
родно распределенными с дисперсией 10~4. Для случая, когда
вариации некоррелированы, ковариационная матрица
р=	“1	0	0	0	0 “ 0	10	0	0 0	0	10	0 0	0	0	1	0 _0	0	0	0	1 _	 10~4.	(27)
Используя конструктивные значения а=0,7 и К=1,5, находим
из (20), что ЛТ(х) =0,012.
В приведенном примере показано, как понятие статистической
многопараметрической чувствительности, определенное в (20),
можно применить к цепи, в которой допуски на значение элемен-
тов некоррелированы. Рассмотрим теперь случай, когда имеется
корреляция. Такая ситуация встречается в большинстве реали-
заций интегральных схем активных фильтров. Одна из причин
этого состоит в том, что в таких схемах температурные коэффи-
циенты сопротивлений и емкостей обратно пропорциональны
друг другу. Эти свойства уменьшают влияние допусков интеграль-
ныу компонентов на произведение RC. Так как все коэффициенты
функций цепи являются алгебраическими комбинациями таких
ДС-произведений, то чувствительность коэффициентов, а следо-
вательно и чувствительность функции цепи, уменьшается. Если
допуски на сопротивления и емкости резисторов и конденсато-
ров предполагаются случайными, то в результате противополож-
ного изменения значений этих элементов, корреляция между ни-
ми отрицательна, тогда как корреляция между элементами одно-
го и того же типа положительна.
Как пример учета таких эффектов для реализации фильтра
на рис. 3.3—1 предположим, что коэффициент корреляции допус-
ков на сопротивление и емкость равен —0,7, т. е. можно записать
Е /bRtlRtbCjICj\ = _0,7j	(28)
\ aRl GCj /
где
Cxi = \rE^Xilx^,	(29)
Аналогично предположим, что коэффициент корреляции до-
пусков как на сопротивления резисторов, так и на емкость кон-
денсаторов равен 0,7, т. е. для i#=j
A Ri! Rj A RjjRj\  q у . g ( A Ct-/ Ct A CjjCj
gRi gRj )	’ ’	\ °C{	°C-
Если считать, что дисперсия равна 10~4 как и для случая от«
сутствия корреляции, приведенного выше, и что корреляция меж-
ду допусками пассивных элементов отсутствует, то получим кова-
= 0,7. (30а), (306)
риационную матрицу вида							
	“ 1	0,7	— 0,7	— 0,7	0~		
	0,7	1	— 0,7	—0,7	0		
Р =	—0,7 -	0,7	1	0,7	0	• ю-4.	(31)
	—0,7 -	0,7	0,7	1	0		
	0	0	0	0	1_		
Для тех же расчетных параметров, что использовались в
случае отсутствия корреляции, найдем, что М(х) =0,0072, т. е.
произошло уменьшение чувствительности. Таким образом, видим,
что статистическая многопараметрическая чувствительность учи-
тывает много аспектов производства схем, которые нельзя было
учесть, используя функции чувствительности, рассмотренные в
предыдущих параграфах этой главы.
3.7. Машинный расчет чувствительности
с помощью метода присоединенных цепей
На практике вычисление функции чувствительности любого
типа, определенного в § 3.2—3.5, с помощью метода, предназна-
ченного для ручного счета, может привести к трудно разрешимым
вычислительным проблемам для любой цепи, кроме самой прос*
той, — цепи второго порядка. Даже для таких цепей нахождение
функций цепи с элементами, заданными в буквенном виде, явля-
ется занятием утомительным, часто приводящим к ошибкам,
причем трудности резко возрастают с ростом числа элементов.
Нахождение частных производных создает дополнительные труд-
ности, а вероятность ошибок еще более возрастает. Таким обра-
зом, в общем случае применение вычислительных машин дает
большие преимущества. Самый простой способ осуществить это
состоит в использовании одной из многих существующих про-
грамм машинного проектирования, таких как ASTAP, SYSCAP,
SCEPTRE или SPICE. С их помощью можно провести анализ це-
пи с номинальными значениями элементов, затем повторить ана-
лиз, изменив значение одного из элементов. В общем случае это
не очень желательная процедура, так как она требует большого
числа повторений такого анализа, по одному на каждый элемент.
Кроме того, точность вычислений невысока, так как зависит от
точности вычисления разности двух близких чисел. В этом пара-
графе представим значительно более эффективный метод.
В качестве предварительного шага при разработке эффектив-
ного метода вычисления чувствительности рассмотрим теорему
Теллегена.
Пусть v — вектор напряжений ветвей данной цепи N, a vn —
вектор независимых узловых напряжений; из общих топологичес-
ких соображений известно, что существует матрица инциденций
А, которая в соответствии с законом Кирхгофа обладает тем свой-
ством, что v=ATv„*. Кроме того, если предположить, что 1—
вектор токов ветвей, то в соответствии с законом токов Кирхгофа
Ai = 0. Из этих соотношений получаем
iTV = vTi = (AT vn)Ti = v*Ai = 0.	(1)
Полученный результат говорит о том, что сумма мгновенных
мощностей, поступивших во все ветви данной цепи, равна нулю,
т. е. что мощность сохраняется. Рассмотрим теперь второй четы-
рехполюсник Я с вектором токов ветвей i, который имеет ту же
самую топологию и то же число ветвей, но не обязательно то же
самое число элементов, как в N. Матрица инциденций А для ft,
очевидно, та же самая, что и для N, т. е. А=А. Следовательно
Ai=Ai = 0. Теперь можно записать, что
v* i = (Ат vn)T i -= Vn A~i = 0.	(2)
Проводя преобразования, аналогичные предыдущим, получаем
группу выражений
vT i = iT v = vT i — iT v = 0.	(3)
Отсюда следует теорема Теллегена, согласно которой мгно-
венная сумма произведений напряжений ветвей (или их токов)
цепи N на соответствующие токи ветвей (или их напряжения)
топологически эквивалентной цепи Я равна нулю.
Пример 3.7—1. Пример применения теоремы Теллегена. Рассмотрим
цепь N на рис. 3.7—1,а. Если на входе ее в момент t=0 приложено ступен-
* Используемая здесь .матрица А называется иногда укороченной матри-
цей инциденций, так как в ней отсутствует узел, соответствующий общей точ-
ке («земле»).
чатое напряжение с амплитудой 2 В, то при ’Нулевых начальных условиях с
помощью (программы анализа целей найдем:
ij (О =’Т" е-/ + 'Т'е'_е/—*; «1(0 = 2;
5	D
2	.	3	.	*	4	.	6
»2 (0 = —ЛГ е~* — Т е~6 + 1 ; «2 (О = —~Ге——е-еЧ-2,
b	b	и	ь
4	f 1	4	4	6
is (0=— V- е-'—— е-6Ч-1 ; «з (0 = “Д' е + V е~6 :	}	(4)
О	О	О	о
2	.	2	6.6,
й (0 = " е—ze~6/ ; v4 (Z) = — е~z—— е—;
5	5	5	5
2	2	2	12
i5 (/) = — e“z—— e~6/ ; vb (/) = — -- е~* + — е~в*.
5	5	5	5
Рассмотрим теперь схему /V на рис. 3.7—1,6. Она имеет те же топологию
и число ветвей, но элементы в ветвях различны. Для нее находим (для лю-
бого момента времени):
Рис. 3.7—1. Схемы цепей, иллюстрирующие теорему Теллегена в примере
3.7—1. Значения элементов даны в омах и генри
Легко показать, что все произведения, заданные в (3) для этих двух це-
пей, должны быть равны нулю. ♦
Теперь введем понятие присоединенной цепи. Прежде всего,
заметим, что соотношения, определенные теоремой Теллегена
(3), применимы также и к преобра-
зованным переменным, т. е. можно
написать:
v»i = I’V = VTI = fTV = O,	(6)
где путем использования заглавных
букв показано, что данные величины
являются функциями комплексной
частотной переменной s. Рассмотрим
тейерь две цепи N и N, из которых
Удалены все независимые источники,
чтобы сформировать внешние пары
Рис.3.7—2. Схемы двух цепей,
из которых удалены все незави-
симые источники
зажимов, как показано на рис. 3.7—2. Пусть Vp и 1р — векторы
(соответствующих переменных на зажимах цепи N, a Vp и 1Р—•
.аналогичные векторы, но для цепи N. Тогда с помощью приведен-
ных ниже соотношений определяются матрицы полных сопротив-
лений Zx.x и Zx.x разомкнутой 2и-полюсной цепи и матрицы пол-
ных проводимостей Ук.з и Рк.з короткозамкнутой 2п-полюсной
щепи:
Vp =—ZXxIp; Vp — ZXXIP;
IP=-YK.3VP; fP = -YK.3VP,	(7)
сгде знак минус определяется только выбранным направлением пе-
ременных на зажимах (см. рис. 3.7.2). Предположим теперь, что
зависимые источники ветвей имеют переменные V6 и U для цепи
.N и Vb и 1Ь для цепи N. На основании этого можно определить
.матрицы полных сопротивлений ветвей Z& и Z&, а также матрицы
полных проводимостей ветвей Y& и Y& с помощью следующих со-
отношений:
Vb=ZbIb; Vb = ZbIb; Ib = YbVb; 1Ь =YbV6. (8)
Для некоторых конфигураций цепи одна или обе эти имитанс-
иые матрицы могут не существовать. В таком случае добавление
выбранных паразитных элементов позволит обойти эти затруд-
нения. С другой стороны, для установления соотношений между
переменными данных ветвей можно использовать гибридную мат-
рицу. Для цепи N ее можно представить в виде
'Vbt~
А.
Ни
_Н2Х
Н12
Н22
vbs_ 
(9)
1&1
Аналогично для N можно записать
X’
Li\-
Предположим далее, что управляющие ветви для управляемых
источников должны быть либо разомкнутыми схемами (при уп-
равлении напряжением), либо короткозамкнутыми (при управле-
нии током). Если теперь цепи N и Я линейные инвариантные во
времени, то их называют присоединенными (друг к другу), если
удовлетворяются следующие условия:
1.	Эти две цепи имеют одни и те же топологию и упорядоче-
ние ветвей; тем самым две матрицы инциденций окажутся рав-
ными, а именно А=А. Следовательно, теорема Теллегена приме-
нима к переменным напряжения и тока ветвей этих двух цепей.
2.	Матрицы полных сопротивлений ветвей и матрицы полных
проводимостей ветвей для этих двух цепей являются перестано-
вочными, т. е
Zj=Zb; Yb = Yb.	(11)
В результате выполнения этого требования две цепи окажут-
ся идентичными, если они не содержат управляемых источников.
Как следствие указанных требований, можно показать, что
Z:.X=ZX.X; YLs=YK,.	(12)
Если используется гибридное представление, то соответству-
ющее требование примет вид
HL-HL1 Гнц н12
-НЬ HjJ 1н21 н22.
(13)
3.	Соответствующие независимые источники в обеих цепях;
относятся к одному и тому же типу, т. е. являются либо источ-
никами тока, либо источниками напряжения, но не обязательно*,
чтобы их токи или напряжения были одинаковы.
Второе требование, приведенное выше, содержит необходи-
мую информацию для проектирования присоединенной цепи Л?
по известной исходной цепи N. Прежде всего, дублируются пас-
сивные RLC-элементы, так как они представляют собой диаго-
нальные элементы в матрицах Zb и Yb. Информацию об управ-
ляющих источниках можно получить, анализируя структуру ис-
ходных Zb, Y или других матриц. Например, ИТУН с коэффици-
ентом усиления g, управляющее напряжение для которого снима-
ется с ветви i, а выходной ток соответствует ветви j в цепи АГ,
будет представлен в матрице Yb элементом ya=g- Следовательно,
в Yb необходимо иметь yij=g. Это будет соответствовать ИТУН
с управляющим напряжением, снимаемым с ветви / и выходом,
соответствующим ветви i. Легко получить соотношения и для дру-
гих типов элементов. Наиболее важные из них приведены в табл..
3.7—1. Пример использования соотношений табл. 3.7—1 показан-
ии рис. 3.7—3. На рис. 3.7—За приведена схема исходной цепи
на рис. 3.7—36 — присоединенной цепи.
Используем теперь теорему Теллегена и понятие присоединен-
ной цепи для определения чувствительности. Пусть вектоо токов
Рис. 3.7—3. Схемы цепей:
а — исходной; б — соответствующей ей присоединенной цепи
Таблица 3.7—1
ставить AV вместо V. Проводя
(14), получаем
I в исходной цепи N состоит из
двух составляющих: вектора то-
ков через внешние зажимы 1Р и
вектора токов в ветвях 1Ь. Ис-
пользуя аналогичное представле-
ние для вектора напряжений V
цепи N, а также соответствующих
векторов токов и напряжений
I и V в цепи N, можно записать:
F=(I-,Ip; V-=(V-,Vp;
h=(i;AT); v*=(vj,vi). (14)
Пусть теперь значения элементов
исходной цепи претерпевают
случайные изменения. Тогда ре-
зультирующий вектор токов мож-
но записать как I + AI. На основа-
нии закона Кирхгофа для тока
имеем А(1+А1)=0, а следова-
тельно, получаем, учитывая, что
А1 = 0:
АА1 = 0.	(15)
Таким образом, вместо I в лю-
бое из соотношений (6) можно
подставить AI. Точно также в эти
же соотношения можно под-
такие подстановки и используя
Vp A Ip-J-V* А 1Ь = 0 ; ljAVp+lUVb = 0.	(16)
Вычитая приведенные выше равенства, находим
Vp AIp-i;AVp + VZAIb-i?AVb = O.	(17)
Из (7) и (8), используя приближение первого порядка, имеем
AVP= —A(ZXXIP) = —AZXXIP —ZXXA p;	.
A Vb = A(Zb I6) = A Zb Ib+ Zb A Ib.	j
Подставляя полученное в (17) и проводя упрощения, нахо-
дим
ijAZx.xIp=i£AZ6Ib.	(19)
Кроме того, проводя аналогичные преобразования, получаем
V*AYK.3Vp = V6TAYbVb
(20)
Уравнения (19) и (20) устанавливают четкие соотношения ме-
жду изменениями значений элементов ветвей и изменениями зна-
чений параметров 2п-полюсника. Например, из (19) вытекает,
что если воздействие приложено только к паре зажимов / цепи
Д' и к паре зажимов i цепи N, то можно, используя в качеств1;
воздействия единичные токи, записать
4=1; 4 = 0; 7г = 1; 4 = 0.	(21)
fe?4=l
Тогда (19) примет вид
A^-=ijAZbIb,	(22)
где 1Ь и 1Ь — токи ветвей в цепях N и N соответственно, которые
возникают в результате указанного воздействия. Следовательно,
проведение анализа только дважды: один раз для Я и другой —
для N, дает возможность получить все чувствительности для
функции цепи zir
Пример 3.7—2. Определение чувствительности с помощью присоединен-
ной цепи. Пусть для цепи на рис. 3.7—4,о требуется найти чувствительности
входного сопротивления RB* по отношению к элементам цепи Ro, Ri, йз и Rs.
Чтобы сделать это, перерисуем цепь так, как показано на рис. 3.7—4,6. Ис-
пользуя программу анализа схем для входного тока 7р1 = 1, получим вектор
токов ветвей в виде 1ть (—1, —1, —6/5, 175, 1/5). Присоединенная цепь, сфор-
мированная на основе табл. 3.7—1, показана на рис. 3.7—4,в. Для входного
тока 7рг=1 находим вектор тока ветвей Гг=(—1, —1, 3/5, —2/5, —2/5). Тог-
да матрица приращений полных сопротивлений ветвей
	AZt =	~bRt 0 0	0 0	0 0 Дйо 0	0	0	0	0	-|	(23)
			ООО	
			Дйз о 0	
			ООО	
			0	0 Дйз J	
Следовательно, из (19) получаем 18 Л ^БХ = A Z11 = А 4“ ZO			2 A Rs — 57" д й5 + ZO	2 — Дйо.	(24) о
Отсюда в	предельном случае, когда приращения стремятся к нулю, на-			
ХОДИМ	д RBx	j _ д	18 . д Йт “ ’ д Й3 ~ 25 ’ д йвх		2 . д Rbx	 2 д Rs	25	д Rq 5			(25)
Указанные чувствительности, очевидно, легко найти, используя соответст-
вующие частные производные. Эти результаты можно подтвердить непосред-
ственным анализом исходной цепи, ф
Заслуживают внимания некоторые моменты приведенной выше
процедуры, в которой для вычисления чувствительности исполь-
зуется присоединенная цепь1. С вычислительной точки зрения
метод превосходен, так как требует только двух анализов задан-
ной цепи для вычисления чувствительности иммитансных функций
заданной цепи, безотносительно к числу элементов этой цепи.
Рис. 3.7—4. Использование при-
соединенной цепи для определен
ния чувствительности в примере
, 3.7—2. Сопротивления даны в
омах
Кроме того, полученные результаты точны, т. е. получаются точ-
ные значения частных производных. Эту процедуру легко распро*-
странить на случай устойчивого состояния при наличии гармони-
ческого воздействия, когда вычисление чувствительности прово-
дится на заданной частоте [20, 21]. В таком случае частотно-за-
висимые элементы в матрицах иммитансов ветвей также должны
рассматриваться как частотно-зависимые; следовательно, частот-
ная зависимость должна присутствовать и в матрице прираще-
ний иммитансов ветвей. Например, ветви с полным сопротивле-
нием Z=\<i>L будут представлены в матрице приращений полных
сопротивлений ветвей членами 'вида: AZ=j<oAL. Однако множи-
тель j и следует убрать для получения частной производной по L.
3.8. Выводы
В этой главе были рассмотрены вопросы чувствительности. В
частности, в § 3.1 были получены важные общие соотношения,
применяемые к функции относительной чувствительности любо-
1 Кроме указанной процедуры, основанной па методе присоединенных це-
пей, существует ряд других процедур, основанных на методе преобразованных
цепей Быховского, методе точек чувствительности Кокотовича, 1методе сигналь-
ных направленных графов и др. — Прим. ред.
iro типа. В § 3.2 было рассмотрено понятие чувствительности
функции цепи в целом. Было показано, что для s=jw такая чув-
ствительность функции цепи имеет вещественную часть, которая
определяет чувствительность модуля функции, и мнимую часть,
«определяющую чувствительность фазы функции. В этой
главе были исследованы и другие типы чувствительно-
сти: чувствительность коэффициентов (§ 3.3), ненорми-
рованная чувствительность корней (§ 3.4), чувствительно-
сти Q и On, нормированная чувствительность корней (§ 3.5)
и статистическая многопараметрическая чувствительность
(§ 3.6). В результате исследования свойств различных ти-
пов чувствительностей было показано, что между ними сущест-
вует взаимосвязь — например, если известна чувствительность ко-
эффициентов, то можно вычислить чувствительность функции це-
пи. Наконец, в § 3.7 было показано, как вычислить чувствитель-
ность, проведя при этом анализ только два раза: один раз для
исходной цепи, другой — для присоединенной цепи.
Важно выяснить, вместе с тем, как допуски на отдельные
элементы активного фильтра связаны с допусками на характери-
стики цепи в целом. Чтобы проследить это, предположим, что та-
кой характеристикой является у и пусть аг$(г= I, 2, .... п) —от-
дельные элементы данной цепи. В этом случае
у = /(х1,х2, ...,хп).	(1)
Тогда можно записать выражение для полного дифференци-
ала:
dy = — dxj + dx2 + ... -]—— dxn.
дхг dx2	dxn
(2)
Относительные изменения у можно найти, используя много-
параметрическую чувствительность, определенную в (16), § 3.2.
Тогда
dy	i (df	dX1	, v df дх2	,	, df dxn \
--- —  Л1 ~	Г л2 ~	T — i xn -	—
у	У \	dxt	хг ox2 x2	dxn xn ]
= Sy ^ + Sy -^-+.-+ Sy d-^,	(3)
x' xt x'2 x2 	xn xn
где dxi/xi (i=l, 2, ..., n) — относительное изменение элемента x<.
Пример 3.8—1. Допуск на величину резонансной частоты. Задана функ-
ция цепи, имеющая в знаменателе полином вида (s2+((Dn/Q)s+w2n). Схем-
ная реализация этой функции такова, что con='l/i7?C, где Д имеет допуск ±5%,
а С—допуск ±10%. В соответствии с указанным выше, найдем
— =	5сП^=(-1)^ + (“1)^-	(4)
С0п	Д	С	Л	о.
Таким образом, относительное изменение со„ в расчете на худший случай
составит ±0,15 или 15%. ♦
Паразитные составляющие неидеальных пассивных компонен-
тов активных фильтров могут быть обусловлены различными фак-
торами: границами допусков, температурной зависимостью, пара-
зитной частотной зависимостью и шумами. Среди них наиболее
важную роль играет температурная зависимость как для сопро-
тивлений резисторов, так и для емкости конденсаторов. Кроме
того, для конденсаторов наличие шунтирующего сопротивления
утечки, определяемого тангенсом угла потерь, может привести к
нелинейной частотной зависимости. Для резисторов более важ-
ными могут оказаться шумы.
Эта зависимость отдельных элементов цепи от любых пара-
зитных составляющих, указанных выше, может оказать влияние
на характеристики цепи в целом, причем масштаб этого влияния
определяется значениями этих элементов. Чтобы показать это,
рассмотрим еще одну характеристику цепи у, которая является
функцией значений элементов х2, ..., как показано в; (1). Если
элементы х зависят от некоторых паразитных составляющих не-
идеальных элементов, обозначенных через z, то у также являет-
ся функцией z. Разделив (2) на dz, получим
dy _ df dxr । df dx2	df dxn
dz дхг dz dx2 dz	dxn dz
(5)
Как правило, зависимость у от z считается эффектом первого
порядка и выражается как относительное изменение у на едини-
цу z, обозначаемое обычно в миллионных долях на единицу г.
Умножая левую и правую части (5) на 1/у, получаем математи-
ческую формулировку такой зависимости в виде
dyfy _ 1 / df dXi д df dx2 । j d/
dz У \ c)x1 dz dx2 dz	dxn dz /
Эту общую форму можно использовать для оценки относи-
тельного изменения функции у в зависимости от параметра z.
Пример 3.8—2. Температурная зависимость усиления усилителя.
Конечный коэффициент усиления усилителя определяется как К= 1 +$2/i/?i-
Если номинальные значения R2 и Ri зависят от температуры, то желательно
найти относительное изменение К в миллионных долях/0 С. Предположим, что
К=10 -и i/?!=l кОм. Тогда 7?2=9 кОм, .откуда /(=10. Пусть, кроме того, па-
разитная температурная зависимость /?, и /?2 определяется следующими значе-
ниями: dRl/dT=2O00-10-6/°С и dPsJdT = 1000-10-6/°С. Тогда из (6) следует:
dK/K 1
dT — К
/ R2 d R^ /R^ R2 d R2/R2 \
k Ri dT	dT J
Ri + Rz
/ d R2/R2
\ dT
dRRRA
dT )
= 0,9 (1000—2000)= —900-10~e/°C .
В табл. 3.8—1 и 3.8—2 приведены некоторые свойства резис-
торов и конденсаторов различного рода. Из них металлопленоч-
ные резисторы широко используются для реализаций активных
фильтров. Из указанных типов конденсаторов обычно используют-
Таблица 3.8—1
Типичные характеристики резисторов, широко используемых в активных фильтрах1
Характеристика	Тол стопленочный металлокерамика	Тип резистора					
		Тонкопленочный		Дискретный			
		Нитрид тантала (оксийитрид)	Специальный	Проволочный	На углеродис- том составе	Металлопленоч- ный	На углеродистой пленке
Температур- ный коэффици- ент ю-6/°с	±100	—100±20 (—200±20)	— 10	±5	±1500	0... +50	0... +50
Температур- ный диапазон линейности ТКС, °C	Нелинейный	0...100	—55.. + 125	+ 25... +85	Нелинейный	+ 25...+ 85	Нелинейный
Диапазон номиналов со- противлений, Ом	3 Ом ... 1 МОм	10 Ом ... 1 МОм	100 Ом ...	100 Ом...	10 Ом ...		
Достижимая точность, %	0,5	0,1	... 0,3 МОм 0,02	... 100 КОм 0,01	... 2 МОм 5,0	10 Ом ... 1 МОм 0,5	10 Ом ... 2 МОм 1,0
Старение, %/20 лет	1,0	0,1	0,01	0,01	5,0	0,1	2...5,0
Максималь- ное значение, Ом/еднницу площади	10’	300						
Примечание	Специальные краски и обра- ботка могут улучшить ус- тойчивость и точность		ткс= = ±ю-е/°с и старение 10-10-*7год (возможные значения)	Специальные методы намот- ки могут умень- шить индук- тивность		Старение 0,1% и ТКС= =-±ю-6/°с (возможные значения)	
1 Взято из работы Су [22],
Таблица 3.8—2
Типичные характеристики конденсаторов, пригодных для использования в активных фильтрах
Характеристика	Типы конденсаторов							
	Слюдяные	Полистиро- ловые	Майаларовые (полиэтилен- терефталат)	Полипропи- леновые	Керамические (NPO)	Керамические (с высоким К)	Танталовые тонкопленоч- ные	Поликарбо- натные
Добротность (на частоте 1 кГц)	1000	5000	200	1000	100,0	40	400	500
Температурный ко- эффициент 10~в/°С	+ 35±35	—120±30	+ 600	—200...—	0±30	—50 000...	+ 200+25	+40
Температурный диа- пазон	линейности ТКЕ, (°C),	—55...+125	—40...+85	Нелинейный	— 500 Нелинейный	—55...+150	+ 20 000 Нелинейный	—40...+65	—35...+125
Старение, % /20 лет	+ 0,1	+ 0,2	+ 2	±0,3	±0,05	+15	— 0,5	+ 0,2
Минимальный до- пуск, %	±1%	+0,5	+20	±0,5	±0,25	±10	±5	±0,25
Диапазон номина- лов емкостей пФ — мкФ	1—0,1	500... 10	5000...1	500... 10	10...0,05	100...20	1000...200	1000... 10
сяслюдяные, полистироловые, полипропиленовые и керамичес-
кие (типа NPO) конденсаторы.
Результаты и выводы, полученные при изучении различных
типов чувствительностей, рассмотренных в этой главе, окажутся
полезными в последующих главах. В общем случае меры чувст-
вительности дают одну из наиболее важных методик оценки раз-
личных типов активных и пассивных реализаций фильтров, сле-
довательно, мы еще не раз сошлемся на материал по чувствитель-
ности в оставшихся главах этой книги.
Задачи
3—1 (§ 3.1). а) Выведите: а) свойство (7) в табл. 3.1—1; б) свойство 14;
®) свойство 15.
3—2 (§ 3.1). Покажите, что производная функции чувствительности S!/x
для случая, -когда у является функцией х (причем ле обязательно линейной)
«определяется как [23]:
^s*=J-sHi+s^-sn.
ах х
3—3 (§ 3.2). а) Начертите графики, аналогичные тем, что были приве-
дены на рис. 3.2—2, для случая, когда индуктивность L в примере 3.2—1 яв-
ляется варьируемым najpa.MeT.poM.
б) Повторите то же для случая емкости С.
3—4 (§ 3.2). а) Найдите чувствительность SXN(S> для цепи, показанной
«на рис. '3.3—4, где N (s) — передаточная функция по напряжению разомкнутой
цепи VzfsjfVils) их— индуктивность!.
б)	Повторите то же для емкости С.
в) Повторите то же для сопротивления /?.
•г) Повторите то же для активной проводимости G.
Рис. 3. 3—4. Значения элементов
схемы даны в омах, снмменсах, ген-
ри, фарадах
/?=/	/’/,4/42
3—5 (§ 3.2). Покажите, что соотношения (15) в § 3.2 для цепи, исполь-
зуемой в примере 3.2—1, согласуются с графиками, приведенными на
рис. 3.2—2.
3—6 (§ 3.2). Найдите миогопараметрические вариации	для
«функции цепи, описанной в задаче 3—4, относительно параметров L, С, G
‘И Р.
3—7 (§ 3.3). а) Найдите чувствительность коэффициентов для функции
«цепи N(s), определенной в задаче 3—4, по отношению к индуктивности L.
6) Повторите то же для емкости С.
в)	Повторите то же для сопротивления <R.
г)	Повторите то же для активной проводимости G.
3—8 (§ 3.3). а) Используя результаты задачи 3—7, получите чувствитель-
ности для JV(s) по отношению к индуктивности L, полученной в задаче 3—4.
б) Повторите то же для емкости С.
в)	Повторите то же ддд сопротивления R.
г)	Повторите то же для активной проводимости G.
3—9 (§ 3.3). Используя чувствительность коэффициентов, определенную
в (6), § 3.3, найдите чувствительность функции цепи относительно К для цепи
на рис. 3.3—1. Проверьте правильность результата путем непосредственного
вычисления чувствительности.
3—10 (§ 3.4). Подтвердите правильность соотношений (8) в § 3.4.
3—11 (§ 3.4). Найдите ненормированную чувствительность полюсов цепи
в примере 3.2—1 относительно параметров R, L и С.
3—12 (§ 3.4). а) Докажите, что траектория полюсов для функции цепи
в примере 3.2—1 по отношению к вариации сопротивления R представляет со-
бой окружность.
б) Повторите то же для индуктивности L.
в) Повторите то же для емкости С и покажите, что траектории полюсов —
прямые линии.
3—13 (§ 3.4). а) Найдите ненормированную чувствительность полюсов для
функции цепи JV(s), определенной в задаче 3—4, относительно индуктивно-
сти L.
б)	Повторите ТО' же для емкости С.
в)	Повторите то же для сопротивления R.
г)	Повторите то же для активной проводимости G.
3—14 (§ 3.4). Используя чувствительность коэффициентов, приведенную
в табл. 3.3—1, найдите ненормированную чувствительность полюсов цепи в при-
мере 3.2—1 относительно параметров R, L и С. Сравните результаты с теми,
что (были получены в задаче 3—'11.
3—15 (§ 3.4). Используя чувствительность коэффициентов, определенную
в задаче 3—7, найдите ненормированную чувствительность полюсов для цепи
рис. 3.3—4 относительно параметров L, С, iR и G. Сравните результаты с те-
ми, что были получены в задаче 3—13.
3—16 (§ 3.4). Используя чувствительности коэффициентов, определенные
в (6), § 3.3, найдите ненормированную чувствительность полюса относитель-
но К для цепи на рис. 3.3—1. Сравните результаты с выражением (8)
в § 3.4.
3—17 (§ 3.4). Для цепи на рис. 3.2—1 примите следующие значения эле-
ментов: L=l, С—1, iR=2. Используя технику обращения с кратными полю-
сами, представленную в § 3, 4, определите изменения в положении полюсов
при изменении R на +1%.
б) Повторите то же для изменения R на —1%.
3—18 (§ 3.4). Повторите задачу 3—17, используя в качестве варьируемо-
го параметра С.
3—19 (§ 3.4). Повторите задачу 3—17, используя в качестве варьируемо-
го параметра L.
3—20 (§ 3.4). Выведите чувствительности функции цепи, приведенные в
примере 3.2—1, основываясь на ненормированных значениях чувствительности
полюсов, найденных в задаче 3—11.
3—21 (§ 3.5). Найдите чувствительности Q и со„ для цепи, описанной в
примере 3.2—1, по отношению к элементам /?, L и С.
3—22 (§ 3.5). а) Найдите чувствительности Q и со„ для цепи, описанной в
Задаче 3—4, относительно индуктивности L.
\ б) Повторите то же относительно емкости С.
1 в) Повторите то же относительно сопротивления /?.
г) Повторите то же относительно активной проводимости G.
3—23 (§ 3.5). Схема цепи нижних частот третьего порядка, показанная
на рис. 3.5—1, имеет функцию цепи, определенную в примере 3.5—2, и ис-
пользуется для реализации чебышевской характеристики третьего порядка с
пульсацией 0,5 дБ. Требуемые значения элементов К=2, Ki=0,2681 Ом, /?г=
=2,778 Ом, 7?г='1,876 Ом, а все емкости равны единице [24]. Найдите чувст-
вительности Q и со и по отношению к К.
3—24 (§ 3.6). а) Найдите статистическую многопараметрическую чувст-
вительность в диапазоне частот 0 ... 1 рад/с для передаточной функции по на-
пряжению цепи, показанной на рис. 3.3—24. Рассмотрите только знаменатель
и предположите, что нормированные вариации значений элементов некоррелиро-
ваны и имеют равномерное распределение с дисперсией 10-3.
б) Повторите то же, но для случая, когда коэффициент корреляции меж-
ду элементами равен —0,7.
Рис. 3.3—25
Рис. 3.3—24
3—25 (§ 3.6). а) Найдите статистическую многопараметрическую чувстви-
тельность в диапазоне частот 0 ... 1 рад/с для передаточной функции по на-
пряжению цепи, показанной на рис. 3.3—25. Рассмотрите только знаменатель
и предположите, что нормированные вариации элементов некоррелированы и
имеют равномерное распределение с дисперсией 10~3.
б) Повторите то же для случая, когда коэффициент корреляции между
всеми элементами равен —0,7.
3—26 ('§ 3.7). Убедитесь в справедливости анализа во временной области
для токов в ветвях и напряжений, приведенных в примере 3.7—1.
3—27 (§ 3.7). Используя метод присоединенных цепей, найдите чувстви-
тельность У(]ш) к параметрам Р, L и С для цепи, определенной в примере
3.2— 1.
3—28 (•§ 3.7). Найдите чувствительность передаточной полной проводимо-
сти для цепи, схема которой показана иа рис. 3.7—4 к изменению элементов
схемы. Передаточная полная проводимость выражается в виде ¥21=—/рг/Урь
где пара зажимов 2 определяется как пара зажимов в 'правой части цепи,
полученная путем удаления вертикальной черты, показывающей короткое за-
мыкание схемы.
'3—29 (§ 3.7). Подтвердите правильность определения чувствнтельностеи,
найденных .в примере 3.7—2, (получив выражение для 7?вх и взяв соответству-
ющие частные производные.
I
I
Ж-ФИЛЬТРЫ НА УСИЛИТЕЛЯХ. ЧАСТЬ 1 /
Эта и следующие главы посвящены общим вопросам актив-
ных фильтров. Если говорить более конкретно, в них рассмотре-
ны методы реализации всех типов функций цепи, основанные на
использовании схем фильтров, включающих как активные, так
и пассивные элементы; из последних будут рассматриваться ис-
ключительно резисторы и конденсаторы. Такие фильтры относят
к классу активных RC-фильтров или безындуктивных фильтров.
Использование активных фильтров привлекательно по целому ря-
ду причин и может быть предпочтительней пассивных RLC-эква-
валентов. Например, активные 7?С-фильтры обычно имеют мень-
шую массу и занимают меньше места, чем пассивные. Это имеет
большое значение при использовании фильтров в аэрокосмичес-
ких приборах. Другое преимущество — активные фильтры могут
быть изготовлены в микромодулыюм исполнении при использова-
нии технологии интегральных микросхем. Кроме того, они отно-
сительно недороги и могут производиться в массовом масштабе.
С другой стороны, так как катушка индуктивности не может
быть выполнена в интегральном исполнении, то пассивные схемы
можно создать только с помощью дискретных компонентов. Этот
вариант значительно дороже. По этим и ряду других причин во
многих традиционных областях применения фильтров, особенно
в радиосвязи, приходится проводить модернизацию, направлен-
ную на исключительное использование активных фильтров. В
результате этого ежегодное производство активных фильтров
оценивается миллионами, и многие компании предлагают их как
стандартные блоки. В этой главе познакомимся с одним из наи-
более широко используемых типов активных /?С-фильтров— RC-
фильтрами на усилителях.
4.1. Ж-фильтры на усилителях
Существуют два общих метода использования активных RC-
фильтров при реализации функции цепи. Первый из них — метод
каскадной реализации. Этот метод называется так потому, что
реализуемая функция сначала факторизуется (разлагается на
^произведение сомножителей второго порядка)1. Каждый сомно-
житель реализуется затем отдельно активной КС-схемой, после
чего каскадируется, или последовательно соединяется с другими,,
чуобы реализовать функцию цепи в целом. Отдельные активные
М7-схемы, конечно, должны быть синтезированы так, чтобы они>
не. взаимодействовали друг с другом.
(.Второй общий метод использования КС-схем для реализации
функций цепей — метод непосредственной реализации, в котором;
для реализации функции в целом используется одна единствен-
ная. схема. Этот метод обсуждается в гл. 6.
каскадный метод использования активных КС-схем для реа-
лизации функций цепи дает много преимуществ инженеру-проек-
тирорщику. Прежде всего, любая рассматриваемая КС-схема, тре-
буемая для реализации звена второго порядка обычно относи-
тельно проста, а число требуемых элементов невелико. В резуль-
тате этого процедура синтеза, необходимая для определения зна-
чений элементов, обычно несложна и позволяет легко учесть до-
полнительные ограничения, такие как использование стандарт-
ных номиналов элементов или ограничения, накладываемые при
минимизации чувствительности. Другое преимущество состоит в
том, что каждое звено второго порядка можно индивидуально на-
строить для реализации соответствующей характеристики. Это,
конечно, значительно легче, чем пытаться настроить схему, в
которой все элементы взаимодействуют друг с другом; именно
это и происходит, когда используется непосредственный метод ре-
ализации.
Рассмотрим теперь активный элемент активного КС-фильтра.
Хотя теоретически в качестве такого активного, элемента можно
использовать любой тип управляемого источника, на практике
чаще всего используется один ИНУН (источник напряжения, уп-
равляемый напряжением). Идеально ИНУН представляет собой
четырехполюсник, который характеризуется следующими свойст-
вами: 1) бесконечно большим входным полным сопротивлением;
2) нулевым выходным полным сопротивлением; 3) выходным на-
пряжением, пропорциональным входному, причем коэффициент
пропорциональности обычно называют коэффициентом усиления.
Эквивалентная схема и вариант обозначения схемы приведены на
рис. 4.1—1. Часто ИНУН называют просто усилителем напряже-
Рис. 4.1—1. Схематическое изобра-
жение источника напряжения, управ-
ляемого напряжением
1 Если реализуется функция нечетного порядка, то необходимо использовать
в каскадном соединении либо пассивное звено первого порядка, либо активное
звено третьего порядка. Подробнее ом. в § 4.5. .
ния или, еще проще, усилителем. Коэффициент усиления мож^ъ
быть положительным (в этом случае говорят, что ИНУНщн..<0!£;
вертирующий) или отрицательный (в этом случае говор? .^./д
он инвертирующий). Среди других причин широкого расщ(|
нения ИНУН как активного элемента активных 7?С-фйн^тров
можно указать на легкость его реализации с помощью операци-
онного усилителя. Например, неинвертирующий ИНУН можно
реализовать, используя операционный усилитель с дифференци-
альным входом; схема реализации показана на рис. 4.1—2,а. [Ко-

Рис. 4.1—2. Реализация ИНУН:
а — неинвертирующая; б — повторитель напряжения; в — инвертирующая
эффициент усиления полученного ИНУН определяется соотноше-
нием
VjV^iR. + R.yiR^K.	(1)
Очевидно, что коэффициент усиления всегда больше единицы.
Неинвертирующий ИНУН с единичным коэффициентом усиления
можно реализовать так, как показано на рис. 4.1—2,6. Эту схе-
му называют обычно схемой повторителя напряжения. Инверти-
рующий ИНУН можно реализовать так, как показано на рис.
4.1—2,в. Его коэффициент усиления
VJV^-RJR^K.	(2)
Теперь можно определить конфигурацию обобщенного актив-
ного 7?С-фильтра, который состоит из пассивной шестиполюсной
ЯС-цепи и соединенного с ней ИНУН (рис. 4.1—3). Эта схема и
будет в дальнейшем называться RC-фильтром на усилителе. Ос-
новной функцией цепи для такой схемы является передаточная
-1------------—]	функция по напряжению
Рис. 4.1—3. Структурная схема RC-
фильтра с одним усилителем
V2(s)/Vi(s). Заметим, что благо-
даря нулевому выходному полно-
му сопротивлению ИНУН функ-
ция цепи, реализуемая этим филь-
тром, полностью независима от
любой другой цепи, присоединен-
ной к выходным зажимам, на ко-
торых определяется напряжение
Уг($). Таким образом, операцион-
усилитель такого КС-фильтра обеспечивает необходимую
;ю между каскадами, требуемую при каскадной реализа-
rwi
4(s)
.4(s).
\ Уктуру КС-фильтра на усилителе можно проанализировать,
рассматривая, в первую очерезь, пассивную шестиполюсную цепь,
которая определяется системой полных проводимостей короткого
замыкания или системой у-параметров. Следовательно, для ука-
занной пассивной цепи на рис. 4.1—3 можно записать
~l/ll(s) У12 (S) 1/13(5)1 rVi(s)'
Уз (s).
где, учитывая пассивный характер цепи, yij(s)i=yji(s), т. е. у-мат-
рица симметрична. Учитывая характерные особенности
имеем
Уз1 (®) У 22 (S) У23 (S)
_ У31 (S) У32 (S) У33 (S)_
(3)
ИНУН,
/з(5) = 0; H2(s) = ^/3(S).	(4)
Объединяя (3) и (4), получаем передаточную функцию по нап-
ряжению .^С-фильтра на усилителе
V2 (s)/’/i (s) = — Д' У31 (s)/[ Рзз(s) + К. У32 (s)]-	(5)
В большинстве КС-фильтров на усилителях, которые рассма-
триваются в этой главе, будем ограничивать пассивную цепь стру-
ктурой, показанной в квадрате, обведенном штриховой линией на
рис. 4.1—4. Чтобы найти у-параметры этой цепи, напишем, прежде-
всего, уравнения узловых напряжений
где для удобства убрали обозначение зависимости (s). Левые
части третьего и четвертого уравнений принимаются равными ну-
лю, так как внешние токи, приложенные к третьему и четверто-
Рис. 4.1—4. Схема /?С-фильтра с одним усилителем и пассивной
цепью специального вида
му узлам, отсутствуют. Если разрешить четвертое уравнение от*
носительно У4, то получим
У4 = (Ух Ух + У2 V2 + У8 V3)/D (s),
(7)
где
D(s) = Y1 + У2 + У3 + УБ-
Подставляя (7) в (6), найдем
А		У? Уг	L D(s)	—У1У2 D(s)		—У1У3 O(s)
/2		— У1У2 D(s)	у2+у6-	У2 г 2 D(s)	у Уз Уз ° D(s)
о		— У1 ys		У 2 Уз	у} г’+г‘+у«-^)_
		_ D(s)	Ув	D(s)	
(8)
(
•
Их
И2 •
И3_
(9)
При сравнении полученного с (3) видим, что эти соотношения
определяют «/-параметры пассивной цепи, показанной на рис.
4.1—4. Если теперь наложить ограничения и считать, что каждая
из полных проводимостей будет либо активным сопротивлением,
либо емкостью, то полиномы, которые будут стоять в числителе
выражений, описывающих эти параметры, будут иметь, самое
большее, второй порядок. Таким образом, для «/-параметров, ис-
пользованных в (5), можно написать
- Уз1 (s) =	= («2 «2 + «г *+a0)/D (s);	(1 Оа)
D (з) D (s)
-	(S) = [У6 (Ух+У2 + Уз + у5) + У2 ys]/D (s) = М>2 (S)/D (S) =
= (b2s* + b1S + b0)/D(s);	(106)
«/зз (s) = ^+-^.+(У4 + Ув) = N (syD =
D (s)
= (c2 s2 + q s + c0)/D (s).	(1 Ob)
Эти соотношения, которые определяют коэффициенты полиномов
Mh(s), ^32(5), Л^зз(«) в выражении (10), содержат только суммы
и произведения проводимостей пассивных, т. е. имеющих положи-
тельные значения сопротивлений, резисторов и емкостей конденса-
торов. Таким образом, коэффициенты этих полиномов могут быть
только положительными (или равными нулю). Учитывая этот
факт, можно переписать обобщенную передаточную функцию по
напряжению (5) с учетом положительности этих коэффициентов
полиномов:
У2 (s)/Vx (S) = KN31 (s)/[N33 (s)-/W32 (s)].
(ID
Из этого выражения видно, что если коэффициент усиления
ИНУН положителен, т. е. если ИНУН неинвертирующий, то раз-
^ожение полинома знаменателя указанной передаточной функции
•будет иметь вид разложения типа разность. В этом случае пере-
даточная функция по напряжению в целом также будет неинверти-
рующей. Аналогично, разложение типа сумма получим тогда, ког-
да) коэффициент усиления ИНУН будет отрицательным; в этом
случае передаточная функция по напряжению также будет инвер-
тирующей. Из практики известно, что использование неинверти-
рующего ИНУН дает лучшие результаты. Причины этого будут
указаны в следующем параграфе этой главы. Следовательно, раз-
ложение типа разность является более важным. Один из многих
видоЬ такого разложения1 обычно встречается в 7?С-фильтрах на
усилителях. В этом случае полином второго порядка в знаменате-
ле P(s) можно разложить так:
A (s) = s2 + щ s + а0 = (s+o1) = (s+o2)—Kas,	(12)
где щ и а0 определяют результирующее положение полюсов, а
oi, 02 и а являются функциями различных пассивных элементов
цепи. При таком разложении корневой годограф (как функция К)
имеет вид окружности (рис.
4.1—5). Из рисунка видно, что ко-
гда К, увеличиваясь, становится
больше величины (oi + o2)/a, то
полюсы функции цепи сдвигаются
в правую полуплоскость и цепь
становится неустойчивой. Для
нормированного по частоте поли-
нома знаменателя, имеющего вид
P(s) =s2+ (1/Q)s+1, оптималь-
Рис. 4.1—5. Разложение на разность
составляющих
ным разложением типа разность
будет разложение (s+1)2—Kas.
Оно дает нижнюю границу оценки
для S<2K, равную 2Q—1 [25]. Так
как эта величина относительно велика, ДС-реализации на усили-
телях пригодны в общем случае только для функций цепи с низкой
добротностью.
4.2. Фильтры нижних частот на одном усилителе
с конечным коэффициентом усиления
В предыдущем параграфе была представлена основная конфи-
гурация 7?С-фильтра на усилителе, пригодная для использования в
реализациях передаточных функций по напряжению второго по-
рядка. Схема была приведена на рис. 4.1 — 4. В этом параграфе
покажем, как можно использовать общую структуру, показанную
на этом рисунке, для реализации функций цепи нижних частот. В
1 Детальное исследование разложения типа суммы и разности можно най-
та в [[13].
следующих параграфах используемая нами основная процедура
будет распространена на другие типы функций цепи.
В общем виде передаточную функцию по напряжению ФНЧ
второго порядка можно записать в виде
(s) т=	_ WV3i(s)________
Vi (s)	s2+(со n/Q)s+co2 Mss (s)—	(s) ’
где Ho — коэффициент усиления на постоянном токе соп — собст-
венная частота, a Q — добротность, определенная первоначально в
§ 3.5. Правая часть в формуле (1) взята из (11), § 4.1. Если полю-
сы функции цепи (1) располагаются в точках po = oo+jcoo, то меж-
ду величинами сои и Q и положением полюсов имеется соотноше-
ние
р0 = о0 ± j ш0= -	± j	WQ2-1.
X	Л с/
(2)
Это соотношение иллюстрируется рис. 4.2—1.
лексные полюсы
Сравним теперь (1) с соотношением, приведенным в (10), § 4.1.
В первую очередь, обратим внимание на числитель; из (10а),
§ 4.1, следует, что коэффициенты а.\ и а2 для (s) должны быть
равны нулю. Таким образом, величины У] и Уз должны быть по-
стоянными, т. е. должны представлять собой проводимости резис-
торов. Следовательно, их можно записать в виде
y^G.- E3=G3.	(3)
Рассмотрим теперь знаменатель выражения (1). Знаменатель
правой части может рассматриваться как разложение полинома
в знаменателе s2+ (con/Q)s + co2„ средней части этого выражения.
Так как рассматриваются только функции второго порядка и так
как А^зз(з) и Л^зг(«) суть соответственно числители входной RC-
функции проводимости и передаточной проводимости лестничной!
др-цепи, то их положение нулей ограничено отрицательной ве-
щественной осью. Таким образом, если используется разложение-
типа разность, см. (12), § 4, ДС-схема на усилителе (рис. 4.1—4)
формирует комплексно-сопряженные полюсы.
Как численный пример, основанный на (1), положим, что соп.
нормирована к единице, W33(s) = s2 + 3s + 1 = (s + 0,382) (s+2,618) и1
Ar32(s)=s. Приравнивая знаменатели в (1), видим, что
s2 + (l/Q)s+ 1 = (s + 0,382) (s + 2,618)—К s.	(4>
Корневой годограф этого выражения [полюсы функции цепи
определены в (1)] изображен как функция коэффициента усиле-
ния ИНУН на рис. 4.2 — 2. Из рисунка видно, что как только К.
возрастает, полюсы (1) начинают двигаться из своих начальных
точек s =—0,382; —2,618 (Д=0) навстречу друг другу, совпадая
в точке $ =—1 (Д=1). Затем они разбиваются на комплексно-со-
пряженную пару и, двигаясь по окружности, пересекают ось jco R
точке s=±jl (Д=3). Дальнейшее увеличение коэффициента уси-
ления приводит к неустойчивости цепи.
Остальные элементы ДС-фильтра на усилителе можно опреде-
лить, если обратить внимание, что в (10), § 4.1, требовалось вы-
полнение условия с{=/=0 (t = 0, 1, 2) для того, чтобы N33(s) была
функцией второго порядка с вещественными отрицательными ну-
лями. Кроме того, для того чтобы имелся простой нуль N32(s) В;
начале координат, потребуем, чтобы Ьо = Ь2 = О и &i+=0. Используя
эти результаты, получаем
Я2 = Ye (G1 + Y2 + G3 + УБ) + У 2 G3 = s;	(5a>
A^ (S) = (G3 + y4 + y6) (G3 + y2 + y5) +G3 (У4 + У6) = c2 s2 + q s + c0.
(56>
При bo=b2 = O видим, что из (5a) следует
У2 = s С2 ; Ye = 0 ; следовательно, N32 (s) — sC2 G3.	(6)'
Очевидно, что при этом реализуется требуемый нуль в начале
координат для N32(s). Используя этот результат, получаем вме-
сто (56)
N33 (s) = (G3 + У4) (G, + s С2 + У5) + G3 У4.	(7>
Для с2+=0 потребуем, чтобы y4=sC4. Подставляя это значение
в (7), получаем
Д33 («) = (G3 + s С4) (С4 + s С2 + У5) + sG3 С4.	(8>
Теперь можно заметить, что подстановка Уб = 0 и полученное
гаким образом упрощение цепи позволяют удовлетворить требо-
ваниям Сг#=0. Сделав так, получим
А33 (s)= (G3 + sC4) (G4 + s C2) + sG3 С4 = s2C2 C4+s (G3 C2 + G1C4+
+ G3C4) + G1G3.	(9>
(10)
К / Kj Р3 С2
Окончательная реализация 7?С-фильтра нижних частот на уси-
лителе показана на рис. 4.2—3. Легко показать, что передаточная
функция при этом будет иметь вид
(s)__________________GiG3/<
Ti (s) s2 С2 С, 4- s (G3 С2 4~ Gj С4 4* G3 С4 —KGS C2)4-GjG3
Более привычная форма (10) достигается делением числителя
и знаменателя на С2С4 и использованием подстановки Rt=l/Gi. В
результате
Т2 (s) _  _____________К/Ri R-з С2 С4_______________ (11)
V, (s)	s24-s (1//?3 C4-j-l/T?] С, 4-1/7?3 С2—7<//?3 С4) 4-1/7?//?3 С2 С4 ' 1 '
Сравнивая (1) и (11), получаем следующий набор уравнений:
©П=1/К7?17?3С2С1;	(12а)
1 /Q=Vr3 ci/R1 с2+у + (1 —Л) Vr^/r^ ; (126)
Н0=К-	(12в)
Так как получаются пять неизвестных, а именно: Ri, С2, Rs, С4
и К и только три уравнения, то единственное решение можно по-
лучить, если положить, например,
R1 = R3 = R; С2 = С4 = С.
Подстановка (13) в (12) дает
®n=l/7?C; 1/Q = 3—К; Н0 = К-
Теперь легко получить набор расчетных формул
7?С=1/соп; К = 3—1/Q.
В этом случае Но не является больше свободным
а ограничивается величиной К- Реализацию, показанную на рис.
4.2—3, часто называют активным
Саллена и Ки.1
(13а), (136)
(14)
(вариант 1)
(15)
параметром,
RC-фильтром нижних частот
Рис. 4.2—3. Схема фильтра
нижних частот Саллена и Ки
Пример 4.2—1. Фильтр нижних частот, имеющий одинаковые сопротив-
ления и одинаковые емкости (вариант 1). Требуется синтезировать ФНЧ, для
которого <в„=6283 рад/с (1 кГц) и Q=0,7071 (характеристика Баттерворта).
Из (15) получаем
RC= 1/6283 = 1,59-КГ4; /С= 1,586.	(16)
1 См. работу Саллена и Ки [26], на которую чаще всего ссылаются спе-
циалисты по активным фильтрам.
। Если выбрать С=0,1 мкФ, то J?=l,59 кОм. Окончательно получаем Яо=
= 1,586. ♦
Другую процедуру синтеза (вариант 2) можно получить из
(13), если примем /С=1. Используя выражение (12), получаем
1/Q = VR3CJR1C2+ VR.CJR^.	(17>
Определим теперь параметры
n = 7?3/7?1; tn = CjC2.	(18)
Следует заметить, что пит являются отношениями значений
сопротивлений и емкостей соответственно. Далее положим
/?,-/?; С2 = С.	(19)
Выражение (11) теперь можно записать как
V2(s)/V1(s) = (l/m«7?2C2)/[s2 + (l/7?C) [(«+ l)/n] s + 1/шл7?2С2]. (20)
Приравнивая (1) и (20), получаем следующие расчетные фор-
мулы:
&)п= 1/]//п«7?С; 1/Q = (n+ 1)]/ т/п.	(21)
Из выражения для 1/Q можно получить, что для любого задан-
ного значения т значение Q будет максимально, когда п=1. Од-
нако этот_случай не является оптимальным, так как, если п=1, то
Q = 0,5 т. Для более высоких. значений добротности требуется
использовать существенно большие отношения емкостей. Более
практичный подход состоит в том, чтобы выбрать значение т, сов-
местимое со стандартными номиналами емкости конденсаторов
так, чтобы
m^l/4Q2.	(22)
Тогда п можно вычислить из формулы
п = (1/2тQ2— 1)±(1/2тQ2)	4mQ2.	(23),
Это выражение дает два значения п для любых заданных Q и
т. Легко показать, что эти величины взаимно обратные; таким
образом, использование любой из них дает тот же самый разброс
значений элементов.
Пример 4.2—2. Фильтр нижних частот с единичным коэффициентом
усиления (вариант 2). Пусть требуется использовать ИНУН с единичным ко-
эффициентом усиления для реализации передаточной функции по напряжению-
вида
V2 (s)/Vj (s) = 0,988/(s2 + 0,179 s + 0,988),	(24)
где -комплексная частотная переменная нормирована (ом. § 1.4) с коэффи-
циентом ,10—4 рад/с. Из (1) получаем норм =0,994 рад/с и Q=5,553. В со-
ответствии с (22) следует выбрать тс0,0081. Принимая т=0,001, найдем из-
(23), что п=0,0329 и 30,397. Если выбрать п='30,397, то из (21) с учетом
того, что ©п=Ю4®п норм, получаем Ж?=5,7703-10—*. Если выбрать С2=С=
=0,1 мкФ, то С4=100 пФ, J?i=K=5,77 кОм и <R3= 175,4 кОм. ♦
(25)
Другой используемый на практике вариант активного ФНЧ
на одном усилителе с положительным коэффициентом усиления
получается тогда, когда номиналы емкостей обоих конденсаторов
одинаковы, а коэффициент усиления ИНУН принимается равным
двум. Одинаковые номиналы конденсаторов удобны тем, что они
смогут быть нормированы по полному сопротивлению к стандартно
применяемым на практике значениям. Коэффициент усиления 2,0
привлекателен тем, что можно получить его точное значение путем
использования одинаковых по номиналу сопротивлений резисторов
в цепи обратной связи операционного усилителя. Из (1) и (11)
для С2=С<=С К=2 легко найти (вариант 3)
Ri=Qfa>nC;
/?з = 1/7?! и2п С2 или 7?з = Ri/Q2.
Пример 4.2—3. Фильтр нижних частот с равными номиналами емкостей
и коэффициентом усиления, равным двум (вариант 3). Требуется реализовать
нормированную передаточную функцию по напряжению (характеристика Бат-
терворта)
Va (s) / И (s) = 2/(s® +1/2 s + 1),	(26)
для которой была (проведена нормировка на 104. Из (25), используя С=1,
w„=l и Q=l/"|/2, найдем /?1=1/Д/2 и J?3="|/2. Денормируя по частоте и
применяя дополнительное денормирование полного сопротивления с коэффи-
циентом 103, получаем расчетные значения 7?i=0,707 кОм, 7?з= 1,414 кОм,
:<?2=С4=0,1 мкФ и К=2. ф
Как было указано в связи с выражением (12), существуют
только три основные характеристики функции цепи, а именно: <оп,
Q и Но, хотя существуют пять параметров цепи. Учитывая это,
можно сказать, что существуют, очевидно, другие процедуры син-
теза, отличные от описанных выше, которые можно предложить
для ФНЧ Саллена и Ки .[27]. В этом плане три процедуры, опи-
санные в предыдущих параграфах, типичны для большинства из
них. Другие процедуры можно встретить в задачах.
Теперь рассмотрим чувствительность фильтров Саллена и Ки.
Для большей общности будем использовать цепь, показанную на
рис. 4.2 — 4, в которой резисторы в цепи обратной связи операци-
онного усилителя, определяющие коэффициент усиления, обозначе-
ны через 7?д и RB и где коэффициент усиления ИНУН К=1 +
+Rb/Ra. Используя определение чувствительности из § 3.5 и соот-
ношения (12) и (1), получаем
= -1/2 + QVRoCJR.C^ -SqRs ;	(27а)
< = -1 /2 + Q (VR.C^C^ +	= -Sg4;	(276)
SQK = QKVR1C2/R3Ci-, S^=-Q(K-1) Cz/Rs (\=-8%в ;
(27в), (27r)
Sr^.c2.c. = -1/2 ; S^ra Rb = 0.	(27д), (27e)
Таблица 4.2—t
Чувствительности для трех вариантов ФНЧ Саллена и Ки
‘Чувствительность	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
sg — sg	— 1/2-J- Q	—1/2+ Q ~\/т п	1/2
sg = —sg С» 2	'-'4	— 1/2 + 2 Q	—1 /2+Q(V т/п+Д/тп )	1/2 + Q3
	3Q—1	Q/~\/mn	2Q2
cQ .	 	cQ	1—2 Q	0	-Q2
и Ч (Ч е - э в; со	— 1/2	-1/2	— 1/2
Л	0	0	0
Рис. 4.2—4. Схема фильтра нижних
частот Саллена и Ки с использова-
нием 'Операционного усилителя
Значения полученных чувствительностей для вариантов 1—3
приведены в табл. 4.2—-1. Из таблицы ясно видно, что чувствитель-
ности (On одинаковы для всех трех вариантов, тогда как чувстви-
тельности добротности изменяются в широком диапазоне.
Часто оказывается возможным снизить чувствительность, ука-
занную в табл. 4.2—1, хотя при этом следует уточнить цену тако-
го уменьшения. Чаще всего это приводит к увеличению разброса
номиналов элементов. Например,
выбирая отношение 1:10 для со-
противлений резисторов iRi и Rs и
10:1 для емкостей конденсаторов
С2 и С4, а не отношения 1 : 1, как
было определено для варианта 1,
можно получить значительное
уменьшение многих из рассмот-
ренных чувствительностей. Ана-
логичные результаты получаются
при выборе равными i/?i и /?з для
варианта 2. Наконец, значение
коэффициента усиления можно
выбрать так, чтобы получить наилучший компромисс между чувст-
вительностями активных и пассивных элементов.
Примеры ряда описанных выше ситуаций можно найти в зада-
чах.
4.3. Полосовые фильтры и фильтры верхних частот
на одном усилителе с положительным
коэффициентом усиления
В предыдущем параграфе использовалась общая конфигурация
звена второго порядка на одном усилителе, описанная в начале
этой главы и конкретизированная для схемы ФНЧ. В этой главе
будем использовать аналогичные процедуры для того, чтобы полу-
чить схемы ФВЧ и ПФ. Рассмотрим сначала полосовую функцию
цепи. Обобщенная полосовая передаточная функция по напряже-
нию второго порядка имеет вид
«z2 (в)Л\ (S) = Но (<on/Q) s/[t? + (con/Q) s+W2] = KN31 (s)/[W33 (s) - KN33(s)].
(1)
В этом выражении Но — максимальная амплитуда функции це-
пи в полосе пропускания. Эту величину часто называют коэффи-
циентом усиления на резонансной частоте. Величины и Q оп-
ределяются точно так же, как они определялись для ФНЧ, а имен-
но: &>п — собственная частота' и Q — добротность. Эти величины
связаны с полюсами функции цепи так, как описано в (2), § 4.2,
и на рис. 4.2— 1. Правое выражение в (1) взято из (1Q, § 4.1.
Сравнивая числитель (1) с (10а), § 4.1, видим, что коэффици-
енты а0 и «2 должны быть равны нулю для Следовательно,
проводимости У1 и Уз должны быть: одна емкость, другая — со-
противление. Пусть
У1 = С1; i3 = sC3.	(2)
Следовательно, TVsi (s) =sG[C3. Используя ту же процедуру, что
была рассмотрена в связи с выводом выражений (5), § 4.2, полу-
чаем
^32 (S) = П (Gi + У2 + s С3 + У6) + s С3 У2;	(За)
М>з U) = (* С3 + У4 + Ув) (G, + У2 + У6) + s С3 (У4 + Ув).	(36)
Разложение знаменателя может быть различным, имеющим те
же формы, что и в случае ФНЧ. Чтобы получить его, выберем
^2=С2, Ув = 0, следовательно, M32(s) = sC3G2.	(4)
В этом случае
Узз (s) = (S С3 + У4) (G, + G2 + У5) + s С3 У4.	(5)
Наконец, чтобы сделать Л^зз(э) полиномом второго порядка,
как это требуется при разложении, выберем У4=С4 и Уб=зС5. В
результате получим
У33 (s) = s1 2 С3 С& + s(G, С3 + G2 С3 + G4 С3 + G4 С6) + G4 (Gx + G2). (6)
1 В оригинале как в § 4.2, так и в § 4.3 эти характеристики определя-
лотся как «недемпфированная собственная частота» и «коэффициент качест-
ва». — Прим. пер.
Передаточная функция по напряжению в целом примет вид
Vg (s)_____________________s К G^CS_________________________,«
Ex (s) s2 C3 C6 -f- s (Gx C8 + G2 C3 + G4 C8 + G4C5—/CG2Cg)+G4(G1 -f- G2)
Ее можно записать также в виде
У2 (s) ________________________s K/Ri Cs________________________
Ex (s) s2+s(l/7?1 C6+l/T?2 C6+l/T?4 C5-f-l/H4 Cs-K/Rz C5)+(l/tf4 CsCg) X
x (1/Ri +1/^2)
(8).
Полученная в результате схема показана на рис. 4.3—1. Ее
обычно называют схемой полосового фильтра Саллена и Ки. Ре-
шая приведенное выше уравнение относительно параметров функ-
ции цепи в (1), получаем
1/2
Г О ~Н Ri/R^ 1
L R1 Rt Gg Cg J
(9a)
1 [1 4~ (R1/R2) (1 —K)] 1/ Rj 63/7?x C6 -f- У7?хСд/RjC5 -p ~\/RiC^/RjCs iqx\
Q	1/1 + 7?x/7?g
H = ________________К/Rj Cg_______________
0 l/^xCg+l/^gCg+l/^Cg-f-l/^Cg —/C/T?2Cg '
Одна из процедур получения	/?z
единственного решения для зна-
чений элементов цепи — выбрать
одинаковые номиналы сопротивле-
ние. 4.3—1. Схема полосового
фильтра Саллена и Ки
ний всех резисторов и емкостей всех конденсаторов. Следователь-
но (вариант /),
7?1 = 7?2 = 7?4 = /?,С3 = С5 = С.	(10)
В этом случае соотношения (9) принимают вид
<оп=Г2/ЯС; Q = K2/(4—/С); Я0 = К/(4-К).	(11)
Решая их относительно RC и К, получаем
RC = ]/2/<оп; К = 4 — J/2/Q.	(12)
Заметим, что для того, чтобы Л' было положительным, Q долж-
но быть, больше чем 2/4.
Пример 4.3—'1. Полосовой фильтр с одинаковыми номиналами сопро-
тивлений резисторов и емкостей конденсаторов (вариант 1). Пусть требуется
реализовать ПФ, у которого <2=10 и «и='104 рад/с. Из (12) находим, что»
RC=~l/r2-IO-4 с и К=3,8586. Выбирая С=0,1 мкф, получаем iR= 1,414 кОм...
В результате 27,289. ф
Существует много возможностей выбора значений элементов
«фильтра, показанного на рис. 4.3—1, отличающихся от тех, что
приняты в (12). Другой практический вариант синтеза состоит в
выборе коэффициента усиления ИНУН, равного двум, который,
как уже было указано, легко получить с большой точностью, ис-
ггюльзуя два одинаковых высокоточных резистора в цепи обратной
связи операционного усилителя. В этом случае можно выбрать
следующие соотношения между номиналами (вариант 2):
Х1 = Ся = Съ = 1, К=2.	(13)
При таком выборе номиналов, приравнивая (1) и (8), получа-
ем:
^ = (1 + 1/Т?2)//?4; <М2=1+2/7?4— 1/Д2. (14а), (146)
Эта совместная система нелинейных уравнений легко решается,
позволяя получить определенные значения сои и Q.
П ример 4.3—2. Полосовой фильтр с равными номиналами емкостей и
^коэффициентом усиления усилите ня, равным двум (вариант 2). Пусть тре-
буется синтезировать ПФ, нормированный по частоте и полному сопротивле-
нию, для которого о» = 1 и <2=2. Номиналы емкостей конденсаторов при этом
.должны быть равны единице, а коэффициент усиления ИНУН — двум. Ис-
пользуя (14) и полагая для удобства G<= 1/jRi, получаем
‘1 = (1—G2)G4; 0,5 = 1 4-2G4—G2,	(15а), (156)
Решая первое уравнение относительно G4, подставляя результат во вто-
рое уравнение и приводя подобные члены, получаем G22+0,5G2—2,5=0. Ре-
шая это уравнение относительно G2 и подставляя результат в (15а), нахо-
дим, что 7?2=0,7403 Ом и 7?4=2,3508 Ом. ф
Различные схемы ПФ, основанные на схеме, описанной выше,
получаются путем подстановки Vi = sCi и V3=G3 вместо того, что-
бы использовать соотношения (2). Осуществляя далее указанную
процедуру реализации, приходим к схеме с тремя конденсаторами.
Как таковая она представляет меньший практический интерес, чем
схема, описанная выше. Другие подробности, относящиеся к этой
схеме, можно найти в задачах.
Второй тип фильтров, который рассматривается в этом' пара-
графе, — ФВЧ. Обобщенная передаточная функция по напряже-
нию ФВЧ второго порядка имеет вид
1^2 (s) noS2___________ КН31 (s)	(16)
Ki (s) s2 -f- (<on/Q)s -f- <o„	^33 (s)-'K^32 (s)
В этом выражении Ho — коэффициент передачи на бесконечно
«большой частоте, а сии, Q и член в правой части (16) определяют-
ся аналогично тому, как в (1). Схему фильтра, реализующею эту
функцию цепи, можно получить аналогично тому, как были полу-
чены полосовая функция и функция цепи верхних частот. В дан-
ном случае выберем более простой путь. Заметим, прежде всего,
что этот тип функции цепи легко получить из функции нижних
частот, если воспользоваться ФНЧ—ФВЧ-преобразованием, вве-
денным в § 2.4, а именно: положить s=l/p, где s — исходная пе-
ременная комплексной частоты ФНЧ-прототипа, ар — новая комп-
лексная частотная переменная ФВЧ.
Теперь можно непосредственно использовать ФНЧ-реализацию
для получения ФВЧ-реализации путем применения указанного пре-
образования частоты к элементам исходной схемы. Кроме того,
можно применить нормирование полного сопротивления 1/р. Это
последнее преобразование не нарушит инвариантности передаточ-
ной функции по напряжению, учитывая ее безразмерную величину.
Для любого резистора (ФНЧ) с сопротивлением R рассмотренная
процедура сводится к следующему:
^нч (s) — R ^вч (Р) — R ~
ФНЧ — ФНЧ-преобразование
Ъ п реобр (р) — R/P- (17)
Нормирование полного
сопротивления 1/р
Результатом этих двух преобразований будет, очевидно, ем-
кость, равная 1/7?, в реализации ФВЧ. Аналогично для емкости
(ФНЧ) С получим
^нч (s) — tC FB4(s) = C/p
ФНЧ — ФНЧ-преобразование
—р гпреобр(р)
Нормирование полного
сопротивления \/р
(18)
Таким образом, в этом случае результатом двух указанных
преобразований будет сопротивление, равное 1/С Ом. Так как ко-
эффициент усиления ИНУН безразмерен и независим от частоты,
ИНУН остается инвариантным после этих преобразований. Полу-
Таблица 4.3—1 Преобразование элементов цепи при переходе от ФНЧ к ФВЧ	
Фильтр нижних частот	1 Фильтр верхних частот
нч	|	вч
ченные результаты сведены в
табл. 4.3—1. Используя данные
этой таблицы применительно
к цепи на рис. 4.2—3, получим
реализацию ФВЧ, показанную
на рис. 4.3—2. Таким образом,
получаем следующие соответ-
ствия для пассивных элементов
на рис. 4.1—4: Ki = sCi; Y2 = G2-,
Rz
Рис. 4.3—2. Схема фильтра верх-
них частот Саллена и Ки
y3 = sCs; T4=G4 и У5 — Уб = О. Подставляя эти значения TVsifs),
NS2(s) и lV33(s), определенные в (10), § 4.1, получаем, что переда-
точная функция (16) имеет вид
Уз (s)  S2 С4 С3 К	/1 gv
У1 (s) fi2 С4С3 4- s (G2Cg 4-	4* G4C3—KG2C3)4-G2G4
Деля числитель и знаменатель (19) на С1С3, получаем
_________________ (20)
Fits) s2+s(l/JR2C14-l//?4Cs4-l/^C1-K//?2C1)+l/7?27?4 CxCg.’
Сравнивая полученное с (16), имеем
con= 1/^7?27?4С1С3;	(21а)
1 /Q =	4-VRzCJI^Cs +	Сх-Я^Сз/^Сх
(216)
Н0--=К.	(21в)
Следуя первому варианту процедуры для цепи ФНЧ, § 4.2, и
выбирая 7?2=/?4=А и С1 = С3=С, получаем вариант 1
«>П=1//?С; 1/Q-3—Я; HD = K, (22а), (226), (22в;)
который идентичен (14), § 4.2. Таким образом, ФВЧ-реализацию с
добротностью Q = 0,7071 и ип = 6280 рад/с можно получить, исполь-
зуя в схеме на рис. 4.3—2- значения R, С и К из примера 4.2—1,
соответственно 1/С, 1/7? и К.
Как и ФНЧ-реализацию в § 4.2 с положительным коэффициен-
том усиления, реализацию ФВЧ второго порядка можно получить
подстановкой К=1. Полагая т = С$1С\ и n=RJR2 и подставляя
Ci = C и R2=R, получаем вместо (20)
К2 (S)/Vx (s) = S2/ Г52 4- A. j- ^Lt-l +	L—1.	(23)
L RC n m mn (RC)Z J
Сравнивая полученное с (16), находим еще один вариант рас-
четных формул (вариант 2):
con = 1 / VtnnRC ; 1/Q = (m-|-(24)
Отсюда видно, что для любого заданного значения п минимум
1/Q достигается при т=\. Так как обычно желательно иметь ми-
нимум 1/Q для любого заданного п, то примем т=\. В этом слу-
чае (24) упрощается и принимает вид
an=i/VnRC; Q = Vn/2.	(25)
Пример 4.3—3. Фильтр верхних частот с единичным коэффициентом
усиления (вариант 2). Пусть требуется, используя ИНУН с единичным коэф-
фициентом усиления, реализовать передаточную функцию по напряжению
вида
V2(s)/Vi(s) =s2/(s24-0,179 s4-0,988),	(26)
где комплексная частотная переменная нормируется с постоянной 10-4 ра'д/с.
Добротность и (йп норм имеют те же самые значения, что и найденные в при-
мере 4.2—2, а именно: 5,553 и 0,994 рад/с. Из (25) находим, что n=4Q2=
= 123,34 и 7?С=1/<Вп"|/п=0,09058. Денормируя, получаем RC=0,09058-10~4.
Если выбрать С=0,01 мкФ, то /?=7?г=9О5,8 Ом и 7?4=1Н,72 кОм.
В другом используемом на практике наборе номиналов элемен-
тов ДС-фильтра верхних частот на одном усилителе с положитель-
ным коэффициентом усиления, показанного на рис. 4.3—2, емко-
сти обоих конденсаторов имеют равные номиналы, а коэффициент
усиления ИНУН равен двум. Тогда нормированные значения Ci =
= Сз=С и А=2. Используя выражение (20), в этом случае нахо-
дим
<оп = 1/C VRjRi; <on/Q = (1/C) (2/7?4—1//?2).	(27)
Эти уравнения можно решить относительно R2 и Rt аналогично
тому, как это было сделано в примере 4.3 — 2.
Рассмотрим теперь некоторые вопросы чувствительности схем-
ных реализаций ПФ и ФВЧ, приведенных в этом параграфе. Срав-
нивая знаменатель передаточной функции нижних частот по на-
пряжению, приведенной в (11), § 4.2, со знаменателями полосовой
функции и функции верхних частот, приведенных соответственно в
(8) и (20) этого параграфа, легко показать, что во всех этих слу-
чаях тип разложения полинома, используемый для получения
комплексно-сопряженных полюсов, один и тот же. Таким образом,
корневой годограф для всех трех фильтров имеет общий' вид (см.
рис. 4.2 — 2). Анализ чувствительности реализаций ФВЧ и ПФ
как таковой, приводит к результатам, аналогичным тем, что ука-
заны в табл. 4.2 — 1 для ФНЧ. Например, чувствительности а>п по
К равны нулю для всех трех типов фильтров. Другие подробности
такого анализа приведены в задачах.
В этом и предыдущих параграфах были обсуждены структуры
Саллена и Ки на усилителе с положительным- коэффициентом
усиления для ФНЧ, ПФ и ФВЧ. Преимущество этих структур за-
ключается в том, что они характеризуются в общем случае про-
стыми расчетными соотношениями; проектировщик имеет возмож-
ность легко управлять значениями номиналов элементов и их раз-
бросом; кроме того, допустимо использовать небольшие значения
коэффициента усиления ИНУН, которые удобны тем, что их легко
стабилизировать. Есть также и некоторые недостатки; основной из
них состоит в том, что они характеризуются высокими значениями
чувствительности, если с их помощью пытаются реализовать схемы
с высоким Q. Этот результат можно получить, не только анализи-
руя чувствительность, приведенную, например, в табл. 4.2—1, но
также исследуя форму их корневого годографа, показанного на
рис. 4.2 — 2. Из рисунка видно, что когда полюсы высокодоброт-
ные, т. е. расположены близко к оси jco, небольшие изменения ко-
эффициента усиления могут сдвинуть их в правую полуплоскость
плоскости комплексной частоты и сделать, таким образом, цепь
неустойчивой. Одно из решений проблемы чувствительности, кото-
рое можно цредложить, состоит в использовании структур фильт-
ров с отрицательным коэ фициентом усиления усилителя, т. е. в
использовании инвертирующих схем ИНУН. Корневой годограф
таких фильтров не переходит в правую полуплоскость. Важно не
только то, что эти фильтры всегда устойчивы, но и то, что чув-
ствительность этих фильтров обычно ниже, чем чувствительность
фильтров с положительным коэффициентом усиления. К сожале-
нию, фильтры с отрицательным коэффициентом усиления имеют и
некоторые недостатки: разброс номиналов элементов зачастую ве-
лик; методы проектирования их более сложны, и они требуют
большого значения коэффициента усиления ИНУН, который труд-
нее стабилизировать, чем небольшой коэффициент усиления. Од-
нако в общем случае указанные недостатки перевешивают их до-
стоинства. В результате фильтры с отрицательным коэффициентом
усиления не используются столь широко. Некоторые примеры та-
ких фильтров можно найти в задачах.
4.4. Фильтры, реализующие комплексно-
сопряженные нули
В этом параграфе рассмотрим реализации активных фильтров
для обобщенной передаточной функции второго порядка. Такие
функции включают как частный случай ФНЧ, ФВЧ и ПФ. Их
обычно относят к биквадратным функциям фильтрации. Общий
вид биквадратных передаточных функций по напряжению второго
порядка таков:
(s) н s2 + fexs + fe0	+	,
Vi (s) s2 + Oi s -f- a0 s2 -f- (cop/Qp) s-f-<o2p
где H — постоянная, <oz и cop — нули и полюсы, соответствующие
собственным частотам, a Qz и QP — добротности комплексных ну-
лей и полюсов.1 Предполагается, что нули могут быть веществен-
ными или комплексными и что они могут быть расположены в
любом месте на плоскости комплексной частоты, включая и пра-
вую полуплоскость. Выражение (1) может соответствовать и эл-
липтическим функциям, определенным в § 2.3. В этом случае оно
принимает вид
У8(8)_Я S24-fep н s2 + ^	(2)
(s) S2 + at s + а0 sz + (ap/Qp) s-|- ю2 ’
где нули расположены на оси jco.
Первый тип биквадратного фильтра, который мы рассмотрим,
реализует (2) на основе схемы с одним усилителем и конечным
коэффициентом усиления [28, 29]. Эта схема показана на рис.
4.4—1. Она соответствует общей схеме на рис. 4.1—3 и имеет
функцию цепи, аналогичную (5), § 4.1. Из анализа этой функции
1 Формально Q определяется только- для комплексных полюсов; однако
здесь удобно .распространить это понятие на нули.
видно, что нули 1/31 (s) определяют нули передаточной функции.
Так как ysi представляет собой передаточную полную проводи-
мость 7?С-цепи, то ее нули могут лежать на оси j®, как это и тре-
буется. Цепь, необходимая для реализации этой функции, являет-
ся модификацией двойной Т-образной цепи [30]. Модификация со-
Рис. 4.4—1. Реализация би-
квадратной функции цепи на
усилителе с конечным коэффи-
циентом усиления. Значения
элементов даны в омах, фа-
радах
стоит в добавлении одного резистора или конденсатора в качестве
элемента T(s) на рис. 4.4—1. Если У= 1/7?, то схема реализует (2)
с ограничением а0^>Ь0, означающим, что нули расположены ближе
к началу координат, чем полюсы, в плоскости комплексной пере-
менной. Передаточная функция с учетом этого ограничения име-
ет вид (случай 1)
V2(s) =_________________WW_________________________ зх
Vi(s) s2 + [(/n+l)/a][l//?+(2—K)/m]s+[l + (m+l)//?]/a2’
где a, m й К показаны на рис. 4.4—1 и где т можно выбрать про-
извольно, чтобы иметь возможность управлять разбросом номина-
лов элементов. Приравнивая (2) и (3), получаем расчетные соот-
ношения:
а = ]/1/Ь0; R = (m+l)/(a0/b0~ 1);	(4а), (46)
К = 2 + [т/(т + 1)] (а0/Ь0 — 1—ajVb0); Н = К. (4в), (4г)
Если Y—aCs, то схема 4.4—1 реализует (2) с ограничением
Ьо>ао, означающим, что теперь полюсы будут находиться ближе
к началу координат, чем нули. Передаточная функция с учетом
этих ограничений примет вид (случай 2)
У2 (з). ______________W[(/n+ 1) С+ 1]} (s2 + 1/а2)___________
^(s)	s2+s{(/n+l)[C+(2-/C)//n]/a[(/n+l)C+l]}+l/a2[(m+l)C+l]
Приравнивая (2) и (5), получаем следующие расчетные соот-
ношения:
а - 1/VFO; С = (b0/a0—V)/(tn + 1) ;	(6а), (66)
К. = 2 + [т/(т +1)] (Ь0/а0— 1—а± Vb0/a0); Н = (tZo/bo)K. (6в), (6г),
Как и раньше, множитель т можно выбрать произвольно.
Пример 4.4’—1. Эллиптический фильтр нижних частот. Требуется реали-
зовать эллиптическую передаточную функцию по напряжению
V2(s)/Vi(s) = //(s2-J-7,464102)/(s20,998942 s-J- 1,170077).	(7).
В табл. 2.3—1 показано, что эта функция имеет амплитуду пульсаций-
1 дБ в полосе пропускания и затухание не менее 17 дБ для всех частот, боль-
ших чем 2 [рад/,с. Очевидно, применим случай 2; из выражения (6), используя
т=0,2, найдем, что а=0,36603, 0= 4,4826, К=2,5078 и Н=0,39312. Получен-
ная схема показана на рис. 4.4—2. Учитывая, что значение /7=0,139713 со-
ответствует максимальному коэффициенту усиления в полосе пропускания, рав-
ному единице (см. пример 2.4—2), получаем, что в данной реализации макси-
мальный коэффициент усиления в полосе пропускания равен 0,39312/0,139713=
=2,8138. ф
Рис. 4.4—2. Реализация эллиптического
ФНЧ в примере 4.4—1. Значения эле-
ментов даны в омах, фарадах
Рис. 4.4—3. Реализация биквадрат-
ной функции цепи на двух усилите-
лях с конечным коэффициентом уси-
ления
Биквадратный фильтр второго типа, рассматриваемый в этом
параграфе, представляет собой фильтр с двумя усилителями с ко-
нечным усилением. Одна из причин для рассмотрения такой струк-
туры— сложность расчетных соотношений, полученных для схемы
на одном усилителе, рассмотренной выше, когда нули передачи не
расположены на оси jco. Структура фильтра с двумя усилителями
с конечным усилением приведена на рис. 4.4—3 [31—33]. В этой
реализации используется один инвертирующий усилитель с коэф-
фициентом усиления, равным единице, и еще один неинвертирую-
щий усилитель с коэффициентом усиления, равным двум. Оба они
легко осуществляются с помощью операционного усилителя. Пере-
даточная функция фильтра имеет вид
I/2 (s)/^ (S) = 2 (Л-У^Уз-УД	(8)
Значения полных проводимостей можно найти путем деления
числителя и знаменателя (1) на (s + c), с>0, что делает возмож-
ным разложение на элементарные множители, реализуемые пас-
сивными .RC-цепями. Например, для числителя получаем
Н (s2 + Ьг s + 60)/(s + с) = Н s+Н b0/c + kb s/(s + с) = 2 (Ух- У2).	(9)
Величина kb является вычетом полюса в точке s = —с;
kb = H(c^-cb1 + bM-c).	(10)
Он может быть положительным или отрицательным, в зависи-
мости от соотношения с, bi и Ьо. Если kb — положительно, то Y2=
= 0 и
У1 (s) = Н s/2 + Н Ьо/2 с + l/(2/kb + 2 c/kb s).
(Н)
Реализация Yi в этом случае показана на рис. 4.4—4,а. Если
же kb отрицательно, то
F1(s) = Hs/24-^b0/2c; K2(s)= 1/(2|£ь| + 2c/|/feb|s).	(12)
Их реализация приведена на рис. 4.4—4,6. Разложение на эле-
ментарные дроби знаменателя (1), деленного на (s+c), имеет вид
(s2 + Oi s + a0)/(s + с) = s + а0/с + ka s/(s + с) = У3— У4.	(13)
a)	6J
Рис. 4.4—4. Реализация полных проводимостей Fi(s) и K2(s) на рис. 4.4—3
Величина ka является вычетом соответствующего полюса в^
точке $=—с;
ka = (c2—а^с + ад)^— с).	(14)
Если ka положительно, ТО Уд=0 и
Y3 (s) = S + Од/С + 1 /(1 lka + Clka s).	(15)
Реализация показана на рис. 4.4—5,а. Если ka отрицательно, то-
K3(s) = s + a0/c; F4(s)= l/U/l&J+c/l&Js). (16)
Их реализации приведены на рис. 4.4—5,6. Так как существует
свобода выбора с, его можно выбрать так, чтобы либо ka или Ъъ
были равны нулю.
а)	б)
Рис. 4.4—5. Реализация полных проводимостей K3(s) н ^(s)
на рис. 4.4—3
Пример 4.4—2. Всепропускающая функция. Используя структуру на1,
рис. 4.4—3, реализовать следующую всепропускающую передаточную функ-
цию:
V2 (s)/Vi (s) = (s2—2s+ l)/(s2 + 2S + 1).
(17),
Если избрать с— + 1, то цепь упрощается. В этом случае получаем еле*
дующее разложение на дроби:
(s2—2s 4- l)/(s + 1) = s + 1 —4s/(s + 1).	(18)
Следовательно, Ei(s) = (s+1)/2 и y2(s)=2s/(s+l). Знаменатель разлагает-
ся следующим образом:
(s2 + 2s+ l)/(s+ 1) =s+ 1.	(19)
Таким образом, Уз(з)=5+1 и У4(э)=0. Окончательный вад реализации
показан на рис. 4.4—6. ф
Рис. 4.4—6. Реализация всепропуокаю-
щего фильтра в примере 4.4—2. Значе-
ния элементов даны в омах, фарадах
Рис. 4.4—7. Реализация биквадрат-
ной функции цепи на усилителе с
бесконечным коэффициентом усиле-
ния
Следует заметить, что схему, приведенную на рис. 4.4—3, мож-
но также использовать для реализации функций цепи более высо-
кого порядка. В этом случае числитель и знаменатель должны
быть поделены на (s+cj) (s + c2) ... (s+сь), где k меньше, чем
степень числителя или знаменателя (любая из них больше).
Третий тип биквадратного фильтра реализуется одним усилите-
лем с бесконечным коэффициентом усиления. Его схема показана
на рис. 4.4—7 [34]; используется операционный усилитель с диф-
ференциальным входом. Передаточную функцию такого фильтра
легко найти
V2 («) __ У1 (У2 + П + Уз)—(У1 + Уд +	/20)
Vi(s) У3(У1 + Уа + У4)—У4(У2 + П +У^-
Если Y[ + Уа + У 4= У2+ Уь + Уз или Уа=У2+У3 или Уь = У1 + У4,
то (20) примет вид
v2 (syv, (s) = (Yy-YJ/tYz-Yj.	(21)
Для упрощения синтеза любые общие множители (У1 + У4) и
^Уг+Уз) можно опустить. За исключением общего множителя 2,
выражения (8) и (21) в точности совпадают, таким образом,
.процедура синтеза почти та же самая. Подробности оставляем по-
лучить читателю в качестве упражнения.
В четвертом типе реализации биквадратного фильтра, который
рассматривается в этом параграфе, используются два операцион-
ных усилителя, как показано на рис. 4.4—8 [35]. Анализ этой схе-
мы дает
V^/V, (s) = (Ух- У2) /(Y3 - У4).	(22)
что совпадает с (21). Таким образом, к этой конфигурации также
применима’в общих чертах процедура синтеза фильтра, показан-
ного на рис. 4.4—7.
Рис. 4.4—8. Реализация 'би-
квадратной функции цепи на
двух усилителях с бесконеч-
ными коэффициентами усиле-
ния. Сопротивления даны в
омах
Рассмотрим здесь еще одну реализацию биквадратного фильт-
ра. Кдк видно из рис. 4.4—9,а, в ней используются двойные Т-об-
разные цепи в качестве пассивных компонентов [36]. Передаточ-
ная функция фильтра по напряжению
V2(s)_	^ + (g/7)s + (CT
Vi(s)	s2+(a4/7)s + [l+a(2+&)]/72’
где
& + 2 = g + e; f + 2 = d; T = RC.
Из (1) и (23) получаем
Гор — 1 4* fl (2 -}- Ъ)1Т; Qp = ]Л 1 4- с (2 4* by[ad',
®z = Vb/VTT; Qz =Vbflg; Ho = f.
Если Ho, Гор, (oz, QP и Qz подлежат определению, то приведен-
ные уравнения можно разрешить относительно параметров а, Ь, е,
g, R и С. В табл. 4.4—1 показаны некоторые стандартные слу-
(23)
(24)
(25)
Рис. 4.4—9. Реализация биквадратной функции цепи на усилителе с бесконеч-
ным коэффициентом усиления
чаи, в которых используются эти методы реализации фильтров
второго порядка. Схема на рис. 4.4—9,а должна быть модифици-
рована, как показано на рис. 4.4—9,6, чтобы реализовать нули в
правой полуплоскости. Если Ri=Rz, то передаточная функция для
схемы на рис. 4.4—9,6
Vq(s) Р2
s2 —(2а/7)$+(1 +2а)/72
V1 («)	Is® + (2 а/Т) s + (1 + 2 а)/Г2
(26)
В этом 'случае получаются всепропускающие цепи. Процедура
их синтеза приведена в последней строке табл. 4.4—1. Некоторые
другие реализации биквадратных фильтров можно найти в § 5.2.
Таблица 4.4—1
Процедура синтеза фильтра на рис. 4.4—9
Тип фильтра	Выбор параметров	Передаточная функция
Нижних частот	f=g = O; 4 = 2 ; Ь + 2 = е	V2	—1>/72	 Vi ~	,2a	l+(2 + fe)g s2+ T «-I- T2
Верхних частот	£=6 = 0; е=2; 2 + f = d	v2 _ Vi	2 , ad	1 +2a s2+ T « + T2
Полосовой	f=b=O; d=2; g+e=2	V2 _	-(g/П» Vj	2 , 2a	1 -|- 2a s + T s+ T2
Режекторный	g=0; e=f> + 2 ; fi + e=2	V2	— (.fe2 + f>/72) Vi „ ad	l+(2-|-t>)a s2 + T s+ r2
Всепропускающий	О CM II -II« .q GM II II + 11 tso bo	/ „ 2 a l+2a\ — P2 I s2 —	з 4-	 | V2 _	\	T	T2 J
		V2	(2a	1 + 2a\ ^1^2 + у«+-^-)
4.5. Фильтры высоких порядков
Большинство методов синтеза, представленных в предыдущих
параграфах этой главы, ограничивалось рассмотрением реализа-
ции фильтров второго порядка. Однако, как указывалось в § 4.1,
такие реализации можно каскадировать для получения фильтров
более высокого порядка, так как использование ИНУН в качестве
выходного элемента обеспечивает необходимую изоляцию каска-
дов. Такое каскадное соединение будет иметь структуру, показан-
ную на рис. 4.5—1. Полная передаточная функция по напряжению
T’(s) будет определяться выражением вида
т (»)=Л (s) Т2 (s)... Тп/2 (s),	(1)
где п — порядок фильтра в целом, причем он предполагается чет-
ным, a Ti(s) —передаточная функция по напряжению отдельного
звена:
Л (s) = (azi s2 + alis+a0i)/[s2 + (ronz/Qi)« +	(2)
Существует ряд важных особенностей, которые нужно рассмот-
реть применительно к каскадным методам реализации функций
более высокого порядка.
Рис. 4.5—1. Каскадная реали-
зация, использующая звенья
второго порядка
Рассмотрим сначала случай, когда функция, подлежащая реа-
лизации, имеет нечетный порядок. В этом случае существуют два
возможных пути реализации. Первый из них состоит в том, чтобы
добавить пассивное звено первого порядка, сделав его одним из
элементов каскада. Это позволит реализовать отрицательный ве-
щественный полюс, связанный с функцией нечетного порядка. В
зависимости от того, должен или не должен реализовываться нуль
в начале координат, пассивная цепь будет иметь вид, показанный
либо на рис. 4.5—2,а, когда передаточная функция по напряжению
(нуль в начале координат отсутствует)
И2 (s)/Vi (s) = (l/Z?C)/(s + 1/RC),	(3
либо на рис. 4.5—2,6, где передаточная функция по напряжению
(с нулем в начале координат)
V2(s)/V1(s)=s/(s + l/Z?C).	(4)
Каждую такую схему удобно добавить как последний элемент
каскада, в этом случае выход ИНУН предыдущего каскада обес-
печивает необходимую изоляцию. С другой стороны, пассивная
Рис. 4.5—2. Звено первого по-
рядка
Рис. 4.5—3. Схема фильтра нижних ча-
стот третьего порядка Саллена и Ки
схема может быть расположена где-то внутри каскадной реализа-
ции; в этом случае необходимо использовать развязывающий уси-
литель.
Второй возможный путь, пригодный для случая, когда реали-
зуется функция нечетного порядка (за исключением случая, когда
порядок равен единице), состоит в использовании одной активной
/?С-схемы Саллена и Ки третьего порядка для реализации как от-
рицательного вещественного полюса, так и комплексно-сопряжен-
ной пары полюсов. Такая схема показана на рис. 4.5—3 [16]. Что-
бы схема была практичной, емкости всех конденсаторов выбраны
равными нормированной величине — единице, как и показано на
схеме. Тогда передаточная функция по напряжению
V2 (s)  ________________________К___________________________
Vi (S)	Rs s3 + [2 Rl Rs Ч- Ri Rs 4“ Rs Rs (2—K)I	X
.	(5)
X(2-K)]s+1
Чтобы определить сопротивление Ri и коэффициент усиления К
неинвертирующего ИНУН, заметим вначале, что для передаточной
функции нижних частот по напряжению третьего порядка, имею-
щий вид
V2 (s)/Vi (s) = H/(a3s3 + a2s2 + a1s+i),	(6)
можно написать следующие расчетные соотношения:
а3 — Ri R% R3;	(7а)
RsRs + RM2-K);	(76)
•3 + (/?1 + 7?2)(2-К).	(7в)
Решение этих уравнений можно
получить, используя численные ме-
тоды. Как пример, на рис. 4.5—4 по-
казан ряд таких решений при раз-
личных значениях К для функции
Баттерворта третьего порядка («з =
= 1, 02 = 2, 01 = 2). Из рисунка видно,,
что решение существует для диапа-
зона изменения К, равного прибли-
зительно 1,86... 2,99, хотя требуемые
значения сопротивлений, особенно'
на краях диапазона, имеют очень
большой разброс. Особый интерес
—1 представляет решение при К=2, т. е.
2.	2,5 J при таком значении коэффициента
Усиление, К усиления, который, как было показа-
но выше, можно легко и с большой
Номограмма для син- точностыо получить С помощью опе-
теза баттервортовских характери-	-
стик с помощью фильтра, схема Рационного усилителя и двух одина-
«которого дана на рис. 4.5—3 ковых резисторов в цепи обратной
связи. Для такого значения коэффициента усиления и функции Бат-
терворта третьего порядка получаем номинальные сопротивления
резисторов: Rt = 1,565, Дг = 1,469, Дз = 0,435 Ом. Легко показать, что
для Д, равного двум, существует такое решение, которое дает по-
ложительное значение номинальных сопротивлений резисторов
для любого выбора коэффициентов а, в (6) и для которого поли-
ном в знаменателе .функции цепи является полиномом Гурвица
[37]. В табл. 4.5—1 приведена необходимая справочная информа-
ция для расчета каскадных реализаций нормированных фильтров
Баттерворта различного порядка. Для заданного порядка п каж-
дое значение в таблице дает номинальное сопротивление резистора
для схемы второго порядка, показанной на рис. 4.2—3 (если опре-
деляются только и Дз) или для схемы третьего порядка, пока-
занной на рис. 4.5—3 (если определяются Дь Д2 и Д3). В таблице
предполагается использование единичных емкостей и коэффициен-
та усиления ИНУН, равного двум.
Таблица 4.5—I
Реализация /?С-фильтров Баттерворта, использующая каскадное соединение
звеньев второго и третьего порядков на одном усилителе
п	К,	«2	Я.	п	«1	Кг	К.
2	0,70711		1,41421	8	2,56292		0,39018
3	1,56520	£1,46940	0,43480		0,89998 0,60134		1,11114 1,66294
4	1,30656		0,76537		0,50980		1,96157
	0,54120		1,84776	9	2,87939		9,34730
5	1,61803		0,61803		1,00000		1,00000
	2,10944	0,93280	0,50809		0,65270		1,53209
.6	1,93185		0,51764		2,35892	0,81451	0,52046
	0,70711		1,41421	10	3,19623		0,31287
	0,51764		1,93185		1,10134		0,90798
7	2,24698 0,80194 2,28449	0,84595	0,44504 1,24698 0,51745		0,70711 0,56116 0,50623		1,41421 1,78201 1,97538
В табл. 4.5—2 и 4.5—3 приведена аналогичная информация, но
для реализации чебышевских фильтров.
Теперь можно рассмотреть использование ДС-звена еще более
высокого порядка на одном усилителе. Однако в общем случае
чувствительность таких звеньев становится существенно больше,
чем для звеньев, имеющих более низкий порядок. Для примера
рассмотрим фильтр четвертого порядка, реализованный на одном
усилителе или на двух каскадно-соединенных звеньях второго по-
рядка, схемы которых приведены на рис. 4.5—5. Если обе реали-
зации используются для получения характеристики Баттерворта
и все коэффициенты усиления изменены на 5% от их номиналь-
Таблица 4.5—2
Реализация /?С-фильтров
Чебышева с амплитудой пульсаций
0,5 дБ, использующая каскадное
соединение звеньев второго и
третьего порядков на одном
усилителе
Таблица 4.5—3
Реализация ЛС-фильтров Чебышева
с пульсацией 1 дБ, использующая
каскадное соединение звеньев второго
и третьего порядков на одном
усилителе
п	й,	Рг	Рг	п	Рг	Рг	Рг
2	0,70145		0,94026	2	0,91097		0,99567
3	1,87657	2,77768	0,26806	3	2,27516	3,64424	0,24549
4	2,85139 1,18108		0,32976 2,37557j	4	3,58330 0,48425		0,28289 2,41140,
5	4,46576 3,43569	3,04181	0,21619 0,55393	5	5,58919 4,03696	3,92009	0,18103 0,50845
6	6,43914 2,35689 1,72536		0,15181 0,71912 3,69170	6	8,04104 2,94322 2,15459		0,12553 0,60920 3,72173
7	8,77144 3,13049 4,91761	3,88785	0,11220 0,47193 0,80423	7	10,93877 3,90400 5,73554	4,98496	0,09209 0,39199 0,73885
8	11,46261 4,02513 2,68951 2,28006		0,08621 0,33512 1,03671 4,98097	8	14,28235 5,01530 3,35111 2,84094		0,07043 0,27557 0,87546 5,00983
9	14,51264 5,04019 3,28975 6,37762	4,82524	0,06828 0,25135 0,67171 1,04759	9	18,07178 6,27626 4,09654 7,41686	6,17387	0,05560 0,20549 0,55661 0,96277
10	17,92153 6,17534 3,96481 3,14649 2,83849		0,05539 0,19612 0,47427 1,33583 6,25989	10	22,30704 7,68648 4,93502 3,91646 3,53309		0,04501 0,15974 0,38928 1,12661 6,28949
ных значений, то в результате получаем картину, показанную на
рис. 4.5-—6. Очевидно каскад звеньев второго порядка обеспечивает
лучшие характеристики. С увеличением порядка фильтра, реали-
зованного одним каскадом, может существенно увеличиться чувст»
a)	и)
Рис. 4.5—5. Реализация функции цепи нижних частот четвертого порядка:
а—‘С помощью фильтра четвертого порядка; б—'Двух фильтров второго по»
•рядка
вительность реализации. Для примера на рис. 4.5—7 приведены
кривые чувствительности модуля реализуемой функции по отноше-
нию к значению коэффициента усиления К. всех усилителей в дан-
ной реализации для фильтров Баттерворта пятого, седьмого и де-
вятого порядков. Чувствительность минимизирована включением
Рис. 4.5—6. Влияние 5%-ного
изменения коэффициента уси-
ления на АЧХ фильтра:
/ — АЧХ при номинальном значении
коэффициента усиления; 2 — АЧХ
яри 5%-ном изменении коэффициен-
та усиления для каскадного соеди-
нения фильтров второго порядка;
3 —- АЧХ при 5%-ном изменении ко-
эффициента усиления для фильтра
четвертого порядка
звена третьего порядка в каскадную реализацию комплексно-со-
пряженной пары полюсов с самой низкой добротностью. Чтобы
показать, почему это важно, на рис. 4.5—8 приведен аналогичный
график для фильтров девятого порядка, в которых фильтр третье-
го порядка реализует другую комплексно-сопряженную пару полю-
сов [38]. Очевидно, что для реализации звена третьего порядка в
таком каскаде не следует выбирать высокодобротные пары.
С другой стороны, применяя методы каскадирования для реа-
лизации функций высокого порядка, следует отметить, что нет не-
Рис. 4.5—7. Чувствительность функции
цепи к изменению коэффициента уси-
ления каскадных реализаций с баттер-
вортовской характеристикой:
,1 — пятый порядок; 2 — седьмой порядок; 3 —
девятый порядок
Рис. 4.5—8.	Чувствительность
функции цепи к изменению коэф-
фициента усиления для различ-
ных пар полюсов:
1 —- с минимальной добротностью; 2 — с
более высокой добротностью; 3 — с
максимальной добротностью
обходимости использовать для реализации в целом звенья одного
и того же типа. Например, если п четно и Т ($) является полосо-
вой функцией цепи высокого порядка, то один из вариантов со-
стоит в том, чтобы выбрать половину звеньев верхних частот, а
половину звеньев нижних частот. Этот произвольно сделанный вы-
бор нулей, связанных с определенным звеном, обеспечивает допол-
нительные преимущества. Если отдельные передаточные функции
имеют как комплексные нули, так и комплексные полюсы, то мож-
но показать, что чувствительность i-ro звена SXN№ можно умень-
шить выбором подлежащих реализации нулей и полюсов настоль-
ко, насколько это возможно [39].
Другая важная особенность — выбор варианта, т. е. принятие
решения, для каких полюсов и нулей должна быть реализована
каждая каскадная реализация, иллюстрируется следующим при-
мером.
Предположим, что необходимо реализовать полосовую функ-
цию четвертого порядка, обладающую двумя комплексно-сопря-
женными парами полюсов и двумя нулями в начале координат (и
двумя в бесконечности), как показано на рис. 4.5—9,а. Такую по-
,1'"
1
*-/Ч
-/Ч
I
а)
Рис. 4.5—9. Каскадное соединение ФНЧ и ФВЧ
лосовую функцию можно реализовать в виде каскадного соедине-
ния звена нижних частот второго порядка и звена верхних частот
второго порядка. Рассмотрим теперь, каково различие в выборе
полюсов для этих звеньев. Сначала используем звено верхних час-
тот для реализации полюсов — o0±j «и и звено нижних частот для
реализации полюсов — G0±j 0)2. Полученная в итоге диаграмма
Боде показана на рис. 4.5—9,6 в виде кусочно-линейной зависи-
мости, помеченной wn(B4) <Wti(H4). Если выбрать противопо-
ложную последовательность звеньев, то получим кривую, помечен-
ную <0п(ВЧ) >©п(НЧ). Хотя полюсы и нули передаточной функ-
ции в целом одинаковы в обоих случаях, коэффициент усиления в
полосе пропускания будет выше для случая wn(B4) <wn(H4),
чем для случая wn(B4) ><оп(НЧ). Причину легко понять, если
проанализировать в отдельности каждое звено. В случае (ВЧ) >
>коп.(НЧ) звено как верхних, так и нижних частот создает ос-
лабление в полосе пропускания, тогда как в случае <on(B4)<
<о)и(НЧ) ни одно из звеньев не вносит потерь в полосе пропу-
скания; таким образом, для того чтобы достичь большого усиле-
ния предпочтительнее реализовать полюсы, расположенные наи-
более близко к началу координат в звеньях верхних частот и по-
люсы, наиболее удаленные от начала координат в звеньях нижних
частот. Более того, для достижения максимального динамического-
диапазона необходимо ставить первыми звенья с минимальной до-
бротностью. Это предохранит усилители от перегрузки. Другими-
словами, даже если коэффициент усиления в целом окажется рав-
ным единице, отдельные высокодобротные звенья могут иметь до-
статочно высокий коэффициент усиления, так что сигнал может
быть сначала усилен, а потом ослаблен последующими низкодо-
бротными звеньями.
Пример 4.5—1. Полосовой фильтр высокого порядка. Требуется синте-
зировать ПФ, имеющий максимально плоскую АЧХ, используя каскадное со-
единение полосовых звеньев второго порядка. Средняя частота должна быть
равна 3000 Гц с шириной полосы на уровне —3 дБ, равной 600 Гц, и ши-
риной полосы на уровне —30 дБ не более, чем 1500 Гц. Коэффициент усиле-
ния ® полосе пропускания равен единице. Так как отношение ширины полосы
на уровне —30 дБ к ширине на уровне —3 дБ составляет 1500/600-2,5, мож-
но прежде всего определить порядок нормированного ФНЧ-прототипа с шири-
ной полосы на уровне —3 дБ, равной 1 рад/с, и минимальным затуханием
30 дБ на частоте 2,5 рад/с. Используя номограмму на рис. 2.1—4, находим,
что порядок ФНЧ-прототипа должен быть равен четырем; это приводит к не-
обходимости иметь четыре полосовых -звена второго порядка для удовлетво-
рения указанных условий. Табл. 2.1—3 дает нормированные значения полюсов
ФНЧ-прототипа:
Sni,2=0,38268ztj 0,92388; sn3.4=0,92388±0,38268.	(8а), (86)
Используя ФНЧ — ФВЧ-преобразование (см. § 2.4) и денормируя по ча-
стоте, получаем полюсы ПФ
pt, р*1=—1,67458-103±jl8,0616-103;	(9а)
Р2, р*2=—1,80836-103±jl9,5042-103;	(96)
Рз, р*з=—0,65492-103+jl7,1747-103;	(9в)-
р4, р*4=—0,78775 • 103±j20,6576-103;	(9г>
Рис. 4.5—10. Порядок каскадного соединения звеньев в примере 4.5—I
Используя приведенные выше значения корней, можно вычислить <оп4 и Q,
цля каждого из звеньев. В результате
<o„i = 18139 рад/с, Q1=5,416;	(10а)
(й„2 = 19588 рад/с, <22=5,416;	(106)
о)п3 = 17187 рад/с, Q3=13,121;	(10в)
<оп4=20672 рад/с, Q4= 13,121;	(Юг)
Порядок каскадного соединения звеньев показан на рис. 4.'5—10. Предпо-
лагается, что коэффициент усиления на частоте резонанса каждого звена ра-
вен единице, ф
4.6. Усилители с конечным коэффициентом усиления
В предыдущих параграфах этой главы мы познакомились со
свойствами ЛС-фильтров на усилителях. В этом параграфе рас-
смотрим свойства самого усилителя, в частности, влияние на ха-
рактеристики усилителя с конечным коэффициентом усиления не-
идеальности операционного усилителя.
Общая схема неинвертирующего усилителя с конечным коэф-
фициентом усиления дана на рис. 4.6—1. Для начала предполо-
жим, что операционный усилитель имеет бесконечно большое вход-
ное полное сопротивление и нулевое выходное полное сопротив-
ление. Полагая, Что A(s) коэффициент усиления схемы в целом,
находим
A (s) = Vo_(s)/Va (s) = Ad (s)/{l + Ad (s) [RM +	U)
Используя для коэффициента усиления операционного усилите-
ля с дифференциальным входом модель, учитывающую наличие
одного доминирующего полюса, получаем
Ad (s) = GB!(s+ сой) = Д co0/(s + gjc) ,	(2)
где Ao—коэффициент усиления по постоянному току, toa— ши-
рина полосы, GB — произведение коэффициента усиления на ши-
рину полосы, или ширина полосы единичного усиления. Подстав-
ляя (2) в (1), получаем
A (s) = Vo (s)/’/s (s) = GB/{s + <оа [ 1 + Ао RM + Я2)]} «
« GB/[s + GBRM + 7?3)],	(3)
где приближенное выражение справедливо, если AoR\/(Ri +R2) > 1.
Тогда значение модуля и фазы (3)
IA (j to) I = GB/ У^ + IGBRM + W ;	(4a)
(46)
Если &<GB • Ri/(Ri + A?2), то выражение (4) можно аппрокси-
мировать следующими зависимостями:
|А (j <о)|« 1 +R2/Ri ! arg [A (j to)] (1 +^/7?!).	(5а), (56)
arg [A (j cd) ] = — arctg — (1 + W
Выражение (56) особенно важно для иллюстрации влияния
частотной характеристики операционного усилителя на характе-
ристики активного фильтра. Например, полагая, что l+T?2/-^i=3 и
a)=GB/30, и используя (56), получаем, что такой усилитель с ко-
нечным усилением создает запаздывание фазы 5,73°. Это запазды-
вание может существенно влиять на характеристики реализации в
целом.
Рис. 4.6—2. Схема инвертирующего
усилителя с конечным коэффициен-
том усиления
Рис. 4.6—1. Схема неинвертирукице-
го усилителя с конечным коэффи-
циентом усиления
Общая структурная схема инвертирующего усилителя с конеч-
ным усилением приведена на рис. 4.6—2. Для нее передаточную
функцию по напряжению
A (s) = Vo (s)/Vs (s) = -Аа (s) [RM + /?2)]/{1 + Aa (s) [/?г/(7?г + Яа)]}.
(6)
Подстановка (2) в (6) приводит в результате к выражению
A(s) = V/(s)/Vs’(s) = —[RM+RJ] GBl{s+ua[l +AoRM + %№*
^—[RM + RJ] GB/{s+GB [RM + Я2)]}>	(7)
ter"
где приближенное выражение справедливо, если AaRi/(Ri+Rz)>[.
Амплитудно-частотную и фазовую характеристики (7) можно тог-
да выразить в виде
IA (j со) | = GBRM + RM<& + [GBRM + Т?2)]а;	(8а)
arg [A (j w)J = л—arctg [(w/GB) (1 7?2//?х)].	(86)
Если a)<GBRll(Ri+\R2), то выражение (8) можно аппроксими-
ровать следующим образом:
|A(jco)| л?/?2//?х;	(9а)'
arg [А (jco)] я* л—(at/GB) (1 + RJRJ-	(9б>
Сравнивая (3) и (7), можно заметить, что полюсы инвертирую-
щего и неинвертирующего усилителей с конечными коэффициента-
ми усиления подобны друг другу. Существует, однако, одно отли-
чие, которое становится особенно заметным для низких значений
коэффициентов усиления. Рассмотрим, например, усилитель с еди-
ничным коэффициентом усиления. Для неинвертирующей схемы
(см. рис. 4.6—1) требуется, чтобы Ri — co и 7?2 = 0. Следовательно.,
полюс передаточной функции (3) расположен в точке s= —&
Для инвертирующей схемы, показанной на рис. 4.6—2, едини*
усиление достигается при Ri=R2. Из выражения (7) получаем^' йА'
полюс передаточной функции по напряжению этой схемы pT-'tWH'
ложен в точке s=—GB/2. Таким образом, инвертирующий усиЛ-
тель с конечным коэффициентом усиления имеет более существ
ные частотные ограничения (ширина полосы вдвое уже), чем’"
инвертирующий усилитель. Очевидно, что, как только отношёй- /
Rz/Ri становится большим, полюсы для обоих типов усилителей'
практически совпадают, принимая значение s=—GBRjRz-
Рассмотрим теперь случай, когда входное и выходное полные
сопротивления операционного усилителя неидеальны. В этой си-
туации частотная зависимость величины Ad(s) приведет к тому,
что входное и выходное полные сопротивления усилителя с конеч-
ным коэффициентом усиления также будут частотно-зависимы.
Для этого случая {см. выражения (11) и (12) приложения Б]
эквивалентные схемы усилителей показаны на рис. 4.6—3. В слу-
Рис. 4.6—3. Влияние входного и выходного сопротивлений операционного уси'-1
лителя на параметры усилителей с конечным коэффициентом усиления: •:
а — шеиивертирующего; б — инвертирующего. Значения элементов даны вома>н.
генри, фарадах
чае неинвертирующего усилителя (см. рис. 4.6—За) Д(з) опредес
ляется выражением (3). В случае инвертирующего усилителя (см.,
рис. 4.6—36). Д(а) определяется выражением (7). При построении
схем предполагалось, что Ri или /?2 больше, чем Ro, и что Ri или
R2 меньше, чем Ri. Другие подробности можно узнать, решая
предложенные задачи. Точные эквивалентные схемы для этих
усилителей можно найти в указанной статье {40].
Для большинства применений активных фильтров значения
входных и выходных полных сопротивлений усилителей с конеч-
ным коэффициентом усиления практически не оказывают влияния
на характеристики фильтра в целом. Как исключение можно при-
вести реализации с отрицательным коэффициентом усиления, в ко-
торых входное сопротивление приблизительно равно R\, в резуль-
тате чего нагружается /?С-цепь обратной связи. Другой проблемой
в случае реализаций с отрицательным коэффициентом усиления
является то, что отношение Rz/Ri для схемы на рис. 4.6—2 должно
быть велико для высокодобротных реализаций (для добротности,
равной 10, /?2/Д1 = 900). Однако из (86) следует, что для того, что-
бы ограничить запаздывание фазы, вызванное инвертирующим
7 .лем, значением не более 6 при добротности 10, максималь-
) V1 счетная инвертирующая частота должна быть порядка
u. 1. Так, если GB=l МГц, то указанное соотношение огра-
чак максимальную частоту фильтра приблизительно уровнем
к Эти и другие причины приводят к тому, что фильтры на
елях с отрицательным коэффициентом усиления не пользу-
опулярностью. Можно также сказать, что выходное полное
си. явление неинвертирующих и инвертирующих усилителей с
конс>дым коэффициентом усиления мало влияет на характеристи-
ки активного фильтра в целом. Причина заключается в том, что
эти сопротивления обычно малы, потому что внутренняя петля об-
ратной связи, состоящая из резисторов Ri и R?, приводит к умень-
шению собственного выходного сопротивления операционного уси-
лителя.
Одним из параметров операционного усилителя, который ока-
зывает заметное влияние на характеристики активного фильтра в
целом, является скорость нарастания сигнала. Ограничения на
скорость нарастания могут влиять на малосигнальные параметры
усилителя с конечным коэффициентом усиления, когда уровень
сигнала достаточно велик и/или частота сигнала достаточно высо-
ка. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим модель влияния нараста-
ния сигнала на характеристику усилителя, не охваченного обрат-
ной связью (см. приложение Б). Было показано [41], что если в
схеме на рис. Б—12 вводится обратная связь [в этой схеме f(Vi)
моделируется, как показано на рис. Б—13], то сигналы большой
амплитуды могут вызвать искажения как АЧХ, так и ФЧХ усили-
теля Для анализа таких искажений необходимо решить систему
нели ейных уравнений, поэтому здесь его проводить не будем. Од-
нако важный результат такого анализа состоит в том, что для ма-
лого сигнала фазовый сдвиг инвертирующего усилителя можно
записать в виде
arg [A (j w)] = л—arctg [(со/GB) (1 + RJRJ/N (A)],	(10)
где N (A)—описывающая функция [42], a A'—амплитуда сину-
соидального напряжения, приложенного как Vi на рис. Б—12. Ес-
ли искажения, вызванные конечной скоростью нарастания, отсутст-
вуют, то /У(А) = 1. Однако, когда скорость нарастания влияет на
рассмотренную характеристику, N (А) становится меньше единицы
и приводит к возрастанию запаздывания фазы в режиме малого
сигнала. Это, в свою очередь, может привести к возникновению
проблемы обеспечения устойчивости для некоторых активных
фильтров. Влияние искажений в режиме большого сигнала, опи-
санное выше, показано графически на рис. 4.6—4 для инвертирую-
щего усилителя с единичным коэффициентом усиления. Параметр
^g/й, используемый на рисунке, предотавляет собой отношение MG
(амплитуды входного сигнала) к пороговому уровню 6, опреде-
ленному на рис. Б—13. На рисунке приведены как рассчитанные
теоретически, так и наблюдаемые фактически значения. Если ко-
эффициент усиления изменяется от —1 до —10, то в результате
(получаем характеристики, показанные на рис. 4.6—5. Аналогичные
характеристики для режима большого сигнала здесь не приводят-
ся только потому, что они более сложны, чем соответствующие ха-
рактеристики инвертирующего усилителя [43].
Рис. 4.6—4. Искажения в режиме большого сигнала для инвертирующего уси-
лителя с единичным усилением
Избежать появления указанных искажений в режиме большого
сигнала можно, либо выбрав операционный усилитель с более вы-
сокой скоростью нарастания, либо предохранив усилитель от тако-
го нарастания. Операционные усилители с полевыми транзистора-
ми на входе имеют не только более высокую скорость нарастания,
но и большее значение 6, чем усилители с биполярными транзис-
торами. Операционный усилитель можно предохранить от чрез-
мерной скорости нарастания, предотвратив чрезмерное превышение
g сигналом Vi. Однако это решение обходится слишком дорого,
так как избыточное нарастание появляется тогда, когда амплитуда
входного сигнала превышает уровень 6 и когда наклон выходного
сигнала превышает SR. К сожалению, когда амплитуда входного
сигнала больше 6 и наклон выходного сигнала меньше, чем SR, то
Рис. 4.6—5. Искажения в режиме |большого сигнала для инвертирующего уси-
лителя с коэффициентом усиления 10
избыточного нарастания не происходит, и оказывается, что нет
необходимости ограничивать входной сигнал. Более удачным ре-
шением было бы установить перед операционным усилителем схе-
му, ограничивающую скорость нарастания до величины, при ко-
торой наклон на выходе усилителя еще не превышает значения
S/? [44]. К сожалению, такие ограничивающие схемы сами вно-
сят дополнительные искажения фазочастотной характеристики.
Во многих случаях при синтезе фильтров разработчику необходи-
мо найти скорость нарастания, которая является предельной для
данной реализации.
4.7. Чувствительность частотно-зависимых
параметров цепи
В этом параграфе рассмотрим новую концепцию в анализе
чувствительности, а именно: чувствительность частотно-зависимых
параметров цепи. При реализации активных фильтров такая зави-
симость характерна для коэффициентов усиления активных эле-
ментов цепи. В частности, операционные усилители, используемые
для синтеза таких цепей, являются дифференциальными и харак-
теризуются известной моделью коэффициента усиления с домини-
рующим полюсом
Ad(s)=GB/(s+aa) = Aoaa/(s+aa),	(1)
где До — коэффициент усиления по постоянному току, wa — ши-
рина полосы, a GB — произведение коэффициента усиления на
ширину полосы, или ширина полосы единичного усиления. На час-
тотах выше, чем <ва, (1) принимает вид
Ad (s) = GB/s.	(2)
В этом параграфе исследуем чувствительность полюсов цепи
к изменению GB. Больше всего для такого исследования подхо-
дит относительная чувствительность комплексных корней
S Pf ^dPi/Pi _ ____1____д Pi	/т
св dGB/GB PiGB dtl/GB)*
где pi — положение одного из полюсов передаточной функции це-
пи. Эту чувствительность будем далее называть частотно-зависи-
мой.
Рассмотрим теперь общий метод вычисления Для слу-
чая, когда Д<г(х) можно представить выражением (2), знамена-
тель D(s) ДС-реализации на усилителях можно записать в виде
следующего степенного ряда:
D (s) - Ро (s) + Рх (s) (s/GB) + Р2 (s) (s/GB)2 +...,	(4)
где коэффициенты Pi(s) ряда суть полиномы от переменной комп-
лексной частоты s. Если оставить только первые два члена разло-
жения, то
D&ttP^ + ls/GBjP^s).	(5)
Полученное выражение можно переписать в виде
D&« k ( s2 + s+дД	s^q1S + q0),	(6)
\ Ч	/ Оо
где k, qz, q\ и qo являются функциями <в„, Q и параметров реали-
зации. Очевидно, что как только GB стремится к бесконечности,
D(s) стремится к виду, стандартному для знаменателя передаточ-
ной функции второго порядка. Используя методику § 3.4 и (5),
можно получить
d(l/GB) dD(s)/ds |s=pf ~ dPu(s)/ds |s=pt '	' '
Более удобная форма (7) имеет вид
dpi _ __ / 1 V dpt _ / _L_y sPi(s) I	,g.
8GB \GB) d(l/GB> \ GB / dP0(s)/ds |s=p.
Применяя результаты в (8) к (6), получаем
8GB VkGB*
2
Im^ = -------(jh------------------41---92 + _4c__2(?2 + 2^i-Y
dGB 2AT/(4Q2— 1)GB2 Q2 Q®n	con j
(96)
Эти уравнения можно упростить путем замены
*=<7г—<71<2/<оп; */ = <7г—<7o/®j?	(Ю)
Тогда выражения (9) принимают вид
Re (dptldGB) = (-<о2/2^3) (x/Q2 - у)-	(11а)
Im(dpildGB)= (—<»n/2kGBzV~^—l) (x/Q*—2x—y).	(116)
Подставляя их в (3), получаем
Х/О2 у XI	/1 о\
-i/4q^i	;]	( '
4a .	41 _______ , 4o
Qa l<2o>„	92 + a2
(9a)
-H+j(
CB \2kpiGBJ L\lQ3 J \
Так как pt = (<o2/2Q)(— 1 + j V4Q2— 1),	то можно показать,
Scpt=((Pn/2QkGB) [-х+j (2Qa у_х)/У4^1].	(13)
Вещественную и мнимую составляющие (13) тогда можно вы»
разить в виде
Re	= —<о„ x/2k QGB-,	(14а)
ImScPj = co„(2Q2 y-x)/2kQGB]/lQ^i.	(146)
Решая эти уравнения относительно SfiGn и S^GB и используя
(12), § 3.5, получаем
S^B = [(4Q2-1 )/4Q2] (Im ReS^);	(15a)
Sc°Bn = Re S^/4Q2 + [(4Q2 — 1 )/4Q2] (Im S$	(156)
(тот факт, что в этих соотношениях используется нормированная
'чувствительность корней, не играет роли).
Другой полезной мерой чувствительности является значение
квадрата модуля SPiGB. Она особенно полезна при минимизации
частотно-зависимой чувствительности, которая будет проведена
ниже. Квадрат модуля SpzGB
= [<^2GB2(4Q2-1)] (x^-xy+Q^tf),	(16)
где х и у определяются из (10).
Частотная зависимость реализаций на одном усилителе нахо-
дится §путем определения коэффициентов Ьг и с.г, как описано в
&2 S3 4Л S-Ь Ьо = Ув (У4 -ь У2 + YS+УЙ) + У2У3;	(17а)
с2 s2 + сг s + с0 = (У3+У4+У6) (У, + У2 + УБ)+У3 (У4+У„). (176)
Усилитель, используемый в реализациях на одном усилителе с
конечным коэффициентом усиления, можно изобразить, как пока-
зано на рис. 4.7—1. Коэффициент усиления A(s) легко находится,
если его представить в виде
A’(s) = Vo (s)/Vf (s) = l/ИМл (s) +1/(1 + 7QL	(18)
где Ki определяет отношение сопротивлений
резисторов, как показано на рис. 4.7—1. Ам-
плитудно-частотную характеристику операци-
онного усилителя можно представить в рамках
этой модели, если использовать (1) для выра-
жения A<j(s). В результате получаем
A(s)=l/[s/(GB)+(Ld;	(19)
где	ол = 1 Мо + V( 1+ ^i).	(20)
Общая передаточная функция по напряже-
нию для реализации с одним усилителем вида
(Н),§4.1,
-------------.	(21)
Vl(s)	[c2S2 + CiS + Co)M(S)] —(Ма4-М4-М
Подставляя (19) в (21) и полагая qi = c.t (i=0, 1, 2), получаем
V8 (s) _______________________YjYs_______________________
(s)	Цл (?2 fi2 + s + <7о) 4- (s/GB) (<?2 s2 s qB) — (b2 sa 4- bt s 4- bB) *
(22)
.Последнее выражение можно переписать в виде
Рис. 4.7—1. Схема не-
|Инвертирующего уси-
лителя
V
(«)
Vx(s)
3
Г К
(стл4а —М s24-
( саЯ1—Ь1	\	стл Я о—Ьо	S 1
	1 s 4“	
\ °А Яг — Ь2	/	СТЛ Яг—Ь2	GB
(?2 sa 4- <71 S 4- <7о)
(23
При G , стремящемся к бесконечности, имеем
Нт И» Is) =________У^з/^л^ — ^)___________
GB->ooVi(s)	/ сл?1 — Ьх \	<тл<?0— 60
sa	_ I s_|_ ,	—
\ °Л ?2-"2 / аЛ?2-------Ъ2
Сравнивая полученное выражение со стандартной
функции цепи второго порядка, видим, что
«2 = (ол q0—b0)/(PA q3—b2);
O\/Q = (°л <7i~ 61)/(ол q2—b2).
Числитель такой стандартной функции будет иметь ви,
(24)
формой
(25a)
(256)
для ФНЧ:	Но— |И1Уа/(ол<7о Ьо) |;	(26а)
для ПФ	sHq = 1 Kj У3/( ол qx &i) 1 >	(266)
для ФВЧ	s2 Но =-1У1 У3/( ол q2—b2) |.	(26в)
Чтобы упростить (23), определим
k = aAq2—b2.	(27)
Тогда знаменатель (23) запишется как
D (s) = k (s2+s/Q + ®2) + s (q2 s2 + qx s + q^GB,	(28)
что соответствует форме, приведенной в (6).
В качестве иллюстрации применения результатов, рассмотрен-
ных выше, исследуем реализацию ФНЧ, определенную выражени-
ем (10), § 4.2. Для этого, используя (17), находим
&2 s2 -}- bx s + b0 = s С2 G3;	(29а)
<7г s2 + qx s 4- qQ = s2 (С2 С4) + s (С2 G3 + CtGx + Ct Gs) -J- Gx G3. (296)
Из (20) и (27), учитывая, что b2 = 0 и (1 + Ki), получаем
k = ол <72— Ь2 = ол q2, ол « 1/(1 + ^),	(30)
а из (25), так как и Ьо=О,
&2n=q0/q2, ^niQ=qiiq2—b1iGAqv	(31)
Преобразуя это выражение, находим
q0/^n =	?2—(<2/®п) <71 = — (<2/®п) (&1/О-Л )•	(32)
Подставляя полученное в (10), имеем
х = — QbjMn ол; у = 0.	(33)
Квадрат модуля чувствительности корней функции по отноше-
нию к GB (16) будет теперь определяться следующей величиной:
II2 = [Q2/o| GB2 (4Q2-1)] (6^)2.	(34)
Извлекаем квадратный корень из обеих частей равенства:
|ор£|_ <2(14-/<,)2 ( I	<2	i/T^T ,о~
1 gbI GBV4Q£=nU3cJ 1/4С*=тД GB )Y Rsct'
где Но+ 1+70. Для варианта синтеза, использующего равные но-
миналы сопротивлений и емкостей (вариант 1 § 4.2), это дает
I Scpt | = (Q/]/4Q*=T) (Я2 &n!GBy	(36)
Было бы интересно с этой точки зрения проиллюстрировать,
как pt зависит от частотной характеристики операционного усили-
теля, используя для этого графические средства. Чтобы сделать
это, найдем траектории полюсов данной функции цепи при измене-
нии GB. Прежде всего перепишем (28) в виде
D (s) = % {s3/GB+s2 [ол + (1 /GB) (<d„/Q + Ьг/аА </2)] +
4- s (од <on/Q+&>2/GB) + од <o2}.	(37)
.Для варианта 1, как он был определен в (14), § 6.2, имеем
•Од = 1/К = Q/(3Q-1) = 1/(14- Кг);	<?2 = 3 <on-<Dn/Q.	(38)
В результате (37) принимает вид
»?(s) = (%/GB) {s8 + s2 [Зю„ 4-GBQ/(3Q— 1)] 4- s [co2 + GB©n/(3Q-1)] 4-
4-GBQ co2/(3Q—1)}.	(39)
Нормируя на величину a>n, так что sn = s!<i>n и Bn=GB/&>n,
•можно переписать (39) следующим образом:
D(s) =	{s"+s"[3 + GBn Q/(3Q~1)1 + s"[1 + GBn/(3Q-1)] 4-
4-GB„Q/(3Q-l)}.	(40)
~0,3-0,Z -0,f a
di
Вычерчивая траекторию
полюсов в верхней полу-
плоскости как функцию
GBn и используя Q как па-
раметр, получаем траекто-
рии, показанные на рис.
4.7—2. Эти кривые нагляд-
но характеризуют влияние
GB на pi [45].
Рис. 4.7—2. Влияние GB на
положение полюсов 7?С-фильт-
ров Саллена и Ки нижних и
верхних частот второго по-
рядка с равными номиналами
сопротивлений и емкостей (ва-
риант 1, § 4.2 и 4.3)
Пример4.7.1. Определение фактических значений а>п и Q фильтра ниж~
них частот на усилителе с конечным коэффициентом усиления. Требуется най-
ти фактическое значение ц>„ и Q для реализации ФНЧ на усилителе с конеч-
ным коэффициентом усиления, вариант 1, § 4.2. Желаемые шп и Q+авны
соответственно 100-2л крад/с и 1. Значение GB .равно 1,5 МГц, а частотная,
характеристика усилителя имеет форму, описываемую выражением (1). Нор-
мированное значение GBn равно 15. Из рис. 4.7—2 фактическое положение?
нормированных полюсов соответствует следующим значениям: an±jPn=—0,4±
+j0,78. Используя эти результаты, можно вычислить
©пнорм = V«2-|-р2 = 1/0,42 + 0,782 =0,876 рад/с;
0. = a>n норм/2ап = 0,876/2 (0,4) = 1,096.
Поэтому фактически .значения ton и Q составляют 87,6-2л крад/с и 1,096,.
В этом случае отклонение достаточно .мало, чтобы легко можно было пересчи-
тать соответствующие значения. Для некоторых реализаций, однако, такую»
нодстройку трудно осуществить, ф
Анализ других вариантов реализаций фильтров на усилителях,
с положительным конечным коэффициентом усиления легко осу-
ществить, следуя методике, описанной выше. Результаты некото-
рых таких исследований приведены в табл. 4.7—1. Сдвиги полюсов;.
pi в приведенных примерах показаны на рис. 4.7—2 — 4.7—4. Эти
сдвиги можно непосредственно связать с запаздыванием фазы,,
вызванным использованием неинвертирующего усилителя. Запаз-
дывание фазы анализируется в § 4.6. В частности, в (46), § 4.6,„
показано, что как только GBn достигает значения, равного едини-
це, запаздывание фазы становится большим. Однако, так как мо-
дуль передаточной функции для реализации на усилителях с по-
Рис. 4.7—3. Влияние GB на положе-
ние полюсов У/С-фильтров Саллена
и Ки нижних и верхних частот вто-
рого порядка на усилителе с единич-
ным усилением (вариант 2, § 4.2
'И 4.3)
Рис. 4.7—4. Влияние GB на положе-
ние полюсов полосового У/С-фильт-
ра Саллена и Ки второго порядка
с равными номиналами сопротивле-
ний и емкостей (вариант- 1, § 4.3) s
Сводка выражений для вычисления частотно-зависимой чувствительности
для реализаций с положительным коэффициентом усиления
Таблица 4.7—1
Вид реа- лизации с положи- тельным коэффици- ентом уси- ления	Ограничение			lsp« 1 GB	И D (sn)
ФНЧ	"Л (рис. 4.2—3)	Нет	।		Q ( ^2о юп \ 1		М Са R3 С4	
		V4Q2—I \ GB ) V			
	Ri=Rz=R\ С^—С^—С (рис. 4.7—2)	Г, х q^n 0(S“|- ов/	3  (о  GBn Q [S"+r + 3Q-lJ		с2 । ( 1 ।	\ с ।	1 " \1 3Q— 1 ) п 3Q—1 J
	К=//о=1; m = CilCz, п= —R3/Ri= 1 (рис. 4.7—S)	D(Sn)=?^n 1 ’ GBn	) <3 1 ( /TR 1	1	л _\ о	/ .	\	1
			р + 1 иитГГ	Q	z,«!|sn+^1+ q 1 Sn-i-(jL>nj
ПФ (рис 4.3—1)	Нет	1 с₽г 1 _ (14~К1) ^»юп 1 Ki		j	
		GBV4Q2—1 \Я2			
	Ri=Rz=Rt—R', Cs—C^—C (рис. 4.7—4)	n z \	п I °ы~ ов„ М + 4Q-'|	о /	/—	G£L? Q \ о s3 + 2 1/2 4- 		^-7= 1 s2 + п -г и т 4^_ ]/2 р т \	, GBn Q ]		
			/2 jSn+ 4Q — У 2 J		
|ФВЧ (рис. 4.3—2)	Нет	। Pi. _ Q.	(н2о®п \ св| 4<22 — 1 \ GB )		1/^1	
	R2=Rt=R', С1=Сз=С (рис. 4.7—2)	D (sn) — то же, что и для случая ФНЧ с одинаковыми R и С			
	А=77о=1; n=Rt/R2=‘l', т= =С3/С1 (рис 4.7—3)	D(sn) —то же, что и для случая ФНЧ с единичным усилением и и=1			
ложительным коэффициентом усиления при разомкнутой петле
обратной связи никогда не превышает единицы, это не может при-
вести к тому, чтобы реализация стала неустойчивой.
4.8. Выводы
В этой главе были рассмотрены .RC-фильтры на усилителях..
В § 4.1 была представлена общая структурная схема фильтра на.
одном усилителе. Эта схема использовалась для реализации функ-
ций фильтрации нижних частот в § 4.2 и верхних частот и полосо-
вых в § 4.3. Было приведено несколько вариантов процедур синте-
за для каждого типа фильтра. Чувствительность таких реализа-
ций, как было показано, должна быть относительно высока, сле-
довательно, в общем случае они полезны только для реализации,
низкодобротных звеньев фильтров. В § 4.4 обсуждались реализа-
ции функций цепи с комплексно-сопряженными нулями и полюса-
ми, были представлены реализации, использующие один или два,
усилителя с конечным или бесконечным коэффициентом усиления..
Реализации фильтров более высокого (чем второй) порядка об-
суждались в § 4.5. И, наконец, в §§ 4.6 и 4.7 исследовалось влия-
ние ограничений, вносимых операционным усилителем, на харак-
теристики RC-фильтров с усилителями в области высоких частот.
В следующей главе рассмотрены некоторые дополнительные-
структуры RC-фильтров на усилителях.
Задачи
4—1 (.§ 4.1). а) Найдите полиномы, определенные в (10) § 4.1: ^i(s),.,
Ns2(s) и AT33(s) для цепи на рис. 3.4—1. Считайте, что все пассивные эле-
менты имеют .значение, равное единице.
б) Каким должен быть ИНУН — инвертирующим нли неинвертирующим, —-
для того чтобы с помощью этой схемы можно было реализовать комплексно-
сопряжеиные полюсы передаточной функции по напряжению.
Рис. 3. 4—I. Схема фильтра Рис. 3. 4—2. Схема фильтра
задачи 4.1	задачи 4.2
4—2 (§ 4.1). Решите задачу 4—1 для цепи на рис. 3.4—2.
4—3 (§ 4.2). Повторите вывод, определяющий структуру ФНЧ с поло-
жительным коэффициентам усиления усилителя, .приведенный в § 4.2, пола-
гая при этом, что в (10), § 4.1 6о=/=О, £ц¥=0 и Ь2=0.
4—4 f§ 4.2). Используя расчетные 'соотношения (13), § 4.2, реализуйте
фильтр Бессей^ второго порядка с групповым временем прохождения 1 мс.
4—5 ('§ 4.2). Другой метод синтеза ФНЧ на рис. 4.2—3, который позво-
ляет удовлетворить требованиям, накладываемым на Но, а также на со„ и Q,
состоит в следующем: выберем К=Н0 ,и С2=С4=С, тогда
R3 = (1 /2соп QC) [ 1 + 1/14-4(?(Я0-2)]; К, = 1 /а£ С3 R3,
где Но>2.
Применяя эти соотношения, проведите синтез фильтра с /„=30 Гц,
/70=Ю и С=0,1 мкФ.
4—6 i(§ 4.2). Выведите расчетные соотношения, приведенные в задаче
4—5.
4—7 (§ 4.2). Определите различные чувствительности в выражении (27),
§ 4.2, для реализации ФНЧ Саллена и Ки, показанного на рис. 4.2—4, в ко-
тором и С4=0,1С2.
4—8 (§ 4.2). Определите различные чувствительности в выражении (27),
§ 4.2, для реализации ФНЧ Саллена и Ки, схема которого показана на рис.
4.2—4, в котором С2="|/3Q, Ct=l, Ri=l/Q(£>n, 7?з='1/( Д/Зюи) и Ci=l/2Q(i>n.
4—9 (§ 4.2). Определите различные чувствительности в выражении (27),
§ 4.2, для реализации ФНЧ Саллена м Ки, схема которого приведена на
рис. 4.2—4, в котором С2="|/3<2, C4=l, i?1 = l/Qto„, 7?з=1/(1/3 ©„) и /<=4/3.
Считается, что эта реализация является наилучшим компромиссом между чув-
ствительностью активных и пассивных элементов [46].
4—10 (§ 4.3). Докажите, можно или нельзя использовать схему ДС-фильт-
ра на усилителе с положительным коэффициентом усиления для реализации
комплексно-сопряженных полюсов, если установить усиление К=1.
4—11 (§ 4.3). Спроектируйте .полосовой /JC-фильтр на усилителе, исполь-
зуя метод, описанный в § 4.3, при условии, что проводимости реализуют сле-
дующие элементы: yi=sC4 и У3=бз. Получите расчетные соотношения, ана-
логичные выражениям (8) и (9) этого параграфа.
4—12 (§ 4.3). Еще одна процедура синтеза ФВЧ, схема которого пока-
зана на рис. 4.3—2, которая позволяет удовлетворить требованиям, наложен-
ным на Но, а также на <в„ и Q, состоит в следующем: выберем С4=Сз=С,
тогда
Ra = [1 /2Q 4- l/2(//0-l)4-l/4Qa]/2c0n С;
Ri = (2/ГОп C)/[1/2Q +1/2 (/70 —I) + 1/4Q2 ].
Применяя эти соотношения, синтезируйте фильтр с <2=0,707, /„=300 Гц
и Яо=1ОО.
4—13 (§ 4.3). Выведите расчетные соотношения, приведенные в задаче
4—!12.
4—14 (§ 4.3). а) Для схемы 7?С-фильтра верхних частот Саллена и Ки,
передаточная функция которого по напряжению приведена в (20), § 4.3, най-
дите выражения для чувствительности, аналогичные приведенным в (27), § 4.2,
для ФНЧ. Используйте для ИНУН реализацию на операционном усилителе,
как показано на рис. 4.2—4.
б) Используйте полученные выше результаты, чтобы составить таблицу
чувствительности для первых двух вариантов, определенных в § 4.3.
4—15 (§ 4.3). Повторите предыдущую задачу для ПФ, передаточная функ-
ция по напряжению которого приведена в (8), § 4.3, и для варианта 1, рас-
смотренного в этом параграфе.
4—16 ;(§ 4.3). а) Найдите передаточную функцию по напряжению для
ФНЧ с отрицательным коэффициентом усиления, показанного- на рис. 3.4—2
(где К<0).
б) Полагая /?i=7?2=i/?3=iR и С4=С5=С, найдите расчетные соотношения
для RC и |К| 'в зависимости от <оп и Q [см. выражение (1), § 4.2]; найдите
также выражение для |Я0|.
4—17 (§ 4.4). а) Используя схему фильтра, показанную на рис. 4.4—il,
найдите реализацию функции цепи вида
V2 (s)/^ (s) = Я (s2 + 1,2)/(s2 + 0,184-1).
Положите параметр т равным единице.
б) Чему равно окончательное значение постоянной Яо?
4—18 (§ 4.4). Повторите задачу 4—17 для функции цепи вида
Г2 (s)/Vt (s) = Я (s2 + 0,9)/(sa + 0,1 s + 1).
4—19 (§ 4.4). а) Повторите задачу 4—17 для схемы фильтра, показан-
ной на рис. 4.4—3. Используйте множитель (s+1) -в разложении на простые
дроби.
'б) Повторите задачу 4—18 для данной цепи.
4—20 (§ 4.4). а) Повторите задачу 4—17 для схемы фильтра, показан-
ной иа рис. 4.4—7. Используйте множитель (s+1) в разложении на простые
дроби.
б) Повторите задачу 4—18 для этой схемы.
4—21 (§ 4.4). а) Повторите задачу 4—17 для схемы фильтра, показанной
на рис. 4.4—8. Используйте множитель (s+1) в разложении на простые дроби.
б) Повторите задачу 4—18 для этой схемы.
4—22 (§ 4.5) а) Проведите синтез активного 7/С-фильтра нижних частот
восьмого порядка с пульсацией 1 дБ в полосе пропускания и частотой среза
20 кГц. Используйте фильтр, схема которого показана на рис. 4.2—3, для каж-
дого звена второго порядка в каскадной реализации. Используйте вариант 1,
§ 4.2, для определения значений элементов.
б) Повторите эту задачу, используя вариант 2.
в) Повторите эту задачу, используя вариант 3, и убедитесь в правильно-
сти соответствующих значений табл. 4.5—3.
4—23 (§ 4.5). Сделайте эскиз АЧХ ПФ Баттерворта четвертого порядка
СО средней частотой 1 рад/с и шириной полосы 1 рад/с, реализованного путем
каскадного соединения полосовых звеньев -второго порядка, в которых постоян-
ная Яо принята равной единице.
б) Повторите то же для каскадного соединения ФНЧ второго порядка и
ФВЧ -второго порядка, причем ФНЧ реализует полюсы, ближайшие к нача-
лу координат, а постоянная Но равна единице для обоих фильтров.
в) Повторите то же с той только разницей, что теперь ФВЧ реализует
Полюсы, ближайшие к началу координат.
4—24 ('§ 4.6). Найдите частоту, на которой структура с неинвертирующим
°перацио-нным усилителем, имеющим коэффициент усиления 10 и GB равным
* МГц, будет иметь избыточное запаздывание фазы 10°.
4—25 (§ 4,6). а) Найдите значение избыточной фазы для неинвертирующе-
го усилителя с коэффициентом усиления 10, когда <a = GB/100.
б) Повторите то^же для <b = GB/10.
в) Повторите сделанное в п. а) и б) для инвертирующего усилителя с ко-
эффициентом усиления —10.
4—26 (§ 4.6). Найдите максимальную частоту, на которой запаздывание
фазы, вызванное усилителем, использованным в схеме ФНЧ с отрицательным
коэффициентом усиления (см. задачу 4—16), будет меньше 10°, если GB—
= 1 МГц и Q=4.
4—27 (§ 4.6). а) Найдите величину избыточной фазы, которая создается
инвертирующим усилителем с единичным усилением на частоте <о=0,01 GB.
б) Повторите то же для <о=0,1 GB.
4—28 (i§ 4.7). Выведите выражение (9), § 4.7.
4—29 (§ 4.7). а) Найдите модуль |SP‘GB | для реализации ФНЧ, в которой
используется усилитель с положительным коэффициентом усиления <2=10,
fn —10 кГц, a GB операционного усилителя равно 1 МГц. Предполагается,
что используется процедура, описанная в § 4.2 для равных номиналов сопро-
тивлений резисторов и емкостей конденсаторов (вариант 1).
б) Найдите фактическое положение полюсов фильтра, рассмотренного вы-
ше, и вычислите фактические значения Q и f„.
в) Повторите проделанное выше для случая, когда fn=50 кГц.
4—30 (§ 4.7). а) Используя табл. 4.7—4, .найдите |SPfGBl для полосово'
го iRC-фнльтра на усилителе с положительным коэффициентом усиления, если
Q=10, fn= 10 кГц и GB операционного усилителя составляет 1 МГц. Пред-
полагается, что используется процедура, описанная в § 4.3, для равных но-
миналов сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов (вариант 1).
'б) Подтвердите правильность выражений, приведенных в табл. 4.7—1, для
lSPt-cB| и D(sn) для этого фильтра.
5
А’С-ФИЛЬТРЫ НА УСИЛИТЕЛЯХ. ЧАСТЬ 2
В предыдущей главе были рассмотрены 7?С-фильтры на усили-
телях, причем главным образом фильтры, в которых в качестве
усилителя использовался ИНУН, имеющий относительно низкий
коэффициент усиления, обычно в диапазоне от 1 до 5. В этой гла-
ве проанализируем другие типы фильтров с усилителями, и, преж-
де всего, фильтр на усилителе, в качестве которого используется
ИНУН с бесконечно большим, в идеале, коэффициентом усиления,
т. е. операционный усилитель. Фильтр с таким усилителем в ка-
честве активного элемента будем называть фильтром с бесконечно
большим коэффициентом усиления, где слово бесконечный, конеч-
но, относится к коэффициенту усиления активного элемента, а не
к коэффициенту усиления схемы в целом. Такой тип фильтра име-
ет как преимущества, так и недостатки, если сравнивать его с те-
ми типами, которые рассматривались в предыдущей главе.
5.1.	Фильтры на одном усилителе с бесконечным
коэффициентом усиления
В этом параграфе рассмотрим, прежде всего, два типа фильт-
ров с бесконечным коэффициентом усиления. Чтобы получить пер-
вую структуру фильтра, рассмотрим схему на рис. 4.1—3. Ее пе-
редаточная функция по напряжению приводится в (5), § 4.1. Из
этого выражения, полагая, что К стремится к со, получаем
У2 (®)1 (S) — У31 (S)/Уз2 (S)•	(О
Теперь можно определить первую структуру фильтра на одном
усилителе с бесконечным усилением, если преобразовать общую
схему пассивной цепи к виду, показанному на рис. 4.1—4. Заменив
теперь схему ИНУН операционным усилителем, получим структу-
ру на рис. 5.1—1. Для этой схемы, используя (10) и (11), § 4.1,
находим следующую передаточную функцию по напряжению:
Va (s)/Vx(s) = -NS1 (s)/N^ (s) = Y, Ys/[Ye (Ух+ У2 + У3 + УБ) + У2 У8].
(2)
Заметим, что У4 не появляется в выражении (2). Причину это-
го легко увидеть в самой схеме на рис. 5.1—1. Так как напряже-
ние на входных зажимах операционного усилителя в идеале рав-
Рис. 5.1—1. Общая структурная схе-
ма фильтра с многопетлевой обрат-
ной связью на усилителе с бесконеч-
ным коэффициентом усиления
Рис. 5.1—2. Схема ФНЧ с многопет-
левой обратной связью на усилителе
с бесконечным коэффициентом уси-
ления
но нулю, ясно, что напряжение на элементе Y4 отсутствует, следо-
вательно, этот элемент можно удалить, и это никак не повлияет
на передаточную функцию данной цепи. Так как существуют две
петли обратной связи (замыкающиеся через элементы У2 и У6) с
выхода операционного усилителя к пассивным элементам цепи, то
этот тип фильтра называют обычно фильтром с многопетлевой об-
ратной связью. Сравнивая (2) с общей формой различных переда-
точных функций второго порядка, рассмотренных в § 4.2 и 4.3,
можно получить различные типы реализаций фильтров.
В качестве первого типа фильтра рассмотрим ФНЧ, имеющий
функцию цепи вида (1), § 4.2. Сравнивая ее с (2), замечаем, что
У1 = б! и y3=G3. Знаменатель (2) можно поэтому переписать в
виде
D(s)^y6(G1 + y2+Gs + yB)+Y2G3.	(3)
Чтобы этот полином был второго порядка, необходимо принять,
что y^=G2, y5=sC5 и y6=sC6. В итоге получаем реализацию ФНЧ,
показанную на рис. 5.1—2. Ее передаточная функция
^^(5)= -G1Gs/[S2CBCe + sC6(G1+G2 + G3)+GaG3]. (4)
Ее можно представить в виде
V2 (а)   ___________— 1 /^i	65 Св_____________
ТГм' ~ S« 4-S (1/CB) (1//?! + 1/Л?в + 1/Я3) + 1/К2 R3 с6 Се ’
Сравнивая (5) с (1), § 4.2, получаем следующие соотношения:
= R% R3 Q G6;	(6а)
(бб)
1#01 = RJRf	(6в)
Процедура синтеза, позволяющая выбрать стандартные номи-
налы емкостей конденсаторов, состоит в следующем:
Дано-. Но, Q и ®и.
Выбираем: С5=С (для удобства).
Вычисляем
С6 = тС-, m<l/4Q2(l + |//0|);	(7а)
/?2 = (l/2conСтQ) [ 1 ±К1—4mQ2(l + l#ol)];	(76)
/?1 = /?2/|Я0|, 7?3=1/ш2С2/?а/п.	(7в), (7г)
Другой подход, который можно использовать при синтезе ак-
тивного ФНЧ с бесконечным усилением, приведен в задачах.
Пример 5.1—1. Фильтр нижних частот с многопетлевой обратной связью
на одном усилителе с бесконечным коэффициентом усиления. Пусть требуется
реализовать фильтр нижних частот Баттерворта второго порядка (Q=0,7071),
для которого („=(0п/2л=Ю0 Гц и |Я0| = 1. Используя процедуру синтеза (7),
выбираем С5 = С=0,1 мкФ. Так как из выражения (7а) следует, что m должно
быть меньше, чем 1/4, выберем /п=0,1, поэтому С6=С/Ю=0,01 мкФ. Затем
находим	199,7 кОм и 7?3= 12,68 кОм. ♦
Одно из основных преимуществ фильтра с многопетлевой об-
ратной связью на одном усилителе с бесконечным усилением со-
стоит в низкой чувствительности фильтра к изменению значения
элементов схемы. Используя определения, введенные в § 3.5, а
также (6), получаем
= Q (1 /Rj VRJWC;;	(8а)
г \ *Х1	’	Ьй	Г	Г /<з С»5 /
+	; (8в)
Z \ Л1 F C5	r K2 ^5	* К3 ^5 /
Sg, =-—«?,= 1/2; '>-1';	(8г), (8д)
хй„,.с.,с. =-1/2.	(«е)
Различные члены, заключенные в скобки в выражениях для
чувствительности добротности к Rt, R2 и 7?з, меньше по модулю,
чём выражения для 1/Q, приведенные в (66). Следовательно, про-
изведение добротности на любой из этих членов в скобках долж-
но быть по модулю меньше единицы. Отсюда делаем вывод, что
К1<1/2; Ш<1/2.	(9)
Чувствительность этой схемы к коэффициенту усиления усили-
теля также должна быть меньше (и это легко показать), чем ве-
личины, приведенные выше [13]. Таким образом, эта схема обес-
печивает крайне низкую чувствительность, причем предельные
значения не зависят от Q. Аналогичные выводы можно получить и
для ПФ и ФВЧ, основанных на этой схеме. Они будут рассмотре-
ны ниже в этом параграфе.
Интересно исследовать схему на рис. 5.1—2 более подробно.
Из выражения (1) ясно, что нули передаточной проводимости
4/32(5) создают комплексную пару полюсов передаточной функции
по напряжению в целом. Для определения yw(s) необходимо, что-
бы зажим 1 на входе был заземлен. Полученная в результате пас-
сивная 7?С-цепь показана на рис. 5.1 —- 3. Заметим, что она не яв-
Рис. 5.1—4. Схема ПФ с мво-
гопетлевой обратной связью
на усилителе с бесконечным
коэффициентом усиления
Рис. 5.1—3. Определение г/32($)
для пассивной цепи на рис.
5.1—2
ляется лестничной цепью. По существу, нули передаточной прово-
димости короткого замыкания y-&(s) могут располагаться в любом
месте левой полуплоскости комплексной плоскости. Фактически
же данная цепь является просто хорошо известной мостовой Т-
образной схемой с дополнительным резистором R. Эта же конфи-
гурация является одной из тех, что формируют комплексное соб-
ственные частоты во всех типах фильтров с многопетлевой обрат-
ной связью, рассмотренных в этом параграфе.
Второй фильтр с многопетлевой обратной связью и бесконеч-
ным усилением, который здесь будет рассмотрен, является поло-
совым фильтром, имеющим функцию цепи вида 1 (!),.,'§ 4.3. Из
выражения (2) следует, что существуют два возможных варианта
реализации этой функции. Рассмотрим сначала один из них, ког-
да Pi = Gi и Уз=«С’3. В этом случае знаменатель (2)
D (s) = Y6 (Gx + Уа + s С3 + У,) + Уа s С3.	(10)
Для того чтобы D(s) была второго порядка, примем: Y2=sC2,
P5—G5 и y6=G6. Полученная в итоге реализация приведена на
рис. 5.1—4. Ее передаточную функцию
vs (s)/Vi (s) - —sGx C3/[sa Ca Cs + s (Ge Ca +G6 C8) +Ge (Gx+G,)J (11)
можно переписать в виде
(у)  s/Ri С2 (12)
Ух (*) s^ + s.(l/ReC3+l/RaC2) + (l/Rt+l/R6)/ReC2Cs
Сравнивая (12) c (1), § 4.3, выводим следующие соотношения:
<->n = Ю + RM VRo Яв ca C8;	(13a)
1/Q = (V /?Б ЭД C8 + рЧ ЭД, Ca) / Г1 + RM	(136)
|//01 = (ад)/(1+Са/С8).	(13в)
Процедуру синтеза можно получить, подставляя С2=С3=С;
тогда
Ri = Q/an С |//п|;	(14а)
/?B=Q/(2Q2-|//ol)©nC;	(146)
7?6 = 2Q/conC.	(14в)
В литературе	уже появился набор номограмм, позволяющих
найти значения	R	в соответствии с (14) [47].
Пример 5.1—2. Полосовой фильтр с многопетлевой обратной связью на
одном усилителе с бесконечным усилением. Пусть требуется реализовать ПФ
второго порядка, для которого На—2, Q=2, <о„ = 1О крад/с.
Если выбрать С2=С3=С=0,01 мкФ, то из (14) находим: /?1=10 кОм,
7?s—3,33 кОм и Re=40 кОм. ♦
Можно исключить /?5 из схемы на рис. 5.1—4, сохранив тем не
менее полосовую реализацию. Однако, если сделать это, то Z/о уже
нельзя рассматривать как свободный параметр. Например, если
С2=Сз и 7?»=оо, то вместо (136) и (13а) получаем
1/Q=2VRM,	(15а)
17/01=^/27?!.	(156)
Таким образом, |7/0| =2Q2. При больших значениях Q модуль
Но будет очень большим. Это нежелательно, так как, если анало-
гичные каскады включаются последовательно, то общий коэффи-
циент усиления может быть слишком велик, а следовательно, до-
1-пустимыи уровень сигнала и устойчивость полученного в резуль-
тате фильтра будут значительно снижены.
 Если выбрать У1=хС1 и У3=б3, то придем к другой возможной
реализации ПФ. Эта реализация требует трех конденсаторов,
вместо двух минимально необходимых в реализации, описанной
выше. В качестве упражнения читатель может получить необходи-
мые расчетные соотношения.
Последней реализацией, которую рассмотрим в этом параграфе
как реализацию фильтра с многопетлевой обратной связью, бу-
дет ФВЧ, передаточная функция ко-
торого приведена в (16),§ 4.3. При-
меняя данные табл. 4.3—1 для пре-
образования ФНЧ-прототипа на рис.
5.1—2, получаем в результате
Рис. 5.1—5. Схема ФВЧ с,мно-
гопетлевой обратной связью
..на усилителе с бесконечным
коэффициентом усиления
фильтр, схема которого показана на рис. 5.1—5, где Yi=sCi, У2 =
=sC2,y3 = sCs, Y5=Gs и y6 = G6. Его передаточная функция
У 2 (S)	______________ S2 <?! С3 ____________ (16)
Vi (s) s2 б2 С3 s (Ge Cj 4“ Ge С2 -|- Ge Cs) -|- GB Gg
Ее можно представить в виде
Eg (s) , —s2 С1/С2	(17)
Vi (s) s2 4~s (1/^e) (61/C2 C3 + 1/C2 4- 1/C3) + l//?5 Kg C2 C,
Заметим, что требуются три конденсатора, т. е. полученная ре-
ализация неканоническая. Приравнивая (16) и (17), получаем
соп — 1/]/ Re С2 С3;	(16а)
1/С = Кад(С1/]^ад + рЛС^Са + У’С^С7);	(186)
|Я01=С!/С2.	(18в)
Набор расчетных соотношений можно преобразовать к более
удобному виду, полагая, при этом Ci = C3=C, где С выбирается из
конструктивных соображений. В результате получаем
7?6=l^ol/[®nQC(2|//o| + l)];	(19а)
7?6 = (2|ЯО| + l)Q/conC; С2 = С/|Я0|.	(196), (19в)
Пример 5.1—3. Фильтр верхних частот с многопетлевой обратной
связью на одном, усилителе с бесконечным усилением. Пусть требуется реа-
лизовать передаточную функцию Баттерворта второго порядка (Q=0,707) для
ФВЧ, где i/n=C0n/2n=100 Гц и |Я0| = 1. Выбрав C==Cj=C3=0,l мкФ, найдем,
что С2=0,1 мкФ, /?5=7,503 кОм и 7?6=33,757 кОм. ф
Вторая структура фильтра на одном усилителе с бесконечным
коэффициентом усиления, которая будет здесь рассмотрена, это
структура с однопетлевой обратной связью [48, 49] (рис. 5.1—6).
Цепи А и В являются пассивными 7?С-цепями с параметрами
yan(s) и ybiAs). Анализ схемы показывает, что так как напряже-
ние, приложенное к узлу 3, равно нулю и ток, текущий в опера-
ционный усилитель, равен нулю, то
la (*) = - Уа12 (s) Vi (s); 1Ь (s) = -yb2 (s) Va (S).	(20)
Так как /a(s)=—Zb(s), то передаточную функцию можно пред-
ставить в виде1
V2(s)/lzi(s) = —Уа12 (s)/yb2 (s).	(21)
Puc. 5.1—6. Общая структур-
ная схема фильтра с однопет-
левой обратной связью на уси-
лителе с бесконечным коэф-
фициентом усиления
Передаточные проводимости короткого замыкания в (21) мож-
но выразить через соответствующие полиномы их числителей и
знаменателей:
 . У12 (S) =	(s)/D?2 «. У12 (з) - м2 (s)/O?2 (s).	(22)
Подставляя эти выражения в (21), получаем
Va (« (s) = -М2 (s) D?2 (s)M (s) £>?2 (s).	(23)
Предположим теперь, что пассивные цепи выбраны так, что
полюсы £/“12 («) и f/bi2(s) совпадают; тогда Z>b12(s) сокращается с
£>“i2(s), в результате (23) упрощается:
V2 (s)/Vx (s) = -N12 (s)/Nbl2 (s).	(24)
Так как они являются числителями передаточных функций
7?С-цепей, то A/“i2(s) и A/bi2(s) могут иметь комплексно-сопряжен-
ные корни. Следовательно, в (24) могут быть реализованы как
комплексные полюсы, так и комплексные нули. Данные об основ-
ных цепях реализующих различные г/“12(х) и £/b12(s), приведены в
табл. 5.1—1 [27]2.
1 Метод реализации передаточных функций, использующий выражение (21),
называют иногда методом одиночной инверсии, см. работу [2*]. — Прим,
пер.
2 Более подробные таблицы схем с передаточными проводимостями ко-
роткого замыкания можно найти в работе: Н. Н. Слепов. Синтез фильтров
по методу одиночной инверсии для систем анализа вибраций. — В кн.: Вибра-
ции механизмов с зубчатыми передачами. М.: Наука, 1978, с. 89—98. —
Прим. пер.
Таблица 5.1—1
Пассивные 7?С-цепи, пригодные для реализации yan(s) и f/b»3(s)
Твп НС-цепи	Схема jRC-цепи		Передаточная полная проводимость	Значения элементов в омах и фарадах
——— 1	°~ о		о		— ks У12 — s + а	R	RC
2 t г	о	-4	о		— k У12 —	. s+ а	1 : а = RiRz С 1 /_1_	Л_\ “ С \RX +Rt )
3	' ЛП о	А-		о	—ksa У12 =	. s-|- а	Сг С2	1 я— л	; а— Ci4-C2	/?(Cj-|-Ca)
4	- А ^2 о		о		_(s2 + fls+l) 1/12 —	, „ s-J- a 1 /2<a<2	7?! = 1/(2,5—а) ; R2== а — R±; = 1 ; С2 = 1 //?i R2
5		II		h			__-(8+1)(82+аз+1) (s + <4) (s+o2) a<l	I 1 °	« « 1 о II и + + Si - -Io? u" * 1 И И iL S gg Q	II ’ll (Э	CJ
	Л			
	. JT	йЗ 1	о		
Передаточные проводимости каждой из этих цепей также при-
ведены в таблице. Первые три цепи обеспечивают нули передачи
в начале координат или в бесконечности, поэтому их можно ис-
пользовать для реализации числителей передаточных функций
нижних частот, верхних частот и полосовых. Передаточная полная
проводимость каждой из этих цепей содержит в знаменателе член
вида (s+a), который должен сокращаться с подобным членом в
знаменателе передаточной полной проводимости цепи В. Четвер-
тая и пятая цепи полезны для реализации комплексных корней,
как в числителе, так и в знаменателе передаточной функции по
напряжению всей цепи в целом. Четвертая цепь является Т-образ-
ным мостом, который можно использовать для реализации низко-
добротных комплексных корней. Если желательно реализовать вы-
сокодобротные комплексные корни, то предпочтительнее использо-
вать пятую цепь, которая является двойным Т-образным мостом.
Числитель।передаточной полной проводимости двойной Т-образ-
ной цепи является полиномом третьего порядка, а знаменатель —
полиномом второго порядка. В процессе синтеза в этом случае
предполагается, что один из вещественных полюсов (ср или 02)
знаменателя будет приблизительно сокращен с корнем числителя
при —1. Следовательно, остающийся полюс может быть сокращен
с членом вида (s+a) в знаменателе передаточной полной прово-
димости другой цепи. Это предположение оправдывает себя, если
добротность комплексных полюсов, которые должны быть реали-
зованы числителем двойной Т-образной цепи, высока.
Пример 5.1—4. Фильтр нижних частот с однопетлевой обратной связью
на одном усилителе с бесконечным коэффициентом усиления. Пусть требуется
реализовать нормированную передаточную функцию
V2 (S)/уг (S) = - 10/(s* +1/2 s -J- 1).	(25)
Так как она соответствует ФНЧ, то из табл. 5.1—1 выбираем цепь типа 2
для 'цепи А а типа 4 для цепи В. Постоянная а должна быть равна 1/2. Та-
ким образом, из табл. 5.1—<1 для цепи В получаем: =0,921 Ом, J?2=0,493 Ом,
Ci=l Ф и С2=2,202 Ф. Если положить для схемы типа 2, взятой в качестве
цепи А, что R=Ri=Rz, то получим R=а/(2|//о|). Если С=1 Ф, то /?=
=0,07071 Ом. Полученная схема приведена на рис. 5.1—7. ф
Рис. 5.1—7. Схема ФНЧ
с однопетлевой обрат-
ной связью па усилите-
ле с бесконечным коэф-
фициентом усиления (к
примеру 5.1—4). Значе-
ния элементов схемы
даны в омах, фарадах
Реализация с однопетлевой обратной связью на усилителе с
бесконечным усилением, описанная выше, имеет ряд недостатков,
которые вызваны, главным образом, тем, что цепи А и В должны
каждая в отдельности реализовать те же самые собственные час-
тоты. Вследствие этих требований необходимо иметь больше пас
сивных элементов, чем это требуется для других типов активных
фильтров. Например, реализация ФНЧ в примере 5.1 —4 требует
трех конденсаторов и трех резисторов по сравнению с двумя кон-
денсаторами и двумя или тремя резисторами в других эквивалент-
ных фильтрах. Кроме того, пассивные элементы должны иметь вы-
сокое качество и жесткие допуски, чтобы сокращение подобных
членов в числителе и знаменателе было достаточно эффективным.
Настройка такой структуры, учитывая требования сокращения по-
добных членов, достаточно сложна. Если не считать этих недостат-
ков, можно сказать, что данная схема дает возможность удовлет-
ворительно реализовать высокодобротные схемы и достичь боль-
ших значений Но без большого разброса номиналов элементов.
Кроме того, реализации с однопетлевой обратной связью и беско-
нечным коэффициентом усиления позволяют реализовать обобщен-
ные функции цепи второго порядка, т. е. такие функции, которые
имеют как комплексные нули так и комплексные полюсы и соот-
ветствуют общей структуре схемы, обсужденной в § 4.4.
5.2.	Фильтр с использованием
нескольких усилителей
Вследствие того, что технология изготовления активных при-
боров получила значительное развитие, многие традиционные ус-
тановки оказываются недействительными. Одной из таких устано-
вок было использование как можно меньшего числа активных при-
боров. Это привело к появлению фильтров на одном усилителе,
которые были рассмотрены в предыдущих параграфах. Однако с
точки зрения современной технологии интегральных схем часто
оказывается, что нет смысла минимизировать число активных эле-
ментов. Поэтому, если реализации на нескольких усилителях мо-
гут обеспечить лучшие характеристики, то они могут оказаться
предпочтительными по сравнению с реализациями на одном уси-
лителе. Цель этого параграфа — познакомить с двумя видами реа-
лизаций на нескольких усилителях. Они называются резонаторны-
ми реализациями и реализациями по методу переменных состоя-
ния1. В них используются от двух до четырех операционных уси-
лителей в зависимости от желаемых характеристик фильтра.
Реализации фильтров по методу переменных состояния (они
также называют KHN-фильтрами по начальным буквам фамилий
авторов, которые ввели их в практику2’3 *), исключительно
гибки, имеют хорошие характеристики и низкую чувствительность.
Эти реализации широко используются разработчиками фильтров
широкого применения. Название переменные состояния происходит
от переменных, рассматриваемых в теории пространства состоя-
ний, методы которой используются для решения дифференциаль-
ных уравнений, применяемых в процессе синтеза реализации. Что-
бы пояснить это, рассмотрим инвертирующую полосовую переда-
точную функцию второго порядка
V2 (s)/vi (s) — Iн\ s/fs* + (?! s 4- a0).	(1)
1 В отечественных ссылках упоминается как метод пространства состоя-
ний.— Прим. пер.
2 См. работу [50], а также более раннюю публикацию [51].
3 Используемый ниже метод так или иначе сводится к методу аналогового
моделирования "(методу последовательного интегрирования) дифференциального
уравнения второго порядка, который был введен в практику значительно рань-
ше цитируемой работы автора [50] и даже раньше [51], см., например,
[3*, 4*, 9]. Прим. пер.
Введем в этом уравнении произвольную (в частотной области)
переменную X(s) и умножим как числитель, так и знаменатель на
X(s)/s2, чтобы получить выражение вида
V2(s)__________— |/У| X(s)/s
14 (S) ’	+	+
Если приравнять отдельно числители и знаменатели левых и
правых частей в выражении (2), то получим следующие уравне-
ния:
(2)
х (s) = \\ (s)—X (s)/s—а0 X (s)/s2;	(За)
Va(s) = -|tf|X(s)/s.	(36)
Если теперь провести обратное преобразование Лапласа обеих
частей этого выражения, то получим интегральные уравнения (во
временной области)
x(t) = v1(t)—a1^x(t) dt—floj[jx(0^] dt;	(4a)
va(0 =—\H\§x(f)di,	(46)
где x(f) =L-1[X(s)]. Величины x(t), §x(t)dt, J [J x(t)dt]dt назы-
ваются переменными состояния [52], которые и определяют назва-
ние соответствующего фильтра. Схе-
ма для решения системы (4) с по-
мощью аналоговой ЭВМ показана
на рис. 5.2—1. Она легко преобра-
зуется в схему фильтра, если ис-
пользовать операционные усилители
Рис. 5.2—1. Общая структурная схема филь-
тра, полученная на основе метода перемен-
ных состояния
г. 5.2—2. Схема фильтра, построенного на основе метода переменных со-
стояния
для моделирования инвертирующих интеграторов. Полученная в
результате схема приведена на рис. 5.2—2. Ее полосовую переда-
точную функцию можно получить, если учесть, что
^нч(5)= (SVS ^2 С2', l7n(S)= ----^Вч(5)/5^1^1>	(8)
где Енч(5),	(s) и ^вч(5) —соответственно выходные напряже-
ния ФНЧ ПФ и ФВЧ. Дополнительно к этому ЕвЧ (s) можно вы-
разить как
^B4(S) =
4-гнч(1)+-^- Л±5. vl(s)+
AS	Ag A4 As
+ —vn(s).
Яз+*4 Rs n
для того, чтобы ИСКЛЮЧИТЬ Рнч (s) и ^вч (s)>
(6)
Используя
получаем
(5)
Re (s)	1 -р Re/Rs у /<л 1 + Re/Rs
. Rs s/?2C2 ' 1 + Ra/Rt ; 1 +RJR3
Решая относительно Vn(s)/Vi(s) приведенное равенство и ис-
пользуя (5), получаем передаточные функции соответственно поло-
совую, нижних частот и верхних частот
1 -Ь Re/Rs s 1 /
У ~У~ Ra/Rt RiC-iil
^H4 (S)/1Z1 (S) “ [1 +/?3//?4
где D (s)=s2 + -g- 1 +-R^ + 	.
Ri 1 “I- Rt/Rs iRiRe CjC2
Vn =
(7)

D(s);
(8a)
(86)
(8b)
(8r)
1

Заметим, что реализации ФНЧ и ФВЧ являются неинвертирую-
щими, тогда как реализация ПФ — инвертирующая. Выражения
ton и Q в этом случае принимают вид
.. 1 Г Re/Rs .	1   t ~Р Re/ Rs  I f Rs Re Сг
n ~ V RiRz^Cz ’ Q	l + Rt/Ra V ReRiCt '
Величина Но различна для всех трех реализаций:
для ФНЧ [см. (1), § 4.2]
__ 1 -р Rs/Re
° l-Pfls/fl?
для ПФ [см. (1), § 4.3]
для ФВЧ |[см. (16), § 4.3]
// = 1
0 ~ 1 + R3/Rt
(9а), (96)
(Юа)
(Юб)
(10в)
Если выбрать /?б=#6, Ri=R2=Rs и Cj = C2=C, то (9) примет
вид
ton = 1/ЯС; 1/Q = 2/(1 + /?4//?3).	(1 la), (116)
Для выбранных соотношений, используя (11), можно описать
следующую процедуру синтеза.
L Полагаем, что и Q заданы.
2. Выбираем удобные значения для Ci — Cz=C и /?з=^5=^б-
3. Вычисляем
= И2 = 1/ю„ С; Я4 = (2Q— 1) Ra. (12а), (126)
4.	Но принимает следующий вид:
для ФНЧ и ФВЧ
f/0 = (2Q-l)/Q;	(13а)
для ПФ
Яо=1—2Q.	(136)
Пример 6.2—1. Полосовой фильтр, реализованный по методу перемен-
ных состояний. Пусть требуется синтезировать ПФ на основе (переменных со-
стояний с Q=20 и /п = 1 кГц. Выберем С]=С;г=0,01 мкФ и Лг=Лъ=Пб—
= 10 кОм. Таким образом, из (12) получаем J?i=R2=15,9 кОм и /?<=390 кОм.
Из (10) и (13) получаем /7о=—39,0. Эта же реализация позволяет получить
НЧ и ВЧ передаточные функции с Q=20 и /п = 1 кГц при условии исполь-
зования в качестве выходных соответствующих зажимов схемы на ,рнс. 5.2—2.
Но для этих реализаций равна. 4,95. ♦
Одна из причин популярности фильтров на основе переменных
состояния — низкие чувствительности основных характеристик.
Используя определения § 3.5 и соотношения (9), находим
<с,=-<с, =-s£.RM.c-«Х”=‘/2;	<|4а>
s*. = -i/(i+W)=-s$.;	(146>
cQ eQ Q Rt—Re ~\f R2C2	H4r\
- —SRe = —2- 1 + ад- V R.ReR.CT' (1 ?
Анализ этих соотношений показывает, что чувствительность
добротности к Ro и jR6 можно свести к нулю, если выбрать Rs=
=jR6. Модули всех оставшихся чувствительностей меньше единицы,,
причем большинство из них равно 1/2. Чувствительности доброт-
ности к коэффициенту усиления операционного усилителя для
данной реализации даже меньше этой величины и имеют порядок
QIKo, где Ко — коэффициент усиления операционного усилителя
при разомкнутой петле обратной связи [47]. Вследствие такой
низкой чувствительности фильтр на основе переменных состояния
успешно использовался для реализации передаточных функций с
добротностью до нескольких сотен. Методы построения таких
фильтров можно распространить на случай n-го порядка [13].
Второй тип фильтра на нескольких усилителях, который обсуж-
дается в этом параграфе, — резонаторный активный фильтр [53].
Основной подход в данном случае состоит в использовании /ре-
генератора с отрицательной обратной связью. Этот метод имену-
ется также методом образования биквадратного фильтра. Будем
предпочитать название резонаторный фильтр, так как слово би-
квадратный (или биквад) используется также для описания клас-
са передаточных функций. Резонатор можно получить из общей
схемы аналогового моделиро-
вания генератора колебаний,
как показано на рис. 5.2—3.
Без отрицательной обратной
связи эта схема дает реше-
ние дифференциального урав-
нения
х“(0 + <ф(0 = 0	(15)
Отрицатель-
ная обратная
связь
И виде
I'
x(t) = Asincoo t.
Рис. 5.2—3. Общая структурная схема
' фильтра, основанная на модёли резо-
(1о) нато.ра (резонаторный фильтр)
Использование вместо интеграторов операционных усилителей
на рис. 5.2 — 3 приводит к схеме, показанной на рис. 5.2 — 4, ко-
торая и называется резонаторным активным фильтром.’ Резистор
Рис. 5.2—4. Схема резонаторного фильтра
/?1 обеспечивает отрицательную обратную связь. Входной сигнал
Vi подается на схему через сопротивление /?4. Анализ этого фильт-
ра начнем с нахождения Рп («) /^! («), лричем Рп (s) можно вы-
разить следующим образом:
v (s) =1/^Ci у ------------1JR3Ci	у (s)	, 17)
s-pi/^Cj	s+i/RiCt V	{ '
Однако
^х(в) = —VH4(s) = Vn(S)/s/?2C2,	(18)
так что, подставляя (18) в (17), получаем полосовую передаточную
функцию резонаторного активного фильтра
Vn(s)/V1(s) = (-S//?4C1)/(s2-|-s//?1C1-|-l//?2/?3C1C2).	(19)
Эта передаточная функция привлекательна своей простотой.
Теперь можно легко получить передаточную функцию нижних
частот подстановкой (19) в (18). В результате
VH4 (в)Л\ GO = (1/Я2 Л G C^/ls2 + s/Rl + 1//?2 /?з Ci С2]. (20)
Чтобы получить инвертирующую реализацию ФНЧ, следует
взять в качестве выхода ФНЧ выход инвертора, идеальный инте-
гратор между зажимами х и у можно заменить инвертором между
зажимами у и z для того, чтобы создать неинвертирующую поло-
совую передаточную функцию на выходе Vx. Схему на трех уси-
лителях (см. рис. 5.2 — 4) нельзя использовать для формирования-
передаточной функции верхних частот.
Приравнивая знаменатель выражения (19) и знаменатель стан-
дартной полосовой передаточной функции второго порядка [см.
(1), § 4.2], получаем
<вв=1/Г/?8/г8С2С1; l/Q = (l//?1)V/?a/?8Ca/C1; (21а), (216)
Из этих соотношений находим, что чувствительности Q и ton
очень низкие, а именно, их значение не превышает либо 1, либо
1/2. Выражения для Но имеют следующий вид:
для ФНЧ:
HO = RS/R^	(22а)
для ПФ
l^ol=^i/₽4-	(226)
В этом случае можно предложить следующую процедуру син-
теза.
1.	Полагаем, что а>п, Q и Но заданы.
2.	Выбираем R2=Rs=R и Ci = C2=C.
3.	Принимаем то или иное значение для R или С и находим
значение оставшегося С или R из формулы
wn=l/RC.	(23а)
4.	Вычисляем:
Ri = QR;	(236)
для ФНЧ
= R/H0-	(23в)
для ПФ
/?4 = /?!/|Я0|.	(23г)
Пример 5.2—2. Резонаторный активный фильтр. Пусть требуется син-
тезировать резонаторный активный фильтр второго порядка (ФНЧ и ПФ) с
.добротностью 20 и f„ = 1 кГц (|//0|=-1). Выбираем С]=С2=С=0,01 мкФ. Та-
ким образом, R= 15,915 и =318,31 кОм. Для реализации ФНЧ Rt—
= 15,915 кОм и для реализации ПФ 7?4=318,31 кОм. ♦
В этом параграфе были рассмотрены две наиболее удачные ре-
ализации активных фильтров второго порядка из тех, которые бу-
дут рассматриваться далее в этой книге. Из этих двух фильтр, ре-
ализованный по методу переменных состояния, обладает тем пре-
имуществом, что дает возможность реализовать на его основе не
только ФНЧ и ПФ, но и ФВЧ. Схема, основанная на методе пере-
менных состояния (см. рис. 5.2 — 2), пригодна также для реали-
зации (1), § 4.4, при наличии одного дополнительного усилителя.
Этот усилитель используется для суммирования выходных сигна-
лов фильтров нижних частот, полосового и верхних частот, чтобы
создать биквадратную реализацию. Если хотят реализовать (1) с
Рис. 5.2—5. Реализация биквадратной функции цепи по методу пе-
ременных состояния
Н, bi и Ьо (все они больше нуля), то можно использовать схему,
показанную на рис. 5.2 — 5. Так как ФНЧ- и ФВЧ-реализации
положительны, то они подаются на неинвертирующий вход At.
Тогда можно написать
<24>
Используя (8) и (24), получаем
s2	[	s	1 ~Ь R?/ Re	.	R-i/Рй
Eg (s) 1 -|- 7?s/#iq	1 -Ь Re/Rs	RtCi	1 ~b Rio/R»	RiR% CiCg	_ (25)
El (s)	1 +	Rt/Rs	1 + Rg/Ri		s	1 + Re/Rs		Re/Rs
Ri Ci 1	R1R2 CjCg
(26)
(27а)
(276)
Один из вариантов упрощения этих уравнений — положить
/?3=/?5=^8=/?9=l и T?iCi'=ik2C2= 1 с. Таким образом,
V2(s)	/?4 (1+Кв)(1+Кю) s8+s(l + «7)/(1 + «1о) + «7
V’i(s)	«ю (1+«4)(1 + «7) s* + s (1 +«„)/(! +«4) +«в
Приравнивая (1), § 4.4 к (26), получаем
вг=ГЛ Qz=l<R?(i+/?1o)/(i+/?7);
=VRv Qp=Кад + W + я6)-
Из этих выражений видно, что резонаторный фильтр, основан-
ный на методе переменных состояния, можно проектировать так,
чтобы использовать Re и Ry для управления и (oz, a R4 и Rio
для управления Qp и Qz. Кроме того, нули можно сдвинуть в пра-
вую половину комплексной плоскости путем подключения . Rio к
неинвертирующему входу выходного сумматора А4. В этом случае
необходимо заземлить инвертирующий вход А4 через дополнитель-
ный резистор, а значения элементов Ry, Rg и Rio пересчитать (см.
задачи в конце главы).
Этот резонаторный фильтр можно также использовать для ре-
ализации биквадратной передаточной функции. Для модификации
этой схемы сначала повернем ее против часовой стрелки так, что-
бы выход операционного усилителя Ai стал крайним слева. Добав-
ляется еще один конденсатор С3, а входной сигнал подается одно-
Рис. 5.2—6. Реализация биквадратной функции цепи, основанная на модели
резонатора
временно на входы всех усилителей (рис. 5.2 — 6). Можно пока-
зать, что передаточная функция этой схемы
s2 + s(-L__^\_L + ______________
^2 (S)_ С3 ____\ ' ^4_R& R$ / С3_R3 R? ^2 Сз . (28)
V^i(s) Сх	^ + s/r1c1+rg/r2r3r5c1c2	’ 1 ;
Расчетные соотношения для этой реализации приведены в табл.
5.2—1, где указаны значения соответствующих элементов для раз-
Таблица 5.2—t
Соотношения для синтеза и элементы настройки схемы на рис. 5.2—6
Тип передаточной функции второго порядка	Ограничения на элементы	Элементы настройки
Нижних частот Полосовая Верхних частот Биквадратная С нулями на оси jco	8	5 8	8 II	Il	II «	В	п	е-	„	оо йго ч 8 oft; 8 с? II II s	II II II	II	II	Ri, Rz, Rz Ri, Rz и Ri или Rs, любой из них, не равный °° Ri, Rz и Сз* Ri, Rz, Rz, Rs и Сз* Ri, Rz, Rz и Сз*
* Значение Сэ может быть фиксировано, если коэффициент усиления в полосе пропу-
скания является свободным параметром.
личных видов функции второго порядка. Приравнивая (1), § 4.4,
и (28), получаем
°г= р4я3я6я,с8с3; "ё7=(	V \еС3 ’ (29а^
R R^c~c- >	<29б>
' К8 Кз Къ О1 О8 Чр Ki ' A® <-1
Пример 5.2—3. Требуется получить реализацию фильтра второго поряд-
ка, используя схему на рис. 5.2—6. Исходные данные таковы: /„=1,6 кГц, fp =
= 1,5 кГц, Qz=°° и Qp = 10. Желательно иметь коэффициент усиления для
нижних частот, равный —-1.
Из табл. 5.2—1 (видно, что	Если выбрать Rs=\R5=Re=10 кОм
и Ci=C2=0,01 мкФ, то из (29) имеем: Ri —106,1 кОм и iR2=lll,26 кОм. Коэф-
фициент усиления для нижних частот определяется отношением —(J?//??)-
Следовательно, для того  чтобы удовлетворить исходным требованиям, Rz дол-
жно быть равно 14,3 кОм. Так как определены все элементы, кроме Сз, то,
воспользовавшись (29а) и зная со„, находим, что Сз=8,76-10~9 Ф. ф
Следует отметить, что схема на рис. 5.2 — 6 пригодна для ре-
ализации ФВЧ.
5.3. Универсальный активный фильтр
Одно из ограничений на фильтр, основанный на методе пере-
менных состояния и описанный в предыдущем параграфе, состоит
в том, что полосовую функцию цепи можно реализовать только в
инвертированной форме, хотя функции цепи нижних и верхних
частот могут быть реализованы как неинвертирующие. Кроме то-
го, для определенной процедуры синтеза значение постоянной Н&
нельзя выбрать свободно. В этом параграфе представим реализа-
цию модифицированного фильтра, основанного на методе перемен-
ных состояния, которая позволит преодолеть эти трудности. Эта
схема хорошо известна как универсальный активный фильтр, из-
готавливаемый в виде микросхем отдельными производителями1 * * *.
Схема модифицированного фильтра, основанного на методе пе-
ременных состояния, приведена на рис. 5.3—1. Она отличается от
исходной схемы на рис. 5.2 — 2 двумя резисторами R7 и R&, кото-
Увч(з) = |увх(в)——-
__
Ra
Рис. 5.3—1. Модифицированная (универсальная) схема активного фильтра, ос-
нованного на методе переменных состояния
рые добавлены для того, чтобы сформировать новый вход Vbxb.
Вход исходной схемы обозначен как Vbxa. Анализ схемы на рис.
5.3—1 начнем с того, что положим VnxB = 0 и выразим VB4 (s)
как функцию всех входных напряжений усилителя А3. В резуль-
тате получим
+- Vn (s) - 7?з1|/?7—•] ( 1 +
-^нч(*)>	(1)
где символ || указывает на параллельное соединение связанных им
элементов. Чтобы упростить выражение, обозначим
j(i==_W — =----------------------. _ !-----------; (2а)
/?з + 7?4ЦRa R7 + Rs Rt “I- Ri Ri 1 + Rs/Ri H- Ral
= —Wt— = —.. . RaRi-----------=---------------(26)
«4 + ₽з11«7	+	+	1 + RJRa + RJR1
K3 - Re/Rs, Kt=RJRs-	(2b), (2r)
Используя введенные величины, можно переписать (1) в виде
^7вч (s)=	+ (s)l (1 +^Сз4~^4)—^ч ^нч (s)- (3)
1 Модель 881 фирмы «Бекман», модель FS-50 (FS-51) фирмы «Болдуин
Электронике», модель pAR-2000 фирмы «Интегрейтид Майкросистем», модель
AF-100 фирмы «Нейшнл Семикондактор», модель UAF-41 фирмы «Барр Браун
Рисерч кори.» и модель ACF-7092C фирмы «Дженерал Инструмент кори.».
Теперь определим
и (о2=1//?2С2	(4)
и заметим, что
I П (§) = — (G>i/s) Евч (s);	(5)
^нч (s) = — (<№) lzn (s) = (®i ®2/s2) IZB4 (s),	(6)
тогда (3) можно переписать в виде
VB4(s) = -(1 +/C3 + /C4)(®1/C2/s) VB4(S)_
~(KS «4 <D2№) lzB4 (s) 4- (1+K3 4-/Q KiV,* A (S).	(7)
Решая это уравнение, получаем передаточную функцию верх-
них частот для схемы на рис. 5.3—1 при условии, что УВхв = 0:
гвч(£)	(l+^ + KJKts*	/8)
Рвх a (s) s2 + (1 + Кз + Kt) Кг ®is + Ка ©j со2
Если Евхв = 0, то можно положить 7?8 = оо, так что 7С4=0. В
этом случае (8) может быть записано в виде
гвч(5) (1 Ч-КзЖхД8	(9)
^ВхЛ(8)	52 + (1 + ^з)К’2Ю1«+<‘>1<1^3
Полосовую передаточную функцию и передаточную функцию
нижних частот для схемы на рис. 5.3— 1 при условии, что ЕВхв =
= 0 и 7?8 = о°, можно найти, используя выражения (5) и (6). В ре-
зультате
.	—(l + Kg)Klti>ts	.	(10)
РБХ A (s)	‘2 + d + Кз) Кг <Bj s -j- <а2 Кз
^НЧ _	В + Кз) К1 ^>1 К>2__ (II)
VBX A (s) s2 + (1 + Кз) Кг <£>г s + <£>1 о2 Кз ’
Приравнивая знаменатели (9) и (10) или (11) стандартному
полиному второго порядка, получаем уравнения вида
соп = ]Л01(02Лз = Y Сг ’	12а
4 = о +^з) Кг /4гтг = 1 /Р V(126)
W	'	[^2^3	1 "Г* ^4/^3 “Г ^4/^7 '	/<б
Сравнивая (9), (10) и (И) соответственно с общим видом пе-
редаточных функций нижних частот, полосовой и верхних частот
второго порядка, получаем выражения для Но, приведенные ниже:
для ФНЧ [см. (1), § 4.2]
Я0 = (1+/Сз)/С1/^з = (1 +RM/^+K3/Rt + RM\	(13а)
для ПФ [см. (1), § 4.3]
//о = -^2=-ад3;	(136)
для ФВЧ [см. (16)_, § 4.3]
яо = (1	+ед5)/(1 +R3/Rt + Rs/RJ- (13в)
Типичными в данном случае являются значения: /С=0, 1, С\ —
= С2=1000 пФ, /?4=/?Б= ЮО кОм и /?6=Ю кОм. Для этих значе-
ний (12) и (13) можно привести к следующим выражениям:
©п = Уо2/10 = 3,162 - 108/]/Х /?2;	(14а)
<2 = 28,748(1/100 кОм4-1/Д3+1/Д7)КВД^;	(146)
для ФНЧ
Но = 11/[1 +Я3(1/100 кОм+1/7?,)];	(14в)
для ПФ
Но=—100 кОм//?3;	(14г)
для ФВЧ
Яо = 1,1/[1 + /?3(1/100 кОм+1/7?,)].	(14д)
Процедуру синтеза, использующую указанные выше значения,
а именно: Ci = C2=1000 пФ, Rn=R$ = 100 кОм, /?6= Ю кОм, Rs~oo
и, кроме того, Ri—Rz, для схемы из рис. 5.3— 1 с РВхв = 0 можно
представить в следующем виде. Из (14а) имеем
Rr = R2 = 5,0329 • 104/fn кОм.	(15)
Значения Дз и R7 находим из (146), используя (14д). Полагая
|Я0| = 1, получаем
для ФНЧ
Ra = 316,2 кОм/Q;	(16а)
для ПФ R3 = 100 кОм;	(166)
для ФВЧ Ra = 31,62 кОм/Q.	(16в)
Решая (146), находим Я, = 100 кОм/(3,4785<2—1 — 100 кОм//?3).	(17)
Подставляя (16) в (17), получаем: для ФНЧ = 100 kOm/(3,162Q—1);	(18а)
для ПФ R7= 100 кОм/(3,4785<2—2);	(186)
для ФВЧ R7= 100 кОм/(0,3162<2—1).	(18в)
Заметим, что для ФВЧ добротность должна быть больше, чем
]/ 10. Если такой нижний предел Q неприемлем, то отношение
R2IR1 можно подобрать так, чтобы понизить этот предел. Если
произведение Ri и Rz равно исходному значению произведения,
когда Ri и R2 были равны, то в этом случае изменение отношения
Rz/Ri будет модифицировать только добротность. Этим заканчива-
ется процедура проектирования функций цепи, у которых |Яо|
равен единице.
Пример 5.3—1. Инвертирующий ПФ, основанный на методе переменных
состояния, с единичным усилением. Требуется синтезировать ПФ с Q=20,
fn—l кГц и |Я0|=1- В соответствии с процедурой синтеза, приведенной выше
(7?8=°o, Увхь=0), имеем /?4=^5=100 кОм, ^в=10 кОм и Ci = C2=ll000 пФ.
Из (15) получаем /?1=(/?2= 50,329 кОм, из (166)—'/?8=100 кОм и из (186) —
Ц7= 1,480 кОм. (См. пример 5.2—1 для реализации, основанной на методе пе-
ременных состояния, в которой |Я0| =#!.) ♦
Интересно исследовать относительные значения модулей
Рнч (j®)» Vn (jo) и VE4 (j<o) для фильтра на рис. 5.3—1. Если
положить,_что а>1=(о2 и Лб/-&5=0, 1, то из (12а) следует, что oi =
=&>2= (/Л10сои=3,162 (о„. Равенство (6) показывает, что для не-
которой постоянной частоты справедливо соотношение
I ^нч 0 ®я) I — 3,162
(Ох
I 0 ®я)1 — Ю
юп
<4
(19)

Таким образом, уровень сигнала на различных выходах схемы
может отличаться в 10 раз. Заметим, что это может вызвать на-
сыщение, даже если вычисление амплитуды выходных напряже-
ний на некоторых выходах не указывает на это.
Чтобы закончить общее знакомство с модифицированной реа-
лизацией, основанной на методе переменных состояния, необходи-
мо рассмотреть использование входа, обозначенного РвхЕ. В ука-
занной схеме имеем Vbxa=0 и 7?з=о° (см. рис. 5.3—1). Следуя
процедуре, аналогичной той, что была применена для данной схе-
мы в случае, если входом служила точка, обозначенная Увхд,
можно найти	,
У.Ч и=„-‘X- (1+нН (sHr V"B (s)~-Т v«4 (s)-
(20)
Это выражение можно упростить:
^вч (s) —	(1 4"	+ ^4) ^2 1ZB4 (s)/s
-(ш^/Сз/s2) VB4(s)-/C4Vbxb(s),	(21)
если воспользоваться (2), (6) и учесть, что 1/(1 +R4/R7), так
как 7?з = оо. Решив это уравнение относительно передаточной
‘функции верхних частот, получим
^вч(*)/^вхв(*)= -tf4s2/[s2 + (l +K3+KJ Я2 <м+со1&>2/д. (22)
Уравнение (6) можно использовать для получения передаточ-
ных функций верхних частот и полосовой. В результате
vn = ________________Ы1У48_____________.	(23)
vBxs<s) ^+(1+Кз + К4)/С8сО18 + ш1®аК8 ’	* ’
^нч Is!  __________—ц>1<о2К4	_______ /24)
<	VBxB(S) 82 + (1+Кз+К4)^2Ю18 + И1<02Кз ’ k
Сравнивая (9), (10) и (11) с полученными выше тремя выра-
жениями, видим, что универсальный активный фильтр дает воз-
можность реализовать ФНЧ, ПФ и ФВЧ второго порядка с фазо-
вым сдвигом 0 или 180° на частоте, для которой определяется Но.
Приравнивая (22), (23) и (24) стандартной функции второго по-
рядка соответствующего типа, получаем следующие соотношения:
соп =	= \/Г (Re/Rb)/RiR2CiC2'	(25а)
4- = (1	+ ^)/<2	1 + f	(256)
Значения Но для этих трех случаев следующие:
для ФНЧ
но = ~ад = -W-,	(26а)
для ПФ
Но = ------------------------------ (266)
КгВ + Кз + КЛ l + Rs/Re + Rs/R6
для ФВЧ
я0=-к4=-ад.	(2бв)
Полагая, что /?4=Т?5 = 100 кОм, 7?6=Ю кОм и Ci = C2=1000 пФ,
как это делали и для схемы со входом, обозначенным VBX^(s),
получаем
соп = 3,162 • 1О8/]/#^;	(27а)
Q = 0,3162 VRJ&, (1 + 100 кОмА) ;	(276)
1 2 (1,1 + Ю кОм/Kg) ’	4
для ФНЧ
77О= —100 кОм/Т?8;	(27в)
для ПФ
		1 +100 кОм//?7	_ 1 +100 кОм//?7 в (27г)
°____________________________1 + К8/10 кОм + 7?3/100 кОм ~ 1 + К8/9,091 кОм ’	>
ДЛЯ ФВЧ
H0=10K/RB.	(27д)
Процедуру синтеза для входа VBXjB можно получить, если вос-
пользоваться данными значениями и, кроме того, принять Ri =
=R2- Значения Ri и R2 находим тогда из формулы
Rj, = R2 = 5,0329-104/fn кОм.	(28)
Полагая |Я0| = 1 в (27), получаем следующие формулы для
расчета сопротивления R&-.
для ФНЧ
R8= 100 кОм;
(29а)
для 11Ф
7?8 = 31,62Q кОм;	(29б>
для ФВЧ
7?в—-10 кОм.	(29в)
Решая (276) относительно Т?7 и учитывая, что Ri=Rz, находим
R7 = 100 kOm/[3,162Q (1,1 +10/C/7?s)—1].	(30}
Подстановка (29) в (30) дает:
для ФНЧ
Я7 = 100 кОм/(3,7947 Q—1);	(31а>
для ПФ
R7 = 100 кОм/3,4785 Q;	(31б>
' для ФВЧ
R7 = 100 кОм/(6,6402 Q— 1).	(31в>
Пример 5.3—2. Неинвертирующий полосовой фильтр, основанный на
методе переменных состояния, с единичным усилением. Пусть требуется спроек-
тировать неинвертирующий ПФ с Q=20 и fn=|l кГц, используя вход в
на рис. 5.3—1. В соответствии с ^процедурой синтеза имеем: 7?4=i/?b=100 кОм,
/?в= Ю кОм и С1=Сг=1000 пФ. Поэтому из (15) находим, что /?i=J?2=
=50,329 кОм. Из соотношений (296) и (316) следует lR8=632,40 кОм и J??—
= 1,437 кОм. Из (27г) определяем: Я<>=1. ♦
В табл. 5.3 — 1 сведены основные результаты процедур синтеза
для модифицированного активного фильтра, основанного на мето-
де переменных состояния, различных конфигураций (нижних час-
Таблица 5.3—1"
Расчетные соотношения (в низкочастотной области) для активного фильтра,
реализованного по методу переменных состояния, //о=1*
Параметр	Неиивертирующая реализация (Я« = °°: гвхВ—°)			Инвертирующая реализация (*» = »: УвхЛ = 0)		
	ФНЧ	ПФ	ФВЧ	ФНЧ	ПФ	ФВЧ
Фазовый сдвиг передаточной функции на ча- стоте, где опре- деляется Но	0°	± 180°	0°	±180°	0°	±180°
Hi, ^2. кОм	5,0329-104	5,0329-104	5,0329. Ю4	5,0329-104	5,0329-Ю4	5,0329-104
	fn	fn	fn	fn	fn	f п
Яз кОм	316,2/Q	100	31,62/(2	—	—	—
Кв, кОм	—	—	—	100	31,62 <2	10
R?, кОм	100	100	100	100	100	100
	3,162 Q—1	3,4785 Q—2	0,3162 Q—l	3,4785 <2—1	3,4785 <2	6,6402 Q—t
* Процедура синтеза предполагает, что	2?4=Вз=Ю0 кОм, J?6=10 кОм, Cj = C2=
= 1000 пФ.
тот, полосовой и верхних частот) при использовании как входа
Vbxa, так и VBxb. Расчетные соотношения этой таблицы справед-
ливы до тех пор, пока fn много больше, чем GB операционных
усилителей. Широкие возможности такой «универсальной» реали-
зации активного фильтра хорошо показаны в таблице.
Рассмотрим теперь вопрос настройки универсального активно-
го фильтра общего применения. Типичная схема фильтра с внеш-
ними резисторами 7?i, R2, R3, R7 и Rs показана на рис. 5.3 — 2. Ре-
зисторы Ri и Rz используются для настройки Для неинверти-
рующей схемы Ri или Д3 (в случае ПФ) могут использоваться для
.-настройки Q; R7 и R3 [исключая случай ПФ) можно также ис-
пользовать для настройки На. Для инвертирующей схемы R7 и Rs
можно использовать для настройки Q хотя R8 и R7 (только в слу-
чае ПФ) могут использоваться и для настройки Но.
Рис. 5'.3—2. Типичная -практическая схема универсального активного фильтра.
Rs, Ri и Rs определяют добротность и коэффициент усиления; Ai, Аг, А3 и А& —
операционные усилители типа рЛ741; Rt и R2 используются для установки
требуемой собственной частоты
Теперь можно подвести некоторые итоги исследования универ-
сального активного фильтра. Прежде всего рассмотрим уровни
•сигналов в усилителе. Это важно, так как высокие уровни сигна-
лов требуют и высокой скорости нарастания сигнала на выходе
усилителя (см. § 5.4), а слишком высокая скорость нарастания
может вызвать его неустойчивость. Обычно размах максимального
«выходного напряжения универсального активного фильтра общего
назначения составляет 20, 8 и 2 В для выходов ФНЧ, ПФ и ФВЧ
«соответственно. Эти предельные значения выдерживаются в диа-
пазоне частот от 10 Гц до 1 кГц. На частоте 10 кГц размах вы-
ходного напряжения уменьшается до 8, 3 и 0,8 В соответственно..
Эти значения получены при напряжении питания ± 15 В. Рассмот-
рим теперь максимально достижимую добротность универсального
активного фильтра. Она составляет примерно 50 и определяется,,
прежде всего, частотной характеристикой операционного усилите-
ля и потерями в конденсаторах. При конструировании универ-
сальных активных фильтров, реализующих большие добротности,,
разумнее всего использовать процедуру, приведенную для Но = \
в табл. 5.3— 1. Если требуется большее значение коэффициента-
усиления, то можно использовать дополнительный, не входящий в
стандартную схему универсального фильтра усилитель.
Универсальный фильтр общего назначения используется обычна
до частот порядка 10 кГц. Выше этой частоты важное значение
приобретает эффект увеличения добротности, описанный в § 5.5,.
что делает настройку более сложной. Хотя запаздывающий фазо-
вый сдвиг благодаря конечному значению GB может быть ском-
пенсирован введением опережающего фазового сдвига (путем
шунтирования Ri и/или Rz малыми емкостями), остаются пробле-
мы, связанные с ограничениями, налагаемыми на уровень сигна-
лов и допустимую скорость нарастания. Для частот выше 10 кГц.
должны использоваться высококачественные универсальные фильт-
ры. Так, используя гибридные схемы, можно расширить диапазон
до 100 кГц и более. Использование в этом случае высококачест-
венных усилителей, естественно, приводит к удорожанию стандарт-
ных универсальных активных фильтров.
5.4. Интеграторы
Было показано, что использование операционного усилителя bs
качестве интегратора имеет существенное значение в реализациях
активных фильтров, представленных в § 5.2 и 5.3. Здесь рассмот-
рим некоторые детали, связанные с таким использованием, и
прежде всего инвертирующий интегратор. Его основная схема
приведена на рис. 5.4—-1. Для нее
A (s) = vo (s)/Vs (s) = [—Ad (s) coRC/(s+<одс)]/[ 1 + Ad (s) s/(s + coRC)l, (1 >
где corc= l/RC.	(2>
Используя модель с доминирующим полюсом для z4<j(s) [см.
(17) в приложении В], получаем
Л (s) = Vo (s)/Vs (s) = — (ORcGB/[s2 + (<oa + «)Rc+G5)s+(oa«)Rc]- (3>
Если соа<«)яс для значений со, меньших, чем GB, то амплитуду
(3) можно аппроксимировать следующим выражением:
| А (j со) I ~ соде GB/cojAo2 ф-GB2.	(4>
Фазу (3) можно записать как
arg [Л (jco)] = л—arctg [со (соа-ф coRc + GB)/(coa соде—со2)].	(5>
Если (£>а и сове меньше, чем GB, то (5) можно привести к виду
arg [Л (j &>)] тип—arctg [со GB/(aa &>яс—®2)]-	(6)
В этой связи надо отметить, что аргумент функции арктангенс
умного больше единицы. Следовательно, (6) можно аппроксимиро-
вать выражением вида
argM(jco)] п/2+ti>ati>Rc/<i>GB—(n/GB = л/2 + atRc/G>Ло—ы/СВ. (7)
Это выражение позволяет выявить ряд важных особенностей
характеристик инвертирующего интегратора. В частности, видно,
что уменьшение Ао приводит к опереже-
нию по фазе, тогда как увеличение от-
ношения a/GB вызывает запаздывание
по фазе. К сожалению, второй член в (7)
много меньше третьего, поэтому взаим-
ная компенсация фазовых сдвигов не-
возможна. Если начертить диаграмму
Боде для A (jco), определяемую (3), как
показано на рис. 5.4—2, то увидим, что
существуют две различные области по-
лученных частотных характеристик. Первая из них соответствует
частотам a<aRC. Для нее
Рис. 5.4—1. Схема инвер-
тирующего интегратора
A (s) = vo (s)/Vs (s) - —coc A/(s + (Da).	(8)
Вторая область, частот определяется соотношением: &>№<
<.№<ZGB. В этой частотной области выражения (4) .и (7) могут
использоваться для анализа частотных характеристик инвертирую-
щего интегратора.
Рис. 5.4—2. Диаграмма Боде для инвертирующего интегратора (рис. 5.4—1):
а — логарифмические АЧХ; б — ФЧХ
Входное полное сопротивление инвертирующего интегратора в
основном определяется сопротивлением входного резистора R. Оно
практически не влияет на характеристики активного фильтра. Вы-
ходное сопротивление операционного усилителя, напротив, может
•оказать значительное влияние на характеристику инвертирующе-
го интегратора. Причина этого заключается в том, что с ростом
частоты растет и модуль выходного полного сопротивления инте-
гратора, замкнутого обратной связью. Это говорит о том, что вы-
ходное полное сопротивление интегратора имеет явно выраженный
индуктивный характер, что в сочетании с емкостной нагрузкой,,
создаваемой последующим каскадом, может привести к созданию-
комплексных полюсов. Кроме того, могут сформироваться допол-
нительные нули передачи, что может привести к значительным из-
менениям высокочастотной характеристики рассматриваемой схе-
мы. Моделировать такой эффект можно, включив резистор Ro по-
следовательно с выходом усилителя, а емкость CL параллельно-
указанному выходу. Полученная эквивалентная схема приведена
на рис. 5.4 — 3,а. Схема, пригодная для вычисления Vo(s)/I/S(s)^
Рис. 5.4—3. Влияние выходного сопротивления операционного усилителя на
характеристики 'инвертирующего интегратора
показана на рис. 5.4—3,6. Если <hrc<ZGB и соп~0, то можно по-
казать, что
4(s)_AW«__________(»-<№ cWct_________	9
« I* + »(I/Яо сь) + °В(ЧПо С£)] 	'
Полюсы этой функции
«О (доминирующий полюс интегратора);	(10)
Д>,3 «	(1 ± Ki ~4GB/coo); a0=l/RoCL.	(11>
Нули определяются так:
zl2^±VGB/RoC.	(12)
Полюсы р2 и р3 становятся комплексными, если coo<4GB. Для
операционного усилителя с номинальным полным выходным со-
противлением при разомкнутой петле обратной связи, равным:
50 Ом, и GB = i МГц комплексные полюсы появляются при CL
больше 800 пФ. Два нуля, определенные в (12), устраняют влия-
ние фазового сдвига, так как они являются приблизительно зер-
кально отображенными относительно оси jco. Однако АЧХ благо-
даря наличию этих двух нулей приобретает наклон 12 дБ/октаву.
Эти изменения показаны на рис. 5.4—4, где представлена АЧХ ин-
вертирующего интегратора с coa<4GB. В качестве операционного-
используется усилитель типа рА741 с GB, приблизительно рав-
ным 1 МГц. На рисунке показано влияние различных R и С. Зна-
чение соне, однако, сохраняется постоянным и составляет 500 крад/с.
Из приведенных кривых видно, что влияние выходного полного
сопротивления уменьшается с уменьшением С, т. е. емкость на-
грузки должна быть как можно меньше.
Запаздывание по фазе, обусловленное ограничением на значе-
ние GB операционного усилителя, может быть достаточно велико,
что требует специальной компенсации. Один из методов осущест-
вления этого состоит во включении небольшого сопротивления R?
Рис. 5.4—4. Частотная характеристика ре-
ального инвертирующего интегратора
Рис. 5.4—5. Компенсация запазды-
вания по фазе для инвертирующе-
го интегратора
последовательно с емкостью С, как показано в схеме на рис. 5.4—
5. Это создает полюс функции в цепи обратной связи, что приво-
дит к появлению соответствующего полюса в передаточной функ-
ции интегратора в целом. Анализируя схему на рис. 5.4—5, полу-
чаем передаточную функцию вида
д _ Vo(s) =_______—GB [a (Rz/R) + тдс1_____	/।gx
Vs (s) s2 (<bo -f-(oRC -|- GB) s -|- <ВдС <oa
где принимается Rz<ZR. Заметим, что знаменатели (13) и (3)
идентичны, однако в числителе (13) появляется нуль, расположен-
ный в точке (j>z=l/RzC. Фазовый сдвиг (13) можно аппроксимиро-
вать выражением вида
arg [A (j со)] « л -j- arctg (&>/<oz)—arctg [со GB/(aa сояС—®2)1. (14)
Полагая, что соасоДс"<со2, получаем
arg [A (j со)] яй л/2 + со/сог—a/GB.	(15)
Таким образом, если <oz=GB, то запаздывание по фазе, вы-
званное конечным значением GB, устраняется и не возникает до
тех пор, пока не начнут сказываться эффекты более высокого по-
рядка. В качестве примера можно привести результаты, приведен-
ные на рис. 5.4—6. В этом примере GB=) МГц, R=200 кОм и
С=20 пФ. Один из недостатков данного метода компенсации с ис-
нользованием Rz состоит в том, что результат компенсации зави-
сит от соблюдения условия coz=GB. Вероятно, температурные ко-
эффициенты ©г и GB неодинаковы, следовательно, компенсация^
полученная данным методом, будет зависеть от температуры. Дру-
гой недостаток данного метода заключается в том, что GB ме-
няется в зависимости от конкретного операционного усилителя. В
результате каждый операционный усилитель должен быть компен-
сирован в отдельности.
Рис. 5.4—6. Частотная характеристика компен-
сированного инвертирующего' .интегратора
Второй метод компенсации запаздывания по фазе показан на
рис. 5.4—7. Здесь дополнительная емкость Су включается парал-
лельно сопротивлению R. Анализ этой схемы дает:
A (S) = Idl ~-------------------------s+wz-----------, (16)
vs(s) CO^£-|-<a2 S s +	( aRC 4" GS)/( (Oz +
где &)a~0 и az—\/RCz. Для получения желаемой компенсации
отрицательные вещественные полюс и нуль в этом выражении
должны сокращаться. Таким образом, требуется, чтобы
<az=GB.	(17>
В этом случае, если GB>aRc, то (16) определяет передаточ-
ную функцию идеального инвертирующего интегратора. Очевидно,,
что недостаток, обусловленный необходимостью выполнения усло-
вия <i>z=GB, описанный выше, присущ и этому методу компенса-
ции.
Третий метод компенсации запаздывания по фазе, вносимого-
инвертирующим интегратором, состоит в использовании еще одно-
го операционного усилителя. Этот метод иллюстрирует рис. 5.4—8-
Усилитель с единичным коэффициентом усиления включен как бу-
фер в цепь обратной связи инвертирующего интегратора. Переда-
точная функция этой схемы
A (s) — Y°(s) —	+ 1/Ле?2 I юДс/(5 + юас)]____
Vs(s)	1/Аг1(8) + 1/ЛЛ(8)ЛЙ2 (s)+s/(s + <drC) ’
где Лл(х) —коэффициент усиления усилителя Ai при разомкну-
той цепи обратной связи и А^г — аналогичный коэффициент усиле-
ния усилителя Д2. Используя однополюсную модель для усилите-
лей этой схемы, получаем
Д(я)
VoU)
vs(s)
—юдс Is + ^^2)
S [s2 -f- (GB2 4“ шдс) S 4* ( шдс	^2) + aRC GB1/s^
(19)
Puc. 5.4—7. Компенса-
ция запаздывания по
фазе инвертирующего
интегратора
рационного усилителя для ком-
пенсации запаздывания по фа-
зе инвертирующего интегра-
тора
Фазочастотную характеристику (19) можно записать в виде
arg [Д (j со)] = л/2 4- arctg (co/GB2) —
—arctg (a/GBy 4- a^c/GByGB^—aRc ®ai/“ GBJ,	; (20)
где принято GBlGB2><o2 и GB\><orc. Принимая во внимание то,
что аргументы функций арктангенса в (20) малы, можно упро-
стить (20):
arg [Д (j со)] ж л/2 4-co/GB2—co/GBx—cocoRC/GBxGB2 4-coKCcoal/coGB2. (21)
Сравнивая этот результат с (7), видим, что буфер в цепи об-
ратной связи внес опережение по фазе, которое можно использо-
вать для устранения запаздывания по фазе, вносимого интеграто-
ром. Если 1С0 = С0вс, GBi = GB, ДОг = До, СОаг' = <Оа, ТО
arg [Д (j co/jc)] as л/2—(co^c/GB)2 4- содС/&> До-	(22)
Рассмотрим теперь реализацию инвертирующего интегратора.
Один из подходов состоит в каскадном соединении интегратора и
инвертора, как показано на рис. 5.4—9. Фазочастотная характерис-
тика этой схемы
arg [Д (j со)] as—л/2—a/GBy—2 a/GB2.	(23)
При наличии согласованных усилителей характеристика прини-
мает вид
arg И (j ®)1 ~—л/2—3&IGB.
(24)
Из этого выражения следует, что схема на рис. 5.4—9 в общем
случае неудовлетворительна из-за значительного запаздывания по
фазе.
Схема другого неинвертирующего интегратора показана на рис.
5.4—10. В этой схеме инвертор помещен в цепь обратной связи
инвертирующего интегратора для того, чтобы, во-первых, сформи-
ровать инвертирующий вариант интегратора, во-вторых, обеспе-
Рис. 5.4—9. Реализация неинверти- Рис. 5.4—10. Использование опера-
•рующего интегратора -/ ционного усилителя для компенсации
запаздывания по фазе в неинверти-
рующем интеграторе
чить опережение по фазе, используемое для компенсации запазды-
вания по фазе, вносимое инвертирующим интегратором. Заметим,
что для получения отрицательной обратной связи провод обратной
связи должен подключаться к зажиму «+» усилителя Ль Анализ
prfc. 5.4—10 дает следующую передаточную функцию:
Л(з)
Vo(s)
Vs(s)
®дс 11 /Adz (s) + Ri/(Ri + Я2)]
(25)
(s +	----------------+------------------------1 4-------------
< ' pc> [Adl (s) Ad2 (s) " Adl (s) (/?! + fl2)J T Rt -J- R2
Подставляя модель с доминирующим полюсом для Adi (s) и
Af2(s), получаем
.	wrc	Is + ^2 Ri/(Ri + ^2)]
A (s) = 7---7------R-------\~~~7-------R--------R-----“7—
Ф2 + GB FZF + s +	P 7 GB>GB* + -
L X *VL I ^2	/	\	К1“Г*Х2	/
П ~	’	(26>
-*+ s \“°1СОЛССВ2Я1+Яг)
где принято, что coa<GB. Фазочастотная характеристика для Л (jco)
arg [Л (j ш)] «-^ + arctg(
—arctg (-GBiGB2	h GB2^2 (оДдЯг )’
где <d<CGBi (или GB2) и a>Rc<.GBi. Если аргументы функций
арктангенса малы и GBi = GB2=GB, то (27) можно переписать в
виде
arg [A (j со)] ж—л/2 + ш/GB + RC/A01—2 (<d/GB)2 = — л/2 + ш/GB. (28)
Таким образом, указанный инвертирующий интегратор имеет
избыточное опережение по фазе, приблизительно пропорциональ-
ное ш/GB. Вследствие этого данная схема может быть полезна для
устранения запаздывания по фазе, вызванного обычным инверти-
рующим интегратором (см. рис. 5.4—1), в цепях обратных связей
которого содержатся оба типа интеграторов [54].
10 -
/?|	_______।	- 1	1 1 । । । । ।----------1-----1---1—।—I. 1. 1 и
0,01	0,02	0,03 0,00 0,05 0,01	0,1	0,2	0,3 0,0 0,5 0,1	1,0
<и/БВ
S)
Рис. 5.4—11. Искажения в инвертирующем интеграторе в режиме боль-
шого сигнала
Последнее, что рассмотрим в связи с инвертирующим интегра-
тором, это искажения в режиме большого сигнала, вызванные ог-
раничениями на скорость нарастания выходного сигнала. Чтобы
убедиться в их наличии, представим сначала выражение для фазо-
частотной характеристики в виде
arg [A (j со)] = л/2—arctg {1/[1 + (GB/a>) N (А)]},	(29)
где N(A) является описывающей функцией системы. Равенство
N(A) = l соответствует отсутствию искажений в режиме большого
сигнала, тогда как неравенство N(A)<Zl соответствует искаже-
ниям, вызванным указанными выше причинами. Если N(A) устре-
мить к нулю, то можно заметить, что результаты, полученные при
этом в (29) и (Ю), § 4.6, отличаются, а именно: инвертирующий
интегратор более устойчив к искажениям в режиме большого сиг-
нала, чем инвертирующий усилитель. Влияние искажений в режи-
ме большого сигнала на частотные характеристики инвертирую-
щего интегратора иллюстрирует рис. 5.4—11 для (aRc = GB/10. Ве-
личина Mg является амплитудой входного сигнала, а б — порого-
вым уровнем (см. рис. Б—13 в приложении Б). Результаты, при-
веденные выше, соответствуют инвертирующему интегратору. Ана-
логично можно провести исследование неинвертирующего интегра-
тора. Однако, так как ограничения на скорость нарастания выход-
ного сигнала создают запаздывание по фазе, а данный неинверти-
рующий интегратор создает опережение по фазе, можно предполо-
жить, что его характеристики в режиме малого сигнала будут ме-
няться в меньшей степени, чем у инвертирующего интегратора.
5.5.	Эффект увеличения добротности
Когда схемы, основанные на методе переменных состояния, или
резонаторные схемы, описанные в § 5.2 и 5.3, используют для реа-
лизации высокодобротных функций фильтрации, то оказывается,
что полученные добротности обычно выше тех, которые ищут в со-
ответствии с процедурой синтеза. Это явление носит название эф-
фекта увеличения добротности. Он вызван, главным образом, за-
паздыванием по фазе за счет операционного усилителя. Если при-
нять, что Qo и fno — исходные расчетные значения Q и fn, то обыч-
но необходимо корректировать расчетную процедуру, когда Qofno
’больше, чем 104.
Рассмотрим теперь, как возникает эффект увеличения доброт-
ности в фильтрах, основанных на методе переменных состояния.
Найдем сначала фазовый сдвиг для передаточной функции схемы
при разомкнутой петле обратной связи с ЕВх($) =0 и R7 и Rs, рав-
ными бесконечности, как показано на рис. 5.5—1. Для этого слу-
чая
г (s)	________Г___________КнчЦ].	(1)
14-4s(s)/(14-/?e//?6) Li + RJRS HW
Если предположить, что Л3(«) ^GB3fs, то получим
у- / м = Г____Свз____1 Г ГП ____ГНЧ^ 1 /от
•'bmW [ s + GB3/(l + ДЖ) J П + ^/Яз l + tfb/tfeJ ' ’
Для установившегося состояния под действием гармонического
сигнала это соотношение, если воспользоваться понятием фазоров
^вч» и ^нч> можно записать в виде
Гвч = [7И+Аб+]Гп—[М—(3)
где, полагая ©~©по<СВз, получаем
е+ = е-= -arctg[(©n0/GB3) (1 +/?Л5)] «-(©п0/СВ3)(Ц-Дв/Д8); (4а)
М+ = IGB3/[ j © + GB3/( 1 + Де/Д5)] I : (1 + Д4/^?3);	(46)
М- = |GB3/[j © + GB3/(1 + ад5)11 : (1 + R5/ Д6).	(4b)
Рис. 5.5—1. Схема фильтра, реализованного по методу переменных со-
стояния
Можно представить передаточную функцию от входа У'п и до
2^нч как
нч/^п = —“2 GB2/(—©2 + j оз СВ2 + ©O2r©2) = Af2Z_02, (5)
где й2= 17^2^2, а (да2, GB2— соответственно ширина полосы и про-
изведение коэффициента усиления на ширину полосы операционно-
го усилителя А2. Если GB2>®> то
Л12«и2/и; 62 = л/2 + ©2/ипЛ0—(an/GB2.	(6а), (66)
Следовательно, (3) можно выразить в виде
=	2Le+—M-A4e2LQ~ + G2 = M+l 1А0+—А'е~ + 02\
------- \ ---------------------------/
(7)
Можно показать, используя (4), (6) и (96), § 5.2, что если
<й~(йпО> то
M-M2iM+ = Q0.
Это соотношение показывает, что Qo равно отношению двух ве-
личин. Числитель равен произведению коэффициентов передачи
через усилитель Аг и инвертирующее звено усилителя Аз, тогда
как знаменатель является коэффициентом передачи через неинвер-
тирующее звено усилителя А3. Можно записать (7) в виде
= м+ [cos е+ + j sin 0+-Qo cos (0- + 02) - j Qo sin (6"+62)].	(9)
Фазовый сдвиг от Fn до Z'B4
f)H,B = arctg sin6+-Qosin(6~ + e2) .	(1Q)
cos 0+ — Qo cos (0 + 02)
Это выражение можно упростить, учитывая, что 0+^0 и что
0~ + 02 = л/2—[со2/со„0 Ао—an0/GB2—(a>n0/GB3) (1 + T?e//?5) = л/2 + 8.
(11)
Используя приближенные выражения и тригонометрические со-
отношения для cos и sin суммы углов, можно переписать (10) в
виде
= —arctg
14~ Qo
e^~arctg-|^° =
QB+(cono/GBs)(l+t?«/t?5)
- -—S- (t+w|
®no Aq GB2 GB3	J
(12)
Так как аргумент арктангенса в (12) велик, то
1 . Q Г	ЮП0	®П0 / J  t?e X
g t    п I___________L юпо Ap	GB%_____GB3 \_____Rp / _	(13)
H'B~ 2	Qo + (<Ono/GB3)(J+^e/^)	‘	'
Добавляя полученное к фазовому сдвигу, вызванному инверти-
рующим интегратором [см. (7), § 5.4], получаем общий фазовый
сдвиг 0т схемы, основанной на методе переменных состояния, при
разомкнутой петле обратной связи
g  Ю1 юпо | 1 4~Qo [tOg/cono Ло—<nn0/GB2—(corao/G53) (1 4-(?«/(?в)1
One Ар ОВ^	Qo + (Wno/GBs) (1 -j- Rp/Rp)
(14)
В идеальном случае Ao и все величины GBi — очень большие,
следовательно 0т стремится к значению 1/Qo- Поэтому для неболь-
ших отклонений
0 ___	1	] / J ________ЮП0 I
ет - 7tco„o4 GB1 +
. 1 +Qo [tflz/eTnoA)—fl>no/GB8—(<Qnt>/GB3) (1 -|- l?e/t?8)l X	(15)
Qp+(anoIGB3)(l+ReIRp)	Г ( f
В результате получаем фактическую величину Q, выраженную
через Qo и параметры реализации.
Пример 5.5—>1. Эффект увеличения добротности фильтра, основанного
на методе переменных состояния. Требуется синтезировать фильтр по методу
переменных 'состояния с Но= 1 и Qo= 10, используя при этом операционный
усилитель рЛ741. Желательно найти значение ы„, при котором реализация
становится неустойчивой. Из табл. 5.3—1 7?64/?е='1/10, coi=VlOcon и со2=
=1/10 со„. Приравнивая знаменатель (15) нулю и полагая GBi = GB (i=
= 1, 2, 3), получаем
кС|/1бМ0—Ып/GB) (Qo + 1,1 <on/GB) + 1 +Qo(Vl0Mo—2,1 <on/GB) = O. (16)
JaK как член ~]/10/Ag пренебрежимо мал, то (16) приводится к виду
(G6/con)2—31 (GB/co„) — 1,1 = 0.	(17)
Решая это уравнение относительно GB/con, получаем приблизительно 31.
Следовательно, максимально возможная частота fn для GB= 1000 кГц равна
'32,26 кГц. Заметим, что это соответствует нормированному значению GB, т. е.
GBn равному 31. ♦
Можно применить результаты анализа, проведенного выше, к
задаче компенсации результирующего увеличения добротности.
Из (15) следует
Q«l/(l/Qo-3,l(on/GB),	(18)
где предполагается, что GBi = GB2=GB3=GB, Qo>(£>n/GB, Re/Rs —
=0,1 и что член с Ао не оказывает влияния на реализацию. Выра-
жение (18) можно переписать в виде
fnQ«l/(l/fnQ0-3,l/GB),	(19)
где GB теперь выражено в герцах. Аналогичный результат для ре-
зонаторного фильтра будет получен в § 5.7; он имеет вид
f„Q«l/(l/fnQ0-4/GB),	(20)
где GB также выражено в герцах. Выражения (19) и (20) полез-
ны при проектировании схем, основанных на методе переменных
состояния, и резонаторных схем, когда произведение fnQo стано-
вится большим. График зависимости этого произведения от fnQ
показан на рис. 5.5—2 для двух реализаций: резонаторной и ос-
нованной на методе переменных состояния. Предполагается, что
произведение коэффициента усиления на ширину полосы равно
1 МГц. Эти кривые могут использоваться для вычисления пре-
дыскаженного значения Q, используемого при расчете. Чтобы осу-
ществить это, начнем с величины fnQo и отложим ее значение по
горизонтальной оси, показанной как ось fnQ- Проецируя это зна-
чение вверх до пересечения с соответствующей кривой (резонатор-
ной реализации или реализации по методу переменных состояния),
получаем точку, которая проецируется затем на вертикальную ось,
показанную как ось fnQo, и считываем предыскаженное значение
величины fnQo. Значение Qo, полученное путем деления этого про-
изведения на fn, и будет тем числом, которое следует использовать
в процедуре синтеза. Если fn величина постоянная (что может
быть только приблизительно верным), то фактическое значение Q
будет близко к желаемому Qo.
Рис. 5.5—2. Кривые, иллюстрирующие эффект увеличения добротности:
1 — в резонаторных фильтрах и 2 — в фильтрах, реализованных по методу переменных
состояния
Пример 5.5—2. Синтез фильтров (резонаторного и основанного на ме-
тоде переменных состояния) с использованием предыскаженного значения Qo.
Требуется найти .предыскажеиное значение Qo, которое должно быть пополь-
зовано для синтеза резонаторной реализации и реализации по методу пере-
менных состояния с Q=10 и f„ = 10 кГц. Предполагается, что .произведение ко-
эффициента усиления на ширину полосы равно 1 МГц. Для обеих реализа-
ций исходное значение произведения fnQo равно 100 000. Для схемы, осно-
ванной на методе переменных состояния, рис. 5.5—2 дает предыскаженное зна-
чение fnQo, равное 75 760. Поэтому предыскаженное значение Qo равно 7,57.
Для резонаторной схемы предыскаженное значение fnQo равно 71430. Следо-
вательно, предыскаженное значение Qo равно 7,14. Заметим, что для резона-
торной -схемы требуется большее предыскажение, ♦
Одной из проблем при синтезе высокодобротных схем является
измерение полученного Q. Обычные методы требуют измерения
ширины полосы на уровне —3 дБ. Однако при высокой добротно-
сти ее трудно определить, так как она очень мала. Другой подход
для измерения добротности состоит в подаче на вход системы сту-
пенчатого воздействия и анализа полученной во временной облас-
ти реакции. Чтобы показать, как это делается, рассмотрим обоб-
щенную передаточную функцию вида
У2 (s)/l\ (s) = N (s)/^ + М) s+<в2п] = N (s)/[(s + а)2 + ₽2],	(21)
где N(s) —полином числителя и
a = (Dn/2Q; £—1/4 QT	(22)
Заметим, что аир — вещественная и мнимая составляющие
комплексных полюсов соответственно. Решая (21) относительно
V2(s) и полагая, что на вход подана ступенчатая функция, получа-
ем
Ka(s) = ^(s)/s[(s+a)2+p2].	(23)
Проводя обратное преобразование Лапласа и определяя п2(0 =
—S?~x [V2(s)], находим, что переходный процесс описывается вы-
ражением
»а (0 = Ki + /С2 е-“< sin (р t + <р),
(24)
..где величины Ki, и <р зависят от полинома N(s). Общий вид
МО представлен на рис. 5.5—3, где не показана форма колеба-
ний при /=0, так как ср —
произвольная величина. Зна-
чение а можно найти путем
измерения интервала време-
ни Ti между любыми двумя
точками на огибающей, в ко-
торых амплитуда равна А и
Л/е=Л/2,7183 (е — основа-
ние натурального логариф-
ма) соответственно, как по-
t/C	казано на рис. 5.5—3. Чис-
п г,	ленное значение В можно
Рис. 5.5—3. Определение добротности вы- „	‘
сокодобротного фильтра	наити путем измерения ин-
тервала времени Т2 между
N минимальными или максимальными амплитудными значениями
на характеристике. Следовательно,
а = 1/7’1; р = 2лЛ^/7,2.
(25)
Из (22) следует,
<2 = Уа2 + р2/2а; <on = ]/^+F.
(26)
Так как для высокодобротных схем переходный процесс, пока-
занный на рис. 5.5—3, затухает очень быстро, то для практики
этот метод измерения и Q очень удобен.
5.6.	Частотно-зависимая чувствительность
В этом параграфе рассмотрим свойства реализаций фильтров,
представленных в данной главе, в диапазоне частот, как следствие
чувствительности их полюсов к изменению величины GB. Эти свой-
ства реализации фильтра с бесконечно большим коэффициентом
усиления можно проанализировать так же, как это сделано для
фильтра с конечным коэффициентом усиления в § 4.7. В этом слу-
чае ал [см. (20), § 4.7] равно 1/Ло«О. Подставляя выражения для
полных проводимостей Vi из § 5.1 (для реализации фильтра ниж-
них частот с бесконечным коэффициентом усиления) в (17), § 4.7,
(qi—Ci, 1=0, 1,2), получаем
^2 = G8Ce;	= G8 (Gi4~G24- Gg);	(la)
02—C8Ce;	= Ge (Gx+G2+G3)-j-Gs C6; 9o=G1G34*G2G3. (16)
Для этого фильтра
v% = b0/b2 = b0/q2-, ^JQ=b1lb2^bi/q2-,	(2a), (26)
~ ^з/bz — Gi Gg/9a>	(2b)
Из (16) видно, что qi = bi + G3Cs и 9о = £>о4-С]Сз. Подставляя
эти выражения в (2), получаем
—	^1Рз/9г» ®n/Q = 9i/92 GgCj/fo. (За), (36)
Следовательно, х и у из (10), § 4.7, примут вид
х= —GsCBQ/fi)n=	9г Q/^з Gg ton = 9г Q 1/^2 G8/^?3 Ce; (4a)
У = 9г— f 92 4-	= — ио Яг-	(4Ф
Подстановка их в (16), § 4.7, дает
I о pi I 	Г Rt C6	|Я0| /ВдСб \W2 . rj2"| 1/2
IAjbI- GByjQaZn [^Ce	q	\RaC,) + °\ • ()
Одна из процедур синтеза, используемая для реализации ФНЧ
с бесконечно большим коэффициентом усиления, состоит в выборе
равных номиналов сопротивлений, т. е. Ri—.R$=RS=R. При этом
(5) приводится к виду
I С Pi I _ Фюп Г G6_______1 / Съ \ 1/2	. 1М2
gb V4Q5=T I С. Q 1 С, ) +1J •	(6)
Для такой процедуры синтеза добротность
Q=KC67Ce/3.	(7)
Объединяя (7) с (6), получаем
|	| = (Q®n/GB ]/4Q*=T) (9Qa-2)«/2.	(8)
Знаменатель третьего порядка передаточной функции для это*
го фильтра принимает теперь вид
D(s) =q^{s4GB+s* [1 +<on/GBQ4-(®n/GB) (7?a C8//?s Ce)™ ] +
4-s[®n/Q4-H+“^o)/GBl+®2}.	(9)
Преобразуя это выражение и полагая, что используется про-
цедура с выбором равных номиналов сопротивлений, получаем
D («) (q-jGB) [s3 4- s2 (GB 4- <on/Q+3 Q ® J 4- s (®n GB/Q+2coa) 4. QB].
(10)
Нормируя результат на имеем
2
D (Sn) = ^^+(GBn+ l/Q + 3Q)^+(GBn/Q+2)Sn + GBnl. (11)
Местоположение комплексных полюсов, лежащих в верхней
полуплоскости, в зависимости от величины GBn для рассмотренно-
го полинома знаменателя с Q в качестве параметра показано на
-1,0-0,9 -0,В -0,7 -0,6 -0,5 -OJb -О,3 ~0,7-0,1 О
1,0 0,9 OJS 0,7 0,0 0,5 0,6 0,3 0,2 0,f О
Рис. 5.6—2. Влияние GB на положе-
ние полюсов ПФ второго порядка на
одном усилителе с бесконечно боль-
шим коэффициентом усиления (см.
§ 5.1)
Рис. 5.6—1. Влияние GB на положение
полюсов /?С-фильтра нижних частот
второго .порядка на одном усилителе с
бесконечно большим коэффициентом
усиления (см. § 5.1)
рис. 5.6—1. Сравнивая полученное с рис. 4.7—2, можно видеть,
что реализации с конечным и бесконечно большим коэффициента-
ми усиления имеют аналогичные зависимости от GB. Реализации
ФВЧ и ПФ схемами с бесконечным усилением можно проанализи-
ровать так же, как это сделано
выше. Результаты такого анализа
сведены в табл. 5.6—1. Соответ-
ствующие зависимости положе-
ния комплексных полюсов, лежа-
щих в верхней полуплоскости, от
величины GBn и Q в качестве па-
раметра показаны на рис. 5.6—2
и 5.6—3.
ч- Рис. 5.6—3. Влияние GB
на положение ФВЧ вто-
рого порядка на одном
усилителе с бесконечно
большим коэффициентом
усиления (см. § 5.1)
Таблица 5.6—t
Частотно-зависимые чувствительности для реализаций фильтров
с бесконечно большим коэффициентом усиления
Реализация	Ограничение		^GB	« D <sn)
		1 1		2 ton	СЪ
ФНЧ	Нет	1	1 — IHol / <2 '	gbVaq2-i LR3ce ZZ2]1/2 AC.) +"»J	
(рис. 5.1—2)		г \ 9а ®2п	["«3 I ( /2D 1	1	1 О	-2 1	
	Rl—Rz—Ra — R (рис. 5.6—d)	GBn	Q точрт + ( п + sn -|- GBn1 \ Ч	/	J		
		lsft|=	ton 1	1	/ | . Rl \	
	Нет		GB V4Q2—i \	)	
ПФ				
(рис. 5.1—4)		п, . 9а ©2п	L3	4- ^GBn+ q -|- 2 Qj s® + 1 1 sn “b
	с2=с3=с (рис. 5.6—2)	D(Sn)- GBn I G + \	Bn <2	
		1 cPi 1 1 Sqb 1 = |Я0| <2		Q ton f
ФВЧ	Нет		GB"|/4Q2—1 U?6C2 u?.cj +""!	
(рис. 5.1—5)	Ci=Сг=С3=С (рис. 5.6—3)	X sn + 1	ps GB„	1 +(oBn+4- +3(2^ X \	4	/ 1 lie -1	1
			Q	“Г J \ Sn “b
Пр и ме р 5.6—1. Фактические значения <йп и Q полосового фильтра с
бесконечно большим усилением. Требуется реализовать ПФ второго порядка
с Q=8,53, if„ = 1000 Гц, 7/0=1, используя процедуру синтеза с емкостями рав-
ных номиналов. Произведение коэффициента усиления на ширину полосы для
усилителя равно 1 МГц. Фактическое положение полюсов можно найти, ис-
пользуя реализацию (13), § 5.1, и принимая Сг=С3=С=0,01 мкФ. В резуль-
тате получаем /?1=135,8 кО.м, ВБ=939 Ом и J?6=271,6 кОм. Желаемое поло-
жение комплексных полюсов можно найти нз выражения Pi,2=®n/2QX
Х(—l±:il/4Q2—1). Следовательно, р1>2=—368,8±j6272. Фактическое положе-
ние полюсов можно вычислить с помощью (11), § 4.7, используя GBn = 1000.
Так как в соответствии с (10), § 4.7, для реализации ПФ с бесконечным ко-
вффициентом усиления с 6’2= Сз, у=С и х==—ZqzQz, то вещественные и мни-
мые части полюсов можно- найти из соотношений
Р.е [dpi/д GB] = — l/GB2n=— 10е;	(12а)
Im[dpi/dGB] = (2Q2— l)/GB2 Q1/4Q2—1 = о,99-10“’ яа 10“*.	(126)
Вещественные и мнимые части вариаций положения полюсов за счет изме-
нения GB .можно найти путем домножения на dGB, т. е.
Re [dp Ц т Re [dpi/dGB] d GB = 2л;	(13a)
Im [dpi] «s Im [dPi/d GB] dGB = —2л.	(136)
В этом случае dGB представляет собой изменение GB от со до 1 МГц;
следовательно GB^>dGB<0. Фактические положения полюсов теперь таковы:
Pi,2=—361±j6266. Фактические f„ и Q, обозначенные как fn*aKT и
Q*aKT, вычисленные с учетом фактического положения полюсов, равны:
^пФакТ=998>9 Гц и (?Факт=8,67. ф
Последняя категория /?С-фильтров, которая будет рассмотре-
на в этом параграфе, — фильтры с использованием нескольких
усилителей. Эта категория включает в себя фильтры, реализован-
ные по методу переменных состояния, и резонаторные фильтры,
введенные в § 5.2. Сначала рассмотрим реализацию фильтра на
Рис. 5.6—Схема фильтра, реализованного по методу переменных
состояния	;
основе переменных состояния (рис. 5.6—4). Выражение для
Vbx3.(s), определенного на рисунке, можно записать в виде
, (s)=V, (s) (	\ + v„ (s) ( -Д—) -
\ ^3 Т ^4 /	\ AS -j-	/
_V"4(s)(7^-)+I'B4w(vT^y	(14>
Определим теперь передаточные функции
A[(s) = Уп (Жзч (s); A (S) = Унч (s)/Vn (s);
A(«)==VB4(s)/VBxS(s).	(15)
- Решая эти уравнения относительно Увч (s)/Vi(s), получаем
Увч 	А (А 4" А)
Vl (®)	1 + A	+ A (s) А3 (S)	+A (S) A (s) A (s)
Kg -f- Ke	К3 -f- К4	Кб *г #9
(16)
Знаменатель этой передаточной функции будет одинаков для
случаев ФНЧ и ПФ, как инвертирующей, так и неинвертирующей
конфигураций. Его можно записать в виде
D (S) =-------?------+------!-------------1-
А (s) A (s) A (s) A (s) A (s) НА + А
4-—!------4- —.	(17)
A(s) А+А	А + А	4
Используя (3), § 5.4, можно записать:
A(s) « —fpiGBi А	~----—®1GBa	Ц8)
Л s(s + ©i + GA)	sfc+coj+GA)
(где й)1 = 1/7?1Сь (02= 17^2^2 и co0<;GB. Так как Д3(з) в выражении
(15) дает коэффициент усиления операционного усилителя А3 при
.разомкнутой петле обратной связи (рис. 5.6—4), то его можно вы-
разить как
A(a)«GBs/3.	(19)
Объединяя приведенные выше результаты, получаем следую-
щий полином пятого порядка для D (s):
D(s) = (s2 + -^ + (0*) +	(3+	+ S(o31 + <o2 + -^ U
+*“1 + ([sa ( з + 2 s К + <02) ( 2 + -Щ 4-(0lfi)al +
Q	\(jD /	\	Кб/	\ Кб/	J
s \3 A 4~ Re zs2
GB И A
+ s co1 + sco24-co1co2)
(20)
можно показать, что
(21a)
®n/Q = [(1 + T?6/T?5)/(l +	+ад7)1 “r (216)
Резистор Rt, введенный в схему фильтра, основанного на пере-
менных состояния, как показано на рис. 5.6—4 (см. также схему
универсального активного фильтра на рис. 5.2— 1) влияет только
на величину on/Q, приведенную в (216). Если R7 отсутствует в
схеме, то, подставляя /?7=оо в (216) и пренебрегая членами
(s/GB)2 и (s/GB)s в выражении (20), получаем упрощенное выра-
жение для D(s):
D (s) « (sa + ®n s/Q++ (s/GB) [(3 + RJRJ s2 +
4- ((»! 4- (Ba + (0„/Q) s + co2 <on/Q].
(22)
Сравнивая его с (6), § 4.7, можно получить следующие соот-
ветствия:
Л=1; ?2 = 3 + /?в/7?5; (^c^ + cOa + tOn/Q; q0 = со2 (оп/(о. (23}
Подставляя эти величины в (10), § 4.7, получаем
х=2 + ад-(С/У^;)	1/]/Т);	(24а}
y = 3 + Re/R&~ 1/Q (]/^/УЯв/ЯБ),	(246)
где г = <02/(0!.	(25)
Типичными расчетными значениями для реализаций по методу
переменных состояния являются: R6/R5=l/10 и 8=1. Следователь-
но, вместо (24) получаем
х = 2,1 —J/40Q; £/ = 3,1 —J/10/Q.	(26}
Полагая, что Q>1, находим х~—6,32 и у~3,1. Подставляя
эти величины в (16), § 4.7, имеем
|SG^|«7(onQ/GBy4Q^l.
(27}
Сравнивая этот результат с результатом, полученным для реа-
лизаций с одним усилителем, видим, что фильтр на основе пере-
менных состояния похож на фильтры с положительным коэффици-
ентом усиления в отношении его зависимости от произведения ко-
эффициента усиления на полосу пропускания. График изменения
положения комплексных полюсов в верхней полуплоскости можно-
получить из (22) путем нормирования относительно в резуль-
тате
D (sn) « (</GBn)[	3 + ^!L\+s2 {GBn + fi)in+(02n+1/Q) +
L \ 'Ч /
+ sn (GBn/Q+(D2n/Q) +GBnl,	(28)
где (0in = (oi/(йп и (ti2n — (ti^ftin- Годограф, полученный из этого урав-
нения, показан на рис. 5.6—5. Как видно из рисунка, полюсы реа-
лизации фильтра на основе пе-
ременных состояния могут ока-
заться в правой полуплоскости
для больших значений доброт-
ности (на рис. часть оси jco
представлена в большем мас-
штабе, чтобы лучше видеть де-
тали). Так как у фильтра на
основе переменных состояния
передаточная функция при ра-
зомкнутой цепи обратной связи
Рис. 5.6—5. Влияние GB на поло-
жение полюсов фильтра, реализован-
ного по методу -переменных состоя-
ния
® точке (1)п приблизительно равна 1Z.00, то небольшое по величине
(запаздывание по фазе, вносимое интеграторами и сумматором, вы-
зовет эффект увеличения добротности. Это тем более верно для
^больших значений соп.
\ Рассмотрим теперь резонаторную реализацию, схема которой
[оказана на рис. 5.1—4. Для этой реализации
Vn (з) = -Adl (з) VBX ! (з) = - Adl (з) (	\ V. (s) -
\ S -j- i\ (Oj ]
-Adl (s) (	Vx (s)-Adl (з) (	) Vn (s),	(29)
аде со1=1/Д1С1; /С = 14-^i/^4 + ^i/^з',	(30)
.Adi является коэффициентом усиления операционного усилите-
ля At при разомкнутой петле обратной связи. С помощью ри-
сунка можно определить
4(s) = Va(s)/VH4(s); 4(s)=VH4(s)/Vn(s).	(31)
Подставляя эти выражения в (29), находим
Уд Is)  	—Adl (s) ©! (Ri/RAI(s 4- К coj)
“ 1+4л(й(2^.\+ЛяиЛ(,)лмЛ^. '
\s4-K»i /	s-J-fCcoi
Знаменатель этой передаточной функции можно записать в
виде
£> (s) = (s + KaJ/Ad! (s) Аа (s) А3 (s) + (s + coJ/4 (s) А3 (s) + сог R1/R3. (33)
Подставляя соотношения
4a(s)~ —GBJs;	(34а)
^2 (®)	®2 GB2/s (з -}- со2 4- GB2);	(346)
А3 (s) «(- GB3/2)/(s 4- GB3/2)	(34в)
>в полученное выше выражение, имеем
Z) (s) = (з2 4- con s/Q 4- со2) 4- (s/GB) [4s2 4- (Зо^ 4- со2 4- 04 /Q s 4-	<о2] 4-
4- (s/GB)2 [5s2 4- (2сот 4- Зсо2 4- Зсо1 К} s 4- (2 04 со2 4-	со2 Д)] 4-
4- (s/GB)3 [2s2 4- (2 со2 4- 2со1 Я) s 4- 2	со2],	(35)
•откуда следует, что
со^^сОг^/Яз; con/Q = co1; 1 +R1/Ri +Rr/Rs, (36a)
oo1 = 1 //?г Ci, co2 = 1 /R2 C2.	(366)
Пренебрегая членами (s[GB)2 и (s/GB)3 в (35), получаем
.D (s) s (s2 4- con s/Q 4- co2) 4- (s/GB) [4s2 4- (co2 4- 3cox 4- cox /<) s 4- co2 co2]. (37)
Действуя далее, как и в случае реализаций на основе перемен-
ных состояния, получаем
*=1; ^2 = 4; 91 = (o24-co1(44--^-4--^-V	(38)
Решение для х и у, определенных в (10), § 4.7, дает
х= —Q2R3lR1—R1lRa--R1lRli=^ —^l^—Oj^l^-RilR* (39а)
у = 4—^/^ = 4—0)2 со2/й)2.	(39^
Полагая, <bi=<b2 и Ri/Rt=H0 (ПФ), получаем
х - — 1 — Q2—Но «—Q2;	(40а)
у = 4—1/0)2 «4	(406)
для Qp>l. Следовательно, модуль чувствительности полюса
| S£ | « con Q2/GB |/4^=й.	(41)
Из результатов, полученных выше, видно, что характеристика-
резонаторного фильтра для QP>1 аналогична характеристике ре-
ализации фильтра на одном усилителе с бесконечно большим ко-
эффициентом усиления. График изменения местоположения комп-
лексных полюсов в верхней полуплоскости можно получить из (37)
путем нормирования на соп:
®n
+ s2 (GBn + 3®ln + co2n + со1п К) +
+ sn -^ + <oln<o2n ) + GBn
\ 4	/
(42)
где coin=coi/(on и игл = сог/соп- Результирующий годограф как функ-
ция GBn с Q в качестве параметра показан на рис. 5.6—6. При вы-
черчивании графика предполагалось, что com=l/Q, со2п = 1 и К=
= i + Q+Ri/Ri. Это соответ-
ствует процедуре синтеза,
данной в § 5.2. Можно ви-
деть, что недостатком реа-
лизаций с бесконечным ко-
эффициентом усиления яв-
ляется то, что корни могут
оказаться в правой полу-
плоскости jco при больших
значениях GBn. Сравнивая
фильтр на основе перемен-
ных состояния с резонатор-
ным фильтром, при усло-
вии, что процедуры синте-
за одинаковы, можно сде-
Рис. 5.6—6. Влияние GB на положение по- лать вывод, что первый ИЗ
Люсов резонаторного фильтра них имеет больший запас
устойчивости.
В этом параграфе исследовалось влияние частотной зависимо-
сти параметров усилителя на различные типы реализаций фильт-
ров, которая характеризуется величиной |S»«Gb|. Если множитель
(ап/GB)/ ]/4Q2—1 исключить из формулы для чувствительности,,
которая здесь вычислялась, и если QP>1, то можно провести
сравнение чувствительностей различных реализаций. Предполага-
ется, что величина Но приблизительно равна единице. Для реали-
заций на основе переменных состояния и положительного коэф-
фициента усиления IS^gbI не зависит от Q. Для резонаторной
реализации и бесконечно большого коэффициента усиления
пропорционален Q. Аналогичное исследование свойств реализа-
ций с отрицательным коэффициентом усиления показывает, что
|SGBPi| пропорционален Q2. Это еще одна причина непопулярно-
сти таких реализаций.
Вопросы, рассмотренные в этом параграфе, имеют большое
значение в практике активных фильтров. Непосредственное исполь-
зование результатов, полученных в нем, заключается в том, что-
бы учесть в процедуре синтеза величину произведения GBn- Ес-
ли а>п и Q известны и известна GB, то сдвиг полюсов можно вы-
числить либо с помощью графиков корневых годографов, либо с
помощью выражения (8), § 4.7. Компенсированное положение по-
'люсов получается тогда путем добавления сдвига полюсов к жела-
емому положению полюсов. Знание компенсированных положений
полюсов позволяет определить компенсированные значения к>п и
Q, которые могут затем использоваться в качестве технических
требований нормальной процедуры синтеза. Успешность такого
подхода основана на предположении, что сдвиг полюсов линеен в
окрестности желаемого положения полюса. Так, в примере 5.6—1
компенсированное положение полюсов может быть вычислено как
pi,2——375,1 ±j 6278,3, что согласуется с компенсированными зна-
чениями fn и Q, равными соответственно 1001 и 8,36. Хотя такая
процедура не может обеспечить точной компенсации, тем не менее
она позволяет значительно снизить влияние GB усилителя на син-
тезируемую реализацию и позволяет легко подстроить ее. Резуль-
таты, полученные в этом параграфе, позволяют также выделить
такой тип реализации, который соответствует заданному набору
технических требований. Кроме того, они могут использоваться
для определения требуемых характеристик усилителей, необходи-
мых для удовлетворения различных технических требований. На-
конец, эти результаты дают ту основу, которая необходима для
поиска реализаций, имеющих улучшенные частотные характерис-
тики.
5.7. Реализации, не зависимые от произведения GB
Для того чтобы получить одновременно и хорошую характерис-
тику в области высоких частот и большую добротность активного
фильтра, важно минимизировать чувствительность |S^gb| фильт-
ра относительно произведения коэффициента усиления на ширину
полосы. В этом параграфе покажем, как это можно сделать, ис-
пользуя .методы компенсации. Такие методы применимы, 'прежде
всего, к тем схемам фильтров, у которых заземлен один из вход-
ных зажимов, так как в противном случае частотная характерце-
тика фильтра зависит не только от произведения GB, но и от мно-
гих других параметров операционного усилителя, таких как вход-
ное и выходное полные сопротивления и т. д. Одной из наиболее
многоплановых и полезных схем фильтров, в которой заземлено по1
одному входному зажиму во всех операционных усилителях, явля-/
ется схема резонаторного фильтра, представленного в § 5.2. Эта*
схема не только полезная и гибкая при реализации функций вто-
рого порядка, но и, как это было показано, является ценным
функциональным узлом при реализации функций фильтрации бо-
лее высокого порядка. Поэтому имеет смысл рассмотреть ее опти-
мизацию.
Основная схема резонатора приведена на рис. 5.7— 1. Анализ
ее можно провести путем размыкания петли обратной связи в мес-
те, показанном на рисунке пунктирными линиями, и исследования
передаточной функции разомкнутой цепи V'x (s)/Vx (s). Для этого
Рис. 5.7—2. Каскад
резонаторного фильтра
сначала рассмотрим схему на рис. 5.7—2. На ней представлен
первый каскад (усилитель А) резонаторного звена при условии,
что Vi(s) равно нулю. Передаточная функция Ti(s) такой схемы
у Vn<*)	(Ri/Вд) ОВг_____
Vx(s) s2 + GB1s+a1GB1 + (aaiK4>i
где <Bai и GB] — соответственно ширина полосы соа и произведение
GB усилителя Ai. Это выражение получено в предположении, что
и в нем принято
К = 1 + RjRs + RM = 1 //?! Сх-	(2)
Фазочастотную характеристику (1) можно записать в виде
arg [7\ (j со)] л; я—arctg [со GBJfa GBr + соа1 К coj—со2)].	(3)
.Сравнивая передаточную функцию резонатора по напряжению
1(20), § 5.2, со знаменателем стандартной передаточной функции
зторого порядка [см. (1), § 4.2], получаем
®1=Юпо/Со.	(4>
де сопо и Qo — расчетные значения соэт и Q. Тогда (3) можно за-
гасать в виде
argfTJj®)] « л—arctgtcoGBj/^GBj/Qo + co^/Cco^/Qo—со2)]. (5)
Если Q>1, то аргумент арктангенса становится большим и
5) упрощается:
| arg [7\ (j со)] «г л/2 + con0/Q0 со + К an0/Q0 Л01 со—co/GB^ (6)
/де Ло1 — коэффициент усиления Ао усилителя Ai при разомкну-
"ой петле обратной связи.
Рассмотрим теперь каскад на операционном усилителе Л2 («м.
[ис. 5.7—1). Если определить передаточную функцию
V нч fs)/^ri(s) , как Т2, то из (7), § 5.4, следует
I	arg[T2(jco)] «?л/2 + со2/соДО2—co/GB2,	(7)
гйе со2 = 1/7?2С2.	(8)
Наконец, для инвертора А3, который является третьим усили-
телем на рис. 5.7—1, определяя T3(s) = Vx(s)fVH4(s) из (96),
§ 4.6, получаем (полагая /?5=Яб)
arg[T3 (jco)] » л—2co/GB3.	(9)
Определим теперь общую передаточную функцию схемы при
разомкнутой петле обратной связи как T(s) =Т} (s)T2(s)Ts(s). Тог-
да общий фазовый сдвиг
arg [Т (i со)] = arg [7\ (j со)] + arg [Т2 (j со)] +
+ arg IG (j ®)1 ~(1 /Qo + Д’/Qo	+ ®2/conO Д02) (сопО/со) —
— (co/GBi + co/GB^co/GBg).	(10)
Из результатов, изложенных выше, следует, что инвертирую-
щий каскад резонатора А3 имеет вдвое больший фазовый сдвиг»
чем каскад инвертора-интегратора. В этом состоит один из недо-
статков использования инвертора для получения неинвертирую-
щего интегратора. Рассмотрим теперь, что произойдет, если вели-
чины Авг и GBi(i=l, 2, 3) стремятся к бесконечности. В этом
случае (10) приводится к виду
arg [7 (j со)]	(11)
Qco
Следовательно, в этом случае Q и Qo те же самые. Поэтому
фактическое Q можно выразить через Qo; тогда желаемое значе-
ние Q можно записать [объединяя (10) и (11)] в виде
Q « (йп0/й)	/
(12
Если воспользоваться процедурой проектирования (см. § 5.2)
в которой /?2=^з=/?4=/?5=</?6=^ (Ho=Qo для полосовой реали
зации), Ci = C2=C и Ri — QoR и положить, что й)=сопо и что вес
усилители согласованы, то (12) можно упростить:
Q«l/( 1/QO + 1/QO 4 + 3/4-4 (Ono/GB).	(13
Следовательно, фактически полученная добротность выше, чем
расчетная. Этот эффект увеличения добротности вызван запазды-
ванием по фазе в петле обратной связи, что может привести к
неустойчивости цепи, если отношение anOfGB становится доста
точно большим.
Пример 5.7—1. Эффект увеличения добротности резонаторного фильтре.
Пусть требуется использовать резонаторную схему на рис. 5.7—1 для реали-
зации ПФ второго порядка с Q=4 и fno=38,185 Гц. Принимаем 1Й2=(1?з=1?4=₽
=^5=^=^, С1=Сг=С и 7?i=i7?(?o- Операционные усилители согласованы
имеют следующие характеристики: А0=Ю5 и GB=i МГц. Фактическое зна-
чение добротности для этого фильтра при условии f—fno, можно найти из
(13), откуда следует, что оно равно 10,28. Эффект увеличения добротности на-
лицо. ф	।
Выражение (13) можно также использовать для оценки зна-
чения частоты, при которой фильтр становится неустойчивым. !С
этой целью аппроксимируем указанное выражение, представив
его в виде
Q«l/(l/Q0-4©n0/GB).	(14)
Отсюда видно, что Q—oo, когда cono=GB/4Qo. Этот результат
справедлив, однако, только для малых изменений положения по-
люсов. В результате этого должно быть Q>10, чтобы можно бы-
ло получить имеющий смысл результат. Например, используя
данные примера 5.7—1, можно оценить максимальное значение
&>по, предсказанное с помощью (14), величиной 25 кГц. Фильтр,
однако, устойчив и на более высоких частотах, так как Qo в
этом примере слишком мала, и использование выражения (14)
не может быть оправдано.
Рассмотрим теперь, что произойдет, если инвертор-интегра-
тор, представленный каскадами 4 и А3 на рис. 5.7—1, заменить
на неинвертирующий интегратор, представленный на рис. 5.4—
10 (где Р2 и 4 заменены на /?5 и /?6). В результате получаем
модифицированную резонаторную схему, показанную на рис.
5.7—3. Фазовый сдвиг при замкнутой петле обратной связи мож-
jto начти, используя (27), § 5.4, и (6). В результате получаем
иля Ono<GB2)
V arg [Г	/Qo+tf/Q0 Л01 + (RM/AW] <onO/® +
\	+[(®/GB3)(l+/?6//?6)-®/GB1-(®/GB3)(/?e//?5)],	(15)
где предполагается, что аргументы функции арктангенса малы.
Для случая, когда Rs—Re и произведения GB операционных уси-
лителей согласованы, получаем
arg [7 (j ©)]«(1/Qo+K/Q0 Ло + 1/Л0) (®n0/®).	(16)
Объединяя это выражение с (11), находим
Q «1 /(1/QO + K/Qo Ло + 1/Д).	(17)
Этот результат показывает, что Q не зависит от GB, а, сле-
довательно, для модифицированной резонаторной схемы эффект
увеличения добротности не наблюдается. Разница между ис-
Рис.. 5.7—3. Схема моди-
фицированного резона-
торного фильтра
ходной и модифицированной резонаторными схемами иллюстри-
рует рис. 5.7—4. Графики, приведенные на этом рисунке, пред-
ставляют две реализации ПФ, имеющего Qo=100. Значение fn
возрастают вдоль оси абсцисс, начиная с 30 Гц. Исходная резона-
торная схема становится неустойчивой уже на частоте приблизи-
тельно 2000 Гц, тогда как добротность модифицированного резо-
Рис. 5.7—5. Высокочастотная модификация
биквадратного резонаторного фильтра
Рис. 5.7—4. Сравнение харак-
теристик нормального (/) и
модифицированного (2) резона-
торных фильтров
1Н-
на
ЁХ-
вы
натора существенно не меняется вплоть до частоты 15 кГц. Эк-
спериментально наблюдаемые результаты находятся в хорошем
согласии с (14), в соответствии с которым частота, где схема не-
устойчива, составляет 2500 Гц (для GB = 1 МГц). Последнее пре-
имущество модифицированной резонаторной схемы состоит в том,
что температурные коэффициенты произведений коэффициента
усиления на ширину полосы отдельных операционных усилите-
лей одинаковы. Таким образом, нежелательное запаздывание по
фазе устраняется в широком температурном диапазоне.
Общую схему ФВЧ второго порядка можно получить путем
подстановки в биквадратную резонаторную реализацию, приве-
денную на рис. 5.2—6, вместо инвертора и инвертирующего
тегратора неинвертирующего интегратора, представленного
рис. 5.4—10. Полученная цепь показана на рис. 5.7—5 [55]. I
ника синтеза, использованная в § 5.2, и табл. 5.2—1, справедл!
и для этой цепи. Это обеспечивает гибкость общей процедуры
синтеза и возможность иметь хорошие частотные характеристики.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что фактическую частоту |по-
люса (13р можно выразить через желаемую частоту полюса
следующим образом:
(Про (1 + 2 (Hpo/GBy + apo/GBs)-'/2,	(18)
где предполагается, что Ri=R2=R3=R5—Re—R; Rt и <R7— мно-
го больше, чем R5 и Ci = C2—C. Полюсную добротность Qp ана-
логично можно выразить через желаемую добротность Qp0, т. е.
(19)
Qpo_____________________
Rs/Rs	1 4- Cs/Ci\
GBZ GB1 J
как знаки отдельных членов в множителе, заключенном в
в знаменателе (19), как положительны, так и отрицатель-
при использовании приемлемой процедуры синтеза можно
1 , п ( 1 + Rs/Rg +#s/#8
Так
скобки
ны, то
устранить влияние добротности произведения коэффициента уси-
ления на ширину полосы операционного усилителя. Чтобы пока-
зать это, предположим, что GBi = GB2=GB3=GB, и определим
k = R6lRs+G/G - Rs/Re—R6/R8.	(20)
Цель, таким образом, состоит в том, чтобы сделать k равным
нулю. Из табл. 5.2—1 можно 'видеть, что С3 = 0 и R& = oo требуют-
ся в случаях ФНЧ и ПФ. В этой ситуации fe=0, если
Rs = Rt-	(21>
Аналогично для того, чтобы k равнялось нулю, в случае ФВЧ
и расположения нулей на оси jco требуется удовлетворить равен-
ству
R6/Rs = (Q/2C0 [ -1 ± v 1 + (2С3/С3)2].	(22)
Следует отметить, что использование условия (22) часто при-
водит к таким значениям и Rs, которые вызывают значитель-
4ые изменения уровня сигнала, снятого со средней точки соеди-
нения резисторов R3—Re на выход усилителя Л3 на рис. 5.7—5.
Эта разность уровней сигналов будет усугублять эффекты, вы-
званные конечной скоростью нарастания сигнала и до некоторой
степени сведет к нулю результаты, достигнутые благодаря внут-
ренней компенсации величины GB. Другая процедура полного
удаления резистора Rs из схемы (т. е. принимаем, что сопротив-
ле1ие R8=oo) состоит в том, чтобы отсоединить его от зажима,
сое гветствуюгцего Vi, и затем заземлить. В этом случае k про-
дешкает определяться выражением (20), однако резистор Rs
действует теперь в соответствии с табл. 5.2—1, как если бы он
имел бесконечно большое сопротивление. Теперь для случая
ФВЧ и нулей на оси jco можно принять Rs и Re и по-прежнему
получить k=0, если положить
С3/С2 = Rs/Rg,	(23)
где)д8 подключается между инвертирующим зажимом А3 и зем-
лею
Пример 5.7—2. Биквадратный резонаторный фильтр, независимый от
GB. Пусть требуется использовать схему на рис. 5.7—5 для того, чтобы реа-
лизовать функцию фильтрации, имеющую Qpo=50, /ро=10 кГц, Qz0=oo и
/го=7,5 «Гц. Из (28) и (29), § 5.2, получаем
со2о — Rs/R3 Rs б3; сОрд = Rs/6У2Р3Р5 С2 С3;	(24а), (246)
<&po/Qpo= 1/R] 6j.	(24в)
Можно выбрать t/?3==i/?s=i7?e—Ю кОм и С1=С2=Сз=3-10~9 Ф. Из '(24) по-
лучаем 7?2=2,81 кОм, lRi =265,26 кОм и 7??=5 кОм. Для того чтобы получить
k=0, выберем 7?5=i7?8=10 кОм и заземлим конец резистора Rs, который при-
соединен к зажиму Гь На рис. 5.7—6 показана частотная характеристика это-
Рис. 5.7—6. Частотная характеристика фильтра в примере
5.7—2
го фильтра и демонстрируется процесс его настройки. Кривая 1 соответствует
номинальному фильтру. Кривая 2 соответствует сопротивлению У??=9 кОм,
чтобы показать его влияние на coz. На кривой 3 (где значение восстановле-
но до своей первоначальной величины — 5 кОм) Рг изменено до 1,3 кОм, уго-
бы настроить Ир. Наконец, кривая 4 показывает результат использования
1,3 кОм и /??=9 кОм для настройки как сор, так и мг.	I
При вычислении характеристик этого фильтра следует иметь в виду,/ что
схема исходного резонаторного фильтра стала бы неустойчивой
fp>GB/4QPo=2,5 кГц (полагаем, что СВ=500). Улучшение характер.!
схемы за счет модификации демонстрирует рис. 5.7—7. На рис. 5.7—7,а
при
стик
про-
центное изменение Qp вычерчивается в зависимости от температуры как для
Рис. 5.7—7. Относительные изменения характеристик добротности фильтров в
примере 5.7—2:
1 — нормальный; 2 — модифицированный резонатор
исходного, так и для модифицированного варианта резонатора. Изменение Qp
для модифицированного варианта составляет около 5% при изменении тем-
пературы более, чем на 60°, тогда как для исходного варианта оно равно при-
близительно 130% в том же самом температурном диапазоне. Другая харак-
теристика этого фильтра показана на рис. 5.7—7,6. Заметим, что здесь про-
центные отклонения фактического Q от желаемого, выраженные как функция
-меньше, чем —2% для значений fp, изменяющихся от 1 до- 30 кГц. ♦
Одним из недостатков модифицированной резонаторной схе-
мы, показанной на рис. 5.7—5, является то, что она требует бо-
лее точной компенсации частотной зависимости параметров уси-
лителей, чем исходная. Причину этого можно понять, если рас-
смотреть петлю обратной связи, состоящую из усилителей А2 и
Л3. Ни один из этих усилителей не имеет в цепи собственной об-
ратной связи конденсаторов, следовательно, не существует ко-
роткозамкнутого пути для высокочастотных составляющих. В
результате этого запаздывание по фазе усилителей на частотах,
близких к GB, может создать значительный фазовый сдвиг, ко-
торый может вызвать генерацию на высоких частотах. Как пра-
вило, частота колебаний численно равна GB, а амплитуда опре-
деляется усилителем. Часто высокочастотная генерация не иска-
жает работу усилителя и даже может не быть заметна на выходе
фильтра (благодаря демпфирующему действию конденсатора Сг).
На практике, однако, характеристику усилителя на высоких час-
1тотах следует тщательно контролировать, чтобы быть уверенным,
«то высокочастотная генерация отсутствует. На рис. 5.7—5 пункти-
ром показаны элементы, используемые для того, чтобы исключить
такую генерацию.
] В заключение рассмотрим неустойчивый режим работы моди-
фицированного резонаторного фильтра, который возможен при
больших значениях Qp и fp и который обычно вызван фазовым
сдвигом из-за конечной скорости нарастания выходного сигнала
(см. § 5.4). Если уровни сигнала в схеме становятся достаточно
большими, то схема переходит в неустойчивый режим. Такой вид
неустойчивости можно устранить подключением параллельно вхо-
дам усилителей Л2 и/или А3 двух встречно-параллельно включен-
ных кремниевых диодов, которые ограничивают входные сигналы
усилителя до значения ±Кг, где Vd— падение напряжения на ди-
оде в прямом направлении.
Концепцию внутренней компенсации усилителей можно также
применить к схемам основанным на методе переменных состояния.
Метод с помощью которого можно достичь этого, иллюстрирует
рис. 5.7—8,а. Если выходы усилителей А2 и А3 поменять местами,
Рис. 5.7—8. Модификация фильтра, сформированного по методу переменных со-
стояния, для обеспечения собственной компенсации усилителей
то схема примет вид, показанный на рис. 5.7—8,6. Здесь поляр-
ность подключения усилителя А2 изменена на противоположную
для обеспечения устойчивости. Аналогично тому, как это было сде-
лано для модифицированной резонаторной схемы, можно получить
соотношения, показывающие, что произведение коэффициента уси-
ления на ширину полосы операционного усилителя можно исклю-
чить из выражения для добротности QP. Соответствующий пример
приведен в задачах к данной главе. Модифицированная схема филь-
тра, основанного на методе переменных состояния, требует вклю-
чения обозначенных пунктиром элементов (см. рис. 5.7—8,6) для
предотвращения высокочастотной генерации, которая может воз-
никать, как было указано выше. Кроме того, может потребоваться
пара кремниевых диодов, включенных параллельно входам усили-
телей Аг и Л3, для предотвращения неустойчивой работы схемц
из-за превышения допустимого уровня входных сигналов, когда Qi
и fp велики.	I
До сих пор в этом параграфе мы рассматривали минимиза-
цию чувствительности SqGb- Часто оказывается важно также ми-
нимизировать чувствительности 8апСВ и/или S^i св- Из них ми-
нимизация S“n gb обычно не так важна, потому что большое зна-
чение этой чувствительности еще не означает, что фильтр будет
неустойчив — это более вероятно, когда велико значение SQc в.
Конечно, минимизация чувствительности |£р«св| приводит одно-
временно к минимизации S®gb и S“ пев. Достичь этого, используя
только эффекты первого порядка, вполне возможно (см. задачи
в конце главы), но техника подобного рода нуждается в усовер-
шенствовании, чтобы ею можно было пользоваться в общем слу-
чае.
5.8. Выводы
В этой главе были рассмотрены несколько типов усилительных
2?С-фильтров. В § 5.1 было показано, как один операционный
усилитель можно использовать в схемах с многопетлевой и одно-
петлевой обратной связью для реализации большинства широко
используемых фильтров. В § 5.2 были рассмотрены хорошо из-
вестные схемы резонаторных и основанных на переменных состоя-
Тоблица 5.8—1
Сравнение различных типов PC-фильтров на усилителях
Тип НС-фильтра	Малое чис- ло пассив- ных элементов	Малое чис- ло актив- ных элементов	Малый разброс номиналов элементов	Простые расчетные соотноше- ния	Низкая чувстви- тельность	Реализует высокие добротно- сти
На одном усилителе с положительным коэф- фициентом усиления (§ 4.2 и 4.3)	+	+	+	+		
На одном усилителе с бесконечным усилени- ем и многопетлевой обратной связью (§ 5.1)	+	+			+	
На одном усилителе с бесконечным усилени- ем и однопетлевой об- ратной связью (§ 5.1)		+	+	+	+	
Со многими усилите- лями на основе пере- менных состояния (§ 5.2 и 5.3)					+	+
Резонаторный, со мно- гими усилителями (§ 5.2),	—	——.	——	+	+	+
кия фильтров со многими усилителями. Обе эти схемы хорошо
подходят для реализации высокодобротных функций. В § 5.3 ис-
лледовалась модификация фильтра, основанного на переменных
фстояния, названная универсальным активным фильтром. В
§\ 5.4 детально исследовались свойства интегратора, использован-
ного в фильтрах на основе переменных состояния и резонатор-
ных фильтрах. В § 5.5 было показано, как неидеальные свойства
операционных усилителей приводят к эффекту увеличения доб-
ротности для указанных типов фильтров. В § 5.6 обсуждаются
общие последствия ограничений на произведение коэффициента
усиления на ширину полосы операционных усилителей в различ-
ных фильтровых реализациях. Наконец, в § 5.7 был исследован
вариант резонатора, который не зависит от произведения коэф-
фициента усиления на ширину полосы. Обзор свойств различных
схем 7?С-фильтров на усилителях, рассмотренных в этой и пре-
дыдущей главах, приведен в табл. 5.8—1. В этой таблице знак
«+» указывает, что качество данного фильтра по указанному па-
раметру выше среднего, тогда как знак «—» указывает, что ка-
чество фильтра в этом плане среднее или ниже среднего.
Задачи
5—1 (§ 5.1). Используя схему im ногопетлевого фильтра на одном усили-
теле с бесконечным усилением, показанную на рис. 5.1—2, реализуйте бессе-
леву функцию нижних частот второго порядка с ГВП 500 мкс и единичным
коэффициентом передачи на постоянном токе. (Указание: выберите С=
=0,05-Ю-6 Ф, т=1/4 и используйте меньшее из двух (возможных значений
для Иг.)
5—2 (§ 5.1). а) Для ФНЧ на одном усилителе с бесконечным усилением
и миогопетлевой обратной связью, схема которого даиа на .рис. 5.1—2, пола-
гая Rt=Rz—R:s=R, найдите выражения для величин сои, J./Q и Но из (1),
§ 4.2.
б) Используя эти величины, найдите выражения для R и Се Полагайте,
что С5 принимает удобные для использования значения.
в) Иопользуя указанные соотношения, найденные выше, синтезируйте
фильтр, удовлетворяющий спецификации, данной в примере 5.1—1.
5—3 (§ 5.1). а) Синтезируйте ПФ с шириной полосы на уровне —3 дБ
от 725 до 800 Гц и коэффициентом .усиления на резонансной частоте 0 дБ.
Используйте ФНЧ—ПФ-преобразование соответствующей двухполюсной функ-
ции Баттерворта для нахождения полосо,вой передаточной функции. Исполь-
зуйте полосовую структуру с многопетлевой обратной связью на одном уси-
лителе с бесконечным усилением, показанную на рис. 5.1—4, для реализации
пары полюсов полосовой передаточной функции.
б) Повторите задачу, полагая, что коэффициент усиления на резонансной
частоте должен быть равен 20 дБ.
5—4 (§ 5.1). Другую полосовую структуру фильтра с многопетлевой об-
ратной связью на одном усилителе с бесконечным усилением можно реали-
зовать, полагая /i=sCi и Уз=вз в схеме на рис. 5.1—1. Определите для дан-
ного выбора другие элементы, найдите передаточную функцию и разработай-
те процедуру синтеза этого фильтра, используя величины <вп, Q и Но из вы-
ражения (1), § 4.3.
5—5 (§ 5.4). Спроектируйте ПФ с одиопетлевой обратной связью на од?
ном усилителе с бесконечным усилением, который удовлетворяет техническим
требованиям, приведенным в примере 5.1—2. Выберите соответствующее нор-
мирование полного сопротивления для пассивных элементов.
5—6 (§ 5.1). Дайте эскиз АЧХ фильтра, схема которого показана на
рис. 3.5—6. Пометьте значения коэффициента усиления по постоянному току,
частоту среза и другие характеристики этой схемы.
Рис. 3. 5—7. Значения элементов
даны 'в килоомах и микрофарадах
Рис. 3. 5—6. Значения элементов
даны в килоомах и микрофарадах
5—7 (i§ 5.1). Повторите задачу 5—6 для схемы на рис. 3.5—7.
5—8 (§ 5.2). Используя схему фильтра на основе переменных состояния,
приведенную на рис. 5.2—2, реализуйте полосовую передаточную функцию с
Q=100 и резонансной частотой fn, равной 100 Гц. Примите Ci=C2=0,l мкФ
и /?з=4?5='1?6=10 кОм. Найдите окончательное значение Но из (1), § 4.3.
б) Пусть та же схема используется для реализации передаточной функ-
ции нижних частот; каково значение Но из выражения (1) § 4.2?
в) Пусть та же схема используется для реализации функции верхних ча-
стот; каково значение Но из выражения (1'6), § 4.3?
5—9 (§ 5.2). Используя резонаторную схему на рис. 5.2—4, реализуйте
полосовую передаточную функцию второго порядка с добротностью Q=I00 и
резонансной частотой /п = 100 Гц, а также значением модуля Но, равным еди-
нице [см. (1), § 4.3]. Примите Ci=C2=l,0 мкФ и 1?2=J?3-
б) Повторите процедуру синтеза для передаточной функции нижних ча-
стот с теми же техническими требованиями.
5—10 (§ 5.3). а) Используйте процедуру синтеза, приведенную в табл.
5.3—1, для синтеза ПФ, для которого Но=1, fn=il000 Гц и Q=50, в случае,
когда фазовый сдвиг активного элемента в полосе пропускания равен ±180°.
б) Повторите задачу для случая, когда фазовый сдвиг равен 0°.
5—11 (§ 5.3). а) Для фильтра, синтезированного в задаче 5—10, опреде-
лите [если амплитуда напряжения на выходе ФВЧ равна 1 В (двойное пико-
вое значение)], чему равны амплитуды напряжений на выходах ФНЧ и ПФ,
когда частота входного воздействия равна <в=соп/1О?
б) Повторите задачу для случая, когда частота на входе <в=со„.
в) Повторите задачу для случая, когда частота на входе <в=1Осоп.
5—12 (§ 5.4). Чему равно избыточное запаздывание по фазе, вносимое
инвертирующим интегратором, схема которого приведена на рис. 5.4—1, с па-
.раметрами: fnc = l кГц, fa=10 Гц и GB=1 МГц для сигналов низкого уров-
ня на частотах f — GB/100, GB/50, GB/10 и GB/5?
|	5—13 (§ 5.4). Используя приемы, аналогичные тем, что приведены в §5.4,
найдите избыточное запаздывание по фазе демпфированного интегратора, схе-
1Да которого дана на рис. 3.5—13. Считайте, что
приложения Б, а со изменяется в пределах соа<С
] 5—14 (§ 5.4). Найдите положение нулей и
полюсов передаточной функции по напряжению
д^я интеграла на рис. 5.4—1, если Ла(а) опреде-
ляется (17) из приложения Б, a Ro не равно ну-
Рис. 3.5—13
7U(s) определяется (17) из
лю. Считайте, что MRC<Z.GB и ып~0. Сделайте эскиз асимптотических амплитуд-
но- и фазочастотных характеристик при замкнутой петле обратной связи, если
l/7?oC<4GB.
5—15 (§ 5.5). Используя реализацию, основанную на переменных состоя-
ния, приведенную в табл. 5.3—1, найдите максимально .возможное значение
f„ в герцах, если Q = 10, a GB=1 МГц и если разница между Q и Qo долж-
на быть не более 10%.
5—16 (§ 5.5). Повторите задачу 5—15, но для резонаторного фильтра,
схема которого приведена на рис. 5.2—4.
5—17 (§ 5.5). Используйте фильтр на основе переменных состояния,
схема которого дана на рис. 5.2—5, для реализации всепропускающей цепи вто-
рого порядка, имеющей fzo=ifpo=10 кГц и Qp =—Qz=10.
5—18 (§ 5.5). Повторите задачу 5—17, если Q равна бесконечности.
5—19 (§ 5.5). Чему равны Tt и Т2 для рис. 5.5—3 (положите 77=100),
если <Вп = Ю00 рад/с и Q=500?
5—20 (§ 5.6). а) Найдите чувствительность |S*7 0Б[ для реализации
фильтра, основанного на методе переменных состояния, в которой Q='10, fn =
= 10 кГц, е=1, Re/Ro=0,l и Т?7=со. Примите GB операционного усилителя рав-
ным 1 МГц.
б) Найдите фактическое положение полюсов этого фильтра. Каковы фак-
тические значения Q и f„?
в) Найдите приблизительные положения полюсов, используя рис. 5.6—5,
для случая, когда увеличивается до- 60 кГц.
5—21 (§ 5.6). а) Найдите чувствительность резонаторного фильтра
|SP t gb|, у которого Q=10, f=10 кГц, |Р2=7?з=7?4=7?5=1Рб=!Р, Ci = C2=C и
Ri — QR. Положите GB операционных усилителей равным 1 МГц.
б) Найдите фактическое положение полюсов для этого фильтра, исполь-
зуя (11). Каковы при этом фактические значения Q и fn?
5—22 (§ 5.6). Найдите приблизительное положение полюсов по рис. 5.6—6
для случая, когда fp из задачи 5—21 увеличивается до 25 кГц. Каковы фак-
тические значения Q и Считайте, что	со2=соп и Ri/Ri=H0=l.
5—23 (§ 5.7). Резонаторная схема на рис. 5.7—1 имеет операционные уси-
лители, у которых Ло=Ю5 и GB —106 Гц. Для схемы, реализующей функцию
фильтрации с добротностью Qo=lO, найдите частоту, при которой она стало-
вится неустойчивой. Для процедуры синтеза примите /?2=Дз =(^4=^5^/?б=К,
G C^—C 'И i/?i=QpciR-
5—24 (§ 5.7). При каком значении Qo фильтр, описанный в примере 5.7—1,
становится неустойчивым?
5—25 (§ 5.7). Используйте схему на рис. 5.7—3 для синтеза ПФ с Qo=
=5, fno=50 «Гц, Но~1. Выберите Л?з=/?5=%=10 кО.м и Ci=C2=3-10~9 Ф.
5—26 (§ 5.7). Используйте схему на рис. 5.7—5 для реализации ФНЧ,
удовлетворяющего тем же техническим требованиям, что и ® задаче 5—25.
5—27 (§ 5.7). Покажите, что чувствительность Spi GB модифицированно-
го ПФ второго порядка на усилителях с бесконечным усилением, схема ко-
торого показана на рис. 3.5—27, равна нулю, если s/GB^> (s/GB)2. Оба уси-
лителя идентичны и имеют частотную характеристику, определяемую выраже-
нием 4<i(s)=—GB/s. (Указание: рассмотрите сначала только пассивную цепь,
обведенную пунктирными линиями, и запишите уравнения для узловых напря-
жений ® точке соединения двух конденсаторов С3 и инвертирующего входа Дь
Затем используйте ограничения, свойственные усилителю, и решите уравне-
ния относительно V’a/Vi.)
5—28 (§ 5.7). Используя приемы, рассмотренные в § 5.7, найдите доб-
ротность реализации, основанной на методе переменных состояний (см. рис.
5.7—8,6), и покажите, что она не зависит от произведения коэффициента уси-
ления на ширину полосы операционного усилителя, если усилители согласованы.
(Указание: в этой задаче может помочь материал, изложенный в § 5.5)
6
МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ
В § 1 гл. 4 было указано, что существуют два общих метода
использования активных /?С-фильтров для реализации функций
цепи. Первый из них рассматривался в двух последних главах.
Речь идет о каскадном методе, в рамках которого усилительные
7?С-фильтры использовались для реализации функций второго по-
рядка, а каскадное соединение таких реализации — для получе-
ния функций более высокого порядка. В этой главе обсудим дру-
гой общий метод использования активных /?С-фильтров для реа-
лизации функций цепи. Это так называемый прямой (непосредст-
венный) метод, который характеризуется тем, что функции филь-
трации любого порядка реализуются с помощью одной схемы.
В первом методе непосредственного синтеза схем, который
будет рассмотрен вначале, процедура синтеза начинается с пас-
сивной цепи-прототипа и затем используются активные 7?С-цепи
для моделирования определенных звеньев (частей) пассивной ре-
ализации. Такой метод называется методом моделирования пас-
сивной цепи. Его преимущество заключается в низкой чувстви-
тельности, в основном соответствующей пассивной цепи-прото-
типу. Кроме того, так как таблицы значений номиналов элементов
для реализаций пассивных цепей уже имеются, процедура синте-
за смоделированных реализаций становится очень простой. Пре-
имущества и недостатки этих методов перечислим при рассмот-
рении каждого отдельного типа фильтра.
6.1. Элементы активных цепей.
Моделирование индуктивности
В этом параграфе начнем рассматривать некоторые типы ак-
тивных элементов, используемых в методе моделирования пас-
сивных цепей. Такие элементы лучше всего характеризуются с по-
мощью обобщенных параметров четырехполюсника (ЛВСП-мат-
рицы). Они определяются уравнениями вида
VJs)
Vl(s)
= -Л(5) B(S)1 Г Va(s)l
C(s) D(s)\ L-/a(s)J ’
напряжения и токи четырехполюсника показаны на рис 6.1—1, от-
дельные обобщенные параметры выражаются в виде
4(S)=M	; B(s)= I ;	(2a)
V2(s) T2 (s)=0	—/2(s) lv2(s)=o
C(S) = A1S1 ; D(s)= /1(s)-	.	(26)
V2 (s) 7z(s)=0	—/2 (s) V2 (s)=0
В качестве примера может служить j-
неинвертирующая реализация ИНУН -а
на рис. 4.1—2,а, для которой A (s) = +
=/?i/(/?i+/?2) nfi(s) = C(s)=O(s)=f).r
Из (2а) и (1), § 4.1, следует, что A(s) _
обратна передаточной функции по на- °
пряжению данного устройства. Вход-20х
ное полное сопротивление ZBX(s) четы-
рехполюсника, нагруженного на пол-
ное сопротивление, как показано на
Рис. 6.1—1. Схема четырехпо-
люсника, нагруженного пол-
ным сопротивлением
рис. 6.1—1, легко найти, если взять отношение отдельных уравне-
ний и использовать соотношение V2(s)=—I2(s)Zl(s). Тогда
Z fc) ;	(S) - A (S) ~	_ A (S)	(S) + B (3)
BX A(s)	C(S)V2(S)—O(s)/2(s)	C(S)ZL(S)+O(S) •
Теперь можно определить некоторые классы активных элемен-
тов цепи через ограничения на их обобщенные параметры. Суще-
ствуют два общих класса активных элементов, а именно: конвер-
тор обобщенного иммитанса (КОИ), который умножает нагру-
зочное полное сопротивление на величину A(s)/D(s) и инвертор
обобщенного иммитанса (ИОИ), который умножает полное со-
противление нагрузки на величину C(s)/B(s) и инвертирует его.
Эти два класса активных приборов и некоторые конкретные при-
боры в рамках приведенной классификации сведены в табл. 6.1—1.
Другие подробности можно найти в литературе [56—58].
Таблица 6.1—1
Активные четырехполюсные элементы
Активные приборы*	Обобщенные параметры				Ограничения	Входное полное со противление
	А	'В {	с	D		
КОИ (конвертор обоб- щенного иммитанса) КОИ (конвертор отрица- тельного иммитанса) КПИ (конвертор положи- тельного иммитанса)	¥=0	0	0	¥=0	л<о или Я<0 А и D те же	7 А_ Zbx- D ZK
ИОИ (инвертор обоб- щенного иммитанса) ИОИ (инвертор отрица- тельного иммитанса) ИПИ (инвертор положи- тельного иммитанса) Гиратор	0	¥=0	¥=0	0	В<0 или С<0 В и С те же В=1/С	й 1 О tB ^1-
Для конверторов (инверторов) обобщенного и отрицательного иммитансов сокращен-
ные обозначения совпадают, однако ниже автор пользуется только понятиями конвертор
(инвертор) обобщенного иммитанса, поэтому сокращения КОИ и ИОИ относятся только к
ним. — Прим. пер.
Реализация обоих этих элементов, показанная на рис. 6.1—2,
вероятно, наиболее широко используется на практике. Она была
предложена в 1969 г. [59, 60] и выпускается промышленностью,
как интегральная схема (ATF 431 Gyrator, Amperex Electronic
Corp., Statesville, R. I.; TCA 580 Gyrator, Signetics Corp., Sunny-
vale, Calif.). Схема на рис. 6.1—2.a, в которой Zs(s) рассматри-
вается как полное сопротивление нагрузки, имеет оооощенные па-
раметры
X(s)=l; B(s) = C(s) = 0; n(S) = Z2(s)Z4(S)/Z1(s)Z3(S) = l/Kc(a).
(4)
Таким образом, этот четырехполюсник является КОИ. Вели-
чина Kc(s) называется постоянной К.ОИ. Так как Л(в) = 1, то он
иногда называется токовым КОИ (КОИТ)1. Схема на рис. 6.1—
2,6 имеет следующие параметры (Z4 (s) — полное сопротивление
нагрузки):
4(s) = D(s) = 0; B(s) = ZB(s); C(s) = Z2(s)/Z1(s)Z3(s).	(5)
Рис. 6.1—2. Схема конвертора обобщенного иммитанса, использованная для
реализации цепи обобщенного иммитанса
Таким образом, этот четырехполюсный прибор является реа-
лизацией ИОИ. Если рассматривается только входное полное со-
противление, то обе схемы на рис. 6.1—2 — идентичны. Входное
полное сопротивление при этом имеет вид
(8) = z, (s) Z3 (s) Z5 (s)/Z2 (s) Z4 (s).	(6)
В этом случае прибор называется ЦОИ (цепь обобщенного
иммитанса) —двухполюсный прибор, один из зажимов которого
заземлен. Этот прибор является исходным в технике моделиро-
вания пассивных цепей и используется здесь и в следующем па-
раграфе.
Один из простейших подходов к моделированию пассивных
цепей состоит в выборе 7?ЛС-цепи, удовлетворяющей определен-
ным требованиям, налагаемым на фильтр, и замене катушки ин-
дуктивности активным 7?С-эквивалентом. Полученный в резуль-
тате элемент называется искусственной индуктивностью2. Для
1 Для такого четырехполюсника часто используют сокращенное обозначе-
ние КОСТ. — Прим. пер.
2 Здесь и ниже автор не использует понятие «гиратор», а пользуется по-
нятием «искусственная индуктивность». Термин «гиратор» фигурирует лишь в
табл. 6.1—1. — Прим. пер.
этой цели идеально подходит ЦОИ на рис. 6.1—2. Если Z2(s) —
конденсатор, а остальные полные сопротивления — резисторы, то
входное полное сопротивление ЦОИ и эквивалентное значение ин-
дуктивности равны
ZBX(s) = s7?1C27?3^6/7?4; Ьэкв = ^С2^зад4.	(7)
Кроме того, если Z4(s) —конденсатор, то получаем
Zbx(s) = s7?17?3C47?6/7?2; £экв = R, Я3 С4 Д5/Т?2.	(8)
Искусственная индуктивность, реализованная с помощью
ЦОИ, оказывается, имеет прекрасные характеристики. Если уси-
лители А1 и А2 на рис. 6.1—2 согласованы, то влияние неидеаль-
ных параметров усилителей на искусственную индуктивность ми-
нимально. Кроме того, так как Zi (s) — всегда сопротивление, то
задать нужные токи для обеспечения смещения по постоянному
току на входах усилителей не представляет большого труда (эта
проблема обсуждается более подробно в следующем параграфе).
Единственным недостатком указанного подхода к синтезу цепей
на основе искусственной индуктивности является то, что она, бу-
дучи активным прибором, должна иметь один заземленный за-
жим, т. е. RLC-цепъ должна быть такого типа, где все катушки
индуктивности заземлены. Это ограничивает возможности подхо-
да, основанного на использовании искусственной индуктивности,
применении его, главным образом, в ВЧ реализациях, тогда как
метод, основанный на использовании ЧЗОС, который будет рас-
смотрен ниже, в § 6.2, может быть применен к НЧ и П реализа-
циям. Можно, конечно, реализовать незаземленные искусственные
катушки индуктивности [61, 62], но их характеристики и просто-
та реализации оставляют желать лучшего по сравнению с за-
земленными катушками индуктивности.
Представляет интерес рассмотреть уровни сигналов на выходе
усилителей в искусственных катушках индуктивности. Рассмот-
рим для этой цели рис. 6.1—3, в котором ЦОИ возбуждается ис-
точником напряжения с последовательно включенным резистором.
Для Z2(s) = l/sC2 и Zt(s)=Ri(i=A=2) получим
Voi(8)/I/1(S)=l+^/^6;	(9а)
Jzo2 (®)/Ц (s) — 1	Дз^5С2~ (s R4/R3R5C2)/s.	(96)
Для другого случая искусственной катушки индуктивности,
где Z4(s) = l/sC4, имеем
(s)/Vx (s) = 1 + 1/s R5 C4 = (s +1 /R- C4)/s;	(1 Oa)
^02 (S)/'ZJ (S) — 1 ^2/8 Дз Д5 C4 = (S R2/R3 Д5 C^/s.	(106)
Из выражений для этих передаточных функций видно, что при
постоянной амплитуде синусоидального возбуждающего сигнала,
приложенного на зажимах Vi(s), выходные напряжения усилите-
лей не возрастают в зависимости от частоты и, следовательно, на-
сыщение не происходит. Однако, так как искусственная индук-
тивность обычно воспроизводится на зажимах Vs(s), а не на за-
ясимах Vi(s), то практически может оказаться, что более целесо-
образно исследовать Voi(s)/Vs(s) или Vo2(s)/Vs(s) для случая,
когда — комплексное полное сопротивление. Пример такой си-
туации приведен в задачах.
Этапы применения для синтеза искусственной индуктивности
следующие:
Рис. 6.1—3. Цепь обобщенного иммитанса, возбуждаемая неидеальным источ-
ником .напряжения
1.	Синтезировать нормированную 7?£С-цепь-прототип верхних
частот, используя таблицы приложения А и метод, изложенный
в § 2.4.
2.	Синтезировать искусственные индуктивности, которые пред-
назначены для замены индуктивностей прототипа. Использовать
нормированные сопротивления и емкости.
3.	Провести денормирование всех сопротивлений и емкостей.
При проектировании реализации желательно провести контроль
искусственных индуктивностей перед их включением в цепь. Так
как указанные приборы моделируют пассивные элементы, то та-
кой контроль легко осуществить. Например, для измерения значе-
ния индуктивности можно использовать явление резонанса искус-
ственной индуктивности с известной емкостью. Другой путь со-
стоит в возбуждении индуктивности с помощью источника напря-
жения с известным сопротивлением 7? и исследовании АЧХ, точ-
ка излома которой соответствует отношению L/R.
Пример 6.1—1. Фильтр Баттерворта верхних частот пятого порядка с
искусственной индуктивностью. Требуется реализовать ФВЧ, используя искус-
ственную индуктивность для моделирования пассивной цепи. Частота среза
должна быть равна 104 рад/с, а сопротивления источника и нагрузки —
1000 Ом. Используя приложение А и применяя ФНЧ—ФВЧ-преобразование
(см. § 2.4), получаем ВЧ цепь-прототип (рис. 6.1—4,а). Искусственные индук-
тивности легко .синтезировать на основе (7), если принять J?i=i/?3=^4= 1,0Ом,
С2= 1 ф и 1^5=0,618 Ом. Полученная в результате реализация показана на
рис. 6.1—4,6. Чтобы получить денормнрованную реализацию, нужно умножить
все емкости на I0-7, а все сопротивления на 103. Искусственные индуктивности
должны быть настроены, как было описано выше, ф
Метод искусственной индуктивности, описанный выше, можно
также применить и к ВЧ реализациям, имеющим конечные нули
на оси j<o. Такие нули создаются при последовательном соедине-
нии емкости и индуктивности. Подсоединение одного из выводов
катушки индуктивности к земле, позволит использовать метод
искусственной индуктивности.
Рис. 6.1—4. Фильтр верх-
них частот пятого порядка,
реализованный в примере
6.1—1. Значения элементов
даны в омах, генри, фара-
дах
6.2. Частотно-зависимые отрицательные
сопротивления
Одним из наиболее полезных приборов для замещения пассив-
ных цепей при использовании методов моделирования является
ЧЗОС (частотно-зависимое отрицательное сопротивление). Это
двухполюсный активный элемент, обозначаемый так, как показа-
но на рис. 6.2—1, имеет проводимость
y(s) = /(s)/V(s) = s2£),	(1)
где D — положительная вещественная постоянная. Размерность
D — фарад-секунды (Ф-с). Если в выражении (1) провести за-
мену s=jco, то получим У(]’й)=—a2D, которая является отри-
цательной функцией, также зависимой от частоты; она вещест-
венна, т. е. физически соответствует сопротивлению. Следова-
тельно, его характеристики могут быть, вероятно, описаны как
характеристики частотно-зависимого отрицательного сопротивле-
ния, которое может быть реализовано с помощью ЦОИ, как по-
казано на рис. 6.1—2. Для схемы общего вида входная полная
проводимость
(S) = Л (s) Ys (s) Y5 (s)/Y2 (s) Y4 (s),	(2)
где Yi(s) =	Один из возможных способов реализации
ЧЗОС —принять У!(8) = У3(8)=8С и y2(s) = y4(s) = ys(s) = G. В
этом случае (2) приводится к виду
EEx(s) = (C2/G)s2 = Z)s2.	(3)
Это и есть входная полная проводимость ЧЗОС, для которого
Соответствующая схема показана на рис. 6.2—2*.
Определим теперь некоторые свойства ЧЗОС. Так как его зна-
чение при s=Jco — отрицательное вещественное, то оно является
потенциально неустойчивым двухполюсником. Чтобы убедиться'
в этом, рассмотрим схему на рис. 6.1—3, в которой ЦОЙ возбуж-
Рис. 6.2—1. Частотно-зависимое от- Рис. 6.2—2. Использование ЦОИ для ре-
рицательиое сопротивление	ализации ЧЗОС
дается от источника напряжения Vs(s), имеющего внутреннее со-
противление Rs. Так как входные напряжения, приложенные не-
посредственно ко входам операционных усилителей, равны ну-
лю, то VI(s) = V5(s). Тогда передаточная функция по напряжению
от V., к Vi или V5
Vt (s)/Vs(s) = V5 (s)/Vs (s) = 1 /[ 1 + 7?s Z2 (S) Z4 (S)/Z1 (s) Z3 (s) Z5 (s)]. (4)
Существуют две широко используемых реализации ЧЗОС. Ес-
ли Zi(s) = 1/sCi, Z2(s)=7?2, Z3(s) = 1/sC3, Z4(s)=7?4 и Zs(s)=7?s.r
то (4) принимает вид реализации (1)
Vx (s)/Vs (s) =- (Rb/Rs R2 Rt Cr C3)/(s2 + R-O/Rs R2 R. C. C3) = <^/(s2 + ®2), (5)
где coo^ |//?5//?sA'2/?4C1C;j.	(6)
Частота coo является такой частотой (в радианах), при кото-
рой наблюдается резонанс ЧЗОС с внутренним сопротивлением
источника Rs. т. е. частотой потенциальной неустойчивости. На
практике предсказанная неустойчивость может и не возникать,
так как коэффициенты усиления Ai и А2— конечны, а это при-
водит к тому, что полюсы сдвинуты немного влево от оси Jco. Од-
нако передаточная функция по напряжению (4) будет и в этом
случае иметь высокую добротность, следовательно, измерить ее
будет физически трудно. В качестве альтернативного решения, да-
ющего более удобные для интерпретации результаты, рассмотрим
* Хотя возможны и другие виды ЧЗОС, приведенная здесь схема имеет
определенные преимущества, обеспечивая хорошие характеристики. Она вы-
пускается 'фирмой «Амперекс Электроник корп.» (Слейтсвилл, шт. Род-Айленд)
как .микросхема гиратора ATF-431.
рередаточные фунвдщи от входа Vi(s) к выходам Voi(s) и V02(s).
Они .имеют вид .
' VoJ^/VJs)-- 1|-Z4(A)/Z5(S);	’(7а)
К>2 (s)/Vx (s) = 1 - Z2 (s) Z4 (s)/Z3 (s) Z5 (s).	(76)
.. Используя выражения, для полных сопротивлений, данные вы-
ше, (7) можно записать как
Vo1(s)/V1(s)=1+7?4/7?5;	(8а)
Vo2(s)/V1 (s) = -(s-7?5/7?27?4C3)/(7?5/7?27?4C3).	(86)
Если . использовать в (86) определение о0, данное в (6), то
иолучим
(S)/V1 (S) = -(s—а>0уR^R^/R^Cs)/^VR^C^R^. (9)
График асимптот модуля передаточной функции (9) (диаграм-
ма Боде) приведен на рис. 6.2—3. Этот график и выражение (9)
могут использоваться для определения характеристик ЧЗОС. Так,
иапример, если выберем С1 = Сз = 0,01 мкФ и R2 = Rc = Rt,=Rs =
= 10 кОм, то D в (1) будет равно 10~12 Ф-с а <оо=Г04 рад/с.
и, рад/с
Рис. 6.2^3. Диаграмма Боде для мо-
дуля .передаточной функции, опреде-
ленной в выражении (9)
Рис. 6.2—4. Диаграмма Боде для мо-
дуля передаточной функции, опреде-
ленной в выражении (11)
В качестве другой реализации ЧЗОС выберем полные сопро-
тивления на рис. 6.1—2 следующим образом: Zi(s) = l/sCi, Z2(s) =
=Ri, Z3(s)=R3, Zt^s^Rt, Z5(s) = l/sC5. В этом случае (реали-
зация 2)
a^VRs/RsR^CiCs.	(10)
Передаточные функции по напряжению от входа Vi (s) к выхо-
дам Voi(s) и Vo2(s) примут теперь вид
Vol (s) _1 | s/j С — s ~Ь ю»	•	(11а)
yi(s)	4 6	®01/7?s^2Ci/7?37?4’C5
Гог (s)	_ s—Op ~\/Rs Рз Cj/R2 RtCs	(116)
Г1 (®)	_ ©о Rs Rs ^i/Rs R&
Любое из этих двух выражений можно использовать для оп-
ределения характеристик реализации 2. Например, если Ci=Cse
__i(j-s ф и /?2=^з==-^4=/?5= 104 Ом, то £>=10“12 Ф-с, а <оо =
= Ю4 рад/с, причем модули (11) идентичны и имеют вид, пока-
занный на рис. 6.2—4.
Чтобы применить ЧЗОС для синтеза фильтров, необходимо
вначале осуществить преобразование, предложенное Брутоном;
[63]. Это преобразование называется RLC—CRD-преобразова-
нием. Оно имеет форму нормирования полного сопротивления,
приведенную в (4), § 1.4, но при этом нормирующая постоянная zn
является функцией s. В частности, zn=\ls. Таким образом, мож-
но написать
Z(S) = znZn(s)=Zn(s)/s; Y(s) = ^-Yn(s) = sYn(s). (12)
Zn
Рассмотрим в качестве примера полную проводимость ветви
RLC-penn общего вида:
>W(s) = G+l/sL + sC.	(13)
Такая ветвь состоит, очевидно, из параллельно соединенных
резисторов, катушки индуктивности и конденсатора, имеющих со*
противление 1/G ом, индуктивность L генри и емкость С фарад
соответственно. Применяя RLC — С^О-преобразование к такой
ветви, получаем
yC№(s)=-sG + s26+l/T.	(14)
Преобразованная цепь состоит из параллельного соединения
конденсатора, ЧЗОС и резистора, параметры которых равны G
фарад, С( = £>) фарад-секунд и L ом соответственно. Коэффици-
ент усиления ИНУН, так как он безразмерен, не оказывает вли-
яния на такое преобразование. Аналогично, если RLC — CRD-
преобразование применяется к четырехполюснику, который ха-
рактеризуется обобщенными параметрами, определенными в (2),
§ 6.1, то так как A(s) и D(s) — безразмерны, они не будут
изменяться под действием данного преобразования, тогда как па-
раметры B(s) и C(s), так как они имеют размерность полного
сопротивления и полной проводимости соответственно, будут ум-
ножаться на 1/s и s соответственно. Эти результаты сведены в
табл. 6.2—1.
Так как ЧЗОС является активным элементом, то важно с точ-
ки зрения удобства питания такого элемента, чтобы один конец,
его всегда был заземлен. Это эквивалентно требованию, чтобы
все конденсаторы цепи-прототипа, к которой применяется
RLC — СЯО-преобразование, также были заземлены. В общем
случае такое требование всегда удовлетворяется в реализациях
ФНЧ. Следовательно, использование ЧЗОС особенно удобно при
реализации таких фильтров. В общих чертах процедуру синтеза
можно описать так.
1.	Синтезировать нормированную 7?£С-цепь-прототип нижних,
частот, используя таблицы в приложении А.
Таблица 6.2—1
Результаты применения преобразований
R.LC—CRD к различным элементам цепи
2.	Преобразовать RLC-
цепь в нормированную CRD-
цепь, используя данные
табл. 6.2—1.
3.	Синтезировать ЧЗОС,
используя нормированные
значения сопротивлений и
емкостей.
4.	Обеспечить пути про-
хождения постоянного тока
между входными зажимами
всех усилителей и землей,
если их до этого не сущест-
вовало. Так как сопротивле-
ния источника и нагрузки
были преобразованы в емко-
сти, необходимо шунтиро-
вать одну из них или обе со-
противлениями, выбрав их
так, чтобы они не оказыва-
ли существенного влияния
на реализацию.
5.	Денормировать все со-
противления и емкости дан-
ной реализации.
Пример 6.2—1. Фильтр Бат-
терворта пятого порядка нижних
частот на основе ЧЗОС. Требует-
ся реализовать, используя ЧЗОС,
двусторонне нагруженный фильтр
нижних частот Баттерворта пя-
того порядка, имеющий частоту
среза 10 рад/с. Требуемые значе-
ния сопротивлений источника и
нагрузки составляют 1000 Ом. Ис-
пользуя приложение А, получа-
ем нормированную цепь-прото-
тип нижних частот, схема кото-
рой показана на рис. 6.2—5,0.
Применяя RLC—СрО-преобразо-
вание, формируем цепь, схема ко-
реализацию 2 на основе ЧЗОС, в
которой Zi(s) = l/sC, Z2(s)=Z3(s)=J?, Z4(s)=/?4 и Z5(s)=,l/sC. Из (1) и (2)
получаем В = Сг7?4. Выбрав С= ',1 Ф, получим реализацию, в которой все емкости
имеют одинаковые значения. Сопротивление R может (принимать любое значение,
так как в выражении (2) сопротивления Rz и Rs, которые одинаковы с ним,
сокращаются. Следовательно, можно выбрать R=1 Ом. Резистор Rt будет эле-
ментом, используемым для настройки ЧЗОС.
Исходя из требований, что 0=1,618 с, получаем, что номинальное значе-
ние Ri равно 1,618 Ом. Нормированная реализация фильтра показана на
рис. 6.2—5,е; Ra и Rb добавлены для того, чтобы обеспечить связь по постоян-
ному току между .положительными зажимами усилителей Ац и /lai « землей.
Сопротивления Ra и Rb определяем следующим образом. Для постоянного тока
V2 (O)/Vt (0) = Rb/(Ra + RB +3,236).	(15)
Величина 3,236 представляет собой сумму сопротивлений, последователь-
но включенных между RA и Rb. Если (15) равно iRl/(Rs+Rl), то схема на
В)
Рис. 6.2—5. Схема ФНЧ пятого порядка, реализованного и примере 6.2—1. Зна-
чения элементов даны в омах, генри, фарадах и фарад-секундах
рис. 6.2—5,в будет иметь ту же характеристику по постоянному току, что и
прототип на рис. 6.2—5,а. Это дает одно соотношение для определения Ra
и RB. Другое соотношение можно найти, если принять, что Ra илн Rb^Rl
или Rs. Это необходимо для того, чтобы при нормированной частоте среза
1 рад/с Ra и Rb не нагружали бы С.и С(, соответственно.' Поэтому, при-
равнивая (15) к 0,5 и выбирая !Ra~100 Ом, получаем iRB = 103,24 Ом, как
показано на рис. 6.2—5,е. Результирующую цепь находим путем умножения
жаждой емкости на 10~7, а каждого сопротивления на 103. ф
На практике при проектировании фильтра, описанного в при-
мере, каждое ЧЗОС должно быть настроено, как показано на рис.
6.2—6, путем подстройки R4 так, чтобы частота излома была рав-
на 6180 рад/с. Это значение находят подстановкой идеальных
значений пассивных компонентов ЧЗОС в (10) и (11). После под-
стройки каждого ЧЗОС можно спроектировать цепь, изображен-
ную на рис. 6.2—5,в. После этого можно собрать схему, причем
Можно допустить лишь небольшие подстройки, учитывая сложную
связь между изменением значения отдельного элемента и поведе-
нием всей схемы в целом. Характеристика фильтра, однако, до-
статочно чувствительна к изменению сопротивления резистора
R4 в ЧЗОС и емкостей Cs и CL. Следовательно, небольшие изме-
нения характеристики фильтра можно осуществить тщательной
подстройкой этих компонентов.
Резисторы Ra и Rb в схеме предыдущего примера можно ис-
ключить, используя измененную схему ЧЗОС. Чтобы показать,
это, рассмотрим рис. 6.2—7,а, на котором показаны различные
возможные пути протекания постоянного тока от входа каждого
из усилителей, использованных в ЧЗОС в предыдущем примере
(реализация 2). Здесь возникает проблема прохождения постоян-
ного тока смещения к положительному зажиму усилителя Ль
Следовательно, как показано выше, пока Zi(s) является конден-
сатором, необходимым условием протекания постоянного тока яв-
ляется наличие резисторов RA и RB. Рассмотрим теперь схему
ЧЗОС (реализация 3), показанную на рис. 6.2—7,6, в которой
Zs(s) и Z5(s) выбраны как емкости. В этом случае путь проте-
кания постоянного тока на землю существует для входных за-
жимов каждого из усилителей, и дополнительные резисторы не
требуются. Очевидно, что если нет никаких других соображений,
то эта схема предпочтительней всех остальных1. Другой способ
подачи смещения состоит в использовании операционных усили-
телей, в которых требования к постоянному току смещения значи-
тельно снижены2.
1 К сожалению, реализации, построенные на осноне микросхемы ATF-431,
которая упоминалась выше, не позволяют реализовать Z3(s) емкостью.
2 К таким усилителям 'относятся усилители серии LMI55-I57 фирмы
«Нейшнл Семикондактор».
В предыдущих параграфах  было описано использование
ЧЗОС для реализации функции цепи ФНЧ. Некоторые дополни-
тельные соображения, связанные с такими реализациями, будут
даны в гл. 7.
Рассмотрим теперь применение ЧЗОС в реализациях ПФ. На
рис. 6.2—8,а показана схема внутреннего звена пассивной ФНЧ-
структуры. Если применить к нему ФНЧ—ПФ-преобразование
------
С- i	Рис. 6.2—8.	Использование
I	ЧЗОС для реализации ПФ
а)
(8), § 2.4, то получим схему, приведенную на рис. 6.2—8,6. Если
же применить RLC—CRD-преобразование, то получим схему, по-
казанную на рис. 6.2—8,в. Эта схема содержит два незаземлен-
ных ЧЗОС, одно заземленное ЧЗОС и резистор. Чтобы избежать
необходимости непосредственно реализовать незаземленные
ЧЗОС (которые с неизбежностью потребуют незаземленных ис-
точников питания), используем схему на рис. 6.2—9, где показа-
но каскадное соединение двух КОИ с пассивной цепью. Обоб-
щенные параметры первого КОИ
"1
^КОИ1= п
О
Z2 (s) Z4 (s)
(s) Z3 (s)
Рис. 6.2—9. Каскадное соединение двух КОИ с пассивной
щепью
Обобщенные параметры пассивной цепи
Т =
1 пас.ц
= Л(5) B(s)
C(s) D(s)
Обобщенные параметры второго КОИ
^кои 2 —
О
Zi(s)Z3 ($)
Z3 (s) Z4 (s)
(17)
(18)
В результате каскадного соединения
чим обобщенные параметры всей схемы
4(s)
Т’кои 1 7\jac.u Т’кои 2 =
(J ^2 Is) ^4 Is)
_ U Zs(s)Z3(s)
этих трех цепей полу-
^4 isl Is!
' Z2(s)Z4(s)
D(s)
Следовательно, схема на рис. 6.2—9 эквивалентна соответст-
вующей пассивной цепи, элементы которой нормированы по пол-
ному сопротивлению на величину Zi(s)Z3(s)/Z2(s)Z4(s). Если
Zt(s), Z2(s), Z3(s) и Zt(s) выбраны так, что
Z± (s) Z3 (s)/Z2 (s) Z4 (s) = 1 /s2,	(20)
то элементы пассивной цепи подвергаются преобразованию, кото-
рое соответствует двум RLC — С7?/)-преобразованиям. Следова-
тельно, рис. 6.2—9 можно использовать для реализации схемы
рис. 6.2—8,в путем введения предварительно преобразованной
КОШ Пассивная книг
цепь
Рис. 6.2—10. Реализация звена фильтра, схема которого даиа на
рис. 6.2—8е
цепи, в которой ЧЗОС заме-
няется резисторами, а резисто-
ры заменяются элементами,
полное сопротивление которых
пропорционально s2. В резуль-
тате структуру рис. 6.2—8,в
Рис. 6.2—11. Реализация эле-
мента с полным сопротивле-
нием, пропорциональным s2
•можно реализовать с помощью двух КОИ и одного элемента,
входное полное сопротивление которого s2RLi, как показано на
рис. 6.2—10 С Последний элемент можно реализовать на основе
ЦОИ, как показано на рис. 6.2—11. Концепцию, представленную
на рис. 6.2—8 — 6.2—11, можно использовать для реализации ФВЧ
на основе КОИ и ЧЗОС.
Рис. 6.2—12. Схема полосового фильтра четырнадцатого порядка, реализованно-
го в примере 6.2—2. Элементы схемы г даны в омах и фарадах
1 Размерность такого элемента принимают равной генри-секунда,
. .Прим,ер	Полосовой фильтр Чебыщева. четырнадцатого порядка на
основе ЧЗОС. Методика, описанная выше, будет использована для синтеза по-
лосового фильтра Чебышева четырнадцатого (порядка с амплитудой пульсаций
0,5 дБ в пю.лосе пропускания, fo='15O Гц и шириной полосы 150 Гц; сопротив-
ления источника и нагрузки равны 1000 Ом. Из приложения А находим, что
£1=1,7373, С2= 1,2582, £3=2,6383, С4= 1,3443, £5=2,6383, С6='1,2582, £7= 1,7373
(размерность — генри и фарады). Схема цепи показана на рис. 6.2—12,а. Ис-
пользуя ФНЧ—ПФ-преобразование (9), § 2.4, получим реализацию на рис.
6.2—12,6. Приведенные на ней значения получены на основе приведенных вы-
ше данных с помощью соответствий вида С<=1/£; (i нечетное) и Li = \/Ci (ё
четное). Следующий шаг состоит в том, чтобр осуществить RLC—CRD-преоб-
разование, приводящее к схеме на рис. 6.2—12,в. Как описано выше, для реа-
лизации комбинации Dc3, Dee, Rn и Det можно использовать схему на рис.
6.2—10. На входе цепи можно одновременно реализовать .как CRS, так н Dei.
полагая, что элемент Z5(s) КОИ соответствует Rs+1/sCt. Поэтому входное
полное сопротивление КОИ (при условии, что Zi(s) = l/s и Z2(s)=Z3(s) =
=Z4(s)='l примет вид
ZEX (s) =	R6/s	(21)
и реализуется с помощью последовательной комбинации CRS и Dei. Анало-
гичную процедуру, можно использовать для реализации CRR и Dcz на выходе
цепи. В целом нормированная реализация показана на рис. 6.2—12,г. Оконча-
тельные реализации КОИ показаны пунктиром и обозначены буквами от А до
G иа рис. 6.2—:12,е и г. Для лучшего понимания структуры операционные уси-
лители па рис. 6.2—12,г опущены. Полные сопротивления Zi(s)—Z4(s) или
Z6(s) показаны для каждого КОИ в порядке сверху вниз. Заметим, что в
КОИ, использованном для реализации Dcz и CRR, один конец нагрузочного
сопротивления заземлен. Последний шаг состоит в том, чтобы денормировать
цепь, используя zn = 1000 и йп=942,48.
6.3. Методы структурно-перекрытой реализации
В предыдущих параграфах этой главы были обсуждены два
подхода, применяемых при непосредственном методе синтеза
фильтров; а. именно: использование искусственной индуктивнос-
ти и ЧЗОС. Оба эти метода являются примером моделирования
элементов пассивной цепи с помощью активных /?С-элементов. В
этом параграфе обсудим подход, отличный от методов моделиро-
вания, но также относящийся к методам непосредственного син-
теза. Он известен как метод • структурно-перекрытой реализации
[64]; в нем используется отрицательная обратная связь для мо-
делирования соотношений напряжения — ток пассивных лестнич-
ных /?£С-цепей. Он приводит к полезным и устойчивым реализа-
циям, одним из преимуществ которых является повторное ис-
пользование почти идентичных узлов схемы, которые играют
роль конструктивных элементов для всей реализации.
Метод структурно-перекрытой реализации1 основан на исполь-
зовании активной 7?С-схемы, в которой напряжения на различных
1 В некоторых (работах, см., напр., [2*], такой тип реализации назван
«каскадной структурой е дополнительными обратными связями». — Прим. пер.
участках цепи являются аналогами напряжений шунтирующих
ветвей и токов последовательных ветвей моделируемой пассивной
/?АС-цепи-прототипа. Чтобы показать это, рассмотрим пассивную
лестничную цепь, схема которой показана на рис. 6.3—1. Соотно-
шения для токов и напряжений ветвей этой цепи можно записать
в виде
/, = (^-1^; У3 = (Л-/3)22;	(1а), (16)
4 = (^-т/4)^з; V4^(/3-/6)Z4;	(1в), (1г)
4 = ^4-^)^,	(1д)
где для удобства опущен знак функциональной зависимости от
(s). Структурная схема связанной с ней цепи, которая модели-
рует такую систему урав-
нений, показана на рис.
6.3—2. Эта цепь содержит
инвертирующие усилите-
ли с единичным усиле-
ние. 6.3—1. Схема пас-
сивной лестничной цепи
нием, представленные в виде треугольников, сумматоры представ-
лены кружками, а передаточные функции по напряжению со
своими значениями Уь Z2, Уз, Z4, У5 и т. д. представлены квадра-
Рис. 6.3—2. Структурная схема для моделирования цепи на
рис. 6.3—I
тиками1. Напряжение на выходе каждого такого квадратика мож-
но записать в виде
^(Vi-^r,; V2 = (Vn-V£3)Z2;	(2а), (26)
Vi3=<V2-V4)r3; V4 = (Vi3-V;5)Z4;	(2в), (2г)
n5 = (V4- V6) У6,	(2д)
Уравнения (2) являются аналогами уравнений (1). В част-
ности, если представить Z(, /3, I5 и т. д. на рис. 6.3—1 в виде на-
пряжений На, Угз, Vis и т. д. на рис. 6.3—2, то уравнения станут
1 Заметим, что три таком представлении эти величины будут безразмер-
ными, так как они являются передаточными функциями по напряжению, хотя
для удобства за ними оставлены обозначения У н Z.
полностью идентичными и указанные схемы будут иметь те же
характеристики.
Для получения практически таких же результатов можно ис-
пользовать более простую реализацию, чем на рис. 6.3—2. Чтобы
показать это, запишем (2) в виде
—V2 = (Vir—Vi3)(—ZB);	(За), (36)
-^3=(-1/2 + К4)У3; К4 = (—Кгз-|-Кг-5) (—Z4); (Зв), (Зг)
^5=С/4-и6)П.	(Зд)
Структурная схема цепи, реализующей эти уравнения, показа-
на на рис. 6.3—3. Заметим, что при этом не требуются инверторы
с единичным усилением. Следовательно, реализация цепи упро-
щается. Перед переменными V2, Vi3 и т. д. в (3) стоит знак ми-
Рис. 6.3—3. Упрощенная структурная схема для 'Моделирования цепи на
рис. 6.3—1
нус. Это значит, что передаточные функции от переменной Vi к
этим переменным будут фактически инвертирующими, а не не-
инвертирующими. Кроме того, все передаточные функции по на-
пряжению, обозначенные Zi} будут теперь инвертирующими. Это
приведет к тому, что указанные инвертирующие передаточные
функции окажется легче реализовать, чем неинвертирующие.
Можно сформировать другую реализацию, если выразить (2)
в виде
-K-1 = (l/1-V2)(-K1); -V2 = (-VH + Vj3)Z2;	(4а), (46)
Vl-s = (-I,2 + V4)(-ys); V4 = (l/i3-V;5)Z4;	(4в), (4г)
-^5 = (К4-К6)(-К5),	(4д)
Эти уравнения реализуются с помощью схемы, показанной на
рис. 6.3—4. Здесь все передаточные функции по напряжению,.
Рис. 6.3—4. Другая упрощенная структурная схема для моделирования цепи
на рис. 6.3—-1
обозначенные как У,, являются инвертирующими. Отсюда видно,
что как рис. 6.3—3, так и рис. 6.3—4 указывает на возможность
осуществления структурно-перекрытой реализации.
Рассмотрим теперь применение перекрытой структуры для ре-
ализации ФНЧ, у которого все нули передачи лежат в бесконеч-
ности. В этом случае последовательные элементы У< на рис. 6.3—1
будут индуктивностями, а шунтирующие элементы — емкостя-
ми. Начальные и конечные элементы будут включать в себя со-
противления источника и нагрузки соответственно. Если указан-
ная реализация возбуждается источником напряжения и имеет
нечетный порядок, то конечный элемент будет таким, как пока-
зано на рис. 6.3—5,а (для п=5). Для случая возбуждения от
°)
Рис. б.З—5. Схема структуры пассивных ФНЧ:
а—пятого порядка (нечетная); б—шестого порядка (четная)
источника напряжения реализации четного порядка конечный
элемент будет таким, как показано на рис. 6.3—5,6 (для п=6).
Другие случаи рассмотрены в задачах к главе. Для рис. 6.3—5,о
пепедаточные функции по напряжению «квадратиков» (см. рис.
6.3—3) можно выразить так:
Л (s) - Л (s) = (1 /^/(s + ^/LJ; Т2 (s) = — Z2 (s) = - 1/s C2;
(5a), (56)
T3 (s) = Y3 (s) = 1/s L3; T4 (s) - - Z4 (s) = - 1/s C4; (5в), (5r>
T- (s) = У5 (s) = (1 /L5)/(s + RL /Ц).	(5д)
Из этих передаточных функций по напряжению T2(s) и T4(s)
можно реализовать в виде обычных интеграторов на операцион-
ных усилителях, a T3(s)—в виде интегратора, последовательно
соединенного с инвертором, или в виде неинвертирующего ин-
тегратора, используя схему на рис. 6.3—6, для которой
Vo(s)/Vi(s) = 2/sRC.	(6)
Ti(s) и T5(s) могут быть реализованы демпфированным ин-
вертирующим интегратором. Термин «демпфирование» отражает
тот факт, что его полюсы смещены от начала координат. Реали-
зация такого интегратора показана на рис. 6.3—7. Его передаточ-
ная функция по напряжению
Vo (s)/)A (s) = (- l/RCx)/(s + 1/RX Cx).	(7)
Полученная в результате структурно-перекрытая реализация
схемы на рис. 6.3—5,а приведена на рис. 6.3—8,а; в ней исполь-
зованы инверторы и построена она в соответствии со структурой
на рис. 6.3—3. Все номиналы сопротивлений резисторов пред-
ставлены через отношение к выбранному произвольно номиналу
-о
+
Vo
-О
Рис. 6.3—6. Схема неинвсртнрую-
щего интегратора
Рис. 6.3—7. Схема демп-
фированного инвертиру-
ющего интегратора
сопротивления, которое может быть таким, чтобы удовлетворить
желаемой нормировке по полному сопротивлению. Номиналы
емкостей конденсаторов определены через то же R и значения
соответствующих элементов на рис. 6.3—5,а.
Возможны также аналогичные рис. 6.3—5,а реализации, в ко-
торых используется структура на рис. 6.3—4. В этом случае тре-
буются только два инвертора, т. е. на один усилитель- меньше.
Реализованная схема показана на рис. 6.3—8,6. Точно так же схе-
ме на рис. 6,3—5,6 соответствует реализация показанная па
Рис. 6.3.—8. Реализации схемы на рис. 6.3—5,а, основанные на моделировании:
а — схемы на рис. 6.3—3; б — схемы на рис. 6.3—4. Значения элементов схем
даны в омах и фарадах
рис. 6.3—9,а, если в качестве исходной используется структура на
рис. 6.3'—3, либо реализация, показанная на рис. 6.3—9,6,. если в
качестве исходной используется структура на .рис. 6.3—4. Инте-
ресно отметить, что во всех приведенных выше схемах полное со-
противление структурно-перекрытой реализации совершенно не
Рис. 6.3—9. Реализации схемы на рис. 6.3—5,6, основанные на моделировании:
а — схемы на рис. 6.3—3; б — схемы на рис. 6.3—4
зависит от полного сопротивления цепи-прототипа. Например, по-
лагая, что операционные усилители идеальны, получаем, что
структурно перекрытые реализации будут иметь нулевое выход-*
ное полное сопротивление и входное полное сопротивление, рав-
ное R.
На основе изложенного можно предложить следующую про-
цедуру синтеза структурно-перекрытых фильтров.
1.. Синтезировать нормированный ФНЧ-прототип, используя
приложение А.
2.	Выбрать исходную структуру, взяв либо схему на рис. 6.3—>
3, либо схему на рис. 6.3-—4.
3.	Синтезировать внутренние элементы структурно-перекрыто-
го фильтра, используя инвертирующие или неинвертирующие ин-
теграторы и приняв нормированное сопротивление, равное еди-
нице.
4.	Синтезировать входной и выходной элементы структурно-
перекрытого фильтра, используя (7) и рис. 6.3—7.
5.	Осуществить необходимое денормирование по частоте и пол»
ному сопротивлению.
Пример 6.3.—4. Структурно-перекрытый фильтр Баттерворта нижних ча-
стот третьего порядка. Требуется реализовать фильтр Баттерворта- нижних ча-
стот третьего шорядка с частотой среза 1 крад/с. Предполагается, что источ-
иик напряжения на входе имеет внутреннее сопротивление, равное нулю.. Из
приложения А получаем схему, показанную на рис. 6.3—10,а. Используя струк-
турно-перекрытую схему на рис. 6.3—4 и выбирая /?=1, получаем схему фильт-
ра на рис. 6.3—4ОД Денормируя по частоте (с коэффициентам 10л) н по
полному сопротивлению (с коэффициентом 104), обнаруживаем, что номиналы
сопротивлений всех резисторов становятся равными 10 кОм, а номиналы ем-
костей всех конденсаторов умножаются на величину 10-7.
Рис 6.3—10. Схема структурно-перекрытого фильтра Баттерворта, реализован-
ного в примере 6.3—1. Значения элементов схем даны в омах, генри, фа-
радах
Метод структурного перекрытия, описанный выше для ФНЧ,
применим также и к ПФ с нулями в начале координат и беско-
нечности. В этом случае ФНЧ—ПФ-преобразование применяется
к каждому элементу ФНЧ-прототипа. Общий вид полученных в
результате последовательных и шунтирующих ветвей показан на
рис. 6.3—11,а и б соответственно. Обычно сопротивление Ri на
Рис 6.3—11. Последо-
вательные и параллель-
ные ветви полосовой
цепи
рис. 6.3—11,а равно нулю, a Rj на рис. 6.3—11,6 равно бесконеч-
ности. Полная проводимость двухполюсника на рис. 6.3—11,о
Yt (s) = (1/Lt) s/[s^ + (Ri/Li)s+ 1/£г Сг].	(8)
Полное сопротивление двухполюсника на рис. 6.3—11,6
l} (S) = (1/Су) s/[s2 + (\/Rj CJs+HLj Cj].	(9)
Очевидно, в случае ПФ требуемая передаточная функция по
напряжению является передаточной функцией ПФ второго по-
рядка. Следовательно, интеграторы ФНЧ-ре'ализации будут за-
мещаться любой схемой ПФ второго порядка, рассмотренной в
предыдущих главах. Из этого следует, что метод структурного
перекрытия дает еще одну методику получения реализаций высо-
кого порядка на основе звеньев второго порядка. Полученные на
практике реализации имеют прекрасные характеристики. Суще-
ствует ряд требований, которые необходимо наложить на исполь-
зуемые при этом реализации ПФ второго порядка. Во-первых,
реализация должна иметь возможность выполнять как инверти-
рующие, так и неинвертирующие операции, не требуя подключе-
ния дополнительных инверторов. Во-вторых, когда 7?i = 0 или
ftj=eo, добротность реализации второго порядка должна стано-
виться бесконечно большой. Третье требование состоит в том,
что реализация должна иметь возможность суммирования двух
или более сигналов. Чтобы удовлетворить этому последнему тре-
бованию, следует использовать, как более предпочтительные, ре-
ализацию типа резонатора с одной петлей обратной связи и бес-
конечно большим коэффициентом усиления или модифицирован-
ную схему, основанную на методе. переменных состояния. Схема
с бесконечно большим коэффициентом усиления потребует инвер-
тора, тогда как резонаторная и основанная на методе перемен-
ных состояния схемы могут реализовать как инвертирующие, так
и неннвертирующие полосовые передаточные функции. Чтобы по-
лучить очень высокие значения добротности с помощью реализа-
ций с бесконечно большим коэффициентом усиления, следует
применить как положительную, так и отрицательную обратные
связи [65]. Если должен использоваться резонатор, то применя-
ется схема, показанная на рис. 6.3—12, которая обеспечивает воз-
можность суммирования. Соответствующая передаточная функция
определяется выражением
I-;. (S)=-И„ (s) - - (	с	) (У„ +V,a).	(10)
Из выражений (10) и (8), а также (10) и (9) получаем со-
отношения, представленные в табл. 6.3—1. Эти соотношения не-
обходимы для использования резонаторной схемы на рис. 6.3—
12 при реализации структурно-перекрытого фильтра.
Пример 6.3—2. Полосовой структурно-перекрытый фильтр Баттерворта
шестого порядка. Требуется использовать метод структурного перекрытия для
Рис. 6.3—12. Модификация резонаторного фильтра для использования в по-
лосовых структурно-перекрытых реализациях фильтров. Заметим: Уш — инвер-
тирующий, Voa—неинвертирующнй выход
Расчетные соотношения для замены схем на рис; 6.3—11
резонатором на рис. 6.3—12
Параметр схемы* на рис. 6.3—12*	Последовательные элементы Yf- (s) в схеме на рис. 6.3—11,а	 Шунтирующие элементы • Zj (s) в схеме на рис. 6.3—11 ,б
Ri	(Р/Ri) VLi/Ct	Cj/Lj
Pi Если удобно выбрать значе- ние R: , '	RVLi/Ci	RVC}/L}
С Если удобно выбрать значе ние С:	VLiCi/R	VLjCj/R
Р	VLiCi/C	VljCj/C
R2=R3=R и Ci = C2=C, причем либо R, либо С выбирают произвольно.
синтеза шестнполюсного полосового фильтра Баттерворта со средней частотой
1 кГц и шириной полосы, равной октаве. Чтобы иметь устойчивый первый кас-
кад, выберем двусторонне нагруженную структуру из приложения А с 7?=1.
Соответствующий ФНЧ-прототип показан на рис. 6.3—13,а.
Из § 2.4 находим, что ширина полосы, равная октаве, для средней ча-
стоты 1 рад/с составляет 1/Д/2 рад/с. Применяя преобразование ФНЧ-прото-
типа в ПФ-прототип с шириной полосы If]/2, получаем схему на рис. 6.3—13,6.
Y,	Уз
S)
измерены относительна земли.
Рис. 6.3—13. Полосовой структурно-перекрытый фильтр шестого порядка, реали-
зованный в примере 6.3—2. Значения элементов даны в генри, фарадах, омах
Если используем схему на рис. 6.3—'12 для реализации передаточных функ-
ций блоков на рис. 6.3—13,6, то сложность цепи при выборе схемы на рнс.
6.3—3 или рис. 6.3—4 1будет практически одинаковой. Выбирая схему на рис.
6.3—3, получаем реализацию, показанную на рис. 6.3—13,в. Каждый из ука-
занных на ней блоков соответствует схеме рис. 6.3—42. Если выбрать С рав-
ным 1 Ф, то R=1 Ом. Денормирование по частоте осуществляется делением
номиналов .всех емкостей на 2л-103. Сопротивления можно выбирать произ-
вольно и так, чтобы обеспечить приемлемые номиналы как сопротивлений, так
и емкостей. Например, денормирование полного сопротивления с коэффициен-
том 104 дает Д=10 кОм и С=0,159 мкФ. Сопротивления и каждого
блока можно вычислить, используя соотношения, приведенные на рис. 6.3—13,в.
Метод структурного перекрытия, вероятно, один из самых луч-
ших методов реализации ПФ, так как он позволяет использовать
полосовые звенья второго порядка, реализации которых рассмат-
риваются в гл. 6, и обеспечить чувствительность реализаций,
близкую к той, что дают пассивные цепи. На практике в некото-
рых случаях отдельные блоки второго порядка можно перестро-
ить на несколько процентов без заметных изменений общей АЧХ.
Метод структурного перекрытия также используется для реализа-
ции функций цепи с нулями на оси jco. Соответствующие подроб-
ности можно найти в литературе [66].
6.4. Основной резонаторный блок
В предыдущем параграфе было показано, как активные RC-
схемы, каждая из которых реализует полосовую передаточную
функцию по напряжению второго порядка, могут использоваться
в качестве функциональных блоков в структурно-перекрытой реа-
лизации для получения ПФ высокого порядка. В этом парагра-
фе рассмотрим еще один аналогичный метод, названный мето-
дом использования основного резисторного блока (метод ОРБ)
[67—69]. В нем также используются в качестве функциональных
блоков для построения ПФ высокого порядка полосовые реали-
зации второго порядка. Однако этот метод имеет некоторое пре-
имущество перед методом структурно-перекрытых реализаций, со-
стоящее в том, что он не требует бесконечно большой добротнос-
ти реализаций второго порядка. С другой стороны, как недоста-
ток метода, можно отметить большую сложность расчетных соот-
ношений, чем в методе структурно-перекрытых реализаций.
Общая структурная схема ОРБ порядка 2п показана на рис.
6.4—1. Каждый из блоков 7\ представляет собой схему, реализу-
Рис. 6.4—1. Структурная схема ОРБ
ющую передаточную ункцию по напряжению второго порядка и
имеющую (в идеале) нулевое выходное полное сопротивление. Об-
ратная связь выхода каждого из п блоков второго порядка, сое-
диненных каскадно, со входом операционного усилителя обеспе-
чивается с помощью резисторов 7?<(i==l, 2,	п). Полная пере-
даточная функция ОРБ
Рг (s)_____________ ао (s) Т2 (s) ... Тп (s)_____
Vi (s) “ 1+й1 Л (s)+fi2 Л (s) Т2 (s)+ ... + ап Тг (s) Т2 (s)...7n (s) ’	’
где Ti(s) — передаточные функции отдельных каскадов ПФ вто-
рого порядка, а коэффициенты
at = Rf/Ri, i = 0, 1,..., п.	(2)
Метод ОРБ может использоваться для синтеза реализаций
ПФ, аналогично тому, как это было сделано для структурно-пере-
крытых реализаций. В качестве отправной точки процедуры син-
теза рассмотрим инвертирующую передаточную функцию ниж-
них частот п-го порядка с нормированной шириной полосы
1 рад/с
Мнч (s) =-----------.	(3)
&ns 4- bn-jf *+ ... + &! s + &0 B(s)
Нормированное ФНЧ—ПФ-преобразование (9), § 2.4, можно
теперь модифицировать к виду
s = (p2+l)Q/p;	(4)
полосовой фильтр, полученный в результате такого преобразова-
ния переменной, имеет среднюю частоту 1 рад/с и ширину поло-
сы 1/Q. Подставляя (4) в (3) и обозначив комплексную частот-
ную переменную р через s, получаем
N (sV— N ( О £2	(s)  Н &°s"/	(5)
где
Dj (s) = У.	(6)
i=o Q{
Предположим теперь, что все блоки на рис. 6.4—1 идентичны,
и реализуем
Tt (s) = (Но s/Qp)/(s2 + s/Qp -J-1), i = 1,2,..., n.	(7)
В этом случае (1) упрощается и принимает вид
(s)/Vx (s) = (-Go H-s- /(ty/D2 (s),	(8)
где
D2(s) = (s2+_Ls+1W«	(9>
v	Qlo
' Применяя биномиальную теорему к D2 (s), получаем
D2 (s) = 2 (П ) («2+ 1)"-£(W + 3 if	X
i=0 \ I /	i—0 ;=0	\ 1 /
X (S2 + !)”-'•-> (s/Qpy+j.	(10}
Цепь обратной связи на рис. 6.4—1 получается путем прирав-
нивания (8) и (10) к (5) и (6); в результате имеем
a0H-/Q- = Hb0/Q--,	(11}
(" )?+$ ..........................."• (12)
\ k J Qp {==1 \k—ij Qp Qk
Один из путей решения (11) и (12) состоит в том, чтобы принять
H0=l/c,Qp = Q/c,	(13}
где с — произвольная постоянная, выбираемая по возможности
так, чтобы сделать а, неотрицательными. Подставляя (13) в (11)
и (12), получаем
а0 — НЬ0;	(14}
й1=^п-1—)
, (n \ h	t;1 In—i\	h . , _ „ i (15}
afe = 6n-ft—(. cfc—3 .	. )пгс/г-1,Л = 2,3,..., n, »
\ / i—1	J
где в (15) аь явно выражено через щ, tz2, ...» a^-i. Таким образом,,
для выбранного значения с можно получить все коэффициенты
tzi, а2, ..., ап.
Можно найти из (15) решение для ан, выраженное явно через
с, п, k и bi. Как получается каждое значение а^, видно из фор-
мулы
k	sin — i\
^ = (-1)^ (-1) L . р-г&п-г,Л=1,2,...,п,	(16)
i=o \k—ij
где принято, что bn=l. Выражение (16) можно проверить путем
прямой подстановки в (15) и осуществления необходимых преоб-
разований.
Диапазон изменения с, для которого сохраняется неотрица-
тельность Gk, зависит от коэффициентов bi ФНЧ-прототипа. От-
носительно (16) интересно отметить, что ап=Р(—с), где P(s) —
полином в знаменателе, определенный в (3). Так как P(s) яв-
ляется (строго) полиномом Гурвица, то все его нули расположе-
ны в левой s-полуплоскости, т. е. Р(0)>0. Поэтому, обозначая
вещественные нули P(s), расположенные ближе всего к началу
координат, через —о(о>0), видим, что если 0<с<о, то ап>0.
Из первого уравнения в (15) ясно, что если
0<с Cbp-Jti.	(17)
Если рассмотреть для разных случаев другие уравнения (15)
и (16), то можно получить другие границы для с.
Применяя метод ОРБ, отметим, что если с выбрано так, чтобы
один из коэффициентов сц был равен нулю, то это будет озна-
чать отсутствие одного из резисторов в цепи обратной связи. На-
пример, если c=bn-i/n, то из (15) следует: tZi = O, а следователь-
но, сопротивление Д] будет равно бесконечно большой величине,
что эквивалентно разрыву цепи. Вероятно, было бы лучше не уда-
лять таким способом резистор из цепи обратной связи, так как
это означало бы исключение возможности управлять одним
из состояний системы. В любом случае нет смысла добиваться то-
го, чтобы ап было равно нулю, чтобы не потерять обратной свя-
зи с выхода ОРБ. С другой стороны, из (16) видно, что сопро-
тивления резисторов обратной связи не зависят от коэффициента
усиления и средней частоты фильтра и определяются исключи-
тельно коэффициентами Ь,- ФНЧ-прототипа. Коэффициент усиле-
ния Н определяется сопротивлением входного резистора Ro, кото-
рое, в соответствии с (2) и (14), определяется как
R0 = Rf/Hb0.	(18)
Для схемы на рис. 6.4—1 мы предположили, что реализации
ПФ второго порядка являются неинвертирующими. Если исполь-
зуются инвертирующие реализации, то дополнительно требуются
инверторы. Примером этого служит схема на рис. 6.4—2. Нако-
нец, постоянная с соответствует ограничению (17). Это означает,
что нормально с меньше единицы, что в соответствии с (13) при-
водит к тому, что Qp будет большой даже для умеренных значе-
ний Q. Если выбрать с=Ьп-а1п, то
Q — bn—iQp/n,	(19)
что дает минимально возможное значение Qp для определенно-
го Q.
Рис. 6.4—2. Схема полосового фильтра восьмого порядка с ОРБ, реализован-
ного в примере 6.4—1. Сопротивления даны в килоомах
Пр и мер 6.4—1. Полосовой ОРБ-фильтр восьмого порядка с максималь-
но плоской АЧХ. Требуется реализовать ПФ восьмого порядка с максималь-
но 'плоской АЧХ, средней частотой 3000 Гц, шириной полосы 600 Гц на уров-
не —3 дБ и шириной полосы не более 1500 Гц на уровне —30 дБ. Коэффи-
циент усиления па средней частоте должен быть равен единице.
Начнем-с. того, что определим.. Q.p, .-взяв за основу: (19)...Из технического-
задания на фильтр видно, что <2=5, а «о=6ОООя рад/с. Из табл,- 2.1—За для-
я=4 получаем- -
V2 (s)/Vj (s)= 1/(S4 +2,613126s3+ 3,414214S2 + 2,613126S4- 1).	(20)
Следовательно, из (3) находим &о=1, &1 = Ьз=2,613126 и Ь2=3,414214. Если
с='Ъп-1/п, то с=&з/4=0,65328Г5, поэтому
Qp = Q/c = 5/0,6532815 = 7,654;	(21а)
Я0=1/с= 1,5307; wp = 6000л рад/с,	(216), (21в)
где соР — недемпфированная собственная частота (7). Из (15) имеем
= 0;	(22а)
а2 = &2 —( 4 V2—Б (4—‘ ) а,с2-г = 0,8536;	(226)-
\ 2 /	\2 — i j
f 4 \	2 /4__i\
03 = ^— jc3—S(o . | a; c3"£= 0,3838;	(22b)
V 3 / t=i \3—» /
3
a4 = bo—<*—3 ai ci~l = 0,2036. ф	(22r)
i=i
Из (2) можно выбрать Rf и решить его для различных Ri.
Если Т?7=10 кОм, то 7?1 = оо, R2= 11,718 кОм, J?3=26,055 кОм и
7?4='49,116 кОм. Полученная в результате синтеза схема, где ПФ
второго порядка являются инвертирующими (на схеме они выде-
лены в блоки), представлена на рис. 6.4—2.
Ряд других конфигураций фильтров, включающих функцио-
нальные узлы, второго порядка, с различными сочетаниями об-
ратной связи, приведены в [70—74]. Хотя был реализован ряд
прекрасных схем, многие из них крайне трудно синтезировать,,
так как при этом требуется применение ЭВМ. Процедуры, приве-
денные здесь и в предыдущем параграфе, дают пример хорошего-
компромисса между характеристиками фильтра и простотой син-
теза.
6.5. Параллельно-каскадный метод
В этом параграфе представим еще один (последний) непо-
средственный метод реализации функций цепи высокого порядка.
Он позволяет проводить реализацию всех типов аппроксимаций-
фильтра, как при наличии, так и при отсутствии конечных нулей
на оси j<B. Он дает также возможность реализации комплексно-
сопряженных нулей в любом месте комплексной плоскости или
простых нулей в любой точке вещественной оси. Этот метод ис-
пользует КОИ, описанный в (4), § 6.1, (его схема показана на
рис. 6.1—2,а). Постоянная КОИ D(s) (см. (4), § 6.1) определя-
ется так;
Кс <s) = К7Т = s2	С^-
P(s)
Метод был предложен Антонью [75]; его особенность —
очень гибкая схема реализации.
Параллельно-каскадный метод использует в качестве исход-
ной передаточную функцию по напряжению для четырехполюс-
ника, описываемого ^-параметрами уц($). Эту передаточную
функцию обозначим Т(з) и выразим следующим образом:
7 (з) = V2 (sj/Vt (s) = — у21 (s)fy22 (s) = (ae + s 4-^.s3 +... + an sn)/
(be + bls + b2sz+ ... + &nsn) = /y] atsc }l( 2 btsl
\i=0	// \i=0
(2)
Л? " Izz
Рис. 6.5—1. Разделение ис-
ходной цегаи на две парал-
лельно соединенные под-
цепи
где bi>0 и 6г^|аг|- Коэффициенты
числителя могут быть положительны-
ми, отрицательными и нулевыми. Ес-
ли их модули таковы, что последнее
неравенство нарушается для некото-
рых из них, то числитель в целом
можно умножить на достаточно малую
постоянную. Из (2) видно, что
п	п
— Ун («) = 2 ai si ’ ^22 (s) = У' S£ •
i=0	i=0
(3)
Рассмотрим теперь разделение исходной цепи на две парал-
лельные подцепи, обозначенные Л/] и N2 на рис. 6.5—1. Если обо-
значить через	и «/(2)ij(s) параметры полной проводимо-
сти цепей 1 и 2 соответственно, то
Т (s) - (-У^ (з)- У<?> (s))/(y^ (s) + у& (s)) =
= | 2 aisi \ f ( bl S‘ ) •	(4)
\i=o 7/ \ t=-o	7
Для наших целей удобно разложить числитель и знаменатель
(4) следующим образом:
— ^11)(s) = a0 + «is; У-п} (s) = bG + bts;	(5а), (56)
- У%> («) =-’ £ atsi ; У& (*) - S bisi 	(5в),(5г)
i‘=2	i~2
Таким образом, передаточные функции по напряжению разо-
мкнутых цепей 1 и 2 имеют вид
Л (S) = - у"»(s)/«/( ‘ > (S) = («о + a, s)/(60 + br s);	(6а')
Т2 (S) = — l/<2) (s)/«/<2> (S) = ( 2 ai Si \ I (iti bi S‘ ) •	<66)
\i=2	7/ \i=2	7
'Рассмотрим сначала Ti(s). Ее можно реализовать с помощью
схемы на рис. 6.5—2,а (для /=1), передаточная функция которой
V21 (s)/Vu (s) = (s Сп + Gu)/[s (Cn + C21>+ (Gn + G21)l.	(7)
Приравнивая отношение (5a) и (56) к выражению (7), полу-
чаем в результате следующие расчетные соотношения для эле-
ментов цепи:
> G21 - - Gq ,	Gj.	(8)j
Puc. 6.5—2. Схема подцепи Nt (см. рис. 6.5—1)
Если один или оба коэффициента а0 и at отрицательны, то ин-
вертирующий усилитель с единичным коэффициентом усиления
может быть включен последовательно с цепью, как показано на
рис. 6.5—2,6 Если «о отрицательно, то Gu подсоединяется к за-
жим)? со знаком минус. Аналогично, если czi отрицательно, то Си
подсоединяется к зажиму со знаком минус.
Рассмотрим теперь реализацию Т2($). Если можно сделать
так, чтобы —^/(2>2i(s) и yw22(s) стали аналогичны исходным
—ysn(s) и у2г(в) (но меньшего порядка), то можно выделить
другую цепь типа 1. Схема на рис 6.5—3 дает способ осущест-
вления этих замыслов. Чтобы убедиться в этом, используем (4)
из § 6.1, откуда получаем
•^22 (s)= ^2з (s) ’	(9а)
'!2(s)“tSzP/!>(s>'	(9б)|
Рис. 6.5—3. Подцепи N2 (рис. 6.5—1)
Если Zi(s) =7?i, Z2(s) = l/sC2, Z3(s)—7?3 и Z4(s) = l/sC4, to
*(96) примет вид - - —
/22 (s)	/?i C2 R3 C. I23 (s)= s2/Ci /23 (s)>	(1®)
/где Ki=RiC2R3Ci. Параметры проводимости цепи 3 можно запи-
сать так:
Zn (s) = У[р (s) V13 (s) + f/< f> (S) V23 (s);	(Ila)
4з (s) = У£> (s) yis (s) + У& (s) V23 (s).	(116)
Из рис. 6.5—3 и 6.5—1, однако, видно, что 1Л3(х) = E12(s) и
/is(s) =/i2(s). Более того, (9а) и (10) связывают 72з(«) и V23(s) с
722(s) и E22(s). Следовательно, (11) можно использовать для
получения параметров полной проводимости цепи 2:
/12 (S) = У™ (S) V12 (s) + У™ (S) V22 (s) = у<? (s) V12 (s) + y$ (s) V22 (s);
(12a)
I22 (s) = s2 f/<3) (S) vi2 (s) + S2z/(3) (s) v22 (s) =
= ^>(s)V12(s) + <)(S)V22(S).
Из (12) следует:
У$> (s) =	(^ Ki;	(«) = У® (s)/s2 ^1.
получаем в результате
_____i n
1 X' -	_9 .
(126)
(13а), (136)
Подставляя (5в) и (5г) в (13),
^i3) (s) =	ai&i
1 п
у^ (S) - —
W22 v ' S2 Ki
Передаточная функция
будет теперь иметь вид
т ,.	- У21} <s>
E3(s) =
(14а)
Ki t=2
1 n
/tS bii
i—2	Kl i=2
по напряжению разомкнутой цепи. 3
(146)
S М'-2| =
i=2	/
(«)
__4" а3 5 4~ а4 S2 ~Ь ... ~Ь СП	2
*2 + 63* +V2+... + *nSn-2
Эта форма практически совпадает с формой (2), но имеет бо-
лее низкий порядок, так что теперь процесс реализации можно
продолжить. К этому моменту процесс реализации цепи соответ-
ствует рис. 6.5—4. Обобщенная схема при параллельно-каскад-
ной реализации после ряда циклов показана на рис. 6.5—5. За-
метим, что значение постоянной для КОИТ не является мно-
жителем в процессе синтеза и может выбираться произвольно.
Обычно оно выбирается так, чтобы минимизировать величины
fa, c2i, Гц и с4< и оптимизировать возможность манипулировать
напряжением. Обычно гц = гц=п и с2г = с4г=с<. Чтобы показать,
1=2
(15)
как выбирается оптимум, рассмотрим схему КОИТ на рис. 6.5—G,
где указаны амплитуды напряжений на элементах. Заметим, что
разность К)2—Vol равна /(r3 + l/j<oc2), где I — ток, текущий че-
рез С2 и г3. Максимальное значение Уо2—Voi ограничивается пре-
делами выходного напряжения усилителя. Если либо г3, либо с2
выбраны так, что они соответственно слишком велики или малы,
Рис. 6.5—4. Параллельно соединенные подцепи, схемы которых представлены'
на рис. 6.5—2 и рис. 6.5—3
Рис. 6.5—5. Обобщенная схема при параллельно-каскадной реализации
то величина VO2—Vol быстро достигает указанных пределов. Ра-
.зумно выбрать Гз=1/<вс2, где <о~сос — частота среза, и выбрать
г3 в диапазоне 1 ... 10 кОм.
Элементы пассивной цепи первого порядка, показанные на
рис. 6.5—2,а, можно выразить в общем виде следующим образом:
G11	—2 > ^2i	^2i—2	^2f~2
Сц — ^21— 1 J C2l— 1 — Ь21— i 6Z2i—1»
(16)
где i — номер итерации. В каждой итерации процедуры синтеза
формируется такая пассивная цепь, а также КОИТ (исключая
случай i=l, когда формируется только пассивная цепь). Если п—
четно, то в итерации номер (1 + п/2)
Gi ,1+п/2 = ап'^ ^2,1+п/2 = &п—ап ;	(17а)
Cl , l+n/2 = о; Сг, 1Н-п/2 о,	(176)
так как согласно (3) нет» (п-Н)-х коэффициентов. Если п—не-
четно, то в итерации номер (п+1)/2
611 ,(п+1)/2 ~ ап—1 ’> 6?2,(п+1)/2—Ьп О,п—1г
Cl , (п+1)/2	г Съ , (п+1)/2 Ьп ап.
(18а)
(186)
Поэтом)' для четного п последняя пассивная цепь не содер-
жит емкостей, тогда как для нечетного п она содержит как со-
'Рис. 6.5—6. Амплитуды напряжений КОИТ,
использованного в параллельно-каскадном
методе
•рованным техническим требованиям, данным
лередаточная функция по напряжению
противления, так и емкости.
Для каждой подцепи с от-
рицательными коэффициен-
тами числителя это соответ-
ствует одному инвертирую-
щему усилителю с единич-
ным усилением. Последним
шагом в данной реализа-
ции будет замена всех этих
усилителей одним, как по-
казано на рис. 6.5—5.
Пример 6.5—1. Эллиптиче-
ский параллельно-каскадный
фильтр нижних частот третьего
порядка. Требуется, используя па-
раллельно-каскадный метод, полу-
чить реализацию эллиптического
ФНЧ с частотой среза 2л-103
рад/с, удовлетворяющую норми-
в «примере 2.3—1. Нормированная
0,105891 (s2 +5,153209)
Т (s) = ЬМ =-----------------. 1д
Ei(s) (s + 0,539958) (s2+ 0,434067 s+ 1,010594)
Преобразуя (19) так, чтобы сформировать коэффициенты полиномов, по-
лучаем
0,545678 + 0,105891 s2
Т (s} =------------’--------!’--------------------
' '	0,545678 + 1,244972s + 0,974025s2 + s8
_________а0 + сг2 s2
^0 + bl s “b I'a S2 + ^3 S3
Из (16) находим:
Первая итерация:
Gu = а0 =0,545678; G21 = Ьо — а0 = 0; Сг1 = а1 = 0; С21 = 1ц — аг— 1,244972.
Вторая итерация:
G12 = а2= 0,105891; G22 = b2—а2= 0,868134; С12=ав~0;
С2г = Ьв— ав = 1,0.
Полученная в результате реализация показана на рис. 6.5—7. Денормируя
по частоте и используя денормирование по полному сопротивлению на уровне
1000 Ом, получаем следующие номиналы элементов реализации: /?ц=1/Оц=
= 1,833 кОм, С2Г= 1,981-10-7 Ф, /?12= 1/Gi2=9,444 кОм, С22='1,592-10~7 Ф, J?22=
= 1/G22=1,152 кОм. Сопротивления -КОИТ выбирают такими: гц=гз1 = 1 кОм,
емкости c2i=C4i = l,59-10г7 Ф. Постоянная КОИТ Ki=2,528-;10~8.
Рис. 6.5—7. Схема параллельно-каскадного ФНЧ третьего- порядка, реализован-
ного в примере 6.5—-1
Можно отметить несколько интересных свойств параллельно-
каскадного метода. Одно из них — удобство получения полосовых
реализаций, имеющих нули на оси jco. Другое —• возможность
синтеза НЧ и ВЧ реализаций с помощью одной и той же схемы
в каждом конкретном случае. Например, для НЧ реализации, 'не
имеющей конечных нулей на оси jco (см. рис. 6.5—2), имеем:
GH- = 0 для i=#l и Gh = 0 для всех i. Выходной сигнал снят с Gin
или Сщ, в зависимости от того, будет ли п соответственно чет-
но или нечетно. Для реализаций, где коэффициенты знаменателя
симметричны, т. е. bt=bn-i, как для фильтров Баттерворта, мож-
но получить эквивалентную АЧХ типа ФВЧ, подавая входной
сигнал последовательно с G2n (или с С2и) схемы ФНЧ и снимая
выходной сигнал с Gjb который при этом заземляется. Метод
реализации передаточной функции второго порядка, использую-
щий одну и ту же схем)? и для функций НЧ, ВЧ и П, приведен в
литературе (см., например, [76]).
В целом параллельно-каскадный метод обладает наибольшей
общностью и простой процедурой синтеза. Кроме этого, он обыч-
но требует относительно небольшого числа высокоточных конден-
саторов. Например, для параллельно-каскадного фильтра Баттер-
ворта восьмого порядка требуются только двенадцать конденса-
торов. Из них, однако, восемь используются для определения
произвольно выбираемых постоянных КОИ, следовательно, толь-
ко для четырех емкостей номиналы должны быть заданы точно.
С другой стороны, для структурно-перекрытой реализации требу-
ются точно заданные емкости восьми конденсаторов для реали-
зации того же фильтра. Чувствительность схем, реализованных
параллельно-каскадным методом, сравнима с чувствительностью
схем, получаемых другими методами синтеза, представленными
в этой главе.
6.6. Чувствительность
В этой главе были даны методы моделирования пассивных це-
пей путем использования активных /?С-подцепей. Теперь обсудим
различные аспекты проблемы чувствительности применительно к
этим методам. Здесь подход будет существенно отличаться от
использованного в предыдущих главах, так как при применении
методов моделирования пассивных цепей порядок реализованной
цепи значительно отличается от порядка цепей, полученных дру-
гими методами и обычно много больше второго. В результате
этого наиболее естественным было бы рассматривать N(s)-функ-
цию фильтрации цепи. В общем случае она имеет вид
jV(s) = А -- а° + cis ~г s2 + ... + «т sm	(j
5(s)	Ъо -р Ьг s -р b2 s2 -j- ... -р bn sn
где п~^т. Для такой функции можно найти соотношения, кото-
рые показывают зависимости АЧХ и ФЧХ от некоторого пара-
метра х, путем определения чувствительности функции цепи
в соответствии с § 3.2. Чтобы найти их, заметим сначала,
что в методах моделирования пассивной цепи некоторые пассив-
ные элементы заменяются их активными ДС-эквивалентами.
Пусть замененное полное сопротивление обозначается как Ts’,
где / — положительное или отрицательное целое. Например,
если /=0, то полное сопротивление является активным и Г=7?.
Аналогично, если /=—1, то Г=1/С, если /=1, то Г—А и т. д. На
следующем этапе вычисляются чувствительности коэффициентов
Sair и Sb гг в соответствии с § 3.3. Используя (7) из § 3.3 мож-
но выразить чувствительность функции цепи через чувствитель-
ность коэффициентов. Наконец, так как Г является функцией не-
которого параметра х, то может быть вычислена чувствителйнЬсть
Г по х, т. е. 5ГЖ. Объединяя приведенные выше этапы, видим,
что чувствительность передаточной функции для функции N(s),
определенной в (1), можно записать в виде
f т	\ /	/ п	Ъ * y \ /
SX (s) = I 3 ($г Sx)6ZiS1’ / Л (S)— 3 (Sx‘ Sx) bisl j В (s).
\ i=0	/1	\ i=0	/ /
(2)
Так как Sr x не зависит от индекса суммирования, то (2) мож-
но переписать в виде

Z2 •	\	h•
£ S?‘afs‘ ] A (s)- 3 S^biSt
i—О	/I	\i=0
IВ (s)
(3)
Рассмотрим теперь вычисление чувствительностей Sai г и Sb i г,
которые используются в приведенных выше выражениях. Такое
вычисление облегчается, если предположить, что указанная цепь
имеет лестничную структуру, показанную на рис. 6.6—1. В этой
структуре последовательные элементы представлены как полные
Рис. 6.6—1. Обобщенная
лестничная структура
сопротивления, а шунтирующие элементы — как полные проводи-
мости. Полагая для простоты, что лестничная структура нагру-
жается элементом У6, можно выразить передаточную функцию по
напряжению через полиномы A(s) и B(s), определенные в (1), а
именно:
A (s) = 1 ;	(4а)
В (s) = 1 + Z, У2 + Z, Г4 + Z, Ye + Z3 Г4 + Z3 Ye + Z, Y2 Z3 Y4 +
+z4 Y2 Z3 YgA-Z. Y2 Z5Ye-j-Z1Y4 Z5 Ye+Z3Y4Z5Ye+Z1 Y2 Z3Y4 Z6 Y6.(46)
Это выражение легко используется для менее сложных струк-
тур, так как некоторые из членов У{ и Z2 оказываются равными
нулю. Аналогичные выражения можно найти для лестничных
схем с дополнительными элементами. Теперь процедуру нахожде-
ния SXN™ можно описать следующим образом.
1.	Начиная с реализации пассивной цепи-прототипа, показан-
ной на рис. 6.6—1, проводим любые необходимые преобразова-
ния, такие как RLC—CRD-преобразования (см. табл. 6.3—1).
2.	Подставляем значения полных сопротивлений и проводимо-
стей в (4), находим выражение для рациональной функции, име-
ющей форму (1).
3.	Вычисляем Sair и Sbir для любого желаемого полного со-
противления Ts’.
4.	Вычисляем 5ГЖ, где х — некоторый параметр .RC-подцепи,
использованной для реализации полного сопротивления Ts<
Пример 6.6—1. Чувствительность функции цепи ЧЗОС-фильтров. В каче-
стве примера (Процедуры нахождения чувствительности функции цепи рассмот-
рим цепь нижиих частот третьего порядка (рис. 6.6—2,а). Применяя RLC-—
С7?£)-иреобразование, получим в результате структуру, показанную на рис.
Рис. 6.6—2. Схема цепи нижних частот третьего порядка -в примере 6.6—I.
Значения элементов даны в омах, .генри, фарадах и фарад-секундах
6.6—2,6. Сравнивая ее с рис. 6.6—1, определяем: Zl=7?i, У2=э2О2, Zs-Rs, У4=
=.sC4 и 25=Уб=0. Следовательно, на основе (4) JV(s) можно записать в виде:
N (s) = 1 /(1 + Z4 У2 + Zfy4 4- Z3 У4 + Z4 Y2 Z3 Г*) =
= 1 /[(7?!D2 R3 C4) s® +	o2) S2 + (R1 Ct + R3CJs+l].	(5)
Исследуем теперь чувствительность этой функции к элементам ЧЗОС, т. е.
рассмотрим Г как В2. Из выражения (5) находим
s“D\== °; «к = %, = 1 	(6)
Используя схему на рис. 6.1—2 при У, = хС12, У2=О22, У3=зС32, У4=О42 и
y5=G52(yi-=l/Zi) для реализации ЧЗОС, можно выразить П2 так:
D2 = С12 С32 G52/G22 G42.	(7)
Тогда чувствительность В2 по отношению к элементам ЧЗОС
scL = Sc‘s = SGL = 1;	= -1 •	(8)
Используя результаты, полученные в (3), находим, что чувствительность
N(s) к х
Sx = - (fcs s3 + b2 &)l(bs s® + b2 s® + Ьг s + bo),	(9)
где x можно представить любой из величин С12, Csz или Gs2. Чувствительность
к G22 или G42 есть просто взятое с обратным знаком выражение (9). Оцени-
вая коэффициенты bi для значений элементов цепи, показанной на рис. 6.6—2,
получаем
S"(s) ==(ss + 2sz)/(ss+2s2 + 2s+l).	(10)
Для s=jco это можно записать так:
(j со) = (2ш2_2ш4_шв)/(1 + Ш6) —j Зсо3/(1 + со6).	(11)
Следовательно (см. свойство 14, табл. 3.1—1),
S" (it0) = (2со2—2со4 — со6)/(1 +<о6).	(12)
Вид функции (42) показан на рис. 6.6—3, нз которого следует, что. чув-
ствительность |W(jco)| к х равна или меньше 1/2 в полосе Пропускания от 0
до 1 рад/с. Чувствительность  за пределами полосы'' прбпуск&нйя;-' хо'гя она и
больше, обычно играет меньшую роль.	.	!
Многопараметрическая чувствительность (см. § 3.2) функции цепи по от-
ношению ко всем элементам ЧЗОС-
'dtN (j со) | R yi „л’ (j щ) dxt_
|M(jo>)|	Xi
где Xi = Ci2, X2=Gs2, Хгзр^Сзг, Хл—G42, x3=G32.
Следовательно,
(13)
cZ|/У (j со) | 2со2 2со4 со6- / d С12 dGz2 d С32 dC42 dG3z \ иле
' Wj<B)i ~	1+со6 _Д	(. )
Очевидно, соответствующий выбор допусков для отдельных пассивных -ё'лег-
ментов реализации ЧЗОС; позволит минимизировать эту чувствительность..
Рис. 6.6—3. Чувствительность моду-
ля для цепи на рис. 6.6—2
Рис. 6.6—4. Схема ФВЧ третьего .по-
рядка, рассмотренного в при?Лере
6.6—2. Значения элементов даны в
омах, генри, фарадах
Рассмотрим теперь метод моделирования пассивной цепи с
помощью искусственной индуктивности. Чувствительность функ-
ции цепи для этого метода находится аналогично предыдущему.
Пример 6.6—2. Чувствительность функции цепи для реализации фильт-
ра с искусственной индуктивностью.
Схема двусторонне нагруженного ФВЧ третьего порядка показана на
рис. 6.6—4. Требуется найти чувствительность модуля передаточной функции
по напряжению к каждому из пассивных элементов искусственной индуктив-
ности, использованной для реализации. Цепь обобщенного иммитанса на рис.
6.1—2 можно попользовать для получения искусственной индуктивности, если
выбрать Zt=Pn, Z2=l/sCzz, Z3=Psz, Zn=Pi2 и Ze=/?52- Приравнивая элементы
схемы на рис. 6.6—1 соответствующим элементам схемы на рис. 6..6—4.- w счи-
тая, что W(s) = l/2(s)/Vi(s), получаем
Л(х) =
(C,L2C37?4) S3
>'Cj £3 Ca C± Lz C3) s34*(^i Q C3 ^4+^-2 Сз-рСх L2) s2-|-(C3;	C4) s-pl
(T5)
Вычисляя чувствительность коэффициентов к Lz, находим
= 1; S1^	(C, 4- CS)/[R, Cx C3 ± L2 (Q 4. C3)] = 1/2;	= I (16)
Чувствительность других коэффициентов к равна нулю. Величина £2,
полученная как результат реализации искусственной индуктивности, опреде-
ляется как
7-2 — R1Z ^22 ^32 ^?52/ ^42 •
Из (3) следует, что чувствительность передаточной функции
S,V (s) _ $L, ( 1 	0,5 b2s2-}- b3 s3 __
Х \ й3	^0 “Ь Ч s + ^2 S2 "Ь	S3 I
SL' ( s3 + 3s2 + 4s+l \
х \ s3 + 2s2 4- 2s + 1 )’
(17)
(18)
где х может быть любой из величин /?12, С22, Riz, R& и Rsi- Подставляя s=
=j<i>, .получаем
s/v (j <0) = sl2 f(2 + W2 + ю6)/(1 + ш6) _j (шз _|_ шб)/(1 _|_ ш5)|.	(19)
Следовательно, для x=Ri2, С22, ,RS2 и R& имеем
=(2 + fi>2-|-(D6)/(l + юс),	(20)
в то время, как для x=Ri2 получаем выражение (20) с отрицательным зна-
ком. ♦
Анализ чувствительности указанных выше типов можно ис-
пользовать для того, чтобы предсказать влияние изменения зна-
чений элементов на характеристики фильтра. В качестве иллюст-
рации рассмотрим пример 6.6—2. Если конденсатор, используе-
мый в искусственной катушке индуктивности, майларовый с тем-
пературным коэффициентом емкости (ТКЕ), равным 600-10-6/°С,
то при <о=1 рад/с, Sc,,1 Л'(з” 1 =2. Поэтому rf|7V(jco) |/|/V(ja) | при
<о=1 рад/с равно 1200-10-6/°С. Это приводит к изменениям на
1,2% величины |/V(jl)|, обусловленным ТКЕ С22, при изменении
температуры на 10° С. Аналогичный анализ чувствительности
можно провести для других пассивных элементов активных RC-
подцепей, а также для других элементов фильтра.
Другим методом моделирования пассивной цепи, описанным в
этой главе, был метод структурно-перекрытых реализаций. Он
был использован для синтеза ФНЧ и ПФ, функции фильтрации
которых не имели конечных нулей на оси jco. Метод требовал,
чтобы иммитансы лестничной цепи реализовались как передаточ-
ные функции по напряжению. Анализ чувствительности соответ-
ствует общей процедуре, описанной выше, а именно: он включает
в себя нахождение Sr ж, где Г — пассивный элемент, а х — любой
из параметров активной 1?С-подцепи, которая реализует переда-
точную функцию по напряжению синтезируемого пассивного эле-
мента. Для случая ФНЧ элементы общей схемы на рис. 6.3—1
описываются соотношениями
Yt = (1 /^/(s + Ri/Li); 1} =	1/₽7- Q, (21)
где Ri может быть нулем, a Rj — бесконечностью. Заметим, что
на этом рисунке обозначения Z и Y обратны тем, что даны на
рис. 6.6—1. Для моделирования этих функций Z и Y используется
схема, показанная на рис. 6.6—5. Ее передаточная функция по
напряжению
Tk (s) = Vo (s)/V£ (s) = (- 1/Rlk Clfe)/(s+ 1/R2k Clk). (22)
Выбор необходимых элементов осуществляется с помощью
табл. 6.6—1.
В структурно-перекрытой реализации последовательные или
шунтирующие иммитансы могут иметь форму t/£+j Vi. Когда мо-
делируется такой иммитанс, возможно,
что как Ui, так и Vi являются функция-
ми одного и того же параметра х под-
цепи, с помощью которой осуществляет-
ся моделирование. В этом случае вы-
Рис. 6.6—5. Схема для моделирования функции
'(21)
числение SN<* s * *'x можно провести непосредственно, используя то,
что
_	/ т а- \ I	I п h.	\ /
Sz(S) = 2 ai gi / Л <S)— I 2 S*‘ bi si] B (S)	(23)
\ i=0	/ /	\ i=0	/ /
и не ища промежуточных чувствительностей Sai г и SbtT , как это
сделано в (3).
Таблица 6.6—1
Выбор элементов
для структурно-перекрытой реализации
Рис. 6.6—6. Схема ФНЧ тре-
тьего порядка, рассмотренного
в примере 6.6—3. Значения
элементов схемы даны в омах,
генри, фарадах
Пассивный элемент	Г как функция элементов схемы	
	на рис	6.6—5
Vi	— Rii/	
Z]	Rj — Rzj/Rij	Cj = RijCij
Пример 6.6—3. Чувсгвительность функции цепи реализации структурно-
перекрытого фильтра. Требуется найти чувствительность функции цепи к Rn,
Rzi и Си схемы на рис. 6.6—5, если используется .метод структурного пере-
крытия для реализации ФНЧ, схема которого показана на рис. 6.6—6. Его
передаточная функция по напряжению
Л£ (s) = Vz (s)/(s) = Rd[(Lj C2 L3) i3 -f- (Rr C2 L3 -f- C2 R4) s2 4~
+ (Lj + L3 +R! C2 R^ s + (R1 + R^] = l/(2s3 + 4s2 4- 4s-{- 2).	(24)
Из табл. 6.6—1 находим Ri = Ru/Rzi и L1=RllClt .для схемы иа рис. 6.6—5
с А=1. Следовательно,
N (s) = Ri R2i/[(Rii Cji RS1 C2 L3) s3 -f- (Rn C2 L3 -f- RJt R21 Cu C2 Rd si -f-
+ (Ru Rzi Сц 4* R2i L3 -f- Rn C2 Rd s 4- (Rn 4- Rzi R^J •	(25)
Ненулевые чувствительности коэффициентов ио отношению к Jfo н
Си в предположении, что эти элементы имеют единичные значения, равны:
= 1?д/^о= 1/2;	= 7?ц (Т?21 СХ1Са= 3/4;
Sfa = Sfa =1; S°° =1;
АЦ ^11	А. 21	I
= RziRi/bg = 1/2;	= ^21 /-з//’! = 1/4;	|
== Ru Rzi Сц C2 Ri/bi = 1/2; §с1Г = 1 •	J
Используя эти результаты в (23), получаем
w (s) _ 1 1+3s + 4s2-|~ 2s3 .
2 1 + 2S + 2s2 + s3 ’
w (s) = _1_ l+3s + 4s2 + s3 .
2 1 + 2s + 2s2 + s3 ’
SN (s) _ _ J_	s + 2s2 + s3
c>‘	2 14-2s + 2s24-s3
Подставляя s=j« н решая полученные уравнения для вещественных ча-
стей, находим
1Д;/;,.х|	1 1+ш44-2шв
“)I = -— 	-- ;	(28а)
•4	1 । си
j ы ,. , ।	1 1 4- 2 со2—со4 4- шв
<	= Т 1То° ’	( }
SI Д' (j СО) | = _ _L 4ш2—Зш4+ .м°	(28в)
с”	2	1 + ш6
(26)
(27а)
(276)
(27в)
Анализ чувствительности, необходимый в случае применения
метода структурных реализаций к полосовым функциям, анало-
гичен описанному выше. В таком случае иммитансы будут иметь
вид, показанный на рис. 6.3—11. Если порядок полосовой реали-
зации равен четырем или выше, вычисления- становятся значи-
тельно длиннее. В этом случае разработчику будет полезна ин-
формация о чувствительности, полученная экспериментально или
путем машинного расчета.
Другой метод реализации, представленный в этой главе, — это
метод ОРБ. Анализ чувствительности такой реализации легко
осуществить путем определения Sxan и SQX каждого из блоков
второго порядка и сопоставления их с общей функцией цепи. Из
(1), § 6.4, следует, что если все блоки второго порядка имеют
идентичные передаточные функции Ti(s), то общая функция цепи
lV(s) = ya(s)/yi(s) = A(s)/B(s)-=-o0Ti(s)” /( 1 + 2 а,Тг(8)/ А .(29)
/ \	2=1	/
Используя табл. 3.1—1, можно записать
SW(s)=SA(s)—£В(з)= S^(s) sb<si—S7*!”
XXX	T1' * X
(30)
где.
ЭД> = «
1	\/=i	// \
(31)
. Следовательно, (30) примет вид
S"(s) =
n
n + 2 (n — j) ajTt (sp
J=1
n
1 + 2 ai Ti W
J=l
Чувствительное модуля | N (jco) | к x равна
Sr“l=Re(sI‘"e,Al(j»)|.
Sl‘(s)
[Л4 (s)].
(32)
(33)
Учитывая, что Sjz()t0) и /H(jco) —величины комплексные, мож-
но переписать (33) в виде
siw(j<o)i =Re[Sp(JO,)]Re[Al (j©)] — Im[Sp(je,)] Im[М (j©)]. (34)
Полагая, что ©„ и Qp— функции х, получаем
e|Tt(ja)| _ c|Tt-(j<B)| el/Qp I e|Tt-(j<o) e<sn
,	x	1/Qp x	x ,
где
Ti (s) = [Ho (&n/Qp) s]/[s2 + (&n/Qp) s + co2j.
После ряда алгебраических преобразований найдем
71	* + 6 i
где
bi^Qp(&n/& — ©/©„).
'Так как Re[S/<(1и)]=51Г‘(10>>*то из приведенных выше
получим
TjO©) j „	bjQp / co । <on \ ^>n
1+b? X l + &2.\con co у x
Аналогично можно показать, что
Im = [SpGt0)] = arg [Tt (j со)]5Ге =
= arg [Tt (j ©)]	S1xiqp +	S^xn\
Оценка S	и Sa'g[^(Jt0,] дает
aiglTjG’c&j]	—bi
=-----------------7 ;
p arg[7t(jw)](l+fe?)
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
равенств
(40}
(41).
(42)
^argET-^jco)] _ Qp (<jj/<i)n4-(i>n/a)
(l+b?)arg[7\-(jco)]
Подставляя (42) и (43) в (41), получаем
Im Г5т‘(1ш)1 =	S1/®f I (м+и + <°п/м)
x 1+b? x	1+b?
(43)
(44)
Желаемое выражение получается путем подстановки
(44) в (34):
(40) и
Sj.A'(jra) I = {Re [7И (j со)] + Im [Л4 (j ©)]}
- <2р (^ +—WrMRe \М (j со)] + [Im [M (j co)]l S> .
\ ш шп/ (U + ь; /	\’ + fci /	J
(45)
Хотя оценка (45) в общем виде сложна, можно показать, что
Sx । имеет кратные нули чувствительности в полосе пропус-
кания; это приводит к тому, что характеристики чувствительности
ОРБ-фильтров близки к характеристикам структурно-перекрест-
ных фильтров и других реализаций, для которых используются
методы моделирования пассивных цепей.
Пр и .мер 6.6—4. Чувствительность функции цепи реализаций ОРБ~
фильтров. Требуется найти функцию M(s), определенную в (32) для ПФ вто-
рого порядка с максимально плоской АЧХ, добротностью Q=5/~]/2 и средней
частотой 1 рад/с. У передаточной функции нижних частот feo=.l и bi=]/~2. Ко-
эффициент усиления реализации /70=1/2, и блоки второго порядка имеют
добротность Qp = 10 и ®п = 1. Следуя ,процедуре, изложенной в § 6.4, находим
а0=1, ai = 0 и а2=1/2. Полученная в результате ОРБ-структура будет иметь
только одну петлю обратной связи, как показано на рис. 6.6—7. Оценка M(s)
дает
2 + Д1П(з)
М (s) =________________________=	2(sS+s/10 + l)g 
1 + £т Ti (s) + a2 Tt (s)2	(s2 + s/10 + 1)2 + (s/10)2
(46)
Следует .заметить, что M(s) имеет нули в точках, соответствующих по-
люсам 7\(s). Так как полоса пропускания всего фильтра располагается на
участке оси jco вблизи нулей на плоскости комплексной частоты, чувст-
вительность ,в полосе пропускания будет минимизироваться. В действительности
положение несколько усложняется из-за наличия членов bi. ф
Рис. 6.6—7. ОРБ фильт-
ра для примера 6.6—4.
Сопротивления даны в
омах
Последний метод синтеза, представленный в этой главе, — па-
раллельно-каскадный. В этом методе процедура синтеза непосред-
ственно основана на использовании коэффициентов W(s). Следо-
вательно, анализ чувствительности достаточно прост В формуле
(16) элементы цепи выражены через коэффициенты. Выражая
коэффициенты через элементы цепи, получаем
a2i—l=Gli'i ^21—2 = G2i -j- Ga ;
a2k—i= Си ;	i C2j -f- Cu.
Следовательно,
S>-2 = S>-i= 1;
Git	cit
Sb*-* - Gaf/fe2;-_s; Scb^ = Gu/b2l^ ;
u2i	It
3	= C2i/fe2j-!; S
2i	It
(48)
Эти чувствительности коэффициентов можно подставить в вы-
ражение
(s)=(3 ai И / Л («) ~ S S *£ bisi!B (s) >	(49)
,	\i=0	//	1=0
чтобы найти чувствительность N(s) к любому параметру цепи х.
Так как каждый коэффициент функции цепи, реализуемой па-
раллельно-каскадным методом, зависит только от одного или двух
пассивных элементов, чувствительность этой реализации не так
хороша, как чувствительность, полученная предыдущим методом,
рассмотренным в этом параграфе. Однако одно из преимуществ
параллельно-каскадного метода состоит в том, что активные эле-
менты, т. е. КОИ, не оказывают никакого влияния на реализа-
цию. Это, конечно, соответствует действительности до тех пор,
пока эти элементы идеальные.
6.7. Активные элементы цепи
В этом параграфе рассмотрим, как неидеальные свойства one
рационных усилителей влияют на характеристики активных эле
ментов цепи в целом (см. элементы, введенные в §§ 6.1 и 6.2)
Среди них были ЦОИ, искусст-
венные индуктивности, ЧЗОС и
КОИ. Рассмотрим сначала схе-
му ЦОИ, первоначально вве-
денную в § 6.1. Она состоит из
пяти полных проводимостей
Kj(s) и двух операционных уси-
лителей, соединенных так, как
показано на рис. 6.7—1. Схема,
пригодная для расчета входной
ПОЛНОЙ ПРОВОДИМОСТИ Увх=
Рис. 6.7—1. Схема ЦОИ
=7(s)/Vi(s), когда коэффициенты усиления операционных усили-
телей не бесконечны, приведена на рис. 6.7—2. Для нее
У ЛЛ __ 71 (s) _ у ГAdl Ady Уз ^5 4~ Ail Уз (Уд-Ь У'б) ~Ь (Уд4~ И») ~Ь >
ВХ u V1 (s)	1 [Да Лд-2 К2 + Adl Y3 (Yi + КБ) + Adz Y2 (К4 + КБ) +
? +(У2 + У3)(У4 + У5)-1	- (1)
. +(У2 + Уз)(У4 + Уб)]’	'
где для удобства изъято обозначение функциональной
зависимости (s) при написании членов в правой части.
Интересно отметить, что числитель и знаменатель • иден-
тичны, за исключением члена, содержащего AdiAd2. Легко
видеть,, что при стремлении этого произведения к бесконеч-
ности yBX(s) стремится к величине, приведенной в (6),
§ 6.1, а именно: У1 (s) Y3(s) Ys (s)/Ya (s) У4(в). Данную схему ЦОИ
можно использовать для реализации как искусственной индуктив»
ности, так и ЧЗОС. Рассмотрим сначала искусственную индук-
тивность. Если выбрать Y2(s)=sC2, а другие полные проводи-
мости Yi=\Gi (i=l, 3, 4, 5), то имеем (вариант 1)
Ynx (s) — 1	(s) = (С2 G/JG^ GsG5) s — sLeg.	(2)
Кроме того можно было бы выбрать У4=яС4 и Уг=Ог- (i=l, 2, 3,
5), что дает (вариант 2)
ZBX (s) = 1 /Увх= s = sLeq.	(3)
О5
Рис. 6.7—2. Схема ЦОИ с операционны-
ми усилителями, не имеющими бесконеч-
но большого коэффициента усиления
Рис. 6.7—3. Реализация искус-
ственной индуктивности с по-
мощью ЦОИ
Принимая вариант 1, получаем схему на рис 6.7—2. Полагая,
что AdI (s) и Л<щ(8) представлены однополюсными моделями
[см. (17) приложения Б], можно переписать (1) в виде
Увх (s) = G	6^~Ь GBj (s + (Qgg) G3 (G4 + G5) + GB2 (s + tOai) sG2X ;
L s GBi GB2 C2 G4 + GB± (s -f- сой2) G3 (G44-G6) -|- GB2 X
>	* (0» GB) + (s + cogi) (s + а>а2) (s C2 -f- G3) (G4 -f- G5)_1
X (s + cofll) s C2 (G4 -|- GB) -|- (s ша1) (s + (oa2) (s C2 -|- G3) (G4 + G5)J
Пренебрегая членами, которые не содержат GBj или GB2,
ролучаем	. ..
у (S)~Q f lGBz с2 (G4+G5)] S2+[GB1 Gs (Ga + G5) + coal GB2 C2 (Ga4-GB)] s + .
•EK 7 ~ 1 ’< [GB2 Cs (Ga 4- G5)] s2 + [GB, GBa C2 Ga] s 4- [coQ2 GB, G3 (Ga 4- GB]
, +(6Д1 GBZ G3 GB) j
Преобразуя (5), находим
Y’(s)f t^2 (^4	G3 Gb] s2 4~ [(Ga -[- G5)/GB2 G5 -]- coa, C2 X >
s C2 G4 ( [(Ga -f- GB)/GB, G4] s-f* 1 + [w<22 G3 (G4 -f- G3)/GB3 C2 G&l/s
? X (G4 4~ Gp)/G^i G3 GB)] s 4~ И	/g\
Примем s=jco, тогда, полагая, что [C2(G44-G5)/GBiG3G5]c>j2C!
<C1, и используя величину, обратную результату, получаем
Z 7i‘to) —; 1м ^2 °4 ( 1~~j/M[(°g2 G3(G4+G5)/GB2C2G4]4-j(i)[(G44-GB)/GB1G4] ]
4 	GiGsG3 \ j _|_ j ш[(G4_|_Gb)/GB2Gb4--coQ1 C2 (G44-GB)/GB, G3GB] /
‘	,	(7)
,Чтобы проанализировать это выражение, определим функцию
Q(<h) с помощью соотношения
,	(8)
Re [Z 0 со)]
где Z(j<a) — входное полное сопротивление неидеальной искус-
ственной индуктивности, моделированной как последовательное
соединение сопротивлений и идеальной индуктивности. Фаза
Z(j<o)
arg [Z (j ю)] = arctg	.	(9)
Re[ZQco)]
Если Q велико, то Im[Z(ja>)])>Rel[Z(j(d)], так что арктанген-
сную функцию в (9) можно упростить. В результате имеем
arg \Z (j со)] » л/2—Re [Z (j co)/Im [Z(j co)].	(10)
"Используя (8), получаем
arg [Z(i co)] л; л/2—1/Q (co).	(11)
Решая полученное выражение относительно Q(co) и применяя
результат к случаю искусственной индуктивности путем исполь-
зования (7) для определения arg![Z(jco)], находим
Q. (со)«--------------------------------*—-----------------1_
ГG4 4~ GB	сод, С2 (G4 4- GB)	G4 4~ GB	1	соа2 G3 (G4 4- GB)	
l GB3 Gb GB,G3Gb	GB, G4	co GB2 C2 G4
(12)
где Q(co)>l. Это выражение можно переписать:
1	__ 1 \ । G2 (G4 4- GB) . 1 G3 (Ga 4~ GB)
GB2 Gb GBi G4 /	Л04 G3 GB co AB3 C2 Gt
<13)
Если GB2Gb = GBiG^ то Q(w) примет вид
О„(щ)«------------------------------!--------------—, (14)
и [б2 (G4 -J- G6)/ Д01 G3 Gs] -|- (1 /со) [G3 (G4 -f- G5)/Z02 C2 G4]
где Qo(co) определяется как Q(to) для ZBx(j®) выражения (7) с
тем ограничением, что операционные усилители согласованы и
что G4 = G5. Итак, при учете неидеальности усилителя зависимо-
стью первого порядка влияние того, что произведение коэффици-
ента усиления на ширину полосы операционного усилителя ко-
нечно, устраняется при симметричной схеме искусственной ин-
дуктивности. Следовательно, Q0(co) представляет собой предел Q
для искусственной индуктивности при согласованных усилителях.
Если предположить, что До1=Ло2=Ло, Gi = G3 = G4 = G5=G и
Y2(s)=sC, то (14) упрощается, принимая вид
Qo (и) = 1 /(2/Ао) (to/to0 + to0/to),	(15)
где to0=l/7?C. Отсюда следует, что Q0(cl>) максимальна и равна
Д0/4 на частоте ®=щ0, которая соответствует максимально дости-
жимой добротности Q этой схемы. Например, если Д0=Ю5, то
Qo(ио) =25 000. Это значение достигается только при to=too и бу-
дет уменьшаться для любой другой частоты, как показано на
рис. 6.7—4.
Рис. 6.7—4. Зависимость добротно-
сти от частоты для модели индук-
тивности, реализованной с помощью
согласованных операционных усили-
телей
Рис. 6.7—5. Зависимость добротно-
сти от частоты для модели катушки
индуктивности, реализованной с по-
мощью несогласованных операцион-
ных усилителей:
a—GB,>GB2; б —GB| = GB2; в —
GB^GB,
Рассмотрим теперь поведение Q(to), определенной (13), для
случая, когда усилители не согласованы, т. е. когда их произве-
дения коэффициента усиления на ширину полосы различны. Ес-
ли вычертим график Q(too), т. е. зависимость Q(to) для перемен-
ной величины ito=W(1, то найдем, что существуют три варианта в
зависимости от соотношения GBi и GB2. Они показаны на рис.
6.7—5. Полагая, что G4 = G5, если GBt = GB2, можно свести (13)
к (14), a Q(too) для каждого значения и0 просто к Л0/4. Этот слу-
чай соответствует прямой б на рис. 6.7—5. С другой стороны, ес-
ли GBg>GB2, то разность 1/GB2—1/GBi будет всегда положи-
тельна, а реакция будет похожа на ту, что представлена кривой
а на рис. 6.7—5. Наконец, когда GBi<GB2, то разность 1/GB2—
—l/GBi будет отрицательна. Это приведет к тому, что Q((do)
становится бесконечно большой при некотором значении ©о. Сле-
довательно, даже при больших значениях ю0 схема на рис. 6.7—3
будет неустойчивой до тех пор, пока сопротивление возбуждаю-
щего источника на входе достаточно велико. Типичный график
для этого случая соответствует кривой в на рис. 6.7—5. В следу-
ющих ниже примерах будет показано, что для кривой в макси-
мальное значение Q(co) может стать больше, чем максимальное
значение Q((d0).
Пример 6.7—1. Добротность искусственной индуктивности. Требуется на-
чертить график | Q (со) | для реализации с помощью ЦОИ искусственной ин-
дуктивности, в которой используются усилители с Ло1=Ло2=Ю5, 6В| = 1 МГц,
СВ2=1,1 МГц и <о0=104 рад/с. Из (13) получаем
Q (со) = Л0/[2 (со/соо + соо/со)—0,01818со].
Решая относительно частоты, при которой Q(co) = <», находим со=1О54рад/с.
Следовательно, график |Q(co) | имеет вид, показанный на рис. 6.7—6. ф
Рис. 6.7—6. Зависимость добротности от частоты для модели индуктивности,
реализованной в примере 6.7—1
Добротность Q (со) используется для того, чтобы характери-
зовать свойства искусственной индуктивности. В идеальном слу-
чае наиболее желательно получить кривую вида б рис. 6.7—5.
Получение такой характеристики вполне реально, так как произ-
ведения GB монолитных операционных усилителей, изготовлен-
ных на одном и том же кристалле, как это наблюдается на прак-
тике, хорошо согласуются и имеют почти совпадающие темпера-
турные зависимости. Следовательно, прекрасные характеристики
искусственной индуктивности легко получить на практике, поло-
жив Ri=R5 и используя согласованные операционные усилители.
Другой случай формирования искусственной индуктивности, ког-
да У4=8С4, дает аналогичные результаты.
Рассмотрим теперь другой активный элемент цепи, реализо-
ванный на ЦОИ, — ЧЗОС. Его можно анализировать аналогич-
ным способом. Если элементы ЦОИ выбрать так: Yi(s)=sCi,
E2(s) = G2, y3(s)=sC3, y4(s) = G4 и y5(s) = G5, то (1) можно за-
писать в виде
у _ g q GB2 s С3 G5 + GBX (s <oc2) s C3 (G4 -f- GB) -f- GB2 (s coax) X >
lGBj GB2 G2 G^ -f- GBi (s -j- сой2) s C3 (G4 GB) -f- GB2 (s -f- сойХ) G2 X
XG2 (G4—]—GB)	(s-j-tOgi) (s4~coa2) (G4 Gs)~l	(16)
X (G4 GB) -f- (s -J- coax) (s coa2)(G44-G5) ]
Исключая члены, которые не содержат GBX и GBZ, получаем
у	g q ?Gfix С3 (G4 -р GB)] s8 (G£>x GB2 С3 Gb) s -f- (G4 -f- GB) GB2 G2 coax >
EK~ 1	[GB1C3(G4 + G5)]s2+[(G4 + G5)(GB1coa2C3 + GB2G2)]s +
--------------- (11)
-]-GBX G132 G2 G4
Выделяя множитель, соответствующий полной проводимости
идеального ЧЗОС и деля числитель и знаменатель на произведе-
ние GBfGBz, имеем
G4 ~Ь С5 s , । . (G4 -|- G5) G2 Шд] 1
у /g\ __ s2 CjC3G3 ________GB GB,_________C3 GB GB1___s________ (18)
Bx G&	C3(G4 + G5)	g4 + g5/Иа2с3 g2 4
G2 G4 GB2 G2 G4 \ GB2 1 GBt J
Находим обратную величину, принимая s=j(o и полагая, что
. co2 С3 (G4 + G5)/GB2 G2 G4 < 1 ;	(1 $
получаем входное полное сопротивление ЧЗОС
। . . (G4 4~	(G4 -|- G5) С3 coq2 1
ZBX (j а) =  ~G- Gi---------J_|g4GBx-----GsGjGBs_____]_________ ,20,
w2CjC3G5 . rG4 + G5]	. 1 r(G4+G5)G3coal 1
[G5GB2 J Ш C3G5GBj ]
Так как идеальный ЧЗОС имеет фазовый сдвиг, равный я рад,,
то Re [ZBX (j©) ] —отрицательна и много больше, чем Im[ZEX(j<B)].
Следовательно, фазовый сдвиг (20) можно аппроксимировать вы-
ражением
arg [ZEX (J ©)] л + Im [ZEX (j co)]/Re [ZEX (j co)].	(21);
Тогда добротность ЧЗОС
Счзос (®) = Re 1Zbx (j ®)]/Im [ZEX (j co)].	(22)
Эта. величина, представляет собой меру близости характеристик
ЧЗОС идеальным, а именно: фазовому сдвигу 180° и АЧХ вида
iGzG^CrCzG^.	.
Из (21) и (22) получаем
Счзос (®) « 1 Aarg [ZBX (j о>)]—л).	(23)
Из (20) находим
arg [ZBX (j <о)] =- л + arctg {<o [	] ] —
V ц O4 Cr/j-£ Gg G4 GB2 J J
—arctg rG*+g5-l--------+	.	(24)
I L G5GB2 ] co lL GB1C3G5 ]/	K ’
Если to<GB, то, используя этот результат в (23), имеем
<2чзос (“) = 1 /{“ (<Ч + Gs) 11 /G4 GB±-1 /G6 GB2] +
+ (G4 + G5) I® C3/G2 G4 /02 + G2M01 co Ca G5]}.	(25)
Сравнивая (25) для ЧЗОС с (13) для искусственной индуктив-
ности, можно заметить, что за исключением индексов оба выраже-
ния для добротности идентичны. Следовательно, если GBjG^^
= GB2G5, то ВЧ характеристика добротности ЧЗОС Q43oc(fi>) бу*
дет независима от произведения GB операционных усилителей.
Для согласованных усилителей значение Q43OC (и) в НЧ области
должна иметь максимум Л0/4, если Л01=Л02=Л, G2=G4=G5=G и
С\ = Сз=С. Это максимальное значение Фчзос наблюдается при
<f>o = GIC. При другом выборе емкостных реактансов, отличных от
Zj(s) и Z3(s), получим аналогичные характеристики. Примеры,
подтверждающие это, можно найти в задачах. Подытоживая по-
лученные выше результаты, видим, что независимость свойств
ЦОИ от произведения GB усилителя делает привлекательным ее
применение при реализации искусственных индуктивностей и
ЧЗОС.
Кроме указанных, в § 6.1 был введен еще один активный эле-
мент — КОИ. Он использовался в методах реализации ЧЗОС-
фильтров, а также в параллельно-каскадной реализации. Один из
методов анализа КОИ состоит в вычислении его постоянной Kc(s),
определенной в (1), § 6.5. На рис. 6.7—7 показана схема, удобная
Рис. 6.7—7. Схема КОИ
на операционных усили-
телях, не имеющих бес-
конечно большого коэф-
, фициента усиления

для таких расчетов. Используя анализ по методу контурных токов,
находим
„ .. 	71 (s)	Z3 Adi Ад2 + C^i Z3 Zi Z3)
c	7e (s)	Z2 Z4 (A^ Adz + Adi + 1) т Z3 Z4 (l-h4d2)
Если, как ив (1), § 6.5, определим
Кс (s) = (s2 Eg C.) E (s),
(26)
(27)
где Е (s) — сомножитель, который учитывает неидеальность пове-
дения КОИ, тогда применяя подход, аналогичный использованно-
му для искусственной индуктивности и ЧЗОС, можно показать, что
arg № (j “)] « л— (со7?з С2М01 + 1 /Л02 со Rs С2).	(28)
Если ДО1=Ло2=Ло и (oo=1/R3C2, то (28) примет вид
arg [Е (j со)] » л—(1/Л0) (со/со0 + со0/со).	(29)
При получении этого результата была учтена та особенность,
что упрощение произошло благодаря вычитанию членов, содержа-
щих произведения GB обоих операционных усилителей. На прак-
тике эти результаты могут, конечно, отличаться от приведенных
из-за конкретных характеристик полного сопротивления нагрузки
Zs(s) на рис. 6.1—2,а. В общем случае, однако, можно ожидать,
что характеристики, реализованные КОИ, аналогичны характерис-
тикам, реализованным искусственной индуктивностью и ЧЗОС.
Следовательно, все эти схемы полезны для реализации активных
фильтров высокого класса.
Можно также проанализировать эти схемы в режиме большого
сигнала. Такой анализ достаточно утомителен из-за сложностей,
возникающих в результате наличия как положительных, так и от-
рицательных обратных связей в этих схемах. Как таковой, он вы-
ходит за рамки данной книги.
Так как влияние произведения GB усилителей можно исклю-
чить в большинстве рассмотренных применений, включая КОИ и
ЦОИ, то важно проанализировать механизм, который действитель-
но ограничивает частотные возможности этих цепей. Покажем это
на примере, используя искусственную индуктивность. Прежде чем
сделать это, рассмотрим ЦОИ на рис. 6.7—1, где У4(э)=эС4 и
Yi(s) = l/Ri (i=l,2, 3, 5), как показано на рис. 6.7 — 8. Схема за-
Рис. 6.7—8. Реализация искусствен-
ной индуктивности с помощью ЦОИ
Рис. 6.7—9. Схема замещения опера-
ционного усилителя, использованного
в схеме на (рис. 6.7—8
мещения операционного усилителя, которая используется при та-
ком анализе, показана на рис. 6.7—9. Она содержит входное и вы-
ходное сопротивления, а также сопротивление в режиме синфазно-
го сигнала. Используя эту модель в схеме на рис. 6.7—8 и прово-
дя упрощения в предположении, что Ri=R2=Rs=Rs=R и С4=С,
получаем в результате эквивалентную схему, показанную на рис.
6.7—10. При анализе этой схемы было показано [77, 78], что она
эквивалентна схеме на рис. 6.7—11, причем имеются следующие
соответствия:
GP1= —----1—— ( 2+—^4-------------;
11 RP1 RA0 \ R ) Ri (2 R+3RB)+GBR*C ’
G =_f 1.1.________________2RV_______\
z2	‘ R (2^+37?0+GB7?2 Q j1
q 2 co2 Г j i 4 *?o i___J_____/ # ___\ 1 e
P3~GjB27? [ ф R -T" 2 + GBRC \Ri R
CP»(1/GBR) (2 +7?o/7?);
TP4 = 27?/Л0-|-3/?о/Л04-/?2/7?с ;
rP6 =	V/? + 6/?o);
Lo = #2 C ; Lp = 2 R/GB + 3 RJGB,	(ЗОж), (ЗОз)
где Ril = Ri2—Ri, Roi={Ra2 = Ro, Ло1 = До2=До, GB1— GB2= GB, и
Rc— параллельное сопротивление конденсатора С. Если значения
(30а)
(306)
(ЗОв)
(30г)
(ЗОд)
(ЗОе)
Рис. 6.7—10. Схема на рис. 6.7—8
при использовании схемы замещения
на рис. 6.7—9
Рис. 6.7—И. Эквивалентная схема
цепи на рис. 6.7—10
полного сопротивления операционного усилителя соответствуют
идеальным Rc=oo, то
GP1 = 2/&40;	GP2 = 0;	(31а), (316)
GP3«(2/7?)(co/GB)2;	Ср 2/RGB;	(31в), (31г)
rPi = 2 R/Ац 	гръ	= 2 R ((H/GB)2 ;	(31 д), (31 е)
Ес = 7?2С;	LP	= 2R/GB.	(31ж),(31з)
Удобно разделить эту модель на две эквивалентные схемы: од-
ну для области нижних частот, другую для области верхних час-
тот. Для области нижних частот находим, что Гр^Грь, Gpi или
|Gp2|3>Gp3 и соСр<С1/(соЕр+соЕ0). Следовательно, входную пол-
ную проводимость можно записать в виде
унч (jю) = Gpi + GP2+1 /[rPi + jco (Lo + £P)] = Gl + 1 /j coLl , (32)
где
Gl = GP1 + GP2 + rM/[r2P4 + co2(L0 + Lp)2];	(33)
U - [r2p4 +<о2 (Lo + Lp)2]/coa (Lo+Lp) « Lu 4-Lp	•  • (34)
и, где предполагалось, что rP4<Cco(L0+Lp). Тогда добротность ис-
кусственной индуктивности на низких частотах
Ql - - Im [У«ч (j co)]/Re [У™ (j ®)] = 1 /со Ll GL =
= со (Lo + LP)/{(GP1 + GP2) [rp24 + co2 (Lo + Lp)2] + rP4}_	(35)
'Так как Gpj>0 и G<P2<0, то QL может быть положительной
или отрицательной, в зависимости от относительных значений па-
раметров операционного усилителя. В' любом из этих случаев мо-
дуль Ql велик, так как Gpi, Gp2 и rpi — очень малые величины. Ql
можно сделать положительной путем увеличения GpI, что эквива-
лентно включению шунтирующего сопротивления на входе искусст-
венной индуктивности. На высоких частотах, где rp5^>rpi и Gp3S>
^>Gpi или | Gp21, можно записать следующее выражение для вход-
ной полной проводимости искусственной индуктивности:
0 GH + 1 /j “ Ln = GP3 + j co Ср + 1 /[rp5 + j co (Lo + Lp)], (36)
где
Gh = GP3 + rP5/[r25 + co2 (Lo + Lp)2];	(37)
L„ =________.	(38)
(Lo Lp) — Cp [rp5 co2 (Lo -|- 7P)2]	;
Тогда добротность Q искусственной индуктивности на высоких
частотах можно представить в виде
.	Qh = - Im [Увч (j co)]/Re [У^ (j со)] со (Lo + LP)/{GP3 [r25 +.
+ co2(Lc + Lp)2] + rP5},	(39)
где предполагается, что /•P5<co(L0 + Lp) и Cpco2(L0+Lp)2< 1.
Выражения для добротностей QL и Qh, приведенные выше,
слишком сложны, чтобы можно было сделать какие-то обобщения.
.Можно, однако, показать, что характеристики искусственной ин-
дуктивности зависят не только от произведения GB и Ло, но и от
уровней полных сопротивлений усилителя. Это влияние показано
на рис. 6.7—12, где процентное отклонение индуктивности от Lo
рассмотрено как функция частоты для различных значений Lo при
постоянном R и для различных значений R при постоянном Lo.
Эти данные приведены для операционного усилителя р4741,, .име-
ющего следующие параметры: Лр = 2-105, GB= 1,2 МГц, Ro = 75'Om,
Ri =2-106 Ом, Rp=Ra' = 50.0 МОм. Из рисунка ясно, что сущест-
венное отклонение индуктивности наблюдается при частотах выше
10 кГц. Компенсации эффектов, показанных на рис. 6.7—12, можно
достичь добавлением конденсатора Сс (пунктир на рис. 6.7—8).
Процентное(отклонение'.индуктивности для различных значений
С- 'приведено на рис. 6.7—13. На этом рисунке использованы зна-'
д-пнЯ параметров операционного усйлитёля рА741, указанные в!ы-
те; кроме того', Lo —0,088 Гн и R—2 кОм. Следовательно, исполь-
зуя такую технику компенсации рабочего частотного' диапазона
активного элемента, можно расширить его по крайней мере до
20 кГц.	i
Рис. 6.7—12. Влияние паразитных параметров усилителей на характеристики
искусственной индуктивности
: Следует заметить, что результаты, полученные в этом парагра-
фе и относящиеся к характеристикам ЦОИ- и КОИ-реализаций,
должны быть модифицированы, когда полные сопротивления опет
рационных усилителей, неидеальны. Это особенно верно, учитывая
особые свойства произведения GB.. Причиной влияния полного со-
противления на' ЦОИ- и КОИ?
реализации является то, что в
Этцх- реализациях ни один из
входных зажимов операцион-
ных усилителей не заземлёшпо
сигналу. Если бы один из этих
зажимов был заземлен, то уро-
вень полного сопротивления в
этой точке был -бы соответству-
ющим уровнем кажущейся зём-
йи"и, следовательно; неидеаль-
нйй вход и полное сопротивле-
ние в 'режиме- синфазного 'сиг-
нала имели бы незначительное
(или вообще не имели бы) вли-
яние на указанную реализа-
цию. Очевидно, что такиереа- 
Частота,
Рис. 6.7—13. Использование компенси-
рующей емкости для улучшения харак-
 теристик. иокусственной ^ивдуктивнеста
лизации активных фильтров, как структурно-перекрытые, в кото-
рых операционные усилители не имеют заземленных зажимов, пред-
почтительнее благодаря своей возможности обеспечить хорошие
характеристики в области высоких частот..
6.8. Частотно-зависимая чувствительность
В § 4.7 и 5.6 было введено понятие частотно-зависимой чувст-
вительности. Эта чувствительность была введена для того, чтобы
установить соответствие между положением полюсов 7?С-фильтра
на усилителях и произведением GB операционных усилителей, ис-
пользованных при реализации. В этом параграфе распространим
это понятие на фильтры, реализованные по методу моделирования
пассивной цепи, рассмотренному в предыдущих параграфах этой
главы. В таких фильтрах, учитывая, что порядок реализованных
функций достаточно высок, более удобно рассмотреть чувствитель-
ность функции цепи, а не чувствительность полюсов. Такой вывод
согласуется с аналогичным выводом, полученным при рассмотре-
нии чувствительности в § 6.6.
Чтобы начать анализ частотно-зависимой чувствительности для
фильтров, основанных на моделировании пассивных цепей, рас-
смотрим сначала цепь-прототип, в которой последовательный ре-
зистор с сопротивлением Ri имеется для каждой катушки индук-
тивности Ц, а шунтирующий резистор с проводимостью G, имеется
для каждого конденсатора С,. Кроме того, потребуем, чтобы для
всех значений i и /.
Li/Ri = QL-, Ci/G^Qc.	(1)
Про такую цепь говорят, что она имеет квазиоднородные поте-
ри1. Характеристики чувствительности такой цепи для случая, ког-
да она имеет вид резистивно нагруженной лестничной цепи, были
исследованы Блостейном [79]. Он исследовал функцию затухания
а (со), определенную в (5), § 3.2, и показал, что отклонение зату-
хания Да(со) можно выразить следующим образом:
Ла (со) = 4,34 [(1 /Ql + 1 /Qc ) сот (со) + 0,5 (1 /QL — 1 /Qc ) Im (р, + р2)], (2)
где т(со) —функция группового времени прохождения, a pi и рг—
члены, характеризующие мощность, отраженную от оконечных
элементов цепи. Мультипликативная константа (множитель 4,34),
вводится для того, чтобы изменить единицы измерения затухания
а (со), т. е. перейти от неперов к децибелам. В большинстве фильт-
ров первый член в правой части выражения (2) является домини-
рующим для значений со в полосах пропускания и переходной
(между полосой пропускания и полосой задерживания). В этих
областях т(со) обычно велико. Следовательно, для этих частот (2)
может быть упрощено:
Да « 4,34 (1 IQl + 1 /Qc ) сот (со).	(3)
1 Если Ql = Qc, то говорят, что цепь имеет однородные потери.
Это уравнение, хотя оно было выведено для ограниченного
класса фильтров, очень важно при оценке методов моделирования
пассивных цепей. Трудность его применения связана в основном с
трудностью получения выражения функции группового времени
прохождения т(со), так как она должна быть вычислена на основе
определения, данного в (30), § 2.5. Ее можно получить и из спра-
вочников или других литературных источников для стандартных
фильтрующих функций [80]. Для приближенного анализа ее мож-
но принять постоянной в полосе пропускания. Например, для нор-
мированного по частоте (ширина полосы 1 рад/с) ФНЧ Баттер-
ворта п-го порядка удобной аппроксимацией будет т(<в)»п се-
кунд.
Рассмотрим теперь применение (3) к различным методам мо-
делирования пассивной цепи. Рассмотрим сначала метод, который
использует КОИ и ЦОИ. Здесь можно применить выражение (39),
§ 6.7, для высокочастотной добротности Qh смоделированной ин-
дуктивности. Пусть операционный усилитель рД/741 имеет следую-
щие параметры: До=2-1О5, GB = 1,2 МГц, РО = 75 Ом, Рг = 2 МОм и
Pjv = 500 МОм1. Для ЦОИ, полагая, что сопротивление резистора,
параллельного конденсатору С, т. е. Рс, равно 100 МОм, а также
что ,R = 2 кОм и С=22 нФ, находим, что 2292 на частоте
10 кГц. На 20 кГц соответственно Qh~ 313. Следовательно, Q для
смоделированной индуктивности резко уменьшается с возрастани-
ем частоты, ограничивая при этом частотную характеристику ре-
ализации. Влияние добротности Q на передаточную функцию мож-
но исследовать с помощью выражения (3). Рассмотрим в качест-
ве примера рис. 6.8 — 1, на котором показаны функции затухания
.Рис. 6.8—1. Характери-
стики затухания (а) и
ГВП (т) для чебышев-
ской функции нижних ча-
стот пятого порядка с
амплитудой пульсации
1 дБ
и группового времени прохождения для функции фильтрации Че-
бышева нижних частот пятого порядка с амплитудой пульсаций
1 дБ. Предположим, что реализация этой функции должна быть
использована как схема-прототип для реализации (после соответ-
г Rp и Rn—входные сопротивления для синфазного сигнала положитель-
ного и отрицательного входов операционного усилителя, как показано на
рис. 6.7—9.
ствующего НЧ—ВЧ-преобразования) ФВЧ с частотой среза
10 кГц. На частоте среза значение <от(со) приблизительно равно
3,3л. Если используются полистироловые конденсаторы, то по дан-
ным табл. 3.8—2 имеем: Qc ==5000. Используя в (3) Qh как QL,
получаем Да=0,029 дБ. Это означает, что отклонение от функции
а (со) на частоте 10 кГц будет равно 0,032 дБ. Если эта реализация
используется для синтеза ФВЧ с частотой среза 20 кГц, то QL ста-
новится равной 313 и отклонение затухания, рассчитанное с по-
мощью (3), Да=0,153 дБ.
Анализ, аналогичный приведенному выше, можно провести и
для методов моделирования, в которых используются ЧЗОС или
КОИ. Для ЧЗОС, реализованных с помощью ЦОИ, пригодна мо-
дель операционного усилителя, представленная на рис. 6.7 — 9.
Однако, когда такая модель используется в эквивалентной схеме,
то вычисления добротности Q становятся значительно сложнее,
часто для этого приходится использовать программу машинного
анализа цепей [81]. Модель операционного усилителя, пригодная
для использования в такой программе, приведена на рис. 6.8—2.
Рис. 6.8—2,- Модель операционного усилителя, пригодная для использования
в программах машинного анализа цепей
Аналогичная ситуация возникает, когда требуются КОИ, исполь-
зуемые как двухполюсники. Другие случаи применения КОИ (на-
пример, параллельно-каскадный метод) не допускают такого ис-
пользования. В этих случаях частотная характеристика реализа-
ции обычно ограничена неидеальностью входных полных сопротив-
ленйй в результате того, что в таких схемах входные зажимы,
усилителя не заземлены. До настоящего времени, однако, в лите-
ратуре не появилось исчерпывающего анализа частотной характе-
ристики для такого случая.
Последний метод синтеза путем моделирования пассивных це-
пей, который здесь рассматривается, — метод структурно-перекры-
той реализации. Он также может быть проанализирован с исполь-
зованием (3). Чтобы показать, как это делается, вспомним, что
этот метод требует, чтобы функции входных иммитансов былц ре-
.ади.зованы как передаточные функции по напряжению активных
цепей. Если обычную передаточную функцию по напряжению обог
значить как A(s , а входную функцию (предположим, полного со-
противления) через Z(s), то указанный метод требует, чтобы
A (s) = ± 1/Z(s),	(4>
причем A(s) инвертируется, если в (4) стоит знак минус, и не ин-
вертируется, если имеется знак плюс. Фаза Z(jco)
arg [Z (j co)] = arctg {Im [Z (j co)}/Re [j co)]} = arctg Q,	(5)
где Q — добротность полного сопротивления. Однако, так как на
практике Q обычно велико, выражение (5) можно записать в виде
arg [Z (j со)] л/2 — 1 /Q.	(6)
На основании (4), предполагая, что знак положителен, можно
записать
arg [A (j со)] = —arg [Z (j со)] аг—л/2+ 1/Q,	(7}
а для знака минус
arg [Л (j со)] = п—arg [Z (j со)] л; л/2 + 1 /Q.	(8)
Аналогичные соотношения получаются, если указанный имми-
танс представляет собой полную проводимость. Выбор знаков плюс
или минус либо полного сопротивления или проводимости осу-
ществляется в зависимости от особенностей метода (см. § 6.3).
Например, для реализаций ФНЧ все внутренние лестничные вход-
ные иммитансы имеют вид 1/Гз, т. е. представляют собой индук-
тивности или емкости. Следовательно, все передаточные функции
по напряжению будут реализовываться неинвертирующими или ин-
вертирующими интеграторами.
Чтобы проиллюстрировать этот метод, рассмотрим рис. 6.3—8,щ
на котором представлен структурно-перекрытый эквивалент пас-
сивного двусторонне нагруженного ФНЧ пятого порядка, показан-
ного на рис. 6.3—5,а. Видно, что в структурно-перекрытой схеме
индуктивности моделируются неинвертирующими интеграторами,
состоящими из каскадного соединения инвертора и инвертирую-
щего интегратора. Такой каскад аналогичен показанному на рис..
5.4—9 и анализируется в § 5.4. Аналогично вышеприведенному,,
можно видеть, что емкости моделируются инвертирующими интег-
раторами типа показанных,на рис. 5.4—1. Фазовый сдвиг инвер-
тирующего интегратора находится из (7), § 5.4,
arg [A (j со) ] « л/2 + юдс/со Ао—a/GB.	(9}
Объединяя это выражение с (8) [для знака минус в выражении’
(4)], получаем
Qc = 1 /(содс/со Ао—со/GB) «—GB/a,	(10}
где Qc — соответствующая добротность смоделированной емкости...
Знак минус используется для того, чтобы показать, что в схеме-
существует запаздывание по фазе. Qc является добротностью всех
смоделированных емкостей в реализации. Запаздывание по фазе
неинвертирующегр интегратора дается выражением (24), § 5.4,
: arg [A (j co)] « —л/2—Зсо/GC.	(11}
Используя (7) и (11), получаем добротность смоделированной
индуктивности
Ql~~ GB/За.	(12)
Добротности, полученные в (10) и (12), можно использовать
в (3) для получения отклонения затухания для фильтра на основе
структурно-перекрытой реализации:
Да « 4,34 (—4 a/GB) сот (со).	(13)
Приведем пример использования этого соотношения: если для
реализации фильтрующей функции, приведенной на рис. 6.8—1,
применяется схема, показанная на рис. 6.3—8,а, то для частоты
среза
Да (со) «—180— дБ.	(14)
GB
Следовательно, если предположить, что co/GB = O,Ol, то Да=
=—1,8 дБ, что является, конечно, значительным отклонением.
Эту характеристику структурно-перекрытой реализации, показан-
ной на рис. 6.3—8,а, можно улучшить путем более тщательного
проектирования интеграторов. Например, если для инвертирующе-
го интегратора используется схема на рис. 5.4—8, то из (21),
§ 5.4, получаем
Qc ж— l/(<£>/GB1—(&/GB2 + с£ю^с/СВ1 GB2—a^c/Ag^^—GBjGB^/aa^c
(15)
Аналогично, если для неинвертирующего интегратора Исполь-
зуется схема на рис. 5.4—10, то из (28), § 5.4, получаем
Ql ^GB/a.	(16)
Из обоих приведенных выше выражений следует, что доброт-
ности имеют противоположные знаки, что приведет к уменьшению
Да (со). Полагая GBi = GB2=GB и со=содс, можно упростить (15):
Qc ^ — (GB/af.	(17)
Подставляя (16) и (17) в (3), получаем
Да (со) « 4,34 [co/GB—(co/GB)2] сот (со).	(18)
'Если со — частота среза, то (18) принимает вид
Да (со) « 45 (co/GB) (1 — co/GB).	(19)
Сравнивая это выражение с предыдущим и полагая a/GB =
=0,01, находим, что Да=0,446 дБ. Таким образом, почти в 4 раза
^уменьшается отклонение функции затухания, что наглядно показы-
вает непосредственное влияние, которое оказывает выбор схемы
интегратора на характеристики результирующей реализации.
Аналогичный анализ можно провести и тогда, когда методы
•структурно-перекрытой реализаций используются для реализации
ПФ. В этом случае величины Ql й Qc являются добротностями
«блоков второго порядка. Следовательно, анализ должен быть со-
средоточен на добротности этих цепей. Полученную в результате
добротность можно подставить в (3), чтобы определить характе-
ристики реализации.
6.9. Выводы
В этой и предыдущих главах было дано введение в методьЕ
синтеза активных /?С-фильтров. В гл. 4 и 5 было показано, как
можно синтезировать звенья второго порядка /?С-фильтров на
усилителях и каскадно соединять эти звенья для получения фильт-
ров высокого порядка. В этой главе, однако, использовались су-
щественно отличные методы синтеза. В ней. был сделан упор на не-
посредственную реализацию фильтра в целом (вне зависимости от
его порядка), а не на реализацию отдельных звеньев второго по-
рядка функции фильтрации цепи. Методы, представленные в этой
главе, можно разделить на две группы. Первая группа оперирует
непосредственной реализацией пассивной цепи-прототипа. В этой
группе первые два метода, а именно, использующие искусствен-
ную индуктивность (§6.1) и ЧЗОС, обеспечивают непосредствен-
ное моделирование элементов цепи-прототипа. Метод искусствен-
ной индуктивности особенно хорошо приспособлен для реализа-
ции ФВЧ, тогда как метод, использующий ЧЗОС, непосредствен-
но применим для реализации ФНЧ и ПФ. В § 6.3 представлен еще
один метод — структурно-перекрытой реализации. Применяемый в
нем подход существенно отличается от предыдущих. Для НЧ ре-
ализаций в нем используются интеграторы в качестве функцио-
нальных узлов в активных /?С-структурах, которые моделируют
переменные состояний (ток и напряжение) цепи-прототипа.. В этом"
случае интеграторы заменяются полосовыми функциональными" уз-
лами второго порядка на RC-усилителях, рассмотренными в гл. 4
и 5.
Вторая группа методов, представленных в этой главе, исполь-
зует в качестве исходной фактически желаемую функцию цепи, а
не пассивную цепь-прототип. Первый из этой группы методов —
метод использования ОРБ (см. § 6.4), в котором подобно методу
структурно-перекрытой реализации используются в качестве функ-
циональных узлов звенья второго порядка. Второй метод в этой
группе — параллельно-каскадный метод (см. § 6.5). В нем также'
используется непосредственно функция цепи, но применяются КОИ:
и пассивные цепи.
Уместно привести некоторые общие соображения, касающиеся:
этих двух различных путей, используемых в методах синтеза, опи-
санных выше, для определения желаемых характеристик фильтра,,
а именно, использование пассивной цепи-прототипа и функции це-
пи. В общем случае более удовлетворительные результаты полу-
чаются при использовании цепи-прототипа, так как соответствую-
щая техника денормирования позволяет найти значения элементов
получаемой в итоге активной реализации без заметной потери точ-
ности, С другой стороны, использование в качестве исходной точкй
Синтеза функции цепи, а также значений ее коэффициентов для
численного зада гая технических требований является, по существу,'
менее точной процедурой. Причина этого заключается в том,'’что
каждый такой коэффициент представляет собой результат опера-
ций, проведенных над численными значениями нескольких элемен-
тов цепи.
........ \ ,
:i'	1	Задачи
. i;	. .	11. i.
• :6—1 (§ 6.1). а) Найдите параметры передачи для реализации иа операции
онных, усилителях ИНУТ, схема которого показана на \pifc 3.6—1|а. €чкгёй-
те^дто операционный усилитель идеальный, т.. е.- имеет бесконечно большой
коэффициент усиления, нулевое выходное и бесконечно-.‘большое входное пол-
ные сопротивления.	 * 	•	 
л- б) Повторите задачу для .реализации ИТУН на рис. 3.6—1,6.
в) Повторите задачу для реализации ИТУТ, .показанной на рис. 3.6—1,в.
.6—2 (§ 6.1). 1) Получите выражения для параметров передачи, отриве-
.денных’в (4), § 6.1.	,	•
б) Повторите, задачу для параметров, приведенных ,в< 1(5), § 6.1. . li.-.i.
6—3 (§ '6.1),а) Найдите параметры передачи для четырехполюсника, по-
казанного иа рис. 6 1—2, копда выходная пара зажцмов определяется кай ла-
ра зажимов, где присоединяется Zi(s). Предполагается, что Zi(s) не-является
частью четырехполюсника. ,,	.
.6) Повторите задачу для Zz(s).
..в) Повторите задачу для Z3(s).	|:,,4	.	>..
6—4 (§ 6.1). а) Реализуйте полное сопротивление Zsx(s) =sK, используя
-ЦОИ,, схема которой -дана на рис, 6.1—2 и только, одни резист,оры и конден-
саторы для полных сопротивлений . Zi(s)—Zs(s,). Есдн-номинал сопротивления
резистора рав-ен 1 кОм, а номинал емкости конденсатора .1 -мкФ, чему будет
^равва постоянная. К? Определите ее .размерность. .,	.
, б) Повторите задачу для полного сопротивления ,ZBx(s) =K/s.
.  в) Повторите задачу для полного сопротивления ;ZB.X (s) =Ks2.
, г) Повторите задачу для полного сопротивления.ZBX{s) =K/s,2.
. д) Повторите задачу для .полного сопротивления ZBX,(s) =K/s3.	,	.
. 6—5 (§ 6.1). Полагая, что диапазон  возможного, изменения номиналов .: со-
противлений составляет от 1 до 100 кОм, а номиналов емкостей от 100 пФ;.до
1 , мкФ, найдите диапазон возможных значений искусственной шдуктивности,
который, может -быть реализован,..едли ,испрл1?зррдтЬ;ЦС1И: вд-рвс. 6Д-*-2,.
6—6 (§ 6.1). а) Найдите., функции, цепи, I4i(s)/I/i(s), и Vo2(s)./Vi (s) для
ЦОЙ' иа .рис. 6.1—3 для случая, когда Z2(s)=l/sC и Л1=Лз=Л^=Ль=.Л-
Примите С=0,1 мкФ и Л =10 кОм. Начертите диаграмму Боде для. модуля
каждой нз передаточных .функций.	,
б) Повторите .задачу для случая, где. |все полные сопротивления представ-
ляют собой резисторы с номиналом Л, за исключением Z4(s) = l/sC.
6—7 (§ 6.1). Используя .метод искусственной индуктивности, синтезируйте
односторонне нагруженный ФВЧ четвертого порядка, реализующий баттервор-
товскую передаточную функцию по напряжению. Сопротивление нагрузки дол-
жно быть равно 1000 Ом, а частота среза — 500 Гц. Фильтр-прототип можно
найти, используя таблицы в приложений А. Используемая для .реализации ис-
кусственной индуктивности ЦОИ должна иметь Z2(s)=l/sC. Сопротивления ис-
кусственной индуктивности должны им!еть равные номиналы-—10 кОм.
6—8 ('§ 6.2). а) Для цепи на рис; 3.6—8,а найдите передаточную функ-
цию по напряжению для разомкнутой цепи V2(s)/Vi(s) и обозначьте положе-
ние полюсов и нулей. Будет ли лередатойная функция в устойчивой?
б) Повторите задачу для цепи на рис. 3. 6—8,6.
Рис. 3. '6—8
6—9 (§ 6.2). Номиналы сопротивлений и емкостей в схеме на рис. 6.2—2'
лежат в пределах от 1 до 100 кОм и от -100 пФ до 1 мкФ соответственно.
Каков диапазон изменений постоянной D, определенной в (1), § 6.2?
6—10 (§ 6.2). Получите выражения, показывающие, в каком соотношении-
находятся значения ненормированной постоянной D ЧЗОС, определенной в (1),
§ 6.2, и нормированной постоянной Dn, используя постоянные деиормирования-.
по частоте и сопротивлению, т. е. fin и zn, определенные в § 1.4.
6—11 (§ 6.2). Используя ЧЗОС, синтезируйте фильтр, реализующий пере-
даточную функцию Баттерворта нижних частот четвертого порядка. Частота,
среза должна быть равна 5 кГц, сопротивления источника и нагрузки прото-
типа должны быть равны 500 Ом. Фильтр-прототип можно найти из прило-
жения А. Все резисторы ЧЗОС должны иметь сопротивления 7500 Ом. Полу-
ченная в результате реализация должна иметь цепи, связывающие по постоян-
ному току все входы операционного усилителя с землей.
6—12 (§ 6.2) .С помощью ЧЗОС синтезируйте реализацию характеристик;
затухания, показанных на рис. 3.6—12. Для аппроксимации этих характеристик,
используйте эллиптическую функцию третьего порядка. Фильтр-прототип мож-
но синтезировать, используя .приложение А. Денормируйте полное сопротивле-
ние реализации с коэффициентом 104. Все конденсаторы ЧЗОС должны иметь,
емкости 10-е Ф. Полученная в результате реализация должна иметь цепи, свя-
зывающие по постоянному току все входы операционных усилителей с землей.
6—13 (§ 6.3). а) Если первые элементы лестничной цепи являются шун-
тирующими, а возбуждение на вход подается от источника постоянного тока,.
то какой вид будет иметь эквивалентная схема, соответствующая схеме на
.рис. 6.3—3, которая моделирует указанную цепь? Пометьте напряжения и по-
лярность для каждого «иммитансного» блока.
б) Повторите задачу, используя схему, показанную на рис. 6.3—4.
6—14 (§ 6.3). а) Начиная со схемы на рис. 6.3—5,6, сформируйте общую
конфигурацию фильтра, показанного на рис. 6.3—9,а.
б) Повторите задачу для конфигурации, показанной иа рис. 6.3—9,6.
6—15 (§ 6.3). Используя метод структурно-перекрытой реализации синте-
зируйте фильтр, имеющий передаточную функцию Баттерворта нижних частот
пятого порядка. Частота среза должна быть равна 1 крад/с. Сопротивления
нагрузки должны быть одинаковы и равны 10 кОм.
6—16 (§ 6.3). Выведите выражение (10), § 6.3, исходя из схемы, пока-
занной на .рис, 6.3—12. Считайте, что операционные усилители идеальны.
6—17 (§ 6.3). Синтезируйте ПФ Чебышева шестого порядка с переда-
точной функцией, имеющей среднюю частоту 1000 Гц и ширину полосы, ран-
еную октаве с амплитудой пульсаций 1 дБ. Конденсатор должен иметь ем-
кость 10'8 Ф. Сопротивления, нагружающие фильтр, должны быть одинаковы
и равны 1000 Ом. Используйте резонаторную схему на рис. 6.3—12 для реа-
лизации блоков второго .порядка.
6—18 (§ 6.3). а) Получите таблицу, подобную табл. 6.3—1; покажите при
этом, как реализация универсального активного фильтра на рис. 5.3—1 может
быть использована для .реализации полосовых блоков второго порядка, тре-
буемых в методе структурно-перекрытой реализации. В частности, указанная
выше реализация должна давать значения Rt, R2, Rs, Rv и R& выраженные
•через значения элементов на рис. 6.3—11,а.
>б) Повторите задачу для значений элементов на рис. 6.3—11,6.
6—19 (§ 6.4). Используя метод ОРБ, синтезируйте фильтр, имеющий те
же технические требования, что и в задаче 6—17, причем Н=1. Используй-
те рис. 6.3—12 для реализации блоков второго порядка.
6—20 (§ 6.4). Используя метод ОРБ, синтезируйте ПФ Баттерворта де-
сятого порядка, передаточная функция которого имеет среднюю частоту и ши-
рину полосы 2000л рад/с. Синтезируемая структура должна иметь вид, анало-
гичный показанному на рис. 6.4—2, т. е. процедура синтеза должна дать ха-
рактеристики блоков второго порядка и значения сопротивлений резисторов об-
ратной связи. Сопротивление резистора Ro должно быть выбрано равным
10 КОм.
6—21 (§ 6.5). Используйте параллельно-каскадный метод для того, чтобы
получить реализацию следующей нормированной передаточной функции:
V2 (s)	(s) = (s3 — 2s2 + 2s— 1)/(s« _|- 2s2 4- 2s + 1).
Денормируйте реализацию, используя значения fin=z„ = 103 для посто-
янных денормирования, определенных в § 1.4. В искомой реализации примите
ги=г34 = 10 кОм и C2i=Cfi=Ci. Найдите значение щ для КОИ.
6—22 (§ 6 5). Используя параллельно-каскадный метод, синтезируйте
фильтр, имеющий передаточную функцию Баттерворта
того порядка с частотой среза 6,28 крад/с. Используйте
постоянную денормирования по сопротивлению zn=
= 10 кОм. Примите rii=rsi = 10 кОм и си = сц=а. Оп-
ределите значения с, для каждого КОИ.
6—23 (§ 6 5) Используя параллельно-каскадный ме-
тод, синтезируйте передаточную функцию по напряже-
нию, полюсы и нули которой показаны на рис. 3.6.23.
Используйте постоянную денормирования по сопротив-
лению z„=10 кОм. Примите Г1г-=гз< = 1 кОм и сг<=С4< =
= c-i. Определите значение с, для каждого КОИ.
6—24 (§ 6.6). Начертите график, похожий на тот,
что показан на рис. 6.6—3, для элементов Ri, Rs и С4
ЧЗОС-реализации примера 6.6—‘1 (см. рис. 6.6—2,6).
6—25 (§ 6.6). Найдите величину d|lV(jl) |/|M(jl) |
для ЧЗОС-реализацин примера 6.6—4, которая полу-
чится в результате изменения сопротивлений всех рези-
сторов в схеме на +10%.
6—26 (§ 6.6). Найдите величину d|7V(j2) |/|M(j2
венной индуктивности примера 6.6—2 три изменении температуры на 30°. Счи-
тайте, что все конденсаторы имеют температурный коэффициент +250--6/°С>
а все резисторы температурный коэффициент —500-10-6/°С.
6—27 (§ 6.6). Проведите сравнение чувствителыюстей пассивных односто-
ронне и двусторонне нагруженных фильтров Баттерворта нижних частот треть-
его порядка. Чтобы сделать это, вычертите графики ^-^для элементов
фильтра, схема которого дана на рис. 6.6—6, и сравните их с графиками, по-
лученными в примере 6.6—1 и задаче 6—24. Покажите, что в последнем слу-
чае графики те же, что и графики для пассивного односторонне нагруженного
фильтра.
6—28 (§ 6.6). Найдите чувствительности |W(j<a)| к Ra и Си односторон-
не нагруженного фильтра Баттерворта ннжних частот третьего' порядка, син-
тезированного по методу структурно-перекрытой реализации. Сравните резуль-
таты при со=1 с теми, что были получены в примере 6.6—3.
6—29 (§ 6.7). Покажите справедливость выражения (1), § 6.7.
6—30 (§ 6 7). Реализуйте искусственную индуктивность, считая, что /«(s)
на рис. 6.7—1 представляет собой конденсатор, а все другие элементы рези-
сторы. Используя методику, изложенную в § 6.7, покажите, может ли Q(<o)
быть независима от GBi и GB2 и если да, то какие соотношения обеспечива-
ют этот результат?
6—31 ('§ 6.7). Повторите пример 6.7—1 для случая, когда GB-i=4,l МГц,
а СВ2=1 МГц.
нижних частот четвер-
¥-
>/2,5*10*
/2,0*10*
j 1,0*10*
О j 0,5* 10*
,-0,5* 10
% -
if-j 0,5*10*
-/1,0*10*
*-
j2,O*
Rue. 3. 6—23
для схемы иокусст-
-
6—32 (§ 6.7). Получите соотношение, аиалогичное (25) в § 6.7, для слу-
чая, когда ЧЗОС реализуется путем выбора Zr(s)=J?i, Z2(s)—R2, Z3(s) =1[вСз,
Zf(s)—J^4, Zs(s) ='l/sCs. Определите, может ли Q(«) быть не зависима от GBt
и GB2, если да, то какие соотношения обеспечивают этот результат?
6—33 (§ 6.7). Полагая, что в ЧЗОС-реализации G2=Gf=Gs=G и Ci —
—CS=C, начертите график <2чзОс (w) Для a) GBt>GB2, б) бВ^-СВг и
s) GBi<g-B2- Положите .40i=Ao2=-^o.
6—34 (§ 6.8). а) Найдите отклонение затухания Да на частоте среза од-
носторонне нагруженного фильтра Баттерворта седьмого порядка, реализован-
ного с помощью пассивных элементов. Считайте, что конденсаторы полисти-
роловые и добротности катушек индуктивности равны 100.
б) Повторите задачу для катушки индуктивности с добротностью 30.
6—35 (§ 6.8). Найдите минимальную добротность катушки индуктивности
для фильтра, описанного в задаче 6—34, -если максимальное значение Да дол-
жно быть 0,5 дБ на частоте среза.
6—36 (§ 6.8). Начертите график зависимости Да (со) в диапазоне частот
от. 0 до 1,2 .рад/с для фильтра Чебышева нижних частот пятого порядка с ам-
плитудой пульсаций 1 дБ, реализованного на пассивных элементах. Используй-
те -графики группового времени прохождения, приведенные на рис. 6.8—1. Счи-
тайте, что все конденсаторы майларовые, а добротности катушек индуктивно-
сти постоянны' и равйы 100, т. е. не зависят от частоты.
. 6—37 ('§ 6.8). Найдите Да на частоте среза структурно-перекрытого фильт-
ра примера 6.3—1, реализованного схемой на рис. 6.3—10,6. Считайте, что опе-
рационные усилители имеют 6В = 1 МГц.
6—38 (§ 6.8). Найдите отклонение затухания Да на частоте среза для
фильтра Баттерворта нижних частот четвертого порядка, реализованного по
методу ЧЗОС. Предположите, что высокочастотная добротность ЧЗОС, про-
анализированного по. методу, аналогичному описанным в § 6.7, равна 500 на
Частоте среза. Считайте, что Qc=oo, так как емкости реализуются резисто-
рами.
6—39 (§ 6.8). а) Используя модель операционного усилителя, приведен-
ную на рис. 6.8—2, и соответствующую -программу машинного анализа [81],
получите АЧХ для частот от 0 до 2fc для реализации, приведенной в задаче
6—38. Используйте следующие параметры операционного усилителя: Ri =
= Г06 Ом, Rn=Rp=<x>, Ci=0, Ао=1О5 и /?о=Ю0 Ом.
б) Повторите задачу для случая, когда RK и Rp изменяются до значения
500 МОм, а <во = 10 рад/с.
7
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе обобщим наши представления об активных фильт-
рах, рассмотрев два заключительных вопроса. Первый из них —
перспективные направления исследования фильтров. Среди многих
возможных задач, которые следовало бы проанализировать, вы-
браны только две, возникшие в настоящее время, но имеющие
большое будущее. Одна из них — разработка фильтров для ВЧ
диапазона. Этой задаче посвящен § 7.1, где исследуются активные
/?-фильтры, т. е. фильтры, не использующие емкостей. Вторая за-
дача связана с аналоговыми фильтрами с выборкой данных, из-
вестными также как фильтры с коммутируемой емкостью. Этот тип
фильтров является особенно удобным для интегральной МОП-тех-
нологии. Он описан в § 7.2.
Второй важный вопрос в области активных фильтров — процесс
синтеза. В § 7.3 подробно описан процесс синтеза активного фильт-
ра, удовлетворяющего техническим требованиям промышленного
применения. Обсуждаются преимущества и недостатки различных
типов фильтров, изученных в предыдущих главах.
7.1. Фильтры в области высоких частот
В этом параграфе рассмотрим реализацию ВЧ фильтров. Верх-
няя граница частотного диапазона активных фильтров равна при-
мерно 10... 20 кГц для большинства технических решений, кото-
рые мы исследовали. Основная причина этого ограничения заклю-
чается в конечном значении произведения GB операционных уси-
лителей, используемых в реализациях. Влияние ограниченного зна-
чения GB сводится к тому, что полюсы фильтра сдвигаются по от-
ношению к желаемым позициям. В некоторых реализациях этот
сдвиг может в конечном счете привести к неустойчивости. С рос-
том требуемой добротности реализации частотные ограничения,
вызванные конечным значением GB, становятся все более серьез-
ными. Выше были рассмотрены методы, исключающие влияние
GB на передаточную функцию (см. §5.7); эти методы предполага-
ют согласование между усилителями. На практике, однако, типич-;
ное значение согласования GB внутри выборки операционных уси-
лителей, таких как рД747, может составлять ±5%. Следовательно,
если они не будут настроены более точно, использование методов
§ 5.7 позволит расширить полосу рабочих частот примерно до
100 кГц. Однако на практике и 100-килогерцовый диапазон трудно
достижим, если учесть влияние ограничений на скорость нараста-
ния выходного сигнала. Чтобы реализовать такую высокочастот-
ную характеристику, скорость нарастания операционного усилите-
ля должна быть максимально возможной, а амплитуды сигналов
усилителей должны быть ограничены низкими уровнями.
Проведенное рассмотрение показывает, что частотный диапа-
зон порядка 100 кГц для активных фильтров может быть достиг-
нут, если используются техника компенсации или более высокочас-
тотные операционные усилители. В этом параграфе изучим раз-
личные подходы к реализации высокочастотной характеристики, а
именно, применение специальных методов синтеза, которые позво-
лят расширить частотный диапазон.
Прежде чем продолжить обсуждение, было бы уместно спро-
сить, является ли такой результат желаемым. В самом деле, для
частот выше 100 кГц катушка индуктивности более удобна как
элемент схемы, чем при низких частотах. Фактически для частот
выше 20 кГц нужно иметь очень веское обоснование необходимо-
сти использования активных /?С-фильтров вместо пассивных RLC-
фильтров. Основным доводом за то, чтобы использовать для этого
диапазона частот активные фильтры, является их совместимость с
технологией изготовления кремниевых интегральных микросхем.
До тех пор, пока процесс изготовления катушки индуктивности не
станет совместимым с указанной технологией, будет достаточно
много ситуаций, когда активные фильтры, имеющие диапазон
100 кГц и больше, будут удобны для применения.
Существуют два подхода, которые представляются перспектив-
ными для разработки активных фильтров в диапазоне выше
100 кГц. Первый из них использует собственную частотную харак-
теристику операционных усилителей для получения частотной из-
бирательности схемой, состоящей только из резисторов и опера-
ционных усилителей. Такие схемы названы активными R-фильтра-
ми. Они дают возможность синтезировать АЧХ в диапазоне частот,
приблизительно равном половине величины GB операционного уси-
лителя.
Чтобы показать, как работает такой фильтр, заметим, что боль-
шинство компенсированных операционных усилителей имеют ха-
рактеристику коэффициента усиления с наклоном —6 дБ/октаву,
начиная с частоты, на которой располагается низкочастотный по-
люс, и до частоты, соответствующей единичному усилению. Прове-
денные недавно исследования методов построения высокочастот-
ных фильтров говорят о необходимости использования наклона
—6 дБ/октаву при синтезе таких фильтров [82—86],
Указанный метод синтеза прост и принимает во внимание тот
факт, что компенсированный операционный усилитель приближен-
но представляет собой интегратор. Следовательно, его передаточ-
ную функцию можно представить в виде
^(8)^(8) «-GB/S.	(1)
С помощью такой аппроксимации можно воспользоваться
структурой фильтра с интеграторами и заменить каждый интегра-
тор компенсированным операционным усилителем. Результат при-
менения такого подхода к фильтрам на основе переменных состоя-
ния показан на рис. 7.1-—1,а. Заметим, что передаточная функция
(1) может быть получена либо со знаком минус (как показано на
рисунке), либо со знаком плюс, в зависимости от того, какой за-
жим операционного усилителя будет использоваться в качестве
входного — инвертирующий или неинвертирующий. Учитывая этот
факт, можно исключить усилитель Л3, получая в результате схему,
показанную на рис. 7.1—1,6, где резисторы для удобства перену-
мерованы.
Если предположить, что для схемы 7.7—1,6
(S)/^ZB4 (s)~ GBjJs; ГнчА7п = GBjs,	(2)
то для полосовой передаточной функции можно получить выраже-
ние
Уп (s)  s GB^ Rs	„ч
Ивк (s)	(1 /Ri + 1 /^г + I/Rs) s2 + s/Ra +	GB2IRt
Из (2) и (3) легко найти решения для передаточных функций
верхних и нижних частот. Расчетные формулы можно вывести пу-
тем сравнения (3) с выражением для стандартной полосовой пере-
даточной функции второго порядка. В результате найдем
l/^+l/R^ l/R3=l ;	(4а)
= VGBlGBifRl ; wn/Q = GBJR^	(46), (4в)
Рис. 7.1—1. Схема активного ЛС-фильтра, реализованного по методу перемен-
ных СОСТОЯНИЯ
Решая относительно 7?i, R% и Яз, получаем
= GBX GB^n ; Т?2 = GBX Q/an ;	(5а), (56)
R3 = GBt GB^GB, GB, - o)2 - (wn/Q) GB,].	(5b)
Для положительных значений Rs должно выполняться неравен-
ство
Ш2+ ^GB2<GB1GB2.
п 1 Q 2	* * * * * * 12
(6)
Для умеренных значений Q получаем ограничение вида ып<
<GB2- В этом случае, если становится слишком малым, сопро-
тивление резистора становится слишком большим, поэтому
обычно выбирается в диапазоне
GB/1 000 < ап < GB/10.	(7)
Из (3) следует, что H0=R2IR3, тогда с учетом ограничения (6)
он равен приблизительно GBiQ/b)n- Следовательно, Но не может
быть свободным параметром. Если требуется управлять Но, то
должно быть добавлено еще одно звено для управления коэффи-
циентом усиления в полосе пропускания. Используя рассмотренный
метод активного /?-фильтра, можно также осуществить реализа-
дню комплексных нулей или любой, другой формы передаточной
функции второго порядка. Методика та же, что была описана в
общих чертах для фильтра на основе переменных состояния в
§5.2.
Рассмотрим теперь некоторые недостатки активных А?-фильт-
ров. Основная трудность состоит в том, что АЧХ операционных
усилителей непосредственно участвуют  в формировании АЧХ
фильтра. Чтобы показать это, заметим, что чувствительности Q и
(ип по отношению к GB равны
S^ = -V; s^=Q/2; ^=£“£=1/2.	(8)
Следовательно, любой фактор, который приводит к изменению
GB, будет влиять на АЧХ фильтра. Таким образом, активные R-
реализации будут особенно чувствительны к изменению напряже-
ния питания и температуры, так как обе эти величины влияют на
GB. Кроме того, изменение GB от усилителя к усилителю всегда
будет требовать индивидуальной настройки этих фильтров. Еще
одной проблемой является ограничение на скорость нарастания.
На высоких частотах даже низкие уровни сигнала могут вызывать
превышение допустимой скорости нарастания, а суммарный фазо-
вый сдвиг может вызвать неустойчивость.
Пример 7.1—1. Активный R-фильтр. Требуется использовать метод ак-
тивного -фильтрата для реализации фильтра с частотой fn =100 кГц и Q=
=4/3. Применяемые операционные усилители обладают скомпенсированной ха-
рактеристикой с наклоном —6 дБ/октаву и произведением GB =1 МГц. Из (5)
получаем /?!=100 Ом, /?2=|13,3'3 Ом и R3=0,0929 Ом. Учитывая .постоянную
денормирования, равную 103, находим /?1=>100 кОм, R%= 13,33 кОм и R3=
=0,0929 кОм. Характеристика этого фильтра показана на рис. 7.1—2. ♦
Рис. 7.1—3. Условное обозначение опера-
ционного усилителя типа ИТУТ
Рис. 7.1—2. Амплитудно-частотная харак-
теристика фильтра в примере 7.1—1
Другой подход к проектированию высокочастотных активных
филь.тров состоит в использовании для синтеза передаточной функ-
ции по напряжению операционных усилителей, которые построены
не по типу ИНУН. Как правило, операционные усилители с низ-
ким входным полным сопротивлением дают улучшенную частот-
ную характеристику. Поэтому для синтеза таких активных фильт-
ров можно использовать ИНУТ и ИТУТ. Этот подход позволяет
создать активные фильтры для диапазона частот, превышающего
500 кГц.
Рис. 7.1—4. Эквивалентная схема опе-
рационного усилителя типа ИТУТ
Рассмотрим сначала операционный усилитель типа ИТУТ. Для
него примем обозначения, показанные на рис. 7.1—3. Эквивалент-
ная схема усилителя дана на рис. 7.1—4. Считаем, что усилитель
спроектирован так, что если Ri равно нулю, то входы имеют по-
тенциал земли. Иначе говоря, усилитель не имеет на входе напря-
жения синфазного сигнала. В
идеальном случае, конечно, Ri
равно нулю, a Ro — бесконеч-
ности. Чтобы увидеть, как ис-
пользуется операционный уси-
литель типа ИТУТ, рассмотрим
схемы на рис. 7.1—5. Анализ
этих схем проведен в предполо-
жении, что каждый вход усили-
теля является кажущейся зем-
лей. Следовательно, для рис.
7.1—5,а имеем: Ii(s) =I2(s) (по
аналогии с Vi (s) = V2 (s) для
операционного усилителя типа
ИНУН). Это дает следующее
соотношение:
Го (s)/Vs (s) -= Za (s)/Z1 (s). (9)
Аналогично, для рис. 7.1—5,6 I2(s) = Vi(s)/Zi(s) + Vo(s)/Z2(s)
и 7i(s)=0. Поэтому, приравнивая R к I2, получаем
Рис. 7.1—5. Схемы
усилителей, в ко-
торых используют-
ся операционные
усилители типа
ИТУТ:
a — неи-нв ер тиру-
ющего; б — инвер-
тирующего'
K,(s)/K(s) = -Z2 (sVZJs).
(10)
Если коэффициент усиления ИТУТ велик, но не бесконечно
большой, то следует использовать более общее соотношение между
Io(s) и Л(«) и /2(5). Оно имеет вид
(S) = (s) [Z1 (s)—Za(s)],	(11)
где Ad (s) —коэффициент усиления дифференциального сигнала.
Применяя это соотношение к рис. 7.1—5,а, видим, что
Io (s) = Ad (s) [Vs (s)/Z1 (s)-Vo (s)Za (s)].	(12)
Если предположить, что Z2(s)—доминирующая нагрузка на
выходе, то
Z (s) = Vo (s)/Za (s).
(13)
В результате приравнивания выражений (11) и (13) получаем
К> (s) _ ^2 (s) Г (s)	1	(14)
Fs(s)~Z1(s)L 1+Ad(s) J’	1
Следует заметить, что коэффициент усиления при отсутствии
обратной связи не зависит от цепи обратной связи. Причина этого
заключается в том, что все Io(s) текут через Z2(s) на вход усили-
теля (предполагаем, что Ri = 0). Таким образом, коэффициент об-
ратной связи равен единице и не зависит от Z2(s). Преимущество
ИТУТ можно показать путем сравнения его АЧХ с АЧХ ИНУН.
Результат приведен на рис. 7.1—6. Здесь используется модель с
доминирующим полюсом для Ad(s). Коэффициент усиления ИТУТ
на низких частотах может быть меньше или больше Ао в зависи-
мости от величины отношения Z2(0)/Zi(0). В рассматриваемом
случае предполагается, что это отношение больше единицы. Гра-
фики начерчены в предположении, что Zl=Rl и Z2=P2 и что
(R2IR1) >А0. Заметим, что ширина полосы ИТУТ на уровне —ЗдБ
соответствует частоте единичного усиления (GB) ИНУН.
Рис.' 7.1—6. Амплитудно-частотные
характеристики операционных усили-
'телей типа ИНУН и ИТУТ
Рис. 7.1—7. Схема операционного
усилителя типа ИТУТ с большим GB

>' При практическом применении методики, описанной выше, мы
сталкиваемся с двумя проблемами. Во-первых, на выходе операци-
онного усилителя требуется использовать буферный каскад, чтобы
весь ток Io(s) протекал по петле обратной связи. Во-вторых, ин-
теграторы, построенные в соответствии с этой методикой, будут
иметь полюс при g) = GB независимо от того, будет ли i/RC боль-
ше или меньше GB. Следовательно, если GB не увеличивается, то
нельзя получить усиления в том варианте исполнения, который ре-
ализуется с помощью операционного усилителя типа ИНУН. Как
только отпадает необходимость иметь большое Ао, оказывается
возможным построить усилитель типа ИТУТ, имеющий большое
GB. На рис. 7.1—7 показана такая реализация. ИТУТ. Транзисто-
ры Q], Q2 и Qs формируют источник тока Вильсона [87], который
обеспечивает очень низкое входное полное сопротивление (меньше
ома), требуемое для успешного применения этой методики. Вто-
рой каскад используется для получения коэффициента усиления по
току Ло- Этот коэффициент усиления обеспечивается наличием у
транзистора Q5 в Ао раз большей базо-эмиттерной площади, чем
у транзистора Q4. Для простоты не показана реализация диффе-
ренциальных входов. Аналогично тому, как показано на рис. 7.1—
7, можно построить усилитель типа ИТУТ на основе МОП-тран-
зисторов [88]. На рис. 7.1—8 приведена структурная схема резона-
тора, реализованного на основе ИТУТ, схема которого дана на рис.
Рис. 7.1—9. Схема фильтра второго
порядка, в котором используются
операционные усилители типа ИТУТ
с коэффициентами, равными —1
Рис. 7.1—8. Схема резонаторного
фильтра, в котором используется
операционный усилитель на рис.
7.1—7
7.1—7. Буферные каскады, которыми являются эмиттерные повто-
рители, необходимы для того, чтобы обеспечить развязку между
контуром усиления и цепью обратной связи. Указанная схема бы-
ла использована для реализации ПФ второго порядка со следую-
щими расчетными параметрами: Qo = 8 и [п0 = 300 кГц. Анализ этой
схемы показывает, что <впо=1/^С. Выбирая 7?=1 кОм, получаем
0 = 530 пФ. Последовательная ^С-цепочка в петле обратной связи
демпфированного интегратора помогает обеспечить опережение
по фазе в основной цепи обратной связи. Такая особенность схе-
мы позволяет создать конечный нуль на отрицательной веществен-
ной оси, формирующий ВЧ характеристику.
Следует заметить, что применение операционного усилителя ти-
па ИТУТ само по себе еще не ведет к расширению частотной ха-
рактеристики. Другой особенностью является то, что не требуется
большого коэффициента усиления, именно это позволяет увеличить
произведение коэффициента усиления на ширину полосы по срав-
нению с его значением у обычного операционного усилителя. Кро-
ме того, низкое входное полное сопротивление исключает влияние
паразитных емкостей. Дальнейшее распространение этой методики
дано на рис. 7.1—9, где коэффициент усиления каждого ИТУТ ра-
вен — 1. Из этого следует, что выражение (14) можно переписать
в виде
Vo (s)/Vs (s) = — Z2 (s)/2 Zj (s).
(15)
Простота этой схемы очевидна. Она используется для реализа-
ции ПФ второго порядка с Qo=8,5- и /этО=650 кГц. При этом ис-
пользуются значения: Р=1 кОм, С=245 пф и 1=5 мА. Были по-
лучены следующие экспериментальные результаты: Q = 7, fn=
=634 кГц, а коэффициент усиления на средней частоте около
—2 дБ. Существенная разница между техническими требованиями
и полученной характеристикой объясняется тем, что коэффициент
усиления по току не равен точно —1 из-за необходимости согласо-
вания транзисторов. Это указывает на то, что в данном методе
синтеза наблюдается жесткая зависимость результата от согласо-
вания транзисторов, вызванная большой чувствительностью ИТУТ
к изменению коэффициента усиления по току ИТУТ. Чтобы избе-
жать этого, желательно иметь достаточно большой коэффициент
усиления усилителя, так чтобы Ad/(1+Ad) ~ 1.
Другой вариант описанного выше подхода к синтезу высоко-
частотных активных фильтров состоит в использовании операци-
онного усилителя типа ИНУТ вместо усилителя типа ИТУТ. При
этом передаточная функция по напряжению для интегратора
<°дс 1	(16а)
'	Vs(s)  — s 1 +l/sC7?d(s)
где
7?d(s) = 7?0«>a/(s + G)a).	(166)
На высоких частотах, однако, Rd(s) (VtoaRo/s- Следовательно,
частотная зависимость Rd(s) и интегрирующая емкость исключа-
ются, что приводит к следующей передаточной функции:
ro(s)___, юдс _______1_____~  юдс
Vs(s) “ s 1 + l/<oa/?0 С	s '
На рис. 7.1—10 показана реализация резонатора с использова-
нием неинвертирующего интегратора на ИНУТ, каскадно соединен-
ного с инвертирующим интегратором на ИНУТ. Ее передаточная
функция
Гвых (s)  Р?1/^4) Hj s	(18)
Гвх (s) S2 -|- (01 S + 1 /Rz «3 Ql ^2
где «>1= l/7?iCi. Расчетные соотношения примут вид
=/Т7/?2/?3С1С2; Q = 7?1]/C1/7?27?3C2	(19а), (196)
и
До= Ri/Rf
В идеале входные сопротивления операционных усилителей ти-
па ИНУТ равны нулю. Если это не так, то при реализации прояв-
ляется частотная зависимость усиления. В этом случае для демп-
фированного интегратора Ai на рис. 7.1—10 требуется провести до-
полнительный анализ фазового сдвиг а,, вызванного входным сопро-
тивлением. Передаточная функция от. выхода Л2, К>2, к выходу
Дь Vo		'
УО ='	(д + fe (О!)	,gQ)
У02 s2 + №®i+№ GB±!Ri)] s+[<oa coj k-\-(R3/Ri)GBt Wj]
где k=l+Ri!Ri, <Bi = l/7?iCb GBt—MaRolRs и Ri — входное сопро-
тивление операционного усилителя типа ИНУТ и Ro — значение
Rd(s) на низких частотах. Если <в=.<вио и a»i = K»no/Q, то фазовый
сдвиг передаточной функции (20) можно приблизительно выразить
в виде
Qi (j ®) tt-n/2 + Q0/k-(Ri/R3) (v>no/GBj) +
+ (k Ri/R3 Qo) (cojGBJ + 1 /Qo.	(21)
Puc. 7.1—10. Схема ре-
зонаторного фильтра, в
котором используются
операционные усилители
типа ИНУТ
Рис. 7.1—11. Схема биквад-
ратного фильтра, в котором
используются операционные
усилители типа ИНУТ
Общий сдвиг в петле обратной связи
0 (j со) GB2___________________j Qo Ri I Ri ~4~ <Qa j t  Rj cflno
nJ  „ R2 (bfa + GBJ Ri + Rt R3Q0 GB^ Qo R3GBt"
(22)
Таким образом, можно показать (см. § 5.7), что
л ~_______________________________________________________________________ (23)
1  „ Ri  Ri <°no GBZ (Од Ri + Ri Ri (Ono
Qo Ri Ч- Rj Ri (wa-bQ^a) Qo GB^ R3 R3 GB^
Как только Ri становится малым, (23) упрощается:
_____________________________!____________________________
J_ i 0 ,Ri-------------------!____ i J!k
Qo R! Ri l + ane/GB2^GB1
(24)
Ri 0
L R3 GBt
где <В2=<»по. Так как GBi —<ва7?0/Яз и RilRz=Qo, то (24) можно уп-
ростить, получая
1	। 2 — _1_	Юп0
Qo + V«o ~RS GB1
Если предположить, что R2=R3=R и что Rz-^Ro, то получим,
что расчетная частота для этой реализации должна удовлетворять
следующему соотношению (когда Qo велико):
йп0<2ОВ1.	(26)
Таким образом, схема, показанная на рис. 7.1—10, имеет широ-
кие перспективы для применения в области высоких частот. Как
это часто бывает, эти потенциальные возможности могут быть ре-
ализованы только тогда, когда удастся избежать ограничений на
скорость нарастания на выходе.
Схема фильтра общего вида, основанная на схеме рис. 7.1—10,
показана на рис. 7.1—11. Его передаточная функция
Евых (s)/VBX (s) = -С3 (s2 + s/R4 С3 + 1 IR3 R5 Са С3): С2 (s2 +
4-s/^^+l/^^^Q.	(27)
Расчетные соотношения подобны приведенным для схемы на рис.
5.2—6. Эта схема оказывается очень полезной, хотя и не может
быть использована для создания нулей в правой полуплоскости.
7.2. Аналоговые фильтры с выборкой данных
Одним из преимуществ активных 7?С-фильтров по сравнению с
пассивными ^LC-фильтрами является то, что потенциально они
могут быть построены на основе использования технологии интег-
ральных микросхем. К сожалению, эти потенциальные возможно-
сти не были реализованы на широкой промышленной основе. Ос-
новная причина этого состоит в том, что в активных фильтрах
должно быть точно определено произведение RC. Это означает, что
необходимо тщательно контролировать абсолютные значения но-
миналов сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов —
требование, которое трудно осуществить в современной интеграль-
ной технологии. Кроме того, обычные интегральные резисторы и
конденсаторы имеют плохие линейность и температурные характе-
ристики и требуют большей площади по сравнению с активными
приборами, такими как операционные усилители. Большинство ак-
тивных ^С-фильтров, которые были полностью реализованы по ин-
тегральной технологии [89], требуют тщательной подстройки, что
делает их слишком дорогими для массового производства.
Один из подходов, который делает активные фильтры более
пригодными для интегральной технологии — применение методов
активных 7?-фильтров, рассмотренных в предыдущем параграфе.
Однако, хотя эти методы и позволяют избежать необходимости
использования конденсаторов, зависимость от допусков на номина-
лы сопротивлений резисторов и произведения коэффициента уси-
ления на ширину полосы операционного усилителя остается, тем
не менее, серьезной проблемой. Другим недостатком этого подхода
является то, что резисторы занимают на кристалле большую пло-
щадь, чем конденсаторы; таким образом, этот метод не очень удо-
бен для интегральной технологии, хотя и были опубликованы ин-
тересные результаты [85] [90].
Фильтр, который имеет хорошие потенциальные возможности
для совмещения требований к активным фильтрам с интегральной
технологией, носит название аналогового фильтра с выборкой дан-
ных [91, 92]
Основы теории таких фильтров можно понять, рассмотрев ком-
мутируемый конденсатор на рис. 7.2—1,а. Эта схема выполняет
функции резистора [93]. Чтобы убедиться в этом, предположим,
что переключатель первоначально находится в позиции 1, так что
а)	6)
Рис. 7.2—1. Коммутируемая емкость (а) и эквивалентное ей сопротивление (б)
конденсатор С заряжается до напряжения Vi вольт. Пусть теперь
переключатель установлен в позицию 2, так что конденсатор С
разряжается (или заряжается) до напряжения V2. Количество
заряда, которое течет в источник напряжения У2 (или вытекает из
него), равно C(Vi—V2). Если переключатель коммутируется из
одного положения в другое каждые Тс секунд, то ток, протекаю-
щий через источник,
/ = САЕ/АТ = С(Е1-К2)/(Тс-О) = С(Е1-Е2)/Тс.	(1)
Эта схема выполняет ту же функцию, что и резистор с сопро-
тивлением Тс/С ом, как показано на рис. 7.2—1,6. Если частота
переключения значительно больше, чем частота интересующего
нас сигнала, то время выборки сигнала, возникающего в такой
схеме, можно не учитывать, а коммутируемый конденсатор может
рассматриваться как прямая замена обычного резистора. С дру-
гой стороны, если скорость переключений и частота сигнала одно-
1 В ряде переводов и статей такие фильтры называют «коммутируемыми
фильтрами», «фильтрами с коммутируемыми емкостями», «импульсными (дис-
кретными) фильтрами», отражая в названии одну из особенностей таких фильт-
ров. Приведенное здесь название «фильтры с выборкой данных», не ' только
наиболее адекватный вариант перевода, но и вариант, лучше всего отража-
ющий физическую суть процесса фильтрации. Прим. пер.
го порядка, то для анализа такого режима нужно использовать ап-
парат теории импульсных систем [94]. В этом случае, как и в лю-
бой импульсной системе, полоса частот входного сигнала должна
быть ограничена частотой fc/2.
То, что подход, использующий коммутируемый конденсатор, по-
лезен, можно видеть, анализируя произведение ^С-резистора и
конденсатора. Если резистор замещается коммутируемым конден-
сатором, то Ri = Tc/Ci. Следовательно, произведение RC или по-
стоянная времени
ч-дс = Ri С^~Тс С2/Сг.	(2)
Если используется МОП-технология, то коммутируемый конден-
сатор на рис. 7.2—1,а можно заменить схемой, показанной на рис.
7.2—2,а. Два полевых МОП-транзистора работают как ключи от
двухфазного импульсного генератора, формирующего две непере-
крытые импульсные последовательности (<pi и <р2) с частотой fc,
4>г
Верхний
уровень
_о Нижний
+ уровеньУ.
. Верхнийь
*2 уровень1'
У>2
— Нижний.
-о уровеньL
Рис. 7.2—2. Реализация коммутируемой емкости с помощью МОП-транзисто-
ров
как показано на рис. 7.2—2,6. При подаче импульса дч конденса-
тор С подключается к напряжению Уг, при подаче импульса д>2
конденсатор С подключается к напряжению У2. В остальное вре-
мя конденсатор С не подключен ни к Уь ни к У2. Для данной час-
тоты генератора значение iRC определяется отношением емкостей.
Так как конденсаторы Ci и С2 получают методами фотолитогра-
фии, то вполне достижима высокая точность отношения их емко-
стей. Можно показать, что ошибка при реализации такого отноше-
ния может быть меньше 0,1% при использовании стандартной
МОП-технологии [95]. Так как такой МОП-конденсатор имеет ха-
рактеристики, очень близкие к идеальным, то можно получить зна-
чительно большую стабильность и линейность, чем при использо-
вании диффузионных резисторов. Кроме того, отношение емкостей,
полученных по МОП-технологии, имеет очень слабую температур-
ную зависимость. Из этого можно сделать вывод, что резистор на
основе коммутируемого конденсатора (см. рис. 7.2—1,а) дает воз-
можность изготовить высокоточный и стабильный ^С-фильтр, ко-
торый может быть целиком выполнен по интегральной МОП-техно-
логии.
сновная схема, которая применяется во многих конфигураци-
ях активных 7?С-фильтров, представляет собой инвертирующий ин-
тегратор (рис. 7.2—3,а). Если резистор Pi в этой схеме заменить
аналогом на основе коммутируемого конденсатора (см. рис. 7.2—
1,а), то в результате получим импульсный интегратор (рис. 7.2—
3,6). Когда ключ находится в позиции 1, Ci заряжается до напря-
жения Квх. Если теперь перевести ключ в позицию 2, то заряд Ci
а)
Рис. 7.2—3. Схемы коммутируемого инвертирующего интегратора
передается конденсатору С2, причем полностью, потому что опера-
ционный усилитель способствует тому, чтобы напряжение на кон-
денсаторе Ci стало равным нулю. Полный заряд на С2 равен за-
ряду, который был на С2, до этого момента, минус заряд, который
был передан на С2 конденсатор Этот заряд вычитается, так
как рассматриваемая схема инвертирующая. В момент (я—1) Тс
входной заряд на С\
qi [(п—1) Тс] = цвх [(n- 1) Тс],	(3)
тогда как заряд на С2
?2 К«-1) Тс] = Са цвых [(n-1) Тс].	(4)
В момент времени пТс заряд ?i[(n—1)77] передается на С2, по-
этому полный заряд на С2 становится равным
qz(nTc)=--q2 [(re— 1) Тс]-91 [(и—1) Тс].	(5)
Подставляя (3) и (4) в (5), получаем
^вых (« Тс) = цвых [(и— 1) Тс]—(Ci/q) цвх [(«— 1) Тс].	(6)
Преобразуя по Лапласу левую и правую часть равенства (6),
имеем
' VBbIX (s) es<nrc) = Квых (S)es(n-I,7,c_ (С1/Са) VBX (s) es^ т<.	(7)
Умножая обе части приведенного выше равенства на e~snTc, по-
лучаем
ЕВЫх (S) = ^вых (з) e-sTc-(Сх/Са) VBX (s) e-src.	(8)
Множитель ersTc соответствует ГВП Тс секунд. Решая относи-
тельно VBax(s)/VBx, находим
'	(s)/V»x (з) - -(Сг/Са) e-s4(l -e~src) = ^с^С2/(е~зТ°-1). (9)
Если ,sTcC 1, то esTe« 1 +sTc, и (9) принимает вид
(s) = У»ых (s)/Vbx («) ~ (-CjCJ/sT^ - 1/^g- Cs) . (10)
Передаточная функция обычного интегратора на рис. 7.2—3,а
(s) = VBbIX (s)/VBI (s) = -1 /s 7?x C2.	(11)
Если s=jco, то частотные характеристики (10) и (11) выража-
ются следующим образом:
N-l (j и) » — 1/j й (Tc/Cj) Са= —ffl0/j ®;	(12)
TV2(j«)) = —l/j<o7?xc3=—й0/)й,	(13)
где йо — частота единичного усиления интегратора.
Следовательно, если а^1/Тс или fc^2n, то на рис. 7.2—3,о
аппроксимируется величиной TJC\ на рис. 7.2—3,6, и этот рисунок
служит непосредственным эквивалентом, заменяющим рис. 7.2—
3,а. Интересно отметить, что постоянная времени интегратора мо-
жет легко изменяться путем изменения частоты генератора им-
пульсов.
Работу импульсного интегратора можно проиллюстрировать с
помощью рис, 7.2—4. Предполагается, что входной сигнал синусо-
идальной с частотой /о, в 10 раз меньшей, чем частота генератора
импульсов, а амплитуда импульсов равна 1 В. Выборка входного
напряжения VBX осуществляется в середине каждого интервала,
равного периоду повторения импульсов, а ее значение vBX запоми-
нается на конденсаторе Ci и сохраняется в течение полупериода
повторения импульсов, пока, в соответствии с (5), не будет переда-
но конденсатору С2. Выходное напряжение сохраняется до тех пор,
пока новая выборка не будет передана конденсатору С2. В этом
примере для синусоиды с частотой f0 предполагается, что коэффи-
циент усиления интегратора равен единице, как следует из (12).
Поэтому и(Т’с/С1)С2 в (12) равно единице, когда й=йо- Таким об-
разом,
С]/Са = и0 Тс = 2 л f0!fc = 2 л/10 = л/5.	(14)
Согласно (6) только л/5 от входного напряжения вычитается
из выходного. Если предположить, что f вых (0) = 1 В (выбрано
произвольно), ТО МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ £>Вых в момент Тс следующим
образом. Ясно, что t>EX(7'c/2) =sin 18°=0,309. Поэтому
^вых (Т’с) = овых (0) - (л/5) vBX (Тс/2) = 1 - 0,194 = 0,806
Эту операцию можно повторить для получения выходного сиг-
нала, вида рис. 7.2—4. Как правило, входная частота должна быть
много меньше ,fc для того, чтобы уменьшить искажения выходного
сигнала.
Многие из рассмотренных выше инвертирующих конфигураций,
такие как резонаторная схема на рис. 5.2—4, требуют интеграто-
ра, который демпфирован, как показано на рис. 7.2—5,а. Переда-
точная функция этой схемы для Ni(s) — VBbix(s)/VBx(s) имеет вид
(1 ®) = (—/?з//?1)/( 1 + j со R3 С2).	(15)
На рис. 7.2—5,6 дана импульсная эквивалентная схема, где ре-
зисторы и 7?3, показанные на рис. 7.2—5,а, заменены на эквива-
ленты с коммутируемыми конденсаторами. Здесь важна фаза пе-
реключения ключей, которая указана стрелками. Стрелки означа-
ют следующее: ключи одновременно подсоединяются ко входу и
выходу схемы, а затем одновременно подсоединяются к инверти-
рующему входу операционного усилителя. В момент времени (п—
—1)ТС заряды на различных конденсаторах равны:
<71K»-l)7’c] = C1oBX[(n-l)Tc];	(16)
<?2 [(«-1) Тс] = С2оБЫХ [(и-1) Тс];	(17)
q3 [(«— 1) 7С] = С3 овых [(п-1) 7С].	(18)
' Тактовые импульсы, коммутирующие
. переключатель в позицию 1
„ 11 m П пи in,
< 6ЫХ. -го	t
Тактовые импульсы, коммутирую-
. щие переключатель в позицию 2.
hii п п в л иди,
о Тс 2ТСЗТС УТС 5ТС БТС ТГС 8ТС STC lOTg t
Рис. 7.2—4. Диаграммы, поясняющие работу коммутируемого интегратора
 В момент времени пТс ключи изменяют положение, что дает
</а (п Тс) = </2 [(и-1) Tc]-q3 [(л-1) Тс]-91 [(п-1) Тс]. (19)
Подставляя (16) — (18) в (19), получаем
СВЫХ (П ^с) = ^ВЫХ 1(И	1)	(С3/С2) ^вых 1)
-(Сх/С2)овх[(п-1)7с].	(20)
Рис. 7.2—5. Схема коммутируемого демпфированного интегратора
Переходя от временной области к области s и решая'. относи-
тельно Af2(s) — VBbix(s)/VBx(s), получаем следующую передаточную
функцию:
N2 (s) « (-С^/еде^с-1 + С3/С2).	(21)
Заменяя s на jco и полагая, что eifflTc~ 1 + ]<оГс, находим,
N3 (j со) « - (Сх/Тс) (Тс/С3)/[ 1 + j со (Тс/С3) С2], !	(22)
где coT’c'Cl. Из (15) и (22) ясно, что Ri = Tc/Ci и Яз=Т^Сз.
Схема другого основного компонента активных /?С-фильтров—
дифференциального интегратора показана на рис. 7.2—6,а. Диф-
Рис. 7.2—6. Схема ком-
мутируемого дифферен-
циального интегратора
ференциальный интегратор позволяет провести интегрирование
разности двух сигналов. Аналоговая реализация дифференциально-
го интегратора приведена на рис. 7.2—6,6. Анализ этой схемы дает
вых (s) —	(t^o/s) |VX (s) V2 (s)J,	(23)
где ft>o= 1/7?iC2. Хотя каждый резистор на рис. 7.2—6,6 мог бы
быть заменен эквивалентными на основе коммутируемых емкостей,
более эффективна импульсная реализация, приведенная на рис.
7.2—6,в. Используя ту же процедуру анализа, можно выразить
Vbmx(s) на рис. 7.2—6,в в виде
Увых (8) ПЛ(8)-(8)1/8 ГеА) С2,	(24)
где для s=jft>, соГсС!.
Коммутируемые конденсаторы для замены резисторов достаточ-
но просто применить в активных /?С-цепях. И здесь, хотя каждый
резистор можно заменить непосредственно эквивалентом с комму-
тируемым конденсатором, более эффективна замена функциональ-
ных узлов, таких как на рис. 7.2—6,6, с помощью схем на рис.
7.2—6,в.
Рассмотрим, например, резонаторный фильтр, показанный на
рис. 7.2-—7,а. Это та же схема, что и на рис. 5.2—4, за исключени-
а)
Рис. 7.2—7. Схема коммутируемого резонаторного фильтра
ем того, что 7?з=7?4. Передаточные функции нижних частот и по-
лосовую можно найти из (19) и (20) (см. § 5.2):
__________—s/Рз
Vi(s) зг+з/7?1С1+1/7?27?3С1 С2 ’
^нч _________1 ci С2_________	(26)
Vi (s) s2 + s/Rt Cj + 1 /R2RS Сг С2
Ограничение, вводимое требованием /?з=/?4, состоит в том, что
коэффициент усиления на частоте а>п ФНЧ-реализации будет равен
1. Можно показать, что комбинация схем на рис. 7.2—5,6 и рис.
7.2—6,в позволит реализовать часть схемы, обведенную пунктиром
на рис. 7.2—7,а. Если для оставшегося инвертирующего интегра-
тора используется схема на рис. 7.2—3,6, то в итоге получаем схе-
му аналогового фильтра с выборкой данных, которая приведена
на рис. 7.2—7,6. Конденсаторы, которые являются эквивалентами
резисторов, помечены штрихами и имеют индексы, соответствую-
щие резистору, который они заменяют. Передаточную функцию
схемы на рис. 7.2—7,6 можно найти, если применить те же прие-
мы, что и выше, к соответствующим компонентам этого рисунка.
Например, передаточная функция схемы, обведенной пунктиром,
может быть записана в виде
С'/с'
17п («)«---3 1 , [VH4 (s)-Vx (s)L (27)
1+s TetC^CJ
если для s = j(D <оГс<^1. Сочетая эти результаты с полученными для
инвертирующего интегратора, находим
Передаточная функция нижних частот
V„„(s)	( С, I Сп Со 1 \
«(С-/Г.) (С’3(Тс) (ЦС, CJ:	s _L+j .(29)
П ip я мер 7.2—1. Аналоговый резонаторный фильтр с выборкой данных.
Требуется спроектировать .резонаторные ФНЧ и полосовой фильтр второго по-
рядка, имеющие Q=20 и fn = 1 кГц, используя выборку данных. Частота ге-
нератора импульсов должна быть равна 100 кГц. Обозначим отношение ем-
костей конденсаторов следующим образом: ai=C'i/Ci и а2=С'2/С2. Принимая
в (29), что С'1=С'г=С'3, получаем
0^0^ = a^OnTc/Q.	(30), (31)
Из технических требований получаем: ai=0,00314 и а2= 1,256. ♦
Из выражения (30) и приведенного выше примера ясно, что
произведение щи? должно быть равно 4л?Рп/Рс, а принимая, что
значения а близки к единице, получаем, что частота генератора
должна быть в 40 раз больше частоты полюса фильтра. По мере
того, как частота фильтрации приближается к частоте тактового
генератора, оказывается необходимым дополнительный анализ
фильтра с использованием ^-преобразования [94]. Различие между
аналоговым фильтром и фильтром с выборкой данных показано
на рис. 7.2—8 (используются данные предыдущего примера). Как
только частота приближается к [с, частотная характеристика по-
следнего вновь идет вверх вместо того, чтобы снижаться до нуля,
когда .со->оо, как это происходит в аналоговом фильтре. Это явле-
ние называется эффектом наложения. Возможно, окажется необ-
ходимым дополнительный аналоговый фильтр, включаемый кас-
кадно с фильтром с выборкой данных, для того чтобы скор-
ректировать этот эффект. Если fn<Cfc, то дополнительный фильтр
И общем случае не обязателен.
Другой важный момент заключается'втом, чтобы избежать за-
держки на полтакта. Например, согласно рис. 7.2—7,6, когда Vjj
изменяется в некоторый момент времени и принимает новое значе-
ние, оно поддерживается постоянным в течение полного периода
тактового генератора. Ключ, коммутирующий конденсатор С2,
можно сфазировать так, чтобы выборка нового значения Кп ПР°"
исходила либо сразу, как только оно появится, либо спустя пол-
такта. Можно показать [96], что если выборка происходит спустя
полтакта, то избыточное запаздывание по фазе появляется, когда
не выполняется условие Поэтому было бы хорошо сфазиро-
вать ключи так, чтобы выходное напряжение интегратора переда-
валось в последующую цепь сразу же, как только произошло его.
изменение.
О fn	fdf- fc-бт fc
Частота.
Рис. 7.2—8. Эффект наложения в коммутируемых фильтрах:
1 — коммутируемый аналоговый фильтр; 2 — аналоговый фильтр
Чувствительность фильтра с выборкой данных должна быть та-
кой же, как в случае эквивалентного ему аналогового фильтра, по-
ка fn не начнет приближаться к fc. Чтобы исследовать чувстви-
тельность изменений а к fnlfc, необходимо избегать предположе-
ния, что esTc=l+src. Для анализа этой проблемы проводится пре-
образование s-плоскости в z-плоскость. Оно имеет вид
z = esTc	(32)
Следовательно, обратное преобразование z-1 = e~sTc должно со-
ответствовать задержке в Тс секунд. Возвращаясь к выражению
(9), видим, что инвертирующий интегратор, использованный на
рис. 7.2—7,а, можно охарактеризовать соотношением
— С9/С2	( С9 \ z-1
VH4 (г)/^п (г) =	’	<33
Передаточную функцию обведенной пунктиром части схемы на
рис. 7.2—7, можно выразить как
УП (S) = <т ~Сз/С~, -	(s)-VH4’(s)].	(34)
е <=-!+ Ci/Cj
7 Преобразуя это выражение из s-плоскости в z-плоскость, полу-
чаем
—Co/Cj
Vn(z) =--------(35)
z—1-J-Cj/C-j
Объединяя (33) и (35), находим
___________-(c^/cn (z-1)______________	(36)
Vi№	(2-CI'/C1)z+[l+ (C^/Ci) (^/C2)-C;/Cx]
Выражение (36) можно упростить, подставив C's=C'i и исполь-
зовав соотношения al = C'i/Ci и а2=С'2/С2. В результате получим
(г)/тЛ (г) = —ax(z—1)/[£2—(2—“i) z + (l + аха2—ах)]. (37)
Умножая (37) на (33), можно получить передаточную функцию
нижних частот
УНч (г)Л71 (z) =-------.	(38)
z2 — (2—ах) z + (1 + аха2—ах)
Тогда положение пары комплексно-сопряженных полюсов в s-
плоскости можно записать в виде
si,2 = —(on/2 Q ± j (con/2 Q) КЖМ.	(39)
В z-плоскости положение этих же полюсов определяется выра-
жением
Zi,2 = Ree±ie	(40)
Подставляя (39) в (32) и сравнивая полученное с (40), полу-
чаем следующие формулы:
fn = tfc/2n)]/62 + ln2R; Q=-nfn/fc\nR. (41),(42)
Типовой знаменатель второго порядка при наличии пары комп-
лексно-сопряженных полюсов в z-плоскости можно представить в
виде
D (г) = (г—zj (z—z2) = (z—R cos 0—j R sin 0) (z—R cos 0 +
+ jRsin0) = z2—2 R cos 0 z + R2.	(43)
Соотношения (41) — (43) позволяют получить более точные по
сравнению с (30) и (31) расчетные формулы для щ и аг, когда
<esTc^l+sTc. Сравнивая знаменатель (37) или (38) с (43), нахо-
дим
И1 = 2{1 -cos J/4-1/Q2]} ;	(44)
сс2 = 1 + (1/wJ (e-2lIfn/fc«— 1).	(45)
Подставляя значения, использованные в примере 7.2—1, в эти
формулы, получаем ai = 0,00708 и аг = 0,5567. Эти значения отлича-
ются от найденных в примере множителем, примерно равным 2.
Если частота тактового генератора увеличивается до 1 МГц (или
частота fn уменьшается до 100 Гц), то значения си и а2, получен-
иые из (30) и (31), становятся равными соответственно 0,00031416
й 0,1256, тогда как (44) и (45) дают 0,0035356 и 0,11607 соответ-
ственно. Следовательно, даже если частота фильтрации много
меньше частоты тактового генератора, некоторые реализации, та-
кие как реализация на рис. 7.2—7,6, становятся, очевидно, очень
чувствительными к изменению отношения fnlfc-
Чувствительность fn к си и а2 можно определить из (44) и (45),
предполагая, что Q3>1 и fn<^.fc. Тогда находим
с ___dfn а1 fc
Од.------'	-----ЫП I --- I
а1 f п	Л fn \ fc /
с	С
S fn =	------ _0 .
“2 2nfnQ i_sfn
SQ ^2nfnQ/fc.
(46)
(47)
(48),(49)
Как только fnlfc становится много меньше 1, чувствительность
fn к сц приближается к 1/2. С другой стороны, чувствительность Q
к а2 может стать большой (при большом Q), если отношение fnlfc
будет приближаться к 1. Это означает, что fn/fc должно быть ма-
ло, чтобы сохранить низкую чувствительность при больших Q.
Схемы с выборкой данных могут быть также использованы для
реализации фильтров на основе переменных состояния. Один из
Путей осуществления этого показан на рис. 7.2—9. Заметим, что
Рис. 7.2—9. Схема коммутируемого фильтра, реализованного по методу 'пере-
менных состояния
замена резисторов 7?3, Т?4, 7?s и Ив (см. рис. 5.2—2) коммутируемы-
ми конденсаторами не изменяет идеальной передаточной функции
суммирующего дифференциального усилителя. Замена и Ё2 ком-
мутируемыми конденсаторами приводит к схеме на рис. 7.2—9.
Расчетные соотношения § 5.2 можно использовать-и для этой цепи,
если заменить Ri на 1/С\, где i=3, 4, 5, 6. К сожалению, недостатки
реальных операционных усилителей делают эту реализацию не-
практичной. Одна из причин заключается в том, что отсутствие
обратной связи по постоянному току приводит к появлению избы-
точного напряжения смещения по постоянному току на выходе
операционного усилителя. В общем случае требуется использовать
ряд резисторов, что делает указанную схему на основе перемен-
ных состояния менее удобной для реализации в качестве фильтра
с выборкой данных, чем схема резонаторного фильтра. Упрощен-
ная реализация фильтра на основе переменных состояния по мето-
ду фильтрации с выборкой данных приведена в литературе [93].
Методы реализации фильтров с выборкой данных пригодны
также и для других фильтров второго порядка, таких, например,
как фильтры на усилителях с бесконечным коэффициентом усиле-
ния (см. § 5.1). Пример реализации ФНЧ на усилителях с беско-
нечным коэффициентом усиления и его изготовления на основе
МОП-технологии можно найти в литературе [93].
В методах синтеза фильтров на основе моделирования пассив-
ных цепей (см. гл. 6) также может использоваться техника дискре-
тизации. Например, метод структурно-перекрытых реализаций (см
§ 6.3) очень удобен для использования дискретизации и часто да-
ет прекрасные характеристики чувствительности. Чтобы убедиться
в этом, заметим, что основной элемент такого фильтра — интегра-
тор. Учитывая, что схема на рис. 7.2—6,в реализует дифференци-
альный интегратор, можно использовать в качестве прототипа схе-
му с перекрытой структурой на рис. 6.3—2. Передаточная функция
промежуточного звена структурно-перекрытой реализации дается
выражением (!), '§ 6.3, и выражается в общем виде как
yj.(s) = 7’;.(s) [Vt (s)-Vk(s)],	(50)
где напряжения Vi, Vj и Vk располагаются последовательно вдоль
лестничной структуры слева направо и могут быть либо эквивален-
тами токов, либо фактическими напряжениями. Если на рис. 7.2—
6,в заменить Ег на Vi, Ei на Vj и ЕВых на Vk, то из (23) можно
получить
Vj (s) = [1/s (Тс/с;.) [Ег (s)- Vk (s)],	(51)
где для s=jw, а>Тс<^1, а С] и С2 на рис. 7.2—6,в заменены на C'j
и Cj. Так как T'j(s) из (50), как правило, нормируется по полно-
му сопротивлению к значению 1 Ом, а частота среза к значению
1 рад/с, то следует либо денормировать (50), либо нормировать
(51), прежде чем сравнивать оба выражения. Предполагая, что
определяется частота среза, получаем, что самый простой вари-
ант— осуществить нормирование (51), которое сводится к норми-
рованию тактовой частоты к величине Т'с, задаваемой соотношени-
ем вида

(52)
При этом предполагается, что (50) нормировано к 1 рад/с. По-
этому а;„ т. е. отношение C'j к С3- можно рассчитать по формуле
aJ=s[7’cQn7,'(s)] = C'/Cy.	(53)
Так как лестничная структура всегда нагружена сопротивлени-
ем, последний интегратор должен быть демпфированным. Заметим
также, что последний интегратор не должен быть дифференциаль-
ным, так как нет петли обратной связи. В этих условиях схема на
рис. 7.2—6,в может использоваться, если подсоединить Vi к УВых-
Используя обозначения, принятые в (51), имеем: Vj равно Vk-
Таким образом, (51) можно записать следующим образом:
У,- (s)/V£ (s) = Vh (s)/yf (s) = 1 /[s (Tc/a}) + 1].	(54)
Если лестничная структура является фильтром т-го порядка,
то передаточную функцию последнего звена в общем виде можно
записать так:
Vm (s)/VTO_X (s) = Тт (s) = 1 KRl n + s Lmn) = 1 /(Gb n + s Cmn), (55)
где индекс n соответствует нормированным значениям компонен-
тов. Если выбрать сопротивление R^n равным 1 Ом или принять
GLn за 1 Ом, то можно использовать (54) и (55) для того, чтобы
получить От Для последнего звена:
ат — £-rJLmn = Тс &т/Стп,	(56)
где величины в средней и правой частях представляют собой эле-
менты лестничного фильтра: сопротивление 1 Ом, включенное по-
следовательно с нормированной индуктивностью Lmn и сопротив-
ление 1 Ом, включенное параллельно с нормированной емкостью
Gmn-
Если лестничная структура нагружается с обеих сторон, то со-
противление источника равно Rs. Хотя сопротивление источника
(и сопротивление нагрузки) может быть внешним по отношению
к реализации, рассмотрим, какую модификацию необходимо про-
вести в первом (крайнем слева) каскаде, для того чтобы включить
сопротивление источника Rs. Возможны две конфигурации источ-
ника: по Тевенину или по Нортону. Передаточная функция перво-
го каскада
У2 (s) = Т; (s) [Vx (s)-V3 ($)] = [Vx (s) —V3 (s)]/[flsn +s Lln]
= [Vx (s) - Vs (s)]/[Gsn + s Cln].	(57)
К сожалению, необходимо формировать разность между вход-
ным и выходным сигналами звена 2, так что схему на рис. 7.2—6,в
нельзя использовать непосредственно. Однако дифференциальный
демпфированный интегратор можно получить путем моделирова-
ния демпфирующего резистора на рис. 7.2—6,в с помощью комму-
тируемого конденсатора. Полученная в результате схема показана
на рис. 7.2—10. Так как она идентична схеме, содержащейся в об-
веденной пунктиром части рис. 7.2—7,а, то можно, используя (27),
написать
Рис. 7.2—10. Схема коммутируемого
диф ференциа льного демпфиров энного
V2(s) — 'stc[Cj/C[) J- c's/c\ ^i(s)	(58)
где ai = C'i/Ci и as=C's/Ci. Нормируя Tc и сравнивая (57) с (58),
получаем
ai = C1/Cl = Cln/TcQn — Lln/TcQn’	(59)
as = al^sn —aiGsn.	(60)
Пример 7.2—2. Реализация схемы примера 6.3—1 по методу выборки
данных. Пусть требуется получить реализацию с выборкой данных для ФНЧ
третьего порядка, синтезированного в примере 6.3—1. Предположим, что так-
товая частота равна 100 кГц, а частота среза фильтра —. 1 кГц (Пп=2000л).
Используя ту же схему нумерации
элементов, что и на рис. 6.3—10, из
(53) получаем
а3 = (4000 л/3) 10-6= 0,0419;
а2 = (6000 л/4)„10 ~6 = 0,0471.
Если Ръп=Ръ—\ Ом, то (55) да-
ет cti= 4000л-10-5=0,'1|257.
На рис. 7.2—11 показана реали-
зация, использующая выборку дан-
ных (или технику дискретизации).
Интересно отметить, что емкости Ci,
Сг и С3 выбираются произвольно: ли-
бо с учетом возможностей МОП-тех-
нологии, либо с учетом других фак-
торов. ф
Рис. 7.2—11. Схема коммутируемого1 структурно-перекрытого фильтра
Некоторые другие примеры использования техники дискретиза-
ции для реализации структурно-перекрытых схем можно найти в
литературе. Среди этих примеров есть двусторонне нагруженные
ФНЧ:.Баттерворта четвертого порядка [96] . и Чебышева пятого по-
рядка [97], а также двусторонне нагруженный эллиптический
ФНЧ третьего порядка [97]. В этих работах показана также тех-
ника реализации нулей с помощью интеграторов (сумматоров) с
коммутируемыми емкостями.
Так как коммутируемый интегратор — основной элемент в тех-
нике реализации, представленной в этом параграфе, проанализиру-
ем его характеристики более подробно. Выражение (9) дает пере-
даточную функцию коммутируемого интегратора в s-плоскости..
Если Vbhx(s)/Vbx(s) =H(s) и s выражена через jw, то (9) прини-
мает вид
//(j (О) = _Z^gl/Ca
(61>
-jfi>Tc/2
е
j<BTc/2 -1<вГс/2
е	—е
Используя определение, данное в (12) для соо, и выражая триго-
нометрические функции через экспоненты, .получаем
—j<D? /2
а>Тсе с _
2 sin (со Тс/2)
н (j (О) = — (со0 Тс) —?-----------------
2 j sin (со Тс/2)
©о
j ®
Г ,	— 1л/// Ч
©о л f е е
j со L fc sin (л f/fc) .
(62>
Выражение (62) показывает, что фактическая передаточная,
функция интегратора является произведением идеальной переда-
точной функции и неидеального множителя. Для лестничной струк-
туры было найдено, что (i>o = C'j/TcCj = a^Tc. Поэтому <йо/ю=
= а,/е(2л/). В примере 7.2—2, если /=/среза, которая была в 100 раз
меньше fc, то ®о/® = 50а;/л, что соответствует идеальному коэффи-
циенту усиления интегратора на частоте /среза. Однако член &
скобках выражения (62) равен 1,00016 / —1,8°. Наличие запаз-
дывания по фазе, равного 1,8°, может оказать существенное влия-
ние на характеристики высокодобротных реализаций. Если такто-
вая частота возрастает до 1 МГц, то член в скобках выражения
(61) становится равным 1,0000016	/0,18°. Множитель в скобках.
e~W/fc, характеризующий задержку, можно исключить, если выход-
ной сигнал интегратора передается на следующее звено сразу же,,
как только произошло его изменение (мгновенная выборка). Этот
факт обсуждался ранее, и в реализации на рис. 7.2—11 использу-
ется такая фазировка ключа, которая позволяет устранить задерж-
ку, т. е. исключить соответствующий член из (62).
Недавно был предложен интегратор, осуществляющий выборку
данных со скоростью, превышающей вдвое скорость выборки опи-
санного выше интегратора. Его характеристика спадает до нуля на
частоте, равной половине частоты тактового генератора [98, 99].
Это снижает искажения, вызванные эффектом наложения. Схема
такого интегратора показана на рис. 7.2—12. Пусть в момент вре-
мени (п—1)ТС ключи находятся в положении, показанном на ри-
сунке. Следовательно, С] заряжается до напряжения щ:[ (п—1)ГС]„
*С2— До напряжения v2[(n—1)ГС]. На следующем такте ключи ме-
няют позицию, и напряжение на С2
№ = Ъ4(п-1) Тс]- и, (п Тс)-^~ V1 [(«—1) Тс]. (63)
С-2	С. 2
Передаточная функция такого интегратора
Заменяя s на jco и CJC2 на (ОоГс, получаем вместо (64)
а>Тс 1
. tg (© 7с/2) J
2<о0
j©
©Тс/2
tg (и 7с/2)
W(j®)=-~
(65)
Из (65) видно, что идеальной передаточной функцией такого
фильтра должно быть выражение —2<o0/jco, потому что скорость
выборки фактически удвоилась. Видно также, что член, характери-
зующий задержку, для такого интегратора отсутствует.
Существуют другие ограничения для реализации с выборкой
.данных, о которых мы только кратко упомянем. Одним из основ-
ных источников ограничений является операционный усилитель.
’Скорость нарастания выходного сигнала должна быть достаточно
высока, чтобы имелась возможность почти мгновенно отслеживать
..изменение выходного сигнала при переходе от одной выборки к
..другой. Приемлемое время перехода от одного уровня к другому
для тактовой частоты 100 кГц составляет примерно 1 мкс. Поэто-
му для усилителя, имеющего скорость нарастания 1 В/мкс, можно
допустить изменение уровня выходного напряжения не более чем
на 1 В, чтобы не ощущалось ограничение на скорость нарастания.
Так как усилитель переключается с частотой тактового генератора,
то важно иметь хорошую переходную характеристику с минималь-
но возможным временем установления. Если добротность фильтра
велика, то влияние конечного коэффициента усиления операцион-
..ного усилителя может стать серьезным ограничивающим фактором
[93]. Наконец, следует рассмотреть влияние теплового шума уси-
лителя и ключей. Кроме того, что усилитель должен иметь низкий
уровень (шумов даже для обычных (аналоговых) активных RC-
фильтров [100], нужно учитывать, что коммутируемые конденсато-
ры, моделирующие резисторы, генерируют тепловые шумы, сред-
ине квадратическое значение термо-ЭДС которых
Vc (скв) = Т/С,
(66)
где kT — произведение постоянной Больцмана на температуру.
Видно, что шум коммутации можно минимизировать увеличением»
номинала С.
Использование техники дискретизации для реализации актив-
ных 7?С-фильтров началось сравнительно недавно; возможно это.
приведет к расширенному использованию активных фильтров. Кро-
ме того, активные фильтры, реализованные таким способом, имеют
несколько интересных свойств, к которым относится возможность
программировать фильтр, используя соответствующие тактовые
частоты. Другим свойством является то, что поскольку коммути-
руемые конденсаторы пассивны по своей природе, они не услож-
няют проблему устойчивости активных фильтров.
7.3. Примеры реализации и использования
активных фильтров
В этом параграфе приведем два примера активных фильтров,,
которые были спроектированы в соответствии с техническими тре-
бованиями, обусловленными их промышленным применением. Цель
анализа этих примеров состоит в том, чтобы показать, как можно
использовать информацию, полученную в предыдущих главах, для
создания удачной практической реализации. Эти примеры подчер-
кивают различные аспекты синтеза фильтров и призваны служить
некоей направляющей линией.
В первом примере рассматривается ФНЧ, характеристика зату-
хания которого приведена на рис. 7.3—1. Предварительно этот
фильтр был реализован как пассивная цепь (см. рис. 7.3—2) и ус-
Затуиание
О П,5 У5
Частота, кГц
Рис. 7.3—1. Требования к характе-
ристике затухания ФНЧ
1,0 кОм
11,8мГн
11^
405п<Р
Vh	=’~
0Х 0,0115м?
0,0182 mV
11,0 мГц
11^
1115 nV
0,0182 мФ
кОм
-О
v«mx.
-о
Рис. 7.3—2. Реализация пассивного’
фильтра, удовлетворяющего требо-
ваниям рис. 7.3—1

пешно использовался как один из элементов большой системы. Ре-
шение сделать эту систему гибридной привело к необходимости од-
новременно синтезировать активный фильтр для замены указан-
ного пассивного.
Были реализованы и оценены три конструктивных варианта.
Вариант 1. Эллиптический фильтр пятого порядка с использо-
ванием ЧЗОС.
Вариант 2. Фильтр Чебышева седьмого порядка с использова-
знием структурно-перекрытой реализации.
Вариант 3. Эллиптический фильтр пятого порядка с использо-
ванием каскадного соединения двух блоков второго порядка и од-
ного блока первого порядка.
Из номограмм на рис. 2.2—5 и 2.3—5 следует, что любая эл-
липтическая функция пятого порядка с амплитудой пульсаций в
полосе пропускания 0,18 дБ или функция Чебышева седьмого по-
.рядка с амплитудой пульсаций 0,1 дБ удовлетворяет техническим
требованиям, приведенным на рис. 7.3—1. Для варианта 7, исполь-
зуя стандартную таблицу для аппроксимации эллиптических
фильтров .[80], получим пассивную цепь, схема которой показана
;на рис. 7.3—3. Используя RLC—СДД-преобразование из § 6.2, по-
лучим схему, приведенную на рис. 7.3—4. Для нее при нулевой
'частоте найдем
Гвых/Гвх = Rb /(Ra +Rb+ 4,48062).	(1)
Если положить Да = 100 Ом и приравнять ;(1) к 0,5, то полу-
’чим, что Rb= 104,4062 Ом. Частотно-зависимое отрицательное со-
противление проектируется в предположении, что полные сопротив-
ления на рис. 6.1—2,о равны: Zi(s) = l/sC, Z2(s) =Rtl ,Z3(s) —R,
ЗРис. 7.3—3. Реализация пассивно-
го эллиптического фильтра. Зна-
чения элементов даны в омах,
генри, фарадах
Рис. 7.3—4. RLC—CiRD-преобразование
фильтра, схема которого дана на рис.
7.3—3, с использованием ЧЗОС. Значения
элементов даны в омах, фарадах, фарад-
секундах
.Z4 (.$)'=Д4 и Z5(s) = 1/sC. Следовательно, D = C2R4. Выбирая С=1,0 Ф
и Д = 1 Ом, получаем, что значение Д4, которое требуется для реа-
лизации D2, равно 1,30215 Ом. Аналогично, значение Ri, которое
требуется для реализации D^, равно 1,21921 Ом. Нормированный
жариант схемы показан на рис. 7.3—5. Окончательная реализация
получается путем частотного денормирования для частоты среза
17,5 кГц и денормирования полного сопротивления с коэффициен-
том 1000. Следовательно, окончательные значения элементов на-
ходятся путем умножения номиналов сопротивлений всех резисто-
ров на 103, а номиналов емкостей конденсаторов на 9,0946-10-9.
Фактическая измеренная АЧХ полученной в результате схемы по-
жазана на рис. 7.3—6. Заметим, что характеристики в полосе за-
держивания не удовлетворяют техническим тре ованиям. ©сле-
дующими измерениями показано, что уровень полученного затуха-
ния фактически зависит от уровня входного сигнала; это говорит
о наличии нелинейных эффектов, таких как ограничение скорости
нарастания.
Рис. 7.3—5. Реализация фильтра, схема которого показана на рис. 7.3—4
Полученные ЧЗОС были испытаны по методике, аналогичной
той, что была описана в § 6.2. Используя выражение (11) из того
же параграфа, находим
V02(s)/V1(s)=1-s7?4C.
(2)
Выбранные значения
Ri и С дают следующие
частоты излома характе-
ристик: для D2 — 13,439
кГц и для Di— 14,353 кГц.
Необходимость измерения
этих характеристик воз-
никла, во-первых, потому,
что нужно было снизить
точку излома по причине,
которая скоро станет оче-
видной. Чтобы сделать
это, были использованы
следующие значения:
Ri = 107 кОм и С =
= 10~9 Ф. Это дало точку
f, хги.
Рис. 7.3—6. Амплитудно-частотные характери-
стики, реализованные с помощью различных
типов фильтров:
/ — фильтр на ЧЗОС (см. рис. 7.3—5); 2 —каскадная
реализация (см. рнс. 7.3—II); 3 — структурно-пере-
крытый фильтр (см. рис. 7.3—9); 4— внутренний шум
в полосе Д/—Ю Гц
излома на частоте 1487 Гц. На рис. 7.3—7 приведены результаты
измерений. При этом выяснилась одна серьезная проблема, свя-
занная с ЧЗОС-реализациями, а именно: выходное напряжение
•операционных усилителей растет с частотой, приводя к скачку в
рабочем режиме, который вызывается ограничениями скорости на-
растания выходного напряжения. На рисунке показаны две кривых
для различных значений компенсирующей емкости Ср (использо-
вался усилитель LM101A). Так как эффект «скачка» чувствителен
к амплитуде входного
сигнала, то и характери-
стика фильтра чувстви-
тельна к уровню входного
сигнала.
Из рис. 7.3—6 видно
также, что отсутствуют
нули в полосе задержива-
ния для эллиптической
функции. Из этого, оче-
видно, следует, что после-
довательное соединение
элементов 43OQ/lR не да-
ет «резонансов». Исполь-
зование операционных
усилителей, имеющих бо-
Рис. 7.3—7. Влияние ограничений скорости на-
растания напряжения 'операционных усилите-
лей на характеристики ЧЗОС
лее высокую скорость нарастания выходного напряжения, позво-
лило улучшить характеристику, но не настолько, чтобы удовлетво-
рить техническим требованиям.
Для варианта 2 были использованы структурно-перекрытая ре-
ализация и чебышевская аппроксимация. ФНЧ-прототип был взят
из обычных таблиц, его схема показана на рис. 7.3—81. При этом
была выбрана односторонне нагруженная структура для того, что-
бы исключить необходимость задавать сопротивление источника.
0,5006	1,6736	1,7087	1,VIW
+			] +
Vex 1,2908-	- 1,7107-	- 1,7305-	-	1,0 FTVet>lx
о—	|			►	А—о
Рис. 7.3—8. Схема
фильтра Чебышева
седьмого порядка. Зна-
чения элементов даны
в омах, генри, фарадах
Структурно-перекрытая реализация этой цепи показана на рис.
7.3—9. Ниже приведены значения элементов схемы при полном
сопротивлении 23,72 кОм и частоте среза 17,5 кГц:
/?=23,72 кОм, С1 = 226 пФ, С2=464 пФ, С3 = 623 пФ,
С4=656 пФ, С5=690 пФ, С6 = 667 пФ, С7=565 пФ.
В качестве инвертора используются операционные усилители
LF156, а в качестве интеграторов — LM101. Амплитудно-частотная
1 Эта реализация была получена из табл. 13—4? работы [101].
характеристика полученного фильтра дана на рис. 7.3—6. Очевид-
но, что структурно-перекрытый фильтр легко удовлетворяет техни-
ческим требованиям. Как показано на рисунке, затухание в полосе
задерживания составляет —90 дБ. Это ограничение обусловлено,
в основном, уровнем шумов фильтра, который довольно значителен
Рис. 7.3—9. Структурно-перекрытая реализация фильтра, схема которого дана
на рис. 7.3—8. Интеграторы реализованы на операционных усилителях LM101,
инверторы — на LF156
из-за большого числа операционных усилителей. Недостатком по-
добной реализации является то, что для нее требуется 10 операци-
онных усилителей, семь прецизионных емкостей и резисторы 21-го-
номинала. Большое число компонентов делает этот подход неже-
лательным для гибридизации.
Для варианта 3 было использо-
вано каскадное соединение двух бло-
ков второго порядка и одного блока
первого порядка для реализации эл-
липтической функции. Чувствитель-
ность в этом случае не так хороша,
как в первых двух вариантах, одна-
ко, так как число каскадов мало, ре-
зультаты приемлемы. Положение
нормированных полюсов для этого
фильтра показано на рис. 7.3—10.
Для блока второго порядка вы-
брана резонаторная схема, приве-
Второй
каскад


Первый каскад /
-0,4-9929
_ 0,38153
— 0,13320
jO, 0780
-------д,
Рис. 7.3—10. Положение нор-
мированных полюсов и нулей
эллиптического фильтра пятого
порядка
—j0,0780
\ -j1,0507
1,0507
111.
\ К 2,0807
\ Ч'

денная на рис. 7.3—11. В этой схеме, используется минимальное
.для данных реализаций -число операционных усилителей, оно име-
ет хорошую частотную характеристику с необходимым затухани-
ем в полосе задерживания. В качестве звена первого порядка, вы-
брана простая .КС-цепь. Полюсы и нули спарены так, как показа-
ние. 7.3—11. Каскадная реализация эллиптического фильтра пятого порядка.
Значения элементов даны в килоомах и пикофарадах
но на рис. 7.3—10. Расчетные формулы получены для звеньев вто-
рого порядка в предположении, что сопротивление К4 на рис. 7.3—
11 бесконечно велико. Тогда в соответствии с (27), (§ 7.1, имеем
= _^[S2 + (C17?2/C3K3) (1/^^CiC2)]/(s2+	(3)
VBX (s) Cj
+ s/KiCi + I/K2K5C1C2).
Общее выражение для эллиптической функции второго порядка
тчожно записать в следующем виде:
Уо (s)/V8 (S) = -Но (s2 + (o22)/(s2 + s<Op/Qp + <o2p).	(4)
Поэтому, приравнивая (3), и (4), получаем
Vl/H2Kg Cj С2; Qp = Ki]/rC1/K2K5C2 (5), (6)
H0 = K2/K3; (ог — (Op =	(7),(8)
Синтез фильтра начнем с денормирования по частоте переда-
точных функций отдельных звеньев. Последовательно получаем:
для звена 1
Нг (s) = (s2 + 8,688825 • 1010)/(s2 + 83903 s + 0,73176 • 1010), (9а)
/pi = 13,614 кГц; Qpi = 1,0195, fzi=46,912 кГц ;	(96)
для звена 2
Н2 (s) = (s3 + 2,17323  1 Ou)/(s + 29292 s + 1,35 618  1010),	(10а)
fP2 = 18,534 кГц, QP2 = 3,97566, Д2 = 74,194 кГц; (106)
для звена 3
Н3 (s) = 54900/(&+ 54900), fps = 8738 Гц.	(11а), (116)
Синтез каждого звена второго порядка проведен на основе вы-
ражений (5) — (8). В качестве операционных усилителей выбраны
усилители в микросхеме LM3900 из четырех ИНУТ, собранных на
одном кристалле. Для обеспечения режима по постоянному току
на операционные усилители в LM3900 подается напряжение пита-
ния ±15 В (а не +30 В). Следовательно, необходимо дополни-
тельно включить резистор между землей и зажимом « + » операци-
онного усилителя А2 на рис. 7.1—11. Расчетное соотношение по
постоянному току для Ai с бесконечно большим Rt имеет вид
[Увых (0) + 151/7?! = [Го2 (0) + 15]/7?5.	(12)
Аналогично, для усилителя А2
[Vbx (0) + 15}/7?з + [Гвых (0) + 15]/7?2 = 15/7?,	(13)
где 7?-—сопротивление резистора, дополнительно включенного
между землей и зажимом «+» усилителя А2. Тот факт, что вход-
ные зажимы усилителей микросхемы LM3900 подключаются к по-
тенциалу —15 В, учитывается в (12) и (13). Если Гвх(0)=0,
Го2(0) =0, Гвых(0) =0, то
7?1=7?5 и 1//?=1/7?2+1/7?3.	(14)
Для того чтобы обеспечить постоянный ток смещения, подавае-
мый на микросхему LM3900, меньший чем 500 мкА, 7?ь Т?2, Т?5 и
7? должны быть больше 30 кОм. Если принять, как обычно, Ci =
= С2, то получим значения 7? меньше 30 кОм. Таким образом, для
получения больших значений 7? процедура синтеза должна быть
следующей.
1.	Выбрать удобное значение для С2.
2.	Вычислить Ci=2QzpC2.
3.	Принять 7?i=7?5 = Qp/(opCi.
 4. Принять 7?2=7?з=2А’1-
5. Выбрать 7?=7?2/2=7?ь
6. Найти Сз=ДоС1 ((оР/сог)2.
На первом этапе синтеза получаем С2=40 пФ, Ci = 83 пФ, 7?i =
=7?5=143 кОм, 7?2=7?з=286 кОм, 7? = 143 кОм и С3=7 пФ. На
втором этапе получаем: С2=20 пФ, Ci = 632 пФ, 7?i=7?5=54 кОм,
7^2=7^3=108 кОм, 7?—54 кОм и С3 = 39 пФ. На последнем этапе
проводится синтез простой 7?С-цепи. Схема полученного в резуль-
тате фильтра показана на рис. 7.3—11. Его частотная характерис-
тика представлена на рис. 7.3—6. Настройка звеньев второго по-
рядка осуществляется следующим образом. :
1.	Проконтролировать выходные сигналы каждого усилителя,
чтобы убедиться, что получены требуемые режимы по постоянно-
му току.
2.	Удалить С3 и использовать Cj для настройки fp.
3.	Использовать Ri для настройки Qp.
4.	Включить С3 и настроить с его помощью fz-
Измеренный собственный шум фильтра показан на рис. 7.3—6.
Он значительно ниже, чем шум структурно-перекрытой реализации
варианта 2. При этом требуются 11 резисторов, семь конденсато-
ров и пять операционных усилителей. Однако с точки зрения гиб-
ридизации существуют только такие кристаллы, на которых можно
разместить два операционных усилителя. Значения компонентов
находятся в соответствии с гибридной технологией. Влияние ог-
раничения скорости нарастания сигнала наблюдается для входных
сигналов, превышающих 0,5 В (среднее квадратическое значение).•
В конкретных условиях использования фильтра, однако, предыду-
щее звено ограничивает сигнал на уровне 0,3 В (среднее квадрати-
ческое значение). Следовательно, из-за ограничения скорости на-
растания сигнала проблем не возникает.
Во втором примере рассматривается использование структурно-
перекрытых реализаций для цинтеза восьмиполюсного ПФ Баттер-
ворта со средней частотой 3000 Гц и шириной полосы 600 Гц.
Звенья второго порядка реализуются с помощью универсального
активного фильтра (УАФ), описанного в § 5.3. Чувствительность
полученной реализации определяется экспериментально путем из-
менения частот fp и добротностей Qp отдельных звеньев на ±10%.
ФНЧ-прототип фильтра Баттерворта четвертого порядка нахо-
дится из приложения А, схема его приведена на рис. 7.3—12,а.
Рис. 7.3—42. Схемы:
а — ФНЧ-прототипа четвертого порядка, б — полосового фильтра восьмого по-
рядка. Значения элементов даны в омах, генри, фарадах
Преобразуя его в полосовой прототип со средней частотой 1 рад/с
и шириной полосы 0,2 рад/с, получаем схему на рис. 7.3—12,6.
Для синтеза данного фильтра используются структурно-перекры-
тая реализация на рис. 6.3—4 и модификация УАФ на рис. 5.3—2
для реализации резонатора. Модифицированная схема показана
на рис. 7.3—13. Ниже приведены различные нормированные пере-
даточные функции, которые должны быть реализованы с помощью
УАФ:
Н± (s) = — 1/У± (s) = —7,5185 s/(s2 + 1);	(15а)
Я2 (s) = 1 /Z2 (s) = 7,8860 s/(s2 + 1) ;	(156)
Н3 (s) = — 1/У3 (s) = —5,4120 s/(s2+ 1);	(15в)
//4(s)= 1/Z4(s)== l,9135s/(s2 + l,9135s+l).	(15r)
fuc. 7.3 13. Модификации универсального активного фильтра для реализации
резонаторного фильтра
Значения элементов схемы на рис. 7.3—13 следующие:
для J^.[=:oo- 7^4=7.5185 Ом; С=1 Ф; 7?=1 Ом; (16а)
для Hz(s):	7^4=7,8860 Ом; С=1 Ф; 7?=1 Ом; (166)
для Hs(s): J?i = oo; ^4=5,4120 Ом; С=1 Ф; 7?=1 Ом; (16в)
для T/4(s): Т^УЭПБОм; 1,9135 Ом;С=1 Ф; 7?=1 Ом. (16г)
Чтобы получить требуемое ненормированное значение С —
= 1000 пФ, используемое в УАФ, емкости должны быть денормиро-
ваны с коэффициентом 109. Так как требуемая денормированная
частота составляет 6000 л, то денормированное полное сопротивле-
ние должно быть равно 53,052. Следовательно, все сопротивления
должны быть умножены на 53,052, а все емкости разделены на
109. Полученная в результате реализация приведена на рис. 7.3^
14. Схема УАФ и номера выводов соответствуют показанным на
рис. 7.3—13.
Для реализации определялась чувствительность к изменению
fpi и Qpt, где t соответствует t-му звену УАФ. Полученные резуль-
таты сведены в табл. 7.3—1 и 7.3—2. В табл. 7.3—-1 даны значения
Рис. 7.3—14. Структурно-перекрытая реализация полосового фильтра восьмого
порядка, схема которого дана на рис. 7.3—12,'б. Сопротивления даны в кило-
омах	;
средней частоты fo полученной реализации для заданных измене-
ний fpi или Qpi. В табл. 7.3—2 даны экспериментально определен-
ные значения чувствителности fo к различным fPi и Qpi. Получен-
ные результаты подтвердили тот факт, что передаточная функция
больше зависит от чувствительности SX£“p*, чем от SX(®i [102].
Таблица 7.3—1
Процедура настройки фильтра на рис. 7.3—14
Звено	Параметр	Изменение, о/ /о	Полученная частота, кГц	Звено	Параметр	Изменение, %	Полученная частота, кГц
1	1 F	+ 10	3,146	4	1. f	+ 10	2,893
1	] /И	— 10	2,877	4	1 fpi	— 10	3,008
2		+ 10	2,987	Все	I f	+ 10	3,343
2	} f Р2	— 10	3,001	Все	1 Ipl	— 10	2,743
3	1 f	+ 10	3,088	4		+ 10	2,998
3	| IP3	— 10	2,892	4		— 10	2,998
Таблица 7.3—2
Результаты анализа чувствительности fo
к изменению параметров схемы на рис. 7.3—14
Измеряемый параметр	Изменение, %	Чувствитель- ность	Измеряемый параметр	Изменение, %	Чувствитель- ность
Л?Р1	+10	±0,428		±ю	— 0,042
& fp2	+10	—0,023	Все Д/р	±10	± 0,897
A fps	±10	+ 0,317	A Qpi	±10	«0
Задачи
7—1 (§ 7.1). Используйте активный 7?-фильтр, схема которого показана на
рис. 7.1—il,6, для синтеза инвертирующего ПФ с <2=5 и 100 кГц. Чему
равно реализованное значение Н?
7—2 (§ 7.1). Покажите, что если Zj и Z2 на рис. 7.1—5,а будут равны
R и 1/sC соответственно, a /ld(s) =/lo<aa/(s+coffi), то АЧХ при замкнутой петле
обратной связи имеет полюс в точке —GB.
7—3 (§ 7.1). Используя схему на рис. 7.1—10, получите реализацию ФНЧ
второго порядка, имеющую <2=5 и /п=20 кГц.
7—4 (§ 7.1). Повторите задачу 7—3 для реализации ПФ второго по-
рядка.
7—5 (§ 7.1). Используйте схему на рис. 7.1—11 для получения реализа-
ции, аналогичной той, что рассмотрена в задаче 7—3, но имеющей комплексные
нули в точках ±)100л крад/с.
7—6 (§ 7.1). Применение операционных усилителей для создания искус-
ственной индуктивности иллюстрирует рис. 3.7—6,а. Найдите модуль |ZBX(jco)|
и аргумент arg|ZBX(jco) | для этой схемы, если передаточная функция при
разомкнутой петле обратной связи операционного усилителя имеет вид, приве-
денный на рис. 3.7—6,6.
Рис. 3. 7—6. К задаче 7—6
7—7 (§ 7.1). В частотной характеристике схемы на рис. 3.7—7 наблюда-
ется резонанс на частоте 12,7 кГц с добротностью 158. Полагая, что опера-
ционный усилитель имеет передаточную функцию при разомкнутой петле обрат-
ной связи, приведенную на рис. 3.7—6,6, найдите Гвых/Гвх, а также зна-
чения <2 и со „ и сравните их с экспериментально наблюдаемыми значениями.

Рис. 3. 7—7. К задаче
7—7. Значения элемен-
тов даны в килоомах,
микрофарадах
гех c=o,i
7—8 (§ 7.2). Покажите, что Овы.х(27’с) для схемы на рис. 7.2—4 равно
0,298 В.
7—9 (§ 7.2). Найдите передаточную функцию (21), § 7.2, если ключи в
схеме на рис. 7.2—5,6 работают в противофазе, т. е. если при подсоединении
С3 к инвертирующему входу операционного усилителя G подсоединяется к VBI.
7—10 (§ 7.2). Получите выражение (24), приведенное в § 7.2.
7—11 (§ 7.2). Замените реализацию ФНЧ на усилителях с положитель-
ным коэффициентом усилении на рис. 4.2—4 эквивалентной схемой, используя
коммутируемые конденсаторы. Считайте, что /<=1, так что RA и Rb на рис.
4.2—4 соответственно бесконечно велико и равно нулю. Выразите ai и а2 че-
раз заданные параметры фильтра Тс, со„ и Q, используя соотношения ai=
—Ci/C2 и а2=Сз/С< и полагая, что Rt и Rs заменены коммутируемыми конден-
саторами С\ и С3.
7—12 (§ 7.2). а) Используя схему резонатора на рис. 7.2—7,6, реализуй-
те ПФ второго порядка с добротностью 100 и резонансной частотой fn, рав-
ной 100 Гц. Примите тактовую частоту равной 100 кГц .и считайте, что ai и
«2 заданы соотношениями, принятыми в (36), (37), § 7.2.
б) Повторите указанную процедуру для fn=5 кГц и той же тактовой ча-
стоты 100 кГц.
7—13 (§ 7.2). Используя схему на основе переменных состояния на
рис. 7.2—9, реализуйте ПФ второго порядка с добротностью 10 и fn = l кГц.
Считайте, что величины di, a2, аз и а4 определяются соотношениями: щ =
=C'ilCi, аз=С'[С2-, аз=С'^С'з и а^С'з/С'з. Примите, что ai=a2, а4=1, а
7-0=10-6 с.
7—14 (§ 7.2). Используйте метод выборки данных для реализации пере-
даточной функции нижних частот Баттерворта четвертого порядка с частотой
среза 5 кГц. Сопротивления источника и нагрузки должны быть равны 500 Ом
каждое Фильтр-прототип можно определить по приложению А. Нарисуйте
схему реализации и укажите значения емкостей всех конденсаторов. Исполь-
зуйте тактовую частоту 100 кГц.
7—15 (§ 7.2). Используйте метод выборки данных для синтеза схемы реа-
лизации, характеристики затухания которой показаны на рис. 3.6—12. Для
аппроксимации указанной характеристики должна быть использована эллип-
тическая функция третьего порядка. Фильтр-прототип можно синтезировать,
используя приложение А. Сопротивления источника и нагрузки должны быть
равны 1000 Ом каждое. Тактовую частоту примите равной 100 кГц. Нари-
суйте схему реализации и укажите значения всех емкостей.
7—16 (§ 7.2). Покажите путем определения Vs(s) через Vi(s) и V2(s),
что схема с выборкой данных на рис. 3.7—16 реализует инвертирующую схе-
му, интегрирует V2 и суммирует его с V]. Предположите, что sTc<g.\.
Рис. 3. 7—16. К задаче 7—16
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Реализация пассивных фильтров нижних частот
В этом приложении представлены таблицы для реализации различных ти-
пов функций нижних частот. Первый тип фильтра — односторонне нагруженная
сопротивлением лестничная цепь без потерь. Схемы ее реализации с источни-
ком напряжения на входе показаны на рис. А—1,а (для функций четного по-
рядка) и рис. А—1,6 (для функций нечетного порядка). Вид реализации с ис-
точником тока на входе показан на рис. А—2,а (для функций четного поряд-
ка) и рис. А—2,6 (для функций нечетного порядка). Значения элементов для
(нормированных) фильтров Баттерворта, Чебышева (с пульсацией 0,5 и 1 дБ)
и Томсона приведены в табл. А—(
Рис. А—1. Схемы цепи для табл. А-1 (источник напряжения на входе) для
функций:
а — четного, б — нечетного порядка
Рис. А—2. Схемы цепи для табл. А-1 (источник тока на входе) для функций:
а — четного, б — нечетного порядка
Второй тип реализации — двусторонне нагруженные сопротивлением лест-
ничные фильтры без потерь. Схема данной реализации показана на рис. А—3,а
(для функций четного порядка) и А—3,6 (для функций нечетного порядка).
Другая схема реализации дана на рис. А—4,я (для функций четного порядка)
и рис. А—4,6 (для функций нечетного порядка). В табл. А—2 приведены значе-
ния элементов для (нормированных) функций цепи Баттерворта, Чебышева (с
пульсацией 0,5 и 1 дБ) и Томсона для случая равных сопротивлений. В этом слу-
чае не существует решений для функций Чебышева четного порядка 1. В табл.
А—3 приведены значения элементов для случая, когда отношение сопротивлений
нагрузки и источника равно двум. В этом случае не существует решений для чет-
ных функций Чебышева с пульсацией 1 дБ
Схема фильтра дли двусторонне нагруженных сопротивлениими лестничных
реализаций без потерь эллиптических функций иижних частот показана иа
рис. А—5. Другая схема реализации приведена на рис. А—6. В табл. А—4 и
1 Существуют, однако, таблицы для функций, близких к функциям Че-
бышева четного порядка при равных нагрузочных сопротивлениях. Прим. пер.
Таблица А—1
Значения элементов лестничных НЧ прототипов без потерь с граничной
частотой 1 рад/с, нагруженных с одной стороны, с характеристиками
Чебышева (Ч), Баттерворта (Б), Томсона (Т). Элементы фильтров Чебышева
даны для двух значений амплитуды пульсаций Да*
Элементы на рис. А-1а(четные) и рис. л-ZB(нечетные)
И	С,	1-2	Сз	L.	с,		С,	Бв	С9	^10
2	0.7071	1.4142							в	
3	0.5000	1.3333	1.5000							
4	0.3827	1.0824	1.5772	1.5307						
5	0.3090	0.8944	1.3820	1.6944	1.5451					
6	0.2588	0.7579	1.2016	1.5529	1.7593	1.5529				
7	0.2225	0.6560	1.0550	1.3972	1.6588	1.7988	1.5576			
8	0.1951	0.5776	0.9370	1.2588	1.5283	1.7287	1.8246	1.5607		
9	0.1736	0.5155	„0.841,4	1.1408	1.4037	1.6202	1.7772	1.8424	1.5628	
10	0.1564	0.4654	0.7626	1.0406	1.2921	1.5100	1.6869	1.8121	1.8552	1.5643
2	0.7014	0.9403							Ч 	
3	0.7981	1.3001	1.3465						Aa=0,5flb	
4	0.8352	1.3916	1.7279	1.3138						
5	0.8529	1.4291	1.8142	1.6426	1.5388					
6	0.8627	1.4483	1.8494	1.7101	1.9018	1.4042				
7	0.8686	1.4596	1.8675	1.7371	1.9712	1.7254	1.5982			
8	0.8725	1.4666	1.8750	1-7508	1.9980	1.7838	1.9571	1.4379		
9	0.8752	1.4714	1.8856	1.7591	2.0116	1.8055	2.0203	1.7571	1.6238	
10	0.8771	1.4748	1.8905	1.7645	2.0197	1.8165	2.0432	1.8119	1.9816	1.4539
2	0.9110	0.9957							ч,	
3	1.0118	1.3332	1.5088						AO=lfifi	
4	1.0495	1.4126	1.9093	1.2817						
5	1.0674	1.4441	1.9938	1.5908	1.6652					
б	1.0773	1.4601	2.0270	1.6507	2.0491	1.3457				
7	1.0832	1.4694	2.0437	1.6736	2.1192	1.6489	1.7118			
8	1.0872	1.4751	2.0537	1.6850	2.1453	1.7021	2.0922	1.3691		
9	1.0899	1.4790	2.0601	1.6918	2.1583	1.7213	2.1574	1.6707	1.7317	
10	1.0918	1.4817	2.0645	1.6961	2.1658	1.7306	2.1803	1.7215	2.1111	1.3801
2 3	0.3333 0.1667	1.0000 0.4800	0.8333				т ГВП 1с при пистияннпм тине			
4	0.1000	0.2899	0.4627	0.7101						
5	0.0667	0.1948	0.3103	0.4215	0.6231					
€	0.0476	0.1400	0.2246	0.3005	0.3821	0.5595				
7	0.0357	0.1055	0.1704	0.2288	0.2827	0.3487	0.5111			
8	О’. 0278	0.0823	0.1338	0.1806	0.2227	0.2639	0.3212	0.4732		
9	0.0222	0.0660	0.1077	0.1463	0.1811	0.2129	0.2465	0.2986	0.4424	0.416L
10	0.0182	0.0541	0.0886	0.1209	0.1549	0.1880	0.2057	0.2209	0.2712	
п		С'2	Б'з	с;	1-5	G	Ь'т	С’8	Li	^10
Элементы на-рас. А~16 (нечетные) и A-Za (четные)
* Перепечатано с разрешения автора из работы [101].
А—5 даны значения элементов для различных уровней пульсации в полосе
пропускания и различных порядков. Таблица А—4 соответствует реализациям
нечетного порядка (фильтры с уровнем пульсаций 0,1 и 1 дБ) и четного по-
рядка  при двусторонней нагрузке .равными сопротивлениями (случай с). Таб-
лица А—5 соответствует случаю b (нагрузочные сопротивления не .равны между
собой) , для-.фцл^т.ррв, четного порядка (уровень пульсаций-в полосе пропуска-
ния 0,1’.,ач 1,0 дБ,)?	;
Рис. А—3. Схемы цепей для табл. А—2 и А—3 для функций:
о — четного, б — нечетного порядка
Рис. А—4. Схемы цепей для табл. А—2 и А—3 для функций:
а — четного, б — нечетного порядка
Таблица А—2
Значения элементов лестничных НЧ прототипов без потерь с граничной
частотой 1 рад/с, нагруженных с двух сторон сопротивлением /? = 1 Ом,
с характеристиками Баттерворта (Б), Чебышева (Ч), Томсона (Т). Элементы
фильтров Чебышева даны для двух значений амплитуды пульсаций Ас*
Злемснгпы на-рис. Л-Зи(чБтные) и А-бб(нечетные)
п	С,	1-2	С3	ь.	с,		С7	Ls	С9	L10
2	1.4142	1.4142							в
3	1.0000	2.0000	1.0000						
4	0.7654	1.8478	1.8478	0.7654					
5	0.6180	1.6180	2.0000	1.6180	0.6180				
6	0.5176	1.4142	1.9319	1.9319	1.4142	0.5176			
7	0.4450	1.2470	1.8019	2.0000	1.8019	1.2470	0.4450		
8	0.3902	1.1111	1.6629	1.9616	1.9616	1.6629	1.1111	0.3902	
9	0.3473	1.0000	1.5321	1.8794	2.0000	1.8794	1.5321	1.0000	0.3473
0	0.3129	0.9080	1.4142	1.7820	1.9754	1.9754	1.7820	1.4142	0.9090 0.3129
3 5	1.5963 1.7058	1.0967 1.2296	1.5963 2.5408	1.2296	1.7058				ч Да=0,5дБ •
7	1.7373	1.2582	2.6383	1.3443	2.6383	1.2582	1.7373		
9	1.7504	1.2690	2.6678	1.3673	2.7239	1.3673	2.6678	1.2690	1.7504
3	2.0236	0.9941	2.0236						ч Да.=1дБ
5	2.1349	1.0911	3.0009	1.0911	2.1349				
7	2.1666	1.1115	3.0936	1.1735	3.0936	1.1115	2.1666		
9	2.1797	1.1192	3.1214	1.1897	3.1746	1.1897	3.1214	1.1192	2.1797
2 3	1.5774 1.2550	0.4226 0.5528	0.1922				т ГВП Тс при постоянном токв		
4	1.0598	0.5116	0.3181	0.1104					
5	0.9303	0.4577	0.3312	0.2090	0.0718				
6	0.8377	0.4116	0.3158	0.2364	0.1480	0.0505			
7	0.7677	0.3744	0.2944	0.2378	0.1778	0.1104	0.0375		
8	0.7125	0.3446	0.2735	0.2297	0.1867	0.1387	0.0855	0.0289	
9	0.6678	0.3203	0.2547	0.2184	0.1859	0.1506	0.1111	0.0682	0.023С
О	0.6305	0.3002	0.2384	0.2066	0.1808	0.1539	0.1240	0.0911	0.0557 0.0187
И	м	Ci	С'з	с;	Ц	ci	Ь'7	Ci	Lg	Су
Элементы ни. рис. А~3б (нечетные) и А-би (четные)
* Перепечатано с разрешения автора из работы [101],
“	аблица А—3
Значения элементов для лестничных НЧ прототипов без потерь с граничной
частотой 1 рад/с, нагруженных с двух сторон сопротивлением R=0,5 Ом*,
с характеристиками Баттерворта (Б), Чебышева (Ч), Томсона (Т). Элементы
фильтров Чебышева даны для двух значений амплитуды пульсаций Да *
Элементы на рис. A-За (четные) и А-Чб (нечетные)									
И	С,	Lz	с3	1-4	с5	Ьб	с7	1-8	Ср	Lio
2	3.3461	0.4483							В'
3	3.2612	0.7789	1.1811						
4	3.1868	0.8826	2.4524	0.2175					
5	3.1331	0.9237	3.0510	0.4955'	0.6857				
б	3.0938	0.9423	3.3687	0.6542	1.6531	0.1412			
7	3.0640	0.9513	3.5532	0.7512	2.2726	0.3536	0.4799		
8	3.0408	0.9558	3.6678	0.8139	2.6863	0.5003	1.2341	0.1042	
S	3.0223	0.9579	3.7426	0.8565	2.9734	0.6046	1.7846	0.2735	0.3685
10	3.0072	0.9588	3.7934	0.8864	3.1795	0.6808	2.1943	0.4021	0.9618	0.0825
2	1.5132	0.6538							ч
3	2.9431	0.6503	2.1903						Аа=П,5 дБ
4	1.8158	1.1328	2.4881	0.7732					
5	3.2228	0.7645	4.1228	0.7116	2.3197				
6	1.8786	1.1884	2.7589	1.2403	2.5976	0.7976			
7	3.3055	0.7899	4.3575	0.8132	4.2419	0.7252	2.3566		
8	1.9012	1.2053	2.8152	1.2864	2.8479	1.2628	2.6316	0.8063	
9	3.3403	0.7995	4.4283	0.8341	4.4546	0.8235	4.2795	0.7304	2.3719
10	1.9117	1.2127	2.8366	1.2999	2.8964	1.3054	2.8744	1.2714	2.6456	0.8104
3	3.4774	0.6153	2.8540						ч
5	3.7211	0.6949	4.7448	0.6650	2.9936				Аа=7дБ
7	3.7916	0.7118	4.9425	0.7348	4.8636	0.6757	3.0331		
9	3.8210	0.7182	5.0013	0.7485	5.0412	0.7429	4.9004	0.6797	3.0495
2	2.6180	0.1910							т
3	2.1156	0.2613	0.3618			гвп 1с при пестояннсм таке			
4	1.7893	0.2461	0.6127	0.0530					
5	1.5686	0.2217	0.6456	0.1015	0.1393				
6	1.4102	0.199-9	0.6196	0.1158	0.2894	0.0246			
7	1.2904	0.1821	0.5797	0.1171	0.3497	0.0542	0.0735		
8	1.1964	0.1676	0.5395	0.1135	0.3685	0.0683	0.1684	0.0142	
9	1.1202	0.1558	0.5030	0.1081	0.3580	0.0744	0.2195	0.0336	0.0453
10	1.0569	0.1460	0.4710	0.1024	0.3Б86	0.0763	0.2456	0.0450	0.1100 0.0925
п	ц	cz	^*3	с;	Г5		Г7	С'в	С'1О
Элементы на рис. А-Зб (нечетные) и А-А-а (четные)									
	* Перепечатано с		разрешения автора из работы [101].						
п- четное	п-нечетное
Рис. А—5. Схемы цепей для табл. А—4 и А—5
п-четное
.— - — i-o
п-нечетное
Рис. А—6. Схемы цепей для табл. А—4 и А—5
Таблица А—4
Значения элементов для лестничных эллиптических НЧ прототипов без потерь, нагруженных
с двух сторон сопротивлением /?г,= 1 Ом (случай с для четных вариантов)*
Элементы на рис. А-5
П		КР		С2		L3	с4	с4	ts	с6	*-б		С8	Le	l9	С,п
3 4 5 6 7 8 9 10	1-05 t.ic 2.00 1.05 1.10 1.Z0 1.50 г.ос 1.05- 1.10 1.20 1.50 2.00 1-05 1.10 I.ZO 1.50 г.оо 1.05 1.10 1.20 1.50 2.00 1.05 1.10 1.20 1.50 2.00 1.05 1.10 1.20 1.50 2.00 1.05 1.10 1.20 1.50 2.00	1.748 3.374 6.691 14.84В 24.010 - 3.264 6.47В 12.085 23.736 36.023 13.841 20.050 28.303 43.415 58.901 18.727 26.230 36.113 54.202 72.761 30-470 39-357 50.963 72.129 93.809 36.268 56.399 59.639 83-607 108.575 47 - 276 56-707 73.629 100.842 128.717 53.576 66.262 82-«30 113.056 144.023	.35550 .44626 .57336 .77031 .89544 .об44г .17279 .37139 .628J5 .77554 .70813 .81296 .91441 1.02789 1.08758 ..44177 .57630 .70984 .86595 .95131 .91937 .98021 1.05029 1.11593 1.14910 .68105 .77921 .67290 .97779 1.03311 1.02597 1.07226 1.11295 1.15493 1.17576 .82096 .89544 .96461 1.03982 1.07857	.15374 .26993 .44980 .74561 .93739 .17221 .32758 ,5663В .94009 1.17646 .76630 .92418 1.06516 1.21517 1.29322 .71651 .88798 1.06266 1.27403 1.39297 1.07659 1.16726 1.24872 1.33554 1.37979 1.01040 1.13273 1.25079 1.38443 1.43552 1.21654 1.27741 1-33139 1.36761 1.41568 1-17319 1.26213 1-34441 1.43372 1.47977	5.39596 2.70353 1 .30805 .47797 .20697 4.93764 2.30986 1.09294 .40730 .17957 .73572 .49336 .31628 .15134 .07317 .90905 -612В2 .39136 .1855* .08926 .34220 .24374 .16124 .07857 .03822 .47466 .33839 .22404 .10930 .05321 .20583 .14773 •09815 -04800 .02339 .30389 .21933 -14б4а .07199 .03516	.35530 .44626 .57336 .77031 .89544 1.01224 1.04894 1-11938 1.24711 1.33473 1.12761 1.22445 1.38201 1.63179 1.79367 .83142 .97304 1.13974 1.43106 1.60132 1.09623 1.27743 1.48377 1 .75687 1.92026 .91103 1.08668 1.28097 1.56051 1.72464 1.29803 1.46403 1.64257 1.86765 1.99761 1-09174 1.25856 1-44189 1.67750 1.81552	.84445 .89415 .92440 .93518 .93382 • 20138 .37193 .60151 .93525 1.14330 .36274 .59060 .87407 1.27235 1-31866 .40518 .59720 .82869 1.15174 1.35221 .48838 .70667 .97154 1.34331 1.57463 .60675 .79046 .99964 1-27611 1.44055 .66563 .87195 1-10910 1.42540 1.61465	В полосе пропускания Au~Of1 fip 4.38116	.04985 2.13500	.29125 1.09329	,52974 .44083	.81549 «20038	.97720 2.44680	-8о4бЗ	.99857 1.35666	-94305	1.О13Д1 .76105	1.09176	1.02462	* .33007	1.26253	1-03317 .15421	1.39521	1-03621 2.20850	.04335	.50342	1-51827	«41098 1.35681	1.04029	.67881	.96669	.58282 .01542	1.28723	.87420	.58910	.75395 .37160	1.63827	1.12502	.26822	«95588 .17692	1.85664	1.27023	-12694	1.06720 1.03667	.67613	.70502	1-12616	.98462 1.15081	.86562	-92698	«74468	1.09627 •69935	1.09601	1.1771Э	.46690	1.21321 .32099	1.41679	1.50420	.21807	1.35777 .15328	1-61419	1.69718	.10439	1.44022 1.3672а	«76114	«44746	2.01083	.94136 .92320	1.00154	.63575	1-20473	1.14956 -38858	1.29050	-85538	.78945	1.39229 .27927	1.69053	1.18960	.36525	1.72077 .13471	1.93630	1.39225	.17487	1.91900 1-26609	.64760	.54466	1.63390	-76756 .09540	.86007	.76733	1.06630	-95500 .54607	1.11622	1.03951	.65093	1.17011 .25986	1.47272	1.42505	«30603	1.45794 .12563	1.69286	1.66661	.14673	1.63110					1.04901 1.06140 1.07163 1.08093 1.ов4в4 .74312 .09544 1.05143 1.23694 1.33007 -97842 1.18228 1.39629 1.65959 1.80819	.64407 .57633 .30877 .17437 .00371 .6951-7 .40206 .31255 .14962 .07224	.63916 .77015 .89697 1-04130 1.11042 1.11421 1.20554 1.29689 1-4о4В9 1.46420	1.00154 1.09096 1.10032 1.10919 1.11311
			С|		С'г	С’з	с4	с;	с.		С'6	С'7		С,	Ci	i-to
Элементы на рис. А-б
Вычислены по программе, взятой из [109].
Окончание табл. А—4
п
3
4
5
6
7
8
9
10
Элементы на рис. А-Н
ш3	Л р					c4	ЬЛ			t-6		C8		L,	c10
1.Q5	е.1э+	1.055 07	.25223	3.28904	1.03507										
1.10 1.10	11.46Q 16.20?	1.22525 1.42450	. 37471 .52544	1.94752 1.11977	1.22523 1.42490			В полосе пропускания							
1.50	25.176	1.69200	.73340	.48392	1.69200										
2.00	34.454	1.85199	.85903	.22590	1.85199										
1.05	11. 322	.63708	- 35277	2.41039	1.11522	1.39953									
1.10	15.942	.60935	.54042	1.40015	1.18107	1.45001				♦					
1.20	22-293	1.00329	.777 3 3	.79634	1.26621	1.49217									
1.50	34.179	1.25675	1.11431	.34362	1.30981	1.53225									
2.00	46.401	1.40677	2-32367	.13960	1.46762	1.55072									
1 .05	24.135	1.5 6191	.67560	.83449	i.ss+«o	.26564	3.31601	.88526							
1.10	30.471	1.69691	.77511	.58827	1.79892	.39922	1.96907	1-12109							
1.20	ЗВ.757	1.82812	.87005	.38720	2.09093	.56347	1.16672	1.39094							
1.50	53.675	1.976 87	. S16S4	.10624	2.49161	.79362	.51950	1.71889							
2.00	69.360	2.055?4	1.03392	.09152	2.73567	.93561	.z44sc	1.91939							
1.05	29-133	1.0745В	.В0116	.61300	.92735	. 51753	1-71498	.92106	1.60511						
1.10	эб.бео	I .22-059	.94235	.57746	1 -10900	.75718	1.05819	1.01676	1.64682						
1.20	46.571	1.37146	1.06633	.36284	1.32610	1.05110	.63354	1.1г+вЛ	1.68498						
1.50	64.661	1.55425	1.25876	.16779	1.62329	t.46557	.28655	1.26961	1.72462.						
2-00	63.221	1.65661	1.35450	.0917?	1-80860	1.72376	.13586	1.35729	1 • 74+24-						
1.05	40.926	1.82156	.06343	.42666	1.67632	.34381	2.60Z71	1.23696	.+677S	1.63392	1.22362				
1.10	49.816	1.?1о4о	.92662	.30705	1.93575	.48016	1.68753	1.5 5 276	.59277	1.10699	1.41994				
1.20	61.422	1.9916В	.98474	.20446	2.22604	.64444	1.04056	1.9272+	.73012	.70551	1.62539				
1.50	62.58В	2-07662	1.047 61	.10016	2.61372	.87393	-4Э973	2.44021	.90483	.33349	1 - 07717				
2.00	104.Z68	2.12329	1.07993	.04864	2.844+6	1.01630	.23538	2.75306	1.00567	.1603+	2.01924				
1.05	46.7 27	1.34673	1.00922	.4752!	1.08540	.54692	1.6+007	.70773	.86533	.91752	1.00315	1.72154			
1. 10	56.В5В	1.46597	1.10092	.34817	1.28842	.75883	1.07170	.90030	1.11345	.61997	1.07811	1.75951			
1.20	70.096	1.50346	I.i 8748	.23599	1.52224	1 .01386	.66997	1.12753	1.39664	.39359	1.1590+	1.79429			
1.50	94.266	1 .71869	1.28337	.11791	1.83710	1.3693Z	.31489	1.43764	1.77189	.10513	1.26147	1.03033			
2.00	119.034	1.79131	1-33358	.05В07	2.02800	1.58946	.15183	1.62645	1.99561	.08870	1.32075	1.04707			
1.05	57.736	1.95471	.95672	.26172	1.94687	.46951	1.76694	1-12605	.35392	2.54224	1.40979	-63099	.99407	1.47097	
1.10	69.167	2.01503	.99976	• 18875	2.18046	.60062	1.21502	1.47339	.43929	1 .66927	1.71691	.73764	.69962	1 .63779	
1.20	84.089	2.06867	1.03833	.12505	2.43022	.74965	.7846+	1 .80531	.65376	1-0449?	2-06610	.84652	.45803	1.79580	
1.50	111.302	2.12470	1.07895	.06173	2.74601	.94696	.37634	2.4507?	.88531	.49076	2.53625	.97364	.22103	1.97957	
2.00	139.176	2.15275	1.09942	.03012	2.92B71	1.06415	18236	2.79680	1.02979	.23642	2-81748	1.0*668	.10706	Z.07916	
	64.036	1.52461	1-11270	.32041	1.31260	.66239	1.23499	.69671	.59634	1 .51063	.77127	1.18327	.5740 2	1.069+5	.79994
i.;o 1-20	76 -722	1.62236	1.17191	. 23621	1.51411	•B7139	.85595	.92029	.02679	.9896?	.94303	1.42284	.49036	1.12735	. ез+гз
	93269	1.71564	1.2250(0	.16075	1.73787	1.00551	.55798	1.18806	1.10906	.01761	1.13757	1.68092	.25963	1.18655	1.065 22
1.50	123.515	1.8194?	1.20114	.00056	2.02643	1.36690	.27098	1.55972	1.50976	. гавсб	1.39429	г-оо4з4	.12383	1.25749	1.097 27
2.00	154.482	1 .87378	1.30964	.03972	2.19972	1.53360	.13227	1 -76906	1.76138	.13004	1.54729	2-18935	-05966	1.29608	.91206
^2	С 2	^3	^-4	^4	С5	L6 Се С7	L'8	С'8	С'9	£'1О
Элементы ни рис. А-б
Таблица Д—5
Значения элементов для лестничных эллиптических НЧ прототипов без потерь, нагруженных с двух сторон (случай Ь)*
Элементы па рис. А-5
И	«».	G		С2	L2	G	G	G	G	c6	L6	G	G		G	
4	1.05 1.10 1.го 1.50 2.00	4.405 8.300 14.387 26.320 38.697	.15700 «зз411 .53773 .79962 .95051	.20091 .зз4за .55478 .08 310 1.08631	4.73022 2.20333 1.12558 .43620 .19517	1.20743 1.26881 1.36980 1.53672 1.64684	.62637 .84827 .65261 .04068 .83004			В полосе пропускания Ла RL=0, 73781 Ом				=о,1дб		
6	1.05 1.10 1.20 1.50 г.оо	20.307 27.8 09 37.627 55,966 74.546	.57153 .70763 .б4г44 .99836 2.06260	.65752 .81703 .98082 1.17807 1.28970	1.013 46. .67992 .43122 •20248 .09690	.92972 1 .10484 1.32791 1.64500 2.04134	.32584 .53890 .75659 1.06049 2.29301	2.72744 1.54640 .00144 .30623 .10123	1.03524 1-1^779 1.37708 1.61156 1.75160	.60609 .08523 .07992 .67198 - 66710						
в	2.05 1.10 1.20 1.50 2.00	37.529 47.666 60.949 05.130 109.925	.79699 •69538 .98606 1.08612 1.13830	.92996 3.04944 1.26509 1-29596 1.36543	.52053 .37264 .24409 .11.763 .05694	1.02243 1.22051 1.44606 1.74572 2.92553	.42917 .61676 .64957 1.1744s lo 37705	2.09064 1.31464 .75968 .36725 .17531	.76906 1.01703 1.29323 1.67604 1.92249	.59436 .77697 .96124 1.24564 1.40030	1.34317 .09307 .56277 .26411 .12672	1.24821 1.30901 1.53864 1.72539 1.83237	.89367 .89115 .88795 .88347 е88075			
10	2.05 1.10 1.20 1.50 2.00	54.608 «7.307 63.887 114.173 145.095	.92833 .99839 1.06237 2.13092 1.16590	1.09111 2.18097 2.26448 2.35538 1.40227	.ЗЗ^вТ .23833 .15755 .07660 .03721	1.21271 1.39449 1.59212 1.84367 1.90983	.56502 .76963 .96322 1.26943 1.44131	1.44313 .97094 .61709 .29213 .14083	.74643 .93103 1.20607 1.69539 1.94670	.46770 .65631 .68676 1.21247 1.41617	1 .92642 1.2.4697 .77257 .35973 .17269	.91319 3.14180 1.40606 1.76030 1.97377	.60993 .97201 1.14191 2.34833 1.46362	.84618 .59039 .38429 .38475 .08940	3.41635 3.53570 1.65727 1.80184 1.88151	. 894 91 .89303 .В9178 .88893 .88719
			С\	G	G	G	G	G	G	L'6	G	G	G	G	G	Go
Элементы на рис, А-б
* Вычислены по программе, взятой из [1091.
Окончание табл. А—5
Элементы на рис. А-5
п				Ci	^2	1-3		^4		Сб	Ьб	^7	С„		L9	Go
4	1.05 1.10 1.10 1.50 г.оо	1э.г4з 18.140 Z4.700 36.771 49.156	.95111 1.16239 1.40135 1.71463 1.9004В	.26779 .3995В .56066 .78307 • 91620	3.20104 1.91077 1.11374 .49201 .23091	1.90749 г.озггв Z.21453 2.4936В 2.65459	.00699 .00907 .00633 .79924- .79441		В полосе пропускания йа=1 дБ							
6	1.05 1.10 1.го 1.50 г.оо	30.730 Эв.з42 4в.2е5 66.425 «5.00В	1.4О4Э2 1.56906 1.73632 1.9Э.4ЗД 2.04359	.50067 .69149 .80659 .94611 1.02402	1.14761 .80335 .52424 .25229 .LZ205	1.3756В 1.66032 2.01190 2.47740 2.75604	.31637 .45609 .62216 .05305 .99547	2.79144 1.75937 1.07165 .49203 .23540	1.79883 1.99706 2.22816 2.53990 2.72966	.82259 .62076 .61822 .61461 . 81243						
8	1.05 1.10 1.20 1.50- 2.00	47.967 56.146 71.406 95.597 120.374	1.67197 1.79301 1.90004 2.03647 2.10671	.76069 .84446 .9Z5B5 1.01616 1.06721	.64615 .46309 .30716 .14900 ♦ 07206	1.55530 1.83957 2.16030 2.56395 2.83733	.34969 .4В544 .65000 .86106 1.02492	2.56605 1.6759© 1.04547 .48955 .23554	1.17579 1.51273 1.91110 2.4556В 2.76753	.48610 .61510 .75902 .94522 1.05416	1.64101 1.12807 .72753 .34605 .16833	2.03669 2.21830 2.41639 2.66646 2.81453	.02473 •82355 .02209 .вгооб .81683			
10	1.05 1.20 1.20 1.50 2.00	65.067 77.767 94.146 124.563 155.554	1.04096 1.92046 2.00313 2.09263 2.13В63	.6699В .93266 .99155 1.05564 1.оевво	.41073 .30171 .20092 .09635 .04792	1.В1629 2.07454 2.35262 2.70617 г.91150	.45061 .56273 .73518 .93910 1.06145	1.67356 1.26236 .62529 .39469 .19123	1.10022 1.45156 1.86993 2.44690 2.60119	.35991 .49556 .66055 .89307 1.03824	2.50341 1.65147 1.03714 .46839 .23556	1.35196 1.67647 2.05233 2.55069 2.65037	.езгзг .74584 .86549 1.01109 1.09249	1.06524 .78942 .50703 .24438 .11976	2.24376 2.40166 2.56480 2.76130 2.87052	.62561 .62464 .62390 .62261 .62181
				*4			ь;	с;	G	Ь'б		С'7		с.	Ci	
элементы на рис. А-5
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Свойства операционных усилителей
В этом приложении представим краткий обзор свойств операционных уси-
лителей. Отличительной особенностью операционного усилителя является то,
что он является управляемым источником, в котором такой параметр, как ко-
эффициент усиления в прямом направлении, имеет очень большое значе-
ние. Существуют два типа операционных усилителей, которые могут исполь-
зоваться в настоящее время. К ним относятся ИНУН и ИНУТ. Обозначения
этих операционных усилителей показаны на рис. Б—1,я (усилитель типа
Рис. Б—1. Схематическое изображение операционных усилителей:
а —ИНУН; б —ИНУТ
ИНУН) и Б—1,6 (усилитель типа ИНУТ). Выходные напряжения усилителей
типа ИНУН и ИНУТ приведены ниже:
Ио (s) = Ad (s) — V2 (s)J + Ас [Vj (s) + V2 (s)]/2;1	(I)
Vo (s) = Rd 14 (s) — /2 (s)] + Rc (s) + /2 (s)]/2.	(2)
Параметры Ad и Rd называются коэффициентами усиления дифференциаль-
ного сигнала, тогда как Ас и Rc называются коэффициентами усиления синфаз-
ного сигнала. На основе этих параметров определяются коэффициенты ослаб-
ления синфазного сигнала (КОСС), которые для усилителей типа ИНУН и
ИНУТ соответственно равны:
КОСС = Лд//с; КОСС = Rd/Rc.	(3), (4)
В идеальном случае выходное сопротивление обоих типов усилителей дол-
жно быть равно нулю. Входное сопротивление усилителя типа ИНУН должно
быть бесконечно велико, тогда как входное сопротивление усилителя типа
ИНУТ должно быть равно нулю. Если коэффициент усиления усилителя в пря-
мом направлении достаточно велик, то его можно считать бесконечно боль-
шим; в этом 'Случае можно использовать понятие пулевого входа для анализа
схем, содержащих такие усилители. Нулевой вход — это просто пара зажи-
мов, на которых равны нулю одновременно напряжение и ток. Можно пока-
зать, что пара входных зажимов операционных усилителей типа ИНУН реа-
лизует нулевой вход, как только коэффициент усиления дифференциального
сигнала стремится к бесконечности. Как пример, на рис. Б—2,а показана схе-
ма неинвертирующего усилителя напряжения с конечным усилением. Перемен-
ные Vi(s) и Ii(s) определяют нулевой вход. Полагая, что характеристики
усилителя идеальные, находим,
У.(8)/Ув(5)=1+/?2/^,	(5)
Аналогично, на рис. Б—2,6 показана схема инвертирующего усилителя на-
пряжения. Здесь Vi(s) и A(s) также определяют нулевой вход. Для этой
схемы
l^o(s)/Vs (s) = R2/Ri-	(6)
Моделирование операционных усилителей достаточно сложно тогда, когда
коэффициент усиления в прямом направлении, или коэффициент усиления диф-
ференциального сигнала, недостаточно велик, чтобы можно было использовать
а.)	6)
Рис. Б—2. Схема усилителя напряжения с конечным коэффициентом усиления:
а— неинвертирующего; б — 'Инвертирующего
*
понятие нулевого входа. В этом случае общая модель неинвертирующей схе-
мы показана на рис. Б—3,а, где усиление операционного усилителя в прямом
направлении определяется соотношением
Vo(s)=AdVt-(s).	(7)
Полное усиление по напряжению
A (s) = Vo (s)/Vs (s) = Ad/[\ + Ad Zxl(Zx + Z2)J.	(8)
Входное и выходное полные сопротивления схемы остаются соответственно
бесконечно большим и нулевым. Аналогично, общая модель инвертирующей
схемы показана на рис. Б—3,6 при этом полное усиление по напряжению
=	= Adz2/(z1 + z2) .	(9)
(s)	1 + Ad Z1/(Z1 -f- Z2)
Рис. Б—3. Эквивалентные схемы усилителя с конечным коэффициентом уси-
ления:
а — неинвертирующего; б —.инвертирующего
(10)
\ Для этой схемы выходное полное сопротивление равно нулю, но входное
полное сопротивление не является бесконечно большим. Оно равно
\	г /а =	=____________к____________
\	BxU Is(s) 1 +Z1/(Z1 + Z2 + Ad Z2) ’
Это конечное входное полное сопротивление инвертирующей схемы при-
вадит к трудностям при реализации 7?С-фильтров на инвертирующих усилите-
лях с конечным усилением и является одной из причин того, почему такие
фильтрь} не нашли широкого применения.
Такие же сложности возникают, когда моделируется операционный уси-
литель с учетом входных и выходных полных сопротивлений. Схема для слу-
чая неинвертирующего усилителя с конечным усилением показана на
Б—4,а. Для нее входное и выходное полные сопротивления имеют вид
рис.
7 х___________	(s) ____(^i ~~t~ Ro) ~4~ Z.x (Ro Z8) Ad Rj Zi
Bx(s ~ /6(s) "	z1 + z2 + ro
Vo (s)  Ro [Ri (Zx + z2) + Zj Z2]____________________________________________
Л> (s) Ri \Z1 -f- Z2 -f- Ro) -|- Zx (Ro -|- Z2) -|- Ad Ri Zx
(Ha)
(H6)
Рис. Б—4. Эквивалентные схемы усилителя с конечным коэффициентом уси-
ления:
а — неинвертирующего; б — инвертирующего
Соответствующая схема для инвертирующего усилителя приведена на рис.
Б-46. Для нее
ZBX (s) = Vs (s)//s?(s) = Zt + (Ro Ri 4- Z2 Ri)/(Z2 + Ro + Rt + Ad R{y, (12a);
^вых (s) = Vo (S)/Io (s) = Ro (Zx Z2 Ri Ri -j- R{ Z2)/[R{ (Zx -J- Z2 -|- Ro) -f-
+ ZX (Ro +Z2) + Ad RiZj].	(126)
Усиление по напряжению для неинвертпрующей схемы
Vq (s) I =t1(s)_________________Z1 ArAdRc (гг 4~ Z2)___________
(s) I Io (s)=0	Ri(Zi + Z2JrRo) + Zx(Ro-JrZ2)-4rAdZiRi ‘	( '
Для инвертирующей схемы соответственно имеем
Vq (s) I _______Л ( )_______________Ro Rj Ad Ri Z2_____________
Vs(s) |/o(s)=0- Ri(Z1+Ro+Z2) + Z1(Z2 + Ro)+AdRiZi ' ( f
Как пример использования приведенных соотношений, рассмотрим следу-
ющие параметры операционного усилителя: Rt=106 Ом, /?о='1О2 Ом и Ad =
= 105. Если полные сопротивления в цепи обратной связи на рис. Б—4 Zi =
= 1 кОм и Z2—10 кОм, то для неинвертирующей схемы из (11) находим: ZBx=
= 9,010-10В 9 Ом и ZBbrx = 0,011 Ом. Аналогично для инвертирующей схемы из
(12) получаем ZBX= 1000,1 Ом и ZBbrx=0,011 Ом. Следует заметить, что зна-
чения величин, полученные в предыдущем примере, труднодостижимы на прак-
тике (за исключением ZBX в инвертирующей реализации). Одна из /причин
этого состоит в том, что максимальное входное полное сопротивление опера-
ционного усилителя, использованного в режиме усиления единственного сиг-
нала, не может превысить полного сопротивления усилителя в режиме син-
фазного сигнала Ricrri. Это полное сопротивление моделируется так, как по-
казано на рис. Б—5. Riem обычно определяется сопротивлением база-коллек-
тор транзистора, работающего в режиме нормального усиления. Обычно его
значение лежит в диапазоне 10 ... 100 МОм в зависимости от смещения в об-
ратном направлении и тока коллектора. Следовательно, максимальное значение
ZBX составляет 100 МОм или меньше. Аналогично, выходное полное сопротив-
ление ограничивается на уровне 1 Ом благодаря контактному сопротивлению
и сопротивлению 'проводников, используемых в операционных усилителях.
Схемы, в которых используются операционные усилители типа ИНУТ, мож-
но анализировать точно так же, как это было показано для усилителей типа
ИНУН. Модель операционного усилителя типа ИНУТ, построенная для случая
неидальных полных сопротивлений, .показана на рис. Б—6. В идеальном слу-
чае Ri -и Ro равны -нулю. Из рисунка видно, что входные полные сопротив-
ления в режиме синфазного сигнала бессмысленно вводить для операцион-
ного усилителя типа ИНУТ.
Рис. Б—5. Модель операционного
усилителя с выделенным полным со-
противлением в режиме синфазного
сигнала
Рис. Б—6. Эквивалентная схема опе-
рационального усилителя типа ИНУТ
В большинстве твердотельных операционных усилителей используются пря-
мые связи (связи по постоянному току) между каскадами. При таких связях
возникает возможность отклонения режимов по постоянному току от номиналь-
ных. Существуют два источника таких ошибок, а именно: токи смещения и
остаточные напряжения смещения. Токи смещения можно моделировать введе-
нием в схему двух источников тока /СМ1 и /см2, как показано на рис. Б—7.
Сплошными линиями на этом рисунке обозначен операционный усилитель, у
которого отсутствуют ошибки вмещения по постоянному току, пунктирными
ли — гтеряпиояный усилитель, который содержит источники таких оши-
бок}. Эти источники характеризуют токи смещения, требуемые для надлежа-
щей \работы операционного усилителя. Их величина очень мала, обычно по-
 
рядка} 100 нА. Для операционных усилителей, которые проектируются с ис-
пользованием полевых транзисторов на входе, токи смещения даже меньше
/?Z
Операционный уси-
литель с источни-
ками ошибок по
^постоянному току
o-
/ Операционный у„
усилитель без
источников оши-
бок по постоян-
ному току
Рис. Б—7. Модель операционного усилителя с выделенными источниками токов
смещения и напряжения смещения
указанных, обычно имеют величину порядка 10 нА. Разность между /см1 и
/см2 называется разностью входных токов-.
/р == I /см 1 -/см 2 I •	(15)
Разность входных токов обычно составляет 5 ... 10% тока смещения. Она
возникает в результате различия коэффициентов передачи тока в плечах вход-
ного дифференциального каскада операционного усилителя.
Второй источник ошибки смещения по постоянному току в операционном
усилителе — напряжение смещения. Когда операционный усилитель работает
без дифференциального входа, на его выходе появляется напряжение, даже
если входное напряжение равно нулю. Этот эффект моделируется включением!
в 'схему на рис. Б—7 источника напряжения смещения Кр. Напряжение сме-
щения обусловлено любыми изменениями крутизны характеристик входных
каскадов операционного .усилителя. Обычно оно равно 1 ... 5 мВ. Объединяя
ошибки смещения по постоянному току обоих типов, получаем
Vo (s) = —(RM Vs (s) ± (1 + Z?2/Z?x) VP +
+ (I + R2/R1) R3 Ib1--Кг /см 2-	(’6)’
Так как, в общем случае, полярности напряжений Vp и токов /р непред-
сказуемы, выражение (16) должно рассчитываться на наихудший случай.
Ошибки по постоянному току можно свести до 1минимума, если сопротивления
между инвертирующим и неинвертирующим входами операционного усилителя
и землей будут равны. Так как в активных фильтрах операционный усили-
тель всегда используется с обратной связью, ошибки смещения по постоянно-
му току обычно не вызывают серьезных проблем.	/
Обычный операционный усилитель со связями по .постоянному току тре-
бует использования источника питания, обеспечивающего напряжение как по-
ложительной, так и отрицательной полярности. Однако недавно в практику
вошли операционные усилители с однополярным питанием. Такое питание воз-
можно в усилителях как типа ИНУН, так и ИНУТ. Схемное обозначение та-
кого операционного усилителя типа ИНУН показано на рис. Б—8. /Напряже-
ния на неинвертирующем и инвертирующем входах обозначены V+ и V~ соот-
ветственно, а -напряжение питания показано как Уп.	/
Рис. Б—8. Схематическое изо-
бражение операционного уси-
лителя типа ИНУН при не-
симметричном питании
Рис. Б—9. Реализация ФВЧ на опера-
ционном усилителе с единичным уси-
лением. Значения элементов даны в ки-
лоомах и микрофарадах
В отличие от операционных усилителей с двуполярны-м питанием, для ко-
торых легко используется непосредственная связь, операционные усилители с
однополярным питанием требуют подачи на вход смещения. На практике сме-
щение выбирается так, чтобы при нулевом сигнале на входе выходное напря-
жение имело бы значение, среднее между напряжением питания и потенциалом
земли. Как пример, рассмотрим использование операционного усилителя типа
ИНУН с однополярным питанием для реализации ФВЧ на усилителе с еди-
ничным усилением (см. пример 4.3—3). На рис. Б—9 показана реализация
с дополнительным источником Кем, который используется для смещения. Если
принять напряжение Усы равным Уп/2, то постоянный (нулевой) уровень вы-
ходного напряжения V2 также будет равен Уп/2. Напряжение VCM можно по-
лучить непосредственно от источника питания Уа с помощью делителя напря-
жения, схема которого дана на рис. Б—10. При использовании такой цепи
должно соблюдаться условие, чтобы она не влияла на характеристик!/ цепи
по постоянному току. В этом случае, так как соэт~104 рад/с, из рис. В—10
можно вычислить, что полное сопротивление по переменному току источника
Усм приблизительно равно 100 Ом. Оно незначительно по сравнению с после-
довательно включенным сопротивлением равным 111 «Ом.
Рассмотрим теперь свойства операционного усилителя по переменному то-
ку. Одна из наиболее важных характеристик операционного усилителя при его
применении в активных фильтрах — его АЧХ. При увеличении частоты коэф-
фициент усиления операционного- усилителя уменьшается из-за частотных огра-
ничений полупроводниковых приборов. Чем больше уменьшается коэффициент
усиления, тем больше реализация фильтра в целом становится зависимой от
коэффициента усиления усилителя при разомкнутой петле о ратной связи.
Кроме того, если в передаточную функцию при разомкнутой петле обратной
связи вводится избыточное запаздывание по фазе, возникает сдвиг желаемых
положений полюсов, который может привести к неустойчивости.
Рис. Б—10. Получение Vb с по-
мощью делителя напряжения. Зна-
чения элементов даны в килоомах и
микрофарадах
Рис. Б—И. Зависимость модуля ко-
эффициента операционного усилителя
от частоты
Фактическая АЧХ операционного усилителя описывается достаточно слож-
ным выражением. Упрощенная АЧХ, которая зарекомендовала себя на прак-
тике, соответствует наличию трех полюсов с отрицательной вещественной ча-
стью [103]. С помощью такой модели можно, предсказать возможность не-
устойчивости при замыкании петли обратной связи. Следовательно, для боль-
шинства операционных усилителей нужно использовать частотную компенсацию
(коррекцию), чтобы сделать их пригодными для использования в активных
фильтрах или почти в любом другом применении. Цель введения большинства
схем компенсации состоит в том, чтобы функция усиления в прямом направ-
лении приняла вид
Ad (s) = А0 сой/ (s + сой) = GB / (s + со0),	(17)
где Ао — коэффициент усиления по постоянному току, соЕ — ширина полосы
АЧХ, a GB —произведение коэффициента усиления на ширину полосы. График
АЧХ выражения (17) приведен на рис. Б—11. Для нее типичными являются
значения Ао=1О5 и соа=.10 рад/с. Если положить, что s=jGB в (17), то уви-
дим, что GB является выраженной в радианах частотой, при'которой ампли-
туда zld(j(o) становится равной единице. Подробное рассмотрение того, как
осуществляется частотная компенсация, можно найти в литературе [104]. Фак-
тическая АЧХ большинства скорректированных операционных усилителей име-
ет второй полюс на частоте co = GB или выше ее, как показано пунктирной
линией с наклоном —12 дБ/октаву иа рис. Б—11.
Другой характеристикой операционного усилителя, от которой зависит по-
ведение активного фильтра, является скорость нарастания выходного напря-
жения, т. е. возможность отслеживать быстрые изменения входного сигнала.
Этот эффект трудно моделировать, так как он нелинейный. Применительно к
активным фильтрам он может вызвать зависящее от амплитуды запаздывание
по фазе в петле обратной связи. Например, в некоторых фильтрах при воз-
растании частоты входного сигнала схема может стать неустойчивой, как
только частота достигает резонансной. Однако, если амплитуда входного сиг-
нала уменьшается, то можно достичь устойчивой работы фильтра на свили-
рующем сигнале. Такая неустойчивость вызвана тем, что одновременно с ча-
стотой сигнала увеличивается и его амплитуда из-за резонансных свойств ха-
рактеристики фильтра. Следовательно, ограничения на скорость нарастания
создают достаточное запаздывание по фазе, чтобы вызвать генерацию. Что-
бы увидеть, почему наклон 'выходного напряжения операционного усилителя
должен ограничиваться максимальным значением (скоростью нарастания), рас-
смотрим частотно-корректированный операционный усилитель, модель /которого
показана на рис. Б—12 [105]. В этой модели, источник, помеченный £ак f(Vt),
является ИТУН; зависимость тока от входного напряжения приведена на
рис. Б—13. Здесь —скорость нарастания. Выходное напряжение? для схе-
мы на рис. Б—12
Vo(s)=	f (Vi),	(18)
где со0=1//?С.	(19)
Рис. Б—12. Модель частотно-компен-
сированного операционного усилителя
Рис. Б—13. Характеристика источни-
ка f(Yi), показанного на рис. Б—12
Если величина V, (меньше, чем 6, то (18) можно упростить:
Vo (s) / Vt (s) = gm R O)a/(s + cco) = Ao aa/(s + to2) •	(20)
Полученное равенство эквивалентно (17). Таким образом, gm<R=A0— ко-
эффициент усиления на низких частотах (на постоянном токе для малого сиг-
нала). Дли частот выше соа выражение (20) можно привести к виду
Vo (s)/Vi (s) ~ Ао coa/s « GB/s.	(21)
Если Vi(s)—ступенька с амплитудой V вольт, то выходной сигнал во
временной области
v0(t)=GBVt.	(22)
Видно, что наклон выходного напряжения будет пропорционален ампли-
туде Vt. Однако, если амплитуда Vt будет больше 6, то максимальная вели-
чина f (Vi) определяется как
f(Vi)maX=C^-
at
I = SRC.
Imax
(23)
' Из выражения (23) видно, что максимальный наклон выходного напря-
исенйя ограничивается величиной 5Д, т, е. скоростью нарастания выходного
напряжения операционного' усилителя.
Другая характеристика операционного усилителя, которая влияет на ха-
рактеристики активного фильтра, — его шум. Он существенно ограничивает
минимальный уровень сигнала. Чтобы получить большую величину затухания
сигнала \в полосе задерживания фильтра, необходимо иметь низкий уровень
шума. Шумовую характеристику операционного усилителя можно смоделиро-
вать с помощью схемы на рис. Б—14. На этом рисунке величины е2п(<о) и
Рис. Б—14. Модель опе-
рационного усилителя с
источнмка1ми шума
42n(w) называются спектральными плотностями шумового напряжения и тока.
Эти величины даются в квадратичных или в среднеквадратичных единицах.
Заметим также (как это и показано на рисунке), что источники шума не име-
ют полярности. Типичная спектральная плотность шума для операционного уси-
лителя приведена на рис. Б—15. Возрастание спектральной плотности шума
Рис. Б—15. Спектральные плотности источников шумов операционного усили-
теля
с уменьшением частоты — явление, известное как шум вида 1/f [106]. Другой
источник шума в активных приборах обусловлен резистивными компонентами.
Две эквивалентные модели шума для резистора с сопротивлением показаны на
рис. Б—16. Для этих моделей выражения для источников шума имеют вид
4kT
(Ш) = 4kTP- i\ (со) = —,	(24)
где е2в — дано в вольтах в квадрате иа герц; PR—в амперах в квадрате на
герц, к — постоянная Больцмана, равная 1,38-10~23 Вт-с/К- Примеры вычис-
ления шумовых характеристик можно иайти в литературе [100, 107].
Рис. Б—16. Модели шу-
ма для резистора с со-
противлением R
ij
Использование соответствующей техники синтеза может значительно сни-
зить влияние шума на характеристики активного фильтра. Например,. уровень
сигнала фильтра должен быть выбран как можно больше, чтобы получить мак-
симально возможный динамический диапазон. Уровень напряжения собствен-
ных шумов для ширины полосы 10 Гц обычно порядка—100 дБВ (на 100 дБ
ниже 1 В). Каждое увеличение частоты на декаду приводит к увеличению
уровня шума на 10 дБ. Например, если пороговый уровень шума системы ра-
вен —100 дБВ в полосе 10 Гц, то напряжение собственных шумов должно
быть равно —70 дБВ в полосе 10 кГц. Если сравнить относительный вклад
резисторов и усилителей в общую шумовую характеристику, то усилитель бу-
дет играть главную роль Таким образом, наиболее эффективный путь сниже-
ния уровня выходного шума — использование малошумящего операционного
усилителя. В большинстве применений величина е2п (со) более важна, чем
12п(<в), поэтому на практике следует выбрать усилитель с низким значением
е2„ (<£>). Если важно минимизировать шум вида l/f, то следует выбирать опе-
рационные усилители, входные каскады которых построены на полевых тран-
зисторах с р-п-переходом, так как точка излома зависимости е2п(а) для них
соответствует более низким частотам, чем для биполярных.
Существует ряд других .параметров, которые следовало -бы упомянуть как
важные для применения в активных фильтрах. Один из них связан с ошиб-
кой смещения пр постоянному току, которая ранее характеризовалась вели-
чинами Vos и los. На практике эти параметры зависят от температуры. Ти-
пичные значения таковы: dVOs/dT^6 мВ/°С и dIos/dT^2 пА/°С. К счастью,
обратная связь, которая используется в активных фильтрах, позволяет мини-
мизировать этот эффект в большинстве реализаций. Другой температурно-зави-
симый параметр — GB. Типичный температурный коэффициент для GB приб-
лиженно равен —2000-10-6/0 С. И, наконец, последний параметр — коэффициент
подавления пульсаций питания, который измеряется как отношение амплитуды
пульсаций на выходе усилителя к амплитуде пульсаций на выходе источника
питания. В общем, случае этот коэффициент должен быть больше, чем Ао, чтобы
предотвратить возможную неустойчивость усилителя.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Дополнительную информацию по многим вопросам, рассмот-
ренным в этой книге, можно получить из списка литературы, при-
веденного ниже1. Рассматривая прежде всего материал по аппрок-
симации (а также вопросам синтеза пассивных цепей), содержа-
щийся в гл. 2, следует отметить, что нечасто можно найти столь
точные выражения, как в классическом тексте Гиллемина, который
дает читателю возможность глубоко проникнуть в суть аналитиче-
ской техники синтеза цепей. Другими книгами, широко известными
в этой области, являются: книга Ван Фолкенбурга, которая осо-
бенно рекомендуется для четкого уяснения основных понятий, и
книга Балабаняна, которая содержит детальное рассмотрение ДС-
цепей. Таблицы различных типов аппроксимаций и фильтров, ко-
торые их реализуют, можно найти у Кристиана и Эйзенманна,
Крэйга, Зааля и Зверева.
Рассматривая далее материал по чувствительности, содержа-
щийся в гл. 3, следует упомянуть книгу Гехера, которая является
прекрасным образцом работ по теории чувствительности. И, нако-
нец, при изучении материала по активным фильтрам, содержаще-
гося в гл. 4—6, следует ознакомиться с работами Будака, Дарья-
нани, Линдквиста, Седра и Брэкетта, а также Темеша и Митру,
которые дают современное изложение многих вопросов в этой об-
ласти. Кроме того, Хьюлсманом (в 1976 г.) были собраны и опуб-
ликованы результаты наиболее значительных оригинальных иссле-
дований, которые являются вехами в области развития активных
фильтров.
1 Ниже, кроме списка книг, приведенного автором в данном разделе, по-
мещен список литературы, указанной автором в оригинале в подстрочных при-
мечаниях к соответствующим разделам. Кроме этого, читатель может восполь-
зоваться значительно более полной библиографией по синтезу активных фильт-
ров, помещенной в книгах: В. Е. Хейилейн и В. X. Холмс. Активные фильтры
для интегральных схем. — М.: Связь, 1980 (где приведен также список книг
по фильтрам на русском языке); Синтез активных Л’С-цепей. Современное со-
стояние и проблемы/Под ред. А. А. Ланнэ. — М.: Связь, 1975, а также в списке
дополнительной литературы. — Прим. пер.
Balabanian, N.: Network Synthesis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J, 1958.
Blinchikoff, Herman J, and Anatol I. Zverev: Filtering in the Time and Frequency Domains, John Wiley
& Sons, Inc., New York, 1976.
Budak, Aram: Passive and Active Network Analysis and Synthesis, Houghton Mifflin Company,
Boston, 1974.
Calahan, Donald A.: Modern Network Synthesis, vols.- l and 2, Hayden Book Company, New York,-
1964.
Cauer, Wilhelm: Synthesis of Linear Communication .Networks, vols. I and II, McGraw-Hill Book
Company, New York, 1958.
Christian, Erich, and Egon Eisenmann: Filter Design Tables and Graphs,.Transmission Networks;
International, Inc., Knightdale, N.C., 1977.
Craig, J. W.: Design of Lossy Filters, The MIT Press, Cambridge, Mass., 1970.
Daniels, Richard W.: Approximation Methods for Electronic Filter Design with Applications to Passive,
Active, and Digital Networks, McGraw-Hill Book Company, New York, 1974.
Daryanani, Gobind: Principles of Active Network Synthesis and Design, John Wiley & Sons, Inc., New
York, 1976.
Geffe. Philip R.: Simplified Modern Filter Design, John F. Rider; Publisher, Inc., New York, 1963.
Geher. K.: Theory of Network Tolerances, Akademiai Kiado, Budapest, 1971.
Guillemin, Ernst A.: Synthesis of Passive Networks, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1957.
'Haykin, S. S.: Synthesis of RC Active Filter Networks, McGraw-Hill Publishing Company, Ltd.,
London, 1969.
Hazony, Dov: Elements of Network Synthesis, Reinhold Publishing Corporation, New York, 1963.
Hilburn, John L., and David. E. Johnson: Manual of Active Filter Design, McGraw-Hill Book
Company, New York, 1973.
Huelsman, Lawrence P.: Active Filters: Lumped, Distributed, Integrated, Digital, and Parametric,
McGraw-Hill Book Company, New York, 1970.
-------: Active RC Filters: Theory and Application, Dowden, Hutchinson & Ross, Stroudsburg, Pa.,
1976.
-------: Theory and Design of Active RC Circuits, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968
Humpherys. DeVerl S.: The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters, Prentice-Hall, Inc.,
.Englewood Cliffs, N.J., 1970.
Johnson, David E.: Introduction to Filter Theory, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1976.
-------and John L. Hilburn: Rapid Practical Designs of Active Filters, John Wiley & Sons, Inc., New
York, 1975.
Kami, Shlomo: Network Theory: Analysis and Synthesis, Allyn and Bacon, Inc., New York, 1966.
Lindquist, Claude S.: Active Network Design, Steward & Sons. Long Beach, Calif, 1977.
Lubkin, Yale J.: Filter Systems and Design: Electrical, Microwave, and Digital, Addison-Wesley Pub-
lishing Company, Inc., Reading, Mass., 1970.
Mitra, Sanjit K.: Analysis and Synthesis of Linear Active Networks, John Wiley & Sons, Inc., New
York, 1969.
Moschytzc George S.: Linear Integrated Networks: Design, Van Nostrand Reinhold Co., New York,
1975.
-------: Linear Integrated Networks: Fundamentals, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1976.
Newcomb, Robert W.: Active Integrated Circuit Synthesis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J.,
1968.
Saal, R.: The Design of Filters Using the Catalogue of Normalized Low-Pass Filters, Telefuakea
G.M.B.H., Backnang/Wurtt, West Germany, 1963.
Sedra, Adel S, and PeterO. Brackett: Filter Theory and Design: Active and Passive, Matrix Publishers,
Inc., Champaign, Ill., .1977.
Spence, Robert: Linear Active Networks, John Wiley & Sons, Inc, New York, 1970.
Su, Kendall L.: Active Network Synthesis, McGraw-Hill Book Company, New York, 1965.
Tine Domain Synthesis of Linear Networks, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N J, 1971.
Temes, Gabor C, and Sanjit K. Mitra: Modern Filter Theory and Design, John Wiley & Sons, Inc,
New York, 1973.
Tuttle, David F, Jr.: Network Synthesis, vol. I, John Wiley & Sons, Inc, New York, 1958.
Van Valkenburg, M. E.: Introduction to Modern Network Synthesis, John Wiley & Sons, Inc, New
York, 1960.
Vlach, Jiri: Computerized Approximation and Synthesis of Linear Networks, John Wiley & Sons, Inc,
New York, 1969.
Wait, John V, Lawrence P. Huelsman, and Granino A. Korn: Introduction to Operational Amplifier
Theory and Applications, McGraw-Hill Book Company, New York, 1975.
Weinberg, Louis. Network Analysis and Synthesis, McGraw-Hill Book Company, New York, 1962;
R.	E. Krieger Publishing Co, Huntington, N.Y, 1975.
Williams, Arthur B.: Active Filter Design, Artech House, Inc, Dedham, Mass, 1975.
Zw'-"v, Anatol 1.: Handbook of Filter Synthesis, John Wiley & Sons, Inc, New York, 1967.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, ИСПОЛЬЗОВАННОЙ АВТОРОМ В ТЕКСТЕ
1.	S. Butterworth "On the Theory of Filter Amplifiers,” Wireless Engineer, vol. /, 1930, pp. 536 541.
2.	V. D. Landon “Cascade Amplifiers with Maximal Flatness,” RCA Rev., vol. 5, 1941, pp. 347-362
3.	M. Kawakami. "Nomographs for Butterworth and Chebyshev Filters,” IEEE Trans. Circuit
Theory, vol. CT-10. June 1963. pp. 288- 298
4-	P. L. Chebyshev “Theorie des mecanismes connus sous le nom de parallelogrammes,” Oeuvres,
vol. I, St. Petersburg, 1899.
5.	W. Cauer, Synthesis of Linear Communication Networks (translated from the German edition),
McGraw-Hill Book Company, New York, 1958
6.	L. P. Huelsman, "An Algorithm for the-Low-Pass to Bandpass Transformation," IEEE Trans.
Education, vol. E-ll. March 1968, p. 72
7.	W. t. Ihomson, “Delay Networks Having Maximally Flat Frequency Characteristics,” Proc.
IEEE, part 3, vol. 96, November 1949, pp. 487-490.
Я. M. E. Van Valkenburg, Introduction to Modern Network Synthesis, John Wiley & Sons, Inc, New
York. 1960, chap. 13.
9.	H W. Bode, Network Analysis and Feedback Amplifier Design, D Van Nostrand Company,
Inc, Princeton N.J, 1945, p. 52.
10.	M. L. Blostein. "Some Bounds on the Sensitivity in RLC Networks.” Proc 1st Allerton Confi
Circuits and System Theory, 1963. pp. 488-501.
11.	J. D. Schoeffler. “The Synthesis of Minimum Sensitivity Networks.” IEEE Trans. Circuit
Theory, vol. CT-11, no. 2, June 1964, pp. 271-276.
12.	H. J. Orchard, "Inductorless Filters.” Electronics Letters, vol. 2, no. 6, June 1966. pp. 224 225.
13.	L. P. Huelsman, Theory and Design of Active RC Circuits, McGraw-Hill Book Company, New York
1968, Chap. 2.
14	G. C. Temes and S. К Mitra. Modern Filter Theory and Design, John Wiley & Sons, Inc, New
York. 1973, p. 343.
15.	M. A. Soderstrand and S. K. Mitra, "Sensitivity Analysis of Third-Order Filters,” Intern. J.
Electronics, vol. 30, no. 3, 1971, pp. 265-272.
16.	L. P. Huelsman, "An Equal-Valued-Capacitor aciivc RC Network Realization of a Third-Order
Low-Pass Butterworth Characteristic." Electronics Letters, vol. 7. no. 10. May 20, 1971,
pp. 271-272.
17-	M. A. Soderstrand. M.S. thesis. University of California, Davis, 1969.
18.	A. L. Rosenblum and M. S. C3rausj, ” Multiparameter Sensitivity Hi Active RC Networks ” IEEE1
Trans. Circfnt Theory, vol. CT-18, no. 6, November 1971, pp. 592-599.
19	G. R. Cooper and C. D. McGillem. Probabilistic Methods of Signal and System Analysis,
Holt Rinenart and Winston, Inc. New York, 1971, Chaps. 2 and 3
20	S W. Director and R A Rohrer, " The Generalized Adjoint Network and Network Sensitivities,”
IEEE Trans Circuit Theory, vol. CT-16, no 3 August 1969, pp. 318-323
21	Director and Rohrer, "Automated Network Design—the Frequency-Domain Case,” IEEE
Trans. Circuit Theory, vol. CT-16, no. 3, August 1969, pp. 330-337.
22	К L. Su, "Active Filters,” Circuits and Systems, vol. 10, no. 5, October 1976, pp. 2-8.
23	1 Gorski-Popiel. "Classical Sensitivity—A Collection of Formulas,” IEEE Trans. Circuit
Theory, vol CT-10, no. 2. June 1962, pp. 300 302.
24	R. S. Aikens, “Canonic Active RC Networks.” M.S thesis. University of Arizona. Tucson, 1972.
25	I M. Horowitz, “ Optimization of Negative-Impedance Conversion Methods of Active-RC Syn-
thesis,” IRE Trans. Circuit Theory, vol. CT-6, no. 3, September 1960, pp. 352-354.
26	R. P. Sallen and E. L. Key, “A Practical Method of Designing RC Active Filters,” IRE Tran*
Circuit Theory, vol. CT-2, March 1955, pp. 74-85.
27	J. V Wait, L. P Hueisman, and G. A. Korn. Introduction to Operational Amplifier Theory and
Applications. McGraw-Hill Book Companv. New York, 1975. chap. 4.
28	W J Kerwin and L. P. Hueisman. "The Design of High-Performance Active RC Bandpass
Filters.” Proc. IEEE Intern. Coni-. Rec., part 10. March 1966. pp. 74-80.
29	Kerwin, "An Active RC Elliptic Function Filter.” IEEE Region 6 Conf. Rec., vol. 2, April 1966,
pp. M0- 641
30	L. G. Cowles. "The Parallel-T Resistance-Capacitance Network.” Proc. IRE, vol. 40, December
1952, pp 1712 1717.
.3	1 L. S. Bobrow and S. L. Hakimi. "A Note on Active-RC Realization of Voltage Transfer Func-
tions,” IEEE Trans. Circuit Theory, vol- CT-11. no. 4. December 1964. pp. 493-494.
32	R. J. A. Paul, “Active Network Synthesis Using One-Port RC Networks,” Proc. I EE , vol. 113, no.
1,	January 1966, pp. 83-86.
33	S. K. Mitra, U.S. Patent 3,401,352, September 1967.
34	J S. Brugler, "RC Synthesis with Differential Input Operational Amplifiers.” Stanford Elec-
tronics Labs Rep. 6560-4, June 1966.
35	W. P. Levering, “Analog Computer Simulation of Transfer Functions,” Proc. IEEE, vol. 53, no. 3,
March 1965, pp. 306-307.
36	T. Hamilton and A. Sedra, “A Single Amplifier Biquad Active Filter,” Proc. Intern. Symp. Circuits
and Systems. April 1972. pp. 355 359.
37	S. Tirtoprcdjo, “Constraint Removal for Huelsmarfs Equal-Valued-Capacitor Active RC
Circuit,” Electronic Letters, vol. 7. no. 16, 1971, pp. 448-449.
.3	8 M Hanlon." The Effects of Pole Pairing in Circuit Sensitivity ” class project report. University of
Arizona. Tucson. 1978.
39	G. S. Moschytz, “Second-Order, Pete-Zero Pair Selection for nth-Order Minimum Sensitivity
Networks,” IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-17, November 1970, pp. 527-534.
40	K. Soundararajan and К Ramakrishna, “Characteristics of Nonideal Operational Amplifiers,”
IEEE Trans. Circuits and Systems, vol. CAS-21. no. 1. January 1974. pp. 69-75.
41	P. E. Allen. "Slew Induced Distortion in Operational Amplifiers.” IEEE J. Solid-State Circuits.
'Vol. SC-12. no. 1. February 1977, pp. 39-44.
42	J. G. Truxal. Automatic Feedback Control System Synthesis. McGraw-Hill Book Company, New
York. 1955.
43	J. Solomon, “The Monolithic Od Amp: A Tutorial Study,” IEEE J. Solid-State Circuits»
vol. SC-9, December 1974, pp. 314-332.
44	P. E. Allen, “Large Signal Influences on Single Amplifier Active Filters.” Free. 20th Midwest
Symp'. Circuits and Systems, Awgust 1977, pp. 289.294.
A Ри^ак and D. M. Petrela, “Frequency Limitations of Active Filters Using Operational
Amplifiers,” IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-19, no. 4, 1972, pp. 322-328.
46.	W. Saraga, “Sensitivity of 2nd-Order Sallen-Key-type Active RC Filters,” Electronics Letters.-
vol. 3, no. 10, October 1967, pp. 442-444.
47.	N. Doyle, “ Swift, Sure Design of Active and Bandpass Filters,” Electronic Design News, January
15, 1970. pp. 43-47.
48.	F. R. Bradley and R. McCoy, “Driftless D-C Amplifiers,” Electronics, vol. 25, no. 4, April 1952,
pp. 144-148
49.	R. Brennan and A. Bridgman, “ Simulation of Transfer Functions Using Only One Operational
Amplifier,” IRE WESCON Com. Rec., vol. 1, 1957, pp. 273-277.
$50. W. J. Kerwin, L. P. Huelsman, and R. W. Newcomb, “State-Variable Synthesis for Insensitive
Integrated Circuit Transfer Functions,” IEEE J. Solid-State Circuits, vol. SC-2, September 196'
pp. 87-92.
51. W. H. Schussier. On the Representa tion of Transfer Functions and Networks on Analog Computers,
Westdeutscher Verlag, Cologne, 1961.
52. P. M. DeRusso, R. J. Roy, and С. M. Close, State Variables for Engineers, John Wiley & Sons,
Inc., New York. 1965.
•z53. J. Tow, “Design Formulas for Active RC Filters Using Operational Amplifier Biquad,” Elec-
tronic Leiters, July 24, 1969. pp. 339-341.
54.	K. Martin and A. Sedra, “On the Stability of the Phase-Lead Integrator,” IEEE Trans.
Circuits and Systems, vol. CAS-24, no. 6, June 1977, pp. 321-324.
55.	D. Akerberg and K. Mossberg, "A Versatile Active RC Building Block with Inherent Compensa-
tion for the Finite Bandwidth of the Amplifier," IEEE Trans. Circuits and Systems, vo\ CAS-21, no.
January 1974. pp. 75-78.
56.	S. K. Mitra. Analysis and Synthesis of Linear Active Networks, John Wiley & Sons. Inc., New
York. 1969, chap. 2.
57.	L. P. Huelsman, “A Fundamental Classification of Negative Immittance Converters” IEEE
Intern. Cone. Rec., vol. 13, p. 7, March 1965, pp. 113-118.
58.	S. K. Mitra, Active Inductorless Filters, IEEE Press. New York, 1971, pp. 215-221.
59.	S. K. Mitra, Analysis and Synthesis of Linear Active Networks, John Wiley & Sons, Inc., New York,
1969, p. 494,
60.	A. Antoniou, "Realization of Gyrators Using Operational Amplifiers, and Their Use in RC-Acti'
Network Synthesis,” Proc. IEE ., vol. 116, no. 11, November 1969, pp. 1838-1850.
61.	T. N. Rao, "Readily Biased Wideband Gyrator Circuit for Floating or Earthed Inductors,”
Electronic Letters, vol. 5, July 1965, pp. 309-310.
62.	W. H. Holmes, "An Imoroved Version of a Floating Gyrator,” IEEE J. Solid-State Circuits,
vol. SC-4, no. 3. June 1969, pp. 162-163.
63.	L. T. Bruton, “ Network Transfer Functions Using the Concepts of Frequency-Dependent Negative
Resistance,” IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-16, August 1969, pp. 406-408.
64.	F. E. J. Girling and E. F. Good, “Active Filters 12: The Leap-Frog or Active-Ladder Synthesis,”
Wireless World, vol. 76. July 1970, pp. 341-345.
65.	P. R- Geffe, “Designers’ Guide to: Active Bandpass Filters, Part 1,” Electronic Design News, Feb
5. 1974, pp. 68-73; “Part 2,” EDN, Mar. 5, 1974, pp. 40-64; “Part 3,” EDN, Apr. 5,1974,
pp. 46-52; “Part 4.” EDN, May 5, 1974, pp. 63-71; “Part 5,” EDN, June 5, 1974, pp. 64-72.
66.	G. Szentirmai, “Synthesis of Multiple-Feedback Active Filters,” Bell System Technical J.
vol. 52, no. 4. April 1973, pp. 527 555
67; G. Hurtig III, U.S. Patent 3,720,881, March 1973.
68.	,, Proc. Intern. Filter Symposium, April 1972, p, 84.
69.	D.. Johnson, J. Milbum, and F, Irons, “Higher-Order Multiple-Feedback Band-Pass Filters,
Proc. IEEE Region 3 Conf., April 1974.
70.	G. Hurtig III, “Voltage Tunable Multiple-BandpdsgFActive Filters,” Proc. Intern. Symp. Circuits,
and Systems, April 1974, pp. 569-572.
71-	G. Szentirmai, “On Multiple-Feedback Active Filter Structures,” Proc. 7th Asilomar Conf. Cir-
cuits, Systems, Computers, November-1973'pp. 368-377.
72	J. Tow, “Design and Evaluation of Shifted Companion Form (Follow the Leader Feedback)
Active Filters." Proc. Intern. Symp. Circuits and Systems, April 1974, pp. 650-660.
73.	K. Laker and M. Ghausi, “A Low Sensitivity Multiloop Feedback Active-RC Filter,”-Proc.
Intern. Symp. Circuit Theory, April 1973, pp. 126-129.
74.	J. Tow and Y. Kuo, “Coupled-Biquad Active Filters,” Proc. Intern. Symp. Circuit Theory, Аргй .
1972, pp. 164-168.
75.	A. Antoniou, “Novel RC-Active Network Synthesis Using Generalized Immittance Convert-
ers,” IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-17, May 1970, pp. 212-217.
"76. S. K. Mitra, “Transfer Matrix Realization Using RCrGIC Networks,” Circuit Theory and
Applications, vol. 3, 1975, pp. 81-85.
77	A. Antoniou and K. S. Naidu, “ Modeling of a Gyrator Circuit,” IEEE Trans. Circuit Theory
vol. CT-20, no. 5, September 1973, pp. 533-540.
78	. A. Antoniou and K. S. Naidu, “A Compensation Technique for a Gyrator and Its Use in the
Design of a Channel Bank Filter,” IEEE Trans. Circuits, and Systems, vol. CAS-22, no. 4, April 1975.
pp. 316-323.
79	- M. L. Blostein, “Sensitivity Analysis of Parasitic Effects in Resistance-Terminated LC Two-
Ports,” IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-14, March 1967, pp. 21-25.
80. A. I. Zverev, Handbook of Filter Synthesis, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1967.
81. L. ,W. Nagle and D. O. Pederson, “Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis
(SPICE),” Electronics Research Lab. Rep. ERL-M382, University of California, Berkeley, April 1973.
.82. F. Capparelli and A. Liberatore, “Active Bandpass Networks with Only Resistors as Passive
Elements,” Electronic Letters, vol. 8, no. 2, Jan. 27, 1972, pp. 43-44.
83. B. Berman and R. Newcomb, “Transistor-Resistor Synthesis of Voltage Transfer Function,”
IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-20. September 1973, pp. 591-593.
.84. R. Schaumann, “Low Sensitivity High-Frequency Tunable Active Filter without External
Capacitors,” IEEE Trans. Circuits and Systems, vol. CAS-22, January 1975, pp. 39-44.
85 A. K. Mitra and V. K. Aatre, “ Low Sensitivity High Frequency Active R Filters,” IEEE Trans.
Circuits and Systems, vol. CAS-23. no. 11, November 1976, pp. 670-676.
.86. M. Soderstrand, “Active Filters Using Only Resistors and Amplifiers,” Proc. 8th Asilomar Conf.
Circuits, Systems, Computers, December 1974, pp. 675-681.
.87. G. R. Wilson, “A Monolithic Junction FET-NPN Operational Amplifier,” Intern. Solid State
Circuits Conf, Digest of Technical Papers, vol. 11, 1968, pp. 20-21.
88.	W. J. Parrish, “An Ion Implanted CMOS Amplifier for High Performance Active Filters,” Ph.D. 1
thesis. University of California, Santa Barbara. 1976.
89-	J. Friend et al., “ Star: An Active Biquadratic Filter Section,” IEEE Trans. Circuits and Systems,.
vol. CAS-22, no. 2, February 1975, pp. 115-121.
90. K. Tan and P. Gray, “Higher-Order Monolithic Analog Filters Using Bipolar/JFET Technol-
ogyProc. IEEE Intern. Solid-State Circuits Conf., February 1978, pp. 80-81.
'91. D. Fried, “Analog Sampled Data Filters,” IEEE J. Solid-State Circuits, vol. SC-7. August 1972,
pp.-302-303.
92. W. Kuntz, “A New Sample-and-Hold Device and Its Application to the Realization of Digital
Filters” (letter), Proc. IEEE, vol. 56, November 1968, pp. 2092-2093.
93. B. Hosticka, R. Brodersen, and P. Gray, “MOS Samples Data Recursive Filters Using Switched
Capacitor Integrators,” IEEE J. Solid-State Circuits, vol. SC-12, no. 6, December 1977,.
pp. 600-608.
‘94 A. Oppenheim and R. Schafer, Digital Signal Processing, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs. _
N.J., 1975.
95.	J. L. McCreary and P. R. Gray. "All-MOS Charge Redistribution Analog-to-Digit.al Conversion
Techniques—Part 1,” IEEE J. Solid-State Circuits, vol. SC-10. December 1975. pp. 371 379
96.	;G. Jacobs, D. Allstot, R. Brodersen, and P. Gray, “ Design Considerations for MOS Switched
Capacitor Ladder Filters,” Proc. IEEE Intern. Conf. Circuits and Systems, May 1978, pp. 324-329.
97.	D. Allstot, R. Brodersen, and P. Gray, “Fully-Integrated High-Order NMOS Sampled-Data
Ladder. Filters.” Proc. Intern. Solid-State Circuits Conf., February 1978, pp. 82-83.
98.	G. C. Temes and I. A. Young, “An Improved Switched-Capacitor Integrator.” Electronics Let-
ters, vol. 14, no. 9, Apr. 27, 1978, pp. 287-288.
99.	С. K. Sutton, W. K. Jenkins, and T. N. Trick, “New Structures for Switched Capacitor Sampled
Data Filters.” Proc. 1978 Midwest Symp. Circuits and Systems, August 1978, pp. 169-173.
100.	F. Trofimenkoff. D. Treleaven, and L. Bruton. “Noise Performance of RC-Active Quadratic
Filter Sections," IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-20, no. 5, September 1973, pp. 524-532. ,
101. L. Weinberg, Network Analysis and Synthesis, McGraw-Hill Book Company, New York, 1962;
reprinted by R. E. Krieger Publishing Co., Huntington. N.Y.. 1975.
102	L. T. Bruton, “High-Frequency Limitations of GlC-Derived Ladder Structures and Two-
Integrator Loop (Coupled Biquad) Ladder Structures,” Proc. 8th Asilomar Conf. Circuits, Systems
Computers, December 1974.
103.	G. E. Tobey, J. D. Graeme, and L. P. Huelsman. Operational Amplifiers— Design and Applications,
McGraw-Hill Book Company. New York. 1971, chap. 5.
104.	James Roberge, Operational Amplifiers—Theory and Practice. John Wiley & Sons, Inc., New
York, 1975.
105.	J. Solomon, “The Monolithic Op Amp: A Tutorial Stud} IEEE J. Solid-State Circuits,
vol. SC-9, no. 6, December 1974, pp. 314-332.
106.	C. D. Motchenbacher and F. C. Fitchen, Low-Noise Electrons -п-sign, John Wiley & Sons, Inc.,
New York, 1973.
107.	L. T. Bruton and D. H. Treleaven, “Electrical Noise in Low-Pass FDNR Filters,” IEEE Trans.
Circuit Theory, vol. CT-20, no. 2, March 1973, pp. 154-158.
108.	David Jose Miguel Baezlopez, “Determination of Elliptic Network Functions,” M.S. thesis,
University of Arizona, Tucson, 1977.
109	David Jose Baezlopez, “ Sensitivity and Synthesis of Elliptic Functions," I a I), dissertation. University of Arizona»
Tucson, 1978.
СПИСОК РАБОТ, ПЕРЕВЕДЕННЫХ 'НА РУССКИЙ ЯЗЫК
а)	указанных автором в списке литературы на с. 374
Балабаиян Н. Синтез электрических цепей: Пер. с англ. — М.: Госэнерго-
лздат, 1961.
Калахан Д. А. Современный синтез цепей: Пер. с англ. — М.: Энергия, 1966.
Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей: Пер.
с англ. — М.: Сов. радио, 1973.
Гиллемин Э. А. Синтез пассивных цепей: Пер. с англ. — М.: Связь, 1970.
Хьюлсман Л. П. Активные фильтры: Пер. с англ. — М.: Мир, 1972.
Хьюлсман Л. П. Теория и расчет активных RC-цепей: Пер. с англ. — М.:
Связь, 1973.
Карни Ш. Теория цепей. Анализ и синтез: Пер. с англ. — М.: Связь, 1973.
б)	использованных автором в тексте
9.	Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью:
Пер. с- англ. — М.: Изд-во иностр, лит., 1948.
35.	Ловерииг. Аналоговое моделирование передаточных, функций. — ТИИЭР,
1'965, т. 53, № 3, с. 3511—352.
42.	Траксел Дж. Синтез систем автоматического регулирования: Пер. с
англ. — М.: Машгиз, 1959.
52.	Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управ-
ления: Пер. с англ. — М.: Наука, 1970.
92.	Кунц. Новое устройство для выборки с запоминанием и его применение
для реализации цифровых фильтров. — ТИИЭР, 1968, т. 56, № 11, с. 361—362.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, УКАЗАННОЙ ПЕРЕВОДЧИКОМ
В ПОДСТРОЧНЫХ ПРИМЕЧАНИЯХ
1*. Знаменский А. Е., Теплюк И. Н. Активные ЛС-фильтры. — М.: Связь,
1970. — 280 с.
2*. Синтез активных 7?С-цепей/Галямичев Ю. П., Ланнэ А. А., Лундин В. 3.,
Петраков В. А. — М.: Связь, 1975.
3*. Корн Г., Корн Т. Электронные .моделирующие устройства: Пер. с англ. —
М.: Изд-во иностр. Лит., 1952.
4*. Коган Б. Я. Электронные моделирующие устройства и их применение
для исследования систем автоматического регулирования. — М.: Изд. физ.-мат.
лит., 1959.
СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Ефанин Н. Е., Остапенко А. Г., Косиков В. И. Активные ЛС-фильтры на
повторителях напряжения. — М.: Радио и связь, 1982.
Зааль Р. Справочник по расчету фильтров: Пер. с англ. — М.: Радио и
связь, 1983.
Капустин В. И. Проектирование активных 7?С-фильтров высокого поряд-
ка. — М.: Радио и связь, 1982.
Кофлии Р., Дрискол Ф. Операционные усилители и линейные интегральные
схемы: Пер. с англ. — М.: Мир, 1980.
Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры: Пер. с англ. — М.: Мир, 1982.
Марше Ж- Операционные усилители и их применение: Пер. с фр. — Л.:
Энергия, 1974.
Роудз Дж. Д. Теория электрических фильтров: Пер. с англ. — М.: Сов.
радио, 1980.
ББК 32.844
Х1Г’
УДК 621.372.54
Хьюлсман Л. П., Аллен Ф. Е.
XI1 Введение в теорию и расчет активных фильтров:
Пер. с англ.—М.: Радио и связь, 1984.— 384 с., ил.
В пер.: 2 р. 20 к.
Рассмотрены проблемы фильтрации и проведено сравнение активных
и пассивных jRLC-фильтров. Освещены вопросы классификации фильтров,
нормирования частоты и полного сопротивления, аппроксимации, чувстви-
тельности (в частности, многопараметрической). Описаны методы реализа-
ции активных КС-цепей и методы замены пассивных КС-цепей их актив-
ными аналогами. Приведены таблицы элементов пассивных НЧ прототипов.
Для инженерно-технических работников. Будет полезна студентам
вузов.
2402020000-029	ББК 32.844
X	37-83
046(01)-84	6Ф2.13
Редакция переводной литературы
LAWRENCE Р. HUELSMAN, PHILLIP Е. ALLEN
INTRODUCTION ТО THE THEORY
AND DESIGN OF ACTIVE FILTERS
© 1980 by McGraw-Hill
© Перевод на русский язык, предисловие редактора перевода,
примечания редактора и переводчика.
Издательство «Радио и связь», 1984.