/
Текст
Р. В. ХЕММИНГ
ИШФ1?О№11£
ем1ьт№и
DIGITAL FILTERS
R. W. HAMMING
Bell Laboratories
and
Naval Postgraduate School
ЦИФРОВЫЕ
ФИЛЬТРЫ
Перевод с английского
В. И. ЕРМИШИНА
Под редакцией
профессора А. М. ТРАХТМАНА
PRENTICE-HALL, INC., ENGLEWOOD CLIFFS.
NEW JERSEY,
1977
МОСКВА
«СОВЕТСКОЕ РАДИОж
1980
ЬБК 32 mi j
X 37
УДК 621.372 037.1/2
Хемминг Р. В.
X 37 Цифровые <|ш u.। ры 1!<•(> с ппгл./ Под ред.
Л. М. Трах । мани .4 Сои радио, 1980.—
224 с., пл.
80 к.
Кита «редсгкиляе! собой ппсдскив цифровую фильтрацию и
адресованы лицам, которым црнходиц'и сталкиваться с обработкой
данных на ЭВМ н |>а пличных .фсрвк (члсктро- и радиотехнике,
автоматике, экономике, статистике и г. д.).
30401-055
X -------------33-80 2402020000
046(01)-80
ББК 32.844
6Ф7
Редакция литературы по вопросам космической
радиоэлектроники
РИЧАРД В. ХЕММИНГ
ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
Перевод с английского В, И. Ермшиина
Под редакцией профессора А. М. Трахтмана
Редактор Т. М. Любимова
Художественный редактор И. А. Игнатьев
Обложка художника В- П. Карпова
Технический редактор 3. И. Ратникова
Корректоры М. Ф. Белякова, И. И. Васина
ИБ № 504
Сдано в набор 2l.0i.80. Подписано в печать 09.06.80 Формат 84ХЮ8’/32
Бумаге типографская № I Гарнитура литер. Печать высокая Объем II ,76
усл. п. л. 11,547 уч.-изд. л. Тираж 12000 экз. Зак. 540. Цена 80 к.
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография № 10 «Союзполиграфпрома»
Государственного Комитета СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
© Prentice-Hall, Inc., 1977 г.
© Перевод иа русский язык, предисловие редактора перевода.
Издательство «Советское радио», 1980 г.
Предисловие редактора перевода
Р. В. Хемминг хорошо известен в нашей стране по его
выдающимся работам в области теории информации,
теории кодирования и вычислительной математики. Тру-
ды этого американского ученого всегда отличались ори-
гинальной постановкой вопросов, популярностью изло-
жения, глубоким пониманием практических задач,
корректностью и разумной степенью строгости матема-
тической трактовки. Настоящая книга в этом смысле не
является исключением. Несмотря на обилие книг и жур-
нальных статей по цифровой обработке сигналов и циф-
ровой фильтрации, она даже искушенному читателю
представляется свежей, оригинальной и занимательной.
Эту книгу можно рекомендовать как вводный курс
в цифровую фильтрацию. Впрочем, она будет с интере-
сом прочтена не только начинающими, но и теми, кто
уже не одни год работает в области цифровой фильтра-
ции, поскольку из нее они узнают много нового, а из-
вестные вещи предстанут перед ними в новом свете.
Книга заслуживает высокой оценки, несмотря на то, что
ее автор не ставит своей задачей научить читателя про-
ектировать цифровые фильтры, а приводимые им в книге
многочисленные примеры — это лишь простейшие фильт-
ры, необходимые для иллюстрации отдельных мыслей.
Он также не пытается изложить сколько-нибудь полно
теорию и проблематику цифровых фильтров.
Основная цель, которую автор блестяще реализует, —
это показать математическую сущность цифровой фильт-
рации и ее связь с численными методами анализа. Циф-
ровая фильтрация п книге вводится как произвольная
линейная операция над обрабатываемыми данными, и
для краткости такие операции и описывающие их фор-
мулы называются просто цифровыми фильтрами. Далее
разъясняется сущность спектрального (частотного)
анализа цифровых фильтров. Показывается, что этот
подход, основанный на аппроксимации входных данных
рядом Фурье, является альтернативой для широко рас-
пространенной в численном анализе полиномиальной
аппроксимации. Преимущества спектрального подхода
вытекают из того, что синусы и косинусы (а также экс-
5
Ноненциальные функции) являются собственными функ-
циями цифровых фильтров с постоянными коэффициен-
тами в то время, как соответствующие собственные зна-
чения образуют передаточную функцию этих фильтров.
Такой спектральный подход, привычный для инженеров-
электриков, является менее популярным в численном
анализе, статистике и в других областях математики и,
возможно, что, прочтя книгу Хемминга, специалисты
этих областей в ряде случаев отдадут ему предпочтение.
К достоинствам книги следует отнести также ориги-
нальную и доходчивую трактовку таких основных поня-
тий из области цифровой фильтрации, как эффект
дискретизации (наложение спектров), явление Гиббса,
влияние окон (весовых функций), билинейное преобра-
зование, аппроксимация Чебышева и Баттерворта и др.
На фоне этих несомненных методических удач автора
остается несколько сожалеть о том, что некоторые дру-
гие важные понятия из цифровой фильтрации в книге
не освещены и, в частности, детально не раскрыты упо-
минаемые автором частотные преобразования фильтров,
эллин гнческпе фильтры, эффекты конечной длины слов
и I. д, Впрочем, это могло быть излишним для данной
hllliril.
Книга предназначена для лиц, интересующихся обра-
боткой данных на ЭВМ или на специальных вычисли-
тельных устройствах. Эти данные могут относиться
к любой области: радиотехнике, автоматике, статистике,
экономике, сейсмологии и т. д., поэтому автор исполь-
зует понятный всем язык, тщательно избегая применения
специфической терминологии.
Подводя итоги, можно сказать, что новая книга
Р. В. Хемминга является ценным дополнением к имею-
щейся литературе по цифровым фильтрам. Она поможет
инженерам понять математическую базу, на которой
основаны цифровые фильтры, а математики-вычислители
узнают из нее, что многое из того, что они делают, есть
цифровая фильтрация, и в связи с этим лучше поймут
некоторые технические проблемы цифровых фильтров.
При работе над переводом мы стремились возможно
точнее передать на русский язык мысли, текст и лите-
ратурный стиль подлинника. Нами исправлены обнару-
женные опечатки и в нескольких местах введены поясня-
ющие подстрочные примечания. В перечне литературы
отмечены источники, переведенные на русский язык, и
дан небольшой дополнительный список литературы, име-
ющейся на русском языке. При чтении книги читателю
необходимо соблюдать некоторую осторожность в связи
с тем, что автор не всегда с должным консерватизмом
относится к обозначениям. Так, например, одна и та же
буква t в разных разделах книги обозначает то вре-
менную, то частотную переменную. Эти места нами
также отмечены в подстрочных примечаниях.
Мы надеемся, что предлагаемая книга будет с боль-
шим удовлетворением встречена всеми, кто интересуется
цифровой обработкой данных.
Профессор А. М. Трахтман
6
Предисловие
Эта книга является введением и теорию цифровых
фильтров, в ней почти не используется узкоспециальная
терминология, она не требует от читателя предваритель-
ной подготовки по электротехнике и в то же время со-
держит все основные сведения. Идеи, методы и резуль-
таты исследований в области цифровых фильтров могут
найти применение в статистике, особенно применительно
к анализу временных рядов, численному анализу, анало-
говым фильтрам, импульсным системам автоматического
регулирования, эконометрике, электротехнике, цифро-
вой обработке сигналов.
В этих областях наиболее распространенными яв-
ляются процессы сглаживания, предсказания, дифферен-
цирования, интегрирования, разделения сигналов (фильт-
рации) и устранения шума из результатов измерений.
Часто такие процессы представляют собой линейные
преобразования данных, и тогда они есть не что иное,
как цифровые фильтры. В настоящей книге обсуждаются
многочисленные взаимные связи между указанными об-
ластями применения и процессами обработки данных.
Вообще говоря, все линейные операции над некото-
рыми данными эквивалентны фильтрации, а любая про-
извольная линейная операция может быть истолкована
как фильтрация. Таким образом, при обработке данных
люди постоянно выполняют фильтрацию, даже порой не
осознавая это. При этом они часто а) исключают,
б) привносят, в) ошибочно идентифицируют различные
эффекты в исходной изучаемой системе или г) путают
их с эффектами, вызванными примененным методом
обработки данных, а в результате обрабатываемые све-
дения путают с теми, которые сами же ввели. Эти люди
в то же время не понимают возможностей и силы про-
стых линейных операций, примененных к их данным, не
говоря уже о тех операциях, которые необходимо вы-
брать. Важно хорошо понимать особенности и свойства
цифровых фильтров в связи с широким распростране-
8
йие^г МййикомпьЮтёров, которые часто используются для
сбора и обработки экспериментальных данных.
Так как цифровые фильтры имеют большое значение
для широкого круга людей, то материал в книге изло-
жен в предположении, что читатель имеет минимальную
общую подготовку. В частности, мы предполагали по-
знания в области элементарных вычислений, немного
в области дифференциальных уравнений, наличие об-
щего представления о численном анализе и кое-каких
знаний по статистике (краткий очерк статистики будет
дан в разд. 1.5 и 1.6), плюс наличие некоторого общего
научного кругозора. В то же время мы не предполагали
наличие глубоких знаний основ электротехники, которые
так часто требуются в других трудах по цифровым
фильтрам.
И, наконец, главным для нас было дать основные
идеи в области цифровых фильтров, поэтому мы не
всегда приводим в книге «лучшие» методы для расчета
сложных фильтров. Во вводном курсе можно довольст-
воваться изложением элементарных, широко примени-
мых методов проектирования простых фильтров. По-
скольку эта книга не является руководством повышен-
ного типа по цифровым фильтрам, то нет необходимости
в большом количестве ссылок на специальные книги и
статьи. Вместо этого мы предлагаем читателю несколько
фундаментальных книг, в которых можно найти допол*
нительную информацию. Перечень этих книг Помещен
в конце книги.
В книге содержится много повторений, так как опыт
показывает, что читатель часто настолько увлекается
подробностями проектируемых фильтров или математи-
ческой теорией, что теряет из виду, где и как изучаемый
материал увязывается в общем плане. Хотя фильтры и
проектируются исключительно для обработки данных,
Ио опыт опять-таки показывает, что начинающие плохо
воспринимают изображение на иллюстрациях больших
массивов данных до и после обработки. Поэтому такие
изображения используются редко.
Как всегда, автор в большом долгу перед другими,
в данном случае перед многочисленными коллегами из
лабораторий Белла. Особенно это относится к Д. В. Та-
ки, введшему автора в область цифровых фильтров, и
к Д. Ф. Кайзеру, научившему автора многому из того,
что здесь представлено. Автор благодарит Р. Крохиера,
9
t5. Пинкхема и других за прочтение книги и сделанные
критические замечания. Благодарность выражается так-
же Б. В. Кенингхему за большую помощь в подготовке
и Е. Кок за редактирование рукописи. Не менее важной
была помощь многих секретарей от Д. Марки до
К. Строка. Б. Баттини подготовила рисунки. Однако
только автор отвечает за дефекты в этой книге, так как
окончательный отбор материала был произведен им
самим.
Р. В. Хемминг
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Что такое цифровой фильтр?
В нашем развивающемся обществе часто приходится
определять переменные величины. Примерами могут
служить кровяное давление, смещение при землетрясе-
ниях, напряжение от звукового сигнала при телефонном
разговоре, яркость переменной звезды, заселение города,
накат волн на морской пляж и вероятность смерти. Все
эти величины изменяются во времени, и мы рассматри-
ваем их как функции времени — x(t) в математическом
обозначении. Например, можно интересоваться измене-
ниями кровяного давления от момента к моменту или
из года в год. Кроме того, можно иметь дело с функ-
циями, независимая переменная которых не является
временем, например, с числом ядерных частиц в данном
эксперименте как функцией их энергии.
Обычно такие переменные можно рассматривать как
изменяющиеся непрерывно (аналоговые) сигналы, даже
если, как в случаях заселения города или популяции
колонии бактерий, измеряемое число может изменяться
только на целое число единиц.
Для технических целей вместо регистрации сигнала
х(?) часто записываются только равноотстоящие отсче-
ты хп функции x(t). Известная теорема отсчетов, кото-
рая будет обсуждаться в гл. 8, налагает на сигнал усло-
вия, делающие возможным этот процесс дискретизации.
Кроме того, при считывании отсчетов они не записы-
ваются с абсолютной точностью, а округляются (иногда
ограничиваются) до сравнительно немногих цифр. Та-
кую процедуру часто называют квантованием отсчетов.
Это и есть те квантованные отсчеты,, которые пригодны
для требуемой обработки сигналов. Обработка, основ-
ным инструментом которой являются цифровые фильтры,
осуществляется для того, чтобы понять, какая функция
лежит в основе замеченного явления, обусловившего
наблюдения.
11
Предположим, что последовательность чисел хп пред-
ставляет такой ряд равноотстоящих измерений некото-
рой величины х(0, в котором я — целое, a t — непре-
рывная переменная. Обычно t обозначает время, но не
всегда. Используем обозначение хл==х(п). Если после-
довательность уп вычисляется по формуле
*=-оо *=!
то эта формула определяет цифровой фильтр. Коэффи-
циенты ck и dk являются константами. Таким образом,
цифровой фильтр есть просто линейная комбинация рав-
ноотстоящих отсчетов xn-k некоторой функции x(t),
а также вычисленных значений на выходе уп-к. Для
каждого следующего один за другим п формула сдви-
гает текущую отсчетную точку вдоль потока отсчетов
Хп — к-
В том случае, когда вторая сумма распространяется
только на диапазон положительных индексов k, как
в приведенном уравнении, это уравнение легко решается
для уп- Однако имеются не только теоретические осно-
вания для такого ограничения. Если бы мы не ограни-
чили индекс таким образом, то все равно были бы
вынуждены решать систему линейных уравнений для
неизвестных уп. Во многих ситуациях стоимость собран-
ной информации так велика, что затраты на решение
соответствующей системы линейных уравнений высокого
порядка не являются серьезным вопросом (поскольку
эти уравнения обычно имеют большие члены по главной
диагонали). Однако за исключением разд. 11.6, мы не
будем далее касаться этого вопроса.
Часто встречаются различные частные случаи этой
формулы, возможно, хорошо известные большинству
читателей. Фактически эти формулы настолько баналь-
ны, что книга могла бы содержать только их список.
В том случае, когда все коэффициенты dh для уп-к
равны нулю, фильтр называется нерекурсивным, в про-
тивном случае — это рекурсивный фильтр. Простым при-
мером нерекурсивного фильтра служит широко исполь-
зуемое сглаживание пятерками (разд. 3.2)
Уп = -gr lxn - 2 + Хп - I +Л-л4'Л'л + 1 Ч'-^л + г]-
Другой пример дает формула сглаживания по методу
наименьших квадратов, полученная при проведении этим
12
методом кубической параболы через пять равноотстоя-
щих значений хк, с последующим использованием в ка-
честве сглаженной величины значения параболы в сред-
ней точке. Формула для такого сглаженного значения
(которое будет получено в разд. 3.3) имеет вид
Ул^зд- [— Злл_24~ 1 ?дс/г1 17осл 4- 12осл + 1 — Зхл + г].
Многие формулы для предсказания цен акций на бир-
же, равно как и других значений временных рядов,
также относятся к форме нерекурсивного фильтра.
Примером рекурсивного фильтра может служить
формула трапеций для численного интегрирования
(разд. 3.4)
4'л + 1 = 4'л + ~?Г lxn~kxn + >l-
Очевидно, что рекурсивная формула способна, так ска-
зать, запоминать все прошлые данные, так как значение
уп в правой части уравнения используется для вычис-
ления Уп+\ и, следовательно, у„+2 и т. д.
В некоторых ситуациях значения хк и ук для k<zO
являются невозможными. Формулы, которые не исполь-
зуют эти значения, называются физически реализуе-
мыми. Это название вводит в заблуждение и, вероятно,
его следовало бы избегать при обсуждениях, так как
физически нереализуемые фильтры могут программиро-
ваться на цифровых ЭВМ, когда, как правило, все дан-
ные имеются до начала вычислений. Однако для пред-
сказания будущих значений от некоторых данных тре-
буется уже физически реализуемый фильтр. Физически
реализуемые фильтры также называются каузальными
(причинными) из-за того, что в случае, когда время
является независимой переменной, они реагируют на
прошедшие результаты (причины) и не реагируют на
будущие.
Для практических целей необходимо рассматривать
только цифровые фильтры ограниченной длины. Это
означает, что в таких фильтрах содержится конечное
число членов, а для всех остальных коэффициенты рав-
ны нулю. Например, если все dk равны нулю и только
конечное число сй не равно нулю, то мы имеем нерекур-
сивный фильтр ограниченной длины. Даже при таком
фильтре непосредственно видно, что для последователь-
13
ности данных конечной длины мы не сможем вычислить
значения, близкие к концам этой последовательности.
Следовательно, здесь имеет место потеря данных в том
смысле, что количество данных на выходе меньше, чем
на входе. Обычная практика добавления последователь-
ности из нулевых значений за пределами одного или
обоих концов массива данных для того, чтобы можно
было вычислить столько же выходных значений, сколько
имеется первоначальных входных, в данном случае пред-
ставляется сомнительной (см. также разд. 10.7).
Предполагается, что коэффициенты фильтра Ск и dk
представляют собой константы и не изменяются со вре-
менем. Такие фильтры, называемые инвариантными во
времени, наиболее часто используются на практике.
Фильтры, изменяющиеся во времени, иногда бывают
полезны, но их обсуждение лежит вне сферы этой книги.
Наконец, фильтр должен быть реализован таким об-
разом, чтобы вычисления осуществлялись с применением
чисел конечной длины. Процесс квантования чисел выпол-
няется с округлением как в коэффициентах фильтра,
так и в арифметике, выполняемой машиной. Поэтому
в полученных окончательных числах уп присутствуют
ошибки округления. Часто удобнее представлять фильтр
в виде бесконечного числа членов, причем так, что каж-
дый член имеет неограниченную точность и используется
абсолютно точная арифметика, однако в конце мы
должны будем вернуться к реальности. Более того, вы-
бранный путь выполнения арифметических операций
может иногда значительно изменять числа, получаемые
в результате вычислений. Этот вопрос более подробно
мы рассмотрим в гл. 12 и 13.
1.2. Почему следует интересоваться
цифровыми фильтрами?
Слово фильтр происходит нз электротехники, где фильтры ис-
пользуются для преобразования электрических сигналов из одной
формы в другую, главным образом, чтобы исключить (отфильтро-
вать) различные частоты в сигнале. Как уже было видно, цифро-
вой фильтр представляет собой линейную комбинацию входных
данных хп, а может быть, и выходных уп и заключает в себе мно-
гие из операций, которые выполняются при обработке сигнала.
Для удобства предположим, что берутся отсчеты через едини-
цу времени и п-й отсчет сигнала представляется в виде хп. Так,
например, можно представить кровяное давление, волны мозга, вы-
соту волн на пляже или цену акций на бирже в виде непрерывных
14
сигналов, которые дискретизуются (и квантуются) для того, чтобы
получить последовательность данных хп.
В случае цены акций на бирже часто берется интеграл за
период, скажем, равный неделе, и записывается только общее ко-
личество каждую неделю, хотя подчеркнутая выше идея о непре-
рывном изменении цены или другой измеряемой величины (напри-
мер, скорости продажи акций) еще сохраняется. Имея такой сигнал,
можно, по желанию, дифференцировать его, интегрировать, сумми-
ровать, определять приращение, сглаживать, экстраполировать, ана-
лизировать на периодичность или на возможность устранения
шума — все эти и многие другие операции являются линейными.
Поэтому эти операции в цифровой форме представляют собой циф-
ровые фильтры.
Широко распространенное применение микро-ЭВМ в науке и
технике значительно увеличило число цифровых сигналов, которые
регистрируются и обрабатываются. Так как такие данные обра-
батываются всегда линейным образом, то необходимо понимать
изменения и искажения, вносимые цифровыми фильтрами. Более
того, поскольку цифровая передача более устойчива к шуму по
сравнению с передачей аналоговых сигналов, то она быстро ста-
новится доминирующей в мире. Поэтому опять необходимо точно
изучить, как действуют или могут действовать цифровые фильтры
для различных сигналов.
Изредка мы читаем об импульсных системах. Здесь сигнал пре-
вращается в совокупность отсчетов, но значения отсчетов не кван-
туются, В этой книге такие системы рассматриваться не будут.
Упражнения
1.2.1. Для измерений, выполняемых в моменты
(п—0, 1, 2,...), написать формулу которая интервалы
V преобразует в единичные и начинает работать при t'o=O. г
1.2.2. Перечислить десять источников, помимо указанных в тек-
сте, сигналы которых можно фильтровать. '
1.2.3. Написать формулу Симпсона для интегрирования в виде
рекурсивного фильтра.
1.2.4. Вычислить первые пять выходных значений фильтра
Уп—ауп-1-}-Хп для случая Уо—0 и х»=1 для всех п.
1.2.5. Вычислить последовательные выходные значения фильтра
Уп—ауп-^Хп, где </о=О, Xi=l, а все другие х„=0. Дать формулу
Для уп.
1.3. Как будет трактоваться тема?
Многое в теории цифровых фильтров, как для расчета, так
и для применения, берет начало в области аналоговых фильтров.
Если фильтр уже известен в аналоговой области, то целесообразно
вести разработку на основе этих знаний. Однако сегодня средний
специалист, которому необходимо знать о цифровых фильтрах,
не имеет таких предварительных сведений и поэтому неразумно
базировать работу на аналоговом подходе. В, связи с этим мы
не предполагаем, что читатель знаком с аналоговой областью,
а только отмечаем, когда это необходимо, соответствие термино-
логии.
В теорию цифровых фильтров внесла также свой вклад ма
тематическая статистика, в частности, с нею тесно связана и п
влияла на ее терминологию теория временных рядов.
Руководства по численному анализу содержат много формул,
которые представляют собой линейные комбинации равноотстоящих
данных и поэтому эквивалентны цифровым фильтрам. Поскольку
элементы численного анализа в настоящее время более широко
известны, чем сведения из других областей применения цифровых
фильтров, то большинство наших примеров мы будем выбирать
из численного анализа.
Фундаментальный подход, общий для всех частных областей,
базируется на: а) дискретных и непрерывных рядах Фурье и
б) использовании интеграла Фурье. Эти методы являются мате-
матическим инструментом для понимания и манипулирования ли-
нейными формулами, и нужно потратить время для их изложения,
так как в наши дни они еще редко где-либо изучаются, за ис-
ключением курсов электротехники. Однако мы постараемся избе-
жать чрезмерного увлечения математикой, потому что это до-
вольно часто вызывает у читателя отвращение к ней. Мы также
ие будем развивать всю математическую теорию, прежде чем не
покажем ее пользу; зато будем регулярно давать применения толь-
ко что освещенной теории для того, чтобы показать как ее умест-
ность, так и ее пользу. Можно также надеяться, что идя таким
путем, многие математики получат более ясную перспективу в не-
математических областях.
1.4. Сравнение универсальных и специализированных
ЭВМ
Цифровая фильтрация может осуществляться как на специа-
лизированных, так и на универсальных цифровых ЭВМ. Хотя число-
вые операции выполняются на обоих типах ЭВМ, большинство
первоначальных руководств по цифровым фильтрам рассматривают
только вычисления, проводимые на универсальных ЭВМ. Аналогич-
но большая часть дискуссий по этому вопросу ограничивается
фильтрацией, выполняемой на универсальных ЭВМ.
Это замечание не следует интерпретировать в том смысле,
что область специализированных вычислений не так важна. Скорее,
это означает, что вычисления на универсальных ЭВМ обычно имеют
значительно меньше ограничений. Поэтому в первом приближении
мы сконцентрируем внимание на основных идеях, игнорируя под-
робности, относящиеся к используемой конкретной ЭВМ. Значение
цифровых специализированных ЭВМ быстро растет, благодаря глав-
ным образом их меньшей стоимости и возможности применения
больших интегральных схем, а также тому, что многие операции,
которые необходимо выполнить, иногда оказываются (в смысле
экономичности, времени либо того и другого вместе) вне сферы
имеющихся (и предполагаемых) универсальных ЭВМ.
1.5. Необходимые статистические предпосылки
Набор измерений называется выборкой. Слово «вы-
борка» часто применяется как для отдельного измере-
ния*’, так и для набора измерений, даже если это по-
*> В данной книге отдельное измерение называется «отсчетом»,
щм. ред.)
ВТорнЫё измерения одного и того Ясе объекта. Этот
термин появился потому, что статистики считают осно-
вой множество или ансамбль возможных измерений,
а вы получаете один возможный набор результатов
(одну реализацию), который связан с вероятностью по-
лучения отдельно наблюдаемого результата и с эффек-
тами повторений эксперимента. Измерения в выборке
могут быть взяты все в одной точке. Например, выборка
может представлять собой ряд измерений длины опреде-
ленного провода. Кроме того, измерения могут быть рас-
сеяны по различным местам в диапазоне изменения
функции, например, скорость судна в различное время
дня.
Часто бывает необходимо найти модель для распре-
деления отсчетов, т. е. необходимо представить себе
ансамбль, из которого извлечена отдельная выборка.
Для иллюстрации предположим, что L есть длина
только что упомянутого провода, тогда модель измере-
ний будет иметь вид
P{LsZx}=P(x),
где P{L^.x} читается: «вероятность того, что длина L
.меньше или равна х». Таким образом, Р(х) есть вероят-
ность того, что измеренная длина L меньше или равна х.
Р(х) называется интегральной функцией распределения
для L. Во многих случаях Р(х) имеет производную
р(х), т. е.
ь
^ = р(х) и P{a<L<b}=^p(x)dx.
а
В таком случае р(х) называется плотностью, либо плот-
ностью вероятности для L.
Часто встречающаяся плотность, которая имеет
место в таких случаях как при измерении длины куска
провода, представляет гауссово (или нормальное) рас-
пределение
е“(Х^)2/2<” (-оо<Х<оо),
где ц и а — параметры, значения которых зависят от
конкретной моделируемой ситуации (рис. 1.5.1,6).
2—540 17
Другой пример модели встречается в теории округле-
ния. Разумно предположить, что ошибка округления
образуется в том случае, когда число, которое квантует-
ся (округляется), «равномерно распределено» от —[/2
до '/2 в последнем сохраняемом разряде. Следовательно,
- 1/2<л:< 1/2,
И>1/2
(риС1 1.5.1,а).
Рнс. 1.5.1. Распределение ошибок округления (л), Гауссово распре-
деление (б)
Обычно рассчитываемой характеристикой случайной
величины, такой как длина L, или в других случаях
плотности р(х), служит среднее или ожидаемое значе-
ние (также называемое математическим ожиданием).
Оно обозначается Ave(L) или E(L) и определяется как
kve(L)=tE(L)=s ^xplxjdx.
Для примера с округлением
СО 1/2
xp(x)dx= J xdx = Q.
—СО —1/2
Для примера с гауссовым распределением
а V J
—оо
Заменяя (х—ц)/о на у, получим
£(0=,
—Оо
+ 1* Je-M,,vfc- = o + >-=e-
—00
Этот результат следует из того, что первое подынте-
гральное выражение нечетное, а второй интеграл даег
Р{—оо<£<оо} = 1.
Можно рассматривать вычисление математического
ожидания как воздействие оператора £(•) на функцию.
Если вспомнить о моментах (да это и очевидно), получим,
что среднее значение постоянной величины есть сама эта
величина Е(а)—а. Помимо этого, если в модели а —
константа, а х—переменная величина, то Е(ах) — аЕ (х),
а если, кроме того, еще и b — константа, тогда Е{ах +
+Ь) — аЕ (х) +Ь.
Помимо среднего значения, широко используются и
другие «типовые» величины. Одной из них является
мода—наиболее частое значение или значение с мак-
симальной плотностью. Другой — медиана — значение,
соответствующее половине распределения. Но в этой
книге мы не будем пользоваться какой-либо из этих
величин.
Еще одной, обычно вычисляемой, характеристикой
случайной величины или в других случаях ее распре-
деления служит дисперсия. Она обозначается Var(L),
если L — случайная величина, и определяется как
Var(L) = J (х — р.)2 р (х) dx,
—00
где L имеет плотность р(х) и y. = E(L). Дисперсия обо-
значается также символом о2.
В случае округления имеем
со I /2
а2 — у (X—О)2 p(x)dx= У x2dx = j^-l
—00 —1/2
18
19
а для гауссового распределения
а2 = Var (L) = -4— f (X - н)2 dx.
а у 2n J
—со
Если положить
х — р. = /(а]/2),
то получим
00
Var (х) = С f e~l'dt.
V п J
—00
Интегрирование по частям при обозначениях
it&~t,dt = dy, V=—e~t2j2,
\U = t, d.U = dt,
дает
Var(x)--^[-^H +4 fe-'’Л
V « 2 | 2 J V П 2
—00 -00 J
Этот результат поясняет, почему мы выбрали специфи-
ческую форму записи гауссового распределения: а2
представляет собой дисперсию, а ц— среднее значение
гауссового (нормального) распределения
= а2),
в У Z7C
Ясно, что дисперсия, которая есть сумма квадратов
отклонений распределения от его среднего значения
[взвешенная вероятностью текущего значения р (х) ],
тесно связана с принципом наименьших квадратов (ко-
торый устанавливает, что «наилучшее соответствие»
имеет место тогда, когда сумма квадратов ошибок мини-
мальна). В обоих случаях это сумма квадратов текущих
разностей. При дисперсии имеют дело с отличием от
используемого среднего значения, а при приближении
по наименьшим квадратам — с отличием данных от ис-
пользуемой аппроксимации.
20
Упражнения
1.5.1. Для распределения
|<>, Х-'О,
[ле х .0 (л>0),
покашть, что Jl=l/« и <А- I /а1
1.5.2. Для распределения
(I—х/2, 0<х<2,
р («)=--{
|0 при других х,
показать, что ц=2/3, <т2=2/9.
1.5.3. Найти среднее значение и дисперсию распределения
(cos2x, —к/4< х <it/4,
Р (х.) = < „
(О при других х.
1.5.4. Для хорошо сбалансированной игральной кости вычис-
лить среднее значение и дисперсию числа на верхней грани, после
«случайного бросания». Сделать то же самое для пары костей.
1.6. Распределение статистики
Теперь вернемся к тому, что, вероятно, представляет
наиболее трудную проблему для начинающего изучать
математическую статистику: к понятию распределения
статистики (или статистических параметров, таких как
среднее значение или дисперсия выборки).
Предположим, что мы сделали ряд измерений и что
по этой выборке вычислили одну или несколько стати-
стик. Например, мы можем случайным образом выбрать
1000 американцев из общего населения около 200 мил-
лионов и измерить рост каждого. Исходя из полученных
данных, можно вычислить среднее значение выборки х.
Дисперсия s2 выборки определяется следующим обра-
зом:
= Л)2-
г=1
Для ясности, обычно используют греческие буквы для
обозначения статистик модели и латинские буквы для
соответствующей статистики выборки.
Хорошо бы знать указанные два числа для выборки,
которую мы взяли. Однако, если от этих чисел ждут
большой пользы, то сразу же возникает вопрос: что
разумного можно получить для уточнения среднего зна-
чения, если весь процесс повторить снова, используя
21
Таблица 1.6.1
Связь статистик выборки
и множества
Выборка Множество
Ave (х) = — 2 %г ц,
/ жа 1
1 п
= 3 (х'~ °2/"
I — I
разную случайную выбор-
ку 1000 американцев? Ко-
роче говоря, что такое
«среднее» распределения
статистики? Очевидно,
повторение всего процес-
са выбора людей, прове-
дение измерений и вычис-
ление среднего даст нам
распределение величин
среднего значения х (и
распределение диспер-
сии s2).
В примере с округлени-
ем имелась уникальная
1.7. Усиление шума в фильтре
Предположим, что проведены некоторые измерения.
Пусть хп есть «истинное» измерение с добавленным
к нему шумом еп, ожидаемое значение которого £(еп) =
= 0. Поэтому мы регистрируем хп + еп- Кроме того,
пусть этот шум еп имеет дисперсию а2. Каким будет
соответствующий шум на выходе нерекурсивного фильт-
ра (если предполагать, что выполняемая арифметика не
увеличивает шум)? Допустим также, что для фактиче-
ских измерений, хп+еп, ошибки еп некор релированы,
т. е. мы предполагаем, что
модель для исходного множества чисел, из которого из-
влекались округленные значения, а в примере с гауссо-
вым распределением достаточно оценить два неизвест-
ных параметра множества: распределение ц и а2 по ста-
тистикам выборки х и s2. Можно поинтересоваться,
какая существует связь между этими парами чисел
(табл. 1.6.1). В руководствах по статистике доказывает-
ся, что для любого распределения среднее выборки есть
несмещенная оценка среднего значения исходной сово-
купности. Аналогично дисперсия выборки s2 определяет-
ся несмещенной оценкой <т2/л. Несмещенная оценка
означает, что в среднем оценки не слишком велики и не
слишком малы, т. е. среднее значение статистики равно
той величине, которая оценивается.
Если выборка достаточно велика (п^ 10), тогда
центральная предельная теорема утверждает, что ста-
тистика, называемая средним значением, имеет распре-
деление, очень близкое к гауссовому (нормальному)
распределению
Р(х} =
Уп
□ К*2тг
е
(х—х)а п/2^
с-г 1 |’< т = п,
£{мт}= п ,
(0, т=^=п.
Условие нулевого среднего значения Е{еп}— 0 под-
разумевает, что в измерениях отсутствует смещение.
В обоих случаях усреднение выполняется по ансамблю
шума еп.
Нерекурсивный фильтр определяется формулой
к
Уп= 2 (Хп -л *« - *)•
л=—к
Поскольку операция Е применяется только к е«, а не
к Сь или xn-h, то ожидаемое значение равно
к к
Е{Уп} — 2 {®«-4)= 2
k=-K k=-K
Для вычисления дисперсии начнем с операции
(Г к Г1
£ 2 С*(Л'п-4 + гп-4) - Е(Уп)\ )•
Но это та же операция, что и
к
^ksn-к
Lfe=-K
К
,&=—К
К
п-к
п-т
с параметрами х и <т2//г.
Упражнение
1.6.1. Для ряда измерений-. 10, И, 10, 12, 9, 10, 7, 10, 10, 9
вычислить среднее и дисперсию выборки и оценить соответствующие
параметры множества.
22
Так как £(еп)—0 и для т=^п £(епет)=0, то после
умножения и применения оператора Е к еп остаются
только члены
23
Таким образом, сумма квадратов коэффициентов
фильтра определяет усиление шума в процессе фильтра-
ции. По этой причине сумма квадратов коэффициентов
нерекурсивного фильтра играет важную роль в теории.
Упражнения
1.7.1. Применить последнюю формулу, используя шумовую мо-
дель округления.
1.7.2. Чему равно усиление шума при методе наименьших
квадратов с кубической параболой из разд. 1.1?
1.7.3. Чему равно усиление шума при сглаживании пятерками?
Ответ: а2=1/5.
1.7.4. Показать, что минимальное усиление шума нерекурсив-
ного фильтра с пятью членами и суммой коэффициентов, равной
единице, соответствует сглаживанию пятерками.
Глава 2
ЧАСТОТНЫЙ ПОДХОД
2.1. Введение
Цель этой главы состоит в том, чтобы показать, почему и
в каком смысле использование синусов и косинусов от независимой
переменной t при расчете линейного цифрового фильтра предпочти-
тельнее классического применения полиномов от t. Обычно в ма-
тематике, статистике н численном анализе придают особое значение
аппроксимации функции полиномом. Например, в методе Ньютона
для нахождения нуля функции g(t) эта функция локально заме-
няется касательной линией, т. е. линейным уравнением от t В раз-
ложении функции в ряд Тейлора она выражается в виде степеней
t—to. В статистике данные постоянно заменяются соответствующи-
ми полиномами. В правиле трапеций для интегрирования функция
локально заменяется прямой линией. Естественно поэтому предпо-
ложить, что и в других областях полиномы представляют собой
подходящие функции для аппроксимации заданной функции. По-
этому в этой главе мы сосредоточимся больше на психологической
проблеме отказа от прежней аргументации в пользу полиномов, чем
на логической проблеме изложения частотного подхода.
Мы покажем с трех различных точек зрения, что синусы и
косинусы являются более удобными функциями в ситуациях, харак-
терных для многих процессов обработки данных на ЭВМ. Чтобы
сделать это, необходимо ввести понятия собственных функций и
собственных значений и показать, что понятие передаточной функ-
ции соответствует собственным значениям процесса.
Однако прежде чем приступить, рассмотрим в следующем раз-
деле наиболее важное следствие из процесса дискретизации функ-
24
ции в равноотстоящих точках. Это явление, называемое наложе-
нием, известно из опыта большинству людей, но они настолько при-
выкли к нему, что даже ясно его не осознают.
Поскольку понятие частоты является, очевидно, центральным
и частотном подходе, то необходимо уточнить его смысл. Рассмот-
рим для примера прямоугольную волну (или волну любой другой
формы), которая точно повторяет себя 10 раз в секунду. Говорят,
что она имеет период (цикл) Г—1/10 секунды и цикличе-
скую частоту 10 герц (циклов в секунду). Герцы сокращенно за-
писываются Гц, когда используются в качестве единицы измерения.
Под периодом функции понимается наименьший интервал, через
который функция точно повторяет себя, а под основной частотой —
частота, соответствующая этому интервалу.
Период Т и частота f обратно пропорциональны друг другу.
Угловая частота ы (в радианах) связана с циклической частотой
соотношением а>=2п[.
Угловая частота m обычно применяется при вычислениях, в то
время как для прикладных целей удобнее циклическая частота f.
Прилагательным «основная» применительно к частоте часто
пренебрегают, а это может привести к путанице. Например,
в разд. 4.3 прямоугольная волна будет разлагаться на сумму синусов
и косинусов, а затем будет указано, что исходная форма волны
содержит в себе высокие частоты. Путаница может возникнуть
относительно частоты исходной формы волны и частот составляю-
щих разложения волны в ряд синусоидальных (периодических)
функций.
2.2. Наложение
Эффект наложения, сопутствующий выборке данных
через равноотстоящие интервалы, не удивит читателя,
который видел ковбойские фильмы. Когда колеса дили-
жанса вращаются все быстрее и быстрее, кажется, что
они замедляются, а затем останавливаются. Если диа-
пазон изменения скорости достаточно велик, то в некото-
рые моменты времени может показаться, что колеса
движутся назад, стоят на месте или движутся вперед.
Любая действительно высокая скорость вращения колес
предстает перед нами как результат выборки изображе-
ний и «наложения» их с образованием низкой частоты
вращения. На рис. 2.2.1 символически показано колесо
с четырьмя спицами, вращающееся с разными скоростя-
ми; сознание человека интерпретирует видимую картину
как слабое движение, вытекающее из наблюдений.
Другое обычное проявление эффекта наложения,
происходящего из-за процесса дискретизации, возникает
в том случае, когда стробоскоп мелькает со скоростью,
близкой к той, которую имеет деталь вращающегося
оборудования. Если стробоскоп мелькает со скоростью,
25
немного меньшей, чем скорость вращения (или кратной
ей), то мелькания воспринимаются глазами так, как
если бы вращение машины происходило медленно впе-
ред; при сближении скоростей кажущееся вращение за-
медляется. И снова мы видим, что одна частота нала-
гается на другую из-за процесса получения равноотстоя-
щих отсчетов.
Рис. 2.2.1. Медленное вращение, представляется как прямое враще-
ние (а); среднее вращение, представляется как неподвижное колесо
с двойным числом спиц (б); быстрое вращение, представляется как
обратное вращение (в)
В случае дискретизации синусоиды отсчеты берутся
только для одной составной части вращения колеса —
вертикальной или горизонтальной (либо в каком-нибудь
другом удобном направлении). В результате благодаря
дискретизации через равные интервалы времени (неза-
висимая переменная) можно наблюдать явление нало-
жения как простое следствие тригонометрических ра-
венств.
Рассмотрим синусоиду
соз[2л(т + я)/ + Ф],
где т — целое положительное или отрицательное число,
а а — положительная дробная часть исходной скорости
вращения, Ф — произвольный фазовый угол. Поскольку
мы берем отсчеты синусоиды в целочисленные моменты
времени t, то уменьшение любого угла на 2/гп не изме-
няет значения косинуса. Следовательно, синусоида
эквивалентна соз[2ла/+Ф]. Если я>'/2, то мы можем
удалить еще 2л и так как cosx=cos(—х), то в точках
отсчетов
cos [2те (— 1 + a) t + Ф] = cos [2тг (1 — a) t — Ф].
Таким образом, используя только простую тригономет-
рию, мы показали, что в точках отсчетов любая сину-
соида произвольной частоты эквивалентна синусоиде
с частотой, которая лежит между 0 и 1/2; эквивалентна
в том смысле, что две синусоиды имеют одинаковые зна-
чения в точках отсчетов (рис. 2.2.2). В полном смысле
слова две частоты неразличимы — высокая частота «на-
Рис. 2.2.2. Наложение
латается» на низкую (проявляется как низкая частота)
исключительно из-за процесса дискретизации. Этому
эффекту не подвержены только синусоиды с достаточно
низкими частотами, такими, что на каждый период при-
ходится по крайней мере два отсчета.
Для иллюстрации укажем, что функция
y„ = cos^- п (л = 0, ±1, ±2, ...)
имеет такие же значения, как и функция
(7 ГС . \ / 7t \ 7t
— — 4те л = cos -g— п ) = cos — п
во всех точках отсчетов и, следовательно, здесь исходная
функция будет накладываться на более низкочастотную
функцию.
Упражнения
2.2.1. Машина вращается со скоростью 100 Гц. Если вспышка
стробоскопа мелькает со скоростью 99 раз в секунду, то каково
кажущееся движение машины? (Указание: возьмите 1/99 секунды
в качестве интервала дискретизации). Если вспышка мелькает
101 раз в секунду? 98 раз?
2.2.2. Найти наименьшую частоту наложения для cos [8лл/3-|-
| л/3]. Для cos [13лп/3-|-л/3].
2.2.3. Повторить аргументацию для синусов вместо косинусов.
Обратите внимание на небольшие различия между косинусами и
синусами.
27
1.3. Понятие собственной функций
Название собственная функция происходит от немец-
кого eigenfunction и соответствует тому, что в старых
английских учебниках называлось характеристической
или натуральной функцией.
Чтобы показать особый случай собственных функ-
ций, рассмотрим умножение квадратной матрицы А=
= (a{j) размерности NXN на вектор х размерности
WX1. Произведением будет другой вектор у размерно-
сти N X1
Ах=у.
Если бы А была единичной матрицей, тогда, конечно,
вектор х был бы равен вектору у в том смысле, что все
компоненты этих векторов были бы одинаковы. Кроме то-
го, если х=0, то и у=0, но в дальнейшем мы исключим
функцию (вектор), которая тождественно равна нулю.
Обычно выходной вектор у имеет направление
(в JV-мерном пространстве), отличное от входного векто-
ра х. Для типичной матрицы А размерности W должно
быть А различных векторов х таких, что соответствую-
щий им вектор у будет иметь то же самое направление,
какое имел вектор х, хотя не обязательно такую же
длину, т. е. будем иметь
Ах = Хх
для некоторой константы X. Чтобы увидеть справедли-
вость этого замечания, можно записать предыдущее
уравнение в форме
(А—Х1)х=0,
где I — единичная матрица. Для того, чтобы это урав-
нение имело решение, которое не было бы тождественно
равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы определи-
тель этой системы уравнений
|А— XI |=0.
Этот определитель при развернутой записи становится
полиномом от X степени W и и общем случае он будет
иметь А различных нулей Х|, Х2, • • ., действительных
или комплексных (матрица А должна быть такой, чтобы
не было кратных нулей). Таким образом, в общем слу-
чае имеется N различных Хь с соответствующими вектор-
ными решениями ха (отметим, что х;< есть вектор, а не
компонента вектора). Значения Ха называются собствен-
на
йЫми значениями, a xfe — собственными векторами. Длй
данного собственного значения определитель равен ну-
лю, а соответствующий собственный вектор определяет-
ся, конечно, с точностью до мультипликативной кон-
станты.
Почему важны собственные векторы? Имеется (в об-
щем случае) N различных собственных векторов и мож-
но показать, что они линейно независимы. Поэтому они
могут служить в качестве базиса для представления
произвольного вектора х размерности N. Следовательно,
можно произвольный вектор х выразить как линейную
комбинацию из А собственных векторов xft
м
х2
4=1
Если теперь умножить обе части этого уравнения
на матрицу А (иными словами, применить операцию А
к уравнению) и провести вычисления, то получим
м я
Ах = 2
4=1 4=1
Видно, что здесь каждый собственный вектор умножается
на соответствующее ему собственное значение. Эффект
умножения на матрицу А (применения оператора А)
в представлении собственного вектора легко прослежи-
вается. Собственные векторы остаются независимыми
один от другого.
Например, матрица
приводит к соответствующему определителю
i^'i=iv2LI=0'
Разложение этого определителя дает уравнение для
собственных значений
X2—ЗХ + 2—6=0,
которое имеет нули Х=4, '—1. Если мы используем
Х) = 4, то для матричного уравнения (где мы применим
обозначение для j-й компоненты ;-го вектора х,)
получим выражение
/-3 0)
к з —2/
29
которое ведет к одному уравнений
Зх 1 д И- 2Х[ ,2==:: О
и к соответствующему собственному вектору
Х1,! >
Зх, ,1 ).
—Г- /
Значение хь1 является произвольным, так как ранг мат-
рицы для собственного значения равен 1. Если исполь-
зовать другое значение Хг= — 1, то мы получим
/2 2, /х2>1 \_q
\3 3/ \Х2 ,г /
и соответствующий собственный вектор
Эти два собственных вектора могут представлять любой
произвольный двумерный вектор.
Упражнения
2.3.1. Найти собственные значения и собственные векторы мат-
рицы
/1 —IX
a-Q »)
2.3.2. Для матрицы
1 1 1
А = ( 10-2)
\ 1 о о/
найти все собственные значения и собственный вектор, соответ-
ствующий собственному значению, равному 1.
Ответ-. (x,,i,—Xi,2,Xi,3).
2.4. Инвариантность при сдвиге
Во многих задачах обработки данных не существует
естественного начала отсчета и поэтому в качестве на-
чала выбирается произвольная точка (для сигналов, за-
висящих от времени, обычно это произвольный момент,
для которого устанавливается /=0). Из формул сложе-
ния в тригонометрии
sin (х + у) =sin х cos y + cos х sin у,
-cos (х + у) =cos х cos у—sin x sin у
30
нетрудно увидеть, что при x=x' + h
A sin х + В cos х
переходит в
A' sin х+В' cos х,
где
A'—A cos h—В sin h,
В' = А sin h + B cos h.
Возводя в квадрат каждое из этих выражений и сумми-
руя их, получаем
А'2 + В'2 = А2 + В2.
Таким образом, видно, что при операции сдвига функ-
ции cos х и sin х являются собственными, так как при
выполнении операции сдвига на величину h они возни-
кают снова. Равенства Эйлера
cosx-]-isinx = e‘x,
cos х — i sin x — e "‘x,
где 1 = ]/—1) приводят к соответствующим формулам:
cos х = (е{х -J- е “,х),
sinx = -^- (е'х — e~ix).
При таком обозначении две формулы сложения из триго-
нометрии совмещаются в одной более простой формуле
pixpiy---------------------рг(х+у)
Этот факт становится очевидным, если использовать
равенства Эйлера и приравнять действительные и мни-
мые части с обеих сторон. Следовательно, комплексная
экспонента представляет собой собственную функцию
сдвига. Комплексные экспоненты гораздо удобнее для
применения, чем действительные синусы и косинусы.
Мы выбрали математическое обозначение i=]/~ —1,
а не техническое j. Этот выбор произволен, но поскольку
книга рассчитана главным образом не на инженеров, то
разумнее выбрать i.
Возникает вопрос, являются ли синусы и косинусы
уникальными функциями, обладающими свойствами
§1
инвариантности при сдвиге. Свойство инвариантности,
которое мы хотим иметь, состоит в том, что обе функции
при сдвиге на постоянную величину, скажем Л, могут
быть записаны как линейная комбинация синусов и ко-
синусов или, в более общем виде в том, что любая ли-
нейная комбинация синусов и косинусов заданной час-
тоты при выполнении произвольного сдвига по коорди-
натной оси на величину h может быть снова записана
как та же линейная комбинация. Далее предположим,
что эти функции соответственно нечетная и четная и что
тригонометрические функции синус и косинус достаточно
гладкие. При этих предположениях можно показать,
что синусы и косинусы являются уникальными функция-
ми (за исключением соответствующих гиперболических
функций, которые тоже допустимы). Отметим, что на
языке комплексных экспонент свойство собственных
функций выражается значительно проще, чем в триго-
нометрических обозначениях
У (t + Л) = е;“ = е'ш"е^ = Л (ш) у (f),
где Л(ш) — собственное значение Л(<в)—егоЛ, не зави-
сящее от переменной t.
2.5. Линейные системы
Второе свойство собственной функции, которое мы
хотим показать, состоит в том, что комплексные экспо-
ненциальные функции e‘“z и е~'“( являются собственны-
ми функциями для линейных инвариантных во времени
систем. В абстрактном обозначении это означает
где L{}—произвольный линейный оператор. Линейный
оператор обладает свойством
L {agt (0 + bg, (f)} = aL {g, (f)} 4- bL {g2 (£)]}.
Очевидно, для нерекурсивных фильтров в форме
к
Уп= 2 Ckxn - k
k=-K
32
подстановка вида с выделением экспоненци-
ального'члена, зависящего от п, приводит к выходной
функции
г/(«) = е‘“" 2 сАе“‘'“=^(»)ег'ФЯ,
А=—К
где
2 сАе-шА = Л(а>).
Таким образом, функция ем, которую мы ввели в пра-
вую часть уравнения, может быть вынесена в виде мно-
жителя выражения и оказывается умноженной на свое
собственное значение Х(со). Собственное значение Х(<о),
конечно, константа, поскольку речь идет о t или, что
аналогично, об п.
Нетрудно видеть, что подобная ситуация применима
и к рекурсивным фильтрам. Необходимо только подста-
вить комплексные экспоненты с одинаковыми частотами,
но желательно с разными амплитудами для х-,,_ и у к и
отметить, что результат является выражением, не зави-
сящим от п.
Заслуживает внимания тот факт, что экспоненциаль-
ная функция есть также собственная функция, соответ-
ствующая вычислительным операциям дифференциро-
вания
d l<ot г
— е — к»е
at
и интегрирования
Кроме того, экспоненциальная функция является собст-
венной функцией для операции вычисления разностей,
так как
=е'“ </+1) - ем = е'ш/ [е'“ - 1].
Таким образом, видно вопреки впечатлению, полученно-
му из обычного курса исчисления, что степенные функ-
ции от х ие являются собственными функциями исчисле-
33
ния. Вместо них экспоненциальные функции, действи-
тельные или комплексные, являются натуральными, ха-
рактеристическими, собственными функциями исчисле-
ния.
Упражнения
2.5.1. Найти собственное значение, соответствующее /г-й про-
изводной.
2.5.2. Найти собственное значение, соответствующее /г-му раз-
ностному оператору Лк.
2.5.3. Сделать подробный вывод для уравнения рекурсивного
фильтра.
2.6. Собственные функции равномерной
дискретизации
Цель этого раздела состоит и том, чтобы показать,
что собственные функции процесса получения равноот-
стоящих отсчетов от какой-либо функции представляют
собой обычные синусы и косинусы из тригонометрии.
Они являются собственными функциями в том смысле,
что когда мы а) берем синусоиду некоторой частоты
(предполагая ее как высокую частоту), затем б) осу-
ществляем процесс взятия отсчетов данной синусоиды
в равноотстоящих точках и в заключение в) задаем себе
вопрос: «Какую эквивалентную синусоиду низкой час-
тоты мы имеем?», то находим, что она эквивалентна
единственной синусоидальной функции. Проще говоря,
синусоида любой примечательной частоты (в смысле на-
личия одинаковых значений синусоид в точках отсче-
тов), благодаря наложению, преобразуется в одну-един-
ственную низкочастотную функцию.
Сопоставим этот результат с тем, что происходит,
когда применяется классический полиномиальный метод
аппроксимации. При аппроксимации полиномами, ис-
пользуя точки отсчетов х{(1=1, ..., N), приходим непо-
средственно к рассмотрению выборочного полинома,
определяемого как
л (х) — [х—xj [х—х2] ... [х—Хдг].
Эта функция исчезает во всех точках отсчетов х{ и по-
этому представляет функцию, которую мы не можем
«видеть». Теперь, придавая любую степень х, скажем х",
поделим это выражение на л(х) для того, чтобы полу-
чить частное Q(x) и остаток R(x),
Xm=.-r(x)Q(x) +R(x),
где R(x) имеет степень меньше, чем N. Простое обобще-
ние обычной теоремы об остатках показывает, что
в точках отсчетов xt две функции хт и 7?(х) имеют абсо-
лютно одинаковые значения. Поэтому происходит нало-
жение исходной единственной степенной функции от х
на полином R(x), который представляет собой, конечно,
линейную комбинацию 1, х, х2, .. ., х^1, а не одну
степенную функцию. В этом смысле степенные функции
от х не являются собственными функциями для про-
цесса дискретизации при любом расположении отсчетов.
Следовательно, наложение для полиномов — это беспо-
рядочный процесс.
Давайте еще раз сформулируем этот результат.
Если процесс заключается в: а) выборе основной
функции (степенной функции от х, скажем х”1), б) вы-
борке отсчетов в /г+1 точках и, наконец, в) образовании
из отсчетов новой функции минимальной степени от х,
то в общем случае можно заметить, что эта одиночная
степенная функция от х не переходит в степень от х.
С другой стороны, для синусоид процесс равномерной
дискретизации с последующим образованием функции
минимальной частоты дает в результате одну синусоиду.
Следовательно, в этом смысле синусоиды являются соб-
ственной функцией процесса равномерной дискретиза-
ции, а обоснование этого положения еще раз показы-
вает центральную роль, которую играет наложение
в этом процессе.
2.7. Краткие выводы
В этой главе были приведены три причины, показывающие,
почему тригонометрические функции, синус и косинус являются
собственными функциями, используемыми во многих задачах ди-
скретной или непрерывной фильтрации. В частности, они являются
собственными функциями для:
— инвариантности при сдвиге на произвольную величину;
— линейных систем;
— систем дискретизации с равноотстоящими отсчетами.
Во многих задачах значительно легче иметь дело с тригономет-
рическими функциями в форме е‘ф( и но следует помнить, что
мы моделируем реальный мнр и что в конце анализа, несмотря
на более удобное обозначение в комплексной форме, должен быть
действительный сигнал, который регистрируется и преобразуется.
При комплексной форме обозначения понятно, почему имеются по-
ложительные и отрицательные частоты: двум действительным
функциям, синусу и косинусу, с положительной частотой соответ-
ствуют две функции е‘“( п е'_'“/.
34
35
Глава 3
НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ
3.1. Введение
В этой главе частотный подход используется для исследования
ряда классических применений цифровых фильтров (хотя эти при-
менения обычно не представляют как цифровую фильтрацию). Рас-
смотрим сначала известные ситуации, где частотный подход легче
для понимания и психологически оолее приемлем. Первоначальная
история каждой из них базировалась па классическом полиноми-
альном подходе к численным методам, которые используют поли-
номы как основу для аппроксимации. При проведении сравнения
двух подходов оудет показано, что частотный подход проливает
новый свет иа хорошо известные задачи.
Несмотря на значительный ооъем, эта глава содержит просто
решения ряда задач, использующие одну и ту же совокупность
идеи, создается впечатление, что читателя завалили частными слу-
чаями. возможно, что некоторые нз них окажутся достаточно зна-
комыми, так что новый подход приведет к существенно новому
пониманию сути дела. 1аким ооразом, размер этой главы обуслов-
лен скорее разноооразием предполагаемой иодгоювки читателей,
чем важностью конкретных примеров.
После ознакомления с новым методом анализа и решения ли-
нейных формул с помощью комплексных экспоненциальных функ-
ций, ссгесгьенно обратиться к соответствующей проблеме проекти-
рования. чтооы это сделать, нам оуду! необходимы формальные
математические соотношения из ряда Фурье, которые рассматрива-
ются в гл. 4 и 5.
3.2. Приближение полиномами по методу
наименьших квадратов
Допустим, что имеются М точек массива данных
(tm, хт), /п=1, 2, ..., М, и желательно аппроксимиро-
вать эти данные по некоторому критерию полиномом
х=х(г) степени N, где Al>iV + l (это означает, что то-
чек данных имеется больше, чем параметров у полинома,
рис. 3.2.1). В общем случае нельзя надеяться найти
коэффициенты так, чтобы полином был подогнан точно
по всем точкам данных (даже пренебрегая округлением
в машине). Ошибки приближения полинома называются
разностями и они, как правило, не будут все равны
нулю. Принцип наименьших квадратов устанавливает,
что из всех полиномов степени N следует выбрать тот,
для которого сумма квадратов разностей будет наимень-
шей. Этот принцип, конечно, является условным, и его
36
не следует принимать как
абсолютную истину.
В качестве примера рас-
смотрим набор из пяти рав-
ноотстоящих точек данных.
Чтобы облегчить подбор
формулы, зафиксируем си-
стему координат и выберем
точки для tm=m при т =
= —2, —1,0, 1, 2 с соответ -
Рис. 3.2.1. Приближение дан-
ных по методу наименьших
квадратов
ствующими произвольными
значениями хт. Если мы бу-
дем осуществлять прибли-
жение к этим данным по
методу наименьших квадратов с помощью прямой линии
x=A + Bt, то необходимо минимизировать
2
F(A,B) = J} [хя-(44-£/«)]’•
т=— 2
Переменными в этой задаче являются коэффициенты А
и В прямой линии. Чтобы найти минимум, необходимо,
естественно, продифференцировать это выражение по А
и В, а затем результирующие выражения приравнять
нулю. Это дает два следующих выражения (поскольку
2im=0 и Sf2m= 10):
( 2
5А+ 0В=
т=—2
2
0А4-10В= 2 тхт.
т=—2
Полученные уравнения называются нормальными, по-ви-
димому. из-за того, что они всегда появляются при при-
ближении полиномами по методу наименьших квадра-
тов. Перед тем как решать эти уравнения для А и В,
необходимо сделать ряд замечаний. В общем случае
сглаживания в качестве сглаженного значения х прини-
мают среднюю точку линии вместо начальной точки
данных х0. В этом случае необходимо найти только зна-
чение А, которое из первого нормального уравнения
равно 1/5 суммы пяти значений данных, т. е. сглаженное
значение равно среднему.
37
Выше прямая линий приближалась к одиночному
набору из пяти точек, хотя обычно при сглаживании по-
тока данных прямая линия приближается в каждом
(перекрывающемся) наборе из пяти соседних точек и
сглаженные значения х для этих наборов берутся как
значения в средней точке соответствующей пятерки.
Когда сглаживание пятерками осуществляется в такой
движущейся системе координат, имеем формулу
2
Хл = “ ^п-т>
т=—2
где хп — сглаженное значение при t=tn. Пять коэффи-
циентов ст этого фильтра имеют значения каждый 1/5.
Коэффициент усиления шума (разд. 1.7) также ра-
вен 1/5. Отметим, что с помощью этой формулы невоз-
можно сгладить по два значения в начале и в конце
потока заданных данных.
Как выглядит эта формула с частотной точки зре-
ния? Предположим, что входная функция представляет
собой комплексную синусоиду е‘и<. Поскольку формула
линейна по отношению к данным, то (см. разд. 2.5)
такая же функция будет всегда на выходе за исключе-
нием того, что она умножается на свое собственное зна-
чение, которое, начиная с этого момента, будем обозна-
чать как 7/(со). Собственное значение зависит от <о, а не
от t (в данном случае от п). Подставив комплексную
экспоненту е‘“( в формулу сглаживания пятерками, по-
лучим
Н(ш) = 4- [е-2г“+ е~;“+ 1 + е;“+ е21“].
Отметим, что отрицательные и положительные частоты
имеют одинаковые коэффициенты и, следовательно, по-
парно могут быть заменены соответствующими косинус-
ными функциями
(<o) = -t- [1 + 2coso)-|- 2cos 2o>].
Функция 7/(co), которая является собственным значе-
нием формулы, называется передаточной функцией, так
как входная частота передается на выход простым
умножением на Н (со). Эта характеристика приведена
среди других на рис. 3.2.2 и обозначена как 5-точечная;
38
она будет обсуждаться в следующих разделах. На ри-
сунке использована в качестве независимой переменной
частота /=со/2л.
Другое представление передаточной функции основа-
но на том факте, что в комплексной экспоненциальной
форме полученное выражение — это геометрическая про-
грессия с г = е““,
e5i®/2 е—5r<u/2 sin (5со/2)
(<в) _ [е'“/2 е~“”/2J 5sin (<<>/2)
Передаточная функция Н (со) является, очевидно, пе-
риодической функцией от со. Однако из-за исходнвй
дискретизации с единичными интервалами, она имеет
Рис. 3.2.2. Сглаживание прямой линией по методу наименьших квад-
ратов
смысл только на интервале длиной 2л, который обычно
берется в пределах от —л до л. Продлить передаточную
функцию за пределы этого диапазона — значит смешать
частоты, которые перешли при дискретизации из-за на-
ложения в основной интервал, с теми, которые до
дискретизации лежали в стороне. Поэтому мы будем изо-
бражать самое большее один период передаточной
функции. Частота среза, иа которой начинает наблю-
даться наложение из-за дискретизации, называется час-
тотой свертывания или частотой Найквиста.
39
Для удобства на графиках указывается циклическая
частота f, а не угловая частота со. Величины f и со свя-
заны между -собой формулами
2л/=со и /=со/2л.
Таким образом, Д(со) =Д(2л/). К сожалению, эту по-
следнюю функцию часто записывают как H(f), что яв-
ляется источником ошибок. Чтобы избежать их, будем
записывать
Я(2л/) =/?(/).
Это та же самая путаница, которая возникает, например,
с синусоидальной функцией, когда в одном и том же
рассмотрении одновременно применяют и радианы, и
градусы. Рис. 3.2.2 иллюстрирует, что происходит на
любой отдельной частоте f: входная амплитуда просто
умножается на собственное значение Я(/), показанное
на рисунке. Наименьшая частота /=0 (в электротехни-
ческих применениях она соответствует постоянному
току) передается через сглаживающий фильтр с неизмен-
ной амплитудой. Все другие частоты претерпевают неко-
торое ослабление (уменьшение). Сглаживание пятерка-
ми имеет две частоты: / = 2/10 и 4/10, на которых
амплитуда на выходе равна пулю, независимо от амп-
литуды соответствующей входной частоты.
Если приближение прямой линией осуществляется не
в 5, а в (2т +1) точках и мы поступим так же, как
поступали с 5 точками, то придем к формуле сглажива-
ния по (2т+1) точкам. Соответствующая передаточная
функция Н(ы) дает собственное значение для частоты со
И = 2m + i~fl + 2cos<“ + ••• + 2c°s/n<o].
Альтернативное представление будет иметь вид
Я (о)- sin-<? + 1/2>-“ -
‘ W— (2m + 1)sin (ш/2) •
Из этой формулы видно, что чем больше слагаемых ис-
пользуется в //(со), тем более быстрыми становятся
колебания передаточной функции и тем больше огибаю-
щая колебаний прижимается к оси частот. На рис. 3.2.2
показаны графики для нескольких первых вариантов,
2т+1—3, 5, 7, '9. Заметим, что значение sin (ш/2) в зна-
менателе изменяется от 0 до 1 при изменении ш от О
до л(/ изменяется от 0 до 7^),
40
Эти формулы сглаживания точно те же, что и в ме-
тоде скользящего среднего в статистике и поэтому пере-
даточная функция Я (со) показывает, что происходит,
тогда усредняются данные с частотой со. Заметим, что
эти передаточные функции периодические и симметрич-
ные относительно со = О и со=л (/= ]/2). Периодичность
относительно /='/г отражает факт наложения, который,
как было установлено ранее, возникает при дискретиза-
ции с равноотстоящими отсчетами. Периодичность отно-
сительно /=0 вытекает из симметрии коэффициентов
в формуле.
Отметим, что поскольку используются собственные
функции, операция сглаживания не вызывает взаимо-
действия различных составляющих данных. Так, если
входная функция x(t) есть сумма М комплексных си-
нусоид
м .
х(/) = 2 Сте‘ш- ,
то на выходе будем иметь
м .ю
2 с^н•
т=А
Упражнения
3.2.1. Образовать данные (с действительным значением), соот-
ветствующие /=4/10, и сгладить их пятерками.
3.2.2. Вывести формулу для сглаживания со скользящим сред-
ним по (2т+ 1) точкам.
3.2.3. Показать, что две формулы в тексте для сглаживания по
(2т-(-1) точкам совпадают, пользуясь только тригонометрией.
3.2.4. Вывести точные формулы для точек пересечения нуля
передаточной функцией на рис. 3.2.2 и для значений при /=1/2.
3.3. Приближение параболами второй и четвертой
степени по методу наименьших квадратов
Вместо сглаживания путем приближения прямой ли-
нией возможно производить приближение квадратной
параболой (или кубической, что эквивалентно). Для
квадратной параболы
x(t) —A + Bt + Ct2
и минимизируется сумма квадратов разностей
F (А, В, С) = S - (А -фВт -ф Ст2)]2.
41
Дифференцируя по подбираемым переменным, а именно,
А, В и С, получаем нормальные уравнения
М{1}+ВИ + С{тг}={х},
- Л W + & {т‘} + С {/л’} = 1тх} ’
А {№}+ В {т3} -ф- С {in1} — {т2х},
где {} означает «сумму значений аргумента, заключен-
ного в скобки». При выборе специального ряда равно-
отстоящих точек данных —т, —(т—1), .. ., т все
суммы по нечетным степеням равны нулю. Решая урав-
нения для 4, величину которого необходимо только
знать, имеем
. _ [{m4} {х} - {т2} {т2х}]
[{1}<^}-{т2}2]
Перепишем это уравнение для случая 5 точек
т=2 g т=2
34 2 ю 2 т2хт
~ __ Л — 'п=-2______Тт=-2_____—
— (5) (34) — (10) (10)
—)3х_2 12х_, 17хе + 12х, —Зх2
~ _ .
Здесь сглаженная величина представляет собой взве-
шенное среднее из пяти входных значений. Для общего
случая любой текущей точки п имеем
— — Зх„_2 -|- 12х„_, 17хл -)- 12х„+, Зхп+1
Хя — 35 •
Чтобы проанализировать эти формулы, сделаем под-
становку хт = е'“". При этом формула примет вид
17 + 24cos<i> — 6cos2<i>
35
и, конечно, будет опять являться известной нам Я (со).
Графики передаточных функций Н (со) по этой формуле
показаны на рис. 3.3.1 для 5, 7, 9 и 11 точек. Коэффи-
циенты Ch имеют значения соответственно:
-2-Г— 3, 12, 17, 12, - 3],
<35 1 1
[- 2, 3, 6, 7, 6, 3-2],
42
[-21, 14, 39, 54, 59, 54, 39, 14,-21],
— [-36, 9, 44,69, 84, 89, 84, 69, 44, 9, -36].
Напомним, что в передаточной функции нецентральные
коэффициенты должны быть попарно равны для того,
чтобы получить соответствующие коэффициенты коси-
нусов. Независимая переменная на рис. 3.3.1 снова дана
в виде циклической частоты f.
Рис. 3.3.1. Передаточная функция для сглаживания квадратичной
параболой по методу наменьших квадратов
Кривые R(f) описывают передаточную функцию, по-
лученную при сглаживании квадратичной параболой по
методу наименьших квадратов и напоминают кривые
для сглаживания прямой линией, отличаясь лишь более
высоким порядком касания в точке со = 0. В обоих слу-
чаях применение большего числа членов в формуле
сглаживания приводит к тому, что кривые спадают бе-
лее быстро, а величина последующих колебаний слегка
уменьшается.
Продолжая рассмотрение аналогичным образом,
перейдем к следующему случаю сглаживания параболой
четвертой степени по методу наименьших квадратов
(парабола пятой степени дает те же результаты). За-
43
Дадимся параболой четвертой степени в форме
х (/)=а+Bt+се+Dt3 4-да4.
Затем, используя точки данных t——т, —(т—1), ...
..., О, 1, .. ., т (которые временно фиксируют систему
координат и делают обозначения значительно проще),
получим разности между исходными данными и вычис-
ленными значениями, возведем их в квадрат и просум-
мируем по всем данным. Следующий шаг состоит в том,
чтобы найти минимум этой функции от переменных А,
Рис. 3.3.2. Передаточная функция для сглаживания параболой чет-
вертой степени по методу наименьших квадратов
В, С, D, Е. Как обычно, минимизация функции осуществ-
ляется дифференцированием по каждой из переменных
и затем приравниванием нулю соответствующих произ-
водных. В результате получаются нормальные уравне-
ния. Из этих уравнений необходимы только первое,
третье и пятое, поскольку нам нужна только величи-
на А. Для т=3, 4, 5, 6 точек или, что то же самое, для
7, 9, 11, 13 точек, получим значение А, которое будет
линейной комбинацией исходных данных хт. Формулы
сглаживания имеют следующие коэффициенты
— [5, - 30, 75, 131,75, - 30, 5],
4^9 [15, -55, 30, 135, 179, 135, 30, -55, 15],
44
^9 [18, -45, -10, 60, 120, 143, 120, 60, -10, -45, 18],
2^- [НО, —198, -135, ПО, 390, 600, 677, 600, 390, НО,
- 135, - 198, ПО].
Как обычно, предполагаем в качестве входной функ-
ции х(/)—е'“* и получаем передаточную функцию Н (ш)
Для этих случаев они показаны на рис. 3.3.2 где опять
использована при построении графиков циклическая
частота f.
И снова эффект от полинома более высокой степени
проявляется в виде более высокого порядка касания
в точке со = О. Кроме того, использование дополнитель-
ных членов в формуле сглаживания приводит к более
быстрому спаду кривой.
Более высокий порядок касания в точке со = О пред-
ставляет, таким образом, главный результат.
Теорема.
Чем больше степень t, используемая для приближения
во временной области, тем более высокий порядок каса-
ния будет при ы = 0 в частотной области.
Для доказательства этой теоремы предположим, что
формула сглаживания имеет вид
_ k=K
^=3 CkXn-k-
k=—K
Допустим также, что коэффициенты ch уже определены
так, чтобы сделать формулу справедливой для x(t) =
= 1, t, t2, ..., ft"-', но не для t”1. Это означает, что урав-
нения (если принять п=0) будут иметь вид
ь=к 1, р 0,
kpck= 0, р= 1, ..., m— 1,
*=-к 0, р—т.
Теперь рассмотрим передаточную функцию в форме
k~ к к 1
//(«>)= 3 Ck^= 3
k——К ' k=—K
Поскольку уравнение во временной области выполняет-
ся для х(/) = 1, то из этого следует, что предыдущее
4'5
равенство верно для ш = 0 и, следовательно, Я(0) = 1.
Дифференцируя по со, а затем положив со = О, получим
уравнение
*=К
з ^=0.
k=-K
Отсюда следует, что Н'(0)=0. Повторяя дифференци-
рование и принимая со=0, можно показать, что все
последующие производные, вплоть до (п—1)-й, равны
нулю. Однако в n-й производной взаимного уничтожения
членов не происходит и поэтому соответствующая про-
изводная от Н(со) уже не будет равна нулю. Следова-
тельно, теорема доказана.
Упражнения
3.3.1. Сделать подробный вывод формулы для передаточной
функции при приближении параболой четвертой степени в 5 точках
по методу наименьших квадратов. Ответ дать в форме косинусов.
3.3.2. Вывести формулу для передаточной функции при при-
ближении параболой четвертой степени в 7 точках. Ответ дать
в форме косинусов.
3.4. Интегрирование. Рекурсивные фильтры
Другой хорошо известной операцией, которая исполь-
зует линейную комбинацию данных, является численное
интегрирование. Читатель, вероятно, знаком с применяе-
мыми для этой цели правилами трапеций, средней точки и
формулой Симпсона. Исследуем эти формулы с частот-
ной точки зрения.
По правилу трапеций (считая //о=О)
Уп+г = Уп~]~' 1г [Лл + 1+ -^11’
где хп — значения подынтегральной функции, а уп—
значения интеграла (значения площади). Поскольку у
присутствует в обеих частях этого уравнения, то, оче-
видно, что фильтр будет рекурсивным (разд. 1.1). С дру-
гой стороны, рассмотренные ранее формулы сглажива-
ния предусматривали нерекурсивные фильтры.
В нашем случае мы предполагаем, что вход х(7) име-
ет вид е'“( и, поскольку уравнение линейное, то соот-
ветствующий выход y(t) получается гв форме 4(<»)е"и/
(разд. 2.5). Решая уравнения относительно А(<о), получим
Разделим числитель и знаменатель па е'“^ и запишем
результат, применяя обычные тригонометрические функ-
ции:
А(ш)
cos (со/2)
2i sin (ш/2) ’
Точный ответ после интегрирования функции e"“z бу-
дет, конечно, [1/(£<•>)] e'“z. Теперь возьмем отношение вы-
численного значения к точному
Вычисленное _ со Г <о/2 1
Точное C0S 2 I sin (ш/2) j :
При со = О это отношение, очевидно, равно единице и
стремится к нулю для частоты Найквиста, со = л(/=1/2),
которая является естественной границей, поскольку на-
чиная с нее появляется наложение (рис. 3.4.1).
Почему мы берем отношение вычисленного и точного
значений вместо простой оценки передаточной функции,
как это делалось ранее? Ответ простой: как для сгла-
живания, так и для фильтрации отношение выхода ко
входу представляет собой естественное сравнение для
того, чтобы увидеть, насколько хорошо выполняются эти
операции. Но в операциях, подобных дифференцирова-
нию и интегрированию, сравнивается полученный ре-
зультат с желаемым и поэтому для оценки качества та-
4R
47
ких формул используется отношение вычисленных зна-
чений к точным. Ясно, что правую часть отношения
можно считать передаточной функцией, которая осу-
ществляет переход (передачу) от точного значения к вы-
численному.
Разлагая числитель и знаменатель в степенной ряд,
а затем поделив их, получим выражение
Вычисленное _ . _<о8 । со4 ,
Точное 12 • 720• • • >
которое позволяет судить о форме отношения около
<о=0.
Аналогичный анализ для интегрирования по формуле
Симпсона (если считать z/o=O)
Уп + 1 — Уп-1 + “ [ЛЛ + 1 ~\~^ХП +-*71-1]
дает
Вычисленное__ [2 4- cos со] _ , (о4 ।
Точное [3 (sin (*>)/(*>] - 180
Эта кривая начинается при со = О со значения 1, имеет
(в соответствии с предыдущей теоремой разд. 3.3) каса-
тельную вплоть до нулевой третьей производной и воз-
растает до тех пор, пока при со = л знаменатель не ста-
нет равным нулю (рис. 3.4.1).
Поскольку такое поведение при со = л является неожи-
данностью, то как его понимать? Очевидно, формула
Симпсона усиливает верхнюю часть интервала Найк-
виста (более высокие частоты), тогда как правило
трапеций подавляет ее. На частоте Найквиста интегри-
руемая функция может иметь значения +1, —L 4-1>
— 1, +1 ... и в формуле Симпсона эти значения умно-
жаются на коэффициенты'1, 4, 2, 4, 2, 4, ... и, конечно,
все делятся на 3. Рассмотрев произведения, мы увидим,
что каждая пара значений: второе и третье (—1X4 и
-|-1Х2), четвертое и пятое и т. д. комбинируются так,
чтобы дать отрицательное число, поэтому для такой вы-
сокочастотной функции интегрированная сумма будет
расти линейно. Этот эффект известен в численном ана-
лизе, но редко отмечается в учебниках.
Соответствующий эффект для правила трапеций не
наблюдается. На частотах, близких к частоте Найквиста,
можно видеть, что сильно возросшие значения не ком-
48
бинируются так, как это происходит при интегрирова-
нии по формуле Симпсона.
Далее просто выпишем формулу средней точки для
интегрирования (считая //0=0)
Уп + i —Уп~\~ Лп+1/2-
В результате подстановки сюда е‘“* для x(t) получаем
Л(<о)е‘“ для //(/), а отношение вычисленного значения
к точному равно
<о/2
sin (<о/2) '
Значение этого выражения начинается с единицы при
<о = 0 и медленно растет с увеличением со. На границе
Найквиста имеем значение функции, равное л/2.
Оставшаяся кривая на рис. 3.4.1 изображает пере-
даточную функцию при интегрировании по формуле Лео
Тика. Эта формула рассчитана на получение передаточ-
ной функции, максимально близкой к единице во всей
нижней половине интервала Найквиста, и в то же время
она содержит только три последовательных члена. Фор-
мула имеет вид (при //о=О)
+^(0,3584x„+11,+ 1,2832х„ + 0,3584х„_1).
Вывод этой формулы будет сделан в разд. 12.10.
В итоге, мы показали как выглядят три классических
формулы численного интегрирования при их исследова-
нии с частотной точки зрения. Применение естественных
в данном случае собственных функций задачи е‘“*, как
и ожидалось, по-новому показывает каждую из них.
Мотивы, по которым эти формулы подходят для зашум-
ленных данных, интуитивно были поняты еще до пере-
хода к вычислениям на ЭВМ, но они не встречаются
в современных учебниках. Ясно, что при наличии шума,
в котором обычно содержится значительное количество
высоких частот, формула Симпсона более опасна для
применения, чем формулы трапеции или средней точки.
Но когда в интегрируемой функции относительно малы
высокие частоты, то плоский характер передаточной
функции в области низких частот делает формулу Симп-
сона более предпочтительной. Выбор той или иной
формулы, как было показано, очевидным образом
4—540 49
зависит от частотных характеристик интегрируемой
функции.
Однако несколько слов предостережения. Фактически
невозможно судить о методе вычисления без рассмотре-
ния того, что предстоит делать с результатами. Если,
например, необходимо проанализировать интегрируе-
мую функцию по частоте, то особенно важно прове-
рить эффекты метода интегрирования на различных
частотах и поставить условия для интерпретации этих
эффектов. Как уже отмечалось, правило интегрирования
Тика (рис. 3.4.1) было выведено с целью получения как
можно большей точности (при заданной основной форме
правила) для нижней половины интервала Найквиста,
0^)^1/4. Рисунок показывает (едва заметно), что
ошибка на верхней границе полосы, в которой формула
должна быть точной, оказывается такой же по величине,
как максимальная ошибка в несколько более ранней
точке, но другого знака. Следовательно, максимальная
ошибка для любой частоты в этом интервале миними-
зируется. Подробнее данный критерий будет рассмотрен
в гл. 1'2. Цена этой точности в широком диапазоне час-
тот, в частности, заключается в меньшей точности около
(О = 0.
Упражнения
3.4.1. Применить методы этого раздела для интегрирования
«по правилу 3/8»
(/п+2=(/п —1~Ц/8 Цп+2- |~3.Vn |. |—.V „ _ । ] .
3.4.2. Вычислить н построить передаточные функции интегри-
рования по формулам Ньютона — Котеса для Л'=2, 3....... 10
[6, с. 342].
3.4.3. Вычислить сумму квадратов коэффициентов членов хп
(усиление шума, разд. 1.7) для четырех формул интегрирования
этого раздела.
3.5. Разности и производные
Разностный оператор
&Уп = Уп+1 Уп
представляет другой класс примеров, показывающих
достоинства частотного подхода к формулам, получен-
ным с помощью полиномов. Повторное применение опе-
ратора А ведет к
д* [//„]= Д[Д<*-)] ы
50
Важность этого выражения следует из теоремы, согласно
которой оператор An+1 уничтожает полином Рп(х) сте-
пени п от х, т. е.
Л<п+г>Рп(х) =0.
Кроме того, можно показать, что разностный оператор
«усиливает» небольшие ошибки [6, гл. 10 и 35]. По-
этому таблица разностей для функции, тождественно
равной нулю, но содержащей одиночную ошибку (благо-
даря линейности мы можем принять ее равной 1), бу-
дет иметь биномиальные коэффициенты с переменными
знаками в последующих столбцах разностей (табл. 3.5.1).
Т а б л и ц а 3.5.1
Таблица разностей
п f (л) if (л) Д« f (л) Д8 f (я'
—3 0 0
г—2 0 0 0 1
-1 0 1 1 —3
0 1 —1 —2 3
1 0 0 1 —1
2 0 0 0 0
3 0 0 0
4 0
Используя частотный подход, проверим теперь влия-
ние, которое оказывает оператор А на произвольную
iwt т т
частоту е . Имеем
<<«/__ е'“ (М-’> _ е‘ш‘[е'“ — 1] e““z =
=[е‘“/2 [е'“/2
ei<°t = ^/«/2 Г2sin 2L1 ег“ф
51
Из этого выражения следует, что k повторных примене-
ний оператора Д дает
Д* = е^/2 jssin е‘»'.
Первые два множителя имеют абсолютную величину 1
и, следовательно, усиление на частоте со заключено
в множителе
H(f)
Рис. 3.5.1. Частотная ха-
рактеристика разностно-
го оператора Д’1
[2sin ,
где —— обычный интер-
вал Найквиста. Сразу же видно,
что для нижней трети частот
(0^со^л/3) разностный опера-
тор Д уменьшает амплитуду лю-
бой частоты, в то время как
в верхних двух третях интервала
частот имеется усиление (рис.
3.5.1). Эта ситуация объясняет
типовое использование таблицы
разностей для локализации (вы-
сокочастотного) шума. Шум в
этом случае подразумевается
в верхних двух третях интервала
Найквиста.
Разности применяются также
для аппроксимации производных.
Например, основная формула
для разностей
X„+I — Xn-x—lhx'n
дает возможность аппроксимировать производную. Ис-
пользуя наш частотный подход, положим %’(/)= е,и< Точ-
ная производная есть х'(/) = йое““(. Из приведенной фор-
мулы (при й=1) вычисленное значение будет
е‘“- e~‘“=2isin<o.
Отношение вычисленного значения к точному
41 since sin се
2/<о со
52
Когда ю=0 (постоянный ток), величина этого отноше-
ния, как и следовало ожидать, равна 1, но для всех
других со это отношение меньше 1. Следовательно, эта
формула недооценивает значения производной для всех
других частот в интервале Найквиста.
Для второй производной мы используем оценку
х" (t) —x(f+1)—2x(t) +x(t— 1)
и получаем отношение вычисленного значения к точному
в виде
Вычисленное [е‘“ 2-|-е—г“] 2(1—cosco) Г sin (со/2) I2
Точное (1С0)2 L <®/2 J ’
которое представляет собой квадрат предыдущей зави-
симости, но отличается от нее еще и сжатием в 2 раза
по независимой переменной.
Начинающему следует взять некоторую конкретную
частоту и, выполняя операции над определенными чис-
лами, посмотреть, как эти формулы согласуются с прак-
тикой, и, в частности, отметить, как появляются нулевые
оценки.
Упражнения
3.5.1. Применить теорию предыдущего раздела для аппрокси-
мации третьей производной
[—х(п4-2)Ц-2х(п-4-1)—2х(п—1 )4х (п.—2)]/2.
3.5.2. Объяснить характер касания передаточной функции фор-
мулы fe-й производной при <в=0.
3.6. Еще о сглаживании. Децибелы
В разд. 3.2 и 3.3 показано, что большинство формул
сглаживания, использующих метод наименьших квадра-
тов, сохраняют точное значение на нулевой частоте (по-
стоянный ток), но, вообще говоря, уменьшают величину
любой более высокой частоты, которая может содер-
жаться в сглаживаемой функции. Графики на рисунках
изображают передаточные функции линейного процесса
сглаживания, т. е. они показывают для каждой со соот-
ветствующее собственное значение процесса в диапазону
вплоть до частоты Найквиста (на которой начинается
наложение).
Эта ситуация наводит на мысль о проверке и других
классических формул сглаживания, чтобы посмотреть,
ие обладают ли они подобным свойством. Возможно, что
53
более известными из давно применяющихся формул
сглаживания являются 15-точечная и 21-точечная фор-
мулы сглаживания Спенсера [И, с. 372]
Л'г==32б1 ^хп-7 6х„_5 — блЛ1_5-|- Зх„_4-ф-21х„_3-|-
-ф- 46х„ _ 2 -ф- 67хп _, -ф-74х„ -ф- 67х„+1 -ф- 46хп+2 -ф- 21х„+з
+Зх„+4'- 5х„+5 - 6х,1+в - Зх„+7]
и
Л« = 350 н— 5х„ а — 5х„_, — 2х„_6 +
Ч-Ц- 18хп _ 4 -ф- 33х„ _ 3 -ф- 47х„_г -ф- 57хп_, -ф- 60х„ -ф-
-ф57хи+1 -ф-...].
Передаточные функции для этих двух формул приведены
на рис. 3.6.1. Если мы примем гипотезу о том, что они
Рис. 3.6.1. Передаточная функция для формул сглаживания Спен-
сера
также были получены для удаления «шума», то придем
к выводу, что «шум» классически идентифицируется
с высокими частотами, а «сообщение» или «информа-
ция»— с низкими частотами. Эти две формулы отли-
чаются полосой пропускания частот в процессе фильтра-
ции (сглаживания). Как и следовало ожидать из общих
представлений, чем длиннее формула, тем более узкую
полосу пропускания частот она обеспечивает.
54
Данные формулы были выведены не только для про-
пускания низких частот и заграждения высоких, но
также и для облегчения ручных вычислений. Поэтому
они не обязательно оптимальны для существующих
ЭВМ. Действительно, для многих членов и заданной
«частоты среза» легко могут быть получены лучшие
формулы (см. гл. 6 и 9).
Кривые, показанные на рис. 3.6.1, не являются до-
статочно информативными, так как значения на высо-
ких частотах настолько малы, что невозможно решить
насколько они хороши. Поэтому лучше наносить лога-
рифмы чисел Я (со). Для этой цели обычно применяют
децибелы (десятые доли бела), сокращенно обозначае-
мые дБ и определяемые как
20 log (отношение) =дБ единиц,
где в качестве контрольного значения (знаменатель от-
ношения) мы, конечно, выбираем начальное значение
на частоте, присутствующей в сигнале. Рис. 3.6.2 иллю-
стрирует такой вариант для формул сглаживания Спен-
сера. Предыдущее заключение о том, что шум является
высокочастотным, а сигнал — низкочастотным, под-
тверждается, если рассматривать это новое изображение
соответствующих передаточных функций.
Теперь ясно, что формулы сглаживания, вообще го-
воря, одни частоты устраняют, а другие пропускают.
55
В 1927 году Слуцкий н Джуль сообщили об ЭТОМ эффек-
те [11, с. 378], а именно, о возможности повышения
эффективности сглаживания, особенно при обработке
данных с большим количеством шума, что было под-
тверждено позднее путем дальнейшего анализа. В ре-
зультате такого эффекта фильтрации среди сглаживае-
мых данных иногда встречаются интервалы, которые
сглаживаются более эффективно, чем остальные исход-
ные данные (см. разд. 13.4).
3.7. Нехватка данных и интерполяция
В длинных записях данных часто отсутствует одно
или более (отдельных) значений. Эта ситуация имеет
место по различным причинам: не могли быть сделаны
измерения, измерения были записаны с ошибкой и по-
этому позже отброшены, либо формула, используемая
для вычисления последовательных значений функции,
могла содержать неопределенность, как например
(sinx)/x при х=0, и ЭВМ отказала при делении на
нуль.
Вероятно, наиболее общий путь восполнения отдель-
ного недостающего значения состоит в том, чтобы при-
менить формулу интерполяции, основанную на предпо-
ложении, что данные локально представляют полином
некоторой нечетной степени. Это эквивалентно предпо-
ложению, что следующая разность более высокого по-
рядка равна нулю. Например, допустим, что разность
четвертого порядка равна нулю. Тогда имеем
А ХП-2 ~ ХП - 2 1 4“ 6-Хл ~ Хп + 2 = 0.
Решение этого уравнения относительно хп дает очень
удобную стабильную формулу для недостающего зна-
чения
Хп g [ хп-г “I- "Ь 4-Х„ + 1 Хп+2].
Коэффициент усиления шума этой формулы (разд. 1.7)
равен 34/36.
Заметим, что восполнение одного отдельного недо-
стающего значения — это не то же самое, что обычный
динамический процесс отображения потока данных, про-
ходящих через цифровой фильтр. Тем не менее можно
проверить, что делает формула с любой данной часто-
56
той и, следовательно, рассмотреть ее передаточную
функцию. Чтобы сделать это, мы поступим, как обычно:
заменим функции хп комплексной частотой е'“я. При
этом получим
Н (о>) = A- [4cos — cos 2ш]
в качестве передаточной функции, которая дает значе-
ние, равное 1, если интерполированное значение точно
такое, какое должно было быть. Нетрудно видеть, что
мы получаем правильный ответ для нулевой частоты.
Для более высоких частот это значение не является дв-
Рис. 3.7.1. Передаточная функция для восстановления недостающих
данных
статочно точным, особенно для очень высоких частот.
Если этот результат покажется странным, как это видно
из рис. 3.7.1, тогда проверка предельной функции на
интервале Найквиста, а именно 1, —1, 1, —1, ... пока-
жет, почему кривые таковы, как они есть. Отрицатель-
ные значения на графике передаточной функции озна-
чают изменение в знаке. Рисунок также дает кривые
для случаев обращения в нуль разностей шестого и
восьмого порядков.
И снова мы видим, что новый путь рассмотрения ста-
рых методов дает значительно больше знаний о том,
как работает формула, чем непосредственное ее рас-
смотрение. Силу частотного подхода видно благодаря
57
собственным функциям линейной дискретизирующей
системы с равноотстоящими отсчетами. Приведенные
формулы явно указывают на опасность интерполяции
недостающего значения, когда данные зашумлены, что
означает наличие в них значительного количества высо-
ких частот.
Подобные кривые могут быть построены по форму-
лам, использующим в качестве основы для интерполя-
ции недостающего значения приближение полиномом
ряда смежных значений по методу наименьших квад-
ратов.
Если теперь вернуться к задаче интерполяции
значений в средних точках некоторых данных, то про-
стейшая (линейная) интерполяционная формула имеет
вид
*/г [Ли+1/2~1~ Лл-1/2]-
Используя четыре соседние точки и повышая точность
формулы применением кубической параболы, получим
формулу интерполяции
/16 Лп+3/2 9Хп+1/2 1/2 'хп—З/г] -
Вопрос интерполяции будет рассмотрен более подробно
в разд. 7.1, где представлены передаточные функции
этих формул.
Упражнения
3.7.1. Вывести формулы интерполяции по средним точкам, при-
веденные в тексте.
3.7.2. При цифровой обработке сигналов данные часто даются
в средних точках и необходим сдвиг на Д//2. Производится при-
ближение двух, четырех точек и находится интерполяционная фор-
мула передаточных функций для средних точек. Вывести соответ-
ствующую формулу для метода наименьших квадратов при четы-
рех и шести точках. Построить график передаточных функций и
сравнить с рис. 7.1.1.
3.8. Класс нерекурсивных сглаживающих фильтров
Просмотрев большое число классических сглаживаю-
щих фильтров с позиций частотного подхода, можно по-
пытаться рассчитать сглаживающий фильтр. Сделаем
это только для простого класса симметричных филь-
тров
Уп = ахп_? -ф- Ьхп _, -ф-схп -ф- Ьхц+Х -ф- ax4Jrl,
58
Как обычно, начнем с вопроса, что произойдет с оди-
ночной частотой при прохождении ее через сглаживаю-
м . i<on
щии фильтр, т. е. предположим, чтох„=е , и опре-
делим выходной сигнал. После подстановки этой функ-
ции в уравнение и вынесения экспоненциального мно-
жителя, зависящего от п, получим передаточную функ-
цию
И (ш) = 2а cos 2<» -ф- 26 cos -ф- с.
Если бы симметрия не предполагалась, то мы бы имели
здесь дополнительно несколько синусоидальных членов
с мнимыми коэффициентами.
Рис. 3.8.1. Передаточная функция в зависимости от параметра
Как выбрать коэффициенты а, b и с в нашем трех-
параметрическом семействе фильтров? Ответ, конечно,
зависит от того, что мы хотим сделать, какие частоты
пропустить, а какие задержать. Допустим, как обычно,
что необходимо пропустить низкие частоты и не про-
пустить высокие. Следовательно, нужен низкочастотный
фильтр. Чтобы преобразовать низкочастотный фильтр
в высокочастотный, необходимо только вычислить
Хп—Уп в качестве нового фильтра. При этом то, что
подавлено в уп, присутствует в хп и проходит на выход,
тогда как то, что пропускалось в уп, исключается в раз-
ности хп—Уп-
59
Начнем с наложения двух произвольных условий на
передаточную функцию; на низкочастотном конце диа-
пазона потребуем Я(0)=1, что выполняется точно на
постоянном токе (самая низкая частота), соответствен-
но на верхнем конце — Я(л)=0, т. е. никакая более вы-
сокая частота не проходит. Эти два условия эквивалент-
ны паре уравнений
Я(0)=2<Н-2&4-с=1,
Н (л) =2а—2Ь 4-с=0.
Из этих двух уравнений получаем
6=1/4, с=1/2—2а
и приходим к однопараметрическому семейству филь-
тров (рис. 3.8.1). Эти фильтры имеют вид
И (<») = 2а cos 2w -|- -7- cos <» -|—g-2а
или
Н(ш) = 4а [—1 4-cos® (cos «>4-77) 4-77 j.
Отметим, что Я(ы) — периодическая функция от в и что
это четная функция, но как уже указывалось, из-за ди-
скретизации и вызванного ею наложения передаточная
функция за пределами интервала Найквиста не имеет
большого смысла, поскольку периодичность математи-
ческого выражения отражает скорее эффект наложения,
чем какие-либо аналитические свойства.
С помощью рис. 3.8.1 можно выбрать фильтр, кото-
рый примерно удовлетворяет нашим требованиям. Мож-
но также наложить еще одно условие на передаточную
функцию Н (а) и таким образом непосредственно опре-
делить фильтр. Применим этот второй способ для иллю-
страции расчета простейших фильтров.
Для первого примера потребуем, чтобы Hi(n/2)=1,
что эквивалентно
Нх (л/2) ——2а+1 /2—2а= 1.
Это дает а=—1 /8, с=3/4.
Следовательно, искомый фильтр имеет вид
Уп = 7 s I а'л! -2 2A'rt_, -|- 6хп -ф- 2хл+1 -Х„ + 2],
60
а его передаточная функция
,, , , cos2<o । coso> i 3
---------------------------1--2“+v
Для второго примера расчета фильтра предположим,
что необходимо отсимметрировать две половины филь-
тра, потребовав //2 (зт/2) = 1 /2. При этом получим
= — 2аА~-£—2а = -^-> а = 0, с = 1/2.
Следовательно,
Уп-- — [-*«-1 -|- 2х„ х„+1]
и
Н2-_ cos ——|—7
2 2 1 2 •
Для третьего примера попытаемся сделать прибли-
жение в окрестности нулевой частоты так хорошо, как
это только возможно. 1огда имеем два уравнения
я,(0)=1 и 77>_7)=о.
Кроме того, можно наложить добавочное условие
или
а— — 1/16.
Таким образом, имеем
= ДГ Н 4-*л-1 4- + 4-*л+1 - *»+.!
при
и г cos 2m 1 cos <0 |,5
Эти фильтры служат главным образом для иллюстра-
ции, и это только некоторые из простейших фильтров,
которые мы смогли рассчитать. Приведенные примеры,
конечно, не предполагались как примеры серьезных за-
дач проектирования.
6Г
3.9. Пример работы фильтра
Рассмотрим теперь, как фильтр выполняет свою работу. Для
этой цели необходимо придумать простейший пример. Выберем
две частоты в интервале Найквиста: одну /==1/8, а другую f—
=3/8. Далее, рассчитаем простой фильтр, пропускающий полностью
первую частоту и задерживающий вторую, т. е. выберем фильтр
в форме /?(/)=2а cos 2л/-| 6, где в качестве переменной исполь-
зуется циклическая частота / вместо угловой частоты и, как
в предыдущих примерах. На фильтр накладываются два условия:
Г/ (л)=1 и "
Это приводит к фильтру с коэффициентами c/f
[0,7; 1; 0,7],
где для простоты числа округлены до одной значащей цифры (1/И 2—
= 0,7).
Затем образуем входной сигнал, состоящий из двух частот, 1/8
и 3/8, периодически изменяющихся с изменением номера отсчет-
него интервала (табл. 3.9.1). При .. . ..
Таблица 3.9.1
Данные, иллюстрирующие
фильтрацию
применении трех коэффициентов
нашего цифрового фильтра к
любым трем последовательным
значениям суммы (столбец 4)
видно, что на выходе фильтра
будет входной сигнал из пер-
вой косинусной колонки. Мож-
но также убедиться, что при-
менение трех коэффициентов
фильтра к первому косинусу
(столбец 2) воспроизводит те
же входные данные, в то вре-
мя как их применение ко вто-
рому косинусу (столбец 3)
дает результат, всегда равный
пулю (всегда, конечно, с точ-
ностью до ошибок округления).
Это простая графическая ил-
люстрация того, как фильтр
работает и как ои пропускает
одну частоту и подавляет дру-
гую.
Л пп COS —т— 4 Зпл COS —;— 4 Сумма
0 1,0 1,0 2,0
1 0,7 —0,7 0,4>
2 0,0 о,о 0,0
3 —0,7 0,7 0,0
4 -1,0 —1,0 —2,0
5 —0,7 0,7 0,0
6 0,0 0,0 0,0
7 0,7 —0,7 0,0
8 1,0 1,0 2,0
Упражнение
3.9.1. Повторить этот раздел, выбрав фильтр для точного про-
пускания нулевой частоты и задержки частоты /=1/2.
3.10. Краткие выводы
Целью этой главы было показать, что частотный подход откры-
вает новый путь для объяснения различных результатов класси-
ческой полиномиальной аппроксимации. Примеры были отобраны
так, чтобы облегчить их понимание и общее ознакомление, но не
потому, что они очень важны.
62
Перед тем как продвинуться дальше, необходимо рассмотреть
некоторые из формальных математических соотношений, связанных
с рядами Фурье, которые являются темой следующих двух глав. На
каждом этапе будут включаться простые примеры для иллюстрации
теории по мере ее развития. Это лучше, чем идти по длинному пути
формальных математических выкладок, не показывая при этом,
как и почему они имеют отношение к делу.
Глава 4
РЯД ФУРЬЕ. НЕПРЕРЫВНЫЙ СЛУЧАЙ
4.1. Потребность в теории
В предыдущей главе было показано, что передаточная функция
типового цифрового фильтра имеет вид суммы косинусов различных
целочисленных частот (изредка могут быть синусы). Нетрудно ви-
деть, что если вычисленные выходные значения х„ относятся к сред-
ним точкам между отсчетами, то для нерекурсивных фильтров
передаточные функции были суммой частот, равных половине нечет-
ных чисел (см. разд. 3.7). Мы эту тему продолжим дальше, но только
в упражнениях (например, см. упражнение 4.4.3).
Рассматривались фильтры трех типов. Во-первых, фильтры, ко-
торые идеально обеспечивали либо 0, либо 1 в различных местах
интервала Найквиста: 0 на тех частотах сигнала, которые нужно
было подавить, и 1 на частотах сигнала, которые нужно было
пропустить. Особый частный случай представлял айтишумовой
фильтр, пропускающий обычно низкие частоты и ослабляющий вы-
сокие, с частотой среза, зависящей от ширины полосы частот сиг-
нала. Во-вторых, рассматривались дифференциаторы, в которых
было желательно идеально аппроксимировать функцию Я(<п)=йо
и которые оценивались по отношению вычисленного значения к точ-
ному, а не просто по выходному сигналу фильтра. И наконец,
рассматривались интеграторы, в которых аппроксимировалась
функция l/ioj, и для их оценки опять применялись отношения. Ясно,
что могут быть фильтры и других типов, поэтому важно уметь
оперировать с любой разумной формой передаточной функции.
Чтобы проектировать фильтры, а не только оценивать их, не-
обходимо осуществить переход непосредственно от предполагаемой
передаточной функции к ее разложению на составляющие триго-
нометрические функции. После этого будет легко перейти к реаль-
ным коэффициентам щ цифрового фильтра. Следовательно, основой
этого процесса проектирования является разложение произвольной
функции на составляющие тригонометрические функции, что и
составляет предмет теории рядов Фурье, излагаемой в настоящей
И следующей главах.
Взаимосвязь формальной математики с реальным миром неясна.
По-видимому, в ранней истории математики абстракции чисел, дро-
бей, точек, линий и плоскостей довольно хорошо следовали из
63
опыта в физическом мире. Однако многое из современной матема-
тики, кажется, имеет источники, скорее связанные с внутренними
потребностями математики и с эстетикой, чем с нуждами физиче-
ского мира. Поскольку нас интересует, главным образом, приме-
нение математических соотношений, то мы можем позволить себе
относиться не слишком серьезно к математической строгости. Тех,
кто верит, что математическая строгость оправдывает применение
математики в приложениях, отсылаем для подтверждения этого
к Лайтхиллу [13] и Папулису [16], а тех, кто верит, что имеется
практическая польза, оправдывающая математику, отсылаем к ос-
тавшейся части этой книги. Мы исходим из того положения, что
полезные математические трактовки могут быть математически
оправданы, даже если для этого необходимо изменять классиче-
ские определения и постулаты математики (напомним, что для
того чтобы оправдать широкое применение дельта-функции Дирака,
потребовался недавний переход от «функции» к «обобщенной функ-
ции»), Кроме того, поскольку нас интересует «анатомия» мате-
матических соотношений, то мы будем игнорировать многие «па-
талогические» случаи в математике. Тот факт, что мы имеем дело
с отсчетами физической функции, означает, что мы пытаемся по-
нять практически осмысленную ситуацию.
Короче говоря, оправдание различных математических моделей
и их строгости для наших целей основывается скорее на их по-
лезности в реальном мире, чем на внутренней эстетике математиче-
ских соотношений.
4.2. Ортогональность
Несмотря на то, что нам нужно разложить Я (а) или
Я (f), где а и f—независимые переменные, удобнее из-
ложить теорию рядов Фурье, используя независимую
переменную t. Этот шаг может вызвать некоторую пута-
ницу дальше, но мы постараемся отметить те места, где
это может произойти. К тому же наше обозначение бу-
дет ближе к другим учебникам по рядам Фурье. Кроме
того, ряды Фурье имеют много применений, помимо тео-
рии цифровых фильтров, так что нейтральное обозначе-
ние t позволит читателю использовать то, что он изучит
здесь, в совершенно разных областях.
Первым необходимым понятием является понятие
ортогональности. Говорят, что две функции g\(t) и g2(t)
(ни одна из них не равна тождественно нулю) ортого-
нальны с весовой функцией на интервале
если * п
А-
\K(t)gr(t)g,(t)dt = Q.
а
Это понятие является значительным расширением
идеи ортогональных линий в n-мерном пространстве.
64
Чтобы понять суть дела, рассмотрим два n-мерных век-
тора
U = {u„ и2...ип} и У = {щ, о2, .... о„}.
При получении суммы двух векторов, компоненты этих
векторов суммируются поэлементно. Сумма есть третья
сторона треугольника с U и V в качестве двух других
сторон. Если это прямоугольный треугольник с U и V
в качестве катетов, то можно применить теорему Пифа-
гора и утверждать, что
(L4-V)s=LP+V*.
После перемножения в этом векторном соотношении и
сокращения квадратных членов в обеих частях уравне-
ния оставшаяся сумма взаимных произведений (без уче-
та коэффициента 2) примет вид
fe=i
Записанная соответствующим образом, эта сумма по-
зволяет размерности п становиться бесконечно большой
и приводит к интегралу
1
j" u(k)'v(k) dk.
о
Ядро подынтегрального выражения, приведенного
выше, есть, по определению, неотрицательный весовой
множитель к различным компонентам и не вызывает
новых осложнений. Отметим, однако, что интеграл пред-
ставляет несчетное число измерений.
Говорят, что система функций gn(t), n=0, 1, 2, ...
является ортогональной, если
ъ
§ К (t) gm(t) gn(t)'dt=
а
0. когда m~£n,
Н(0>0].
Лг„, когда т= п
Конечно, когда т=п, подынтегральное выражение не-
отрицательно и интеграл должен быть положительным
числом. Если Хп=1 для всех п, тогда говорят, что это
ортонормальное семейство функций. Ортогональная си-
стема легко преобразуется в ортонормальную простым
делением п-й функции на соответствующее Хп. Ортонор-
мальность— удобное свойство в теоретических исследо-
65
ваниях, поскольку оно исключает присутствие Tin- Однако
на практике обычно этого не делают, так как в резуль-
тате деления получаются неудобные числовые коэффи-
циенты.
Вероятно, наиболее хорошо известной системой орто-
гональных функций является система Фурье
1, cos/, cos2/, cos3/, ...
sin/, sin2/, sin3/, ...
на интервале 0^/s^2n (или —nsJ./^n). Для того чтобы
показать, что эта система действительно ортогональна,
необходимо вывести три следующих интеграла:
2ч
cos mt cos nt dt =
о
0, m^n,
t, m—n=^0,
2т, m n = 0;
cos mt sin nt dt - 0;
2k
sin mt sin/г/ d/ =
о
0, m-J=n,
it, m = n^=§,
0, tn = n = 0-
Для вывода первого интеграла используем тригономет-
рическое равенство
cos mt cos nt =-^- [cos (тиra) / + cos (m — «)/].
Интегрируя, получим для m=£n
1 I sin (w + n) /
У [ (m + n)
sin (m — n) t
(n — n)
Если подставить пределы 2л н 0, это выражение, оче-
видно, станет равным нулю. Для т—п^<Ь используем
равенство
cos nt cos nt = cos2 nt = -g- [1 -|- cos2/z/J.
Интегрируя, получим выражение
1 [Д । sin2ni]
которое при подстановке пределов даст величину л.
И, наконец, когда т—/г=0, подынтегральное выраже-
66
йие, очевидно, представляет собою константу 1, и следо-
вательно, интеграл будет равен 2л. Аналогично, исполь-
зуя соответствующие тригонометрические равенства,
можно подтвердить другие ортогональные взаимосвязи.
Пример. ]Для нормализации тригонометрических функ-
ций нам необходимо поделить синусы на , а постоян-
ный член 1 на )/ 2т.
Упражнения - - /
4.2.1. Показать, что косинусы ортогональны на интервале
ОгДл-гДл.
4.2.2. Показать, что синусы ортогональны на интервале 0^
4.2.3. Закончить доказательство того, что функции из системы
Фурье ортогональны.
4.2.4. Показать, что ортогональность существует также для
любого интервала длиной 2л, и в частности, для —ngC.cSCn.
4.3. Формальные разложения
Для данной функции gtt), 0=^А^2л, предположим,
что она допускает формальное разложение
СО
g(/) = -^-4-^ [аь cos kt -bk sinfe].
k=i
Причина появления члена ао/2 скоро станет ясной. Что-
бы получить выражение для коэффициентов а^, умно-
жим обе части уравнения на cos mt и проинтегрируем
на интервале 0ЙД^2л. В результате, используя свой-
ство ортогональности, получим
2ч
С g (/) cos mtdt = J m 7^= 0>
J v I iuz0, m = 0.
о
Для получения bh умножим обе части уравнения на
sin mt и проинтегрируем в тех же пределах
2я
J g(/)sinm/d/ = ir&m (тд^О).
о
Следовательно, коэффициенты предполагаемого разло-
жения выражаются формулами
2ч
= g(/)cosmtdt (m=Q, 1, 2,...),
о
67
bm— -i- J gSt)sinmtdt (m=l,'2, $,...).
о
Коэффициенты От и bm называются коэффициентами
Фурье в разложении g(t).
Отметим, что когда значение t выходит за пределы
исходного интервала 0^^2л, функция g(t}, определяе-
мая разложением, оказывается периодической. Таким
образом, имеем g (2л-|-/) =8 У) для всех t.
Пример. Для иллюстрации предположим, что g(t) =
=t и что используется интервал —Поскольку
подынтегральное выражение нечетное, а интервал инте-
грирования симметричный относительно t=0, то имеем
тс
ат --= 4- j t cos mtdt = 0.
—тс
Для bm получим
тс
Ьт— -1- J/sinm/d/.
—тс
Интегрирование по частям дает
t (—cos/и/)
т
тс
cos mtdt j =
—тс
, 1 Г гс 2 /_। \т+1 ।_1 sin mt 1те 1 2 /__। уи+1
п I т ' * ' т т _те J т ' ’
Следовательно, получаем формальное разложение
, Л . sin 2/ । sin 3/ sin 4t . 1
/ = 2 sin/- —------1----§--------j--h... .
На рнс. 4.3.1 показаны несколько первых частичных
сумм (обозначаемых S.v) в качестве приближений
к функции gОтметим эффект периодичности на
концах интервала —л=^£ёдл.
Пример. В качестве второй иллюстрации разложения
заданной функции в формальный ряд Фурье рассмот-
рим «прямоугольный импульс»
। 4-, 0</<тг,
[---— тс</<0.
68
Поскольку
g(-0 =-g(t),
то в разложении не будет членов с косинусами. Коэф-
фициенты синусных членов даются выражением
тс тс
Ь^—~~~ j g (/) sin ktdt = j sinktdt.
—Тс b
Выполнив интегрирование, получим
b — 1 [1+ (-000 J ^k, £ —нечетное,
fe )
(.0, k — четное.
Таким образом, имеем формальное разложение
g(/)=-^-pinx-|—4sin3-xH—§~sl'n + "-j =
ОО
k=Q
69
На рис. 4.3.2 приведены графики частичных сумм (обо-
значенных Siv) для 1, 5 и 9 членов ряда на интервале
0=<7<л. Для —л</^0 кривые будут отрицательными
по отношению к показанным. Рисунок иллюстрирует ка-
чество аппроксимации. Позднее мы еще вернемся к этим
примерам.
Рис. 4.3.2. Частичные суммы Si, S5, S9 для прямоугольного импульса
Упражнения
4.3.1. Записать формулы разложения Фурье
ОгХхгХЛ.
4 3.2. Показать, что функция
на интервале
имеет вид
(2m — 1) 2stx |
- L ’J-
4.3.3. Показать, что функция
гй =
имеет формальное разложение Фурье
00
1 4 1 Г (2/я—1)2ях1
£ (х) = ~2 /j (2m — 1 у cos[ L ] '
m=I
4.3.4. Найти разложение функции g (х)=| sin х | на интервале
0<Чх<:2л.
70
4.3.5. Найти разложение функции g(x)=sin х для и
g(x)=O для л^<№<2л.
4.4. Нечетные и четные функции
Нечетные и четные функции встречаются так часто,
что их ряды Фурье заслуживают особого рассмотрения.
Тот факт, что произвольная функция g(t) может быть
записана как сумма нечетной и четной функций
g{t)= (0 -g <-01 _|_ 1g (О +S (-<)]
делает это рассмотрение особенно важным.
Для нечетной функции видно, что сц=0 для всех k,
тогда как
тс
bk = J g (/) sin ktdt.
о
Дифференцирующие фильтры из разд. 3.5 представ-
ляли собой типичные нечетные функции.
Для четной функции имеем
тс
= ktdt'
о
а все 6й=0. Типовой сглаживающий фильтр (разд. 3.2,
3.3, 3.6 и 3.7) представляет собой четную функцию.
Используя дополнительно соответствующую симмет-
рию относительно / = л/2, можно получить ряд Фурье,
содержащий коэффициенты только с нечетными индек-
сами или только с четными индексами. Другие регуляр-
ные схемы ненулевых коэффициентов могут быть также
получены при соответствующем введении дополнитель-
ной нечетной и четной симметрии в определение функ-
ции.
Упражнения
4.4.1. Разложить g(f)=e~0|/|,
4.4.2. Разложить функции g(f)=/a, f^O и g(—/) =—g(t), fsgO
на интервале —L^t^t
4.4.3. Для четной функции g(x) на интервале —-2n^x^2n и
g(2n—x)—g(x) показать, что Ьп=0, а
ТС
2 (• п
— 1 g (х) cos xdx, п — нечетное,
a„= J
О, п — четное.
71
4.5. Ряд Фурье и метод наименьших квадратов
Разложение в ряд Фурье тесно связано с аппрокси-
мацией функции по методу наименьших квадратов. Дей-
ствительно, покажем, что коэффициенты Фурье дают
приближение функции по наименьшим квадратам.
Чтобы это сделать, составим обычную «сумму квадратов
разностей» в качестве меры приближения gnft) к g(t),
где
§'(/)= ak cos^ + J bk sin kt
k-=\ k^=\
и
Д' у
gN (z)=^+ У Ak cos kt + Bk sin kt.
k-\ k=l
Отметим применение для обозначений строчных и про-
писных букв, причем Ak и Bk — произвольные коэффи-
циенты, которые необходимо выбрать прн приближении.
Таким образом,
1 5 с
j [£(О-£лЛО1,£ЙЗз°
есть необходимая сумма квадратов. Формальные коэф-
фициенты Фурье (обозначаются строчными буквами)
даются обычными формулами
тс
Jg^cosAfttf,
—тс
тс
bk=~ Jg(t)sinktdt.
—тс
Почленное вычитание двух разложений (соответствую-
щих пар членов|), возведение в квадрат и использова-
ние ортогональности системы функций 1, cost, sin/,
cos 2t, ... дают
s* = -^7^ +S [{A - ak}' - A}‘] ’ 0
72
Ё этих суммах At и А для k>N берутся нулевыми. По-
скольку необходимо получить приближение по наимень-
шим квадратам, то ясно, что S2 будет минимальной
в том и только в том случае, если для всех k, меньших или
равных N,
Ak—ah, Bh—bk.
Следовательно, мы доказали, что для конечного N фор-
мальное разложение Фурье есть приближение по наи-
меньшим квадратам.
Если имеет место равенство
ТС ' СО
-ТС __ fe“l
то оно называется равенством Парсеваля.
Неравенство, которое выполняется для конечного N
n N
—ТС k— 1
называется неравенством Бесселя. Неравенство Бесселя
очень полезно при оценке ошибки приближения, когда
количество вычисляемых коэффициентов постепенно уве-
личивается. При изменении расположения слагаемых из
этого выражения следует, что сумма квадратов ошибок
приближения (аппроксимации) есть разность между
интегралом от квадрата функции, (с коэффициентом 1/л)
и суммой квадратов коэффициентов, которые вычисля-
ются (не забывайте учитывать а20/2).
Из неравенства Бесселя ясно, что ряд
k=\
ограничен сверху н, следовательно, сходится при усло-
вии интегрируемости функций g(t) и g2(t). Таким обра-
зом, коэффициенты Фурье
тс
Jg(t)cos ktdt—>0,
—тс
тс
bk=-~- уg(/)sinfe/d/—>0,
-9
73
когда k-+oo. Как следствие этого результата (которое
нам потребуется позднее), применив формулу сложения
для синусов и переходя к пределу, получим
тс
—тс
когда k стремится к бесконечности.
Упражнения
4.5.1. Доказать следствие.
4.5.2. Применить неравенство Бесселя к первым нескольким
членам первого примера разд. 4.3.
4.5.3. Оценить (полторы значащих цифры) ошибку метода на-
именьших квадратов для N=l, 5 и 9 во втором примере разд. 4.3.
4.6. Класс функций и скорость сходимости
При предположении интегрируемости £(/) и ее квад-
рата мы нашли, что коэффициенты Фурье аь и bk стре-
мятся к нулю, когда k стремится к бесконечности. Этот
результат еще не доказывает, что ряд сходится, и еще
меньше доказывает, что если он действительно сходится,
то будет приближаться к исходной функции g(t). По-
этому исследуем скорость сходимости, а затем выясним,
к какой функции этот ряд приближается.
Какой класс функций следует рассмотреть для на-
ших применений? Почти во всех рассмотренных задачах
была нужна, в худшем случае, функция, состоящая из
конечного числа частей (смежных интервалов) таких,
что на каждом интервале существуют все требуемые
производные (если необходимо, то можно предположить,
что эта функция аналитическая в каждой части). Сле-
довательно, мы используем кусочно-аналитические функ-
ции. Кусочно-аналитическое свойство требует, если мы
хотим быть очень аккуратными, применения левосторон-
них и правосторонних производных на концах интервалов.
Но будем рассчитывать на осведомленность читателя.
Этот класс функций допускает скачки, изломы и подоб-
ные особенности: скачки функции, если функция раз-
рывна, изломы в функции, если первая производная раз-
рывна, внезапные изменения кривизны, если вторая про-
изводная разрывна и т. д.
Что представляют собою коэффициенты Фурье для
функции, заданной из этого класса? Для / частей (ин-
74
тервалов) имеем
< J
0^=-^- (t) cos ktdt = — yj g(f) cos ktdt,
/=i tj _ i
где ?o=—л, tj=n, а другие tj отмечают концы интерва-
лов, где у функции имеются разрывы. Подобная форму-
ла применима и для bk-
Далее, интегрируя по частям, получим
Если функция непрерывна [напомним, что это поня-
тие включает условие g(—n)=g(n)], то проинтегриро-
ванная часть будет сокращаться для всех k. Однако,
если функция не непрерывна, то она не всегда будет со-
кращаться и коэффициенты сц, в общем случае, будут
порядка \]k. Если сокращение происходит, то можно
снова интегрировать по частям
j Ч Ч
„ ' Vt Г iu\f coski \ I Г R" (t) cos kt .,1
I ~ J —*]•
На этот раз необходима непрерывность первой произ-
водной для того, чтобы проинтегрированная часть сокра-
тилась. Продолжая подобным образом, находим, что при
разрывах функции коэффициенты разложения Фурье
имеют некоторые слагаемые порядка l/k, если разрывы
имеет первая производная — порядка 1/k2, если вторая—
порядка 1/F и т. д. Аналогичные выводы справедливы
и для коэффициентов bk-
Если коэффициенты имеют порядок 1/F, то посколь-
ку величина тригонометрических функций не превыша-
ет 1, имеем сходимость ряда Фурье. Только в случае
разрывной функции необходим более тщательный
анализ.
4.7. Сходимость в точке непрерывности
В этом разделе рассмотрим сходимость формально-
го ряда Фурье. Конкретно, зададимся вопросом: сходит-
ся ли ряд в точке внутри одного из интервалов
75
и если сходится, то приближается ли ои к функ-
ции в точке непрерывности? В следующем разделе бу-
дет обсуждаться сходимость в точках разрыва.
Для суммы частот вплоть до У имеем частичную
сумму
N
g N cos kt +sin ЭД’
где коэффициенты Фурье, конечно, определяются выра
жениями
ak= -i- g (s) cos ksds,
тс
bt=-±- ^g(s) sin fesds.
----------TC
Переменная интегрирования s использована здесь для
того, чтобы избежать путаницы. Подставляя коэффи-
циенты аь и Ьь в частичную сумму и меняя местами опе-
рации конечного суммирования и интегрирования, по-
лучаем
n N
j £(s)[4+S {cos ks cos/г/---sin ks sin kt} j ds
--TC ft—I
Чтобы выполнить суммирование в квадратных скоб-
ках,
м
sn=—+ J] costo,
fei
умножим это выражение на sin-^- и, применив элемен-
тарные тригонометрические преобразования, получим
/ . а \ 1 Г • и I / . За а \ I
(sin—)^=-у-|ып—+(sin-g—sm~ )+
. / . 5a . За \ I / • (2N+ l)a
+ f Sin -y-- Sin -y } + (Sin-y—-
. ^2У—l)a\l 1 . (2У4-1)а
- sln 2 ~ )]=— S,°-----------2--•
После сокращения слагаемых остается только послед-
нее из них, и мы имеем для суммы косинусов
__ sin(2W+ 1) а/2
S/v 2 sin а/2
Следовательно, частичная сумма ряда Фурье есть
, 1 Г ,, 1 .sin (2У-4-1) а/2 da
gN(t)=~ \g(t + ^—7^2---------—’
или
тс N
gN(t)=— J^(s)'4-+ Jcos^fs — o|ds.
----------ic k= 1
Для доказательства сходимости частичных сумм
к функции g(t) нам необходимо иметь выражение для
разности gx(t)—g(t). Чтобы получить его, отметим, что
интегрирование обоих выражений для s.v от —л до л
дает
Для простоты предположим, что g(t}—периодиче-
ская функция, следовательно, приняв s—t—u, сдвинем
систему координат и расположение точки t (где прове-
ряется вопрос сходимости) в середину интервала инте-
грирования относительно переменной и. Результатом
будет
тс N
gN(t}=-^- я(Л{-«)|4-+JJcosA«jd«.
----------тс ft=l
sin (2У +'1)а/2 du
sin а/2 2 ’
Умножая на g(t} и используя тот факт, что интегриро-
вание выполняется по и, получим
„ГЛ— 1 (' n(t\ sin + 1) «/2 rfu
g'-' л J sin “/2. 2 '
76
77
Вычитание этого результата из формулы для частичной
суммы дает необходимое выражение
ТС
—те
Г sin (2М -|-1) а/2 1 du
[ sinu/2 J 2 •
Для доказательства сходимости частичной суммы
giv(0 к g(t) в точке t необходимо показать, что эта
разность стремится к нулю при увеличении А7. Чтобы
это сделать, просто введем множитель и в числитель и
знаменатель и затем преобразуем выражение
]Х
—те
sin (2V + 1) и/2
(sin и/2)/(и/2)
В такой форме выражение в первых квадратных скоб-
ках стремится к производной от когда и стремится
к нулю. Так что этот член не вызывает затруднений.
Знаменатель во вторых квадратных скобках имеет пре-
дел 1, когда и стремится к нулю, и хорошо ведет себя
во всем диапазоне интегрирования. Следовательно,
функция
g(< Д-Щ —g(Z)
2sin и/2
хорошо ведет себя, и если она интегрируема в квадрате,
то можно применить сделанное ранее заключение к ин-
тегралу
те
g(V(0-g(0=4‘ <Р<«) sin [121Vl)u/2]du.
—тс
Очевидно, когда N стремится к бесконечности, разность
между частичной суммой и функцией стремится к нулю
в любой точке, где существует с обеих сторон произ-
водная. Следовательно, имеется сходимость к функции.
78
Теорема.
Формальный ряд Фурье сходится к функции в точке,
Je существует производная {при условии, что функция
q.'-(u) интегрируема}.
4.8. Сходимость в точке разрыва
В точке разрыва tj, т. е. в конце некоторого исполь-
зуемого интервала, нет соответствующей производной и
предыдущее доказательство нарушается.
Первый очевидный шаг состоит в том, чтобы разбить
интеграл на две части, поскольку функция различна по
обе стороны от точки tj. В результате сдвига системы
координат точка tj окажется теперь точкой 0. Можно
записать
0 те
— тс о
В первом интеграле заменим и на —и и затем объеди-
ним оба интеграла
... 1 f । ,, . ,, sin (2Л7 Д-1) «/2 du
J ц)] \in-„/2) — •
— тс
В предыдущем доказательстве, которое относилось
к точке непрерывности, мы вычитали g(t}. Что же мы
должны вычитать теперь? Ясно, что необходимо нечто
пригодное для обеих половин, а именно
g {tj +) + g {tj -)
2
(знаки -ф- и — означают предел справа и слева соответ-
ственно). Это среднее двух граничных значений (мно-
житель 1/2 появился, потому что диапазон интегрирова-
ния теперь вдвое меньше того, который был ранее).
Используя это значение, получаем выражение для раз-
ности
. [£(</+) + gО/-)]
gN Vi)=* ~ ~’
которое стремится к нулю, как и ранее (хотя необходи-
мы дополнительные соображения для доказательства
того, что вывод может быть соответствующим образом
модифицирован для полуинтервала). Таким образом,
имеем
79
Теорема.
В точке разрыва формальный ряд Фурье сходится
к среднему двух граничных значений функции [в том
случае, если функция Ф2(«) интегрируема].
Мы уже видели этот эффект на двух примерах
разд. 4.3.
Вероятно, стоит обратить внимание на то, что сходи-
мость ряда Фурье в точке является локальным свойст-
вом, в то время как скорость сходимости есть глобаль-
ное свойство.
Упражнение
4.8.1. Дополнить деталями материал этого раздела.
Глава 5
ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ РЯДА ФУРЬЕ
5.1. Введение
Нам необходимо рассмотреть только некоторые результаты из
теории рядов Фурье. Одним из них является известное явление
Гиббса. В гл. 4 показано, что для функций, имеющих смысл, фор-
мальный ряд Фурье в точке непрерывности сходится к функции
и в точке разрыва — к среднему двух граничных значений. Однако
каждый член ряда Фурье представляет собой непрерывную функ-
цию и, следовательно, теорема «равномерно сходящийся ряд не-
прерывных функций сходится к непрерывной функции» означает,
гго в точке разрыва сходимость ряда Фурье не может быть равно-
мерной, а должна носить особый характер. Это проявляется в яв-
лении Гиббса. Для тех, кто не знаком с понятием равномерной
сходимости, этот вопрос кратко излагается в приложении П.5.
Кроме того, мы рассмотрим комплексную форму ряда Фурье,
которая менее тесно связана с непосредственно измеряемыми ве-
личинами в реальных задачах, но зато является более подходящей
для математических преобразований. Эта форма позволит глубже
понять теорию и выявить сущность физических явлений.
Еще одно также необходимое понятие — это так называемые
теоремы свертки. Такие теоремы, хотя ими часто пренебрегают
при общем рассмотрении рядов Фурье, являются существенными
для теории фильтров.
5.2. Явление Гиббса
Цель этого раздела состоит в том, чтобы ознакомить-
ся с явлением Гиббса, названным так в честь Дж. Вил-
80
ларда Гиббса (он первый сообщил об этом эффекте, нб
не был первым, кто его опубликовал). Второй пример
из разд. 4.3 содержал разложение прямоугольной им-
пульсной функции, представляющей типичную разрыв-
ную функцию. Эта функция определяется как
еЫ'1'2,
I 1/2, 0<|<«
и имеет скачок, равный 1 в точке разрыва t=Q. Фор-
мальное разложение Фурье было найдено в виде
sin + ')<
S W я 71 2k + 1
k=o
Усеченный ряд для частичной суммы можно записать
в виде
N
k~4 Lq
г н
= [cos(2A+1)«d« =
Л=0 Lo
f г yv 1
= ^cos|(2A+l)u du.
0 Lfc=o
Чтобы получить сумму косинусов sN, умножим ее, как
и прежде, на синус угла, равного полуразности углов
соседних членов. Результат будет равен (ср. с разд. 4.7):
N
sN sin и = sin и cos (2А-Ц 1) «= — sin 2 (У-Ц l)u.
й=0
Таким образом, мы имеем частичные суммы в виде ин-
теграла
t
... 1 (' sin 2 IN ц- 1) и
—
о
du.
Рис. 5.2.1 иллюстрирует поведение частичной суммы
как функции t для случая пяти членов и независимой
переменной х=2Цл. Мы видим колебания кривой ча-
стичных сумм. Чтобы найти, где находятся вершины и
впадины, продифференцируем функцию и результат
приравняем нулю. Эта процедура аналогична приравни-
81
йанию нулю подынтегрального выражения. Ясно, что
первый максимум имеет место при Z=n/2(W-j-l). Значе-
ние частичной суммы в этой точке
^/'АЛ.ч-1)
- I п
Sn I 2 (/V + 1)
sin 2 (N + 1) а ,
----з—!—-—du
sin а
Наша задача состоит в оценке этого значения, когда
стремится к бесконечности. Замена произвольной пе-
Рис. 5.2.1. Явление Гиббса с окнами: простым, Ланцоша и Чезаро
ременной интегрирования г>=2^-}-1)и и введение осо-
бых n-членов дают
[ 2 (N + I)
r_W2W+n]_]
I sin {и/2 (N 1)} |
Очевидно, что поскольку (sin 0)/0->-1, когда 0-выра-
жение во вторых квадратных скобках стремится к 1 при
увеличении N. Поэтому в пределе имеем значение для
первого выброса
dv.
Это стандартная функция интегрального синуса. Из таб-
лиц получаем значение для первого максимума
58949 = 0,5 + 0,08949.
Следующий локальный минимум имеет соответствующее
предельное значение 0,45142 = 0,5—0,04858. Эти значения
показывают (когда велико), что при единичном скач-
ке (разрыве) функции выбросы составляют примерно
9% вверх и 5% вниз.
Это явление Гиббса возникает каждый раз, когда
усекается ряд Фурье. Особую важность оно будет иметь
при рассмотрении расчета фильтров, поскольку для
практических целей приходится ограничивать любой
формируемый ряд Фурье.
5.3. Сглаживание Ланцоша. Сигма-факторы
Корнелиус Ланцош заметил, что пульсапии в сум-
мё усеченного ряда имеют период либо первого
отброшенного члена, либо последнего удержанного чле-
на. Он доказал, что в любом случае, сглаживая частич-
ную сумму путем интегрирования (усреднения) по это-
му периоду, можно устранить основные эффекты пуль-
сации.
Применим эту идею к усеченному ряду Фурье в об-
щем виде
= К COS « + sin ЭД.
В качестве сглаженного значения возьмем среднее зна-
чение на интервале длиной 2л/ЛГ с центром в точке t
(здесь мы принимаем за номер последнего удержи-
ваемого члена, чтобы продемонстрировать исчезновение
этого члена, но на практике N берется как номер пер-
вого отбрасываемого члена). Поэтому .сглаженное зна-
чение ft.v(0 получим как среднее от
i + (z/У)
t —'(z/.V)
82
83
В подробной записи получим
t + (n/N)
мо=(Т)(4-У rf ds+
t - (k/V)
» [ t + (*/ЛГ) t + (n/V) -1
"Ь~5Г^Маs cosksds-]-bk j* sin feds I
fe=l L t— (к/У) t— '(n/fT) -
u ... a„ । N <-j Fz, Fsln fe if + WW -sin fe I _
hN2 ‘ 2n 4J I ak I k I
fc=i
b f cos k 7 + (n/jV)l — cosfel? — (rc/AQl
Применяя тригонометрические формулы для разно-
сти двух синусов и двух косинусов, окончательно полу-
чаем
^у(0=-^-+5]=’(лг. k~)\ak cos kt 4-bk sin kt},
k~t
где s(M, k)—так называемые сигма-факторы
v(N, k\
slnnk/N
v.k/N
Следовательно, сглаженный ряд Фурье есть исходный
ряд Фурье с коэффициентами, умноженными на соот-
ветствующие сигма-факторы.
Этот результат не является неожиданным; поскольку
операция сглаживания — это линейная операция, то воз-
можно появление некоторого вида множителей. Когда
k—.N, сигма-фактор равен нулю и не имеет значения,
какой член назван ЛГ-м— последний удержанный или
первый отброшенный; эффект состоит в том, что член
с частотой N имеет множитель, равный нулю.
Формула для /zw(?) представляет собой среднее зна-
чение от gw (0 на симметричном интервале относитель-
но точки t шириной 2л/М. Можно рассматривать опе-
рацию сглаживания как наблюдение исходной функции
g(f) через узкое просвечивающее прямоугольное окно
шириной 2л/М. Функция hN(t), которую мы увидим,
есть средняя интенсивность света от исходной функции
gx(t). Она предполагается более яркой, когда функция
giv(t) больше, и менее яркой, когда эта функция мень-
84
Ше. Нетрудно заметить, что результирующая функция
hN(t)—сглаженная кривая Ланцоша, имеет, как пока-
зано на рис. 5.2.1, несколько ослабленные высокочастот-
ные пульсации.
При выборе сглаживающего интервала мы согласо-
вывали его с числом членов, сохраняемых в ряде Фурье,
т. е. имели одно и то же ДО в числе членов и в сглажи-
вающем интервале или, что то же самое, в сигма-фак-
торах. Исследование процесса получения сигма-факто-
ров показывает, что если не выбрать эти два числа
одинаковыми (или различающимися на 1), то все же
будут получены сигма-факторы, связанные с выбирае-
мым сглаживающим интервалом. Исследовав сигма-
факторы, можно прндтн к выводу, что в этой ситуации
ряд не обязательно будет заканчиваться с М-м сигма-
фактором, имеющим нулевое значение, а может продол-
жаться с дополнительными ненулевыми сигма-фактора-
ми. Сигма-факторы, рассматриваемые как функция от k,
при k больше N имеют затухающие пульсации с пе-
риодом 2N и медленно изменяются по знаку.
В теории рядов Фурье есть и другая формула сгла-
живания, которая широко используется (главным обра-
зом в математических кругах), а именно, усреднение
последовательных частичных сумм gN(t). Этот процесс
называется сглаживанием Фейера (а также сглажива-
нием Чезаро 1). Сглаживание Фейера производит взве-
шивание коэффициентов ряда множителями
c(N, k) = (N—k)!N.
Таким образом, мы имеем сглаженный ряд Фейера
н
Fejery [a* cos kt + bk sin kt].
Сглаживание Фейера для прямоугольной импульсной
функции также показано на рис. 5.2.1, который под-
тверждает, что время нарастания при сглаживании
Фейера значительно больше, чем при сглаживания Лан-
цоща. Поэтому сглаживание Фейера редко применяется
на практике. В пределе, когда N^oa, эта кривая обла-
дает интересными математическими свойствами, однако
при конечных значениях N она приближается к своему
предельному значению слишком медленно.
Мы исследовали только одну частную функцию со
скачком, но она типична для всех разрывных функций.
85
Явление Гиббса можно ожидать всякий раз, когда функ-
ция имеет разрыв, и в этом случае формулы сглажива-
ния также произведут соответствующее действие.
5.4. Комплексный ряд Фурье
Складывая и вычитая равенства Эйлера [i = ]/(—!)]
е‘7 = cos / —|— i sin /, е~‘* = cos / — / sin/,
получим
Поскольку sin/ и cos / линейно независимы, то такими
же будут ег/ и e~i(. Поэтому паре функций sin / и cos/
соответствуют две комплексные функции ек и е~к. Одна
реальная частота в тригонометрическом обозначении
приводит к двум частотам в комплексном обозначении:
положительной и отрицательной. Ряд Фурье для интер-
вала —п^/гСп
g„ W = тг+ У] [аь c°s & + bk s>n
при обозначении в комплексной форме принимает вид
k—N
k——N
где
а^1Ьк- для fe>0,
с0 = а„/2,
cfe— для fe<0.
Если g(t)—четная функция относительно /, то в со-
ответствии с разд. 4.4 />ь=0, а сь=аь/2. Если же g(t) —
нечетная функция, то Щ<=0, а съ=±1Ьк/2-
Комплексную форму можно получить непосредствен-
но, если учесть, что интеграл
[cikte.-imidt- < °’ k^m'
J ( 2ir, k — m.
Поэтому, если допустить формальное разложение
k=N
gN(t)= 2
k=—N
то коэффициенты ст можно найти умножением обеих
частей на erimt (которое является комплексно-сопря-
женным с eim() и интегрированием
j е lmt gK(t)dt^2^cm.
—It
Нетрудно увидеть (заменяя i на —/, если нет другого
пути), что для действительной функции gn(t) справед-
ливо
где черта сверху означает комплексное сопряжение.
Комплексный ряд Фурье означает просто изменение обо-
значений, но такое изменение, которое значительно упро-
щает запись. Затруднения из-за необходимости думать
о комплексных функциях с положительными и отрица-
тельными частотами вполне оправдываются тем выиг-
рышем, который получается из-за простоты алгебраиче-
ских выражений.
В разд. 4.5 было выведено неравенство Бесселя для
реальных разложений в ряд Фурье. Для комплексного
разложения мы поступим аналогично, но только доба-
вим множитель 1 /2л в процессе усреднения
Т. k=N
— к й=я—N
t 0.
Разложим квадрат абсолютного значения, имея в виду,
что он представляет собой произведение функции вре-
мени на ее сопряженное значение. Затем, заменив ин-
тегралы на соответствующие комплексные коэффициен-
ты Фурье cii, окончательно получим
n k^zN
—ft k=—N
Из равенства Парсеваля (если оно выполняется)
видно, что сумма квадратов коэффициентов нерекурсив-
ного фильтра (которая определяет шум при прохожде-
86
87
йий Через этот фильтр; см. разд. 1.?) может быть найдена
из интеграла от квадрата его передаточной функции *>
Если вернуться к эффектам дискретизации, рассмот-
ренным в гл. 2, то необходимо потребовать, чтобы ком-
плексный ряд Фурье соответствовал двум отсчетам на
самой высокой имеющейся частоте (если желательно
избежать наложения некоторых высоких частот на бо-
лее низкие в процессе дискретизации). Частотный интер-
вал Найквиста в этом случае простирается от —л до л.
Мы использовали радианную меру (за исключением
графиков), потому что она удобнее для вычислительных
операций. Как уже отмечалось, для большинства расче-
тов более удобно измерять углы в числе поворотов (цик-
лов). Поэтому мы часто вносим изменение обозначе-
ния ш = 2л/. Частота свертывания Найквиста в циклах
теперь равна 1/2, а основной интервал частот разме-
щается от —1/2 до 1/2. Если мы имеем дело со скоро-
стями взятия отсчетов, тогда интервал Найквиста содер-
жит от —1/2 Гц до 1/2 Гц и соответствует нормирова-
нию расстояния между отсчетами к единице. Отметим
еще раз, что при любых обозначениях всегда необходимо
иметь, по крайней мере, два отсчета в пределах самой
высокой используемой частоты.
Чтобы показать, насколько разложение Фурье удоб-
но для периодической функции, заменим в ряде Фурье
независимую переменную t на независимую перемен-
ную со (или /). Для заданной функции от со, скажем
g(co), соответствующее разложение будет иметь вид
k=-<X)
где ck находится из выражения
к
—л
Это обозначение согласовывается с обозначением для
собственного значения Л. (со) в разд. 2.5.
А=-К
*> Передаточная функция Здесь обозначена g(t) и задана на
частотном интервале —л^/^л. Ниже, в этом разделе, вопрос рас-
сматривается более подробно. (Прим, ред.)
88
если положить k ——k', поэтому получим
!(<»)= J] c_k,eiu,k',
k'=-K
Начиная с разд. 3.3, было использовано обозначение пе-
редаточной функции в виде
к
2 (со) = //(») =
Тот факт, что индекс у коэффициентов отрицателен,
обычно скрывался симметрией формул или нежеланием
обозначать коэффициенты в приведенной формуле
абстрактными символами с-к. Следовательно, ск, кото-
рые появляются в комплексном разложении Фурье для
передаточной функции, есть те же коэффициенты, что и
Ck, присутствующие в исходном определении передаточ-
ной функции. Для удобства в дальнейшем запишем
формальный ряд Фурье с обозначением переменной че-
рез f
2 ^lkf,
где
1/2
ск= $ gN(f^~2M,df.
В „действительном* ряду Фурье при переменной f имеем
gN(f) = -^-+ J] [e*cos2w^4-^stn2^J,
ft=i
где
1/2
<zft = 2 f g(f)cos2vkfdf,
-i/2
1/2
t>k = 2 ( g(f)sin2nkfdf,
-i/?
89
5.5. Фазовая форма ряда Фурье
В разд. 2.4 было показано, что хотя значения инди-
видуальных коэффициентов ап и Ьп ряда Фурье зависят
от начала отсчета, принятого для периодической функ-
ции f(Z), величина аРп-^-Ь^п инвариантна при сдвиге ко-
ординат. По этой причине удобно применять фазовую
форму ряда Фурье. Для ее получения начнем с рассмо-
трения обычного ряда
00
= + cos sin kt]
£=I
и запишем его в форме
Cosfe/ +
fe=l
Если мы определим Ak и ФЛ такими, что
-rVa\-\-b\ = Ak, aft/24 = cos0>ft, bk)2Ak = - sinO>ft,
то получим выражение
£(0=^+2 2Л*СО5(^+Ф*)’
Л=1
в котором фаза Ф/< и амплитуда Ап представлены в яв-
ном виде. Каждая пара ап и Ьп эквивалентна паре Ak
и Фа.
При обозначении в комплексной форме,
£(0=2 со=--^-,
k=- 00
мы записываем коэффициенты сп в полярной форме
г —А Р;ф*
ск — лке
и получаем соответствующую фазовую форму
л 1 <М+Ф4>
£(0= 2 л*е
^=—00
$
Тесно связанной с ней является форма с запаздывание
“ , i-к («+т.)
/40=2 Ак&~ ’
в которой йта=Фа. При таком обозначении, в случае
сдвига начала отсчета временем /0, к каждому слагае-
мому запаздывания та добавляется постоянная величина
/о- При фазовом обозначении этот сдвиг приводит к до-
бавлению tok к фазе Фл.
5.6. Образование нового ряда Фурье. Теоремы свертки
Основной метод нахождения ряда Фурье для задан-
ной функции g(t), —n<t<n,
й—со
£(0= 2 cbe‘kt
'k=—<X)
состоит в том, чтобы вычислить коэффициенты по ин-
тегралам
я
с&=-2^ ^g(t)e~ikt di.
—ТС
Эти вычисления можно производить каждый раз или
воспользоваться таблицей для наиболее употребитель-
ных функций.
Возможно ли из известных (сравнительно простых)
разложений вывести другие разложения?
Очевидно, если известны
£(/)= 2 с*еШ’
k= — 00
£я=00
h(t)= 2 ^еШ-
£=—00
то известно и
£г=оо
k=—(JO
А как выглядит разложение произведения двух функ-
ций? Для действительных функций имеем
k—oo т—со
2 Ck&ikt S d^imt-
k=—<X>
91
Подставляя n—k-\-m и переставив члены, получим
2 e‘7“
t«=~0O
Следовательно, n-й коэффициент в разложении произве-
дения двух функций будет
fe=0O ^=00
2 == 2 d/iCn-k'
k=—<X> —
Это выражение называется сверткой последовательно-
сти Ck с последовательностью dk- Таким образом, чтобы
получить коэффициенты для разложения произведения
двух функций, нужно вычислить свертки коэффициентов.
Для комплексных функций обычно используют про-
изведение одной функции на комплексно-сопряженную
другую.
Свертка, которая является результатом перемноже-
ния двух функций, одновременно наталкивает на мысль
о нахождении функции, которая соответствует перемно-
жению соответствующих коэффициентов из двух раз-
ложений, т. е. функции, которой соответствует ряд
2cAe‘'ftz-
Чтобы найти ее, введем свертку двух периодических
функций g(t) и h(t)
it it
= ^g(t~s)h(s)ds,
-71 —TC
которая симметрична относительно двух функций. Вы-
числим коэффициенты Фурье для этой свертки. Полу-
чим (применяя временно обозначение ак для коэффи-
циентов Фурье)
те
ak — -^ j dt =
—тс
тс тс
j ^g(s)h(t - s)e~‘kt ziks z~iksdsdi==
—TC —TC
te ft
==-^- j g (s) e ' ш dsj h(t — s)e~‘^ (/'s)d/.
—71 _ —
Поскольку h(t—s) предполагается периодической, то
можно сдвинуть интервал интегрирования, переходя от
переменной t к u=t—s, и при этом убедиться, что вто-
рой интеграл есть dk, а первый интеграл, так как dk не
зависит от s, есть ck- Следовательно, мы показали, что
Uk=Ckdk, что и можно было ожидать. Из этой формы
ряда Фурье следует, что сглаживание Ланцоша сверты-
вает данную функцию g(Z) с окном непрерывной прямо-
угольной формы (с единичной площадью) и вызывает
в области коэффициентов появления соответствующих
умножающих окон, сигма-факторов. Полученный резуль-
тат есть обобщение известного положения о том, что,
благодаря линейности, эффект свертки одной функции
с другой заключается в перемножении коэффициентов
соответствующих разложений Фурье.
Если в свертке двух последовательностей
^00
2 g Ckdn-k
предположить, что все Ck равны нулю, за исключением
одного, например со=1, то сумма превращается в один
член, а именно, dn. Вычисляя последовательные значе-
ния свертки Ck с dk, можно определить по одному все
члены dn. Следовательно, свертка с одиночным импуль-
сом, т. е. с указанным рядом Ck, имеющим только один
ненулевой член, дает импульсную характеристику —
просто члены другой последовательности.
Обращаясь к определению нерекурсивного фильтра
Уп, 2 ^k-^n-k*
отметим, что если использовать импульсную функцию
Хь=О, за исключением Хо=1, то будут получены значе-
ния уп, являющиеся коэффициентами фильтра сп
по порядку. Здесь импульс на входе вызывает отклик,
который определяет коэффициенты фильтра.
Обратно, если известна импульсная характеристика
нерекурсивного фильтра, то известны и коэффициенты,
93
92
а следовательно, и сам фильтр. Таким образом, им-
пульсная характеристика играет фундаментальную роль
в теории.
5.7. Еще о явлении Гиббса
Используя вторую форму теоремы свертки, можно
увидеть явление Гиббса в другом свете. Для функции,
заданной в виде ряда Фурье
fe-=co
g(t) = 2
k——<X)
процесс усечения этого ряда до
lt=N
sN(.t)= 2 c^ikt
k=~N
есть то же самое, что и перемножение коэффициентов
Ck на числа 0, 0, 6, 1, 1, ..., 1, 0, 0, 0, ... (2n+1 значе-
ний, равных 1|) или
(И \k\<N,
1 О, \k\>N.
Какая функция h(t) имеет эти 2W-H ненулевых ко-
эффициентов <Д? Очевидно,
k~—N
В разд. 3.2 уже суммировалась эта геометрическая про
грессия
е< (Л/+1/2) t __ e-i («4-1/2) t sjn (jV 1/2) t
\‘4/2_e-/^2 —— sin (i/2) (НГ-ЛГ
Для больших N это быстро колеблющаяся функция
с максимальным значением (2ДГ—1-1) при /=0, резко спа-
дающая по амплитуде, поскольку знаменатель растет
быстрее; см. рис. 5.7.1 для случая М=5 (немодифициро-
ванное прямоугольное окно).
Таким образом, усеченный ряд Фурье для g(t) экви-
валентен (по второй теореме свертки) свертыванию
94
данной функции g(t) с функцией
, sin (Л/ + 1/2)/
sin//2
Как показано на рис. 5.7.2, в частном случае пря-
моугольного импульса g(t), когда колебания h(t) попа-
Рис. 5.7.1. Сравнение частотной характеристики трех функций окна
с 5 членами
Лрямод вольный
сигнал
Рис. 5.7.2. Явление Гиббса
t
95
дают в область прямоугольного импульса, свертка (ко-
торая представляет собой интеграл от произведения
функций) будет точно воспроизводить колебания из-за
явления Гиббса. Это по-новому объясняет причину воз-
никновения явления Гиббса.
5.8. Модифицированный ряд Фурье
Вместо усечения ряда Фурье путем умножения его
коэффициентов на числа
... О, 0, 0, 1, 1, 1, ..., 1, 1, 0, 0, 0, ...
можно использовать последовательность, имеющую ко-
нечные значения, равные 1/2:
... О, 0, 0, 1/2, 1, 1, ..., 1, 1/2, 0, 0, 0, ...
Для этого модифицированного прямоугольного окна мы
вместо прежнего h(t) получили h(t), уменьшенное на
J_(e‘^ + e-w')=cosM/.
Поэтому новое h(t) будет
Раскрывая первый член, получаем
sin Nt cos V2 + cos Nt sin t/2—cosNt sinf/2
" Д)----------------
или
, ... sin Nf cos Z/2
=-------^172-----•
При сравнении этого выражения (рис. 5.7.1) с вы-
ражением для прежнего немодифицированного прямо-
угольного окна видно небольшое изменение в высоко-
частотном члене и, кроме того, появление допол-
нительного множителя cos//2. Этот дополнительный
множитель начинается со значения 1 при /=0 и плавно
уменьшается до 0 при t=n (на этой частоте происходит
перегиб спектра из-за наложения). Поэтому такое свер-
тывающее окно действует на концах существенно мень-
ше и таким образом во многих случаях будет давать
несколько лучшие результаты. Однако, воздействуя на
соответствующий выброс для оно окажется та-
96
ким же; это следствие того, что ядра почти одинаковы
в центре, но существенно различаются около концов.
В соответствии с теорией сходимости ряда Фурье
в точке разрыва не является неожиданностью то, что
модифицированное прямоугольное окно может дать луч-
шие результаты. Но это только повышает интерес к ос-
новному вопросу, который будет подробно рассматри-
ваться в дальнейшем, о том, как поступать с конечным
куском неограниченной записи данных. Ясно, что пря-
моугольное окно обладает плохими свойствами, но даже
простейшая его модификация уже приводит к некото-
рому улучшению.
5.9. Окно фон Ганна: приподнятое косинусное окно
Усечение ряда Фурье это то же самое, что наблюде-
ние исходной функции через свертывающее окно.
В идеале надо бы иметь высокое и узкое окно единич-
ной площади, так что то, что «видно» через него, очень
близко к исходной функции в середине (симметричного)
окна. К сожалению, одновременно хочется использо-
вать и минимально возможное число членов в ряде
Фурье, но это означает, что применяемое окно должно
быть широким.
Ширина окна может быть измерена расстоянием
между ближайшими нулями на каждой стороне цен-
трального лепестка — основного лепестка окна. Она мо-
жет быть также определена, но уже в другом смысле,
с помошью лепестков, которые находятся дальше от
центра. Позднее будет показано, что основной лепесток
приводит к появлению переходной полосы (области
между полосой затухания и полосой пропуска-
ния), а боковые лепестки приводят к появлению пуль-
саций (явление Гиббса), которые могут рассматривать-
ся как «загрязнение» наблюдаемой части функции со-
седними с нею частями.
Поскольку нас интересуют передаточные функции
(хотя результаты применимы к произвольным функци-
ям), перейдем к f-обозиачению.
Простое прямоугольное окно (разд. 5.6, t=2nf) при-
водит к свертывающему окну, через которое наблюдает-
ся функция:
sin M2V-K1) П
hW>=------ад-------•
97
Модифицированное прямоугольное окно (разд. 5.7) от-
личается только тем, что берется половина концевых
значений, но оно сдвигает в свертывающем окне первые
нули от f=± 1 / (2М+1) к f=± 1 / (2/V).
Оно также вносит дополнительный косинусный мно-
житель, постепенно гасящий боковые лепестки по мере
их удаления от центра окна. На рис. 5.7.1 иллюстри-
руется это изменение для N=5 (11 членов в оконча-
тельном фильтре); небольшой проигрыш в ширине глав-
ного лепестка вполне компенсируется уменьшением вы-
сот других лепестков. Сигма-факторы при окне Ланцоша
также показывают, как уменьшение весовых множите-
лей у коэффициентов ряда Фурье может значительно
уменьшить величины боковых лепестков. Третья кривая
на этом рисунке будет объяснена позже.
Предыдущие замечания наводят на мысль о целесо-
образности более строгого взвешивания коэффициентов
Фурье, сохраняемых в процессе усечения. Это произво-
дится в окне фон Ганна, называемом также «приподня-
тым косинусным окном» из-за его определения
{1 + eosnk/N io
-----_-------(
О, |&| у.
Взвешенная последовательность из 2У-Н членов, когда
она изображается как непрерывная функция, не только
исчезает на концах, но является там также касательной.
Соответствующее преобразование окна фои Ганна
в частотной области есть функция
k=N k-N
h(f)= J] Wk<^ik> = ± J (e'”"/w |-2 + e-^)e2^.
/г-— N k—N
Поскольку ®jv=O, то уменьшение вдвое конечных значе-
ний не дает эффекта. Применив результаты разд. 5.7
к трем отдельным слагаемым суммы, получим выра-
жение
. 1 1 Sin к (f+l/2/V) 2/V) cos к (f+l/21V)l_i..
'Н// 4 | sin (те (7 Ч- I/2Л/) j '
sinте(2Лг cosnf
sin л)
! sin [те (f — 1/2/V) 2ЛГ] cos (те — 1/2/V)) ]
sinre (f—1/2/V) I
98
которое может быть записано в видё
/д/f > __ 1 I Sin [л (2/Vf + 1)] cos [л)([ + 1/2/V) j
*•'' 4 | sin [л (f 4- 1/2jV)J
। :sin л[2Л/ cos л[ .
' sin itf -Г
. sin л (2/Vf — 1) cos [л (f — 1 /2/V) 1 (
sin]n(f—1/2/V)] (
Раскрывая синусы в числителях крайних членов, полу-
чим (sinn=0 и созл=—1)
h = jin 2nVf. j _ cfg 1) _|_2 etg rf -
-etg*
Далее, применяя тригонометрическое равенство
, , , ,, , . , ,, ]2sin a cos а
c(g (а 4- й) + etg (а - 6)= sinaa__sin2b -
2 sin л[ cos л[
sin2 — sin2 (л/
получим
, ., __ Sin 2лЛ'( ] 2 cos л)
4 [ sin л)
Этот результат можно переписать в форме, которая луч-
ше показывает зависимость от параметров, что дает
, ___ sin 2лА') cos л) _____1_________
2sinnf I ( sin л/ \2
Нули знаменателя в скобках (f=±l/2W) компенсиру-
ются соответствующими нулями в переднем множителе
и h(f) имеет конечное значение N/2 для f=±i/ (2N).
Когда f-+0,
Первый нуль /г(/) имеет место при f=\/N. Поэтому
это окно в два раза шире модифицированного окна, но,
как видно из рис. 5.7.1, боковые лепестки у него значи-
тельно уменьшены. По сути дела это окно представляет
собой сумму трех модифицированных окон: одного при
/=—1 /2У величиной 0,25, другого при f=0 величиной
0,5 и, наконец, третьего при f=l/22V величиной 0,25.
99
5.10. Окно Хемминга: приподнятый коеинуб
с подставкой
Из рис. 5.7.1 очевидно, что окно фон Ганна и моди-
фицированное окно имеют противоположные знаки в бо-
ковых лепестках. Эта ситуация сразу же подсказывает,
что сложение модифицированного окна небольшой ве-
личины с окном фон Ганна может быть использовано
для снижения максимума в боковых лепестках. Резуль-
тат представляет окно Хемминга (иногда называемое
«хемминговым окном» [3, с. 98]), которое имеет коэффи-
циенты 0,23; 0,54; 0,23 вместо коэффициентов фон Ганна
0,25; 0,50; 0,25.
Рис. 5.10.1. Коэффициенты для окна Хемминга 2acos (an/N)+b
Чтобы найти коэффициенты окна Хемминга, необхо-
димо просто взять взвешенную сумму модифицирован-
ного прямоугольного окна и окна фои Ганна и приме-
нить оптимизирующую программу (см. разд. 9.9) для
нахождения весов, которые минимизируют максималь-
ное значение боковых лепестков (хвостов) окна. Это не
что иное, как критерий Чебышева, который будет под-
робно рассматриваться в гл. 12. Значение, полученное
для весов, зависит, конечно, от величины N, используе-
мой во взвешенном окне {w/J. Как видно из рис. 5.10.1,
значения а и b в разложении Фурье изменяются мед-
ленно с изменением величины 1 /IV для разумных длин
100
ftotoka данных. Отметим, что %а-\-Ь=1 для всех значе-
ний 1 /N.
Благодаря важной роли метода наименьших квад-
ратов, вероятно, многим будет приходить на ум идея
минимизации интеграла от квадрата боковых лепестков
по отношению к интегралу от квадрата основного ле-
пестка. Результат такой оптимизации представлен на
рис. 5.10.2, который дает небольшие коррекции к окну
Хемминга, выраженные величиной, обозначенной d. При-
Рис. 5.10.3. Частотная зависимость ошибки при оптимизации окна
101
Чина для такой специфической формы связана с деталь-
ным рассмотрением хвостов от окна. Минимаксная
ошибка по Чебышеву и ошибка по методу наименьших
квадратов приведены на рис. 5.10.3, где виден большой
отрицательный первый пик при оптимизации по наи-
меньшим квадратам.
Рис. 5.10.4. Весовые множители для окон Хемминга и фон Ганна
Общая форма весовых множителей окон фон Гаина
и Хемминга показана иа рис. 5.10.4. Из рисунка видно,
почему окно Хемминга часто называют «приподнятым
косинусом с подставкой».
5.11. Обзор рассмотренных окон
Поскольку окна представляют наиболее трудную
часть теории цифровых фильтров, то целесообразно сде-
лать обзор рассмотренных их видов.
Начнем с непрерывного сигнала х(/) и, для того
чтобы получить ряд измерений {хп}, дискретизуем его
с единичными интервалами. Из второй теоремы свертки
(разд. 5.6) следует, что при ограничении длительности
сигнала диапазоном —N^ns^N этот процесс эквива-
лентен «размазыванию спектра сигнала» при просмотре
истинной функции x(t) через свертывающее окно
(разд. 5.7)
v ' sinZ/2
Если вместо простого наблюдения части последова-
тельности точек данных {хп} мы, кроме того, взвешиваем
ее с весами {wn}, т. е. используем последовательность
{wnxn} взамен {хп}, то получим другое окно. Простое
102
уменьшение вдвое концевых з’начений изменяет сверты-
вающее окно, и оно принимает вид
, ,,, sin Nt cos 6'2
sint/2 •
При выполнении этой операции боковые лепестки умень-
шаются, но они все еще остаются достаточно большими
и приводят к существенным искажениям первоначально-
го преобразования.
Дальнейшая модификация весовых множителей при-
водит к окну фон Ганна (разд. 5.9), у которого сущест-
венно уменьшены боковые лепестки, ио при этом основ-
ной лепесток увеличен по ширине в два раза (что озна-
чает ухудшение при различении близких деталей). Не-
большая дополнительная модификация ведет к окну
Хемминга (разд. 5.10), которое имеет наименьшую экс-
тремальную величину боковых лепестков.
Однако можно также использовать первую теорему
свертки. Поэтому, если использовать одну из последо-
вательностей
{0,25, 0,5, 0,25}, {0,23, 0,54, 0,23}
в качестве сглаживающей формулы для исходных дан-
ных {хп}, то это равносильно умножению преобразова-
ния на соответствующие непрерывные окна (рис. 5.10.4),
которые стремятся подавить самые высокие частоты.
Различные типы окон могут быть применены одним
из двух способов: к функции x(f) или к передаточной
функци Н(«), но в элементарном курсе нет возможно-
сти подробно рассмотреть каждый из них [7].
Приложение 5.П
Говорят, что последовательность sN сходится к s (sjv—>s),
если для любой заданной степени приближения (задано е>0) воз-
можно найти такой номер отсчета Nn (в Sn существует Na), что
для всех значений N^N0 величина приближается к s лучше,
чем задано (|sw—s| <е).
Сходимость ряда приводится к сходимости последовательности
с помощью простого приема, заключающегося в рассмотрении по-
следовательности частичных сумм этого ряда.
Если теперь задаться рядом, члены которого зависят от пере-
менной, скажем t, то для каждого t можно рассматривать сходи-
мость. В этом случае ЛГ0 будет зависеть как от е, так и от t
/Уо=₽=Л<о(е, t).
юз
В заданном интервале (открытом или закрытом) может ока-
заться возможным найти No, независимое от t, которое будет удов-
летворять условию сходимости для данного е. В этом случае и
только в этом случае говорят, что ряд равномерно сходится.
Глава 6
РАСЧЕТ НЕРЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
6.1. Введение
Теперь, когда у нас есть необходимая математическая теория,
мы уже подготовлены к расчету цифровых фильтров. Напомним,
что типовым сглаживающим фильтром ранее был низкочастотный
фильтр, у которого низкие частоты проходят на выход, а высокие
не пропускаются и имеется переходная зона между полосами (или
частотами) пропускания и подавления (рис. 6.1.1).
В гл. 3 рассчитывались такие фильтры с помощью нахождения
конечного, симметричного набора коэффициентов. Был выбран циф-
ровой фильтр в форме
k=N
Уп~ /^1 (с4:--с-4:)-
k=—N
Когда нужно было интерполировать недостающие данные, мы вы-
бирали такой же тип цифрового фильтра, но принимали Со=О.
11(f) „
\ Переходная
\ , зона
1/2 f
Рис. 6.1.1. Низкочастотный
фильтр
H(f)
Переход-
ная у
зона /
1/Z f
Рис. 6.1.2. Высокочастотный
фильтр
Высокочастотный фильтр является противоположностью низко-
частотному фильтру; он пропускает высокие частоты и ие пропу-
скает низкие (рис. 6.1.2). Его можно просто представить как раз-
ность между всепропускающим фильтром уп=хп и низкочастотным
фильтром.
Имеются также полосовые и заграждающие фильтры. Полосо-
вой фильтр часто используется для исследования части спектра.
10$
Очень узкополосный заграждающий
фильтр называется режекторным
фильтром. Среди других применений
режекторный фильтр (рис. 6.1.3) ис-
пользуется для устранения всегда
присутствующих 60 Гц, которые по-
падают из энергетической системы
США ( в Англии это 50 Гц).
Дифференцирующие фильтры
требуют нечетной симметрии у коэф-
фициентов (что приводит к наличию
только синусных членов в разложении
Фурье); они обладают свойством Рис. 6.1.3. Режекторный
<7fc=—С-ь и со=О. Интегрирование не- фильтр
возможно выполнить нерекурсивны-
ми фильтрами.
В разд. 4.4 показано, что любая функция может быть записана
как сумма четной и нечетной функций. Аналогично можно записать
следующее равенство:
—
с к + с _ /г ,
2 +
Ck — С'ч
2
которое показывает, что любой цифровой фильтр может быть
записан в виде суммы сглаживающего (четного) и дифференци-
рующего (нечетного) фильтров. Сглаживающий фильтр можно рас-
сматривать как линейную комбинацию сумм симметрично распо-
ложенных данных, в то время как дифференцирующий фильтр ис-
пользует разности. Очевидно, что они просто являются косинусными
и синусными членами общего разложения в ряд Фурье.
Для заданного симметричного цифрового фильтра е4 = с_4 можно
подставить в уравнение хп = е““п и получить передаточную функцию
Д(и). В результате симметрии коэффициентов в этом случае имеем
ряд Фурье по косинусам и интервал Найквиста —лгЛЩчСл. В тер-
минах частоты f интервал Найквиста соответствует —1/2^(^1/2.
Передаточная функция симметрична относительно f=0. График
значений этого ряда Фурье дает кривая передаточной функции.
Можно изменить порядок этих рассуждений (рис. 6.1.4). Выби-
рая передаточную функцию произвольной формы (симметричную)
(рис. 6.1.4,а), можно найти, используя методы разд. 4.4 и 5.4, ко-
эффициенты соответствующего косинусного ряда Фурье
(рис. 6.1.4,б). Этот ряд Фурье, вообще говоря, будет иметь беско-
нечное число коэффициентов. На практике нужен конечный фильтр,
и поэтому мы вынуждены отбросить коэффициенты после некото-
рого определенного значения N (рис. 6.1.4,в). Но усечение ряда
приводит к явлению Гиббса, как уже рассматривалось в разд. 5.2,
5.6 и 5.7 (рис. 6.1.4,г). Чтобы устранить его, мы применяем окно
Ланцоша (разд. 5.3), которое умножает коэффициенты на сигма-
факторы (рис. 6.1.4,6). Этот процесс, в свою очередь, приводит
к сглаженной передаточной функции (рис. 6.1.4,е). Общий эффект
для коэффициентов сь разложения передаточной функции в комп-
лексный ряд Фурье состоит в том, что мы умножаем сь на сигма-
факторы a(N, k) для |k|и на 0 для [fc|>(V. Следовательно,
сигма-факторы являются коэффициентами умножающего окна. В об-
105
Ласти преобразования это окно является свертывающим й описы-
вает комбинацию процессов сначала образования явления Гиббса,
а затем выполнения сглаживания Ланцоша.
Применение окон фон Ганна или Хемминга значительно умень-
шает пульсации в окончательной передаточной функции, однако
удваивает ширину переходной полосы.
В основном методе расчета (показанном на рис. 6.1.4) шаг,
ведущий к рис. 6.1.4,б, определяет коэффициенты Фурье, которые
обеспечивают приближение по наименьшим квадратам (разд. 4.4).
ф Оцеииа ряда Фурье д>
Рис. 6.1.4. Передаточная функция (а), коэффициенты Фурье (б),
усеченные коэффициенты Фурье (в), явление Гиббса (а), весовые
коэффициенты (д), сглаженная функция (е)
Сигма-факторы изменяют это основное приближение по наимень-
шим квадратам. В следующем разделе этот метод будет иллюстри-
роваться на специальном примере.
Чтобы кратко подытожить наш первый метод расчета, укажем
последовательность его этапов. Задавшись симметричной переда-
точной функцией 77(<о), необходимо: найти первые Л/ косинусных
коэффициентов Фурье а0, .. ., aw_f, умножить эти коэффициен-
ты на соответствующие сигма-факторы, используя то же значение
106
N, преобразовать результирующие коэффициенты в соответствующие
Ck (фильтра) путем деления на 2 (при этом сохранить постоянный
член); наконец, построить график результирующей передаточной
функции для проверки результатов.
6.2. Расчет низкочастотного фильтра
Теперь рассчитаем низкочастотный фильтр, приведя
некоторые вычислительные подробности. Основной ме-
тод расчета будет такой же, как на рис. 6.1.4. В качест-
Й(?)
О 7/70 2/70 3/70 6/70 f
Рис. 6.2.1. Низкочастотный фильтр, N—5
ве первого конкретного примера выбираем передаточ-
ную функцию (рис. 6.2.1, кривая а)
= О <1/| <0,2,
‘ 10, 0,2 <1/1 <0,5,
в которой, конечно,
Непосредственное вычисление интегралов для коэф-
фициентов ряда Фурье (разд. 4.4 и 5.4) дает все Ьк~0 и
107
it 1/2
ak=— H(m)COS krndrn = 4 j* //(f)COS2r.kfdf.
b b
Следовательно, для коэффициентов идеальной переда-
точной функции низкочастотного фильтра имеем
0.2
J2
cos 2nkfdf = sin 0,4тЛ,
о
и соответствующий ряд Фурье (рис. 6.1.4,6) будет
е»82^.
' 4=1
Для практических целей ограничиваем бесконечный
ряд до конечной длины. Будем использовать /V=5, чле-
нов и поэтому для суммирования устанавливаем
ЛГ—1=4
£—4
Теперь мы перешли к рис. 6.1.4,в и сталкиваемся
с явлением Гиббса на следующем рис. 6.1.4,г. Чтобы
снизить величину пульсаций (рис. 6.2.1, кривая б), при-
меним окно Ланцоша, которое предусматривает умно-
жение коэффициентов разложения Фурье на соответст-
вующие сигма-факторы (разд. 5.2), в данном случае
Отметим, что о (5,5) =0 и что член as исключается, да-
же если бы мы пытались его сохранить. Поэтому для
модифицированной передаточной функции имеем
4=4
й о=4+2 S НЙН 1
4=1
Используя окно Ланцоша, получим передаточную
функцию иа рис. 6.1.4,б и коэффициенты Фурье на
рис. 6.1,4,е. Рассчитанный нами фильтр для (V=5 пока-
зан на рис. 6.2.1 (кривая в). Рис. 6.2.2 иллюстрирует
расчет фильтра для Л/=10. Четвертая кривая иа каждом
рисунке будет обсуждаться в следующем разделе. Ко-
108
эффициенты цифрового фильтра ск вдвое меньше коэф-
фициентов в косинусном разложении, за исключением
постоянного члена.
Упражнения
6.2.1. Рассчитать низкочастотный фильтр при N=b и /?(() = !
для |(| <1/5 и 0 для всех остальных частот.
6.2.2. Рассчитать высокочастотный фильтр с W=4, пропускаю-
щий верхнюю половину интервала Найквиста.
6.2.3. Рассчитать полосовой фильтр для jV=6, пропускающий
среднюю треть интервала Найквиста.
6.2.4. Рассчитать высокочастотный фильтр для N—5 и с
=1, |(|>4/5 и 0 для всех остальных частот.
6.2.5. Рассчитать полосовой фильтр для jV=5 и /7(()=1 для
2/5<|(|<3/5 и 0 для всех остальных частот.
6.3. Обзор постоянно применяемых методов расчета
После расчета одного частного фильтра вернемся,
используя наши прежние результаты, к несколько более
общему подходу к проектированию низкочастотного
фильтра.
109
Во-первых, начнем с произвольной ширины полосы
пропускания, она будет простираться от нуля до fs,
а полоса подавления будет — от fs до 1/2 (измерение ве-
дется в циклах). Непосредственное вычисление коэффи-
циентов Фурье (напомним, что передаточная функция
является четной функцией от f) приводит к разложению
зо
= sin 2,t^s] с0S 2^'
k=l
Когда fs=0,2, это разложение совпадает с результатами
разд. 6.2.
После усечения этого ряда до конечного числа чле-
нов (применяя к коэффициентам прямоугольное умно-
жающее окно), получим явление Гиббса в частотной
области. Сглаживание этого эффекта осуществляется
прямоугольным свертывающим окном, окном Ланцоша.
Следовательно, используются сигма-факторы. В разд. 6.2
было выбрано число членов .'V=5 (и Af=10), а ширина
окна была установлена равной ширине пульсаций
в явлении Гиббса.
Рассмотрим теперь, от чего зависит ширина переход-
ной зоны и как она влияет на число членов. Возьмем
обычное прямоугольное свертывающее окно Ланцоша
с шириной А и единичной площадью. Ранее было пока-
зано, что любая линейная операция над функцией рав-
носильна умножению коэффициентов Фурье на некото-
рые константы: это же происходит и при применении
окна Ланцоша или при свертке двух функций. Выполнив
необходимые алгебраические и тригонометрические пре-
образования, найдем, что в соответствии с сигма-фак-
торами, в качестве множителей соответствующих коэф-
фициентов ряда Фурье будут выступать коэффициенты
sin rk*
n/гД
Естественно, мы отсекаем ряд там, где эти коэффици-
енты становятся малыми.
Важно отметить, что этот процесс в целом можно
рассматривать как первое сглаживание передаточной
функции. Если мысленно представить себе свертывание
прямоугольного окна (штрих-пунктирные линии на
рис. 6.3.1), движущегося по исходной передаточной
функции, то будет видно (если считать окно достаточно
узким), что в начале получается некоторое постоянное
но
Зйаченйе до тех пор, Пока окно ие приблизится к точке
разрыва функции. Как только окно начнет проходить
точку разрыва, сглаженное значение будет линейно
уменьшаться (штриховая линия). Когда окно пол-
ностью пройдет через точку
разрыва, сглаженное значе-
ние станет равным нулю.
Следовательно, можно в ка-
честве решения исходной за-
дачи нахождения аппрокси-
мирующего выражения для
разрывной функции,аппрок-
симировать функцию путем
интерполяции прямой лини-
ей между двумя частями;
ширина переходной зоны бу-
дет точно равна ширине ис-
пользуемого прямоугольного
окна (см. рис. 6.3.1). Отсюд
Рис. 6.3.1. Прямоугольное окно
на точке разрыва
следует, что безразлично,
будем ли мы брать исходную функцию и после усечения
сглаживать ее сигма-факторами или вообразим прямо-
угольное окно, которое свертывается с исходной функ-
цией, и затем будем подгонять результирующую сгла-
женную функцию — результат в обоих случаях должен
быть одинаков (в обоих случаях усекается ряд Фурье).
Результаты этих двух подходов будут слегка разли-
чаться, хотя эффект получается одинаковым. Либо мы
отсекаем и сглаживаем кривую, либо сглаживаем ее что-
бы получить более быструю сходимость ряда, и затем
ряд усекаем. Ширина окна определяет ширину переход-
ной зоны между полосами пропускания и подавления.
Если окно используется один раз, то в передаточной
функции появляется некоторая сглаженность, применяя
его дважды, можно получить передаточную функцию,
которая имеет непрерывную первую производную и, сле-
довательно, лучшую сходимость результирующего ряда
Фурье. При двукратном применении прямоугольного
окна сигма-факторы действуют тоже дважды, т. е. мы
получаем квадрат сигма-факторов. Конечно, двукратное
применение окна приводит в результате к более широ-
кой переходной зоне (см. кривые на рис. 6.2.1 и 6.2.2).
Снова можно этот процесс выполнить несколькими пу-
тями. Можно, например, сначала произвести свертку
окна с самим собой и затем применить результат один
ill
раз. Нетрудно сообразить, что
свертка прямоугольного окна
с самим собой даст в результа-
те окно треугольной формы,
основание которого вдвое ши-
ре исходного окна, а вершина
находится в центре (рис. 6.3.2).
Следовательно, треугольное
окно эквивалентно двукратно-
му применению прямоугольно-
го окна.
«Строительные» свойства
окон бесконечны. Можно
начать с окон другой непря-
моугольной формы. Такие
Рис. 6.3.2. Треугольное окно
от свертки двух прямо-
угольных окон
окна называются «окрашенными», они в разных местах
создают различное ослабление для исходной функции.
Примером может служить рассмотренное выше тре-
угольное окно. Короче говоря, можно использовать лю-
бую приемлемую функцию окна, предполагая для удоб-
ства, что она имеет единичную площадь под кривой, и
с помощью свертки испытать ее действие. Тот факт, что
всегда будут получаться числовые множители, которые
умножаются на каждую частоту, следует из прежнего
вывода о том, что любая линейная операция над часто-
той дает ту же частоту, но изменяет коэффициенты раз-
ложения Фурье на соответствующий мультипликативный
множитель (зависящий от частоты). Для симметричных
окон можно ожидать, что операции над косинусным раз-
ложением будут образовывать только косинусные члены,
но если в окне будет асимметрия, то будут наблюдаться
одновременно и синусные, и косинусные члены.
Упражнения
6.3.1. Сгладить прямоугольную импульсную функцию окном
Ланцоша, а затем непосредственно вычислить коэффициенты Фурье.
6.3.2. Сгладить прямоугольную импульсную функцию треуголь-
ным окном, а затем вычислить коэффициенты Фурье.
6.3.3. Довести до конца вывод для окна шириной Д.
6.4. Дифференцирующий фильтр
В качестве другой иллюстрации общего метода рас-
чета фильтров выясним, как этот общий метод прибли-
жения заданной передаточной функции рядом Фурье
применяется к задаче расчета фильтра, производящего
112
оцейку производной от некоторых данных. Из выраже-
ния для производной
dF*[e ] = 1ше
сразу же видно, что необходимо аппроксимировать
функцию Н(&')=№. Если выбрать коэффициенты филь-
тра, имеющие нечетную симметрию, т. е. с_л=—сл (для
всех k), и поскольку
с4 (elfe“ — e~lfe") = 2ick sin ka>,
то будем иметь синусный ряд с чисто мнимыми коэф-
фициентами, как это и требуется. Следовательно, циф-
ровой фильтр
н
Уп= 2
k=—N
с C-k = — Ck приводит к синусному ряду
//(да) _. [2с1 sinm 4~2сг sin 2а> —...-|- 2cv sin jV<»] i.
При исследовании такого фильтра видно, что он фак-
тически представляет собой линейную комбинацию раз-
ностей симметрично расположенных значений функции
(оценок производной) Ck(xn+k—xn-k), которую мы и
ожидали, поскольку она была отправным моментом.
Кроме того, очевидно, что процесс дифференцирования
усиливает высокие частоты значительно больше, чем
низкие. Высокая частота часто является шумом, а это
значит, что фильтр, который проектируется, должен,
вероятно, отсекать частоты выше некоторого значения
Юс. Таким образом, будем строить синусный ряд Фурье
для аппроксимации функции
Вычислим коэффициенты, используя обычные формулы
тс
= ~ С //(<») sin koidrn ~ — J iw sin kind»,
—тс О
, __.2i /sin k<oc <occoskcoc\
k ]
8—540 ИЗ
Для алгебраической проверки, Положим ис=л и полу-
чим выражение
, __ —2t costtfe St
fl k ~ k ' ' ’
Упражнения
6.4.1. В [12, с. 321] предлагается «малошумящий» дифферен-
цирующий фильтр, который а) имеет единичный наклон при f=0,
б) минимизирует сумму квадратов коэффициентов. Показать, что
этот фильтр имеет вид
k~N
3 ^1 k N(N + 1") (2N + 1) •
k=—N
(Указание: Используйте метод множителей Лагранжа.) См.
рис. 6.4.3.
которое совпадает с результатом разд. 4.3. Следова-
тельно, мы имеем неограниченной длины фильтр, тре-
бующий усечения, которое вызывает эффект Гиббса.
Рнс. 6.4.2. Дифференциатор с 1V=1O
В данном случае применим просто прямоугольное окно
Ланцоша, что приведет к соответствующим сигма-фак-
торам в разложении. С целью иллюстрации выберем
/с=2/10. Для значений М=5, 10 имеем соответствующие
кривые, показанные на рис. 6.4.1 и 6.4.2. Идеальной
является прямая линия; кривая с наибольшим числом
колебаний соответствует усеченному ряду Фурье, кото-
рый вносит большие ошибки вблизи f=0; нижняя кри-
вая представляет окончательный сглаживающий фильтр.
Дополнительные сведения по дифференцирующим филь-
трам можно найти в [10, с. 218—285].
114
Рис. 6.4.3. Дифференцирующие фильтры Ланцоша
115
6.4.2. Сверхмалошумящие дифференциаторы Ланцоша. В упраж-
нении 6.4.1 показать, что если потребовать, чтобы касание в точке
/=0 имело третий порядок, то первые несколько фильтров будут
иметь передаточные функции
Рис. 6.4.4. Улучшенные дифференцирующие фильтры
Ланцоша
8sin<o — sin 2<о
6“ >
58 s<n <о 4- 67 sin 2<о — 2' sin 3<о
126 >
126 sin <o + 193 sin 2<o 142 sin 3<o — 86 sin 4<o
594
См. рис. 6.4.4.
6.S. Проверка дифференцирующего фильтра
на примере обработки данных
Для проверки действия дифференцирующего фильтра
применим его к некоторым искусственным данным.
Сначала возьмем прямую линию
х„=н/50 (и=0, 1, ..., 50),
производная которой равна 1/50. Чтобы вычислить от-
клик фильтра на этот входной сигнал, сначала отметим,
что поскольку Ck=—c-k и с»=0, то сумма коэффициен-
тов равна нулю. Поэтому можно добавить к данным
любую константу, и это не скажется на ответе. Вместо
Xk = k/50 можно взять прямую линию Xk=k и проверить
фильтр в начале отсчета данных, потому что результат
116
будет таким же, как и в любом другом месте. При этом
на выходе будем иметь
fe=W 4=.V
k=—N 4=1
Без сигма-факторов и при _'V=5 для значения суммы по-
лучим число 0,5165/50, а для ,V=10 число 0,5568/50
(здесь добавлен коэффициент 1/50, чтобы было видно
отличие наклона от исходной прямой линии и чтобы
подчеркнуть, что идеальное значение числителя равно
единице). Выбирая N=5, 10 мы учитывали возможность
взаимодействия гармоник ряда Фурье при границе поло-
сы на частоте среза 2/10.
Неспособность фильтра дать величину 1/50 непо-
средственно следует из факта, что при (=0 наклон пере-
даточной функции не является постоянным вблизи еди-
ницы (самая верхняя кривая на рис. 6.4.1 и 6.4.2), так
как если бы это имело место, то вычисленные суммы
были бы равны единице.
Если используются сигма-факторы Ланцоша, то, как
показано на рисунках (нижняя кривая) будут получе-
ны значительно лучшие результаты. При этом началь-
ный наклон составляет 1,047/50 для N = 5 и 1,020/50 для
/V=10. Прямая линия показывает идеальный наклон.
Однако напомним, что мы рассчитывали фильтр для
борьбы с шумом. Поэтому проведем дальнейшие экспе-
рименты. Добавим случайный шум в двух формах: пер-
вая
# + 1 [-]- если случайное число > 1/2,
50 ~ 100 1
I— в других случаях.
и вторая
(случайное число в диапазоне — 1 1).
На рис. 6.5.1—6.5.4 показаны результаты этих экспери-
ментов; на них нанесены: а)- исходные входные данные,
направленные наклонно вверх, б) производная, увели-
ченная в 10 раз, так что легко видны флуктуации и
в) результат применения сигма-факторов, причем чтобы
эти точки лучше было видно, они сдвинуты вверх добав-
лением к ним 1/2.
1 17
Приведенный ряд экспериментов показывает, что
когда хотят, чтобы фильтр выполнял несколько функций
(например, дифференцирование и подавление значитель-
ного по величине шума|), он идет на компромисс и не
делает ни то, ни другое достаточно хорошо. Эксперимен-
ты также показывают, что даже простые фильтры можно
сделать так, чтобы они выполняли комплексные задачи.
Рис. 6.5.1. Шум первого вида,
№=5:
! — производная, увеличенная в 10
раз, с сигма-фактором; 2 — исход-
ные данные; 3 — производная, уве-
личенная в 10 раз
Рис. 6.5.2. Шум второго вида,
W=5:
I — производная, увеличенная в 10
раз с сигма-фактором; 2 — исходные
данные; 3—производная, увели-
ченная в 10 раз
Рис. 6.5.3. Шум первого вида,
1V=1O:
/ — производная, увеличенная в 10
раз с сигма-фактором; 2—исходные
данные; 3 — производная, увеличен-
ная в ]0 раз
Рис. 6.5.4. Шум второго вида,
7V=10:
1 — производная, увеличенная в 10
раз, с сигма-фактором; 2— исход-
ные данные, 3 — производная, уве*
лнчеиная в 10 раз
118
йенный расчетный критерий; лучше фильтр рассчйтывйтН
для работы на чистых частотах и суммах частот, и он
сработает так, как ожидалось, потому что из передаточ-
ной функции можно точно установить, что происходит
с амплитудой каждой частоты.
6.6. Новые фильтры из старых фильтров. Обострение
характеристики фильтра
Многим изучающим теорию фильтров, может легко
придти на ум, что если применение низкочастотного (или
высокочастотного или даже полосового) фильтра это хо-
рошо, то обработка данных тем же фильтром дважды,
возможно, может оказаться еще лучше. Как будет видно
из дальнейшего, такой процесс будет:
1) приблизительно удваивать ошибки в полосе про-
пускания,
2) возводить в квадрат ошибки в полосе непропуска-
ния,
3) сохранять те же переходные полосы,
4) приблизительно удваивать длину эквивалентного
фильтра (и, следовательно, потери данных на каждом
конце массива).
Конечно, эквивалентный единственный фильтр можно
получить путем свертывания последовательности коэф-
фициентов фильтра с самой собой.
Рассмотрим фильтрацию последовательности хп, что-
бы получить последовательность уп- Обозначим эту опе-
рацию как уп—Йхп. Предположим, что / (тождествен-
ное равенство) обозначает операцию хп=1хп. Тогда пе-
редаточная функция для I есть 1, в то время как обыч-
но мы используем Й (f).
В «Исследовательском анализе данных» Дж. У. Тью-
ки [19, гл. 16] предложил пропустить данные через
фильтр, взять разности
Уп = {I й )Хп,
[где Й — операция применения фильтра с передаточной
функцией Й([)], добавить их к исходному сигналу и
затем сумму снова пропустить через фильтр. В резуль-
тате получается операция
Й [7— Я)] = Я(2/— Я).
119
Это операторное уравнение ознаЧаеФ, что каждое выход-
ное значение фильтра Й вычитается из 2хп и разность
затем снова обрабатывается фильтром й. Данный про-
цесс Тьюки назвал «удвоением». Им также предложены
дальнейшие новые разработки этой идеи, но здесь они
не будут обсуждаться.
Рис. 6.6.1. Функция амплитудных преобразований
Рассмотрим процесс более подробно. Обозначим ис-
ходный фильтр /?пх(/), а результирующий фильтр после
всей обработки #вых(^). Теперь построим график ампли-
тудного изменения функции ЙВЫх(}) в зависимости от
(рис. 6.6.1). Из него видно, что когда /7ВХ(() име-
ет значения близкие к единице, ffBbIX(f) имеет значения
значительно более близкие к единице, но когда ffBX(f)
близка к нулю, fifBbIX(f) примерно в два раза дальше от
нуля. Таким образом, отклонения внутри полосы (по-
лос) пропускания возводятся примерно в квадрат, в то
время как отклонения внутри полосы (полос) непропу-
скания почти удваиваются.
С другой стороны, противоположное справедливо для
двойного применения одного и того же фильтра
/?BblX(f)=/?2BX(f).
120
Здесь имеется непропускающая часть, в которой откло-
нения возводятся в квадрат, и пропускающая часть,
в которой они удваиваются (рис. 6.6.1).
Указанные два частных случая сразу же подсказы-
вают следующий подход, который предусматривает
(приблизительно) возведение в квадрат малых отклоне-
ний как в полосе пропускания, так и в полосе непро-
пускания. Мы хотим, чтобы кривая изменения амплиту-
ды касалась горизонтали как в нуле, так и в единице.
Полином, обладающий этим свойством, будет кубиче-
ской параболой вида
Р(Х) =р0 + PiX+p2Xz -f- р3Х3.
Применяя поставленные условия для этой функции на
обоих концах, найдем
Р(%)=3%2—2%3==А2(3—2Х).
Следовательно, необходимо использовать
йвых(П=я\х(П13/ -2ЙВХ(П].
Три прохода через один и тот же фильтр дают в резуль-
тате сильно обостряющий фильтр. Небольшие отклоне-
ния от нуля и единицы возводятся в квадрат, а ширина
переходной полосы (полос) остается той же самой. Эта
ситуация проявляется в низкочастотных, высокочастот-
ных и полосовых фильтрах любой сложности.
Поэтому если имеется программа, которая достаточ-
но хорошо выполняет задачу некоторой фильтрации и
обращается к подпрограммам для а) одноразовой обра-
ботки сигнала, б) удвоения выходного сигнала, в) вычи-
тания каждого значения из Зхп и, наконец, г) пропуска-
ния этой разности через фильтр дважды, то она даст
значительно обостренный фильтр с эффективной длиной
фильтра примерно в три раза больше. Конечно, соответ-
ствующим свертыванием коэффициентов исходного филь-
тра можно создать эквивалентный фильтр и затем обра-
батывать сигнал только однажды. На рис. 6.6.1 показана
функция амплитудного преобразования. Отметим, что
для отрицательных значений Йвх и для значений больше
единицы Йвых принимает значения Ос^выхСИ. Поэтому
этот метод эффективен для достаточно хороших филь-
тров. Но также отметим, что плохие фильтры можно
сделать еще хуже, поскольку при #вх=0,281 ... либо
12|
77вх= 1,281 ... рассмотренный метод дает /Гвых с той же
величиной отклонения, а вне этого диапазона выходные
значения хуже, чем значения на входе.
Изучение рис. 6.6.2 показывает, что плохой фильтр
(сглаживание тройками, разд. 3.2) делается хуже в не-
которых местах при обострении. На рис. 6.6.3 видно
небольшое улучшение для сглаживания пятерками. Кро-
ме того, рис. 6.6.4 показывает, что сглаживание одно-
временно тройками и пятерками дает хороший фильтр
и что «обостроение» значительно улучшает этот фильтр.
Сглаживание одновременно тройками и пятерками сво-
дится к применению фильтра, который определяется
сверткой последовательности из трех единиц с последо-
вательностью из пяти единиц (все они поделены на
3X5), т. е. фильтра 1/15 [1, 2, 3, 3, 3, 2, 1].
В гл. 8 будет показано, что для достаточно хороших
фильтров можно рассчитать один фильтр с примерно
двойной длиной по отношению к исходному фильтру,
который имеет качество указанной комбинации. Эта про-
цедура, конечно, потребует полного пересчета фильтра,
так же как и разработки дополнительной программы.
Кроме того, если исходный фильтр был выполнен в виде
интегральной схемы на одном кристалле, то соответст-
вующее использование трех таких схем, вероятно, было
бы дешевле, чем пересчет и конструирование новой схе-
мы. Во всяком случае идея процесса амплитудного пре-
I??
Образований и соответствующее её опйсаНиё осВеЩаю?
по-новому важную область применения комбинаций из
одинаковых или даже различных фильтров.
Рис. 6.6.3. Сглаживание пятерками и с обострением
Рис. 6.6.4. Сглаживание тройками и пятерками и с обостре-
нием
Упражнения
6.6.1. Используя методы этого раздела, показать, что если
требуется касание второго порядка на двух концах частотного ин-
тервала, то соответствующая функция амплитудного преобразова-
123
ййя будет
//3[10—15//4-6//2].
Соответствующие точки, где не происходит улучшения, есть
—0,264... и 1,264...
6.6.2. Показать, что если потребовать касание n-го порядка на
двух концах, то функция амплитудного преобразования имеет
форму
k- п
fc=0
Глава 7
ГЛАДКИЕ НЕРЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ
7.1. Возражения против пульсаций в передаточной
функции
Фильтры, рассчитанные в предыдущей главе, имели
пульсации в передаточной функции, однако для некото-
рых целей такая ситуация нежелательна. Например,
пульсации в полосе пропускания нежелательны в тех
случаях, когда фильтрация каскадная, т. е. один фильтр
следует за другим. Если сигнал проходит через М
идентичных фильтров, тогда любой пик 1+6 становится
(1+6)м и может вызвать перегрузку (переполнение
в ЭВМ с фиксированной запятой) для достаточно боль-
ших М. При обработке искаженных сигналов каскадное
соединение фильтров не является необычным (напри-
мер, в телефонной связи на больших расстояниях).
Помимо этого, если задача одна из тех, в которых
на сигнал (информацию) накладывается большой уро-
вень шума, то после отфильтровывания шума любые
небольшие пики, оставшиеся в спектре сигнала, могут
быть как от исходного сигнала, так и от пульсаций
в передаточной функции, используемой в процессе филь-
трации. При тщательном анализе можно бы разделить
эти два случая, однако такая проблема может и не воз-
никнуть, если использовать класс фильтров, характери-
стики которых изменяются гладко, без пульсаций. Под
«гладким изменением» понимается, что фильтры явля-
124
1отся монотонными на протяжении больших ННтерНаЛОВ
полосы частот.
Монотонный фильтр встречается, например, когда
интерполируются средние точки между некоторыми рав-
ноотстоящими данными. Необходимость в этом возника-
ет во многих случаях, в частности, в демографии, когда
используются данные от разных источников, относящие-
ся иногда к концу года, а иногда к середине. Для того
чтобы использовать данные от таких разных источников,
необходимо интерполировать средние точки в одном из
наборов данных, а это можно сделать с помощью моно-
тонного интерполирующего фильтра.
Предполагая обычную полиномиальную аппроксима-
цию, для линейной интерполяции средней точки имеем
г/п+1/2=.7.К+> + ^1-
Если нормализовать задачу и представить себе, что
интерполяция выполняется в начальной точке, тогда мы
получим двухчленную формулу
которую перепишем в символической форме (1/2) [1, 1].
Проводя полиномы третьей, пятой и седьмой степени
через четыре, шесть и восемь точек соответственно, при-
ходим к следующим символическим формулам:
(1/16D [-1,9,9,-!],
(1/256) [3, —25, 150, 150, —25, 3],
(1/2048) [—5, 49, —245, 1225, 1225, —245, 49, —5].
Соответствующие им передаточные функции показаны
на рис. 7.1.1. Мы видим, что как и ожидалось, полином
более высокого порядка имеет касание более высокого
порядка в начальной точке и больше приближается
к всепропускающему фильтру.
Если рассчитывается фильтр, подавляющий больше
высокие частоты, то сделав его касательную в точке ча-
стоты свертывания /=1 /2 такой же хорошей, как и в на-
чале координат, получим для фильтров низкого порядка
все коэффициенты положительными. Эта ситуация выте-
кает из следующей теоремы:
если на входе сглаживающего фильтра одна функция
постоянно больше второй, то для того, чтобы на выходе
ее значения также были больше, необходимо и доста-
125
^бчно, чтобы все коэффициенты фильтра были положи--
тельными.
Для такого фильтра это утверждение означает, что
при наличии локального пика интерполированное значе-
ние (оно представляет собой взвешенное среднее с по-
ложительными весами) должно быть меньше, чем мак-
симальное из всех значений, следовательно, пики
фильтром срезаются, а впадины заполняются. Пики и
Рис. 7.1.1. Передаточная функция для интерполяции по средним
точкам
впадины могут быть достаточно точно Воспроизведены
фильтром только в том случае, если позволить пройти
через него высоким частотам, а для этого необходимо
сделать возможными положительные и отрицательные
коэффициенты в фильтре.
Здесь проявляется одна из многих трудностей филь-
трации: невозможно иметь все, что мы хотим. Устраняя
шум, мы стремимся уменьшить реакцию на изменение
сигнала, стремимся выравнить выходные пики, впадины
и другие внезапные изменения. Если же мы хотим со-
хранить мелкие детали в обрабатываемых данных, то
должны одновременно сохранить и высокочастотный
шум.
126
Упражнения
7.1.1. Доказать теорему из этого раздела.
7.1.2. Вывести формулы для полиномиальной интерполяции по
средним точкам.
7.2. Гладкие фильтры
Окинем снова мысленным взором тему фильтрации.
Пусть дан симметричный (с/4=с_л) нерекурсивный циф-
ровой фильтр, который обрабатывает равномерно рас-
пределенные данные хп от некоторого источника; вы-
числим уп с помощью формулы
k-N
Уп 2
k=—N
Собственными функциями линейных задач являются
комплексные экспоненты e2Klfn. Использование собствен-
ных функций приводит к передаточной функции (собст-
венным значениям)
k=N
Й(/) = со + 2 2 Cfe cos2itfcf.
k-\
Докажем хорошо известный факт, что cos&0 может быть
представлен как полином степени k относительно cos0.
Начнем с очевидного равенства
е‘л8= [е‘8]".
Далее запишем это уравнение в комплексной форме
cos «6 1 sin «6 = [cos 6 -|-i sin 6]",
произведем биномиальное разложение и возьмем от него
действительную часть
со8/гв = 2 С (п, 2fe)cos"~2* B(isin6)2*,
k=0
где суммирование, конечно, обрывается, когда 2k пре-
высит п, потому что тогда биномиальные коэффициенты
станут равны нулю. Поскольку
sin2* 0 = [sin2 6[* = [ 1 - cos2 6]*,
то мы имеем желаемый полином по степеням cos0.
Возвращаясь к передаточной функции
^(f) = c„ + 22 ckcos2nkf.
можно использовать предыдущий результат, чтобы по-
лучить при соответствующих bh выражение
= % Mcos2tf]fe.
fe=0
Теперь можно сделать преобразование независимой пе-
ременной cos Когда f изменяется от 0 до 1/2, t
изменяется от 1 до —1, и мы получим как эквивалент
передаточной функции полином по степеням t
N
b*tk-
fe=0
Однако отметим, что это преобразование представляет
нелинейное растяжение оси частот. Работая с перемен-
ной t, которая соответствует cos 2л/, будем представлять
передаточную функцию в виде степеней cos 2nf, а не коси-
нусов кратных углов, как это делалось до сих пор. Ис-
ходный низкочастотный фильтр из-за реверсирования
оси абсцисс при преобразовании теперь выглядит как вы-
сокочастотный фильтр относительно переменной t.
Чтобы начать расчет, выберем функцию
с р и q в качестве параметров (рис. 7.2.1). Ясно, что
эта функция имеет нуль кратности р при t——1 и нуль
кратности q при t—\. Интегрирование этой функции по t
дает произвольную постоянную интегрирования, которую
зафиксируем таким образом, чтобы при t=—1 интегри-
руемая функция равнялась нулю. Далее, вычислим зна-
чение функции при t=l и поделим на это число (нор-
мализуем) для того, чтобы окончательная функция име-
ла значение 1 при t=l (рис. 7.2.1)
f (1 + 0р(1-ф?<й
--------------•
f (1 + t)p (1 - О’Л
—1
Тем, кто знаком со специальными функциями, нетрудно
узнать в этом выражении замаскированную неполную
бета-функцию; нормализующий множитель есть соответ-
ствующая полная бета-функция. После интегрирования
получаем полином по t (нашу передаточную функцию),
128
который имеет нуль (р+1)-й кратности при t=—1 и
значение 1 при /=1, наряду с (/-производными, равными
нулю, при t=\. Причина, по которой порядок наивыс-
шей обращающейся в нуль производной увеличивается
на 1, в том, что процесс интегрирования увеличивает
степень касания при начальном и конечном значениях.
Рис. 7.2.1.
Эта функция от t имеет коэффициенты bk в переда-
точной функции (не путать их с коэффициентами Фурье
Ьк), и простая подстановка t=cos2nf приведет нас об-
ратно к частотной переменной. Чтобы выполнить это
преобразование, запишем
cos 2nf
J (1 + 0р(1-0’Л
(cos 2itf) = —---------------------.
J (1 + f)p(l -tyidt
—1
Знаменатель представляет константу, поэтому нам необ-
ходимо изучить только поведение числителя. Произве-
дем преобразования в интеграле, подставив i=cos 2 л/.
Используем формулы половинных углов
С = (1 4-соз2тф)р(1 — cos2nf)’(—2it sin 2тф) df =
— 1 1/2
1/2
= 2р+?+2л j' (cos7t/)2p+,(sinirf)2?+,df =
f
1/2
= 2₽+’+гт j [sin it(1/2 — f)]2p+1 [sin itf]2’+I df.
f
129
Поскольку sin nf вблизи нуля синусной функции при-
мерно равен nf, то наблюдается удзоение величины по-
рядка касания на обоих концах интервала благодаря
«растяжению» оси, вызванному преобразованием.
Для того, чтобы получить коэффициенты цифрового
фильтра Ck, которые мы начинали определять, простой
метод, который будет развит в следующем разделе, по-
зволит сделать обратное преобразование к представле-
нию передаточной функции рядом Фурье.
Возвратясь к задаче расчета, приравняем нулю g'(t)
и найдем, что точка перегиба функции Н (t) в t области
имеет место в точке (р—<?)/ (p+q). Пропорциональное
увеличение обоих параметров р и q приводит к суже-
нию переходной зоны в H(t).
Первоначальная кривая g(t) представляет собой по-
лином от t со всеми своими свойствами, заданными на
концах интервала, поэтому у обеих кривых g(t) и H(t)
нет «пульсаций» между концевыми точками. Обратное
преобразование к переменной f является монотонным и
только растягивает ось независимой переменной, а это
означает, что оно не может внести ни максимума, ни
минимума. Пологий характер косинусной кривой этого
преобразования удваивает порядок касания на концах.
Нам нужно еще выполнить обратный переход к обо-
значениям ряда Фурье, но этот шаг представляет собой
только изменение обозначения и не влияет на форму
кривой. Таким образом, мы получаем гладкую переда-
точную функцию. Прямой расчетный метод, использую-
щий члены ряда Фурье в форме cos 2nkf, может приво-
дить к появлению пульсаций в передаточной функции.
Чтобы избавиться от них, необходимо сделать прибли-
жение на концах интервала очень хорошим, а остальной
части кривой дать спадать так, как это возможно. При
этом положение частоты среза фильтра определяется
только степенью касания на концах.
Упражнения
7.2.1. Вывести формулу для местоположения точки перегиба.
7.2.2. Превратить в ряд Фурье, где l=cos2n/.
7.3. Приведение к ряду Фурье
Задача, обсуждаемая в этом разделе, заключается
в том, как получить из степенного ряда по cos0 ряд
Фурье по cos kO. Кроме того, желательно иметь возмож-
но
ность делать это легко на вычислительной машине.
В связи с этим рассмотрим рекурсивный способ преоб-
разования, который сделает программирование более
легким.
Пусть степенной ряд относительно cos0
N
2 Mcose]‘
k=0
будет записан в обычной «цепной» форме
Ь« +{- + C0S 6 lbN-2 + C0S 6 (bN-l + bN C°S 0)l '''}’
Последние два члена внутри круглых скобок
bN-i 4-6.V cos 0
умножим на cos© и добавим следующий коэффициент
с меньшим индексом. Затем снова умножим на cos 0 и
добавим следующий младший коэффициент и т. д.
Первые два члена представлены в форме ряда Фурье
и поэтому формируют основу для индукции (рекурсив-
ный процесс). Следовательно, предполагаем, что на
каждом этапе имеется ряд Фурье с заданными коэффи-
циентами, и показываем, что следующий этап также бу-
дет рядом Фурье. Чтобы показать это, умножим теку-
щий ряд Фурье в индукционном процессе на cos 0 и при-
меним формулу для произведения двух косинусов
cos 6 cos пЬ =Ц-[соз(га 1) в cos (я —-1) 6].
Из одного любого коэффициента с индексом больше
нуля получаем два члена: у первого частота на единицу
выше, а у второго — на единицу ниже 'и оба имеют мно-
житель 1/2. Постоянный член теперь представляет, ко-
нечно, косинусный член с множителем 1. И, наконец,
следующий коэффициент bh с меньшим индексом скла-
дывается с постоянным членом, который перешел из
предыдущих вычислений члена с индексом, равным еди-
нице. Все это изображено на рис. 7.3.1, где точки означа-
ют коэффициенты членов ряда Фурье для частот, увели-
чивающихся по направлению вправо, а цифры рядом
со стрелками обозначают множители. Если этот процесс
повторяется достаточно часто, то быстро будет получен
ряд Фурье, который эквивалентен исходному степенному
ряду относительно cos0. Коэффициенты в соответствую-
9* 131
щем комплексном ряду Фурье являются коэффициента-
ми Ch искомого фильтра.
Отметим, что этот процесс имеет ряд прекрасных
свойств. Первое, он чистый: деление на 2 различных
стадиях не приводит к округлению в двоичной арифме-
тике с плавающей запятой и ведет к уменьшению оши-
бок. Второе, он прост для программирования, не содер-
жит таблиц и мало использует другую арифметику, по-
мимо сложений. И наконец, этот же самый процесс
Рис. 7.3.1. Одна ступень преобразования к ряду Фурье
может быть использован в другой ситуации, поэтому его
следует понять. Очевидно, что он зависит от простой
тригонометрической формулы для произведения двух ко-
синусов и не требует ничего за пределами организации
вычислений в регулярной форме.
Упражнения
7.3.1. Преобразовать cos5 0 в эквивалентный ряд Фурье.
7.3.2. Преобразовать cos4 ОЦ-cos2 (Ц cos 0-j-l в эквивалентный
ряд Фурье.
7.4. Полиномиальная обработка в общем виде
Прервем на время основную тему, которую можно
было бы назвать «техникой алгебры», для того чтобы
рассмотреть обращение с полиномами, которое потребу-
ется далее в процессе расчета. Здесь мы снова увидим,
что рекурсивные методы предпочтительнее тех методов,
которые могут придти на ум в результате просмотра
обычных математических курсов. Обычно такие курсы
132
концентрируют внимание больше на идеях и в минималь-
ной степени на операциях, реализующих их. Ясно, что
необходимо понять суть того, что мы делаем, прежде
чем изучать путь выполнения, поэтому не будем приди-
раться к математическим курсам, говоря, что они прене-
брегают техникой алгебры. Теперь мы не могли не об-
ратить внимание на эту ситуацию, приступая к выпол-
нению обширных манипуляций с символами. Мы будем
излагать содержание применительно к двум случаям:
для расчетов на ЭВМ и для небольших расчетов, вы-
полняемых вручную.
Например, как выполнить некоторые алгебраические
преобразования, необходимые в предыдущем расчете.
Мы начали с выражения
[1+/]р[1—ф
и получили полином относительно t. Давайте предполо-
жим, что p^q. Сравнительно легко трактовать и проти-
воположный случай. Запишем q=p + k (.fe^O), отсюда
имеем
[1—/2]р[1—ф.
Выражение с первой квадратной скобкой можно раз-
ложить с помощью стандартного биномиального про-
цесса, чтобы получить ряд по степеням I2. Отметим, что
а) если рассматривать его как полином по t, то через
один член идет нуль; б) при обычном процессе биноми-
альные коэффициенты вычисляются рекурсивно; и
в) появление нуля указывает на конец рекурсии. Макси-
мальный биномиальный коэффициент находится в се-
редине бинома, но это относится к индексу р, а мы име-
ем разложение относительно t вплоть до степеней 2р.
Чтобы умножить это разложение на (1—Z), нужно толь-
ко переписать ряд коэффициентов, сдвинув его на один
шаг вправо, и затем вычесть его из первоначальных ко-
эффициентов. Первый шаг просто комбинирует ненуле-
вые числа с нулями и фактически не производит ариф-
метических операций, а только подготавливает к рекур-
сии. Процесс сдвига ряда коэффициентов на один шаг
вправо и последующее вычитание следует проделать
точно k раз, чтобы учесть йножитель (1—t)h. Это мож-
но сделать «с замещением» на ЭВМ.
Для интегрирования результирующего полинома сле-
дует просто поделить k-н коэффициент на й-f-l (и, ко-
нечно, увеличить в уме степень t, которую он представ-
133
ляет). Оценка этого полинома при /=—1 состоит из про-
стого сложения коэффициентов с переменным знаком и
определения постоянной интегрирования С, которая нуж-
на, чтобы сделать интеграл равным нулю при /=—1.
До сих пор можно было использовать любой (нену-
левой) множитель для полинома, какой мы хотели, по-
скольку окончательная нормализация устранит этот
множитель и приведет значение полинома к 1 при 1=1.
Теперь, когда имеется постоянный член, можно оце-
нить полином при t=l. Чтобы это сделать, просумми-
руем все коэффициенты. И наконец, при делении всех
коэффициентов на это число, интеграл нормализуется
так, что он приобретет значение 1 при £=1. Таким об-
разом будет получена передаточная функция в форме
полинома.
Мы снова убедились, что простая организация вы-
числений, основанная на рекурсивных методах, делает
практичными алгебраические вычисления как на маши-
не, так и вручную.
7.5. Расчет гладкого фильтра
Допустим, что мы хотим рассчитать гладкий фильтр,
который пропускает нижнюю треть интервала Найкви-
ста, т. е. до л/3, и подавляет частоты в верхней трети.
При переходе к координате t граница у фильтра будет
на cos (л/3)=£=1/2. Поэтому нужно выбрать р и q
такими, чтобы (по крайней мере приблизительно)
Два варианта значений р = 3, q=l и р=6,
<7=2 различаются крутизной ската характеристики филь-
тра, поэтому рассмотрим только первый вариант (почти
тривиальный|).
Начальный полином имеет вид
(Ж)’(1-0=(1-*2)(Ж)2-
Степени t -» 1 t t2 t3 t* t‘
1-/2= 1 0—1
1 0—1
(1 - t3) (1 + t) = i i —1 — 1
1 1—1 —1
(1 — t3) (1 4- 7)2 = 1 2 0—2 — 1
134
Интегрируем -» C 1 1
Вводим фиксированную по-
стоянную -»-jo* [3 10 10
Масштабируем -jg- [3 10 10
0 —5 —2)
0 —5 —2)
Эти коэффициенты являются коэффициентами
в разложении по cos(2nf). Для исключения дробей при
переходе к коэффициентам разложения Фурье запишем
полином несколько иначе (умножим и поделим на 24=
= 16):
(1/16)2 [48 160 160 0 —80 —32].
Процесс перехода от bh к коэффициентам Фурье ад сле-
дующий:
—80 —32
— 16 —80 —16
0
— 16 =80 —16
” —40 = —40 — 8
160 —16
120 =24 =40 =8
160 =20 =4 =20 —4
— 12 120 —12
Г48 100 =16 =20 —4
48 148 =10 =~2 —10 —2
50 —8 50 —8
98 140 40 =10 =10 =Г
Следовательно, фильтр имеет вид
(4-у [-1 -5 -5 20 70 98 70 20 -5 -5 -1]
I 10 J * 1 J.
В результате получаем монотонный фильтр, показанный
на рис. 7.5.1.
7.6. Гладкие полосовые фильтры
Для распространения изложенных идей на полосовой
фильтр нужно только начать с другой исходной функ-
ции. Снова потребуем, чтобы на обоих концах полосы
пропускания были нули и, в дополнение к этому, чтобы
135'
в ее середине был нуль нечетного порядка. Поэтому
начнем с полинома в форме (рис. 7.6.1,а)
(Ж)р0'-4)2'7+1(/-1)г,
где значение to пока еще не найдено. Выбор показате-
лей степени ясен, если учесть, что риг оказывают
влияние на выбор положения полосы пропускания,
a 2q+1 определяет пологость характеристики в полосе
пропускания.
Далее, разложим этот полином, используя сначала
биномиальное разложение для среднего члена, чтобы
получить полином относительно t0. Очевидно, что для
выполнения всех арифметических операций потребуется
применить ЭВМ. Каждый коэффициент представляет со-
бой полином от t и, используя методы, подобные пока-
занным в предыдущем разделе, можно представить каж-
дый коэффициент для to как полином от t.
Интегрирование этого полинома от —1 до t покажет,
что интеграл обычно не равен нулю при ^=1 для наше-
го начального выбора to (см. рис. 7.6.1,6). Каждый из
коэффициентов при степенях to можно вычислить при
/=1, и тогда будет получен полином относительно to
с числовыми коэффициентами. Для нахождения просто-
го нуля при to и такого, что интеграл будет равен нулю
при /=1, можно применить метод бисекции или метод
Ньютона. После нахождения этого t0 получим полный
136
полином, за исключением того, что его еще нужно нор-
мализовать таким образом, чтобы при значении t0 он
имел значение 1 (рис. 7.6.1,в).
Если имеется t0 и произведена нормализация, то
процесс расчета фильтра остается почти таким же, как
и раньше. Преобразование в форму ряда Фурье и затем
в окончательный цифровой фильтр состоит из тех же
операций, которые использовались ранее. Ясно, что эти
расчеты лучше выполнять на ЭВМ и что необходимое
программирование будет рекурсивным и непродолжи-
тельным. Фактическое расходование машинного времени
будет также небольшим.
Глава 8
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ
8.1. Введение
Ряд Фурье полезен при обращении с периодическими функция-
ми и функциями с ограниченным интервалом изменения независи-
мых переменных (поскольку этот ограниченный интервал может
быть расширен на всю ось путем периодического продолжения
функции). Однако периодические функции сравнительно редки на
практике и для рассмотрения большинства применений цифрового
фильтра необходим более общий класс функций. Эта ситуация,
в свою очередь, требует создания более общего математического
аппарата для обращения с непериодическими функциями, а именно,
интеграла Фурье. Простым примером непериодической функции,
компоненты которой являются периодическими, может служить
у = cos t + cos К2 t.
Поскольку 1 и 2 несоизмеримы, то функция никоим образом не мо-
жет точно повторить себя сколько бы мы ни продолжали перемен-
ную t.
Формальное определение интеграла Фурье для представления
g(t) есть
00
g(l)= J-G (f)
—ОО
Очевидно, что в интеграле Фурье содержится несчетное количе-
ство частот н единственная из них соответствует каждому дей-
ствительному числу f.
137
На практике обычно имеют дело с частотами в некотором диа-
пазоне, так как (см. гл. 2) в процессе дискретизации с равноот-
стоящими отсчетами возникает эффект, который можно рассматри-
вать как наложение каждой частоты вне интервала Найквиста на
частоту, лежащую внутри этого интервала. Такие функции назы-
ваются ограниченными по полосе, потому что для практических це-
лей все их частоты лежат внутри полосы, при которой имеются, как
правило, по крайней мере, два отсчета на самой высокой частоте.
Физические примеры непрерывных функций, которые являются почти
ограниченными по полосе, банальны. Например, типовая высоко-
качественная звуковоспроизводящая система имеет частоту среза
на нижнем конце диапазона от нескольких десятков до, возможно,
сотен герц, а на верхнем конце частота среза может быть до
20 000 Гц.
Единственная цель этой главы состоит в том, чтобы проложить
математический мост между исходной непрерывной функцией, ко-
торую мы обычно имеем в виду, и дискретизированной функцией,
с которой должны иметь дело, когда используем цифровой фильтр.
Необходимо также знать, как осуществляется переход от дискре-
тизированной функции с ограниченной полосой обратно к исходной
непрерывной функции и как интерполируется функция между за-
данными равномерно распределенными отсчетами. По этим причи-
нам нам нужно вспомнить известную, теорему отсчетов.
И, наконец, в этой главе будет исследован эффект от выре-
зания конечного куска непрерывной функции из функции, которая
потенциально имеет неограниченную длину, и будут рассмотрены
различные пути использования окон для уменьшения этого эффекта.
8.2. Краткое изложение результатов
В этом разделе кратко излагается содержание на-
стоящей главы, и в нем мы не пытаемся строго доказы-
вать результаты, поскольку строгие доказательства уве-
ли бы глубоко в математические подробности и затемни-
ли бы суть дела.
Сначала покажем, что для любой приемлемой функ-
ции g(t) имеется представление в форме интеграла
Фурье
g(t) =
—СО
где
G(f)= ]g(t)e~2Ti,tdt.
—оо
Эти формулы иногда называют формулами преобразо-
вания Фурье. По аналогии с рядом Фурье, из которого
мы получили интеграл Фурье, здесь фигурирует функция
плотности G(f), тесно связанная с с& в комплексной
138
форме ряда Фурье (разд. 5.4). Плотность G(f), умно-
женная на интервал ДД дает величину в измеряемых
единицах. Функция G(f) называется преобразованием
от g(t). Мы будем обычно употреблять малые буквы во
временной области и соответствующие им большие бук-
вы в частотной области. Как можно заметить, различие
(в f-обозначении, но не в to) двух уравнений состоит
только в том, что одно имеет —i вместо I.
Наложение играет фундаментальную роль в процес-
се дискретизации. Прежнее обсуждение наложения
в связи с рядом Фурье (разд. 2.2) никоим образом не зави-
село от дискретного характера наблюдаемых в этом ря-
де частот, и поэтому все сказанное относится также
и к непрерывному диапазону частот, используемому
в интеграле Фурье. Если частоты ограничены в симме-
тричной полосе шириной 2F относительно начала от-
счета, —EsCfsgJ7, и . дискретизация осуществляется
с интервалом Д/ между отсчетами, то имеем важное
соотношение 2ЕД(<1 как необходимое условие для
исключения наложения (необходимо именно неравен-
ство, чтобы исключить теоретически неудобные конечные
частоты, с которыми тем не менее легко справиться на
практике). Максимальный интервал дискретизации \I2F
связан с частотой свертывания или частотой Найквиста.
Обычный путь толкования этого соотношения, как и
прежде, состоит в утверждении, что необходимо иметь
для исключения наложения, по крайней мере, два отсче-
та на самой высокой имеющейся частоте.
Упражнения
8.1.1. Записать интеграл Фурье с использованием угловой ча-
стоты. Как следует поступить с коэффициентом 2л?
8.1.2. Какова частота свертывания, если имеется 100 отсчетов
в секунду?
8.3. Теорема отсчетов
Возникает естественный вопрос: «Можно ли восста-
новить функцию с ограниченной! полосой по ее отсчетам
при условии, что мы наблюдаем только результат ди-
скретизации?» Фундаментальный результат, который
утверждает, что это возможно, называется теоремой от-
счетов. Эта теорема являётся.настолько важной, что ни-
же будут даны для нее два различных, почти строгих
доказательства с тем, чтобы сделать теорему более по-
нятной.
139
В качестве предпосылки давайте посмотрим на соот-
ветствующий результат при полиномиальной интерполя-
ции, поскольку интерполяция это то, что мы делаем
в теореме отсчетов. Из конечного числа дискретных от-
счетов попытаемся восстановить значение функции
с ограниченной полосой в любой заданной точке этой
функции. В случае полинома применяется формула
интерполяции Лагранжа. Ее стандартное написание име-
ет вид
л (/) = (/-/!) (/-/2) ... (/-/„),
где —произведение всех разностей за исключени-
ем k-й. Теперь рассмотрим выражение л&(/)/лДД). Это
отношение равно нулю во всех точках отсчетов t, за
исключением &-й, в которой оно точно равно 1. Если
понятно это свойство, то нетрудно увидеть, что функция
k=i
имеет значение g(k) в &-й точке и, следовательно, пред-
ставляет интерполирующий полином степени п—1, кото-
рый проходит через данные значения g(k).
Если использовать частотный подход вместо поли-
номиального, то придем к рассмотрению соответствую-
щей функции (для единичного интервала)
sin It (k — t)
r. (k — t) ’
которая для t=k принимает значение, равное единице,
а для всех других целых чисел равна нулю. Поэтому
формальное выражение
оо
к=—-л
очевидно, проходит через значения отсчетов g(k). Мы
говорим «формальное», потому что не знаем, будет ли
ряд сходиться в любой точке за исключением точек от-
счетов.
Исходная функция, из которой были получены отсче-
ты g(k), предполагалась ограниченной по полосе; явля-
ется ли указанная выше функция g(t) также ограничен-
ной по полосе? Легко показать, что это так, непосредст-
НО
венным интегрированием. Возьмем интервал между от-
счетами равным единице, тогда особая функция с огра-
ниченной полосой, которая равна единице в полосе от
—1/2 до 1/2 и нулю — вне этой полосы, определяется вы-
ражением
1/2 .. .,
I’ s’11' —е nlt sinit/
6 ---ДД----=
-i/2
Следовательно, функция в правой части этого равенства
ограничена по полосе. Смещение независимой перемен-
ной t на постоянную величину k не изменяет частот
в этой функции и можно сделать вывод (из свойства
ограниченности полосы отдельных членов формальной
суммы), что сама сумма ограничена по полосе. Это на-
ше первое, скорее формальное доказательство теоремы
отсчетов; из отсчетов g(k) функции, ограниченной по по-
лосе, можно восстановить исходную функцию. Конеч-
но, требуется уделить некоторое внимание доказатель-
ству единственности этой функции.
По аналогии со спектром мощности в ряде Фурье мы
имеем величину |G(f) \2=G(f)G(f) в качестве спектра
мощности в теории интегралов Фурье. Часто слово «мощ-
ность» опускается, и эту величину просто называют
спектром.
Для того, чтобы получить представление, что же та-
кое интеграл Фурье, примем вольную аналогию для
g(t) в виде светового луча. Преобразователь, подобный
стеклянной призме, разлагает функцию на составляю-
щие ее частоты f, каждую с интенсивностью G(f).
В оптике различные частоты называются цветами; с по-
мощью интеграла Фурье мы получаем цветной спектр
поступающего сигнала. Если бы на входе была всего
одна частота, то мы бы получили спектральную линию.
Конечно, на практике абсолютно чистая спектральная
линия не встречается, но некоторые оказываются на-
столько близкими к одной частоте, что разница между
ними не имеет значения.
К сожалению, если функция g(t) не стремится к ну-
лю, когда |/| стремится к бесконечности, то в матема-
тическом смысле преобразование G(f) не существует.
Это обстоятельство вызывает неудобство, например,
в банальном случае
g (/) =cos (Оо/
141
и, особенно, для шо=О*>. Это затруднение служит явным
предупреждением о том, что используемая модель нере-
альна в следующем смысле. Заменим для приемлемо
больших Т функцию g(t) на
„ ff)=:[C0S0V’
I о, 1\>т
и произведем необходимые выкладки (включая допол-
нительные подробности благодаря концам интервала).
Если скачки на концах мешают, можно пропустить
gi(t) через свертывающее окно Ланцоша и получить
новую функцию gz(t), которая будет непрерывной и,
следовательно, будет иметь более быстро сходящийся
ряд Фурье. Это значит, что за любую степень сглажен-
ности на концах интервала нужно расплачиваться уве-
личением количества минипуляций при обработке
функции. Теперь возможно выполнить процесс преобра-
зования для произвольного Т. Если, полагая Т-^оо, мы
получим странные результаты, то для их объяснения
необходимо учитывать следующее. Ограниченные по
времени функции имеют конечную энергию. Тот факт,
что их энергия становится бесконечной, когда Т станет
бесконечным, указывает на идеалистическую природу
модели, созданной для описания физической реальности.
Чистая синусоида, продолжающаяся неограниченно дол-
го, нереальна, а некоторая усеченная должным образом
функция должна почти во всех случаях рассматривать-
ся как практически возможная.
В оставшейся части главы просто приводятся некото-
рые подробности предыдущего описания в общих чер-
тах, и в ней, как уже отмечалось, мы не стремимся быть
слишком строгими. Далее будем предполагать, что функ-
ции, используемые для представления исследуемой за-
дачи, достаточно «хорошо себя ведут», и поэтому на них
могут накладываться любые специальные ограничения
на класс функций, к которым применяются результаты
и исключаются «патологические случаи». Предполага-
*> Эта трудность в ряде случаев снимается, если использовать
для записи спектра обобщенные функции. Так, в приведенном при-
мере
G(f) = 4-[« (f-f«) + 8(f + (<,)].
где 6 (f) — дельта-функция. При ыо=0 G(f)=6(f). (Прим, ред.)
142
ется, что те читатели, у которых опыт работы с ком-
плексными числами недостаточен, просмотрят этот раз-
дел математики, прежде чем идти дальше, в противном
случае дальнейшее рассмотрение будет для них неясным
из-за неумения производить элементарные математиче-
ские преобразования.
8.4. Интеграл Фурье
Теперь получим интеграл Фурье из ряда Фурье.
Пусть дай ряд Фурье периодической функции на интер-
вале —N<t-^N (разд. 5.4). Используя комплексную
форму, можно вычислить коэффициент сь и получить
g((')e“('f/W) kt'df
—N
kt 1
e IN
Для того, чтобы перейти к аппроксимации непериоди-
ческих функций, допустим, что интервал все больше и
больше увеличивается, т. е. устремим N-+<x>. В пределе
функция не будет больше периодической, поскольку
интервал периодичности включает всю ось.
Посмотрим, что происходит, когда (V->oo; для этого
положим l/2N=Af, и, следовательно,
Тогда наше уравнение принимает вид (fe=2^s)
£(0 =
g(t')e~21cifkt'dt'
Нетрудно увидеть, что когда N растет все больше и боль-
ше, последовательные fk в сумме приближаются все бли-
же одна к другой, экспоненты укладываются все плот-
нее и сумма приближается к интегралу. Допустимо пред-
положить, что в пределе сумма переходит в интеграл,
при условии, что функция g(t) ведет себя достаточно
хорошо. В пределе уравнение приобретает вид
g(t) =
^g(t')e^ift'dt'
^!!,df.
143
Чтобы получить интеграл Фурье в обычной форме, поло-
жим
G(f) = J g(t’)e~2Ki,t'dt'
и будем иметь
g(t)=
—ОО
Использование циклической частоты /, а не угловой <о
дает удобное симметричное представление без дополни-
тельных числовых коэффициентов. Говорят, что функция
G(f) есть преобразование Фурье от функции g(t). Две
функции имеют одна с другой почти точно одинаковую
взаимосвязь; отличие состоит лишь в том, что в экспо-
ненте одного интеграла имеется i, а у другого — i. Обе
функции содержат одинаковую информацию в том смыс-
ле, что каждая может быть найдена из другой, но
информацию они представляют в существенно разных
формах. В этом заключается сила этих альтернативных
форм, которые делают преобразование Фурье таким по-
лезным для понимания процессов, происходящих во мно-
гих ситуациях.
8.5. Некоторые пары преобразований
Важность взаимосвязи между двумя функциями g(t)
и G(f) делает полезным создание таблиц преобразова-
ний. Такие таблицы широко применяются. Для наших
ближайших целей будут необходимы только несколько
примеров таких взаимосвязей, которые мы выведем. Бо-
лее обширное развитие идей по интегралу Фурье предо-
ставим книгам, специализирующимся по этому вопросу.
Наш первый пример преобразования Фурье относится
к функции с ограниченной полосой и единичной пло-
щадью (рис. 8.5.1,а)
G(f) = W для
О, для |f|>fc.
Вычислим интеграл для g(t) и так же, как в разд. 8.3,
получим
-ОО -fc
2ulft —MfJ , „ .
__ e c — e c 1 sin 2nf ct
2/ 2fcnt 2nfct •
Эта функция хорошо известна в теории и характер ее
поведения в начале координат можно получить путем’
разложения в степенной ряд
sin2jrfci _ (2nfct)2 I (2nfcf)*
2nf/ 1 3! ' 5!
На рис. 8.5.1,6 приведен график этой функции. Основной
лепесток располагается от — l/(2fc) до l/(2fc); за его
пределами функция колеблется с постоянной частотой,.
2fB
Рис. 8.5.1.
в то время как амплитуда постепенно затухает подобно-
1/Z. Чем больше fc, тем уже основной пик и остальные
лепестки.
Наш второй пример преобразования Фурье фактиче-
ски относится к взаимосвязи между преобразованиями
Фурье. Допустим, что уже известна пара преобразова-
ний Фурье g\(t) и Gi(f), т, е. известно
gdt)= J G1([)e2niftdf.
—СО
144
10—540
145-
Теперь можно задать вопрос: «Какая функция g2(t) соот-
ветствует G, (f) е2”'^?» Из определения следует, что
^(0= J [СЛПе2"1^] e™ftdf = G,(f)^if(v+t> df.
Очевидно, y + t играет роль t в первоначальной функции,
так что
gz (t) =gi(y +1).
Эффект экспоненциального множителя соответствует
•сдвигу аргумента преобразуемой функции. Этот резуль-
тат часто называют теоремой сдвига.
^Упражнения
8.5.1. Найти преобразование Фурье для функции
8.5.2. Найти преобразование Фурье для е—
8.6. Функции с ограниченной полосой и теорема
отсчетов
Учитывая важность теоремы отсчетов при вычисле-
ниях, в этом разделе будет представлено второе, не-
сколько более строгое ее доказательство. По-прежнему
мы исключаем «патологические» функции и не требуем
чрезмерной строгости.
Основная идея теоремы отсчетов состоит в том, что
функцию g(t) с ограниченной полосой, простирающуюся
от t=—оо до /=оо, дискретизуют, беря отсчеты в рав-
номерно распределенных точках с таким расстоянием
между ними, чтобы на цикл наивысшей имеющейся ча-
стоты приходилось, по крайней мере, два отсчета. Как
уже отмечалось, требование ограниченности полосы
у рассматриваемых функций соответствует во многих
ситуациях естественным физическим ограничениям. Во
всяком случае это ограничение тяготеет над нами, когда
берутся отсчеты от функции, поскольку чрезмерно эко-
номная дискретизация приводит к наложению более вы-
соких частот на частоты в полосе Найквиста. Однако сло-
во предостережения: используемая математическая мо-
дель утверждает, что если сигнал ограничен по полосе,
то он не может быть ограниченным по времени и, нао-
борот, если он ограничен по времени, то он не может
быть ограниченным по полосе. На практике никакой сиг-
146
нал не может продолжаться вечно и поэтому в матема-
тической модели он не может быть ограничен по поло-
се. Очевидно, что математическую модель не следует
понимать уже слишком буквально, когда результаты
применяют к реальному миру; она является полезной,,
но не обязательной.
Рис. 8.6.1.
Для вывода теоремы отсчетов предположим, что за-
дана функция G(f) с ограниченной полосой, которая
равна нулю для |f | >fc. Первый шаг при выводе состоит
в замене этой функции периодической функцией (чтобы
использовать теорию ряда Фурье), которая совпадает
с G(f) в этой полосе; следовательно, мы определяем
функцию Gi(f), которая совпадает с G(f) внутри интер-
вала |f|<fc и является периодической вне его, как по-
казано на рис. 8.6.1.
Используя интеграл Фурье, получим
G(f)= ]g(t)^iltdt.
Поскольку G(f) ограничена по полосе и в этой полосе
мы имеем G(f)=Gi(f), то
g(t)= jG(f)e2’l‘'ffdf = ^G(f)e2^ldf = Gt(f)e2nlftdf.
—00 — —f
I C I c
Для Gi(f), поскольку она сделана периодической, полу-
чаем разложение в ряд Фурье
G>(f)= 2 c*e ’
k=—oo
147
где
Г0
1 (' H\ ~ <’U‘W kf Jf
c^2fJ df.
C -л
Но из уравнения для g(t) этот интеграл такой же, как
„ — 1 f—k\
Для того чтобы «вырезать» исходную функцию G(/) из
новой функции Gi(f), умножим Gi(f) на прямоугольную
функцию 2fcP(f), где (см. рис. 8.5.1)
P(f)=/2f7 ДЛЯ
1-0 для f|>fc.
Ранее уже было показано, что преобразование от
P(f) есть ограниченная по полосе функция
Таким образом, G(f)=Gi(f)P(f)2fc. Подставим в Gi(f)
-и си только что полученные результаты
«(/)= j
k~—a>
Следующий шаг состоит в трансформации этих ре-
зультатов обратно во временную область с помощью
преобразования Фурье и применения теоремы сдвига
g(t)= J G(f)e2niftdf =
k=—00 —oo
— VI p- ( si*1 (f 4~
Zj й <2fc J 2nfe (t + k/2fc)
Заменяя обозначение индекса суммирования k на —k,
получим теорему отсчетов
ГН— V „ / fe \ siting—fe)
2j £(2fJ n(2^-fe) •
fe=—00
На самой частоте свертывания невозможно восста-
новить функцию из отсчетов, потому что для единич-
ного интервала между отсчетами функция g(t) =
=sinn/ тождественно равна нулю во всех отсчетных
точках и, следовательно, теорема отсчетов будет давать
функцию, тождественно равную нулю. Таким образом,
не вдаваясь в математические подробности, необходимо
иметь более двух отсчетов на период для самой высокой
имеющейся частоты.
8.7. Теорема свертки
Для наших целей, возможно, наиболее важной теоре-
мой в теории интегралов Фурье (после формул преобра-
зования) является теорема свертки, которая соответст-
вует прежним теоремам свертки для рядов Фурье
(разд. 5.5). Допустим, что имеются две функции gi(Z) и
g2(t)- Свертка h(t) от gi(t) с g2(t) определяется как
00
A(0= $gl(S)g2(^ — S)dS-
—oo
(отметим, что она отличается от прежнего определения
в разд. 5.5, где предполагалась периодичность этих
функций). Переменной интегрирования является s; рас-
сматривая переменную t как фиксированную при инте-
грировании, изменим переменную интегрирования t—s=
=s'. При этом свертка становится
00
й(/) = —s')g2(s')ds'-
—oo
Поэтому (как и прежде) свертка gi(t) с g2<t) будет
той же самой, что и свертка gz(t) с gift).
Естественно спросить: «А что же такое преобразо-
вание Фурье от свертки?» По' определению, преобразо-
вание Фурье от h(t) есть
—00
(-148
149
Подстановка для h(t) дает
H(f)=
= Jg^)^l^(f)ds = Gi(f)G2(n.
—co
Таким образом, мы получили важный вывод, что пре-
образование Фурье от свертки двух функций есть про-
изведение их преобразований Фурье.
Предыдущий результат был показан во временной
области, но благодаря симметрии преобразований он
одинаково применим и в частотной области.
Иногда представляет интерес свертка функции самой
с собой. Мы имеем
Л(/) = ^g(s)g(t — s)ds.
—оо
Дважды применяя преобразование Фурье [для g(s) и
g(t—$)], получим
h{t) = J G2 (f)e2’‘ftdf,
а для / = 0 имеем
Л(0) = J g(s)g(—s)ds = ^G2(f)df.
—ОО —оо
Записанное в форме**
—со —оо
оно известно как теорема Парсеваля.
*> Прямой переход здесь невозможен, так как g(s)g(—s)=^
=#|д(з)|2 и G2(f)=/=|G(f) |2. Для получения равенства Парсеваля
необходимо рассмотреть автокорреляционную функцию сигнала,
от
определяемую интегралом Jg(s)g(s—t) ds. (Прим. ред.).
150
Упражнения
8.7.1. Сделать подробный вывод второй формы теоремы
свертки.
8.7.2. Сделать подробный вывод теоремы Парсеваля.
8.8. Эффект конечного размера выборки
Очень часто функция времени g(t) может рассматри-
ваться как неограниченно долгий (по времени) сигнал.
По необходимости приходится брать выборку конечной
длины. Так например, в астрономии можно наблюдать
пульсар или переменную Цефеиду только в течение ко-
нечного интервала времени. Как выражается это огра-
ничение на исходном сигнале? Можно считать эквива-
лентом такого ограничения умножение сигнала во вре-
мени на прямоугольный импульс единичной высоты
2Tp(t) (который представляет собой умножающее окно),
где
p(t)=l2T'
’О, \t\>T.
Этот импульс также известен как «прямоугольная функ-
ция», «стробирующая функция» и «вырезающая функ-
ция». Поэтому то, что мы видим, есть не g(t), a g^t),
определяемая как (см. разд. 8.5)
gi(t)=2Tg(t)p(t).
Преобразование Фурье в соответствии с теоремой сверт-
ки будет
00
G, (f) = 2Т J С(Д) d-h,
—со
где fi — произвольное обозначение переменной интегри-
рования.
Таким образом, преобразование наблюдаемого сигна-
ла есть свертка истинного преобразования G(fi) со свер-
тывающим окном (fi — переменная)
sin 2пТ (ft — f)
2п7’(b-f) •
В случае, когда исходный сигнал представляет собою
одну частоту (пик или линия в спектре), эта спектраль-
ная линия свертывается с приведенной функцией и в ре-
зультате мы увидим ту же самую функцию; явление
151
Гиббса будет выступать в несколько новой форме. Это
обычная sinf/f функция с амплитудой основного лепест-
ка 2Т и его полушириной (до первого нуля) 1/2Т.
Если вместо одной линии имеется много линий в спек-
тре и каждая размыта с помощью функции типа sinf/f,
то в пределе от непрерывного спектра будет получен
упомянутый выше интеграл свертки. В оптической ана-
логии, использованной ранее, это размывание соответст-
вует представлению о степени разрешения — чем боль-
ше времени наблюдается сигнал, тем лучше можно раз-
личить (разделить) соседние спектральные линии. Хотя
интуитивно ясно, что нечто подобное может произойти,
мы показали действительную зависимость от Т, где 2Г
есть длина интервала наблюдения. Таким образом, те-
перь можно понять, что присходит с функцией, когда от
нее отрезается кусок для детального рассмотрения. Дли-
ну выборки ограничивают так, чтобы из нее можно было
надеяться получить все необходимые сведения.
При наличии в спектре близко расположенных двух
линий или других особенностей и в том случае, если
серия наблюдения недостаточно протяженная, сверты-
вающее окно не даст возможности отличить спектр от
одной линии. Чем ближе две линии одна к другой, тем
большей длины должен быть интервал наблюдения, если
мы хотим эти линии различить. В некотором смысле эта
ситуация подобна двум состязающимся упряжкам лоша-
дей. Чем ближе эти упряжки по своим возможностям,
тем дольше необходимо их наблюдать, чтобы решить,
какая из них лучше.
Этот эффект «вырезания» сегмента из непрерывной
функции, соответствующий свертыванию преобразования
этой функции с
от sin21t7~ (fi — f)
2пГ (f, - f) >
следует сравнить с прежним «вырезанием» 2W+1 чле-
нов из ряда Фурье в разд. 5.5, где мы получили соот-
ветствующую свертывающую функцию
sin (N + У2)*
п\Ч— Sin (//2)
и модифицированное окно
, sin Art cos (//2)
nV>— sin (</2)
Сравнение (учитывая тот тривиальный факт, что один
результат относится к переменной в частотной области,
а другой — во временной) показывает взаимосвязь не-
прерывной модели исходного сигнала и дискретизован-
ной модели, практически используемой при обработке
данных.
8.9. Окна
Теперь, когда мы имеем формальный аппарат инте-
грала Фурье, сущность окон стала несколько яснее.
В области непрерывных функций (и не только переда-
точных функций) теорема свертки показывает, что про-
исходит с исходными непрерывными функциями, кото-
рые мы имеем в виду; имеются также дискретно-не-
прерывные теоремы свертки, которые говорят, что
происходит в действительности, если их применяют
к дискретным выборкам от функции. Для обоих случаев
применение окон в одной области соответствует умно-
жению на преобразование окна, дискретного или непре-
рывного, в другой области. Это неизбежно, и мы ничего
не можем с этим поделать. Вырезание выборки из не-
ограниченно длинной функции есть процесс умножения
на окно. Теория окон говорит, что ожидать и что делать,
помимо использования прямоугольного окна, если необ-
ходимо уменьшить эффекты от разрывов функции.
Применение формы окна, подобной приподнятому ко-
синусу из разд. 5.9, имеет аналогичный результат в тео-
рии интегралов Фурье. Преобразование Фурье от
(1 + cos пЦТ । , । -т
Л(0={ 2 ’ ! ’
I о, |/|>Т
есть
H(f)=^ yl+eo^/7- ^tdt =
—Г
= j [е”'/г + 2 + &-м'т =
—т
1 sin 2rJ' (f— 1/27") । 1 sin 2nfT
4 2пГ (f — 1 /27) । 2 2nfT
152
153
, 1 sin 2nT (f+ 1/2Г) _ 1 sin 2n (fT— 1/2) ,
*“ 4 2n7(f+l/27’) 4 2r.(fT- 1/2) j I"
। 1 sin 2nfT . 1 sin 2л (fZ1 4- 1/2)
' 2 2л/7 4“ 2л (fT + 1/2) >
которое может быть преобразовано разложением сину-
сов сумм в числителях первого и третьего слагаемых
(sin л=0, cos л=—1)
__ 1 Sin2nf7- |~ 1 I 2______ 1 1
4 л j 2fT — 1 ~ 2fT 2f74- 1 J’
Дополнительные алгебраические преобразования дают
результат, аналогичный результату, полученному
в разд. 5.9
И({.__ 1 sin2nfT г 1 1
n\D— 2 2nfT [ 1 — (2/У)2
Окно Хемминга для непрерывного случая можно по-
лучить методом, аналогичным изложенному в разд. 5.10.
Дополнительно отметим, что операции сглаживания и
дискретизации можно менять местами (если не учиты-
вать концевые эффекты), а это позволяет сделать вывод
о том, что соответствующий непрерывный случай будет
иметь необходимую форму окна. Из рис. 5.10.1 видно,
что значения весов в предельном случае, как и следо-
вало ожидать, приближаются к значениям в непрерыв-
ном случае: 0,23; 0,54; 0,23.
Глава 9
ОКНА КАЙЗЕРА И ОПТИМИЗАЦИЯ
9.1. Окна
Цель этой главы состоит в усовершенствовании ме-
тодов расчета нерекурсивных фильтров, рассмотренных
в гл. 7. Однако прежде чем двигаться дальше, оглянем-
ся на пройденное для того, чтобы выяснить, что необхо-
димо делать. Начнем с цифровых фильтров, которые
представляют собой линейные комбинации от данных.
Мы все еще будем рассматривать нерекурсивные филь-
154
тры, которые используют только исходные данные, а не
те значения, которые были вычислены из этих данных.
Кроме того, мы будем рассматривать симметричные
(четные) и кососимметричные (нечетные) фильтры,
а не общий случай с произвольными коэффициентами.
Если исходный сигнал есть x(t), то эта функция дискре-
тизуется и квантуется в равномерно распределенные
моменты времени. Таким образом рассматриваются рав-
ноотстоящие отсчеты данных хп и может наблюдаться
наложение, вызванное дискретизацией.
Отсчеты хп обрабатываются инвариантным во време-
ни фильтром в форме (коэффициенты ck не зависят
от н)
Й=ОО
Уп~ 3 ckXn-k-
k——CC
В общем случае в разложении Фурье может быть не-
ограниченное число членов, но на практике суммирова-
ние производится в конечных пределах
k=N
Уп~ 3 СЛ-4-
fe=—N
Из линейности системы следует, что собственная
функция
x(t) = A&ia,t = A&2Kift
образует выходной сигнал фильтра
~ „ 2-Klfn
yn=H(f)Ae
где fl(f) зависит от ck (и, конечно, от f). Поэтому, как
уже отмечалось, передаточная функция fl(f) представ-
ляет соответствующее собственное значение. Сумма та-
ких собственных функций
xn = ^AkC
fe=i .
даст соответствующую сумму, на выходе
АкН^)^‘\
/г=1
155
Теперь, когда имеется теория интеграла Фурье, нам
известно, что любая разумная функция g(t) может быть
представлена (разложение по частотам) в форме
g(t) = °faf)^iftdf.
—Oo
Здесь G(f) соответствует А в предыдущем выражении,
полученном на основе собственной функции, поэтому вы-
ход фильтра можно записать в виде
оо
gl(0= J//(f)G(f)e2^df.
—00
Для большинства типов нерекурсивных фильтров:
сглаживающих, заграждающих, пропускающих, полосо-
вых и интерполяционных, имеем
Передаточная функция для них
k=z—N
может быть также записана в виде
77(f) —со + 2 2 Ckcos2vfk.
Период передаточной функции равен интервалу Най-
квиста; она становится периодической из-за процесса
дискретизации с соответствующим наложением. Следо-
вательно, для практических целей передаточная функ-
ция имеет смысл только в интервале
2 ' 2 •
9.2. Обзор явления Гиббса и окно Ланцоша
Рассмотрим еще раз низкочастотный фильтр и его
передаточную функцию. В разд. 6.3 был найден для нее
ряд Фурье
H(f)=2fsAr2 sin 2nkfsj cos 2т. kf.
4=1
На практике этот ряд должен быть ограничен до конеч-
156
ного числа членов. Такой процесс эквивалентен умно-
жению членов ряда Фурье в комплексной форме на соот-
ветствующие члены последовательности (2W-pl ненуле-
вых членов)
0,0, 1,1, ..., 1, 0, 0.
В разд. 5.7 было показано, что такая операция эквива-
лентна свертке передаточной функции 77(f) с выраже-
нием (отметим, что мы изменили обозначение независи-
мой переменной t на 2nfi)
Ц7 (f 1 —sin?I + Ч В
*' sinn^!
Таким образом, передаточная функция, представленная
усеченным рядом Фурье, является сверткой идеальной
передаточной функции 77(fi) с этим отношением двух
синусов W(fi) (которое имеет вид постепенно затухаю-
щей синусоиды с главным лепестком в два раза шире,,
чем другие интервалы между нулями)
E,(f) = JW(f1)U7(f-f1)df1.
—□о
Рис. 9.2.1. Явление Гиббса
Представим себе эту свертку и для этого будем на-
блюдать, как хвост функции W (f4—f) приближается
к краю полосы рассматриваемого низкочастотного
фильтра на частоте —fs (рис. 9.2.1). Мы видим, что
157
-отношение двух синусоид интегрируется в просвете пря-
моугольной формы, т. е. берется интеграл от окна, умно-
женного на отношение синусоид. Когда свертка продви-
гается по интервалу, все большая и большая часть отно-
шения синусоид входит в прямоугольный импульс и,
когда в него вступает главный лепесток, происходит су-
щественное увеличение значения интеграла. Наконец,
при дальнейшем продвижении свертки благодаря перво-
му краю полосы происходит затухание пульсаций
в интеграле. Конечно, необходимо также учитывать и
второй край полосы фильтра на fs. Рисунок точно ото-
бражает явление Гиббса, которое предстает перед нами
в новом свете, Если вспомнить, что и отношение синусо-
ид, и форма исходного фильтра являются периодически-
ми, то получим полное и точное представление о том,
как появляется явление Гиббса в результате усечения
исходного ряда.
Напомним, что в разд. 5.3 было рассмотрено предло-
жение Ланцоша по уменьшению эффекта Гиббса из-за
усечения ряда. Он предложил производить свертку ис-
ходной прямоугольной функции с прямоугольным окном,
ширина которого подгоняется под длину' пульсаций
в колебаниях Гиббса. Было показано, что этот процесс
эквивалентен умножению коэффициентов ряда Фурье
на Сйгма-факторы, которое приводит к снижению вели-
чины пульсаций примерно в десять раз.
Было также показано, что двухкратное сглаживание
•Ланцоша эквивалентно применению треугольного окна
удвоенной ширины, которое приводит к квадрату сигма-
факторов, и что вследствие этого влияние самых высо-
ких частот становится еще меньше, но при этом одновре-
менно становится в два раза шире переходная полоса.
Нами были рассмотрены также окна фон Ганна и Хем-
минга.
Из этого перечисления следует, что в дальнейшем
необходимо заострить внимание на выборе формы окна
для применения при усечении ряда Фурье.
9.3. Окно Кайзера: окно /о—sh
Что требуется от окна? Нам хотелось бы, чтобы
и окно, и его преобразование были бы узкими. Но в дей-
ствительности такая ситуация невозможна. На какой
компромисс можно пойти? Известно, что в области не-
прерывной переменной вытянутые сфероидальные функ-
158
ции в некотором смысле максимально ограничены и по-
времени, и по частоте. Но мы находимся в дискретной
области коэффициентов Фурье и знаем, что имеется раз-
личие между этой и непрерывной областью. Аргументи-
руя тем, что различие между этими двумя случаями
практически невелико и что для выполнения задачи не-
обходима только хорошая аппроксимация, Дж. ф. Кай-
зер предложил использовать в качестве весов при коэф-
фициентах Фурье вместо сигма-факторов Ланцоша,
функцию
| /0[а V4! (fe/Ar)2] I t, I < Д7
w(k)=\ к® ’
I о, |/г|>М
где
П:=|
Отметим, что веса Кайзера имеют сходство с приподня-
тым косинусом на подставке Хемминга, поскольку на'
концах для ненулевых членов имеется значение w(N) =
= 1//о(а), в то время как в середине значение ш(0) = 1.
Таким образом, параметр а определяет высоту под-
ставки.
Веса Кайзера содержат два параметра: N, являю-
щийся половиной ширины окна (в котором удерживает-
ся 2А+1 комплексных коэффициентов Фурье), и а, опре-
деляющий «форму» окна, и в частности, величину пуль-
саций.
Можно показать, что преобразование от функции'
w(k), рассматриваемой теперь как непрерывная функ-
ция, есть
w = 2Afstl
где
Отметим, что эта функция есть sh, когда f<fa, но дла
f>fa она становится
2Wsin [<Х1]
a/o Г) — 1
и является синусоидальной с затухающей амплитудой
(из-за возрастания знаменателя) приблизительно как
l/f (рис. 9.3.1).
159
Рис. 9.3.1. Окно Кайзера
ff(f)
Рис. 9.3.2. Идеальный фильтр
В области преобразо-
вания W(f) свертывается
с идеальным фильтром
прямоугольной ’ формы;
следовательно, это сверт-
ка преобразования W(f),
^образующая пульсации
f в частотной области.
Максимально допусти-
мая величина пульсаций
в заграждающей и пропу-
скающей полосах обозна-
чается 6.
Численные значения
этой свертки были найде-
ны Кайзером. В табл. 9.3.1
приведены значения ве-
личины а, связанной с
максимальным выбросом,
как функции затухания А
(в децибелах); подробное
объяснение этих симво-
лов будет дано в следую-
щем примере. Отметим,
для будущих ссылок, что
для а=0 имеем чистый случай Гиббса, вообще без како-
го-либо окна, поскольку /о(О)=1. Значение а=5,4414
соответствует окну Хемминга, в то время как а=8,885—
окну Блекмана [3, с. 98]. В третьем столбце таблицы
указывается ширина окна D.
/+/
/
1-в-
Таблица 9.3.1
Эффективность окна /0—sh для равномерно
распределенных значений затухания
А, дБ а D А, дБ а D
25 1,333 1,187 65 6,204 3,973
30 2,117 1,536 70 6,755 4,321
35 2,783 1,884 75 7,306 4,669
40 3,395 2,232 80 7,857 5,017
45 3,975 2,580 85 8,408 5,366
50 4,551 2,928 90 8,959 5,714
55 5,102 3,276 95 9,501 6,062
60 5,653 3,625 100 10,061 6,410
160
Прежде чем окунуться в детали получения формул,
пройдемся сначала по этапам расчета фильтра.
Начнем с эскиза расчета идеального фильтра
(рис. 9.3.2), который мы хотели бы иметь. На рисунке
изображены приемлемая ширина AF переходной полосы
(полос) и 6, соответствующее половине размаха пуль-
саций, которые можно допустить.
Далее, вычислим затухание А в дБ
А=—20lg6.
Рис. 9.3.3. а в зависимости от затухания
Из затухания А найдем а для формирования окна
[потому что хвосты IT'(f) образуют пульсации в сверт-
ке]. Для этого используем эмпирическую формулу, ко-
торую Кайзер вывел, подбирая кривую для табл. 9.3.1
10,1102 (А — 8,7), А >50
а = 0,5842(А - 21 )°’4 + 0,07886 (А - 21), 21 < А< 50
10, А<21.
График Этой функции показан на рис. 9.3.3. На этом
рисунке видно, что величина выброса Гиббса 8,9% (за-
тухание 21 дБ) соответствует значению А=21.
И наконец, число членов ряда (2N + 1), которые удер-
живаются, даются формулой для N
ЛГ-Л-7,95
— 28,72ДК •
Эта формула показывает, что .V обратно пропорциональ-
но ширине переходной полосы AF. Затухание А зависит
от логарифма высоты пульсаций 6, поэтому значительно
легче при выборе числа членов в окончательном филь-
11—540 161
тре снизить величину пульсаций, чем су.»нп> переходную
полосу. Таким образом, мы нашли w(k) и для при-
менения окон при аппроксимации исходного ряда Фурье.
9.4. Вывод формул Кайзера
Вывод формул начнем с напоминания о том, что «ох-
ват» нерекурсивного фильтра из 2N | 1 членов равен 2/V
интервалов и для того, чтобы интервал Найквиста про-
стирался от'—1/2 до 1/2, используется нормализован-
ная частота. Нормализованная ширина переходной по-
лосы равна l\F.
Кайзер отметил, что для фиксированного ft произве-
дение ширины окна на ширину переходной зоны есть
величина примерно постоянная; она была определена
как £>-фактор
(3/V) (ДЛ)
Теперь необходимо найти формулу для N, которая даст
число членов в цифровом фильтре.
С помощью численного интегрирования функции ги-
перболического синуса Кайзер составил табл. 9.3.1. Пер-
вый положительный выброс дает затухание, а первое
пересечение в этой допустимой полосе дает AF/2 и, сле-
довательно, D. Из этой таблицы Кайзер гывел эмпири-
ческие формулы для а и Й. Формула для а приведена
выше, а для D она имеет вид
р-7,95 л^2.
<0,9222, Л <21.
Решение относительно /V дает формулу для искомого
числа членов
D Л —7,95
2&F 14,36 (2AF) *
9.5. Расчет полосового фильтра
Мы наметили решение задачи расчета применительно
к проектированию низкочастотного (или высокочастот-
ного) фильтра; аналогичные методы применимы и к по-
лосовым фильтрам, но с одним предостережением, кото-
рое будет указано позже.
162
Предположим, что необходимо рассчитать полосовой
фильтр, заданный так, как это показано на рис. 9.5.1.
Как обычно, разложим идеальную передаточную функ-
цию в ряд Фурье
W(f) = c0 + 2 2 cfecos2irfef,
fe=i
где Ch— коэффициенты цифрового фильтра, подлежащие
определению. Имеем для Ch
со=2 (fb—fa),
= [sin — sin
Для низкочастотного фильтра [а=0, а для высокоча-
стотного фильтра /ь=1/2.
Рис. 9.5.1. Полосовой фильтр
По заданному б вычислим затухание А, форму окна
айв заключение число членов N (равносильное введе-
нию в фильтр 2М+1 коэффициентов). В формуле, если
необходимо, N округляется. Затем оцениваем w(k) в N
точках с ш(0)=1, w (jV)=1 / /о(а), w(k)=w(—k) и ис-
пользуем произведение ChW(k) в качестве окончательных
коэффициентов фильтра.
Выполнив все это, проверяем формулу путем вычис-
ления ряда Фурье для передаточной функции. Мы обна-
ружим, что иногда передаточная функция имеет слиш-
ком большое б. Чтобы понять, почему это получается
в полосовом фильтре, напомним, что пульсации возника-
163
ют из-за хвостов преобразования формулы sh (или
sin), так как они свертываются на срезе идеального
фильтра. Поскольку имеются два среза в каждой полосе
(положительная и отрицательная частота), то в процес-
се свертывания окна с идеальной характеристикой филь-
тра хвостами создаются четыре пакета пульсаций. В худ-
шем случае эти пульсации могут объединяться и созда-
вать общие пульсации, увеличенные самое большее
в два раза, т. е. могут оказаться на 6 дБ больше, чем
мы рассчитали. Ясно, что этот эффект зависит от рас-
положения двух вертикальных скатов полосового филь-
тра, расстояния между положительной и отрицательной
частотными полосами и расположения пульсаций в функ-
ции окна (используемое <N). Если такая ошибка не мо-
жет быть допущена, то для того, чтобы создать запас
на этот эффект, можно пересчитать фильтр, начиная
с меньшего &.
9.6. Снова тот же дифференциатор
В разд. 6.4 был рассчитан дифференциатор, у кото-
рого для устранения шума в верхних 60% частотной
полосы частота среза располагалась, в идеальном слу-
чае, на /=0,2. Посмотрим, насколько хорошо решает эту
же задачу окно Кайзера.
С целью сравнения будем использовать число коэф-
фициентов, а не ширину переходной полосы (решение
для ширины переходной полосы через N не представляет
труда). .
Рисунки 9.6.1 и Э-.6.2 показывают передаточные функ-
ции для затуханий 30 и 50 дБ при W=5, 7, 10 членов.
Пологость на правом конце интервала Найквиста дости-
гается за счет расширения переходной полосы. Это име-
ет значение, если шум ограничивается верхней частью
интервала, однако если он присутствует во всей полосе,
Рис. 9.6.2. Частотная характеристика 50 дБ дифференцирующего
цифрового фильтра со сглаживанием
164
Рис. 9.6.1. Частотная характеристика 30 дБ дифференцирующего
цифрового фильтра со сглаживанием
Рис. 9.6.3. Частотная характеристика 30 дБ дифференцирующего
цифрового фильтра со сглаживанием
165
то задача становится довольно трудной. На рис. 9.6.3 да-
но другое сравнение фильтров для (V=5.
Для проверки этого фильтра на некотором массиве
данных применим тот же шум, что и в разд. 6.4, с тем,
чтобы можно было легко сравнивать результаты
(рис. 9.6.4 и 9.6.5).
9.7. Частный случай дифференцирования
Пример в этом разделе взят из ядерной физики и приводится
для того, чтобы дать представление о реальных задачах расчета
фильтров. Исходные данные получаются путем подсчета ядериых
событий, классифицированных в соответствии с энергией частиц,
и представляются в виде таблицы, показывающей, сколько частиц
имеют энергию в каждом из энергетических интервалов (равномер-
но расположенных). Сразу же видно, что такие данные должны
быть «зашумлены», поскольку от эксперимента к эксперименту по-
лучаются довольно разные количества событий в различных интер-
валах. К тому же можно ожидать, что хотя эксперимент и про-
водится практически достаточно долго, но все же не настолько,
как бы это хотелось. Кроме того, иа практике используются квад-
ратные корни из подсчетов, потому что для них будет равная дис-
персия в разных интервалах. Но не будем смущать читателя всеми
этими подробностями.
Если в добавление к этому основному шуму изучаемого про-
цесса еще принимается, что наиболее физически значимой величи-
ной является производная от чисел ядерных частиц, то все это
будет означать наличие весьма зашумленной ситуации, требующей
осторожности при обработке данных.
Для того, чтобы определить, где и как можно разделить сиг-
нал и шум, были приняты два этапа. Во-первых, был вычислен
спектр необработанных данных (см. разд. 10.7). Показано, что
этот спектр был существенно плоским после первых примерно 5%
частотного интервала. Во-вторых, была получена теоретическая фор-
166
ма данных и снова проанализирована с помощью программы спект-
рального анализа. Она также показала примерно ту же граничную
точку между сообщением и шумом. Почему мы чувствуем, что
плоский спектр включает в себя шум? Просто потому, что если
шумовой спектр спадает несколько медленнее, чем наложение, воз-
никающее из-за ограниченности интервала (свертывание спектра
назад и вперед), то обычно это приводит к равномерности на про-
тяжении всего спектра, в то время как сообщение в соответственно
рассчитанном эксперименте не будет иметь наложения.
Дифференцирующий фильтр поэтому был рассчитан так, чтобы
он имел линейный рост примерно от f=—'/40 до 'До в частотной
области и имел нуль на остальных частотах. Разложение Фурье,
естественно, было по синусам с дополнительным миожителем I
[который необходим, поскольку производная от ехр(2ш'Д) имеет
множитель 1]. Это разложение, изменяющееся в зависимости от
расположения конца интервала (таким образом можно уточнять эту
точку среза) служит затем основой для расчета. Для расчета окон-
чательного фильтра было применено окно Кайзера.
Отсчеты ядериых событий группировались по равновеликим
интервалам и в каждом из них регистрировалось общее количество.
Эта процедура не эквивалентна записи отсчетов функции. Число
отсчетов в интервале можно-представить себе, вообразив, что через
окно Ланцоша свертывается исходная функция и из результата
берутся отсчеты. Следовательно, группирование данных эквивалент-
но предварительному прохождению окна Ланцоша, и это должно
быть учтено при окончательной интерпретации.
Как установлено физиками, результаты получились удовлетво-
рительными (конечно, были бы желательны лучшие данные, но рас-
чет фильтра недовольства не вызывал). Имеется некоторый риск,
что при выборе частоты среза по одному набору данных не будет
обеспечена необходимая точность, однако при применении ее к не-
скольким наборам данных, полученным’ при различных условиях,
было понято влияние перемещения частоты среза.
Этот пример поясняет следующее. Во-первых, данные не обяза-
тельно должны быть временным рядом, они могут быть рядом рав-
номерно распределенных данных с некоторой другой переменной.
Во-вторых, используя предыдущие методы расчета фильтра, шум
почти всегда может быть успешно исключен из интервала, где он
не превосходит сигнал. Следовательно, фильтры применимы не
только к временному ряду, но также и к другим формам равно-
мерно распределенных данных.
9.8. Оптимизирующий расчет
До сих пор мы применяли простой расчетный критерий — бли-
зость (в некотором неспецифическом смысле) фактической переда-
точной функции к идеальной амплитудно-фазовой передаточной
функции. Окно в виде приподнятого косинуса (с подставкой или
без нее) и окно Кайзера являются средствами улучшения прибли-
жения рядом Фурье (по наименьшим квадратам) с целью умень-
шения пульсаций (но они, конечно, увеличивают ошибку в смысле
наименьших квадратов). На практике имеется много путей опреде-
ления желательных свойств для конкретного фильтра.
Существует много методов расчета, основанных на различных
критериях, но еще больше можно их изобрести. Однако такие спе-
167
циальные методы выходят за пределы этой книги. К счастью,
имеется весьма простой метод расчета, удовлетворяющий многим
таким требованиям, который заключается в следующем:
1) выбрать вид критерия, который желательно применить, и
выразить его в виде положительного числа с разумным характером
зависимости, которая худшим расчетам ставит в соответствие
большие числа;
2) найти первое приближение к фильтру, который нам нужен;
3) оптимизировать расчет путем изменения регулируемых па-
раметров фильтра, используя для руководства п. 1.
Этот элементарный расчетный метод имеет недостатки. Во-пер-
вых, он требует большого машинного времени. Во-вторых, опти-
мизация позволяет достичь локального минимума и не исключает
того, что имеется значительно лучший вариант, который можно
было бы получить, если исходить из некоторой другой начальной
точки. И наконец, если не повторить весь процесс, то у вас будет
мало или совсем не будет представления о том, как ведут себя
аналогичные фильтры с небольшой разницей в числе членов; сле-
довательно, вы ищете оптимум вслепую, почти без всякой теории,
руководящей вашими действиями. Этот недостаток изящества при-
водит к тому, что специалисты стремятся исключить этот метод,
но для начинающего, и особенно случайного проектанта, он обла-
дает большим достоинством широкой применимости и, кроме того,
требует сравнительно мало специальных знаний.
В реальной обстановке обычно трудным является выбор кри-
терия и первой пробной передаточной функции для применения,
а не объема машинного времени. Метод расчета Кайзера помогает
ориентироваться начинающему в реальной ситуации при этом вы-
боре, но практический выбор соответствующего критерия выходит
за рамки элементарного курса.
Длительность процесса отыскания оптимума является менее
важной. Для реализации минимума, который трудно локализовать,
требуется проведение «деликатного» расчета, что, вероятно, следует
исключить из применения для практических целей. С каждым го-
дом пользование ЭВМ становится все более и более дешевым, по-
этому стоимости расчетов не следует придавать большого значения.
Однако несовершенство теории и риск нахождения локального опти-
мума, который далек от лучшего, являются серьезными вопросами,
которые следует учитывать при каждом конкретном применении.
9.9. Грубый метод оптимизации
Предположим, что заданы оценка функции Е, которая является
мерой того, насколько хорошо удовлетворяется критерий (Е имеет
неотрицательные значения, а уменьшение Е означает улучшение
расчета) и первое приближение при расчете фильтра с N пара-
метрами рь р2,..., pN (обычно коэффициенты с(, фильтра).
Введем в машину три массива: первый — массив N первона-
чально предполагаемых коэффициентов (параметров) pt из при-
ближенного расчета; второй —• соответствующий массив из N оце-
нок предполагаемого количества коэффициентов, имеющих ошибку
Др* (эти догадки будут быстро исключены и заменены более точ-
ными значениями, генерируемыми оптимизирующей программой, так
что плохие предположения просто приводят к дополнительным
168
вычислениям); и третий — массив из N улучшений благодаря из-
менениям в параметрах (этот массив заполняется позже).
Первый этап расчета состоит в вычислении функции Е для
заданных коэффициентов р*. Поместим l/N-ю долю этой величины
иа каждое место в третьем массиве, где —число параметров рк.
Следующий этап расчета состоит в изменении первого пара-
метра pi на величину Дрь которая записывается в массиве не-
определенностей и относится к первому параметру, и в повторном
вычислении функции Е. Если разность двух значений Е отрица-
тельна, то считается, что получено улучшение. Поэтому выполняем
еще один шаг той же величины и в том же направлении вдоль оси
Рг Это продолжается до тех пор, пока не найдется значение Е,
которое будет больше или равно предыдущему. Тогда имеем три
последовательных значения параметра рь которые обозначим p~i,
p°i, p+i. Если первое изменение Е заключалось в его увеличении
или в сохранении прежней величины, то необходимо сменить их
стартовое и первое пробное значения вместе со знаком Ар, и про-
должать двигаться в этом направлении, производя поиск, как и
прежде, относительного минимума для Е как функции от рь Как
только мы найдем его, то окажемся в том же положении, что и
прежде. Если обнаружится, что Е возрастает при движении в лю-
бом направлении, то имеем ситуацию, подобную предыдущей: три
значения с меньшим в середине.
Через эти три значения проводим параболу
E(pi)—A-\-B(pi—p°i)4-C(pr—p°i)2,
где ре, _ среднее из этих трех значений координат параметра Pi.
Минимум параболы приходится на значение
d-^^L~0~B + 2C(pl-p'1).
Поэтому минимум имеет место, когда
В
Pi = P°i~2C-
По трем данным значениям нетрудно определить, что коэффици-
енты параболы определяются выражениями
Е (Ру) — £'(р?)
В= 2d
Е(р+)-2Е(р°,) + Е(р~)
С = 2d2
где (интервал шага)
d = p°i — pf = pf — Р\•
В нашем методе поиска исключено С=0 и поэтому не произойдет
деления на нуль (если только все три значения Е не окажутся
одинаковыми!). Теперь мы имеем новое pi.
Имея временно оптимизированный первый параметр, необхо-
димо пополнить соответствующие значения в трех массивах. Оче-
видно, что минимум параболы принимается в качестве новой за-
писи pi в первом массиве. Можно взять половину изменения от
169
начальной до конечной оценки р, в качестве новой неопределенно-
сти, Дрь но необходимо исключить возможность равенства новой
неопределенности нулю, так как в этом случае дальнейший поиск
будет уже невозможен. Поэтому мы берем величину больше чем
половина изменения, а именно половину начальной неопределенно-
сти, в качестве новой неопределенности. Наконец, мы принимаем
изменение функции Е от ее начального значения до значения в но-
вой точке в качестве соответствующей записи в третьем массиве.
Нужно _следить, чтобы записываемые данные не имели нулевых
значений, поскольку, как мы увидим, невозможно продолжать улуч-
шение параметра, если он был равен нулю. Чтобы устранить это
затруднение, необходимо снова взять величину больше чем поло-
вина исходного изменения Е и текущую величину улучшения Е.
После обработки первого параметра повторяем ту же процеду-
ру для второго, третьего параметров и т. д. по всему входному
ряду параметров. В результате получим три новых массива: пер-
вый содержит новые оценки для параметров; второй содержит
неопределенности, которые отражают, насколько мы отошли от
начальных предположений, и третий массив показывает, где до-
стигнуты большие, а где малые улучшения. Следовательно, так
как мы продвигаемся вдоль массива, то становятся доступными
оценки значений параметров, вычисленные машиной, неопределен-
ности и параметры, от которых можно ожидать наибольшее улуч-
шение.
С этой точки зрения мы просматриваем массив с улучшенными
данными для определения наибольшего значения параметра и про-
должения работы с иим. В результате на каждой стадии вычисле-
ния мы стремимся получить примерно одни и тот же порядок
величины всех улучшений, записанных в третьем массиве. Вариа-
ции параметров, которые приводят к улучшению, показывают чув-
ствительность подгонки параметров. Как только за время вычис-
лительного цикла улучшения станут небольшими, уже нельзя ожи-
дать, что Е достигнет значения меньшего, чем минимум, принятый
для исследуемой модели, и дальнейшие вычисления прекращаются.
Имеет смысл постепенно увеличивать значения в графе улучшений
с тем, чтобы случайная малая величина не помешала последующим
наблюдениям в этой графе.
Отметим, что этот алгоритм имеет ряд инвариантных свойств.
Он быстро исключает начальные значения как позиций, так и
неопределенностей и, кроме того, пренебрегает случайным поряд-
ком, в котором выбирались параметры задачи. В конце вычисления
каждое изменение параметра сказывается на улучшении подбора
примерно так же, как и у любого другого параметра.
Эта простая процедура оптимизации поясняет некоторые важ-
ные вопросы. Во-первых, начинающий склонен ей доверять. Но
она хороша только для простых задач.
Во-вторых, она показывает, что простая процедура оптимиза-
ции может быть несостоятельной. Предположим, например (как это
будет сделано в гл. 12), что необходимо снизить максимум пуль-
саций полинома в некотором интервале. Возможно, что один пара-
метр, скажем рь уменьшая один пик (или провал) полинома, в то
же время будет увеличивать одни или больше других экстремумов.
Следовательно, изменения в pi будут действовать до тех пор, пока
некоторое другое экстремальное значение не дойдет до той же
величины, что и первое. В этот момент они образуют острый «угол»
170
к поверхности *>. Вероятно также, что некоторый другой параметр,
скажем р2, будет стремиться уменьшите второй экстремум, уве-
личивая в то же время первый. Следовательно, изменение ни того,
ни другого параметра не могут сами по себе улучшить сразу два
экстремальных значения, если они имеют одинаковую величину —
только сочетание одновременных изменений обоих параметров мо-
жет привести к дальнейшему уменьшению максимального экстре-
мума полинома в заданном интервале. И конечно, чем больше бу-
дет экстремумов равной величины, тем больше параметров должны
одновременно изменяться, если требуется достичь дальнейшего
улучшения. Очевидно, что' простая однопараметрическая в каждый
момент времени процедура оптимизации является неадекватной.
В-третьих, мощные процедуры оптимизации в местной библио-
теке программ стремятся делать «мощными» в одном или более
смыслах. Они могут обеспечить быстрое достижение минимума, од-
нако этот факт только экономит машинное время, что не является
особо важным для тех людей, которые -эпизодически занимаются
расчетом цифровых фильтров. Они могут быть мощными в том
смысле, что обеспечивают нахождение минимума для широкого
класса поверхностей, включая такие, в которых отыскиваемые впа-
дины извилистые и имеют крутые скаты, так что нужно беспре-
станно изменять направления'поиска. Кроме того, мощность может
относиться к способности точно указывать минимум. Это свойство
часто бывает иллюзорным. Если минимум острый и легко опреде-
ляется, то характеристика фильтра будет изменяться значительно
при небольших изменениях в величинах параметров (в том числе
и из-за округления при уменьшении длины чисел), тогда как, если
этот минимум тупой, то даже при неточном определении места
истиииого минимума почти любая .близкая точка даст примерно
такие же хорошие результаты.
В конечном счете выбранный пример показывает, что разыски-
ваемая минимизированная поверхность может иметь «углы» при
изменении многих параметров. Следовательно, если несмотря на это
оптимизирующая программа местной библиотеки построена в пред-
положении гладкого характера поверхности и подгонки ее с по-
мощью квадратичных членов во всех параметрах, то возможно,
что такая программа будет вести себя странно.
Глава 10
КОНЕЧНЫЙ РЯД ФУРЬЕ
10.1. Введение
Ранее рассматривались непрерывные функции частоты так,
словно возможно манипулировать ими в ЭВМ, но, конечно, на са-
мом деле используются только • отсчеты таких функций. К счастью,
синусы и косинусы ортогональны и на непрерывном интервале, и
*> Имеется в виду поверхность E—tf(pi, р2,..., pN). (Прим,
ред.)
171
на множестве равноотстоящих точек. Поэтому возможно выполнить
для иих аналоговые операции с помощью дискретных вариантов
функций, используемых в машине, и в связи с этим необходимо
еще раз рассмотреть эффект наложения.
Задачи, которые будут решаться в этой главе, таковы: а) до-
казать ортогональность синусов и косинусов на множестве равно-
отстоящих точек, б) установить связь непрерывных и дискретных
разложений (через наложение) и в) дать краткое изложение идей,
вытекающих из метода быстрого преобразования Фурье, для вы-
числения коэффициентов дискретного разложения (большинство
устройств имеют свои предпочтительные варианты в библиотеке
программ). Быстрое преобразование Фурье является просто сред-
ством вычисления преобразования Фурье и требует только М log N
арифметических операций вместо N2 операций, которые необходимы
иа первый взгляд. Это различие имеет фундаментальное значение
для большинства приложений, поскольку для больших N это мо-
жет означать уменьшение используемого машинного времени в сот-
ни, тысячи и даже более раз и, кроме того, существенное снижение
ошибок от округления результатов.
10.2. Ортогональность
Наше рассмотрение ограничивается случаем четного
числа точек, а соответствующий случай нечетного числа
точек оставляется читателю, если он когда-либо столк-
нется с подобной ситуацией; имеются только тривиаль-
ные различия между этими двумя случаями. Пусть име-
ются 2 А точек
— п Л 2£- (2Лг — 1) L
Х U’ 2N 2N > • • • ’ 2.V
Используя р в качестве индекса, эти числа можно за-
писать
xp—Lp/2N (р=0, 1, 2......2ЛГ-1).
Проще всего начать с ортогональности комплексных
экспонент. Поступив таким образом, рассмотрим очень
простую геометрическую прогрессию (используя 2N то-
чек Хр)
2N— 1 „ . ,, 2N—1
^14/ >ХР== ^ч»цы (для целых
р=о р=о
Эта геометрическая прогрессия имеет отношение
г — е’1‘«/лг Г2Л — е2’,г<г — .1
и сумму
2N, г=1.
Ситуация г=1 возникает только тогда, когда 9=0, ±2А,
±4Af, ... Эти значения q, как будет показано, ведут к на-
ложению, которое, как известно, должно появиться в ре-
зультате равномерной дискретизации функции.
От этого простого суммирования перейдем к системе
функций (k — целое)
(2itZ/I) kx
е р
и докажем, что они ортогональны. «Ортогональность»
означает, что суммирование по множеству точек дискре-
тизации произведения /г-й функции из системы и ком-
плексно-сопряженной с ней m-й функции дает нуль, за
исключением того случая, когда в качестве второй
функции используется та же самая функция или эквива-
лентная наложенная функция. Поэтому необходимо до-
казать, что значение
2\'1 кхпс~ (^Ч^тх ________Р’ 2А, 4А,...
Р Р~ [2N, \k-m\ = 0, 2N, AN,...
что сразу же достигается, если записать произведение
экспонент как одну экспоненту и применить предыдущий
результат при q==k—т.
Для того чтобы получить «действительные функции»
синуса и косинуса, используем равенство Эйлера
e‘x=cos x-^-i sin х.
Записав сумму произведений двух тригонометрических
функций, получим сумму и разность экспонент, если эти
две функции являются обе синусами или косинусами. Для
косинусов имеем (отметим наложение)
2N—I
Snkp ~тр
0, \k±m\=£Q, 2N, AN,...
— N, | m 1 или | k~ m\ = 0, 2N, AN,...
2N, | k ± m | оба = 0, 2N„ 47V,...
Аналогично для синусов
2N— I
£. Nip . nmp
sln_ sin —
0, \k ± 0, 2N, AN,...
N, \k — m\ = 0, 2N, AN,...
—N, \k-\-m\ = Q, 2N, AN,...
0, k = tn — 0
172
173
Легко показать, что в случае произведения синуса и ко-
синуса всегда будет нуль.
Для ограниченной системы функций
. 2пх 4пх 2г. (N — 1) х 2nNx
1, COS—COS -j—, . . . , COS —5-д—} COS —J— ;
. 2reX . 4nx . 2rc (;V— 1) x
sin—p, sin — ,. . . , sin-i-j—2-—
одновременно можно применить только одно из условий
ненулевой суммы, что дает ортогональность 2jV функций
Фурье в 2jV дискретных равноотстоящих точках vp. Эта
ортогональность такая же, как и на непрерывном интер-
вале, но, конечно, с различными нормирующими множи-
телями. Таким образом, мы пришли к разложению
Фурье произвольной функции G(x), определенной на
дискретном множестве из 2<V точек хр
N-1
п/х) — d”_L.V' Гл 2nfex_LQ .2^x1 2г.,\!х
2 [4cos-r-|-Bfesin— ]+— COS—— •
k-1
Здесь прописные буквы используются для коэффициен-
тов в дискретном разложении. Отметим, что первый и
последний косинусные члены имеют дополнительный
множитель 1/2. Из свойства ортогональности имеем
2ЛГ-1
4 = 4г 3 G(Xp)cos2~ (fe = 0, 1....ЛГ),
P=t>
2N— I
_ 1 V „ 2rkxn
вь = 1Г (ft==1’ 2’--’ N— 1).
P-a
Функция G(x) часто задается в 2N + 1 точках, вклю-
чая оба конца интервала, однако здесь имеется (из-за
периодичности) только 2N интервалов. В таких случаях,
поскольку предполагается, что функция периодическая,
обычно принимают в качестве правильного концевого
значения среднее двух концевых точек
G (0) + G (Ц
2
Конечно, если функция периодическая, то оба значения
на концах одинаковые и это просто одно из них. Эффект
такого усреднения состоит в некотором расширении
основных формул для коэффициентов Ак без измене-
ния Вк.
174
Мы видим, что формула суммирования для Ао в ди-
скретном случае соответствует правилу трапеций для
интегрирования. Если бы применялась формула средней
точки, а не правило трапеций для аппроксимации инте-
грала, то указанные выше аргументы привели бы к со-
ответствующему ряду соотношений ортогональности
в этих средних точках интервалов. Для этих точек коси-
нусный член наивысшей частоты будет тождественно ра-
вен нулю, поэтому необходимо взамен него включить
в основную систему функций соответствующий синусный
член.
Упражнения
10.2.1 . Просуммировать геометрическую прогрессию для 2ЛЦ-1
точек.
10.2.2 . Доказать ортогональность синусов и косинусов для
2ЛЧ-1 точек.
10.2.3 . Используя 2.V точек (средине точки 2.V интервалов)
7,(1 +2п)
= 4N (Р = °> ’............2^)>
доказать ортогональность 2.V функций.
10.2.4 . Используя упражнение 10.2.3, вывести формулы для
коэффициентов разложения. Объяснить .небольшие различия в этих
двух случаях.
10.3. Связь между дискретным и непрерывным
разложениями
Обычно приходится заменять теоретические непре-
рывные передаточные функции на дискретные, исполь-
зуемые в вычислительной практике, поэтому мы иссле-
дуем их взаимосвязь. Предположим, что непрерывное
разложение G(x) задано в виде
СО
/ х Ло I И I 2тсх । г • 2тсх 1
G(x) =4-|~2j l^cos — -HfcSin— j,
fc=i
где для коэффициентов непрерывного разложения функ-
ции используются строчные буквы, в то время как для
коэффициентов дискретного разложения будут и далее
применяться прописные буквы. Если умножить обе части
этого уравнения иа cos 2л/гх^/£ и просуммировать, то
из-за наложения, указанного в предыдущем разделе, по-
лучим выражение
2N— 1
J] G(^) cos = NAk = N(а, + + ..),
/х=0
175
из которого коэффициент Ak определяется как
СО
4 == ak 4- J] (,a2Nm-k + a2Nm+k)-
т~\
Для каждого k эта формула дает значение Akl вычис-
ленное через точные заданные значения ah. Она пред-
ставляет обычное наложение в несколько иной форме и
позволяет дать другое объяснение эффекта наложения.
Рис. 10.3.1. Наложение
Наложение иллюстрируется на рис. 10.3.1. Аналогичные
вычисления при использовании синуса вместо косинуса
приводят к формуле
СО
4=4 + ( ~b2Nm k + b2Nm+k)-
т=1
Постоянный член особенно важен, поскольку он по-
казывает связь в частотной области между интегралом
от периодической функции и результатом Ло его прибли-
женного вычисления по правилу трапеций
СО
4 = аа + 2 a2Nm-
т=1
Если коэффициенты а,- малы, то и ошибка будет не-
большой.
Таким образом, видна в другом свете роль, которую
играет частота свертывания Найквиста; можно посту-
пать так, как-будто имеется непрерывная функция, но
процесс дискретизации все равно приведет нас в интер-
вал Найквиста (или в любой другой эквивалентный
интервал, который мы пожелаем выбрать).
Упражнение
10.3.1. Вывести детально выражения для и Bk с учетом
наложения.
176
10.4. Быстрое преобразование Фурье
Прямой метод вычисления коэффициентов дискрет-
ного разложения Фурье содержит, на первый взгляд,
(2jV)2 операций, так как имеется 2jV коэффициентов и
2N слагаемых в каждом суммировании. Открытый не-
давно Кули и Таки метод вычисления коэффициентов
Фурье и предложенное ими адекватное представление
этого метода позволили снизить число вычислений до
2AHog (2N). Это снижение в большой задаче может ока-
заться значительным, порядка 100 по используемому ма-
шинному времени, т. е. оно позволяет расходовать менее
1% от первоначального времени.
Поиски возможностей хотя бы небольшой экономии
машинного времени все еще продолжаются, но этот во-
прос не представляет большого интереса во вводном
курсе. Поэтому мы рассмотрим только основную идею
и будем избегать излишних подробностей. Как правило,
местная библиотека ЭВМ имеет программу быстрого
преобразования Фурье. Однако важно подчеркнуть, что.
с учетом ошибок округления результаты непосредствен-
ного вычисления и вычисления по методу быстрого пре-
образования Фурье одинаковы, они представляют
альтернативные пути вычисления одних и тех же вели-
чин. Быстрое преобразование Фурье благодаря тому, что.
оно требует меньшего числа арифметических операций,
обычно имеет меньшую ошибку округления в результа-
тах. Для простоты положим L=1 с тем, чтобы хр=
=p/2N.
Предположим, что число точек дискретизации функ-
ции 2jV (или 2jV+ 1) может быть представлено как про-
изведение двух целых чисел, больших 1,
2N=PQ.
Следовательно, точки отсчетов есть
xm—tnlPQ.
Коэффициенты Фурье для разложения функции G(x>
PQ—1
= Л (&) = -+ V G(xm)e“2”‘ft4
m=0
Теперь сделаем решающий шаг и поделим k на Р, чтобы
получить частное kx и остаток /г0. Следующий шаг со-
стоит в том, чтобы поделить т на Q и получить частное
177
mi и остаток то- Оба чйсла k и т будут однозначно
представлены, когда запишем две переменные суммиро-
вания в виде
k=ko + kiP, m=m0 + mlQ,
где, конечно, выполняются условия
kQ<P и fei<Q,
mo<Q и т}<Р.
Используя эти представления для k и т, получаем для
суммирования (отметим, что приняты во внимание все
слагаемые и использовано существенное соотношение
= 1)
Q— I Г.Р-1
XX e—(rno+^iQ) /PQ _
Q—1
____1 Г) — — 27tife,m0/Q
— PQ e
mo=0
X S '
Г7?1=0
Легко установить, что выражение в квадратных скобках
есть разложение Фурье, охватывающее 1/Q отсчетов
функции, сдвинутой по фазе на mtsIPQ. Кроме того, по-
скольку Osg/no<Q, то должно быть произведено Q таких
суммирований. Обозначив эти суммы как
А (&о, то),
получим формулу
Q—1
А(/г0 + й,Р) = -^-2 A(k„,
т„=0
Это вторичное вычисление разложения в ряд Фурье и
поскольку О<Х/го< Р, то нужно вычислить всего Р таких
сумм.
Подсчет числа арифметических операций показыва-
ет, что оно пропорционально
PQ(P + Q).
178
Это количество вычислительных операций требуется
вместо исходного, которое было пропорционально (PQ)2..
Очевидно, для каждого множителя Pi, большего 1, ко-
торый находится в числе 2N, можно повторить этот про-
цесс. В конце концов мы придем примерно к
Р1Р2Рз ... Ри(Р1+Р2+ ... +Рь)
арифметических операций вместо (2N)2 исходных опе-
раций. Таким образом, видно, что если число точек ди-
скретизации 2N есть степень 2, мы получим максималь-
ное уменьшение количества вычислений, а число слагае-
мых, появляющихся в сумме, находящейся внутри ско-
бок, равно log (2N).
Опыт подтверждает, чго указанный простой прием
позволяет реализовать большую часть возможной эко-
номии (в смысле числа умножений) и что дополнитель-
ные ухищрения добавляют сравнительно мало. Однако,
если преобразование Фурье выполняется часто, то даже
в том случае, когда экономия машинного времени не
важна, можно и нужно использовать дополнительные
приемы для уменьшения ошибок округлений (см. [4-
И 7]).
Быстрое преобразование Фурье представляет собой
также эффективный метод для расчета фильтров. Пусть
заданы исходные данные хп и для них выполняется пре-
образование Фурье. Далее берем значения, которые
являются коэффициентами разложения Фурье, и умно-
жаем их на соответствующие значения передаточной
функции. Поскольку передаточная функция представля-
ет кривую усиления (или затухания) для различных ча-
стот, то это перемножение эквивалентно фильтрации..
После этого нужно только применить быстрое преобра-
зование Фурье к этим произведениям, чтобы получить
профильтрованные данные.
Полный процесс фультрации осуществляется по сле-
дующей схеме: а) преобразовать данные, б) умножить
результаты на передаточную функцию и в) выполнить
обратное преобразование произведений. Это весьма
общий метод расчета нерекурсивных фильтров. Конеч-
но, читателя может заинтересовать, что происходит с ча-
стотами между точками дискретизации используемой пе-
редаточной функции. Однако если эти точки берутся
достаточно часто, то не возникает никаких проблем (за
исключением областей вблизи резких скачков, где мож-
12* 179
но ожидать появления колебаний, подобных явлению
Гиббса). В точке разрыва передаточной функции, конеч-
но, используется среднее двух граничных значений.
10.5. Косинус разложения
Передаточные функции являются часто четными
функциями, т. е.
/7(f) =/?(-/),
поэтому стоит рассмотреть для этого случая особенности
разложения Фурье.
Все коэффициенты синусных составляющих равны
нулю. Этот результат очевиден, так как синус является
нечетной функцией своего аргумента, а произведение
четной и нечетной функций есть функция нечетная, так
что ее интегрирование по симметричному интервалу дает
нуль. Поэтому необходимо рассматривать только коси-
нусные члены. Кроме того, из свойства четности следу-
ет, что суммирование можно выполнять только по по-
ловине диапазона. С учетом сказанного будем иметь
л ____
Лк 2N
G (0) + 2 £ G e-^/2N_^G
p=i
“Соответствующая формула для интегрирования по мето-
ду средних точек имеет вид
N— 1
Л _ 1 VI а ( Р+ V2 \ -(2«</2W)(M-l/2)A
— 2N----
р=0
В следующей главе мы встретимся с этими формулами
в другой ситуации.
Упражнение
10.5.1. Получить формулы разд. 10.5 для нечетной передаточной
•функции й (f)=—й(—/).
10.6. Другой метод расчета
Коэффициенты ak и bh передаточной функции иногда
трудно получить, и тогда конечный ряд Фурье обеспечи-
вает альтернативный подход. В полосе O^fs^l/2 выби-
раем W-|-1 точек
xp=pt2N (р=0, 1, ..., А)
180
и находим синусное или косинусное разложение задан-
ной передаточной функции в зависимости от того, нечет-
ная она или четная. Быстрое преобразование Фурье дает
коэффициенты разложения в конечный ряд Фурье (коэф-
фициенты, обозначаемые прописными буквами), которые
учитывают наложение, возникающее из-за ограничен-
ности дискретного разложения передаточной функции
(это наложение не следует путать с наложением из-за
исходной дискретизации сигнала).
10.7. Вычисление спектра мощности
В основном быстрое преобразование Фурье применя-
ется при вычислении спектра мощности. Для действи-
тельной функции комплексное разложение Фурье имеет
коэффициенты, обладающие свойством
(к—C—k,
и поэтому спектр мощности имеет значения
\ck\2=chc-k.
Теперь, единственное, что требуется от пакета программ
местной библиотеки, это — внимательное прочтение
•описания.
Часто пакет программ местной библиотеки требует,
чтобы число точек данных было точно степенью 2, а их
имеется не так много. Появляется соблазн просто запол-
нить недостающие данные рядом нулей. Но от этого
шага следует воздержаться. И даже если действительно
имеется точно необходимое количество данных, необхо-
димо помнить, что разложение Фурье подразумевает пе-
риодичность функции; если между начальными и конеч-
ными значениями имеется существенное различие, то бу-
дет наблюдаться разрыв функции, который соответст-
венно проявится в спектре.
Практический опыт подсказывает, что сначала необ-
ходимо удалить из данных среднее значение (см. также
разд. 13.4), а затем использовать весовые коэффициенты
т(*)=.! + су/ЛМ,
где А] — величина, равная примерно 10% от количества
данных, которые имеются. В результате этой операции
образуется постепенный подъем на стартовом конце.
Аналогичная (но обратная) последовательность весов
181
образует на другом конце постепенный спад. После этого
остальную часть интервала можно заполнить нулями.
Таким образом, плоская часть окна представляет не бо-
лее 80% данных и не существует острых углов у масси-
ва данных, поступающего на быстрое преобразование
Фурье. Заполнение нулями обоих концов или только
одного конца повлияет только на фазовый сдвиг
(рис. 10.7.1).
макс. 80 %
дополняющие нули/
Рис. 10.7.1. Подготовка данных с учетом особенностей быстрого
преобразования Фурье
Если имеется точно необходимое количество данных
и вы просто сталкиваетесь с разрывами данных на кон-
цах, то для сглаживания переходов будет уместно ука-
занное постепенное изменение, охватывающее около 10%
данных на каждом конце.
Глава 11
РЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ
11.1. Почему нужны рекурсивные фильтры?
В разд. 1.1 рекурсивный фильтр был определен фор-
мулой
к к
Уп = 2 ckxn-k~ir'^ dkyn_k,
k=l
где член k=0 во второй сумме опущен. Предполагается,
конечно, что не все dk равны нулю: в противном случае
мы имели бы нерекурсивный фильтр.
182
Рекурсивный фильтр имеет большую «память», чем
нерекурсивный (все <А=0); нерекурсивный фильтр может
охватывать только значения хт в диапазоне от хп-к до
хп+к. Пример рекурсивного фильтра дает формула инте-
грирования, которая должна «помнить» все прошлые
значения, включая значения на нижнем пределе инте-
грирования. В разд. 3.4 рассматривалось правило трапе-
ций для интегрирования
Уп+\ == Уп Н 2~ [-^в+1 Ч- Хп1 >
где уо — константа, которое явно представляет рекурсив-
ный фильтр. Аналогично формула Симпсона
У п+1 = Уп-1~}~— [xn+i + 4х„Ч“ хп_1],
где у0 — константа, является также рекурсивным
фильтром.
Даже небольшой набор коэффициентов в рекурсив-
ном фильтре позволяет запомнить все прошлые зна-
чения. В простейшем случае,
yn+i=ayn+xn, уо=О,
где все хп равны нулю, за исключением х0=1, и все y;i
для отрицательных индексов равны нулю, получаем
У1= 1- Уг—а> у,=а\ уг = а\ ..., уп = а^~'\ .
Таким образом, мы имеем геометрическую прогрессию
значений для уп, в- которой значение Хо дает о себе
знать постоянно. Эта способность помнить значения, ко-
торые имели место в отдаленном прошлом, является
ценным качеством рекурсивного фильтра для многих си-
туаций.
Различные рекурсивные фильтры применяются в за-
дачах с «реальным временем», в которых значения дан-
ных хп и выхода уп для индексов т~>п недоступны для
использования в тот момент, когда вычисляется уп. Та-
кие фильтры часто называются (разд. 1.1) физически
реализуемыми в противоположность типовому нерекур-
сивному фильтру, который физически нереализуем в том
смысле, что в нем при вычислении значения уп данные
183
хт для т>п используются из будущего*). Хотя физи-
чески нереализуемые рекурсивные цифровые фильтры
возможны, они встречаются так редко, что мы сконцен-
трируем внимание на рекурсивных фильтрах в форме
М N
Уп Ск*п _ k "I- ^кУп-к
4=0 4=1
(см. также разд. 11.6). Несмотря на то, что физически
реализуемые фильтры являются «односторонними», бу-
дем называть их рекурсивными фильтрами. Иногда они
называются фильтрами с «бесконечной импульсной ха-
рактеристикой» за их способность давать отклик от
одиночного импульса произвольно долго в будущем. Для
них часто применяется сокращение БИХ-фильтры. Соот-
ветственно нерекурсивные фильтры с «конечной импульс-
ной характеристикой» имеют сокращение КИХ-фильтры.
Примеры вырожденных рекурсивных фильтров, у кото-
рых отклик на импульс не продолжается бесконечно,
здесь не будут рассматриваться.
Напомним, что для линейной системы выходная час-
тота должна быть такой же, как и входная '(разд. 2.5),
поэтому, сделав обычные подстановки
хп = А^п, y = A0^i}n,
получим в качестве передаточной функции
м
2 С4е-2’^
k=0
1-2
4=1
Следовательно, передаточная функция рекурсивного фильт-
ра есть рациональная функция относительно
*> В теории дискретных цепей понятие физической реализуемо-
сти имеет буквальный смысл только в случае, когда работа ведется
в реальном масштабе времени без предварительной записи массива
данных в оперативной памяти.
Основное отличие рекурсивного фильтра от нерекурсивного за-
ключается в наличии «обратной связи» с выхода на вход (ис-
пользование при вычислениях предыдущих выходных отсчетов), со-
здающей у рекурсивного фильтра неограниченную память. (Прим,
ред.)
184
Теперь мы в состоянии понять, почему рекурсивный
фильтр может обладать вторым важным свойством,
а именно тем, что переходная полоса от пропускания до
непропускания может у него быть узкой. Это следует из
того, что когда полином в знаменателе приближается
к нулю, частное может быстро изменяться, резко воз-
растать.
11.2. Приведение к более простой форме
Напомним, что для получения гладких фильтров
(гл. 7) было применено преобразование, которое пре-
вращало эту задачу в задачу, эквивалентную приближе-
нию полинома к требуемой характеристике передаточной
функции (разд. 7.2). В случае рекурсивного фильтра
имеется не полином, а скорее рациональная функция от
синусов и косинусов. Из математического анализа из-
вестно, что рациональная функция от синусов и косину-
сов может быть приведена к рациональной функции
от w с помощью подстановки «тангенса половинного
угла»
. <о , 2-f
Прежде, чем слепо применять эту подстановку, необ-
ходимо понять, как и почему ее полезно применять. Ис-
ходным является то, что мы имеем рациональную функ-
2nif
цию относительно е .
Когда имеется полином от w, то самая общая под-
становка «один к одному», которую можно сделать для
w, сохраняя при этом полиномиальную форму той же
степени, есть линейная подстановка
w' — aw-[-b, w---^-(w'—b).
Однако для рациональной функции имеется более ши-
рокий класс подстановок, не изменяющих основную фор-
му и сложность. Например, можно использовать дробно-
линейное преобразование
, aw + Ь dw' — Ъ
Ш =-----W—-----------------=
cw а > а — cw’
Отметим, что здесь один из коэффициентов можно взять
равным 1.
185
Сначала зададим вопрос: «Какие преобразования
в этом трехпараметрическом семействе
2к7__aw-f-b
е cw + d
обладают тем свойством, что для действительного f по-
лучается действительное w?» Эти преобразования можно
найти следующим образом.
Для фиксации «фазы» частоты f (которая иначе бы-
ла бы произвольной и вносила бы только путаницу)
потребуем, чтобы f=0 соответствовало w — О. Это озна-
чает
e°=l = &/d или b = d.
Поскольку один из коэффициентов произвольный, то
можно положить
b = d=l.
Теперь мы имеем
______1 +аа>
е 1 4- cw ‘
Для того чтобы определить «направление» преобра-
зования, можно потребовать, чтобы
f—соответствовало w—>-|-оо.
Это означает, что при получается
e't‘ = —1=а/с или — а.
Теперь мы имеем
2*if __ 1 +aw
е 1 —aw'
И наконец, для того чтобы установить «масштаб»
преобразования, можно потребовать, чтобы
)=:Д- соответствовало w= 1.
1 4
Это означает, что
р”-'72_; — 1 +а
е 1— а'
Умножив обе части на (1—а), получим
i—ia = 1 + а,
откуда следует, что
a=i.
Итак, окончательно (используя три условия) получаем
для искомого преобразования
e2nif 1 4- iw
1 — iw '
Отметим, что для действительных f и w каждая сторона
равенства имеет абсолютное значение, равное 1.
Записав эту формулу в «действительной» форме
cos 2itf +1 sm 2nf = ^T+a;i-------------
и приравняв действительную и мнимую части, получим
обычные формулы «тангенса половинного угла»
п , 1 — to2 -ос 2а»
cos2itf=——г, sin2w = ——=-
I 1 дог , I । уо2
Как установлено в начале этого раздела,
4 £ 4 Г 2»tf ] 1—cos2nf 1 4- w2— (1 — и»2)
tg= tg = sin2a/—-----------------a-----L = да.
При применении этого преобразования передаточная
функция становится рациональной функцией ото» с комп-
лексными коэффициентами.
Прежде чем продолжить, исследуем это преобразова-
ние (рис. 11.2.1). Когда исходная переменная f про-
ходит от 0 до ’/г, новая пере-
менная w изменяется от 0 до
оо. Благодаря симметрии при I
изменении f от 0 до —'/г w из- 1,5 I
меняется от 0 до —оо. /
Для передаточной функции 2,0 - /
рекурсивного фильтра теперь /
имеется рациональная функ- 15_ /
ция от w с действительным а», ’ /
но все еще с комплексными ко- /
эффициентами. Обычно прене- 1,0 ~ /
брегают эффектами, вызван- /
ными влиянием мнимых чле- /
нов, т. е. фазовой зависи- ’ /
мостью (для каждой частоты) у'
Между ВХОДОМ И ВЫХОДОМ фиЛЬ-
тра. В математических терми- °’ ’
нах это означает, что пренебре- Рис. ll-2 L частотное пре-
гают фактическим комплекс- образование
I86
187
ним значением отношения Ло/Л1 и концентрируют вни-
мание только на его абсолютной величине. Этот шаг сде-
лать легче всего с помощью произведения Й (f) на ее
комплексно-сопряженное значение. Конечно, произведе-
ние будет действительной величиной. Поскольку i встре-
чается в формулах только с /, то процедура будет такой
же, как и при применении
Подводя итог, отметим, что мы заменили исходную
задачу, задачу аппроксимации для рекурсивного фильт-
ра заданной передаточной функции в интервале Найк-
виста, на задачу согласования квадрата модуля переда-
точной функции вдоль всей действительной оси w. В по-
следней задаче опускается вся информация о фазовых
соотношениях между входными и выходными частотами
сигнала (см. также разд. 11.6). Применив преобразова-
ние тангенса половинного угла, сведем задачу к при-
ближению рациональной функции от w в диапазоне от
—оо до оо к заданному квадрату модуля передаточной
функции (преобразованному, конечно, к переменной w).
11.3. Устойчивость и ^-преобразование
Перед тем как углубиться в задачу расчета, рас-
смотрим, какие проблемы возникнут, если отказаться от
замены исходной задачи согласования Й(f) на задачу
согласования произведения
Эта замена удваивает степень рациональной функции и,
в частности, удваивает число нулей в знаменателе. Как
всегда при вычислениях, когда используются старые
значения, необходимо рассмотреть устойчивость (ста-
бильность) цифрового фильтра. Под «устойчивостью»
обычно понимается то, что ограниченная последователь-
ность входных значений производит на выходе также
ограниченную последовательность, хотя не обязательно
с таким же ограничением. В действительности, мы до-
пускаем лишь возрастание полинома до выходного зна-
чения. Короче говоря, необходимо вернуться к исход-
ному разностному уравнению и посмотреть, какие огра-
ничения должны быть на него наложены для того, чтобы
достигнуть такг>й устойчивости. Когда это будет извест-
188
но, мы будем иметь представление о том, как перейти от
новой проблемы обратно к исходной задаче.
Запишем разностное уравнение в форме
N М
Уп ^/гУ>г-/г\~ ^1 С/р^п-к’
k=\ k-0
Здесь xn_h — заданные данные и поэтому последняя сум-
ма может рассматриваться как известная функция от п.
Таким образом, мы пришли к исследованию простого
линейного разностного уравнения для уп с вынуждаю-
щей функцией (вторая сумма). Коэффициенты разност-
ного уравнения являются константами, а его теория
имеет много общего с теорией линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами. В тео-
рии дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
фициентами предполагается решение в виде emt. Под-
ставляя это решение в' дифференциальное уравнение,,
сразу же приходят к характеристическому уравнению
N
mN^ d^k-
fc=l
Для соответствующей ситуации в линейных разностных
уравнениях предполагается решение нашего разностного-
уравнения в форме рт. Непосредственная подстановка
приводит к соответствующему характеристическому
уравнению
N
р =2 dkP
В общем случае этот полином ЛКй степени от р будет
иметь N различных нулей, и для каждого из них будет
член в общем решении однородного уравнения в форме
Chpmh.
К линейной комбинации этих N решений однородного-
уравнения добавим любое одно частное решение пол-
ного уравнения (включая вынуждающий член) и полу-
чим полное решение исходного неоднородного линейного-
разностного уравнения. Для кратного корня кратности /
используются функции рт, трт, т2рт, . .., пР~'рт, чтобы
получить соответствующие j линейно независимых ре-
шений.
189>
Начальные условия определяют коэффициенты Ch
частных решений однородного уравнения и, в принципе,
они могут привести к потере одного или больше реше-
ний. При фактических вычислениях из-за ошибок округ-
ления, если нет других причин, все эти решения рано
или поздно появляются. Если же мы хотим получить
устойчивое решение (см. выше), то необходимо потре-
бовать, чтобы ни один из нулей характеристического
уравнения по величине не был больше 1. Если бы име-
лось одно или больше таких решений, то ясно, что об-
щее решение, в конечном счете, стало бы расти по
величине экспоненциально и такой фильтр был бы не-
устойчивым. Мало вероятно, хотя и возможно, что такой
фильтр может быть полезен при обработке длительного
массива данных (он может быть полезен на небольшом
•отрезке), и поэтому, чтобы фильтр был устойчивым,
необходимо ввести ограничение при расчете: корни ха-
рактеристического уравнения должны иметь величину,
меньшую 1 или, по крайней мере, равную 1 в различных
особых случаях. Принятие 1 в качестве корня ставит
фильтр на границу устойчивости как, например, при
интегрировании по формуле трапеций или по формуле
Симпсона. Если же имеется кратный корень со значе-
нием 1, то будет наблюдаться полиномиальный рост
в устойчивом решении.
Только что было использовано обозначение р — обыч-
ное обозначение в теории разностных уравнений, но
в теории рекурсивных фильтров используется Z, где
z = е .
Поскольку |г| не обязательно должно находиться на
•единичной окружности, то переменная f—не обязатель-
но действительная.
Будем искать решение разностного уравнения в фор-
ме zm. Тогда характеристический полином разностного
•уравнения для фильтра будет иметь вид полинома
/ - S
k-i
а условие, что никакое решение этого полинома не будет
больше 1, означает, что ни одно из решений однородного
уравнения не может расти экспоненциально. Классиче-
ская теория фильтров по этому поводу требует, чтобы
все нули были меньше единицы, но поскольку среди дру-
190
гих вопросов нас интересует численное интегрирование,,
то мы допустим существование нуля на границе круга..
Для линейных дифференциальных уравнений второго-
порядка, в которых отсутствует первая производная,
будем иметь двойной нуль (который приводит к реше-
нию однородного разностного уравнения, возрастающему
как число шагов интегрирования).
Решение однородного уравнения часто называют «не-
установившимся». Проще говоря, обычная теория тре-
бует, чтобы переходный процесс прекращался, хотя и
достаточно долго, но мы допускаем, что он продолжает-
ся неограниченно (из-за этого возможно помнить на-
чальные условия), и поэтому в некоторых случаях
допускается полиномиальный рост, но по-прежнему ис-
ключается экспоненциальный рост.
Переход к переменной w выражается формулами
1 4- iw , [ 1 — z I
г = — или w = i ------
1 •— IW 1 4- Z I
При обозначении через да условие устойчивости примет
вид
1 iw
1 — iw
Применяя это условие, необходимо помнить, что z из-
меняется вдоль единичной окружности в комплексной
т т 2«ZF
плоскости от —л до л. На окружности имеем г = е
для действительной f. Соответственно w изменяется
вдоль действительной оси от —оо до -роо, и мы видим,
что внутренняя область единичного круга на плоскости
г отображается в полуплоскость на плоскости w. Чтобы
решить, будет ли это верхняя или нижняя полуплоскость,
мы просто найдем, куда попадает z=0. Эта точка соот-
ветствует w = i. Поэтому внутренняя область круга
|г| = 1 переходит в верхнюю полуплоскость плоскости да.
Следовательно, для наших фильтров будем требовать,
чтобы все полюса передаточной функции (нули знаме-
нателя) лежали внутри или на краю, верхней полупло-
скости да. (Некоторые учебники используют такое ото-
бражение z на да, которое позволяет использовать пра-
вую или левую полуплоскость, какую именно — это-
зависит только от дополнительного множителя i в пре-
образовании.) ~
191
Задача выбора нулей знаменателя для устойчивого
«фильтра возникла из-за того, что была задана переда-
точная функция fJ(f) и нужно было обеспечить, чтобы
она была действительной, поэтому расчет был начат
с аппроксимации
Поскольку f появляется только в сочетании с i, то это
выражение эквивалентно, как уже было показано, про-
изведению передаточной функции на функцию, комп-
лексно-сопряженную с ней. Когда в итоге было получено
приближение для этой действительной функции, то мы
столкнулись с весьма трудной задачей отбора подходя-
щей которая была бы устойчивой (все нули в верх-
ней полуплоскости).
11.4. Фильтры Баттерворта
Вероятно, наиболее известным типом рекурсивного
фильтра является фильтр Баттерворта. Такие фильтры
соответствуют рассмотренным ранее нерекурсивным
гладким фильтрам (гл. 7). Для фильтра Баттерворта
выбирается рациональная функция
Эта функция обладает простыми свойствами: высокий
порядок касательной в начале координат и в бесконеч-
шр v>s w
Рис. 11.4.1. Фильтр Баттер-
ности (для переменной w) и
гладкость в других местах.
Используя рис. 11.4.1,
можно найти расчетные па-
раметры W и wc. Сначала за-
пишем два условия для кра-
ев переходной полосы
1 __________1_____
1 +е2 “ 1 + ’
_1__________1
7,2 ~~ 1 + ’
ворта
Далее, возьмем обратную величину для обоих уравне-
ний и, сделав некоторые упрощения, получим
192
Чтобы исключить wc, поделим одно уравнение на
Другое
[wp/ws]w^es/(As- 1)
Решая относительно N, будем иметь
Ar_log
log (wp/ws)
и, следовательно,
wc=wPl (s)1/JV.
Таким образом, мы определили все параметры произ-
ведения —f).
Для того чтобы найти подходящую поступим
следующим образом. Полюса этого выражения даются
нулями знаменателя, т. е.
J
(А = 0, 1.....2ЛГ-1).
а>с v '
Нули, которые мы хотим иметь в верхней полуплоскости,
очевидно, задаются значениями
й=0, ..., N— 1.
Если из этих нулей образовать пары, по одному от каж-
дого конца, т. е. k-й с (N—k—1)-м, то получим для каж-
дой пары
Г Ш en(-(2*+l)/2W|r_aj__ eKi(2/V—2й-1)/2ЛЛ
[а>с ]’
Поскольку
e«f(2W/2W) _eni __ _ ।
то с учетом этого
Г W___eni (2M-1) /2W
—n<(24+l)/2Wl___
Г w Is o. . и 2t+ ) f ® 1 i
=— — 2tsmj---.r И— —1.
] (22V l[wc J
Чтобы вернуться к z-переменной, сделаем подстановку
w= t
(3—540
193
и будем иметь в качестве действительного квадратич-
ного множителя, соответствующего двум комплексным
сопряженным линейным сомножителям,
Г—(»/ц>3с)(1 — ^)э ч- 2sin {CT(2fe l)/2W}fl — ^][l/wc]—(14-g)g-|
L (1 + ^)2 ]•
Имеется, конечно, самое большее N/2 таких множите-
лей, по одному для каждого /г, О^/г^ (Af/2).
Если N нечетное, то слепа остается один множитель
/[•
I I J
и подстановка для возвращения к ? дает
i j --)-(! I --) j
Эти множители были в знаменателе, поэтому инверти-
рование их приводит к
{квадратичные множители)
с включением, возможно, линейного множителя. При
образовании полинома из его пулей, общий множитель
полинома остается произвольным. Мы используем тот
факт, что при f=0 желательно иметь в фильтре единич-
ное усиление, для чего необходимо опустить коэффи-
циент — 1 в каждом квадратичном множителе и i в ли-
нейном множителе, если он появляется.
Можно было предположить,’ что мы теперь перемно-
жим: выражения в числителе н знаменателе, чтобы найти
коэффициенты отдельных степеней z и таким образом
получить коэффициенты фильтра. Однако это не обяза-
тельно и к тому же может привести к серьезным ошиб-
кам округления. Вместо этого образуем пары из каждо-
го множителя 2-й степени в числителе и квадратичного
множителя в знаменателе, а также множителя 1-й сте-
пени, если в знаменателе он окажется. Это дает харак-
теристику желаемой передаточной функции
фильтра в форме каскадного соединения (произведения)
передаточных функций второго порядка (и возможно,
одной функции первого порядка)
и (п____ lz2 + + 1J
cUl Z2 [ш,2с_ 2wcsin + 1)/2ЛГ) — 1J 4- z [2 4- 2wse] 4- "*
"^4~ [w2c 2n»csin {n (2fe -j- 1 )/2N] — 1] »
194
Где
Чтобы вернуться к исходному цифровому фильтру,
напомним, что рекурсивный цифровой фильтр второго
порядка
Уп = Сохп 4-Г1Хп_] + c2xn-2 + biyn-i + t>2yn-2
имеет (разд. 11.1) передаточную функцию
Т, 4-CjZ-1 4-c<)z24-c1z4-c2
с '•' 1 — bjZ-1 — b2z~2 z2 — btz — b2 ’
Следовательно, мы можем идентифицировать коэффици-
енты передаточной функции с коэффициентами желае-
мого цифрового фильтра; отметим, что коэффициент при
z2 в знаменателе второй формы равен 1, и поэтому впер-
вой форме нужно поделить каждый коэффициент на
коэффициент при z2, перед тем как приравнивать соот-
ветствующие коэффициенты этих двух форм.
При такой структуре фильтра первоначальные дан-
ные хп обрабатываются одним фильтром второго по-
рядка, его выходные данные обрабатываются следую-
щим фильтром и т. д., включая, возможно, один фильтр
первого порядка. Таким путем достигается желаемый
результат обработки исходных данных хп фильтром
Баттерворта n-го порядка.
11.5. Простой пример расчета фильтра Баттерворта
Для иллюстрации расчета фильтра Баттерворта вы-
берем простейший пример (минимальное Af), который
поясняет метод адекватно и с достаточной точностью,
и подробно выполним вычисления, следуя этапам, рас-
смотренным в предыдущем разделе. Пусть М=3. Сна-
чала найдем нули
которые соответствуют w[wc — е’"(1+2*)/6. Только для
/г=0, 1, 2 угол удовлетворяет условию
О
при котором искомая величина будет находиться в верх-
ней полуплоскости. Случаи k = 0 и k — 2 сведем к одному
для образования квадратичного множителя
195
I w___e’”'/6][_5^___e—5"»/e 1 _ [_u;___e«z/el| W_ ] e-™/6
[bdc J we ] [s»c J[s»c ~
____!L I p”'/6 _ p-’'/6 I _ i __ Z'JLV —
\S»C / we [ J l^c /
n. w . st ,
— 2t — sin-s------I.
we 6
Ho sin-^-=-^- и поэтому имеем
( w \* . w ,
I — —i-------1.
\a»c / ®>c
Оставшийся непарный множитель принадлежит k= 1
W tcZ/2 W
—— £ - —— I,
Wc wc
Приведем эти множители из плоскости w к множителям
в плоскости г, используя подстановку
так и в обратном порядке следования, то ее легко устранить. Не-
обходимо обработать данные линейным фильтром, а его выходные
данные, взятые в обратном направлении, пропустить через тот же
фильтр. Если есть фазовый сдвиг на данной частоте при первом
прохождении через фильтр, то тот же сдвиг, но противоположного
знака, будет иа той же частоте при втором прохождении через
фильтр. Так как мы обрабатываем выходные данные от первого
прохождения в обратном направлении, то два фазовых сдвига
должны точно компенсироваться. Конечно, в качестве действующей
передаточной функции прн этом будет получен квадрат абсолютно-
го значения передаточной функции фильтра. Поэтому, если пред-
полагается использовать указанный прием, то нужно при исходном
проектировании учесть это возведение в квадрат передаточной
функции, которое возникает из-за двух прохождений через фильтр.
Указанный прием настолько прост, что советуем читателю со-
хранить его в памяти для тех ситуаций, в которых данные могут
обрабатываться в любом из двух направлений следования. В ти-
пичном случае эта процедура может применяться, если до начала
обработки данные полностью записаны. Помните, что двойное про-
хождение через фильтр приводит к возведению в квадрат переда-
точной функции.
Получим выражение (отбрасывая коэффициент —1
в квадратичном члене и i в линейном члене с тем, чтобы
при ui = 0 иметь единичное усиление):
1
__ I _______________0 + г)2 _________________ 1 \/
[z2 (1 + w2c — wc) + 2z (w2c~ 1) + (1 + w2c + wc) j л
x| и»
которое представляет собой произведение звена фильтра
второго порядка и звена первого порядка. Эти два про-
стых фильтра затем используются для обработки ис-
ходного сигнала хп-
11.6. Устранение фазовой зависимости. Двухсторонние
фильтры
Фильтры Баттерворта (и большинство других рекурсивных
фильтров) имеют, поскольку они несимметричные, неодинаковый
для всех частот фазовый сдвиг между входным и выходным сиг-
налами. Часто эта фазовая зависимость вызывает затруднения,
но если есть возможность обрабатывать данные как в прямом,
196
Глава 12
ЧЕБЫШЕВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ФИЛЬТРЫ ЧЕБЫШЕВА
12.1. Введение
Задача определения степени близости рассчитанного фильтра
к исходному идеальному фильтру, с которого начинался расчет,
возникает постоянно. Для измерения этой близости ранее был ис-
пользован метод наименьших квадратов, который модифицировался
в случае применения окна.
В этой главе мы введем другой критерий близости — критерий
Чебышева, который в качестве меры расстояния между двумя кри-
выми использует максимальное расстояние между ними.
Критерий Чебышева популярен не только в теории фильтров,
где желательно Оценить несовершенство расчета, ио также и во
многих вычислительных задачах, где, например, мы хотим зиать,
что некоторая библиотечная программа дает ответы «по меньшей
мере также хорошо, как...». Прн приближении по Чебышеву па-
раметры подбираются таким образом, чтобы сделать максимальную
ошибку как можно меньше, т- е? минимизируется максимальная
ошибка и поэтому этот процесс часто называют минимаксной стра-
тегией приближения.
Одиако сумма квадратов ошибок при приближении по Чебы-
шеву будет больше, чем для соответствующего приближения по
методу наименьших квадратов, а приближение по наименьшим квад-
ратам имеет большую максимальную ошибку, чем она получается
197
при приближении по Чебышеву. Поэтому при расчете фильтров
предпочтение отдается приближению по Чебышеву. Почти всегда
применение критерия Чебышева меньше искажает уже достигнутое
приближение по методу наименьших квадратов, чем применение
критерия наименьших квадратов искажает приближение, по Чебы-
шеву.
В аппроксимации по Чебышеву обычно имеется кривая ошибок,
которая колеблется и имеет равновеликие пульсации. Причина этого
интуитивно понятна. Предположим, что имеется некоторое прибли-
жение для данных и что наблюдается кривая ошибок. Если попы-
таться уменьшить наибольший пик на кривой ошибок, изменяя ко-
эффициенты фильтра, то в другом месте, естественно, ошибка не-
много увеличится. Если на каком-либо этапе попытаться уменьшить
сразу все худшие экстремальные значения, то, вероятно, это будет
удаваться только до тех пор, пока не появятся экстремумы макси-
мальной величины в большем количестве, чем число подгоняемых
параметров. Поэтому приближение по Чебышеву часто называют
равноволновым приближением.
Расчет чебышевских фильтров начнем с рассмотрения полино-
мов Чебышева, которые обладают равноволновым свойством и,
следовательно, тесно связаны с процессом равноволнового прибли-
жения. В заключение будет приведен расчет по Чебышеву для про-
стого интегратора.
12.2. Полиномы Чебышева
Полиномы Чебышева определяются как
7'n(x)--=cos (n arccos х), п=1, 2, ..7'0(х) = 1.
По этому определению, Тп(х) не имеет вид полинома
степени п. Однако в разд. 9.2 было показано, что cosnx
есть полином относительно cos х точно степени п. От-
сюда следует, что поскольку cos (arccos х) = х, то наше
определение полинома Чебышева Тп(х), действительно,
определяет полином степени п.
Полиномы Чебышева тесно связаны с косинусными
функциями, что вытекает из следующей замены пере-
менной:
x=cos т
или, эквивалентно,
т= arccos х.
Рис. 12.2.1 поясняет характер преобразования и показы-
вает, как оно растягивает шкалу независимой перемен-
ной при переходе от одного обозначения к другому
(равноотстоящим т не соответствуют равноотстоящие х).
Полиномы для отрицательных индексов удобно опреде-
лять по формуле
T-h (x)=Tk (х).
Косинусы являются ортого-
нальными функциями (на не-
прерывном интервале и ди-
скретном множестве точек),
следовательно, непрерывные
полиномы Чебышева также яв-
ляются ортогональными с не-
которой весовой функцией на
интервале —1^Г:<1. Доказа-
тельство этого начнем с при-
менения условий ортогональности из разд. 4.4 (как сле-
дует из разд. 10.2, для них существуют также дискрет-
ные варианты)
В
cos mt cos ntdt =
о
0,
it/2, m=n=^=0,
it, n = 0.
Заменяя переменную с т на x и используя т=агссозх,
получим
1 (0, т^п,
С I'm (х) Тга(х) j _ t _
I ~КТ~ ~ Н2’
«J г 1 - * г\
—1 гс. т = п = у.
Из этого соотношения видно, что полиномы Чебышева
ортогональны на интервале —l==7xs=71 с весовой функ-
цией
l/Kl-X2.
Для дискретного множества точек роль весовой функ-
ции, обеспечивающей получение ортогональности при
суммировании по точкам дискретизации, выполняет не-
равномерное распределение точек дискретизации.
Из тригонометрического равенства
cos (n+ l)r + cos(n—1)t=2cost cos т
при замене переменной т на х, получаем трехчленное
рекуррентное соотношение
Тп+1 (х) — 2хТп (х) + Тп^ (х) = 0.
Теперь ясно, как образовать несколько первых полино-
мов Чебышева [очевидно, что 7'0(х) = 1 и 7'i(x)=x]
7\(х)^2х2- 1,
Т, (х) — 4х3 — Зх,
Т4(л) = 8х4-8х2+ 1
198
199
Анализ этих полиномов и трехчленное соотношение по-
казывают, что n-й полином имеет коэффициент при
старшем члене, равный 2’г~1, и что полиномы являются
попеременно нечетными и четными функциями от х.
Анализ показывает также, что поскольку 7'0(1) =
= 7,(1) =1, то и Тп(1) = 1 для всех п.
Упражнения
12.2.1. Доказать, что Тп(—1) = (—1)”.
12.2.2. Вычислить Т$(х) и Т^(х).
12.2.3. Показать, что Т1п (х)=Гп (2х2—1)=2Г2п(х)—1.
12.2.4. Показать, что Тп [Гт (х)]=Гт„ (х).
12.3. Критерий Чебышева
Теорема, которая будет доказана в этом разделе и
которая связЬгвает полиномы Чебышева с минимаксным
критерием, состоит в том, что из всех полиномов сте-
пени п с коэффициентом 1 при старшем члене полином
Чебышева, поделенный на 2п~\ имеет наименьший мак-
симум в интервале—l^x^l [Ги (х)/2й-1 есть «наимень-
ший» полином степени п, начинающийся с хп-\- ...].
Доказательство проводится довольно легко. Для на-
чала отметим, что п-й полином Чебышева, являясь за-
Рис. 12.3.1.
маскированным , коси-
нусом, обладает свой-
ством равноволновости
и имеет в интервале
точно «+1 экстремаль-
ное значение. Если бы
существовал другой по-
лином, скажем Фп-1 (х),
с меньшими экстре-
мальными значениями,
тогда разность [7\(х)/
/2п~1]—фп_](х) есть
полином от х степени
самое большее п—1.
Теперь рассмотрим значение этого выражения для
п+1 экстремальных значений и-го полинома Чебышева.
Очевидно по определению Фп-|(х), что значения этой
разности будут попеременно положительными и отрица-
тельными в последовательных экстремальных точках
(рис. 12.3.1). Таким образом, будет, по крайней мере,
п изменений знака для разностной функции, которая
является полиномом степени самое большее п—1, что
200
является противоречием! Следовательно, мы заключаем,
что полином Чебышева, поделенный на 2П~1, имеет
наименьшее значение на интервале по сравнению с лю-
бым полиномом той же степени и с коэффициентом 1
при старшем члене.
Это рассуждение показывает основную роль полино-
мов Чебышева в тех случаях, когда мы заинтересованы
в минимаксном (чебышевском) критерии при выполне-
нии полиномиального приближения. Если бы кривую
ошибок можно было выразить как простой полином Че-
бышева, это означало бы наилучшее чебышевское при-
ближение. Если бы можно было представить функцию
в виде ряда полиномов Чебышева и ограничить этот
ряд, то вызванная ошибка имела бы вид первого отбро-
шенного члена, при условии, что ряд достаточно быстро
сходится.
Тот факт, что полиномы Чебышева являются также
ортогональными полиномами, означает, как уже было
показано, что на интервале они дают наилучшее соот-
ветствие по наименьшим квадратам (относительно их
весовой функции). То, что они также дают минимаксное
приближение, может показаться противоречием. Поведе-
ние весовой функции
-у-L. (-1<Х<1),
которая вносит наибольший вес на концах интервала,
где приближение по наименьшим квадратам наихудшее,
объясняет тот факт, что разложение по полиномам Че-
бышева может дать как наилучшее взвешенное прибли-
жение по наименьшим квадратам, так и почти наилуч-
шее минимаксное приближение (ошибка фактически
соответствует не первому отброшенному члену, а сумме
всех отброшенных членов). Отметим, что разложение по
полиномам Чебышева есть замаскированное косинусное
разложение Фурье.
12,4. Фильтры Чебышева
В главе о нерекурсивных фильтрах было показано их преиму-
щество в отношении более узкой переходной полосы и допустимых
пульсаций в полосе пропускания,'в полосе подавления либо в обо-
их полосах сразу. Поэтому сейчас обратимся К низкочастотным
рекурсивным фильтрам, в которых допустимы пульсации либо
в полосе пропускания, либо в полосе подавления.
Критерий, используемый в нашем расчете, есть чебышевский
критерий минимальной максимальной ошибки, соответствующий
201
равноволновому подходу. Выбор .'.того критерия является совер-
шенно естественным с точки зрения обычного применения цифро-
вого фильтра; мы часто хотим контролировать величину макси-
мальной ошибки.
Основной принцип последующего рассмотрения, как и в случае
фильтров Баттерворта, заключается в словах: «Смотри, эта фор-
мула описывает особый прием!». Поэтому нам необходимо только
обнаружить, что предлагаемая формула, действительно, имеет те
свойства, которые ей приписываются. При этом lie требуется тща-
тельно разработанной теории для обоснования расчета или для
дальнейшего использования, если ставится цель только несколько
видоизменить расчет, оставляя его в рамках стандартного под-
хода.
12.5. Фильтры Чебышева типа 1
Фильтры Чебышева типа 1 допускают пульсации
в полосе пропускания (рис. 12.5.1). Чтобы познакомить-
ся с этим методом расчета, начнем (при полиномиальной
переменной ю) с выражения
й (П я (- f) = । + е2 [Тп (w/WpW,
где Тп(х)—полином Чебышева порядка п. Сразу же
видно, что пока | ву| | ву,, |, мы имеем
а при w = wp имеем равповолповый полином Чебышева,
начинающий спадать за пределами
—(w/wp) ^1.
С другой стороны, то, что полином Чебышева на
интервале —является наименьшим из всех по-
линомов той же степени и
Рис. 12.5.1. Фильтр Чебышева ти-
па 1
с тем же коэффициентом
при старшем члене, озна-
чает, что при заданной
границе он растет наибо-
лее быстро с внешней сто-
роны (с уверенностью
можно отметить этот
факт, если отойти доста-
точно далеко от 1, ио он
более или менее очевиден
и вблизи 1).
202
Вспомним, что
. е‘х— с‘х , ех — е~х
Sinx =----, sh% =-------------
Прямая подстановка сразу же дает
sin ix = i sh x, shix = isinx,
cosix = chx, chix = -cosx.
Таким образом, аналитическое представление полиномов
Чебышева по всем значениям х есть
__jeos \п arccos %],
" ' (ch [п arcchx], [ х | 1,
а когда |х|>1, то можно ожидать быстрый рост
в Тп(х), что обеспечивает достаточно узкую переходную
полосу от «пропускания» до «подавления».
Возвращаясь к передаточной функции, видим, что на
границе полосы пропускания, w = wp, имеем Тп(1) = 1,
следовательно, условие на концах полосы пропускания
выполняется.
Условие на конце полосы подавления, где w = ws,
есть
1 1
1 + (tt>s/wp) ~ Л2
ИЛИ
It — !
I " V t®p У I e
Следовательно, получаем «расчетный параметр»
arcc й[/Л2 — 1/е]
arcch (ws/wp)
Имеется альтернативное представление arcch х. Если
у= arcch х, то
Этот результат можно переписать' в виде
(е1')2—2х(е») +1 = 0
или
еи = х+ )/х3 — 1,
203
где использован знак -ф- для | х | > 1. Таким образом,
z/=arcchx — In [х —хг — 1].
Как и в фильтрах Баттерворта, для того чтобы полу-
чить передаточную функцию fl(f) из —f), необ-
ходимо найти нули знаменателя
1 + е-Т2п (w/wp) =0
или
Tn(w!wp) = ±i]e,.
Пусть (w/wp) =х, тогда
cos [п arccos х] = ± г'/е,
н arccos х = arccos (±i/e).
Чтобы найти значение arccos от мнимого числа, по-
ложим
arccos (+ i/e) - а —t рЦ
± i/s = cos (а ip),
± i/s = cos a ch [} — i sin a sh 0.
Приравняв действительную и мнимую части, получим
два уравнения
cos a ch 0 = 0,
sin а sh р==F 1/s.
Первое из этих двух уравнений, поскольку ch0#=O
(Р — действительное), дает
cos а=0
и, следовательно,
п = л/2-| krr.
Второе уравнение принимает вид .
sin (w/2 /гтг) sh р = q: 1 /е,
(-l)‘shf=T 1,'.,
Этот результат определяет ₽о>*О и 01<О. Поэтому
имеем
arccos х =-Ь [а + ipj =-Ь + (m = 0, 1),
x=cos [2L +*14_2М =
[2п 1 п 1 nJ
= cosM^+i)ch^-t-sin^i^±l)sh bt
2л n 2n n
204
и получаем искомые нули. Имеются две последова-
тельности т=0,1 и k=0,1, ..., 2п—1, но фактически
появляется только половина точек (так как 01=—ро>
a sin[n(2&+1)/2п] имеет противоположные знаки, когда
k уменьшается от 2п или увеличивается от нуля). По-
этому исследование можно ограничить одним т, скажем
ш=0.
Следующий этап состоит в выборе нулей в верхней
полуплоскости. При нашем выборе т второй член имеет
положительный знак и мы ограничимся значениями
k = 0, 1, .. ., (п—1) для того, чтобы нули попали
в верхнюю полуплоскость.
Нули должны быть разделены на пары из-за сим-
метричного положения относительно середины, что со-
ответствует действительным квадратным уравнениям, из
которых они получены. В конце, переходя к перемен-
ной z, получаем произведение членов'второго порядна
в числителе и знаменателе и, возможно, один член пер-
вого порядка. И снова эти коэффициенты отождеств-
ляются с соответствующим цифровым фильтром второго
порядка и применяется каскадное соединение фильтров
для получения требуемой устойчивой передаточной
функции.
12.6. Фильтры Чебышева типа 2
Фильтры Чебышева типа 2 имеют пульсации в полосе
подавления и являются гладкими в полосе пропускания
(рис. 12.6.1). Начнем с функции (снова с переменной ю)
#(f)%(-[)= । '
1 + L Т„ (ws/w) J
При w=wp условие
выполняется автоматически. На границе полосы подав-
ления имеем пу = вуз и
j_________- 1_____
Ла — 1 4- s27’2„ (ws/Wp) •
Возьмем обратные значения для обеих частей равенства
А2==1+е2Т2п (ws/wp).
205
Рис. 12.6.1. Фильтр Чебышева типа 2
И, наконец, решая отно-
сительно расчетного па-
раметра п, получим фор-
мулу, аналогичную той,
которая была найдена
для фильтров Чебышева
типа 1
п___arcch [У А2— 1/е]
arcch [о^/Шр]
Далее, найдем нули знаменателя, возьмем их в верх-
ней полуплоскости, разделим их соответственно на пары,
выберем звенья второго порядка, вернемся к перемен-
ной г и идентифицируем соответствующие коэффициенты
фильтров второго порядка (с возможным дополнитель-
ным фильтром первого порядка). И снова каскадное
соединение фильтров дает искомую передаточную функ-
цию. Подробности рассуждений в этом случае так же,
как и подробности в предыдущем разделе, освещаются
с большим трудом, поэтому мы их опускаем.
12.7. Эллиптические фильтры
Эллиптические фильтры имеют пульсации как в по-
лосе пропускания, так и в полосе подавления, но их
расчет, как указывает само название, связан с теорией
эллиптических функций, и его трудно изложить в эле-
ментарном курсе. Поэтому, к сожалению, мы опускаем
его, отметив только, что если читателю потребуется та-
кой фильтр, то он может найти его подробное описание
в других книгах.
Однако совершенно ясно, что при расположении ну-
лей числителя в полосе пропускания (расставленных по
Чебышеву с соответствующей плотностью) и нулей зна-
менателя в полосе подавления (опять с расстановкой по
Чебышеву и с соответствующей плотностью) в результа-
те будет получен фильтр, который обеспечит равновол-
иовость в полосе пропускания и полосе подавления. Под-
ходящим способом расчета будет несколько итераций
(см. разд. 9.7 и 12.8) при размещении нулей для конк-
ретного выбора числа нулей в числителе и знаменателе.
Может иметь смысл рассмотрение нескольких различных
вариантов выбора нулей, если фильтр является крити-
ческим для проводимой работы.
206
12.8. Выравнивание кривой ошибок
При применении в задаче минимаксного критерия Чебышева
часто достигается такая аппроксимация, что кривая ошибок близка
к равноволиовой, но не является ею точно. В таких ситуациях, если
нужна точно равноволиовая кривая ошибок, можно использовать
ошибку для нахождения нового приближения, применяя с этой
целью петлю обратной связи, чтобы найти равномерную кривую
ошибок («равномерная» означает, что все локальные экстремальные
ошибки Имеют одинаковую величину, а ие то, что все ошибки оди-
наковы) . В зависимости от индивидуальных вкусов используются
различные методы. Можно полагать, что это вопрос только про-
цесса оптимизации, вопрос, связанный ие с результатами, а с ме-
тодами их получения. Мы будем исходить из того, что машинное
время для среднего потребителя не имеет значения (хотя для спе-
циалиста по расчету фильтров оно может быть важно), так что
почти любой возможный метод оптимизации может быть пригоден.
При применении библиотечных оптимизаторов возникают затруд-
нения с критерием Чебышева, поскольку поверхность функции «ка-
чество приближения» может иметь изломы.
Один из наиболее популярных методов состоит в том, что
вычисляются положение и величина каждого экстремального^ зна-
чения, затем каждый параметр, причем только один в данный мо-
мент, немного смещается и на кривой ошибок отмечается вызванное
этим смещением изменение каждого экстремального значения. Далее
составляется система совместных линейных уравнений, чтобы сде-
лать эти ошибки равновеликими, и уравнения решаются относитель-
но соответствующих изменений параметров. Повторяя этот процесс
несколько раз, можно получить решение как угодно близкое к рав-
номерному.
Другой метод состоит в том, что записывают примерные поло-
жения нулей кривой ошибок, потом их совместно сдвигают для
того, чтобы уменьшить самые большие экстремумы на кривой оши-
бок,' и затем двигают их по отдельности с тем, чтобы увеличить
меньшие экстремумы. Опять требуется произвести несколько ите-
раций для выравнивания кривой, требуемого для всех практиче-
ских целей.
Однако следует отметить, что почти любая хорошая программа
оптимизации будет способна выровнять кривую при условии, что
в нее будет введен соответствующий критерий. Для задач, в кото-
рых параметры вводятся линейно, приближение к лучшему реше-
нию обычно достигается быстро и надежно, но когда параметры
вводятся нелинейно, уже нет гарантии, что в общем случае будет
получен единственный минимум, так как вместо этого может ока-
заться несколько локальных минимумов максимальной ошибки.
Единственно, что можно сделать — это найти хорошее правдопо-
добное начальное значение для первой пробы и получить уверен-
ность, что оно лежит в нужной области минимума. Применение
различных начальных функций будет давать представление о вели-
чине локальной области минимума; если же все эти функции спа-
дают к одинаковому минимуму, то они (вероятно) относятся
к одной и той же впадине.
207
12.9. Тождество Чебышева
Для того, чтобы выполнить расчет интегратора
в разд. 12.10, мы будем использовать тождество
Л=1
где коэффициентами У„(г) в разложении по полиномам
Чебышева являются функции Бесселя. Поскольку это
равенство редко дается в литературе, мы выведем его
наряду с некоторыми свойствами функций Бесселя.
Начнем с определения функций Бесселя при помощи
«порождающей» функции
П~—00
Подстановка /= — 1/Г оставляет левую часть неизмен-
ной, и поскольку разложение однозначное, то из этого
следует, что
/„(?) = (— 1)п/-п (?)
или, когда это необходимо,
(1)-«У_п (г) — inJn (z).
Для z=0 имеем
е° = 1= 3
Л=—СО
и делаем вывод, что
J,(O)=1, J„(0) = 0 (n^O).
Из выражения
e(z/2)(f-l/0 _eZ(f/2)(l-l/«’)
нетрудно увидеть, что функции Бесселя являются чет-
ными или нечетными в зависимости от того, будет ли
индекс п четным или нечетным.
Разлагая в ряд экспоненту порождающей функции
z/2((-i/n VI [(z/2) (t—1//)]”
Zj л!
л=0
и ранжируя по степеням t, видим, что
= Г-|-1 -|-более высокие степени г.
Положим
/ = гег9.
Тогда
_р —1/*] ,Гег9+е-'9] • а
г —2—]=г1 [—----------J — lz cos 0
и
e!zcos9_ jBjn(2)e"19 = J0(2)4-2 £ (г) cos rafr-
Я=—СО Л—1
И наконец, положим cos6 = s, чтобы получить
= /.(?)+2 2
п=1
12.10. Пример расчета интегратора .
Здесь мы применим тождество из разд. 12.9 к част-
ному примеру, формуле интегрирования Тика из
разд. 3.4. Следует отметить, что Тик получил свою фор-
мулу, вычисляя и исследуя передаточную функцию (час-
тотную характеристику) семейства формул до тех пор,,
пока он не нашел ту функцию, которую хотел. Этот
метод (приведенный в разд. 12.8) не следует рассматри-
вать как достаточно простой для применения. Просто
мы используем эту задачу для иллюстрации метода
расчета.
Функция, которая была нужна Тику, представляет
собой интеграл yn[t) от измеренных данных Он
наложил два требования на общую форму рекурсивного
фильтра
Уп+i = У п-i + Ьу'п + cty'n—i.
Ясно, что у'п представляет собой обычные хп, под-
ынтегральные значения. Во-первых, он потребовал, что-
бы y'(t)=c точно интегрировалось. Это означает, что
2—2а + Ь.
Во-вторых, он хотел, чтобы кривая ошибок на любой
частоте была чебышевской в нижней половине интерва-
ла Найквиста. Симметричная форма этого рекурсивного
фильтра означает, что он не имеет фазовых ошибок.
Предположим, как обычно, что мы имеем
208
209'
?и осуществляем дискретизацию с единичным отсчетным
интервалом. Для того чтобы получить разложение по
полиномам Чебышева, используем тождество разд. 10.9.
Для этого необходимо идентифицировать переменные z
и s в равенстве
2*/fl izs
е = е .
.Пусть условие Чебышева применено к части X интер-
вала Найквиста (в конце для получения формулы Тика
мы положим Л,= 1/2). Поскольку —соответст-
вует —X/2^f^X/2, то должно быть справедливо
s=2f/\, г=лМ
и, следовательно,
ОО
e2”/f' =J.(«M) + 2 2 (^0 Тп (2f/X).
n=l
Подставив это выражение в формулу интегрирования
лолучим
со
}, (Л) + 2 2 W Тп (s) = (- тА) +
00
+ 2 2
Л=1
Л(а)+
4-2 2 ;лЛ W4s)l+^p40)+2 2 ^'40)ад
Л=1 J L л = 1
—а~А
j\ (— ил) -f- 2 2 (s)
Л = 1
Из-за четности и нечетности функций Бесселя все коэф-
фициенты Tik(s) исчезают.
Коэффициент 7\(s) будет равен нулю, если (отбрасы-
вая множитель 21)
(®х) =/,(—• »Л) -J-wZ [а/\ (itZ) + W',(0)-{- aJ\ (— wZ)]
«или
2иЛо/'1 (nl)4-wZW,1 (0,1 = 2J, (iA).
.Использование J/i(O)=1A и приведенного ранее условия
2а+Ь — 2 дает
2Д (пХ) — тгХ
а~ пЛ [2/', (пХ) — 1] •
1210
По этой формуле легко по-
лучить значения, приведен-
ные в табл. 12.10.1.
Ясно, что /.=0 приводит
к формуле Симпсона. Эта
таблица обеспечивает удоб-
ный набор формул интегри-
рования, в которых макси-
мальная ошибка в самой
нижней Х-й части интервала
Найквиста минимальна.
Результат при %=!/2
очень близок к результату
Тика (а=0,3584) и отлича-
Таблица 12.10.1
0,0 0,33333 1,33333
0,1 0,33425 1,33150
0,2 0,33703 1,32594
0,3 0,34177 1,31647
0,4 0,34862 1,30276.
0,5 0,35785 1,28431
0,6 0,36979 1,26043
0,7 0,38493 1,23014
0,8 0,40394 1,19213
0,9 0,42771 1,14457
1,0 0,45752 1,08496
ется от него, потому что наш
коэффициент ошибки похож на Т'з(х), но он включает
более высокие члены T5(s) и т. д. в чебышевском разло-
жении ошибки приближения двух сторон, тогда как.
у Тика он был тщательно выравнен путем повторных
вычислений кривой ошибок.
Приведенное рассмотрение иллюстрирует один метод
расчета интеграторов. Существуют и другие методы.
Ясно, что рекурсивные фильтры в задачах, подобных
интегрированию, необходимы для «запоминания» на-
чальных условий.
Г лава 13
НЕКОТОРЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ
13.1. Типы задач по расчету фильтров
Различают два типа задач фильтрации. Один тип задач встре-
чается в телефонных, радио- н телевизионных системах. Здесь рас-
четные критерии определяются главным образом построением этих
систем, и тот, кто рассчитывает фильтр, редко видит его в дей-
ствии. Он думает пс о конкретном массиве данных, а об ансамбле-
сигналов, имеющем определенные свойства в целом, в первую оче-
редь ограничения на ширину полосы.
Задачи другого типа решает человек, который имеет единствен-
ный, однозначно заданный массив данных, и должен его понять.
Например, предположим, что информация состоит из количества
банкротств банков за каждый год в течение последних 50 лет.
Что хотелось бы получить от'этих данных? Конечно, понимания!
14* 21£
'Но в каком направлении рассматривать эти данные? Исследова-
тель, анализируя эти данные, скорее всего подумает о вероятности
банкротств как функции времени. Дальнейшие размышления могут
.привести его к мысли (либо ои может решить это с самого начала)
о вероятности p(t) одиночного банкротства банка как функции
времени. Следовательно, число банкротств в год следует (возмож-
но) нормировать с учетом числа банков, существующих в данное
время. Далее он вспомнит, что имеет только частную реализацию
этого процесса банкротств банков, один результат действия функ-
ции р(£) на банки в данный момент времени t. В действительности
у него нет этой информации, вернее, он имеет данные, сгруппиро-
ванные по годам. Поэтому исходные данные, которые ои представ-
ляет себе, пропускаются через окно Ланцоша длиной в одни год и
затем дискретизируются с годичными интервалами. В заключение
последовательность этих данных усекается иа отрезке в 50 лег.
Ранее были тщательно рассмотрены все эти операции над данными,
и читатель теперь хорошо осведомлен о тех эффектах, которые они
-вызовут в спектре данных.
Часто данные собираются и анализируются для того, чтобы
провести экстраполяцию иа будущее. Если неосторожный читатель
использует типовые формулы полиномиальной экстраполяции, то
он сразу же обречет себя иа крайне смелые предсказания, посколь-
ку полиному свойственно устремляться к -}-оо или —оо, как только
он освобождается от ограничений, наложенных на данные. С дру-
гой стороны, часто разумнее попытаться понять основной механизм,
прежде чем проводить поспешную экстраполяцию. Спектральный
подход к анализу справедлив только, если система по своему дей-
ствию линейна или близка к линейной. Если спектральный анализ
представляется исследователю как правильный шаг, то ои изучает
спектр данных, пропущенный, конечно, если это необходимо, через
соответствующее окно.
На этом в нашем примере по существу кончается приложение
введения в цифровую фильтрацию и мы начинаем уходить в сто-
рону от вопросов анализа данных, вступая в область статистики
и экономики.
Большинство случаев лежит между этими двумя крайностями:
а) практически бесконечными потоками данных, характеристики ко-
торых в значительной степени определяются построением систем
•н б) одиночными массивами данных, обычно очень короткими и
практически неувеличиваемыми. Очевидно, что анализ данных яв-
ляется ветвью статистики. Эта книга главным образом связана
с построением фильтров, и в ией не рассматриваются вопросы вы-
бора фильтров для применения в анализе. Поэтому читателю, ко-
торому нужно провести анализ некоторых данных, советуем тща-
тельно учитывать вклад статистики, который она может внести, н
не предполагать, что кто-либо может самостоятельно анализировать
данные без необходимой специальной подготовки по статистике.
Вопрос этот не новый и накоплен значительный опыт, который
-может помочь начинающему (см. [2]).
13.2. Эффекты конечной арифметики
Мы рассматривали действия, которые выполняются
-фильтром так, как будто арифметические вычисления
*212
выполняются точно, без жесткого округления. Однако
на практике бывают случаи, когда использование чисел
с конечной длиной слова вызывает нежелательные по-
следствия.
Читатель, вероятно, понимает, что хотя округление и
влияет на арифметические вычисления, но при доста-
точно многочисленных данных ему будут помогать
центральные предельные теоремы теории вероятностей
и только очень сильные отклонения будут наносить
ущерб. Однако он может упустить тот факт, что когда
округляется коэффициент фильтра, то это округление
сказывается каждый раз при использовании этого коэф-
фициента! По этой причине, помимо прочего, рекомен-
дуется при окончательном расчете фильтра вычислять
и вычерчивать его передаточную функцию для того, что-
бы во-время заметить, если произойдет что-либо особен-
ное; из-за округления в коэффициентах действительный
фильтр на практике может существенно отличаться от
предполагаемого.
Для иллюстрации странных вещей, которые могут
произойти, рассмотрим очень простой рекурсивный
фильтр
j/n = 0,04 Xn + 0,96 yn~t
с хт=100 для всех т. Предположим, что мы начали
с f/o=85. Получим таблицу [1, с. 76],
xk Вычисленнсе Округленное
100 85
100 85,60 86
100 86,56 87
100 87,52 88
100 88,48 88
из которой видно, что мы «застряли» на уп=88. Конеч-
но, математическое решение для п, стремящегося к бес-
конечности, есть //„=100.
Если вычисления начать с #0=Ц5, то получим
таблицу
213
xk Вычисленное Ук Округленное
100 115
100 114,40 114
100 113,44 113
100 112,48 112
100 111,52 112
из которой видно, что мы опять «застряли», но уже
на 112. Следовательно, в этом рекурсивном фильтре
имеется «мертвая зона» шириной 24 единицы.
Другой эффект, на который читатель, вероятно, не
обратил внимание, заключается в предельных циклах.
Установившийся входной сигнал может вызывать на вы-
ходе рекурсивного фильтра циклическое изменение зна-
чений. Переполнение также представляет проблему. Так
что же на самом деле произойдет, если используется
конечная арифметика?
Все такие вопросы приобретают особенно важное
значение, когда фильтр строится из законченных узлов,
обычно из чипов интегральных схем, и имеет широкое
применение (вместо машинных программ на универ-
сальных ЭВМ). К сожалению, чип должен иметь наибо-
лее короткую длину слова (чтобы уменьшить стоимость
и, возможно, время, необходимое для обработки чисел).
В этой ситуации возможен большой разрыв между мо-
делированием на машине и действительной областью
обработки аналогичных данных. Для более активного
изучения этого вопроса читатель отсылается к специаль-
ным книгам, источнику [7] и текущей литературе.
13.3. Сравнение рекурсивных и нерекурсивных фильтров
Ранее внимание было сконцентрировано главным образом иа
нерекурсивных фильтрах, а рекурсивные фильтры рассматривались,
только в двух главах. Когда следует использовать тот илн другой
тип фильтров? Как уже отмечалось, рекурсивные фильтры могут
иметь очень узкую переходную зону при относительно небольшой
длине фильтра. Но это утверждение не означает, что рекурсивный
фильтр требуется в том случае, когда заданы короткие серии дан-
ных. Кроме того, должен учитываться переходной процесс фильтра:
как долго он длится после внезапного изменения. К счастью, в лю-
бой практической ситуации переходный процесс может быть про-
моделирован путем простых вычислений; при этом очень прак-
тичном подходе не требуется сложной теории.
214
С теоретической точки зрения, важным фактором является бли-
зость нулей на комплексной плоскости к действительным частотам
(в обозначеинях, принятых при проектировании, — близость нулей
знаменателя передаточной функции к единичной окружности на z
плоскости). Если переходный процесс фильтра требует для уста-
новления большого времени, то что можно ожидать от применения
должным образом подобранного окна для входного сигнала? Здесь
могут быть даны примерно те же рекомендации, что и при вычис-
лении спектра данных. Переходный процесс может быть до неко-
торой степени минимизирован путем исключения среднего значения
(и возможных тенденций) и применения весовой функции, кото-
рая представляет собой косинусное сглаживающее окно. Действи-
тельная ширина косинусного окна определяется временем установ-
ления фильтра (которое, как отмечалось выше, можно найти экспе-
риментально путем введения в фильтр функции скачка и простого
наблюдения сигнала иа выходе).
Из-за этих проблем, а также и других проблем, подобных фа-
зовым сдвигам, рекурсивные фильтры стремятся использовать в си-
стемах, где имеются очень длинные потоки данных; нерекурсивные
фильтры, которые проще для понимания, расчета и применения
(например, ие нужно беспокоиться о неустойчивости), возможно
использовать в большинстве случаев обработки данных, когда ма-
шинное время не представляет серьезной проблемы. Кроме того,
рекурсивные фильтры имеют значительно меньшую задержку и по-
этому используются при обработке сигналов в реальном масштабе
времени, например в телефонии. Иногда достоинством рекурсивного
фильтра является и то, что он использует меньше арифметики
для более узкой переходной полосы. Однако стоит отметить, что
когда оба типа фильтров имеют одинаковое число подбираемых
коэффициентов, то они примерно одинаково способны удовлетво-
рять различным условиям. Имеется единственный вопрос — узкие
переходные полосы, в котором рекурсивный фильтр обычно имеет
преимущество. Конечно, могут быть найдены конкретные условия,
в которых любой данный фильтр будет лучше, необходимо только
выбрать его передаточную функцию и так задать расчетный кри-
терий, чтобы он выиграл соревнование.
13.4. Спектральная оценка
Спектральная оценка кратко пояснялась в разд. 10.7. Этот воп-
рос есть раздел статистики и, как таковой, ои не подходит для
темы введения в цифровые фильтры. В то же время нам необ-
ходимо выяснить, почему в спектре часто появляется шум в виде
довольно равномерного вклада в спектр сигнала.
Спектр шума чаще всего бывает равномерным, потому что шум
в исходном аналоговом сигнале до дискретизации обычно медленно
убывает при увеличении частоты. Он должен уменьшаться достаточ-
но быстро, чтобы иметь конечную энергию, но все же это изме-
нение медленное. При выполнении, дискретизации наложение (см.
рис. 10.3.1) изгибает спектр шума туда и обратно много раз, и
в результате сумма становится*примерно плоской. (Напомним наше
предположение о том, что шум ие зависит от сигнала и от своих
собственных различных частей.)
Шум, который получается от арифметических вычислений и
от квантования в аналого-цифровом преобразователе, приближает-
215
ся к плоскому на протяжении полосы Найквиста. Поэтому и в этом
случае мы имеем плоский спектр шума.
Но не все шумовые спектры являются плоскими. На практике
часто встречаются особые причины для образования других форм
шума, и мы советуем читателю внимательно изучить характер шума
его системы перед тем, как предположить, что у него плоский
спектр. Хотя это возможно сде-
Рис. 13.4.1. Ложный спектральный
пик
лать несколькими путями, час-
то, как в примере, приведенном
в разд. 13.1 для числа банк-
ротств банков, можно только
изучить источники ошибок в
данных и поинтересоваться, на-
сколько они исказили эти дан-
ные. Перед тем как полагаться
иа свои данные, осторожный
читатель должен просмотреть
книгу Моргенштерна «О точно-
сти экономических наблюде-
ний» [14].
Предположим, что вход-
ной сигнал имеет медленно
спадающий спектр. Если, кан
обычно, среднее значение дан-
ных исключается,, то в спек-
тре сразу же обнаруживается разрыв в точке f—О. Если же
проводится дополнительное сглаживание, например, с помощью
окна фон Ганна для уменьшения пульсаций в спектре, то эффект
устранения среднего значения будет сказываться мало. Значение
спектра прн f=0 увеличится иа малую величину относительно его
нулевого значения, а в следующих одной или двух точках соответ-
ственно уменьшится и в результирующем спектре появится реаль-
ный пик (рис. 13.4.1). Необходимо представлять, что проделывается
с исходными данными, прежде чем пытаться интерпретировать ре-
зультаты, которые получены при вычислениях!
13.5. Прореживание
Термин «decimation» буквально означает взятие каждого деся-
того, однако на практике он обычно означает взятие из ряда лю-
бого другого, кроме следующего (прореживание). Этот процесс
встречается во многих задачах обработки данных и в связи с этим
необходимо сказать несколько слов предостережения.
Вероятно, основная причина прореживания состоит в том, что
в реальной обстановке предпочтительными являются не равноот-
стоящие значения в спектре, а отсчеты частоты, расположенные
значительно более плотно вблизи нуля. Часто бывает желательна
почти логарифмическая расстановка частот в спектре. Б результате
экспериментатору приходится брать очень длинную серию данных
с достаточно плотной расстановкой. Тесная расстановка необходима
для того, чтобы получить высокочастотные компоненты спектра и
избежать наложения, которое возникает, если будет использована
более низкая частота дискретизации. Длинная серия данных берется
исходя из правильного предположения, что низкие частоты, если
216
их нужно точно определить, потребуют большого числа полных
периодов.
При переходе от высокой скорости дискретизации к более низ-
кой сначала данные фильтруются для исключения верхней поло-
вины спектра, а затем из данных через одну точку берутся проре-
женные отсчеты. Эта процедура исключает наложение, которое воз-
никало бы от прореженной дискретизации. Обычно этот процесс
применяют для уменьшения до приемлемых величин объема данных,
используемых при окончательном вычислении спектра. Эффекты на-
ложения на каждой стадии могут быть более или менее скомпен-
сированы путем оценки отличия фильтра от идеала и умножения
значений в верхней части спектра на обратную величину ошибки
в нижней половине предыдущего спектра.
Отметим, однако, что на более ранних стадиях прореживания
единственное, что необходимо, — это следить, чтобы наложение ие
попадало в окончательную полосу, предназначаемую для исполь-
зования. Если наложение все же появляется, то последующие ста-
дии прореживания должны удалить такие частоты.
Получение максимально эффективного снижения скорости дис-
кретизации представляет сложную задачу, недоступную для этой
книги [5].
13.6. Литература
Подбор рекомендуемых книг представляет до некоторой степе-
ни трудную задачу для вводного курса, который раскрывает быстро
развивающуюся область знаний. За то время, в течение которого
источники будут нужны читателю, они могут устареть. К тому же
начинающего, возможно, не интересуют книги повышенного типа,
трудные для понимания. Поэтому в этой книге приводится сравни-
тельно мало источников.
Источник [7] представляет собой очень полную и свежую пуб-
ликацию, подготовленную с помощью ЭВМ. Поэтому читатель от-
сылается к нему как к наиболее общему библиографическому ис-
точнику.
В двух других источниках [8 и 9] собраны опубликованные
статьи, которые рассматриваются как особо важные.
По-видимому, будут появляться и дальнейшие публикации
IEEE, в которых читатель сможет найти необходимые современные
материалы.
Превосходными книгами являются книги Оппенгейма и Шафера
[15] и Рабинера и Голда [17], ио они начинают с предположения,
что теория аналоговых фильтров читателю уже известна. Первая,
предназначается для подготовленных студентов, вторая представля-
ет собой книгу повышенного типа. В книге Стириа [18] особенно
хорошо освещена теорема отсчетов и вообще оиа является более
математически ориентированной, чем две первые книги.
Список литературы
1. Blackman R. В. Data Smoothing and Processing. Reading. Mass.:
Addison-Wesley, 1965.
2. Bloomfield P. Fourier Analysis of Time Series: An Introduction.
New York: Wiley, 1976.
3. Blackman R. B., Tukey J. W. The Measurement of Power Spectra.
New York: Dover, 1958.
4. Brighman E. 0. The Fast Fourier Transform. Englewood Cliffs,
N. J.: Prenctice-Hall, 1974.
5. Crochiere R. E., Rabiner L. R. Optimum FIR Filter Implemen-
tations for Decimation, Interpolation, and Narrow-Band Filte-
ring, IEEE Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, Oc-
tober 1975.
6. Hamming R. W. Numerical Methods for Scientists and Engi-
neers. New York: McGraw-Hill, 1972.
Хемминг P. В. Численные методы для научных работников и
инженеров. — М.: Наука, 1972 (пер. издание 1962 г.).
7. Literature in Digital Signal Processing: Author and Permuted
Title Index. Revised and expanded edition, edited by H. D. Helms,
J. F. Kaiser, and L. R. Rabiner. New York: IEEE Press, 1975.
8. Digital Signal Processing, edited by L. R. Rabiner and С. M. Ra-
dar. New York: IEEE Press, 1972.
9. Signal Proc. Comm. New York: IEEE Press, 1975.
10. Kuo F. F., Kaiser J. F. System Analysis by Digital Computer.
New York: Wiley, 1966.
Русский перевод главы Кайзера «Цифровые фильтры» см. ниже
в [20].
11. Kendall М. A., Stuart A. The Advanced Theory of Statistics,
vol. 3, New York: Hafner, 1968.
12. Lanczos C. Applied Analysis. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-
Hall, 1956.
Лаицош К. Практические методы прикладного анализа. — М.:
Изд-во физ.-мат. литературы, 1961.
13. Lighthill М. J. Fourier Analysis and Generalized Functions. New
York: Cambridge University Press, 1960.
14. Morgenstern 0. On the Accuracy of Economic Observations.
2-nd edition. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1963.
15. Oppenheim A. V., Schafer R. W. Digital Signal Processing. Eng-
lewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1975.
Оппенгейм A. В., Шафер P. В. Цифровая обработка сигналов.—
M.: Связь, 1979.
16. Papoulis A. The Fourier Integral and its Applications. New York:
McGraw-Hill, 1962.
17. Rabiner L. R., Gold B. Theory and Application of Digital Sig-
nal Processing. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1975.
Рабинер Л., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки
сигналов.—М.: Мир, 1978.
218
18. Stearns S. D. Digital Signal Processing. New York: Hayden
Book Co., 1975.
19. Tukey J. W. Exploratory Data Analysis Reading, Mass.: Addison-
Wesley, 1976.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ
20. Голд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов с приложе-
нием работы Д. Кайзера «Цифровые фильтры». — М.: Сов. ра-
дио, 1973.
21. Гольдеиберг Л. М., Левчук Ю. П., Поляк М. Н. Цифровые
фильтры. — М.: Связь, 1974.
22. Введение в цифровую фильтрацию/ Под ред. Р. Богнера и
А. Константинндиса. — М.: Мир, 1976.
23. Мизин И. А., Матвеев А. А. Цифровые фильтры. — М.: Связь,
1979.
Предметный указатель
Блекман 160
БПФ 177
Выборка 16
— дисперсия s’ 21
— конечного размера_ 151
— среднее значение х 22
Выравнивание кривой ошибок 207
Гауссово (нормальное) распреде-
ление 17, 22
— дисперсия 19
— среднее значение 18
Голд 217
Граничные эффекты 13
Группирование данных 14, 166, 211
Децибелы 55
Джуль 56
Дисперсия 19
— суммы 23
Зашумленные данные 117
Инвариантность 32
Интегральная функция распреде-
ления 17
Интеграл Фурье 137, 143
— обратные формулы 138
Интегрирование, правило трапе-
ций 13, 24
--- передаточная функция 48
--- устойчивость 190
— правило Тика 49
---вывод 209
— формула Симпсона 46
Интерполяция Лагранжа 140
— по средним точкам 125
Кайзер 154, 158
Квантование 11, 14, 212
Конусообразная форма данных 181
Коэффициент Фурье 68
Критерий Чебышева 197, 200
Линейные разностные уравнения
189
Линейные системы 32
Математическое ожидание 18
Медиана 19
Метод наименьших квадратов 12,
36, 43
Минимаксный критерий 197, 200
Множество 17
Мода 19
Моделирование шума 117
— по методу Кайзера 164
Моргенштерн 216
Найквист 139
Наложение 25, 176
Некоррелированные ошибки 23
220
Неравенство Бессели 73, 87
Несмещенная оценка 22, 23
Нехватка данных 56
Нечетные и четные фильтры 105
--- функции 71
Ньютон — Котес 50
Окна Блекмана 160
— Гиббса 160
— Кайзера 158
— Ланцоша 83, 105, 110, 158, 212
— модифицированное прямоуголь-
ное 96
— обзор 102
— окрашенные 1'12
— оптимальное по наименьшим
квадратам 102
— прямоугольное 95, 153
— треугольное 111, 112
— фон Ганна 96, 100, 106
— Хемминга 100, 103, 106, 160
Округление 11, 13
— дисперсия 19
— распределение 17
— среднее значение 18
— эффекты 213
Оппенгейм 217
Оптимизация, грубый метод 168
— расчета 167
Ортогональность конечного ряда
Фурье 172
— ряда Фурье 66
Ортонормальность 65
Отсчет 16
Оценка спектра 215
Передаточная функция, интерпо-
ляция 58
— касание 43
— метод наименьших квадратов
41, 43
— средних точек 49
— модифицированное прямоуголь-
ное окно 96
— нехватка данных 56
— правило Тика 49, 50, 209
— правило трапеций 46
— производные 52
— разности 50
— рекурсивные фильтры 182
— сглаживание пятерками 12 37.
123
---тройками 122
---тройками и пятерками 123
---с помощью (2тп+1) точек 40
— — Спенсера 55
— формула Симпсона 48, 190
Плотность вероятности 17
Полиномы наименьших квадра-
тов 36
— Чебышева 198
Полосовой фильтр 104
Правило Тика 50
— расчет 209
— преобразование 190
Приведение к ряду Фурье 130
Прореживание 216
Прямоугольный импульс 69
Рабинер 217
Равенство Парсеваля 73, 87
— Чебышева 208
— Эйлера 31, 86
Равномерное распределение 17
Равноотстоящие отсчеты 24
Разрешение спектральных линий
152
Расчет гладкого фильтра 134
Распределение статистики 21
Ряд Фурье 63
— метод наименьших квадратов 72
— комплексный 86
— конечный 171
— фазовая форма 90
— форма с задержкой 91
Сглаживание Ланцоша 83, НО
— по наименьшим квадратам
--- параболой, второй степени 41
--- параболой третьей степени 13
---параболой' четвертой ' степени
44
---прямой линией 37, 40
— пятерками 12, 38
---с обострением 123
— с помощью 2т,+ 1 точек 40
— тройками с обостроением 122
— — и пятерками с обостре-
нием 123
— Файера 85
— Чезаро 85
Сигма-факторы 84
Слуцкий 56
Собственное значение 24, 28
Собственный вектор 29
Собственные функции 24, 28
— исчисления 33
— линейных систем 32
— равномерной дискретизации 34
— сдвига 31
Спектр мощности 31, 141, 181
Стирнс 217
Стробоскоп 25
Сходимость:
— равномерная 80, 103
— в точке непрерывности 75
— в точке разрыва 79
— скорость 74
Тьюкн 119
Теоремы отсчетов 11, 139, 146
— Парсеваля 150
— сдвига для преобразования
Фурье 146
— свертки для интеграла 149
----для ряда 92, 93
Тождество Чебышева 208
Усиление шума в фильтре 23
Устойчивость 188
Устранение фазовой зависимости*
196
Фазовые отношения 188, 196
Формула сглаживания Симпсона:
— передаточная функция 48
— устойчивость 188
---Спенсера 55
Функция с ограниченной полосой’
138, 146
Цифровые фильтры, аналоговые-
прототипы 15
— Баттерворта ’192, 195
— высокочастотные 104
— гладкие 124
— двухсторонние 197
— дифференцирующие ' 112, 164».
166
— еще одни метод расчета 180
— заграждающие 104
— инвариантные во времени 14
— испытание 116
— каузальные 13
— метод расчета с БПФ 179
:------полосового фильтра 162
— монотонные 125
— нерекурсивные 12, 124
— полосовые 135
— расчет 134
— низкочастотные 104
— расчет 107
— обостряющие 119
— определение 12
— режекторные 104
— рекурсивные 12, 182
— с бесконечной импульсной ха-
рактеристикой 184
— с конечной импульсной харак-
теристикой 184
— с низким уровнем шума 115
— усиление шума 23
— физически реализуемые 13, 184*
— Чебышева 202 , 205
— эллиптические 206
Частота 25
— Найквиста (свертывание) 39
— основная 25
— угловая 25
— циклическая 25
Шафер 217
Эффект мертвой зоны 214
— удаления среднего 215
Явление Гиббса 80, 86, 95, 160
Оглавление
Предисловие редактора перевода...................... . 5
Предисловие . ........... . . 8
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Что такое цифровой фильтр? .... ... 11
1.2. Почему следует интересоваться цифровыми фильтрами? 14
1.3. Как будет трактоваться тема?...................15
1.4. Сравнение универсальных и специализированных ЭВМ . 16
1.5. Необходимые статистические предпосылки.........16
1.6. Распределение статистики.......................21
1.7. Усиление шума в фильтре........................23
Глава 2
ЧАСТОТНЫЙ подход
2.1. Введение.......................................... 24
2.2. Наложение..........................................25
2.3. Понятие собственной функции.............28
2.4. Инвариантность при сдвиге..............30
2.5. Линейные системы...................................32
2.6. Собственные функции равномерной дискретизации ... 34
2.7. Краткие выводы.....................................35
Глава 3
НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ
3.1. Введение...........................................36
3.2. Приближение полиномами по методу наименьших квадра-
тов ....................................................36
3.3. Приближение параболами второй и четвертой степени по
методу наименьших квадратов.............................41
3.4. Интегрирование. Рекурсивные фильтры................46
3.5. Разности и производные.............................50
3.6. Еще о сглаживании. Децибелы........................53
3.7. Нехватка данных и интерполяция.....................56
3.8. Класс нерекурсивных сглаживающих фильтров ... 58
3.9. Пример работы фильтра..............................62
3.10. Краткие выводы.................................. 62
Глава 4
РЯД ФУРЬЕ. НЕПРЕРЫВНЫЙ СЛУЧАИ
4.1. Потребность в теории...............................63
4.2. Ортогональность....................................64
4.3. Формальные разложения..............................67
4.4. Нечетные и четные функции .........................71
4.5. Ряд Фурье и метод наименьших квадратов .... 72
222
4 6. Класс функций и скорость сходимости....................74
4,7. Сходимость в точке непрерывности.......................75
4.8. Сходимость в точке разрыва............................79*
Глава 5
ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ РЯДА ФУРЬЕ
5.1. Введение ..............................................80
5.2. Явление Гиббса...................................80
5.3. Сглаживание Ланцоша. Сигма-факторы...............83
5.4. Комплексный ряд Фурье............................86
5.5. Фазовая форма ряда Фурье.........................90
5.6. Образование нового ряда Фурье. Теоремы свертки . . 91
5.7. Еще о явлении Гиббса.............................94
5.8. Модифицированный ряд Фурье.......................96
5.9. Окно фон Ганна: приподнятое косинусное окно ... 97
5.10. Окно Хеммиига: приподнятый косинус с подставкой . 100
5.11. Обзор рассмотренных окон............................102'
Глава 6
РАСЧЕТ НЕРЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
6.1. Введение..............................................104
6.2. Расчет низкочастотного фильтра........................107
6.3. Обзор постоянно применяемых методов расчета . . . 109
6.4. Дифференцирующий фильтр..............................112'
6.5. Проверка дифференцирующего фильтра на примере обра-
ботки данных............................................116
6.6. Новые фильтры из старых фильтров. Обострение харак-
теристики фильтра......................................119*
Глава 7
ГЛАДКИЕ НЕРЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ
7.1. Возражения против пульсаций в передаточной функции . 124
7.2. Гладкие фильтры.................................127
7.3. Приведение к ряду Фурье.........................130
7.4. Полиномиальная обработка в общем виде .... 132
7.5. Расчет гладкого фильтра.........................134
7.6. Гладкие полосовые фильтры......................135-
Глава 8
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ
8.1. Введеине..............................................137
8.2. Краткое изложение результатов.........................138
8.3. Теорема отсчетов......................................139
8.4. Интеграл Фурье........................................143
8.5. Некоторые пары преобразований ........................144
8.6. Функции с ограниченной полосой и теорема отсчетов . . 146
8.7. Теорема свертки.......................................149
8.8. Эффект конечного размера выборки......................151
8.9. Окна..................................................153
Глава 9
ОКНА КАЙЗЕРА И ОПТИМИЗАЦИЯ
9.1. Окна..................................................154
223.
9.2. Обзор явления Гиббса и окно Лаицоша...............156
'9.3. Окно Кайзера: окно h—sh....................... , 158
9.4. Вывод формул Кайзера.............................162
9.5. Расчет полосового фильтра.........................162
9.6. Снова тот же дифференциатор.......................164
9.7. Частный случай дифференцирования..................166
‘9.8. Оптимизирующий расчет............................167
‘9.9. Грубый метод оптимизации.........................168
Глава 10
КОНЕЧНЫЙ РЯД ФУРЬЕ
10.1. Введение.........................................171
10.2. Ортогональность..................................172
•10.3. Связь между дискретным и непрерывным разложениями 175
10.4. Быстрое преобразование Фурье.....................177
10.5. Косинус-разложения ..............................180
10.6. Другой метод расчета.............................180
10.7. Вычисление спектра мощности......................181
Глава 11
РЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ
11.1. Почему нужны рекурсивные фильтры?................182
11.2. Приведение к более простой форме.................185
11.3. Устойчивость и г-преобразоваиие..................188
11.4. Фильтры Баттерворта..............................192
11.5. Простой пример расчета фильтра Баттерворта . . . 195
.11.6. Устранение фазовой зависимости. Двухсторонние филь-
тры ...............................................196
Глава 12
ЧЕБЫШЕВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ФИЛЬТРЫ ЧЕБЫШЕВА
12.1. Введение.........................................197
12.2. Полиномы Чебышева................................198
12.3. Критерий Чебышева................................200
12.4. Фильтры Чебышева.................................201
12.5. Фильтры Чебышева типа 1.........................202
12.6. Фильтры Чебышева типа 2................' . . . .205
12.7. Эллиптические фильтры..........................206
12.8. Выравнивание кривой ошибок.......................207
12.9. Тождество Чебышева.............................208
12.10. Пример расчета интегратора....................209
Г л а в а 13
НЕКОТОРЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ
13.1. Типы задач по расчету фильтров........211
13.2. Эффекты конечной арифметики . ............212
13.3. Сравнение рекурсивных и нерекурсивных фильтров . . 214
13.4. Спектральная оценка............................215
13.5. Прореживание...................................216
13.6. Литература.....................................217
Список литературы.......................................218
Предметный указатель.................................220