П.Маслов, М.В. Федорюк
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
В книге рассматривается многомерное квазиклассическое приближение для
уравнений квантовой механики. В первой части излагается квантование поля
скоростей для гамильтонианов общего вида. Во второй части для релятивистских
и нерелятивистских уравнений квантовой механики рассматриваются в
квазиклассическом приближении задача Коши для начальных данных,
удовлетворяющих принципу соответствия, задача о рассеянии, асимптотика
спектральных серий.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и научных работников в
области теоретической и математической физики.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие	4
Введение	5
Часть I
Квантование поля скоростей (канонический оператор)
§ 1. Метод стационарной фазы. Преобразование Лежандра	36
§ 2. Псевд о дифференциальные операторы	56
§ 3. Уравнение Гамильтона — Якоби. Система Гамильтона	76
§ 4. Лагранжевы многообразия и канонические преобразования	106
§ 5. Преобразование Фурье А.-псевдодифференциального оператора	123
(переход в/7-представление)
§ 6. Предканонический оператор (квантование поля скоростей в малом) 130
§ 7. Индекс кривой на лагранжевом многообразии	146
§ 8. Канонический оператор (квантование поля скоростей в целом)	159
§ 9. Квантование поля скоростей в целом. Высшие приближения	176
Часть II
Квазиклассическое приближение для нерелятивистских и релятивистских
уравнений квантовой механики
§ 10. Задача Коши с быстро осциллирующими начальными данными для 181
скалярных гамильтонианов
§ 11. Матричные гамильтонианы	201
§ 12. Квазиклассическая асимптотика задачи Коши для уравнения	232
Шредингера
§ 13. Асимптотические серии собственных значений (правило квантования 258
Бора)
§ 14. Квазиклассические приближения для релятивистского уравнения	281
Дирака
Литература	292

ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей книге излагается один из асимптотических
методов линейной математической физики — метод кано-
канонического оператора. Эта книга является продолжением
и развитием работ [38], [39], [43].
Основные идеи настоящей книги изложены во введе-
введении. Книга состоит из двух частей. В первой части по-
построена теория канонического оператора, во второй части
книги приведен ряд приложений канонического оператора
к конкретным задачам математической физики.
Авторы считают своим приятным долгом выразить
благодарность С. М. Цидилину, сделавшему ряд ценных
замечаний.
Авторы

ВВЕДЕНИЕ
1. Различные задачи математической и теоретической
физики приводят к дифференциальным уравнениям с част-
частными производными, которые содержат малый параметр
при старших производных. Для построения приближенных
решений таких уравнений издавна применяются асимпто-
асимптотические методы.
В последние десятилетия асимптотические методы ли-
линейной математической физики переживают период расцве-
расцвета. Сфера действия этих методов расширяется: они не
только продолжают применяться в традиционных разде-
разделах математической физики, но и оказывают существенное
влияние на развитие общей теории дифференциальных
уравнений с частными производными. В последнее время
выяснилось, что существует единый подход к целому ряду
задач, которые на первый взгляд весьма далеки друг от
друга. Именно, одни и те же методы применяются к задаче
об исследовании особенностей элементарных решений диф-
дифференциальных уравнений, к вопросам локальной разре-
разрешимости дифференциальных уравнений, к исследованию
асимптотики решения задачи Кощи с быстро осциллирую-
осциллирующими начальными данными, к задаче о распространении
разрывов фундаментального решения гиперболического
уравнения, к задаче о рассеянии в квазиклассическом
приближении для уравнений квантовой механики, к по-
построению высокочастотной асимптотики задач теории
дифракции волн, к задачам об асимптотике собственных
значений и собственных функций дифференциальных опе-
операторов, к исследованию особенностей решений диф-
дифференциальных уравнений с частными производными
с аналитическими коэффициентами и к другим задачам.
В настоящей книге излагается один из основных асим-
асимптотических методов линейной математической физики —
метод канонического оператора и приводится ряд прило-
приложений метода к конкретным задачам. Этот метод по-
позволяет построить асимптотику в целом решения задачи

6	ВВЕДЕНИЕ
Коши с быстро осциллирующими начальными данными,
решения задачи о поле точечного источника в неоднород-
неоднородной среде в коротковолновом приближении и решений
ряда других задач. Мы надеемся, что возможности метода
канонического оператора далеко не исчерпаны; в част-
частности, этот метод, несомненно, найдет применение к крае-
краевым задачам математической физики.
Метод канонического оператора является отражением
глубокого дуализма волна — частица: в квазиклассиче-
квазиклассическом приближении квантовомеханические величины описы-
описываются в терминах классической механики, а законы вол-
волновой оптики переходят в законы геометрической оптики.
Математическим эквивалентом этого дуализма служит
двойственность, связывающая преобразование Фурье и ка-
касательные преобразования.
В основе метода канонического оператора лежат идеи,
восходящие к П. Дебаю, Г. Биркгофу [73], В. А. Фоку
[62], С. Л. Соболеву [52], Ж. Лере [34] и многим другим
математикам и физикам.
Во введении к настоящей книге мы постарались, от-
отвлекаясь от необходимых, но достаточно громоздких,
технических деталей, изложить все основные идеи, методы
и результаты настоящей книги.
2. Типичным примером задач, которые рассматривают-
рассматриваются в настоящей книге, является задача Коши с быстро
осциллирующими начальными данными для уравнения
Шредингера
(О-2)
Здесь х ? Rn, функции V (х), So (x) вещественнозначны
и бесконечно дифференцируемы, функция ip0 (х) ? С™ (Rn),
т. е. финитна и бесконечно дифференцируема. Требуется
вычислить асимптотику решения задачи @.1), @.2) при
h -> +0 и при х ? R™, 0 s^ t ^ Т, т. е. за любое конечное
время Т.
Соответствующие асимптотические формулы носят на-
название «квазиклассическое приближение» или «квазикласси-
«квазиклассическая асимптотика».

ВВЕДЕНИЕ	7
Обобщая эту задачу, рассмотрим уравнение
L (x, X~lDx) и (х) = 0, хе R",	@.3)
во всем пространстве R". Здесь X > 0 — большой пара-
параметр, L — дифференциальный оператор
т
L (x, X'lDx) = 2 «« (*) (Я^Дс)"
и приняты стандартные обозначения: а=(щ, а2,. . ., ап) —
мультииндекс, а7- ^ 0 — целые числа, | а | = а{ -)- а2 +
+ • • • + а»,
i дхп
Функция
m
/7 (X, р) = ^/j Лог ^х) р
|а/=0
называется символом оператора L (здесь р = (pi, р2, . . .
• • •, Рп))-
Уравнение Шредингера @.1), очевидно, имеет вид @.3),
где X = Л:
(jF — двойственная к f переменная). Угловыми скобка-
скобками (•, ¦ } здесь и далее обозначается скалярное произве-
произведение (неэрмитово).
Многие уравнения математической физики также име-
имеют вид @.3), например уравнение Гельмгольца — уравне-
уравнение волновой оптики и волновой акустики:
(А + /с2я2 (х)) и (х) = 0.
В данном случае к = X, а символ L (после деления на к2)
имеет вид
L (х, р) = —(р,"р} + п2(х).
Асимптотические (при к -> + °°) формулы для реше-
решений уравнения Гельмгольца называются тротковолтш-
ми (или высокочастотными) асимптотиками.

8	ВВЕДЕНИЕ
Вид @.3) имеют также система уравнений Максвелла,
система Дирака, система линейной теории упругости
и многие другие.
Нас интересует асимптотика при к-> +оо некоторого
решения уравнения @.3) во всем пространстве R". Не
будем пока уточнять постановку задачи; в качестве при-
примера можно представить себе задачу о рассеянии для
уравнения Гельмгольца.
Начнем с еще более простой задачи о построении асим-
асимптотического решения при Я-v-foo уравнения @.3)
в некоторой области пространства R*. Решив эту локаль-
локальную задачу, можно затем попытаться сшить из локальных
решений решение в целом.
Задача о построении асимптотики решений, как извест-
известно, состоит из двух частей: 1) построение формального
асимптотического решения; 2) строгое обоснование полу-
полученной асимптотики.
Методы решения этих двух задач, как правило, абсо-
абсолютно различны, и во введении будет рассматриваться
только первая из них.
Сделаем еще одно замечание с тем, чтобы не возвра-
возвращаться к этому вопросу.
Замечание. Коэффициенты оператора L пред-
предполагаются бесконечно дифференцируемыми при всех
х ? R™, а в случае надобности — финитными или же
быстро выходящими на константы при | х | -> оо. Символ
L (х, р) вещественнозначен. Далее, во введении мы позво-
позволим себе излагать все факты на уровне общего положения,
т. е. писать утверждения, которые становятся математи-
математически корректными после добавления естественных пред-
предположений. Корректное изложение всех этих фактов
и составляет содержание настоящей книги.
3. Будем искать решение уравнения @.3) в виде фор-
формального ряда
и (х, К) = exp [iUS (х)] Ц (Щ-' фу (х),	@.4)
3=0
где S (х), фу (х) — неизвестные функции. Если коэффи-
коэффициенты оператора L постоянны, то уравнение @.3) имеет
точные решения в виде плоских волн
и(х, %) = ех$[И(х, р)],

ВВЕДЕНИЕ	9
где р — постоянный вектор. Функцию @.4) можно интер-
интерпретировать как искаженную плоскую волну.
Этот метод — искать решение в виде @.4) — издавна,
еще со времен Грина и Лиувилля A837 г.), был известен
в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Для
уравнений с частными производными этот метод был
предложен знаменитым английским физиком и математиком
П. Дебаем в 1911 г., а также Вентцелем, Бриллюэном,
Крамерсом для задач кантовой механики (метод ВКБ).
Подставим ряд @.4) в уравнение @.3), сократим на
экспоненту exp (ikS) обе части полученного уравнения
и приравняем к нулю коэффициенты при степенях (Л)°,
(г^). Коэффициент при (ilH равен L(x, dS (х)/дх)<р0 (х);
отсюда находим, что
*М0.	@.5)
Для уравнения Шредингера уравнение @.5) есть уравне-
уравнение Гамильтона — Якоби классической механики:
Решение уравнения @.6) есть классическое действие.
Уравнение @.5) будем называть уравнением Гамильто-
Гамильтона — Якоби или характеристическим уравнением, отвеча-
отвечающим уравнению @.3). Для уравнения Гельмгольца харак-
характеристическое уравнение есть известное из геометрической
оптики уравнение эйконала:
(S/S {x)f = п* (х).
Функцию S (х) — решение уравнения Гамильтона — Яко-
Якоби — будем называть характеристикой оператора L
или действием (по аналогии с уравнением @.6)). Мы рас-
рассматриваем только вещественные характеристики. Иными
словами, уравнение
L (х, р) = 0,
где р = (рг, . . ., рп), должно определять С^-многообразие
максимальной возможной размерности 2га—1 в простран-
пространстве Щ X Щ.
Уравнение Гамильтона — Якоби @.5) есть нелинейное
уравнение с частными производными первого порядка.
Такое уравнение может либо вовсе не иметь решений без

10	ВВЕДЕНИЕ
особенностей во всем пространстве R™, либо класс таких
решений может оказаться весьма бедным. Например, вся-
всякое решение уравнения эйконала (vS (х))г = 1, принад-
принадлежащее С°° (Щ), является линейной функцией х. Это
и есть та основная трудность, с которой мы сталкиваемся
при попытке построить асимптотическое решение в целом—
во всем пространстве. Нельзя построить решение в целом
в виде ряда @.4) — для построения решения в целом
требуются новые идеи.
Начнем с исследования уравнения Гамильтона — Яко-
би @.5). Чтобы выделить единственное решение, поставим
задачу Коши на {п—1)-мерном многообразии х = f (г/),
у 6 U, где U — область в Щ'1:
S (х) = So (у).	@.7)
Одним из самых замечательных достижений анализа
является сведение интегрирования задачи Коши @.6),
@.7) для нелинейного уравнения первого порядка с част-
частными производными к интегрированию задачи Коши для
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
йх_ ___ дЬ (х, р) jlp_	dL (х, р)	,п Q.
dt ~~ dp ' dt~	дх	К >
С данными Коши
*1<=о = *°М, р|*=о=Р°(гу), уеи. @.9)
Здесь х° (у) = / (у), а/ (у) будет указано ниже. Систему
@.8) будем называть системой Гамильтона, ассоцииро-
ассоциированной с оператором L, или бихарактеристической систе-
системой. Фазовые траектории системы Гамильтона {х —
= х (t, у), р = р (t, у)} в фазовом пространстве R!%
будем называть бихарактеристиками уравнения @.3)
или просто траекториями, а их проекции х — х (t, у)
на RS — лучами. Ниже мы используем ряд известных
фактов из теории уравнений с частными производными и из
классической механики (см. [4], [13], [16], [26], [51], [52]).
Переменные х будем называть координатами, переменные
р — импульсами.
Вдоль бихарактеристики имеем
dS=*{p, dx).	@.10)

ВВЕДЕНИЕ	11
Причина, в силу которой решение S (х) задачи Коши
@.6), @.7) может оказаться негладкой функцией, такова,
фазовые траектории гамильтоновой системы не пересека-
пересекаются в силу теоремы существования и единственности для
нормальной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений. (Пусть, для простоты, решение задачи Коши
@.8), @.9) существует и бесконечно дифференцируемо при
всех t ? R.) Однако проекции бихарактеристик на я-про-
странство, т. е. лучи х = х (t, у), могут пересекаться,
касаться, собираться в одну точку
и т. д. Поясним более подробно, к чему
это приводит. Функция S, в силу
@.7), @.10), имеет вид
t
где интеграл берется вдоль траекто-
траектории х = х (t, у), р = р (t, у). Таким
образом, S — гладкая функция в «кри-	Рис. 1.
волинейных координатах» (t, у). Если
соответствие ж-*-»- х (t, у) взаимно однозначно, то вместо
координат (ж'х, . . ., хп) можно ввести координаты (t, у у,-..
. . ., yn-i). Для этого необходимо отличие от нуля якобиана
При t = 0 этот якобиан отличен от нуля, что будет
показано ниже; однако вовсе не обязательно, чтобы якоби-
якобиан / (t, у) был отличен от нуля при всех (t, у). В точках,
где / = 0, переменные (t, уи . . ., yn-i) являются неглад-
негладкими или неоднозначными фукциями от (хъ . . ., хп),
так что S будет негладкой или неоднозначной функцией
от х. В оптике принято называть многообразия, на кото-
которых / (t, у) = 0, каустиками семейства лучей х =
= х (t, у) (у ? U, t ? R), а точки на луче х = х (t, y°),
в которых / {t, у0) = 0, — фокальными точками (рис. 1).
Итак, существование каустик семейства лучей х =
= х (t, у) есть препятствие к построению асимптотики
вида @.4) в целом.
4. Заметим, что хотя семейство лучей х — х (t, у)
имеет каустики, семейство траекторий х =* х (t, у), р =

12	ВВЕДЕНИЕ
= р (t, у) не имеет каустик. Пусть gl — сдвиг за время t
вдоль траекторий; в частности, g* (х° (у), р° (у)) =
= (х (t, у), р (t, у)). Данные Коши @.9) определяют
(п — 1)-мерное многообразие Л8 в фазовом простран-
пространстве. Это многообразие вовсе не является произвольным:
необходимым условием согласования задач Коши для
уравнения Гамильтона — Якоби и для системы Гамиль-
Гамильтона является, в силу @.10), так называемое «условие
полоски»:
(р°(у), dx° (y))= dS0(y), y?U.
Это условие означает, что дифференциальная 1-форма
п
со1 = (р, da;>= S Pjdxj	@.11)
i=i
замкнута (т. е. dco1 = 0) на начальном многообразии Л?'1.
Многообразия в фазовом пространстве Rx%, на которых
замкнута форма со1, т. е.
п
dco1 = 2 dpj Д dxj = 0,	@.12)
называются лагранжевыми многообразиями и являются
важнейшим объектом аналитической механики. Иными
словами, лагранжево многообразие — это такое много-
многообразие, на котором \ (р, dx) не зависит от пути (ло-
(локально). Как известно из аналитической механики, сдвиг
gl сохраняет форму со2 = dco1, так что при сдвиге вдоль
фазовых траекторий лагранжево многообразие переходит
в лагранжево. В частности, многообразие Л? — g1^'1 лаг-
лагранжево. Более того, «трубка траекторий»,т.е. множество
Л" = U g'M-1,
-с» < t < <х>
есть (п -f- 1)-мерное лагранжево многообразие. Для про-
простоты будем считать его односвязным (рис. 2).
Лагранжево многообразие вложено в 2гс-мерное про-
пространство Rl%, которое будем называть фазовым про-
пространством. Введем обозначение г = (х, р) для точек
фазового пространства.
Лагранжево многообразие Лп+1 и есть тот основной
классический объект, который ассоциирован с квантовым

ВВЕДЕНИЕ
объектом — оператором L:
L (х, Л-
Л".
Мы поставим во главу угла не уравнение Гамильтона —
Якоби, а его решение S (х) и лагранжево многообразие Л™.
На лагранжевом многообразии (односвязном) Л™ одно-
однозначно определена функция
@.12')
го
р
(Здесь г°, г ? Л™, точка г° фиксирована, интеграл берется
по любому пути на Л™, соединяющему точки г° и г.)
Если точка г = (х, р) ? Л™
лежит вблизи начального
многообразия Ло, то р одно-
однозначно выражается через х:
р — р (х). Поэтому S (г) =
= S(x) (r=(x, p (ж))); для
краткости мы обозначаем од-
одной и той же буквой S и функ-
функцию S (г), определенную на
многообразии Л™, и действие
S (х). Но функция S (г), в от-
отличие от S (х), определена
глобально. Функция S (г)
является своеобразным «ана-
«аналитическим продолжением» функции S (х), а многообразие
Л™ — это аналог римановой поверхности для функ-
функции S (х).
Положим Лу = Л™ П {0 < t < Т) — это кусок труб-
трубки траекторий. До тех пор, пока Л? диффеоморфно
проектируется на R", функция S (х) является глад-
гладкой, а функцию S (г) можно рассматривать как функ-
функцию от х.
Лагранжево многообразие Л™ обладает следующим
замечательным свойством: в качестве локальных коор-
координат на Л™ всегда можно взять либо х, либо р,
либо набор
(ос) =

14	ВВЕДЕНИЕ
не содержащий сопряженных координат и импульсов
(т. е. пар вида (xj, р})). Следовательно, локально S (г) есть
функция либо от х, либо от р, либо от [ (Р(сс), х <Р)). В окре-
окрестности точки г ? Л'\ которая не проектируется диффео-
морфно на Щ, можно перейти либо в р-преОставление
(т. е. взять в качестве координат импульсы р), либо в сме-
смешанное (ж, /^-представление (р(а), х^). Переход в р-
представление осуществляется с помощью преобразования
Лежандра.
Теперь наша задача заключается в том, чтобы перейти
в ^-представление (или в смешанное координатно-импульс-
ное представление) в исходном уравнении @.3).
5. Для того чтобы знать приближенное решение урав-
уравнения @.3), например, с точностью до О(к~г), необходимо
найти функцию ф0 (ж) (см. @.4)). Для функции ф0 {х)
получаем уравнение
/ дфо {х) дЬ(х, р)\ 1 -л д*Ь (х, р)
\ дх ' др.- /2.^ Spjdph
X	^-фо(ж) = О, @.13)
где р = 3S (х)/дх. Рассмотрим это уравнение вдоль луча
х = х (t, у). Тогда, как нетрудно видеть,
\ дх ' ~др / ~ dt '
где dldt — производная в силу системы Гамильтона @.8),
так что @.13) — это обыкновенное дифференциальное
уравнение вдоль луча х = х (t, у) (при фиксированном у).
Оно называется уравнением переноса. Применяя извест-
известную формулу Лиувилля, получаем, что уравнение перено-
переноса имеет вид
•Фо = О, @.14)
где х = х (t, у), р = р (t, у), J = J (t, у). Отсюда немед-
немедленно вытекают два важнейших факта.

ВВЕДЕНИЕ
15
1. Справедлива формула коммутации
= exp (US) -^j [L (х, р) ф + ± Rl
@.15)
где i?i — оператор первого порядка:
п
d
I
x, p)
dXjdpj
и р = dS (хIдх в формулах @.15), @.16).
2. Главный член асимптотики решения и (х, X) имеет
вид
		t
t n
О ;=1
Здесь х = х (t, у), р = р (t, у).
Более точно, формула @.17) определяет формальное
асимптотическое решение уравнения @.3) (т. е. Lv =
= О (к~2), где v — правая часть формулы @.17), и v имеет
порядок О A)).
Как видно из формулы @.17), главный член асимптоти-
асимптотики решения уравнения в частных производных @.3) вы-
выписывается в терминах классической механики — его
можно вычислить, если известно решение задачи Ко-
ши @.9) для системы Гамильтона @.8). По этой причине,
в частности, асимптотические формулы типа @.17) носят
название «квазиклассическое приближение».
Выше уже была установлена связь между функцией S
и лагранжевым многообразием Л"; установим аналогичную
связь между якобианом / (t, у) и многообразием Л".
Точка г = (х, р) ? Л™ параметризуется переменными (t, у);
положим г (t, у) = (х (t, у), р (t, у)). Введем на Л™ объем
dan (r) по формуле
da" (r (t, у)) = dt dy.

16	ВВЕДЕНИЕ
Объем dan инвариантен относительно динамической систе-
системы @.8). Имеем
dx
\J(t,y)\ =
dan (r)
Введем на Лп (в предположении, что Л™ диффеоморфно
проектируется на Щ) оператор
г
(КАпЦ> (г)) (х) = j/| ^Ц exp [iK j (p, dx)] Ф (х),
го
@.18)
где г = (х, р), г° ? Лп — фиксированная точка. Тогда,
в силу @.15), @.16), справедлива формула коммутации
= КАп [L (х, р) Ф (r) + ±Ri(p (г)] (х) + О (Х-*), @.19)
или, коротко,
ХК = К(Ц + ^Д1)	@.19')
с точностью до О (Я). Прокоммутировав X с К, получа-
получаем значительно более простой оператор L 4- "TT-^i' чем
исходный оператор <!?, так как L есть оператор умножения
на функцию L (x, p), a i?i — дифференциальный оператор
первого порядка.
Теперь задачу о построении асимптотического решения
уравнения @.3) можно решать так: будем искать решение
в виде
( 1)	@.20)
Применение формулы коммутации @.19) дает уравнения
L (х, р) = 0, #1ф0 = 0
и т. д. Первое уравнение — алгебраическое, второе —
уравнение переноса, т. е. обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка вдоль фазовой траектории
системы Гамильтона.
Итак, в случе, когда Л™ диффеоморфно проектируется
на RS, процедура построения асимптотического решения

ВВЕДЕНИЕ	17
имеет вид
X -+ Л" -»- КАп.
кв кл
Здесь X — квантовый объект, Л™ — классический объект,
КАп — квазиклассический объект.
Приведенные выше результаты изложены в §§ 1—4.
6. Перейдем к ^-представлению в исходном уравне-
уравнении @.3). Заметим прежде всего, что оператор L можно
представить в виде
L (х, X^DX) и(х) = F^XL (x, p) FK, x^pu (х). @.20')
Здесь F%t х^р есть %-преобразование Фурье:
j exp [ — ik (x, p)] и (х) dx,
Rn
Следуя Фейнману, будем записывать оператор @.20')
2	1
в виде L (x, K~lDx), т. е. сначала производится дифферен-
дифференцирование, а затем умножение на функции от х (см. @.3)).
Формулу @.20') примем в качестве определения К-
псевдодифференциалъного оператора (X = п.д.о.). Если
символ L (х, р) — полином по переменным р, то оператор
2	1
Х= L (x, k~1Dx) — дифференциальный. В противном
случае оператор X не является дифференциальным, однако
сохраняет, при подходящем выборе класса символов
(см. § 2), ряд важных свойств дифференциального операто-
оператора. В частности, при X —*- -{¦ оо справедливо асимптоти-
асимптотическое разложение
оо
X [ф (х) exp HIS (х))] — exp [i%S (х)] У} (И)~} <р,- (х),
3=0
где ф g С™ (R"), S ? С°° (Rn), S — вещественнозначная
функция (в случае дифференциального оператора ряд
обрывается). Это позволяет искать асимптотическое реше-
решение уравнения @.3) в виде @.4) и в том случае, когда X
является не дифференциальным, а Х-псевдодифференци-
альным оператором.
В настоящей книге рассматриваются ^-псевдодиффе-
ренциальные операторы с символами класса Г+. Опишем
2 В. П. Маслов. М. В. Федорюк

18	ВВЕДЕНИЕ
этот класс, для простоты, в случае, когда символ L (х, р)
не зависит от К. Функция L (х, р) ? Т+, если эта функция
бесконечно дифференцируема при всех (х, р) ? R? X Rp
и если справедливы оценки
(х, р) | < СаЭ A +1 х \)m A + \р \Г,
(х, p)GR^xRp,
для любых мультииндексов а, |3.
Объединение [} Т™ всех классов Г+ обозначим через Т+.
тЕН
В частности, если L (х, р) — полином степени не выше,
чем т., то L ? Г™, так что дифференциальные операторы
с полиномиальными коэффициентами содержатся среди
рассматриваемых нами операторов. Далее, дифференци-
дифференциальные операторы с коэффициентами, достаточно быстро
стабилизирующимися при | х \ -> оо, также принадлежат
классу Т+. Кроме того, класс Т+ содержит операторы сдви-
сдвига, т. е. операторы вида
Х1 (х) =f(x + h),
где h ? R" — постоянный вектор. Символ L такого опера-
оператора равен exp [i {x, h)] и принадлежит классу Т\.
В § 2, теорема 2.12, доказано, что композиция Х-псевдо-
дифференциальных операторов (с символами класса Т+)
есть снова ^-псевдодифференциальный оператор с симво-
символом класса Т+.
Будем искать решение уравнения @.3) в виде ^-пре-
^-преобразования Фурье от функции v (p, К):
и(х, %)^F^p^xv(p, I).
Подставляя в уравнение @.3) и применяя слева оператор
Fx, р-х> получаем уравнение @.3) в р-представлении:
где обозначено
X = FK X^PL (x, K-Wx) Fi^x.	@.21)
Оператор X будем называть преобразованием Фурье опе-
оператора X. Нетрудно видеть, что
X = L(-X~1bp, p).

ВВЕДЕНИЕ	19
Если X имеет вид @.3), то
m
Xv = 2j (— lk~iDp)<l (aa(p) v).
|a|=0
Оператор Х есть снова Я-п.д.о., т. е. класс Я-п.д.о.
инвариантен относительно ^-преобразований Фурье. По-
Поэтому частное асимптотическое решение уравнения @.3).
можно искать в виде Я-преобразования Фурье от быстро
осциллирующей экспоненты, т. е. от ряда вида @.3):
оо
и (х, I) = Fi \^x [exp (iXS(p)) 2 (Щ~* <Pj (РI • (° 22)
3=0
Аналогично можно искать решение в виде Я-преобразова-
ния Фурье по части переменных.
Новый класс асимптотических решений вида @.22)
и позволяет решить задачу о построении асимптотики ре-
решения уравнения @.3) в целом. Коротко процедуру по-
построения решения можно описать так. Если над областью
Q c~ Rx лежат только такие области («листы») лагранжева
многообразия Л™, которые диффеоморфно проектируются
на Q, то решение и равно сумме экспонент вида @.4) (по
числу листов). Если область Q содержит каустику, то
в окрестности каустики решение имеется в виде экспо-
экспоненты в ^-представлении (т. е. имеет вид @,22) либо ана-
аналогичный, где ^-преобразование Фурье берется по части
переменных). Из этих кусков сшивается асимптотическое
решение в целом.
Исследуем более подробно структуру решения в ^-пред-
^-представлении. Поскольку X есть снова Я-п.д.о., то ясно, что
для решения v уравнения Xv = 0 справедлива формула
вида @.17). Формула коммутации вида @.19), очевидно,
имеет место и в ^-представлении.
При использовании ^-представления мы немедленно
сталкиваемся с проблемой выбора представления. Именно,
пусть Л™ диффеоморфно проектируется и на R2, и на Щ.
Поэтому асимптотическое решение можно искать в ви-
виде @.4) и в виде @.22). Как связаны между собой эти
представления решения?
Чтобы разобраться в этом, вычислим асимптотику К-
преобразования фурье быстро осциллирующей экспонен-
экспоненты. Пусть функция ф (х) 6 Со (Rn), функция S (х) 6 С°° (Rn)
2*

20
ВВЕДЕНИЕ
и функция S (х) вещественнозначна, F = F%_ x^.p. При-
Применяя метод стационарной фазы (см. § 1), получаем
11/2
F [ср (х) | det ^L \Ш exp (OS (x))] (р) =
(
det-
др
1/2
X
@.23)
В этой формуле р = , -, «S1 (/») — функция, двойствен-
двойственная по Юнгу к функции S (х) (так что х — —~- \, и т =
= inerdex
Матрица
д ^
— симметри-
симметрическая, inerdex4 — отрицательный индекс инерции (число
отрицательных собственных значений) вещественной сим-
симметрической матрицы А.
При выводе асимптотической формулы @.23) пред-
предполагается, что матрица S"xx (x) невырождена на supp ср.
Формула @.23) выражает еще один интересный факт:
^-преобразование Фурье локализованной быстро осцил-
осциллирующей экспоненты снова является локализованной
быстро осциллирующей экспонентой. Действительно,
^-преобразование Фурье функции ср exp (i%S), где ср —
финитная гладкая функция и det S'xX ф 0 на supp ср, име-
имеет вид ср exp (ikS) + О (кг1), где ср — финитная функция.
Исходя из этого результата, введем оператор на Л":
(?д„ф (Г)) (X) =
7-0
ср (г)) (х). @.24)
Здесь г = (х, р) и х = х (р) — уравнение многообразия Л".
Нетрудно проверить, что справедлива формула коммута-
коммутации
@.19")
(с точностью до О(к~2)). Вычисляя асимптотику интегра-
интеграла @.24) по методу стационарной фазы, получаем связь

ВВЕДЕНИЕ	21
между К я К:
#ф = е-*ят/2#ф + 0(Х~{).	@.25)
Здесь т — целое число,
т = merdex ——^-.
др
Итак, с точностью до множителя einm/z (и с точностью до
слагаемого порядка О (Ягх)) имеем К = К. Аналогично
обстоит дело и в том случае, когда Л" диффеоморфно проек-
проектируется на R" и на R™ _ х . Мы изложили результаты
§§ 5, б настоящей книги.
Очевидно, что число т (см. @.25)) достаточно знать
по модулю 4, так как e2ni = 1. Сравнение различных
представлений для решения приводит к некоторому цело-
целочисленному инварианту mod 4. Именно, пусть Л™ диффео-
диффеоморфно проектируется на лагранжевы координатные пло-
плоскости (р(О), ж(р)) и (рE), Ж(р)). Тогда во всех неособых
точках г ? Л (т. е. таких, окрестности которых диффео-
диффеоморфно проектируются на R3) имеем
inerdex to'8> (r) = merdex *(g *" (mod 4).
7. Построим асимптотическое решение уравнения @.3)
в целом. Устроим покрытие многообразия Л™ картами
{Qj-}, в каждой из которых в качестве локальных коорди-
координат можно взять либо х, либо р, либо специальный набор
(Рса>> Ж(Р))> не содержащий сопряженных координат
и импульсов. Устроим С°°-разбиение единицы: 1 =
s X eJ (r)' supp ejcz Qj, и рассмотрим функцию
г)) (ж) = S cjJf (Q7) (е,- (г) Ф (г)) (ж). @.26)
Здесь ф ? Со^Л"), су- — некоторые постоянные. Опера-
Оператор К (Qj) имеет вид @.18), если х — координаты в Qj,
вид @.24), если р — координаты в Q/, и аналогичный вид
F.3), если координаты в Q;- суть (р(а), Хф}). Многообра-
Многообразие Л" предполагается односвязным (иначе \ (р, dx)
Может зависеть от пути).

22	ВВЕДЕНИЕ
Остается объяснить выбор постоянных cj. Мы выбе-
0
рем их так, чтобы для оператора К = К^п была спра-
справедлива формула коммутации
О(к-*).	@.27)
Пусть, для простоты, атлас {Qj} состоит из двух карт
Q1; Q2, их пересечение Q12 = Qx f] Q2 является областью,
функция ф 6 Cq(Q12). Далее, пусть L (х, р) = 0,
LxjP(x, р) = 0 на Лп, 1 ^ / ^ п. Положим Kj = К (Q)
Имеем из @.19), @.19')
ХКср = X [с,К, (в1ф) 4 c2Z2 (е2ф)) =
Для того чтобы формула коммутации была справедлива,
необходимо и достаточно, чтобы выражение в квадратных
скобках имело порядок О (Я). Из @.25) имеем при
2 К^ +О
так что выражение в квадратных скобках равно
Следовательно, должна выполняться тождество
в Ql2. Так как ех + е2 ^ 1 в Q12, то -^ -f- -^|- ^ 0,
и поэтому
Это и есть необходимое условие сшивки.

ВВЕДЕНИЕ	23
Анализ процедуры сшивки показывает, что коэффи-
коэффициент Cj выражается через величину
ind I (г°, г).
Здесь I [г°, г] — путь, соединяющий неособые точки г° ?
? Ап и г 6 Qj, индекс ind — некоторое целое число.
Подробное определение и свойства индекса ind, который
был введен одним из авторов настоящей книги [38],
[39], приведены в § 7.
Если ind 1 = 0 для любого замкнутого пути I на Л™,
то формула @.26) определяет оператор
который называется каноническим оператором.
Важнейшим свойством канонического оператора яв-
является формула коммутации @.27).
При таком построении канонический оператор К опре-
определен с точностью до О (к~г) (при X—>¦ -|-оо). Это озна-
означает, что при замене атласа, разбиения единицы и локаль-
локальных координат в картах функция (Кц> (г)) (х) заменяется
функцией (Ку (г)) (х) = (К(р (г)) (х) + О (к'1). Можно
уточнить конструкцию канонического оператора так, что-
чтобы он был определен с точностью до О (k~N), где N ^ 1 —
любое фиксированное число (см. § 9).
Остановимся более подробно на структуре канониче-
канонического оператора. Фиксируем многообразие Л™, отме-
отмеченную точку г° ? Л™, а также карты ?^, координаты
в этих картах и разбиение единицы. Через 2 (Лп) обо-
обозначим множество особых точек (относительно проекти-
проектирования на RJ) многообразия Л". В окрестностях таких
точек нельзя в качестве локальных координат выбирать
координаты хг, . . ., хп. Далее, пусть лж2 (Лп) (или,
коротко, лж2) — проекция множества 2 (Лп) на R™,
которую будем называть каустикой. Рассмотрим функцию
и (х, X) = (Кц> (г)) (х, К),
где Ф б OW, К = ^
1) Пусть лх supp ф — проекция носителя функции ф
на R? и U cz R? — область, которая не пересекается

24	ВВЕДЕНИЕ
с пх supp ф. Тогда
и(х, X) = О (Х-1) (Х-+ +оо)
равномерно по х ? U.
Таким образом, функция Kqs локализована в окрестно-
окрестности пх supp ф при Я Э" 1.
2)	Пусть точка х° ? пх supp ф, но точка х° не лежит
на каустике. Пусть, для простоты, в точку х° проекти-
проектируется только конечное число г1, г2, . . ., rN точек мно-
многообразия Л™. Тогда
N	ri
и (х°, I) = 2 cj exp (il j (p, dx) Ф (rj) + О (Я)),
j=l	го
где с7- Ф 0. Таким образом, (/^ф) (х°) есть сумма быстро
осциллирующих экспонент, если точка х° не лежит на
каустике.
3)	Наконец, пусть точка х° ? пх supp ф и лежит на
каустике. Пусть, для простоты, имеется ровно одна точка
r° g Лп, которая проектируется в точку ж0. Если в окрестно-
окрестности точки г° можно на Л™ выбрать локальные коорди-
координаты (р(а), Ж(Р)), то, с точностью до множителя, по модулю
равного единице, имеем при х, близких к ж0,
и(х, Я)-/^1
Xexp(
Здесь F~x =
уравнениями
h/l
IV \dPl
r
ii j (p, cl
x) <Ьг(Э)
<p(r)x
Г>-<*«а,(р«О>, *<Э>), Р
x , многообразие
(«>)]. @-28)
Лп задается
Таким образом, в окрестности каустической точки а;0
функция Кц> есть преобразование Фурье быстро осцилли-
осциллирующей экспоненты (т. е. континуальная сумма быстро
осциллирующих экспонент).
Интеграл @.28) можно записать в виде
u{x, K) = Xh/z \ ^(Ptaj, a;) exp (iXS) dpla), @.28')

ВВЕДЕНИЕ	25
где переменные х играют роль параметров, S = S (р(а), х)—
вещественнозначная функция. Стационарные точки фазы S
(как функции от переменных р1а) при фиксированном х)
определяются из уравнения
Нетрудно проверить, что если точка х не лежит на кау-
каустике, то соответствующие стационарные точки pia) =
— Р(а) (ж) фазы S невырождены и асимптотика инте-
интеграла @.28) вычисляется с помощью метода стационарной
фазы. Если же точка х лежит на каустике, то соответ-
соответствующая стационарная точка фазы S вырождена. В этом
случае явное вычисление асимптотики интеграла пред-
представляет большие трудности; можно утверждать только,
что
и (х, X) ~ const -kr (In k)m (к ->- +оо),
где г ;> 0 —¦ рациональное число, т — целое число. В ча-
частности, функция (К(р) (х, X) растет при X,->- +°°> если
точка х лежит на каустике. Этот факт (резкое возраста-
возрастание интенсивности света в точках фокусировки лучей)
издавна известен в оптике. Еще Архимед сжег римский
флот в Сиракузах, использовав параболическое зеркало,
составленное из отполированных медных щитов.
Однако интерес представляет не поведение функции
и (х, X) в фиксированной каустической точке х°, а асимп-
асимптотические формулы, равномерные по х (при X->- +°°)
в некоторой окрестности каустической точки х°. Такие
формулы удается пока что получить только в простейших
случаях. Например, пусть многообразие Л™ задается
уравнениями в окрестности точки р = 0, х = 0:
где S = S (pj, х2, ¦ ¦ -, хп) ? С00 при малых | р1 |, | xj \.
Тогда интеграл @.28) — однократный, р1а) = рг и фазо-
фазовая функция S имеет вид
В этом случае главный член асимптотики интеграла
и (х, К) (при малых | х |) выражается через функцию

26	ВВЕДЕНИЕ
Эйри — Фока
Однако даже при п = 1 асимптотика интеграла
и (х, к) в окрестности каустики не выражается через
известные специальные функции. Чтобы убедиться в этом,
достаточно рассмотреть канонический оператор, отве-
отвечающий кривой х = pk (к ^ 3) на плоскости (см. § 8).
Задачу об исследовании асимптотики канонического
оператора вблизи каустических точек можно поставить
так: можно ли свести вычисление асимптотики интегралов
вида @.28') к вычислению некоторых эталонных инте-
интегралов? Решению этой задачи предшествует задача об ис-
исследовании особенностей лагранжевых многообразий (т. е.
о структуре множества 2 (А")). В размерностях п ^ 5
особенности лагранжевых многообразий полностью рас-
расклассифицированы в работе [3], и в этом случае асимпто-
асимптотика и (х, к) выражается через эталонные интегралы,
т. е. через новые специальные функции (см. §§ 7, 8).
Однако сами эти специальные функции в настоящее время
мало исследованы.
8. Перейдем ко второй части настоящей книги. В этой
части канонический оператор применяется для построе-
построения асимптотики решений следующих задач.
I.	Асимптотика решения задачи Коши с быстро осцил-
осциллирующими начальными данными для ^-псевдодиффе-
ренциальных уравнений.
II.	Задача о рассеянии в квазиклассическом прибли-
приближении (при h -*¦ +0) для стационарного уравнения Шре-
дингера.
III.	Задача об отыскании асимптотики некоторых серий
собственных значений и собственных функций Х-псевдо-
дифференциальных самосопряженных операторов.
Именно, в § 10 рассматривается задача Коши
1$ ^ X-Wrf + Н (*, х, ГФ.) г[> = 0,
x)]
где х g Rn. Для простоты рассматривается случай, когда
символ Н (t, х, р) не зависит от К. Функция \]з0 (х) ?
g Co(Rn), функция So (х) ? C°°(Rn) и вещественнознач-

ВВЕДЕНИЕ	27
на, символ Н — вещественнозначная функция класса С°°.
Для удобства читатель может считать, например, что
L — дифференциальный оператор, коэффициенты кото-
которого при производных по переменным Xj являются поли-
полиномами от х или быстро стабилизируются на бесконеч-
бесконечности. Примером задачи Коши вида @.29) служит задача
Коши @.1), @.2) для уравнения Шредингера с потенциа-
потенциалом V (х) б <? (R").
Требуется построить асимптотику решения задачи
Коши @.29) в целом за любое конечное время Т (т. е.
при 0 < t < Т, х е R").
С задачей @.29) естественным образом ассоциировано
лагранжево многообразие Ло размерности п в фазовом
пространстве Щ%. Это многообразие задается уравне-
уравнениями
у е R",
и диффеоморфно проектируется на координатное про-
пространство R?. Задаче @.29) отвечает система Гамильтона
dx дН dp	дН	,п олч
Пусть g* — сдвиг вдоль траекторий этой системы за вре-
время t. Решение системы Гамильтона с данными Коши
(х, р) |/=0 6 Ло обозначим {х (t, у), р (t, у)}.
Сдвиг g* переводит лагранжево многообразие Ло в лаг-
лагранжево многообразие Л™ = g'A". Если Т > 0 достаточ-
достаточно мало, то при 0 ^ t ^ Т многообразия Л? диффео-
диффеоморфно проектируется на Щ. В этом случае (т. е. при
построении асимптотики решения задачи Коши в малом)
можно просто искать приближенное решение в виде ряда
@.4), т. е.
N
$ (t, х, Ц = exp [US (t, x)\ 2 (Л)"' Ь (t, x).
i=0
Функция S (t, x) удовлетворяет уравнению Гамильто-
Гамильтона — Якоби
ds . „ ( . as \ Л
и данные Коши определяются из @.29):
S 1^,0 = So (ж).

28	ВВЕДЕНИЕ
Функция S (t, x) имеет вид
(lf)]t. @.31)
В этой формуле х = х {t, у), интеграл берется вдоль
траектории гамильтоновой системы @.30).
Для функции tj^o получаем уравнение переноса (ср.
@.14))
1 a
Здесь / — якобиан:
ду '
Y~7T~ = S a" a* • Выберем данные Коши следующим обра-
образом:
Тогда
/* Т /А ,Л	I- Л (* о9 TJ	-1
H(у), @.32)
где х = х (t, у) и интеграл берется вдоль фазовой траек-
траектории.
Таким образом, функция
v (t, х, %) = exp [iXS (t, x)] ifo (t, x),
гДе S, 4j30 определяются из соотношений @.31), @.32),
точно удовлетворяет данным Коши @.29) и удовлетворяет
уравнению @.29) с точностью до О (к~2) (т. е. Lv =
= О (^)). Рассматривая следующие приближения, мож-
можно получить функцию vN, которая точно удовлетворяет
данным Коши и удовлетворяет уравнению @.29) с точ-
точностью до О Ck~N) при любом N ^ 2.
В том случае, когда символ Н не зависит от t и порож-
порождает самосопряженный оператор в L2 (Rn), можно строго
доказать близость истинного решения чр и приближен-
приближенного решения vN в норме L2 (Rn) (см. предложение 10.3).
Таким образом, вычисление асимптотики решения
задачи Коши @.29) за малое время t сводится к инте-

ВВЕДЕНИЕ	29
грированию системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (системы Гамильтона). При этом асимпто-
асимптотические формулы для решений выписываются в терми-
терминах классической механики.
Отметим еще одно важное обстоятельство. Пусть М —
некоторое множество в фазовом пространстве RJ"P. Далее,
пусть Пг (М) — множество, заполненное траекториями
за время 0 ^ t ^ Т, которые в момент времени t = О
выходят из М. Иными словами, Пг (М) = (J g*M
(трубка траекторий). Возьмем в качестве М множество
М = {(х, р) б R2n: х е supp -ф0, р = dSo (хIдх).
Тогда supp v (t, x, К) содержится в трубке лучей
ИТх(М) — это проекция трубки траекторий Пг (М)
на ^-пространство. Этот факт сохраняется и для всех
более высоких приближений vN.
Начальные данные
¦ф |(=0 = -фо (х) exp [ikS (x)]
можно интерпретировать как волновой пакет, локализо-
локализованный на supp tyo- При "к Э> 1 эволюция этого волнового
пакета происходит по законам классической механики;
в частности, носитель supp гр (t, x, Я) перемещается с изме-
изменением t вдоль трубки лучей (если пренебречь величи-
величинами порядка О (К'1)). В этом смысле обычно употреб-
употребляется выражение «квантовая механика переходит в клас-
классическую при h -у О».
Формула @.32) сохраняет силу до тех пор, пока яко-
якобиан / (t, у) не обращается в нуль, или, иными словами,
до тех пор, пока лагранжевы многообразия Л?, 0 ^ t ^
^ Т, диффеоморфно проектируются на Щ. В точках,
в которых якобиан / обращается в нуль, приближение
вида @.32) неверно.
Чтобы построить асимптотическое решение в целом,
т. е. за любое конечное время Т, воспользуемся техникой
канонического оператора. Заметим прежде всего, что,
выбрав на начальном многообразии Ag объем dan (x) =
= dx, можно данные Коши @.29) выразить через кано-
канонический оператор:

30	ВВЕДЕНИЕ
Здесь г|H (г) = гр0 (х), г = (х, р {х)) и у = IS (x°), где
г° = (х°, р (х0)) — отмеченная точка на многообразии Л$.
Действительно,
(р, dx) = j <cW0 (ж)/5ж, dx) =
го
(Здесь г = (х, р (х)) и из @.18) следует представление
начальных данных через канонический оператор К&%.)
На лагранжевом многообразии Л™ выберем объем da",
индуцированный объемом dan на Ло и фазовым потоком gf.
Используя формулу коммутации @.27), нетрудно пока-
показать, что функция
v(t, х, К) = етК „$	@.33)
At
точно удовлетворяет данным Коши @.29) и удовлетво-
удовлетворяет уравнению @.29) с точностью до О (^). Функции
б, ар легко выражаются через t[H, L (см. § 10); более подроб-
подробно формула @.33) будет выписана ниже для уравнения
Шредингера.
Грубо говоря, этот результат можно сформулировать
так: если начальные данные имеют вид
то асимптотика решения в момент времени t дается фор-
формулой
Л™
с точностью до некоторого множителя.
В нефокальных точках можно выписать более простые
асимптотические формулы. Приведем эти формулы для
уравнения Шредингера, т. е. для задачи @.1), @.2).
Фиксируем нефокальную точку (t°, х°),_ и пусть у1, ...
. . ., yN— все точки такие, что х (t°, у1') = х° (т. е. луч,
который в момент времени t = 0 выходит из точки у3,
за время t = t° приходит в точку х°). Тогда при h —>¦ -\-0
N
/ ] т т 7,14
X
I. @.34)
I /"I

ВВЕДЕНИЕ	31
Здесь
to
Sj = S0(yj)+<\j (x*l2-V(x))dt,
о
[ij —¦ индекс Морса луча х = х (t, у3), О =s^ t =s^ t°, кото-
который в данном случае равен числу нулей (с учетом их
кратности) якобиана / (t, у3) на луче. Таким образом,
[д.у равно числу касаний луча х = х {t, у3) за время 0 ^
<[ t <; t° с каустикой семейства лучей {х = х (t, у)}.
В простейшем случае, когда N = 2 и якобиан / имеет
ровно один, и притом простой, нуль на одном из этих
лучей, а на другом / Ф О, формула @.34) обычно интер-
интерпретируется так: «при переходе через каустику фаза
меняется на —л/2».
Задача Коши для уравнения Шредингера рассмотре-
рассмотрена в § 12.
По-прежнему (как и при малых временах) асимптоти-
асимптотическое решение v (t, x, X) (см. @.33)) задачи Коши @.29)
локализовано в окрестности трубки лучей IlTtX(M).
Именно,
v(t, х, к) = О (к-1) (А,-»- +оо)
вне любой фиксированной окрестности этой трубки. Отме-
Отметим еще раз, что в § 10 построена асимптотика решения
задачи Коши в целом, т. е. при всех х 6 R™ и за любое
конечное время Т.
В § 11 рассматривается задача Коши @.29) для систе-
системы уравнений (гр есть iV-вектор, Н есть эрмитова (N X N)-
матрица) в предположении, что собственные значения ha
матрицы Н имеют постоянную кратность. Общая схема
построения асимптотики такая же, как и для скалярных
уравнений; отметим только некоторые новые обстоя-
обстоятельства. Системе @.29) отвечает уже не одно, а т ^ 1
уравнений Гамильтона — Якоби
*^)-о
(по числу различных собственных значений ha матрицы
Н). Соответственно задаче Коши @.29) отвечает т систем
Гамильтона и т лагранжевых многообразий Л{| а. Суще-
Существенно усложняются уравнения переноса, в особенности
в том случае, когда матрица Н имеет кратные корни. Эти

32	ВВЕДЕНИЕ
уравнения приведены в § И. В случае системы происходит
поляризация начального волнового пакета. Именно, пусть
все собственные значения матрицы Н — простые при всех
(t, х, р). Тогда пространство RN разлагается в прямую
сумму N инвариантных подпространств матрицы Н при
любых (t, х, р); соответственно начальный вектор г|;0
п
представляется в виде суммы ^] ibw собственных векто-
3=1
ров матрицы Н @, х, р), где р = dS0 (х)/дх. Асимпто-
Асимптотика решения, в первом приближении, есть сумма быстро
осциллирующих экспонент (при малых временах; при
больших временах — сумма канонических операторов,
действующих на векторы tf>w вида exp (ikSj) г|/, где ty3 —
собственный вектор матрицы Н). Таким образом, исход-
исходный волновой пакет гр |г=о распадается на N волновых
пакетов, каждый из которых движется по траекториям
своей гамильтоновой системы.
В § 14 рассматривается уравнение Дирака (это систе-
система из четырех уравнений первого порядка по переменным
t, х, и матрица Н имеет два двукратных собственных зна-
значения). С помощью полученных в § 11 результатов полу-
получена асимптотика решения задачи Коши @.29) для систе-
системы Дирака. Показано, что спиновая поляризация имеет
классический предел при h ->- 0.
Кроме того, в § 14 приведен иной, чем в § 11, подход
к выводу уравнений переноса.
Задача о рассеянии для уравнения Шредингера при
h -> 0 рассмотрена в § 12; при этом мы ограничились
только формулировками результатов, полученных в [27].
Задача III рассматривается в § 13. Именно, рассмат-
рассматривается уравнение
Л (h) гр = Eq,	@.35)
где Jh (h) — самосопряженный оператор в L2 (R™) с чисто
дискретным спектром, порожденный й.-псевдодифферен-
циальным формально симметричным оператором
X = ~ [L (x, hDx)+L (х, hDx)\
с вещественнозначным и гладким символом L (х, р).
Хорошо известна колоссальная разница между одно-
одномерными и многомерными задачами на собственные

ВВЕДЕНИЕ	33
значения. Рассмотрим, для сравнения, две такие задачи:
—Ц"(х) + V(x)y(x) = Eq (х), x€R,
—А-ф (х) + V (х) if (x) = Ец (х), х е R™ (га > 2).
Собственные функции принадлежат L2 (Rn). Пусть F (х) ?
? C°°(Rn), F (х) -> -)-оо при | х | -> оо; тогда спектр
каждой из этих задач чисто дискретен. При п = 1 для
достаточно широких классов потенциалов вычислена
и асимптотика собственных значений Ет при т—>¦ + оо,
и асимптотика собственных функций tf>m. Для собственных
значений справедлива асимптотическая формула
л/2 + o(I) (m -> оо).
При re ^ 2 для собственных значений получена ана-
аналогичная асимптотическая формула, однако сколько-ни-
сколько-нибудь общие результаты об асимптотике собственных функ-
функций отсутствуют. Более того, даже в тех случаях, когда
задача допускает разделение переменных, удается полу-
получить квазиклассические асимптотические формулы только
для некоторых специальных серий собственных функций.
Под квазиклассической асимптотикой понимается асимп-
асимптотическая формула, написанная в терминах классиче-
классической механики (т. е. все входящие в эту формулу величины
выражаются через характеристики некоторого семейства
фазовых траекторий).
По-видимому, попросту не существует квазиклассиче-
квазиклассической асимптотики всех собственных функций (с большими
номерами) уже для уравнения Шредингера.
Вернемся к задаче @.35). Чтобы получить информацию
о спектре этой задачи, достаточно построить почти соб-
собственную функцию (см. лемму 13.1), т. е. приближенное
решение уравнения @.35). Это делается с помощью кон-
конструкции канонического оператора. Пусть дано компакт-
компактное лагранжево многообразие Л™, лежащее на множестве
уровня L (х, р) = Е = const символа L, функция ср ?
^ С°°(Ап). Пусть это многообразие инвариантно отно-
относительно сдвигов вдоль траекторий динамической систе-
системы, ассоциированной с символом L. Рассмотрим выра-
выражение (Кц> (г)) (х) при фиксированном h = К'1, где К =
= Кап- Выражение Кср является, вообще говоря, неодно-

34	ВВЕДЕНИЕ
значной функцией х, так как интеграл \ (р, dx) может
го
зависеть от пути интегрирования. Кроме того, индекс
ind I [г°, г] также может быть ненулевым.
Выясняется следующее: для того чтобы выражение
и = (Кц>) (х) было однозначной функцией х (при фикси-
фиксированном h), необходимо и достаточно, чтобы
dx) — -^-indy = 2nm,	@.36)
где т — целое число, для любого замкнутого пути у,
лежащего на многообразии Л". Пусть Н1 (Л™, Z) —
одномерная группа гомологии многообразия Лп с цело-
целочисленными коэффициентами, pt — ее размерность. Тогда
достаточно, чтобы соотношения @.36) выполнялись для
всех базисных циклов уъ . . ., ур группы Нг(Ап, Ъ).
Если рх = 1, то соотношения @.36) выполняются для
некоторого дискретного набора значений h. Если рх ^ 2,
то соотношения @.36) могут не выполняться ни для одного
значения h. Очевидно, что всем соотношениям @.36)
(при у = Yi, • ¦ -, Ypj) можно удовлетворить, если имеет-
имеется семейство компактных лагранжевых многообразий
{Л™ (ее)}, гладко зависящее от рг параметров а = (cci, . . .
. . ., <хр). В этом случае можно построить серию почти
собственных функций оператора Л (h), что позволяет
доказать асимптотику некоторой серии собственных зна-
значений оператора Jt (h) (теорема 13.3). Однако не удается
строго доказать близость этих почти собственных функций
к истинным собственным функциям. В качестве примера
в § 13 рассмотрена задача на собственные значения для
оператора Лапласа — Бельтрами на сфере в Rn.
Аналогичная конструкция в случае уравнения Шре-
дингера была построена ранее Дж. Келлером [75]. Далее,
в настоящей книге не рассматриваются краевые задачи
для уравнений с частными производными. Асимптотиче-
Асимптотические серии собственных значений и собственных функций
оператора —с2 (х) А в ограниченной области в R™ с нуле-
нулевыми условиями Дирихле или Неймана на границе иссле-
исследованы в работах [5], [76].

ВВЕДЕНИЕ	35
В настоящей книге не рассматриваются задачи дифрак-
дифракции электромагнитных, акустических и других волн;
этим вопросам посвящены монографии [1], [5], [6], [7].
[И].
Метод канонического оператора за последнее время
получил развитие в ряде работ (см. [8], [27] — [30],
[42] — [45]). Кроме перечисленных выше задач, этот
метод применяется в задаче о распространении разрывов
решения задачи Коши для гиперболических уравнений;
об этом кратко сказано в § 10, где приведены также лите-
литературные ссылки.
В настоящей книге мы не делаем попытки изложить
или даже привести обзор всего многообразия асимптоти-
асимптотических методов линейной математической физики, а ставим
своей задачей изложить только один из этих методов —
метод канонического оператора. В частности, здесь не
нашли отражения алгебраические идеи Ж. Лере, сущест-
существенно развивающие метод канонического оператора.

ЧАСТЬ I
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
(КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР)
§ 1. Метод стационарной фазы.
Преобразование Лежандра
Квазиклассическое приближение приводит к инте-
интегралам от быстро осциллирующих функций. Асимптотика
таких интегралов вычисляется с помощью метода стацио-
стационарной фазы. В этом параграфе приведена сводка основ-
основных формул метода стационарной фазы, а также опреде-
определение и основные свойства преобразования Лежандра.
1. Метод стационарной фазы. Приведем основные
результаты об асимптотике быстро осциллирующих инте-
интегралов вида
\ ф (х) exp (ikS (х)) dx,
где К — большой вещественный параметр. Пусть R* —
полуоси Я, > 1, X <; —1. Здесь <р (z), S (х) ? C°°(Rn),
функция S (х) вещественнозначна, функция ф (х) финит-
финитна. Точка х° называется критической (или стационарной)
точкой функции S (х), если dS (х°)/дх — 0; критическая
точка невырождена, если det d2S (х°)/дх2 Ф 0.
Теорема 1.1. Пусть функция S (х) имеет на
. supp ф единственную, и притом невырожденную, крити-
критическую точку х°. Тогда при X вещественных, [ X | ^ 1,
и при любом целом N ^ 1
1A)= \ ф (х) exp (iXS (x)) dx =
w-i
-"/2
1 exp (US (хй)) У. a. Up, S)^ + RN(K). A.1)
3=0
Здесь uj (ф, S) = (Pj(f) (x°), где Pj — линейный диффе-
дифференциальный оператор порядка 2/ с коэффициентами
из класса С°°. Для остаточного члена имеет место оценка

§ 1. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
.37
где $> = р {N) < оо. Здесь
уТ>0, Я>0; 1/"!= i |уТ |, Х<0. A.3)
Доказательство см. [60], теорема 2.2; в [60] содержится
обзор литературы по методу стационарной фазы.
Хорошо известно, что именно стационарные точки
вносят основной вклад в асимптотику быстро осцилли-
осциллирующего интеграла.
Пусть А — вещественная симметрическая невырож-
невырожденная (п X ?г)-матрица. Введем обозначения: sgn А —
сигнатура квадратичной формы с матрицей А, inerdex A —
индекс инерции матрицы А. Если v+ — число положи-
положительных, v_ — число отрицательных собственных зна-
значений матрицы А, то
sgn A = v+ — v_, inerdex A = v_,
sgn ^4+2 inerdex A = n.
Формула A.1) дает асимптотическое разложение инте-
интеграла I (X) при Х->±оо. Главный член асимптотики
имеет вид
п/2
det
-1/2
X
). A.4)
Коэффициенты разлон^ения A-1) определяются по фор-
формуле ([60]), теорема 2.3)
N
I (I) = bn%-nJ2 exp [US (х0)] 2 (А,"'//!) ^ (Ф (ж) х
io
A.5)
Здесь
2 \\ 3^2 / дх ' дх / '

38	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
и для остаточного члена справедлива оценка при
где у— у (N) < оо.
Асимптотические разложения A.1), A.5) можно диф-
дифференцировать любое число раз по к, с аналогичной оцен-
оценкой остаточного члена.
В одномерном случае имеются более точные формулы
и оценки ([60], теорема 2.1).
Однако теоремой 1.1 в чистом виде редко приходится
пользоваться, так как в приложениях / (к) обычно зависит
от дополнительных медленно меняющихся параметров со,
где со ? Rft. Пусть Q с Rj, — конечная область. По ана-
аналогии с символом Э. Ландау «О» введем
Определение 1.2. Функция и (со, К) принадле-
принадлежит классу (?m(Q), если выполнены условия:
1)	и (со, X) б <T°(Q х Щ).
2)	Для любого компакта К с Q, для любого мульти-
индекса а и для любого целого |3 ^ 0
(сое#, хещ). A.8)
Аналогично вводится класс <?m(Q) (К ? R^). Типичным
примером функции класса #m(Q) служит функция
и (со, X) = Ктц) (со) exp (iXS (со)),
где ф, S 6 C°°(Q) и функция 5 вещественнозначна.
+ оо
Положим Otoo (Q) = П 0^{Q). Справедливо
т= — оо
Предложение 1.3. Имеют место вложения
1)	<%t (Q) + 0+2 (Q) cz 0+ (Q), m = max (mi, m2).
2)	0J,l (Q) 0^ (Q) cz 0^1+mz(Q).
3)	XO^(Q) с 0J,+ 1(Q).
4)	/)S^(Q)cz0^ + |e|(Q).
5)	DtOin(Q) cz Oin(Q).
Аналогичные вложения имеют место для классов
Доказательство очевидно.
Рассмотрим интеграл
1A, со) = ^ф (х, со, К) exp [i?uS (ж, со)] dx. A.9)

§ 1. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ	39
Сформулируем дифференциальные условия на функции
ф, S.
1)	Ф 6 C°°(G X Q X Rt), S e C°°(G X Q), функция S
вещественнозначна.
2)	Существует компакт К с G такой, что проекция
лх (supp ф) на Щ содержится в К.
3)	Для любых мультииндексов ее, |3, у
при (ж, со, X) ? G X Q X R?, где /те — фиксированное число.
Сформулируем условия па стационарную точку, т. е.
на решение уравнения
dS (x,
дх
¦ = 0.	A.10)
4)	При каждом со ? Q функция S (х, со) имеет един-
единственную критическую точку х = х° (со) ? Q.
5)	inf | |лу- (со) | > б > 0, 1 < / < и; |л7- (со) — соб-
ственные значения матрицы 	 2	.
Теорема 1.4. Пусть условия 1)—5) выполнены.
Тогда для I (X, со) гари (Я, со) ? R? X Q справедливо раз-
разложение при любом целом N ^ 1:
/ (X, со) = 7Г2 exp [iXS (х° (со), со)] х
N-1
Здесь uj = [Pj (со, х, Dx) ф] герм х = ж0 (со), где i^ —
линейные дифференциальные операторы порядка 2] с коэф-
коэффициентами класса С°°. Остаточный член RN (со, X) ?
Главный член асимптотики имеет вид (если
Ф (х° (со), со, X) Ф 0 тгрм X Э* 1)
X exp [iXS (x, со)]
-1/2
X
Г гя	/ д25(ж, со)

40	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Справедлива также формула типа A.5) (с оценкой
остаточного члена типа A.7)).
Доказательство следует из [60] (теорема 2.4). Точно
такая же формула имеет место, если условия теоремы 1.4
выполнены при X ? Щ и ветвь У% выбрана в соответ-
соответствии с A.3).
2. ^-преобразование Фурье. Будем использовать пре-
преобразование Фурье, зависящее от вещественного пара-
параметра X ф 0:
(^)"/2j-a(x, p)]u{x)dx. A.13)
Обратное преобразование имеет вид
A.14)
Здесь /1= е{«/4, "^^7 = е4™/4 — ветвь ]ЛХ (см. A.3)).
Аналогично вводится ^-преобразование Фурье по части
переменных.
В § 2 нам понадобится
Лемма 1.5. Пусть Ф (х) ? C~(Rn), 5 (ж) 6 C°°(Rn),
функция S (х) вещественнозначна. Пусть М (ф, S) =
= {Р: Р = ^"^ (хIдх, х 6 supp ф} u G (р) с RJJ — область
такая, что G (p) f\ M (q>, S) = 0. Тогда для любого
целого N ^ 0 и для любого мулътииндекса а
I Щ, [(Рк х^р (Ф (х) exp (OS (a;)))) (p)] | <
<^,а|Я|-^A + |р|)-№, X6R^, p6G(p). A.15)
Доказательство. Воспользуемся формулой
*	A.16)
dS(x)
-2
дх
где S (х) — достаточно гладкая функция и у$ {х)фО. Тогда
FKx^,(q>(x)exp(iKS(x))) =
г, p))]dx, A.17)

§ 1. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ	41
Имеем
при х ? supp ф, р (z G, | а | > 0. Следовательно, при
^ 6 R*i P ? G левая часть A.17) не превосходит по модулю
величины С | X Iй/2-1 A + I P I)- Снова применяя A.16),
получаем A.15) при | а \ = 0. Дифференцирование по р
приводит к интегралу того же вида.
Обычное преобразование Фурье переводит простран-
пространство Шварца S в себя; ^-преобразование Фурье переводит
в себя пространство Шварца Si (или Si), зависящее от
параметра Я.
Пространство Si (R?), по определению, состоит из
функций и (х, К) ? C°°(Rx X Щ) таких, что для любых
мультииндексов ее, $ при х 6 R™! ^ 6 Щ выполняется
оценка |x$D%u(x, Я)|^СарХ'™'. Аналогично вводится про-
пространство Si (Щ).
Предл ожение 1.6. Если и (х, к) ? Si (Щ), то
Аналогичное утверждение справедливо для и ^ S% (R")
и для Fl]p^x. Предложение доказывается стандартным
интегрированием по частям.
3. Преобразование Лежандра. Рассмотрим вначале
одномерный случай. Пусть Т: у — S (х) — выпуклая до-
достаточно гладкая кривая на плоскости. При таком спо-
способе задания каждой точке Г ставится в соответствие
пара чисел (х, S (х)). Проведем через каждую точку
кривой касательную. Полученное семейство прямых на
плоскости однозначно определяет кривую Г, и Г является
огибающей этого семейства. Поэтому в качестве новых
координат каждой точки Г можно взять пару чисел, кото-
которые однозначно определяют касательную к Г в этой точке.
Уравнение касательной к Г в точке (хо, S (хо)) имеет вид
у = S' (х0) х + (S (х0) — x0S' (во)),
так что пара (iS" (х0), S (х0) — x0S' (x0)) однозначно опре-
определяет точку (хд, S (хо)) ? Г. Введем новую независимую

42
ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
переменную
и новую функцию
P = S' (x)
p) = xp — S{x).
A.18)
A.19)
У
¦-х-
Рис. 3.
В этой формуле х = х (р) есть функция от р, определен-
определенная уравнением A.18). Преобразование
,	L: (х, S(x)) -+¦ (P,S(p)), A.20)
задаваемое формулами A.18),
A.19), называется преобразова-
преобразованием Лежандра или касатель-
касательным преобразованием. Функция
S (р) называется двойственной
по Юнгу к функции S (х).
В силу выпуклости функции
S (х) соответствие между х и р
взаимно однозначно (пусть, для
простоты, S (х) ? С°° (R)). Из
A.18), A.19) следует, что
d§ (р) = S' (p) dp =
= х dp -\- p dx — S' (x) dx = xdp,
так что S' (р) = х, и полученные формулы приобретают
симметричный вид:
p = S'(x), x = S'(p), S(x) + S(p) = xp. A.21)
Если кривая Г не является строго выпуклой, то пре-
преобразование Лежандра имеет особенности.
Пример 1. S (х) = (l/3)z3. Функция S (р) =
= +B/3)р3/2 неоднозначна (ее график — «клюв», рис. 3).
Пример 2. S (х) = A/4)г4, S (р) = C/4)р4/з. функ-
функция S выпукла всюду, но не является строго выпуклой
в точке х = 0; функция S имеет особенность в точке
р @) = 0, а именно:' S" @) = оо.
Преобразование Лежандра инволютивно, т. е. L2 = /
(/ — тождественное преобразование) — см. A.21). Далее,
если кривая у = S (х) выпукла, то кривая q = S (p) так-
также выпукла, поскольку $S' (j>)/dp = 1/«S"' (x) > 0. Кроме
того, S" (х) S" (р) = 1.

§ 1. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ	43
В случае многих переменных преобразование Лежан-
дра задается аналогично A.18), A.19), где ж, р Е R":
p = dS(x)/dx, §(p) = (x, p)-S(x),	A.22)
или, в симметричной форме,
P = dS(x)/dx, x = d
(l.Zo)
= {x, p).
Приведем основные свойства преобразования Лежан-
дра (см. [15], [26], [63]). Пусть G — область в Щ, функ-
функция S (х) ? C°°(G) и многообразие хп+1 = S (х), х ? G,
имеет отличную от нуля гауссову кривизну, т. е.
(х)
det
дх*
x?G.	A.24)
Тогда, по теореме об обратной функции, уравнение р =
= 3S (х)/дх задает диффеоморфизм некоторых достаточно
малых окрестностей Uo, Vo точек х°, р° = dS (х°)/дх соот-
соответственно и S (р) ? C°°(V0). Ниже х ? Uo, p 6 Т^о-
1)	Преобразование Лежандра инволютивно — см.
A.23).
2)	Справедливо тождество
Действительно,
dx = d (dS(p)/dp) = d2S{p)/dp2 dp,
dp = d2S(x)/dx2dx.
3) Гауссова кривизна многообразия рп+1 = S (p), p
? Vo, отлична от нуля:
и это многообразие выпукло, если выпукло многообразие
хп+1 = S (х), х ? Uо- Следует из 2).
Пример 3. S (х) = -у(Ах, х), где А — веществен-
вещественная невырожденная симметрическая матрица. Тогда
р = Ах, S (р) = -^{А~1 р,р).

44	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Аналогично вводится преобразование Лежандра по
части переменных. Преобразование Лежандра называется
также касательным преобразованием.
Установим связь между А-преобразованием Фурье
и преобразованием Лежандра. Пусть выполнены условия:
1)	S (х) e C{U), Ф (х) е <?"(?/), функция S (х) ве-
щественнозначна (U — область в R?).
2)	Отображение х —*¦ р = dS (х)/дх есть диффеомор-
диффеоморфизм U на V Щ.
Тогда справедлива
Теорема 1.7. При любом целом N ^ 1, р ? R">
X ? Щ имеем
exp iXS (р)	^ merdex
^2
X
x det d2S{;Jp)) \~m
N
+ 2 ^~k (Rh4>) (p)) +^-jv (P> ty- A-27)
A=l
Остаточный член i?_N ? 0*# (Rp).
Замечание 1.8. Описание операторов Rk дано
в теореме 1.4. Разложение A.27) можно дифференцировать
любое число раз по р и по Я с сохранением равномерной
по р, % оценки остаточного члена. Далее, если G — внеш-
внешность области G' гэ {р: р = dS {х)/дх, х 6 supp cp}, то для
остаточного члена имеет место более точная оценка A.15).
Доказательство теоремы 1.7. Левая
часть A.27) равна
/ % \п/2 (•
i-o-rj \ ф(ж)ехр [?a,(S (ж) — (х, р))]ах.
Стационарные точки функции, стоящей в экспоненте,
определяются из уравнения dS (х)/дх = р; в силу усло-
условия 2) стационарная точка х = х (р) единственна при
х ? U и невырождена. В этой точке S (х, р) — {р, х (р) )=
= S(p). -
Применим метод стационарной фазы (теорему 1.4);
роль со играет р, а в качестве Й возьмем V. Тогда суще-
существование разложения по степеням 'к'1 и оценка остаточ-

§ 1. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
45
ного члена следуют из теоремы 1.4. Вычислим предэкспо-
ненциальный множитель в главном члене асимптотики.
При % > 0 он равен
det
(х)
-1/2
X
Г in	d2S (х) 1
X ехр -г- Sgn —;г4—	=
det
'(*)
ехр
sgn
аад
х=ж(р)
что дает нам A.27).
Следствие 1.9. В условиях теоремы 1.7 имеем
%, х^р (Ф (ж)
det
ехр
(P) =
1/4
X exp I —y inerdex
X
, Я). A.28)
Оценка остаточного члена та же, что и в теореме 1.7.
Доказательство следует из A.27) и A.25).
Формула A.28) допускает следующую интересную
интерпретацию. Рассмотрим в пространстве R2n = R5 X
X Rp многообразие
А
={(х,р):
В условиях теоремы 1.7 уравнение Л" можно записать
в виде
так что в качестве координат на Л" можно взять или х,
или р. Пусть х — координаты на Л"; тогда
det др{х) det d2S(x)
йеЪ дх ~йеЪ дх* '
и аналогично, если р — координаты на Л", то
дР
dp2 •

46	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Тогда формула A.28) примет симметричный вид:
1/2
[X Х^(Ф (*)) |det-^- 1/2exp (US (x))] (р)
1/2	'—'
¦ФИР)) det^j^ exv[iXS(p)]X
хехр (_-|inerdex-i^) A.29)
с точностью до членов порядка О (h^1).
Симметрия формулы A.29) является следствием унитарности
преобразования фурье. Действительно,
F (ф (х) exp (US (х))) =ф (р) exp (iXS (р))
(здесь F = F^ x_yP, X ^> 1 и члены порядка О (Я) отброшены. Сле-
Следовательно,
J |ф(*)|2Дг= J
Если функция ф (ж) локализована в окрестности точки х, то функ-
функция ф (р) локализована в окрестности точки р = р {х), т. е.
|ф(х)|2Дг = |ф(
Отсюда следует, что
(ср. с A.29)).
4. Метод стационарной фазы для абстрактных функ-
функций. Изложенные в п. 1 результаты об асимптотике инте-
интегралов от быстро осциллирующих функций можно рас-
распространить на интегралы вида
Ф(А)= \ exv[iAS(z)](f(x)dx.	A.30)
Rn
Здесь А — оператор, А: В -+В, где В — банахово про-
пространство; точные условия на оператор А будут сформу-
сформулированы ниже. Далее, всюду в дальнейшем предпола-
предполагается, что выполнены условия:
Ф1.1. Функция S (х) ? C°°(Rn) и вещественнозначна.
Ф1.2. Функция ф (х) е С™(В).
Здесь С™(В) — класс функций qp: R" ->- В со значе-
значениями в банаховом пространстве В, которые бесконечно
дифференцируемы при х ? R" и финитны.

§ 1. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ	47
Для интегралов вида A.30) получим асимптотические
разложения, аналогичные тем, которые были получены
для интегралов вида A.1). Все доказательства проводятся
по той же схеме, что и для интегралов вида A.1) (ср. [55],
[60]).
Введем обозначения: D (А) — область определения,
g (А) — спектр и р (А) — резольвентное множество опе-
оператора А. Введем условие
А 1.1. Оператор А является инфинитезимальным опе-
оператором сильно непрерывной группы {ехр (НА)} ограни-
ограниченных операторов на оси —оо < t < -j-oo.
Из этого условия вытекают следующие факты ([18],
[21]). Существует со > 0 такое, что
l, t?R,	A.31)
где постоянная М не зависит от t. Спектр а (А) содержится
в полосе ] Im |i | < со комплексной плоскости |i. Резоль-
Резольвента RVL(A) = ([л,/ — А)~1 оператора А (I — единичный
оператор) является голоморфной операторнозначной функ-
функцией fi вне полосы | Im [г | ^С со и удовлетворяет оценкам
II Д„ (А) || < Се A + I Ц I)	A-32)
в области | Im (х | ^ со + 8, где е > 0. Кроме того, спра-
справедливы формулы
t=—m^lll(A) (Re|i>co),	A.33)
о
о
—со). A.33')
В частности, при | Re e j > со оператор (^1 + iel)~l
существует и ограничен.
Пример 4. Рассмотрим оператор А = dldx в гиль-
гильбертовом пространстве В = L3 (—оо, оо). Группа
{ехр (itА)} есть унитарная группа сдвигов
Спектр а (А) совпадает с вещественной осью —оо <
< [г < оо. Область определения D (А) оператора А =
= d/dt состоит из функций / (т) ? L2 (—оо, оо), абсолютно

48	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
непрерывных и таких, что /' (т) ? L2 (—оо, оо). Оператор
(А + iel)'1 существует и ограничен при любом е, не
лежащем на мнимой оси.
Пусть N ^ 1 — целое число, тогда функции / (х) ?
6 D 04л) являются гладкими (все производные /(ft) (т)
до порядка к = N — 1 включительно абсолютно непре-
непрерывны). Кроме того, D ((А + is)N) = D (AN).
Лемма 1.10. Пусть условия Ф.1.1, Ф.1.2 и А 1.1
выполнены и
grad S (х) Ф 0, ж ? supp ф.	A-34)
Тогда при любом целом N ^ 1
Ф (А) ? D (А*).	A.35)
Доказательство. Воспользуемся тождеством
exp [i (A + is) I) S (ж)] =
= (Л + iel)-1 L exp [г (А + ге/) 5 (ж)],
i—iivswr-il-5^-^.
где | Re е | > со. Интегрируя по частям и учитывая
финитность функции ф (х), получаем
Ф (А) = (A + ieiyN j exp \i (A + i&I) S (x)] lLN (е*)ф (х)),
где 'L — формально сопряженный с L оператор. Послед-
Последний интеграл, в силу условия А 1.1, принадлежит про-
пространству В, так что Ф (А) ? Z) 04N)- Лемма доказана.
В частности, если А = d/dx, В = L2 (—оо, оо), то
Ф (А) есть бесконечно дифференцируемая функция от г
(в условиях леммы 1.10).
Теперь исследуем случай, когда фаза S (х) имеет на
supp ф невырожденные стационарные точки. В силу лем-
леммы 1.10 достаточно ограничиться рассмотрением случая,
когда имеется только одна стационарная точка. Доказа-
Доказательство формулы A.1) основано на следующих двух
фактах: на лемме Морса и на формуле
A.36)

§ 1. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ	49
Здесь А ф О — число, ветвь \Г А выбрана в полуплоско-
полуплоскости Im А ^ 0 так, что ]^А > 0 при А > 0.
Лемма Морса [44]. Пусть функция S (х) веще-
ственнозначна и бесконечно дифференцируема в окрестно-
окрестности точки ж0, которая является невырожденной критиче-
критической точкой функции S (х). Тогда существуют окрестности
U, V точек х — х°, у = О и диффеоморфизм ср: V —>¦ U
класса С°° такие, что
п
(S о ф) (у) = s и +-|-2 м)-	С1 -37)
Здесь \i) — собственные значения матрицы S'xx (x0)'
det Ф' @) = 1.
Чтобы иметь возможность получить аналог формулы
A.1) для интегралов вида A.30), необходимо доказать
операторный аналог формулы A.36).
Лемма 1.11. Пусть оператор А удовлетворяет
условию А 1.1. Тогда при Re г >> со оператор
= ._ exv[it2(A+M)]dt A.38)
есть ограниченный оператор, действующий из В в В,
и справедливо соотношение
[(А + Ш)~Щ* g = (A + iel)-1 g	A.39)
при любом g ? В.
Доказательство. Так как по условию
|| exp [it* {А + iel)] )) < М exp [t2 (со - Re e)]
и Re е >> со, то интеграл A.38) сходится по норме и являет-
является ограниченным оператором (из В в В). Перемножив два
интеграла вида A.38), получим двукратный сходящийся
по норме интеграл
j j
о о

50	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Переходя к полярным координатам (г, ф) и учитывая
формулу A.33), получаем
Я/2
/
= — i j exp [i (A + iel) p] dp = D + ie/).
о
Лемма доказана.
Следствие 1.12. Пусть условия леммы 1.11 вы-
выполнены и Re 8 < —со. Тогда справедлива формула
о
Замечание 1.13. Пусть условие А 1.1 выполнено,
|| exp (UA) || < М, ^R,
и а (Л) не содержит полуоси (—оо, б], б > 0. Тогда спра-
справедлива формула
Оператор Л/2: В—>~ В ограничен, и (А-1/2J ^ = A~lg
для любого g ? В.
Точно так же доказывается
Лемма 1.14. Пусть условие А 1.1 выполнено,
Ree>co и ] ^ 0 — г/елое число. Тогда
ехр [г (Л + Ш) t2] tj dt =
о
["Г У + *>] (А+Ш)-^'2. A.42)
Лемма 1.15. Пусть условие А 1.1 выполнено,
Re е >¦ со, б > 0, / ^ 0 — г/елое число, g ? В. Тогда при

§ 1. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ	51
любом целом N ^ О справедливо разложение
б
[ exp [i (A + iel) t2] t} dt-g =
N
)-h
ch(A+ieI)-h g + gN, A.43)
где gN ? -D DN+1), ch — постоянные.
Доказательство. Представим интеграл по
отрезку [0, б] в виде разности интегралов по полуосям
[О, оо) и [б, оо). Для первого из этих интегралов спра-
справедлива формула A.42); второй интеграл проинтегрируем
по частям:
\ exp [i {A + iel) P] t} dt-g =
б
= -1- (А + ieiy1 exp [i(A + Ш) fi] t^g |? +
+ i (A + isI)-* { exp [i (A + iel) t2] -L (tj~l) dt-g. A.44)
б
Так как
||exp [i (A + iel) t2] || < M exp [(-Re г + со) fi]
и Re 8 > со, то внеинтегральная подстановка при t =
= -j-oo обращается в нуль. Интеграл в правой части
равенства A.44) сходится по норме; следовательно, послед-
последнее слагаемое в формуле A.44) принадлежит D (А). Про-
Продолжая интегрирование по частям, получаем A.43).
Замечание 1.16. Пусть А = d/dx, В =
— Ьг (—оо, оо). Тогда разложение A.43) есть асимпто-
асимптотическое разложение по гладкости функции Ф (А) (Ф (А)—
интеграл из A.43)), так как остаточный член gN принадле-
принадлежит области определения оператора d/dxN+i.
Получим основную формулу метода стационарной фазы
в одномерном случае.
Лемма 1.17. Пусть условия Ф 1.1, Ф 1.2, А 1.1
выполнены, Re е >¦ (о. Тогда при любом целом N ^ 1
4*

52	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
справедливо разложение
оо
I exp (iAx2) ф (х) dx =
2	gN, A.45)
ь=о
где akeB, gN?D(A™).
Доказательство. Рассмотрим интеграл
оо
ф (А) = f exp [ta;2 D + ie/)] фе (x) dx,
о
где обозначено ф8 (х) = exp (еж2) ф (х). Функция ф6 (ж)
финитна.
Пусть функция ф (х) имеет нуль порядка т в начале
координат. Интегрируя по частям, получаем
х=0
± (А + Ш) j exp [ia*(A+ieI)] ± (^-) dx.
j
о
Если m > 2, то
= 0, последний интеграл
х=0
есть элемент пространства В, так что Ф (А) ? Z) (Л).
Повторяя интегрирование по частям, получаем, что
<S>(A)eD{Ah), где & = [-?] - 1.
Представим функцию ф6 (х) в виде
N
5=0
тогда функция tyN G С00(Б) и имеет нуль порядка iV + 1
в начале координат. Введем срезающую скалярную функ-
функцию X (ж) 6 Co°(R), тождественно равную 1 в окрестности
| а: | <С 6 начала координат, и рассмотрим интеграл
оо
Ф (А) = j exp (Мж2) ф (ж) х (ж) dx.
о

§ 1. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ	53
В силу леммы 1.10 имеем
Ф(А) — <$(A)?D(AN)
при любом целом N ^ 0. Действительно,
оо
Ф (А) — Ф (А) = J exp (iAx2) <p (х) A-х (а;)) йдг,
о
функция ф (х) A — X (ж)) g Co(B) и тождественно равна
нулю при | х | < б, так что фаза 5 (ж) = х2 не имеет ста-
стационарных точек на носителе этой функции. Имеем
N оо
Ф (А) = 2 j еХР [* (Л + '8/) Ж2] ^'Хе (Ж) Фу ИХ +
j=0 0
оо
+ j exp [t (A + M) x2] sV (а;) %г (х) dx, A.46)
о
где Xe (x) — 1 (x) exP (ez2). Фиксируем M ^ 1; тогда
при достаточно большом iV (порядка 2М) имеем по дока-
доказанному выше, что последний интеграл в A.46) принадле-
принадлежит D (Ам).
Далее,
оо
J exp [i (A + ге) xz] x}%E (x) dx =
о
б
= \ exp [i (А + ге/) ж2] x*dx +
о
оо
+ j exp [i (A + isl) хг\ х'%Е (х) dx.
6
Для интегралов по отрезку [0, б] справедлива форму-
формула A.43). Интеграл по полуоси [б, оо] проинтегрируем
по частям; тогда получим выражение
-~{А + Ш)-1 х> exp [i (А + Ш) а?] |ж=6 +
оо
+ ~(А + ш/) j exp [г (А + ге/) ж2] ± (х}~% (х)) dx.

54	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Будем интегрировать по частям далее и заметим, что вне-
интегральная подстановка в интеграле по полуоси [б, оо)
сократится со слагаемыми вида ch exp [г (А -\- el) б2] X
X ((А -\- iel) 62)"ft, входящими в разложение A.43) инте-
интеграла по отрезку [0, б]. Напомним, что функция % (х)
финитна и что % (ж) = 1 при | х \ ^ б.
Тем самым доказано, что
J exp [i (А + iel) х2] ж'ФЯе (х) dx = c(A + iel)"«+«% +Им,
о
где ём 6 D (Ам) и!>1 можно взять любым, с = const.
Окончательно получаем разложение
м
где hM 6 D (AM+1) vs. M > 0 можно взять любым.
Явные формулы для коэффициентов t|)fe мы не приво-
приводим; они точно такие же, как и в случае интегралов вида
оо
\ ф (х) exp (iXx2) dx, где X—>- -\-оо.
о
Аналогичное разложение справедливо для интеграла
вида Ф (А), взятого по полуоси (—оо, 0]. Далее, нетруд-
нетрудно проверить, что при суммировании этих разложений
слагаемые, содержащие целые степени оператора (А -\-
4- iel)'1, сокращаются, и мы получаем разложение A.45).
Аналогично доказывается
Лемма 1.18. При условиях леммы 1.17 и при
Re е < —со справедливо разложение A.45) для интеграла
оо	N
(x)dx=2i (A-ieI)~k~i/2bh + gN, A.47)
k=0
где bheB, gN?D ()
Рассмотрим re-кратный интеграл A.30) и получим
аналог теоремы 1.1.
Теорема 1.19. Пусть условия Ф 1.1, Ф 1.2 и А 1.1
выполнены, функция S (х) имеет на supp ф ровно одну,
и притом невырожденную, стационарную точку х°. Тогда
при Re 8 > © и при любом целом N ^ 0 справедливо

§ 1. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ	55
разложение
ф (А) = exp [iAS (x0)] (A + isiyy+/2 x
A.48)
где aht?B, остаточный член gN ? D (AN+>-2i+i).
Здесь v+ — число положительных, v_ — число отри-
отрицательных собственных значений матрицы S"xx (х°).
Доказательство. В силу леммы 1.10 можно
считать, что supp ср содержится в сколь угодно малой
(но фиксированной) окрестности точки х°. По лемме Морса
можно сделать гладкую замену переменных х = / (у)
такую, что х° = / @) и что функция {S о <р) (у) будет квад-
квадратичной формой A.37). Таким образом,
п
Ф (А) = exp [iAS (х0)) j exp (-^ ^ ^yf) ф (у) dy), A.49)
v	j=i
где V — окрестность точки у = 0,
Ф (У) = (Ф ° Л (г/) det /' (у).
К интегралу A.49) будем последовательно применять
метод стационарной фазы (т. е. леммы 1.17 и 1.18) по пере-
переменным г/i, у2, . . ., уп. Рассмотрим интеграл
оо
Ф4(Л)= j exp
Если (i! > 0, то по лемме 1.17 этот интеграл допускает
разложение A.45), коэффициенты которого — финитные
гладкие функции от переменных г/2, . . ., уп. В случае
jij < 0 применима лемма 1.18. Затем полученное разло-
разложение умножим на ехр (у \x2Ayl\ , проинтегрируем по
переменной г/2 и применим лемму 1.17 или лемму 1.18
в зависимости от знака [г2- Продолжая этот процесс,
получаем разложение A.48).
Главный член разложения A.48) имеет вид
Ф (А) = с exp [iAS {х0}] (A + ieiyv+l2(A — ieI)~v-J2 q>(xo)

56	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
[-1+1
где gx?D(A^ )и
Развитый в этом пункте метод стационарной фазы для
абстрактных функций применяется при исследовании
распространения разрывов решения задачи Коши [38],
[40].
§ 2. Псевдодифференциальные операторы
Пусть L — дифференциальный оператор, зависящий
от большого параметра X и % так входит в оператор, что
при каждой производной d/dxj имеется множитель —
малый параметр %~1. Применяя оператор L к функции
Ф exp (iXS), получаем
L [ф (х) exp (iXS (х))] = exp (US (x)) Q (х, X'1),
где Q — полином по переменной Я.
В этом параграфе вводится понятие Я-псевдодифферен-
циального оператора (п. д. о.), которое является обобще-
обобщением понятия дифференциального оператора. Необхо-
Необходимость такого обобщения выяснится в § 5. Приведенная
выше формула действия дифференциального оператора
на функцию ф exp (ikS) при больших X переносится
и на Я-псевдодифференциальный оператор (если S —
Вещественнозначная, ф — финитная функции), с той лишь
разницей, что Q будет уже не полиномом от А,', а асимп-
асимптотическим рядом по степеням А,.
1. Определение Х-псевдодифференциального опера-
оператора. Пусть L (х, р), и (х) — скалярные функции. Следуя
Фейнману, будем использовать следующие обозначения:
2 1
L (x, Dx) и (х) = FVXXL (x, р) Fx^vu (x),
1 2	\ZA>
L (х, Dx) и (х) = FPXX (FX^PL (x, p) и (х)).
Индексы 1 и 2 показывают, какой из операторов х,
Dx в выражении L (x, Dx) действует первым и какой

§ 2. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	57
действует вторым. Например, если L {х, р) = а (х) pj, то
2 1	а / \
L (ж, Dx) и(х)— — ia (x)	,
1 2	а
Z- (x, Dx) и (х) = — г— (а (х) и (х)).
Операторы вида B.1) называются псевдодифференциалъ-
ными операторами (п. д. о.); функция L (х, р) назы-
называется символом п. д. о. Теория п. д. о. построена в рабо-
тах [25], [681
2 1	12
Операторы L (x, Dx) и L* (x, Dx), где L* — оператор
с символом L (х, р), являются формально сопряженными:
2 1	12
*L(x, Dx) = L*(x,Dx).
Это означает, что
2 1	12
(L (х, Дс) Ф, 1|з) = (Ф, L* (х, Ас) Ч>)
для любых функций г|з (х), ф (х) ? C^(Rn) при соответ-
соответствующих условиях на символ (см. ниже), где скалярное
произведение имеет вид
(ф, \|з) = j
da;.
В частности, оператор
X = L(x, Dx) + L*(x, Dx)
является формально симметричным.
Мы будем рассматривать п. д. о., зависящие от веще-
вещественного параметра X =f= 0. Формально Я-п. д. о. вво-
вводится по формуле
L(x, К-*ЬХ; A%Г1)и(х) =
= F^XL (х, р; (iX^Fi, x^Pu (х). B.2)
При К = 1 мы получаем обычный п. д. о. Функция
L (х, р; (гЯ)) называется символом Х-п. д. о. B.2). При
этом
L(x, р; (&)-*)-+L (х, р; 0)

58	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
при А,->¦ с». Точные условия на символ будут приведены
ниже.
Мы рассматриваем операторы вида B.2), зависящие
от параметра к, по той причине, что многие уравнения
математической физики содержат параметр к, который
входит в уравнения именно так, как в B.2).
Пример 2.1. Уравнение Шредингера:
J^± ^	, t). B.3)
Это уравнение описывает движение нерелятивистской
квантовой частицы массы т в поле с потенциальной энер-
энергией V (х). Полагая h = к'1, получаем д. о. вида B.2)
с символом
L(x, t, p, Е) = Е+-~(р, p) + V(x).
Здесь Е — двойственная переменная к t (энергия).
Пример 2.2. Уравнение Гельмгольца:
(А + к2п2 (х)) и (х) = 0.	B.4)
Это уравнение описывает распространение световых
(а также электромагнитных и акустических) волн часто-
частоты к в среде с коэффициентом преломления пъ (х). Раз-
Разделив обе части уравнения на к2 и полагая к = к, полу-
получаем д. о. вида B.2) с символом L (х, р) — — {р, р) +
+ п* (х).
Пример 2.3. Рассмотрим разностную схему
2
„	I hn htn
для волнового уравнения ии = ихх, где и„ = и \-^; -^-
и а >. 0, h >. 0. Используя формулу ehdldxf (х) =
= / (ж + А) и аналогичную формулу для / (? + а/г), полу-
получим уравнение
[sin2 (A A) -asin2 (-^-Д,) ] и (х) = 0,
которое дает нам разностную схему, если значения и
взять в точках сетки. Это уравнение имеет вид
L (k-Wt, к-Юх) и = 0, h = Ar1,

§ 2. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	59
где L есть %-и. д. о. с символом L (х, t, pi, p0) =
= sin2 (po/2) — с^2 sin2 (api/2).
Опишем класс символов.
Определение 2.4. Функция L (х, р) принадле-
принадлежит классу Тк, если выполнены условия:
1)	L(x, P)eC°°(RnxX Щ).
2)	Для любых мультииндексов a, P
(х,р)еКхК-	B-6)
Таким образом, функция L (х, р) растет на бесконеч-
бесконечности не быстрее полинома по х и по р и дифференциро-
дифференцирование L по х и по р не меняет порядка роста. Примеры
символов класса Тт: 1) полиномы от (х, р) степени т;
2) символ из примера 2.3.
Переменные х и р в символе Тт равноправны.
3 амечание. Класс Тт отличается от классов
Хёрмандера S^(, (дифференцирование по р символа L 6
6 ?р"б уменьшает порядок роста L по р). Это различие
обусловлено задачами, которые мы рассматриваем.
Определение 2.5. Функция L (х, р; (Л)) при-
принадлежит классу Т™, если выполнены условия:
1)	L (х, р; (ik)-1) е СГ(Щ ХЩ X Щ).
2)	При любом целом N ^ О
L (х, р; (а)) =
= 2 (&)"*?*(«, Р) + *.-*-%(ж, р; (Щ-1). B.7)
Здесь Lft ? J1™ и для любых мультииндексов a, P и для
любого целого у 2& О
p, 8)] |<
3,v(l + j^j)m(l + |p|)m, 8 = (j>i)-1 B.8)
при (ж, р, 1) е r; х Rpn x щ.
Аналогично вводится класс Тт. Типичным примером
N
символа класса Г™ служит функция L = 2 (^)"fc X
о
X Lh (x, р), где Lh ^ Г™. В частности, из определения 2.5

60	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
следует, что
\D*DlL{x, p; (Л)) [<
B.8')
Если
Ь(х,р; (^Г1) 6 Г™
то
^•6 7?, ~Len,
2. Действие ^-псевдодифференциального оператора на
быстро осциллирующую экспоненту. Наша ближайшая
цель — получить какие-либо (частные) формальные асимп-
асимптотические при Я ->- ± оо решения уравнения вида
L (х, l^Dx, (Л)) и (х, X) = 0.
т
Если Lu = 2 ak (^'1-^ж)Ь и' х 6 R1 и коэффициенты aft
о
постоянны, то решения можно искать в виде exp (iXS (x)).
Более того, в случае простых корней характеристического
уравнения всякое решение будет линейной комбинацией
экспоненциальных решений. Руководствуясь этим при-
примером, будем искать решение в виде формального ряда
ехр
о
При этом необходимо выяснить, как действует Я-п. д. о.
на быстро осциллирующую экспоненту, т. е. на функцию
вида ф (х) exp HKS (ж)].
Пусть х ? R1; тогда
(ж i)ехр [iXS (ж)]=5'(ж) ехр liXS (жI'
-^ S' (х) S
(х)] ехр [U5 (х)].

§ 2. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	61
Нетрудно показать по индукции, что
= exp [US (х)} [(S' (х))т + ^^ (S' (х)Г~1 S" (х) +
+ О (%'*
Применяя формулу Лейбница, получаем
= exp [OS (x)] [(S1 (x))m ф (х) + -? (S' (х)Г~1 Ф' (х) +
т
где i?/ — дифференциальный оператор порядка /. Символ
A d \m
Tj-^-1 есть L (/>) = рт, и так как dLldp =
= mp, d2L/dp2 = т (т — 1) рт~2, то мы получаем
для данного оператора
) [Ф (х) ехр (аб1 (ж))] = exp (iXS (ж)) [L E" (ж)) ф (ж) +
Эта формула остается в силе для дифференциального опе-
2	1
ратора L (x, ^D^) с переменными коэффициентами, так
как мы вначале дифференцируем по х, а затем умножаем
полученные выражения на функции от х. Наконец,
поскольку операторы d/dxj, д/дхк на гладких функциях
перестановочны, то имеет место формула
L (ж, % 1DX; (iX)
m
= exp (ilS (x)) 2 №)~5 Rj (x, Dx) Ф (х), B.9)
где Rj — линейные д. о. порядка /. В частности, если
L — дифференциальный оператор порядка т, коэффициенты

62	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
которого — полиномы от (Щ~*, то
(ЯоФ) (х) = L (х, J?M- ; 0) ф (х),	B.10)
ж, dS(x)/dx; 0)
BЛ1)
Теорема 2.6. Пусть символ Ь(х, р; (Щ~1) ?^+>
ф (я) 6 Со° (Rn), 5 (я) ? С°° (R") и функция S (х) веществен-
нозначна. Тогда при Х^1 и при любом целом N^0
L{x, %^БХ, (й)-1) [ф (х) exp (i%S (x))] =
JV
= exp (OS (я)) 2 (iX)-*Rj(x, DxL>(x) + O_N.l(x,X). B.12)
Здесь Rj(x, Dx) — линейный дифференциальный опера-
оператор порядка ^.j с коэффициентами из класса C°°(Rn).
Для остаточного члена имеет место оценка
+ |я:|)-г, B.12')
где г >, 0 — любое, х g R™. Для Ro, R± справедливы фор-
формулы B.10), B.11).
Доказательство. Пусть и (х, Я) — левая часть
B.12). Тогда
и (х, X) =
&to p)]L(x, p; (iXp) I (p, X)dp, B.13)
I(p, %)= | ф (a:) exp [iKS (x) — (ж, р>] dx.
Пусть M ~ {p: p = dS (x)/dx, x ? supp ф} и G (p) с
с R" — внешность конечной области, G {p) [] М =0.
Устроим С°°-разбиение единицы: % (р) -\- ц2 (р) = 1, р g
6 R™, где т]! (/>) — финитная функция, supp ц2 (р) с
с G (р), и соответственно положим и (х, Я) = п,{ (х, X) +
+ и2 (ж, Я). Далее, применяя формулу A.16), получаем

2. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	63
при х Ф О
Щ (х, X) =
Следовательно, при | х | ^ 1
\ и (х X) I <С СХ~^(\. А- I х \\т~^
где iV ^ О— любое. Снова применяя A.16) и учитывая
полученную выше оценку для | w2 |, находим, что
при любом N 2> 0 и что такие же оценки верны для всех
производных от м2 по ж. Далее,
м4(х, Я)=
= (— 1 \ L (x, p; (iX)'1) ф (г/) rL (p) exp [ilxj) (x, у, р)] dy dp,
г[)(х, г/, р) = (ж — у, p)-\-S(y),	B-14)
и этот интеграл берется по конечной области в RJ X R".
Пусть х ^ К. Применим теорему 1.4. Функция ij) (как
функция от у, р) имеет единственную стационарную точку
Q (х): у = х, р = 8S (х)/дх. Пусть Н (х) — матрица из вто-
вторых производных по переменным (у, р) функции ij) в точ-
точке Q (х), т. е. Н = J , 1^/, к ^ п. Тогда
det Я (х) = (—1)и, sgn H (х) = 0 и собственные значе-
значения матрицы Н (х) равны ±1. Далее,
ур (х, Q (х)) = S (х).
Если | х | ^ R, то из теоремы 1.4 мы получаем B.12),
B.12'). Если R >> 0 достаточно велико, то интеграл для
«1 не содержит стационарных точек и в силу леммы 1.5
| щ (х, X) | ^ СNX~N (I -f I x \)~N, \ x \ ^ R,
где JV ^ 0 — любое; аналогичная оценка выполняется
для всех производных щ по х. Тем самым B.12) доказано.
Следствие 2.7. Асимптотическое разложение
B.12) можно дифференцировать по х и по X любое число
раз. Теорема 2.6 без изменений переносится на случай
Lf Tm.

64	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Если К — компакт в Щ, то формула B.12) дает асимп-
асимптотическое разложение функции
L (х, Х-*ОХ; (&)-») [Ф (х) exp (ilS (x))]
в асимптотический ряд по степеням (Л)" при Х-+ +00
равномерно по х ? К. Из B.12) следует, что это разло-
разложение имеет вид
ехр [ — iXS (х)\ L (х, Х-1ОХ; (Щ~1) (exp [ikS (x)] ц> (х)) ~
X О™ (Ф (х) exp [i%S (x, у)]) \у=х,
где обозначено
Для классических п. д. о. асимптотическое разложе-
2 1
ние функции и (х, %) = L (x, Dx) [exp (iXS) ф (х)] было
получено в [68].
Замечание 2.8. Формула B.12) справедлива при
менее жестких условиях на символ.
Предложение 2.9. Пусть QcR" — конечная
область, L (x, p; (ik)-1) 6 С°°(п X Щ, X Щ), функция L
имеет разложение B.7) и условие B.8) выполнено при
(х, р, X) ? К X R" X Щ с константой, зависящей от
а, р, у, К, для произвольного компакта К a Q. (Этот
класс обозначим символом jT™(Q).) Тогда теорема 2.7
остается в силе, если S (х) ? C°°(Q), ф (х) ? C™(Q); оста-
остаточный член 0_jv-i (х, X) (J0Ijv-i(?2).
Это предложение следует из доказательства теоре-
теоремы 2.6. Аналогично формулируется результат для класса
2?(Q)
()
Пусть область Q и функции (f>(x), S(x) те же, что
и выше, и функции ф (х), S (ж) фиксированы. Положим
M(S, Ф) =
Предложение 2.10. Пусть условия определения
2.5 выполнены при {х, р) ? Q X J7 (р) uD%L (x, p; (ik)~l) ?

§ 2. ПСЕВДОДИФФЕРЕЩЩАЛЬНЫЁ ОПЕРАТОРЫ	65
б ^i (f/ (p)) &яя любого мулътииндекса а. и для любого
х 6 й. {Здесь U {р) — область, содержащая М (S, <р).)
Тогда все заключения теоремы 2.6 остаются в силе.
Доказательство. Устроим разбиение единицы:
*Ц (Р) + Лг (/>) = !> Р € R"i где % (р) — финитная функ-
функция, supp г] (р) а их (р) и т]! (р) = 1 на Vkf (S, ф). Пусть
(?/ есть Я-п. д. о. с символом L (х, р; (г^)) t]j (p). Из до-
доказательства теоремы 2.6 следует, что формула B.12)
имеет место для функции Qx (qieiXS). Далее, Q% (cpeiAS)
имеет вид B.13), и так как dS(x)ldx=^=p при % ^ 1,
р е supp тц, то | D%L (р, ЧКС eX-w(l + | р |)- при
X ^ 1, р 6 supp т]х. Следовательно,
(x, p; (a)) | rii (p) (l + \p \
при любом x.
Например, если L = | р |, то достаточно потребовать,
чтобы 55 {хIдх Ф 0 при а; ? supp ср.
Точно так же, как и теорема 2.6, доказывается
Теорема 2.11. Все утверждения теоремы 2.6
1	2
остаются в силе для оператора L (x, 'K~1DX; (Л)), с той
лишь разницей, что
х, dS (х) дх; 0) d*S (х)
B.15)
Отметим, что
ф (ж) exp
= (^ )" j j L (у, р; A%Г) Ф (у) exp
+ (р, x-y))\dpdy. B.16)
3. Композиция ^-псевдодифференциальных операто-
операторов. Пусть ?Г™ — класс всех %-п. д. о. с символами клас-

66	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
объединение всех классов S™. Очевидно, что
— линейные пространства над полем С. Покажем,
что класс 3F является алгеброй, т. е. что композиция
двух К-п. д. о. есть Х-п. д. о. В качестве области опреде-
определения для всех Х-п. д. о. выбирается пространство Co°(Rn).
Теорема 2.12. Пусть Х\, Хг — Х-псевдодифферен-
циалъние операторы классов ?Г®1, 3~^% соответственно.
Тогда их произведение Х%Х^ есть Х-псевдодифференциалъ-
ный оператор класса ,T^i+N2.
Замечание. Эта теорема не вытекает из известных
теорем о композиции псевдодифференциальных операто-
операторов [25], [68]. Дело в том, что в цитированных работах
рассматриваются иные классы символов L: эти классы
таковы, что дифференцирование символа L (х, р) по пере-
переменным р уменьшает рост символа при \ р | -> оо. Именно,
требуется, чтобы для любого компакта Ж с: Щ и для
любых мультииндексов а, р с некоторой константой
^а,з, &С выполнялись оценки
Имеются и другие обобщения этих классов, однако они
не содержат в себе класс Г™ даже в том случае, когда
символ L не зависит от X.
При доказательстве теоремы 2.12 нам понадобится более
широкий класс Я-псевдодифференциальных операторов,
чем класс Т?. А именно, рассмотрим К-п. д. о., символы
которых имеют разный рост по х и по р при | х \ —>¦ оо
и при \р | -> оо. Введем
Определение 2.13. Функция L (х, р; (И)'1)
принадлежит классу Г™1» т*, если выполнены условия:
1)	L (х, р; (ik)-1) e C°° (RS X Щ X Щ).
2)	Для любых мультииндексов а, р и для любого
целого числа у ^ 0 выполняются оценки
| DlDlDlL (х, р; е) | ^Da, р. т A +1 х \)ш A +1 р |)т* B.17)
при {х, р, X) 6 Щ X Щ X Щ.
3)	При любом целом N ^ 0 справедливо разложение
L (х, р; е) = S е%> {х, р) + в»+Ч,„+1 (х, р; г). B.18)
й0

§ 2. ПСЕВДО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	67
Для функций Lh, LN+i выполняются условия 1), 2)
(для Lk — при % = 0).
Обозначим через S™1> т~г класс всех Я-п. д. о. с сим-
символами, принадлежащими классу Т™1< '.
Примером символа класса Г™*> "^ служит функция
Ь{х, р) =
= A +1 х |2Г/2 A + IP IT2''2 exp [i ({х, а) + {р, Ь))], B.19)
где а, Ъ — постоянные ?г-векторы. При п = 1 и при целых
Шх, пг2^ 0 простейшим примером служит функция
L (х, р) = ж"Чр">2 exp [i (x + р)].
Приступим к доказательству теоремы 2.12. Для опре-
определенности ограничимся случаем, когда операторы диф-
дифференцирования действуют первыми, т. е. операторы X)
имеют вид
:	Xj = Lj(x, %-*Dx; г).
Здесь и далее е = (t^).
Лемма 2.14. Пусть операторы %и ?2 принадлежат
классам ?Г™^ hi и .Т7^' Й2 соответственно, и пусть т^-С — п,
А2< — п. Пусть функция и (х) ? C™(Rn). Тогда спра-
справедлива формула
(X2Xiu) (х) = F^XL (х, р; е) FK x^p и (х), B.20)
где функция L равна
j^J j exp[iX{p — р, х — х)]х
XL2(X> ?! E)Li(x, p; г)йхйр. B.21)
Доказательство. Из определения Х-п. д. о.
(см. B.2)) имеем
lCn)/2
)
+ (р, x))]Lz(x, p; b)Li (x, р; е) и (р) dp dxdp', B.22)
где интеграл берется по всему пространству R" X R~ X
X R~ и и (р) = Fx, x-+pU (x). Функция и (р) убывает
быстрее любой степени | р \ при \ р | ->¦ оо. Если т1 <.
5*

0$	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
< -^п, ft2 < —re, то; интеграл B.22) сходится абсолютно.
Меняя порядок интегрирования, получаем формулы B.20),
B.21).	..._,..
Лемма 2.15. Пусть условия леммы 2.14 выполнены*
Тогда функция L (ж, p; s), заданная формулой B.21),
принадлежит классу J'mi+m2, fti+ft2.
Доказательство. Сделаем в интеграле B.21)
замену переменных х = у -\- х, р = q -f- p; тогда
L(x, р; »)= (-2^)™ J exPt — а(У> Ч)\ X
XLiiy + x, p; e.)Lz{x, q + p; e)dydq. B.23)
Фазовая функция S = —(у, q) имеет единственную
стационарную точку у = 0, q = 0. Устроим С°°-разбиение
единицы: 1 = rix (г/, q)+r\2{y, q) в Щ%. Здесь т)!—
финитная функция, равная 1 в окрестности начала коор-
координат. Соответственно разобьем интеграл B.23) на два:
L = LA) -j- Z/2) (подынтегральное выражение в L{^ отли-
отличается от подынтегрального выражения в B.23) множите-
множителем T]j).
Интеграл Z/2> оценим с помощью интегрирования по
частям, а к интегралу LA) применим метод стационарной
фазы. Интегрируя по частям с учетом тождества (S =
= -<#, г»
exp (US) = i%-lM (exp (i%S)),	B.24)
получаем
LB) = гЯ," Bп)-п \ exp
Здесь *Л/ — формально сопряженный с М оператор
и аргументы всех функций те же, что и в B.23).
Имеем, в силу B.24),
Здесь функции aj, bj имеют порядок О (г~2) при г =
— 1^ I й I2 + I 3 I2 ~*" °°> с = О (г'1), и эту аоимдтотику

§ 2. ПСЕВ ДО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	69
можно дифференцировать любое число раз (т. е. D^aj =
& О (r~2~lal) при г-v оо и т. д:). Далее, класс Т™< h инва-
инвариантен относительно операторов дифференцирования Dx.,
Dp., De, что следует непосредственно из определения 2.13.
По условию
2	i2J X
)Т^С(?. B.25)
Эта оценка и все последующие имеют место при всех веще-
вещественных х, р, у, q и при X ^ 1. Для всех производных
функции ivjZ/2 справедливы оценки вида B.25), только
с другими постоянными С.
В силу установленных выше свойств коэффициентов
оператора М и оценки B.25) имеем
при (q, у) ? supp т]2 (напомним, что г ^ г0 >> Она supp т]2),
и такие же оценки справедливы для всех производных
функции lM (LiL2). Аналогично доказывается, что
| *М> (ЬгЬ2ц2) |< CQ A + г»)-*/»	B.26)
и все производные функции *М' (ЬхЬ%ц^ допускают такие
те оценки. Для краткости все константы, входящие
в оценки, обозначаем одной и той же буквой С.
Воспользуемся неравенством Питре [25]:
где I, т] ? Rn. Имеем (т.х < 0)
mi	mi	mi
A + |\z+г/|2)Т<С A + | * |2)Т A + | г/|2fT •
Следовательно,
1B-27)
Напомним, что интегрирование в формуле B.23) произ-
производится по переменным у, q. После интегрирования по
частям для подынтегрального выражения получаем оценку

70	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
вида B.27), да еще с множителем Х~} A + | у |2 + \ч I2)"'72,
где / ^ 0 — любое. Поэтому, если взять / достаточно
большим и проинтегрировать эту оценку по переменным
dy dq, то для функции L<2) получим оценку
B)
B.28)
Здесь /^0 — любое. Точно такие же оценки, в силу
доказанного выше, справедливы и для всех производных
функции LB\ так что, очевидно, ?B) ? 71™2* Ч
Рассмотрим интеграл L{1), который берется по ограни-
ограниченной области, так как функция т]х финитна.
Положим
/ = Lx (у + х, р; е) L2 (x, q + p; е) т)х (у, q).
По формуле Тейлора имеем
/= 2 /ар (ж, P)^P + JV	B-29)
MIP15N
Фазовая функция 5 = —(у, q) в интеграле LA) имеет
единственную, и притом невырожденную, стационарную
точку у = 0, q = 0. Применяя метод стационарной фазы
(теорема 1.1), получаем, что интегралы
=("^гГ J
при А,—>- +оо имеют вид/ар= Я~ 1а 1~'Р ' (асимптотический
ряд по степеням А). Далее, функции /ар пропорцио-
пропорциональны производным D%D$ (Ьг (х, р; е) L2 (ж, р; е)) и по-
поэтому принадлежат классу T™l+m*- h^+h^. Следовательно,
все функции
Используя интегральную формулу для остаточного
члена fN в формуле B.29), получаем, что
:, P. У, д; е),
где для функций ga& при (у, д) 6 supp т]а справедливы
оценки

§ 2. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	71
и такие же оценки (с другими константами) имеют место
для всех производных функций gap,. Используя тождество
B.24) и интегрируя по частям, получаем
7«р = J г/V'ii exp (US) dy dq =
= iX~j ( exp (AS) tMi (yaqha&\i) dy dq.
Коэффициенты оператора lM^ имеют вид ф -г~%\ где ф —
полином от переменных г/, q, а функция yaq$ имеет нуль
порядка N + 1 в начале координат. Поэтому при фикси-
фиксированном / и при N ^ Mj достаточно большом функция
iM1 (уа, qPga[$4}i) есть сумма производных функции gafi
с коэффициентами, которые являются непрерывными функ-
функциями от у, q в окрестности начала координат. Отсюда
вытекает оценка B.28) для интеграла /ар и для всех
его производных по переменным х, р при / ^ / {N), где
/ (N) -v + оо при N -> оо.
Тем самым для функции LA> доказано существование
представления B.18) и оценка B.17) при 7 = 0. Имеем
|a| + IPl^iV	|a| + |P|=iV+l
Интегралы /аР разлагаются в асимптотические ряды
по степеням s = (iK)'1, которые можно дифференцировать
почленно (теорема 1.1). Далее, — = г^2 ^-, так что произ-
производная по е интеграла /ар есть интеграл такого же вида,
умноженный на А,2. Так как при достаточно большом N
для интеграла /ар справедлива оценка B.28), где / =
= —2 — п, то ч- Jan ^ С при таком N. Тем самым
оценка B.17) для функции La) доказана при у = 1;
аналогично проводится оценка при всех у is 2.
Тем самым доказано, что LA) ? ущ+л^, fti+fe, что
в сочетании с оценкой B.28) для функции L<2) доказы-
доказывает, что L ? T™i+™2' hi+k-i.
Доказательство теоремы 2.12 мы сведем к случаю,
рассмотренному в лемме 2.15. Для этого необходимо пре-
преобразовать композицию Х^Хх так, чтобы уменьшить
порядок роста символа Ьг по х и уменьшить порядок
роста символа L2 по р. Предварительно установим еще

72	ЧАСТЬ Т. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
одно важное свойство Х-псевдодифференциальных опе-
операторов.
Теорема 2.16. Пусть оператор X 6 ^f' ft> функ-
функция и (х) ? C"(Rn). Тогда для любых мулътииндексов а
и для любого целого числа N ^ 0 справедливы оценки
\D°(Zu)(x)\<^Ca,N(l + \x\yN (xe~Rn, Ь>1). B.30)
Таким образом, функция Хи убывает при | х \ -*- оо
быстрее любой степени \ х \ вместе со всеми производными.
Доказательство. Устроим разбиение единицы
класса С°° в Щ: t]1 (х) -)- т]2 (х) ^ 1, где функция т]! (ж) ?
в C^°(Rn) и щ (х) = 1 в окрестности точки а; = 0. Тогда
^ = Х\ + <5?2> гДе ^7 — оператор с символом r}jL.
Имеем
(ЗД (ж) =
)П/2 j	Л(а-, р)] тJ (л.) L (x, p; s)~u{p)dp.
B.31)
Воспользуемся тождеством
ехр [гЯ (ж, р)] = тг ^4 (ехР [^ ^
Интегрируя по частям, получаем
(Х2и) (х) = - (-^i)n'2 т^|Г j ехР № (х> Р>] ^ (х) X
p. B.32)
Так как функции dL/dpj ? Г™> ft, а функция w (p) убы-
убывает при | р | —>¦ оо быстрее любой степени | р | вместе
со всеми производными, то
Продолжая интегрирование по частям, получаем оценку
B.30) для функции Х2и. Более того, в правой части этой
оценки можно добавить множитель %~N (при % ^ 1).

§ 2. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	73
Функция Х\и имеет вид B.31), где следует заменить
ч\ъ (х) на т)! (я). Подынтегральная функция финитна по ж,
так как щ (х) ? C"(R"). Далее, для функции и (р) спра-
справедливы оценки | и (р) | ^ СN \ p \~NX~N при \ р | ^ 1,
% ^ 1, при любом целом N ^ 0 (лемма 1.5), и такие же
оценки справедливы для всех производных этой функции.
Поэтому можно считать, что символ L финитен по р, т. е.
что L = 0 при | р | ^ 1.
Следовательно,
(ЗД (Ж) =
^)" j j	u<a;— г/, p)]L(a;, p; e)u(y)dydp,
где интеграл берется по конечной области в Б" X Щ.
Применяя метод стационарной фазы (теорема 1.4), полу-
получаем, что последний интеграл является ограниченной
функцией х при к ^ 0, и из финитности функции г\1
вытекает оценка B.30) для функции Х\и при | а | = 0.
Чтобы получить оценку B.30) при | а | 2> 1, перепишем
формулу для Х\ в виде
(Xiu) (x) =
^t) J J exp[ — iX{y, p)]L(x, p; e) u(y + x)dy dp
и заметим, что дифференцирование этого интеграла по х
приводит к интегралу того же вида. Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2.12. В силу
теоремы 2.16 функция (XiU) (x) убывает быстрее любой
степени | х \- при | х | -> оо, 1^1. Поэтому композиция
Х2 (Xiu) (x) определена. Действительно,
ехР f^(¦г- Р>] L*(х> Р\ 8) Xlu(p)dp;
функция X\U (р) при X ^ 1 убывает быстрее любой сте-
степени | р | при | р | -v сю, так что последний интеграл схо-
сходится абсолютно. Перепишем этот интеграл в виде
*) W = (~4^)и/2 (exP № {x> P^ x
XLP{x, p; e) (-Х-2А~+1)М(^^)Й dp,

74	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
где if) (х, р; е) = L2 (х, р; е) A + | р |2)~я, и N > О
выберем достаточно большим. Символ L[N~> принадлежит
классу Т1^'^-1*. Функция (%ги) (х) имеет вид B.31),
где L = ?1; г]2 == 1, так что
(- Я'2ДЖ + if (ЗД (x) = {X\~2N)u) (х),
где Х^^ есть 1-й. д. о. с символом класса T™t+2N' hi.
Итак,
где оператор ,2^> удовлетворяет условиям леммы 2.15.
Чтобы иметь возможность применить эту лемму к ком-
композиции X{N) X{'2N), необходимо уменьшить рост сим-
символа L[~ZN) по х. Для этого, как и в доказательстве тео-
теоремы 2.16, представим оператор X{~2N) в виде X['2N) =
= <2ai + .2а21 гДе ^и — оператор с финитным по х
символом, а символ Ll2 оператора %12 тождественно
равен нулю при | х | ^ 1. Применяя к функции (Xi7u) (x)
ту же процедуру, которая была применена в доказатель-
доказательстве теоремы 2.16 к функции (%12и) (х), получаем (см.
B.32)), что
(Xi2u) (х) = (—^—)п \ exp [i% (х, р)] гJ (х) X
" и
X 2 L^ (x> P> ?)№rl
Здесь М ^ 1 — достаточно большое целое число, а сим-
символы Lg> 6 Tmi~i' hi, где g ^ 1 может быть сделано
сколь угодно большим за счет увеличения М.
Для композиции Х^Хц теорема вытекает из лем-
леммы 2.15; точно так же эта лемма применима к компози-
композициям X{N)Xf^, где ?$ и есть Я-п. д. о. с символом L<™>.
Однако операторы Х^Х^ действуют не на функцию
и (х), а на функцию хаи (х), где аЯ = xfi ... ж"п. Из фи-
нитности функции м следует, что если X есть Я-п. д. о.
с символом L класса Г™- fe, то
где ^ есть Я-п. д. о. с символом класса Т™+1а>' к. Для
доказательства этого факта достаточно в формуле вида
B.31) для Я-п. д. о. проинтегрировать по частям по dp.

§ 2. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	75
Итак, доказано, что композиция Х2Хг двух %-п. д. о.
есть снова Я-п. д. о. с символом класса Тт- к при некото-
некоторых т, к. Вычисляя порядки рассмотренных выше опе-
операторов X{2N), Х$> и учитывая лемму 2.15, нетрудно
показать, что т = тг -f- ^2> к = кх -\- к2.
Из доказательства теоремы 2.12 вытекает более общий
результат.
Теорема 2.17. Пусть Xj в ^V' hj> J = L 2- Тогда
композиция Х%Хг 6 «^~™' h, m = тг -{- тг, k = кг + ^2-
Приведем формулы для композиции двух Я-псевдо-
дифференциальных операторов.
Теорема 2.18. Пусть %-псевдодифференциалъные
операторы Xj, / = 1, 2, принадлежат классам JTfi> hi,
причем операторы дифференцирования действуют первыми.
Тогда символ L оператора X = Х2Х\ имеет вид
?2 (х, %~lDx; e) [L4 (ж, l^D*; e) u (ж)] =
%~1ЬХ)] и (х) +
(x, k-lDx; г)и(х). B.33)
Здесь е = (й)-1, оператор X3 ? Jr™i+m2,
L° (ж, р) = Lx (х, р; 0) L2 (x, р, 0),	B.34)
ое	е=0
3=1	B.35)
Доказательство. Представление B.33) выте-
вытекает из теоремы 2.17 и определения 2.13. Остается дока-
доказать формулы B.34) и B.35). Подействуем оператором X
на быстро осциллирующую экспоненту и = ср (х) X
X exp [US (x)], где ф 6 C(R"). 5 6 C°°(Rn) и фаза
S (х) вещественнозначна. Тогда, в силу теоремы 2.6, имеем
(Хи) (х) = exp [i%S (х)] Ш0ф + е#!ф + О (е2)]
(б->0).	B.36)
Оценка О (е2) равномерна по х на любом компакте. Функ-
Функции Roy, Ri(p имеют вид B.10), B.11), где L — символ
оператора X.

76	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Теперь к функции и последовательно применим опера-
операторы Xi:,и Хг. Имеем
(ЗД (х) = exp \iXS (х)] [Д;Ф + sR\<p] + О (е2) (е -> 0),
где функции Rj(p определяются по символу Ьг с помощью
формул B.10), B.11). Остаточный член в последней фор-
формуле принадлежит классу О^2 (х, %) (теорема 2.6), так что
I У П Ср2\ I <г" С I р Is
I оО2и \ь I I ^ ь I e I
при х ? R™, % ^ 1. Следовательно,
(^2ЗД (ж) = ехр [»Я5 (х)] \Хг {Щу + еД^ф)] + О (е2) =
= ехр [ikS (х)] [Щ (Щц>) + еЩ (Щц>) + zR?(Rl<p)] + О(г5)
(8-^0).
Сравнивая эту формулу с формулой B.36), получаем
ДоФ = ВД<Р. Д1ф = Д;Л1ф + Дг(Д10ф) B.37)
для любой функции ф G C^(R™). Следовательно,
L0 (х, р) = Lx (ж, р; 0) L2 (ж, р; 0),
где р = 0S (х)/дх. Так как в качестве S можно взять
любую линейную функцию, то формула B.34) доказана.
Заметим, что тождества B.37) имеют один и тот же
вид и для Я-дифференциальных, и для Х-псевдодифферен-
циальных операторов. Следовательно, достаточно дока-
доказать формулу B.37) для ^-дифференциальных опера-
операторов Xi, X2, а в этом случае формулы B.33) — B.35)
вытекают из формулы Лейбница.
Точно так же доказывается формула композиции в том
случае, когда порядок действия дифференцирования и ум-
умножения в операторах Xj иной, чем в B.33).
§ 3. Уравнение Гамильтона — Якоби.
Система Гамильтона
Частное формальное асимптотическое решение урав-
нения L {х, к Dx) и = 0 ищем в виде
и (х, X) = ф (х) ехр [US' (x)].
Тогда функция S (х) удовлетворяет уравнению Гамиль-
Гамильтона — Якоби

!¦'& 3. У1>АВНЙЙИВ ГАМИЛЬТОНА — ЙКОБЙ	77
которое является характеристическим для уравнения
]jp,.±= 0. Характеристическим уравнением для уравнения
Шредингера является уравнение Гамильтона — Якоби
классической динамики; уравнению Гельмгольца отве-
отвечает уравнение эйконала.
Задача Коши для уравнения Гамильтона — Якоби
эквивалентна задаче Коши для системы Гамильтона
[dx _ 0L (s, р)	dp _ dL(x, р)
~Ж~ ~др ' ~Ж~	дх '
Начальные данные образуют в фазовом пространстве
(х, р) многообразие размерности п — 1: х — х° (а), р =
= р° (а), а = (ai, . . ., а,^). Пусть (х (t, a), p (t, ос)) —
решение задачи Коши этой системы.
Предэкспонента <р (х) удовлетворяет уравнению пере-
переноса, т. е. обыкновенному линейному дифференциальному
уравнению первого порядка вдоль луча х = х (t, a).
Применение формулы Лиувилля дает главный член асимп-
асимптотики в малом:
		* п
J@,a)	Г.,„, . . 1 f r, d2L 7s, p) j., 1
-^exp \iXS(x) + T \ ^ -ft^T* J-
о i=i
Здесь якобиан / (it, a) = det x ' a' характеризует
изменение площади сечения лучевой трубки. Эта формула
пригодна, вообще говоря, только при маЯых [ t |.
1. Характеристическое уравнение (уравнение Гамиль-
Гамильтона — Якоби). Рассмотрим уравнение
L (х, Х-фж; (гЯ)) и (х) = 0.	C.1)
Нас интересуют формальные асимптотические решения
этого уравнения при A,-v±oo. Пусть G — конечная
область в Щ.
Определение 3.1. Функция и (х, к) ? О* (G)
называется решением уравнения C.1) по модулю &Lm (G) X
X (mod О!^ (G)), если Lu (x, X) 6 Olm (G).
В работах по асимптотическим методам в теории диф-
дифференциальных уравнений в этом случае пишут, что
«и (х, к) есть асимптотическое решение уравнения C.1)
с точностью до О (Х"и) при Я'->+о°»- Будем искать

78	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
частное решение mod O*t (G) в виде
и (х, X) = Ф (х) exp [iXS (x)].	C.2)
Из теоремы 2.6 и формулы B.10) следует
Предложение 3.2. Пусть символ L (x, р; (iX)'1) 6
? Т™, функция S (х) ? C°°(G) и вещестпвеннозначна, функ-
функция ф (х) ? Со°(б!). Пусть S (х) удовлетворяет уравнению
L (х, 8S (х)/дх; 0) = 0, ж 6 G.	C.3)
Тогда функция C.2) есть решение уравнения C.1)
mod О!, (G).
Уравнение C.3) будем называть характеристическим
уравнением (или уравнением Гамильтона — Якоби) для
уравнения C.1). Введем
Определение 3.3. Вещественнозначная функ-
функция S (х) называется Х-характеристикой Х-п. д. о.
1	2
L (х, X~lDx; (iX)'1), если для любой функции ф (х) ?
€ C%iG)
L (х, X~lDx; (iXY1) [ф (х) exp (а? (ж))] == О (Х~1)
(X-v + oo)	C.4)
при каждом фиксированном х ? G. ^-характеристика S (х)
удовлетворяет характеристическому уравнению.
Замечание 3.4. В общей теории уравнений
с частными производными принято другое определение
характеристики (см., например, [71]). Именно, функция
S (х) ? С°°((?) называется характеристикой дифферен-
дифференциального оператора L, если она удовлетворяет уравнению
L" (ж, 8S (хIдх) = 0,	C.5)
где L0 — главная часть оператора L (т. е. старшая одно-
однородная часть полинома L (х, р) от переменных р).
Это определение эквивалентно следующему: функция
S (х) есть характеристика оператора L, если для любой
функции ф (х) ? Со°((?) выполняется соотношение
L (х, Dx) [Ф (х) exp [iXS {х))\ = ХтО (X)
при х ? G, X->- -f°°> где т — порядок оператора L.

§ з. уравнение Гамильтона — якови	79
Пример 3.5. Характеристические уравнения для
уравнения Шредингера B.3) и для уравнения Гельм-
гольца B.4) имеют соответственно вид
+v^=0' • C-6)
Первое из них есть уравнение Гамильтона — Якоби,
описывающее движение классической частицы массы т
в поле с потенциальной энергией V (х). Второе есть урав-
уравнение геометрической оптики (уравнение эйконала), опи-
описывающее распространение света в среде с показателем
преломления п2 (х). Решение уравнения C.6) в класси-
классической механике называется действием, решение урав-
уравнения C.7) называется в оптике эйконалом.
Если же воспользоваться определением характеристи-
характеристики C.5), то характеристики этих уравнений удовлетво-
удовлетворяют уравнениям
ldS(t,x)\2	/ dS(x)\2
	 I 	 \J.	I	 I .— \J
соответственно. В частности, уравнение Гельмгольца не
имеет вещественных характеристик, отличных от тож-
тождественной постоянной, а характеристики уравнения Шре-
Шредингера имеют вид S = S (t). Согласно C.5) характери-
характеристики уравнения Шредингера совпадают с характеристи-
характеристиками уравнения теплопроводности
ди
которое резко отличается по своим свойствам от уравнения
Шредингера.
Физики де-факто считают характеристиками уравне-
уравнений Шредингера и Гельмгольца именно решения уравне-
уравнения Гамильтона — Якоби C.6) и уравнения эйконала C.7),
так как именно эти уравнения описывают соответствие
между квантовой и классической механикой и между
волновой и геометрической оптикой.
Понятие характеристики дифференциального (или псев-
псевдодифференциального) оператора неоднозначно и опре-
определяется тем классом задач, которые для этого оператора

§0	часть t. квантование поля скоростей
рассматриваются. Для рассматриваемого нами класса
задач пригодно определение C.4), но не C.5).
Предложение 3.6. Х-характеристики для %-псев-
додифференциалъных операторов
L{x, Х-'ЬХ; (&)-»), L(x, %~Wx; (iX))
совпадают.
2. Бихарактеристики. Уравнение C.3) есть нелиней-
нелинейное уравнение в частных производных первого порядка.
Из классического анализа известно, что интегрирование
этого уравнения сводится к интегрированию системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
dx _ dL (х, р; 0) dp _ dL (х, р; 0)
dt	dp ' dt	dx
C.8)
Эту систему будем называть бихарактеристической
системой или системой Гамильтона для оператора
L (х, Dx; (ik)-1).
Введем следующую терминологию. Пространство R2ra=
= Щ X Rp будем называть фазовым пространством.
Пусть х = х (t), р = р (t), t ? / = (tl7 t2),— решение систе-
системы Гамильтона. Кривую {(х, р): х = x(t), p = p{t), ? ? 1} в
фазовом пространстве назовем бихарактеристикой,
а ее проекцию на Щ, т. е. кривую {х: х = х (t), t ? /},—
лучом или траекторией. Эта терминология заимствована
из геометрической оптики и классической механики
(см. пример 3.5) и находится в следующем соответствии
с общепринятой:
бихарактеристика -*-> бихарактеристическая полоска,
луч (траектория) -*-> бихарактеристика.
Всюду в § 3 предполагается, что выполнено условие
L 3.1. Функция L (х, р; 0) ? С°° (Щ X Щ) и вещест-
веннозначна.
Приведем ряд известных [13], [16], [26], [51] свойств
системы Гамильтона. Напомним, что скобкой Пуассона (/, g)
скалярных функций / (х, р), g (x, р) называется функция
U, ё) (х, р) - ^ дх , др j \др ' дх/-
Предложение 3.7. Производная функции f (x, р)
в силу системы Гамильтона равна скобке Пуассона (/, L).

§ 3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ	81
Функция L (х, р; 0) является первым интегралом системы
Гамильтона.
Доказательство. Производная / (х, р) функ-
функции / (х, р), в силу системы Гамильтона, равна
L iL\ _ /JL iL\ - п
Так как L = (L, L) = 0, то L (x, p; 0) есть первый
интеграл.
Предложение 3.8. Пусть S (х) — решение ха-
характеристического уравнения в области G Э х° и Г =
= {(х, р): х — х (t), р = р (t), t ? / Э 0} есть бихарак-
бихарактеристика, отвечающая начальным данным
x\t=0=x°, p ^ =—l-i.	C.9)
Тогда при (х, р) ? Г имеем
Р = Щ^,	C.10)
Доказательство. Все рассмотрения произво-
производятся при t ? / = (—б, 6), где б > 0 достаточно мало.
Рассмотрим задачу Коши
dy _ дь{у, as (у)jay, 0) , =fl	,3щ
и положим
q (t) = {Soy) (t).	C.12')
Решение задачи C.12) существует и единственно при
t ? /. Покажем, что (у (t), q \t)) — решение системы
Гамильтона C.8) при t ? /; тогда из C.12), C.12') и един-
единственности решения задачи Коши мы получим C.10).
Дифференцируя C.12) по ( и дифференцируя тождество
L (х, ; 0) = 0 по х, получаем
dq(t) _d*S(y(t)) dL(y(t), q{t); 0)
dt	дх*	dp	'
as(x) . n\	ЯТ i as(x) .
6 В. П. Маслов. М. В. Федорюк

82	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Подставляя х = у (t) в последнее соотношение, получаем
dq(t) _ dL(y(t), q(t); 0)
dt	dp)	'
т. е. второе из уравнений C.8).
Далее, вдоль Г имеем
dS (х, t) / dS (x (t)) dx (t) \ / ,. dx (t) \
Jt -\—дх~ ' ~л~/~\Р^1~ЧГ/'
откуда следует C.10).
3. Задача Коши на плоскости. Поставим задачу Коши
для уравнения C.3) на плоскости хп = 0. Так как это
уравнение нелинейное, то, вообще говоря, недостаточно
задать S (х) при хп = 0. Положим х' = (хх, . . ., a;n_i),
р' = (рц, . . ., pn_i). Задачей Коши для уравнения Гамиль-
Гамильтона — Якоби назовем следующую задачу: найти решение
уравнения, удовлетворяющее данным Коши
s\xn=0=s0(xr), x'euf,	C.13)
=p°(A x'eu'.	C.14)
Здесь U' — окрестность точки х = 0' и So (х'), р° (х') —
заданные вещественнозначные функции класса С°° (V).
Функции So (z'), P° (x') должны удовлетворять усло-
условиям согласования: при х' ? U'
L(tf,0,p0(x');0) = 0,	C.15)
{р°(х'), dx') = dS0(x').	C.16)
Последнее условие называется условием полоски [26], [51].
Задачу C.3), C.13), C.14) с условиями согласования
C.15), C.16) будем называть лагранжевой задачей Коши
(см. § 4).
Лемма 3.9. Пусть
дЬ @, Рп @'); 0) _^ 0_	C.17)
Тогда решение лагранжевой задачи Коши существует
и единственно в некоторой окрестности точки х = 0.
Доказательство. Положим у = (уг, . . ., уп-д,
и пусть {х (t, у), р (t, у)} — решение задачи Коши
. x]t^0 = (y, 0), p\t=o = P°(y)	C-18)

§ 3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
для системы Гамильтона C.8). Это решение существует
и единственно при t ? / (у) Э 0, если интервал / (у) доста-
достаточно мал. В окрестности точки х = 0 в качестве локаль-
локальных координат можно выбрать (у, t), поскольку якоби-
якобиан / [t, у) = det * ' у в точке t = О, у = 0 равен
), 0)
), C.18)).
Если S1 (х) — решение лагранжевой задачи Коши,
то вдоль траектории системы Гамильтона имеем
dS _ / dx
~dT~ V' ~lf
(предложение 3.8). Поэтому положим
t
S (х (t, у)) = So (у) + j (p (у, т),
0
dx. C.19)
Функция S (x) бесконечно дифференцируема в окрестно-
окрестности точки х = 0 и удовлетворяет условиям C.13), C.14).
Далее, при малых ?, г/
L (х (t, у), р (t, у); 0) = 0.
C.20)
Действительно, L является первым интегралом систе-
системы C.8), а при t == 0 C.20) выполняется в силу C.13).
Покажем, что
дЩ^.	C.21)
Тогда из C.20) получим, что S (х) есть решение C.3).
Положим Si (t, у) = S (x {t, y))\ тогда равенство C.21)
эквивалентно системе
1
dt
ot /
дх
где х = x (t, у), р — p (t, y), Si = Si (x, у). Первое из
равенств C.21') следует из C.19). Дифференцируя по yj
первое равенство C.21') и дифференцируя по t остальные
6*

84	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
равенства, получаем
п	п
ft=l
А—1	k=i
Следовательно,
dp дх
dt \ дуj ' dt /
в силу C.20). Так как
в силу C.13), то 71/./ (f, ^) ^ 0, и C.21) доказано.
Тем самым существование решения задачи Коши
доказано. Докажем единственность. Пусть S (х) — пост-
построенное выше решение и Si (х) — некоторое другое реше-
решету	гр	dSi(O) dS(Q)
ние задачи поши. 1ак как _ = а и выполне-
дх	дх
но C.14), то dSi{*'x' 0) = р° (хг). Если из точки (х\ 0, р° {х'))
выпустить бихарактеристику, то вдоль нее р (х) = ' ,
Р (х) — —д^ в силу предложения 3.8. Поэтому St (x)
совпадает с правой частью C.19), т. е. с S (х).
4. Уравнение переноса. Рассмотрим уравнение C.1),
где L ? Tf (или Г™). Наша цель — построить формаль-
формальные асимптотические (ф. а.) решения этого уравнения
с точностью до О (XN) (к -*- + оо) при любом 7V. Нам
понадобится известная формула Лиувилля [4], [51], [52];
приведем ее доказательство. Рассмотрим автономную
вещественную систему из п уравнений
¦? = /(*),	C-22)

3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ	85
где, для простоты, / (х) ? С°° (Щ). Пусть х (t, a) ?
? С°° (I X V) есть (п — 1)-параметрическое семейство ре-
решений системы, где а = (ссх, . . ., ап_г) ? RS, V —
область в RS, / — интервал | t | < б. Положим
Теорема 3.10. Пусть J (t, а) Ф 0 герм (?, а) ?
? / X V. Тогда имеет место формула Лиувилля
±\nJ(t,a) = SV^(x(t,a)).	C.24)
Доказательство. Если матрица A (t) ? С1 (I)
и невырождена при t ? /, то
C.25)
Имеем из C.22)
_д_ /dx(t, a)\ _df(x(t, а)) Эж (t, а)
~aF i a(t, а) / ~ 9ж	д (t, а) "
Подставляя это выражение в C.25) и учитывая, что
Sp (AB) = Sp E^1), получаем формулу Лиувилля C.24).
Рассмотрим неавтономную вещественную систему из п
уравнений
~- = f{t,x),	C.26)
где, для простоты, / (t, х) ? C°°(Rt X RS). Пусть х (t, a) g
6 С°° (/ X У) есть гс-параметрическое семейство решений
системы C.26), где / — интервал | t \ < б, а ? RJ, У —
область в R^. Положим
^^.	C.27)
Тогда справедлива формула Лиувилля
A In Л (*, а) = Sp /; (x (t, a)),	C.28)
если /j (f, ос) =5^ 0 при (t, а) ? / X V. Доказательство
то же, что и выше.
Будем искать решение уравнения C.1) mod Of (Q)
в виде
и (х, X) = Ф (х) exp {US (x)).	C.29)

86	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Подставляя его в C.1) и применяя B.10) — B.12), полу-
получаем, что функции ф, S должны удовлетворять уравне-
уравнениям
= 0,	C.30)
да
as
C.31)
е=0
Уравнение C.31) называется уравнением переноса.
Сформулируем условия на символ L. Напомним усло-
условие L 3.1: функция L (х, р; 0) принадлежит С°°, и веще-
ственнозначна при всех вещественных х, р.
L 3.2. L (x, p; (ik)-1) e Tf.
L 3.3. Функция L (x, p; (ih)'1) вещественнозначна при
х е к1, р е Rn, х > 1.
Рассмотрим задачу Коши для системы Гамильтона
C.8):
xt==0 = x°(a),
P|t=o = p°(a), aeU.	C.32)
Здесь а = (ocl5 . . ., ап-г) g RS', U — область в Rg,
{х: х = х° (а)} есть С°°-многообразие размерности (п — 1)
в R™ и выполнено условие согласования
) = 0, aeU.	C.33)
Следующее условие на символ L и на данные Коши сфор-
сформулируем в терминах бихарактеристик.
L 3.4. Задача Коши C.8), C.31) имеет единственное
решение {х (t, a), p (t, а)} при (t, а) ? / X U, I =
= (—б, -{-8), и отображение
(t, a)-*x (t, a), {t,a)elXU	C.34)
есть диффеоморфизм.
Положим
t
S (х (*, а)) = So (хР (а)) + j (р (т, а), ¦*?%а?) Л, C.35)

§ 3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ	87
где So (х° (а)) 6 C°°(U). Тогда функция S (х) 6 С"(О),
где Q = {х: х = х (t, a); (t, a) 6 / X С/}, и является ре-
решением характеристического уравнения при if Й.
Теорема 3.11. Пусть условия L 3.1 — L 3.4 выпол-
выполнены. Тогда функция
„(х, Ц =
дЦх{х, а), р(т,а),е)
е=0.
C_36)
является решением уравнения C.1) mod O± (Q).
З^есь S, J определяются из C.35), C.23), ср0 (ее) —
произвольная функция класса C°°(U), и х — х (t, a).
Доказательство. Подставим C.36) в C.1).
Тогда уравнение C.29) будет выполнено. Обозначим через
L", -д—, ....,_.- и т. д. значения этих функции в точке
ОХ и\1К) г
(х, у; 0). Имеем
dt \ дх ' др / '	\ > /
Поэтому уравнение C.31) вдоль луча х = х (t, а) (при а
фиксированном) примет вид
Применяя формулу Лиувилля C.24) к системе -z-, = —,
получаем
dt	y \дх \	dp	))
Следовательно, уравнение C.37) можно записать в виде
Интегрируя это уравнение, получаем C.36).

88	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРО ТЕЙ
Рассмотрим оператор с симметричным символом.
Теорема 3.12. Пусть условия теоремы 3.11 выпол-
выполнены- Тогда функция
V '	l/|/(t, а) |	v \ \ И	\ I
является решением уравнения
[L(x, Х^Их) + Ь(х, l^Dx)]u{x, А,) = О (mod О!, (Q)). C.40)
Доказательство. В силу B.15) уравнение пере-
переноса C.37) в данном случае примет вид
Повторяя доказательство теоремы 3.11, получим для
уравнение
Замечание. Рассмотрим в фазовом пространстве
га-мерное многообразие Ап = {(х, р): х — х (t, a), p —
= р (t, а), а ? V, t ? I}. Элемент объема на Ап имеет вид
dan (x) = а (ж) dx. Потребуем, чтобы этот объем был инва-
инвариантен относительно сдвигов вдоль фазовых траекторий;
тогда (а°х) (t, a) = Ъ (а). Следовательно,
dan(x) J@,a)	.	,. ..
так что формула C.39) принимает вид (при if (a) 5= 1)
и(х, К) = у' \а-?^ exv(iXS(x)).	C.39')
5. Задача Коши. Рассмотрим Х-псевдодифференциаль-
ный оператор с выделенной производной по t:
L^X-Wt + Hit, x, k-*Dx; (il)-*),	C.42)
где t ^ [0, + oo), x ? Rni5 есть Я-п. д. о. В операторе Н
переменная t играет роль параметра. Рассмотрим задачу
Коши с быстро осциллирующими начальными данными:
Lu (t, x) = 0,	C.43)
и |(»о = и0 (х) exp (iXS0 И).	C.44)

§ 3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ	89
где и0 (х) е С°° (R»), So (х) (Е С°° (Щ) и функция S0(x)
вещественнозначна.
Уравнение Гамильтона — Якоби для L имеет вид
^; 0)=0.	C.45)
Из системы Гамильтона имеем -г- = 1, где т — параметр
вдоль бихарактеристики, так что можно отождествить т
с I, и система Гамильтона имеет вид
dx _ ОН (t, ж, р; 0) dp _ дЯ (t, ж, р; 0)	,„ ,»,
Й ~	dp	' di ~	дх	' ^ '
дН It, х, р; 0)
- Я (*, х, р; 0), C.47)
(t, х, р; 0)	-о ,8.
где ?¦ — двойственная к t переменная. Система C.46)
замкнута, и, более того, если решение этой системы
известно, то можно найти функцию S из C.47). Поэтому
мы отбросим уравнения C.48), а систему C.46) будем
называть укороченной системой Гамильтона для опера-
оператора L. Таким образом, мы будем рассматривать бихарак-
бихарактеристики не в Bп -)- 2)-мерном фазовом пространстве
(х, t, р, Е), а в 2ге-мерном фазовом пространстве (х, р).
Сформулируем условия на оператор Н.
Н 3.1. Функция Н (t, х, р; (И)-1) ? С°° при t > 0,
(х, р) ? R2T\ Я ^ 1, и вещественнозначна.
Н 3.2. При каждом фиксированном t ^ 0 функция
Н (х, р, t; (ih)-1) ? Т™ (Щ), где тп не зависит от t. Оцен-
Оценки B.6) выполняются с константами Сар (t), причем
их можно выбрать так, что sup Caa (t) < cx> для
<е[о,т]
любого Т > 0 и для любых фиксированных а, р.
Н 3.3. Задача Коши
х\м = у, р\^о = д-Ц^, J/6R2,	C.49)
для системы C.46) имеет, и притом единственное, решение
{* (t. У), Р (t, у)} € С00 ([0, Т] х RJ).

gO	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Будем искать решение задачи Коши C.43), C.44)
в виде формального ряда
оо
и (*, х) = exp (iXS (t, x)) 2 фй (t, х) (iX)-h. C.50)
о
Тогда для S {t, x) получим уравнение C.45) и данные Коши
S\t=0 = S0(x),	C.51)
а для cph — данные Коши
Фо|*=о = "о(а;), ф;|г=о = О, />1.	C.52)
Лемма 3.13. Пусть <р (х, t), S (x, t) 6 С°°([0, Т] XRS),
функция S вещественнозначна, функция ср @, t) = 0 при
х ^ a, t (z [0, Т]. Пусть символ оператора L удовлетворяет
условиям Н 3.1—Н 3.3. Тогда при любом целом N ^ 1
L (*, х, Г1!),, Я,!),; (Л)) (<р it, х) ехр (^5 (t, x))) =
= ехр (US (t, x)) S (i%y> (Rjy) (t, x) + Ф^+1 (t, x, X). C.53)
i=0
Для. остаточного члена имеет место оценка
| ??Ap<p,v+1 («, х, %) |<Св, р,кЯ-я-1+1а|+р C.54)
<Эаж любых мулътииндексов а, Р герм | А, | ^ 1, ? ? [0, Г],
а; 6 -й^ G Щ (^ — компакт). Rj являются дифференциаль-
дифференциальными операторами по переменным х порядка ^ 2/ с коэд5-
фициентами из класса С°° ([0, 71] X Щ)-
Доказательство следует из теоремы 2.6.
Положим теперь
C-55)
^	C.56)
Введем обозначение: -~ — производная функции ф (х, t)
в силу системы C.42), т. е.
. Ж—5T+-W* Ж/* , C>57)

§ 3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ	91
Лемма 3.14. Пусть отображение
(t,y)-+x(t,y), *€[0, Л, y€R?.	C-58)
есть диффеоморфизм и функция S имеет вид C.55). Пусть
условия П 3.1 — Н 3.3 выполнены. Тогда
Я0ф = 0,	C.59)
t, x(t, у)) =
, . dH(t,X, p, 8)
дг
е=0
ф.
C.60)
Здесь ф = ф (t, х), ж = a; (f, г/), р = р {t, у).
Доказательство. Имеем из B.10)
так как S удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби.
Далее, из B.11) имеем
(Я1ф) (t, х) =
дН0\ Г1 /Э2Я0ЭЗДЧ ЭЯ0
ж ' ap/"T"L 2 р^ ара 5ж2/^а(й)-
Применяя формулу Лиувилля C.28) к неавтономной
системе
da: __ ago
dt ер"'
тем же способом, что и в теореме 3.11, получаем C.60).
Пусть функция S (t, x) имеет вид C.55):
У J (*, у)
0
Функции фу (ж, ?) при /^1 являются решениями задачи
Коши
= — -ЯгФо! Ф11*—о = 0,
ф2|<=о = О,.	C.62)
. —R)+l<por фу ||_о = 0.

92
ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Теорема 3.15. Пусть выполнены условия Н 3.1—
Н 3.3 и отображение C.58) есть диффеоморфизм. Тогда
функция
N
uN(t, х, X) = ex-p(ilS(t, x))
t, x) C.63)
удовлетворяет данным Коши C.44) и при t ? [О, Т],
LuN (t, х, К) = tyN+1 (t, x, X),	C.64)
где для tyN+\ выполняются оценки C.54).
Доказательство. Функции S (t, х), ср (t, x)
удовлетворяют условиям леммы 3.14, так что формула
C.53) имеет место для функции uN. В силу C.62) и выбора
функции S имеем
LuN = exp {US (t, x)) (i"k)~N R (ф0, . . ., фл0
где для
R (ф0, . .
Xjv+1 выполняется оценка C.54). Далее,
, ф№) есть сумма линейных дифференциальных
операторов конечного поряд-
порядка, действующих на функ-
функции ф0, . . ., фдг, которые-,
в силу C.62), принадлежат
С°° (fO, т] X Щ). Функция
ий(х) финитна, и в силу C.61)
имеем ф0 (t, x (t, у)) == 0 при
t ? 10, Т], у § supp м0 (у) (т. е.
Фо = Овне полосы П (рис. 4),
которая заполняется луча-
лучами х = х {t, у), t ? [О, Т],
у ? supp u0 {у)). Поэтому
Rppo ^ 0 вне П при всех /.
Так как ф^ |t=0 = 0, /^1, то из C.62) получаем, что
фу (t, х) == 0 вне П при всех /. Следовательно, для функ-
функции х^г+1 (^ х-< ^) выполняются оценки C.54). Теорема
доказана.
Эта конструкция теряет силу в том случае, если / (t, у)
обращается в нуль.
6. Примеры. Рассмотрим уравнение Гельмгольца]
(А. + к2п2'(«)) и (х) = 0.	.
Рис. 4.

§ 3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ	93
В данном случае характеристическим уравнением является
уравнение эйконала C.7) — уравнение геометрической опти-
оптики изотропной среды. Поверхности уровня S (х) = const
называются волновыми фронтами или поверхностями
постоянной фазы.
Система Гамильтона имеет вид
Ct^V	c\	CLT)	о/ч	/Oi*"*ET\
-z— — Zp, —4— = —V« (х),	(о.bo)
dt	dt
функция S определяется из уравнения
-^- = 2тг2(х),	C.65')
где t — параметр вдоль траектории. Проекция фазовой
траектории (х (t), p {?)) на х-пространство является све-
световым лучом. В частности, х (t) удов-
удовлетворяет системе Ньютона	ft_
-v 2M —0 159
Световые лучи ортогональны волно-
волновым фронтам; это следует из соотношений
dxldt = р, р = dS/dx и из ортогональ-
ортогональности градиента к поверхности уровня.
Главный член асимптотики решения
уравнения Гельмгольца имеет, в силу
C.36'), вид
77	Рис. 5.
щ (х, к) = я|) (а) 1/ -jj?—- ехр
Предэкспоненту в этой формуле можно вычислить
из закона сохранения потока световой энергии. Возьмем
какой-либо участок Qo волнового фронта S (х) = с0,
положим t = 0 на этом участке и выпустим семейство
лучей. Мы получим так называемую трубку лучей (рис. 5).
Пусть и (х, к) = А (х, к) ехр (ikS (x)); световая энергия,
проходящая через бесконечно малый участок й0, равна
| и |2 S (Qo) = \А \2S (Qo), где S (Qo) - площадь Qo.
В силу закона сохранения эта величина равна | A \2S (Qt)
при любом t, где площадка Qt получена из Qo сдвигом
на t вдоль лучей трубки. Следовательно,
\A(t, ct)|2 S(Q0) _ /@, а)
\А@, «)|2 S(Qt) ~ J(t,a) '
что и дает искомое выражение для предэкспоненты.

94	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Рассмотрим более подробно случай постоянного коэф-
коэффициента преломления п2 (х) = 1. Тогда
(А + к2) и (х) = О,
а уравнение эйконала и система Гамильтона принимают
вид
(VS(z)J=l,	C.66)
dx „	dp n dS 9
Решение системы Гамильтона с данными Коши при
t = 0 имеет вид
х (t) = 2tp @) + х @), p(t)=p @),
5 (*) = 2t + S @),
так что и фазовые траектории, и лучи являются прямыми
линиями. Возьмем в R™ гладкое ориентируемое многообра-
многообразие Мп~1 размерности п — 1, заданное уравнениями
х = х° (а), а = (ах, . . ., ап^г) ? U, где U — область
в RS. Многообразие Мп~х может быть компактным или
некомпактным. Положим
s (х) = о, хе мп~1.
Чтобы поставить задачу Коши для уравнения эйконала,
необходимо задать еще yS (х) на ЛР. Так как S (х) ^ 0
на Ж71, то все производные функции S по касательным
переменным равны нулю, и уравнение эйконала на Мп~х
принимает вид I —— 1 =1, где-^	производная по на-
направлению единичной нормали к ikf™. Фиксируем в каж-
каждой точке х ? Мп~1 единичную нормаль v^, непрерывно
зависящую от х, и положим
Тем самым задача Коши для уравнения эйконала пол-
полностью поставлена. Соответствующая лагранжева задача
Коши для системы Гамильтона имеет вид
Вектор р° (а) совпадает, по построению, с вектором еди-
единичной нормали vx в точке х = х° (а). Решая задачу

§ 3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ	95
Коши, получаем
х (*, а) = 2tp° (а) + х° (а), р = р0 (а), C.67)
S (x (t, a)) = It.
Отсюда вытекает, что волновые фронты являются
эквидистантными поверхностями. Действительно, взяв
точку х = х° (а) на волновом фронте S (х) == 0 и сдвинув
ее на расстояние h вдоль нормали, получим точку на вол-
волновом фронте S (х) = h.
Уравнения C.67) задают эйконал S (х) в параметри-
параметрической форме: выражая (t, а) через х из первого уравне-
уравнения, получаем t = t (ж), а = а (х), так что S (х) =
= 2t (x). Функция S (х) является гладкой и однозначной
функцией от х, если якобиан / (t, а) Ф 0, где обозначено
Пусть в R? имеется (п — 1)-параметрическое семейство
кривых: х = х (t, a), t ? [Tlt Т2], а = (а1; . . ., ап.х).
Каустикой этого семейства называется множество точек,
в которых / (t, а) = 0. Фокальной точкой кривой х =
= х (t, а) называется точка х° = х (t0, a°) такая, что
/ (^0) сс°) = 0. Если это семейство есть семейство световых
лучей, то главный член коротковолнового приближения
обращается в бесконечность на каустике, так что приб-
приближение геометрической оптики непригодно вблизи каус-
каустик [32].
Из геометрической интерпретации волновых фронтов
следует, что если волновой фронт S (х) = 0 является
строго выпуклым гладким компактным многообразием,
то при малых | t | волновые фронты обладают этим же
свойством, а эйконал S (х) является функцией класса С°°.
Однако при увеличении t это свойство не сохраняется.
Пример 3.16. Рассмотрим для уравнения эйконала
{VS (х)Г = 1
задачу Коши
где S" — единичная сфера | х \ = 1, d/dv — производ-
производная по внутренней нормали к S71'1. Задача Коши для
системы Гамильтона имеет вид х |(=о = со,р |;=о = —ю,

96	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
п
где 2 ©1 = 1' откуда
х (t, со) = A — 2t) со, S = 2t,
так что
S{x) = \+\x\
и эйконал оказывается неоднозначной функцией. Лучевая
картина такова: каждая точка движется со скоростью 2
по лучу, и при t = 1/2 все лучи приходят в точку х = 0 —
происходит фокусировка лучей. Волновой фронт S (х) =
= 2t при О < t < 1/2 является сферой радиуса 1 — 2t
с центром в точке х = О, а при t = 1/2 волновой фронт
вырождается в точку х = 0. Из геометрического смысла
якобиана следует, что отношение / @, a)// (t, а) равно
отношению площадей сфер радиусов 1 и 1 — 2t, т. е. рав-
равно | х |~n+1. Следовательно, уравнение Гельмгольца имеет
ф. а. решение и, главный член асимптотики и0 которого
равен
п-1
щ (х, к) = | х | 2 ехр (— й|ж|)
и которое является сходящейся к центру волной. Это
ф. а. решение равномерно по х в любой конечной области,
не содержащей точки х = 0.
Отметим еще, что точка х = 0 — фокус семейства
лучей — является особой точкой эйконала S (х).
Рассмотрим фазовые траектории данной задачи. Имеем
п
х 00 = A — 2*) со, p(t)= — со, 2°j = l'
Пусть g* — сдвиг вдоль траекторий за время *, At = gl Ao,
где Ло — начальное многообразие х = со, р = —со, со?
? Sn~l. Многообразие Л( есть сфера размерности п — 1,
лежащая на re-плоскости х = Bt — 1) р; оно диффеоморф-
но проектируется на х-пространство при t =? 1/2 и диф-
феоморфно проектируется на /^-пространство при всех *.
Проекция многообразия Л1/2 на Щ есть точка х = О
(фокус).
Объединение Л™ = [} At также является гс-мер-
-оо<(<оо
ным С°°-многообразием; это многообразие лагранжево
(см. § 4). Лп лежит на «цилиндре» | р | = 1 и задается

3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
уравнением
при х Ф 0. Далее, Лп\Л1/2 диффеоморфно проектируется
на R". Многообразие Л1/2 = {(ж, р): ж = 0, | р \ = 1}
называется циклом особенностей (относительно проекти-
проектирования на R!J) лагранжева многообразия Ап.
Для этого примера характерно следующее.
1)	Семейство траекторий в фазовом пространстве: R|^p,
порожденное лагранжевой задачей Коши, не имеет особен-
особенностей (т. е. оно образует тг-мерное С°°-многообразие Ап,
а его сечение At в момент времени t является (п — ^-мер-
^-мерным С°°-многообразием).
2)	Семейство лучей (проекций фазовых траекторий
на Щ) имеет особенности.
Эта ситуация является характерной для большинства
рассматриваемых нами задач.
Пример 3.17. Рассмотрим семейство траекторий
C.67); данные Коши для уравнения эйконала (VS (я)J = 1
поставлены по-прежиему на некотором (п — 1)-мерном
С°°-многообразии АР, так что S (х) = 0, х ? Мп~1.
Пусть
АР = {ж: ж = ж0 (а), а ? С/}, а = (ах, . . ., ап_х),
?/ — область в RS; вектор р° (а) совпадает с единичной
нормалью к АР в точке х = х° (а). Кроме того,
, дх<> (а)	,	, тт
rank—т-^ = п — 1, а ? U.
Рассмотри в фазовом пространстве R|"p множества
Лг = {(ж, р): х = х (t, а), р = р (t, a), a ? U},
где х (t, a), p (t, а) определяются из C.67), и их объеди-
объединение Л™ = Ij At. Множество Л( получено из на-
чального многообразия Ло сдвигом за время t вдоль
фазовой траектории. Покажем, что Л(, Ап являются
С^-многообразиями размерностей п — 1, п соответствен-
соответственно. Имеем из C.67)
д (х, р) I су. дрО ¦ дх° dp® \
да ==\а~да~~Т"да' 'Ш) '
7 В. П. Маолов, М. В. Федорюк

98
ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
так что ранг этой матрицы равен
rank
\ да ' 9а /	'	^ '
так как
rank (!г) = п -
по условию. Следовательно, At есть (п — 1)-мерное С°°-
многообразие. Далее, матрица
д (я, Р)
да
о	—
да
d(t,a)
и один из ее миноров порядка п равен определителю
(все векторы — столбцы). Так как векторы dx°/daj линейно
независимы и лежат в касательной плоскости к М71'1,
а вектор р° (а) ортогонален к М™, то А (а) Ф 0, а ? U.
Следовательно,
(х, р)
%=п
так что Ап есть re-мерное С°°-многообразие. Многообразие
Л™ в данном примере есть нормальный векторный пучок
NK
Однако семейство лучей х = х (t, а), а ? U, — оо <
< t < cx>, имеет особенности; единственным исключением
является тот случай, когда Мп"х есть (п — 1)-плоскость,
т. е. S (х)'— линейная функция.
Как известно из дифференциальной геометрии [44],
множество точек, в которых / (t, a) = 0, для семейства
C.67) совпадает с геометрическим местом центров кри-
кривизны многообразия И71'1. Если х = х (t, а0) — один
из лучей, то точка х (t, a°) лежит на каустике тогда
и только тогда, когда расстояние от точки х @, а0) до
точки х (t0, а0) равно kj1, где к: — одна из главных кри-
кривизн многообразия М4'1 в точке х = х° (а0). В случае
общего положения, когда каустика состоит из п — 1
гладкого многообразия (которые могут пересекаться меж-

§ 3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ	99
ду собой), луч х = х (t, а") касается каустики в фокаль-
фокальных точках.
Из этого примера вытекает следующий факт: уравнение
эйконала (S/S (х)J = 1 не имеет никаких решений класса
С°° (Щ), за исключением линейной функции
Пример 3.18. Рассмотрим среду с линейным коэф-
коэффициентом преломления п2(х)=х1. Полагая х' =
= {х2, . . ., хп), р' — (р2, . . ., рп), получаем следующую
систему Гамильтона:
dxi	р	dx' „ , dpi	 . dp'	q
Решение лагранжевой задачи Коши
х |i=o = #° (а)> p|«=o=JP°(a)i, oc = («!,..., ocn_t) ? С/
имеет вид
хх (t, а) = — 2t2 л- 2р1 (а) t + х\ (а),
x'(t, a) = 2tp°'(a)+xo'(a),
р' (t, а) = р0' (а).
Следовательно, лучи являются квадратичными параболами,
а эйконал равен
S (x (t, a))==S0(a) — ~t3 + 2p\ (a) f + tx\ (a).
О
Пример 3.19. Рассмотрим уравнение, не содержащее
переменной х явно:
Система Гамильтона имеет вид
dx 	 dL (p) dp „
dx	dp ' dx '
так что фазовые траектории и лучи являются прямыми
линиями:
др р=р@)

100	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Пример 3.20. Рассмотрим уравнение Гамильто-
Гамильтона — Якоби
?( ?Н <3-45')
Введем двухточечную характеристическую функцию
S (t, х, t', ж') [4], [31], где х ? Rn, ж' 6 Rn- По определе-
определению эта функция равна действию вдоль луча, соединяю-
соединяющего точки х и ж'. Именно, пусть (ж (т), р (т)) — решение
укороченной гамильтоновой системы
dx__jm_	dp _ дН
1г'~~др~: И%~ дх '
удовлетворяющее краевым условиям
ж 00 = ж, x(t') = x'.	C.68)
Тогда, по определению,
v
S(t, ж; ?, ж')= f [(i?, йж> — Hdx],	C.69)
t
где р = р(т), ж = ж(т), Н = Н (т, ж (т), р (т)).
В частности, уравнению C.6) отвечает функция
5 (*, ж; *', ж') = j [^- ж2 (т) - V (ж (т))] dx, C.70)
t
где ж (т) — решение следующей краевой задачи для урав-
уравнения Ньютона:
m-%p = -VV(x), x(t) = x, x(t') = x'. C.70')
В классической механике действие S определяется как
интеграл
«2
S= j Ldt
to
по классической траектории (L — функция Лагранжа).
При таком определении действие является функцией от
траектории (функционалом). Приведенная выше трактовка
действия, восходящая к Гамильтону, состоит в том, что
действие рассматривается как функция от координат

§ 3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
101
(включая время). Если фиксировать начальный момент
времени t' и начальную точку х', то двухточечная харак-
характеристическая функция будет функцией от (t, ж): S —
= S (t, х). Она вычисляется следующим образом: из точки
х' в момент времени f выпускаются все лучи_(т. е. с раз-
различными начальными импульсами), среди них ищется тот,
который за время t — t' попадет в точку х (рис. 6), и затем
вычисляется действие (интеграл
t
\ L dt) по этому лучу.
V
Вопрос о существовании
двухточечной функции в целом
нетривиален, так как краевая
задача C.68) может не быть одно-
однозначно разрешимой. Существо-
Существование и гладкость этой функции
можно гарантировать, если точ-
точки х, х' достаточно близки друг
к другу. Ниже мы предполагаем,
что функция S (t, x; t', x') однозначна и бесконечно диффе-
дифференцируема по совокупности переменных в некоторой
области пространства (t, x; t', х').
Установим важнейшие свойства функции S. Проварьи-
руем выражение C.69) по переменным t, x, t', x'; полу-
полученный в результате вариации интеграл равен нулю, так
как он берется вдоль луча. Следовательно,
Рис. 6
Отсюда вытекают соотношения
ОХ	их
dS___H(	ч	., ,
35	„	.	. .
~гр- = — Я (Т, X (Т), р (Т)) |т=
C.71)
В частности, функция S удовлетворяет уравнению Гамиль-
Гамильтона — Якоби

102	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
(по переменным конечной точки луча (?', х')) и сопряжен-
сопряженному уравнению
at " V "" дх
(по переменным начальной точки луча (t, x)).
Для одномерного уравнения Ньютона имеем [54]
S(t,x;t',x') =
J_ 1
—Г"
— 2(i' —i)—Г J^ (ж "T^i (' —t)	24	' '
V (x) = ~ ma>2z2, S (t, x; t' ,x') =
= ты [(x2 + x'2) cos со (t' — t) — 2xx'\ B sin со (*' — i
Последняя формула справедлива только при 0 < (?' —
< я.
Рассмотрим еще один пример: частица с зарядом е
и массой т движется в постоянном внешнем магнитном
поле В, направленном по оси z. Тогда лагранжиан L равен
L = ^-(x2 + у2 + z2) + ^ (ху — ух),
где с — скорость света в вакууме, а для S имеет место
формула [54]
, C.72')
где ^=-~, г=(х, у, z).
Отметим еще одно важное свойство двухточечной
характеристической функции. Рассмотрим определитель
Y(t',x') = det^r.	C.73)
Лемма 3.21. Определитель C.73) удовлетворяет
уравнению неразрывности
§'^ [Г%)-0-	C.74)
3=1

3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
ЮЗ
й Я
Доказательство. Из C.71) имеем — = — р (t),
так что
дх дх
__ _ dp(t) __ I дх' \ -1
' ~	дх' ~~ \ др (I) )
Фиксируем начальную точку х и начальный момент вре-
времени t, а начальный импульс р (t) считаем переменным.
Тогда решение системы Гамильтона зависит от парамет-
параметров р (t) = a = (a1, . . ., ап), так что
дх дх'
По теореме Лиувилля имеем
d л т ,. \
да
дЛ
где / (t, a) = det
дх'
~да~
так что
1L
at
~ т
дН
Так как У = /-1, то
dY
dt +
з=1
\
др) )•
3
Далее, dldt есть полная производная (производная в силу
системы), так что
dY 0Y , / 3^ d^__
V ' ~~dT
dt
dt
Поскольку-^- — '-jTi то из C.74') следует C.74).
Пример 3.22. Уравнение квантовомеханического
осциллятора в Rn имеет вид
ih-± = —j^A\p + — (x,x).	C.75)
Соответствующая укороченная система Гамильтона линей-
линейна:
-тг
=—т<л2х.
Решение этой системы с данными Коши
C.76)

104
ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
имеет вид
Р°
р
X =	-— Sill Cut
ты
¦х° cos cot,
и
р = р" cos (At -f- тсож0 sin ю?.
Если система единиц выбрана так, что тсо=1, то
C.77)
i'x(t)
I cos cot /sincoA /ж°\
— /sincoi I cos at j \p°J
т. e. g* есть поворот в фазовом пространстве (здесь / —
единичная (га X га)-матрица). Функции Lj (x, p) = xf -{-
pf
Н	g—g являются первыми интегралами системы C.76),
так что проекция фазовой траектории на 2-плоскость
(xj, Pj) движется по эл-
эллипсу
V ¦
3
} ' ТО2ОJ '
C.78)
а фазовая траектория
лежит на га-мерной по-
поверхности Т\ которая
задана уравнениями
C.78), 1 < / < га. При
тпсо = 1 поверхность Тп
является га-мерным то-
тором, а фазовая траек-
траектория есть окружность, лежащая на этом торе, поскольку
движение точки периодично с периодом Г=2л/со. Все
фазовое пространство Щ% расслаивается на га-мерные
торы, инвариантные относительно сдвигов вдоль траек-
траекторий динамической системы C.76).
Начало координат х = 0, р=0 является устойчивым
положением равновесия типа «га-мерного центра».
Из C.77) следует, что
Рис. 7
Это означает, что все лучи в Щ, выходящие из точки х0,
собираются в точку —х" (рис. 7), т. е. происходит фоку-

5 3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ	Ю5
сировка лучей. Решение х (т) краевой задачи
х (t) = x, х (t') = x'
имеет вид (если sin со (t' — t) Ф 0)
х (т) = —.	J-,	г- \х' sin со (x — t) — xw\ со (т — t')}, C.79)
а двухточечная характеристическая функция S (t, x; f, x)
вычислена ранее (см. C.72)). В частности,
det l-^fr) = ( ¦ Т л Г-	C-8°)
V дх дх } \sinco(t'—i) /	v '
Отметим, что функция S имеет особенности при t —
— t' = kn, т. е. в фокальных точках.
Пример 3.23. Рассмотрим уравнение Шредингера
3=1
где числа е;-=±1. Линейный осциллятор моделирует
движение частицы вблизи устойчивого положения равио-
п
весия; потенциал — ^j е;ж/, очевидно, моделирует потен-
3 = 1
циальную функцию вблизи невырожденного экстремума
ж = 0. Поскольку гамильтонова система в этом примере,
как и в предыдущем, распадается на п подсистем, то доста-
достаточно исследовать систему на плоскости вида
их	dp
Решение этой системы с данными Коши х@) = х°,
Р @) = Р° имеет вид
х {t) = p° sh t + x° ch t,
р (t) = р° ch t + x° sh t,
функция р2 — х2 является первым интегралом системы.
Фазовая траектория есть гипербола рг — х2 = рй* — х°г,
а преобразование gl (сдвиг вдоль траектории за время t)
есть гиперболический поворот. Положение равновесия
ж=0, р = 0 является седлом. Решение краевой задачи

106	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
имеет вид
х ()	[' h (^	h (f/)i
= sh(f'-t)[X Sh (T~^ -X Sh (T~f)i'
а двухточечная характеристическая функция равна
5 (*, х- t', ^)=2sh(l>_f) t(^2 + ^'2) ch (f-*)-2**'].
В данном примере двухточечная функция 5 определена
и бесконечно дифференцируема при всех t, х, t', х , если
г=^ ?.
Следовательно, гамильтонова система, отвечающая
уравнению C.81), имеет первые интегралы р] -f- е/с|,
1 ^ / ^ п, а фазовое пространство распадается на инва-
инвариантные (относительно g1) га-мерные многообразия Л",
которые задаются уравнениями
где Cj—постоянные. Если среди чисел Ej есть отрица-
отрицательные, то многообразия Л" некомпактны.
Приведенные выше примеры носят иллюстративный
характер и достаточно просты. В качестве других приме-
примеров можно было бы взять любую интегрируемую задачу
классической механики.
§ 4. Лагранжевы многообразия
и канонические преобразования
Квазиклассическое приближение для решений уравне-
уравнения C.1) приводит к системе Гамильтона C.8) в фазовом
пространстве Щ"р. Как известно из классической меха-
механики, фазовый поток g' (т. е. сдвиг вдоль траектории
гамильтоновой системы за время t) сохраняет дифферен-
дифференциальную форму
п
0J = 2i dpj Д dxj.
Такие преобразования фазового пространства называются
каноническими. Линейные канонические преобразования
являются симплектическими.
С классической механикой тесно связан замечательный
класс многообразий в фазовом пространстве, на которых

§ k. ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ	Ю7
\ {р, dx) не зависит от пути (локально). Здесь
п
(р, dx) = 5.1 Pjdxj.
Такие многообразия называются лагранжевыми. Размер-
Размерность лагранжева многообразия не превосходит п. Класс
лагранжевых многообразий инвариантен относительно
классической динамики: если многообразие Л лагранже-
во, то сдвинутое многообразие g*A также лагранжево.
Наибольший интерес представляют лагранжевы мно-
многообразия максимальной размерности п. Если такое (одно-
связное) многообразие Л™ однозначно проектируется на
^-пространство, то оно задается уравнением
dSix)
г дх
очевидно, что
S =
Если, кроме того, Л™ однозначно проектируется на р-
пространство, то оно задается уравнением
_ dS(p)
При этом отображение
есть преобразование Лежандра, так что функции S (х),
S (р) двойственны по Юнгу. Итак, в классической меха-
механике переход из ^-представления в ^-представление
(т. е. переход из пространства координат в пространство
импульсов) есть касательное преобразование.
Лагранжевы многообразия обладают еще одним важ-
важнейшим свойством: в качестве локальных координат всегда
можно выбрать набор
не содержащий сопряженных координат и импульсов
(т. е. пар вида (х}, pj)).
Одна из важнейших конструкций м-мерных лагранже-
лагранжевых многообразий такова. Поставим задачу Копш для

108	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
уравнения Гамильтона — Якоби C.3); она индуцирует
еадачу Коши для системы Гамильтона, т. е. (п — ^-мер-
^-мерное многообразие Л" (лагранжево) в фазовом простран-
пространстве. Его сдвиги за время t, tx ^ t ^ t2, заполняют и-мер-
ное многообразие Л™, которое является лагранжевым
(трубка траекторий). Эта конструкция естественным обра-
образом возникает при построении квазиклассического прибли-
приближения.
Настоящий параграф посвящен изложению приведен-
приведенных выше фактов.
1. Симплектическая геометрия. Пусть R2n — фазовое
пространство, т. е. 2и-мерное вещественное арифметиче-
арифметическое пространство
R2n = {r},r=(x, р),х={хъ . . ., хп),р=(р1, . . ., рп).
Введем" в R2™ евклидову структуру, задаваемую скаляр-
скалярным квадратом
{г, г) = {х, х) + (р, р),
и симплектическую структуру, задаваемую кососкалярным
произведением
[г\ г2] = {р1, з?)-(х1, р2>= S (РЫ-Р№)- D.1)
г=1
При этом
[r1,ra] = (/r1, r2),	D.2)
где 0, /—нулевая и единичная (п X и)-матрицы.
Переменные Xj, pj будем называть сопряженными.
Определение 4.1. Плоскость Я cz R2'1 назы-
называется лагранжевой, если [г1, г2] = 0 для любых г1, г2 ? X.
Гладкое многообразие Л в фазовом пространстве назы-
называется лагранжевым, если все его касательные плоскости
лагранжевы.
Предложение 4.2. Размерность лагранжевой
плоскости ^ п.
Доказательство. Так как /2 = —/2„, то для
того, чтобы плоскость Я была лагранжевой, необходимо
и достаточно, чтобы плоскости К и JX были ортогональны.
Поскольку dim X— dim Jk, то dim К ^ п.

§ 4. ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ	Ю9
Отсюда следует также, что максимальное число линей-
линейно независимых попарно косоортогональных векторов
в фазовом пространстве равно п.
Пример 4.3. Любая прямая в R2, проходящая
через начало координат, является лагранжевой. Любая
гладкая кривая в R2 является лагранжевым многообра-
многообразием.
Пример 4.4. Разобьем множество A,2, . . ., п)
на два непересекающиеся подмножества (ее) — {аг, ...,ah},
(Р)= {&, . . ., Ы, к + 1 = п.
Пусть Я™ (рт, хф)) — плоскость (р(а), хф)), т. е.
х(а) = 0, рф) = 0. Плоскость Я™ (р(ВД, ж(р,) лагранжева.
В частности, плоскости х=0 и р = 0 лагранжевы.
Среди переменных жг, р}, i ? (a), / ? (Р), нет сопря-
сопряженных.
Плоскости Я™ (/"(а)! ^(р)) будем называть координат-
координатными лагранжевыжи плоскостями. Их всего 2". Фунда-
Фундаментальное свойство лагранжевых га-плоскостей описывает
Лемма 4.5. Всякая лагранжева п-плоскостъ транс-
версалъна одной из координат лагранжевых плоскостей.
Доказательство [2]. Пусть % — данная пло-
плоскость, а — плоскость х=0 и Я0 = Я Д a, dimA0 =
= /с < га. Тогда Яо в а трансверсальна одной из С^ коор-
координатных плоскостей т= X (р@0, ж@)) f] ^ гДе (а)
состоит из к элементов, так что i0 [] а [] X (р(а), ж(р,) =
= 0. Докажем, что плоскость к трансверсальна X (р(а),
) Я'
По условию Ло -)- т = а. Так как Я и X' лагранжевы,
то [X, Я0] = 0 (так как Хос Я) и [Я,', т] = 0 (так как
xcz Я'). Следовательно, [Я f) Я', а] = 0. Но наибольшее
число попарно косоортогональных независимых векто-
векторов в R2™ равно га. Поэтому и-плоскость а—максималь-
а—максимальная себе косоортогональная плоскость, так что Я р| Я' cz a.
Итак, (Я П У) ?= (к П о) П (Я' П o) = h П т = 0, что
и требовалось доказать.
Из этой леммы вытекает
Предложение 4.6. Пусть Ап есть п-мерное
лагранжево многообразие в R2™. Тогда достаточно малая
окрестность каждой точки г ? Ап диффеоморфно проек-
проектируется на одну из координатных лагранжевых плоско-
плоскостей. Лагранжева п-плоскостъ р = х («диагональ») транс-
версалъна ко всем лагранжевым координатным- плоскостям.

HO	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Определение 4.7. Линейное отображение
g: R2n —*- R2'1 называется симплектическим, если оно
сохраняет кососкалярное произведение
[gr\ gr2] = [г1, гЦ	D.3)
для любых г1, г2 ? R2™.
Из этого определения следует, что симплектические
преобразования переводят лагранжевы плоскости в лагран-
лагранжевы. Из D.2) следует
Предложение 4.8. Пусть 43 — матрица линей-
линейного отображения g: R2n -*- R2'1 в исходном ортонорми-
ортонормированием базисе в R2n. Для того чтобы отображние g было
симплектическим, необходимо и достаточно, чтобы
l43J43 = J.	D.4)
(п X и)-матрица 43, удовлетворяющая условию D.4),
называется симплектической. Из D.4) следует, что 13
невырождена, det^ = +l. Симплектические преобразо-
преобразования образуют группу; она называется симплектической
и обозначается через Sp (п).
Приведем без доказательства некоторые сведения из
симплектической геометрии (см., например, [4], [14]).
Пусть {e\fh}, 1 ^ /, к ^ге,— базис из 2ге векторов
е}, fh в R2ra. Этот базис называется симплектическим, если
\е\ ej] = [f,f] = O, [ej,fk] = 6Jh.	D.5)
Например, базис из координатных векторов ej = {xt = 6=,-,
рг = 0}, fh= {xt = 0, Pi = $ik] является симплектиче-
симплектическим. Как и в евклидовой геометрии, справедливы сле-
следующие утверждения:
1)	Симплектические преобразования (и только они)
переводят любой симплектический базис в симплектиче-
ский.
2)	Любой симплектический базис можно перевести
в любой симплектический базис с помощью симплектиче-
ского преобразования.
3)	Если имеется то, 1 ^С то < п, векторов е} и векто-
векторов fk, удовлетворяющих условию D.5), то этот набор
{eJ, fk} можно дополнить до симплектического базиса
в R2n.
4)	Матрица симплектического преобразования в любом
симплектическом базисе является симплектической.

§ 4. ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ	\\\
2. Каноническое преобразование. Введем в фазовом
пространстве R2n дифференциальные формы
п
со1 = (р, dx) = 2 Pi dxj,
%	D-5')
со2 = dp Д dx = >] ^Pj Л ^r
Ясно, что dco1=co2, dco2=0.
Пусть С/, F — области в R2n. Все рассматриваемые
ниже отображения предполагаются бесконечно дифферен-
дифференцируемыми.
Определение 4.9. Диффеоморфизм g: U -*¦ V
называется каноническим преобразованием, если он сохра-
сохраняет форму со2, т. е.
g-*co2=Co2.	D.6)
Обозначим (х', р')~ g (x, р), тогда D.6) примет вид
dp' Д dx' = dp Д dx.	D.6')
Множество всех канонических преобразований g: U—^U
образует группу.
Формы со2, 0L=о2 Дм2,.. ., со2п=со2 Д • • • Л»2
(п раз) являются инвариантами канонического преобра-
преобразования. Так как со2™ с точностью до постоянного множи-
множителя совпадает с фазовым объемом dxx Д dx2 Д . . .
. . . Д dxn Д dpx Д . . . Д dpn, то каноническое преобра-
преобразование сохраняет фазовый объем (теорема Лиувилля).
Далее, так как
1г\гЦ=^(г\г2),	D.7)
то из определения 4.9 следует
Предложение 4.10. Преобразование g является
каноническим (в малом) тогда и только тогда, когда его
матрица Якоби
дх' дх' \
дх ~др~ \
дх др /
симплектична.

112	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Правая часть формулы D.7) — это значение формы со2 на паре
векторов г1, г2. По определению дифференциальной формы имеем
(здесь г = (х, р))
^Рг(г) = РЬ &Х1 W = xli
I
= рхх? — р^х1-
Следовательно,
©2A-1, r2)= J pjx?-pfxj=[rl, Г2].
г=1
Пример 4.11. Тождественное преобразование xl =
= х, р' = р является каноническим.
Пример 4.12. 1) Преобразование х[ = р1, р[ =
= — хг, x'j — X], p'j — pj, j ^ 2, является каноническим.
2) Пусть {(а), (Р)} — разбиение множества {1, 2, ..., п)
на два непересекающихся подмножества (а), (Р). Преоб-
Преобразование
х'(а) =
есть произведение преобразований того же вида, что
и в п. 1), и поэтому является каноническим.
Пример 4.13. Отображение g: W-*-W, задавае-
задаваемое формулами
(д^),	D-9)
является каноническим преобразованием, так как
(р', dx')= (p, dx). Здесь W, W — малые окрестности
точек (х°, р°), (х'°,р'°) соответственно, х°=(р(х°),
t/dw(x'0)
Р
Пример 4.14. Преобразование
x' = Sx, p' = Sp,	D.10)
где S — вещественная ортогональная матрица, является
каноническим. Такое преобразование называется поворо-
поворотом фазового пространства.
Инвариантом канонических преобразований является
скобка Пуассона. Скобка Пуассона двух скалярных функ-
функций / (х, р), h (x, р) равна, по определению,
(/, К) (х, р) = — [V*. Р/, V*, РЩ =
/ э/ dh\ / df dh\ .....
~\дх~' ~др/~\др' дх/' ( '

§ 4. ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ	ЦЗ
Каноническое преобразование g сохраняет скобку Пуас-
Пуассона, т. е.
V,h)(x,p) = (f',h')(z,p).	D.12)
Здесь/' (ж', р') = / (ж, р),тце(х', p') = g (ж, р), т. е. D.12)
имеет вид
_ / df aw \ / df дЪ! \
/ df 5А\ /_
\д~х~' 1?р/ ~~ \
Обратно, если преобразование сохраняет скобку Пуассо-
Пуассона, то оно (в малом) является каноническим. Поэтому
необходимое и достаточное условие того, чтобы преобразо-
преобразование (ж', р') = g (ж, р) было каноническим, можно запи-
записать в виде
или, подробнее,
= (р1,р) = 0,
l, p'j) = бг;-
Ox\
дха
dpi
дх'^
dxj
дРа
dxi
дРа
Щ
dx't
dXj
dxa
dp)
dp)
as=l
Диффеоморфизм ф: R™ ->- Rn определяется заданием п
функций фх (ж), . . ., фп (ж).
Каноническое преобразование замечательно тем, что
оно полностью определяется заданием одной функции
(так называемой производящей функции).
Предложение 4.15. 1) Пусть U — односвязная
область в фазовом пространстве, g: U -> V — канониче-
каноническое преобразование. Тогда существует функция S (ж, р) ?
? С°° (U) такая, что
{p',dx')-(p,dx)=-dS.	D.14)
8 В, П. Маолов, М. В. Федорюк

114	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
2) Если g: U -*¦ V есть диффеоморфизм и D.14) вы-
выполнено, то g — каноническое преобразование (односвяз-
(односвязность не требуется).
Доказательство. 1-форма г) = {р', dx') —
— (р, dx) замкнута, в силу D.14) и по лемме Пуанкаре
г) = —dS. Доказательство 2) очевидно.
По функции S — S (х, р) трудно в явном виде восста-
восстановить каноническое преобразование. Если же в качестве
независимых переменных можно выбрать (х, х') (т. е.
р, р — функции от (х, х')), то из D.14) находим
Все последующие рассмотрения этого пункта носят локаль-
локальный характер. Если
х'=х'(х, р)'
то, по теореме о неявной функции, можно из первого
соотношения D.15) выразить х' через (х, р): х' — х' (х, р).
Подставляя х' во второе соотношение, выражаем р'
через (х, р):
i	OS (х, х')
^	дх
Функция S (х, х'), удовлетворяющая соотношению
D.14), называется производящей функцией канонического
преобразования. Например, для преобразования х'=р,
р' = —х имеем 3= (х, х').
Введем производящую функцию, зависящую от дру-
других наборов переменных. Пусть из An переменных х, р,
х'', р', связанных соотношением (х', р') = g (x, р), можно
выбрать 2ге независимых переменных х{а), рф}, x[a>h p(p').
Здесь (a) (J (Р) = {1, 2, . . ., п), (а) П (Р) = 0; анало-
аналогично определяются (а')> (Р)- Среди этого набора пере-
переменных нет сопряженных. Пусть <S в D.14) есть функция
от заданного набора переменных. Тогда
D.17)

4. ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ	Ц5
В этом случае функция Sx называется производящей
функцией канонического преобразования, которое восста-
восстанавливается по Si с помощью соотношений
Р(сх') = — -г-,
D.18)
Приведем ряд известных сведений из аналитической меха-
механики [4], [14], [17], [63].
Теорема 4.16. Каноническое преобразование пере-
водит гажилътонову систему в гамилътонову.
Именно, если (х', р') = g (х, р), то система Гамиль-
Гамильтона
dx_ _ дЦх, р)	dp_ _ _ dL(x, р)	., . „.
dt ~ dp ' dt ~ ' дх	^-1V)
в новых переменных имеет вид
dx' _dL'(x', p') dp' __ ЪУ (х1, р')
dt ~~ dp' ' dt ~ '	дх' '¦
D.20)
где V (x', p')—L {х, р) (т. е. L' есть старая функция
Гамильтона в новых переменных).
Доказательство. Пусть г= (х, р) (все век-
векторы — столбцы). Тогда система D.19) имеет вид
E- = j?L,	D.191)
dt	dr	v	'
Далее,
dr' 	 , dr	dL 	j , dL'
~dT ~~? -Jf »	~gf = S dr> ,
так что
Так как J~x = —/, то из D.4) следует, что g'Jlg' = /,
dr' т дУ
и мы получаем —г- = J -гт ¦
dt	or
Пусть g* — сдвиг вдоль траектории гамильтоновой
системы D.19) за фиксированное время t, т. е.
g* (х\ р°)={х {Г, х°, pfi), p (*; х°, р°)}, D.21)

116
ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
где {х (t; x°, p°), p (t; х°, р0)} — решение системы D.19)
с данными Коши
x\t=o = x°, p|i=o = p°.	D.22)
Отображение g(: R2n ->• R2n называется фазовым потоком.
Мы предполагаем, что L (х, р) ? 0°° (R2™) и, для просто-
простоты, что каждое решение этой системы существует при
всех t. В противном случае приводимый ниже результат
справедлив в малом (т. е. при малых | t | и в малой обла-
области в R2n).
Теорема 4.17. Отображение gl является канони-
каноническим преобразованием {при каждом фиксированном* t).
Доказательство. Преобразование gt задается
формулой D.21). Положим г° = (х°,р°) и
дх дх
дхО
dp
дрО
dp
Требуется доказать, что
TAJA = J	D.4')
при всех t, где ТА — транспонированная по отношению
к А матрица.
При ? = 0 имеем А = 1п, так что соотношение D.4')
выполняются. Покажем, что левая часть этого соотноше-
соотношения не зависит от t; тем самым теорема будет доказана.
Дифференцируя уравнение Гамильтона D.19') по пере-
переменным г°, получаем уравнение
А А _ jj „ .
dt ~~ гг
Следовательно,
так как TJ = —/ и матрица L"rr симметрична. Дифферен-
Дифференцируя по t левую часть равенства D.4'), получаем
-^ (TAJA) = - TAL;rJ2A + TAJ2L;rA = 0,
так как J2 = I2n- Теорема доказана.

§ 4. ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ	Ц7
Этот факт можно также доказать с помощью интегрального
инварианта Пуанкаре — Картана [4], [22]. Пусть Г — простой
замкнутый гладкий контур в R2n. Тогда
, dx) = jp (р, dx).	D.22')
г	/|Г
Пусть (х', р') = g* (x, р); тогда
ф (р, dx) = ? (pr, dx),
gtr	г
и из D.22') следует, что dp' Д dx' = dp Д dx.
3. Канонические преобразования и лагранжевы много-
многообразия. Из D.1) и определения 4.7 следует, что многооб-
многообразие является лагранжевым тогда и только тогда, когда
на нем замкнута форма со1 = {р, dx). Отсюда вытекает
Теорема 4.18. Каноническое преобразование пере-
переводит лагранжево многообразие в лагранжево.
Нам понадобится также
Предложение 4.19. Пусть Л™ есть лагранже-
лагранжево С°°-многообразие такое, что L (х, />)= const на Л".
Пусть отображение
gt. Apr-i^gtj^t
есть диффеоморфизм при каждом t ? [О, Т] и
Л" = U ^
0(
есть С°°-многообразие размерности п. Тогда многообразие
Ап лагранжево.
Доказательство. Многообразия g'A"" лаг-
лагранжевы. Пусть г°={х (Р; х°, р°), р (t°; х°, р0)}, где Р ?
? (О, Т), (х°, р°) 6 Л", и Я", Я™ — касательные плоско-
плоскости к Л", g' Л" в точке г°. Тогда Я" а %п и вектор
г|°= [-?-, -?-) в точке (t°, x°, р°) трансверсален к Я" в Яп.
Следовательно, всякий вектор г\ ? Я" имеет вид т^ =
= | + Су]0, где | 6 Я™, С = const. Покажем, что
[т]°, |] = 0 для любого | ? Я"; тогда Я" — лагранжева
плоскость, и предложение будет доказано. Пусть
(ах, . . ., ап) — локальные координаты'на g^A71 в окре-
окрестности точки г°; тогда векторы §'"= (-^г. -я^:) образуют

118	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
базис в R2n. Имеем
так как {х (t, a), p (t, a)} — решение системы Гамиль-
Гамильтона, a L (х, р) — ее первый интеграл.
Это предложение дает основную конструкцию м-мерных
лагранжевых многообразий. Именно, задача Коши для
уравнения Гамильтона — Якоби индуцирует (п — ^-мер-
^-мерное начальное многообразие Л", которое является
лагранжевым. Его сдвиги вдоль траекторий системы
Гамильтона заполняют n-мерное лагранжево многообра-
многообразие. Если g1 удовлетворяет условиям предложения 4.19
при всех t ? R, то
Лп= U ^Л?
есть лагранжево многообразие, инвариантное относитель-
относительно g*.
В частности, рассмотренные в конце § 3 примеры дают
ряд лагранжевых многообразий.
Следующие факты уточняют локальную структу-
структуру п-мерного лагранжева многообразия Л™. Рассмот-
Рассмотрим многообразие, которое диффеоморфно проектируется
на Щ.
Теорема 4.20. Пусть многообразие Л" задается
уравнением
р = р(х), x?G,
где G — односвязная область в R?. Для того чтобы Лп
было лагранжевым, необходимо и достаточно существова-
существование такой скалярной функции S (х), что
р = 54^, X?G.	D.23)
Доказательство. Пусть
p(x), dx).
Для того чтобы этот интеграл не зависел от пути интегри-
интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы
dp (х) Д dx = 0.

§ 4. ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ	Ц9
Если р (х) имеет вид D.23), то это условие выполняется
и Лп лагранжево; если Л" лагранжево, то интеграл не
зависит от пути интегрирования.
Заметим, что если многообразие Л™ имеет вид D.23),
то оно лагранжево, даже если Л" неодносвязно.
Выясним локальную структуру произвольного лагран-
жева многообразия А™.
Пусть, как обычно, (а), (Р) — разбиение множества
A, . . ., п) на непересекающиеся множества.
Теорема 4.21. Пусть многообразие Л" задается
уравнениями
Ж(а> = х«х) (/W Ж<Р>)' РФ) = РФ) (Р(а)> ХФ))> (Р(а), Хф)) 6 G,
где G — односеязная область в R^ X КрГЛ Для того
чтобы Л" было лагранжевым, необходимо и достаточно
существование такой скалярной функции S (р(а), х(&),
что
Х	D-24)
Доказательство. Рассмотрим функцию на Л":
(х р)
S= \ (p,dx) — {x(a
Пусть Л" лагранжево; тогда интеграл \ (р, dx) не зави-
зависит от пути, так что
dS = (р(р), dx(fi)) — (х(а), dp(a>)	D.25)
и 5 есть, по условию, функция от р(а), ж(Р). Отсюда следует
D.24). Обратно, если выполнено D.24), то имеет место
D.25), так что
= {p, dx)
и форма со1 замкнута на Л™.
Функция S, задающая лагранжево многообразие Ап
(см. D.23), D.24)), называется также производящей функ-
функцией этого многообразия; она определяется по Л" с точ-
точностью до аддитивной постоянной, если Л" односвязно.
Предложение 4.22. Пусть Ап — лагранжево
многообразие, и пусть достаточно малая окрестность U
точки г* — (а;0, р°) ? Ап диффеоморфно проектируется на

126	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Щ и на плоскость Кп (р{а), Хф}). Если S (x), S (р1а),
соответствующие производящие функции, то отображение
(х, S(x))-+((p{a>, хф)), — S{p(a), хф))) D.26)
есть преобразование Лежандра по переменным х(а).
Доказательство. С точностью до несущест-
несущественной аддитивной постоянной имеем
г(х, V)
[ (p,dx),
r(x, p)
-- j (p, dx)—{x(a),
так что
Из доказательства теоремы 4.21 следует, что
„ _ 9
и наше предложение доказано. Кроме того,
^O	D.27)
в точке (х°, р°).
4. Лагранжева задача Коши. Рассмотрим уравнение
Гамильтона — Якоби
L (х, dS (х)/дх) = 0	D.28)
с вещественнозначным символом L (х, р) ? С°° (R2n). В § 3
была рассмотрена лагранжева задача Коши для этого
уравнения с данными на плоскости; теперь зададим началь-
начальные данные на многообразии. Лагранжева задача Коши
для уравнения D.28) ставится следующим образом.
1) Задается лагранжево многообразие Л"'1 размерно-
размерности л — 1 такое, что
L {х'р) = 0, (х,.р) 6 Л"	D.29}
в Л" диффеоморфно проектируется . на R?. —

§ 4. ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ	121
2)	Задаются начальные данные: при ж ? л^Л" (проек-
(проекция Л™ на Rx) имеем
S (ж) = So (x),	D.30)
Ц?) = Р(х), (х,р(х))еА-К	D.31)
3)	Ставится условие согласования
dS0{x) = (p(x),dz), хепхАп~1.	D.32)
Теорема 4.23. Пусть г° = (ж0, р°) ? Л" и выпол-
выполнено условие: вектор—-^- трансверсален к пх (ТАп'г) (г°).
Тогда в малой окрестности точки ж0 решение лагранжевой
задачи Коши существует и единственно.
Доказательство. Мы сведем эту теорему к пред-
предложению 3.8. Пусть г° = 0 и Л™ задается уравнениями
хп = ф {хъ . . ., хп^), р =Ц (хъ . . ., хп_г)
в окрестности точки 0. Тогда Sb = So (хг, . . ., хп^).
Сделаем замену переменных
где ж) = ж,-, 1 < / < п — 1, ж; = хп — ф (жь . L ., жп_г).
Это преобразование есть диффеоморфизм в малой окрест-
окрестности начала координат; он является каноническим (при-
(пример 4.13) и переводит (S, L, So, Л") в (Sr, L', S'o, Л'").
Здесь
S'(x) = S{x), L'(x',p')=L(x,p), S'a(x') = S0(x),
так что если <S (ж) удовлетворяет уравнению D.28), то
Положим у = (х[, . . ., x'n^.i); тогда лагранжево многооб-
многообразие Л'" имеет вид
'-i= {(х', р')=(у, 0;
что доказывается так же, как и теорема 4.20. Здесь V —
окрестность точки у = 0. При этом
D.35)

122 ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Из условия согласования D.32) следует, что
дМр (у) = dS^ (у)
ду	ду '
, и наша задача принимает тот же вид, что и в пред-
предложении 3.8:
Покажем, что
Тогда все условия предложения 3.8 будут выполнены.
Имеем
дЬ'(х', р')= у дЬ (х, р) dph _ у дЬ (х, р) дхп
дрк	^ dph др'п 2л дрк dxh
k=l	ft=l
в силу D.33). При х' = 0, р' = @, р'п @)) имеем
др'п	^ dpk	dxh	1 дрп
3=1
в силу условия теоремы -—-г- =^= 0, так как вектор
"Рп
Р-, .-., ~^~ , О ортогонален к я^Л"'1 (г°).
5. Обобщение понятия лагранжева многообразия. Пусть Afn
есть л-мернос С°°-многообразие размерности п и Т*Мп — его
касательный пучок. Пусть я = (xi, . . ., жп) — локальные коор-
координаты на Мп; тогда Т*Мп = П 2"*Afg и элементами Т*М*
п
являются 1-формы цх = 2 Pj ^j на A^rai т> е- Чх' 1М\ -*¦ R, где
;=1
TAf ж — касательное пространство к Afn в точке х. Введем на Т*Мп
локальные координаты (р, х), р = (pi, . . ., рп) и рассмотрим
i-форму на Т*Мп
(oi = (p, dx).	D.37)
Заметим, что общий вид 1-формы на Т*Мп следующий:
2
3=1

§ 5. ПЕРЕХОД В Р-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ	123
Форма со1 определена корректно. Действительно, если х' — новые
локальные координаты на Мп, х = ф (х1), то
Следовательно,
Введем 2-форму на Afn
со2 = da1.	D.38)
В локальных координатах
оJ = (dp, da;).
Определение 4.24. Векторы I, i\ ? Та (Г*, М) назы-
называются косоортогональными, если со2 (|, т]) = 0.
Определение 4.25. С°°-подмногообразие Ah с; T"*ikf"
(размерности А) называется лагранжевым, если любые два каса-
касательных вектора к Лй косоортогональны.
Из леммы 4.5 следует, что в качестве локальных координат
в окрестности точки на лагранжевом многообразии можно выбрать
(	)
) 0))
Пусть Н: Т*М -*¦ R есть вещественнозначная функция класса
С°° на кокасательном пучке и X, Y — векторные поля класса С°°
на Т*Мп.
Определение 4.26. Гамилыпоновой системой на Т*Мп
с гамильтонианом Н называется векторное поле Хц на Т*Мп
такое, что	"""
со2 (XHY) = -dH (Y)	D.39)
для любого Y ? Т (Т* (Мп)).
В локальных координатах
он д\ / вн з\
'"^/ \дх~'др/-
Траектории поля Хц являются решениями системы Гамильтона
D.19).
Пусть g\j'. Т*Мп -*¦ Т*Мп — фазовый поток, индуцированный
полем Хд. Тогда g*H сохраняет форму со2.
§ 5. Преобразование Фурье
>.-псевдодифференциального оператора
(перехода в р -представление)
Наша задача — построить ф. а. решение уравнения
C.1) в целом, т. е. во всем пространстве R!J. Первым эта-
этапом построения квазиклассического приближения в целом
является отыскание гладкого всюду в R2 решения S (х)

124	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
уравнения Гамильтона — Якоби C.3). Однако это урав-
уравнение — нелинейное и может вовсе не иметь гладких
во всем пространстве решений, за исключением тривиаль-
тривиальных; такого рода примеры были приведены в конце § 3.
Следовательно, при построении ф. а. решений в целом
нельзя обойтись решениями вида C.2).
Основным является следующее соображение [38]: основ-
основным объектом, связанным с уравнением Гамильтона —
Якоби, следует считать не функцию S (х), а лагранжево
многообразие Лп. Задание функции S в некоторой области
Q cz RJ эквивалентно заданию «куска» лагранжева мно-
многообразия в фазовом пространстве:
dS (x)	n
Продолжим это многообразие, т. е. сдвинем его точки вдоль
траекторий системы Гамильтона; мы получим гладкое
лагранжево многообразие Л" (при соответствующих ого-
оговорках).
Итак, пусть лагранжево многообразие Л" не имеет
особенностей. Это лагранжево многообразие является
своеобразной «римановой поверхностью» функции S.
Пусть лагранжево многообразие Л™ не имеет особен-
особенностей; однако связанная с ним функция S= \{p, dx)
тем не менее может иметь особенности. Именно, производя-
производящая функция S лагранжева многообразия Лп имеет осо-
особенности в тех точках (х, р) ? Л™, окрестности которых
плохо проектируются на ^-пространство. Но в таких точ-
точках можно выбрать другие локальные координаты на Л™,
например, перейти в ^-представление. Естественно рас-
рассмотреть в ^-представлении и оператор L. Этот переход
осуществляется с помощью преобразования Фурье. Перей-
Перейдем к ^-представлению в уравнении
L(x,K~iDx)u(x)=f(x),
т. е. положим
и (х) = Fi] р^хи (р), / (х) = Fl) p W (Р) •
Тогда уравнение примет вид
х) и (р) = Нр).

§ 5. ПЕРЕХОД В Р-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ	125
Полученный оператор есть исходный оператор в ^-пред-
^-представлении и снова есть К-п. д. о.; именно, он имеет вид
Частные ф. а. решения уравнения
L (-%-&„ р) и (р) = 0
снова можно искать в виде C.2) (с заменой х на р). В по-
последующих параграфах будет показано, что, комбинируя
такие решения, можно получить ф. а. решение уравне-
уравнения C.1) в целом.
1. Частичные преобразования Фурье и ^,-п. д. о.
Устроим разбиение множества A,2, . . ., п) на два непе-
непересекающихся множества (а), (Р): (а) = (а15 . . ., аь),
(Р) = (Pi. • • -. Р/)' гДе к + I = п, at Ф Р7- при всех i, j
(одно из множеств (а), (Р) может быть пустым). Положим
х — (Я<а>. Ж(Р))> ж(а) = (^а,. • ¦ •, ^afe) И ЭНаЛОГИЧНО ПОЛО-
ПОЛОЖИМ р = (/>(„>, Р(Р))- Введем обозначения
(? Р) ZJ хР	dx	пХ	пХ
и аналогичные обозначения
Введем ^-преобразование Фурье по части переменных:
P(ai)l«(l)^(a), E.1)
где, как обычно, у i = егл^. Тогда обратное преобразо-
преобразование имеет вид
—2^) J exp[u(Z(a), j3(a))]y(P(a), a:(P))dp(a). E.2)
Пусть L (x, p; (iK)) — полином от (х, р) с коэффи-
коэффициентами, гладкими по Х~* при X ^ 1. Тогда из известных

126	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
свойств преобразования Фурье вытекает, что
{a)	^р,	E.3)
Предложение 5.1. Пусть символ L (х, р) ?
? Г™ (i??). Тогда левая часть формулы E.3) определяет
линейный оператор из С™ (R?(~* X R?<p>) e C°° (R^ X R?(p)).
Доказательство очевидно. Формулу E.3) примем в ка-
качестве определения оператора
Ь
и будем называть его ^-преобразованием Фурье К-п. д. о.
2	1
L (x, K^Dx, (iX)'1) по переменным х(а).
2. Новый класс частных асимптотических решений.
Рассмотрим уравнение
L (x, ^-1Z)X; (iky1) и (х) = 0.	E.4)
Всюду в дальнейшем в этом параграфе предполагается,
что L {x, p; {fk)~l) ? Т™ (Rn) для некоторого т.
В § 3 мы построили класс формальных асимптотиче-
асимптотических решений уравнения E.4) вида
и (х, К) = ф (х) exp (ikS (x)).
Формула E.3) позволяет построить класс формальных
асимптотических решений вида
и (х, К) =-.
= FKp(a)-+*ia) (Ф (Рт, Ж(Р>) ехр [&S (рт, хф))]). E.5)
Вначале мы формально проведем выкладки, а затем
приведем строгое утверждение. "Будем искать решение
уравнения E.4) в виде
и(х, K) = F^P(a^Xia)(v(p,a), хф), %)).	E.6)
Подставим E.6) в E.4) и применим слева оператор
F%,xia)-+via)- Тогда, используя формулу E.3), получим

§ 5. ПЕРЕХОД В Р-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ	127
уравнение
2	2	1	1
L( — К Dp , хф), pia), л Dx ; (гл) ) v(pia), хф), Х) = '
E.7)
Но это уравнение имеет тот же вид, что и E.4) (т. е. в ле-
левой части снова стоит А, — п. д. о.), и мы, как и в § 3, можем
искать формальное асимптотическое решение в виде
v (/><«>, хф), I) = ф (р(а)) хф)) exp [US (р(а;, а;(Р,)]. E.8)
Подставляя в E.6), получаем E.7). Этот класс ф. а.
решений впервые был построен в [38], [39].
Теорема 5.2. Пусть символ L (x, p; (ik)*1) ?
g fm (Щ)г функция S (Р(а), ж(р,) вещественнозначна,
Тогда при 1^1 и ири любом целом N ^ О
2	1
L (ж, ГФХ; ( — «Я,)) ^р(в)-*(а) (Ф (Р(а>, я(ц,) X
X ехр [йб1 (р(а), z(P))]) =
2V- 1
.2 (Г^Ф^
+ О_^]. E.9)
Здесь Rj — линейный дифференциальный оператор по-
порядка ^ / с коэффициентами класса С°° (зависящими от S).
Остаточный член OtN g 0JN (R* X R™-fe).
Доказательство. Пусть функция v (p(a), ж(р))
бесконечно дифференцируема и финитна по всем своим
аргументам. Тогда, в силу E.3),

128	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Пусть v имеет вид E.8). Применяя теоремы 2.6, 2.11,
получаем разложения
N-1
Zv^e™ 2 (Щ-}Rj<p + MN(P(a), хф); (iky*).
о
Утверждение теоремы относительно остаточного члена
следует из B.12').
Выпишем первые два члена разложения E.9):
LV	E.11)
' др(
а)
± Г«п f d2L0 d2S \ + Sd
2 L"PU^()J№()J/+ Р
d2L°d2S \ 2 У d%L°
J	2
2 Sp ( d2L°	d2S \ 2 У
j=i
Здесь
Производная ( a/-vw') берется при (i^) = 0 и при
тех же значениях х, р, что и L°.
3. Уравнение переноса. Введем обозначение
L(x, p; (iX)-1) = L( — ж(а), ж(Р), р(а), р(Р); (гХ)). E.14)
Уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид
L0 = 0.	E.-15)
Положим
X' = (Р(а), Хф)), Р' = (ХШ), Рф)).	E.16)
Тогда система Гамильтона для уравнения E.15) имеет вид
их' _ дЪ (х', р'; 0)	dp' __ дХ(х', р'; 0)	,. ,„.
dt	dp'	' dt	дх'	' (°-и>

§1 5. ПЕРЕХОД В Р-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ	129
Применяя формулу Лиувилля C.23) к системе
dx' _dL(x', dS/dx'; 0)
~W~	dp	»
получаем, что
d 1 Т —
где
J = det ^(аЬ Х(&' г	E.18)
Далее,
_
где ф — производная в силу системы E.17). Следователь-
Следовательно, уравнение Rq> = 0 примет вид
Сформулируем результат, аналогичный теореме 3.10.
Пусть U — область в И", {х1: х' = х'° (у)} — С°°-мно-
гообразие размерности п — 1 в R". Рассмотрим задачу
Коши
*Vo = *'°(Y). P'|t=o = p")(v), 7G?7 E.20)
с условием согласования C.32), и пусть выполнены усло-
условия 1)—3) теоремы 3.10 (последнее — применительно
к задаче Коши E.19), E.20)).
Пусть Q (ХФ)) — малая окрестность точки х(р, =
= ?°р) (у0) и OcRS — малая окрестность точки
(¦?(«)> ХФ) (Y°))> гДе XU) — любое. Положим
S (рда, (*, У), хф) (t, у)) - So (p\a) (у), х°ф) (у)) +
E-21)
При малых t эта функция будет решением класса С°°
уравнения E.15).
Теорема 5.3. Пусть выполнены условия 1)—3) тео-
теоремы 3.10 {последнее — для задачи Коши E.19), E.20)).
9 ТК ТТ Мяг*ттпп М_ ТК <Т>р>ттпптпк

130	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЯ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Тогда функция
E.22)
является решением уравнения C.1) mod Ot.% (Q).
Функция S есть решение уравнения Гамильтона —
Якоби E.15), фо (y) — произвольная функция класса
С°° (?/).
Все функции х(а), рф}, р(а), Хф в правой части E.22)
являются решениями задачи Коши E.19), E.20), (т. е.
= х(а) (t, у) и т. д.); t, у таковы, что хф) (t, у) =
(р)
Доказательство теоремы следует из E.19) и теоре-
теоремы 5.2.
К уравнениям переноса мы вернемся еще в § 11 и в § 14.
§ 6. Предканонический оператор
(квантование поля скоростей в малом)
Итак, в предыдущих параграфах были построены
формальные асимптотические решения уравнения C.1),
которые имеют вид быстро осциллирующей экспоненты
либо в ^-представлении, либо в р-представлении, либо
в смешанном представлении. Каждое такое ф. а. решение
ассоциировано с лагранжевым многообразием Ап макси-
максимальной размерности в фазовом пространстве. Теперь
в качестве отправной точки рассмотрения возьмем это
многообразие. Наша задача — построить ф. а. решение
в целом, сшивая всевозможные ф. а. решения, индуци-
индуцированные многообразием Л". При сращивании ф. а. реше-
решений следует, прежде всего, учитывать, что одно и то же
решение может иметь различные представления (напри-
(например, Л™ может диффеоморфно проектироваться и на х-
пространство, и на ^-пространство). Согласованию этих
представлений и посвящен настоящий параграф.
1. Эвристические соображения. Задача о построении
квазиклассической асимптотики уравнений квантовой

§ 6. ПРЕДКАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР	131
механики или, вообще, уравнений вида
L (x, k^Dx) и (х) = О
приводит, как мы выяснили в предыдущих параграфах,
к «классическому» объекту — лагранжеву многообразию
Ап в фазовом пространстве. Теперь мы проквантуем этот
объект классической механики (поле скоростей), т. е. по-
построим оператор К, отвечающий многообразию Ап (кано-
(канонический оператор).
В настоящем параграфе рассматривается случай, когда
лагранжево многообразие Ап диффеоморфно проектируется
на одну из лагранжевых координатных плоскостей. Соот-
Соответствующий оператор К будем называть предканониче-
ским оператором.
Пусть многообразие Ап диффеоморфно проектируется
на ^-пространство. Введем оператор
по формуле
(Кц>)(х) = у \~ ехр[№{х)\ч(х).	F.1)
Этот оператор назовем предканоническим оператором-
Здесь don — объем на Ап, S (х) — производящая функ-
функция лагранжева многообразия, т. е. оно задается уравне-
dS(x)	T9	у
нием р = —~^ и норма в щ задается формулой
Л"
Оператор К является унитарным:
Далее, справедлива формула коммутации
L {х, Х-фж) Кц> = К [L (х, р) ф + 0 (Г1)],
где точка (х, р) ? Лп. Таким образом, Х-п. д. о. переходит
в оператор умножения на функцию (символ оператора)
с точностью до О (Я).

132
ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Если символ оператора L равен нулю на многообра-
многообразии Л", то
= О (Я),
т. е. функция и =¦ Кц> есть формальное асимптотическое
решение уравнения Lu = 0 с точностью до О (h~l). Таким
образом, с помощью предканонического оператора можно
строить формальные асимптотические решения уравнения
Lu = 0.
Пусть Лп диффеоморфно проектируется также и на р-
пространство. Перейдем в ^-представление. Тогда урав-
уравнение многообразия Л" примет вид х =
, где функ-
функции S (x), S (р) двойственны по Юнгу. Заметим, что
функция ф (/•), где г — точка Лп, может одновременно
рассматриваться и как функция от х, и как функция от р.
Пусть п = 1 для простоты. Применяя метод стационарной
фазы (§ 1), получаем (в предположении, что S"xx (x) Ф 0)
= у т^ [ ехр (— ilxp + ikS (х)) ф (х) dx =
4 ,
у 1
Ш
F.1')
где х (р) — решение уравнения S'x (х) = р.
Сравнивая формулы F.1) и F.1'), получаем, далее,
Следовательно, в ^-представлении предканонический опе-
оператор К имеет вид
(Кц>) (х) = efi
ехр
7 = const,
F.1")
с точностью до слагаемого порядка О (X).
Аналогичный вид имеет предканонический оператор
в смешанном представлении.

§ 6. ПРЕДКАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР	133
2. Предканонический оператор. Приведем обозначения,
которые будут использованы в этом и последующих
параграфах.
1)	Л" — лагранжево С°°-многообразие размерности п
в фазовом пространстве R2n = {х, р}.
2)	г — точка Лп, (х (г), р (г)) — ее координаты.
3)	don — дифференциальная форма степени п и клас-
класса С°° на Лп (объем).
4)	2 (Лп) — цикл особенностей (см. определение 6.1).
5)	Со (Лп) — множество всех С°°-отображений ф: Лп—>-
-> С°° с компактными носителями.
6)	(а), (Р) — непересекающиеся множества, в сумме
дающие множество A, 2, . . ., п). Далее, х{а) =
= (?<<*,>, ¦ ¦ ., x{ak)) и т. д.
7)	I [г1, г2] — гладкая кривая на Лп, 31 = г2 — г1.
Введем следующие предварительные понятия: кано-
каноническая карта, неособая каноническая карта, канониче-
канонический атлас.
Канонической картой называется односвязная область
Q cz Ап, которая диффеоморфно проектируется на одну
из лагранжевых координатных плоскостей {/?{а), Хф>}.
Координаты (р(а), Хф) назовем фокальными координата-
координатами карты.
Определение 6.1. Точка г0 ? Ап называется
неособой (относительно проектирования на R?), если
некоторая ее окрестность диффеоморфно проектируется
на R", и особой в противном случае. Множество всех осо-
особых точек обозначим через S (Лп).
Каноническая карта Q называется неособой, если все
ее точки неособые.
Каноническим атласом на лагранжевом многообразии
Л" называется набор {йг}, где Q1 — канонические карты,
такой, что: 1) {Q1} есть счетное покрытие, 2) каж-
каждый компакт F с Ап покрывается конечным числом
карт.
Существование канонических атласов следует из лем-
леммы 4.5.
Пусть Q — каноническая карта. При г ? Q интеграл
г
j <P', dx'},
го

134	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
по определению, берется по пути
l[r°,r(Q)] + I [r(Q), г],
где г° — фиксированная точка карты, и последний путь
лежит в Q. Так как форма (р, dx) замкнута на Л™, то этот
интеграл есть однозначная функция класса С°° (Q).
Введем оператор К, действующий из Со (Q) в С°° (Щ).
1) Q — неособая карта. Положим (см. F.1'))
Г(Х)
j
		()
(Кц>) (х) = у\ йаП{;х(х)) I Ф (г (х)) exp (il j (р\ dx')). F.2)
Здесь ——^г есть производная меры don по мере dx
в точке т(х). В локальных координатах х имеем don (r (х)) =
= а {х) dx, так что
dan (r (ж))
2) Q — особая карта с фокальными координатами
P(a)i ХФ))- Каждая точка г 6 Q имеет вид
= Г {р{а), Ж(Р,) =
где xia), Рф} — заданные функции. Положим
а) fiJ
J (p', dx') — {xia)(pia), хф)), p(a)>j JJ.
F.3)
Подынтегральная функция зависит от переменных
(Z(a)i Яф)) Р<а))> так чт0 интеграл есть функция от xia),
Хф-,, т. е. от х. Заметим, что стоящая под знаком экспо-
экспоненты функция является преобразованием Лежандра
функции S (х) (с точностью до знаков).
Построенный оператор зависит, помимо {Лп, r°, don}
и {Q, 1[г°, г]}, еще и от выбора локальных координат
в Q, так как в одной и той же карте можно, вообще говоря,
по-разному выбирать фокальные координаты. Например,
Q может однозначно проектироваться на Н? и на Щ.

§ 6. ПРЕДКАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР	135
Мы покажем, что при X—у +оо различные представления
оператора К отличаются лишь постоянным множителем,
с точностью до О (X). Этот множитель приведет нас
к понятию индекса кривой на лагранжевом многообра-
многообразии (см. § 7).
Будем писать К = К (Q, (/>(а), ж(р))) (т."е. в качестве
фокальных координат в Q выбраны Р(а), х(р}). Рассмот-
Рассмотрим отображение
К (Й, (р(а)) *(й)): С (Q) ->Г° (R» X Щ)/0!4 (Щ). F.4)
Класс Oti (Щ) мы ввели в § 1.
J Л е м м а 6.2. Пусть Q — неособая карта и Q диффео-
морфно проектируется на плоскость (р^а), Хф))- Тогда при
К ^ 1 для любой функции ср G C^° (Q)
х) = ехр ( —~ inerdex to(a) (g«^ X(p)) ) х
X (К (Q; р(в), Ж(Р)) Ф) (a:) (mod O\ (Щ)). F.5)
Доказательство. Функция [iT (Q; р(а), ж(р))ф] (^)
равна правой части F.3). Применим к этому интегралу
метод стационарной фазы. Пусть S (р(а); х) — функция,
стоящая в экспоненте. Рассмотрим ее при фиксированном
х. Тогда
dS= (р(а>, dxm (pw, хф))) -\-
так что
= хт—хт {рт, ж(Р)).	F.6)
Стационарные точки определяются из уравнения 9«Sl/3/>(a) =
= 0, и, в силу условий на Q и F.6), это уравнение имеет
единственное решение р(а) = р(а) (х). Именно, уравне-
уравнение Q можно записать в виде р = р (х) = (р(а) (х), р{& (х));
это и дает искомое решение. В стационарной точке имеем
j

36	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
следовательно,
и поэтому
= _
где к — число компонент вектора (а).
Наконец,
dx=± det ^'^"g») dpw d
так что
уГ\ da" (r (x)) I | 8х(а)(р(а), хф) = , /"| da" (r (х))
Применяя теорему 1.4, получаем, что
хехр^й | (р', dx')\ +ip(x, I), F.5')
где ф ? 6>ij (R?), что и требовалось доказать.
Замечание. Оценка остаточного члена в F.5')
я|5 (х; I)
. -1
на каждом компакте К a R" равномерна по ф, принадле-
принадлежащим ограниченному множеству в С™ (Q). Это следует
из [60].
Лемма 6.3. Пусть карта Q диффеоморфно проек-
проектируется на лагранжевы плоскости (p{a)i #<Р)) и(Р(ау х(к)-
Тогда при X ^ 1 для любой функции ф ? Со° (Q) ижееж
(К (Q; (Ла), л<р,)) Ф) (ж) =
ггст
= «~ К (Q; Р<й, ЖйГ)) (ф Ч-Я"*ф) {*)• F-7)

§ 6. ПРЕДКАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
137
Здесь т — целое число, не зависящее от ф и от точки
r?Q.
Доказательство. Пусть
К = К (Q;
Имеем
exp (US),
Y
dan (r)
dp ~ dx~
(a) C)
exp
F.8)
где S, S определяются из F.3). Покажем, что
da"
dp
~ da; —
(а) О)
F.9)
где Л^ — целое число, не зависящее от ф и от точки г
а остаточный член % таков, что
Тем самым лемма будет доказана.
Пусть г|) — левая часть F.9). Тогда
|=\"йг) ехр \т(к—Щ х
X J j exP
ф(г)
n(r)
(«)'
F.11)
где интеграл понимается как повторный: сначала по
dpia), затем по dx,~y
Применим метод стационарной фазы; вначале ограни-
ограничимся формальными выкладками, а затем приведем обос-
обоснование.
I. Формальный вывод. Среди чисел а/ ?
6 (a), ak g (а) могут быть одинаковые. Устроим разбиение
на непересекающиеся множества
{1, 2, . . ., п} = (a) U F) U (с) U (d)
так, чтобы
(o) = (a)U(b), (e) = (o)U(«).

(с)
138	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Тогда
(P) = WU(d), (P) = (b)U(d).
Уравнение многообразия Q, по условию, можно записать
в виде
xia) = ф(а> (?), ^Ь> = Ф(Ь) (I),
Ас) = Ф(О (Ю,
? = (Аа>.
или в виде
Я<а) = ф(а) (I),	Ж(с) == ф(с
АЬ)=^ф(Ь)A),	Ad)--=9(d)(f).	F.12')
Чтобы избежать путаницы в обозначениях, поставим звез-
звездочки над всеми значащими переменными (по которым не
производится интегрирование), например:
l=(Pa, Pb, Хс, 3%),	1= (РЬ, Рс, Х%, Х%).
Фазовая функция S имеет вид
S=
г»
где г — г (р<а), ж(р,). Следовательно,
(р(а„ йх(а)) — (р(^, dx(~f. F.13)
Функция б1 зависит от переменных рш), p(b), xia), xm,
по которым производится интегрирование в интеграле
F.11), и от значащих переменных, которые играют роль
параметров. В силу соотношения F.13) дифференциал S,
как функции от переменных интегрирования (при фикси-
фиксированных значениях значащих переменных), равен
а)— Р*а), dpw} + {<pm(%) — pfc), dxic)).

§ 6. ПРЕДКАНОНИЧБСКИЙ ОПЕРАТОР	139
Отсюда следует, что
-*<а> —ф<в>(У,
~ —- = #<&,— ф(Ь)A).
5P(b)	FЛ4)
as	*
Стационарные точки функции S определяются из системы
Ф(Ь) (Р(а)> J'(b), ^(C), ^(d)) = ^F)i	,д .г,
Ф(с) (P(u)i Р(Ь)> ^(c)i ^(*d)) = Р*с)>
Pla>*=Pta),	^	F15/)
ж(а) = ф(а) (Piao Р:Ь)! ^(с)> ^(d))-
Имеем р(а) = р(*а). При любых
(Р*«), Р*о, afb), 4о) б л (Р(а)' ^р)) Q
(проекция Q на плоскость (р(~^ х/а-)) система F.15) имеет
единственное решение
РФ) = Ф(Ь) (А*). А%. ^A.). ж(%).	F 16)
^<о = ф(о (Р(*), Р(о), ж(*6))
где ф(б), ф(о — функции из F.12'), что следует из условия
леммы. Тогда второе иа уравнений F.15') однозначно опре-
определяет хш), а именно:
Хт = ф(а) (Р(а), Р(*). Ж(*б), 2(*d)).	F.16')
Таким образом, стационарная точка ^ = ^(р(~,, х~) един-
единственна и значение фазы S в этой точке равно
<p', (^-«РфОф,, а:(|р,Р&)=5, F.17)

140
ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Следовательно, значение S (Q) совпадает с функцией S,
входящей в определение оператора К (см. F.8)).
Пусть A (Q) — матрица из вторых производных функ-
функции S в точке Q. Тогда, в силу F.14),
Р(а>
дР(Ь)
о -
о
о
F.18)
Здесь /, 0 — единичные и нулевые матрицы, порядок кото-
которых ясен из этой формулы, и все производные взяты
в точке Q. Отсюда находим, что
det
дх (с
Р<с)
. F.19)
Последний определитель отличен от нуля всюду в Q. Дей-
Действительно, в Q в качестве координат можно взять
(Р«х), Хф)) и {р{~у х^), так что якобиан
det
д(р~, х~)
V4«)' («У
det
?=0
всюду в Q. Следовательно, при г ? Q
det A (Q) ф О, sgn A (<?) = const.
Кроме того, на любом компакте Fan
имеем
inf r;
F.20)
при всех 7, что следует из непрерывности собственных
значений симметрической матрицы A (Q) и F.20).
Выпишем главный член асимптотики ар при Я,—>-оо.
Для этого необходимо вычислить гессиан фазовой функции
в стационарной точке (см. § 1). Так как порядок матрицы

§ 6. ПРЕДКАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР	141
A (Q) равен к -\- к, то
где N — целое число, не зависящее от Q, ф.
Далее, из F.19) получаем
= l/l - dUlML (Q 22)
]/ I det A (Q) | ¦ i ~'-(a)""-{fi)
так что в силу теоремы 1.4 асимптотика интеграла ар
(см. F.11)) имеет вид
+ X(Pff). a:®. ^)i F-23)
где 5(=О(^~1) при X-> -}~ro-
-}~roll. Обоснование. Если | х,^ \ >. М и Af доста-
достаточно велико, то при X ^J 1
|Д!!(Л'ф)(а:)|<С*,7Я-"A + |*|)-№,	F.24)
где N > 0 — любое и у — любой мультииндекс. Действи-
Действительно, стационарные точки интеграла (К(р) (х) находятся
из уравнения (см. F.6))
Я<а) = Ф«х) (Рш, Я(В)).	F.25)
Если {р{а), Хфу) g supp ф (г), то ж@, конечно и множество
всех ж,р, вида F.25) ограничено. Оценка F.24) следует
из леммы 1.5.
Устроим разбиение единицы: гц (г) + Tl2 (*) = 1»
а; g Rn, где функция щ (х) финитна и г\г (х) = 1 при
| х | ^ 2М. Соответственно полон^им (см. F.11)) гр =
= % + гр2. Тогда
I % (Р(«), а;(Р)) | < CNX~"
(А,>1, iV — любое). Интегрированием по частям по
dx~ (см. A.16)) нетрудно показать, что при ^>1
t	N	& \VN(l + \ x{~ | yN,
где у, у', N ^ 0 — любые. Следовательно, функция

142
ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
при любом к >. О (т. е. имеет порядок О (К~°°) при Я -»-
-> +оо). Поэтому остается исследовать интеграл %, кото-
который берется в конечных пределах по всем переменным
dpia)dx(ay Но в этом интеграле при | pffi\ ^ M нет ста-
стационарных точек, лежащих на носителе подынтегральной
функции, если М достаточно велико. В силу леммы 1.5
имеем
0, у — любые. При | р^ |^
1.4, что в сочетании с F.24)
2М, где N ^
теорема
при | р^
^.2М применима
дает F.10).
Лемма 6.4. Пусть карта Q диффеоморфно проек-
проектируется на лагранжевы плоскости (р(а), х{^))и(р.^)^ х@)-
Тогда величина
inerdex a*(tt> (r) - inerdex ^ * (mod 4)
постоянна для всех неособых точек г g Q.
Доказательство. Применяя F.5) к выраже-
выражениям (К (Q; р{а), хф)) ф) (ж), (^ (Q; р(~}, ж(^) ф) (х)
в неособой точке г ? Q и сравнивая с F.7), получаем, что
т =inerdex
дх
— inerdex —^- + 4/с,
где к — целое число. В силу
леммы 6.3 эта величина не
зависит от г.
Поясним утверждение лем-
мы 6.4. Пусть п = 2 (для про-
/^ стоты) и особая карта О диф-
диффеоморфно проектируется на
плоскость р. Пусть проекция I
цикла особенностей 2 (Л2) раз-
разбивает проекцию U карты О
на две области U\ и [72 (рис. 8). Возьмем любые две точки г1, г2 ? U
такие, что ri ? Uj, и рассмотрим целое число
т = inerdex —т^-^ — inerdex
d
рис g
dp
dp

§ 6. ПРЕДКАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР	143
Это число не зависит от выбора точек г1, г2. Действительно, матрица
—?—!¦ (здесь х = х (р) — уравнение карты Q) не вырождена при
р $ I и из связности области иг вытекает, что inerdex дх (р)/др =
= const при р ? [/j. Аналогично, inerdex дх (р)/др = const при
Р 6 U2.
Пусть теперь та же карта Q диффеоморфно проектируется на
плоскость (pi, x2), и пусть проекция I цикла особенностей точно
так же разбивает проекцию U карты Q на две области V\ и [/2-
Рассмотрим целое число
~ . , дх2 (г2) . , дх2 (г1)
го = inerdex ——	inerdex ———- ,
др2	др2
где точка г1 ? Ui, точка г2 ? [/2- Это число не зависит от выбора
точек г1, г2. В данном случае утверждение леммы 6.4 состоит в том,
что числа mum совпадают по модулю 4:
т = го (mod 4).
m	/-	dZ(a)(r)	&?(„)())
Таким образом, целое число '; п—	^±—- не зависит от
°Р(а)	°Р<.а)
выбора фокальных координат в особой карте.
Отметим еще одно важное следствие из леммы б.4.Если в особой
карте Q можно выбрать фокальные координаты (p(a), г<р>), то мат-
матрица дх(ау/др(а) симметрична. Этот факт является следствием того,
что многообразие Ап лагранжево, и не имеет места для произволь-
произвольных многообразий. Пусть, например, карта Q диффеоморфно проек-
проектируется на р-пространство; тогда уравнение этой карты имеет
видя = —OS (р)/др. Следовательно, дх/др = —d2S(p)/dp*, и из сим-
симметричности матрицы Spp вытекает симметричность матрицы дх/др
в этом случае.
Определение лагранжева многообразия формально никак не
связано с динамикой; то же самое относится и к понятию предка-
нонического оператора. Однако при исследовании асимптотики
решений дифференциальных уравнений, содержащих большой пара-
параметр, возникают лагранжевы многообразия, инвариантные отно-
относительно динамики, т. е. такие лагранжевы многообразия, которые
расслаиваются на траектории гамильтоновой системы, ассоцииро-
ассоциированной с уравнением (см. § 3). Для таких многообразий можно
более наглядно пояснить, что такое предканонический опе-
оператор.
Пусть в фазовом пространстве R2n задано (га — 1)-мерное
лагранжево многообразие А71'1, а многообразие Ап — это трубка
траекторий некоторой гамильтоновой системы, выпущенных при
t = 0 из начального многообразия An-1. Будем предполагать, что
условия предложения 4.19 выполнены; тогда Ап — лагранжево
многообразие. В качестве функции ф g C?° (Лп) возьмем такую
функцию, которая тождественно равна нулю вне некоторой меньшей
трубки траекторий Т, лежащей на Лп; для наглядности мы апелли-
апеллируем к весьма условному рис. 9.

144
ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
где
Точки, лежащие на Лп, имеют вид х = х (t, а), р = р (t, а),
t — параметр вдоль траектории (время), а а = (а<, . . .
.. ., an_j) — локальные коор-
координаты на начальном много-
многообразии А71'1 (оно задается
уравнениями видах = х° (а),
Р — Р° (а))- В качестве объ-
объема da выберем объем, инва-
инвариантный относительно фа-
фазового потока; положим для
определенности da = dt da.
Далее, пусть многообразие
Ап (оно же карта Q) диф-
феоморфно проектируется
на /j-пространство. Будем
предполагать, что цикл осо-
особенностей 2 (Ли) есть глад-
гладкая кривая и что ее про-
проекция на i?2 — каустика
семейства лучей х = x(t,a)—
также является гладкой
кривой (это предположение
относится к изображенному
на рис. 9 случаю п = 2).
Возьмем карту Qj, которая
диффеоморфно проектиру-
проектируется на R% и лежит, для
определенности, на «верхнем листе» многообразия Л2; отмеченную
точку г° также возьмем на верхнем листе.
Предканонический оператор К\, отвечающий карте Q, возьмем
в виде F.2):
Рис. 9.
г)> (х) —
-JZ СХР1
г
Здесь S (г) = I (p, dx) и, как обычно, г — точка лагранжева
Го
многообразия с координатами (х, р). Учитывая выбор объема da,
получаем
exp [US (г)} ф (г), г = (г, р).
Здесь / (t,a) = det
дх (t,a)
d(t,a) ¦
Фазовая функция S достаточно подробно обсуждалась в пре-
предыдущих параграфах; теперь мы более подробно рассмотрим пред-
экспоненту. Далее, установим связь между предканоническим опе-
оператором и формальными асимптотическими решениями уравнения
вида C.1). Эта предэкспонента
связана со следующими

С .ПРЕДКАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
145
геометрическими объектами: с трубкой траекторий Т в фазовом
пространстве, с трубкой лучей пхТ в ^-представлении (пхТ —
проекция трубки Т на Rx) п с трубкой лучей прТ в р-представле-
нии (это проекция трубки Т на р-нространство).
1.	Пусть L (х, р) — гамильтониан рассматриваемой динами-
динамической системы, L (х, р) = 0 на Лп, и пусть, для простоты, соот-
соответствующий К-п. д. о. симметричен (см. C.40)). Тогда при любой
функции ф ? СЦ0 (fii) функция (А'ф) (х) есть ф. а. решение уравне-
уравнения C.1) с точностью до О (X) при х ? n^Q. Это вытекает из тео-
теоремы 3.12.
2.	По построению функция ф (г) локализована в том смысле,
что supp ф содержится в трубке траекторий Т. Из этого факта и опре-
определения предканонического оператора вытекает, что функция
(А'ф) (х) также локализована, причем supp Аф содержится в проек-
проекции лхТ трубки траекторий Т.
3.	Перейдем в ^-представление, т. е. рассмотрим предканони-
ческий оператор Кч, отвечающий той же карте Qit но в р-представле-
нии (см. F.3)). Имеем, с точностью до численного множителя,
da
dp
exp (iXS (r))] (x),
где
S(r) =
ro
Учитывая выбор объема da, получаем
q>(r)
J @, а)
J(t,a)
exp (iXS (r)) (.r),
где / (t, a) =
8p(t, a)
d(t, a)
Как показано в лемме
с = const. Более того, вне
выполняется оценка
I (А2ф) (х) I ==
6.2, (/12ф) (х) = с (А1ф) (х) + О (К'1),
проекции supp ф на х-пространство
I х\)
-N
постоянная, т. е. функция
X -»- оо быстрее любой сте-
степри любом целом N (лемма 1.5), где cN
(Агф) (х) убывает при j х \ ->• оо и при
пени \ х \ и быстрее любой степени X.
Назовем р-предстаелением функции ее ^-преобразование Фурье.
Как видно из сравнения этих приведенных выше формул, если фор-
формальное асимптотическое решение в ^-представлении локализо-
локализовано в окрестности проекции яхТ трубки траекторий Т, то в р-пред-
ставлении это же ф. а. решение локализовано в окрестности р-проек-
ции яр Г трубки Т (рис. 9).
4. На языке
dx
есть
геометрической оптики величина
интенсивность трубки лучей [32]. Перенося эту же терминологию
в р-представление, получаем,. что интенсивность трубки лучей
10 в. П. Маслов, М. В. Федорюк

146	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
в р-представлении есть
da
что лишний раз подтверждает сим-
dp
метрию между х- и ^-представлениями.
Наконец, в точках, лежащих на каустике лхТ, интенсивность
бесконечна (так как da/dx = 0 в z-представлении). Однако интен-
интенсивность в ^-представлении конечна, и потому естественно перейти
в р-представление при отыскании асимптотики решений.
§ 7. Индекс кривой на лагранжевом многообразии
Проблема построения формальных асимптотических
решений в целом, т. е. сшивание такого решения из
локальных, приводит к понятию индекса пути на лагран-
лагранжевом многообразии. В этом параграфе приведено опре-
определение индекса, его основные свойства и геометрическая
интерпретация.
1. Определение индекса. Пусть Л™ — лагранжево много-
многообразие, {Qt} — канонический атлас на Л™. Введем
Условие 7.1.
dim 2 (Лп) < п — 1.
Это условие выполняется для лагранжевых многообра-
многообразий общего положения (теорема 7.6).
Пусть канонические карты Qt, Q} имеют фокальные
координаты (р(а), хф)) и (p^yXffi) соответственно,
и пусть г ? Qt (I Qj — неособая точка.
Определение 7.2. Индексом пары карт Qh Qj
называется число
А	I \	дх~ (г)
у (Qt П Qj) = inerdex я(и) (г> - inerdex -?±—. G.1)
Если пь [\uj =0, то у (Q, П &j) = О-
Предложение 7.3. Индекс у есть одномерный-
целочисленный коцикл mod 4 на Ап.
Доказательство. В силу леммы 6.4 число
у (^г П ?2у) не зависит ни от выбора г, ни от выбора
локальных координат в картах Qt, Qj no mod 4, так что у
определяет 1-коцепь на Л. В силу G.1) у есть 1-коцикл.
Если имеется цепочка карт Qio, Q4l, Q{2, . . ., Qig
на Л™ (т. е. пересечения Q,. П ^г. непусты), то индексом
этой цепочки мы назовем число
= y (Qlo П Я*.) + У (Й41 Л Qi.) + • • • + Y i^is-i П QJ- G-2)

§J7. ИНДЕКС	147
Пусть I (г\ г") — гладкая кривая на Л™, 31 = г" — г'
и г', г" — неособые точки. Введем индекс пути ind I.
Это понятие было введено одним из авторов настоящей
книги [38], [39].
Определение 7.4. Пусть la Q, где Q — кано-
каноническая карта с фокальными координатами (р(а), Хф,).
Тогда
indJ(r', r") = inerdex дщяа) {r"] -inerdex дх<а) (г>) . G.3)
Если Q — неособая карта, то мы полагаем ind 1 = 0.
Для произвольного пути индекс определяется по адди-
аддитивности:
S
ind I (г', г") = 2 ind I (rJ, r<+1).	G.4)
Здесь r° = r', rs+i = r", и точки г°, г1, ... разбивают ?
на пути Z (rk, rk+1), удовлетворяющие условиям опреде-
определения 7.4.
Заметим, что индекс кривой I (г', г") зависит только
от структуры кривой I в сколь угодно малой окрестности
пересечения этой кривой с циклом особенностей 2 (Лп).
Действительно, если удалить из кривой I любую ее дугу
I, лежащую в неособой карте, то индекс полученной кри-
кривой будет равен ind l; это следует из того, что ind 1 = 0,
и из аддитивности индекса.
Предложение 7.5. Индекс ind (mod 4) пути
на лагранжевом многообразии является целочисленным гомо-
гомотопическим инвариантом.
Наметим доказательство. Если путь I лежит
в одной канонической карте, то, в силу леммы 6.4 ind I
не зависит от выбора фокальных координат в Q. Если
I ? Qi (I Qj, то ind I не зависит от того, определим ли мы
его с помощью карты Qt или карты Qj (предложение 7.3).
Отсюда с помощью стандартной техники [65] можно полу-
получить, что для произвольного пути ind l не зависит от спо-
способа разбиения пути I. Далее, если I лежит в одной кар-
карте U, то при малой деформации пути его индекс, очевидно,
не меняется; более того, один из концов (или даже оба)
можно непрерывно двигать внутри U, оставляя концы
неособыми. Следовательно, ind l есть гомотопический
инвариант. Строгое доказательство см. в [2], [45].

148	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
2. Некоторые свойства индекса.
Теорема 7.6 [2]. Сколь угодно малым поворотом
лагранжево многообразие Ап можно привести в «общее
положение» относительно проектирования я (х) на R™,
так что будут справедливы следующие утверждения:
1)	2 (Ап) состоит из открытого (п — 1)-мерного
многообразия 2' (Л"), на котором ранг dn(х)равен п — 1,
и границы 2 (А") — 2' (Л") имеют размерности
<п- 2.
Поэтому 2 (Ли) определяет (п — 1)-мерный (неориен-
(неориентированный) цикл в Л™.
2)	Этот цикл 2 (Л™) лежит в Ап двусторонне.
Положительную сторону 2 (Л™) можно выбрать следу-
следующим образом.
3)	В окрестности точки М ? 2 (Ап) многообразие Ап
задается п уравнениями вида
где & = 1, 2, . . ., к — 1, fc -f- 1, ..., п при некотором к,
1 ^ к ^ п. В окрестности такой точки 2 (Л™) задается
уравнением dxhldpk = 0.
4)	При переходе через 2' (Лп) величина dxjdp^ меняет
знак. За положительную сторону 2' (Ля) примем ту, где
dxjdph > 0.
5)	Это определение положительной стороны корректно,
т. е. не зависит от того, какой из координатных систем
р^ мы пользуемся.
Начиная с этого места, мы предполагаем, что Л™ —
лагранжево многообразие общего положения.
Доказательство теоремы см. [2].
Пусть концы кривой I (г', г") неособые, т. е. г', г" (J
(J 2 (Ап) и I (г', г") трансверсальна циклу особенностей.
Определение 7.7 [2]. Индексом кривой
ind у {Мг, М2) на лангранжевом многообразии называется
индекс пересечения кривой у(Мг, М2) с циклом особен-
особенностей 2' (Л™), т. е. число \>+ точек перехода с отрицатель-
отрицательной стороны на положительную минус число \>_ точек
перехода с положительной стороны на отрицательную:
ind у (Мъ М2) = v+ — v_.	G.5)
Предложение 7.8. Определения индекса 7.4
и 7.7 совпадают.

7. ИНДЕКС
149
Действительно, рассмотрим кривую I [г', г"] такую, что:
1)	I лежит внутри особой карты Q;
2)	точки г', г" лежат по разные стороны от цикла осо-
особенностей;
3)	/ трапсверсальна к 2' (А") и пересекается с 2' (Л™)
ровно в одной точке.
Тогда, по определению 7.7, ind I = ±1; пусть ind I =
= +1 Для определенности. Выберем в Q фокальные коор-
координаты так, как это сделано в теореме 7.6, п. 3), к = 1.
Тогда
(r")-inerdexi?.(r')=+l,
т. е. значения индекса ind I, вычисленные с помощью опре-
определений 7.4 и 7.7, совпадают.
Аналогично рассматривается случай ind I = —1.
Отсюда следует совпадение определений 7.4 и 7.7.
р
Из известных топологпчс-
ских свойств индекса пересе-
пересечения следует
Теорема 7.9. Индекс
ind пути на лагранжевом мно-
многообразии общего положения
является целочисленным гомо-
гомотопическим инвариантом.
В работе [2] показано,
что индекс замкнутой кри-
кривой на лагранжевом много-
многообразии есть характеристи-
характеристический класс Грассмана.
В настоящем параграфе мы
ограничиваемся тем, что
приводим простейшие оп-	Рис. 10.
ределения и простейшие
вычислительные формулы для индекса; различные алгебра-
алгебраические и топологические вопросы, связанные с понятием
индекса ind, рассмотрены в работах [2], [8], [45]—[48],
[64], [85].
Вычисление индекса пути, лежащего на таком лагран-
лагранжевом многообразии, является простой задачей. Пусть,
например, А1 — окружность х2 -\- р2 = 1 (рис. 10). Вычис-
г

150	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
лим индексы путей 1^ = 1 (г1, г2), 12 — I (г2, г3), 13 =
= I (г3, г4), 4 = I (г4, г1) и ind Л1 (окружность ориенти-
ориентирована против часовой стрелки). В точках г1, г2, г3, г4
имеем sgn -^ = +1, —1, -f-1, —1 соответственно. Поэтому
ind 1г = +1. Далее, путь /, лежит в неособой карте, так
что ind l2 = 0; при этом совершенно безразлично, какие
знаки имеет функция дх/др на концах пути 1г. Аналогично,
ind l3 = +1; ind lk = 0, ind Л1 = + 2.
Индекс пути на лагранжевом многообразии опреде-
определяется вне всякой связи с динамикой; индекс является
топологическим инвариантом и никак не связан с траек-
траекториями гамильтоновой системы. Однако лагранжевы
многообразия, возникающие при отыскании асимптотики
решений дифференциальных уравнений, всегда связаны
с некоторой гамильтоновой системой и расслаиваются на
траектории этой системы. Поэтому наибольший интерес
для задач математической физики представляют лагран-
лагранжевы многообразия, инвариантные относительно клас-
классической динамики, и мы рассмотрим примеры именно
такого рода.
3. Примеры.
Пример 7.10. На плоскости 112лаграюкево много-
многообразие Л1 общего положения — это гладкая кривая,
касательная к которой параллельна оси р только в конеч-
конечном числе точек.
Пример 7.11. Рассмотрим уравнение эйконала
(WS (х))* = 1	G.6)
на плоскости х = (х1, х^) и задачу Коши
'г~ ' ~дп
где Г — парабола х\ = Ъах^ (а >0), д/дп — производная
по внешней нормали к Г. Система Гамильтона имеет вид
j??._ Ол j^ — 0 -^- = 2	/у о\
dt	dt ' dt
Решая задачу Коши, получаем
2at	а2	2at

§ 7. ИНДЕКС
Эти уравнения дают нам- параметрическое представление
лагранжева многообразия Л2 (—оо < t, a< + °°). Это
многообразие диффеоморфно проектируется на плоскость
(#i> Рг)* так как
и является С°°-многообразием.
Цикл особенностей 2 находится из уравнения
det^Uo,
д (a, t)	'
что дает нам следующее соотношение между а и t:
2аН + (а2 + а2K'2 = 0.
Отсюда получаем уравнение 2:
Pi = —
Так как -^ = а2 (а2 + ч2K 2 =/= 0, то 2 — кривая класса
С°° и многообразие Л^ находится в общем положении
Проекция я2 цикла 2 на плоскость (ж1; ж3) есть полукуби-
полукубическая парабола
Ш-.х^^^-аУ	G.10)
и является эволютой исходной параболы. Последний факт
следует из общих соображений (см. пример 3.17).
Из G.9) получаем, что Л2 задается уравнениями
^-A_p.)i/2 Г"*1+2A-*!) Ь
Pi— — A—PD1/2,	G.И)
где »! g R, —1 <С р2 < 1- Отсюда находим, что на Л2
+ i^.). G.12)
Вычислим индекс двух конкретных кривых на Л2 (рис, 11),

152
ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
nl
1) Кривая I (rx, r2) задается уравнениями G.9), где
a = 0, —2a < ? < О, т. е. рх = — 1, />2 = О, а^ = —2<,
я2 = О и точке Г], отвечает
t = 0. Проекция ^ на ж-пло-
скость есть отрезок [0, 2а].
Из G.12) находим, что
дх2
дхг
= — а<0.
Следовательно, ind 1= —1.
2) Кривая / (гъ г2) задает-
задается уравнениями G.9), где
a = a0 > 0 и —10 ^. t ^.Q.
Проекция г на а;2-плоскость
есть отрезок nl с началом
в точке хх = a2/2a, х2 = а, лежащей па верхней поло-
половине исходной параболы, и с концом в точке
а2 ,	2at	2at0	.
Рис. 11.
Выберем /0 > 0 достаточно большим; тогда отрезок nl
будет ка.чгься кривой я2 и точки яг1; яг2 будут лежать по
разные стороны от точки касания. Из G.12) находим, что
( — а \
дхг
при <о^ 1- Следовательно, ind Z = —1.
Таким образом, индекс луча, который касается каусти-
каустики я2, равен ±1 (в зависимости от ориентации луча).
Заметим еще, что особенность каустики («клюв»)
в данном примере отвечает точке, в которой кривизна вол-
волнового фронта максимальна. Действительно, вершина
«клюва» расположена в центре круга кривизны, который
касается вершины параболы. Если вместо параболы взять
гладкую кривую Г, то точкам максимума кривизны этой
кривой также будут отвечать «клювы» каустики.

§ 7. ИНДЕКС	153
G точки зрения геометрической оптики парабола
Г является волновым фронтом построенного семейства
лучей (так как эйконал S (х) постоянен на Г). Кривая
я2 является каустикой этого семейства лучей. Каустика
я2 имеет особенность («клюв») в точке Хх = а, х2 = О
(рис. 11).
4. Лагранжевы особенности (каустики). Структура
цикла особенностей 2 (Л™) лагранжевых многообразий
общего положения исследована в работе [3], и, в част-
частности, получена полная классификация особенностей
при п < 6. Сформулируем эти результаты для лагранже-
лагранжевых многообразий размерностей п = 1, 2, 3.
Пусть, как обычно, (а) [] ф) = {1, . . ., п} есть раз-
разбиение множества A, . . ., п) на пересекающиеся. Обо-
Обозначим символом S (ж(р), /V)) производящую функцию
лагранжева многообразия Л11; его уравнение задается
формулами
р	*™=-щ;- Gл3)
Теорема 7.12 [3]. Лагранжево многообразие Л™
можно малым шевелением (в классе лагранжевых отображе-
отображений) превратить в такое, что в окрестности каждой из
своих точек оно будет приводиться лагранжевой эквивалент-
эквивалентностью к одной из следующих нормальных форм:
при п = 1
A,: S = p\, A2: 5 = ±pf;
при п = 2, кроме того, еще
А3: S = ±pi+x2pl;
при п = 3, кроме того, еще
Л: S = ± р\ + х3р\ + хгр\,
(Здесь предполагается, что начало координат пере-
перенесено в рассматриваемую точку.)
При п = 1, в случае Аг, лагранжево многообразие
в окрестности точки хх = 0, рг = 0 задается уравнением
хг = —2pi и диффеоморфно проектируется на ось х-у.
Аналогично, точка типа Ах не принадлежит циклу осо-
особенностей при всех п.

154	ЧАСТЬ I КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Пусть п = 1, начало координат — точка типа А2,
Q — ее малая окрестность. Тогда уравнение многообразия
имеет вид
*i = + 3pl
(рис. 3). Если записать уравнение в виде рг =	,
то S (хг) ~ const (rpa^K/2 при хг -> 0.
При п = 2, для точки типа А3, уравнение лагранжева
многообразия имеет вид (в случае знака плюс)
хх= — h.p\ — 2pi?2, p2 = pi
в окрестности начала координат. Проекция яЕ (Л2)
цикла особенностей на ж2-плоскость имеет вид
G.14)
т. е. это кривая типа «клюва». Локально, при малых х,
эта кривая устроена так же, как проекция цикла осо-
особенностей в примере 7.11. Точно так же устроена кривая
я2 (Л2) в случае знака минус.
5. Связь с индексом Морса. Рассмотрим гамильтонову
систему
Ах дН (х, р) dp	0Н(х,р)	п ,,.
с вещественным гамильтонианом Н ? С°° (R2'l)> и пусть
{х (t, у), р (t, у)} — решение лагранжевой задачи Коши
я: |*=о = яс° (У), р\г=о=Р°(У), y?U. G.16)
Здесь U — область в Щ и Ап — {(х, р): х = х° (у),
р = р° (у), у ? U} есть лагранжево С°°-многообразие
размерности п. Будем предполагать также, что выпол-
выполнено усиленное условие Лежандра:
G-17)
Пусть х (</; 0, t) есть траектория х = х(у,%), 0^
J(x, y) = det^^.	G.18)
Точки на этой траектории, в которых якобиан обращается
в нуль, называются фокальными; кратность фокальной
точки, до определению, равна кратности руля якобиана.

§ 7. ИНДЕКС	155
Фокальная точка называется простой, если якобиан
в этой точке имеет простой нуль. Морс [83] доказал, что
кратность нуля якобиана / (t, y°) в фокальной точке
dx(t°, у°)
равна корангу матрицы — " .
Морс [83] ввел понятие индекса \i траектории I: х =
= х (у; О, i) с нефокальными концами. Индекс Морса \а
равен числу фокальных точек на траектории I с учетом
их кратности. Имеется обширная литература, связанная
с индексом Морса ([44], [53] и др.).
Покажем, что индекс Морса \i траектории I равен
индексу ind траектории, лежащей на некотором лагран-
жевом многообразии размерности п + 1 в Bп + 2)-мер-
ном фазовом пространстве, проекция которой на Т\х
совпадает с траекторией I.
Рассмотрим Bп + 2)-мерное фазовое пространство
д2п+2 _ j^ xy^ q^ р)} и множество
Мп+1 — {(х0, р0, х, р): х0 = т, р0 = —Н (х, р),
х = х (т, у), р = р (т, у); 0 < т < t, у б Щ-
Если выполнены условия предложения 4.19 (т. е.,
в частности, Н (х° (у), р° (у)) = М = const), то Мп*1
есть лагранжево С°°-многообразие в R2n+2 размерности
п + 1. Рассмотрим на М™+1 кривую yt:
yt = {(^о. Ро, х, р): х\ = т, ро = —Н {х, р),
x = x(t, у0), р = р (т, у0), 0 < т < t).
Теорема 7.13. Пусть выполнены сформулирован-
сформулированные выше условия. Тогда
ind yt = ц(г (у0, 0, t)).	G.19)
Доказательство. Если / (t°, y°) ф 0, то точка на
Мп+1, в которой хй = t°, х = х (i°, y°), является неособой отно-
относительно проектирования на Rxl%- На траектории х {у; 0, t)
имеется не более чем конечное число фокальных точек [44]. В силу
аддитивности индексов ind \х., достаточно рассмотреть случай, когда
траектория г (у0, 0, t) содержит ровно одну фокальную точку
х = х (t°, y°). Мы ограничимся случаем простой фокальной точки;
общий случай рассмотрен в [38], гл. 8, § 2. Покажем, что ind yt =
== +1; тем самым теорема будет доказана,

156	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
дх (to, J/0)
Так как ранг матрицы	равен ге— 1, то можно, но
дх' B° г/0}
ограничивая общности, считать, что det 		ф 0, где х' =
= (xi, . . ., хп), у' = (г/2, . . ., уп). Локальными координатами
на Мп+1 являются (t, у). В окрестности точки Q* ? Мп+1, отвечаю-
отвечающей (t°, y°), в качестве части локальных координат можно взять
(х', г). Так как Мп+1 лагранжево, то, в силу леммы 4.5, в каче-
качестве локальных координат в окрестности точки Q* можно взять
(t, рх, х'). Уравнение цикла особенностей 2 (Мп+1) в окрестности
точки Q* имеет, таким образом, вид dx^ldpi = 0, где xi = х± (х°, рг, х').
Точка Q* принадлежит циклу особенностей, так как его уравнение
д (хО, х)
можно задать в виде det —~—± = 0, т. е. J (t, у) = 0.
^ (м У)
Введем вместо у параметры а = (aj, . . ., an), {у = у0} ¦
да
{а = 0} такие, что dot —
a=0
0. Тогда / (t°, 0) будет
ду
иметь простой нуль. Именно, положим при малых j у — у0 '
Pi (t°, у) = «1, х' [t\ у) = а' = (a2, a3, . . ., ап).
Тогда
Xi (t°, У) = ф! («°, «), р' (*°, у) = ф' («°, а), ф' = (Ф„ . . ., Фп).
Обозначим через {х (t, a), p (t, a)} решение системы Гамильтона
с данными Коши
где V — малая окрестность точки а = 0. Нам достаточно рассмот-
рассмотреть дуги кривых yt и х (t, а) при (t — t°) ^ 8, где б > 0 сколь
угодно мало; пусть -\>t,6 — указанная дуга кривой yt. Из G.15)
находим
п	п „
«!	^ 1 р7 а, ^ Pi Xj <Xj
где х = х (t, а), р = р (t, а). Уравнение цикла особенностей
в окрестности точки <2* имеет вид det °'—^ =0, т. е. det -j— =
= 0. Так как—J-j—— =- 5jk; / = 2, . . ., re; /с = 1, . . ., re,
dz< («° 0)
и Q* 6 2 (ilfn+1), то —^—!—- =0. Сделаем линейное каноническое
преобразование в фазовом пространстве:
"	G.21)
^о —XQi Хл —•*-!"]~ /\ ajXj, X: —Xjj	j—й, ..., re,

§ 7. ИНДЕКС	157
dPi (t°, 0)
ГД6 uj= да,	Д
Я (х, р) -»- Я* (х*, р*), Af"+1 -v Af*"+i,
многообразие A/*n+1 лагранжево. Условие G.17) выполнено для Я*,
и система Гамильтона примет вид
Ах* __ дН* (х*, р*)	dp* _ дЯ* (ж*, р*)
В силу выбора «j имеем при Z = i°, a =
^- = 0, —i = 6,-ft, / = 2, ..., л,
G.22)
Поэтому из G.20) находим, что
х Р)
и в силу условия G.17) имеем
)\	G.23)
Уравнение цикла особенностей 2 (M*n+1) имеет, в силу G.21),
Эх* „ „
вид -х-±г- = 0. Далее, вдоль yf6 имеем
ар1
dxf(t, 0) =(t_to)^4-0((< — t0J).	G.24)
Локальными координатами на м*п+1 в окрестности точки <2**>
отвечающей (?* ? Af*n+1, являются (р*, х'*), так что х* =
= фЗ* (р?, х'*). Имеем
п
Эф* (P*i -^^*) дх[ (ty ос) Эф* Эр* V4 Эф* ®xj
^-J Эх
В силу G.22) имеем
3d* (t 0)	dxf (t, 0)
=0{t-t<>)
даг	dai
и из G.24) находим
Эх*
вдоль yf при малых t — /°. Следовательно, -~г > 0 при t >
opj
Эх*
на V*6 и ^ < 0 при t <C t° на у(д) так что ind y% = +1.

158	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Пусть Л™ — лагранжево многообразие х = х° (у),
Р = Р° B/). У € U (см. G.16)), и gf: R2n -> R2n — фазовый
поток, индуцированный системой Гамильтона G.15).
Следствие 7.14. Для любой кривой I ? Л™
ind gH - ind I = ц (g*r+) - ц (g*r~), О < т < t, G.25)
где r~ — начальная, r+ — конечная точка кривой I и f^r- —
траектории концов кривой I.
Доказательство. Четырехугольник I, gxr+,
gH, gxr~ (рис. 12) на Mn+1 гомологичен нулю, так что
его индекс равен нулю, и из
теоремы 7.14 следует G.25).
Пример7.15. Рассмотрим
гамильтонову систему, отвечаю-
отвечающую квантовомеханическому
осциллятору (пример 3.6); пусть
т = 1. со = 1. Начальные дан-
данные выберем в виде
Рис_
=0 = ^ = (У, 0), Р Wo =p°,
где у = (ух, . . ., yn-i), р° — постоянный вектор, р°п Ф 0.
Тогда фазовые траектории задаются уравнениями (см.
C.77))
% = р% sin t — yk cos t, pk = p^ cos t + yk sin t,
Якобиан / (?, г/) = del x Z в данном случае равен
з (t, у)
Фокальными точками луча I {у): х = х (t, у) являются
точки, в которых якобиан / обращается в нуль, т. е.
tk = i -)- /ся, /с = 0, ±1, ±2, . . . Заметим, что при
t = tk все лучи собираются в одну точку а; = (—1) р°
независимо от начальных данных х°, т. е. происходит
полная фокусировка лучей. Кратность нуля якобиана /
при t = tk равна п. Пусть I (у) — луч х = х (t, у), 0 ^

§ 8. КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР	159
^ t ^ я; тогда его индекс Морса равен п: \i (I (у)) = п.
В данном примере гамильтониан Н имеет вид Н = р2 -\- х2,
так что усиленное условие Лежандра G.17) выполнено,
и по теореме 7.13 имеем ind I (у) = п.
§ 8. Канонический оператор
(квантование поля скоростей в целом)
Объекту классической механики — лагранжеву мно-
многообразию Л™ — ставится в соответствие квантовый
объект — канонический оператор К-Ап-
Этот оператор «сшивается» из предканонических опера-
операторов.
Если символ L (х, р) е= 0 на Л™ и если это многообра-
многообразие инвариантно относительно динамической системы
dxldt = дЫдр, dpldt = —дЫдх, то справедлива формула
коммутации
L (х, Я-Фж) КАпЦ> (х) =
П
— 1 к ( d i V
3=1
где d/dt — производная вдоль траектории. В частности,
для симметричных операторов L имеем
Таким образом, оператор L с помощью канонического
оператора преобразуется в оператор дифференцирова-
дифференцирования вдоль траектории.
1. Определение канонического оператора. Канониче-
Канонический оператор
<n: Co (An)-+C°° (Rx х Rjf)	(8.1)
определяется заданием следующих объектов:
1) Лагранжева многообразия Ап с к-мерным объемом
don и с отмеченной точкой г°.

160	часть i. Квантование поля Скоростей
Мы предполагаем, что dim 2 (Л") ^ п — 1, что всегда
имеет место для лагранжева многообразия общего поло-
положения.
2) Канонического атласа {Qj} и разбиения единицы:
1 = 2>; W- ПРИ этом ei ? с<о (л"). О < е} < 1 и supp е,- ?
G Qft, к = к Ц). Напомним обозначение: г = (ж, р) —
точка многообразия Л".
Пусть Qt — карта с фокальными координатами
{/>«*)> Ж(Р)}1 функция ф ? CS3 (Q*). Введем оператор, кото-
который отличается от предканонического оператора только
числовым множителем (ср. F.3)):
*n(Qi)9) = exp{--f-lndZ(ro,r)}
X
1/2
хехр|а( j (p1, dx') — (xm(pm, хф)), р<а)))}- (8.2)
Здесь С (г) — цепочка карт {R/fe}, O^ft^s такая, что Qy Э
Э г0. 7s = i и у (С (г)) — ее индекс.
Канонический оператор (8.1) введем по формуле
(<„Ф) (х) = S (Krln (Q,) (е;Ф)) (ж).	(8.3)
j
Таким образом, оператор КАп зависит от выбора кано-
канонического атласа, от выбора фокальных координат в кар-
картах и от разбиения единицы.
Очевидно, что формула (8.3) определяет неоднознач-
v
ную функцию от х, так как и интеграл \ (р, dx >,
и индекс ind I (r°, г) могут зависеть от выбора пути,
соединяющего точки г° и г. Для того чтобы формула (8.3)
задавала однозначную функцию, необходимо, чтобы инте-
т
грал \ (р, dx) и индекс ind I (r°, г) не зависели от выбора
го
пути, соединяющего точки г°, г.

§ 8. КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР	Igl
2. Инвариантность канонического оператора.
Теорема 8.1. Для того чтобы канонический опера-
оператор не зависел (с точностью до О (К)):
а)	от выбора канонического атласа и от выбора фокаль-
фокальных координат в картах;
б)	от разбиения единицы,
необходимо и достаточно, чтобы:
(р, dx) = 0 по любому замкнутому пути;
2) ind I = 0 для любого замкнутого пути.
Таким образом, введенный в § 7 характеристический
класс должен быть тривиален.
Доказательство. Необходимость этих усло-
условий очевидна. Докажем достаточность.
Фиксируем карту Qj и фокальные координаты
{pia), Хф)} в пей. Покажем, что оператор (8.2) зависит
г
только от карты Qj. По условию \ (р, dx) не зависит
от пути интегрирования, а величина у (С (г)) при г ? Qj
не зависит от выбора цепочки путей. Положим у (С (г)) =
= у, г ? Qj. В силу леммы 6.4 оператор (8.2) не зависит
от выбора фокальных координат в карте Qj. Следователь-
Следовательно, формула (8.3) задает отображение (8.1). Построенный
оператор зависит, вообще говоря, от выбора канониче-
канонического атласа и от разбиения единицы; обозначим его
через К ({Qj}, {ej}).
Докажем независимость К от разбиения единицы при
фиксированном атласе {Qj}. Пусть {fk} — другое раз-
разбиение единицы. Для каждого к существует / (к) такое,
что supp /йс Qj(fe). Если supp fk содержится в несколь-
нескольких картах ?2/ <&>, Qj2(h>, . . ., то в качестве j (к) мы выби-
выбираем любое из чисел /i (к), /2 (к), ... Положим Ко =
= К ({Qj}, {ej}) (т. е. оператор К ({Qj}, {e}}) опреде-
определяется по каноническому атласу {Qj} и по разбиению
единицы {ej}); для краткости аргументы у функций мы
опустим. Имеем
2
h
11 В. П. Маслов, М. В. Федорюн

162	часть i. квантование Поля скоростей
где К (Qj) — предканонические операторы (см. (8.2)).
Так как fk — 2еА> то
2B(
з к
Докажем, что
2 К (Q]ik}) (e;/ftq>) = К (Q,) (efi>).	(8.4')
k
Так как ej = Sej/fe' T0
k
(8.4")
Если if ? C™ (An) и supp if 6 Qi П ^2i то п0 лемме 6.4
К (QV) "ф == -ЙГ (Q2) "Ф (напомним, что все равенства берутся
mod О-1 (RS)). Следовательно, Ж (Qy) (еу-/йф) = Ж (Q/(ft)) X
X (е7-/йф), и из (8.4") вытекает (8.4'). Подставляя (8.4')
в (8.4), получаем, что Ко = К\.
Докажем независимость К от выбора канонического
атласа. Пусть даны два канонических атласа {Я./}, {9^}
и соответствующие им разбиения единицы {е/}, {fk}-
Положим Ко = К ({Qj}, {ej}), Id = К ({Qh}, {fh}). Вве-
Введем атлас из карт Ujk = Qj f] Bk, соответствующее раз-
разбиение единицы gJk и оператор К2 = К ({Ujh}, {gjh})-
По доказанному выше Ко = К ({Я;}, {gji,}), Кг =
= К ({6fe}, {fk})- Если множество f/;ft непусто и supp if ?
6 ?7./й) то» п0 лемме 6.3,
откуда следует, что Ко = if2. Аналогично ^i = К%.
3. Формулы коммутации. Канонический оператор
позволяет построить ф.а. решение в целом для уравне-
уравнений вида C.1). Центральным местом в методе канониче-
канонического оператора является формула коммутации Х-псевдо-
дифференциального оператора L и канонического опера-
оператора К, которая, грубо говоря, выглядит так:
LK=KL.
Структура прокоммутироваиного оператора L является
существенно более простой, чем структура оператора L.
Всюду в дальнейшем предполагается, что лагранжево

§ 8. КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
163
многообразие Лп удовлетворяет условиям 1), 2) тео-
теоремы 8.1.
Теорема 8.2. Справедлива формула коммутации
L (х, Г'Дс, (/Л)) КЛп<р = КАп (L (х, р; 0) ер) + АгЧ|>. (8.5)
Здесь L есть Х-п.д.о. с символом из класса Tf (Щ),
функция ф 6 ?о°; (Л") м функция ij; ? (9ц (Л™).
Доказательство. Пусть Q сг Лп — канониче-
каноническая карта, К п (Q) — предканопическии оператор и ф g
6 С (Q).
Пусть Q — неособая карта. Тогда КАп (й) имеет вид
F.1), т. е. К пц> = exp (AS (х)) \ — |1/2ф. По теореме 2.6
имеем
-, о) ср
;, p, 0) Ф)
(8.6)
так как р = 8S (хIдх на Л" и остаточный член т|з g
6 о; (Rn)-
Пусть Q — особая карта с фокальными координатами
)- Тогда /fA«(Q) имеет вид F.3) и
LKAn
=
(О)Ф =
*&^
X
л
do
dp(a)
2
(г)
dx(H)
2
Ж(р
1/2
1
exp (
, iC),«
'IS (rt
X
где r=r(p((Z), ^(p,). Функция 5 имеет вид
г
так что
ro
И*

164	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Применяя теорему 5.2, получаем, что
JT-1
X Lj \%(a) \P(a)i %Ф)/1 ^C)? P((jl)i Рф) \P(ct)i ^-C))? '-') r"
где остаточный член ty ? Qo (Лп). Следовательно, форму-
формула (8.6) остается в силе.
Пусть ф 6 Со" (Лп). Тогда (8.5) следует из (8.6) и (8.3).
В теореме 8.1 формула коммутации была установлена
в случае, когда операторы дифференцирования дейст-
действуют первыми, а операторы умножения на независимые
переменные — вторыми. Точно такая же формула спра-
справедлива и тогда, когда указанные операторы действуют
в обратном порядке.
Следствие 8.3. В условиях теоремы 8.2 справед-
справедлива формула коммутации
L (х, Г'4; (Л-1)) (Клпц>) (х) =
= Клп(Ь (х, р, 0) Ф (х) + Я,», (8.7)
где \р € О* (Л").
Таким образом,
где R — оператор умножения на функцию L (х, р, 0).
Получим формулу коммутации в случае, когда лаг-
ранжево многообразие инвариантно относительно сдвига
вдоль траекторий гамильтоновой системы оператора L.
Теорема 8.4. Пусть оператор L и лагранжево
многообразие Ап удовлетворяют условиям теоремы 8.2
и условиям:
, 1) Функция L (х, р, 0) вещественнозначна, и уравнение
L (х, р, 0) = 0	(8.8)
определяет в фазовом пространстве С°°-многообразие
M2n~l {L) размерности 2ге — 1.
2) Ап<= Мгп-г (L).

§ 8. КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР	165
3)	Многообразие Л™ и объем don инвариантны отно-
относительно динамической системы
Ах _ дЬ (х, р, 0)	dp _ дЬ (х, р, 0)	,„ п\
dt~	dp	'	dt~	дх	"	^ '
4)	77pw любых начальных данных (х, р) ? М2" (L)
решение системы (8.9) существует при всех t ? R
ственно и бесконечно дифференцируемо.
Тогда справедлива формула коммутации
1	ф (г)) (я) =
(8.10)
, dL (x, p, e)
где 1 e O0 (Л").
1 е О0 (Л).
Здесь d!dt — производная в силу системы Гамиль-
Гамильтона (8.9), т. е.
dt ~
_ /дЬ (х, р, 0) дц> (г)\ , / дЬ (х, р, 0) дц> (г) \ .R ...
\ 9х() ' дрш/^\ дрф ' аг(э)/' { '
\
если окрестность точки г ? Лп диффеоморфно проекти-
проектируется на плоскость (/з(а), ж(р,).
Доказательство. 1. Пусть г° — неособая точ-
точка. Построим лагранжево С^-многообразие Л'1 размер-
размерности п — 1 такое, что г° ? Л™ и Л" трансверсалыю
к траекториям системы (8.9). Будем считать, что Л"" =
= {(х, р): х = х° (у), р = р° (у), у ? U}, где U — область
в Щ'1. Пусть х = х° (у, t), р = р° (у, t) — решение зада-
задачи Коши х | (=0 = х" (у), р\ (=о = р° (у) для системы (8.9).
Выберем б >> 0, U настолько малыми, чтобы множество
п = {(х, р):х=х (t, у), р = р (t, у), yeU, И | < 6}
было неособой канонической картой на Л™, и пусть лх0, —
проекция Q на R^. Тогда
da11 {г (х)) = а (х) dx= a (x (t, у)) J (t, у) dt dy,
где обозначено

166
ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Так как объем dan инвариантен относительно сдвигов
вдоль бихарактеристик, то функция а (х (t, у)) J (t, у)
зависит только от у. Таким образом, объем имеет вид
don = Ъ (у) dt dy, b (у) >» 0. Следовательно,
rig" (x)
dx
1/2
{0(m\r>.	(8.12)
Пусть КАп (Й) — предканонический оператор, отве-
отвечающий карте Q (см. § 6), и ф ? С? (Q). Тогда Кц> =
= j/ U? eiXS(p. Применяя теорему 2.6 и учитывая, что
L (х, р, 0) =г 0 на Л", получаем
х)) Д, (ф (х))
где % ? О* (яО). Здесь обозначено
= J (p,dr),
Из C.39) следует, что
x=x(t, у).
, X), (8.13)
Так как, в силу (8.12), 1р (я) = ]/& (у) 2-Щ, то окон-
чательно
, р; 0)
dL (х, р; е)
е=0
ф).
и теорема доказана для оператора Клп (й), отвечающего
неособой карте Q.
2. Пусть г° ? Лп — особая точка, некоторая окрест-
окрестность которой диффеоморфно проектируется на коорди-

8. КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
167
натную лагранжеву плоскость (р(аЪ х(р>). Тем же спосо-
способом, что и в 1, построим каноническую карту Q 3 г°'
в которой можно ввести фокальные ^координаты (р(а), х^,),
и пусть КАп (Q) — предканонический оператор, отве-
отвечающий этой карте (см. § 6). Положим
т ., . , д (Р(а) С. У),
Из инвариантности объема dan относительно сдвигов
вдоль бихарактеристик следует, что
'dan (r)
2_ Vb(y)_
где Ь(у)>0. Из (8.13) и E.10) следует, что
L (х, Л-Фж; (й)-») (#лПф (г)) (ж) =
где обозначено
da
1/2
), S(pm, хф)) =
— \ (p,
m, хф))) (8.15)
ro
(см. F.2)). Применяя теорему 5.2, получаем, что
L (*А„ер) (ж) =
= Fx\ -+х [expiiaS) (R0yb + ^-Bi^)+X-2%] (8.16)
где 5Сб<?+(й). Имеем из E.11)
dS
Х
dS
Из вида функции S следует, что
9S (р(а),
dS(p(a),
'	г^

168	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
так что на Л"
До'Ф = L (х, р\ 0) 1|з = 0
в силу условия 2). В силу E.12), E.13) оператор Яг имеет
вид
„	/ дЦ (х', р'\ 0) di|> (x
Здесь ж' = (р(а), ж(Р)), /з' = (ж(а), р(Р)), L? (ж', р'; 0) =
= L (—ж(а), Ж(Э), /?; 0) и нуль наверху означает, что
значение дЬ^/др' и т. д. взяты в точке (х'°, р'°) —
= (Рш> ХФ» ~dS/dp(a), dS/dx^)) (т. е. в точке (ж, р) =_:
= (ж(а) (Р(а); Ж(Р))> Ж(Р). ftali ^(Р) (Р(а). Ж(Р))) па Л")-
Из системы Гамильтона (8.9) следует, что
dP(a) дЦ К, ,/; 0) d»(p> _(»?![(»', р',0)
Поэтому
/dL\(x',p';0) д\\>\_
\	др	' 9а;' /
— _ /dLi (х'' р'; 0) ^ \ , /9Щх', р'\ 0) _?Ф_\ _ _#_
где d/di — производная в силу системы (8.9). Применяя
формулу Лиувилля C.28) к системе (8.18), получаем, что
выражение в квадратных скобках в (8.17) равно
' d /In Л 1 Чп / PL (х, р; 0) \ , дЦх,Р;е)
()T
Окончательно получаем
Учитывая формулы (8.14), (8.15), получаем (8.10).
3. Из того, что (8.10) справедливо для предканониче-
ских операторов, и представления (8.5) вытекает теорема,
если учесть еще следующее замечание. Пусть г* ? Д™

§ 8. КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР	169
и Qji . . ¦ Qjs — все канонические карты такие, что
Qjf Э г*. Тогда
в окрестности точки г*, так что
2
(
г=1
(мы опускаем указание на локальные координаты в Qj ).
Следствие 8.5. Z? условиях теоремы 8.4 справед-
справедлива формула
i (? (i, X-'D»; (ftl-'j + ifil-'D,, (Л)-')](А:д»ф)A) =
Рассмотрим важный частный случай теоремы 8.4. Пусть
L = АГФ( + # (*, ж, АгФх; (й)),	(8.19)
где оператор Я удовлетворяет условиям Н 3.1 — Н 3.3
из § 3, п. 5. Положим х' — (х°, х), р' = (Е, р), где х° = t,
Е — двойственная к t переменная (энергия), и рассмот-
рассмотрим систему Гамильтона, отвечающую L, в фазовом про-
пространстве R2n+2 с координатами (х', р'):
dx дН (t, х, р; 0)	dp	дН (t, x, р; 0)
dt	dp	' dt	dx
dxo__A	dE _ дН (t, x, p; 0)
1Г ' ЧГ~	Ft '
(8.20)
Пусть gl: R2n+2 -^- R2«+2 — оператор] сдвига вдоль траек-
траекторий системы (8.20). Построим (п -\- 1)-мерное лагран-
жево многообразие Ап+1 в R2n+2, инвариантное^ относи-
относительно динамической системы (8.20).
Пусть Л™ есть лагранжево и-мерное С°°-многообразие
в R2n+2 с тг-мерным объемом da0 {x, р).

170	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Положим
Л" = {{х' р):{х, р) е An,t = O, E= -Я@, х,*р; 0)} (8.21)
Тогда Л™ есть га-мерное лаграижево С°°-многообразие
в R2n+2. Пусть г° (х, р) — точка на Л™, где (х', р') имеют
вид (8.21). Далее, в силу предложения 4.19 множество
Л"+1= U g'An	(8.22)
есть лагранжево С°°-многообразие в R2n+2 размерности
(п + 1). В качестве (п -\- 1)-мерного объема на Лп+1
выберем
do (g* (г (х, р))) = dt da0 (г (х, р)).
Таким образом, мы построили (п -\- 1)-мерное лаг-
лагранжево многообразие Лп+1, инвариантное относительно
динамической системы (8.20), и (га + 1)-мерный объем
da, так?ке инвариантный относительно этой динамической
системы. Пусть А" — односвязное многообразие, тогда
Л»+1 — односвязное многообразие и ф (р', dx') = 0 для
7
любого замкнутого пути у, лежащего на многообразии,
Л™. В силу теоремы 8.4 имеем
(X-'Dt + Н (t, х, р; (U)-1)) КАпЦ> =
дН (t, х, р; г)
дв
?=0
) ф. (8.23)
Значение функции в правой части этого равенства берется
в точке gl (r (х, р)) и dldt — производная в силу систе-
системы (8.20), т. е.
_йф_	/_?3L J!JL\ — /JtL
dt ~ \ d ' d / \ d
dt ~ \ dx ' dp / \ dp ' ""ЙГ/ + dt dE dt ' " '
rr x to oo\ d*L(x, p, t; 0)
При выводе формулы (8.2o) мы учли, что 	ч % —4=
= 0 и что р° + Н (t, х, р; 0) = 0 на Лп.
4. Канонический оператор на риманоном многообразии. Этот
оператор строится по той же схеме, что и ранее, и мы ограничимся
Кратким описанием конструкции и изложением результатов. Пусть

8. КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР	171
М есть re-мерное риманово многообразие класса С°° с метрическим
тензором g = (gu) и ТМ', Т*М — его касательное и кокасательное
расслоения, л: Т*М ->- М — проекция. Если д = (ж1, . . ., хп) —
локальная система координат в области (открытом связном под-
подмножестве) U cz M, то
(х, р) = (х1, . . ., хп, Pi, . . ., Рп),
где pt = dldx1 образуют систему локальных координат в области
V = я (U) на Т*М. Здесь стандартным образом отождествлены
Т**М и ТМ.
На многообразии Т*М инвариантно определена 2-форма со2,
п
которая в локальных координатах имеет вид со2 = У] dpi/\dx'i.
i=l
Два вектора |, г\ ? ТаТ*М называются косоортогоналъпыми, если
ш2 (|, ti) = 0. Здесь а ? Т*М. Подмногообразие Л с Т*М назы-
называется лагранжееым, если любые два касательных вектора к Л
косоортогональны. Ниже рассматриваются только и-мерные лагран-
жевы многообразия Лп с: Т*М-
В качестве локальных координат в окрестности любой точки
г° ? Лп можно взять один пз наборов (р<а), х^). Понятие кано-
канонического атласа остается прежним.
Пусть dan (г) — гладкий n-мерный объем на Л™. Предканони-
ческий оператор в канонической карте Я сг Л™ с фокальными коор-
координатами (р(а), Хфу! определяется по формуле
X Ф (г)
v\
X
dan (г)
(detg'('-))-1/4exp(iX5(r)) . (8.25)
Здесь ф 6 С™ (Q), г = г (р<а), ^(pj), функция 5 точно та же, что
и функция иод знаком экспоненты в F.3), и g (г) = (;оя) (г).
Формулы (8.25) и F.3), очевидно, совпадают, если М = RJJ.
Канонический оператор на Ап строится по предканояическим
операторам точно так же, как и ранее; доказательство его инва-
инвариантности остается прежним. Формула коммутации (8.10) в дан-
данном случае принимает вид
L {х, X^DX; (ik)-i) (Ядпф (г)) (х) =
1 „ id 1 ^ д^Ь(х, р; 0) 1 d ..
= VBk(l
dL
х, Я). (8.26)
5. О структуре канонического оператора. Приведем
более явные формулы для значений (-ЙГдПф) (ж), ф ? С о" (Л").

172
ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
1. Точка х° ? Rn не лежит на каустике (каустика —
это проекция яд.Б (Лп) цикла особенностей на Щ). Здесь
имеются две возможности.
А.
Тогда
яЛ".
равномерно по х из некоторой окрестности Q точки х°.
В § 9 будет показано, что, подправив канонический опе-
оператор, можно получить соот-
Р	г4	• ношение
(Я->+оо)	(8.27)
при любом целом N > 0.
С точки зрения геометри-
геометрической оптики точка х° в слу-
случае 1, А лежит в области
тени.
В.	хй 6 яЛп.
д Будем предполагать, что
только конечное число точек
Рис.* 13.	г1, . . ., rs ? Л™ проектиру-
проектируются в точку х°: кг3 = х°
(рис. 13). Тогда окрестность Q точки х° можно выбрать
так, чтобы окрестности Qj точек г3' диффеоморфно проек-
проектировались на Q: nQj = Q, 1 ^ / ^ s, так что Q,- —
неособые канонические карты. Поэтому операторы К (Q7)
можно взять в виде F.2), т. е. они являются операторами
умножения на функцию. Следовательно, при х ? Q имеем
3=1
(КАПц>) (х) = 2 ехр [ - Щ- ind I (r°, H
=1
гНх)
ехр \ik \ (р, dx) ] ф(И) (х) + О
dan (ri (x))
dx
X
(8.28)
Таким образом, канонический оператор в случае В
равен сумме быстро осциллирующих экспонент.
2. Точка Xй лежит на каустике (т. е. х° ? л2 (Лп)).

§ 8. КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР	173
Допустим для простоты, что прообраз я U, где U —
малая окрестность точки х°, содержится в одной канониче-
канонической карте Q. Далее, будем считать, что начало координат
перенесено в точку г (х°) и что г0 ? Q. Согласно формуле F.3)
Кц> есть ^-преобразование Фурье быстро осциллирующей
экспоненты, и в общем случае трудно привести более точ-
точную информацию о структуре канонического оператора.
Однако это возможно для некоторых особенностей общего
положения.
А. Особенность типа А2 (см. § 7). В этом
случае в качестве фокальных координат можно выбрать
координаты (plt х2, . . ., хп). Многообразие Лп в окрест-
окрестности начала координат задается уравнениями
где х' = (я2, • • •• хп), р' =-- (р2, . . ., рп). Положим
So @) = 0. Далее,
г(ж)
j (p, dx)-{Xi(Pl), А)=50(а:')-|р».
го
Следовательно,
(х) = exp [iXS0 {x')\ Fx,lPl-,Xl X
X
ехр (-4 *?
Последний интеграл равен
-2^г J ф
(8.30)
Фазовая функция р^ — B/3) р^ в этом интеграле точно
такая же, как и в интеграле Эйри — Фока:
Асимптотика интеграла (8.30) при А,-»- -(-оо, равномерная
по хх, при малых хг выражается через функции Эйри —
Фока [57].

174	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Именно, в окрестности начала координат справедлива
асимптотическая формула
r\__pill/4?-5/6?,1/6 ({ ,f\.,( o-l/3,2/3 , ,
Здесь /± — значения функции (ц> 1/ -—-г—; ) (г) в точ-
ках г± = (±Y xi> ^2! • • •> хп)- В частности, при жа = О
главный член асимптотики равен const ф @) X1/6, т. е.
функция (Кц>) (х) растет вблизи каустики при Я-> +°°-
Рассмотренная выше особенность типа Аг является
наиболее простой и является особенностью общего поло-
положения (см. § 7). Рассмотрим в качестве примера уравнение
эйконала (S/S (х)J — 1, отвечающее уравнению Гельм-
гольца (А + к) и (х) = 0 при п = 2.
Пусть S (х) — решение уравнения эйконала; линия
S (х) = const является волновым фронтом некоторого
семейства луч;ей. Точкам, в которых достигается локаль-
локальный максимум кривизны волнового фронта, отвечают
особенности каустики. Если х° — одна из таких точек,
причем х° — невырожденная точка максимума (это озна-
означает, что х° не является точкой перегиба волнового фрон-
фронта), то ей отвечает «клюв» каустики (рис. 3). Он располо-
расположен в центре круга кривизны, который касается волнового
фронта в точке х°. Для волнового фронта, имеющего вид
параболы, этот факт был установлен в § 7, пример 7.11;
аналогично проводится доказательство и в общем случае.
Пусть в окрестности точки г° = (х°, р°) ? Q можно
выбрать фокальные координаты (рх, х2, . . ., хп) так,
что предканонический оператор К можно определить как
^-преобразование Фурье только по одной переменной рх.
Покажем, что даже в этом случае функция Кц> не выра-
выражается через функцию Эйри — Фока или какую-либо
другую специальную функцию. Пусть п = 1, для про-
простоты, и лагранжево многообразие Л1 задается уравне-
уравнением
Л1:* = ph/k, p 6 R,	(8.32)
где к ^ 3 — целое число. Заметим, что такое многообра-
многообразие ассоциировано с обыкновенным дифференциальным

§ 8. КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР	175
уравнением
{(и)'»-*	<8-33>
Действительно, в этом случае уравнение Гамильтона —
Якоби имеет вид
r '	*	dx
Лагранжево многообразие — кривая Л1 — диффео-
морфно проектируется на R?. Имеем
do ds -.г ~.	от—л~
dp dp '	"
(ds — длина дуги кривой Л1). Далее (здесь г = (х, р),
г° = @, 0)),
=j(p, dx)-(x(p), р)=-
k+t
го
Канонический оператор К = Kai можно взять в виде
F.3), т. е.
г)) (х) = F^x (]/ | -g-1 exp (US (г)) Фо (г (р))) =
= /"- 2НГ J XlT^15 (Фог)(р) X
P. (8.34)
Асимптотика интеграла вида (8.34) при к —>¦ -j-°° вычисле-
вычислена в [55]. Мы ограничимся описанием качественной кар-
картины.
Стационарные точки фазовой функции находятся из
уравнения
kph = х.	(8.35)
Пусть х Ф 0 ^фиксировано. Если к нечетно, то уравне-
уравнение (8.35) имеет одно вещественное решение и асимптотика
интеграла (8.34) равна вкладу от стационарной точки р =
= (х/кI^. Если же к четно, то при х > 0 имеются две
вещественные стационарные точки р = ± (xlkyih и асимп-
асимптотика интеграла (8.34) равна сумме вкладов от этих точек.

176	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
При х < 0 все стационарные точки невещественны, так
что (Kq>) (х) = О (%~°°) (Х-+ + оо).
В. Особенность типа А3 (см. § 7). В каче-
качестве фокальных координат можно выбрать координаты
(Рх, х2, . . ., хп), и уравнение многообразия Л™ имеет вид
-г — An3 ?nr n — n2 r, dSp (ж3, ..., xn)
xl	4Pi — *>Plx2, Pz — Pi. Pj =	^	 ,
3sQ-<re.
Ограничимся случаем п = 2. Тогда
[il (p* +
(8.36)
Следовательно, асимптотика (Kq>) (x) при % -> -)-oo выра-
выражается через эталонный интеграл вида
оо
j exp [iX (p4 + 2р2х2 + pxt)] dp,	(8.37)
— оо
который, однако, не выраншется через специальные функ-
функции. Заметим еще, что
(ЛГф) @) - const Ф @) Я,1/* (А, -> +оо).
Интеграл (8.37) сам является новой специальной функ-
функцией, которая естественно возникает в трехмерных задачах
оптики и квантовой механики.
§ 9. Квантование поля скоростей в целом.
Высшие приближения
1. Высшие приближения в одной карте. В настоящем
параграфе, следуя [29], [40], мы построим канонический
оператор не с точностью до О (X'1), как в § 8, а с точ-
точностью до О (Х~т) (т ;> 0 — любое) и соответственно
уточним формулу коммутации (8.10). Будем предполагать,
что условия теоремы 8.4 выполнены.
Уточним прежде всего определение канонического опе-
оператора. Пусть Q — каноническая карта на лагранжевом
многообразии Ап, точка r° ? Q. Пусть в качестве локаль-
локальных координат в Q можно выбрать координаты / —

§ 9. ВЫСШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ	177
= (P(a)i ?(Р)) и координаты / = (р(~у Хф). Тогда на
функциях ф ? С" (Q) канонический оператор можно опре-
определить либо формулой
К (Q, /) Ф = е^х.1^^^ Гф ^ ^. 1/2 X
X ехр [^ j </>', da;') — <:г(а), рад)]] . (9Л)
го
где аргументы всех функций те же, что и в F.3), либо
формулой К (Q, /) ф; число б определяется аналогич-
аналогично (8.2). Как показано в § 6,
К(п, /)ер = Я(Й, 7)[ф + О(Я,-1)] (*.-*+оо).
Лемма 9.1. Пусть в канонической карте О. можно
выбрать локальные координаты I и I. Тогда для любого це-
целого М ^ 1 существует такой дифференциальный оператор
V(/,/) = 1 + 2(й)-'^ (/,"/),	(9.2)
3=1
что для любой функции ф ^ Cq5 (Q).
^(Q, 7)<p = K(Q, I)V(I, T)y(modO±M(Q)). (9.3)
Здесь V3 — линейные дифференциальные операторы
порядка 2/ в пространстве Со° (Q) с коэффициентами клас-
класса С°° (Q), причем V3 не зависят от М.
Доказательство, по существу, уже содержит-
содержится в доказательстве леммы 6.3. Именно, при вычислении
асимптотики интеграла ij; (см. F.11)) мы ограничились
главным членом. Как показано в этой лемме, хр> есть инте-
интеграл по конечной области в пространстве (р(а), , х~)
с финитной подынтегральной функцией, с точностью до
слагаемого класса О^\ при любом k ^ 0. Выписывая сле-
следующие члены асимптотического разложения, получаем
в силу теоремы 1.1, что (см. F.23))
M-l
12 в. п. Маслов, М. В. Федорюк

178	ЧАСТЬ t. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
где (F? рф^^Хм) € 0+м (Щ) (мы сохранили обозначе-
обозначения леммы 6.4). В силу теоремы 1.1 операторы W3 обла-
обладают теми же свойствами, что и V3, и отличаются от иско-
искомых операторов V3 числовым множителем.
Лемма 9.2. Пусть Q — каноническая карта с коор-
координатами I, и пусть условия теоремы 8.4 выполнены.
Тогда для любого целого М ^ 1 существует дифферен-
дифференциальный оператор
М-1
Rl(Q, 1) = (Щ-'[1Ц+ 2 (ity-jBjL(&, I)] (9.4)
такой, что для любой функции ц> 6 Со° (®) справедлива
формула коммутации
L{x, Х~1ОХ; (a)-J)^(Q, /)ф =
= K{Q, I)RL(Q, I) q> mod OtM{Q). (9.5)
Здесь R3L — линейные дифференциальные операторы
порядка j + 1 с коэффициентами класса С°° (Q), a Rl —
оператор переноса.
Для доказательства достаточно в формуле (8.16) выпи-
выписать не два, а М членов асимптотического разложения,
полученного в теореме 5.2, и учесть, что операторы Rj
в разложении E.9) являются линейными однородными
дифференциальными операторами.
Следует заметить, что явное вычисление операторов
V (I, I) и RL (Q, /) приводит к весьма громоздким фор-
формулам.
2. Высшие приближения в целом. Пусть Л = Л™ есть
тг-мерное лагранжево С°°-многообразие в фазовом про-
пространстве. Напомним, что условия теоремы 8.4 выполнены.
Фиксируем точку г° ? Л, канонический атлас {Q./},
локальные координаты Ij каждой из карт Q^ и фиксируем
разбиение единицы {е^. Построим канонический оператор
по формуле (8.2):
где ф ? Со (Л). Пусть оператор
L = —ik-*JL + H(t, х, K-tD
удовлетворяет условиям теоремы 8.4.

§ 9. ВЫСШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ	179
Теорема 9.3. На многообразии Л существуют
такие дифференциальные операторы V1 = V1 (Н) порядка],
что на функциях ф ? Со° (Л) при любом целом М ^5= 1
справедливо равенство
2 r'F') ф (mod °-* (л))-
Доказательство. Имеем, в силу леммы 9.2,
], I,) (ej<p) mod OtM (Л). (9.6)
Преобразуем правую часть этого равенства к виду (9.5).
Следуя [30], введем оператор В3 = ^V {Ij, Ih) sh в про-
k
странстве Со° (?27-). В силу (9.2) имеем
М-1
^' = 1+ S В{Х-1, Щ = ^У1A}, Ih)eh.
1=1	h
Оператор В\ является дифференциальным оператором
порядка I с коэффициентами класса С°° (Qj). Будем искать
формальный правый обратный оператор (В3)'1 в виде
(В')'1 = 1 + ^ В{Х~1, где В{ — дифференциальные
операторы порядка I с коэффициентами из класса
С°° (Qj). Для этого рассмотрим формальное уравнение
оо
В3 A + 2 В3&~1) = 1 и приравняем нулю коэффициенты
при степенях %~т, т = \, . . ., N — 1. Мы получим
рекуррентную систему уравнений, из которой последова-
последовательно найдем операторы В\, 1 — 1, 2, . . ., N — 1.
Построенный таким образом оператор (В3) будет удовлет-
удовлетворять равенству
2
1=0
где В\ = дифференциальные операторы порядка I с коэф-
коэффициентами из класса.С00 (Qj).
12*

180	ЧАСТЬ I. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
Домножая в формуле (9.5) функции RL (ej<p) слева
на Bj (Bj)'1 и используя соотношение (9.3), получаем
%h	(Ij, Ih)ekX
3	h
%V(Ij, Im^RLiQj, Ij)ej<p(modOtM(A))
m
= ^K (Qh, Ih) ek {^ B V (Ij, Im) em) ' X
k	) m
Выражение, стоящее в фигурных скобках, по построе-
М-1
нию можно представить в виде 1 + S ^~lQh гДе Q} —
дифференциальные операторы, что и доказывает теорему.
Заметим, что формула коммутации (9.5), в отличие
от формулы (8.10), доказана для фиксированного кано-
канонического атласа и для фиксированного разбиения еди-
единицы.
Замечание. Если supp cp не содержит особых то-
точек, то формулы коммутации упрощаются; например,
формула (8.5) примет вид]
В дальнейшем будем, для краткости, использовать имен-
именно такую, упрощенную запись формул коммутации.

ЧАСТЬ II
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
ДЛЯ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ И РЕЛЯТИВИСТСКИХ
УРАВНЕНИЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 10. Задача Коши с быстро осциллирующими
начальными данными для скалярных гамильтонианов
Рассматривается задача Коши
ll^Dt + H (t, х, X-lDs)] и = 0,
и |(=0 = щ (х) exp [iXS0 (x)],
где So (х) — вещественнозначная функция. Данные Коши
индуцируют га-мерное лагранжево многообразие Л™ в фазо-
фазовом пространстве (х, р). Асимптотика решения этой зада-
задачи Коши «в малом», т. е. за малое время t, была построена
в § 3. В настоящем параграфе будет построена асимпто-
асимптотика решения задачи Коши «в большом», т. е. за любое
конечное время Т @ ^ t ^ Т).
Асимптотика решения задачи Коши в целом строится
по следующей схеме:
at
¦glK
Здесь g* — сдвиг вдоль траекторий динамической системы
с гамильтонианом Н. Таким образом, асимптотика реше-
решения и (t, х) при X —*¦ -\- оо выражается через канонический
оператор К tAn, ассоциированный с лагранжевым много-
многообразием If*Л", которое получено сдвигом за время t
начального многообразия Л".
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу Коши
Lu (t, x) = 0,	A0.1)
и [ь_о = Щ (*) exp [i%S0 (x)]	A0.2)

182	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
с быстро осциллирующими начальными данными. Здесь L
есть скалярный Х-п.д.о. вида
L^X^Dt + Hit, х, Яг* Д,; (Л)),	A0.3)
t ^ 0, х 6 R"; Н есть Я-п.д.о. В операторе Н переменная t
играет роль параметра. Относительно начальных данных
предполагается, что и0 (х) ? С~ (Rn), So (х) 6 С°° (Rn),
функция So (х) вещественнозначна.
Будем предполагать, что выполнено условие
Н 10.1. Символ Н (t, х, р; (гА,)') вещественнозначен
при —cxd<^<;cxd, Я, > 1, {х, р) ? R2™ и принадлежит
классу Т7™ (R") при каждом фиксированном t, 0 ^. t ^. T,
где m не зависит от t. Постоянные С„р в оценке B.6)
можно выбрать не зависящими от t.
Выбор начальных данных A0.2) не случаен и диктует-
диктуется существом задачи. Не для всяких начальных данных
асимптотика решения будет описываться в терминах
классической механики, т. е. в терминах уравнения
Гамильтона — Якоби.
Требуется, чтобы начальные условия удовлетворяли
принципу соответствия, т. е. чтобы при h = к'1 -у 0 все
квантовомеханические величины, имеющие физический
смысл, переходили в классические. В частности, импульс
р = —k^DxU должен иметь классический предел при
X-> +оо. Для начальных данных вида A0.2) это условие
выполняется:
lim \-lDx»\t^ = Uo(x
Более общие начальные данные будут рассмотрены нише.
Очевидно, что не всякие начальные данные удовлетво-
удовлетворяют принципу соответствия. Если, например, рассмот-
рассмотреть для свободного уравнения Шредингера
1 at
задачу Коши

10. ЗАДАЧА КОПШ	183
где ф ^ 0, то среднее значение импульса, т. е.
будет стремиться к бесконечности при h -*¦ 0.
Данные Коши A0.2) обладают следующим замечатель-
замечательным свойством: они индуцируют га-мерное лагранжево
многообразие
в фазовом пространстве R?%. Выберем в качестве объема
на Д? форму dan (х) = dx] и фиксируем точку г0 =
= (х°, р°) ? Л". Тогда} данные Коши A0.2) примут вид
и \t=Q = exp [US (x°) КАпЩ (х)],	A0.2')
где К — канонический оператор, отвечающий неособой
карте (см. F.2)),
Естественным обобщением задачи Коши A0.1), A0.2)
служит задача с начальными данными
u\t=0 = KAnU0(x),	A0.4)
где и0 ? Со (Л?), К — канонический оператор. Такие
данные Коши будем называть каноническими. Данные
Коши вида A0.4) образуют более широкий класс, чем
данные Коши вида A0.2), так как канонический оператор
не сводится к оператору умножения на функцию.
Система Гамильтона, отвечающая оператору L, имеет
вид (см. § 3)
dx dH(t,x,p;0)	dp	dH(t,x,p;0)	,лг\ к\
~~тг~ =	^	1 ~тг~ =	^	¦ [IV.о)
dt	dp	dt	dx	v '
Далее,
4=0 ^Р;0))-Д(^,Р;0), (Ю.6)
dE _ dH,(t, x, p; 0)	dt _,	H07,
If-	Ft	' IF'	{lu'n
где E — двойственная к t переменная. Система A0.5) —
это укороченная система Гамильтона; именно, вместо
Bге -f- 2)-мерного фазового пространства (t, x, E, р) мы
рассматриваем 2ге-мерное фазовое пространство (х, р).

184	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Данные Коши A0.2) индуцируют лагранжеву задачу Коши
A0.8)
для системы Гамильтона A0.5). Множество Л™ =
= {(х, р): х = у, р = —^- , у 6 R"} есть ге-мерное
лагранжево С°°-многообразие в фазовом пространстве
R2™, которое диффеоморфно проектируется на ^-прост-
^-пространство.
Метод построения квазиклассической асимптотики кано-
канонической задачи Коши описывает следующая диаграмма:
(Несущественные для понимания множители, вроде
exp [iXSo {х)], опущены.)
1.	Квантовый объект — гамильтониан L — индуци-
индуцирует классический объект — систему Гамильтона —
и сдвиг gl.
2.	Канонические данные Коши для уравнения A0.1)—
это пара (Л™, и0), где Л? есть и-мерное лагранжево много-
многообразие в фазовом пространстве, и0 — функция на Л".
3.	Эволюция во времени многообразия Л" происходит
по законам классической механики. Именно, сдвиг вдоль
траекторий системы Гамильтона g*: Л? -*- g*A%, где ^'Л^
также является л-мерным лагранжевым С°°-многооб-
разием.
4.	Теперь мы возвращаемся от классических объектов
к квантовым. По начальным данным (Л", и0) строим кано-
канонический оператор КАп. Эволюция функции КАп и0 (т. е.
данных Коши) во времени происходит в силу оператора L^.
а эволюция ее асимптотики — в силу оператора g\ т. е.
"о {х) -*• и {t, х) « К tAnU0. Точные формулы приведены
ниже (см. A0.17)).
Другой] подход связан с рассмотрением полного
Bге -|- 2)-мерного фазового пространства. Данные Коши
A0.2) порождают л-мерное лагранжево многообразие

10. ЗАДАЧА КОШИ	185
Л" в Bп + 2)-мерном фазовом пространстве с коорди-
координатами (t, х, Е, р). Именно,
Л„"={(Я р): (х, р)?А%, * = 0, Е=-Н@, х, р; 0)},
где ж = (*, ж), р --= (Е, р). Пусть G*: R2n+2 -> R2n+2 -
оператор сдвига вдоль траекторий полной гамильтоновой
системы A0.5), A0.7). Тогда множество
An+1 = U G'A?
есть лагранжево (п -\- 1)-мерное многообразие в R2n+2,
если выполнены условия предложения 4.19. Многооб-
Многообразие Лп+1 по построению инвариантно относительно сдви-
сдвигов вдоль траекторий полной гамильтоновой системы.
Асимптотика решения задачи К опта A0.1), A0.2) может
быть получена с помощью канонического оператора KAn+i.
2. Асимптотика решения задачи Коши. Помимо усло-
условия Н 10.1, введем условие
И 10.2. Решение задачи Коши A0.8) для системы
Гамильтона A0.5) существует и бесконечно дифференци-
дифференцируемо в слое Пт: у 6 R", 0 < t < Т.
Построим асимптотику решения задачи Коши A0.1),
A0.2). Отметим, что мы построим ф.а. решение, т. е.
функцию, которая точно удовлетворяет данным Коши
и приближенно удовлетворяет уравнению Lv = О (h~z).
Строгое обоснование асимптотической формулы требует
оценки нормы обратного оператора; в простейшем случае
эта оценка будет получена в п. 3. Рассмотрим задачу
Коши для уравнения переноса
^0, ф|(=0 = и0Ы,	A0.9)
где обозначено:
M42-5:-f- Я» = Я(«,*,р;0,, A0.10)
3=1
и в этих формулах х — х (t, у), р = р (t, у) (т. е. точка
(ж, р) лежит на фазовой траектории, которая в начальный
момент времени t = 0 проходит через точку (у, ° )) ¦

186 ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Решение этой задачи имеет вид
t
ф = ехр ( \ М dt' ) щ (у).	A0.11)
о
Здесь и далее
Так как щ (у) — финитная функция, то при 0 ^ t ^ Т
функция ф отлична от нуля только на компакте JF т в фазо-
фазовом пространстве: &т = \] g*r, где г = (у, ^М) ,
у 6 supp щ.
Рассмотрим (п + 1)-мерное лагранжево многообразие
Лп+1 в фазовом пространстве (t, x, E, р) и введем обозна-
обозначения:
= @, -Я@, ro(y); 0), го (у)),
где у0 — фиксированная точка. В качестве объема на
Лп+1, инвариантного относительно сдвига G1, выберем
Рассмотрим функцию
v (t, х) = ехр[Я?0(х/>)]КАПнч,	A0.12)
где ф определяется из A0.11), при 0 ^ t ^ Т. Как было
отмечено выше, функция ф отлична от нуля только на неко-
некотором компакте JT т, проекция которого на RJ/P совпадает
с 3F т- Выберем разбиение единицы, по которому строится
канонический оператор на Лп+1, так, чтобы только конеч-
конечное число функций е} было отлично от нуля на JF?; тогда
функция v будет тождественно равна нулю вне некото-
некоторого компакта JF т в R}X Rt. Далее, supp u0 можно
заключить в неособую карту и определить канонический
оператор в ней по простейшей формуле F.2).

§ 10. ЗАДАЧА КОШИ	187
Теорема 10.1. Функция v, заданная формулой
A0.12), удовлетворяет начальному условию A0.2). Далее,
Lv = К'2\р (t, х, К)	A0.13)
и при \^1, 0^^Г« при любом целом N ^ 0 выпол-
выполняется оценка
\y(t,x,k)\^CN(\ + \x I)"".	A0.14)
Доказательство. Имеем
v@, х, Л) = exp [aS0 (ж°)] ЯЛп+1ф lt=o =
= ехр [
То
Здесь мы воспользовались тем, что интеграл л
p, dx)—Hdt,	A0.15)
взятый по кривой, лежащей на Лп+1, не зависит от пути
интегрирования, так что в качестве кривой, соединяющей
точки г°, г (у), можно взять путь, на котором t = 0.
Тогда (здесь и далее у0 = х°)
Ни)
riv)
(p,dx)= j dS0 (у) =
~o
Далее, из формулы коммутации (8.10) и из того, что
функция ф удовлетворяет уравнению переноса A0.9),
следует, что
равномерно по х ? Rn, 0 ^ t ^ Т. Более точная оценка
A0.14) вытекает из финитности функции ф по перемен-
переменным х, р и из теорем 2.6, 5.2 и леммы 6.3.
Выразим функцию v через канонические операторы
КАп (рис. 2); это дает более обозримые асимптотические
формулы для v. Производящая функция S, ассоциирован-
ассоциированная с многообразием Л"+1, имеет вид A0.15). Лагранжево

188	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
многообразие Л? параметризуется параметрами у. Пусть
rt (у) = G{r {у). В силу независимости интеграла A0.15)
от пути интегрирования на Л™+1 имеем
((р, dx) —
((Ы)	гр)
= j ({p,dx)-Hdt)+ j <p,d*>, A0.16)
где первый интеграл в правой части берется вдоль фазовой
траектории в Т\2п*2, а второй — вдоль кривой, лежащей
на Л". Первый из этих интегралов есть функция только
от t, последний есть действие на многообразии Л".
Далее, в] определение канонических операторов КАп,
KAn+i входит индекс* кривой. Заменяя, как и выше, кри-
кривую на Лп+1, соединяющую точки г° и rt (у), суммой двух
кривых, получаем в силу аддитивности индекса и одно-
односвязности рассматриваемых многообразий, что индекс
этой кривой равен
hid у [?, 7t (i/o)] + ind у [7t (г/«), rt (у)}.
Последний индекс естественным образом войдет в опера-
оператор КАп, а первый даст численный множитель. Оконча-
Окончательно получаем следующую «рабочую» асимптотическую
формулу:
v(t, х, Х) = е*КАп+кр,	A0.17)
((p, dx)-Нdt)-~Шу [?>,rt (if)]'].
То
Замечание 10.2. Очевидно, что теорема 10.1
остается в силе, если условия Н 10.1, Н 10.2 выполнены
при 0 < t < Т.
Замечание 10.3. Теорема 10.1 остается в силе
для лагранжевой задачи Коши A0.1), A0.2') с функцией

§ 10. ЗАДАЧА КОШИ	189
Следствие 10.4. Пусть условия теоремы 10.1
выполнены и Н — оператор с симметричным символом:
jt, х, 1~ЮХ) + И (t, х,
Тогда
v {t, х, X) = ei&KAnU0.	A0.18)
Приведем явную формулу для ф. а. решения в нефо-
нефокальных точках. Введем условие
// 10.3. Пусть точка (t, x) такова, что имеется конеч-
конечное число фазовых траекторий, проекции которых (лучи)
в момент времени t приходят в точку х, и точка (t, х)
нефокальная.
Это означает, что задача
^^	A0.19)
для гамильтоновой системы A0.5) разрешима при конеч-
конечном числе значений у = у3, 1 ;gC / ^ N. Обозначим соот-
соответствующие фазовые траектории так:
I, (t, х) = {X = X (т, у1), Р = Р (т, yj), 0 < т < t},
так что X (t, у3) = х. Положим
X{*'v) ;	A0.20)
тогда / (t, у}) Ф 0 по условию. Введем обозначения:
Sj(t, x) = S0(y3)+ «p, dx) — Hdt'), A0.21)
о
где интеграл берется вдоль траектории lj (t, x),
mj (t, x) = ind lj (t, x).	A0.22)
Теорема 10.5. При условиях Н 10.1 — Н 10.3
ф. а. решение задачи Коши A0.1), A0.2) имеет вид
N
ф. (?, х)
X exp [iXSj (t, x) —~ mj (t, x)~j. A0.23)

190	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Здесь фу- (t, х) определяется по формуле A0.13), где
интеграл берется по фазовой траектории I; (?, х).
Доказательство следует из A0.17) и определения кано-
канонического оператора.
3. Об оценке обратного оператора. В п. 2 было построе-
построено формальное асимптотическое решение задачи Коши
A0.1), A0.2). Именно была построена функция S (см.
A0.17)), которая удовлетворяет данным Коши, а при
подстановке в уравнение A0.1), дает малую невязку (т. е.
< v = О (к'1) при К ->¦ -j-oo). Однако остается открытым
вопрос: будет ли «приближенное решение» v близко
к истинному решению и?
Этот вопрос является и крайне важным, и крайне
трудным. Имеются примеры, когда дифференциальное
уравнение имеет формальное асимптотическое решение,
но не существует никакого истинного решения с такой
асимптотикой [20].
Приведем один результат, позволяющий получить
строгое обоснование асимптотики, т. е. позволяющий
доказать близость ф. а. решения и истинного решения.
Пусть Ш — гильбертово пространство с нормой ||-||,
А: $8 -> 38 — самосопряженный оператор с областью
определения D (A), f (t), 0 ^ t ^ Т, — функция со значе-
значениями в 36 и функция || / (t) || непрерывна при 0 ^ t ^ Т.
Рассмотрим задачу Коши (см. [66])
Предложение 10.6. Решение задачи Коши A0.24)
существует, единственно и удовлетворяет оценке
J||dT	(Ю.25)
о
при 0 < t < Т.
Доказательство следует из явного вида реше-
решения
t
и (t) = ехр (— it А) щ + \ exp [i (т — t) А] / (х) dx
о
и унитарности оператора ехр (iaA) при а ? R.

§ 10. ЗАДАЧА КОШИ	191
4. Задача Коши с быстро осциллирующими начальными дан-
данными и разрывы фундаментальных решений гиперболических
систем. Рассмотрим строго гиперболическую систему из N урав-
уравнений с частными производными
Хи (t, x) = / (t, х).	A0.26)
Здесь и = (uv . . ., цЛг) (вектор-столбец), х ? R™, / — вектор-
столбец,
2 1 1
Se = L(x, Du Dx)	A0.27)
и L есть (iV X ЛО-матрица. Предполагается, что выполнено условие
L 10.1. Элементы матрицы-функции L (х, р0, р) являются поли-
полиномами степени <т от переменных (р0, р) 6 Rpo X R? с коэффи-
коэффициентами класса С°° (R^)- Коэффициент при р^1 есть единичная
(N X Л^-матрица I-
Таким образом, символ L равен
Ь{х, Ро, Р) = Роп1+ У, PlLk(x, p),
где матрицы Lk — полиномы от р с коэффициентами класса C°S (R3).
Сформулируем условие строгой гиперболичности системы
A0.26) (см. L 10.2). Пусть L0 (х, р0, р) — старшая однородная
часть матрицы L {х, р0, р), т. е.
L (х, р0, р) = Ьй (х, р0, р) + V- (х, Ро, р),
где элементы матрицы L0 — однородные полиномы степени т от пе-
переменных (р0, р), а элементы матрицы L1 — полиномы степени
^.т — 1 от тех же переменных.
L 10.2. Уравнение
Д (х, р0, р) = det V> (x, p0, р) = 0	A0.28)
относительно р0 при всех х ? R71, р ? Rn\{0} имеет ровно mN
корней р0] = poj (x, р). Все эти корни вещественны и различны
при всех х 6 R", р 6 Rn4{0}.
В частности, из этого условия вытекает, что все корни p0J- (x, р),
1 ^ / ^ mN, бесконечно дифференцируемы при х ? Rn, p ?
б Rn\{0}. Корни pOj (x, р) являются однородными функциями от р
порядка 1.
Примером строго гиперболического уравнения (iV = 1) являет-
является волновое уравнение
где коэффициент с (х) ? С°° (Rn) и с (i) > 6 > 0 при х ? R™. Если
добавить к волновому оператору дифференциальный оператор пер-
первого порядка
3=i

192	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
с гладкими коэффициентами, то полученное уравнение также будет
строго гиперболическим.
Необходимо, кроме того, ввести требование, чтобы условие
строгой гиперболичности выполнялось равномерно по переменным х.
Напомним также, что в настоящей книге рассматриваются диффе-
дифференциальные операторы с символами класса Т. Наиболее просто
формулируемым (но и наиболее грубым) условием такого рода
является условие
L 10.3. Существует а > 0 такое, что матрица L (х, р0, р) не за-
зависит от х при | х | ^ а и однородна по переменным (р0, р).
Достаточно вместо условия L 10.3 потребовать, например,
чтобы коэффициенты (при степенях р0, р матрицы L) достаточно
быстро выходили на постоянные при | х \ -*- оо и чтобы достаточно
большое число их производных стремилось к нулю при | х \ -*- оо.
Предельный символ L (оо, р0, р), разумеется, обязан быть строго
гиперболическим.
Поставим задачу Коши для уравнения A0.27):
Dht и |г=0 = щ (х), 0<А<т —1.	A0.29)
Теория задачи Коши для гиперболических уравнении развита
в работах [84], [78], [17]. Нам понадобится только один, сравни-
сравнительно грубый факт.
Пусть данные Коши — и^ (х) ? CCO(R71), а правая часть
/ (t, х) ? С°° при 0 < t < Т, х g R™. Тогда (при условиях L 10.1 —
L 10.3) решение задачи Кошп A0.26), A0.29) существует, един-
единственно и бесконечно дифференцируемо при 0 <; ( <; Т, х ? R".
Система A0.26) не содержит большого параметра X, однако
через некоторое время таковой параметр появится.
Введем понятие матрицы Грина G (t, x, х°) задачи Коши
(илп просто матрицы Грина) для оператора X. Матрицей Грина
называется (N X ЛО-матрица G (t, x, х°), которая удовлетворяет
однородному (матричному) уравнению
X G = 0	A0.30)
при х G R™, |>0 в данным Коши
^ t0	<
A0.31)
Здесь х° ? Rn, / — единичная (N X Л0-матрица и б есть дельта-
функция Дирака. Если X — скалярный оператор (N = 1), то G —-
скалярная функция, которая называется фундаментальным реше-
решением задачи Коши [13].
Матрица Грина G является обобщенной функцией. Можно
рассматривать G как функционал над пространством D = ^°°(R")
(матрица G продолжена нулем в полупространство t < 0), зави-
зависящий от t как от параметра. Наша задача — исследовать разрывы
матрицы Грина.
Пусть G° (t, х, х") есть (N X ^-матрица, которая удовлетво-
удовлетворяет уравнению
= f(t, х) @ < t < Т, я 6 R")	A0.32)

§ 10. ЗАДАЧА КОШИ	193
и данным Коши
l 0 = uh(x),
Если все функции uk (x), / (t, х) ? С00 (при х 6 Rn, 0 < t < Г),
то разность
G (t, x, х°) — G° (t, х, х°) е С°°
при 0 < t < Т, х ? R™. Действительно, разность G*= G — G°
удовлетворяет уравнению A0.32) и данным Коши A0.29). Поэтому,
как мы уже отмечали выше, из теории гиперболических уравнений
вытекает, что G ? С?0 в слое 0 < t < Т, х g Rn.
Таким образом, структура особенностей матрицы Грина G
точно такая же, как и у матрицы G0, и исследование особенностей
матрицы Грина сводится к построению матрицы G". При построении
матрицы G0 мы ограничимся формальной схемой. Покажем, как
связаны между собой фундаментальное решение G задачи Коши
и решения задачи Коши с быстро осциллирующими начальными
данными.
Пусть и (t, х, р, хй) — решение задачи Коши (при 0 < t ^ Т,
х? R")
J5u = f(t, х, р),
m-2,
(Ю.34)
,
> х-х0)].
Здесь р ? Rn, хй ? Rn, точка х° фиксирована, матрица-функция
Ф (х) 6 Со° (Rn) и Ф (х) — I B некоторой окрестности точки х°-
Матричная функция / будет указана ниже.
Введем обобщенную функцию G° (t, x, x°) по формуле
GO (t, х, х0) = Bя)-" \ г] (р) и (t, х, р, х0) dp.	A0.35)
Rn
Функция Г| (р) — скалярная, г| (р) ? С°°а (Rn), равна нулю при
| р | ^ а, равна единице при | р \ ^ а, и к] — функция только
от \ р \. Тогда разность G = G — G0 удовлетворяет уравнению
J?G = g(t,x)	A0.36)
и данным Коши
D\G\t n = °> 0<fe<m —2;
1	A0.37)
D?~ б|(=о = Фт-1(*).
Матричная функция фт_1 (х) равна (интегралы берутся по R*)
j (l-ri(p))exp[i(pt x-x0)]dp,
13 В. П. Маслов, М. В. Федорюк

194 часть ii. квазиклассйчеСкоё приближение
поскольку
6 (я — a:0) = Bn)-™ f exp[i(p, х — ofi)\ dp,
а матричная функция ср (х) = I при х, близких к х°. Функция
A— П (р)) 6 С S°(Rn)- так чта срт_! (х) ? С°° (R").
Лемма 10.7. Пусть при \ р | > а, 0 < t < Г, г ? Rn
выполняются оценки
\D^x)f(t, х, р)|<Са|р|-п-?,	A0.38)
где 8 > 0, для любого мулътииндекса а. Тогда матричная функция
G (t, х, хй) — G° (i, x, ж0) 6 С°°
при 0 < i < Т, х ? Rn.
Доказательство. Из условия A0.38) следует, что
правая часть уравнения A0.36)
g (t, x) = Bя)-« С / (t, x, p) dp
бесконечно дифференцируема при 0 < t < Т, х ? Rn. Данные
Коши A0.37) принадлежат C?°(Rn), и утверждение леммы выте-
вытекает из строгой гиперболичности оператора X.
Формула A0.35) описывает структуру особенностей матрицы
Грина G, так как разность G — G° = G ? С°°. Чтобы завершить
конструкцию матрицы G0, остается исследовать асимптотику реше-
решения задачи Коши с быстро осциллирующими начальными данными
A0.34).
Роль большого параметра играет \ р \. Введем большой пара-
параметр в оператор X. Поделим оператор X на | р |™, тогда он при-
примет вид
тп	2	1	1
| р |1» X = 2 (* I P I )'k Lh i*> I P I °Ь I Р Г1 Dx), A0.39)
где Lh (x, po, р) — однородные матричные полиномы степени m — к
от переменных (р0, р). Символ | р |-дифференциального оператора
L=\p\-mJS	A0.40)
равен
m
? (ж, ро, р) = 2j (' I P I )~^ ^ (xi Poi P)>	A0.41)
и принадлежит классу Т% (см. условия L 10.1—L 10.3).
Заметим, что в данных Коши A0.34) можно считать, что | р | ^
^ а (см. A0.35)). Число а > 0 может быть выбрано сколь угодно
большим, но фиксированным.
Построим ф. а. решение задачи Коши A0.34) для уравнения
Lu = 0 (т. е. для уравнения Хи = 0) с точностью до О (| р | -лг),
где М > ге. Именно, найдем матричную функцию и (t, x, р, х°),
которая точно удовлетворяет данным Коши A0.34) v удовлетворяет
уравнению
Lu=\p\-MfM{t,x,p),

10. ЗАДАЧА КОШИ	195
где /м 6 O0lT. Классы OS,T были введены в п. 2 настоящего пара-
параграфа. Тогда все условия леммы 10.7 будут выполнены, а матричная
функция G", заданная формулой A0.35), будет иметь те же особен-
особенности, что и матрица Грина G.
Остается, используя явные асимптотические формулы для
решений и (t, х,_ р, х°), получить явные формулы для особенностей
матричной функции G0 (т. е. для особенностей матрицы Грина G).
Мы/ограничимся только качественными рассмотрениями; явные
формулы для особенностей см. в [26], [38], [40], [52]. Подробная
библиография но данному вопросу имеется в [10].
):; - В § 11 приведены асимптотические формулы для решения задачи
Коши с быстро осциллирующими начальными данными при т = 1,
т. е. для систем}первого порядка. При малых t ^ 0 решение и
есть сумма слагаемых вида
N
и=^]иа, ua(t,x,p, х0) =
а=1
k_
= ^(i\p\r^f(t,x,w)exV[iSa(t,x, p)].	A0.42)
3=0
Здесь со = р/\ р |, функции Sa — однородные функции р степени 1.
Функция Sa является решением задачи Коши
dt
| h I,
где ha (x, q) — корни уравнения
det L° (x, —h, g) = 0.
Возьмем одно из слагаемых A0.42), отвечающее значению / = 0
и подставим в интеграл A0.35). Тогда получим интеграл
j exp [iSa (t, x, p)] ij,« (t, x, pl\ p [) T) (p) dp	A0.43)
с быстро осциллирующей фазовой функцией Sa. Особенности этого
интеграла содержатся в проекции на Л™* множества
{(t, х, р): dSa/dp = 0}. Аналогичные выражения получаются при
подстановке остальных членов суммы A0.42) в интеграл A0.35).
Покажем, где расположены особенности матрицы Грина G.
С системой A0.1) ассоциированы N систем Гамильтона (напомним,
что мы рассматриваем случай т = 1):
дха _ dha	дра _ dha
бт ~ дра '	дх ~ дха '
13*

196	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
где 1 <J a ^ N. Данные Коши, которые индуцированы задачей
Коши A0.34), имеют вид
*ct|T=o = 0' Р?|т=о=-Аа(г/, р), г/
Фиксируем направление со вектора р. Пусть П" (р) — область
в фазовом пространстве, заполненная траекториями системы с номе-
номером а, при 0 ^ т <J Т (трубка траекторий), Пг (р) = U Н%(р)
~	«=1
и Пт (р) — проекция объединения трубок траекторий Пг (р)
на R™^1- Таким образом, Пт (р) — это объединение трубок лучей
A < а < N), которые при t = 0 выходят из supp ф.
Как показано в § 11, решение и задачи Коши A0.34) убывает
быстрее любой степени | р | при | р | —>- оо вне любой фиксиро-
фиксированной окрестности трубки Пг (со) (равномерно по t ? [0, Т] и но х,
лежащим на компакте, а также равномерно по со). Следовательно,
матрица G0 ? С°° вне (J Пт (со). Напомним, что матричная
toes™
функция ф (х) (см. A0.34)) — любая такая матричная функция
Ф (х) ? CjJ° (Rn), что ф (х) = / в окрестности точки х°, так что
supp ф может лежать в сколь угодно малой окрестности точки х°.
Поэтому особенности матрицы Грина при 0 ^ t ^ Т, х ? R"
содержатся в множестве Жт, которое строится следующим образом.
Поставим для каждой из систем A0.44) задачу Коши
где \ р \ ^ 1. Тогда Жт — это объединение проекции на R"^
всех траекторий A ^ а ^ N) за время 0 ^ т ^ Т, где р пробе-
пробегает R™.
Аналогичный результат справедлив для гиперболических
систем любого порядка т.
Рассмотрим в качестве примера волновое уравнение
где с >> 0 — постоянная. Система Гамильтона имеет вид
Поставим задачу Коши
х\х=о=х<>, р|т=0=р, <|х=о = 0' Ро
гДе Ро = c2P2i тогда лучи имеют вид
х = х° + 2тер, t = —2хр0.

§ 10. ЗАДАЧА КОШИ	197
Исключая т, получаем известный результат: множество особенно-
особенностей фундаментального решения волнового уравнения содержится
в световом конусе
(х — х0J = c2t2.
5. Разрывы матрицы Грина, коротковолновая асимптотика
резольвенты стационарной задачи, асимптотика решений неста-
нестационарной задачи при t -*¦ + оо. Рассмотрим следующие три вопроса.
I.	Асимптотика по гладкости матрицы Грина нестационар-
нестационарной задачи.
II.	Коротковолновая асимптотика (при к—>--)-оо) резольвенты
стационарной задачи.
III.	Асимптотика решений нестационарной задачи при t -*¦
—>- -f- оо.
Задача I была рассмотрена выше, в п. 4. Оказывается, что
цикл задач I, II, III может быть исследован по следующей схеме:
I -s-II -+Ш.
Рассмотрим задачу Коши A0.26), A0.29) и соответствующую
стационарную задачу
C5hu) (*) = / (*),	х ? R». A0.45)
Оператор
2	1
Jgk = L(x, к,	Dx) A0.46)
получен из оператора X заменой Dt -*¦ к.
Приведем некоторые эвристические соображения. Пусть
G (i, х, х°) — матрица Грина задачи Коши, продолженная нулем
в полупространство t < 0. Формально применяя преобразование
Фурье по переменной t, получаем, что матрица-функция
G(x, к, хО)= \ e-ift'G(t, x, xfi) dt
удовлетворяет уравнению
Пусть точки х, хй фиксированы, тогда G при к ~^> 1 есть инте-
интеграл от быстро осциллирующей функции. Асимптотику этого
интеграла можно вычислять, применяя метод стационарной фазы.
При этом основной вклад в асимптотику интеграла G вносят, как
известно, особенности матрицы Грина G (t, x, х°) (как функции
от г).
Тем самым формально устанавливается связь между разрывами
матрицы Грина задачи Коши G и коротковолновой асимптотикой
матрицы Грина G стационарной задачи.
Строгое обоснование такой прямолинейной схемы наталкивает-
наталкивается на серьезное препятствие — это вопрос о сходимости интеграла,
представляющего матрицу G, т. е. вопрос об асимптотике матрицы
Грина G при t -*¦ + оо. Эта трудность настолько велика, что ука-
указанная простая схема почти никогда не применяется.

198 Часть ii. квазиклассическое приближение
Изложим результаты работы [10], относящиеся к задачам I—III.
В этой работе приведен подробный обзор результатов, относящихся
к задачам I—III, и содержится обширная библиография.
Помимо условий L 10.1—L 10.3, вводятся следующие условия.
Пусть Д (х, р0, р) = det L° (x, p0, р). Уравнению A0.26) отве-
отвечает система Гамильтона
dt __ дА
dx dpo '	„. -г
Ял	'-	-	A0>4/)
dx
в {In -f- 2)-мерном фазовом пространстве с координатами (/, х, р0, р).
Введем дополнительные условия.
L 10.5. Для любого х ? R"
Д (х, 0, р) Ф 0
при р Ф 0.
Это условие эквивалентно эллиптичности оператора Xh.
L 10.5. Траектории гамильтоновой системы A0.47), которые
выпущены из шара \ х\ <авна которых Д = 0, уходят на беско-
бесконечность.
Точнее, для любого R < то существует Т (R) < оо такое, что
траектории системы A0.45) с данными Коши
*@) = 0, ж@) = ж",
dx
dx
dp
dx
дА
~ Эр
"»
эд
дх
где | х° | < а, А (х°, pg, р°) = 0, лежат при t > T (R) в области
| х\ < R. Число а указано в условии L 10.3.
Из этих условий вытекает, что разрывы матрицы Грина
G (J, х, х°), где | х° | <J а, уходят на бесконечность при t -*--{- то.
Обозначим через Hs (Q) пространство С. Л. Соболева функций
в области ft с: R", производные которых до порядка s суммируемы
с квадратом. Ниже всегда s ^= 0 — целое. Точно так же обозна-
обозначаются пространства "вектор-функций и матриц-функций, все эле-
элементы которых принадлежат пространству Hs (Q).
Введем резольвенту Rk стационарной задачи и исследуем ее
аналитические свойства (по параметру к). Рассмотрим оператор R^
(резольвенту)
Rh: Hs (Rn) -+¦ //s+m(Rn)
в полуплоскости Im к >. 0. Этот оператор действует по формуле
Rhf = и,
где / 6 Hs (Rn), аи — решение уравнения Zhu = /, принадлежащее
/P+m(Rn). В полуплоскости Im. к > 0 резольвента Rk является
конечно-мероморфной функцией к [9].
Все точки вещественной оси к принадлежат непрерывному
спектру резольвенты, так что оператор Rk не продолжается анали-
аналитически из верхней полуплоскости Im J>0b нижнюю. С резоль-
резольвентой Лй можно связать такой оператор Йй, который допускает
аналитическое продолжение р нижнюю полуплоскость.

§ 10. ЗАДАЧА КОШИ	199
Пусть На с Hs (Rn) — пространство функций, тождественно
равных нулю при | х | ^ а. Введем оператор
где Ъ ^ а — фиксированная постоянная. По определению
Rhf {х) = Rhf (x) (|*|<Ь),
если функция / (х) ? H^. Оператор д\ получается, таким образом,
из резольвенты fik, если сузить ее область определения с IIs (Rn)
до Hi и расширить область значений с #s+m(Rn) до Hs+m (\ х \ <
<&).
Оператор Лй продолжается на всю комплексную плоскость
как конечио-мероморфная функция, если п нечетно (п — размер-
размерность пространства), и на риманову поверхность функции In k,
если п четно [9].
Получим асимптотику оператора Rk при | к \ ~> то в области
Ua,& = {к: | Im к | < a In | Re к | - Р},
где а, Р — постоянные. Точнее, будет получена асимптотика функ
ции Rhf, где функция / принадлежит пространству На (т. е. финит-
финитна). Асимптотику ядра резольвенты G {х, х°, к) при таком под-
подходе получить не удается.
Построим матрицу GM(t, x, х°), которая удовлетворяет урав-
уравнению
XGM= fM(t, x, x°), i>0,
и данным Коши
Ф|{=0 = °. °< <т-2;
Здесь fM ? СМ(М > 2) по переменным ((, х, х°) и при любом R > О
GM(t, х, х°) = 0 (| х | < R, t^l (R) + 1).
Число Т (R) определено в условии L 10.5.
Очевидно, что в качестве G-v/ можно взять матрицу-функцию
GM(t, х, х°) = G° {t, х, х°) h (t, x),
где h е С°° при t > 0, х ? Rn, h = 1 при t < Т (R) + 1/2 и ft = О
при i > Г (Л) + 1, а конструкция матрицы G0 указана в п. 4.
Матрица G0 строится с помощью канонического оператора.
Обозначим через Лм,ь преобразование Фурье интегрального
оператора с ядром G^, т. е.
ЯМ, кЧ=\ j GM С. ^. аЮ) Ф (^°) «ifef ^° *,	(Ю .48)
0 |хО|^а
где интеграл понимается в смысле обобщенных функций. Оказы-
Оказывается, что оператор Лда h: Hsa ->- Hs+m (| х \ < Ь) близок к опера^

200	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
тору Rk при | к | ->- то, к ? Ua<&.
Теорема 1. Пусть п нечетно. Если М достаточно велико,
то оператор Ёмл ограничен при всех к и является целой функцией к.
При | к 1 ^> 1 выполняются оценки
|| Ям, kf \ls+m-j, ф) < С I к I' ""' ехР (Y I I™ * I ) (I / /ls, a,
0</<m+l,	A0.49)
где у — постоянная. При к ? ?7a,g выполняются оценки
— Лж_ ft) / Л,+т_^ (Ь, < С | А |~^ ехр (Т f Im А |) |/ / |/s> a. A0.50)
Здесь || / ||s,a, || / ||s> (Ь) — нормы в пространствах	Н*а,
Hs (| х | ^ Ъ) соответственно и оценка A0.50) справедлива	при
некоторых a, P, у > 0. Аналогичные результаты получены	при
п четном.
Эта теорема дает асимптотику функции (Л^/) (х) (т- е- решения
уравнения A0.45) с финитной правой частью / ? Я%), когда к ~> оо
в области вида t/a,g, а х лежит на компакте | х | < Ъ. В частности,
оценки A0.49), A0.50) в сочетании с формулой A0.48) дают асимп-
асимптотику при к -»- + оо резольвенты (R^f) (х) на компакте | х | < 6.
Кроме того, теорема 1 позволяет вычислить асимптотику (при
t -*¦ + оо) решения задачи Коши для однородного уравнения A0.26)
с финитными начальными данными. Рассмотрим задачу Коши
где ф (ж) ? Н$а.
Пусть п нечетно; тогда оператор Rh в каждой полосе с1 <
¦< Im к <с с2 конечной ширины имеет не более конечного числа
полюсов.
Теорема 2. Пусть п нечетно, на прямой Im k — q нет
полюсов оператора Rh. Тогда справедливо асимптотическое разло-
разложение для решения задачи Коши A0.51):
2	(
Imhj<q h=hj
A0.52)
Для остаточного члена справедлива оценка
) < cqe4t || ф (х) ||„о.	A0.3)
Оценки A0.52), A0.53) имеют место при t > t0 ^> 1, так что
формула A0.52) дает асимптотическое разложение решения и
при / ->• -|- оо.
Заметим, что сумма^в правой части формулы A0.52) состоит
из конечного числа слагаемых.
Аналогичные результаты получены при четной размерности
пространства.
Теорема 2 выводится из теоремы 1 следующим образом. С по-
помощью формулы обращения преобразования Лапласа получаем,

§ 11. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	201
что
c-\-ioo
U [I, X)—
где с > 0 таково, что оператор Rh не имеет полюсов при Im к > с.
В силу оценок, полученных в теореме 2, контур интегрирования
можно двигать параллельно вещественной оси, так что функция и
равна интегралу по прямой Im к = q < с и сумме вычетов подын-
подынтегрального выражения, лежащих в полосе с <; Im к < q. Строгое
обоснование этих соображений приводит к теореме 2.
Аналогичные результаты получены в [10] для смешанной задачи
для нестационарного уравнения A0.26) и для соответствующего
стационарного уравнения. Именно, рассматривается задача A0.26),
A0.29) при t > 0, х ? Q, где Q — внешность ограниченной области
в Rn с границей dQ класса С°°. На dQ поставлены краевые условия
В (х, Dt, Dx) и (t, x) = 0 (t > 0, х е dQ), A0.54)
где В есть \—к- X n\-матрица из дифференциальных операторов
порядка ^.т — 1с коэффициентами класса C°°{dQ). Предпола-
Предполагается, что краевая задача для стационарного уравнения
Xhv = /, х е Q; В (х, к, Dx) v = ф, х ? dQ,
является коэрцитивной задачей с параметром хотя бы для одного
луча к = ре1ф0 @ < р < оо, 0 < ф0 < я); подробнее см. [9].
Условия L 10.1—L 10.4 по-прежнему предполагаются выполнен-
выполненными. Вместо условия L 10.5 (которое является требованием на
поведение траекторий гамильтоновой системы, ассоциированной
с оператором X) вводится условие, смысл которого состоит в сле-
следующем. Пусть G (t, х, х°) — матрица Грина смешанной задачи
(т. е. G удовлетворяет однородному уравнению, однородным крае-
краевым условиям и данным Коши A0.31)). Требуется, чтобы разрывы
матрицы Грина G уходили на бесконечность при t -*¦ + то.
В [10] получена также асимптотика решения задачи о рассея-
рассеянии в квазиклассическом приближении для стационарного урав-
уравнения Шредингера с финитным потенциалом.
§ 11. Матричные гамильтонианы
В этом параграфе рассматривается задача Коши с быст-
быстро осциллирующими начальными данными для систем
уравнений. Предполагается, что характеристики соответ-
соответствующих операторов вещественны и имеют постоянную
кратность. Получены уравнения переноса и построена
асимптотика решения задачи Коши в большом.
1. Уравнение Гамильтона — Якоби. Пусть и есть
Ж-вектор (столбец) и (х) = (щ (х), . . ., uN (х)), х ? Rn,

202	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОК ПРИБЛИЖЕНИЕ
и L есть (N X ^-матрица с элементами Ljk (х, р; (iX)-1).
Рассмотрим систему из N уравнений
L(x, %~ЮХ; (U)) и = 0.	A1.1)
Будем предполагать всюду в этом пункте, что выпол-
выполнено условие
L 11.1. Символ оператора L принадлежит классу Т™
(см. определение 2.5), т. е. все элементы Ljk матрицы
L (x, p; (iX)'1) принадлежат классу Т™ с одним и тем же тп.
Будем искать ф. а. решение уравнения A1.1) в виде
формального ряда
со
и(х, Я)=ехр [US (х)] 2 (?Я)-тсрт (х).	A1.2)
т=0
Применяя теорему 2.6 к операторам Ljk, получаем
ехр (—iXS) L (ф exp (iXS)) =
- R0<p + (iX)-1 Rl4, + O_z (x, X). A1.3)
Операторы Ro, Rx имеют вид
A1.4)
г г	( dS (х) a\
где значение матрицы L берется в точке 1х, ¦ ; (Л.
Напомним, что -Доф, -^1ф — это iV-векторы (столбцы). Для
симметрии мы сохраним те же обозначения, что и для ска-
скалярных гамильтонианов. В покомпонентной записи имеем
N п
3=1 й=1
N п	N
j—I ft, m=l	,7 = 1
Пусть Lm = (Lmi, . . ., LmK) есть т-я строка матрицы
L; тогда формула A1.4') примет более компактный вид:
" d2L™ w) _l dLm m.
хх Эр2 I	д& е=0
A1.4")

§11. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	203
п	«Эф	п г-	d2L	1	<Эф
.Здесь	матрица Икоби, —-^ — тензор (т. е. -^ ==
Введем обозначения: / (ж, р), /* (ж, р) — соответствен-
соответственно правый и левый нуль-векторы матрицы Z0 =
= L (х, р; 0) (/ — столбец, /* — строка), т. е.
L°f{x, р) = 0, /* (х, p)L° = 0.	A1.5)
Пусть Q — ограниченная область в R?. Нас интере-
интересуют ф. а. решения уравнения A1.1) при X-^-f00!
х ? Q. Будем искать такое решение в виде
и {х, X) = exp UXS (х)] ф (х).	A1.6)
Подставляя и в уравнение A1.1) и приравнивая нулю
коэффициент при Я0 в выражении e~i}-sLei}-sq>, получаем,
в силу A1.3), A1.4), уравнение
L(x, ^М;0)Ф(х) = 0.	A1.7)
Следовательно, при х ? Q имеем
где обозначено А (ж, р) = det L (х, р; 0). Это уравнение
есть уравнение Гамильтона — Якоби, ассоциированное
с оператором L.
Предложение 11.1. Пусть функция S (х) ?
E С°° (Q) вещественнозначна и удовлетворяет уравнению
Гамильтона — Якоби A1.8) в области Q. Пусть вектор-
функция ф (х) ? С°° (Q) является правым нуль-вектором
матрицы L (х, ——-; 0) при х ? Q. Тогда 'вектор-
функция A1.6) есть решение уравнения A1.1).
Нуль-вектор ф (х), очевидно, определен неоднозначно;
например, если а (х) — любая скалярная функция, то
а (х) ф (х) есть нуль-вектор матрицы!/ (х,	; О].
Нормировка нуль-вектора ф (х) (точнее, базиса в под-
подпространстве нуль-векторов) находится при вычислении
следующего члена асимптотики решения.

204	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Аналогичные рассуждения проведем для эволюцион-
эволюционной системы из N уравнений
Lu=s[I\-lDt + H{t, х, K-lDx; (й)'1)] и (t, x) = 0. A1.9)
Здесь х ? Rn, t б R, и = («i, • • •, uN) (вектор-столбец),
Н есть (iV X АО-матрица с элементами Hjk, I есть единич-
единичная матрица порядка N. Пусть Hjk удовлетворяют усло-
условию L 11.1. Поставим задачу Кодш
u\t=0=exp[i\S0(x)]u'>(x),	A1.10)
где Sux ? С°° (Rn), и0 (х) 6 С" (R)" и функция So веществен-
нозначна. Ф. а. решение задачи Кодш A1.9), A1.10)
будем искать в виде
и (t, х, X) =
= exp [US (t, х)} [ф° (t, х) + (й-1) ф1 {t, х) + . . .]
A1.11)
Из A1.8) следует, что функция S должна удовлетво-
удовлетворять уравнению Гамильтона — Якоби
det II/!?¦
=0.	A1.12)
Мы будем рассматривать случай, когда собственные
значения ha (t, х, р) матрицы Н (t, x, р; 0) различны
или же имеют постоянную кратность. Тогда фазовая
функция S будет удовлетворять одному из уравнений
которые также будем называть уравнениями Гамильтона—
Якоби. Далее, пусть /а (t, x, р), /*а (t, x, р) — соответ-
соответственно правый и левый собственные векторы матрицы
Н (t, х, р; 0). Если S удовлетворяет уравнению A1.13),
то вектор-функция ф° (t, x) будет правым собственным
вектором матрицы Н it, х, — ; 0} , т. е.
H(t, х,
2. Уравнения переноса. Рассмотрим уравнение A1.1).
В этом пункте предполагается, что символ L (х, р; е)

§ И. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	205
веществен при вещественных х, р, ей что уравнение
А (я, р) = о	A1.15)
определяет С°°-многообразие размерности In — 1 в фазо-
фазовом пространстве. Все построения носят локальный харак-
характер (т. е. в малой окрестности некоторой точки (х°, р0)).
Все нуль-векторы также выбираются вещественными.
Система Гамильтона, отвечающая уравнению A1.15),
имеет вид
dx ~ dp '	dx ~ дх -	^ii.iu;
Вектор-функция R±(p содержит выражение — у
(см. A1.4)), в то время как производная вектор-функции
Ф (х) в силу системы Гамильтона A1.16) равна ¦д-^ =
= ф. Установим связь между производными — и -—.
"Pj "Pi
Рассмотрим вначале случай, когда матрица L (х, р; 0)
имеет простой нуль-вектор.
Лемма 11.2 [26]. Пусть
д^о, ро)==О, аА(;у0)^0 . A1.17)
и rank L (х, р; 0) = N — 1 в некоторой окрестности
точки (х°, р°). Тогда существует постоянная С такая, что
JL	^	A1.18)
в точке (х°, р°).
Доказательство. Фиксируем х = х". Урав-
Уравнение A1.15), в силу условия A1.17), определяет С°°-
многообразие М размерности п — 1 в окрестности точ-
точки р°. Пусть Atj (p) — алгебраическое дополнение к эле-
элементу Ьц (х°, р; 0). По условию хотя бы одно из чисел
¦4а (р°) отлично от нуля; пусть Aiojo (p°) Ф 0. Тогда век-
вектор / с компонентами Aioi (p), AioN (p) является пра-
правым нуль-вектором матрицы L (х°, р; 0) при р, близких
к P°i P € М, принадлежит классу С°° и отличен от нуля.
Правый нуль-вектор, по условию, единствен с точностью
до множителя; аналогичные утверждения справедливы
для левого нуль-вектора /* {р). Дифференцируя по р

206 ЧАСТЬ II. КВАЗЙКЛАССИЧЁСКОЁ ПРИБЛИЖЕНИЕ
тождества А = 0, Lf — 0 (при р ? М) и умножая послед-
последнее на /* слева, получаем соотношения
Второе из этих соотношений выполняется при р = р°
для всех с?/)у, связанных первым соотношением. Так как,
в силу условия A1.17), среди дифференциалов dpj имеется
ровно п — 1 независимых, то коэффициенты /* — /
при дифференциалах dp} пропорциональны коэффициен-
^7
Эта лемма допускает обобщение на случай характери-
характеристик постоянной кратности.
Лемма 11.3 [26]. Пусть в окрестности точки
(х°, р°)
1)	уравнение A1.17) эквивалентно уравнению Ао (ж, р) =
= 0, где 9А°?' р0) ф 0;
ар
2)	существует базис {fl (х, р), . . . ., fh (x, р)} клас-
класса С°° правого нуль-пространства матрицы L (х, р; 0).
Тогда существует постоянная С такая, что
JL	l^	A1.19)
1 зр3 '	дР]
при всех а, Р 6 {!> • • ч ^}> 1 ^ / ^ и, где {Z*1, . . .
. . ., f*h} — базис левого нуль-пространства матрицы
L (х, р; 0).
Доказательство полностью аналогично доказательству
предыдущей леммы.
Подставляя A1.2) в уравнение A1.1), получаем рекур-
рекуррентную систему уравнений
ЯоФ° = 0, . . .,
... - Bh4>°. A1.20)
Первое из этих уравнений мы уже проанализировали;
исследуем остальные. Именно покажем, что эти уравнения
приводят к уравнениям переноса вдоль траекторий гамиль-
тоновой системы A1.16). Эти уравнения оказываются

§ И- МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	207
более сложными, чем для скалярных гамильтонианов.
Дальнейшие рассмотрения носят локальный характер.
Пусть функция S (х) удовлетворяет уравнению Гамиль-
Гамильтона — Якоби в окрестности точки я0 и в окрестности
точки (х°, р°), р° = 8S (х°)/дх, выполнены условия лем-
леммы 11.2, т. е. S —• простая характеристика. Пусть / (х),
f* (х) — правый и левый нуль-векторы матрицы L0 =
= L (x, OS (х)/дх; 0) класса С°° при х, близких к х°.
Тогда
у0 (х) = а (х) f (х),	A1.21)
где а — скалярная функция. Рассмотрим уравнение
1 (х) = -Д1Ф° (х).	A1.22)
При фиксированном х имеем систему из п линейных алгеб-
алгебраических уравнений относительно неизвестных <Pi, . . .
. . ., фдг, причем определитель этой системы равен нулю.
Для разрешимости этой системы необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы выполнялось тождество
/* (х) Д1ф0 (х) = 0	A1.23)
(в окрестности точки х°). Следовательно, функция о (х)
должна удовлетворять уравнению
A1.24)
^ S /*^ilr+T
8=0 '
_	ft	ft
A1.25)
(обозначения те же, что и в A1.4)). Пусть (х (т), р (т)) —
решение системы A1.16); тогда
dx \	/ vv— /j, dXk dPh ¦
В силу леммы 11.2 имеем
1*4^-f = C{x)^-	A1.26)

208	ЧАСТЬ И. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
(значения /*, / берутся в точке х, значения производных
от L, А — в точке (х, dS (х)/дх; 0)). Следовательно, уравне-
уравнение A1.24) вдоль траектории х = х (т), р = р (т) имеет вид
С-^- + М1а = 0.	A1.27)
Выпишем главный член ф. а. решения уравнения A1.1).
Пусть на некотором гладком многообразии М размерно-
размерности п — 1] в R™ заданы согласованные значения S, S/S
(т. е. уравнение A1.8) выпол-
няется в окрестности М). Рас-
Рассмотрим лагранжеву задачу
Коши
= Р° = —^J-.
х=о = х°, р |т=0 = Р° =
для гамильтоновой системы
A1.16), пусть х (т; х°), р (г, х°) -
Рис- 14<	решение этой задачи Коши. В ка-
качестве / (х) возьмем произволь-
произвольный правый нуль-вектор матрицы L (x, dS (хIдх; 0).
Тогда главный член ф. а. решения уравнения A1.1)
(вблизи М) имеет (см. A1.6)) вид
т
и (х, X) = ехр [&S (х) - j C'Wi cZt] / (х). A1.28)
о
Здесь С, Мг определяются из A1.18), A1.25) и интеграл
берется вдоль фазовой траектории такой, что х (т, х°) = х
(рис. 14).
3. Задача Коши A1.9), A1.10) в малом. Основная
задача, которая нас интересует,— это задача Коши A1.9),
A1.10). В этом случае формулы сильно упрощаются, так
как оператор L является оператором первого порядка
по переменной t. Введем условие
L 11.2. Матрица Л° = И (t, x, р; 0) эрмитова при
t > 0, (х, р) 6 R2n.
Последующие рассмотрения носят локальный харак-
характер — действие происходит в малой окрестности U фикси-
фиксированной точки Qo = (t0, x°, p°). Введем условие
L 11.3. Собственные значения ha (Qo), I =sj a <J N,
различны.

§ 11. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	209
Тогда в малой окрестности U собственные значения ha
бесконечно дифференцируемы и существует ортонормиро-
ванный базис (fa (t, х, р)}, 1 ^ а ^ N, из собственных
векторов матрицы Н°.
Уравнению Гамильтона — Якоби A1.13) отвечает
система Гамильтона
jdx__dha_	dp _ dha	Ml 29}
dt dp '	dt	Ox
Получим уравнения переноса. Подставляя A1.11) в эво-
эволюционное уравнение A1.9) и приравнивая нулю коэффи-
коэффициент при ^-1, получаем уравнение
A1.30)
dS n\
Если функция S удовлетворяет уравнению A1.13), то
det i?0 = 0, ф° — собственный вектор, отвечающий соб-
собственному значению ha. Фиксируем (гладкий) собствен-
собственный вектор /а. Тогда
Ф° = а/*,
где о — скалярная функция, так как ha — простое соб-
собственное значение. Необходимым и достаточным условием
разрешимости уравнения A1.30) является условие
{f, RiOfa) = 0.	A1.31)
Оператор Rx имеет вид
п
ъ дН _0i
J=l J
+ Иг / -ъ—з—а—i	h-5— ф = ^ф + Д1Ф, A1.32)
1 L 2 -^-l йх;3х, dp,др. ' * JT	it 1 it>	\	/
где H = H (t, x, p; 0), p = dSIdx. Преобразуем уравне-
уравнение A1.31). Введем определитель
Ja(t, ^) = det^!bJ)_.	(Ц.ЗЗ)

210 ЧАСТЬ И. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Здесь {ха (t, у), ра (t, у)} — решение гамильтоновой
системы A1.29) с данными Коши
Щ^	A1.34)
Уравнение A1.31) и есть искомое уравнение; именно,
докажем аналог леммы 3.14 для системы уравнений.
Лемма 11.4. Пусть условия L 11.1 — 11.3 выпол-
выполнены, а == a (t, x) — скалярная функция, вектор-функция
fa такова, что ( /а, /а ) = 1. Тогда
<Д Ri(af)) = ^ + ^Jf\nJa + Maa. A1.35)
Здесь dldt — производная в силу системы Гамильтона
A1.29),
м*- Z у l
Т 2j
a , /^ дЯ	,а\
A1.36)
Доказательство. Вектор-функция fa имеет
вид fa = fa (t, х, р), где р = — S (t, x), т. е. является
сложной функцией от х. Символом Dx- обозначим полную
производную по переменной Xj, т. е.
п
В формулу A1.32) входят полные производные. Далее,
если ф = ф {t, х, р) есть скалярная функция или вектор-
функция, то ее производная в силу системы Гамильтона
A1.29) имеет вид
d(f _ д(9 г V dha
3=1 J
(здесь р = dSldx).

§11. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	211
Установим некоторые алгебраические тождества. Диф-
Дифференцируя тождество
II (t, х, р; 0) /« (t, х, р) = ha (t, x, p) fa (t, x, p)
по переменной pj, получаем
(«^_^2-)/» = (А(y-H)-df-.	A1.37)
В этом и последующих тождествах t, x, p — независимые
переменные. Умножая тождество A1.37) скалярно на / ,
получаем
Дифференцируя исходное тождество по переменным
Pi, p/j и умножая скалярно на /', получаем
и,.
Имеем
где обозначено:
п
dt ^—l dp.
i=l
n	n
2
s=o
Учитывая тождество A1.38), получаем
(f, A(o)f) = ^-.
При вычислении выражения (/а, В) воспользуемся фор-
формулой Лиувилля (§ 3)
п	п

212 ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
тождеством
и тождеством A1.39). Тогда получим, что
^ 2
}, h=i
з, *=1
ha а/а
<?/"
Е=0
За;,ал:.
a~ 2 ear,al J +
a / ая
'I ^
й
=о; / •
Учитывая формулу для производной -~- в силу системы
Гамильтона, получаем A1.35), A1.36).
Пусть условия L 11.1, L 11.2 по-прежнему выпол-
выполнены, а вместо условия L 11.3' введем условие
L 11.3". В окрестности С/ точки Qo матрица Н имеет
собственное значение h (t, х, р) постоянной кратности х,
и существует ортонормированныи базис {/"}, 1 ^ а ^ х,
из собственных векторов, отвечающих собственному зна-
значению h, класса ?°°(С/).
В частности, это условие выполняется для уравнения
Дирака (§ 14).
Тогда всякий собственный вектор /, отвечающий соб-
собственному значению h, может быть представлен в виде
/= 2 oaf,
а=1

§ 11. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	213
где сга — скалярные функции. В этом случае вместо ска-
скалярного уравнения переноса мы получим систему уравне-
уравнений для функций оа. Именно, справедлива
Лемма 11.5. Пусть условия L 11.1, L 11.2, L 11.3'
выполнены. Тогда
+ Ma6a, A1.40)
Доказательство этой леммы следует из доказательства
леммы 11.4. Система уравнений переноса имеет вид
a=l
Будем искать частное ф. а. решение системы A1.9)
в виде
т
ua(f, х, K) = exp[i)JSa{t, x)\ S (^)-fc9ta(f, ж), A1.42)
fe=0
где Sa — решение уравнения A1.13). Ф. а. решение задачи
Коши A1.9), A1.10) будет представлено в виде суперпози-
суперпозиции таких частных ф. а. решений. В случае системы воз-
возникают два новых обстоятельства, которых нет в скаляр-
скалярном случае.
1.	Первое приближение находится с помощью урав-
уравнения для второго приближения.
Действительно, выше мы видели, что при вычислении
Ф° необходимо воспользоваться уравнением A1.30).
2.	Чтобы получить ф. а. решение с точностью до
О (К~2), необходимо знать два приближения.
Действительно, если ограничиться только главным
членом, то
e-m«L (eiXSVa) = -jj- #i<POa + О (Аг2)

214	ЧАСТЬ II. . КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
и R1rp°a ф 0. Поэтому ф. а. решение с точностью до
О (к ) следует взять в виде
[iXSa] (фОа + 4;(Р1а)-	A1.43)
Для скалярного уравнения можно положить ф1<х == 0.
Введем следующие условия.
Условие L 11.3' заменим более сильным:
L 11.3. Собственные значения матрицы Н {t, x, р; 0)
различны при 0 ^ t ^ Т, (х, р) ? R2n
L 11.4. Задача Коши A1.29), A1.34) имеет, и притом
единственное, решение
{*«(*, у), pa(t, у)}?С°°([О, ЛХЫ?).
L 11.5. Отображение (t, у) -> аЯ (t, у), t 6 [0, Г],
I/ ? Ry есть диффеоморфизм.
Символом О_м, т обозначим класс вектор-функций
¦ф (t, x; (Щ~г) таких, что
1)	ур е С00 (RS X [0, Т] X Щ);
2)	для любых мультииндексов а, Р и для любого
целого g справедливы оценки
А?АЧЧг, ^; (ЛЩ|<Са,р,дГм+|а|+рA + |х|Г (И-44)
при X ^ 1, O^i^T1, a;? R™, где постоянные С не
зависят от г, х, Я.
Оценка A1.44)—уточненный аналог оценки C.54).
Примером вектор-функции ij) ? О_м, т служит
¦ф = Я"м exp [US {t, x)] ф (^, х),
где ? — вещественнозначная функция класса С°° при
0 ^ t ^ T7, a; g R", ф — вектор-функция, ф также беско-
бесконечно дифференцируема и ф (t, х) ^ 0 при | х \ ^ а,
0 < ^ < 7\
Если, кроме того, все производные функции S огра-
ограничены при 0 ^ t ^ Т, х ? R™, то в качестве ф можно
взять такую вектор-функцию, что
при О^^^Г, x?RnH при любых а, р, Af.
Будем, для краткости, говорить, что вектор-функция
и (t, х, К) есть ф. а. решение системы A1.9) с точностью

§111. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	215
до О (к~м), если
[irWtl + Hit, х, ГФЖ; (а)-1)]и = $М?О_м,т. A1.45)
Построим частные ф. а. решения системы A1.9) при
условиях L 11.1—L 11.5.
Вначале будет описана процедура построения ф. а.
решения, а затем мы сформулируем соответствующую
теорему.
1.	Функция Sa (t, x), входящая в формулу A1.42),
определяется как решение уравнения A1.13) с данными
Коши
Sa (О, х) = S (х).	A1.46)
По условию Sa ? С°° при 0 < t < Т, х ? Rn.
2.	Покажем теперь, как вычислить вектор-функцию
Ф°« (см. A1.42)).
Пусть {fa (t, х, р)}, 1 ^ а ^ N, — ортонормирован-
ный базис (при каждых фиксированных (t, x, р)) в R"
класса С°° при 0 ^ t ^ Т, (х, р) ? R2™, состоящий из соб-
собственных векторов матрицы И (t, x, р; 0). Выберем эти
вектор-функции так, чтобы все вектор-функции
/а @, х, 8S (хIдх) были финитными. Возьмем срОа в виде
Ф°"(*, х) = оа (t, x)f- (t, х, р),
где р = dSa (t, х)/дх, аа — неизвестная скалярная функ-
функция. Тогда i?o<pOa ^ 0. Из A1.31) и леммы 11.4 для оа
получаем уравнение переноса:
daa I aa d In Ja n/r	л	,,. on/,
1Г+~2	It	М^аСГа-и.	(ll.Cit))
Задавая некоторые данные Коши при t — 0 и решая это
уравнение, получаем
^{^	]aa{0, у).
'о
Таким образом, главный член асимптотики имеет вид
иа0 (t, х, %) =
- exp [HSn (t, х)) -у^-^Л ехр [ - j Ма йт] <та Ь=о X
о
Xf(t,x,p). A1.47)

216	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
В этой формуле х = аЯ (t, у), р = ра (t, у) (это
решение задачи Коши A1.29), A1.34) для гамильтоновой
системы, якобиан Ja и функция Ма определяются из
A1.33), A1.36)).
Отметим, что и°'а (t, х, X) == 0 вне множества
х = a» (t, у), 0< t < Т, у ? supp /» @, у, ds{y)ldy), A1.48)
т. е. вне множества, которое заполняется траекториями,
выпущенными из носителя вектор-функции fa\t=o- Глад-
Гладкость вектор-функции «°> а при 0 ^ t ^ Т, х ? R", X ^ 1
очевидна.
3. Теперь вычислим следующие члены разложения
A1.42). Подставляя A1.42) в A1.9) и приравнивая нулю
коэффициенты при степенях ^~\ получаем рекуррентную
систему уравнений
A1.49)
В скалярном случае Ro — это оператор умножения на
функцию, и Ro = 0, если Sa — решение уравнения
Гамильтона — Якоби; в векторном случае Ro ф 0.
Вычислим ф1а. Имеем
ф1к= S с?рД	(Н.50)
Имеем i?0/^ = (^р — йа) /р. Умножая первое из уравне-
уравнения A1.49) скалярно на /Р, получаем
4^	(И-501)
Здесь, как и в A1.47), значения функций и вектор-функ-
вектор-функций берутся в точке (t, xa (t, у), ра (t, у)). В силу того,
что вектор-функции /Р @, х, ds (х)/дх) финитны, имеем
\ ha — h$ \~^ С ^>0 на множестве, заданном условиями
A1.48), так что С„ — гладкие функции.
4. Значение коэффициента С^ остается неизвестным.
Если мы хотим ограничиться ф. а. решением с точностью
до О (X), то можно положить dm == 0. При построении
более точного ф. а. решения коэффициент С«а определяет-
определяется из следующего приближения.

§ 11. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	217
Необходимым и достаточным условием разрешимости
второго из уравнений A1.49) является
<д
так что
где
есть известная вектор-функция и gla == 0 вне множества
A1.48), т. е. вне проекции на R™,+x трубки траекторий,
выпущенной из supp fa. В силу леммы 11.4 полученное
соотношение есть уравнение переноса (обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение вдоль траектории):
dCaa , 1 М
dt • 2 "аа dt ' ^«^««-ь •
Задавая финитные данные Коши С^а |(=0, находим Саа
вдоль траектории.
Таким образом, процедура отыскания членов ф. а.
решения такова. Имеем
N
Коэффициенты С^р, а # Р, находятся из алгебраических
соотношений (см. A1.50')), а коэффициенты Саа — из урав-
уравнений переноса, причем для вычисления Саа необходимо
использовать уравнение для (к -\- 1)-го приближения.
Тем самым доказана
Теорема 11.6. Пусть условия L 11.1 — L 11.5
выполнены, S (х) ? С°°, {/"@, х, dS (хIдх), 1 ^ а ^ JV,—
финитные собственные вектор-функции класса С°° матри-
матрицы И @, х, OS (х)/дх; 0).
Тогда для любого целого М ^ 1 существует ф. а. реше-
решение с точностью до О (К~м) системы A1.9) вида A1.42).
Это означает, что для иа справедливо соотношение
A1.45).
Отметим, что все вектор-функции q>ha ? С°° при if R",
0 ^ t ^ Т, и_ тождественно равны нулю вне множества,
заданного соотношениями A1.48).

218	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Главный член асимптотики дается формулой A1.47),
а ф. а. решение с точностью до О (Х~2) имеет вид A1.43).
Рассмотрим задачу Коши A1.9), A1.10).
Теорема 11.7. Пусть условия L 11.1 — L 11.5
выполнены, S (х) ? С°° (Rn), u° (х) ? Со°° (Rn). Тогда для
любого целого М ^ 1 существует вектор-функция им,
которая является решением системы A1.9) с точностью
до О (к~м) и имеет вид
N
и™ (t, х,\) = 2 и°-ш (t, х, %),	A1.51)
где решения иаМ имеют вид A1.42). Вектор-функция им
удовлетворяет данным Коши A1.10):
м
=0 = exp [iXS (x)] и°(х).
Вектор-функции иаМ обладают теми же свойствами,
что и в теореме 11.6. Кроме того, им (t, x, К) = 0 вне
множества
х = af*(t,y), 0 < г < Г, г/ 6 supp u° (у).
Доказательство. Вектор-функция] им вида
A1.51), в силу теоремы 11.6, является ф. а.' решением
системы A1.9) с точностью до О (Х~м). Остается удовлет-
удовлетворить данным Коши, используя произвол в выборе ф. а.
решений иаМ. Имеем
м
a=l
$h(z)= S (^p/p)|«=o
a, p=i
Так как векторы {/a |t=0) образуют гладкий орто-
нормированный базис в R^ при любом х, то, полагая
при f=0
получаем; if0 (а;) = а0 (ж).; При этом сга |i=0 6 С™ (R™). Что-
Чтобы удовлетворить данным Кощи, остается добиться того,

§ 11. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	219
чтобы г[?ь (х) е= 0 при к ^ 1. Из уравнения г]I (х) == 0 по-
получаем соотношения
Напомним, что по известным аа, fa коэффициенты С^р,
а у?= р, определяются однозначно, а коэффициенты С\а
удовлетворяют уравнениям переноса, однако данные Коши
можно задавать произвольно. Полагая
получаем, что о!I (а;) = 0. Существенно, что коэффициент
Срр |i=0 ^ 0 вне носителя вектор-функции и0 (х). Про-
Продолжая эти рассуждения, получаем ф. а. решение, для
которого данные Коши удовлетворяются точно.
Пример 11.1. Рассмотрим систему первого поряд-
порядка, не зависящую от t:
\%TiIDt + 'k-i ~ZAj(x)Dx. + B(x)]u = O. A1.52)
.7=1	'
Здесь Aj (х), В (х) — вещественные симметрические мат-
матрицы.
В этом случае формула A1.47) для главного члена асим-
асимптотики упрощается, так как векторы /а можно выбрать
не зависящими от t и так как ffp-Ph = 0. Поэтому главный
член асимптотики имеет вид
exp [i%Sa] l/4a ^ a. |t.o X
' Ja\t> У)
.M*%»*-]л
0	j=l	j=l
A1.53)
Аргументы всех функций и вектор-функций те же, что
и в A1.47).
Приведем аналог леммы 11.4 для оператора L, в кото-
котором изменен порядок действия операторов xj, Dx..

220	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Лемма 11.8. Пусть условия леммы 11.4 выполнены
и оператор имеет вид
t, х, Х-1ОХ;(Ц-1)).	A1.52')
Тогда справедлива формула A1.35), где функция Ма имеет
вид
Доказательство. Пусть R\ — оператор A1.32),
aili — аналогичный оператор, отвечающий гамильтониа-
гамильтониану A1.52'). Тогда, в силу B.11), B.15),
Дифференцируя тождество A1.38) по xh, получаем
дЧ1 ,а дН df дН df
' *~ dpj dxk ~f~ dxk dpj
dpj dxk ' * dpj dxk f dxk
dPjdxh dPjdxh ' + dpj dxh
dha df
' dx^ dpj a dpj дхь
Умножая это тождество скалярно на /а, получаем тождество
; (d(H-ha)
dPj
) p\«^m (Ц.54)
Из этой формулы и леммы 11.4 следует A1.53').
4. Асимптотика задачи Коши A1.9), A1.10) в целом.
С этой задачей Коши связаны N лагранжевых п-мерных
многообразий
К* = {(х, р)- х = ха(t, У), Р = Ра {t, у),

§ И. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	221
в фазовом пространстве R2n и N лаграчжевых многооб-
многообразий
Л?+1= U
0
размерности п + 1 в фазовом пространстве R2n+2 с коор-
координатами (t, х, Е, р) (Е — двойственная к t переменная).
Мы сохраним те же обозначения, что и в § 10, добавляя
всюду индекс а (номер многообразия).Ч1усть Gla — опера-
оператор сдвига вдоль траекторий гамильтоновой системы
dp __ dha At_ _ , <№___
d% — ' dx ~
dx — dp ' dx ~ dx ' d% — ' dx ~ dt ' A1-°°)
Рассмотрим лагранжево многообразие Л„+1; оно стро-
ится^по гамильтониану ha (t, х, р) так же, как и в § 8, п. 3.
Получим формулу коммутации для оператора L и кано-
канонического оператора Ka = Kr.n+i. Пусть многообразия
Лр+1 и собственные значения /ig, I ^ f5 ^ 7V, удовлетво-
удовлетворяют условиям теоремы 8.4, условия L 11.1 — L 11.4 вы-
выполнены,
Теорема 11.9. Пусть /: Л?+1 ->¦ R^ есть вектор-
функция класса С°° и проекция supp / на R|™;p содержится
в некотором компакте при всех t ? [0, Т]. Тогда справедли-
справедлива формула коммутации
LKaf = Ka 2 (il)-jRjf + O^m_l>T	A1.56)
при любом целом т ^ 0. Здесь Rj — дифференциальные
операторы на Л?+1 порядка ^.j, с коэффициентами из
класса С°° (Л„+1), не зависящими от X. Далее,
Rof = (#" -hj)f.	A1.57)
Если f = oafa, где аа — скалярная функция класса
), (/a, f)=\, то
<л
где функция Ма имеет вид A1.36).

222	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Во всех этих формулах / = / (t, х, р), где точка (х, р) ?
Эта теорема играет точно такую же роль для систем,
что и теорема 8.4 для скалярных уравнений.
В формулах A1.56) — A1.58) заключено основное содер-
содержание настоящего параграфа.
Доказательство теоремы 11.9. Приведем
доказательство для предканонических операторов; после
этого переход к каноническому оператору совершается
так же, как и в п. 3 доказательства теоремы 8.4.
Учитывая инвариантность многообразия Л„+1 относи-
относительно сдвигов вдоль траекторий динамической системы
A1.55), выберем канонический атлас специальным обра-
образом. Именно, пусть О, — карта на Л?о, а, которая диффео-
морфно проектируется на лагранжеву плоскость р(Г1, х{&)
(здесь (у) U (б) = {1, 2, . . ., «}, множества (у), (б) не
пересекаются). Тогда карты gl Q, обладают этим же свой-
свойством, если \ t — ?0 | < е, где s ;> 0 достаточно мало,
а О, — карта на Л™0> а, которая содержится в Q вместе
со своим замыканием. В качестве канонического атласа
на Ла+1 выберем атлас из карт, проекции которых на
Щ" р имеют вид U gf?l.
I *-*о I < е
1. Докажем формулу коммутации в неособой карте.
Пусть Q — неособая карта, т. е. в качестве координат на Q
можно взять переменные (t, x). В соответствии с вышеизло-
вышеизложенным Q можно взять в виде
х = а« (*, у), р = р* (t, у),
Здесь Q — область в Щ, {ха, ра) — решение системы
A1.29) с данными Коши х |(=0 = х° (у), р |(=0 = р° (у),
где точка (а;0 (у), р° {у)) = Л"о> а. Точки г ? Q, параметри-
параметризуются переменными (t, у): г — г (t, у). Предканонический
оператор К в карте Q, с точностью до несущественного
числового множителя, имеет вид
(К<р (г)) (t, х) = exp (OS) j/^^'y/ (Ф ° г) (t,

§ 11. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	223
(все индексы у оператора К, для краткости, опущены)-
Здесь
t
S= } ((ра, dxa)-hadt'),
to
интеграл берется вдоль бихарактеристики, S — в точке
г = (t, xa (t, у), Е, ра (t, у)). Имеем
й5« _ __ъ it х v\
в карте Q. Пусть вектор-функция / 6 С°° (Q). Тогда,
в силу A1.3), A1.4),
Здесь и далее Н = Н (t, х, р; 0), точка (х, р) ? Л™ а. Если
/ = аа/а, то из леммы 11.4 следует A1.58). Мы ограничим-
ограничимся первыми двумя членами разложения A1.56); существо-
существование этого разложения с любым числом членов вытекает
из § 9. В дальнейшем также ограничимся первыми двумя
членами.
2. Пусть Q — особая карта, и пусть в качестве коорди-
координат на Q можно взять переменные (t, p). Соотношения
A1.56), A1.57) доказываются точно так же, как и выше.
Соотношение A1.57) мы получим, комбинируя лемму 11.8
и формулы для преобразования Фурье Х-п. д. о.
Имеем
Ф) , A1.59)
I
где F = F^] p-*x, функция ^? и якобиан /а будут указаны
ниже. В силу E.3) имеем
LF-i = F-iL,
Заметим, что порядок действия операторов дифференци-
дифференцирования и умножения на функцию иной, чем в исходном

224
ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
операторе
*, х,
Функция S зависит от переменных (t, p). Ее явный
вид в данном месте несуществен. Важно только, что эта
функция удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби
Сделаем в системе Гамильтона A1.29) замену
х = р, J>=—x	A1.60)
и положим
Tia(t, х, p) = ha(t, x, p).
A1.61)
Система A1.29) отвечает уравнению Гамильтона — Якоби
A1.13), и р = dS/dx на траекториях этой системы (см.
C.10)). Переменная t играет роль параметра.
Преобразование A1.60) — каноническое; по теореме
4.16 при таком преобразовании система Гамильтона A1.29)
снова переходит в систему Гамильтона с гамильтонианом
ha. Для наглядности выпишем все уравнения параллель-
параллельно; здесь S — S (t, x), S~= S (t, p) и, в силу A1.60),
A1.61),
ha(t, x,p) = h*(t, p, -x).	A1.61')
Следующая таблица иллюстрирует двойственность х-
и /^-представлений.
^-представление
dS.-,! dS
dx dha dp
dt dp ' dt
на траектории
as
" dx
) °
dha
dx
р-представление
dS r" / dS
dx dha dp
dt d~p ' *
на траектории
OS
P ~ dx
dha
dx

§ 11. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
225
Для более полной симметрии запишем уравнения
Гамильтона —Якоби и операторы L, L в виде
~ + Ъа (t, X,p) = 0
at
f "Х- 1~1тт <Л
где символы i/, Л связаны тем же соотношением, что
и К, Tia:
8(t,x,p;B) = H(t,x,p;B).	A1.61")
Применяя лемму 11.8 [в данном случае Ja =
= det x Z'v , аналогично A1.33)) , получаем из A1.53)
ду	I
для оператора Ма выражение
¦ 1
2
Далее, в силу A1.60), A1.61'), A1.61*) имеем
athajt,lc, р) _ ^feg (t, x, p)
<3^5pj	toj^pj '
aS dfa _ он of
dxj dpj dPj dxi
Напомним, что в окрестности каждой неособой точки
карты Q с Ag+1 в качестве локальных координат можно
выбрать либо (t, x), либо (t, p) и что точки
(t, х, Е, р), {t, ж, ?, J?)
определяют одну и ту же точку на Л?+1, если
dSa (t, х)	~ ^ - dSa (t, р)
Р
дх
Х
др
15 в. П. Маолов, М. В. Федорюк

226	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
3. Точно так же исследуется случай, когда в качестве
локальных координат в карте Q можно взять t, часть пере-
переменных х и часть переменных р. Именно, пусть
{1, 2, . . ., п} = (б) U (-у), множества (б), (у) не пересе-
пересекаются и (t, рF), xw) — локальные координаты в карте
Q, F-1 = Fl) j>F)-.w оператор i? имеет вид A1.59).
Сделаем каноническое преобразование
Xh = xk, pk=Pk,
так что
x — (Pl6)ixw)i	Р = ( —
и положим, как и в A1.61), A1.61'),
К it, х, р) = ha {f, x, p),
H{t~x,p;$) = H{t,x,p;O).
Тогда полученные на стр. 223 формулы останутся в силе,
с той лишь разницей, что
Г	xw, p(Y), ^Ф (аI)
Именно, по переменным яF) и х(у) операторы умножения
на функцию и дифференцирования действуют в разном
порядке, так что при вычислении Ма необходимо исполь-
использовать и лемму 11.4, и лемму 11.8. Но, как мы уже убеди-
убедились выше, в пп. 1, 2, слагаемые, составляющие функцию
Ма, инвариантны относительно порядка, в котором дей-
действуют указанные операторы, так что формула A1.36)
остается в силе.
Рассмотрим задачу Коши
u\t=o = u°(x)e^V[i^So(x)]	A1.62)
для системы A1.9), где, как обычно, функция So (x) ?
? С°° (R11) и вещественнозначна, вектор-функция и0 (х) ?
? С^° (R11)- Пусть {/а (t, х, р)} — ортонормированный ба-
базис из собственных векторов матрицы Н (t, x, р, 0) класса
С°° при 0 < t < Т, (х, р) ? R2". Тогда, как показано
в доказательстве теоремы 11.7, вектор-функция и0 (х)
разлагается по собственным векторам /а |4=0 =

§ 11. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	227
= /« @, х, dS0 (х)/дх):
N
\и°(х)= 2] o*(x)f\t*o,	(И-63)
а=1
где оа (х) ? С* (R11). Соответственно задача Коши рас-
распадается на N задач Коши
j^Occ I 	 __ ^ /j.\ -f 1 		A1.64:)
Решение задачи A1.9), A1.62) есть сумма решений задач
A1.9), A1.64). Напомним, что условия L 11.1 — L 11.4
выполнены и что все лагранжевы многообразия Л?+1,
1 ^ а ^ N, удовлетворяют условиям теоремы 8.4.
Теорема 11.10. Пусть выполнены сформулирован-
сформулированные выше условия. Тогда для любого М ^ 1 существует
вектор-функция иаМ (t, x, X), которая точно удовлетворя-
удовлетворяет данным Коши A1.64) и удовлетворяет уравнению A1.9)
с точностью до О (Я~м), т. е.
LuaM?O_MiT.	A1.65)
Это ф. а. решение имеет вид
~о м
и*м (t, х, К) = exp [iXS0 (у0)] Кл™+1 ^ (iky1 qW A1.66)
(обозначения те же, что и в A0.12)).
Выпишем главный член асимптотики:
<ра° (t, х, р) = ехр ( - j if a dx) аа (у) f (t, х, р). (И .67)
о
В этой формуле х = ха (t, у), р = ра (t, у) (это решение
задачи Коши A1.29), A1.34) для гамильтоновой системы),
а функция Ма имеет вид A1.36).
Отметим, что все вектор-функции фад тождественно
равны нулю на Л?+1 вне «полосы», вырезаемой бихаракте-
бихарактеристиками, т. е. при каждом t 6 [0, Т] они отличны от нуля
только в тех точках, проекции которых на R|" p содержатся
в множестве
{(х, р): х = лЯ (t, у), р = pa (t, у), у ? supp aa}.
Доказательство. Будем искать ф. а. решение
в виде A1.67). По формуле коммутации A1.56) имеем

228 ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
г о
(здесь Ка = КА%+1)
М	M-j
Будем последовательно приравнивать нулю коэффициенты
при степенях е. Имеем R0(fa° = 0, т. е. сра0 = ста/а. Для
функции сга получаем уравнение переноса
и поставим данные Коши
°~а |(=0 = О'а)
получим A1.67). Последующие приближения находятся
по той же схеме, что и в доказательстве теоремы 11.7.
Главный член асимптотики можно также записать
в виде A0.17), где следует заменить Н на ha и Л™ на Л?; а.
5. Характеристики постоянной кратности. Выведем
уравнения переноса в случае, когда уравнение A1.15)
имеет корни постоянной кратности. Рассмотрим уравнение
A1.1) с символом L (х, р; A%)~г), удовлетворяющим усло-
условию L 11.1. Пусть hj {x, р) — собственные значения мат-
матрицы L (х, р; 0). Введем следующие предположения.
1)	Кратность собственного значения hx (x, р) равна к
и не зависит от (х, р) ? R2n.
2)	Множество Мг: Ь,г (х, р) = 0 есть С°°-многообразие
размерности 2п — 1 в Щ" р. Функция Ь,х (х, р) вещественно-
значна в окрестности этого множества.
3)	Собственное значение hx изолировано в следующем
смысле: существуют постоянные е0 > 0, б0 > 0 такие, что
I ^ (х, р) | > б0
при всех (ж, р) таких, что | hx (х, р) | ^ е0, и при всех
4)	При | их (х: р) | < е0 резольвента (ц1 — L (х, р; О))
имеет (при фиксированных (х, р)) простой полюс в точке
К (х, р).
Последнее условие означает, что нормальная жордано-
ва форма матрицы L (х, р; 0) не имеет жордановых клеток,
отвечающих собственному значению в окрестности много-
многообразия hi = 0.

§ И. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	229
Лемма 11.11. Пусть условия 1) — 4) выполнены.
Тогда существует матрица L (х, р) из класса С°° (R2™)
такая, что
1 (х, р) L (х, р; 0) = L (х, р; 0) 1 (х, р) = }ц (х, р) I,
L2=^L.	A1.67')
Здесь / — единичная (N X ЛО-матрица.
Доказательство. Фиксируем точку (а;0, р°)
такую, что Ь,г (х°, р°) = 0, и ее замкнутую окрестность U,
в которой | hx (х, р) | ^ е, где е ^ е0 будет указано ниже.
В силу условия 4) имеем
(Iil-L(x, p; 0)Г1=^'?р)+В(\1, х, р)
при (х, р) ? U. Матрица Б голоморфна по ji. при
hl(x, p) — hj(x,p)\,
так как полюсы резольвенты совпадают с собственными
значениями матрицы L (х, р; 0). Положим е = бо/4
и выберем р такое, что 8 < р < б0 — 8. Тогда резольвента
голоморфна на окружности | \i \ = р при любых фиксиро-
фиксированных (х, р) ? U. Действительно, на этой окружности
[ ц — Их (ж, р) | > р — е > 0, а при / ф 1
| ц — h} (x, р) | >
> I hs (х, р) — hx (х, р) | + | |i | — | hx {x, р) | >
>б0 + р - е >0.
Имеем
А(х,р)= res (jj,/ — L(a;, p; О)) =
= 2^Г j (n/-
откуда следует, что Л (ж, р) ? С°° (U). Действительно, мат-
матрица (\il — L) бесконечно дифференцируема по перемен-
переменным (ji., х, р) при | ji, j = р, (х, р) ? U в силу выбора
р, С/. Из известных свойств вычета резольвенты [18] выте-
вытекает, что
L (х, р; 0) А (х, р) = А (х, р) L (х, р; 0), 42 = А.

230	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Положим L (х, р) = А (х, р) в области | h± (x, p) \ <? в,
а затем продолжим эту матричную функцию на R|" p
с сохранением гладкости.
Заметим, что в дальнейшем нам понадобится существо-
существование матрицы L (я, р) класса С^° только в малой окрест-
окрестности некоторой точки (х°, рй), hx (х°, р°) = 0.
Пусть условия леммы 11.11 выполнены. Построим по
гамильтониану hx (x, р) лагранжево многообразие Л™
(конструкция и условия на гамильтониан те же, что и в те-
теореме 8.4) и канонический оператор К = К$п.
Теорема 11.12. Пусть выполнены сформулирован-
сформулированные выше условия и /: Ли ->• TAN есть матричная функция
класса С™ (Ли). Тогда справедлива формула коммутации
A1.56) с остаточным членом класса Otm-i (R?)- Далее,
Ro = L° = L (x, p; 0),
! 1 А дЧЛ(х, р) .
dxj dp3 '
,. A1.68)
Здесь d/di — производная в силу гамилътоновой системы
dx 	 dhi	dp	 dhi
dx dp '	dx	ax
и L (x, p) — построенная в лемме 11.11 матрица.
Доказательство теоремы сводится к доказа-
доказательству формулы A1.68). Поскольку оценки для остаточ-
остаточных членов уже были получены ранее, то мы пишем про-
просто О (eft), e = (ik)'1, не уточняя смысл символа О. Далее,
выберем матрицу-функцию L (х, р) ? С™ с носителем,
сосредоточенным в окрестности некоторой точки (х°, р°),
для которой hx (x°, р°) = 0. Напомним, что hx (x, р) = 0
на Л™. Имеем
LK = гКЯг + О (е2),
так что

§ 11. МАТРИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ	231
где L — оператор умножения на матрицу L (х, р). Пусть
.с	—21
L — оператор L (х, k^Dx), тогда
1ШЬ = еКЬ1{?+0(е2).	A1.69)
Теперь сгруппируем операторы иначе:
1lKL = (ZL)(KL).
В силу B.33) — B.35) имеем
где
2	1
Q = Q (x, Я-1ОЖ)
есть Я-п. д. о. с символом
п,х р)=у dZ(x' р) дЬ^ Р' °) +1L . (и.-;
4 г1 -^-1	dp;	ox;	ft t=0
Воспользуемся формулой коммутации для скалярного
оператора h1 (см. теорему 8.4); тогда получим, что
3=1
Следовательно,
Сравнивая правые части формул A1.69) и A1.71), получаем
Тем самым формула A1.68) доказана.
В § 14 будет рассмотрен еще один вариант уравнений
переноса, отвечающих системе A1.1).

232	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
§ 12. Квазиклассическая асимптотика
задачи Коши для уравнения Шредингера
1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение Шредин-
Шредингера
и поставим задачу Коши
\|з (=0 = ф0 (х) еh .	A2.2)
Здесь х ? R", So (x) — вещественнозначная функция.
Уравнение A2.1) описывает движение нерелятивист-
нерелятивистской квантовой частицы массы т в потенциальном поле
с потенциальной энергией V {х). Потенциал V {х) пред-
предполагается вещественным.
Рассмотрим оператор L: L2 (R11) -> L2 (Rn) с областью
определения D (L) — C™(Rn), действующий по формуле
Оператор L симметричен:
ь 'Фа) =
для любых ij)li 2 ? С™ (R3), где скалярное произведение
(•, •) имеет вид
, ф) = j ф (х) Ф И Жг.
R3
При некоторых условиях на потенциал V (х) минималь-
минимальный симметрический оператор L можно расширить до само-
самосопряженного оператора A: L2 (Rn) ->- L2 (Rn) с плотной
в L2 (Rn) областью определения D (А). Достаточным
условием является, например, следующее [66]:
V (х) ? С°° (Rn), inf V (х) > — оо.
Тогда уравнение Шредингера можно записать в виде
ih*± = A$.	A2.3)

§ 12. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	233
Мы ограничимся потенциалами V (х) ? <5° (R™)> где
# — пространство Шварца. Нас интересует асимптотика
решения задачи Коши A2.1), A2.2) при h -*¦ 0 в области
х 6 Rn, 0 ^ t ^ Т. Уравнение A2.1) можно записать в виде
9	¦)
ift-^-f Я(Я Щ*I|) = 0,	A2.1')
Я(х,р) = ^ + У(.г),	A2.4)
где р2 = (/?, /)>. Левая часть уравнения A2.1') есть h'1-
псевдодифферепциальный оператор с символом — Е +
+ -^ (ж, р), где ? — двойственная к t переменная.
Применим развитую в § 10 схему к уравнению Шредин-
гера. Уравнение Гамильтона — Якоби, отвечающее урав-
уравнению Шредингера, есть уравнение Гамильтона — Якоби
классической механики
4- + i(V^ + VOr) = 0.	A2.5)
Функция S является классическим действием.
Укороченная система Гамильтона, отвечающая урав-
уравнению Шредингера, имеет вид
Эта система эквивалентна системе Ньютона
>n^r--VV(x).	A2.7)
Полная система Гамильтона получается добавлением
к системе A2.6) системы
а функция S удовлетворяет уравнению
dt~2m ' w'
Если х = x (т.), р = p (т.), О ^ т ^ Т, есть решение
системы Гамильтона A2.6), то вдоль траектории действие

234	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
вычисляется по формуле
^~]x A2.9)
о
или же
t
"с, A2.9')
_ I "	Л
О
где х (т) — решение системы Ньютона A2.7).
Задаче Коши A2.1), A2.2) отвечают лагранжевы зада-
задачи Коши
•*-" |^о — У7 Р ц—0 == —^	» У ^z "¦	\х?. i\J)
для укороченной системы Гамильтона A2.6) и
°~ ' A2.11)
для системы Гамильтона A2.6), A2.8).
Множество, заданное уравнением A2.10), есть лагран-
жево n-мерное С^-многообразие Л" в фазовом пространстве
R??p! множество A2.11) — лагранжево и-мерное много-
многообразие Л™ в Bп 4- 2)-мерном фазовом пространстве R2"+2.
Так как потенциал V (х) ? З3 (R™), то решение постав-
поставленных выше задач Коши существует в целом, т. е. при
—оо <С t <С оо.
2. Асимптотика решения задачи Коши в малом. Поло-
Положим, как обычно,
A2.11')
где (х (t, у), р (t, у)) — решение задачи Коши A2.6),
A2.10).
Асимптотика решения задачи Коши A1.1), A1.2) непо-
непосредственно вытекает из результатов § 10. Однако для
данной конкретной задачи можно получить более простые
формулы и для главного члена асимптотики, и для после-
последующих приближений. Всюду в дальнейшем предполагает-
предполагается, что выполнено условие

§ 12. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	235
Ш 12.1. Функции So (х), V (х) вещественнозначны и
При этом условии решение задачи Коши A2.1), A2.2)
существует, единственно и принадлежит С°° (R? X Нг)
при каждом фиксированном h =fi^ О [66].
Получим характеристическое представление уравнения
Шредингера в малом (формула A2.14)). Введем множества
ЩМ) = {(*, х, р): х = х (t, у), р = р (t, у),
— оо < i< оо, г/ ? М),
ПГ (М) = П (М) П {0 < t < Г},
где М — некоторое множество в Ну (рис. 4).
Множество П (М) — это полоска, заполненная биха-
бихарактеристиками, для которых х \t=0 ? М (трубка траек-
траекторий). Обозначим через Пх (М), ПТ) х (М) проекции поло-
полосок П (М), Пг (М) на R",+x. Если множество М компактно,
то множества Пт (М), ПТ: х (М) компактны в пространст-
пространствах R2lHl, R™41 соответственно.
Лемма 12.1. Пусть условие Ш 21.1 выполнено и М —
шаР \ У I ^ R- Тогда существует Т = Т (R) >. О такое,
что
1) / (t, у) е с00, i /(*,?) i > б > о
гс/>м 0 < г! < Т, у,g Ж, где / — якобиан A2.11');
2) решение S (t, х) задачи Коши S @, х) = So (x) для
уравнения Гамильтона — Якоби A2.5) существует, един-
единственно и бесконечно дифференцируемо при (t, х) ? Пт> х (М).
Доказательство. В силу условия Ш 12.1 век-
вектор-функция
x = x(t,y)?C°°(Rtx~Ry),
так что якобиан / (t, у) бесконечно дифференцируем при
всех t, у. Так как / @, у) = 1, то утверждение вытекает
из компактности шара М. По теореме о неявной функции
уравнение х = х (t, у) относительно у однозначно разре-
разрешимо и имеет единственное решение у = <р (t, x) класса С°°
в окрестности любой точки (t0, у0), где 0 ^ t0 ^ Т, \ у0 | ^
^ R. Так как М — компакт, то, применяя лемму Гейне —
Бореля, получаем, что у = ф (t, x) ? С°° при (t, x) t

236	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
6 ПГь х (М), 0 < Т^ Т. Следовательно,
P = P(t,y) = p (t, ф (t, x)) = р (t, х) ? С™
при тех же t, х и функция S (t, x), заданная формулой
A2.9), бесконечно дифференцируема в полоске Пгь х (М)
(рис. 4). Эта функция является решением задачи Коши,
как показано в § 3.
В полоске Пг, х (М), таким образом, можно ввести кри-
криволинейные координаты (t, у) (рис. 14) вместо координат
(t, x). Положим
|-ет8(('Х)ф(г, х)	A2.12)
(S определяется из A2.9), где х = х (t, у)). Далее, поло-
положим
<p(t,x(t,y)) = v(t,y).	A2.13)
Лемма 12.2. Пусть Т, М те же, что и в лемме 12.1.
Тогда в полоске П г х (М) уравнение Шредингера имеет вид
Заметим, что по отношению к лучевым координатам у
оператор Лапласа Ах есть оператор в криволинейных
координатах
Доказательство. Подставляя выражение
A2.12) и используя формулу
А (ф1фг) = ФгАф1 + 2 (Уф4, Уф2) + Ф1ЛФ2,
получаем после сокращения на еh уравнение

§ 12. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	237
где V = =-• Правая часть этого уравнения равна нулю:
коэффициент при h° равен нулю, так как действие S
удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби, а коэф-
коэффициент при h равен нулю, так как / удовлетворяет урав-
уравнению переноса.
Заметим, что можно было бы не выписывать явный
вид правой части уравнения A2.15); достаточно знать,
что она имеет вид аср -j- hbq>, где а, Ъ — функции, не зави-
зависящие от ср. Действительно, функция A2.12) при ср = 1
есть решение уравнения Шредингера с точностью до
О (h2), как показано в § 3, теорема 3.15, так что а == О,
Ъ = 0. Наконец,
где — — производная в силу системы Гамильтона A2.6),
(It
и лемма доказана.
Введем пространство Ст (L3), которое является замы-
замыканием бесконечно дифференцируемых при | t | ^ Т, х ?
? R™ и финитных по х при каждом фиксированном t ?
? [ — Т, Т] функций ф (t, x) по норме
|| ф (t, X) ||cr(L2) =
<p(t, x)\2dx) .
Теорема 12.3. Пусть условие Ш 12.1 выполнено
и Т > 0 достаточно мало. Тогда решение задачи Коши
A2.1), A2.2) имеет вид
1|з (*, х, Щ =
N
A2.16)
Здесь N 2> 1 — любое целое число; остаточный член удов-
удовлетворяет оценке
|| RN+i (t, x, h) \\cT{L2)<CNhN+i	A2.17)
при 0 < h ^ h0, где h0 > 0 достаточно мало.
Явные выражения для функций tyk (в этих форму-
формулах х = х (t, у) и интегралы берутся по траекториям

238	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	I
I
гамилыпоновой системы A2.9)) имеют вид
*к« <*, *) = ( VJ%Y) А, ( »»<'l^_y» ) Л.
Все функции ijjfc (?, ж) бесконечно дифференцируемы в по-
полоске Пг, х (supp \[H) ы равны нулю вне этой полоски.
Доказательство. В силу условия A2.1), лем-
леммы 12.1 и теоремы 3.15 при любом N ^ 1 существует
функция
АГ+1
которая удовлетворяет данным Коши A2.2) и такова, что
д	№
Если функция / ? O_fe> г, то
что следует из определения класса CLft) T (§ 10).
Запишем уравнение Шредингера в виде A2.3); тогда
ш —jt	A-Wn+i — In-
Из предложения 10.3 следует, что
CN || fN \\Стм < C'NhN+i,
так как fN g O-N^2, т- А поскольку
TO
Тем самым установлена оценка A2.17) для остаточного
члена.
Остается доказать, что % = tykJ~V2, т. е. что tjjft/1/2
имеет вид A2.18). Поскольку существование асимптотиче-

§ 12. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	239
ского разложения уже установлено и асимптотическое
разложение по степеням h единственно, то можно ограни-
ограничиться формальными выкладками при доказательстве фор-
формулы A2.18). Положим
ft=0
Подставим в уравнение Шредингера и после сокращения
на eh приравняем нулю коэффициенты при степенях h.
Используя характеристическое представление A2.12) для
уравнения Шредингера, получаем рекуррентную систему
уравнений
ж
V J
Здесь tyj (t, у) = \[)j (t, x {t, у)). Данные Коши задаются
следующим образом:
Решая последовательно эти задачи Коши, получаем
A2.18). Из этой формулы вытекает гладкость функций
apft в полоске Пг, х и их равенство нулю вне этой полоски.
Теорема 12.3 есть строгое доказательство известного
физического факта: квазиклассическая волновая функция
квантовомеханической частицы сосредоточена вблизи клас-
классической траектории. Действительно, если г(з — решение
задачи Коши A2.1), A2.2), то из теоремы 12.3 следует, что
| г(з |2 есть величина порядка 1 в лучевой трубке Пт, х,
заполненной классическими траекториями, и что | г(з |2
убывает быстрее любой степени h при h -*- 0 вне лучевой
трубки. Это означает, что вероятность нахождения частицы
вне лучевой трубки сколь угодно мала при малых h.
3. Асимптотика решения задачи Коши в большом. Ниже
предполагается, что выполнено условие Ш 12.1 и условие
Ш 12.2. Множества Л? = gl А% (при 0 < t < То) и Л^1 =
= U Л" являются С°°-многообразиями.
O<i<To
Из предложения 4.19 вытекает, что AJJ1 есть лагранже-
во многообразие размерности п -(- 1.

240
ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОБ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Теорема 12.4. Пусть условия Ш 12.1, III 12.2
выполнены при 0 < Т < То; тогда решение задачи Коши
A2.1), A2.2) имеет вид
, h) =
2
й=0
A2.19)
Для остаточного члена справедлива оценка A2.17). Функ-
Функции ¦\ph ? С°° (Aj+l) и равны нулю вне полоски ПТ (supp ijH).
Доказательство этой теоремы вытекает из
существования ф. а. решения г|>
доказанного в § 10, теорема
10.1, и из оценки обратного
оператора (предложение 10.3).
Приведем асимптотические
_ формулы для решений ура-
х внения Шредингера в нефо-
нефокальных точках. Пусть х =
= х (t, у) — траектория си-
системы A2.6). Точка to назы-
называется фокусом на траектории
х = х (t, у), если / (t0, у) = 0.
Выпишем асимптотику решения задачи Коши A2.1),
A2.2) в нефокальных точках. Фиксируем t0, точку хь ? R"»
и пусть у3 ? Rn, / = 1, 2, . . ., N = N (ж0),— все такие
точки, что
х (t0, у3) = х\	A2.20)
Число таких точек у1' конечно, если точка (t0, x°) нефокаль-
нефокальная [83] (рис. 15). Напомним (см. § 7), что индекс Морса ц
траектории (с нефокальными концами) равен числу фокаль-
фокальных точек на траектории с учетом их кратностей.
Из теорем 12.3, 10.2 вытекает
Теорема 12.5. Пусть точка (t0, x°) нефокалъная.
Тогда
N
¦¦(to, У') -1/2
Рис. 15.
det-
X
X
A2.21)

§ 12. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	241
Здесь Sj (t\>, х°) — действие вдоль классической траек-
траектории, соединяющей точки у3, х°, т. е.
Sj (t0, a») -So (у5) + { (m^--U(x))dt,
о
где интеграл берется по такой траектории, что
x\t=u = y3, x|t=i0 = a°,
и \ij — индекс Морса этой траектории.
В качестве примера рассмотрим квантовомеханическии
осциллятор
<*>*	A222>
где х ? R™. Фундаментальное решение G {t, x, у) задачи
Коши для уравнения A2.22), т. е. решение с данными
Коши
G](=0 = 6(a; — у),
вычисляется в явном виде [54]:
G (t, х, у) = Bnhi sin t)~n/2 ехр Г-|- S (t, x; 0,y)l,
t	A2-23)
S (t, x;0, y) = Y^hTF Шх, х) +(у, y))cost-2(x, y}].
Напомним, что S — это двухточечная характеристическая
функция, т. е. действие вдоль луча х = X (т.) такого, что
X @) =v, X(t)=x
(см. C.72)). Отметим еще, что формула A2.23) справедлива
только при 0 < t <C л/2.
Следовательно, при 0 < t < л/2 имеет место такое
представление для решения задачи Коши:
Ц> (*, х) = j G (t, x, у) ,|> @, у) dy,	A2.24)
нг/
если Ц @, I/) ? С (R").
Рассмотрим задачу Коши
г|з |(=0 = \jj0 (ж) ехр (-^- {р°, а;))",	A2.25)

242	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
где \[H ? С™ (R™), р° ф 0 — фиксированный вектор, и вы-
выпишем асимптотические формулы для решения задачи
Коши A2.22), A2.25). Система Гамильтона имеет вид
dx	dp
dt "Pi	dt -	X'
данные Коши для этой системы, индуцированные данными
Коши A2.25), имеют вид
zl<=o = y. P\t=o = p°, y€Rn-
Решение задачи Коши для системы Гамильтона дается
формулами (см. пример 3.22, § 3)
х = р° sin t -j- У cos t, p = p° cos t — у sin t.
A2.26)
Якобиан / (t, y) = ¦ д' у равен
/ (*, у) = (cos t)n
и обращается в нуль при t — tk = кп + я/2, /с = 0, ±1,
±2, . . . Формула A2.26), где у пробегает Rn, задает
лагранжево С°°-многообразие Л" в фазовом пространстве
Ra" p. Это многообразие диффеоморфно проектируется на
R" при t Ф tk. При t = tk имеем
A?h = {(x, p): x = (-l)kp°, p = (-l)^y, yGR»},
т. е. многообразие Л" есть «-плоскость, параллельная
координатной лагранжевои плоскости р. Это многообразие
диффеоморфно проектируется на R".
Исследуем семейство лучей х = х (t, у), у ? R™. Если
t = tk, то
х (tk, У) = (-1)* Р°
при всех I/, т. е. все лучи собираются в одну точку — про-
происходит фокусировка лучей (рис. 7). Если же t Ф th, то
в любую точку х ? Rn за время t приходит ровно один луч
х = х (t, у), где у определяется из соотношения
*=ь^	A2.27)
(см. также C.69)). Выпишем асимптотические формулы для
решения задачи Коши A2.22), A2.25) при t Ф tk. Действие

§ 12. УРАВНЕНИЕ ШРБДИНГЕРА	243
S равно S (t, х) = S (t, x; О, у), где у определяется из
A2.27), так что
S (t, x) = jtgt «p°, p°> - (х, х)).	A2.28)
1) 0 < t < я/2. За время t в данную точку ? приходит
ровно один луч; так как на этом луче нет фокальных точек,
то его индекс равен нулю. Следовательно, из A2.21) полу-
получаем
[±S(t, х)
A2.29)
где S имеет вид A2.28).
2) я/2 < t < Зя/2. В этом случае в каждую точку
за время t по-прежнему приходит ровно один луч, но на
этом луче х = х (т, у) имеется фокальная точка при
т = я/2. Кратность нуля якобиана / = (cos т)п равна п,
так что индекс Морса ц для этого луча равен п (§ 7). Из
A2.21) получаем
i (t, x) = \cost\ n/2 e~im'2 exp Г-|- S (t, х)Л X
+ 0(h) A2.30)
3) | + /от< i < \ + (к + 1) я, к > 0.
Из аддитивности индекса Морса следует, что индекс луча,
приходящего за время t в точку х, равен п (к -\- 1), так что
х
Остаточный член О (h) принадлежит классу C_i, T (Rn)
во всех формулах A2.29) — A2.31).
16*

244	ЧАСТЬ И. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Рассмотренный пример замечателен в том отношении,
что мы имеем возможность непосредственно проверить
асимптотические формулы. Именно, пусть 0 < t < я/2;
тогда решение задачи Коши A2.22), A2.25) имеет вид
я|з (t, х) = Bnhi sin 0"n/2 j exp [-J- S (t, x, i/)] ifo (у) dy,
Rn
S = S(t, х;0,у) + {р°, у).
Вычислим асимптотику этого интеграла при фиксирован-
фиксированном t и при h -*¦ 0 методом стационарной фазы (§ 1). Ста-
Стационарные точки функции S (как функции от у) опреде-
d~S л
ляются из уравнения -т- = 0, откуда находим, что стацио-
стационарная точка у = у (t, x) единственна и имеет вид
х — р° sin t
у=-
cost
(ср. с A2.27)). Значение функции S в стационарной точке
равно
Ос^ = о (t, X),
где 5 (t, х) имеет вид A2.28). Теперь вычислим y-g. Имеем
так что в стационарной точке
По формуле A.4) получаем (значения всех функций берут-
берутся в стационарной точке)
> (t, х) = Bnih sin t) ~n/2 det
-1/2
X
X exp [1S + -f-
что совпадает с правой частью формулы A2.20). Точно
так же можно провести проверку и для данных Коши
A2.2).
Этот пример имеет еще одно интересное приложение.
Из формул A2.23), A2.24) следует, что если if (t, x) —

§ 12. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	245
решение задачи Копш A2.22), A2.2), то
A2.32)
Но этот интеграл — это интеграл вида A.1), т. е. интеграл
от произвольной быстро осциллирующей функции. Оказы-
Оказывается, что можно получить асимптотическое разложение
для интеграла A2.32) и явные выражения для коэффициен-
коэффициентов при степенях h с помощью квазиклассической асимпто-
асимптотики решения задачи Коши A2.22), A2.2). Это сделано
в [42].
Приведем асимптотические	формулы для функции Грина
G (t, х, у). Рассмотрим краевую	задачу для классического урав-
уравнения Ньютона:
№Х _	дУ (X)
т ~Ж~ дХ~'	A2.33)
Х@) = у, X(t)=x.
Пусть решение X (т; t, x, у) этой задачи единственно. Дей-
Действие вдоль классической траектории равно
S(t,x, y)= j [~L-V(X(T,t, x, jr))]*r.	A2.34)
о
Фиксируем у ? Rn, и пусть решение задачи A2.33) единственно
при всех х ? Rn и при всех t 6 [О, Т]. На потенциал V (х) нала-
налагаются те же условия, что и в п. 1. Тогда квазиклассическая асимп-
асимптотика функции Грина имеет вид [35], [36]
« \1> х> У) — (
X
дх ду
[i-S(«, х, so][l + ftz]. A2.35)
Для функции z — i (t, х, у; К) имеет место оценка
при 0 < t < Т, х е Rn, 0 < h < 1.
Если потенциал V (х) — квадратичная функция, то асимпто-
асимптотическая формула A2.35) (при z= 0) дает точную функцию Грина
(при 0 < / < Т, где Т определяется по потенциалу V).
На больший интервал времени асимптотику функции Грина
можно продолжить, используя известную формулу свертки:
, x,y)=[ G(tz, х,

246	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Асимптотику последнего интеграла можно вычислить с помощью
метода стационарной фазы.
Пусть при фиксированных t, у краевая задача A2.33) имеет
конечное число различных решений Xk (т; t, х, у) (к = 1, 2, ^ . .
. . ., N), и пусть Sk (t, x, у) — действие вдоль fc-ro решения.
Тогда асимптотика функции Грина имеет вид
N
G(t, х, у) = Bпш)~п'
L
ft=l
det
дхду
1/2
X
Хехр (-i-Sft(*,*,ir)—y-|ift)+0(A)], A2.36)
где \ih — индекс Морса к-й траектории. При этом предполагается,
что концы каждой траектории не являются фокальными точками.
4. Квазиклассическая асимптотика функции Грина для ста-
стационарного уравнения Шредингера. Рассмотрим стационарное
уравнение Шредингера:
h*AxG + (Е - V (х)) G = 8(х — хй).	A2.37)
Здесь х, х° ? R™, точка х" фиксирована, потенциал V (х) — веще-
ственнозначная функция класса C°°(Rn), Е > 0 — постоянная,
Е — V (х) > а > 0,	leR".	A2.38)
Пусть потенциал V (х) достаточно быстро убывает на бесконечно-
бесконечности, а именно, для любого мультииндекса а справедлива оценка
ID%V(x)\^Ca(l + \x\r^-2, zgR».	A2.39)
На бесконечности поставим условия излучения Зоммерфельда:
G(x, хО) = 0{\х\^-пУ2),
д\х\ '
Как известно, решение задачи A2.37), A2.40) существует
и единственно при сформулированных выше условиях на потен-
потенциал. Это решение естьг|)-функция пучка частиц, вылетающих с энер-
энергией Е из источника, расположенного в точке ха, и движущихся
в потенциальном поле с потенциальной энергией V (х). Эту же
задачу можно интерпретировать как задачу о вычислении поля
точечного источника света в неоднородной среде с коэффициентом
преломления п2 (х) = Е — V (х), с волновым числом к = hr1.
Условие A2.38) в этом случае означает, что коэффициент прелом-
преломления и2 (х) всюду положителен, т. е. что в среде отсутствует
поглощение.
В одномерном случае задача о рассеянии хорошо изучена.
Исследованы даже столь тонкие вопросы, как задача о квазиста-
квазистационарных уровнях, задача о надбарьерном отражении (см. [37],
[49], [57], [59]).
При п ^ 2 задача о рассеянии является значительно более
СЛОЖНОЙ'

§ 12. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	247
В этом пункте изложены без доказательств строгие результаты,
полученные в [27] методом канонического оператора.
G уравнением A2.37) ассоциированы уравнение Гамильтона —
Якоби
(VS {х))г = Е — V (х)	A2.41)
и система Гамильтона
-sh2*- -аг—^м-	<!2-42)
Поставим следующую задачу Коши для системы Гамильтона;
p2|T=o = ?-F(*0)' *|т=0 = *°.	A2.43)
Напомним, что гамильтониан Н (х, р) = р2 -f- У (х) является
первым интегралом системы Гамильтона (см. § 3), так что
р2 + V {х) = Е	A2.44)
на любом решении {х (т), р (т)} задачи Коши A2.42), A2.43).
Физическая интерпретация данных Коши A2.43) такова:
из точки хй в момент «времени» т = 0 выпускаются все лучи, под
всеми возможными углами, которые имеют энергию Е. Укажем
лагранжево многообразие, ассоциированное с задачей A2.37),
A2.40). Начальные импульсы р |т=0 заполняют сферу 5™ =
= {р е R": р2 = е - v (*•)}. пусть е = (вх, е8	en_t) -
угловые координаты па сфере; обозначим через {х (т, 6), р (т, 6)}
решение задачи A2.42), A2.43) такое, что начальный импульс
р @, в) имеет угловые координаты в.. Всюду в оставшейся части
этого параграфа предполагается, что выполнено условие
Ш 12.3. Потенциал V (х) удовлетворяет условиям A2.38),
A2.39), и система A2.42) не имеет финитных движений.
Последнее условие означает, что при любом х° ? Rn
lim | х (т, 6) 1 = оо
Т->-+оо
при всех G ? S™-1. Тогда множество
Л" = {(х, р) G R2n: х = х (т, 6), р = р (т, 6), 6 6 S»-i,
0<т<оо} A2.45)
есть лагранжево С°°-многообразие размерности п с краем
дАп = {(ж, р) е R2™: г = ж0, р2 = В — У (г0)}.
Асимптотика функции Грина G (х, х°) при Л -> 0 строится с помо-
помощью канонического оператора К п, отвечающего многообразию Лп.
При построении асимптотики функции Грина возникает ослож-
осложнение, связанное с тем, что функция G (х, х°) имеет особенность
в точке х = х°, и потому асимптотика б^имеет разный характер
в окрестности U = {х ? R": | х — х° | < в} точки х° и вне этой
окрестности. В дальнейшем е > 0 фиксировано, но достаточно
мало.
Приближенную функцию Грина GN (x, х°) будем искать в виде
&	x *»),	A2.46)

248	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
где GXN = 0 при х g U, а функция GUN сосредоточена в окрестности
точки х".
1. Конструкция сингулярной части Gjy функции Грина.
Функция GJf строится с помощью нестационарного уравнения
Шредингера. Рассмотрим вспомогательную задачу Коши
^	)^,	A2.47)
A2l48)
где п2 (х) = Е — V (х), р С Rn. Пусть \f> (г, ж, р) — решение этой
задачи. Так как
ехр
уО>. x — x°)~\dp,
то формальное применение преобразование Фурье приводит к сле-
следующей формуле:
оо
G (х, хО) = j dp j ехр [ —1 <р, а;»)] г|) (*, ж, р) dp.
Мы уже обсуждали связанные с таким формальным подходом
трудности в § 10, п. 5. Кроме того, мы собираемся построить асимп-
асимптотику функции Грина только в малой окрестности U точки х°.
В этой окрестности все лучи —«почти прямые», так что естественны-
естественными координатами в U являются переменные (т, 6), если 0 ^ т ^ t0
и t0 < 1.
Введем срезающую функцию т| (t) ? С°° при t = 0, равную 1
при малых t и равную нулю при t ^ t0. Обозначим через tyN ф. а.
решение задачи Коши A2.48) с точностью до О (\ p\~N) (конструк-
(конструкцию ypN см. ниже) и положим
оо
&N &i х°) = I dP \ dtr\ @ $n (*i ^> Р) ехр — — (р, xQ) . A2.49)
r" о
Формально этот интеграл расходится; стандартными способами,
которые применяются к интегралам от быстро осциллирующих
функций, его можно регуляризовать.
Функция G°N ? С°° в малой проколотой окрестности точки х°.
Остается получить явные формулы для функций \pN, что сво-
сводится к построению асимптотики (при h —у 0, | р | !> 1) задачи Коши
A2.49) в малом. Из результатов § 10 вытекает, что
5=0
A2.50)

§ 12. УРАВНЕНИЕ ШРВДИНГЕРА	249
Действие S является решением задачи Коши
и является однородной функцией от переменных р степени 1. Далее,
/ — якобиан:
где х = х (t, у, р) — решение задачи Коши для системы Ньютона:
dx
-=—Vn2(x),
t=0
= p.	A2.52)
Тем самым конструкция сингулярной части функции Грина за-
завершена.
Как видно из формул A2.49) — A2.52), функция G°N выра-
выражается через решения динамической системы A2.52). Эта функция
в области U удовлетворяет уравнению
JAe /л* 6 C°°i и удовлетворяет оценкам
при х ? U.
2. Асимптотика функции Gjy вне сингулярности.
Интеграл A2.49) имеет особенность при х = х°, и его поведение
в непосредственной окрестности точки х° весьма сложное. Однако
если отступить от этой точки, то G^ будет быстро осциллирующей
функцией. Это можно показать, применив метод стационарной
фазы к интегралу A2.49). Эта асимптотика выражается в терминах
лагранжева многообразия Л" (см. A2.45)) и динамической системы
A2.42). Введем действие
г
S (х, х°) = \ (р, dx).	A2.53)
го
Интеграл берется по кривой, которая лежит на Л" и соединяет
точки г° = (х°, р°), г = (х, р), и р° — любая такая точка, что
р@J = п2 (х°) (т. е. х°, х — проекции точек r°, r на ^-пространство).
Пока х находится в малой окрестности U точки я0, функция S одно-
однозначна. Далее, введем якобиан
J{x,
dx
da> dx
A2.54)
Здесь х = х (т, 6) (луч),
dco = sin"-2 Bj . . . sin en_2 det . . . dbn-\
и x (t, 6) = x (т. е. луч проходит через точку х). Время t 6 @, tQ)%
точка х б U, так что такой луч единствен при малых ta, 6.

250	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Окончательно получаем асимптотическую формулу (h -*¦ -f 0)
то
[i	1 Г v-i	.	~\
-r-S (x, xO) i-\- у ф. [x, x°) M-if О (№+i) . A2.55)
h	J L f-*	J
Эта формула справедлива в области U\U0, где ?/0 — меньшая,
чем U, окрестность точки х°; функция ф;- g C°° (U\Ua).
3. Конструкция функции Gjy.
Эта функция выражается через канонический оператор К п,
отвечающий лагранжеву многообразию Л™ (см. A2.45)).
Пусть Af ~ часть многообразия Ап, лежащая над областью
RS\^i и F — окрестность точки х°, лежащая строго внутри выбран-
выбранной выше окрестности U. Многообразие Лр — неограниченное.
Тем не менее его можно покрыть конечным числом канонических
карт в силу отсутствия финитных движений (условие iff 123 и быстро-
быстрого стремления потенциала V (х) к нулю при | х \ -> оо. Это позво-
позволяет ввести канонический оператор К п по тем же формулам, что
и в § 8. Объем dan на Л™ выбирается так:
dan = den d%.
Этот объем инвариантен относительно сдвигов вдоль траекторий
системы A2.35).
Функция GJy задается формулой
•¦• + (-?-) ?лгI- A2.56)
Здесь р — срезающая функция, равная 1 на А? и равная 0 в окре-
окрестности края дАп. Функции gj строятся по найденным выше функ-
функциям q>j (см. A2.51)).
Имеет место следующая
Теорема 6. При х 6 Rn, 0 < h ^ 1, справедлива оценка
1-п
\G{x, x°)-GN{x, 3*>)\<4ChN-n(l+\x\) 2 . A2.57)
В заключение приведем асимптотическую формулу для функ-
функции Грина в нефокальной точке. Пусть х Ф х° — нефокальная точ-
точка. Тогда существует конечное число лучей
х = х (т, в?), 1 < / < к,
которые проходят через точку х, т. е.
при некотором Xj. Введем обозначения: Sj (х, х") — действие вдоль
/-го луча, цу (х) — индекс ;-го луч» в /^ — якобиан A2.54),

§ 12. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	251
вычисленный при т = т;-, 0 = 0'. Для функции G справедлива
формула
к
5=1
X exp [ —^ Sj {x, x«) +-^L hj (x) 1 + 0 (h), A2.58)
где dn — постоянная:
i1 — V{xO) \n/2~l
5. Метод стационарной фазы и асимптотика решения задачи
Коши в малом. Изложим здесь метод, предложенный Ле By Ань
для получения следующих членов разложения по степени h=%~i
интеграла A.1) (ТМФ 25, № 2, 1975)
№=¦
rM"/2 .1
где Ф (х) е С°° (R"), ф (*) 6 Со°° (R").
Суть метода заключается в том, что коэффициенты atj для сво-
свободного уравнения Шредингера
i. i
подбираются так, чтобы для некоторого начального условия решение
этого уравнения в точке х — 0, t = 1 совпадало бы с исследуемым
интегралом и, с другой стороны, при 0 ^ t ^ 1 был бы применим
для нахождения асимптотического разложения решения уравне-
уравнения A2.59) метод ВКВ (т. е. бихарактеристики не имели бы фокаль-
фокальных точек).
Пусть х = ?ft — изолированная простая стационарная точка
функции
Ф (х): grad Ф (|h) = 0, det С (|Ь) = О,
где С (х) = || Фхх. (х) ||. Имеет место следующая важная для
дальнейшего
Лемма. Пусть Qg — &-окрестностъ точки |ft, a
def
X* (х0, t) = ItC-i A*) УФ (х0) + A -1) *о-
def
Тогда при достаточно малом г и t ^ О J (x0, t) = det
II qj
=?ь 0 и существует единственное зладкое решение Xq = *0 (я,
уравнения х = Х^ (xq, t).

252	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Доказательство. Непосредственным вычислением до-
I дА II
называется, что / (?ft, t) = det ——	= и -\- 1)«. Отсюда
следует утверждение.
Введем обозначения:
й=0
*. t) = [ l//(^(*,t), t)(V, С-Ч^) V)
]//D(лт), т)
V = ( -— , ..., -—) , где / (х0, t) и х\ (х, t) определены в лемме.
V дх\	дхп I
Теорема. Пусть в области supp ф (х) имеются s изоли-
изолированных простых стационарных точек I1, |2, . . ., Is функции
Ф (х) (т. е. УФ (lh) = 0, det С ЦЪ) фО, к = 1, . . ., s, С (г) =
= || Фж_к_(а;) ||). Тогда для любого N !> 1 справедливо выражение
s « 4 ехр | - i -J- (inerdex С (fc*)) j e ft
til	/| det С (I*) I
), A2.60)
«5e е^(ж) принадлежат С^ и таковы, что е^ (х) = 1 при х = |ft
и равно нулю при х, лежащем вне достаточно малой окрестности
точки |А, а остаточный член имеет вид
? hN+l f	*
^	J (nh)nlz (l_T)n/22n/2
X
X exp j-i- [(УФ D (г), т)), С"» (I") УФ D (tj, т))) x +
~ Ф D (t), t)) ) X
Rf? D (Л. т)) fe (о (П, t))
X (V, C-i (|b) V) ft °	UU - dr\ dx, A2.61)
У4 t), т)

§ 12. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	253
Доказательство. Из леммы следует, что при х\ ?
? supp ek (х) J (xg, t) Ф 0. Мы всегда можем найти такое разбиение
единицы, что
JS	51
Ф (х) = 2 Ф (*) ek (х)+ ^ ф (х) е} (х),
fc=l	j=s+l
причем lh ? supp ej (x), к = 1, . . ., s, / = s -f- 1, . . ., sv Поэто-
Поэтому задача сводится к нахождению асимптотики интегралов
1 f Т
J е	ф (х) <?ft (ж) dx,
k()д J е	ф ()
— СХ)
Интегрируя по частям, получаем, что при к > s интеграл /ft (fe)
равен о (fe°°). Рассмотрим случай к ^ s. Для получения асимптотики
мы воспользуемся квазиклассической асимптотикой решения задачи
Коши свободного уравнения Шредингера вида
V) v (*, *).	A2-62)
Нетрудно убедиться (непосредственной подстановкой), что точное
решение этой задачи имеет вид (здесь %^ — собственные значения
х
(rl)<?ft(rl)d11' "П = -П1, •--, Лп- 02.63)
Положим So (х) = Ф (ж) — V4 (ж, С (gft) x). Нетрудно видеть,
что тогда искомый интеграл будет выражаться через решение
г|; (х, t) следующим образом:
/й (А) =	 jW		t @, 1).	A2.6 i)
V\ det С (gft) [
Нам остается найти асимптотику решения задачи A2.62) при
t = 1, х = 0. Эта последняя асимптотика может быть найдена
в силу леммы по стандартному методу ВКВ. Действительно, после

254 ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОВ ПРИБЛИЖЕНИЕ
замены
4 s<*. t)
Ц>(х, t, h) = ih	<р(х, t, h),
где Sh (x, t) является решением задачи
(x, t),
A2.65)
VS" (x, t))=0, A2.66)
получим уравнение
(V,
Решение задачи A2.66) имеет вид
- V4 (* -1) D- С (l
где х\ = xq (ж, О есть решение уравнения
) = O. A2.67)
** (x, 0), A2.68)
grad<? D) +(! — <) «.
В силу леммы / (ж^, ?) = det
A2.69)
0 при t > 0,
0у
g supp ek (x); поэтому это решение существует, а значит, стандарт-
стандартный метод ВКБ применим.
Решение уравнения A2.67) ищется в виде
N
Ф {х, t, h)=	* =¦ 2 hV<Vv(z, t).	A2.70)
V k
= 2
V J{xk0(x, t)t) v=1
Тогда для определения <pv (x, t) получим следующую систему урав-
уравнений:
A2.71)
г *b. = -Vj(xUx,t),t) (V, (М (Е*) V)
где
Отсюда следует, что фо (х, *) = ф(жо (ж, г)) efe (ж„ (ж, t)), а для любого
JV > 1 ф? определяются по формуле
{x, t) =
D (^. 0) «ft D (^.

§ 12. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	255
поэтому
exp |_i- S*{x, t)\
$N (х, t, A) =	/	=*- eft (^ (*, 0) ф D (*, 0) +
V J{xk0{x,t),t) L
iV
v=l
exp (^" (ж, t)
r
Ф(*?(*,
L
,/	-
V J{x*{x, t), t)
^ ]¦ A2-73)
Докажем теперь, что функция i|;jv (ж, <, fe) действительно опре-
определяет асимптотику решения задачи A2.62). Эта функция удовле-
удовлетворяет уравнению
f igL= -А (V, С-» (|Ь) V) ^-А^1 еТ S (X> ^ (V, С-1 (^) V) X
—
х	ф^	Л
следовательно, г|) (х, t, fe)=i|;jv {x, t, A)—i|j {x, t) есть решение задачи
. дУ$(х, t, А)	, , „ . /vb. ~, , ч
1 — '	— = —А (V, С (|я) V) гЬ (ж, А, А) —
от
— Sft(x, i)
— h е	(^> С~1 E^) V)—т=^ 1 ¦ф|(=о = О- A2.74)
Решение этой задачи имеет вид
X
о
X —
л)
— СО

256	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
X
ехр {~ [(V0> D (Л. 1)), С (|ft) 7Ф D (т|, т») % +
-1/4 (т-1) D (Л. т), С (?*) 4 (Л- т))] } ехр { ~ Ф D (Л, т)) }
X
X (V, С-* (|h) V)
Vj D (Л. т), т)
Это решение может быть представлено также в виде
'	i „ь,
ь, Л) ^= /i	1 в	€	X
dr. A2.75)
X(V,
dx.
А так как || еш* |f=|
(г, t,
Поскольку
| = 1, ТО
(V,
V)
const thN+1
—- S"(x, т)
Х|ей	(V,
-i (?*) V)
— ¦ N f
фаУ D (^i
*' т>
х
X е
-г- Sft(x, т)
х-
к / D

ТО
§ 12. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	257
Л- II < const thN.
дх II
Аналогично
|| -^ | < const
II dxi ||
Поэтому
II ? Wwi < const tNN+i-K
В силу теоремы вложения
Мах | $ | < с || $	11
Via A2.75) и A2.64) получим и остаточный член Z^. Из A2.64)
и A2.73) для интеграла получим разложение
х
2 ,/	¦./¦ \
^ у\ыс&)\у /D@,1), 1)
-f S@,
Jx=0
Из A2.69) в точке z = 0, i = l получим УФ(ж„)=0, но при ж g
g supp е^ (х) УФ (ж) = 0 в единственной точке х = |ft. Отсюда
4@, 1) = 1*.
Из леммы получим
J(x\{x, t), t)\x=0=J&, 1) = 2",
кроме того,
5 @, 1) = [1/4 (С &) 4. С (I") С (S*) 4) -
- V4 D, с (|fc) 4)+ф D)]х=0=ф (I*) •
Отсюда следуют требуемые разложения.
17 В. П. Маслов, М. В. Федорюк

558	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕЙКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
§ 13. Асимптотические серии собственных значений
(правило квантования Бора)
С помощью канонического оператора построены специ-
специальные асимптотические серии собственных значений и
почти собственных функций самосопряженных дифферен-
дифференциальных операторов в L2 (Rn).
1. Постановка задачи. Пусть Н — сепарабельное гиль-
гильбертово пространство, А: Н —>- Н — линейный оператор.
Напомним определение спектра а (А) оператора А. Точка
Хо называется точкой спектра оператора А, если существу-
существует последовательность векторов fm(zD (A), m — 1,2,. . .,
такая, что
II /т|| >С >0, \\(А -*,„)/„, || = ет-> 0 (т-> оо).
Векторы fm называются почти собственными векторами
оператора А. Если А — самосопряженный оператор и из-
известен его почти собственный вектор, то можно полу-
получить информацию о спектре оператора А. Справедлива из-
известная
Лемма 13.1. Пусть А: Н -> // — самосопряженный
оператор, / ? D (А) и
|| / || > С> 0, || (Л - Я) / 1|< е.	A3.1)
Тогда
d (X) < в/С,	A3.2)
где d (Я) — расстояние от точки 1 до спектра а (А).
Д о к а зательство. Так как оператор А само-
самосопряжен, то
1| (А - X)-1 (I < Ш (X).
Если X ? а (А), то d (К) = 0 и неравенство A3.2) очевидно.
Если X $ а (А), то
что и доказывает оценку A3.2).
Из неравенства A3.2) вытекает, что на отрезке
X — —, X + -|И имеются точки спектра оператора А.
В этом параграфе исследуется поведение при h —>- -f-0
дискретного спектра семейства самосопряженных опера-

I 13. ЙЕРЙИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	259
торов A (h), действующих в гильбертовом пространстве Н.
Здесь h ? @, h0), h0 >.O; области определения операторов
A (h) не зависят от h. Предполагается, что спектр а (А (Ь))
оператора А (К) при ^каждом фиксированном h ? @, h0)
чисто дискретен и состоит из собственных значений
{Ej (h)}. Нас интересует асимптотическое поведение спек-
спектра а (А (К)) при h -*¦ +0.
Поясним постановку задачи на примере одномерного
уравнения Шредингера
—h\" + V (х) яр = Ety.
Здесь
функция V (х) вещественнозначна, непрерывна и стремит-
стремится к +оо при \ х | —>- оо. Тогда при каждом фиксированном
h ^> 0 спектр a (A (h)) чисто дискретен и состоит из про-
простых собственных значений
Ео {h)< Ег (h)< . . . < Ет (h)< . . . -»- +оо.
Спектр оператора А @) (это оператор умножения на функ-
функцию V (х)) непрерывен и заполняет полуось [Fo, +oo),
Vo = min V (х).
х е r
Будем следить только за той частью спектра а (А (К)),
которая попадает в фиксированный интервал / = [Ей, Ег],
Vo < Ео < Ei. Для простоты рассмотрим спектр осцилля-
осциллятора V (х) = ж2/4. Тогда спектр точно вычисляется и имеет
вид
(	), m = 0, 1, 2, ...
На этом примере хорошо видны два обстоятельства.
1)	С уменьшением h число N {К) точек спектра a {A (h)),
попадающих в интервал /, неограниченно возрастает:
N (h) ~ ^-°.
2)	Номера т собственных значений, попадающих в /,
неограниченно возрастают при h —>- 0: т >» E0/h. Если же
фиксировать т, то Ет (К) —>- 0 при h —>- 0, и собственное
значение Ет (h) уходит из интервала / при h ->- 0.
По этой причине мы не будем исследовать поведение
индивидуального собственного значения Ет (h) при h—*-0,
17*

260 ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
а будем исследовать структуру множества a (A (h)) f| /
при h -> 0. Именно, для семейства {^1 (h)} самосопряжен-
самосопряженных дифференциальных операторов в L2 (Rn), а точнее,
для /1-псевдодифференциальных операторов будет полу-
получена асимптотика некоторой серии собственных значений
(при h —>- 0).
Другой вариант задачи об асимптотике спектра состоит
в следующем. Будем рассматривать h как спектральный
параметр, т. е. будем рассматривать пучок операторов
A (h); собственные значения hm и собственные векторы ij;m
определяются из уравнения A (hm) fm = 0. В случае осцил-
осциллятора имеем
hm=	jf, m = 0, 1, 2, ...,
где Е — фиксированное число. В этой задаче исследуется
асимптотика спектра пучка операторов {A (h)}.
2. Канонический оператор на замкнутом лагранжевом
многообразии. Чтобы исследовать асимптотику спектра
семейства/^-псевдодифференциальныхоператоров {A (h)},
построим почти собственные функции операторов А (К),
т. е. такие функции ф/, ? D (А), что
A (h) cfh = (Е (h) + е (h)) щ,
где е (К) = о (Е (h)) (h -> +0). Иными словами, почти
собственная функция есть приближенное решение урав-
уравнения
A (h) ф = Е (К) ф.
Локально такое решение дается предканоническим опера-
оператором (§§ 3, 5, 6). Построение решения в целом осуществим
с помощью сращивания локальных решений, т. е. с помо-
помощью конструкции канонического оператора. При этом
возникают новые трудности, так как соответствующие
лагранжевы многообразия Ап имеют нетривиальную фун-
фундаментальную^ группу п1 (Лп). Например, с задачей о соб-
собственных значениях осциллятора
ассоциировано семейство лагранжевых многообразий на
плоскости
{А1 (Е)}: а* + р* = Е, Е0<Е<Е1.

§ 13. СЕРИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	261
В связи с этим проанализируем еще раз конструкцию
канонического оператора. Пусть Лп — гладкое га-мерное
лагранжево многообразие в фазовом пространстве R2n,
{Qj-} — канонический атлас на Л™, {е,} — разбиение еди-
единицы на Лп (обозначения те же, что и в § 8) и г° — отме-
отмеченная точка на Лп. Для краткости указание на г° будем
опускать; но будем употреблять запись КАп (h), чтобы
подчеркнуть зависимость от параметра от h = Я. Кано-
Канонический оператор определяется по формуле (8.3):
(КАп (К) Ф) (х) = %К (Qj, h) (е,Ф) (х)	A3.3)
j
на функциях ф ? С™ (Лп) при 0 < h < h0. При каждом
фиксированном h имеем отображение
KAn(h): С% (Л") -+ С°° (К),
и с этой точки зрения КАп (h) — это семейство отображе-
отображений. Основные свойства этого семейства таковы:
1)	Пусть х лежит вне некоторой е-окрестности множе-
множества лх supp ф (лх — проекция на Щ). Тогда для любого
мультииндекса а и для любого целого N ^ О
| Д? (KAn(h) Ф) (х) |<Са, NhN(l+\x\yN, A3.4)
где Са< N — постоянные (зависящие от ф).
2	1
Пусть L = L (x, hDx; h) есть h^-n. д. о. с символом
класса Т? (Щ). Тогда
2)	справедлива первая формула коммутации
AКА„ (h) ср) (х) = (КАп {h) L (х, р; 0) ср) (х) + hx (x, h), A3.5)
где 1 е О0 (RS) (см. § 1).
Если, кроме того, выполнены условия теоремы 8.4, то
3)	справедлива вторая формула коммутации
(ШАп (К) Ф) (х) = (L (х, р; 0) - ЙД:ф) (х) + h\ (x, h), A3.6)
где X ? Оо (RJ) (см. § 1); явный вид оператора R1 указан
в теореме 8.4.
Кроме того, канонический оператор, с точностью до
О {К), инвариантен относительно выбора канонического
атласа, фокальных координат в картах и разбиения едини-
единицы (теорема 8.1). Поскольку мы собираемся построить
конкретную почти собственную ?функцию, то и атлас, и

262	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
разбиение единицы, и фокальные координаты будут фик-
фиксированы.
При конструировании канонического оператора в § 8
предполагалось, что
1) ф (р, dx) = 0 для любого 1-цикла на Л";
У
2) ind у = 0 для любого 1-цикла на Л".
Выясним, к чему приводит отказ от этих условий.
Прежде чем формулировать окончательный результат,
рассмотрим пример.
Пусть Л™ диффеоморфно проектируется на Щ и фунда-
фундаментальная группа п1 (Ап) да Z (Z — группа целых чисел).
Достаточно ограничиться следующим примером: п = 2,
проекция Л2 на RJ есть кольцо С: г < | х | < R. Тогда
Л2 задается уравнением
р = р (х), х 6 С,
где р (х) — гладкая однозначная вектор-функция. Так
как Л2 — лагранжево многообразие, то локально, т. е.
в малой односвязной окрестности U (х°) любой точки
х° ? С, имеем
где 5 — гладкая функция, так что (р (х), dx) = dS (x).
Однако «функция»
х
S (х) = j (р (х), dx}
хо
может не быть однозначной, если форма со1 = (р, dx)
имеет ненулевой период:
J = 1 {p, dx) Ф 0.
To
Здесь Yo — окружность | a: | = p, r < p < i?; очевидно,
что / не зависит от р. Кривая Yo — образующая группы
гомологии Нг (Л2, Z). Заметим еще, что ind Yo = 0.
Фиксируем точку г0 = (х°, р°) ? Л2, объем da (x) на Л2
и рассмотрим выражение
г(х)
(К) Ф) (х) = |/ -^-1 exp (-i- j <p, d^>) A3.7)
го

§ 13. СЕРИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	263
(где ф ? С™ (Л2)), построенное по образцу предканониче-
ского оператора в неособой карте (см. F.2)). Это выраже-
выражение есть, вообще говоря, многозначная функция от х
(параметр h фиксирован). Действительно, все значения
интеграла, стоящего в экспоненте, в точке г (х) = (х, р (х))
даются формулой
г(х)
[ <р, dx')= \ <p, dx') + kJ, А = 0, ±1, ±2, ...,
где уо — фиксированный путь, соединяющий точки х°, х
и лежащий в С. Можно считать, что J >> 0. Формула A3.7)
тогда и только тогда определяет однозначную функцию,
когда
J = 2nmh,
где т >> 0 — целое число, т. е. при дискретных значениях
параметра h
Ь	12	A38)
Таким образом, при дискретных значениях h g {hm}
имеется семейство операторов {КА% (hm)}. Формулы ком-
коммутации, полученные в § 8, остаются в силе, с той лишь
разницей, что й->-0 по последовательности {hm}.
Продолжим рассмотрение этого примера. Пусть имеет-
имеется семейство лагранжевых многообразий {Л2 (Е)}, Е ? А
(где А — некоторый интервал), гладко зависящее от пара-
параметра Е, и пусть по-прежнему яхЛ2 (Е) совпадает с коль-
кольцом С. Тогда период J = J (E) и условие однозначности
интеграла I (p, dx) принимает вид
J (E) = 2nmh.	A3.9)
Пусть J (Е) > 0, ^ (Е) > 0 при Е ? I. Тогда при каж-
каждом фиксированном h ? @, h0) уравнение A3.9) имеет
семейство решений {Ет (h)}, где т пробегает множество
целых чисел М (h): т0 (К) < т < mi (h), зависящее от h.
Число элементов множества М (h) растет линейно (по h~l)
с уменьшением h. Если h фиксировано, а Е = Ет (h),
т ?M(h), то формула A3.7) определяет оператор КАч (h);
для краткости обозначим его К (Ет (h)). Таким образом,
при каждом фиксированном h мы получаем дискретный

264	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
набор операторов
К (Еп (Л)): С? (Л1т(л)) -* СГ (С), т ? Л/ (Л).
Перейдем к общему случаю. Пусть Л" есть лагранжево
С°°-многообразие в фазовом пространстве, Л" — компакт-
компактное многообразие без края. Нас интересует случай, когда
Л" неодносвязно; пусть dim Нх (Л™, Z) = рг и {yj},
1 ^ / ^ рг,— базис одномерной группы гомологии
Нг (Л", Z). Положим
(р, dx), Z,- = ind ¦
(здесь Jj — периоды формы со1 = {p, dx)). Пусть г —
= (x, p) ? An — неособая точка г ? Qy. Формально постро-
построим оператор КАп (К) по формуле A3.3); тогда (КАп (h)) (ц>) (х)
будет неоднозначной функцией х. Если supp ф сосредото-
сосредоточен в малой окрестности точки г, то все значения функции
(КАп (h) ф) (х) даются формулой
(КлП (h) ф) (х) = У\ -g-1 exp [-IJ (р, dx) -
где 7 — произвольный путь, соединяющий точки r°, r
и лежащий на Л". Фиксируем путь у0; тогда путь у гомо-
гомологичен линейной комбинации
где rrij — целые числа. Следовательно, выражение
(КАп (k) ф) (х) определено с точностью до множителя вида
то же самое верно для любой неособой точки многообразия
Лп. Поэтому для того, чтобы выражение (КАп (К) ф) (х)
было однозначной функцией (пока что при х (J ля2 (Л11)),

§ 13. СЕРИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	265
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения
A3.11)
где kj — целые числа. Нетрудно видеть, что соотношения
A3.11) инвариантны относительно выбора базиса {yj}
группы гомологии Нх (Л™, Z). Действительно, если {yj} —
другой такой базис, то
pi
Cji — целые числа. Поскольку матрица С = (Сл) обрати-
обратима и обратная к ней матрица С'1 также целочисленная
и поскольку
то соотношения A3.11) эквивалентны соотношениям
Нетрудно видеть, что если рх ^ 2, то соотношения
A3.11) могут не выполняться ни при одном значении h.
Например, если 1г = Za = 0, то из соотношений
вытекает, что периоды J1: J% соизмеримы.
Таким образом, на заданном лагранжевом многообразии
Л" канонический оператор КАп (К) может не быть опре-
определен ни при одном значении h.
Соотношениям A3.11) можно, очевидно, удовлетворить,
если имеется pj-параметрическое семейство лагранжевых
многообразий (выше, на примере, был рассмотрен случай
рх = 1). Именно, пусть имеется семейство {Ап (а)} лагран-
лагранжевых С°°-многообразий, а = (ах, . . ., av ) ? U (это
область в Rpi), такое, что выполнены условия:
Л 13.1. При каждом фиксированном а ? U Ап (а)
есть компактное (^-многообразие без края и семейство
{Л" (а)} гладко зависит от параметра а ? U,

266	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Разным значениям а ? U отвечают непересекающиеся
многообразия Ап (а); объединение [] Ап (а) есть 6"°°
а ? U
многообразие Лп+Р' размерности п + рг.
Л 13.2. Размерность цикла особенностей 2 (А71 (а))
не превосходит п — 1 при а ? U, и циклы особенностей
гладко зависят от а.
Л 13.3. На каждом многообразии Л" (а), а ? U) суще-
существует гг-мерный объем do11 (а) класса С°°, нормированный
условием
Отметим, что число параметров (ах, . . ., ар ) равно
размерности одномерной группы гомологии многообразий
Ап (а).
При этих условиях, если область U достаточно мала,
можно выбрать канонические атласы {й7- (а)}, разбиение
единицы {ej (а)} класса 6"°° (Ап (а) х U), где число карт
не зависит от а, а также базисы {yj (а)}, гладко зависящие
от а. Тогда периоды
будут функциями класса 6"°° (V), a ind yj (a) = lj не будут
зависеть от а. Соотношение A3.11) принимает вид
h~iJ'j(a)=-~lj->r2nmj, 1^/^Pi- A3.12)
Очевидным достаточным условием совместности этой систе-
системы является независимость периодов J j (а), как функций
от а. Введем обозначения:
J(a) = (J"i (а), .. ., JPl (а)),
l = (h, ...,lPi), M = {m1, ...,mPi).
Лемма 13.2. Пусть а0 ? U, det д Ф 0 и 0 <
<С h <i h0, h0 >. О достаточно мало. Тогда система A3.12)
мри каждом h ? (О, й-0) имеет решения {аи (h)}, где цело-
целочисленные векторы М заполняют кубическую решетку
со стороной порядка coast -h'1 при малых h.

§ 13. СЕРИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	267
Доказательство. Если Uo — достаточно малая
окрестность точки а0, то ее образ при отображении J =
1	1
= 5- J (а)	тг Ы содержит окрестность Fo точки J" (а0);
можно считать, что Vo есть куб. Искомое множество реше-
решений состоит из всех точек J ? Vo таких, что h~\T есть цело-
целочисленный вектор; при достаточно малых h это множество
непусто.
Кроме того, ащ (К) гладко зависит от h при фиксиро-
фиксированном М, пока точка ам (К) лежит в области Uo. Лемма
доказана.
Пусть выполнены условия Л 13.1 — Л 13.3 и условия
леммы 13.2, Uo с U — указанная в доказательстве лем-
леммы 13.2 достаточно малая область, функция ср определена
на семействе {Ап (а)}, а ? Uo, и принадлежит классу С°°.
Семейства канонических атласов {Qj (а)} и фокальных
координат в этих картах, разбиений единицы {е7- (а)}
и базисов {у; (а)} одномерных групп гомологии
Ex (An (a), Z) выберем так, как указано выше. Фикси-
Фиксируем h ? @, й0), целочисленный вектор М и решение
ам {К) системы A3.12), aM(h) ? Uo.
Рассмотрим интеграл
S(r, а, Ь) = 4" j (P, dx)-^-l[y(rO(a), r)],
го(а)
где путь интегрирования у лежит на многообразии Л" (а).
Если а = aM{h), то периоды интеграла S кратны 2л,
так что выражение exp [iS (г, ам (A), h)] есть однозначная
функция на многообразии Л" (ам (fe)). Следовательно,
точно так же, как и в § 8, можно построить семейство
канонических операторов {^лп<аI с = к« (fe)}.
Если вектор М фиксирован, то это семейство определе-
определено при тех h, при которых ам (h) ? Uo. При fe -*- 0, оче-
очевидно, ам (А) -*- 0, так что точка ам (А) уходит из обла-
области Uo- С другой стороны, при каждом фиксированном
(и достаточно малом) h имеется конечное множество Ш. (К)
целочисленных векторов М таких, что точка ам (h) E Uo
при М Е Ш (й).
Таким образом, при каждом фиксированном h семей-
семейство лагранжевых многообразий {Л" (а)} квантуется —=

268	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
имеется дискретный набор многообразий (а = а,м (h)),
на которых определен канонический оператор.
Отметим, что формулы коммутации A3.5), A3.6)
остаются в силе для операторов К&п , а = aM(h), и что
оценки остаточных членов в формулах A3.4) — A3.6)
равномерны по а ? ?/0- Это следует из метода стационарной
фазы для интегралов, зависящих от параметра (теоре-
(теорема 1.4), и из условий Л 13.1 — Л 13.3.
3. Асимптотические серии собственных значений. Рас-
Рассмотрим й^-псевдодифференциальный оператор А (К) —
вещественный и формально самосопряженный. Этот опе-
оператор можно представить в виде
.21	12
А ih) = y iL (*, h^x, ih) + L(x, hDx; ih)) A3.13)
с вещественнозначным символом L (x, p; ih). Введем ус-
условия:
L 13.1. Символ L (x, p; ih) ? Т™ при некотором пъ.
L 13.2. Минимальный оператор А° (h), отвечающий
выражению A (h), при каждом фиксированном h ? @, h0)
допускает расширение до самосопряженного оператора
A (h): L2 (R™) -н» L2 (Rn) с чисто дискретным спектром.
Пусть gf — сдвиг вдоль траекторий гамильтоновой
системы, ассоциированной с символом L (х, р; 0). Асимп-
Асимптотическая серия собственных значений, которая будет
построена ниже, порождается семейством лагранжевых
многообразий, инвариантных относительно сдвига gl.
Именно, пусть выполнено условие
Л 13.4. Существует семейство лагранжевых много-
многообразий {Л™ (а)}, а ? U, удовлетворяющее условиям
Л 13.1 — Л 13.3 и такое, что
1)	gfAn (а) = Ап (а) при всех t e R;
2)	L (х, р, 0) = Е (а), (х, р) ? Л" (а).
Таким образом, каждое многообразие Л" (а) инвариант-
инвариантно относительно сдвига вдоль траекторий гамильтоновой
системы и символ L | h=0 = const на каждом из многооб-
многообразий семейства (константа может зависеть от а).
С оператором A {h) связан еще один классический
объект — дифференциальный оператор
A3.14)

§ 13. СЕРИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	269
где dldt — производная в силу системы Гамильтона. Из
самосопряженности и вещественности оператора A (h)
следует, что функция — зртт п—о вещественна. Фикси-
Фиксируем а ? Uo', в силу перечисленных выше условий В.
есть самосопряженный оператор в пространстве
-^2, ап(а> (Лп (а)). Следовательно, его спектр веществен.
Будем предполагать, что оператор R имеет гладкое
по а ? U семейство собственных функций сра, отвечающих
гладкому собственному значению [х (а):
R(fa = [х (а) фа, а ? U.	A3.15)
В частности, если символ L не зависит от h, то можно
положить
fX(a) SEE 0,	Фа ^ 1.	A3.16)
Построим почти собственные функции семейства
{A (h)}. Фиксируем h ? @, h0) и найдем набор {ам О1)}
решений системы A3.12) (лемма 13.2). Будем искать почти
собственную функцию в виде
им (х, h) = КАп(а)<ра (а = ам (h)). A3.17)
Применяя формулу коммутации A3.6) и учитывая, что
L (х, р, 0) = Ео (а) на Л™ (а), получаем (а = ам (h))
А (К) им = КАп(а) (L (х, р, 0)-{-Е)(ра + О (h2) =
= (Е (а) + h\i (а)) ^Лп(а)Ф« + О (h2) =
= (Е (а) + Л(.1 (а)) им + О (/г2). A3.18)
Для остаточного члена справедлива оценка
| О (h2) | < Ch%	A3.19)
при х ? Rn, a ? Z70, h ? @, h0) с не зависящей от х, a, h
постоянной С. Далее, существует постоянная 6\ > 0
такая, что
а = ам (h). Это следует из того, что в неособой карте кано-
канонический оператор сводится к умножению на функцию,
модуль которой не зависит от h и которая не обращается
в нуль (см. A3.41)).

270 ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
По лемме 13.1 имеем (при фиксированных h, M)
A3.21)
где d (р) — расстояние от точки р до спектра a (A (h)).
Тем самым доказан основной результат настоящего пара-
параграфа.
Теорема 13.3. Пусть {A (ft)}, h ? @, h0),— семей-
семейство п^-псевдодифференциалъных операторов, и пусть
существует семейство лагранжевых многообразий {Л™ (а)},
удовлетворяющих условиям Л 13.1 — Л 13.4.
Тогда при каждом фиксированном h ? @, hx) и при
пг > 0 достаточно малом оператор A (h) имеет серию
собственных значений вида
Ем {h) = Е (а) + ftjx (а) + О (ft2). A3.22)
Здесь а = а.м (&)» \ О (А2) | ^ C0h2, постоянная Со не
зависит от ft, M.
Соответствующая собственному значению почти соб-
собственная функция им (х, Ь) дается формулой A3.17).
Поясним теорему 13.3. Пусть рх = 2 (для простоты)
и Ео <Z E (а) < Ei при а ? U. Фиксируем h >. 0 и затем
из системы A3.12)
«/"i(at, a2) = -^- ^i
ьГ2 («i, a2) = -g- Z2 + 2nm2h
находим дискретный набор решений a (h, тг, т2) таких,
что Ео < Е (a (h, тх, т2)) < Ех.
Формула A3.22) определяет серию собственных значе-
значений, зависящую от двух целочисленных параметров т±, тг:
Emum2(h) = E(a(h, mu m2)) + h\i (a (h, m,, m2)) + ^(^2)-
При этом набор допустимых пар G/гх, т2) зависит от пара-
параметра h.
Рассмотрим классический пример — задачу на соб-
собственные значения для одномерного оператора Шредин-
гера на всей оси
+ V (ж) г)? == ?iM.
Потенциал F (x) g C°° (R) веществен, V (±°°) = ±°о,
и пусть F (:г) ведет себя на бесконечности, для простоты,

I 13. СЕРИЙ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	271
как полином. Тогда, в частности, функция V (х) строго
монотонно убывает при х < —R и строго монотонно воз-
возрастает при х >i?, если R >. О достаточно велико.
Уравнение
р* + у (х) = а
при а ^ а0 ^> 1 определяет одномерное лаграгокево мно-
многообразие А1 (а), диффеоморфное окружности S1, так что
Рх = 1. Период е7" (а) равен
J-(a)= j	j
ЛЦа)	x-(a)
где ж± (a) — корни уравнения F (ж) = а, ж_ (a) <
< ж+ (а). Кривую Л1 (а) ориентируем по часовой стрел-
стрелке. Нетрудно видеть, что -г (а) > 0. Далее, функция
Н = р2 -\- V {х) является первым интегралом соответ-
соответствующей системы Гамильтона, так что Е (а) = а. Следо-
Следовательно, все условия Л 13.1 — Л 13.4, L 13.1 — L 13.2
выполнены. Наконец, ind Л1 (а) = +2. Выберем, как и в
A3.16), jx (a) = 0, фа == 1 (на Л1 (а)). Тогда из теоремы 13.3
вытекает существование серии собственных значений
Ет (h) = an (h) + О (ft2),
где ат (h) определяется из уравнения
J («m) = 2mnh + nh,
т. е. ат (h) удовлетворяет уравнению
J Ya—
х-(а)
Эта формула совпадает по форме с известной в физической
литературе формулой квантования Бора.
Соответствующие почти собственные функции г|;т име-
имеют вид
4т (^) = (#ЛЧ«тI) (X),	ат = ат Ql)
(более подробные формулы см. [38] и др.), где 1 — функ-
функция, тождественно равная единице на кривой Л1. Отметим,
что функция г|5т локализована в окрестности проекции
кривой Л1 на ось х, т. е. в окрестности отрезка

272	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
I = (ж_ (а), х+ (а)), а = ат (К), поскольку {КАЛ) {х) =
= О (h°°) вне любой е-окрестности отрезка I.
Замечание 13.4. Теорема 13.3 остается в силе,
если часть спектра оператора А {К), лежащая в интервале
Е = Е (а), а ? U, является чисто дискретной.
Замечание 13.5. Пусть ищ {х, h) — почти соб-
собственная функция (см. A3.17)) и ft >0 достаточно мало.
Тогда эта функция сосредоточена в окрестности проекции
V = пх или Кдща., ее = а,м (h), так как вне этой области
^Ai>(a) (h) фа = О {h°°). Более точно, если х лежит вне
некоторой окрестности множества U, то
\им{х, a) \^CNh{i + \x \)~N
при любом N (см. A3.4)).
4. Асимптотические серии собственных значений опера-
оператора Лапласа — Бельтрами на сфере. В этом пункте изло-
изложены результаты, полученные в [23]. Пусть S11'1 — единич-
единичная сфера | х | = 1 в евклидовом пространстве Rn. Рас-
Рассмотрим задачу на собственные значения
(А6 + к2) и (х) = 0, х Е Sn-\	A3.23)
" д2
где Ае — угловая часть оператора Лапласа А = V —%.
3 = 1 3
Введем на сфере S*1'1 сферические координаты
хг = sin 0n_x . . . sin 02 sin 9X,
х2 ~ sin 8n_! . . . sin 92 cos Q1, . . .,
хп_г = sin 0n_! cos 0„_2, xn = cos 0n-1,
где 0 ^ 0X < 2n, 0 ^ 0j < я (/ ^= 1). Оператор Ае имеет
вид
a	1	9 . „_, Q	д ,
Щ- A3-24)
Задача на собственные значения A3.23) решается точ-
точно. Собственные значения оператора А9 имеют вид к\ =
= I (I + п — 2), I = 0, 1, 2, . . ., а собственные функции,
отвечающие собственному значению Щ, являются ограни-

§ 13. СЕРИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	273
чением на сферу S"'1 однородных гармонических полино-
полиномов степени I. С помощью теоремы 13.3 будет построена
асимптотика некоторых серий собственных значений и соб-
собственных функций оператора Ад.
Метрика в W1 индуцирует на сфере S'1 метрику
Э,1_1а8п_2+ ... +sin/!6n_1 ... sm^Bn_2cB,, A3.25)
так что сфера iS™-1, снабженная метрикой A3.25), есть
(п — 1)-мерное компактное риманово многообразие. Напом-
Напомним определение оператора Лапласа — Бельтрами на
римановом многообразии Ms [67]. Пусть Q — карта мно-
многообразия Ms, х = (хх, . . ., xs) — локальные координаты
в Q, gtj (x) — метрический тензор. Введем, как обычно,
обозначения g — \ det (gtj) |, {g4) — матрица, обратная
к матрице (gij). Каждая скалярная функция f ? С°° (Ms)
порождает векторное поле grad / (градиент функции /)
на Ms, ограничение которого на Q имеет вид
S
grad/= У. gij-^r-^-.
Нетрудно проверить, что выражение в правой части этого
равенства не зависит от выбора координат в Q. Далее,
векторное поле X на Ms порождает скалярную функцию
div X (дивергенция поля X), сужение которой на Q задает-
задается формулой
* ё г=1
Правая часть этого равенства инвариантна относительно
выбора координат в Q. Оператор Лапласа — Бельтрами А
определяется формулой
А/ = div grad f(fe С00 (АР))
или, в локальных координатах,
f)- A3'26)

274	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Из A3.25) следует, что для сферы iS" имеем (в координа-
координатах (9Ь . . ., еп_а))
gn-u n-i = 1. gn-2, n-2 = sm2 en_i, ..., gri =
= sin2 en_! ... sin2 en_2, g = sm2(ii-2> en_x... sin2 е„_2
A3.27)
и что gu — 0, i Ф j. Подставляя A3.27) в A3.26), получаем
A3.23), так что А9 есть оператор Лапласа — Бельтрами
на единичной сфере iS".
Уравнение Гамильтона — Якоби, ассоциированное с
уравнением A3.23), имеет вид
Я (9, р) = 1.	A3.28)
Здесь р = -±f,
Я (в, P)
Лу A3-29)
Система Гамильтона имеет вид
n-l
J=l
Найдем первые интегралы этой системы. Для этого вос-
воспользуемся формулой
Me, P) = {fc, я},
где й — производная в силу системы Гамильтона с гамиль-
гамильтонианом Н (9, р), a {ft, Я} — скобка Пуассона функций
h, Я (§ 4). Следовательно, для того чтобы функция h
была первым интегралом системы Гамильтона, необходимо
и достаточно, чтобы {h, Я} = 0. Используя это соображе-
соображение, находим п = 1 первых интегралов системы A3.30):
2
С1	I.	„2	I	Crt-2
foi = p +
A3.31)

§ 13. СЕРИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	275
где Сх, . . ., с„_2 — произвольные постоянные. Эти первые
интегралы находятся в инволюции, т. е. {ht, hj} = 0 при
всех i, j; нетрудно видеть, что эти интегралы независимы.
Следовательно, система A3.30) вполне интегрируема.
Рассмотрим в фазовом пространстве Щ^р11 множество
Л" = Л"" (сх, . . ., сп_2), заданное уравнениями
hi = ci, hz = c%, ..., К-г = с\_г, Vi = l, A3.32)
где 0 < q < с2 < . . . < сп_2 < 1. Переменные 9 меняют-
меняются в пределах 0 ^ 0х < 2л, 0 ^ 9j < я (/ > 2), но для
краткости фазовое пространство будем обозначать через
Rjj'%1'. Так как множество Л11 компактно и связно,
а система A3.30) вполне интегрируема, то по теореме
Лиувилля [4] множество Л™ (сг, . . ., с„_2) диффеоморфно
(п — 1)-мерному тору 1т~1. Этот факт нетрудно устано-
установить непосредственно. Действительно, уравнение
определяет в области 0 < 9 < я, р f R гладкую кривую
у, диффеоморфпую окружности. Точки, в которых каса-
касательная к кривой 7 вертикальна, имеют координаты
@О, 0), (я — 90, 0), где 90 = arc sin (alb). Далее, проекция
Л" на плоскость (рг, 9Х) имеет вид рг = с1: 0 ^ 9Х ^ 2л,
т. е. окружность. Так как hj = hj (Qj, pj), то из этих рас-
рассуждений следует диффеоморфность многообразия Л™"
тору Т"-1. На рис. 16 изображено многообразие Л2.
Цикл особенностей 2 (Л™) — это множество точек
на Ап-1, в которых р2 = . . . = рп_2 = 0. В частности,
при п = 3 цикл особенностей состоит из двух окружностей
(рис. 16), заданных уравнениями
92°,
= я-9°
2,
где 9° = arcsin (сх/с2). При п ^ 4 цикл особенностей состо-
состоит из 2П торов Тп~2.
Выберем базис ^1' • • ч Уп-i группы гомологии
Нх (Л", Z) следующим образом: в качестве yj, / ^ 2,
возьмем пересечение Л" с плоскостью (Qj, pj). В качестве
ух возьмем окружность 0 ^ 9Х ^ 2л, остальные перемен-
переменные Qj, pj фиксированы; и пусть уг не лежит на цикле
18*

276
ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
особенностей (рис. 16). Вычислим периоды Js формы
(о1 = (р, dQ > и индексы lj = ind у;-.
По построению имеем li = 0 (кривая ух не пересекается
с циклом особенностей). Далее, кривая ys, s ^ 2, пересе-
кается с циклом особенностей
'	ровно в двух точках, в кото-
которых ps = 0; нетрудно видеть,
что 1а -— 2 при s ^ 2. Далее,
в,.
Лг
2я
j = \ Pi dQt= \
VI	О
ci
72
е?
a2
Рис. 16.
где а2 = arcsin (c!/c2). Сле-
Следовательно, f7~2 = 2л (са — сх)-
Аналогично вычисляются остальные периоды, так что
,Тг = 2ясх, ,7в = 2л (с, - cs_!) (s > 2), A3.33)
где сп_х = 1. Уравнения A3.12) в данном случае имеют вид
kct = mu
1
A3.34)
где m.j — целые числа. Складывая эти уравнения и пола-
полагая I = nil + ^2 + • ¦ • + mn-i' получаем
k^l + -H^L.	A3.35)
Выберем числа сх, . . ., с„_2, /с так, чтобы выполнялись
соотношения A3.34). Тогда на лагранжевом многообразии
Л™ (с15 . . ., сп_2) определен канонический оператор

§ 13. СЕРИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	277
KAn-i (h), h = k~l. Положим, как и в C.16), [х = 0, ф == 1,
т. е. в качестве почти собственной функции возьмем функ-
функцию ip = KAn-i (h) 1. Тогда
так как k ~ I. Из этого соотношения и леммы 13.1 выте-
вытекает существование асимптотической серии собственных
значений оператора Лапласа — Бельтрами на сфере:
^	) A-у+оо). A3.36)
Поскольку задача на собственные значения для опера-
оператора Лапласа — Бельтрами на сфере решается точно
и притом более простыми средствами, то полученная фор-
формула A3.36) для серии собственных значений сама по себе
не представляет большого интереса. Важно другое, а имен-
именно асимптотические формулы для соответствующих соб-
собственных функций, хотя в настоящее время строгое обо-
обоснование этих формул отсутствует.
Ограничимся случаем п — 3, т. е. рассмотрим сферу S2
в трехмерном пространстве; общий случай см. [23]. Первые
интегралы и условия квантования имеют вид
J l,	A3.37)
+ -g-,	A3.38)
где 0Х = ф, 02 = 0. Отсюда находим 1г — I -J- -^ + О (I'1),
сх = ' , где I — т ! -)- тг. Собственному значению ki
отвечает набор собственных функций ит (9, ср), где 0 <
< б =gC ^-р- ^1 — б, 8;>0 — фиксированное число. Это
ограничение возникает по той причине, что числа сх,
1 — с2 должны быть отделены от нуля. Ясно, что N (I) »
та 21, где N (Г) — размерность инвариантного подпро-
подпространства оператора А, отвечающего собственному значе-
значению к\.

278	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Уравнения A3.37) определяют семейство инвариантных
лагранжевых торов Р, гладко зависящих от параметра с\.
8	качестве начальной точки г° выберем точку {ф = О,
9	= arcsin с1( рв = 0}, а в качестве начального много-
многообразия Т\ возьмем большой круг 9 = я/2. Мера на Т\
индуцирует инвариантную меру do на торе Т2.
Вычислим действие
5(ф, 9) =
в неособых точках. Этот интеграл не зависит от пути инте-
интегрирования. Поэтому в качестве кривой на Г2, соединяю-
соединяющей точку г° и точку г = (ф, G, рв), можно взять кривую,
состоящую из дуги кривой pi -\- -r-j-Q — 1> вдоль кото-
которой ф = 0 и которая соединяет проекции точек г°, г,
и из отрезка, на котором 0, р$ постоянны (рис. 16). Тогда
ф	в	ф
5 (ф, 6) = f pq, d<p + \ рв dQ = \ сг
J	v	J
О	0
f \ 1/
1 J V
во
О	00	О
. i/sm2e—с?
arctg 	—
sin2 9 —-itt—s^ose
во
— сх arctg
(все корни — арифметические). Но в точку (ф, 9) проекти-
проектируются две точки тора Г2; если обозначить через г2 (ф, 0)
вторую из них, то действие будет вычисляться по той
же формуле, с той лишь разницей, что рв = — 1/ 1
ирования. Окончатель
?±(Ф, в) = с1ф±51(в),
вдоль пути интегрирования. Окончательно для S получа-
получаем два значения S+:
—— с, arctg
Далее,
m =1/"^-^ .	A3.40)
Da

§ 13. СЕРИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	279
Канонический атлас на Тг можно составить из четырех
карт. Цикл особенностей состоит из двух окружностей,
на которых ре = 0, и его проекция на плоскость F, ре)
состоит из двух точек (90, 0), (я — 90, 0). Покроем кривую
Pq -f- . * = 1 четырьмя картами ?/,-, две из которых —
окрестности точек @О, 0), (я — 90, 0) (обозначим их ?/х, ?/2),
U3 лежит в полуплоскости ре >. 0, Ьк — в полуплоскости
Ре < 0. В карте TJ\ в качестве отмеченной точки возьмем
точку г1 =Ф г°, в которой pq > 0. Тогда кривая 1Ъ соеди-
соединяющая точки г1 и г = (ср, 9, ре), гДе Рв > 0, не пересекает
цикл особенностей и ind 1 = 0; если же ре < 0, то кривая
I пересекает цикл особенностей и ind / = 1. Следователь-
Следовательно, в неособой точке (8, ср) имеем
Г\ пп
KTt{l)(B, ф)=|/|^-
е
где cc-j- = 0, а_ = л/2. Умножая это выражение на e~in/i
и учитывая соотношения A3.37) — A3.40), получаем для
почти собственной функции асимптотическую формулу
(в нефокальных точках):
(в, ф) = е^ф 	к^г cosJuSt—J) , A3.41)
iSi(9) = arctg	n	, ~*~..й
1 v '	&	cos Q	к	6	т cos G
Аналогичная формула получена в [23] при любой
размерности сферы.
Формула A3.41) была получена в предположении, что
-г отделено от нуля и, в частности, что
отношение
тп =Ф 0. Если положить /п. = 0, к = I -\- -^ в этой формуле
и умножить обе части на соответствующий нормировочный
множитель, то будет получена известная асимптотическая
формула для полиномов Лежандра:

280	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Построенные выше (см. A3.41)) почти собственные функ-
функции локализованы в окрестности проекции тора Тг на сфе-
сферу iS2, т. е. в окрестности слоя 90 ^ 9 ^ я — 90, 90 =
= arcsin (тп/к). При m -*- 0 этот слой стягивается к эк-
экватору.
Для оператора Лапласа — Бельтрами можно доказать, что
построенные выше почти собственные функции близки к истинным
собственным функциям. Это связано с тем, что в данной задаче
спектр известен точно: собственные значения Щ имеют вид
** = Z(Z + re —2),	1 = 1, 2, ...	A3.42)
Выше было доказано существование асимптотической серии соб-
собственных значений вида A3.36). При I ~^> 1 последовательные соб-
собственные значения к\ расположены на расстоянии порядка nl
друг от друга, так что формула A3.36) содержит все собственные
значения (при тех значениях I, при которых она была получена)
оператора Лапласа — Бельтрами. Далее, были построены почти
собственные функции и; (для краткости занумеруем их одним индек-
индексом) такие, что при I %> 1
\\щ\\>Си ||(A + fcf)uill<C2,
где постоянные Cj не зависят от Z.
Остается воспользоваться следующим фактом из спектральной
теории. Пусть А — самосопряженный оператор в гильбертовом
пространстве &G, для которого точка Я,о = 0 является изолирован-
изолированным конечнократным собственным значением. Пусть элемент / ?
ED (A),
II / II > С3, || Af || < С4	A3.43)
и справедлива оценка
где d0 — расстояние от точки Яо = 0 до остальной части спектра
а(А)\{0}.
Тогда
II / - PJ II *? Ск (d0C3)'\	A3.44)
где Рв — ортогональный проектор на инвариантное подпрост-
подпространство <й?0 оператора А, отвечающее собственному значению
\0=0.
Применительно к оператору Лапласа — Бельтрами это дает
оценку
< С1'1	A3.45)
при I > 1. Здесь постоянная С не зависит от I и Pi — ортогональ-
ортогональный проектор на инвариантное подпространство оператора Лап-
Лапласа — Б'ельтрами, отвечающее собственному значению к\.

§ 14. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА	281
§ 14. Квазиклассические приближения
для релятивистского уравнения Дирака
Построена квазиклассическая асимптотика решения
задачи Коши для релятивистского уравнения Дирака.
Показано, что спиновая поляризация имеет классический
предел при h -»- +0.
1. Уравнение Дирака. Движение релятивистской заря-
заряженной частицы со спином 1/2 во внешнем электромагнит-
электромагнитном поле описывается уравнением Дирака [6], [19]
^	A4.1)
Волновая функция ty = ty (t, хъ хг, х3) есть 4-вектор (стол-
(столбец) т|з = (%, 1|з2, г|53, if>4), гамильтониан имеет вид [72]
Н = а(ср — еА) — ey + fimc2.	A4.2)
Здесь е — заряд, т — масса частицы, с — скорость света
в вакууме, h — постоянная Планка, А = (Ах, А2, А3) —
векторный и ф — скалярный потенциалы электромагнит-
электромагнитного поля. Далее,
ар = aiPi + «2р2 + <х3р3,
а А =
где pj = —ih ^—. Матрицы а;, E имеют вид
и
где 0, 1 — нулевая и единичная B X 2)-матрицы, oj —
спиновые матрицы Паули:
•-(;!)¦ •¦=(? -о). "-«_;)•
Как обычно, будем предполагать, что все функции Aj (t, x),
Ф (i, x) вещественнозначны и бесконечно дифферен-
дифференцируемы.
19 в. П. Маслов. М. В. Федорюк

282 ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОК ПРИБЛИЖЕНИЕ
Заметим, что все матрицы а7-, <jj, § эрмитовы. Символ
оператора Н есть эрмитова матрица
ti J), *=(? _fj) , A4.3)
С = (_еф~тс2)B J),
где обозначено:
53 = —^з + сРз> вг = — е t^i + iA2) + с(рх + ip2).
A4.4)
Поставим задачу Коши
[^]	A4.1')
где o|)° ? С^° (R3), /^о ? С°° (R3), функция /50 вещественно-
значна, и исследуем асимптотику решения задачи A4.1),
A4.1') при йч-0.
2. Уравнение Гамильтона — Якоби и уравнение пере-
переноса. Вычислим собственные значения матрицы Н. Учиты-
Учитывая блочную структуру этой матрицы, получаем
det Ц Н - hlt |1 = det || (А - М%) {С — hl2) -
— (А — MJ В (А - М2)~1 В || =
= det || [(еф + К? - mV] /2 - Ва ||,
где Ik есть единичная (к X &)-матрица. Так как i?2 =
=^= (| В 2 |2 + -S|) /2, то собственные значения матрицы Н
имеют вид
h± = — еФ + ]/.	A4.5)
Здесь
Следовательно, матрица Н при любых вещественных
t, х, р имеет два двукратных собственных значения h±
класса С°°. Им отвечают два уравнения Гамильтона —
Якоби
5/(е)г	A4.7)

§ 14. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА	283
Собственные векторы ff, /' = 1,2, отвечающие собствен-
собственным значениям h±, можно выбрать следующим образом:
-В2
Вз
П=\ о
о
^2 = I	В.
тсЪ+Уп
!2
-В3
Векторы ff образуют ортогональный базис в R4 (скаляр-
(скалярное произведение эрмитово) и имеют одинаковую длину:
Кроме того, справедливы тождества
(Я, а;/$> = 0, / = 1, 2, 3,	A4.9)
и аналогичные тождества для векторов /~.
Пространство R4 распадается (при любых фиксирован-
фиксированных t, х, р) в ортогональную сумму двух инвариантных
подпространств R4 = R2+ ф R! матрицы Н. Базис под-
подпространства R+ (соотв. Ri) образуют векторы/^ 2 (соотв.
Д" 2). Соответственно вектор-функцию ofH (x), входящую
в данные Коши A4.1'), можно представить в виде
V = 4>? + ^0-, где ^+еЩ, 4>?€R?.
Ниже мы считаем, что -ф0 6 R+-
Формальное асимптотическое решение задачи Коши
A4.1), A4.1') будем, как обычно, искать в виде
N
ft=0
Вычислим главный член асимптотики. Для фазы S
мы получим уравнение Гамильтона — Якоби
19*

284	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Вектор-функцию г|з0 (t, x) будем искать в виде
Мр° (t, x) = щ (t, х) ft + со2 (*, х) П.	A4.11)
Неизвестные функции со^ 2 определяются из системы урав-
уравнений переноса
1	A4-12)
dt
Данные Коши таковы:
где coj определяются из соотношения
В силу леммы 11.5 имеем
Наличие множителя iff, fj)'1 связано с тем, что векторы
// не единичные. По сопряженным переменным произво-
производится суммирование, т. е.
з
dh+ df _ -л dh+ Of
dp dx <—I dpj dxj
и т. д. Здесь /+ — якобиан, отвечающий системе Гамиль-
Гамильтона
dx _ dh+ dp _ dh+	M4 14}
dt dp ' dt	dx '	K ' >
т. e.
/+ = dettegy),
где (х (t, у), р (t, у)) — решение системы A4.14) с данными
Коши
i „ „i	dS°{y)

§ i4. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА	2g5
Из ортогональности векторов /*, /*, тождеств A4.9)
и вещественности h+, H вытекает тождество
an=E — aiz.	A4.15)
Однако непосредственное вычисление коэффициентов
ajh по формуле A4.13) приводит к громоздким выкладкам.
Это связано, грубо говоря, с тем, что мы отделяем перемен-
переменную t. Ниже приведен другой вывод уравнений переноса.
3. Квадрированное уравнение Дирака и уравнения
переноса. Символ оператора Дирака равен —ро1к -\-
+ Н (х0, х, р), где ро = — Yt' х° = г- Найдем матрицу
Нх (х0, х, р) такую, что
h.)Ii, A4.16)
где h± — собственные значения матрицы Н. Нетрудно
проверить, что
Hi= — еф/4 — а(ср — еА) — $тс2.	A4.17)
Матрицы — ро/4 -f- H-l, —Pah + Н, в силу A4.16),—
ассоциированные, с точностью до скалярного множителя.
Пусть Lx — оператор Дирака, Ьг — оператор с симво-
символом —poh + #i (z0, ж> Р)- Тогда [72]
). A4.18)
Здесь
?"=—^—УФ, # = rot.4,	A4.19)
о' = (а[, о'2, a's), o'H = o'1Hi
и o'j — матрицы порядка 4x4:
Оу — спиновые матрицы Паули. Оператор
S = ^a'	A4.21)
называется спиновым моментом количества движения
электрона.

286	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Оператор Q = L2Li называется квадрированным опера-
оператором Дирака, а уравнение
(ty = 0	A4.22)
называется квадрированным уравнением Дирака.
Положим х = (х0, хх, х2, х3), р = {р0, рг, р2, р3). Сим-
Символ Q оператора Q равен (см. A4.18))
h
0 = 0 -\- —— О	A4 23)
i
¦—(ср — еЛ)г — тгск\ /4 —
= (PQ-K)(Po-h-)h, A4.24)
Здесь В — матрица
В = ieca'H - caE.	A4.26)
По сопряженным индексам производится суммирование,
т. е.
Э2<?о = у QZQq
дх dp ^-J 5г ,¦ Зр <
з=0
И Т. Д.
Рассмотрим теперь не квадрированное уравнение Ди-
Дирака, а произвольный й,-п. д. о. с символом вида A4.23),
где Qo, Qx — матрицы порядка N X N, не зависящие от h,
и матрица Qo — скалярная.
Получим ф. а. решение уравнения A4.22) с точностью
до О (h). При этом ограничимся формальными выкладка-
выкладками и не будем формулировать стандартных условий на
символ.
Будем искать ф. а. решение в виде
N
Подставляя ip в уравнение и приравнивая нулю коэффици-
коэффициенты при степенях h, получаем уравнения
i?of = 0, tfoip1 + tfxf = 0

§ 14. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА	287
и т. д. Здесь
и по сопряженным переменным производится суммиро-
суммирование.
По условию матрица Qo — скалярная; запишем ее
в виде Q0IN, где Qo — скалярная функция. Тогда уравне-
уравнения для гр°, г]I примут вид
Qo (х, р) = 0 (р = VS (ж)),	A4.28)
W = 0.	A4.29)
С уравнением Гамильтона — Якоби A4.28) ассоциирована
система Гамильтона
dx __ dQ0	dp _ OQq	., qn.
Оператор i?i с помощью формулы Лиувилля (см. § 3)
преобразуется к виду
Следовательно, справедливо
Предложение 14.1. Решение уравнения переноса
A4.29) имеет вид
о
где Х° (т) — решение задачи Ноши
<2т
В формуле A4.32), как обычно, х — х (т), р = р (т) —
это решение системы A4.29) и / (т) = det ч-Ш-
Рассмотрим эволюционное уравнение A4.22), т. е.
Q] == Q] (fi xi Poi p)i
где t ? R, x ? Rn. Пусть уравнение
<?0-(*. *. Po, P) =0	A4.34)

288	ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
относительно переменной р0 имеет решение из класса С°°
р0 = h (t, x, p)	A4.35)
(для простоты) при всех вещественных t, х, p и этот корень
однократен. Построение ф. а. решения уравнения Qty = О
приводит к уравнению Гамильтона — Якоби A4.34) (здесь
р0 = dS/dt, p = dSldx); выберем то решение, которое
удовлетворяет уравнению A4.35).
С уравнением A4.34) ассоциирована система Гамиль-
Гамильтона
_^_=i^L	dpo = d(?o
dx дРо ' dx ¦	dt '
dx __ dQ0	dp _ dQ0	U4.CSD)
dx ~~ dp .,'	dx ~ dp '
а с уравнением A4.35) — укороченная система Гамильтона
dx 	 dh	dp __ dh	,., „7%
~dT~~~dp ' ~W~~~~dI'	A4.61)
Установим связь между решениями этих систем и между
якобианами /.
Поставим задачу Коши
для системы A4.36) и задачу Коши
х\х^ = А р|г=о=Р°	A4.39)
для системы A4.37), где данные х°, р° одни и те же. Обе
задачи предполагаются лагранжевыми; пусть ри — 0 .
Мы ограничимся локальными рассмотрениями.
Решение задачи A4.37), A4.39) обозначим через ж+, р+,
чтобы отличить его от решения задачи A4.36), A4.38).
Введем якобианы
г _ D(t, х)	r+ Dx*
D (т О) ' J —
r
D (т, хО) ' J — Dx0
(напомним, что t = t (т, х°), х = х (t, x°) в случае задачи
A4.36), A4.38)). Будем предполагать, что / ф 0, /+ ф 0.
Тогда (цо крайней мере при малых t) можно рассматривать
решение х (т, х°) как функцию от t, x°.

§ 14. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА	289
Лемма 14.2. Пусть данные Коши A4.3) таковы,
что Е° = h (О, х°, р°). Тогда при малых t
x(t, x°)~x+(t, Xй), p(t, x°)~p+(t, хй), A4.40)
- j	 dQ
Доказательство. Функция Qo является пер-
первым интегралом системы A4.36), и так как она равна нулю
при т = 0, то Qo = 0 на траекториях системы A4.36).
Поскольку корень р0 = h уравнения A4.34) изолирован-
изолированный и при т = 0 имеем р0 = h, то вдоль траекторий систе-
системы A4.36) уравнение A4.35) выполняется тождественно.
Дифференцируя тождество A4.34) по р, где pQ = h,
получаем
dh = dQ0 I dQ0 \-l
dp	dp \ др0 )
Из системы A4.36) находим, что
dx 	 dQ0 / dQ0 \ -1	 dh
If ~ ' dp \ dp0 I ~~ ~~ ~d~p -
dp dh
доказывается, что ~- = —, так что решение
р (t, хй) задачи A4.36), A4.38) удовлетворяет
системе \14.37). Из совпадения данных Коши вытекают
тождества х = х+, р = р+. Далее,
dt/\dxl/\.../\dxn =
k=i h
откуда следует последнее из тождеств A4.40).
Рассмотрим задачу Коши A4.1') для эволюционного
уравнения Qty = 0. Будем предполагать, что символ Q
имеет вид A4.23) (напомним, что матрица (?0 — скалярная)
и что условия леммы 14.2 выполнены. Тогда справедливо
Предложение 14.3. Задача Коши A4.22), A4.1')
имеет формальное асимптотическое решение вида
[а

290 ЧАСТЬ II. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Здесь S — решение уравнения Гамильтона — Якоби A4.35)
с данными Коши S |1=0 = So (х) и V — решение задачи
Коши
^(||I	0, х°М = Г A4.42)
Доказательство следует из предложения 14.1, леммы
dt	Q
dx
14.2 и соотношения j- = --^. В формулах A4.41), A4.42)
Ро = п,.
Применим эту методику к задаче Коши A4.1') для
уравнения Дирака. Эта задача эквивалентна задаче Коши
dt f=0
A4.43)
для квадрированного уравнения Дирака. Действительно,
Q = L%Lr и так как Li гр |г=0 = 0 в силу A4.33), то, по
теореме единственности, Li г|з ^ 0 при всех t. Второе из
условий A4.43) приводит к соотношению
т. е. -т— f=o — собственное значение, я[)° (x) — собствен-
собственный вектор матрицы Н |г=0- Мы уже условились выше,
что ofH ? R*, т. е. что Н |i=o 'ф0 = h+ \t=0 ofH.
Теорема 14.4. Задача Коши A4.1') для уравнения
Дирака A4.1), где гр° (х) ? R^, имеет при 0 ^ t ^ T и при
малых I формальное асимптотическое решение
dt
\t x
X exp (i-S+ (t, ж)) Х°(г, х). A4.44)
Здесь Х° — решение задачи Ноши
x°	l	)-1/г, A4.45)
Функция S+ — решение уравнения A4.7) с данными
Kowu S ](=о — ^о (а;)-.

§ 14. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА	291
Доказательство следует из предложения 14.3
и формул A4.25), A4.26). В формуле A4.44), как обычно,
х = х (t, г/), р = р {t, у) (решение задачи Коши A4.37),
A4.39), где х |(=0 = у).
Аналогично, если г]5 |(=0 ? R^, то существует ф. а.
решение вида A4.44), где /+ -> /~, S+ -> S_. Тем самым
асимптотика решения задачи Коши вычисляется для произ-
произвольных данных Коши A4.1'), удовлетворяющих стандарт-
стандартным условиям гладкости и финитнЪсти.
В уравнение переноса A4.45) входит оператор спина
^ ieca'H. Следовательно, квазиклассическое приближение
для уравнения Дирака содержит спиновый момент количе-
количества движения.
Формулы A4.44), A4.45) дают ф. а. решение задачи
Коши в малом. С помощью канонического оператора
(см. теорему 11.10) можно построить ф. а. решение для
любого конечного промежутка времени.
Обоснование асимптотической формулы A4.44) полу-
получается следующим образом. Пусть скалярный и векторный
электромагнитные потенциалы являются вещественно-
значными функциями класса С°° (R3), не зависят от х
и ограничены вместе с производными до второго порядка
включительно. Тогда минимальный симметрический опера-
оператор Йо в L2 (R|), отвечающий системе Дирака A4.1),
допускает расширение до самосопряженного оператора Н.
Из теоремы 11.10 и предложения 10.3 вытекает оценка
|| of) (t, x) - г|5° (t, x) || < Ch,
где ofH — правая часть формулы A4,44).

ЛИТЕРАТУРА
1.	Аналитические методы в теории дифракции и распространения
волн, НС по акустике АН СССР, Мпн-во радиопромышленно-
радиопромышленности СССР, М., 1970.
2.	А р н о л ь д В. И. О характеристическом классе, входящем
в условия квантования, Функц. анализ и его прил., 1, № 1
A967), 1-14.
3.	Арнольд В.И. Нормальные формы функций вблизи вырож-
вырожденных критических точек, группы Вейля Ah, Dh, E^ и лагран-
жевы особенности, Функц. анализ и его прил., 6 № 4 A972),
3—26.
4.	Арнольд В. И., Математические методы классической
механики, «Наука», М., 1974.
5.	Бабич В. М., Булдырев B.C., Асимптотические методы
в задачах дифракции коротких волн, Метод эталонных задач,
«Наука», М., 1972.
6.	Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию
квантованных полей, М., Гостехиздат, 1957.
7.	Бреховскпх Л. М., Волны в слоистых средах, «Наука»,
М., 1973.
8.	Буслаев В. С, Производящий интеграл н канонический
оператор Маслова в методе ВКБ, Функц. анализ и его прил.,
3, № 3 A969), 17—31.
9.	Вайнберг Б. Р., Об аналитических свойствах резольвенты
для одного класса пучков операторов, Матем. сб., 77, № 2
A968), 259—296.
10.	Вайнберг Б. Р., О коротковолновой асимптотике решений
стационарных задач и асимптотике при t —у оо решений неста-
нестационарных задач, УМН, 30, № 2 A975), 3—55.
11.	Вайнштейн Л. А., Открытые резонаторы и открытые
волноводы, «Сов. радио», М., 1966.
12.	В и ш и к М. И., Л ю с т е р н и к Л. А., Регулярное вырож-
вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных
уравнений с малым параметром, УМН, № 5 A957), 3—122.
13.	Владимиров В. С, Уравнения математической физики, М.,
«Наука», 1975.
14.	Г а н т м а х е р Ф. Р., Лекции по аналитической механике,
Физматгиз, М., 1960.
15.	Гельфанд И. М., Фомин С. В., Вариационное исчис-
исчисление, Физматгиз, М., 1961.
16.	Г о л д с т е й н Г., Классическая механика, Гостехиздат, М.,
1957.
17.	Гординг Л., Задача Коши для гиперболических уравне-
уравнений, ИЛ, М., 1961.

ЛИТЕРАТУРА	293
18.	Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы.
Общая теория, ИЛ, М., 1962.
19.	Д и р а к П. А. М., Принципы квантовой механики, Физ-
матгиз, М., 1960.
20.	Жданова Г. В., Ф е д о р ю к М. В., Асимптотическая тео-
теория систем обыкновенных дифференциальных уравнений вто-
второго порядка и задача о рассеянии, Тр. Моск. матем. общ-ва,
1976.
21.	Иосида К., Функциональный анализ, «Мир», М., 1967.
22.	К а р т а н Э., Интегральные инварианты, Гостехиздат, М.,
1940.
23.	Коган В. Р., Асимптотика оператора Лапласа — Бельтра-
ми на единичной сфере Sn, Изв. вузов, Радиофизика, 12, JSs 11
A969), 1675—1680.
24.	Коган В. Р., Асимптотика оператора Лапласа— Бельтрами
вп -мерном шаре Еп, Изв. вузов, Радиофизика, 12, № 11 A969),
1681 — 1689.
25.	Кон Дж. Дж., Ниренберг Л., Алгебра псевдодиффе-
псевдодифференциальных операторов, в сб. «Псевдодифференциальные
операторы», «Мир», М., 1967.
26.	Курант Р., Уравнения с частными производными, «Мир»,
М., 1964.
27.	Кучеренко В. В., Квазиклассическая асимптотика функ-
функции точечного источника для стационарного уравнения Шре-
дингера, Теор. и матем. физ., 1, К> 3 A969), 384—406.
28.	Кучеренко В. В., Асимптотика решения системы
А (х, —ih-д- и) — Q при h —у 0 в случае характеристик пере-
переменной кратности, Изв. АН СССР, сер. матем., 38, № 3 A974),
625—662.
29.	Кучеренко В. В., Формула коммутации /г^-исевдодиффе-
ренциального оператора с быстро осциллирующей экспонен-
той, Матем. сб., 94, № 1 A974), 89—113.
30.	К у ч е р е н к о В. В., Асимптотические решения уравнения
с комплексными характеристиками, Матем. сб., 95, № 2 A974),
163—213.
31.	Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Механика, Физматгиз,
М., 1958.
32.	Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, «Наука»,
М., 1973.
33.	Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика
(нерелятивистская теория), «Наука», М., 1975.
34.	Л е р е Ж., Гординг Л., Котаке Т., Задача Коши,
«Мир», М., 1967.
35.	М а с л о в В. П., Квазиклассическая асимптотика решений
некоторых задач математической физики I, Журн. выч. матем.
и матем. физ., 1, № 1 A961), 113—128.
36.	М а с л о в В. П., Квазиклассическая асимптотика решений
некоторых задач математической физики, II, Журн. выч. матем.
и матем. физ., 1, № 4 A961), 638—663.
37.	М а с л о в В. П., Задача о рассеянии в квазиклассическом
приближении, ДАН СССР, 151, № 2 A963), 306—309.

294	ЛИТЕРАТУРА
38.	М а с л о в В. ГГ., Теория возмущений и асимптотические
методы, Изд-во МГУ, М., 1965.
39.	М а с л о в В. П., Метод ВКБ в многомерном случае. Приложе-
Приложение к книге Дж. Хединга «Введение в метод фазовых интегра-
интегралов», «Мир», М., 1965.
40.	Маслов В. П., О регуляризации задачи Коши для псевдо-
псевдодифференциальных уравнений, ДАН СССР, 177, № 6 A967),
1277—1280.
41.	Маслов В. П., К методу стационарной фазы континуальных
интегралов Фейнмана, Теор. и матем. физ., 2, № 1 A970),
30-40.
42.	Маслов В. П., Операторные методы, «Наука», М., 1973.
43.	Маслов В. П., Ф е д о р ю к М. В., Канонический опера-
оператор (вещественный случай), Современные проблемы математики,
т. I, Изд-во ВИНИТИ, М., 1973.
44.	М и л н о р Дж., Теория Морса, «Мир», М., 1965.
45.	Мищенко А. С, С т е р н и н Б. Ю., Метод канонического
оператора в прикладной математике, часть I, МИЭМ, М., 1974.
46.	Мищенко А. С, Стерни и Б. Ю., Шаталов В. Е.,
Метод канонического оператора Маслова. Комплексная теория,
МИЭМ, М., 1974.
47.	Новиков С. П., Алгебраическое построение и свойства
эрмитовых аналогов ./^-теории над кольцами с инволюцией
с точки зрения гамильтонова формализма. Некоторые приме-
применения к дифференциальной топологии и теории характеристи-
характеристических классов, I, Изв. АН СССР, сер. матем., 34, № 2 A970),
253—288.
48.	Н о в и к о в С. П., Алгебраическое построение и свойства
эрмитовых аналогов А"-теории над кольцами с инволюцией
с точки зрения гамильтонова формализма. Некоторые приложе-
приложения к дифференциальной топологии и теории характеристиче-
характеристических классов, II, Изв. АН СССР, сер. матем., 34, № 3 A970),
475—500.
49.	Покровский В. Л., Халатников И. М., К вопросу
о надбарьерном отражении частиц высоких энергий, ЖЭТФ,
40, № 6 A961), 1713—1719.
50.	Р а ш е в с к и й П. К., Геометрическая теория уравнений
с частными производными, Гостехиздат, М., 1947.
51.	Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 4, Физматгиз,
М., 1958.
52.	С о б о л е в С. Л., Некоторые применения функционального
анализа в математической физике, йзд-во ЛГУ, Л., 1950.
53.	Стернберг С, Лекции по дифференциальной геометрии,
«Мир», М., 1970.
54.	Фейнман Р.,Хибс А., Квантовая механика и интегралы
по траекториям, «Мир», М., 1968.
55.	Ф е д о р ю к М. В., Метод стационарной фазы для многомер-
многомерных интегралов, Журн. выч. матем. и матем. физ., 2, № 1 A962),
145—150.
56.	Федорюк М. В., Асимптотика функции Грина при t -*¦ -(-0,
| х | -*¦ оо для корректных по Петровскому уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами и классы корректности решения задачи
Коши, Матем. сб., 62, № 4 A963), 397—468.

ЛИТЕРАТУРА	295
57.	Ф е д о р ю к М. В., Метод стационарной фазы. Близкие седло-
вые точки в многомерном случае, Журн. выч. матем. п матем
физ. 4, № 4 A964), 671—682.
58.	Фе д о р ю к М. В., Одномерная задача о рассеянии в квази-
квазиклассическом приближении I, Дифф. уравнения, 1, № 5 A965)
631-646.
59.	Ф е д о р ю к М. В., Одномерная задача о рассеянии в квази-
квазиклассическом приближении II, Дифф. уравнения, 1, № 11
A965), 1525—1536.
60.	Федорюк М. В., Метод стационарной фазы и псевдодиффе-
псевдодифференциальные операторы, УМН, 26 № 1 A971), 67—112.
61.	Франк Ф., М и з е с Р., Дифференциальные и интегральные
уравнения математической физики, ОНТИ, М., 1937.
62.	Фок В. А., О каноническом преобразовании в классической
и квантовой механике, Вестн. ЛГУ, 16 A959), 67—71.
63.	Фок В. А., Проблемы дифракции и распространения элек-
электромагнитных волн, «Сов. радио», М., 1970.
64.	Ф у к с Д. Б., О характеристических классах Маслова —
Арнольда, ДАН СССР, 178, № 2 A968), 303—306.
65.	Фукс Д. Б., Фоменко А. Т.,Г утенмахер В. Л.,
Гомотопическая топология, Изд-во МГУ, М., 1969.
66.	Функциональный анализ, СМ Б, «Наука», М., 1964.
67.	Хелгансон С, Дифференциальная геометрия и симметри-
симметрические пространства, «Мир», М., 1964.
68.	Хёрмандер Л., Псевдодифференциальные операторы,
в сб. «Псевдодифференцналыше операторы», «Мир», М., 1967.
69.	Хёрмандер Л., Интегральные операторы Фурье, «Мате-
«Математика», период, сб. переводов, 16, № 1 A974), 17—61.
70.	Хёрмандер Л., Интегральные операторы Фурье, «Мате-
«Математика», период, сб. переводов, 16, № 2 A974), 67—136.
71.	Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные уравнения
с частными производными, «Мир», М., 1965.
72.	III ифф Л., Квантовая механика, ИЛ, М., 1957.
73.	Birkhoff G. D., Quantum mechanics and asymptotic series,
Bull. Amer. Math. Soc, 39 A933), 681—700.
74.	Duistermaat J. J. Oscillatory integrals, Lagrange im-
immersions and unfolding of singularities, Comm. Pure and Appl.
Math., 27, № 2 A974), 207—281.
75.	Keller J. В., Corrected Bohr-Sommerfeld quantum conditions
for nonseparable systems, Ann. Phys., 4, № 2 A958), 180—188.
76.	Keller J. В., R u b i n о w S., Asymptotic solution of eigen-
eigenvalue problems, Ann. Phys., 9, J\« 1 A960), 24—75.
77.	Lax P., Asymptotic solutions of oscillatory initial value pro-
problems, Duke Math. J., 24, № 4 A957), 627—646.
78.	L e г а у J., Lectures on hyperbolic equations with variable
coefficients, Princeton, Inst. for Adv. Study, 1.952.
79.	L e r ay J., Solutions asymptotiques des equations derivee par-
ticuliers, Conv. Intern. Phys. Math., Rome, 1972.
80.	L u d w i g D., Exact and asymptotic solutions of the Cauchy
problem, Comm. Pure and Appl. Math., 13, № 13 A960), 473—
508.
81.	Malgrange В., Operateurs de Fourier (d'apres Hormander et
Maslov), Seminaire Bo\irbaki, n° 411, 24-e annee, 1971/72.

296	ЛИТЕРАТУРА
82.	М a s 1 о v V., The characteristics of pseudo-differential opera-
operators and difference schemes, Actes Congres Intern. Math., v. 2,
1970, 755—769.
83.	Morse M., The calculus of variations in the large, Amer.
Math. Soc, Col. Publ., 18 A934), N. Y.
84.	Petrovsky I. G., ОЪег das Cauchysche Problem fur System
von partiellen Differentialgleichungen, Матем. сб., № 2 A937),
815—870.
85.	S о u r i a n M. J.-M., Indice de Maslov des varietes iagrangiennes
orientables, C.R. Acad. Sci. Paris, 276, S. A. A973), 1025—1026.
86.	Leray J., Solutions asymptotiques et groupe symplectique,
Lect. Notes Math., 1975, 459, 73—97.
87.	Schacffer D., Guillemin V., Maslov theory and sin-
singularities M. I. T., Cambridge. Mass., 1972 (Mimeographed notes).
88.	Weinstain A., On Maslov's quantisation condicion, Lect.
Notes Math., 1975, 459, 341—372.